/
Similar
Text
БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА
МЕХАНИКА
интез
оптимальных
нелинейных
систем
управления
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«М И Р»
SYNTHESIS OF OPTIMUM
NONLINEAR CONTROL SYSTEMS
by
HARRY L. VAN TREES
The M. I. T. Press
Massachusetts Institute of Technology
Cambridge, Massachusetts
1962
БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МЕХАНИКА»
Г. ВАН-ТРИС
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ
НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Перевод с английского
Л. я. РОМТ ЕНБЕРГ А
Под редакцией
А. Ю. ИШЛИНСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«М И Р»
Москва 196 4
УДК 62-505
После появления исчерпывающих работ по линейным
оптимальным системам внимание широкого круга матема-
тиков, механиков и инженеров привлекли задачи нелиней-
ного управления, с более высокой точностью моделирую-
щие реальные системы. Книга молодого американского
ученого посвящена конструированию нелинейных опти-
мальных систем; в ней разрабатывается общий метод кон-
струирования таких систем, базирующийся на представ-
лении точного соотношения между сигналами на входе и
на выходе при помощи ряда Вольтерра.
В русское издание в качестве приложения включен
перевод статьи Дж. Кацнельсона и Л. Гулда «Конструи-
рование нелинейных фильтров и систем управления».
Книга представляет интерес для научных работников
и инженеров, имеющих дело с задачами оптимального уп-
равления, а также для математиков и механиков различ-
ных специальностей. Она будет полезна аспирантам и сту-
дентам старших курсов университетов и инженерно-физи-
ческих институтов.
Редакция литературы по математическим наукам
Предисловие
П рименительно к линейным системам бессмысленно го
ворить о «наилучшем» методе анализа или синтеза, так?
как все линейные системы обладают свойством суперпо-
зиции. Напротив, нелинейные системы не имеют никакого
простого общего свойства. Было бы нереально полагать,
что можно найти метод синтеза или анализа, наилучший
для всех случаев. Поэтому существуют две возможности.
Во-первых, можно взять какое-либо конкретное нелиней-
ное устройство и проводить его детальный анализ. Но
методы, которые при этом будут развиты, окажутся, во-
обще говоря, неприменимыми к другим нелинейным сис-
темам. Во-вторых, можно сосредоточить внимание на мето-
дах, не относящихся к какой-либо конкретной системе.
При этом подходе стремятся сделать класс систем, к ко-
торым применим метод исследования, как можно более
широким. Ясно, что для частной задачи общий подход
может быть гораздо более сложным, чем метод, предназ-
наченный специально для этой задачи. В нашей книге
мы будем применять второй подход.
В первой главе изложены общие идеи нашего метода
синтеза. Во второй главе развивается математический
аппарат, который понадобится в дальнейшем. В третьей
и четвертой главах даются два возможных метода синтеза
систем управления. Для использования этих методов не-
изменяемые элементы системы должны быть управляемы-
ми. В пятой главе рассматриваются методы решения во-
проса о том, управляем ли неизменяемый элемент. В
шестой главе обсуждается применимость предложенных
методов и возможные обобщения.
Существует большой класс управляемых систем, к ко-
торым применимы разработанные в книге методы. Оче-
видным недостатком этих методов является их сложность.
В некоторых случаях чувствуется, что эта сложность
неизбежна; в других случаях оптимальное решение является
эталоном для сравнения с более простыми, но менее эф-
фективными системами. В любом случае это дает неко-
торое продвижение в трудной задаче нелинейного синтеза.
Исследования, изложенные в этой книге, были про-
ведены автором в бытность его членом Группы статисти-
ческой теории связи в лаборатории электроники Масса-
чусетского технологического института. Оно в основном
совпадает с докторской диссертацией, представленной в
мае 1961 года и выполненной под руководством профес-
сора Ли, советами которого автор неизменно пользовался.
Оппонентами были профессора С. Масон и А. Бозе.
В течение 1959—1961 годов, когда проводилось это
исследование, автор пользовался поддержкой Националь-
ного научного фонда.
Гарри Л. Ван-Трис
Кембридж,
Массачусетс,
18 июня 1962 г.
Глава 1
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
В типичной задаче теории связи мы имеем дело с сооб-
щением, искаженным шумом. После того как определена
цель системы, мы пытаемся некоторым оптимальным обра-
зом обработать входной сигнал так, чтобы достичь этой
цели. Например, требуется установить только факт нали-
чия сигнала. Тогда перед нами стоит задача обнаружения.
Можно представить себе другой случай, когда сообщение
состоит из последовательности дискретных сигналов, при-
надлежащих некоторому множеству, которые могут быть
переданы нашим передатчиком, и требуется решить, какой
именно сигнал имеется в наличии в течение каждого интер-
вала времени. Тогда перед нами — задача принятия гипо-
тезы. В третьем случае сообщение является выборкой не-
которого случайного процесса. Тогда задача приемника —
дать точное воспроизведение сообщения. Этот случай —
задача фильтрации — и будет главным образом интересо-
вать нас.
Для того чтобы аналитически решить задачу фильтра-
ции, надо задать некоторые условия. Они должны вклю-
чать:
(1) Критерий ошибки.
(2) Объем предыстории сигнала, доступный обработке
(3) Класс допускаемых систем.
Критерий ошибки дает количественную меру точности
нашего воспроизведения сообщения. Если желаемый вы-
ходной сигнал есть а действительный выходной сиг-
нал есть /о(О, то пригодным критерием является критерий
среднеквадратической ошибки
т
& = lim ± \ [/d (/) - /о (/)]* dt. (1.1)
Т-*оо J
Мы предполагаем, что бесконечное прошлое входного
сигнала доступно обработке. В общем случае на оптималь-
ный фильтр далекое прошлое мало влияет, так что наше
предположение законно. В основополагающей в этой об-
ласти работе Винер [301 рассматривал класс физически
возможных линейных систем. Для класса стационарных
входных сигналов он получил в замкнутой форме решение,
определяющее оптимальную линейную систему. Эта работа
и ее дальнейшие обобщения изложены в книге Ли [15].
Мы будем предполагать, что читатель знаком с этой книгой.
Ясно, что оптимальный линейный фильтр не всегда яв-
ляется лучшим решением конкретной частной задачи.
В качестве простого примера рассмотрим случай, когда
спектры сообщения и шума совпадают.
Пусть спектральная плотность сообщения
ф™(“> = хгЬ-- <Ь2>
Спектральная плотность шума
, (1-3)
Сообщение и шум являются выборками из независимых
случайных процессов.
Оптимальный линейный фильтр в данном случае яв-
ляется простым ослабителем (аттенюатором) с коэффициен-
том усиления К — 8/9, а результирующая среднеквад-
ратическая ошибка равна 4/9. Это получилось потому, что
оптимальная линейная фильтрация учитывает лишь инфор-
мацию спектра. Если, кроме того, известна одномерная
плотность вероятности сообщения и шума, то можно по-
строить нелинейный фильтр, дающий меньшую среднеквад-
ратическую ошибку. Пусть, например, плотность (одно-
мерная) вероятности множества сообщений есть
PJx) = 4-fu0(x+2) +Ыо(х-2)], (1.4)
где ий(х) — единичная импульсная функция, а для мно-
жества шумов
Ясно, что симметричный ограничитель с двумя возмож-
ными выходами +2 и —2 будет оптимальным нелинейным
фильтром с нулевой среднеквадратической ошибкой. К со-
жалению, кроме некоторых простых случаев, вычисление
оптимального нелинейного фильтра представляет собой
очень трудную задачу. Часто, однако, достигаемое умень-
шение ошибки оправдывает дополнительное усложнение,
возникающее вследствие нелинейности системы.
1. Соотношение между системами связи и системами уп-
равления. Системы связи и системы управления имеют
много общего. В системе управления входной сигнал
должен вызывать на выходе некоторого физического уст-
ройства (неизменяемых элементов) нужный ответный сигнал.
Простейший путь для этого—преобразовать входной сиг-
нал системы, чтобы подать на неизменяемые элементы та-
кой входной сигнал, который вызвал бы желаемый выход-
ной сигнал. Блок-схема каскадной системы показана на
рис. 1.1. На практике большей частью применяются си-
стемы управления с обратной связью, показанные на
рис. 1.2. Задача проектирования системы управления сво-
дится к отысканию подходящей компенсирующей схемы.
Компенсатор
x(t)
Неизменяемые
элементы
У(У
Рис. 1.1. Каскадная компенсация.
Р и с 1.2. Замкнутая цепь компенсации.
Здесь интересны два случая. Если шумом можно прене-
бречь? то компенсатор проектируется так, чтобы система
в целом имела удовлетворительный динамический режим.
Большинство ранних работ в области теории управления
(см., например, работу [6]) посвящено этой проблеме.
Нас будет интересовать случай, когда поступающий
на вход сигнал состоит из некоторого сообщения, искажен-
ного шумом. Мы хотим синтезировать компенсатор так, что-
бы сигнал на выходе неизменяемых элементов в точности
воспроизводил бы это сообщение.
Вообще говоря, нам может понадобиться воспроизвести
некоторую функцию от сообщения (например, выполнить
предсказание, дифференцирование). В этом смысле задача
управления совпадает с задачей обработки сигнала. Основ-
ное отличие состоит в том, что в составе системы имеются
неизменяемые элементы. Наш подход к задаче управления
будет состоять в приведении ее к задаче фильтрации при
наличии ограничений.
Для линейных систем со случайными или детерминиро-
ванными входными сигналами связь между этими двумя за-
дачами хорошо известна. Определение оптимального линей-
ного фильтра дает возможность найти оптимальный компен-
сатор. Если неизменяемые элементы являются минимально-
фазовыми, то оптимальная линейная система управления
полностью эквивалентна оптимальному линейному фильт-
ру. В этом случае включение в систему компенсирующего
устройства устраняет влияние неизменяемых элементов.
Если неизменяемые элементы не являются минимально-
фазовыми, то можно в явном виде определить оптимальный
компенсатор.
Для нелинейных систем связь между задачей фильтра-
ции и задачей управления еще не ясна. Предметом настоя-
щего исследования является развитие такого подхода к за-
даче нелинейной компенсации, который основывался бы на
соответствующей задаче нелинейной фильтрации. Наши
рассуждения будут в некотором смысле построены на анало-
гии с задачей линейной фильтрации.
Во-первых, мы определим класс неизменяемых элемен-
тов, которые не накладывают ограничений на работу всей
системы в целом. Мы имеем в виду, что неизменяемые эле-
менты указанного класса можно компенсировать так, чтобы
вся система в целом функционировала бы так же, как лю-
бой произвольный физически возможный нелинейный
фильтр. Будем называть такие неизменяемые элементы
вполне управляемыми. Достаточные признаки принадлеж-
ности к этому классу будут даны ниже.
Во-вторых, мы должны построить замкнутую систему,
которая выполняла бы требуемую операцию нелинейной
фильтрации. В линейном случае оба элемента на рис. 1.1
линейны. Поэтому построение системы с обратной связью,
изображенной на рис. 1.2, требует лишь некоторых струк-
турных преобразований. В нелинейном же случае переход
от каскадной схемы к схеме с обратной связью является
более сложным.
Наша монография построена следующим образом. Сна-
чала рассматривается постановка задачи и наш подход
к ней. Перед обсуждением решения дается краткий обзор
примыкающих работ. Далее мы рассматриваем задачу
характеризации. В нашем подходе используются два ме-
тода характеризации. Неизменяемые элементы описываются
нелинейным дифференциальным уравнением. Система в це-
лом и компенсирующие устройства описываются функци-
ональным разложением типа Вольтерра. Во второй главе
мы рассматриваем функциональный метод характеризации
нелинейных систем. Выводятся свойства, аналогичные
свойству достаточности описания системы вещественной
частью частотной характеристики и минимально-фазовыми
соотношениями. Даются необходимые и достаточные усло-
вия для того, чтобы ядро м-го порядка представляло бы
устойчивую систему.
В гл. 3 дается сочетание представления системы диффе-
ренциальным уравнением и функционального представления
с целью нахождения алгоритма, который дал бы форму же-
лаемого компенсатора. Компенсатор состоит из комбинации
различных ядер высших порядков. Вообще говоря, наше
решение будет сходиться лишь для некоторого конечного
класса входных сигналов. Для того чтобы не заниматься
вопросом о сходимости, в гл. 4 нами будет описан другой
подход, который всегда приводит к решению в замкнутой
форме.
В обоих методах неявно подразумевается, что неиз-
меняемые элементы управляемы. В гл. 5 указаны доста-
точные условия управляемости.
Наконец, в гл. 6 обсуждаются некоторые вопросы раз-
ветвления решения и возможные обобщения.
2. Подход к задаче нелинейной компенсации. Общая
схема системы управления с обратной связью изображена
на рис. 1.2. В общем случае r(t) есть выборка из эргодиче-
ского случайного процесса. Однако нижеследующая мето- |
дика может быть с таким же успехом применена и к детерми- 1
нированным входным сигналам. Желаемым сигналом на вы-
ходе всей системы в целом является функция yd (/), которая 1
некоторым известным образом зависит либо от функции I
r(t), либо от ее полезной составляющей. Если бы не было .{
неизменяемых элементов, мы бы имели задачу нелинейной
фильтрации, показанную на рис. 1.3.
Рис. 1.3. Задача оптимальной фильтрации.
Один из методов решения этой задачи фильтрации со-
стоит в задании связи между входным и выходным сигна-
лами фильтра в виде некоторой функциональной зависи-
мости, не меняющейся со временем. Например,
Уь V) = F tr ОУ;
(1-6)
Здесь уь(1) зависит от прошлых значений входного сиг-
нала r(t). Применяя критерий среднеквадратической ошиб-
ки, будем иметь следующее выражение для оценки точности
фильтра:
__ т
Ё} = lim ± \ [yd (0 - уь (/)Р dt, (1.7)
Г->оо «)
— Г
$ = lyd (t) ~F[r (0); < /]]2. (1.8)
Теперь можно найти вид функционала F, который обес-
печивает минимум Е2. Здесь мы будем предполагать, что
этот функционал найден. Методы определения F рассмот-
рены Винером [31], Бозе [4] и Чеслером [8].
Используя решение соответствующей задачи фильтра-
ции, мы хотим найти физически возможную систему Са
или Сь, такую, что y(t) = yb(t). В действительности функ-
ционал фильтрации принадлежит к некоторому классу
нелинейных функционалов. Так как этот класс является
более широким, то наш подход эквивалентен непосредствен-
ной минимизации ошибки системы регулирования
= [yd(t)-y{t)Y = у (/) = уь (/). (1.9)
Таким образом, наш метод состоит в определении F
и нахождении затем такого физически возможного компен-
сатора, чтобы замкнутая система на рис. 1.2 в точности
дублировала бы этот функционал.
Для того чтобы это осуществить, необходимо иметь над-
лежащий метод описания соотношения между входными
и выходными сигналами как у неизменяемых элементов,
так и у компенсирующих устройств.
В приложениях неизменяемые элементы легче всего опи-
сать нелинейным дифференциальным уравнением. Мы пред-
полагаем, что неизменяемые элементы можно описать не-
линейным дифференциальным уравнением вида
Л (X, X, X, . . ., Х(Н) = р2 (у, у, у,.. y(s)), (1.10)
где х — сигнал на входе неизменяемых элементов, у — сиг-
нал на выходе неизменяемых элементов, а Р — полином.
Типичными примерами появления уравнений такого вида
являются уравнение
ay+by+су+dif = х, (1.11)
которое описывает движение с нелинейной восстанавливаю-
щей силой; уравнение
ау +Ь (у)* +су = х, (1.12)
которое описывает движение с нелинейным демпфирова-
нием, и уравнение
ay + by + су = Р (х), (1.13)
которое описывает общий класс систем, представляющих
собой каскад нелинейных полиномиальных устройств без
памяти и линейных устройств с памятью.
Более общие полиномы вида
ауу +b (у)3 +су2 = dx +ехх + fx3 (1.14)
также входят в этот класс.
Из теоремы Вейерштрасса известно, что любое нели-
нейное устройство, сигнал на выходе которого представляет
собой непрерывную функцию от всех переменных, харак-
теризующих состояние входного сигнала (%, х, х,..., х(г>),
можно с любой степенью точности аппроксимировать в ко-
нечной области этих переменных полиномом. Поэтому наша
модель неизменяемых элементов обладает достаточной общ-
ностью. Классические работы по нелинейным физическим
системам были посвящены изучению свойств нелинейных
дифференциальных уравнений. Минорский [22] подытожил
ранние работы. Изложение более поздних работ дано Лей-
манисом иМинорским [16] и Немыцким и Степановым [23].
Аналитические работы в этом классическом направлении
посвящены в основном свойствам решений однородных диф-
ференциальных уравнений и систем с детерминированными
входными сигналами. Очевидным недостатком характериза-
ции при помощи дифференциального уравнения является
то, что соотношение между входным и выходным сигна-
лами выражено в неявной форме.
Метод характеризации компенсирующих устройств свя-
зан с видом функционала F. Мы будем выражать функцио-
нал F и компенсирующие устройства при помощи функци-
ональных степенных рядов типа Вольтерра. Этот метод ха-
рактеризации и его свойства обсуждаются в гл. 2. Мы уви-
дим, что несомненным достоинством этого метода является
представление сигнала на выходе системы в виде явно
заданного функционала от входного сигнала.
Глава 2
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1. Функциональное представление. В случае линейных
систем в качестве функционала для записи соотношения
между входным и выходным сигналами применяется ин-
теграл свертки. Так, для системы с весовой функцией h(f)
и входным сигналом x(t) сигнал на выходе y(t) выражается
в виде
ОО ОО
у (/) = h (т) х (t — т) dr — h (t — т) х (т) dx. (2.1)
—ОО —ОО
Рис. 2.1. Простой ЯС-фильтр..
Простой /?С-фильтр на рис. 2.1 имеет весовую функцию
h(t) = u_1(/)ae-a'. Весовая функция является решением диф-
ференциального уравнения
dy .
•^+ш/=ах,
(2.2)
где x(f) — u0(t) — единичная импульсная функция.
Весовая функция системы физически возможна, если
она равна нулю при t<^0.
1) Через и_1 (Z) обозначена единичная функция: u_i (t) < o’
— Прим, перев.
Пример весовой функции, соответствующей физически
невозможной системе, показан на рис. 2.2, а. Она не воз-
можна, потому что сигнал на выходе появляется раньше
входного сигнала.
Физически невозможная'
неустойчивая система
Физически возможная
^неустойчивая система
Pji с. 2.2.^Типичные весовые функции.
Весовая функция определяет устойчивую систему, если
интеграл
\h < оо.
—ОО
Сказанное эквивалентно тому, что любой ограниченный
входной ^сигнал вызовет ограниченный выходной сигнал.
Весовая функция, соответствующая неустойчивой линей-
ной системе, показана на рис. 2.2,Ь.
Рис. 2.3. Простая нелинейная система.
Рассмотрим теперь простую нелинейную систему, обра-
зованную последовательным соединением /?С-фильтра и
квадрирующего устройства, как показано на рис. 2.3.
Так как
ОО
у (0 = h (т) х (t — т) dt (2.3)
—ОО
И
z (0 = у2 (О,
(2.4)
то можно написать
ОО ОО
г (/) = h (тх) х (t — тх) dxr h (т2) х (/ — т2) dt2 (2.5)
—ОО —ОО
ИЛИ
ОО ОО
г (/) = К (тх) /гх (т2) х (t — -Гх) х (t — т2) dx^x2 =
ОО ОО
= h2 (xlt т2) х (t — тх) х (t — т2) dxt dx2. (2.6)
—OO —00
Таким образом, функционирование всей системы может
быть выражено двойной сверткой входного сигнала x(f)
и двумерного ядра h2(x1, х2). Здесь h2(xly т2) определено
так:
(tj, т2) = (тх) Ztx (т2). (2.7)
Правая часть соотношения (2.6) называется «регулярным
однородным» функционалом второй степени. «Однородный»
здесь означает, что если
хр (0 = kxa (/), (2.8)
то результирующий выходной сигнал будет
z3 (/) = k2za (/). (2.9)
Функционалы такого типа были введены и подробно
изучены Вольтерра [29]. Впервые их применил к анализу
нелинейных систем Винер. Позднее Баррет [2] и Смитс
[26, 27] применили их к практическим задачам. На рис. 2.4
изображен график двумерного ядра.
Точно так же, как и в линейном случае, назовем ядро
«физически возможным», если
Л2(Тх, т2) = 0 для всех Тх или t2<0, (2.10)
и «устойчивым», если
ОО ОО
1^2 (*^i> Тг) | dT1dr2 оо. (2.11)
2
Заказ № 604
Вольтерра в своей работе рассматривал лишь функционалы
с физически возможными ядрами. Поэтому ядро Вольтерра,
по определению, является физически возможным.
Функционал второй степени обладает несколькими оче-
видными преимуществами. Так как соотношение между
входным и выходным сиг-
налами задано в явной фор-
ме, то выходной сигнал для
периодического или не-
установившегося входного
сигнала получается непо-
средственно двойной сверт-
кой. Точно так же момен-
ты выходного сигнала z(t)
Рис. 2.4. Двумерное ядро. могут быть найдены, как и
в линейном случае. Так,
если x(t) — реализация стационарного случайного процес-
са, то среднее значение г(/) будет
ОО ОО
z (О = (xv т2) х (/ — тх) х (t — т2) dTxdr2 =
—00 —00
Ch, h) 4>xx (rx — r?) dx1dr2
(2.12)
где фхк (т) — автокорреляционная функция для входного
процесса. Автокорреляционная функция для z(t) и другие
моменты высших порядков находятся аналогичным обра-
зом. Однако можно заметить, что для нахождения момента
п-го порядка выходного сигнала системы, описываемой
функционалом с двумерным ядром, требуются корреля-
ционные функции порядка 2п от входного сигнала.
Построенное нами для частного случая ядро является
сепарабельным. Иными словами, h2(xlt т2) может быть пред-
ставлено в виде произведения функции, зависящей только
от tj, и функции, зависящей только от т2. Таким образом,
^2 (Ть h) — (тх) ht (т2). (2.13)
Ясно, что не все ядра второго порядка сепарабельны. Это
нетрудно показать на примере, соединив параллельно две
системы. Каждая система имеет вид, указанный на
рис. 2.3. Постоянные времени 7?С-фильтров, однако, здесь
приняты разными. Итоговая система изображена на
рис. 2.5.
Рис. 2.5. Система с несепарабельным ядром.
Так как z(f) = Zi(f) + z2(/), то функциональное соот-
ношение непосредственно следует из выражения (2.5) и
имеет вид
ОО ОО
z (/) = ^ [/tla (tj) hla (т2) -|“ Лцз (^1) Лцз (т2) ] х
X х (t — х (t — т2) dxrdx2. (2.14)
Соответствующее всей системе в целом двумерное ядро
будет
^2 (^1> ^г) = (^1) ^1« (^г) 4~ (^1) (’'-г). (2.15)
Это ядро не факторизуется, за исключением случая,
когда /iia(t) = /г](3(т). Таким образом, для простой нели-
нейной системы имеется простое функциональное представ-
ление, обладающее многими нужными нам свойствами.
Заменим теперь квадрирующее устройство на рис. 2.3
произвольной непрерывной функцией. Иными словами,
пусть мгновенное значение z(t) связано с мгновенным зна-
чением y(f) соотношением
г (О = (2.16)
Если x(t) ограничено, а /г^т) устойчиво, то y(f) будет
также ограниченным, так как
1у(01=| h(x) x(t — x)dx\^\x(t)\ \h(x)\dx. (2.17)
—ОО —ОО
Из теоремы Вейерштрасса известно, что существует
последовательность полиномов, всюду сходящихся к /(г/).
Для ограниченных функций это влечет за собой сходимость
в среднем. Таким образом, мы можем аппроксимировать
/(//) функцией fN(y)
fN <У) = %N +aiNy +амУг + • • • +aNNyN- (2-18)
Эту аппроксимирующую систему можно представить
в виде суммы регулярных однородных функционалов степе-
ни При помощи рассуждений, аналогичных случаю,
когда ядро функционала было двумерным, получим
ОО
ZN a0N + aiN X(t — T) +
ОО. ОО
+ aiN Аа (Т1, т2) х (t — тО х (t — т2) dx1dx2 +
—ОО —ОО
ОО ОО ОО
+ азлг МТ1> Т2> t3)x(t — тх) X (t — т2) X
—ОО —ОО —ОО
X X (t — Т3) б/т1^Т2с!Тз4’
ОО ОО
Н" 5 ‘ Х Ч) X • • •
. . . х X (t — xN) dxr. . . dxN, (2.19)
где
^з (Ч> ^2> тз) ~ (ч) (^2) (*з) (2.20)
и
hN (*i> • • = hi (*1) • • • hi (^)- (2.21)
Чем точнее аппроксимация /(у), тем более точным будет
функциональное представление действительной системы.
С другой стороны, если функция f(y) аналитична в не-
которой области, то ее можно разложить в степенной ряд
2 (0 ~ f (01 ~ Ьо + ^1У Ь%У2 + • • • • (2.22)
Преимуществом степенных рядов является то, что мо-
жно дать оценку ошибки разложения. Недостатком
является то, что это разложение справедливо лишь для огра-
ниченной области.
Приведенные выше степенные ряды сходятся для всех
Iy(t) | < е. Работа системы может быть представлена с по-
мощью «функциональных степенных рядов»
z (0 = зЬп $ (Т1’ • • •’Тл) х (/ — тх)...
. . . х (t — тп) dxt.dxn. (2.23)
Как и выше, каждое ядро hn(xi,..., хп) сепарабельно.
Учитывая эту сепарабельность в соответствии с (2.19), по-
лучим, что функциональные степенные ряды сходятся для
всех
1^(0|<—--------------. (2.24)
j | h (т) | dr
—ОО
В области сходимости функциональных степенных рядов
оба эти представления в пределе совпадают. Нелинейные
системы, которые могут быть представлены функциональ-
ными степенными рядами с ненулевым радиусом сходимости,
называются «аналитическими системами». Аналитические
системы были подробно рассмотрены Бриллиантом [5].
В случае простого каскада построение функционального
представления можно провести непосредственно. Можно
построить более сложные системы, чередуя линейные и не-
линейные (без памяти) устройства в произвольно длинные
каскады. Большое количество встречающихся на практике
нелинейных систем принадлежит к этой категории.
В задаче оптимизации мы будем определять фильтр, ми-
нимизирующий среднеквадратическую ошибку. Прежде
всего мы должны выбрать метод характеризации класса
рассматриваемых нелинейных систем. Тогда нелинейный
фильтр этого класса, дающий наименьшую среднеквадра-
тическую ошибку, принимается в качестве оптимального.
Как правило1), с расширением класса допускаемых систем
*•) Известным исключением является случай желаемого линейного
преобразования гауссового процесса. Здесь класс линейных систем
достаточен для получения минимальной среднеквадратической ошибки.
(См., например, Я гл ом А. М., Труды VI Всесоюзн. совещ. по теории
вер. и матем. статистике, Вильнюс, 1962.— Прим, перев.)
результирующая ошибка уменьшается. Поэтому нас будет
интересовать вопрос, насколько общим является класс не-
линейных систем, которые можно представить при помощи
функционального разложения.
2. Общность функционального представления. Фреше
[10] показал, что для любого непрерывного функционала
y(tx) = Flr(tY а<^<М (2.25)
существует последовательность функционалов, которая
приближает F[r(0; в пределе сколь угодно точно.
В случае непрерывного функционала значения его на
двух «близких» входных функциях также близки.
Обратимся теперь к функциям, для которых теорема
Вейерштрасса гарантирует существование сходящейся по-
следовательности, но не дает путей ее нахождения. Практи-
чески для приближения непрерывной функции применяется
система ортогональных многочленов. Аналогично Фреше
гарантирует существование последовательности функци-
оналов, но не дает способа их нахождения. Поэтому необ-
ходимо развить метод ортогонального разложения нели-
нейных функционалов.
Камерон и Мартин [7] рассмотрели функционалы, зна-
чения которых зависят от значений действительной функ-
ции на конечном интервале. Эти функции непрерывны и
интегрируемы с квадратом на этом интервале. Они пока-
зали, что эти функционалы можно представить в виде кас-
када из двух операций. Первая операция использует пол-
ную систему функций, ортонормированных на конечном ин-
тервале. Входная функция x(f) и каждая функция из системы
ортонормированных функций усреднены по этому интер-
валу и дают систему чисел
1
хр = х (/) ар (/) t# р = 1, 2, 3, . . . , (2.26)
о
где ap(i) — функция ортонормированной системы. Вторая
операция использует систему полиномов Эрмита
Нп (и) = п = 0, 1....(2.27)
z/f
Далее определяются
Ф«, р (х) = Нт [хр ] = Нт х (0 аР (0 dt] ,
т = 0, 1, 2, . . ., р = 1, 2, . . . (2.28)
И
тр (х) — Ф/п,, 1 (х) . . . Ф/Пр, р(-^)> (2.29)
где ти..., тр—неотрицательные целые числа.
Другими словами, фт р(х) образованы путем воздейст-
вия на Хр различных полиномов Эрмита. Результаты этих
операций перемножаются всеми возможными способами.
И, наконец, составляется сумма с весом функций ¥т,.mN.
Показано, что эта сумма
N
2
mN 0^)
mi,..., т^=о
сходится к F[x] при N-+oo.
То, что мы ограничиваемся рассмотрением функций
лишь на конечном интервале, исключает, конечно, многие
полезные системы. Простейшим примером этого может слу-
жить 7?С-фильтр, сигнал на выходе которого в момент
времени t = 0 зависит от бесконечного прошлого.
Винер [31] 9 рассматривает класс нелинейных систем,
выход которых в произвольно малой степени зависит от
отдаленного прошлого. Он показал, что этот класс нели-
нейных систем может быть представлен каскадом из двух
операций.
В первой операции используется система функций Ла-
герра. Эти функции ортонормальны на полупрямой. Ре-
зультатом этой первой операции является система чисел
о
Хр = \ х (/) 1Р (— t) dt.
(2.30)
Вторая операция использует систему полиномов
Эрмита Нп, действуя ими на различные хр для получения
Этим вопросом занимался также Бове [4].
Нп(хр). Функции Y(х) образуются, как и выше. И, наконец
сумма с весом Ч^х) дает выход.
Физически первая операция на рис. 2.6 осуществляется
системой цепей Лагерра. Это линейные системы, весовые
функции которых определяются равенством (см. работу
[15]):
In (т) = е~т/2 2.-пг (тп-1е-т) I для т > 0. (2.31)
[ V1 1>- dr J
Применяя интеграл свертки, мы видим, что выход k-й
цепи при t = 0 есть
о
Xk = х (т) Ik (—т) dr. (2.32)
—ОО
Поэтому выход этой системы цепей Лагерра есть мно-
жество чисел, которые характеризуют прошлое входного
сигнала.
Несколько первых полиномов Эрмита записываются так:
Я0(х) = 1,
(х) = х,
Нг(х) = ха — 1,
Я8 (х) = х3 — Зх.
Детализированная секция изображенной на рис. 2.6, а
системы показана на рис. 2.6, Ь. Теперь мы можем пере-
строить блок без памяти, собирая подобные члены. Типовая
секция получающейся в результате этого системы приведена
на рис. 2.7.
Как только система приведена к этой форме, можно
легко показать [8] эквивалентность характеризации Ви-
нера и функционального разложения Вольтерра, введен-
ного в первом разделе этой главы.
Для того чтобы кратко охарактеризовать эту эквива-
лентность, рассмотрим наиболее общую цепь Винера, пока-
занную на рис. 2.6, а, и ее конкретный вариант — на
рис. 2.6, Ь.
Нелинейное устройство, показанное на рис. 2.7, легко
описать функциональным степенным рядом, так как здесь
сгруппированы члены одинакового порядка.
Рис. 2.6. Схема винеровской цепи.
Линейная часть y(f) может быть записана так:
оо ОО
z/i (/) = £0 (т) х (t — т) dx + о2 Lr (т) х (t — т) dx +
—ОО —ОО
ОО
4- а3 £2 (т) х (t — т) dx.
ОО
(2.33)
Обозначив
будем иметь
(^) 4“ ^2^1 (^) 4“ ^3L2 W>
У1 (0 = \ Л1 (т) X (t — т) dr.
(2.34)
(2.35)
Рис. 2.7. Секция из винеровской цепи.
Аналогично, квадратичная часть имеет вид
^/2 (О = (^i) ^*0 (^2) х тх) х (t т2) dx^dx2 -*
—00 —00
~т" £0 (^1) (т2) х (t тх) х (t т2) dx^dx2 4~
—ОО —ОО
ОО ОО
“Г ^3 \ ^2 (^2) ““ ^1) ^2) dXjdx2»
—ОО—ОО (2.36)
Обозначив
/С2 (^i, ^2) = bi Lq (t'i) Lq (t2) 4- b2LQ (тх) Lx (r2) +
4- Ь9Ьг (rj L2 (t2), (2.37)
имеем
У2 (0 = У Кг (tj, т8) x (t — rx) x (t — r2) dr1dT2. (2.38)
Итак, для класса систем, рассмотренных Винером, ха-
рактеризация эквивалентна разложению типа Вольтерра.
Иногда бывает трудно определить, принадлежит ли си-
стема к классу Винера. Во всех предыдущих примерах от-
вет был очевиден. Однако рассмотрим систему, фазовый
портрет которой показан на рис. 2.8. Это система с жест-
ким возбуждением (см. работы [1], [28]). Система имеет
Неустойчивый
предельный
цикл
Точка
устойчивого
Устойчивый предельный равновесия
цикл
Рис. 2.8. Фазовый портрет системы с
жестким возбуждением.
устойчивое положение равновесия и устойчивый предель-
ный цикл, отделенные друг от друга неустойчивым пре-
дельным циклом.
Предположим, что эта система возбуждается входным
сигналом, который выводит ее за неустойчивый предель-
ный цикл. Теперь если устранить входной сигнал, то фазо-
вая траектория системы будет асимптотически приближать-
ся к устойчивому предельному циклу. С другой стороны,
предположим, что система возбуждается входным сигна-
лом, который не выводит ее за пределы неустойчивого пре-
дельного цикла. Если устранить сигнал, то фазовая траек-
тория системы будет асимптотически приближаться к по-
ложению устойчивого равновесия. Здесь входной сигнал
в далеком прошлом оказывает вполне определенное влия-
ние на поведение системы. Система не может быть включена
в класс Винера. Можно, однако, показать, что существует
аналитическое разложение в функциональный степенной
ряд в окрестности положения устойчивого равновесия.
Для систем более общего вида не существует непосредст-
венного метода обнаружения предельного цикла.
Оказывается, что решение большинства задач оптими-
зации приводит к нелинейному фильтру, который может
быть реализован без применения обратной связи1’. Таким
образом, рассмотрение лишь нелинейных систем, которые
могут быть представлены разложением Вольтерра, не яв-
ляется серьезным ограничением.
3. Теория многомерных преобразований. Преимущества
преобразований Фурье и Лапласа в анализе линейных
Систем хорошо известны. Можно ожидать тех же преиму-
ществ и в нелинейном случае.
В линейном случае преобразование Фурье определяется
так:
F О) = f erlu,idt, (2.39)
а его обращение
f(f) = ±-\F (/®) е/“Чсо. (2.40)
—оо
На рис. 2.9 показаны преобразования весовых функций,
изображенных на рис. 2.1 и 2.2, и соответствующие гра-
фики на плоскости s (после аналитического продолжения).
Штриховкой отмечена область сходимости. Для того чтобы
восстановить функцию времени, достаточно проинтегриро-
вать ее преобразование Фурье вдоль любой вертикальной
прямой в области сходимости.
Физически возможная неустойчивая система (см. рис.
2.2,Ь) не имеет преобразования Фурье. Однако преобразо-
вание Лапласа для нее существует
ОО
Ж (s) = f (f) e~stdt, Re [s] > <т0 (2.41)
—ОО
Единственным исключением является оценка фазы сигнала по
критерию максимального правдоподобия (см. работу [32]).
И
О1+/со
01-/“
°0'
(2.42)
Область существования преобразования Лапласа и рас-
положение полюсов для системы, изображенной на рис.
2.2. Ь, показаны на рис. 2.9. Заметим, что расположение
Физически возможная
весовая функция
jo) Область
У/7У/, сходимости
= .-Ц
со +1
Физически невозможная
устойчивая весовая
функция
Область
jo) сходимости
t Л-г
J(0+1 JW-1
Физически возможная
неустойчивая весовая
функция
а
Рис. 2.9. Функции систем.
полюсов то же, что и для верхнего рисунка, но области
сходимости различны. Важность учета области сходимости
при рассмотрении физически невозможных и неустойчивых
линейных систем хорошо известна (см. [25]к
Для многомерных ядер употребляются соответствующие
многомерные преобразования.
Для двух измерений имеем
ОО ОО
Р (зх, $2) = f (^1. Q e-^e-s^dtidtz,
—ОО —ОО
Re fsiJ (2 43)
— <j2 < Re ls2] < a3,
Oa+/w 03+/W
f Vi, Q = (2^7)5 5 5 F(S1’ s^'t,eSitidsi.ds*
<5аЧ<»
— O0 < oa < ax, (2.44)
$2 < ^3 a3-
Если область сходимости включает мнимую ось, то мы
имеем преобразование Фурье. В противоположном случае
имеем преобразование Лапласа. Например, двумерное пре-
образование весовой функции, определяемой согласно
(2.7), будет иметь вид
ОО ОО
н (Si, s2) = (2.45)
6 о
Ясно, что преобразование сепарабельных весовых функ-
ций также сепарабельно. Большинство свойств одномер-
ного преобразования переносится на многомерный случай.
Вывод большинства этих свойств проведен Джорджем
[11]. Мы рассмотрим некоторые свойства, которые для нас
особенно важны.
Во-первых, рассмотрим изображение, соответствующее
свертке в выражении (2.6):
ОО ОО
z (/) = ^ h2 (тх, т2) х (t — тх) х (t — т2) drxdr2. (2.46)
—ОО —оо
Обозначим
ОО ОО
Н2 (sx, s2) = Л2 (тх, т2) e~s‘t‘-s‘t‘dt1df2, (2.47)
—ОО —ОО
ОО
X(s) = x(f)e-stdt. (2.48)
— 00
Обозначая теперь через tx и t2 соответствующие аргументы
в выражении (2.46), будем иметь
ОО ОО
г (^, Q h2 (ти т2) X (/х— тх) X (t2 — т2) dxxdx2. (2.49)
—ОО —ОО
При этом рассматриваемая функция z(Z) совпадает с
с z(tx, t2), когда ti = t2. Подставляя в выражение (2.49)
и выполняя преобразования, получаем
Z (sv s2) = Н2 (sr, s2) X (Sj) X (s2). (2.50)
Чтобы найти 2(f), надо получить обратное преобразование
z(tx, t2) И ПОЛОЖИТЬ ti = tz.
Во-вторых (см. [5]), рассмотрим каскад из системы
второго порядка и линейной системы. В области ориги-
налов (во временной области)
«>
г (0 = \ Сг (/ — т) у (т) dx =
ОО ОО ОО
= (/ т) dx //2 ( Т"2) X
х * (*1) * (r2) dXidXz. (2.51)
Соответствующее соотношение в области изображений будет
Z (si,s2) = Ci (si -|- $2) (slt s2) X (sj X (s2). (2.52)
В-третьих, рассмотрим операцию повторного дифферен-
цирования
z (f) = 4 hx (t — т) X (т) dx. (2.53)
—ОО
В области изображений имеем
Z(s) = s/7i(s)X(s). (2.54)
Для ядра второго порядка
ОО ОО
~ ЧГ \ 5 X (тх) X (т2) dxxdx2. (2.55)
—00—00
Этой операции соответствует в области изображений:
Z(sb s2) = (51 + $2)/Ш, s2)X(51)X(s2). (2.56)
Соответствующие соотношения для линейной операции бо-
лее общего вида вытекают непосредственно из изложенного.
Например, если
+ <2-57>
то изображение
(as2 + bs + с) Нг (s) X (s)
соответствует оригиналу
ОО
(а^- + b 1Г + с) \ ^ (/ — т) х (т) dx, (2.58)
—ОО
а изображение
[a (Si sa + S3)2 -f" b («1 4- s2 + Ss) 4~ d Н3 (si> ®2> ss) X
х X (S1) X (sa) X (s3)
соответствует оригиналу
(2.59)
ОО ОО ОО
Х 5 5 Л3 (^ — т1, t—т2, t — т3) х (Tj) X (та) X (т3) dx-idx^dx^.
—ОО —ОО —ОО
Таким образом, преобразование можно записать в виде про-
изведения преобразования оператора (с надлежащей раз-
мерностью) и преобразования функции.
Все эти свойства верны для n-мерных преобразований.
В гл. 3 мы увидим, что наш подход обладает новизной
в основном в области изображений. Отправной точкой
будет отыскание множества преобразований, соответствую-
щих некоторому множеству физически возможных устой-
чивых многомерных ядер. Нам необходимо научиться по
изображениям ядер определять, являются ли эти ядра фи-
зически возможными и устойчивыми. В следующем разделе
мы рассмотрим некоторые важные свойства преобразований.
4. Свойства преобразований многомерных ядер 1). Мы
рассмотрим следующие свойства ядер высших порядков,
соответствующих весовым функциям:
(1) Форма преобразования, необходимая для того,
чтобы соответствующая весовая функция была ве-
щественной.
(2) Нелинейный аналог условия определения преоб-
разования в целом по его действительной части и
обобщенное гильбертово преобразование.
(3) Связь между амплитудной характеристикой и
минимально-фазовыми соотношениями для каждого
ядра.
(4) Критерии проверки физической возможности
усилительной характеристики л-го порядка.
(5) Необходимые и достаточные условия устойчиво-
сти прямого метода исследования устойчивости ра-
циональных преобразований.
Как и следовало ожидать, подход к этой задаче яв-
ляется обобщением подхода к изучению свойств линейных
преобразований, изложенного у Ли [15] и Масона [21].
Мы будем пользоваться следующей парой преобразований:
ОО ОО
К (Sj, s2) — k (/v /2) ers^ dt1 dt2, (2.60)
—ОО —ОО
4-/ОО 4-/00
k (ti, Q = $ $ К (sv s2) e^e^dsjds^ (2.61)
—/oo — Joo
где =<ji + j(Oi, s2 =a2 + Здесь главным образом
мы будем рассматривать функции, область сходимости ко-
торых по каждой переменной содержит мнимую ось, так
что преобразование Фурье включается в наше определение.
Все свойства будут показаны для ядер второго порядка,
причем будет указано необходимое обобщение для ядер
n-го порядка.
Первое свойство непосредственно следует из выражения
(2.60). Если считать sb s2 действительными переменными,
В первых трех разделах дан обзор некоторых понятий, необхо-
димых для понимания нашего метода. Здесь начинаются оригинальные
исследования автора.
3 Заказ № 604
то подинтегральное выражение будет действительным для
всех действительных весовых функций. Отсюда следует,
что K(slt з2) является действительной функцией от зх и з2.
Таким образом, наиболее общее рациональное преобразо-
вание действительной весовой функции второго порядка
имеет вид
N N
3 S aij 4 4
= < (2.62)
3 2j bijSiS2
z=o /=o
где aij и bi, — действительные коэффициенты. Так как лю-
бое ядро можно сделать симметричным, то а1; = ац и
Ьц = bji.
Рассмотрим теперь физически возможные весовые функ-
ции и их свойства.
Рис. 2.10. Физически возможная весовая функция.
Физически возможные весовые функции. Пусть функция
k(ti, /2) = 0 для всех или t2 < 0. Типичная весовая функ-
ция показана на рис. 2.10. Мы можем написать
^2 (^i> ^2)
— ^2 (^19 ^2) + ^2 +^2П(^1, Ф + ^2V ^2), (2.63)
где k\(ti, t2) обозначает функцию, четную относительно
переменных и t2, как показано на рис. 2.11. Мы исклю-
чаем сингулярные функции и^), u0(t2) и их производные
из рассматриваемого здесь класса функций k2(tlt t2). Для
физически возможных систем следует, что
k\ (/i£, /f) = k" (/f, /°) = (ft & = (/?, /2Б) =
= 4 k2 Q для tu h > 0- (2.64)
Подставляя равенство (2.63) в прямое преобразование
Фурье, получаем
ОО ОО
^2 (/®1> /®г) ~ (^2 (Л.» + ^2 (4 > Ф 4* (^i> ^г) 4~
—ОО —ОО
+ ^2V (^i> [cos ©х/х cos ©2/2 — sin ©х/х sin ®2/2 —
— / sin cos ©2/2 — j sin ©2/2 cos ©i/J dtjdt^ (2.65)
Рис. 2.11. Четная часть весовой функции.
Учитывая четность и нечетность различных членов
в под интегральной функции, получим
ОО ОО
(Л0!, /®а) = cos©!^ cos©2/2dZxd/2 —
—ОО —ОО
ОО ОО
- 5 5 ^(/1£,ф
—ОО —ОО
sin sin
— ! (^’ ) S*n COS —
—00 —00
ОО 00
— 5 AgV (/?,/f) sin cOi/j cos (2.66)
—oo —oo
Отделяя действительную и мнимую части X2(/®i. /<о2), а
затем их четную и нечетную части, получим
Д2 (/®2, /<»2) = Kr /®f) + Kr /<»£) +
+ jKi j(d^) + jKi ja^), (2.67)
где
OO oo
Kr k2 (^ Q COS COX/X cos (2.68)
о 0
oo oo
Kr (/®p /®2) = — ^2 (^i> Q sincox/x sinco2Z2d/xd/2, (2.69)
0 0
oo oo
Ki (je>°, ^2(/x, Z2)sinco1/xcos(o2/2d/x^2; (2.70)
в этих формулах в силу симметрии мы смогли изменить
пределы интегрирования.
Ясно, что для нахождения k2(ti, t2) можно использовать
обратное преобразование для любого из выражений (2.68),
(2.69) или (2.70). Например:
00 00
k2 «ь Q \ \ Кr (/cof, /cof) cos cox/xcos co2/2dcoxdco2.
к2я' Н (2-71)
Таким образом, мы приходим к заключению, что любая
из четырех частей двумерного преобразования достаточна
для определения соответствующей физически возможной
весовой функции. Аналогично для п = 3 преобразование
разделяется на восемь частей
К3 ja>2, ]<л3) = Kr (cof, cof, cof) + Kr (<of, <о») +
+ Kr (и®, (of, + Kr (<oj, <o®, <of) +
4- / [Д’/ (co®, co», ®«) + Ki (co®, cof, co®) +
+ Ki (cof, co®, cof) + Ki (^, co®)], (2.72)
и любая из этих восьми частей достаточна для определения
соответствующей физически возможной весовой функции.
Так как Кр /cof) полностью определяет преобра-
зование, то можно ожидать, что существует обобщенное
гильбертово преобразование, выражающее Кр (/<о^ /со»),
К/ (ja^, и Ki (/(of, /®2) как явные функции от
(/of > JOj), и обратно. Вывод типичного соотношения
такого рода будет дан в следующем пункте.
Обобщенное гильбертово преобразование. Пусть
^((i, 4) — произвольное физически возможное ядро, для
которого существует преобразование Фурье. Пусть
& ((ь Q = (2л)2 f (^i> ^2) d (ti, Q для всех tlt t2. (2.73)
В качестве f(tv, /2) можно выбрать любую физически воз-
можную функцию, отличную от нуля в тех точках, где
k(ti, 4)=£0. Это определит функцию d(/b /2) при tu f2^>0.
Соотношение, соответствующее выражению (2.73) в об-
ласти изображений, будет иметь вид
# (/со3, /<»4) =
ОО ОО
= F (/(08 —/<»!,/®4 —/<й2)О (/(Ор/®2) d(01d(d2. (2.74)
—ОО —ОО
Пусть
/ 1 \2
f Q = (4-) (tj е-^ и_г е-^. (2.75)
Тогда
«2--- /02
а2 4-
1 \2 0(10(2 — 0102 — / (01102 + О(201)
я ' («? + ®2) (а| + «ф
(2.76)
Заметим, что так как k(ti, /2) симметрично по своим аргу-
ментам при ах = а2, то функция d(tlt /2) тоже будет симмет-
ричной. Так как d(ti, t2) произвольна для всех tlt t2<^0,
то можно сделать ее четной функцией по обоим аргумен-
там. Отсюда следует, чтоП(/®1, /юг) — вещественная и четная
функция по обоим своим аргументам, поэтому
К (/Ч, =
= \ U О»., W
J J л af + (соз — (Oi)2 а; + (со4 — (О2)3
(2.77)
Так как £>(/Ч, /<о2) вещественна, то имеем
Kr (/®з, /Ч) =
=А- И 2 ^ -«03-<O1)«O4-<»8)_d(. . } d d
я2 J J [а? + (®з — <0i)a] [а» + (®4 — (0а)а]
—ОО —ОО 1 А
(2.78)
Так как D (/Ч, /Ч) является четной функцией по обоим
аргументам, то четная часть Fr (J< Jco2) Дает четную часть
Kr Оз, /Ч)> так что
Kr jtf) =
ОО ОО
= А “5---------------------5-----------В /Ч) <4 d<a2.
п _А_11«? + ч - Ч21 [«1 + «04 - <02)2! U (2 792}
Аналогично
Ki О®, >f) =
1
Л2
оо оо
______________— 0t2 (<0з — в>1)_________________
[а2 + (<йз — mi)2] [а2 + (<в4 — (о2)2]
Пусть ах = а2 -> 0. Тогда
D (](&!, ja>2)
(2.80)
otl
+ <2.81)
+<». - »> ЛВо (м‘ ~ (2-82)
и выражение (2.79) принимает вид
Kr (/Ч£> /®f) = D <J®3’ (2.83)
В выражении (2.80)
<оз —<01 > 1 ,2 g
а2 + (<й3 — coj)2 <0з — <Qi * ' '
и отсюда получаем
ОО
1
Ki (/(О», jtf) = — — \ —----------— -D jaj did! (2.85)
J V ) ЮЗ ’ ИЦ
или
оо
1 С 1
Ki (/<о«, >f) = — — $ ---.............Kr (2.86)
Полная мнимая часть будет
Ki (/’(Оз, /со4) = Ki (/<о°, /®f) -f- Ki(j&%, (2.87)
второй член получен из соображений симметрии.
Возвращаясь к сказанному, заметим, что выражение
(2.86) можно было получить, приравняв обратные преобра-
зования для выражений (2.68) и (2.70)
ОО ОО
%R (/CO^,/G)^)cOSG)1/1COSG)2/2d(01dG)2 =
о о
оо оо
= — S S*n (2.88)
о о
или
оо оо
COS G)2/2d(l)2^ %R (/°)f» /°>f) C0S ^! =
О О
оо оо
— — cos Xi (faQ, sin w/i d®!- (2.89)
о 0
Но так как внешнее преобразование является единственным,
то будет иметь место
ОО оо
Kr (/И®, /(О®) COS (djH d<£>± = — К I (ja1*, /w®) sin ay1t1dti>1.
° 0 (2.90)
Это аналогично линейному соотношению с произвольным
и2- Поэтому мы можем непосредственно записать соотно-
шение (2.87).
Аналогично получим
ОО
к» очЕ. Ч1) - 4 J mm (2'91)
—ОО
Те же рассуждения приводят к полезному соотношению
между четной и нечетной частями действительной части
А(/й)1, /со а)
ОО ОО
1 (* (* 1
-L-^ii^.j^d^d^.
—ОО —ОО
(2.92)
Наше гильбертово преобразование можно представить
в более удобной форме, если рассмотреть соотношение
(2.86) и второе аналогичное соотношение
ОО
К, (« /(Of) = - 4 $ (2-86)
—oo
oo
К, № = - 4- $ • К* №»°, W d№1. (2.93)
—oo
Складывая их, получаем
1 г КрО’юь /он) ,
«I (/«Ь М = - 4Г 5 <03-Ю1
(2.94)
Для того чтобы равенство (2.94) было справедливым,
необходимо, чтобы Кд(/а>£, /о^) и 7<4(/(oJ, /сор не были
тождественными нулями. Простой пример наглядно пока-
зывает затруднения, возникающие, когда /G?(/(oJ, /(0Р
тождественно равно нулю. Пусть
<ч. Ч) = m
^<чЕ.«-тт + т?Т' <М6>
Из (2.86) получим
Ki (jw®, j®f) = —
-М
1 + ^J
d®!. (2.97)
Разлагая на элементарные дроби, будем иметь
л
' 1
1+<^ .
(Оз — (01
Ki (/<о®, =
(01 (Оз
~+¥ ! + <”! |
1 + «1+ 1 + ®1
1
1 +<*>2
(Оз — (01
dcoj. (2.98)
Первый, второй и четвертый члены равны нулю в силу
симметрии. Интегрирование третьего члена дает
^Н-/Ч£)=^5-* <2-99)
1 -Г (Од
Из симметрии найдем, что
Ki(i^,j^=-=^. (2.Ю0)
1 “г W2
Если бы мы непосредственно применили соотношение
(2.94), то определяемый выражением (2.100) член был бы
пропущен. Для симметричных ядер этот пропуск очевиден.
Аналогичным образом можно показать, что если все
члены в выражении (2.72) ненулевые, то для ядер третьего
порядка имеет место следующее соотношение:
/®з) = — v Г ~з) (2-101)
J v wj VU4
Хотя это соотношение найдено непосредственно, резуль-
тат на первый взгляд является неожиданным. Мы показа-
ли, что, за исключением некоторых специальных случаев,
можно определить мнимую часть преобразования n-го по-
рядка по действительной части однократным интегриро-
ванием.
Рассматривая преобразование с другой точки зрения,
легко видеть, почему это справедливо. Произвольное ядро
третьего порядка можно построить, используя полную
систему ортогональных линейных цепей и производя опера-
ции без запоминания над их выходными сигналами. Рас-
смотрим систему, показанную на рис. 2.12. Типичной
Рис. 2.12. Ядро третьего порядка.
операцией без запоминания будет az^z^z^. Часть ядра,
представляемая этой операцией, будет
Кз (Л°1» Л°з) = L1# (Л°1) (/^г) (/g)3) 4-
+/£* (М1)Ьд (М2) (/со3) L] (/(Oj) L; (М2) L3# +
+iLR (j®i№ L3R (/(o3) — L\ (jaj L2, Lj (ja9) —
—jL} (juij) L2 (jas) — L} (juj L\ (j<a2) L3t (jo)s) +
4"ДЗ? G'®1) Сц (/<o2) L3 (j<£>z). (2.102)
Рассматривая каждую пару членов, мы видим, что
каждый мнимый член может быть получен из предшествую-
щего ему действительного члена при помощи одного и того
же гильбертова преобразования:
ОО
Мнимый член =-------------— Действ- член (2.103)
nJ (01 — <04 v '
—ОО
Наиболее общее ядро третьего порядка можно прибли-
зить с любой степенью точности при помощи достаточна»
большого числа операций, аналогичных по форме выше
описанным. Из равенства
у
3 Re [/Сз (/®1, /а>2, /со3)] = Re S К3 (/«h, /<о3, /и3)
а=1 L а—1
(2.104)
логически вытекает предыдущий результат.
Следующим нашим шагом будет обобщение амплитудно-
фазовых соотношений для линейных цепей на ядра выс-
ших порядков.
Амплитудно-фазовые соотношения. Пусть
log К (/«!, /®2) = log] К /©2) | + /О (/Ю1, /<в2) =
= /®2) +/0 Q’coi,/(о2), (2.105)
где G(wi, (о2) — амплитудная характеристика.
Запишем сначала G(s2, s2), рассматривая Sj, s2 как дей-
ствительные переменные. Тогда G(s1( s2) должна быть дей-
ствительной функцией. Далее, полагая это условие выпол-
ненным, всегда можно написать
G (/®1, /®2) = G (/cof, /cof) + G (jwJ, (2.106)
Применение гильбертова преобразования (2.86) даст фа-
зовую характеристику 9(j(oJ, /(of). Из соображений сим-
метрии найдем 6(/<of, j<o!J). Результирующая функция
log Л(/с£»1, /сог) обладает всеми необходимыми свойствами
амплитудно-фазовой характеристики физически возможной
устойчивой системы.
Ясно, что если функция log K(ja>i, juz') соответствует
физически возможной устойчивой системе, то K(/<oi, /®2) и
1 4,
K~(ja>i j<o2) также физически возможны и устойчивы.
Как и в предыдущем пункте, если G(/(of,/(of) и G(/co?, /со2)
не равны тождественно нулю, то имеет место соотношение
ОО
0 О'С*>3. >4) = — 4- \ G (/©i> М) (2-107)
•>v шз wj.
—оо
В связи с этим ограничением можно указать свойство,
которое будет полезным далее. Симметричные ядра
G(/co?, /со2) = 0 тогда и только тогда, когда ядро сепара-
бельно.
Сначала покажем, что из сепарабельности ядра следует,
что
с (/«;, /ю«) = 0.
Пусть сепарабельное ядро имеет вид
Н (j®!, /со2) = НА О1) Нв (ja>2)- (2.108)
Амплитудная характеристика
G Oi, /юг) = log | НА (/<О1) Нв (j<o2) | =
= 4 log [НА (fa) НА (- /сох) Нв (j^ Нв (- /со2)]. (2.Ю9)
Нечетная часть G(/(oi, /0)2) будет
g (/©;, /®р = 4 ~ G /“2)1 (2.Н0)
ИЛИ
4G (/coj, /сор = log 1НА (j&j) HA (— /сох) HB (fa) Hb (—fa)—
— log [HA (— jcoj) HA (fa) HB (/co2) Hb (— /со2) 1,
(2.111)
4G (/co0 /со») = log [Ha Ha (~ МНв”B (~ >2) j = 0
U 8 \HA (- /0)0 HA HB HB (-/<02) J - U-
(2.112)
Для доказательства обратного утверждения рассмотрим
несепарабельное ядро //(/’сох, /со2). Применяя тот же метод,
получаем
//>/•« • о\ 1^1 W(/<01, /<02)//(—/0)1,—/<02) 1 /9 11Q4
4G (/сор /со») = log \Н{_^ • <2-113>
Предположим, что G(/coi, /сог) = 0. Если Н. несепара-
бельно, то отсюда следует, что
Д (/(Di, /со2) = Н (— /<»!, /со2), (2.114)
ИЛИ
(/0)1, /со2) + /Я/ (/сор /со2) =
= Нц (— /СО!, /®г) + jHi (— /<О1, /со2), (2.115)
или
HR (jalt — HR (—{<»!, /со2) = 2Hr jaty = 0 (2.116)
И
Н/ (/Oh, /O)2) — HI (— /(Op /(02) = 2Hi (/(Oj, /cof) = 0. (2.117)
Из симметрии следует
Hi (/o)f,/cop = 0. (2.118)
Из соотношений (2.116), (2.117), (2.118) и (2.86) следует,
что р /со 2) = С, где С — произвольная постоянная,
что означает сепарабельность. Таким образом, мы пришли
к противоречию, и утверждение доказано.
Отсюда следует, что для несепарабельных систем можно
непосредственно пользоваться соотношением (2.107). Для
сепарабельных систем (2.107) дает половину 9(/(oi,/(02). Вто-
рая половина получается из условий симметрии.
Очевидно, что фазовые характеристики, которые мы
получаем, не являются единственными. Однако можно по-
казать, что они относятся к минимально-фазовым цепям, со-
ответствующим данной амплитудной характеристике.
Для доказательства свойства минимальной фазы надо
показать, что любая другая физически возможная система
с той же самой амплитудной характеристикой принимает
нулевое значение где-либо в полуплоскостях <5i>0 и <з2>0.
Затем надо показать, что из этого следует, что вторая функ-
ция накапливает фазовый сдвиг быстрее первой для любого
Пути В ПЛОСКОСТИ ((01(1)2).
Пусть Км (foi, /0)2) — первоначальная минимально-фа-
зовая характеристика. Рассмотрим новую характеристику
н = км ’ (2-119)
удовлетворяющую условию
I н МI = I Км (j®!, jtoj |. (2.120)
Отсюда следует, что
I A (jcoi, /<о2) |2 _ A(j<i)i, jut) Л (—j®i, — jm2) _ . 12 1211
I /0)2) I В (ja>i, j(02) B(—/®i,—j<o2) ’ ' ‘
Мы получили
A (j<01, /Юз) _ в (— id)!, — j<02) (9 .99v
В (/®i,/®г) ~ А (—;®i, —/©г) ’ 1 л '
Принимая St = j®x и s2 = j2®, можно написать
A (si, s2) В( si, s2) ^0 1 oq\
B(si, S3) — А (-81, -S2) •
Из (2.123) следует, что
Л(«ъ s2) = B(—slt —s2). (2.124)
Рассмотрим теперь класс рациональных преобразова-
ний. В этом случае
Л (Зх, S2) — а00 4” Q10Sl + a01S2 4” °2OS1 4“ Q11S1S2 4- a02S2 4~
4“ «30^ 4“ fl21SiS2 4~ ai2SlS2 4“ a03S2 4“ • • • 4“ fl0nS2> (2.125)
В (slf S2) = b00 4" ^lO8! 4" ^01S2 4~ ^2OS1 4" ^11S1S2 4“ ^02S| 4~
4“ ^30^ 4~ ^21S1S2 4~ ^12S1S2 4~ ^03S2 4" • • • 4" ^0nS2 • (2.126)
Применяя соотношение (2.124), можно написать фазовую
характеристику в следующей форме:
/—&10®1— &01®2 4“ ^30®? 4- ^21®?®2 4" * ’ \
6 (/<01, /®2) = arctg ---------------;--------4-------- I =
\ boo — Ьзо®| — &11®1®2 — Ьо2®2 4- • • • /
/ &10®1 4- &01®2 — 6з0®? — &21®?®2 4- \
= -агс —к—А - 2 ------ • (2 Л 27)
\ boo — bio^ — &п®1®2 — ОО2®2 4- • • • /
Мы хотим показать, что 0(/х<», /и2) — убывающая функция
аргументов <ох и со2. Рассмотрим теперь плоскость (coi<»2),
показанную на рис. 2.13. Мы хотим исследовать произволь-
ный путь, подчиненный такому условию: оба аргумента
либо увеличиваются, либо постоянны вдоль всего пути.
Для любого произвольного пути можно написать, что
и2 = g(®i). Исключениями являются лишь сегменты, где
®2 = k0, которые надо рассматривать отдельно.
Поэтому можем записать фазовую часть нашего преоб-
разования в виде
А (81, S2) _ А (81, / g (®1)) _ A* (S1) ,9 . 9Я,
B(S1, 82) “ В (Si, j g(®!)) ~ В* (S1) >
что является одномерным преобразованием с Л*^) =
= В* (— Si). Если удастся показать, что система
устойчива для любого g(coi), то одномерная диаграмма
полюсов и нулей будет иметь вид, изображенный на
рис. 2.14. Ясно, что система имеет невозрастающую функ-
цию фазы.
а
Рис. 2.14. Одномерная диаграмма полюсов
и нулей.
В следующем разделе мы покажем, что из устойчивости
B(slt s2) следует устойчивость B*(s1). Так как —г
физически возможна и устойчива, то для устойчивости
всей системы H(slt s2), определяемой соотношением (2.119),
необходимо, чтобы B(slt s2) было устойчивым. Отсюда за-
ключаем, что наше ядро является минимально-фазовым.
Для одномерных преобразований необходимое и доста-
точное условие того, чтобы функция G(jco) была амплитудной
характеристикой физически возможной системы, дает
критерий Пэли — Винера. Если G(j(d) определено как
log | H(jto) |, то h(t) тождественно равно нулю для всех
t<^—to (to произвольно велико, но конечно) тогда и только
тогда, когда
00
(2.129)
—оо
Это эквивалентно утверждению, что гильбертово преобра-
зование
ОО
_ J_ Г _G(/<o) da = 0 (2дзо)
л; J oh — (д v 7 х 7
—ОО
существует тогда и только тогда, когда удовлетворяется
условие (2.129).
Как следует из (2.107), ©(/сох, /а>2) получается однократ-
ным интегрированием
ОО
» О'».. М “ (2. ‘О?)
—оо
Поэтому интеграл в равенстве (2.107) существует тогда и
только тогда, когда
Г I О (/(01, /(02)|
\ ---л 7 ' 2--для всех со2- (2.131)
Таким образом, критерий Пэли — Винера может быть
расширен для установления физической возможности ам-
плитудной характеристики п-го порядка.
Устойчивость ядер n-го порядка. Мы хотим исследовать
устойчивость следующего преобразования,
(J1+/OO <52+/ОО
Лз (si> S2) = 1^2 (G, Q e~s^-s^dtldt^
61—/оо о2—job
(2.60)
Во-первых, предположим, что /2) физически воз-
можна1*. Для того чтобы k(tlt t2) была устойчивой весовой
функцией, необходимо и достаточно, чтобы интеграл схо-
дился для всех бхе [0, оо) и ст 26ЕЕ [0, ос). Для рациональных
передаточных функций можно использовать обобщенный
критерий Рауса.
Рассмотрим знаменатель выражения (2.62). Вместо того
чтобы записывать его в виде двойной суммы, мы расположим
коэффициенты в следующей таблице:
S2 s| s<
#00 #01 #02 #03
Si 6Z10 6Zn tz12
S1 #20 #21
% #30
Сначала применим критерий Рауса к многочлену от sx:
Р (sx) = А + Bsx + Cs* + Dsf, (2.132)
где
3 2 1
А = 3 aoisl; В = 2 аи5^ С = 2 D = а30.
Z—0 /=0 Z=0
Условия устойчивости имеют вид
Л, В, С>0, D >0, ВС— DA >0. (2.133)
Так как А, В иС являются функциями от s2, то неравенст-
ва (2.133) должны удовлетворяться для всех s2:0 < б2 < оо.
Предположим, что а00>0. Тогда Л >0 для всех s2 и
0 <о2 < 00 означает просто, что уравнение
Л = #00 + #01S2 "Ь #02S2 “Ь #°3S2 “ (2.134)
не имеет корней с положительной действительной
Применение критерия Рауса дает условия
#03 > #02’ #01> #00 #02#00 > #03#01«
частью.
(2.135)
Очевидно, это означает, что область сходимости может не содер-
жать теперь осей /сох и j&2.
А Заказ № 604
Аналогично, для того чтобы В ^>0, требуется, чтобы
#10, «и > 0, а12 > 0, (2.136)
а для того, чтобы С>0, D >0, требуется, чтобы
«20 0, #21 > 0, #зо 0. (2.137)
Для выполнения неравенства ВС — DA^>0 необходимо,
чтобы многочлен
(«10 + «11S2 + «12S1) («20 + «21S?)
---------------- «30 («00 + «01S2 + «02S2 + «03*1) 0 (2.138)
не имел корней с положительными действительными ча-
стями. Для этого должны быть выполнены следующие не-
равенства:
«12«21 «30«03 «11«21 + «20«12 «30«02 Ф
«10«21 + «11«20 «30«01 0’> «10«20 «30«00 0
И
(«11«21 4~ «20«12 - «30«0г) («10«21 4“ «11«20 «30«01)
(«12«21 «30«0з) («10«20 «ЗО«Оо) 0. (2.139)
Неравенства (2.133) — (2.139) должны удовлетворяться,
для того чтобы преобразование определяло собой физически
возможную и устойчивую весовую функцию.
Распространение на случай п измерений требует увели-
чения размерности таблицы. Критерий Рауса применяется
последовательно в каждом измерении.
Простым примером устойчивого ядра фильтра будет
Н (Si, s2) = —Г—; • (2.140)
Таблица для знаменателя имеет вид
52 S2
а3 2а2
2а За 1
а 1
Ясно, что условие а >0 обеспечивает устойчивость. Здесь
преобразование представляет каскад, показанный на
рис. 2.15.
Пример неустойчивого ядра таков:
И (sx, s2)
1
_s2 + (a+si)2’
+ а < Re s1(
+ а < Re s2.
(2.141)
Несимметричная таблица для знаменателя не удовлетворяет
Рис. 2.15. Устойчивая система второго
порядка.
Рис. 2.16. Неустойчивая система.
критерию этого раздела и имеет вид
S2 S®
а* О
Sj 2а
s| 1
Симметричная весовая функция, соответствующая выра-
жению (2.141), имеет вид
^2 (fit ^2) = «-1 (^1) С а/,«0 (^1 ^2) Н" U—1 (Л.) ^'«0^1-^2)-
(2.142)
Соответствующая система изображена на рис. 2.16.
Мы рассмотрели здесь те свойства преобразований, ко-
торые они должны иметь, чтобы обеспечить устойчивость
4»
n-мерных весовых функций. Эти свойства образуют ос-
нову для синтеза нелинейных систем. В нашем случае они
гарантируют, что нелинейный фильтр, который мы приме-
нили для моделирования системы регулирования, является
физически возможным и устойчивым. Принимая эти свой-
ства в качестве основы, мы вернемся к нашей главной
задаче.
Г лава 3
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОМПЕНСАЦИИ
В ВИДЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
1. Общий подход. Укажем теперь возможные примене-
ния нашего функционального метода к решению задачи
компенсации.
Общая схема системы регулирования с обратной связью
была показана на рис. 1.2. Рассмотрим два важных специ-
альных случая этой общей схемы. В случае Сь ~ 1 мы
имеем задачу «последовательной компенсации» (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Схема последовательной компенсации.
В случае же Са = 1 мы имеем задачу «компенсации при
помощи обратной связи» (рис. 3.2). Во многих случаях
правильный выбор схемы будет очевиден. Мы увидим, что
наше решение будет сходящимся при условии ограниче-
ния амплитуды входного сигнала r(t). При надлежащем
выборе Са или Сь можно уточнить эту границу. В некоторых
случаях сходящееся решение можно получить, используя
оба звена Са и Сь, тогда как ни одно из них в отдельности
не дает удовлетворительного результата.
Оптимальный нелинейный фильтр задается последова-
тельностью Ль KN ядер Вольтерра. Вообще эта
последовательность в силу ограниченности статистики бу-
дет конечной. Эту последовательность ядер будем в даль-
нейшем называть ядрами фильтра. Основные уравнения,
описывающие систему, изображенную на рис. 3.1, имеют
вид 1(
(х, х, х, . . ., х(г)) = Р2 {у, у, у, . . ., у^), (3.1)
х (/) = Ci (t — т) е (т) dx +
+ С2 (/ — ri, t — т2) е (Т1) е (т2) dxt dx2 + . . ., (3.2)
-ОО -оо
е (0 = г (/)-</(/)• (3.3)
Мы хотим найти последовательность ядер Ci, ...,C*, такую,
чтобы система в целом имела заданное соотношение между
Рис. 3.2. Схема компенсации при помощи обратной
связи.
сигналами на входе и выходе. Поэтому выбираем Ci,..., С*
так, чтобы удовлетворялось соотношение связи
ОО
у (0 = J Кг (/ — т) г (т) dx +
-00
ОО 00
+ /С2 (t — Ti, t — Та) г (Tj) г (т2) dxjdx2 + . . ..
-ОО -00
(3.4)
Ниже мы введем более компактные обозначения для функциональ-
ных рядов. Тогда соотношение (3.2) приобретет такой вид:
си.
В качестве примера рассмотрим конкретную последова-
тельность фиксированных элементов, описываемую диф-
ференциальным уравнением
y-\-ay^-b = x^- dx3, (3.5)
или
L [у] = х + dx3, (3.6)
где L — линейный оператор вида
£=£-+“4+4- <3-7>
Непосредственный подход состоит в подстановке выраже-
ний (3.2), (3.3) и (3.4) в уравнение (3.1). Это даст сле-
дующее уравнение:
оо
L [ Лх (t — т) г (т) dx +
-оо
00 00
+ (t — тх, t — т2) г (тх) г (rj drx dx2 4- . . .J =
-оо -оо
= { ^ Сх (/ — т) [г (г) — (т — в) г (в) de —
—00 —00
00 оо
— К2 (т — ех, -г — 8а) г (тх) г (т2) dx1 dx2 + . . . j +
-ор -оо
00 00
+ drx dx2C2 (t — tx, t — т2) x
-00 -oo
oo
X [r (Ti) — Д1 (тх — e) г (в) de + . . . J x
-oo
oo
X (T2) /Cj (T2 — s) г (б) dz -f- ... J -f-
-00
00 00 00
"4" dx^ dx2 dx^C^ (t Tp t t — T3) x
-00 -00 -00
00
X [r (Tj — Л1 (Ti — в) r (e) de + . . . J X
-00
ОО
х (t2) — § А'1 (Г2 — в) г (в) de 4- . . .] х
-ОО
ОО
х [г (Т3) — Кг (т3 — 8) г (в) de 4- 4-
-ОО
оо оо 3
4- d jj Сх [t — т) [г (т) — Jj Л?! (т — е) de 4- . . . jdr] 4-
-ОО -00
оо оо 2
4-3^drC1(/ — т)^г (т)— ^/Сх(т— е)г (е) 4~ • • •']] X
-оо -оо
оо
X drx dr2C2 (t — тъ t — т2) х
-оо
00
х [г (Тх) — Ах (тх — е) X г (е) de — . . . ] х
-00
оо
X [г (Т2) — 5 Al (Т2 — в) г (е) de 4- . . 4- . . J .
-оо
(3.8)
Приравнивая члены одинакового порядка по г(/), можно
получить последовательность уравнений, которая может
быть последовательно решена для разных Ст. Легче всего
решить эти уравнения, применяя теорию многомерных
преобразований. Но даже при применении преобразований
непосредственный подход оказывается слишком утоми-
тельным для того, чтобы его принять в качестве общего ме-
тода. Для обоснования алгоритма, который мы собираемся
развить, найдем несколько первых членов непосредственно.
Применяя свойства преобразований, развитые в преды-
дущей главе, к основным уравнениям системы, можно легко
записать уравнения для ядер низших порядков. Обозначая
преобразование линейного оператора L~Gy(s\ будем
иметь
С, (s) [1 - ($)] 7? (s) - Gy (s) (s) Я (s)f (3.9)
-- Ci ($i + $2) %2 (Sp S2) R (Sl) ($2) +
+ C2 (S1, s2) П [1 — K1 (Si) ] R (Si) /? (S2) =
Z=1
= Gy (si~h $2) ^2 (si» $2) (si) R ($2)» (3.10)
-- Ci tSl 4" S2 + S3) *3 (Sl> 52> 5з) R (Sl) R ($2) R (Ss) +
+ 2C2 (Si4“s2 + s3) [1—/Ci (Si)] /C2 (s2, s3) 7? (sJT? (s2) 7? ($3)+
+ C3 (Si + sf h s3) Г JJ [1 — /Ci (sz) ] 17? (sj 7? (s2) 7? (s3) +
L z=i
н П Cl (Sz) 11 - (sz)l =
Z=1
= Оу V*! + S2 S3) /С3 (S1; S2, S3) R (Sj) 7? (s2) J? (s3).
(3.11)
Заметим, что в первом уравнении единственным неиз-
вестным является Ci(s). Решая это уравнение, находим
<J1 (s) — i _K1(s) • (3.12)
Можно видеть, что компенсирующее ядро первого по-
рядка зависит лишь от линейной части неизменяемых эле-
ментов и ядер фильтра первого порядка. Рассмотрим урав-
нения (3.9) и (3.10) и выясним происхождение каждого из
членов.
Так, в уравнении (3.9) член Cx(s)[1 — Ki(s)]7?(s) обус-
ловлен линейным входным членом. Обозначим этот член
через Р{- Верхний индекс обозначает порядок входной
переменной, которая вносит этот член, а нижний индекс
показывает номер Ст, который мы определяем. Член
G(s)/Ci(s)7?(s) обусловлен линейным выходным членом и
может быть обозначен через QJ. В уравнении (3.10) мы ви-
дим, что член
j— Ci (Si + s2) /С2 (Si, s2) 7? (SJ 7? (s2) +
+ c2 (sx, s2) [ ft [1 - (SZ)]J R (Si) R (s2)}
обусловлен линейным входным членом и может быть обо-
значен через ?2- Аналогично мы видим, что в m-м уравне-
нии имеются члены, вносимые всеми членами дифференци-
ального уравнения, порядок которого меньше или равен т.
Эти члены содержат лишь ядра фильтра порядка <^т.
Заметим также, чго единственной неизвестной величиной
в m-м уравнении является ядро Ст. Таким образом, видим,
что, применив систему компенсирующих ядер от Ci до Ст,
мы можем удовлетворить уравнению связи до т-го члена.
Уравнения (3.9), (3.10) и (3.11) можно решить последова-
тельно, чтобы получить требуемое Ст. Попытка написать
уравнения для т = 4 и 5 убеждает, однако, нас в необхо-
димости более эффективного подхода. Можно разработать
алгоритм, позволяющий написать m-е уравнение.
2. Алгоритм для определения ядер последовательной ком-
пенсации. Связь между элементами на входе и выходе описы •
вается нелинейным дифференциальным уравнением. Ранее
мы заметили, что уравнение, в котором впервые проявля-
ется влияние заданного члена, определяется порядком
нелинейности. Поэтому сначала мы классифицируем
члены по порядку их нелинейности.
Так, х3, £(х)2, ххх — входные члены третьего порядка.
Существует основное разложение для всех членов п-го
порядка. Разработанный алгоритм позволяет написать
уравнение для Ст в области преобразований, рассматривая
непосредственно разложение членов n-го порядка. Рассмот-
рим уравнение
Щ3У + by3 + су2 + d (у)2 + L (у) = L (х) + ех3 +
+ /х (х)2 + gxxx. (3.13)
Для того чтобы определить компенсирующее ядро т-го
порядка, можно написать следующее уравнение:
$п + Qm + <А = Pin + Рт, (3.14)
где Q3m обозначает влияние всех выходных членов третьего
порядка, Рт представляет влияние всех линейных вход-
ных членов, а остальные члены определяются аналогично.
Преобразование неизвестного ядра появляется лишь в Р3т-
Все остальные величины известны, так что явное решение
получается немедленно.
Мы увидим, что основное разложение для всех членов
п-го порядка представляет собой комбинацию различных
разбиений. Различие между членами одного и того же по-
рядка учитывается при помощи характеристического ко-
эффициента, что модифицирует основное разложение.
Таким образом, наша единственная задача состоит в на-
хождении эффективного способа построения членов Р„ и
Qm-
Сначала рассмотрим построение Р„. Как было сказано
выше, Рт представляет собой результат воздействия не-
линейности n-го порядка на входе неизменяемых элемен-
тов на компенсирующее ядро /n-го порядка. Следовательно,
Рт состоит из суммы гп — n + 1 членов. Поэтому можем
написать
пг
Pm =2 Pm(t), (3.15)
i—n
и определить каждое Pm (0- Каждое из них можно построить
в три приема.
Сначала составим все разбиения из т предметов по п
ячейкам. Например, разбиения для т = 7 и п = 3 будут
Они являются основными или главными разбиениями. Фи-
зически каждый объект представляет собой некоторую пе-
ременную в области частот.
Во-вторых, рассмотрим все комбинации из п компен-
сирующих ядер С/, где S/ = i. Для i = 5 и п = 3 воз-
можны комбинации Сг, С2, С2 и Clf Clf С3. Сравним каж-
дую систему ядер с каждым главным разбиением по оче-
реди. Легко видеть, что р115 и Clf С2, С2 не могут оказаться
вместе. Ядро Съ представляет ядро, которое является функ-
цией по крайней мере двух переменных: С2($!, s2). Но два
из разбиений в р1]5 зависят только от одного переменного.
Таким образом, мы не можем поставить в соответствие
Сь С2, С2 и р115. Примерами правильных соответствий
будут
В-третьих, рассмотрим, какими способами ядра опти-
мальных фильтров можно комбинировать с компенси-
рующими ядрами Cj. Здесь необходимым ограничением
является то, что 2Р=ти что общее число ядер Для
разбиения (1а) подходящие сочетания
1 1 5 1 1 5
Ci Ci C3 ИЛИ Cl Cs
Ki Ki Ki Ki Kg Ki Ki Ki Kg\Kg
Они представляют собой преобразованные члены
1С1 (Si) (1 - *х («:))] 1СХ (s2) (1 - Я, (s2))] X
х [Сз (s3, s4, s6 se 4- s7) (1 Ki (S3)) (1 Ki (S4)) x
X Kg (Sj, se, S7)]
И
Юх (Sx) (1 - Ki (Si))] [Ci (s2) (1 - Ki (s2))l X
X (Cg (Sg, S4 -|" S5, S6 S7) (1 Ki (S3)) Kg ($4> S5) X
X Kg (Se, S7)].
Для завершения исследования P7(5) рассмотрим остав-
шиеся разбиения и соответствующие им ядра. Полностью
этот процесс и его результаты показаны в следующих
таблицах:
з
хП [1 ($/) 1К2 (s4, s5) /с2 (s6, s7)
i—1
P124
.1 2 4
Cl Cl c3
K1 K2 Ki Ki Ki
Cl c2 C2
K1 K1K1 Ki Кз
Cl C2 c2 .
K1 ДЛ1 Kt Кз
Cr (sj Ci (s2 4~ s3) x
^>3(54, S5, Sg -|- s7) [1 Кi ($i) J X
X /С2 ($2> $з) H — Al ($4)] X
x [1 Ki (s5) ] A2 ($6> S7)
> Ci ($i) C2 (s2, s3) x
X C2(s4, s5, Sg -j~ s7) x
4
x П [ 1 — Ki (sz)] Д3 (s5, se, s7)
Z=1
Ci ($i) C2 (s2, S3) x
3
X П [1 (S/) 1 ^2 ($4> $й) ^2 ($6> $7)
1. 3 3
Сг Сз
к. Ks Кт Кг Кг
Ci с2 с2
Кг К1К2 KiKz
(sx) Ci (s2 + s3 + s4) x
xC3(s5, s6, s7)x
x [1- -^(S1)]/C3 (s2, s3, s4) x
xft [1 — /(js,)]
/==5
—> Ci (Sj) (?2 (s2, S3 -{• s4) X
X C2 (s5, se -|- s7) II [1 —
z=i, 2,5
— Ki (sz)l K? (s3, s4) K2 (se, s7)
Р223 2 2 3 Cx (sx 4- s2) C2 (s3, s4) x X C2 (s5, s6 -(-$7) (sx, s2) X x n [1 —/Cx(sz)]/C2 (s6, s7) Z=3, 4,5 —> C2 (sx, s2) C2 (s3, S4) x X Cx (s5 + s6 + s?) X 4 XII [1 (sz)]x Kq ($5, S6, s7) i=l Cr(sx + ^2) Cx (s3 + S4) X X C3 ($5, Sg, s7) /C2 ($1> s2) X
Ci C2 C2
J<2_ K1K1 K1K8
С2 C2 Ci
KiKi K1K1 K3
Cl Cl c3
^2 Kt K1K1K1
x K2(s8, s4) П [1 — Ki (sz)L
Остается определить три величины: знак каждого р, чис-
ловой коэффициент каждого р и характеристический коэф-
фициент, соответствующий каждому р.
(а)Знак каждого р равен (—1)г, где г равняется числу ядер
К с нижним индексом, отличным от единицы.
(Ь) Числовой коэффициент определяется двумя сомножи-
телями. Первый сомножитель равен числу различ-
ных размещений, которые возможны при изменении
порядка внутри различных подразбиений. (Подраз-
биение — это разбиение внутри определенного ком-
пенсирующего ядра.) Второй сомножитель полу-
чается из перестановки различных компенсирующих
ядер всевозможными способами. Этот сомножитель
просто равен числу перестановок из п элементов.
Ядра с одинаковым нижним индексом и одинаковым
числом переменных считаются в этой перестановке
тождественными.
(с) Характеристический коэффициент есть функция лишь от
индекса при р, а не того частного ядра, которое он
представляет. Например, характеристический коэф-
фициент члена ххх, принадлежащего рц5, будет
4" [S1S2 • (3 Si} + S2- (2 Sz)X S’ + (S S/)2 S^] ’
i=3 1=3 i=3
что приводится к виду
4 г 7 7 2 л
"g-|^sls2 “Ь s2 (з s‘) (з Sj) S1J'
Z—3 Z=3
Это -следует из общего правила написания перемен-
ных в виде суммы от sz. Число Si в каждой сумме
равно аргументу функции- р. Степень, в которую
возводится каждая сумма, равна порядку соот-
ветствующей производной. Затем члены перестав-
ляются. Ясно, что для члена, не содержащего про-
изводных, характеристический коэффициент равен 1.
В качестве примера рассмотрим типичный член из Р? (5)
по отношению к неизменяемым элементам, описанным
уравнением (3.5)
Рш
1 2 4
Cl C2 c2
Ki KiKi K1K3
—»CY (Si) С2 (s2, s3) C2(s4, s5 -|- s6 -f-s7) x
4
X п [1 — Ki. (sz)J K3 (s6. se, s7)
Z=1
(а) Так как г — 1, то знак будет (—I)1 = —1.
(Ь) Первый сомножитель числового коэффициента равен 2.
Это следует из перестановок подразбиения, соот-
ветствующего C2(s4, s5 4- se + s7). Второй множи-
тель равен 3.
(с) Характеристический коэффициент равен 1, потому что
здесь нет производных. Полностью член имеет вид
4
6С1 (Sj) С2 (s2, S3) С2 (S4, Sg 4- se -j- S7) JJ [1 Kj ($z) ] X
1=1
X /С3 (Sj, Se, S7).
Как и следовало ожидать, компенсирующий член довольно
сложен. Однако когда мы займемся примерами и методами
синтеза, мы увидим, что обычно ядра строятся из комби-
наций менее сложных систем.
Изучим теперь строение Q™. Член Qm представляет
собой результат, вносимый нелинейностью n-го порядка
на выходе в компенсирующее ядро т-го порядка. Нели-
нейные выходные члены подчиняются аналогичным, но бо-
лее простым правилам разложения. Из исходных уравне-
ний видно, что
ОО
[у (ОГ = [ ^ (/ — т) г (т) dx -|-
—ОО
ОО ОО п
4- К2 — ^2) г (Ч) (^2) dXjdx2 4~ • • •
—оо—оо
Поэтому для нахождения Qm составим всевозможные
разбиения из т предметов по п ячейкам. Например, пусть
п = 3 и т = 5. Возможными разбиениями будут
1 | 1 | 3 1 | 2 | 2
9113 9122
которые представляют /Ci(s1)K1(s2)K3(s3, s1; s5) и K^sJ х
X K2(s2>Ss)K2(s4, s5) соответственно.
Знак каждого члена положителен. Числовой коэффи-
циент равен числу различных путей, которыми можно упо-
рядочить разбиение. Характеристический коэффициент
определяется так же, как и для входного члена1).
Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение
этого алгоритма. Этот пример достаточно прост и не затем-
няет метод большим числом деталей.
Рассмотрим систему, неизменяемые элементы которой
описываются уравнением
сх + dx3 * == у + ay -[-by.
(3.16)
Желаемая операция над всей системой представляется ли-
нейным ядром Схема системы показана на рис. 3.1.
Можно записать этот линейный член путем подбора,
а затем применить алгоритм для нахождения ядер высших
порядков
(s2 + as + fe)^(s) = cC^ll - ад]. (3.17)
Отсюда
Г /с\_ 1 (s2 + as + b) Ki (s) ,q
С1 (s) ~ ~с Гад’з)-----• 18)
Следующее ненулевое соотношение служит для опреде-
ления С3:
(а) Так как = О для то = 0.
(Ь) Находим, что Pj = Pj(l) + Pj(2) + Р|(3).
Для Р’(1) Для Р1(2)
3 3
Сх ->о с2 ->0
А
Для Р|(3)
3
так как Д3 = 0. так как С2 — 0.
Поэтому
3
Рз = Рз (3) = сС3 (S1, s2, s3) П [ 1 - Дх (sz)] (3.19)
Z=1
Очевидно, что для нахождения функционального представления,
соответствующего данному дифференциальному уравнению, можно при!
менить алгоритм к обеим частям этого уравнения.
5 Заказ № 604
(с)
Pl = Pf(3)->
1 1 1
Ci Cl Ci
Ki Ki Ki
3
4]Ci(sz)[l - ^(sz)],
z=l
3 3
О = c C3 (s4, s2, S3) PJ [1 — Ki (sz) ] 4* d JJ Ci (sz) [1 (sz) 1,
z=l z*—1
(3.20)
и мы получим
C9 (Sl> 52, 5з) ~ - ~с^1 ^1 (3.21)
Аналогично, для С5
5
0=4" сС§ (sx, s2, s3, s4, s5) PI [1 Ai (s/)] 4-
4~3dC1(s1) Ci (s2) C3 (s3, s4, s5) J^[ [1 (sz)l, (3.22)
z=l
откуда
C5 (si> S2> s3, s4, s5) — — — Ci (s4) Ci (s2) C3 (s3, s4, s5) =
= 3^2[J CJsz). (3.23)
Z=1
Для C7
0=4" ^7 (si, s2, s3, . . ., s7) JJ [1 I(i (sz)] 4"
4~ 3d Ci (s4) Ci (s2) C5 (S3, s4, S5, s6, s7), (3.24)
и мы получим
7
C7 (s4, s2, s3, . . ., s7) = ^3"PI (S/)’ (3.25)
z=l
В этом случае легко найти форму последующих ядер.
Они состоят из Ci и некоторого нелинейного элемента без
памяти. Компенсатор может быть синтезирован так, как
показано на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Последовательная компенсация — разветвленная
схема.
Но для х2 < |^| члены без памяти образуют сходящийся
степенной ряд, так что система принимает вид, указанный
на рис. 3.4.
Рис. 3.4. Последовательная компенсация — синтезированная
схема.
Рассмотрим теперь систему, неизменяемые элементы ко-
торой описываются дифференциальным уравнением
L [y]=L [х] +dx3. (3.26)
Пусть фильтрация определяется выражением
оо
У (i) = J Ki (t — x) г (т) dx 4-
-ОО
оо оо оо
+ 5 — Ti>z~ т2,^ — тз) r(Ti) r (т2> r (xs)dx^dxg.
-ОО -00 -оо
(3.27)
Мы можем написать уравнение для линейного члена пу-
тем сравнения
Gy(s) A\(s) = Gx(s)CAs) 11 (3-28)
и получим
с1 (s) 1 _ ’ (3*29)
Gx(s)
где G(s) = ~ — линейная передаточная функция.
“s г>
Теперь применим алгоритм для нахождения С3.
(а) Во-первых, Q3 = Gy (Sj + s2 + s3) K3 (s^ s2, s3).
(b) Далее, P\ = P\(\) + Pl(2) + Pl(3).
Построим разбиения для различных членов.
Для Pl (1)
Для Pl (2)
3
~Ci
Кз
3
C2
0
($1 + s2 + S3) Кз (Sj, s2, s3)
так как C2 = 0.
Для Pl(3)
KrKrKx
3
—* c3 (Sj, s2, s3) Ц [1 (s/)].
/=i
Таким образом,
Рз = Gx (sx s2 -f~ 5з) I Ci (Si -|- s2 + s3) /С3 (sx, s2, s3) —
C3 (si> s2, s3) П [1 — (sz)]j. (3.30)
(с) Тогда 1=1
P3 ~ P3 (3) — dCi (SjJ (s2) Cx (s3) JJ [1 — /Cx (sz)].
i=l
Мы получим
Рис. 3.5. Синтез ядра третьего порядка.
ИЛИ
Gy (S) ^3 (51, S2> s3) =: Gx (s) [— Ci (s) Дз ($1, 52, S3) 4"
+ C3 (Sl> S2, S3) Л [1 Ki (S/)] +
г=1
+ dC, (S1) C, (s2) C, (s3) fl 11 — /Ci (S/) 1L (3.31)
Z=1
где § = Si + s2 + s3. Поэтому
C3 (si, S2, S3) — —A
G (s)
Лз (si, S2, S3)
3
П [1- /G(SZ)]
Z=1
+
+ cx (s) S2’ S3) - C1 C1
П [1-Kx(s,)] G*(s)
(3.32)
Замечая, что
1 а 1 1
+ C1 ~~ 1 — Ki (s) * G(s)'
мы видим, что C3(Si, s2, s3) можно синтезировать, как по-
казано на рис. 3.5.
Теперь применим алгоритм для нахождения С5«.
(а) Так как Кп — 0 для п>3, то Qi = 0.
(b) PJ = Рг6 (1) + Р\ (3) + Р\ (5), так как P"(z) для
четных i всегда будет нулем в этой задаче. Далее,
построим разбиения:
Для Pi (1) Для Pj (3)
5 -^0 5
Ci ca
къ KiKiK3
так как Kt = 0
х ft [l-K1(Sz)lKs(S3. s4, ss).
i=l
Для Pj(5)
5
C5
Kr... Ki
6
Cg ($i, s%, S3, s^, Sg) fj
i—1
[1 - (Sz) ].
Поэтому
A 2
P5 = Gx (s) {— ЗС3 (Sp $2, S3, S4, Sg) JJ [ 1 /Ci (Sz) ] X
X /С3 (s3, s4, Sg) С5 (Si, s2, s3, s4, Sg) fl [1 /(1 (s/)]},
5
где s = 3 5/.
(с) Тогда P|=Pl(3) +Pf(5).
Для Р|(3)
1 1 3
£l Cl Cj
Ki K1\KS
—» ЗЛ?! (s^ Ci (s2) Ci (s3 -|- s4 -f~ s5) x
2
X JJ П (5/)l *3 (53» 54> 5б)*
Для PI (5)
2 I 11* 2 3
Cx Cx C3
Ki\Ki Ks
3dCx (sx) Cx (s2) C3 (s3, s4, s5) [1 —/Cx (sz) J.
Поэтому уравнение для C5 таково:
0=Pl+Pl
2
0 = Gx (s) |— 3C3 (sx, s2, $3 + $4 + $5) Ц 11 — Ki (s/)] x
/=1
5
x Л3 (s3, s4, S5) (sx, s2, s3, s4, s§) П [1 - (Sz)]} —
/=1
2
— 3dCx (sx) Cx (s2) Cx (s3 + S4 + II 11 — Ki (s/)] X
ы
5
X K3 ($3, $4> sb) + 3dCx (sx) Cx (s2) C3 (s3, s4, s6) П [1 — ($z)L
/=1
(3.33)
Мы получим
Cb (Sl» S2> 53> S4> 5б) = 3C3 (Sx, S2, S3, S4, S6) - —---------[-
П [1 —/<i(sz)]
Z=3
H----^-CX (sx) CX ($2) CX (s3 + «4 + ^5) 5^3 3’ 4 5’ 5)-------
GX^ П [1 - K1(S.)]
1=3
-------F CX (SjJ CX (s2) Cg (s3, S4, Sg). (3.34)
G. (s)
Синтез второго и третьего членов показан на рис. 3.6.
Для того чтобы синтезировать первый член, нужно исполь-
зовать идею обобщенной весовой функции (см. работу [11]).
Рис. 3.6. Синтез ядра пятого порядка (второй и третий
члены).
Преобразование дает
оо оо оо
С3 (t — т1( t — т2, t —t3) b (тх) b (т2) b (т3) ат^т^Тз,
-oo -oo -oo
(3.35)
где
b (ti) = e (ti),
oo OO OO
b (т3) = K' (T3 — au r3 — a2, r3 — a3) e (aj e (a2) X
-oo -oo -oo
X e (a3) (3.36)
а К'(.,.,.)— обратное преобразование для
Кз($1, S2, ^з)
п [1- K1(SZ)]
<=1
Невозможно реализовать это преобразование при помощи
одной системы, так как все входы должны быть одинако-
выми физически.
Легко видеть, что составная схема, показанная на
рис. 3.7, дает желаемый результат.
Рис. 3.7. Синтез ядра пятого порядка (первый член).
Определение и синтез членов высшего порядка произ-
водятся тем же путем.
Важно заметить, что каждый компенсатор состоит из
комбинации трех типов элементов:
1) линейных фильтров,
2) нелинейных устройств без памяти,
3) исходных ядер фильтра.
Изучая методы, при помощи которых строится алгоритм
нахождения компенсирующих ядер, можно видеть, что
компенсирующие ядра всегда представляют собой комби-
нацию этих трех типов элементов. Значение этого стано-
вится ясным при рассмотрении задачи синтеза.
Рассмотрим далее ошибку приближения в синтезе.
В настоящее время произвольные ядра порядка выше,
чем единица, не могут быть точно реализованы. Поэтому
необходимо рассмотреть следующую задачу.
Пусть задано некоторое произвольное т2,..., тп).
Для некоторого входного сигнала a(t) соответствующий
выходной сигнал будет следующим:
оо оо
bD (О = Knd (Тр Т2, . . т„) a (t — тх) . . .
-оо -оо
. . . a (t — т„) dtj . . . dxn. (3.37)
Мы хотим построить систему Kna^i, т2, •.тл), выход-
ной сигнал которой для того же входного сигнала a (t)
есть
00 оо
Ьа (О = Kna (Т1, • • •, т„) X
-оо -оо
X a (t — тх) . . . a (t— х„) dxt. . . dxn. . (3.38)
Мы конструируем Kna таким способом, чтобы
U>d(0 — Ьа(/)У была минимальной. Ясно, что для того,
чтобы подойти к решению этой задачи, необходимо знать
статистику входного сигнала. Далее, ядра, которые мы хо-
тим аппроксимировать, расположены внутри контура об-
ратной связи. Так как статистика неопределенна, то кажется
затруднительным найти эффективный способ синтеза. Вспом-
ним, однако, что единственными ядрами высшего порядка,
входившими в наше решение, были исходные оптимальные
ядра фильтра. Поэтому можно решить задачу синтеза, по-
ставленную выше, при помощи Knd равных Кп (оптималь-
ным ядрам фильтра). Теперь мы переместили задачу ап-
проксимации за пределы контура.
Это означает, что ожидаемое значение ошибки, возни-
кающей при приближенном синтезе, в замкнутой системе
. будет тем же самым, что и в исходной схеме фильтра.
Рассмотрим систему вида, показанного на рис. 3.2. За-
дача состоит в определении ряда ядер для Сь так, чтобы
можно было произвести нужную операцию фильтрации.
3. Алгоритм для определения компенсирующих ядер
в цепи обратной связи. Действие системы описывается
следующими уравнениями:
оо оо оо
с (f) = Сх (t — х) у (т) dr 4- С2 (t — т1( t — т2) X
X У (Ti) У W dxxdx2 + . . ., (3.39)
Pi (х, х, х, . . ., x<r)) = Р2 (у, у, у, z/<s>), (3.40)
X (0 = Г (t) - с (/). (3.41)
Кроме того, мы хотим, чтобы выход системы удовлетво-
рил следующему соотношению:
у (f) = Ki (/ — т) г (т) dr 4-
—ОО
4- Къ (t — т1( t — т2) г (г,) г (т2) dXidx2 4-. . .. (3.42)
-ОО -ОО
Применяя тот же метод, что и в случае последовательной
компенсации, можно написать следующее уравнение:
Qm 4- Qm 4- • • • “И Qm = Рщ 4" Р 4" •• • 4" Р^п (3.43)
для каждого т = 1, 2, .... Как и выше, неизвестное ядро
входит только в Рт- Поэтому каждое Ст определяется
последовательно.
Теперь мы опишем метод определения Рт и Q™. Этот
метод аналогичен применявшемуся в случае последова-
тельной компенсации.
Рассмотрим строение и вклад, вносимый нелиней-
ностью n-го порядка во входном сигнале в ядро т-го по-
рядка в цепи обратной связи. Как и в случае последователь-
ной компенсации, Рт состоит из суммы т — «4-1 членов
Рт (0- Структура членов в Рт (i) совпадает со структурой
членов в ядрах последовательной компенсации, но сами
функции будут различными. Построение Рт (i) проводится
в три этапа. Во-первых, составим все разбиения из т пред-
метов по п ячейкам. Например, разбиения для т = 6_и
п = 3 таковы:
(I) |1 |2|3| (II) | 1 | 1 |4 | (III) |2 |2 |2 |
Р123 P1U Р222
Во-вторых, рассмотрим все комбинации из п компенсиру-
ющих ядер С,-, где 2/ = i. Так, для i = 4 и п — 3 един-
ственной системой ядер является Clt Clt С%. Для i — 5 и
п = 3 есть две возможности: Сь С2, С2 и Съ Сь С3. Срав-
ним теперь различные системы ядер с разбиениями, начи-
ная с шага 1, и определим, совместны ли они. Число объ-
ектов в каждой ячейке разбиения представляет собой число
переменных, соответствующих этой ячейке. Индекс ком-
пенсирующего ядра Cj представляет минимальное необ-
ходимое число переменных в его аргументе. Рассматривая
разбиение I и систему ядер Съ С%, можно видеть, что
два совместных соотношения будут
что может соответствовать Сг (s2) Сг (s2 + s3) С2 (s4, s5+s6)
для (la) и Ci (sO C2 (s2, s3) Ci (s4 + s5 + s6) для ,(Ib).
Неправильным сочетанием будет
потому что в первой ячейке имеется только одно перемен-
ное, а в аргументе С2 требуется не меньше двух пере-
менных. Если взглянуть на исходное выражение, то видно,
что каждое компенсирующее ядро С/ связано с j ядрами
фильтра
. На третьем этапе рассмотрим способы, которыми могут
сочетаться ядра фильтра с компенсирующими ядрами
Cj при ограничениях, что Sp = т и что общее число ядер
равно i. Из вида разбиения (1а) следует, что единствен-
ными возможными комбинациями будут
Так как Cx (sb s2) всегда можно записать в симметричной
форме, то эти комбинации совпадают с точностью до по-
рядка. Исключая числовой и характеристический коэффи-
циенты, запишем член, соответствующий разбиению, так :
[1 Ci ($i) ($1)1 ГС1 ($2 + $3) Т(2 (s2, $3)1 х
х [С2 ($4, $5 ~Т $6) 7(1 ($4) Т(2 (s5, $6)1.
Чтобы завершить определение (4), повторим тот же
самый процесс для оставшейся части р1М и для других
главных разбиений: рП4 и рт (см. следующую таблицу).
Ре8 (4):
Р123
1 2 3
С1 Ci С2
7(х 7(з КгК^
Ci С2 ^1
к. Ki7(i 7(3
—» [1 — Ci (sj 7(x ($i)l (Ci ($2 +$3) x
X ($21 $3) 1 (C2 (S4> S5 + Se) X
X 7(j (S4) T(2 (s5, se)J
—* [1 — Ci (si) 7(x ($i)l [C2 (s2> $3) X
X 7(x ($2) Kl ($3) 1 [Ql (S4 + S5 + se) X
X K8 ($4» $5» $б) 1
Р114
1
сГ
К1
1
сГ
7(1
4
~сГ
к,к,
7(1 К1Кз
—» [1 — Сх (Sj) ($i) I х
X И — C-l (sz) 7(i (5г)1 X
x [C2 (s3 + $4, s5 -( se) x
X T(2 (s3, S4) T(2 (S5. S6)l
—» [1 — Ci (§4) Ki ($i)l x
x [1 — ct (s2) Ki ($2)1 x
X [C2(S3, $14-$5 4-$б)7(1($з)7(з($4> $5> $e)l
К1
Р222 2 2 2 —> [Сх (Si -|- s2) /С2 (Sj, s2) ] X
С1 6*2
к* К1К1
х [Cj (s3 -p 54) /(2 (S3, s4)] x
X [С2 (s5, 5б) (sb) /Ci ($б)1’
Как и в случае последовательной компенсации, остается
определить три величины: знак каждого р, числовой ко-
эффициент каждого р и характеристический коэффициент,
соответствующий каждому р. Значение этих величин в
точности такое же, как и в случае последовательной ком-
пенсации.
Далее, рассмотрим конструкцию выражения Qm, пред-
ставляющего собой результат влияния нелинейности п-го
порядка на выходе на компенсирующее ядро /n-го порядка
в цепи обратной связи.
Основное уравнение для члена n-го порядка имеет вид
оо
[^(0]п= {$ /С1 (/ — т) г (т) dr +
-ОО
ОО ОО
+ 5 \ ^2 ~ xlt t — т2) г (Tj) г (т2) dx-jdx^ (3.44)
—оо -оо J
Оно совпадает с основным уравнением в случае последо-
вательной компенсации. Поэтому
Qm (последоват.) = QX (обратная связь). (3.45)
Теперь у нас есть непосредственный метод проекти-
рования нелинейных компенсирующих цепей, такой что
замкнутая система регулирования дает заданную нелиней-
ную реакцию. В изложенном выше примере мы определили
вид ядра п-го порядка, что в свою очередь позволило нам
написать в замкнутой форме выражение для компенсатора.
Рассмотрим теперь случай, когда выражения в конечной
форме получить нельзя, и исследуем, когда можно обор-
вать функциональный степенной ряд, представляющий
компенсатор.
4. Свойства сходимости. Вспомним, что каждое доба-
вочное Ст, которое мы определяем, позволяет удовлетво-
рить уравнению связи
У (О = Ki (t — т) г (?) dr +
-ОО
оо со
+ ^2 (t — Ь, t — т2) г (rj г (т2) dx^dx^ + . . . (3.4)
-ОО -оо
для ядра соответствующего порядка. Например, предпо-
ложим, что в системе уравнений (3.9) — (3.11) применялся
лишь линейный компенсатор Ci. Тогда, если положить
С2 (s) = 0 в уравнениях (3.10) и (3.11), то получим
^28 (si 4~ 5г) [б ($1 + 5г) ”Т Ci (si + $2)! 0, (3.46)
откуда следует, что
Аге (%, $2) ~ 0* (3*47)
При этом из уравнения (3.11) получим
з
dn
Кзе (Si, s2, s3) = -Q fsi + Sg) + S8-+Ss) . (3.48)
Таким образом, линейный компенсатор и дифференциаль-
ное уравнение полностью определяют ядра высшего по-
рядка. Вообще говоря, эти ядра не будут совпадать с ис-
комыми ядрами из уравнения связи (3.4); чтобы указать
на наличие в них некоторой ошибки, в индексе добавлено е.
Рассмотрим теперь общий случай, когда мы обрываем
компенсирующие ядра на некотором конечном т. Раз-
ность между действительным выходом у (f) и желаемым
выходом уо (t) можно записать в виде
00 00 00
yz(t) = S $ •••$ [—Кл(Т1, т2, ..., Т„) +
П—ГП-]-1 -QQ -Q0
+ Кпг (Т1, т2,..., т„)1 г (ti)... г (т„) dxt ... dxn, (3.49)
где использованы компенсаторы Сг (i = 1,2,.. ., tri). Верх-
няя граница для выходного сигнала ys (f) может быть
представлена простым степенным рядом
00 00 00
1Ш)1< S {$ • • $
п—тЦ-1 —оф —QQ
— Кпе (Ti, • •, Тп)!^!. . . dxn] |г (/) Г = (3.50)
оо
= S «ns I г (ОГ, (3.51)
п=т+1
где
оо оо
tZne — ‘ ’ ’ $ I ^1’ • • • > ^п) Кпя (^1> • • ’ , ^п) I
—00 —00
Мы хотим показать, что существует такое М, что для
| r(f) | <^М ряд (3.51) сходится.
В приложениях Кп всегда обрывается на некотором
конечном N. Поэтому для изучения проблемы сходимости
можно применить ряды
оо
Ю1 = SM *(()!">
п=1
где
00 оо
/?пе = | Кп$ (Tj, . • ., тп) | dx^. . . dxn, (3.52)
—ОО —00
ибо, начиная с некоторого N, bns = anz. Ясно, что мы долж-
ны использовать ряды (3.51) для оценки границ ошибки.
Будем действовать в двух направлениях. Во-первых, по-
кажем, какие условия являются достаточными для су-
ществования ненулевого М. Оценка М, которую мы по-
лучим этим способом, будет, вообще говоря, слишком
грубой. Поэтому, показав строго, что ненулевой радиус
сходимости существует, мы дадим эвристический подход
для определения более точного значения радиуса сходи-
мости.
Сначала обратимся к одному результату, принадлежа-
щему Бриллианту 15]. Рассмотрим систему с обратной
связью, изображенную на рис. 3.8.
Введем теперь более компактные обозначения для функ-
циональных степенных рядов
оо
Н [у] = \ Hi (т) у (t — т) dx +
—ОО
со оо
+ $ $ H2(xlt x2)y(t—Xi)y(t — T2)ar1dr2 + . .. (3.53)
—oo —oo
[Рис. 3.8. Эквивалент системы с обратной связью.
и аналогично
у = К [г] = § Лх (т) г (/ — т) dx 4-
—ОО
оо оо
+ 5 $ ^(tj, г2) г (/ —rj г (/— T2)dT1dr2 + . ...
-°0-00 (3.54)
Первый шаг состоит в выделении линейной части. Это
выделение дает систему, показанную на рис. 3.9, а. Здесь
Нп [у] обозначает все нелинейные члены из Н h/1.
а Ъ
Рис. 3.9. Выделение линейной части.
Уравнения, описывающие систему, таковы:
Г (/) - С (/) = у (/), (3.55)
c{t) = Н1 [y(f)] +Нп[у (/)]. (3.56)
6 Заказ № 604
Подставляя (3.54) и (3.55) в уравнение (3.56), получаем
г - К И = н1 1К И1 + нп 1К [г]]. (3.57)
Отделяя К, будем иметь
г - К1 [г] - Кп [г] = НЧК1 [г]] + НЧКп [г]] +
+ ЯЧКИ]. (3.58)
Приравнивая члены, линейные по г, получим хорошо
известное линейное соотношение
= <3-59>
При этом соотношение (3.58) принимает вид
Кп [г] = — К1 [Нп [К ИЛ. (3.60)
Мы хотим показать, что существует некоторая ненуле-
вая граница для г (/), которая обеспечивает ограничен-
ность у (t). Как и в неравенстве (3.50), имеем
1П0К S an\r(f)\n = BK(r). (3.61)
п— 1
Таким образом, В к (г) является функцией от г и представ-
ляет собой границу для модуля выходного сигнала у (/).
Аналогично для члена в правой части соотношения (3.60)
можно написать
z (0 = — К1 [Нп [у (0Л (3.62)
и
1 Z (/) | < § Сп | У (0 Г = Вр. = Bf (К (3.63)
п=1
/•де
оо оо
Сп = $ • • • 5 |А1(т) Нп (тъ т2,..., .. dxn. (3.64)
—ОО —00
Из уравнения (3.60) можно заключить, что
К И = К1 [г] +кп И = К1 [г] - К1 [Я" [К ИЛ. (3.65)
Подставляя это в функцию, определяющую границу, по-
лучаем
Вк (г) < | г | + Вр (Вк (г)), (3.66)
где Ai было определено выше в виде
01 = J ] /<1 (т) | dr. (3.67)
—00
Таким образом,
Ir I >4 (г) - (В«(г))]- (3-68)
Легче всего получить решение, построив график г как
функции Лк (/) и находя затем обратную функцию гра-
фически. Рассматривая (3.68) как равенство, будем иметь
[ г | = ± [Вк (г) - Вр (Вк (г)) 1. (3.69)
U1 — — —
Построим график |г|, полагая, что Вк (г) возрастает от
нуля. Максимум |г| равен верхней границе радиуса схо-
димости. Так как Вр (г) не содержит постоянных членов,
то всегда существует е, такое, что BF (е) 1. Существо-
вание 01 является необходимым и достаточным условием
для того, чтобы система в целом имела ненулевой радиус
сходимости.
Теперь надо показать, при каких условиях этот резуль-
тат применим к нашей задаче.
Сначала рассмотрим задачу последовательной компен-
сации. Ясно, что системы, изображенные на рис. 3.10, а и
3.10, Ь, эквивалентны. Для того чтобы применить выше-
изложенные результаты, надо показать, что каскад из по-
следовательного компенсатора С а и неизменяемых элемен-
тов F может быть представлен функционалом Н с нену-
левым радиусом сходимости. Кроме того, потребуем, чтобы
линейное замкнутое ядро К1 было ненулевым и устойчи-
вым Ч
Далее, для того чтобы каскад из двух элементов можно
было представить функциональным степенным рядом, каж-
V Здесь нам требуется устойчивость при небольших изменениях
параметра. Для этого нужно, чтобы неизменяемые элементы также были
минимально-фазовыми. См. рассуждение на стр. 93.
дый из этих элементов должен быть представим в этой фор-
ме. Последовательный компенсатор имеет конечное число
членов. Поэтому если каждый член ограничен, то Сд
имеет бесконечный радиус сходимости. Функциональное
представление неизменяемых элементов состоит из беско-
нечного числа членов. Можно показать, что необходимым и
достаточным условием для того, чтобы функциональный
а Ъ
Рис. 3.10. Эквивалент последовательной компенсации.
степенной ряд имел ненулевой радиус сходимости, является
устойчивость линейной аппроксимации неизменяемых эле-
ментов.
Линейной аппроксимацией замкнутой цепи является
1 — ($). Она будет ненулевой и ограниченной, если
Ki (s) устойчиво и не равно 1.
В случае систем с обратной связью системы на
рис. 3.11, а и 3.11, b эквивалентны. Требования к каскаду
те же самые, что и в случае последовательной компенсации.
а Ъ
Рис. 3.11. Эквивалентные системы с обратной связью.
Определим теперь линеаризованные неизменяемые эле-
менты, которые имели бы передаточную функцию (s).
Непосредственно видно, что ядром первого порядка для
замкнутой цепи будет [TCj (s)]/[ (s)J. Оно будет устойчи-
вым и ненулевым, если:
(а) Требуемое ядро фильтра первого порядка является
устойчивым и ненулевым.
(Ь) Линейная аппроксимация неизменяемых элементов
имеет минимально-фазовую передаточную функцию.
Таким образом, мы получили систему условий, гаран-
тирующих ненулевой радиус сходимости для нашего ком-
пенсирующего решения. Ясно, что употреблявшаяся про-
цедура определения границы дает малообнадеживающий
результат. Это происходит потому, что полученная нами
граница не учитывает сдвига фаз.
Типичный результат проиллюстрируем на следующем
примере.
Пусть неизменяемые элементы описываются линейной
минимально-фазовой передаточной функцией
(s) _ — р (А (3 то)
X(s)“ Gy(s) - ? (3'70)
Пусть желаемая операция изображается двумя ядрами:
($) И Кз (Sl, S2, $з) = OcKl (Si + $2 + $з).
Применяя алгоритм для компенсации в цепи обратной
связи, получаем
<3-71)
Сз (sn s2, S3) = , (3.72)
П Ki(se)
i—1
c6 (Slt s2..s5) = --- (3.73)
1Щ)
и T. Д.
Будем теперь обрывать компенсатор при различных п и
определять радиус сходимости полученных рядов. Сис-
тема может быть представлена в виде, показанном на
рис. 3.12, а — 3.12, с.
В силу (3.69),
В К (г)- 5 ('•))"
ld = —------------------------• (З-74)
Требуется найти гтах как функцию от Вк (г) для каж-
дого последующего tn. Из выражения (3.74) видно, что
Рис. 3.12. Укороченная компенсирующая система.
Л шах ЯВЛЯеТСЯ функцией К.1- Рассмотрим типичное ядро —+ 1 ^) = -ттг- (3-75>
Тогда | (/) \dt = 1,01. (3.76)
Для того чтобы вычислить различные сп, найдем сна-
чала интеграл от модуля весовой функции, соответствующей
1//С1 (S).
Вычисление дает
ОО
$ | V (О I dt = 1,00. (3.77)
Аппроксимируя 1,01 единицей, приводим уравнение
(3.74) к виду
т
| г| = Вк (г) -^сп(Вк (г))п. (3.78)
Первые четыре уравнения будут иметь вид
\г\ = 2 — а?3, т = 3, (3.79)
| г\ = 2 — ы? — Зое2?5, tn = 5, (3.80)
| r\ = z — а?3 — За2?5 — 12а3?7, т = 7, (3.81)
| г | = 2 — а?3 — За2?5 — 12а3?7 — 55а4?9, т = 9, (3.82)
где для упрощения обозначений мы положили ? = В к (х).
0,3
0,2
0,1
3 5
1
Рис. 3.13. Граница радиуса сходимости.
Максимизируя, получаем функцию, изображенную на
рис. 3.13.
Мы видим, что прибавление компенсирующих ядер,
улучшающее нашу систему, вызывает убывание оценки
границы радиуса сходимости. Это следует непосредственно
из примененной здесь процедуры установления границы.
В силу того что функция, представляющая оценку
радиуса сходимости, имеет вид, противоположный нашим
интуитивным ожиданиям, мы хотели бы найти менее гру-
бую оценку. Хотя и можно записать выражение для п-го
члена ряда, которым выражена ошибка, оно слишком сложно
для аналитических исследований. Чтобы получить более
реалистическую оценку радиуса сходимости, применим
эвристический подход. Вычислив конечное число членов
ряда, можно получить оценку соотношения между n-м и
(и+ 1)-м членами. Используя эту оценку, найдем действитель-
ный радиус сходимости. Для иллюстрации метода вычис-
лим действительный радиус сходимости разобранной выше
системы.
Пусть компенсация оборвана при т = 3. Результи-
рующими неточными ядрами будут
Ass = За2Ki ($i 4~ • • • 4~ 5б), (3.83)
А7е - 9а3^ (S1 + . . . + s7). (3.84)
Если продолжить до п = 25, то мажорирующий ряд будет
таким:
00
(f) < 3a2r5 [ 1 + баг2 + (баг2)2 + . . . ] § | (т) | dr. (3.85)
—ОО
Для сходимости этого ряда нужно, чтобы выполнялось
условие
1 2 1/1 . . 0>408
|аг |<т или | г| < •
Повторяя этот процесс для п = 5, 7 и т. д., получаем кри-
вую, приведенную на рис. 3.13. Так, для п = 3 наша оцен-
ка, полученная при изучении конечного отрезка ряда
ошибки, практически совпадает с точной оценкой. При уве-
личении'п’разность между приближенной границей и точной
границей возрастает. Причина этого ясна. Когда мы изу-
чаем конечный отрезок ряда и затем экстраполируем, то
мы учитываем фазовые погашения, которые действительно
существуют. Применяя же первоначальный способ огра-
ничения, мы не смогли этого сделать,
В этой главе был продемонстрирован метод, позволя-
ющий синтезировать замкнутую систему регулирования,
которая моделирует любую реализуемую операцию филь-
трации. Результаты всегда получаются в виде, подходя-
щем для синтеза. Изучен эффект обрыва ряда. Показаны
достаточные условия на неизменяемые элементы и желае-
мую операцию, гарантирующие конечность радиуса схо-
димости. Доказано на примерах, что, где бы ни оборвать
компенсирующий ряд, величина входного сигнала должна
быть ограничена для того, чтобы действительный выход
был близок к желаемому выходу. В гл. 4 мы рассмотрим
другую схему компенсации, при которой не возникают
рассмотренные здесь трудности.
Глава 4
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОМПЕНСАЦИИ
В ЗАМКНУТОЙ ФОРМЕ
1. Фильтры Винера. В гл. 3 был изложен алгоритм,
который приводил к желательной схеме компенсации, ис-
ходя из заданного вида неизменяемых элементов. Мы ви-
дели, что существенной частью решения было исследова-
ние сходимости функционального степенного ряда. Возни-
кает естественный вопрос: нельзя ли предварительно от-
фильтровать сигнал на входе неизменяемых элементов так,
чтобы результирующий компенсатор выражался в конеч-
ной форме и, таким образом, решение было бы пригодным
при любом входном сигнале.
Для мотивировки нашего подхода к основной задаче
рассмотрим линейные неизменяемые элементы. Требуется
найти такую точную форму компенсатора, чтобы оконча-
тельная форма системы в целом в точности выполняла
желаемую операцию нелинейной фильтрации.
Легко показать [11], что обе схемы на рис. 4.1, а и 4.1, b
идентичны. Ясно, что и схема на рис. 4.1, с совпадает
с ними. Так как неизменяемые элементы линейны, то об-
ратные по отношению к ним элементы легко вычисляются.
Остается лишь построить К-1. Вообще, К имеет форму
цепи Винера D. Если попытаться конструировать К-1 в виде
другой цепи Винера, то нужно будет снова рассмотреть
проблему сходимости. Чтобы избежать этого, будем синте-
зировать К~1 как систему с обратной связью. Рассужде-
Следует вспомнить, что в гл. 2 мы показали эквивалентность раз-
ложения Вольтерра и винеровской характеризации нелинейного фильт-
ра. Для методов, изложенных в гл. 3, наиболее полезным было представ
ление Вольтерра. Когда мы действительно строим нелинейный фильтр
(см. ссылки [31]; [4], [8]), то результирующий фильтр первоначально
получается в форме винеровской цепи. В этой главе непосредственно
употребляется нелинейный фильтр, и мы называем его цепью Винера.
Ясно, что различие здесь только в словах.
ния, подобные методам составления схем вычислений на
аналоговых вычислительных устройствах, показывают, что
Рис. 4.1. Эквивалентные системы.
система, изображенная на рис. 4.2, Ь, является обратной
по отношению к системе на рис. 4.2, а.
Применяя обращение, показанное на рис. 4.2, Ь, в блок-
схеме рис. 4.1, Ь, получаем замкнутую систему, в которую
входят лишь компоненты исходного фильтра. Два экви-
валентных способа построения такой системы показаны
на рис. 4.3, а и 4.3, Ь. Не следует, однако, считать, что
любую линейную систему можно так компенсировать,
чтобы получить любую нелинейную операцию винеровской
фильтрации в виде реакции замкнутого контура. Из обыч-
ной линейной теории управления можно заключить, что
последнее невозможно.
Ограничения, наложенные в гл. 3 на неизменяемые эле-
менты, также указывают на это.
Чтобы показать трудности, возникающие при примене-
нии этой компенсирующей схемы, рассмотрим простую
схему компенсации в цепи обратной связи вида, показан-
ного на рис. 3.2.
&
Пусть неизменяемые элементы представляют собой ли-
цейну10 системУ с весовой функцией
h (0 = и0 (f) — 2еЧ (4.1)
а
Рис. 4.2. Обращение винеровской цепи.
Соответствующая передаточная функция системы будет
Re(s)> —1. (4.2)
Пусть операция определяется линейным фильтром
Л, W - ~ (4.3)
Чтобы получить такую передаточную функцию для замк-
нутого контура, необходимо, чтобы компенсатор имел сле-
дующую передаточную функцию1’:
Re (s) > 1. (4.4)
Заметим, что наличие в контуре неустойчивого элемента
не обязательно приводит к плохим результатам. Пока-
Следует заметить, что мы выбрали область сходимости так, что
q (s) физически возможна, но неустойчива.
жем, что происходит при произвольно малом сдвиге по-
люса в Cf (s). Пусть
с? <s> = • <4-5>
Передаточная функция замкнутой системы будет
TJs) = [s —(1 + в)] [s-П ,4 m
/?($) s3—(34-8)s + (2 —8) ’
которая, очевидно, неустойчива для любого ненулевого 8
Этот пример является отражением того известного факта,
что не минимально-фазовые неизменяемые элементы накла-
дывают определенные ограничения на возможности систе-
мы регулирования. Иначе это можно выразить так: любой
Рис. 4.3. Нелинейный регулятор.
неизменяемый элемент, обращение которого устойчиво и
физически возможно, не налагает никаких ограничений
на систему регулирования. Это относится также и к не-
линейным системам. Таким образом; любой неизменяемый
элемент, линейный или нелинейный, обладающий физиче-
ски возможным устойчивым обращением, может быть ком-
пенсирован, как показано на рис. 4.3, так что замкнутая
цепь будет выполнять ту же операцию фильтрации, что и
любая винеровская цепь. Основная задача и состоит в на-
хождении подходящего критерия проверки устойчивости
обращения нелинейных неизменяемых элементов. Она будет
исследована в гл. 5.
Важно отметить, что устойчивость К-1 не требуется.
В цепи непрерывной нелинейной системы могут находиться
неустойчивые элементы, и при этом возможно иметь замк-
нутую цепь, остающуюся устойчивой при изменении пара-
метра.
Фильтр винеровского типа может представлять произ-
вольную нелинейную систему, подчиняющуюся ограниче-
ниям гл. 2. Часто легче действовать с менее общей, но бо-
лее простой схемой фильтра. В следующем разделе мы рас-
смотрим несколько более простых фильтров и построим
соответствующие им схемы системы управления.
2. Простые нелинейные фильтры. Рассмотрим простой
каскадный фильтр на рис. 4.4. При помощи структурных
преобразований можно показать, что обе системы управле-
ния на рис. 4.5 эквивалентны системе на рис. 4.4. Каждая
Линейное Нелинейность Линейное
звено без памяти звено
Рис, 4.4. Простой каскадный фильтр.
У
система управления на рис. 4.5 может быть преобразована
в произвольно длинный каскад из линейных и нелинейных
элементов без памяти, показанный на рис. 4.6. Единствен-
ным ограничением в этих схемах является то, что нелиней-
ные элементы без памяти обратимы. Линейные элементы
фильтра могут быть произвольными.
Покажем на примере преимущество описанных выше
простых нелинейных схем компенсации. Пусть неизменяе-
емые элементы имеют линейную передаточную функцию
У (s) _ Л
X (s) ~ s (s + *т) '
(4-7)
Здесь тт — постоянная времени двигателя, а Л — регу-
лируемый коэффициент усиления. Входной сигнал г (t)
состоит из сигнала S (0 и аддитивного шума N (f). Мы хо-
тим спроектировать компенсатор так, чтобы выход замк-
нутой системы аппроксимировал S (О в среднеквадрати-
ческом смысле.
Статистика входного сигнала такова:
(а) Шум N (t) является выборочной функцией гауссового
процесса с нулевым средним и единичной дисперсией.
Р и с. 4. 5. Эквивалентные схемы систем управления.
(Ь) Сигнал S (0 получается при прохождении выбороч-
ной функции т (/) независимого гауссового процес-
са с нулевым средним и единичной дисперсией через
нелинейный функциональный преобразователь, ко-
торый является эрмитовым полиномом второго по-
рядка:
5 = Hi [mJ/)] _ m2 (/) — 1 . -4 g.
(с) Случайные функции S (f) и N (/) некоррелированы.
Автокорреляционные функции
- Ф ssCO = Ф»н СО = е"1 т С (4.9)
Так как линейный фильтр использует только инфор-
мацию о спектре, то методика Винера — Хопфа дает про-
стой аттенюатор (усилительное звено) и нормированная
среднеквадратическая ошибка равна единице. Необходима
некоторая форма нелинейной фильтрации. Один эффектив-
ный и в то же время простой метод дан Лаббоком [17].
Так как его работа доступна и хорошо изложена, то мы
приводим лишь сами результаты. Для этого примера Лаб-
бок нашел оптимальный фильтр с нулевой памятью и оп-
тимальный фильтр с памятью класса, показанного на
Рис. 4.6. Произвольный каскадный фильтр.
рис. 4.7. Для фильтра с нулевой памятью он получает
функцию
у = 0,0005х5 — 0,0087х4 + 0,0182х3 + 0,2478х2 +
+ 0,4772% — 0,2246, (4.10)
Напомним, что оптимальным фильтром без памяти, удовлетво-
ряющим условию минимума среднеквадратической ошибки, будет функ-
ция Ps/r(yiz)—условная вероятность s при заданном г. Плотности ве-
роятности для г, s и п известны. Тогда
Ps/r (z/y) Р„ (у)
pslr(ylz) = .
Так как шум аддитивен, то
Рг/s <г!У>= Рп (Z —У)-
Таким образом, оптимальный фильтр без памяти можно определить
при помощи известных функций. Остальная часть задачи в случае от-
сутствия памяти будет чисто вычислительной.
которая изображена на рис. 4.8. Результирующая норми-
рованная среднеквадратическая ошибка равна 0,72.
Для фильтра с памятью рассматриваемого им класса
оптимальный фильтр дан на рис. 4.9. В этом частном случае
Рис. 4.7. Один класс нелинейных фильтров.
Рис. 4.8. Оптимальный фильтр без памяти
Рис. 4.9. Оптимальный фильтр класса, показанного на рис. 4.7.
минимальная среднеквадратическая ошибка также равна
0,72.
Из рассуждений предыдущего раздела видно, что фильтр
с нулевой памятью является частным случаем системы,
изображенной на рис. 4.5. Поэтому система на рис. 4.10, а
дает тот же эффект,^ что и фильтр с нулевой памятью
7 Заказ № 604
Лаббока. Кривая h (#), изображенная на рис. 4.10, &, найдена
графически.
Аналогично операцию фильтрации на рис. 4.9 можно
построить при помощи замкнутой цепи, показанной на
рис. 4.11.
Рис. 4.10. Оптимальная система
регулирования I.
Инженер-практик, возможно, будет озабочен двумя
моментами нашего построения. Во-первых, в нашем по-
строении присутствует идеальный дифференциатор. Во-вто-
рых, оказывается, что линеаризованная модель имеет по-
ложительную единичную обратную связь. На оба замеча-
ния легко ответить.
>Внутренний контур рис. 4.11 для больших А может
быть заменен системой, изображенной на рис. 4.12.
На практике А должно быть лишь столь большим, что-
бы системы были эквивалентными лишь на некотором до-
статочно важном интервале частот. Вся система имеет
строение, показанное на рис. 4.13. Для нелинейного ре-
гулятора нужны в качестве звеньев лишь нелинейный
потенциометр и простая упреждающая цепь. • Вычисляя
Р и с. 4. 11. Оптимальная система регулирования II.
Рис. 4.12. Аппроксимация внутреннего контура
Рис. 4.13. Аппроксимация оптимальной
системы регулирования.
линеаризованную модель, увидим, что единичная обратная
связь на самом деле не появляется. Таким образом, нашу
конструкцию можно осуществить практически.
7*
Мы объяснили, каким образом любую последователь-
ность неизменяемых элементов, имеющих устойчивое об-
ращение, можно скомпенсировать так, чтобы замкнутая
система в точности воспроизводила желаемую нелинейную
операцию. Желаемая операция может быть выражена либо
в виде произвольной цепи Винера, либо в виде комбинации
линейных цепей и нелинейных цепей без памяти. Практи-
ческое применение такой схемы продемонстрировано на
примере. Для применения этой методики сначала нужно
проверить обращение на устойчивость. Как это сделать,
будет показано в гл. 5.
Глава 5
УПРАВЛЯЕМОСТЬ НЕИЗМЕНЯЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Рассмотрим теперь обратимость нелинейных неизменя-
емых элементов. Другими словами, для какого класса не-
изменяемых элементов можно найти такое физически воз-
можное устойчивое устройство, чтобы, подключив его
последовательно с неизменяемыми элементами, как пока-
зано на рис. 5.1, мы получили коэффициент передачи всей
системы, равный единице.
Рис. 5.1. Обращение.
Содержание этой главы делится на три основные части.
В первом разделе мы изучаем такие неизменяемые элемен-
ты, у которых устойчивость обращений почти очевидна.
К счастью, класс этих неизменяемых элементов достаточно
широк. Во втором разделе рассмотрим более сложные об-
ращения. Мы рассмотрим, как при помощи функций Ля-
пунова исследовать устойчивость в большом обращений
с одним положением равновесия. Этот раздел является
в основном описательным. В последнем разделе мы рас-
смотрим произвольные нелинейные обращения. Переходя
от представления в виде дифференциального уравнения
к функциональному представлению, можно использовать
Для исследования устойчивости методы, разработанные
в предыдущих главах.
1. Обращение нелинейной системы. Для иллюстрации
задачи обращения рассмотрим неизменяемые элементы,
описываемые дифференциальным уравнением
ах3 + Ьх2х + х = у2 ay by -\-су.
(5-1)
При помощи методов составления схем на аналоговых
вычислительных машинах можно построить обращение
в виде, показанном на рис. 5.2.
Рис. 5.2. Динамическое обращение.
Заметим, что подсистема, находящаяся слева от проме-
жуточной переменной г, устойчива. Таким образом, нам
нужно исследовать лишь устойчивость системы между z
и х. Наиболее общее уравнение, которое нам надо исследо-
вать на устойчивость, имеет вид
z (0 = Р (х, х, х, х(г)). (5.2)
Прежде чем рассматривать общий случай устойчивых
обращений, рассмотрим самый простой случай, когда эле-
менты сепарабельны х). Назовем неизменяемые элементы
сепарабельными, если они могут быть представлены в виде
каскада, состоящего из линейных устройств с памятью и
нелинейных устройств без памяти. Такая система изобра-
жена на рис. 5.3, а. Для простейшего случая (рис. 5.3, Z>)
дифференциальное уравнение будет следующим:
z = f [L (х)1. (5.3)
В более общем случае линейная передаточная функция
будет иметь вид
L (5-4)
Термин «сепарабельный» употребляется здесь в ином смысле по
сравнению с гл. 2. Различие будет ясно из дальнейшего.
Таким образом, в общем случае дифференциальное уравне-
ние будет иметь вид
А (х) = В (Г1 (5:5)
Обратный случай показан на рис. 5.3, с. Здесь
A (g [х]) =B(z). (5.6
1
d
Рис. 5.3. Сепарабельные неизменяемые элементы.
Очевидным примером этого случая будет мотор с на-
сыщением (рис. 5.3, d). Дифференциальное уравнение имеет
вид
х — (г + тг)5. (5.7)
С более длинными каскадами можно поступать анало-
гично. Ясно, что обращение можно построить в виде про-
стого каскада, состоящего из обращений каждого элемента.
Это построение возможно, если все нелинейные элементы
без памяти имеют обратные. Обращение будет устойчивым,
если дсе линейные элементы являются минимально-фазот
выми. Для функций с одной переменной обращение опре-
деляется непосредственно. Если отображение взаимно
однозначно, то обращение единственно. В качестве примера
неединственного обращения может служить функция без
памяти на рис. 5.4, а.
Неизменяемые элементы
Неизменяемые элементы
с
Рис. 5.4. Неизменяемые элементы и их обращения.
Легко проверить, что (г), показанная на рис. 5.4, Ь9
является, несмотря на неединственность, удовлетворитель-
ным обращением.
Рассмотрим теперь систему на рис. 5.4, с. Выходной
сигнал неизменяемых элементов равен либо 4-1, либо
—1. Поэтому только z = +1 или z = —1 могут быть
пропущены через систему с единичной передачей. Область
z\ — 1 < z < 1 исключается вследствие разрыва. Область
z\ |з| > 1 пропущена из-за нулевого наклона над двумя
цолубесконечными интервалами. Существуют лишь два
условия, когда не существуют обращения устройств без
памяти.
Большое число существующих неизменяемых элементов
входит в категорию сепарабельных. Мы увидим, что по-
строение устойчивых обращений может быть выполнено
непосредственно.
Простой, но не тривиальный случай доставляет диффе-
ренциальное уравнение
L [х] + х3= z. (5.8)
Для исследования устойчивости обращения этого диф-
ференциального уравнения требуется более общий подход.
2. Задача об устойчивости в большом для обращений.
Первым шагом в исследовании устойчивости решений диф-
ференциального уравнения
z = Р (х, х, . . х(г)) (5.9)
будет уточнение нашего определения устойчивости. В этом
разделе будем исследовать асимптотическую устойчивость
нулевого, решения уравнения (5.9)
z = 0, х = х = х = ... = х<г) = 0
(в векторных обозначениях xz = 0).
Система асимптотически устойчива в некоторой области,
если при любых начальных условиях (хо, хо, хо, . . ., х*^-1’)
в этой области соответствующее решение стремится к хг
при t-^oo. Если эта область для всех переменных произ-
вольно велика, то система называется абсолютно асимп-
тотически устойчивой или асимптотически устойчивой в
большом. Ясно, что устойчивость в большом в нашей
задаче наиболее полезна, так что будем прежде всего
изучать ее.
Достаточные условия асимптотической устойчивости мож-
но установить с помощью второго метода Ляпунова. Этот ме-
тод принадлежит А. М. Ляпунову[ 19] и широко применяется
в работах советских авторов. Переведенные недавно работы
А. И. Лурье [181 и И. Г. Малкина [20] вызвали интерес
в США. Недавние статьи Калмана [13], Каннингхэма [9]
Гибсона [12] способствовали лучшему ознакомлению амери-
канских читателей с результатами советских авторов. Мы да-
дим краткий обзор необходимых нам результатов и пока-
жем их применение к задаче обращения.
Ляпунов доказал, что достаточным условием асимптоти-
ческой устойчивости системы является существование функ-
ции Ляпунова, обладающей определенными свойствами.
Эта функция Ляпунова является скалярной функцией вре-
мени и координат системы. Это квадратичная функция пе-
ременных, обобщающая понятие энергии. В нашем случае
обозначим состояние системы вектором х, i-й компонентой
которого является (i—1)-я производная от х.
Для выполнения достаточного условия нужно найти
функцию V(x) такую, что
(а) V (х) > 0 ДЛЯ X =f=x8, (5.10)
(Ь) . = V (х)< 0 для х=/= xs, (5.11)
(с) V (х) = 0 ДЛЯ X —Хе, (5.12)
(Ф V (х) -> оо ДЛЯ || X || ХТХ -» оо. (5.13)
Для абсолютной устойчивости мы должны ограничиться
системами с одним положением равновесия. Если бы су-
ществовало еще одно положение равновесия, например
х*, то условие (Ь) не выполнялось бы, ибо V1 (xj) = 0.
Результаты, которые мы получим для однородного случая,
можно применить непосредственно, если рассматривать
ограниченные по времени и величине входные сигналы.
Другими словами, если входной сигнал z (t) начинается
в некоторый' момент времени—То и заканчивается при
t = 0, то состояние системы в момент времени t = 0 можно
принять в качестве начальных условий и исследовать
устойчивость однородной системы. Прежде чем заняться
методами построения функции Ляпунова, приведем простой
пример, предложенный Каннингхэмом [9]. На рис. 5.5
изображена пассивная линейная схема.
Уравнения системы таковы:
[A] et где[Л] = |—__g|- (5.14)
Наиболее очевидная функция Ляпунова — энергия системы
W(e):
1_
2
о
о
1
W(e) = еТ
e=iel+el‘
(5.15)
Функция W (е) является положительно определенной,
условие (5.11) выполнено, так как ее производная по вре-
мени
W (е) = — 4 (ег + е2)2 — 8е22 (5.16)
отрицательно определенна. Отсюда приходим к очевидному
для данной задачи заключению, что система устойчива.
1/4
Рис. 5.5. Линейная схема.
В устойчивой линейной системе энергию системы всегда
можно принять за функцию Ляпунова. Другой функцией
Ляпунова для этой системы будет следующая функция:
V[el = ^.|J *|.е, (5.17)
удовлетворяющая всем требуемым условиям.
Для нелинейных систем обычно требуется более общая
функция, чем энергия. Пока еще нет непосредственных
методов построения функций Ляпунова для нелинейных
систем. Вместо того чтобы рассматривать функции Ляпуно-
ва, соответствующие отдельным дифференциальным урав-
нениям, изучим метод, разработанный Лурье [18] для ис-
следования некоторых классов дифференциальных уравне-
ний.
Рассматриваются два класса дифференциальных урав-
нений (заметим, что эти уравнения описывают систему,
обратную нашей исходной).
Класс I
xk = 3 bkaxa + hkf (<з) (k = 1, . . n), (5.18)
а=1
6 = SMs, (5.19)
f (0) = 0, < af (6) < c^. (5.20)
Класс II
Xk = S Ma + nkl (k = 1, . . n), (5.21)
a=l
I = f (a), (5.22)
a = 3 isXs — s|. (5.23)
s=i
Физически эти уравнения можно интерпретировать как
уравнения системы с обратной связью, показанной на
рис. 5.6, а и 5.6, Ь. Типичная f (а) изображена на рис. 5.6, с.
Заметим, что не обязательно точно задавать f (а). Достаточ-
но потребовать, чтобы она удовлетворяла условиям (5.20).
Систему уравнений (5.18)— (5.20) и (5.21) — (5.23)
всегда можно привести к следующему виду [18]:
Класс I
Ур = Мр + f (б) (р=1, • • п), (5.24)
б=3 Vp' (5-25)
р=1
Класс II
УР = Мр + f (б) (р = 1, • • ., п), (5.26)
б = 3 $рУр — rf (з). (5.27)
Р=1
Эти системы показаны на рис. 5.7, а и 5.7, Ь. При помощи
простых преобразований систем на рис. 5.7, с и 5.7, d
можно видеть связь этих систем с нашим первоначальным
дифференциальным уравнением.
Единственным уравнением, описывающим схему, изо-
браженную на рис. 5.7, с, будет либо
п-1 гг п
S [a/Sz] w + 7"1 3 bisf Ы = z, (5.28)
Л=0 LLz=_0 J J
Рис. 5.6. Системы с обратной связью в канонической
форме Лурье.
с d
Рис. 5.7. Измененная форма систем с обратной связью.
либо
«= г, (5.29)
где z (/) = 0 при t = 0.
Уравнение, описывающее рис. 5.7, d, будет иметь вид
[S +/-1[s[S М] а»] = •?, (5.30)
f [S s[S = z, (5.31)
где z (t) = 0 при t = 0.
Ясно, что дифференциальное уравнение
п п
g [[2 и»] + А [[2 и>] = z (5.32)
/=о /=о
также включается сюда. В уравнениях (5.28) — (5.32)
/ (ст),(ст),£(о) и й (ст) должны удовлетворять условиям
(5.20), как это показано на рис. 5.6, с.
Для системы уравнений (5.18)—(5.20) подходящая
функция Ляпунова будет следующей:
п п
.(5.33)
а=1 /3=1 а Р
Лурье показал, что разрешимость системы уравнений
п
- 2аР 3 Ч +1- + Гр = 0 (5.34)
а=1 Л« + АР .
(р=1,..,п)
дает гарантию того, что F удовлетворяет условиям устой-
чивости.
Для системы уравнений (5.21) — (5.23) подходящей
функцией Ляпунова будет
п п G
(5.35)
«м “+ в
и в силу разрешимости системы уравнений
п
- 2ар V~r - 2ар 2 -Л- + = 0 (5-36)
а=1 А« + АР
(р=1,..,п)
функция Г2 удовлетворяет условиям устойчивости.
Лурье исследовал необходимые условия разрешимости
систем уравнений (5.18) — (5.20) и (5.21) — (5.23). Области
устойчивости по первоначальным параметрам системы были
исследованы для п = 3 и 4. Эти области соответствуют до-
статочным условиям устойчивости системы. Чтобы опреде-
лить систему необходимых условий, рассмотрим функцию
fh (ст) = Лст; Q < /г< с2- (5.37)
Она определяет линейную систему, которая легко иссле-
дуется. Таким образом, получаются необходимые условия.
Так, для п = 2 (см. [24]) найденные таким способом необхо-
димые условия совпадают с достаточными. Таким образом,
для п = 2 достаточно провести исследование линеаризо-
ванной системы. В качестве примера рассмотрим уравне-
ние
(ах + bx + сх)3 + dx + е = z (/). (5.38)
Эго уравнение принадлежит к классу уравнений (5.28)
при п = 2
/_1 [CqS8 ~h ^os И- г0] И- dgS e0 = z (f). (5.39)
Достаточно исследовать корни алгебраического уравнения
(a0s2 “Ь ^os + со) + (do8 + ео) — 0 (5.40)
для всех h£ [0, оо) (здесь = 0 и са = °°)-
Применение критерия Рауса дает
а > 0, b + hd^> 0, c + he^O, (5.41)
откуда следует, что условия
а > 0, 6 > 0, с > 0, d > 0, е > 0 (5.42)
необходимы и достаточны для устойчивости.
В этом разделе мы показали классическую методику,
которая применима для исследования устойчивости обра-
щений неизменяемых элементов. Если обращение не явля-
ется абсолютно асимптотически устойчивым, то следующим
шагом будет попытка установить асимптотическую устой-
чивость в некоторой области. В статье Ла-Салля [14] при-
ведены новейшие исследования для однородных дифферен-
циальных уравнений.
Для абсолютной устойчивости было легко перейти от
однородного к неоднородному случаю. Однако для устой-
чивости в конечной области не ясно, какие условия нужно
накладывать на входной сигнал в конечном прошлом, чтобы
иметь гарантию, что при t = t0 «начальные» условия будут
находиться внутри области устойчивости. Метод, сразу
дающий границу г (f), состоит в применении функциональ-
ных степенных рядов.
3. Применение разложения в ряд при исследовании
устойчивости. Рассмотрим снова дифференциальное урав-
нение для обращения
z = Р (х, х, . . ., х^). (5.43)
Запишем соотношение между входом и выходом в виде
функционального степенного ряда
х (t) = (т) z(t — т) dx +
—ОО
ОО 00
+ ^2 (Ti> тг) z (/ — z (t—т2) dxjdx^.... (5.44)
-со -оо
Как указывалось в гл. 3, один метод построения ряда
состоит в применении алгоритма Q™. Для дифференциаль-
ных уравнений класса (5.43) функциональный степенной
ряд всегда бесконечен. Поэтому надо найти его область
сходимости. Вместо того чтобы непосредственно решать
эту задачу, покажем, как применить к ее решению резуль-
таты раздела 4 гл. 3. Сначала перепишем дифференциальное
уравнение, отделив его линейную часть
z = L [х] + Рп (х, х, х<г»), (5.45)
где Рп не имеет линейных- членов. Это уравнение можно
представить в виде системы с обратной связью, изображен-
ной на рис. 5.8, а. В этой схеме L"1 [х] имеет передаточную
функцию без нулей
£(S) — п
Линейный элемент можно передвигать по любому из
направлений. Это дает систему линейных элементов, в ко-
торой содержится вся память системы. Передаточные функ-
ции будут иметь вид
М/ («) = ---• (5-47)
2 а/
/=0
8 Заказ № 604
Рис. 5.8. Дифференциальное уравнение в форме
системы с обратной связью.
Запишем теперь нелинейный элемент в виде суммы
членов второго порядка, третьего порядка и т. д.
Рп (х, х, . . ., х^) = Р2(х,'х, . . х(г>) 4-
+ Р3 (х, х, . . ., х(г>) + . . . + Рщ (х, х, . . х(г))- (5.48)
Теперь систему можно представить в виде последователь-
ности ядер К.2, . . ., Кт, преобразования которых можно
построить методами, изложенными в гл. 3. Например, если
Р2 (х, х, . . ., x<r>) = Ь±х2 + Ь2хх + Ь3хх, (5.49)
ТО
(si> ?г) — Mi (sx) (s2) + й2/И1 (si) М2 (s2) +
+ 63М2 (S1) М3 (s2). (5.50)
Так как Рп (х, . . х<г)) имеет конечное число членов,
то если все Mj (s) (/ — 0, . . г) имеют ограниченные ве-
совые функции, то и все ядра высшего порядка будут иметь
ограниченные весовые функции.
Таким образом, для того чтобы можно было применить
доказательство, аналогичное примененному при опреде-
лении радиуса сходимости в гл. 3, необходимо и достаточно
показать, что Mj (s) (j = 0, 1, . .., г) соответствуют огра-
ниченным весовым функциям. Это верно тогда и только
тогда, когда
(1) г<п,
(2) не имеет корней в правой полуплоскости.
»=0
Первое требование состоит в том, что если считать
Р (х, х, . . ., х<г>) функцией г переменных, то линейное
приближение по каждому из г переменных должно быть
ненулевым. Физические системы обычно (но не всегда)
удовлетворяют этому критерию. Второе требование состо-
ит в том, что линейное приближение должно быть устой-
чивым. Это требование для соответствующего (5.43) одно-
родного уравнения хорошо известно [3]. Пользуясь клас-
сическим методом, мы, однако, не можем определить
размер области устойчивости. К приведенным выше диффе-
ренциальным уравнениям можно применить приемы гл. 3
для определения постоянной границы области устойчи-
вости. Рассмотрим, например, дифференциальное уравне-
ние
z — х 4- Зх 4- 2х----y [х2 4- 2х (х)Р. (5.51)
Это уравнение можно привести к форме, изображенной
на рис. 5.8, Ь, причем
Kt. (slt sa) = (sj + (si + 2) • (S2 + (S2 + 2) • (5.52)
Кз (Si, S2, Ss) = (Sl + 1)(si + 2)
x_______________________s*__________
. («3 +1) (s3 + 2) 4 '
' (s2 + 1) (Sa + 2)
a
Соответствующие константы будут
ОО ОО ОО
I ^2 (Ti> т2) I dxydx2 = Q | -g- (е т е 2т) | dx~^ =
0 0 о
(5.54)
и
оо оо оо
| k3 (т1? т2, Гз) | dxlf dx2 dx3 =
01 о о
оо
=4 В । - +2е-2т 1 dtT = • (5-55)
о
Поэтому, переписывая уравнение (3.66) для независи-
мой переменной у, получим
z = y — -jg- W (5.56)
Рис. 5.9. Область устойчивости как функция
нелинейности.
Определяя максимум z как функции у, получаем желаемую
границу области сходимости. График |z|max по а пока-
зан на рис. 5.9.
В этом случае мы можем определить нетривиальную
область сходимости для не слишком больших значений а.
Напротив, подходящую функцию Ляпунова непосредствен-
но определить трудно.
Важно отметить, что область сходимости является гра-
ницей величины сигнала ошибки, а не входного сигнала.
Мы рассмотрели методы исследования обращений не-
изменяемых элементов. Мы видели, что неизменяемые эле-
менты можно разделить на три класса. Для сепарабель-
ных случаев можно непосредственно установить устойчи-
вость обращения. Далее, мы рассмотрели систему с
одним положением равновесия. Были даны достаточные ус-
ловия абсолютной асимптотической устойчивости. При-
менение этих критериев на практике иногда затрудни-
тельно.
Третий рассмотренный случай включал неизменяемые
элементы, обращения которых были асимптотически устой-
чивы внутри некоторой области величины сигнала ошибки.
Как только установлена устойчивость обращений в неко-
тором смысле, то имеется уверенность в том, что выпол-
нима любая физически возможная операция фильтрации
для некоторого класса входных сигналов.
Глава 6
КРИТИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ
В этой книге мы рассмотрели один подход к задаче
синтеза нелинейных регулируемых систем. Этот подход
основан на соображении, что система регулирования в сущ-
ности представляет собой систему обработки сигнала при
наличии дополнительных ограничений. Поэтому в случае
каждой конкретной системы с обратной связью нужно
решить, применимо ли к ней это соображение.
В том случае, когда интересующий нас входной сигнал
является реализацией стационарного случайного процес-
са и искажен шумом, эта точка зрения будет, вообще го-
воря, справедлива. Конечно, существуют другие случаи;
для рассматриваемой системы основным является режим
быстро изменяющихся, кратковременных воздействий.
Если принять точку зрения обработки сигнала, то не-
изменяемые элементы можно рассматривать как возможные
ограничения. Существует обширный класс неизменяемых
элементов, не накладывающих никаких ограничений на
систему. В линейном случае этот класс состоит из всех
минимально-фазовых элементов. В нелинейном случае тре-
буется, чтобы обращения неизменяемых элементов были
устойчивы для некоторого класса входных сигналов. Для
всех неизменяемых элементов этого класса оптимальная
компенсирующая схема устраняет действие неизменяемых
элементов и создает новую систему с желаемым соотноше-
нием между входом и выходом. Мы разработали некоторые
методы синтеза этой новой системы.
Рассмотрим теперь некоторые затронутые проблемы и
примыкающие к ним вопросы.
(а) Задача компенсирования неизменяемых элементов,
обращение которых неустойчиво для всех входных
сигналов, не решена,
Вообще результирующая среднеквадратическая
ошибка будет больше. Форма оптимального нели-
нейного компенсирования не ясна.
(Ь) В случае систем с разрывной нелинейностью (таких,
как «жесткий» ограничитель) приближение с по-
мощью полиномов потребует большого количества
членов.
(с) В гл. 2 мы построили часть основ синтеза нелиней-
ных ядер.
Ясно, что область применения этих результатов
не ограничивается системами регулирования. В на-
стоящее время не существует еще эффективных ме-
тодов синтеза. Единственный общий метод синтеза
использует ортогональные линейные цепи с памятью,
соединенные в каскады с нелинейными элементами
без памяти. В этом подходе линейные цепи следует
выбирать как можно рациональнее, чтобы умень-
шить их число. Для ядер второго порядка и гауссо-
вых входных сигналов ядра можно определить как
собственные функции некоторого интегрального
уравнения [8]. Для ядер высших порядков и не-
гауссовых входных сигналов выбор их не ясен.
Мы видели, что синтез из форм, описываемых
дифференциальными уравнениями, выполняется не-
посредственно. Поэтому нужен общий метод пере-
хода от произвольного ядра к простому представле-
нию дифференциальным уравнением.
(d) Результатом, особенно полезным в других прило-
жениях, является алгоритм, позволяющий перехо-
дить от описания с помощью дифференциальных
уравнений к представлению функциональным сте-
пенным рядом. Это позволяет нам найти явное соот-
ношение между входом и выходом. Предварительно
требуется рассмотреть либо свободные системы, либо
достаточно простые входные сигналы. Функциональ-
ное представление применимо к случайным, перио-
дическим и кратковременным входным сигналам.
(е) Самой трудной задачей в применении функциональ-
ного представления к замкнутым системам является
определение радиуса сходимости. Нашему общему
методу присуща большая осторожность. Во многих
случаях действительный радиус сходимости гораздо
больше.
В этом исследовании мы показали преимущество функ-
ционального представления в задаче синтеза регулируемых
систем. Сравнивая его с методом характеризации, мы со-
ставили более ясное представление об обоих методах.
ЛИТЕРАТУРА1’
1. А н д р о н о в А. А., ВиттА. А., X а й к и н С. Э. Теория ко-
лебаний, Физматгиз, М., 1959.
2. BappeT(BarretJ. F.), The Use of Functionals in the Analy-
sis of Nonlinear Physical Systems, Statistical Advisory Unit, Report
№ 1/57, Ministry of Supply, G. Britain, 1957.
3. Беллман P., Теория устойчивости решений дифференциальных
уравнений, ИЛ, 1954.
4. Б оз е ( В ose A. G.), A theory of nonlinear systems, Technical
Report 309, Research Laboratory of Electronics, M I T (May 15,
1956).
5. Бриллиант(ВН1Нап1М. В.), Theory of the Analysis of
Nonlinear Systems, Technical Report 345, Research Laboratory of
Electronics, MIT (March 3, 1958).
6. Браун иКэмпбел (BrownG. S. and C a m p b e 1 1 D. P.),
Principles of Servomechanisms: Dynamics and Synthesis of
Closed-Loop Control Systems, J. Wiley, N. Y. (1948).
7. Камерон иМартин (Cameron R. H. and Martin
W. T.), The Orthogonal Development of Nonlinear Functionals in
Series of Fourier—Hermite Functionals, Ann. of Math., 48, 2 (April
1947).
8. Ч e сл e p (C h es 1 er D. A.), Nonlinear Systems with Gaussian
Inputs, Techinical Report 366, Research Laboratory of Electronics,
MIT (February 15, 1960).
9. Каннингхэм (Cunningham W. J.), An Intro-
duction to Lyapunov’s Second Method, впервые опубликовано:
AIEE Workshop on Lyapunov’s Second Method, Cambridge, Mass.,
Sept. 6—7, 1960.
10. Фр еш e (Frechet M.), Sur les fonctionnelles continues, Ann.
de VEcole Normale sup., 3rd Ser., 27 (1910).
11. Джордж (George D. A.), Continuous Nonlinear Systems,
Technical Report 355, Research Laboratory of Electronics, M I T
(July 22, 1959).
12. Гибсон* иРикасьюз (Gibson J. E. and R e k a s u i s
Z. V.), Application of Lyapunov’s Second Method to Control Systems
with Nonlinear Gain, впервые опубликовано: AIEE Workshop on
Lyapunov’s Second Method, Cambridge, Mass. (Sept. 6—7, 1960).
13. КалманиБертрам (Kalman R. E. and Bertram
J. E.), Control System Analysis and Design Via the Second Method
r) Звездочкой отмечены работы, добавленные переводчиком.
of Lyapunov: I Continuous-Time Systems, Trans. ASME, 82 (Ser.
D, Journal of Basic Engineering), 371—393 (1960).
14. Л а Салль (La Salle J. P.), Some Extensions of Lyapunov’s
Second Method, IRE Trans., CT-7, 4, 520—527 (December 1960).
15. Л и ( L e e Y. W.), Statistical Theory of Communication, J. Wiley,
N. Y., 1960.
16. Лейманис и MunopcKuftfLeimanisE. and N. M i-
n о r s к y), Dynamics and Nonlinear Mechanics, J. Wiley, N. Y.,
1958.
17. Лаббок (Lubbock J. K.), The Optimization of a Class of
Nonlinear Filters, Monograph № 344B, Institution of Electrical
Engineers, London. November 1959.
18. Л у p ь e А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматичес-
кого регулирования, Гостехиздат, М., 1951.
19. Л я п у н о в А. М. Общая задача об устойчивости движения,
ОНТИ, М.—Л., 1935.
20. Малкин И. Г., Теория устойчивости движения, Гостехиздат,
М., 1952.
21. Масон иЦиммерма н,Электронные схемы, сигналы и систе-
мы, ИЛ, М., 1963.
22. Минорский (Minorsky N.), Introduction to Nonlinear
Mechanics, J. W. Edwards, Ann Arbor, Mich., 1947.
23. НемыцкийВ. В. и Степанов В. В., Качественная теория
дифференциальных ура нений, Гостехиздат, М.— Л., 1949.
24. П о п о в В. М., Об ослаблении достаточных условий абсолютной
устойчивости, Автоматика и телемеханика, 19, № 1 (1958).
25. Cu6epT(SiebertW. М.), Chapter 3 in Lectures on Communi-
cation System Theory, ed. by E. J. Baghdady, McGraw-Hill Book
Co., N. Y., 1961.
26. Смитс (S m e t s H. B.), Analysis and Synthesis of Nonlinear
Systems, IRE Trans., CT-7, 4, 459—469 (December 1960).
27. CMHTc(SmetsH. B.), Etude des Methodes d’Analyse des Sys-
t ernes Physiques Non-lineaires, travail de fin d’etudes aux Labora-
toires des Applications de 1’Electricite de 1’Uniwersite Libre de
Bruxelles, Brussels, Belgium, 1956.
28. Траксел Д., Синтез систем автоматического регулирования
Машгиз, М., 1959.
29. Вольтерра (Volterra V.), Theory of Functionals and of
Integral and Integro — Differential Equations, Dover Publications, N.
Y., 1959.
30. BuHep(Wiener N.), Extrapolation, Interpolation and Smoo-
thing of Stationary Time Series, The Technology Press of M.I.T.,
Cambridge, Mass, and J. Wiley, N. Y., 1949.
31. В и н e p H., Нелинейные задачи в теории случайных процессов,
ИЛ, М., 1961.
32. Юл а ( Y о u 1 a D. С.), The Use of the Method of Maximum Like-
lihood in Estimating Continuous-Modulated Intelligence Which Has
Been Corrupted by Noise, IRE Trans., PGIT-3, 1,90—105, (March
1954).
* 33. Д e й ч (Deutsch R.), Nonlinear transformations of random
processes, Prentice-Hall, N. Y., 1962,
* 34. 3aAe(Zadeh L. A.), Nonlinear Multipoles, Proc. National
Academia of Science, 39, 274—280 (1953).
* 35. 3 а д e ( Z a d e h L. A.), A contribution to the theory of nonlinear
systems, Journal of the Franklin Institute, 255 (1955).
* 36. Фл ей кР., Теория рядов Вольтерра и ее приложение к нелиней-
ным системам с переменными параметрами, Доклад, представлен-
ный на Второй международный конгресс ИФАК, г. Базель, Швей-
цария, М., 1963.
* 37. Я гл о м А. М., Примеры оптимального нелинейного экстраполи-
рования стационарных случайных процессов, Труды VI Всесоюзного
совещания по теории вероятностей и математической статистике,
Вильнюс, 1962.
Дополнение
КОНСТРУИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ
И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ D
Дж. Кацнельсон и Л. Гулд
Цель настоящей статьи состоит в указании систематического ана-
литического метода синтеза непрерывных нелинейных фильтров и в
применении результатов к различным задачам, таким, как фильтрация
сигналов от шума, характеризация нелинейных систем, построение ком-
пенсирующих цепей для регулируемых систем (см. рис. 1).
Статья начинается с понятия функционала как математического
образа системы. Оптимальный функционал для каждой отдельной за-
дачи аппроксимируется некоторым конечным числом ядер Вольтерра.
Основной вопрос, на который мы пытаемся дать ответ в этой статье,
таков.
Пусть дан входной сигнал (сигнал плюс шум), являющийся выбо-
рочной функцией стационарного эргодического случайного процесса.
Требуется на основе критерия минимума среднеквадратической ошибки
найти оптимальный фильтр, состоящий из конечного числа ядер Воль-
терра для фильтрации сигнала от шума2).
Задача такого типа приводит к системе интегральных уравнений,
для решения которых развивается метод итераций. Рассматриваются
также различные примеры и приложения к задачам фильтрации и управ-
ления.
Введение. Очевидным преимуществом линейных систем яв-
ляется простота их построения.Однако вопрос об ухудшении
качества функционирования, которое вносят упрощающие
предположения, остается открытым. Но хотя этот вопрос
всегда возникал при применении линейных систем, в облас-
ти нелинейных систем до недавнего времени почти не было
систематических исследований.
В нелинейных системах, как и в линейных, прежде
всего возникает задача о том, как описать и охарактеризо-
вать нелинейную систему с постоянными параметрами.
J. Katzenelson and L. G о u 1 d, Inform, and Control, 5 (1962),
108—143.
Фильтр, состоящий из /г0, hi, h*,..., hn, называется фильтром
порядка nnfyj&T иногда обозначаться как <Aq, hi, h^,...., Art>. Каждое
ядро hj называется ядром порядка j. Соответствующий ему фильтр
является фильтром порядка j.
Для практических целей желательно найти удобное описа-
ние зависимости выхода от входа.
Один из возможных путей состоит в описании нелиней-
ной системы при помощи дифференциального уравнения,
выражающего связь между входом и выходом (Каннинг-
хэм [9], Минорский [17]). Этот подход имеет
Рис. 1. Нелинейная фильтрация и нелинейная
каскадная компенсация.
тот же недостаток, что и линейное дифференциальное урав-
нение для линейных систем: оно неудобно с «системной»
точки зрения (Багдади [1]). Обычно дифференциальное
уравнение задает лишь неявную зависимость между
входом и выходом, и само уравнение еще не определяет
системы, если понимать под термином «система» непосред-
ственное указание выхода, соответствующего каждому вхо-
ду. Для обеспечения единственности приходится зада-
вать добавочные условия, например начальные условия
в задаче о переходном процессе.
Систематический подход к характеризации нелинейных
систем при помощи явного описания зависимости между
входом и выходом первым осуществил Норберт Ви-
нер. Его исследования, суммированные в [25], были про-
должены в работах Синглтона [32], Заде [28,29], Бо-
зе [5], Баррета,Бриллианта [6], Цеймса [27] и других
(см. обзорную статью [31]).
Новая концепция, развитая в этих работах, состоит
в том, что функционал рассматривается в качестве матема-
тического эквивалента системы. Известно, что функция
f (х) каждому значению независимого переменного х из не-
которой области ставит в соответствие некоторое число.
Функционал же ставит в соответствие определенное число
F (х (t)) каждой функции х (/), которая определена
в некоторой области функционального пространства. Анало-
гично система ставит в соответствие функции (предшест-
вующему входному сигналу) некоторое число, а именно
мгновенный выходной сигнал. Этот подход сводит задачу
характеризации системы с заданным классом входных
сигналов к задаче характеризации функционала, заданного
на некотором классе функций. В этих работах класс вход-
ных сигналов состоит из реализаций эргодического ста-
ционарного случайного процесса, а критерием работы
системы является критерий среднеквадратической ошибки.
Многочисленные работы в этой области можно класси-
фицировать по ответу, который в них дается на два основ-
ных вопроса: во-первых, каков случайный процесс на входе;
во-вторых, какова форма оптимального фильтра.
В работах Винера [25] и Баррета входной сигнал имеет
гауссово распределение и статистика его полностью из-
вестна. В этом случае удобно пользоваться специфическими
свойствами гауссового процесса и описывать систему с по-
мощью ортогональных функционалов. Таковы, например,
полиномы Эрмита — Лагерра и интегралы типа свертки
от полиномов Эрмита.
Баррет и Лампард [3] в статье 1955 г. предполагают
известными статистику второго порядка р (х (/х), х (/г)),
имеющую диагональное разложение (класс А). Заде [30]
показал, что если входной сигнал принадлежит классу
А, то соответствующие фильтры определенного класса нахо-
дятся из очень простых соотношений.
Другие работы, в которых рассматриваются входные
сигналы специального вида, принадлежат Наттелу [19],
Джорджу [13] и Чеслеру [7].
Все вышеуказанные работы зависят от специальных
свойств входных сигналов. Основное их достоинство в том,
что результат выражается в обозримом аналитическом виде.
В работах Бозе [5] и Цеймса [27] описаны методы,
пригодные для входных сигналов общего типа .Импульсные
функции Бозе остаются ортогональными для входного про-
цесса любого вида. Поэтому этот метод пригоден для ор-
тогонального разложения фильтра независимо от свойств
случайного процесса.
Цеймс [27] характеризует систему и функцию
распределения прошлого сигнала при помощи винеров-
ского разложения и дает метод конструирования винеров-
ских фильтров для негауссова шума.
Рассмотренный в настоящей работе метод дает систе-
матический аналитический подход к задаче проектирования
непрерывного фильтра. Входной сигнал может быть слу-
чайным процессом любого типа при условии, что существует
некоторое среднее. Работа начинается с описания непре-
рывных функционалов при помощи интегралов Вольтерра
У (t) = + J hl (т) X (t — т) dr +
О
+ h (tp r2) x (t — Tj) x (t — r2) dxidxz +
О о
r h (r1( t21 r3) x (t — rx) x (t — t2) x (t — r3) x
£2 £2 £2
X dx1dx.2dxs + . .
где Q — область интегрирования (область, на которой
определена функция х (/)). Фреше [12] доказал, что любой
непрерывный функционал у [х (/)], определенный на {x(t)},
где {х (f)} — множество непрерывных функций, определен-
ных на конечном интервале [а, Ь], может быть представлен
интегралами Вольтерра. Бриллиант [6] доказал эту тео-
рему для случая бесконечного интервала и исследовал ее
значение для приложений в теории систем. Впервые, по-ви-
димому, это представление было применено в 1942 г.
Винером для анализа цепей.
Вообще говоря, мы хотели бы ответить на следующий
вопрос. Предположим, что наилучший возможный фильтр
(фильтр, который дает наилучшую фильтрацию сигнала
от шума, например, при некоторых общих ограничениях
вроде физической возможности, Дуб [11]) может быть
представлен в виде ряда. Как найти hn, п = 1, . . ., оо,
которые определяют фильтр? В настоящее время ответ на
этот вопрос не известен, за исключением некоторых весьма
специальных случаев, связанных с гауссовыми процес-
сами. С другой стороны, нам в сущности не требуется вы-
ражение для оптимального фильтра для случайного про-
цесса любого типа. В общем случае можно ожидать, что
этот фильтр задается большим числом ядер высших поряд-
ков. С технической точки зрения конструирование ядер
столь высоких порядков слишком сложно и во многих
случаях неприемлемо на практике.
Вместо явного выражения для оптимального фильтра
лучше найти метод его аппроксимации, который начинается
с простых элементов, причем при постепенном усложнении
он дает возможность аппроксимировать оптимальный фильтр
с желаемой степенью точности. Последнее особенно важно,
так как дает уверенность в том, что этот метод не наклады-
вает никаких ограничений на действие фильтра.
Конечно, каждое из этих приближений должно давать
лучший результат, чем винеровский оптимальный линейный
фильтр, ценою чего, естественно, будет усложнение систе-
мы. В связи с этими задачами возникает следующий вопрос,
на который мы пытаемся ответить в этой работе.
Пусть дан входной сигнал (сигнал плюс шум), явля-
ющийся выборочной функцией стационарного случайного
процесса. Как найти оптимальный в смысле минимума
среднеквадратической ошибки фильтр степени п (фильтр,
состоящий из Ль h2> . . ., hn), отделяющий сигнал от шума?
Аналогичный вопрос ставится и решается в этой работе
для прогноза, фильтрации и для построения компенсирующих
цепей для неминимально-фазовых линейных цепей и ли-
нейных -цепей с ограничениями [о линейной компенсации
см. Ньютон, Гулд и Кайзер [18]]. Фильтр, который
определяется таким образом, является одной из возможных
аппроксимаций наилучшего возможного фильтра, который
выражается бесконечным числом ядер. Ясно, что опти-
мальный фильтр степени п лучше или по крайней мере
эквивалентен, первым п членам вольтерровского разложе-
ния наилучшего возможного фильтра. С увеличением числа
ядер ошибка 8^ убывает. При п оо фильтр с конечным
числом ядер приближается к оптимальному возможному
фильтру. С этой точки зрения винеровский оптимальный
линейный фильтр (Винер [24], Ли [15]) соответствует
случаю п = 1. Ясно, что с применением ядер высших по-
рядков действие фильтра улучшается.
Ясно также, что этот метод дает возможность начинать
_с относительно простых элементов и затем все более услож-
нять их, удовлетворяя повышенным требованиям. Здесь,
конечно, может возникнуть вопрос о том, что подразуме-
вается под простотой и сложностью. Например, когда рас-
сматривается Л2, то некоторые члены второго порядка, вро-
де комбинацииТтинейных цепей и квадрирующих устройств,
легко реализовать, в то время как другие, в которые входят
множительные устройства, более сложны. Поэтому можно
ожидать, что, после того как ядра будут найдены, потре-
буются еще некоторые дополнительные аппроксимации.
Однако никаких новых ограничений на класс функционалов
нельзя накладывать, чтобы наш подход не терял общности.
Хотя выражение для оптимального возможного фильтра
не очень важно, знание еД—наименьшей возможной ошиб-
ки по сравнению с — весьма важно, так как это опреде-
ляет точность аппроксимации, а следовательно, и число
ядер, а иногда и их выбор. Пока не известно, как вычис-
лять , будем оценивать ядра hn, чтобы найти е2п.
В нашей работе описывается задача, даются интеграль-
ные уравнения, определяющие Л/, и предлагается итера-
ционный метод нахождения hi. Преимуществом этого ите-
рационного метода является то, что в результате каждого
шага мы получаем физически возможный фильтр, явля-
ющийся в некотором смысле оптимальным. Начиная со
второго шага, эти фильтры лучше линейных оптимальных
фильтров. Каждая последующая итерация уменьшает
среднеквадратическую ошибку. Доказано, что итерацион-
ный процесс сходится к оптимальному фильтру.
Число ядер hi (i = 1, . . ., п), выбранных в начале
построения, произвольно, но подсчет среднеквадратиче-
ской ошибки после каждого шага показывает, насколько
уменьшается ошибка после увеличения числа ядер.
Для определения фильтра п-го. порядка необходимо,
как будет показано ниже, знать первые 2п автокорреля-
ционных функций и первые п взаимно-корреляционных
функций. Это приводит к систематическому подходу харак-
теризации произвольного случайного процесса, который
основывается на^виде операции (в данном случае фильтра-
ции), которую необходимоj произвести над процессом,
а именно характеризации процесса с помощью корреля-
ционных функций различного порядка.
Для иллюстрации вышесказанного предположим, что
требуется охарактеризовать шум на выходе некоторой систе-
мы. Обычный путь получения статистических характеристик
шума состоит в измерении статистических средних. Сред-
нее и среднеквадратическое отклонения дают весьма огра-
ниченные сведения о шуме. Следующим шагом будет изме-
рение автокорреляционной и взаимно-корреляционных
функций шума и некоторого полезного сигнала. Это дает
всю информацию, необходимую для построения линейного
фильтра. Если предположить, что предыдущие измерения
дают полную информацию о шуме, то из этого будет следо-
вать, что шум гауссов, и тем самым вполне будет опреде-
лен вид фильтра. Если требуется более полная информа-
ция о шуме, то необходимо измерить автокорреляции выс-
ших порядков.
В результате случайный процесс определится при по-
мощи этих автокорреляций и можно будет построить более
сложный нелинейный фильтр.
Нелинейная коррекция для оптимального линейного
фильтра. В этом разделе рассматривается задача, которая
отличается от конструирования оптимального фильтра
n-го порядка. Несмотря на различие, эти задачи родствен-
ны и решение более простой задачи, которое представлено
здесь, дает некоторое представление о задаче фильтрации
и показывает путь для решения более общей задачи.
Задача иллюстрирована рис. 2. Здесь х' — выбороч-
ная функция эргодического стационарного случайного
процесса; х& — желаемый выход, являющийся эргодиче-
ским стационарным случайным процессом, родственным х'\
— оптимальный физически возможный линейный фильтр,
который минимизирует средний квадрат разности между
СВОИМ ВЫХОДОМ X И Xd, (xd — х)21).
В каскаде вместе с hi есть фильтр 'второго порядка Л2,
соединенный параллельно с тождественным оператором 1.
Выход всей системы обозначен через у. Ясно, что Л2 явля-
ется корректирующим звеном второго порядка для опти-
мального линейного фильтра. Надо ответить на следующий
Е [х]—математическое ожидание х; обозначается также и х-
вопрос: каково оптимальное ядро второго порядка Л2,
минимизирующее (xd (t)—y (ОЯ?
(Xd — у)2 = £]{(%</ (0 — х (/) —
Л2 (а, Р) х (t — а) x(t — Р) dadP)2} .
о о
г(1)
Здесь xd (/) — х (/) есть ошибка, которая остается после
прохождения сигнала через оптимальный линейный фильтр.
Обозначим ошибку на выходе линейного фильтра через еъ
а ошибку на выходе всей системы через е2- Подставляя это
в уравнение (1), получаем
е2 = (0 — ^2 (а» Р) х (/ — а) х (/ — Р) dadp)2 . (2)
о о
Задача состоит в нахождении Л2(а,Р), которое миними-
зирует вышенаписанное выражение. Для того чтобы найти
условие, которому должно удовлетворять А2, чтобы мини-
мизировать 82, надо применить методы вариационного ис-
числения так же, как они применялись для получения
уравнения Винера—Хопфа в задаче оптимальной филь-
трации (см. Винер [24], Левинсон [16-], Ли [15]).
Результат таков:
ос оо
ф^хх (т-i» ^2) = \фхххх (^i т2, Tj а, т2—Р) й2 (с, p)cfadp
о о
для Tt > 0, г2 > О, г(3)
где
фг1ХхГ(Ь, Q =\ (/) х (t — х (t — /2) (4)
и
фхххх (^1 ^2> ^2 -- Р) =
= хг(/ — а) х (t — Р) х (t — /х) х (t — t2). (5)
Заметим, что уравнение (3) является двумерным интеграль-
ным уравнением первого рода и определяет неизвестное
ядро /12 через две корреляционные функции: корреляцию
третьего порядка фЕ1ХХ между ошибкой ei и сигналом х и
автокорреляционную функцию четвертого порядка фхххх
сигнала х. Это является прямым аналогом уравнения Ви-
нера — Хопфа для оптимального линейного фильтра
ОО
фхха (т) = \ фхх (т — a) h (а) da для т > 0. (6)
о
Однако между этими двумя уравнениями есть большая
разница. В то время’как интеграл в правой части уравне-
ния (6) есть интеграл типа свертки, правая часть уравне-
ния (3) не является сверткой по двум переменным, так как
Фхххх зависит не только от Tj — т2, но и от tj — а и т2 — р.
Следовательно, метод Винера — Хопфа (факторизация
спектра), вообще говоря, не применим для решения этого
уравнения. Лишь в случае, когда корреляция четвертого
порядка сигнала допускает факторизацию1 в форме’~'^'"4
Фхххх (Ф1 ^2> ^1 ^2 Р) = Ф (Ф1 ^2) Ф (^1 ®» ^2 ^Р)>
(7)
уравнение (3) приводится к интегральному уравнению типа
Винера — Хопфа и тогда для решения задачи можно при-
менить метод факторизации’ спектра.
Здесь мы будем рассматривать лишь общий случай.
Специальный случай уравнения (7) и его решение при
помощи многомерной спектральной факторизации мы рас-
смотрим в будущей статье.
Из рис. 2 можно видеть, что мы получим уравнение,
подобное уравнению (3), если применим для коррекции hi
фильтр третьего порядка h3, фильтр четвертого порядка ht
или фильтр п-го порядка. Подобно этому, вместо hi в ка-
честве первого фильтра на рис. 2 можно взять фильтр
Рис. 3. Пример каскадной схемы.
любого типа и корректировать его произвольным hn. На-
пример, вместо hi на рис. 2 можно взять hi с оптимальной
коррекцией второго порядка. Этот фильтр можно улучшить
при помощи коррекции n-го порядка, как показано на
рис. 3.
Таким образом, общая задача этого раздела состоит
в конструировании оптимальной коррекции степени п для
заданного фильтра на рис. 2. Когда заданный фильтр
является оптимальным фильтром в своем классе, то реше-
ние задачи даст метод улучшения фильтра при помощи
корректирующего каскада. Результирующие уравнения
сходны с уравнением Винера—Хопфа для линейного
фильтра, причем вместо Ха стоит ошибка, остающаяся
после первой стадии фильтрации.
Некоторое выявление существа каскадной схемы дают
два следующих вопроса:
1. Можно ли в схеме на рис. 3, где hi — опти-
мальный линейный фильтр, улучшить действие hi приме-
нением линейного фильтра ki вместо /г2? Ясно, что комби-
нация hi и ki по-прежнему есть линейный фильтр, а так
как hi — оптимальный линейный фильтр, то он не может
быть улучшен при помощи ki. Интересно, однако, выяснить,
как можно ответить на этот вопрос при помощи интеграль-
ного уравнения, соответствующего уравнению (3).
Интегральное уравнение для kr будет
оо
ех (/) х (t — тх) — kx (а) х (t — а) х (t — тх) da
о
ДЛЯ ?! > 0.
(8)
Ошибка е (/) в момент времени t и сигнал х (/о) в момент
to, где to < t, не коррёлированы (Давенпорт и Рут [10]).
Так как ошибка имеет нулевое среднее значение,
то левая часть уравнения (8) равна нулю при Tt 0
ОО
0 = kr (а) х (t — а) х (t — ?i) da, тг > 0
о
Фильтр, удовлетворяющий уравнению (8), никоим об-
разом не уменьшит среднеквадратическую ошибку, что сле-
дует из представления
ОО
е! = 8а — 2 («) ei W х V — а) da +
о
+ (а) kY (Р) х (t — а) х (I— Р) dadp.
о о
Поэтому следует положить kx (а) — 0.
2. Пусть х' и Xd — гауссовы процессы. Можно ли улуч-
шить действие /гх при помощи корректирующей цепи сте-
пени п? Этот вопрос приводит к уравнению, аналогичному
уравнению (3):
ОО ОО
е1 (0 х (f — ?1) . . . х (/ —т„) = hn (аъ . . ., a„) X
О о
X x(t — «!)... х (t—an)x(t — Tj) ... x (/—т„) dax. . . dan
для Tx . . . Tn > 0.
(9)
Так как у гауссовых процессов из некоррелированности
ошибки и полезного сигнала следует их независимость, то
Ei (О х (/ — rj . . . X (t — т„) =
=- Ex (/) X (/ — Tj)T . . x{t— Tn).
А так как среднее значение ei (t) равно нулю, то левая
часть уравнения (9) также равна нулю, и, следовательно,
надо принять hn = 0. Итак, мы пришли к тому известному
факту, что наилучшая возможная фильтрация гауссова
процесса выполняется линейным фильтром.
В дальнейшем мы будем рассматривать решение урав-
нения (3), так как метод его решения такой же, как и ме-
тод решения уравнения для ядра любого порядка п.
Отметим следующие свойства уравнения и случайного
процесса. Мы предполагаем, что автокорреляционные функ-
ции четного порядка ограничены. Автокорреляции поряд-
ка 2" ограничены своими начальными значениями. Авто-
корреляции четного порядка могут быть ограничены соот-
ветствующими моментами. Это можно показать последо-
вательным применением неравенства Шварца.
Тем же путем из ограниченности х^ следует, что взаим-
ные корреляции типа фехх (а, 0) также ограничены;
фхххх (Тх — т2, Tj —а, т2 — 0) совершенно симметричны от-
носительно Тх, т2, а и 0. В частности, фхххх (тп т2, а, 0) =
= фхххх (О> 0,
Уравнение (3) можно записать в виде
/ (/) = К (Л s) h (s) ds для t > 0, (10)
a
где s обозначает комбинацию переменных a, 0, a t — ком-
бинацию /х, Z2; f (t) обозначает фг,хх t2) и (t, s) есть
фхххх (^i, 4, a> 0)- Область интегрирования обозначена че-
рез й. Мы можем исключить условие / > 0, умножив обе
части равенства на 1 (/t) 1 (Z2), гДе 1 (0 — ступенчатая
функция [1 (/) = 1, t >• 0; 1 (/) = 0, t < 0]. Если снова
обозначить 1 (/х) 1 (Z2) ф-^хх (tlt t2) ф^хх /2) через / (/)
и фхххх (ti, a, 0) 1 (/х) 1 (Z2) через К (t, s), то уравне-
ние (10) примет вид
f (/) = К (t, s) h (s) ds. (11)
a
Как и раньше К симметрично и ограничено. Ниже потре-
буется, чтобы К (t, s) было интегрируемо в квадрате. Это
означает, что
№ (з, 0 dsdt<^ ОО.
£2 £2
Если рассматривать фильтры с конечной памятью, то Q
будет конечным интервалом и интегрируемость в квадрате
следует из ограниченности Д.
Для фильтра же с бесконечной памятью это не. обяза-
тельно так. Для того чтобы Д (s, t) было интегрируемым
в квадрате, нужно, чтобы оно убывало «достаточно быстро»
при s, t —> оо, так, чтобы интеграл Jf Д2 (s, f) dsdt сходился.
Однако фхххх (/1 — /2, /1 —a, t — р) не принадлежит L2
по /1, ^2, а, Р, так как среди его значений есть константы.
Эту трудность можно преодолеть, ослабляя прошлое сиг-
нала. Будем считать, что в момент времени t фильтр hn воз-
действует на х (t — x)e~kx (k > 0) вместо х (t— т). Это означа-
ет, что прошлое ослабляется экспоненциально в зависимости
от его дальности от текущего момента времени. При этом
уравнение (3) примет вид
ф^хх (Т1, Тг) е-/г(т-+^) =
h (а, Р) фхххх (тх — т2, тх — а, т2 — Р) е^<т‘+т’+а+Р)с(аф
о о
для тх > 0, т2 > 0. (12)
Пусть снова
f (i) = Фг,хх (*!, Т2) (Тх) 1 (Та),
К (S, f) =
= фхххх (*1 — Т2, тх — а, т2 — Р) е-А(а+/3+т,+т2) 1 (Т1) 1 (Т2),
h (s) = h2 (a, P).
Тогда получим
f (0 = $ К (s, t) h (s) ds. (13)
£2
Ядро К. осталось симметричным и принадлежит теперь L2.
Аналогичной операцией можно превратить / (t) в функцию
из L2. Следует подчеркнуть, что среднеквадратическая
ошибка не изменяется при введении этой функции веса.
Действительно, ослабление можно рассматривать следу-
ющим образом: пусть у (t) — выход фильтра второго по-
рядка /12
ОС 00
г/ (О = h2 (а, Р) х (t — а) х (t — 0) dadfr =
о о
ОО оо
= 55 h2 (а, 0) е*(а+(3)х (/ — а) e~kax (t —Р) g-Wadp. (14)
о о
Если
k2 (а, р) = h (а, р) е^\
то
У
00 00
(0 = 55 х ~
о о
а) е~клх (t — Р) e~k!idadfi.
(15)
Сравнение уравнений (14) и (15) показывает, что введение
весовой функции не изменяет ни входа, ни выхода, ни филь-
тра, но изменяет то, что называется сигналом, и то, что
называется фильтром.
Из того, что К (s, f) — ограниченная симметричная
функция, следует (Курант и Гильберт [8], Смайтис [20]),
что К. (s, t) обладает системой собственных функций Т/ и
собственных значений X/, так что
Х/5 К (s, О Y, (s) ds = (t).
о
Функция f (t) есть функция из L2, и, как показано в При-
ложении А, она может быть разложена по собственным
функциям К (s, /).
Следовательно, оператор
п
МО = 2 xz (А ч^) (О, (16)
1=1
где
(A Yz) = 5 / (О МО dt,
а
решает уравнение (13) в среднем (Приложение А), т. е.
f (/) = 1. i. m. hn (s) К (s, f) ds. (17)
П~*ОС Q
Единственность решения может быть показана методом,
аналогичным рассматриваемому в соответствующем пунк-
те общему методу (см. Приложение В). Выражение
п
МО = 2 МЛ 47) ад
1
можно рассматривать как приближенное решение ин-
тегрального уравнения и как приближение к h (/) =
= lim hn. Однако h, строго говоря, нельзя считать функ-
п->оо
цией, так как ничего не известно о сходимости ряда
оо
2 К (f, 47) 47 (О- В самом деле, согласно Пикару (Смай-
i—i
тис [20]), необходимым и достаточным условием того, что-
бы h принадлежало L2, является
ОО
2 (/. чу < °°-
i=i
Пока что не ясно, каким условиям должен удовлетво-
рять процесс, чтобы выполнялось вышеуказанное условие.
Однако свойства h как функции нас не интересуют, ибо
мы ищем решение нашего интегрального уравнения в виде
оператора, а не функции. Как представление операции
п
(или обобщенной функции) ряд l.i.m V (f, 47) 47 (0
/2->ОО ।
должен сходиться, если он действует на функции подхо-
дящего класса, т. е. на вход, который является выбороч-
ной функцией заданного случайного процесса. (Об обоб-
щенных функциях и понятии сходимости обобщенной функ-
ции см. А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин [14].) Обыч-
но не применяются фильтры с бесконечным числом соб-
ственных функций, кроме того случая, когда собственные
функции К (s, t) легко вычислить и ряд
ОО
2 к (f, чг) (о,
z=x
сходится к простому аналитическому выражению. Поэто-
му нас интересует исследование свойств приближения
МО = S K(f, Tz)Yz(0,
i=l
куда входит лишь конечное число собственных функций.
Можно начать с предположения, что К (s, /) задано и ее
надо приблизить с помощью п ортонормированных функций
Т z (0. фг (0 так, чтобы минимизировать выражение
(K(s, t) — Ап (s, fffdsdt,
где
Z=1
Известно (Курант и Гильберт [8]), что наилучшая
аппроксимация К (s, t) состоит из первых п собственных
значений и соответствующих собственных функций из ря-
да Xi, Хг, . . ., где |XZ| < |%z+i| для всех i1’.
После того как аппроксимация осуществлена, оптималь-
ный фильтр определяется конечным числом членов
п
h (0 = S Ъ (0-
г=1
Однако нашей задачей является не аппроксимация К (s, t),
а минимизация среднеквадратической ошибки. Нас инте-
ресует такой вопрос: какие п собственных функций следует
выбрать для минимизации ошибки? Для любых п собствен-
ных функций ошибка имеет вид
п
Ц = Ч - S (A w (is)
Z=1
Для минимизации этого выражения требуется рассмотреть
f (/) и К ($, 0 и нужно иметь значительно больше инфор-
мации относительно f (/).
Процесс нахождения собственных значений, описанный Куран-
том и Гильбертом, пригоден для собственных значений, расположенных
в вышеуказанном порядке.
Другой интересующий нас вопрос таков: каковы «наилуч-
шие» п ортонормированных функций, минимизирующих
е2? Этот вопрос приводит к сложным уравнениям и пока
не имеет ответа.
Среднеквадратическая ошибка. Если применяется
фильтр hn (/), то среднеквадратическая ошибка будет иметь
вид
ё2 = е2 — hn (t) f (0 dt + К (t, s) hn (t) hn (s) dsdt -
£2 £2 £2
= ^-^hn(t)f(t)dt,. (19)
£2
%. (Д 4S-)2. (20)
Когда число взятых членов стремится к бесконечности,
ошибка стремится к
62_ h(f)f(f)dt= (21)
£2
00
= - s Ъ ^)2- (22)
г=1
Более подробно выражение (21) можно записать так:
еа = ех — (а> Р) ei (О х (t — а) х (/ — Р) dadp. (23)
о о
Это выражение сходно по виду с выражением для ошиб-
ки, остающейся после фильтрации при помощи оптималь-
ного линейного фильтра (Винер [24]).
ei = х* (О — h (a) Xd W х V — а)
о
где х (/) — сигнал, а xd (f) — желаемый выход. Интересно
снова отметить, что при конструировании h2, (/) появля-
ется там же, где появляется х^ (() при конструировании
линейного фильтра.
Оптимальные фильтры с конечным числом ядер. В этом
разделе развитые выше методы применяются к решению
общей задачи. Дан вход х и желаемый выход и оба они
являются выборочными функциями стационарного эргоди-
ческого случайного процесса. Каков фильтр n-й степени,
минимизирующий среднеквадратическую ошибку
е2 = (xd — уп {х (О})2,
где уп {х (0} означает выход фильтра?
Фильтр, который дает решение этой задачи, имеет по-
казанную на рис. 4 каноническую конфигурацию, где
изображен фильтр вто-
рой степени. Рассмот-
рим последовательную
конфигурацию, показан-
ную на рис. 2, где /ц—
оптимальный линейный
фильтр, a h2 — опти-
мальная коррекция вто-
рого порядка. Этот
фильтр не может быть
наилучшим возможным
фильтром второго по-
Р и с. 4. Фильтр второго порядка;
параллельное соединение.
рядка или наилучшим
возможным фильтром порядка п, если мы продолжаем кас-
кад, так как мы не изменяем первое звено, hi, при при-
бавлении следующего звена.
Мы не можем заранее считать, что линейный фильтр
оптимального фильтра второго порядка будет тем же са-
мым, что и оптимальный линейный фильтр, действующий
на тот же процесс.
Метод решения вышеописанной задачи будет продемон-
стрирован на задаче о применении фильтра второго по-
рядка. Этот частный случай взят потому, что рассмотрение
фильтра n-го порядка усложняет уравнения, но не дает
большей информации о существе метода, чем рассматри-
ваемый ниже пример.
Пусть на рис. 4 h0 есть фильтр нулевого порядка (вы-
ход равен /г0 независимо от вида входа) и пусть hi и h2 —
физически возможные фильтры первого и второго поряд-
ков соответственно. Среднеквадратическая ошибка на
выходе будет
оо
е2 = Е — h0 — Ах (а) х (I — а) da —
о
— h2 (а, Р) х (t — а) х (t — Р) dadfi'j2} .
о о
(24)
Ядра h0, hi и h2, минимизирующие предыдущее выражение,
задаются следующими уравнениями:
ОО
h0 = Xd — hr (а) х (t — a) da —
о
— h2 (а, Р) х (t — a)x(t — Р) dadp, (25)
О о
hr (а) х (t — а) х (t — тх) da =
e Xd (0 х (t — тх) — h0 х (t — тх) — (26)
—5 5 (а* Р) Х — а) х — Р) х (^ — Ti) ^а£Ф Для Ti > О,
о о
h2 (а, Р) х (t — а) х (t — Р) х (t — тх) х (t — т2) dadp =
о о
= Xd (t) x(t — тх) х (t — т2) — h0 x (t — tx) x (t — t2) —
OO
— Ax (a) x (t — a) x (i — rx) x(t — r2) da
о
для тХ) t2 > 0. (27)
Эти уравнения выведены с помощью методов вариационного
исчисления, и можно показать, что они действительно
соответствуют минимуму.
Эти уравнения представляют собой систему интеграль-
ных уравнений, линейных относительно неизвестных ядер.
Этот факт трудно переоценить, так как построение вели-
нейного фильтра п-го порядка сведено, таким образом,
к решению п линейных интегральных уравнений.
В силу условий Ti, тг > 0 и вида интегральных опера-
торов, эти уравнения напоминают многомерные уравнения
Винера — Хопфа. Но, как мы отмечали выше, эти инте-
гралы не являются многомерными интегралами типа сверт-
ки и задача не может быть решена методами преобразова-
ния Фурье.
Из уравнений видно, что фильтр первого порядка опре-
деляется автокорреляцией входа и взаимной корреляцией
сигнала х и желаемого выхода х</. Фильтр порядка п опре-
деляется заданием первых 2п автокорреляционных функ-
ций х, хх, ххх, ... и п взаимно-корреляционных функ-
ций между входом и желаемым выходом ха, XdX, Xdxx, . . .,.
XdX ... х.
Интересно отметить следующее свойство наших урав-
нений. Предположим, что на рис. 4 /г0 — k0 и Лх = Z?x за-
даны и требуется найти оптимальное ядро второго поряд-
ка ft2, минимизирующее среднеквадратическую ошибку
между желаемым выходом х</ и выходом фильтра. Применяя
вариационные методы минимизации среднеквадратической
ошибки, получаем следующий результат:
ОО 00
hv (а, р) х (t — а) х (t — Р) х (t— тх) х (t — т2) dad$ =
00
= Xd (О X (t — Тх) X (t — т2) — k^x (t — rx) X (/ — т2) —
00
— kr (a) x (t — a) x (t — тх) x (t — t2) da
о
для rx, r2 > 0,
что совпадает с уравнением (27), где k0 и &х заменены через
й0 и hi. Таким образом, уравнение для оптимального h ,
если заданы ядра йг- (i = 1...п, j — 1), совпадает с у'-м
уравнением системы уравнений, которая определяет опти-
мальный фильтр порядка /. Это свойство будет использо-
вано ниже для решения системы уравнений для оптималь-
ного фильтра п-го порядка.
Пусть
оо
8oi (0 = Xd (0 — kQ — (а) * (^ — а) da,
где ео1 — ошибка, остающаяся после фильтрации при по-
мощи ko и ki. Уравнение для оптимального Л2 (а, 0) при-
мет вид
\\h2 (а, 0) х (t — cl) х (t — 0) х (t — Tj) x (t — t9) dxd& =
о 0
= $oi (0 x(t — Ti) x (t — Тг) для Тр т2 > 0,
и его можно разрешить при помощи собственных функций и
собственных значений, как это было показано выше.
В интегралах, стоящих в левых частях уравнений (25),
(26) и (27), все ядра симметричны по всем переменным, так
как они представляют собой автокорреляционные функции
четного порядка. При соответствующих предположениях
(см. предыдущий раздел) все ядра ограничены и могут
быть сделаны интегрируемыми в квадрате при помощи ослаб-
ления влияния прошлого сигнала. Это означает, что
фильтры Л1 (а) и Л2 (а, 0) оперируют с х (t — а) е“Ла,
х(/-0)e~k$ (k > 0) соответственно вместо х (t—а) и
х(1— 0). Мы будем пользоваться следующими сокращен-
ными обозначениями:
хх — 1 (a) 1 (^) х (t — а) х (t — /х) e-*(a+z‘),
хххх = 1 (а) 1 (0) 1 (/х) 1 (/2) х (t — а) х (t — 0) X
X х (t — tj) х (t — /2) e_ft<a+(j+fi+f2),
xxx = 1 (a) 1 (0) 1 (fj x(t — a) x (t — 0)x (t — /J e-ft(«+P+W,
xdx = 1 (/x) xd (t) x (t — tj e~kt‘,
хлхх = 1 (^) 1 (Z2) Xd (t) x (t — tj) x(t — Q
OO
hr(j)da = hr (а) ф (a) aa,
0
^/z2</»dad0 = h2 (a, 0) ф (a, 0) dadp.
о о
При помощи этих обозначений уравнения (25), (26),
и (27) запишутся в следующем виде:
h0 = Xd — — \^h2xxdad$, (28)
hYxxda = XdX — hox — $ h^xxxdad^, (29)
h2xxxxdad$ = XdXX — hoxx — \ hpcxxda. (30)
Прежде чем начать решать эту систему уравнений, вновь
укажем следующие ее свойства. Ядра хх, хххх интегралов
в левых частях уравнений симметричны, ограничены и
интегрируемы в квадрате по каждой из переменных и по
всей совокупности переменных. Поэтому каждый из них
обладает системой собственных значений и соответствующих
собственных функций (Курант и Гильберт [8], Смайтис
[20]). Все собственные значения положительны, так как
ядра являются положительно определенными. Функции,
стоящие в правых частях уравнений, можно определить
в среднем при помощи лишь системы собственных функций
ядер, которые (доказательство такое же, как в Прило-
жении А) входят в левую часть соответствующего
уравнения. Любое из вышеприведенных уравнений, если
задана его правая часть, можно решить при помощи мето-
да собственных функций и собственных значений, описан-
ного выше. В следующем разделе мы используем эти свой-
ства для разработки итерационного метода решения систе-
мы интегральных уравнений.
Итерационный метод решения интегральных уравне-
ний. В этом разделе строится итерационный процесс для
решения уравнений фильтра. Итерации строятся таким
путем, чтобы результат каждого шага имел определенный
физический смысл. Итерацию можно оборвать на любом
шаге и при этом получить фильтр, в некотором смысле
оптимальный. Результат итерационного процесса сходится
к оптимальному фильтру n-го порядка.
Как и раньше, рассмотрим фильтр второго порядка.
Нам требуется решить уравнения (28), (29) и (30).
Первый этап и тер ацион ного процесса.
1. Мы задаемся вопросом: каков оптимальный фильтр
нулевого порядка Ло? Как было отмечено выше, уравнение
(28) определяет оптимальное Ло, если заданы hx и Л2.
Ответом на наш вопрос будет решение уравнения (28) при
hr = 0, /г2 = 0. Уравнение принимает вид
/г» = (31)
где индекс 1 означает, что Ло есть результат первого шага
итерационного процесса. Обозначим ошибку на выходе /ij
через ej.
2. Следующий шаг отвечает на вопрос, каким должен
быть оптимальный фильтр первого порядка, который соеди-
няется параллельно с h^. Этот фильтр определяется из урав-
нения (29), в котором Ло берется равным /ij и /г2 = 0. Этот
фильтр обозначаем через h}, и уравнение для него прини-
мает следующий вид:
h^xxda = XdX — h^x.
(32)
Решением уравнения (32) будет линейный фильтр /ij, явля-
ющийся винеровским оптимальным фильтром при х^ = 0.
Обозначим ошибку на выходе фильтра, состоящего из Aj
и через е|.
3. Третий шаг первого этапа состоит в нахождении оп-
тимального фильтра второго порядка /г2 при заданных AJ
и Этот фильтр задается уравнением (30) при Ло = А„
и = AJ:
$ h\xxxxdad$ = XdXX — h^xx — Qxxxda. (33)
Как и раньше, обозначим ошибку на выходе фильтра, со-
стоящего из AJ и Л}, через е2.
Второй этап итерационного процес-
с а. Результаты первого этапа используются в качестве
отправной точки для их улучшения.
Первый шаг: находим наилучший фильтр нулевого
порядка Ло при заданных /ij и Л2. Уравнение будет иметь
следующий вид:
hl = Xd — \ h]xda — \\ hzxxdddfi.
(34)
Ошибка на выходе фильтра <А2, А}, обозначена через е2-
Второй шаг дает наилучший линейный фильтр при на-
личии /г2 и Уравнение в этом случае будет
htxxda = XdX — h^x — h\xxxda.df> . (35)
Ошибка на выходе обозначена через е2. Аналогично hl и ег
получаются из уравнения
$ hlxxxxdadfi = XdXX — h^xx — l^xxxda. (36)
Продолжая далее этот процесс ( на i-м этапе получим сле-
дующие уравнения:
Л) = x.d — h^xda — $ h^xxdadfy, (37)
h\xxda = XdX — hlox — $ h^xxxdad^, (38)
$ h‘2xxxxdad$ = XdXX — h‘Qxx — h[xxxda. (39)
Результатом итерации будет ряд фильтров и соответ-
ствующих значений среднеквадратических ошибок
AJ, К, hl, h3, h3lt hl, hl, , . .
Каждая тройка членов в ряду фильтров обладает тем
свойством, что последний из них является оптимальным
фильтром, когда присутствуют два предыдущих. Ошибка
ё2, соответствующая третьему фильтру в подпоследователь-
ности из трех членов, является среднеквадратической ошиб-
кой системы, состоящей из этих трех членов. Сходимость
итерационного процесса доказывается в Приложении С.
Можно также показать, что решение единственно в том
смысле, что фильтр <£о, ki, ki) не уменьшит среднеквадра-
тическую ошибку. Доказательство единственности дается
в Приложении В.
Другой путь проведения итерационного процесса ис-
пользует линейность интегральных уравнений следующим
образом. Пусть
Д^ =hl0-h^,
Д/zj =% — йр1, (40)
Д/4 = h\ - й'-1
при условии, что
Й» = й« = й® = о
А
(символ = означает равенство по определению).
Вычитая уравнение (37), (38) и (39) для i = j— 1 из
соответствующих уравнений для i = / и используя обо-
значения (40), получим для j > 1 следующие уравнения:
Дй^ = —Дй{-1хс?а —$ Дй|-1ххг/сиф, (41)
&h[xxda = — ДАдХ — $ &h,2~1xxxdad$, (42)
$ ДйзХХххаЫР — — Д/zJxx — Дй^хххг/а. (43)
Применяя эти уравнения, получим следующие этапы ите-
рационного процесса. Первый этап такой же, как и в пре-
дыдущем подходе. Из уравнений (31), (32) и (33) находим
ftj, h\ и h%. Во втором этапе отвечаем на следующий вопрос:
какой фильтр Д/zJ надо добавить к h0, чтобы h0 -|- Дй£ был
оптимальным фильтром нулевого порядка, когда h\ и h\
присутствуют? На этот вопрос дает ответ решение уравне-
ния (41) для / = 1, из которого найдется Дй(,. Аналогич-
ные вопросы приводят к уравнениям (42) и (43) для полу-
чения Д/г} и Дй}. Следующие этапы аналогичны и исполь-
зуют Д/г'-1 для нахождения Дй'. Эта итерация приводит
к ряду
й£ (Д/lg); й} (ДЙ?); й1 (Дй?); Дй1; Дй}; Дй?; ДЙ?; Д/г?, . . .,
где оптимальный фильтр дается выражениями
h0 = 3 Дй‘; = 2 Дй}; йг = f (44)
/—о z=o /=о
Этот метод можно рассматривать как некоторую про-
ц'’дуру, в результате которой к существующему фильтру
на каждом шаге добавляется коррекция соответствующего
порядка. Сумма этих последовательных коррекций будет
оптимальным фильтром.
Строго говоря, оба этих метода эквивалентны. Техни-
чески оба они имеют то преимущество, что на всех этапах
итерации используются одни и те же гсобственные функции
ядер хх, хххх. Поэтому они сразу’вычисляются вначале.
Практически второй метод, быть может, более удобен, так
как степень убывания Aft* показывает, насколько хороша
достигнутая аппроксимация.
Следует подчеркнуть, что в обоих методах не обязатель-
но начинать с вычисления ho, а затем вычислять hi, ho
и т. д. На каждом этапе можно начать с любого ядра, при-
чем порядок вычислений на предыдущем этапе безразличен.
Выражения для оставшейся ошибки. При применении
оптимального фильтра (й0, hlt h2) среднеквадратическая
ошибка имеет вид
ОО
е2 — Е {(х</ — й0 — hx (a) x~(t — а) da —
о
— И (а, р) х (t — a) x(t — Р) dadp)2} =
о о
= Xd + \ hr Ajxxdadp + ft2 /t2xxxxdadpdadp —
— 2Л0х</ — 2/г0\ h^xda — 2h0 \\ h2xxdad$ —
— 2^ hyXXdda — 2 h2xxxdad$da —
— 2 \\ h^xxxddad^ •
(45)
При помощи соотношений (28), (29) и (30) получим
Это выражение по виду сходно с выражением для ошибки
в каскадной конфигурации, которая рассматривалась вы-
ше, и с выражением для ошибки винеровского линейного
фильтра.
Приложение к системам управления. В то время как
применение вышеописанного метода к задачам прогноза
или фильтрации сигнала от шума, или комбинации прогно-
за и фильтрации не вызывает никаких затруднений, кон-
струирование нелинейных компенсирующих цепей для
систем управления требует некоторого дополнительного
исследования.
'•'X
Вход
Выход
Рис. 5." Цепь каскадной компенсации.
Метод аналитического конструирования (Ньютон, Гулд,
Кайзер 118]), применяется в основном для задачи управ-
ления, показанной на рис. 5, где g представляет собой не-
изменяемую цепь, a h—цепь компенсации. Требуется
найти линейную компенсирующую цепь h, оптимизирую-
щую среднеквадратическую разность между действитель-
ным и желаемым выходом. Эту задачу можно сформули-
ровать различными способами, которые приводят к более
или менее одинаковым уравнениям.
Для детерминированного входа х желаемый выход xd
также является детерминированным и требуется^найти
наилучший линейный компенсатор, чтобы минимизировать
СЮ
8=5 СО - *'(0)2Жг г(47)
о
где ё называется интегральной квадратической ошибкой.
Чтобы обеспечить сходимость интеграла и отделить пере-
ходный процесс от установившегося, часто применяется
весовая функция и ъ принимает вид
1Г(0 (хНО — х (О)2 dt.
о
Если же входной сигнал является эргодическим стаци-
онарным случайным процессом, то Xd также будет случай-
ным процессом и в критерий ошибки будет входить мате-
матическое ожидание квадрата разности Е (Xd (t) — у (0)2.
Мы условились, что неизменяемый элемент g является
линейным. Во многих задачах получается тривиальный
результат, если g обратимо, т. е. g-1 является физически
реализуемой цепью. Задача является нетривиальной, когда g
не является минимально-фазовой цепью (Ньютон, Гулд и
Кайзер [18]) или когда наложены различные ограничения.
Типичными ограничениями являются ограничение ширины
полосы пропускания или ограничения на амплитуду сигна-
ла. В следующих разделах мы будем рассматривать ту же
задачу компенсации, но, вместо того чтобы ограничиться
только линейными компенсирующими цепями, рассмотрим
нелинейный фильтр л.-го порядка. Цепь из неизменяемых
элементов будем считать линейной. Когда неизменяемый
элемент является нелинейным, уравнения настолько услож-
няются, что становится нерациональным их решение ите-
рационным методом.
Схема свободной компенсации с детерминированным
входом. Пусть на рис. 5 х представляет собой детермини-
рованный сигнал. Будем считать, что x(t) функция из L2
на интервале (— оо, 0). Если х (0 не принадлежит L2,
но ограничена, то можно применить множитель сходимости.
Требуется найти </i0, hi, h2), минимизирующее выражение
СО
ё= (Xd (0 — у (0)2 di.
о
Если обозначить
___ оо
Дх) = f (х) dx
о
и положить
Zo = g,___________
Zx (0 = g (g) х (/ — а)?_______
z2 (0, Q x (fx — a) x (t2 — a),
то уравнения для (Ао.Тк. Лг>.будут совпадать с уравнениями
(28), (29) и (30), в которых математические ожидания (обо-
значенные одной чертой) заменены интегралами, обозна-
ченными двумя чертами. Интегралы имеют те же свойства,
что и математические ожидания, если использовать весо-
вые множители экспоненциального типа для приведения
ядер к классу L2. Присутствие неизменяемого элемента
в принципе ничего не меняет, и метод решения задач оста-
ется тем же. Этот результат верен и в том случае, когда х
и Xd — выборочные функции эргодического стационарного
случайного процесса.
Неизменяемый элемент с ограничениями на амплитуду.
Многие системы и элементы, применяемые на практике,
не могут принять входные сигналы, у которых амплитуда
или мощность больше некоторой определенной величины.
При конструировании компенсирующих, цепей для таких
элементов эту особенность нельзя не учитывать и следует
наложить на входной сигнал соответствующие ограниче-
ния. Однако при том математическом аппарате, который
мы применяем, очень трудно, а иногда и невозможно нало-
жить непосредственно ограничения на амплитуду. Можно,
однако, уменьшить вероятность того, что амплитуда пре-
высит определенное значение путем ограничения среднего
квадрата этого значения (Ньютон, Гулд, Кайзерj [18]).
Этот метод лучше всего проиллюстрировать на примере,
показанном на рис. 6. На этом рисунке х — случайный
входной сигнал, являющийся выборочной функцией ста-
ционарного случайного процесса; g — неизменяемый эле-
мент; Xd — случайный процесс, зависящий от х. Требуется
сконструировать каскад компенсации второго порядка
<Л0, Л1, Й2>, оптимизирующий fa — у¥. Оптимизацию тре-
буется совершить при условии, что средний квадрат вели-
чины q, которая линейно зависит от входного сигнала в g,
не будет превышать некоторого числа а0- Вышеупомянутое
линейное соотношение изображено на рис. 6 в виде линей-
ного фильтра k. Если нужно ограничить мощность входного
сигнала, то k = 1. Если нужно ограничить выходной сиг-
нал, то k = g. Если надо ограничить амплитуду, то выбор
соответствующего оо будет определять вероятность насы-
щения, не превышающего определенной величины.
Задача, которую нам требуется решить, такова.
Найти </г0,/г^ Л2>, минимизирующее (xd— у)2 и удов-
летворяющее ограничениям q2 < <т0- Мы применяем мно-
житель Лагранжа р и минимизируем
(xd — у)2 + р<?2.
Таким образом получаем оптимальные фильтры </top, hlp,
Каждому р соответствует различный нелинейный ком-
пенсатор. Обозначим каждый из этих фильтров через Н (р).
Рис. 6. Компенсация с ограничением на амплитуду.
Тогда получим значение q2 — q2 (р). Выбираем р_таким,
чтобы q2 (р) было меньше а0 и минимизировало е2. Этот
последний шаг оказывается наиболее трудоемким; обычно
решают уравнения для нескольких значений р и выбирают
то из них, которое удовлетворяет всем вышеназванным тре-
бованиям.
Пусть
00
zi (0 = ё (а) х (t — а) da,
о
ОО
Zi (f) = k (а) х (t — а) da,
о
ОО
«2 Q = ^ £ («) x(t — а — /1) x(t — a — Q da,
О
Z2 (^1. Q = \k (а) х (t — а — х (t — а — /2) da.
О
11 Заказ № 604
оо
z0 = ^g (a) da,
О
00
ZQ = k (а) da.
о
После применения обычных вариационных методов урав-
нения для <Л0, /ii, /^2> принимают вид (в сокращенных
обозначениях)
Ml + р) = xdz0 — (zx -i-pZj)da— +
о о
о
J hi (гл + pZjZj) da = — h0 (zozx + p Z^) —
0
oo oo
— h2 (z2zx 4- pZ2Zx) dadfi для > 0,
о о
OO oo
^2 (^2^2 + P-^2^2) dadp = XtfZz (ZqZ2 -|- pZ0Z2)
о 0
00
— /4 + pZpZ2) da для t19 t2 > 0.
0
Все ядра, фигурирующие в левых частях уравнений,
симметричны и либо принадлежат L2, либо могут быть све-
дены к таковым при помощи решения уравнений обычным
путем. Для их нахождения поступают так, как было по-
казано выше.
Нелинейный неизменяемый элемент. В этом разделе
мы найдем уравнения, определяющие оптимальную цепь
компенсации для нелинейного неизменяемого элемента.
Рассматриваемый пример поучителен, так как он показы-
вает ограниченность нашего метода.
Пусть на рис. 5 неизменяемый элемент представляет
собой фильтр второго порядка <0, gi, g2>. Требуется по-
строить оптимальный компенсатор, являющийся линейным
фильтром hi. Как обычно х и Xd — зависящие друг от друга
эргодические стационарные случайные процессы.
Пусть
ОО
Si (У) х (t — а — у) dy,
О
ОО 00
4 = g2 (т, <з)x(t—а — у)X (t — р — о) dyda,
О о
оооо .
?2 = gi (у, о) X (t — а — у) х (t — 0 — у) х (t — в — о) dyda.
О о
Тогда, применяя обычные вариационные методы, получим
интегральное уравнение для определения hi
___ ОО ____ ______ 00 00
hi (2z&d + г!г!) dp 4- 3 d0dy + .
О 0 0
оо оо оо ___
+ 2 hihihi + 2zlz%) dfidyde = 0 (48)
ООО
для ii 0.
Это интегральное- уравнение уже не является линей-
ным. В этом частном примере неизвестное ядро входит
в третьей степени. Уравнения для нелинейной компенса-
ции еще более сложны. Возможно, что уравнения этой
степени сложности и можно разрешить. Вероятно, решение
будет гораздо более сложным, чем решение линейных ин-
тегральных уравнений, подобно тому как решение алгебра-
ического уравнения высшей степени сложнее решения ли-
нейного уравнения.
Этот пример показывает следующее. Хотя мы не ут-
верждаем, что уравнения типа (48) нельзя решить, ясно,
что они слишком сложны для того, чтобы их решать нашим
методом. Метод собственных функций и итерационный про-
цесс требуют, чтобы неизвестное ядро hi входило в i-e урав-
нение в первой степени, так как на этом основано доказа-
тельство сходимости. Поскольку в данном случае это не
имеет места, наш метод не применим.
Отсюда можно заключить, что неизменяемый элемент
должен быть линейным, иначе соответствующие уравнения
будут очень сложными.
Выводы и заключение. В этой статье описывается
систематический аналитический подход к задачам нелиней-
ной фильтрации, применимый к любому стационарному
случайному процессу при условии, что существует неко-
торое среднее. Вместо того чтобы искать оптимальный воз-
можный фильтр для данного случайного процесса, мы
применяем фильтр заданного вида в качестве приближения
к оптимальному непрерывному фильтру. Применяемый
фильтр является фильтром порядка п, т. е. описывается
первыми п ядрами Вольтерра. Аппроксимация имеет сле-
дующие свойства: точность аппроксимации растет с увели-
чением числа членов и действие фильтра приближается
сколь угодно близко к действию оптимального непрерыв-
ного фильтра. Преимущество нашего метода аппроксима-
ции состоит в том, что мы начинаем с простых элементов и
добавляем все более сложные элементы при увеличении
требований к точности.
Статистическими данными, определяющими фильтр, яв-
ляются автокорреляционные и взаимно-корреляционные
функции высших порядков. Фильтр n-го порядка задается
первыми 2п автокорреляционными и.первыми п взаимно-
корреляционными функциями. В некоторых случаях по виду
корреляционных функций можно судить о виде фильтра.
При выборе специального канонического вида функцио-
нала, соответствующего нелинейному фильтру, теряются
те преимущества, которыми обладает каноническое разло-
жение по ортогональным функционалам. В результате
уравнения получаются более сложными, чем те, которые
соответствуют ортогональному разложению. Однако пре-
имуществом этого выбора является независимость метода
от вида случайного процесса.
Фильтр порядка п задается системой из п совместных
интегральных уравнений, линейных относительно неиз-
вестных ядер. Эти уравнения решаются таким путем:
сначала решается задача фильтрации для случая одного
ядра, а затем итерационным методом строится решение
для фильтра порядка п.
Приложение А. Решение интегрального уравнения
f(f)~ K(t, s)h(s)ds. Будем искать решение уравнения
п
/ (/) = к (Л s) h (s) ds, (A.l)
о
где / (/) — ограниченная функция из L2, а Д(s, t) — сим-
метрична и принадлежит L2 по каждой переменной s и t и
по их совокупности, т. е.
Д2 (s, t) dt
о
< оо для всех seй
dsdt
оо.
£2 £2
В силу этих свойств Д (s, t) обладает системой собствен-
ных функций Тг- и собственных значений %; (Курант и
Гильберт [8], Смайтис [20]). Собственные функции обра-
зуют нормальную ортогональную систему функций, кото-
рые вместе с соответствующими собственными значениями
удовлетворяют следующим интегральным уравнениям:
К (s, t) (s) ds=Tz (/).
Я
(А.2)
В области Q К (s, t) обладает ортогональным разложением
по своим собственным функциям
^.(3)^(0
К (s, 0
00
(А.З)
В этом ряду X/ расположены в порядке возрастания абсо-
лютных величин |%х| < |ta| |Х3| < . . . . Знак = обо-
значает, что ряд справа аппроксимирует Д (s, f) в среднем
при п -> оо. Предел в среднем становится равенством, если
ядро вырождено, т. е. если оно обладает конечным числом
собственных функций и собственных значений йли если
ядро непрерывно и положительно определено (теорема
Мерсера). Пусть {ф/} — полная система ортонормирован-
ных функций на Q, таких, что элементы системы собствен-
ных функций Д (s, f) входят в эту систему. Поскольку
f (/) принадлежит L2, то ее можно разложить по фг (/)
оо
/(0 = 3 (А ф<)ф, (t), (А.4)
где
(А АО =\ f ® фг tf) dt. (А.5)
а
Предположим, что f (() полностью определяется теми чле-
нами системы {ф/}, которые являются собственными функ-
циями {Tz}, К (s, t). Это означает, что
\ f (t) ф£ (0 dt = о,
о
когда ф£ не является элементом {TJ и равенство (А.4) можно
записать так:
ОО
f (0 = 2 (А^)^(0. (А.6)
z=i
Подтверждение этого предположения будет дано ниже.
Определим функцию hn (s) при помощи соотношения
М0 = 2^(А^)Т<(0; (А.7)
i=i
hn (s) является решением уравнения (А.1) в следующем
смысле:
/ (0 = l.i.m. А (А 0 hn (s) ds. (А.8)
z-*°° a
Это может быть доказано следующим образом:
'J (/(0 - А(А s)hn (s)ds)*dt^
= /2 (/) dt — 2^ К (t, s) f (0 hn (s) dtds +
£2 £2 £2
= /2 (0 dt - 2 К (S, О f (t) S %z (/, TO T, (s) dsdt+
£2 Q Q i=l
+ 5 [5 (s, f) 3 Xz (/, Tz) (s) ds]2 dt =
£2 £2 t —-1
= 5 P (O dt — 3 (A Tz)2. (A.9)
a i=i •
Из уравнения (A.6) и равенства Бесселя следует, что
5/2(О^ = 3 (ATz)2. (А. 10)
Я 1=1
Применяя (А. 10) и (А.9), получим
f (t) = l.i.m. 5 A (s, 0 hn (s) ds. (A.ll)
Л-’’00 Q
Прежде чем закончить доказательство, исследуем пред-
положение о том, что в нашей задаче функцию f (/) можно
определить в среднем при помощи собственных функций
К (s, I).
Для каждого фильтра h среднеквадратическая ошибка
будет
5 - 25 h (t) / (t) dt + 55 К (s, t) h (t) h (s) dtds. (A.12)
L2 О £2
Как квадратичная форма 82 > 0 для всех h. Пусть
ф (t) — нормированная функция, ортогональная ко всем
собственным функциям К (s, /). Предположим, что
5 f (t) ф (f) dt =]= 0. (A. 13)
Q
Выберем h, так что h (t) — аф (t), где a — константа.
Среднеквадратическая ошибка будет
4 = Г? - 2а (f, ф) + а255 (8) dsdt =
= ^-2а(А^). <А-14)
Теперь, выбирая подходящее а. можно полученное выра-
жение сделать отрицательным, т. е. е| < 0. Отсюда сле-
дует, что ф (0 не существует и f (t) можно определить в
среднем при помощи собственных функций К (s, t).
Приложение В. Сходимость итерационного процесса и
единственность решения. Мы докажем, что итерационный
процесс сходится к решению уравнений, которое является
единственным с точностью до оператора, не влияющего
на ошибку.
Рассмотрим ряд из фильтров, получающихся в резуль-
тате итерационного процесса, и ряд соответствующих
значений среднеквадратической ошибки
Aj, Ai, hl hl hl hl hl hl . .; hl h{, hl (B.l)
el e}, el e®, el el 63, ej, el . . .; e®, e), e2; . . . (B.2)
По самому построению ряда (В. 1) фильтр (Ji'H A't1, h{+1)
действует не хуже, чем <Ао, h{, Каждый фильтр, состав-
ленный из трех последовательных членов ряда (В.1), дей-
ствует не хуже, чем любой фильтр, составленный из hit
стоящих в ряду (В.1) ранее. Это означает, что
е* > е[ при i > /, I > h,
и ряд (В.2) монотонно убывает. Поскольку среднеквадра-
тическая ошибка положительна, то > 0 (для всех k и /)
и ряд ограничен снизу. Поэтому существует предел
lim в?’1’2.
Z->oo
Обозначим через е точную нижнюю грань ряда
е = lim е®’1’2.
/->00
Пусть <А0, Ап А2>— фильтр, соответствующий ошиб-
ке е; <Ао, Л1, А2> будут следующими:
h0 — lim A*; hx = lim h{; h2 = lim hl (B.3)
j->OO j->OO J-*OO
Мы утверждаем, что <A0, hlt h2) являются решениями
интегральных уравнений.
Для доказательства рассмотрим следующее свойство
рядов (В.1) и (В.2).
Применяя обозначение (40) и выражение (46) для ошиб-
ки, получим следующее соотношение между ошибками,
соответствующими двум последовательным шагам итера-
ции:
4 - eLx = - (Л/г*)2 < 0,
8* — 8* = — ДЛ* х) < 0,
8® — 8fe = — ДЛ*ХХ^ < 0.
Выражение для фильтра имеет вид
Д/г = 2
i=i
где Т/ — собственные функции, соответствующие автокор-
реляционной функции. Таким образом, уменьшение сред-
неквадратической ошибки на каждом итерационном шаге
имеет следующий вид:
где Л/ — соответствующие собственные значения. Посколь-
ку все собственные значения положительны, то Де = 0
лишь в том случае, когда все at равны нулю.
Таким образом, этап итерации не может вызвать в филь-
тре никаких изменений, кроме улучшающих его действие.
Фильтр либо «исправляется», либо остается «неизменным».
Предположим теперь, что </i0, hi, h2y не является реше-
нием уравнений. Тогда /ii и /г2 можно считать заданными и,
применяя итерационный процесс, можно из уравнения (28)
найти ko — оптимальный фильтр нулевого порядка при
заданных hi и h2. Если теперь 4= Ао, то мы, следова-
тельно, достигли некоторого улучшения и ошибка, соот-
ветствующая <&о, hi, h2}, меньше, чем е. Но е есть точная
нижняя грань итерационного ряда (В.2). Это приводит
к противоречию и показывает, что ko = ho и </г0, hi, h2>
есть решение первого уравнения. Аналогично можно
поступить с уравнениями (38) и (39) и найти, что <Ло, Л1, Й2>
также являются их решениями. Или
lim Ло = Игп№ — \Л1 rxda —(В.4)
Z-юо Z->oo I J '
lim\Alxxda = limjxdX — tyx — \\ h^xxxdadfi k (B.5)
Z—>oo J Z->oo I J
1 im \\ h^xxxxdadfy = 1 im ]XdXX — h‘oxx — \ Alxxxda k (B.6)
/->00 Z~>00 I J J
Результат итерационного процесса является единствен-
ным в том смысле, что никакое другое решение уравнения
не уменьшит ошибку.
Пусть <А0, Л1, А2> — результат итерационного процесса,
а <А0, kj., А2> — Другой фильтр, удовлетворяющий урав-
нениям (28), (29) и (30). Мы докажем, что ошибка, соответ-
ствующая <А0, klt А2>, равна ошибке, соответствующей
<А0, hlt h2>.
Пусть
ЛА0 = k0 — h0,
^h1 = k1 — h1, (В. 7)
AAg = Ag h2.
Среднеквадратическая ошибка для <А0, Аь А2> будет
&k — Xd — k0Xd — kiXXdda — $ k2xxxddad$. (В. 8)
Из уравнений (28), (29) и (30) для <А0, Ах, k2y имеем
Xd = Ао k^xda. k2xxdad$,
xxd = k$x 4- kixxda + $ k2xxxdad$,
xxxd = k^xx + \ k^xxda + \\ k2xxxxdad$.
Подставляя эти значения в уравнение (46), получим
е2 = Xd — А0А0 — А2$ k2xxxxdad$dydb —
Ао krxda — 2 k?xxxdad$dy — 2А0^ k2xxdadfi.
Применяя обозначения (В.7), имеем (опуская символ dx)
==- Xd ~Н hx h^xx ~р
+ 2 Айх h±xx + Айх hrxx — $ Л2 $ h2xxxx +
4- 2 $ ДЛ2 $ h^xxxx —
— 2 (^о^х ~1“ 4“ Ло ДЛхДЛ0) xda —
— 2 (h-fa 4- Aft1A2 4- ftxAft2 4- А^Дйг) xxxdadfidy —
2 (^0^2 ~H A^o^2 ~F ^o^^2 “H A/^qA/i2) xxdad^i.
Величины Ай0, A/h, AA3 связаны следующими уравнениями,
которые получаются вычитанием уравнений (28), (29) и
(30) для <Ло, hi, hi) из соответствующих уравнений для
(ko, ki, ko):
0 = Aft0 4~ Ahrxda 4- $ Ah2xxdadfi,
0= Дйох4- Ahjxxda 4- $ Ah2xxxdadfi,
0 = Ahoxx 4- Ahjxxxda-j- Ah2xxxxdad^.
Применяя эти уравнения и снова уравнения (28), (29) и
(30), получим для <й0, /li, /г2>
е2 = ха — h^d — h^xxdda — $ /i2xxxddadp,
что совпадает с (46) и доказывает наше утверждение.
л И Т-Е Р А]Т У:р А
1. Б а г д а д и, Лекции по теории систем связи, «Мир», 1964.
2. BappeT(BarrettJ. F.), The use of functionals in the analy-
sis of nonlinear physical systems, Statistical Advisory Unit Report
№ 1/57, Ministry of Supply, Great Britain.
3. Баррет и Лампард (Barrett J. F., Lampard
D. G.), An expansion for some second-order probability distributions
and its application to noise problems, IRE Trans,, IT-1, 10(1955).
4. Боде и Шеннон, Упрощенный вывод линейной теории
сглаживания и предсказания по методу наименьших квадратов.
(В книге: Шеннон К., Работы по теории информации и кибер-
нетике, ИЛ, М., 1963.)
5. Бозе (Bose A. G.), A theory of nonlinear systems, Technical
Report 309, Research Lab. of Electronics, MIT, 1956.
6. Бриллиант (Brilliant M. B.), Theory of the analysis
of nonlinear systems, Technical Report 345, Research Lab. of Elect-
ronics, MIT, 1958.
7. Ч e с л e p (Ch es 1 er D. A.), Nonlinear systems with gaussian
inputs, Sc. D. Thesis. Dept, of Elect. Eng., MIT, 1960.
8. Курант P. и Гильберт Д., Методы математической физики,
т. I, Гостехиздат, М.— Л., 1951.
9. Каннингхэм В., Введение в теорию нелинейных систем,
Госэнергоиздат, М.— Л., 1962.
10. Давенпорт В. иРут В., Введение в теорию случайных сиг-
налов и шумов, ИЛ, М., 1960.
И. Д у б Д., Вероятностные процессы, ИЛ, М., 1956.
12. Фреше (Free het М.), Sur les Fonctionnelles Continues,
Ann. Ec. Norm. Sup., 27, 193—219 (1910).
13. Джордж (George D. A.), Continuous nonlinear systems,
Technical Report 355, Research Lab. of Electronics, MIT, 1959.
14. КолмогоровА. H. и Фомин С. В., Элементы теории функ
ций и функционального анализа, т. I, Изд-во Моск, ун-та, 1954.
15. Л и ( L е е V. W.), Statistical Theory of Communication, N. Y.,
1960.
16. Левинсон (Levinson N.), A Heuristic Exposition of
Wiener’s Mathematical Theory of Prediction and Filtering. Добав-
ление C к Винер [24], 1949.
17. Минорский (Minorsky N.), Introduction to Nonlinear
Mechanics, Edwards, Ann Arbor, Mich., 1957.
18. Ньютон Дж., Гулд Л. и Кайзер Дж.,Теория линейных
следящих систем, Физматгиз, М., 1961.
19. Наттел (Nuttall А. Н.), Theory and application of the se-
parable class of random processes, Tech. Rep. 343, Research Lab.
of Electronics, MIT, 1958.
20. Смайтис (Smithies F.), Integral Equations, Cambridge
Univ. Press, 1958.
21. Вольтерра (Volterra V.), Theory of Functionals and
of Integral and Integro-Differential Equations, Dover, N. Y. 1959.
22. Винер (Wiener N.), Generalized harmonic analysis, Acta
Math., 55, 117—258 (1930).
23. В и н e p ( W i ener N.), Response of a nonlinear device to noise,
Report V-16S, Radiation Laboratory, MIT, 1942.
24. Винер (Wiener N.), Extrapolation, Interpolation and Smoot-
hing of Stationary Time Series, N. Y., 1949.
25. В и н e p H., Нелинейные задачи в теории случайных процессов.
ИЛ, М., 1961.
26. Цеймс (Z ames G.), Nonlinear operators for systems analysis,
Sc. D. Thesis, Dept, of Elec. Eng., MIT, 1960.
27. Це й мс ( Z am es G.), On the mapping of random processes into
random variables in the unit interval and their characterization by
probability distribution operators, ARM-258, Applied Research
Lab., Sylvania Electronic Products, Waltham, Mass., 1961.
28. 3 а д e (Z a d eh L. A.), Optimum nonlinear filtering, J. Appl.
Phys., 24, 396 (1953).
29. 3 а д e ( Z a d e h L. A.), A contribution to the theory of nonlinear
systems, J. Franklin Inst, 255, 387—408 (1953).
30. 3 а д e ( Z a d e h L. A.), On the representation of nonlinear opera-
tions, IKE Wescon Conv. Record, Pt. 2, 105 (1957).
31. 3aAe(Zadeh L. A.), Progress in Information Theory in
USA 1957—1960, Chapter V, IRE Trans., IT-7, 128 (1961).
32. Синглтон (Singleton H. E.), Theory of nonlinear trandu-
cers, Techical Report 160, Research Lab. of Electronics, MIT,
1950.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .............................................. 5
Глава 1. Нелинейные задачи теории управления.......... 7
1. Соотношение между системами связи и системами уп-
равления ........................................... 9
2. Подход к задаче нелинейной компенсации.......... 12
Глава 2. Характеризация нелинейных систем............. 15
1. Функциональное представление.................... 15
2. Общность функционального представления....... 22
3. Теория многомерных преобразований............... 28
4. Свойства преобразований многомерных ядер .... 33
Физически возможные весовые функции .... 34
Обобщенное гильбертово преобразование............ 37
Амплитудно-фазовые соотношения .................. 43
Устойчивость ядер n-го порядка............... 48
Г л а в а 3. Решение задачи компенсации в виде функциональ-
ных степенных рядов ............................. 53
1. Общий подход ................................... 53
2. Алгоритм для определения ядер последовательной ком-
пенсации ........................................... 58
3. Алгоритм для определения компенсирующих ядер в
цепи обратной связи ................... 74
4. Свойства сходимости............................. 79
Г л а в а 4. Решение задачи компенсации в замкнутой форме . . 90
1. Фильтры Винера ................................. 90
2. Простые нелинейные фильтры................ . . 94
Глава 5. Управляемость неизменяемых элементов .... 101
1. Обращение нелинейной системы................... 101
2. Задача об устойчивости в большом для обращений . . 105
3. Применение разложения в ряд при исследовании ус-
тойчивости ........................................ ИЗ
Глава 6. Критические замечания и обобщения........... 118
Литература............................................ 121
Дополнение. Конструирование нелинейных фильтров
и систем управления. Дж. Кацнельсон и Л. Гулд . . 124
Введение ......................................... 124
Нелинейная коррекция для оптимального линейно-
го фильтра ................................. 130
Среднеквадратическая ошибка.................. 140
Оптимальные фильтры с конечным числом ядер . . 141
Итерационный метод решения интегральных уравнений 145
Выражения для оставшейся ошибки.............. 149
Приложение к системам управления............. 150
Схема свободной компенсации с детерминирован-
ным входом . ............................... 151
Неизменяемый элемент с ограничениями на амплитуду 152
Нелинейный неизменяемый элемент ................ 154
Выводы и заключение............................... 156
Приложение А. Решение интегрального уравнения
f(t) = 5 K(t,s)h(s)ds.......................... 157
£2
Приложение В. Сходимость итерационного процесса
и единственность решения ................... 160
Литература........................................ 163
Г. В а н - Т р и с
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Редактор А. А. Рывкин
Художник Л. Г. Ларский
Художественный редактор В. И, Шаповалов
Технические редакторы Г. Ю. Базилевская
и Г. А. Юркина
Корректор И. С. Додолева
Сдано в производство 29/1V-1964 г.
Подписано к печати 8/VII1-1964 г.
Бумага 84Х108/82,-2,6 бум. л.
8,6 печ. л.,
Уч.-изд. л. 7,4. Изд. № 1/2593
Цена 52 к. Зак. 604
ИЗДАТЕЛЬСТВО «М И Р»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
2-я тип. издательства «.Наука»
Москва Шубинский пер. 10
ОПЕЧАТКИ
Стр. Стоока | Напечатано 1 Следует читать
24 7 св. d
dx <й<о4>
72 7 сн. (XTi dx* dx$ dx-i dx% dx3
52 коп.