/
Author: Марков Г.Т. Чаплин А.Ф.
Tags: электротехника физика электромагнетизм электромагнитные волны
Year: 1983
Text
Г.Т. М АРКОВ, А.Ф. Ч АП Л И Н
' -Т>Д) ; . г'й"
ВОЗБУЖДЕНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН
< ' 1 , > 4У ,\ » ч, /,/ „ >:• . • •• ?*, - * » > ,. f. ’ / ,4 '\ \ * ’ .’ >'' ' >' ’"
та > Д.у •’ • • Д1 <1
Г. Т. Марков , А. Ф. Чаплин
ВОЗБУЖДЕНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН
Второе издание,
переработанное и дополненное
МОСКВА
„РАДИО И СВЯЗЬ”
1983
УДК 621.371
(Марков Г. Т.|, Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных
волн. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1983. —
296 с., ил.
В книге .рассматривается теория возбуждения электромагнитных волн сто-
ронними электрическими и магнитными токами как в свободном пространстве,
так н при наличии различных тел. Формулируются общие теоремы и принципы
в теории электромагнитного поля. Анализируются свойства электромагнитных
волн. Изучается возбуждение волн в волноводах и колебаний <в резонаторах.
Решение ряда задач доводится до численных результатов. Первое издание
вышло в 1967 г. Во втором издании частично переработан старый материал и
Добавлены две новые главы, посвященные возбуждению периодических структур
И эллиптического цилиндра.
Для научных работников и аспирантов.
Табл. 3, рнс. 103, бнбл. 45 назв.
РЕЦЕНЗЕНТЫ Г. Н. КОЧЕРЖЕВСКИЙ и А. А. ЛЕМАНСКИЙ
Редакция литературы по конструированию и технологии производства
радиоэлектронной аппаратуры
М
2402020000-049
046(01)-83
2-83
© Издательство "Радио и связь", 1983
Отсканировано специально для www.infanata.org
^пвцйалыю Sin -
'NatalLausX
знание без границ Ч **
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга является вторым изданием, вышедшим в
1967 году. Материал книги в первую очередь, основан на курсах
лекций по электродинамике, читавшихся на протяжении несколь-
ких лет студентам, аспирантам и преподавателям на радиотехни-
ческом факультете и на факультете повышения квалификации
Московского энергетического института. Кроме того, курсы лек-
ций в различных вариантах читались сотрудникам ряда радиотех-
нических предприятий. В книге также изложены некоторые мето-
ды решения граничных задач электродинамики, разработанные
авторами.
Главное внимание уделено .изложению основ макроскопической
теории электромагнитного поля и решению задач о возбуждении
электромагнитных волн в различных областях, открытых и закры-
тых. На языке математической физики это означает, что здесь
рассматриваются решения неоднородного векторного уравнения
Гельмгольца в различных системах координат и при различных
граничных условиях. При этом широко используется метод разло-
жения искомых полей по .полной системе собственных функций
данной граничной задачи и во многих случаях в явном виде запи-
сывается выражение для функции Грина. Наряду с методом соб-
ственных функций в книге коротко на 'некоторых примерах рас-
сматривается метод интегральных уравнений.
Представленные общие решения задач возбуждения электро-
магнитных волн как в свободном пространстве, так и при нали-
чии металлических, диэлектрических и импедансных тел позво-
ляют анализировать частные случаи этих задач и строить реше-
ния новых, например, методом частичных областей или методом
интегральных уравнений. На наш взгляд, книга пригодна как для
первичного изучения основ электродинамики и методов решения
ряда граничных задач, так и для использования ее при теорети-
ческих исследованиях.
Второе издание книги отличается от первого изменением со-
держания двух глав. Девятая глава первого издания была посвя-
щена решению граничных задач в коротковолновом приближении.
За последние годы появились монографии и разделы в ряде учеб-
ных пособий, где эти вопросы рассматриваются более подробно и
глубоко. Было решено в гл. 9 второго издания изложить решение
задачи о произвольном возбуждении эллиптического цилиндра.
Это решение, использующее разложение по собственным функци-
ям эллиптической системы координат, более соответствует духу
3
данной книги, и представляет интерес при рассмотрении ряда
проблем дифракции, теории антенн и волноводов.
Двенадцатая глава BTQporo издания посвящена изложению ос-
нов теории периодических структур в электродинамике, в первую
очередь, теории антенных решеток. Эти вопросы в последние годы
привлекают большое внимание многих специалистов. В нашей кни-
ге в отличие от многих статей и монографий по данному направ-
лению, базирующихся на теории бесконечных периодических
структур, принят иной подход, опирающийся на обобщенный ме-
тод наведенных ЭДС И использование преобразования Фурье. Это
дает возможность получить ряд новых с методической и научной
точек зрения результатов.
Содержание остальных глав сохранилось, но при этом была
уточнена редакция ряда формулировок и исправлены замеченные
опечатки.
Рецензентам новых двух глав, написанных А. Ф. Чаплиным,
проф. Г. Н. Кочержевскому и проф. А. А. Леманскому, авторы
приносят глубокую благодарность за внимание к работе и ряд
ценных замечаний.
По мнению авторов, второе издание книги, так же как и пер-
вое, привлечет внимание студентов и аспирантов физических и
радиотехнических специальностей высших ученых заведений и
будет полезным для инженеров и научных работников, занимаю-
щихся исследованиями в области радиофизики, оптики, техники
СВЧ, теории антенн и распространения радиоволн.
Авторы
^lalaUaustbi
знание без границ “ w
Глава первая
Уравнения Максвелла
В первой главе книги рассматриваются классические уравне-
ния электромагнитного поля для сплошных сред. Исходные урав-
нения Максвелла приводятся в готовом виде, поскольку вопросам
«вывода» этих уравнений уделяется соответствующее внимание в
курсе физики. '
Особенностью применяемых нами уравнений является введение
наряду с электрическими также и магнитных токов и в соответ-
ствии с этим использование магнитных зарядов и магнитной про-
водимости среды. Как будет видно в следующих главах, это оп-
равдывается удобствами при решении многих задач электродина-
мики. Что касается граничных условий, то они записываются без
особых подробностей, но в удобном для последующих применений
виде; в частности, в них вводятся наряду с поверхностными элек-
трическими также и поверхностные магнитные токи.
Теорема Умова—Пойнтинга приводится как для мгновенных
значений поля, так и для комплексных амплитуд. Подчеркивает-
ся, в частности, что теорема Умова—Пойнтинга содержит широко
применяемые в теории излучения радиоволн метод вектора Пойн-
тинга и метод наводимых электродвижущих и магнитодвижущих
сил. Именно при рассмотрении теоремы Умова—Пойнтинга про-
слеживаются сходство и различие между этими двумя методами
расчета излучения электромагнитной энергии антеннами, а также
видно, как метод вектора Пойнтинга переходит в метод наводи-
мых ЭДС и МДС при стягивании поверхности интегрирования к
поверхности излучателя.
Вывод волновых уравнений для векторов поля и векторных
потенциалов делается в компактном виде. При этом подчеркива-
ется ненужность использования при решении граничных задач
электродинамики скалярных потенциалов поля, поскольку сторон-
ние токи и заряды связаны уравнением непрерывности. Волновые
уравнения для векторов поля и векторных потенциалов имеют
одинаковый вид, различие заключается только в правых частях
уравнений. Из дальнейшего изложения будет видно, что и общие
решения волновых уравнений для векторов поля и векторных по-
тенциалов имеют одинаковый вид, различия имеют место только
в граничных условиях.
5
В заключение первой главы в кратком виде приводятся урав-
нения для статических и стационарных электромагнитных полей.
Однако исследование таких полей не входит в задачу авторов, и
поэтому в дальнейшем вопросам расчета статических, стационар-
ных и квазистационарных полей внимание уделяться не будет.
Наконец, как справочный материал приводятся выражения
векторных и скалярных полей в ортогональных системах прямо-
угольных, цилиндрических и сферических координат.
1.1. Уравнения Максвелла в дифференциальной
и интегральной форме
Макроскопическое электромагнитное поле в сплошных непо-
движных средах описывается в дифференциальной, форме сле-
дующими уравнениями Максвелла:
rotH=—+р; rot Е = ———jM, (1.1)
д t dt
где Е и Н — мгновенные значения векторов напряженности элек-
трического и магнитного поля; D и В — мгновенные значения
векторов электрической и магнитной индукции; j3 и jM — мгновен-
ные значения векторов объемной плотности электрического и маг-
нитного тока.
Так как имеет место закон сохранения количества электриче-
ства и магнетизма (уравнение непрерывности):
div j9 4- ^- = 0; div р + ^е_=0, (1.2)
где рэ — объемная плотность электрического заряда и рм — объ-
емная плотность магнитного заряда, то из уравнений (1.1) из-за
тождества divrotF=0 (F — любой вектор) вытекают - еще два
уравнения:
div D = p9; div В = рм. (1.3)
В уравнения (1.1), (1.2) и (1.3) совершенно формально введе-
ны, помимо электрических токов и зарядов, также магнитные то-
ки и заряды. В действительности магнитных токов и магнитных
зарядов в природе не существует, поэтому в написанных уравне-
ниях нужно было бы положить jM = 0 и рм=0. Однако введение
этих величин в уравнения электродинамики оказывается удобным
во многих случаях, например, при определении излучения щеле-
вых антенн.
Два уравнения (1.1) связывают между собой шесть векторов.
Поэтому эта система является неполной и к ней нужно добавить
еше четыре уравнения.
Во многих задачах среда, в которой происходят электромаг-
нитные процессы, предполагается изотропной, т. е. имеющей оди-
наковые свойства по всем направлениям в -каждой точке прост-
ранства.
s
^atallaus^k
Для изотропной среды имеют место соотношения:
js =аэ(Е + Ест); j“ = ом(Н + Нст); (1.4а)
D = eaE; В = раН, (1.46)
где еа — абсолютная диэлектрическая проницаемость; у.а — абсо-
лютная магнитная проницаемость; оэ — удельная электрическая
проводимость; ом — удельная магнитная проводимость; Ест —
напряженность стороннего электрического поля; Нст — напряжен-
ность стороннего магнитного поля.
Под сторонними полями понимают либо поля, создаваемые
электродвижущими и магнитодвижущими силами неэлектромагнит-
ного происхождения (химическими, диффузионными и др.), либо
поля, создаваемые некоторой частью системы, принимаемой за ис-
точник и не рассматриваемой детально. При анализе реальных
электродинамических систем выделение некоторой их области в
качестве области источйиков оказывается, как правило, необходи-
мым во избежание чрезмерного усложнения задачи. В процессе
решения величины Ест и Нст считаются заданными и не завися-
щими от порождаемых ими полей. . Наряду с напряженностями
сторонних полей можно рассматривать сторонние токи: электри-
ческий ]э ст=оэЕс'г и магнитный |мст—амцст Вопрос о том, сле-
дует ли вводить первичные Источники с помощью сторонних то-
ков или напряженностей поля сторонних ЭДС и МДС, решается
при постановке конкретных задач. В дальнейшем мы будем поль-
зоваться сторонними токами, имея в виду возможность перехода
к сторонним ЭДС и МДС.
В соотношениях (1.4) зависимости между электрической ин-
дукцией и напряженностью электрического поля и между магнит-
ной индукцией и напряженностью магнитного поля приняты ли-
нейными. Однако существуют чреды, в которых эти зависимости
имеют другой вид.’Так, в сегнетоэлектриках нарушается линей-
ность соотношения D = eaE, а1вферромагнитных веществах наруша-
ется линейность соотношения В = р.аН. Параметры этих чред еа и
р,а оказываются, таким образом, зависящими от величин напря-
женностей поля Е и Н. В анизотропных средах проницаемости
8а и Ца становятся тензорными величинами, которые в общем слу-
чае могут быть записаны в следующем виде:
(811 812 81з\ /Р11 Р-12 Р1з\
821 822 823 I > (Ра) = I Р21 Р22 Р2З I .
831 е32 833/ \Р31 Рз2 Рзз/
Среды, имеющие тензорную электрическую проницаемость,
иногда называются гироэлектрическими, а среды с тензорной маг-
нитной проницаемостью — гиромагнитными. Примером гироэлек-
трической среды может служить плазма в постоянном магнитном
поле. Из гиромагнитных сред следует упомянуть ферриты, поме-
щенные в постоянное (или медленно меняющееся) магнитное по-
ле. Вещества, обладающие одновременно и гироэлектрическими,
7
и гиромагнитными свойствами, пока в природе не обнаружены.
Уравнения (1.1) совместно с уравнениями (1.4) представляют уже
полную систему уравнений электромагнитного поля.
Подставив (1.4) в (1.1) и (1.3), будем иметь уравнения Макс-
велла в следующем виде:
rot Н = еа — 4-о9 Е-Нэ ст ;
д t
rot Е — JI, — — омН—jM ст;
а д t
(1-5)
div еаЕ = рэ; div раН = рм. (1.6)
В уравнениях (1.5) и (1.6) полагается, что величины еа, ца,
оэ, ом являются заданными функциями точки пространства и от
времени не зависят. Для однородной среды еа, Ца,
оэ и ом являются постоянными.
Уравнения Максвелла записаны здесь в системе
единиц «СИ». В этой системе диэлектрическая про-
Оницаемость среды еа измеряется в фарадах на метр
, и для вакуума ео=10-9/36л Ф/м; магнитная прони-
цаемость среды ра измеряется в генри на метр и для
вакуума ро=4л-1О~7 Гн/м.
Кроме дифференциальной формы, уравнения
Рис. 1.1. К тео- Максвелла могут быть записаны также в интеграль-
реме то с HOg фОрме для этой цели воспользуемся прежде
всего теоремой Стокса, согласно которой цир-
куляция вектора F по замкнутому пути равна поверхностному ин-
тегралу от составляющей ротора вектора F по направлению нор-
мали к поверхности, опирающейся на контур (рис. 1.1):
§Ftdl = у rot Fnds. (1.7)
s
Применение этой теоремы к уравнениям (1.5) приводит нас к
следующим выражениям:
=j |"еа^ + аэ£п + /э.сТК. (1.8)
jEtdl=- у (Иа^ + омДп + /м.ст\^
5 \ /
Здесь и далее индексом п отмечены нормальные составляющие
соответствующих векторов. Первое уравнение (1.8) называется
законом полного электрического тока. Согласно этому уравнению
дЕп
электрические токи смещения еа—- , так же как и электрические
dt
токи проводимости оэЕп+/пэст, цорождают магнитное поле, при-
чем изменение электрического поля во времени вызывает измене-
ние магнитного поля в пространстве. Второе уравнение (1.8) при
ом = 0; /пмст=0 обычно называется законом электромагнитной
«
ftalatiauswil
знание без границ У *
индукции. По аналогии с первым уравнением (1.8) можно это
уравнение называть законом полного магнитного тока. Согласно
этому уравнению магнитные токи смещения ра -—п , так же как
dt
и магнитные токи проводимости омНп+/пмст, порождают электри-
ческое поле, а изменение магнитного поля во времени вызывает
изменение электрического поля в пространстве.
Воспользуемся далее теоремой Гаусса—Остроградского, связы-
вающей интеграл по поверхности с интегралом по объему:
J Fnds = J div Fdv, (1.9)
s v
где n — внешняя относительно рассматриваемой области нормаль
к поверхности S.
Применение этой теоремы к уравнениям (1.6) дает
J eaEnds = J рэ du; f ра Hnds= f рмdv. (1-10)
S VS V
Первое уравнение (1.10) указывает на то, что истоками элек-
трического поля являются электрические заряды. Второе уравне-
ние (1.10) указывает на то, что истоками магнитного поля явля-
ются магнитные заряды.
1.2. Граничные условия электродинамики
Приведенные выше уравнения электромагнитного поля записа-
ны для точек пространства, в которых параметры еа, ца, о® и ом
изменяются непрерывно. Однако на некоторых поверхностях, на-
пример на границах раздела различных сред, векторы поля могут
испытывать скачки непрерывности.
Выделим на поверхности раздела . двух сред S элементарный
цилиндрический объем так, что одно из оснований цилиндра бу-
дет находиться в среде 1, а второе основание — в среде 2 (рис.
1.2). Применим к этому объему уравнение (1.10) сначала для
электрического поля. Так как размеры цилиндра малы, то вектор
Е в пределах площади As можно считать постоянным. Устремляя
высоту цилиндра А/ к нулю, получим:
(еа, Е1п14-еаг E2ri2) А$ = рэ As A Z.
Поскольку на поверхности раздела сред накапливаются по-
верхностные заряды с поверхностной плотностью
9Э = рэ АI и п, = — п, п2 = п,
то
(еа,Еа—еа1Е1)п = <7э. (1.11а)
Если поверхностные заряды равны нулю, то
еа, Е1П = еа, Е2п. (1.116)
9
Таким образом, согласно (1.11) нормальная составляющая
вектора электрической индукции D испытывает на границе разде-
ла двух сред скачок, равный плотности поверхностного электри-
ческого заряда q3.
Аналогичное выражение получается и для нормальной состав-
ляющей вектора магнитной индукции В, которая испытывает на
границе раздела двух сред скачок, равный плотности поверхност-
ного магнитного заряда #м:
(На, Н2—На, (1.12а)
Если поверхностные магнитные заряды равны нулю, то нор-
мальная составляющая вектора магнитной индукции оказывается
непрерывной:
На, Hj n = ца, H2 n. (1.126)
Для определения поведения тангенциальных составляющих
векторов поля на границе раздела двух сред выделим на поверх-
ности S элементарный контур I прямоугольной формы, одна сто-
рона которого проходит в чреде 1,. а вторая — в среде 2 (рис. 1.3).
Рис. 1.2. К -определению граничных Рис. 1.3. К определению граничных
условий условий
Применяя к этому контуру первое уравнение (1.8) и пренебрег
гая вследствие малости интегралом на участке А/ при стремлении
площади, ограниченной контуром, к нулю, получим
[и, Н2—HJ J3, (1.13а)
где п — нормаль, идущая из среды 1 к среде 2; J® — вектор по-
верхностной плотности электрического тока.
Из применения к контуру (рис. 1.3) второго уравнения (1.8)
аналогичным образом получим
[n,E1-E2] = J“, (1.14а)
где J“ — вектор поверхностной плотности магнитного тока.
При конечных проводимостях первой и второй сред поверхно-
стные токи невозможны, и тогда
[п, Н2—Н2] = 0; (1.136)
[п, Ех—Е2]=0. (1.146)
10
Naiattausiisk
знание Сезераниц ' «Ь
Таким образом, при переходе через поверхность разрыва ре-
альных сред тангенциальные составляющие векторов напряжен-
ности магнитного и электрического поля остаются непрерывными.
Заметим, что под поверхностными токами в уравнениях
(1.13а) и (1.14а) понимаются как сторонние токи, так и токи, воз-
бужденные электромагнитным полем.
На поверхности идеального электрического и магнитного про-
водника граничные условия приобретают другую форму:
[п,Е2] = —J**; еа,Е2п = ?э; [n,H2] = J9; ра, Н2п = ?м. (1.15)
1.3. Теорема Умова — Пойнтинга
Из уравнений Максвелла может быть получена основная тео-
рема электромагнетизма, выражающая закон сохранения энергии
электромагнитного поля.
Обратимся к уравнениям (1.5) и умножим первое уравнение
на вектор Е, а второе на вектор Н. Затем вычтем из второго урав-
нения первое:
div [E,H] = Hrot Е—ErotH =---+
dt \ 2
_|_Pa^_2^_a9£2_j3.CTE_aM/f2_jM.CTH (1-16)
Теперь умножим полученное выражение на dv и проинтегри-
руем по любому объему V. Применив теорему Гаусса—Остроград-
ского (1.9), получим
f (—р етЕ—j« CTH)db=
д t у Л 2
ffo + J (o9f2 + qM№)tfo + J [E,H]nds. (1.17)
V s
Уравнение (1.17) выражает теорему Умо-
ва — Пойнтинга о балансе мощности элек-
тромагнитного поля. Левая часть этого урав-
нения представляет собой мгновенную мощ-
ность, отдаваемую сторонними электриче-
ским и магнитным токами, расположенными
в объеме V (рис. 1.4). Первый член правой
части уравнения представляет собой мгно-
венную мощность, накапливаемую в объеме
V, второй член — мгновенную мощность,
расходуемую на нагрев среды в объеме V, и
третий член — мгновенную мощность, излучаемую из этого объема
через поверхность S, ограничивающую объем V.
Выражение
П=[Е,Н] (1.18)
Рис. 1.4. К теореме
Умова—Пойнтинга
11
Г' представляет собой мгновенное значение вектора-плотности пото-
ка мощности через единичную площадку поверхности S. Этот век-
тор называется вектором Пойнтинга; он образует с векторами по-
ля Е и Н правовинтовую систему.
Подчеркнем, что только интеграл f nnds, распространенный
S
по замкнутой поверхности, имеет физический смысл мощности,
излучаемой из объема V. Действительно, при наложении, напри-
мер, электростатического поля на магнитное поле вектор П мо-
жет иметь конечное значение, но при этом divH=O и излучение
из объема V будет отсутствовать.
1.4. Уравнения Максвелла и теорема Умова — Пойнтинга
для комплексных амплитуд поля
Будем в дальнейшем рассматривать гармонические во времени
колебания, имея в виду, что негармонические колебания могут
быть изучены путем разложения в ряд или интеграл Фурье по
гармоническим составляющим.
Далее, будем записывать гармоническое колебание Xsin(<o/ +
4-<р) условно в виде комплексного числа Лег(“(+«))=Ае1'“/, где А —
комплексная амплитуда. В окончательных результатах будем ис-
пользовать только мнимую часть этого выражения.
Уравнения Максвелла (1.5) и (1.6) запишутся теперь для комп-
лексных амплитуд в виде:
rot Н = i <оеа Ё + оэ Е + j3-CT;
rot Ё =—i<opaH—омН—jM CT ; (1.19)
div еаЁ = р3; div раН = рм. (1-20)
В дальнейшем точку над буквами для упрощения записи будем
опускать.
Перейдем теперь к определению теоремы Умова—Пойнтинга
в комплексной форме. Для этой цели составим уравнение, комп-
лексно сопряженное с первым уравнением (1.19):
rot Н — —i ©еа Е + о9 Е + /э ст.
Умножим это уравнение на Е, а второе уравнение (1.19) на
Н и вычтем из второго уравнения первое. Тогда получим:
div [Е, H] = Hrot Е—Е rot Н=—i сора НН + i <оеа ЕЕ —
—о3 EE—j3-CT Е—ом НН—jMCT Н. (1.21)
Интегрируя это выражение по произвольному объему и при-
нимая во внимание теорему Гаусса—Остроградского, приходим к
соотношению
12
NataHausiiiik
знание без границ Ч w
---— ((j9 CT Е + Н) dv =
2 i?
г (pa НН ea E E \ ,
= 1(0 И —------------ dv4-
v \ 2 2 /
+ -i- J (o’EE + oMHH)dy+ f finds, (1.22)
2 V s
где
П=-1-[Е,Н]. (1.23)
Уравнение (1.22) представляет собой теорему Умова—Пойн-
тинга в комплексной форме. Действительная часть выражения
(1.23) определяет среднее за период значение вектора Пойнтинга.
В левой части уравнения (1.22) стоит член, который определя-
ет мощность, отдаваемую источниками электромагнитного поля.
Первый член правой части уравнения определяет реактивную
мощность, которая накапливается в объеме V, второй член —
мощность, теряемую на нагревание среды в объеме V, а третий
член — мощность, излучаемую через поверхность S, ограничи-
вающую объем V. Этот третий член в общем случае является
комплексным. Комплексной является также и левая часть урав-
нения.
Теорема Умова—Пойнтинга является основой широко приме-
няемых в теории антенн методов вычисления излучаемой мощно-
сти. Первый метод — метод вектора Пойнтинга — сводится к вы-
числению последнего интеграла в формуле (1.22) при интегриро-
вании по сферической поверхности бесконечно большого радиуса,
охватывающей антенну. Второй метод — так называемый метод
наводимых электродвижущих и магнитодвижущих сил — сводит-
ся к вычислению интеграла в левой части формулы (1.22) при
интегрировании по объему распределения сторонних (возбуждаю-
щих) электрических и магнитных токов. Причем во втором мето-
де, помимо излучаемой мощности, вычисляется также реактивная
мощность, накапливающаяся вокруг антенны.
1.5. Волновые уравнения и электродинамические потенциалы
Далее среда будет предполагаться не только изотропной, но и
однородной, поскольку многие задачи электродинамики могут
быть сведены к этому случаю. При этом уравнения (1.19) и (1.20)
удобно записать в следующем виде:
rot H = i(oe'a.E + j3CT; rot Е = —i (ор'а Н—jMCT; (1.19а)
9.СТ М.СТ
div Е = А—; div Н = £-т—. (1.20а)
«а Ра '
где s'a —еа( 1—«-£-)— комплексная диэлектрическая постоянная
X ®еа /
13
среды; ц'а = р,а ( 1 — i —
\ wpa
комплексная магнитная постоянная
среды.
Уравнения (1.20а) отличаются от уравнений (1.20) и соответ-
ствуют уравнениям непрерывности, записанным в виде
div j9-CT + l<op3 CT = O; div jM CT + iopM ст =0, (1.24)
где рэст и рмст — сторонние электрические и магнитные заряды.
Что касается граничных условий, то для нормальных к поверх-
ности раздела двух сред составляющих поля они вместо (1.11) и
(1-12) запишутся так:
(е'а2 Е2—е'а, Е1)п = 9э ст; (ц'а, Н2—р'а, Н1)п = <ум ст,
где ^эст и <7МСТ — поверхностные сторонние электрические и маг-
нитные заряды.
От уравнений (1.19а), которые связывают векторы Е и Н, для
решения некоторых задач электродинамики удобно перейти к
уравнениям, в которые входит или только вектор Е, или только
вектор Н.
Произведя в уравнениях (1.19а) взаимную подстановку, полу-
чим:
rotrotE = £2E—i(i)p'aj9CT—rot jMCT; (1-25)
rot rot H = £2H—i(oe'ajM CT+rot j3CT,
где k2 = (о2е'ар/a — квадрат волнового числа,-
Если учесть векторное тождество rot rot F=grad div F—AF и
принять во внимание (1.20а) и (1.24), то уравнения (1.25) сведут-
ся к следующим:
AE + Ai2E=— Мэ; АН + &2Н=— М«, (1.26)
где
Мэ =—i<op.'a j9CT4----—grad div j3CT—rot jMCT; (1-.27)
i coe'a
MM = —t(oe'a j" CT -J-!— grad div jM CT +rot j9CT.
. 4tt>n'a
Уравнения (1.26) представляют собой векторные неоднородные
волновые уравнения1 относительно векторов поля Е и Н. Они яв-
ляются линейными дифференциальными уравнениями второго по-
рядка с постоянными коэффициентами. Оператор А есть оператор
Лапласа.
Для тех точек пространства, в которых источники отсутствуют,
неоднородные уравнения (1.26) переходят в однородные:
AE + fe2E = 0; АН + Л2Н = 0. (1.28)
* Точнее, это волновые уравнения монохроматических колебаний, обычно на-
зываемые уравнениями Гельмгольца.
flatallausiik
знание без границ Ч «ь
Неудобство волновых уравнений для векторов поля ('1.26) во
многих случаях заключается в сложности выражений в правой
части этих уравнений. Поэтому оказывается полезным введение
электродинамических векторных потенциалов: Аэ — для электри-
ческих токов и Ам — для магнитных токов. При этом нетрудно
показать, что напряженность электрического поля Е и напряжен-
ность магнитного поля Н связаны с векторами Аэ и Ам соотноше-
ниями, аналогичными соотношениям (1.27), выражающими векто-
ры Мэ и Мм через векторы j8 CT и jM CT.
Эти соотношения имеют вид
Е==—i<ap'aA9 4—!— grad div А9 —rot Ам ; (1.29)
i coe'a
Н = —i ше'з Ам 4----— grad div Ам 4- rot Аэ.
i <ор.'а
После подстановки выражений (1.29) в уравнения (1.49а) полу-
чатся следующие волновые уравнения для электродинамических
векторных потенциалов:
А А9 -4- k2 А3 = — р ст; А Ам 4- Ам = — jM CT . (1.30)
В правой части уравнений (1.30) стоят просто возбуждающие
токи, и поэтому более удобно иметь дело с решением уравнений
(1.30), а не уравнений (1.26).
Уравнения (1.29) и (1.30) могут быть записаны и в несколько
другом виде. Если в правой части уравнения (4.30) вместо сто-
роннего тока подставить полный ток проводимости, определяемый
уравнениями (1.4а), то комплексные диэлектрическая в'а и маг-
нитная ц.'а постоянные в (1.29), а также комплексное волновое
число /г=орЛЕ/аЦ/а в (1.30) должны быть заменены диэлектриче-
ской проницаемостью еа и магнитной проницаемостью ца и волно-
вым числом fe = ©]/rEapa. Это замечание относится ко всем выра-
жениям данного параграфа.
При решении некоторых задач электродинамики, в частности
дифракционных, часто вместо векторных потенциалов пользуются
векторами Герца: Z3— для электрических токов и Z“—для маг-
нитных токов. Векторы Герца связаны с векторными потенциала-
ми соотношениями:
Аэ = I ШЕ'а Z9 ; A“=iop'aZ". (1.31)’
При этом вместо уравнений (1.29) и (1.30) следует рассматри-
вать уравнения:
Е = k2 Z9 4- grad div Z9 —i <op,'a rot Z";
H = /? Z“ 4- grad div ZM 4~ i <oe'a rot Z9 ; (1.32)
A ZB + k2 Z9 =-----?— j3CT;
i toe'a
A ZM 4- k2 Z“ =--------j“ CT . (1.33)-
i <0ц'а
15
ВТ Выбор уравнений (1.30) или (1.33) для решения конкретных
I задач электродинамики является делом привычки.
Заметим еще, что при подстановке выражений (1.29) в урав-
нения Максвелла (1.19а) получаются волновые уравнения для
векторных потенциалов (1.30). Если же выражения (1.29) подста-
вить в уравнения (1.20а), то получатся волновые уравнения для
скалярных потенциалов: фэ — электрических токов и <рм — маг-
нитных токов:
Л<рэ -|- fe2 фэ = — РЭ СТ ; Дфч+/г2<р" = — РМ СТ . (1.34)
® а Ра
При этом векторные и скалярные потенциалы оказываются
связанными уравнениями:
div Аэ 4-1<ое'афэ =0; div Ам 4-1<ор'афм =0. (1.35)
Однако если в уравнения (1.34) подставить выражения (1.24)
и (1.35), то опять получатся волновые уравнения для векторных
потенциалов (1.30). Это и естественно, поскольку уравнения
(1.20а) не имеют самостоятельного значения, а вытекают из урав-
нений (1.19а).
Таким образом, нет необходимости решать уравнения (1.34)
для скалярных потенциалов и Пользоваться при этом сторонними
зарядами, а достаточно решать волновые уравнения (1.30) для
векторных потенциалов, исходя из распределения только сторон-
них токов. При необходимости скалярные потенциалы могут быть
определены из уравнений (1.35).
1.6. Уравнения статических и стационарных
электромагнитных полей
В данной книге рассматриваются быстропеременные электро-
магнитные поля, описываемые приведенными выше уравнениями.
Однако полезно остановиться на частных случаях уравнений
Максвелла, соответствующих статическим и стационарным полям.
А. Электростатика. Электростатическое поле является полем
неподвижных электрических зарядов. Уравнения этого поля полу-
чаются из уравнений Максвелла, если все производные по време-
ни положить равными нулю, а также учесть, что токи и магнитное
поле всюду равны нулю. Таким образом, вместо четырех уравне-
ний Максвелла (1.1) и (1.3) мы будем иметь для электростатиче-
ского поля только два уравнения:
ГО1Е = 0; (1.36)
divD = p3. (1-37)
Для однородного диэлектрика (еа = const) уравнение (1.37) за-
пишется так:
divE=PL. (1.38)
еа
16
WalaHausii®!.
знание без границ
Граничные условия электростатики имеют вид
(еагЕ2—ей1Е1)п = ^; (1.39а)
[п,Ех—Е2] = 0. (1.396)
Если одна из сред, скажем среда, обозначенная индексом 2,
является проводником, граничные условия (1.39) принимают иную
форму:
—еа1Е1п = ^э; [n,Ej = 0.
.Чтобы ввести потенциал электростатического поля, укажем,
что поскольку имеет место тождество rot grad <р = 0, из уравнения
(1.36) следует, что
Е= —gradqP. (1.40)
Это означает, что электрическое поле полностью определяется
скалярным потенциалом фэ и носит потенциальный, безвихревой
характер (rotE=0). Так как divgrad<p = A<p есть оператор Лапла-
са, то путем подстановки (1.40) в (1.38) можно получить для ска-
лярного потенциала уравнение Пуассона
дфЭ==_^. (1.41)
еа
В точках, где нет зарядов, уравнение Пуассона переходит в
уравнение Лапласа
Афэ =0. (1.42)
Из второго уравнения Максвелла в интегральной форме (1.8)
следует, что криволинейный интеграл от напряженности электро-
статического поля по замкнутому пути всегда равен нулю:
(1.43)
Если же интеграл берется вдоль незамкнутого пути, то он ра-
вен разности потенциалов между начальной и конечной точками и
не зависит от выбора пути интегрирования:
J Eidl = qPa—фйэ. (1.44)
a
Эта разность потенциалов называется напряжением иаъ. Энер-
гия электростатического поля, запасенная, в объеме V, равна
W3 = — JDEdn.
2 v
Б. Магнитостатика. Уравнения магнитостатического поля, соз-
даваемого неподвижными магнитными зарядами, могут быть по-
лучены из уравнений Максвелла, если приравнять нулю производ-
ные по времени, токи и электрическое поле. Следовательно, урав-
нения магнитостатики будут иметь вид
rotH = 0; (1.45)
divB = pM. (1.46)
17
Граничные условия магнитостатики могут быть записаны сле-
дующим образом:
(ца2Н2—ца1Н1)п = ^м; (1.47а)
[п,Н8—HJ = 0. (1.476)
Магнитостатическое поле определяется скалярным магнитным
потенциалом:
Н= — grad <рм (1.48)
и имеет потенциальный, безвихревой характер (rotH = 0). Для
нахождения потенциала <рм в точках расположения магнитных за-
рядов следует составить уравнение Пуассона
пм
ДфМ=_Д_, (149)
Ра
а для точек, в которых зарядов нет, — уравнение Лапласа
Д<рм = 0. (1.50)
Из уравнений (1.8) можно получить выражения для криволи-
нейных интегралов от напряженности магнитного поля:
$/7zd/ = 0; (1.51)
ь
(1.52)
ba
Энергия магнитостатического поля, запасенная в объеме V,
равна
WM =— f BHdv.
2 f,
Отметим, что уравнения магнитостатики носят формальный
характер, ибо в природе магнитных зарядов не существует.
В. Стационарное электромагнитное поле. Уравнения стацио-
нарного поля, создаваемого постоянными электрическими и маг-
нитными токами, получаются из уравнений (1.1) и (1.2), если по-
ложить производные по времени равными нулю:
rotH = j9; rot Е =—jM ; (1.53)
div j9 =0, div jM =0. (1.54)
К этим уравнениям необходимо добавить уравнения, связываю-
щие токи с проводимостью среды:
j9 = о9 (Е + Ест); jM = ом (Н 4- Нст). (1.4а)
Из выражений (1.4а )и (1.54) следуют равенства:
div о9 Е = — div о9 Ест; div о“ Н = — div о“ Н". (1.55)
Причем для тех точек пространства, где отсутствуют сторон-
ние напряженности электрического поля Ест и магнитного поля
Нст, 1последние 'выражения сводятся к следующим:
diver9 Е = 0; divcr“H = O. (1.56)
18
ftaiaHauswk
знание без границ Ч *
Отметим прежде всего, что электрические и магнитные ста-
ционарные токи создают поля, не зависящие друг от друга. Ука-
жем далее, что из уравнений (1.54) следует, что распределение
токов в стационарном поле является соленоидальным, т. е. линии
тока либо замыкаются сами на себя, либо начинаются и конча-
ются в бесконечности.
Граничные условия для нормальных составляющих в стацио-
нарном электромагнитном поле имеют вид
ех о3 Ej п = е2 о3 Е2 п; Н, n = р2 о“ Н2 n. (1.57)
Тангенциальные составляющие на границах раздела по-преж-
нему остаются непрерывными:
[n, Н2—Н1]=0; [n.E^E.J^O.
Здесь предполагается, что обе среды имеют конечную проводи-
мость.
Полагая в уравнениях (1.29), (1.30) и (1.34) (о = О и k=0, за-
пишем выражения для поля электрических токов:
Е=—grad ф3; H=rotA3; (1.58)
ДА3 ——J3; Дф3 =0. (1.59)
Точно так же для поля магнитных токов
Н= — gгadфм; Е=—rotAM; (1.60)
ДАМ=—jM; Дфм =0. (1.61)
Выражения (1.58) — (1-61) можно также непосредственно по-
лучить из уравнений (1.53) — (1.56).
Мы видим, что электрическое поле постоянных электрических
токов и магнитное поле постоянных магнитных токов являются
потенциальными полями, чего нельзя сказать о рассматриваемых
далее полях квазистационарных токов.
Записанные здесь исходные уравнения позволяют вывести все
основные соотношения, используемые в теории цепей постоянного
тока. Для детального ознакомления с этими вопросами следует
обратиться, например, к монографии [1].
Остановимся кратко на описании медленно меняющихся во
времени полей, называемых квазистационарными поля-
м и. Поля, можно считать квазистационарными, если в уравне-
ниях Максвелла плотность тока смещения является исчезающе ма-
лой по сравнению с плотностью тока проводимости. Это приводит
к тому, что при определении поля электрических токов пренебре-
гают электрическим током смещения, а при определении поля
магнитных токов — магнитным током смещения. Тогда поля элек-
трических токов определяются из выражений:
Е = —1(ор'аАэ—grad ф3 ; H=rotAM,
а поля магнитных токов — из выражений:
Н=—i(0E'aAM—gradфы; Е = —rot А3.
19
Векторные и скалярные потенциалы определяются уравнения-
ми (1.59) и (1.61). При этом оказывается, что скорость распро-
странения электромагнитной эне|ргии бесконечно велика и запаз-
дывание поля в различных точках системы отсутствует. Перемен-
ные квазистационарные токи проводимости подобно постоянным
токам являются замкнутыми и имеют одинаковую силу во всех
сечениях неразветвленных участков цепи.
Реальные электромагнитные системы могут анализироваться с
помощью уравнений квазистационарного поля при очень низких
рабочих частотах и малой по сравнению с длиной волны протя-
женностью, когда можно считать, что электромагнитное возмуще-
ние распространяется мгновенно между двумя наиболее удален-
ными' точками системы. Так, переменные токи промышленных
(50—60 Гц) и звуковых (16—20 000 Гц) частот в подавляющем
большинстве технических устройств с достаточной точностью удов-
летворяют условиям квазистационарности. В радиотехнике урав-
нения квазистационарного поля могут применяться лишь в неко-
торых частных случаях, да и то с известными ограничениями, вы-
текающими из высказанных выше соображений.
1.7. Уравнения Максвелла при весьма высоких частотах
При очень высоких частотах от уравнений Максвелла можно
перейти к более простым уравнениям геометрической оптики. За-
пишем пррвые два уравнения Максвелла для неоднородной изо-
тропной среды в точках, где нет источников:
rot Н = i <оеа Е; rot Е = —i ор.а Н. (1.62)
Чтобы перейти к уравнениям геометрической оптики, следуя
работам Я. И. Фельда и Л. С. Бененсона, будем искать решение
уравнений (1.62) в следующем виде:
Е = -^ e-‘*oL; Н = e~ik«L, (1.63)
Уеа Уца
, 2л to r
где ko= — =------волновое число для вакуума; L — скалярная
с
функция координат, описывающая изменение фазы поля и назы-
ваемая эйконалом (от греческого слова «эйкон» — изображение).
Используя известное из векторного анализа тождество
(Н \ р / р \
—L e~ik0L ) ——__ г0( н0 + grad | —— I ,Н0 =
Л/ На / ~\/ На \ ~|/На /
= £±±го1Н.+ Г-ESlbL, ц!_
VS L 2Н."'1 J
- — [grad £, Но] = *— rot Но +
У На У На
1 е~ik"L Г„ gradiial . .. е~lkeL
+—------— Но,~—-Н^о—— [H0,grad£],
2 Уна . На Уй
20
знание безераниц
подставим (1.63) в (1.62):
_ ik0L ' 1
^ro,H»+v №
[Но, grad L\ = i <оеа -^7 е~ik°L;
« —ik0L
+ ik0^-—
e~ik°L
Hgrad ца
о» 7—"
Ео
л i^oL 1 л ik0L
е—— rotE0 + 4^—-
С grad еа
еа
+ ik0 е °— [Ео, grad £] = — i со ца e~ik°L-
V Еа V На
Умножив первое равенство на
У На
ika e~ik^ ’
а второе на
Уёа
i ko e~ik‘L
и введя коэффициент преломления среды
чаем:
т/еа На ,
г Е0 Но
полу-
4 rot но + -М Но, + [Но, grad£]—п Ео=0 ;
I ko 2 iko L На J
1
ik0
rot EqH-----—
2 iko
c grad ea
Ео»
Ea
(1.64)
+ [Eo, grad £] + n Ho = 0.
Теперь воспользуемся тем обстоятельством, что мы имеем дело
с весьма высокими частотами, такими, что ----->0. Это позволяет
к0
пренебречь первыми двумя членами в каждом из соотношений
(1.64) и записать уравнения Максвелла для весьма высоких ча-
стот:
[Но, grad £]==пЕ0; [Ео, grad L\ = — иН0- (1.65)
Найдем условие совместности этих уравнений. Для этого полу-
ченное из второго уравнения значение Но подставим в первое
уравнение и учтем тот факт, что векторы Ео и grad L взаимно
перпендикулярны, как следует из (1.65):
п2Е0= — [ГЕ0, grad £], grad £]=E0(grad L)2.
Отсюда следует дифференциальное уравнение, называемое
уравнением эйконала:
(grad £)а = па. (1.66)
Уравнение эйконала является условием разрешимости системы
(1.65).
21
Для среды без потерь, где п, а следовательно, и L будут дей-
ствительными функциями координат, можно (1.66) записать в
форме:
grad L = n — ,
(1.67)
где —— единичный вектор, параллельный направлению grad L.
Подставив (1.67) в (1.65) и сократив на п, получим:
Н0,^]=Е0; '|е0, -L1 = —Но. (1.68)
Отсюда следует, что векторы Ео, Но и образуют правую
тройку.
Найдем выражение для вектора Пойнтинга в приближении
геометрической оптики:
П=-^[Е, Н]=—±=[Е0, Но] =
2 2 уеа ра
= <169)
2 Еа |ia L, 2 у Еа jia L,
Видим, что энергия распространяется вдоль линий вектора L/L,
называемых лучами.
* * * *
Из (1.69) следует, что НоНо=ЕоЕо, или раНН=еаЕЕ. Посколь-
ку | Е| = ЕЕ и | Н | = V НН, можно прийти к соотношению
ТЙГ"/?’ (1'70)
которое говорит о том, что поле в приближении геометрической
оптики в каждой точке пространства носит характер плоской вол-
ны (см. гл. 2).
Как видно из представления полей (1.63), значения L = const
определяют эквифазные поверхности. Для того чтобы определить
семейство эквифазных поверхностей, надо из решения уравнения
эйконала (1.66) найти функцию Цх, у, z). Линии вектора L/L
ортогональны к эквифазным поверхностям и определяют направ-
ления лучей. Построив эквифазные поверхности, можно затем по-
строить картину лучей. Направления лучей можно найти из диф-
ференциальных уравнений лучей в однородной среде без потерь,
которые могут быть выведены из уравнения эйконала.
Выясним теперь, как можно определить изменение интенсив-
ности поля вдоль лучей. Для этого заметим, что если трубка лу-
чей в однородной среде без потерь вырезает в двух эквифазных
поверхностях площадки ds0 и dsi (рис. 1.5), то из (1.69) следует:
(Ео Во)о ds — (Ео Ец)! ds1.
22
специально спа
NataHauslilV.
знание безераниц Ч *
Обозначим расстояние между dso и dsi че|рез р, а радиусы
кривизны площадки ds0 через 7?i и /?2- Так как в однородной qpe-
де лучи представляют собой прямые линии, то
dsB________Rj Ra_____
dst ~ (R1 + P)(RSS + P)
и
(Eq Eq)o _ (Ri + P) (Pa + P) (1 71)
* p p ’ \ ' f
(EoEoh
Равенство (1.71) описывает изменение амплитуды электриче-
ского поля вдоль луча. Аналогичное равенство может быть запи-
сано и для магнитного поля.
Рис. 1.5. Трубка лучей в
электромагнитном поле
Рис. 1.6. К определению дли-
ны оптического пути
- Таким образом, из уравнений геометрической оптики (1.65)
можно получить информацию о характере электромагнитного по-
ля, форме линий потока энергии — лучей и изменении интенсив-
ности поля вдоль лучей. Однако из этих уравнений нельзя извлечь
никаких сведений относительно абсолютной величины Ео и Но и
их ориентации в пространстве.
Рассмотрим вопрос о том, как из уравнения эйконала в форме
(1.67) может быть выведен широко используемый в оптике прин-
цип Ферма. С этой целью возьмем интеграл от выражения (1.67)
по некоторому пути / между точками А и В (рис. 1.6):
f grad Ldl=f n-^-dl. (1.72)
i i L
Интеграл в левой части (1.72)
^dl = L(B)-L(A),
d I
t. e. он не зависит от формы пути интегрирования, а определяется
только значениями эйконала в начальной и конечной точках (с
точностью до k0).
23
Я
Интеграл в правой части (1.72) можно записать в виде
j п — d 1 = J п cos a dl,
i Г i
где а — угол между лучом и касательной к пути интегрирования.
Таким образом, (1.72) перепишется так:
j ncosadl-L(B) — L (Л). (1.73)
i
Если путь интегрирования проходит вдоль луча (а=0), то по-
лучим
J ndl=L(B)-L(A). (1.74)
'луча
Интеграл j ndl называется оптической длиной пути вдоль лу-
'луча
ча. Равенство (1.74) выражает тот факт, что оптическая длина
пути вдоль любого луча, начинающегося у одной эквифазной по-
верхности и оканчивающегося у другой, всегда одна и та же.
Оптическая длина пути вдоль произвольной кривой J ndl
i
совпадает с длиной геометрического пути, проходимого за то же
время со скоростью света с. Действительно,
я 7 'в
j ndl= j — dl = c$—=c j dt = c(tB—Ia),
где v — скорость распространения электромагнитной волны в рас-
сматриваемой среде;
1в—1а — время, необходимое для того, чтобы пройти со скоростью
v путь от А до В.
Сравнивая (1.73) и (1.74), получим для двух путей, соединяю-
щих точки А и В-.
J ndl= j п cos a dl.
'луча I
Ввиду того что |cosa|^l, из предыдущего равенства следует
f ndl^\ndl. (1.75)
'луча I
Неравенство (1.75) выражает принцип Ферма, который гласит,
что оптическая длина пути вдоль луча меньше, чем вдоль любой
другой линии, соединяющей две данные точки.
Отметим, что с помощью принципа Ферма можно построить
траектории всех лучей, не обращаясь к уравнению эйконала. Это
делается с помощью вариационных методов.
Остановимся, наконец, на пределах справедливости уравнений
геометрической оптики. Мы отбросили первые два члена в (1.64),
ftataHaus^k
знание без границ ' *
считая, что они малы по сравнению с двумя оставшимися. Так
можно поступить, если выполняются условия:
у- |rot НоК|[Но, grad Z,J| ;
«о
Л|ГНо,1^1 «cmEol;
•^о’б I L Ра J
I rot Еок ЦЕ0, grad L] | ; (1.76)
ke
±|ГЕо,?^1|<1/гно1.
2kB IL ea JI
Из (1.67) и (1.69) следует, что |grad£| =п и | Ео| = | Но|. Кро-
ме того, k=ktfi и Хо=Я,еп, где Хе— длина волны в рассматривае-
мой среде. Тогда неравенства (1.76) можно переписать в следую-
щей форме:
|£21Но1«2л. х8|е^|<4л;
|Н0| I ца I
Л, 11^.1 «2„; Л. |S5i£.|<4„. (1.77)
|Е.| I «. I '
Поскольку в (1.77) входят дифференциальные операторы grad
и rot, смысл этих неравенств состоит в том, что относительные
изменения величин Но, Ео, |ла и еа на длине, равной длине волны
в рассматриваемой среде, должны быть малы по сравнению с 2л
или 4л.
Таким образом, уравнения геометрической оптики справедливы
до тех пор, пока относительное изменение параметров среды ра и
еа и амплитуд поля Но и Ео на расстоянии, равном длине волны
в этой среде, можно считать малым по сравнению с величиной 2л.
1.8. Ортогональные системы координат
Уравнения Максвелла в векторной форме удобны тем, что они
характеризуют общие свойства электромагнитных полей безотно-
сительно к той или иной системе координат. При конкретных вы-
числениях полей всегда приходится прибегать к соответствующей
системе координат.
Мы будем, далее пользоваться системами координат, в кото-
рых три семейства координатных поверхностей Ui= const, и2 =
= const и «з = const ортогональны друг к другу.
Рассмотрим элементарный параллелепипед, образованный ко-
ординатными поверхностями щ = const, и2 = const и из—const (рис.
1.7). Пусть отрезок ds является диагональю этого параллелепипе-
да. Тогда его длина определится выражением [<1]
ds2 = h\ du\ + h\ du\ + h23 du23, (1.78)
где ht, h2, h3 — метрические коэффициенты (коэффициенты Ля-
ме), зависящие, вообще говоря, от 1координат щ, и2, и3. Длины
26
Рис. 1.7. Криво-
линейные орто-
гональные коор-
динаты
ребер параллелепипеда равны соответственно hidui, h2du2, h3du3,
а его объем .равен hih2h3duidu2du3.
Пусть ф(щ, и2, и3) является некоторой скалярной функцией,
а А(иь и2, из) — некоторой векторной функцией, составляющие
которой по трем координатам обозначим через Аь А2 и Л3.
Из рис. 1.7 видно, что составляющая градиента скалярной
функции ф по координате Ui определяется формулой
, , .. ф (Л) — ф (0)
grad 1ф = 11гп ,
du,—о hi
или
grad хф =4" 7^- (1.79а)
Лх диг
Аналогично составляющие градиента функ-
ции ф но Координатам и2 и н3 'имеют риД
grad 2ф = -^-Р’; (1.796)
Л2 ди2
grad зФ=7- • (1.79в)
Лз Э«з
Вычислим теперь поток вектора А через поверхность рассмат-
риваемого параллелепипеда в направлении внешней нормали. По-
ток через поверхность ОВНС составляет величину A\h2h,3du2du3, а
через поверхность AFGI — величину
du2 du3 + (А Л. й3) dut dut du3.
ди±
Суммарный поток через отмеченные две поверхности, следо-
вательно, определится выражением
— (Ax Л2 Л3) dt/j du2 du3.
dii!
Аналогично поток вектора А через остальные две пары поверх-
ностей равен:
— (Аа h3 hj) dUi dUi dua; — (A3 ht h^ dut dut du3.
du2 dus
Ax^J^g
Суммарный поток через, полную поверхность параллелепипеда
оказывается равным
J An ds —
±(Alh2h3) + ^(A2h3h1) +
dut ди2
д
+ — (А3 hr Ла) dux du2 d^.
ди3
Но по теореме Гаусса—Остроградского
J Ands = f div Adv.
s v
26
NaiaHausfiik
знание без границ Ч *
Следовательно, для дивергенции вектора А получается выра-
жение
Л 1
div А=----------
h2h3
[^-(Л2Л3А1) +
[dui
+ ±(h3h1A2) + ^(h1h2A3)]. (f.80)
ди2 ди3
Определим теперь циркуляцию вектора А по контуру ОВНС.
Заметим, что
в
J Atdl = A2h2du2;
С д
f At dl — — А2 й2 du2---(А2 й2 du2) du3;
н ди3
н д -
f Aidl = A3h3du3+ — (A3h3du3)dti2;
в ди2
о
J Atdl =—A3h3du3.
с
Таким образом, циркуляция по контуру ОВНС определяется
выражением
ф At dl — —— (Ag h3 dtig) du2 — (A2h2 du^ du3.
du2 du3
Но согласно теореме Стокса
ф At dl = j rot An ds.
Следовательно, для составляющей ротора вектора А получит-
ся формула
rot^J- М-(Мз)~ ^-(Л2 Л)1. (1.81а)
А2/13[ди2 ди3
Рассматривая циркуляцию вектора А по контурам OCIA и
OAFB аналогично изложенному выше, получим
rOt2A h h Пз fli Ldu3 dur J ; (1.816)
rot3A h h I. (1.81b)
Для определения метрических коэффициентов Л(, Л2 и h3 необ-
ходимо знать функциональную связь прямоугольных координат с
криволинейными, которую можно записать в виде
x=x(u1, u2,u3); у = у (щ, и2, й3,); z = г (щ, и2, и3). (1.82)
Дифференцируя уравнения (1.82), найдем дифференциалы
прямоугольных координат, которые - являются линейными функ-
циями дифференциалов криволинейных координат:
17
. дх , . дх , . дх .
dx — — du.-4------du„-\-----dua;
dut 1 du2 2 ди3
dy= — dux+ — du2-\- — du3;
dui du2 2 du3
, dz . . dz , , dz ,
dz — — dUjH-------du2H------d«3.
dui d u2 du3
(1.83)
Сопоставив выражение для длины элементарного отрезка ds=
=]/ dx2+dy2+dz2 с выражением (1.78), получим
h2 du2 +h2 du2 + h2 du2 = dx2 + dy2 + dz2. (1.84)
Подставив теперь (1.83) в (1.84) и 'приравняв коэффициенты
цри одинаковых членах, получим формулу, которая позволяет'
подсчитать метрические коэффициенты:
Л21 =
2
(1.85)
где 1=1, 2, 3.
Полезно найти связь между прямоугольными и криволинейны-
ми составляющими некоторого вектора F.
Обозначим через ix, iy, iz единичные координатные векторы в
прямоугольной системе координат, а через ij, 12 и 13 единичные
координатные векторы в ортогональной криволинейной системе
координат. Тогда
F — Fx 1Ж + Fy ip 4- Fz lz
F = FJ1 + Fai2 + F3i3. (1.86)
Из (1.86) получается связь между прямоугольными и криво-
линейными составляющими вектора F:
11);
= Fx (U, U +Fy (ly, и+Ft (1г, i2); (1.87)
F3 = Fx(lx, i3) + Fy(iy, i3) +F,(iz, i3).
В выражениях (1.87) скалярные произведения единичных век-
торов (ij, ij) определяют направляющие косинусы. Для подсчета
этих произведений может быть использована связь между еди-
ничными координатными векторами в прямоугольной и криволи-
нейной системах координат
«г
±(^ix+^iy+d-Li \
hi \du{ dui dui /
(1.88)
где i= 1, 2, 3.
Применим полученные формулы к наиболее часто употребляе-
мым системам координат: прямоугольной, цилиндрической и сфе-
рической.
а) Прямоугольные координаты (щ = х-, иг^у, u? = z). Метриче-
ские коэффициенты равны единице. Формулы (1.79) принимают
вид
28
flataHauslSk
знание без границ Ч *»
grad хф=|^; grad у grad г
дх ду
Далее согласно (1.80) получим
div А = —+ —
дх д у дг
и согласно (1-81) получим
rotx А
д Ф
ф =
дг
(1.89а)
(1.896)
roty А
_д Аг дАу
ду дг
Ах д Аг
дг дх
9 Ау дАх
по
(1.89в)
формуле Дф =
rot, A
dx dy
Наконец оператор Лапласа, определяемый
= div grad ф, получится в виде
Д11) = ^ + ?А + ^
* дх* ду* дг* '
6) Цилиндрические координаты («1 = г; «2 = ф; «з=г).
прямоугольных и цилиндрических координат определяется
жениями
(1.90)
Связь
выра-
л; = гсо5<р; y = rsin<p; z — z.
Согласно выражению (1.85) метрические коэффициенты
&! = 1; Л2 = г; h3 = 1.
Из формул (1.79) — (1.81) (получаются выражения:
-j, д Ф , , 1 д Ф , ' , д ф
gradr ф = —; grad<pi|5= —--Г; gradzip = --r;
dr r dtp дг
divA= — ±(г4)+1Ч+8А
r dr г д (р дг
. . 1 д Аг дА
rot- А =----- —_Т •
г д ф д г
ГО1фА=^-^;
дг дг
rot2 А = — — (г Аф)-
2 г dr v г й<р
Оператор Лапласа принимает вид
Дф= _LA/r^\+_L + ЁА.
г д г \ д г ) г2 5фа д г2
в) Сферические координаты (щ=г, «2—0; «з=ф)- Связь пря-
моугольных и сферических координат определяется выражениями:
x=rcos<psin0; у = г sin <psin 0; z = rcos0.
(1.91а)
(1.916)
(1.91b)
(1.92)
29
Метрические коэффициенты
= 1; Л2 = г; ha = г sin 6.
Согласно формулам (1.79) — (1.81) имеем выражения:
, , д ф . . 1 д ф j . 1 3 Ф
grad гф = —grad8ip= — — ; grad<p^= —— ;
dr г 3 0 rsin0 3<p
div А = — — (г® ЛГ)Н-!-— (sin 6 Ле)Н-!— —Ф ;
г2 dr г sin6 3 0 rsin0 3 <р
rotr A = —-------— (sin 6 AJ-
r rsine 3o '
1. g»e.
rsinO 3<р
rot0A= —— ----1
rsinO dcp r
rot<p A= — (г Ле)
r dr
(1.93a)
(1.936)
(1.93b)
(1-94)
1 d Ar
r 30 '
Оператор Лапласа будет иметь вид
1 3 / 23ф\ . 1
----I г*— )Н__
г2 3 г \ 3 г / г2 sin £
_1____________ З^ф
г2 sin2© 3<f>2 '
Аналогичным путем общие формулы (1.79) —(1.88) могут быть
применены и к другим системам координат. Мы здесь этих выра-
жений приводить не будем.
Глава вторая
Интегрирование неоднородных уравнений
Максвелла для свободного пространства
В гл. 2 приводятся /решения уравнений Максвелла для неогра-
ниченного однородного пространства в прямоугольной, цилиндри-
ческой и сферической системах координат.
В прямоугольной системе координат рассматривается волно-
вое уравнение с правой частью для векторных потенциалов, ре-
шение которого представляется в виде тройного интеграла Фурье.
Спектральная плотность разложения определяется через объем-
ный интеграл от заданной функции распределения сторонних то-
ков. Искомая функция векторного потенциала находится в виде
тройного интеграла от произведения вектора стороннего тока на
функцию Грина.
Функция Грина для неограниченного пространства при этом
получается в виде тройного интеграла по пространству волновых
чисел. Это представление функции Грина является несколько не-
«бычным, однако оно имеет весьма глубокий смысл.
зе
^la&ttaus^k
знание без границ Ч *
Через найденную функцию Грина записываются также реше-
ния волновых уравнений для векторов электромагнитного поля.
Определяется волновое уравнение для функции Грина и далее
приводятся разложения этой функции по собственным функциям
неограниченного пространства в прямоугольнрй, цилиндрической
и сферической системах координат. Разложения функции Грина
в цилиндрической системе координат приводятся в двух видах: в
виде спектра бегущих волн, распространяющихся в осевом направ-
лении, и в виде спектра бегущих волн, распространяющихся в
радиальном направлении. Попутно приводятся выражения для
6-функции Дирака в этих трех системах координат.
Приводимые разложения функции Грина имеют весьма общее
значение и применяются во многих задачах электродинамики. В
данной главе они используются для представления возбуждаемого
электромагнитного поля в виде наложения электрических и маг-
нитных волн в неограниченном пространстве в указанных трех
системах координат. Таким образом, неограниченное пространство
представляется в виде волноводов: прямоугольного, цилиндриче-
ского и радиально-сферического. Полученные выражения позволя-
ют сравнительно легко записывать общие решения электродинами-
ческих задач о возбуждении правильных тел — цилиндра, шара и
т. д„ что и делается в последующих главах книги.
В данной главе рассматривается конкретная задача возбуж-
дения электромагнитного поля бесконечным плоским слоем сто-
роннего тока. При этом исследуются быстрые и медленные волны
и определяется поведение поля на поверхности возбуждающей
плоскости. Показывается, что для быстрых волн плоскость излу-
чает электромагнитные волны, а для медленных она является на-
правляющей структурой.
Особо исследуется плоская Т-волна в однородном пространст-
ве. Определяются фазовая скорость и затухание Т-волны. Отмеча-
ется отличие групповой скорости от фазовой. Далее рассматрива-
ется поле бесконечно протяженного линейного тока с различной
фазовой скоростью. Находятся выражения для плоскоцилиндри-
ческой Т-волны, для цилиндрической волны (синфазная нить то-
ка), а также выражения для быстрых и медленных цилиндриче-
ских волн. Кроме того, изучается поле цилиндрической трубки
электрических токов и отмечается влияние электрического диамет-
ра трубки, на пЬле дао внешней и внутренней областях трубки. На-
ходятся условия, при которых поле исчезает во внешней или внут-
ренней области.
Разложение поля в сферической системе координат использу-
ется для определения поля диполя Герца и исследования его по-
ведения в ближней зоне и зоне излучения. В заключение этой гла-
вы исследуется поле сферического излучателя. Отмечается, что
первая пространственная гармоника сферического излучателя
представляет поле диполя Герца, а более высокие пространствен-
ные гармоники определяют поле мультиполей.
31
2.1. Решение векторного волнового уравнения
Пусть в некотором объеме V неограниченного и изотропного
пространства задано распределение объемной плотности сторон-
них электрических или магнитных токов jCT. Определим векторный
потенциал А, создаваемый этими токами. Для этой цели предста-
вим волновое уравнение (1.30) в декартовой системе координат.
Поскольку любой вектор F определяется через его составляющие
в прямоугольных координатах посредством выражения
F = Рх В +Fy iy+fz 1г,
для любой компоненты векторного потенциала волновое уравне-
ние запишется так:
2
дх2 ду2 д г2
(2.1):
Для решения волнового неоднородного уравнения (2.1) вос-
пользуемся разложением Фурье. Представим рассматриваемую
компоненту векторного потенциала в виде произведения трех функ-
ций:
At (х, y,z)=X (х) Y (у) Z (z). (2.2)
Функция X(x) задана на интервале —оо^х^оо. Поэтому раз-
ложим ее в интеграл Фурье:
Х(х) = -^ Г g(^e~^dxlt (2.3)
У 2Л Kl=—a>
где g(xi) — спектральная плотность.
Выражение (2.3) можно трактовать как бесконечный набор
плоских однородных волн, распространяющихся в положительном
и отрицательном направлениях оси х с фазовыми скоростями, оп-
ределяемыми выражением иф=(о/хь где Xi играет роль волнового
числа; амплитуды этих волн g(xj не зависят от координаты х.
Аналогично (2.3) произведем разложение в интеграл Фурье
функций У (у) и Z(z), также заданных на бесконечном интервале:
Y(y) = j g(x2)e-^dx2;
У 2л х,=-оо
Z(z) = -L- F g(x3)e-'^dx3.
У2л Хз==—о°
Решение уравнения (2.1) представим в виде
(Х, У> г) — . ._.“ f J j ё (Zl> Z2> Из) X
(У2л)3 -оо
X е (2.4)
Таким образом, i-я составляющая векторного потенциала раз-
лагается в тройной интеграл Фурье с неизвестной спектральной
ПЛОТНОСТЬЮ g(Xi, X2, Хз).
32
ftatatlauswk
знание без границ ’» *
Подставив теперь разложение (2.4) в уравнение (2.1), для со-
ставляющей объемной плотности тока -.получим
= Ш (^-xf-xf-x2) X
(V 2.Ч)' —оо
X g(^lt х2, x3)e_‘x‘x-,^-,^2dx1dx2dx3. (2.5)
Следовательно, заданная функция распределения стороннего
тока представляется также в виде разложения в тройной интеграл
Фурье. Таким образом, оказывается, что спектральная плотность
разложения стороннего тока отличается от спектральной плотно-
сти искомой функции лишь множителем №—x2i—х22—х23.
Распределение известной плотности стороннего тока при этом
должно подчиняться условиям разложимости в интеграл Фурье,
что всегда имеет место в физических задачах.
Для определения спектральной плотности искомой функции
воспользуемся обратным преобразованием Фурье. Для этой цели
умножим (2.5) на комплексно-сопряженные функции
___* piv.’ iX+iv.’ iU+iv.’
(У2Й)8
где x'i, х'г, х'3 — фиксированные пока значения xj, х2, х3, и про-
интегрируем полученное выражение по всему бесконечному про-
странству:
-----U— f Т f /iCT (-*-', У, z) eiK’^+iK'^+i^’z dxdydz =
(Д/2л)3
= Ш (^2~х2 —x2)g (x1,x2,xs) X
-----00
X I — ----- f f f Х,)*+«(Х\—и2)1/+«(и'3—*s)Z(££ dtj fa
1(2 л)3
d xt d x2 d x3
Теперь заметим, что
есть б-функция Дирака, равная нулю -всюду, за исключением осо-
бой точки x'i = xi, где она превращается в бесконечность, причем1
J 6(xJ—x1)dx1 = l.
—сю
С учетом последнего свойства 6-функции приходим к соотно-
шению
(А2—х',2 — х'2 — х'2) g (xj, х;, х') =
j J J /" (х> У у dxdy dz, (2.6а)
--ОС
2—142
33
или, перенеся штрихи с волновых чисел на пространственные ко-
ординаты, получаем:
— xf — — xf) g (Xj Xg х3) =
1 00
J J f /{ст(х', y', z') е^х’+^У’+1^г' dx' dy’ dz'. (2.66)
—oo
Выражение (2.6) определяет спектральную плотность g(xb
Х2, х3) в искомом разложении (2.4). Эта спектральная плотность
зависит от распределения стороннего тока в пространстве, причем
в (2.6) интеграл берется только по тем точкам в пространстве,
где имеются токи. Составляющая векторного потенциала в выра-
жении (2.4) определяется для фиксированной точки наблюдения
(х, у, г), которая может находиться как внутри объема, занимае-
мого сторонними токами, так и вне его.
Подставляя (2.66) в (2.4) и меняя порядок интегрирования,
получаем равенство
At (х, у, z) = J /гст (х', у', г’) G (х, у, z ; х', у', z') dx' dy' dz', (2.7)
v
в котором
G(x, y,z; x',y',z') =
, oo — ix,(x—x')— iv.M—y")— iH3(z—г')
= —-— f f f -— ------------------------d x, d x„ d x3
(2Л)3 JJJ A + +
(2-8)
— функция Грина для свободного пространства.
Выражение (2.7) справедливо для всех трех составляющих
векторного потенциала. Если перейти к векторному потенциалу,
то получим:
А(р) = j F(q)G(p,q)dv,
v
(2-9)
где через р(х, у, z) обозначена точка наблюдения поля, а через
у(х', у', z’} — точка источников поля.
Функция Грина является функцией двух точек — точки источ-
ников поля q и точки наблюдения поля р. Относительно этих двух
точек она является симметричной. Как будет видно ниже, функ-
ция Грина (2.8) может быть представлена в различных формах.
Векторы напряженности магнитного поля Н и электрического
поля Е в любой точке пространства теперь могут быть определе-
ны подстановкой выражения (2.9) для электрического или магнит-
ного тока в формулы (1.29).
Заметим, что аналогичным образом могут быть решены для
неограниченного однородного пространства и волновые уравнения
для векторов поля (1.26). Решения при этом получаются в виде
E(p) = f М’(фС(р,ф&»;
v
(2.10)
.34
WataHausiSl
знание без границ * *
Н (р) = J Мм (q) G (р, q) dv, (2.11)
v
где функция Грина определяется той же формулой (2.8).
Можно, конечно, показать, что определение поля по формулам1
(2.9) и (1.29) или (2.10) и (2.11) приводит .к одним и тем же ре-
зультатам.
2.2. Представления функции Грина
Функция Грина имеет весьма важное значение при решении
задач электродинамики. Поэтому остановимся более подробно на
рассмотрении этой функции.
Прежде всего получим волновое уравнение для функции Грина.
Подставив выражение (2.9) в уравнение (1.30), будем иметь
j [Д G (р, q) + k2 G (р, q)] j" (q) dv = — jCT (p).
v
Но подынтегральное выражение содержит, очевидно, трехмер-
ную 6-функцию Дирака, так как интеграл переводит функцию
стороннего тока из точки q в точку р без изменения. Следова-
тельно,
AG-}-&2G = — 6(р—q), (2.12)
где 6(р—q) — трехмерная дельта-функция, которая в криволиней-
ной ортогональной системе координат щ, и2, и3 записывается в
виде
6 (Р—?) = T-fi(«i —и'1) т" 6(п2—u'2)-^-6(u3—и'з).
«1 h2 А3
Нетрудно показать простой подстановкой, что найденное нами
интегральное представление функции Грина (2.8) удовлетворяет
волновому уравнению (2.12).
На свойствах функции Грина, вытекающих из решения урав-
нения (2.12) для ограниченных областей, остановимся в последую-
щих главах. Здесь же рассмотрим некоторые представления функ-
ции Грина для неограниченного пространства.
Рассмотрим в выражении (2.8) внутренний интеграл
°о tx3(2—г')
L = f --------------------d х3,
Joo (Хз+»Т)(к3 —i?)
(2.13>
где
-у = 1/х21 + х22—/г2.
Переходя на плоскость комплексного переменного х3 и пола-
гая на время х21 + х22>/г2, что не ограничивает общности получае-
мых результатов, заметим, что в подынтегральном выражении
(2.13) имеются две особые точки (полюсы): одна в верхней полу-
плоскости и другая — в нижней. Для (z—z')<0 можно (2.13)
2* 35
.дополнить исчезающим интегралом по кругу 'бесконечно большо-
го радиуса в верхней 'полуплоскости, где при х3—>t’oo подынтег-
ральное выражение стремится к нулю. Тогда
е—»Хз(г—г')
Mz—z'XO J- - — ; -d^.
Д (К3 + « Т) (х3 — 1 ?)
Этот интеграл равен произведению 2га на вычет в верхней по-
луплоскости в точке x3=+iy:
• e+V(z-z')
Мг-г')<0 = Л-------- .
т
Для (z—z')>0 дополним (2.13) исчезающим интегралом по
кругу бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости и
запишем
е—ixs(z—z')
Lt.-(----------------------d х3.
(z г) 4(x3 + »y)(x3-i?)
Этот интеграл равен 'произведению 2га со знаком «минус» на
вычет в нижней полуплоскости в точке х3=—iy:
g—q>(Z-Z')
L(z—z'y>0~3t .
У
Следовательно, выражение для функции Грина (2.8) запишет-
ся так:
I «о /хДх—х')—ix2(y—»')±?(z—г')
G = И -----------------------------М «2. (2-14)
где двойной знак в показателе экспоненты учитывает различие
представлений функции Грина для областей пространства (z—
—z')<;0 (верхний знак) и (z—z')>0 (нижний знак).
Анализируя выражение (2.14), заметим, что для среды без по-
терь и для случая, когда х21+х22<Л2 и у является мнимой вели-
чиной, получается спектр бегущих волн, удаляющихся от плоско-
сти z—г’ в направлении оси z в обе стороны.
Скорость распространения этих волн, определяемая к=®/|у|,
оказывается больше скорости света в данной среде. Амплитуды
волн обратно пропорциональны у. Фазовые фронты являются пло-
скими, но не совпадают с плоскостями z=const; наклон фазовых
фронтов относительно плоскости z=const меняется в зависимости
от значений xi и х2. Плоские волны, у которых фазовый фронт
не совпадает с поперечной относительно направления распростра-
нения плоскостью, называются неоднородными.
Таким образом, выражение (2.14) можно трактовать при x2i +
Ч х22<^2 как непрерывный спектр неоднородных плоских волн,
распространяющихся вдоль оси z с различными фазовыми скоро-
стями.
При x2i+x22>£2 величина у становится действительной и вол-
нообразного процесса в направлении оси z не наблюдается. Имеет
36
ftalallaus
знание без границ
место спектр затухающих колебаний, т. е. колебаний, амплитуда
которых уменьшается по экспоненте при удалении в обе стороны
от плоскости z=z'. Плоскости равных фаз этого спектра колеба-
ний также не совпадают с плоскостями z=const.
Отметим еще, что при преобразовании формулы (2.8) можно
было бы за ось распространения неоднородных волн принять ось
у или ось к. Тогда были бы получены выражения, аналогичные
выражению (2.14).
Имеет значительный интерес представление функции Грина в
цилиндрической системе координат. Обозначим цилиндрические
координаты в пространстве волновых чисел через х, а, /г, а ци-
линдрические координаты в физическом пространстве через г, <р,
2. Связь цилиндрических координат с прямоугольными устанавли-
вается соотношениями
X = г cos <p; Xi = х cos a ;
у = г sin ф; Xj = х sin а;
z = z ; х3 = Л,
с учетом которых выражение функции Грина (2.8) записывается
в виде
G
1 оо 2 л оо —tx[r cos (а—ф)—г' cos (а—<₽')]—ih{z—z')
— f f f. ----------------------------------------------------------
xdx da dh.
(2.15)
Для преобразования выражения (2.15) к более удобному виду
воспользуемся известными разложениями [Л. 2]:
g—iv. г cos (а—<р) --
V (—Jn(xr);
ginr' cos (а—(₽') = у (i)m в~im(a~4>') J (x f')
(2.16)
где Jn(p) — функции Бесселя с целым индексом.
Подставив (2.16) в (2.15) и используя условия ортогонально-
сти экспоненциальных функций
_L2f\_1(m_n)ada=(0npH
2 яа=0 I 1 при т = п,
будем иметь
1 “
G =—— У е-‘л<<₽—<₽') х
X 7 7 е-.й(г-г ) jn (K rJ Jn (к г’) HdHdfl (2.17)
J J ,21 «,2 Ь2 ' '
И=0 h=—ос Л I “ й
Переходя на плоскость комплексного переменного h и применяя,
так же как и выше, теорию вычетов, получаем
37
Г
’ G = —
4 л
У £—«”(<₽—(₽') у
П——сю
7 _± ТЛх2—fe2 (г—г') j / . г /,
X г е------------ /п(хг)/п(Х£)_ у
х=0 ДА'-2-А2
Если учесть известные соотношения:
4(хИ=(—1)"4(—
Jn (хг) -4- [Я"2) (хИ-(-1)" Я‘2) (-хг)].
где Яп(2)(р) — функции Ганкеля второго рода с целым
то выражение (2.18) может быть сведено к следующему:
G = — У е~1п «₽-<₽'> f е± {г^"> х
8 л v 1
индексом,
X
Н& (х r') Jn (и г) для г < г',
Jn (и г') (х г) для г > г'.
(2-18)
(2-19)
(2.20)
В выражениях (2.18) и (2.20) перед радикалом нужно брать
знак «плюс» ( + ) при (z—z')<0 и знак «минус» (—) при (z—
—z')>0. Эти выражения представляют собой бесконечный спектр
плоскоцилиндрических волн, распространяющихся в направлении
оси z в обе стороны от (плоскости z=z'. Здесь так же, как это бы-
ло отмечено выше, для х2<&2 волны являются распространяющи-
мися, а для х2>/?2 — экспоненциально затухающими. Выражения
для спектральной плотности этих волн для г О' и г>г' являются
разными, и это соответствует тому, что при г=0 поле должно быть
конечным, а при г->оо оно должно удовлетворять принципу излу-
чения на бесконечности, о чем речь будет идти позднее.
Функция Грина в цилиндрической системе координат может
быть представлена и в другом виде. Действительно, если принять
во внимание (2.19), то выражение (2.17) сведется .к виду
। ео оо оо
Q = — V е— in (ср—<р') Г С
«эт2 J . J
041 П=—оо —00 h=—со
g—2')
х2 + А2 — А2
77<2>(xr')Jn(xr)
х d х dh.
(2.21)
Переходя здесь на плоскость комплексного переменного х и
вычисляя интеграл по х с помощью теории вычетов, получаем
1 оо оо
(J =— у g—in (ср—<р') С e—ih(z—z') х
8Hj„£Loo Л=—оо
38
^alaHausA
знание без границ Ч
Я^2) (v г') Jn (v г) для г < г',
dh
Jn(vr')H^ (vr) пляг>г',
где
(2.22)
v = —i yh2—k\
В противоположность выражению (2.20) выражение (2.22)
представляет собой бесконечный спектр цилиндрических волн,
распространяющихся в радиальном направлении и модулирован-
ных по оси z. При г>г' спектр волн, для которых №<Zk2, являет-
ся распространяющимся, а спектр волн, для которых №>№, —
затухающим. Это видно из асимптотического поведения функции
Ганкеля при больших значениях аргумента:
/А-/'
Остановимся попутно на выражениях 6-функций в координатах
кругового цилиндра. Уравнение (2.12) в цилиндрических коорди-
натах запишется в виде
г д г \ д г / г2 d <р2 д г2
=-------у 6 (г—г') 6 (<р—<р') 6 (z—z').
Подставив сюда выражения (2.17) и имея в виду уравнение
Бесселя
1 & (
--------------I г
г д г \
+ (ХГ) = 0,
получим следующие выражения для 6-функций:
j Jn(xr)Jn(xr')xdx = -^6(r—г');
х=0 г
— У, =6 (<р—ф'); (2.23)
2 Л П=-°о
— J e-ih<z~z'> dh. = S (z —z').
2 Я ftJ-OD
Перейдем теперь к представлению функции Грина (2.8) в сфе-
рической системе координат. Обозначим сферические координаты
в пространстве волновых чисел через к, й, а, а сферические коор-
динаты в физическом пространстве через г, 0, <р. Связь сфериче-
ских координат с прямоугольными имеет нид
х = г cos ф sin 6 ; н1 = я cos a sin ft ;
у = r sin ф sin 6; х2 = х sin a sin &;
z = г cos 6 ; х3 = и cos &.
39
Выражение функции Грина (2.8) при этом запишется следую-
щим образом:
1 оо л 2л -—IX(г cos у—г'cosy')
G =— С ( f ------------------------X
(2 л)3х=о <х=0
X «Mxsinfldfldcc, (2.24)
где
cos у = cos fl’ cos 6 + sin ft sin 6 cos (a—<p);
cos y' =? cos fl cos 6' + sin fl sin 6' cos (a—<p').
Теперь преобразуем выражение функции Грина (2.24). Для
этой цели воспользуемся разложениями [2]:
g-ixrcosv (2п+1)( — О" Фп (кг)Рп (cosy);
п=0
e<w'cos v'= 2 (21 + 1) (i)‘ фг (% r') Pt (cosy'), (2.25)
1=0
где фп (р) — радиальная сферическая функция, связанная с функ-
цией Бесселя соотношением ф« (р) = j/"^/n+i/2(p); Pn(cosy) —
полином Лежандра.
Из теоремы сложения для полиномов Лежандра следует, что'
Pn (cos у) == 2.
т=—п
где Ртп (cos fl) — присоединенные функции Лежандра.
Точно такое же выражение имеет место для Л (cos у'). Подста-
вив (2.25) в (2.24) и имея при этом в виду следующие условия
ортогональности:
1 , (0 при р=+—т,
— f e‘<m+p)ada= F
2 п [ 1 при р = —т;
J Р" (cos fl) Pf (cos fl) sin fl d fl =
o=o
0 при I += n,
——— Pm (cos fl) Pm (cos 6) t
(n -|- m)! ” 11
и
(cosfl) = (-1)" (cosfl),
получим
(2n+l)Pn(cosp) j (2.26)
n=0 и=0 v- ~ R
где
cos p = cos 6 cos 6' + sin 6 sin 6' cos (<p—<p').
40
GalatiаивЖ.
знание без границ ч *
Принимая далее во внимание, что
Фп (х г) = y [£<2> (и г) + > (х г)];
Фп ( — X г) 1 > ( — И Г) = фп (X Г) g<2> (х г),
где Li(1)(p) и £п(2,(р) — радиальные сферические функции первого
и второго рода, связанные с функциями Гаккеля соотношением
£п(1'2)(р)= 1/Л-^-^(1’2)«+1/2(р), приведем (2.26) к виду
1 00
G=AS (2n+l)Pn(cos0) х
4я2п=о
(У-г)
V.” — k2
x2dn, r>r'.
(2.27)
Аналогичное выражение получается для г<г' с помощью за-
мены г' на г. Произведем теперь интегрирование (2.27). Заметим,
что волновое число k в общем случае является комплексным. По-
лагая £2o = a>zea|ia, запишем
1 . °
—t --arctg---
хе 2 “Еа=₽-/а.
Таким образом, в подынтегральном выражении (2.17) на пло-
скости комплексного переменного х особые точки (полюсы)
подынтегральной функции х = й и х = —k лежат во втором и чет-
вертом квадрантах. Имея в виду характер асимптотического пове-
дения функции |п(2)(хг) при больших значениях аргумента, замк-
нем в (2.27) путь интегрирования по кругу 'бесконечного радиуса
в нижней полуплоскости комплексного переменного х. Применив
теорию вычетов, получим известное выражение функции Гри-
на [3]:
G (2n+l)Pn(cosp) х
4я1
х | ^2)(^')Фп(М ДЛЯ Г<г',
| Фп (kr') |<2> (kr) ДЛЯ Г > г',
где
Рп (cosВ) = У (п — т)! (cosе рт 0, е_/т(ф_ф9 .
т±1п(п + т)!
Фп(М = ]/^4+1/2(М; =
Выражение (2.28) представляет собой бесконечный спектр
волн, распространяющихся в радиальном направлении и модули-
рованных по углам © и <р.
41
Остановимся теперь на представлении трехмерной 6-функции
в сферической системе координат. Уравнение (2.12) в сферической
системе координат имеет вид
1 A Aine^U
г1 2 * * * * д г \ д г / г2 sin 0 д 0 \ 5 6/
----—-M2G =
r2 sin2 0 5<ра
6 (г — г') 6 (6 — 0*) 6 (<р — <р')
r'! sin 6'
Подставив сюда- (2.26) и имея в виду дифференциальное урав-
нение сферических функций Бесселя
_1_ _Э_ / 2 \ + /х2 М.П+1) \ (х г) = 0
г2 dr \ dr J \ г2 )
и дифференциальное уравнение присоединенных полиномов Ле-
жандра
1 а / д Р? (cos в) \
—— A sin 6 —А---------L )4-
sin в д в \ 5.0 /
+(„(„+1)_ A- Jocose)=0,
\ sin2 в/
получим следующие выражения для 6-функций:
2 7 , / \ , / 9 . 6 (г —г')
— J фп(х/-)фп(хг )x2dx = -—
У A±J <« - ОТ> 1 pn. (COS 0) Р'П (cos 0') = 6 (8 - O')
2 (n + m)! " " ' sin в'
(2.29)
1 00
--- e—^п(ф—Ф') = fj (ф— фг)
2 л т=-<х>
Можно было бы представить разложение функции Грина для
свободного пространства (2.8) и в других системах координат, на-
пример в сфероидальной системе. Однако мы ограничимся только
приведенными разложениями.
Представим, наконец, функцию Грина для свободного прост-
ранства в свернутом виде. Для этой цели воспользуемся выраже-
нием (2.24), в котором точку источника расположим в начале ко-
ординат, а точку наблюдения — на полярной оси, т. е. положим
г'=0; 0 = 0. Тогда
6
] оо л in г cos о
= —— f Г -----------
(2 л)2 x£o©Lo у-2 — k2
x2d xsin,&d'& =
1 °?
ir (2 л)2 До
e.xr_e-ixr
У-2— k2
nd x.
Если произвести замену переменной, положив х=—х', то по-
лучим
42
^lalaUauStM
знание без границ ' *•
1 ° еЫг_е-Ыг
и, следовательно,
1 оо ixr — iw
G =-------- f ------------ xdx.
ir2(2n)\2_x rf-k*
Полагая здесь волновое число k .комплексной величиной и за-
мечая, что в подынтегральном выражении особые точки лежат во
втором и четвертом квадрантах плоскости комплексной перемен-
ной х, дополним интеграл от первого слагаемого подынтегрально-
го выражения исчезающим интегралом по кругу бесконечно боль-
шого радиуса в положительной полуплоскости х, а интеграл от
второго слагаемого подынтегрального выражения — исчезающим
интегралом по кругу бесконечного большого радиуса в отрица-
тельной полуплоскости х. Применив затем к полученному выра-
жению теорию вычетов, найдем
1 е—Ikr
С=Ц,— (2.24а)
где г — расстояние между точками q и р.
Формула (2.24а) представляет собой хорошо известное выра-
жение для функции Грина в неограниченном пространстве в свер-
нутом виде. Эта формула будет в дальнейшем часто использо-
ваться.
До сих пор мы интересовались трехмерными функциями Грина.
В ряде электродинамических задач приходится иметь дело с дву-
мерной функцией Грина. Пусть распределение сторонних источ-
ников в некотором объеме V таково, что оно не зависит от одной
из координат, скажем у. Тогда мы имеем дело с двумерным вол-
новым уравнением, которое легко получить из (2.1), если устра-
нить зависимость и j,-CT от переменной у. Выражения для со-
ставляющей векторного потенциала (2.7) и функции Грина (2.8)
примут следующий вид:
Ai (х, z) = J /гст (%', г') G (х, z; х', z') dx' dz', (2.7а)
G (x,z; х', z') =
j «> е—iv.^(x—х'1— 1И3(г—г')
(2л)2 Ц y2i + K23_k2
(2.8а)
где через S обозначено поперечное сечение объема источников V
плоскостью у=const. Интеграл по хз можно вычислить рассмот-
ренным выше способом и получить вместо (2.8а) выражение, со-
ответствующее (2.14):
~ 1 Г e-i*i(x-x')± ГиЦ-Л* (2-2')
G =— f _____________________._______dx.. (2.14а)
Joo Vx\-jfe2
43
г
Если обратиться к интегральному представлению для функции
Ганкеля второго рода нулевого порядка, то можно представить
двумерную функцию Грина в свернутом виде:
6 = —(kV(x—x'Y + (z—z'y)= -~Щ2> (k R). (2.146)
Здесь через /?= У (х—х’)2+ (z—z')2 обозначено расстояние
между точками q и р. При решении граничных задач необходимо
иметь в виду, что в. том случае, когда распределение сторонних
источников не зависит от одной из координат, а свойства гранич-
ной поверхности зависят от нее, следует пользоваться трехмерной
функцией Грина.
2.3. Электрические и магнитные волны 4
в прямоугольной системе координат
Во многих случаях оказывается удобным представление реше-
ний уравнений Максвелла в виде наложения так называемых
электрических и магнитных волн. Здесь мы получим это представ-
ление в (прямоугольной системе координат, при этом -примем на-
правление распространения электрических и магнитных волн сов-
падающим с осью z. Можно было бы, конечно, это направление
принять совпадающим с осью х или у.
Выражение для продольной составляющей напряженности элек-
трического поля Ег согласно выражению (1.29) определяется фор-
мулой
I сов а
1 д [дА* дАэи дА3
i сое а дг дх ду dz
дА'у
дх
дАх
дУ
Если теперь записать векторный потенциал согласно форму-
лам (2.9) и (2.14) в виде
оо оо — iXjX—(хгу±уг ।
* Р Р dx.dx,— ( рте>Хх'+1-ад'Т7г fa
8л2^
X,——оо Х2=—оо V
и подставить его в выражение для Ez, то получим
где
j j E^dK^dv.^,
7Ct=—со x2=—<ю
(2.30)
e-iv.lx-iv.ty±fz
Егк= 1_--------------F3 (х);
8л2 (JI. i сое a
\ l сое а y
V
2 i „2
L/’-zx
giXtX'+i^y'+fz' rfV'
(2.31)
(2.32)
- ( —;э ___;м
*1 • ' Jx iv
h (08 а У
44
специально Оля
^lataitauSfUi
знание без границ Ч "»
Аналогичным образом может быть представлено выражение
для продольной составляющей напряженности магнитного поля Hz'.
Нг= J f H^d^d^, (2.33)
Х,=—ОО И2=—ОО
где
,, p-iv.^x—iv.^y+tz
Нт = Л-------------Fa (х); (2.34)
У
1 г I х? + х| . / ±Т . \
8л2 v I 1 соц а \«°Р а у]
— zx2 (/э ] еСи^'+сх^'-ттг' fa, (2.35)
\ top'а у х / )
В выражениях (2.31), (2.32), (2.34) и (2.35) верхние знаки
перед 7 берутся для (2—г')<0, а нижние для (z—z')>0.
Теперь оказывается, что поперечные составляющие электромаг-
нитного поля Ех, Е,,, Нх и Ну выражаются для тех точек простран-
ства, где нет возбуждающих токов, через шродольные составляю-
щие. Действительно, если представить поперечные составляющие
поля в виде
Ez — ( ( х^ rl х2
Xt=—оо И2=—°о
оо оо
Hi = j J H^dy^d^
Хх=—00 Х2 =—ОО
(i=x,y),
(2.36)
то после подстановки (2.30), (2.33) и (2.36) в однородные урав-
нения Максвелла получим
rot Нх ~ i еое'а Ех ; rot Ех = —i а>р'а Нх . (2.37)
Записав уравнения (2.37) в прямоугольной системе координат
и замечая, что операция дифференцирования по z равносильна
хмножению на (±у), получим три Я, = 0
ХИ +т д Е ZX . Н3 = ХИ i сое'а д
7.2 + х2 дх ’ х2 + х2 ду ’
Е3 - _ ±у д Е Нэ — • 1 СОЕ а ^ZK (Q QQY
УИ *1 + «2 дУ ’ УИ xf + x2 дх
и при Ег = 0
Еы — i Шр'а дНгп Ны ±V ^zv. .
ХИ X, + X 2 ду ' хи Xj + Xg дх
Ем — с“|1'а дНгк Нм — ±V d^zx (2 39)
УК «1 дх ’ П уи xf + x22 dy
45
Причем полное электромагнитное поле определяется суммой
(2.38) и (2.39). Таким образом, зная распределение сторонних
токов j8CT и jMCT, мы можем вычислить по формулам (2.31) и
(2.34) продольные составляющие напряженности электрического
и магнитного поля, а затем уже через них по формулам (2.38) и
(2.39) определить и поперечные составляющие.
Электромагнитные волны, определяемые тремя составляющими
вектора электрического поля и двумя поперечными составляющи-
ми вектора магнитного поля (Я2 = 0), обычно называются попереч-
ными магнитными (ТМ) или электрическими (Е) волнами. А
электромагнитные волны, определяемые тремя составляющими
магнитного поля и двумя поперечными составляющими вектора
электрического поля (£2 = 0), называются поперечными электриче-
скими (ТЕ) или магнитными (Н) волнами.
Следовательно, электромагнитное поле, возбуждаемое произ-
вольными сторонними токами в свободном пространстве, можно
представить в виде наложения электрических и магнитных волн.
Отметим, что продольные составляющие стороннего тока возбуж-
дают, как это видно из формул (2.32) и (2.35), пли только элек-
трические волны (при и /мг=0), или только магнитные вол-
ны (при /М2т^0 и /Э2 = 0), а поперечные составляющие сторонних
электрических и магнитных токов возбуждают, вообще говоря, как
электрические, так и магнитные волны.
Отметим далее, что и электрические, и магнитные волны пред-
ставляют собой непрерывный спектр пространственных гармоник,
иначе еще называемых собственными или нормальными волнами.
Каждому значению Xi или х2 соответствует своя пространственная
гармоника, распространяющаяся в направлении оси z и модулиро-
ванная по фазе в поперечной плоскости (плоскости ху).
При отсутствии потерь в среде, когда волновое число k являет-
ся действительной величиной, спектр пространственных гармоник,
удовлетворяющий условию z2i+x22>^2, является затухающим,
поскольку при этом условии постоянная распространения у явля-
ется действительной. Спектр пространственных гармоник, удовлет-
воряющий условию x2i+x22<^2, является распространяющимся,
поскольку постоянная распространения у при этом оказывается
мнимой. В первом случае распространение энергии в направлении
оси z отсутствует — имеет место колебательный процесс, зату-
хающий в пространстве, а во втором случае происходит распро-
странение энергии в этом направлении.
Далее мы рассмотрим некоторые применения полученных здесь
формул.
2.4. Электромагнитное поле бесконечного поверхностного
распределения тока
Рассмотрим неограниченное однородное пространство и пред-
положим, что в плоскости z = 0 задано распределение бесконечно
тонкого слоя стороннего электрического тока (поверхностное рас-
46
ftlatatiausIM
знание без ераниц “ *
пределение тока). Пусть амплитуда этого тока является постоян-
ной по всей рассматриваемой плоскости, а фаза изменяется по
закону бегущей 'волны в направлении оси х. Направление тока
совместим с осью х (рис. 2.1).
Заметим, что объемная плотность тока связывается с поверх-
ностной плотностью тока через 6-функцию следующим образом:
/®CT = J’CT(x)6(z—0) =J^e~ihx6(z—°), (2.40)
где h. — параметр, характеризующий фазовую скорость тока и
имеющий размерность волнового числа.
При подстановке этого выражения в формулы (2.30) — (2.39)
найдем, что Hz=0, т. е. поле магнитных волн равно нулю, а поле
электрических волн определяется выражениями:
р.ст г___
г? ___ J0 h —ihx± Vht—k*z .
I-1 z ~t- ’
2 (De а
Р — ; СТ Vfe2 — &2 e~ihx± ;
X о I
2 (08 а
гЭ.СТ ______
и , о ihx± Vh*—k‘z
nv- ±-----------е
2
(2.41)
Здесь, как уже отмечалось выше, верхние знаки берутся при
£<0, а нижние при 2>0. Проанализируем формулы (2.41). Мы
видим прежде всего, что сторонний электрический ток, заданный в
виде (2.40), возбуждает электромаг-
нитное поле, которое представляет со-
бой только одну пространственную гар-
монику, соответствующую значениям
И| = й и Х2 = 0. Поле этой волны одно-
родно по амплитуде и фазе в направ-
лении оси у, однородно по амплитуде
и неоднородно по фазе в направлении
оси х. Что касается третьего направле-
ния, то при h>k (если k — действи-
тельная величина) поле при удалении
от плоскости 2 = 0 влево и вправо
уменьшается по амплитуде по экспо-
ненте, оставаясь по фазе постоянным,
а при h<zk оно представляет собой бе-
гущие волны с постоянной амплитудой,
удаляющиеся влево и вправо от пло-
скости 2 = 0.
Рис. 2.1. К (расчету поля по-
верхностного тока
На поверхности возбуждающего электрического тока (z=0)
напряженность магнитного поля и нормальная составляющая на-
пряженности электрического поля терпят скачок (разрыв непре-
рывности). Скачок напряженности магнитного поля как раз ра-
вен поверхностной плотности стороннего электрического тока:
Ну1г=—0--Ну\г=+0 --J^cr
(2.42)
47
ppr
J Скачок нормальной составляющей напряженности электриче-
ского поля, умноженной на комплексную диэлектрическую посто-
янную среды, равен поверхностной плотности стороннего электри-
ческого заряда и связан с током соотношением
<7аст = е'аЕг|г=+0-е'лЕг|г=_0=^-А- . (2.43)
Тангенциальная составляющая напряженности электрического
поля на поверхности г —О непрерывна и равна:
Ех 1г=0 = i е~^. (2.44)
2 сое а
Из последнего выражения видно, что при h>k тангенциальная
составляющая напряженности электрического поля находится с
током во временной квадратуре, т. е. опережает ток по фазе на
90°. При h<Ck тангенциальная составляющая напряженности
электрического поля и возбуждающий ток находятся в противофа-
зе — наводимая ЭДС Ех противодействует возбуждающему току.
Заметим далее, что отношение тангенциальной составляющей
напряженности электрического поля к тангенциальной составляю-
щей напряженности магнитного поля на поверхности возбуждаю-
щего тока, обычно называемое поверхностным импедансом, опре-
деляется формулой
2= Ex I _ Сж I __yl/h2 —Л2
^plz=+o Ну lz=—о шв'а
Мы видим, что при h>k (для среды 'без потерь) поверхност-
ный импеданс является реактивным и носит индуктивный харак-
тер, а при h<Z.k он является активным с отрицательным знаком.
Первый случай, как мы отмечали выше, соответствует колебанию
энергии в направлении оси z, а второй случай — распространению
ее от плоскости г=0 в направлении положительных и отрицатель-
ных значений оси z. Отрицательный знак у поверхностного импе-
данса указывает, таким образом, на излучение энергии плоскостью
2 = 0.
Рассмотрим теперь более подробно электромагнитное поле для
h>k и h<Zk, 'предполагая проводимость среды о равной нулю.
1. Медленные волны h>k. Этот случай, как отмечено выше,
соответствует затуханию волны по экспоненте в направлении оси
z и распространению волны вдоль оси х (вдоль возбуждающей
плоскости). Фазовая скорость этой волны, как будет показано в
следующем параграфе, определяется величиной
и, поскольку h>k, меньше скорости света в данной среде. Такие
волны называются медленными.
Определим вектор Пойнтинга этой волны. Согласно (1.23)
имеем
48
4\alaHausni‘
знание без границ **
П= ----'-EzHyi*. (2.46)
Подставив сюда выражения (2.41), получим
77 = +/ СТ 2 Vft2 ~~ fe2 е± Г'Л*^ 2г .
2 8 соеа
>э,стг ____
я = ° h е~ Vh*-& 2г
х 8 соеа
Мы видим, что вектор Пойнтинга имеет две составляющие:
нормальную и тангенциальную к поверхности возбуждающего то-
ка. Нормальная составляющая носит мнимый характер, а танген-
циальная составляющая — действительный характер. Следова-
тельно, энергия переносится медленной волной вдоль плоскости в
направлении положительных значений координаты х; сама по-
верхность z = 0 не излучает энергии, а только поддерживает мед-
ленную волну. Плотность переносимой энергии уменьшается при
удалении от плоскости z = 0, по экспоненциальному закону тем
быстрее, чем больше /г, т. е. чем медленнее волна. Энергия мед-
ленной волны сосредоточена около поверхности 2 = 0, и поэтому
эта волна часто называется поверхностной.
2. Быстрые волны 0</г</г. Этот случай соответствует распро-
странению волны как в направлении оси х, так и в направлении
осп г. Фазовая скорость определяется выражениями:
0J <0
Р h ~]/k2-h2
и поскольку h<Zk и У k2—/г2<й, фазовые скорости по указанным
двум направлениям оказываются больше скорости света в данной
среде. Такие волны называются -быстрыми.
Подставив в (2.46) выражения (2.41), в данном случае по-
лучим
8 оеа 8 соеа
Следовательно, как тангенциальная, так и нормальная состав-
ляющие вектора Пойнтинга являются действительными величина-
ми. Таким образом, электромагнитная энергия переносится быст-
рыми волнами как вдоль возбуждающей поверхности, так и нор-
мально к ней.
Представим выражения (2.41) в несколько ином виде. Обозна-
чим /г = &cosep; тогда УН2—k2 = iksinq. При этом выражения
(2.41) примут вид
уэ.ст
---1- ° « cos <Р g—ikx cos <fi±ikz sin <p ;
2 2 wea
/Э.СТ .
£ — ____ 0 * sln Ф g—ikx cos <p±iftz sin <p •
2 WEa
49
jZ.CT
fj ____° £—IkX cos W±ikz sin Ф
У ~ 2
(2.47)
Если обратимся теперь к рис. 2.2, то увидим, что z=zFrsinq>;
x = rcos<p и Еф=—Exsin фТЕ2сой ф. Тогда выражения (2.47) запи-
шутся так:
гЭ.СТ |Э-СТ
= —------e~ikr; Ну = ± e~ikr. (2.48)
Ф 2 .oea 2
Оказывается, что электромагнитная волна распространяется
под углом ф к оси х и фазовая скорость распространения волны в
этом направлении равна скорости света с = «//г. Вектор электриче-
ского поля Е и вектор магнитного поля Н оба лежат -в попереч-
Рис. 2.2. К определению нап-
равления излучения поверхно-
нон относительно направления рас-
пространения плоскости, причем ам-
плитуда и фаза поля в этой плоско-
сти являются постоянными. Такая
волна называется поперечной элек-
тромагнитной Т-волной. Фронт этой
волны движется вдоль осей х и z со
скоростью, определяемой выраже-
ниями:
с
cos <р
= — . (2.49)
sin <р
»фХ =
стного тока
2.5. Плоская Т-волна в однородном пространстве
Рассмотрим теперь особо распространение поперечной электро-
магнитной волны, часто еще называемой плоской волной, в среде
с потерями. Волновое число среды при оэ=#0 является комплекс-
ным:
k = 0— i а.
Полагая в исходных, выражениях (2.41) /г=0, сг’У^О, сгм = О и
рассматривая поле только в области z>0, получим
гЭ.СТ
£ _ МНа е-^-фг.
Р — ia 2
Ну= — е-аг~^г, (2.50)
где принято во внимание, что /г/а>е/а = а>ра/^.
Отметим, что отношение напряженности электрического поля
к напряженности магнитного поля в Т-волне называется волно-
вым сопротивлением среды, которое в данном случае является
комплексным:
50
^ataHausA
знание без араниц * *
=_ир^_ =Геп|, (2.51)
Ну р-ia ' ’
где
W7 Hfa __ . = arctg — .
V> + a2 Y 6 р
Умножив (2.50) на временной множитель eiat и выделив мни-
мую часть полученных выражений, найдем выражения для мгно-
венных значений напряженности электрического и магнитного по-
лей:
ех—-----1— W e~az sin (со t—0 z + ф); (2.52)
hy = —J-~ е~аг sin (со t—р z).
Таким образом, волна при своем распространении в направле-
нии оси г затухает по экспоненте, причем коэффициент затухания
определяется величиной а. Напряженность электрического поля
сдвинута по фазе во времени относительно напряженности магнит-
ного поля на угол ф, который зависит от отношения коэффициен-
та затухания а к коэффициенту фазы р. Расстояние, на протяже-
нии которого амплитуда поля уменьшается в е раз, называется
глубиной проникновения поля и определяется из условия
аб = 1,
откуда
6 = —. (2.53)
a
Поверхность равных фаз (фазовый фронт) волны распростра-
няется со скоростью света в данной среде, которая определяется
из условия
со t—pz = const.
Взяв производную по времени от этой величины, получим
^“7’ (2.54)
Длина волны в среде определяется выражением 7.=2л/р. На-
помним, что длиной волны в среде называется расстояние между
двумя волновыми фронтами, фаза в которых отличается на 2л.
На рис. 2.3, где показано распределение поля вдоль оси z в фик-
сированный момент времени (при оэ = 0), отмечено это расстоя-
ние.
Определим значения |3 и а. Для этой цели возведем # = 0—ia
в квадрат:
£2 = ф—/а)2=со2еа|х/1— i ^-) . (2.55)
51
откуда получим
Р2—а2=(о28ар,а; 2сф=(ор.аоэ. (2,о6)
С другой стороны, если в (2.55) 'приравнять квадраты моду-
лей, то получим
а2 + р2 = <в2 еа ца
(2.57)
(2.57), по-
Складывая и вычитая первое выражение (2.56) и
лучим
(2.58)
Сравнивая далее второе выражение (2.56) с (2.54), найдем
9 Q
= (2.59)
Ра О
Таким образом, проводимость среды вызывает не только зату-
хание, но и влияет на скорость распространения волны, которая
теперь становится также зависящей от частоты.
Рассмотрим два крайних случая. Пусть в начале проводимость
среды настолько мала, что оэ/<оеа<^С1 (диэлектрик с потерями).
Из формул (2.58) и (2.51) получим
»<₽
ращ) |Леа ра; а да ]/ ;
1 .
Т/ба Ра
(2.60)
Следовательно, в среде с малой проводимостью в первом при-
ближении волновое сопротивление W, (коэффициент фазы р и фа-
зовая скорость vtf остаются такими же, как и для среды без по-
терь. Затухание пропорционально проводимости и волновому со-
противлению среды и не зависит от частоты.
Далее, если проводимость среды настолько велика, что
оэ/®еа»1 (проводник), то формулы (2.58) и (2.51) представля-
ются в виде
Таким образом, для среды с большими потерями коэффициент
фазы р и коэффициент затухания а увеличиваются с ростом ча-
стоты, магнитной проницаемости и проводимости. Глубина про-
52
Специально Оля _
NataHausIM
знание без границ Ч *
Рис. 2.3. Плоская электромагнитная
волна.
ростом частоты и магнитной про-
1 проводимости. Сдвиг фаз между
-о и магнитного полей становится
металлов затухание плоской элек-
никновения поля 6 уменьшается с ростом этих величин. Фазовая
скорость v ф уменьшается с ростом магнитной проницаемости и
проводимости, но увеличивается с ростом частоты. Волновое со-
противление среды W растет с
ницаемости, но падает с росто
напряженностями электрическс
равным 45° независимо от ука-
занных выше величин.
Среда с большими потеря-
ми обладает дисперсией, так
как фазовая скорость зависит
от частоты, причем с ростом по-
следней она увеличивается.
Вследствие этого при передаче
сигнала, т. е. некоторого спек-
тра частот, происходит искаже-
ние формы сигнала.
При большой проводимости
тромагнитной волны, особенно на высоких частотах, становится в
них очень большим, фазовая скорость и длина волны оказывают-
ся очень малыми и поле проникает в .металл на небольшую глу-
бину.
Очень малым оказывается и волновое сопротивление, что ука-
зывает на то, что в металле напряженность магнитного поля зна-
чительно превышает напряженность электрического поля (при
большой проводимости и конечном токе из формулы j:1 = cr9E сле-
дует, что Е мало). Энергия электромагнитного поля в основном
сосредоточена в магнитном поле.
Остановимся теперь на понятии групповой скорости. Пусть в
среде без потерь в направлении оси z распространяются две пос-
ледовательности монохроматических волн с близкими частотами
о>1 и (о2. Считая амплитуды этих волн одинаковыми, запишем ре-
зультирующее магнитное поле:
hy= A [sin (ед/—0!z) 4-sin (со21—р2г)].
Сложное поле этого вида обладает свойствами группы волн,
ибо оно имеет постоянную по форме и перемещающуюся в прост-
ранстве огибающую. В случае близости он и <о2 такая сложная
волна называется квазимонохроматической.
Введя обозначения
w + «>2 . о _ Pi + Ра
2 ’ Р 2
Д(0 = ^1-^2 . Д В = Pl-Pa
2 ’ 1 2
запишем результирующее поле:
hy = 2 A sin (<о t—р z) cos (До) t—Др z).
53
г
Соотношение
Дм/—A0z = const
позволяет найти скорость перемещения огибающей рассматривае-
мой группы волн. Дифференцируя это соотношение по t, получаем
выражение для такой скорости, называемой групповой скоростью:
= .ИЛИ при До->0 1»Гр = ^7 • (2.62а)
0,1 /\р а р
d to
Если р выразить через фазовую скорость из формулы (2.54)
. с сВ
или показатель преломления среды из формулы п = — = — , то
иФ <о
можно написать два других выражения для групповой скорости:
da
(2.626)
В недиспергирующей среде, где иф и п не являются функциями
частоты, оГр=Оф.
2.6. Электрические и магнитные волны
в цилиндрической системе координат
Электромагнитное поле заданных электрических и магнитных
токов в неограниченном однородном пространстве может быть вы-
числено в координатах кругового цилиндра г, <р, г. Для этой цели
можно воспользоваться выражением (2.7) для любой из прямо-
угольных составляющих (i=x, у, z), где функцию Грина можно
представить в виде разложения (2.20) или (2.22). Для перехода в
(2.7) к криволинейным составляющим векторного потенциала и
тока нужно воспользоваться согласно (1.87) соотношениями
Ar = Ах cos ф 4- Ay sin <р ;
Дф=—Ах sin ф + Ay cos <р ; (2.63)
А = Л
и соответствующими соотношениями для jCT. Тогда получатся вы-
ражения:
Дг = J [/" cos (<Р~Ф') + /ф sin (ф—ф')1 G dv;
v
А9= J [/"С08(ф—ф')—/=т5Ш(ф—Ф')] Gdv ;
v
Az=\j?Gdv, (2.64)
v
54
NataHaus
знание без границ
где поле определяется в точке наблюдения p(r, ср, г), а интеграл
берется по точкам источников q(r', q/, z').
Выражения (2.64) совместно с выражениями (2.20) или (2.22)
при подстановке их в формулы (1.29) определяют электромагнит-
ное поле в любой точке пространства. Однако, помимо этого спо-
соба, электромагнитное поле в свободном пространстве может
быть представлено в виде наложения электрических и магнитных
волн, подобно тому как это сделано в декартовой системе коорди-
нат.
Согласно формулам (1.29) и (1.91) в координатах кругового
цилиндра продольные (совпадающие с осью z) составляющие на-
пряженностей электрического и магнитного толей выражаются
Ег= ——
г 1 сое а
д®Л’
k2A*A------
г дг2
1 д ( дАг\ . 1
г д г \ дг / г дер дг
±±(гА^) + -д-^-,
г дг г д<р
Нг = А-
ссоц а
1
dz2 г д г \ д г /
1
г д ср дг
Подставив сюда выражения (2.64) и (2.20), используя рекур-
рентные формулы для функций Бесселя и их производных
* R'n ('iir')=-Y Rn-1 (х Г) -—|- /?п+1 (к г);
у- Яп (х г) = Яп-г (х г) + -|- Яп+1 (х г),
где /?„(хг) означает 4(хг) или Нп{2)(г.г), и затем изменив порядок
суммирования по п, получим
ос оо
4= У С 4пх^«;
(2.65)
гпи
2
где
р ______р± Vy.2—k2z—iii(p
Нгпу.=е
/г2г—Мер X
4 ('*)4 («г), Г<г',
р F* (х) //(2) (X г), г > г';
(х) 4 (хг),г<г',
Ух2 — k2 | F" (х) (х г), г>г';
(2.66)
(2.67)
X2
I сое'а
Л9(«)=я—П-
8 л ( i
X ^Кп(иг’)-
/’ Rn (х г') —
;м
i сое'а 1г
I сое а ф
X
55
F“ (x) =
± Ух2—ksz'+intp'
X e dv;
(2.68)
j”Rn (x И —
f(±Vx2 —fe2
I iov'a ,r
~-Rn^r')~
(±-|/X2_fe2)
fwjx'a lr.^^
r,t , (, ) + 1 r*2~^z'+intf' ,
x я n (x r ) e dv.
(2.69)
В последних двух выражениях при s=l Rn(w') =НпМ(кг), а
при s=2 /?п(хг')=/п(хг').
В формулах (2.66) — (2.69), а также в последующих выраже-
ниях перед радикалом нужно брать нижние знаки при (z—z')>0
и верхние знаки при (z—z') <0.
Представим теперь подобно (2.65) поперечные составляющие
поля в виде разложения:
СО ОО ОО ос
£r= S J £rnxdx; Яг= У; J Hrnydn-
п=—оо х=—ОО П=—ОО %=—оо
(2.70)
R<t> J Rffnv. = i j ^Арпи
Тогда, учитывая, что зависимость всех составляющих поля от
координаты z определяется выражением е± 1 ''х—Мг-О, мы из урав-
нений Максвелла для тех точек пространства, в которых отсутст-
вуют источники, получаем при //2 = 0 выражения
£э _ ±V^2 — kl дЕгпу. . ттэ _i ые'а 1 ££znz .
г"х дг ’ г™ х2 г 5<р ’
2?э __ ^Еу'х2 /г2 1 d Eznv.. ггэ _____ i ые'а & Eznn
4>'!x X2 г й<р ’ г? дг
и при £г = 0 выражения
/гм = -»'ц>н'а J_ в Егпу . Ны д нгпу
rm V? г дер ’ гпх дг
рм = to.u'a д Нгп.л . Ны ±ух2 _ Л2 _1_ д Н2Пу
Ч- «х Х2 дг > <рлх ^2 г дч •
(2.71)
(2.72)
Полное электромагнитное поле определяется суммой выраже-
ний (2.71) и (2.72).
Электромагнитные волны, определяемые выражениями (2.65),
(2.66), (2.68) и (2.71) при /72 = 0, называются поперечными маг-
нитными (ТМ) или электрическими (Е) волнами, а электромаг-
нитные волны, определяемые выражениями (2.65), (2.67), (2.69) и
(2.72) при Ег=0, — поперечными электрическими (ТЕ) или маг-
56
^a^dtiausitl!,
знание без границ * *
нитными (Н) волнами. Заметим, что продольные составляющие
стороннего электрического тока возбуждают только электрические
волны, а продольные составляющие стороннего магнитного тока—
только магнитные волны. Поперечные составляющие сторонних
электрического и магнитного токов в общем случае возбуждают
как электрические, так и магнитные волны.
Приведенные выше выражения доказывают, что свободное про-
странство можно рассматривать как цилиндрический волновод,
возбуждаемый заданным распределением сторонних электриче-
ского и магнитного токов. Собственные волны или пространствен-
ные гармоники этого волновода имеют непрерывный спектр собст-
венных значений. Причем все волны, для которых |х| >k (если
о = 0), являются затухающими и все волны, для которых (х| <Zk,
являются распространяющимися в направлении оси z.
Ввиду того что функция Грина имеет еще и другой вид, а имен-
но представленный формулой (2.22), наложение электрических и
магнитных волн может быть представлено также в другом виде.
Действительно, подставив в формулы (2.64) выражение функ-
ции Грина (2.22) для продольных составляющих напряженности
электрического и магнитного полей, получим
оо оо оо оо
Ег = У У Eznhdh- Нг= 2 f H^hdh, (2.73)
П =—оо К——оо П= 00 h=—ОО
где
Егп11=е~^-“'ч
Н , = p—ihz—inq
Ei(h)Jn (vr),r<rl,
F* (h) (v r), r > r';
F^(h)Jn(vr), r<r',
F* (Л) (v r), r > r';
(2.74)
(2.75)
Fs (Л) = 7^7 J ] -—7- Rn (v r') + (~ /э —/«'j x
8m j) I. । we a z \oe a 4> rl
Xl-^Rn(vr') + (-^-7 j3r + /" \vR'n(yr') ) е^г'+Мф' (2.76)
r V we a v / I
= i j I % Rn (v r') + ( A- % + /r) ~ Rn (V r') +
8m I i Wp a ywp а 4 r J Г
+ f ^~7^ — /ф^ои! eih*'+tn4'dv. (2.77)
\ a / J
Здесь при s=l Rn(yr')=HnW(yr') и при s = 2 Rn(vr') =Jn(vr').
Представим теперь поперечные составляющие поля в виде
СО со со оо
Er= V J Ernhdh- Нг=- 2-' У Hmhdh-
п=—X h — — 00 п — —оо Й=—оо
£Ф= S У E4>nhdh-, яф= 5 У Hismhdh. (2.78)
П = — оо h = — оо п— 00 h= Q0
57
Тогда получим для электрических волн (/7z = 0)
рэ = ih & Eznh . ттэ __ i we'a 1 d Егпь .
rnh k2 — h2,dr ' rnh k2 — h2 г dtp ’
__ IE 1 Й Eznh . ууэ ______ i we а д Eznh
<S>nh~k2_h2 г д(р ’ tpnh tf — h2 dr
(2.79)
и для магнитных волн (fz=0)
_ i wp. a 1 d Hznh .
£?M--------------
rnh k2 — h2 r dtp ’
t~ tofx'a d Hznh . trM
’ 1 tpnh
EM
k2 — h2 dr
//m — № d HZnh
rnh k2 — h2 dr
__ — ih Id Нгпн
k2 — h2 r dtp
(2.80)
В ’последующих главах книги будут использованы как выраже-
ния (2.65) — (2.72), так и выражения (2.73) — (2.80). В одних слу-
чаях удобно применять одни представления, а в других случаях —
другие.
2.7. Электромагнитное поле бесконечно протяженного
линейного тока
Пусть в неограниченном однородном пространстве задан вдоль
оси z линейный электрический ток. Будем считать, что амплитуда
тока постоянна, а фаза его меняется по линейному закону, т. е.
в направлении оси г распространяется бегущая волна тока. Ана-
литически объемное распределение такого тока представим с по-
мощью выражения
/! ст (г, <р, z) = I3 — 6 (г—л) 6 (ф—ф0) e~ihz, (2.81)
2 г а
которое означает, что ток задан в виде бесконечно тонкой нити,
расположенной в точке с координатами а, ф0. Коэффициент фазы
h определяет скорость распространения волны тока вдоль оси z.
Согласно выражениям (2.64) векторный потенциал заданного
тока имеет только продольную составляющую. Подставим в (2.64)
выражения (2.81) и (2.22), обозначив в последнем выражении h
через /г', для того чтобы отличить h от соответствующего обозначе-
ния в (2.81). Произведя указанное в (2.64) интегрирование, полу-
чаем
4i
е— <р0) е—i г
(HW(ya)Jn (yr),r<a,
(Jn(va) (у r),r>a,
(2.82)
где —iVh2—k2.
58
^alaHausWll
знание Вез границ ' *
Выражение (2.82) упростится, если нить расположить в начале
координат, т. е. если положить а=0. Тогда
, , . (О при п=#0,
4(VG)= 1 о
I 1 при п~и
и вместо (2.82) мы получим
Л| = A e~ihz Щ2> (vr).
4 i
(2.83>
Между прочим,
рема сложения
из сопоставления (2.82) и (2.83) следует тео-
H^(vR) = §
/I —— 00
Jn(vr),r<a,
Jn (va) H&(yr),r>a,
(2.84)
где /?2=г2 + п2—2rncos(<p—<p').
Пользуясь выражением (2.83), >по формулам (1.29) находим
напряженность магнитного поля:
д А3 I3
Нт = Нг = 0; Н^—— -_^ = _Le-ihzvH[2>(yr). (2.85)
h I3,
-------— e~lhz v //<2> (v r) ;
ые'а 4 i IV/.
д , и . v2
Напряженность электрического поля удобно определить из пер-
вого уравнения Максвелла:
i СОЕ а dZ
£z=-^A_L(rH) = ,
i toe a г d r i coe a
I3
X e~ihz (v r);
(2.86)
f<p = O.
Исследуем выражения (2.85) и (2.86) при различных значе-
ниях h.
1. h = k (k — действительная величина). Тогда v = 0 и для рас-
крытия неопределенности в выражениях (2.85) и (2.86) следует
иметь в виду, что
lim v2(v г) = 0; ]im v /7<2) (vr) =— .
vr—0 vr-i-О Л г
Таким образом, выражения (2.85) и (2.86) преобразуются к
следующему виду:
; ЕГ = A A e-ikz . £ о.
2лг соеа 2лг
Поле такой структуры образует плоскоцилиндрическую Т-вол-
ну, распространяющуюся в направлении оси z со скоростью света
в данной среде. При удалении от оси z амплитуда этой волны убы-
5&
вает обратно пропорционально радиусу г. Отношение напряжен-
ности электрического поля к напряженности магнитного поля рав-
но волновому сопротивлению среды:
Отметим, что подобная волна может существовать в коаксиаль-
ной линии. Действительно, если коаксиально с нитью электриче-
ского тока расположить идеально проводящую трубку произволь-
ного радиуса, то граничные условия на такой трубке будут удов-
летворяться. Поперечное сечение коаксиальной линии и картина
электрических и магнитных силовых линий показаны на рис. 2.4.
2. h=0 (синфазная нить тока). В этом случае v=k и состав-
ляющие поля определяются выражениями:
^<р = -^-ЛД(2> (Л г);
4 I
tA /Э
E^±-^H^(kr)- Er—G.
i coea 4 i
Поскольку /7<р и Ег находятся на больших расстояниях в фазе,
что видно из асимптотического выражения для функции Ганкеля
то можно сказать, что синфазный линейный ток излучает цилинд-
рические Т-волны, распространяющиеся со скоростью света в на-
правлении оси г. Поверхности равных фаз имеют форму цилинд-
ров, а амплитуда поля убывает при удалении от оси нити, как
1/Г7.
На малых расстояниях функции Ганкеля приближенно опре-
деляются формулами:
__2 2
H^(kr)^ —-In—
Аг<1 I л l,78fer
kH™(kr) « — ,
1 л г
и поэтому вблизи нити тока электрическое и магнитное поля при-
ближенно определяются формулами:
Н ~ • F ~ In 2
2лг i соеа 2 л 1,78 kr
3. 0</г<£ (вдоль оси г распространяется быстрая волна то-
ка). Теперь v является действительной положительной величиной,
и поэтому присутствуют все три составляющие поля: /7<р, Ег и Ег,
причем /7(р и Ег для среды без потерь находятся в фазе всюду, а
//<р и Ez находятся в фазе при большом удалении от оси г, где
60
ftlalaHauslVii
знание без границ ' *
справедливо асимптотическое представление
Вектор Пойнтинга имеет как радиальную, так
ставляющие и натравлен под углом <р к оси
угол может быть определен из соотношений:
h = k sin <р ; v—k cos ф; r = R cos <p ;
функции Ганкеля.
и продольную CO-
Z' (рис. 2.5). Этот
z = /? sin <p.
Рис. 2.5. К определению
направления излучения
линейного тока
Р.ис. 2.4. Картина поля
волны Т в 'коаксиальной
линии
В направлении R электромагнитная волна распространяется
со скоростью света в данной среде = 1/J^eajia, в направлении
осп г — со скоростью v,pZ — u/h = v v /sintp и в направлении оси г —
СО скоростью v(fr = (s)/v=v41/cos ф.
4. h>k (вдоль оси z распространяется медленная волна тока).
В этом случае v становится мнимой отрицательной величиной. На
больших расстояниях от нити тока амплитуды составляющих поля
Я<р, Er, Ez убывают в направлении оси г по экспоненциальному
закону; кроме того, в силу цилиндрического характера волны про-
исходит убывание амплитуды по закону 1/}лг. Вектор Пойнтинга
имеет мнимую составляющую в направлении оси г (Н9 и Ez сдви-
нуты по фазе на 90°) и действительную составляющую в направ-
лении оси г. Таким образом, вдоль оси г распространяется плоско-
цилиндрическая поверхностная волна, подобная плоской поверх-
ностной волне, рассмотренной в § 2.4. Амплитуда цилиндрической
поверхностной волны, однако, затухает быстрее при удалении от
направляющей ее нити за счет множителя 1/
2.8. Электромагнитное поле бесконечно протяженной
трубки тока
Рассмотрим опять неограниченное однородное пространство, в
котором зададим трубку электрического тока, направленную вдоль
оси г. Объемное распределение стороннего тока представим в виде
выражения
j3z cr Ф, z) = /’6 (г—a) e~in(p~ihz (2.87)
61
которое означает, что трубка имеет радиус а и представляет со-
бой поверхностный ток с постоянной амплитудой Jaz и фазой, из-
меняющейся по линейному закону как в направлении оси г, так и
в направлении азимута <р.
Можно было бы определить поле через векторный потенциал,
в частности использовать выражение (2.82). Однако для разнооб-
разия воспользуемся выражениями (2.73)—-(2.77), в которых вме-
сто п, h введем обозначения п', h', чтобы отличить их от соответ-
ствующих величин в (2.87). Подставив (2.87) в эти выражения и
произведя интегрирование, получаем
2 л а
t-г = 7^
4 i
k*-h* | (V «) Jn (V Г), Г < п,
* ые а j Jn (vа) (v г), г>а;
(2.88)
Яг = 0.
Таким образом, ток, определяемый выражением (2.87). воз-
буждает только одну пространственную гармонику электрической
волны. Поперечные составляющие поля этой волны определяются
выражениями (2.79):
е_.пф_.Аг Я<2> (v а) v Гп (V г), г < а,
Г «е'а 4i Jn(va)vH^'(vr),r>a;
Е я 2^,-» е_ init_iliz | Н<2> (V а) Jn(v г), г <а,
ф coe'a 4» г j Jn (vn) (уг),г~>а.-,
4« г \Jn(y а)Н№ (уг),г>а;
2паЛ (у а) v J’n(yr), r<a,
Н —________£ e-in<p-i/iz I " ' ' v ’
’ 4‘ j Jn (у a) v H&Y (у г), г > а.
(2.89)
(2.90)
(2.91)
(2.92)
Следовательно, из шести возможных составляющих поля воз-
буждаются три составляющие электрического поля и две состав-
ляющие магнитного поля. Картина поля, таким образом, имеет
более сложный характер, чем для линейного электрического тока.
Это более общий случай возбуждения поля, и при и=0 и а = 0 со-
ставляющие £ф и Нг выпадают, а остальные составляющие опре-
деляются выражениями (2.85) и (2.86).
Если в выражениях (2.89) и (2.92) положить п=0, а радиус
трубки, начиная от нуля, увеличивать, то при заданной величине
тока I°z=2naJaz амплитуда поля для быстрых волн (h<k) будет
уменьшаться вследствие наличия множителя Jo(ya) и при некото-
62
Nataliausliiik
знание без границ Ч *
ром значении aJo(ya)=O поле вне трубки тока окажется всюду
равным нулю. Трубка тока при этих значениях параметров экра-
нирует внешнее пространство и электромагнитное поле полностью
сконцентрируется во внутренней области трубки (г<а). Это явле-
ние имеет место при va» 2,405; 5,520; 8,654 и т. д. При h=k поле
существует во внешней области трубки тока при всех значениях
а, однако оно содержит только две составляющие: Ег и Ну (плос-
коцилиндрическая волна). Вместе с тем во внутренней области
трубки тока при h=k, в силу того что /'о(О) =—/] (0) =0, поле
этой волны тождественно равно нулю; это хорошо известный
факт о невозможности существования поперечной электромагнит-
ной волны в круглом волноводе.
Другой интересный случай возбуждения поля соответствует
п=\ (первая азимутальная вариация). При этом для конечного
радиуса трубки существуют все пять составляющих поля. Однако
при о = 0 поле исчезает и при увеличении радиуса трубки для бы-
стрых волн (/К/г) возрастает во внешней области, становясь мак-
симальным при va=l,84.
При дальнейшем увеличении радиуса трубки тока происходит
уменьшение поля и оно становится равным нулю, когда Ji(va)=0,
затем при увеличении радиуса оно опять возрастает, затем падает
и т. д. Величины радиуса трубки тока, при которых поле исчезает
во внешней области, определяются из выражений та» 3,832;
7,016; 10,173...
Полезно еще отметить, что составляющие поля Ez, Еу и Нг на
поверхности возбуждающего тока (при г=а) непрерывны, а со-
ставляющие Ет и Ну терпят разрыв, соответствующий поверхност-
ному заряду и поверхностному току. При этом при подходе к по-
верхности r = a снаружи и изнутри составляющие поля Ег и Ну
имеют разные значения.
2.9. Электрические и магнитные волны
в сферической системе координат
Представим в сферической системе координат г, 0, <р электро-
магнитное поле заданных электрических и магнитных токов в сво-
бодном пространстве. С этой целью перейдем в выражении (2.7)
от прямоугольных составляющих к криволинейным, используя со-
гласно (1.87) соотношения
Ar = А х cos <p’sin 6 + Ay sin <p sin 6 + Аг cos 0;
Ae = Ax cos <p cos 6 + Ay sin <p cos 0—Аг sin 0;
Лф = —Ax sin ф + Ay cos ф
(2.93)
и аналогичные соотношения для jCT. В результате получим
63
/7 cos p + /У G dv ;
° <90sin 0 dtp
£TCOSp4jerd£££₽ T_^dcosjJ d
,r к ,e d&’ 1(p sin 0' dq/
1____d_
p sin 0 d <p
cos P + JCT + /" ——
r H Jq> ae> 'Jtf sin0,
(2.94)
d cos fl । .CT d cos fl
dtp'’ 5 0'
Gdv,
где cos p = cos 0 cos 6' +sin 6 sin 0' cos(<p—<p').
Выражения (2.94) при подстановке их в формулы (1.29) по-
зволяют найти электромагнитное поле в любой точке наблюдения
р(г, 0, <р) по известному распределению источников в точках
q(r', 0', <р'). Часто, однако, бывает полезно представить полное
электромагнитное поле в виде суперпозиции электрических и маг-
нитных волн, распространяющихся в направлении оси г.
Для того чтобы выразить радиальные составляющие напря-
женности электрического и магнитного поля через составляющие
сторонних токов, запишем соотношения (1.29) для точек простран-
ства, в которых отсутствуют источники, в форме
Е = —-— rot rot Аэ —rot Ам;
i сое'а
Н = —-— rot rot Ам + rot Аэ, < 2 95>
i <Op.'a
а выражение (2.9) перепишем следующим образом:
Аэ (р) = J j3 CT (р) G (р, q) dv ;
v
Ам (р) = J jM CT (q) G (р, q) dv ; (—96)
v
Подставим (2.96) в (2.95) и умножим левую и правую части
полученных выражений скалярно на произвольный вектор а, по-
мещенный в точке наблюдения р:
аЕ= f I ——a rot prot p(j9CTG)—a rot p(jMCTG) 1 dv;
v I iwe'a J
aH = f ( —— a rotp rotp (jM CT G) + a rotp (pCT G) ] dv. (2’97)
у ( I (Dp a
Индексы p и q у дифференциальных операторов будут исполь-
зоваться для того, чтобы различать дифференцирование по коор-
динатам точки наблюдения р(г, 0, <р) и точки источников q (г',
<pz). С помощью соотношений
a rotp (j G) = j rotg (a G) (2.98)
и
64
Ratalfauswi*
знание без границ ч *
a rotp rotp (j G) = j rotg rotg (a G) (2.99)
преобразуем подынтегральные выражения в (2.97):
аЕ = fl —!— j3CT rot„ rot„ (a G) — jM-CT rotg (a G) 1 dv;
. у I «we'a J
aH= f ।—5—jM CT rotg rotg (a G) + j3-CT rotg (a G) | du.
v I i top'a )
Возьмем в качестве вектора а единичный координатный вектор
i,. Тогда формулы (2.100) примут вид
Er = f | —Ц- р ст rotg rotg (ir G) — jM-CT rotg (ir G) ] dv;
J I i toe a J
Hr = f [ —Ц- jM CT rotg rotg (ir G) + j3-CT rotg (ir G) I dv. (2-101)
v I‘а I
Для того чтобы выполнить под интегралом в (2.101) диффе-
ренцирование по точкам источников поля, надо единичный вектор
ir(p) из точки р перенести параллельно самому себе в току q. По-
скольку система координат криволинейна, составляющие этого
вектора в точке q изменятся и для их определения надо восполь-
зоваться выражениями (1.87) и (1.88). В результате получится
связь
ir (р) = cosр ir (q) + ie (<?) + -L- j [q). (2.102)
О sin 0 d <p
Подставив (2.102) в (2.101), найдем
rote(ir (p) G) = ir (q) .. 1 - 2£1 +
[ 5<p' r'sinS' 5 6' 50' r'sin6'5<p'J
+ ie(.) [cosp ^1 +
L r sin 6 5 <p 5 <p sin 0 dr
, . 15 cos p 5G „ 1 5G I ,o
Теперь заметим, что согласно (2.30) функция Грина имеет вид
1 e~ikR :_________________
G=~4^------; /? = ]/г2 + г'2—2r'rcosp.
Подставив это выражение в (2.103), увидим, что первое слагае-
1 5G
мое равно нулю, второе слагаемое равно-------------и третье
г sin 6' 5<р'
1 dG
слагаемое равно.------- —. Таким образом, выражение ' (2.103)
упрощается и сводится к следующему:
rot, (|г (р) G) = |е (,) —1— Л£-1ф Й)Д- . (2.104)
г sin 0 5 <р г 56
3—142
65
Внеся (2.104) в (2.101), получаем
Ег=(—!— ( /’Г——/г'2 —1 + г'А2о|+/’—X
J iwe'oG Р dr' \ дг') | 6 г'
х д2^'0) ] ;э 1 d^r'G) jui&e'a dG
дг'дв' 9 г' sin 6' дг' д<р' 0 sin 6' dip'
d2(r'G) 1 d*(r'G) (сон'а dG _
dr'd&' q’r'sinQ' dr’dtp' 0 sin0' dq>'
(2.105)
Наконец, подставим в выражения (2.105) разложение функции
Грина (2.28). Тогда, учитывая, что
[4 ~ (г> 2 V7 }+r'&1 <*'') = "(Я /"
L г dr' \ dr' J J г
для радиальной составляющей электрического поля получим сле-
дующее окончательное выражение:
г,=—2 2 '•('"+1)^. (2106)
г п=0 т==—п
где
U3mm =F% (cos 0) г* (ё"2> (kr) Г>Г'' (2.107)
(l|)n (Аг) Fnm, Г<г'\
И
f s э _ 2»+ 1 (»— т)! k х
л(п-|-1) (n-|-m)| 4лсое'а
х J ( j3r W р“ (cos е') + /0 “Г х
у I г Г
X «..(М)Х
X (cos 0') + Я Rsn (kr') К (cos О') + /ф i <ое'а 7% (Ar') X
sin и
dP'_n(cosH')
X --------------
3 6'
г'»sin 0'd 0' dr'd q>'.
(2.108)’
66
знание без границ * w
Аналогично для радиальной составляющей магнитного поля по-
лучим выражение
г п=0 т——п
(2 109)
где
U^,m = Prn(cose)e~im'f
| &2) (kr) F?m,
\qn(kr)F*,
(2.110)
и
2n + 1 '(n—m)l k
^±^Rsn(kr')x
n(n+l) (n + m)! 4 лсор'а jj
xPn (cos O') + /eM 4 (/ Rf (kF)) - ЭР» (c°se,) +
r dr dQ
т % 4 ~{r'(cos e') - % ^4? x
sinO r dr ° sinO
X Rn (kr') Pn (cos O')—/ф i cop'0 Rsrl (kF) X
dP™(cos0') ) /n,n\
X ------------- r 2sin 0'd 0' dr’ dtp'. (2.1 11)
3 9' J
В формулах (2.108) и (2.111) использованы следующие обо-
значения:
при S=1
R'n (kF) = gn<2) (kF) = H^i/2 (kr')-,
при S = 2
R2n (kF) =фп (kF) Jn+l/2 (kF).
После приведенных преобразований выражений для радиаль-
ных составляющих полей мы можем представить электромагнит-
ное поле сторонних электрических и магнитных токов, (распреде-
ленных в неограниченном пространстве, в виде наложения элек-
трических и магнитных волн. При этом поперечные составляющие
поля выразятся через радиальные составляющие. Запишем попе-
речные составляющие поля в виде суммы двух слагаемых:
£е = £| + Е£; Яе = Я3е+Яем; 1
Тогда из однородных уравнений Максвелла для электрических
волн (Яг = 0) получатся выражения:
3* 67
tj.ls S •
r n=O m=—n *
i +n
£<P = rsine
/ Olli -- z> ... . ,
n=l) m~—П
«^2 S
I Sill vj „_r\ ,,, _
n=um=—n
. , 00 +«
' n=0m=—n Oo j
Для магнитных волн (£r = 0) получатся выражения
1
de dr
d2 (rU9™) .
dtp dr
(2.113)
dtp
d('U'rrnm)
n=0 m=—n
oo +n
TfM _ 1
Пч>-71йГ0
д2 (rU”J) .
зезг
Э2(гЦ?пт)
n=0 m=—n
t oo -}-n
dtp dr
4rU"n,n)
(2.114)
rsin0n=Om=—п dtp
£M tCOp.'a у, 2 d (rlJrnm)
Г n=0 m=—n 3 6 )
Подстановка выражений (2.106), (2.109), (2.113) и
однородные уравнения Максвелла 'приводит для функций
UMrnm к следующим уравнениям:
(2.114) в
U3rnm II
1 3/.О3{У\, 1 d2U
---—---( sin 0 ) Д------
sin 6 36 \ 30/ sin20 ;3<р2
4-n(n+l)^ = 0;
--(-гу} + (rU) — ”(w+ ° (rU) =- 0.
(2.115)
Нетрудно убедиться в том, что выражения (2.107) и (2.110)
удовлетворяют уравнениям (2.115).
Представление электромагнитного поля в виде наложения
электрических и магнитных волн для сторонних электрических и
магнитных токов в свободном пространстве в сферической системе
координат было получено нами раньше [4] в ином (несколько
громоздком) виде.
2.10. Поле электрического диполя
Вычислим поле электрического диполя в неограниченном про-
странстве. Поместим диполь в начало сферической системы коор-
динат и ориентируем его вдоль оси г, совмещенной с полярной
осью (рис. 2.6). Объемное распределение тока диполя представим
в виде
/>/|/6(р-0),
(2.116)
68
^alaHausfi^
знание без границ * ш
где 1Э21 — момент тока диполя и 6(р—0) — трехмерная 6-функ-
ция.
Подставив (2.116) и (2.24а) в (2.94), найдем сферические со-
ставляющие векторного потенциала диполя:
.а Ег1 п e-ihr pl g-ikr
Ar =-----cos 0-----; Ле =----------sin 0 —
. 4л г 4 л
Теперь, используя выражения (1.29) и подставив туда
найдем составляющие электрического и
/э I
Н9 = —— sin 0
4л
Ег1
Л’=0.
(2.117)
Е,
Е-
-----л ~
4 л i сое а
sin 6
e~ikr
г2
~ e~lkr .
г3
, -i. e~ikr
4-IK-------
' г2
магнитного полей:
-IV
]-ik---- ;
}ik
—k*
г2 J
e~ikr '
(2.117),
(2.118)
е—
Рис. 2.6. Электрический
диполь
COS0
2л1 сое'а
е—
Р
Нг~Нв=Е9 = 0.
Таким образом, магнитное поле диполя имеет только одну ази-
мутальную составляющую, а электрическое поле — две состав-
ляющие: радиальную и меридиональную.
Напряженность магнитного поля состоит из двух слагаемых:
первое слагаемое определяет поле, изменяющееся обратно пропор-
ционально квадрату расстояния, а вто-
рое — поле, изменяющееся обратно про-
порционально расстоянию в первой сте-
пени.
Напряженность электрического поля
состоит из трех слагаемых, изменяющих-
ся обратно пропорционально кубу рассто-
яния, квадрату расстояния и расстоянию
в первой степени.
Рассмотрим электромагнитное поле
диполя в различных зонах пространства.
1. Ближняя зона. Для ближней зоны
т. е. расстояние от диполя до то-
чек наблюдения в длинах волн (для сре-
ды без потерь) много меньше единицы
г/Х<;1. При этом можно положить e~ihr^\, т. е. пренебречь запаз-
дыванием поля. Тогда выражения (2.118) примут вид
Рг 1
-----sin 0;
4лг2
Е,
——— cos0;
2л i соеа г3
(2.119)
Ев —----------sin 0.
4 л i ыеа г®
i
69
Иг
Видно, что электрическое и магнитное поля сдвинуты по фазе
одно относительно другого на 90°, причем электрическое поле от-
стает по фазе от магнитного поля. Вектор Пойнтинга, представ-
ляющий собой векторное произведение Е на Н*, носит реактивный
характер. Это значит, что в одну четверть периода энергия отда-
ется источником окружающему пространству, а в другую четверть
периода эта энергия возвращается к источнику, т. е. энергия
ближнего поля находится в колебательном состоянии. Таким об-
разом, выражения (2.119) определяют квазистационарные поля.
Выражение для напряженности магнитного поля является форму-
лой Био—Савара для элементарного тока. Формулы для напря-
женности электрического поля следуют из закона Кулона для двух
разноименных электрических зарядов одинаковой величины.
2. Дальняя зона. Для дальней зоны &Г>1, т. е. .расстояние
от диполя до точек наблюдения велико по сравнению с длиной
волны. Поэтому запаздыванием поля пренебречь нельзя. В форму-
лах (2.118) сохраняются слагаемые, в которые входит расстояние
в первой степени:
/э/д.
На = i —-— sin 0 e~~ikr; Ee=i
ф 4лг 0
/э Ik2
—--------sin0e~lfcr. (2.120)
4 пг соеа
Составляющая Ег в дальней зоне изменяется обратно пропор-
ционально расстоянию в квадрате, поэтому она не должна учиты-
ваться, поскольку Ег<^Ев. Из формул (2.420) видно, что в даль-
ней зоне электрическое и магнитное поля находятся в фазе. Отно-
шение Ев к Ну равно волновому сопротивлению пространства
— = J/ЬЗ- . Зависимость Ев или от угла 0 на графике в по-
лярных координатах имеет форму восьмерки и называется диа-
граммой направленности диполя.
Электромагнитное поле в дальней .зоне (зоне излучения) явля-
ется полностью поперечным. Фронт волны, т. е. поверхность рав-
ных фаз, представляет собой сферу, удаляющуюся от диполя на
бесконечность со скоростью света.
Вектор Пойнтинга по величине оказывается равным
/2А3
32 л2 соеа г2
sin2 0 ir
и ориентирован в направлении возрастающих значений г. Это
означает, что энергия вибратором излучается.
Мощность излучения диполя определяется интегрированием
вектора Пойнтинга по поверхности сферы радиусом г:
1 /э I2 /2 k3 И 2ил
Р£ = j Пг ds = ——-------- f f sin30 d6 dtp.
s 32 л2 coea e=o q>=o
n
Ho J sin30J0 = 4/3, поэтому интегрирование приводит к выра-
е=о
жению
70
'NataHausigk
знание без границ * *
где
1/ Ра
= ~fi Еа (kl)*.
ОЛ
(2.121).
Таким образом, излучаемая мощность, отнесенная к квадрату
эффективного значения тока, определяет собой сопротивление из-
лучения Rs диполя, которое пропорционально квадрату длины ди-
поля и обратно пропорционально квадрату длины волны.
2.11. Поле сферического излучателя
В качестве другого примера электромагнитного поля в сфери-
ческой системе координат рассмотрим сферический излучатель.
Пусть объемное распределение стороннего электрического тока
определяется формулой
/е (г, 0, <р) = б (г—a) aPn}EOS-) , (2.122)
д О
т. е. сторонний ток задается в виде бесконечно тонкого сфериче-
ского слоя радиусом а. Поверхностная плотность этого тока /эв
от азимутального угла не зависит (т = 0). Зависимость плотности
тока от меридионального угла задается производной по 0 функции
Лежандра.
Подставив выражение (2.122) в (2.108) и (2.111) и учитывая
условия ортогональности азимутальных и меридиональных функ-
ций
2гЛ /mm» j / 10 при т Ф 0,
С eim4> d ф = 1
<р'=о (2л при т = 0;
" дРп, (COS 6') dPn(COS0') . Q, ,Q, .
B'lo ae' Ж
( 0 при n =£n,
= | 2n(n 4- 1) ,
I ---!—- при n — n,
( 2n-H
получим
F2o = -# ^е-7-[афп(М1; ^" = 0. (2.123)
0)6 a Oa
Используя теперь выражения (2.106), (2.107) и (2.113), найдем
составляющие электромагнитного поля заданного стороннего тока
в области г>о:
71
Er = —J9e ~ [a i|?n (Ml«(« + 1) X
coe a da
XPn (cos 6)—^2) (kr);
r
c ka r3 d r , /r dPn (cos 6)
£e =----~ 4 — [а Фп (*a)] —n'--J
сое a da dv
H„ = ika Je ~y tаф„(&>)) X
да
X aPnJC°Se) (kr).
Таким образом, электромагнитное поле сферического излуча-
теля представляет собой единственную пространственную гармо-
нику электрической волны (Нг = 0) n-го порядка. При n = 0; т = 0
поле тождественно равно нулю, поскольку Po(cos0) = l. Это зна-
чит, что невозможно создать сферический излучатель, равномерно
(изотропно) излучающий по всем направлениям.
Для первой пространственной гармоники (n= 1)
д г , ,, ,, . , , cos ka sin ka
—- [а ф, (te)] = sin ka H— --------------—— ;
da ka (ka)2
t(2) x • e~ikr e~ikr
(kr) I {kr)i kr ,
gpi(c°sQ)=_sine.
ae
(2.125)
Поэтому напряженность, например, .магнитного поля излучате-
ля определяется формулой
Н „ = Jg I ka sin ka 4- cos ka
L ka
sin ka 1 . o p
------ SinG -_________r
(kr)2
—Ikr . e— ikr'
~kr~.
. (2.126)
Эта формула совпадет с выражением для /7Ф в (2.118) при
ka-^Q, если положить 73z=2no7ae и 1=а.
Следовательно, поле бесконечно малого сферического излуча-
теля с пространственной гармоникой первого порядка есть поле
дипольного излучателя, длина которого равна радиусу сферы.
Для второй пространственной гармоники
г»
— [аф2(/га)] = —cos^a-]-
да
^(kr) = i^
дР2 (cos 6)
ае
3 sin Ад , 6 cos Ад [6 sin ka
(ka)2 (ka)2
. e-ikr
1 kr '
ka
p—ikr
----— sin 20.
4
(2.127)
72
^alallaus^!.
знание без границ ’ *
Напряженность магнитного поля излучателя, таким образом,
определяется более сложной формулой:
ЯгЭ Г , 1 ,0-4. ,6 COS kd 6 sin kd 1 • «л
a, = Je — ka cos ka 4- 3 sin ka -4---------------sin 20 x
Ф L ka (ka)2 J
[q e—ikr q — ikr о — ikr 1
+4wr-4 M- <2-128)
В отличие от (2.126) в выражении (2.128) имеется слагаемое,
меняющееся обратно пропорционально |расстоянию в третьей сте-
пени. Это поле так называемого квадруполя, который характерен
тем, что возбуждающий ток в северном полушарии сферического
излучателя противоположен по знаку току в южном полушарии.
Меридиональная диаграмма направленности квадруполя носит
двухлепестковый характер (в
пределах угла от 0 до 180°).
Сферические излучатели с
пространственной гармоникой
более высокого порядка (муль-
типоли) создают еще более
сложные поля, и их диаграммы
направленности носят многоле-
пестковый характер. На рис. 2.7
приводятся графики производ-
ной по @ функции Лежандра,
которая и определяет меридио-
нальные диаграммы направ-
ленности мультипольных излу-
чателей. Заметим, что названия
«квадруполь» и «мультиполь»
принято относить лишь к сфе-
рическим излучателям беско-
нечно малого размера, т. е.
при а->0.
Рис. 2.7. Диаграммы направленности
мультипольных излучателей
Глава третья
Основные принципы
в теории электромагнитного поля
После того как рассмотрены вопросы возбуждения электро-
магнитных волн заданными источниками в неограниченном про-
странстве и перед тем как перейти к рассмотрению более слож-
ных случаев возбуждения электромагнитных волн при наличии
возмущающих тел и границ раздела, необходимо установить об-
щие теоремы и принципы в теории электромагнитного поля.
73
Основной теоремой, характеризующей энергетические соотно-
шения электромагнитного поля, является теорема Умова—Пойн-
тинга, вывод и толкование которой даны в гл. 1 книги. В этой
главе специально рассматривается уже использовавшийся по су-
ществу в гл. 2 принцип излучения на бесконечности, который по-
зволяет выбирать из всего многообразия возможных решений
уравнений Максвелла решения, соответствующие физической по-
становке задачи.
Затем устанавливается теорема единственности для внешних и
внутренних граничных задач электродинамики. Эта теорема не
допускает произвола в получении и толковании решений конкрет-
ных задач и позволяет устанавливать истинность тех или иных ре-
шений.
Далее, для случая изотропной среды выводится лемма Лорен-
ца, из которой затем следуют теоремы эквивалентности и взаим-
ности. Теорема эквивалентности приводится в компактном виде и
позволяет при помощи вспомогательных электрических и магнит-
ных источников находить электромагнитные поля по заданным
плотностям объемного и поверхностного распределений токов.
Теорема взаимности формулируется для электрических и магнит-
ных токов и позволяет определять поля при взаимной замене то-
чек источников и наблюдения поля. Приводится применение этой
теоремы для вычисления ЭДС и МДС, наводимых в элементарных
вибраторах. После этого вводится принцип двойственности в тео-
рии электромагнитного поля и как пример использования этого
принципа определяется поле магнитного диполя в зоне излучения.
Наконец, даются понятия об электрическом и магнитном токах
поляризации и указывается способ вычисления полей по токам
поляризации в граничных задачах электродинамики.
Главой 3 завершается построение общих методов решения за-
дач о возбуждении электромагнитных полей в различных обла-
стях. Конкретные применения этих методов будут приводиться в
последующих главах книги.
3.1. Условия излучения на бесконечности
Рассмотренные в гл. 2 решения неоднородных уравнений
Максвелла для неограниченного пространства представляют на
больших расстояниях от возбуждающих источников бегущие вол-
ны, удаляющиеся на бесконечность.
Решения в таком виде были получены в результате разложения
искомой функции в интеграл Фурье и выбора на плоскости комп-
лексного переменного такого пути интегрирования, который при-
водит к сходящимся интегралам.
Так была получена функция Грина неограниченного простран-
ства, которая в свернутом виде имеет выражение
G=-±~------- (3.1)
4л г ' 7
74
^alatiaus^il
знание без границ Ч *
и для всех точек пространства, кроме точки г = 0, удовлетворяет
уравнению
AG + ^G = 0.
Действительно, записав это уравнение в сферической системе
координат
1 д / 2 д 6 \ । 1 d/.odG\. 1 d2 G । п
-----( г2 ч--------------( Sin 6 ) Ч------------P k2 G = О
г2 дг \ дг / г2 sine 50 \ 5 0 J г2 sin2 0 д <р2
(3.2)
и подставив в него выражение (3.1), увидим, что (3.2) тождест-
венно удовлетворяется.
Вместе с тем простой подстановкой можно показать, что вто-
рое решение уравнения (3.2) представляется в виде
Однако второе решение волнового уравнения описывает волну,
бегущую из бесконечности к началу координат, и, поскольку на
бесконечности источников электромагнитного поля нет, не удов-
летворяет физической постановке задачи и должно быть отбро-
шено.
Принято говорить, что удаляющиеся от источников на беско-
нечность волны удовлетворяют условию излучения на бесконеч-
ности. Это условие для любой функции ф, удовлетворяющей вол-
новому уравнению, записывается в виде
Iimr( а +^ф) = °- (3-4)
Как видно, этому условию удовлетворяет решение (3.1) и не
удовлетворяет решение (3.3).
Таким образом, при решении граничных задач электродинами-
ки для безграничных областей необходимо всегда заботиться о
том, чтобы получаемое решение удовлетворяло условию излуче-
ния (3.4). Это условие впервые было сформулировано Зоммер-
фельдом.
3.2. Теорема единственности
Рассмотрим область пространства V, ограниченную замкнутой
поверхностью S. Предположим, что V содержит изотропную сре-
ду с параметрами еа, Ца, оэ, <тм, являющимися произвольными
функциями координат. Пусть в этой области заданы сторонние
электрические и магнитные токи, а на ограничивающей поверхно-
сти S — граничные условия, причем на части поверхности Si за-
дана тангенциальная составляющая напряженности электрическо-
го поля Et, а на оставшейся части поверхности S2 — тангенциаль-
ная составляющая напряженности магнитного поля Ht (рис. 3.4).
75
J
г
Покажем, что решение уравнений Максвелла
rotH= г шея Е + оэ Е-(-j3-CT; ]
rotE =—tcop.aH—омН—jMC J
(3.5)
удовлетворяет указанным гранич-
будет единственным, если оно
Рис. 3.1. К теореме един-
ственности для внутрен-
ней области
Рис. 3.2. К теореме един-
ственности для внешней
области
Доказательство теоремы единственности проведем, предпола-
гая, что существует два решения поставленной задачи: Ei, Н] и
Е2, Н2.
Образуем разность этих решений:
Е = ЕХ—Е2; Н = Нх—Н2. (3.6)
Очевидно, что разностное поле удовлетворяет однородным
уравнениям
rot Н = I соеа Е + <тэ Е;
rot Е — — i со(ла Н—ом Н
при нулевых граничных условиях на поверхности S £( = 0 на Si
Ht=Q на S2.
Применим к этому решению теорему Умова—Пойнтинга в
комплексной форме [см. (1.22)]:
J_J(_js.CT*E_jM.CT H*J dv== ----6gEE* dv +
+ — (o’EE*dv+ — + — f[E„ H*]nds. (1.22a)
2 у 2 v 2 s
Левая часть этого уравнения равна нулю, поскольку для раз-
ностного поля сторонние токи отсутствуют. Далее, в последнем
слагаемом правой части
[Е, Н*]п=[п, Е]Н* = [Н*, п]Е=0, на S,
т. е. последнее слагаемое в этом уравнении также равно нулю.
Это означает, что для разностного поля через поверхность S
76
^ataHausnk
знание без границ ч »
внутрь объема V энергия не поступает; вместе с тем внутри этого
объема энергия не генерируется. Следовательно, потери энергии
внутри рассматриваемой области должны быть равны нулю. По-
этому
-i-Ja3EE*du = 0; Н Н* dv=- 0. (3.7а)
Но тогда из теоремы Умова—Пойнтинга вытекает, что
(37б)
V ~ V
Здесь надо различать два случая. Пусть проводимость среды
не равна нулю, т. е. (либо <тМ;И=О). В этом случае из '(3.7а)
следует, что так как то повсюду в области V разностное
поле Е = 0. Но тогда из (3.76) также получим, что Н = 0 повсюду
в области V. Поэтому в этом случае решения уравнений Максвел-
ла El, Н] и Е2, Н2 будут идентичными. И, следовательно, зада-
нием граничных условий на поверхности S единственность реше-
ний уравнений Максвелла обеспечивается.
Во втором случае, когда оэ=0 и ом=0, выражения (3.7а) удов-
летворяются тождественно. Но теперь из уравнения (3.76) видно,
что разностное поле может отличаться от нуля и что полная сред-
няя энергия электрического поля равна полной средней энергии
магнитного поля. Это значит, что энергия разностного поля в ог-
раниченном объеме находится в колебательном состоянии. Как
будет видно из дальнейшего, свободные колебания внутри объем-
ных резонаторов без потерь наблюдаются на определенных (соб-
ственных) частотах.
Таким образом, при отсутствии потерь в среде единственность
решений в замкнутых областях имеет место только на частотах,
отличных от резонансных.
Теорема единственности остается верной и для внешней обла-
сти. Пусть рассматриваемая область V ограничена изнутри по-
верхностью S = Si + S2 с заданными выше граничными условиями,
а снаружи сферической поверхностью 2. Применим к разностно-
му полю опять теорему Умова—Пойнтинга (1.22), последнее сла-
гаемое в правой части которой будет состоять теперь из интегра-
ла по поверхности <S и интеграла по поверхности 2 (рис. 3.2). По-
лагая радиус поверхности 5 стремящимся к бесконечности, а сто-
ронние токи находящимися на конечном расстоянии от поверхно-
сти S, найдем, что составляющие электрического и магнитного по-
лей на поверхности 2 вследствие потерь энергии в среде умень-
шаются быстрее, чем 1/г. Следовательно, для разностного поля на
поверхности 2 справедлива оценка:
где М — конечная положительная величина; a — положительное
число.
77
Тогда
yJ[E, H*]nds<-^--^s4nr« = 2n-^-->0 при г->оо.
При этом принято во внимание, что разностное поле удовлет-
воряет принципу излучения на бесконечности, так как для прихо-
дящих из бесконечности волн в среде с потерями поле на поверх-
ности 2 с увеличением расстояния уменьшается медленнее, чем
1/г, и интегралом по поверхности 2 пренебречь нельзя.
Таким образом, доказательство теоремы единственности, при-
веденное для внутренней области, остается верным и для внеш-
ней области с потерями, ограниченной изнутри поверхностью S с
заданными граничными условиями.
Однако теорема единственности для внешней области остается
верной и для среды без потерь. Действительно, хотя в приведен-
ной выше оценке надо положить теперь а=0 и, следовательно,
получится конечное значение интеграла по поверхности 2 от век-
тора Пойнтинга, этот интеграл для расходящихся волн представ-
ляет собой энергию, вытекающую из объема V через поверхность
2. Поскольку внутри объема V источники для разностного поля
отсутствуют, этот интеграл должен быть равен нулю и, следова-
тельно, на поверхности 2 должно быть Е = 0 или Н = 0, а отсюда и
выражение (3.76) должно быть тождественным нулю, т. е. разно-
стное поле оказывается равным нулю всюду.
3.3. Лемма Лоренца
Выведем вспомогательное математическое соотношение, назы-
ваемое леммой Лоренца, которое имеет важное значение в гра-
ничных задачах электродинамики.
Пусть в изотропной среде с параметрами еа, Ца, о8, ом, являю-
щимися произвольными функциями координат, задано объемное
распределение сторонних электрических и магнитных токов ji8CT,
jiMCT. Поле Еь Нь возбуждаемое этими токами, удовлетворяет
уравнениям
rot Нг = i сое'а Еа -|- j19-CT; rot Ег = —i <ор'а Ht—j1MCT. (3.8)
Оставляя частоту колебаний со неизменной, зададим в той же
среде другое распределение сторонних токов ]2Э-СТ, ]2МСТ- Поле
Е2, Н2, возбуждаемое этими токами, удовлетворяет уравнениям:
rotH2=i(oe'aE2 + j23 CT; rotE2= — i<op'a Н2—j2M CT. (3.9)
А теперь умножим скалярно первое уравнение (3.8) на Е2, а
второе уравнение (3.9) на Ht и вычтем из первого второе. Тогда,
имея в виду векторное тождество
div [А, В] — В rot А—A rot В,
получим
—div[E2, HJ =iwe'aE1E2 + i<op,'aH1H2 + j19CTE2 + j2MCTH1. (3.10)
78
СПвЦИаЛЬНО ОЛП _
NafalLausiM
знание без ерениц * *
Далее умножим скалярно второе уравнение (3.8) на Н2, а пер-
вое уравнение (3.9) на Ei и вычтем из первого второе. Тогда
div[E1, Н2] = —i®e'aE1E2—(3.11)
При сложении (3.10) и (3.11) первое и второе слагаемые в пра-
вой части взаимно уничтожаются и получается соотношение
div[Ep Н2]—div[Е2, Hj-h^Ea + ja»"^-j2*CTЕх—h“CTH2. (3.12)
Это выражение представляет собой лемму Лоренца в диффе-
ренциальной форме. Интегрируем выражение (3.12) по объему V,
ограниченному поверхностью S. Пользуясь при этом теоремой
Гаусса—Остроградского, получим лемму Лоренца в интегральной
форме:
р[Е1( Н2]-[Е2, Hj]}nds = f(j19 CTE2 + j2M CTH1-j23 -E1-j1«-Ha)dv.
S V (3.13)
Эта лемма используется во многих задачах, в частности при
составлении .интегральных уравнений, определяющих распределе-
ние электрических токов, наводимых на проводящих телах. Ниже
с помощью леммы Лоренца выводятся теоремы эквивалентности
и взаимности.
3.4. Теорема эквивалентности
Требуется определить электромагнитное поле в области V,
ограниченной замкнутой поверхностью S (рис. 3.3). Пусть распре-
деление сторонних электрических и магнитных токов в области V
задано и пусть также известны тангенциальные составляющие на-
пряженности искомого электрического и магнитного поля на по-
верхности S. Эти условия оказываются до-
статочными по теореме единственности для
однозначного определения поля в области V.
Для нахождения искомого поля восполь-
зуемся леммой Лоренца (3.13), в которой
положим Е=Ец Н = НЬ искомым полем и в
СООТВеТСТВИИ С ЭТИМ jS-CT = j18.CT. jM.CT-jjM.CT,
заданным распределением возбуждающих ^ср
токов. А под Ев = Е2; пв=Н2 будем пони-
мать поле вспомогательного точечного электрического или магнит-
ного источника, расположенного в точке наблюдения искомого
поля р.
Примем в качестве вспомогательного источника электрический
диполь с единичным моментом тока М=1, совпадающий по на-
правлению с единичным вектором а. Таким образом, положим в
области V:
j2MCT = 0; V” = a6(p, р'),
(3.14а)
где б(р, р') — трехмерная дельта-функция.
79
Подставив (3.14а) в (3.13), найдем
аЕ(р) = J(j3-CTE|—j“-CTH|)dt> + |{[Е®, Н] —[Е, H3])nds, (3.15а)
v s
vji£ через Еэв, Нэв обозначено вспомогательное поле электрическо-
го диполя.
Если в точке р расположить магнитный диполь с единичным
моментом тока /м/=1, совпадающий по направлению с единичным
вектором а, то вместо (3.14а) нужно будет записать
j|-CT = 0; j“ CT = a6(p, р') (3.146)
и тогда из леммы (3.'13) получится выражение
aH(p) = J(j“CTHM_j9.cTEM)do+ щ[Е> н»] — [Е«, H])nds, (3.16а)
V S
где через Емв, Нмв обозначено вспомогательное поле магнитного
диполя.
Преобразуем выражения (3.15а) и (3.16а). Введем обозна-
чения:
J9 = [Н, n]; JM=[n, Е]. (3.17)
Тогда (3.15а) и (3.16а) представятся в виде
аЕ= f(j3-CTE3—jMCTH3)riv + |(J3E3— JMH3)ds; (3.156)
аН= y(jMCTH“—J3CTE“)dn+j(JMH« —J3E“)ds. (3.166)
v s
Таким образом, для определения поля в области V надо знать
распределение возбуждающих токов в этой области и распреде-
ление тангенциальных составляющих напряженности электриче-
ского и магнитного (искомого) полей на ограничивающей поверх-
ности S. Тангенциальные составляющие поля согласно выражени-
ям (3.17) могут рассматриваться как поверхностные плотности
электрических Ja и магнитных JM токов, распределенные на по-
верхности S.
В том случае, когда в области V объемное распределение воз-
буждающих токов отсутствует (J8CT = 0; JMCT=0), первые слагае-
мые в правой части выражений (3.15) и (3.16) выпадают и поле
в области V определяется только поверхностными интегралами,
т. е. поверхностными электрическими и магнитными токами. Но
поскольку поверхность S нами выбрана произвольной, очевидно,
что фактически поле в области V определяется объемными сто-
ронними электрическими и магнитными токами, распределенными
вне области V. В этом смысле поверхностные электрические и
магнитные токи, определяемые формулами (3.17), при определе-
нии поля в области V являются эквивалентными объемному рас-
пределению истинных возбуждающих токов вне области V.
Теорема эквивалентности впервые была установлена Лавом и
далее рассматривалась Щелкуновым, Котлером и др. [5]. Она гла-
сит: «поле в свободной от источников области V, ограниченной
80
для
’XalaUauStM
знание Сез границ * *
поверхностью S, может быть создано электрическими и магнитны-
ми токами, распределенными по этой поверхности, и в этом смыс-
ле действительные источники поля можно заменить «эквивалент-
ными» поверхностными токами».
Обратим теперь внимание на то, что по теореме единственно-
сти необходимо знать на поверхности S или только тангенциаль-
ную составляющую напряженности электрического поля, или
только тангенциальную составляющую напряженности магнитного
поля. Знание обеих величин не является необходимым. И действи-
тельно, при выборе вспомогательного поля Ев, Нв допускается не-
который произвол в смысле наложения на него граничных усло-
вий. Мы можем потребовать, чтобы поле вспомогательных источ-
ников удовлетворяло принципу излучения на бесконечности. Тогда
тангенциальные составляющие поля Ев и Нв на .поверхности S бу-
дут конечными и нам достаточно знать на поверхности S распре-
деление эквивалентных электрических и магнитных токов для од-
нозначного определения поля внутри 'поверхности. Но мы можем
также наложить на вспомогательное поле некоторое граничное
условие на рассматриваемой поверхности S. Если, скажем, потре-
бовать, чтобы тангенциальная составляющая напряженности вспо-
могательного электрического поля Ев на поверхности S удовлет-
воряла нулевым граничным условиям, то первое слагаемое в по-
верхностном интеграле формулы (3.15) и второе слагаемое в по-
верхностном интеграле формулы (3.16) выпадут и для однознач-
ного определения поля необходимо знать только поверхностный
магнитный ток (тангенциальную составляющую напряженности
электрического поля). И, наоборот, если наложить нулевое гранич-
ное условие на поверхности S на тангенциальную составляющую
напряженности магнитного поля Нв, то для однозначного опреде-
ления поля необходимо знать на поверхности только поверхност-
ный электрический ток, т. е. тангенциальную составляющую на-
пряженности искомого магнитного поля. Наложение того или ино-
го граничного условия зависит от постановки конкретной электро-
динамической задачи.
Отыскание вспомогательного электромагнитного поля Ев, Нв
является задачей не простой, особенно в том случае, когда среда,
заполняющая объем V, является неоднородной. Однако для одно-
родной среды и при наложении на вспомогательное поле условия
излучения на бесконечности выражения для вспомогательного по-
ля значительно упрощаются, так как это есть поле диполя в одно-
родной неограниченной среде. Для электрического диполя с еди-
ничным моментом тока согласно выражениям (1.29) имеем
Ев = —-—(£2aG + graddivaG); HB=rotaG, (3.18)
ttne'a
где G — функция Грина, определяемая формулой (3.1).
Подставив (3.18) в (3.156), получим
аЕ = [—-—(&2j3-CTaG + j3-CTgradQdiVoaG —
V i oie'a
81
—i (0£'a jM CT rot„ a G) dv + f —!— (kЕ 2 J3 * aG + J3 grad9 divQ a G—
S i we'a
— i coe'a JM rotQ a G) ds. (3.19)
Аналогично, если поле вспомогательного магнитного диполя с
единичным моментом тока представить в виде
Н“=—Ц-(^аО+grad divaG);
Itop а (3.20)
Ев = —rotaG,
то при подстановке этих выражений в (3.166) мы получим
аН = J —— (Jfe2 jM-CT aG 4- jM CT gradQ div, a G +
V l <0p'a
+ i top'a j3CT rot„ aG) dv + J —!— (k2 JM a G + JM gradQ divQ a G +
.S i cop.'a
+ io>p'a J3 rotg a G)ds'. (3.21)
В выражениях (3.19) и (3.21) индекс q указывает на то, что
операция дифференцирования производится по точкам источников
поля q, в то время как векторы Е и Н определяются в точках на-
блюдения поля р. Надо также помнить, что единичный вектор а
задан в точке р, а объемные и поверхностные токи — в точках q.
Замечая, что
J rot9 a G = a rotp J 6;
J gradg divQ a G = a gradp div,, JG,
где индекс p указывает на дифференцирование по точкам наблю-
дения поля, запишем выражения (3.19) и (3.21) в виде
Е = —-— (k2 А3 + grad div А3) — rot Ам;
i coe'a
, (3.22)
H =------(k2 Ам Ц- grad div AM) -f- rot A3;
i cop'a
A3=fp"Gdu+f J3 Gdv;
v s (3.23)
AM= J jM’CTGdw+f JM Gdv.
v s
Формулы (3.22) и (3.23) являются удобными для определения
поля по. заданному распределению источников. В этих формулах
функция Грина для неограниченного пространства входит в явном
виде. Однако трудности здесь, так же как и в формулах (3.15) и
(3.16), заключаются в том, что редко удается удачно задаться
распределением эквивалентных поверхностных токов на поверх-
ности S.
Пусть теперь область V ограничена изнутри поверхностью S,
а снаружи поверхностью 2 (рис. 3.4). Формулы (3.15) и (3.16)
82
NalattausfM
знание без гоании ’ w
остаются справедливыми, но к интегриро- \
ванию по поверхности S прибавляется в у I»Л -
этих формулах интегрирование по поверх- х/ ,—
ности 2. Предположим, что поверхность | ( Г
2 является сферической с бесконечно /
большим радиусом, а сторонние токи и \ v /
вспомогательные источники находятся на >/
конечном расстоянии от начала коорди- г
нат. Тогда искомое и вспомогательное по-
ля на поверхности Б окажутся попереч- Рис 3-4’ Определение поля
r j г вне поверхности о
ними и определяются выражениями к
Et-l/p(Ht, nJ на I;
г ь а
Ев(=1/^-а[Нв/, п] на £. (3.24)
г ь а
Таким образом, в (3.15) и (3.16) интеграл по поверхности 2 ока-
зывается равным нулю, так как
[Ев, H]n—[Е, Нв]п=[Н, П] }/’-ЕЛ[Нв, п]-
г ь а
~[НВ, п] 1А>[Н, п|^0.
г ь а
Следовательно, формулы (3.15) и (3.16), а также (3.22) и
(3.23) остаются верными и для внешних задач, т. е. для областей,
ограниченных изнутри.
3.5. Теорема взаимности
Рассмотрим изотропную среду с произвольно изменяющимися
в пространстве параметрами еа, р.а, оэ, ом. Зададим в объеме V
рассматриваемого пространства некоторое распределение сторон-
них электрических и магнитных токов j1acT, jiMCT. Возбуждаемое
этими токами поле обозначим через Еь Hb
Оставив частоту колебаний ® неизменной, зададим в той же
среде другое распределение сторонних токов: j2BCT, j2MCT. Возбуж-
даемое поле, соответствующее второму распределению токов, обо-
значим через Е2, Н2.
Сторонние токи и возбуждаемые ими поля связаны леммой
Лоренца (3.13).
Пусть поверхность S, ограничивающая рассматриваемый объем
V, является сферической с радиусом, стремящимся к бесконечно-
сти. Тогда в силу (3.24) поверхностный интеграл в (3.13) оказы-
вается равным нулю и из леммы Лоренца следует формулировка
теоремы взаимности:
f (ji3CTE2—]\мст Н2) dv = f (j2’ CT E1- V-ст HJ dv. (3.25)
V V
83
Яг
- -
Разъясним смысл теоремы взаимности на двух примерах.
Пусть магнитные токи отсутствуют: jiMCT = j2MCT = 0, а электриче-
ские токи являются токами диполей Герца. Тогда, обозначив че-
рез /8tli электрический момент первого диполя, а через /э212 элек-
трический момент второго диполя, запишем
!?-ст= к б (Д Р'); V-CT = 4Э 12б (q, q'),
где 6 — трехмерная дельта-функция.
При этом из выражения (3.25) получим
/1Ч1Е2 = ЛэкЕ1. (3.26а)
Но 1jE2=32 — ЭДС, наводимая вторым диполем в первом, а
I2E1 = 3J — ЭДС, наводимая первым диполем во втором.
Следовательно, выражение (3.26а) запишется так:
4э32=/2эЭл. (3.266)
Таким образом, произведение электрического тока в первом
вибраторе на наводимую в нем ЭДС вторым вибратором равно
произведению электрического тока во втором вибраторе на наво-
димую в нем ЭДС первым вибратором.
Пусть в другом примере с двумя диполями первый является
электрическим с моментом /®ili, а второй магнитным с моментом
/к212. Тогда опять, пользуясь 6-функцией, связывающей линейный
ток с его объемным распределением, из формулы (3.25) получим
(3.27а)
где 1jE2 = 32 — ЭДС, наводимая магнитным диполем в электриче-
ском, а 12Н1 = Л11 — МДС, наводимая электрическим диполем в
магнитном.
Выражение (3.27а), следовательно, можно записать так:
— /“ Mv (3.276)
Таким образом, произведение возбуждающего тока в электри-
ческом диполе на наводимую в нем ЭДС магнитным диполем
равно произведению возбуждающего тока в магнитном диполе на
наводимую в нем МДС электрическим диполем.
Теорема взаимности играет большую роль в теории цепей и,
в частности, в теории излучения и приема радиоволн.
Отметим, что теорема взаимности остается верной и для ани-
зотропных сред с симметричными тензорами диэлектрической и
магнитной проницаемостями. Но она теряет силу для гироэлек-
трических и гиромагнитных сред. На доказательстве этих утверж-
дений мы здесь останавливаться не будем.
3.6. Принцип двойственности
Пусть плоскость z=0 (рис. 4.1) будет плоскостью раздела
распределение сторонних электрических токов J3CT. Электромаг-
нитное поле Ei и Hi, создаваемое этими токами, подчиняется урав-
нениям Максвелла:
84
Яа1аКаи$Ж
знаниеСезараниц 'w
rot Hr = i coe'a Ej + j3-CT; rot Er = — i <D|i'a Hv (3.28)
Спрашивается, если вместо распределения электрических то-
ков j3 CT в рассматриваемом пространстве задать такое же распре-
деление сторонних магнитных токов jMCT, то каково будет электро-
магнитное поле Е2, Н2, создаваемое этими токами?
Электромагнитное поле Е2, Н2 подчиняется уравнениям:
rot Н2 — i we'a Е2; rotE2= — i<op'aH2—jMCT. (3.29)
Можно заметить, что если сделать перестановку возбуждаю-
щих токов
ja .СТ jM .ст
то будет справедлива перестановка возбуждаемого электромагнит-
ного поля:
ва —> Рл, Hj —»- Е2; Ej —> Н2,
так как при этом уравнения (3.28) перейдут в уравнения (3.29).
Справедлива и обратная перестановка:
при j3CT-<--jM CT
получается
* Ца> ^<-£2, Ef < Н2
Таким образом, принцип двойственности, сводящийся к взаи-
мозаменяемости полей, позволяет найти решение задачи для маг-
нитных сторонних токов, если решена соответствующая задача
для электрических сторонних токов, и наоборот. Так, например,
поле электрического диполя с моментом тока /°2/ в зоне излучения
определяется формулами
/э ik /э ik2
Hw = i——sin Be~ikr; Ee = i—г--------sinGe-^. (3.30)
4л г 4лг we'a
Если заменить электрический диполь магнитным диполем с мо-
ментом /м2/ с той же ориентацией в пространстве, то согласно
принципу двойственности его поле в зоне излучения определится
формулами
Г- • Л А
Е ф = — i------sin 0 e~lkr;
4 л г
/“ Ik2
Не = i-----------sin 0 e~ikr. (З.ЗП
4лгац'а
Заметим, что принцип двойственности может быть применен и
при решении граничных задач, если в заданных граничных усло-
виях на поверхности раздела сред возможна перестановка
Е^Н,, Н1->Е2.
8&
3.7. Электрические и магнитные токи поляризации
Во многих случаях, в частности при нахождении электро-
магнитных полей в неоднородных средах, полезно вводить
понятия об электрических и магнитных токах поляризации. Это
связано с тем, что токи поляризации могут рассматриваться при
определении полей как сторонние токи, расположенные в одно-
родном пространстве.
Электромагнитное поле в неоднородной непрерывной среде с
диэлектрической и магнитной проницаемостями е'а, ц'а, возбуж-
даемое сторонними источниками, подчиняется уравнениям Макс-
велла:
rotH = i <ое'а Е + ]э,ст;
rotE = — i(op'aH—jMCT. (3.32)
Прибавляя и отнимая в правой части уравнений (3.32) вели-
чины icoe'aiE и «op.'aiH, где e'ai, p'ai—произвольно выбранные
постоянные диэлектрическая и магнитная проницаемости, можно
уравнения Максвелла для неоднородных сред записать в виде
rotH=i(oe'aiE + j^oji + j3«;
rotE= — icop'a, Н—- jMCT, (3.33)
где ]эпол=1(о(е/а—в'а,)Е'—электрический ток поляризации; )мПол =
^/©(р'а—ц'а, )Н — магнитный ток поляризации.
Таким образом, введением токов поляризации неоднородная
среда сводится к однородной.
К решению уравнений (3.33) можно теперь применить все те
методы и приемы, которые приводились нами при решении задач
о возбуждении электромагнитных волн в однородных средах.
Пусть, например, тело V с диэлектрической и магнитной прони-
цаемостями е'а, ц'а, являющимися непрерывными произвольными
функциями координат, окружено неограниченной средой с посто-
янными ео, цо- Тогда решение уравнений (3.33) запишется через
векторные потенциалы и функцию Грина для свободного про-
странства :
Е = —i соро Аэ --!— grad div Аэ—rot Ам ;
i we0
Н = —i о)е0 Ам -|-?— grad div Ам + rot Аэ, (3.34)
i <оро
где
аэ= f (Гст+)’ол)°^ Ам=J 0м Ст+1“ол)с^;
При этом токи поляризации, занимающие объем тела V:
1'пол = ‘ ® (£'а — ео) Е, ]'пол = » ® (Н'а — Но) Н,
86
^atattausK^
знание без границ ч w
представляют собой вполне реальные токи, связанные с поляриза-
цией магнитодиэлектрика в свободном пространстве.
Конечно, введением токов поляризации граничная задача о воз-
буждении рассматриваемого тела V нисколько не облегчается, по-
скольку токи поляризации зависят от искомого электромагнитного
поля Ей Н. Однако эта задача может быть просто сведена, на-
пример, к интегральному уравнению относительно неизвестных то-
ков поляризации, после чего по формулам (3.34) может быть оп-
ределено полное электромагнитное поле в любой точке простран-
ства.
Глава четвертая
Возбуждение плоской границы раздела
двух сред
В настоящей главе демонстрируется применение рассмотрен-
ных ранее общих положений к решению одной из наиболее прос-
тых граничных задач возбуждения — задачи о возбуждении беско-
нечной плоскости. Решение этой задачи, кроме 'методического зна-
чения, имеет и большое прикладное значение, ибо часто реальные
системы близки по форме к плоскости большой протяженности по
сравнению с длиной волны.
В качестве сторонних источников рассмотрены нить тока и
вертикальный диполь. Более сложные виды источников можно ис-
следовать с помощью тех же методов. .В задаче о возбуждении
плоской границы раздела двух сред нитью тока акцент сделан на
анализе поля в дальней зоне. Излагается суть метода перевала и
показывается, как этот метод применяется в данной задаче. Об-
суждаются все основные явления, происходящие при падении
плоской волны на плоскую границу раздела двух сред. Особое
внимание уделено приближенным граничным условиям Леонтови-
ча.
Детальный анализ ближнего поля проводится в задаче Зом-
мерфельда о вертикальном диполе над плоскостью с конечной про-
водимостью. Наряду с результатами, ставшими уже классически-
ми, дана современная точка зрения по ряду вопросов, связанных с
решением этой задачи.
4.1. Возбуждение плоской границы раздела бесконечной нитью
электрического (магнитного) тока. Общее решение
Пусть плоскость z=0 (рис. 4.1) будет плоскостью раздела
двух полубесконечных сред. Среда 1, расположенная выше грани-
цы раздела, имеет параметры eai, jiai, оь а среда 2, лежащая ни-
же плоскости 2=0, — параметры еаг, Ца2, Ог- В среде 1 через точку
q параллельно оси у проходит нить стороннего тока, электрическо-
87
то или магнитного. Будем считать, что ток вдоль всей нити имеет
одни и те же амплитуду и фазу. Аналитически объемная плот-
ность такого линейного 'стороннего тока задается в виде
jy = Iyb(x—x0)8(z—z0). (4.1)
Чтобы решить поставленную задачу, представим полное поле
в среде 1 'в виде суммы падающего (первичного) и отраженного
z (вторичного) поля. Падающее поле
п <№П,1В) есть поле заданного стороннего тока
(4.1) в однородной среде (при от-
сутствии границы раздела). Вектор-
ный потенциал падающего поля мож-
*• но определить по формуле (2.7а).
рл,евг,зг ' ' Если использовать выражение для дву-
мерной функции Грина (2.14а), то век-
„ . , „ торный потенциал в нашем случае еле-
Рис. 4.1. Нить тока около плос- л л J
кости раздела двух сред Дуст записать так:
А™* (х, 2) = А. 7 . е->х.(х-хо)±г>^мг-го) d
4л Ух2 * 4 *!—A2t
Здесь через kt обозначено волновое число первой среды, равное
«и Ve'a, р'а,; знак + берется для z<z0, а знак— для zl>z0.
Функция '(4.2), как было показано в § 2.1, является решением
неоднородного скалярного волнового уравнения
~гг+Inr+л" = - 6 6 (г-4)-
77АГ (J Z
Можно сказать, что векторный потенциал в форме (4.2) пред-
ставлен в виде бесконечного непрерывного спектра неоднородных
плоских волн, распространяющихся в обе стороны от источника
вдоль оси z при |xi|<A;i и затухающих экспоненциально в этом
направлении при |xi|>&i. Выражение (4.2) можно трактовать и
как бесконечный спектр быстрых (для |xi|<&i) и медленных
(для |xi| >ki) волн, бегущих от источника в направлении оси х.
Отметим, что амплитуды всех пространственных гармоник нам из-
вестны и равны
ly J
4 л V Х2Х — А2Х
Поле, отраженное от границы раздела, можно рассматривать
как поле эквивалентных поверхностных токов, наведенных на
граничной плоскости z=0. Это поле соответствует интегралу по
поверхности S (в данном случае плоскости z=0) в формулах
(3.156) ,и (3.166). В соответствии с этим векторный потенциал от-
раженного поля можно представить в виде
/ 'г 1И;(х—х0)—Гхг,—A1, z
4 (х, z) = -±- f gl (Х]) ------ =7--- ------d xv (4.3)
4 л — <X> l/x2! — k\
88
ftataHauslM
знание без границ **
В 'выражении (4.3) учтено, что точка .наблюдения располагает-
>ся выше точки истоков (эквивалентных токов), лежащей на
'плоскости z=0. Векторный потенциал представлен в виде беско-
нечного непрерывного спектра |пространственных гармоник, рас-
пространяющихся или затухающих вверх от плоскости раздела.
Безразмерные комплексные амплитуды этих гармоник gi(xi) нам
неизвестны, поскольку неизвестно распределение эквивалентных
поверхностных токов на плоскости z=0. Можно сказать, что от-
раженное поле по аналогии с падающим записано в виде интег-
рала Фурье, но спектральная плотность отраженного поля g{ (xi)
неизвестна. Нетрудно убедиться, что выражение (4,3) удовлетво-
ряет однородному волновому уравнению, так как верхнее полу-
пространство z>0 не содержит источников отраженного поля —
эквивалентных поверхностных токов.
Поле в среде 2 мы будем называть преломленным. Поскольку
в среде 2 нет сторонних источников, преломленное поле обязано
своим появлением только эквивалентным поверхностным токам,,
наведенным на плоскости раздела z=0. Следовательно, вектор-
ный потенциал преломленного поля .можно представить в такой
же форме, как и векторный потенциал отраженного поля (4.3), но.
с другой неизвестной спектральной плотностью g2(xi). Необходи-
мо учесть также, что в среде 2 волновое число равно /г2=
=<о /е'а1р'а2 . Таким образом,
1 Т i X, (х—х„)+ Йи2,—fc2» 2
Л^Р(х’ (4-4)
4 л —оо у х2г — /г22
Выражение (4.4) удовлетворяет однородному волновому урав-
нению ДЛу4-^Му=0.
Чтобы определить электромагнитное поле в средах 1 и 2, не-
обходимо найти неизвестные функции g\ (xi) и g2(x.2) через гра-
ничные условия на плоскости z=0. Сделаем это раздельно для.
нитей магнитного и электрического стороннего тока.
Рассмотрим прежде нить магнитного тока 1У—1МУ. Тогда Ау—
=ЛМУ и составляющие напряженности электрического и магнит-
ного поля в соответствии с формулами (1.29) запишутся следую-
щим образом:
Нх = 0; Ну= —iwE'a Я2 = 0;
Граничные условия для тангенциальных составляющих магнит-
ного поля (1.136) на поверхности раздела сред 1 и 2 будут вы-
глядеть так:
8а1(^ пад + ^'отр) = е;л“ пр при 2 = 0, (4.5а)
а граничные условия для тангенциальных составляющих электри-
ческого поля (1.146) примут следующую форму:
89
_а_(дм.пад + лм.°ТР)=_^2_ при 2 = 0. (4.56)
дг дг
Подставив (4.2), (4.3) и (4.4) в (4.5а) и (4.56) и учитывая, что
в (4.2) перед радикалом надо взять знак +, ибо z<z0, получаем
— Й
4л —сю
е-Гха,-*а, Z0 j
°'- +е'-
dxx =
Z” " ->х, (х-х0)
= -7Т. jе at (Х1) ~ -1/— .2 ^Х1’ (4.6а)
4л —оо У X2j — й %
f М оо
—J e-i х, (z-x«) [ е_ Z. _g« (X1)] dx =
4л — оо
]М ОО
— f (*1) £~iKi {Х~Х°} d
4л —о»
(4.66)
Приравняв спектральные плотности в (4.6а) и (4.66), т. е. вы-
полнив обратное преобразование Фурье, получим два соотношения:
e-rKll_ft.1Zo +g„(Xi)
е'аг Ух2х — Л2Х
еа1 ~\/ Х2Х — £22
g“ (xi);
fc!’2»-gM(X1)=^(x1),
которые являются системой функциональных уравнений
тельно giM(xi) и g,2M(xi). Решив эту систему, найдем
gn (XJ = 6'а2 *81 ~~e'al ~ е- ^и*,-**, г„ .
' е'а2 Vx2i — k\ + e'ai У*2! —
fx i = 2e'aiygr^,-^,-h.,zt
2 1 е'ахУх2! — A22 + е'а2Ух21 — k\
ОТНОСИ-
(4.7)
(4.8)
После подстановки (4.7) в (4.3) и (4.8) в (4.4) будем иметь
дм.отр, . ? е'аг Ух21 —Л21 —е'а1Ух2! —fe22
У 4л _J е,а2 ух2х _ + е-а1 у^Г-Z. Х
—i и, (х—х0)_ 1/хг,—fca, (z+z0)
X ----- J
/м
Л"-Пр(х, 2) = -^ , ,________ ,_____________ Z4
2л е'а2 У х21 - k\ + е'а1У х2х - k\
х e~i м. <*-*,)+ г- г„ d (4 10)
Итак, формулы (4.2), (4.9) и (4.10) позволяют найти полное
электромагнитное поле как в среде 1, так и >в среде 2. Найденное
нами решение является единственным, так как оно удовлетворяет
всем условиям теоремы единственности. Действительно, выраже-
ния (4.2), (4.9) и (4.10) удовлетворяют волновому уравнению
90
NataHauswli
знание без ераниц **
(неоднородному или однородному), полученному из уравнений
Максвелла, удовлетворяют условию излучения на бесконечности
за счет правильного выбора знака перед радикалом
в показателе экспоненты и удовлетворяют граничным условиям
на плоскости, разделяющей среды.
Остановимся на важном частном случае рассматриваемой
задачи, когда о2=оо, т. е. среда 2 является идеальным электри-
ческим проводником. В этом случае е'аг ——i°° и
(х, г) = A J .
4л —ОО V Х“х
Л” пр(х, 2) = 0.
Следовательно, электромагнитное поле в среду 2 не проникает,,
а в среде I отраженное поле описывается выражением, подобным
выражению для падающего поля (4.2). Можно считать, что отра-
женное поле создается фиктивным источником в виде нити маг-
нитного тока, расположенной под плоскостью 2=0 на расстоянии
г0 от нее (рис. 4.2). Этот фиктивный источник имеет такую же
величину и направление тока, как и
вается зеркальным изображением
последнего. Таким образом, идеаль-
но проводящую плоскость можно за-
менить зеркальным изображением
истинного источника; при этом поле
в верхнем полупространстве не из-
менится. Подобный способ учета от-
ражающего действия некоторых по-
верхностей называется методом зер-
кальных изображений. В наиболее
простом виде он применяется в слу-
чае бесконечной идеально проводя-
щей плоскости. Легко видеть, что
при ог = сю на поверхности раздела
тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля и
нормальная составляющая напряженности электрического поля
удваиваются:
77'умм = 2Я™д; £румм = 2£™д при 2=0,
а тангенциальная составляющая напряженности электрического
поля обращается в нуль:
£румм = 0 при 2 = 0.
Если нить стороннего магнитного тока задана на поверхности
плоского идеального проводника (zq=0), to суммарное поле во
всех точках верхнего полупространства равно удвоенному падаю-
91
dxj;
истинный источник, и назы-
Z
Ч(хо7о)
Истинный
источник
7al7al7l
'77/7777,
77777777
X
Зеркальный
__о источник
7/(ХОз~2-о)
Рис. 4.2. Зеркальное изображе-
ние источника в идеально про-
водящей плоскости
щему полю, а векторный потенциал суммарного поля определяет-
ся выражением
<сумм(х, г)
/м °? чЩх—х„)—Ги2,—fc2t г
У i g_______________________
2 л—оо Т/х21 — k\
Тангенциальная составляющая напряженности электрического
поля на поверхности идеального проводника, определяемая вы-
ражением
гМ оо
£сумм =-------у уе_,. Х1 {х_Хв} dXi = _;м g ,
2л —оо
всюду равна нулю, .за исключением точки х=хо, где она обраща-
ется в бесконечность. Интеграл, взятый от обеих частей предыду-
щего .выражения вдоль оси х (вдоль электрической силовой ли-
нии), дает напряжение между краями бесконечно узкой цели на
поверхности проводника, образовавшейся после .наложения нити
магнитного тока
f £'yMMdx = /” =(Л
Действительно, если .в плоском бесконечно тонком идеально
проводящем экране прорезать бесконечно узкую щель и к краям
щели приложить напряжение U, то структура электромагнитного
поля над экраном и на поверхности экрана будет точно такой
же, как и структура поля, создаваемого нитью магнитного тока,
лежащей на экране. Следовательно, такая щель является физиче-
ской моделью стороннего источника с магнитным током. Нетруд-
но видеть, что щель конечной ширины эквивалентна ленте маг-
нитного тока, лежащей на .поверхности идеального проводника и
имеющей ту же .ширину,-что и щель. Таким образом, введение в
уравнения Максвелла фиктивных магнитных токов оправдывает-
ся возможностью использования нх при рассмотрении реальных
источников в виде щелей, прорезанных в металлической поверх-
ности.
Рассмотрим теперь поле нити электрического тока 1У—13У, воз-
буждающей плоскую границу раздела двух чред. Полагая Ау=
—А3У, запишем согласно формулам '(1.29) составляющие поля:
Я,= 0; Я2=^;
х дг дх
Ех=0; Еу=—£^=0.
Граничные условия для тангенциальных составляющих маг-
нитного и электрического полей будут соответственно иметь вид
5Лэ-пад cmP-otp а^-нр
дг дг дг ' (4.11)
^(ДЭ/аД + ^ОТР) = Раг ^ПР-
92
^lalaUausiik
знание Вез границ
Подставив (4.2), (4.3) и (4.4) в (4.11) .и выполнив обратное
преобразование Фурье по хь получим систему двух функциональ-
ных уравнений относительно спектральных плотностей g3i(xi) и
ёэ2 (xi):
2° + gf (хх) = (xj;
Pai
^1'^Г‘г°-^(х1)=^(х1),
решив которую, найдем
gU (X1) == H'a2 УX2! — — P'alVA ~ #2 £- Vr.\-k\ z„ , (4.12)
' 1 Р'аг V *2i — k\ + H'aiV x2i — k22
g32 (xx) = e~ /x,‘~hS Z°—. (4.13)
P'ai V'A — k\ + p'a2 У’Л —
Векторные потенциалы отраженного и преломленного полей
равны:
ДЭ.отр (Y А — Т P'az Vx2l — k\ — p'ai Ух2х — k22 у
v ’ 4л_£р'а2Ух21 —Л^ + р'ахУх^ —й22
g—i х, (х—х„)— Ух2,—Л2, (z |-z0)
Лэпр(х г) — Iy (_____________ ,иД
у е— i х, (х—х0)+ Ух2,- №, г— Ух2,—fc2, z0
Если среда 2 является идеально проводящей (02 = 00), то е'га»
«—too; k2iX—i<x>. Тогда формулы (4.14) и (4.15) примут вид
дгтр(*. *)=
13у 7 е~1 х‘ (х~х^~ Ух1,—k\ (z+z0)
4л —оо У Х2х — k2!
А3^(х, 2) = о.
Поле в среду 2 не проникает, а в среде 1 полное поле можно
представить как сумму полей истинного источника и .зеркального
источника, лежащего под граничной плоскостью на расстоянии zo
от нее. Амплитуды токов истинного и зеркального источников оди-
наковы, а фазы отличаются на л. Это обстоятельство приводит к
тому, что при расположении нити электрического тока на поверх-
ности идеального проводника поле всюду обращается в нуль.
Заметим, что если представить себе среду 2 как идеально про-
водящую магнитную поверхность: ом2=оо; р,'аг =—/оо, то зеркаль-
ное изображение нити электрического тока будет уже синфазным.
Поле в верхнем полупространстве можно найти, зная поле нити
магнитного тока над плоским идеальным электрическим провод-
93
ником, если в соответствии с принципом двойственности (см. §3.6)
произвести замены:
Я”
Ег-^Нэг\ еа,-> —Ца,;
7м , _7Э
Здесь индексами «м» и «э» отмечены составляющие поля, воз-
буждаемые нитями магнитного и электрического тока соответст-
венно.
4.2. Применение метода перевала к определению поля нити тока
над плоскостью в зоне излучения
Определим электромагнитное поле нити тока, лежащей над
плоской границей .раздела, в зоне излучения, т. е. при большом
удалении точки наблюдения р(х, г) от нити. Для упрощения рас-
суждений будем считать, что среда 1 не имеет потерь (oi=0).
Параметры чреды 2 могут быть любыми. Вида тока, текущего по
нити (электрический или магнитный), пока 'конкретизировать не
будем.
Наша задача будет состоять в том, чтобы найти более простые
выражения для векторных потенциалов падающего, отраженного
и преломленного поля в зоне излучения.
Обратимся к выражению (4.2), представляющему в интеграль-
ной форме векторный потенциал падающего поля. На плоскости
комплексного переменного х1 путь интегрирования проходит вдоль
вещественной оси от —оо до +оо, причем в процессе интегрирова-
ния необходимо миновать точки ветвления подынтегральной функ-
ции xi=—k\ и Х1=^1. Эти точки ветвления следует обойти по по-
луокружностям бесконечно малого радиуса так, чтобы точка xi =
=—k} оказалась выше контура интегрирования, а точка xi=&i—
ниже контура. Для обоснования этого факта надо предположить,
что среда 1 имеет исчезающие малые потери о,->-0. Тогда волно-
вое ЧИСЛО1
^ = <0 1/4, Ра, 1— =<о]Леа1ца, ! + X
будет иметь исчезающе малую отрицательную мнимую часть и
точка xi = ^i будет лежать ниже вещественной оси, а точка xi =
= —k}— выше нее. Поскольку мы желаем провести контур интег-
рирования так, чтобы он оставался верным как при наличии по-
терь в среде 1, так и при отсутствии их, этот контур должен вы-
глядеть так, как показано на рис. 4.3.
Введем полярную систему координат г, й (рис. 4.4) и сделаем
замену переменных xi=fciSinT. При отображении контура интег-
94
NalatiausfMi
знание без границ ' *
рирования на плоскости Xi на соответствующий контур на плоско-
сти т надо пользоваться 'выражением
ЗТ / л/ "1/ л/2 \
т = arcsin -т— = -=— i In ( ——---------— )• (4.16)
У многозначной функции (4.16) выбрана такая ветвь, чтобы
сходимость интеграла происходила при kir-+oo. Заметим, что в со-
ответствии с выбором контура интегрирования на плоскости xi
следует при Х|-»—ki полагать —k{=
Рис. 4.3. Контур интегрирования в Рис. 4.4. Система координат для вы-
формуле (4.2) числения отраженного поля
Таким образом, с учетом сделанных замен выражение (4.2)
примет вид
Л™Д(Г, fl) = A_ \ e-ife.rcos(T-e)dT_ (4.17)
4ш л
т=------2" — >"
Контур интегрирования 1 показан на рис. 4.5. Ввиду того что
подынтегральная функция не имеет полюсов, этот первоначальный
контур можно деформировать произвольным образом, лишь бы
Рис. 4.5. Контуры инте-
грирования ® формуле
(4.17)
95
«I"
1 гири этом выполнялось условие излучения на бесконечности, т. е.
условие сходимости интеграла (4.17) при kir-^-oo. Для обеспече-
ния этого условия необходимо, чтобы выполнялось неравенство
Jmcos(t—б)<0. Имея в виду, что x=Rex-|-iZm х, предыдущее не-
равенство можно записать в таком виде: sin (Rex—fl)sh(/mr) >
>0. Отсюда следует, что .в верхней полуплоскости (7тх>0) до-
пустимыми значениями Rex являются &<Rex<n+6, а в нижней
полуплоскости (7/пхСО) такими значениями должны быть &—л<
<Rex<?(*. В силу периодичности 'функции cos(x-—б) областями
допустимых значений Rex будут также области 2nn+6<Rex<
<л(2п + 1)+б при /тх>0 и области б + л(2п—1) <Rex<6+2nn
гири /тт<0, где п — любое целое число, положительное или отри-
цательное. На рис. 4.5 для случая 6=0 заштрихованные области
соответствуют тем участкам плоскости, по которым может прохо-
дить контур интегрирования в (4.17) при деформации контура 1.
Для различных значений угла наблюдения — этн
области будут смещаться вправо или влево; при этом контур 1
всегда будет находиться в области допустимых значений Rex.
Для вычисления интеграла (4.17) воспользуемся методом пере-
вала, который представляет собой метод приближенной оценки ин-
тегралов вида
/ (р) — j <р (и.1) йс") dw (4.18)
с
при больших значениях положительного параметра р. Функции
ф(цу) и f(w) являются аналитическими на контуре С. Интегралы
подобного вида часто встречаются в задачах электродинамики,
когда возникает необходимость определить поле на большом уда-
лении от источника или отражающей поверхности. Мы не будем
останавливаться на строгом математическом обосновании метода
перевала, предполагая, что читатель при желании может обра-
титься к соответствующей литературе, например [6]. Наша задача
будет заключаться в том, чтобы продемонстрировать применение
этого метода. Основная идея метода перевала состоит в выборе
такого контура интегрирования, при котором основное значение
интеграла определяется сравнительно небольшим участком конту-
ра.
Обозначив в соответствии с (4.18) &ir=p; —icos(x—6) =
— f(w) = U(w) +iV(w), приведем (4.17) к виду
дпаД=={у ^ери (W)+ipv (w)dWf (4.19)
4лГ с
где С — любой контур, удовлетворяющий указанным выше требо-
ваниям.
Мы должны найти на контуре С участок, где подынтегральная
функция имеет максимальное значение. Такой участок располага-
ется в окрестности точки, в которой U(w) (а следовательно, и
ерщиО) достигает наибольшего значения на контуре. Функция
96
^aiaUaus^ii
знание Вез ераниц * *
e+v(w) является осциллирующей. В нашем случае U(w) —
——sin(Rer—O)sh(Jmt) принимает на контуре С максимальное
значение, равное нулю, в точке т—-0. Однако функция U(w), «пред-
ставляющая собой вещественную часть аналитической функции
f(te>), .не может согласно теореме о среднем иметь в области ана-
литичности точки максимума или минимума, а может иметь лишь
точки перевала (седловые точки). В этих точках f'(w)=0.
После того как положение точки перевала найдено, необходи-
мо провести через эту точку контур С таким образом, чтобы L/(w)
убывало наиболее быстро вдоль этого контура при удалении от
точки перевала. Это укорачивает участок пути, определяющий ве-
личину интеграла, и упрощает оценку. Пусть направление наибо-
лее быстрого изменения U (w) будет s, а п будет перпендикуляр-
ным ему направлением. Иначе говоря, направление s есть направ-
ление вектора grad U и производная, взятая в этом направлении
(и в противоположном направлении), имеет наибольшее по абсо-
лютной величине значение. Вследствие того что направление гра-
диента нормально к линиям уровня £/(ау) =const, dUldn=Q). С
другой стороны, из условия Коши — Римана dLildn = ^dV/ds сле-
дует, что <3V/ds=0. Следовательно, линия наибыстрейшего измене-
ния U(а>) совпадает с линией V(to) =const, т. е. с линией постоян-
ной мнимой части функции f(w) (с линией стационарной фазы
функции epf,w}). Путь интегрирования определяется уравнением
V(u>) = l/o=const, где Vo— значение У(щ) в точке перевала. Точ-
ка перевала находится в общем случае из условия
W = 0 или -dU(w} = 0,
dw д w
так как па пути интегрирования V(w) —const. В нашем случае это
дает следующее: точка перевала аа=О, т. е. т=,б; в точке перева-
ла fo—Vo=—1. Вблизи точки перевала функцию f.(w) можно
представить в виде ряда, удержав в нем лишь два первых члена:
f (w) =—icosti)=—i + i-—-.
Положим w=sei(f. Тогда уравнение l/(aa) = Vo требует, чтобы
<j2
t-cos2<p = 0, иначе говоря <р=л/4 (<р=—л/4 ведет от точки пере-
вала в незаштрихованную область). Итак, путь интегрирования
полностью определился (.рис. 4.5). Теперь остается провести оцен-
ку интеграла (4.19) по этому пути. Ввиду того что U=—^sin2q>=
(4.20)
= — — и dw = ds-e 4 интеграл (4.19) можно записать в следую-
щем виде:
S2 , . л
+е -₽—“>+* т ,
( е ds=—^~e
4ni
। s“
1+б -т"
е ds.
-а
Лпад —
У 4л i
4—142
9?
Здесь через—б, +6 обозначена окрестность точки перевала, при-
чем б произвольно мало и не зависит от р.
После подстановки t=s
р->оо становятся равными ±оо. Тогда
•пределы интегрирования для
У 4ni
2
г
е
(4-21)
Таким образом, ,с помощью метода перевала нам удалось полу-
чить приближенное выражение для векторного потенциала падаю-
щего поля, справедливое при k\r->-co. Это выражение с точностью
/у
до множителя — совпадает с асимптотическим выражением для
41
функции Ганкеля Я0(2)(^id, которое мы приводили в § 2.2. Оно
описывает цилиндрическую волну, которую при больших k\r мож-
но считать локально плоской волной, распространяющейся в на-
правлении г. В общем случае при оценке интегралов вида (4.18)
необходимо разлагать в ряд по степеням w вблизи точки перевала
Wo также функцию <p(w). Тогда, если ограничиться одним членом
ряда, приближенное выражение для / (р) при р->оо можно запи-
сать в виде
/(p) = gpf («-.)]/
(4.22)
Когда в рассматриваемой области имеется несколько точек пе-
ревала, т. е. уравнение (4.20) имеет несколько решений, путь ин-
тегрирования следует проводить через наиболее крутой из перева-
лов. Если же на контур интегрирования попадет несколько точек
перевала, то следует взять сумму выражений (4.22) по всем этим
точкам.
Особо следует выделить случай, когда гцри деформации пер-
воначального контура интегрирования в контур перевала прихо-
дится пересекать точку полюса подынтегральной функции. В та-
кой ситуации к выражению (4.22) следует добавить вычет в этом
полюсе. Если точка перевила оказывается расположенной близко
к точке полюса, то необходимо пользоваться модифицированным
методом перевала, изложенным в работе [7].
Теперь найдем отраженное поле в зоне излучения. С этой
целью введем полярные координаты для зеркального источника
(см. рис. 4.4): х—Хо = г' sin-й'; 2+z0 = r' cos-fl-' и, полагая xi=^i sint,
запишем (4.9) и (4.14) в виде
л;-отр(Л &')=
л , .
уу i е'а2 cos т
4л/ J _ е'а2 cos т ’
Т=---------loo
98
Специально Зля
DlataHauslM!.
знание без ерениц Ч *
® ai У ^2 —sin2 т
1 /Л2»
+ £’ai |' Т2^ —sin2 т
g i k, r' cos (т—O')
(4.23)
Л,Гтр(г', = ^-Х
4ш
Л . . 1 , k29
Х~ 2+‘" p'a2COST— р’а1 | Sin2T
\ , I / &2 . ,
т=—-«O" Ji a2 cos r + (X ai I fc\~sln r
e i kt r' cos (T-O')^T; » (4.24)
Применим к интегралам (4.23) и (4.24) метод перевала при
kir'->eo. Точка перевала будет r=ft', а контур перевала пройдет
так же, как при .вычислении интеграла (4.17) (см. рис. 4.5). На-
правления г и г' будут почти параллельными, и можно
что ft'=ft. В соответствии, с формулой (4.22) получим
считать,
1 ' ^2a
e'a2 cos ft — e'ai I'' ST— sin2 ft
Л“°тр(г', ft) =--------------------— 1 -
e'a2 cos ft + e'ai
— sin2 ft
1"
2
—г—~е
nki г
(4.25)
ll'a2 cos ft — р'а1 I/
ЛГР(г', Я)=—-----------------------
Jl'a2 COS ft + |i'al I/
iS'-sin2*
— sin2 ft
/э
Х-*
4i
Обозначим в (4.25)
(4.26)
а в (4.26)
e аэ cos ft £ ai
corp
/В =
— sin2 ft
1 ' ^^2
e'a2cosft-|-e'ai | pj ~ sin2#
(4 27)
^отр n'azCOsft-ji'M
Jl'82 COS ft + ji'al
Ь2
*r-si"2*
— sin2 ft
(4.28)
2
—г—
эт Лхг
л \
Коэффициенты f°Tf> и f^Tp называются коэффициентами отра-
жения Френеля. В теории распространения радиоволн случай,
4*
99
gBSer
г
tel"'
Г
когда электрическое поле имеет вертикальную составляющую, на-
зывается случаем вертикальной поляризации, и поэтому коэффи-
циент Френеля (4.27) помечен индексом «В», а случай, когда элек-
трическое поле полностью поляризовано параллельно поверхности
земли, называется случаем горизонтальной поляризации. В связи
с этим коэффициент Френеля (4.28) имеет индекс «Г». Легко ви-
деть, что
?отр
В
^од
г-ОТр
готр _ ^уО
а /г--------------
спад
где индексом «О» помечены комплексные амплитуды полей.
Коэффициенты отражения можно рассматривать как комплекс-
ные амплитуды токов зеркальных источников в выражениях (4.25)
и (4.26). Согласно теореме взаимности (см. § 3.5) с помощью ко-
эффициентов отражения можно определить в точке наблюдения,
Рис. 4.6. Система координат для
вычисления преломленного поля
лежащей вблизи границы раздела,
отраженное поле плоской волны, па-
дающей из бесконечности. Для про-
верки справедливости этого положе-
ния следует нить тока поместить в
бесконечно удаленную точку, а
точку наблюдения расположить в
точке q, в которой раньше находи-
лась нить, и применить теорему вза-
имности.
Перейдем теперь к нахождению
преломленного поля в зоне излуче-
ния. Предполагая, что направление
движения волн при переходе из сре-
ды 1 в среду 2 должно измениться,
введем полярную систему координат
с центром в точке О' (рис. 4.6). Угол О обычно называют углом па-
дения, а угол ф — углом преломления. Декартовы координаты то-
чек р и q выразятся в этой системе следующим образом:
z0=r1cos'&; —г = г2созф; х—xQ = rx sin 0-f-r2 simp.
Полагая xi = &isint, запишем (4.10) и (4.15) в виде
<ПР(г, 0Л) = Д X
2л i
С---------------8 atcos т e~ikl г*005 х
я , , , 1 /Л2а . ,
т=—-у—ioo 8 аа cos т + е а2 у ~ sin2 т
— ikt г, sin ф sin т— I h, г, cos ф 1/ —• sin*T
Хе * dx;
Аупр(г, 0, ф) = -^, X
2 л i
100
Специально Опп -
JVatoffa«s7i«C
знание без границ * *
n
T= T
X J -75---------
T=— ----i OO JI al cos T + (1 a2 у —sin T
(i'ai cos т
g— i hi ri cos ft—0) x
— i r2 sin ip sin т — i fcj r2 cos
xe
— sin2x
dx.
(4.30)
Оценим интегралы (4.29) и (4.30) методом перевала при
Vi-*-». Контур перевала будет совпадать с изображенным на
рис. 4.5, а точкой перевала по-прежнему будет точка т=,&.
Считая функцию
— i kx r2 sin ч]) sin т—i rs cos
e
— sin2x
медленно меняющейся и включив ее в функцию ф(ш), с помощью
формулы (4.22) получим
Л“ п₽(г, •&, ф) =
e'ai cos fl
£ ai COS'S* £ аг
— sin2 ft
'hl/2
V __I/ -------- g
21
—1 rs ^ht sin i[> sinfl+ht cos
xe
—sin3.
(4.31)
Л’-пр(г, О, ф) =
p'ai cos fl
1 f k2o
p'ai cos flц'а2 | £2^- —sin2 fl
X
Xe
X ——
2i
2 Т,г‘
nk1r1e
sin ft + kt cos
—sin2.
(4.32)
Если синус угла падения & и синус угла преломления ф
соотношением
связать
kx sin & = ^2 sin ф,
(4.33)
выражающим известный закон Снелля для преломления, то вместо
(4.31) и (4.32) можно записать
yjM.np (r> ft) —-----------
e'ai cos fl
e'ai cos &
2—sin® fl
I
X
131
/м
X -JL
2i
(4.34)
Л» пР(гЛ) --------------M'ai COS # ___
, , / k\
(1 01 COS 0 + p a2 _sjn2 ;y
(4.35)
Из этих выражений следует, что поле в точке наблюдения р,
создаваемое удаленной от границы раздела нитью тока, пред-
ставляет собой цилиндрическую волну, приходящую под углом
ф. Угол ф (Связан с углом падения соотношением (4.33). Коэффи-
циент преломления Френеля можно найти как отношения комп-
лексных амплитуд магнитного (для вертикальной поляризации)
или электрического (для горизонтальной поляризации) поля во
второй и первой среде:
/в₽-
лм.над
fc al
e'al COS Й | e'a2
„> пр
Е аз 2 е а2 cos о
— —sin2#
pnp
fnv
' ^оД
11' ЛЭ||Р
В a2/1s/0
лэ.над
В ai^yo
Bai COS 0 + p'a2
2 p/a2 cos 0
-1 —SIH2#
kl
(4 36)
Проанализируем полученные выше формулы. Сначала рассмот-
рим случай, когда обе среды не имеют потерь. В этом случае соот-
ношение (4.33) можно записать в виде
5»пф _ _ J /<еа1 Bal _ %2 _п
sin# k2 | ea2Jia2 12 ’
где и vV2 — фазовые скорости волн в первой и второй средах,
а Л|2—относительный показатель преломления.
Если
ea2Pa2>ealPal, ТО Л12<1
и каждому углу падения О соответствует действительный угол
преломления ф.
Если
ea2ga2< 6а 1 Ца 1, ТО Л12>Е
В этом случае волна падает из более плотной среды
в менее плотную и угол ф будет действительным только
для тех углов падения р, для которых выполняется условие
102
Ч\а1аНаи$Ж
знание без ерениц * *
/ii2sin 0^1. При n12sin й> 1 возникает явление полного отраже-
ния. Электромагнитная энергия волн, падающих под углами 0>
>'&i<p=arcsin 1/ 6а2 Иаг, ,в сред}- 2 не проникает.
' eai Hal
На рис. 4.7 приведены графики, иллюстрирующие характер за-
висимости модуля и фазы коэффициентов отражения от угла па-
Рис, 4.7. Зависимость коэффициентов отражения от угла падения:
а) 1 — еа1 = е0; е02=10ео; 2— eai = eo; еа2=8Оео;1 = _п.
6) / — eai = 10et>; еа2=ео; 2 — eai=8Oeo; еа2=ео;/СТ1 2 ’
вертикальная поляризация, --------- горизонтальная поляризация
дения й. Эти графики рассчитаны по формулам (4.27) и (4.28) в
предположении, что piai =iga2=Цо, как это имеет место в большин-
стве практически важных задач, в частности в задаче об излуче-
нии горизонтальной проволочной антенны над землей. Явление
полного отражения на этих трафиках изображается участком, где
модуль коэффициента отражения становится равным единице.
Другой важный факт, который можно установить, .анализируя
формулы (4.27) и (4.28), состоит в том, что при некотором й'=’йо
коэффициент отражения может обратиться в нуль. Приравняв ну-
лю числители в (4.27) и (4.28), найдем:
для вертикальной поляризации
Ра2
еа1 еаа
sill2 йов = еа2 Да!-------;
р2 , __ р2
ai с аг
для горизонтальной поляризации
еаа
Pat Раг
Sill2 •Йог = ga2?al-------
l**al —l**at
103
Электромагнитная энергия волны, падающей под углом Оо,
проходит из среды 1 в среду 2, не отражаясь от границы раздела.
Угол Оо называется углом полного преломления, или углом Брюс-
тера.
Интересно отметить, что при pa2=gai в случае вертикальной
поляризации
sirr йов ,
Eai “г еаг
а в случае горизонтальной поляризации полного преломления не
наблюдается (оно возможно лишь при «12=1, т. е. при наличии
лишь одной среды). В соответствии с этим на графиках на рис.
4.7, построенных для сред с одинаковой магнитной проницае-
мостью, модуль .коэффициента отражения обращается в''нуль лишь
в случае вертикальной поляризации.
Теперь рассмотрим случай, .когда одна из сред, скажем среда
2, является проводящей. Волновое число второй среды будет ком-
плексным:
l X2Pa2 = <" I «агМаг I 1—< — i а.
Поскольку закон преломления (4.33) выполняется при любых
параметрах сред, угол преломления ф будет комплексной величи-
ной. Поле в среде 2 при большом удалении от источника будет
локально иметь характер неоднородной плоской волны, затухаю-
щей вдоль направления распространения.
Такую волну мы уже рассматривали в § 2.5. Важным является
случай хорошо проводящей среды ( ^>1 ) • В этом случае
\ ^32 /
^2 (0|1а2 ^2»
« = ₽« |^|>^.
Как мы уже говорили, при большом удалении от источника
поле преломленной волны можно представить в виде плоской вол-
ны, распространяющейся в направлении, определяемом углом ф.
Например, для горизонтальной поляризации можно записать
Рпр —» Рпр р——* cos sin i|)) —
У
//пр = ппс «К COS ФР* Sin ф) -i 2L ~ £j) аг+ipz-i
W2 * №a
104
г СлечиглыюОля
^lalattausr^i
знание без границ Ч •»
—Щ(—z cos ill 4-х sin ill)—i-
pop 4
f/np=^sinlp.e «0.
ir3
Таким образом, при большой проводимости среды преломлен-
ное поле имеет характер плоской волны, движущейся в направле-
нии нормали к границе раздела. Степень затухания волны и на-
правление ее движения не зависят от угла падения.
Из-за сильного затухания амплитуда поля быстро убывает при
удалении от границы раздела в сторону отрицательных z. Мож-
но считать, что поле в основном сосредоточено около границы раз-
дела. Это явление называется скин-эффектом. Область существен-
ных значений поля обычно называют скин-слоем. Толщина скин-
слоя по порядку величины равна глубине проникновения
г (Ор.32 ^2
введенной в § 2.5.
4.3. Приближенные граничные условия Леонтовича
Во многих граничных задачах бывает необходимо найти поле
только в одной области. Так, в задаче об излучении нити тока над
поверхностью земли обычно интересуются лишь полем над землей.
В то же время для строгого решения граничной электродинамиче-
ской задачи необходимо рассматривать поле как в первой, так и
во второй средах. Возникает вопрос: нельзя ли задать такие гра-
ничные условия, которые дали бы возможность не рассматривать
поле в той среде, где нам не нужно знать величину его?
Как было показано .в 1944 г. IM. А. Леонтовнчем, такие гранич-
ные условия можно сформулировать, если вторая среда обладает
большой проводимостью или большой проницаемостью.
В конце § 4.2 мы рассмотрели поведение преломленного поля
в среде с большой проводимостью и убедились в том, что поле но-
сит характер плоской волны, уходящей в глубь второй среды в на-
правлении нормали к границе раздела независимо от угла паде-
ния. При этом между векторами Е и Н во второй среде существу-
ет простая связь:
[Еп] = 1/^2 [п[пН]]. (4.37)
F 32
В прямоугольной системе координат (4.37) можно записать
так:
Ех = — 1/^ Ну ; Еу= Нх.
1 Г в'аа у’ у f е'а2 х
Как известно, отношение "КЦаг/е'аг имеет размерность сопро-
тивления и называется волновым сопротивлением среды 2. Нор-
маль п в соотношении (4.37) должна быть направлена внутрь вто-
рой среды.
105
.Вследствие непрерывности тангенциальных составляющих Е и
Н на границе раздела между Et и Ht существует то же самое со-
отношение (4.37). Оно и 'принимается за 'приближенное граничное
условие. Волновое сопротивление второй среды называется в этом
случае поверхностным импедансом Z и граничное условие Леонто-
вича записывается следующим образом:
[Е n] = Z [п [пН]].
(4.38)
Эти граничные условия часто называют импедансными гранич-
ными условиями.
Кроме среды с большой проводимостью, граничные условия Ле-
онтовича применимы и тогда, когда коэффициент преломления
второй среды «21= 1/ —211~ велик либо за счет большой величины
' eaiPai
Еа2, либо за счет большой величины ра2. В этом случай, как сле-
дует из закона Снелля (4.33), при любых углах падения sin ф<С 1
и ф~0, т. е. преломленное поле опять имеет вид плоской волны,
уходящей внутрь среды 2 в направлении нормали к границе раз-
дела.
Граничные условия Леонтовича применимы и на поверхности
некоторых специальных сред, о чем будет идти речь в гл. 8. Если
граница раздела не является плоской, но радиус кривизны велик
по сравнению с длиной волны в среде 2, то граничные условия
Леонтовича также можно применять.
Заметим, что импедансные граничные условия (4.38) целесооб-
разно применять лишь в тех случаях, когда из каких-либо предва-
рительных соображений можно заранее найти приближенное вы-
ражение для поверхностного импеданса Z.
4.4. Возбуждение плоской границы раздела двух сред
электрическим диполем (задача Зоммерфельда)
В этом параграфе будет рассмотрена задача о .нахождении по-
ля, возбуждаемого электрическим диполем, расположенным на
высоте d над плоской границей раздела двух сред. Параметры
среды выше границы раздела обозначим через e'ai, р'а1, парамет-
ры среды ниже границы раздела — через е'аг, ц'аг- Эта задача
впервые была поставлена и решена
Зоммерфельдом в связи с проблемой
распространения радиоволн вблизи
земной поверхности. Земля в боль-
шинстве случаев может рассматри-
ваться как диэлектрик с потерями,
магнитная проницаемость которого
равна магнитной проницаемости ва-
куума go. Поэтому для нижней сре-
ды мы положим e,a2 = ea + G2/ico, где
Рис. 4.8. Система координат,
применяемая в изложении
еа — диэлектрическая проницае-
мость земли; а? — проводимость
106
земли; Ца2=Цо. Верхняя среда в задаче Зоммерфельда является
вакуумом, однако мы для общности рассмотрения припишем ей не-
которую проводимость оь которую в дальнейшем можно положить
равной нулю. Таким образом: e'ai = eo+oi/ico; pai = go. Задачу бу-
дем решать в цилиндрической системе координат, в которой грани-
ца раздела двух сред совпадает с плоскостью z = 0, а ось z — с осью
диполя (рис. 4.8).
При решении задачи мы воспользуемся тем обстоятельством,
что нам известно поле, возбуждаемое заданным распределением
тока в однородном пространстве с параметрами e'ai, Им, которое
мы назовем первичным полем.
Для диполя плотность тока имеет одну составляющую и запи-
сывается через дельта-функцию:
//(z',<p',r') = P/6(p—q) = P Z 6 (г'—а) 6 (z'—d) 6 (<~-°-). (4.39)
В выражении (4.39) мы записали плотность тока для диполя,
расположенного на некотором расстоянии а от оси г, так как объ-
емная дельта-функция 6(р—д) выражается через координатные
6-функции с помощью величин, обратных коэффициентам Лямэ. В
цилиндрической системе координат коэффициент Лямэ при коор-
динате <р' равен г' и при расположении диполя на оси г г'=0, что
лишает смысла формулу (4.39).
Для .вычисления векторного потенциала тока (4.39) подставим
выражение для j3z в формулу (2.64) и возьмем интеграл по V',
используя известные свойства 6-функции. Выбрав выражение для
G в виде (2.20) и учитывая, что функции Бесселя при стремлении
о к нулю также стремятся к нулю для всех индексов, кроме нуля
(Jo(0) = l; Jn(0)=0 при п=#0), получим выражение для .вектор-
ного потенциала .первичного поля, который мы обозначим через
пер-
= 7 /7(2) (хг) ^^^‘^xdx, (4.40)
г 8лх=1ю °
где /?i = w | e'aipo—волновое число среды 1 и знак + нужно
брать при а знак — при d<Zz [см. пояснение к формуле
(2.20)]. Как уже отмечалось в § 2.2, выражение (4.40) представ-
ляет собой интеграл от спектра волн, расходящихся от источника
по оси г.
Полное поле в среде 1 складывается из первичного поля и по-
ля, отраженного от границы раздела. Векторный потенциал от-
раженного поля запишем в виде, аналогичном (4.40); тогда потен-
циал полного поля Azt в среде 1 запишется в виде
Лг1=.-Л-Р + 4-4 f Л(х)Д<2>(хг)е ’ -1. xdx. (4.41)
8 л Л Ух2-*2,
Функция /Дх) пока не определена; мы найдем ее далее из гра-
ничных условий. Векторный! потенциал Az, в нижней среде (z<0)
107
(4.42)
R мы также будем искать в форме, аналогичной (4.40), но уже для
среды с волновым числом И e'asgo:
А.= ?£ И» <*> Н°’ <xr) xdx.
8 п -До Ухг — А%
Неизвестную пока спектральную плотность /Дх) также найдем
из граничных условий. Знаки в показателях экспоненциальных
функций формул (4.4,1) и (4.42) выбраны на основании того оче-
видного соображения, что интеграл в формуле (4.41) должен схо-
диться при положительных значениях г, а интеграл в (4.42) —при
отрицательных значениях г.
При указанном выборе знаков предполагается, что действи-
тельная часть функций У х2—k2\ и У к2—k22 положительна на
пути интегрирования. Несколько ниже мы покажем, что это дей-
ствительно так.
Для определения функций /Дх) и f2(v.) воспользуемся гранич-
ными условиями (1.136) и (1.146) и формулами (1.29), выражаю-
щими электрическое и магнитное поля через векторный потенциал.
В нашем случае непрерывность тангенциальных составляющих
электрического и магнитного полей приводит к граничному усло-
вию для векторного потенциала:
= 1 дА„
z=o е'а2 дг
Подставляя (4.41) и (4.42) в (4.43), получаем систему уравне-
ний для определения fi(x), /г(х):
1 00 — Vx2_Ь2. d
-j— J Д<,2)(хг)[е —/j(x)]xdx =
е а! _<ю
1 дАг1
в'al дг
lz=O — Аг2|г=0 •
(4.43)
j ^2) №
1 j Я<2)(хг)/Дх)х<!х;
Ва2
“ /х2—Л2! d
fi (И
x2 — k\
= J Htf> (xr).—.M*)_ X d X.
—оо ~|/x2-k22
xdx =
(4.44)
Покажем, что в системе уравнений (4.44) из равенства интег-
ралов следует равенство подынтегральных выражений. Для этого
умножим оба уравнения на У0(х'г)г, проинтегрируем их по г от
—оо до -фоо и рассмотрим интеграл:
<р(х, х')= J Я<,2> (х г) J0(x' г) rdr. (4.45)
Используя формулы (2.19) и (2.23), легко видеть, что
<р (х, х') = 2 f Jo (х г) Jo (к' г) rdr — 2
б х'
108
^aiiMausi^i
знание без границ Ч ’ь
Таким образом, после умножения (4.44) на 7о(х/г)г и интег-
рирования его по г в указанных 'пределах получим под интегралом?
по х дельта-функцию 6(х—х'). После взятия интеграла по х полу-
чим следующую систему уравнений:
4- Л м + Д г,(«) —
в al е а2 е al
/х (х') /2(х') = (4.46*
Ух'1 2 * 4-*2! У*'2 - k22 Ух'» — k\
Решив систему уравнений (4.46) и возвратившись к переменной
х, получим выражения для Л(х) и fzfy.):
/j(x) =-е fea‘d е'аг Ух2 /г\ e'axVx2 k2t . (4.47);
е'азУх2 —*21 +е'а1Ух2 —Л22
f, (х) = ‘ .
е'аг Ух2 — + в'ах Ух2 — /г%
(4.48}
Подстановка полученных выражений для fi(x) и }2(х) в форму-
лы (4.41) и (4.42) формально решает задачу о нахождении поля
электрического диполя, расположенного над плоской границей
раздела двух сред. Так как в данной задаче анализ (полученного
решения представляет существенную трудность, то мы специально
остановимся на этом вопросе. Для исследования полученного ре-
шения рассмотрим выражение для составляющей Ez электрическо-
го1 поля, возбуждаемого диполем, расположенным на границе раз-
дела двух сред (d=0). Легко видеть, что в области z>d вектор-
ный потенциал полного поля
— V^—h^lz—d)
е
X
Z 8Л —ео УХ2-------k\
е'аг Ух2 —fe2x —е',
е'а2 Ух2 — /г2х +в'
=г X
82
(z-H)] xdx.
Пользуясь формулой
Ег
1__
i we'ai
и полагая d = 0, получаем
Ег = к1 2 as- J Я(,2)(хг)
4 ТС I СОЕ ai —со 8 Q2
_Ух2—Ь» 2 q
е 1 * _ ___________dx. (4.49)
— *21 +в'а1Ух2 —
В выражении (4.49) участвуют две неоднозначные функции:
yi= Ух2—Л21 и у2= V к2—k22. Для того чтобы выбрать необхо-
димую однозначную ветвь исследуемых функций, необ'ходимо про-
вести надлежащую систему разрезов на плоскости комплексной
переменной х. Пока что единственное требование, которое предъ-
10»
является к ветвям функций, сводится, как указывалось при выводе
формул (4.40), (4.41) и (4.42), к положительности действительных
частей yt и у2 на шути интегрирования, проходящем по действи-
тельной оси. Точками ветвления функций yi и у2 являются точки
y.= ±kl и х=±&2, и любой разрез должен проходить через ука-
занные точки
Рис. 4.10. Пример неудачного выбора
разреза на плоскости комплексного
переменного
Рис. 4.9. Плоскость комплексного ie-
,ременного с разрезами
Рассмотрим возможные способы проведения разреза на приме-
ре функции у( = }Лх2—k2\. Если разрезами являются прямые, про-
веденные из точек ±Л| параллельно мнимой оси (рис. 4.9), то дей-
ствительная часть у! положительна на всем пути интегрирования.
В самом деле, представим у, в виде
Уг = ]/(хф^1) (х —kJ
и рассмотрим, как меняется аргумент у! на пути интегрирования.
Запишем выражение для аргумента у[
ягсг„ _arg(x + fti) + arg(x —Л,)
arg Т1--------------------
и рассмотрим произвольную точку х на действительной осп. Тогда
числа хф/г, и х—kt могут быть изображены на комплексной плос-
кости векторами (рис. 4.9), причем угол, который вектор образу-
ет с положительным направлением действительной оси, равен ар-
гументу соответствующего комплексного числа. Такое представ-
ление весьма наглядно показывает, что при стремлении х к фоо
аргументы чисел х—kt и хф/г, приближаются к нулю. При движе-
нии точки х в обратном направлении к —оо вектор, изображаю-
щий х—ki, вращается против часовой стрелки, а вектор хфЛ1, —
по часовой стрелке. Таким образом, при х=—оо оказывается, что
arg(x—Л|) =л; агфхфф=—л и argy( = O, откуда следует, что
действительная часть положительна на всем пути интегрирования
(для нас важно, что действительная часть yi стремится к фоо при
больших х, обеспечивая сходимость интегралов в (4.40) и (4.41)).
НО
. . Специально бля
ftataHausHiil
знание без ераниц \ *
Другим 'разрезом, выделяющим однозначную ветвь функции уь
может быть отрезок прямой, соединяющий точки ±У. В слу-
чае комплексного значения /д такой (разрез является непри-
емлемым, так как он пересекает путь интегрирования. Но
в случае действительного значения ki разрез, изображенный
•на рис. 4.10, должен исследоваться в качестве возможно-
го. При этом путь интегрирования по действительной оси можно
рассматривать как предельное положение контура Г1 или Г2 (рис.
4.10). Легко видеть, что разрезы, изображенные на рис. 4.10, вы-
деляют однозначную ветвь функции у,, не удовлетворяющую усло-
вию положительности реальной части -у» на действительной оси.
Рассмотрим, например, поведение yi на .пути Гь При стремлении
х к Доо аргументы чисел х—и х+У стремятся к нулю, следо-
вательно, argyi=0 при х= + оо. На другом конце контура (при
х=—оо) arg(x+&i) — л; arg(x—Л,)=л; argyi = n. Таким обра-
зом, действительная часть у, при выбранном разрезе становится
отрицательной для больших отрицательных значений х. Аналогич-
но можно показать, что на пути интегрирования Г2 arg-у, меняет-
ся от —л до 0 и, следовательно, разрез, изображенный на рис.
4.10, является неприемлемым для пути интегрирования, проходя-
щего по действительной оси. Все сказанное относительно разрезов
функции yi полностью справедливо для функции у2. Поэтому, что-
бы обеспечить сходимость интеграла в формуле (4.42), нужно про-
вести через точки ветвления ±k2 разрезы, аналогичные разрезам,
изображенным на рис. 4.9. Так как знаменатель подынтегрально-
го выражения
N (х) =e'at Ух2— ^i+'e'a, |лх2—k\
содержит обе многозначные функции yi и у2, то для выделения
однозначной ветви функции N(х) нужно провести, как следует из
всего сказанного, систему разрезов, изображенную на рис. 4.11
жирными линиями, состоящую из прямых, проходящих через точ-
ки ветвления функции N(х) :x=±^i и х=±&2.
Из нашего рассмотрения легко видеть, что любая система раз-
резов, выделяющая однозначные ветви функций у, и у2 и не пере-
секающая действительной оси плоскости х, обеспечивает положи-
тельность действительных частей функции -pi и у2 на действитель-
ной оси и тем самым сходимость интегралов (4.40), (4.41) и
(4.42). В качестве разрезов могут быть взяты линии, на которых
действительная часть функций
Yj = |ха—и у2 = /х2 — /г22
равна нулю. Такая система разрезов была предложена Зоммер-
фельдом и изображена на рис. 4.12 жирными линиями. Произ-
вол в выборе системы разрезов значительно уменьшается, если,
следуя решению Зоммсрфельда, интеграл (4.49) свести к интегра-
лам по разрезам. При любой системе разрезов переход от инте-
грала по действительной оси к интегралам по разрезам осуществ-
ляется следующим образом. Рассмотрим замкнутый контур Q, co-
lli
|г стоящий из полуокружности большого радиуса Гя, контуров, ох-
ватывающих разрезы Qi и Q2, и части действительной оси Г, ог-
раниченной полуокружностью Гл. Такие замкнутые контуры изо-
бражены на рис. 4.11 и 4.12. Так как внутри замкнутого контура
подынтегральная функция (4.49) однозначна, то по теореме Коши
Рис. 4.11. Взаимное расположение полюса и системы прямых разрезов [к выво-
ду формулы (4.64)]
Рис. 4.12. Взаимное расположение полюса и системы разрезов Зоммерфельда
[к (выводу формулы (4.59)]
112
NalaHausii®!
знание без границ Ч*
интеграл по замкнутому7 контуру равен сумме вычетов подынтег-
ральной функции. Таким образом, обозначив подынтегральную
функцию (4.49) через F (х), получим
dfF (х) d v. = [ F (х) d х + j F (х) d х + f F (к) d х +
Q г q, q2
+ j F(x)dx=—2м 2 resF (xm). (4.50)
Г/? т
В формуле (4.50) интегрирование по контуру Q производится
в отрицательном направлении, т. е. область, ограниченная конту-
ром, находится справа при движении по контуру. В связи с этим
появился знак «минус» перед суммой вычетов.
Рассмотрим интеграл по контуру Гд. Подынтегральная функ-
ция содержит функцию Гаккеля, которая при больших х имеет
асимптотику:
/7<2)(xr).xr^« i/lZr' (4.-51)
I лх г
Таким образом, в нижней полуплоскости комплексного пере-
менного, когда —i°o, функция //0(2)(хг) экспоненциально убы-
вает (именно потому на рис. 4.11 и 4.12 путь интегрирования за-
мыкается в нижней, а не верхней полуплоскости х). Кроме того,
на участках контура Ги, близких к действительной оси, при боль-
ших R очень малой оказывается функция е~ Vx*—k\z Совместное
действие указанных факторов приводит к тому, что при стремле-
нии R к оо интеграл по Гп убывает до нуля. Строгое доказатель-
ство этого факта составляет содержание леммы Жордана. Кроме
того, при 7?->оо интеграл по Г переходит в искомый интеграл по
всей действительной оси. Если теперь интегралы по разрезам пе-
ренести в правую часть выражения (4.50), то получим
/Д2> (хг)------
е'а2 У х2 — fc2! + е'а1 Ух2 — k\
= — 2ш 2 res F (xm) — J Н& (хг)
т Qt
е /х2
е'а2 У х2 — A>2! + е'а1Ух2 —
f и(2> / . е ,<к’ h*lZv?dx
— \ Н^> (хг)-------у— ------------.
Q, ° е'а2Ух2-^21 + е'а1Ух2-^22
(4.52)
где интегрирование по разрезам ведется в направлении, указан-
ном на рис. 4.11 и 4.12. Для дальнейшего упрощения (4.52) важ-
но установить взаимное положение точек k{ и k2. Как указывалось
выше, ki = a Ув'я.цо — волновое число свободного пространства с
небольшими потерями; ^2=со Уе'агЦо — волновое число среды с
параметрами земли. Так как проводимость <т2 земли обычно вели-
ка, то комплексная проницаемость е'а =еа/+— , а вместе с ней и
to
113
г
волновое число k% имеют большую отрицательную мнимую часть.
Поэтому на контуре Q2 (см. рис. 4.11 и 4.12) переменная интегри-
рования х также им'еет большую отрицательную мнимую часть;
отсюда, как следует из формулы (4.51), функция //0(2)(хг) на кон-
туре Q2 будет исчезающе малой и интегралом по контуру Q2 мож-
но пренебречь.
Таким образом,
Ег= — 2лг Л-J] resF(xm) — A J /7<)2)(хг)х
т Qi
X ____________е т г хМх__________
е'аа' Vx2 — /г21 + e'ai Vx2 — fc22
где
Д _ 6 82
4 JTl £08
(4.53)
Покажем, что разрез, выходящий из точки должен удов-
летворять при произвольных значениях гиг определенным усло-
виям, чтобы выражение (4.53) имело смысл. Для этого рассмот-
рим произвольный разрез, образующий при больших значениях х
угол чр с осью мнимых значений х (рис. 4.13), и найдем изменение
аргумента функции yi= Ух2—k2{ па контуре При больших х
на правом берегу разреза arg(x—fci)+—<р—у; arg(x+&i)+=<P—
— argy+i = q>—у; на левом берегу разреза arg(x—kt)~=
=у+<Р; arg(x+&i)~=(p— у; arg ус = <р + у. Таким образом, на
левом берегу разреза действительная часть yi, пропорциональная
cos(q>-J-~), отрицательна й растет с ростом х, и поэтому на левом
берегу разреза интеграл (4.53) разойдется. Аналогичная ситуация
анд +=анд (и+к,')
+оо
Рис. 4.13. К выбору направления раз-
реза при больших значениях х
возникнет на правом берегу, если
Ф<0, и только при ср = 0, когда
контур параллелен мнимой оси
при больших х, действительная
часть у на обоих берегах разреза
равна нулю и интеграл (4.53)
сходится. Таким образом, разрез
при больших значениях х дол-
жен быть параллельным мнимой
оси, чтобы от интеграла (4.49)
можно было перейти к (4.53). По-
следнему условию удовлетворяют
обе системы разрезов, изображен-
ные на рис. 4.11 и 4.12, однако
между этими системами есть су-
щественная разница, которая ска-
1'14
^latattaus,^
знание без границ Ч «Ь
зывается при вычислении суммы .вычетов. Легко видеть, что полю-
сами подынтегральной функции в формуле (4.49) являются нули
функции
W (и) = е'а2 | К2—ft2x + е'а1 ]/к2—ft2,,
которые определяются из уравнения
е'а2 Vx*-k\ = —е'а1 K^=ft%, (4-54)
откуда полюс h определяется формулой
Так как fti = co |/ e'aigo; &2=<й У^е'агЦо, то последнее выраже-
ние может быть приведено к виду
А = ^(/^4^. (4.55)
е'а2
Мы уже отмечали, что мнимая часть существенно больше,
чем мнимая часть e'ai, вследствие большой проводимости земли.
Так как и диэлектрическая 1проницаемость земли еЭ2 также боль-
ше диэлектрической проницаемости вакуума е0, то |eza21 |ezai | .
Поэтому если разложить h по степеням e'ai/e^ и ограничиться
первым членом разложения, то вместо (4.55) получим
h^+kj 1—(4.56)
\ * е аг /
В формуле (4.56) появились два знака, так как корень (4.55)
имеет два значения. Легко видеть, что только одно значение h,
которому соответствует знак «плюс», лежит внутри контура Q и
дает вклад в сумму вычетов. Это значение h изображается на
плоскости у. точкой, лежащей левее и ниже точки kx (см. рис. 4.11
и 4.12).
Необходимо отметить, что решение уравнения (4.54) найдено
с помощью возведения в квадрат обеих частей этого уравнения.
При этом могли появиться лишние корни, поэтому необходимо
проверить, что решение (4.56) удовлетворяет уравнению (4.54).
Видно, что при разрезах (рис. 4.12) имеют место неравенства:
— -у <arg Г (ft — ftj (ft + ftJ<0 ;
О < arg ['(h-k^h + kj <-у, <4 57)
которые проще всего установить с помощью рис. 4.12. Далее, чис-
ло е'а2 Г ft2—ft2i лежит в третьем квадранте, так как arge'a2 бли-
зок к ——, и число —e'ai Г ft2—ft22 также лежит в третьем квад-
ранте, так как arg—e'ai близок к л. Таким образом, фазы левой и
115
правой частей уравнения (4.54) равны при системе разрезов, при-
веденных на рис. 4.42, и, следовательно, h является решением
(4.54) и полюсом подынтегральной функции (4.49). Совсем другая
ситуация складывается при системе разрезов по рис. 4.11, так как
в этом случае h [см. выражение (4.56)] уже не является нулем
N (х). В самом деле, как видно из рис. 4.11, вместо (4.57) имеем
при прямых разрезах:
л > arg K(^-^) (h + kj> у ; (458)
у > arg У(Л-^)(Л+^2) > 0.
Из (4.58) следует, что число е'а2 Vh2—k2i лежит во втором или
первом квадранте, а число —e'ai Vh2—k22— в третьем .квадранте
и, следовательно, равенство (4.54) не выполняется пфи разрезах
по рис. 4.11. Для понимания полученных результатов необходимо
помнить, что с помощью системы разрезов мы из многолистной
римановой поверхности функции Л/(х) выделяем тот лист, на ко-
тором ЛДх) обладает нужными свойствами (в частности, на кото-
ром функции pSt2—k2\ и ]/у2—k2z положительны на действитель-
ной оси). Для системы разрезов по рис. 4.11 оказывается, что
1/ЛДх) регулярно на верхнем листе римановой поверхности, кото-
рый мы используем в нашем рассмотрении, и имеет полюс на од-
ном из нижних листов. Напротив, при разрезах <по рис. 4.12 верх-
ний лист включает область, где N (х) обращается в нуль, и теперь
на верхнем листе функция 1/ЛДи) имеет полюс, но зато его нет на
нижних листах.
Вернувшись к рассмотрению формулы (4.53) и вычислив по из-
вестным правилам вычет в точке h, получим для разрезов по
рис. 4.12
Ег = J да) (хг) -----L_ х3dx —
4 л » ше'а1 Q, ° N (х)
Z °а2 h2 У1^^(М е~ . (4-59)
2 “ 8al ( еа2 — еа1)
где Qi — разрез по рис. 4.12.
Часть поля, определяемая полюсом, для случая, когда верхняя
среда не имеет потерь (си = 0), имеет вид
Е'г = СНЫ (hr) е~У\ (4.60)
где С — постоянная;
у = Vh*-k\KkQ 1/.
’ 8 а 2 4“ е0
(4-61)
1116
ftalattausliiik
знание без границ W "•>
Для оценки величин h и у положим приближенно е'а2~— > так
ГСО
как мнимая часть е'аг много больше действительной части Е,'а2;
тогда для у и h получим
h^k0—ik0 . (4.62)
2о,
Подставив (4.62) в (4.60)
чаем, что при больших г
и пользуясь формулой
(4.51), полу-
Е’--с /ж х
-ihor+iko r+k„ /«i.® г)
г 2 а2 12 а, V 2 оа J
X е
(4.63)
Таким образом, Е'г при больших г представляет собой волну,
которая распространяется в основном в направлении г и амплиту-
да которой экспоненциально убывает как в направлении оси г, так
и в направлении оси z. Волны, .амплитуда которых экспоненциаль-
но затухает в направлении, перпендикулярном распространению,
называются поверхностными. Надо сказать, что у поверхностной
волны (4.63), которая в .литературе известна под названием вол-
ны Ценнека, свойства поверхностной волны выражены очень сла-
бо, так как коэффициент затухания k0 по оси г очень мал
из-за больших значений ‘проводимости ог. Решение задачи в форме
(4.59) было впервые получено Зоммерфельдом, который, стремясь
получить простое выражение для интеграла по разрезу Qlt пред-
положил, что функция N (и) достаточно медленно меняется на пу-
ти интеприрования, и вынес ее из-под интеграла. Это предположе-
ние привело Зоммерфельда к выводу, что главный вклад в значе-
ние поля дает волна Ценнека. Ошибка Зоммерфельда была впо-
следствие исправлена В. А. Фоком [8], и в исправленном решении
вклад в поле от полюса и интеграла по разрезу оказался одного
порядка. Чтобы полнее понять значение волны Ценнека для ре-
шения-задачи, найдем поле Ez по (4.53) с помощью системы раз-
резов (см. рис. 4.11). При этих разрезах, как показывалось выше,
подынтегральная функция не имеет полюса в точке h и поэтому
сумма вычетов равна нулю; отсюда
Ег= — — f Я<2>(хг)х
4 л i toe'ai q,
е~l/x!—fe“*z х® dx
е'а2 1/х2 — Л2, + е'а1 Д/х2 —&22
(4.64)
где Ql — разрез по рис. 4.11.
117
Ясно, что интеграл .в (4.59) не равен интегралу в (4.64). С дру-
гой стороны, сравнение этих формул показывает, что существова-
ние волны Ценнека зависит от того, в каком виде мы ищем ре-
шение, т. е. при представлении решения в виде интеграла по раз-
резам на рис. 4.12 она есть, а при решении в виде того же инте-
грала, но по разрезам на рис. 4.11 ее нет.
Из нашего рассмотрения был исключен случай, когда разрез
проходит через точку h— полюс подынтегральной функции. При
этом точка h оказывается вне контура Q п сумма вычетов (4.53)
равна нулю. Однако при вычислении интеграла по контуру, охва-
тывающему разрез Qi, нужно окружить точку полуокружностями
небольшого радиуса а и найти предел интеграла по этим полуок-
ружностям при стремлении а к нулю. Все выкладки, связанные с
этой операцией, громоздки, но при желании могут быть продела-
ны читателем самостоятельно.
Надо сказать, что разрез по рис. 4.12 и решение (4.59) имеют
определенное преимущество перед разрезами по рис. 4.11 и реше-
нием (4.64), так как с помощью первых при значениях г, больших
z (г>г), и большой проводимости земли получены сравнительно
простые формулы для Е2, вывода которых мы приводить не бу-
дем, отослав читателей к оригинальным работам [8].
Глава пятая
Возбуждение круглого бесконечного цилиндра
В этой главе рассматривается задача о произвольном внешнем
возбуждении круглого идеально проводящего цилиндра бесконеч-
ной длины. С помощью полученных в гл. 2 формул для диэлект-
рических и магнитных волн в цилиндрической системе координат
найдены выражения для составляющих поля, возбуждаемых про-
извольной системой источников в любой точке внешнего простран-
ства. Отдельно записаны выражения для расчета поля в дальней
зоне. Это общее решение задачи о возбуждении цилиндра впервые
было получено в работе [9].
Большое внимание уделено анализу конкретных случаев воз-
буждения цилиндра различными источниками. Здесь рассмотрены
продольный, поперечный и радиальный электрические диполи, про-
дольный и поперечный полуволновые магнитные вибраторы (ще-
ли), а также кольцо магнитного тока с бегущей азимутальной вол-
ной. В каждом случае приводятся результаты расчетов и обсуж-
даются физические эффекты, возникающие в таких системах.
Подробно рассмотрен вопрос о .возбуждении цилиндра, имею-
щего большой электрический радиус. В отличие от обычного под-
хода к решению этой задачи, основанного на использовании мето-
да Ватсона, здесь принят путь конструирования решения в виде
ряда по собственным функциям, представляющим бегущие вокруг
цилиндра азимутальные волны.
При изложении вопроса акцент сделан на его методической
стороне.
118
ftataUausfiilk
знание без границ Ч ш
В конце главы обсуждается дифракция плоской волны на ци-
линдре. Этот ©опрос рассмотрен кратко ввиду наличия большого
числа работ, посвященных различным аспектам этой задачи.
5.1. Общее решение задачи о возбуждении бесконечного
идеально проводящего цилиндра
Рассмотрим задачу о внешнем возбуждении идеально1 прово-
дящего бесконечно длинного круглого цилиндра. Ось цилиндра
совместим с осью z цилиндрической системы координат; внешний
радиус цилиндра обозначим через а. Все сторонние источники бу-
дем считать расположенными во внешней по отношению к цилинд-
ру области (г^а).
Поле в каждой точке пространства вне цилиндра представим в
виде суммы падающего (первичного) и отраженного (вторичного)
поля. Падающее поле есть поле заданного распределения сторон-
них токов в свободном пространстве. Мы можем записать его в ци-
линдрической системе координат двумя адекватными способами:
либо, воспользовавшись выражениями (2.64) для цилиндрических
составляющих векторного потенциала, найдем поле с помощью
формул (1.29), либо, обратившись к соотношениям (2.65) — (2.72),
определим полное поле как результат суперпозиции электрических
и магнитных воли.
Мы используем здесь второй способ записи первичного поля.
В соответствии с этим и отраженное поле следует представить в
форме, аналогичной (2.65) — (2.72). Тогда продольные составляю-
щие отраженного поля представятся в виде
£отР= v Г рл^х; у С Н™? dn, (5.1)
2 a-J J 2ЛХ ’ 2 ZJ J 2ПИ ’ ' '
П— — ос V.= — се П~—со —оо
где
F? -Р (х) (х г); (5.2а)
К х — к
Н°тр = кг~к2 z~in(t —. Х £м.отр /у<2) (х
гп-л т/^2__£2 2 ' ’ п ' '
Функции Е25отр(х) н £2м-отр(х) представляют собой в общем
виде спектральные плотности электрических и магнитных эквива-
лентных токов, наведенных на поверхности цилиндра для ТМ- и
ТЕ-волн соответственно. Так как точка наблюдения всегда являет-
ся внешней по отношению к точкам расположения эквивалентных
токов, т. е. г>п, в выражениях (5.2) взяты функции £%(х) и
F'*s(x) с индексом s = 2 и функции М2)„(хг) согласно (2.66) и
(2.67). Такой выбор определен тем, что отраженные от цилиндра
волны удаляются на бесконечность.
Спектральные плотности £2эо1р(х) и £2м отр(х) нам пока неиз-
вестны. Для бесконечного цилиндра с любым однородным поверх-
ностным импедансом мы можем выразить их через заданные спект-
119
ральныс плотности сторонних токов с помощью неизвестных функ-
ций Ап (и) и ВпМ следующим образом:
/YTP (х) = Ап (х) F* (х); F^p (х) = Вп (к) (х). (5.3)
У функций F3i (х) и FMi (x), относящихся к первичному полю и
определяемых по формулам (2.68) и (2.69), здесь взят индекс s=
— 1, поскольку наведенные на цилиндре токи всегда считаются
внутренними по отношению к сторонним токам.
Для того чтобы определить величины Ап(х) и ВпМ, восполь-
зуемся граничными условиями на поверхности цилиндра для сум-
марного поля:
£сумм _ £пад _|_ £Ътр и //сумм __ Мпад I f/отр
2ПИ 2ПИ 1 ZHM 2ПИ 2П1Л 1 2MZ*
В соответствии с выражениями (2.71) и (2.72) граничное усло-
вие Et=0 на поверхности идеально проводящего цилиндра запи-
шется:
для электрических волн
= 0 при г = а; (5.4а)
для магнитных волн
) ,,сумм
—Е™. = о при г = а. (5.46)'
д г
Сложим (2.66) и (5.2а) с учетом (5.3) и подставим сумм)' в
(5.4а). В результате получим
(*) (* а) + Jn (л а) = О,
откуда
7п(хс)
Ап (и) = — ,91-----
Д'Д (ио)
Точно так же, сложив (2.67) и (5.26) с учетом (5.3) и подста-
вив результат в (5.46), получим
ВП (и) (К а) + J'n (иа) = 0
и
Вп (*•) -- (2), .
' (ио)
Таким образом, поле во внешней области круглого цилиндра
бесконечной длины, возбужденное произвольно распределенными
во внешнем пространстве сторонними электрическими н магнитны-
ми токами, будет определяться следующими выражениями для
продольных составляющих:
£сумм = V Г £сумм .
2 J 2ПУ. ’
П = -—оо —оо
уусумм_ 2 J
п= — со к=—ОО
(5-5)
120
ftalatlauswll
знание без ераниц Ч *
£СуММ — е± ' X-"-*2 г~‘пЧ
1/х2 — k2
-44-^ я(2> м
//<2)(х«) п
Я(«(яг)|^(х)_р.М^^
F ’ (и) (х Г)
//сумм =е - 1 x2-fe2z-tnq> X
znx ух2 _ к2
Я(2)(х г) ,r
(7.a) " { J
Я<2)(хг) F«(x)-Fm(x)^2^ ,r:
n n \*-U)
F"(x) J„(xr)
(5.6)
(5.7)
Функции Fs3M(x) определяются формулами (2.68) и (2.69). Там
же указан порядок выбора знака перед радикалом.
Поперечные составляющие электрических и магнитных волн
определяются подстановкой (5.6) 'И (5.7) ib выражения (2.7.1) и
(2.72) и затем в выражения (2.70):
£сумм — X1
r EcyMMjx- ЯСУММ= У f
' rnv. ’ r ZJ J nix
(5.8)
£сумм —
<p
f £суммЛх. //сумм = V f HCVMMdH,
J <pix ’ <J> J <рлх
где
£Э-^ХММ — + g±V и2—*2z—in<p у
Ff(x) J'n(xr)-----,r<r',
H^a) " '
/уэ.сумм — MB а и
xrT/x2-^
^2)(xa) n J
(У«> (xr) I F» (x) — Ff (x) |, r > r ;
Ff(x) Jn(xr)
,±Г и2—h*z—intf
(5.9а)
(5.96)
£э.сумм = ± 12 e±V'^-k"-z-in<f
4>nn x r
121
I
Г < г',
Ч(.2) (хг) Г Ч (*) (*) тй)7^ ].'>'•';
|_ Я,\’(хс)
Мэ.сумм — -7- 1 06 а _±/хг—A2z—tn<p
<₽"* + у^2 J. k2С Х
(5.9в)
F- (х)р-„ (х г)-W],r <
Нр'(хг} I р („) _р {к) >j£«>1 . г > ;
L нп & °) J
Рм.сумм— <О|х'а n +Vv.-—k-z—in<f
rw xrl/i^F х
(5.9г)
F« (х) ГJn (х (xr) ] , г < г',
L Пп ^XG) J
Я<2) (xr) ГF* (x) -7=7 (X) , Г > Г' ;
L ХХС)
(5.9Д)
№м=±е*^^—пф х
7=7 (X) ГJ'n (к 77<2)'(хг)1, г < г’,
L пп \KG/ j
7/<2)'(хг) ГF« (х) -F»(x) J~^-1, г > г';
L (-/.a) J
£м.сумм — 1 ^Н'а + Vv*—k4~in <р
Фпи Л
(5.9е)
r<r'.
Ип (х °) I
77<f)'(xr)|F7(x)-/=7(x)^(^-L r>r';
L ип} (x«)J
Мм.сумм — -г- ln |'иг-*г z-in Ц)
7<рпх +хге Х
^(Х) J'n^r)
(5.9ж)
7=7 (х) Г Jn (х г) - Я<2) (х г) 1 ,
(хС)
^<2)(хг)Гт=7(х)-7=7 (х)^ад, i
(X а)
(5.9з)
^Полисе поле для каждой компоненты поля определяется сум-
мой составляющих электрических и магнитных волн. В выраже-
ниях (5.6) — (5.9) верхние знаки берутся три (z—z'JcO, а ниж-
ние при (z—z')>0.
123
yataHauswk
знание без ераниц Ч*
Интегралы по х в выражениях (5.5) и (5.8) можно оценить ме-
тодом перевала при условии, что точка наблюдения находится на
большом расстоянии от поверхности цилиндра, а сторонние источ-
ники расположены вблизи цилиндра. С этой целью введем сфери-
ческие координаты /? и 8, в которых
r = 7?sin0; (z—z') = + RcosG.
Полагая х=Лсо8т, с помощью формулы (4.22) найдем при
kR—юо;
£Гсумм___ yi £?CyMM- ^усумм________ у ^усумм.
(5.10)
jCcyMM
in2e~in * F32 (k sin 0)—(k sin 0)
Jn (ka sin 0)
(ka sin 6)
«сумм
ill
ill2e~in F% (k sin 6) — F^ (k sin 0)
J'n (ka sin 6)
H^’(ka sin 6)
e-ikR
R ’
(5.И)
e~ikR
R ’
(5.12)
Поперечные составляющие в дальней зоне будут определяться
выражениями:
для электрических волн
^/э.сумм ___ 0- £Э.СУММ ctg 0 fcyMM.
^э.сумм — _ а рсумм- ^Тэ.сумм — Q.
* *sine 2 ’ *
(5.13)
для магнитных волн:
уум.сумм ------------ --cfg 0 £м.сумм _ 0.
J-[m . сумм 0 - рм. Сумм — _ а WcyMM
* ’ jfesine 2 ’
В сферической системе координат мы получим:
для электрических волн
(5-14)
£СуММ
ууэ.сумм_. 0. '^э.сумм__ __ 2 .
Л ’ 6 sin© ’
^э.сумм — _____ а
ЧР
(5.15)
для магнитных волн
£сумм- /7э.сумм---Q-
k sine 2 ’ ч
ууСумМ
Л/М.сумм —2---- • £1'5сумм:_0.
е sin © R
f-fM .СУММ .— 0. g.M.cyMM ._ а jycyMM
ф ’ * /ыпе 2 ’
(5.16)
Приведенные выше формулы позволяют определить поле в зо-
не излучения любых антенн с заданным распределением тока, рас-
123
положенных вблизи и на поверхности идеально проводящего ци-
линдра. Входящие в формулы (5.10) ряды быстро .сходятся в том
случае, когда диаметр цилиндра невелик по сравнению с длиной
волны. Имеется простое практическое правило: следует учитывать
число членов ряда, не превышающее величины 2/гг'макс*’. Хотя
ЭТИ ряды СХОДЯТСЯ при любых /гг'макс, однако при /гг'макс>20 для
облегчения вычислительной работы обычно обращаются к друго-
му способу решения, рассмотренному в § 5.4.
5.2. Возбуждение Цилиндра электрическими диполями
Для иллюстрации 'Применения выделенных в '§ 5.1 общих фор-
мул, а также для обсуждения физических явлений, возникающих
при возбуждении идеально проводящего цилиндра, рассмотрим три
характерных вида электрических сторонних то-
ков.
Мы будем интересоваться лишь полем в зо-
не излучения, где выражения для полей имеют
более простой вид и легче поддаются трактовке.
Кроме того, в радиотехнике в подавляющем
большинстве случаев основной интерес представ-
ляет поле именно в зоне излучения.
Наиболее характерным параметром беско-
нечного цилиндра является его электрический
Рис. 5.1. Возбуждение цилиндра продольным диполем
радиус ka. Для оценки влияния радиуса на поле излучения мы
будем рассматривать поле только в поперечной (экваториальной)
плоскости цилиндра.
Продольный диполь. Возьмем электрический диполь, ориенти-
рованный параллельно оси цилиндра и находящийся на расстоя-
нии b от нее (рис. 5.1).
Плотность тока диполя будет определяться выражением
%(г', <р', Z') = I-l6(r'-b) 6(^~0) б(/-0), (5.17)
где 1эо1 — момент диполя.
Подставив (5.17) в выражения (2.68) и (2.69) и полагая рав-
ными нулю все остальные составляющие сторонних токов, найдем
И2 1Э I я2 1Э I
F« (х) = 0; (и) = ° , Н™ (х 6);F| (х) = .°,- Jn (х Ъ).
’ 8л i сое а 8л i сое а
*> Под r'max следует понимать при вычислении первичного поля наибольшую
радиальную координату сторонних источников, а при вычислении вторичного
поля — радиус .возбуждаемого цилиндра.
Д24
^alaHausA
знание без границ Ч
Затем с помощью формул (5.10) и (5.11) найдем поле в даль-
ней зоне в экваториальной плоскости ^0 = -^^ •
„ i/n Ik2 e~illR 00 en in cos nw
F-=~ s. W <“>J" № J'~ <“>!•
(5.18)
где En — число Неймана (еп=1 при п=0 и еи = 2 три п=^=0).
На рис. 5.2 приведена серия диаграмм направленности, рас-
считанных по формуле (5.18) для значений ka от 1 до 18 и k(b—•
—а)=0,5л. Диаграммы направленности нормированы к единице и
для удобства рассмотрения смещены по оси ординат. Единичный и
нулевой уровни каждой диаграммы смещены и помечены значками
1 и 0h(l. Величина ka указана около каждой кривой.
При анализе направленных свойств продольного диполя, рас-
положенного вблизи цилиндра, следует прежде всего иметь в ви-
ду, что этот диполь возбуждает на поверхности цилиндра только
продольные токи, слабо затекающие ;в теневую область. Вследст-,
вие этого поле в области тени быстро спадает п диаграмма на-
правленности не имеет резких осцилляций. |Можно видеть, что ха-
рактер диаграмм излучения мало зависитот диаметра цилиндра.
Поперечный диполь. Рассмотрим электрический диполь, распо-
ложенный в поперечном направлении по отношению к оси ци-
линдра на расстоянии b от нее (рис. 5.3). Иначе говоря, диполь
направлен вдоль касательной к координатной линии <р.
Рис. 5.2
Рис. 5.3
Рис. 5.2. Диаграммы направленности продольного диполя
Рис. 5.3. Возбуждение цилиндра поперечным диполем
125
Распределение стороннего тока задается в этом случае выра-
жением
<р', z')^/g/6 (/ —Ь)б(<^, Э)6(г'—0). (5.19)
Подставив выражение (5.19) в формулы (2.68) и (2.69) и учи-
тывая, что все другие составляющие стороннего тока отсутствуют,
получаем
(х) = - я—(± I *2~ *3) (X by
8зт(0б а b
(Х) (± ) 4 (* ьу
2V ’ 8moe'al> ’
F\ (x) = (v. by (x) = J'„ (* b).
Обращаясь к формулам (5.10) — (5.14), можно убедиться, что
в плоскости z=0 ^6 = -^ электрическое поле в дальней зоне имеет
только одну составляющую:
ыц'а /э . е ,kR Л e„in cos n<f
4П ° R ,£с H^'(ka)
[J'„ (kb) (ka)—
-H^'(kb)J'n(ka)\.
(5.20)
Поперечный диполь возбуждает на поверхности цилиндра как
продольные, так и поперечные составляющие электрического тока.
Волны поперечных токов свободно огибают цилиндр в противопо-
ложных направлениях (подробнее о таком представлении будет
сказано в § 5.4). Взаимодействие этих волн приводит к появле-
нию интерференционных максимумов и минимумов поля излучения
в области тени. Это можно видеть из диаграмм направленности,
рассчитанных по формуле (5.20) для значений ka от 1 до 18 и
k(b—о)=0,5л и представленных на рис. 5.4. Способ изображения
диаграмм здесь такой же как и на рис. 5.2. С увеличением диа-
метра цилиндра для больших значений (теневая область) амп-
литуда осцилляций в диаграмме направленности уменьшается, а
число их возрастает. Это вызвано увеличением затухания попе-
речных волн тока. Наличие глубокого минимума для углов, близ-
ких ,к 90°, связано с отсутствием излучения самого диполя в этом
направлении.
Радиальный диполь. Пусть около цилиндра на расстоянии b от
его оси расположен радиальный электрический диполь (рис. 5.5),
плотность тока которого задается выражением
£(Л <р', г') = /g 1Ь(г'-Ь)?(<р'7-°-)6(г'-0).
126
flaiallaus№k
знание без ераниц Ч *
Рис. 5.4
Рис. 5.5
Рис. 5.4. Диаграммы направленности поперечного диполя
Рис. 5.5. Возбуждение цилиндра радиальным диполем
Подставив это выражение в формулы (2.68) и (2.69), получим:
Н~ (±НпУьу
8л i WB а
F*t (к) = - я 'У* (± Л (X by,
ОЛ I (08 а
(х) = ^Я<12)(х6); ^(х) =
оЛ и оЛ О
Далее по формулам (5.10) — (5.14) найдем электрическое поле
в дальней зоне в плоскости z=0:
<оц'а 130 I
Е =------------
ф 2л kb
lkR- vi n sin n <Р
jrg.
-HW(kb)J'n(ka)].
(5.21)'
На рис. 5.6 показаны нормированные диаграммы направленно-
сти, рассчитанные по формуле (5.21) для k(b—а)=0,5л. Кривые,
соответствующие разным значениям ka, смещены вдоль оси орди-
нат. Единичный и нулевой уровни каждой кривой помечены, как
и выше, значками 1 и 0ha.
Диаграммы направленности цилиндра, возбуждаемого ради-
альным диполем, существенно отличаются ют рассмотренных ранее
диаграмм. Радиальный диполь возбуждает на цилиндре токи, рас-
127
текающиеся от источника в
разные стороны. После этих
токов в направлении <р = 0 и
<р=180° равно пулю. Так как
сам диполь также не излучает
в этих направлениях, то диа-
грамма направленности имеет
нули при <р = 0° и ср=180°. То-
ки, затекающие на теневую
часть поверхности .цилиндра,
имеют значительную амплиту-
ду, так как направление, каса-
тельное к цилиндру, совпадает
с максимумом излучения ди-
поля. По этой причине осцил-
ляции поля в области тени за-
метны даже при больших зна-
чениях ka. _ , г „
Рис. 5.6. Диаграммы направленности ра-
диального диполя
5.3. Возбуждение цилиндра магнитными токами
При анализе возбуждения цилиндра сторонними магнитными
токами .мы будем рассматривать источники в виде линейных маг-
нитных токов конечной протяженности. При этом не-
—-4— обходимо помнить, что такие токи эквивалентны уз-
. ким щелям, прорезанным в цилиндре. Как и в § 5.2,
I будем рассматривать главным образом поле излуче-
ния в 'поперечной по отношению к оси цилиндра плос-
кости. Ниже исследуются три практически важных
' случая различно ориентированных сторонних магнит-
' ных токов.
Рис. 5.7. Возбуждение цилиндра продольным магнитным вибра-
тором
Продольный полуволновой магнитный вибратор. Пусть на по-
верхности цилиндра расположен .полуволновой продольный вибра-
тор (рис. 5.7) с магнитным током, плотность которого задается
выражением
/“(г', <₽', г') =
, , , _ , , ,6 (id' — 0) Л , 'к
A’cos/ez 6(г —а) —---------- для---------С? ,
и г' 4 4
= (5.22)
0 для ]z'|>-£- .
4
128
ftalaUausA
знание без границ ' *
Амплитуда магнитного тока распределена по закону косинуса.
Подстановка выражения (5.22) в формулы (2.68) и (2.69) приводит
к следующим результатам:
F’(x)=F|(x) = 0; F“ (х)=—tj°~; cos(-y V1—’S) ^J>2>(xo);
7а k / Л , Г ^2 \
F“ w=“»(— г 1 - к) •'» <х °)-
С помощью формул (5.12) и (5.14) найдем электрическое поле
в дальней зоне в плоскости z=0
F _ /£ е lkR “ enin cos п q>
«> F ,£0 H^'(ka)
(5.23)
По формуле (5.23) рассчитаны диаграммы направленности,
изображенные на рис. 5.8. Диаграммы нормированы к единице и
для удобства рассмотрения смещены по оси ординат. Единичный
и нулевой уровни каждой диаграммы помечены значками 1 и 0ha.
Величина ka указана около каждой кривой.
Продольный магнитный вибратор возбуждает на поверхности
цилиндра значительные поперечные токи. Эти токи, затекая на
противоположную сторону цилиндра, определяют поля излучения
в области тени. Так же как ,и в случае возбуждения поперечным
электрическим диполем, диаграмма направленности в теневой зо-
не имеет ряд интерференционных максимумов и минимумов. Одна-
ко в случае продольного магнитного вибратора амплитуда осцил-
ляций больше для одних н тех же значений ka, так как макси-
мум излучения вибратора совпадаете направлением касательной
к цилиндру в поперечной плоскости. Из рис. 5.8 видно, что при
увеличении диаметра цилиндра растет диапазон углов, в котором
диаграмма направленности равномерна. Это связано с тем, что
при этом для многих значений угла наблюдения <р .можно прибли-
женно считать магнитный вибратор лежащим на бесконечной ме-
таллической плоскости. А такой вибратор, как известно ( см. § 4.1),
имеет в поперечной плоскости равномерную диаграмму направлен-
ности.
Поперечный полуволновой магнитный вибратор. Теперь рас-
смотрим поперечный магнитный вибратор (рис. 5.9), распределе-
ние тока в котором описывается выражением
/;(/•'. ф', *')=
/" cos (ka ср') 6 (г'—a) 6 (z'—0) для — — ф' ,
4a 4a
0 для | <р' 1 > -Л .
1 1 4a
5—142
129-
Рис. 5.8
Рис. 5.9
Рис. 5.8. Диаграммы 'направленности продольного .магнитного вибратора
Рис. 5.9. Возбуждение 'цилиндра поперечным магнитным вибратором
Подставив это выражение в формулы (2.68) и (2.69), а затем
(5.10), (5.11), (5.12), (5.13) и (5.14), найдем электрическое поле
в поперечной 'плоскости цилиндра:
е = -i'^ka e~ik* у еп(Пстеп<р C0SUtJ
R n=o w<,2) (ka) (ka)2 — n2
(5.24)
л2
На рис. 5.10 представлены нормированные диаграммы направ-
ленности, рассчитанные по формуле (5.24). Способ изображения
диаграмм точно такой же, как и на рис. 5.8.
Диаграммы направленности поперечного магнитного вибрато-
ра по характеру схожи с диаграммами продольного электрическо-
го диполя (см. рис. 5.2). Поперечный магнитный вибратор интен-
сивно возбуждает на цилиндре продольные токи, которые слабо
затекают на .противоположную сторону цилиндра. В результате
цилиндр создает для поперечного магнитного вибратора более
сильную экранировку, нежели для продольного. Диаграммы на-
правленности мало зависят от диаметра цилиндра, ибо волны, свя-
занные с продольными токами, быстро затухают в области тени
при любых значениях параметра ka. Этим объясняется также от-
сутствие интерференционных максимумов и минимумов при боль-
ших значениях угла кр.
Кольцевой магнитный ток. Пусть цилиндр возбуждается коль-
цевым магнитным током, расположенным в поперечной плоскости
180
специально Оля
ftalallausW
знание без границ Ч *
цилиндра на его поверхности. Плотность стороннего тока зададим
в виде
/“(г', ф', z') = /^6(r' — a)8(z'—0)e~im<y
(5.25)
Таким образом, сторонний магнитный ток задав в виде кольца
с бегущей азимутальной волной. Число т характеризует разовую
скорость этой волны и называется номером гармоники тока. При
т=0 фаза тока постоянна по всему кольцу; ври т=1 фаза ме-
няется от 0 до 2л, при т — 2 — от 0 до 4л и т. д.
С помощью формул (2.68) и (2.69) найдем
^(х) =
/“ х a
—-—/?п(хо) при п—т,
О при п=£т,
(5.26)
/’м (х) =
—-— (± У к2—k2) Rn (х а) при га= т,
4wp. а
(5.27)
О
при п=£т.
Далее с помощью формул (5.5) — (5.9) мы можем определить
как электрическое, так и магнитное поле в любой точке простран-
ства. При этом легко видеть, что вместо рядов по п в этих форму-
лах мы будем иметь лишь одну гармонику ряда, соответствую-
щую п=т.
В частности, можно найти поверхностный электрический ток на
цилиндре. Посмотрим, как это делается в случае осесимметрично-
го возбуждения цилиндра, т. е. при т=0. Плотность электриче-
ского тока на цилиндре в этом случае определяется только ази-
мутальной составляющей Н Ф магнитного-поля, так как других со-
ставляющих магнитное поле не имеет.
По формуле (5.9г), полагая г—а, находим
е± Н$Г(ка)
У И2 —k2 (я а)
Р = Н = J .
2 41 2л kJ-oo
d х. (5.28)
Распределение тока рассчитывается по формуле (5.28) путем
численного интегрирования. На рис. 5.11 приведены результаты
расчета в виде графиков модуля и фазы поверхностной плотности
электрического тока, отнесенной к величине 2/мо^/я2а<ор/а.
Из этих графиков следует, что распределение тока можно пред-
ставить в виде волны, распространяющейся от источника. Ампли-
туда волны уменьшается по мере увеличения расстояния между
кольцом стороннего тока и точкой наблюдения. В точке располо-
жения кольца (г—0) поверхностная плотность тока обращается в
бесконечность, поскольку мы считаем кольцо бесконечно узким.
Распределение фазы тока имеет вид прямой линии. Фазовая
скорость, определяемая наклоном этой прямой, равна скорости
света. При изменении параметра ka наклон прямой остается не-
изменным.
5*
131
Поле в дальней зоне можно найти с помощью формул (5.10) —
(5.16). Продольные составляющие поля в дальней зоне будут
иметь вид
;«!+ /М 0—inl Ч> Л— ikR
В.=—------;
«//«(tasinO) « 29)
гм im <₽ - p—tkR
mi l0 e ctg0 e
пг = +------------------;----------~— •
ыц'ал a (fra sjn 0) R
(5.30)
Как легко видеть, амплитуды электрического и магнитного по-
лей не зависят от угла <р. Для анализа зависимости поля в даль-
ней зоне от угла 0 рассмотрим 'меридиональную составляющую
электрического поля, определяемую из соотношений (5.15):
•т+1 гм e—im <р e~ikR
Е =_____________5-------------
0 л sin 0 (ka sin 0) R
Кроме составляющей Ео, при пг>0 имеется п составляющая
£
Па рис. 5.12 приведены диаграммы направленности,’ рассчитан-
ные по формуле (5.30) для цилиндра с параметром ka = 3> и для
грех гармоник тока в возбуждающем кольце: /н = 0, т=\ и /п = ‘2.
По оси ординат отложена величина |Ео| — , где определяется
формулой (5.30).
132
ftataitausiisk
знание без границ Ч «ь
При т = 0 модуль поля в направ-
лениях 0 = 0° и 0=180° обращается
в бесконечность. Это связано с воз-
никновением так называемой «ка-
бельной» волны. Как мы видели
выше, при возбуждении цилиндра
синфазным кольцом магнитного то-
ка возникают лишь продольные то-
ки. Эти токи слабо затухают при
удалении от источника, и вдоль ци-
линдра распространяется бегущая
волна тока, слабо излучающая
энергию. При всех других значе-
ниях т на цилиндре возбуждаются
Рис. 5.12. Диаграммы иаправлен-
HOCT.li кольца магнитного тока на
цилиндре
как продольные, так и поперечные
токи. Поперечные токи интенсивно излучают электромагнитную
энергию за счёт кривизны кути, .по которому они текут. Вследст-
вие этого амплитуда поля на поверхности цилиндра при т>0
убывает при удалении от источника гораздо сильнее, чем при т =
=0. Как видно из рис. 5.12, три т=1 максимум диаграммы на-
правленности ориентирован вдоль оси цилиндра, а .при т=2 и
всех других значениях т вдоль оси имеется нуль излучения.
Уровень поля излучения в случае .второй гармоники оказывается
ниже, чем в случае первой гармоники.
Возбуждение цилиндра кольцом с первой гармоникой тока име-
ет важное практическое значение, так как только в этом случае
максимум излучения направлен вдоль оси цилиндра. Это положе-
ние сохраняется и для цилиндра конечной длины.
5.4. Возбуждение цилиндра большого электрического радиуса
Для вывода формул, обеспечивающих быструю сходимость ря-
дов типа (5.5) и (5.8) при значениях ka^>\, в литературе обычно
используется метод Ватсона. Этот метод заключается в преобразо-
вании рядов, входящих в формулы (5.5) и (5.8), в контурные ин-
тегралы по комплексному переменному v (v— индекс цилиндри-
ческих функций). После этого интегралы вычисляются в виде сум-
мы вычетов в полюсах подынтегрального выражения.
Мы решим эту задачу иным путем, используя подход, приме-
ненный Зоммерфельдом [3] для решения задачи о возбуждении
сферы большого электрического радиуса.
Для упрощения выкладок ограничимся случаем возбуждения
цилиндра бесконечной синфазной полоской тока. При желании
этот результат можно обобщить на случай полоски тока с бегу-
щей волной. Итак, рассмотрим идеально проводящий цилиндр ра-
диусом а, возбуждаемый бесконечной полоской синфазного элект-
рического или магнитного продольного тока (рис. 5.13). Вид тока
133
мы конкретизировать не будем. Таким образом, объемная плот-
ность стороннего тока будет определяться выражением
/г(С Ф. ?) = Л(Ф)6(г—г0). (5.31)
Векторный потенциал этого тока согласно формулам (1.30) и
(1.92) должен удовлетворять уравнению
1 д dAz\ . 1
----( г —- Н---
г дг\ dr г*
^ + АМг=-/г.
д <р2
(5.32)
Решение уравнения (5.32) представим в
виде разложения по собственным волнам,
распространяющимся в азимутальном на-
правлении (в направлении координатных
линий ф):
Аг (г, Ф, г) = Фг. (ф) Н& (Аг). (5.33)
V
ние' цилиндра^'полос- В разложении (5.33) в отличие от (2.20)
КОЙ синфазного тока и (2.22) радиальные функции не являются
истокообразными (имеющими особенность
в точке расположения источника), а представляют собой собст-
венные функции мембранного типа. Функции же Ф¥(ф) здесь яв-
ляются истокообразными. Следовательно, решение (5.33) оказы-
вается еще одним представлением решения волновых уравнений
(1.30) в цилиндрической системе координат. Если разложения
(2.20) и (2.22) соответственно представляли решение в виде волн,
бегущих вдоль оси г или в радиальном направлении, то теперь мы
конструируем решение в виде суммы азимутальных волн.
Наша задача будет состоять в том, чтобы найти вид функций
Фг(гр), удовлетворяющий уравнению (5.32) и граничным услови-
ям. Условие излучения на 'бесконечности уже обеспечено выбо-
ром радиальных функций AZv(2)(Ar).
Граничное условие на поверхности цилиндра Et — 0 требует,
чтобы выполнялись условия:
и
H^(ka) = 0 при jz=j3
(5.34а)
dH^jkr)
dr
= 0 при j=jz-
а
(5.346)
Следовательно, условия (5.34) определяют допустимый набор
собственных чисел v. Заметим, что v не может быть целым числом.
Мы будем брать лишь корни v уравнений (5.34) с положитель-
ной вещественной частью и суммирование по полной системе этих
корней обозначим через 2. Позднее мы остановимся на вопросе о
V
расположении корней и их вычислении.
Подставим теперь решение (5.33) в уравнение (5.32):
134
ftalaHaus
„ 1 d
S Ф (го)— —
“ v W' г dr
dH™ (kr)
г------------
dr
H^(kr)
г2
d2(Dv(<p) _j_
d (pa
+ k^v^H^(kr) ^-jz.
Но из уравнения Бесселя следует:
1 д ( dH™(kr)\
------1 r-------
г д г \ дг /
•у2 \
^-Тг)^2) (И;
тогда
Sr d2 Ф (<р) I 1
, + v24 (Ф)J 7Г W? (kr) = -Jz (ф) 6 (r-r0).
(5.35)
Умножим левую и правую части (5.35) на rH^(kr) и проинте-
грируем произведение по г от а до оо:
3 +V’ ф (ф) ] f т (М «!? (М “г=
v L ** V J г=а '
оо
= -Jz (ф) J Н™ (kr) б (r—r0) rdr.
г=а
(5.36)
Чтобы вычислить интеграл в левой части (5.36), запишем раз-
ность двух уравнений Бесселя: одного — для функции f/v<2>(Z>r) и
второго — для функции //(2)ц(/гг), умножив 'предварительно каждое
из них на решение другого:
(V2 _ И2) _1_ я<2) (kr) Н™ (kr) = Н™ (kr) — ~^(г -
г2 г дг \ дг /
1 д (г dH™(kr} ,СО-,Ч
~н" !tl7VV—ё—г <5-37)
От обеих частей равенства (5.37) возьмем интеграл то г от а
до оо, интегрируя .при этом то частям .правую часть:
(V2—р2) J — Н™ (kr)H\?(kr)dr =
г—а г
_ гН? (кг) .
дг дг г=а
Подстановка верхнего .предела обращает в нуль правую часть
в силу условия излучения на бесконечности, а 'подстановка нижне-
го предела обращает в нуль .правую часть за счет граничных ус-
ловий (5.34). В результате получаем
j — H™(kr)H™(kr)dr=[ 0 ПРИ (5 38),
r=a r I Nv При (l=V.
135
[Г'
Выражение (5.38) является соотношением ортогональности ра-
диальных функций. Величина Nv есть норма этих функций. Ее мож-
но определить следующим образом:
= J — [Ну^ (kr)]2dr =
r=a r
dH^(kr) dH™ (kr)
~V~ ~ ’ (kr)
(v — Ц) (v + p)
d [ dH^(kr) dH^(kr)}
__ j rHg> _ rH» (tr)
d
-T—{(v — p)(v + p)}
Эр
d*H™ (kr) dH™ (kr) dH™ (kr) “
r^v (/гг>----
v drov
а
- litn
= lim -
dr
а
d v
2v
Отсюда, принимая во внимание (5.34), получим:
для случая возбуждения электрическим током (jz—
N _ ka dH^(ka)dH^(ka)
v 2v dv d (ka)
для случая возбуждения мапнитным током (/2=/мг)
Л,.„-^W°4-,|fc->
2v д (ka) д v
Таким образом, выражение (5.36) с учетом (5.38) перепишется
в виде
(5.39)
(5.40)
(5.41)
d2%(^ . 2m / x Jr (T) ro Hv ’ (k rB)
. 2 - + V“ ®v <P =------------м---------
d <j2 nv
Соотношение (5.41) является обыкновенным дифференциаль-
ным уравнением второго порядка относительно функций Ov((p).
Для его решения воспользуемся методом вариации постоянных.
Неизвестную функцию <DV (<f>) представим в виде
Фу’((f ) = Ау (ф) е-^ + Bv ((f) е^.
Варьируя постоянные, найдем
~r0H^(kr0) ,
—— $ Jr ) е‘v<₽ dV + Cv e~l Vj<₽ +
y V <₽'=<₽!
Ф^(<Р) =
+ ~i2vN~ Фd(f'+
* * v V <£ —ф
136
^lawUausi'Si
знание без границ Ч *
Подставив это выражение в (5.33), "получим общее решение
уравнения (5.32), удовлетворяющее граничным условиям (5.34) и
условиям излучения на бесконечности:
г0^2) (kr0)H™ (kr)
i2vNv
4(Л <₽) = S
V
<₽'=<₽
e-fw; J jz (ф') e*‘ v<₽' dtp' +
<P'=<P1
4>'=4>л . , - - . 1
iV(₽ f Jz (ф') e~lv(p d(p + Cv e~ivff> + Dv elv^ .
ф'=ф J
(5.42)
Это решение "Представлено в форме, удобной для случая рас-
положения точки наблюдения .внутри области сторонних токов.
Первый интегральный член в фигурных скобках описывает волны,
бегущие от источников по часовой стрелке (в направлении воз-
растающих значений ф), а второй — волны, движущиеся от источ-
ников .против часовой стрелки.
Если точка наблюдения лежит правее области источников (ф>
>ф2), то в пределах интегралов в (5.42) следует подставить ф=
=:ф2. Тогда второй интегральный член пропадет и в точку наблю-
дения будут приходить от источников лишь волны, движущиеся по
часовой стрелке.
В том случае, когда точка наблюдения расположена левее об-
ласти источников (ф<ф1), в пределах интегралов вместо ф под-
ставляем фЬ обращая в нуль первый интегральный член.
Выражение (5.42) является суммой частного решения неодно-
родного уравнения (5.32) и общего решения соответствующего
однородного уравнения. Это выражение справедливо для любой
клиновидной области, внешней по отношению к идеально проводя-
щему цилиндру, с произвольными граничными условиями на стен-
ках клина.
Значения постоянных Cv и Bv будут определяться видом гра-
ничных условий.
В нашем случае, когда мы имеем дело с цилиндром, окружен-
ным свободным пространством, постоянные Cv и Bv должны быть
найдены из условия равенства тангенциальных составляющих
электромагнитного поля, найденных при обходах цилиндра по ча-
совой стрелке и против часовой стрелки. Легко убедиться, что для
выполнения этих условий достаточно потребовать равенства потен-
циалов и их производных по ф.
Потенциал в некоторой точке, характеризуемой углом фо (поло-
жим для определенности фо>фг)> можно в соответствии с (5.42)
определить либо учитывая волны, движущиеся от источника по
часовой стрелке:
-> х- г0 М2) (kr0) /7<2> (kr) ( ч>'тч>2 , , ,
4г (г, ф0) = S --------------vg—77---------------j e-lv<₽« f Jz (ф ) dtp +
+ Cv + Dv eI‘v(Po j,
137
либо учитывая волны, движущиеся от источника против часовой
стрелки (эти волны приходят в ту же точку, пройдя угол фо—2л);
Л(Л «Ро—2л) = 2
V
Го (kr0) И™ (kr)
i2vNv
<Р'=«РЕ „ „
ei v (<р0—2л) C (цу) е- i v<f'е- i v «р„-2л) £) eiv(<f0-2n)
<P'=«Pi
Приравняем потенциалы Аг(г, <р) и Аг(г, <р) и их производные
по <р:
Л (''.%)= Az(r, <p0—2л), дААг’ ф)
d<p
Из этих равенств находим
<р'=«р2
J Jz (<р') el vtf'd <р'
cv = e~ivn 1---------------------------;
21 sin vn
_ dAz(r, <p)
ч’=«Ро d <p
<р=<р0—2л
<Р'=«Р2
J J2(<p')e_,v4,'d(p'
Dv=e~{ ™ --------
2 i sin vn
Подставив найденные значения
ф'=ф
4- e-*v(<p+n) j Jz (ф') eiv<f- eiv«e-3i) J
<₽' = <₽!
= _ v r0 H<V (kre)H<? (kr)
7~' 2vNv sin wt
Cv и Dv в (5.42), получим
, , x V r° HV ’ <k ro) ^v2>
AZ (r. *p) = — 2j --------T-T7--------------- X
' " 4v7Vvsinvn
( . <P'=«P
x e~£v<f 2i sin vn J Jz (<p') eiv<t' dtp' 4-
’ 4'=<h
<P'=<Ps
4- elv<f 2/ sin vn J Jz (<p') e~,v^' dtp' 4-
<p'=<p
<P'=<P2 Ч>' = Ч>2 Л
........... ‘ i (<p') e-^f'dtp' ! =
<p'=«Pi J
J Л(•₽')cosv(л — |tp'—tp|)dtp'. (5.43)
<p'=«Pi
Выражение (5.43) представляет собой окончательное решение
задачи >в двух различных формах.
Возможен и другой путь решения уравнения (5.41), при ко-
тором вместо сшивания полей в некоторой точке на искомую
функцию накладывается условие периодичности за счет представ-
ления ее в виде ряда Фурье. Для этого разложим функцию рас-
пределения стороннего тока в ряд Фурье:
^(Ф)= Апе‘^,
п=—оо
(5.44)
где
А
п
I 2л
— ( Л (ф ) dф'.
2л J
i 38
^alaHausA
знание без границ Ч
Неизвестную функцию Ov (<р) также представим в виде ряда
Фурье:
Ov(<p)= § Bnein*.
П=— 00
(5.45)
Подставив (5.44) и (5.45) в (5.41), определим коэффициенты
разложения (5.45):
г о (krQ)
Вп = --9 X / 2 ~ 2Т~ f А (ф') e~‘n,f d(P
п 2л Nv (v2 — n2) 6
Следовательно, функция Ov(<p) будет иметь вид
г Н<2> (hr а2п ,°°. р1п <<₽-<₽')
им- W1AOT2
0^(р^2л ZJL/Vv 0 п——оо
В силу известных тождеств [10]:
fiin (<J>— <f ') j । о KI COS«(<p —ф')
v--»’
2i л e~im
v m=o
мы можем представить выражение для потенциала А
личных формах:
v2 — n2
e
v2_n3 d(P'- (546)
Л COS V (n — | <p' — ф |) _
v sin vn
cos v (л— |<р'—<р|) 2 e~iv2m31
(5.46а)
в трех раз-
В
я . ч V ro (kro) Hv}
Л, (г, ср) = /;-------S-TT----:--------
z \ , -г/ л-i 2viVvsinvn
<Р'=«Р2
J Jz(<p )cosv(n—|<р —<p|)d<p ;
<p'=«Pi
(5.47а)
А ('> ф) = — S
r0 <*ro) Hv}
2 nNv
gin (<p—<p')
v3 —n2
v ir0H^(kr0)H^(kr)
Az(r, 4>) = — 2j
<р'=«р2
<P' = 4’i
dtp';
(5.476)
2vN,
X ф |ФгЛ(ф')§ [cJ1'v(_2ra-4^l<t' ^ri) 4-e^t'v(2(''H I,IT' ^r'"<'r|)]d<p'. (5.47в)
<р,^(р1 П7=0
Выражение (5.47а) совпадает по форме с (5.43), а в выраже-
ниях (5.476) и (5.47в) каждая азимутальная гармоника, характе-
ризуемая числом г, представлена в виде бесконечного набора
волн, каждая из которых целое число раз обежала вокруг ци-
линдра и пришла в точку наблюдения. В выражении (5.476) чис-
ло v определяет комплексную амплитуду каждой такой волны;
целое число п, принимая положительные и отрицательные значе-
ния, определяет волны, бегущие по часовой стрелке и против ча-
139
совой стрелки. В выражении (5.47в) v играет роль комплексной
постоянной распространения азимутальных волн; два слагаемых в
квадратных скобках представляют собой пару волн, движущихся
по часовой стрелке и против нее, а целое положительное число т
показывает, сколько раз каждая из волн обежала вокруг цилинд-
ра. Как будет установлено ниже, Лпт<С0, поэтому с увеличением
т, т. е. с увеличением пути, .пройденного вокруг цилиндра, ази-
мутальные волны будут затухать. Выбор той или иной формы ре-
шения определяется конкретными условиями задачи и осуществ-
ляется исходя из удобств дальнейшего анализа.
Для расчета по формулам (5.43) и (5.47) необходимо прежде
всего знать корни v уравнений (5.34). Имеется ряд способов вы-
числения этих корней в зависимости от вида аппроксимации функ-
ций Hmv(ka). 1Мы рассмотрим здесь аппроксимацию Гаккеля —
Лангера [11]; способы вычисления корней на основе других пред-
ставлений функций H(2)v(ka) читатель может найти в монографии
[12].
Аппроксимация Ганкеля — Лангера, дающая высокую точность
при больших значениях аргумента, имеет вид
. я
//!= (ka)x /JeiZiV* |v(tga—a)) +
\ tga /
_ 5
4-члены порядка v 4 и т. д., (5.48)
где т=&п cos а.
Взяв первый член аппроксимации, мы можем вместо уравнения
(5.34а) записать
Д’/з [ka (sin а—a cos a)] = 0. (5.49)
Обозначим &(sina—acos a) =rein. Тогда с помощью известных
соотношений для цилиндрических функций
eivn J (г) — (г)
Д‘,2) (г) =--— и Jv (г е‘тп) = e‘nmv Jv (г)
i sin vn
можно переписать уравнение (5.49) в виде
•Л/з (r) + J—j/з (г)= 0- (5.50)
Определив корни трансцендентного уравнения (5.50) и пользу-
ясь формулой
sin a—cccosa=
n=l
п a2n+l.
2п -f- 1
мы можем найти т-й корень уравнения (ka) =0 в виде разло-
жения
1 __i_
vm = kacosam = ka-\-Alm(ka)3 — A2m(ka) 3 +
^alaHausA
знание без границ Ч
-A _JL _1_ __э_
+ Лт(М 3 — Aim(ka) 3—Aim(ka) 3 + A6m(ka) 3+...—
[ ± _± _А -- 1
- i I Blm (ka)3 + В2т (ka) 3 —В3т (ka) 3 + Bim (ka) 3 + ... Г
(5.51)
Значения коэффициентов Апт и Впт для т=1—15 рассчитаны
в работе [13] и приведены в приложении (табл. 1). Чтобы найти
корни второго из уравнений (5.34), также воспользуемся асимпто-
тическим выражением (5.48) для функций Ганкеля с комплекс-
ным индексом и соотношением
(г) = Н%3 (г)- (г),
az Зг
Тогда вместо уравнения
женно написать
[v (tg а — а)] ~
Hfy [*v (tg a — a)]
--------- =0 мы можем приоли-
dr r-a
1 3a sec2 a — 3 tg a — 2 tg3 a
v 6 tg3 a (tg a — a)
При ka-^co правая часть этого уравнения стремится к нулю и
можно считать, что
//^2/3['v(tga—а)] = 0. (5.52)
Обозначив снова v(tga—a)=fea(sina—acos а)=ге‘л, мы мо-
жем вместо (5.52) записать
J2/3(r)-J_2/3(r) = 0. (5.53)
Найдя корни уравнения (5.53), .можно затем определить т-й
корень уравнения (5.346) в виде ряда
2
- ” /1 \-о-р
vm^ka^ • (5.54)
Р=о \ ka /
где коэффициенты Крт для р=0, 1, 2, 3, 4, 5 и /и=1—15, взятые
из работы [13], приведены в приложении 2 (табл. 2).
Таким образом, корни vm и vm, как это видно из (5.51) и (5.54)
и табл. 1 и 2, растут с увеличением ka и имеют отрицательную
мнимую часть; их действительная часть положительна и превыша-
ет ka. Последнее обстоятельство говорит о том, что фазовая ско-
рость азимутальных волн, обегающих цилиндр, меньше скорости
света.
Для проведения расчетов по формуле (5.43) необходимо знать
также значения производных dHvW(ka)/dv и dzHv(2>(ka)ld(ka)dv,
входящие в выражения (5.39) и (5.40) для нормы Nv. Используя
асимптотику (5.48), можно получить выражения дН™ (ka)/dv в
виде ряда
141
г
dH& (ka)
dv
2 j- ___2_ _ Д
3 [l+Dlm(ka) 3 — D2m(ka) 3
) _JL < -L
3 [ 1-Dlm(ka) 3 -
= Cm(ka)
г
т
+ DSm (ka) + ... j 1 m (^a)
-T 1
+ Д?т (^a) + - - - J >
коэффициенты которого для m=l—15 [13] 'имеются в приложении
2 (табл. 3).
Значения производной -------—-—— ~ 1В соответствии с соот-
Н д (ka) д V v=vm
ношением
dH{~'(z) df№' (z) dk№'(z)
vm Vm \ Vm = 0
& dz d vm dz
(так как дифференцирование проводится вдоль линии нулевого
уровня функции Н(~ (z)) и уравнением Бесселя
vzn
дг2 г дг \ г2 / J vm
можно найти из функционального уравнения
д2 Н& (ka)
д (ka) д v
Ут
ka /
dvm
d(ka)
2
И1- (ka)
J vm
1 —
т
где dv-m/d (ka) определяется из выражения (5.54):
dvm =2
d (ka) р=о
2
\ТР
a H^^-^(ka) заменяется аппроксимацией Ганкеля — Лангера (5.48).
Оценка сходимости ряда в формуле (5.43) показывает, что этот
ряд сходится для значений |<р7—<р|, больших .нуля. Чем больше
величина ka, тем быстрее сходимость.
При расчете поля в дальней зоне (kr^oo) в формуле (5.43), а
также в формулах (5.47) следует заменить функцию Ганкеля ее
асимптотическим представлением для больших значений аргумен-
та:
Я<2> (kr)^}/ -^—е
' ' Т л kr
142
ftatatlaus
знание Без границ
Тогда формула (5.43) примет вид
----- -ikr+i^-
V
ivy
r0 (krB) e
2v/Vvsin vn
<p'=q>2
X J Jz (ф') cos v (л—|<p'—<p|)d<p'. (5.55)
4>'=4>1
Представим зависящий от угла множитель члена ряда (5.55)
в виде
ivj iv (— л— |<Р'—ч>| i — i V —|<р'—Ч>||
cos v (л — | <р' — q |) e e 2 e ' 2
sinvn elvIt —e~ivn
(5.56)
Такое представление изображает каждый член ряда (5.55) в
виде двух воли, обегающих цилиндр в противоположных направ-
лениях. В литературе эти волны иногда называют «ползущими».
Поскольку корни vm и vm уравнений (5.34) с положительной
действительной частью лежат ,в четвертом квадранте (Jmv<0),
из выражения (5.56) следует, что этот множитель будет затухать
эт 3
при — |л, т. е. в зоне тени. Следовательно, ряд (5.55)
будет быстро сходиться при /га^> 1 и углах, соответствующих зоне
тени источника, за исключением значений, слишком близких к —
2
3
или —л.
2
Рис. 5.14. Амплитудные и фазовые диаграммы направленности в зоне тени про-
дольной нити .магнитного тока на цилиндре:
а) tai =12, б) Ла = 40
143
В освещенной зоне суммирование ряда (5.55) можно, вообще
говоря, осуществить с помощью преобразования Эйлера. На прак-
тике, однако, для расчета поля в освещенной зоне пользуются
приближением геометрической оптики, основанным на работе
В. А. Фока [14]. О использовании методов геометрической оптики
для решения рассматриваемой задачи будет также сказано в гл. 9.
На рис. 5.14 приведены диаграммы направленности продольной
нити магнитного тока, лежащей на цилиндрах с электрическими
радиусами &а=12 и ka=4Q [13]. При расчете для случая ka— 12
учитывались 15 членов ряда (5.55), а для случая #а = 40 оказалось
достаточным взять 4 члена. Если сравнить графики, показанные
на рис. 5.14,а, с графиками, рассчитанными по формуле (5.23) для
/ш=12°, то можно убедиться, что в диапазоне углов 180o>q)>
>100° нет заметных различий между этими кривыми.
Лишыпри углах <р, близких к границе зоны тени, ряд (5.55) да-
ет погрешность за счет ухудшения сходимости.
5.5. Дифракция плоской волны на цилиндре
В ряде задач представляет интерес электромагнитное поле,
возникающее при падении (плоской волны на идеально проводя-
щий цилиндр. Дифракция плоской волны на некотором теле яв-
ляется частным случаем возбуждения, а именно таким, когда ис-
точник удален от тела на бес конечно большое расстояние.
В теории дифракции электромагнитных волн на цилиндре
обычно рассматривают два случая поляризации падающей плос-
кой волны: 1) волна поляризована параллельно оси цилиндра;
2) волна поляризована перпендикулярно оси цилиндра.
Обратимся сначала к первому случаю, когда падающая волна
имеет составляющую электрического поля Ег.
Для получения расчетных формул нет смысла заново строить
решение, а достаточно воспользоваться результатами § 5.2. Дейст-
вительно, если удалить продольный электрический диполь на
большое (по сравнению с длиной волны) расстояние от цилинд-
ра (/г6->-оо), то электромагнитное поле, создаваемое диполем
вблизи цилиндра, будет существенно плоским.
Чтобы записать выражения для полей, можно идти двумя пу-
тями. Во-первых, полагая в формуле для F32(x) величину хй->-оо
и используя асимптотическое представление для функции
Н(2)эт(хй), .можно с помощью выражений (5.5) и (5.6) найти
Е2сумм и затем |П|0 формулам '(5.8) и (5.9) определить поперечные
составляющие поля. Во-вторых, на основании теоремы взаимно-
сти (см. '§ 3.5) мы можем непосредственно использовать формулу
(5.18), определяющую поле в дальней зоне продольного диполя,
расположенного около цилиндра, на расстоянии b от его оси. В
самом деле, если мы перенесем диполь в точку наблюдения в
дальней зоне и будем определять поле в той точке, где раньше
находился диполь, то составляющая Ez этого поля согласно тео-
реме взаимности по-прежнему будет определяться формулой
^alatiauSiM
знание без границ “ *
(5.18). Нам следует лишь заменить в этой формуле R на Ь, а
Ь на г, так как мы договорились обозначать расстояние до точки
наблюдения через г, а расстояние до источника — через Ь. Стоя-
щий перед знаком суммы в формуле (5.18) 'множитель согласно
(2.120) представляет собой напряженность' электрического поля
диполя в дальней зоне в экваториальной плоскости в начале ко-
ординат:
. I^lk* е-^
£0 = —I-----------------
4 гаое'а b
Таким образом, продольная составляющая суммарного элект-
рического поля, возбуждаемого в любой точке пространства при
нормальном падении плоской полны на цилиндр, 'будет равна:
£сУм.м _Ео J J £(2> (Лг) Jn (ka)_HW {ka) Jn (kr)] (5 57)
n=0 ‘‘n
Отметим, что первое слагаемое в квадратных скобках в (5.57)
соответствует дифрагированному (рассеянному) полю, а второе—
первичному полю плоской волны, приходящей под углом <р=0.
Если мы интересуемся полем не в плоскости 2=0, а в неко-
торой плоскости, характеризуемой координатой z, то поле диполя
будет иметь вид плоской волны, приходящей под углом 0 -к оси
цилиндра. Тогда суммарное поле ,в соответствии с (5.11) можно
будет определить по формуле
= _£ l feZcosesin2B cosn<p - [//^(fersine) Jn (fcasin0)-
n=o w,’i (to sm e)
— Hn2) (ka sin 0) Jn (kr sin 0)],
(5.58)
где
. l30lk*
4 = — t ---------------;
4л(ое'а 7?0
Ra — расстояние от начала коорди-
нат до точки наблюдения.
Остальные составляющие поля
можно найти, подставив (5.58) в со-
отношения (5.13).
Чтобы найти поле в дальней зоне
цилиндра, в формулах (5.57) и
(5.58) следует заменить функции
Hr(2}(kr) и J„(kr) их асимптотиче-
скими представлениями при kr-»-oo.
На рис. 5.15 представлены заим-
ствованные из книги [15] диаграм-
мы направленности рассеянного по-
Рис. 5.15. Диаграммы направлен-
ности рассеянного на цилиндре
поля
145
ля при нормальном падении плоской волны. Диаграммы направлен-
ности приведены к единице при <р = 0.
Можно видеть, что с увеличением электрического радиуса
цилиндра рассеянное поле излучается все более узким пучком
в сторону, противоположную 1направлению прихода падающей
волны.
Обратимся теперь к случаю поперечной поляризации. Необ-
ходимое падающее поле может быть создано продольным магнит-
ным диполем, удаленным от цилиндра на расстояние, много боль-
шее длины волны. Чтобы кратчайшим путем получить расчет-
ную формулу, применим к формулам (5.12) и (5.10) теорему вза-
имности, .предварительно подставив
V /м /
F7 (k sin 0) =-----Нп} (xb)',
8шы|л'а
F” (k sin 0) = - -X -—- Jn (x b).
8л1(ор'а
Тогда для продольной составляющей суммарного магнитного
поля получим следующее выражение:
X [НпУ (Aasin 0) Jn (Ar sin 0)—J'n (Aasin 0) //„2> (Ar sin 0)], (5.59)
„ /“/A2 e-ikRc
где Ho——i-------------------—поле магнитного диполя в начале
4л<вр/а Ro
координат, где Ro— расстояние от начала координат до точки на-
блюдения.
Остальные составляющие поля можно найти с помощью вы-
ражений (5.14).
Заметим, что при больших значениях электрического радиуса
цилиндра ka при решении задачи дифракции следует воспользо-
ваться методом, изложенным в § 5.4.
Глава шестая
Возбуждение шара
В этой главе рассматривается задача о возбуждении элект-
ромагнитных волн сторонними источниками, распределенными в
однородном пространстве вблизи шара. Исходя из решений в
сферической системе координат для свободного пространства,
приведенных в гл. 2, можно было бы легко получить общее ре-
шение задачи о произвольном внешнем и внутреннем возбужде-
нии однородного шара с ‘конечной проводимостью, как это сдела-
146
4\alalfaus№k
знание Везераниц ' *•
но в работе [4]. Здесь, однако, рассмотрено только внешнее воз-
буждение идеально проводящего шара, поскольку эта задача
имеет большое значение в излучающих устройствах. Решение за-
писано в виде суммы первичного и вторичного поля и представ-
ляет собой наложение электрических и магнитных волн. Форму-
лы имеют сравнительно -.простой вид, поскольку граничные усло-
вия на поверхности шара удовлетворяются в отдельности для
каждой пространственной гармоники. Далее исследуются поле
радиального и меридионального электрических диполей, располо-
женных вблизи шара, и поле кольцевой щели, расположенной на
шаре. Эти случаи возбуждения шара являются характерными и
дают общее представление о влиянии шара на излучение антенн.
Важным примером является возбуждение шара кольцевой щелью
с бегущей волной напряжения первой вариации. Этот случай ха-
рактерен излучением вращающегося электромагнитного поля и
«освещением» всего пространства, окружающего шар. Затем рас-
сматривается классическая задача о дифракции плоской электро-
магнитной -волны на идеально проводящем шаре.
После этого приводится другое общее решение задачи о воз-
буждении идеально проводящего шара, пригодное для расчета
поля источников, расположенных на конечном расстоянии от ша-
ра большого электрического диаметра. Следуя Зоммерфельду
[3], решение задачи представлено в виде разложений по собст-
венным -волнам, распространяющимся в меридиональном направ-
лении. Можно было бы исходить из решений, полученных в § 6.1,
с последующим применением преобразования Ватсона, как это
делается, например, в работах [14, 12]. Однако приводимый
здесь прямой путь решения является естественным и более прос-
тым. На частном примере возбуждения шара большого электри-
ческого диаметра кольцевой щелью показывается быстрая сходи-
мость полученного решения в области геометрической тени.
6.1. Общее решение задачи о возбуждении идеально
проводящего шара
Рассмотрим идеально проводящий шар радиуса а. В неко-
торой области V однородной среды, окружающей шар, зададим
объемное распределение сторонних электрических и магнитных
токов. Начало сферической системы координат совместим с цент-
ром шара (рис. 6.1).
Полное электромагнитное поле сторонних токов в присутствии
шара представим -в виде суммы первичного и вторичного поля.
Первичное поле обусловлено излучением сторонних токов в от-
сутствие шара, а вторичное поле есть поле токов, наводимых на
шаре; последнее можно трактовать как результат отражения пер-
вичного поля от шара.
Удобно записать искомое поле в виде наложения электриче-
ских и магнитных волн. Таким образом, согласно выражениям
(2.106) — (2.114) выразим радиальные составляющие суммарного
147
электрического и магнитного поля в виде
« оо 4-к 1 00
= —2 S n(n+l)^„m; //,=—3, 2 n(n+l)I/“nm; (6.1)
г п=0 т=—п Г п=0 т=—п
р2э Е<2) (kr)
п \ - +Лпт^)(6г) ; (6.2)
Fnm Фп (kr)
I Fn!n ln2) (kr) |
£ntm=£™(cos6)e_t’"I4’| lM ' / +Bnmt^(kr) • (6.3)
I Fnm Фп (kr) J
В ‘выражениях (6.2) и
первичное поле в области
(6.3) первые слагаемые определяют
г>г' (верхняя отрока) и r<Zr' (ниж-
няя строка), а вторые слагаемые —
вторичное поле.
Коэффициенты Fsnm определяются
выражениями (2.108) и (2.111), т. е.
интегралами от объемного распределе-
ния сторонних токов. Неизвестные ко-
эффициенты Апт и Впт ЯВЛЯЮТСЯ ПО
существу коэффициентами отражения
первичного поля от шара.
Во вторых слагаемых выражений
(6.2) и (6.3) взяты радиальные сфери-
ческие функции второго рода, посколь-
ку поле вторичных волн должно удов-
летворять принципу излучения на бес-
конечности.
Рис. 6.1. Возбуждение иде-
ально проводящего шара
Поперечные составляющие суммарного поля электрических и
магнитных волн определяются выражениями (2.113) и (2.114),
где функции U3rnm и иыгпт берутся в виде (6.2) и (6.3).
Для определения коэффициентов отражения Апгп и Впт не-
обходимо воспользоваться граничными условиями на поверхности
шара, которые в отдельности удовлетворяются электрическими и
магнитными волнами:
£э6=0; £’=0; fg == 0; £" = 0. (6.4)
Из выражений (2.113), (2.114) и (6.2), (6.3) видно, что гранич-
ные условия (6.4) удовлетворяются раздельно для каждой прост-
ранственной гармоники и сводятся к выражениям
дг
= 0; £",J =0. (6.5)
г=а \г=а
Таким образом, подставив (6.2) и (6.3) при г<г' в (6.5), найдем
d(atyn (ka))
л _ г4э да _ р ___________________ р1м ‘Фп (ka)
Гпт >Dnm гпт
d(atf> (to)) g‘2> (to)
(6-6)
да
148
^alaHausA
знание без границ Ч
Полученное решение задачи о возбуждении идеально проводя-
щего шара заданным распределением электрических и магнитных
токов удовлетворяет всем условиям теоремы единственности, т. е.
удовлетворяет неоднородным уравнениям Максвелла, граничным
условиям на поверхности шара и принципу излучения на беско-
нечности. Значит, это решение определяет истинное поле, сущест-
вующее вокруг шара.
Полное поле состоит из бесконечной суммы пространственных
гармоник (собственных волн). Задаваясь тем или иным распреде-
лением возбуждающих токов, .мы можем произвести расчет поля
отдельных гармоник и суммарного поля. Трудность численных
расчетов связана обычно с тем, что для тел больших электриче-
ских размеров приходится учитывать большое количество про-
странственных гармоник. Известно, что для инженерной точности
расчета поля в зоне излучения (2%) необходимо принимать во
внимание столько членов ряда, сколько полуволн укладывается
по дуге большого круга возбуждаемого шара при расчете вто-
ричного поля или по дуге наибольшего круга расположения сто-
ронних источников при расчете первичного поля.
Однако для шара, диаметр которого невелик относительно
длины волны возбуждаемых колебаний, расчеты поля сравни-
тельно несложны.
Ниже будут проанализированы характерные случаи возбуж-
дения шара.
6.2. Поле радиального диполя над шаром
Расположим элементарный электрический вибратор (диполь
Герца) на полярной оси на расстоянии b~^a от центра шара и
совместим ось диполя с радиальным направлением (рис. 6.2).
Рве. 6.2. Радиальный виб-
ратор над шаром
Рис. 6.3. Характеристики направленности ра-
диального диполя и шара
Объемное распределение такого стороннего тока выразим через
дельта-функцию:
149
j3r(r, 0, ф) = /э/ 1 6(r—b)6(0—0)6(<p —0). (6.7)
r2 sin 0
Из подстановки (6.7) в выражения (2.108) и (2.111) видно,
что поле магнитных волн равно нулю (F‘mnm=0), а для поля
электрических волн, поскольку функция Р”!п(1) равна единице при
т = 0 и нулю при /п#=0, получаем
^э = _(2п+1)_А_21£_^ (ftfe) прит=о; (6.8)
/’пт^=0 При /П = ±1, ±2, ±3,...
Тогда выражение (6.2) с учетом (6.6) примет вид:
для г^Ь
<А «-(2^ + D^ -^-P„(cose)x
х^2) (kr)
qn(kb)-tf> (kb)
d (a 4’n (ka))
da
d(a У? (to))
da
(6.9a)
для
b P !
(д = -(2л+1)?Д?-^₽«<с“в>х
d
— (a 4’n (ka))
Фп (kr)—g,(2) (kr) ------------------
-£(^<2,m.
(6.96)
Составляющие векторов электрического и магнитного полей при
этом определяются следующими выражениями:
xgf’(*6)
£г=— § n(n + l)U;
г п=0
£ & (гЦ*) .
г 60 дг
ОО
Htf = — i сое'а S
п=0
(6.10)
dQ
Остальные составляющие поля тождественно равны нулю.
Таким образом, возбуждаемое диполем поле не зависит от
азимутального угла и определяется набором меридиональных
пространственных гармоник. Ток, определяемый выражением
/эе =—7/J г=а, имеет только меридиональные составляющие с
нулевыми значениями на полюсах. Следовательно, шар с точки
зрения формирования вторичного поля эквивалентен бесконечно-
му набору мультипольных переизлучателей.
На рис. 6.3 приводится зависимость вторичного поля в зоне
излучения от угла 0 (характеристика направленности шара) при
150
ftalatlauswk
знание Вез границ ' *•
ka=6 и kb=l. На то.м же (рисунке для сравнения 'Приводится
характеристика направленности диполя при отсутствии шара. |Мы
видим, что максимум излучения токов, наводимых на шаре, на-
правлен в (Сторону, противоположную точке расположения дипо-
ля. Характеристика направленности имеет мнотолепестковый ха-
рактер и довольно схожа с той, которая получается на проводе
с бегущей волной тока.
На рис. 6.4 приводятся характеристики направленности дипо-
ля в присутствии шара при одном и том же расстоянии диполя
Ри-с. 6.4. Характеристики направленности радиального вибратора в присутствии
шара
от поверхности шара k(b—а) = 1 и различных размерах шара:
ka=\, 3, 6, 12. При ka=\ характеристика направленности име-
ет однолепестковый характер, однако максимум излучения на-
правлен под углом около 110°. С увеличением диаметра шара ос-
новной максимум излучения сдвигается в сторону меньших углов,
однако появляются побочные лепестки в Южном полушарии, ко-
личество которых с увеличением диаметра шара увеличивается,
и они прижимаются к направлению 6=180° В Северном полу-
шарии излучение относительно равномерно. Такой характер из-
лучения диполя вблизи шара согласуется с (представлением о воз-
никновении на шаре бегущих волн тока, движущихся от Север-
ного полюса к Южному.
6.3. Поле меридионального диполя над шаром
Теперь обратимся к элементарному электрическому вибрато-
ру, ось которого совместим с меридиональным направлением, и
расположим его на полярной оси (рис. 6.5).
Объемное распределение стороннего тока запишем в виде
/е(г, 6, ср) = 73/^—6(г-6)6(0-О)6(<р-О). (6.11)
г2 sin 0
151
Из подстановки (6.11) в (2.108) получим
Р Sa ___ 2п + 1 (п —т)! ___А
1 пт
1ЭI
п(пЦ-1) («+ т)[ 4лсое'а
л dP^(cosS')
— (b Rs (kb)) 1 im —.
ь db * е'-о d0'
Для того чтобы определить здесь предел производной функ-
ции Лежандра, заметим, что
—^-^7—- =-^- {Дп+1 (cosO') — (п—т+ 1) (п + т) Р™ 1 (cosO')}.
Но так как Рта„(1) равняется единице при /п=0 и нулю при
щ#=0, то
lim dP”(cosfl') = n(n-pi) .
е'-о d0' 2
dP~*(cos0') j
Таким образом, коэффициенты FS3nm оказываются равными
нулю .для всех значений т, кроме /п=±1, когда они равны:
----!-г~ 4r(bRn(kb)) при т = 1; (6.12)
пт 2п(п+1) 4лсое а b db v х и r '
77 S 2/2 -j- 1 л 1^1 д /1 r\S /Li\\ _ 1
=------2------4л<ое'а b -^(bR'Akb)) при /п=—1.
Подставив теперь (6.12) в (6.2) и учитывая (6.6), для суммы
значений по т будем иметь при г>Ь\
Тр т /э I г /э _______ 2/2 —|— 1 k I I
Un - - C/nm=l Unm=^ 1 — ------"— х
г>Ь 2 4л(ДЕ а и
X к' (k, b) g<2) (kr) f —4— Pln (cos 0) e~ ‘ - Д71 (cos 0) e‘v 1.
ln(n+l) J
Но так как P71(COS6)=-------------Pn(cos0), to
n (n -|- 1)
= Ttn 4л4-4у-'^. fe)^2>(^)fi'(cos0)cos«p, (6.13)
r>6 n(n-|-l) члене a b
где для сокращения записи обозначено
д
~ (аФп (ka))
у! (k, Ь)=-^— (&фп (kb)) (b g<2) (kb)) .
db db о . ^(9),,
При этом составляющие векторов поля электрических волн, воз-
буждаемых диполем, определяются выражениями
ЕТ =— У, п(п+ 1) ’
г ^0
152
^alaHausA
знание без границ Ч
1 у (^п ) .
г sin 0 п=о д ц> дг
ИЭ . , у диэп
Я<р = —icoea2j —•
п=о д 0
(6.14)
ууэ = t we'a V к dUri
sin 0
п=о д<р
Рис. 6.5. Меридиональ- Рис. 6.6. Характеристики направленности мери-
мый вибратор над шаром дионального вибратора в присутствии шара
Теперь перейдем к определению поля .магнитных волн, воз-
буждаемых диполем. Подставив (6.11) в ('2.111), получим
F S ^п±^(п-п^^т riRs (^)lim^(.C°Se,) .
" л(п-Н) (п + m)! 4л е'-но sin О'
Но при /п=#0 имеем
Р™ (cos О') 1 , ,
Нт-----п. ' = V №+l (l)-(n-m+ 1) (п + т) ЛГ*(1) .
б'-о sinO 2
TJ n(n+l) . 1
И, следовательно, этот предел равен —---~---при т=1 и’~
при т=— 1; при остальных значениях т юн равен нулю.
Таким образом, для 'коэффициентов F8Mnm получаем выраже-
ния
Г?5м
* пт —
2n+ 1
2п(п + 1)
•— FlRntkb) при т=1;
4л
2« 1 k »э , r^S / I >\ ,
1'т =-------------!---------- I IRn (fib) при т =— 1.
2 4л
(6.15)
Из подстановки (6.15) в (6.3) при учете (6.6) для суммы значе-
ний по т при г^>Ь найдем
= U^m=l + ---Г" /Э Z <kr)х
2 4л
х [----!— Pln (cos 0) e~i(f + P~l (cos 6) el ],
[ n (n + 1) I
153
Un = i 2w+' _±_ p l £ (k, b) |<,2) (kr) P'n (COS 6) Sin <P, (6.16)
n(n-\- 1) 4л
где для сокращения записи обозначено
£ (k, b) = % (kb)-z^ (kb) .
&2) (ka)
Составляющие векторов поля магнитных волн при этом опре-
деляются выражениями
Hr =— V п(п+1)^;
г п=0
4=-^^' (6.17)
г п=о dvdr rsinun=o dtp dr
г-м ‘<Фа д б” Гм . , Л д t/“
£ё=-—~
sm 6 п-0 d <р п=о d 6
Суммарное поле электрических и магнитных волн определя-
ется сложением (6.,14) и (6.17). 'Мы видим, что поле меридио-
нального диполя над шаром имеет все шесть составляющих век-
торов Е и Н. Оно имеет одну азимутальную вариацию, причем
в плоскости <р=0 остаются составляющие Ег, Ее и а в плос-
кости <р="^— составляющие Нг, Но и £ф .
На рис. 6.6 изображены характеристики направленности ме-
ридионального диполя над шаром для случаев ka=6 и kb — 1.
Эти характеристики приводятся для полного поля и отдельно для
вторичного поля, т. е. для поля токов, наводимых на шаре. В
плоскости (ф=0 характеристики направленности Ее (0) отмечены
пунктирной линией, а в плоскости <р=л/2 они отмечены сплош-
ной линией.
Мы видим, что токи, наводимые на шаре, создают слабую на-
правленность, причем максимум излучения этих токов направлен
в сторону, противоположную точке расположения диполя. Как
показывают подробные расчеты, характеристики направленно-
сти вторичного поля слабо зависят от диаметра шара. Это свя-
зано с тем, что токи, наводимые на шаре и имеющие как мери-
диональные, так и азимутальные составляющие, быстро умень-
шаются по величине с увеличением угла 0 и вместе с тем имеют
характер бегущих волн, распространяющихся в сторону возраста-
ющих значений угла 6.
Характеристики направленности полного поля существенно
отличаются от тех, которые получаются для радиального диполя.
Максимум излучения меридионального диполя совпадает с на-
правлением 0=0. В направлении 0=180° излучение значительно
ослаблено, т. е. шар оказывает для меридионального диполя зна-
чительное экранирующее действие.
154
^atattausK^
знание без границ ч w
6.4. Поле кольцевой щели на шаре
Рассмотрим электромагнитное поле кольцевой щели на шаре,
вдоль которой создана бегущая волна напряжения между краями
щели (рис. 6.7). Представим щель в виде кольцевого стороннего
магнитного тока 7МФ, наложенного на шар, и зададим его объем-
ное распределение соотношением
/“(г,е,ч>)= I ^(0)б(г--^о-"-прИе1«в<е!, (618)
45 I 0 при 6<61И6>62.
Здесь /%=—Ее, причем Ее — напряженность электрического
поля в щели. Величина I определяет порядок азимутальной ва-
риации поля.
После подстановки (6.18) в (2.108) и (2.111) найдем
Г9 2 п -|- 1 (п — I)! ika-
nl ~~
. .... । ... Q Фп (ko} X
n(n-|-l) (n+0! 2
Ph (C0S
(0 ) —------— sinO cfO ;
6, d0'
pM 2»+l (»-/)! Jkla _d_ {a^n(ka}) x
n(«+l) (n /)! 2<оц'а d a
es
X f J”(0')P'(cos0')d0'.
0i
Тогда выражение (6.2) принимает следующий вид:
U3 = — 2п+* — х (k, a) |<2> (kr) х
" n(«+l) (n-H)i 2 ’ n
X P‘n (cos 0) e-^ j J” (O') rfpn^ose,) sin 6'd o',
е.
где обозначено
— (atyn(ka))
X (k, a) =i|in (ka) — (ka) ------------------------
— (о |((2) (ka))
da
Выражение (6.3) принимает вид
t/м = _ 2n+1 (k, a) g<2> (kr) x
" n(n-|-l) (n 4- Z)! 2ыр'а
e2
X Pln (cos 0) е^1‘ч J J”(0') P‘n (cos 0') d 0' ,
(6.19)
(6.20)
(6.21)
где обозначено
S' (k, a)^^-(a (ka))(^ (ka)) .
da da &n2\ka)
155
кольцевая щель
Составляющие векторов поля электрических воли при этом
определяются выражениями (6.14), а поля магнитных волн — вы-
ражениями (6.17).
Если .в формуле (6.18) положить 1=0, т. е. предположить, что
тся синфазной, то согласно (6.21) окажет-
ся, что t/Mn = 0. Следовательно, поле маг-
нитных волн тождественно равно нулю, а
поле электрических волн согласно выра-
жениям (6.20) и (6.14) имеет три состав-
ляющие: Ег, Ев и Дф. В этом случае на
поверхности шара возникают только ме-
т ридиональные электрические токи. Кар-
U тина электромагнитного поля аналогична
той, которая получается при возбуждении
шара электрическим радиальным дипо-
лем, расположенным на полюсе шара.
Обе эти структуры поля в значительной
степени совпадают, если кольцевая щель
Рис. 6.7. Кольцевая щель на располагается вблизи полюса шара и
IIiaiPe диаметр кольцевой щели много меньше
длины волны 2а sin 0, СX. Кольцевая син-
фазная щель в этом случае эквивалентна радиальному электриче-
скому диполю.
Действительно, для достаточно узкой щели, 'расположенной
под углом 01, в 'Выражении ’(6.20) можно положить при 1=0
f JM (О') rfPn(cosej_ sin е, d 0, (6) Д 0 rfPn(coseL) sin
J ' de' det
Замечая, что /мф=Д,фаД0—полный магнитный ток кольцевой
щели, a S=na2sin2 01 — площадь, ограниченная кольцом, и имея
в 'Виду, что
d Рп (cos 0t)
lim =
е,-»о sin6t 2
приведем (6.20) к выражению вида
;fc /н С
=(2H+l)T^-x^,a)^2)(^r)Pn(cosO), (6.22)
" 4 л а
которое совпадает с выражением (6.9а) для поля радиального
электрического диполя при Ь=а, если положить
Значительный интерес представляет случай, когда /=1. Для
того чтобы выяснить особенность в структуре электромагнитного
поля в этом случае, рассмотрим поперечные составляющие поля
электрических волн Е3в, Е\ . Подставив (6.20) в (6.14), для этих
156
^atatiausiiii!.
знание без границ Ч *
составляющих получим
ikcr 2 «4*1 (n — 1)1 it. \ •
-----е“*/ч’ У ---——-------- x {k, a) — X
2 ^0«(»+ 1) (» + /)!
д d Pl„ (cos 0)
x
’[ ,.а НЮ'»'/
x J <p
Еэ =
се
е,
sin 6'd 6';
d0'
(6.23)
2 п + 1 (n —/)! . 1
----——'------— X
n(n+ 1) (« + /)! 4 r
„ d Pl„ (cos 0')
—----------- sin 6'dO'.
ф 00'
_^_ze-n<r V
<P 2 £0
a % Pl„ (cos 0) er2
х/-(Ц2’(Лг))^—--/
dr sin 0 e,
Исследуем поведение поля, определяемое формулами
на полярной оси. Мы уже отмечали, что
д Pln (cos 0) P^(cos0)
lim----------= lim-------=
0-+o d& e-o sin0
n (n -|- 1)
= . 2
0
(6.23),
при I = 1,
при Z = 0, 2, 3...
Отсюда следует, что поперечные составляющие поля £эе и
E3V на полярной оси равны нулю для дсех значений I, н.е равных
единице (или минус единице). Только для 1=1 поперечные со-
ставляющие поля на полярной оси имеют конечное значение, при-
чем устанавливается соотношение £эе=/£% , т. е. в направлении
0=0 (а также 0=л) поле является вращающимся (имеет /круго-
вую поляризацию). Можно также убедиться, что эти выводы спра-
ведливы и для поперечных составляющих напряженности магнит-
ного поля, т. е. Нэв =iH3w для 1=1 на полярной оси.
Анализ поля магнитных волн приводит к тому же самому вы-
воду: поперечные составляющие электрического и магнитного по-
ля магнитных волн на полярной оси равны нулю для всех значе-
ний /, кроме 1=1 (или /= — 1). При этом на полярной оси поле
оказывается вращающимся, т. е. £ме = (£мф и //ме = Шмф.
Па рис. 6.8 и 6.9 приводятся амплитудные характеристики на-
правленности кольцевой щели с бегущей волной (/=/n = 1), рас-
положенной на экваторе шара, для значений ka=l, 4 н 6. На
рис. 6.10 и 6.11 приводятся соответствующие фазовые характе-
ристики поля в зоне излучения.
Как видно, характеристики излучения кольцевой щели с бегущей
волной на шаре небольшого электрического диаметра являются
слабо направленным!!. С ростом ka изрезанпость характе-
ристик излучения увеличивается. На рис. 6.12 приводятся
157
Рис. 6.8: Диаграммы направленно-
сти кольцевой щели £0 (6)
Рис. 6.9. Диаграммы направленно-
сти кольцевой щели £^(0)
Рис. 6.10. Фазовые характеристики
поля кольцевой щели arg £0
Рис. 6.11. Фазовые характеристики
поля кольцевой щели arg
Рис. 6.12. Амплитудные и
фазовые характеристики
направленности:
ka=4, т—1, 01=14,5°
158
^atalLaus,ai
знание Вез границ “ *
амплитудные и фазовые характеристики направленности для
диаметра шара ka=4 при расположении кольцевой щели под
углом 61=14,5°. .В этом случае изрезанность излучения уменьша-
ется, однако поле в области углов 6=180° меньше, чем в облас-
ти углов 6=0°. Во всех случаях наблюдается круговая (поляриза-
ция поля в направлении оси шара, переходящая в эллиптическую
поляризацию в других направлениях. Приводимые здесь харак-
теристики излучения для кольцевой щели рассчитаны В. Н. Во-
ловским и Н. П. Мирончевой.
6.5. Дифракция плоской волны на шаре
Рассмотрим теперь классическую задачу о дифракции плос-
кой электромагнитной волны на шаре. Мн не будем заново
строить решение, а воспользуемся результатами §6.3, относящи-
мися к случаю возбуждения шара меридиональным вибратором.
Для области a^r<b вместо (6.13) и (6.16) справедливы выра-
жения
2n+ 1 k р i
а^г<ь п (и -|- 1) 4 лие'а Ь
д
— (a'Pn (ka))
(kr)-^----------
— (а&<2)(М)
Х 'дЬ('Ь%" * Р'п (C°SC°SФ ’
(6.24)
= . -2JL+1 ± р I Ь (/гг) _g(2) (/гг) х
a^r<b п (п 1) 4 п I "
X ^h2) (kb> Рп (C0S 6) Sin Ф' (6‘25)
Удалим вибратор от шара в направлении 0=0° на бесконеч-
ность. Тогда первичное поле вибратора вблизи шара будет сущест-
венно плоским. Это будет дальняя зона вибратора, напряженность
электрического поля которого согласно (2.120) определяется вы-
ражением
Р _ . I3 Ik2 e~iM>
0 1 4 лые'а b
Так как при /гЬ->-оо
В'2) (kb) « i"+> ; -1- 4 (b^> (kb))^
RO ООО Ь
(6.26)
то при учете (6.26) выражения (6.24) и (6.25) при kb^oo запи-
шутся так:
т/9 = 2я+ 1 in~l р у
kb-tco 1) k
159
tn (M~ ^2) (kr)
d
— (atyn (ka))
d a
(a^(ka))
PYn (cos 6) cos <p ;
(6.27).
L/« =
n
kb-^-CQ
2« + 1 in 1 (oe'a r 4;
Cf) Z\
n(n+l) k2 “
tn (ka)
^}(ka)
P'n (cos 6) sin <p.
(6.28)
При подстановке (6.27) в выражения (6.14) и (6.28) в выраже-
ния (6.17) мы получим составляющие векторов полного поля элек-
трических и магнитных волн как результат дифракции плоской
электромагнитной волны на шаре. Эти выражения определяют по-
ле в любой точке пространства, т. е. как вблизи шарау так и на
бесконечности.
Дифрагированное на шаре поле является достаточно сложным;
оно содержит все шесть составляющих векторов поля, причем в
общем случае рассеянное шаром поле имеет эллиптическую поля-
ризацию.
В плоскости <р=0 поле линейно поляризовано и имеет состав-
ляющие Ее , Er, Hq,; в плоскости <р = 90° оно также линейно поля-
ризовано и имеет составляющие Не, Н,, Е^ .
На рис. 6.13, 6.14 и 6.15 приводятся взятые из книги [12] ди-
аграммы направленности вторичного (рассеянного) поля шара,
Рис. 6.15. Диаграмма
направленности рас-
сеянного поля на ша-
ре при ka=5
Рис. 6.14. Диаграмма
направленности рас-
сеянного поля на ша-
ре при ka=3
Рис. 6.13. Диаграммы
направленности рас-
сеянного поля на ша-
ре п р и ka= 1
возбуждаемого плоской волной. Видно, что шар малого диамет-
ра (Лс<1) создает максимум излучения назад (0 = 0°), а шар
160
^lataHaus^i
знание без ераниц * *
большого диаметра (/го>1) — максимум излучения вперед (0 =
= 180°). Излучение вперед возрастает с увеличением ka. Для ka =
= 10'излучение вперед в 10 раз больше, чем излучение назад.
6.6. Возбуждение шара большого электрического радиуса
Формулы (6.1) — (6.3) и (2.106) — (2.114) определяют электро-
магнитное поле сторонних токов, расположенных вблизи идеально
проводящего шара в. виде разложения по спектру собственных
волн, распространяющихся в радиальном направлении. Эти фор-
мулы оказываются удобными при расчете поля для шара неболь-
шого электрического диаметра. Для шара с большим электричес-
ким диаметром получающиеся ряды сходятся медленно.
Как указал Зоммерфельд [3] решение задачи о возбуждении
шара может быть представлено и в виде спектра собственных
волн, распространяющихся в меридиональном направлении. Ока-
зывается, что получающиеся при этом ряды в некоторых случаях
быстро сходятся для шара большого электрического диаметра. Эта
задача будет исследована нами применительно к возбуждению-
идеально проводящего шара радиальными электрическими и маг-
нитными токами, а затем полученное решение будет распростра-
нено на произвольное распределение электрических и магнитных
токов.
Итак, рассмотрим идеально проводящий шар радиусом а, .воз-
буждаемый произвольным распределением радиальных электриче-
ских и магнитных токов (см. рис. 6.1). Выразим электромагнитное
поле в виде наложения электрических и магнитных волн и пред-
ставим составляющие поля в виде разложения по собственным
волнам, распространяющимся в меридиональном направлении.
Для электрических волн (/7г=0) запишем
£г-- 1 V v(v+ 1)^,И(6)^(2) (kr)
r vm
Е* = — У dUv'n^ e-tmw А (г Е(2) ^г))-
r vm Э0 dr v
= ^-е У (~И (0) e~im<e (г (kr)); (6.29)
Не = S S (“М (0) (kr);
= — i ие'а £ e-imy |(2)
vm <36
Эти выражения сконструированы по аналогии с выражениями
(2.106), (2.107) и (2.113). Однако здесь радиальные функции яв-
ляются не истокообразными, а собственными. Индексы этих функ-
ций v выбираются так, чтобы выражения (6.29) удовлетворяли.
6—142 166
граничным условиям на поверхности идеально проводящего шара.
'Следовательно, набор собственных чисел v в формулах (6.29) оп-
ределяется из следующего трансцендентного уравнения:
^-(г^2,(М)| =0. (6.30)
о г |г=а
Истокообразными в данном случае яйляются функции U3ym(0),
зависящие от меридионального угла.
Подставив выражения (6.29) в неоднородные уравнения Мак-
свелла (1.19а) и полагая в последних Hr=0; jM=0 и j9=ir/’r» мы
увидим, что уравнения Максвелла удовлетворяются, если функции
U9 vm(0) подчиняются уравнению
S [ (sin01EkWv(v+l)-
I slne до <50 / L
т2 1 1 Д2) (kr) I
“SSSj Ч.)«— «(G е' ”• <6-31 >
.Для магнитных волн (£, = 0) мы запишем:
Hr =— 3 v (V 4- 1) и*т (0) gW (kr).
r v т
Н“ = — S dU^m— е-{т<Р (г £<2> (kr))-,
е г 30 дг ' v k ”
= —(-^)^т(е)е-‘’тфГ- (kr))-, (6.32)
ф г sin 0 о г
V tn
£еМ = - Z (~im) uvm (е) е~‘’тф (kr);
Е* =<©н'а S -- (kr).
” а о v
Для того чтобы поле магнитных волн удовлетворяло гранич-
ным условиям, на радиальные функции нужно наложить условие
£(2)(М = 0. (6.33)
Из трансцендентного уравнения (6.33) определяется набор соб-
ственных чисел v для поля магнитных волн.
Подставив выражения (6.32) в неоднородные уравнения Макс-
велла (1.19а) и полагая в них £r=0; j3=0 и jM=ir/Mr, мы увидим,
что уравнения Максвелла опять удовлетворяются, если функции
47м ут (6) подчиняются уравнению
у [ —*—- (sin е£^.'| +
| sin 0 д 0 \ 30 /
+Ь е“"Ф_Г (М “
162
yalatlausS'k
знание без границ Ч *
= —-— /” (г, о, <р). (6.34>
I (0)1'а
Прежде чем перейти к определению функций Uvm (6), необхо-
димо использовать условия ортогональности азимутальных и ра-
диальных функций. Мы заметим прежде всего, что для азимуталь-
ных функций
1 2р , г 0 при m=/=/n',
--- е-Чт-т ')<PJ(J)== 1
2л ((=о I 1 при т = т'.
(6.35)
Чтобы найти условие ортогональности для радиальных функ-
ций, используем дифференциальное уравнение сферических функ-
ций Бесселя, которому подчиняются эти функции:
—(г£<.2>(Лг)) Ц2)(^) = 0. (6.36а)
г дг1 \ г2 /
Заменив индекс v индексом р,, запишем также:
— (г (kr)) + —° ) (k г) = 0. (6.366)
Умножим (6.36а) на |(2'м(Лг), а (6.366) на g(2)v (kr) и вычтем
из первого уравнения второе. Затем полученное выражение проин-
тегрируем по г от а до оо. Тогда получим
[V (V + 1) - и (р + 1 )1 J Е (2) (kr) »(kr) dr =
a L *
(r^(kr))^(kr)r^(r^(kr)) dr.
Интегрируя правую часть по частям, найдем
[V (v + 1)-Р (Р + 1)] J g(2> (kr) g(2> (kr) dr =
a
= |г|(2,(Лг)^-(г^2)(М)-гЕ<2)(М^-(г^2)(^)) k . (6.37)
I or dr ** |r=a
В силу условия (6.30) или (6.33) правая часть (6.37) равна
нулю для нижнего предела. Для верхнего предела правая часть
(6.37) равна нулю в силу принципа излучения на бесконечности..
Отсюда следует условие ортогональности для радиальных функ-
ций:
J В(,2) (kr) (kr) dr = о при P^v.
(6.38}
При p=v из уравнения (6.37) получается выражение для
нормы Л\
Nv= J Щ2’ (kr)]*dr =
a
6*
16»
I r V2) (kr) (r g<,2) (kr)) - r (kr) (r B'2> (kr))
I_______________о r___________ (j Г
= lim
Д-V v(v+ 1) — |J.([l+ 1)
Дифференцируем здесь числитель и знаменитель по ц:
— • (6.39)
Nv = lim
M->v
± (г (kr)) - г g<2> (kr) JL- (г g<2> (kr)) “
dp. dr_____________________дгдц__________a_
' —P —(P+1)
Отсюда, принимая во внимание (6.30) и (6.33), получим:
для электрических волн
<6-40>
для магнитных волн
уум = °2 д ^2> д ^2> . (6.41)
v 2v + 1 д v д а
Теперь вернемся к уравнениям (6.31) и (6.34). Умножив левую
.и правую части этих уравнений на eim'4>g(2V (kr) г dr dtp, где
art' и v' — фиксированные значения т и v, проинтегрируем по г от
а до оо и по <р от 0 до 2л. Тогда в силу условий (6.35), (6.38) и
(6.39) получим
1а/ а иэм \ Г т? 1
rin етГ)+Г(v+° J - -^м <0) • <6-42>
где
f’(0) = ——------- 7 Т P(r',erq>')eim<P'^v2>(kr')r'dr'dq>';
Н*-2л iwe'a r4a фЛ0
(6.43)
1 оо 2л
(0) = ---------- Г f /“ (r’t e, <p') e"™»’ g<2> (kr') r' dr' dtp' .
N* -Sntwp'a rZfl ф40
(6.44)
Таким образом, функции Uvm(G) в выражениях (6.29) и (6.32)
определяются уравнением (6.42). Решение этого уравнения будем
искать методом вариации постоянных. В соответствии с этим мето-
дом представим решение неоднородного уравнения (6.42) в виде
^(0) = 44vm(e)Pv (-COs6)+^(6)^ (COS6)’ (6-45>
где Pmv (—cos-0) и Pmv (cos 0) — два линейно-независимых реше-
ния уравнения (6.42) без правой части.
Варьируя постоянные, найдем
е'=е
= pv(~ cos е) J F э’“ <6') х
е'=о
164
^alaHausA
знание без границ Ч
рт (cosО') е'=л
X —---------------d 6' + Р™ (cos 6) J F3M (6') X
D (О') v v ’ e'=e v ’
P™ (— cos в')
X D(0>)--------d 6 + ( -C°S 6) + (C°S 6)’ (6’46)
где
_ , , _ , dP™(cos0) dP~(— cos 0) zc xw
D(0)=P"1 * (—cos 6)-------------Pm(cos0)------------------. (6.47)
4’ v 4 ’ 30 ' 30
Отметим теперь, что функция P™v (—cosfl) стремится к беско-
нечности при 0->О, а функция Pmv (cos 6) — при 0->-л. Но функ-
ция Hvm(0) должна быть конечной всюду, поэтому в выражении
(6.46) мы должны положить постоянные Лэ му т и B3Mvm равными
нулю*.
Далее отметим, что .0(6), определяемое выражением (6.47) и
умноженное на sin 0, не зависит от угла 6 и выражается через
гамма-функции [10]:
Wvm = sin fl D (6) =--- sin [(v + m) л] + . (6.48)
Подставив теперь (6.43) и (6.45) в (6.46) и учитывая (6.48),
для искомых функций £7vm(0) получим окончательные выражения:
___________1____________
2nt-G>eXirvm
e
X J J {р~(—cos6) J /г(с086 )sin fl'dfl'-l-
r'=a <p'=0 1 6'=0
+ P™ (cos 0) j j* P™ (—cos O') sin 0'd 6' 1 ete4>' (kr') r' dr’ dtp' ;
ez=e J
(6.49)
2л .
t/“ (0)=--------;----
Vm <p<=0 I
e
X(—cosO) J j"P™(cos0')sinO'tf 0' +
e'=o
+ P™ (cos 0) J /“ P™ (—cos 0') sin 6'd 0' ] X
' e,J=e I
X e'"”' £«,8> (kr') dr'd <p'. (6.50)
Таким образом, поле радиальных сторонних токов вблизи ша-
ра представлено в виде разложения по полной системе собствен-
1 Нетрудно убедиться, что для шара, сопряженного с биконусом, обе пос-
тоянные и В3’“ будут иметь конечные значения, а для шара, сопряжен-
ного с конусом, только одна из этих постоянных будет конечной.
165
ных волн, распространяющихся в. меридиональном направлении.
Полученное решение удовлетворяет граничным условиям на по-
верхности шара и на бесконечности, удовлетворяет уравнениям
Максвелла и условиям на источниках. Оно, следовательно, опреде-
ляет истинное поле, существующее вокруг шара.
Перейдем теперь к определению решений для поля сторонних
токов с произвольным распределением. С этой целью обратимся
к теореме эквивалентности и используем выражения (3.156) и
(3.166).
В качестве вспомогательных полей возьмем поле Еэв и Нэв ра-
диального электрического диполя с единичным моментом /э/=1,
помещенного в точку наблюдения р, и поле Емв и Нмв радиального
магнитного диполя с единичным моментом /м/=1, помещенного в
ту же точку р при наличии идеально проводящей сферы (см.
рис. 6.1). При этом поверхностные интегралы в (3.156) и (3.166)
исчезают в силу граничного условия Ef=0 на поверхности шара и
радиальные составляющие искомого поля определяются фор-
мулами
Er = j (j3 CTE*—jM-CTН’)dv; (6.51)
v
Hr = J (jM.CTHM— js.CTEM) (6.52)
V
Найдем поле вспомогательного электрического диполя. Для
этого прежде всего определим функцию E3vm(0), подставив в
формулу (6.49) значение
•э_ 6 (г' — г0) 6 (6' — 60) 6 (<р' — фр)
г г'2 sin 6' ’
где го, 0о, <ро — координаты точки р диполя.
Тогда получим
imq>0 е(2) ,
и*т (0) =---------(©. %),
2nr0(-Wea7V3vrvm
(6.53)
где
^(6.6о) =
р™ (—cospvm(cos®о)при е
Р™ (cos 0) Р™ (—cos 0о)при 0 0О.
£э =
ГВ
Подставив теперь (6.53) в выражения (6.29), для поля вспомо-
гательного электрического диполя получим
1 v(v+ 1)
9 . S (^о) В'2» (kr) X
V2ntwea vm HvWvm
X e—O»(w—Wo) Qm (0, 0o) ;
S ДД (*G>) £ (r (*r)) X
Е*
бв
166
^alaHausA
, знание без границ **
хе-^-Фо)а_£у(0’е°) ;
Нэ
(рв
ае
у g—im(q>—<р0) Qv ®«) .
sin 0
"J. = S (*'.) S<21 (*0 X
г0-2Л vlnWvWv т
у е—iin(4>—<р0) Qy (в> %) .
sin 0
T^SS^r- E'2>(*r»)6V»(*r) X
г°2л vmNvWvm
5Qv(6> 0o) '
у e-im(<p—<p„) -----У------_ .
ae
(6.54)
Подставим выражения (6.54) в (6.51). Тогда для радиальной со-
ставляющей искомого электрического поля в точке р(г0, 0О, <р0)
найдем
Ег (г0, е0, Фо)=-L 2 v (v +1) u3vm (е0) в<2> М; (6.55)
r° V m
1
х ri
^7^ ;{)?-Нг|(*^<еА)+
д Qy (0, Оо) .э 1 im д
де I® v(v-|- 1) rdr
1 ' х Qv(0.Oo)
------соео т g<2) (kr)---
v (v -|-1) a v sin 0
' d Qm (00)1
+ l toe a g(2) ---V--^0 r2 sin 0 dr d 6 d ф. (6.56)
v v(v -|- 1) d8 i
Перейдем в выражениях (6.55) и (6.56) от переменных г, 0, ф
к г', 0', <р' и от г0, 0о, фо к г, 0, ф. Кроме того, заменим т на — т;
при этом учтем, что [10]
Р-т (х) = .Г(У-^+1) ( _ i ) т ргп (х)
v r(v + m+1) ’ v v ’
Тогда для радиальной составляющей искомого электрического
поля получим окончательные выражения:
ЕТ (г, 0, ф) = -L 2 v (v 4-1) U^n (0) е-^ g(2) (k г) ;
г у т
167
1
— J | /’4 £<2W)Q-(0',0)+
vmV I r
э (r'p(2> a>r')\ !
т/e v(v + i)r'^(r^ 1 Rr))~ж----------+
4- j3 —Lm—L (' g(2> (^r')j (e _|_
/<₽. v (v-bl)r' ЙГ'(r Sv * sin 0' T
° V (v 4- 1) v SinG
ia>s'R- £(2) (kr') -v/e- ’^ ) e^' r'2sin 0'dr'd&dy'-,
v(v4-l) v v ' 50' J
cos0')P^(cos0) при 0'>0,'
(6.5o)
P™ (cos 0') P™ (—cos0) при 0'^0.
Если в качестве вспомогательного источника взять радиальный
магнитный диполь, то- формула (6.52) позволит определить ради-
альную составляющую напряженности магнитного поля для про-
извольно распределенных электрических и магнитных возбужда-
ющих токов. Произведя вычисления, аналогичные вычислению ра-
диальной составляющей напряженности электрического поля,
найдем
U3 (0)-
Vm ' 2ni(08'a^W',
1
(6.57)
m
<₽
<?? (O', O) =
Нг (г, е, ф) .= J- 2 V (V + 1) и«1П (6) g(2) (kr) ;
г v т
1
^)(^')<^(6',е) b
UM (6)--------7---—
V'" 2ni4laJVXmf
а д Q™ (О' ,6)
4 (г’ g(2> (kr')) — V\—
dr' =v >> йе-
A(r'g<2) (^'))^Ц4-
д г sin 0
_ . ыр.'ат £(2) „ <?у (О' -е) _
6 v (v + 1) v sin О'
v v ’ dO' J
X ei,nv' r'2sin0'dr’dW dtp'.
V (vH-l)r'
l tn
(6.59)
— /э
ф V (v+ 1)
Меридиональные и азимутальные составляющие напряженности
электрического и магнитного полей определяются по формулам
(6.29) для электрических волн и по формулам (6.32) для магнит-
ных волн.
Таким образом, формулы (6.29), (6.57) и (6.32), (6.59) позво-
ляют определить электромагнитное поле в любой точке простран-
168
Natalia и
знание Вез ераниц ' *
ства вне идеально проводящего шара при произвольном распреде-
лении сторонних электрических и магнитных токов.
На примере возбуждения сферы бесконечно узкой синфазной
кольцевой щелью покажем, что полученное нами представление
решения быстро сходится при ka^>\ (а —радиус сферы) в облас-
ти геометрической тени источника.
6.7. Поле кольцевой щели на шаре большого
электрического радиуса
Еслр электрическое поле в щели (рис. 6.7) Ев не зависит от
координаты <р, то возбуждаются только электрические волны. За-
писав выражение для объемной плотности стороннего магнитного
тока /" =/“ —5^-6 (г—а) и подставив его в формулу (6.57),
вычислим интеграл по объему источников. Заметим, что при ин-
тегрировании вследствие ортогональности тригонометрических
функций в сумме по т останется только один член с номером
/п=0. Если теперь воспользоваться соотношением между полем и
потенциалом U3vm, то по формулам (6.29) для напряженности
магнитного поля нетрудно получить
— i<oe'a7“ a sin 60 £
V
|<,2) (to)^2) (kr)
»(v+l)N3vWv0
dPv(—cosQ) dPv(cos0o)
Й0 й% •
dPv(cos0) dPv( — cos0o)
Й0 ao0 ’
где
d p(p£[2)(P)) ~[
d v dp J
2
U7v0 =-----sin vn.
л
Напомним, что суммирование здесь производится
системе корней уравнения
й(Р^2) (р))
д р p=ka
(6.60)
по полной
(6.61)
Корни этого уравнения, в силу того что
1<2)(р)=тЛг<+ 1
У 2р v+ —
асимптотически (для рЗ>1) совпадают с корнями уравнения
дН(2) [ (р) vd 2 о 691
др р=£а
169
Входящий в выражение для нормы /V\ множитель
д d(pU2)(p)> 1 1/ЁК A d//v+-L(p) ,
дv - dp J г % д v - др
равно как и корни уравнения (6.62), можно вычислить, восполь-
зовавшись формулами, приведенными в § 5.4. Так как при /га» 1
абсолютная величина v также велика [это видно из формулы
(5.54)], то функции Лежандра, входящие в формулу (6.60), могут
быть заменены их асимптотическими выражениями
Pv (cos6)= 1/---?--COS 17 V4- —) 0——1;
v ' r nvsin0 [\ 2 ) 4 I
Pv(—cos 0) = Pv |cos (n—0)] = 1/—---- X 4 (6.63)
I .tv sin 6
\ f . 1 \ / л 1
X cos I v + — 1 (n — 0)-— ,
справедливыми при | vsin 0| » 1 *>.
Формулы § 5.4 совместно с асимптотическими выражениями
(6.63) позволяют производить расчет поля непосредственно по
формуле (6.60). Но прежде чем производить конкретные вычисле-
ния, важно выяснить характер сходимости полученного решения,
который, как мы увидим ниже, в значительной степени определя-
ется взаимным расположением точек источника и наблюдения. Ис-
следование сходимости ряда (6.60) позволит сделать общие вы-
воды относительно практического применения нашего представле-
ния решения при расчете электромагнитного поля в присутствии
сферы большого электрического радиуса. Наглядное представле-
ние о характере сходимости решения можно получить, если при
вычислении величин, входящих в формулу (6.60), воспользоваться
тригонометрической аппроксимацией функций Ганкеля (см., на-
пример, [12]). Согласно этой аппроксимации сферические функ-
ции Ганкеля имеют вид
|<2> (Р)= 2L_siHZ.
р у sin а
(6.64)
Здесь
cos а
z = p(sina—acosa)—— ;Rea>0; Jma>0.
*) При невыполнении этого условия при больших |v| следует пользоваться
другими асимптотическими формулами для функций Лежандра:
Pv COS 0) = Jo
вблизи 0=0;
Pv (— cos 0) = Jo
вблизи 0 = л.
170
Специально еля -
ftalattausw.
знание без границ “ *
Расчет по формуле (6.64) дает удовлетворительные результа-
ты, если р^>1 и отношение |v|/p не очень близко к единице. Диф-
ференцируя выражение (6.64) и приближенно полагая при этом,
что медленно меняющийся множитель sin а является постоянным,
получим
т'2,(Р» ~й£<2>(р) г~.—
~ р « — 2i у sin a cos z. (6.65)
dp---------------dp
Отсюда следует, что при больших значениях р корни уравнения
(6.61) определяются из простого уравнения cosz=0; значит, г=
= — (2s4-1) у, или
p(sina—a cos a)—у — —(2s+l)y; s = 0,1,2,... (6.66)
В правой части выражения выбран отрицательный знак для
того, чтобы корень а этого уравнения находился в первом квад-
ранте комплексной плоскости. Итак, задача о нахождении корней
уравнения (6.61) свелась к решению трансцендентного уравнения
(6.66). Приближенное аналитическое решение этого уравнения
просто получить только при небольших значениях s, грубо говоря,
при s<p. В этом случае, ввиду того что р»1, корень а должен
быть малым по абсолютной величине. Поэтому, разлагая левую
часть уравнения (6.66) по степеням а и удерживая только первый
цз л
член разложения, получаем простое уравнение р—= — (4s4-l)—.
Выбирая нужный корень третьей степени, находим
i —
a = [— (4s+l)l‘/3e 3 . (6.67)
14 Р J
ГТ л. , 1 / а2 \
Переходя с помощью формулы v-|—— =рcosа~р( 1— у )к пе'
ременной v, получаем выражение для корней уравнения (6.61)
v = fp-y) + y P1/3[y(4s+l)]2/3 е ‘ 3 . (6.68)
У’ (Р>)
Р
Для вычисления множителя — | —
d v L
ем выражение (6.65). Замечая при этом, что
находим
продифференциру-
sinz= (—l)s+l,
А д= (_______________i)s+i 2 (4 s-j- I)1/2 \1/2 • (6.69)
d v L d р J \ 4ka /
Если теперь в исходную формулу (6.60) подставим значение
№ v и тос учетом асимптотических формул (6.63), (6.68) и
(6.69) получим приближенное выражение для напряженности маг-
нитного поля:
171
z
X
Hy = coe'a /“ (3 л)-1 /2 (ka)1'2 (sin 60)1/2 x
X (sin6)-V2 S (—])’+> —^2> (kr} x
*s (4 s +1)1/2
-i-j (e+e„)
e
—ie
~l (v+ "H 12я“|е-е»,] _f (v+ 4~) t2"-<e+e<i) ।
—e —ie
(6.70)
Таким образом, мы представили решение нашей задачи в виде
разложения по полной системе собственных функций |(2’v (kr) и
получили асимптотические выражения для коэффициентов разло-
жения, которые вследствие наличия у корней vs отрицательной
мнимой части экспоненциально убывают с ростом номера s, за
исключением точки О = 0о, где они убывают по закону s~,/2. Для
окончательного вывода относительно сходимости решения нам ос-
талось исследовать поведение сферических функций Ганкеля в за-
висимости от значений г. Чтобы не усложнять задачи, ограничим-
ся рассмотрением двух важных для практики случаев: 1) г=а;
2) г»п.
В первом случае для сферической функции Ганкеля справедли-
ва асимптотическая формула (6.64). Подставив ее в ряд (6.70),
учитывая при этом, что а вычисляется по формуле (6.67) и что
sinz=(—l)s+1, получаем выражение для напряженности магнит-
ного поля на поверхности шара
___i_
Ну = -<ое'а/“ (ka) (3 п)-2/8 -2^ (sin 0o)V2 х
£ —VI Г -t (v+-М |е-0о1
X (sin0)~1/2e 3 2j (4s+I)-2'3 е v 7 —
vs L
—i (v+4~) <e+e<,) (V+-2~) [2lt-,e~e»|]
— ie —e —
j [2 л-(б+е0>]
— ie
(6.71)
Для выяснения сходимости решения достаточно исследовать
сходимость следующего ряда:
S (4s+l)-2/8
(6.72)
При 0=0о ряд (6.72) расходится, так как его члены положи-
тельны и убывают по закону s-2/3. Расходимость обусловлена осо-
бенностью поля на бесконечно узкой щели. При |0—0о|>0 пока-
затель экспоненты имеет отрицательную действительную часть,
которая растет с ростом номера s, и, следовательно, ряд сходится.
172
balattausiSk
знание без границ ч *•
Очевидно, чем больше разность ]0—0О|=Д0, т. е. чем дальше на-
ходится точка от возбуждающего источника, тем лучше в ней схо-
дится ряд.
Чтобы при заданной точности расчета определить необходимое
число членов разложения, представим ряд (6.72) в виде суммы;
первых М членов и остатка
-f V.+ —|де
Q = (4s+l)~2/se ' 2 '
s=M+i
для которого нетрудно провести интегральную оценку сходимости.
Проведя эту оценку, покажем, что всегда выполняется нера-
венство
Q<-у ]/’^-е (1 -Ф(1/₽Д6(4Л1+ I)2/»)] ,
где Ф(х) — интеграл вероятности;
р=('^)2'аЙ(М'«.
\ 4 / 4
Действительно,
оо -i(Vs+4")Ae
' 2 (4s + l)-2/3e =
S=M4-1
= V (4s4-l)-2/3e-₽Ae(4s+i)2/3< J (4s+i)-a/8e-₽Ae(4s+i)2/3ds==
s=M+l M
q °° рдел о / —_______________________________
= И -^=41/^„ [1 ~ Ф (P ₽A6 (4 Л4+l)2/®)] .
8(4Af+i)2/3 Vx 8 V
Следовательно, если задаться точностью расчета у, то число
требуемых членов разложения всегда меньше числа М, которое
определяется из уравнения
т=4|/ 11-Ф(Г₽Де(4Л4+1)2/®)].
Отсюда при (/га)|/3А0^1 и у<0,05, полагая аргумент интегра-
ла вероятности равным 2, при котором Ф(2) =0,955, находим, что*
и, таким образом, при расчете поля на поверхности шара большо-
го радиуса требуется не более трех членов разложения. При
А0< (ka)~43 сходимость ухудшается и при А0=(/га)-1 требуется
порядка ka членов разложения.
При рассмотрении поля в зоне излучения (г^>с) сферическую
173
I
функцию Ганкеля заменяем
ее асимптотическим выражением
< W>T
=Ve ' <6-73>
Подставив его в формулу (6.70), по-
&2) (k г)
справедливым при kr^> |v|.
лучим выражение для поля в дальней зоне
= A (s in О)-1/2 2 (4 s +1)~1/2 (— 1 )s+‘ X
vs
le-e,
—i е
е
где через А обозначены все множители, не зависящие от 0 и s.
Сходимость ряда (6.74) определяется в основном показателем
экспоненты
_г (v+_L)
е
который в зависимости от 0 может иметь положительную или от-
рицательную действительную часть. Значение |0—0о|=-^- , при
котором показатель обращается в нуль, определяет границу меж-
ду освещенной и теневой областями. При |0—0О|> члены ря-.
да экспоненциально затухают (Jmvs<0)c ростом s и он быстро
сходится. Ориентировочное число членов разложения М определя-
ется по формуле
М = —
4
In у \3/2
е(|е-6.1-у))
где у — точность расчета, причем уЛ4<С 1.
На границе тени и света ряд сходится очень медленно, а в ос-
вещенной области он вообще расходится, так как его члены экс-
поненциально возрастают. Расходимость обусловлена тем, что при
больших значениях s мы не можем уже пользоваться асимптоти-
ческой формулой (6.73).
Остановимся на физическом смысле формулы (6.74). Рассмот-
рим поле в точке наблюдения р(г, 0, <р0). Каждый член бесконеч-
ного ряда (6.74) можно интерпретировать как сумму четырех
волн, возбуждаемых вдоль лучей:
6=0О, <р=Фо и 0=ео,<р=<ро+л,
и. распространяющихся (с затуханием) по меридианам в направ-
лении от геометрической границы тени; две из этих волн прихо-
174
ftalaHaustiik
знание без границ W *•
дят в данную точку р(г, в; <р0) теневой области кратчайшим путем
от возбуждаемых лучей, а две другие—по тому же меридиану,
но с противоположной! стороны, причем амплитуды этих волн
сравнимы только в окрестности темного полюса и при приближе-
нии к границе тени можно пренебречь теми волнами, которые про-
шли более длинный геометрический путь. Стоящий перед суммой
множитель (sin0)-I/2 указывает на
общее увеличение амплитуды поля 7,z7
вблизи направления 6 = 0 или 0 = л,
которое вызывается фокусировкой 0,8
волн, распространяющихся по мери-
дианам от границы тени. °>е
На рис. 6.16 приведены графики
диаграмм направленности магнитно-
го кольца тока, расположенного на
полюсе сферы (0о->О), заимствован- >
ные из работы [16].
Колебательный характер поля в °
окрестности темного полюса объяс- г ,А п п „
г , Рис. 6.16. Диаграммы (направлеи-
няется интерференцией двух волн, Ности кольцевой щели при Оо->-0
имеющих равные амплитуды при
0 = л. Увеличение числа осцилляций с ростом ka происходит пото-
му, что, как видно из формулы (6.74), волны распространяются
приблизительно со скоростью света и на меридианах при увеличе-
нии ka укладывается больше стоячих 'волн.
Итак, мы исследовали сходимость нашего решения в двух гра-
ничных случаях (r=a и гЗ>сг). Можно показать, что при всех зна-
чениях г наше представление решения годится для практических
расчетов поля в тех точках пространства, из которых не виден
возбуждающий источник, т. е. в области геометрической тени.
Кстати, заметим, что при возбуждении шара щелью любая точка
на его поверхности находится в тени и поэтому при r=a решение
быстро сходится при любых 0, за исключением некоторой области
в окрестности точки О = 0о, угловые размеры которой порядка
(ka)~i/3. В тех случаях, когда наше представление решения не-
пригодно для непосредственного расчета поля, в освещенной об-
ласти в первом приближении работает метод зеркальных изобра-
жений, так что наиболее трудно определить поле в промежуточ-
ной области. Здесь удобно, следуя Ватсону, от бесконечной суммы
по vs перейти к контурному интегралу в комплексной плоскости v
и применить к вычислению этого интеграла асимптотические мето-
ды, развитые В. А. Фоком [14].
175
Глава седьмая
Возбуждение бесконечного
идеально проводящего клина
В гл. 7 рассматривается задача о произвольном возбуждении
бесконечного идеально проводящего клина. С помощью получен-
ных в гл. 2 формул для расчета поля в неограниченном простран-
стве в цилиндрической системе координат поставленную задачу
можно решить двумя, способами. Во-первых, можно записать поле
сторонних источников во внешней области клина в виде системы
электрических и магнитных волн, подобно тому как это было про-
делано в гл. 5 п 6 для цилиндра и шара. Во-вторых, можно решить
векторные волновые уравнения для электрического и магнитного
потенциалов, потребовав, чтобы решения удовлетворяли гранич-
ным условиям на поверхности клина. Для демонстрации второго
способа мы остановимся именно на нем. Заметим, что этот же
путь решения был принят в работе [17], где впервые было запи-
сано общее решение рассматриваемой задачи.
В качестве частных случаев будут рассмотрены возбуждение
клина ради'альным электрическим диполем и возбуждение клина
радиальной щелью. Будет показан путь получения выражений
для составляющих поля в дальней зоне и приведены диаграммы
направленности в главных плоскостях.
7.1. Общее решение задачи о возбуждении идеально
проводящего клина
Рассмотрим бесконечный идеально проводящий клин с внеш-
ним углом раствора а (рис. 7.1). Во внешней области клина зада-
дим сторонние электрические и. магнитные токи, распределенные
Рис. 7.1. Идеально проводя-
щий клин
напряженности электрического поля
потенциалов следующим образом:
по произвольному закону.
Граничные условия на гранях клина
наиболее просто записываются в цилин-
дрической системе координат, поэтому
введем такую систему, совместив ось z с
ребром клина. Решим векторные волно-
вые уравнения (1.30), потребовав, чтобы
на поверхности клина удовлетворялись
граничные условия:
£г = 0; Ег = 0 при Ф = 0 и <р = а.
(7-1)
Согласно формулам (1.29) и (1.91)
продольная и радиальная компоненты
связаны с составляющими!
i <ое'а L д 2 \ г
дг
1 ал;
г д <р
д Д’ \
дг /
176
NataitauslBi
знание без границ У *
___1 д(гА^) [ 1 алу
г д г 'г dtp
„ 1 Г о л д I 1 5 (r ^r) 1 д Л^ д Л® \
Ет= —— k2A*+— — ———+ —------------------4------- —
i ые'а L д г \ г д г г д <р дг j
1 д Л” д Л”
--------— ---(7.2)
г д ф дг
С учетом (7.2) граничные условия (7.1) могут быть представ-
лены через составляющие векторного электрического и магнитного
потенциалов:
д А3
А* = 0; А® = 0; —!L=0 ПрН ф = а
д ф (7.3)
Л ДМ л дм
12^=0; —7-=0; А»=0 и <р = 0.
dtp dtp 9
Векторное волновое уравнение ДА+й2А=—j в цилиндрической
системе координат распадается на три скалярных уравнения, запи-
сываемых с помощью формулы (1.92) в виде
Д Д Р «4.\+Д ДД++* 4„ -; .
r dr \ dr ) д<рг дг1
ДАДД4\+ДДк+^+*мг-Д-ДвЛ~-,-г;
г дг\ дг ) г2 д ф2 дг2 г2 г2 d tp
(7.4)
г дг \ дг )
L д2 Л д2 А __А^
г2 dtp2 д г2 v г2
2 д Аг
' г2 dtp
!v
Обратимся сначала к первому из уравнений (7.4). Его реше-
ние, удовлетворяющее граничным условиям (7.3), представим в
виде
А® = J] J J an sin т<ре‘И12! Jv (х г) х dxd xL (7.5)
П=1 Х,=—ОО х=0
для электрических токов;
А“ = У F 7 bncosvq>ei,<‘zJv(xr)xdxdx1 (7.6)
И = 0 Xt =—оо Х=0
для магнитных токов.
Таким образом, мы разложили решение по собственным функ-
циям поперечного сечения клиновидной области, показанной на
рис. 7.1. Если положить v = nn/a, где n=0, 1, 2, 3 ..., то граничные
условия Аэг=0 и =0 при <р = 0 и <р=а будут удовлетворяться
dtp
выражениями (7.5) и (7.6). Коэффициенты же ап и Ъп мы долж-
ны выбрать так, чтобы выражения (7.5) и (7.6) удовлетворяли
первому из уравнений (7.4), или, иначе говоря, мы должны свя-
177
зать значения продольных составляющих векторных потенциалов
с распределением продольных составляющих электрического и маг-
нитного сторонних токов. С этой целью подставим (7.5) в (7.4) и,
имея в виду дифференциальное уравнение Бесселя
1 d/dJ (иг) \ ,/ о ч’2 \ г / \ п
— 7~(г—\ —- + ( х-------Г Шхг> = 0’
г д г \ дг / \ г2 /
получим
3 J J -(^—х.^ — х2) on sin хф (х г) X
П=1 и,=—оо х=0
X х d х d Xj = — /’ (г, ф, г). (7.7)
Теперь умножим левую и правую части выражения -(7-7) на
— sin v' ф е * ,z JV' (х' г),
л а
где
и проинтегрируем в следующих пределах, по г от 0 до оо, по
от 0 до а и по z от —оо до +оо. В результате получим
S f Т (£2 —xi — х2) 1-^-]/хх' J Jv (х г) Jv- (х' г) rdr х
П=1 Х,=—оо и=о F ' г=0
X— j sin v' фз!п vtpclcp — f x'i>?dzdxdx1 =
a <p=o 2л г=_х
= ---— f I f Д (г, Ф, z) sin v'<pe-‘x',z JV' (x' r) rdrdcpdz.
r=0 <p=0 z=—oo
Далее, имея в виду, что
— J = 6 (хх — х\);
Z=— оо
2 ? , , (0 при п =А tn,
— sin л ф sin х’ фdф= г
“ Ч)=о ' 1 при п = /п;
Ухх' J Jv (и г) JV’ (х' г) rdr = 6 (х—х') ,
г=0
запишем предыдущее равенство в следующей форме:
а„(Л2—х?—х'2) =----— f ( f Р (г, ф, г) sin v'ф х
г=0 <р=0 г=-оо
X J»' (к' г) rdrd ф dz,
178
^atatiausni*
знание без ераниц **
откуда найдем
। со а оо
fln=— У J J /:(r'(q>',z')sinv<p'X
r'=0 <p'=0z'=—оо
£ ^lZ / (vrr\
X--------- г' dr'd <р' dz'. (7.8)
x2i + *2—/г2
Подставив (7.6) в (7.4), аналогичным путем получим
Ьп=-^~ Т ( ' J /”(r',(p',z')cosv<p' X
2 л« г40 <j>'=o г4_оо
е~1К,г J (иг') , , , , , , ,
х 2 2V fe2 ' dr dtp dz , (7.9)
X 21 + X2 — k2
где e,i — число Неймана (еп=1 при п=0 и еп=2 при п#=0).
Чтобы решить два оставшихся уравнения (7.4), будем рас-
сматривать нх как систему уравнений, а решения их, удовлетво-
ряющие граничным условиям (7.4), представим в виде
= S J J sinv<psl»‘>HCinA,-i(>«r) +
П—\ Ht=—СО И=о
+ a2n Jv+1 (х /-)] х d х d хх; (7.10)
= S I J cos уФг‘и,г [aln 4-i(x г) —
п=0 xt=—оо и=0
— а.2п 4+1 (х г)] х d х d xt;
А” = У J f cos v(petH‘z [bln Jv-!(h г) + bin Jv+1 (x r)] x dud xp,
n=0 X1 = *i-00 x=0
(7.11)
” = S J J Sin V<P21'X-Z [ — bln r) +
n=l и,=—co и=0
+ bin Jv+l (x r)l x dud Hi.
Здесь, так же как и раньше, v=nn/a (n=0, 1, 2, 3, ...). Подста-
вим выражения (7.10) в (7.4):
2 I I (б2 —xf — x2) sin 4-1 (*>) +
n=l Xt=—ОО Х=о
+ «2П4+1 (хг)] xdxdXi = —/7(г, <р, г);
3 Т J (^2—х2—х2)со8т<ре‘’и*г[а1п4-1(хг) —
n=0 Xi^—со х=0
—а2п 4+1 (х г)] х d х d хг = — (г, <р, г).
Умножим первое из этих выражений на (ето/а) (sin v'<p), а
второе на (ет/а) (cos v'<p) и проинтегрируем оба выражения по <р
179
от 0 до а. Тогда с учетом ортогональности тригонометрических
функций получим
У J (Л2 —X2 —X2) е/И1г dv^ =
И,=— ОО И=0
е “
=-----— f ir(r, ф, z) sin v'qpd <р ; (7.12)
“ q>=0
«!=—00 х=о
= —— J /’ (г, Ф, z) cos г'фб/ф. (7.13)
а <р=0
Складывая и вычитая (7.12) и (7.13), найдем
У J (&2——х2)е1И*г almJV'~i (xr)xdxc(x1 =
Xj=—СО х=0
= — У [/;('\Ф.г)81Пг'ф + /1 (г, ф, г)созг'ф]б/ф; (7.14)
2a q>=0
У У —Х1—х2) e'x»za2m Jv<+1 (xr)xdxdx1 =
И1=‘— ОО Х=0
= — ~7 У [/®(г,ф,г)81пу'ф— Р (Г,ф,2)со5¥'ф]«1ф. (7.15)
2 “ф=о
Умножим (7.14) на
±е^^(*'г),
2 Л
а (7.15) на
7- e~iK'iz Jv/+1 (x'r)
2 л
и проинтегрируем оба выражения по г от 0 до оо и по г от —оо
до +оо [при этом в левых частях образуются функции 6(xi—x'i)
и 6 (х—х') ]. В результате получим
ain=Ar [/7(г',Ф',г')8Штф' +
4 лаг4оФ^Ог4_оо
€ Т (у/
+ Р (г', ф', г') собтф')---—--------г' dr' dtp' dz' ; (7.16)
Ф X2! + X2- k2
IM [/7(г',ф',2')81ПУф'-
ч ла r,=G 4,r=02i=_oa
— it (г'з Ф'>z') COSТф'] _f—* _/v+i(kr ) r' dr'dФ' dz'. (TAI)
A + x2 — k2 '
180
Смчиапыю От -
Aataffaus®»'
знание без границ Ч *
Таким же путем можно определить коэффициенты Ьщ и Ь2п в-
выражениях (7.11). Эти коэффициенты оказываются равными:
Ьт = Г^ J У У [/“(/, <p',z') cos v(p' —
4 г'=0 ^=Ог'^-т
—j" (г' ,ф',?') sin уф'] 1_J'v~1 _г - г' dr'd ф' dz' ; (7.18}
Ч’ X21 + x«-^
b2n=-~- J f J [/“(г',ф',2')С08Тф' +
4 ла г'=0 <р'=0 г'=—<о
+ /т(Л ф\ z')s>nгФ1 -______L_ г'dr'dф' dz'. (7.19)
x2i + >? — k2
Для получения окончательных выражений для составляющих
электрического и магнитного векторных потенциалов подставим
выражения для коэффициентов а и b в. формулы (7.5), (7.6),.
(7.10) и (7.11). При этом мы выполним интегрирование по И1 на
плоскости комплексного переменного и преобразуем интеграл по
и, подобно тому как мы это делали в формуле (2.18) с помощью
соотношений (2.19). Вместо интеграла по Xi с таким же успехом
можно было бы вычислить интеграл по и. Тогда функция Ааг была
бы представлена разложением, подобным разложению функции
Грина (2.22). Этот путь 'был выбран в работе [17].
Итак, решение поставленной задачи будет иметь следующий
вид:
Az—^dv—— 2 /гвШУф'Х
v 2a П=1
оо ± Уи2—k‘ {г'—г) Г Jy(y, Г )Ну (и г) Г^>Г
X sin уф у --------- ---------j nd и; (7.20)
х=-« [H^(Hr')Jv^r) r<r'
Аг = ydv 2 en jz cos уф' X
V 40 n=0
co ± Ух2—Aj® (z'—z) f JV far ) (^0 Г
xcosvcp f --------—----------{ xdx (7.21)
*=-’ (Я(2) (x r,} K (%r) r</
Ar= ^dv —— l/’r sin vq>' + cos уф'] X
v 40 n=l
co - e± Ух2—fc2 (2'—2) J-v—1 (^ ) f^v— 1 (^)
X sin Уф f -------------— ——J xd% +
У X2 - k2 i {кг,}
+ fdv —— У [jr sin Уф' — /ф cos Уф'] x
v 4a "i
181
оо g± Vv.2—k2 (z'—z) f A’+l (W ) ffv+i (иг) r > Г'
xsinvq) f ---^__-----------{ xdx (7.22)
* (flv+i (xr') Jv+1(xr) r<r'
= f du 2 en l/r sin уф' + /’ cos vtp'J x
V °a n=0
oo e±V'x!—fes (z'—z) I Л-l (xr') Hffh (иг)
xcosvcp J ——==-------------{ xdx-
X=—oo |Z X2 — k2 I zr(2) i l\ t , x
\Ну—\ (иг ) Jv~i (xr)
1 00
~ fdu—enl/rSinvq)'—/’®cosv(p']X
V n=0
oo ± Vv2—k2 (z'—z)
X cos уф f --------— - —
z=—co Уи2—k2
A” = fdv -i- 2' en [jr cos V<p'—/ф sin уф'] x
v 8(1 n=0
(Jv+i (иг') Hy\.\ (иг) r>r'
I xdx; (7.23)
Jv+1(xr)r<r'
oo
X Cos Уф J
x=—oo
e± Vn*—k2 (?'—z) [ Jv-Jxr') Я[221 (иг)
Vx2 _ ft2 ] „ ndn-
1 00
+ ( dv —— У en [/“ cos vtp' + /ф sin уф'] x
v 8a "o
f Jv+l (иг') (иг) r > r'
I xdx; (7.24)
(^v+1 (иг') Jv+1 (xr) r < r'
ОО ± Ух2 -Л2 (z'—2)
X cos v<p f -----------------
X=-oo Vv.2-k2
Лф = — Jdu —J— 21 [/“ cos уф'— /фвтуф'] x
V 4a n-1
ОО ^ + Ух2—k2 (z'~Z) I Jv^i (иг') /Г*,2!] (xr)
XsinyT J --------{ xdx4
«=-00 [Н^(иг')^(иГ)
+ f du [ /7 cos уф' + /” sin уф' ] x
V 4a n=l
oo e±Vn2-h2 (z'—z) fjv+1(xr') /7t+i (xr)r>r'
Xsin уф f — ------j nd и
X=— оо V X2 — k2 I rr(2) , , v - ,
( 7/;,+i (xr ) Jv+1 (xr) r < r
В формулах (7.20) —(7.25) обозначено
(7-25)
j...du= j j j ... r'dr'd q'dz'.
V r'==0 <p'=0 z'=—oo
182
Слецылегобл» _
^alatlauStM
знание без ерениц * *
Знак + перед радикалом в показателе берется при (z'—z)<0r
а знак — при (z'—z)>0. Найденное решение представлено в виде
бесконечного спектра плоскоцилиндрических волн, разбегающихся
в обе стороны от плоскости z=z' вдоль оси z. Оно удовлетворяет
граничным условиям на поверхности клина и принципу излучения
на бесконечности.
При определении поля в дальней зоне выражения (7.20) —
(7.25) можно упростить, вычислив интеграл по и методом перева-
ла (см. § 4.2). Считая, что все сторонние источники расположены
в ограниченной области вблизи начала координат и введя сфери-
ческие координаты R и 0:
г = R sin 6; z' — z——7?cos0,
lz'—zl r _ ,
найдем при ------ ->оо,---->oo и :
” лУЛ-Щг'-г)
J ---i/~2—тл------Jv Hv (xr)%dx «
И=-х Ух2— k2
Л
1Х— „—ikR
« 2 е ’ -—-—Jv(kr' sin 0). (7.26)
Подставив (7.26) в формулы (7.20) — (7.25), получим выра-
жения для составляющих векторных потенциалов в дальней зоне
, - 'v Т e-u>R
Лг = J dv — 2 f- sin v<p'sin Тфг Jv (kr' sin 0) —~; (7.27)
1 oo 2 p—ikR
Az = f dv-------2 En /” cos V<P'cos V<P e (kr'sin e)-----------: (7.28)
v 2a n=0
। oc Z
A3r= (dv----У {[/rsinv<p'4-/^cosv<p']c Jv^l(kr' sin0)-h
v 2a n=0
,-ikR
э ‘ 2 ч e
-г [/r sin vtp'—/tp cos vtp'J e Jv+1 (kr' sin 0)} sin v<p —-— ; (7.29)
i (V—1)
1 co 2
Лф = J dv----------у en {[jf sin v<p' у /Гр cos v<p'] e Jv-Y (kr' sin 0) —
V 4a n=0
i (v+0 ~ g-ikR
— [jf sin v<p'-— /ф cos v<p'] e Jv+1 (kr' sin 6)} cos v<p------; (7.30)
i (v—1) —
I oo z
Лг = |с/и---2 en [/” c°s v<p'—/^sinv<p']e Jv_x (kr' sin 0) +
v 4a n=0
183
f(v+1)T -ikR -
+ [/< cos уф'4-/ф sin уф'] e Jv+1 (/er'sin 0)} cosv<p--------; (7.31)
R
J oo
Дф = f dv —— {—[/” cos vqi'—/” sin уф'] e Jv_r (kr' sin 0) 4-
v Za n=l
i (v+D -y — ikR
H~ l/“ cos уф' -|- /ф sin Уф'] e Jv+1 (kr’ sin 0)} sin уф --. (7.32)
R
Значения напряженностей электрического и магнитного полей
могут быть найдены по формулам (1.29) и (1.91).
7.2. Возбуждение клина радиальным электрическим диполем
Рассмотрим электрический диполь, расположенный 4 на ребре
клина и ориентированный в радиальном направлении (рис. 7.2).
Распределение стороннего тока в этом случае задается выра-
жением
Гг (г', Ф', /) =
/о -^-6 (г' — О)б(ф' — ф0), г'</,
О,
г’>1.
(7.33)
Длину диполя I считаем пока конечной вели-
чиной, ибо если положить Z=0, т. е. задать зави-
симость от г' в виде б (г'—0), то не удастся вы-
полнить интегрирование по г в формулах для со-
ставляющих потенциалов (7.20) — (7.25) и
(7.27) —(7.32).
Строгое решение поставленной задачи имеет-
ся в работе [18J. Мы же будем интересоваться
лишь полем в дальней зоне. С этой целью обра-
тимся к формулам (7.29) и (7.30), определяю-
щим отличные от нуля составляющие векторного
потенциала Ааг и Дэч>.
Рис. 7.2. Возбуждение клина радиальным диполем
Подставив в эти формулы выражение (7.33) и заменив функ-
ции Бесселя их представлением в виде ряда
/ X \2h+(VTl)
00 ь \ 9 )
АТ1(х) = У (—1)*-------,
V 1V ’ Йо Г(6 4 1) Г(Л 4 (v + 1) 4 1)
выполним почленное интегрирование по г'. Затем устремим I к ну-
лю, считая, что
Й -у+Р
а а
lim/oZ = const, a lim/oZ =0 при 0>O.
Z-+0 l-*0
/^00
184
iSalatiaus^i
знание без границ “ *
В результате от бесконечного ряда по п ® формулах (7.29) и
(7.30) останется лишь один член, соответствующий и=1, и выра-
жения для Аэг и Лэф примут следующий вид:
A t (21 _ Л 21 21-1
lg(kl) е (sin 6) / л \ / л \ е— ikR
Лф ==-----------------*--------sin ( — ф0 ) COS ( — ф ) —н-
JI \ J \ ъл / л\
2“ akr( — ) z-
\ a J (1.3&)
Перейдя от цилиндрических составляющих векторного потен-
циала к сферическим по формулам
Л^=ЛЬшО; Л| = Л?со8б; Лф=Л^,
с помощью выражений (1.29), (1.93в), (7.34) и (7.35) найдем
сферические составляющие векторов напряженности магнитного
и электрического полей в дальней зоне (при этом удерживаем
лишь члены, пропорциональные 1/7?):
=0;
185
п
_ ,kl30(kl)a е
*-‘ф I
(sin 6)
<йв'ап2я/“ г( — \
\ a /
. / тг \ / тг \ P
XSinl <p0 ) cos( ф)—Б— •
На рис. 7.3 и 7.4 представлены нормированные диаграммы на-
правленности клина, возбуждаемого радиальным электрическим
диполем.
Рис. 7.4. Диаграмма направленности радиального диполя в плоскости <р=а/2
Диаграммы на рис. 7.3 рассчитаны для составляющей в
плоскости, перпендикулярной ребру клина • Составляю-
186
^alatiaus^i
знание без границ У *
щая £е в этом случае равна нулю. Рассмотрены три значения уг-
3
ла а: л, — л и 2л. Угол фо во всех случаях равен а/2. С увели-
чением угла а диаграмма направленности «развертывается» так,
что максимумы ее остаются ориентированными вдоль граней кли-
на, а нуль излучения направлен по биссектрисе угла и (т. е. в на-
правлении оси диполя).
На рис. 7.4 показаны диаграммы направленности в плоскости
Ф = а/2 для тех же значений а. На этот раз оказывается равной
нулю составляющая напряженности электрического поля Ev и ди-
аграммы представляют собой зависимость £0 от 6. Характерной
чертой этих диаграмм является обращение поля в бесконечность
при 6 = 0 и 0=180°, когда а>л. Особенность поля определяется
—-1
множителем (sin6)“ и становится тем сильнее, чем больше
угол и. Такое поведение поля физически связано с увеличением
плотности продольного электрического тока вблизи острой кром-
ки и возникновением вследствие этого так называемой кромочной
волны, распространяющейся вдоль ребра в обе стороны от дипо-
ля. Кроме того, следует отметить также слабую зависимость диа-
грамм от значения а при а>л и наличие пуля в направлении
0 = л/2, что связано со взаимной компенсацией полей токов, теку-
щих по поверхности клина. Положение диполя по отношению к
граням, характеризуемое углом фо, не влияет на форму диаграмм,
а сказывается только на абсолютной величине поля.
7.3. Возбуждение клина радиальной щелью
Задача о возбуждении клина радиальной щелью имеет важное
прикладное значение, поэтому рассмотрим идеально проводящий
клин, в котором перпендикулярно ребру прорезана узкая щель
(рис. 7.5) с напряжением и между краями.
Рис. 7.5. Возбуждение клина радиаль-
ной щелью
Как указывалось в § 4.1, подобную щель можно заменить ли-
нейным магнитным током. В данном случае выражение для объ-
емной плотности магнитного тока запишется следующим образом:
Ф', г') =
As(z'—О)[б(<р'—0)—6(ф'—а)],
0,
(7.36)
При таком распределении стороннего тока отличными от нуля
составляющими векторного потенциала будут Амг и Лмф. Если мы
187
интересуемся полем в дальней зоне, то выражение (7.36) следует
подставить в формулы (7.31) и (7.32).
Чтобы рассмотреть поле элементарной щели, необходимо по-
ложить
— — + ₽
lim /“ Iа — const и
1--0 Z-H)
,М — гМ
/0-«° /0-с=
и интегрирование по г' выполнить так же, как это делалось в
§ 7.2. По составляющим магнитного векторного потенциала опре-
делим с помощью формул (1.29) и (1.93) составляющие векторов
напряженностей электрического и магнитного полей в дальней
зоне в сферической системе координат:
=0;
HR =0;
На рис. 7.6 представлена зависимость модуля Ее от угла <р
в плоскости 0=л/2 для а=л, (3/2) л и 2л. Излучение вдоль гра-
ней клина равно нулю, а максимум поля направлен вдоль бис-
сектрисы угла а.
Диаграммы направленности в плоскости <р = а/2 приведены на
рис. 7.7 для тех же значений а. В этом случае имеется лишь со-
188
yataHauswk
знание без границ \ *•
ставляющая Ев, а =0. При 6=0 и 6=180° амплитуда поля об-
ращается в бесконечность из-за возникновения волны продольных
токов на кромке при а>л. Когда а=л, диаграмма направленно-
Рис. 7.7. Диаграммы направленности радиальной щели в плоскости <р=а/2
сти представляет собой диаграмму щели, прорезанной в бесконеч-
ной идеально проводящей плоскости.
Глава восьмая
Возбуждение поверхностных волн
В этой главе рассматривается решение электродинамических
задач о возбуждении ряда структур, способных поддерживать по-
верхностные волны.
189
Под поверхностными волнами мы будем понимать волны
с
замедленной фазовой скоростью, распространяющиеся без ослаб-
ления вдоль направляющей их поверхности и экспоненциально
уменьшающие свою интенсивность в направлении нормали к этой
поверхности. С описанием подобных волн мы встречались в § 2.4,
по там возникновение поверхностной волны определялось не свой-
ствами граничной поверхности, а заданием соответствующего вида
сторонних токов.
Во многих случаях к направляющим структурам поверхност-
ных воли можно применить импедансные граничные условия. В
связи с этим будет подробно освещен вопрос о смысле импеданс-
ных граничных условий и характере поверхностного импеданса не-
которых плоских структур.
Границы, способные направлять поверхностные волны, могут
быть как плоскими, так и криволинейными. Мы ограничимся рас-
смотрением плоских границ, так как в этом случае решение по-
лучается более простым. Путь анализа сохраняется тем же и при
к р ивол инейных границах.
Центральное место в главе занимает решение двумерной зада-
чи о возбуждении импедансной плоскости. Отдельно рассматрива-
ются поля электрических и магнитных волн. В каждом случае со-
ставлено интегральное уравнение для спектральной плотности от-
раженного поля. Когда поверхностный импеданс плоскости посто-
янен, интегральное уравнение решается довольно просто. Поле
возникающей поверхностной волны находится как вычет отражен-
ного поля, а поле пространственной волны можно оценить мето-
дом перевала. Для выяснения характера поля над плоскостью с
модулированным поверхностным импедансом получено решение
в приближении Кирхгофа. Исследованы три частных случая моду-
ляции импеданса.
Другим видом интегральных уравнений рассматриваемой за-
дачи являются уравнения для электрических и магнитных поверх-
ностных токов [19], которые могут быть решены численными ме-
тодами. Таким образом, в настоящей главе будет продемонстриро-
вано применение метода интегральных уравнений, все шире ис-
пользуемого в задачах электродинамики.
В конце главы будет приведено решение задачи о возбуждении
слоя диэлектрика на плоском экране. Это решение является при-
мером анализа структуры, поддерживающей поверхностные волны
и не описываемой в общем случае импедансными граничными ус-
ловиями.
8.1. Применение импедансных граничных условий
в теории поверхностных волн
Структуры, направляющие поверхностные волны, во многих
случаях могут быть охарактеризованы импедансными граничными
условиями. Как уже говорилось в § 4.3, импедансные граничные
190
Специапьноопя _
Ла1аНам$®»'
знание без границ * «Ь
условия имеют вид
[En] = Z [п [пН]] или Ef = Z[Hfn], (8.1)
где Z — поверхностный импеданс, ап — внешняя нормаль к гра-
нице области, в которой мы ищем поле.
В § 4.3 было также установлено, что граничные условия (8.1)
при скалярном характере Z определяют структуру поля во второй
среде в виде плоской волны, уходящей в направлении нормали п.
С другой стороны, соотношение (8.1) можно рассматривать как
связь между тангенциальными составляющими Е и Н на некото-
рое. 8.1. Импедансная по-
верхность 5
Рис. 8.2. Плоская грани-
ца (раздела двух сред
рой поверхности S (рис. 8.1). Такая связь может быть установле-
на в любом случае, и Z, вообще говоря, будет тензорной величи-
ной.
Если U}, и2, и3—ортогональные координаты и единичные коор-
динатные векторы ii и i2 лежат в плоскости, касательной к S, а
вектор ia совпадает с нормалью п, но направлен в противополож-
ную сторону, то соотношение (8.1) можно записать в виде
/7 7 \
Е<= 7 7 [Н‘П] (82а)
\ ^21 ^22 /
ИЛИ
= - 2и Н8 + Z12 Е2 = - Z21 tf2 + Z22 Hv (8.26)
Выражения вида (8.2) могут быть составлены для любого из-
вестного электромагнитного поля, причем поверхность $ может
представлять собой как действительную границу раздела двух
сред, так и некоторую воображаемую поверхность. В общем слу-
чае компоненты тензора Z будут зависеть от определяемого ими
поля и соотношения (8.2) не смогут служить граничными усло-
виями в обычном смысле, а окажутся следствием граничных усло-
вий (1.136) и (1.146), требующих непрерывности тангенциальных
составляющих Е и Н.
Для того чтобы соотношения (8.2) действительно были гра-
ничными условиями, необходимо потребовать локальной незави-
симости поля в среде 2 от поля в среде 1. Импеданс должен оп-
ределяться только параметрами среды 2, а поле в среде 2 должно
191
иметь вид плоской волны, движущейся в направлении нормали п,
безотносительно к структуре поля в среде 1. Это значит, что нам
необходимо вернуться к условиям (8.1).
Если Ej и Н( взаимно ортогональны, то тензор 1 становится
диагональным, т. е. Zi2 = Z2i = 0, и выражения (8.26) примут вид
Ej = Zji^T2, E2=Z<t2H1. (8-3)
Если граница раздела обладает анизотропными свойствами, то
Z11^=Z22.
В дальнейшем мы ограничимся двумерными задачами и будем
считать, что поля в средах 1 и 2 не зависят от одной из попереч-
ных координат, например координаты Если считать координату
«з прямолинейной, поле в среде 1 можно искать в виде суперпози-
ции электрических и магнитных волн, бегущих в направлении оси
и3. При этом согласно уравнениям- Максвелла и выражениям
(1.81) поле электрических волн будет иметь составляющие Е3, Е2
и Н}, а поле магнитных волн — составляющие Н3, Н2 и Et. Таким
образом, импедансные граничные условия для электрических
волн будут иметь вид:
Ea = Z£tfj, (8.4а)
а для магнитных волн
Е1=— ZHH2. (8.46)’
Здесь, очевидно, ZE=Z22 и Zh=Zh.
Теперь рассмотрим ряд плоских границ раздела, для которых
импеданс среды 2 не зависит от поля в среде 1. При переходе к
прямоугольной системе координат положим щ = и2=у\ u3=z.
Граничные условия (8.4) перепишем следующим образом:
Ey = ZEHx; (8.5а)
EX=-ZHHU. (8.56)
Прежде всего оценим поверхностный импеданс однородного по-
лупространства (рис. 8.2). В § 4.3 мы установили, что поле на
плоской границе раздела двух сред принимает вид плоской волны,
уходящей вдоль нормали внутрь среды 2, в двух случаях: 1) ког-
да ог/соваг^М; 2) когда еагЦаг^еафа! при о2=0. Следовательно, в
обоих случаях поверхностный импеданс перестает зависеть от по-
ля и может быть подсчитан в первом случае по формуле
ZE = ZH = l/j^ Ц£ (8.6)
F 6 32 г °2 1/2
а во втором случае по формуле
Zz? = ZH=]//^- (8.7)
Г Еа2
Таким образом, мы можем констатировать, что на плоской гра-
нице среды с большими потерями поверхностный импеданс изо-
тропен и представляет собой комплексную величину, причем дей-
192
^lalaHausjli!.
знание без границ * ш
ствительная и мнимая части равны и малы по модулю. В случае
среды без потерь поверхностный импеданс на ее границе оказы-
вается чисто действительной величиной. Однако если предполо-
жить, что еа2<0 или Ца2<0 (но не одновременно еа2<0 и ца2<0),
то импеданс может стать чисто мнимым (реактивным). Это мо-
жет, например, 'произойти, когда среда 2 представляет собой
плазму.
Как мы увидим ниже, возникновение поверхностных волн свя-
зано именно с наличием мнимой части у поверхностного импе-
данса, поэтому здесь следует заранее обращать внимание на вид
аргумента комплексной величины Z.
Перейдем теперь к другой граничной поверхности — идеально
проводящей плоскости, покрытой слоем диэлектрика (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Идеально проводящая
плоскость со слоем диэлектрика
Рис. 8.4. Плоская ребристая
структура
Если диэлектрик не имеет потерь, то преломленное поле в нем бу-
дет иметь вид плоской волны, движущейся в направлении отрица-
тельных значений z, при условии
еа2 Наг eal Hal- (8.8а)
Однако, помимо этой волны, внутри диэлектрического слоя бу-
дет распространяться волна, отраженная от идеально проводя-
щей плоскости. Если, кроме условия (8.8а), наложить условие на
электрическую толщину слоя
(8.86)
то отклонение направления как падающей, так и отраженной
волн от нормали будет незначительным. Тогда составляющие поля
падающей и отраженной волн внутри диэлектрического слоя, оче-
видно, можно представить в следующем виде:
для электрических волн
рпад_р ‘*2 2. ротр __ р —ik2(z+2d).
—^иое > ‘-и ——пуое >
_ Еув eikaZ_ ууотр __ Еув e_(ks (z+2d)'
х W2 ’ х
для магнитных волн
рпад_р ik~ ротр_ р -ik2(z+2d),
—,x0 е у >
=____z- H°JV = -_________-?° e-«2(z+2d)
W2 ' у Г2
7—142
193
Суммарное поле как электрических, так и магнитных волн
удовлетворяет граничному условию £7 = 0 при z=—d. На плоско-
сти z=0 для суммарного поля электрических волн можно запи-
сать соотношение
Ev E„. e~ik*d ( eikld — e~iksd)
777 = — .. : • = » r2 tg k2 d.
(8.9)
Точно так же
. Ех
e-ik,d ( eik2d e-iM)
для суммарного поля магнитных волн запишем
£ ( Jk2d _ —ilt2d\
= ------е_---L = i tg k„ d. (8.10)
Сравнивая (8.9) с (8.5a) и (8.10) c (8.56), получаем выраже-
ния для поверхностного импеданса рассматриваемой структуры
ZE =ZH = iWstgk2d. (8.11)
Таким образом, поверхностный импеданс слоя диэлектрика на
плоском экране изотропен и чисто реактивен при отсутствии по-
терь в диэлектрике.
В качестве третьего вида плоской импедансной поверхности
рассмотрим ребристую структуру, или «гребенку» (рис. 8.4). Эта
структура представляет собой систему металлических ребер тол-
щиной t, укрепленных на идеально проводящей плоскости. Если
расстояния между ребрами одинаковы, то структура будет перио-
дической с периодом S. Между двумя соседними ребрами образу-
ется прямоугольная канавка, имеющая глубину d и ширин)? S—t.
Поле волны, бегущей вдоль оси у, на. границе ребристой
структуры и свободного пространства в силу периодичности может
быть представлено в виде ряда Фурье, например:
, 2Лп . 2пп
оо -1—Е-У со -t—p-y-
Еу= S а*е ; Ех= 2 ь»е
п = —00 П=—ОО
где коэффициенты разложения ап и Ьп содержат фазовые множи-
тели, меняющиеся от канавки к канавке.
В пределах периода электрическое поле складывается из поля
на торце ребра, где ЕУ=ЕХ=О, и поля в пределах канавки. Каж-
дую канавку мы можем рассматривать как волновод, образован-
ный двумя параллельными идеально проводящими плоскостями
(см. § 10.1). В общем случае в таком волноводе могут возбуж-
даться как электрические, так и магнитные волны. Однако если
мы потребуем, чтобы ширина канавки была мала по сравнению с
длиной волны, т. е.
S—t<^, (8.12)
то в канавке будет распространяться только волна Т. В нашем
случае эта волна будет иметь составляющие Еу и Нх. За счет
отражения от дна канавки возникает стоячая волна, и поле в ка-
194
Специально Оля *
JValaHausW
знание без границ ’ ш
навке будет описываться выражениями
Еу = Еу0 (eikz—e-ihz-l2kd)\ Нх = (е«г + е-^-^му
Следовательно, в пределах ширины канавки поле можно счи-
тать постоянным по амплитуде и фазе и при z=0 можно записать
JzJL = iWtgkd. (8.13)
Это значит, что при выполнении условия (8.12) мы можем в
ряде Фурье для поля на плоскости z=0 пренебречь всеми гармо-
никами, кроме нулевой. Нам необходимо также учесть, что на
торце ребра Еу—& Предполагая, что ребра имеют малую толщи-
ну: t<^S, усредним отношение (8.13) по периоду и запишем
= i-^Wtgkd. (8.14)
\ /ср *-*
Таким образом, формула (8.14) определяет величину поверх-
ностного импеданса электрических волн для плоской ребристой
структуры. Для магнитных волн, поскольку при S—Ех—0
не только на торце ребра, но и в пределах ширины канавки, где
магнитные волны не возбуждаются,
Zh =0.
Следовательно, для магритных волн ребристая структура
представляет собой как бы идеально проводящий плоский экран.
Итак, мы можем заключить, что поверхностный импеданс ребри-
стой структуры анизотропен и носит чисто реактивный характер
при отсутствии потерь в среде, заполняющей канавки.
Укажем, что в тех случаях, когда условие (8.12) не выполняет-
ся, необходимо переходить к строгой теории ребристых струк-
тур [30].
8.2. Возбуждение плоской поверхности
В этом параграфе мы решим задачу о возбуждении импедан-
сной плоскости произвольным двумерным распределением сто-
ронних источников. Под импедансной плоскостью можно Понимать
как любую из трех рассмотренных выше структур, так и всякую
другую плоскость, для которой справедливы граничные условия
(8.3). Совместим импедансную плоскость с плоскостью z=0 и
будем считать, что распределение источников и значения импе-
данса не зависят от координаты х. Тогда поле в верхнем полупро-
странстве (z^O) можно представить в виде суперпозиции элект-
рических и магнитных волн, бегущих вдоль оси z. При этом за
счет двумерного характера поля эти же волны можно рассматри-
вать как электрические и магнитные волны, бегущие вдоль оси у.
Остановимся сначала на решении для электрических воли.
Поле сторонних источников (падающее поле) представим с по-
7* 195
мощью формул (2.30), (2.31), (2.32), (2.36) и (2.38), где учтем
отсутствие зависимости от х, в следующем виде:
Е™= \E^dx-
рпаД 1 — 1иг/± /и2—k2 z г-э , ч
F3(x) = -L-$
4л j
х2
jz— IV
~k2 -э
(815)
(8.16)
Xe^'^^^'dy’dz’. (8.17)
Здесь через S обозначена площадь сечения области, занимае-
мой источниками, плоскостью x=const; верхние знаки-, перед ра-
дикалом берутся для (2—z')<0, а нижние — для (z—z')>0; еа'—
комплексная диэлектрическая проницаемость среды над импедан-
сной плоскостью.
Остальные составляющие векторов поля электрических волн
выразятся так;
7?;;д= ]E^dv- н™*=
— оо —00
(8.18)
с-пад_ + Д/х2— Л2 . мпад _ i О»'а д
п</и----------- — —- — , /7ХХ----------— —-
х2 ду х2 ду
Поле, отраженное от плоскости, запишем в виде
£отр = ? -----Ни)--- e_i ну_ г fa.
-i д/и2-л2
£ОТР = 1- Г (8.19)
•—ОО
Е°тр = сое'а 7------f (и) е-’ * у ~ 2 d v.
—о, и Д/и2 — Л2
Суммарное поле электрических волн должно -при 2=0 удовле-
творять граничным условиям (8.5а). Следовательно, мы можем
записать
«> е~ 1Х.У
( 1/ (.v) — F3 (и)]-d х
г* I ; J X
ZE=-^-\ =—-------—--------------------------- . (8.20)
//ж|г=0 <ое'а “ е~му
f [/ (и) + F3 (и)]- <*Х
—i хД/х2—k2
Здесь у функции F3(x) берутся перед радикалом только верх-
ние знаки [см. формулу (8.17)].
Предположим, что поверхностный импеданс Z£ является функ-
196
flafaftausliBl
знание без границ Ч *
цией координаты у, причем такой функцией, которая допускает
представление ее в виде интеграла Фурье, т. е.
2е(уУ= JzE (к) е~‘d к. (8.21)
—оо
Тогда соотношение (8.20) с помощью теоремы о свертке и
формулы обращения для преобразования Фурье можно привести
к виду
-i<oe'a fZr(x-n) = (8.22)
—i i'll/’)2 — k2 х х
Обозначив для удобства
— = ф(х);
—tcoe'a 7zf(h—т|) Г(п) Лт] = ф(х), (8.23)
* цУц2-^2
преобразуем (8.22) к следующей форме:
ф (х) = ф (х)—i сое'а j - Ф (П) d т|. (8.24)
—оо у Т] — kr
Соотношение (8.24) является неоднородным интегральным
уравнением Фредгольма второго рода [20] относительно функции
<р(х), простым образом связанной со спектральной плотностью
/(х) отраженного поля. Функция ф(х) полностью определяется
распределением сторонних источников и играет роль свободного
члена в интегральном уравнении.
Функция Ze(x—л)/Ц2—k2 называется ядром интегрального
уравнения. Это ядро несимметрично по отношению к переменным
х и q и имеет слабую особенность в точках r\ = ±k.
Для упрощения записи предположим, что oi=0, и перейдем к
безразмерным величинам: xi = x/&; y\=ky\ Zie=Ze/Wo.
После этого уравнение '(8.24) примет вид
Ф(х1) = ф(х1)— i f ^’5(X2-~?)<p(^dTli- (8-25)
-ОО Vn2l— 1
Если на всей импедансной плоскости поверхностный импеданс
постоянен, то
Zae («i—П1) = 2Ьр6(х1—qj. (8.26)
В этом случае ядро становится диагональным и вместо интег-
рального уравнения мы получаем для функции <p(xi) простое
функциональное уравнение вида
Ф (Xi) = Ф (xj—iZiE ,
Ух2! — 1
197
из которого находим
Ф («1) =
F3(><1) У*2!—1—
(8.27)
Возвращаясь с помощью выражений (8.23) к функции f(xi),
мы можем теперь с помощью формул (8.19) найти отраженное
поле электрических волн в виде интегралов Фурье:
—ооД/х2!— l-(-iZ1£. Д/х2!— 1
£OTP=f. ?Vx2x-l-tZ,g дэ(Х1)
-» Ух2! — 1 4- i Z1E «1
dx,;
(8.28)
(8.29)
iXii/,— V x2,—1 z,
^отр = J ? Ух-l 1-------'^lE----Г(*1) „ e-ix.j/,- Vx‘,-1 d Xr (8.30)
^0 — «Ух2!— 1-|- iZ]g ХхУх2!—1
Таким образом, мы получили решение для электрических волн,
возбуждаемых над плоскостью с постоянным импедансом произ-
вольным двумерным распределением источников. Это единствен-
ный закон распределения импеданса на плоскости, для которого
удается получить решение уравнения (8.25) в замкнутой форме.
Можно было бы найти решение для случая постоянного импедан-
са и не переходя к интегральному уравнению. Для этого достаточ-
но применить к выражению (8.20) обратное преобразование
Фурье и найти функцию f(x).
Здесь уместно указать, что если на некоторой кривой поверх-
ности t(i=const в системе ортогональных координат щ, U2, Из, до-
пускающих разделение переменных в волновом уравнении, импе-
данс меняется по закону Z=clhi, где с — константа; hi — коэффи-
циент Ляме, то решение также может быть получено методом
Фурье. В этом случае переменные целиком разделяются, а в ин-
тегральном уравнении образуется диагональное ядро. Доказатель-
ство этого факта приведено в обзорной работе [21]. В частности,
можно установить, что для импедансного цилиндра, и импеданс-
ного шара такое решение возможно при постоянном импедансе, а
для импедансного клина — прн импедансе, меняющемся обратно
пропорционально расстоянию от вершины.
Интегралы по xi в выражениях (8.28), (8.29) и (8.30) можно
вычислить на плоскости комплексной переменной. С этой целью
замкнем путь интегрирования по действительной och.xi полуок-
ружностью бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости
при z/i—«/'i>0 или в верхней полуплоскости при yi—y'i<0. При
этом необходимо учесть, что подынтегральные функции имеют
точки ветвления xi = ±l, и с помощью разрезов выделить одно-
значные ветви этих функций, обеспечивающие условие излучения
на бесконечности. Процедура проведения разрезов уже обсужда-
198
^ataHaiisWk
знание без границ “ w
лась нами в § 4.4. Здесь также должно выполняться требование,
чтобы разрезы не пересекали оси действительных значений хь
В соответствии с теоремой Коши каждый из интегралов в фор-
мулах (8.28), (8.29), (8.30) будет равен интегралу по берегам
разреза и сумме вычетов в полюсах подынтегральных функций.
Во всех трех формулах знаменатели подынтегральных выражений
обращаются в нуль, когда
V^\-i=-iZlE, (8.31)
и точка полюса определяется выражением
x"x = ± /1—Z21£. (8.32)
Из условия (8.31) мы легко можем установить характер реак-
тивности импеданса ZiE. Действительно, раз мы выбрали тот лист
римановой поверхности, на котором Re)/x2i—1>0 [чем обеспе-
чили сходимость интегралов в (8.28), (8.29) и (8.30) при z->-oo|,
то, значит,----arg У x2i—1 -у- . Отсюда следует, что
O^argZiyj^n. (8.33)
Следовательно, импеданс Z\E должен иметь положительную
мнимую часть, или, иначе говоря, носить индуктивный характер:
Z\E=RiE-\-iX\E\ Xie>0. Рассмотрение импеданса с емкостным ха-
рактером реактивности приводит к появлению полюса на втором
листе римановой поверхности, где не выполняется условие излу-
чения.
Выражение (8.32) мы теперь можем переписать в виде
хп1=± |/1 + Х21с—R2ie—i’2RieXi£; Xie>0,
Если исключить приток энергии из нижней среды, т. е. считать,
что /?1е>0, то можно убедиться, что значение xni со знаком — пе-
ред радикалом дает полюс в верхней полуплоскости (Imxi>0),
а значение xni со знаком Ч—полюс в нижней полуплоскости
(Imxi<0).
Таким образом, поле, обусловленное вычетами, будет пред-
ставляться следующими выражениями:
£отр = 4я F3(^)zlg , i У\-%вVl + iZI£2, .
4л F* ( хР ) — fl/”i у2 „ . ,-z
£отр =----L. 1 '..iE 1 V -r lZ\E*i . (8.34)
У X~Z\E
Z|g у 1 + iZiEz,.
Wo l-Z2IE
Особый интерес представляет случай чисто реактивного им-
педанса. В соответствии с условием (8.33) такой импеданс дол-
199
жен быть индуктивным: ZiE—iXiE. Определяемое полюсами поле
над такой индуктивной плоскостью будет равно:
£отр = ± / 1 У 1 - х1Ег'; (8.35а)
2
£отп _ 4Я ( Х? ) Л1Я СТ 1 К1 +^ЕУ> ~ Х1Е (8.356)
у
№,Р= и^(-”) (835в)
х ч 1+*?я
В формулах (8.35) и (8.34) верхние знаки берутся при у\—
—г/1>0, а нижние — при yi—z/'i<0.
Выясним, какова структура поля, представленного выражения-
ми (8.35). Можно видеть, что это поле имеет вид плоской попереч-
но магнитной волны, распространяющейся в обе стороны от ис-
точника вдоль оси у, т. е. вдоль импедансной плоскости. Волновое
число в этом направлении равно V k2+k2X2iE. Оно всегда боль-
ше, чем k, и лишь при XiE = 0 равняется k. Следовательно, фазовая
скорость рассматриваемой волны меньше или равна скорости све-
та и мы вправе называть эту волну медленной. Что касается за-
висимости поля от координаты z, то легко установить, что в на-
правлении оси z амплитуда поля спадает по экспоненте. Степень
затухания пропорциональна величине поверхностного реактанса
Х1Е. Амплитуда каждой составляющей поля зависит также от
распределения сторонних источников и значения реактивного
импеданса Х1Е.
Таким образом, мы приходим к заключению, что поле, опреде-
ляемое формулами (8.35), есть поле плоской поверхностной вол-
ны. Такое поле мы уже рассматривали в § 2.4. Там, однако, подоб-
ное поле создавалось искусственно за счет подбора распределения
стороннего тока на бесконечной плоскости. Теперь же возникно-
вение поверхностной волны является в первую очередь следстви-
ем свойств границы раздела двух сред. Распределение сторонних
токов может быть достаточно произвольным, лишь бы оно удо-
влетворяло выражению (8.17).
Возбуждение поверхностной волны можно трактовать как ре-
зонанс отраженного поля для некоторой пространственной гармо-
ники. Действительно, если обратиться к формулам (8.19), пред-
ставляющим отраженное поле в виде интегралов Фурье с действи-
тельной переменной интегрирования х, то функцию f(x) следует
рассматривать в качестве коэффициента отражения одной из про-
странственных гармоник (быстрой или медленной) с волновым чи-
слом х. С помощью замены x=6sinG каждую пространственную
гармонику можно представить как плоскую волну, падающую на
плоскость 2 = 0 под углом 0, отсчитываемым от осн z. При этом
200
WalaHausilii
знание без границ “ *
медленным гармоникам (х>/г) будут соответствовать мнимые зна-
чения угла 6, а быстрым гармоникам (я</г) — действительные
значения угла 0. Согласно формуле (8.27)
(8.36)
1/х2 - k2 + ikZlE
Если Z1E=iXiE, то при хп = ± У k2 + k2X2iE получаем f(x)=oo.
Медленная гармоника с волновым числом хп (или плоская волна,
хп
падающая под мнимым углом 0 = arccos -j-) вызывает резонанс
коэффициента отражения. Рассматриваемая система полностью ре-
активна, и происходящий эффект аналогичен резонансу в после-
довательном контуре. Заметим, что ни одна гармоника, у которой
х<&, не может вызвать поверхностную волну. Следовательно,
плоская электромагнитная волна, падающая под любым действи-
тельным углом 0, не способна возбудить поверхностную волну на
плоскости с постоянным поверхностным реактансом. Этот факт
можно проследить, конечно, и с помощью выражений (8.35), зада-
вая бесконечно удаленный сторонний источник.
Из формулы (8.35) можно увидеть также, что при Z1E=—iXiE
коэффициент отражения f(x) не может обратиться в бесконеч-
ность и что при ZiE=/?1E>0 этого тоже не может случиться. Если
же ZiE=/?iE+iA,1E, то коэффициент отражения некоторой группы
гармоник может достигать большой, хотя и конечной величины.
Этот случай подобен резонансу в контуре с потерями.
На плоскости комплексного переменного xi случай чисто реак-
тивного импеданса соответствует расположению полюсов x"i на
действительной оси. При введении потерь на импедансной плоско-
сти полюсы смещаются вверх [для xni — со знаком — в формуле
(8.32)] или вниз [для xni — со знаком +]. С помощью выражений
(8.34) можно легко убедиться в том, что при появлении действи-
тельной части у импеданса ZiE волна, описываемая этими выра-
жениями, теряет свой поверхностный характер. Амплитуда поля
начинает затухать вдоль оси у, и возникает поток энергии вдоль
оси z. Поэтому мы можем утверждать, что настоящая поверхност-
ная волна возможна лишь над плоскостью с чисто реактивным
поверхностным импедансом. При этом, как мы уже убедились, для
электрических волн этот импеданс должен быть индуктивным.
Чтобы оценить, какие реальные границы раздела способны
поддерживать поверхностную волну вида (8.35), вернемся к ре-
зультатам § 8.1. На основании этих результатов мы можем сказать,
что такая поверхностная волна может распространяться над сло-
ем диэлектрика на плоском экране и над ребристой структурой.
Поверхностные нмпедансы этих сред определяются формулами
(8.11) и (8.14). Что касается плоской .границы раздела двух сред,
то ясно, что она не может поддерживать поверхностную волну.
Лишь при когда импеданс определяется формулой
(8.6), вдоль границы может распространяться затухающая волна,
201
слабо локализованная вблизи
плоскости 2=0. Кроме того, по-
скольку модуль импеданса мал, а амплитуды составляющих век-
торов поля в формулах (8.34) при |Zik|<C1 пропорциональны
именно модулю импеданса, эта волна будет составлять лишь не-
значительную часть полного поля над плоскостью 2=0. Подобная
волна эквивалентна волне Ценнека, рассматривавшейся нами в
конце § 4.4.
До сих пор мы говорили лишь об одной части отраженного
поля — части, определяемой вычетами в полюсах хпп Однако мы
должны учесть еще’поле, получающееся при интегрировании по
берегам разрезов, выделяющих точки ветвления xi = ±l. Возмож-
ны различные способы проведения разрезов и оценки возникаю-
щих при этом интегралов. В частности, весьма удобными оказыва-
ются разрезы, подобные показанным на рис. 4.12. Вчэтом случае
поле удается представить в виде ряда по обратным степеням у\.
Часть отраженного поля, определяемая интегралами по бере-
гам разрезов на плоскости Xi, называется полем пространственной
волны. Физически поле пространственной волны связано с полем,
непосредственно отразившимся от импедансной плоскости. Когда
сложная электромагнитная волна, идущая от источника, падает
на импедансную плоскость, часть мощности этой волны переходит
в мощность поверхностной волны, а остальная идет на формиро-
вание сложной волны, удаляющейся от плоскости по всем на-
правлениям и содержащей как быстрые, так и медленные прост-
ранственные гармоники.
Для наиболее простой оценки пространственной волны в
дальней зоне мы воспользуемся методом перевала. С этой целью
перейдем к полярным координатам г, 0 (0 отсчитывается от оси
г) и сделаем замену переменных xi=sinx. Затем, сбитая функ-
цию tp(zi), определяемую выражением (8.27), медленно меняю-
щейся, с помощью формулы (4.22) найдем составляющие £2отр,
£уотр и Нхотр в дальней зоне:
cos 6 — ZiE
cos е + Z\E
/^(sin 0);
£отр= —I
cos 6 — ZXE
cos 0 —f- Z ] E
ctg0£3(sin0);
(8.37)
//otp, 1 i /2jt c ikr + i " cosfl-zig F3 (sin 6)
x i^o V kr cos0-|-ZjE sin 0
Можно также найти составляющую £е с помощью соотно-
шения
£ . &
6 cos 0 sin 0
При деформировании первоначального контура иптегрирова-
202
^а1аНаи$Ж
знание без границ “ *
ния, имеющего вид контура 1 на рис. 4.5, в контур перевала мы
можем пересечь точку полюса. Вычет в этом полюсе, очевидно,
даст нам все то же поле поверхностной волны, описываемое выра-
жениями (8.34). Поэтому формулы (8.37), не учитывающие вклада
от вычета при возможном пересечении полюса (это возможно
лишь при 0->- —), описывают поле пространственной волны в
дальней зоне.
Заметим, что отношение мощности, переносимой поверхностной
волной, к мощности, излучаемой пространственной волной, харак-
теризует эффективность возбуждения поверхностной волны дан-
ной системой сторонних токов.
Обратимся теперь к возбуждению магнитных волн над импе-
дансной плоскостью. С помощью формул (2.33), (2.34), (2.36) и
(2.38), вычислив в них интеграл по xi с учетом независимости
поля от х, запишем падающее поле в' виде
оо
= j H™*dw,
= VTTS F- (x);
x Д/x2 — k2
fm(Z)=-L r
4л £ [i top.'a
X е‘кУ + Vk2 ~ k2 г' dy’dz';
£"ад= 7 E^d%-, — °c H”^dtc;
X d * п У J у к
—oo —oo
MX
XK x2 dy ' y K x2 dy
(8.38)
(8.39)
(8.40)
(8.41)
Порядок выбора знака перед радикалом здесь точно такой же,
как и в формулах (8.16) и (8.17).
Поле, отраженное от импедансной плоскости, запишем в виде
//отР== 7 М*) е^‘ку~Укг-кг zdii-
2 Joo Т/х2 — k2
j dz; (8
— oo X
№= -<ф'а 7 fe-(x)- e~iKy- dx.
J=oxVx!-A2
Далее, используя граничное условие (8.56), выведем интег-
ральное уравнение относительно функции
g(x) = —А^Ц=-, (8.43)
X |/х2— k2
203
Иг
Г
аналогичное уравнению (8.24):
g (х) == X (х) 4-1— 7 Zu (х—т]) V rf—k2 g (?]) d т),
а Л,
(8.44)
где
X (х) =-----------------f ZH (х-т]) d т]. (8.45)
хУх2-*2 “И а Л И
В формуле (8.45) у функции £м(х), определяемой выражением
(8.40), перед радикалом берутся верхние знаки. Перейдя к безраз-
мерным величинам xi=x/&; yi=ky\ Zih—Zh/Wo, найдем
решение уравнения (8.44) для плоскости с постоянным поверхно-
стным импедансом:
. ч рМ(Х1) i +
g М =--------, • (8-46)
Xjl/x2!— 1 1 —iZj/yl/x2!— 1
Отраженное поле будет иметь вид
г Л Ух2! - 1 1 - iZlH Ух2! - 1
H™=-i ( 1 + е- < d X,;
У Д, Х1 1—jZIHyx2i—1
£отр = Го f е- i X. Vl - г. d Хр
—оо Х1 Ух2! — 1 1 — iZlfl Ух2! — 1
(8-47)
При вычислении интегралов на плоскости комплексной пере-
менной xi найдем полюсы подынтегральных выражений, которые
окажутся расположенными в точках
х? - + 'l/'l---. (8.48)
1 I/ z2
г
Виду того что мы должны выбрать лист римановой поверхно-
сти, на котором ЕеУх21—1 >0, или, другими словами,------
^'arg]/ х21—1^ -7, аргумент импеданса ZiH обязан удовлетво-
рять неравенству
(8.49)
Отсюда следует, что для существования полюса на данном листе
римановой поверхности в случае магнитных волн поверхностный
импеданс должен носить емкостный характер. В этом наиболее су-
щественное отличие магнитных волн над импедансной плоскостью
от электрических.
204
flalattausli
знаниебезераниц ’
Если активная часть импеданса равна нулю, т. е. Zxn~—iXin,
то поле, определяемое вычетами в полюсах (8.48), будет описы-
ваться выражениями
№тр
(8.50а)
£отр
+ i4n дм ( xf)
---- е
4л Дм
(8.506)
t'4n WBFM ( xj1) Xlfl
1+^ih
(8.50b)
Здесь верхние знаки берутся при у\—y'i>0, а нижние -г при
Ух—у'х<0.
Легко видеть, что формулы (8.50) описывают поле плоской по-
перечно-электрической поверхностной волны, распространяющейся
в обе стороны от источника вдоль оси у. Такая волна может су-
ществовать над плоским экраном, покрытым слоем диэлектрика.
Ребристая структура, у которой ZH=G, поддерживать подобную
волну не может.
Если импеданс ZH имеет положительную активную и отрица-
тельную реактивную части, то поверхностная поперечно-электриче-
ская волна затухает при своем движении вдоль импедансной пло-
скости, а в направлении оси Z возникнет поток мощности. Волна
такого вида, в частности, возможна над' границей сильно прово-
дящей среды, поверхностный импеданс которой можно найти по
формулам (8.6).
Оценка поля пространственной волны может быть проведена
таким же путем, как и в случае электрических волн.
8.3. Поверхностные волны над плоскостью
с модулированным импедансом
До сих пор мы интересовались полем, возбуждаемым над пло-
скостью с постоянным поверхностным импедансом. Однако на
практике часто применяются структуры с переменным импедан-
сом. Для анализа поля в подобных структурах можно использо-
вать различные подходы. Одним из наиболее простых и нагляд-
ных методов анализа оказывается решение интегрального уравне-
ния для спектральной плотности отраженного поля в приближе-
нии Кирхгофа (см. § 9.3).
Как и ранее, мы будем рассматривать двумерную задачу,
считая, что поле не зависит от координаты х, и ограничимся слу-
чаем электрических волн. Чтобы учесть влияние конечной протя-
205
женности импедансной структуры, предположим, что эта структу-
ра имеет вид бесконечной полосы шириной 2а, параллельной оси х
и вписанной в плоский идеально проводящий экран. Такая систе-
ма может служить расчетной моделью для антенны поверхностных
волн, расположенной на металлической плоскости больших элек-
ka, (8.51)
трическпх размеров.
Пусть поверхностный импеданс полосы задан в виде
(О,
i (Х^ + аХ-Р(У1)),
О,
Это означает модуляцию постоянного реактанса Xi по некото-
рому произвольному закону Xnep(yi) с глубиной модуляции а.
Тогда в соответствии с (8.21)
sin ka (xt — Tit)
1Я —Ш
Чтобы найти решение интегрального уравнения (8.25) в прибли-
жении Кирхгофа, следует вместо неизвестной функции <р(т]1) под-
ставить спектральную плотность сро(т]1) невозмущенной поверх-
ностной-волны, распространяющейся над бесконечной плоскостью
с постоянным реактансом Х1Е. Функция Фо(т]1) может быть най-
дена как обратное преобразование Фурье от выражения
умноженного на е-ЧвЩ
-X [2X,
(8.52)
(8.356),
4лЛ?й
e ‘И* i',e£tllV‘drll =
1Я
2F3 ( x" ) X2,F
-"гЧ- .
1 +
(8.53)
где xni = + Vl +X2ie.
Подставив (8.52) и (8.53) в (8.25), найдем для <p(xi)
жепие Кирхгофа:
прибли-
2F* ( х? ) X2lF
<р(х1) = ф(х1)---------i< -----------5
sin ka (xj — xj1)
л
IE
*1 — x"
+ « Х»„(и_х„) . (8.54)
ЛЛ\Е
Решение (8.54) будет точным в случае возбуждения бесконеч-
ной плоскости с постоянным поверхностным реактансом XiE при
условии, что вся энергия отраженного поля переходит в энергию
поверхностной волны. Следовательно, приближение Кирхгофа бу-
дет тем точнее, чем шире импедансная полоса, чем меньше отно-
сительная глубина модуляции реактанса а1Х\Е и чем выше эф-
фективность возбуждения основной поверхностной волны с относи-
тельным ВОЛНОВЫМ ЧИСЛОМ ХП1=У 1+Х21Е.
206
ftataiiauswk.
знание без границ ' w
Рассмотрим решение в приближении Кирхгофа для нескольких
частных случаев полосы с переменным поверхностным реактансом.
При этом будем интересоваться только полем основной поверхно-
стной волны и полем, возникающим за счет действия модуляции
на основную поверхностную волну. Таким образом, мы отбросим
в выражении (8.54) слагаемое ф(х|) и оставшуюся часть обозна-
чим <рпв(х|). Это поле будет преобладать в отраженном поле при
достаточно эффективном возбуждении поверхностной волны.
1. Полоса с постоянным поверхностным реактансом. Импеданс
плоскости z=0 в этом случае определяется выражением
IE’
— оо <z у 1<Z — ka,
—ka^y^^-ka-,
/га <С < Т’ оо •
Хпер(У1)^0,
Следовательно,
где
sin ka (хх — xj1)
т) =A ; ~ ’
xi —x?
2Рэ(х"). XIe
n 1 + ’
Значит, при переходе от бесконечной импедансной плоскости
к полосе спектральная плотность составляющей Еу поверхностной
волны из 6-функции превращается в функцию вида sinx/x. В спек-
тре, кроме медленных пространственных гармоник (xi>l), воз-
никают и быстрые гармоники (xi < 1), т. е. поверхностная волна
становится излучающей.
2. Полоса с гармонической модуляцией реактанса:
XiE (У1) —
О,
X1£4-acosw ylt
О,
-— оо < Ух < ka,
— ka^yx^ka,
ka<zyx<Z оо;
- XiE 'sin ka (xt — T]1) a sin ka (xj — тц — to)
IE ’ll' n Xj — тц "Г" 2л xt — щ — to
a sin ka (xi — 4i (0)
2л x-l — 4i + <o
Фпв(х1) = Д
sin ka (xx — x" ) । a sin ka (xx — x? — co
хг—x[ 2-Х1я *i —— <o
a sin/га (xj — x" +co)
2Л1Я Ху — x" 4-co
Выражение для спектральной плотности поля поверхностной
волны содержит, кроме основной гармоники, определяемой реак-
тансом Xie, также две боковые гармоники, пространственные ча-
207
стоты которых отличаются от частоты основной гармоники на ве-
личину частоты модуляции <о. Боковые гармоники расположены
на оси xi симметрично по отношению к волновому числу основной
поверхностной волны хпь Амплитуды боковых гармоник пропорци-
ональны глубине модуляции a/XiE.
3. Полоса с линейно-спадающим реактансом:
О,
*1я0/1) =
— ос <с i/j <— ka,
—ka^yy^ka,
ka<Cyy <Z oo.
фПВ(х1) = А
sin ka (xt
1___
-X?V ^Е
a ka
*1 — *i
1 sin Ла (x,— гц) cos ka (x,— щ) ,
— л 1 p-------------— a —",------------г
л L *1 — 111 (*i —ill)2
a a ka sin (xt — т)г)'
(*i — ill)2 *i — Hi
a cos ka (xi — xj1 ) a
Ащ (xi —x")2 A1£
sin ka (xt — xj1)
xi — xp
Анализ выражения для <pnB(xi) показывает, что линейное
уменьшение реактанса приводит к расширению главного лепестка
и уменьшению уровня боковых лепестков спектральной плотности.
Заметим, что поведение спектральной плотности в интервале
— l^xr^’l» характеризует диаграмму направленности поверхно-
стной волны. После замены переменных xi = sin0, используемой
обычно в методе перевала, становится ясно, что каждая прост-
ранственная гармоника в интервале —1^‘xi^l описывает при
kr-^-oo величину поля, излучаемого в направлении угла 6. Следо-
вательно, расбматривая вид функции <pn B(xi) в указанном выше
интервале, мы можем во всех трех частных случаях модуляции
импеданса говорить о характере диаграммы направленности для
этой части полного поля.
Приближение Кирхгофа, помимо самостоятельного интереса,
пригодно для дальнейшего уточнения решения методом последо-
вательных приближений.
8.4. Расчет токов на импедансной плоскости
методом интегральных уравнений
Рассмотренное в предыдущем параграфе решение задачи о
возбуждении полосы с модулированным импедансом в приближе-
нии Кирхгофа хотя и отличается простотой, в силу упомянутых
выше ограничений может носить лишь оценочный характер. К
тому же необходимость вычисления интегралов Фурье от слож-
ных спектральных плотностей позволяет, как правило, найти лишь
поле в дальней зоне, когда эти'интегралы можно оценить мето-
дом перевала.
208
^alailausil^i
знание без границ * *
p. ис. 8.5. Импедансная поло-
'са на плоском экране
Чтобы «получить более точное и общее «решение задачи, соста-
вим интегральные уравнения для электрических и магнитных то-
ков, возбуждаемых на плоскости с переменным поверхностным им-
педансом. Для учета действия краев импедансной структуры пред-
положим, что эта структура занимает лишь часть плоскости, пред-
ставляя собой полосу, параллельную оси х (рис. 8.5). Остальная
часть плоскости z=0 является идеаль-
но проводящим экраном. Следователь-
но, поверхностный импеданс будет ра-
вен нулю при у>Ь и у<а и будет от-
личен от нуля прн Кроме
того, будем считать, что импеданс од-
нороден в направлении оси х и произ-
вольно меняется в направлении оси у.
В объеме V над плоскостью располо-
жены сторонние электрические и маг-
нитные токи, распределение которых
не зависит от координаты х. Так как
импеданс и распределение сторонних
токов не зависят от координаты х, поставленная задача будет
двумерной.
Мы ограничимся рассмотрением поля электрических волн, рас-
пространяющихся по оси г, предполагая, что читатель сможет пе-
ренести метод решения и на случай магнитных волн.
Поле электрических волн имеет составляющие Ег, Еу и Нх и в
пределах импедансной полосы должно удовлетворять граничному
условию (8.5а), которое мы запишем следующим образом:
11 х
JNx(y)
г=0
(8.55)
где JM(«/) = [пЕ] — поверхностный магнитный ток;
.Р(г/) = [Нп] — поверхностный электрический ток.
На всей остальной части плоскости z = 0, где ZE(z/)=0, должно
выполняться граничное условие
^1г=о = О. (8.56)
Поле над плоскостью z=0 будет описываться электрическим
и магнитным векторными потенциалами, которые согласно (2.9)
представляются выражениями:
Аэ(у, z) = f j’(/, z')G3(y, у'; г, г') ds';
S' (8.57)
Ам(у, г)=$ Г (у', z') у'; z, z') ds',
S’
где S' — сечение области расположения токов плоскостью
х= const.
Объемные плотности электрических и магнитных токов в
(8.57) будут складываться из сторонних токов, заданных в объ-
209
еме V, и токов, наведенных на импедансной полосе и экране:
ГЭ(У', г') = Гэст(/, г') + Гэнав(У'. И, (8.58}
причем наведенные токи будут поверхностными, т. е.
Гэ нав(г/', z') = JM3(?/')6(z'-0). (8.59)
Наведенные электрические токи существуют как на импеданс-
ной полосе, так и на экране, а наведенные магнитные токи текут
только в пределах импедансной полосы.
Остановимся на выборе функций Грина G3i, 6’э2 и GM. Возьмем
их такими, чтобы они удовлетворяли двумерному волновому урав-
нению, условиям излучения на бесконечности н граничному усло-
вию на экране (8.56). Двумерная функция Грина для свободного
пространства, удовлетворяющая всем перечисленным выше тре-
бованиям, кроме последнего, была нами записана в гл. 2 в виде
выражения (2.146). Взяв сумму и разность выражений (2.146),
можно получить функции Грина, удовлетворяющие поставленным
требованиям.
Если мы теперь с помощью формул (1.29) и (8.57) найдем по-
ле Нх(у, г) |2=0, создаваемое токами, определяемыми выражени-
ем (8.58), то, используя граничное условие (8.55), получим следу-
ющее интегральное уравнение для электрического поверхностно-
го тока:
J J^y')ZE(y’)H^(k\y-y'\)dy'-
1 у'=а.
J /" ст(г/', z') H^(kV(y-yr + z'2)ds +
S
+ у) !ЭуСТ(У'> 2')
zH<?4kV (у-у')* + г'*\
----, --- OS- -
V (У — У')2 + Z'2
+ ~ $ г') vf У 7^2)(feУ(У~УУг+г>а)ds- (8-60)
2 $ V (у — У )2 + г 2
Далее, можно исключить электрический ток из левой части вы-
ражения (8.60). В этом случае получим интегральное уравнение
для магнитного поверхностного тока, существующего лишь в
пределах импедансной полосы:
(У) =
^ZE(y) j J-(y’)H^(k\y-y'\)dy’-
у’—а
ZE (у) J /: ст (у’, г') MP (k V(y - у')2 + z'2)ds +
+ 2')
z <S
z'//|2) UV(y — у')2 + z'2)’
V (У— У')2 + г'2
+ ^z^y)[i32c4y', И
о
(у — у') Д12) UV (У— y')2 + z'2 )
V (у— у')2 4-z'2
ds.
(8.61)
210
NalaHauslMt
знание без границ ’ *
Проделанный нами вывод интегральных уравнений для токов,
использующий в явном, виде функции Грина, часто применяется
при решении электродинамических задач и обладает достаточной
общностью. Действительно, уравнения (8.60) и (8.61) легко обоб-
щить на ряд двумерных задач возбуждения импедансных струк-
тур. Можно записать интегральные уравнения: для полосы с
переменным импедансом, лежащей на грани идеально проводяще-
го клина; для диска с переменным по радиусу импедансом, впи-
санного в идеально проводящую плоскость; для вписанного в иде-
ально проводящий цилиндр кольца с переменным вдоль образую-
щей импедансом; для сегмента идеально проводящей сферы, име-
ющего переменный в меридиональном направлении импеданс, и
пр. Для этого достаточно от координат х, у, z перейти к соответст-
вующим криволинейным координатам и использовать известные
выражения для двумерных функций Грина, удовлетворяющих гра-
ничному условию Е( = 0 па упомянутых телах.
Мы ограничимся здесь решением плоской задачи, для чего
вернемся к уравнениям (8.60) и (8.61). Эти уравнения являются
неоднородными интегральными уравнениями Фредгольма второго
рода [20]. Ядра этих уравнений имеют логарифмическую особен-
ность при \у—у'|-->0, так как функция Ганкеля второго рода ну-
левого порядка при малых аргументах может быть заменена из-
вестным асимптотическим представлением
tf(2)(z)«l-H— In—,
п yz
где у= 1,781.
Точные решения интегральных уравнений вида (8.60) и (8.61)
в настоящее время не найдены. Это заставляет обратиться к чис-
ленным методам решения. Наиболее простым и универсальным
методом численного решения интегральных уравнений с интегри-
руемой особенностью в ядре является метод Крылова—Боголюбо-
ва [22]. Он заключается в том, что интеграл от неизвестной функ-
ции и ядра представляется в виде суммы интегралов по малым
интервалам, причем неизвестная функция предполагается мало ме-
няющейся внутри каждого интервала и значение ее в средней
точке интервала выносится за знак интеграла. В результате ин-
тегральное уравнение вида
ь
<Р(У)—$К(У, У") Ч> (У’) dy’ = f (у)
a
сводится к уравнению
Л
п У1+~
ф(1/)—Ё ф(«//) J К(У, y')dy’ = f(y). (8.62)
z=i Дац
У1--2“
211
Полагая в (8.62) последовательно у=у\, у2, уп, получим си-
стему линейных алгебраических уравнений:
П у1+ ~2~
Ч> (Уз) — S <Р(уг) J K(ys, y')dy'~f(ys);
1=1
У1-—
s= 1, 2, 3, - • -, n. (8.63)
Порядок системы (8.63) равен n=Lf\y, гд& L — длина проме-
жутка [а, Ь]. При решении нашей задачи промежуток интегриро-
вания в уравнениях (8.60) и (8.61) совпадает с шириной импе-
дансной полосы.
Очевидно, что нам достаточно решить любое из двух уравне-
ний, так как по найденному электрическому току мы всегда с по-
мощью (8.55) можем определить магнитный ток и наоборот.
С другой стороны, при вычислении поля над плоскостью z = 0
после нахождения токов /эу и JMX мы должны учитывать в соот-
ветствии с теоремой единственности либо значение Е( на плоскос-
ти, т. е. поверхностный электрический ток, либо значение Н( на
плоскости, т. е. поверхностный магнитный ток. Здесь, однако,
удобнее с точки зрения выполнения расчетов учитывать магнит-
ный ток, так как он задан в. конечном промежутке.
Поле над плоскостью z=0 при этом находится по формулам
(3.22) и (3.23), куда вместо функций Грина подставляются соот-
ветствующим образом функции G3i, G32 и GM. Интеграл J-PGds
s
обратится в нуль, ибо в нем в качестве функции G должна фигу-
рировать функция G32, равная нулю на плоскости z=0. Следова-
тельно, в конечном счете нас интересует поверхностный магнит-
ный ток.
Рассмотрим несколько распределений токов на импедансной
полосе, рассчитанных методом Крылова — Боголюбова на элект-
ронных вычислительных машинах. Во всех случаях ширина по-
лосы будет равна 2Хо (Хо — длина волны в свободном простран-
стве), а импеданс полосы будет чисто реактивным. Сторонний ис-
точник будет задан в виде нити магнитного тока, лежащей на ле-
вом краю полосы (у=а).
На приведенных здесь графиках распределений токов на поло-
се пунктирными линиями показана величина
пропорциональная модулю электрического поверхностного тока;
сплошными линиями показана величина
Ml- =|J“(//A0)| ^-k,
пропорциональная модулю магнитного поверхностного тока,
212
и
Слециатмо для
NalaHauslM
знание Вез границ * *
штрихпунктирными линиями показано распределение фазы элек-
трического тока <р7э в градусах.
На рис. 8.6 представлено распределение электрического тока
на полосе с постоянным индуктивным импедансом ZE=iO,5V7O-
Здесь можно отчетливо видеть, как при удалении от источника
спадает поле пространственной волны и, начиная с z/=0,3Xo, рас-
пределение тока определяется интерференцией двух поверхност-
ных волн: уходящей от источника и отраженной от правого края
HI*
зоо
-0,5
200
-о,о
180
-0,3
120
-0,2
СО
-0,1
°0,05 0,25 0,05 0,65 0,85 1,05 1,25 1,05 1,65 у/20
Рис. 8.6. Распределение электрических токов на полосе с импедансом ZE=i 0,5 W'o
о
полосы. Распределение фазы близко к линейному; наклон его ха-
рактеризует степень замедления поверхностной волны.
На рис. 8.7 приведена картина распределения токов на полосе
с линейно убывающим поверхностным реактансом ZE=iW0(i—
HI*
hi*
' -0,8
0,1
0,6
~0,5
-0,0
0,3
0,2
~0,1 -
oL о -
0,05 0,25 0,05 0,65 0,85 1,05 1,25 1,05 1,65 у/Л0
р/э
360
300
200
180
120
60
у
Рис. 8.7. Распределение токов па полосе с импедансом 2e—IWq(\—0,1л~)
Лд
213
—О,1ш//Хо). В этом случае примечательными являются достаточно
малое отражение поверхностной волны от края полосы, а также
уменьшение замедления вместе с убыванием импеданса. Средние
линии графиков модулей токов наклонены в сторону меньших
значений ZE, причем модуль магнитного тока спадает гораздо
быстрее, чем модуль электрического тока.
На рис. 8.8 нанесены графики распределения токов на полосе
с импедансом, возрастающим по закону ZE=iW0(l +О,1лу/Хо).
Тут важно отметить сильное отражение поверхностной волны, свя-
<pl3
-7,2
5Б0
Б00
-1,0
240
-0,8
-0,6
180
120
-0,4
60 -0,2
Ml"
Ml3
7,4
Z7l- О
0,05 0,25 0,45 0,65 0,85 1,05 1,25 1,45 1,65
у
Рис. 8.8. Распределение токов на полосе с импедансом ZE=iWo(l+O,ln”)
л0
занное с большим перепадом импеданса на правом краю полосы
(от l,6IF0 до нуля). Другим фактом является постепенное увели-
чение амплитуды магнитного тока в направлении возрастания им-
педанса при относительном постоянстве средней величины элек-
трического тока. Это говорит об увеличении мощности, захваты-
ваемой поверхностной волной от источника, на участках с боль-
шим значением импеданса. Такую закономерность можно подт-
вердить обращением к формулам (8.35), откуда следует, что при
возбуждении нитью магнитного тока
/ ; /м ______________\
^.(x;) = __Vl+X’£)
и достаточно больших значениях XiE амплитуда поверхностного
магнитного тока пропорциональна A'iE, а амплитуда поверхностно-
го электрического тока от Х|Е почти не зависит.
8.5. Возбуждение плоского экрана со слоем диэлектрика
До сих пор мы рассматривали возбуждение поверхностных волн
на импедансной плоскости. Имеется, однако, ряд направляющих
214
NataHausfek
знание без границ ' *
структур, к которым неприменимы импедансные граничные усло-
вия. Примером такой структуры является идеально проводящая
плоскость, на которой лежит слой диэлектрика (рис. 8.3) значи-
тельной электрической толщины, такой, что не выполняются усло-
вия (8.8) и приходится пользоваться точными граничными усло-
виями на плоскости 2 = 0.
Предположим, что среда над слбем диэлектрика является ва-
куумом (Eai = e0; pai = Цо) и что Ца2=ро. Будем считать, что сто-
ронние электрические и магнитные токи сосредоточены в объеме
V над слоем диэлектрика (2>0) и что их распределение не зави-
сит от координаты х. Случай, когда сторонние токи расположены
внутри слоя диэлектрика, может быть рассмотрен аналогичным
образом.
Поле представим в виде суммы электрических и магнитных
волн, бегущих по осн 2, и сначала остановимся на отыскании ре-
шения для электрических волн.
Поле над слоем диэлектрика будет складываться из падающе-
го поля и поля, отраженного от поверхности слоя. Падающее по-
ле можно представить в виде выражений (8.15) — (8.18), а отра-
женное— в виде выражений (8.19), где у функции f(x) и волно-
вого числа k мы будем писать индекс «1», чтобы отличать их от
соответствующих величин для поля в диэлектрике, где будет ис-
пользоваться индекс «2». Поле в слое диэлектрика состоит из пре-
ломленного поля и поля, отраженного от экрана. Суммарное поле
внутри слоя должно удовлетворять граничному условию на по-
верхности экрана Ey|2=-d = 0. Легко убедиться, что суммарное по-
ле в слое диэлектрика будет описываться выражениями:
Ег = J —ch IV х2—(г + ф] d dil. (8.64а)
Ey=—i 7 f^sh [V х2—kUz + d)] е~‘*У~ d . (8.646)
Л *
//x = oEfli J x ./-TZ-i ch []/x2—A2 (2 + d)] e-^y- d d X.
(8.64b)
При z=0 поле должно удовлетворять условиям непрерывнос-
ти тангенциальных составляющих Е и Н. Это значит, что мы дол-
жны приравнять как значения Еу, так и значения Нх над слоем
диэлектрика и внутри него при 2=0. Применив обратное преобра-
зование Фурье, получим два уравнения для неизвестных спект-
ральных плотностей fi(x) и ^(х):
А (и)—Еэ (х) = —f2 (х) sh (Vх2—&22d) е~ Ех2-ь2, rf ;
е /i(x) + F9(x) h (х) ch (Vx~^Wd) ~ d , (8 65)
l/x2 — ^21 Vx2 —^2
215
откуда находим
(х) = F3 (х) -а-2 У*2 - ch < К*2 - rf)
Еаг Vх2 — k2! ch (Ух2 — Л22 d) +
-> е01/х2 — /г22 sh (V х2 — /г22 d) . (8 66)
+ е0Ух2 — k\ sh (1/х2 — k2^ d)
f = 2 e0 F3 (x) У>^УР2 e d______________
ea21/x2 — k\ eh (1/x2 — /г22 rf)+e0 Vx2 — Z>22 sh(”|/x2 — k\ d)
(8-67)
Подставив (8.66) в формулы (8.19), a (8.67) в формулы
(8.64), мы полностью определим поле электрических волн как над
слоем диэлектрика, так и внутри него.
Нас интересует возможность возникновения поверхностных
волн. С этой целью будем вычислять интегралы в выражениях для
отраженного поля при z>0 на плоскости комплексной перемен-
ной х. При этом контур интегрирования по действительной оси
следует замыкать полуокружностью бесконечного радиуса в ниж-
ней полуплоскости при у—у'>0 и в верхней полуплоскости при
У—у'<0. Точки ветвления x = ±fei должны быть выделены разре-
зами. Порядок проведения разрезов здесь будет точно таким же,
как и в § 4.4. В результате контур интегрирования должен ока-
заться на том листе римановой поверхности, где Re]/ х2—k2i>0
и Re Ух2—/г22>0, что обеспечивает сходимость интегралов при
Z—>оо.
Кроме точек ветвления, на плоскости х будут находиться полю-
сы подынтегрального выражения, совпадающие с корнями знаме-
нателей в формулах (8.66), (8.67). Так же как и при возбуждении
импедансной плоскости (см. § 8.2), для нас важны полюсы, лежа-
щие на действительной оси х, ибо только такие полюсы дают поле
поверхностных волн, распространяющихся без затухания вдоль
оси у.
Чтобы выделить действительные корни трансцендентного
уравнения.
ea2pch<7d + eo<7sh<7d = O, (8.68)
где обозначено р=У х2—/e2i; <7— У х2—fe22, необходимо считать q
чисто мнимой величиной: р=1'У£22—x2 = tg. Тогда (8.74) можно
записать в виде
Р = — gtggd- (8-69)
еа2
Кроме того, необходимо учесть связь между р и g:
P2+g2 = k\(e-^-i
\ ео
(8.70)
216
^lalatiaus
знание без границ
Если умножить (8.69) на d, а (8.70) на d2 и обозначить
forf ^/~ — —1=7?, то можно записать систему уравнений для на-
хождения действительных корней хп»:
еа2 (о./1}
(pd)4-(gd)2 = R2..
Здесь второе уравнение является уравнением окружности ра-
диусом R с центром в начале координат. Следовательно, искомые
значения р и g лежат на пересечении этой окружности с графи-
ком, даваемым первым из уравнений (8.71).
Рисунок 8.9 иллюстрирует графическое решение уравнений
(8.71), в процессе которого по заданным значениям ы, d и еа2
Рис. 8.9. Графическое ре- Рис. 8.10. Графическое
шепие уравнений (8.71) решение уравнений (8.72)
строится окружность радиусом R и находятся точки пересечения
ее с ветвями кривой gdtg(gd). После этого на оси ординат отсчи-
. Сай
тываются значения pd — , соответствующие точкам пересечения,
®0
и, наконец, по формуле х2=р2+/г21 находятся волновые числа
хпг поверхностных волн, возбуждаемых в рассматриваемой
структуре.
В ходе графического решения можно прийти к следующим вы-
водам:
1. Число поверхностных волн с различными фазовыми скоро-
стями конечно и тем больше, чем выше рабочая частота, толщина
диэлектрического слоя и его диэлектрическая проницаемость (чем
больше радиус R).
2. При 7?<л существует одна поверхностная волна, которая
совпадает с волной вида (8.35), возникающей при выполнении ус-
ловий (8.8).
3. Волновые числа всех поверхностных волн лежат в пределах
^i<xni<^2, т. е. поверхностные волны являются ускоренными по
отношению к скорости света в диэлектрике и замедленными по
отношению к скорости света в вакууме.
217
, * и /
ИГ
Кроме поля поверхностных волн, будет, конечно, иметься и
поле пространственной волны. Оно, так же как и в § 8.2, может
быть оценено в дальней зоне методом перевала.
Теперь кратко рассмотрим поле магнитных волн: падающее
поле над слоем диэлектрика -будет описываться выражениями
(8.38) — (8.41), а отраженное поле — выражениями (8.42), где у
функции /г(х) и волнового числа k следует ставить индекс «1».
Поле внутри слоя диэлектрика должно удовлетворять граничным
условиям £'x|z=-<i = 0 и поэтому может быть представлено в виде
Я2 = ( sh 1У х8—fe8, (г+dll e~VM,~k‘‘ddK.
Л Уха —Л22
Hu — i f ^-^сЬ[Ух2—k\(z-\-d)}e k‘ddn;,
x
Ех=— <оро J
ft2(x) =
путем графиче-
(8.72)
теперь фигури-
8.10), что при
h‘2 sh [ У x2—k\ (z + d)]e h ‘ dd v..
/x2 — k\
Приравняв тангенциальные составляющие E и H на поверхности
диэлектрического слоя, найдем функции hi (х) и Л2 (х):
эд Ух2 — k2i sh (Vя2 — k22 4) —Ух2 — k22 ch (Ух2 — fea2 d) .
2 - A21 sh (У х2 — k\ d) + Ух2 - k\ Ch (Ух2 — k\ d)
2FM (x) Ух2 — A22 e Td_____________-
k\ sh (У x2 — k2^ d) У У x2 — k\ ch (V x2 — k2z d)
Поле поверхностных волн будет определяться действительными
корнями знаменателя этих выражений, которые могут быть най-
дены, так же как и в случае электрических волн,
скрго решения системы уравнений:
( pd= — gdctg(gd);
I (pd)2 + (gd)2 = R2.
Мы видим, что в первом из уравнений (8.72)
рует функция — ctg(gd). Отсюда следует (рис.
R< точек пересечения не будет. Иначе говоря, при значениях
параметров диэлектрического слоя, удовлетворяющих неравенству
— 1/ — —1<1> поверхностные волны не возбуждаются. В этом
]/ е0
наиболее существенное отличие поля магнитных волн от поля
электрических волн.
218
'NataHausJM
знание без границ * *
Глава девятая
Возбуждение эллиптического цилиндра
В этой главе рассматривается задача о произвольном внешнем
возбуждении эллиптического цилиндра бесконечной длины. Ци-
линдр считается или идеально проводящим или удовлетворяющим
импедансным граничным условиям.
В начале главы выводятся общие формулы для составляющих
поля электрических и магнитйых волн в свободном пространстве
в системе координат эллиптического цилиндра. При этом исполь-
зуется разложение по системе собственных функций Матье. Да-
лее рассматривается возбуждение идеально проводящего и импе-
дансного эллиптических цилиндров, анализируются отдельные
частные случаи, приводятся примеры расчетов. В конце главы
рассматривается задача о дифракции плоской электромагнитной
волны на эллиптическом цилиндре и на полосе, являющейся пре-
дельным случаем такого цилиндра.
9.1. Электрические и магнитные волны
в эллиптической системе координат
Для построения общего решения неоднородных уравнений Мак-
свелла в координатах эллиптического цилиндра представим элек-
тромагнитное поле в виде суперпозиции полей электрических (Е)
и магнитных (Н) волн по отношению к продольной оси z эллип-
тического цилиндра и будем в дальнейшем раздельно рассматри-
вать поля электрических и магнитных волн [23].
Начнем с рассмотрения случая электрических (£) волн. Обо-
значим расстояние между фокусами эллипса через 2d и введем
координаты эллиптического цилиндра и, v, z по формулам:
x = dch«cosn; у = dshusiiw; z = z, (9.1)
где оси декартовой системы х и у совпадают с осями эллипса, а
ось z — с продольной осью эллиптического цилиндра. Продольная
составляющая напряженности электрического поля может быть
представлена в следующем виде [см. формулу (2.100)]:
EZ (р) = [ I A j3 CT rotg rotg (iz G) — jM CT rotg (iz G) | d V, (9.2)
где ]э ст, jMCT — соответственно электрические и магнитные сторон-
ние токи, заданные в объеме V'; р — точка наблюдения; q — точка
расположения источников; i2 — единичный орт в направлении оси
г; G — трехмерная скалярная функция Грина для свободного про-
странства.
Выражение для функции Грина в нашем случае можно-полу-
чить на основе известного выражения для двумерной функции Гри-
219
у Sem(vd, coso') x
Mem(vd)
«а в эллиптической системе координат [24]:
G(u, и'- v, v'; z, z') = —2t j e-ih(z-z")
h——co
e / . ( Jem(yd,chu')Hem(yd,chu)
X S em (v d, cos tt) m '
I Jem(v d, ch и) H em (v d, ch u')
\ i S Ощ (v d, cos v ) о i j \
+ S L , S °m <v d> C0S °) X
^=1 Alom(vd)
x f J om (v d, ch и’) H om (vd, ch и) Я
I Jom(vd, chu)Hom(yd, chu') <]
(9.3)
тде Sem(vd, cost»)—четная угловая функция Матье; Som(vd,
cost»)—нечетная угловая функция Матье; Jem(vd, ch и) и
Hem(vd, ch и) —четные радиальные функции Матье; Jom(vd, chit)
и Hom(vd, ch и) —нечетные радиальные функции МаТье;
v = —
2п
М е, от (v d) — [ [<S е, om(vd, cos t»)]2 dv.
В фигурных скобках берутся верхние строки при и>и' и нижние —
при и<.и'. Используя соотношение (2.99)
a rot,, rotj, (j G) = j rotq rotg (a G)
и тот факт, что для любой цилиндрической системы координат
iz(p)=iz(q), запишем окончательное выражение для продольной
составляющей напряженности электрического поля:
£2=5 f Eznhdh, (9.4)
n=0 h=—оо
где
Eznh = е“,Лг S е, оп (v d, cos v) x
r F3 eY o, Je, on (y d, ch ы), и < и',
I F3 e o2, H e, on (v d, ch и), и >u'.
В формуле (9.5) обозначено
F3 e, os = —21 f [ -±- dRe,on(vd.eh^ %
(И <ое4Д' d u'
X (v d, cos v') j3-^ 4--— Re, on (y d, ch «') x
coet/A'
X dSe’°n^d,coSy') .э.ст+21 /?ejOn(vd(Chu')5e>On(vd>cosu')^« —
dv' v iioe
1 „ , , , d Se, on (vd, cosu') ct .
- — Re, on (v d, ch u')---2^-------/“-CT +
d/\ dv
220
^iaiatlausA
знание без границ “ *
где
1 д Re, оп (v d, chu') c , , ,. PT
—--------!L—-------- Se, on (v d.cosn ) j“ CT
аД du
1 <. dV’,
J Me,on(vd)
(9.6)
Re, on (v d, ch u) =
He, on (v d, ch u) при s = 1,
Je, on (vd, chu) npns = 2,
Д' = Vch2 u' — cos2 v'. i
Остальные составляющие поля электрических волн находятся
по формулам:
_Ly 7 h dEznh
db£0hL„&-h2 ди
dh,
(9.7a)
F — ^1- > 1 n Ms о 1 8 8 h 0 Eznh (9.76)
k2 — h2 d v
Hu- /€08 V T J d Eznh dh - h2 dv (9.7b)
T <97r>
d д />=-» Л2 — Л2 du
Отметим, что в литературе используется также видоизмененная
система эллиптических координат г, v, z и другая нормировка
функций Матье (см., например, [25]). Эта видоизмененная систе-
ма облегчает переход от эллиптического цилиндра к круговому,
когда d->-0. Перейдем к рассмотрению магнитных волн. Следуя
той же схеме рассуждений, что и в случае электрических волн,
получаем такие выражения для составляющих поля:
J (9.8)
п=0 А=—оо
и ihze / л , (FMe,o1Je,on(vd,chu),u<Zu',
Htnfl = e~lh2Se,on(vd,cosv)\ 1 ’ п\ ’ ” (9.9)
\FMe,o2He, on(vd, chw), u>u ;
гм „ n -r f h d Re, on(vd, ch и') с . , ,,
FMe,os — —2 i ( |------------Se, on (v d, cosv ) x
J, du' > n\ ,
;м ст i r> „ / , i. dSe, on(yd, cost)') .
x /“ H----7Г °n (v ch u )--------------------- /“ CT +
<0}шД d v v
+ v2 Re, on (v d, ch uf) Se, on (v d, cos vf) i”-CT +
i соц z
+ 4 Ke, o, (vd. chu') , x
аД dv' u «/Д'
X ^^(vd.ehtz') cos v j _ ei^
du' nv )lv jMe,on(vd) v
-Lv 7 h d H*nh ЛЬ
du
(9.11a)
221
Hv = d А OO oo S J n=0h=- h d Hznh dv dh ; (9.116)
i cop. dA iiMs . о a- I,1 — ? 1 -TO*2-*2 d Hznh dv dh ; (9.12a)
Ev i cop dA OO oo S J n=0 /;=- 1 .= *2-Л2 d Hznh d и dh. (9.126)
Таким, образом, формулы (9.4), (9.7) и (9.8), (9.11), (9.12)
дают общее решение задачи, о расчете поля произвольного рас-
пределения сторонних источников в свободном пространстве в
системе координат эллиптического цилиндра.
9.2. Возбуждение эллиптического цилиндра
Рассмотрим задачу о внешнем возбуждении идеально прово-
дящего или импедансного бесконечно длинного эллиптического
цилиндра. Ось цилиндра совместится с осью z эллиптической си-
стемы координат. Поверхность цилиндра будет совпадать с коор-
динатной поверхностью H=u0 = const. Все сторонние источники
будем считать расположенными во внешней по отношению к ци-
линдру области (u^uo).
Поле в каждой точке пространства вне цилиндра представим
в виде суммы падающего поля, определяемого .формулами (9.4),
(9.7) и (9.8), (9.11), (9.12), и отраженного поля, у которого
роль функций F0Me, Oj будут играть неизвестные парциальные
коэффициенты отражения Ьэме, оп. Так, продольная составляющая
напряженности суммарного электрического поля электрических
волн будет определяться при и<и' следующим выражением:
£сумм —J Se, оп (vd, cos v) (Je, on (vd, ch и) x
X F3 e, ox + He, on (v d, ch u) b3 e, on (h)] e~lhz dh. (9.13)
Продольная составляющая напряженности суммарного магнит-
ного поля магнитных волн будет определяться при и<и' выраже-
нием
//сумм—-^ у Se, оп (vd, cos v) \Je, on (vd, ch ti)FMe, огД-
+ He, on (v d, ch u) ft” e, o„ (h)] e~ihzdh. (9.14)
Коэффициенты отражения b*e, on(h) и feMe, on(h) находятся
из граничных условий на поверхности цилиндра. Для идеально
проводящего цилиндра граничные условия требуют, чтобы
£г<-Уым=0 при и = ио в случае Электрических волн п чтобы
222
^atattausi^
£„«у*’м=0 при u=u0 в случае магнитных волн. В результате по-
лучаем
Ьэ е, оп (Л) =
bM е, оп (й) =
Je,on (vd.cht/o) рЭе 0 .
He, on(vd, ch^0) ’ 1 ’
J'e,on(vd, ch uB)
H'e, on(vd,chuB)
(9.15)
(9.16)
где штрихом обозначена производная радиальных функций Матье
по переменной и.
Подставив выражение (9.15) в формулу (9.13), получим про-
дольную составляющую суммарного электрического поля над иде-
ально проводящим эллиптическим цилиндром. Остальные состав-
ляющие суммарного поля электрических волн находятся по фор-
мулам (9.7) с помощью выражений (9.13) и (9.15).
Подобным же образом, подставив выражение (9.16) в формулу
(9.14), найдем продольную составляющую суммарного магнитного
поля, а остальные составляющие поля магнитных волн находят-
ся по формулам (9.11), (9.12), с использованием выражений
(9.14) и (9.16). Перейдем к рассмотрению импедансного цилинд-
ра. Если на поверхности эллиптического цилиндра задан анизот-
ропный импеданс такой, что
Zv = =0hZ2 = ^-I =z.,
Hz l‘=uo Hv |u=u0
то при п=0 сохраняется возможность разделения поля на Н- и
.Е-волны. Формулы (9.6), (9.13) и (9.7) будут описывать поле
волн Е над таким импедансным цилиндром. Заметим, что такие
граничные условия применимы для гофрированного цилиндра, у
которого гофры параллельны координате v и отстоят друг от дру-
га на величину, много меньшую длины волны.
Парциальные коэффициенты отражения Ьае, Oo(h) оказывают-
ся равными
Ьэ е, o0(h) =
____рз е 0 j <ое J'c, Op (у rf, ch цв) -f- d Д (fe2 — h2) Je,oB(vd, ch uB) (Q 17)
’ 1 i <oe He', o0 (vd, ch u0) -f-d Л (k2 — h2) He, o0 (vd, ch u0) ’
где штрих у радиальных функций Матье означает производную
по переменной и.
Подставляя (9.17) в (9.13), вместе с формулами (9.7) получа-
ем решение задачи о произвольном возбуждении Е-волн над эл-
липтическим цилиндром с постоянным анизотропным импедансом.
Если на поверхности эллиптического цилиндра задан импеданс
такой, что
Zz=—I =OhZ„=^| ^=0,
Hv |u=u0 H2 |u=u0
то при /г = 0 структура поля //-волн сохраняется в чистом виде.
Парциальные коэффициенты отражения Ьме, оп(0) могут быть
найдены методом разделения переменных (см. § 8.2) лишь в слу-
223
чае, когда импеданс зависит от координаты v по закону Zv(v) =
=Zi/ J/ch2Uo—cos2 v. В этом случае
Ьм е, оп (0) — —
__рме c^d Ztk2 Je, оп (у d, ch u0) — t cop, Je', o„ (v rf, ch u0)
d Zt k2 He, on (v d, ch u0) — i cop, He', on (vd, ch u0) ’
Подставляя (9.18) в (9.14), наряду с формулами (9.11) получаем
общее решение задачи о возбуждении //-волн над эллиптическим
цилиндром с таким законом распределения импеданса. Интересно
отметить, что при Z\—iXi, когда
X1k2dHe, оп (kd, chw0) = ыцНе', оп (kd, chu0), (9.19)
возникает резонанс п-й гармоники отраженного поля. Из уравне-
ния (9.19) можно определить параметры эллипса d, и0 и значение
импеданса Xi, приводящие к возникновению такого резонанса.
9.3. Возбуждение эллиптического цилиндра
электрическими и магнитными диполями
В этом параграфе мы рассмотрим несколько частных случаев
возбуждения идеального проводящего эллиптического цилиндра
электрическими и магнитными диполями. При этом мы будем ин-
Р.ис. 9.1. Эллиптический ци-
ЛИ1ВДР
тересоваться полем в зоне излучения,
что важно для радиофизических при-
ложений.
Продольный электрический диполь.
Возьмем электрический диполь, ориен-
тированный параллельно оси цилинд-
ра и находящийся на расстоянии u = ug
от начала координат в точке, где v = vg
(значение п = 0 совпадает с направле-
нием вдоль большой оси эллипса и с
положительной полуосью х декарто-
вой системы координат, см. рис. 9.1).
Учитывая, что коэффициенты Ляме
в эллиптической системе координат
равны
/ii = h2 = d ch8 u — cos2 v = d Д, h3 = 1,
запишем выражение для объемной плотности тока диполя
H(u',v’, г")= —ug)8(v' —vg)&(z' — 0). (9.20)
Далее по формуле (9.6) найдем
F3 е, Oj =
2 V2 Z
<ое d2 A2g Me, on(vd)
He, on (v d, ch wg)
X Se, on (v d, cos vg);
(9.21)
224
^alaHausA
знание без границ Ч
F5 е,о2 =----------------— Je, оп (v d, ch Hg) Se, on (v d, cos t>g).
toe d2 A2g Me, on(vd)
где Ag=]/ sh2ug + sin2 vg.
Подставляя выражения (9.21) в формулу (9.13), получаем сле-
дующее выражение для продольной составляющей электрического
поля, возбуждаемого продольным электрическим диполем при
£сумм = _ L1L у 7 ——— {Не, оп (v d, ch и0) Je, оп х
2 <08 п=0/г=—оо Me>°n('v<9
X (v d, ch ug)—Je, on (v d, ch uB) He, on (v d, ch ug)} x
x Se, on (vd, cos u) Se, on (vd, costig)He, on(vd, chu)e~~,hz^ ,g
He, on(vd, chu0) ‘ /
Для определения поля в дальней зоне, где и^>1, воспользуемся
асимптотическими выражениями:
• г 2п+1 ,
—---- — i[va ch и—-!— л]
He,on(vd, chu)&(ydchu) е и d ch + — р.
Функции F°e, Oit2(h), Se, on(yd, cos и) и Je, on(vd, ch Uo)/He,
on(vd, chu0) при ы^>1 меняются медленно по сравнению с экс-
поненциальным множителем и интеграл по h можно оценить ме-
тодом перевала по формуле (4.22). Вводя новые переменные с
помощью формул h = kcost, z = r cos Q, p=rsin0, для интегралов
рассматриваемого вида получаем
1е,о — 7 Le, о (/г) -7= e-W*+Pv) dh =
-оо V v d ch и
-in — i — _____
= —е 2 е 4 7 Le,o(/i) ^4^e-ifcrcos(t-e)dT =
—оо Л/т sin 0
i п п
= i е 1к е. {^2 л Le, о (Asin 6), (9.23)
где через Le, o(h) обозначена медленно меняющаяся часть под-
ынтегрального выражения. Таким образом, для поля продольного
диполя в дальней зоне получим
i п -
2
fcyMM ф, 0) = — i 2^singe/0 1 e-lhr У2~л v —5---------- х
г <ое г п=оМе,оп (Msin6)
Se, on (kd sin 0, cos <pg)
He, on (kd sin 0, ch u0)
X Se, оп (kd sin 0, cos <p)
X
8—142
225
X [Je, on (kd sin 6, ch ug) He, on (kd sin 6, ch u0)—
—He, on (kd sin 0, ch ug) Je, on (kd sin 0, ch ц,)], (9.24)
где Me, on(&dsin0) определяется так же, как в (9.3) с заменой
v = &sin0.
Здесь учтено, что три больших krcos 0»cosq>. На рис. 9.2
приведены диаграммы направленности продольного диполя в по-
Рис. 9.2. Диаграммы направленности продольного электрического диполи:
1 — <pg=0, ?/Х=0,159, е=0,707; 2 — <pg=90°, ?Д=0,159, е=0,707; 3 — (pg=0,
?/%=0,159, е=1; 4 — <pg=90°, ?/Х=0,477, е=1
Периметр сечения эллипса во всех случаях равен 2,5Х
перечной плоскости эллиптического цилиндра. Диаграммы рас-
считаны в работе Г. Н. КочержевскогО [25]. Расстояние от виб-
ратора до поверхности цилиндра обозначено через q, эксцентри-
ситет эллипса через e = dfa (а — длина большой полуоси эллип-
са).
Поперечный электрический диполь. Рассмотрим поперечный
электрический диполь, расположенный в точке с координатами
(ug, vg, z=0). Распределение стороннего тока задается в этом
случае выражением
/п I
Ц(и', v', г') = — б (и’—Ug)8(v'—og) 6(г' —0).
По формулам (9.6) и (9.10) находим
/о lh Н' е, оп (vd, ch ug) Se, on (vd, cosog) e
F e’°1 2 * cos d Ag Me,on(vd)
7? lh J'e, on(v d, ch Ug) Se, on(vd, cos vg)
FB e,o„== —2 i------------------------r~v.---------->
coedAg Me,on(vd)
2 tin I H'e,on(v d, ch ug)Se, on(vd, cosvg) ,
FM e, o, =---------------~г »
1 dAg Me,on(vd)
2I J'e, on (v d, ch ug) Se, on (v d, cos t>g)
Fu e, o2 =----------------г,---•
’ 2 dAg Me,on(vd)
226
^alaHausA
знание без границ Ч
Как мы видим, поперечный диполь возбуждает в пространстве
над цилиндром поле и электрических и магнитных волн.
Находя поле в дальней зоне, можно убедиться, что в попереч-
ной плоскости (0 = л/2) электрическое поле имеет только одну
составляющую Еу зависимости которой от угла <р представ-
лены на рис. 9.3. Графики рассчитаны по формулам, выведенным
Рис. 9.3. Диаграммы направленности поперечного электрического диполя:
/ — 4^=0, ?/Х=0,159, е=0,707; 2 — <pg=90°, ?/Х=0,159, е=0,707
Периметр сечения эллипса в обоих случаях равен 2,5
Г. Н. Кочержевским [25]. Обозначения геометрических парамет-
ров те же, что и в случае продольного электрического диполя.
Продольный магнитный диполь (щель). При анализе возбуж-
дения эллиптического цилиндра магнитным диполем, лежащим
на его поверхности, следует помнить, что такой диполь эквива-
лентен элементарной щели, прорезанной в цилиндре. Возьмем
продольный магнитный диполь
/м I
/" («', v', г') = б (и' — и0) б (у' —Pg) б (Z—0).
По формуле (9.10) найдем
F" 6,0^------2 v [° 1 - Не, оп (v d, ch и0) Se, оп (v d, cos vj ;
cop, d2 A2g Me, on(va)
FM e,o2= — '° 1 t - Je, on (y d, ch u0) Se, on (v d, cos vg) •
top d2 A2g Me, on(vd)
Затем с помощью формулы (9.14) запишем выражение для про-
дольной составляющей магнитного поля при и>иг
2 Iм I °° 1 00
°" t'“- ch“"’х
X Je, on(vd, ch и0)—J'e, оп (v d, ch u0) He, on (v d, ch u0)} x
8*
227
X He, on (v d, ch u) Se, on (v d, cos v) Se '--°n ^vd’ c-s e lh— dh. (9.25)
H' e, on (v d, chu0)
Оценивая интеграл в формуле (9.25) с помощью (9.23), най-
дем поле Н2 в дальней зоне:
л
CVMM ~ 2*2 sin2 0 /“ I e-ikr “ 1" Т
/Думм (г, ф, 0) = - i-----------5— -----/2л 2 ------------------X
соц г п=о Me, оп (kd sin 0)
xSe, оп(Ы sin О, соэф) Se’ COS(Pg) on(kd sin 0, ch«0)x
H’ e, on (kd sin 0, chu0)
X H'e, on (kd sin 0, ch u0) —He, on (kd sin 0, ch uB) J’e, on (kd sin 0, ch w0)].
(9.26)
На рис. 9.4 приведены диаграммы направленности в попереч-
ной плоскости эллиптического цилиндра с продольной элементар-
Рис. 9.4. Диаграммы направленности продольной щели:
е=0,844, <pg=90°; 1—.периметр эллипса 1.9Х; 2—периметр эллипса 3,18/.
ной щелью. Диаграммы направленности взяты из работы [25].
Обозначения геометрических параметров те же, что и для элек-
трических 'вибраторов.
9.4. Дифракция плоской волны на эллиптическом цилиндре
Для анализа дифракции плоской электромагнитной волны на
идеально проводящем эллиптическом цилиндре воспользуемся
результатами § 9.3. Сначала рассмотрим случай падения плоской
волны, поляризованной параллельно оси цилиндра. На основании
теоремы взаимности (см. § 3.5) можно непосредственно исполь-
зовать формулу (9.24). Если перенести диполь в точку наблю-
дения в дальней зоне и определять поле в той точке, где раньше
находился диполь, то составляющая Ez этого поля согласно тео-
реме взаимности по-прежнему будет определяться формулой
(9.24). Следует только заменить в этой формуле г на ug, a ug на
г, а также <pg на <р и ф на фо, где фо — угол прихода плоской
волны, фронт которой параллелен оси г, т. е. 0 = л/2.
228
^atatfaus^k
знание Вез границ ’ *
Обозначим
.2kI30l e-ikuR.-
Eq— —i------------у 2л.
сое Ug
л
,nT
e
Se, оп (kd, cos <р0) Se, оп (kd, cos <p) x
Тогда
£сумм
п=0 те, оп\ка)
ч/ Je, on(kd, ch г) Не, on(kd, chu0)—Не, on(kd, ch г) Jeon(kd, chuB)
✓x --------------------------------------------------------.
He, on(kd, chu0)
(9.27)
В случае поперечной поляризации падающей плоской волны
можно использовать решение задачи о возбуждении цилиндра
продольным магнитным диполем, удаленным от цилиндра на рас-
стояние, во много раз превышающее длину волны. Для этого
воспользуемся формулой (9.27), в которой •положим r=ug, ug=r,
Ч’й='Ф, <Р=<ро. Обозначим также
. 2/? /“ I У2эт ' е~Лиа
п 0 — i
top Ug
В результате получим для поля в поперечной плоскости
. я
оо 1П Т
НгУММ=Яо2 —------------ X
° п-о Me, on(kd)
х Je, Qn(kd, chr)He', on(kd, chua)—He, on(kd, chr)J'e, on(kd, chH0)3
H'e, on(kd, chw0)
xSc, on (kd, ccsq>0)Se, on(kd, ccstp). (9.28)
Особый интерес представляет дифракция плоской волны на
идеально проводящей полосе, в которую эллиптический цилиндр
переходит, когда большая полуось эллипса а становится равной
половине расстояния между фокусами d, эксцентриситет эллипса
при этом равен единице, е=1, Задача о дифракции на полосе
является классической в теории дифракции. Она решалась не
только расматриваемым нами методом собственных функций, но
и методом интегральных уравнений, а также различными асимп-
тотическими .методами теории дифракции.
Сравнение различных методов решения этой задачи проведено
в работе А. Н. Горгошидзе [26].
Полагая в формулах {9.27) и (9.28) uo = O, d=a, получаем ре-
шение задачи о дифракции плоской волны, фронт которой парал-
лелен оси z, на полосе .как в случае продольной, так и в случае
поперечной поляризации электрического поля. На рис. 9.5 и 9.6
приведены диаграммы направленности отраженного от полосы
поля. Плоская волна падает перпендикулярно к полосе <ро = О и
под углом <р0 = л/4, ширина полосы kd = 80. На рис. 9.5 рассмот-
9°—142 229
Рис. 9.5. Диаграммы направленности отраженного поля при продольной поляри-
зации:
1 — <₽о=0; 2— <ро=л/4
Рис. 9.6. Диаграммы направленности отраженного поля при поперечной поляри-
зации:
1— фо=О; 2 — фо=л/4
рен случай продольной .поляризации (вектор Е параллелен кра-
ям), а на рис. 9.6 — случай поперечной поляризации (вектор Е
перпендикулярен краям полосы). Диаграммы взяты из книги
П. Я. Уфимцева [27].
Глава десятая
Возбуждение волноводов
В гл. 10 приводятся решения неоднородных уравнений Макс-
велла для регулярных волноводов. Рассматривается возбуждение
волновода из двух идеально проводящих параллельных плоско-
стей в прямоугольной системе координат, а также возбуждение
прямоугольного, круглого и радиального волноводов.
Оказалось удобным не пользоваться понятием векторного по-
тенциала и результатами гл. 2, а во всех случаях непосредствен-
но найти .решение волновых уравнений для прямолинейных со-
ставляющих векторов электрического и магнитного полей, а за-
тем представить полное поле в виде наложения электрических и
магнитных волн. Конечно, в правую часть волновых уравнений
для векторов поля входят не функции распределения сторонних
230
^ataitausi^i.
знание без границ Ч *
токов, а операторы над НИМИ, что не всегда удобно. Однако при
аналитическом задании функций возбуждающих токов, как это
видно из приводимых примеров, затруднений не встречается.
Во Всех рассмотренных волноводах составляющие поля Ez и
Hz представляются в виде разложений по собственным волнам
поперечного сечения волновода и истокообразные функции отно-
сительно продольной координаты волновода находятся из реше-
ний обыкновенных дифференциальных уравнений методом вариа-
ции произвольных постоянных. Подобный путь решения в данной
главе является наиболее экономичным и прозрачным.
Мы не задавались целью дать полную теорию распростране-
ния волн в волноводах, поскольку это подробно изложено во мно-
гих руководствах, а имели в виду дать теорию возбуждения вол-
новодов и поэтому ограничились рассмотрением только некоторых
частных примеров возбуждения волн.
Необходимо отметить, что приводимые в данной главе общие
решения задачи возбуждения волноводов облегчают подход к ре-
шению задач о влиянии неоднородностей на распространение волн
в волноводах. . .J,
Рис. 10.1. Параллельные иде-
ально .проводящие плоскости.
10.1. Возбуждение волн между двумя плоскостями
Рассмотрим общее решение задачи о возбуждении электромаг-
нитных волн между двумя идеально проводящими параллельными
плоскостями. Плоскости будем полагать неограниченными, а ис-
точники электромагнитного поля —
распределенными произвольным обра-
зом в объеме V между плоскостями.
Прямоугольную систему координат
выберем так, чтобы одна из проводя-
щих плоскостей совпала с плоскостью
х = 0, а другая — с плоскостью x=d
(рис. 10.1). Конечно, к решению зада-
чи можно подойти различным образом,
например найти выражения для век-
торных потенциалов электрических и
магнитных сторонних токов, удовлет-
воряющих граничным условиям на поверхности х—0 и x=d. Мож-
но также воспользоваться выражениями, определяющими в декар-
товых координатах электрические и магнитные волны сторонних то-
ков в свободном пространстве, и к ним добавить волны, отраженные
от плоскостей х = 0 и x=~d. Однако нам кажется удобным записать,
решение волновых уравнений для векторов электрического и маг-
нитного полей (1.26) и представить это решение в виде наложения
электрических и магнитных волн. При этом в качестве продольной
координаты мы выберем координату z.
Итак, рассмотрим решение неоднородных волновых уравнений:
ДЕг + ^£г=-Мгэ; ЬНг + &Нг=-Мкг. (Ю.1)
9°* 231
Обратимся сначала к электрическим
шение первого уравнения (10.1) ,в виде
ным волнам поперечного сечения ху
вода:
волнам и представим ре-
разложения по собствен-
рассматриваемого волно-
БЛх, У, z) = 2 J Zn(h, z)sinf— x\e~ihydh. (10.2)
n=lh=—oo \ d /
Здесь взято разложение в ряд Фурье по синусам, поскольку
поле Ez при х=0 и x=d должно удовлетворять нулевым гранич-
ным условиям; зависимость поля от координаты у имеет вид ин-
теграла Фурье, поскольку у изменяется в бесконечных пределах.
После подстановки (10.2) в (10.1) получим
7 rd2Zn(ft, г) 2 7/1, \1 /яп \ ..
2J ( ---——-—Y (h, г) sin (—x\e~ihudh —
n=l h=—oo I J \ d 1
где
==—Л^(х, у, z).
y= ]//i2 + ^2Liy_A.2_
(10.3)
Умножим левую и правую части уравнения (10.3) на комплекс -
, 2 . /пп' \ 1 lh,,.
но-сопряженные функции —sin ( ——х ) — е у и проинтегрируем
d \ d /2л
по поперечному сечению волновода. При этом учтем, что
2 ? . /пл' А . / лп \ . (1 при
— I sin ( ---х ) sin (-х dx= ! r
d XL.O \ d J \ d / (0 при ;
— 7 e-^-*')i/dz/=6(/i—h'). (10.4)
2П yj-oo
Тогда для неизвестной истокообразной функции Zn(h, z) по-
лучится следующее дифференциальное уравнение:
d2Z (ft, z)_fZn(K z)=----1 * J у>, 2) х
dz2 nd Moyd-oo
X sin ( x’jethy dx'dy'. (10.5)
Применив метод вариации произвольных постоянных, найдем
решение неоднородного уравнения (10.5), удовлетворяющее прин-
ципу излучения на бесконечности в направлении оси z:
Zn(h, z)
1 с г / ЯП ,\ ihy'
------ ( С sin ( -----------х ) е у X
2ndy x40i/'J_oo \ d J
X le~v* J Mz(x', y', z')e+v2'dz' +
I z'=—QO
+ j Mz(x', y', z’)e~v2' dz'ldx'dy'.
z'=z )
(10.6)
232
^alallausKii!,
знание Сезграниц
Подставив теперь (10.6) в (10.2), получим окончательные вы-
ражения для продольной составляющей напряженности электриче-
ского поля:
Ег(х, у, z) = f. J Einhdh; (10.7)
n=l h=—oo
£znft = —(10.8)
y \ d J
F9 =—J—f Мэг(х', у', z')x'\elhy'+^г'dx'dy'dz', (10.9)
2nd ft \ d /
МЦх, у, z) = — гюр'а/й-gradzdivj9—rotzjM. (10.10)
i<Be a
В выражениях (10.8) и (10.9) верхние знаки перед у в показа-
теле экспоненты берутся для z<iz', а нижние — для z>zr.
Аналогичное решение уравнения (10.1) получается и для про-
дольной составляющей напряженности магнитного поля:
Нг(х, у, *) = S J fiznhdh’, (10.11)
п=0Л=—оо
Hznh= — cosf — x\e-ihy±^z Fv,' (10.12)
T \ d J
, y>cos/.EILх'УеМи'гг*’dx' dy' dz'; (10.13)
4nd p \ d J
Mz(x, y, z)=—iwe'aj” 4-gradzdiv jM-|-rotz j3. (10.14)
iwp a
Однако теперь в отличие ют выражений для электрических
волн разложение поля по оси х производится по косинусам, по-
скольку граничные условия при х=0 и x=d сводятся к нулевым
значениям нормальной производной продольной составляющей
магнитного поля.
Представим далее поперечные составляющие напряженности
электрического и магнитного полей в виде разложений:
^=3 J Einhdh; J Htnhdh (i = x, у). (10.15)
п=1 h=—оо п=0 h=—оо
Тогда аналогично (2.38) и (2.39) и Hinh выразятся через
продольные составляющие напряженности электрического и маг-
нитного полей по следующим формулам:
для электрических волн (//2=0)
рэ ±Т dEznh . *-xnh — • , /пл \2 Л дх W +Л2 ууэ - * <ое/а dEznh . xnh /ЯП у ду 77 ) + h \ a /
рЭ ±т д Eznh . Т! E-ynh— , п /яп\2 „ ди (^г) + ft \ a J 3ynh = —, ; (10.16) +Л2 дХ
233
для хмагнитных волн (£2=0),
ЕЫ ttop-'a znh . ууМ __________ zEY___ dHznh .
(^У+*.* ’ Г—У+л- л
\ а / \ а /
»<оц'а
пп \2
т)+Л2
dHznh .
дх
Т_ТЫ
” ynh —‘
(10.17)
В выражениях (10.16) и (10.17) верхние знаки перед у берут-
ся для z<.z', а нижние — для z>z'. Формулы (10.7) — (10.17)
позволяют найти ноле между двумя идеально проводящими пло-
скостями при любом распределении сторонних электрических и
магнитных токов. Из (выражений (10.10) и (10.14) 'видно, что про-
дольные составляющие электрических токов возбуждают только
электрические волны, а продольные составляющие магнитных то-
ков — только магнитные волны. Поперечные составляющие элек-
трических и магнитных токов возбуждают в общем случае как
электрические, так и магнитные волны. Полное электромагнитное
поле в волноводе имеет вид бесконечного спектра пространствен-
ных гармоник (типов волн).
/ Л/2
При Л2-Н — ] ^>k2 (k — действительная величина) типы волн
являются затухающими, а при + они являются рас-
пространяющимися в направлении продольной оси. Распростра-
няющиеся типы волн являются быстрыми, поскольку Для них
Ы<*-
Рассмотрим пример. Зададим сторонний электрический ток в
виде бесконечно тонкой синфазной полоски с косинусоидальным
амплитудным распределением, т. е.
jM =0; = j^roCos(^x)6(z~0). (10.18)
X a J
Тогда
М"=^- = 0;
ду
--------------(Ю.19)
i <ое'а дхдг i(oe'a d \ d / dz
Подставив (10.19) в
(10.9) и произведя интегрирование, найдем
nm J о
=FT-----------
2d кое'а
0
б (/1-0)
при п=т,
при п=£пг.
234
^alaliausii^
знание без границ * ш
Подставив теперь это выражение в (10.8), а затем в (10.7), по-
лучим
Из уравнений (10.16) и (10.15) найдем поперечные составляю-
щие поля
уэ
Ну — ±——cos
2
Таким образом, сторонний ток вида (10.18) возбуждает толь-
ко одну пространственную гармонику — электрический тип вол-
ны с тремя составляющими поля: Ех, Ez и Ну. Заметим, что для
синфазной полоски тока (т=0) продольная составляющая элек-
трического поля исчезает и электрическая волна вырождается в
Т-волну.
10.2. Возбуждение прямоугольного волновода
Прямоугольный волновод имеет важное практическое значе-
ние. Поэтому остановимся на нем более подробно. К решению
задачи о возбуждении волновода мы можем опять-таки подойти
с различных точек зрения. Например,
можно найти выражения для вектор-
ных потенциалов электрических и маг-
нитных токов, как это сделано в рабо-
те [28], или использовать тензорные
функции Грина [29]. Легко, однако,
использовать путь решения, намечен-
ный в § 10.1, т. е. непосредственно най-
ти решения уравнений для продольных
составляющих напряженности поля
(10.1), а затем поперечные составляю-
Рис. 10.2. Прямоугольный вол-
новод
щие поля выразить через продольные.
Отличие будет заключаться в том, что искомое поле надо разло-
жить в ряды Фурье по собственным типам волн поперечного сече-
ния ху прямоугольного волновода (рис. 10.2). Это разложение для
электрических волн будет выглядеть так:
оо оо / \ / \
Ez (х, у, z) = 2 V znm (г) sin ( — x)sin( у Y (10.20)
n=l m=I \ a / \ ° /
где а и b — размеры поперечного сечения волновода.
235
Выражение (10.20) удовлетворяет нулевым граничным усло-
виям «а стенках волновода. Подставив (10.20) в (10.1), найдем
„ \d2Znrn(z) „ „ . .1 . I яп \ . / пт \ ,,э, .
У 2 — У Znm(^) рш -------xpmf —у) = —Мг(х, t/, г),
n=lm=]L dz \ \ a J \ b J
где
Применив к последнему выражению обратное преобразование
Фурье, получим дифференциальное уравнение относительно исто-
кообразной функции Z„m(z):
—----------y2Znm(z)=-4- f f М3г(х', у'-, г')Х
ab 2=o.v=o
xsinf-^ x'^sinf-^ y'^dx'dy'. (10.21)
\ a J \ b J
Решение уравнения (10.21), удовлетворяющее принципу излу-
чения на бесконечности в направлении координаты z, имеет сле-
дующий вид:
X e-vz J М3, (х', у', г') ё^1' dZ +
( z' =—оо
+ е?г J Мэг (х', у', г') е~^г' dz' | dx' dy'.
Z' =2 J
Подставив (10.22) в (10.20), найдем
оо оо
Ег (*, У, 2) == V 2 £гпт;
п=1 т=\
М3 (X, у, z) = — i 0)|Га /г -|-grad2 div f—rot2 jM.
кое a
(10.22)
(10.23)
(10.24)
(10.25)
(10.10)
Аналогичное решение имеет место и для магнитных волн. Од-
нако в этом случае разложение в ряд Фурье производится по ко-
синусам, поскольку нулевым граничным условиям на стенках вол-
новода должна удовлетворять нормальная производная продоль-
236
NalaHauswk
знание без границ Ч*
ной составляющей напряженности магнитного поля:
Ег(х, у, z) = § £ нгпт- (10.26)
п=0т=0
и 1 \ f ЗТ/Zl \ . 71М z « z\
Нгпт =—cos(—х ) cos ( — yje^F ; (10.27)
У \ a J \ b J
FM = y,. cos /_лл x, \ x
2a6 j) \ a J
Xcos^—^— y'^e^2' dx' dy' dz', (10.28)
Af” (x, y, z) = — i we'a j“ -I-l— grad2 d iv jM -|-rotz j9 (10.14)
iWfl a
В выражениях (10.24), (10.25), (10.27) и (10.28) верхние зна-
ки перед у берутся для z<Zz', а нижние — для z>z'. Числа п и
т не могут одновременно равняться нулю, ибо в этом случае ко-
нечную величину будет иметь лишь составляющая Нг[см. (10.31)].
Поперечные составляющие поля определяются двойными ря-
дами:
£г= S. 2 Einm; Ht = § (t = x, у), (10.29)
n=0zn=0 n=0/n=0
в которых аналогично (10.16) и (10.17) Einm и 1~Цпт даются сле-
дующими соотношениями:
для электрических волн (//2 = 0)
(10.30)
237
Г
£м
упт
dHznm .
дх ’
/7 м -
“ упт —
dHznm
ду ‘
(10.31)
Знак перед у здесь выбирается .по тому же правилу, что и в
формулах (10.24) — (10.28).
Выражения (10.23) — (10.31) определяют возбуждение элек-
тромагнитного поля в прямоугольном волноводе при произволь-
ном распределении сторонних электрических и магнитных токов.
В общем случае возбуждается бесконечное количество типов
электрических и магнитных волн.
Каждой паре значений п и т соответствует определенный тип
волны, характеризуемый постоянной распространения
Т= —^2- Затухающие типы волн определяются
действительной величиной у, и это будет наблюдаться при
/ял V . /лт\2 _
(k — действительная величина). Распростра-
няющиеся типы волн являются быстрыми и определяются
мой величиной у, когда
на волны определяется из условия
,vKp пт
откуда
мни-
. Критическая дли-
Фазовая скорость и длина волны в волноводе распространяю-
щихся типов волн определяются выражениями
иФ =
*3 =
2
где v и Хе — фазовая скорость и длина волны Т в данной среде.
Распространяющиеся типы волн удаляются от возбуждающих
источников на бесконечность в виде бегущих волн. В пределах
объема, занимаемого источниками, образуется наложение движу-
щихся навстречу друг другу бегущих волн. Амплитуды затухаю-
щих типов волн уменьшаются при удалении от источников по
экспоненте и тем быстрее, чем выше тип волны. Следовательно,
волновод является как бы фильтром типов волн: из бесконечного
дискретного спектра волн, возбуждаемого источником, все типы
волн, для которых Хкрпт>Хе, свободно распространяются по
волноводу, а типы волн, для которых ХкрпшСХе , быстро затуха-
ют при удалении от источника.
238
^atatiaustli!.
знание без границ * *
Остановимся теперь на некоторых частных случаях возбуж-
дения прямоугольного волновода. Пусть волновод возбуждается
электрическим диполем с моментом тока 14, направленным вдоль
оси х и расположенным в точке Хо, уо, zD. Объемная плотность
такого стороннего тока имеет вид
dz
jx =fxl&(x—x0)&(y—уд) 6 (z—z0). (10.32)
Подставив это выражение в (10.10) и (10.14), найдем
мэг= J1L^sx-.xaе(у_Уо) ds(z-z0)
toe'а dx
М” = —1эг1Ь (х-х0) ^У-УоУ. g (z—z0).
dy
После подстановки M3Z и Л4мг в (10.25) и (10.29) получим
Гэ 2яп 1Х / яп \
р —-cosf —х0)х
а2Ь 1(08 а \ а /'
пт \
—-Уо)е^го,
b ' I
= _епетят ;э Zcos/2ZL х \ х
2с&® \ а °)
xsin
(10.33)
xsin
e+vz„_
Таким образом, для продольных составляющих напряженности
электрического и магнитного полей получим выражения
г, 2пп 1Х1 . / ял \. .
EZnm “F „ , . ' § П ( ) X
агЬ io>e а \ а /
xsin
/э /
Hznm = -^ЁтПт- x cos
znm 2ab2 у
(10.34)
/ яп \ ,,
( ---х х
\ а /
Поперечные составляющие поля определяются из подстановки
(10.34) в (10.30) и (10.31). Наинизший тип волны соответствует
значениям л = 0; т=1. При этом электрические волны исчезают,
а для магнитных волн имеем
л I / я , ,\
Xcos
Hz01~ чЬ2
— cos
2
I -*2
xsin
(г-г0)
239
Xsinf — y}e
\ b И
У (т)<*-*•>
P i .. . . * У(v)3-fe* (2-z»>
/Ут=±—^—sinf -J- y)sin(-^-yAe (10.35)
ab \ b / \ b J
Остальные составляющие напряженности электрического и
магнитного поля равны нулю. Структура поля волны Hot показана
на рис. 10.3. Таким образом, наинизшим типом волны в прямо-
Рис. 10.3. Структура поля волны Hoi
угольном волноводе является магнитная волна Hot. Обычно по-
перечные размеры волновода выбираются настолько малыми, что
только волна Hoi является распространяющейся, а остальные,
высшие типы волн являются затухающими. Тогда при удалении
от диполя на расстояние \z—z0|^kB/2 поле в волноводе с доста-
точной степенью точности определяется выражениями (10.35).
Отметим, что при неизменном моменте тока диполя 14 поле в
волноводе максимально при уо= — и равно нулю при </о=О и
уо = Ь. Надо также отметить, что на критической длине волны,
когда -7- = /гкроь составляющие поля ЕхП и Hzn становятся беско-
ь
нечными, если только пренебречь потерями.
Рассмотрим еще один пример, а именно возбуждение волно-
вода элементарной поперечной щелью, расположенной на широ-
кой стенке волновода. Объемное распределение магнитного тока
диполя, эквивалентного такой щели, запишем в виде
/“ = 7“ I б (х— а) б (у-у0) 6 (z- z0). (10.36)
240
ftatattauswk
знание без границ
Из подстановки (10.36) в (10.10) и (10.14) получим
= _/м z 6 (у-у0)6 (z-z0);
dx
М” = -И- 6 (X-a) .
i сор.'а dy dz
Подставив теперь Л1Э2 и M№z в (10.25) и (10.28), найдем
Г = _2л п ( if jm i sin /пт \ g
arb y \ b j
гм , en em nm (— 1)" . /пт \^m
F = ±y m------------------------— sin( y0 )e+^.
2ab2 ссоц'а \ b J
(10.37)
Согласно (10.24) и (10.27) продольные составляющие напря-
женности электрического и магнитного полей будут иметь при этом
вид
2ab2
/ nm
(10.38)
н = ± ^тпт{-\Г cos
znm 2ci>2 fw|l'a
X cos (--у ) sin ( — t/0) e±v(^-z0)
\ b J \ b J
b
Поперечные составляющие поля определяются выражениями
(10.30) и (10.31). Наинизший тип волны при этом также соответ-
ствует значениям п=0 и т=1, электрические волны исчезают, а
магнитные имеют только составляющие:
1
(10.39)
24 i
г
Как видно из (10.39), излучение щели максимально при у0 =
= —-и равно нулю при уо = О и уо = Ь. На критической длине вол-
ны при /My/=const поперечная составляющая магнитного поля
Нуо1 исчезает, а составляющие £жо1 и HzOX остаются конечными и
не зависят от продольной координаты.
10.3. Возбуждение круглого волновода
Теперь перейдем к решению задачи о возбуждении круглого
идеально проводящего волновода бесконечной длины. Совместим
ось трубы радиуса а с осью z цилиндрической системы координат
г, <р, z (рис. 10.4).
Для решения поставленной задачи можно было бы предста-
вить поле в виде наложения первичного и вторичного поля. В ка-
I j у У Рнс. 10.4. Круглый вол-
V-Z--------i_z нов од
честве первичного поля можно при этом взять поле электрических
и магнитных волн в неограниченном пространстве, а в качестве
вторичного поля — поле электрических и магнитных волн, отра-
женное от стенок волновода. Этот путь был использован в работе
[9] при рассмотрении произвольного возбуждения круглого вол-
новода. Мы здесь для единообразия изберем путь, который был
использован в § 10.1 и 10.2.
Обращаясь к волновым уравнениям (10.1), представим про-
дольные составляющие напряженности электрического и магнит-
ного поля в виде разложения по собственным волнам поперечного
сечения г, <р круглого волновода:
Ег(г, ф, z) = 2 2 Znm(z)e~inv Jn(xmr); (10.40)
n=—oo rn—1
Ez(r, <p, z) = 2 S Zni(z) e~in<t Jn (*(')• (10.41)
П=—oo Z=1
Поскольку стенки волновода являются идеально проводящими,
на решение (10.40) нужно наложить граничное условие
4(хта) = 0, (10.42)
а на решение (10.41) — условие
J'n(x;a) = 0. (10.43)
Величины Xnia = rn,n и х/й = г,п/ являются корнями уравнений
(10.42) и (10.43), а индексы т и I — номерами корней этих урав-
242
Специтыю От
ftalattauslM.
знание без границ Ч »
нений. Следовательно, значения хт и X; определяются из выра-
жений
— rnm . Vi — Гп1
a a
Корни rnm для некоторых значений п и т равны:
г01« 2,405; ru « 3,832; г21« 5,135;
г31« 6,379; г02« 5,520; г12« 7,016;
г22« 8,417; г32« 9,760.
Корни г'щ для некоторых значений п и I равны:
г'О1 « 3,83; г'п «1,84; г'21« 3,05;
г' «7,02; г'.2«5,33; г'™ «6,71.
Коэффициенты разложения Z,im(z) в (10.40) и в (10.41) опре-
деляются из подстановки этих разложений в уравнения (10.11).
Подставив (10.40) в первое уравнение (10.1) и имея в виду, что
1 л
г дг
dJj
дг
[2 _____О? A j = о
‘т » /*’’> и’
получим
S 3 [^7#--Y22n7n(z)]e-*''t4>Jn(xmr)=-Al’(r, Ф, г),
n=-oom=l L “г“ J
. (10.44)
где у= У н2т—№. Применив к разложению (10.44) обратное преоб-
разование по координатам <р и г и имея в виду, что
2л . .
J e-‘("-n)4,J<p=
q>=0
2л при п = п';
0 при и Ф п’\
a
f J п (^т О п (^т =
г=0
найдем
Y J'\ (Xm а) при т = т';
0 при т=/=т'',
d2Znm (?) 2 „ , . _
dz2 Y '-пт&-
1
п a2J'2n (xm а)
X J j M3z{r', <p', z')el,l(f' Jn(xmr')r'dr'dtp'.
rf=0 <p'=0
(10.45)
Решив уравнение (10.45) методом вариации 1произвольных по-
стоянных, получим выражение Znm(z), удовлетворяющее прин-
ципу излучения на бесконечности в направлении оси z:
Znm (2) =
—-2Г ---------т- J j еМч> Jn(xmr')x
2ул nV гп (Xm C) r J=o (()J=o
243
г
z'
z')e'vz dz' + еуг j Мэг(г', <р', г') х
V г-
(10.46)
Для определения Zni(z) подставим выражение (10.41)
рое уравнение (10.1). При этом получим аналогично
уравнение
во вто-
(10.44)
2 S [^T?1~V2 '2ni(z)]e '"<₽Jn(xtr)=-M«(r, ф, z), (10.47)
«=— ОО Z=1 L J
где у= р z2;—k2.
V
Применив к разложению (10.47) обратное преобразование по
координатам <р и г и имея в виду, что в данном случае
п2
И2/ С2
о
J r)rdr —
r=0
найдем
при 1=^=1',
(Z) 2 7 , ,__ 1
dz2 —------------—---------------
X J J Mz(r’, ф', z) е1П<р Jn (xz r') /•' dr’d ф'.
г'=0ф'=0
(10.48)
Решение (10.48) для волновода бесконечной длины имеет вид
Zn/(z) =------------------------ f f ein<p’jn(^r')x:
2ула2( 1--?—)j2n(xza) '•'=°<₽'=°
\ x2/ a2 /
x{e~vz f M“(r', Ф', z')evz'dz’+evz f М”(г', Ф', г')е^г' x
V z*=—OO z'=z
X dz' | r'dr'd ф'. (10.49)
Выражения (10.40) и (10.41) совместно с (10.46) и (10.49)
определяют продольные составляющие напряженности электриче-
ского и магнитного полей в любой точке волновода. Подставив
(10.46) в (10.40), окончательно запишем
Ez{r, ф, Z)= S Егпт\
—оо т=1
т
(10.50)
(10.51)
244
ftatatlauswk
знание без границ ' *
773 =7- 2,,2~;----Лмг(г', ф'. z')ein<p' Jn(xTOr')e+ yz'r’dr'd<p'dz';
2л a2J'2n (Xm a) J
(10.52)
M’(r, Ф> z) = —iwn'a j’+ —gradzdivf—rotJM. (10.10)
i (08 a
Подобным же образом после подстановки (10.49) в (10.41) бу-
дем иметь
нг(г, Ф, г)= 2 S Нгп1; (10.53)
П——оо 1—1
Hznl = -e-in'fJn(Klr)e±-fZFa; (10.54)
У
F* =-----------------------------f М“ (/, <р', z')eln(p' X
/ п2 \ 1/
2 л с2 ( 1 — ——— ) J2n (и/ a) v
\ K2i az J
X Jn(xt r')e'yz r'dr'dz'; (10.55)
/И«(г, ф, z) = — i w&'J" gradzdiv jM + rotj3. (10.14)
i fflg a
В выражениях (10.51), (10.52), (10.54) и (10.55) верхние зна-
ки перед у берутся для z<z', а нижние — для z>z'. Наконец,
для поперечных составляющих электрического и магнитного по-
лей получатся двойные ряды:
Ei== £ VcE.nm; /7г= § %Hinl (i^r, ф), (10.56)
п=—оо т=1 п=—оо Z=1
в которых Einm и ~Нint mo аналогии с (2.71) и (2.72) определя-
ются формулами:
для электрических волн (/7z = 0)
^7э __ — ^2т k2 dEznm л
rnm- дг >
ууэ t Ыб'а 1 дЕгпт .
___£5 (10.57)
2?э _ dz X2пг k2 1 dEznm .
Ч”’т^ г д(р ’
1 file'a дЕгпт .
ф пт ~ и2т дг ’
для магнитных волн (Ег = 0)
Ры _ —1 тн'а 1 дНгп1 . _ ±~l/x2f —F dHznl . j
гп! х21 Г д<р ’ rnI X2/ дг ’I
} (10.58)
рм dHzni __ +”l/x2z — А2 1 дНгп1 I
<р ni и2/ дг ’ Фni х2/ г д <р I
245
г
Критические длины волн определяются из приравнивания ну-
лю постоянной распространения у. Для электрических типов ко-
лебаний критические длины волн определяются выражениями
вида
» 2л а
пт »
гпт
для волны типа £Oi XKpoi = 2,62a, а для критического типа волны
£ц ^крп = 1,64 а.
Для магнитных типов колебаний критические длины волн
определяются выражениями вида
. _2л а
'•кр ni ~ •
г nl
для волны типа Н01 ХКрог= 1,64а, а для следующего типа волны
£ц Хкрп = 3,42а. Таким образом, наинизшим типом волны в круг-
лом волноводе является осенесимметричная волна типа 77ц, а из
осесимметричных — волна типа £oi. Структура полей этих типов
волн показана на рис. 10.5 и 10.6.
Рис. 10.5. Структура поля волны Eoi
Силовые линии:------- электрические,
—------магнитные
Рис. 10.6. Структура поля волны Ян
Силовые линии:------- электрические,
—•-----магнитные
Для иллюстрации полученных решений найдем поле в волно-
воде, возбуждаемое продольным электрическим диполем с мо-
ментом тока 1эг1. Свяжем объемную плотность тока диполя с его
моментом через дельта-функцию:
/: = £16 (г-г0) --£>) б (z-z„). (10.59)
Подставив (10.59) в (10.10) и (10.14), найдем
(с <Р> *) = 6 (г -г0) ^.(У2ГЛ<>) ГА-2 б (2_2 ) + 1 ;
i сое а г [ dz2
Л4"(г, <р, г)=0.
Следовательно, магнитные волны не возбуждаются, а для элек-
трических волн из (10.52) получим
246
ftalatiauswil
знание без границ У *
и согласно (10.51) для продольной составляющей напряженности
электрического поля найдем
р_____________1__________Х2т Т (у, rx 1 г \ р~in «₽-%> 4 V (z-z0)
cznni— п 2Г,„ . . . , JтДлт t) Jп \ктг0) к
2л a2J 2п (ит a) t сое ау
(10.61)
Поперечные составляющие поля при этом определяются путем
подстановки (10.61) в (10.57). Для наинизшего типа волны Е01
(п = 0; т = 1) получим
2ла21/х2 — k2
Л(Я1Г) Jo(xt г0) ± V
i coe'a J'% (хх а)
р______!_ 1г 1 Xt J’„ (Xi г) Jo (xt Гр) „± VK\-k‘ (г-г0) .
1 , ’ ~~С/ у
2л a2i coe'a J'2o (Mi а)
у =_____________ZZ 1_________X, J'p(xtr) 7р(Х1Гр) р± Vv.\-k^ (z - Zo)
г01 2лй2Ух\ —й2 J'2p(xjc)
(10.62)
Остальные составляющие поля этой волны равны нулю.
10.4. Возбуждение радиального волновода
Рассмотрим кратко задачу о возбуждении радиального волно-
вода. Радиальный волновод представляет собой две идеально
проводящие параллельные плоскости, поле между которыми пред-
ставляется в цилиндрической системе координат г, <р, z (рис. 10.7).
Рис. 10.7. Радиальный
волновод
В соответствии с этим решение уравнений (10.1) для прямо-
линейных составляющих напряженности поля выбирается в виде
разложений по собственным волнам поперечного сечения радиаль-
ного волновода <р, z:
Ег(г, ф, г)= У У ^(r)e-in<pcos( — z
п=—\
оо оо
нг(г, <р, z)= з £ /ад sin
п=—со т=1
(10.63)
(10.64)
Эти выражения удовлетворяют граничным условиям на иде-
ально проводящих стенках волновода. Подставив (10.63) в первое
247
r
уравнение (10.1), получим
1 d f
r dr \
nss—ос m=0
где v=—i
= — Мэг,
(10.65)
dR3n(r) У
дг )
f лт
COS ( — z
\ d
k2. Применив к разложению (10.65) об-
ратное преобразование Фурье по координатам <р и z, найдем
1 д
г дг
dR3n(r)
r-------
dr
n*
г2
.. 2л d
" 2лафР=0гЛ0
X.ein<e' cos
(10.66)
Решив дифференциальное уравнение (10.66) методом вариации
произвольных постоянных и имея в виду, что вронскиан цилиндри-
ческих функций определяется выражением
4 (V Г) Н™’ (V г)-//<2) (V г) J'n (v г) = , (10.67)
Л I V г
получим
^(r) = -^- 2f ( eln'e' cosf^z'Vw<2>(vr) f Л4’(г', ф', z')X
‘ ** <₽-=o z'=0 \ d J \ r'=0
X Jn(y r') r'dr' -{-Jn(y r) J мэ2(г', Ф', z')H^(vr')r'dr’\d(p'dz'.
(10.68)
Аналогичным образом находим коэффициенты разложения в
уравнении (10.64):
J I е‘"ф Sin( V2' ) ^’(Vr) J Мг Ч»'’ 2') X
12“ <р'=Ог'=О X “ / I г'=0
X Jn (у г') г'dr' + Jn (v г) J 7И« (г', ф', z') (v г') г’dr’
(10.69)
dtp' dz',
где также
v = —i
Выражения (10.68) и (10.69) удовлетворяют условиям ограни-
ченности поля в начале координат и излучения на бесконечности
и, таким образом, совместно с выражениями (10.63) и (10.64)
определяют прямолинейные составляющие напряженности поля в
бесконечном радиальном волноводе.
248
^alatiausnU'
знание безераниц **
Подставив (10.68) в (10.63) и (10.69) в (10.64), окончательно
запишем
^=2 2 £-т; нг= f 2
П=—оо ;п=0 М=—оо /п=1
р _— in <т /пт \
^znm & COS f Z \
F\Jn(yr), r<r',
F3H^(vr), r>r'-,
Hznm
— in ip . fnm \piJn(^r), r<r',
e ф sin I — г I
\ d / (/’2 (v r), r > r';
(10.70>
(10.71)
(10.72)
j Л1г(г', <p", г') Rn (v >') en ф z'^r'dr'd^' dz'\ (10.73)
= Чм(г'> <₽» z') Rn(v r')etn,f' sin(^ z'^r'dr'd^' dz'.
(10.74)
Здесь при s=l Rn(yr') = Hn<2>(vr') и при s = 2 Rn(v') =/n(vr');
M3z и MK2, определяются выражениями (10.10) и (10.14).
Далее представим криволинейные составляющие поля также
в виде двойных рядов:
г — 2 2<^rnm’ — 2 2 ^гптг
п=—оо т=0 п=—ео т—0
Ф= 2 2^nm;^= 2 2^^-
П——со /п=0 Л=—со ш=0
Тогда получим:
для электрических волн (Д2 = 0)
__ ____J______д$Егпт .
гпт /лт\2 дгдг ’
k'~b)
а 1 dEZnm .
ГПП1~ k2 Г 5<Р ’
~ \ d J
_Jд%Егпт _
4>nm /лт\2 г dcpflz
\ d /
_____ i сое a dEznm ,
'fnm~ /лту дг ’
А2 — ( —
(10.75)
(10.76)
)
249
(10.77)
Справедливость выражений для криволинейных составляющих
поля легко проверить подстановкой (10.76), (10.77), а также
(10.71) и (10.72) в однородные уравнения Максвелла.
Особенность полученных нами выражений поля для радиаль-
ного волновода заключается в том, что истокообразная функция
связана с продольной координатой г волновода, в то время как
электрические и магнитные волны определены относительно по-
перечной (прямолинейной) координаты z.
Рассмотрим пример. Пусть волновод возбуждается электри-
ческим диполем с моментом тока I3zl, совпадающим по направле-
нию с осью z и находящимся в точке r0, <р0, z0. Объемная плот-
ность тока такого диполя имеет вид
% = I3lf> (г— г0) 6 (г—г0). (10.78)
Мы найдем, что Мм2=0 и
Af’(r, Ф- 2)^-^-6(г-г0)^^-)[л26(г-г0)+ - в-!?*0*] •
I сое а г [ dz2 |
Из (10.73) и (10.74) получим: fMs = 0 и
гЭ t .
F^~Ti [*2-(^У]яп(*Го)еМф’со5(^20) . (10.79)
4d сое а L \ d / J \ d J
Следовательно, магнитные волны диполем не возбуждаются,
а электрические определяются из подстановки (10.79) в (10.71) и
затем в (10.76). Для диполя, находящегося на оси волновода
(го = О), имеем
0 при п=^0,
1 при _п = 0.
Тогда возбужденное электромагнитное поле будет иметь толь-
250
4 (0) = {
NataUaus
знание без границ
ко три составляющие:
Наинизший тип волны соответствует т=0; при этом компо-
нента поля Егоо выпадает и остаются только две поперечные со-
ставляющие: £2оо и /7Фоо . По определению такое поле описывает
волну Т, которая существует при любой величине d, в то время
как другие типы колебаний имеют критическую длину волны,
определяемую выражением XKponi = 2d/m.
Глава одиннадцатая
Возбуждение объемных резонаторов
В гл. 11 рассматривается задача о возбуждении прямоуголь-
ного и круглого цилиндрического резонаторов произвольным рас-
пределением сторонних источников. Решение можно искать либо
в виде векторных потенциалов [29], либо в виде суперпозиции
электрических и магнитных волн. Второй путь хотя и не обладает
никакими принципиальными преимуществами, оказывается более
выгодным, потому что в гл. 10 уже получены выражения для
поля электрических и магнитных волн в прямоугольном, круглом
и радиальном волноводах. Именно эти выражения и используются
для нахождения поля в резонаторах, причем для поля в цилинд-
рическом резонаторе решение строится двояким образом: через
решение для круглого волновода и через решение для радиаль-
ного волновода. Во всех случаях кратко рассмотрены резонанс-
ные явления в резонаторах и получены общие выражения для
добротности. Кроме того, на примере прямоугольного резонатора
показана возможность перехода от применяемой нами записи
поля в виде двойной суммы к часто используемой записи в виде
тройной суммы. Вопросы свободных колебаний в резонаторах и
251
анализа различных структур поля затронуты лишь в небольшой
степени, так как они подробно освещены во многих монографиях
и учебных пособиях. С помощью приведенных здесь методов чи-
татель может построить решение для других видов резонаторов.
Так, используя выражения для поля в радиальном волноводе,
можно получить решение для коаксиального резонатора.
Применяя подход, принятый в гл. 6, легко найти решение для
сферического резонатора, которое далее можно сравнить с извест-
ным решением этой задачи [4].
11.1. Возбуждение прямоугольного резонатора
Рассмотрим общее решение задачи о возбуждении прямоуголь-
ного резонатора, стенки которого .выполнены из идеально прово-
дящего материала. Оси прямоугольной системы координат х, у, z
совместим с ребрами резонатора и длины этих ребер обозначим
через а, b и с (рис. 11.1). Электромагнитное поле, возбуждаемое
в резонаторе произвольным распре-
делением сторонних источников,
можно искать различными способа-
ми. Например, можно найти выра-
жения для векторных потенциалов
электрических и магнитных сторон-
них токов при условии, что эти вы-
ражения удовлетворяют граничным
условиям на внутренней поверхно-
сти резонатора. Затем с помощью
Рис. 11.1. Прямоугольный резона- формул (1.29) нетрудно определить
тар электрическое и магнитное поле в
любой точке резонатора. Однако
экономнее будет воспользоваться результатами § 10.2, в котором
получены выражения для поля электрических и магнитных волн,
распространяющихся в бесконечном прямоугольном волноводе.
Итак, будем считать, что наш резонатор образован из беско-
нечного волновода, продольная ось которого совпадает с осью г,
с помощью двух поперечных стенок, расположенных при 2=0 и
2 = с. Тогда электромагнитное поле в резонаторе будет склады-
ваться из падающего (первичного) поля сторонних источников
и отраженного от поперечных стенок (вторичного) поля.
Рассмотрим сначала поле электрических волн. Продольная со-
ставляющая суммарного электрического поля
£г = £™д+£^тр,
(11.1)
где Егпгр- определяется формулами (10.23), (10.24), (10.25) и
(10.10), а £готр по аналогии с падающим полем представим в виде
двойного ряда:
оо оо
/7отр .— V? Е*ОТр •
z xLJ /-J znm’
n=l
(11.2)
252
^alallausltiV
E°?m = у sin *) sin у) (СЭ e~V Z + D3 ev г). (11.3)
В выражении (11.3) слагаемое с коэффициентом Сэ изобра-
жает волну, отраженную от стенки при z=0, а слагаемое с коэф-
фициентом D3 — волну, отраженную от стенки при z=c. Суммар-
ное электрическое поле должно удовлетворять граничным усло-
виям Et = O при z = 0 и z = c. В нашем случае эти условия примут
вид
^пт|г=о = Ои£э 1г=о=О, (11.4)
lz=c \г=с
где Е3хпт и
Е3упт задаются выражениями (10.30). При выборе
знака перед у в этих выражениях следует иметь в виду, что от-
раженные волны создаются токами, текущими на поперечных
стенках, и именно эти токи следует принимать за сторонние
ИСТОЧНИКИ ПОЛЯ EOTpznm.
Граничные условия (11.4) для Е3хпт и Е3упт оказываются со-
впадающими и каждое из них приводит к системе уравнений от-
носительно коэффициентов С3 и D3:
F3 С3 +D3 =0; ]
„ Л 1 (11.5)
F|+)e-vp + C3e-vc—£>’6^ = 0. |
В (11.5) через £э(_> и £э(+) обозначена функция F3 [см. фор-
мулу (10.25)], в которой берется знак (—) или ( + ) перед пока-
зателем экспоненты. Из уравнений (11.5) находим
F3 e—W -L F3 рУс F3 I F3
Сэ =—ш--------- ; £)Э = . (-)+—(±L е-ус (11.6>
2 sh у с 2 sh у с
Теперь с помощью выражений (10.23) — (10.25) и (11.2),
(11.3), (11.6) мы можем представить продольную составляющую
суммарного электрического поля в виде
ОО со
£г=^2£гпт; (11.7)
n=l т=1
Eznm=~h---±—sinf— x)sinf^ у\L3 (z‘, х', у', Z'), (11.8)
где
L3 (г; х', у', z’) — f М3 (х', у', z')sinf— х'^ х
У \ G /
X sin У') {ch I? (с ± (г—г'))] + ch [у (с—z—z')]} dx' dy' dz'.
(11.9a)
В формуле (11.9) в аргументе гиперболического косинуса
верхний знак берется при z<z', а нижний — при z>z'; функ-
ция Л4эг(х', у', z') определяется выражением (10.10). Множитель
253
L3 (z\ x, y', X) можно также представить в форме
2 ch yz f M3 (x't у', z') sin ( — х') х
к \ а /
xsm^~y'^ch[y(c—z')] х
X dx' dy' dz' при z<z';
L3 (z; x', у ,z') =
2ch (y(c—z)] J M3(x', y',z') x
v
. (n n ,\ . fnm
x sin ( — x sin ( — у ) ch (y z ) x
\ a / \ b )
X dx'dy'dz' при z>z'.
(11.96)
Поперечные составляющие поля также характеризуются двой-
ными рядами:
n—1 /n=l n=l m=1
где
(11.11)
В формулах (11.11) при z<z'перед уберется знак + и в ар-
гументе гиперболического тангенса величина z, а при z~>z' —
знак — и величина с—z.
Составляющую £2 суммарного поля с помощью формулы
(5.46а) можно представить и в иной форме. Для этого достаточ-
но перейти от гиперболических функций к тригонометрическим,
считая величину
254
^alatiauswk
знание без границ Ч *
чисто мнимой, и аргумент этих функций привести к виду
В результате получим
оо ос оо
£z = £ S S £znmt J
п=1 т=1 1=0
(П.12Х
Поперечные составляющие поля также могут быть представле-
ны в виде тройных рядов:
оо оо оо оо оо оо
£?-2 2 2£?™,; /<?-2 2 2/<?»-. <ч.15)
/1=1 m=l Z=0 п=1 /п=1 Z=0
где i=x или i—y.
Значения E3tnmi и H3inmi определяются следующими формулами;
(11.16)
Итак, мы получили два формально эквивалентных представлен
ния поля электрических волн в прямоугольном резонаторе. Хотя
каждое из этих представлений можно с 'помощью формулы (5.46а)
255
преобразовать из одного в другое, при выполнении практических
расчетов форма записи поля (11.7), (11.8), (11.9) имеет безуслов-
ное преимущество перед формой записи (11.12), (11.13), (11.14).
Действительно, наличие двух бесконечных сумм в первой форме
записи существенно упрощает вычислительную работу по сравне-
нию со второй формой записи. При нахождении поля на источ-
нике, где оно терпит разрыв, с помощью первого представления
легче удается описать этот 'разрыв. Использование же второго
представления требует аккуратного вычисления предельного зна-
чения ряда Фурье при.г-^г'.
С другой стороны, вторая форма записи за счет своей симмет-
рии наглядно демонстрирует равноправие всех трех координат х,
у и z при описании поля в прямоугольном 'резонаторе. К тому же
в ряде пособий, рассматривающих вопросы колебаний в объемных
резонаторах, поле представляется именно в виде тройной беско-
нечной суммы (тройного ряда по мембранным функциям). Чи-
тателю теперь должно быть ясно, что оба вида представлений по-
ля эквивалентны и что путь построения решения зависит от вку-
сов автора. На наш взгляд, применение истокообразных функций
в данной задаче быстрее приводит к окончательным результатам.
По виду полученных выражений для поля (11.12) мы можем
заключить, что поле в
резонаторе складывается из бесконечного
числа стоячих волн, возникающих в на-
правлении всех трех осей: х, у и z. Теперь
уже нет смысла говорить об электриче-
ских волнах, а удобнее называть возника-
ющую структуру поля поперечно-магнит-
ными колебаниями. Каждый тип таких
колебаний обозначается символом
Епт1(ТМптi). При этом следует, конечно,
помнить о том, что направление, относи-
тельно которого колебания считаются по-
перечными, в прямоугольном резонаторе
можно по желанию выбрать совпадаю-
Рис. 11.2. Структура колеба- Щкм с осью z, х или у.
ний £11() Из формулы (11.13) следует, что при
заданных размерах резонатора и фикси-
рованных значениях п, т и I всегда можно подобрать рабочую ча-
стоту так, что знаменатель (11.13) обратится в нуль. Это значит,
что амплитуда составляющей £2, а вместе с ней и всех других со-
ставляющих поля возрастет до бесконечности в резонаторе без по-
терь. В этом случае частота колебаний стороннего источника совпа-
дает с собственной резонансной частотой колебаний типа Enmi, ко-
торая равна
1 1/~|+ + . (11.17)
При наличии потерь в стенках резонатора или в среде, за-
полняющей его, амплитуды поля при резонансе имеют конечное,
256
NataHausiiiik
знание без границ Ч w
хотя и большое, значение и определяются величиной F3. Эта ве-
личина в свою очередь зависит от распределения сторонних то-
ков, варьируя которое можно регулировать эффективность воз-
буждения данного типа колебаний.
Наинизшим типом поперечно-магнитных колебаний, соответ-
ствующим первым значениям чисел п, т, I и наименьшему зна-
чению собственной частоты соо, является тип £цо, структура поля
которого 'показана на рис. 11.2, а составляющие электрического
и магнитного полей определяются выражениями
X ( Мэ (х', у', г’) sin Г — х' | sin
v \a
(11.186)
Рассмотрим теперь поле, образуемое магнитными волнами в
прямоугольном волноводе после помещения в этот волновод двух
поперечных идеально проводящих стенок при z=0 и г=с, т. е.
после превращения волновода в резонатор (см. рис. 11.1). Пред-
ставив так же, как и в случае электрических волн, падающее
поле в форме, определяемой выражениями (10.26), (10.27), (10.28)
и (10.14), а отраженное поле в виде
оо оо
^TP = S S
п=0 т=0
(11.19)
Нгпт = — COS X VoS I/ Vo _|_Дм e?z) ,(11 20)
у \ d J \ b /
потребуем выполнения граничных условий
д ^гпт
дУ
= 0;
z=0
г=с
д Hznm
дх
г=0
г=с
257
Ьткуда следует
ГМ — ус рм ус гМ рМ
С“ = —----------------*=>-- ; £)м = ~±L>-------<±>_ е-ус_ (11.21)
2 sh у с 2 sh у с
Подставив (11.21) в (11.20) и сложив падающее и отражен-
ное поля, получим формулы, определяющие составляющую Hz
суммарного поля в резонаторе:
ос ОС
у V н
/ \ 4J п2П7И>
п~0 т=0
(11.22)
где
,, 2 1 /л п \
Нгпт = -------~ COS ------ X X
ab у sh ус \ a J
пт \ , „ , , , ,,
X cos — у )LM (z ; х , у ,z ) ,
V а /
(11.23)
LM(z; x', y', z') ( M” (x', y', z') X
2ab
X cos^ — x'^cos^^ y') {ch [y(c± (z—
—z'))]—ch [y (c—z—z')]}dx' dy' dz'.
Здесь Mz™ (x', y', z') определяется выражением (10.14).
тель LM(z; x', у', z') можно записать и в ином виде:
.
(11.24a)
Множн-
LM(z\ x',y',z') =
6,16,11 sh yz f >' (х', у', z') х
ab $
X (c—/)] dx' dy' dz' приг<г';
£^?sh[v(c—z)l f M“(x', y',z') X
ab v
X sh’y z' dx' dy' dz', при z>z\
1
(11.216)-
Поперечные составляющие поля определяются двойными ряда-
ми вй.Дй:
^=2 S
n=C т=0
n— 0 m=0
(11.25)
где
Ем
xnm
— i tOfl'a d Hznm
258
^lataUaus,^.
знание без границ У *
(11.26)
Знак + и аргумент z .берутся в случае z<z', а знак — и ар-
гумент с—z — в случае z>z'. В формулах (11.19) и (11.20), так
же как и в формуле (10.26) для прямоугольного волновода, т и
п не могут одновременно равняться нулю.
К выражениям (11.23) и (11.24) опять-таки можно применить
формулу (5.46а) и получить другую форму записи для состав-
ляющей Hz-.
FM = епет f Л4“ (*', у', z') cos | — х' | cos (^~у' ) X
у \ а / \ * /
X sinу-z' \dx' dy' dz'. (11.29)
Поперечные составляющие для этой формы записи поля будут
выражаться формулами:
рМ
xnml
(11.30)
Ем
ynml
259
Соображения, высказанные три сравнении двух форм записи
поля электрических волн, сохраняют свою силу и в случае маг-
нитных волн.
Структуру воля, описываемую выражениями (11.22) — (11.26)
или (11.27) — (11.30), можно называть поперечно-электрически-
ми колебаниями и обозначать каждый тип таких колебаний сим-
волом Hnmi(TEnmi). Собственная частота колебаний типа Hnmi
определяется формулой (11.17). Наинизшим типом колебаний
будет /7оп или /710). В этом случае будут присутствовать состав-
ляющие поля Ех, Ну и Hz или Еу, Нх и Нг. Следовательно, струк-
тура поля наинизшего типа поперечно-электрических колебаний
имеет тот же вид, что и структура поля колебаний £ц0 (см.
рис. 11.2), с тем отличием, что теперь вектор Е будет направлен
не вдоль оси г, а вдоль оси х или у.
Следует обратить внимание на тот факт, что при одних и тех
же значениях чисел п, т и I возможен резонанс как для по-
перечно-магнитных колебаний Enmi, так и для поперечно-элект-
рических колебаний Hnmi- Это значит, что в резонаторе могут
существовать две различные структуры поля с одинаковыми ре-
зонансными частотами. Такое явление называется вырождением
колебаний. Если, однако, одно из чисел п, т, I равно нулю, то
вырождения не возникает, потому что, как мы видели выше, в
этом случае возможно возбуждение либо поперечно-магнитных,
либо поперечно-электрических колебаний. Заметим, что в квад-
ратном волноводе возможно поляризационное или поворотное
вырождение. Кроме двукратного вырождения, может иметь место
и вырождение более высокой кратности. Это происходит тогда,
когда отношения размеров резонатора а, Ь, с являются рациональ-
ными числами. Скажем, три а=Ь и п^=т одной собственной ча-
стоте соответствуют типы колебаний Emni, Етт, Hnmi и Нтпъ т. е.
происходит по крайней мере четырехкратное вырождение.
Остановимся коротко на вопросе о добротности резонатора.
Как и в теории обычных колебательных контуров, добротностью
объемного резонатора называют отношение запасенной ® резона-
торе энергии электромагнитного поля к энергии потерь за один
период колебаний. При резонансе имеет место равенство
Щ _ №э _ Г еа1 Е12 Д?. _ п/м _ Г Ma IН12 л^
и полн — “ J 9 'max J 9
v z v z
и добротность Q можно найти по формуле
Q«>opCiax (11.31)
Рпотерь
260
^alaHausA
знание без границ Ч
Если считать, что среда, заполняющая резонатор, не имеет
потерь, то рассеяние энергии возможно лишь за счет конечной
проводимости стенок резонатора. Мощность потерь можно вы-
разить через амплитуду поверхностного электрического тока и
сопротивление единицы поверхности резонатора следующим об-
разом:
^потерь = ~ J U3 l^?noB^s. (11.32)
2 S
где 7?пов=1/оэб (б — глубина проникновения поля в стенку).
Если учесть, что амплитуда поверхностного электрического тока
численно равна амплитуде касательной составляющей магнит-
ного поля на стенке и что глубина проникновения может быть
связана с проводимостью стенки оэ с помощью выражений (2.61),
то формулу (11.31) можно представить в виде
J|H|2<fo
. (11.33)
J|H/|2ds
S
Предположим, что стенки резонатора и заполняющая его сре-
да не обладают магнитными свойствами (ра = Цаст = цо). Тогда
выражение для добротности еще более упростится:
J |Н|2 do
S
Введем средние значения квадратов напряженности магнит-
ного поля по объему и поверхности, после чего перепишем (11.34)
в виде
Q 2 |Н|2ср V
б |Н,|аср S ‘
Отсюда следует, что добротность объемного резонатора пря-
мо пропорциональна отношению его объема к поверхности стенок
и, кроме того, зависит от характера распределения магнитного
поля.
Для колебаний типа Eii0 добротность может быть найдена
путем подстановки в (11.34) выражений (11.18) для магнитного
поля. Выполнив интегрирование, можно убедиться, что доброт-
ность этого типа колебаний
q __1__________ab (a2 + b2) с___
6 2 (а3 -|- b2) с -|- ab (a2 -|- b2)
При этом следует, конечно, учитывать то обстоятельство, что
в резонаторе, стенки которого имеют конечную проводимость, по-
ле будет описываться не выражениями (11.18), а другими, най-
денными из решения гораздо более сложной задачи для резона-
261
тора с полупроводящими стенками. Однако при достаточно боль-
шой проводимости металла допускаемая погрешность невелика
и величина добротности весьма точно оценивается по найденному
выражению.
11.2. Возбуждение круглого цилиндрического резонатора
Для определения поля, возбуждаемого произвольным распре-
делением сторонних токов в цилиндрическом резонаторе, мы вос-
пользуемся результатами гл. 10. При этом в нашем распоряже-
нии имеются две возможности построить искомое решение. Во-
первых, мы можем считать, что цилиндрический резонатор обра-
зован из круглого волновода с помощью двух поперечных стенок.
Тогда, пользуясь приведенными в § 10.3 выражениями для поля
электрических и магнитных волн, мы получим формулы для со-
ставляющих поля в цилиндрическом резонаторе таким же путем,
как сделали это для прямоугольного резонатора. Во-вторых, мож-
но предположить, что цилиндрический резонатор представляет со-
бой радиальную линию, ограниченную с внешней стороны цилинд-
рической идеальной проводящей стенкой. В этом случае решение
можно получить на основе использования результатов § 10.4. Оба
пути построения решения, вообще говоря, равноправны, хотя для
выполнения практических расчетов может оказаться более удоб-
ной либо первая, либо вторая форма представления
решения. Критерием является скорость сходимости
рядов, которая зависит от соотношения между вы-
сотой резонатора и его диаметром.
Продемонстрируем сначала первый способ реше-
ния. Итак, рассмотрим цилиндрический резонатор,
высота которого равна d, а радиус а. Ось z цилин-
дрической системы координат совместим с продоль-
ной осью резонатора (рис. 11.3). Будем считать, что
стенки резонатора выполнены из идеально проводя-
11 о шего материала, а среда, заполняющая резонатор,
Глиндрический" имеет параметры е'а и р'а. Поле в резонаторе будем
резонатор искать в виде суперпозиции электрических и маг-
нитных волн, распространяющихся в круглом вол-
новоде вдоль оси z. Сначала обратимся к электрическим волнам.
Продольная составляющая поля этих волн
£г=£падц_£отр.
где £2пад определяется выражениями (10.50), (10.51), (10.52) и
(10.10), a Ez°^ мы будем искать в форме
£°тр (г> <₽.= S 2£Х; (11.35)
n=—оо m=l
£°Х = — e-^Jn (Xm r) (C9 e-^ + D- er). (11.36)
262
MuHrnsA
знание без границ ч
Наложим граничное условие Et = 0 на суммарное поле элек-
трических волн при 2=0 и z=d. Это условие будет выглядеть
следующим образом:
£^|г=о = О,£э L=o = O, (11.37)
|z=d lz=d
где Е3тт и £эФпт находятся из выражений (10.57). После под-
становки выражений для соответствующих составляющих поля
в граничные условия (11.37) можно убедиться, что останутся два
независимых уравнения относительно коэффициентов Сэ и D3.
Определив эти коэффициенты, мы можем затем найти продоль-
ную составляющую суммарного электрического поля:
£г(ЛФ,2)= § f Егпт; (11.38)
п——оо п=1
Eznm = frm г) L3 {г; г'. <р\.<). (11.39)
где
£э (z; г', ф', г') = J М3 (г', <р', г') elmE Jn (нт г') X
v
X {ch [у (d ± (г—z'))] -f-ch [у (d—г—г')]}г' dr' dtp' dz'. (11.40)
В формуле (11.40) в аргументе гиперболического косинуса
верхний знак берется при z<z', а нижний — при z>z'\ функция
Л4э2(г, <р, 2) определяется выражением (10.10). Поперечные со-
ставляющие поля также представим в виде двойных рядов:
£?= 2 я?=2 2^(^=г,ф), (и-41)
п=—оо т=1 оо/п=1
где
у у» t Д>8Га 1 д Eznm
гпт хаго г д <р
(11.42)
ггэ __ *~~ I а д Eznm
*Пт “ Х=т дг
В формулах (11.42) при z<z' перед у берется внак + и в
аргументе гиперболического тангенса величина z, а при z>z' —
знак — и величина d—г.
Таким же .путем можно получить решение для поля магнит-
ных волн, распространяющихся вдоль оси г. В этом случае сум-
263
марное поле должно удовлетворять граничным условиям
d HZnl _____о д Ищ1 _____0
dtp z=0 ’ дг г=0
г—d z=d
Найдя отсюда неизвестные комплексные амплитуды отражен-
ных волн, мы сможем определить продольную составляющую
суммарного магнитного поля, которая будет равна:
Hz(r,tp,z) = ^\Нгп1- (11.43)
П = —оо Z = 1
Jn(xzr)LM(z; r',tp',z') . /цди\
пznl-----------------^2—\----------> (11.44)
yshydna2! 1 —-у— ) J2„(x<a)
\ x2/ a* J
L4 (г, г', <р', z') = j Л4« (г', ф', г') ein<₽' Jn (nt г') х
v
х {ch [у (d ± (г—г'))]—ch [у (d—z—г')]} г' dr' dtp' dz'. (11.45)
Здесь верхний знак выбирается в случае z<z', а нижний —
в случае г>г'; функция M"z(r, ф, г) может быть найдена по фор-
муле (10.14) по заданному распределению сторонних токов. По-
перечные составляющие поля магнитных волн определяются фор-
мулами:
£“= 3 2£м/! НЫ1 = 3 3 Hir.r U1-46)
п=—оо /=1 л——оо /=1
где
== 1 мР'а 1 d Hzni '
rnl х2/ г dtp *
/ ( z ) \
>нм.
rnl х2/ dr ’
__i Д>р.'а d Hzni .
<fn/— x2» dr ;
/ ( z ] \
(pnZ ----------------------------------------
x2z r dtp
(11.47a)
(11.476)
В формулах (11.47) порядок выбора знака и аргумента гипер-
болического котангенса точно такой же, как и в формулах
(11.42).
Ясно, что с помощью формулы (5.46а) выражения для поля
электрических и магнитных волн можно представить в виде трой-
ных бесконечных сумм. Поскольку этот прием уже был исполь-
зован .в § 11.1, мы не будем здесь на нем останавливаться.
Структуру поля в резонаторе, описываемую выражениями
(11.38) — (11.42), можно назвать полем поперечно-магнитных
264
ftalaHausKik
знание без границ
колебаний, а структуру поля, описываемую выражениями
(11.43) — (11.47), — полем поперечно-электрических колебаний.
Резонанс для обоих случаев наступает всякий раз, когда знаме-
натели выражений (11.44) и (11.39) обращаются в нуль, т. е_
когда
shyd= —tsinCK^2—х2т,/й) = 0или Vk2—n2m,id = pn_
Следовательно, собственная резонансная частота может быть
найдена по формуле
<'>ор = —1/(^У + х2,,../ . (11.48)
8а Ца V \ d J
Каждый тип поперечно-магнитных колебаний можно обозна-
чить символом Ептр, а каждый тип поперечно-электрических ко-,
лебаний •— символом Нп!р. Число р, так же как в случае прямо-
угольного волновода, может принимать значения 0, 1, 2, 3, ... для
колебаний Ептр и 1,2, 3, ... для колебаний Нщр. Значение р=О
для поперечно-электрических колебаний недопустимо, ибо при
этом Hznip тождественно равняется нулю. Следовательно, наиниз-
шими типами обоих видов колебаний являются £ою и How-
Заметим, что в цилиндрическом резонаторе возможно и вы-
рождение колебаний, отмечавшееся в § 11.1 для прямоугольного
резонатора. Вырождение связано прежде всего с осевой симмет-
рией резонатора. При одном и том же значении в резона-
торе могут возникнуть две структуры поля одного и того же типа
колебаний, но повернутые друг по отношению к другу на угол
<р = 90°. Подобное вырождение называется поляризационным (по-
воротным). Кроме этого вида вырождения, возможно также вы-
рождение для колебаний типов Но\р и £цР. Это вырождение яв-
ляется следствием известного соотношения для функций Бесселяг
J о (х) ~ Л (х)>
откуда следует, что rim=r'o; и хт=хг для этих типов колебаний.
Приведенные в § 11.1 общие формулы для определения доб-
ротности при конечном значении проводимости стенок сохраняют,,
конечно, свою силу и для цилиндрического резонатора.
Рассмотрим в качестве примера частный случай возбуждения;
цилиндрического резонатора. Предположим, что в боковой стенке
резонатора прорезана элементарная поперечная щель, к краям'
которой приложено напряжение высокой частоты. Тогда, как уже
неоднократно указывалось в этой книге, щель можно заменить
магнитным диполем, объемная плотность тока которого равна:.
/ф = 7ф *6 ('“—а) 6 (Ф—Фо) 6 (z—z0) -J- . (11.49)
Подставив (11.49) в (10.10) и (10.14), получим
Iм
----Ь(Ч—Чо)8(2—20)-?-8(г--а); (11.50)
г dr
10—142
265.
г
7<Р f б (г — с) d б (ф — фо) d 6 (z — z0)
Л4“ =
I соц'а г2 d ф dz
Далее путем подстановки (11.50) в (11.40) и (11.45) и инте-
грирования по частям по г', ф>' и z' в тех случаях, когда интегра-
лы содержат производные от дельта-функции, найдем
L3 =--f“l nmJ'n (ит а) e‘n<₽«{ch [у (d ± (z--z0))] -{-ch [у (d—г—z0)]};
/” I у
LM —-----5---п Jn (хг а) е1пч>> {sh [у (d ± (г—
соц а а
—z0))] + sh[y(d—г—г0)]}.
Наконец, с помощью формул (11.39) и (11.44) определим
гармоники двойных рядов для 'продольных составляющих элек-
трического и магнитного полей:
Eznm = 2 Г, ----;- - ~ — {Ch [у (d ± (Z —
л с2 J „ (хт а) у sh у d
—z0))J + ch [у (d—г—z0)D;
Дгп/ =----------------—------------- {Sh[y(d±
соц'а nc? ( 1 — ——— ) dn(x /«)sh yd
\ X2/ fl2 /
± (z—Zo))l 4- sh [y (d—z—z0)J).
Поперечные составляющие поля можно найти по формулам
(11.41), (11.42) и (11.46), (11.47). Итак, мы можем заключить,
что поперечная щель возбуждает в резонаторе как поперечно-
магнитные, так и поперечно-электрические колебания. При этом
осесимметричные (п=0) поперечно-электрические колебания воз-
будиться не могут.
Теперь обратимся ко второму возможному пути построения
решения для поля в цилиндрическом резонаторе. С этой целью
поместим в радиальном волноводе цилиндрическую стенку радиу-
сом а, коаксиальную по отношению к оси z волновода, и обра-
зуем цилиндрический резонатор (см. рис. 11.3). Поле, возбуж-
даемое внутри резонатора произвольным распределением сторон-
них источников, представим в виде суперпозиции электрических и
магнитных волн радиального волновода. Кроме того, будем счи-
тать, что суммарное поле волн обоих видов складывается из па-
дающего поля и поля, отраженного от цилиндрической стенки.
Падающее поле будет определяться формулами (10.70) — (10.77),
а отраженное поле будет включать функции Кэ2 и FM2 и функции
,/n(vr). Суммарное поле, удовлетворяющее граничным условиям,
при будет иметь вид:
Ez = §. f Eznm- Яг= § ^Hznm, (11.51)
л=—оо т=0 п——оо т=1
266
Natalia utfliiii
знание без грани» “ ж
Егпт = е-‘пч cos
HznTn=e~in4>sia
Г ч ч ^n2> (v c)
Jn(vr) Fl-Fl
L -<n(va)
, Г /9» W<2)(vo)'
f2 Hn} (vr)—Jn(vr) ———— ,
L Jn(va) J
Г ,, м ^n2> (v C)
Jn (v r) F\ — F2
r<.r'\
(11.52).
Jnlya) Г
//<2>(vr)_J,1(vr)^^
L Jn (VC)
г <г'-,
(11.53}
Глава двенадцатая
Возбуждение периодических антенных решеток
В настоящее время все более расширяется область примене-
ния периодических решеток излучателей. Вопросам теории и рас-
чета характеристик таких решеток посвящено много работ. В
данной главе рассмотрена общая теория прямолинейных и плос-
ких периодических решеток излучателей. Теория позволяет анали-
зировать решетки как бесконечных, так и конечных размеров с
единой точки зрения. Основное внимание уделено спектральным
методам анализа, использующим аппарат дискретного преобразо-
вания Фурье. Эти методы позволяют сравнительно 'просто оцени-
вать взаимное влияние излучателей решетки, в том числе такой
эффект, как «ослепление» антенной решетки.
В качестве конкретных примеров рассмотрено произвольное
возбуждение решетки плоскопараллельных волноводов под слоем
диэлектрика и возбуждение плоской решетки тонких вибраторов.
Приведены некоторые результаты расчетов характеристик реше-
ток с большим числом излучателей.
12.1. Обобщенный метод наводимых ЭДС
Рассмотрим систему из 27V-P1 излучателей, расположенных в.
пространстве по определенному закону и возбуждаемых сторон-
ними токами и напряжениями, входящими в состав каждого из-
лучателя или сосредоточенными отдельно в некотором объеме V".
Такой набор излучателей часто называют антенной решеткой.
Чтобы найти электромагнитное поле в любой точке пространства
вне решетки, необходимо решить внешнюю граничную задачу
электродинамики, где должны быть заданы граничные условия
(вообще говоря, разные) на 2N+1 поверхностях излучателей, а
Ю* 267
также условие излучения на бесконечности. Такую граничную
задачу можно решать разными методами. Нам для дальнейшего
удобно считать, что граничная задача сведена, к системе линей-
ных интегральных уравнений. Известно, что граничные задачи для
дифференциальных уравнений второго порядка могут быть сведе-
ны к интегральным уравнениям [31].
В электродинамике интегральные уравнения естественным
образом получаются из граничных условий обычно путем приме-
нения леммы Лоренца (см. § 3.3) или теоремы эквивалентности
(см. § 3.4). Поскольку каждый излучатель решетки обычно пред-
ставляет собой или идеально проводящее, или импедансное, или
диэлектрическое тело, можно ввести в рассмотрение эквивалент-
ные поверхностные электрические или магнитные токи, а для
диэлектрического тела — объемные электрические токи поляри-
зации. Эти токи являются неизвестными и находятся под знаком
интеграла по поверхности или по объему излучателя.
Действительно, возьмем, например, решетку идеально прово-
дящих излучателей. С помощью формулы (2.9) запишем элек-
трический векторный потенциал, создаваемый электрическими
поверхностными токами, текущими по излучателям (магнитных
поверхностных токов в данном случае нет)
м .
А(р) = S J 3n(q)G(p, q)dsn.
n=—N sn
Электрическое поле этих токов согласно формуле (1.29) пред-
ставляется выражением
1 N
Е (р)=(grad div+*4) S'; УG (Р’ ds-
1 шеа л=—N sn
Кроме этого электрического поля в пространстве имеется элек-
трическое поле сторонних электрических и магнитных токов, ко-
торое мы обозначим через Ест(р). Тангенциальная составляющая
суммарного электрического поля на поверхности каждого излу-
чателя должна равняться нулю. Умножая электрическое поле на
нормаль к поверхности т-го излучателя, получим граничное усло-
вие для Et на sm в виде
м
[[nm (grad div + А2) £ f Jn(<7)G(p, <7Msn]nm] =
n=-№„
= — icoea[[nmECT(pm)]nm], (12.1)
Уравнение (12.1) является одним из 2У+1 интегральных урав-
нений, образующих общую систему, относительно неизвестных
электрических токов J3n в излучателях. Другие виды интеграль-
ных уравнений для идеально проводящих тел рассмотрены в [32].
Интегральные уравнения для поверхностей с импедансными гра-
ничными условиями обсуждались в гл. 8. Указанными выше спо-
собами могут быть составлены системы интегральных уравнений
268
'Natattaus
для поверхностей с поверхностными магнитными токами или с
токами поляризации. Таким образом, .во всех случаях внешняя
задача электродинамики для решетки излучателей может быть
строго сведена к системе интегральных уравнений, число которых
равно числу излучателей. Эту систему для поверхностных токов
можно представить в виде
N
S ^nKnmdsn=F", (12.2)
n=-Ws„
где КПт — тензорное ядро интегрального уравнения; LFCTm — рас-
пределение тангенциальной составляющей электрического сторон-
него поля на поверхности т-го излучателя. В случае объемных
токов, например электрических токов поляризации, в системе
(12.2) поверхностные интегралы заменяются интегралами по
объему, а в случае линейных токов интегралы становятся ли-
нейными.
Наиболее универсальным методом приближенного решения
интегральных уравнений является метод моментов [33]. Наиболее
часто используется в электродинамике и теории антенн обобщен-
ный метод наводимых ЭДС. Этот метод был последовательно
изложен применительно к решетке щелей в волноводе в моно-
графии [34].
Суть метода состоит в том, что ток (электрический, магнит-
ный или ток поляризации) в отдельном излучателе представляет-
ся в виде линейной комбинации пространственных гармоник:
м
Jn = 2 AlV^V, (12.3)
v=—м
где Tv — пространственные векторные гармоники, составляющие
часть некоторой системы линейно-независимых функций; I nv —
комплексные амплитуды пространственных гармоник, являющие-
ся неизвестными величинами.
Если система функций {Tv} является полной в интересующем
нас функциональном пространстве, то при |Л4|->оо мы можем
прийти к точному решению поставленной задачи. Для нахожде-
ния приближенного решения М берут конечным. В этом случае
система функций (Tv } не обязательно должна быть полной, хотя
для получения верных результатов следует включить определен-
ные элементы функционального пространства. С точки зрения
вычислений удобно, чтобы система функций {Tv } была ортого-
нальной. О выборе функций Tv , часто называемых базисными,
мы еще будем говорить ниже.
Подставим разложение (12.3) в систему интегральных урав-
нений (12.2), затем домножим каждое уравнение на Тм и про-
интегрируем по поверхности каждого излучателя. В результате
получим следующую систему линейных алгебраических уравне-
ний:
269
nv, тц— Umlif
n=—N v=—M
—N ^m^N;
— М^ц^М,
(12.4)
где через t/mU обозначены коэффициенты разложения сторон-
него поля 'По системе функций {У ц :
= I F.n ^dsm,
иначе говоря,
|Л=—М
(12.5)
Коэффициенты матрицы линейной системы уравнений (12.4)
часто называют моментами. Их размерность в случае электриче-
ских токов равна размерности сопротивления, поэтому их можно
называть взаимными сопротивлениями. В случае магнитных токов
эти коэффициенты можно называть взаимными проводимостями.
Общее выражение для взаимного сопротивления между v гармо-
никой тока в n-м излучателе и р. гармоникой тока в т-м излуча-
теле имеет вид
2nv, тц=----I--- j ЕД/nv ЯМ <В * * * 12-6)
^nv sm
где E,{/nV Tv} — линейный оператор, позволяющий вычислить
тангенциальное электрическое поле, создаваемое током в /г-м
излучателе на поверхности m-го излучателя.
Важно подчеркнуть, что взаимные сопротивления, определяе-
мые формулой (12.6), зависят только от расположения пары излу-
чателей решетки и от номеров пространственных гармоник тока
и не зависят от числа и расположения всех остальных излучате-
лей решетки. Таким же образом можно определить взаимные
проводимости в решетке магнитных излучателей.
В случае, когда учитывается только одна гармоника тока в
каждом излучателе (одночленный метод наведенных ЭДС), си-
стема уравнений (12.4) принимает наиболее простую форму:
N
2 Zmn/„ = f/TO, (12.7)
n——N
В случае прямолинейной периодической решетки одинаковых
излучателей система уравнений (12.7) может быть записана в
виде
N
2 Z (т—п) /(л) =U (т), —(i2.8)
л=—N
Матрица системы уравнений (12.8) является матрицей Теплица
[35], ее элементы зависят от разности индексов.
В случае плоской эквидистантной решетки одинаковых излу-
270
Ч\а1аНаи$Ж.
знание без границ Ч
чателей система уравнений (12.7) может быть записана в виде
N Р
3 3 %(Р—п’ 1—т)Цп, ni)=U(l, р),
п=—N т=—Р
—N^p^N, — P^l^P. (12.9)
Матрица системы уравнений (12.9) является блочно-теплицевой,
каждый блок которой есть матрица Теплица.
Таким образом, плоские и 'прямолинейные периодические ре-
шетки излучателей, о которых идет речь в данной главе, харак-
теризуются теплицевыми или блочно-теплицевыми матрицами.
Системы уравнений при учете нескольких гармоник тока будут
рассмотрены в § 12.2 и § 12.4.
Рассмотрим путь нахождения взаимных сопротивлений для
плоской эквидистантной решетки излучателей на основе преобра-
зования Фурье.
Пусть два одинаковых прямоугольных элемента с поверхност-
ными токами Jipv (х, у) и J тпи, (х, у) расположены на плоско-
сти ху (см. рис. 12.1). Будет считать, что токи текут параллель-
но оси у и могут быть представлены в виде
Jmn, ц. (х, у) — 1у 1тп, ц (х, У),
iip,v(x, у) =iyhp, v^v(x, у),
(12.10)
где iy — единичный вектор в направлении оси у. Для нахожде-
ния составляющей поля Еу 'воспользуемся формулами (1.29) и
(2.9), в результате чего получим
Еу(х, у) = — 1сор,,4у + —!— -f-Аэу —
I we ду2
= — i copyjy (х', y')G(x, у, 0; х', у', 0)dx'dy' +
Ь—\jy(x' у') G(x, у, 0; х', y',O)dx'dy'. (12.11)
tcoe s ду2
X |Л2б(х—х', у—у') +
(х—х', у—y')\dx' dy' dxdy, (12.12)
Подставим (12.11) и (12.10) в (12.6)
1 %2 Уг * ХГ 2 У 2
zm„u. lpv=----— у у Yu(x, у) у J Vv(x', y')x
,a)e X, 11. r' . u’.
— G
dy2
где обозначено
x1 = /ndx—a, x2=--mdx + a, yr = tidy—b, y2 = ndu+b,
x\ = ldx—a, x'2 = ldx + a, y\=pdy—b, y'2=pdy-\-b.
Формулу (12.12) можно записать в виде
4пц. ipv =------Г— У J ^(х, у) у у Tv(x', у')х
1Ь)Ё х=—ау'=—Ъ х'=—а у=—Ь
271
x |A2G[x—x' + (m—l)dx, y—y' + (n—p)dy] +
+ ^G[x—x’ + (tn-— l)dx, у—у'+ (n—p)dy]] dx'dy'dxdy.
(12.13)
Для плоских прямоугольных излучателей разных размеров в фор-
муле (12.13) берутся разные пределы интегрирования для штри-
хованных и для нештрихованных координат. Продолжим функции
Тц (х, у) и Tv (х, у) на всю плоскость нулевыми значениями и
используем свертки трех
функций, имеющих дву-
мерное преобразование
Фурье в (виде
$ (xi> иг) (ии иг) (xi>
Рис. 12.1. Два элемента с
токами на плоскости
x2) e~ dn1dx2 =
= J (и,' w)dudw J 0/з(х—u—v> У—w—f)dvdt.
--OO OO —oo —oo
Обозначим
----!=— J |T (x, «/)e~'(«i*+’<»'/)dxdr/=:T(Xj, x2);
(У2л)2 —oo —oo
z-,7L f (G(x, r/)e-'(«»*+^)dxdy = ^(xi, xj;
(V2n)z
2 T f [£G(x, y)]e-‘^+^dxdy=ga(K1,
(V M _ J, _ J, Lap2 J
и учтем теорему о сдвиге для преобразования Фурье
JG [x+(m_/) 41 dx=g(х) e£(m-0^ .
f fTli(— x1( — XjJTv^i, «2)[^^(X1. *2) +
+ g2(*i. x2)]e'’('n-0‘,«K*+f(n-p)^‘dx1dx2. (12.14)
V r - -z QQ
Тогда
7 _______________£_
^mn n.lPv — .
272
ftatatlauslik
знание без границ * *
Для линейной решетки яз одинаковых излучателей с единственной
четной гармоникой тока, что означает dy = 0, p=v=0, Ф(—х) =
=W(x), получаем
Z(tn—I) =----— J J |Ф (xx, x2)|® [A2g (xr, x2) +
1юе
+ x2)]e'(m-n^xMx1dx2 =
=-----— 7 (^(Xj, x2)e(m °dx** dxjdx2. (12.15)
i we _ J
В двумерном случае, когда нет зависимости от координаты у,
формула (12.15) принимает вид
Z (m—l) = i <о|х j |Ф (хх) |2 g (xj ei('n~l} dxj =
—no
= i<op J Z (Xi) e*'<m-/>dXp (12.16)
—co
Отметим, что функции (хь х2) и 4% (хь х2) в случае излуча-
телей конечных размеров являются целыми трансцедентными
функциями степеней а, Ь. Из формул (12.15) и (12.16) следует,
что независимо от вида гармоник тока деление Z(xi, х2) и Z(m—I)
на действительные и мнимые части 'определяется только спект-
ральной плотностью g(n) функции Грина. Интересно также, что
в силу того, что функция гГ(Х1) в (12.16) целая, полюсы функции
Z(xi) определяются только полюсами функции g (х).
Мы уже говорили, что .выбор системы пространственных гар-
моник (базисных функций) для разложения токов в излучателях
играет важную роль в решении поставленной задачи. При выборе
системы гармоник одним из главных соображений является про-
стота приближенного решения задачи при необходимой точности.
В первую очередь, это зависит от необходимого числа -гармоник
и, следовательно, порядка получающейся системы линейных ал-
гебраических уравнений, а также и от простоты вычисления вза-
имных сопротивлений. В каждом конкретном случае этот вопрос
требует специального исследования.
Виды пространственных гармоник могут быть самыми раз-
личными. Тем не менее их можно разделить на группы: 1) гар-
моники, определенные на всем излучателе, 2) кусочные гармони-
ки, отличные от нуля только в пределах некоторой области из-
лучателя.
К первой группе можно отнести гармоники ряда Фурье, поли-
номы, систему типов волн в волноводе, что полезно при анализе
волноводных решеток, и другие системы непрерывных ортого-
нальных на отрезке или в области функций. Ко второй группе
относятся суммы дельта-функций или прямоугольных импульсных
функций, суммы треугольных функций, сплайны и т. п. Рассмот-
273
ренный в § 8.4 метод Крылова — Боголюбова для решения ин-
тегральных уравнений попользует, по существу, представление
искомого тока в виде суммы прямоугольных импульсных функ-
ций. Примеры базисных функций другого вида будут даны ниже
в этой главе.
12.2. Спектральный анализ прямолинейной
решетки излучателей
Для анализа периодических решеток целесообразно восполь-
зоваться аппаратом дискретного преобразования Фурье [36, 37].
Начнем с рассмотрения прямолинейной решетки из одинаковых
излучателей, в которых учитывается только одна гармоника тока.
Учет одной гармоники оказывается достаточно точным для резо-
нансных излучателей, для излучателей малых по сравнению с
длиной волны, а также для многих других излучателей, когда
расстояния между ними в решетке значительны и форма распре-
деления тока мало изменяется за счет взаимных связей. В этом
случае токи в решетке находятся из уравнений (12.8). Возьмем
дискретное преобразование Фурье от функции 1(п):
N in2"K
Ф(и)= ^}'Цп)е т . (12.17)
п=—N
где Т=2n!d. Как уже говорилось в § 2.2, 4.2 и 8.3, поведение
преобразования Фурье от распределения тока на отрезке
—fe^x^fe определяет диаграмму направленности прямолинейного
излучателя, прямой переход к которой возможен с помощью за-
мены переменных x = fesin6 (угол 6 отсчитывается от нормали к
решетке). Эта замена переменных используется при вычислении
поля в дальней зоне методом перевала (§ 4.2). Диаграмма на-
правленности прямолинейной периодической решетки из одина-
ковых элементов с единственной гармоникой тока рассчитывает-
ся по формуле
N
/(6) = Д(6) S (12.18)
/! = — N
где f3(6) — диаграмма направленности одного элемента при от-
сутствии всех других элементов решетки.
Функция <р(х), введенная по формуле (12.17), часто называет-
ся множителем решетки и представляет собой целую периодиче-
скую функцию степени l=Nd и периода Т, т. е. <р(х) =<р(х + р7),
где р — целое число.
Введем также дискретные преобразования Фурье функций
U(n) и Z(n), входящих в уравнения (12.8):
„ N in^v,
% U(n)e 7 , (12.19)
п=—N
274
ftalaHauswk
знание без границ * *
Af in —=, и
Z(x) = 2 Z(ri)e т , M^N. (12.20)
n=—M
Функции £7(х) и Z(x) также будут целыми периодическими функ-
циями конечной степени и периода Т. Соотношение (12.8) можно
рассматривать как свертку дискретных последовательностей. При
Лг=оо можно применить теорему о свертке для преобразования
Фурье и получить
Z (х) ф (х) = U (х),
откуда
ф(х) =(7(x)/Z(x). (12.21)
Токи в излучателях бесконечной прямолинейной решетки вычис-
ляются по формуле
Т —Т/2
Полная диаграмма направленности бесконечной решетки с уче-
том взаимных связей между излучателями определяется по фор-
муле
/(X) = M2S1 {/(х). (12.22)
Z(x)
Функцию /эр(х) =/э(х)/2(х) можно называть диаграммой направ-
ленности одного элемента ® бесконечной решетке, когда все
остальные элементы пассивны. В режиме возбуждения антенной
решетки по закону бегущей волны (фазированная антенная ре-
шетка — ФАР), когда
ПФАР («) = Uо e~inkd sin
йФАр(х) = —l/06(x—Jfesini])); (12.23)
d
Z*AP (ф) = ^ApW ==________________uoe-inkda^_____________
7ФАР^п) 1 Г/2 2л С/о 6 (х — sin ф) p-imid
т —Т/2 d Z (х)
= Z(Asini|:).
где ф — угол фазирования, отсчитываемый от нормали к решет-
ке. Следовательно, дискретное преобразование Фурье от распре-
деления взаимного сопротивления имеет наглядный физический
смысл. Это входное сопротивление одного излучателя бесконеч-
ной решетки в режиме ФАР. Таким образом, в случае бесконеч-
ной решетки с одной гармоникой тока в каждом излучателе с по-
мощью дискретного преобразования Фурье легко находятся все
характеристики решетки по известному поведению взаимного со-
275
противления двух излучателей при отсутствии остальных. Осо-
бенности функции Z(x) определяются асимптотическим поведени-
ем взаимного сопротивления Z(n) при больших расстояниях меж-
ду излучателями. Наиболее часто встречаются такие виды асим-
птотического поведения .взаимного сопротивления:
1. Асимптотическое поведение, обусловленное пространствен-
ной волной. В статье [38], а также в ряде других, более поздних
работ показано, что взаимное сопротивление любых двух излуча-
телей в свободном пространстве при большом расстоянии между
ними ведет себя, начиная с некоторого расстояния R, являюще-
гося границей дальней зоны, как iAe~ihrlr (в двумерном случае
как iAe~ihr/V~r). Поэтому функцию Z(n) можно представить в
виде
Z(n) = ZJn) + M<^-—, |п|>1, " (12-24)
где Z, (и) — быстро убывающая по модулю последовательность,
а второе слагаемое определяет асимптотическое поведение Z(n)
при больших п. Дискретное преобразование Фурье функции
(12.24) имеет вид
2Л
—i|n|dft+tn -у и
Z(x) = Z1(x) + Z0 + iA J ----------------=
П=—ои 1«1«
= Z1(x) + Z0—iA-j [ln(l—e£<K-fe>d) + ln(l—e-f<«+w<i)], (12.25)
где Z0 = Zi (0).
Из формулы (12.25) видно, что мнимая часть функции Z(x)
в точках хо, 1,2= ±k + 2nn/d имеет особенности логарифмического
типа (особенности в точках хо> определяются поведением Z(n)
при и>0, а особенности в точках х«2 — поведением Z(n) при
п<0). Можно убедиться, что действительная часть функции Z(x)
в этих точках испытывает скачки.
Таким образом, .как следует из формулы (12.22), за счет про-
странственной волны в диаграмме направленности, бесконечной
решетки возникают провалы до нуля. Эти провалы соответствуют
углам, при которых возникают дифракционные лепестки.
2. Асимптотическое поведение, обусловленное поверхностными
волнами. При наличии у решетки диэлектрического покрытия или
другой внешней (не входящей в состав решетки) структуры, спо-
собной поддерживать поверхностную волну, асимптотическое по-
ведение взаимного сопротивления определяется функцией
е-гип.вг/у г (в двумерном случае е~гил. в/г). Дак показано в гл. 8,
поверхностная волна на плоскости комплексного переменного х
представляется особой точкой типа полюса. Следовательно, в
диаграмме направленности элемента в решетке будут наблюдать-
ся провалы под углами, соответствующими значениям
х — ±хп.Е + 2л n/d, —оо<;п<;оо.
276
Слецизльлд Сля -
WalaHausX
знание без границ Ч *
Это приводит к «ослеплению» антенной решетки за счет поверх-
ностных волн во внешней то отношению к самой решетке струк-
туре [39]. Попытки объяснить роль поверхностных волн в «ослеп-
лении» антенных решеток на основе других подходов не привели
к успеху. Об этом подробно сказано в монографии [40].
Наряду с .поверхностными волнами, возбуждаемыми во внеш-
ней структуре, возможно возбуждение поверхностных волн, об-
условленных специальным подбором нагрузок в излучателях.
Действительно., функцию Z (п) можно представить в виде Z (и) =
= Znf>(n) + ZB3(«), где ZH — сопротивления нагрузки, включенные
в каждый излучатель и одинаковые для всех излучателей, а
ZB3(n) — взаимное сопротивление, которое при n=Q становится
собственным сопротивлением излучателя. Следовательно, 2(х) =
= Zh + Zb3 (х) .
Если Zn=—2вз(х), то функция 2(х) обращается в нуль. Если
нагрузка реактивна Zn = iXK, то в точках хо, |хо| >k, где
ReZB3(xo)=O, выполняется равенство JmZB3(xo) = — Хн и возни-
кает полюс функции ф(х), соответствующий поверхностной волне,
бегущей вдоль решетки. Это приводит к резкому росту реактив-
ного входного сопротивления излучателя. Так, в режиме ФАР
коэффициент отражения в линии питания каждого излучателя
ГфАР (Ф)
^APW) + r
где W — волновое сопротивление линии питания. По формуле
(12.23)
Z(k Sin 4) + W
При значении угла i[5 = arcsin (хо/£) коэффициент отражения ста-
новится равным по модулю единице и в линиях питания излуча-
телей возникает полное отражение, что в конечном счете приво-
дит к «ослеплению» фазированной антенной решетки.
3. Асимптотическое поведение, обусловленное вытекающими:
волнами. Возможны случаи, когда в прилегающей к решетке
структуре возбуждается вытекающая волна, теряющая свою энер-
гию на излучение в процессе распространения .и потому экспонен-
циально затухающая. Взаимное сопротивление между двумя из-
лучателями тогда ведет себя асимптотически при больших п как
е-аг-г₽гд/ г в трехмерном случае и как е-аг_,'Рг в двумерном слу-
чае. Это приводит к провалам в диаграмме направленности, ко-
торые тем глубже, чем меньше а.
Мы подробно рассмотрели поведение бесконечной прямолиней-
ной решетки при учете одной гармоники тока в каждом излуча-
теле. Обратимся теперь к анализу решетки, конечной длины. Для
решеток с небольшим числом излучателей нецелесообразно ис-
пользовать спектральный подход для нахождения комплексных
277
Г амплитуд токов. В этом случае можно решить систему уравнений
(12.8) алгебраическими методами, разработанными для систем
уравнений с матрицами Теплица [35]. Аппарат дискретного пре-
образования Фурье, и в частности, алгоритм быстрого преобразо-
вания Фурье, можно использовать для вычисления диаграммы
направленности по формуле (12.22). Для решеток с большим чис-
лом излучателей выгодно пользоваться спектральными методами
решения системы уравнений (12.8). Среди них в настоящее вре-
мя достаточно хорошо разработаны методы: 1) аппроксимацион-
ный метод [36, 37, 41], заключающийся в аппроксимации функции
1/Z(x) полиномом степени т, а затем в определении токов в
центральной части решетки с помощью формулы (12.21) и токов
на краях решетки из решения двух систем уравнений порядка
2т; 2) итерационный метод [42], основанный на последовательном
применении круговой свертки и быстрого преобразования Фурье;
3) спектральный метод, использующий точную пли приближен-
ную факторизацию функции Z(x) с последующим решением ин-
тегрального уравнения или системы линейных алгебраических
уравнений относительно функции <р(х) [43]. Не имея возможности
в рамках данной книги рассмотреть подробно эти методы, мы вы-
нуждены адресовать читателей к упомянутым работам. Ниже при
анализе конкретных решеток мы коснемся результатов, получен-
ных путем решения систем уравнений с теплицевыми матрицами
разными •методами.
Обратимся теперь к анализу прямолинейной решетки с не-
сколькими гармониками токов в излучателях. Возьмем сначала
для наглядности случай, когда в .каждом излучателе учитываются
две гармоники тока. Система уравнений для комплексных ампли-
туд токов двух гармоник будет иметь вид
N N
Si zn(m—n) Л(п)+ 2 п)/2(п) =f/1(m),
n=—N n~—N
N N
S. Z21(m—n)/i(n)+ S Z22(m—n)Z2(n) = t/2(m). (12.26)
n=—N n=—N
Матрица системы (12.26) является блочно-теплицевой. В предель-
ном случае А=оо к .каждому из четырех блоков системы (12.26)
можно применить теорему о свертке преобразований Фурье. В ре-
зультате получим
Zn (х) «р1 (х) + Z12 (х) <р2 (х) = (х);
( 1 Z.Z / )
Z21 (х) Ф1 (х) + Z22 (х) <р2 (х) =--1/2 (х).
Откуда
m ЛА ___ ^1 Iх) Z22 (к) Uj (х) Z12 (x)
T 1 ’
Zu (x) Z22 (x) - — Z12 (x) Z21 (x)
„ /..\ Uz (x) Zji (x) — (x) Z2l (x)
Ф2 W — ~ ~ ~------•
zu (x) Z22 (x) Z12 (x) Z21 (x)
278
yataftausufy.
знание без границ * *
При учете М гармоник тока в каждом излучателе
решетки решение ищется по формуле
<р (и) *"(х) , 1<Сц<Л4,
М ' Лм(х)
бесконечной
(12.28)
где
Л.м (х) =
Zu (х) Z12 (х)... ZiM (х)
^-21 (х) ^22 (х). . . Z~2M (х)
ZmI (х) Z.M2 (х). . .Zmm (х)
Дим(х) — определитель, полученный из Лм(х) заменой р-го
столбца столбцом правых частей. Диаграмма направленности бес-
конечной решетки
Д ДУДх).
(12.29)
где /иэ(х) — диаграмма направленности р-й гармоники тока при
отсутствии всех остальных элементов решетки. При учете не-
скольких гармоник тока не удается просто определять положе-
ние провала в диаграмме направленности решетки по асимпто-
тическому поведению взаимных сопротивлений, как это было
возможно в случае одной гармоники. Тем не менее законы асимп-
тотического поведения взаимных сопротивлений по гармоникам
остаются теми же. Каждый вид асимптотики, связанный с рас-
пространением некоторой волны в пространстве около решетки:
пространственной, поверхностной или вытекающей — порождает
особые точки на комплексной плоскости х и соответствующие
особенности в диаграмме направленности. Только теперь из-за
взаимодействия этих волн меняются их постоянные распростра-
нения и положения особых точек. Для приближенной оценки сме-
щения провалов в диаграмме направленности при учете несколь-
ких гармоник можно воспользоваться теорией связанных бегущих
волн [44].
При анализе конечной решетки с несколькими гармониками
тока в излучателе для обращения блочно-теплицевых матриц
можно применять упомянутые выше методы как алгебраические,
так и спектральные.
12.3. Возбуждение решетки плоскопараллельных волноводов
под слоем диэлектрика
Рассмотрим линейную решетку из N плоскопараллельных вол-
новодов, выходящих на бесконечный плоский идеально проводя-
щий экран, совпадающий с плоскостью ху. Стенки волноводов
параллельны плоскости yz (рис. 12.2), ширина каждого волно-
27»
вода равна а, период решетки — d. На плоскости ху расположен
лист диэлектрика с относительной диэлектрической проницае-
мостью е'а и толщиной /. Решетка возбуждается полем падающих
в волноводах волн, набегающих из отрицательной области значе-
ний координаты 2. Вывод интегральных уравнений для эквива-
Рис. 12.2. Решетка плоскопараллельных волноводов
лентных магнитных токов в раскрыве каждого волновода приво-
дился в литературе (см., например, [40]). Такой вывод основан
на сшивании касательных составляющих поля в раскрыве волно-
вода. Рассмотрим случай, когда в волноводах распространяются
электрические волны и вектор Е лежит в плоскости xz. Инте-
гральное уравнение для магнитного тока в раскрыве l-го волно-
вода имеет вид
---L^LV -J-cosf х\ f Jyt(x') cos x,y\dx' Д
« \ a / Xo \ ° /
+ 2 2 H^flcos('^-x)= — J J”„(x')G[x—x' + (/—n)d]dx',
p=0 x a ' n=0 x'=0
(12.30)
Z = 0, I,..., N— 1, ?р = ]л(лр/а)2—&20.
В левой части уравнения (12.30) записано выражение для состав-
ляющей магнитного поля Ну в раскрыве волновода в виде разло-
жения по собственным волнам плоскопараллельного волновода
при Z=—0. Оно состоит из падающих волн (второе слагаемое в
левой части) и волн, возбужденных током JMyi (первое слагаемое
в левой части). В правой части стоит выражение для той же со-
ставляющей поля во внешнем по отношению к волноводам про-
странстве. Для представления поля при этом взято выражение
для функции Грина из задачи возбуждения электрических волн
в слое диэлектрика над экраном (см. § 8.5):
G (х—х') = ,(ое° 7 TaCh-M + e' уд sh у2< е |Х(Л х
4л 2 е' у, ch у21 + у2 sh у2 t у2
где 71,2= Т^х2—/г21,2> k\ — волновое число вакуума, k2=kt |е'.
Интегральные уравнения вида (12.30) образуют систему из N
уравнений относительно N неизвестных функций распределения
280
^lalallaus^i
знание без границ * *
магнитных токов JMvi(x). Если каждую функцию JMyi(x) предста-
вить в виде
м
V=1
то получим систему уравнений Кирхгофа следующего вида:
М N—1
S 2 G-n) + 6 (Z-n)] Inv = 2/7"ад (Z),
v=ln=0
Z = 0,l,..., N— 1, (12.31)
где
YuV(l—n) =-----— { ^ц(х) C Vv(x')G [x—x' (l—ri) d] dxdx'
a xio x-=0
-— взаимные проводимости, обусловленные внешним взаимодей-
ствием ц-й гармоники тока в раскрыве Z-го волновода и v-й гар-
моники тока в раскрыве n-го волновода;
У _ y ‘Ыё» п п
1 рл> — Л Dpp DPv
р=о Ур
— взаимные проводимости, обусловленные взаимодействием р-й и
v-й гармоник тока на одном 'излучателе в волноводной области и
играющие роль (проводимостей нагрузок, через Врр обозначено
BPtl = — j(х) cos х\dx,
Н™(1) = %Н"ГВР11.
p=0
Важным моментом в данной задаче является вычисление взаим-
ных проводимостей УЦЛ, (Z—п). Наряду с прямым вычислением
можно пользоваться формулой (12.16). Для больших расстояний
(п^>1) полезна асимптотическая формула
„—ik\n\d
m (S|n Id)3'2
где первое слагаемое обусловлено поверхностными волнами, бе-
гущими в слое диэлектрика с фазовыми (постоянными рт, а вто-
рое слагаемое — пространственной волной. Константы и
В определяются амплитудами поверхностных волн и простран-
ственной волны, (знак + берется при п>0, знак — при п<0.
Можно также рекомендовать метод вычисления взаимных про-
водимостей, предложенный А. Д. Хзмаляном [45]. Рассмотрим не-
которые результаты расчетов характеристик решеток из плоско-
параллельных волноводов. Расчеты выполнены А. Д. Хзмаляном.
Магнитный ток в апертурах волноводов разложен по системе ти-
281
пов волн плоскопараллельного волновода (см. § 10.1). Число из-
лучателей N=63, толщина слоя диэлектрика £ = 0,375Л/]/ё', е'=
= 3,0625, период решетки d=0,5714, ширина волновода а=0,85Х.
Системы уравнений решались с помощью прямого алгебраиче-
ского метода Тренча [35].
Рис. 12.3. Диаграммы направленности (а) и фазовые характеристики (б) решет-
ки плоскопараллельных волноводов при возбуждении 'Крайнего левого волновода:
2 — М=2, 3 — М=4
На рис. 12.3 приведены диаграммы направленности F(6) и
фазовые характеристики Ф(0) решетки, когда возбуждается край-
ний левый волновод, а остальные •— пассивны. Число волновод-
ных гармоник М меняется от одной до трех. Из диаграмм видно,
что при М=1 имеется провал под углом 0=16,5°, связанный с
возникновением поверхностной волны в слое диэлектрика. При
учете двух гармоник тока в апертуре волновода провал сдви-
гается в точку 0 = 24,2°. Когда берутся три гармоники тока, про-
282
'XalalLauSfMl
знание без границ “ *
вал оказывается в точке 6 = 30,3°. Дальнейшее увеличение числа
гармоник тока не вызывает заметного изменения характеристик
решетки.
На рис. 12.4 показаны диаграммы направленности Д(6) и фа-
зовые характеристики той же решетки при возбуждении цент-
рального элемента. Три кривые соответствуют трем значениям
числа гармоник тока: М= 1, 2, 3. На рис. 12.5 представлены
Рис. 12.4. Диаграммы направленности (а) и фазовые характеристики (б) решет-
ки плоскопараллельных волноводов при возбуждении центрального волновода:
/__М=1, 2 — М=2, 3 — М=4
диаграммы направленности решетки из 21 излучателя под слоем
диэлектрика с теми же параметрами, что рассматривались выше,
шаг решетки и размеры волноводов также сохраняются. Возбуж-
дение решетки — по закону бегущей волны (режим ФАР), когда
283
|Г' фазы падающих волн меняются по закону Тп =—knd sin 0, где
0о — угол, под которым направляется главный лепесток диа-
граммы направленности.
На практике часто применяют дискретное фазирование излу-
чателей по закону ЧГ'=£[(ЧГ?П/Д)+0,5]Д, где Л — дискрет фази-
рования, £[...] — операция выделения целой части. Диаграммы
г(е),ёб
Рис. 12.5. Диаграммы направленности решетки в режиме ФАР:
/ —Д=0, 2 — Д=л/4, 3 —Д=л/2
направленности на рис. 12.5 соответствуют случаю, когда направ-
ление фазирования 0О = 4,25°, а дискрет фазирования равен нулю
(кривая /), равен л/4 (кривая 2) и равен л/2 (кривая 3). Мож-
но видеть, что увеличение дискрета фазирования приводит в пер-
вую очередь к увеличению уровня бокового излучения и к за-
плыванию нулей в диаграмме направленности. Максимальный
боковой лепесток получается при Д=л/2 под углом 0 = —12,5°,
его уровень — 8,65 дБ.
12.4. Возбуждение плоской решетки тонких вибраторов
Рассмотрим плоскую решетку одинаковых тонких электриче-
ских вибраторов, расположенных в узлах периодической сетки
на плоскости ху (см. рис. 12.1). Вибраторы направлены парал-
лельно оси х, расстояние между соседними вибраторами вдоль
оси х равно dx, расстояние вдоль оси у—dy. Число вибраторов
вдоль оси х равно 2Р+1, вдоль оси у — 2М+1. Исходя из условия
того, что каждый вибратор является тонким, интегральное урав-
нение для тока в каждом вибраторе записывают так, что инте-
грал по поверхности заменяется интегралом по прямолинейному
отрезку вдоль оси вибратора. Система интегральных уравнений
(12.2) в этом случае принимает вид
n р ь
2 2 § упт (Хпт) К [Хпт, Xip', (р п) dy]dxnm = Ех (Хц),
n=—Nт=—Р—Ъ
284
^alallausKiii.
знание Вез границ * *
—N^p^N, Ps^l^P.
Если ток в каждом вибраторе -представлен в виде линейной ком-
бинации М гармоник, амплитуды гармоник находятся из системы
уравнений
MNP
S 2 S) Znv<P—п> I—= р) (12.32)
V=1 n=— N m=~P
ц=1, 2,.... M; —jv^p^N; —
В случае учета только одной гармоники тока, система уравнений
имеет вид (12.9).
Матрица системы (12.32) является блочно-блочно-теплицевой
и может быть представлена как блочно-теплицева матрица, каж-
дый блок которой .в свою очередь является блочно-теплицевой
матрицей.
Диаграмма направленности решетки находится с помощью
двойного дискретного преобразования Фурье по формуле
М Р N J , а
р(*х, «^)=s «*) S’ S {(т’ п^1Кх хv у’ <I2-33>
ц=1 т=—Рn=—N
где v.x—k sin 0cos <р, v.y=k sin 6 sin <p. При N=<x> и P=<x> решение
системы (12.32) может быть получено с помощью свертки для
двойного дискретного преобразования Фурье .по аналогии с фор-
мулами (12.28) и (12.29).
Рассмотрим некоторые результаты расчета плоских вибратор-
ных решеток, выполненные А. Д. Хзмаляном. Для представления
тока в вибраторах использовалась система из трех гармоник сле-
дующего вида:
А (х) = cos х, fz (х) = sin ~ х, f3 (х) = 1 —sin (х), — В < х< В.
Zo d Zd
Такая система гармоник обеспечивает обращение тока в нуль на
конце вибратора и довольно хорошо описывает распределение
тока вблизи точки питания в щентре вибратора.
Параметры периода решетки были взяты равными dx=0,8Х,
с??/=0,4Х, длина вибратора 2В = 0,5Х, радиус вибратора а = 0,004Хг
число вибраторов 15X15.
На рис. 12.6 показаны распределение амплитуд токов (а) и
пространственный множитель направленности (б) рассматривае-
мой решетки при возбуждении центрального вибратора. На
рис. 12.7 показаны те же характеристики при возбуждении вибра-
тора в середине крайнего ряда решетки. На рисунках номера виб-
раторов отсчитываются от края решетки, так что тх=т+Р, Пу=
= n + N, Tx=2nldx, Tv = 2n/dy.
На рис. 12.8 представлены действительные (а) и мнимые (б)
части входных сопротивлений вибраторов при возбуждении в ре-
жиме ФАР, когда луч ориентирован в направлении 6о = ЗО°, <ро =
= 90°. Как видно из графиков, изменения сопротивлений в сере-
дине решетки невелики и составляют около 5 Ом, к краям осцил-
285
Рис. 12.6. Распределение амплитуд токов (а) и множитель направленности (б)
плоской решетки из тонких вибраторов при сосредоточенном возбуждении
а) 5)
Рис. 12.7. Распределение амплитуд токов (а) и множиггель направленности (б)
плоской решетки из тонких вибраторов при сосредоточенном возбуждении
286
^alatiausi^i
знание без границ ’ *
ляции возрастают, особенно вдоль оси у, где связь между виб-
раторами оказывается наибольшей.
Анализ влияния числа гармоник тока в данной серии, расче-
тов показал, что для расчета диаграмм направленности хватает
о) zr;
Рис. 12.8. Действительные (а) и мнимые (б) части входных сопротивлений виб-
раторов плоской решетин в режиме ФАР
одной гармоники тока, в то время как для расчета входных со-
противлений следует брать 3 гармоники, так как при этом зна-
чение тока в точке питания (Представляется уже достаточно верно.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
1. Вывод соотношения (2.98):
a rotp (jG) = a {[gradpG, j] + G rotp j} = a [gradp G, gradp G] =
= —j[a, grad, G]=—j{G rote a —rote(aG)}=j rot,(aG).
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица 1
m Atm Агт Азт Am
1 0,9278790 0,0573973 0,0182598 0,0029389 o'.0012396
2 1,6223057 0,1754581 0,0975930 0,0274627 0,0202530
3 2,1908369 0,3199841 0,2403540 0,0913382 0,0904220
4 2,6933084 0,4835936 0,4465596 0,2086204 0,2559658
5 3,1526334 0,6626059 0,7162120 0,3916574 0,5613002
6 3,5806434 0,8547331 1,0493115 0,6517136 1,0607993
7 3,9844482 1,0583875 1,4458583 0,992755 1,8099590
8 4,3687383 1,2723905 1,9058524 1,4442309 2,8681905
9 4,7368138 1,4958256 2,4292941 1,9959871 4,2979301
10 5,0911066 1,7279561 3,0161831 2,6635522 6,1643701
11 5,4334743 1,9681744 3,6665195 3,4555958 8,5352427
12 5,7653767 2,2159692 4,3803035 4,3804952 11,4806429
13 6,0879863 2,4709030 5,1575349 5,4463702 15,0728680
14 6,4022640 2,7325966 5,9982137 6,6611135 19,3863367
15 6,7090091 3,0007177 6,9023400 8,0324133 24,4973875
tn Aem B2m Bsm Bim
1 0,0012127 1 ,6071338 0,0994151 0,0050902 0,0021471
2 0,0346404 2,8099161 0,3039027 0,0475667 0,0350793
3 0,2101110 3,7946412 0,5442293 0,1582025 0,1575575
4 0,7252791 4,6649475 0,8376095 0,3613413 0,4424042
5 1,8656465 5,4605218 1,1476682 0,6783707 0,9722010
6 4,0045620 6,2018571 1,4804426 1,1288013 1,8373595
7 7,6032218 6,9012675 1,8331829 1,7307961 3,1349431
Продолж e н и e табл. 1
m В2П> B3m
8 13,2106676 7,5668775 2,2038472 2,5014816 4,9678550
9 21,4637892 8,2044031 2,5908486 3,4571516 7,4442385
10 33,087322 8,8180562 2,9929108 4,6134084 10,6770096
11 48,8938486 9,4110546 3,4089815 5,9852685 14,7834842
12 69,7838007 9,9859265 3,8381751 7,5872415 19,8850705
13 96,7454520 10,5447027 4,2797338 9,4333913 26,1070066
14 130,8549281 11,0890478 4,7330009 11,5373888 33,5781433
15 173,2761977 11,6203459 5,1974007 13,9125502 42,4307491
288
NatalfauSiM
знание без границ * *
Таблица 2
т *от —i Уз ^зт *4т/-Н- +£ Уз —i У з
1 1 0,404308 0,072731 0,065253 0,011885 0,001057
2 1 1,289047 0,130170 0,103536 0,047778 0,053564
3 1 1,912857 0,257004 0,214356 0,107792 0,151745
4 1 2,445909 0,409053 0,388788 0,211882 0,346846
5 1 2,925650 0,579174 0,626697 0,374211 0,634619
6 1 3,368657 0,763945 0,928063 0,607009 1,111260
1 3,784145 0,961257 1,292881 0,921386 1,814383
8 1 4,177904 1,169643 1,721148 1,327680 2,801185
9 1 4,553878 1,388011 2,212864 1,835639 4,132185
Ю 1 4,914906 1,615508 2,768028 2,454544 5,870873
11 1 5,263114 1,851443 3,386640 3,193291 8,083457
12 1 5,600152 2,095246 4,068699 4,060444 10,835026
13 1 5,927330 0,346435 4,814206 5,064288 14,207392
14 1 6,245708 2,604596 5,623161 6,212858 18,262924
15 1 6,556165 2,869396 6,495563 7,513966 23,080494
Таблица 3
т ст °2Ш °зт Ет
1 1,113102 0,371151 0,404513 0,126916 1,927950
2 — 1,274860 0,648921 1,236561 0,678332 —2,208122
3 1,373425 0,876334 2,255125 1,670610 2,378843
4 — 1,445885 1,077322 3,408181 3,103869 —2,504346
5 1,503801 1,261052 4,669791 4,978122 2,604661
6 —1,552355 1,462256 6,023830 7,293372 —2,688758
7 1,594338 1,593778 7,459108 10,049621 2,761474
8 —1,631433 1,747494 8,967319 13,246868 —2,825725
9 1,664760 1,894724 10,542004 16,885116 2,883449
10 — 1,695030 2,036441 12,177971 20,964362 —2,935877
11 1,722821 2,173388 13,870937 25,484608 2,984014
12 — 1,748541 2,306149 15,617299 30,445854 —3,028562
13 1,772493 2,435193 17,413974 35,848099 3,070048
14 — 1,794932 2,560904 19,258291 41,691344 —3,108914
15 1,816051 2,683602 21,147905 47,975588 3,145493
Список литературы
О. WWW.INFANATA.ORG
I. Тамм И. Е. Основы теории электричества. — 2-е изд. — М.: Наука, 1968.
2. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — Т. 3, ч. 2. — М.: Наука, 1974.
3. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных. —
М.: Изд-во иностр, лит., 1,950.
4. Марков Г. Т. Возбуждение шара. — ЖТФ, 1953, т. 213, вып. 5.
5. Марков Г. Т. К вопросу о теореме эквивалентности. — Научные доклады
высшей школы. Сер. радиотехника и электроника, 1958, № 4.
6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного пере-
менного.— М.: Физматгиз, 1958.
7. Van der Waerden В. L. On the method of saddle points. — Appl. Scientific
Research, 1951, Bd-2, № 1.
8. Франк Ф., Мизес P. Дифференциальные и интегральные уравнения матема-
тической физики,—М.: ОНТИ. 1937.
289
9. Марков Г. Т. Возбуждение круглого волновода. — ЖТФ, 1952, т. 22, вып. 5.
10. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произ-
ведений.— 4-е изд. — М.: Наука, 197JL
11. Лангер Р. Е. Асимптотические решения обыкновенных дифференциальных
уравнений с применением к бесселевым функциям большого порядка. —
Trans. Am. Math. Soc., 1931, v. 33, p. 23—64.
12. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. — М.: Мир, 1964.
13. Бейлин Л., Спеллмайр Р. Сходящиеся представления поля излучения щелей,
расположенных на больших круговых цилиндрах. —Transactions IRE on
Antennas and Propagation, 1967, v. 5, p. 374—382.
Г4. Фок В. А. Дифракция радиоволн 'вокруг земной поверхности. — Изд. АН
СССР, 1946.
15. Потехин А. И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн. — М.:
Сов. радио, 1948.
16. Белкина М. Г., Вайнштейн Л. А. Характеристики излучения сферических по-
верхностных антенн. — В кн.: Дифракция электромагнитных волн на неко-
торых телах вращения.—М.: Сов. радио, 1957, с. 57.
17. Марков Г. Т. Возбуждение бесконечного клина. — Труды МЭИ. Сер. Радио-
техника, 1956, вып. 21.
18. Потехин А. И., Тартаковский Л. Б. — Радиотехника и электроника, 1958,
т. 3, с. 592.
19. Чаплин А. Ф. Возбуждение импедансной полосы на бесконечном экране. —
Известия .вузов. Сер. Радиофизика, 1963, № 3.
20. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.—М.: Физ-
м атгиз, 11959-
21. Миллер М. А., Таланов В. И. Использование понятия поверхностного импе-
данса в теории поверхностных электромагнитных волн.—Известия вузов.
Сер. Радиофизика., 1961, т. 4, № 5.
22. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. —
М.: ГИТТЛ, 1950.
.23 . Чаплин А. Ф. Произвольное электромагнитное возбуждение эллиптического
цилиндра. — Известия вузов. Сер. Радиоэлектроника, 1974, т. 1,7, № 5,
с. 80—85.
24. Морс, Фешбах. Методы теоретической физики. — М.: Изд-во иностр, лит.,
1960, т. 2.
25. Кочержевскин Г. Н. Излучение электрических вибраторов, находящихся вбли-
зи 'идеально проводящего эллиптического цилиндра. — ЖТФ, 1955, т. 25,
вып. 6, с. 1140—6154.
26. Горгошидзе А. Н. Эталонные расчеты и оценка некоторых приближенных
решений для задачи о дифракции на ленте. — Радиотехника и электроника,
1975, т. 20, Ns 7, с. 1364—1361'.
27. Уфимцев П. Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. — М.:
Сов. радио, 1962.
28. Марков Г. Т. Возбуждение прямоугольного волновода. — Труды МЭИ. Сер.
Радиотехника, 1956, вып. 31.
29. Марков Г. Т., Панчеико Б. А. Тензорные функции Грина прямоугольных
волноводов и резонаторов. — Известия вузов, Сер. Радиотехника, 1964, т. 7,
№ 1.
30. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — М.: Сов. радио, 1957,
3’1. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. — М.: Наука, 1974.
32. Марков Г. Т., Васильев Е. Н. Математические методы прикладной электро-
динамики.— М.: Сов. радио, 1970.
33. Harrington R. F. Field computation by moment method. — Mac Millan Com-
pany, 1968.
34. Фельд Я- H., Бенеисон Л. С. Антенно-фидерные устройства. Ч. 2. — Изд.
ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1959.
35. Иохвидов И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. — М.: Наука,
1974.
36. Чаплин А. Ф. Приближенный спектральный анализ больших антенных реше-
ток.— Известия вузов. Сер. Радиоэлектроника, 1976, № 5.
37. Чаплин А. Ф., Хзмалян А. Д., Ряковская М. Л. Поэлементный спектраль-
290
^alatiaus^ii
знание без границ ч *
ный анализ больших антенных решеток. — Сборник научно-методических ста-
тей по прикладной электродинамике, 11979, вып. 3.
38. Марков Г. Т. Приближенный расчет взаимных сопротивлений антенн. — Ра-
диотехника, 1948, № 1.
39. Чаплин А. Ф., Хзмалян А. Д. Об учете влияния диэлектрических покрытий
на «ослепление» ФАР. — Радиотехника и электроника, 1978, т. 23, № 12.
40. Амитей, Галиндо, By. Теория и анализ фазированных антенных решеток:
Пер. с англ./Под ред. А. Ф. Чаплина. — М.: Мир, 1974.
41. Чаплин А. Ф. Некоторые задачи синтеза и анализа антенных решеток.—
В кн.: Сборник научно-методических статей по прикладной электродинамике,.
1977, вып. 1.
42. Машков В. А., Хзмалян А. Д., Чаплин А. Ф. Итерационный метод анализа
линейных и плоских антенных решеток с использованием быстрого преобра-
зования Фурье. — Известия вузов. Сер. Радиоэлектроника, 1978, № 2.
43. Чаплин А. Ф., Черский Ю. И. К теории моделирования протяженных перио-
дических структур. — Электронное моделирование, 1981, № 5.
44. Чаплин А. Ф., Хзмалян А. Д. О влиянии высших гармоник тока на положе-
ние провалов в диаграмме направленности ФАР. — Радиотехника и электро-
ника, 1980, т. 25, № 8.
45. Хзмалян А. Д. Возбуждение конечной антенной решетки из плоскопарал-
лельных волноводов под слоем диэлектрика-. —.Известия вузов. Сер. Радио-
электроника, 1*981, т. 24, № 2.
Предметный указатель
Анизотропные среды 7
Аппроксимация Ганкеля—Лангера
11140
Асимптотическое поведение взаимно-
го сопротивления 276
Баланс .мощности .И1
Бесселя функции 37
----асимптотическое представление
60
----сферические 40
Био-Савара формула 70
Брюстера угол '104
Вектор Герца 15
Волновод круглый 2142
— .плоскопараллельный 231
— прямоугольный 236
— .радиальный 1247
Волны бегущие 36
• — .быстрые 49, 60
— волноводные 234, 238, 245
— вытекающие 277
— «кабельные» 1133
— .квазимонохроматические 53
— кромочные 187
— .медленные 48, 61
— .поверхностные 1117, 1'90, 276
— «.ползущие» '143
— поперечные магнитные (Е) 46
— поперечные электрические (Н) 46
— Ценнека 1/1:7
— цилиндрические 39
Вырождение колебаний 260, 265
Генкеля функции 38, 140
----'сферические 41, 470
Геометрическая оптика 20
----условия применимости 25
Гиромагнитные среды 7
Гироэлектричесжие среды 7
Глуби,на проникновения 105
Грина функции 34
— — представления 35—44
----в прямоугольной системе коор-
динат .32—36
----.в сферической системе коорди-
нат 39—43
----в цилиндрической системе коор-
динат 37—39
292
----в эллиптической системе коор-
динат 220
Граничные условия 9
----импедансные '106, 19b—195
----Леонтовича 105
----на диэлектрике 10
— — на .проводнике 1:1'
Групповая скорость 53
Дельта-функция Дирака 33
Диполь 68—70
Дискретное преобразование Фурье
274
Дискрет преобразования решетки 284
Дифракция плоской волны
— иа круговом цилиндре 144
— иа полосе 029
— на шаре 4159
— на эллиптическом цилиндре 212.8
Диэлектрическая .проницаемость 7
Длина волны 61
---- в волноводе 238
------- критическая 238
Добротность резонатора 260
Закон сохранения энергии 111
— Спелля 101'
Зоммерфельда задача 106
— условие излучения 75
Излучения условие 74
Изображений зеркальных метод 91
Импедансные граничные условия 106,
19.11'95
Импеданс поверхностный 46, 106, 191
----.модулированный 205
Квадруполь 73
Квазистационарные поля 19
Коэффициент отражения 100, 277
— преломления 102
Крылова—Боголюбова метод 241
Лежандра полином 40
— функции 40, 148
Лемма Жордана 113
— Лоренца 78
Логарифмическая особенность 21IK
276
Ляме коэффициенты 25
^lalattausA
знание без границ
Магнитная проницаемость 7
Максвелла уравнения 6—8, 1'2
Матье функции 2120
Метод Крылова—Боголюбова 211
— моментов 069
— наводимых ЭДС 267
— перевала 94—99
Модуляция поверхностного реактанса
006—208
Мультиполь 73
Неймана число 11125
Нить тока 58, 87
Оператор Лапласа 09, 30
Ортогональности соотношения 37, 39,
40
Ортогональные системы координат
05—30
«Ослепление» антенной решетки 277
Перевала метод 94—99
— точки 97
Плоские волны 32, 47, 00
Поверхностный импеданс 46, 106, 191
Поле в ближней зоне 69
— в дальней зоне 70, 94
— отраженное 88
— преломленное 89
— 'Стороннее 7
Полное отражение 1103
Потенциалы векторные '1(5
— скалярные 16
Пойнтинга вектор 12
Принцип двойственности 84
Проводимости взаимные 281
Пространственные гармоники 46, 57,
073
Ребристая структура 194
Резонатор круглый цилиндрический
262
— прямоугольный 052
Решетка антенная 267
— из вибраторов 274, 284
— из волноводов 279
Скин-слой 105
Сопротивление взаимное 270
— волновое 50, 1>05
— входное 075
Стокса теорема 8
Тензор 'импеданса '1191
Теорема Гаусса—Остроградского 9
— взаимности 83
— единственности 76
— Стокса 8
— Умова—Пойнтинга 1'Г—;ГЗ
— эквивалентности 79
Токи магнитные 6
— поляризации 86
— проводимости 8
— смещения 8
— 'сторонние 7, 32
— эквивалентные 81
Точка ветвления 1.10, 498, 216
— ' перевала 97
— полюса 35, 4111, /Г99, 2Г6
Трубка тока 61
Уравмениё Бесселя 39, И34, 142
— Гельмгольца 14
— Лапласа 47
— Лежандра 42'
— Пуассона Г7
— эйконала 21
Уравнения волновые 13
— магнитностатики ,17
— Максвелла 6—8, '112
— электростатики 116
Теплица матрица 270
Фазированная антенная решетка 275,
283
Фазовая скорость 32, 48, 53
Ферма принцип 24
Фредгольма интегральное уравнение
01(1
Функции Бесселя 37
— Ганкеля 38, 140
— Грина 3'4
— Лежандра 40
— Матье 220
Фурье преобразование 32
--- дискретное 274
Цеынека волна /1,47
Эйконал 20
рвг
' Оглавление
Предисловие ко второму изданию...................................... 3
Главе первая
Уравнения Максвелла................................................. 5
1.1. Уравнения Максвелла 'в дифференциальной и интегральной форме 6
1.2. Граничные условия электродинамики ................................ 9
1.3. Теорема Умова—Пойнтинга......................................11
1.4. Уравнения Максвелла и теорема Умова—Пойнтинга для комплексных
амплитуд поля...................................................12
1.5. Волновые уравнения и электродинамические потенциалы .... 13
1.6. Уравнения статических и стационарных электромагнитных полей . . 16
1.7. Уравнения (Максвелла при весьма высоких частотах.............20
1.8. Ортогональные системы координат..............................25
Г л а в а в т о р а я
Интегрирование неоднородных уравнений Максвелла для свободндго про-
странства .............................................................30
2.1. Решение векторного волнового уравнения............................32
2.2. Представления функции Грина.......................................35
2.3. Электрические и магнитные волны в прямоугольной системе координат 44
2.4. Электромагнитное поле бесконечного поверхностного распределения
тока............................................................46
2.5. Плоская Т-волна в однородном пространстве....................50
2.6. Электрические и (магнитные волны в цилиндрической системе коорди-
нат ..................................................................54
2.7. Электромагнитное поле бесконечно протяженного линейного тока . . 58
2.8. Электромагнитное поле бесконечно протяженной трубки тока ... 61
2.9. Электрические и магнитные волны в сферической системе координат 63
2.10. Поле электрического диполя.......................................68
2.11. Поле сферического излучателя.....................................71
Г л а в а т р е т ь я
Основ ные принципы в теории электромагнитного поля...................73
3.1. Условия излучения на бесконечности................................74
3.2. Теорема единственности............................................75
3.3. Лемма Лоренца.....................................................78
3.4. Теорема эквивалентности...........................................79
3.5. Теорема взаимности................................................83
3.6. Принцип (двойственности...........................................84
3.7. Электрические и магнитные токи поляризации........................86
Глава четвертая
Возб уждение плоской границы раздела двух сред....................87
4.1. Возбуждение плоской границы раздела бесконечной нитью электриче-
ского (магнитного) тока. Общее решение.............................87
4.2. .Применение метода перевала к определению поля нити тока над плос-
костью в зоне излучения............................................94
4.3. Приближенные граничные условия Леонтовича . ...... 105
4.4. .Возбуждение плоской границы раздела двух сред электрическим ди-
полем (задача Зоммерфельда).......................................106
Глава пятая
Возбуждение круглого бесконечного цилиндра . . . , . . . . 118
5.1. Общее решение задачи о возбуждении бесконечного идеально прово-
дящего цилиндра....................................................119/
5.2. Возбуждение цилиндра электрическими диполями...................124
5.3. Возбуждение цилиндра магнитными токами.........................128
294
^lalaHausIM
знание без границ ' *
5.4. Возбуждение цилиндра большого электрического радиуса . . . . 133
5.5. Дифракция .плоской волны на цилиндре............................144
Глава шестая
Возбуждение шара.....................................................146
6.1. Общее решение задачи о возбуждении идеально проводящего шара 147
6.2. Поле радиального диполя над шаром...............................149
6.3. Поле меридионального диполя над шаром...........................151
6.4. Поле кольцевой щели на шаре.....................................155
6.5. Дифракция плоской волны на шаре.................................159
6.6. Возбуждение шара большого электрического радиуса................161
6.7. Поле кольцевой щели на шаре большого электрического радиуса . . 169
Г л а (в а седьмая
Возбуждение бесконечного идеально проводящего клина..................176
7.1. Общее решение задачи о возбуждении .идеально проводящего клина 176
7.2. Возбуждение клина радиальным электрическим диполем . . . . 184
7.3. Возбуждение клина радиальной щелью..............................187
Глнва восьмая
Возбуждение поверхностных волн.......................................189
8.1. Применение импедансных граничных условий в теории поверхностных
волн..............................................................190
8.2. Возбуждение плоской поверхности.................................195
8.3. Поверхностные волны над плоскостью с модулированным импедансом 205
8.4. Расчет токов на импедансной плоскости методом интегральных урав-
нений ............................................................208
8.5. Возбуждение плоского экрана со слоем диэлектрика................214
Глава девятая
Возбуждение эллиптического цилиндра..................................219
9.1. Электрические и магнитные волны в эллиптической системе координат 219
9.2. Возбуждение эллиптического цилиндра.............................222
9.3. Возбуждение эллиптического цилиндра электрическими м магнитными
диполями...........................................................224
9.4. Дифракция плоской волны на эллиптическом цилиндре .... 228
Глава десятая
Возбуждение волноводов...............................................230
10.1. Возбуждение волн между двумя плоскостями.......................231
10.2. Возбуждение прямоугольного волновода...........................235
10.3. Возбуждение круглого волновода.................................242
10.4. Возбуждение радиального волновода..............................247
Глава одиннадцатая
Возбуждение объемных резонаторов.....................................251
11.1. Возбуждение прямоугольного резонатора..........................252
11.2. Возбуждение круглого цилиндрического резонатора................262
Глава двенадцатая
Возбуждение периодических антенных решеток...........................267
12.1. Обобщенный метод наводимых ЭДС.................................267
12.2. Спектральный анализ прямолинейной решетки излучателей . . . 274
12.3. Возбуждение решетки плоскопараллельных волноводов под слоем
диэлектрика.......................................................279
12.4. Возбуждение плоской решетки тонких вибраторов..................284
Приложения...........................................................288
Список литературы....................................................289
Предметный указатель.................................................292
295
Григорий Тимофеевич Марков
Анатолий Федорович Чаплин
ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Редактор Н. Н. Кузнецова
Художник Д. Ю. Панченко
Художественный редактор Г. Н. Кованое
Технический редактор Л. Л. Горшкова
Корректор Н. В. Козлова
ИБ «№ 584
Сдано в набор 01.11.82 г. Подписано в печать 15.02.83 г.
Т-04661 Формат 60Х90/|6 Бумага тип. № 2 Гарнитура литературная Печать высокая
Усл. печ. л. 18,5 Усл. кр.-отт. 18,5 Уч.-изд. л. 18,77 Тираж 2900 экз. Изд. № 19410
Зак. № 142 Цена 3 р. 20 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Главпочтамт, а/я 693
Типография издательства «Радио и связь» Госкомиздата СССР
101000 Москва, ул. Кирова, д. 40
Отсканировано специально для www.infanata.org