ВОЛЬКЕНШТЕЙН В. С. Сборник задач по общему курсу физики?
Учебное пособие.— 11-е изд., перераб.— М.: Наука, Главная редакция
физико-математической литературы, 1985.— 384 с.
Книга представляет собой систематический сборник задач и
упражнений по общему курсу физики. Каждый раздел начинается с
легких задач и заканчивается более трудными.'Наиболее типичные
задачи решены подробно, с методическими указаниями. Для однотип-
ных задач даны только ответы. В настоящем издании «Сборник»
заново отредактирован с учетом ныне действующего ГОСТ
8.417—81 (СТ СЭВ 1052—78) иа терминологию и единицы физических
величин, устранены замеченные неточности и опечатки предыдущего
издания (1979 г.).
Для студентов высших технических учебных заведений с обыч-
ной программой по физике; может быть использована студентами и
других вузов.
Табл. 42, Ил, 113.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакции ..........................................  е	5
Из предисловий автора к третьему и пятому изданиям . . . .	6
Введение .........................•. .	........... 7
.Международная система единиц ............................  7
Методические указания к решению задач...................... 9
Задачи Ответы и
решения
Глава I. Физические основы механики , . ....	11	253
Единицы механических' величин ..................... 11	—
§ 1.	Кинематика . . ............................  15	253
§ 2.	Динамика. ................................   24	258
§ 3.	Вращательное движение твердых тел .....	44	273
§ 4.	Механика жидкостей и газов................. 51	278
Глава II. Молекулярная физика и термодинамика	56	280
Единицы тепловых величин............................56	—
§ 5.	Физические основы молекулярно-кинетической
теории и термодинамики........................... 58	280
§6.	Реальные газы............................ .	87	298
§ 7.	Насыщенные пары и жидкости ........	90	- 301
, § 8. Твердые тела................................101	308
Глава III. Электричество и магнетизм	107	312
Единицы электрических и магнитных величин ....	107	—
§9.	Электростатика .......................  .	113	312
§ 10.	, Электрический ток....................... 133	322
§ 1Г.	Электромагнетизм.......................... 152	329,
Глава IV. Колебания и волны.......................  176	' 336
Единицы акустических величин.......................176	—
§ 12.	Гармоническое колебательное движение и
волны....................................... 178	336
§ 13.	Акустика.............................. 188	342
§ 14.	Электромагнитные колебания н волны ....	192	344
Глава V. Оптика .................................. 198	345
Единицы световых величин ..........................198	—
§ 15.	Геометрическая оптика и фотометрия . .	.	.	200	345
§16.	Волновая оптика.........................   210	348
§ 17.	Элементы теории относительности....... 220	352
§ 18.	Тепловое излучение .....................	223	353
Глава VI. Физика атома и атомного ядра........ 227	354
Единицы радиоактивности и ионизирующих излучений-	227	—
§ 19.	Квантовая .природа света и волновые свойства
частиц ...........	....	.	.	.	229	354
3
Задачи Ответа и
решения
§ 20, Атом Бора. Рентгеновские лучи . ......... 234	356
§21. Радиоактивность . .....................	240	358
§22, Ядерные реакции . . .................	. .- 245	361
§23, Элементарные частицы. Ускорители	частиц	249	364
Приложении ,........................-..................367
I. Связь между рационализованными и нерационали-
зоваиными уравнениями электромагнитного поля . . 367
II, График зависимости индукции В от напряженности
п магнитного поля для некоторого сорта железа . . 370
III.	Фундаментальные физические	константы..........370
IV.	Некоторые данные о планетах	Солнечной системы . 371
V.	Астрономические постоянные	..................37-2
VI.	Диаметры атомов и молекул...................  372
VII.	Критические значения Тк и рк..................372
VIII.	Давление водяного пара, насыщающего пространство
при разных температурах .............................372
IX.	Удельная теплота парообразования воды при разных
температурах ......................................373
X.	Свойства некоторых жидкостей ........... 373
XI.	Свойства некоторых твердых тел . .	 373
XII.	Свойства упругости некоторых твердых тел.......374
XIII.	Теплопроводность некоторых твердых тел........374
XIV.	Диэлектрическая проницаемость диэлектриков .... 374
XV.	Удельное сопротивление проводников............374
XVI.	Подвижности яонов в электролитах..............375
XVII.	Работа выхода электронов из металла . , ...... 375
XIX,	Длина волны, определяющая границу К-серии рент-
геновских лучей для различных материалов антика-
тода ........... . . ................................375
XX,	Спектральные линии ртутной дуги ......... 376
XXI.	Массы некоторых изотопов........................376
XXII,	Периоды полураспада некоторых радиоактивных эле-
ментов ....................'.............................376
XXIII. Названия, символы и атомные массы химических эле-''
ментов.................................................. 377
XXIV. Синусы (косинусы)................................  378
ОТ. РЕДАКЦИИ
Предлагаемый вниманию читателей «Сборник задач по
общему курсу физики» В. С. Волькенштейн (1905—1972)
впервые вышел в свет в 1958 году. Со времени выхода пер-
вого издания книга неоднократно перерабатывалась и до-
полнялась, и последнее подготовленное автором (седьмое)
издание книги было выпущено в 1969 году.
Несмотря на свое давнее происхождение, книга
В. С. Волькенштейн и в наши дни широко используется
в качестве учебного пособия студентами высших техниче-
ских учебных заведений нефизического профиля (с обыч-
ной втузовской программой по физике).
В новом, одиннадцатом, издании «Сборника» общий план
и уровень изложения материала, содержание и нумерация
задач остались прежними. Однако теоретические введения
к разделам, формулировки и решения задач заново отре-
дактированы. Наиболее существенным изменениям под-
верглись терминология и обозначения единиц физических
величин,' которые оказалось необходимым модернизиро-
вать в связи с ныне действующим ГОСТ 8.417—81
(СТ СЭВ 1052—78). В процессе редактирования устранены
также замеченные неточности и опечатки предыдущих
изданий, отдельные исправления выполнены по письмам
читателей. В приложении к книге приведены основные
справочные данные, дополняющие условия задач (ссылки
на справочные таблицы даны римскими цифрами).
Все отзывы и пожелания по поводу этой книги редак-
ция просит направлять по адресу! 117071, Москва, В-71,
Ленинский проспект, 15, Издательство «Наука». Главная
редакция физико-математической литературы.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ
И ПЯТОМУ ИЗДАНИЯМ
 В третьем издании «Сборник задач по общему курсу
физики» полностью переработан и дополнен. Это вызвано,
. во-первых, введением расширенной программы по физике
для втузов и, во-вторых, утверждением ГОСТа 9867—61
-«Международная система единиц».
ГОСТ 9867—61 устанавливает Международную систему
единиц как систему, предпочтительную во всех областях
науки, техники и народного хозяйства, а также при препо-
давании *). В настоящем издании решение задач прово-
дится, как правило, в. Международной, системе единиц.
Для перехода от единиц других систем, а также внесистем-
ных единиц к единицам Международной системы даны со-
ответствующие таблицы.
Каждому параграфу предпослано краткое введение
с указанием основных законов и формул, на основе которых
решаются задачи данного параграфа. Все задачи имеют от-
веты, а наиболее трудные — еще и -решения. *
S	*	*	*
В пятом издании «Сборник задач по общему курсу фи-
зики» заново отредактирован. Некоторые задачи заменены
другими. Для того чтобы привить учащимся навыки в поль-
зовании справочной литературой, некоторые ‘числовые дан-
ные перенесены из условий задач в справочные таблицы.
В. С. Волькенштейн
*) Постановлением Государственного комитета СССР по стандар-
там с 1 января 1982 г. введен в действие ГОСТ 8.417^81 (СТ СЭВ
1052—78) «Единицы физических величии», согласно которому подлежат
обязательному применению единицы Международной системы единиц,
а также десятичные кратные и дольные от них.' (Прим., ред.)
ВВЕДЕНИЕ
Международная система единиц
Различные физические величины связаны между собой
уравнениями, выражающими зависимость между этими ве-
личинами. Например, ускорение а, которое 'получает тело
массой т, связано с силой F, действующей на это тело,
уравнением
F = ktna, '	-	(1)
где k — числовой коэффициент, зависящий от выбора еди-
ниц F, пг и а. Если единицы массы и ускорения нам изве-
стны, то мы можем выбрать единицу силы так, чтобы коэф-
фициент k в уравнении (1) стал равным единице, т. е. что-
бы оно приняло вид F=tna. Для этого за единицу силы мы
должны взять такую силу, которая единице массы сообща-
ет единицу ускорения.
Поступая так же со всякой вновь вводимой величиной,
мы используем для установления ее единицы формулу,
служащую определением этой величины, и такидо образом
строим систему производных единиц.
Различные системы единиц отличаются друг от друга
тем, какие единицы приняты за основные. Мы будем поль-
зоваться Международной, системой единиц. Эта система
обозначается символом SI, или в русском написании СИ
(по начальный буквам слой System International).
Основные единицы системы СИ приведены в табл. 1,
дополнительные единицы—в табл. 2.
Производные единицы системы СИ образуются из ос-
новных так, как это было указано выше. Для того чтобы
показать, как данная производная единица зависит от ос-
новных, применяются формулы размерности.
_ Если принять для основных величин условные обозна-
чения размерностей: длины — L, массы — М, времени —
Т, силы тока — I, температуры — 0, силы света — J и
количества вещества — N, то формулу размерности в си-
стеме СИ некоторой величины х можно записать так:
dimx = L®M₽T4W»W*,
7
Таблица 1
Величина	Единица	
	наименование	обозна- чение
Длина	метр	М
Масса	килограмм	KF
Время	секунда	С
Сила электрического тока	ампер	А
Термодинамическая температура	кельвин	К
Сила света	кандела	кд
Количество вещества	моль	моль
Таблица 2
. Величина	Единица	
	наименование	обозна* ченне
Плоский угол Телесный угол	радиан стерадиан	рад ср
Чтобы найти размерность величины х, нужно определить
числовые значения показателей а, 0, у, б, р, р и v. Эти по-
казатели могут быть положительными или отрицательны-
ми, целыми или дробными.
Пример 1. Найти размерность работы. Исходя из
соотношения A—FI, получим dim A=L*MT~2.
Пример 2. Найти размерность удельной тепло-
емкости. Так как c=Q!m&t и dim Q=dim А, получим
dim c=LiT~2Q~1.
Зная размерность в системе СИ какой-либо физической
величины, нетрудно найти и размерность ее единицы в этой
системе. Так, например, размерность единицы работы рав-
на м2-кг-с-а; размерность единицы удельной теплоемкости
равна м2-с-2>К~1 и т. д.
Таблицы производных единиц системы СИ даны в со-
ответствующих главах"«Сборника»: единицы механических
величин — в главе I, единицы тепловых вёлйчин — в гла-
ве II, единицы электрических и магнитных величин —
в главе III и т. д.
8
Таблица 3
Приставив	' Числовой значение	Обозна- чение	Приставка	Числовое значение	Обозна- чение
Атто	Ю-18	3	ч Деци	11-1	д
Фемто	10-W	ф	Дека	10*	да
Пико	10-м	п	Гекто	10*	Р
Наио	10-•	н	Кило	10?	К
Микро	ю-«	мк	Мега	10е	м
Милли	10-’	м	Гига	10*	F
Санти	ю-2	с	. Тера	101*	Т
В табл. 3 приведены приставки, служащие Для обра-
зования кратных и дольных единиц -системы СИ. Эти при-
ставки можно присоединять только к простым наименова-
ниям (метр, грамм и т. д.). Не допускается, например,
присоединять какую-либо приставку к наименованию
«килограмм», уже содержащему приставку «кило». Из этих
же соображений единицу массы /п=10* кг=1012 г сле-
дует называть «тераграммом» (Тг)._
Методические указания к решению задач
При решении задач необходимо прежде всего устано-
вить, какие физические закономерности лежат в основе
данной задачи. Затем'из формул, выражающих эти законо-
мерности, нужно найти решение задачи в буквенном виде.
После этого можно перейти к подстановке числовых дан-
ных, выраженных обязательно в одной и той же системе
единиц. Наряду *с единицами системы СИ применяются
некоторые внесистемные единицы, в научных работах по
физике и астрономии используются также единицы систе-
мы СГС. Поэтому в условиях задач числовые данные при-
ведены не всегда в единицах системы СИ. Соотношения
между единицами системы СИ, внесистемными единицами и
единицами системы СГС даны в таблицах/ помещенных
в начале каждой главы. Для решения задач в системе СИ
все данные, приведенные в условиях задач, а также взятые
из справочных таблиц, должны быть переведены в единицы
системы СИ. При этом и ответ, естественно, получится
в единицах этой же системы.
При получении числового ответа нужно обращать вни-
мание на степень точности окончательного результата.
Точность ответа не должна превышать точности, с которой
даны исходные величины. Большинство задач достаточно
решать с точностью, которую дает логарифмическая ли-
нейка. В отдельных случаях следует пользоваться четырех-
значными таблицами логарифмов.
У числового ответа сразу же, как только вместо бук-
венных обозначений подставляются числа, нужно писать
наименование единицы. В тех задачах, где требуется на-
чертить график, следует выбрать масштаб и начало коор-
динат,
ЗАДАЧИ
Глава I . -	,
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
ЕДИНИЦЫ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Производные единицы механических величин в СИ об-
разуются из физических формул с использованием основ-
ных единиц: метр (м), килограмм (кг) и секунда (с). Так,
единицы скорости и ускорения определяются из соотно-
шений
Так как единицей длины является 1 м, а единицей време-
ни — 1с, то единицей скорости будет 1 м/с, единицей уско-
рения — 1 м/с2.
Единица силы устанавливается из второго закона Нью-
тона
F = ma.
За единицу массы принят 1 кг, за единицу ускорения — •
1 м/с2; следовательно, в СИ единицей силы является такая
сила, под действием которой тело массой 1 кг получает уско-
рение 1 м/с2. Такая единица силы называется ньютоном (Н):
1 Н = 1 кг • 1 м/с2.
Единица работы определяется из соотношения
A=^Fl.
За единицу работы надо взять такую работу, которую со-
вершает сила 1 Н на пути 1 м. Эта единица работы называет-
ся джоулем (Дж):
1Дж=1Н-1м.
Мощность находится ио формуле
•V	. -
Следовательно, за единицу мощности надо принять мощ-
ность механизма, совершающего работу 1 Дж за 1 с. Эта
единица мощности называется ваттом (Вт).
11
Таблица 4
. Величина	Единица			Размер- ность величины
	определение	наименованЙе	обозна- чение	
Площадь	S = P	квадратный метр	м2	£2
Объем	V = P	кубический метр	м3	£«
Скорость	v=Al/At	метр в секунду	м/с	LT~*
Ускорение		метр на секунду в квадрате	м/с2	LT-2
Угловая ско- рости Угловое уско- рение	ю=Д<р/Д/	радиан в секунду	-рад/с	г-1
	в=Дю /	радиан на секунду в квадрате	рад/с2	
Частота перио- дического процесса	v = T~x	герц	Гц	т-1
Частота враще- ния	n = T~l	секунда в минус первой степени	с-1	т-1 .
Плотность	p=m/V	килограмм на кубический метр	кг/м3	. L~SM
Массовый рас- ход	mf — m/i	килограмм в секунду	кг/с	МТ-1
Объемный рас- ход	Vt—v/t	кубический метр в секунду	м3/с	[3Т-1
Сила	F=ma	ньютон	н	LMT*2
Давление	P=F/S	паскаль	Па	L~XMT^2
Жесткость	k^F/l	ньютон на меТр	Н/м	мт-2
Импульс	p = m Av	кнлогрэмм-метр в секунду	кг-м/с	LMT-1
Импульс силы	p=FAt	ньютон-секунда	Н-с	LMT-1
Момент силы	M = Fl	ньютон-метр	Н-м	L2MT~2
Момент им- пульса	L — MAl	кнлограмм-метр в квадрате в секунду килограмм-метр в квадрате	кг-м2/с	L^MT-1
Момент инер- ции	J=mr2		кг-м2	L2M
Работа; энер- гия	. A = Fl	джоуль	Дж.	L2MT~2
Мощность	N = AA/At	ватт	Вт	L2MT~3
Динамическая вязкость	F Д/ ^зд?	паскаль-секунда	Па-с	L-4AT-1
Кинематичес- кая вязкость	v = t]/p	квадратный 'метр в секунду	м2/с	L2T-i
Таким же способом можно определить производную
единицу любой физической величины.
В табл. 4 даны важнейшие производные единицы меха-
нических величин в СИ. Табл. 5 содержит коэффициенты
перевода внесистемных единиц в единицы СИ.
12
-Т а А'л й ц а. 5
Величина	Единица и ее связь о единицами СИ
Длина	1 А=10-1в м 1 а. е. = 1,49598-Ю11 м 1 св. год= 9,4605-ЮЧ м 1 пк = 3,0857 -1013 м
Масса	1 ,т= 103 кг 1 а. е. м.= 1,6605655-10~27 кг
Время	1 мин =60 с 1 ч=3600 с 1 сут=86 400 с
Плоский угол	1° = (л/180) рад 1' = (л/108)-10”2 рад 1’ = (л/648)-10”3 рад 1 об = 2л рад
Площадь Объем, Сила	1 га= Ю4 м2 1 л=10-3 м3 1 днн=10"6 Н 1 кгс=9,81 Н
Давление	1 днн/см2=0,1 Па 1 кгс/м2=9,81 Па 1 ат=1 кгс/см2=0,981 • 10s Па 1 мм рт. ст. (Торр)= 133,0 Па 1 атм = 760 мм рт. ст. = 1,013-105 Па
Жесткость Импульс силы Момент силы Работа; энергия	1 бар= 10s Па 1 дин/см = 10~3 Н/м 1 дин-с=Ю”3 Н-с 1 днн-см= 10~7 Н-м 1 эрг= 10”’ Дж 1 кгс*м = 9,81 Дж 1 Вт-ч=3,6-103 Дж 1 эВ = 1,6021892-Ю-1’ Дж 1 кал = 4,19 Дж
Мощность	1 эрг/с=10”’ Вт 1 л’, с. =75 кгс-м/с=735,5 Вт
Динамическая вязкость Кинематическая вязкость	1 П=0,1 Па-с 1 Ст=10”4 м2/с
Примеры решения задач
Задача 1. Камень массой 1,05 кг, скользящий по
поверхности-льда со скоростью 2,44 м/с, под-действием силы
трения останавливается через 10 с. Найти силу трения,
считая ее постоянной.
Решение. По второму закону Ньютона
F At = mva—mvi,
13
где F сила трения, под действием которой скоростьтела
массой тзя время At меняется от щ до vt. В вашем случае
о»=0, так что .
F-_2£l	-
’ -	"	Г~'М'
Знак «минус» указывает, 'что направление силы трения F
противоположно направлению скорости Vj. Подставляя
числовые данные /п=1*,05 кг, ^=2,44 м/с и ДЛ=10 с, имеем
F = — н = —0,256 Н.
Так. как исходные данные взяты с точностью до третьей
значащей цифры, то и ответ задачи надо вычислять с та-
кой же точностью, т. е. для расчета можно пользоваться
обычной логарифмической линейкой.
Задача 2. Человек массой 64 кг и тележка массой
32 кг движутся навстречу друг другу. Скорость человека
равна 5,4 км/ч, скорость тележки—1,8 км/ч. Человек
прыгает на тележку и останавливается. Найти скорость
тележки вместе с человеком.
Решение. По закону сохранения импульса
/ПЛ + ад : М + mJ о,	(1)
где m-i — масса человека, Ui — его скорость до прыжка,
т2 — масса тележки, о2 — ее скорость до прыжка чело-
века, v — общая скорость тележки и человека после прыж-
ка человека на тележку. Из (1) находим
с._ myVi+m^Vj	,2>
«1 + ^2	‘	*
Первоначальные скорости тележки и человека имели про-
тивоположные направления, поэтому знаки их скоростей
были разные. Считая скорость человека положительной,
имеем Рх=5,4 км/ч и v2——1,8 км/ч. Кроме того, тх=64 кг
и т2=32 кг. Подставляя эти данные в (2), получим
64-5,4—32.1,8	,
« ----64~+32~ ' КМ/Ч = 3,0 КМ/Ч-
Скорость о>0. Таким образом, после прыжка скорость те-
лежки с человеком направлена в ту же сторону, куда дви-
гался /человек.
Задача 3. Воду качают из колодца глубиной 20 м.
Для откачки поставлен насос с мотором,, имеющим мощ-
ность 3,68 кВт. Найти к. а. д. мотора, если известно, что
Й
а» 7 « работы насоса из колодца откачан объем вода
380 м’.
Решение. Мощность мотора N .связана с работой Л,
которую он совершает за время it соотношением
; . .	со
где т} — к. п. д. мотора. Чтобы поднять массу воды т на
высоту h, надо затратить работу
A = mgh.	г (2)
При этом масса воды т занимает объем
(3)
где р — плотность воды. Подставляя (2) и (3) в (1), имеем
да —_
<Г)	’
откуда
Подставляя числовые данные в (4), получим "
_ 380- 10s-9,81-24 п8
3680-7-3600 — и>°*
§ 1. Кинематика
Скорость и ускорение прямолинейного движения' в общем случае
определяются формулами
ds ’ dv d2s
v~~di'
В случае прямолинейного равномерного движения
,₽=-£• = const,	а = 0.
В случае прямолинейного равнопеременного движения
s = v0H—2~ { v^va-]-at,- a = const.
В этих уравнениях ускорение а положительно при равноускоренном
движении и отрицательно при равнозамедлениом.
- При криволинейном движении полное ускорение
атЧ-а*. ~ ;
'	'	-	15
Здесь ат — тангенциальное (касательное), ускорение и вя — нормаль-
ное (центростремительное) ускорение, причем .
dv
et-dF’ Я*
где о — скорость движения и Я радиус кривизны траектории в
данной' тодке.	-	'
При вращательном движении в общем случае угловая скорость
и угловое ускорений находятся по формулам
dtp dm d2q>
'	di ' di ~~dt2''
В случае равномерного вращательного движения угловая скорость
ф 2п
a=-j-=^r = 2nn,
гдеТ — период вращения, п — частота вращения, т. е. число оборотов
в единицу времени.
.Угловая скорость д> связана с линейной скоростью v соотношением
» = <о7?.
Тангенциальное и нормальное' ускорения при вращательном движении
могут быть выражены в вцде
ах = е7?, ап = <о27?.
В табл. 6 .дано сопоставление уравнений поступательного движения
с уравнениями вращательного движения.
1.1. Первую половину времени своего движения авто-
мобиль двигался со скоростью t»i=80 км/ч, а вторую поло-'
вину времени — со скоростью о2=40 км/ч. Какова средняя
скорость v движения автомобиля?
-1.2. Первую половину своего пути автомобиль двигался
со скоростью Vi=80 км/ч, а вторую половину пути — со
скоростью о2=40 км/ч. Какова средняя скорость о движе-
ния автомобиля?
1.3.	Пароход идет по реке от пункта А до пункта В со
скоростью 01=10 км/ч, а обратно — со скоростью о2=
= 16 км/ч. Найти среднюю скорость о парохода и скорость
и течения реки.
1.4.	Найти скорость о относительно берега реки: а) лод-
ки, идущей по течению; б) лодки, идущей против течения;
в) лодки, идущей под углом а=90° к течению. Скорость
течения реки и—\ м/с, скорость лодки относительно воды
о0=2 м/с.
16	'
Таблиц! 6
Поступательное
движение
Вращательное
движение
Равномерное
s=vt
V = const
а=0
<р=<о<
to = const
е = 0
Равнопеременное
at2
s=M+-2-
а=const
<р=<о0^4—2*
<о = а>о+е<
е = const
Неравномерное
s=/(0
ds
V~~dt
_dv__d2s
а~т~и^
<p=M
dtp
_dco_d2<p
e~^i~df2
1.5.	Самолет летит относительно воздуха со скоростью
vo=8OO км/ч. Ветер дует с запада на восток со скоростью
«=15 м/с. С какой скоростью и самолет будет двигаться
относительно земли и под каким углом а к меридиану надо
держать курс, чтобы перемещение было: а) на юг; б) на
север; в) на запад; г) на восток?
1.6.	Самолет летит от пункта А до пункта В, располо-
женного на расстоянии /=300 км к востоку. Найти продол-
жительность t полета, если: а) ветра нет; б) ветер дует с юга
на север; в) ветер дует с запада на восток. Скорость ветра
«=20 м/с, скорость самолета относительно воздуха vB=
=600 км/ч.
Г.7. Лодка движется перпендикулярно к берегу со ско-
ростью «=7,2 км/ч. Течение относит ее на расстояние
/= 150 м вниз по реке. Найти скорость и течения реки и вре-
мя /, затраченное на переправу через реку. Ширина реки
Л =0,5 км.
1.8 *). Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось
на землю через время /=3 с. Какова была начальная ско-
рость «0 тела и на какую высоту h оно поднялось?
*) Здесь и,далее сопротивлением воздуха следует пренебречь,
если оно не задано в условии.
17
i 1.9.Камень бросили дертикальновверх йа высоту.
Ло=10 м. Через какое время /.он упадет на землю? На ка-
кую высоту h поднимется камень,.если начальную скорость
камня увеличить вдвое?- ;	.
1,10.	С аэростата, находящегося на4 высоте Л=300 м,
упал камень. Через какое время t камень достигнет земли,
если: а) аэростат поднимается со скоростью о=5 м/с; б) аэро-
стат опускается со 'скоростью о=5 м/с; в) аэростат непо-
движен?
1.11.	Тело брошено вертикально вверх с начальной
скоростью о0=9,8 м/с. Построить график зависимости вы-
соты h и скорости v от времени t для интервала 0^/^2 с
через 0,2 с.
1.12.	Тело падает с высоты /i = 19,6 м с начальной ско-
ростью о0=0. Какой путь пройдет тело за первую и послед-
нюю 0,1 с своего движения?
1.13.	Тело падает с высоты /i = 19,6 м с начальной ско-
ростью о0=0. За какое время тело пройдет первый и по-
следний 1 м своего пути?
1.14.	Свободно падающее тело в последнюю секунду
движения проходит половину всего пути. С какой высоты h
падает тело и каково время t его падения?
1.15.	Тело’ 1 брошено вертикально вверх с начальной
скоростью о0, тело 2 падает с высоты h без начальной ско-
рости. Найти зависимость раЬстояния I между телами 1 и 2
от времени t, если известно, что тела начали двигаться
одновременно.
1.16.	Расстояние между двумя станциями метрополите-
на /=1,5 км. Первую половину этого расстояния поезд
проходит равноускоренно, вторую — равнозамедленао
с тем же по модулю ускорением. Максимальная скорость
поезда и=50 км/ч. Найти’ ускорение а и время t движения
поезда между станциями.
1.17.	Поезд движется со скоростью о0=36 км/ч. Если
выключить ток, то поезд, двигаясь равиозамедленно, оста-
навливается через время /=20 с. Каково ускорение а по-
езда? На каком расстоянии s до остановки надо выклю-
чить ток?
1.18.	Поезд, двигаясь равнозамедленно, в течение вре-
мени /=1 мин уменьшает свою скорость от Oj=40 км/ч др
о2=28 км/ч. Найти ускорение а поезда и _ расстояние s,
пройденное им за время торможения,-
1.19.	Поезд движется равнозамедленйо, имея начальную
скорость о0=54 км/ч и ускорение а=—0,5‘n/t’. Через ка-
коевремя /*и йа какой расстоянии s ot началаторможения
поез^^остановится?	
1.16.	Тело*1 движется равноускоренно, имея Начальную
скорость и ускорение «р Одновременно с телом 1 на-
чинает двигаться равнозамедленно тело 2, имея началь-
ную скорость-у20 и ускорение д2. Через Какое время i пос-
ле начала движения оба тела будут иметь одинаковую ско1-
роста?
1.21.	Тело 1 движется равноускоренно, имея начальную
скорость vi0— 2 м/с и ускорение а. Через время /=10 с пос-
ле начала движения тела 1 из этой же точки начинает дви-
гаться равноускоренно тело 2, имея начальную скорость
пго=12 м/с и то же ускорение а. Найти ускорение а, при
котором тело 2 сможет догнать тело 1.
1.22.	Зависимость пройденного телом пути sot времени t
дается уравнением s—At—Bt2+Ct3, где А—2 м/с, В—3 м/с2
и С=4 м/с3. Найти: а) зависимость скорости v и ускорения
а от времени /; б) расстояние s, пройденное телом, скорость
v и ускорение а тела через время t=2 с после начала дви-
жения. Построить график зависимости пути s, скорости v
и ускорения а от времени / для интервала 0^/^3 с через
0,5 с. -
1.23.	Зависимость пройденного телом пути s от времени t
дается уравнением s—A—Bt+Ct2, где Л =6 м, В=3 м/с
и С=2 м/с2. Найти среднюю скорость v и среднее ускоре-
ние а тела для интервала времени 1 <^<4 с. Построить гра-
. фик зависимости пути s, скорости v и ускорения а от вре-
мени t для интервала	с через 1 с.
1.24.	Зависимость пройденного телом пути s от времени t
дается уравнением &=A+Bt-\-Ct2, где_Л=3 м, В=2 м/с
и С=1 м/с2. Найти среднюю скорость v и среднее ускоре-
ние а тела за первую, вторую и третью секунды его дви-
жения. .	-
1.25.	Зависимость пройденного телом пути sot времени t
дается уравнением s—AA-Bt+CPA-Dt3, где С=0,14 м/с2
и 0=0,01 м/с3. Через какое время t после начала движения
тело будет иметь ускорение а=1 м/с2? Найти среднее уско-'
рение а тела за этот промежуток времени.
1.26.	’С башни высотой /г=25 м горизонтально брошен
камень со скоростью г\=15 м/с. Какое время t камень
будет в движении? На каком расстоянии I от основания баш-
ни он упадет на землю? С какой скоростью о он упадет на
землю? Какой угол, ф составит траектория камня с гори-
зоитом в точке его падения на землю?	-
19
1.27.	Камень, брошенный горизонтально, упал на зем-
лю через время /=0,5 с на расстоянии /=5 м по горизонта-
ли от места бросания. С какой высоты /i брошен камень?
С какой скоростью vx он брошей? С какой скоростью v
он упадет на землю? Какой угол <р составит траектория
камня с горизонтом в точке его падения иа землю?
1.28.	Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стен-
ку, находящуюся на расстоянии 1=5 м от места бросания.
Высота места удара мяча о стенку на ДЛ=1 м меньше вы-
соты h, с которой брошен мяч. С какой скоростью vx бро-
шен мяч? Под каким углом <р мяч подлетает к поверхности
стенки?	.
1.29.	Камень, брошенный горизонтально, через время
£=0,5 с после начала движения имел скорость v, в 1,5 раза
большую скорости vx в момент бросания. С какой ско-
ростью vx брошен камень?
1.30.	Каменй брошен горизонтально со скоростью
vx= 15 м/с. Найти- нормальное ап и тангенциальное ах
ускорения камня через время /=1 с после начала дви-
жения.
1.31.	Камень брошен горизонтально со скоростью
ох=10 м/с. Найти радиус кривизнь/ R траектории камня
через время /=3 с после начала движения.
1.32.	Мяч брошен со скоростью о0=Ю м/с под углом
а=40° к горизонту. На какую высоту h поднимется мяч?
На каком расстоянии I от места бросания он упадет на зем-
лю? Какое время t он будет в движении?
1.33.	На спортивных состязаниях в Ленинграде спорт-1
смен толкнул ядро на расстояние /1=16,2 м. На какое рас-
стояние /2 полетит такое же ядро в Ташкенте при той же
начальной скорости и при том же угле наклона ее к гори-
зонту?. Ускорение свободного падения в Ленинграде
=9,819. м/с2, в Ташкенте g2=9,801 м/с2.
1.34.	Тело брошено со скоростью о0 под углом к гори-
зонту. Время полета /=2,2 с. На какую высоту h поднимет-
ся тело? .
1.35.	Камень, брошенный со скоростью о0=12 м/с под
углом а=45° к горизонту, упал на землю на расстоянии I
от места бросания. С какой высоты h надо бросить камень
в горизонтальном направлении, чтобы при той же началь-
ной скорости о0 он упал на то же место?
1.36.	Тело брошено со скоростью и-0=14,7 м/с поД углом
а=30° к горизонту.. Найти нормальное ап и тангенциаль-
ное о, ускорения тела через время /= 1,25 с после начала
движения. - г
1.37.	Тело брошено соскороетыбс^МОм/с под углом
а=45° к горизонту. Найти радиус кривизны /? Траектории
•tenia через время 1= 1с после начала движения. ,
1.38.	Тело брошено со скоростью о0 под углом а к го-
ризонту. Найти скорость оо и угол а, если известно» что
высота подъема тела h=3 м и радиус кривизны траекторий
тела в верхней точке траектории R—3 м.
1.39.	С башни высотой /i0=25 м брошен камень со ско-
ростью у0=15 м/с под углом а=30° к горизонту. Какое вре-
мя t камень будет в движении? На каком расстоянии I от
основания башни он упадет на землю? С какой скоростью и
он упадет на землю? Какой угол <р составит траектория
камня с горизонтом в точке его падения на землю?
1.40.	Мяч, брошенный со скоростью v0=10 м/с под уг-
лом а=45° к горизонту, ударяется о стенку, находящуюся
на расстоянии 1—3 м от места бросания. Когда происходит
удар мяча о стенку (при подъеме.мяча или при его опуска-.
нии)? На какой высоте h мяч ударит о стенку (считая от
высоты, с которой брошен мяч)? Найти скорость v мяча
в момент удара.
1.41.	Найти угловую скорость <ю: а) суточного вращения
Земли; б) часовой стрелки на часах; в) минутной стрелки
на часах; г) искусственного спутника Земли, движущегося
по круговой орбите с периодом вращения Т=88 мин. Ка-
кова линейная скорость v движения этого искусственного
спутника, если известно, что его орбита расположена на
расстоянии Л=200 км от поверхности Земли?
1.42.	Найти линейную скорость v вращения точек зем-
ной поверхности на широте Ленинграда (<р=60°).
1.43.	С какой линейной скоростью должен двигаться
самолет на экваторе с востока на запад, чтобы пассажирам
этого самолета Солнце казалось неподвижным?
1.44.	Ось с двумя дисками, расположенными на рас-
стоянии /=0,5.м друг от друга, вращается с частотой
п=1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба
диска; при этом отверстие от пули во втором дискё смещено,
относительно отверстия в первом диске на угол <р=12°.
Найти скорость v пули.
1.45.	Найти радиус R вращающегося колеса, еслй из-
вестно, что линейная скорость oi точки, лежащей на ободе,
в 2,5 раза больше линейной скорости v2 точки, лежащей
на расстоянии г=5 см ближе к оси колеса.
1.46.	Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угло-
вой скорости <о=20 рад/с через 10 об после начала вра-
щения. Найти угловое ускорение е колеса.
1Л7. Колес®, вращаясь равноускоренно, через время
7=1 мин после началаврзщеиия приобретает частоту
п=720 об/мин.Найти угловое ускорение а колеса и. число
оборотов N колеса за это время.
1.48.	Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время
f=l мин уменьшило свою частоту с д»=300 об/мин до
ий=180 об/мин. Найти угловое ускорение е колеса и число
оборотов N колеса за это время.
,1.49. Вентилятор вращается с частотой п=900 об/мин.
После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедлен-
но, сделал до остановки М=75 об. Какое время / прошло
с момента выключения вентилятора до полной его оста-
новки?
1.50.	Вал вращается с частотой п=180 об/мин. С неко-
торого момента вал начал вращаться равнозамедленно
с угловым ускорением 8=3 рад/с2. Через какое время t
вал остановится?. .Найти число оборотов N' .вала до оста-
новки.
1.51.	Точка движется по окружности радиусом 7? =20 см
с постоянным тангенциальным ускорением at=5. см/с2.
Через какое время t после начала движения нормальное
ускорение ап точки будет: а) равно тангенциальному;
б) вдвое больше тангенциального?
1.52.	Точка движется по окружности радиусом 7? = 10 см
с постоянным тангенциальным ускорением ах. Найти тан-
генциальное ускорение at точки, если известно, что к кон-
цу пятого оборота после начала движения линейная ско-
рость точки и=79,2 см/с.
1.53.	Точка движется по окружности радиусом 7?=10 см
с постоянным тангенциальным ускорением ах. Найти нор-
мальное ускорение ал точки через время /=20 с после на-
чала движения, если известно, что к концу пятого оборота
после начала движения линейная скорость точки и=
=10 см/с.
• 1.54. В первом приближении можно считать, что элект-
рон в атоме водорода движется по круговой орбите с ли-
нейной скоростью v. Найти угловую скорость со вращения
электрона вокруг ядра и его нормальное ускорение ап.
Считать радиус орбиты r=0,5-10-10 м и линейную ско-
рость электрона на этой орбите и=2,2- 10е м/с.
1.55.	Колесо радиусом 7? = 10 см вращается с угловым
ускорением 8=3,14 рад/с2. Найти для.точек на ободе коле-
са к концу первой секунда после начала движения: а) уг-
ловую скорость со; б)-линейную скорость о; в) танген-
циальное-ускорение йт; г) нормальное ускорение,
32
;%П№ЗЙ^рейие <rt е) угол о£- составЛяемый'ЙК’РРо»
'Шяногр усэфреяия с.рф^удэм. колесЦ.'..	ч >
1.56*	. Точка движется по окружности радиусом Я =2 см.
Зависимость • пути от времени -дается. уравнением s=Cl3,
где С=О,1 см/с3. Найти, нормальное ап и тангенциальное
ат ускорения точки в момент, когда линейная скорость точ-
ки и=0,3 м/с. .	„	.
1.57.	Точка движется по окружности так, что зависи-
мость пути от времени дается уравнением. s=A—Bt+Ct2,
где В=2 м/с и С=1 м/с2. Найти линейную скорость и точ-
ки, ее тангенциальное ах, нормальное ап и полное а уско-
рения через время /=?3 с после начала движения., если из-
вестно, что при f=2 с нормальное ускорение точки а'п=
=0,5 м/с2.
. 1.58. Найти угловое ускорение е колеса, если известно,
что через время /=2 с после начала движения вектор пол-
ного ускорения точки, лежащей на ’ободе, составляет угол
а=60° с вектором ее линейной скорости.
1.59.	Колесо вращается с угловым ускорением е=
=2 рад/с2. Через время 7=0,5 с после начала движения
полное ускорение колеса а=13,6 см/с2. Найти радиус R
колеса.
1.60.	Колёсо радиусом R=0,1 м вращается так, что за-
висимость угла поворота радиуса колеса от времени дает-
ся уравнение^ <p—A-+-Bt-+-Ct3, где В=2 рад/с и С=
= 1 рад/с3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти че-
рез время t=2 с после начала движения: а) угловую ско-
рость ю; б) линейную скорость и; в) угловое ускорение е;
д) тангенциальное ах и нормальное ап ускорения.
-	1.61. Колесо радиусом R—5 см вращается так, что за-
висимость угла поворота радиуса колеса от времени дается
уравнением ср=Л+В/+С/2+О/3, где 0 = 1 рад/с3. Для то-
чек, лежащих на ободе колеса, найти изменение танген-
циального ускорения Дат за единицу времени.
1.62. Колесо радиусом 7? = 10 см вращается так, что
зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе
колеса, от времени дается уравнением u=At+Bt2, где
А=3 см/с2 и В—1 см/с3. Найти угол а, составляемый
вектором полного ускорения с радиусом колеса в мо-
менты времени t, равные: 0, 1, 2, 3, 4 .и 5 с после начала
движения.	.
’ .1.63^ Колесо вращается, так, что зависимость угла по-
ворота радиуса колеса, от времени дается уравнением
<р=Л’+В/+С/24-Д/3, где В=1 рад/с, С=1 рад/с2 и
0=1 рад/с*.~ Найти радиус R колеса, если известно, что
' z- •	'	••••.-	23
к концу второй секунда движения для точек, лежащих
на ободе колеса, нормальное ускорение Оп=3,46> 10* м/с*.
1.64. Во сколько раз нормальное ускорение ап точки,
лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тан-
генциального ускорения ах для тогр момента, когда вектор
полного ускорения точки составляет угол а=30° с векто-
ром ее линейной скорости?
§ 2. Динамика
Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается
уравнением	,
F dt = d(tnv).
Если масса т постоянна, то
„ dv
F=mr—- = ma,
at
где а — ускорение, которое приобретает тело массой т под действием
силы F.
Работа силы F при перемещении s может быть выражена формулой
4=Jf,ds,-
S
где Fs — проекция силы на направление перемещения, ds — длина
перемещения. Интегрирование должно быть распространено на все
перемещение s. В случае постоянной силы, действующей под углом а
к перемещению, имеем
4=Fscosa, -
где а — угол между силой F и перемещением s.
Мощность определяется формулой
dt •
В случае постоянной мощности
где А — работа, совершаемая за время t.
Мощность может быть определена также формулой
N = Fv cos a,	> '
т. е. произведением скорости движения на проекцию силы на направ-
ление движения.
Для кинетической энергии тела массой т, движущегося со ско-.
ростью V, имеем
2*
Формуйыдля потенциальной энергий5 имеют разный вид-в зависимости
су характера действующих сил.
; В изолированной системе импульс входящих в нее тел остается
постоянным, т. в.	-
/nit'i+w'»+ • • • +meo4=const.
При неупругом центральном ударе двух тел с массами пц и tnt
общая скорость движения этих тел после удара может быть найдена
по формуле
Ur- mivi+m»vs
mi+mi ’
где vi — скорость первого тела до удара и vt — скорость второго тела
до удара.
При упругом центральном ударе тела будут двигаться с различ-
ными скоростями. Скорость первого тела после удара
ц._. (mi—/Пэ) У1 + 2таоа .
1	mi+ma ’
скорость второго тела после удара
(m2—
“*--------‘
При криволинейном движении сила, действующая на материаль-
ную точку, может быть разложена на две составляющие: тангенциаль-
ную и нормальную. Нормальная составляющая
р mv*
является центростремительной силой. Здесь v — линейная скорость
движения тела массой т, R — радиус кривизны траектории в данной
точке.
Сила, вызывающая упругую деформацию х, пропорциональна
деформации, т. е.
F = kx,
где k — жесткость (коэффициент, численно равный силе, вызывающей
деформацию, равную единице).
Потенциальная энергия упругого тела
Две материальные точки (т. е. такие тела, размеры которых малы
по сравнению с их взаимным расстоянием) притягиваются друг к другу
с силой
х» G^6$Z2(MP~U	лравитжшпниая -^|кП|ЙЙИЫ|И'"'*®
лц—массы взаимодействующих матер валкий* точек,, г т—.равёакмнйе
между ними. Этот закон справедлив я для однородных шаров; пр« этой
..г.— расстояние между их центрами масс.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел
f
Знак «минус» соответствует тому, .что при г—со потенциальная энергия
двух взаимодействующих тел равна нулю; при сближении этих тел
потенциальная энергия убывает.
Третий закон Кеплера имеет вид
ZL=_?L
Tl Rl ’
где Ti и Тг — периоды вращения планет, Ri и R2 — большие полуоси
их орбит. В случае круговой орбиты роль большой полуоси играет
радиус орбиты.
. 2.1. Какой массы пгх балласт надо сбросить с равномер-
но опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно
подниматься с той же скоростью? Масса аэростата с бал-
ластом /п=1600 кг, подъемная сила аэростата F=12 кН.
Считать силу сопротивления Fconp воздуха одной и той же
при подъеме и при спуске.
2.2.	К нити подвешен груз массой т=1 кг. Найти силу
натяжения нити Т, .если нить с грузом: а) поднимать с уско-
рением а=5 м/с2; б) опускатьс тем же ускорением а=5 м/с2.
2.3.	Стальная проволока некоторого диаметра выдержи-
‘вает силу натяжения Т=4,4 кН. С каким наибольшим
ускорением а можно поднимать груз массой т=400 кг,
подвешенный на этой проволоке, чтобы она не разорва-
лась?
2.4.	Масса лифта с пассажирами /п=800 кг. С каким
ускорением айв каком направлении движется лифт, если
известно, что сила натяжения троса, поддерживающего
лифт: а) Т=12 кН; б) Т—6 кН?
2.5.	К нити подвешена гиря... Если поднимать гирю
с ускорением а±=2 м/с2, то сила натяжения нити 7\ будет
вдвое* меньше той силы натяжения* Та, при которой нить
разрываетея. С каким ускорением а2 надо подниматьтирю,
чтобы нить разорвалась?
2.6;	Автомобиль массой /п=1020 кг, двигаясь равно-
замедленно, останавливается через, время 7=5 с, пройдя
эдгь м. Найти начальную скорость о, автомобиля и
cfliy тфмяйшш F. ••_.	' '	'
2.7.	Поезд массой т=500 т, двигаясь равягаямеддёййа,
, в течение времени /=1 мин уменьшает свою скорость от
Ui=4Qkm/4 др и 1=28 км/ч. Найти силу торможения F.
2.8.	Вагон массой т=20 т движется с_началыюй ско-
ростью и0=54 км/ч. Найти среднюю силу Г, действующую
на вагон, если известно, что вагон останавливается в те-
чение времени: а) /=Г мий 40 с;-б) /=10 с; в) 1 с.
2.9;	Какую силу F надо, приложить к вагону, стоящему
на рельсах, чтобы вагон стал двигаться равноускоренно и
за время t=30 с прошел путь s= 11 м? Масса вагона т—16 т.
Во время движения на вагон действует сила трения Гтр,
равная 0,05 действующей на него силы тяжести'mg.
2.10.	Поезд массой т=500 т после прекращения тяги
паровоза под действием силы трения Гтр=98 кН останав-
ливается через время /=1 мин. ,С какой скоростью v0 шел
поезд?
2.11.	Вагон массой т=20 т движется равнозамедленно,
имея начальную скорость п0=54 км/ч и ускорение а=
=—0,3 м/с2. Какая сила торможения F действует на ва-
гон? Через какое время t вагон остановится? Какое рас-
стояние s вагон Пройдёт до остановки?
2.12.	Тело массой ~т=0,5 кг движется прямолинейно,
причем зависимость пройденного телом пути s от времени t
дается уравнением s=>4—Bt+CF—DF, где С=5 м/с2 и
D=1 м/с3. Найти силу F, действующую на тело в конце
первой секунды движения.
2.13.	Под действием силы F=10 Н тело движется прямо-
линейно так, что зависимость пройденного телом пути s
от времени t дается уравнением з=Л—Bt+CF, где С=
= 1 м/с2. Найти массу т тела.
2.14.	Тело массой т=0,5 кг движется так, что зависи-
мость пройденного телом пути &от времени t дается уравне-
нием х=Д sin со/, где Л =5 см и ©=л рад/с. Найти силу F,
действующую на тело через время /=(1/6) с после начала
движения.
2.15.	Молекула массой т=4,65-10~26 кг, летящая по
нормали к стенке сосуда со скоростью v=600 м/с, ударяется
о стенку и упруго отскакивает от нее без потери скорости.
Найти импульс силы ГД/, полученный стенкой за время
удара.
2.16.	Молекула массой т=4,65- 10~2в кг, летящая со
скоростью jy=600 м/с, ударяется о' стенку сосуда под уг-
лом а =60° к нормали и упруго отскакивает от нее без по-
тери скорости. Найти импульс силы ГД/, полученный стен-
кой за время удара.
' 2.17. Шарик массой т—0,1 кг, падая с некоторой высо-
ты, ударяется о наклонную плоскость и упруго отскакива-
ет от нее без потери скорости. Угол наклона плоскости
к горизонту а «30°. За время удара плоскость получает
импульс силы ГД/=1,73 Н-с. Какое время t пройдет от
момента удара шарика о плоскость до момента, ’ когда он
будет находиться в наивысшей точке траектории?
2.18.	Струя воды сечением S=6 см2 ударяется о стенку
под углом,а=60° к нормали и упруго отскакивает от нее
без потери скорости. Найти силу F, действующую на стен-
ку, если известно, что скорость течения воды в струе V—
= 12 м/с.
2.19.	Трамвай, трогаясь с места, движется с ускорением
а=0,5 м/с2. Через время /—12 с после начала движения
мотор выключается и трамвай движется до остановки равио-
замедленно. Коэффициент трения на всем пути &=0,01.
Найти наибольшую скорость и и время t движения трамвая.
Каково его ускорение а при равнозамедленном движении?
Какое расстояние s пройдет трамвай за время движения?
2.20.	На автомобиль массой /п=1 т во время движения
действует сила трения Гтр, равная 0,1 действующей на него
силы тяжести mg. Какова должна быть сила тяги Г, раз-
виваемая мотором автомобиля, чтобы автомобил*ь двигался*
а) равномерно; б) с ускорением й=2 м/с2?
2.21.	Какой угол а с горизонтом составляет поверх-
ность бензина в баке автомобиля, движущегося горизон-
тально с ускорением й=2,44 м/с2?
2.22.	Шар на нити подвешен к потолку трамвайного
вагона. Вагон тормозится, и его скорость за время /=3 с
равномерно уменьшается от щ=18 км/ч до v2=6 км/ч..
На какой угол а отклонится при этом нить с шаром?
2.23.	Вагон тормозится, и его скорость за время /=3,3 с
равномерно уменьшается от щ=47,5 км/ч до и2=30 км/ч.
Каким должен быть предельный коэффициент трения k
w&Kjgj чемоданом и полкой, чтобы чемодан при торможе-
нии начал скользить по полке?
2.24.	Канат лежит на столе так, что часть его свешивает-
ся со стола, и начинает скользить тогда, когда длина све-
шивающейся части составляет 1/4 его длины. Найти коэф-
фициент трения k каната о стол.
2.25.	На автомобиль массой щ—1 т во время движения
действует.сила трения FTV, равная 0,1 действующей нашего
28
силы тяжести mg. Найти силу тяги Ft развиваемую мото-
ром автомобиля, если автомобиль движется е постоянной
скоростью: а) в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути;
б) под гору с тем же уклоном.	'
2^26. ria автомобиль массой /п=1 т во время движения
действует сила трения Гтр, равная 0,1 действующей на него
силы тяжести mg. Найти силу тяги F, развиваемую мото-
ром автомобиля, если автомобиль движется с ускорением
а=1 м/с2 в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.
2.27.	Тело лежит на наклонной плоскости, составляю-
щей с горизонтом угол а=4°. При каком предельном коэф-
фициенте трения k тело начнет скользить по наклонной,
плоскости? С каким ускорением а будет скользить тело по
плоскости, если коэффициент трения /г=0,03? Какое время
t потребуется для прохождения при этих условиях пути
s=100 м? Какую скорость v тело будет иметь в конце
пути?
2.28.	Тело скользит по наклонной плоскости, состав-
ляющей с горизонтом угол а=45°. Пройдя путь s=36,4 см,
тело приобретает скорость v=2 м/с. Найти коэффициент
трения k тела о плоскость.
2.29.	Тело скользит по наклонной плоскости, состав-
ляющей с горизонтом угол а=45°. Зависимость пройден-
ного телом пути s от времени t дается уравнением s=Ct2,
где С=1,73 м/с2. Найти коэффициент трения k тела о пло-
.скость.
2.30.	Две гири с массами zni=2 кг и /П2=.1 кг соединены
нитью и перекинуты через невесомый блок. Найти ускоре-
ние а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т.
Трением в блоке пренебречь.
2.31.	Невесомый блок укреплен на конце стола (рис. 1).
Гири 1 и 2 одинаковой массы	кг соединены нитью
и перекинуты через блок. Коэффициент трения гири 2
Рис. 1.	Рис. 2.
о стол &=0,1. Найти ускорение а, с которым движутся гири,
и силу натяжения нити Т. Трением в блоке'Пренебречь.
2.32.	Невесомый блок укреплен в вершине наклонной
плоскости (рис. 2), составляющей с горизонтом угол а=30°.
.	-29
Гири 1 и 2 одинаковой массы	1 кг соединены нитью
и перекинуты через блок. Найти-ускорение «, с которым
движутся гири» Н ейлу натяжения нити Г. Трением гири 2
о наклонную плоскость и трением в блоке пренебречь.
2.33.	Решить предыдущую задачу, при условии, что
коэффициент трения гири 2 о наклонную плоскость 6=0,1.
2.34.	Невесомый блок укреплен в вершине двух наклон-
ных плоскостей, составляющих с горизонтом углы а =30°
и 0=45° (рис. 3). Гири 1 и 2 одина-
ковой массы/П1=/п2=1 кг соедине-
„	//	ны нитью и перекинуты через блок.
Найти ускорение а, с которым дви-
4// „	жутся гири, и силу натяжения ни-
zi'T ..:------• ти т. Трением гирь 1 и 2 о на-
рис з.	клонные плоскости, а также тре-
.	нием в блоке пренебречь.
2.35.	Решить предыдущую задачу при условии, что
коэффициенты трения гирь 1 и 2 о наклонные плоскости
Л1=й2=0,1. Показать, что из формул, дающих решение
этой задачи, можно получить, как частные случаи, решения
задач 2.30—2.34.	-	.	’
2.36.	При подъеме' груза массой /п=2 кг на высоту
/г=1 м сила F совершает работу Л =78,5 Дж. С каким уско-
рением а поднимается груз?
2.37.	Самолет поднимается и на высоте /1=5 км достигает
скорости и=360 км/ч. Во сколько раз работа совершае-
мая при подъеме против силы тяжести, больше работы Л2,
идущей на увеличение скорости самолета?
2.381	Какую работу А надо совершить, чтобы заставить
движущееся тело массой т=2 кг: а) увеличить скорость от
щ=2 м/с до щ=5 м/с; б) остановиться при начальной ско-
рости у0=8 м/с?
2.39.	Мяч, летящий со скоростью щ=15 м/с, отбрасы-
вается ударом ракетки в противоположном направлении
со скоростью у2=20 м/с. Найти изменение импульса тЛи
мяча, еели известно, что изменение его кинетической энер-
гии А №=8,75 Дж.
2.40.	Камень, пущенный по поверхности льда со ско-
ростью ц=3 м/с, прошел до остановки расстояние’ ,s= 20,4 м.
Найти коэффициент трения k камня о лед.
2.41.	Вагон массой т—20 т, двигаясь равнозамедленно;
с начальной скоростью. «0=54 км/ч, под действием силы тре-
ния /7тр=6 кН через некоторое время останавливается.
Найти работу А сил трения и расстояние s, которое вагон
пройдет до остановки. -	.
а»
2.42.	Шофер автомобиля, умеющего Мессу	на-
чинает тормозйть на расстоянии s=25 м от препятствия на
дороге. Сида трения в тормозных .колодках автомобиля
Гтр=3,84 кН. При какой предельной скорости о движения
автомобиль успеет остановиться перед препятствием? Тре-
нием' колес о дорогу пренебречь.	'
2.43.	Трамвай движется с ускорением а=49,0 бм/с3.
Найти, коэффициент трения k, если известно, что 50% мощ-
ности мотора идет на преодоление силы трения и 50% —
на увеличение скорости движения.
2.44.	Найти работу А, которую надо совершить, чтобы
увеличить скорость движения тела массой т=\ т от
Pi=2 м/с до о2=6 м/с на пути s=10 м. На всем пути дей-
ствует сила трения FTp=2 Н.
2.45.	На автомобиль массой /И = 1 т во время движения
действует сила трения Ктр, равная 0,1 действующей на него
силы тяжести, mg. Какую массу т бензина расходует дви-
гатель автомобиля на то, чтобы на пути s=0,5 км увели-
чить скорость движения автомобиля -от Oi=10 км/ч до
v2=40 км/ч? К. п. д. двигателя ту—0,2, удельная теплота
сгорания бензина </=46 МДж/кг.
2.46.	Какую массу т бензина расходует двигатель авто-
мобиля на пути s=10O км, если при мощности двигателя
М=11 кВт скорость его движения о=ЗО км/ч? К. п. д. дви-
гателя ту=0,22, удельная теплота сгорания бензина
<7=46 МДж/кг.
2.47.	Найти к. п. д. >] двигателя, автомобиля, если из-
вестно, что при скорости движения v=40 км/ч двигатель
потребляет объем К=13,5 л бензина на пути s=100 км и
что развиваемая двигателем мощность У=12 кВт. Плот-,
ность бензина р=0,8-10’ кг/м3, удельная теплота сгорания
бензина </=46 МДж/кг.
2.48.	Камень массой т=1 кг брошен вертикально вверх
с начальной скоростью п0=9,8 м/с-. Построить график за-
висимости от времени t кинетической WK, потенциальной
и полной W энергий камня для интервала 0<7^2 с че-
рез 0,2 с (см. решение 1.11).
2.49.	В условиях' предыдущей задачи построить график
зависимости от расстояния h кинетической потенциаль-
ной IFn и полной W энергий камня.
2.50	*). Камень падает с некоторой высоты в течение вре- .
мени /=1,43 с. Найти кинетическую и потенциальную
*) Напомним, что сопротивлением воздуха следует пренебречь,
если оно не задано в условии.
Wk энергии камня р .средней точке пути. Масса камня
т=2 кг,	, .	'	-
- 2.51. С башни высотой Л=25 м горизонтально брошен
камень со скоростью ув=15 м/с. Найти кинетическую W* и
потенциальную Wa -энергии камня через время t=1 с после
начала движения. Масса камня /п=0,2 кг.
2.52.	Камень брошен со скоростью у0= 15 м/с под углом
а=60° к горизонту. Найти кинетическую 1ГК, потенциаль-
ную Ц7П и полную W энергии камня: а) через время 7=1 с
после начала движения; б) в высшей точке траектории.
Масса камня /и=0,2 кг.
2.53.	На толкание ядра, брошенного под углом а=30°
к горизонту, затрачена работа Л =216 Дж. Через какое вре-
мя t и на каком расстоянии sx от места бросания ядро упа-
дет на землю? Масса ядра tn=2 кг.
2.54.	Тело массой т=10 г движется по окружности ра-
диусом 7?=6,4 см. Найти тангенциальное ускорение ах
тела, если известно, что к концу второго оборота после на-
чала движения его кинетическая энергия 1Гк=0,8 мДж.
2.55.	Тело массой /и=1 кг скользит сначала по наклон-
ной плоскости высотой й=1 ми длиной склона 7=10 м,
а затем по горизонтальной поверхности. Коэффициент
трения на всем пути &=0,05. Найти: а) кинетическую энер-
гию WK тела у основания плоскости; б) скорость v тела
у основания плоскости; в) расстояние з, пройденное те-
лом по горизонтальной поверхности до остановки.
2.56.	Тело скользит сначала по наклонной плоскости,
составляющей угол а=8° с горизонтом, а затем по гори-
зонтальной поверхности. Найти коэффициент трения k
на всем пути, если известно, что тело проходит по горизон-
тальной поверхности то же расстояние, что и по наклонной
плоскости.
2.57.	Тело массой /и=3 кг, имея начальную скорость
ио=0, скользит по наклонной плоскости высотой й=0,5 м
и длиной склона 1=1 м и приходит к основанию наклонной
плоскости со скоростью и=2,45 м/с. Найти коэффициент
трения k тела о плоскость и количество теплоты Q, выде-
ленное при трении.
2.58.	Автомобиль массой т=2 т движется в гору с укло-
ном 4 м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения /г=0,08.
Найти работу А, совершаемую двигателем автомобиля на
пути з=3 км, и мощность N, развиваемую двигателем, если
известно, что путь з=3 км был пройден за время 7=4 мин.
2.59.	Какую мощность А/ развивает двигатель автомоби-
ля массой т=1 т, если известно, что автомобиль едет с по-
32	_	*
стоянкой скоростью о=36 км/ч: а) по горизонтальной доро-
ге; б) в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути; в) под гору
с тем же уклоном? Коэффициент трения /г=0,07.
2.60.	Автомобиль массой /и=1 т движется при выклю-
ченном моторе с постоянной скоростью и=54 км/ч под гору
с уклоном 4 м на каждые 100 м пути. Какую мощность N
должен развивать двигатель автомобиля, чтобы автомобиль
двигался с такой же скоростью в гору?
2.61.	На рельсах стоит платформа массой /И1=10 т. На
платформе закреплено орудие массой т2=5 т, из которого
производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда
т8 = 100 кг; его начальная скорость относительно орудия
и0=500 м/с. Найти скорость и платформы в первый момент
после выстрела, если: а) платформа стояла неподвижно;
б) платформа двигалась со скоростью и=18 км/ч и выстрел
был произведен в направлении ее движения; в) платформа
двигалась со скоростью и=18 км/ч и выстрел был произ-
веден в направлении, противоположном направлению ее
движения.
2.62.	Из ружья массой /И1=5 кг вылетает пуля массой
/и2=5 г со скоростью и2=600 м/с. Найти скорость щ отдачи
ружья.
2.63.	Человек массой /П1=60 кг, бегущий со скоростью
Uj=8 км/ч, догоняет тележку массой т2=80 кг, движущую-
ся со скоростью и2=2,9 км/ч, и вскакивает на нее. С ка-
кой скоростью и будет двигаться тележка? С какой скоро-
стью и' будет двигаться тележка, если человек бежал ей
навстречу?
2.64.	Снаряд массой mi=100 кг, летящий горизонталь-
но вдоль железнодорожного пути со скоростью щ=500 м/с,
попадает в вагон с песком, масса которого т2=10 т, и за-
стревает в нем. Какую скорость и получит вагон, если:
а) вагон стоял неподвижно; б) вагон двигался со скоростью
п2=36 км/ч В том же направлении, что и снаряд; в) вагон
двигался со скоростью и2=36 км/ч в направлении, противо-
положном движению снаряда?
2.65.	Граната, летящая со скоростью и=10 м/с, разо-
рвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого
составляла 0,6 массы всей гранаты, продолжал двигаться
в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью
Ui=25 м/с. Найти скорость и2 меньшего осколка.
,2.66. Тело массой Шг—Х кг, движущееся горизонтально
со скоростью Ui=l м/с, догоняет второе тело массой
лг2=0,5 кг и неупруго соударяется с ним. Какую скорость
и получат тела, если: а) второе тело стояло неподвижно;
2 в. С. Волькенштейн	33
б) второе тело двигалось со скоростью и2=0,5 м/с в том же
направлении, что и первое тело; в) второе тело двигалось
со скоростью о2=0,5 м/с в направлении, противоположном
направлению движения первого тела.
2.67.	Конькобежец массой Л!=70 кг, стоя на коньках
на льду, бросает в горизонтальном направлении камень
массой пг=3 кг со скоростью и=8 м/с. На какое расстояние
s откатится при этом конькобежец, если коэффициент тре-
ния коньков о лед £=0,02?
2.68.	Человек, стоящий на неподвижной тележке, бро-
сает в горизонтальном направлении камень массой /и=2 кг..
Тележка с человеком покатилась назад, и в первый момент
после бросания ее скорость была и=0,1 м/с. Масса тележки
с человеком М = 100 кг. Найти кинетическую энергию 1^к
брошенного камня через время /=0,5 с после начала его
движения.
2.69.	Тело массой тх=2 кг движется навстречу второму
телу массой т2=1,5 кг и неупруго соударяется с ним. Ско-
рости тел непосредственно перед ударом были «1=1 м/с и
и2=2 м/с. Какое время t будут двигаться эти тела после
удара, если коэффициент трения £=0,05?
2.70.	Автомат выпускает пули с частотой л=600 мин-1.
Масса каждой пули т=4 г, ее начальная скорость «=
=500 м/с. Найти среднюю силу отдачи F при .стрельбе.
2.71.	На рельсах стоит платформа массой /И1 = 10 т.
На платформе закреплено орудие массой т2=5 т, из кото-
рого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда
т3 = 100 кг, его начальная скорость относительно орудия
«о=5ОО м/с. На какое расстояние $ откатится платформа
при выстреле, если а) платформа стояла неподвижно;
б) платформа двигалась со скоростью и=18 км/ч и вы-
стрел был произведен в направлении ее- движения;
в) платформа двигалась со скоростью и=18 км/ч и выстрел
был произведен в направлении, противоположном на-
правлению'ее движения. Коэффициент трения платформы
о рельсы £=0,002.
2.72.	Из орудия массой mi=5 т вылетает снаряд массой
т^=100 кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете
1^ка=7,5 МДж. Какую кинетическую энергию 1ГК1 полу-
чает орудие вследствие отдачи?
2.73.	Тело массой mi=2 кг движется со скоростью
«1=3 м/с и нагоняет тело массой тг—8 кг, движущееся со
скоростью иг=1 м/с. Считая удар центральным, найти ско-
рости их и иа тел после удара, если удар: а) неупругий;
б) упругий.
М
2.1А	. Каково должно быть соотношение между массами
/Пт и тел предыдущей задачи, чтобы при упругом ударе
первое тело остановилось?
- 2,15. Тело массой mi~3 кг движется со скоростью
о—4 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы.
Считая удар центральным и неупругим, найти количество
теплоты Q, выделившееся при ударе.
2.76.	Тело массой /И1=5 кг ударяется о неподвижное
тело массой т2=2,5 кг, которое после удара начинает
двигаться с кинетической энергией W'K2=3 Дж. Считая
удар центральным и упругим, найти кинетические энергии
U/Ki и W'K1 первого тела до и после удара.
2.77.	Тело массой mi=5 кг ударяется о неподвижное
тело массой т2=2,5 кг.. Кинетическая энергия системы
двух тел непосредственно после удара стала WK—5 Дж,
Считая удар центральным и неупругим, найти кинетиче-
скую энергию FKi первого тела до удара.
2.78.	Два тела движутся навстречу друг другу и со-
ударяются неупруго. Скорости тел до удара были Vi=2 м/с
и о2=4 м/с. Общая скорость тел после удара и=1 м/с и
по направлению совпадает с направлением скорости
Во сколько раз кинетическая энергия U^Ki первого тела
была больше кинетической энергии 11^к2 второго тела?
2.79.	Два шара с массами /Пг=0,2 кг и т2=0,1 кг под-
вешены на нитяходинаковой длины так, что они сопри-
касаются. Первый шар отклоняют на высоту /г0=4,5 см и
отпускают. На какую высоту h поднимутся шары после
удара, если удар: а) упругий; б) неупругий?
2.80.	Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар,
подвешенный на невесомом жестком стержне, и застрева-
ет в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Рас-
стояние от центра шара до точки подвеса стержня /=1 м.
Найти скорость v пули, если известно, что стержень с ша-
ром отклонился от удара пули на угол а=10°,
2.81.	Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар,
подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает
в нем. Масса пули mi=5 г, масса шара т2=0,5 кг. Скорость
пули Vi=500 м/с. При каком предельном расстоянии I
от центра шара до точки подвеса стержня шар от удара пули
поднимется до верхней точки окружности?
2.82. Деревянным молотком, масса которого /И1=0,5 кг,
ударяют о неподвижную стенку. Скорость молотка в мо-
мент удара Ui=l м/с. Считая коэффициент восстановления
при ударе молотка о стенку £=0,5, найти количество теп-
лоты Q, выделившееся при ударе. (Коэффициентом восста-
2*	35
новления материала тела называется отношение скорости
тела после удара к его скорости до удара.)
2.83.	В условиях предыдущей задачи найти импульс
силы F А/, полученный стенкой за время удара.
2.84.	Деревянный шарик массой /п=0,1 кг падает с вы-
соты /ix=2 м. Коэффициент восстановления при ударе ша-
рика о пол £=0,5. Найти высоту /г2, на которую поднимает-
ся шарик после удара о пол, и количество теплоты Q,
выделившееся при уДаре.
2.85.	Пластмассовый шарик, падая с высоты /ii=l м,
несколько раз отскакивает от пола. Найти коэффициент
восстановления k при ударе шарика о пол, если с момента
падения до второго удара о пол прошло время /=1,3 с.
2.86.	Стальной шарик, падая с высоты/и=1,5 м на сталь-
ную плиту, отскакивает от нее со скоростью v2=0,75 vlt
где Vj— скорость, с которой он подлетает к плите. На ка-
кую высоту /г2 он поднимется? Какое время t пройдет с мо-
мента падения шарика до второго удара о плиту?
2.87.	Металлический шарик, падая с высоты /ii=l м на
стальную плиту, отскакивает от нее на высоту й2=81 см.
Найти коэффициент восстановления k при ударе шарика
о плиту.
2.88.	Стальной шарик массой т=20 г, падая с высоты
/ii=l м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту
£2=81 см. Найти импульс силы F At, полученный плитой
за время удара, и количество теплоты Q, выделившееся
при ударе.
2.89.	Движущееся тело массой mi ударяется о непо-
движное тело массой т2. Считая удар неупругим и цент-
ральным, найти, какая часть кинетической энергии Ц7к1
первого тела переходит при ударе в тепло. Задачу решить
сначала в общем' виде, а затем рассмотреть случаи:
a) mi=m2; б) т1=9т2.
2.90.	Движущееся тело массой тг ударяется о непо-
движное тело массой т2. Считая удар упругим и централь-
ным, найти, какую часть кинетической энергии U7Ki первое
тело передает второму при ударе. Задачу решить сначала
в общем виде, а затем рассмотреть случаи: a) mi=m2;
б) mi=9m2.
2.91.	Движущееся тело массой тг ударяется о непо-'
движное тело массой т2. Каким должно быть отношение
масс mi/m2, чтобы при центральном упругом ударе ско-
рость первого тела уменьшилась в 1,5 раза? С какой кине-
тической энергией W’K2 начнет двигаться при этом второе
36
тело, если первоначальная кинетическая энергия первого
тела W'ki —1 кДж?
2.92.	Нейтрон (масса т0) ударяется о неподвижное ядро
атома углерода (m=12m0). Считая удар центральным и
упругим, найти, во сколько раз уменьшится кинетическая
энергия 1Кк нейтрона при ударе.
2.93.	Нейтрон (масса т0) ударяется о неподвижное ядро:
а) атома углерода (m=12m0); б) атома урана (m=235 т0).
Считая удар центральным и упругим, найти, какую часть
скорости v потеряет нейтрон при ударе.
2.94.	На какую часть уменьшается вес тела на экваторе
вследствие вращения Земли вокруг оси?
2.95.	Какой продолжительности Т должны были бы
быть сутки на Земле, чтобы тела на экваторе не имели
веса?
2.96.	Трамвайный вагон массой 7и=5 т идет по закруг-
лению радиусом R = 128 м. Найти силу бокового давления F
колес на, рельсы при скорости движения п=9 км/ч.
2.97.	Ведерко с водой, привязанное к веревке длиной
Z=60 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости.
Найти наименьшую скорость v вращения ведерка, при ко-
торой в высшей точке вода из него не выливается. Какова
сила натяжения веревки Т при этой скорости в высшей и
низшей точках окружности? Масса ведерка с водой т=2 кг.
2.98.	Камень, привязанный к веревке длиной /=50 см,
равномерно вращается в вертикальной плоскости. При ка-
кой частоте вращения п веревка разорвется, если известно,
что она разрывается при силе натяжения, равной десяти-
кратной силе тяжести, действующей на камень?
2.99.	Камень, привязанный к веревке, равномерно вра-
щается в вертикальной плоскости. Найти массу m камня,
если известно, что разность между максимальной и мини-
мальной силами натяжения веревки ДТ=10 Н.
2.100.	Гирька, привязанная к нити длиной I—30 см,
описывает в горизонтальной плоскости окружность, ра-
диусом 7? = 15 см. С какой частотой п вращается гирька?
2.101.	Гирька массой т=50 г, привязанная к нити
длиной Z=25 см, описывает в горизонтальной плоскости
окружность. Частота вращения гирьки п=2 об/с. Найти
силу натяжения нити Т.	’
2.102.	Диск вращается вокруг вертикальной оси с ча-
стотой п=30 об/мин. На расстоянии г=20 см от оси враще-
ния на диске лежит тело. Каким должен быть коэффициент
трения k между телом и диском, чтобы тело не скатилось
с диска?
87
2.103.	Самолет, летящий со скоростью и=900 км/ч,
делает «мертвую петлю». Каким должен быть радиус «мерт-
вой петли» /?, чтобы наибольшая сила F, прижимающая
летчика к сидению, была равна: а) пятикратной силе тя-
жести, действующей на летчика; б) десятикратной силе
тяжести, действующей на летчика?
2.104.	Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со
скоростью и=72 км/ч, делая поворот радиусом /? = 100 м.
На какой угол а при этом он должен наклониться, чтобы
не упасть при повороте?
2.105.	К потолку трамвайного вагона подвешен на нити
шар. Вагон идет со скоростью и=9 км/ч по закруглению
радиусом У? =36,4 м. На какой угол а от-
О клонится при этом нить с шаром?
/ \	2.106. Длина стержней центробеж-
д д ного регулятора (рис. 4) /=12,5 см. С
какой частотой п должен вращаться цент-
Г Ро&жный регулятор, чтобы грузы от-
клонились от вертикали на угол, равный:
а) а=60°; б) а=30°?
2.107.	Шоссе имеет вираж с уклоном
ш	а = 10° при радиусе закругления дороги
Рис. 4.	/? = 100 м. На какую скорость v рассчитан
вираж?
2.108.	Груз массой /и=1 кг, подвешенный на нити,
отклоняют на угол сс=30° и отпускают. Найти силу натя-
жения нити Т в момент прохождения грузом положения
равновесия.
2.109.	Мальчик массой /и=45 кг вращается на «гигант-
ских шагах» с частотой п=16 об/мин. Длина канатов
/=5 м. Какой угол а с вертикалью составляют канаты
«гигантских шагов»? Каковы сила натяжения канатов Т
и скорость и вращения мальчика?
2.110.	Груз массой т=1 кг, подвешенный на невесомом
стержне длиной /=0,5 м, совершает колебания в верти-
кальной плоскости, При каком угле отклонения а стержня
от вертикали кинетическая энергия груза4 в его нижнем
положении Ц7К=2,45 Дж? Во сколько раз при таком угле
отклонения сила натяжения стержня 1\ в нижнем поло-
жении больше силы натяжения, стержня Т2 в верхнем по-
ложении?	 '
2.111.	Груз массой tn, подвешенный на невесомом стерж-
не, отклоняют на угол а=90° и отпускают. Найти силу
натяжения Т стержня в момент прохождения грузом по-
ложения равновесия.
2.112г	Груз массой /п=150 кг подвешен на стальной
проволоке, выдерживающей силу, натяжения 7=2,94 кН.
На какой наибольший угол а можно отклонить проволоку
с грузом, чтобы она не разорвалась лри прохождении гру-
зом положения равновесия?
2.113.	Камень массой т=0,5 кг, привязанный к верев-
ке длиной 7=50 см, равномерно вращается в вертикальной
плоскости. Сила натяжения веревки в нижней точке окруж-
ности 7=44 Н. На какую высоту h поднимется камень,
если веревка обрывается в тот момент, когда скорость на-
правлена вертикально вверх?
2.114.	Вода течет по трубе диаметром d=0,2 м, распо-
ложенной в горизонтальной плоскости и имеющей закруг-
ление радиусом R=20,0 м. Найти боковое давление
воды Р, вызванное центробежной силой. Через поперечное
сечение трубы за единицу времени протекает масса воды
mt=300 т/ч.
2.115.	Вода течет по каналу шириной £=0,5 м, распо-
ложенному в горизонтальной плоскости и имеющему за-
кругление радиусом Я = Ю м. Скорость течения воды
ц=5 м/с. Найти боковое давление воды Р, вызванное
центробежной силой.
2.116.	Найти работу А, которую надо совершить, чтобы
сжать пружину на 1=20 см, если известно, что сила F про-
порциональна сжатию I и жесткость пружины £=2,94 кН/м.
2.117.	Найти наибольший прогиб h рессоры от груза
массой т, положенного на ее середину, если статичевкий
прогиб рессоры от того же груза h0=2 см. Каким будет
наибольший прогиб, если тот же груз падает на середину
рессоры с высоты /7=1 м без начальной скорости?
2.118.	Акробат прыгает в сетку с высоты Н=8 м. .На
какой предельной высоте h над полом надо натянуть сетку,
чтобы акробат не ударился о пол при прыжке? Известно,
что сетка прогибается на /io=O,5 м, если акробат прыгает
в нее с высоты Но=1 м.	>
2.119.	Груз положили на чашку весов. Сколько деле-
ний покажет стрелка весов при первоначальном отбросе,
если после успокоения качаний она показывает 5 делений?
2.120.	Груз массой т=\ кг падает на чашку весов с вы-
соты 77=10 см. Каковы показания весов F в момент удара,
если после успокоения качаний чашка весов опускается
на £=0,5 см?
"2.121. С какой скоростью v двигался вагон массой
/и=20 т, если при ударе о стенку каждый буфер сжался на
7=10 см? Жесткость пружины каждого буфера £=1 МН/м.
. - •	39
2.122.	Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый
шнур так, что его длина стала больше на Д/=10 см. С какой
скоростью v полетел камень массой т=20 г? Жесткость
шнура /г=1 кН/м.
2.123.	К нижнему концу пружины, подвешенной вер-
тикально, присоединена другая пружина, к концу которой
прикреплен груз. Жесткости пружин равны и k2. Пре-
небрегая массой пружин по сравнению с массой груза,
найти отношение Wni/Waz потенциальных энергий этих
пружин.
2.124.	На двух параллельных пружинах одинаковой
длины висит невесомый стержень длиной £ = 10 см. Жестко-
сти пружин £i=2 Н/м и £2=3 Н/м. В каком месте стержня
надо подвесить груз, чтобы стержень оставался горизон-
тальным?
2.125.	Резиновый мяч массой т=0,1 кг летит горизон-
тально с некоторой скоростью и ударяется о неподвижную
вертикальную стенку. За время Д/=0,01 с мяч сжимается
на Д/=1,37 см; такое же время Д/ затрачивается на вос-
становление первоначальной формы мяча. Найти среднюю
силу F, действующую на стенку за время удара.
2.126.	Гиря массой т=0,5 кг, привязанная к резиново-
му шнуру длиной 10, описывает в горизонтальной плоско-
сти окружность. Частота вращения гири п=2 об/с. Угол
отклонения резинового шнура от вертикали а=30°.
Жесткость шнура k=0,6 кН/м. Найти длину 10 нерастя-
нутого резинового шнура.
2.127.	Груз массой /и=0,5 кг, привязанный к резиново-
му шнуру длиной Zo=9,5 см, отклоняют на угол а=90°
и отпускают. Найти длину I резинового шнура в момент
прохождения грузом положения равновесия. Жесткость
шнура k=l кН/м.
2.128.	Мяч радиусом £? = 10 см плавает в воде так, что
его центр масс находится на 77=9 см выше поверхности
воды. Какую работу А надо совершить, чтобы погрузить
мяч в воду до диаметральной плоскости?
2.129.	Шар радиусом R =6 см удерживается внешней
силой под водой так, что его верхняя точка касается по-
верхности воды. Какую работу А произведет выталкиваю-
щая сила, если отпустить шар и предоставить ему свободно
плавать? Плотность материала шара р=0,5-109 кг/м3.
2.130.	Шар диаметром £>=30 см плавает в воде. Какую
работу А надо совершить, чтобы погрузить шар в воду
на 77=5 см глубже? Плотность материала шара р=
=0,5« 10? кг/м3.
4П
2.131.	Льдина площадью поперечного сечения S = 1 м2
и высотой /i=0,4 м 'плавает в воде. Какую работу А
надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в
воду?
2.132.	Найти силу гравитационного взаимодействия F
между двумя протонами, находящимися на расстоянии
г=10“10 м друг от друга. Масса протона т=1,67-10~27 кг.
2.133.	Два медных шарика с диаметрами см и
£>2=6 см находятся в соприкосновении друг с другом.
Найти гравитационную потенциальную энергию Ц7П этой
системы.
2.134.	Вычислить гравитационную постоянную G, зная
радиус земного шара Д, среднюю плотность земли р и
ускорение свободного падения g у поверхности Земли
(см. табл. IV и V).
2.135.	Принимая ускорение свободного падения у по-
верхности Земли равным g=9,80 м/с2 и пользуясь данными
табл. V, составить таблицу значений средних плотностей
планет Солнечной системы.
2.136.	Космическая ракета летит на Луну. В какой точ-
ке прямой, соединяющей центры масс Луны и Земли, ра-
кета будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой
силой? ,
2.137.	Сравнить ускорение свободного падения у по-
верхности Луны gn с ускорением свободного падения у по-
верхности Земли g$.
2.138.	Как изменится период колебания Т математиче-
ского маятника при перенесении его с Земли на Луну?
Указание. Формула для периода колебаний матема-
тического маятника приведена в § 12.
2.139.	Найти первую космическую скорость щ, т. е. ско-
рость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли,
чтобы оно начало двигаться вокруг Земли по круговой ор-
бите в качестве ее спутника.
2.140.	Найти вторую космическую скорость п2, т. е. ско-
рость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли,
чтобы оно преодолело земное тяготение и навсегда удали-
лось от Земли.
2.141.	Принимая ускорение свободного падения у по-
верхности Земли равным g=9,80 м/с2 и пользуясь данными
табл. V, составить таблицу значений первой и второй кос-
мических скоростей у поверхности планет Солнечной си-
стемы.
2.142.	Найти линейною скорость v движения Земли по
круговой орбите.
41
2.143.	С какой линейной скоростью v будет двигаться
искусственный спутник Земли по круговой орбите: а) у по-
верхности Земли; б) на высоте /г=200 км и h=7000 км от
поверхности Земли? Найти период обращения Т спутника
Земли при этих условиях.
2.144.	Найти зависимость периода обращения Т искус-
ственного спутника, вращающегося по круговой орбите
у поверхности центрального тела, от средней плотности р
этого тела. По данным, полученным при решении зада-
чи 2.135, составить таблицу значений периодов обращения
искусственных спутников вокруг планет Солнечной си-
стемы.
2.145.	Найти центростремительное ускорение ап, с ко-
торым движется по круговой орбите искусственный спут-
ник Земли, находящийся на высоте /i=200 км от поверх-
ности Земли.	•
2.146.	Планета Марс имеет два спутника — Фобос и
Деймос. Первый находится на расстоянии г=0,95-104 км
от центра масс Марса, второй — ,на расстоянии г=
=2,4-104 км. Найти периоды обращения Л и Тг этих спут-
ников вокруг Марса.
2.147.	Искусственный спутник Земли движется по кру-
говой орбите в плоскости экватора с запада на восток. На
какой высоте h от поверхности Земли должен находиться
этот спутник, чтобы он был неподвижен по отношению
к наблюдателю, который находится на Земле?
2.148.	Искусственный спутник Луны движется по кру-
говой орбите на высоте /г=20 км от поверхности Луны.
Найти линейную скорость v движения этого спутника,
а также период его обращения Т вокруг Луны.
2.149.	Найти первую и вторую космические скорости
для Луны (см. условия 2.139 и 2.140).
2.150.	Найти зависимость ускорения свободного паде-
ния g от высоты h над поверхностью Земли. На какой вы-
соте h ускорение свободного падения gh составляет 0,25
ускорения свободного падения g у поверхности Земли?
2.151.	На какой высоте h от поверхности Земли ускоре-
ние свободного падения gh=\ м/с2?
2.152.	Во сколько раз кинетическая энергия 1ГК искус-
ственного спутника Земли, движущегося по круговой ор-
бите, меньше его гравитационной потенциальной энер-
гии W„?
2.153.	Найти изменение ускорения свободного падения g
при опускании тела на глубину h. На какой глубине п
ускорение свободного падения gh составляет 0,25 ускорения
42	 ,	
свободного падения g у поверхности Земли? Плотность
Земли считать постоянной. Указание. Учесть, что
тело, находящееся на глубине h под поверхностью Земли,
не испытывает со стороны вышележащего шарового слоя
толщиной h никакого притяжения, «так как притяжения
отдельных частей слоя взаимно компенсируются.
2.154.	Каково соотношение между высотой Н горы и глу-
биной h шахты, если период колебаний маятника на вер-
шине горы и на дне шахты один и тот же? Указание.
Формула для периода колебаний математического маятни-
ка приведена в § 12.
' 2.155. Найти период обращения Т вокруг Солнца искус-
ственной планеты, если известно, что большая полуось
ее эллиптической орбиты превышает большую полуось Т?2
земной орбиты на А/?=0,24-108 км.
2.156.	Орбита искусственной планеты близка к круго-
вой. Найти линейную скорость v ее движения и период Т
ее обращения вокруг Солнца, считая известными диаметр
Солнца D и его среднюю плотность р. Среднее расстояние
планеты от Солнца г=1,71-108 км.
2.157.	Большая полуось эллиптической орбиты пер-
вого в мире искусственного спутника Земли меньше боль-
шой полуоси /?2 орбиты второго спутника наД/?=800 км.
Период обращения вокруг Земли первого спутника в на-
чале его движения был 7\=96,2 мин. Найти большую
полуось Т?2 орбиты второго искусственного спутника Зем-
ли и период Т2 его обращения вокруг Земли.
2.158.	Минимальное удаление от поверхности Земли
космического корабля-спутника «Восток-2» составляло
/irain=183 км, а максимальное удаление — /гта]{=244 км.
Найти период обращения Т спутника вокруг Земли.
2.159.	Имеется кольцо радиусом R. Радиус проволоки
равен г, плотность материала проволоки равна р. Найти
силу F, с которой это кольцо притягивает материальную
точку массой tn, находящуюся на оси кольца на расстоя-
нии L от его центра.
2.160.	Имеется кольцо радиусом 7? =20 см из тонкой
медной проволоки. Найти силу F, с которой это кольцо
притягивает материальную точку массой т=2 г, находя-
щуюся на оси кольца на расстоянии £=0, 5, 10, 15, 20 и
50 см от его центра. Составить таблицу значений F и пред-
ставить графически зависимость F=f(L). На каком расстоя-
нии £гаах от центра кольца сила взаимодействия имеет
максимальное значение Fmax я каково это значение? Ра-
диус проволоки г=1 мм. •
43
2.161.	Сила взаимодействия между кольцом из проволо-
ки и материальной точкой, находящейся на оси кольца,
имеет максимальное значение Fmax, когда точка находится
на расстоянии Lmax. от центра кольца. Во сколько раз сила
взаимодействия F между кольцом и материальной точкой,
находящейся на расстоянии L=0,5Lmax от центра кольца,
меньше максимальной силы Fraax?
§ 3.	Вращательное движение твердых тел
Момент М силы F относительно какой-нибудь оси вращения оп-
ределяется формулой
М = Р1,
где I — расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси
вращения.
Моментом инерции материальной точки относительно какой-ни-
будь оси вращения называется величина
J = mr2,
где т — масса материальной точки иг — ее расстояние до оси вра-
щения.
Момент инерции твердого тела относительно его оси вращения
J = г2 dm,
где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела.
Производя интегрирование, можно получить момент инерции тела
любой формы. 
Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) отно-
сительно оси цилиндра
Z=~rf,
где R — радиус цилиндра и т — его масса.
Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом
Ri и внешним R2 относительно оси цилиндра
J т + R1),
для тонкостенного полого цилиндра	и JxmR2.
Момент инерции однородного шара радиусом R относительно
оси, проходящей через его центр,
2
о
44
Момент инерции однородного стержня относительно оси, прохо-
дящей через его середину перпендикулярно к нему,
Если для какого-либо тела известен его момент инерции Je отно-
сительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции отно-
сительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по
формуле Штейнера
J == Jо tnd?,
где т — масса тела и d — расстояние от центра масс тела до оси вра-
щения.
Основной закон динамики вращательного движения (закон со-
хранения момента импульса) выражается уравнением
М dt = dL = d (7 со),
где М— момент сил, приложенных к телу, L — момент импульса
тела (J — момент инерции тела, со — его угловая скорость). Если
J= const, то
где в — угловое ускорение, приобретаемое телом под действием мо-
мента сил М.
Кинетическая энергия вращающегося тела
где J — момент инерции тела и со — его угловая скорость.
Сопоставление уравнений динамики вращательного движения
с уравнениями поступательного движения дано в табл. 7.
Таблица 7
t
Поступательное движение	Вращательное движение
Второй за FM = mVi~ mvlt или F = ma Закон сохранения импульса = const ' Работа и кине mvl mv* A=FS=-f—^-	кон Ньютона МА/ = Jco3 —Jcol или M = Je Закон сохранения момента им- пульса Z,7cO = Const тическая энергия А-Му- 2г 2
45
Период малых колебаний физического маятника
Тде J — момент инерции маятника относительно его оси вращения;
т — масса маятника, d — расстояние от центра масс до оси вращения,
g — ускорение свободного падения.
3.1.	Найти момент инерции J и момент импульса L зем-
ног© шара относительно оси вращения.
3.2.	Два шара одинакового радиуса 7?==5 см закрепле-
ны на концах невесомого стержня. Расстояние между шара-
ми г=0,5 м. Масса каждого шара т==1 кг. Найти; а) момент
инерции Ji системы относительно оси, проходящей через
середину стержня перпендикулярно к нему; б) момент
инерции J 2 системы относительно той же оси, считая шары
материальными точками, массы которых сосредоточены
в их центрах; в) относительную ошибку 6=(J1-—J2)/J2,
которую мы допускаем при вычислении момента инерции
системы, заменяя величину Ji величиной J$.
3.3.	К ободу однородного диска радиусом R=0,2 м при-
ложена касательная сила F=98,l Н. При вращении на
диск действует момент сил трения /Итр=4,9 Н-м. Найти
массу т диска, если известно, что диск вращается с угловым
ускорением е=100 рад/с3.
3.4.	Однородный стержень длиной 1=1 м и массой т=
=0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг го-
ризонтальной оси, проходящей через середину стержня.
С каким угловым ускорением е вращается стержень, если
на него действует Момент сил М =98,1 мН-м?
3.5.	Однородный диск радиусом R =0,2 м и массой т=
=5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр
перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой
скорости (о вращения диска от времени t дается уравнением
a>=A+Bt, где В=8 рад/с2. Найти касательную силу F,
приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.
3.6.	Маховик, момент инерции которого J=63,6 кг-м2,
вращается с угловой скоростью со=31,4 рад/с. Найти мо-
мент сил торможения М, под действием которого маховик
останавливается через время #=20 с. Маховик считать
однородным диском.
3.7.	К ободу колеса радиусом1 0,5 м и массой т=50 кг
приложена касательная сила F=98,l Н. Найти угловое
ускорение е колеса. Через какое время t после начала дей-
ствия силы колесо будет иметь частоту вращения п=
46
ч=100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением
пренебречь.	_
3.8.	Маховик радиусом 7?=0,2 м и массой /п==10 кг
соединен с мотором при помощи приводного ремня. Сила
натяжения ремня, идущего без скольжения, Т=14,7 Н.
Какую частоту вращения п будет иметь маховик через вре-
мя £=10 с после начала движения? Маховик считать одно-
родным диском. Трением пренебречь.
3.9.	Маховое колесо, момент инерции которого 7 =
=245 кг-м2, вращается с частотой и=20 об/с. Через время
1=1, мин после того, как на колесо перестал действовать мо-
мент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения
Л4тр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной
остановки после прекращения действия сил. Колесо счи-
тать однородным диском.
3.10.	Две гири с массами т±=2 кг и /П2=1 кг соединены
нитью, перекинутой через блок массой т=1 кг. Найти
ускорение а, с которым движутся гири, и силы натяжения
Ti и Тг нитей, к которым подвешены гири. Блок считать
однородным диском. Трением пренебречь.
3.11.	На барабан массой т0=9 кг намотан шнур, к кон:
цу которого привязан груз массой ш—2 кг. Найти ускоре-
ние а груза. Барабан считать однородным цилиндром.
Трением пренебречь.
'3.12. На барабан радиусом /?=0,5 м намотан шнур,
к концу которого привязан груз массой т=10 кг. Найти
момент инерции J барабана, если известно, что груз опу-
скается с ускорением п=2,04 м/с2.
3.13.	На барабан радиусом R =20 см, момент инерции
которого 7=0,1 кг-м2, намотан шнур, к концу которого
привязан груз массой /и=0,5 кг. До начала вращения ба-
рабана высота груза над полом h0=1 м. Через какое вре-
мя t груз опустится до пола? Найти кинетическую энергию
1ГК груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т.
Трением пренебречь.
3.14.	Две гири с разными массами соединены нитью,
перекинутой через блок, момент инерции которогр J—
=50 кг-м2 и радиус 2?=20 см. Момент сил трения вращаю-
щегося блока Л4тр=98,1 Н-м. Найти разность сил натяже-
ния нити Ti—по обе стороны блока, если известно, что-
блок вращается с угловым ускорением е=2,36 рад/с2.
Блок считать однородным диском.
3.15.	Блок массой т—1 кг укреплен на конце стола
(см. рис. 1 и задачу 2.31); Гири 1 и 2 одинаковой массы
/П1=та=1 кг соединены нитью, перекинутой через блок.
Коэффициент трения гири 2 о стол £=0,1. Найти ускоре-
ние а, с которым движутся гири, и силы натяжения
и Т2 нитей. Блок считать однородным диском. Трением
в блоке пренебречь.
3.16.	Диск массой т=2 кг катится без скольжения по
горизонтальной плоскости со скоростью v=4 м/с. Найти
кинетическую энергию Ц7к диска.
3.17.	Шар диаметром £)=6 см и массой т=0,25 кг ка-
тится без скольжения по горизонтальной плоскости с ча-
стотой вращения и=4 об/с. Найти кинетическую энергию
№к шара.
3.18.	Обруч и диск одинаковой массы т±=т2 катятся
без скольжения с одной и той же скоростью о. Кинетиче-
ская энергия обруча 1УК1=4 кгс-м. Найти кинетическую
энергию №ка диска.
3.19.	Щар массой т=1 кг, катящийся без скольжения,
ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара
до удара о стенку v=10 см/с, после удара ц=8 см/с. Найти
количество теплоты Q, выделившееся при ударе шара о
стенку.
3.20.	Найти относительную ошибку 6, которая полу-
чается при вычислении кинетической энергии 1ГК катя-
щегося шара, если не учитывать вращения шара.
3.21.	Диск диаметром D=60 см и массой т=\ кг вра-
щается вокруг оси, проходящей через центр перпендику-
лярно к его плоскости, с частотой и—20 об/с. Какую ра-
боту А надо совершить, чтобы остановить диск?
3.22.	Кинетическая энергия вала, вращающегося с ча-
стотой. п=5-об/с, 1Ук=60 Дж. Найти момент импульса L
вала.
3.23.	Найти кинетическую энергию WK велосипедиста,
едущего со скоростью v=9 км/ч. Масса велосипедиста
вместе с велосипедом т=78 кг, причем на колеса прихо-
дится масса т0=3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.
3.24.	Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге
со скоростью v=7,2 км/ч. На какое расстояние s может
вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии?
Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути.
3.25.	С какой наименьшей высоты h должен съехать
велосипедист, чтобы по инерции (без трения) проехать до-
рожку, имеющую форму «мертвой петли» радиусом R —
=0,3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке пет-
ли? Масса велосипедиста вместе с велосипедом т=75 кг,
причем на колеса приходится масса ш0=3 кг. Колеса вело-
сипеда считать обручами.
48
3.26.	Медный шар радиусом 7? = 10 см вращается с часто-
той и=2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр.
Какую работу А надо совершить, чтобы увеличить угловую
скорость со вращения шара вдвое?
3.27.	Найти линейные ускорения а центров масс шара,
диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклон-
ной плоскости. Угол наклона плоскости а=30°, начальная
скорость всех тел о0=0. Сравнить найденные ускорения
с ускорением тела, соскальзывающего с наклонной пло-
скости при отсутствии трения.
3.28.	Найти линейные скорости и движения центров
масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольже-
ния с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости
/г=0,5 м, начальная скорость всех тел о0=0. Сравнить
найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего
с наклонной плоскости при отсутствии трения.
3.29.	Имеются два цилиндра: алюминиевый (сплошной)
и свинцовый (полый) — одинакового радиуса 7?=6 см и
одинаковой массы ш=0,5 кг. Поверхности цилиндров
окрашены одинаково. Как, наблюдая поступательные ско-
рости цилиндров у основания наклонной плоскости, можно
различить их? Найти моменты инерции Л и J2 этих ци-
линдров. За какое время t каждый цилиндр скатится без
скольжения с наклонной плоскости? Высота наклонной
плоскости /i=0,5 м, угол наклона плоскости а=30°, на-
чальная скорость каждого цилиндра о0=0.
3.30.	Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило
за время /=1 мин частоту вращения от ^=300 об/мин до
п2=180 об/мин. Момент инерции колеса 7=2 кг-м2. Найти
угловое ускорение 8 колеса, момент сил торможения М,
работу А сил торможения и число оборотов N, сделанных
колесом за время /=1 мин.
3.31.	Вентилятор вращается с частотой п=900 об/мин.
После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедлен-
но, сделал до остановки М=75 об. Работа сил торможения
А =44,4 Дж. Найти момент инерции J вентилятора и момент
сил торможения М.
3.32.	Маховое колесо, момент инерции которого 7»
=245 кг-м2, вращается с частотой п=20 об/с. После того
как на колесо перестал действовать вращающий момент,
оно остановилось, сделав М=1000 об. Найти момент сил
трения Л4тр и время t, прошедшее от момента прекращения
действия вращающего момента до остановки колеса.
3.33.	По ободу шкива,, насаженного на общую ось с ма-
ховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен
49
груз массой /п=1 кг. На какое расстояние h должен опу-
ститься груз, чтобы колесо со шкивом получило частоту
вращения п=60 об/мин? Момент инерции колеса со шки-
вом J=0,42 кг-м2, радиус шкива 7? = 10 см.
3.34.	Маховое колесо начинает вращаться с угловым
ускорением е=0,5 рад/с2 и через время /х=15 с после на-
чала движения приобретает момент импульса L=
=73,5 кг-м2/с. Найти кинетическую энергию 1Кк колеса че-
рез время /з=20 с после начала движения.
3.35.	Маховик вращается с частотой п=10 об/с. Его
кинетическая энергия 11^=7,85 кДж. За какое время t
момент сил Л4=50 Н-.м, приложенный к маховику, увели-
чит угловую скорость со маховика вдвое?
3.36.	К ободу диска массой т=5 кг приложена каса-
тельная сила F = 19,6 Н. Какую кинетическую энергию
Ц7К будет иметь диск через время 7=5 с после начала дей-
ствия силы?
3.37.	Однородный стержень длиной 1=1 м подвешен на
горизонтальной оси, проходящей через верхний конец,
стержня. На какой угол а надо отклонить стержень, что-
бы нижний конец стержня при прохождении положения
равновесия имел скорость v=5 м/с?
3.38.	Однородный стержень длиной 1=85 см подвешен
на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец
стержня. Какую скорость v. надо сообщить нижнему концу
стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?
3.39.	Карандаш длиной /=15 см, поставленный верти--
кально, падает на стол. Какую угловую скорость со и ли-
нейную скорость v будут иметь в конце падения середина
и верхний конец карандаша?
3.40.	Горизонтальная платформа массой /и=100 кг вра-
щается вокруг, вертикальной оси, проходящей через центр
платформы, с частотой ^=10 об/мин. Человек массой т0=
=60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой часто-
той «а начнет вращаться платформа, если человек перейдет
от края платформы к ее центру? Считать платформу одно-
родным диском, а человека — точечной массой.
3.41.	Какую работу А совершает человек при переходе
от края платформы к ее центру в условиях предыдущей
задачи? Радиус платформы 7? = 1,5 м.
3.42.	Горизонтальная платформа массой /й=80 кг и ра-
диусом 7?=1 м вращается с частотой. п\=20 об/мин. В цент-
ре платформы стоит человек и держит в расставленных
руках гири. С какой частотой пг будет вращаться платфор-
ма, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент
инерции от Л=2,94 до J2=0,98 кг-м2? Считать платформу
однородным диском.
3.43.	Во сколько раз увеличилась кинетическая энергия
WK платформы с человеком в условиях предыдущей задачи?
3.44.	Человек массой т« =60 кг находится на неподвиж-
ной платформе массой т=100 кг. С какой частотой п бу-
дет вращаться платформа, если человек будет'двигаться
по окружности радиусом г=5 м вокруг оси вращения?
Скорость движения человека относительно платформы
у0=4 км/ч. Радиус платформы 7? = 10 м. Считать платформу
однородным диском, а человека — точечной массой.
3.45.	Однородный стержень длиной 7=0,5’ м совершает
малые колебания в вертикальной плоскости около гори-
зонтальной оси, проходящей через его верхний конец.
Найти период колебаний Т стержня.
3.46.	Найти период колебаний Т стержня предыдущей
задачи, если ось вращения проходит через точку,, находя-
щуюся на расстоянии d=10 см от его верхнего конца.
3.47.	На концах вертикального стержня укреплены два
груза. Центр масс грузов находится ниже середины стерж-
ня на расстоянии d=b см. Найти длину / стержня, если
известно, что период малых колебаний стержня с грузами
вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середи-
ну, 7=2 с. Массой стержня пренебречь по сравнению
с массой грузов.
3.48.	Обруч диаметром 0=56,5 см висит на гвозде,
вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости,
параллельной стене. Найти период колебаний Т обруча.
3.49.	Какой наименьшей длины / надо взять нить, к ко-
торой подвешен однородный шарик диаметром 0=4 см,
чтобы при определении периода малых колебаний Т ша-
рика рассматривать его как. математический маятник?
Ошибка 6 при таком допущении не должна превышать 1%.
3.50.	Однородный шарик подвешен на нити, длина кото-
рой I равна радиусу шарика /?. Во сколько раз период
малых колебаний 7\ этого маятника больше периода малых
колебаний 7^ математического маятника с таким же рас-
стоянием от центра масс до точки подвеса? .
§ 4.	Механика жидкостей и газов
Для установившегося движения идеальной несжимаемой жидкости
имеет место уравнение Бернулли
P+-^-+pgfi?= const.
Здесь р — плотность жидкости, v — скорость движения жидкости
в данном сечении трубы, h — высота данного сечении трубы над не-
которым уровнем и Р — давление. Ив уравнения Бернулли следует,
что скорость вытекания жидкости из малого отверстия v =V2gk,
где h — высота поверхности жидкости над отверстием. Так как через
любое поперечное сечение трубы проходят равные объемы жидкости,
то 31ц1=32п2, где Vi и v2 — скорости жидкости в двух .поперечных
сечениях трубы, имеющих площади St и S2.
Сила сопротивления, которую испытывает падающий в вязкой
жидкости (в газе) шарик, определяется формулой Стокса
Л = 6лт]ги,
где г) — динамическая вязкость жидкости (газа), г — радиус шарика,
v— его скорость. Закон Стокса имеет место только для ламинарного
движения. При ламинарном движении объем жидкости (газа), проте-
кающей за время / через капиллярную трубку радиусом г и длиной I,
определяется формулой Пуазейля
ar^t^P
8Zr] ',
где г) — динамическая вязкость жидкости (газа), ДР — разность дав-
лений на концах трубки.
Характер движения жидкости (газа) определяется безразмерным
числом Рейнольдса
Re==£EP=££
Г] V
где D — величина, характеризующая линейные размеры тела, обте-
каемого жидкостью (газом), v — скорость течения, р — плотность,
т) — динамическая вязкость. Отношение v=r]/(> называется кинема-
тической вязкостью. Критическое значение числа Рейнольдса, опре-
деляющее переход от ламинарного движения к турбулентному, различно
для тел разной формы.
4.1	*). Найти скорость v течения углекислого газа по
трубе, если известно, что за время (=30 мин через попереч-
ное сечение трубы протекает масса газа т=0,51 кг. Плот-
ность газагр=7,5 кг/м3. Диаметр трубы £>=2 см.
4.2.	В дне цилиндрического сосуда диаметром 0=0,5 м
имеется круглое отверстие диаметром d=l см. Найти за-
висимость скорости понижения .уровня воды в сосуде
от высоты h этого уровня. Найти значение этой скорости
для высоты Л=0,2 м.
4.3.	На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхно-
сти которого имеется малое отверстие, расположенное на
*) В задачах 4.1—4.9 жидкости (газы) считать идеальными, не-
сжимаемыми.
52
расстоянии hi от дна сосуда и на расстоянии h2 от уровня
воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным.
На каком расстоянии I от сосуда (по горизонтали) струя
воды падает на стол в случае; если: а) Лх=25 см, Л2=16 см;
б) А1=16 см, /ia=25 см?
4.4.	Сосуд, наполненный водой, сообщается с атмосфе-
рой через стеклянную трубку, закрепленную в горлышке
сосуда (рис. 5). Кран К находится на
расстоянии Л2=2 см от дна сосуда. Най-
ти скорость v вытекания воды из крана
в случае, ' если расстояние между
нижним концом трубки и дном сосуда:
a) /ii=2 см; б) /ii=7,5 см; в)/ii=10 см.
4.5. Цилиндрический бак высотой
/г=1 м наполнен до краев водой. За
какое время t вся вода выльется через
отверстие, расположенное у дна бака,
если площадь S2 поперечного сечения
отверстия в 400 раз меньше площади
Si поперечного сечения бака? Сравнить
это время с тем, которое понадобилось бы для вытекания
такого же объема воды, если бы уровень воды в баке под-
держивался постоянным на высоте Л=1 м от отверстия.
4.6.	В сосуд льется вода, ‘причем за единицу времени
наливается объем воды Kt=0,2 л/с. Каким должен быть
диаметр d отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держа-
лась на постоянном уровне Л=8,3 см?
4.7.	Какое давление Р создает компрессор в краско-
пульте, если струя жидкой краски вытекает из него со ско-
ростью о=25 м/с? Плотность краски р=0,8-103 кг/м3.
4.8.	По горизонтальной трубе АВ течет жидкость
(рис. 6). Разность уровней этой жидкости в трубках а и b
Рис. 6. .	Рнс. 7.
равна A/i=10cm. Диаметры трубок а и b одинаковы. Найти
скорость v течения жидкости в трубе АВ.
, 4.9. Воздух продувается через трубку АВ (рис. 7).
За единицу времени через трубку АВ протекает объем
. .	.	63
воздуха Vt=5 л/мин. Площадь поперечного сечения ши-
рокой части трубки АВ равна Si—2 см2, а узкой ее части и
трубки abc равна S2=0,5 см2. Найти разность уровней
Aft воды, налитой в трубку abc. Плотность воздуха р=
= 1,32 кг/м3.
4.10.	Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жид-
кости, плотность р! которой в 4 раза больше плотности р2
материала шарика. Во сколько раз сила трения FTp, дей-
ствующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести
mg, действующей на этот шарик?
4.11.	Какой наибольшей скорости v может достичь дож-
девая капля диаметром d=0,3 мм, если динамическая вяз-
кость воздуха т] = 1,2-10~£ Па-с?
4.12.	Стальной шарик диаметром d=l мм падает с по-
стоянной скоростью и=0,185 см/с в большом сосуде, на-'
полненном касторовым маслом. Найти динамическую вяз-
кость 1] касторового масла.
4.13.	Смесь свинцовых дробинок с диаметрами ^=3 мм
и d3=l мм опустили в бак с глицерином высотой h=\ м.
На сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диа-
метра по сравнению с дробинками большего диаметра?
Динамическая вязкость глицерина т] = 1,47 Па-с.
4.14.	Пробковый шарик радиусом г=5 мм всплывает
в сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти дина-
мическую и кинематическую вязкости касторового масла,
если шарик всплывает с постоянной скоростью о=3,5 см/с.
4.15.	В боковую поверхность цилиндрического сосуда
радиусом 7?=2 см вставлен горизонтальный капилляр,
внутренний радиус которого г=1 мм и длина 1=2 см. В со-
суд налито касторовое масло, динамическая вязкость ко-
торого т] = 1,2 Па-с. Найти зависимость скорости v пони-
жения уровня касторового масла в сосуде от высоты h
этого уровня над капилляром. Найти значение этой ско-
рости при h=26 см.
4.16.	В боковую поверхность сосуда вставлен горизон-
тальный капилляр, внутренний радиус которого г=1 мм
и длина 7=1,5 см. В сосуд налит глицерин, динамическая
вязкость которого т] = 1,0 Па-с.. Уровень глицерина в со-
суде поддерживается постоянным на высоте А=0,18 м
выше капилляра. Какое время потребуется на то, чтобы
из капилляра вытек объем глицерина У=5 см3?
4.17.	На столе стоит сосуд, в боковую поверхность ко-
торого вставлен горизонтальный капилляр иа высоте
hi=5 см от дна сосуда. Внутренний радиус капилляра
г=Гмм и длина 1=1 см. В сосуд налито машинное масло,
плотность, которого р=0,9-103 кг/м3 и динамическая вяз-
кость ti=9,5 Па-с. Уровень масла в сосуде поддержива-
ется постоянным на высоте Ла=50 см выше капилляра.
На каком расстоянии / от конца капилляра (по горизонта-
ли) струя масла падает на стол?
•4.18. Стальной шарик падает в широком сосуде, напол-
ненном трансформаторным маслом, плотность которого
р=0,9-103 кг/м3 и динамическая вязкость Г]=0,8 Па-с.
Считая, что закон Стокса имеет место- при числе Рейнольд-
са Re^0,5 (если при вычислении Иё в качестве величины D
взять диаметр шарика), найти предельное значение диа-
метра D шарика.
4.19.	Считая, что ламинарность движения жидкости
(или газа) в цилиндрической трубе сохраняется при числе
Рейнольдса Re^/ЗООО (если при вычислении Re в качестве
величины D взять диаметр трубы), показать, что условия
задачи 4.1 соответствуют ламинарному движению. Кине-
.матическая вязкость газа v=l,33-10-e м2/с.
4.20.	Вода течет по трубе, причем за единицу времени
через поперечное сечение трубы протекает объем воды
Vf=200 см3/с. Динамическая вязкость воды Г]=0,001 Па-с.
-При каком предельном значении диаметра D трубы дви-
жение воды остается ламинарным? (См. условие предыду-
щей задачи.)
Глава II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
ЕДИНИЦЫ ТЕПЛОВЫХ ВЕЛИЧИН
Для получения производных единиц тепловых величин
в системе СИ используются Основные единицы: метр (м),
килограмм (кг), секунда (с), кельвин (К).
В табл. 8 и 9 приводятся важнейшие производные еди-
ницы тепловых величин в системе СИ, а также внесистем-
ные единицы, основанные на калории.
Единицы молярных величин образуются из перечислен-
ных в табл. 8 и 9 единиц удельных величин путем замены
в них килограмма молем.
Примеры решения задач
Задача 1. В сосуде объемом 20 л находится 4 г
водорода при температуре 27°С. Найти давление водорода.
Решение. Идеальные газы подчиняются уравнению
Менделеева — Клапейрона
= (1)
связывающему объем газа V, его давление р, термодина-
мическую температуру Т и массу пг. В уравнении (1)/?==
=8,31441 Дж/(моль-К)— газовая постоянная, р— мо-
лярная масса газа, v=m/[i — количество газа.
Из уравнения (1) имеем
Р = -^.	(2)
Подставляя числовые данные т=4-10~3 кг, р =
=0,002 кг/моль, Г=300 К, У=20 л=2-10~2 м3, получим
р=Па = °>25 МПа-
Задача 2. Найти удельную теплоемкость при по-
стоянном объеме некоторого многоатомного газа, если из-
вестно, что плотность этого газа при нормальных условиях
равна 0,795 кг/м3.
56
Таблица 8
	Единица			
Величина				Размерность
	определение	наименование	обозначение	
Количество	(?=Л = 1Г	джоуль	Дж	L2MT~2
теплоты				
Теплоем-	С=(?/ДГ	джоуль на	Дж/К	L2MT~26-l
кость си- стемы		кельвин		
Энтропия		джоуль на	Дж/К	
системы		кельвин		
Удельная	с= Q/тДТ	джоуль на	Дж/(кг- К)	[2T-2Q-l
теплоем-		килограмм-		
кость		кельвин		
Удельная	s = S/rn	джоуль на	Дж/(кг-К)	L2T~20-1
энтропия		килограмм-		
		кельвин		
Удельная	q = Q/m	джоуль на	Дж/кг	L2T~2
теплота		килограмм		
фазового превраще-				
НИЯ				
Температур-	grad Т = &Т/Д/	кельвин на	К/м	L-10
ный гра- диент		метр		
Тепловой	Ф = Д<2/д;	ватт	Вт	РМТ~г-
ПОТОК				
Плотность	q = Ф/3	ватт на	Вт/м2	MT~2
теплового		квадратный		
потока		метр		
Теплопро- водность		ватт иа метр- кельвин	Вт/(м-К)	LMT~36~^
	Д/ЗДТ/Д/			
Темпер ату-	а — К/ср	квадратный	м2/с	L2T~l
ропровод-		метр в		
ность		секунду		
Коэффици-	а — Ф/ShT,	ватт на	Вт/(м2-К)	MT~3Q~^
ент тепло-		квадратный		
обмена		метр- кельвин		
Решение. Удельная теплоемкость при постоянном объ-
еме определяется формулой
'	=	О)
где R — газовая постоянная, i — число степеней свободы
молекул многоатомного таза и р — молярная масса газа.
57
Таблица 9
Величина	Единица и ее связь с единицами СИ
Количество теплоты Теплоемкость системы; энтропия системы Удельная теплоемкость; удельная энтропия ' Удельная теплота фазового превращения Тепловой поток Плотность теплового потока Теплопроводность	1 кал = 4,19 Дж 1 кал/К = 4,19 Дж/К 1 кал/(г-К) = 4,19-103 Дж/(кг-К) 1 кал/г = 4,19-Ю3 Дж/кг 1 кал/с = 4,19 Вт 1 калДс-см2) =4,19-Ю1 Вт/м2 1 кал/(с-см-К) = 4,19-102 Вт/(М’К)
Формулу для плотности газа нетрудно получить из уравне-
ния Менделеева — Клапейрона:
Р V RT •
Из (1) и (2) имеем
Так как газ находится при нормальных условиях, то р=
= 1,013-105 Па, Г=273 К. Для многоатомных газов i=6.
Подставляя числовые данные в (3), получим си=
= 1,4 кДж/(кг-К).
§ 5. Физические основы молекулярно-кинетической
теории и термодинамики
Идеальные газы подчиняются уравнению состояния Менделее-
ва — Клапейрона
pV=—RT,
В
где р — давление газа, V — его объем, Т — термодинамическая
температура, т — масса газа, р — молярная масса газа, R—
=8,31441 Дж/(моль-К)— газовая постоянная; отношение v—mip.
дает количество газа.
По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме их парци-
альных давлений, т. е. тех давлений, которые имел бы каждый из газов
в отдельности, если бы • он при данной температуре одни заполнял
весь объем.
58
Основное уравнение; кинетической теории газов имеет вид
2 ==	2 т0 V2
p^-nWQ^n^-,
где п — число молекул в единице объема, IF0 — средняя кинетическая
энергия поступательного движения одной молекулы, гщ — масба
молекулы, Vv2 — средняя квадратичная скорость молекул. Эти ве-
личины определяются следующими формулами: число молекул в еди-
нице объема
Р
kT'
где	380662-Ю-23 Дж/К — постоянная Больцмана, N д=
=6,022045-1023 моль-1—постоянная Авогадро; средняя кинетическая
энергия поступательного движения одной молекулы
средняя квадратичная скорость молекул
-/ж;
	г р У т0
причем m0=;i/NA.
Энергия теплового движения молекул (внутренняя энергия) газа
W=-^—RT,
2 р
где i — число степеней свободы молекул.
Связь между молярной С и удельной с теплоемкостями следует
из нх определения:
С = рс.
Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме
СнЦя;
молярная теплоемкость при постоянном давлении
 Cp = Cv+R.
Отсюда следует, что молярная теплоемкость С определяется числом
степеней свободы i молекул газа:
для одноатомного газа (t=3)
Су = 12,5 Дж/(моль • К),	Ср— 20,8 Дж/(моль • К);
для двухатомного газа ((—5)
Су— 20,8 ДжДмоль • К),	Ср = 29,1 Дж/(моль-К);
для многоатомного газа (i=6)
Су=24>9 Дж/(моль-К), Cf = 33,2 ДжДмоль-К).
69
Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла)
позволяет найти число молекул ДМ, относительные скорости которых
лежат в интервале от и до «4-Д«:
4
ДУ=-Д=Мг~“!и2Ди.
/л
Здесь w==ti/oB — относительная скорость, v — данная скорость и
ов =/2Л77Й- наиболее вероятная скорость молекул, Да — ин-
тервал относительных скоростей, малый по сравнению со скоростью и.
Прн решении задач на закон распределения молекул по скоро-
стям удобно пользоваться табл. 10, в которой даны значения &NJ(N &и)
для различных и.
Таблица 10
и	ДN/(N	и	ДАГ/(# Ди)	и	ДА7(М Ди)
0	0	0,9	0,81	1,8	0,29
0,1	0,02	1,0	0,83	1,9	0,22
0,2	0,09	1,1	0,82	2,0	-0,16
0,3	0,18	1,2	0,78	2,1	0,12
0,4	0,31	1,3	0,71	2,2	0,09
0,5	0,44	1,4	0,63	2,3	0,06
0,6	0,57	1,5	0,54	2,4	0,04
0,7	0,68	1,6	0,46	2,5	0,03
0,8	0,76	1,7	0,36		
Средняя арифметическая скорость молекул
7=
г лр
Во многих случаях важно знать число молекул Nx; скорости
которых превышают заданное значение скорости и. В табл. 11 даны
значения Nx/N для различных и, где М — общее число молекул.
Таблица 11
и	Nx/N	и	Nx/N	и	Nx/N
0	1,000	0,6	0,808	1,25	0,374
0,2	0,994	0,7	0,806	1,5	0,213
0,4	0,957	0,8’	0,734	2,0	0,046
0,5	0,918	1,0	0,572'	2,5	0,0057
60
Барометрическая формула дает закон убывания давления газа с
высотой в поле силы тяжести:
р = роех.р	-й^-
Здесь р — давление газа на высоте h, р0 — давление на высоте h=0,
g=9,80665 м/с2 — ускорение свободного падения. Эта формула при-
ближенная, так как температуру Т нельзя считать одинаковой для
больших разностей высот.
Средняя длина свободного пробега молекул газа
J _ j
г ' V 2яа2п
где v — средняя арифметическая скорость, г — среднее число столк-
новений каждой молекулы с остальными в единицу времени, о — эф-
фективный диаметр молекулы, п — число молекул в единице объема
(концентрация молекул). .Общее число столкновений всех молекул
в единице объема за единицу времени
Z=zn/2.
Масса, перенесенная за время Д/ при диффузии,
m = ДЗД/,
Дх
где Др/Дх— градиент плотности в направлении, перпендикулярном к
площадке Д5, D-v/J-i — коэффициент диффузии (и— средняя арифме-
тическая скорость, X — средняя длина свободного пробега молекул).
Импульс, перенесенный газом за время Д/, определяет силу внут-
реннего трения Ftp в газе:
с	Ду Л о
д7 AS’
где Ди/Дх—градиент скорости течения газа в направлении, перпен-
дикулярном к площадке ДД, t)= tAp/3 — динамическая вязкость.
Количество теплоты, перенесенное за время Д/ вследствие тепло-
проводности, определяется формулой
ДТ
Q = —K-=r-&S At,
Дх
где ДТ/Дх— градиент температуры в направлении, перпендикуляр-
ном к площадке ДЗ, /С=?Асур/3 — теплопроводность.
Первое начало термодинамики может быть записано в виде
dQ=dW+dA,
где dQ — количество теплоты, полученное газом, dW — изменение
внутренней энергии газа, dA=p dV — работа, совершаемая газом при
61
изменении его объема. Изменение внутренней энергии газа
dW=~— RdT,
.	% И
где dT—изменение температуры. Полная работа, совершаемая при
изменении объема газа,
Vi
А= pdV.
Vi
Работа, совершаемая при изотермическом изменении объема газа,
Диз=ДТ-^-1п^. . '
,	НИ
Давление газа и его объем связаны при адиабатическом процессе
уравнением Пуассона
п,-	/ V-> \ и
pyx=const, т. е. '—= I-гг- 5
Pt k Vi /
где показатель адиабаты v.~crJcv. Уравнение Пуассона может
быть записано еще в таком виде:
Гух-i —const, т. е.
it \ Vi 1
или
Гр(1*,/И = const,	т> е>	—1-= —	=1 —
T% \ Pt J	\ Pi !
Работа, совершаемая при адиабатическом изменении объема газа,
может быть найдена -по формуле
. __ RTi т Г .	/ Р'1 \и-11__ RTi т /. Тг \_____
ад~х-1 и L \V2J 1 х-1р\
_ PiVi(Ti-Tt)
(х-1)Л	’
где pt п Vi — давление и объем газа при температуре Tf.
Уравнейне политропического процесса имеет вид
рРл = const, или PiVi= PtVtj
где п — показатель политропы (1<п<и).
Коэффициент полезного действия (к. п. д.) тепловой машины
-Qi ’
где Qi — количество теплоты, полученное рабочим телом от нагрева-
теля, Q2 — количество теплоты, отданное холодильнику. Для идеаль-
ного цикла Карно
где Ti и Т2— термодинамические температуры нагревателя и холо-
дильника.	.
Разность энтропий Зд двух состояний В и А определяется
формулой
А
5.1.	Какую температуру t имеет'масса т—2 г азота,
занимающего объем У=820 см3 при давлении р=0,2 МПа?
5.2.	Какой объем V занимает масса т=10 г кислорода
при давлении р=100 кПа и температуре £=20 °C?
5.3.	Баллон объемом У=12 л наполнен азотом при
давлении р=8,1 МПа и температуре £=17.°C. Какая масса
т азота находится в баллоне?
5.4.	Давление воздуха внутри плотно закупоренной
бутылки при температуре Л=7 °C было рг=100 кПа. При
нагревании бутылки пробка вылетела. До какой темпера-
туры £2 нагрели бутылку, если известно, что пробка вы-
летела при давлении воздуха- в бутылке р=130 кПа?
5.5.	Каким должен быть наименьший объем V баллона,
вмещающего массу т=6,4 кг кислорода, если его стенки
при температуре £=20 °C выдерживают давление р=
= 15,7 МПа?
5.6.	В баллоне находилась масса mi=10 кг газа при
давлении pi—10 МПа. Какую массу Am газа взяли из
баллона, если давление стало равным р2=2,5 МПа? Тем-
пературу газа считать постоянной..
5.7.	Найти массу m сернистого газа (SO2),. занимаю-
щего объем К=25 л при температуре £=27 °C и давлении
р=100 кПа.
5.8.	Найти массу т воздуха, заполняющего аудиторию
высотой й=5.м и площадью пола 5=200 м"2. Давление
воздуха /9=100 кПа, температура помещения £=17 °C.
Молярная масса воздуха р=0,029 кг/моль.
5.9.	Во сколько раз плотность рх воздуха, заполняющего
помещение зимой (£1=7 °C), больше его плотности р2 летом
(£2=37°С)? Давление газа считать постоянным.
5.10.	Начертить изотермы массы т=0,5 г водорода для
температур: a) £i=0 °C; б) £2=100 °C.
5.11»	Начертить изотермы массы т=15,5 г кислорода
для температур: a) £j=29 °C; б) £2=180 °C.
5.12.	Какое количество v газа находится в баллоне объ-
емом К=10 м3 при давлении р=96 кПа и температуре
£=17 °C?
63
5.13.	Массу tn—5 г азота, находящуюся в закрытом
сосуде объемом V—4 л при температуре /1=20 °C, нагре-
вают до температуры /2=40 °C. Найти давления р^ и pi
газа до и после нагревания.
5.14.	Посередине откачанного и запаянного с обоих
концов капилляра, расположенного горизонтально, на-
ходится столбик ртути длиной 1=20 см. Если капилляр
поставить вертикально, то столбик ртути переместится на
Д/=10 см. До какого давления ра был откачан капилляр?
Длина капилляра £=1 м.
5.15.	Общеизвестен шуточный вопрос: «Что тяжелее:
тонна свинца или тонна пробки?» На сколько истинный
вес пробки, которая в воздухе весит 9,8 кН, больше ис-
тинного веса свинца, который в воздухе весит- также
9,8 кН? Температура воздуха /=17 °C, давление р=100 кПа.
5.16.	Каков должен быть вес Р оболочки детского воз-
душного шарика, наполненного водородом, чтобы резуль-
тирующая подъемная сила шарика F=0, т. е. чтобы шарик
находился во взвешенном состоянии? Воздух и водород
находятся при нормальных условиях. Давление внутри
шарика равно внешнему давлению.. Радиус шарика г=
= 12,5 см.
5.17.	При температуре /=50 °C давление насыщенного
водяного пара р —12,3 кПа. Найти плотность р водяного
пара.
5.18.	Найти плотность р водорода при температуре
/=15°С и давлении р=97,3 кПа.
5.19.	Некоторый газ при температуре /=10°С и дав-
лении р=200 кПа имеет плотность р=0,34 кг/м3. Найти
молярную массу р газа.
5.20.	Сосуд откачан до давления р=1,33-10~9- Па;
температура воздуха /=15 °C. Найти плотность р воздуха
в сосуде.
5.21.	Масса т=12 г газа занимает объем У=4 л при
температуре Л=7 °C. После нагревания газа при постоян-
ном давлении его плотность стала равной р=0,6 кг/м3,
До какой температуры /2 нагрели газ?
5.22.	Масса /и=10 г кислорода находится при давлении
р=304 кПа и температуре /1=10 °C. После расширения
вследствие нагревания при постоянном давлении кислород
занял объем У2=10 л. Найти объем Vt газа до расширения,
температуру /2 газа после расширения, плотности рх и р2
газа до и после расширения.
5.23.	В запаянном сосуде-находится вода, занимающая
объем, равный половине объема сосуда. Найти давление р
64
и плотность р водяного пара при температуре /=400 °C,
зная, что при этой температуре вся вода обращается
в пар. - -	.	,
5.24.	Построить график зависимости плотности р кис-
лорода: а) от давления р при температуре Г=const=390 К
в интервале 0<Ср<:400 кПа через каждые 50 кПа; б) от
температуры Т при p=const=400 кПа в интервале 200<Т<
<С300 К через каждые 20 К.
5.25.	В закрытом сосуде объемом У=1 м3 находится
масса mi=l,6 кг кислорода и масса /и2=0,9 кг воды. Найти
давление р в сосуде при температуре /=500 °C, зная, что
при этой температуре вся вода превращается в пар.
5.26.	В сосуде 1 объемом К,=3 л находится газ под
давлением Pi=0,2 МПа. В сосуде 2 объемом К2=4 л на-
ходится тот'же газ под давлением р2=0,1 МПа. Темпе-
ратуры газа в обоих сосудах одинаковы. Под каким дав-
лением р будет находиться газ, если соединить сосуды 1
и 2 трубкой?
5.27.	В сосуде объемом У=2 л находятся масса г
углекислого газа (СО2) и масса т2 закиси азота (N2O)
при температуре /= 127 °C. Найти давление р смеси в
сосуде.
5.28.	В сосуде находятся масса /И1=14 г азота и масса
т2=9 г водорода при температуре /=10°С и давлении
р = 1 МПа. Найти молярную массу р смеси и объем V сосуда.
5.29.	Закрытый сосуд объемом V—2 л наполнен воз-
духом при нормальных условиях. В сосуд вводится ди-
этиловый эфир (С2Н5ОС2Н5). После того как весь эфир
испарился, давление в -сосуде стало равным р=0,14 МПа.
Какая масса m эфира была введена в сосуд?
5.30.	В сосуде объемом У=0,5 л находится масса т=1 г
парообразного йода-(12). При температуре /=1000 °C дав-
ление в сосуде рс=93,3 кПа. Найти степень диссоциации
а молекул йода на атомы. Молярная масса молекул йода
ц—0,254 кг/моль.
5.31.	В сосуде находится углекислый газ. При неко-
торой температуре степень Диссоциации молекул угле-
кислого газа на кислород и окись углерода а=0,25. Во
сколько раз давление в сосуде при этих условиях будет
больше того давления, которое имело бы место, если бы
молекулы углекислого газа не были диссоциированы?
5.32.	В воздухе содержится 23,6% кислорода и 76,4%
азота (по массе) при давлении р=100 кПа и температуре
/=13 °C. Найти плотность р воздуха и парциальные дав-
ления pi и р2 кислорода и азота.
3 В. С. Волькенштейн'	65
5.33.	В сосуде находится масса mj=10 г углекислого
газа и масса ma=f5 г азота. Найти плотность р смеси
при температуре /=27 °C и давлении р = 150 кПа.
5.34.	Найти массу т0 атома: а) водорода; б) гелия.
5.35.	Молекула азота, летящая со скоростью о—600 м/с,
упруго ударяется о стенку сосуда по нормали к ней. Найти
импульс силы КА/, полученный стенкой сосуда за время
удара.
5.36.	Молекула аргона, летящая со скоростью v=500 м/с,
уйруго ударяется о стенку сосуда. Направление скорости
молекулы и нормаль к стенке сосуда составляют угол
а=60°. Найти, импульс силы F \t, полученный стенкой
сосуда за время удара.
5.37.	Молекула азота летит со скоростью и=430 м/с.
Найти импульс ти этой молекулы.
5.38.	Какое число молекул п содержит единица массы
водяного пара?
5.39.	В сосуде объемом V=4 л находится масса т—1 г
водорода. Какое число молекул п содержит единица объ-
ема сосуда?
5.40.	Какое число молекул N находится в комнате
объемом И=80 м3 при температуре /=17°С и давлении
р = 100 кПа?
5.41.	Какое число молекул п содержит единица объема
сосуда при температуре /=10 °C и давлении р=1,33х
X Ю-9 Па?
5.42.	Для получения хорошего вакуума в стеклянном
сосуде необходимо прогревать стенки сосуда при откачке
для удаления адсорбированного газа. На сколько может
повыситься давление в сферическом сосуде радиусом г=
= 10 см, если адсорбированные молекулы перейдут со
стенок в сосуд? Площадь поперечного сечения молекул
5о=10-19 м2. Температура газа в сосуде /=300 °C. Слой
молекул на стенках считать мономолекулярным.
5.43.	Какое число частиц п находится в единице мас-
сы парообразного йода (12), степень диссоциации кото-
рого а=0,5? Молярная масса молекулярного йода р =
=0,254 кг/моль.
5.44.	Какое число частиц М находится в массе иг=16 г
кислорода, степень диссоциации которого а=0,5?
5.45.	В сосуде- находится количество Vi=10-7 моль
кислорода и масса пц=10~в г азота. Температура смеси
/=100 °C, давление в сосуде р=133 мПа. Найти объем V
сосуда, парциальные давления pi и р2 кислорода и азота
и . число молекул п в единице объема сосуда.
66
5.46.	Найти среднюю квадратичную скорость Иv2 мо-
лекул воздуха при температуре t=\7 °C.'Молярная масса
воздуха р—0,629 кг/моль.
5.47.	Найти отношение средних квадратичных скоро-
стей молекул гелия и азота при одинаковыхтемпературах.
5.48.	В момент взрыва атомной бомбы развивается тем-
пература 107 К. Считая, что цри такой температуре
все молекулы полностью диссоциированы на атомы, а
атомы ионизованы, найти среднюю квадратичную скорость
Кv2 иона водорода.
5.49.	Найти число молекул п водорода в единице объ-
ема сосуда при давлении р=266,6 Па, если средняя квад-
ратичная скорость его молекул Кv2 = 2,4 км/с.
5.50.	Плотность некоторого газа р=0,06 кг/м3, сред-
няя квадратичная скорость его молекул Иц2 = 500 м/с.
Найти давление р, которое газ оказывает на стенки сосуда.
5.51.	Во сколько раз средняя квадратичная скорость
пылинки, взвешенной в воздухе, меньше средней квад-
ратичной скорости молекул воздуха? Масса пылинки
т=10~8 г. Воздух считать однородным газом, молярная
масса которого н=0,029 кг/моль.
5.52.	Найти импульс mv молекулы водорода при тем-
пературе /=20 °G. Скорость молекулы считать равной
средней квадратичной скорости.
5.53.	В сосуде объемом V—2 л находится масса т=10 г
кислорода при .давлении р=90,6 кПа. Найти среднюю
квадратичную скорость Кv2 молекул газа, число молекул
N, находящихся в сосуде, и плотность р газа.
5.54.	Частицы гуммигута диаметром о=1 мкм участ-
вуют в броуновском движении. Плотность гуммигута р=
= 1-103 кг/м3. Найти среднюю квадратичную скорость Кv2
частиц гуммигута при температуре /=0 °C.
5.55.	Средняя квадратичная скорость молекул неко-
торого газа Ку2 = 450 м/с. Давление газа р=50 кПа.
Найти плотность р газа при этих условиях.
5.56.	Плотность некоторого газа р=0,082 кг/м3 при
давлении р = 100 кПа и температуре /=17 °C. Найти сред-
нюю квадратичную скорость Кv2 молекул газа. Какова
молярная масса р этого газа?
5.57.	Средняя квадратичная скорость молекул неко-
торого газа при нормальных условиях Ku2 = 461 м/с.
3*	’	67
Какое число молекул п содержит единица массы этого
газа?
5.58.	Найти внутреннюю энергию W массы т=20 г
кислорода при температуре /=10 °C. Какая часть этой
энергии приходится на долю поступательного движе-
ния молекул и какая часть на долю вращательного дви-
жения?
5.59.	Найти внутреннюю энергию W массы т=1 г
воздуха при температуре /=15 °C.. Молярная масса воз-
духа р=0,029. кг/моль.
5.60.	Найти энергию FBp вращательного движения
молекул, содержащихся в массе т=1 кг азота при тем-
пературе t=7 °C.
5.61.	Найти внутреннюю энергию W двухатомного
газа, находящегося в сосуде объемом V=2 л под давле-
нием р = 150 кПа.
5.62.	Энергия поступательного движения молекул азота,
находящегося в баллоне объемом V=20 л, W=5 кДж,-а сред-
няя квадратичная скорость его молекул К у2 = 2-103 м/с.
Найти массу т азота в баллоне и давление р, под которым
он находится.
5.63.	При какой температуре Т энергия теплового' дви-
жения атомов гелия будет достаточна для того, чтобы атомы
гелия преодолели земное тяготение и навсегда покинули
земную атмосферу? Решить аналогичную задачу для
Луны.
5.64.	Масса т=1 кг двухатомного газа находится под
давлением р=80 кПа и имеет плотность р==4 кг/м3. Найти
энергию теплового движения W молекул газа при этих
условиях.
5.65.	Какое число молекул N двухатомного газа со-
держит объем Р=10 см3 при давлении р=5,3 кПа и тем-
пературе /=27 °C? Какой энергией теплового движения W
обладают эти молекулы?
5.66.	Найти удельную теплоемкость с кислорода для:
a) V=const; б) p=const.
5;67. Найти удельную теплоемкость ср: а) хлористого
водорода; б) неона; в) окиси азота; г) окиси углерода;
д) паров ртути.
5.68.	Найти отношение удельных-теплоемкостей cp!cv
для-кислорода.
5.69.	Удельная теплоемкость некоторого двухатомного
газа ^=14,7 кДж/(кг-К). Найти молярную массу р этого
газа.
68
5.70.	Плотность некоторого двухатомного газа при
нормальных условиях р=1,43 кг/м3. Найти удельные теп-
лоемкости cv и ср этого газа.
5.71.	Молярная масса некоторого газа ц=0,03 кг/моль,
отношение Cplcv—\,b. Найти удельные теплоемкости cv
и гр этого, газа.
5.72.	Во сколько раз молярная теплоемкость С грему-
чего газа больше молярной теплоемкости С" водяного
пара, получившегося при его сгорании? Задачу решить
для: a) V=const; б) р=const.
 5.73. Найти степень диссоциации а кислорода, если
его удельная теплоемкость при постоянном давлении ср=
= 1,05 кДж/(кг-К).
5.74.	Найти удельные теплоемкости cv и с парооб-
разного йода (12), если степень диссоциации его а=0,5.
Молярная масса молекулярного йода ц=0,254 кг/моль.
5.75.	Найти степень диссоциации а азота, если для
него отношение ^/^=1,47.
5.76.	Найти удельную теплоемкость с газовой смеси,
состоящей из количества vx=3 кмоль аргона и количества
v2=2 кмоль азота.
5.77.	Найти отношение cp!cv для газовой смеси, со-
стоящей из массы/7^=8 г гелия и массы т2 = 16 г кислорода.
5.78.	Удельная теплоемкость газовой смеси, состоящей
из количества лц=1 кмоль кислорода и некоторой массы т2
аргона, 4^=430 Дж/(кг-К). Какая масса т2 аргона нахо-
дится в газовой смеси?
5.79.	Масса т=10 г кислорода находится при дав-
лении р=0,3 МПа и температуре 7=10 °C. После нагрева-
ния при p=const газ занял объем К2=10 л. Найти коли-
чество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового
движения молекул газа W до и после нагревания.
5.80.	Масса т=12 г азота находится в закрытом сосуде
объемом К=2 л при температуре /=10 °C. После нагре-
вания давление в сосуде стало равным р = 1,33 МПа. Какое
количество теплоты Q сообщено газу при нагревании?
5.81.	В сосуде объемом V~2 л находится азот при дав-
лении р=0,1 МПа. Какое количество теплоты Q надо со-
общить азоту, чтобы: а) при p=const объем увеличился
вдвое; б) при V=const давление увеличилось вдвое?
5.82.	В закрытом сосуде находится .масса т=14 г азота
при давлении pi=0,l МПа и температуре С=27 °C. После
нагревания давление. в сосуде повысилось в 5 раз. До
какой температуры t2 был нагрет газ? Найти объем V со-
суда и количество теплоты Q, сообщенное .газу.
69
5.83.	Какое количество теплоты Q надо сообщить массе
«=12 г кислорода, чтобы нагреть его на Д/=50 °C при
p=const?
5.84.	На нагревание массы /и=40 г кислорода от
температуры /х=16 °C до /2=40 °C затрачено количество
теплоты Q=628 Дж. При каких условиях нагревался
газ (при постоянном объеме или при постоянном давле-
нии)?
5.85.	В закрытом сосуде объемом У =10 л находится
воздух при давлении р=0,1 МПа. Какое количество теп-
лоты Q надо сообщить воздуху, чтобы повысить давление
в сосуде в 5 раз?
5.86.	Какую массу т углекислого газа можно нагреть
при p=const от температуры /1=20 °C до /2= 100 °C коли-
чеством теплоты Q=222 Дж? На сколько при этом изме-
нится кинетическая энергия одной молекулы?
5.87.	В закрытом сосуде объемом У=2 л находится
азот, плотность которого р = 1,4 кг/м3. Какое количество
теплоты Q надо сообщить азоту, чтобы нагреть его на АТ=
= 100 К?
5.88.	Азот находится в закрытом сосуде объемом У=3 л
при температуре /1=27 °C и давлении pi=0,3 МПа. После
нагревания давление в сосуде повысилось до р2=2,5 МПа.
Найти температуру /2 азота после нагревания и количе-
ство теплоты Q, сообщенное азоту.
5.89.	Для нагревания некоторой массы газа на Д/х=
=50 °C при p=const необходимо затратить количество
теплоты Q, =670 Дж. Если эту же массу газа охладить на
Д/2 = 100 °C при y=const, то выделяется количество теп-
лоты Q2=1005 Дж. Какое число степеней свободы i имеют
молекулы этого газа?
5.90.	Масса т=10 г азота находится в закрытом со-
суде при температуре /1=7 °C. Какое количество теплоты Q
надо сообщить азоту, чтобы увеличить среднюю квадра-
тичную скорость его молекул вдвое? Во сколько раз при
этом изменится температура газа? Во сколько раз при
этом изменится давление газа на стенки сосуда?
5.91.	Гелий находится в закрытом сосуде объемом Е=2 л
при температуре /1=20 °C и давлении рх= 100 кПа. Какое
количество теплоты Q надо сообщить гелию, чтобы повы-
сить его температуру на Л/=100 °C? Каковы будут при
новой температуре средняя квадратичная скорость К у2
его молекул, давление р2, плотность р2 гелия и энергия
теплового движения W его молекул?
70
5.92.	В закрытом сосуде объемом V—2 л находится
масса т азота и масса т аргона при нормальных условиях.
Какое количество теплоты Q надо сообщить, чтобы нагреть
газовую смесь на Д/=100 °C?
5.98.	Найти среднюю арифметическую v, среднюю
квадратичную Куа и наиболее вероятную ув скорости
молекул газа, который при давлении р=40 кПа имеет
плотность р=0,3 кг/м3.
5.94.	При какой температуре Т средняя квадратичная
скорость молекул азота больше их наиболее вероятной
скорости на Ду=50 м/с?
5.95.	Какая часть молекул кислорода при /=0 °C об-
ладает скоростями v от 100 до НО м/с?
5.96.	Какая часть молекул азота при t= 150 СС обладает
скоростями v от 300 до 325 м/с?
5.97.	Какая часть молекул водорода при /=0 °C обла-
дает скоростями v от 2000 до 2100 м/с?
5.98.	Во сколько раз число молекул ДЛ^, скорости
которых лежат в интервале от ув до ув+Ду, больше числа
молекул ДЛ^з^_ скорости которых лежат в интервале от
Ку2 до Иу2 ф- Ду?
5.99.	Какая часть молекул азота при температуре Т
имеет скорости, лежащие в интервале от vB до ув+Ду,
где Ду=20 м/с, если: а) 7'=400 К; б) Т=900 К?
5.100.	Какая часть молекул азота при температуре t—
= 150 °C имеет скорости, лежащие в интервале от ух=300 м/с
до у2=800 м/с?
5.101.	Какая часть общего числа N молекул имеет "ко-
рости: а) больше наиболее вероятной скорости ув, б) меньше
наиболее вероятной скорости ув?
5.102.	В сосуде находится масса т=2,5 г кислорода.
Найти число Nx молекул кислорода, скорости которых
превышают среднюю квадратичную скорость К у2 •
5.103.	В сосуде находится масса /и=8 г кислорода при
температуре Т= 1600 К. Какое число Nx молекул кислорода
имеет кинетическую энергию поступательного движения,
превышающую энергию IFO=6,65-10~20 Дж?
5.104.	Энергию заряженных частиц часто выражают в
электронвольтах; 1 эВ — энергия, которую приобретает
электрон, пройдя в электрическом поле разность-потенциа-
лов £7=1' В, причем 1 эВ = 1,60219-10-19 Дж. При какой
температуре То средняя кинетическая энергия поступатель-
ного движения молекул l¥z0=1 эВ?-При какой температуре
71
50% всех молекул имеет кинетическую энергию поступа-
тельного движения, превышающую энергию U70=l эВ?
5.105.	Молярная энергия, необходимая для ионизации
атомов калия, 1Гг=418,68 кДж/моль. При какой темпера-
туре Т газа 10% всех молекул имеют молярную кинети-
ческую энергию поступательного движения, превышающую
энергию Wi? ' '
5.106.	Обсерватория расположена на высоте /1=3250 м
над уровнем моря. Найти давление р воздуха на этой вы-
соте. Температуру воздуха считать постоянной и равной
t~5 °C. Молярная масса воздуха ц=0,029 кг/моль. Давление
воздуха на уровне моря р0= 101,3 кПа.
5.107.	На какой высоте h давление воздуха составляет
75% от давления на уровне моря? Температуру воздуха
считать постоянной и равной /=0°С.
5.108.	Пассажирский самолет совершает полеты на
высоте /1х=8300м. Чтобы не снабжать пассажиров кислород-
ными масками, в кабине при помощи компрессора поддержи-
вается постоянное давление, соответствующее высоте h2=
=2700 м. Найти разность Ар давлений внутри и снаружи
кабины. Температуру наружного воздуха считать равной
^=0 °C.
5.109.	Найти в предыдущей задаче, во сколько раз плот-
ность р2 воздуха в кабине больше плотности pi воздуха вне
ее, если температура наружного воздуха	—20 °C, а
температура воздуха в кабине /2=+20°С. •
5.110.	Найти плотность р воздуха: а) у поверхности
Земли; б) на высоте /г=4 км от поверхности Земли. Темпе-
ратуру воздуха считать постоянной и равной /=0°С. Давле-
ние воздуха у поверхности Земли ро=ЮО кПа.
5.111.	На какой высоте h плотность газа вдвое меньше
его плотности на уровне моря? Температуру газа считать
постоянной и равной 1=0 °C. Задачу решить для: а) возду-
ха, б) водорода.
5.112.	Перрен, наблюдая при помощи микроскопа изме-
нение концентрации взвешенных частиц гуммигута с изме-
нением высоты и применяя барометрическую формулу,
экспериментально нашел значение постоянной Авогадро
NA. В одном из опытов Перрен нашел, что "при расстоянии
между двумя слоями ,A/i=100 мкм число взвешенных ча-
стиц гуммигута в одном слое вдвое больше, чем в другом.
Температура гуммигута /=20°С. Частицы гуммигута диа-
метром о=0,3 мкм были взвешены в жидкости, плотность
которой на Ар=0,2-103 кг/м3 меньше плотности частиц.
Найти по этим данным значение постоянной Авогадро NA.
72
5.113.	Найти среднюю длину свободного пробега X
молекул углекислого газа при температуре 1 = 100 °C и дав-
лении р=13,3 Па. Диаметр молекул углекислого газа а—
—0;32 нм.
5.114.	При помощи ионизационного манометра, уста-
новленного на искусственном спутнике Земли, было обна-
ружено, что на высоте /г=300 км от поверхности Земли кон-
центрация частиц газа в атмосфере п=10^ м-3. Найти сред-
нюю длину свободного пробега X частиц газа на этой высоте.
Диаметр частиц газа о=0,2 нм.
5.115.	Найти среднюю длину свободного пробега X мо-
лекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекул
воздуха сг=0,3 нм.
5.116.	Найти среднее число столкновений г в единицу
времени молекул углекислого газа при температуре /=
= 100 °C, если средняя длина свободного пробега Х=870 мкм.
5.117.	Найти’ среднее число столкновений г в единицу
времени молекул азота при давлении р=53,33 кПа и тем-
пературе /=27°С.
5.118.	В сосуде объемом V=0,5 л находится кислород при
нормальных условиях. Найти общее число столкновений 7.
между молекулами кислорода в этом объеме за единицу
времени.
5.119.	Во сколько раз уменьшится число столкновений
г в единицу времени молекул двухатомного газа, если объ-
ем газа адиабатически увеличить в 2 раза?
5.120.	Найти среднюю длину свободного пробега X
молекул азота при давлении р = 10кПа и температуре
/=17°С.
5.121.	Найти среднюю длину свободного пробега X
атомов, гелия, если известно, что плотность гелия р =
=0,021 кг/м3.	_
5.122.	Найти среднюю длину свободного пробега X
молекул водорода при давлении р=0,133 Па и температуре
/=50 °C.
5.123.	При некотором давлении и температуре /=0 °C
средняя длина свободного пробега молекул кислорода Х=
’ =95 нм. Найти среднее число столкновений г в единицу
времени- молекул кислорода, если при той же температуре
давление кислорода уменьшить в 100 раз.
5.124.	При некоторых условиях средняя длина свобод-
ного пробега молекул газа Х=160 нм; средняя арифмети-
'* '	.73
ческая скорость его молекул о=1,95 км/с. Найти среднее
число столкновений z в единицу времени молекул этого
газа, если при той же температуре давление газа уменьшить
в 1,27 раза.
5.125.	В сосуде объемом У==100 см3 находится масса
т=0,5 г азота. Найти среднюю длину свободного пробега
X молекул азота.
5.126.	В сосуде находится углекислый газ, плотность
которого р=1,7 кг/м3. Средняя длина свободного пробега его
молекул Х=79 нм. Найти диаметр о молекул углекислого
газа.
5.127.	Найти среднее время т между двумя последова-
тельными столкновениями молекул азота при давлении
р = 133 Па и температуре /=10°С.
5.128.	Сосуд с воздухом откачан до давления р=1,33х
X 10“4 Па. Найти плотность р воздуха.в сосуде, число моле-
кул п в единице объема сосуда и среднюю длину свободного
пробега Л молекул. Диаметр молекул воздуха о=0,3 нм.
Молярная масса воздуха р=0,029 кг/моль. Температура
воздуха /=17°С.
5.129.	Какое предельное число п молекул газа должно
находиться в единице объема сферического сосуда, чтобы
молекулы не сталкивались друг с другом? Диаметр моле-
кул газа о=0,3 нм, Диаметр сосуда D = 15 см.
5.130.	Какое давление р надо создать внутри сфериче-
ского сосуда, чтобы молекулы не сталкивались друг с дру-
гом, если диаметр сосуда: a) D = 1 см; б) 1> = 10см;в) D =
= 100 см? Диаметр молекул газа сг=0,3 нм.
5.131.	Расстояние между катодом и анодом в разрядной
трубке d=15 см. Какое давление р надо создать в разрядной
трубке, чтобы электроны не сталкивались с молекулами
воздуха на пути от катода к аноду? Температура воздуха
1—27 °C. Диаметр молекул воздуха о=0,3 нм. Средняя
длина свободного пробега электрона в газе приблизительно
в 5,7 раза больше средней длины свободного пробега моле-
кул самого газа.
5.132.	В сферической колбе объемом У=1 л находится
азот. При какой плотности р азота средняя длина свободно-
го пробега молекул азота больше размеров сосуда?
5.133.	Найти среднее чи^ло столкновений г в единицу
времени молекул некоторого газа, если средняя длина сво-
бодного пробега А.=5 мкм, а средняя квадратичная ско-
рость его молекул Vи2=500 м/с.
74
. 5.134. Найти коэффициент диффузии D водорода при
нормальных условиях, если средняя длина свободного про-
бега Х=0,16 мкм.
5.135.	Найти коэффициент диффузии D гелия при нор-
мальных условиях.
5.136.	Построить график зависимости коэффициента диф-
фузии D водорода от температуры Т в интервале 100^
<7X600 К через каждые 100 К при p=const=100 кПа.
5.137.	Найти массу m азота, прошедшего вследствие
диффузии через площадку S=0,01 м2 за время /=10 с,
если градиент плотности в направлении, перпендикулярном
к площадке, Ар/Ах=1,26 кг/м4. Температура азота
=27 °C. Средняя длина свободного пробега молекул азота
Х=10 мкм.
5.138.	При каком давлении р отношение вязкости некото-
рого газа к коэффициенту его диффузии r|/D=0,3 кг/м3, а
средняя квадратичная скорость его молекул Vv2=632 м/с?
5.139.	Найти среднюю длину свободного пробега X
молекул гелия при давлениир = 101,3 кПа и температуре t—
=0°С, если вязкость гелия г| = 13 мкПа-с.
5.140.	Найти вязкость г| азота при нормальных условиях,
если коэффициент диффузии для него D = l,42-10-^ м2/с.
5.141.	Найти диаметр о молекулы кислорода, если при
температуре £=0°С вязкость кислорода г| = 18,8 мкПа-с.
5.142.	Построить график зависимости вязкости т] азота
от температуры Т в интервале 100<Т<600 К через каждые
100 К.
5.143.	Найти коэффициент диффузии D и вязкость т]
воздуха при давлении р = 101,3 кПа и температуре /=10°С.
Диаметр молекул воздуха о=0,3 нм.
5.144.	Во сколько раз вязкость кислорода больше вяз-
кости азота? Температуры газов одинаковы.
5.145.	Коэффициент диффузии и вязкость водорода при
некоторых условиях равны О = 1,'42-10-4 м2/с и г| =
=8,5 мкПа-с. Найти число п молекул водорода в единице
объема.
5.146.	Коэффициент диффузии и вязкость кислорода
при некоторых условиях равны D = 1,22-10“? м2/с и г| =
= 19,5 мкПа-с. Найти плотность р кислорода, среднюю
длину свободного пробега X и среднюю арифметическую
скорость v его молекул.
5.147.	Какой наибольшей скорости v может достичь
дождевая капля диаметром £)=0Д мм? Диаметр молекул ’
75
воздуха а=0,3 нм. Температура воздуха /=0°С. Считать,
что для дождевой капли справедлив закон Стокса.
5.148.	Самолет летит со скоростью р=360 км/ч. Считая,
что слой воздуха у крыла самолета, увлекаемый вследствие
вязкости, d—4 см, найти касательную сиду Fs, действую-
щую на единицу поверхности крыла. Диаметр молекул воз-
духа о=0,3 нм. Температура воздуха /=0 °C.
5.149.	Пространство между двумя коаксиальными ци-
линдрами заполнено газом. Радиусы цилиндров равны г—
=5 см и /?=5,2 см. Высота внутреннего цилиндра /г=25 см.
Внешний цилиндр вращается с частотой п=360 об/мин.
Для того чтобы внутренний цилиндр оставался неподвиж-
ным, к нему надо приложить касательную силу F=l,38 мН.
Рассматривая в первом приближении случай как плоский,
найти из данных этого опыта вязкость р газа, находящегося
между цилиндрами.
5.150.	Найти теплопроводность К водорода,- вязкость
которого г|=8,6 мкПа-с.
5.151.	Найти теплопроводность К воздуха при давлении
р = 100 кПа и температуре /=10°С. Диаметр молекул воз-
духа о=0,3 нм.
5.152.	Построить график-зависимости теплопроводности
К водорода от температуры Т в интервале 100^Т:С600 К
через каждые 100 К.
5.153.	В сосуде объемом У=2 л находится N=4-1022
молекул двухатомного газа. Теплопроводность газа Л =
= 14 мВт/(м-К). Найти коэффициент диффузии D газа.
5.154.	Углекислый газ и азот находятся при одинаковых
температурах и давлениях. Найти для этих газов отношение:
а) коэффициентов диффузии; б) вязкостей; в) теплопровод-
ностей. Диаметры молекул газов считать одинаковыми.
-5.155. Расстояние между стенками дьюаровского сосуда
d=8 мм. При каком давлении р теплопроводность воздуха,
находящегося между стенками сосуда, начнет уменьшаться
при откачке? Температура воздуха /=17°С. Диаметр моле-
кул воздуха <т«=0,3 нм.
5.156.	Цилиндрический термос с внутренним радиусом
Г1=9 см и внешним радиусом л2 = Ю см наполнен льдом.
Высота термоса /г=20 см. Температура льда /1=0 °C, тем-
пература наружного воздуха /2=20'°С. При каком предель-
ном давлении р воздуха между стенками термоса теплопро-
водность К еще будет зависеть от давления? Диаметр моле-
кул воздуха'о=0,3 нм, а температуру воздуха между стен-
ками термоса считать равной среднему арифметическому
температур льда и наружного воздуха.
76
Найти теплопроводность К воздуха, заключенного между
стенками термоса, при давлениях р1=101,3 кПа и р2=
= 13,3 мПа, если молярная масса воздуха р=0,029 кг/моль.
Какое количество теплоты Q проходит за время Д/=1 мин
через боковую поверхность термоса средним радиусом
г=9,5 см при давлениях р!=101,3 кПа и р2=13,3 мПа?
5.157.	Какое количество теплоты Q теряет помещение
за время /=1 ч через окно за счет теплопроводности воз-
духа, заключенного между рамами? Площадь каждой рамы
5=4 м2, расстояние между ними d=30 см. Температура
помещения ^=18 °C, температура наружного воздуха /2=
=—20 °C. Диаметр молекул воздуха о=0,3 нм. Температуру
воздуха между рамами считать равной среднему арифмети-
ческому температур помещения и наружного воздуха.
Давление р=101,3 кПа.
5.158.	Между двумя пластинами, находящимися на
расстоянии d—l мм друг от друга, находится воздух. Между
пластинами поддерживается разность температур ДТ=;1 К-
Площадь каждой пластины 5=0,01 м2. Какое.количество
теплоты Q передается за счет теплопроводности от одной
пластины к другой за время /=10 мин? Считать, что воздух
находится при нормальных условиях. Диаметр молекул
воздуха о=0,3 нм.	*
5.159.	Масса т=10 г кислорода находится при давлении
р=300 кПа и температуре /=10°С. После нагревания
при p=const газ занял объем К=10 л. Найти количество
теплоты Q, полученное газом, изменение ДИ7 внутренней
энергии газа и работу А; совершенную газом при расши-
рении.
5.160.	Масса т=6,5 г водорода, находящегося при тем-
пературе /=27 °C, расширяется вдвое при p=const за счет
притока тепла.извне. Найти работу А расширения газа;
изменение AF внутренней энергии газа и количество тепло-
ты Q, сообщенное газу.
5.161.	В закрытом сосуде находится масса Шх=20 г
азота и масса т2=32 г кислорода. Найти изменение ДИ7
внутренней энергии смеси газов при охлаждении ее на ДТ=
=28 К-
5.162.	Количество v=2 кмоль углекислого газа нагре-
вается при постоянном давлении на 57=50 К. Найти из-
менение &W внутренней энергии газа, работу А расширения
газа и количество теплоты Q, сообщенное газу.
5.163.	Двухатомному газу сообщено количество теплоты
Q=2,093 кДж. Газ расширяется при p=const. Найти работу
А расширения газа.
77
5.164.	‘При изобарическом расширении двухатомного
газа была совершена работа А = 156,8 Дж. Какое коли-
чество теплоты Q было сообщено газу?
5.165.	В сосуде объемом V=5 л находится газ при давле-
нии р=200 кПа и температуре /=17 °C. При изобарическом
расширении газа была совершена работа А = 196 Дж. На
сколько нагрели газ?
5.166.	Масса т=7 г углекислого газа была нагрета на
Д7'=10 К в условиях свободного'расширения. Найти ра-
боту А расширения газа и изменение ДЙ7 его внутренней
энергии.
5.167.	Количество v=l кмоль многоатомного газа нагре-
вается на Д7'=100 К в условиях свободного расширения.
Найти количество теплоты Q, сообщенное газу, изменение
Д117 его внутренней энергии и работу А расширения газа.
5.168.	В сосуде под поршнем находится масса т—1 г
азота. Какое количество теплоты Q надо затратить, чтобы
нагреть азот на Д7'=10К?На сколько при этом подни-
мется . поршень? Масса поршня Л1=1 кг, площадь его
поперечного сечения 5 = 10 см2. Давление над поршнем
р=100 кПа.
5.169.	В сосуде под поршнем находится гремучий газ.
Какое количество теплоты Q выделяется при взрыве грему-
чего газа, если известно, что внутренняя энергия газа
изменилась при этом на АЦ7=336 Дж и поршень поднялся
на высоту Д/г=2О см? Масса поршня М=2 кг, площадь его
поперечного сечения 5=10 см2. Над поршнем находится
воздух при нормальных условиях.
5.170.	Масса т=10,5 г азота изотермически расширя-
ется при температуре t=—23 °C, причем его давление изме-
няется от р!=?=250 кПа до р2=100 кПа. Найти работу А,
совершенную газом при расширении.
5.171.	При изотермическом расширении массы т=10 г
азота, находящегося при температуре 1= 17 °C, была совер-
шена работа Л =860 Дж. Во сколько раз изменилось дав-
ление азота при расширении?
5.172.	Работа изотермического расширения массы т—
= 10 г некоторого газа от объема Vt до V3=2Vi оказалась
равной Л=575 Дж. Найти среднюю квадратичную скорость
И и2 молекул газа -при этой температуре.
5.173.	Гелий, находящийся при нормальных условиях,
изотермически расширяется от объема Vi=l л до У2=2 л.
Найти работу Л, совершенную газом при расширении, и
количество теплоты Q, сообщенное газу.
78
5.174.	При изотермическом расширении газа, занимав-
шего объем V=2 м3, давление его.меняется от pf=0,5 МПа
до рв=0,4 МПа. Найти работу А, совершенную при этом.
5.175.	До какой температуры ti охладится воздух, нахо-
дящийся при ti—Q °C, если он расширяется адиабатически
от объема Vi до Vi=2VV-
5.176.	Объем У1=7,5 л кислорода адиабатически сжи-
мается до объема л, причем в конце сжатия устано-
вилось давление р^= 1,6 МПа. Под каким давлением pt на-
ходился газ до сжатия?
5.177.	При адиабатическом сжатии воздуха в цилинд-
рах двигателя внутреннего сгорания давление изменяется от
Pi=0,l МПа до рг=3,5 МПа. Начальная температура воз-
духа ^=40 °C. Найти температуру ti воздуха в конце
сжатия.
5.178.	Газ расширяется адиабатически, причем объем
его увеличивается вдвое, а термодинамическая температура
падает в 1,32 раза. Какое число степеней свободы I имеют
молекулы этого газа?
5.179.	Двухатомный газ, находящийся при давлении
Pi=2 МПа и температуре tt=27 °C, сжимается адиабатиче-
ски от объема Vi до У2=0,5Уг. Найти температуру t2 и
давление р2 газа после сжатия.
5.180.	В сосуде под поршнем находится гремучий газ,
занимающий при нормальных условиях объем Vi=0,l л.
При быстром сжатии газ воспламеняется. Цайти темпера-
туру Т воспламенения гремучего газа, если известно, что
работа сжатия А=46,35 Дж.
5.181.	В сосуде под поршнем находится газ при нормаль-
ных условиях. Расстояние между дном сосуда и дном порш-
ня й=25 см. Когда на поршень положили груз массой т=
=20 кг, поршень опустился на Дй= 13,4 см. Считая сжатие
адиабатическим, найти для данного газа отношение cplcv.
Площадь поперечного сечения поршня 5 = 10 см2. Массой
поршня пренебречь.
5.182.	Двухатомный газ занимает объем Vi=0,5 л при
давлении р,=50 кПа. Газ сжимается. адиабатически до
некоторого объема V2 и давления pi. Затем он охлаждается
при V2=const до первоначальной температуры, причем его
давление становится равным рв= 100 кПа. Начертить график
этого процесса. Найти объем V2 и давление р2.
5.183.	Газ расширяется адиабатически так, что его
давление падает от pj=200 кПа до р2=100 кПа. Затем он
нагревается при постоянном объеме до первоначальной
температуры, причем его давление становится равным
79
р=122 кПа. Найти отношение cplcv для этого газа. Начер-
тить график этого процесса.
5.184.	Количество v=l кмоль азота, находящегося при
нормальных условиях, расширяется адиабатически от объ-
ема Vi до Vi—5Vi. Найти изменение A IF внутренней энер-
гии газа и работу Д, совершенную газом прй расшире-
нии.
5.185.	Необходимо сжать воздух от объема Vi=10 л до
Vi=2 л. Как выгоднее его сжимать (адиабатически или
изотермически)?
5.186.	При адиабатическом сжатии количества v=
= 1 кмоль двухатомного газа была совершена работа Д =
= 146 кДж. На сколько увеличилась температура газа при
сжатии?
5.187.	Во сколько раз уменьшится средняя квадратичная
скорость молекул двухатомного газа при адиабатическом
увеличении объема газа в 2 раза?
5.188.	Масса т=10 г кислорода, находящегося при нор-
мальных условиях, сжимается до объема V2=l,4 л. Найти
давление р2 и температуру t2 кислорода после сжатия, если
кислород сжимается: а) изотермически; б) адиабатически.
Найти работу А сжатия в каждом из этих случаев.
5.189.	Масса т=28 г азота, находящегося при темпера-
туре Zi=40°C и давлении 100 кПа, сжимается до объема
К2 = 13 л. Найти температуру t2 и давление р2 азота после
сжатия, если азот сжимается: а) изотермически; б) адиа-
батически. Найти работу А сжатия в каждом из этих
случаев. '
5.190.	Во сколько раз возрастает длина ‘свободного
пробега молекул двухатомного газа, если его давление
падает вдвое- при расширении газа: а) изотермически;
б) адиабатически?
5.191.	Два различных газа, из которых один одноатом-
ный, а другой двухатомный, находятся при одинаковых тем-
пературах и занимают одинаковые объемы. Газы сжимаются
адиабатически так, что объем их уменьшается вдвое. Какой
из газов нагреется больше и во сколько раз?
5.192.	Масса т=1 кг воздуха, находящегося при давле-
нии pt = 150 кПа и температуре /1=30 °C, расширяется адиа-
батически и давление при этом падает до р2=100 кПа.-Во
сколько раз увеличился объем воздуха? Найти конечную
температуру /2 и работу А, совершенную газом при расши-
рении.
5.193.	Количество v=l кмоль кислорода находится при-
нормальных условиях, а затем объем его увеличивается до
80
V—5V0. Построить график зависимости приняв за
единицу по оси абсцисс значение Ио, если кислород расши-
ряется: а) изотермически; б) адиабатически. Значения да-
вления р найти для. объемов,..равных: V„, 2V0, ЗИ0, 4V0
и 5И0-
5.194.	Некоторая масса кислорода занимает объем
Vi=3 л при температуре ^=27 °C и давлении р1=820 кПа
(рис. 8). В другом состоянии газ имеет параметры К2=4,5 л
и р2 = 600 кПа. Найти количество
теплоты Q, полученное газом, ра-
боту А, совершенную газом при
расширении, и изменение Д W7 внут-
ренней энергии газа при переходе
газа из одного состояния в дру-
гое: а) по участку АСВ\ б) по
участку ADB.
5.195. Идеальная тепловая ма-
шина, работающая по циклу Карно,
за цикл получает от нагревателя
Рис. 8.
количество теплоты Q1=2,512 кДж.
Температура нагревателя Т1=400 К, температура холо-
дильника Т2=300 К. Найти работу А, совершаемую маши-
ной за один цикл, и количество теплоты Q2, отдаваемое
холодильнику за один цикл..
5.196. Идеальная тепловая машина, работающая по
циклу Карно, совершает за один цикл работу Л =2,94 кДж
и отдает за один цикл холодильнику количество теплоты
Q2=13,4 кДж. Найти к. ц. д. р цикла.
5.197.	Идеальная тепловая машина; работающая по
циклу Карно, совершает за один цикл работу Л=73,5 кДж.
Температура нагревателя /1=100 °C, температура холодиль-
ника /2=0 °C. Найти к. п. д. т] цикла, количество теплоты
Qlt получаемое- машиной за один цикл от нагревателя, и
количество теплоты Q2, отдаваемое за один цикл холодиль-'
нику.
5.198.	Идеальная тепловая машина работает по циклу
Карно. При этом 80% количества теплоты, получаемого от
нагревателя, передается холодильнику. Машина получает
от нагревателя количество теплоты Qx=6,28 кДж. Найти
к. п. д. р цикла и работу А, совершаемую за один-
цикл.
5.199.	Идеальная тепловая машина работает по циклу
Карно. Воздух при давлении рх=708 кПа и температуре
/1=127 °C занимает объем Vi=2 л. После изотермического
расширения воздух занял объем И2=5 л; после адиабати-
81
ческого расширения объем стал равным Vr=8 л. Найти:
а) координаты пересечения изотерм и адиабат; б) работу А,
совершаемую на каждом участке цикла; в) полную работу
А, совершаемую за весь цикл; г) к. п. д. т] цикла; д) коли-
чество теплоты Qi, полученное от нагревателя за один цикл;
е) количество теплоты Q2, отданное холодильнику за один
цикл.
5.200.	Количество v—1 кмоль идеального газа соверша-
ет цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. При этом
объем газа изменяется от Vi=25 м3 до К2=50 м3 и давление
изменяется от pi=100 кПа до р2=200 кПа. Во сколько
раз работа, совершаемая при таком цикле, меньше работы,
совершаемой в цикле Карно, изотермы которого соответ-
ствуют наибольшей и наименьшей температурам рас-
сматриваемого цикла, если при изотермическом расшире-
нии объей увеличился в 2 раза?
5.201.	Идеальная холодильная машина, работающая по
обратному циклу Карно, совершает за один цикл работу А =
=37 кДж. При этом она берет тепло от тела с температурой
t2~ —10 °C и передает тепло телу с температурой /1=17 °C.
Найти к. п. д. т] цикла, количество теплоты Q2, отнятое у
холодного тела за один цикл, и количество теплоты Qi,
переданное более горячему телу за один цикл.
5.202.	Идеальная холодильная машина работает как
тепловой насос по обратному циклу Карно. При этом она
берет тепло от воды с температурой /2=2°С и передает его
воздуху с температурой /1=27 °C. Найти: а) коэффициент
т]1 — отношение количества теплоты, переданного воздуху
за некоторый промежуток времени, к количеству теплоты,
отнятому за это же время от воды; б) коэффициент гц —
отношение количества теплоты, отнятого за некоторый про-
межуток времени от воды, к затраченной на работу машины
энергии за. этот же промежуток времени (коэффициент г|3
называется холодильным коэффициентом машины); в) коэф-
фициент т]3 — отношение затраченной на работу машины
энергии за некоторый промежуток времени к количеству
теплоты, переданному за это же время воздуху (коэффициент
т]3 — к. п. д. цикла). Найти соотношение между коэффи-
циентами T]i, Т]2 И Т]3.
5.203.	Идеальная холодильная машина, работающая
по обратному циклу Карно, передает тепло от холодильника
с водой при температуре /2=0°С кипятильнику с водой
при температуре /1=100 °C. Какую массу т2 воды нужно
заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар массу
771!= 1 кг воды в кипятильнике?
82
5.204.	Помещение отапливается холодильной машиной,-
работающей по обратному циклу Карно. Во сколько раз
количестве теплоты Q, получаемое помещением от сгорания
дров в печке, меньше количества теплоты Q', переданного
помещению холодильной машиной, которая приводится в
действие тепловой машиной, потребляющей ту же массу
дров? Тепловой двигатель работает между температурами
/1=100 °C и /2=0°С. Помещение требуется поддерживать
при температуре /1=16 °C. Температура окружающего воз-
духа /2=—10 °C.
5.205.	Рабочий цикл идеальной паровой машины изоб-
ражен на рис. 9. В начале доступа пара из котла в цилиндр
давление в нем возрастает при
lzo=const от р0 до pi (ветвь АВ).
При дальнейшем поступлении пара
до объема Vi поршень движется
слева направо при px=const (ветвь
ВС). При дальнейшем движении
поршня вправо доступ пара из
котла в цилиндр прекращается,
происходит адиабатическое расши-
рение пара до объема Vi (ветвь
CD). При крайнем правом поло-
жении поршня пар из цилиндра
выходит в холодильник — давление
падает при V2=const до давления рй
(ветвь DE). При обратном движении
Рис, 9,
поршень выталкивает
оставшийся пар при p0=const; объем при этом уменьшается
от V2 до Vo (ветвь ЕА). Найти работу А этой машины,
совершаемую за каждый цикл, если Уо=О,5 л, ^=1,5 л,
И2=3,0 л, ро=О,1 МПа,^?х=1,2МПа и показатель адиаба-
ты и=ср/су=1,33.
5.206.	Паровая машина мощностью Р=14,7 кВт потреб-
ляет за время /=1 ч'работы массу /и=8,1 кг угля с удельной
теплотой сгорания q=33 МДж/кг. Температура котла ti—
=200 °C, температура холодильника /2=58°С. Найти факти-
ческий к. п. д. т} машины и сравнить его с к. п. д./ р' иде-
альной тепловой машины, работающей пег циклу Карно
между теми же температурами.
5.207.	Паровая машина мощностью Р=14,7 кВт имеет
площадь поршня S=0,02 м2; ход поршня й=45 см. Изоба-
рический процесс ВС (рис. 9) происходит при движении
поршня на одну треть его хода. Объемом Ко по сравнению с
объемами Кх и Vi пренебречь. Давление пара в котле рх=
= 1,6 МПа, давление пара в холодильнике р2=0,1 МПа.
83
Сколько циклов за время t—\ мин’делает машина, если
показатель адиабаты х'=1,3?	}
5.208.	Цикл карбюраторного и газового четырехтакт-
ного двигателя внутреннего сгоранияизображен на рис. 10.
При первом ходе поршня в цилиндр всасывается горючее
(в карбюраторных двигателях горючая смесь представляет
собой смесь паров бензина с воздухом, приготовляемую в
карбюраторах, в газовых двигателях рабочая смесь газ —
воздух поступает из газогенераторной установки), при этом
p0=const и объем увеличивается от V2 до Vi (ветвь АВ).
При втором ходе поршня горючее адиабатически сжимается
от Vi до V2, при этом, температура
Р	повышается от То до 7\ и давление —
Рис. 10.
от р0 до pi (ветвь ВС). Далее проис-
ходит зажигание (взрыв) горючего от
искры; при этом давление возрастает
от pt до р2 при V2=const и темпера-
тура возрастает от Т± до Т2 (ветвь
СО). Третий ход поршня — адиабати-
ческое расширение горючего от V2 до
Vi, температура падает до Т3 (ветвь
DE — рабочий ход). При крайнем
положении поршня (точка Е) откры-
вается выпускной клапан, давление
падает при Vj=const до р0 (ветвь
ЕВ). Четвертый ход поршня — изобарическое сжатие
(ветвь В А — выталкивание отработанного газа). Найти
к. п. д.’ 1] цикла, если степень сжатия Vi/V2=5 и пока-
затель адиабаты х = 1,33.
5.20&.	В цилиндрах карбюраторного двигателя внутрен-
него сгорания газ сжимается политропически до V2 = V\/6.
Начальное давление pi=90 кПа, начальная температура ti=
= 127 °C. Найти давление р2 и температуру t2 газа в цилинд-
рах после сжатия. Показатель политропы п=1,3.
5.210.	В цилиндрах карбюраторного двигателя внутрен-
него сгорания газ сжимается политропически так, что после,
сжатия температура газа становится равной t2=427°C.
Начальная температура газа ^=140 °C. Степень сжатия
y2/Vi=5,8. Найти показатель политропы п.
5.211.	Диаметр цилиндра -карбюраторного двигателя
внутреннего сгорания D = 10 см, ход поршня й=11 см. Ка-
кой объем V должна иметь камера сжатия, если известно,
что начальное давление газа Pi=0,1 МПа, начальная тем-
пература газа ^=127 °C и давление в камере после сжатия
р2=1 МПа? Какова будет температура t2 газа в камере после
84
сжатия? Найти работу А, совершенную при сжатии. Пока-
затель политропы п=1,3.
5.212.	Найти к. п. д. т} карбюраторного двигателя внут-
реннего сгорания, если показатель политропы п=1,33 и
степень сжатия: a) Vi/V2=4; б) VT/V2=6; в) V!/V2=8.
5.213. Карбюраторный двигатель мощностью Р=735,5 Вт
потребляет за время /=1 ч минимальную массу т=265 г
бензина. Найти потери бензина на трение, теплопровод-
ность и пр. Степень сжатия Vi/V2=6,2. Удельная теплота
сгорания бензина <;=46 МДж/кг. Показатель политропы
п=1,2.
5.214.	Цикл четырехтактного двигателя Дизеля изо-
бражен на рис. 11. Ветвь АВ— в цилиндры засасывается
воздух (ро=0,1 МПа). Ветвь ВС —
воздух адиабатически сжимается до
давления pt. В конце такта сжатия
в цилиндры впрыскивается топливо,
которое воспламеняется в горячем
воздухе и сгорает, при этом пор-
шень движется вправо, сначала
изобарически (ветвь CD), а затем
адиабатически (ветвь DE). В кон-
це адиабатического расширения
открывается выпускной клапан,
давление падает до р0 (ветвь ЕВ).
При движении поршня влево смесь
удаляется из цилиндров (ветвь В А).
Найти к. п. д. ц двигателя Дизеля.
Рис. п.
5.215.	Двигатель внутреннего сгорания Дизеля имеет
степень адиабатического сжатия 8 = 16 и степень адиабати-
ческого расширения 6=6,4. Какую минимальную массу т
нефти потребляет двигатель мощностью Р=36,8 кВт за
время /=1 ч? Показатель адиабаты х = 1,3. Удельная теп-
лота сгорания нефти 7=46 МДж/кг.
5.216.	Найти изменение AS энтропии при превращении
массы /п=10 г льда (/=?=—20 °C) в пар (/„=100 °C).
5.217.	Найти изменение AS энтропии при превращении
массы т=1 г воды (/=0°С) в пар (/п=100°С).
5.218.	Найти изменение AS энтропии при плавлении
массы тД кг льда (/=0,°С).
5.219.	Массу /п=640 г расплавленного свинца при тем-
пературе плавления /пл вылили на лед (/=0 °C). Найти
изменение AS энтропии при этом процессе.
5.220.	Найти изменение AS энтропии при переходе
массы т=8 г кислорода от объема Vi=10 л при тем-
85
пературе /i=80°C к объему К2=40 л при температуре
/2=300°С.
5.221.	Найти изменение AS энтропии при переходе
массы т—6 г водорода от объема Vi=20 л под давлением
Р1-=150 кПа к объему V2=60 л под давлением р2=100 .кПа.
5.222.	Масса /п=6,6 г водорода расширяется изобари-
чески от объема до объема V2=2Ki. Найти* изменение
AS энтропии при этом расширении.
5.223.	Найти изменение AS энтропии при изобарическом
расширении массы т=8 г гелия от объема lzx= 10 л до
объема V2=25 л.
5.224.	Найти изменение AS энтропии при изотермиче-
ском расширении массы т=6 г водорода от давления pi—
*=100 кПа до давления р2=50 кПа.
5.225.	Масса т=10,5 г азота изотермически расширя-
ется от объема Vi=2 л до объема У2=5 л. Найти измене-
ние AS энтропии при этом процессе.
5.226.	Масса т=10 г кислорода нагревается от темпе-
ратуры /1=50 °C до температуры t2= 150 °C. Найти изменение
AS энтропии, если нагревание происходит: а) изохорически;
б) изобарически. ’
5:227. При нагревании количества v=l кмоль двух-
атомного газа его термодинамическая температура увеличи-
вается от Tt до 7\=1,5 7\. Найти изменение AS энтропии,
если нагревание происходит: а) изохорически; б) изобари-
чески.
5.228.	В результате нагревания массы /п=22 г азота
его термодинамическая температура увеличилась от 7\ до
7’2=1,2Ti, а энтропия увеличилась на AS=4,19 Дж/К.
При каких условиях производилось нагревание азота
(при постоянном объеме или при постоянном давлении)?
5.229.	Найти изменение AS энтропии при переходе газа
из состояния А в состояние В в условиях задачи 5.194
(см. рис. 8), если переход совершается: а) по участку АСВ;
б) по участку ADB.
5.230.	Объем 1 м3 воздуха, находящегося при тем-
пературе /1=0 °C и давлении pi=98 кПа, изотермически
расширяется от объема Vi до объема V2=2Vf. Найти изме-
нение AS энтропии при этом процессе.
5.231.	Изменение энтропии на участке между двумя
адиабатами в цикле Карно AS=4,19 кДж/K- Разность
температур между двумя изотермами AT=100 K- Какое
количество теплоты Q превращается в работу в этом
цикле?
.86
§ 6.	Реальные газы
Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса)
для одного моля газа имеет вид
\ ио/
где Vo — молярный объем газа, а и b — постоянные, различные для
разных газов, р — давление, Т — термодинамическая температура,
7^=8,31411 Дж/(моль-К)— газовая постоянная.
Уравнение Ван-дер-Ваальса для любой массы m газа имеет вид
/ т2 а \ / т \ т
(p + '^rvd
\	г / \	Г* / И*
где V — объем всего газа, р — молярная масса газа. В этом урав-
т2 f а	,
нении—2_’уГ = Рг—давление, обусловленное силами взаимодействия
молекул, b = V/—объем, связанный с собственным объемом молекул,
р
Постоянные а и Ь данного газа связаны с его критической темпе-
ратурой Тк, критическим давлением рк и критическим молярным
объемом V0K соотношениями
V ...ЧЛ	„ а	Т 8а
Vok 3 > Рк 27b2 ’	1 к '27 bR •
Эти уравнения можно решить относительно постоянных а и Ь:
?	277%J?a	7\R
64рк ’ 8рк ‘
Если ввести приведенные величины
-г=Т/7'1(, л = р/рк, co=V0/Vok;
то уравнение Вав-дер-Ваальса для одного моля газа примет вид
(я+^) (3<о—1) = 8т.
6.1.	В каких единицах1 системы СИ выражаются по-
лСтоянные а и Ь, входящие в уравнение Ван-дер-Ваальса?
6.2.	Пользуясь данными о критических величинах Тк
и рк для некоторых газов (см. табл. VII), найти для них
постоянные а и Ь, входящие в уравнение Ван-дер-Ваальса.
6.3.	Кдкую температуру Т имеет масса т-=2 г азота,
занимающего объем Г=820 см3 при давлении р—0,2 МПа?
Газ рассматривать как: а) идеальный; б) реальный.
6.4.	Какую температуру Т имеет масса /п=3,5 г кис-
лорода, занимающего объем У=90 см3 при давлении р=
=2,8 МПа? Газ рассматривать как: а) идеальный; б) ре-
альный.
87
6.5.	Масса т=10 г гелия занимает объем V—100 см3
при давлении р = 100 МПа. Найти температуру Т газа, счи-
тая его: а) идеальным; б) реальным.
6.6.	Количество v=l кмоль углекислого газа находится
при температуре /==100 °C. Найти давление р газа, считая
его: а) реальным; б) идеальным. Задачу решить для объе-
мов I/t=l м3 и V2=0,05 м3.
6.7.	В закрытом сосуде объемом V—0,5 м3 находится ко-
личество v=0,6 кмоль углекислого газа при давлении р =
=3 МПа. Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса, найти,
во сколько раз надо увеличить температуру газа, чтобы дав-
ление увеличилось вдвое.
6.8.	Количество v=l кмоль кислорода находится при
температуре/=27 °C и давлении р = 10 МПа. Найти объем
V газа, считая, что кислород при данных условиях ведет
себя как реальный газ.
6.9.	Количество v=l кмоль азота находится при темпе-
ратуре t=27°C и давлении р=5 МПа. Найти объем V газа,
считая, что азот при данных условиях ведет себя как ре-
альный газ.
6.10.	Найти эффективный диаметр о молекулы кислоро-
да, считая известными для кислорода критические значения
Гк и рк.
6.11.	Найти эффективный диаметр о молекулы азота
двумя способами: а) по данному значению средней длины
свободного пробега молекул при нормальных условиях
1=95 нм; б) по известному значению постоянной b в урав-
нении Ван-дер-Ваальса.
6.12.	Найти среднюю длину свободного пробега 1
молекул углекислого газа при нормальных условиях.
Эффективный диаметр о молекулы вычислить, считая из-,
вестными для углекислого газа критические значения Тк
И Рк-
6.43.	Найти коэффициент диффузии D гелия при тем-
пературе /=17°С и давлении р = 150 кПа. Эффективный диа-
метр о атома вычислить, считая известными для гелия
критические значения Тк и рк.
6.14.	Построить изотермы p=f(V) для количества v=
= 1 кмоль углекислого газа при температуре /=0°С. Газ
рассматривать как: а) идеальный; б) реальный. Значения V
(в л/моль) для реального газа взять следующие: 0,07, 0,08,
0,10, 0,12, 0,14 , 0,16, 0,18, 0,20, 0,25, 0,30, 0,35-и 0,40;
для идеального газа — в интервале 0,2^V^0,4 л/моль.
88
6.15.	Найти давление pi, обусловленное-силами взаимо-
действия молекул, заключенных в. количестве v=l кмоль
.газа при нормальных условиях. Критическая температура и
критическое давление этого газа равны Тк=417 К и рк=
=7,7 МПа. .	*
6.16.	Для водорода силы взаимодействия между моле-
кулами незначительны; преимущественную роль играют
собственные размеры молекул. Написать уравнение состоя-
ния такого полуидеального газа. Какую ошибку мы допу-
стим при нахождении количества водорода v, находяще-
гося в некотором объеме при температуре t=0 °C и да-
влении р=280 МПа, не учитывая собственного объема мо-
лекул?
6.17.	В сосуде объемом V—10 л находится масса т=
=0,25 кг азота при температуре £=27 °C. Какую часть дав-
ления газа составляет давление, обусловленное силами вза-
имодействия молекул? Какую часть объема сосуда состав-
ляет собственный объем молекул?
. 6.18. Количество v=0,5 кмоль некоторого газа занимает
объем Vx=1 м3. При расширении газа др объема V2 = 1,2 м3
была совершена работа против сил взаимодействия молекул
Л =5,684 кДж. Найти постоянную а, входящую в уравнение
Ван-дер-Ваальса.
6.19.	Масса /п=20 кг азота адиабатически расширяется
в вакуум от объема Vi=l м3 до объема V2=2 м3. Найти
понижение ДТ температуры при этом расширении, считая
известной для азота постоянную а, входящую в уравнение
Ван-дер-Ваальса (см. ответ 6.2).
6.20.	Количество v=0,5 кмоль трехатомного газа адиа-
батически расширяется в вакуум от объема Vi=0,5 м3 до
объема К2=3 м3. Температура газа при этом понижается на
Д7’=12,2 К- Найти постоянную а, входящую в уравнение
Ван-дер-Ваальса.
6.21.	Какое давление р надо приложить, чтобы углекис-
лый газ превратить в жидкую углекислоту при температу-
рах £1=31 °C и £2=50 °C? Какой наибольший объем Vmax
может занимать масса /и =1 кг. жидкой углекислоты? Ка-
ково наибольшее давление ртах насыщенного пара жидкой
углекислоты?
6.22.	Найти плотность рк водяного пара в критическом
состоянии, считая известной для него постоянную Ь,
входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса (см.' ответ 6.2)
6.23.	Найти плотность рк гелия в критическом состоя-
нии, считая известными для гелия критические значения
Т* и рк.
89
6.24.	Количество v=l кмоль кислорода занимает объем
У==56 л при давлении д=93 МПа. Найти температуру t
газа, пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса.
6.25;	Количество v=l кмоль гелия занимает объем V=
=0,237 м3 при температуре t=—200 °C. Найти давление р
газа, пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса в приведен-
ных величинах.
6.26.	Во сколько раз давление газа больше его крити-
ческого давления, если известно, что его объем и темпера-
тура вдвое больше критических значений этих величин?
§ 7.	Насыщенные пары и жидкости
Абсолютной влажностью р называется парциальное давление
водяного пара, находящегося в воздухе. Относительной влажностью
w называется отношение абсолютной влажности р к парциальному
давлению рн водяного пара, насыщающего пространство при данной
температуре.
Удёльной теплотой парообразования г называется количество
теплоты, необходимое для превращения единицы массы жидкости в
пар прн постоянной температуре.
Молярная теплота парообразования
Го = Р-г,
где р — молярная масса.
Зависимость давления насыщенного пара рп от температуры да-
ется уравнением Клаузиуса'— Клапейрона .
^Рн _______го_____
dT T(Von-Vn-M)’
где Von и Кик— молярные объемы пара и жидкости.
Относительное изменение объема жидкости при нагревании
где ₽ [К-1] —температурный коэффициент объемного расширения.
Относительное изменение объема жидкости при изменении дав-
ления
AV . .
•—= -W,
где k [Па-Ч — сжимаемость.
Поверхностное натяжение а [Н/м] численно равно силе, приложен-
ной к единице длины края поверхностной пленки жидкости:
90
При изменении площади пленки на AS совершается работа
АЛ = a AS,
Добавочное давление, вызванное кривизной поверхности жид-
кости, определяется формулой Лапласа
л	( 1	।	1 \
где Ri и Т?2 — радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных
сечений поверхности жидкости. Радиус R считается положительным,
если центр кривизны находится внутри жидкости (выпуклый мениск),
и отрицательным, если центр кривизны находится вне жидкости (во-
гнутый мениск).
Высота’ поднятия жидкости в капиллярной трубке
, 2а cos 0
п =------------------------------(
rpg
где г — радиус трубки, р — плотность жидкости, 0 — краевой угол.
При полном смачивании 0=0, при полном несмачиваиии 0=л.
Давление насыщенного пара рп над вогнутой поверхностью жид-
кости меньше, а над выпуклой — больше, чем давление рн над плоской
поверхностью. Добавочное давление
Д/’и =Рн — Р» = ±	|
где р — плотность жидкости, рн — плотность насыщенного пара жид-
кости, R — радиус кривизны поверхности жидкости.
Осмотическое давление р раствора связано с термодинамической
температурой Т формулой Вант-Гоффа
P = CRT,
где R — газовая постоянная, С[моль/м8]=/тг/рР— молярная кон-
центрация раствора (количество растворенного вещества в единице
объема раствора).
Для растворов недиссоциированных молекул вещества
г m _ N
= PV Na ’
где Na — постоянная Авогадро, N — число молекул растворенного
вещества в единице объема раствора. При наличии диссоциации число
частиц в единице объема будет больше, что приведет к увеличению
осмотического давления.
Давление насыщенного пара над раствором меньше, чем над чи-
стым растворителем. При достаточно малой концентрации раствора
относительное уменьшение давления насыщенного пара над раствором
определяется законом Рауля
Ро — Р_ у'
Ро v+v' ’
91
где ро — давление насыщенного пара над чистым растворителем, р —
давление насыщенного пара над раствором, v' — количество раство-
ренного вещества, v — количество жидкости. .Задачи, относящиеся
к явлению вязкости жидкостей, помещены в § 4 гл. I.
7.1.	В табл. VIII дано давление водяного пара, насы-
щающего пространство при разных температурах. Как
составить из этих данных таблицу масс т водяного пара в
объеме К=1 м3 воздуха, насыщенного водяным паром при
разных температурах? Для примера решить задачу при
температуре /=50 °C.
7.2.	Найти плотность рн насыщенного водяного пара
при температуре /=50 °C.
7.3.	Во сколько раз плотность рн насыщенного водяного
пара при температуре t= 16 °C меньше плотности р воды?
7.4.	Во сколько раз плотность ри1 насыщенного водяного
пара при температуре ^=200 °C больше плотности р112 на-
сыщенного водяного пара при температуре t2—100 °C?
7.5.	Какая масса т водяного пара содержится в объеме
К=1 м3 воздуха в летний день при температуре /=30°С
и относительной влажности да=0,75?
7.6.	В замкнутом объеме К=1 м3 относительная'Влаж-
ность воздуха да=0,6 при температуре /=20°С. Какая масса
Ат воды должна еще испариться в этот объем, чтобы водя-
ной пар стал насыщенным?
7.7.	Температура комнаты 0 = 18 °C, относительная влаж-
ность да=0,5. В металлический чайник налили холодную
воду. Какова температура t2 воды, при которой чайник
перестает запотевать?
7.8.	Найти число п молекул насыщенного'водяного па-
ра, содержащихся в единице объема при температуре 1=
=30 °C.
7.9.	Масса т=0,5 г водяного пара занимает объем Vi=
= 10 л при температуре /=50°С. Какова при этом относи-
тельная влажность да? Какая масса Ат пара сконденси-
руется, если изотермически уменьшить объем от Vj до
К,/2? .
7.10.	В камере Вильсона объемом К=1 л заключен
воздух, насыщенный водяным паром. Начальная темпера-
тура камеры /!=20°С. При движении поршня объем камеры
увеличился до V2=l,25 Vi. Расширение считать адиабати-
ческим, причем показатель адиабаты n=cp/cv—l,4. Найти:
а) давление pi водяного пара до расширения; б) массу пц
водяного пара в камере до расширения; в) плотность pt
водяного пара до расширения; г) температуру t2 пара после
92	-
расширения (изменением температуры из-за выделения тепла
при конденсации пара пренебречь); д) массу Ат сконден-
сированного пара; е) плотность р2 водяного пара после
конденсации; ж) степень пересыщения, т. е. отношение
плотности водяного пара после расширения (но до конден-
сации) к плотности водяного пара, насыщающего простран-
ство при температуре, установившейся после конденсаций.
7.11.	Найти удельный объем v воды в жидком и парооб-
разном состояниях при • нормальных условиях.
7.12.	Пользуясь первым законом термодинамики и дан-
ными табл. VII и VIII, найти удельную теплоту парообра-
зования г воды при /=200 °C. Для воды критическая темпе-
ратура 7^=647 К, критическое давление рк=22 МПа.
Проверить правильность полученного результата по дан-
ным табл. IX.
7.13.	Какая часть теплоты парообразования воды при
температуре /=100 °C идет на увеличение внутренней энер-
гии системы?
7.14.	Удельная теплота парообразования бензола (СвНв)
при температуре /=77 °C равна г=398 кДж/кг. Найти изме-
нение внутренней энергии АIV при .испарении массы Ат=
=20 г бензола.
7.15.	Пользуясь уравнением Клаузиуса — Клапейрона
и данными табл. VIH, найти удельную теплоту парообразо-
вания г воды при температуре /=5 °C. Проверить правиль-
ность полученного результата по данным табл. IX.
7.16.	Давления насыщенного ртутного пара при темпе-
ратурах- /х=100°C и /2=120 °C равны Pi=37,3 Па и р2=
= 101,3 Па. Найти среднее значение удельной теплоты па-
рообразования г ртути в указанном интервале температур.
7.17.	Температура кипения бензола (СвНв) при давлении
р=0,1 МПа равна /к=80,2°С. Найти давление рн насыщен-
ного пара бензола при температуре /=75,6 °C. Среднее
значение удельной теплоты парообразования бензола в
данном интервале температур принять равным г=
=0,4 МДж/кг.
7.18.	Давления насыщенного пара этилового спирта
(С2Н5ОН) при температурах /г=40°С и /2=60°С равны pt=
=17,7 кПа и р2=67,9 кПа. Найти изменение энтропии AS
при испарении массы Ат=1 г этилового спирта, находя-
щегося при температуре /=50.°С.
7.19.	Изменение энтропии при испарении количества
Av = l кмоль некоторой жидкости, находящейся при темпера-
туре /1=50 °C, AS=133 Дж/К. Давление насыщенного пара
жидкости при температуре /1=50 °C равно р1=12,33 кПа.
93
На сколько меняется давление насыщенного пара жидкости
при изменении температуры от /1=50 °C до /а=51°С?
7.20.	До какого предельного давления р можно отка-
чать сосуд при помощи ртутно-диффузионного насоса,
работающего без ртутной ловушки, если температура водя-
ной рубашки насоса /=15°С? Давление насыщенного ртут-
.ного пара при температуре /о=О°С равно ро=О,О21 Па,
среднее значение удельной теплоты парообразования рту-
ти в данном интервале температур принять равным
г=10,08 МДж/кг.
7.21.	При температуре /0=0°С плотность ртути р0=
= 13,6-103 кг/м3. Найти ее_плотность р при температуре /=
=300 °C. Коэффициент объемного расширения ртути 0 =
= 1,85-10"4 К"1.
7.22.	При температуре/х=100 °C плотность ртути pj =
= 13,4 -103 кг/м3. При какой температуре t2 плотность ртути
р2=13,1 • 103 кг/м3? Коэффициент объемного расширения
ртути 0=1,8-10-4 К-1.
7.23.	Найти плотность р морЬкой воды на глубине h—
=5 км, если плотность ее на поверхности р0= 1,03-103 кг/м3.
Сжимаемость воды 6=4,8-10-10 Па-1. Указание. При
вычислении гидростатического давления морской воды ее
плотность приближенно полагать равной плотности воды
на поверхности.
7.24.	При нормальных условиях сжимаемость бензола
6=9-10“10 Па-1, коэффициент объемного расширения 0=
= 1,24-10-3 К-1. На сколько необходимо увеличить внешнее
давление, чтобы при нагревании на Д/= 1 К объем бензола
не изменился?
7.25.	Коэффициент объемного расширения ртути 0=
= 1,82-10-4 К-1. Чтобы при нагревании ртути на Д/=1 К ее
объем не изменился, необходимо увеличить внешнее давле-
ние на Др =4,7 МПа. Найти сжимаемость k ртути.
7.26.	Найти разность уровней ДА ртути в двух одинако-
вых сообщающихся стеклянных трубках, если левое колено
поддерживается при температуре /о=О°С, а правое нагрето
до температуры /=100 °C. Высота левого колена 6о=90 см.
Коэффициент объемного расширения ртути 0=1,82-10~4 К-1.
Расширением стекла пренебречь.
7.27.	Ртуть налита в стеклянный сосуд высотой L =
= 10 см. При температуре /=20°С уровень ртути на 6=1 мм
ниже верхнего края сосуда. На сколько можно нагреть
ртуть, чтобы она не вылилась из сосуда? Коэффициент
объемного расширения ртути 0 = 1,82-10-4 К-1. Расшире-
нием стекла пренебречь.	.	\
94
. 7.28. Стеклянный сосуд, наполненный до краев ртутью
при температуре /о=О°С, имеет массу М=1 кг. Масса пу-
стого сосуда' Мо=0,1 кг. Найти массу т ртути, которая
может поместиться в сосуде при температуре /=100 °C. Ко-
эффициент объемного расширения ртути р = 1,82-10~4 К-1.
Расширением стекла пренебречь.
7.29.	Решить предыдущую задачу, если коэффициент
объемного расширения стекла Р'=3-10~5 К-1.
7.30.	Стеклянный сосуд наполнен до краев жидким
маслом при температуре /о=0°С. При нагревании сосуда с
маслом до температуры /=100 °C вытекло 6% налитого
масла. Найти коэффициент объемного расширения масла
р, если коэффициент объемного расширения стекла р' =
=3-10-5 К-1.
7.31.	Какую относительную ошибку мы допустим при
нахождении коэффициента объемного расширения масла в
условиях предыдущей задачи, если пренебрежем расшире-
нием стекла?
7.32.	Температура помещения /=37°C, атмосферное дав-
ление ро= 101,3 кПа. Какое давление р покажет ртутный
барометр, находящийся в этом помещении? Коэффициент
объемного расширения ртути р = 1,82-10-4 К-1. Расшире-
нием стекла пренебречь.
7.33.	Какую силу F нужно приложить к горизонталь-
ному алюминиевому кольцу высотой й=10 мм, внутренним
диаметром dj=50 мм и внешним диаметром d2=52 мм, чтобы
оторвать его от поверхности воды? Какую часть найденной
силы составляет сила поверхностного натяжения?
7.34.	Кольцо внутренним диаметром ск=25 мм и внеш-
ним диаметром d2=26 мм подвешено на пружине и сопри-
касается с поверхностью жидкости. Жесткость пружины
й=9,8-10~7 Н/м. При опускании поверх-
ности жидкости кольцо оторвалось от
нее при растяжении пружины на А/=5,3
мм. Найти поверхностное натяжение а
жидкости.
7.35. Рамка ABCD с подвижной мед-
ной перекладиной K.L затянута мыльной
пленкой (рис. 12). Каков должен быть
диаметр d перекладины KL, чтобы она
находилась в равновесии? Найти длину I
перекладины, если известно, что при перемещении пере-
кладины на Ай =1 см совершается изотермическая работа
Л =45 мкДж.' Поверхностное натяжение мыльного раст-
вора а=0,045 Н/м.
95
7.36.	Спирт по каплям вытекает из сосуда через верти-
кальную трубку внутренним диаметром_й=2 мм. Капли
отрываются через-время Дт=1 с Одна после другой: Через
какое время т вытечет масса. т= 10 г спирта? Диаметр
шейки капли в момент отрыва считать равным внутреннему
диаметру трубки.
7.37.	Вода по каплям вытекает из сосуда через верти-
кальную трубку внутренним диаметром d—З мм. При осты-
вании воды от Zi=l00°C до /2=20°С масса каждой капли
изменилась на Ат=13,5 мг. Зная поверхностное натяжение
а2 воды при /2=20°С, найти поверхностное натяжение а±
воды при /j=100 °C. Диаметр шейки капли в момент отрыва
считать равным внутреннему диаметру трубки.
7.38.	При плавлении нижнего конца вертикально под-
вешенной свинцовой проволоки диаметром d=l мм образо-
валось М=20 капель свинца. На сколько укоротилась
проволока? Поверхностное натяжение жидкого свинца
а=0,47 Н/м. Диаметр шейки капли в момент отрыва счи-
тать равным диаметру проволоки.
7.39.	Вода по каплям вытекает из вертикальной трубки
внутренним радиусом г=1 мм. Найти радиус R капли в
момент отрыва. Каплю считать сферической. Диаметр шейки
капли в момент отрыва считать равным внутреннему диа-
метру трубки.
7.40.	На сколько нагреется капля ртути, полученная, от
слияния двух капель радиусом г=1 мм каждая?
7.41.	Какую работу А против сил поверхностного
натяжения надо совершить, чтобы разделить сфериче-
скую каплю ртути радиусом R=3 мм на две одинаковые
капли?
7.42.	Какую работу А против сил поверхностного натя-
жения надо совершить, чтобы увеличить вдвое объем мыль-
ного пузыря радиусом г=1 см? Поверхностное натяжение
мыльного раствора а=0,043 Н/м.
7.43.	Какую работу А против сил поверхностного натя-
жения надо совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь
диаметром d—4 см? Поверхностное натяжение мыльного
раствора а=0,043 Н/м.
7.44.	Найти давление р воздуха в воздушном пузырьке
диаметром <2=0,01 мм, находящемся на глубине /г=20 см
под поверхностью воды. Атмосферное давлениер0=101,7 кПа.
7.45.	Давление воздуха внутри мыльного пузыря на
Др=133,3 Па больше атмосферного. Найти диаметр d
пузыря. • Поверхностное натяжение мыльного раствора
а=0,043 Н/м.
96
7.46.	На какой глубине h под водой находится пузырек
воздуха, если -известно, что плотность воздуха в нем р=
=2 кг/м9? Диаметр пузырька d= 15 мкм, температура /=
=20 °C, атмосферное давление р0=Ю1,3 кПа.
7.47.	Во -сколько раз плотность воздуха в пузырьке,
находящемся на глубине й=5 м под водой, больше плот-
ности воздуха при атмосферном давлении р0= 101,3 кПа?
Радиус пузырька г=0,5 мкм. •
7.48.	В сосуд с ртутью опущен открытый капилляр,
внутренний диаметр которого d=3 мм. Разность уровней
ртути в сосуде и в капилляре Ай=3,7 мм. Найти радиус
кривизны R мениска в капилляре.
7.49.	В сосуд с водой опущен открытый капилляр,
внутренний диаметр которого d=l мм. Разность уровней
воды в сосуде и в капилляре Ай=2,8 см. Найти радиус
кривизны R мениска в капилляре. Какова была бы разность
уровней Ай в сосуде, и в капилляре, если бы смачивание
было полным?
7.50.	На какую высоту h поднимается бензол в капилля-
ре, внутренний диаметр которого d=l мм? Смачивание
считать полным.
7.51.	Каким должен быть внутренний диаметр d капил-
ляра, чтобы при полном смачивании вода в нем поднима-
лась на Ай=2 см? Задачу решить, когда капилляр находит-
ся: а) на Земле, б) на Луне.
7.52.	Найти разность уровней Ай ртути в-двух сообщаю-
щихся капиллярах, внутренние диаметры которых равны
di=l мм и d2=2 мм. Несмачивание считать полным.
7.53.	Каким должен быть наибольший диаметр d пор в
фитиле керосинки, чтобы керосин поднимался от дна керо-
синки до горелки (высота й= 10 см)? Считать поры цилинд-
рическими трубками и смачивание полным.
7.54.	Капилляр внутренним радиусом г=2 мм опущен в
жидкость. Найти поверхностное натяжение а жидкости,
если известно, что в капилляр поднялась масса жидкости
т=0,09 г.
7.55.	В сосуд с водой опущен капилляр, внутренний
радиус которого г±=0,16 мм. Каким должно быть давление р
воздуха над жидкостью в капилляре, чтобы уровень воды в
капилляре и в сосуде был одинаков? Атмосферное давление
p0=101,3 кПа. Смачивание считать полным.
7.56.	Капиллярная трубка опущена вертикально в со-
суд с водой. Верхний конец трубки запаян. Для того чтобы
уровень воды в трубке й в широком сосуде был одинаков,
трубку пришлось погрузить в воду на 1,6% ее длины.
4 В. С. Волькеиштейн	.	9/
Найти внутренний радиус г трубки. Атмосферное давление
ро=100 кПа. Смачивание считать полным. '	С
7.57.	Барометрическая трубка А, заполненная, ртутью
(рис. 13), имеет внутренний диаметр d, равный: а) 5 мм;
б) 1,5 см. Можно ли определять атмосферное давление
непосредственно по высоте ртутного
столба? Найти высоту ртутного столба
в каждом из этих случаев. Атмосфер-
ное давление р0=758 мм рт. ст. Несмачи-
вание считать полным.
7.58.	Внутренний диаметр баромет-
рической трубки d=0,75 см. Какую по-
правку надо ввести, измеряя атмосфер-
ное давление по высоте ртутного стол-
ба? Несмачивание считать полным.
7.59.	Какую относительную ошибку
мы допускаем, вычисляя атмосферное
давление ро=1О1,3 кПа по высоте
ртутного столба, если внутренний диаметр барометрической
трубки d равен: а) 5 мм; б) 10 мм? Несмачивание считать
полным.
7.60.	На поверхность воды положили жирную (пол-
ностью несмачиваемую водой) стальную иголку. Каков
наибольший диаметр d иголки, при котором она еще может
держаться на воде?
7.61.	Будет ли плавать на поверхности воды жирная
(полностью несмачиваемая водой) платиновая проволока
диаметром d=l мм?
7.62.	В дне сосуда с ртутью имеется отверстие. Каким
может быть наибольший диаметр d отверстия, чтобы ртуть
из сосуда не выливалась при высоте столба ртути Л=3 см?
7.63.	В дне стеклянного сосуда площадью S=30 см2
имеется круглое отверстие диаметром d=0,5 мм. В сосуд
налита ртуть. Какая масса т ртути останется в сосуде?
7.64’	. Водомерка бегает по поверхности воды. Найти
массу т водомерки, если известно, что под каждой из шести
лапок насекомого образуется ямка, равная полусфере
радиусом г—0,1 мм.
7.65.	Какую силу F надо приложить, чтобы оторвать
друг от друга (без сдвига) две смоченные фотопластинки
размером S=9X 12 см2? Толщина водяной прослойки между
пластинками d=0,05 мм. Смачивание считать полным.
7.66.	Между двумя вертикальными плоскопараллель-
ными стеклянными пластинками, находящимися на расстоя-
нии d=0,25 мм друг от друга, налита жидкость. Найти
98
плотность р жидкости, если известно, что высота поднятия
жидкости между пластинками й=3,1 см. Поверхностное
натяжение жидкости а = 0,03 Н/м. Смачивание считать
полным.
7.67.	Между двумя горизонтальными плоскопараллель-
ными стеклянными пластинками помещена масса т=5 г
ртути. Когда на верхнюю пластинку положили груз массой
М=5 кг, расстояние между пластинками стало равным
d=0,087 мм. Пренебрегая массой пластинки по сравнению
с массой груза, найти поверхностное натяжение а ртути.
Несмачивание считать полным.
7.68.	В открытом капилляре, внутренний диаметр кото-
рого d=l мм, находится капля воды. При вертикальном
положении капилляра капля образует столбик высотой h,
равной: а) 2 см, б) 4 см, в) 2,98 см. Найти радиусы кри-
визны Ri и R2 верхнего и нижнего менисков в каждом
из этих случаев. Смачивание считать полным.
7.69.	Горизонтальный капилляр, внутренний диаметр
которого d=2 мм, наполнен водой так, что в нем'образовал-
ся столбик длиной h=\ 0 см. Какая масса т воды вытечет
из капилляра, если его поставить вертикально? Смачивание
считать полным. Указание. Учесть, что предельная
длина столбика воды, оставшейся в капилляре, должна
соответствовать радиусу кривизны нижнего мениска, рав-
ному радиусу капилляра (см. решение 7.68).
7.70.	В открытом вертикальном капилляре, внутренний
радиус которого г=0,6 мм, находится столбик спирта.
Нижний мениск этого столбика нависает на нижний конец
капилляра. Найти высоту h столбика спирта, при которой
радиус кривизны R нижнего мениска
равен: а) Зг; б) 2г; в) г. Смачивание
считать полным.
7.71.	Трубка, изображенная на рис.
14, открыта с обоих концов и наполне-
на керосином. Внутренние радиусы тру-
бок 1 и 2 равны ri=0,5 мм и г2=0,9
мм. При какой разности уровней Д/г
мениск на конце трубки 1 будет: а) вог-
нутым. с радиусом кривизны R—rr, б)
плоским; в) выпуклым с радиусом кри-
визны R=r2; г) выпуклым с радиусом
кривизны R=ri?
Смачивание считать полным.
7.72.	В широкий сосуд е водой опущен 'капилляр так,
что верхний его конец находится выше уродня воды в сосуде
най=2 см. Внутренний радиус капилляра г==0,5 мм. Найти
4*
99
радиус кривизны /? мениска-в. капилляре. Смачивание
считать полным.	г
7.73.	Ареометр плавает в воде, полностью смачиваю-
щей его стенки.. Диаметр вертикальной цилиндрической
трубки ареометра d=9 мм. На сколько изменится глубина
погружения ареометра, если на поверхность воды налить
несколько [цапель спирта?
7.74.	'Ареометр плавает в жидкости, полностью смачи-
вающей его стенки. Диаметр вертикальной цилиндрической
трубки ареометра d—Эмм. Плотность жидкости р=0,8х
X 10’ кг/м?, поверхностное натяжение жидкости а=0,03 Н/м.
На сколько изменится глубина погружения ареометра, если
вследствие замасливания ареометр стал полностью несма-
чиваемым этой жидкостью?
7.75.	При растворении массы т—_ 10 г сахара (Ci2H22Ou)
в объеме У=0;5 л воды осмотическое давление раствора р—
= 152 кПа. При какой температуре Т находится раствор?
Диссоциация молекул сахара отсутствует.
7.76.	Осмотическое давление раствора, находящегося
при температуре £=87 °C, р—165 кПа. Какое число N моле-
кул воды приходится на одну молекулу растворенного
вещества в этом растворе? Диссоциация молекул вещества
отсутствует.
7.77.	Масса т~2 г поваренной соли растворена в объеме
К=0,5 л воды. Степень диссоциации молекул поваренной
соли а =0,75. Найти осмотическое давление р раствора при
температуре £=17 °C.
7.78.	Степень диссоциации молекул поваренной соли при
растворении ее в воде а=0,4. При этом осмотическое дав-
ление раствора, находящегося при температуре £=27 °C,
р=118,6 кПа. Какая масса т поваренной соли растворена
в объеме V—1 л воды?
7.79.	Масса т—2,5 г поваренной соли растворена в объ-
еме У=1 л воды. Температура раствора £=18 °C. Осмотиче-
ское давление раствора />=160 кПа. Какова степень диссо-
циации а молекул поваренной соли в этом случае? Сколько
частиц растворенного вещества находится в единице объема
раствора?
7.80.	Масса т=40 г сахара (С/2Н22ОЦ) растворена
в объеме V=0,5 л воды. Температура раствора £=50°C.
Найти давление р насыщенного водяного пара над раствором.
7.81.	Давление насыщенного пара над раствором при
температуре £х=30 °C равно/>1=4,2кПа. Найти давление р2
насыщенного пара над этим раствором при температуре
£2=60°С.	.	,
100
7.82.	Давление р насыщенного пара над раствором в
1,02 раза меньше давления насыщенного пара чистой во-
ды. Какое число N молекул воды приходится на одну моле-
кулу растворенного вещества?
7.83.	Масса т—100 г нелетучего вещества растворена
в объеме V=l л воды. Температура раствора /=90°С. Дав-
ление насыщенного пара над раствором р=68,8 кПа. Найти
молярную массу ц растворенного вещества.
7.84.	Нелетучее вещество с молярной массой
=0,060 кг/моль растворено в воде. Температура раствора
/=80°С. Давление насыщенного пара над раствором р —
=47,1 кПа. Найти осмотическое давление р0 раствора.
§ 8.	Твердые тела
Изменение температуры плавления dT при изменении давления
на dp дается уравнением Клаузиуса — Клапейрона
dT=T	dp,
<1о
где — молярная теплота плавления, Кож — молярный объем жид-
кости, Кот — молярный объем твердого тела, Т — термодинамическая
температура плавления.
При не очень иизкйх температурах для твердых тел имеет место
закон Дюлонга й )Пти, согласно которому молярная теплоемкость
всех химически простых твердых тел равна приблизительно 3R—
=25 Дж/(моль-К).
Количество теплоты Q, переносимое вследствие теплопроводности
за время Дт,'определяется формулой
дт
(? = Х-=^-Д8Дт,
Дх
где ДТ/Дх — градиент температуры в направлении, перпендикулярном
к площадке ДЗ, X — теплопроводность.
. . При повышении температуры длина твердых тел возрастает в
первом приближении линейно с температурой:
=	1= 1о (1 “Ьв0,
где I — длина тела при температуре t, /0 — его длина при температуре
/о=О °C, а — температурный коэффициент линейного расширения. Для
твердых изотропных тел а=ЫЗ, где Ь — температурный коэффициент
объемного расширения.
В случае деформации продольного растяжения (сжатия) стержня
относительное изменение длины стержня по'закону Гука
А/	1
'	— аРи —	Рш
101
где рн — нормальное напряжение, т. е. pH=F/S, где F — растяги-
вающая (сжимающая), сила, S — площадь .поперечного сечения ^Ве-
личина Е [Па]=1/а называется модулем Юнга-.
Относительное изменение диаметра стержня при продольном рас-
тяжении (сжатии)
„	(5 &dld
Величина ст=—=—-г—
а М/1
Для закручивания
необходимо приложить
называется коэффициентом Пуассона.
стержня (проволоки) на некоторый угол <р,
момент пары сил (закручивающий момент)
лУг4
где I — длина проволоки, г — ее радиус, N [Па] — модуль сдвига
материала проволоки.
8.1.	Изменение энтропии при плавлении количества
v = l кмоль льда А 5=22,2 кДж/K. На-сколько изменяется
температура плавления льда при увеличении внешнего
давления на Ар=100 кПа?
8.2.	При давлении pi= 100 кПа температура плавления
олова /1=231,9 °C, а при давлении р2=Ю МПа она равна
/2=232,2°С. Плотность жидкого олова р=7,0-109 кг/м9.
Найти изменение энтропии AS при плавлении количества
v = l кмоль олова.
8.3.	Температура плавления железа изменяется на ЛТ—
=0,012 К при изменении давления на Ар=98 кПа. На
сколько меняется при плавлении объем количества v =
= 1 кмоль железа?
8.4.	Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти удель-
ную теплоемкость, с: а) меди; б) железа; в) алюминия.
8.5.	Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, из какого
материала сделан металлический шарик массой /и=0,025 кг,
если известно, что для его нагревания от ti—10 °C до /2=30°С
потребовалось затратить количество теплоты Q—117 Дж.
8.6.	Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, во
сколько раз удельная теплоемкость- алюминия больше
удельной теплоемкости платины.
8.7.	Свинцовая пуля, летящая со скоростью и=400 м/с,
ударяется о стенку и входит в нее. Считая, что 10% кинети-
ческой энергии пули идет на ее нагревание, найти, на
сколько нагрелась пуля. Удельную теплоемкость свинца
найти по закону Дюлонга и Пти.
102.
8*8. Пластинки из меди (толщиной «4=9 мм) и железа
(толщиной г/2=3 мм) сложены вместе. Внешняя поверх-
ность медной пластинки поддерживается при температуре
4=50 °C,' внешняя поверхность железной — при темпера-
туре 4=0 °C. Найти температуру t поверхности их сопри-
косновения. Площадь пластинок велика по сравнению с
толщиной.
8.9.	Наружная поверхность стены имеет температуру
ti=—20 °C, внутренняя — температуру 4=20 °C. Толщина
стены «/=40 см. Найти теплопроводность Л материала стены,
если через единицу ее поверхности за время т= 1 ч проходит
количество теплоты Q=460,5 кДж/м2.
8.10.	Какое количество теплоты Q теряет за время
= 1 мин комната с площадью пола 5=20 м2 и высотой
Л=3 м через четыре кирпичные стены? Температура в ком-
нате /1=15 °C, температура наружного воздуха 4=—20 °C.
Теплопроводность кирпича ^=0,84 Вт/(м-К). Толщина стен
«/=50 см. Потерями тепла через пол и потолок пренебречь.
8.11.	Один конец железного стержня поддерживается
при температуре 4=100 °C, другой упирается в лед. Длина
стержня I—14 см, площадь поперечного сечения 5=2 см2.
Найти количество теплоты QT, протекающее в единицу
времени вдоль стержня. Какая масса т льда растает за
время т=40 мин? Потерями тепла через стенки пренебречь.
8.12.	Площадь поперечного сечения медного стержня
5=10 см2, длина стержня /=50 см. Разность температур
на концах стержня ДТ=15 К. Какое количество теплоты
QT проходит в единицу времени через стержень? Потерями
тепла пренебречь.
8.13.	На плите стоит алюминиевая кастрюля диаметром
0 = 15 см; наполненная водой. Вода кипит, и при этом за
время т=1 мин образуется масса т=300 г водяного пара,
Найти температуру t внешней поверхности дна кастрюли,
если толщина его «/=2 мм. Потерями тепла пренебречь.
8.14.	Металлический цилиндрический сосуд радиусом
/?=9 см наполнен льдом при температуре 4=0 °C. Сосуд
теплоизолирован слоем пробки толщиной «/=1 см. Через
какое время т весь лед, находящийся в сосуде, растает,
если температура.наружного воздуха 4=25°C? Считать, что
обмен тепла происходит только через боковую поверхность
сосуда средним радиусом /?,о=9,5см.
8.15.	Какую силу F надо приложить к концам стального
стержня с площадью поперечного сечения 5=10 см2, чтобы
не дать ему расшириться при нагревании от 4=0 °C до
/=30 °C?
доз
8.16.	К стальной проволоке радиусом г— 1 мм подвешен
груз. Под действием этого груза проволока получила такое
же удлинение, как при нагревании на Д/=20°С. Найти
массу т груза.
8.17.	Медная проволока натянута горячей при темпе-
ратуре /1=150 °C между двумя прочными неподвижными
стенками. При какой температуре t2, осТывая, разорвется
проволока? Считать, что закон Гука справедлив вплоть до
разрыва проволоки.
8.18.	При нагревании некоторого металла от /о=0°С до
/=500 °C его плотность уменьшается в 1,027 раза. Найти для
этого металла коэффициент линейного расширения а, счи-
тая его постоянным в данном интервале температур.
8.19.	Какую длину /о должны иметь при температуре
/о=О°С стальной и медный стержни, чтобы при, любой
температуре стальной стержень был длиннее медного на
Д/=5 см?
8.20.	На нагревание медной болванки массой т=1 кг,
находящейся при температуре /о==0 °C, затрачено количество
теплоты <2=138,2 кДж. Во сколько раз при этом увеличился
ее объем? Удельную теплоемкость меди найти по закону
Дюлонга и Пти.
8.21.	При растяжении медной проволоки, поперечное
сечение которой S=l,5 мм2, начало остаточной деформации
наблюдалось при нагрузке f=44,l Н. Каков предел упру-
гости р материала проволоки?
, 8.22. Каким должен быть предельный диаметр d сталь-
ного троса, чтобы он выдержал нагрузку К=9,8 кН?
8.23.	Найти длину / медной проволоки, которая, будучи
подвешена вертикально, начинает рваться под действием
собственной силы тяжести.
8.24.	Решить предыдущую задачу для свинцовой прово-
локи.
8.25.	Для измерения глубины моря с парохода спустили
гирю на стальном тросе. Какую наибольшую глубину I
можно измерить таким способом? Плотность морской воды
р=Ы09 кг/м9. Массой гири по сравнению с массой троса
пренебречь.
8.26.	С крыши дома свешивается стальная проволока
длиной 7=40 м и диаметром d=2 мм. Какую нагрузку F
может выдержать эта проволока? На сколько удлинится
эта проволока, если на ней повиснет человек массой т—
=70 кг? Будет ли наблюдаться остаточная деформация,
когда человек отпустит проволоку? Предел упругости
стали р=294 МПа.	- .
1W
8.27.	К стальной проволоке радиусом г=1 мм подвешен
груз массой т=100 кг. На какой наибольший угол а мож-
но отклонить проволоку с грузом, чтобы она не разор-
валась при прохождении этим грузом положения равно-
весия?
8.28.	К железной проволоке длиной Z—50 см и диаметром
d=l мм привязана гиря-массой т=1 кг. С какой частотой
п можно равномерно вращать в вертикальной плоскости
такую проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась?
8.29.	Однородный медный стержень длиной /=1 м равно-
мерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей
через один из его концов. При какой частоте вращения п
стержень разорвется?
8.30.	Однородный стержень равномерно вращается
вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину.
Стержень разрывается, когда скорость .конца стержня до-
стигает о=380 м/с. Найти предел прочности р материала
стержня. Плотность материала стержня р=7,9-103 кг/м3.
8.31.	К стальной проволоке длиной 1=1 м и радиусом
г=1 мм подвесили груз массой т=100 кг. Найти работу А
растяжения проволоки.
8.32. Из резинового шнура длиной /=42 см и радиусом
г=3 мм сделана рогатка. Мальчик, стреляя из рогатки,
растянул резиновый шнур на Д/=20 см. Найти модуль Юнга
для этой резины, если известно, что камень массой т=
=0,02 кг, пущенный из рогатки, полетел со скоростью
ц=20 м/с. Изменением сечения шнура при растяжении
пренебречь.
8.33. Имеется резиновый шланг длиной /=50 см и
внутренним диаметром di=i см. Шланг натянули так, что
его длина стала на Д/=10 см больше. Най-
ти внутренний диаметр d2 натянутого шлан-
га', если коэффициент Пуассона для резины
о=0,5.
8.34.	На рис. 15 АВ — железная прово-
лока, CD — медная проволока такой же дли-
ны и с таким же поперечным сечением, BD —
стержень, длиной 1=80 см. На стержень под-
весили груз массой т=2 кг. На каком рас-
стоянии х от точки В надо, его подвесить,
чтобы стержень остался горизонтальным?
8.35.	Найти момент пары сил М, необхо-
Рис. 15.
димый для закручивания проволоки дли-
ной 7=10 см и радиусом r=0,1 мм на угол ф=10'.
Модуль сдвига материала проволоки	Л/=4,9НО10 Па.
105
8.36.	Зеркальце гальванометра подвешено на проволоке
; длиной 1=10 см и диаметром d=0,01 мм. Найта закручи-
вающий момент М, соответствующий отклонению, зайчика
на величину а=1 мм по шкале, удаленной на расстояние
L = 1 м от зеркальца. Модуль сдвига материала проволоки
N=4-1010 Па.
8.37.	Найти потенциальную энергию W проволоки
длиной /=5 см и диаметром d=0,04 мм, закрученной на угол
Ф=10'. Модуль сдвига материала проволоки М=5,9х
X Ю10 Па.
8.38.	При протекании электрического тока через об-
мотку гальванометра на его рамку с укрепленным на
ней зеркальцем действует закручивающий момент М =
=2-10-13 Н-м. Рамка при этом поворачивается на малый
угол <р. На это закручивание идет работа Л =8,7- 10-1в Дж.
' На какое расстояние а переместится зайчик от зеркальца
' по шкале, удаленной на расстояние L=1 м от гальвано-
метра?
8.39.	Найти коэффициент Пуассона о, при котором
объем проволоки при растяжении не меняется.
8.40.	Найти относительное изменение плотности цилинд-
рического медного стержня при сжатии его давлением
рн=9,8-107 Па. Коэффициент Пуассона для меди о=0,34.
8.41.	Железная проволока длиной /=5 м висит верти-
кально. На сколько изменится объем проволоки, если к ней
привязать гирю массой /и=10 кг? Коэффициент Пуассона
для железа о=0,3.	'
Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ЕДИНИЦЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИИ
Для получения производных единиц электрических и
магнитных величин в системе СИ используются основные
единицы: метр (м), килограмм (кг), секунда (с), ампер (А).
Производные единицы образуются на основании законов,
устанавливающих связь между физическими величинами.
Так, единица количества электричества кулон (Кл) опре-
деляется из уравнения q =It как количество электричества,
протекающее через поперечное сечение проводника за 1 с
при силе тока 1 А, т. е.
1 Кл= 1 А -1 с.
Единица разности потенциалов вольт (В) определяется из
уравнения P=UI, где Р— мощность тока, т. е.
1В=1Вт/1А.
Поступая таким же образом, мы можем найти единицы
остальных производных величин (табл. 12).
Применение системы единиц СИ связано с рационали-
зацией формул. Во многие уравнения, относящиеся к теории
электрических и магнитных явлений, входит числовой
множитель 4л (например, теорема Гаусса, емкость плоского
конденсатора, напряженность магнитного поля внутри
соленоида и т. д.). Рационализация уравнений ставит
своей целью исключение этого множителя из наиболее часто
применяемых в электротехнике и радиотехнике формул;
при этом, однако, множитель 4л войдет в другие формулы,
используемые реже, где его присутствие может быть объяс-
нено геометрическими соображениями. Электрические и
магнитные единицы системы СИ устанавливаются для ра-
ционализованной формы уравнений электромагнитного поля.
В соответствии с этим все уравнения во введениях к пара-
графам главы III даны в рационализованной форме. Как и*
в предыдущих главах, будем проводить решение задач
только в единицах системы СИ. Для этого числовые Данные,
приведенные в условиях задач, необходимо переводить в
107
Таблица 12
Величина	Единица			Размерность величины
	определение	наименование	обозна- чение	
Количество элект-	q = I1	кулон	' Кл	TI
ричества (элект- рический заряд)				
		•		
Поток электриче-	ND = ^q	кулон	Кл	TI
ского смещения Линейная плот-	i = qll	кулон на метр	Кл/м	L-'TI
иость электриче- ского заряда				
Поверхностная	v — q/S	кулон на квад-	Кл/м2	L~2Tf
плотность элект-		ратный метр		
рического заряда			Кл/м2	L~2TI
Электрическое сме-	D=o	кулон на квад-		
щение		ратный метр		L~STI
Объемная плот-	&~q/V .	куло.ч на куби-	Кл/м3	
ность электриче- ского заряда		ческнй метр		
Разность потенцна-	U = A/q	вольт	В	
лов; электродви- жущая сила Напряженность	E = UH	вольт на метр	В/м	LMT-*!-1
электрического поля				
Электрическое соп-	R = U!I	ОМ	Ом	Ь2МТ~31~2
ротнвление Электрическая про-	G = l/R	сименс	См	l-2m~it3i3
водимость				
Удельное электрн-	p = RS/l	ом-метр	Ом-м	L»MT-31-2
ческое сопротив- ление	*			
Удельная электрн-	o= 1/p	сименс на метр	См/м	/.-’Л/-1?3/2
ческая проводи- мость				
Электрическая ем-	C = q/U	фарад	Ф	/.-ЭД-1?4/2
КОСТЬ				
Плотность тока	l=i/s	ампер на квад-	А/м2	L-2I
Магнитный поток	}d®\ = £dt	ратный метр вебер	Вб	Ь2МТ-21~^
Магнитная индук-	В^Ф/S	тесла	Тл	MT-2!-1
ция				
Индуктивность	ILI &	генри	Гн	L2MT-2!-2
	11 ~~ dl/dt			
Напряженность	H=//2nr	ампер на метр	А/м	L~4
магнитного поля Магнитный момент	p = IS	ампер-квад-	А-м2	L2I
	 -	ратный метр		
108
единицы системы СИ. В табл. 13 приведены соотношения
между некоторыми единицами систем СГС и СИ.
 Так как в системе СГС большинство единиц не имеет
наименований, то единицу какой-либо физической величи-
ны мы будем обозначать символом этой системы с соответ-
ствующим индексом. Так, например, единицу силы тока —
символом СГСП единицу емкости — СГСс и т. д.
Приведенные в табл. 13 соотношения даны между еди-
ницами системы СГС для нерационализованной формы
уравнений и единицами системы СИ для рационализованной
формы уравнений электромагнитного поля. О связи между
нерационализованными и рационализованными уравнения-
ми см. в табл. I. 
Введем относительную диэлектрическую проницаемость
среды е=е7е0, где е' — абсолютная диэлектрическая про-
ницаемость среды., числовое значение которой зависит как
от свойств среды, так и от выбора системы единиц. Величина
е0 называется электрической постоянной, ее числовое зна-
чение зависит только от выбора системы единиц. Тогда во
всех уравнениях вместо е' мы можем брать численно рав-
ную. ей величину еое, где е0 — электрическая постоянная и
е — диэлектрическая проницаемость среды относительно
вакуума, т. е. обычное табличное значение диэлектриче-
ской проницаемости. В системе СГС е0=1 и е'=е; в систе-
ме СИ	•
е0 =^-107Ф/м== 8,85418782-10-12Ф/м (с « 3-10» см/с).
Аналогично вместо абсолютной магнитной проницаемо-
сти среды р' мы будем брать численно равную ей величину
рор, где рв — магнитная постоянная и р — магнитная
проницаемость среды относительно вакуума, т. е. обычное
табличное значение магнитной проницаемости. В системе
СГС р0=1 и р'=р; в системе СИ
р0 = 4л-10~7 Гн/м = 12,5663706144- 10-7Гн/м.
Примеры решения задач
Задача 1. Найти радиус шарика, находящегося в
воздухе, если известно, что при заряжении его до потен-
циала 4 СГС», поверхностная плотность заряда равна
0,138 СГСф/см*.

Т аб л и ца 13
Величина	'		ч Единица и ее связь с единицами СИ
Ток	1 СГС/ = ^-А=4" Ю-8 А "С	0
Количество электричества	1 СГС„=— Кл=4- • 10-9 Кл 4 с	3
Поток электрического смещения	1 СГСдг= *2. Кл=г-Ц- • 10-9 Кл и 4лс	4л *3
Электрическое смещение	105	1 1 СГСл=-™- Кл/м2 = -7-Ц • 10-2 Кл/м2 4лс	4л *3
Поверхностная плотность электрического заряда	1 СГС0 =; 1 СГСвУсм2=-^- Кл/м2 = =4 • Ю-S Кл/м2 и
Разность потенциалов; электродвижущая сила	1 СГСу = с-10-в В = 3-102 в .
Напряженность электри- ческого поля	1 СГС£=с-10-« В/М = 3.1О4 В/м
Электрическое сопротив- ление	1 СГСг = с2-10~9 Ом=9-Ю11 Ом
Удельное электрическое сопротивление	1 СГСр = с2-10-11 Ом-м = 9-109 Ом м
Электрическая емкость	1 СГСс=Дг • ю8ф = 4- • Ф с*	9
Плотность тока	105	1 1 СГСу = -^-А/м2=~ . 10-е А/м2
Магнитный поток	1 СГСф=1 Мкс ==10-8 Вб
Магнитная индукция	1 СГСВ=1 Гс= 10-4 Тл
Индуктивность	1 СГСд—-1 см =10“9 Гн
Напряженность магнит- ного поля	1 СГС„=1 Э = -/- • 103 А/м п	4л
Примечание. Ватой таблице Числовое значение скорости
света в вакууме выражено в сантиметрах в секунду, т. е.
с=310х0 см/с.
110
Решение. Заряд шара, q, его емкость С и потенциал <р
связаны соотношением
С = р	(О
где
<7 = ог-4№.	(2)
Кроме того, емкость шара
С=4леоег.	(3)
Из (1) — (3) имеем
Подставляя числовые данные е0=8,85-10~12 Ф/м, е=1, <р—
=4 СГСФ=12- 10а В, о = 0,138 СГС^/см2 =	• 10"5 Кл/м2,
получим
Задача 2. Электрическое смещение в плоском кон-
денсаторе равно 10“5 Кл/м2. Найти поверхностную плот-
ность зарядов на пластинах конденсатора.
Решение. Имеем D=eaeE, но /?=о/еве; поэтому
=	(О
т. е. электрическое смещение численно равно поверхностной
плотности зарядов на пластинах конденсатора. У нас D —
= 10“5 Кл/м2; следовательно, и ст=10—£ Кл/м2.
Выразим теперь значения D и от в единицах системы СГС.
Так как
1 СГСд = Кл/м2, или 1 Кл/м2 = СГСд, (2)
то
D = 10-’ Кл/м2 = 10-5 СГСд = 37,7СГСО.	(3)
Учитывая, что 1 Кл=с/10 СГС? и 1 м=102 см, имеем
1 Кл/м2 = СГС?/см2 = 3-105 СГС?/см2, (4)
так что
о = 10“5 Кл/м2 = 10~5.3-105 СГС?/см2 = 3 СГС4/см*. (5)
111
Таким образом, величины D и а численно равны только
в рационализованной системе СИ. В нерационализованной
системе СГС их числовые значения уже- не совпадают.
Поэтому при переводе в систему СГС единицы «кулон на
квадратный метр» необходимо учитывать, у какой величи-
ны стоит это наименование, так как, согласно (2) и (4),
имеем
1 Кл/м2 = СГСд, 1 Кл/м2 = 3-10? СГС9/см2.
3 а д а ч а 3. При пропускании тока 4 А через обмотку
длинной катушки без сердечника магнитный поток через эту
катушку был равен 250 Мкс. Площадь поперечного сечения
катушки равна 5 см2. Какое число витков на единицу
длины имеет эта катушка?
Решение. Магнитный поток через соленоид определяется
формулой Ф=р0р7п5; отсюда
П =----гр-.	(1)
Подставляя числовые данные Ф=250 Мкс=250-10-8 Вб,
р0=12,57* 10“’ Гн/м, ц=1, 7=4 А, 5=5 см2=5-10"4 м2,
получим
12,57-10-М-5.10-* М ~ ЮООм •
Задача 4. Плоский конденсатор периодически заря-
жается от батареи аккумуляторов до разности потенциалов
80 В и разряжается через соленоид (без сердечника)'. Пере-
ключение конденсатора происходит с частотой 100 с-1.
Площадь пластин конденсатора равна 100 см2, расстояние
между пластинами равно 4,7 мм. Пространство между
пластинами заполнено парафином (е=2,1). Соленоид дли-
ной 25 см имеет 250 витков. Найти среднюю магнитную
индукцию в соленоиде.
Решение. При каждом разряде конденсатора через со-
леноид пройдет количество электричества q—CU, где С=
=eoeS/d — емкость конденсатора. Средняя сила тока, иду-
щего через соленоид, I—qn, где п — частота разрядов
конденсатора. Напряженность магнитного поля внутри
соленоида H=INH. Магнитная индукция в соленоиде В=
=цоц7/. Из этих уравнений получим окончательно
112
Подставляя числовые данные р.в= 12,57.10"’ Гн/м, р=1,
ев=8,85-10"14 Ф/м, е=2,1, S = 100 см4 = 10Q-10"* м4,
Г/=80 В, n=100c-1, jV=250, /=25 см=0,25 м и d=4,7x
X10"3 м, получим
D 12,57-10_7-1-8>85-10_12-2>1-10_2-80-102-250т QQ7 „
В =----------------0,25.4,7Л0-з---------------ТЛ = 397 ПТЛ‘
§ 9. Электростатика
По закону Кулона сила электростатического взаимодействия
между двумя заряженными телами, размеры которых малы по срав-
нению с расстоянием г между ними, определяется формулой
р _
4л80ег2 ’
где ?! и q2— электрические заряды тел, е — относительная диэлектри-
ческая проницаемость среды, е0=8,85418782-10“18 Ф/м — электри-
ческая постоянная.
Напряженность электрического поля определяется формулой
где F — сила, действующая на заряд q. Напряженность поля точеч-
ного заряда
£ = ______
4Л808Г2‘
Напряженность электрического поля нескольких зарядов (например,
поле диполя) находится по правилу векторного сложения.
По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую
поверхность
где 2 4i— алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой
поверхности. Соответственно Ттоток электрического смещения сквозь
любую замкнутую поверхность
лъ=2<п-
При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность элект-
рического поля, образованного различными заряженными телами.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно
длинной нитью,
2л80еа’
где т — линейная плотность заряда на нити, а—расстояние от нити.
Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке,
ИЗ
находящейся- на перпендикуляре, восставленном из середины нити на
расстоянии а от нее,	г
„ rsinS
— -
' 2ле0еа*
где 0 — угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором,
проведенным из рассматриваемой точки к концу нити.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно
протяженной плоскостью,
♦
Е = ~
2е0е ’
где р — поверхностная плотность заряда на плоскости. Если пло-
скость представляет собой диск радиусом R, то напряженность поля
в точке, находящейся на перпендикуляре, восставленном из центра
диска на расстоянии а от него,
£ = а (1_________а \
2е0е	-f-а2 /’
Напряженность поля, образованного разноименно заряжёнными
параллельными бесконечными плоскостями (поля плоского конденса-
тора),
Напряженность поля, образованного заряженным шаром,
Е =
4Л80ВГ2’
где q— заряд шара радиусом R и г — расстояние от центра шара,
причем r~>R.
Электрическое смещение D определяется соотношением
D — воеЕ = а.
Разность потенциалов между двумя точками электрического поля
определяется работой, которую надо совершить, чтобы единицу поло-
жительного заряда перенести из одной точки в другую:
,, А
{/=<р£—<р2 = —
Потенциал поля точечного заряда-
т 4Л8О8Г
где г — расстояние от заряда.
Напряженность электрического поля- н потенциал связаны соот-
ношением
'	Е = ~'^.
dr '
114
В Случае однородного поля плоского конденсатора напряженность
где U — разность потенциалов между пластинами конденсатора, d —
расстояние между ними.
Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотно-
шением
<7 = С<р,
где С — емкость уединенного проводника.
Емкость плоского конденсатора
г___8083
d ’
где 3 — площадь каждой пластины конденсатора.
Емкость сферического конденсатора*
г _ 4леоег/?
~ R~r ’
где г и R — радиусы внутренней и внешней сфер. В частном случае,
когда /?=оо,
С—4ле0ег
— емкость уединенного шара.
Емкость цилиндрического конденсатора
= 2ле0еЛ
где L — высота коаксиальных цилиндров, г и R — радиусы внутрен-’
него и внешнего цилиндров.
Емкость системы конденсаторов:
при параллельном соединении конденсаторов
С — Ci+С2 с3 +...,
при последовательном соединении
Энергия уединенного заряженного проводника может быть най-
дена по одной из следующих формул:
В случае плоского конденсатора энергия
ge&Sl?3 ^t&Sd^Sd
W~ 2d 2	2^6*
J15
где S — площадь каждой пластины конденсатора, а — поверхностная
плотность заряда на пластинах, U — разность потенциалов между
пластинами, d — расстояние между ними. Величина
Гп=^-—
0	2 ~ 2
называется объемной плотностью энергии электрического поля.
Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора
_ eo₽£'2S_8o8SL'2_02S
Л = 2	— 2d2 —2s08 ‘
9.1.	Найти силу F притяжения между ядром атома водо-
рода и электроном. Радиус атома водорода г=0,5-10-10 м;
заряд ядра равен по модулю и противоположен по знаку
заряду электрона.
9.2.	Два точечных заряда, находясь в воздухе (е=1) на
расстоянии Г1=20 см друг от> друга, взаимодействуют с
некоторой силой. На каком расстоянии г2 нужно поместить
эти заряды в масле, чтобы получить ту же силу взаимодей-
ствия?
9.3.	Построить график зависимости силы F взаимодей-
ствия между двумя точечными зарядами от расстояния г
между ними в интервале 2^г^10 см через каждые 2 см.
Заряды 91=20 нКл и 92=30 нКл.
9.4.	Во сколько раз сила гравитационного притяжения
между двумя протонами меньше силы их электростатиче-
ского отталкивания? Заряд протона равен по модулю и
противоположен по знаку заряду электрона.
9.5.	Найти силу F электростатического отталкивания
между ядром атома натрия и бомбардирующим его прото-
ном, считая, что протон подошел к ядру атома натрия на
расстояние г=6-10~14 м. Заряд ядра натрия в 11 раз больше
заряда протона. Влиянием электронной оболочки атома
натрия пренебречь.
9.6.	Два металлических одинаково заряженных шарика
массой т=0,2 кг каждый находятся на некотором расстоя-
нии друг от друга. Найти заряд q шариков, если известно,
чтог на этом расстоянии энергия ТГ0Л_их электростатиче-
ского взаимодействия в миллион раз больше энергии
IFrp их гравитационного взаимодействия.
9.7.	Во сколько раз энергия ТГ8Л электростатического
взаимодействия двух частиц с зарядом q и массой т каждая
больше энергии их гравитационного взаимодействия?
Задачу решить для: а) электронов; б) протонор.
116
9.8.	Построить график зависимости энергии П7ЭЛ элект-
ростатического взаимодействия двух точечных зарядов от
расстояния г между ними в интервале 2^г^10 см через каж-
дые 2 см. Заряды ^=1 нКд и <?2=3 нКл; е=1. График по-
строить для: а) одноименных зарядов; б) разноименных
зарядов.
9.9.	Найти напряженность Е электрического поля в точ-
ке, лежащей посередине между точечными зарядами
—8 нКл и q2=—6 нКл. Расстояние между зарядами г—
= 10 см; 8=1.
9.10.	В центр квадрата, в каждой вершине которого,
находится заряд </=2,33 нКл, помещен отрицательный за-
ряд q0. Найти этот заряд, если на каждый заряд q действует
результирующая сила F=0.
9.11.	В вершинах правильного шестиугольника распо-
ложены три положительных и три отрицательных заряда.
Найти напряженность Е электрического поля в центре шес-
тиугольника при различных комбинациях в расположе-
нии этих зарядов. Каждый заряд q= 1,5 нКл; сторона шес-
тиугольника ц=3 см.
9.12.	Решить предыдущую задачу при условии, что все
шесть зарядов, расположенных в вершинах шестиугольника,
положительны.
9.13.	Два точечных заряда ^1=7,5 нКл и q2=—14,7 нКл
расположены на расстоянии г=5 см. Найти напряженность
Ё электрического поля в точке, находящейся на расстояни-
ях а=3 см от положительного заряда и Ь=4 см от отрица-
тельного заряда.
9.14.	Два шарика одинаковых радиуса и массы подве-
шены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности
соприкасаются. После сообщения шарикам заряда qt=
=0,4 мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на
угол 2а=60°. Найти массу т каждого шарика, если рас-
стояние от центра шарика до точки подвеса /=20 см.
9.15.	Два шарика одинаковых радиуса и массы подве-
шены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности
соприкасаются. Какой заряд q нужно сообщить шарикам,
чтобы сила натяжения нитей стала, равной Т=98 мН? Рас-
стояние от центра шарика до точки подвеса /=10 см; масса
каждого шарика т=5 г.
9.16.	Найти плотность р материала шариков задачи 9.14,
если известно, что при погружении этих шариков в керосин
угол расхождения нитей стал равным 2ак=54°.
9.17.	Два заряжённых шарика одинаковых радиуса и
массы подвешены на нитях одинаковой длины и опущены
117
в жидкии диэлектрик, плотность которого равна р и ди-
электрическая проницаемость равна е. Какова должна
быть плотность ро материала шариков, чтобы углы расхож-
дения нитей в воздухе и в диэлектрике были одинако-
выми?
9.18.
скость с
Рнс. 16.
На рис. 16 АА — заряженная бесконечная пло-
поверхностной плотностью заряда ст=40 мкКл/м2
и В — одноименно заряженный шарик с мас-
сой т=1 г и зарядом q=l нКл. Какой угол
а с плоскостью А А образует нить, на кото-
рой висит шарик?
9.19.	На рис 16 АА'—заряженная беско-
нечная плоскость и В — одноименно заряжен-
ный шарик с массой /п=0,4 мг и зарядом 7=
=667 пКл. Сила натяжения нити, на которой
висит шарик, 7'=0,49мН. Найти поверхност-
ную плотность заряда о на плоскости АА.
9.20.	Найти силу F, действующую на заряд
7=2 СГС?, если заряд помещен: а) на расстоя-
нии г—2 см от заряженной нити с линейной
плотностью заряда т=0,2 мкКл/м; б) в
поле заряженной плоскости с поверхностной плот-
ностью заряда о=20 мкКл/м2; в) на расстоянии г=2 см
от поверхности заряженного шара с радиусом В=2см.
и поверхностной плотностью заряда о=20 мкКл/м2. Ди-
электрическая проницаемость среды е=6.
9.21.	Построить на одном графике кривые зависимости
напряженности Е электрического поля от расстояния г
в интервале 1^г^5 см через каждый 1 см, если поле об-
разовано: а) точечным зарядом 7=33,3 нКл; б) бесконечно
длинной заряженной нитью с линейной плотностью заря-
да т^=1,67 мкКл/м, в) бесконечно протяженной плоскостью
с поверхностной плотностью заряда о=25 мкКл/м2.
9.22.	Найтн напряженность Е электрического поля на
расстоянии г—0,2 нм от одновалентного иона. Заряд иона
считать точечным.
9.23.	С какой силой электрическое поле заряженной
бесконечной плоскости действует на единицу длины заря-
женной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле?
Линейная плотность заряда на нити т=3 мкКл/м и поверх-
ностная плотность заряда на плоскости <г=20 мкКл/м2.
9.24.	С какой силой Ft на единицу длины отталкивают-
ся две одноименно заряженные бесконечно длинные нити
с .одинаковой линейной плотностью заряда т=3 мкКл/м,
находящиеся на расстбянии г,=2 см друг от друга? Какую
11$
работу Лг на единицу длины надо совершить, чтобы сдви-
нуть эти нити до расстояния г2=1 см?
9.25.	Две длинные одноименно заряженные нити рас-
положены на расстоянии г= 10 см друг от друга. Линейная
плотность заряда на нитях Т!=т^=10 мкКл/м. Найти
модуль и направление напряженности Е результирующего
электрического поля в точке, находящейся на расстоянии
ц=10 см от каждой нити.
9.26.	С какой силой F s на единицу площади отталкива-
ются две одноименно заряженные бесконечно протяженные
плоскости? Поверхностная плотность заряда на плоскостях
о=0,3 мКл/м2.
9.27.	Медный шар радиусом Д=0,5 см помещен в масло.
Плотность масла рм—0,8-103 кг/м3. Найти заряд q шара,
если в однородном электрическом поле шар оказался взве-
шенным в масле. Электрическое поле направлено верти-
кально вверх и его напряженность £=3,6 МВ/м.
9.28.	В плоском горизонтально расположенном конден-
саторе заряженная капелька ртути находится в равновесии
при напряженности электрического поля £=60 кВ/м. За-
ряд капли <7=2,4-10~° СГС?. Найти радиус R капли.
9.29.	Показать, что электрическое поле, образованное
заряженной нитью конечной длины, в предельных случаях
переходит в электрическое поле: а) бесконечно длинной за-
ряженной нити; б) точечного заряда.
9.30.	Длина заряженной нити /=25 см. При каком пре-
дельном расстоянии а от нити по нормали к середине нити
электрическое поле можно рассматривать как поле беско-
нечно длинной заряженной нити? Ошибка при таком допу-
щении не должна превышать 6=0,05. Указание.
Допускаемая ошибка б = (£2—E^IE^, где £2— напряжен-
ность электрического поля бесконечно длинной нити, £х —
напряженность поля нити конечной длины.
9.31.	В точке А, расположенной на расстоянии п=5 см
от бесконечно длинной заряженной нити, напряженность
электрического поля £=150 кВ/м. При какой предельной
длине / нити найденное значение напряженности будет
верным с точностью до 2%, если точка А расположена на
нормали к середине нити? Какова напряженность £ элект-
рического полян точке Л, если длина нити /=20ем? Линей-
ную плотность заряда на нити конечной длины считать
равной линейной плотности заряда на бесконечно длинной
нити. Найти линейную плотность заряда % на нити.
<9«82. Кольцо из проволоки радиусом 2?=10 см имеет
отрицательный заряд q=—5 нКл. Найти напряженности £
•119
электрического поля на оси кольца в точках, расположён-
ных от центра кольца на расстояниях L, равных 0, 5, 8, 10
и 15 см. Построить график E=f(L). На каком расстоянии
L от Центра кольца напряженность Е электрического Поля
будет иметь максимальное значение? .
9.33.	Напряженность электрического поля на. оси заря-
женного кольца имеет максимальное значение на расстоя-
нии L от центра кольца. Во сколько .раз напряженность
электрического поля в точке, расположенной на расстоянии
0,5£ от центра кольца, будет меньше максимального зна-
чения напряженности?
9.34.	Показать, что электрическое поле, образованное
заряженным диском, в предельных случаях переходит в
электрическое поле: а) бесконечно протяженной плоскости;
б) точечного заряда.
9.35.	Диаметр заряженного диска Р=25 см. При каком
предельном расстоянии а от диска по нормали к его центру
электрическое поле можно рассматривать как поле беско-
нечно протяженной плоскости? Ошибка при таком допу-
щении не должна превышать 6=0,05. Указание. До-
пускаемая ошибка 6=(£2—EJ/Ег, где £2—напряжен-
ность поля бесконечно протяженной плоскости, — на-
пряженность поля дйска.
9.36.	Требуется найти напряженность Е электрическо-
го поля в точке А, расположенной на расстоянии а=5 см
от заряженного диска по нормали к его центру. При каком
предельном радиусе R диска поле в точке А не будет отли-
чаться более чем на 2% от поля бесконечно протяженной
плоскости? Какова напряженность Е поля в точке А, если
радиус диска /? = 10а? Во сколько раз найденная Напря-
женность в этой точке меньше напряженности поля беско-
нечно протяженной плоскости?
9.37.	Два параллельных разноименно заряженных диска
с одинаковой поверхностной плотностью Заряда на них рас-
положены на расстоянии d=l см друг от друга. Какой пре-
дельный радиус R могут иметь диски, чтобы между цент-
рами дисков поле отличалось от поля плоского конденсато-
ра не более чем на 5%? Какую ошибку 6 мы допуска-
ем, принимая для этих точек напряжённость поля рав-
ной напряженности поля плоского конденсатора при
K/d=10?
9.38.	Шарик массой т=40 мг, имеющий положитель-
ный заряд нКл, движется со скоростью v—10 см/с.
На какое расстояние г может приблизиться шарик к поло-
жительному точечному заряду ф«*1,ЗЗнКл?
120
9.39.	До какого расстояния г могут сблизиться два элек-
трона, если они движутся навстречу друг другу с относи-
тельной скоростью цо=10* м/с?
9.40.	Протон (ядро атома водорода) движется со ско-
ростью у=7,7-10* м/с. На какое наименьшее расстояние г
может приблизиться протон к ядру атома алюминия? Заряд
ядра атома алюминия q=Ze, где Z — порядковый номер
атома в таблице Менделеева и е — заряд протона, равный
по модулю заряду электрона. Массу протона считать рав-
ной массе атома водорода. Протон и ядро атома алюминия
считать точечными зарядами. Влиянием электронной обо-
лочки атома алюминия пренебречь.
9.41.	При бомбардировке неподвижного ядра натрия
а-частицей сила отталкивания между ними достигла зна-
чения .F= 140 Н. На какое наименьшее расстояние г при-
близилась а-частица к ядру атома натрия? Какую скорость
v имела а-частица? Влиянием электронной оболочки атома
натрия пренебречь.
9.42.	Два шарика с зарядами ^=6,66 нКл и q^=
= 13,33 нКл находятся на расстоянии п=40 см. Какую
работу А надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния
га=25 см?
9.43.	Шар радиусом Д = 1 см, имеющий заряд q=
=40 нКл, помещен в масло. Построить график зависимости
U=f(L) для точек поля, расположенных от поверхности
шара на расстояниях' L, равных 1, 2, 3, 4 и 5 см.
9.44.	Найти потенциал <р точки поля, находящейся на
расстоянии г=10 см от центра заряженного шара радиусом
R — 1 см. Задачу решить, если: а) задана поверхностная
плотность заряда на шаре о=0,1 мкКл/м2; б) задан потен-
циал шара фо=ЗОО В.	*
9.45.	Какая работа А совершается при перенесении
точечного заряда </=20 нКл из бесконечности в точку, на-
ходящуюся на расстоянии г=1 см от поверхности шара ра-
диусом Д = 1 см с поверхностной плотностью заряда о=
= 10 мкКл/м2?
9.46.	Шарик с массой т=1 г и зарядом <?= 10 нКл пере-
мещается из точки 1, потенциал которой ф1=600 В, в точку
2, потенциал которой <р4=0. Найти его скорость в точке 1,
если в точке 2 она стала равной ца=20 см/с.
9.47.	Найти скорость v электрона, прошедшего разность
потенциалов U, равную: 1, 5, 10, 100, 1000 В.
9.48.	При радиоактивном распаде из ядра атома полония
вылетает а-частйца со скоростью v—1,6-10’ м/с. Найти ки-
нетическую энергию WK а-частицы и разность потенциалов
121
U поля, в котором можно разогнать покоящуюся ««частицу
до такой же скорости.
‘9.49. На расстоянии гх=4 см от бесконечно длинной
заряженной нити находится точечный заряд </=0,66 нКл.
Под действием поля заряд приближается к нити до расстоя-
ния г2=2 см; при этом совершается работа Л =50 эрг. Най-
ти линейную плотность заряда т на нити.
9.50.	Электрическое поле образовано положительно за-
ряженной бесконечно длинной нитью. Двигаясь под дейст-
вием этого поля от точки, находящейся на расстоянии г\=
= 1 см от нити, до точки г2=4 см, а-частица изменила свою
скорость от Vt=2-105-,м/с до о2=3-106 м/с. Найти линейную
плотность заряда ' т на нити.
9.51.	Электрическое поле образовано положительно за-
ряженной бесконечно длинной нитью с линейной плот-
ностью заряда т=0,2 мкКл/м. Какую скорость v получит
электрон под действием поля, приблизившись к нити с рас-
стояния Г1=1 см до расстояния г2=0,5 см?
9.52.	Около заряженной бесконечно протяженной пло-
скости находится точечный заряд 7=0,66 нКл. Заряд пе-
ремещается по линии напряженности поля на расстояние
Дг=2 см; при этом совершается работа А =50 эрг. Най-
ти поверхностную плотность заряда о на плоскости.
9.53.	Разность потенциалов между пластинами пло-
ского конденсатора [/=90 В. Площадь каждой пластины
S=60 см2, ее заряд q=l нКл. На каком расстоянии d друг
от друга находятся пластины? -
. 9.54. Плоский конденсатор можно применить в качестве
чувствительных микровесов. В плоском горизонтально рас-
положенном конденсаторе, расстояние между пластинами
которого d=3£4 мм, находится заряженная частица с за-
рядом 7=1,44-10-9 СГС(/. Для того чтобы частица находи-
лась в равновесии, между пластинами конденсатора нужно
было приложить разность потенциалов [/=40 В. Найти
массу т частицы.
9.55.	В плоском горизонтально расположенном .конден-
саторе, расстояние между пластинами которого d=l см,
находится заряженная капелька массой ,m=5-10-11 I*. В
отсутствие электрического поля капелька вследствие .сопро-
тивления воздуха падает с некоторой постоянной ско-
ростью. Если к пластинам конденсатора приложена раз-
ность потенциалов £/=?600 В, то капелька падает вдвое
медленнее. Найти заряду капельки.
9.56.	Между двумя вертикальными пластинами на оди-
наковом расстоянии от них падает пылинк'а. Вследствие
122
сопротивления воздуха пылинка падает с постоянной
скоростью Of—2 см/с. Через какое время t после подачи на
пластины разности потенциалов U=3 кВ пылинка достиг-
нет одной из пластин? Какое расстояние I по вертикали пы-
линка пролетит до попадания на пластину? Расстояние ме-
жду пластинами d—2 см, масса пылинки т=2-Г0~в г, ее
заряд 7=6,5-10~17 Кл.
9.57.	Решить предыдущую задачу в отсутствие силы со-
противления воздуха (вакуумный конденсатор).
9.58.	В плоском горизонтально расположенном конден-
саторе, расстояние между пластинами которого d=l см,
находится заряженная капелька масла. В отсутствие элект-
рического поля капелька падает с постоянной скоростью
14=0,11 мм/с. Если на пластины подать разность потенци-
алов //=150 В, то капелька падает со скоростью v2=
=0,43 мм/с. Найти радиус г капельки и ее заряд q. Дина-
мическая вязкость воздуха т] = 1,82-10~5 Па-с; плотность
масла больше плотности газа, в котором падает капелька,
на Ар=0,9-103 кг/м3.
9.59.	Между двумя вертикальными пластинами, нахо-
дящимися на расстоянии d=l см друг от друга, на нити
висит заряженный бузиновый шарик массой /п=0,1 г.
После подачи на пластины разности потенциалов //=1 кВ
нить с шариком отклонилась на угол а=10°. Найти заряд q
шарика.
9.60.	Мыльный пузырь с зарядом 7=222 пКл находится
в равновесии в поле плоского горизонтально расположен-
ного конденсатора. Найти разность потенциалов U между
пластинами конденсатора, если масса пузыря /п=0,01 г
и расстояние между пластинами d=5 см.
9.61.	Расстояние между пластинами плоского конден-
сатора d=4 см. Электрон начинает двигаться от отрицатель-
ной пластины в тот момент, когда от положительной пла-
стины начинает двигаться протон. На каком расстоя-
нии I от положительной пластины встретятся электрон
и протон?
9.62.	Расстояние между пластинами плоского конден-
сатора d— 1 см. От одной из пластин одновременно начина-
ют двигаться протон и а-частица. Какое расстояние I прой-
дет а-частица за то время, в течение которого протон прой-
дет весь путь от одной пластины до другой?
9.63.	Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от
одной пластины до другой, приобретает скорость и=10’ м/с.
Расстояние между пластинами d=5,3 мм. Найти разность
потенциалов U между пластинами, напряженность Е элек-
123
трического поля внутри конденсатора и поверхностную
плотность заряда о на пластинах.
9.64.	Электрическое поле образовано двумя параллель-
ными пластинами, находящимися на расстоянии d~2 см
друг’ от друга. К пластинам приложена разность потенци-
алов (/=120 В. Какую скорость v получит электрон под
действием поля, пройдя по линии напряженности расстоя-
ние Дг=3 мм?
9.65.	Электрон в однородном электрическом поле полу-
чает ускорение а=1012 м/с2. Найти напряженность Е элект-
рического поля, скорость V, которую получит электрон за
время /=1 мкс своего движения, работу А сил электриче-
ского поля за это время и разность потенциалов U, прой-
денную при этом электроном. Начальная скорость электро-
на по=0.
9-66. Электрон летит от одной пластины плоского кон-
денсатора до другой. Разность потенциалов между пласти-
нами (7=3 кВ; расстояние между пластинами <7=5 мм.
Найти силу F, действующую на электрон, ускорение а
электрона, скорость и, с которой электрон приходит ко вто-
рой пластине, и поверхностную плотность заряда о на
пластинах.
9.67.	Электрон с некоторой начальной скоростью п0
влетает в плоский горизонтально расположенный .конден-
сатор параллельно пластинам на равном расстоянии от
них. Разность потенциалов между пластинами конденсато-
ра 17=300 В; расстояние между пластинами d=2 см; дли-
на конденсатора 7= 10 см. Какова должна быть предельная
начальная скорость о» электрона, чтобы электрон не вы-
летел из конденсатора? Решйть эту же задачу для a-ча-
стицы.
9.68.	Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский
горизонтально расположенный конденсатор параллельно
пластинам на равном расстоянии от них. Напряженность
пол я-в конденсаторе Е —100 В/м; расстояние между пласти-
нами <7=4 см. Через какое время t после того, как электрон
влетел в конденсатор, он попадет на одну из пластин? На
каком, расстоянии s от начала конденсатора электрон по-
падет на пластину, если он ускорен разностью потенциалов
17=60 В?
9.69.	Электрон влетает в плоский горизонтально распо-
ложенный конденсатор параллельно пластинам со скоро-
стью t>o=9-10е м/с. Разность потенциалов между пласти-
нами (7=100 В; расстояние между, пластинами <7=1 см.
Найти полное а, нормальное ап и тангенциальное ах уско-
124
рения электрона через время /=10 нс после начала его
движения в- конденсаторе.
9.70.	Протон и а-частица, двигаясь с одинаковой ско-
ростью, влетают в плоский конденсатор параллельно пла-
стинам. Во сколько раз отклонение протона полем конден-
сатора будет больше отклонения а-частицы?
9.71.	Протон и а-частица, ускоренные одной и той же
разностью потенциалов, влетают в плоский конденсатор
параллельно пластинам. Во сколько раз отклонение прото-
на полем конденсатора будет больше отклонения а-частицы?
9.72.	Электрон влетает в плоский горизонтально распо-
ложенный конденсатор параллельно его пластинам со ско-
ростью ио=107м/с. Напряженность поля в конденсаторе
£=10 кВ/м; длина конденсатора /=5 см. Найти модуль и
направление скорости v электрона при вылете его из кон-
денсатора.
9.73.	Пучок электронов, ускоренных разностью потен-
циалов {/о=ЗОО В, при прохождении через незаряженный
плоский горизонтально расположенный конденсатор парал-
лельно .его пластинам дает светящееся пятно на флуоресци-
рующем экране, расположенном на расстоянии х=12см
от конца конденсатора. При зарядке конденсатора пятно
на экране смещается на расстояние у—3 см. Расстояние
между пластинами d=l,4 см; длина конденсатора /=6см.
Найти разность потенциалов U, приложенную к пласти-
нам конденсатора.
9.74.	Электрон движется в плоском горизонтально рас-
положенном конденсаторе параллельно его пластинам со
скоростью ц=3,6-107 м/с. Напряженность поля внутри кон-
денсатора £=3,7 кВ/м; длина пластин конденсатора 1=
=20 см. На какое расстояние у сместится электрон в вер-
тикальном направлении под действием электрического поля
за время его движения в конденсаторе?
9.75.	Протон влетает в плоский горизонтально распо-
ложенный конденсатор параллельно его пластинам со ско-
ростью г70=1,2-10^ м/с. Напряженность поля внутри кон-
денсатора £=3 кВ/м; длина пластин конденсатора /=10 см.
Во сколько раз скорость протона v при вылете из конденса-
тора будет больше его начальной скорости цв?
9.76.	Между пластинами плоского конденсатора, нахо-
дящимися на расстоянии <Л=5 мм друг от друга, приложе-
на разнобть потенциалов {/=150 В. К одной из пластин
прилегает плоскопараллельная пластинка фарфора толщи-
ной da=3 мм. Найти напряженности Ei и £, электриче-
ского поля в воздухе и фарфоре.
125
9.77.	Найти емкость С земного шара. Считать радиус
земного шара Я=6400 км. На сколько изменится потенциал
<р земного шара, если ему сообщить заряд д—1 Кл?
9.78.	Шарик радиусом 7?=2 см заряжается отрицатель-
но до потенциала q>=2 кВ. Найти массу т всех электронов,
составляющих заряд, сообщенный шарику.
9.79.	Восемь заряженных водяных капель радиусом
г=1 мм и зарядом 7=0,1 нКл каждая сливаются в одну
общую водяную каплю. Найти потенциал др большой
капли.
9.80.	Два шарика одинаковых радиуса R — 1 см и массы
/и=40 мг подвешены на нитях одинаковой длины так, что
их поверхности соприкасаются. Когда шарики зарядили,
нити разошлись на некоторый угол и сила натяжения
нитей стала равной 7=490 мкН. Найти потенциал <р заря-
женных шариков, если известно, что расстояние от центра
каждого шарика до точки подвеса 1=10 см.
9.81.	Шарик, заряженный до потенциала ф=792 В,
имеет поверхностную плотность заряда о=333 нКл/м2.
Найти радиус г шарика.
9.82.	Найти соотношение между радиусом шара R и мак-
симальным потенциалом <р, до которого он может быть за-
ряжен в воздухе, если при нормальном давлении разряд
в воздухе наступает при напряженности электрического
поля £0=ЗМВ/м. Каким будет максимальный потенциал <р
шара диаметром D = 1 м?
9.83.	Два шарика одинаковых радиуса 7?=1 см и массы
т=0,15 кг заряжены до одинакового потенциала <р=3 кВ
и находятся на некотором расстоянии t\ друг от друга. При
этом их энергия гравитационного взаимодействия И7гр=
= 10-11 Дж. Шарики сближаются до расстояния г2- Работа,
необходимая для сближения шариков, А— 2-Ю"6 Дж. Най-
ти энергию Ц/эл электростатического взаимодействия
шариков после их сближения.
9.84.	Площадь пластин плоского воздушного конден-
сатора S=1 м2, расстояние между ними с(=1,5мм. Найти
емкость С этого конденсатора.
9.85.	Конденсатор предыдущей задачи заряжен до раз-
ности потенциалов 17=300 В. Найти поверхностную плот-
ность заряда и на его пластинах.
9.86.	Требуетс-я изготовить конденсатор емкостью С=
=250 пФ. Для этого на парафинированную бумагу тол-
щиной =0,05 мм наклеивают с обеих сторон кружки
станиоля. Каким должен быть диаметр Ь кружков
станиоля?
.126
9.87.	Площадь пластин плоского воздушного конденса-
тора S=0,01 м2, расстояние между ними d=5 мм. К пласти-
нам приложена разность потенциалов £71=300 В. После
отключения конденсатора от источника напряжения про-
странство между пластинами заполняется эбонитом. Ка-
кова будет разность потенциалов U 2 между пластинами пос-
ле заполнения? Найти емкости конденсатора Ci и Сг и по-
верхностные плотности заряда Of и оа на пластинах до и
после заполнения.
9.88.	Решить предыдущую задачу для случая, когда за-
полнение пространства между пластинами изолятором про-
изводится при включенном источнике напряжения.
9.89.	Площадь пластин плоского конденсатора S =
=0,01 м2, расстояние между ними d=l см. К пластинам
приложена разность потенциалов £7=300 В. В пространст-
ве между пластинами находятся плоскопараллельная пла-
стинка стекла толщиной <7т=0,5 см и плоскопараллельная
пластинка парафина толщиной da=0,5 см. Найти напря-
женности Ei и Е^ электрического поля и падения потенци-
ала £71и £7а в каждом слое. Каковы будут при этом емкость
С конденсатора и поверхностная плотность заряда о на
пластинах?
9.90.	Между пластинами плоского конденсатора, нахо-
дящимися на расстоянии d=l см друг от друга, приложена
разность потенциалов £7=100 В. К одной из пластин при-
легает плоскопараллельная пластинка кристаллического
бромистого таллия (е=173) толщиной d0=9,5 мм. После
отключения конденсатора от источника напряжения пла-
стинку кристалла вынимают. Какова будет после этого
разность потенциалов £7 между пластинами конденсатора?
9.91.	Коаксиальный электрический кабель состоит из
центральной жилы и концентрической цилиндрической обо-
лочки, между которыми находится диэлектрик (е=3,2).
Найти емкость Cz единицы длины такого кабеля, если ра-
диус жилы г=1,3см, радиус оболочки R=3,0 см.
9.92.	Радиус центральной жилы коаксиального кабеля
г= 1,5 см, радиус оболочки 7?=3,5 см. Между центральной
жилой и оболочкой приложена разность потенциалов £7=
=2,3 кВ. Найти напряженность Е электрического поля на
расстоянии х=2 см от оси кабеля.
9.93.	Вакуумный цилиндрический конденсатор имеет
радиус внутреннего цилиндра г—1,5 см и радиус внешнего
цилиндра R=3,5 см. Между цилиндрами приложена раз-
ность потенциалов £7=2,3 кВ. Какую скорость о получит
электрон под действием поля этого конденсатора, двигаясь
127
с расстояния /1=2,5 см до расстояния /а=2 см от оси
цилиндра?
9.94.	Цилиндрический конденсатор состоит из внутрен-
него цилиндра радиусом г=3 мм, двух слоев диэлектрика
и внешнего цилиндра радиусом 7? = 1 см. Первый слой ди-
электрика толщиной di=3 мм примыкает к внутреннему
цилиндру. Найти отношение падений потенциала /7х//72
в этих слоях.
9.95.	При изучении фотоэлектрических явлений ис-
пользуется сферический конденсатор, состоящий из металли-
ческого шарика диаметром d= 1,5 см (катода) и внутренней
поверхности посеребренной изнутри сферической колбы
диаметром D = 11 см (анода). Воздух из колбы откачивается.
Найти емкость С такого конденсатора.
9.96.	Каким будет потенциал <р шара радиусом г—3 см,
если: а) сообщить ему заряд q=\ нКл, б) окружить его кон-
центрическим шаром радиусом R=4 см, соединенным с зем-
лей?
9.97.	Найти емкость С сферического конденсатора, со-
стоящего из двух концентрических сфер с радиусами г—
= 10 см и R = 10,5 см. Пространство между сферами запол-
нено маслом. Какой радиус Ro должен иметь шар, поме-
щенный в масло, чтобы иметь такую же емкость?
9.98.	Радиус внутреннего шара воздушного сфериче-
ского конденсатора г=1 см, радиус внешнего шара /?=
=4 см. Между шарами приложена разность потенциалов
/7=3 кВ. Найти напряженность Е электрического поля на
расстоянии х=3 см от центра шаров.
9.99.	Радиус внутреннего шара вакуумного сфериче-
ского конденсатора г=1 см, радиус внешнего шара /? =
=4 см. Между шарами приложена разность потенциалов
U=3 кВ. Какую скорость v полу-
чит электрон, приблизившись к
центру шаров с расстояния Xj=3
см до расстояния ха=2 см?
9.100.	Найти емкость С системы
конденсаторов, изображенной на
рис. 17. Емкость каждого конден-
сатора Сг=0,5 мкФ.
9.101.	При помощи электро-
метра сравнивали между собой
емкости двух конденсаторов. Для этого заряжали их
до разностей потенциалов /71=300 В и /72=100 В и соеди-
няли оба конденсатора параллельно. Измеренная при этом
электрометром разность потенциалов между обкладками
128
Ч сг
----II----II----°’
Рис. 18.
конденсатора оказалась равной £7=250 В. Найти отноше-
ние емкостей Сг/С2.
9.102.	Разность потенциалов между точками А и В
(рис. 18) £7=6 В. Емкость первого конденсатора Ci=2 мкФ
и емкость второго конденсатора С2=4 мкФ. Найти заряды
и q3 и разности потенциалов Ux и
U2 на обкладках каждого конденса-
тора.
9.103.	В каких пределах может ме-
няться емкость С системы, состоящей
из двух конденсаторов, если емкость
одного из конденсаторов постоянна и равна ^=3,33 нФ,
а емкость С2 другого изменяется от 22,2 до 555,5 пФ?
9.104.	В каких пределах может изменяться емкость С
системы, состоящей из двух конденсаторов переменной ем-
кости, если емкость Сг каждого из них изменяется от 10
до 450 пФ?
9.105.	Конденсатор емкостью С==20 мкФ заряжен до
разности потенциалов £7=100 В. Найти энергию W этого
конденсатора.
9.106.	Шар радиусом 7? = 1 м заряжен до потенциала
<р=30 кВ. Найти энергию W заряженного шара.
9.'107	. Шар, погруженный в керосин, имеет потенциал
<р=4,5 кВ и поверхностную плотность заряда о=
= 11,3 мкКл/м2. Найти радиус R, заряд q, емкость С и энер-
гию IE шара.
9.108.	Шар 1 радиусом 7?1=10см, заряженный до по-
тенциала Ф1=3 кВ, после отключения от источника напря-
жения соединяется проволочкой (емкостью которой мож-
но пренебречь) сначала с удаленным. незаряженным ша-
ром 2, а затем после отсоединения от шара 2 с удаленным
незаряженным шаром 3. Шары 2 и 3 имеют радиусы
7?2=7?з=Ю см. Найти: а) первоначальную энергию Wx ша-
ра 1; б) энергии W'x и W'2 шаров 1 и 2 после соединения и
работу А разряда при соединении; в) энергии W'x и W'3
шаров 1 и 3 после соединения и работу А разряда при
соединении.
9.109.	-Два металлических шарика, первый с зарядом
<71=10нКл и радиусом £?х=3 см и второй с потенциалом
<р2=9 кВ и радиусом £?2=2 см, соединены проволочкой,
емкостью которой можно пренебречь. Найти: а) потенциал
<Pi первого шарика до разряда; б) заряд q2 второго шарика
до разряда; в) энергии lt"i и каждого шарика до раз-
ряда; г) заряд q[ и потенциал <pi первого шарика после
разряда; д) заряд </2 и потенциал <р2 второго шарика после
5 В. С. Волькенштейн	129
разряда; е) энергию W соединенных проводником шариков;
ж) работу А разряда.
9.110.	Заряженный шар 1 радиусом 7^=2 см приводит-
ся в соприкосновение с незаряженным шаром 2, радиус
которого /?г=3 см. После того как шары разъединили, энер-
гия шара 2 оказалась равной ТГа=0,4 Дж. Какой заряд qr
был на шаре 1 до соприкосновения с шаром 2?
9.111.	Пластины плоского конденсатора площадью 5 =
=0,01 м2 каждая притягиваются друг к другу с силой F=
=30 мН. Пространство между пластинами заполнено слю-
дой. Найти заряды q, находящиеся на пластинах, напря-
женность Е поля между пластинами и объемную плот-
ность энергии Ц/о поля.
9.112.	Между пластинами плоского конденсатора вло-
жена тонкая слюдяная пластинка. Какое давление р испы-
тывает эта пластинка при напряженности электрического
поля £ = 1 МВ/м?
9.113.	Абсолютный электрометр представляет собой пло-
ский конденсатор, нижняя пластина которого неподвижна,
а верхняя подвешена к коромыслу весов. При незаряженном
конденсаторе расстояние между пластинами <7=1 см. Ка-
кую разность потенциалов U приложили между пласти-
нами, если для сохранения того же расстояния d=l см на
другую чашку весов пришлось положить груз массой т—
=5,1 г? Площадь пластин конденсатора 5=50 см2.
9.114.	Разность потенциалов между пластинами пло-
ского конденсатора /7=280 В. Площадь пластин конденса-
тора 5=0,01 м2; поверхностная плотность заряда на пласти-
нах о=495 нКл/м2. Найти: а) напряженность £ поля внутри
конденсатора; б) расстояние d между пластинами; в) ско-
рость v, которую получит электрон, пройдя в конденсаторе
путь от одной пластины до другой; г) энергию W конденсат
тора; д) емкость С конденсатора; е) силу притяжения F
пластин конденсатора.
9.115.	Площадь пластин плоского воздушного конден-
сатора 5=0,01 м2, расстояние между ними <7=5 мм. Какая
разность потенциалов U была приложена к пластинам кош
денсатора, если известно, что при разряде конденсатора вы-
делилось Q=4,19 мДж тепла?
9.116.	Площадь пластин плоского воздушного конден-
сатора 5=0,01 м2, расстояние между ними <7Х=2 см. К пла-
стинам конденсатора приложена разность потенциалов U—
=3 кВ. Какова будет напряженность Е поля конденсатора,
если, не отключая его от источника напряжения, пластины
130
раздвинуть до расстояния d^5 см? Найти энергии Wi и Wi
конденсатора до и после раздвижения пластин.
9Л17. Решить предыдущую задачу при условии, что
сначала конденсатор отключается от источника напряже-
ния, а затем раздвигаются пластины конденсатора.
9.118.	Площадь пластин плоского воздушного конден-
сатора 5=0,01 ма, расстояние между ними dx=l мм. К пла-
стинам конденсатора приложена разность потенциалов U=
=0,1 кВ. Пластины раздвигаются до расстояния о?2=25 мм.
Найти энергии Wt и Wi конденсатора до и после раздвиже-
ния пластин, если источник напряжения перед раздвиже-
нием: а) не отключается; б) отключается.
9.119.	Плоский конденсатор заполнен диэлектриком и
на его пластины подана некоторая разность потенциалов.
Его энергия при этом ТГ=20 мкДж. После того как конден-
сатор отключили от источника напряжения, диэлектрик
вынули из конденсатора. Работа, которую надо было совер-
шить против сил электрического поля, чтобы вынуть ди-
электрик, А =70 мкДж. Найти диэлектрическую проницае-
мость е диэлектрика.
9.120.	Площадь пластин плоского воздушного конден-
сатора 5=12,5 см2, расстояние между ними dr=5 мм.
К пластинам конденсатора приложена разность потенциа-
лов £7=6 кВ. Пластины конденсатора раздвигаются до
расстояния d2=l см. Найти изменения емкости конденса-
тора ДС, потока напряженности &NE сквозь площадь элек-
тродов и объемной плотности энергии Д1^о электрического
поля, если источник напряжения перед раздвижением:
а) не отключается; б) отключается.
9.121.	Найти объемную плотность энергии Wo электри-
ческого поля в точке, находящейся: а) на расстоянии х=
=2 см от поверхности заряженного шара радиусом Д=
= 1 см, б) вблизи бесконечно протяженной заряженной пло-
скости, в) на расстоянии х=2 см от бесконечно длинной за-
ряженной нити. Поверхностная плотность заряда на шаре
и плоскости а=16,7 мкКл/м2, линейная плотность заряда
на нити т= 167 нКл/м. Диэлектрическая проницаемость
среды е=2. '
9.122.	На пластины плоского конденсатора, расстояние
между которыми d=3 см, подана разность потенциалов
£7=1 кВ. Пространство между пластинами заполняется
диэлектриком (8=7). Найти поверхностную плотность свя-
занных (поляризационных) зарядов осв. Насколько изме-
няется поверхностная плотность заряда на пластинах при
заполнении конденсатора диэлектриком? Задачу решить.
5»
131
если заполнение конденсатора диэлектриком производится:
а) до. отключения конденсатора от источника напряжения;
б) после отключения конденсатора от источника напря-
жения.
9.123.	Пространство между пластинами плоского кон-
денсатора заполнено диэлектриком, диэлектрическая вос-
приимчивость которого х=0,08. Расстояние между пласти-
нами d=5 мм. На пластины конденсатора подана разность
потенциалов [7=4 кВ. Найти поверхностную плотность свя-
занных зарядов осв на диэлектрике и поверхностную плот-
ность заряда од на пластинах конденсатора.
9.124.	Пространство между пластинами плоского кон-
денсатора заполнено стеклом. Расстояние между пластина-
ми d=4 мм. На пластины конденсатора подана разность
потенциалов [7=1,2 кВ. Найти: а) напряженность Е поля
в стекле; б) поверхностную плотность заряда од на пласти-
нах конденсатора; в) поверхностную плотность связанных
зарядов осв на стекле; г) диэлектрическую восприимчи-
вость х стекла.
9.125.	Пространство между пластинами плоского кон-
денсатора заполнено маслом. Расстояние между пластинами
<7=1 см. Какую разность потенциалов U надо подать на
пластины конденсатора, чтобы поверхностная плотность
связанных зарядов на масле была равна стсв=6,2 мкКл/м2?
9.126.	Пространство между пластинами плоского кон-
денсатора заполнено стеклом. Площадь пластин конденса-
тора S=0,01 м2. Пластины конденсатора притягиваются
друг к другу с силой F=4,9 мН. Найти поверхностную плот-
ность связанных зарядов осв на стекле.
9.127.	Пространство между пластинами плоского кон-
денсатора заполнено парафином. При присоединении пла-
стин к источнику напряжения давление пластин на парафин
стало равным р=5 Па. Найти: а) напряженность Е электри-
ческого поля и электрическое смещение D в парафине;
б) поверхностную плотность связанных зарядов осв на па-
рафине; в) поверхностную плотность заряда од на пласти-
нах конденсатора; г) объемную плотность энергии Wo
электрического поля в парафине; д) диэлектрическую вос-
приимчивость х парафина.
9.128.	Пространство между пластинами плоского кон-
денсатора заполнено диэлектриком. Расстояние между
пластинами d=2 мм. На пластины конденсатора подана раз-
ность потенциалов [71=0,6 кВ. Если, отключив источник
напряжения, вынуть диэлектрик из конденсатора, то раз-
ность потенциалов на пластинах конденсатора возрастет
132
до Ut—1,8 кВ. Найти поверхностную плотность связанных
зарядов сгсв на диэлектрике и диэлектрическую восприим-
чивость х диэлектрика.
9.129.	Пространство между пластинами плоского кон-
денсатора объемом У=20 см3 заполнено диэлектриком (е=
=5). Пластины конденсатора присоединены к источнику
напряжения. При этом поверхностная плотность связанных
зарядов на диэлектрике осв=8,35 мкКл/м2. Какую работу
А надо совершить против сил электрического поля, чтобы
удалить диэлектрик из конденсатора? Задачу решить, если
удаление диэлектрика производится: а) до отключения
источника напряжения; б) после отключения источника
напряжения.
§ 10.	Электрический ток
Сила тока (ток) / численно равна количеству электричества, про-
ходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени:
df
Если сила тока /= const, то -
Плотность электрического тока
где S — площадь поперечного сечения проводника.
Ток, текущий по участку однородного проводника, подчиняется
закону Ома
где U — разность потенциалов на концах участка, R — сопротивление
этого участка. -
Сопротивление проводника
R~р S aS’
где р — удельное сопротивление, а — удельная проводимость, I —
длина и S — площадь поперечного сечения проводника.
Удельное сопротирление металлов зависит от температуры следу-
ющим образом:	.	-
Pt—Ро (1 + я0»
13.1
где —удельно? сопротивление при to—О °C, а — температурный
коэффициент сопротивления.
Работа электрического тока на участке цепи определяется фор-
мулой
(П
A = lUt = I*Rt = -^--t.
t\
Для замкнутой цепи закон Ома имеет вид
/ = -^-
Д+г’
где £ — э. д. с. генератора, R — внешнее сопротивление, г — внут-
реннее сопротивление генератора.
Полная мощность, выделяемая в цепи,
Р = £1.
Для разветвленных цепей имеют место два закона Кирхгофа:
первый закон Кирхгофа — алгебраическая сумма токов, сходя-
щихся в узле, равна нулю:
2Л = 0;.
второй закон Кирхгофа — в любом замкнутом контуре алгебраи-
ческая сумма падений потенциала на отдельных участках цепи равна
алгебраической сумме э. д. с., встречающихся в этом контуре:
При применении законов Кирхгофа надо руководствоваться сле-
дующими правилами.
На схеме произвольно указываются стрелками направления токов
у соответствующих сопротивлений. Обходя контур в произвольном
направлении, будем считать положительными те токи, направления
которых’ совпадают с направлением обхода, и отрицательными те,
направления которых противоположны направлению обхода.
Положительными э. д. с. будем считать те э. д. с., которые повы-
шают потенциал в направлении обхода, т. е. э. д. с. будет положи-
тельной, если при обходе придется идти от минуса к плюсу внутри
генератора.
В результате решения составленных уравнений определяемые
величины могут получиться отрицательными. Отрицательное значение
тока указывает на то, что фактическое направление тока на данном
участке цепи обратно принятому.
Для электрического тока имеют место два закона Фарадея:
первый закон Фарадея — масса вещества, выделившегося при
электролизе,
. m=KIt = Kq,
где q — количество электричества, прошедшего через электролит,
К — электрохимический эквивалент;
134
второй закон Фарадея — электрохимический эквивалент пропор-
ционален химическому эквиваленту:
'	_ 1 А
К F Z’
где А — молярная масса, Z — валентность, F=96,48456-10e Кл/моль —
постоянная Фарадея.	'
Удельная проводимость электролита определяется формулой
a = ± = aCZF (и+ +«_),
где а — степень диссоциации, С [моль/м3] — молярная концентрация,
Z — валентность, F—постоянная Фарадея, и+ и «_ [м2/(В -с)] —
подвижности ионов. При этом а=пд/п — отношению числа диссоции-
рованных молекул в единице объема к числу всех молекул растворен-
ного вещества в этом объеме. Величина T]=CZ [моль/м3] называется
эквивалентной концентрацией, а величина Л=а/ц [м2/(Ом-моль)] —
эквивалентной проводимостью.
При небольших плотностях тока, текущего в газе, имеет место
закон Ома
I=qn(u++u-) E = aE,
где E — напряженность поля, о — удельная проводимость газа, q —
заряд иона, а+ и «_ — подвижности ионов, п [м~3] — число ионов
каждого знака (число пар ионов), находящихся в единице объема
газа. Прн этом п= У"Л//у, где N [м_8-с-1] — число пар ионов, созда-
ваемых ионизирующим агентом в единице объема-в единицу времени,
у [м3/с] — коэффициент рекомбинации.
Плотность тока насыщения в газе определяется формулой
jn = Nqd,
где d — расстояние между электродами.
Чтобы вырваться из металла наружу, электрон должен обладать
кинетической энергией
где А — работа выхода электрона из данного металла.
Плотность тока насыщения при термоэлектронной эмиссии оп-
ределяется формулой
/н = ВГ3ехр(-А),
где Т — термодинамическая температура катода, А — работа выхода,
1,380662-10-23 Дж/К — постоянная Больцмана, В [А/(м3-К2)]—
эмиссионная постоянная, разная для различных металлов.
135
10.1.	Ток 1 в проводнике меняется со временем t по
уравнению 7=4+2/, где / — в амперах и t — в секундах.
Какое количество электричества q проходит через попереч-
ное сечение проводника за время от /1=2 с до /2=6 с? При
каком постоянном токе /0 через поперечное сечение провод-
ника за то же время проходит такое же количество электри-
чества?
10.2.	Ламповый реостат состоит из пяти электрических
лампочек сопротивлением г=350 Ом, включенных парал-
лельно. Найти сопротивление R реостата, когда: а) горят
все лампочки; б) вывинчиваются одна, две, три, четыре лам-
почки.
10.3.	Сколько витков нихромовой'проволоки диаметром
d=l мм надо навить на фарфоровый цилиндр радиусом а—
=2,5 см, чтобы получить печь сопротивлением /?=40Ом?
10.4.	Катушка из медной проволоки имеет сопротивле-
ние 7? = Ю,8 0м. Масса медной проволоки т=3,41 кг.
Какой длины I и какого диаметра d проволока намотана
на катушке?
10.5.	Найти сопротивление R железного стержня диа-
метром d=l см, если масса стержня т=1 кг.
10.6.	Медная и алюминиевая проволоки имеют одинако-
вую длину I и одинаковое сопротивление R. Во сколько раз
медная проволока тяжелее алюминиевой?
10.7.	Вольфрамовая нить электрической лампочки при
/1=20 °C имеет сопротивление 2?i=35,8 Ом. Какова будет
температура /2 нити лампочки, если при включении в сеть
напряжением //=120 В по нити идет ток /=0,33 А? Тем-
пературный коэффициент сопротивления вольфрама а=
=4,6-10-3 К’1.
10.8	*). Реостат из железной проволоки, амперметр
и генератор включены последовательно. При /0=0°С со-
противление реостата Р0=120Ом, сопротивление ампер-
метра /?Ло=2О Ом. Амперметр показывает ток /0=22 мА.
Какой ток / будет показывать амперметр, если реостат на-
греется на AT=50 К? Температурный коэффициент сопро-
тивления железа а=6- 10"а К-1.
10.9.	Обмотка катушки из медной проволоки при /х=
= 14 °C имеет сопротивление /?х=10Ом. После пропуска-
ния тока сопротивление обмотки стало равным /?2= 12,2 Ом.
До какой температуры /2 нагрелась обмотка? Температур-
ный коэффициент сопротивления меди а=4,15-10-3 К-1.
*) Здесь й далее сопротивлением амперметра Ял и внутренним
сопротивлением г генератора следует пренебречь, если онй не заданы
в условии.	. •
.136
10.10.	Найти падение потенциала U на медном проводе
длиной /=500 м и диаметром d=2 мм, если ток в нем I—
=2 А.
10.11.	Найти падения потенциала U в сопротивлениях
/?1=:4 Ом, 7?2=2 Ом и 7?s=4 Ом (рис. 19), если амперметр
показывает ток 1г=3 А.
Найти токи 7а и /3
в сопротивлениях R2
и 7?3.
10.12.	Элемент, име-
ющий э. д.с. £=1,1 В
и внутреннее сопроти-
вление г=1 Ом, замкнут
на внешнее сопротивление 7?=9 Ом. Найти ток 7 в цепи,
падение потенциала U во внешней цепи и падение потен-
циала Ur внутри элемента. С каким к. п. д. т] работает
элемент?
10.13.	Построить график зависимости падения потенци-
ала U во внешней цепи от внешнего сопротивления 7? для
цепи предыдущей задачи. Сопротивление 7? взять в преде-
лах 0^7?^10 Ом через каждые 2 Ом.
10.14.	Элемент с э. д. с. £=2 В имеет внутреннее со-
противление г=0,5 Ом. Найти падение потенциала Ur вну-
три элемента при токе в цепи 7=0,25 А. Каково внешнее
сопротивление R цепи при этих условиях?
10.15.	«Элемент с э.д.с. £=1,6 В имеет внутреннее со-
противление г=0,5 Ом. Найти к.п.д. т] элемента при токе
в цепи 7=2,4 Аг
10.16.	Э.д.с. элемента £=6 В. При внешнем сопротив-
лении R = 1,1 Ом ток в цепи 7=3 А. Найти падение потен-
циала Ur внутри элемента и его сопротивление г.
10.17.	Какую долю э.д.с. элемента £ составляет раз-
ность потенциалов U на его зажимах, если сопротивление
элемента г в п раз меньше внешнего сопротивления 7?? За-
дачу решить для: а) п=0,1; б) п=1; в) п=10.
10.18.	Элемент, сопротивление и амперметр соединены
последовательно. Элемент имеет э.д.с. £=2 В и внутреннее
сопротивление г=0,4 Ом. Амперметр показывает ток 7=
= 1 А. С каким к.п.Д. т] работает элемент?
10.19.	Имеются два одинаковых элемента с э.д.с. £=
=2 В и внутренним сопротивлением г=0,3 Ом. Как надо
соединить эти элементы (последовательно или параллель-
но), чтобы получить больший ток, если внешнее сопротив-
ление: а) 7?=0,2 Ом; б) R = 16 Ом? Найти ток 7 в каждом
из этих случаев.
137
10.20.	Считая сопротивление вольтметра Rv бесконеч-
но большим, определяют сопротивление R по показаниям
амперметра и вольтметра (рис. 20). Найти относительную
погрешность Л7?/7? найденного сопротивления, если в дей-
ствительности сопротивление вольтметра равно Rv. Задачу
решить для jR[/=1000 0m и сопротивления: а) 7?=Ю0м;
б) R = 100 Ом; в) R = 1000 Ом.
Рис. 21.
10.21.	Считая сопротивление амперметра RA бесконечно
малым, определяют сопротивление R по показаниям ампер-
метра и вольтметра (рис. 21). Найти относительную погреш-
ность AR/R найденного сопротивления, если в действитель-
ности сопротивление амперметра равно RA. Решить задачу
для 2?л=О,2 Ом и сопротивления: а) 7?=1 Ом; б) 2?=10 Ом;
в) 2?=100 Ом.
10.22.	Два параллельно соединенных элемента с одина-
ковыми э.д.с. ^>i=<^‘2=2 В и внутренними сопротивления-
Рис. 22.
Рис. 23.
Рис. 24.
ми гх=1 Ом и г2=1,5 0м замкнуты на внешнее сопротив-
ление R—1,4 Ом (рис. 22). Найти ток I в каждом из элемен-
тов и во всей цепи.
10.23.	Два последовательно соединенных элемента с
одинаковыми э.д.с. <^i=<^2=2 В и- внутренними сопро-
тивлениями Гх=1 Ом и гг=1,5 Ом замкнуты на'внешнее
138	.
сопротивление 7? =0,5 Ом (рис. 23). Найти разность потен-
циалов U на зажимах каждого элемента.
10.24.	Батарея с э.д.с. «?=20 В, амперметр и реостаты
с сопротивлениями /?1 и Ri соединены последовательно
(рис. 24). При выведенном реостате Ri амперметр показыва-
ет ток 1=8 А, при введенном реостате Ri — ток 1=5 А.
Найти сопротивления Ri и Ri реостатов и падения потен-
циала Ui и U2 на них, когда реостат Ri полностью включен.
10.25.	Элемент, амперметр и некоторое сопротивление
соединены последовательно. Если взять сопротивление из
медной проволоки длиной 2=100 м и поперечным сечением
5=2 мм2, то амперметр показывает ток /1=1,43 А. Если Же
взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной 1=
=57,3 м и поперечным сечением S = 1 мм2, то амперметр
показывает ток /2=1 А. Сопротивление амперметра RА=
=0,05 Ом. Найти э.д.с. S элемента и его внутреннее со-
противление г.
10.26.	Напряжение на зажимах элемента в замкнутой
цепи 27=2,1 В, сопротивления 2?х=5 Ом, У?2=6 Ом и /?3=
=3 Ом (рис. 25). Какой ток I показывает амперметр?
15 Ом (рис. 26).
/2=0,3 А. Амперметр
Рис. 27.
10.27.	Сопротивления 2?2=20 Ом и R3
Через сопротивление Ri течет ток
показывает ток 7=0,8 А. Найти
сопротивление Ri.
10.28.	Э.д.с. батареи <£=100 В,
сопротивления 2?1=/?3=40 Ом,
2?2=80 Ом и /?4=34 Ом (рис. 27).
Найти ток /2, текущий через со-
противление Ri, и падение потен-
циала U3 на нем.
10.29.	Э.д.с. батареи <£=120 В,
сопротивления /?3=20 Ом и Rt=
=25 Ом (рис. 28). Падение потенциала на сопротивлении
Ri равно (/!=40В. Амперметр показывает ток /s=2 А.
Найти сопротивление R2.
139
10.30.	Батарея с .э.д.с. <£=10 В и внутренним сопротив-
лением г=1 Ом имеет к.п.д. т]=0,8 (рис. 28). Падения по-
тенциала на сопротивлениях fa и fa равны (7Х=4 В и
fa—2 В. Какой ток 7 показывает амперметр? Найти паде-
ние п'отенциал'а f/2 на сопротивлении Т?2.
Рис. 28.
10.31.	Э.д.с. батареи <£=100 В, сопротивления 7?i=
= 100 Ом, 7? 2=200 Ом и 7? а=300 Ом, сопротивление вольт-
метра fa—2 кОм (рис. 29). Какую разность потенциалов U
показывает вольтметр?
10.32.	Сопротивления /?1=7?2=7?3=200 Ом, сопротив-
ление вольтметра 7?у =1 кОм (рис. 29). Вольтметр показы-
вает разность потенциалов t/=100B. Найти э.д.с. S ба-
тареи.
10.33.	Найти показания амперметра и вольтметра в схе-
мах, изображенных на ,рис. 30—33. Э.д.с. батареи <£=
140	'
— 110 В,'сопротивления Рг=400 Ом и Pj=600 0m, сопро-
тивление вольтметра кОм.
10.34.	Амперметр с сопротивлением 7?л =0,16 Ом за-
шунтирован сопротивлением R=0,04 Ом. Амперметр пока-
зывает ток 10—8 А. Найти ток / в цепи.
10.35.	Имеется предназначенный для измерения токов
до /=10 А амперметр с сопротивлением Р^=0,18 Ом, шка-
ла которого разделена на 100 делений. Какое сопротивле-
ние R надо -взять и как его включить, чтобы этим ампермет-
ром можно было измерять ток до /о=1ОО А? Как изменится
при этом цена деления амперметра?
10.36.	Имеется предназначенный для измерения разно-
сти потенциалов до (/=30 В вольтметр с сопротивлением
Rv—2 кОм, шкала которого разделена на 150 делений. Ка-
кое сопротивление R надо взять и как его включить, чтобы
этим вольтметром можно было измерять разности потенци-
алЪв до (7О=75 В? Как изменится при этом цена деления
.вольтметра?
10.37.	Имеется предназначенный для измерения токов
до /== 15 мА амперметр с сопротивлением RA—5 Ом. Какое
сопротивление R надо взять и как его включить, чтобы этим
прибором можно быдо измерять! а) ток до. /о=15О мА;
б) разность потенциалов до (70=150 В?-
10,38.	Имеется 120-вольтовая электрическая лампочка
мощностью Р=40 Вт. Какое добавочное сопротивление /?
надо включить последовательно с лампочкой, чтобы она
давала нормальный накал при напряжении в сети Uo—
=220 В? Какую длину I нйхромовой проволоки диаметром
d=0,3 мм надо взять, чтобы получить такое сопротив-
ление?
10.39.	Имеются три ПО-вольтовых электрических лам-
почки, мощности которых Pi=P3=40 Вт и Р3=80 Вт.
Как надо включить эти лампочки, чтобы они давали -нор-
мальный накал, при напряжении в сети (7о=22О В? Начер-
тить схему. Найти токи А, Ц и /3, текущие через лампочки
при нормальном накале.
10.40.	В лаборатории,, удаленной от генератора на рас-
стояние (=100 м, включили электрический нагревательный
прибор, потребляющий ток /=10 А. На сколько понизи-
лось напряжение U на зажимах электрической лампочки,
горящей в этой лаборатории, если сечение медных подводя-
щих проводов S=5 мм2?
10.41.	От батареи с э.д.с. <£=500 В требуется передать
энергию на расстояние (=2,5 км. Потребляемая мощность
Р=10 кВт. Найти минимальные потери мощности ДР
141
в сети, если диаметр медных подводящих проводов d=
= 1,5 см.
10.42.	От генератора с э.д.с. ^*=110 В требуется пере-
дать энергию на расстояние 1=250 м. Потребляемая мощ-
ность Р—1 кВт. Найти минимальное сечение S медных
подводящих проводов, если потери мощности в сети, не
должны превышать 1%.
10.43.	В цепь включены последовательно медная и
стальная проволоки одинаковых длины н диаметра. Найти:
а) отношение количеств теплоты, выделяющихся в этих
проволоках; б) отношение падений напряжения на этих
проволоках.
10.44.	Решить предыдущую задачу для случая, когда
проволоки включены параллельно.
" 10.45. Элемент с э.д.с. <£=6 В дает максимальный ток
7=3 А. Найти наибольшее количество теплоты Qt, которое
может быть выделено во внешнем сопротивлении в единицу
времени.
10.46.	Батарея с э.д.с,. <£=240 В и внутренним сопро-
тивлением г=1 Ом замкнута на внешнее сопротивление
Р=23 Ом. Найти полную мощность Ро, полезную мощность
Р и к.п.д. т| батареи.
10.47.	Найти внутреннее сопротивление т генератора,
если известно, что мощность Р, выделяющаяся во внешней
цепи, одинакова при внешних
сопротивлениях /?1=5 Ом
и Яа=0,2 Ом. Найти к.п.д.
генератора в каждом
из этих случаев.
10.48.	На рис. 34 дана
зависимость полезной мощ-
ности Р от тока / в цепи. По
данным этой кривой найти
внутреннее сопротивление г
и э.д.с. <£ элемента. Постро-
ить график зависимости от
тока 7 в цепи к.п.д. г] эле-
мента и падения потенциала
U во внешней цепи.
10.49.	По данным кривой, изображенной на рис. 34,
построить график зависимости от внешнего сопротивления
R цепи: к.п.д. т] элемента, полной мощности Ро и полезной
мощности Р. Кривые построить для значений внешнего со-
противления 7?, равных: 0, г, 2г, Зг, 4г и 5г, где г — вну-
треннее сопротивление элемента.
142
10.50.	Элемент замыкают сначала на внешнее сопротив-
ление R 1=2 Ом, а затем на внешнее сопротивление Ri==
=0,5 Ом. Найти э.д.с. $ элемента и его внутреннее сопро-
тивление г, если известно, что в каждом из этих случаев
мощность, выделяющаяся во внешней цепи, одинакова и
равна Р=2,54 Вт.
10.51.	Элемент с э.д.с. $=2 В н внутренним сопротив-
лением г=0,5 Ом замкнут на внешнее сопротивление R.
Построить график зависимости от сопротивления R: тока I
в цепи, падения потенциала U во внешней цепи, полезной
мощности Р и полной мощности Ро. Сопротивление R взять
в пределах Q^R ^4 Ом ч через каждые 0,5 Ом.
10.52.	Элемент с э.д.с. <§ и внутренним сопротивлением
г замкнут на внешнее сопротивление R. Наибольшая мощ-
- =9 Вт. При этом
Рис. 35.
ность, выделяющаяся во внешней цепи, Р
в цепи течет ток /=3 А. Найти э.д.с.
<§ и внутреннее сопротивление г эле-
мента.
10.53.	Э.д.с. батареи $=120 В, со-
противления R3=30 Ом, R3=60 Ом (рис.
35). Амперметр показывает ток 1=2 А..
Найти мощность Р, выделяющуюся в
сопротивлении Ri.
10.54.	Э.д.с. батареи $=100 В, ее
внутреннее сопротивление г=2 Ом, со-
противления Ri=25 Ом и R3=78 0m
(рис. 35). На сопротивлении Rf выделяется мощность Pi=
= 16 Вт. Какой ток / показывает амперметр?
10.55.	Э.д.с. батареи $=120 В, сопротивления Ri=
=25 Ом, R3=R3=100 0m (рис. 36). Найти мощность Pi,
выделяющуюся на сопротивлении Rj.
10.56.	К.п.д. батареи ц=80%, сопротивление Ri=
= 100 Ом (рис. 36). На сопротивлении Ri выделяется мощ-
ность Pf=16 Вт. Найти э.д.с. $ батареи, если известно, что
падение потенциала на сопротивлении R3 равно £73=40 В.
Рис;37.
10.57.	Э.д.с. батареи $=120 В, полное сопротивление
потенциометра R0=120Om (рис. 37). Сопротивление R
143
лампочки меняется при нагревании от 30 до 300 Ом. На
сколько меняется при этом разность потенциалов U на лам-
почке, если подвижный контакт с стоит на середине потен-
циометра? На сколько меняется при этом мощность Р, по-
требляемая лампочкой?
10.58.	Разность потенциалов между точками А и В рав-
на U=Q В. Имеются два проводника с сопротивлениями
/?!=5 Ом и Д2=3 Ом. Найти количество теплоты Qx, вы-
деляющееся в каждом проводнике в единицу времени, если
проводники между точками А и В соединены: а) последова-
тельно; б) параллельно.
10.59.	Две электрические лампочки с сопротивлениями
7?i=360 Ом и 7?2=240 Ом включены в сеть параллельно.
”Какая из лампочек потребляет боль-
шую мощность? Во сколько раз?
10.60.	Калориметр имеет спираль
сопротивлением 7?i=60 Ом, которая
включена в цепь, как показано на
рис. 38. Сопротивление /?2=300 Ом.
Амперметр показывает ток /=6 А.
На сколько нагревается масса т—
=480 г воды, налитой в калориметр,
за время т=5 мин пропускания
тока?
10.61.	Какой объем V воды можно
.вскипятить, затратив электрическую
энергию 117=3 гВт-ч? Начальная температура воды £0=
= 10°С.
10.62.	Какую мощность Р потребляет нагреватель элек-
трического чайника, если объем К=1 л воды закипает через
время т=5 мин? Каково сопротивление R нагревателя,
если напряжение в сети U—120 В? Начальная температура
воды tB= 13,5 °C.
10.63.	На плитке мощностью /’=0,5 кВт стоит чайник,
в который налит объем К=1 л воды при £0=16 °C. Вода в чай-
нике закипела через время т=20 мин после включения
плитки. Какое количество теплоты Q потеряно при этом на
нагревание самого чайника, на излучение й т. д.?
10.64.	Нагреватель электрической кастрюли имеет две
одинаковые секции с сопротивлением /? =20 Ом каждая.
Через какое время т закипит объем К=2,2 л воды, если:
а) включена одна секция; б) обе секции включены последо-
вательно; в) обе секции включены параллельно? Начальная
температура воды/0= 16 °C, напряжение в сети £/=110 В,
к.п.д. нагревателя л=85%.
144
10.65.	Нагреватель электрического чайника имеет две
секции. При включении одной из них вода в чайнике заки-
пит через время тх—15 мин, при включении другой — через
время та=30 мин. Через какое время т закипит вода в чай-
нике, если включить обе секции: а) последовательно; б)’па-
раллельно?
10.66.	Нагреватель электрического чдйника сопротив-
лением 7?! включен в цепь, как показано на рис. 39. Э.д.с.
батареи <£=120 В, сопротивление К2=Ю0м. Амперметр
показывает ток 1=2 А. Через какое время т закипит объем
17=0,5л воды? Начальная температура воды 7О=4 °C.
К.п.д. нагревателя т]=76%.
Рис. 39.
. 10.67. Калориметр имеет спираль сопротивлением Ri,
которая включена в цепь, как показано на рис. 40. Э.д.с.
батареи <£ = 110 В, к.п.д. спирали т]=80%. В калориметр
налита масса т=500 г керосина. Амперметр показывает
ток 1=2 А, вольтметр показывает напряжение 77 = 10,8 В.
Каково сопротивление Ri спирали? Найти удельную тепло-
емкость с керосина, если за время т=5 мин пропускания
тока керосин нагрелся на А7=5 °C. Каково сопротивле-
ние R2? Сопротивление вольтметра считать бесконечно
большим.
10.68.	Объем 17=4,5 л воды можно вскипятить, затратив
электрическую энергию W=0,5 кВт-ч. Начальная темпе-
ратура воды t0=23°C. Найти к.п.д. т] нагревателя.
10.69.	Для отопления комнаты пользуются электриче-
ской печью, включенной в сеть напряжением 77=120 В.
Комната теряет в единицу времени .количество теплоты
Qx=87,08 МДж/сут. Требуется поддерживать температуру
комнаты постоянной. Найти: а) сопротивление R печи;
145
б) длину I нихромовой проволоки диаметром d=l мм, не-
обходимой для обмотки такой печи; в) мощность Р печи.
10.70.	Температура водяного термостата объемом- V—
=1 л поддерживается постоянной при помрщи нагревателя
мощностью Р=26 Вт. На нагревание воды тратится 80%
этой мощности. На сколько понизится температура воды
в термостате за время т=10 мин, если нагреватель выклю-
чить?	'
10.71.	Сколько надо заплатить за пользование электри-
ческой энергией в месяц (30 дней), если ежедневно в течение
времени т=6 ч горят две 120-вольтовых лампочки, потреб-
ляющие ток 7=0,5 А? Кроме того, ежедневно кипятится
объём V ~3 л воды. Начальная температура воды ^=Ю°С.
Стоимость 1 кВт-ч энергии принять равной 4 коп. К.п.д.
нагревателя Г|=80%.
10.72.	Электрический чайник, содержащий объем К=
=600 см3 воды при /о=9 °C, забыли выключить. Сопротив-
ление нагревателя чайника 7? = 16Юм. Через какое время
т после включения вода в чайнике выкипит? Напряжение
в сети 77=120 В, к.п.д. нагревателя т]=60%.
10.73.	В ртутном диффузионном насосе в единицу вре-
мени испаряется масса mt=100 г/мин ртути. Каково долж-
но быть сопротивление R нагревателя насоса, если он вклю-
чается в сеть напряжением 77=127 В? Удельная теплота
парообразования ртути </=296 кДж/кг.
10.74.	В цепь, состоящую из медного провода площадью
поперечного сечения Sx=3 мм2, включен свинцовый предо-
хранитель площадью поперечного сечения Sa=l мм2. На
какое повышение температуры Д/i медного провода при ко-
ротком замыкании цепи рассчитан пре-
дохранитель? Считать, что при корот-
ком замыкании вследствие кратковре-
менности процесса все выделившееся
тепло идет на нагревание цепи. Началь-
ная температура предохранителя /0=
= 17. °C.
10.75.	Найти количество теплоты
QT, выделяющееся в единицу времени
в единице объема медного провода при
плотности тока /=300 кА/м2.
10.76.	Найти токи Ц в отдельных
ветвях мостнка Уитстона (рис. 41) при
условии, что через гальванометр идет ток 7г=0. Э.д.с. эле-
мента <£=2 В, сопротивления 7?х=30 Ом, 7?,=45 Ом и
7?,=2ОО Ом. •	>	-
146	*
10.77.	Э.д.с. элементов &в2,1 В и <^а=1,9 В, сопро-
тивления /?1=45Ом, /?а=ЮОм и /?з=10Ом (рис. 42).
Найти токи Ii во всех участках цепи.
40.78. Какая разность потенциалов U получается на
зажимах двух элементов, включенных параллельно, если
их э.д.с._41=1,4 В и 4а—1 >2 В и
внутренние сопротивления ri=0,6 Ом
и г2=0,4 Ом?
10.79.	Два элемента с одинаковы-
ми э.д.с. 4i=^2=2 В и внутренними
сопротивлениями ^=1 Ом и га=2 Ом
замкнуты на внешнее сопротивление
R (рис. 43). Через элемент с э.д.с. Si
течет ток Л= 1 А. Найти сопротивле-
ние R и ток /2, текущий через элемент с э.д.с. Si- Какой
ток / течет через сопротивление /??
10.80.	Решить предыдущую задачу, если ^i=^2=4 В,
Г1=га=0,5 Ом' и /1=2 А.
Рис. 43.
Рис. 44.
10.81.	Батареи имеют э. д. с. Si= 110 В и<£а=220 В, со-
противления 7?1=/?а= 100 Ом, /?3=500 Ом (рис. 44). Найти
показание амперметра.
10.82.	Батареи имеют э.д.с. ^*1=2 В и <£а=4 В, сопро-
тивление /?!=0,5 Ом (рис. 44). Падение потенциала на
сопротивлении /?2 равно t/a=l В (ток через R2 направлен
справа налево). Найти показание амперметра.
10.83.	Батареи имеют э.д.с. <£i=30 В и Sz^S В, сопро-
тивления /?а= 10 Ом, /?з=20 Ом (рис. 44). Через амперметр
течет ток /=1 А, направленный от R3 к Ri. Найти сопро-
тивление Rr.
10.84.	Батареи имеют э.д.с. 41=2 В и <£а=1 В, сопро-
тивления /?!=1 кОм, Rа=0,5- кОм и /?з=0,2 кОм, сопро-
тивление амперметра 7?л=0,2 кОм (рис. 45). Найти пока-
зание амперметра.
10.85.	Батареи имеют э.д.с. <£i=2 В и <£2=3 В, со-
противление 7?з=1,5кОм, сопротивление амперметра
147
=0,5,, кОм (рис. 45). Падение потенциала на сопротивле-
нии /?а' равно 77а=1 В (ток через /?а направлен сверху
вниз). Найти показание амперметра.
10.86.	Батареи имеют э.д.с. <£i=2 В, #2=4В и S3 —
=6 В, сопротивления 7?i=4 Ом, /?а=6 Ом и /?3=8 Ом
(рис. 46). Найти токи Ц во всех участках цепи.
Рис. 45.
Рис. 46.
10.87.	Батареи имеют э.д.с. ^’1=^>2=^’а=6 В, сопро-
тивления /?1=20 Ом, 7?а=12 0м (рис. 46). При коротком
замыкании верхнего узла схемы с отрицательным зажимом
батарей через замыкающий провод течет ток 7=1,6.А. Най-
ти токи Ц во всех участках цепи и сопротивление /?3.
10.88.	В схеме, изображенной на рис. 46, токи 7f и 73
направлены справа налево, ток 7а — сверху вниз. Падения
потенциала на сопротивлениях Ri, R3 и R3 равны Ui=
= (73=2(7а=10 В. Найти э.д.с. Si и S3, если э.д.с. Si—
=25 В.
10.89.	Батареи имеют э.д.с. ^1=^2=100 В, сопротив-
ления /?1=20Ом, 7?а=ЮОм, R3=40 Ом. и #4=ЗООм
(рис. 47). Найти показание амперметра.
10.90.	Батареи имеют э.д.с. Si=2Si, сопротивления
Я1=7?з=20 Ом, 7?а=15 0м и Т?4=30 Ом (рис. 47). Через
Рис. 47.
Рис. 48.
амперметр течет ток 7=1,5 А, направленный снизу вверх.
Найти э.д.с. . Si и S3, а также токи 7а и 73, текущие через
сопротивления 7?а и R3.
10.91,	Два одинаковых элемента имеют э.д.с. ^?i=^?a=
=2 В и внутренние сопротивления Г1=га=0,5 Ом (рис. 48).’
148
Найти токи h и /2, текущие через сопротивления Ri=0,5 Ом
и 7?2=1,5 Ом, а также ток / через элемент с э.д.с. Л.
10.92.	Батареи имеют э.д.с. ^’i=^’2, сопротивления
7?а=2 7?1 (рис. 49). Во сколько раз ток, текущий через вольт-
метр, больше тока, текущего через сопротивление /?2?
10.93.	Батареи имеют э.д.с. <f?i=<£>a=110 В, сопротивле-
ния /?!=/?2=0,2 кОм, сопротивление вольтметра Rv—
= 1 кОм (рис. 49). Найти показание вольтметра.
10.94.	Батареи имеют э.д.с. S1—S2, сопротивления
Т?1=/?2=Ю0 Ом, сопротивление вольтметра £v=150Om
(рис. 49). Показание вольтметра (7=150 В. Найти э.д.с.
Si и <£2 батарей.
Рис. 49.	Рис. 50.
10.95.	Элементы имеют э.д.с. $i=$j=l,5B и внутрен-
ние сопротивления Г!=г2=0,5 Ом, сопротивления /?1=^2=
=2 Ом и /?з=1 Ом, сопротивление амперметра (?л=3 Ом
(рис. 50). Найти показание амперметра.
10.96.	Элемент имеет э. д. с. <£=200 В, сопротивления
/?!=2 кОм и (?2=3 кОм, сопротивления вольтметров RV1 =
=3 кОм и RVi=2 кОм (рис. 51). Най-
ти показания вольтметров 14 и К2,
если ключ К: а) разомкнут, б) зам-
кнут. Задачу решить, применяя за-
коны Кирхгофа.
10.97.	За какое время т при
электролизе водного раствора хлор-
ной меди (СиС12) на катоде выделится
масса т=4,74 г меди, если ток /=
=2 А?
10.98.	За какое время т при электролизе медного купо-
роса масса медной пластинки (катода) увеличится на
Дт=99 мг? Площадь пластинки! 5=25 см2, плотность тока
/=200 А/м2. Найти толщину d слоя меди, образовавшегося
на пластинке.
10.99.	При электролизе медного купороса за время т=
= 1 ч выделилась масса /п=0,5 г меди. Площадь каждого
электрода 5=75 см2. Найти плотность тока /.
149
10.100.	Найти электрохимический эквивалент К во-
дорода.
10.101.	Амперметр, включенный последовательно с элек-
тролитической ванной с раствором AgNO3, показывает ток
/=0,90 А. Верен ли амперметр, если за время т=5 мин
прохождения тока выделилась масса т=316 мг серебра?
10.102.	Две электролитические ванны с растворами
AgNOs и CuSO4 соединены последовательно. Какая масса
т2 меди выделится за время, в течение которого выделилась
масса mi=180 мг серебра?
10.103.	При получении алюминия электролизом' рас-
твора А120з в расплавленном криолите проходил ток 1=
=20 кА при разности потенциалов на электродах (7=5 В.
За какое время т выделится масса т=1 т алюминия? Какая
электрическая энергия IF при этом будет затрачена?
10.104.	Какую электрическую энергию W надо затра-
тить, чтобы при электролизе раствора AgNO3 выделилась
масса т=500 мг серебра? Разность потенциалов на электро-
дах U =4 В.
10.105.	Реакция образования воды из водорода и кисло-
рода происходит с выделением тепла:
2Н2 4-О2 = 2НаО + 5,75 • 105 Дж.
Найти наименьшую разность потенциалов U, при которой
будет происходить разложение воды электролизом.
10.106.	Найти эквивалентную проводимость для
очень слабого раствора азотной кислоты.
10.107.	Через раствор азотной кислоты пропускается
ток 1=2 А. Какое количество электричества q переносится
за время т=1 мин ионами каждого знака?
10.108.	Эквивалентная проводимость раствора КС1 при
некоторой концентрации Л=12,2-10"3 м2/(Ом-моль), удель-
ная проводимость при той же концентрации сг=О, 122 См/м,
эквивалентная проводимость при бесконечном разведении
Лоо=13-10-3 м2/(Ом-моль). Найти: а) степень диссоциации а
раствора КС1 при данной концентрации; б) эквивалентную
концентрацию ц раствора; в) сумму подвижностей ы++«_
ионов К+ и С1-.
10.109.	Найти сопротивление R раствора AgNO3, за-
полняющего трубку длиной (=84 см и площадью попереч-
ного сечения 5=5 мм2. Эквивалентная концентрация рас-
твора т]=0,1 моль/л, степень диссоциации а=81%.
10.110.	Найти сопротивление R раствора KNO3, запол-
няющего трубку длиной 1=2 см и площадью поперечного
150	'
сечения S=7 см2. Эквивалентная концентрация раствора
Л=0,05' моль/л, эквивалентная проводимость Л=
= 1,1 • 10"‘ м2/(0м-моль).
10.111.	Трубка длиной /=3 см и площадью поперечного
сечения S=10 см* заполнена раствором CuSO,. Эквивалент-
ная концентрация раствора л=0,1'моль/л, сопротивление
7?=38 Ом. Найти эквивалентную проводимость Л раствора.
10.112.	Удельная проводимость децинормального рас-
твора соляной кислоты о=3,5 См/м. Найти степень диссо-
циации а.
10.113.	Найти число ионов п каждого знака, находящих-
ся в единице объема ра'створа предыдущей задачи.
10.114.	При освещении сосуда с газом рентгеновскими
лучами в единице объема в единицу времени ионизуется
число молекул У=101в м-3-с-1. В результате рекомбина-
ции в сосуде установилось равновесие, причем в единице
объема газа находится число ионов каждого знака п=
= 1014м-3. Найти коэффициент рекомбинации у.-
10.115.	К электродам разрядной трубы приложена раз-
ность потенциалов (7=5 В, расстояние между ними d—
= 10 см. Газ, находящийся в трубке, однократно ионизо-
ван. Число ионов каждого знака в единице объема газа п —
= 108м-8; подвижности ионов u+=3-10-2 м2/{В-с) и «_ =
=3-102 м2/(В-с). Найти плотность тока j в трубке. Ка-
кая часть полного тока переносится положительными
ионами?
10.116.	Площадь каждого электрода ионизационной ка-
меры S=0,01 м2, расстояние между ними d=6,2 см. Найти
ток насыщения /н в такой камере, если в единице объема
в единицу времени образуется число однозарядных ионов
каждого знака У=101? м-3-с-1.
10.117.	Найти наибольшее возможное число ионов п
каждого знака, находящихся в единице объема камеры пре-
дыдущей задачи, если коэффициент рекомбинации у=
= 10-12м3/с.
10.118.	Найти сопротивление R трубки длиной 1=84 см
и площадью поперечного сечения S=5mm2, если она за-
полнена воздухом, ионизованным так, что в единице объема
при равновесии находится п=1013м-3 однозарядных ионов
каждого знака. Подвижности ионов «+ = 1,3-10"4 м2/(В-с)
и u_ = l,8-10-4 м2/(В-с).
10.119.	Какой ток I пойдет между электродами иониза-
ционной камеры задачи 10.116, если к электродам при-
ложена разность потенциалов U=20 В? Подвижности
ионов.u+=u_ = 10-4 м2/(В-с), коэффициент рекомбинации
151
Y=10~12 м3/с. Какую долю тока насыщения составляет най-
денный ток?
10.120.	Какой наименьшей скоростью v должен обла-
дать электрон для того, чтобы ионизовать атом водорода?
Потенциал ионизации атома водорода (/=13,5 В.
10.121.	При какой температуре Т атомы ртути имеют
кинетическую энергию поступательного движения, доста-
точную для ионизации? Потенциал ионизации атома ртути
(/=10,4 В.
10.122.	Потенциал ионизации атома гелия (/=24,5 В.
Найти работу ионизации А.
10.123.	Какой наименьшей скоростью v должны обла-
дать свободные электроны в цезии и платине для того, чтобы
они смогли покинуть металл?
10.124.	Во сколько раз изменится удельная термоэлек-
тронная эмиссия вольфрама, находящегося при температу-
ре 7’1=2400 К, если повысить температуру вольфрама на
Д 7’= 100 К? ‘
10.125.	Во сколько раз катод из торированного вольф-
рама при температуре 7’=1800 К дает большую удельную
эмиссию, чем катод из чистого вольфрама при той же темпе-
ратуре? Эмиссионная постоянная для чистого вольфрама
Bi=0,6-10e А/(м2-К2), для торированного вольфрама В2=
=0,3-10’ А/(м2-К2).
10.126.	При какой температуре 7’2 торированный вольф-
рам будет давать такую же удельную эмиссию, какую дает
чистый вольфрам при 7\=2500 К? Необходимые данные
взять из предыдущей задачи.
§ 11.	Электромагнетизм
По закону Био — Савара — Лапласа элемент контура dl, по
которому течет ток I, создает в некоторой точке А пространства маг-
нитное поле напряженностью
/sin а ...
dH = ——x-dl,
4№
где г — расстояние от точки А до элемента тока dl, а. — угол между
радиус-вектором г и элементом тока dl.
Применим закон Био — Савара — Лапласа к контурам различного
вида.
Напряженность магнитного поля в центре кругового тока
тцъ R — радиус кругового контура с током.
152
Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным
прямолинейным проводником,
„___L'.
п ~ 2ла
здесь а — расстояние от точки, где ищется напряженность, до провод-
ника с током.
Напряженность магнитного поля на оси кругового тока
н _	RI 2!
2(R2 + a2)3/2’
здесь R — радиус кругового контура с током, а — расстояние от
точки, где ищется напряженность, до плоскости контура.
Напряженность магнитного поля внутри тороида и бесконечно
длинного соленоида
Н~1п,
где п — число витков на единицу длины соленоида (тороида).
Напряженность магнитного поля на оси соленоида конечной длины
(cos Pi—cos 32),
где Pi и Р2 — углы между осью соленоида и радиус-вектором, прове-
денным из рассматриваемой точки к концам соленоида.
Магнитная индукция В связана с напряженностью Н магнитного
поля соотношением
В = рорД,
где ji — относительная магнитная проницаемость среды, Цо=4лХ
Х10~’ Гн/м= 12,5663706144-IO-7 Гн/м — магнитная постоянная.
Для ферромагнитных тел р=ср(//), а следовательно, и
При решении'задач, где требуется знать зависимость	необхо-
димо пользоваться графиком, приведенным в приложении 11.
Объемная плотность энергии магнитного поля
.	^0 = ^.
Магнитный поток (поток магнитной индукции) сквозь контур
Ф = BS cos ф,
где S — площадь поперечного сечения контура, <р — угол между нор-
малью к плоскости контура и направлением магнитного поля.
Магнитный поток сквозь тороид
I '
где N — общее число витков тороида, I — его длина, S — площадь
его поперечного сечения, р. — относительная магнитная проница-
153
емость материала сердечника, р0 — магнитная постоянная. Если тороид
имеет воздушный зазор, то ‘
Л	IN
(J)	- - - - - -
ti /SpoPi + i2/Spopa
где 4 — длина железного сердечника, f*i — его магнитная проница-
емость, /2 — длина воздушного зазора, щ — магнитная проницаемость
воздуха.
На элемент dl проводника с током, находящийся в магнитном
поле, действует сила Ампера
dF = BI sin a dl,
где а — угол между направлениями тока и магнитного поля.
На замкнутый контур с током, а также на магнитную стрелку
в магнитном поле действует пара сил с вращающим моментом
М = рВ sin а,
где р — магнитный момент контура с током (или магнитной стрелки),
а — угол между направлением магнитного поля н нормалью к пло-
скости контура (илн осью стрелки). •
Магнитный момент контура с током
p = /S,
где S — площадь контура, так что
М — BIS sin а.
Два параллельных бесконечно длинных прямолинейных провод-
ника с токами It и /а взаимодействуют между собой с силой
г. lilil
где I — длина участка проводников, d — расстояние между ними.
Работа перемещения проводника с током в магнитном поле
. dA = I d<D,
где d<£> — магнитный поток, пересеченный проводником при его дви>
женин.
Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся со ско
ростью v в магнитном поле, определяется формулой Лореица
F=g.Bv sin а,
где 9 — заряд частицы, а — угол между направлениями скорости
частицы и магнитного поля.
При протекании тока I вдоль проводящей пластины, помещенной
перпендикулярно к магнитному полю, возникает поперечная разность
потенциалов
154
где а — толщина пластины, В — индукция магнитного поля, К™
= 1/ле — постоянная Холла, обратная концентрации п носителей
тока и их заряду е. Зная постоянную Холла К и удельную проводи-
мость материала a=l/p=neu, можно найти подвижность носителей
тока и.
Явление электромагнитной индукции заключается в появлении в
контуре э. д. с. индукции при всяком изменении магнитного потока
Ф сквозь поверхность, охватываемую контуром. Э. д. с. индукции
определяется уравнением
« _ ОФ
йГ
Изменение магнитного потока может достигаться изменением тока в
самом контуре (явление самоиндукции). При этом э. д. с. самоиндук-
ции определяется формулой
где L — индуктивность контура.
Индуктивность соленоида
L = p0p.n2/S,
где I — длина соленоида, S — площадь его поперечного сечения, п —
число витков на единицу его длины.
Вследствие явления самоиндукции при выключении э. д. с. ток
в цепи спадает по закону
it ( R
/ = /оехр ( —1,
а при включении э. д. с. ток нарастает по закону
/ = /» [1-ехр (-£<)] ,
где R — сопротивление цепи.
Магнитная энергия контура с током
W=^T-
Изменение магнитного потока может достигаться также измене-
нием тока в соседнем контуре (явление взаимной индукции). При этом
индуцируемая э. д. с.
JD____г М.
 
где Lfa — взаимная индуктивность контуров. Взаимная индуктивность
двух соленоидов, пронизываемых общим магнитным истоком,
где «1 и — числа витков на единицу длины этих соленондов.
155
Количество электричества, прошедшего через Поперечное сечение
проводника при возникновении в нем индукционного тока,
dq~ —	<1Ф.
11.1.	Найти напряженность Н магнитного поля в точке,
отстоящей на. расстоянии а=2 м от бесконечно длинного про-
водника, по которому течет ток /=5 А.
11.2.	Найти напряженность Н магнитного поля в центре
кругового проволочного витка радиусом 7? = 1 см, по кото-
рому течет ток /=1 А.
11.3.	На рис. 52 изображены сечения двух прямолиней-
ных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояние
Л
ф
в
Рис. 52.
между проводниками АЯ=10 см, токи /1=20 А и /2=30 А.
Найти напряженности Н магнитного поля, вызванного то-
ками Л и /2 в точках Ми М2 и М3. Расстояния /ИИ =2 см,
АМ2—4 см и ВЛ43=3 см.
11.4.	Решить предыдущую задачу при условии, что токи
текут в одном направлении.
11.5.	На рис. 53 изображены сечения трех прямолиней-
ных бесконечно длинных проводников с токами. Расстоя-
ния АВ=ВС=5 см, токи Л=/2=/ и /3=2/. Найти точку
В
Рис. 53,
на прямой АС, в которой напряженность магнитногошоля,
вызванного токами Л, /2 и /3, равна нулю.
11.6.	Решить предыдущую задачу при условии, что токи
текут в одном направлении.
11.7.	Два .прямолинейных бесконечно длинных провод-
ника расположены перпендикулярно друг к другу и нахо-
дятся в одной плоскости (рис. 54)'. Найти напряженности
7/1 и Т/2 магнитного поля в точках Afj и М2, если токи Л=
=2 А и /2=3 А. Расстояния AAfi=AAfa=l см и
—СМ2=2 см.
156
11.8.	Два прямолинейных бесконечно длинных провод-
ника расположены .перпендикулярно друг к другу и нахо-
дятся во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 55).
Найти напряженности Hi и Н2 магнитного поля в точках
Afi и М2, если токи Л=2 А и /2=3 А. Расстояния АМг=
=Л/И2=1 см и. ДВ=2 см.
Л.?------
J________LJ.
с	в
Рис. 54.
Рис. 55.
11.9.	Два прямолинейных длинных проводника распо-
ложены параллельно на расстоянии d=10 см друг от друга.
По проводникам текут токи Zi=/2=5 А в противоположных
направлениях. Найти модуль и направление напряженности
Н магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии а=
= 10 см от каждого проводника.
11.10.	По длинному вертикальному проводнику сверху
вниз идет ток /=8 А. На каком расстоянии а от него напря-
женность поля, получающегося от сложения земного маг-
нитного поля и поля тока, направлена вертикально вверх?
Горизонтальная составляющая напряженности земного
поля Нт=\6 А/м.
11.11.	Найти напряженность Н магнитного поля, созда-
ваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током,
в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине
этого отрезка на расстоянии а=5 см от него. По проводнику
течет ток /=20 А. Отрезок АВ проводника виден из точки С
под углом 60°.
11.12.	Решить предыдущую задачу при условии, что
ток в проводнике /=30 А и отрезок проводника виден из
точки -С под углом 90°. Точка С расположена на расстоя-
нии а=6 см от проводника.
11.13.	Отрезок прямолинейного проводника с током име-.
ет длину /=30 см. При каком предельном расстоянии а от
него для точек, лежащих на перпендикуляре к его середине,
магнитное поле можно рассматривать как поле бесконечно
длинного прямолинейного тока? Ошибка при таком допу-
щении не должна превышать 5%. Указание. Допу-
скаемая ошибка б=(//2—Н^)/Н2, где Нг — напряженность
157
поля от отрезка проводника с током и Hi — напряженность
поля от бесконечно длинного прямолинейного тока.
11.14.	В точке С, расположенной на расстоянии <2=5 см
от бесконечно длинного прямолинейного проводника с то-
ком, напряженность магнитного поля 77=400 А/м. При ка-
кой предельной длине 7 проводника это значение напряжен-
ности будет верным с точностью до 2%? Найти напряжен-
ность Н магнитного поля в точке С, если проводник с током
имеет длину 7=20 см и точка С расположена на перпендику-
ляре к середине этого проводника.
11.15.	Ток 7=20 А идет по длинному проводнику, со-
гнутому под прямым углом. Найти напряженность Н маг-
нитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла
и отстоящей от вершины угла на расстоянии п=10см.
11.	Гб. Ток 7=20 А, протекая по кольцу из медной про-
волоки сечением 5 = 1,0 мм2, создает в центре кольца напря-
женность магнитного поля 77=178 А/м. Какая разность по-
тенциалов U приложена к концам проволоки, образующей
кольцо?
11.17.	Найти напряженность 77 магнитного поля на оси
кругового контура на расстоянии а=3 см от его плоскости.
Радиус контура 7?=4 см, ток в контуре 7=2 А.
11.18.	Напряженность магнитного поля в центре круго-
вого витка Ио=О,8 Э. Радиус витка R = 11 см. Найти напря-
женность 77 магнитного поля на оси витка на расстоянии а=
= 10 см от его плоскости.
11.19.	Два круговых витка радиусом 7?=4 см каждый
расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d=
= 10 см друг от друга. По виткам текут токи 1±—12=2 А.
Найти напряженность 77 магнитного поля на оси витков
в точке, находящейся на равном расстоянии от них. Задачу
решить, когда: а) токи в витках текут в одном направлении;
б) токи в витках текут в противоположных направлениях.
11.20.	Два круговых витка радиусом /?=4 см каждый
расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d=
=5 см друг от друга. По виткам текут токи 71=72=4 А.
Найти напряженность 77 магнитного поля в центре одного
из витков. Задачу решить, когда: а) токи в витках текут в
одном направлении; б) токи в витках текут в противополож-
ных направлениях.
11.21.	Найти распределение напряженности 77 магнит-
ного поля вдоль оси кругового витка диаметром 0=10 см,
по которому течет ток 7=10 А. Составить таблицу значений
/7 и построить график для значений х в интервале
^10 см через каждые 2 см.
158
11.22.	Два круговых витка расположены в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях так, что центры этих витков
совпадают. Радиус каждого витка R=2 см, токи в витках
/1=/2=5А, Найти. напряженность Н магнитного поля
в центре этих витков. •
11.23.	Из проволоки длиной 1—1 м сделана квадратная
рамка. По рамке течет ток /=10 А. Найти напряженность Н
магнитного поля в центре рамки.
11.24.	В центре кругового проволочного витка создает-
ся магнйтное поле напряженностью Н при разности потен-
циалов на концах витка. Какую надо приложить раз-
ность потенциалов U2, чтобы получить такую же напряжен-
ность магнитного поля в центре витка вдвое большего ра-
диуса, сделанного из той же проволоки?
11.25.	По проволочной рамке, имеющей форму правиль-
ного шестиугольника, идет ток /=2 А. При этом в центре
рамки образуется магнитное поле напряженностью Н=
=33 А/м. Найти длину I проволоки, из которой сделана
рамка.
11.26.	Бесконечно длинный провод образует круговой
виток, касательный к проводу. По проводу идет ток /=5 А.
Найти радиус R витка, если напряженность магнитного
поля в центре витка //=41 А/м.
11.27.	Катушка длиной /=30 см имеет У=1000 витков.
Найти напряженность Н магнитного поля внутри катушки,
если по катушке проходит ток /=2 А, Диаметр катушки
считать малым по сравнению с ее длиной.
11.28.	Обмотка катушки сделана из проволоки диамет-
ром </=0,8 мм. Витки плотно прилегают друг к другу.
Считая катушку достаточно .длинной, найти напряжен-
ность Н магнитного поля внутри катушки при токе /=1 А.
11.29.	Из проволоки диаметром d—l мм надо намотать
соленоид, внутри которого должна быть напряженность
магнитного поля //=24 кА/м. По проволоке можно про-
пускать предельный ток /=6 А. Из какого числа слоев
будет состоять обмотка соленоида, если витки наматывать
плотно друг к другу? Диаметр катушки считать малым по
сравнению с ее длиной.
11.30.	Требуется получить напряженность магнитного
поля 7/=1 кА/м в соленоиде длиной /=20 см и диаметром
0=5 см. Найти число ампер-витков IN, необходимое для
этого соленоида, и разность потенциалов U, которую
надо приложить к концам обмотки из медной проволоки
диаметром </=0,5 мм. Считать поле соленоида - одно-
родным.
159
11.31.	Каким должно" быть отношение длины / катушки
к ее диаметру D, чтобы напряженность магнитного поля в
центре катушки можно было найти по формуле для на-
пряженности поля бесконечно длинного соленоида? Ошибка
при таком допущении не должна превышать 6=5%. Ука-
зание. Допускаемая ошибка 6=(//2—где Нг —
напряженность поля внутри катушки конечной длины
и Н2 —'напряженность поля внутри бесконечно длинной
катушки.	к
11.32.	Какую ошибку 6 мы допускаем при нахождении
напряженности магнитного поля в центре соленоида, при-
нимая соленоид задачи 11.30 за бесконечно длинный?
11.33.	Найти распределение напряженности Н магнит-
ного поля вдоль оси соленоида, длина которого 1=3 см
и диаметр D=2 см. По соленоиду течет ток 1=2 А. Катушка
имеет А=100 витков. Составить таблицу значений Н и
построить график для значений х в интервале 0</хс/3 см
через каждые 0,5 см.
'	11.34. Конденсатор емкостью С=10 мкФ периодически
заряжается от батареи с э. д. с. <£ = 100 В и разряжается
через катушку в форме кольца диаметром 0=20 см, при-
чем плоскость кольца совпадает с плоскостью магнитного
меридиана. Катушка имеет А=32 витка. Помещенная в
центре катушки горизонтальная магнитная стрелка
отклоняется на угол ос=45°. Переключение конденсатора
происходит с частотой п=100 с-1. Найти из данных это-
го опыта горизонтальную составляющую Нг напряжен-
ности магнитного поля Земли.
11.35.	Конденсатор емкостью С=10 мкФ периодически
заряжается от батареи с э. д. с. (£=120 В и разряжается
через соленоид длиной Z=10 см. Соленоид имеет N=20Q
витков. Среднее значение напряженности магнитного поля
внутри соленоида //=240 А/м. С какой частотой п проис-
ходит переключение конденсатора? Диаметр соленоида
считать малым по сравнению с его длиной.
11.36.	В однородном магнитном поле напряженностью
H=lQfi кА/м помещена квадратная рамка, плоскость
которой составляет с направлением магнитного поля угол
а=45°. Сторона рамки а=4 см. Найти магнитный поток Ф,
пронизывающий рамку.
11.37.	В магнитном поле, индукция которого В=0,05 Тл",
вращается стержень длиной Z=1 м. Ось вращения, прохо-
дящая через один из концов стержня, параллельна на-
правлению магнитного поля. Найти магнитный поток Ф,
пересекаемый стержнем при каждом обороте.
160
11.38.	Рамка, площадь которой 5=16 сма, вращается
в однородном магнитном поле с частотой п=2 с-1. Ось
вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна
к направлению магнитного поля. Напряженность магнит-
ного поля //=79,6 кА/м. Найти зависимость магнитного
потока Ф, пронизывающего рамку, от времени t и наиболь-
шее значение Фшах магнитного потока.
11.39.	Железный образец помещен в магнитное поле
напряженностью //=796 А/м. Найти магнитную проница-
емость р железа.
11.40.	Сколько ампер-витков потребуется для того,
чтобы внутри соленоида малого диаметра и длиной /=30 см
объемная плотность энергии магнитного поля была равна
Го = 1,75 Дж/м3?
11.41.	Сколько ампер-витков потребуется для создания
магнитного потока Ф=0,42 мВб в соленоиде с железным
сердечником длиной /=120 см и площадью поперечного
сечения 5=3 см2?
11.42.	Длина железного сердечника тороида /1=2,5 м,
длина воздушного зазора /2=1 см. Число витков в обмотке
тороида У=1000. При токе /=20 А индукция магнитного
поля в воздушном зазоре В=1,6 Тл. Найти магнитную
проницаемость р железного сердечника при этих условиях.
(Зависимость В от Н для железа неизвестна.)
11.43.	Длина железного сердечника тороида /х=1 м,
длина воздушного зазора ./2=1 см. Площадь поперечного
сечения сердечника S=25 см2. Сколько ампер-витков по-
требуется для создания магнитного потока Ф=1,4 мВб,
если магнитная проницаемость материала сердечника р=
=800? (Зависимость В от Н для железа неизвестна.)
11.44.	Найти магнитную индукцию В в замкнутом
железном сердечнике тороида длиной /=20,9 см, если
число ампер-витков обмотки тороида IN= 1500 А-в. Какова
магнитная проницаемость р материала сердечника при
этих условиях?
11.45.	Длина железного сердечника тороида /1=1 м,
длина воздушного зазора /2=3 мм. Число витков в. обмотке
тороида JV=2000. Найти напряженность магнитного поля
Нг в воздушном зазоре при токе /=1 А в обмотке тороида.
11.46.	Длина железного сердечника /1=50 ‘см, длина
воздушного зазора /2=2 мм. Число ампер-витков в об-
мотке тороида /JV=2000 А-в. Во сколько раз уменьшится
напряженность, магнитного поля в воздушном зазоре,
если при том же числе ампер-витков увеличить длину
воздушного зазора вдвое?’
6 В. С. Волькенштейн	161
11.47.	Внутри соленоида длиной Z=25,1 см и диаметром
D=2 см помещен железный сердечник. Соленоид имеет
N—20O витков. Построить для соленоида с сердечником
график зависимости магнитного потока Ф от тока I в ин-
тервале 0^7 ^5 А через каждый 1 А. По оси ординат
откладывать Ф (в 10~4 Вб).
11.48.	Магнитный поток сквозь соленоид (без сердеч-
ника) Ф=5 мкВб. Найти магнитный момент р соленоида,
если его длина Z=25 см.
11.49.	Через центр железного кольца перпендикуляр-
но к его плоскости проходит длинный прямолинейный
Рис. 56.
11.50.	Найти
площадь сечения
провод, по которому течет ток
7=25 А. Кольцо имеет четырех-
угольное сечение (рис. 56), разме-
ры которого Zi= 18 мм, Z2=22 мм
Ж и /г=5 мм. Считая приближенно, '
что в любой точке сечения коль-
ца индукция одинакова и равна
индукции на средней линии коль-
ца, найти магнитный поток Ф,
пронизывающий площадь сечения
кольца.
магнитный поток Ф, пронизывающий
кольца предыдущей задачи, учитывая,
что магнитное поле в различных точках сечения кольца
различно. Значение р считать постоянным и найти его по
графику кривой.	для значения Н на средней линии
кольца.
11.51.	Замкнутый железный сердечник длиной Z=50 см
имеет обмотку из М=1000 витков. По обмотке течет ток
71=1 А. Какой ток 72 надо пустить через обмотку, чтобы
при удалении сердечника индукция осталась прежней?
11.52.	Железный сердечник длиной Z!=50,2 см с воз-
душным зазором длиной Z2=0,l см имеет обмотку из #=
=20 витков. Какой ток 7 должен протекать по этой об-
мотке, чтобы в зазоре получить индукцию В2=1,2 Тл?
11.-53	. Железное кольцо диаметром D=H,4 см имеет
обмотку из (V=200 витков, по которой течет ток 7Х= 15 А.
Какой ток 72 должен проходить через обмотку, чтобы ин-
дукция в сердечнике осталась прежней, если в кольце
(делать зазор шириной Ь=1 мм? Найти магнитную прони-
цаемость р материала сердечника при этих условиях.
11.54.	Между полюсами электромагнита требуется со-
здать магнитное поле с индукцией В= 1,4 Тл. Длина же-
лезного сердечника /1=40 см, длина межполюсного про-
142
странства /2=1 см, диаметр сердечника D—5 см. Какую
э. д. с. S надо взять для питания обмотки электромаг-
нита, чтобы получить требуемое магнитное поле, используя
медную проволоку площадью поперечного сечения
= 1 мм2? Какая будет при этом наименьшая толщина b
намотки, если считать, что предельно допустимая плотность
тока 7=3 МА/м2?
11.55.	Между полюсами электромагнита создается од-
нородное магнитное поле с индукцией В—О,1 Тл. По про-
воду длиной 1—70 см, помещенному перпендикулярно к
направлению магнитного поля, течет ток 7=70 А. Найти
силу F, действующую на провод.
11.56.	Два прямолинейных длинных параллельных
проводника находятся на расстоянии <71=10 см друг от
друга. По проводникам в одном направлении текут Токи
7i=20 А и 72=30 А. Какую работу At надо совершить
(на единицу длины проводников), чтобы раздвинуть эти
проводники до расстояния d2=20 см?
11.57.	Два прямолинейных длинный параллельных
проводника находятся на некотором расстоянии друг от
друга. По проводникам текут одинаковые токи в одном
направлении. Найти токи 7г и 72, текущие по каждому из
проводников, если известно, что для того, чтобы раздви-
нуть эти проводники на вдвое большее расстояние, при-
шлось совершить работу (на единицу длины проводников)
Аг=55 мкДж/м.
11.58.	Из проволоки длиной /=20 см сделаны квадрат-
ный и круговой контуры. Найти вращающие моменты сил
Alj и /И2, действующие на каждый контур, помещенный в
однородное магнитное поле с индукцией 23=0,1 Тл. По
контурам течет ток 7=2 А. Плоскость каждого контура до-
ставляет угол а=45° с направлением поля.
11.59.	Алюминиевый провод площадью поперечного
сечения S = 1 мм2 подвешен в горизонтальной плоскости
перпендикулярно к магнитному меридиану, и по нему
течет ток (с запада на восток) 7=1,6 А. Какую долю от
силы тяжести, действующей на провод, составляет сила,
действующая на него со стороны земного магнитного поля?
На сколько уменьшится сила тяжести, действующая на
единицу длины провода, вследствие этой силы? Горизон-
тальная составляющая напряженности земного магнитного
поля 77г=15 А/м.
11.60.	Катушка гальванометра, состоящая из Af=400
ви’гков тонкой проволоки, намотанной на прямоугольный
каркас длиной /=3 см и шириной Ь=2 см, подвешена на
6*
163
нити в магнитном поле с индукцией, В=0,1 Тл. По катушке,
течет ток 7=0,1 мкА. Найти вращающий момент М, дей-
ствующий на катушку гальванометра, если плоскость,
катушки: а) параллельна направлению магнитного поля;
б) составляет угол а=60° с направлением магнитного
поля.
11.61.	На расстоянии а=20 см от длинного прямолиней-
ного вертикального провода на нити длиной Z=0,1 м и диа-
метром d=0,1 мм висит короткая магнитная стрелка, маг-
нитный момент которой р=0,01 А-м2. Стрелка находится
в плоскости, проходящей через провод и нить. На какой
угол ф повернется стрелка, если по проводу пустить ток
7=30 А? Модуль сдвига материала нити G=5,9 ГПа.
Система экранирована от магнитного поля Земли.
11.62.	Катушка гальванометра, состоящая из А=600
витков проволоки, подвешена на нити длиной /.= 10 см
и диаметром d=0,l мм в магнитном поле напряженностью
/7=160 кА/м так, что ее плоскость параллельна направ-
лению магнитного поля. Длина рамки катушки а=2,2 см
и ширина b=1,9 см. Какой ток I течет по обмотке катушки,
если катушка повернулась на угол ф=0,5°? Модуль сдвига
материала нити G=5,9 ГПа.
11.63.	Квадратная рамка подвешена на проволоке так,
что направление магнитного поля составляет угол а=90а
с нормалью к плоскости рамки. Сторона рамки а=1 см.
Магнитная индукция поля В = 13,7 мТл. Если по рамке
пропустить ток /=1 А, то она поворачивается на угол
Ф=1°. Найти модуль сдвига G материала проволоки. Длина
проволоки /=10 см, радиус нити г=0,1 мм.
11.64.	Круговой контур помещен в однородное магнит-
ное поле так, что плоскость контура перпендикулярна к
направлению магнитного поля. Напряженность магнит-
ного поля /7=150 кА/м. По контуру течет ток 7—2 А.
Радиус контура R=2 см. Какую работу А надо совершить,
чтобы повернуть контур на угол ф=90° вокруг оси, сов-
падающей с диаметром контура?
11.65.	В однородном магнитном поле с /индукцией
В=0,5 Тл движется равномерно проводник длиной /= 10 см.
По проводнику течет ток 7=2 А. Скорость движения про-
водника о=20 см/с и направлена перпендикулярно к на-
правлению магнитного поля. Найти работу А перемещения
проводника за время /=10 с и мощность Р, затраченную
' на это перемещение.
11.66.	Однородный медный диск А радиусом R =5 см
помещен в магнитное поле с индукцией В=0,2 Тл так, что
164
плоскость диска перпендикулярна к направлению магнит-
ного поля (рис. 57). Ток 7=5 А проходит по радиусу диска
ab (а и b — скользящие контакты). Диск вращается с
частотой п=3 с-1. Найти: а) мощность Р такого двига-
теля; б) направление вращения диска при условии, что
магнитное поле направлено от .чер-
тежа к нам; в) вращающий момент
Л4, действующий на диск.
11.67. Однородный медный диск
А массой т=0,35 кг помещен в маг-
нитное поле с индукцией В=24 мТл
так, что плоскость диска пер-
пендикулярна к направлению -маг-
нитного поля (рис. 57). При замыка-
нии цепи aba диск начинает вра-
щаться и через время /=30 с после
достигает частоты вращения п=5 с-1
начала вращения
Найти ток I в
цепи,-
11.68.	Найти магнитный поток Ф, пересекаемый радиу-
сом ab диска А (рис. 57) за время 7=1 мин вращения.
Радиус диска 7? = 10 см. Индукция магнитного поля В—
=0,1 Тл. Диск вращается с частотой п=5,3 с-1.
11.69.	Электрон, ускоренный разностью потенциалов
U = 1 кВ, влетает в однородное магнитное поле, направ-
ление которого перпендикулярно к направлению его дви-
жения. Индукция магнитного поля В=1,19 мТл. Найти
радиус Р окружности, по которой движется электрон,
период обращения Т и момент импульса М электрона.
11.70.	Электрон, ускоренный разностью потенциалов
£7=300 В, движется параллельно прямолинейному длин-
ному проводу на расстоянии а=4 мм от него. Какая сила F
действует на электрон, если по проводнику пустить ток
7=5 А?
11.71.	Поток а-частиц (ядер атома гелия), ускоренных
разностью потенциалов £7=1 МВ, влетает в однородное
магнитное поле напряженностью /7=1,2 кА/м. Скорость
каждой частицы направлена перпендикулярно к направ-
лению магнитного поля. Найти силу F, действующую на
каждую частицу.
11.72.	Электрон влетает в однородное магнитное поле,
направление которого перпендикулярно к направлению
его движения. Скорость электрона о=4-10’ м/с. Индукция
магнитного поля В=1 мТл. Найти тангенциальное ах
и нормальное ап ускорения электрона в магнитном
поле.
1гё
11.73.	Найти кинетическую энергию IF (в электрон-
вольтах) протона, движущегося по дуге окружности радиу-
сом R.—60 см в магнитном поле с индукцией В=1 Тл.
11.74.	Протон и электрон, двигаясь с одинаковой ско-
ростью, влетают в однороднее магнитное поле. Во сколько
раз радиус кривизны Я1 траектории протона больше ра-
диуса кривизны R2 траектории электрона?
11.75.	Протон и электрон, ускоренные одинаковой раз-
ностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле.
Во сколько раз радиус кривизны Я1' траектории протона
больше радиуса кривизны R2 траектории электрона?
11.76.	На фотографии, полученной в камере Вильсона,
траектория электрона в однородном магнитном поле пред-
ставляет собой дугу окружности радиусом R = 10 см. Ин-
дукция магнитного поля В=10 мТл. Найти энергию элект-
рона W (в электронвольтах).
11.77.	Заряженная частица движется в магнитном поле
по окружности со скоростью -«=108 м/с. Индукция- маг-
нитного поля В=0,3 Тл. Радиус окружности Я =4 см.
Найти заряд q частицы, если известно, что ее энергия
Г=12 кэВ.
11.78.	Протон и а-частица влетают в однородное маг-
нитное поле, направление которого перпендикулярно к
направлению их движения. Во сколько раз период обра-
щения 7\ протона в магнитном поле больше периода об-
ращения Т2 а-частицы?
Л1;79. а-частица, кинетическая энергия которой ,IF=
=500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпен-
дикулярное к направлению ее движения. Индукция маг-
нитного поля В—0,1 Тл. Найти силу F, действующую на
а-частицу, радиус Я окружности, по которой движется
а-частица, и период обращения Т а-частицы.
,11.80. а-частица, момент импульса которой М=
= 1,33-10~22 кг-м2/с, влетает в однородное магнитное поле,
перпендикулярное к направлению ее движения. Индукция
магнитного поля В=25 мТл. Найти кинетическую энергию
W а-частицы.
11.81.	Однозарядные ионы изотопов калия с относителы
ными атомными массами 39 и 41 ускоряются разностью
потенциалов /7=300 В; затем они попадают в однородное
магнитное поле, перпендикулярное направлению их дви-
жения. Индукция магнитного поля чВ=0,08 Тл. Найти
радиусы кривизны Я1 и Я а траекторий этих ионов.
11.82.	Найти отношение qhn для заряженной частицы,
если она, влетая со скоростью о=108 м/с в однородное
ИИ
магнитное поле напряженностью Н—200 кА/м, движется
по дуге окружности радиусом 7?=8,3 см. Направление
скорости движения частицы перпендикулярно к направ-
лению магнитного поля. Сравнить найденное значение со
значением q/m для электрона, протона и а-частицы.
11.83. Пучок электронов, ускоренных разностью по-
тенциалов £7 =300 В, влетает в однородное магнитное поле,
в
А
Рис. 58.
направленное от чертежа к нам (рис.
58). Ширина поля 5=2,5 см. В от-
сутствие магнитного поля пучок элек-
тронов дает пятно в точке А флуоре-
сцирующего экрана, расположенного
на расстоянии /=5 см от края по-
люсов магнита. При включении маг-
нитного поля пятно смещается в точ-
ку В. Найти смещение х=АВ пучка
электронов, если известно, что индук-
ция магнитного поля В=14,6 мкТл.
11.84.	Магнитное поле напряженностью Н=8 кА/м,
и электрическое поле напряженностью £=1 кВ/м направ-
лены одинаково. Электрон влетает в электромагнитное
поле со скоростью п=1(Н м/с. Найти нормальное ап, тан-
генциальное и полное а ускорения электрона. Задачу
решить, если скорость электрона направлена: а) парал-
лельно направлению электрического поля; б) перпенди-
кулярно к направлению электрического поля.
11.85.	Магнитное поле, индукция которого В=0,5 мТл,
направлено перпендикулярно к электрическому полю, на-
пряженность которого Е=1 кВ/м. Пучок электронов влета-
ет в электромагнитное поле, причем скорость v электронов
перпендикулярна к плоскости, в которой лежат векто-
ры Е и В. Найти скорость электронов v, если при одно-
временном действии обоих полей пучок электронов не ис-
пытывает отклонения. Каким будет радиус 7? траектории
движения электронов при условии включения одного маг-
нитного поля?
11.86.	Электрон, ускоренный разностью потенциалов
U—G кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом
а=30° к направлению поля и движется по винтовой тра-
ектории. Индукция магнитного поля В=13 мТл. Найти
радиус R и шаг h винтовой траектории.
11.87.	Протон влетает в однородное магнитное поле под
углом а=30° к направлению поля и движется по винтовой
линии радиусом R = 1,5 см. Индукция магнитного поля В=
=0,1. Тл. Найти кинетическую энергию W прогона.
.167
11.88.	Электрон влетает в плоский горизонтальный кон-
денсатор параллельно его пластинам ср скоростью о=
= 10’ м/с. Длина конденсатора 1=5 см: Напряженность
электрического поля конденсатора £=10 кВ/м. При вылете
из конденсатора электрон попадает в магнитное поле,
перпендикулярное к электрическому полю. Индукция маг-
нитного поля 5=10 мТл. Найти радиус £ и шаг h винто-
вой траектории электрона в магнитном поле.
11.89.	Электрон, ускоренный разностью потенциалов
/7=3 кВ/ влетает в магнитное поле соленоида под углом
а=30° к его оси. Число ампер-витков соленоида IN=
=5000 А-в. Длина соленоида 1=25 см. Найти шаг h вин-
товой траектории электрона в магнитном поле.
11.90.	Через сечение S=ab медной пластинки толщи-
ной а=0,5 мм и высотой &=10 мм пропускается ток 1=
=20'А. При помещении пластинки в магнитное поле, пер-
пендикулярное к ребру b и направлению тока, возникает
поперечная разность потенциалов /7=3,1 мкВ. Индукция
магнитного поля 5=1 Тл. Найти концентрацию п электро-
нов проводимости в меди и их скорость v при этих ус-
ловиях.
11.91.	Через сечение S=ab алюминиевой пластинки
(а — толщина и b — высота) пропускается ток 7=5 А.
Пластинка помещена в магнитное поле, перпендикулярное
к ребру b и направлению тока. Найти возникающую при
этом поперечную разность потенциалов /7. Индукция маг-
нитного поля 5=0,5 Тл. Толщина пластинки а=0,1 мм.
Концентрацию электронов проводимости считать равной
концентрации атомов.
11.92.	Пластинка ^полупроводника толщиной а=0,2 мм
помещена в магнитное поле, перпендикулярное к пластин-
ке. Удельное сопротивление полупроводника р = ЮмкОм-м.
Индукция магнитного поля 5=1 Тл. Перпендикулярно
к направлению поля вдоль пластинки пропускается ток
7=0,1 А. При этом возникает поперечная разность потен-
циалов /7=3,25 мВ. Найти подвижность и носителей тока
в полупроводнике.
11.93.	В однородном магнитном поле е индукцией 5=
=0,1 Тл движется проводник длиной /= 10 см. Скорость дви-
жения проводника н=15 м/с и направлена перпендикуляр-
но к магнитному полю. Найти индуцированную в провод^
нике э. д. с. S.
11.94.	Катушка диаметром £> = 10 см, состоящая из ,N=?
=500 витков проволоки, находится в магнитном поле. Най-
ти среднюю э. д. с. индукции <£ср, возникающую в атой
1.6в'
катушке, если индукция магнитного поля В увеличивается
в течение времени t—0,1 с от 0 до 2 Тл.
11.95.	Скорость самолета с реактивным двигателем v—
=950 км/ч. Найти э. д. с. индукции S, возникающую на
концах крыльев такого самолета, если вертикальная со-
ставляющая напряженности земного магнитного поля Нв=
=39,8 А/м и размах крыльев самолета /=12,5 м.
11.96.	В магнитном поле, индукция которого .8=0,05 Тл,
вращается стержень длиной /=1 м с угловой скоростью
и=20 рад/с. Ось вращения проходит через конец стержня
и параллельна магнитному полю. Найти э. д. с. индукции
4>, возникающую на концах стержня.
11.97.	Схема, поясняющая принцип действия электро-
магнитного расходомера жидкости, изображена на рис. 59.
Трубопровод с протекающей в нем проводящей жидкостью
помещен в магнитное поле. На электродах А и В возникает
э. д. с. индукции. Найти скорость v течения жидкости в
трубопроводе, если индукция магнитного поля 8=0,01 Тл,
расстояние между электродами (внутренний диаметр тру-
бопровода) d=50 мм и возникающая при этом э. д. с. <S=
=0,25 мВ.
11.98.	Круговой проволочный виток площадью 8=
=0,01 м2 находится в однородном магнитном поле, индукция
которого 8=1 Тл. Плоскость витка перпендикулярна к
направлению магнитного поля. Найти среднюю э. д. с. ин-
дукции <£ср, возникающую .в витке при выключении поля
в течение времени /= 10 мс.
11.99.	В однородном магнитном поле, индукция кото-
рого 8=0,1 Тл, равномерно вращается катушка, состоя-
щая из Л/=100 витков, проволоки. Частота вращения ка-
тушки л=5с^; площадь поперечного сечения катушки
-169
5=0,01 м2. Ось вращения перпендикулярна к оси катушки
и направлению магнитного поля. Найти максимальную
э. д. с. индукции #тах во вращающейся катушке.
11.100. В однородном магнитном поле, индукция ко-
торого Тл, равномерно вращается рамка с угловой
скоростью <в=15 рад/с. Площадь рамки 5=150 см2. Ось
вращения находится в плоскости рамки и составляет угол
а=30° с направлением магнитного поля. Найти максималь-
. ную э. д. с. индукции <£тах во вращающейся рамке.
11.101. Однородный медный диск А радиусом В =5 см
помещен в магнитное поле с индукцией В=0,2 Тл так, что
плоскость диска перпендикулярна к
| направлению магнитного поля (рис.
/zi'x\ - I 60). По цепи aba может идти ток (а
/	!	\	(л) и — скользящие контакты). Диск
( (о у	вращается с частотой п=3с-1. Най-
тиэ.д.c.S такого генератора. Ука-
_____г-—зать направление электрического то-
I—'	ка, если магнитное поле направле-
Рис. 60.	но от нас к чертежу, а диск- враща-
ется против часовой стрелки.
11.102.	Горизонтальный стержень длиной /=1 м вра-
щается вокруг вертикальной оси, проходящей через один
из его концов. Ось вращения параллельна магнитному
полю, индукция которого В=50 мкТл. При какой частоте
вращения п стержня разность потенциалов на концах это-
го стержня U = 1 мВ?
11.103.	На соленоид длиной /=20 см и площадью по-
перечного сечения 5=30 см2 надет проволочный виток. Об-
мотка соленоида имеет У=320 витков, и по нему идет ток
7=3 А. Какая средняя э. д. с. <£ср индуцируется в наде-
том: на соленоид витке, когда ток в соленоиде выключается
в течение времени 7=1 мс?
11.104.	Какая средняя э. д. с. индуцируется в вит-
ке, если соленоид, рассмотренный в предыдущей задаче,
имеет железный сердечник?
11.105.	На соленоид длиной I—144‘см и диаметром D=
= 5 см надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет
JV=2000 витков, и по ней течет ток 7=2 А. Соленоид имеет
железный сердечник. . Какая средняя э. д. с. d?cp индуци-
руется в надетом на соленоид витке, когда ток в соленоиде
выключается в течение времени /=2 мс?
11.106.	В однородном магнитном поле, индукция кото-
рого В=0,1 Тл, вращается катушка, состоящая из Д1=
=200 витков. Ось вращения катушки перпендикулярна к ее
170
оси и к направлению магнитного поля. Пррипд обряжения
катушки Т=0,2 с; площадь поперечного сечения 5=4 см2.
Найти максимальную э. д. с. индукции <£тах во вращаю-
щейся катушке.
11.107.	Катушка длиной 7=20 см имеет #=400 витков.
Площадь поперечного сечения катушки 5=9 см2. Найти
индуктивность Li катушки. Какова будет индуктивность
катушки, если внутрь катушки введен железный сер*
дечник? Магнитная проницаемость материала сердечни*
ка р=400.
11.108.	Обмотка соленоида состоит из N витков медной
проволоки, поперечное сечение которой 5 = 1 мм2. Длина
соленоида 7=25 см; его сопротивление #=0,2 Ом. Найти
индуктивность L -соленоида.
11.109.	Катушка длиной 1=20 см и диаметром 0=3 см
имеет #=400 витков. По катушке идет ток 1=2 А. Найти
индуктивность L катушки и магнитный поток Ф, пронизы-
вающий площадь ее поперечного сечения.
11.110.	Сколько витков проволоки диаметром d=0,6 мм
имеет однослойная обмотка катушки, индуктивность кото-
рой L=1 мГн и диаметр 0=4 см? Витки плотно прилегают
друг к другу.
11.111.	Катушка с железным сердечником имеет пло-
щадь поперечного сечения 5=20 см2 и число витков #=
=500. Индуктивность катушки с сердечником £=0,28 Гн
при токе через обмотку 7=5 А. Найти магнитную прони-
цаемость [1 железного сердечника.
11.112.	Соленоид длиной 7=50 см и площадью попе-
речного сечения 5=2 см2 имеет индуктивность L=0,2 мкГн.
При каком токе 7 объемная плотность энергии магнитного
поля внутри соленоида И70 = 1 мДж/м3?
11.113.	Сколько витков имеет катушка, индуктивность
которой £=1 мГн, если при токе 7=1 А магнитный поток
сквозь катушку Ф=2 мкВб?
11.114.	Площадь поперечного сечения соленоида с же-
лезным сердечником’5 = 10 см2; длина соленоида 7=1 м.
Найти магнитную проницаемость р материала сердечника,
если магнитный поток, пронизывающий поперечное сече-
ние соленоида, Ф=1,4 мВб. Какому току 7, текущему,,
через соленоид, соответствует этот магнитный доток, если
известно, что индуктивность соленоида при этих условиях*
£=0,44 Гн?
11.115.	В соленоид длиной 7=50 см вставлен сердечник
из такого сорта железа, Для которого зависимость
неизвестна.. Число витков н| едищщу длины сол|новда
' 171
см-1; площадь поперечного сечения соленоида
5=10 см2. Найти магнитную проницаемость р. материала
сердечника при токе через обмотку соленоида 7=5 А, если
известно, что магнитный поток, пронизывающий попереч-
ное сечение соленоида с сердечником, Ф=1,6 мВб. Какова
индуктивность L соленоида при этих условиях?
11.-	116. Имеется соленоид с железным сердечником дли-
ной 7=50 > см, площадью поперечного сечения S=10 см2
и числом витков Af=1000. Найти индуктивность L этого
соленоида, если по обмотке соленоида течет ток: а) 7=0,1 А;
б) 7=0,2 А; в) 7=2 А.
' 11.117. Две катушки намотаны на один общий сердеч-
ник. Индуктивность первой катушки Li=0,2 Гн, второй —
L2=0,8 Гн; сопротивление второй катушки К2=600 Ом.
Какой ток 72 потечет во второй катушке, если ток 71=
=0,3 А, текущий в первой катушке, выключить в течение
времени 7=1 мс?
11.118.	В магнитном поле, индукция которого В—
= 0,1 Тл, помещена квадратная рамка из медной проволоки.
Площадь поперечного сечения проволоки s=l мм2, пло-
щадь рамки S=25 см2. Нормаль к плоскости рамки парал-
лельна магнитному полю. Какое количество электричест-
ва q пройдет по контуру рамки при исчезновении магнит-
ного поля?
11.119.	В магнитном поле, индукция которого В=
=0,05 Тл, помещена катушка, состоящая из N=200 витков
проволоки. Сопротивление катушки R =40 Ом; площадь
поперечного сечения S=12 см2. Катушка помещена так,
что ее ось составляет угол а=60° с направлением магнит-
ного поля. Какое количество электричества q пройдет по
катупцге при исчезновении магнитного поля?
11.120.	Круговой контур радиусом г=2 см помещен в
однородное магнитное поле, индукция которого В=0,2 Тл.
Плоскость контура перпендикулярна к направлению маг-
нитного поля. Сопротивление контура 7? = 1 Ом. Какое ко-
личество электричества q пройдет через катушку при по-
вороте ее на угол а=90°?
11.121.	На соленоид длиной 7=21 см и площадью по-
перечного сечения S=10 см2 надета катушка, состоящая из
Л\=50 витков. Катушка соединена с баллистическим галь-
ванометром, сопротивление которого /?=1 кОм. По об-
мотке соленоида, состоящей из Л72=2ОО витков, идет ток
7=5 А. Найти баллистическую постоянную С гальвано-
метра, если известно, что при выключении тока в соленои-
де гальванометр дает отброс, равный 30 делениям шка-
172
лы *). Сопротивлением катушкй по сравнению с сопротив-
ление^ баллистического гальванометра пренебречь.
11.122.	Для измерения индукции магнитного поля меж-
ду полюсами электромагнита помещена катушка, состоя-
щая из Я=50 витков проволоки и соединенная с баллисти-
ческим гальванометром. Ось катушки параллельна на-
правлению магнитного поля. Площадь поперечного сече-
ния катушки S=2 см2. Сопротивление гальванометра R —
—2 кОм; его баллистическая постоянная С=2-10~8 Кл/дел.
При быстром выдергивании катушки из магнитного поля
гальванометр дает отброс, равный 50 делениям шкалы.
Найти индукцию В магнитного поля. Сопротивлением ка-
тушки по сравнению с сопротивлением баллистического
гальванометра пренебречь.
11.123.	Зависимость магнитной проницаемости р от
напряженности магнитного поля Н была впервые исследо-
вана А. Г. Столетовым в его работе «Исследование функции
намагничения мягкого железа» (1872). При исследовании
Столетов, придал испытуемому образцу железа форму то-
роида. Железо намагничивалось пропусканием тока I по
первичной обмотке тороида. Изменение направления тока
в этой первичной катушке вызывало в баллистическом
гальванометре отброс на угол а. Гальванометр был вклю-
чен в цепь вторичной обмотки тороида.
Тороид, с которым работал Столетов, имел следующие
параметры: площадь поперечного сечения S=1,45 см2, дли-
на 7=60 см, число витков первичной катушки Л^=800,
число витков вторичной катушки Я2=100. Баллистическая
постоянная гальванометра С=1,2-10"^ Кл/дел и сопротив-
ление вторичной цепи R = 12 Ом. Результаты одного из
опытов Столетова сведены в таблицу:
I, А	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
а (в делениях шкалы)	48,7	148	208	241	256
По этим данным составить таблицу и построить график
зависимости магнитной проницаемости р от напряженно-
сти магнитного поля Я для железа, с которым работал
А. Г. Столетов.
•) Баллистической постоянной гальванометра называется вели-
чина, численно равная количеству электричества, которое вызывает
отброс по шкале на одно деление.	>	<
173
11.124.	'Для измерения магнитной проницаемости же-
леза из него был изготовлен тороид длиной 1=50 см и пло-
щадью поперечного сечения 5=4 сма. Одна из обмоток то-
роида имела N±=500. витков и была присоединена к источ-
нику тока, другая имела /У8=1000 витков и была присое-
динена к гальванометру. Переключая направление тока в
первичной обмотке на обратное, мы вызываем во вторичной
обмотке индукционный ток. Найти магнитную проницае-
мость р железа, если известно, что при переключении в
первичной обмотке направления тока 7 = 1 А через гальва-
нометр прошло количество электричества </=0,06 Кл. Со-
противление вторичной обмотки 7?=20 Ом.
11.125.	Электрическая лампочка, сопротивление кото-
рой в горячем состоянии R = 10 Ом, подключается через
дроссель к 12-вольтовому аккумулятору. Индуктивность
дросееля А=2 Гн, сопротивление г=1 Ом. Через какое
врем* t после включения лампочка загорится, если она
начинает заметно светиться при напряжении на ней U=
=6 В?
11.126.	Имеется катушка длиной /=20 см и диаметром
D=2 см. Обмотка катушки состоит из А7=2ОО витков мед-
ной проволоки, площадь поперечного сечения которой s=
= 1 мм2. Катушка включена в цепь с некоторой э. д. с. При
помощи переключателя э. д. с. выключается, и к-атушка
замыкается накоротко. Через какое время t после выклю-
чения э. д. с. ток в цепи уменьшится в 2 раза?
11.127.	Катушка имеет индуктивность L=0,2 Гн и со-
противление К = 1,64 Ом. Во сколько раз уменьшится ток
в катушке через время 7=0,05 с после того, как э. д. с.
выключена и катушка замкнута накоротко?
11.128.	Катушка имеет индуктивность L=0,144 Гн
и сопротивление R = 10 Ом. Через какое время t после
включения в катушке потечет ток, равный половине уста-
новившегося?
11.129.	Контур имеет сопротивление R=2 Ом и индук-
тивность L=0,2 Гн. Построить график зависимостй тока
7 в контуре от времени I, прошедшего с момента включения
в цепь э. д. с., для интервала О^7^О,5 с через каждую
0г1 с. По оси ординат откладывать отношение нарастаю-
щего тока 7 к конечному току 70.	•
11.130.	Квадратная рамка из медной проволоки сече-
нием's=l мм2 помещена в магнитное поле, индукция кото-
рого меняется по закону В=В0 sin со/, где 50=0,01 Тл,
со=2л/71 и 7,=О,02 с. Площадь рамки S=25 см2. Плос-
кость рймки перпендикулярна к направлению магнитного
174
поля, Найти зависимость от времени t и наибольшее зна-
чением а) магнитного потока Ф, пронизывающего рамку;
б) э. д. с. индукции S, возникающей в рамке; в) тока. 7,
текущего по рамке.
11.131.	Через катушку, индуктивность которой L=
=21 мГн, течет ток, изменяющийся со временем по закону
7=70sin со/, где 7о-=5. А, со=2л/Т и /'=0,02 с. Найти за-
висимость от времени /: а) э. д. с. самоиндукции воз-
никающей в катушке; б) энергии W магнитного поля ка-
тушки.
11.132.	Две катушки имеют взаимную индуктивность
£12=5 мГн. В первой катушке ток изменяется по закону
1=1 о sin со/, где 7о=1О А, со=2л/Т и 7=0,02 с. Найти за-
висимость от времени / э. д. с. <£2> индуцируемой во вто-
рой катушке, и наибольшее значение <£2тах этой э. Д- с-
Г л а в a IV
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ЕДИНИЦЫ АКУСТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
В табл. 14 приведены производные акустические еди-
ницы системы СИ. В табл. 15 и 16 даны акустические еди-
ницы системы СГС и их связь с единицами системы СИ, а
также внесистемные акустические единицы.
Таблица 14
		Единица		
Величина	определение	наименование	обозначе- ние	Размерность величины
Звуковое дав- ление Плотность зву- ковой энер- гии Звуковая мощ- ность Интенсивность звука	“О	g -в II II II II Со ' ~	паскаль джоуль . на ку- бический метр ватт ватт на квад- ратный метр	Па Дж/м3 Вт Вт/м2	7.-1Л4Т-2 L-1/ИТ-2 £2Л4Т-3 Л47-3
Таблица 15
Величина
Единица и ее связь с единицами СИ
Звуковое давление
Плотность звуковой энергии
Звуковая мощность
Интенсивность звука
1 дин/см2 = 0,1 Па
1 эрг/см3 =0,1 Дж/м3
1 эрг/с = 10~7 Вт
1 эрг/(с  см2) = Ю-3 Вт/м2
Примеры решения задач
Задача 1. Амплитуда гармонических колебаний ма-
териальной точки равна 5 см. Масса материальной точки
равна 10 г, полная энергия колебания^равна 31 мкДж.
176	.
Таблица 16
Величина	Единица		
	наимено- вание	обозна- чение	определение
Уровень звуко- вого давления Уровень гром- кости звука	децибел фон	дБ фон	Децибел—уровень звукового давления, двадцать' десятич- ных логарифмов отношения которого к условному порогу давления, равному 2-10“® Па, равны единице Фон—уровень ‘ громкости зву- ка, для которого уровень зву- кового давления равногром- кого с ним звука частоты 103 Гц равен 1 дБ
Написать уравнение гармонических колебаний этой точки
(с числовыми коэффициентами), если начальная фаза ко-
лебаний равна 60°.
Решение. Общее уравнение гармонических колебаний
имеет вид
х= A sin
(о

Период Т колебаний можно найти из условия W=
=2лМ2/п/Т2=3,1 • 10_5 Дж; отсюда
Т = К2лМ2т/Г.
(2)
У нас Л=5-10-2 м, т=10-2 кг и W=3,l • 10'5 Дж. Под-
ставляя эти данные в (2), получим Т=4 с. Тогда
2nt/T=2nt/4=nt/2 и уравнение (1) примет вид
5» I Л 1 । Л \
Sin ( -о t + пг СМ.
A Z	О /
Отметим, что так как sin
л
2"
/4--2-1—величина безраз-
О !
мерная, то А не обязательно подставлять в метрах; наиме-
нование смещения х будет соответствовать наименованию
амплитуды А.
Задача 2. Уровень звукового давления равен
40 дБ. Найти амплитуду звукового давления и интенсив-
ность звука. Порог слышимости звука 1в = 10-12 Вт/м2.
177
Решение. Уровень звукового давления Lp (в де-
цибелах) связан с амплитудой звукового давления р соот-
ношением
^ = 20Ig^(	(1)
где ро — амплитуда звукового давления при нулевом уров-
не громкости. В системе СИ р0=2-10_5 Па. По условию
7^=40 дБ. Из (1) имеем lg(p/p0)=2, откуда р/ро=1Оа.
Тогда искомая амплитуда звукового давления р=р0-102=
=2-10"М02 Па=2-10~3 Па.
Уровень громкости Lt (в фонах) связан с интенсивно-
стью звука соотношением
b/ = 101gy.	(2)
По определению фона при £,,==40 дБ имеем £у=40 фон.
Тогда из (2) получаем lg(Z/Z0)=4, или 7/7о=1О4; отсюда
интенсивность звука 7=1й-104=10”12’ 104Вт/м2=10“8Вт/м2.
§ 12, Гармоническое колебательное движение и волны
Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид
х = Д sin ( у t+ф I = A sin (2nv/ + <p) = A sin (at +<p),
где x — смещение точки от положения равновесия, разное для разных
моментов времени, А — амплитуда, Т — период, <р — начальная фаза,
v [Гц]=1/Т — частота колебаний, <в [с_1]=2л/7' — круговая частота.
Скорость и ускорение точки, совершающей колебание, опреде-
ляются соотношениями
dx 2п .	/2л , , X
v = di=TAc0S[T
dv d2x. 4п2 . , /2л ,	\
a~dt~~dt2~~ Т2 Asbl [Т
Сила, под действием которой точка массой m совершает гармони-
ческое колебание,
F = ma =
4л2 tn . ’ /2л , , \
-yr A sin ( у/+<р 1
4л2т
J’S
х — — kx,
где А==4л2т/Т*, т. е. 7 = 2л Vm/k. Здесь Т — период колебаний точки,
соверЩающей колебания под действием силы F~—kx, где k—жест-
кость., численно равная силе, вызывающей смещение, равное единице.
178
Кинетическая и потенциальная анергии колеблющейся точки
имеют вид
mva 2лат /2л . , \
^к=—=-j^-Л2 cos2 ( у f+ф L
т kxa 2л2т.,,, , ./2л , , \
Wn = -j-=c-^-[A2sln2 ( у/+<р ].
Полная энергия
№ =	Я2.
Примером гармонических колебательных движений могут служить
малые колебания маятника-. Период колебаний математического ма-
ятника
Т = 2лУТЦ,
где I — длина маятника, g — ускррейие свободного падения.
При сложении двух одинаково направленных гармонических ко-
лебаний одинакового периода получается гармоническое колебание
того же периода с амплитудой
А — Ai -j-Л2+2Л1Л2 cos (ф2—q>i)
и с начальной фазой, определяемой нз уравнения
t „ Л1 sin <pi +/Usings
COS Ф1 + Л2СО8 ф2 *
где Д1 и А2 — амплитуды слагаемых колебаний, (R и ф2 — их началь-
ные фазы.
При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний оди-
накового периода уравнение траектории результирующего движения
имеет вид
+-^-—-^-COS (ф2—-ф1)=5Ш2(ф2-ф1).
А] Л2
Если на материальную точку массой т, кроме упругой силы F—
=—kx, действует еще сила трения Етр=—п, где г — коэффициент
трения и а — скррость колеблющейся точки, то колебания точки будут
затухающими. Уравнение затухающего колебательного движения имеет
вид
х = Ае~61 sin (<в/ + ф),
гдеб[с-1]—коэффициент затухания. При этом б=г/2т и <в'=	<т^—б2,
где <в0 — круговая частота собственных колебаний. Величина х=бТ
называется логарифмическим декрементом затухания.
Если на материальную точку массой т, колебание которой дано
в виде
Xi=Ae~6t sin ио/,
179
действует внешняя периодическая сила /?=/?081'п то колебания точки
будут вынужденными и уравнение ее движения примет вид
х2 = A sin (cot 4- ф),
где
.	/'о	<•	28®
А =-----7 _ - ,. .  :	, tg ф = —--------.
т V (<»о—<»2)2 + 4б'2»2	<»о — ®2
Резонанс наступает тогда, когда частота вынужденных колебаний
® связана с частотой собственных колебаний <в0 и с коэффициентом
затухания 6 соотношением
со = Кшо—2ба.
При распространении незатухающих колебаний со скоростью с
вдоль некоторого направления, называемого лучом, смещение любой
точки, лежащей на луче и отстоящей от источника колебаний на рас-
стоянии I, дается уравнением
где А — амплитуда колеблющихся точек, К — длина волны. При
этом К=сТ. Две точки, лежащие на луче на расстояниях и /2 от ис-
точника колебаний, имеют разность фаз
<р2—Ф1 = 2л-^=А.
Л
При интерференции волн максимум и минимум амплитуды полу-
чаются соответственно при условиях
Z2 —=	(n = 0, 1, 2, ...), ,
/2-/1=(2п+1)А	(« = 0, 1, 2, ...).
Здесь t2—ii — разность хода лучей.
12.1.	Написать уравнение гармонического колебатель-
ного движения с амплитудой Д=5 см, если за время t=
= 1 мин совершается 150 колебаний и начальная фаза ко-
лебаний <р=л/4. Начертить график этого движения.
12.2.	Написать уравнение гармонического колебатель-
ного движения с амплитудой А =0,1 м, периодом Т=4 с и
начальной фазой <р=0.
12.3.	Написать уравнение гармонического колебатель-
ного движения с амплитудой Л=50 мм, периодом Т=4 с
и начальной фазой <р=л/4. Найти смещение х колеблющей-
ся точки от положения равновесия при t—0 и /=1,5 с.
Начертить график этого движения.
180
12.4.	Напасать уравнение гармонического колебатель-
ного движения с амплитудой А =5 см и .периодом Т—8 с,
если начальная фаза <р колебаний равна: а) 0; б) л/2;
в) л; г) Зл/2; д) 2л. Начертить график этого движения во
всех случаях.
12.5.	Начертить на одном графике два гармонических
колебания с одинаковыми амплитудами Ai=Aa=2 см и
одинаковыми периодами 7’1=7’2=8 с; но имеющими раз-
ность фаз <р2—<plt равную: а) л/4; б) л/2; в) л; г) 2л.
12.6.	Через какое время от начала движения точка, со-
вершающая гармоническое колебание, сместится от поло-
жения равновесия на половину амплитуды? Период коле-
баний 7’=24 с, начальная фаза <р=0.
12.7.	Начальная фаза гармонического колебания <р=0.
Через какую долю периода скорость точки будет равна
половине ее максимальной скорости?
12.8.	Через какое время от начала движения точка,
совершающая колебательное движение по уравнению
х— 7sin^-/, проходит путь от положения равновесия до
максимального смещения?
12.9.	Амплитуда гармонического колебания А =5 см,
период Т=4 с. Найти максимальную скорость отах ко-
леблющейся точки и ее максимальное ускорение атах.
12.10.	Уравнение движения точки дано в виде
x=^2sin	см. Найти период колебаний Т, макси-
мальную скорость vmax и максимальное ускорение , птах
точки.
12.11.	Уравнение движения точки дано в виде
x=sin-^-Z. Найти моменты времени t, в которые дости-
гаются максимальная скорость и максимальное уско-
рение.
12.12.	Точка совершает гармоническое колебание. Пе-
риод колебаний Т=2 с, амплитуда А =50 мм, начальная
фаза <р=0. Найти скорость v точки в момент времени, когда
смещение точки от положения равновесия х=25 мм.
12.13.	Написать уравнение гармонического колебатель-
ного движения, если максимальное ускорение точки пшах=
—49,3 см/с2, период колебаний Т=2 с и смещение точки
от положения равновесия в начальный момент времени
х0=25 мм.
12.14.	Начальная фаза гармонического колебания <р=0.
При смещении точки от положения равновесия Xi=2,4 см
181
скорость точки vt=3 см/с, а при смещении х2=2,8 см
ее скорость 1ла=2см/с. Найти амплитуду А и период Т этого
колебания.
12.15.	Уравнение колебания материальной точки мас-
сой т=16 г имеет вид х = 0,1 sin	м. Построить
график зависимости от времени t (в пределах одного перио-
да) силы F, действующей на точку. Найти максимальную
силу 7гаах.
12.16.	Уравнение колебаний материальной точки мас-
сой т=10 г имеет вид х = 5 sin 14~см. Найти мак-
симальную силу Fmax, действующую на точку, и полную
энергию W7 колеблющейся точки,
12.17.	Уравнение колебания материальной точки мас-
сой'т= 16 г имеет вид x = 2sin	) см. Построить
график зависимости от времени t (в пределах одного перио-
да) кинетической 1FK, потенциальной lFn и полной W7 энер-
гий точки.
12.18.	Найти отношение кинетической энергии 1FK точ-
ки, совершающей гармоническое колебание, к ее потен-
циальной энергии lFn для моментов времени: а) /=7712;
б) /=778; в) t=T!8. Начальная фаза колебаний <р=0.
12.19.	Найти отношение кинетической энергии 1FK точ-
ки, совершающей гармоническое колебание, к ее потен-
циальной энергии 1ГП для моментов, когда смещение точки
от положения равновесия составляет: а) х=Л/4; б) х=Л/2;
в) х=А, где Л — амплитуда колебаний.
12.20.	Полная энергия тела, совершающего гармоничес-
кое колебательное движение, 1F=3O мкДж; максимальная
сила, действующая на тело, 7шах=1,5 мН. Написать урав-
нение движения этого тела, еслй период колебаний Т—2 с
и начальная фаза <р=л/3.
12.21.	Амплитуда гармонических колебаний материаль-
ной точки Л =2 см, полная энергия колебаний W7=0,3 мкДж.
При каком смещении х от положения равновесия на колеб-
• лющуюся точку действует сила 7=22,5 мкН?
12.22.	Шарик, подвешенный на нити длиной /=2 м,
отклоняют на угол а=4° и наблюдают его колебания. По-
лагая колебания незатухающими гармоническими, найти
скорость шарика при прохождении им положения равно-
весия. Проверить полученное решение, найдя скорость ша-
рика при прохождении им положения равновесия из урав-
нений механики.
182
12.23.	К пружине подвешен груз массой /и=10 кг.
Зная, что пружина под влиянием силы 7= 9,8 Н растяги-
вается на /=1,5см, найти период Т вертикальных колеба-
ний груза.
12.24.	К пружине подвешен груз. Максимальная кине-
тическая энергия колебаний груза W7Kmax==l Дж. Ампли-
туда колебаний А =5 см. Найти жесткость k пружины.
12.25.	Как изменится период вертикальных колебаний
груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от
последовательного соединения пружин перейти к парал-
лельному их соединению?
12.26.	Медный шарик, подвешенный к пружине, совер-
шает вертикальные колебания. Как изменится период ко-
лебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика
алюминиевый такого же радиуса?
12.27.	К пружине подвешена 'чашка весов с гирями.
При этом период вертикальных колебаний 71=0,5 с. Пос-
ле того как на чашку весов положили еще добавочные гири,
период вертикальных колебаний стал равным Т2=0,6 с.
На сколько удлинилась пружина от прибавления этого до-
бавочного груза?
12.28.	К резиновому шнуру длиной /=40 см и радиусом
г = 1 мм подвешена гиря массой т=0,5 кг. Зная, что мо-
дуль Юнга резины Е—3 МН/м2, найти период Т вертикаль-
ных колебаний гири. Указание. Учесть, что жесткость
k резины связана с модулем Юнга Е соотношением k=
=SE/l, где S — площадь поперечного сечения резины, I —
ее длина.
12.29	*). Ареометр массой т=0,2 кг плавает в жидко-
сти. Если погрузить его немного в жидкость и отпустить,
то он начнет совершать колебания с периодом Т=3,4 с.
Считая колебания незатухающими, найти плотность жид-
кости р, в которой плавает ареометр. Диаметр вертикаль-
ной цилиндрической трубки ареометра d=l см.
12.30.	Написать уравнение движения, получающегося
в результате сложения двух одинаково направленных гар-
монических колебательных, колебаний с одинаковым перио-
дом Т=8 с и одинаковой амплитудой А =0,02 м. Разность
фаз между этими колебаниями <р2—ф!=л/4. Начальная фа-
за одного из этих колебаний равна нулю.
12.31.	Найти амплитуду А и начальную фазу <р гар-
монического колебания, полученного от сложения оди-
*) Задачи на упругие силы и на математический и физический
маятники см. также в §§ 2 и 3 в гл. 1.
183
каково направленных колебаний, данных уравнениями
x1 = 0,02sin(5n/+n/2) м и x2 = 0,03sin(5n:/4-«/4) м;
12.32.	В результате сложения двух одинаково направ-
ленных гармонических колебаний с одинаковыми амплиту-
дами и одинаковыми периодами получается результирую-
щее колебание с тем же периодом и той же амплитудой.
Найти разность фаз <р2—<pi складываемых колебаний.
12.33.	Найти амплитуду А и начальную фазу <р гармони-
ческого колебания, полученного от сложения одинаково
направленных колебаний, данных уравнениями .^=4 sin л/
см и х2=3 sin (nt+n/2) см. Написать уравнение результи-
рующего колебания. Дать векторную диаграмму сложе-
ния амплитуд.
12.34., На рис. 61 дан спектр результирующего колеба-
ния. Пользуясь данными этого рисунка, написать урав-
нения колебаний, из которых
составлено результирующее
колебание. Начертить график
этих колебаний. Принять,
что в момент /=0 разность
фаз между этими колебания-
ми ф2—Ф1=О. Начертить гра-
фик результирующего коле-
бания.
12.35. Уравнения двух гар-
монических колебаний имеют
вид Xi=3 sin 4 nt см и х2=6 sin 10 nt см. Построить график
этих, колебаний. Сложив графически эти колебания, по-
строить график результирующего колебания. Начертить
спектр результирующего колебания.
12.36. Уравнение колебаний имеет вид л=Л sin 2nvi4
причем амплитуда А изменяется со временем по закону
А =Л0(14-соз 2т it). Из каких гармонических колебаний
состоит колебание? Построить график слагаемых и ре-
зультирующего колебаний для Ло=4 см, vt—2 Гц, v2=
= 1 Гц. Начертить спектр результирующего колебания.
12.37. Написать уравнение результирующего колебания,
получающегося в результате сложения двух взаимно пер-
пендикулярных колебаний с одинаковой частотой v2=v2=
=5 Гц и с одинаковой начальной фазой <pi=<p2=n/3. Ампли-
туды колебаний равны Л 1=0,10 м и Л2=0,05 м.
12.38. Точка участвует в двух колебаниях одинакового
периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды
колебаний равны Лг=3 см и At=4 см. Найти амплитуду
А результирующего колебания, если колебания совершают-
184
ся: а) в одном направлении; б) в двух взаимно перпендику-
лярных направлениях.
. 12.39. Точка участвует в двух взаимно перпендикуляр-
ных колебаниях х=2 sin и/ м и г/=2 cos at м. Найти
траекторию результирующего движения точки.
12.40.	Точка участвует в двух взаимно перпендикуляр-
ных колебаниях x=cosn/ и z/ = cos-7p. Найти траекто-
рию результирующего движения точки.
12.41.	Точка участвует в двух взаимно перпендикуляр-
ных колебаниях x=sin л/ и у=2 sin (зг/+л/2). Найти траек-
торию результирующего движения точки и начертить ее
с нанесением масштаба.
12.42.	Точка участвует в двух взаимно перпендикуляр-
ных колебаниях x=sinn/ и у=4 sin (л/+л). Найти траек-
торию результирующего движения точки и начертить ее
с нанесением масштаба.
12.43.	Период затухающих колебаний 7'=4 с;, логариф-
мический декремент затухания х = 1,6; начальная фаза ф=
=0. При t=T!4 смещение точки х=4,5 см. Написать урав-
нение движения этого колебания. Построить график этого
колебания в пределах двух периодов.
12.44.	Построить график, затухающего колебания, Дан-
ного уравнением х= e-0>1Z sint м.
12.45.	Уравнение затухающих колебаний дано в виде
х = Sero-a^sin-jt м. Найти скоростью колеблющейся точки
в моменты времени t, равные: 0, Т, 2Т, ЗТ и 4Т.
12.46.	Логарифмический декремент затухания матема-
тического маятника х=0,2. Во сколько раз уменьшится
амплитуда колебаний за" одно полное колебание маятника?
12.47.	Найти логарифмический декремент затухания к
математического маятника, если за время /=1 мин ампли-
туда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника
1=1 м.
12.48.	Математический маятник длиной /=24,7 см со-
вершает затухающие колебания. Через какое время t энер-
гия колебаний маятника уменьшится- в 9,4 раза? Задачу
решить при значении логарифмического декремента зату-
хания: а) х=0,01; б) х = 1.
12.49.	Математический маятник совершает затухающие
колебания с логарифмическим декрементом затухания х=
=0,2. Во сколько раз уменьшится полное.ускорение маят-
ника в его крайнем положении за одно колебание?
185
12.50.	Амплитуда затухающих колебаний математиче-
ского-маятника за время /=1мин уменьшилась вдйое.
Во сколько раз уменьшится амплитуда за время
t~3 мин?
12.51.	Математический маятник длиной /=0,5 м, вы-
веденный из положения равновесия, отклонился при пер-
вом колебании на Xi=5 см, а при втором (в ту же сторо-
ну) — на х2=4 см. Найти время релаксации i, т. е. время,
в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в е
раз, где е — основание натуральных логарифмов.
12.52.	К вертикально висящей пружине подвешивают
груз. При этом пружина удлиняется на А/=9,8 см. Оття-
гивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз со-
вершать колебания. Каким должен быть коэффициент зату-
хания 6, чтобы: а) колебания прекратились через время
/=10 с (считать условно, что колебания прекратились, если
их амплитуда упала до 1% от начальной); б) груз возвра-
щался в положение равновесия апериодически; в) лога-
рифмический декремент затухания колебаний был равным
х=6?
12.53.	Тело массой /п=10 г совершает затухающие ко-
лебания с максимальной амплитудой Ашах=7 см, началь-
ной фазой ф=0 и коэффициентом затухания 6=1,6 с-1.
На это тело начала действовать внешняя периодическая
сила F, под действием которой установились вынужденные
колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид
х—5 sin (10л/—Зл/4) см. Найти (с числовыми коэффициен-
тами) уравнение собственных колебаний и уравнение внеш-
ней периодической силы.
12.54.	Гиря массой т=0,2 кг, висящая на вертикаль-
ной пружине, совершает затухающие колебания с коэффи-
циентом затухания 6=0,75 с-1. Жесткость пружины k=
=0,5 кН/м. Начертить зависимость амплитуды А вынужден-
ных колебаний гирьки от частоты со внешней периодической
силы, если известно, что максимальное значение внешней
силы /?о=0,98 Н. Для построения графика найти значение
А для частот: <о=0, й=0,5 <о0, со=0,75 со0, со=со0, со=
= 1,5 ©о И g)=2g)0, где со0—частота собственных колебаний
подвешенной гири.
12.55.	По грунтовой дороге прошел трактор, оставив
следа в виде ряда углублений, находящихся на расстоя-
нии 1=30 см друг от друга. По этой дороге покатили дет-
скую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая
из которых лрогибается иа х0=2 см под действием груза
массой т«=1 кг. С какой скоростью v катили коляску, если
1Я6
от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала
сильно раскачиваться? Масса коляски Л1=10 кг.
• 12.56. Найти длину волны X колебания, период которо-
го 7'=10~1* с. Скорость распространения колебаний с=
=3-10е м/с.
12.57.	Звуковые колебания, имеющие частоту v=500 Гц
.и амплитуду Л=0,25 мм, распространяются в воздухе.
Длина волны Х=70 см. Найти скорость с распространения
колебаний и максимальную скорость утах частиц воздуха.
12.58.	Уравнение незатухающих колебаний имеет вид
х=10 siny/ см. Найти уравнение волны, если скорость
распространения колебаний с=300 м/с. Написать и изоб-
разить графически уравнение колебания для точки, отстоя-
щей на расстоянии /=600 м от источника колебаний. На-
писать и изобразить графически уравнение колебания для
точек волны в момент времени /=4 с после начала колеба-
ний.
12.59.	Уравнение незатухающих колебаний имеет вид
х=4 sin 600 л/ см. Найти смещение х от положения равно-
весия точки, находящейся на расстоянии 1=75 см от источ-
ника колебаний, для момента времени /=0,01 с после на-
чала колебаний. Скорость распространения колебаний с=
=300 м/с.
12.60.	Уравнение незатухающих колебаний имеет вид
x=sin 2,5л/ см. Найти смещение х от положения равнове-
сия, скорость v и ускорение а точки, находящейся на рас-
стоянии /=20 м от источника колебаний, для момента вре-
мени /=1 с после начала колебаний. Скорость распростра-
нения колебаний с=100 м/с.
12.6	,1. Найти разность фаз А<р колебаний двух точек,
отстоящих от источника колебаний на расстояниях /i=
= 10 м и /2=16м. Период колебаний 7,=0,04 с; скорость
-распространения с=300 м/с.
12.62.	Найти разность фаз Д<р колебаний двух точек,
лежащих на луче и отстоящих на расстоянии 1=2 м друг
от друга, если длина волны Х=1 м.
12.63.	Найти смещение х от положения равновесия точ-
ки/отстоящей от источника колебаний на расстоянии 1=
=Х/12, для момента времени/=776. Амплитуда колебаний
А =0,05 м.
12.64.	Смещение от положения равновесия точкй, от-
стоящей от источника колебаний* на расстоянии /=4 см,
в момент времени t=TI5 равно половине амплитуды. Найти
длину X бегущей волны.
187
12.65.	Найти положение узлов и пучностей и начер-,
тить график стоячей волны, если: а) отражение происходит
от менее плотной среды; б) отражение происходит от более
плотной среды. Длина бегущей волны Л=12 см.
12.66.	Найти длину волны X колебаний, если расстоя-
ние между первой и четвертой пучностями стоячей волны
/=15 см.
§ 13. Акустика
Скорость распространения акустических колебаний в некоторой
среде определяется формулой
с =/£/?,
где Е — модуль Юнга среды, р — плотность среды.
В газах скорость распространения
с = угиЕ Т/ц,
где ц — молярная масса газа, Т — термодинамическая температура
газа, R — газовая постоянная, v.— CplCv (Ср— теплоемкость газа
при постоянном давлении и Cv—теплоемкость газа при постоянном
объеме).
Уровень звукового давления Lp (в децибелах) связан с амплитудой
звукового давления р соотношением
Lp = 201gA
где pQ — амплитуда звукового давления при нулевом уровне громко-
сти. Уровень громкости L] (в фонах) связан с интенсивностью звука
соотношением
. L7=10 1g-^-,
•а
где /о — порог слышимости (нулевой уровень громкостиу звука. Ус-
ловно принимается, что ?о=1О”,г Вт/м2 и рв— 2-10“® Па.
По принципу Доплера' частота звука, воспринимаемая наблюда-
телем, определяется формулой
где v — частота звука, посылаемая источником звука, и — скорость
движения источника звука, v — скорость движения наблюдателя, е —
скорость распространения звука. Скорость о>0, если наблюдатель
движется по направлению к источнику звука; скорость и>0, если
источник звука движется к наблюдателю.
Частота основного, тона струны определяется формулой
188
где Z —длина струны, Л — сила ее Натяжения, S — площадь eg по-
перечного сечения, р — плотность материала среды.
13.1.	Найти длину волны X основного тона ля (частота
v=435 Гц). Скорость распространения звука в воздухе
с=340 м/с.
13.2.	Человеческое ухо может воспринимать звуки час-
тотой приблизительно от vi=20 Гц до va=20 ООО Гц. Меж-
ду какими длинами волн лежит интервал слышимости зву-
ковых колебаний? Скорость распространения звука в воз-
духе с—340 м/с.
13.3.	Найти скорость с распространения звука в стали.
13.4.	Найти скорость с распространения звука в меди.
13.5.	Скорость распространения звука в керосине с=
= 1330 м/с. Найти сжимаемость р керосина.
13.6.	При помощи эхолота измерялась глубина моря.
Какова была глубина моря, если промежуток времени меж-
ду возникновением звука и его приемом оказался равным
/==2,5 с? Сжимаемость воды 0=4,6-10“10 Па-1, плотность
морской воды р=1,03-103 кг/м3.
13.7.	Найти скорость с распространения звука в воз-
духе при температурах t, равных: —20, 0 и 20 °C.
13.8.	Во сколько раз скорость распространения звука
в воздухе летом (/=27 °C) больше скорости с2 распростра-
нения звука зимой (/=—33 °C)?
13.9.	Зная, что средняя квадратичная скорость молекул
двухатомного газа в условиях опыта п=461 м/с, найти ско-
рость с распространения звука в газе.
13.10.	Найти скорость с распространения звука в двух-
атомном газе, если известно, что при давлении р=1,01х
Х105 Па плотность газа р=1,29 кг/м3.
13.11.	Зная, что средняя молярная кинетическая энер-
гия поступательного движения молекул азота' 1FrU=
=3,4 кДж/моль, найти скорость с распространения звука
в азоте при этих условиях.
13.12.	Для определения температуры верхних слоев ат-
мосферы нельзя пользоваться термометром, так как вслед-
ствие малой плотности газа термометр не придет в тепловое
равновесие с окружающей средой. Для этой цели пускают
ракету с гранатами, взрываемыми при достижении опреде-
ленной высоты. Найти температуру / на высоте /i=20 км
от поверхности Земли, если известно, что звук от взрыва,
произведенного на высоте /ii=21 км, пришел позже. на
А/=6,75 с звука от. взрыва, произведенного на высоте
fta=19 км.
189;
13.13.	Найти показатель преломления п звуковых волн
на границе воздух —стекло. Модуль Юнга для стекла Е—
=6,9-10й Па, плотность стекла р=2,6- 10s кг/м’, темпера-
тура воздуха /=20°С.
18.14.	Найти- предельный угол а полного внутреннего
отражения звуковых волн на границе воздух — стекло.
Воспользоваться необходимыми данными из предыдущей
задачи.
13.15.	Два звука отличаются по уровню громкости на
AZs/—1 фон. Найти отношение IJIt интенсивностей .этих
звуков.
13.16.	Два звука отличаются по уровню звукового дав-
ления на ДЛр=1 дБ. Найти отношение pjpi амплитуд их
звукового давления.
13.17.	Шум на улице с уровнем громкости Lzi=70 фон
слышен в комнате так, как шум с уровнем громкости
L/2=40 фон. Найти отношение 1JI?. интенсивностей зву-
ков на улице и в комнате.
13.18.	Интенсивность звука увеличилась в 1000 раз. На
сколько увеличился уровень звукового давления? Во
сколько раз увеличилась амплитуда звукового давления?
13.19.	Интенсивность звука /=10 мВт/м2. Найти уро-
вень громкости L] и амплитуду р звукового давления.
13.20.	На сколько увеличился уровень громкости Ls
звука, если интенсивность звука возросла; а) в 3000 раз;
б) в 30 000 раз?
13.21.	Найти расстояние I между соседними зубцами
звуковой бороздки на граммофонной пластинке для тона
ля (частота v=435 Гц): а) в начале записи на расстоянии
г=12 см от центра; б) в конце записи на расстоянии г=
=4 см от центра. Частота вращения пластинки н=78 мин-1.
13.22.	Найти расстояние I -между соседними зубцами
звуковой бороздки на граммофонной пластинке для: a) v=
= 100 Гц; б) v=2000 Гц. Среднее расстояние от центра
пластинки г=10 см. Частота вращения пластинки
п=78 мин-1.
13.23.	При образовании стоячей волны в трубке Кунд-
та в воздушном столбе наблюдалось п=6 пучностей. Ка-
кова была длина /2 воздушного столба, если стальной стер-
жень закреплен: а) посередине; б) в конце? Длина стержня
li—l м. Скорость распространения звука в стали Ci=
=5250 м/с, в воздухе сг=343 м/с. .
13.24.	Какова была Длина li стеклянного стержня в
трубке Кундта, если при закреплении его посередине в воз-
душном столбе наблюдалось п~5 пучностей? Длина воздуш-
190	-
кого столба /,=0,25 м. Модуль Юнга для стекла £=6,9 X
Х101® Па; плотность стекла р=2,5-103 кг/м’. Скорость
распространения звука в воздухе с=340 м/с.
13.25.	Для каких наибольших частот применим метод
Кундта определения скорости звука,, если считать, что наи-
меньшее различаемое расстояние между пучностями
«4 мм? Скорость распространения звука в воздухе с=340 м/с.
13.26.	Два поезда идут навстречу друг другу со ско-
ростями Vi=72 км/ч и у2=54 км/ч. Первый поезд дает сви-
сток с частотой v=600 Гц. Найти частоту т' колебаний зву-
ка, который слышит пассажир, второго поезда: а) перед
встречей поездов; б) после встречи поездов. Скорость рас-
пространения звука в воздухе с=340 м/с.
13.27.	Когда поезд проходит мимо неподвижного на-
блюдателя, частота тона гудка паровоза меняется скачком.
Какой процент от истинной частоты тона составляет скачок
частоты, если поезд движется со скоростью 0=60 км/ч?
13.28.	Наблюдатель на берегу моря слышит звук паро-
ходного гудка. Когда наблюдатель и пароход находятся
в покое, частота воспринимаемого наблюдателем звука v=
=420 Гц. При движении парохода воспринимаемая частота
v(=430 Гц, если пароход приближается к- наблюдателю, и
V2=415 Гц, если пароход удаляется от него. Найти ско-
рость 0 парохода в первом и во втором случаях, если ско-
рость распространения звука в воздухе с=338 м/с.
13.29.	Ружейная пуля летит со скоростью 0=200 м/с.
Во сколько раз изменится.частота тона свиста пули для не-
подвижного наблюдателя, мимо которого пролетает пуля?
Скорость распространения звука в воздухе с=333 м/с.
13.30.	Два поезда идут навстречу друг другу с одина-
ковой скоростью. Какова должна быть их скорость и,
чтобы частота свистка одного из них, слышимого на дру-
гом, изменялась в 9/8 раза? Скорость распространения зву-
ка в воздухе с=335 м/с.
13.31.	Летучая мышь летит перпендикулярно к стене
со скоростью 0=6,0 м/с, издавая ультразвук частотой v=
=45 кГц.- Какие две частоты звука vi и v2 слышит летучая
мышь? Скорость распространения звука в воздухе с—
=340 м/с.
13.32.	Какую длину I должна иметь стальная струна
радиусом г=0,05 см, чтобы при силе натяжения Г=0,49 кН
она издавала тон частотой v=320 Гц?
13.33.	С какой силой F надо натянуть стальную’струну
длиной /=20 см и диаметром d=0,2 мм, чтобы она издавала
тон ля (частота v=435 Гц)?
191
13.34.	Зная предел прочности для стали, найти наиболь-
шую частоту v, на которую можно настроить струну дли-
ной /=1 м.
13.35.	Струна, натянутая с силой Л=147 Н, дает с
камертоном частоту биений v6=8 Гц. После того как эту
струну натянули с силой F2~- 156,8 Н, она стала настрое-
на с камертоном в унисон. Найти частоту v2 колебаний ка-
мертона.
13.36.	Камертон предыдущей задачи дает с другим ка-
мертоном частоту биений vg=2 Гц. Найти частоту колеба-
ний v второго камертона.
13.37.	Найти частоту v основного тона струны, натяну-
той с силой К=6 кН. Длина струны /=0,8 м, ее масса т~
=30 г.
13.38.	Найти частоту v основного тона: а) открытой
трубы; б) закрытой трубы.
13.39.	Закрытая труба издает основной тон до (частота
Vj=130,5 Гц). Трубу открыли. Какую частоту v2 имеет
основной тон теперь? Какова длина I трубы? Скорость рас-
пространения звука в воздухе с=34О м/с.
§ 14.	Электромагнитные колебания и волны
Период Т электромагнитных колебаний в контуре, состоящем
нз емкости С, индуктивности L и сопротивления R, определяется фор-
мулой
. Vl/LC—(R/2L}2 '
Если сопротивление R контура настолько мало, что
(R/2L)*^ULC,
то период колебаний
7'=2л Y"LC.
Если сопротивление контура R не равно нулю, то колебания будут
затухающими. При этом разность потенциалов на обкладках конден-
сатора меняется со временем по закону
U ~ cos со/,
если время отсчитывать от момента, соответствующего наибольшей
разности потенциалов на обкладках конденсатора. Здесь &—R/2L —
коэффициент затухания. Величина х=6Т называется логарифмиче-
ским декрементом затухания. Если 6=0, то колебания будут незатуха-
ющими, и тогда можно записать
U = Ut cos й>/,	'
192
Если время отсчитывать от момента, когда разность потенциалов на
обкладках конденсатора равна нулю, то будет справедливым соотно-
шение	’
U = Uо sin at.
Закон Ома для переменного тока записывается в виде
э*~ Z '
где /Эф и иэф — эффективные значения тока и напряжения, связан-
ные с их амплитудными значениями 10 и Uo соотношениями
/эф = /0/К2, 1/8ф = {/»//2,
a Z — полное сопротивление цепи. Если цепь содержит сопротивление
R, емкость С и индуктивность L, соединенные последовательно/ то
Z = / Яа + (со/.—1/соС)2.
При этом сдвиг фаз между напряжением и током определяется фор-
мулой .	•	•	-
.	со/. — 1 /соС
tg<p = —.
Формулы для полного сопротивления цепи Z и сдвига фаз ср для раз-
личных способов включения R, С и L даны в решении задачи 14.23.
Катушка, обладающая сопротивлением R и индуктивностью L,
в цепи переменного тока соответствует последовательно включенным
R и L. Конденсатор с утечкой, т. е. конденсатор, обладающий емкостью
С и сопротивлением R, соответствует параллельно включенным R и С.
Мощность переменного тока
Е = /Эф//Эф cos ср.
14.1.	Колебательный контур состоит из конденсатора
емкостью С=888 пФ и катушки с индуктивностью £=
=2 мГн. На какую длину волны X настроен контур?
14.2.	На какой диапазон длин волн можно настроить
колебательный контур, если его индуктивность ,L=2 мГн,
а емкость может меняться от С\=69 пФ до Са=533 пФ?
14.3.	Какую индуктивность L надо включить в колеба-
тельный контур, чтобы при емкости С=2 мкФ получить
частоту №=1000 Гц?
14.4.	Катушка с индуктивностью Г=30 мкГн присое-
динена к плоскому конденсатору с площадью пластин S=
=0,01 м2 и расстоянием между ними d=0,l мм. Найти
диэлектрическую проницаемость е среды, заполняющей
Z В. С. Волькенштейи	193
пространство между пластинами, если контур настроен на
длину волны Х=750 м.
14.5.	Колебательный контур состоит из конденсатора
емкостью С=25 нФ и катушки с индуктивностью L=1,015Гн.
Обкладки конденсатора имеют заряд 9=2,5 мкКл. Нани-’
сать уравнение (с числовыми коэффициентами) изменения
разности потенциалов U на обкладках конденсатора и тока.
I в пепи. Найти разность потенциалов на обкладках кон-
денсатора и ток в цепи в моменты времени- 778, Т/4 и Т/2.
Построить графики этих зависимостей в пределах одного-
периода.
14.6.	Для колебательного контура предыдущей задачи
написать уравнение (с числовыми коэффициентами) изме-
нения со временем t энергии электрического поля №ая,
энергии магнитного поля и полной энергии поля W.
Найти энергию электрического поля, энергию магнитного
поля и полную энергию поля в моменты времени 778, Т/4
и Т/2. Построить графики' этих зависимостей в пределах
одного периода.
14.7.	Уравнение изменения со временем разности по-
тенциалов на обкладках конденсатора в колебательном кон-
туре имеет вид {7=50 cos 104 л г1 В. Емкость конденсатора
С=0,1 мкФ. Найти период Т колебаний, индуктивность
L контура, закон изменения со временем t тока I в цепи
и длину волны X, соответствующую этому контуру.
14.8.	Уравнение изменения со временем тока в колеба-
тельном контуре имеет вид /=—0,02 sin 400 л/А. Индук-
тивность контура L — 1 Гн. Найти период Т колебаний,
емкость С контура, максимальную энергию WM магнитного
поля и максимальную энергию 1Гал электрического поля.
14.9.	Найти отношение энергии	магнитного
поля колебательного контура к энергии его электрического
поля для момента времени Т/8. -
14.10.	Колебательный контур состоит из конденсатора
емкостью С=7 мкФ и катушки с индуктивностью 7,=0,23 Гн
и сопротивлением R =40 Ом. Обкладки конденсатора
имеют заряд 9=0,56 мКл. Найти период Т колебаний
контура и логарифмический декремент затухания х коле-
баний. Написать уравнение изменения со временем t раз-
ности потенциалов U на обкладках конденсатора. Най-
ти разность потенциалов в моменты времени, равные: Т/2,
Т, ЗТ/2 й 27’. Построить график LJ =f (t) в пределах двух
периодов.
14.11.	Колебательный контур состоит из конденсатора -
емкостью С=0,2 мкФ и катушки с индуктивностью £=»
194
=5,07 мГн. При каком логарифмическом декременте затуха-
ния х разность потенциалов на обкладках конденсатора за
время /=1 мс уменьшится в три раза? Каково при этом со-
противление 7? контура?
14.12.	Колебательный контур состоит из конденсатора
емкостью С=405 нФ, катушки с индуктивностью L=10 мГн
и сопротивления 7?=2 Ом. Во сколько раз уменьшится
разность потенциалов на обкладках конденсатора за один
период колебаний?
14.13.	Колебательный контур состоит из конденсатора
емкостью С=2,22 нФ и катушки длиной /=20 см из мед-
ной проволоки диаметром </=0,5 мм. Найти логарифмичес-
кий декремент затухания х колебаний.
14.14.	Колебательный контур имеет емкость <7= 1,1 нФ
и индуктивность L=5 .мГн. Логарифмический декремент
затухания х =0,005. За какое время вследствие затуха-
ния потеряется 99% энергии контура?
14.15.	Колебательный контур состоит из конденсатора
и катушки длиной 7=40 см из медной проволоки, площадь
поперечного сечения которой s=0,l мм2. Найти емкость
конденсатора С, если, вычисляя период колебаний контура
по приближенной формуле Т = 2лLC, мы допускаем
ошибку е=1%. Указание. Учесть, что ошибка 8=
= (Тг—T^ITz, где 7\— период колебаний, найденный по
приближенной формуле, а — период колебаний, най-
денный по точной формуле.
14.16.	Катушка длиной /=50 см и площадью попереч-
ного сечения 3=10 см2 включена в цепь переменного тока
частотой v=50 Гц. Число витков катушки У=3000. Найти
сопротивление R катушки, если сдвиг фаз между напряже-
нием и током ср=60°.
14.17.	Обмотка катушки состоит из Й7=5ОО витков мед-
ной проволоки, площадь поперечного сечения которой
s=l мм2. Длина катушки /=50 см, ее диаметр £>=5 см.
При какой частоте v переменного тока полное сопротив-
ление Z катушки вдвое больше ее активного сопротивле-
ния R?	,
14.18.	Два конденсатора с емкостями Ci=0,2 мкФ и
С2=0,1 мкФ включены последовательно в цепь переменного
тока напряжением [/=220 В и частотой v=50 Гц. Найти
ток 1 в цепи и падения потенциала Uci и [/са на первом и
втором конденсаторах.	'	.	-
14.19.	Катушка длиной 1=25 см и радиусом г—2 см
имеет обмотку из Л/=1000 витков медной проволоки,
7*. 	195
площадь поперечного‘сечения которой s=l мм2. Катушка
включена в цепь переменного тока частотой v=50 Гц.
Какую часть полного сопротивления Z катушки состав-
ляют активное сопротивление R и индуктивное сопротив-
ление
14.20.	Конденсатор емкостью С=20 мкФ и резистор,
сопротивление которого /? = 150 Ом, включены последова-
тельно в цепь переменного тока частотой v=50 Гц. Какую
часть напряжения U, приложенного к этой цепи, состав-
ляют падения напряжения на конденсаторе Uc и на ре-
зисторе U д?
14.21.	Конденсатор и электрическая лампочка соедине-
ны последовательно и включены в цепь переменного тока
напряжением £/=440 В и частотой v=50 Гц. Какую ем-
кость С должен иметь конденсатор для того, чтобы через
лампочку протекал ток /=0,5 А и падение потенциала на
ней было равным £/л=110 В?
14.22.	Кат.ушка с активным сопротивлением /? = 10 Ом
и индуктивностью L включена в цепь переменного то-
ка напряжением £/=127 В и частотой v=50 Гц. Найти
индуктивность L катушки, если известно, что катушка по-
глощает мощность А=400 Вт и сдвиг фаз между напряже-
нием и током <р=бО°.
14.23.	Найти формулы для полного сопротивления цепи
Z и сдвига фаз ф между напряжением и током при различ-
ных способах включения сопротивления R, емкости С и
индуктивности L. Рассмотреть случаи: a) R и С включены
последовательно; б) R и С включены параллельно; в) R
и L включены последовательно; г) R и L включены парал-
лельно; д) R, L и С включены последовательно.
14.24.	Конденсатор емкостью С~1 мкФ и резистор с
сопротивлением 7?==3 кОм включены в цепь переменного
тока частотой v=50 Гц. Найти полное сопротивление Z
цели, если конденсатор и резистор включены: а) последова-
тельно; б) параллелвно.
14.25.	В цепь переменного тока напряжением £/=220 В
и частотой v=50 Гц включены последовательно емкость
С=35,4 мкФ, сопротивление /? = 100 Ом и индуктивность
L^=Q,1 Гн. Найти ток I в цепи и падения напряже-
ния Uc, UR и Ul на емкости, сопротивлении и индук-
тивности.
14.26.	Индуктивность £=22,6 мГн и сопротивление R
включены параллельно в цепь переменного тока частотой
v=50 Гц. Найти сопротивление R, если известно, что сдвиг
фаз между напряжением и током <р=60°.
196
14.27.	Активное сопротивление 7? и индуктивность L
соединены параллельно и включены в цепь переменного
тока напряжением (7 = 127 В и частотой v=50 Гц. Найти
сопротивление R и индуктивность L, если известно, что
цепь поглощает мощность Р=404 Вт и сдвиг фаз между
напряжением и током ср=60°.
14.28.	В цепь переменного тока напряжением (7=220 В
включены последовательно емкость С, сопротивление R
и индуктивность L. Найти падение напряжения U R на
сопротивлении, если известно, что падение напряжения на
конденсаторе 6'C=2UR, на индуктивности UL=3UR.
• Г л ава V
ОПТИКА
ЕДИНИЦЫ СВЕТОВЫХ ВЕЛИЧИН
В табл. 17 приведены некоторые производные единицы
световых величин в системе СИ.
За единицу светового потока принят люмен (лм) — све-
товой поток, испускаемый внутри телесного угла один сте-
радиан точечным источником света силой одна кандела:
1лм=1кд-1ср.
За единицу освещенности принят люкс (лк) — осве-
щенность площадки один квадратный метр равномерно рас-
пределенным световым потоком один люмен:
1 лк =1 лм/м2.
Единицей светимости источника света является люмен
на квадратный метр (лм/м2) — светимость, соответствую-
щая световому потоку один люмен, излучаемому площад-
кой один квадратный' метр.
Таблица 17
Величина	Единица			Размер- ность величины
	определение	наименование	обозна- чение	
Световой поток	с/Ф = 1 d&	люмен	ЛМ	J
Световая энер- гия	d\V = ® dt	люмен-секунда	лм-с	TJ
Освещенность	E = d<£/dS	ЛЮКС	лк	L-4
Светимость	R = d<D/dS '	люмен на квад-_ ратный метр	лм/м2	L~*J
Яркость	В = dl/dS cos 0	кандела	на 'квадратный метр люкс-секунда	кд/м2	L~4
Световая экспо- зиция	dH3 = E di		лк-с	L~2T J
198
Единицей яркости служит кандела на квадратный метр
(кд/м2) — яркость равномерно светящейся плоской поверх-
ности, дающей в нормальном к ней направлении силу света
одна кандела с площадки один квадратный метр.
Примеры решения задач
Задача 1. Спираль электрической лампочки с си-
лой света 1000 кд заключена в матовую сферическую колбу
диаметром 20 см. Найти световой поток, излучаемый этим
источником света, светимость и яркость источника света,
а также освещенность, светимость и яркость экрана, на
который падает 10% светового потока, излучаемого источ-
ником света. Коэффициент отражения света поверхностью
экрана р = 0,8. Площадь экрана равна 0,25 м2. Считать,
что поверхность экрана рассеивает свет по закону Лам-
берта.
Решение. Световой поток Ф, излучаемый во все стороны
источником света, связан с силой света I этого источника
соотношением
Ф = 4л/.
У нас 7=103 кд, следовательно, Ф = Г,26-104 лм.
Светимость источника света
Р__Ф____4л/ __ /
к ~~S~№ ~ Т2" ’
где г — радиус колбы. Подставляя числовые данные, най-
дем
п 1000	„
R =-(0Л)2== 10' лм/м •
Яркость источника света
где AS' — видимая площадка светящейся поверхности.
У нас AS'=№, где г — радиус колбы,"тогда
В = -^2 = !°°° = 3,18.104 кд/м2.
лг2 л (0,1 )2	’
По условию на экран падает световой поток Фэ=0,1Ф=
= 1,26-103 лм. Тогда освещенность экрана
с Ф9 1,26-Ю3 , „ с
Е =	= --п ьё— лм/м2« 5• 103 лк.
Qg V,Z0
199
Светимость экрана
R = р = рЕ = 0,8 • 5 • 103 лм/м2 = 4 • 103 лм/м2.
Яркость экрана
 в = 1’3-Ю3 кд/м2.
Задача 2. Абсолютно черное тело поддерживается
при постоянной температуре 1000 К. Поверхность тела
равна 250 см2. Найти мощность излучения этого тела.
Решение. По закону Стефана — Больцмана энергети-
ческая светимость, т. е. энергия, излучаемая в. единицу
времени единицей поверхности абсолютно черного тела,
R9 =
а вся излучаемая энергия
W = 5т/?8 = 5тстТ«,
где 5 — поверхность абсолютно черного тела, т — время
излучения, ст — постоянная Стефана — Больцмана и Т —
термодинамическая температура тела. Мощность излуче-
ния
А = Л = 5ст7,\
т
У нас 5=250 см2=2,5-10~2 м2, ст=5,67-10~8 Вт/(м2-К4) и
Т=1000 К. Подставляя эти данные, получим А=1,42х
X Ю3 Вт=1,42 кВт.
§ 15. Геометрическая оптика и фотометрия
Для сферического зеркала оптическая сила D определяется фор-
мулой
а, аг R F '
где Of и а2 — расстояния предмета и изображения от зеркала, R —
радиус кривизны зеркала, F — его фокусное расстояние.
Расстояния, отсчитываемые от зеркала по лучу, считаются положи-
тельными, а против луча — отрицательными. Если F выражено в
метрах, то D выразится в диоптриях (дптр): 1 дптр=1 м--1.
При переходе луча из одной среды в другую имеет место закон
преломления света
sin i vt
-------------------------7Г—П = — f
sin р
200
где i — угол падения, Р — угол преломления, п — показатель прелом-
ления второй среды относительно первой, и v2 — скорости распро-
странения света в первой и во второй средах.
Для тонкой линзы, помещенной в однородную среду, оптическая
сила D определяется формулой
где и — расстояния предмета и изображения от линзы, п — по-
казатель преломления материала линзы, Ri и Rt — радиусы кривизны
линзы. Правило знаков для линз такое же, как и для зеркал. Опти-
ческая сила двух тонких линз, сложенных вместе,
где Di и D2— оптические силы лниз.
Поперечное линейное увеличение в зеркалах и линзах определяется
формулой.
Уз _ й2
У1 «1 ’
где i/i — высота предмета и у2 — высота изображения.
Увеличение лупы
где L — расстояние наилучшего зрения и F — фокусное расстояние
лупы.
Увеличение микроскопа
k — LdDjD^
где L — расстояние наилучшего зрения, d — расстояние между фо-
кусами объектива и окуляра, Di и О2 — оптические силы объектива
и окуляра.
Увеличение телескопа
где Fi и F2 — фокусные расстояния объектива и окуляра.
Световой поток Ф определяется энергией, переносимой световыми
волнами через данную площадь в единицу времени:
_ dW
Ф = —.
di
Сила света I численно равна световому потоку, приходящемуся
иа единицу телесного угла:
, о!Ф
1 ~ da ’
201
Освещенность Е характеризуется световым потоком, приходящимся
на единицу площади:
Е dS '
Точечный источник силой света 1 создает на площадке, отстоящей от
него на расстоянии г, освещенность
„ 1
cos а,
где а — угол падения лучей.
Светимость R численно равна световому потоку, испускаемому
единицей площади светящегося тела:
Если светимость тела обусловлена его освещенностью, то
R = pE,
где р — коэффициент отражения.
Яркостью В светящейся поверхности называется величина, чис-
ленно равная отношению силы света с элемента излучающей поверх-
ности к площади проекции этого элемента на плоскость, перпендику-
лярную к направлению наблюдения (т. е. к видимой поверхности эле-
мента):
dl
dScos д’
где 0 — угол между нормалью к элементу поверхности и направле-
нием наблюдения.
Если тело излучает по закону Ламберта, т. е. если яркость не
зависит от направления, то светимость R и яркость В связаны соот-
ношением
R = nB.
15.1.	Горизонтальный луч света падает на вертикально
расположенное зеркало. Зеркало поворачивается на угол
а около вертикальной оси. На какой угол 0 повернется от-
раженный луч? •
15.2.	Радиус кривизны вогнутого зеркала К=20 см.
На расстоянии «1=30 см от зеркала поставлен предмет вы-
сотой г/1—1 см. Найти положение и высоту z/2 изображения.
Дать чертеж.
15.3.	На каком расстоянии а2 от зеркала получится
изображение предмета в выпуклом зеркале с радиусом кри-
визны R=40 см, если предмет помещен на расстоянии av=
=30 см от зеркала? Какова будет высота z/2 изображения,
202 .
если предмет имеет высоту гл=2 см? Проверить вычисле-
ния, сделав чертеж на миллиметровой бумаге.
15.4.	Выпуклое зеркало имеет радиус кривизны 7?=
=60 см. На расстоянии ai—10 см от зеркала поставлен пред-
мет высотой z/i=2 см. Найти положение и высоту у2 изоб-
ражения. Дать чертеж.
15.5.	В вогнутом зеркале с радиусом кривизны R =
=40 см хотят получить действительное изображение, высота
которого вдвое меньше высоты самого предмета. Где нужно
поставить предмет и где получится изображение?
15.6.	Высота изображения предмета в вогнутом зеркале
вдвое больше высоты самого предмета. Расстояние между
предметом и изображением а1+а2=15 см. Найти фокусное
расстояние F и оптическую силу D зеркала.
15.7.	Перед вогнутым зеркалом на главной оптической
оси перпендикулярно к ней на расстоянии а1=4Е/3 от зер-
кала поставлена горящая свеча. Изображение свечи в вог-
нутом зеркале попадает на выпуклое зеркало с фокусным
расстоянием F'=2F. Расстояние между зеркалами d=3F,
их оси совпадают. Изображение свечи в первом зеркале
играет роль мнимого предмета по отношению ко второму
зеркалу и дает действительное изображение, расположен-
ное между обоими зеркалами. Построить это изображение
и найти общее линейное увеличение k системы.
15.8.	Где будет находиться и какой размер у2 будет
иметь изображение Солнца, получаемое в рефлекторе, ра-
диус кривизны которого R = 16 м?
15.9.	Если на зеркало падает пучок света, ширина* ко-
торого определяется углом а (рис. 62), то луч, идущий па-
раллельно главной оптической оси и
падающий на край зеркала, после от-
ражения от него пересечет оптическую
ось уже не в фокусе, а на некотором
расстоянии AF от фокуса. Расстояние
x=AF называется продольной сферичес-
кой аберрацией, расстояние y=FH —
поперечной сферической аберрацией. Вы-
вести формулы, связывающие эти абер-
рации с углом а и радиусом кривизны
зеркала R.
15.10.	Вогнутое зеркало с диамет-
ром отверстия d=40 см имеет радиус
кривизны 7?=60 см. Найти продольную х и поперечную у
сферическую аберрацйю краевых лучей, параллельных
главной оптической оси.
Рис. 62.
203
15.11.	Имеется вогнутое зеркало с фокусным расстоя-
нием F=20 см. На каком наибольшем расстоянии h от глав-
ной бптической оси должен находиться предмет, чтобы про-
дольная сферическая аберрация х составляла не больше
2% фокусного расстояния F?
15.12.	Луч света падает под углом /=30° на плоскопа-
раллельную стеклянную пластинку и выходит из нее па-
раллельно первоначальному лучу. Показатель преломле-.
ния стекла п=1,5. Какова толщина d пластинки, если рас-
стояние между лучами /=1,94 см?
15.13.	На плоскопараллельную стеклянную пластинку
толщиной d=l см падает луч света под углом 1=60°. По-
казатель преломления стекла п=1,73. Часть света отра-
жается, а часть, преломляясь, проходит в стекло, отра-
жается от нижней поверхности пластинки и, преломляясь
вторично, выходит обратно в воздух параллельно первому
отраженному лучу. Найти расстояние / между лучами.
15.14.	Луч света падает под углом i на тело с показа-
телем преломления п. Как должны быть связаны между
собой величины i и п, чтобы отраженный луч был перпен-
дикулярен к преломленному?
15.15.	Показатель преломления стекла п=1,52. Найти
предельный угол полного внутреннего отражения |3 для
поверхности раздела: а) стекло — воздух; б) вода — воз-
дух; в) стекло — вода.
15.16.	В каком направлении пловец, нырнувший в
воду, видит заходящее Солнце?
15.17.	Луч света выходит из скипидара в воздух. Пре-
дельный угол полного внутреннего отражения для этого
луча р=42°23'. Найти скорость щ распространения света
в скипидаре.
15.18.	На стакан, наполненный водой, положена стек-
лянная пластинка. Под каким углом i должен падать на
пластинку луч света, чтобы от поверхности раздела вода —
стекло произошло полное внутреннее отражение? Показа-
тель преломления стекла «1=1,5.
15.19.	На дно сосуда, наполненного водой до высоты
/г=10 см, помещен точечный источник света. На поверхно-
сти воды плавает круглая непрозрачная пластинка так,
что ее центр'находится над источником света. Какой наи-
меньший -радиус г должна иметь эта пластинка, чтобы ни
один луч не мог выйти через поверхность воды?
15.20.	При падении белого света под углом /=45° на
стеклянную пластинку углы преломления р лучей различ-
ных длин волн получились следующие:
204
X, нм	759	687	589	486	*397
₽	24°2'	23°57'	23°47'	23°27'	22°57'
Построить график зависимости показателя преломления п
материала пластинки от длины волны X.
15.21.	Показатели преломления некоторого сорта стек-
ла для красного и фиолетового лучей равны пкр=1,51 и
Пф=1,53. Найти предельные углы полного^нутреннего
отражения Ркр и при падении этих лучей на поверх-
ность раздела стекло — воздух,
15.22.	Что произойдет при падении белого луча под
углом 1=41° на поверхность раздела стекло — воздух, если
взять стекло предыдущей задачи? (Воспользоваться резуль-
татами решения предыдущей задачи.)
15.23.	Монохроматический луч падает нормально на бо-
ковую поверхность призмы, преломляющий угол которой
у=40°. Показатель преломления материала призмы для
этого луча п=1,5. Найти угол отклонения 6 луча, выходя-
щего из призмы, от первоначального направления.
15.24.	Монохроматический луч падает нормально на бо-
ковую поверхность призмы и выходит из нее отклоненным
на угол 6=25°. Показатель преломления материала призмы
для этого луча п=1,7. Найти преломляющий угол у
призмы.
15.25.	Преломляющий угол равнобедренной призмы
у=10°. Монохроматический луч падает на боковую грань
под углом 1 = 10°. Показатель преломления материала приз-
мы для этого луча п=1,6. Найти угол отклонения 6 луча
от первоначального направления.
15.26.	Преломляющий угол призмы у=45°. Показатель
преломления материала призмы для некоторого монохро-
матического луча п=1,6. Каков должен быть наибольший
угол падения i этого луча на призму, чтобы при выходе
луча из нее не наступило полное внутреннее отражение?
15.27.	. Пучок света скользит вдоль боковой грани равно-
бедренной призмы. При каком предельном преломляющем
угле у призмы преломленные лучи претерпят полное внут-
реннее отражение на второй боковой грани? Показатель
преломления материала" призмы для этих лучей п=1,6.
15.28.	Монохроматический луч падает на боковую по-
верхность прямоугольной равнобедренной призмы. Войдя
205
в призму, луч претерпевает полное внутреннее отражение
от основания призмы и выходит через вторую боковую по-
верхность призмы. Каким должен быть наименьший угол
падения i луча на призму, чтобы еще происходило полное
внутреннее отражение? Показатель преломления материала
призмы для этого луча «=1,5.
15.29.	Монохроматический луч падает на боковую по-
верхность равнобедренной призмы и после преломления
идет в призме параллельно ее основанию. Выйдя из приз-
мы, он оказывается отклоненным на угол 6 от своего пер-
воначального направления, Найти связь между преломляю-
щим углом призмы у, углбм отклонения луча 6 и показа-
телем преломления для этого луча п.
15.30.	Луч белого света падает на боковую поверхность
равнобедренной призмы под таким углом,, что красный
луч выходит из нее перпендикулярно к второй грани. Най-
ти углы отклонения 6кр и бф красного и фиолетового лучей
от первоначального направления, если преломляющий угол
призмы у=45°. Показатели преломления материала приз-
мы для красного и фиолетового лучей равны пк„ —1,37 и
«ф=1,42.
,15.31. Найти фокусное расстояние Ft кварцевой лин-
зы для ультрафиолетовой линии спектра ртути (Xj=259 нм),
если фокусное расстояние для желтой линии натрия (Х2=
= 589 нм) 7^2=16 см. Показатели преломления кварца для
этих длин волн равны «1=1,504 и п2—1,458.
15.32.	Найти фокусное расстояние F для следующих
линз: а) линза двояковыпуклая: J?i= 15 см и Р2=—25 см;,
б) линза плоско-выпуклая: Pi=15 см и 7?2=оо; в) линза
вогнуто-выпуклая (положительный мениск): 7?i=15 см и
7?2=25 см; г) линза двояковогнутая: Рх=—15 см и
=25 см; д) линза плоско-вогнутая: Т?!=оо; R2=—15 см;
е) линза выпукло-вогнутая (отрицательный мениск): Рх=
=25 см, 7?2=15 см. Показатель преломления материала
линзы я=1,5.
15.33.	Из двух стекол с показателями ^преломления
«1=1,5 и «2=1,7 сделаны две одинаковые двояковыпуклые
линзы. Найти отношение FJF^ их фокусных расстояний.
Какое действие каждая из этих линз произведет на луч,
параллельный оптической оси, если погрузить лиизы
в прозрачную жидкость с показателем преломления
н=1,6?	-
15.34.	Радиусы кривизны поверхностей двояковыпуклой
линзы 7?1=;Рг=5О см. Показатель преломления материала
линзы п=1,5. Найти оптическую силу D линзы.
206
15.35i На расстоянии ах=15 см. от двояковыпуклой
линзы, оптическая, сила которой 0=10 дптр, поставлен
перпендикулярно к оптической оси предмет высотой yt—
= 2 см. Найти положение и высоту г/2 изображения. Дать
чертеж.
15.36	. Доказать, что в двояковыпуклой линзе с равны-
ми радиусами кривизны поверхностей и с показателем пре-
ломления п=1,5 фокусы совпадают с центрами кривизны.
15.37	. Линза с фокусным расстоянием F=16 см дает
резкое изображение предмета при двух положениях, рас-
стояние между которыми d—в. см. Найти расстояние ax4-
4-02 от предмета до экрана.
15.38	. Двояковыпуклая линза с радиусами кривизны
поверхностей Ri=R2=\2 см поставлена на таком расстоя-
нии от предмета, что изображение на экране получилось
в k раз больше предмета. Найти расстояние <214-^2 от пред-
мета до экрана, если: а) &=1; б) fe=20; в) &=0,2. Показа-
тель преломления материала линзы п=1,5.
15.39	. Линза предыдущей задачи погружена в воду.
Найти её фокусное расстояние Г.
15.40	. Решить предыдущую задачу при условии, что
линза погружена в сероуглерод.
15.41	. Найти  фокусное расстояние Fa линзы, погру-
женной в воду, если ее фокусное расстояние в воздухе Fx =
=20 см. Показатель преломления материала линзы п=1,6.
15.42	. Плоско-выпуклая линза с радиусом кривизны
R=30 см и показателем преломления п=1,5 дает изобра-
жение предмета с увеличением k=2. Найти расстояния
at и аг предмета и изображения от линзы. Дать чертеж.
15.43	. Найти продольную хроматическую аберрацию
двояковыпуклой линзы из флинтгласа с радиусами кри-
визны 7?1=7?2=8 см. Показатели преломления флинтгласа
для красного' (7кр=760 нм) и фиолетового (Хф=430 нм)
лучей равны нкр=1,5 и нф = 1,8.
15.44	. На расстоянии ах=40 см от линзы предыдущей
задачи на оптической оси находится светящаяся точка.
Найти положение изображения этой точки, если она испус-
кает монохроматический свет с длиной волны: а) Хх=760 нм;
б) Ла=430 нм.
15.45	. В фокальной плоскости двояковыпуклой линзы
расположено плоское зеркало. Предмет находится перед
линзой между фокусом и двойным фокусным расстоянием.
Построить изображение предмета.
15.46	. Найти увеличение k, даваемое лупой с фокусным
расстоянием F=2 см, для: а) нормального глаза срасстоя-
207
нием наилучшего зрения £=25 см; б) близорукого глаза
с расстоянием наилучшего зрения L — 15 см.
15.47	. Какими должны быть радиусы кривизны 7?i=7?i
поверхностей лупы, чтобы она давала увеличение для
нормального глаза &=10? Показатель преломления стек-
ла, из которого сделана лупа, п=1,5.
15.48	. Зрительная труба с фокусным расстоянием F=
=50 см . установлена на бесконечность. После того как
окуляр трубы передвинули на некоторое расстояние,, стали
ясно видны предметы, удаленные от объектива на расстоя-'
ние а=50 м. На какое расстояние d передвинули окуляр
при наводке?
15.49	. Микроскоп состоит из объектива с фокусным рас-
стоянием Fi=2 мм и окуляра с фокусным расстоянием
Fa=40 мм. Расстояние между фокусами объектива и оку-
ляра d=18 см. Найти увеличение k, даваемое микроскопом.
15.50	. Картину площадью S=2x2 м2 снимают фотоап-
паратом, установленным от нее на расстоянии а=4,5 м.
Изображение получилось размером s=5x5 см2. Найти фо-
кусное расстояние F объектива аппарата. Расстояние от
картины до объектива считать большим по сравнению с фо-
кусным расстоянием.
15.51	. Телескоп имеет объектив с фокусным расстоянием
Fj=150 см и окуляр с фокусным расстоянием Fa=10 см.
Под каким углом зрения $ видна полная Луна в этот теле-
скоп, если невооруженным глазом она видна под углом
^о=31'?
15.52	. При помощи двояковыпуклой линзы, имеющей
диаметр 0=9 см и фокусное расстояние F.=50 см, изобра-
жение Солнца проектируется на экран. Каким получается
диаметр d изображения Солнца, если угловой диаметр
Солнца а=32'? Во сколько раз освещенность, создаваемая
изображением Солнца, будет больше освещенности, вызы-
ваемой Солнцем непосредственно?
15.53	. Свет от электрической лампочки с силой света
7=200 кд падает под углом а=45° на рабочее место, созда-
вая освещенность £=141 лк. На каком расстоянии гот
рабочего места находится лампочка? На какой высоте h
от рабочего места она висит?
15.54	. Лампа, подвешенная к потолку, дает в горизон-
тальном направлении силу света 7=60 кд. Какой световой
поток Ф падает на картину площадью S=0,5 м2, висящую
вертикально на стене на расстоянии г=2 м от лампы, если
на противоположной стене находится большое зеркало на
расстоянии а=2 м от лампы?
208
15.55	. Большой чертеж фотографируют сначала цели-
ком, затем отдельные его детали в натуральную величину.
Во сколько раз надо увеличить время экспозиции при фото-
графировании деталей?
15.56	. 21 марта, в день весеннего равноденствия, на
Северной Земле Солнце стоит в полдень под углом а=10°
к горизонту. Во сколько раз освещенность площадки, по-
ставленной вертикально, будет больше освещенности го-
ризонтальной площадки?
15.57	. В полдень во время весеннего и осеннего равно-
денствия Солнце стоит на экваторе в зените. Во сколько
раз в это время освещенность поверхности Земли на эк-
ваторе больше освещенности поверхности Земли в Ленин-
граде? Широта Ленинграда <р=60°.
15.58	. В центре квадратной комнаты площадью 5=25 м2
висит лампа. На какой высоте h от пола должна находить-
ся лампа, чтобы освещенность в углах комнаты была наи-
большей?
15.59	. Над центром круглого стола диаметром D=2 м
висит лампа с силой света 7 = 100 кд. Найти изменение ос-
вещенности Е края стола при постепенном подъеме лампы
в интервале 0,5</i<0,9 м через каждые 0,1 м. Построить
график
15.60	. В центре круглого стола диаметром 0 = 1,2 м
стоит настольная лампа из одной электрической лампочки,
расположенной на высоте hv=40 см от поверхности стола.
Над центром стола на высоте /га=2 м от его поверхности
висит люстра из четырех таких же лампочек. В каком слу-
чае получится большая освещенность на краю стола (и во
сколько раз): когда горит настольная лампа или когда го-
рит люстра?
15.61	. Предмет при фотографировании освещается элект-
рической лампой, расположенной от него на расстоянии
ri=2 м. Во сколько раз надо увеличить время экспозиции,
если эту же'лампу отодвинуть на расстояние га=3 м от
предмета?
15.62	. Найти освещенность Е на поверхности Земли,
вызываемую нормально падающими солнечными лучами.
Яркость Солнца 77=1,2-109 кд/м2.
15.63	. Спираль электрической лампочки с силой света
7 = 100 кд заключена в матовую сферическую колбу диамет-
ром: а) <7=5 см; б) <7=10 см. Найти светимость R и яркость
В лампы. Потерей света в оболочке колбы пренебречь.
15.64	. Лампа, в которой светящим телом служит нака-
ленный шарик диаметром <7=3 мм, дает силу света 7=85 кд.
209
Найти яркость В лампы, если сферическая колба лампы сде-
лана: а) из прозрачного стекла; б) из матового стекла. Диа-
метр колбы D=6 см.
15.65	. Какую освещенность Е дает лампа предыдущей
задачи на расстоянии г=5 м при нормальном падении
света?
15.66	. На лист белой бумаги площадью 3=20x30 см2
перпендикулярно к поверхности падает световой поток
Ф’=120 лм. Найти освещенность Е, светимость R. и яркость
В бумажного листа, если коэффициент отражения р=0,75.
15.67	. Какова должна быть освещенность Е листа бу-
маги в предыдущей задаче, чтобы его яркость была равна
В= 104 кд/м3?
15.68	. Лист бумаги площадью 3=10x30 см2 освещается
лампой с силой света 7=100 кд, причем на него падает
0,5% всего посылаемого лампой света. Найти освещенность
Е листа бумаги.
15.69	. Электрическая лампа с силой света 7=100 кд
посылает во все стороны в единицу времени IFT= 122 Дж/мин
световой энергии. Найти механический эквивалент света К
и к. п. д. т] световой отдачи, если лампа потребляет мощ-
ность 2V=100Bt.
§ 16.	Волновая оптика
По принципу Доплера частота v' света, воспринимаемая регистри-
рующим прибором, связана с частотой v, посылаемой источником
света, соотношением
т \-\-v/c
где v — скорость регистрирующего прибора относительно источника,
с — скорость распространения света. Положительное значение v со-
ответствует удалению источника света. Прн п<^с формулу приближенно
можно представить в виде
1 vc
V' а у ----=-----,
1 +л'/с . С + V
Расстояние между интерференционными полосами на экране,
расположенном параллельно двум когерентным источникам света,
/ = 4*,
где X — длина волны света, L — расстояние от экрана до источников
света, отстоящих друг от друга на расстоянии d (при этом L^>d).
210
Результат интерференции света в плоскопараллельных пластин"
ках (в проходящем свете) определяется формулами:
усиление света
2Лн cos fJ = 2*-77-	(* = 0, 1, 2, ...),
ослабление света
2*n cos ₽ = (2*4-1) ±	(* = 0, 1, 2,’...),
где Л — толщина пластинки, п — показатель преломления, Р — угол
преломления, X — длина волны света. В отраженном свете условия
усиления н ослабления света обратны условиям в проходящем свете.
Радиусы светлых колец Ньютона (в проходящем свете) опреде-
ляются формулой
(*=1,2,...);
радиусы темных колец
г* = )/(2*-1)р|	(* = 1,2,...),
где R — радиус кривизны линзы. В отраженном свете расположение
светлых н темных колец обратно их расположению в проходящем
свете.
Положение минимумов освещенности при дифракции от щели, на
которую нормально падает пучок параллельных лучен, определяется
условием
asin<p=±*X (*=1, 2, 3, ...),
где а — ширина щели, <р — угол дифракции, X — длина волны пада-
ющего света,
В дифракционной решетке максимумы света наблюдаются в на-
правлениях, составляющих с нормалью к решетке угол ср, удовлетво-
ряющий соотношению (при условии, что свет падает па решетку нор-
мально)
dsin<p=4*Z, (* = 0, 1, 2, .,.),
где d— постоянная решетки, ср — угол дифракции, X — длина волны
падающего света н * — порядок спектра. Постоянная решетки d== 1ЛУ0,
где Na — число щелей решетки, приходящееся на единицу длины
решетки.
Разрешающая способность дифракционной решетки определяется
формулой
211
где У — общее число щелей решетки, k — порядок спектра,Л и Х+ДХ —
длины волн двух близких спектральных линий, еще разрешаемых
решеткой.
Угловой дисперсией дифракционной, решетки называется величина
dtp
d\ •
Линейной дисперсией дифракционной решетки называется вели-
чина
где F — фокусное расстояние линзы, проектирующей спектр на экран.
При отражении естественного света от диэлектрического зеркала
имеют место формулы Френеля
/j_ = O,5/0
Г sin (t — Р)12
[sin (i’ + p) J ’
где I — интенсивность световых колебаний в отраженном луче, со-
вершающихся в направлении, перпендикулярном к плоскости падения
света, I f — интенсивность световых колебаний в отраженном луче,
совершающихся в направлении, параллельном плоскости падения
света, /0 — интенсивность падающего естественного света, i — угол
падения, Р — угол преломления.
Если i+P=90°, то /|, =0. В этом случае угол падения и пока-
затель преломления п диэлектрического зеркала свизаны соотношением
tgtg = n (закон Брюстера).
Интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализа-
тор,
/ = /0 cos2<p (закон Малюса),
где <р — угол между главными плоскостями поляризатора и анализа-
тора, /0 — интенсивность света, прошедшего через поляризатор.
16.1.	При фотографировании спектра Солнца было най-
дено, что желтая спектральная линия (Х=589 нм) в спект-
рах,, полученных от левого и правого краев Солнца, была
смещена на ДХ=0,008 нм. Найти скорость v вращения сол-
нечного диска.
16.2.	Какая разность потенциалов U была приложена
между электродами гелиевой разрядной трубки, если при
наблюдении вдоль пучка а-частиц максимальное доплеров-
ское смещение линии гелия (Х=492,2 нм) подучилось рав-
ным ДХ=0,8 нм?
212
16.3.	При фотографировании спектра звезды е Андроме-
ды было найдено, что линия титана (Х=495,4 нм) смещена
к фиолетовому концу спектра на АХ=0,17 нм. Как движется
звезда относительно Земли?
16.4.	Ёо сколько раз увеличится расстояние между со-
седними интерференционными полосами на экране в опыте
Юнга, если зеленый светофильтр (Xj=500 нм) заменить
красным, (Xj=650 нм)?
16.5.	В опыте Юнга отверстия освещались монохрома-
тическим светом (Х=600 нм). Расстояние между отверстия-
ми d=l мм, расстояние от отверстий до экрана £=3 м.
Найти положение трех первых светлых полос.
16.6.	В опыте с зеркалами Френеля расстояние между
мнимыми изображениями источника света d=0,5 мм, рас-
стояние до экрана L=5 м. В зеленом свете получились ин-
терференционные полосы, расположенные на расстоянии
1=5 мм друг от друга. Найти длину волны X зеленого света.
16.7.	В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих
лучей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие
чего центральная светлая полоса смещалась в положение,
первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая
центральной). Луч падает перпендикулярно к поверхности
пластинки. Показатель преломления пластинки /г=1,5.
Длина волны Х=600 нм. Какова толщина h пластинки?
16.8.	В опыте Юнга стеклянная пластинка толщиной
/г=12см помещается на пути одного из интерферирующих
лучей перпендикулярно к лучу. На сколько могут отли-
чаться друг от друга показатели преломления в различных
местах пластинки, чтобы изменение разности хода от этой
неоднородности не превышало А = 1 мкм?
16.9.	На мыльную пленку падает белый свет под углом
i=45° к поверхности планки. При какой наименьшей тол-
щине h пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый
цвет (Х=600 нм)? Показатель преломления мыльной воды
п=1,33.
16.10.	Мыльная пленка, расположенная вертикально,
образует клин вследствие стекания жидкости. При наблю-
дении интерференционных полос в отраженном свете ртут-
ной дуги (Х=546,1 нм) оказалось, что расстояние между
пятью полосами 1=2 см. Найти угол у клина. Свет падает
перпендикулярно к псверхности пленки. Показатель пре-
ломления мыльной воды п=1,33.
16.11.	Мыльная пленка, расположенная вертикально,
образует клин вследствие стекания жидкости. Интерферен-
ция наблюдается в отраженном свете через красное стекло
213
(%!=631 нм). Расстояние между соседними красными поло-
сами при этом /1==3 мм. Затем эта же пленка наблюдается
через синее стекло (А3=400 нм). Найти расстояние /2 между
соседними синими полосами. Считать, что за время измере-
ний форма пленки не изменяется и свет падает перпендику-
лярно к поверхности пленки.
16.12.	Пучок света (А=582 нм) падает перпендикуляр-
но к поверхности стеклянного клина. Угол клина у=20".
Какое число темных интерференционных полос приходит-
ся на единицу длины клина? Показатель преломления
стекла «=1,5.
16.13.	Установка для получения колец Ньютона осве-
щается монохроматическим светом, падающим по нормали
к поверхности пластинки. Наблюдение ведется в отражен-
ном свете. Радиусы двух соседних темных колец равны гк—
=4,0 мм и rft+1=4,38 мм. Радиус кривизны линзы R —
=6,4 м. Найти порядковые номера колец и длину волны А
падающего света.
16.14.	Установка для получения колец Ньютона осве-
щается монохроматическим светом, падающим по нормали
к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы 7? =
=8,6 м. Наблюдение ведется в отраженном свете. Измере-
ниями установлено, что радиус четвертого темного кольца
(считая центральное темное-пятно за нулевое) г4=4,5 мм.
Найти длину волны А падающего света.
16.15.	Установка для получения колец Ньютона осве-
щается белым светом, падающим по нормали к поверхности
пластинки. Радиус кривизны линзы R =5 м. Наблюдение
ведется в проходящем свете. Найти радиусы гс и гкр чет-
вертого синего кольца (Ас=400 нм) и третьего красного
кольца (Акр=630 нм).
16.16.	Установка для получения колец Ньютона осве-
щается монохроматическим светом, падающим по нормали
к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы 7? = 15м.
Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние между
пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона
/=9 мм. Найти длину волны А монохроматического света.
16.17.	Установка для получения колец Ньютона осве-
щается монохроматическим светом, падающим по нормали
к поверхности пластинки. Наблюдение ведется в отражен-
ном свете. Расстояние между вторым и двадцатым темными
кольцами /1=4,8 мм, Найти расстояние /2 между третьим
и шестнадцатым темными кольцами Ньютона.
16.18.	Установка для получения .колец Ньютона осве-
щается светом от ртутной дуги, падающим по нормали к по-
214
верхности пластинки. Наблюдение ведется» в проходящем
свете. Какое по порядку светлое кольцо, соответствующее
линии Xi—579,1 нм, совпадает со следующим светлым коль-
цом, соответствующим линии А2=577 нм?
16.19.	Установка для получения колец Ньютона осве-
щается светом с длиной волны А=589 нм, падающим по
нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы
7? = 10м. Пространство между линзой и стеклянной пла-
стинкой заполнено жидкостью. Найти показатель прелом-
ления п жидкости, если радиус третьего светлого кольца
в проходящем свете г3=3,65 мм.
16.20.	Установка для получения колец Ньютона осве-
щается монохроматическим светом с длиной волны Л=
=600 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки.
Найти толщину h воздушного слоя между линзой и стек-
лянной пластинкой в том месте, где наблюдается четвертое
темное кольцо в отраженном свете.
16.21.	Установка для получения колец Ньютона осве-
щается монохроматическим светом с длиной волны Х=
=500 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки.
Пространство между линзой и стеклянной пластинкой за-
полнено водой. Найти толщину h слоя воды между линзой
и пластинкой в том месте, где наблюдается третье светлое
кольцо в отраженном свете.
16.22.	Установка для получения колец Ньютона осве-
щается монохроматическим светом, падающим по нормали
к поверхности пластинки. После того как пространство меж-
ду линзой и стеклянной пластинкой заполнили жидкостью,
радиусы темных колец в отраженном свете уменьши-
лись в 1,25 раза. Найти показатель преломления п
жидкости.
16.23.	В опыте с интерферометром Майкельсона для
смещения интерференционной картины на 6=500 полос
потребовалось переместить зеркало на расстояние £ =
=0,161 мм. Найти длину волны А падающего света.
16.24.	Для измерения показателя преломления амми-
ака в одно из плечей интерферометра Майкельсона 'поме-
стили откачанную трубку длиной 2=14 см. Концы трубки
закрыли плоскопараллельными стеклами. При заполнении
трубки аммиаком интерференционная картина для длины
волны А=590 нм сместилась на 6=180 полос. Найти пока-
затель преломления п аммиака.
16.25.	На пути одного из лучей интерферометра Жамена
(рис. 63) поместили откачанную трубку длиной /=10 см.
При заполнении трубки хлором интерференционная карти-
215
на для длины волны Х=590 нм сместилась на: k—131 поло-
су. Найти показатель преломления п. хлора.
16.26.	Пучок белого света падает по нормали к поверх-
ности стеклянной пластинки толщиной d=0,4 мкм. Пока-
затель преломления стекла «=1,5. Какие длины волн X,
лежащие в пределах видимого спек-
тра (от 400 до 700 нм), усиливаются
в отраженном свете?
п	г-1	16.27. На поверхность стеклян-
—*______У/ кого объектива («1=1,5) нанесена
/Л 77 тонкая пленка, показатель преломле-
U	и ния которой п3 = 1,2 («просветляю-
’	щая» пленка). При какой наименьшей
толщине d этой пленки произойдет
Рис. 63. максимальное ослабление отражен-
ного света в средней части видимого
спектра?
16.28.	Свет от монохроматического источника (Х=
=600 нм) падает нормально на диафрагму с диаметром от-
верстия d=6 мм. За диафрагмой на расстоянии /=3 м от
нее находится экран. Какое число k зон Френеля уклады-
вается в отверстии диафрагмы? Каким будет центр дифрак-
ционной картины на экране: темным или светлым?
16.29.	Найти радиусы rk первых пяти зон Френеля, если
расстояние от источника света до волновой поверхности
а=1 м, расстояние от волновой поверхности до точки
наблюдения Ь = 1 м. Длина волны света Х=500 нм.
16.30.	Найти радиусы гк первых пяти зон Френеля для
плоской волны, если расстояние от волновой поверхности до
точки наблюдения Ь=1 м. Длина волны света Х=
=500 нм.
16.31.	Дифракционная картина наблюдается на расстоя-
нии I от точечного источника монохроматического света
(Х=600 нм). На расстоянии а=0,5/ от источника помещена
круглая непрозрачная преграда диаметром £) = 1 см. Найти
расстояние I, если преграда закрывает только центральную
зону Френеля.
16.32.	Дифракционная картина наблюдается на расстоя-
нии 1=4 м от точечного источника монохроматического све-
та (Х=500 нм). Посередине между экраном и источником
света помещена диафрагма с круглым отверстием. При ка-
ком радиусе отверстия центр дифракционных колец, На-
блюдаемых на экране, будет наиболее темным?
16.33.	На диафрагму с диаметром отверстия D=l,96 мм
падает нормально параллельный пучок монохроматического
216
света'(A=600 нм). При каком наибольшем расстоянии I
между диафрагмой и экраном в центре дифракционной кар-
тины еще будет наблюдаться темное пятно?
16.34.	На щель шириной а=2 мкм падает нормально
параллельный пучок монохроматического света (А=589 нм).
Под какими углами <р будут наблюдаться дифракционные
минимумы света?
16.35.	На щель шириной а=20 мкм падает нормально
параллельный пучок монохроматического света (А=500 нм).
Найти ширину А изображения щели на экране, удаленном
от щели на расстояние 1=1 м. Шириной изображения
считать расстояние между первыми дифракционными ми-
нимумами, расположенными по обе стороны от главного
максимума освещенности.
16.36.	На щель шириной я=6А падает нормально парал-
лельный пучок монохроматического света с длиной волны А.
Под каким углом ф будет наблюдаться третий дифракцион-
ный минимум света?
16.37.	На дифракционную решетку падает нормально
пучок света. Для того чтобы увидеть красную линию (А=
=700 нм) в спектре этого порядка, зрительную трубу при-
шлось установить под углом ф=30° к оси коллиматора. Найти
постоянную d дифракционной решетки. Какое число штри-
хов № нанесено на единицу длины этой решетки?
16.38. Какое число штрихов 7V0 на единицу длины имеет
дифракционная решетка, если зеленая линия ртути (А=
=546,1 нм) в спектре первого порядка наблюдается под уг-
лом ф = 19°8'?
16.39.	На дифракционную решетку нормально падает
пучок света. Натриевая линия (^=589 нм) дает в спектре
первого порядка угол дифракции <р1=17°8'. Некоторая ли-
ния дает в спектре второго порядка угол дифракции ф2=
=24°12'. Найти длину волны А3 этой линии и число штрихов
Nq на единицу длины решетки.
16.40.	На дифракционную решетку нормально падает
пучок света от разрядной трубки. Какова должна быть по-
стоянная d дифракционной решетки, чтобы в направлении
Ф=41° совпадали максимумы линий Ах=656,3 нм и А2=
=410,2 нм?
16.41.	На дифракционную решетку нормально падает
пучок света. При повороте трубы гониометра на угол ф
в поле зрения видна линия 2^=440 нм в спектре третьего
порядка. Будут ли видны под этим же углом ф другие спек-
тральные линии А2, соответствующие длинам волн в преде-
лах видимого спектра (от 400 до 700 нм)?
217
16.42.	На дифракцйонн/ю решетку нормально падает
пучок света от разрядной трубки, наполненной гелием. На
какую линию Х2 в спектре третьего" порядка накладывается
красная линия гелия (Xi=670 нм) спектра второго порядка?
16.43.	На дифракционную решетку нормально падает
пучок света от разрядной трубки, наполненной гелием.
Сначала зрительная труба устанавливается, на фиолетовые
линии (Хф—389 нм) по обе стороны от центральной полосы
в спектре первого порядка. Отсчеты по лимбу вправо' от ну-
левого деления дали <рф1=27°33'' и <p42=36°27'. После этого
зрительная труба устанавливается на красные линии по обе
стороны от центральной полосы в спектре первого порядка.
Отсчеты по лимбу вправо от нулевого деления дали <pKpi=
=23°54' и <ркрз=40°6'. Найти длину волны Хкр красной ли-
нии спектра гелия.
16.44.	Найти наибольший порядок k спектра для жел-
той линии натрия (Х=589 нм), если постоянная дифракци-
онной решетки d=2 мкм.
16.45.	На дифракционную решетку нормально падает
пучок монохроматического света. Максимум третьего по-
рядка наблюдается под углом <р=36°48' к нормали. Найти
постоянную d решетки, выраженную в длинах волн падаю-
щего света.
16.46.	Какое число максимумов k (не считая централь-
ного) дает дифракционная решетка предыдущей задачи?
16.47.	Зрительная труба гониометра с дифракционной
решеткой поставлена' под углом <р=20° к оси коллиматора.
При этом в поле зрения трубы видна красная линия спектра
гелия (Хнр=668 нм). Какова постоянная d дифракционной
решетки, если под тем же углом видна и синяя линия (Хс—
==447 нм) более высокого порядка? Наибольший порядок
спектра, который можно наблюдать при помощи решетки,
k=5. Свет падает на решетку нормально.
16.48.	Какова должна быть постоянная d дифракцион-
ной решетки, чтобы в первом порядке были разрешены ли-
нии спектра калия Xi=404,4 нм и Х2=404,7 нм? Ширина
решетки а=3 см.
* 16.49. Какова должна быть постоянная d дифракцион-
ной решетки, чтобы в первом порядке был разрешен дублет
натрия Xj=589 нм и Х2=589,6 нм? Ширина решетки а—
=2,5 см.
16.50.	Постоянная дифракционной решетки d=2 мкм.
Какую разность длин волн ДХ может разрешить эта решетка
.в области желтых лучей (Х=6ОО нм) в спектре второго по-
рядка? Ширина решетки а=2,5 см.
218	.
16.51.	Постоянная дифракционной решетки d=2,5 мкм.
Найти угловую дисперсию dtp/dA, решетки для Л=589 нм
в спектре первого порядка.
16.52.	Угловая дисперсия дифракционной решетки для
А =668 нм в спектре первого порядка d<p/dX=2,02-105 рад/м.
Найти период d дифракционной решетки.
16.53.	Найти линейную дисперсию D дифракционной
решетки в условиях предыдущей задачи, если фокусное
расстояние линзы, проектирующей спектр на экран, равно
К=40 см.
16.54.	На каком расстоянии I друг от друга будут
находиться на экране две линии ртутной дуги (^=577 нм
и А2=579,1 нм) в спектре первого порядка, полученном при
помощи дифракционной решетки? Фокусное расстояние
линзы, проектирующей спектр на экран, F=0,6 до. Постоян-
ная решетки d=2 мкм.
16.55.	На дифракционную решетку нормально падает
пучок света. Красная линия (А1=630нм) видна в спектре
третьего порядка под углом <р=60°. Какая спектральная
линия А2 видна под этим же углом в спектре четвертого по-
рядка? Какое число штрихов No на единицу длины имеет
дифракционная решетка? Найти угловую дисперсию dy/db
этой решетки для длины волны Ai=63O нм в. спектре треть-
его порядка.
16.56.	Для какой длины волны А. дифракционная решет-
ка имеет угловую дисперсию d<p/dA=6,3-105- рад/м в спектре
третьего порядка? Постоянная решетки d=5 мкм.
16.57.	Какое фокусное расстояние F должна иметь лин-
за, проектирующая на экран спектр, полученный при по-
мощи дифракционной решетки, чтобы расстояние между
двумя линиями калия ^=404,4 нм и А2=404,7 нм в спектре
первого порядка было равным /=0,1 мм? Постоянная ре-
шетки d=2 мкм.
16.58.	Найти угол /Б полной поляризации при отраже-
нии света от стекла, показатель преломления которого п=
= 1,57.
16.59.	Предельный угол полного внутреннего отражения
для. некоторого вещества г=45°. Найти для этого вещества
угол /Б полной поляризации.
16.60.	Под каким углом /Б к горизонту должно находить-
ся Солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озе-
ра, были наиболее полно поляризованы?
16.61.	Найти показатель преломления п стекла, если
при отражении от него све^а отраженный луч будет пол-
ностью поляризован при угле преломления 0=30°.
219
16.62.	Луч света проходит через жидкость, налитую в
стеклянный (п=1,5) сосуд, и отражается от дна. Отражен-
ный луч полностью поляризован при падении его на дно
сосуда под углом 1Б=42°37'. Найти показатель преломления
п жидкости. Под каким углом i должен падать на дно сосуда
луч света, идущий в этой жидкости, чтобы наступило полное
внутреннее отражение?
16.63.	Пучок плоскополяризованного света (X—589 нм)
падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно
к его оптической оси. Найти длины волн Хо и Хе обыкновен-
ного и необыкновенного лучей в кристалле, если показатели
преломления исландского шпата для обыкновенного и для
необыкновенного лучей равны п0=1,66 и пе—1,49.
16.64.	Найти угол <р между главными плоскостями поля-
ризатора и анализатора, если интенсивность естественного
света, проходящего через поляризатор и анализатор, умень-
шается в 4 раза.
16.65.	Естественный свет проходит через поляризатор и
анализатор, поставленные так, что угол между их главными
плоскостями равен <р. Как поляризатор, так и анализатор
поглощают и отражают 8% падающего на них света. Ока-
залось, что интенсивность луча, вышедшего из анализатора,
равна 9% интенсивности естественного света, падающего на
поляризатор. Найти угол <р.
16.66.	Найти коэффициент отражения р естественного
света, падающего на стекло (п=1,54) под углом /Б полной
поляризации. Найти степень поляризации Р лучей, про-
шедших в стекло.
16.67.	Лучи естественного света проходят сквозь пло-
скопараллельную стеклянную пластинку (п=1,54), падая
на нее под углом гБ полной поляризации. Найти степень
поляризации Р лучей, прошедших сквозь пластинку.
16.68.	Найти коэффициент отражения р и степень по-
ляризации Pi отраженных лучей при падении естественного
света на стекло (н=1,5) под углом i=45°. Какова степень
поляризации преломленных лучей?
§ 17.	Элементы теории относительности
Длина / тела, движущегося со скоростью v относительно некото-
рой системы отсчета, связана с длиной /0 тела, неподвижного в этой
системе, соотношением
/ = /0/П=р,
где р=о/е, с — скорость распространения света.
220
Промежуток времени Дт в системе, движущейся со скоростью V
по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени Дт0
в неподвижной для наблюдателя системе соотношением
Дт =
К i-Р2
Зависимость массы т тела от скорости v его движения дается
уравнением
m т»
tn = - --
где то — масса покоя этого тела.
Зависимость кинетической энергии тела от скорости v его дви-
жения дается уравнением
rK = m0c2f 	-Л.
\Ki-P2 J
Изменение массы системы на Д/n соответствует изменению энергии
системы на
. ДЦ7 = с2Дт.
17.1.	При какой относительной скорости v движения
релятивистское сокращение длины движущегося тела со-
ставляет 25 %?
17.2.	Какую скорость v должно иметь движущееся тело,
чтобы его продольные размеры уменьшились в 2 раза?
17.3.	Мезоны космических лучей достигают поверхности
Земли с' самыми разнообразными скоростями. Найти реля-
тивистское сокращение размеров мезона, скорость которого
равна 95% скорости света.
17.4.	Во сколько раз увеличивается продолжительность
существования нестабильной частицы по часам неподвиж-
ного наблюдателя, если она начинает двигаться со скоро-
стью, составляющей 99% скорости света?
17.5.	Мезон, входящий в состав космических лучей,
движется со скоростью, составляющей 95% скорости света.
Какой промежуток времени Дт по часам неподвижного на-
блюдателя соответствует одной секунде «собственного вре-
мени» мезона?
17.6.	На сколько увеличится масса а-частицы при уско-
рении ее от начальной скорости, равной нулю, до скорости,
равной 0,9 скорости света?
17.7.	Найти отношение е/т заряда электрона к его массе
для скоростей: a) v<^.c; б) v=2-10® м/с; в) п=2,2-108 м/с;
г) v=2,4-108 м/с; д) v=2,6-108 мЛ*е) v=2,8-108 м/с. Со-
ставить таблицу и построить графики зависимостей т и е/т
от величины р=ц/с для указанных скоростей.
221
17.8.	При какой скорости v масса движущегося электро-
на вдвое’ больше его масса- покоя?
17.9.	До какой "энергии WK можно ускорить частицы
в циклотроне, если относительное увеличение массы части-
цы не должно превышать 5%? Задачу решить для: а) элект-
ронов; б) протонов; в) дейтонов.
17.10.	Какую ускоряющую разность потенциалов U дол-
жен пройти электрон, чтобы его скорость составила 95%
скорости света?
17.11.	Какую ускоряющую разность потенциалов V
должен пройти протон, чтобы его продольные размеры стали
меньше в 2 раза?
17.12.	Найти скорость v мезона, если его полная энер-
гия в 10 раз больше энергии покоя.
17.13.	Какую долю р скорости света должна составлять
скорость частицы, чтобы ее кинетическая энергия была рав-
на ее энергии покоя?
17.14.	Синхрофазотрон дает пучок протонов с кинети-
ческой энергией 1^к=10 ГэВ. Какую долю р скорости .света
составляет скорость протонов в этом пучке?
17.15.	Найти релятивистское сокращение размеров про-
тона в условиях предыдущей задачи.
17.16.	Циклотрон дает пучок электронов с кинетической
энергией W7K=0,67 МэВ. Какую долю р скорости света
составляет скорость электронов в этом пучке?
17.17.	Составить для электронов и протонов таблицу
зависимости их кинетической энергии WK от. скорости v
(в долях скорости света) для значений р, равных: О’,!; 0,5;
0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 0,95; 0,999.
17.18.	Масса движущегося электрона вдвое больше его
массы покоя. Найти кинетическую энергию !ГК электрона.
17.19.	Какому изменению массы Ат соответствует изме-
нение энергии на АИ7=4,19Дж?
17.20.	Найти изменение энергии AU7, соответствующее
изменению массы на Ат=1 а. е. м.
17.21.	Найти изменение энергии A1F, соответствующее
изменению массы Am=me.
17.22.	Найти изменение массы Ат^, происходящее при
образовании v=l моль воды, если реакция образования
воды такова:
2H2-f-O2 = 2Н2О-|-5,75-10® Дж.
17.23.	При делении ядра урана fl5U освобождается энер-
гия И7=200 МэВ. Найти изменение .массы Ати пр» делении
v=l моль урана.
222
17.24.	Солнце излучает поток энергии Р=3,9-1Q2® Вт.
За какое время т масса Солнца уменьшится в 2 раза? Излу-
чение Солнца считать постоянным.
§ 18.	Тепловое излучение
Энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного
тела, т. е. энергия, излучаемая в единицу времени единицей поверх-
ности абсолютно черного тела, определяется формулой Стефана —
Больцмана	'
,	/?э = аГ1,
где Т— термодинамическая температура, <т=5,67-10-8 Вт/(м2-К4)—
постоянная Стефана — Больцмана.
Если излучаемое тело не является абсолютно черным, то
R'3 = kaTi,
где коэффициент k всегда меньше единицы.
Энергетическая светимость R3 связана со спектральной плот-
ностью энергетической светимости абсолютно черного тела соот-
ношением
СО
R3 = rK d\.
о
Произведение термодинамической температуры абсолютно черного
тела.на длину волны, при которой спектральная плотность энергети-
ческой светимости этого тела максимальна, равна постоянной величине
(первый закон Вина):
)VmT = C1 = 2,9.10-3 м-К.
Максимальная спектральная плотность энергетической светимости
абсолютно черного тела возрастает пропорционально пятой степени
температуры (второй закон Вина):
ГХтах = С2Т6, где С2 = 1,29.10-5 Вт/(м3-К6).
18.1.	Найти температуру Т печи, если известно, что из-
лучение из отверстия в ней площадью S=6,1 см2 имеет мощ-
ность М=34,6 Вт. Излучение считать близким к излучению
абсолютно черного тела.
18.2.	Какую мощность излучения N имеет Солнце?
Излучение Солнца считать близким к излучению абсолютно
черного тела. Температура поверхности Солнца Т=5800 К.
18.3.	Какую энергетическую светимость R3 имеет за-
твердевающий свинец? Отношение энергетических светймо-
223
стей свинца и абсолютно черного тела для данной температу-
ры £=0,б.
18.4.	Мощность излучения абсолютно черного тела N—
=34 кВт. Найти температуру Т этого тела, если известно,
что его поверхность S=0,6 м2.
18.5.	Мощность излучения раскаленной металлической
поверхности N' =0,67 кВт. Температура поверхности 7=
=2500 К, ее площадь S = 10 см3. Какую мощность излуче-
ния N имела бы эта поверхность, если бы она была абсо-
лютно черной? Найти отношение k энергетических светимо-
стей этой поверхности и абсолютно черного тела при данной
температуре.
18.6.	Диаметр вольфрамовой спирали в электрической
лампочке d=0,3 мм, длина спирали 1=5 см. При включе-
нии лампочки в сеть напряжением €7=127 В через лампочку
течет ток /=0,31 А. Найти температуру Т спирали. Счи-
тать, что по установлении равновесия все выделяющееся
в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение
энергетических светимостей вольфрама и абсолютно черного
тела для данной температуры £=0,31.
18.7.	Температура вольфрамовой спирали в 25-ваттной
электрической лампочке 7=2450 К. Отношение ее энергети-
ческой светимости к энергетической светимости абсолютно
черного тела при данной температуре &=0,3. Найти пло-
щадь S излучающей поверхности спирали.
18.8.	’ Найти солнечную постоянную К, т. е. количество
лучистой, энергии, посылаемой Солнцем в единицу времени
через единичную площадку, перпендикулярную к солнеч-
ным лучам и находящуюся на таком же расстоянии от него,
как и Земля. Температура поверхности Солнца 7=5800 К.
Излучение Солнца считать близким к излучению абсолют-
но черного тела.
18.9.	Считая, что атмосфера поглощает 10% лучистой
энергии, посылаемой Солнцем, найти мощность излучения
N, получаемую от Солнца горизонтальным участком Земли
площадью S=0,5ra. Высота Солнца над горизонтом ф=
=30°. Излучение Солнца считать близким к излучению аб-
солютно черного тела.
18.10.	Зная значение солнечной постоянной для Земли
(см. задачу 18.8), найти значение солнечной постоянной
для Марса.
18.11.	Какую энергетическую светимость Ra имеет аб-
солютно черное тело, если максимум спектральной плот-
ности его энергетической светимости приходится на длину
волны Х=484 нм?
224
18.12.	Мощность излучения абсолютно черного .тела N—
==10 кВт. Найти площадь S излучающей поверхности тела,
если максимум спектральной плотности его энергетической
светимости приходится на длину волны Х=700 нм.
18.13.	В каких областях спектра лежат длины волн, со-
ответствующие максимуму спектральной плотности энерге-
тической светимости, если источником света служит: а) спи-
раль электрической лампочки (7=3000 К); б) поверхность
Солнца (/'=6000 К); в) атомная бомба, в которой в момент
взрыва развивается температура Т«10’ К? Излучение счи-
тать близким к излучению абсолютно черного тела.
; 18.14. На рис. 64 дана кривая зависимости спектральной
плотности энергетической светимости абсолютно черного
тела /•% от длины волны X при неко-
торой температуре. К какой темпе-
ратуре Т относится эта кривая?
Какой процент излучаемой энер-
гии приходится на долю видимого
спектра при этой температуре?
18.15.	При нагревании абсолют-
но черного тела длина волны X,
на которую приходится максимум
спектральной плотности энергети-
ческой светимости, изменилась от
690 до 500 нм. Во сколько раз уве-
личилась при этом энергетическая
светимость тела?
18.16.	На какую длину волны X приходится максимум
спектральной плотности энергетической светимости абсо-
лютно черного тела, имеющего температуру, равную тем-
пературе t—37 °C человеческого тела, т. е. 7=310 К?
18.17.	Температура Т абсолютно черного тела измени-
лась при нагревании от 1000 до 3000 К. Во сколько раз
увеличилась при этом его энергетическая светимость /?8?
На сколько изменилась длина волны X, на которую прихо-
дится максимум спектральной плотности энергетической
светимости? Во сколько раз увеличилась его максимальная
спектральная плотность энергетической светимости rtf
18.18.	Абсолютно черное тело имеет температуру 7\=
=2900 К. В результате остывания тела длина волны, на
которую приходится максимум спектральной плотности
энергетической светимости, изменилась на АХ=9 мкм. До
какой температуры охладилось тело?
18.19.	Поверхность тела нагрета до температуры 7=
=1000 К. Затем одна половина этой поверхности нагревает-
8 В. С. Волькенштейи	225
ся на ДГ=100 К, другая охлаждается на ДТ»100 К. Во"
сколько раз изменится энергетическая светимость по-
верхности этого тела?
18.20.	Какую мощность N надо подводить к зачерненно-
.му металлическому шарику радиусом г=2см, чтобы под-
держивать его температуру на ДТ=27 К выше температуры
окружающей среды? Температура окружающей среды
=293 К. Считать, что тепло теряется только вследствие из-
лучения.
18.21.	Зачерненный шарик остывает от температуры Т\—
=300 К до Та=293 К. На сколько изменилась длина волны
соответствующая максимуму спектральной плотности его
энергетической светимости?
18.22.	На сколько уменьшите^ масса Солнца за год
вследствие излучения? За какое время' т масса Солнца
уменьшится вдвое? Температура поверхности Солнца Т=
=5800 К. Излучение Солнца считать постоянным.
Глава VI
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
ЕДИНИЦЫ РАДИОАКТИВНОСТИ И ИОНИЗИРУЮЩИХ
ИЗЛУЧЕНИЙ •
В табл. 18 и 19 приведены некоторые производные еди-
ницы физических величин в области радиоактивности и
ионизирующих излучений в системе СИ, а также внесистем-
ные единицы.
Примеры решения задач
Задача 1. Воздух, находящийся при нормальных
условиях, облучается рентгеновскими лучами. Доза излу-
чения равна 1 Р. Найти число пар ионов, образованных
данным излучением в 1 см’ воздуха.
Таблица 18
Величина	Единица			Размер* ность . величины
	определение	наименование	обозначе- ние	
Активность изото-	a—dN/dt	беккерель	Бк	т-1
па в радиоактив- ном источнике Интенсивность из-	J=W./S	ватт иа квадрат-	Вт/мг	МТ~з
лучения Поглощенная доза	Dn=W/m	ный метр грей	Гр	L2T~a
излучения Мощность погло-	Рп = Da/1	грей в секунду	Гр/с	L2T~3
щенной дозы из- лучения Экспозиционная	Da~q/m	кулон на кило-	Кл/КЕ-	M-iTi
доза рентгенов- ского н гамма-из- лучений Мощность экспо-	Pa = Da/t	, грамм ампер на кило-	А/кг	м-ч
зициоиной дозы рентгеновского и гамма-излучений		грамм		
8*
227
Таблица 19
Величина
Единица и ее связь
с единицами СИ
Активность изотопа в радиоактивном
источнике
Поглощенная доза излучения
Экспозициоииая доза реитгеиовского
и гамма-излучений
1 Ки = 3,7101в Бк
1 рад=10~2 Гр
1 Р = 2,57976-10~* Кл/кг
Примечание. Единицу экспозиционной дозы рентгеновского
и гамма-излучений кулон на килограмм, а также внесистемную еди-
ницу рентген можно применять для излучений с энергией квантов,
не превышающей 5-10-13 Дж (приблизительно 3 МэВ).
Решение. Ионы, образованные в массе т воздуха экспо-
зиционной дозой Da рентгеновского излучения, переносят
заряд
<7==D9m.	(1)
Масса т и объем V воздуха связаны соотношением
где р — давление воздуха, Т — его термодинамическая
температура, р. — молярная масса, R — газовая посто-
янная.
Искомое число пар ионов
N = <?/е,	.	(3)
где е — заряд каждого иона. Из (1)—(3) имеем
А^ = -^.	(4)
По условию Оа=1 Р=2,58-10-1 Кл/кг, У=1 см’=10~*м’,
раИО5 Па, р=0,029 кг/моль, /?=8,31 Дж/(моль-К),
7’=273 К и е=1,60’10-1* Кл. Подставляя эти данные
в (4), получим М=2,Ы0’пар ионов.
Задача 2. Искусственно полученный радиоактив-
ный изотоп кальция fjjCa имеет период полураспада T'l/a =
»=164 сут. Найти активность 1 мкг этого препарата.
Решение. Число атомов радиоактивного вещества АЛ',
распадающихся за время At, определяется формулой
|ДМ| = ^Л/Дг,
**/«
228
где Л/з-^-период полураспада изотопа, W— число его
атомов в данной массе. Число атомов W связано с массой т
препарата соотношением N = -у NA, где NA — постоянная
Авогадро, р—молярная масса. По условию задачи' Т1/2 —
= 164-24-3600 с, т=10-8 кг, Л/^=6,02-1023 моль-1, р=
=0,045 кг/моль. Подставляя эти данные, получим актив-
ность
а = у = 6,53 - Ю8 Бк.
§ 19.	Квантовая природа света и волновые свойства
частиц
Энергия фотона (кванта света) определяется формулой
e — hv,
где Л=6,62б176-10-84 Дж-с — постоянная Планка, v [Гц]— частота
колебания.
Импульс и масса фотона
где с— 2,99792458- 10е м/с — скорость распространения света в ва-
кууме.
Связь между энергией фотона, вызывающего внешний фотоэф-
фект, и максимальной кинетической энергией вылетающих электронов
дается формулой Эйнштейна
где А — работа выхода электрона из металла, т — масса электрона.
Если о=0, то Hv0=A, где v0 — частота света, соответствующая красной
границе фотоэффекта.
Световое давление
' />=А(1+р),
где Е — энергия, падающая на единицу поверхности за единицу вре-
мени, р — коэффициент отражения света.
Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском
рассеянии определяется формулой
ДХ=—(1—costp),
me '
где ф —.угол рассеяния, т — масса электрона.
329
Пучок элементарных частиц'обладает свойством плоской волны,
распространяющейся в направлении перемещения этих частиц. Длина
волны X, соответствующая этому пучку; определяется соотношением де
Бройля
Л h h
~mv~ y~2Wm '
где v — скорость частиц, т — масса частиц, № — их кинетическая
энергия. Если скорость v частиц соизмерима со скоростью света с,
то эта формула принимает вид
Х = —	=-7=^=.
mov	}^2Wm0+W2/c2
где Р=о/с, т0 — масса покоя частицы. ।
19.1.	Найти массу т фотона: а) красных лучей света
(Х=700 нм); б) рентгеновских лучей (Х=25 пм); в) гамма-
лучей (Х=1,24 пм).
19.2.	Найти энергию е, массу т и импульс р фотона, если
соответствующая ему длина волны Х=1,6 пм.
19.3.	Ртутная дуга имеет мощность 7У=125Вт. Какое
число фотонов испускается в единицу времени в излучении
с длинами волн X, равными: 612,3; 579,1; 546,1; 404,7;
365,5; 253,7 нм? Интенсивности этих линий составляют со-
ответственно 2; 4; 4; 2,9; 2,5; 4% интенсивности ртутной
дуги. Считать, что 80% мощности дуги идет на излучение.
19.4.	С какой скоростью v должен двигаться электрон,
чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона
с длиной волны Х=520 нм?
19.5.	С какой скоростью v должен двигаться электрон,
чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной
волны Х=520 нм?
19.6.	Какую энергию е должен иметь фотон, чтобы его
масса была равна массе покоя -электрона?
19.7.	Импульс, переносимый монохроматическим пуч-
ком фотонов через площадку S=2 см2 за время £=0,5 мин,
равен р=3-10-9 кг-м/с. Найти для этого пучка энергию Е,
падающую на единицу площади за единицу времени.
19.8;	При какой температуре Т кинетическая энергия
молекулы двухатомного газа будет равна энергии фотона
с длиной волны X—589 нм?
19.9. При высоких энергиях трудно осуществить усло-
вия для измерения экспозиционной дозы рентгеновского И
гамма-излучений в рентгенах, поэтому допускается приме-
нение рентгена как единицы дозы для излучений с энергией
230
квантов до в—3 МэВ. До какой предельной длины волны 1
рентгеновского излучения можно употреблять рентген?
19.10.	Найти массу т фотона, импульс которого равен
импульсу молекулы водорода при температуре £=20°С.
Скорость молекулы считать равной средней квадратичной
скорости. .	»
' 19.11. В работе А. Г. Столетова «Актино-электрические
исследования» (1888 г.) впервые были установлены основные
законы фотоэффекта. Один из результатов его опытов был
сформулирован так: «Разряжающим действием обладают лу-
чи самой высокой преломляемости с длиной волны менее
295 нм». Найти работу выхода А электрона из металла, с ко-
торым работал А. Г. Столетов.
19.12.	Найти длину волны 70 света, соответствующую
красной границе фотоэффекта, для лития, натрия, калия
и цезия.
19.13.	Длина волны света, соответствующая красной
границе фотоэффекта, для некоторого металла Х0=275 нм..
Найти минимальную энергию 8 фотона, вызывающего фото-
эффект.
19.14.	Длина волны света, соответствующая красной
границе фотоэффекта, для некоторого металла Хо=275 нм.
Найти работу выхода А электрона из металла, максималь-
ную скорость vmax электронов, вырываемых из металла све-
том с длиной волны Х=180нм, и максимальную кинетиче-
скую энергию Н7тах электронов.
19;15. Найти, частоту v света, вырывающего из метал-
ла электроны, которые полностью задерживаются разно-
стью потенциалов t/=3B. Фотоэффект начинается при
частоте света vo=6‘1014 Гц. Найти работу выхода А элек-
трона из металла.
19.16.	Найти задерживающую разность потенциалов U
для электронов, вырываемых при освещении калия светом
с длиной волны Х=330 нм.
19.17.	При фотоэффекте с платиновой поверхности элек-
троны полностью задерживаются разностью потенциалов
77=0,8 В. Найти длину волны X применяемого облучения
и предельную длину волны Ао, при которой еще возможен
фотоэффект.
19.18.	Фотоны с энергией 8=4,9 эВ вырывают электро-
ны из металла с работой выхода А =4,5 эВ. Найти макси-
мальный импульс ршах, передаваемый поверхности металла
при вылете каждого электрона.
19.19.	Найти постоянную Планка h, если известно, что
электроны, вырываемые из металла светом с частотой
231
v1=2,2- LO1? Гц, полностью задерживаются'разностью потен-
циалов {/1=6,6 В, а вырываемые светом с частотой vB=
=4,6-101? Гц — разностью потенциалов {/,=16,5 В.
19.20.	Вакуумный фотоэлемент состоит из центрального
катода (вольфрамового шарика) и анода (внутренней по-
верхности посеребренной изнутри колбы). Контактная
разность потенциалов между электродами 1/а=0,6 В уско-
ряет вылетающие электроны. Фотоэлемент освещается све-
том с длиной волны Х=230 нм. Какую задерживающую раз-
ность потенциалов U надо приложить между электро-
дами, чтобы фототок упал до нуля? Какую скорость v
получат электроны, когда они долетят до анода, если не
прикладывать между катодом и анодом разности потен-
циалов?
19.21.	Между электродами фотоэлемента предыдущей
задачи приложена задерживающая разность потенциалов
{/=1 В. При какой предельной длине волны Хо падающего
на катод света начнется фотоэффект?
19.22.	На рис. 65 показана часть прибора, с которым
П. Н. Лебедев производил свои опыты по измерению све-
тового давления. Стеклянная крестови-
на, подвешенная на тонкой нити, за-
ключена в откачанный сосуд и имеет на
концах два легких кружка из плати-
6 новой фольги. Один кружок зачернен,
другой оставлен блестящим. Направляя
свет на один из кружков и измеряя угол
поворота нити (для зеркального отсчета
служит зеркальце S), можно опреде-
лить световое давление. Найти световое
-J —давление Р и световую энергию Е, па-
LJ	дающую от дуговой лампы в единицу
Рис. 65.	времени на единицу площади кружков.
При освещении блестящего кружка от-
клонение зайчика а—76 мм по шкале,
удаленной от зеркальца на расстояние Ь—1200 мм. Диа-
метр кружков d—5 мм. Расстояние от центра кружка до
оси вращения 1—9,2 мм. Коэффициент отражения света от
блестящего кружка р=0,5. Постоянная момента кручения
нити (M=ka) k—2,2-10-11 Н-м/рад.
, 19.23. В одном из опытов П- Н. Лебедева при падении
света иа зачерненный кружок (р=0) угол поворота нити
был равен а=10'. Найти световое давление Р и мощность N
падающего света. Данные прибора взять из условия зада-
чи 19.22.
19.24.	В одном из опытов П. Н. Лебедева мощность па-
дающего на кружки монохроматического света (Х=560 нм)
была равна У=8,33 мВт. Найти число фотонов I, падаю-
щих в единицу времени на единицу площади кружков, и им-
пульс силы ГДт, сообщенный единице площади кружков
за единицу времени, для значений р, равных: 0; 0,5; 1. Дан-
ные прибора взять из условия задачи 19.22.
19.25.	Русский астроном Ф. А. Бредихин объяснил фор-
му кометных хвостов световым давлением солнечных лучей.
Найти световое давление Р солнечных лучей на абсолютно
черное тело, помещенное на таком же расстоянии от Солнца,
как и Земля. Какую массу т должна иметь частица в ко-
метном хвосте, помещенная на этом расстоянии, чтобы сила
светового давления на нее уравновешивалась силой притя-
жения частицы Солнцем? Площадь частицы, отражающую
все падающие на нее лучи, считать равной 5=0,5-10~12 м2.
Солнечная постоянная К=1,37 кВт/м2.
19.26.	Найти световое давление Р на стенки электриче-
ской 100-ваттной лампы. Колба лампы представляет собой
сферический сосуд радиусом г—5 см. Стенки лампы отража-
ют 4% и пропускают 6% падающего на них света. Считать,
что вся потребляемая мощность идет на излучение.
19.27.	На поверхность площадью 5=0,01 м2 в единицу
времени падает световая 'энергия £=1,05 Дж/с. Найти све-
товое давление Р в случаях, когда поверхность полно-
стью отражает и полностью поглощает падающие на нее
лучи.
19.28.	Монохроматический пучок света (Х=490 нм), па-
дая по нормали к поверхности, производит световое давле-
ние Р=4,9 мкПа. Какое число фотонов I падает в единицу
времени на единицу площади этой поверхности? Коэффици-
ент отражения света р=0,25.
19.29.	Рентгеновские лучи с длиной волны 1о=7О,8 пм
испытывают комптоновское рассеяние на парафине. Найти
длину волны X рентгеновских лучей, рассеянных в направ-
лениях: а) ф=л/2; б) ф=л.
19.30.	Какова была длина волны Хо рентгеновского из-
лучения, если при комптоновском рассеянии этого излу-
чения графитом под углом ф=60° длина волны рассеянного
излучения оказалась равной Х=25,4 пм?
19.3L	Рентгеновские лучи с длиной волны Х0=20 пм
испытывают комптоновское рассеяние под углом ф=90°.
Найти изменение ДХ-длины волны рентгеновских лучей
при рассеянии, а также энергию и импульс электрона
отдачи.
ЮЗ
19.32.	При комптоновском рассеянии энергия падаю-
щего фотона распределяется поровну между рассеянным фо-
тоном и электроном отдачи. Угол рассеяния <р=л/2. Найти
энергию W и импульс р рассеянного фотона.
1-9.33. Энергия рентгеновских лучей е=0,6 МэВ. Найти
энергию We электрона отдачи, если длина волны рентгенов-
ских лучей после комптоновского рассеяния изменилась на
20%.
19.34.	Найти длину волны де Бройля X для электронов,
прошедших разность потенциалов 1^—1 В и t/2=100 В.
19.35.	Решить предыдущую задачу для пучка протонов.
19.36.	Найти длину волны де Бройля 1 для: а) электро-
на, движущегося со скоростью v= 10е м/с; б) атома водоро-
да, движущегося со средней квадратичной скоростью при
температуре 7=300 К; в) шарика массой т~1 г, движуще-
гося со скоростью и=1 см/с.
19.37.	Найти длину волны де Бройля X для электрона,
имеющего кинетическую энергию: a) Wzi=I0 кэВ; б) W2*=
= 1 МэВ.
19.38.	Заряженная частйца, ускоренная разностью по-
тенциалов £7=200 В, имеет длину волны де Бройля 1=
=2,02 пм. Найти массу т частицы, если ее заряд численно
равен заряду электрона.
19.39.	Составить таблицу значений длин волн де Бройля
X для электрона, движущегося со скоростью о, равной:
2-108; 2,2-108; 2,4-10*; 2,6-10е; 2,8-10е м/с.
19.40.	а-частица движется по окружности радиусом
г=8,3 мм в однородном магнитном поле, напряженность
которого /7=18,9 кА/м. Найти длину волны де Бройля А,
для а-частицы.
19.41.	Найти длину волны де Бройля X для атома водо-
рода, движущегося при температуре 7=293 К с найболее
вероятной скоростью.
§ 20? Атом Борд. Рентгеновские лучи
Согласно первому постулату Бора движение электрона вокруг
ядра возможно только по определенным орбитам, радиусы которых
удовлетворяют соотношению
, h
.где tn — масса электрона, рд — его скорость на fe-й ербите, г/, — ра-
284
диус этой орбиты, Л — постоянная Планка, k — любое целое число
(квантовое число).
Согласно второму постулату Бора частота излучения, соответст-
вующая переходу электрона с одной орбиты на другую, определяется
формулой
hv=Wn—Wk,
где kun — номера орбит (п>й), и W п — соответствующие им зна-
чения энергии электрона.
Формула, позволяющая найти частоты v или длины волн Л, со-
ответствующие линиям водородного спектра, имеет вид
с о ( 1	1 \
v	na;’
где kun — номера орбит, с — скорость распространения света в ва-
кууме, R — постоянная Ридберга, равная
^ = -£^-=1,097373177.10’ м"1.
8еоЛ3с
Здесь е — заряд электрона, т — его масса, h — постоянная Планка
и g0 — электрическая постоянная.
Формула, позволяющая найти частоты v или длины волн А, для
водородоподобных ионов, имеет вид
с о „2 [ 1	1 \
V — -r—RcZi -гт------т ,
А	\ k2 п2 j
где Z — порядковый номер элемента в таблице Менделеева.
При дифракции рентгеновских лучей имеет место уравнение Вуль-
фа — Брэгга
2dsln<p = mX	(m = 0, 1, 2, ...),
где d — постоянная решетки кристалла (расстояние между атомными
плоскостями кристалла), (р — угол между пучком рентгеновских
лучей и поверхностью кристалла.
Частота v0> соответствующая коротковолновой границе сплошного
рентгеновского спектра, может быть найдена из соотношения
hvts — eU,
где U — разность потенциалов, приложенная к электродам рентгенов-
ской трубки. ,	.	
Длина волны рентгеновских характеристических лучей может
быть ндйдена по формуле Мозли
835
где Z—порядковый иомер элемента, из которого сделан антикатод,
Ь постоянная экранирования. Последняя формула может быть
переписана так:
V"v = a(Z—Ь), где а= Rc	•
Интенсивность пучка , рентгеновских лучей, прошедших сквозь
пластинку толщиной х, определяется формулой
/ = /06-^,
где /0 — интенсивность пучка, падающего на пластинку, р [м-1] —
линейный коэффициент поглощения. Коэффициент поглощения р
зависит от длины волны рентгеновских лучей и от плотности вещества.
Массовый коэффициент поглощения рм связан с линейным коэффици-
ентом поглощения р соотношением рм [м2/кг]=р/р, где р — плотность
вещества.
Поглощение рентгеновских лучей различными веществами можно
охарактеризовать так называемой «толщиной слоя половинного ос-
лабления», т. е. толщиной слоя х1/2, уменьшающей вдвое интенсивность
падающих лучей.
20.1.	Найти радиусы гА трех первых воровских элек-
тронных орбит в атоме водорода и скорости vk электрона
на них.
20.2.	Найти кинетическую WK, потенциальную lFn и
полную W энергии электрона на первой воровской орбите.
20.3.	Найти кинетическую энергию №к электрона, на-
ходящегося на n-й орбите атома водорода, для п—1, 2, 3
и со.
20.4.	Найти период Т обращения электрона на первой
борове кой орбите атома водорода и его угловую скорость со.
. 20.5. Найти наименьшую и наибольшую Хтах дли-
ны волн спектральных линий водорода в видимой области
спектра.
. 20.6. Найти наибольшую длину волны Ктлх в ультра-
фиолетовой области спектра водорода. Какую наименьшую
скорость ymin должны иметь электроны, чтобы при воз-
буждении атомов водорода ударами электронов появилась
эта линия?
20.7.	Найти потенциал ионизации Ut атома водорода.
20.8.	Найти первый потенциал возбуждения Ui атома
водорода.
'20.9. Какую наименьшую энергию Wmi„ (в электрон-
вольтах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении
атомов водорода ударами этих электронов появились все
236	 ’ ’ '	'
линии все* серий спектра водорода? Какую наименьшую
скорость vmln должны иметь эти электроны?
20.10	. В каких пределах должна лежать энергия бом-
бардирующих электронов, чтобы при возбуждении атомов
водорода ударами этих электронов спектр водорода имел
только одну спектральную линию?
20.11	. Какую наименьшую энергию H7min (в электрон-
вольтах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении
атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода
имел три спектральные линии? Найти длины волн X этих
линий.
20.12	. В каких пределах должны лежать длины волн %
монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов
водорода квацтами этого света наблюдались три спектраль-
ные линии?
20.13	. На сколько изменилась кинетическая энергия
электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона
с длиной волны Х=486 нм?
20.14	. В каких пределах должны лежать длины волн X
монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов
водорода квантами этого света радиус орбиты гк электрона
увеличился в 9 раз?
20.15	. На дифракционную решетку нормально падает
пучок света от разрядной трубки, наполненной атомарным
водородом. Постоянная решетки d—5 мкм. Какому пере-
ходу электрона соответствует спектральная линия, наблю-
даемая при помощи этой решетки в спектре пятого порядка
под углом ф=4Г?
20.16	. Найти длину волны де Бройля X для электрона,
движущегося по первой воровской орбите атома водорода.
20.17	. Найти радиус g первой боровской электронной
орбиты для однократно ионизованного гелия и скорость
электрона на ней.
20.18	. Найти первый потенциал возбуждения Uk: а) од-
нократно ионизованного гелия; б) двукратно ионизованного
лития.
20.1	& Найти потенциал ионизации Ut: а) однократно
ионизованного гелия; б) двукратно ионизованного лития.
20.20	. Найти длину волны X фотона, соответствующего
переходу электрона со второй боровской орбиты на первую
в однократно ионизованном атоме гелия.
20.21	. Решить предыдущую задачу для двукратно иони-
зованного атома лития.
20.22	. P-линия натрия излучается в результате такого
перехода электрона с одной орбиты атома на другую, при
237
котором энергия атома уменьшается на AtF=3,37’ 10“х* Дж.
Найти длину волны X D-лииии натрия.
20.23	. На рис. 66 изображена схема прибора для опре-
деления резонансного потенциала натрия. Трубка содер-
жит пары натрия. Электроды G и А имеют одинаковый по-
тенциал. При какой наименьшей ускоряющей разности по-
тенциалов U между катодом К и сеткой G наблюдается спек-
тральная линия с длиной волны Х=589 нм?
20.24	. Электрон, пройдя разность- потенциалов U=
=4,9 В, сталкивается с атомом ртути и переводит его в пер-
вое возбужденное состояние. Какую длину волны X имеет
фотон, соответствующий переходу атома ртути в нормаль-
ное состояние?
20.25	. На рис. 67 изображена установка для наблюде-
ния дифракции рентгеновских лучей. При вращении кри-
сталла С только тот луч будет отражаться на фотографиче-
скую пластинку В, длина волны которого удовлетворяет
уравнению Вульфа — Брэгга.. При каком наименьшем угле
Ф между плоскостью кристалла и пучком рентгеновских лу-
чей были отражены рентгеновские лучи с длиной волны Х=
=20 пм? Постоянная решетки кристалла d=303 пм.
20.26	. Найти постоянную решетки d каменной соли,
зная молярную массу р =0,058 кг/моль каменной соли и ее
плотность р=2,2-10’ кг/м?. Кристаллы каменной соли обла-
дают простой кубической структурой.
20.27	. При экспериментальном определении постоянной
Планка h при помощи рентгеновских лучей кристалл уста-
навливается под некоторым углом ф, а разность потенциа-
лов U, приложенная к электродам, рентгеновской трубки,
увеличивается до тех пор, пока не появится .линия, соответ-
238
ствующая этому углу. Найти постоянную Планка h из сле-
дующих данных: кристалл каменной соли установлен под
углом <р=14°; разность потенциалов, при которой впервые
появилась линия, соответствующая этому углу, {/=9,1 кВ;
постоянная решетки кристалла d=281 пм.
20.28	. К электродам рентгеновской трубки приложена
разность потенциалов 1/=60 кВ. Наименьшая длина волны
рентгеновских лучей, получаемых от этой трубки, 1=
=20,6 пм. Найти из этих данных постоянную h Планка.
20.29	. Найти длину волны л, определяющую коротко- -
волновую границу непрерывного рентгеновского спектра,
для случаев, когда к рентгеновской трубке приложена раз-
ность потенциалов U, равная: 30, 40 , 50 кВ.
20.30	. Найти длину волны X, определяющую коротко-
волновую. границу непрерывного рентгеновского спектра,
если известно, что уменьшение приложенного к рентгенов-
ской трубке напряжения на>Д{/=23 кВ увеличивает иско-
мую длину волны в 2 раза’ "
20.31	. Длина волны гамма-излучения радия 1=1,6 пм.
Какую разность потенциалов U надо приложить к рентге-
новской трубке, чтобы получить рентгеновские лучи с этой
длиной волны?
20.32	. Какую наименьшую разность потенциалов •(/ надо
приложить к рентгеновской трубке, чтобы получить все
линии /(-серии, если в качестве материала антикатода взять:
а) медь; б) серебро; в) вольфрам; г) платину?
20.33	. Считая, что формула Мозли с достаточной сте-
пенью точности дает связь между длиной волны Л характе-
ристических рентгеновских лучей и порядковым номером
элемента Z, из которого сделан антикатод, найти, наиболь-
шую длину волны К лиций К-серии рентгеновских лучей,
даваемых трубкой с антикатодом из: а) железа; б) ме-
ди; в) молибдена; г) серебра; д) тантала; е) вольфрама;
ж) платины. Для К-серии постоянная экранирования
Ь=\.
20.34	. Найти постоянную экранирования b для L-серии
рентгеновских лучей, если известно, что при переходе элек-
трона в атоме вольфрама с М- на L-слой испускаются рент-
геновские лучи с длиной волны 1=143 пм.
20.35	. При переходе электрона в атоме с L- на /(-слой
испускаются рентгеновские лучи с длиной волны 1=
=78,8 пм. Какой это атом? Для /(-серии постоянная экра-
нирования Ь=1.
20.36	. Воздух в некотором объеме V облучается рент-
геновскими лучами. Экспозиционная доза излучения
239
Z>8=4,5 Р. Какая доля атомов, находящихся в данном объ-
еме, будет ионизована этим излучением?
20.37	. Рентгеновская трубка создает на некотором рас-
стоянии мощность экспозиционной дозы Рэ=2,58-10“5 А/кг.
Какое число N пар ионов в единицу времени создает эта
трубка на единицу массы воздуха при данном расстоянии?
20.38	. Воздух, находящийся* при нормальных условиях
в ионизационной камере объемом У=6 см3, облучается рент-
геновскими лучами. Мощность экепозиционной дозы рент-
геновских лучей Рэ=0,48 мР/ч. Найти ионизационный ток
насыщения /н.
20.39	. Найти для алюминия толщину х1/2 слоя половин-
ного,ослабления для рентгеновских лучей некоторой длины
волны. Массовый коэффициент поглощения алюминия для
этой длины волны рм=5,3м!/кг.
20.40	. Во сколько раз уменьшится интенсивность рент-
геновских лучей с длиной волны Л=20 пм при прохождении
слоя железа толщиной d=0,15 мм? Массовый коэффициент
поглощения железа для этой длины волны рм=1,1 м!/кг.
20.41	. Найти толщину слоя х1/2 половинного ослабления
для железа в условиях предыдущей задачи.
20.42	. В нижеследующей таблице приведены для неко-
торых материалов значения толщины слоя х1/2 половин-
ного ослабления рентгеновских лучей, энергия которых
W=1 МэВ. Найти линейный ц и массовый рм коэффи-
циенты поглощения этих материалов для данной энергии
рентгеновских лучей. Для какой длины волны % рентгенов-
ских лучей получены эти данные?
Вещество	Вода	Алюминий	Железо	Свинец
х1/а, см	10,2	4,5	1,56	0,87
20.43	. Сколько слоев половинного ослабления необхо-
димо для уменьшения интенсивности рентгеновских лучей
в 80 раз?	\
§ 21.	Радиоактивность
Число атомов радиоактивного вещества dN, распадающихся за время
dt, пропорционально числу имеющихся атомов и определяется соот-
ношением
dN ...
240
где X — постоянная радиоактивного распада. Интегрируя, получим
N = Noe~Kt,
где No — число атомов в момент времени f=0, У — число их по исте-
чении времени t.
Число распадов, происходящих в препарате за единицу времени,
называется активностью радиоактивного препарата (1 Бк—1 расп/с):
r_ , dW ,
а [Бк] =	—X-V.
dr
Период полураспада 7\у2 и постоянная распада Л связаны соот-
ношением
In 2 0,693
'i/s- х ~ Л '
Величина т=1/Л, обратная постоянной распада, называется средним
временем жизни радиоактивного атома.
Если радиоактивный изотоп А помещен в закрытый сосуд и при
распаде его образуется радиоактивный изотоп В, то в этбм сосуде по
истечении времени i число ядер изотопа В определяется по формуле
,, ЯГ ^А ( — А,Г
Ад—ЛЛ
Здесь — число ядер изотопа А при /=0, Хл и — постоянные
распада изотопов А и В. Если период полураспада изотопа А значи-
тельно больше периода полураспада изотопа В, то
Лв
При радиоактивном равновесии
N a/Nв—^в/^а-
Удельная активность радиоактивного изотопа определяется чис-
лом актов распада в единицу времени на единицу массы распадаю-
щегося вещества.
21.1	Сколько атомов полония распадается за время
А/= 1 сут из 7V=10e атомов?
21.2.	Сколько атомов радона распадается за время Д£=
= 1 сут из N—10’ атомов?
21.3.	Найти активность а массы т=1 г радия.
21.4.	Найти массу т радона, активность которого а—
=3,7-101® Бк.
.Ml
21.5.	Найти массу т полония 2$Ро, активность которого
' а=3,7-1010 Бк.
21.6.	Найти постоянную распада X радона, если извест-
но, что число атомов радона уменьшается за время t— 1 сут
на 18,2%.	'
21.7.	Найти удельную активность ат: а) урана 2J|U;
б) радона 2||Rn.
21.8.	Ионизационные счетчики Гейгера — Мюллера
имеют и в отсутствие радиоактивного препарата определен-
ный «фон». Присутствие фона может быть вызвано космиче-
ским излучением или радиоактивными загрязнениями. Ка-
кой массе радона т соответствует фон, дающий 1 отброс
счетчика за время /=5 с?
21.9-	. При помощи ионизационного счетчика исследует-
ся активность некоторого радиоактивного изотопа. В на-
чальный момент времени счетчик дает 75 отбросов за время
/=10 с. Какое число отбросов за время 1=10 с дает счетчик
по истечении времени	Считать 7\/2^>10 с.
21.10.	Некоторый радиоактивный изотоп имеет постоян-
ную распадаZ=4-10~7 с-1. Через какое время t распадется
75% первоначальной массы .т атомов?
21.11.	Природный уран представляет собой смесь трех
изотопов: 2f*U, 2s|U, 21|U. Содержание ничтожно
(0,006%), на долю приходится 0,71%, а остальную
массу (99,28%) составляет 2f|U. Периоды полураспада
Ti/a этих изотопов соответственно равны 2,5-10? лет, 7,1 X
Х108 лет и 4,5-109 лет. Найти процентную долю радиоак-
тивности, вносимую каждым изотопом в общую радиоактив-
ность природного урана.
21.12.	Кинетическая энергия а-частицы, вылетающей
из ядра атома радия при радиоактивном распаде,
=4,78 МэВ. Найти скорость и а-частицы и полную энергию
W, выделяющуюся при вылете а-частицы.
21.13.	Какое количество теплоты Q выделяется при рас-
паде радона активностью а=3,7-1010 Бк: а) за время t—
= 1 ч; б) за среднее время жизни т? Кинетическая энергия
вылетающей из радона а-частицы 1Г=5,5МэВ.
21.14.	Масса т—\ г урана 222U в равновесии с продук-
тами его распада выделяет мощность Р=1,07- 10-г Вт.
Найти молярную теплоту <?ц, выделяемую ураном за сред-
нее время жизни т атомов урана.
21.15.	Найти активность а радона, образовавшегося из
массы /п=1 г радия за время 1=1 ч.	i
21.16.	В результате распада массы ««=1 г радия за
время 1=1 год образовалась некоторая масса гелия, зани-
242
мающего при нормальных условиях объем V=43 мм*. Най-
ти из этих данных постоянную Авогадро NA.
21.17.	В ампулу помещен препарат, содержащий массу
/По=1,5'г радия.. Какая масса т радона накопится в этой
ампуле по истечении времени./=71/2/2, где Т1/2 — период
полураспада радона?
21.18.	Некоторое число атомов радия помещено в замк-
нутый сосуд. Через какое Время t число атомов радона N
в этом сосуде будет отличаться на 10% от того числа атомов
радона N', которое соответствует радиоактивному равно-
весию радия с радоном в этом сосуде? Построить кривую
зависимости изменения N/N’ в сосуде от времени t в интер-
вале О^^бЛ/г, принимая за единицу времени период
полураспада радона Т1/2.
21.19.	Некоторое число атомов радона N' помещено в
замкнутый сосуд. Построить кривую зависимости измене-
ния числа атомов радона N/N' в сосуде от времени в интер-
вале 0=С^С20 сут через каждые 2 сут. Постоянная распада
радона 1=0,181 сут-1. Из кривой "NlN'*=f(t) найти
период полураспада Т1/2 радона.
21.20.	В нижеследующей таблице приведены результаты
измерения зависимости активности а некоторого радиоак-
тивного элемента от времени t. Найти период полураспада
71/2 элемента.
/, Я	0	3	6	9	12	15
а, 3,7-10’ Бк	21,6	12,6	7,6	4,2	2,4	1,8
21.21.	В ампулу помещен радой, активность которого
ао=14,8-10’ Бк. Через какое время t после наполнения ам-
пулы активность радона будет равна а=2,22-10’Бк?
21.22.	Свинец, содержащийся в урановой руде, является
конечным продуктом распада уранового ряда, поэтому из
отношения массы урана в руде к массе свинца в ней можно
определить возраст руды. Найти возраст t урановой руды,
если известно, что на массу /Пу„=1 кг урана 2||U в этой
руде приходится масса тсв=320 г свинца ?8fPb.
21.23.	Зная периоды полураспада 71/2 радия и урана,
найти число атомов урана, приходящееся на один атом ра-
дия в природной урановой руде. Указание. Учесть,
что радиоактивность природного урана обусловлена в ос-
новном изотопом a^U.
М3
21.24.	Из какой наименьшей массы т руды, содержа-
щей 42% чистого урана, можно получить массу /п0=1 г
радия?
21.25.	а-частицы из изотопа радия вылетают со ско-
ростью п=1,5- 10т м/с и ударяются о флуоресцирующий эк-
ран. Считая, что экран потребляет на единицу силы света
мощность Р/=0,25 Вт/кд, найти силу света / экрана, если
на него падают все а-частицы, испускаемые массой т=
= 1 мкг радия.
21.26.	Какая доля первоначальной массы радиоактив-
ного изотопа распадается за время жизни этого изотопа?
21.27.	Найти активность а массы /п=1 мкг полония
2JSPo.
21.28.	Найти удельную активность ат искусственно по-
лученного радиоактивного изотопа стронция ^Sr.
21.29.	К массе /п^Юмг радиоактивного изотопа *оСа
добавлена масса /п2=30 мг нерадиоактивного изотопа “Са.
На сколько уменьшилась удельная активность ат радиоак-
тивного источника?
21.30.	Какую массу т2 радиоактивного изотопа 2J2Bi
надо добавить к массе мг нерадиоактивного изотопа
2°§Bi, чтобы через время /=10сут после этого отношение
числа распавшихся атомов к числу нераспавшихся было
равно 50%? Постоянная распада изотопа 2^Bi равна Х=?
=0,14 сут-1.
21.31.	Какой изотоп образуется из 2jJJTh после четырех
а-распадов и двух 0-распадов?
21.32.	Какой изотоп образуется из 2J2U после трех а-рас-
падов и двух 0-распадов?
,21.33. Какой изотоп образуется из 22?U после двух 0-рас-
падов и одного а-распада?
21.34.	Какой изотоп образуется из *Li после одного 0-
распада и одного а-распада?
21.35.	Какой изотоп образуется из 12?Sb после четырех
0-распадов?
21.36.	Кинетическая энергия а-частицы, вылетающей
из ядра атома полония 2$Ро при радиоактивном распаде,
1ГК=7,68 МэВ. Найти: а) скорость v а-частицы; б) полную
энергию W, выделяющуюся при вылете а-частицы; в) число
пар ионов N, образуемых а-частицей, принимая, что на об-
разование одной пары ионов в воздухе требуется энергия
Го==34 эВ; г) ток насыщения /„ в ионизационной камере
от всех а-частиц, испускаемых Полонием. Активность по-
лония а =3,7-104 Бк.
244
§ 22.	Ядерные реакции
Энергия связи ядра любого изотопа определяется соотношением
W = с2 Дт,
где Дт — разность между массой частиц, составляющих ядро, и мас-
сой самого ядра. Очевидно,
Дт = 7тр+(А—7) тп—тя,	(1)
где 7. — порядковый номер изотопа, А — массовое число, тр — масса
протона, тп — масса нейтрона, тя — масса ядра изотопа. Так как
тя=тА—7 т е, где тА— масса изотопа и те — масса электрона, то
=	4-(Л— Z) тп —тА.	(2)
Здесь т.— масса изотопа водорода }Н, тА — масса данного изотопа.
iH
Изменение энергии при ядерной реакции
Q = ca(2mi—2ma)>	(3)
где 2 mi—сумма масс частиц до реакции, 2 mt—сумма масс частиц
после реакции. Если 2mi > 2 то реакция идет с выделением
энергии, если же 2 mi < S m2>T0 реакция идет с поглощением энер-
гии. Отметим, что в формулу (3),'так же как и при вычислении энер-
гии связи ядра, мы мфкем'подставлять массу изотопов, а не ядер, так
как поправки на массу электронов оболочки входят с разными зна-
ками и поэтому исключаются.
22.1.	Найти число протонов и нейтронов, входящих в со-
став ядер трех изотопов магния: a) ’‘Mg; б) ^Mg; в) ^Mg.
22.2.	Найти энергию связи W ядра изотопа лития JLi.
22.3. Найти энергию связи W ядра атома гелия 4Не.
. 22.4. Найти энергию связи W ядра атома алюминия
ЦА1.
22.5.	Найти энергию связи W ядер: а) ?Н; б) ’Не. Ка-
кое из этих ядер более устойчиво?
22.6.	Найти энергию связи Wa, приходящуюся на один
нуклон в ядре атома кислорода 1’0.
22.7.	Найти энергию связи W ядра дейтерия 1Н.
22.8.	Найти энергию связи Wo, приходящуюся на-один
нуклон в ядрах: a) JLi; б) X*N; в) JJA1; г) $Са; д) $Cu; е) ’«Cd;
ж) ’JJHg; з)Построить зависимость We=f(A), где
А — массовое число.
22.9.	Найти энергию Q, выделяющуюся при реакции
’Li-НН->4аНе-ННе.
245
22.10.	Найти энергию Q, поглощенную при реакции
“N*Не —}Н 4-"О.
22.11.	Найти энергию Q, выделяющуюся при реакциях
- а) ?Н + ?Н — 1Н + ?Н; б) ?Н + ?Н — IHe-J-Jn.
22.12.	Цайти энергию Q, выделяющуюся при реакциях:
а) ?Н + 1Не-+ }Н + ‘Не; б) |Li 4- ?Н ->‘He+£He;
в) «Li + JH — ’Не + 'Не.
22.13.	Какую массу М воды можно нагреть от О °C до
кипения, если использовать все тепло, выделяющееся при
реакции »Li (р, а), при полном разложении массы т—1 г
лития?
22.14.	Написать недостающие обозначения в реакциях:
a)	(п, а) х; б) l9F (р, х) JCO;
в)	|65Мп (х, п) ||Fe; г) ?JA1 (а, р) х;
д)	,4N(n, х)|4С; е) х(р, a)^Na.
22.15.	Найти энергию Q, выделяющуюся при реакции
^Li + ’H^’Be + Jn.
22.16.	Найти энергию Q, выделяющуюся при реакцйи
»Ве + ?Н —ГВ + 'оП.
22.17.	При бомбардировке изотопа азота 14N нейтро-
нами получается изотоп углерода “С, который оказывается
(3-радиоактивным. Написать уравнения обеих реакций.
22.18.	При бомбардировке изотопа алюминия ”А1 «-час-
тицами получается радиоактивный изотоп фосфора 15Р,
который затем распадается с выделением позитрона. Напи-
сать уравнения обеих реакций. Найти удельную активность
ат изотопа I5P, если его период полураспада T'i/2 = 130c.
22.19.	При бомбардировке изотопа nNa дейтонами об-
разуется (3-радиоактивный изотоп nNa. Счетчик р-частиц
установлен вблизи препарата, содержащего радиоактивный
^Na. При первом измерении счетчик дал 170 отбросов за
• 1 мин, а через сутки — 56 отбросов за 1 мин. Написать
уравнения обеих реакций. Найти, период полураспада 7\/2
изотопа ?‘Na.
22.20.	. Какая энергия Qi выделится, если при реакции
igAl-f-aHe—> nSi + JH
подвергаются превращению все ядра, находящиеся в массе
/п=1 г алюминия? Какую энергию Q2 надо затратить, чтобы
24в
осуществить это превращение, если известно, что при бом-
бардировке ядра алюминия а-частицами с энергией W=
=8 МэВ только одна а-частица из п=2-10в частиц вызы-
вает превращение?
22.21.	При бомбардировке изотопа лития 3L1 дейтонами
(ядрами дейтерия JH) образуются две а-частицы. При этом
выделяется энергия ф=22,ЗМэВ. Зная массы дейтона d
и а-частицы, найти массу т изотопа лития |1л.
22.22.	Источником энергии солнечного излучения яв-
ляется энергия образования гелия из водорода по следую-
щей. циклической реакции:
ГС + JH —FN — “С + А*, ГС + }Н - ?*N,
,I4N + ]Н “О «N + °1<?, «N + ГС + ‘Не.
Какая масса mt водорода в единицу времени должна превра-
щаться в гелий? Солнечная постоянная /(=1,37 кВт/м2.
Принимая, что масса водорода составляет 35% массы Солн-
ца, подсчитать, на какое время t хватит запаса водорода,
если излучение Солнца считать постоянным.
22.23.	Реакция разложения дейтона у-лучами:
+ — 1H + Jn.
Найти массу т нейтрона, если известно, что энергия у-кван-
тов =2,66 МэВ, а энергия вылетающих протонов, изме-
ренная по производимой ими ионизации, оказалась равной
Ц7а=0,22МэВ. Энергию нейтрона считать равной энергии
протона. Массы дейтона и протона считать известными.
22.24.	Написать недостающие обозначения в реакциях:
а) ПА1 (у, х) i’Mg; б) 2£А1 (у, п) х;
в) f.8Cu(y, x)2|Cu; г) x(y^n)‘4slW.
22.25.	Выход реакции образования радиоактивных изо-
топов можно охарактеризовать либо числом kr — отношени-
ем числа происшедших актов ядерного превращения к чис-
лу бомбардирующих частиц, либо числом кг [Бк] — отно-
шением активности полученного продукта к числу частиц,
бомбардирующих мишень. Как связаны между собой вели-
чины ki и &2?
22.26.	При бомбардировке JLi протонами образуется
радиоактивный изотоп бериллия 4Ве с периодом полурас-
пада 7'1/2=4,67- 10е'с. Найти выход реакции kt (см. условие
22.25), если известно, что бомбардирующие протоны общим
зарядом q=l мкА-ч вызывают активность полученного
препарата а=6,51 • 10е Бк.
247
22.27.	В результате ядериой реакции ”Fe (р, п) обра-
зуется радиоактивный изотоп кобальта 2|Со с периодом по-
лураспада 7\/2=80сут. Найти выход реакции kt (см.
условие 22.25), если известно, что бомбардирующие прото-
ны общим зарядом </=20 мкА- ч вызывают активность полу-
ченного препарата а=5,2-10’ Бк.
22.28.	Источником нейтронов является трубка, содер-
жащая порошок бериллия “Be и газообразный радон. При
реакции а-частиц радона с бериллием возникают нейтроны.
Написать реакцию получения нейтронов. Найти массу т
радона, введенного в источник при его изготовлении, если
известно, что этот источник дает через время /=5 сут после
его изготовления число нейтронов в единицу времени аг—
= 1,2-10’ с-1. Выход реакции ^1=1/4000, т. е. только одна
а-частица из м=4000 вызывает реакцию.
22.29.	Источником нейтронов является трубка, описан-
ная в задаче 22.28. Какое число нейтронов а2 в единицу вре-
мени создают а-частицы, излучаемые радоном с активностью
а!=3,7-1010 Бк, попадая на порошок бериллия? Выход реак-
ции й1=1/4000.
22.30.	Реакция образования радиоактивного изотопа
углерода ’JC имеет вид ^В (d, п), где d — дейтон (ядро дей-
терия ?Н). Период полураспада изотопа “С 7\/2=20мии.
К.акая энергия Q выделяется при этой реакции? Найти вы-
ход реакции k2, если /г1=10~в (см. условие 22.25).
22.31.	В реакции ’’bl (а, р) кинетическая энергия а-ча-
стицы И71=7,7 МэВ. Под каким углом ф к направлению
движения а-частицы вылетает протон, если известно, что
его кинетическая энергия Ц72=8,5МэВ?
22.32.	При бомбардировке изотопа лития ’Li дейтонами
образуются две а-частицы, разлетающиеся симметрично
под углом ф к направлению скорости бомбардирующих
дейтонов. Какую кинетическую энергию W2 имеют обра-
зующиеся а-частицы, если известно, что энергия бомбарди-
рующих дейтонов Ц71=0,2МэВ? Найти угол ф.
22.33.	Изотоп гелия 2Не получается бомбардировкой
ядер трития ’Н протонами. Написать уравнение реакции.
Какая энергия Q выделяется при этой реакции? Найти по-
рог реакции, т. е. минимальную кинетическую энергию бом-
бардирующей частицы, при которой происходит эта реак-
ция. Указа н и е.« Учесть, что при пороговом значении
кинетической энергии бомбардирующей частицы относи-
тельная скорость частиц, возникающих в результате реак-
ции, равна, нулю.
22.34.	Найти порог W ядерной реакции lJN (а, р).
24Q
22.35.	Найти порог W ядерной реакции JL1 (р, п).
22.36.	Искусственный изотоп азота *’N получается бом-
бардировкой ядер углерода ЧС дейтонами. Написать урав-
нение реакции. Найти количество теплоты Q, поглощенное
при этой реакции, и порог W этой реакции. Какова суммар-
ная кинетическая энергия W продуктов этой реакции при
пороговом значении кинетической энергии дейтонов? Ядра
углерода считать неподвижными.
22.37.	Реакция ’“В (п, а) идет при бомбардировке бора
нейтронами, скорость которых очень мала (тепловые ней-
троны). Какая энергия Q выделяется при этой реакции?
Пренебрегая скоростями нейтронов, найти скорость v и
кинетическую энергию W а-частицы. Ядра бора считать
неподвижными.
22.38.	При бомбардировке изотопа лития ?Li протонами
образуются две а-частицы. Энергия каждой а-частицы
в.момент их образования Ц72=9,15МэВ. Какова энергия
Wi. бомбардирующих протонов?
22.39.	Найти наименьшую энергию у-кванта, достаточ-
ную для осуществления реакции разложения дейтона у-лу-
чами
Ш + ^-НН-Нп.
22.40.	Найтн наименьшую энергию у-кванта, достаточ-
ную для осуществления реакции i2Mg(y, п).
22.41.	Какую энергию W (в киловатт-часах) можно по-
лучить от деления массы т= 1 г урана 22|U, если при каж-
дом акте распада выделяется энергия ф=200МэВ?
22.42.	Какая масса т урана 2g|U расходуется за время
/=1 . сут на атомной электростанции мощностью Р=
==5000 кВт? К.п.д. принять равным 17%. Считать, что
при каждом акте распада выделяется энергия Q=200 МэВ.
22.43.	При взрыве водородной бомбы протекает термо-
ядерная реакция образования гелия из дейтерия и трития.
Написать уравнение реакции. Найти энергию Q, выделяю-
щуюся при этой реакции. Какую энергию W можно полу-
чить при образовании массы т—1 г гелия?
§ 23. Элементарные частицы. Ускорители частиц
Решение задач этого параграфа основано на закономерностях, уже
рассмотренных в предыдущих разделах «Сборника»: столкновение
частиц, движение частиц в электрическом и магнитном полях и т. д.
При решении ряда задач необходимо использовать формулы теорий
относительности.
249
23.1.	В ядерной физике принято число заряженных час-
тиц, бомбардирующих мишень, характеризовать их общим
зарядом, выраженным в микроампер^часах (мкА-ч). Какому
числу заряженных частиц соответствует общий заряд q—
— 1 мкА-ч? Задачу решить для: а) электронов; б) а-частиц.
23.2.	При упругом центральном столкновении нейтрона
0 неподвижным ядром замедляющего вещества кинетическая
энергия нейтрона уменьшилась в 1,4 раза. Найти массу т
ядер замедляющего вещества.'
23.3.	Какую часть первоначальной скорости будет со-
ставлять скорость нейтрона после упругого центрального
столкновения с неподвижным ядром изотопа fJNa?
23.4.	Для получения медленных нейтронов их пропу-
скают через вещества, содержащие водород (например, па-
рафин). Какую наибольшую часть своей кинетической энер-
гии нейтрон массой /п0 может передать: а) протону (масса
т0), б) ядру атома свинца (масса 207 /п0)? Наибольшая
часть передаваемой энергии соответствует упругому цент-
ральному столкновению.
23.5.	Найти в предыдущей задаче распределение энер-
гии между нейтроном и протоном, если столкновение неупру-
гое. Нейтрон при каждом столкновении отклоняется в сред-
нем на угол ф=45°.
23.6.	Нейтрон, обладающий энергией И70=4,6 МэВ, в
результате столкновений с протонами замедляется. Сколько
столкновений он должен испытать, чтобы его энергия
уменьшилась до 1^=0,23 эВ? Нейтрон отклоняется при
каждом столкновении в среднем на угол <р=45?.
23.7.	Поток заряженных частиц влетает в однородное
магнитное поле с индукцией В=3 Тл. Скорость частиц v—
= 1,52-10’ м/с и направлена перпендикулярно к направле-
нию поля. Найти заряд q каждой частицы, если известно,
что на нее действует сила F=l,46-10-11 Н.
23.8.	Заряженная частица влетает в однородное магнит?
ное поле с индукцией В=0,5 Тл и движется по окружности
радиусом /?=10 см. Скорость частицы и=2,4- 10е м/с. Най-
ти для этой-частицы отношение ее заряда к массе.
23.9.	Электрон ускорен разностью потенциалов (/=
= 180 кВ. Учитывая поправки теории относительности, най-
ти для этого электрона массу т, скорость v, кинетическую
энергию W и отношение его заряда к массе. Какова ско-
рость v' этого электрона без учета релятивистской по-
правки?
23.10.	Мезон космических лучей имеет энергию И7=
=3 ГэВ. Энергия покоя мезона Ц7о=1ОО МэВ. Какое рас-
250
стояние I в атмосфере сможет пройти мезон за время его
жизни т по лабораторным часам? Собственное время жизни
мезоиа т0=2 мкс.
23.11.	Мезои космических лучей имеет кинетическую
энергию	где /п0 — масса покоя мезона. Во сколь-
ко раз собственное время жизни т0 мезона меньше времени
его жизни т по лабораторным часам?
23.12.	Позитрон и электрон соединяются, образуя два
фотона. Найти энергию hv каждого из фотонов, считая, что
начальная энергия частиц ничтожно мала. Какова длина
волны X этих фотонов?
23.13.	Электрон и позитрон образуются фотоном с энер-
гией /iv=2,62 МэВ. Какова была в момент возникновения
полная кинетическая энергия	позитрона и элек-
трона?
23.14.	Электрон и позитрон, образованные фотоном
с энергией /iv=5,7MaB, дают в камере Вильсона, поме-
щенной в магнитное поле, траектории с радиусом кривизны
R—3 см. Найти магнитную индукцию В поля.
23.15.	Неподвижный нейтральный л-мезон, распадаясь,
превращается в два фотона. Найти энергию hv каждого
фотона. Масса покоя л-мезона т0(л)=264,2т0, где т0 —
масса покоя электрона.
23.16.	Нейтрон и антинейтрон соединяются, образуя
два фотона. Найти энергию hv каждого из фотонов, считая,
что начальная энергия частиц ничтожно мала.
23.17.	Неподвижный №-мезон распадается на два заря-
женных л-мезона. Масса покоя 7(0-мезона mo(№)=965mo,
где /п0 — масса покоя электрона; масса каждого л-мезона
/п(л) = 1,77т0(л), где т0(л)—его масса покоя. Найти массу
покоя т0(л) л-мезонов и их скорость v в момент образования.
23.18.	Вывести формулу, связывающую магнитную ин-
дукцию В поля циклотрона и частоту v приложенной к ду-
антам разности потенциалов. Найти частоту приложенной
к дуантам разности потенциалов для дейтонов, протонов и
а-частиц. Магнитная индукция поля 73=1,26 Тл.
23.19.	Вывести формулу, связывающую энергию W
вылетающих из циклотрона частиц и максимальный радиус
кривизны R траектории частиц. Найти энергию W вылетаю-
щих из циклотрона дейтонов, протонов и а-частиц, если
максимальный радиус кривизны 7?=48,3 см; частота прило-
женной к дуантам разности потенциалов у=12МГц.
23.20.	Максимальный радиус кривизны траектории час-
тиц в циклотроне 7?~35 см; частота приложенной к дуан-
там разности потенциалов г=13,8МГц. Найти магнитную
251
индукцию В поля, необходимого для синхронной работы
циклотрона, и максимальную энергию.U7 вылетающих про-
тонов.
23.21.	Решить предыдущую задачу для: а) дейтонов,
б) а-частиц.
23.22.	Ионный ток в циклотроне при работе с «-части-
цами /=15 мкА. Во сколько раз такой циклотрон продук-
тивнее массы /и=1 г радия?
23.23.	Максимальный радиус кривизны траектории час-
тиц в циклотроне Я =50 см; магнитная индукция поля В=
= 1 Тл. Какую постоянную разность потенциалов U долж-
ны пройти протоны, чтобы получить такое же ускорение,
как в данном циклотроне?
23.24.	Циклотрон дает дейтоны с энергией W=1 МэВ.
Магнитная индукция поля циклотрона В=1,5Тл. Найти
максимальный радиус кривизны R траектории дейтона.
23.25.	Между дуантами циклотрона радиусом У? =50 см
приложена переменная разность потенциалов U=75 кВ
с частотой у=10МГц. Найти магнитную индукцию В поля
циклотрона, скорость v и энергию W вылетающих из цик-
лотрона частиц. Какое число оборотов п делает заряженная
частица до своего вылета из циклотрона? Задачу решить
для дейтонов, протонов и а-частиц.
23.26.	До какой энергии W можно ускорить а-частицы
в циклотроне, если относительное увеличение массы час-
тицы k=(m—т0)/т0 не должно превышать 5%?
23.27.	Энергия дейтонов, ускоренных синхротроном,
U7=200 МэВ. Найти для этих дейтонов отношение т/т0
(где т — масса движущегося дейтона и т0 — его масса
покоя) и скорость V.
23.28.	В фазотроне увеличение массы частицы при воз-
растании ее скорости компенсируется увеличением периода
ускоряющего поля. Частота разности потенциалов, подавае-
мой на дуанты фазотрона, менялась для каждого ускоряю-
щего цикла от v0=25 МГц до v=18,9 МГц. Найти маг-
нитную индукцию В поля фазотрона и кинетическую
энергию W вылетающих протонов.
23.29.	Протоны ускоряются в фазотроне до энергии W—
=660 МэВ, а-частицы — до энергии 1^=840МэВ. Для
того чтобы скомпенсировать увеличение массы, изменялся
период ускоряющего поля фазотрона. Во сколько раз необ-
ходимо было изменить период ускоряющего поля фазотрона
(для каждого ускоряющего цикла) при работе: а) с прото-
нами; б) с а-частицами?
ОТ В ЕТ Ы И РЕШЕНИЯ
Глава I
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
§ 1.	Кинематика
1.1.	Средняя скорость движения автомобиля v — lft, где 1 =
+ /a = f1/i+f2/3. По условию /1 = /2 = //2. Таким образом,
Г=^+^=£ф2=60км/ч.
1.2.	v=l]t, где / = /1 + /2 = /1/о1 + /2/о3. По условию /т = /3 = 7/2.
Таким образом,
- I	2oio, „
С = 77о-г-7775—= т-2- — 53,3 КМ/Ч.
//2слЛ-j-Z/2v3 ci-Н'3	.
1.3.	v— 12,3 км/ч; и =0,83 м/с.
1.4.	а) о = 3 м/с; б) о=1м/с; в) о = 2,24 м/с.
1.5.	а) Самолет должен держать курс на юго-запад под углом
а = 3°52' к меридиану, скорость о = 798 км/ч; б) курс на северо-за-
пад, а = 3°52', о=798 км/ч; в) курс на за-
пад, о=746 км/ч; г) курс на восток, v = 1
=854 км/ч.	ч
1.6.	а) / = 30мин; б) / = 30,2 мин; в)
/=26,8 мин.	/ X. \
1.7.	и=0,60 м/с; / = 250 с.	< х,---------Хч>-
1.8.	о# =14,7 м/с; h= 11 м.	X.
1.9.	/ = 2,9 с; Л = 4Ло = 4О м.	ХУ
1.10.	а) / = 8,4с;б)/ = 7,3с; в)/=7,8с.	\
« 1.11. Характер зависимости высоты h
и скорости о тела от времени / изображен Рис‘
на рис. 68.
1.12.	За первую 0,1 с своего движения тело пройдет путь Aj =
— gtl/2 = 0,049. Весь путь тело пройдет за время /=У2Л/£=2с.
За последнюю 0,1с своего движения тело пройдет путь h3—h—Л3,
где /ц—путь, пройденный телом за время /3 = (2—О,1)с=1,9с. Так
как A3 = g/|/2 = 17,7 м, то путь ft8=(19,6—17,7)м=1,9м.
1.13.	Первый 1 м своего пути тело пройдет за время /1=У’ 2hi)g=
= 0,45 с. Общее время падения / = y"2/i/g = 2c. Последний 1 м своего
пути тело пройдет за время /» = / — /3, где /3—время прохождения
253
пути Л3 = (19,6—1)м = 18,6 м. Так как t2 = V"2ft2/g = 1,95с, то время
/8=(2— 1,95)с = 0,05с.
1.14.	й = 57м; / = 3,4с.
1.15.	Тело 1 прошло путь Лх = о0/—тело 2 прошло путь
/i3=g/2/2. Расстояние между телами l — h — (Й1+Л2). Так как hi -f-
-4-Л2 = цЛ то l = h—vot. Тела встретятся при Г=0, т. е. в момент
времени t = hlv0.
1.16.	а = 0,13м/с2; / = 3,6мин.
1.17.	При равнопеременном движении имеют место уравнения
движения	•
s = oo/4-n/2/2,	(Г)
v — VD-j-at.	(2)
По условию о = 0. Поэтому из (2) имеем
п = —- utj/t — — 0,5 м/с2.	(3)
Подставляя (3) в (1), найдем s = o0//2.= 100 м.
1.18.	а = —0,055 м/с2; s = 566m.
1.19.	/ = 30с; s = 225m.
1.20.	/=(о20 —vio)/(«i+ae). Так как время t > 0, то для реше-
ния задачи необходимо, чтобы v20 > Ищ.
1.21.	a = (vao—Vje)//= 1 м/с2.
1.22.	а) о = (2—6/4-12/2)м/с, а — (—6+24/)м/с2; б) а=24м,
v=38 м/с, а = 42м/с2. Характер зависимости пути s, скорости v и
ускорения а тела от времени t изображен на рнс. 69.
1.23.	о = 7 м/с; а = 4м/с2. Характер зависимости пути s, скоро-
сти v и ускорения а тела от времени t изображен на рис. 70.
1.24.	oi=3m/c, с3 = 5м/с, vs = 7 м/с; а1 = а2 = а3 = 2м/с2.
1.25.	/= 12 с; а=0,64 м/с2.
1.26.	Перемещение камня можно разложить на два: горизонталь-
ное sx и вертикальное *s? (рнс. 71). Применяя закон независимости
254
движений, имеем Sj,=ft«g/3/2, sx — l=vxt, где t—время движения.
Отсюда / = V2ft/g=2,26с; 1 = ож/=33,9м;. о=уГйх4-у| = 26,7 м/с,
где Vj,=g/=22,lM/c; sing>=Vj,/v=0,827 и ф = 55°48'.
1.27.	А=1,22м; i\=10m/c; v= 11,1 м/с; <р=26°12'.
1.28.	и*» 11,1 м/с; <р = 68°12'.
1.29.	кх = 4,4м/с.
1.30.	Так как горизонтальная составляющая скорости камня
постоянна, то горизонтальная составляющая ускорения равна нулю.
Поэтому полное ускорение камня а все время направлено верти-
кально вниз и равно ускорению свободного падения g: a=g —
ж Vа^+ап. Из рис. 72 имеем
COS q~
vx___ап___ап
v~~ a g’
sin <р =
!»==^_=^т
v a g
отсюда
gvx
v,
an = g-^
8,2 м/с2, ax = g	 -=5,4 м/с3.
. . V NW2
1.31.	7?=-305m.
1.32.	Найдем высоту h,
co скоростью v0 под углом
горизонту. Имеем (рис. 73)
1^ = 00 sin а—gt,
ss=(vosina) i—g/2/2.
В верхней точке vy=0, и из‘(1)
получим t>aslna=g/i; отсюда
время подъема мяча ti— (vt sin a)/g.
h=sy = (v2 sin? a) (2g=2,1 m.
на которую поднимется мяч, брошенный
а к
(1)
(2)
- Рис. 73.
Подставляя ti в (2), получим
ДО
Найдем дальность полета I мяча. Имеем (рис. 73)
Vx = V0COSa,
sx=vxt = (Vo cos a) t.
(3)
(4)
Мяч упадет на землю через время ta = 2t± = 2 (v0 sin a)/g. Подстав-
ляя t2 в (4), получим l = sx = (vosin 2a)!g = 10,0м.
Время полета мяча t2 = 2ti—2 (vosin a)/g = 1,3c.
1.33.	Так как I — sx = (v? sin 2a) lg, to lill2 = g2lgi, откуда l2 =
= ligi/gt — 16,23 м, где gr и g2—ускорения свободного падения в Ле-
нинграде и в Ташкенте.
1.34.	Л = 5,9 м.
1.35.	h = 7,4 м.
1.36.	Найдем время tlt за которое тело поднимется до верхней
точки траектории: /t = (v0 sin a)/g = 0,75 с. Отсюда видно, что к мо-
менту /=1,25 с тело будет находиться уже на спуске. Задачу теперь
можно сформулировать так: «Тело брошено горизонтально со ско-
ростью vo = Vo cos а = 12,7 м/с. Найти нормальное 'а„ и тангенциаль-
ное ах ускорения через время /' = (1,25 —0,75)с = 0,5с после начала
движения». Таким образом, мы получили задачу, аналогичную за-
даче 1.30. Решая ее так же, как задачу 1.30, получим
an = g—=9,15 м/с’, aT=g Д= -~	=3,52 м/с’.
V	V V^+g^
Учащемуся предлагается проверить, что полное ускорение а тела,
направленное всегда вниз, равно ускорению свободного падения g
(см. решение 1.30).
1.37.	Я =6,3 м.	‘
1.38.	v0 = 9,4 м/с; а = 54°44'.
1.39.	Движение тела, брошенного с высоты Ло под углом а к го-
ризонту, можно разложить на два этапа: движение тела до наивыс-
шей точки А (рис. 74) и движе-
ние тела, брошенного из точки А
горизонтально со скоростью vx —
=vo cos а. Высота подъема тела
С
Рис. 74
— А С—Ло Л—Ло Ч-
+(vo sin’a)/2g.
Общее время движения камня /=/j-£-/B, где it = (v0 sin a)/g —
время подъема камня на высоту h и t2 = V2sy/g—время падения
камня. Подставляя данные задачи, получим sy — 27,9 м, /х=0,77 с,
/я = 2,39с; отсюда /=3,16 с.
256
Расстояние от основания башни до места падения камня на
землю l = OD = OC+CD, где ОС = ОЕ/2 = (ohin 2а)/2g я 10 м, CD =
= o^/2 = v0/2cosa = 31,l м; отсюда / = 41,1 м.
Скорость v = yrvx-l-vy, где vx = va cos a= 13,0м/с, vy = gt3 =
= 23,4 м/с; отсюда о = 26,7м/с.
Угол <р, составляемый траекторией камня с горизонтом в точке
падения камня на землю, найдется из формулы vy = vx tg <р, откуда
tg<p = vy/vx = 1,8 и <р = 61°.
1.40.	Удар мяча о стенку происходит при подъеме мяча. Мяч
ударит о стенку на высоте Л = 2,1 м. В момент удара составляющие
скорости vx = va cos a = 7,07 м/с и t>j/ = nosina—gt = 2,91м/с; отсюда
0 = )/"i’® + t$ = 7,6 м/с.
1.41.	а) со = 7,26-10~6 рад/с; б) со= 14,5..10-6рад/с; в) <о =
= 1,74-Ю~3 рад/с; г) со= 1,19-Ю~3рад/с; д) и—7,8 км/с.
1.42.	о = 231 м/с.
1.43.	v = 1660 км/ч.
1.44.	v = 400 м/с.
1.45.	Р= 8,33 см.
1.46.	При равнопеременном вращательном движении имеют место
уравнения движения
<р = <в0/ + е/2/2, ц>=ц>0 + е/.	(1)
По условию <о0 = 0. Тогда уравнения (1) примут вид
<р = е/2/2, ц>=е/.	(2)
Решая (2) совместно и учитывая^ что <p = 2n/V, получим е = o?/4.t/V=
= 3,2 рад/с2.
1.47.	в = 1,26 рад/с2; /V =360 об.
1.48.	е = —0,21 рад/с2; У = 240об.
1.49.	/=10с.
1.50.	/ = 6,3с; N = 9,4 об.
1.51.	По условию = const. Если / отсчитывать от начала дви-
жения, то aT = o//, an=F=v2/R; отсюда t=VanR/ax. а) Если ап = ах,
то / = У’/?/от —2 с; б) если п„ = 2ат, то / = У’2/?/ат =2,8с.
1.52.	oT = v2/4n;7VR=0,l м/с2.
1.53.	а„ = о4/2/16л2№/?3 = 0,01 м/с2.
1.54.	ц>= 4,4.1016 рад/с; оя=9,7-1022 м/с2.
1.55.	а) При равнопеременном вращательном движении угловая
скорость <о связана с временем t уравнением со = ц>о+е/. По условию
ц>0=0 и тогда ц>=е/, т.е. угловая скорость растет пропорционально
времени; при /=1с имеем и> = 3,14 рад/с.
б)'Так как v — &R, то линейная .корость также пропорциональна
времени; при t= 1 с имеем о = 0,314м/с.
9 В. С. Волькенштейн	257
в)	Тангенциальное ускорение ax — &R не зависит от 6 Т. е. по-
стоянно во все время движения; при /=1с имеем ат =0,314 м/с2.
г)	Нормальное ускорение an = a>3R = e2t2R, Т. е. растет пропор-
ционально квадрату вр'емени; при /=1с имеем ап = 0,986м/с’.
д)	Полное ускорение растет со временем по закону а = Vа|+пп=
= атУ1+е2/4; при /= 1с имеем а— 1,03м/с2.
е)	Имеем sin а — ах!а = l/j/’l + s’/S где а—угол, составляемый
вектором полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент
t — Q имеем a = zzT—полное ускорение направлено по касательной.
При / = со имеем п = аи (так как пт= const и ап пропорционально
квадрату времени) — полное ускорение направлено по нормали.
К концу первой секунды sin а*=ат/аи=0,314/1,03 = 0,305 иа=17°46'.
1.56.	ап = 4,50м/с2; ах =0,06 м/с2.
1.57.	о=4м/с; ат=2м/с2; а„ = 2м/с2; п = 2,83м/с2.
1.58.	8 = 0,43 рад/с2.
1.59.	7? =а/814-е2/4 = 6,1 м.
1.60.	а) со= 14 рад/с; б) v= 1,4 м/с; в) 8= 12 рад/с2; г) ах = 1,2 м/с2,-
ап= 19,6 м/с2.
1.61.	Ьах =0,3 м/с2.
1.62.	Угол а определяется равенством tga = aT/a„, где ах—
тангенциальное и ап — нормальное ускорения. Uoax — dv/dt,an = v2/R‘,
следовательно, в условиях нашей задачи tg а = (3-]-2/) R
Подставляя в эту формулу значения t — 0, 1, 2, 3, 4 и 5с, получим:
1 = 0, tga=oo, т. е. а = 90°—полное ускорение направлено по ка-
сательной; / = 1С; tga = 3,13 и a = 72°17'; t=2c, tga = 0,7 и
а = 35°0'; / = 3с, tgа==0,278 и а = 15°32'; / = 4с, tga = 0,14 и
а = 7°58'; / = 5с, tga = 0,081 и а = 4°38'. При t=oo имеем tga = 0,
т. е. а = 0—полное ускорение направлено по нормали,
1.63.	7? = 1,2 м.
1.64.	ап/ах =0,58.
§ 2. Динамика
2.1.	На опускающийся аэростат (с балластом) действуют подъ-
емная сила F (вверх), сила сопротивления воздуха Т^опр (вверх) и
сила тяжести mg (вниз). Так как аэростат движется равномерно, то
по первому закону Ньютона равнодействующая сила равна нулю:
F + Fmn^ = rng.	(1)
Когда балласт сброшен и аэростат начнет подниматься, вместо урав-
нения (1) будем иметь
F = -Fconp+(т—тх} g-	(2)
Решая (1) н (2) совместно, получим тх=*2(т—F)q)~800кг.
258
2.2,	а) На груз, поднимающийся вверх, действуют сила тяжести
mg (вниз) и сила натяжения нити Т (вверх). Применяя второй закон
Ньютона, получим
та = Т— mg; отсюда T = m (a-f-g) = 14,8H.
б)	На груз, опускающийся вниз, действует сила тяжести mg
(вниз) и сила натяжения нити Т (вверх). Поэтому
ma —mg—Т; отсюда T = m(g—п)=4,8Н.
Если груз опускается с ускорением g (свободное падение груза), т. е.
если a = g, то, как и следовало ожидать, сила натяжения нити Т = 0.
2.3.	а = 1,25 м/с2.
2.4.	а) а = 4,9м/с2 (вверх); б) а=2,45м/с2 (вниз).
2.5.	п2= 13,8 м/с2.
2.6.	Задачу можно решить двумя способами,
I.	По второму закону Ньютона
F = ma,	(1)
где F — сила торможения, т — масса автомобиля, а—его ускорение
(в нашем случае отрицательное). Так как автомобиль движется
равнозамедленно, из уравнений кинематики равнопеременного дви-
жения получим
n = 2s//2,	(2)
v0 = 2s/t = 36 км/ч	(3)
(см. решение 1.17). Подставляя (2) в (1), имеем
F = 2sm/t2—2,04 кН.	(4)
II.	Используем закон сохранения энёргии. При торможении ав-
томобиля его кинетическая энергия переходит в работу против силы
торможения, т. е.
mvo/2 = Fs.	(5)
Но из уравнений кинематики имеем
. v0 = 2s/t.	(3)
Подставляя (3) в (5), получим, как и раньше,
F = 2sm!t2.	(4)
2.7.	Е' = 27,7кН.
2.8.	а) Е = ЗкН; б) 7=30кН; в) Ё = 300кН.
2.9.	Сила, которую надо приложить к вагону, идет на преодо-
ление трения и на сообщение вагону ускорения, т. е. F = FTp+zna.
Но FTp=kmg, где А = 0,05 —коэффициент трения. Так как вагон
9*	259
движется равноускоренно, то s=a/3/2; отсюда a = 2s//3, н тогда
F = ftmg4-2ms//2 = 8,2 кН.
2.10.	v0— 11,75 м/с.
2.11.	F = 6kH; £ = 50 с; s=375m.
2.12.	По второму закону Ньютона F = ma, где a-du/dt. У нас
v = dsldt — ——3D/2; следовательно, a — dvldt = '2C—6Dt.
Тогда
F = ma = m (20—6D/) = 0,5 (10—6/) Н.
Это уравнение дает зависимость силы F от времени /. В конце пер-
вой секунды /=' = 2Н.
2.13.	/п = 4,9кг.
2.14.	F = — 0,123 Н.
2.15.	F Д/ = 5,6.10-23Н-с.
2.16.	По второму закону Ньютона имеем Fi\t = m\v, где До —
векторная разность скоростей. Считая положительным направление
нормали, внешней к стенке (рис. 75), получим
До = о2 cos a — (— Oi cos a) = о2 cos a + Vi cos a.
Так как no условию vl — v2 = v, то До = 2осоза. Таким образом,
/•’Д/= 2mo cos a —2,8 • Ю~23 Н-с. •
2.17.	/ = 0,51 с.
2.18.	/=' = 86Н. Указание. Учесть, что за время Д/о стейку
ударяется масса воды, находящейся в цилиндре длиной l = v&t и
поперечным сечением S, т. е. т = р5оД/, где р—плотность воды.
2.19.	о = 21,6км/ч; / = 73с; а —— 0,098м/с2; s = 218m.
2.20.	а) F«=980 Н; б) /=' = ЗкН.
2.21.	а=14°. Указание. Учесть, что равнодействующая силы
тяжести и силы инерции должна быть перпендикулярна к поверх-
ности жидкости.
2.22.	а = 6°30'.
2.23.	k<0,15.
2.24.	Обозначим силу тяжести, действующую на единицу длины
канала, через rn-ig, Тогда сила тяжести свешивающейся части каната
260
равна miglli. Эта сила тяжести уравновешивается силой трения F^,
действующей на ту часть каната, которая лежит на столе: Етр =
= 3ktnigll$. Таким образом, mlgll\ — 3ktnlgll^, откуда 6 = 0,33.
2.25.	а) Сила тяги, развиваемая мотором автомобиля, поднимаю-
щегося в гору, идет на преодоление силы треиия и составляющей
силы тяжести, параллельной переме-
щению (рис. 76): F = F-rp-i-mg sin а,
причем' FTf — kmgcos а. Таким обра-
зом, сила тяги
F*=mg(k cos a-j-sin a)= 1,37 кН.
б) Для автомобиля, движущегося
под гору, сила тяги
Рис. 76.
F=mg(6cos a—sin a) = 590 Н.
Если сила трения меньше составляющей силы тяжести, параллельной
перемещению, т. е. если kmg cos a < mg sin a, to F < 0. В этом слу-
чае, чтобы осуществить равномерное движение автомобиля под гору,
необходимо приложить задерживающую силу. При отсутствии этой
силы автомобиль будет двигаться под гору с ускорением а =
— g (sin a—6 cos a).
2.26.	F =2,37 кН.
2.27.	6<0,07; a = 0,39 м/с2; /=22,7 c; v = 8,85 м/с.
2.28.	6 = tg a—r>2/2gs cos a = 0,2.
2.29.	6 = 0,5.
2.30.	Сила mgt—mgt сообщает обеим гирям ускорение
= 3,27 м/с*.	(1)
nil -f- /П2
Уравнения движения гирь с массами пц и т2 запишутся в виде
m1a=mJg—Tn m2n = T'2 — m2g	(2)
(см. решение 2.2). Из уравнений (1) и (2) получим
Ti = Т 2 = —-fWa g = 13,0 н.
m1+m2 в
2.31.	а = я^1=^-2 = 4,4м/с2;
mi+m2
Л = Т2 = ^Ц£±^ = 5,4Н.
1	тх + т2 s
. „„ mj—m2sina _	, ,
2.32.	а — g —-г---= 2,45 м/с2;
mi+m2
Т 1==Т , = ^‘,±^ = 7,0.
12 тх4-т2 5
261
2.33.
2.34.
a=g	«> = 2,Q2 м/с»;
.*ni-j-ffl2
T _T =	[1 +(sln a+fe cos «)]	7 77 H
1	’	. mf+rna	8	’
=1,Q2 м/с»;
+
пцт2 (sin a+sin 3) _ 5 g H
a=g
2.35.
Tt = T2-----------i----
/И1Ч-/И2
a = mt (sin 3 —£ cos 3)—m2 (sin a+fe cos «) = 0 244 M/c2.
g	пг/4-пга	’
_	_	пцт2 [sin a+sin 04-£ (cos a—cos 0)]	cn„
1 j = 1 2 s --- 	..............-	g as O,U П.
И14-тг
2.36.	Работа А идет на увеличение потенциальной энергии груза
и на сообщение ему ускорения) т. е.
A = mgh-\-mah = mh (g+а), откуда а = (А — mgh)/mh = 29,4 м/с2.
2.37.	Af/A2=10.
2.38.	а) А = 21,0 Дж; б) А = 64,0 Дж.
2.39.	тДп =—3,5кг1М/с.
2.40.	£=0,01.	~
2.41.	А=2,25МДж; s = 375 м.
2.42.	v < 50 км/ч.
2.43.	£ = 0,05.
2.44.	А =35,6 Дж.
2.45.	/п = 0,06 кг.
2.46.	При мощности двигателя IV и скорости движения v дви-
гатель при перемещении автомобиля на расстояние s совершает ра-
боту А = Nt/f] = Ns/i\o. При этом затрачивается масса бензина т =
— A/q = Ns/qr\v =13 кг.
2.47.	г] = 0,22.
2.48.	На рис. 77 дан характер зависимости от времени t кине-
тической Й7К, потенциальной Wn и полной W энергий камня, бро-
шенного вертикально вверх.
Рис. 77.
2.49.	На рис. 78 дан характер зависимости от расстояния h ки-
нетической Wk, потенциальной Wn и полной W энергий камня,
брошенного вертикально вверх.
2.50.	й?к = 1ГП = 98,1 Дж.
262
2.51.	Гж = 32,2 Дж; Гп = 39,4«ж.
2.52.	а) И7к = 6,6Дж, Ц7п=15,9Дж, 117 = 22,5 Дж; б) W* =
= 5,7 Дж, Ц7п=16,8Дж, 117 = 22,5 Дж. Отметим, что, согласно закону
сохранения энергии, полная энергия в случаях а) и б) П7=22,5Дж.
2.53.	/= 1,5 с; sx= 19,1 м.
2.54.	от = 0,1 м/с2.
2.55.	Потенциальная энергия тела при соскальзывании с наклон-
ной плоскости переходит в кинетическую энергию и в работу против
силы трения, т. е. mgh = mv2/2-\-F-Tvl. Ho/i = /sina, F-!v = kmgcos a,
где a — угол наклона плоскости.
а)	= ffw2/2 — mgh — Frpl — mgl (sin a—k cos a) = 4,9 Дж.
6)	v= y2WK/m = 3,l м/с.
в)	Кинетическая энергия, которую тело имеет у основания на-
клонной плоскости, переходит в работу против силы трения на гори-
зонтальной поверхности, т. е. Ц7К = F^s = kmgs, откуда s=H7K/*/ng=
= 10 м.
, 2.56. * = 0,07.
2.57.	* = 0,22; $ = 5,7Дж.
2.58.	Л =7 МДж; N = 29,4 кВт.
2.59.	Мощность, развиваемая двигателем автомобиля, опреде-
ляется формулой N = Fv = kmgv, где mg—сила тяжести, действую-
щая на автомобиль.
а)	При движении автомобиля по горизонтальной дороге мощность
N = kmgv=6,9 кВт.
б)	При движении в гору автомобилю приходится преодолевать
силу трения и составляющую силы тяжести, параллельную переме-
щению (см. решение 2.25), т. е. F = mg (* cos a-f-sin а); следова-
тельно мощность N = tngv (* cos a+sin a) = 11,8 кВт.
в)	При движения автомобиля под гору мощность N — mgvx
X (& cos a—sin a) = 1,98 кВт.
2.60.	Чтобы автомобиль двигался под гору с выключенным
мотором с постоянной скоростью, необходимо, чтобы сила тре-
ния была равна составляющей силы тяжести, параллельной пере-
мещению, т., е. kmgcos a = mgsin а; отсюда * = tga. Мощность,
развиваемая двигателем при движении автомобиля в гору, опреде-
ляется формулой W = Fv = mgv (* cos a-f-sin а). Подставляя в эту
формулу * = tga, получим М = 2mgu sin a = 11,8 кВт.
2.61.	а) При неподвижной платформе начальная скорость сна-
ряда относительно земли равна его скорости относятельно орудия.
На основании закона сохранения импульса имеем
(/ni-f-/n24-/n3) o = ffl3o04-(zn14-/n2) и.	(1)
В рассматриваемом случае о = 0. Тогда уравнение (1) дает-
u = — njgoo/tmj -f- m2) =—12. км/ч.
263
Знак «минус» указываем что *1сли считать направление движения
снаряда положительным, т. е. если считать va >0, то и < 0, плат-
форма стала двигаться в направлении, противоположном направле-
нию движения снаряда.
б)	Если выстрел был произведен в направлении движения плат-
формы, то начальная скорость снаряда относительно земли равна
Vo+п. На основании закона сохранения импульса имеем
(ffli+m2 + m3)a = ms(fo4-t') + (m14-ffl2)«,	<2)
откуда
и = (mi+^+ws) v~m3 (у0+у) = б KM/q_
Отметим, что и > 0, т. е. платформа продолжает двигаться в том же
направлении, но с меньшей скоростью.
в)	Если выстрел был произведен в направлении, противополож-
ном направлению движения платформы, то при о0 > 0 имеем v < 0.
Тогда уравнение (2) примет вид
—(ffl1 + m2+m3)n = ffl3 (о0—+
откуда
и =____+ (Lo-pl = -30 км/ч.
Отметим, что и и v направлены одинаково (и < 0 и v < 0); следова-
тельно, платформа продолжает двигаться в том же направлении, но
с большей скоростью.
2.62.	t> = 0,6 м/с.
2.63.	« = 5,14 км/ч; и' — 1,71 км/ч.
2.64.	а) «=17,8 км/ч; б) « = 53,5 км/ч; в) и — —17,8 км/ч. Знак
«минус» указывает, что вагой продолжает двигаться навстречу сна-
.ряду, но с меньшей скоростью.-
2.65.	и2 = —12,5 м/с.
2.66.	а) « = 0,67м/с; б) «=0,83 м/с; в) « = 0,5 м/с.
2.67.	s = 0,3 м.
2.68.	И?к = 49 Дж.
2.69.	/ = 0,58 с.
2.70.	F = 20 Н.
2.71.	а) « = 284 м; б) « = 71м; в) «= 1770 м.
2.72.	№К1= 150 кДж.
2.73.	а) «! = «2= 1,8 м/с; б) «1 = 0,6 м/с, «а = 2,6 м/с.
2.74.	m1/ma = l/3.
2.75.	Первое тело до удара обладало кинетической энергией
После иеулругого удара оба тела начали двигаться
с общей скоростью « = miv/(ffli+ma). Кинетическая энергия обоих
264	.
тел после удара стала №K = (mi + m2)u2/2=mfr>2/2(m1 + m2). Разность
№к1— №к равна количеству теплоты Q, выделившемуся при ударе:
Q = mit>2/2—т&/2 (ffij + /Пг) = 12 Дж.
2.76.	№Ki = 5,62 Дж; №« = 0,62 Дж/
2.77.	№К1 = 7,5Дж.
2.78.	№к1/№к2 = 1,25.
2.79.	a) /ii = 0,005 м, /г2 = 0,08м; б) /г = 0,02м.
2.80.	о = 550 м/с.
2.81.	/=0,64 м.
2.82.	Q =0,188 Дж.
2.83.	ДД/=0,75 Н.с.
2.84.	Л2 = 0,5м; Q = 1,48 Дж.
2.85.	Падая с высоты h^, шарик подлетает к полу со скоростью vx,
а отскакивает от него со скоростью o2 = fefi. Согласно закону сохра-
нения энергии mgh1 = mvl/2 и mgh2 = mvf/2, откуда h2/hi = vx/vx =
= fe20i/t>i = fe2, т. e. /i2 = fe2/ii. Промежуток времени с момента паде-
ния шарика до второго удара о пол t—tx-\-2t2, где tx—время па де--'
ния шарика с высоты hx и /2—время падения шарика с высоты /га.
Так как t1 = V^2h1/g и /2 = V2h2/g = k VSh^/g, то
/= y2h,/g(l-j-2/г); отсюда k = ——=0,94.
2/2/ii/g
	2.86. h2 =0,84 м; / = 1,4с/
2.87.	fe=0,9.	<
2.88.	Д Д/ = 0,17 Н-с; Q =37,2 мДж.
2.89.	Кинетическая энергия первого тела до удара №Kj = miO2/2:
кинетическая энергия второго тела до удара №к2 = 0. После уда-
ра кинетическая энергия обоих тел №к = (/П14-ш2) «2/2, где и =
= mio/(/ni+m2) — общая скорость тел. Следовательно, №к =
= m?o2/2 (т1-+-т2'). Тогда кинетическая энергия, перешедшая при
ударе в тепло,
пр ш' -mip2 mit,a — ^Vi	\
K1 к 2	2(/n1-f-/n2)	2 \ 'Иг + 'Иа/’
Искомое отношение:
№к1—I___________fib   т2 
№К1	тх+т2 тх + т2'
а) Если тх = тз> т° (№к1— №к)/№к1 = 0,5; б) если пц = 9т2, то
(№К1-№к)/№к1=0,1.
2.90.	Кинетическая энергия первого тела до удара №Ki = /niO2/2;
кинетическая энергия второго- тела до удара №к2=0. После
265
удара второе тело приобрело кинетическую энергию
где M = 2mi0/(mi + ms). Таким образом, первое тело передало вто-
рому телу кинетическую энергию	• Искомое
отношение:	•
W'Ka _ 4пц/п2 •
W'ki- (ffli+/n2)a’
а) Если т{ — т2, то	1; б) если nii = 9/n2, то w'n2/WKi=
= 0,36.
2.91.	—	№к2 = (5/9) кДж.
2.92.	'^К/Гк= 1,4.
2.93.	а) (До)/о = 2/13; б) (До)/о = 2/236.
2.95.	Т = 1 ч 25 мин.
2.96.	f = 245 Н.
2.97.	о=2,43 м/с; Т = 0 (в высшей точке), Т = 39,2 Н (в низшей
точке).
2.98.	п = -^~ Т/ ^=2,1 об/с.
2л г I ’	'
2.99.	m = 0,5 кг.
2.100.	п = 59 об/мин.
2.101.	7’= 1,96 Н.
2.102.	£ = 0,2.
2.103.	з) R = 1600 м; б) Я =711 м.
2.104.	а = 22°.
2.105.	а = 1°.
Рис. 79.
2.106.	а) п = 2 об/с; б) п=1,5об/с.
2.107.	о = 47 км/ч.
2.108.	Сила натяжения нити в момент про-
хождения грузом положения равновесия Т =
=/ng+/no2/Z, где I—длина нити. Кроме того,
/ng/i = /no2/2, откуда o = '/’2g/i. Но (рис. 79)
h = l—Zcosa = Z(l— cosa). Тогда
/по2 m п , m
— = у 2gh. = ~2gl(l — cos a) =2/ng (1 — cos a)
и сила натяжения T = mg [1 + 2(1 — cos a)] = 12,4 H.
2.109.	a = 45°34z; T = 632H; 0 = 6 м/с.
2.110.	a = 60°; T1/72 = 2,3.
2.111.	T = 3mg.
2.112.	a = 60°.
266
2.113.	h—2 м.
2.114.	Боковое давление воды
P=Flldi	(1)
где F—центробежная сила, Z—длина той части трубы, на которую
производится давление. Далее,
F = mv*lR,	(2)
где
т = p/S	(3)
— масса воды в объеме SI (S—площадь поперечного сечения трубы,
р — плотность воды). Скорость течения воды
Подставляя (2)—(4) в (1), получим P = rnt/RpdS = 56,0 Па.
2.115.	Р= 1,25 кПа.
2.116.	Работа, совершаемая при сжатии пружины, определяется
формулой
I
A=—^Fdl,	(1)
о
где I—сжатие. По условию сила пропорциональна сжатию, т. е.
F = — kl.	(2)
Подставляя (2) в (1), получим
I
A = ^kldl = kl2/2 = 58,8 Дж.
о
2.117.	При статическом прогибе mg=kh0; отсюда k=mg/ha. При
падении этого груза с высоты Н имеем
mg(H-[-h) = kh2/2 = nigh2/2h0i шли И?—2h0h—2hoH = O.
Решая это уравнение, находим h = h0 ± Vhl-\-2h0H. Если /7 = 0, то
/г = 2й0=4 см; если /7=1 м, то Л = 22,1 см.'
2.118.	й=1,23 м.
2.119.	10 делений.
2.120.	Е = 72,5 Н.	'
2.121.	о=3,6 км/ч.
2.122.	о=22,1 м/с.
2.123.	Wni/Wn2 = k2/ki.
2.124.	На расстоянии l = k2L/(ki-\-k2)=6 см от первой пружины,
2.125.	Г = мД//(Д/)2=13,7 Н.
Ж
2.126.	Сила натяжения шнура (рис. 80) Т = /ng7cos_a — 5,7 Н
вызывает растяжение-шнура на А/, причем T = k\l\ отсюда Д1 =
**T/k=9,5 мм. Из рис. 80 видно, что
l!R=TlF.	(1)
Но
F = Т sin a = mv^R — tnWmR.
(2)
Из (1) и (2) имеем Z =Т/4л2п2/п = 7,25 см. Таким образом, длина
иерастянутого резинового шнура 10 = 1—&1 = 6,3 см.
•2.127. /= 10,8 см. Указание. Учесть,
что потенциальная энергия поднятого груза
переходит в работу растяжения шнура и в ки-
нетическую энергию груза.
2.128.	Мяч плавает, если сила тяжести,
действующая на него, уравновешивается силой
Архимеда, т. е.
mg = FApx’ или mg = PoVog’	0)
где Vc — объем шарового сегмента высотой h,
находящегося в воде при равновесии, р0—
плотность воды, пг — масса мяча. Очевидно,
что H-{-h—R, т. е. радиусу мяча. Если те-
перь погрузить мяч вводу на глубину х, то си-
ла Архимеда превысит силу тяжести, действующую на мяч, и ре-
зультирующая сила, выталкивающая мяч из воды, будет
Fx = FApx~mg-
(2)
Против этой силы Fx и должна быть совершена работа. Сила Архимеда
^рх = Р<№.	(3)
где у—объем шарового сегмента высотой h^-x. Из (1)—(3) имеем
Fx «= РоVg—РоVog = Peg (v — Vo) = PogV*>
где Ух— объем шарового слоя высотой х. Шаровой сегмент высотой I
имеет объем Vi<=nl2(3R—1)13, где R — радиус шара; отсюда объем
шарового слоя
V* = V-Vo = n(*j~-'a [3/? —(х+й)]-(37? —h).
Тогда
Ле = Ро7?^ = ^ [37? (х+й)2-(х + й)’-й2 (37?-ft)].	(4)
О
268
Работа, которую надо совершить против этой силы при погружении
мяча до диаметральной плоскости, будет
н
А ~ Fx dx.	(б)
о
Подставляя (4) в (5), интегрируя и учитывая, что H-[-h — R, полу-
чим после подстановки данных задачи Д = 0,74Дж.
2.129.	Д = 0,17Дж (см. решение 2.128).
2.130.	Д = 0,84Дж (см. решение 2.128).
2.131.	A = Sgh.2 (ро—р)2/2р0 = 7,84 Дж, где р0—плотность воды
и р — плотность льда.
2.132.	F= 1,86-10 - 44 Н.
2.133.	Ц7П = —3,8-10-10 Дж.
2.134.	G = 3g/4np/? =6,7• Ю-11 Н-м2/кга.
2.135.
Планета	р, 10s кг/м’	1 Планета	р, 1 О’ кг/м*
Меркурий	5,50	Юпитер	1,32
Венера	4,80	Сатурн	0,71
Земля	5,50	 Уран	1,26
Марс	3,90	Нептун	1,6
2.136.	На расстоянии г=3,4'105км от поверхности Земли.
2.137.	«л = 0,165§3.
2.138.	ТЛ = 2,46Т3.
2.139.	Сила гравитационного взаимодействия между телом и Зем-
лей F — GmM/r2, где т — масса тела, М—масса Земли и г — рас-
стояние между ними. У поверхности Земли г равно радиусу Земли/?
и F— mg. Тогда
F = mg=GmM{R2.	(1)
При движении тела вокруг Земли по круговой орбите сила гравита-
ционного взаимодействия является центростремительной силой. Таким
образом,
F = mvf/R; ’	(2)
отсюда первая космическая скорость r'i = У GM/R — У gR =7,9 км/с.
2.140. Для того чтобы тело удалилось от Земли, необходимо,
чтобы кинетическая энергия тела была достаточна для преодоления
гравитационной потенциальной энергии, т. е.
/пп2/2 GmMlR.	(1)
269
У поверхности Земли G/W//?’=£ (см. уравнение (1) решения преды-
дущей задачи); поэтому mt^/2^ mgR1 откуда вторая космическая
скорость о2 2gR = 11,2 км/с.
2.141.
Планета	км/с	и* км/с	Планета	&1, км/с	Ог, КМ/С
Меркурий	3,0	4,25	Юпитер	42,6	60,4
Венера	7,2	10,2	Сатурн	25,7	36,4
Земля	7,9	11,2	Уран	15,2	21,5
Марс	3,57	5,05	Нептун	16,6	23,5
2.142. о = 30 км/с.
2.143.
h, км	V, км/с	Г
0	7,91	1ч 25 мин
200	7,79	1 ч 28 мин
7000	5,46	4 ч 16 мин
2.144.	Т = /Зл/0р.
Планета	Т, ч	Планета	Т, ч
Меркурий	1,41	Юпитер	2,86
Венера	1,50	Сатурн	3,90
Земля	1,41	Уран	2,94
Марс	1,66	Нептун	- 2,61
2.145.	ап = 9,20 м/с2.
2.146.	Т1 = 7,8ч- Тг = 31,2ч.	
2.147.	й = 35 800 км.
2.148.	v= 1,7км/с; 7’ = 1 ч50мин.
2.149.	t»i= 1,7км/с; о2 = 2,4 км/с.
2.150.	У поверхности Земли имеем
F=mg = GmM[R2,
О)
270
где /?—радиус Земли. На высоте h от поверхности Земли
= GmM/(R+h)a.	(2)
Из (1) и (2) получим
gh/g = R2/(R+h)2.	,	(3)
Уравнение (3) дает зависимость gh/g от высоты h. Обозначим
gh/g=n', тогда из (3) имеем уравнение h2-Jf-2Rh+(Ri—R2/n) = 0.
Решая это уравнение, находим h — — R ±R/Vn. Так как h должно
быть больше нуля, то надо взять решение со знаком плюс, т. е.
Л=— R+RlV~n. В этом случае h будет всегда положительным,
так как всегда п < 1. Подставляя га = 0,25, находим h = R, т. е.
gh = 0,25g- на высоте, равной радиусу Земли. Заметим, что если
h < R, то уравнение (3) можно записать так:
gfl/g = R2/(R + h)2»\-2hlR.
2.151.	/i=13 600 км.
2.152.	И7П/№К=2.
2.153.	Пусть т — масса тела, находящегося на расстоянии h от
поверхности Земли и на расстоянии г от ее центра масс. Учитывая
указание, данное в условии задачи, можем написать
FA = mgA = GmAlr/r2,	(1)
где Мг—масса шара радиусом г и с плотностью, равной плотности
Земли р. Так как Л1г = 4лг3р/3, то raigft = 4Gmnrp/3. У поверхности
Земли
F = mg=GmM/R2 — 4GimRp/3.	(2)
Из (1) и (2) получим
g/ilg = r/R = (R —h)/R.	(3)
Обозначим ghlg=n, тогда из (3) имеем h=R(l—п). Если га = 0,25,
то /г —0,75 R.
2.154.	/1 = 2/7.
2.155.	По третьему закону Кеплера
T\lT2i:=Rl7Rl	(1)
Так как нас интересует период обращения планеты Солнечной си-
стемы, то целесообразно в качестве планеты с известными значениями
Т2 и R2 взять Землю (отметим, что при применении закона Кеплера
к искусственным спутникам Земли естественно взять Луну в каче-
стве спутника с известными значениями Т2 и R3). Для нашего слу-
чая Т2=12мес, R2= 1,5- 10s км. По условию /?х = (1,5-108 +
4-0,24-108) км = 1,74 ПО8 км. Тогда из(1)имеем Tt = T2}^(R1/R2)3 =
= 15 мес=450 сут.
271
2.156.	п=27,6км/с; Т=450сут.
2.157.	/?2=1,46-104km; Т2 = 104мин.
2.158.	Т = 88мин.
2.159.	Возьмем элемент кольца dl (рис. 81). Сила гравитацион-
ного взаимодействия между элементом кольца dl и массой т, поме-
щенной в точке А, будет
dl
____dF=G dl.
fl
I j L dFt Л
k /	Сила dF направлена по линии
x, соединяющей элемент кольца dl
Рис. 81.	- с массой т. Для нахождения си-
лы гравитационного взаимодействия
всего кольца и массы т надо векторно сложить все силы dF. Силу
dF можно разложить иа две составляющие: dFn и dFx. Составляющие
dFn двух диаметрально расположенных элементов взаимно уничто-
жаются, поэтому
F = dFx.
Но dFx = dF cos a. = dF L/x и
2я7?
F^-LdF=Gn-^l С dl-G™^™* .	(1)
J X	X3 J	X3	' '
о
Учитывая, что x= У/?2 + /.2, имеем
2rt2Gmpr2/?/.
(R2 +P)3/2 •	W
2.160.	Из формулы (2) решения предыдущей задачи видно, что
если L=0, то F = 0. Нетрудно убедиться, что функция F с увели-
чением L сначала растет, а затем уменьщается. Найдем максимум
функции F. Выразим переменные величины хи/, через угол а:
R ,	R
х——-----, Z, = xcosa=—-сова,
sin а	sin а
Тогда формула (2) решения предыдущей задачи примет вид
_ 2n2Gmpr2 ,	'
г ==----6-г  cos a sin2 а = В cos а sin2 а.
К
Для нахождения максимума функции F возьмем производную dF/da
и приравняем ее нулю:
dFjda. = В (2 cos2 a sin а—sin3a)=0, или tg2a = 2.
272
Тогда расстояние L, на котором сила F
максимальна, равно
, R	R
L=—-----coscc=;—
sin a tg а
Рис. 82.
характер за-
абсцнсс удобно
ординат F в 10-11Н); Ттах=14Л см;
На рис. 82 изображен
висимости F = f (L) (по оси
откладывать L в см, по оси
Fmax = 4,33.10-н Н.
2.161.	Fmax/F = l/3.
§ 3. Вращательное движение твердых тел
3.1.	J = 9,7Ло37 кг-м2; L = 7-1033 кг-м2/с.
3.2.	а) Л = 63,5-ю-3 кг-м2; б) J2 = 62,5-10~3 кг-м2; в) 6= 1,6%.
3.3.	Результирующий момент сил, под действием которого вра-
щается диск,
M^FR-M-^.	(1)
По основному закону динамики этот момент сил связан с угловым
ускорением тела уравнением
Л4 = 7е,	(2)
где J = mR2/2—момент инерции диска. Из (1) и (2) получим
m=2(FR— Л1Тр)/е7?2 = 7,36кг. '
3.4.	е = 2,35 рад/с2;
3.5.	Г = 4,0Н.
3.6.	Л1 = 100Н-м.
3.7.	е = 7,8 рад/с2; 1=1 мин 20 с.
3.8.	п=23,4 об/с.
3.9.	Л1Тр = 513Н.м; М = 600об.
3.10.	Гиря m-i движется вниз с ускорением а под действием
силы тяжести m^g (вниз) и силы натяжения нити Тi (вверх). По-
этому для гири «1 имеем
m1a = m1g—Тр	(1)
Гиря т2 движется вверх с тем же ускорением а под действием силы
тяжести m2g (вниз) и силы натяжения нити Тг (вверх). Поэтому
для гири mt имеем
тга = Тг — m2g.	(2)
Нить будет натянута по обе стороны блока по-разному, н разность
сил натяжения 7\—Т2 будет создавать момент сил, вращающий блок.
273
Применяя основной закон динамики, получим
(Tf—72)/? = /в = /а//?,	(3)
где / = тА>2/2—момент инерции блока и т—масса блока. Решая
(1)—(3) совместно, найдем
_ (/йх—OT2)g _	„ а
(4)
Если в уравнении (4) положить щ=0, т. е. пренебречь массой
блока, то мы получим решение 2.30. Подставляя (4) в (1) и (2),
получим
7\ =	= 14,0 Н,
tn-i + т2 + J/R2
Т2
m2g(2mi + J/R2)
"ti + "i2 + //R2
(5)
Если в (5) положить J = 0 (т = 0), то мы снова получим решение 2.30.
3.11.	Задачу можно решить двумя способами: применяя основной
закон динамики вращательного движения (см. решение 3.10); при-
меняя закон сохранения энергии. Учащимся предлагается найти
самостоятельно решение задачи первым способом и получить ответ
а = 2mg/(ma + 2т) = 3 м/с2.
При решении задачи вторым способом рассуждаем так. При
опускании груза его потенциальная энергия уменьшается, переходя
в кинетическую энергию поступательного движения груза и в кине-
тическую энергию вращения барабана. Таким образом,
, . /пи2 , /со2
, (1)
где /—момент инерции барабана. Так как J = maR2/2 и a = v/R,
где R — радиус барабана, то уравнение (1) можно записать так:
. mv2 , mav2 v2 (	, та\
mgh=—+(2)
Опускание груза происходит под действием постоянной сиды, т. е.
движение груза равноускоренное, поэтому
h = at2/2, v = at.	(3)
Подставляя (3) в (2), получим a = 2mg/(ma-^-2m)=3nt/c2.
3.12.	/=9,5кг-м2.
’3.13. t= 1,1с;	= 0,81 Дж; 7 = 4,1 Н.
3.14.	71—72 = (/е + Л1Тр)//? = 1,08 кН.
3.15.	а = 3,53 м/с2; 7i = 6,3 Н, 72 — 4,5 Н. Учащимся предлагается
Проверить, что из формул, дающих решение этой задачи, можно
получить решение 2.31.
274
3.16.	Кинетическая энергия диска складывается из кинетической '
энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения:
т _ти2 , Ум2
«'к-----g I 2"-
Так как J = mR2/2 и и = о//?, где т—масса диска, R — его радиус,
то ТГк=Зту2/4 = 24,0’Дж.
3.17.	№к = 0,1Дж.
3.18.	Гк2 = 29,4 Дж.
3.19.	Q =2,51 мДж.
3.20.	6 = (Hf,Ki — И7к2)/Ц7к2 = 40%, где U7kJ = Ц7пост-(-Ц7вр; Ц7К2 =
= ^ПОСТ'
3.21.	Л=355Дж.
3.22.	У = 3,8кг-м2/с.
3.23.	ЯД =253 Дж.
3.24.	s = 4,l м.
3.25.	ft = 2/?4-4-f 14-^2.) =7,56 м.
1 2 \ 1 т )
3.26.	Л = 3,2л3/?6рп2^=34,1 Дж, где р—плотность меди.
3.27.	При скатывании тела с наклонной плоскости его потен-
циальная энергия переходит в кинетическую. Таким образом,
, mt>2 .Ум2	...
mgh=-^—|—g-,	(1)
где У—момент инерции тела и т—его масса. Но
h—lsin a, a = v/R.	(2)
Подставляя (2) в (1), получим
£,2 / j \
mg/sina=-g- (	•	(3)
Так как движение тел происходит под действием постоянной силы,
то движение тел равноускоренное, поэтому
Z = oZ2/2, v=at.	(4)
Решая (3) и (4) совместно, получим
„ mg sin а.	5
m + J/R2'	’	(б)
Подставляя в (5) выражения для момента инерции различных тел,
найдем для шара, диска и обруча соответственно
01 = 3,50 м/с2, 02 = 3,27м/с2, о3 = 2,44м/с2.
' Для тела, соскальзывающего с наклонной плоскости без трения,
имеем a = g sin a = 4,9 м/с2.
275
3.28.	н== 1/	a ; У1 = 2,65м/с, t/s = 2,56м/с, t>3 = 2,21 м/с;
F <П “7“ J 11\
0 = 3,13 м/с.
3.29.	Поступательная скорость цилиндров у основания наклон-
ной плоскости определяется формулой
„	= iZ-^gL	П)
F m + J/R*	г	1 ’
(см. предыдущую задачу). Алюминиевый цилиндр, у которого мо-
мент инерции меньше, чем у свинцового, достигнет у основания на-
клонной плоскости большей скорости и, следовательно, быстрее
скатится с нее.
Момент инерции алюминиевого (сплошного) цилиндра
Л = ^.	(2)
Момент инерции свинцового (полого) цилиндра
, R2 + Rl
Найдем внутренний радиус Ra свинцового цилиндра. По условию
массы обоих цилиндров равны: pjLttR2 = р2/.л (R3— Ro), где L —
длина цилиндров, рг—плотность алюминия и р2— плотность свинца.
Отсюда R« = R2 (р2—р])/р2. Тогда момент инерции свинцового ци-
линдра
(3)
Z р2
Подставляя числовые данные (см. табл. XI), получим Jt—Э-10~4 кг-м2,
J2 = 15,9-10_4кг-м2.
Так как скатывание цилиндров происходит под действием по-
стоянной силы, то v = at и /=/i/sln сс = а/2/2; отсюда ft/sina = o//2 и
Подставляя в (4) формулу (1), получим
_ 1	Z2/г (m-f-J/R2)	/51
sin a V mg *
Учитывая в (5) формулы (2) и (3), получим соответственно для алю-
миниевого и свинцового цилиндров
/ = —!—т/"—=0,78с,	t=-4— ~[/~ — f P1) =0,88 с.
sin a r g	sina r g \ 1	2p2 j

3.30.	е = —0,21 рад/с2; /И=0,42Н.м; Л = 630Дж; Я«=240об.
3.31.	7 = 0,01 кг-м3; Л4 = 94'10~3Н.м.
3.32.	Л4тр = 308Н-м; /=100 с.
3.33.	/г = 86,5 см.
3.34.	WK = eL t2j2 G-490 Дж.
3.35.	t— WK/nnM = 5с.
- 3.36. W,lt = F3/2/m= 1,92 кДж.
3.37.	а = 81°22'.
3.38.	0 = 7,1 м/с.
3.39.	Й! = со2= 14 рад/с; г?!= 1,05 м/с, о2 = 2,10м/с,
3.40.	На основании закона сохранения момента импульса имеем
}	J1031 = 72со2,	(1)
где 7j—момент инерции платформы с человеком, стоящим иа ее
краю, 72—момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре
платформы, 031 и —угловые скорости платформы в первом и во
втором положениях человека. При этом
Ji — mR2/2-\-m0R2, J t^mR2l2,	(2)
где R—радиус платформы. Подставляя (2) в (1) и учитывая, что
w=2nn, где п—частота вращения платформы, получим
(mR2/2 + m<)R2) 2nnt — 2nn2mR2/2,
откуда
mR2-\-2m9R2	m-\-2tn9 m л.
пг — ni--— — ni —1——=*22 об/мин.
8	1 mR2	m 
3.41.	Д = 162Дж. ’
3.42.	п2 = 21об/мии.
3.43.	WKS/WK
1 la= 1,05.
3.44.	n = 0,49 об/мин.
3.45.	7= 1,16c.
3.46.	7 = 1,07 c.
3.47.	Z = 7/gd/n = 0,446M.
3.48.	7 = 1,5 c.
3.49.	Период малых колебаний математического маятника
71 = 2л///£,	(1)
период малых колебаний физического маятника
72=2яуг7/ш§/,
где J—момент инерции шарика относительно оси вращения, т —
масса шарика и /—расстояние от центра масс шарика до точки
277
подвеса. В нашем случае
J =^-mR2+mP=mP p+-g- ("J") ] —ml2x,
С учетом этого получим
Г,=2лГЩ?-	(2)
Из (1) и (2) имеем T2/Tt=y х. Ошибка, которую мы делаем, при-
нимая подвешенный шарик‘за математический маятник, будет
отсюда
ж=[1+т(т)2]==(1+6)3* или т=	[(1 + 6)2-и- (3)
У нас 6 <0,01. Подставляя в (3), получим ////<0,0224. Так как
/? =0/2 =0,02 м, то предельное расстояние от центра масс шарика
до точки подвеса /0,089 м, а предельная длина нити L — 1—R —
= 0,069 м.
3.50.	Тд/Тв=1,05.
§ 4.	Механика жидкостей и газов	'
4,1.	v = 0,12 м/с.
4.2.	Обозначим: Sf—площадь поперечного сечения сосуда и щ —
скорость течения воды в нем (скорость понижения уровня воды
в сосуде), S2—площадь поперечного сечения отверстия и о2—ско-
рость вытекания воды из отверстия. По теореме Бернулли
-ф-4-pgftss-El, или o?+2g/i = vl.	(1)
В силу неразрывности струи vlSi=v,/Si, или
и2 — viSi/S2.	(2)
Подставляя (2) в (1), получим oj = S2У 2gh/V Si—S2. Учитывая,
что Si = nDa/4 и S2 = nd2/4, имеем v^ — d^y 2gh/y D*—d*. Так как
d4<^O4, то приближенно
t>i = (d2/Da)K2gft.	(3)
Отметим, что если d = D, то Vj=y2gh. При h = 0,2 м скорость
= 0,8 мм/с.
4.3.	В обоих случаях струя воды падает на стол на расстоянии
1 = 0,4 м от сосуда.
278
4.4.	a) v=Q; 6) v= 1,04 м/с; в) c= 1,25 м/с.
4.S.	Скорость понижения уровня воды в баке v=S2y2gylVS? — Sa
(см. решение 4.2). Здесь у—уровень воды в баке (переменный). За
время dt уровень воды в баке понизится на
dy — vdt=AV~ydt, где A = S2K2g/Ksf—S®.	(1)
Из (1) имеем dt — dy]Ay у, отсюда
h
, 1 С
Учащимся предлагается довести интегрирование до конца и полу-
чить ответ
2yWsl-Sl „-./^[(Sj/S.,)2-!]
s2y 2g	У g
Нетрудно убедиться, что если бы уровень воды в баке поддер-
живался постоянным на высоте Л=1 м от отверстия, то время выте-
кания такого же объема воды было бы в два раз^ меньше.
4.6.	d = 1,4 см.
4.7.	Р =250 кПа.
4.8.	о=1,4м/с.
4.9.	ДЛ= 1,6мм.
4.10.	FTV/mg=3.
4.11.	о = 4,1 м/с.
4.12.	т] = 2Па>с.
4.13.	Д/ = 4мин.
4.14.	т) = 1,09 Па-с, v=12,1cm2/c.
4.15.	Скорость понижения уровня касторового масла в сосуде
зависит от скорости протекания масла через капилляр. Объем масла,
протекающего за время t через капилляр} определяется формулой
Пуазейля .
. у==я,'4/4Р..	(1)
V 8/n	'	' ’
Разность давлений иа концах капилляра обусловлена гидростати-
ческим давлением слоя жидкости, т. е.
ДР = Р£Й.	(2)
С другой стороны,
V = S'v't = ar2v't,	(3)
где v’—скорость протекания масла через капилляр. Из (1)—(3) имеем
u' = r2pg/i/8h). Но так как v'S’ — vS, .где v—скорость понижения
279
уровня масла й сосуде и S—площадь поперечного сечения сосуда;
то окончательно имеем v = r4pg/i/8Zti/?a. При Л = 0,26 м скорость
о=3-10-6м/с.
4.16.	<=1,5мии.
4.17.	/«=1,1 см.
4.18.	D = 4,6 мм.
4.19.	Число Рейнольдса Re =1800, т. е. Re < 3000—движение
ламинарное.
 4.20. D 0,085 м.
Глава II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 5.	Физические рсновы молекулярно-кинетической
теории и термодинамики
5.1.	Z = 7°C.
5.2.	У = 7,6л.
5.3.	щ= 1,13 кг.
5.4.	Z2=914°C.
5.5.	У = 31л.
5.6.	= Ap/pi = 7,5 кг.
5.7.	щ = 65г.	,
5.8.	щ=1,2т.
5.9.	В 1,1 раза.
5.10.	а) pV=—£7’1 = 567Дж; б) pV=— RT2 =775 Дж. Зада-
I1	Р
вая различные значения V, будем получать соответствующие значе-
ния р.
5.11.	См. решение 5.10.
5.12.	v = m/p= 0,4 кмоль.
5.13.	р!=Ю8кПа; р2=116кПа.
5.14.	При горизонтальном положении капилляра в каждой по-
ловине его объем воздуха Vo=Sh и давление равно р0> где S — пло-
щадь поперечного сечения капилляра. При вертикальном положении
капилляра в верхней половине его объем воздуха V; = S (Zi-]-AZ) и
давление равно рг. По закону Бойля—Мариотта VoPo = ViPi» или
/ip0=(/i + AZ)pi.	(1)
Аналогично для нижней половины капилляра
hpB = (h—М)рг.	(2)
Давление р2 в нижней половине капилляра складывается из давле-
ния воздуха р! и давления ртутного столбика р:
Р2 = Р1 + Р-	(3)
280	’
Решая уравнения (1) — (3) совместно, получим
Ро------та---------•	(4)
У нас р = 200 мм рт. ст., h = (L —1)/2 = 0,4 м и Д1 = 0,1м. Подстав-
ляя эти данные в (4), получим р0 = 375мм рт. ст.
5.15.	По закону Архимеда потеря в весе тела, погруженного
в газ, равна весу этого газа в объеме тела. Объем массы т свинца
VI=m/pI, где Pi — плотность свинца. Воздух в этом объеме весит
mig = upVig/RT = npmg/(>iRT. Объем массы т пробки V2 = m/p2, где
р2 —плотность пробки. Воздух в этом объеме весит m2g=^.pmglp2RT.
Истинный вес свинца Pi — g (m-j-mi), истинный вес пробки ?2 —
= g(m+m2) и
ДР = Р2 - ?! = g (т2 - И1)=( ±--L 'J =58,6 Н.
К ‘	\ Ра Р1 /
5.16.	Результирующая подъемная сила воздушного шарика равна
разности между весом воздуха в объеме шарика и весом самого ша-
рика (весом его оболочки Р и находящегося в нем водорода). Таким
образом, F = m2g—(wig + ?), где т2—масса воздуха в объеме ша-
рика, т2 — масса водорода в объеме-шарика. По условию F = 0; сле-
довательно,
г, .	, pV,	. 4лг3 pg '	,	,,
Р = g (тг—mF) =g	(р2—Pi) = —3—	(р2—Pi) = 96 мН.
5.17.	p = m/V = pp/7? 7 = 0,083 кг/м3.
5.18.	р=0,08) кг/м3.
5.19.	р = 0,004 кг/моль.
5.20.	р= 1,6-Ю-11 кг/м3.
5.21.	72=1400К.
5.22.	Уравнения состояния газа до и после нагревания имеют
вид
P1V1=-^-RTI, p2V2=^-RT2.
Р	Р
По условию Pi = Pt = p', отсюда можно найти искомые величины:
V1=m/?7I/pp = 2,4 л, 72 = ppV2/mR = 1170 К,
Pi —РР/Я?! = 4,14 кг/м3, р2 = рр/?72 = 1 кг/м3.
5.23.	р = 155МПа; р = 0,5-103 кг/м3.
5.24.	р = рр//?7. а) При 7 = const плотность р = Ар,т.е.р прямо
пропорционально р. б) При p = const плотность р=В/Т, т. е. р об-
ратно пропорционально 7.	. .
5.25.	По закону Дальтона после испарения воды в сосуде уста-
новится давление p = Pi + p2, где pi—давление кислорода, pt—дав-
281
ление водяного пара. По уравнению Менделеева —Клапейрона
Pi = m-iRTlV^i = 320 кПа, р2 = тп2./?77Кр2 = 320 кПа(
откуда р = 640 кПа.
 5.28. По закону Дальтона p = pi + p2, где pl в р2 —парциальные
давления газа после соединения сосудов 1 и 2*. Так как Т — const;
то
Pi (Vi+V2) = Pi Vlt р2 (Vi + V2) = p2V2.
Таким образом,
PiVf
• _ Pi*'!	' P^t —	+
P2==K+V7 p=^Wi—140кПа-
5.27.	p = 415 кПа.
5,28.	p =—, W1+”4.-0,0046 кг/моль; V = 11,7 л.
mi/p.i+m2/p,2
5.29.	/п=2,5г,
5.30.	Если бы молекулы йода не были диссоциированы, то дав-
ление в сосуде было бы
р = mRT/рУ = 83,3 кПа.
i
После диссоциации в сосуде находится количество Vf = 2am/p ато-
марного йода (I) и количество v2==(l—a) m/p молекулярного йода
(12). Давления, создаваемые ими, равны
_2amRT (1 — a) mRT
Pi~ pV ’ p2 [JTiz '
Давление смеси
- . mRT n	mRT .	
Pc = Pi-\-Pi (2a+1—a) = -jjy (1 +a) = P (1 + “)»
t. e. 1+a = pc/p= 1,12 и a = 0,12.
5.31.	PclP~ 1,25.
5.32.	p=l,2 кг/м3; pj = 21 кПа; p2 = 79 кПа.'
5.33.	p= 1,98 кг/м3.
5.34.	- a) m0 = 1,67-10~27 кг; 6) mo = 6,65i IO-27 кг,
5.35.	F Д/=5,6» 10-23 H-c.
5.36.	PM= 3,3-Ю-23 H-c.
5.37.	mu= 2-10~23 кг-м/с.
5.38.	га = 3,3-1023 кг"1.
5.39.	га = 7,5.1023 м-?.
5.40.	M = 2.1027. .
5.41.	n = 3,4-10u м-3.
232
5.42.	Давление р газа в сосуде связано с числом молекул п
в единице объема сосуда соотношением
p = nkT — NkT/V,
где N—общее число молекул в объеме V. Так как эти N молекул
образуют на стенках сосуда мономолекулярный слой, то N—S/s0,
где S = 4№—площадь поверхности сосуда. Объем сосуда У = 4лг®/3.
Подставляя значения N и V в формулу для р,- получим
p = 3kT /$йг — 2,4 Па.
5.43.	В сосуде находится количество vx = 2am/p атомарного
йода (I) и количество v2=(l— а) т/р молекулярного йода (12). Общее
количество йода в сосуде v =	—а) tn/p, и тогда искомое
число частиц в единице массы парообразного йода
n = N А [2a/pi + (1 —а)/ц] =3,56-1021 кг-1.
5.44.	/У = 4,5- 1023.
5.45.	V = 3,2 л; pj = 98 мПа, р^ = 35 мПа; п = 2,6>1018 м-5.
5.46.	У=500 м/с.
5.47.	Vvll^vl =2,65.
5.48.	j/"t?2=5.105 * м/с.
5.49.	га = 4,2.1034 м-3.
5.50.	р = ри2/3 = 5 кПа.
5.51.	В 1,44.10’ раза.
5.52.	тУ v2 = У3kTm — Q,3-10~24 кг'М/с.
5.53.	230 м/с; N= 1,9- 1023; р = 5,0 кг/м\
5.54.	УV'1 = 4,6 мм/с.
5.55.	р = 0,74 кг/м3 *.
5.56.	У v2 = 1,9 км/с; jx = 0,002 кг/моль.
5.57.	п = 1,88.10а5 кг"1.
5.58.	Внутренняя энергия газа определяется формулой
2 р
Для двухатомного газа I = 5, причем 1 — 3 приходится на долю по-
ступательного движения молекул и i — 2—на долю вращательного
движения. Подставляя числовые данные, получим W = 3,7 кДж, при-
чем В7ПОст = 2,2 кДж и П7вр=1,5кДж.
5.59. W = 210 Дж.
5.60. №вр = 83 кДж.
283
5.61.	«7=750 Дж.
5.62.	m = 2«7/^ = 2,5 г; p = 2W/3V = 167 кПа.
5.63.	7’i = 2-104 К; 7^ = 900 К.
5.64.	W= imp/2р—50 кДж.
5.65.	/V = 1,3-1018; «7 = 0,133 Дж.
5.66.	с у=650 Дж/(кг-К); ср = 910 Дж/(кг-К).
5.67.	а) ср = 800 Дж/(кг-К); б) ср — 1025 Дж/(кг-К); в) ср =
= 970 Дж/(кг-К); г) ср = 1040 Дж/(кг-К); д) ср= 103 Дж/(кг-К).
5.68.	Ср/су= 1,4.
5.69.	ц=0,002 кг/моль.
5.70.	cv = 650 Дж/(кг-К); Ср = 910 Дж/(кг-К).
5.71.	Су = 693 Дж/(кг-К); ср = 970 Дж/(кг-К).
5.72.	Из уравнения 2Нг4-Ог = 2НаО видно, что из количества
v' = 3 моль двухатомного газа после реакции получается количество
г’ = 2моль трехатомного газа. Поэтому до сгорания Су=3-5/?/2 и
Ср=3-77?/2; после сгорания Су = 2-67?/2 и Ср = 2-8Я/2, что дает:
а) Су/Су = 1,25; б) Ср!С"р = 1,31.
5.73.	Для нагревания количества v' = 2am/p атомарного кисло-
рода и количества v"= (1—а) т/р. молекулярного кислорода при
р = const необходимо количество теплоты	‘
Q = 2a—CpM + (l—a.) — CpM = ^-CpM,	(1)
р,	р,	р,
где Ср и Ср—молярные теплоемкости атомарного и молекулярного
кислорода, Ср — молярная теплоемкость смеси. Отсюда получаем
2аСр-}-(1—а) Ср = Ср, т. е.
а=(ср-с;)/(2с;-с;).	(2)
Здесь Ср = срр= 1,05 кДж/(кг-К)’0,032 кг/моль = 33,6 Дж/(моль-К),
Ср = 20,8 Дж/(моль-К), Ср = 29,1 Дж/(моль-К). Подставляя эти
данные в
5.74.
5.75.
5.76.
5.77.
5.78.
5.79.
(2), получим a = 0,36.
су = 90 Дж/(кг-К), ср = 139 Дж/(кг-К).
a = 0,23.
ср = 685 Дж/(кг-К).
Ср/Су— 1,59.
та = 60 кг.
Количество теплоты, полученное газом, Q =— Ср (Tt—Тг),
где Ср = 29,1 Дж/(моль-К)—молярная теплоемкость кислорода. Тем-
пературу Т’2 находим из уравнений состояния газа до и после нагре-
вания:
pV1=^-7?7’1, PV,=~-RTt, откуда Тл=тЛ±
Г	г
284
Ho Vi = mRTih)Lp и, следовательно,
7,8 = цУ«Р/<«Я=1156К.
Таким образом, Т2—7\ = 873 К и
<2=£ся(Т,-Тх) = 7,9кДж.
Г
' Энергия газа до нагревания может быть найдена по формуле
W'1 = ±-^Ti=l,8 кДж,
2 р
где i — 5, так как кислород—газ двухатомный» Энергия газа после
нагревания
П7г=Т7У?7’г=7,6кДж-
5.80.	<2=4,15 кДж.
5.81.	а) При p = const имеем Q = тСр АТ/ц. Но pV1 = mRTi/p
н pV2 = mRT2/p, откуда
лт/ m п л-r	m р ДУ
пД1/ = — RAT, или — ДТ = <-=г-.
р	р	R
Следовательно, (} = Срр Д V/R = 700 Дж.
б)	При V=const имеем Q.=(m/p) Су AT. Но p1V=mRT1/n и р2У—
= mRT2/p, откуда
. «ПЛ-n	m	VAp
V Ар — —RAT, или —АТ — —=н-.
р	р	R
Следовательно, <2 = CvV Ap/R = 500 Дж.
5.82.	7’2=1500К; У = 12,4 л; <2 = 12,4 кДж.
5.83.	<2 = 545 Дж.
5.84.	<2 = шСх АТ/р; отсюда Сх = р<2//л ДТ’ = 20,8 Дж/(моль-К).
Так как кислород—газ двухатомный, то полученное значение Сх
говорит о том, что нагревание происходило при постоянном объеме.
5.85.	Количество теплоты, которое надо сообщить воздуху,
Q=^CVAT.	(1) 
Чтобы найти ЛГ, ’напишем уравнения состояния газа до и после
нагревания:
p1V=^-/?T1, p2V = - RT2, отсюда V Ap = -R АТ,
,р	р	р
или
•285
Подставляя (2) в (1), найдем
. Q^Cy^^-V Др=10кДж.
A Z
5.86.	т = 3,7г; ДЙ7о=3,3-1О-21 Дж.
5.87.	Q = CvpV Д77|х = 208Дж.
5.88.	Гг = 2500К; Q = CvV Лр/R = 16,5 кДж.
5.89.	1 = 6.
5.90.	Q = 6,25 кДж; 7’2 = 4Т1; р2 = 4рх.
5.91.	Q = 102 Дж; J/V2 =1,57 км/с; р2=133 кПа; Pi=p» =
= 0,164 кг/м3; №' = 400Дж. •
5.92.	Q = 155 Дж.
'5.93. с = 579м/с; У v2 =628 м/с; ов = 513м/с.
5.94.	Т = 83К.
5.95.	Распределение молекул по скоростям дается формулой
ДД г4 _из „	...
где и—относительная скорость. В нашем случае 4=100 м/с н
Да=10м/с. Наиболее вероятная скорость св = ]/"2/?77р. = 37‘6м/с.
Следовательно, и = v/vB = 100/376, и2 = 0,071, г_“2 = 0,93 и Ди =
= 10/376. Тогда формула (1) дает
^=-£= °,93-0,071 2£ = 0,004 = 0,4%.
Д' yGt	376
Таким образом, число молекул, скорости которых лежат в указан-
ном интервале, равно 0,4% общего числа молекул. Для решения этой
Задачи можно также воспользо.
ваться графиком Д/У/(А/ Ди) = f (не-
построенным по данным табл. 10
на с. 60 (рис. 83). У нас и = 0,27.
Из графика для этого значения и
находим ДД/(Д Ли) » 0,16. Так
как Ди=0,027, то ЛЛ/М =
=0,16 -0,027 = 0,004 = 0,4%.
5:96. АД/Д = 2,8%.
5.97.	ДД/Д = 4,5%.
5.98.	АД1/АД2 = 1,1 для любо-
го газа при любой температуре.
5.99.	а) ив = 487 м/с и ДД/Д =
=3,4%; б) ов = 731 м/с и ДД/Д =
= 2,2%. Таким образом, при повышении температуры максимум кри-
вой распределения сдвигается вправо и величина максимума умень-
шается.
286
5.100.	Так как в данной задаче интервал скоростей велик, то
нельзя пользоваться формулой Максвелла. Для решения этой задачи
поступаем так: находим числа молекул и Л/2, скорости которых
соответственно больше и иг. Тогда искомое число молекул Nx =
= Nj — N3. Для нахождения чисел Nf и пользуемся графиком
Nx[N=f(u), построенным по данным табл. 11 иа с. 60 (рис. 84).
У нас ов = 1^27?Т/р = 500 м/с. Следовательно, щ=300/500 = 0,6 и
и2 = оии/оии= 1,о. из графика для
этих значений и находим соот-
ветственно N±/N = 0,87 = 87% и
=0,17= 17%. Полученные
данные означают, что 87% всех мо-
лекул движется со скоростями, пре-
вышающими ^ = 300 м/с, и толь-
ко 17% молекул имеют скорости,
превышающие v2 =800 м/с. Тогда
относительное число молекул, ско-
рости которых лежат в интерва-
ле от Oj = 300 м/с до с’2 = 800 м/с,
Nx/N = 87% -17% = 70%.
5.101.	а) Л'1/М = 57%; б) Nit
= 43%. Отсюда видно, что кри-
вая распределения молекул по скоростям несимметрична.
5.102.	Nx= 1,9- 10м.
5.103.	Чтобы молекула имела кинетическую энергию поступа-
тельного движения, равную 11%, она должна обладать скоростью о0,
удовлетворяющей уравнению mov%/2= 1Г0; отсюда va = }/~ 2№0/т0.
Так как наиболее вероятная скорость vB = У2RT/p = y2kT/m0, то
относительная скорость этой молекулы к = о0/ов = КWB/kT =1,73.
Пользуясь графиком на рис. 84, находим относительное число моле-
кул Nx/N, относительная скорость которых больше скорости и=1,73.
График дает Л!х/Л! =0,12. Таким образом, 12% молекул кислорода при
данной температуре имеют кинетическую энергию, превышающую энер-
гию Wq. Общее число молекул кислорода в сосуде /У = —Л^ =
= 1,5-1033. Следовательно, искомое число молекул Nx=0A2N =
= 1,8-1033.
5.104.	Г,, =7730К. По условию Л7Х/Л/ = О,5. График на рис. 84
даёт, что значению Nx/N = 0,5 соответствует значение м=1,1. Но
и=У Wa/kT (см. решение 5.103).; отсюда T — Wa/ku2~ 9600 К.
5.105.	?=1,57.104К. .
5.106.	Давление газа р уменьшается с высотой h по закону
р = р0 exP (— pgh/RT). В условиях данной задачи р = 67,2 кПа.
5.107.	Л = 2,3 км.
5.108.	р1 = 35,8кПа, р2 = 72,5 кПа, Др = 36,3 кПа.
287
5.109.	В 1,7 раза.
5.110.	а) р=1,28кг/м3; б) р = 0,78 цг/м8.
5.111.	a) h — 5,5 км; б) Л=80 км.
5.112.	Имеем барометрическую формулу
р=роехр(— pgh/RT).
Концентрация (число частиц в единице объема) n = p!kT, откуда
p = nkT.
Подставляя (2) в (1), получим соответственно для высот Aj
«i = «о exp (— pght/RT), п2 = пв exp (— pgh2/RT);
отсюда
Hg (ft2 —ftj)
(1)
(2)
и ft2:
n2
pg(Ai~ А2)
RT
RT
или
]П ni —	Л1)
п2~ RT
Так как масса частицы /л = р/^,то формулу (3) можно записать так:
ln ”i  jV-Vwgfe—fti)
n2
RT
откуда, учитывая поправку на закон Архимеда, получим
NA = 'п</?Г1ПУ(,\- = 6,1 • 102® моль-1,
gV (р—р0)
где р—плотность гуммигута и р0— плотность_ жидкости.
5.113. Х = 850 мкм.
Б.114.
5.115.	%=93 нм.
5.116.
5.117.	7=2,47-10’ с-1.
5.118.
% = 5,6 km.
z=4,9- 10s c-1.
(3)
Z = 31031.
5.119.	В 2,3 раза.
5.120.	X = 1 мкм.
5.121.	Х=р/У2 na2.V14p= 1,8 мкм.
5.122.1= 14,2 см.
5.123. Среднее число столкновений в единицу времени молекул
кислорода г=»цД2, где v = У SR Т/лр н %2 = %ipi/p2> где Pi/p2=100.
Таким образом,
г=	=4,5-10? с-1.
288
5.124.	г=9,6-10е c~r.
5.125.	7. = 23 нм.
5.126.	= Уц/р'г2Л^лХр = 0,35 нм.
5.127.	7=1,6-10-’с.
5.128.	р= 1,6-10-’кг/м3; п = 3,3-101в м~3; £ = 76,0 м.
5.129.	Чтобы молекулы не сталкивались друг с другом, средняя
длина свободного пробега должна быть не меньше диаметра сосуда,
т. е.	1/)/"2ло2я; отсюда	1/У2 ло2£> = 1,7-Ю18 м-3,
5.130.	а) р —931 мПа; б) р =93,1 мПа; в) р = 9,31 мПа.
5.131.	399 -мПа.
5.132.	р< 9,4-10-’кг/м3.
5.133.	7 =-К^ т/"-^- = 9,2-10’ с-1.
7. • Г Зя
5.134.	D = 9,l-10-s м2/с.
5.135.	О = 8,4.10-5 м2/с.
1 -./'8RT kT _	, п
— I/--------------. При р = const имеем О =
3 г ли у2по2р
5.136. О = 4-йХ
О
= АТ3/2 ; где А — некоторая постоянная. На рнс.
висимости коэффициента диффузии О от темпе-
ратуры Т при p=const.
5.137.	т = 2мг.
5.138.	р = 39,9 кПа.
5.139.	7 = 184 нм.
5.140.	т] = 17,8 мкПа-с.
5.141.	Имеем
T] = i'Xp/3,	(1)
где v = уг8/?Т/лр.— средняя арифметическая
скорость молекул, Л = кТ/У‘2ло2р— средняя
длина свободного пробега и p=pp,/RT— плотность газа. Подстав-
ляя эти величины в (1), получим
т]=о~^2 Д/'0ТКУДа о2 = 5— Л/”7г-=9-10~20 м3,
1 Зло2 V Rn	Злт] г Rn
т. е. о = 0,3 нм.
5.142.	т] = с£р/3. Подставляя выражения для v, X и р, найдем
П=л Ут, где 4 —некоторая постоянная. На рис. 86 дан характер
зависимости вязкости г| от температуры Т.
•	5.143. D = 1,48-IO-8 м2/с; г|= 18,5 мкПа-с.
5.144.	В 1,07 раза.
5.145.	ra = ^t]/pD = l,8-102SM-§.
10 В. С. Волькенштейн
289
5.146.	р=1,6кг/м8; Х = 83,5нм; к = 440м/с.
5.147.	о = 2,72 м/с. .
5.148.	/•$ = 45мН/м2.
5.149.	r] = F(R—/)/4л2га/г7?г= 18 мкПа’С.
5.150.	К = 90мВт/(м-К).
5.151.	К= 13,2 мВт/(м-К).
5.152.	K — vkcvp/3. Подставляя выражения для v, X и р, найдем
К = А У Т, где А — некоторая постоянная. На рис. 87 дан характер
зависимости теплопроводности К от температуры Т.
Рис. 86.	Рис. 87.
5.153.	D — KVA’a/cvN = 2.10~8м2/с.
5.154.	а) П1/П2 = 0,8; б) тцЛ12= 1,25; в) ^/^ = 0,96.
5.155.	р = 1,26 Па.
5.156.	Теплопроводность воздуха начнет зависеть от давления
при X = d, где d— расстояние между стенками термоса. Имеем
X — kT/У 2 ло2р, откуда при X = d получим р = кТ/У 2 ло3й = 980 мПа.
13,1 мВт/(м-К). Если р= 13,3 мПа, то средняя длина свобод-
ного пробега X больше расстояния d между стенками термоса. Тогда
K2—3dvpcv 3 dy пр FT 2р~ 6 dpi? лрТ
= 17,8.10-5 Вт/(м-К).
АТ
Имеем Q = K-j—ASAt. Но AS = 2nrh, где / = (/!-]-г2)/2. Тогда
АТ
Q=K~2nrhAt.
Ах
Подставляя числовые данные, получим Qi=188 Дж и Q2=2,55 Дж.
Действительные потери будут больше из-за конвекции.
5.157.	Q = 23,9 кДж.
5.158.	<2 = 78Дж.
290
5.159.	Q=-jp-Д7’=7,92 кДж; ДЦ7=1 р ДУ = 5,66 кДж; 4 = '
Г*	*•
= р ДУ = 2,26 кДж. -Таким образом, как и следовало ожидать^ на
основании первого закона термодинамики (? = Д1У4-А
5.160.	4 = 8,1 кДж; ДП7 = 20,2кДж; <2 = 28,ЗкДж.
5.161.	Д1У=1кДж.
5.162.	Д1У = 2,5МДж; 4 = 0,83МДж; (? = 3,ЗЗМДж.
5.163.	А = 600 Дж.
5.164.	Q = A (1/2+1) = 550 Дж.
5.165.	ДГ = 57К.
5.166.	4= 13,2 Дж; Д1У = 39,6Дж.
5.167.	Q =3,32 МДж; Д1У = 2,49МДж; 4 = 0,83 МДж.
5.168.	Q = 10-,4 Дж; ДЛ = 2,8см.
5.169.	Q =360Дж.
5.170.	4 = 714 Дж.
5.171.	В 2,72 раза.
5.172.	Vи2 =500 м/с.	_
5.173.	4 = 70Дж; <2 = 4 = 70Дж. '	„
5.174.	4 = 223 кДж.	----------Ъ
5.175.	Г2 = 207 К.	•	1\
5.176.	Pi = 95 кПа.	Р°
5.177.	^2 = 865 К.	। X.
5.17	8.1 = 5.	Р1-----------4------
5.179.	4= 123 °C,	р2 = 5,28 МПа.	{	{
5.180.	7 = 780 К.	J	j	у
5.181.	Ср/сг=1,4.	----------j--------
5.182.	На рис. 88	изображен график -	2	1
процесса; У2 = 0,25 л,	р2 = 132 кПа.	Рис.	88.
5.183.	Ср/Су=1,4.
5.184.	При адиабатическом процессе	ДТУ =—4; Д1У =
= у — R (Т2 — Ti). Температуру Т2 можно найти, пользуясь урав-
нением Пуассона. Проделав необходимые вычисления, найдем Д1У =
=—2,69 МДж. 4 = — Д1У = 2,69 МДж.
5.185.	Работа при адиабатическом сжатии
4ад
к —1 р. L \ViJ J
где z = Cp/cv; работа при изотермическом сжатии
4из=ЯТ-^1п£2
отсюда
4ад l-tVi/ya)*-1
Лиз" (х-1)1п(У2/У1)
Таким образом, изотермически сжимать выгоднее.
10*
291
5.186.	Д7' = 7К.
5.187.	В 1,15 раза.
5.188.	а) р2 = 510кПа, 7'2 = 273 К, 4 = — 1140 Дж; б)р3=960 кПа,
7'2 = 520К, 4 = — 1590 Дж.
5.189.	а) Т’2 = Т’1 = 313 К, р2 = 0,20МПа, А = — 1,80кДж;б) Тг =
= 413 К, р2 = 0,26МПа, 4 = —2,08кДж.
5.190.	а) В 2 раза; б) в 1,64 раза.
5.191.	Одноатомный газ нагреется больше в 1,2 раза.
5.192.	V2/Vi=l,33; 7'2 = 270 К, 4 = 23 кДж.
5.193.	a) p = A/V; б) р = В/Уи, где х=с/с/, 4 и В —некоторые
постоянные. На рис. 89 изображен характер зависимости давления р
газа от объема V при изотермическом (кривая а) и адиабатическом
(кривая б) расширении газа.
5.194.	а) <2 = 1,55 кДж, 4 = 0,92 кДж, Д1Г = 0,63 кДж; б) Q =
= 1,88 кДж, 4= 1,25 кДж, Д1У = 0,63 кДж.
5.195.	Тепловая машина, работающая по циклу Карно, совер-
шает работу A = Qi — Qz = v}Qt, где Qj —количество теплоты, полу-
чаемое машиной от нагревателя, Q3— количество теплоты, отдавае-
мое холодильнику, г;—к.п.д. машины. Имеем г] = (7'l — 7'3)/7'i = 0,25.
Тогда 4 = r]Q1 = 630 Дж. Далее Q? = Qi—4= 1,88 кДж.
5.196.	г) =18%.
5.197.	г) = 26,8%; (?1 = 274кДж; Q2 =200 кДж.
5.198.	г) = 20%; 4=1,26кДж.
5.199.	Уравнение изотермы АВ (рис. 90) имеет вид
pV=^RTt.		(1)
Г
Координаты точки 4 удовлетворяют этому уравнению, т. е.
PiVi=-~RT1, откуда —=-§^-=0,427 моль,
. В	В к 11
292
и тогда (1) принимает вид
pV = 0,427 7? 7’1=1,42 кДж.
Для точки В имеем
Рг = рК/У2 = 284 кПа.
(2)
Так как координаты точек В к С удовлетворяют адиабате ВС, то
PiVi—psVs, откуда р3 = р2 (уг/У3)л = 146 кПа. Уравнение изотермы
CD имеет внд
рУ=-^-/?7' = р3Р3=1,17кДж;
. г
отсюда Т'2 = 330 К. Так как координаты точек D и А должны удов-
летворять уравнению адиабаты DA, то (Vi/Vi)H~1 = T1/T2; отсюда
К4 = 3,22л и Pt =365 кПа.
а) У1 = 2л, рх = 708кПа; К2 = 5л, р2 = 284кПа; У3 = 8л, р3 =
= 146 кПа; У4 = 3,22л, р4 = 365кПа.
б)
работа
работа
работа
Работа при изотермическом процессе АВ
Д1= RTt — in ^=1300 Дж;
р У 1
при адиабатическом процессе ВС
_RTt т Г	_ RTi т f Т
“к-1 р L nJ J и—1 и \	7’
при изотермическом процессе CD
AS = RT2 — ln-^i=— 1070 Дж;
Р УЗ
при адиабатическом процессе DA
. _RT2 т
к— 1 р
— 620 Дж.
620 Дж;
Л2
в)	Работа за весь цикл 4 = У 4; = 230 Дж.
г)	К.п.д. цикла г] = (7'1 — 7'2)/7’1 = 0,175.
д)	Количество теплоты, полученное от нагревателя за один цикл,
Qi= 4/г] = 1300 Дж.
е)	Количество теплоты, отданное холодильнику за один цикл,
Q2 = Q1 — 4=1070 Дж.
5.200.	В 2,1 раза.
5.201.	При. обратном цикле внешние силы совершают над газом
работу А. При этом количество теплоты Q3, отнятое у холодного
тела, вместе с затраченной работой- А равно количеству теплоты <?i,
293
переданному более нагретому телу. При этом r] = (7’i—Т2)/7’>=0,093;
д 1_____________________п
Q2 = Qi—А=— — А = -—4=360 кДж; Qi = Q2 + 4=397 кДж.
П	Л
Таким образом, холодильная машина будет за каждый цикл
передавать более горячему телу количество теплоты 397 кДж, из
которых 37.кДж за счет механической работы, а 360 кДж от холод-
ного тела.
5.202.	Коэффициенты r)i, г]2 и т]3 связаны между собой соотно-
шениями 'i|i = 1 /(1 — т]з), г)2 = (1~Пз)/г)з- В условиях задачи T]i = 1,09,
т]2=11,0, т]з = 0,083.
5.203.	и2 = 4,94кг.
5.204.	За счет количества теплоты Q можно совершить работу
4 = r]Q, где г] — к.п.д. тепловой машины, причем r] = (7’f—
Помещению будет передано холодильной машиной количество теплоты
Q'=4/t)' ,гдё rf—к.п.д. холодильной машины, причем т]'=(Л—7’2)/7’i.
Тогда
Q'_ г)4 _ г)	(Tj-T^Ti	3
Q ^'А	г)'	(Ti — T^Ti
т. е. помещение получает в три раза меньше количества теплоты от
сгорания дров в печке, чем при отоплении его холодильной машиной.
5.205.	Из рис. 9 видно, что
о, у. Г / Vi \x-i-i
4 = рг (Vi-Уо)+-АД- 1-ИЛ -Po(V2-lzo)= 1,92кДж.
X — 1[_	\ И 2 / J
5.206.	т| = 0,2, rf = 0,3.
5.207.	104 цикла.
5.208.	Имеем r]=4/Q, где 4 — полная работа за весь цикл и Q—
количество теплоты, выделяющееся при сгорании горючего. Так как
Адв = Авд и Acd = Аев — 0, то
Но Я/(и—1) = СГ и (Vl/V2)K-1=7'l/7’o = 7’2/7’3; поэтому
4=-2-Cr(Te-T3)fl--^).
Так как Q=— CV(T2—Т±), то
И
4  (Т0 — Т3) (1 — Т 2/Т3) Т2 — Т3 
П~ Q — T2-Ti ~ Т2 ~
=1 —jr- = 1 - (У1/72)и-1 =0,412 = 41,2%.
5.209.	р2 = 930 кПа., Т2 = 686К.
294
5.210.	n=l,3.
5.211.	Имеем Vj — V3 = Sh, где S—площадь сечения цилиндра.
С другой стороны, (Vi/V^ — pi/pi. Решая эти два уравнения отно-
сительно У2 и подставляя числовые данные, найдем У2=176см3.
Так как 7\/Тг = (pjp^-^, то 7’2 = 680К. Д=-^-Г1~Гз==
= 243 Дж, где = Sh + VJ= 1040 см3.
5.212.	а) г) = 36,7%; б) ц = 44,6%; в) ц = 49,6%,
5.213.	Зная потребление бензина и его удельную теплоту сго-
рания, найдем фактический к.п.д.: Цф = 0,216 и 22%. Теоретический
к.п.д.
Таким образом, потеря бензина на трение в движущихся частях
механизма и пр. составляет 30%—22% = 8%.
5.214.	Работа, совершаемая при полном цикле (см. рис. 11),
4 = Qi-Q2,	(1)
W Qi—количество теплоты, выделившееся при сгорании топлива
(на участке CD), и Q2 — количество теплоты, отданное среде (на
участке ЕВ). Но так как участок CD—изобара, то
Qi=-£-CJP(7’2-7’l),	(2)
Г4
где Tj—температура в начале изобарического расширения н Тг —
температура в конце его. Так как участок ЕВ — изохора, то
Q2=-^-Cr(T3-7’0),	(3)
г
где Т3— температура в начале изохорического процесса и Тд — тем-
пература в конце его. Подставляя (2) и (3) в формулу (1), имеем
Д=^-Сг[к(7’2-7’1)-(7’3-7’0)],	(4)
t*
где х—показатель адиабаты, и тогда к.п.д.
Уравнение (5) можно представить в другом . виде. Температуры
То, 7\ и Т3 можно выразить через Тг. Для изобары CD имеем
7'2/7'1= Vg/Vi = P—степень изобарического расширения, и, .следо-
вательно, 7'1 = 7'2/р. Для адиабаты DE имеем Т3/Т3 = (1/2/1/3)и-1 =
= 6и-г, где б—степень адиабатического расширения; следовательно,
Т3 =	Для адиабаты ВС имеем 7’1/7’0 = (Уа/У1)><-1 = е’<-1, где
295
е—степень адиабатического сжатия; следовательно, Т0 = Т1/^-1 =
— Та/ре*-1. Подставляя полученные значения Та, Ту Т3в (5) и за-
мечая, что Р = ё/6, получим	
. 1 п иех-« (₽—!)'	
5.215. Имеем	
т] = AlQ = Pt/mq.	О)
С другой стороны,	
-1	3х- 1 П	хеи-1 (р—1)	(2)
(см. решение 2.214). У нас р = е/6= 16/6,4 = 2,5;	х= 1,3;	= 3,29;
рх—1=2,29; ги_1 = 2,30; р—1 = 1,5, Подставляя эти данные в фор-
мулу (2), получим т] = 0,49 = 49%. Тогда т = 5,9кг.
6.216.	Изменение энтропии определяется формулой ‘
Д5 = 5Я-5Л =
А
где 5Л и Sb—энтропии в первом и во втором состояниях. Общее
изменение энтропии в данном случае складывается из изменений ее
в отдельных процессах.
При нагревании массы m льда от температуры Т до температуры
То = 273 К имеем dQ = mcadT, где сл = 2,1 кДж/(кг- К) — удельная
теплоемкость льда, и
Д51=тсл 1п (То/Т).
При плавлении массы m льда при температуре Та имеем dQ=mk,
где Х = 0,33 МДж/кг—удельная теплота плавления, и
ДД2 = гпУ'./Т^.
При нагревании массы m воды от температуры То до температуры
Тп имеем
Д53=тс1п (Тп/Т0),
где с =4,19 кДж/(кг-К) — удельная теплоемкость воды. При испаре-
нии массы m воды при температуре Тп имеем
Д54=тг/7’п,
где г = 2,26 МДж/кг—удельная теплота парообразования. Общее
изменение энтропии
\S=-m f сл In	In	=88 Дж/К.
\	‘	* Q i n /
29(3
5.217.	Д$ = 7,4Дж/К.
5.218.	Д$ = 1230Дж/К.
5.219.	Д5=63Дж/К.
5.22*0	. Имеем
2
Чг
1
Но dQ—~- Cv dT-j-p dV и, кроме того, рУ=~-#Т; тогда
или
Д5=— Cv ln-p-4-— 7? 1пр=5,4Дж/К.
И 11 И Vi
(1)
'	5.221. В предыдущей задаче мы нашли энтропию как функцию
параметров Т и V. В этой задаче нам требуется выразить энтропию
через параметры V и р. Имеем
m „ , Т2 , m n . V2
Д5=—Сг1п^Н-------R In.-/
И Л И
Уравнение Менделеева — Клапейрона дает
Тг__РаУа
7*1 ~PiVi'
Подставляя (2) в (1), получим
. „ m „ , р2 , m „ , V2 , m D . V2
V ln Cv In vT+7'R ln йГ
=^- Cv In Cp In p^71.0 Дж/К.
P Pl P Vi
(2)
Учащимся предлагается выразить энтропию через -параметры р н Т
и получить формулу
Д5=^-С„1ПЬ—
Н р т! И Pi
5.222.	Имеем (см. решение 5.221)
—Cyln—I----CD In ту-;
р. Р1 р р V1
при изобарическом процессе pi~p2 и
ДД = — С„ 1пр=66,ЗДж/К.
Р р Vi
297
5.223.	AS=38,1 Дж/К.
5.224.	Имеем (см. решение 5.221)
 \s=”cpinb_«/?ln^: ,
И р Т1 Ц Р1
при изотермическом процессе Т±=Т2 и
\S=-—R in —=—/? In—= 17,3 Дж/К.
Н Pi И Рг ,
5.225.	AS = 2,9 Дж/К.
5.226.	a) AS =1,76 Дж/К; б) AS = 2,46 Дж/К.
5.227.	a) AS = 8,5 кДж/K; б) AS=11,8 кДж/K.
5.228.	Нагревание производилось прн постоянном давлении.
5.229.	Учащимся предлагается убедиться, что изменение энтро-
пии AS не зависит от того, каким путем совершается переход газа
из одного состояния в другое. В обоих случаях изменение энтропии
AS = 5,45 Дж/К.	*
5.230.	AS = 500 Дж/К.
5.231.	Q = 420 кДж.
§ 6.	Реальные газы
6.1.	Величина а выражается в Па-м’/моль2, величина Ь—в
м’/моль.	. -
6.2.	Вещество	а, Па -мв/моль*	b, 1 0“ 5м8/моль
	Водяной пар -	0,556	3,06
	Углекислый газ	0,364	4,26
	Кислород	0,136	3,16
	Аргон	0,136	3,22
	Азот	0,136	3,85
	Водород •	0,0244	2,63
	Гелий	0,00343	2,34
6.3.	а) Решая уравнение Менделеева — Клапейрона относительно
температуры, находим
7' = р.рУ/т/? = 280 К.
б)	Решая уравнение Ван-дер-Ваальса относительно’ температуры,
находим
7=Д	(v-^bU280 К.
mR \ 1 р2 V2/ \ р J
298
Таким7 образом, при малых давлениях газ- ведет себя как
идеальный. При больших давлениях параметры газа уже ие под-
чиняются уравнению Менделеева—Клапейрона (см. задачу 6.4).
6.4.	а) Т=281 К; б) T = 289 К.	-
6.6.	а) Т =482 К; б) Т = 204 К.
6.6.	a) pi = 2,87 МПа, р2=273 МПа; б) pi = 3,09 МПа,
р8 = 61,8 МПа. Из сравнения полученных результатов можно заме-
тить, что прн не очень больших давлениях реальные газы более
сжимаемы, чем идеальные (влияние сил притяжения между молеку-
лами); при больших давлениях реальные газы менее сжимаемы, чем
идеальные (влияние собственных объемов молекул).
6.7.	Т'з/Т] = (2р + р1')/(р + р|-) = 1,85, где P;=av2/V2. Если бы
газ подчинялся уравнению Менделеева—Клапейрона, то было бы
Т'г/Т'г = 2.
6.8.	Определение объема по формуле Ван-дер-Ваальса требует
решения уравнения третьей степени. Один из трех корней этого
уравнения, соответствующий газообразному состоянию вещества,
может быть найден методом последовательных приближений/ Из
уравнения Ван-дер-Ваальса для произвольного количества v = m/p
кислорода имеем
vRT	vRT
V=—;—9"	= ;------hv&.	(1)
p+v2a/V2	p+Pi t
В качестве первого приближения берем У=Уг—объем, получаемый
из уравнения Менделеева — Клапейрона:
У1=^-=0,24 м3.
Р
Тогда
v2a 10в0,136 п 0.
(0,24)~- Па = 2’4 МПа*
Подставляя pi в (1), получим второе приближение:
Тогда
/103-8,31-300
V2~	1,24-Ю7
4-103-3,16-10-5 ) м3=0,232 м3.
v*a 108-0,136__о „
Pi~~ Vl ~ (0.232)2 ~2’53 МПа’
К3= ( 1013'985ГТ-л?-°-+ Ю3-3,16-IO-3) м3=0,231 м3
\	1,	• IV	/
Поступая таким же образом, можно получить четвертое и т. д.
приближения. Нетрудно убедиться, что уже четвертое приближение
практически совладает с третьим. Таким образом, искомы/i объем
К=231 л.
299
6.9.	У = 0,49 м3 (см. решение 6.8).
6.10.	Постоянная Ь, входящая в уравнение Ваи-дер-Ваальса,
приближенно равна учетверенному собственному объему молекул,
С другой стороны, b — TKRI%pK. Отсюда объем одной молекулы
RTH 4 '	1
У—32Л>лрк'- 3 лг ~ 6 па •
Замечая, что R/N^ = k—постоянная Больцмана, получим а =
=]/ 3£7’к/16лрк.= 294 пм. Это значение хорошо совпадает со зна-
чением а, полученным другими" способа-
ми (см. решение 5.141).
6.11.	а) о = 297 пм; б) о = 313 пм.
\ Таким образом, результаты, получен-
ные двумя разными способами, дают
достаточно хорошее совпадение.
а 6.12. 1 = 79 нм.
\	6.13. £> = 3,5.10-5 м2/с.
6.14.	На рис. 91 дан график
--------•------------Р = /(Ю, построенный для v=l кмоль
рис 91---------------углекйслого газа при i = 0°C. Кривая
а соответствует уравнению идеального
газа, кривая б — уравнению реального газа.
6.15.	р; = 277’2р2/64рк7’2=1,31 кПа.
а ,= It, т к\ П ПТ	V —V	рЬ
6.16.	р V--bj=—R7; х=——=-£==33%, где v н v —
х м* 7 р.	v RT
количества водорода без учета и с учетом собственного объема мо-
лекул.
6.17.	р,./р = 4,95%; И,-/И=0,86%.
6.18.	Работа, совершенная против сил взаимодействия молекул,
. С ...	т2а
4 = ^ PidV, где
Vt
Таким образом,
I-’.
. т2а О dV т2а / 1	1 \ т2а (У2— Vj)
р2" J У2~'рГ \	|Т%1/2
и,
откуда
4р2У1У2 AViV2
v2(V8-Vi)
0,136 Па-м’/моль2,
6.19.	AT — av(V2 — Vi)2/ViViiR—2,33 К, где i—число степеней
свободы молекул газа, v—количество азота,
300
6.20.	a = 0,364 Па-м’/моль2.
6.21.	Так как температура ^=31 °C—критическая температура
углекислого газа, то необходимое давление' р = рк=7,38 МПа.
Так как температура /2 = 50°С больше критической температуры,
то пи при каком давлении при 50 °C нельзя превратить углекислый
газ в жидкую углекислоту. Наибольший объем V’max = 3£>/p. = 2,9 л;
наибольшее давление Ртах = Рк = 7,38 МПа.
6.22.	рк = p/3b = 196 кг/м2.
6.23.	pK = 8ppK/3TKR = 57 кг/м3.
6.24.	Из уравнения Ван-дер-Ваальса в приведенных величинах
имеем
т=(л-(-3/<в2) (3<в—1)/8.	-	(1)
У иас л = р/рк =93/5,07= 18,4, УОк = 3i> = 37'KR/8pK =
= 9,5-10~6 м3/моль; <в= У0/К>к =0,056/0,095 = 0,59. Подставляя эти
значения в (1), получим т = 2,6 и, следовательно, Т = т7'к =
= 2,6-154 К = 400 К.
6.25.	р = 2,7 МПа.	*
6.26.	п = р/рк=2,45.
§ 7.	Насыщенные пары и жидкости
7.1.	Массу водяного пара т в объеме V воздуха можно найти
по формуле Менделеева—Клапейройа
т = pV[i/RT.	(1)
При 7' = 323 К давление насыщенного пара рн= 12,3 кПа. Так как
р = 0,018 кг/моль, то из (1) получим т = 82 г.
7.2.	рн = 0,082 кг/м3.
7.3.	В 74 000 раз.
7.4.	В 12 раз.
7.5.	Относительная влажность определяется формулой w = pjpn,
где р—давление водяного пара, находящегося в воздухе, и рн —
давление водяного пара, насыщающего пространство при данной
температуре. Масса т водяного пара в объеме V воздуха
m = pVp.lRT—wpnVp,IRT.	(1)
При 7'=303 К давление насыщенного пара рн = 4,23 кПа. Так как
р = 0,018 кг/моль, то из (1) получим т = 22,5 г.
7.6.	Am = 6,9 г.
7.7.	f2 = 7°C.
7.8.	п=Ю24 м-3.
7.9.	ai=60,4%; Am = 86 мг.
7.10.	а) До расширения насыщенный водяной пар находится при
температуре /1=20°С, а следовательно (см. табл. VIII), давление
301
этого пара рх = 2,33 кПа. б) Масса водяного пара в камере до рас-
ширения mi = p1]i,VilRT1=. 17,2мг. в) pi =p1p//?7’i= 17,2> 10~?кг/м3.
г) Т2 = 7\/(уг/У1)х-1 = 268 К. Д) При температуре /2 = —5 °C давление
насыщенного водяного пара р2 = 399 Па. Масса [пара в камере, со-
ответствующая этому давлению, m2 = р2рУ2//?7’2 = 4,0 мг. Следова-
тельно, масса сконденсированного пара	Дт = тх—m2 =
=(17,2 — 4,0)мг=13,2 мг.’ е) р2 = рвр.//?Т2 = 3,2-10—3 кг/м3,
ж) Так как плотность водяного пара после расширения (но до кон-
денсации)
Рз=р^-= t 25.10-з' кг/м3=13,7-10 * кг/м3,
то степень пересыщения s = p3/p2 = 4,3.
7.11.	ож = 0,001 м3/кг; оп = 1,25 м3/кг.
7.12.	В процессе испарения количество [теплоты тратится на
преодоление сил взаимодействия молекул и на работу расширения
против внешнего давления. Таким образом, согласно первому закону
термодинамики, имеем
г0 = ДГ + Л,	(1)
где г0 — молярная теплота парообразования, ДТГ— изменение моляр-
ной внутренней энергии сил взаимодействия при испарении, А— мо-
лярная работа, совершаемая против внешнего давления. При этом
^ = Рн(^оп Гож).	(2)
где рп—давление насыщенного пара при температуре парообразова-
ния, УОж—молярный объем жидкости и УОп— молярный объем пара.
Имеем
,, и 0,018 кг/моль 1О . ,,
•	Уож=—=—гянн—.- = 18-Ю-’ м3/моль,
р 1000 кг/м3
где р— молярная масса и р—плотность воды. Так как по условию
v = /n/p=l кмоль, то по [уравнению Менделеева — Клапейрона
Von —RT/pa. При Т = 473 К имеем (см. табл. VIII) рн = 1,55 МПа
л у0п=/?Т/рн = 2,5 л/моль.
Считая, что изменение внутренней энергии [взаимодействия мо-
лекул при испарении соответствует уравнению Ван-дер-Ваальса (см.
задачу 6.18), имеем
ДГ=^1!~-^>К\	(3)
•'OlKl'On
где п = 27Т2/?2/64рк = 5,5б-102 Па-м’/моль2. Замечая, что УОж<^УОп,
получим из (1) — (3)
го=тг—ЬРнУоп^— Н-/?7’ = 35 кДж/моль.
иож	И
Тогда удельная теплота парообразования г—г0/р = 1,95 МДж/кг.
302 .
Табл. IX дает для температуры /=200 °C значение г =
=1,94 МДж/кг. Таким образом, несмотря на' то, что уравнение
Ван-дер-Ваальса, а следовательно, н формула (3) являются при-
ближенными, совпадение результатов хорошее.
7.13.	Д1К/г0 = (г0—Л)/г0 = 1—/?Т/г0 = 92,4%.
7.14.	ДЦ7 = 7,22 кДж.
7.15.	Имеем уравнение Клаузиуса—Клапейрона ч
dp _ гв
dT Т (Коп-Кож)'
(1)
Считая, что насыщенные пары подчиняются уравнению Менделеева —
Клапейрона, имеем (для v=l моль) Vpn=RT/p. Так как (см.
табл. VIII) при температуре / = 5°С давление насыщенного пара
рн = 870 Па, то нетрудно найти, что УОп = 2,65 м3/моль. Кроме того,
уож=:[л/р< 18-10-6 м3/моль. Такий образом, мы видим, что
Кож < Коп> и тогда уравнение (1) можно написать так:
dp^W_ или dp^dT
dT RT2 ’	р R Т2'
(2)
Для небольшого интервала температур Т2— Т-( молярную теплоту
испарения г0 можно нение (2), получим	считать постоянной и тогда, интегрируя урав- In — Г° (Г2~Г<)	,31 Pi" RTrT2 ’	(3)
откуда		RTJ\ In (p2/Pi)	' °	T^_Ti	.	(4)
Здесь 'pi н Рр — давления насыщенного пара при температурах
и Т2. В задаче требуется найти удельную теплоту парообразования г
при температуре / = 5°С. Поэтому для величин Tj- и Т2 можно взять
значения /1 = 4°С и /2 = 6°С. Тогда на основании данных табл. VIII
имеем р! = 811 Па, р2 = 932 Па и p2lpt = 1,15. Подставляя в (4)
числовые данные, получим г0 = 4б кДж/моль. Отсюда удельная теп-
лота парообразования г = г0/[л = 2,49 МДж/кг. Построив по данным
табл. IX график г = /(/), нетрудно убедиться, что при / = 5°С
имеем г = 2,48 МДж/кг, что дает хорошее совпадение с найденным
значением.
7.16.	г=0,302 МДж/кг.
7.17.	рн = 86,46 кПа.
7.18.	Д5 = 2,86 Дж/К.
7.19.	Др = 599 Па.
7.20.	До давления р = 93 мПа, т. е. до давления насыщенного
ртутного пара при / = 15°С, -
303
7.21.	Имеем p0 = m/V0 и p=m/V. Но так как V= Vo(l +₽0> то
Р=Ро/(1 + ₽0=12,9'103 кг/м3.
7.22.	/2 = 222°С.
7.23.	р== 1,055-Ю3 кг/м3.
7.24.	Др = 0 M/k = 1,4 МПа.
7.25.	й = 3,96-10-“ Па-1.
7.26.	ДЛ=16,4 мм.
7.27.	Д/ = Л(1 + 0О/(1 — Л)₽ = 56°С.
7.28.	т = 884 г.
7.29.	При нагревании объем сосуда увеличился и стал равным
V — V., (1 + 0'0- Плотность ртути при нагревании стала равной
p-7-Vo 0 + 0'0’	}
С другой стороны (см. решение 7.21),
о——Р-°— —___________________________  (2)
Р 1+0/ Vo(l + PO’	°
Сравнивая (1) н (2), находим'
т0 (1+0'0____
т= 1 + р/ =887 г-
7.30.	0 = 7-10-4 К"1.
7.31.	х = (0— 0о)/0 = 5%, где 0 и 0О — коэффициенты объемного
расширения масла, найденные соответственно с учетом и без учета
расширения стекла.
7.32.	р= 102 кПа.
7.33.	Сила, необходимая для отрыва кольца от поверхности
£оды, складывается из силы тяжести, действующей на кольцо, и
силы поверхностного натяжения, т. е. /? = /?х + ^2- Сила тяжести
fi = PA| (й22-<ф£ = 40,0 мН.
При отрыве кольца поверхностная пленка разрывается по внешней
и внутренней окружностям кольца, поэтому сила поверхностного
натяжения
F2 — na (dj-J-da) = 23,5 мН,
Таким образом, f = 63,5 мН. При этом х = F2/F = 37%,
7.34.	a = 0,Q32 Н/м.
7.35.	d= 1,2 мм; 1 = 5 см.
7.36.	Сила тяжести, действующая на каплю, в момент ее отры-
ва должна разорвать поверхностную пленку на длине 1 = 2лг, где
г—радиус шейки капли. Отсюда сила тяжести Р = 2nra=nda.
В массе т спирта содержится /V капель, причем N = mgjP =
304
— mg/nda = 780 капель. Так как по условию капли отрываются
через время Дт=1 с одна после другой, то весь спирт вытечет
через время т = 780 с =13 мин.
7.37.	ах = 0,059 Н/м.
7.38.	Д/ = 34 см.
7.39.	/? = Зга/2р§ = 2,2 мм.
7.40.	Выделенная энергия при слиянии двух капель ртути
Д1Р = а Д5, где изменение площади поверхности ДЗ = 4лг2-2—4л/?2,
где /? — радиус большой капли. Радиус /? находим, приравнивая
объем большой капли сумме объемов слившихся капель: 2-4лг3/3 =
= 4л/?3/3, откуда P=rj/Z2. Тогда Д5 = 4л<2(2—у/ 4) и
ДГ = аД5 = а-4лг2(2—]/7).	(1)
Выделенная энергия пойдет на нагревание ртутной капли; следова-
тельно,
ДЦ7=ст Д/ = ср (4/3) л/?3 Д/ = ср (8/3) лг3 Д/.	(2)
Сравнивая (1) и (2), находим
Д/=За(2 — у/7)/сР2г= 1,65-10~4 К.
7.41.	Л = 14,7 мкДж.
7.42.	А=64 мкДж.
7.43.	А =432 мкДж.
7.44.	Давление воздуха в пузырьке р сложится из атмосферного
давления р0, гидростатического давления воды pi = p£
ного давления p2 = 2a/r = 4a/d, вызванного кривиз-
ной поверхности. Таким образом, р —+	+
-f-2a/r = 132,9 кПа.
7.45.	d = 8a/Ap = 2,6 мм.
7.46.	h = 4,9 м.
7.47.	В 4,4 раза.
7.48.	Радиус мениска R связан с радиусом труб-
ки г следующим образом (рис. 92):
r = R cos q> = /? cos (180°— 0)= —R cos 9,
где 0—краевой угол. Добавочное давление, вызван-
ное кривизной мениска, Др=—(2acos0)/r. Так
как для ртути 0 > л/2, т. е. cos 0 < 0, то это
добавочное давление положительно, и уровень ртути
будет ниже, чем в сосуде. Разность уровней
., 4a cos 0	п pgd п „ „
Д/i =-------з—, отсюда —со&0=—^-2-=0,740.
pgd	4a ’
Следовательно, радиус кривизны мениска ртути Р =—г/соз0 = 2мм.
305
и добавоч-
Рнс. 92.
в капилляре
7.49.	/?=0,53 мм; АЛ = 2,98 см.
7.50.	Л= 13,9 мм.
7.51.	a) d=l,5 мм; б) d=8,8 мм.'
7.52.	ДЛ = 7,5 мм.
7.53.	d = 0,15 мм.
7.54.	а = 0,07 Н/м.
7.55.	р = ро + 2а/г= 102,2 кПа.
7.56.	Обозначим: р0 и р — давления воздуха в капилляре до н
после погружения капилляра в воду, Vo и V—объемы воздуха в
капилляре до и после погружения. По закону Бойля—Мариотта
poVo—pV.	(1)
Здесь р = Po + 2a./r, V0 = Sh0, где S—площадь сечения капилляра и
Ло—его длина, V = Sh, где h—длина трубки, выступающей над
жидкостью после погружения. С учетом этого имеем
,	(	। 2а \ ,	2аЛ
РоЛо=^о+Тр, откуда	(2)
По условию (Ло—Л)/Ло = О,О15, или Л/(Л0—Л) = 65,7. Подставляя
числовые данные в (2), получим г = 0,1 мм.
7.57.	а) Л = 755 мм; б) Л =757 мм. Таким 'образом, если трубка
узкая, то атмосферное давление не может быть непосредственно
определено по высоте ртутного столба Л, так как к Давлению столба
прибавляется еще давление выпуклого мениска ртути в трубке.
7.58.	К высоте ртутного столба надо добавить 2 мм.
7.59.	а) х = (77 —Л)/Л = 0,4%; б) х= (Н — h)/h =0,2%.
7.60.	Чтобы иголка могла держаться на воде, необходимо, чтобы
давление, оказываемое иголкой на площадь ее опоры, не превышало
давления, вызванного кривизной поверхности жидкости в углублении
под иголкой и направленного вверх (силой Архимеда пренебрегаем).
Давление иголки на воду p1 = mg/ld = p Vg/ld = pn dg/4, где /—дли-
на иголки и V — ее объем. Давление, вызванное кривизной поверх-
ности жидкости, определяется формулой Лапласа рг = а (l//?t+ 1//?2).
В нашем случае поверхность жидкости цилиндрическая, т. е.
'и/?2 = г— радиус иголки. Тогда р2~а/г =
HZZZZZZZZZZZZZZZZZZZl—r. =2a/d. Так как необходимо, чтобы рх eS р2,
)_______________(Ч;	то рл dg/4 < 2а/d, откуда d < 8a/png =
= 1,6 мм.
Рис. 93.	7.61. Нет.
7.62.	d = 0,5 мм.
7.63.	т — 1,22 кг.
7.64.	т = 27,5 мг.
7.65.	[Поверхность смачивающей жидкости между пластинками
имеет цилиндрическую форму с радиусом кривизны R = d/2 (рис. 93).
Тогда добавочное отрицательное давление под цилиндрической во-
306
гнутой поверхностью p = a//? = 2a/d. Величина р—избыток внеш-
него давления, действующего на площадь пластинок S. Следова-
тельно, сила, которую надо приложить, чтобы оторвать пластинки
друг от друга,
Л = р$=?£ 5 = 31,5 Н.
а
7.66.	р = 0,79-103 кг/м3.
7.67.	а = 0,5*Н/м.
7.68.	При вертикальном положении капилляра верхний мениск
вогнутый и давление, вызванное кривизной этого мениска, всегда
направлено вверх и равно р1 = 2а/Д1, где Rx— радиус кривизны
верхнего мениска. При полном смачивании рх = 2а1г, где г—радиус
капилляра. Гидростатическое давление столба • жидкости всегда на-
правлено вниз и равно p2 = pgh. Если рг > р2, то результирующее
давление, направленное вверх, заставляет нижний мениск быть во-
гнутым. При этом давление р3, вызванное кривизной нижнего ме-
ниска, направлено вниз и равно p3 — 2a!R2< где R2— радиус кри-
визны нижнего мениска. В равновесии Р1 = р3-\-рз. Если р± < р2, то
результирующее давление направлено вниз и нижний мениск будет
Выпуклым. При этом давление р3 = 2а//?а будет направлено уже
вверх. В этом случае Pt-\-p3 = p3. Если р\ = р2, то нижний мениск
будет плоским и р3 = 0.
Пользуясь числовыми данными, нетрудно получить: а)/?!=0,5мм,
—1,52 мм; б) /?х=0,5 мм, /?2=1>46 мм; в) /?т = 0,5 мм,
00.
7.69.	т = 0,22 г.
7.70.	а) /г = 11,5 мм; б) /г=12,9 мм; в) й=17,2 мм (см. реше-
ние 7.68).
7.71.	а) ДЛ = 6,8 мм; б) АЛ = 8,5 мм; в) ДА = 17 мм; г) ДА—
= 23,8 мм. При ДА > 23,8 мм жидкость начнет вытекать из трубки 1.
7.72.	Если бы капилляр был достаточно длинным, то, как не-
трудно убедиться, вода в нем поднялась бы на высоту А'= 2,98 см.
Но высота капилляра над водой h < h . К мениску приложены
давление pa~2a!R, вызванное кривизной мениска, направленное
вверх, и гидростатическое давление p — pgh. Для любой высоты h
будем-иметь pgh = 2a/R, откуда R = 2a/pgh = 0,75 мм.
7.73.	На ареометр, плавающий в жидкости, действуют: сила
тяжести Р, направленная вниз, сила поверхностного натяжения
F = 2nra = n da, направленная при полном смачивании вниз (при
полном несмачивании вверх), и сила Архимеда pA = pg (V—f-S/i),
направленная вверх; где V—объем нецилнндрической части арео-
метра, S — площадь поперечного сечения трубки ареометра и h —
длина цилиндрической трубки, находящейся в жидкости, В равно-
307
весии
p+f==fa.
Считая, что от нескольких капель спирта плотность воды не изме-
нилась, мы можем написать для воды и спирта соответственно
P + dnai^pg^+S/ij), P+dna^pglV+Sht),
откуда A/i=4Aa/pgd = 2,4 мм,
7.74.	АЛ = 3,5' мм.
7.75.	Т = 313 К.
7.76.	А'= 1000.
7.77.	р = 290 кПа.
7.78.	т = 2 г.
7.79.	а = 0,55; п = 4-102* м~3.
7.80.	р=12,4 кПа.
7.81.	р2= 19,6 кПа.
7.82.	Д'=50.
7.83.	Закон Рауля можно применить для определения молярной
массы вещества. Действительно, закон Рауля можно написать так:
_*!_=Л+1, или ------1=3_А_=Л
Ро—Р V	Ро — Р	Ро — Р V
О)
Замечая, что v = m/u и v' = m'/p,', нетрудно из (1) получить
где т — масса растворителя, р—молярная масса растворителя, т'—
масса растворенного вещества и р'— молярная масса растворенного
вещества. Подставляя числовые данные, получим р' = 0,092 кг/моль.
7.84.	р0 = 925 кПа.	5
§ 8.	Твердые тела
8.1.	Из уравнения Клаузиуса—Клапейрона находим
(1
?0
С другой стороны, изменение энтропии
AS — ткй1Т = vqo/T,	(2)
где Zo—удельная теплота плавления, q0—молярная теплота плавле-
ния, т—масса. Из (1) и (2) имеем
АТ = Ар (Уж—Ут) v/AS = 0,009 К.	(3)
8.2.	AS = 15,8 кДж/К,
308
8.3.	ДУ= 1,03 л.
8.4.	а) с=390 Дж/(кг- К); б) с=450 Дж/(кг- К); в) с=930 Дж/(кг-К).
8.5.	Молярная масса материала шарика р = 0,107 кг/моль; сле-
довательно, шарик сделан из серебра,
8.6.	В 7,2 раза.
8.7.	ДТ=66 К.
8.8.	Количество теплоты, прошедшее через сложенные вместе
медную и железную пластинки, определяется формулой
Q = А,! Ь~1 St = Х2	St,
откуда
t —	—34 5 о(з
^1^2 ~Ь ^2^1
8.9.	X=l,28 Вт/(м-К).
8.10.	Q=190 кДж.
8.11.	<2t = 8,38 Дж/с; m = 60 г.
8.12.	Qx= 11,7 Дж/с.
8.13.	/=Ю6СС.
8.14.	т = 28,6 ч.
8.15.	При нагревании от /о = О°С до температуры / = 30°С стер-
жень удлинится на величину
Д/= / — Iq = It fit.	(1)
Чтобы не дать стержню удлиниться, к нему надо приложить силу
F — М ESjlff, откуда
М = l^F/ES,	(2)
где Е — модуль Юнга материала стержня. Из (1) и (2) находим
F = £Sa/==71 кН.
8.16.	т=15,2 кг.
8.17.	/2 = 20°С.
8.18.	62=1,8-10-5 К"1.
8.19.	Имеем для стального и медного стержней
G —^01 (1+«1/) = /01 + ^01«1/,	(1)
I2 — А)2 (1 ~т~о2() — Ion + Z02C2H	(2)
 По условию
/j—12=Д1,	/01—^оз==Д^-	(3)
Вычитая (2) из (1) и учитывая условия (3), получим
й1^01 = й2^03-	(4)
309
Из уравнений (3) и (4) нетрудно найтн длину стержней при /0 —0°С:
^02=^^1/(^2—	СМ, /о1 = /()2_Ь^'“ 16- СМ,	(
8.20.	В 1,02 раза.
8.21.	р = 29,4 МПа.
8.22.	d = 4,0 мм.
8.23,	/ = 2,9 км.
8.24.	/=180 м.
8.25.	/=11,9 км.
8.26.	7? = 2,45 кН; Д/ = 4 см; нет, так как удельная нагрузка
меньше предела упругости.
8.27.	а=75°30'.
8.28.	п = 3,4 с"1.
8.29.	Центробежная сила, действующая на стержень, в данном
случае
>	I
F = \ гео3 dm,
о
где со—угловая скорость вращения, г—расстояние от элемента массы
dm до оси вращения. Для однородного стержня dm = pSdr, где р —
плотность материала стержня и S — его сечение. Произведя интегри-
рование, получим
E = pSco3/2/2,
откуда предельная частота вращения
8.30.	р = 570 МПа.
8.31,	По закону Гука
М 1	1 F	„ SE л.
Т=1Г	’ откуда А ’
Для упругих сил
Е = £Д/.	‘	(2)
Сравнивая (1) и (2), видим, что k = SEjl. Тогда
А=£(Д/)2/2 = 5£(Д/)2/2/.	(3)
Вычисляя величину Д/ из (1) и подставляя остальные числовые дан-
ные в (3), получим А = 0,706 Дж.
8.32.	£ = 2,94 МПа.
8.33,	Для растяжения шланга на Д/ требуется приложить силу
31Q
При этом внутренний диаметр шланга уменьшится на hd-fid-jF/8.
Но из (1) имеем FIS = Mla,l\ следовательно,
ля яя 1
Ad=₽dl-T = —,
гдес = р/а — коэффициент Пуассона. Подставляя числовые данные,
найдем Дс7 = 1 мм и, следовательно, d2 = dt—Ad=9 мм.
8.34.	х = 0,3 м.
'8.35. Л4 = 2,26.10-’ Н-м.
8.36.	Закручивающий момент М = nAZd4(p/(2Z- 16), причем tg2cp =
z=ajL. При малых ср можно положить tg ср « ср, и тогда cp = a/2Z.=
= ZilM/nNd*. Отсюда М = стШ*/641Ь = 1,96-10~13 Н-м.
8.37.	Для поворота проволоки на угол dtp надо совершить работу
dA = М dtp,
где М — закручивающий момен^. Так как Л4 =nAZr4(p/2Z, то
.	(* лЛМф лЛМф2 1 ОК 1Л 19 ГТ
Л= 1 - 2~ - dq = - 4у - = J,25• 10~12 Дж.
о
Эта работа перейдет в потенциальную энергию W закрученной про-
волоки.
8.38.
8.39.
волоки и
а— 1,74 см.
„ ..	„	Р Дг/г
Коэффициент Пуассона 0 = ~~	, где г—радиус про-
I—ее длина. Объемы проволоки до и после растяжения!
у1=лг2/, У2 = л (г—Дг)2 (Z-J-AZ).
Если объем при растяжении не изменился, то
яг21 = п (г—Дг)2 (? + Л/).
Пренебрегая квадратами величин Дг и Д/, найдем яг2 Д1 = 2лг Д/7,
откуда с = 0,5.
8.40.	Плотность несжатого стержня р1 = т/У1, где У1 = лг2/.
Плотность сжатого стержня p2 = m/l/2, где У2 = л (г-фДг)2 (Z—Д/).
Следовательно, изменение плотности
л	' ( 1	1 \ т &V
Так как сжатие невелико, то приближенно можно принять V2Vi = yJ,
т. е. положить Др=т ДИ/Vi. Тогда относительное изменение плот-
ности Др/р^ = ДУ/И1.
Найдем изменение объема:
ДУ=лг2/—л (r-j-Дг)2 (/—Д/).
. 811
Пренебрегая квадратами величин Дг и А/, получим
AV=Viy(l-2«), откуда AL=AZ(l_2o),
»	Pi Г1 /
где о—коэффициент Пуассона. По закону Гука Mll = pnlE. Тогда
^(-20.
Pi £	У
У нас рп = 9,8Ь107 Па, 5=1,18-Ю11 Па и о = 0,34. Подставляя
эти данные, получим Др/Р1 = 0,027%.
8.41.	ДУ = 1 мм3.
Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 9.	Электростатика
9.1.	5=92,3 нН.
9.2.	г2 = 8,94 см.
9.4.	В 1,25-10” раза.
9.5.	5=0,7 Н.
9.6.	Энергия электростатического взаимодействия шариков
ц?эл =<?2/4лео8г, энергия их гравитационного взаимодействия Ц7гр =
= Gmxma/r. По условию
92/4ле0ег = пСт^т^/г,
где п=10“; отсюда g =/’neoe-4nGm1m3= 17 нКл.
9.7.	а) Гэл/Ггр = 4,17.10«; б) 1Гэл/1Ггр = 1,24-10”.
9.8.	На рис. 94 представлен харак-
тер зависимости энергии №эл электро-
статического взаимодействия двух то-
чечных зарядов от расстояния г между
ними.
9.9.	5 = 50,4 кВ/м.
9.10.	<7о = —2,23 нКл.
9.11.	В зависимости от расположе-
ния зарядов: а) 5 = 0; б) 5 = 60 кВ/м;
в) 5 = 30 кВ/м.
9.12.	5 = 0.
9.14.	На каждый шарик действуют две силы (рис. 95): сила тя-
жести mg и сила электростатического отталкивания 5ЭД. Равнодей-
ствующая этих сил равна 5. Но
5 эл = mg tg а=д2/4ле0ег2, г ft = I sin а,
9.13. 5=112 кВ/м.
312
где <?=9о/2—заряд на каждом шарике, g —ускорение свободного’
падения; отсюда имеем
<?2
т=	---------л,,4  2—1-----= 15,6 г«
gtga 4ne0e-4/2gsin2 a tg а
9.15. ?=1,1 мкКл.
9.16. Для шарика, находящегося в воздухе, имеет место урав
нение (см. решение 9.14)
т^ ~ 4леое-4/2 sin2 a tg а '
При погружении шарика в керосин на
каждый шарик стала действовать вытал-
кивающая сила Архимеда £дрх. Для ша-
рика, находящегося в керосине, имеем
mg Адрх — 4nBogK. 412^2^ tg ак ’	(2)
где
mg—£дрх = (р—рк) Vg,	(3)
где р—плотность материала шарика, рк—плотность керосина, V—
объем шарика, g—ускорение свободного падения. Из (1)—(3) имеем
mg —£ Арх _Р—Рк	в sin2 ж tg ж
mg	р ек з1п2жк tgaK *
откуда
ек sin2 aK tg aK
Р=Рк-----.-о t2т;-------------=2,55-103 кг/мч.
fKsm2aK tgaK — esm2atga	.
9.17.	po = ep/(e—1).
9.18.	ж=13°.
9.19.	о = 2е0е^Г2—(mg)2/q = 7,8 мкКл/м2.
9.20.	a) £ = 20 мкН; 6) £ = 126 мкН; в) £ = 62,8 мкН.
9.22.	£ = 36 ГВ/м.
9.23.	£г = 3,4 Н/м.
9.24.	F’l — 8,l Н/м; А/ = 0,112 Дж/м.
9.25.	£ = 3,12 МВ/м; поле направлено перпендикулярно к пло-
скости, проходящей через обе нити.
9.26.	£5 = 5,1 кН/м2.
9.27.	На шар действуют три силы: сила электрического поля £
(вверх), сила тяжести mg (вниз) и сила Архимеда £дрх (вверх).
В равновесии
mg — £ 4-£ Арк»
(1)
313
причем
mg = 4nRsgp/3, F=Eq, EApx = 4nZ?3gpM/3,	(2)
где р и р„—плотности меди и масла. Из (1) и (2) имеем
q = 4nR3g(p—plt)/3E = И нКл.
9.28. R = 0,44 мкм.
9.29. Имеем
Е _rsin а,
~2ле0еа
(1)‘
Сделав чертеж, нетрудно установить, что
,	//2
sin а= r- —
К a3+(Z/2)3
где I—длина нити, а—расстояние рассматриваемой точки
Подставляя (2) в (I), получим
tZ
(2)
от нити.
Е =-------~...-----.
4ne0e«pra3+ (Z/2)3
(3)
а)	Если а<^.1, то |/’а3Ц-(//2)2'« Z/2. В этом случае формула (3)
дает Е = т/2тога—напряженность поля бесконечно длинной идти.
б)	Если а^>1, то j/"a3-j-(Z/2)2 » а. Так как il = q, то форму-
ла (3) дает E = ?/4ne0sa2—напряженность поля точечного заряда.
9.30.	4= *4~ Т-Ц l/v • ПРИ 6 = 0,Оби Z = 0,25м
предельное, расстояние а = 4,.18 см.
9.31.	Z = 0,49 м; Е — 135 кВ/м; т = 0,41 мкКл/м.
9.32.	Данная задача аналогична задаче 2.159.
Возьмем элемент кольца dl (см. рис. 81). Этот элемент имеет
заряд dq. Напряженность электрического поля в точке А, созданная
этим элементом, dE = dq/4ne0ex2, Она направлена по линии х, соеди-
няющей элемент кольца dl с точкой А. Для нахождения напряжен-
ности поля всего кольца надо векторно сложить dE от всех элементов.
Вектор dx. можно разложить на составляющие dEx и dEn. Состав-
ляющие dEn каждых двух диаметрально противоположных элемен-
тов взаимно уничтожатся, и тогда
Е = J dEx.
Составляющая
dEx — dE cosa = d£ —= 4^4,
 х 4леоех3
что дает
Е — L
4ле0ех3
Lq
4ле0ех3'
'314
Но *=/Я2 -{-L2 и окончательно
4леое (/?2 + £2)3/3
— напряженность электрического поля на оси кольца.
Если L > R, то £ = ?/4ле0е£2, т. е. на больших расстояниях
заряженное кольцо можно рассматривать как точечный заряд. Под-
ставляя в (1) числовые данные, получим напряженности Е, равные
О, 1,60, 1,71, 1,60 и 1,15 кВ/м.
Выразим величины х и L через угол а. Имеем /?=xslna,
£=xcosa; теперь формула (1) примет вид .
Е =	cos a sin3 а.
4леоеД2
Для нахождения максимального значения напряженности Е возьмем
производную dE/da и приравняем ее нулю:
(cos2 а, 2 sin а—sin3a)=0, или tg2a = 2.
da 4леоеД2	'
Тогда напряженность электрического поля имеет максимальное
значение в точке А, расположенной на расстоянии £ = 7?/tga=
= R/V 2 = 7,1 см от центра кольца.
9.33.	В 1,3 раза (ср. с задачей 2.161).
9.34.	а) Если а < RT, то R/a велико и 1............ — и I.
K1+(W
В этом случае Е=о/2е0е, т. е. для точек, находящихся на близком
расстоянии от диска, диск можно уподобить бесконечно протяженной
плоскости.
б) Если а > R, то R/a мало и К1 + (R/a)2 т l—R2/2a2. В этом
с R2
случае •£ = 2еТ 2а2 ' ^ак КаК CT==|7/n^2> т0 £' = 1?/4леоеа2, т. е. для
точек, находящихся на большом расстоянии от диска, диск можно
уподобить точечному заряду.
9.35.	a/R — ЫУ 1—б3 ж б. При 6 = 0,05 и /?=О,25 м предель-
ное расстояние а =1,2 см.
9.36.	Я =2,5 м; £'=113 кВ/м; в 1,1 раза.
' 9.37. 7? =0,2 м; 6=10%.
9.38.	miA/2=qq(,/4xeoer. Подставляя числовые данные, найдем
г = 6 см.
9.39.	г = 5,1 • 10“10 м.
9.40.	г = 6,Ы0-14 м.
9.41.	г к, 6-10~1? м; ц= 1,6* 107 м/с, 4
9.42.	А = 1,2 мкДж.
9.44.	а) <р= 11,3 В; а) <р = 30 В,
9.45.	А = 113 мкДж,
315
9.46.	Uj «= 16,7 см/с.
9.47.	Ответ удобно представить в виде таблицы:
17, В	1	5	10	100	1000
V, м/с	5,93-10»	1,33-10».	1,87-10е	5,93-10»	1,87.10,’
9.48.	№к =8,5-IO"9 * * * 13 * * * Дж; i/ = 2,56 МВ.
9.49.	Имеем dA=qdU, но dL' =—Е dr = т dr/2neasr и
г2
,	qidr qi: , rj	2леоеД ,1Ч
А ——\ --------= 7Г—‘п—, откуда т = —;—7 — -.	(1)
J 2ле0ег 2ле0е r2 J q In (гг/г2) v '
Г1
Подставляя числовые данные, получим т = 0,6 мкКл/м.
9.50.	т = 3,7 мкКл/м.
9.51.	v = 2,97-107 м/с.
9.52.	<т=2Леое/? Дг = 6,6 мкКл/м2.
9.53.	d = 4,8 мм.
9.54.	т = 5,1-10-18 кг.
9.55.	В отсутствие электрического поля
mg = 6nT]rvi.	(1)
При наличии поля
mg~ Eq = 6лг]гс>2.	(2)
Из (1) и (2) находим mg—Eq=— mg, или
9 =	f 1_^\=4,Ь10-» Кл.
4 E \ J U \ J
9.56. В отсутствие электрического поля
mg = 6nT]roi.	(1)
Прн наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила F=qE.
Под действием этой силы пылинка получит ускорение, но вследствие
сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устано-
вится движение с некоторой постоянной скоростью v2, причем
qE = 6лт]го2.	(2)
Равнодействующая скоростей v± и г2 направлена под углом а, при-
чем tg a. = vilv1=qElmg. Очевидно, v2/Hi = 0,5d//, откуда /=0,5vid/o2=
= Q,ZmgdlqE = 2 см. Далее, o2=o1d/2/=l см/с. Искомое время на-
ходится по одной из формул:. [ = d/2c2, либо t — 1/Vi. Подставляя
в любую из этих формул числовые данные, получим t = 1 с.
9.57.	/=2 см; / = 64 мс.
9.58.	г=10~’ м; 7 = 7,3-10~18 Кл.
9.59.	q = 1,73 нКл.
9.60.	U = 22 кВ.
9.61.	1 = 22 мкм.
9.62.	/ = 0,5 см.
9.63.	У = 2,8 В; Е=530 В/м; о = 4,7 нКл/м2.
9.64.	г= У2г(7 Ar/ffld = 2,53-10е м/с.
9.65.	Е = 5,7 В/м; v= 10е м/с; Д = 4,5.10-18 Дж; U = 2,8 В.
9.66.	Е = 9,6.10-11 Н; а= 1,05- Ю1’ м/с2;	р=3,24.10’ м/с;
о = 5,3 мКл/м2.
9.67.	Электрой в плоском конденсаторе будет двигаться по па-
раболе подобно горизонтально брошенному телу в поле силы тяже-
сти. Действительно, на электрон в конденсаторе действует постоян-
ная сила F = eE, под действием которой он получит ускорение
а = еЕ/т и, пролетая длину I конденсатора за время t = l/v, откло-
нится на расстояние
y = a/2/2 = eEZ2/2mo2.	(1)
Чтобы электрон не вылетел из конденсатора, надо, чтобы y^df2\
отсюда v0<l feE/md. Подставляя числовые данные, получим для
электрона со = 3,64.107 м/с и для а-частицы и0 = 6-10® м/с.
9.68.	/ = 480 нс; s = 22 см.
9.69.	<гх = 15,7.10й м/с2; а„ = 8.1014 м/с2; а = 17,6- 10й м/с2.
9.70.	В 2 раза.
9.71.	Отклонение протона и а-частицы будет одно и то же.
9.72.	у= 1,33.107 м/с; а = 41°20'.
’•73- "-вдг”’ *
9.74.	у= 1 см.
9.75.	В 2,24 раза.
9.76.	E1 = e2t//(JIe2-f-d2e1)=60 кВ/м; Е2 = е1Е1/г2= 10 кВ/м,
9.77.	С = 710 мкФ; Д<р=1400 В.
9.78.	т = 2,5. Ю"20 кг.
9.79.	Заряд п капель qn = riq. Этот заряд будет находиться на
большой капле. Радиус большой капли найдется из условия п-4лг3р/3=
з /—
= 4л/?8р/3, откуда R=r у п. Тогда потенциал этой капли
з /—
rp=qn/C = nq/4nel)sR =nq/4neaer у п = 3,6кВ.
9.80.	<р= 19,5 кВ.
9.81.	г = 2,1 см.
9.82.	=	—линейная зависимость; <р=1,5 МВ.
9.83.	WM = 2,66.10-e Дж.
9.84.	С=5,9 нФ.
317
9.86.	о = 1,77 мкКл/м2.
9.86.	D = 3 см.
9.87.	В данном случае qt = q2, где qY и q2— заряды на пласти-
нах конденсатора до и после заполнения эбонитом. Таким образом,
q = const. Следовательно, и поверхностная плотность заряда на пла-
стинах o=<?/S = const. Так как E = o/e0e = U/d, то до и после за-
полнения имеем
od —	r
Учитывая, что o = const и d = const, получим UiEi— U\r2, откуда
U2=(71e1/e2 = 115 В.
До и после заполнения эбонитом имеем
Ci = eoSpS/d= 17,7 пФ, C2 = E(je2S/d = 46 пФ,
°i = °2 — q/S = CU/S = 531 нКл/м2.
9.88.	В данном случае t/i = t/2 = 300 В; С1 = 17,7 пФ, С2 = 46 пФ;'
01 = 531 нКл/м2, о2= 1,38 мкКл/м2.
9.89.	Если Ei н Ег—напряженности электрического поля, 1!г и
U2—падения потенциала в каждом слое, то
Ei£i = e2£2,-	(1)
У1+У2=У.	(2)
Уравнение (2) можно записать так:
£idi4" = U.	(3)
Из (1) и (3) имеем
£1= l/e2/(Eid2+e2d1)= 15 кВ/м, £2 = 8iEi/e2 = 45 кВ/м.
. Падение потенциалов в каждом слое:
l/i = 75 В, £/2 = 225’В.
Емкость С находится по формуле
1 _ 1 । 1	„„„ < _ Eo6iS	e„e2S
~сГс? где	c*~~dT-	(4)
Решая совместно (4), получим
С = 8oEiE2S/(diE2 Eid2) “ 26,6 пФ.
Заряд на одной из пластин ц = о£ = С1(71 = С2172 = С/7; отсюда
о — CUIS = 0,8 мкКл/м2.
9.90.	U = 1,8 кВ.
9.91.	Ct = 214 пФ/м,
9.92.	Имеем £ = т/2леоех, где заряд т, приходящийся на еди-
ницу длины кабеля, находится из соотношения
„ 2лЕпе£ q iL	2neaeU
откуда T=K(W
318
С учетом .этого получим, что напряженность поля £ = — =
== 136 кВ/м.
9.93.	Работа сил электрического поля переходит в кинетическую
энергию электрона: <4=тс,2/2. Имеем dA =q dU=—qE dx. Так как
& ~ xln (R/r) ’ TO
,	(* qU dx qU In (/,//2) mv2
A=~\HiWT hT(/?/7j ~~2~<
откуда
v= V ^-ЛрУ!2^1’46-107 m/c-
Г m In (R/r)
9.94.	Внутри цилиндрического конденсатора напряженность поля
„ и
£ — in • Падение потенциала в первом слое

С Up j..____________Т/о 1п [(fЧ~^1)/г].
J х In (R/r)	In (R/r)	’
r + dt
падение потенциала во втором слое
и и ° ‘п ^Rl(r
2 In (R/r)
Отсюда
Ui	ln((r + dt)/r]
^~ln(W+di)] ~ ’
9.95.	С = 0,96 пФ.
9.96.	а) ф = 300 В; б) ф = 75 В.
9.97.	С = 1,17 нФ, 7?о = 2,1 м.
9.98.	Е — UrR/(R—г) хг = 44,5 'кВ/м. Указание. Данная за-
дача аналогична задаче 9.92, но поле цилиндрического конденсатора
заменено полем сферического.
9.99.	Р=	—— =1,54-10’ м/с. Указание. Дан-
Т m(R—r) ххх2	*
ная задача аналогична задаче 9.93, но поле цилиндрического кон-
денсатора заменено полем сферического.
9.100.	С = 0,33 мкФ.
9.101.	C1/Ci = 3.
9.102.	q1 = q2 = 8 мкКл; Ui = 4 В; У2 = 2 В.
9.103.	Емкость С системы конденсаторов изменяется от 10 до
170 нФ при параллельном соединении и от 2,23 до 3,27 нФ при
последовательном.
319
9.104.	Емкость С системы конденсаторов изменяется от 20 до
900 пФ при параллельном соединении и от 5 до 225 пФ при после-
довательном.
9.105.	117 = 0,1 Дж.
9.106.	117 = 0,05 Дж.
9.107.	R =7 мм; q = 7,Q иКл; С=1,55 пФ; W = 15,8 мкДж.,
9.108.	а) 1Г1 = 50 мкДж; б) 117^= Ц72= 12,5 мкДж, /1=25 мкДж;
в) №1 = 1Гз = 3,125 мкДж, /1 = 6,25 мкДж.
9.109.	а) Ф1 = 3 кВ; б) ?2 = 20 нКл; в) U7] = 15 мкДж, IV'2 —
=90 мкДж; г) 9;=18 нКл, <pi = 5,4 кВ; д) qi = 12 нКл, ф2=5,4кВ;
е) 117 = 81 мкДж; ж) /1 = 24 мкДж.
9.110.	q-t^ — 2,7 мкКл.
9.111.	д=17,7 мкКл; £ = 333 кВ/м; Ц70 = 2,94 Дж/м3.
9.112.	/7 = 26,5 Па.
9.113.	(7 = 15 кВ.
9.114.	а) £ = 56 кВ/м; б) </ = 5мм; в) с =10' м/с; г) 117 = 695 нДж;
д) С=1,77 пФ; е) £=139 мкН.
9.115.	(7 = 21,7 кВ.
9.116.	£=60 кВ/м; Ц71 = 20 мкДж, Wt = 8 мкДж.
9.117.	£f = £2=150 кВ/м; Ц71==20 мкДж, 1F2 = 5O мкДж.
9.118.	a) W1 — 443 нДж, Ц72=17,8 нДж; б) 1171 = 443 нДж,
Ц72 = 11,1 мкДж.
9.119.	е = 4,5.
9.120.	а) Емкость уменьшилась на АС = 1,1 пФ; поток напря-
женности уменьшился на A<V£=750 В-м; объемная плотность энер-
гии уменьшилась на А117о = 48 мДж/м3, б) Емкость, как и в слу-
чае а), уменьшилась на АС=1,1 пФ; поток напряженности не изме-
нился (A/V£=0); объемная плотность энергии также не изменилась
(ДЦ7о = 0).
9.121.	а) Ц70 = о2£4/2е0е (£-|-х)1 = 97 мДж/м3; б) Wo = о2/8е0е =
= 1,97 Дж/м3; в) U7o = T2/8n2eoex2 = 50 мДж/м3.
9.122.	Введем обозначения: о0—поверхностная плотность заряда
на пластинах конденсатора в отсутствие диэлектрика, од — поверх-
ностная плотность заряда на пластинах в присутствии диэлектрика,
осв—поверхностная плотность связанных (поляризационных) заря-
дов на диэлектрике. Совместное действие зарядов <тд и осв таково,
как будто бы на границе раздела проводника и диэлектрика имеется
заряд, распределенный с плотностью
о = ад — осв.	(1)
Таким образом, <т—поверхностная плотность «эффективных» зарядов,
т. е. зарядов, определяющих суммарное, результирующее поле в ди-
электрике. Очевидно, величины <т0, <тд и о связаны с соответствую-
щими напряженностями поля следующими соотношениями;
320
в отсутствие диэлектрика
£1=<*о/ео U tidy	(2)
в присутствии диэлектрика
£2 = <тд/§08 = 0/80= l/2/d.	(3)
Из (1) имеем асв = °д—а> или на основании (3)
осв = е0еЕа— Sofa — е0(е— 1)£2 = е0 (б—1) U^d.,
а)	До отключения конденсатора от источника напряжения
U1 = U2=U и асв = 8о(е—1) U/d~X7,7 мкКл/м2.
Изменение поверхностной плотности заряда при заполнении конденса-
тора диэлектриком од — О0 = еое£2—	Так как в данном случае
£2 = £х — U/d, то
°д—^о = во(е— 1) U/d = oCB= 17,7 мкКл/м2.
Таким образом, благодаря источнику напряжения на пластинах
конденсатора появятся добавочные заряды, компенсирующие умень-
шение заряда, вызванное поляризацией диэлектрика.
б)	После отключения конденсатора от источника напряжения
q = const и £г = 81£1/е2 (см. решение 9.87) и
Осв = 8о(е — l)l/2/d = 8o(8—1) ei£i/e2d = 2,53 мкКл/м2.
Так как q = const, то <ТсВ = ао, т. е. поверхностная плотность заряда
на пластинах конденсатора не изменяется. ,
9.123.	Полярйзованность Р, численно равная поверхностной
плотности связанных зарядов ос|, на диэлектрике, пропорциональна
напряженности поля в диэлектрике, т. е. Р = осв = х'£. В системе
СИ диэлектрическая восприимчивость х' имеет размерность фарад
на метр. Можно показать, что х' = 4леох, где %—безразмерная вели-
чина (табличное значение диэлектрической восприимчивости). Тогда
поверхностная плотность связанных зарядов на диэлектрике
оСв = 4ле0и£ = 4л80хУ/d = 7,l мкКл/м2.
Найдем диэлектрическую проницаемость диэлектрика. Так как
осв = (е—1)£ (см. решение 9.122), то осв = 4леох£' = е0 (е.—1)Е,
откуда 8—1=4лх, или е = 1 -|-4лх= 1 +4л-0,08 = 2.. Тогда Е = U/d=
= од/80е. Отсюда поверхностная плотность заряда на пластинах
конденсатора
Од =Ueoefd= 14 мкКл/м2.
9.124.	а) Е = 300кВ/м; б) Од= 15,9мкКл/м3; в) осв=13,3 мкКл/м2;
Г) %' = асв/Е=44,4 пФ/м, х = х'/4лео = О,4.
1 В, С. Волькенштейн	321
9.125.	U =1,75 кВ.
9.126.	стсв=1 мкКл/м2.
9.127.	а) 5 = 752 кВ/м, 5 = в0е5=13,3 мкКл/м2; б) асв —
=6,7 мкКл/ма; в) стд= 13,3 мкКл/м2; г) ТГ0 = 5 Дж/м3; д)х' =
=8,9пФ/м, х = 0,08.
9.128.	осв = 5,3 мкКл/м2; х' = 17,7 пФ/м, х=0,159.	»
9.129.	а) А— 19,7 мкДж; б) Д = 98 мкДж.
§ 10.	Электрический ток
A ti
10.1.	7= j I d/= J (4+2/)d/ = 48 Кл; /0 = 12А.
t, tt
10.2.	a) 5=70 Ом; 6) 5f = 87,5 Ом; 52= 116,7 Ом; 53 = 175 Ом-;
54 = 350 Om.
10.3.	W = 200.
10.4.	Z = 500 m; <7=1 мм.
10.5.	5 = 1,8 мОм.
10.6.	В 2,22 раза.
10.7.	Имеем 5i = 5o (14-ct.Zi), где Ro—сопротивление нити при
/о = О°С; отсюда 50=5f/(l+aZi) = 32,8 Ом. Далее, Ц2=и!1 =
= 364 Ом, итак как 52 = 50 (1+«(2), то /2 = (52—5о)/5оа = 22ОО°С.
10.8.	/=17,5 мА.
10.9.	/2 = 70°С.
10.10.	(7 = 5,4 В.
10.11.	(71 = 12 В, (72=(73 = 4 В; /2 = 2 А, /3=1 А.
10.12.	/ = 0,1’1-А, (7 = 0,99 В, (7г = 0,11 В, п=0,9.
10.13.	(/=-Д-5 = -Д4у5. Кривая на
К -(-г	1 тл 
Грис. 96 дает характер зависимости падения
потенциала (7 во внешней цепи от внешнего
сопротивления 5. Кривая асимптотически при-
ближается к прямой (7 = ^=1,1 В.
10.14.	(7г = 0,125 В; 5=7,5 Ом.
10.15.	г| = 25%.
......................10.16.	(7Г = 2,7 В; г=0,9 Ом.
10.17.	х=(7/^ = п/(1+п); а) х = 9,1%; б)
Рис. 96.	х = 50%; в) х = 91%.
10.18.	г| = 80%.
10.19.	При последовательном соединении элементов /i=2^/(2r4-5),
при параллельном соединении /2 = <£/(0,5г4-5).
a) 7f = 5 А, /2 = 5,7 А; б) Л = 0,24 А, /3=0,124 А. Таким об-
разом, при малом внешнем сопротивлении 5 элементы выгоднее
322
соединять параллельно, а при большом внешнем сопротивлении —
последовательно.
10.20.	а) Д7?/7? = 1%; б) Д7?/7? = 10%; в) &R/R = 100%.
10.21.	а) AR/R=20%; б) Д7?/7?=2%; в) Д7?/7? = 0,2%.
10.22.	71 = 0,6 А; 72 = 0,4 А; 7 = 71 + /а = 1 А.
10.23.	Ток в цепи / = 2^>/(7?4-г14-г2) = 1,33 А. Разность потен-
циалов на зажимах первого элемента = — Iri —0,66 В; раз-
ность потенциалов на зажимах второго элемента (72 = (£—/г2 = 0.
Учащимся предлагается исследовать в общем виде, при каком соот-
ношении между R, Г! и гг разность потенциалов на зажимах одного
из элементов будет равна нулю.
10.24.	7?i=l,5 Ом; R2 = 2,5 Ом; (71 = 7,5 В, Т73= 12,5 В.
10.25.	^ = 2В; г=0,5 Ом.
10.26.	7 = 0,2 А.
10.27.	7?! =60 Ом.
10.28.	/2 = 0,4 А; (72 = 32 В.
10.29.	Т?2=60 Ом.
10.30.	7 = 2 А, (72 = 2 В.
10.31.	(7 = 80 В.
10.32.	<£=170 В.
10.33.	а) 7 = 0,22 А, (7=110 В; б) 7 = 0,142 А, (7 = 53,2 В;
в) 7 = 0,57 А, (7 = 110 В; г) 7 = 0,089 А, (7 = 35,6 В.
10.34.	7 = 40 А.
10.35.	Параллельно амперметру надо включить сопротивление
7? =0,02 Ом; цена деления амперметра изменится и вместо 0,Г А/дел
станет равной 1 А/дел.
10.36.	Последовательно с вольтметром надо включить сопротив-
ление 7? = 3 кОм; цена деления вольт-	£	'
метра изменится и вместо 0,2 В/дел ° °
станет равной 0,5 В/дел.	•	40 Вт
10.37.	а) Параллельно прибору	ЙОВш б?)
надо включить сопротивление R = __________________40Вт I______________
=0,555 Ом; б) последовательно с при-	•	х~>, I
бором, надо включить сопротивление
R =9,95 кОм.	Рис. 97,
10.38.	7? = 300 Ом; ( = 21,2 м.
10.39.	См. рис. 97; /1 = /2 = 0,365 А, 73 = 0,73 А.
10.40.	Д(7 = 6,8 В.
10.41.	ДР = 212 Вт.
10.42.	S —78 мм2.
10.43.	a) Qi/Q3 = 0,17; б) Ui/U2 = 0,17.
10.44*	. a) Qi/Q2 = 5,9; б) (/i/(/2 = l.
10.45.	Qx = 18 Дж/с.
10.46.	75о=2,4 кВт; Р = 2,3 кВт; т) = 96 %.
10.47.	г=1 Ом; 1)1 = 83,3%; 1)2=16,7%.	' Z
11*
323
10.48. По точкам иа кривой (рис. 34) составляем таблицу!
1, А	0	1	2	3	4	. 5	6	7	8	9	10
Р, Вт	0	1,8	3,2	4,2	4,8	5	4,8	4,2	3,2	1,8	0 '
Мощность, выделяемая во внешней цепи (полезная мощность),
достигает максимума при внешнем сопротивлении 7?, равном внут-
реннему сопротивлению г элемента. При этом падение потенциала
во внешней цепи (У =,£/2. Тогда к.п.д. элемента т] = 0,5. В нашем
случае Pmax~1U = 5 Вт. Следовательно, U == Ртзк/1= 1 В; отсюда
э.д.с. элемента <£ = 277 = 2 В. Так как при этом / = $12г, то внут-
реннее сопротивление элемента г = <£/2/= 0,2 Ом. Падение потен-
циала во внешней цепи 1] = Р[Г, к.п.д. элемента г] = U/£ — P/fil.
10.49.	,. По точкам на кривой (рнс. 34) находим (см. решение 10.48)
^* = 2 В и г = 0,2 Ом. Зная и г, найдем т], Рв и Р.
10.50.	<£ = 4 В; г=1 Ом.
10.51.	О зависимости U., Р и Ро от R см. в решениях 10.48 и
10.49.
10.52.	<£ = 6 В; г=1Ом. •	•
10.S3.	Р = 60 Вт.
16.54.	7=1 А.
10.55.	Р1 = 16 Вт.
10.56.	<£ = 100 В.
10.57.	Разность потенциалов U на концах лампочки меняется
от 30 до 54,5 В. Мощность Р( потребляемаи лампочкой, меняется
при этом от 30 до 9,9 Вт.
10.58.	a) Qxi = 6,37 Дж/с, Qx2 = 3,82 Дж/с; б) QXi = 16,2 Дж/с;
(?х2= 27,2 Дж/с.
10.59.	Большую (в 1,5 раза) мощность потребляет лампочка
с меньшим сопротивлением.
10.60.	А/= 36 °C.
10.61.	V = 2,9 л.
10.62.	Р = 1,2 кВт; R = 12 Ом.
10.63.	. Q = 250 кДж.
10.64.	а) т = 25 мин; б) т = 50 мии; в) т=12,5 мин.
10.65.	а) т = 45 мин; б) т=10 мин.
10.66.	т = 22 мин.
' 10.67. 7?1 = 5,4 Ом; с=2,1 кДж/(кг-К); Р2 = 49,6 Ом.
10.68.	т) = 80%.
10.69.	a) R = 14,4 Ом; б) 7=11,3 м; в) Р=1 кВт.
16.70.	Д7=3°С.
10.71.	Стоимость электроэнергии в месяц равна 1 р. 33 к.
324
10.72.	-т=49 мин.
10.73.	R =33 Ом.
10.74.	Количества .теплоты, выделившиеся в медиом проводе и
в свинцовом предохранителе:
Qi =/HiCi A/i = 6jZjSiCi Д/i, Qz = 62^2^2 (^2 ^/2 Д'г),	(О
где 61 и 62 — плотности меди и свинца, If и /2—длины провода и
предохранителя, с4 и с2— удельные теплоемкости меди и свиица, AZi
и A/2 = /nJI—to—повышения температуры провода и предохранителя,
г — удельная теплота плавления свинца. Так как оба провода вклю-
чены в цепь последовательно, то
71 — 7а, Q1/Q2 = 7?i/R2 — ^г^гРгЛг^Рг,	(2)
где pi и р2—удельные сопротивления меди и свинца. Из (1) и (2)
имеем
Mi^iCi Д/f  Р171^2
62/2S2 (с3 Д7гЧ*7)	P2I2S1
откуда разность температур
дt.  P162S2 (С2 Д7з+г)
P2^1SlCj
У нас (см. табл. XI и XV) рх = 0,017 мкОм-м, р2 = 0,22 мкОм-м,
61 = 8,6-103 кг/м3,62= 11,3-IO3 кг/м3, ci=395 Дж/(кг-К), с2=
= 126,0 Дж/(кг- К), 7ПЛ=327 °C, г=22,6 кДж/кг, Д73 = /пл—/0 =310 °C.
Подставляя эти данные, получим Д/1=1,8°С.
10.75.	Q% = 1,55 кДж/(с-м3).
10.76.	/1 = /2 = 26,7 мА; /3 = /4 = 4 мА.
10.77.	Применим закон Кирхгофа для данной разветвленной
цепи. Прежде всего наметим направление токов стрелками на рис. 98.
Предположим, что токи будут идти в на)
нами стрелок. По первому закону К
,	7з = 714-72.	(1)
(Для узла А мы получим тождественное
уравнение.) По второму закону Кирхгофа
для контуров АВС и ACD
7з/?з4-717?1= Sit	(2)
7iRi—72/?2 = <7?з-	(3)
(Вместо контура ACD или контура АВС
контур ABCD.)
325
Имеем три уравнения для нахождения трех неизвестных: 1г, /2
и /3. При решении задач на применение законов Кирхгофа удобнее
уравнения (1) — (3) представить в числовом виде:
/з = Л+,Л. Ю73 + 4571 = 2,1, 45Д —1072=1,9.
Решая эти уравнения, получим 7^ = 0,04 А, /2 =—0,01 А и 73=О,ОЗА.
Отрицательный знак у тока /а указывает на то, что направление
тока нами было взято неверно. Направление тока /2 в действитель-
ности будет от D к С, а не наоборот, как это было принято перед
составлением уравнений.
10.78.	77= 1,28 В.
10.79.	R = 0,66 Ом; /2 = 0,5 А; 7 = 1,5 А.
10.80.	R = 0,75 Ом; 72 = 2А; 7 = 4 А,
10.81.	7 = 0,4 А.
10.82.	7=2 А.
10.83.	7?! = 20 Ом.
10.84.	7 = 0,45 мА.
10.85.	7=1 мА.
10.86.	71 = 385 мА; /2=77 мА; /3 = ЗО8 мА.
10.87.	/1 = 0,3 А; 72 = 0,5 А; /3 = 0,8 А; 7?3 = 7,5 Ом,
10.88.	<£2 = 30 В; ^>3 = 45 В.
10.89.	7 = 9 А.
10.90.	<£i=24 В; <£2=12 В; /2=1,2 А; /3 = 0,3 А,
10.91.	/х = 2,28 А; 72 = 0,56 А; 7 = 1,72 А.
10.92.	В 3 раза.
10.93.	77 = 100 В.
10.94.	^1 = (^2=200 В.
10.95.	7 = 75 мА.
10.96.	а) 771=120 В; 772 = 80 В; б) (7i = 7/2=100 В.
10.97.	т = 2 ч.
10.98.	т=10 мин.; d = 4,6 мкм. •
10.99.	/=56 А/м2.
10.100.	К = 1,04-IO-8 кг/Кл.
10.101.	Амперметр показывает меньше на 0,04 А,
10.102.	т2 = 53 мг.
10.103.	Т=149 ч; 17 = 53,7 ГДж.
10.104.	17 = 1,8 кДж.
10.105.	Энергия, необходимая для выделения массы т вещества
при электролизе,
17 = 777/= m(7Zf/А,	(1)
где F—постоянная Фарадея, А — молярная масса, Z—валентность
и U—приложенная разность потенциалов. Чтобы разложить
v=2 моль воды, т. е. чтобы выделить т = 4 г водорода, требуется
326
5,75-105 Дж энергии. Таким образом, у наст = 4 г, U7 = 5,75 • 105 Дж.
Подставляя числовые данные в (1), получим 17=1,5 В.
10.106.	В слабых растворах awl, т. е. все молекулы диссо-
циированы. Следовательно, эквивалентная проводимость Л„ =
= Г («++«_). Подставляя числовые данные: F = 96,5-103 Кл/моль,
и+=3,26.10~’ м2/(В-с) и п_=0,64.10-’ м2/(В-с), получим Д«, =
= 37,6-10~3 м2/(Ом.моль).
10.107.	<?+ = 100 Кл; <?_ =20 Кл.
10.108.	а) ct = 94%; б) т] = 0,1 моль/л; в) и+4-«_ =
= 1,35.10-’м2/(В-с).
10.109.	R = 180 кОм.
10.110.	R =520 кОм.
10.111.	А = 3,9.10~3 м2/(Ом-моль).
10.112.	а = 92%.
10.113.	« = 5,5-1026 и-?.
10.114.	у = 10~12 м3/с.
10.115.	/ = 0,24 мкА/м2; /+/7 = 0,01%.
10.116.	7н = 0,1 мкА.
10.117.	Наибольшее возможное число ионов каждого знака в еди-
нице объема камеры получится при условии, что убывание иоиов
происходит только за счет их рекомбинации, В этом случая N = уп2
и п=)<Л7т = 3,2.1013 м-3.
10.118.	R =3,4- 10м Ом.
10.119.	1 = 3,3 нА; ///н = 3,3%,
10.120.	Потенциалом ионизации атома называется разность по-
тенциалов, которую должен пройти электрон, чтобы при соударении
с атомом его ионизовать. Поэтому скорость, которую должен иметь
электрон, найдется из равенства то2/2=е1/, или о=рЛ2е(7/т =
= 2,2-10е м/с.
10.121.	7’ = 8-101 К.	4
10.122.	А = 39,2-10-19 Дж.
10.123.	^ = 8,3.105 м/с; о2=1,4.106 м/с.
10.124.	Удельная термоэлектронная эмиссия вольфрама при тем-
пературах 7\ и Т2:
о / А \	о / А \
/^STiexp^--^-), /2 = ВТ2ехр(-1Т-),
Деля второе уравнение на первое, получим
7 а
/1
2,6.
10.125.	/в//х = 1,1 • 10*.
327
10.126.	Удельная эмиссия чистого вольфрама при температуре
7^=2500 К .. торированиого вольфрама при температуре Т2:
f^SjThxp (--4^ =2,84-IO’ А/м3, /2 = 527iexp	.
По условию й = /2, т. е.
В2т1ехр (-^0 =2,84.10’ А/м3.	-	1)
Уравнение (1) можно решить двумя способами.
а)	Графический способ. По оси абсцисс откладываем величину Т2,
по оси ординат — величину у — 103B27i exp (— A2!kT2) (рис.. 99).
Абсцисса точки пересечения этой кривой с горизонтальной прямой
у=2,84-10’ и даст искомое значение температуры. Результаты вы-
числений удобно представить таблицей:
Т,. К	z-At/kTt	.exp (-z)	У
1500	20,3	0,16.10-’	0,11-Ю3
1700	17,7	1,6-10-’	1,38-103
1750	17,1	3,7.10-’	2,54-10’
1800	16,7	5,6.10-’	4,25.10’
Из рис. 99 видно, что решением уравнения (1) является значение
Г2 « 1760 К.
б)	Способ последовательных приближений. Так как в основном
зависимость удельной эмиссии от температуры определяется экспо-
ненциальным множитёлем exp (— A/kT), а ие множителем Г3, то
в первом приближении можем положить
B2tl exp (— A2!kT2)
4 •	] з -	4 2>	/ I'	У -	тг-к О	1 1 11 ‘—1 isoo IBM mo шо Рис, 99,	=В2 (2500)3 ехр(—A2/feT2) = 2,84-10® А/м3; отсюда ёхр (—<42/&7’2)=2,84-1О’/В27’1 = = 1,86-10-’ и 72=1690 К —первое прибли- жение. Во втором приближении S2 (1690)2 exp (— At!kT2) = 2,84-103 А/м3; отсюда Т г~1770 К—второе приближение. Далее, В2 (1770)2 ехр (— Аа/Щ) = 2,84-10’ А/м3;
328
отсюда 7\=1750 К—третье приближение. Аналогично
В2 (1750)’exp (~-A2/kT2) = 2,84- 10s А/м3;
отсюда Т»= 1760 К—четвертое приближение. Легко убедиться, что
пятое приближение с точностью до третьей значащей цифры совпа-
дает с четвертым приближением. Таким образом, искомое решение
Т,= 1760 К.
§ 11.	Электромагнетизм
11.1.	#=39,8 А/м.
11.2.	# = 50 А/м.
11.3.	#1= 120 А/м; /72=159 А/м; #3=135А/м.
11.4.	#1=199 А/м; #а = 0; #3=183А/м.
11.5.	Между точками Д и /а на расстоянии а = 3,3 см огг точки А.
11.6.	Правее точки А на расстояниях aj=l,8 см и аа = 6,96 см
от нее.
11.7.	#j = 8 А/м; #2 = 55,8 А/м;
11.8.	#1 = 35,6 А/м; #2 = 57,4 А/м.
17.9.	# = 8 А/м. Напряженность магнитного поля направлена
перпендикулярно к плоскости, проходящей через оба провода.
11.10.	Результирующее поле будет направлено вертикально вверх,
если напряженность # поля тока скомпенсирует горизонтальную
составляющую напряженности #г маг-
нитного поля Земли. Так как # =
=#г=//2ла, то а=//2л#г = 0,08 м.
11.11. Напряженность магнитного по-
ля в точке С будет равна (рис. 100)
“i
С- Z sin а ,,
\ ~~л—T-dl.
J 4лг3
«,
Но Z=a’ctga и dl=—a da/sln3 а. Далее,
а,	-
/С	I
Я=“ 4ла J slnarfa==4^-(cos«i-cos а2) = 31,8 А/м,
а,
где «2 = 180'’—60° =120°.
11.12.	# = 56,5 А/м.
11.13.	а<5 см.
11.14.	Z 0,245 м; # = 358 А/м.
11.15.	# = 77,3 А/м.
11.16.	# = лр/3/$#=0,12 В.
329
11.17.	/7=12,7 А/м.
11.18.	/7 = 25,7 А/м.
11.19.	а) /7=12,2 А/м; б) /7 = 0.
11.20.	а) /7 = 62,2 А/м; б) Н = 38,2 А/м.
11.22.	/7=177 А/м.
11.23.	/7 = 35,8 А/м.
11.24.	Ut=4Ut.
11.25.	7 = 0,2 м.
11.26.	R = 8 см.
11.27.	/7 = 6,67 кА/м.
11.28.	/7= 1,25 кА/м.
11.29.	Из 4 слоев.
11.30.	/А’=200 А-в; /7 = 2,7 В.
11.31.	//£> = (1—6)//1 —(1 —6)2 » (1—6)//26; при 6<0,05
получим
11.32.	6 = 3%.
11.33.	На рис. 101 изображен характер зависимости
11.34.	Нт= 16 А/м.
л/7	- 11.35. «=100 с-1.
11.36.	Ф= 113 мкВб.
________________Х Д- 11.37. Ф = 157 мВб.
рис ]01	11.38. Ф= 1,6.10-4соз(4л/4-а) Вб,
'	где а—угол между нормалью к рамке
и направлением магнитного поля в начальный момент времени;
Фщах = 160 мВб.
11.39.	Имеем
ц = В/Нц0.	(1)
По условию Н = 796 А/м я 0,8 кА/м. По графику B = данному
в приложении II, находим, что значению /7 = 0,8 кА/м соответствует
S = l,4 Тл. Подставляя значения |i0, Н, В в (1), получим р = 1400.
11.40.	/М = 500 А-в.
11.41.	/М = 855 А-в.
11.42.	pi = 440.
11.43.	/А = 5000 А-в.
11.44.	S = l,8 Тл; ц = 200.
11.45.	Магнитная индукция одинакова в сердечнике и в воздуш-
ном зазоре, т. е.
п Я--Ф — Wo
1 2 S 7i/pi4-Z2/H2
Так как Br = popii//j, то из (1) имеем
йа~~—(2)
На
330
Это уравнение прямой линии в координатных осях Н, В. Но вели-
чины Н и В, кроме уравнения (2), связаны еще графиком В — f (//).
Ордината точки пересечения прямой (2) и кривой, соответствующей
зависимости B=f(H), дает значение магнитной индукции В! = В2.
Для построения прямой по уравнению (2) находим
В = /Арор2//2 = О-84 Тл при И = 0, H=lNllx = 2 кА/м при В = 0.
Искомая точка пересечения дает Bi=B2 = 0,78 Тл. Тогда для воз-
душного зазора Н2 = В2/р0р2 = 620 кА/м.
11.46.	В 1,9 раза (см. решение 11.45).
11.48.	р=\ А-м2.
11.49.	Ф=18 мкВб.
11.50.	Имеем /7 = 7/2лх. Возьмем элемент площади поперечного
сечения кольца dS = hdx. Тогда магнитный поток сквозь этот эле-
мент будет
d<b — В dS~ uoii A— h dx.
2лх
Магнитный поток через все поперечное сечение кольца
h
ЦрЦ/h Г dx _ рор/й Z2
2л J х 2л П /1
h
Находя р и подставляя остальные данные, получим Ф=18 мкВб.
11.51.	/2 = 620 А.
11.52.	7 = 60 А.
11.53.	/2=11,3 А; р = 457.
11.54.	Имеем В= . ,	; отсюда необходимое число ам-
‘i/Pi + ^/Pa
пер-витков
]N=— ( Aj.A')
Ро \ Pi Pz / PoPi
Из кривой B = f(H) находим, что значению В = 1,4 Тл соответствует
значение /7 = 0,8 кА/м. Следовательно, IN = 1,14-104 A-в. Далее,
I = ^/R =(§S/piiDN, откуда ^ = JNpnD/S = 3l В.
Так как диаметр проволоки d — рЛ45/л= 1,13 мм, то на длине
соленоида Zj поместится А^ = (40-10~2)/(1,13.10~3)=354 витка. Так
как /=/S = 3 А, М=3830 витков, то необходимое число слоев будет
равно 3830/354 « 11. Диаметр проволоки d = l,13 мм, поэтому
11 слоев займут толщину 6=1,2 см.
11.55.	Г = 4,9	Н.
4^2	4fg
11.56.	А= С	F	dx= Г	РоР/1/2^	jn ^2 . работа на
Л	Л 2лх	2л	di
d,	dt
331
единицу длины проводников
jn -^.=83 мкДж/м.
I 2л их
’ 11.57. 7j = /2 = 20 А.
11.58.	Mt =3,53.10-4 Н-м; Л4г = 4,5.10~4 Н-м.
11.59.	0,125%; на 3,2-10-’ Н.
11.60.	а) Л4 = 2,4.10~’ Н-м; б) М = 1,2-10"’ Н-м.
11.61.	На магнитную стрелку действует вращающий момент
A4 = p6sina, где р—магнитный момент стрелки и В — цоцН =
— /цоц/2ла — индукция магнитного поля тока. Вращающий момент М
вызывает поворот нити на угол ср = 27Л1/зтОг4, где I—длина ннти,
г — радиус нити н G—модуль сдвига материала нити. Так как
slna=l, то М = рВ = pl[i0[i/2na. Тогда
<p = |ioji//p/an2Gr1=O,52 рад, нли <р = 30°..
11.62.	7 = 0,1 мкА.
11.63.	G = 50 ГПа.
11.64.	А = 0,5 мДж.
11.65.	А =0,2 Дж; Р = 20мВт.
11.66.	а) На радиус ab (рис. 57) действует сила F = BIR. Работа
при одном обороте диска A—BIS, где S—площадь, описываемая
радиусом за один оборот, т. е. площадь диска. Мощность такого
двигателя Р = А// = п7?7л/?2 = 23,6 мВт. б) Диск вращается против
часовой стрелки, в) На элемент радиуса dx действует сила dF=BIdx
и вращающий момент dM—xdF = Blxdx, где х—расстояние эле-
мента , dx от оси вращения. На весь диск действует вращающий
момент
R
Blxdx=^~—12,5.10-^ Н-м.
о
11.67.	7 = 15,3 А.
11.68.	Ф = 1 Вб.
11.69.	R =9 см. Имеем 7’ = 2л7?Д>, причем R~mv]eB. Следова-
тельно, Т = 2лт.!еВ, т. е. период не зависит от скорости электрона.
Подставляя числовые данные, найдем 7’=30 нс. Л1=1,5-10~24 кг-м2/с.
11.70.	7=’ = 4-10-м Н.
11.71.	Г = 4,7-10-12 Н.
11.72.	ах = 0 во все время движения; <zn = const=7-101’ м/с2.
11.73.	Г =17,3 МэВ.
11.74.	/?1//?г = т1/т2==г 1840.
11.75.	R1/R2=/^7^;=/T840 = 42,9,
11.76.	«7 = 88 кэВ.
11.77.	? = 3,2.10-1в Кл.
332
11.78.	Л/Т2-2.
11.79.	F = 5.10-“ H; 7? =3,2 см; Т=1,3 мкс.
11.80.	W = 500 эВ.
11.81.	/?! = 19,5 см; /?г = 20,0 см.
11.82.	g/m=4,8-10’ Кл/кг. Для электрона q!m= 1,76-1011 Кл/кг;
для протона g/m=9,6-107 Кл/кг;
для а-частицы g/m = 4,8-107 Кл/кг.
11.83. Общее смещение электрона
х-х^~\-х3, где x-i—смещение элек-
трона в магнитном поле (рис. 102).
Электрон в магнитном поле движет-
ся по окружности радиусом R = mvleB.
Смещение х± можно найти из со-
отношения х1 = ОС = ОС—OD. Но
OC = R и OD = УОМ2—ОМ2 =
= КЯ3— Ьг. Таким образом, *! =
=7?— 1Л/?2—№. Смещение х2 может
быть найдено из пропорции
x3/l = DM/D0, откуда х2=Ы/У R2— Ь2. Тогда общее смещение
x=R—	+ Ы/ V R2—b2.
Имеем
D	mv	1	/ 2Um
R	еВ~ В V е	*
Подставляя числовые данные, получим 7? = 4 см и х = 4,9 см.
11.84.	а) ап = 0, a = az = еЕ/т— 1,76-1014 м/с2;. б) ах = 0,
а = ап= У (evB/m)2-\-(eE/m)2 = 2,5.1014 м/с2.
11.85.	t> = 2-10e м/с; Я =2,3 см.
11.86.	Электрон влетает в магнитное поле со скоростью
v—y2eU/m. Разложим скорость V иа две составляющие: vx, направ-
ленную вдоль поля, и vn, направленную перпендикулярно к полю.
Проекция Траектории электрона на плоскость, перпендикулярную
к индукции В, представляет собой окружность, радиус.которой равен
искомому радиусу винтовой траектории и определяется формулой
R=mvn!eB —m(v sin а)/еВ.
Так как период обращения электрона T — 2nR/v sin а. = 2лт/еВ, то
шаг винтовой траектории электрона -
h = vx Т = 2пт (о cos а) /еВ.
Подставляя числовые данные, получим R = I см и h = 11 см.
11.87.	W = 433 эВ.
11.88.	Я =5 мм; Л = 3,6 см.
333
11.89.	/г=3,94 см.
11.90.	n = IB/Uea — З, ЫО28 м~3; v = //ne = 7/Sne = 0,31 мм/с.
1	11.91. 77 = 2,7 мкВ.
11.92.	« = 0,65 м2/(В-с).
11.93.	<§ = — d®/dt = — Bldxldt = — Blv — —0,15 В.
11.94.	(£ср = 78,5 В.
11.95.	,£=165 мВ.
11.96.	При каждом обороте стержня магнитный поток, пересе-
каемый стержнем, Ф = В5 = Вл12. Если п—частота вращения
стержня, то
<£=Вл12п=Вл/2со/2л = В/2со/2,
где со—угловая скорость вращения, Подставляя числовые данные,
получим (£ = 0,5 В.
11.97.	о = 0,5 м/с.
11.98.	<£сР = 1 В.
11.99.	(£max=®0co=BSW2nn=3,14 В,
11.100.	<£гаах = 0,09 В.
11.101.	<£ = 4,7 мВ.
11.102.	п = 6,4 с'1.
11.103.	<£ср= 18 мВ.
11Л04. <£Ср = 5,1 В.
11.105.	<£ср= 1,57 В.
11.106.	<£тах = 250 мВ.
11.107.	£! = 0,9 мГн; £г = 0,36 Гн.
11.108.	1=55 мкГн.
11.109.	1 = 0,71 мГн; Ф = 3,55 мкВб,
11.110.	W=380.
11.111.	|Х=1400.
11.112.	7=1 А.
11.113.	М = 500.
11.114.	р.= 1400; 7=1,6 А.
11.115.	р = 640; 7. = 64 мГн.
11.116.	а) А = 9,0 Гн; б) L = 5,8 Гн; в) L = 0,83 Гн,
11.117.	Имеем
7-j= popn^-S, 72= P'oP'/ialB.	(1)
Взаимная индуктивность катушек, имеющих общий сердечник,
£1'2 = ЦоЦП^В.	(2)
Умножая соотношения (1) друг на друга, получим
7-17-2= (Ho^S)* nint откуда щпг= УLfL^ftlS.	(3)
334
Подставляя (3) в (2), найдем Lf2= УLrL2. Так как ^г=—
средний ток во второй катушке
,	УЦЦ Mt
i-i------------------
R M R M 0,2 A>
11.118.	Количество электричества, индуцируемое в рамке,
Ф2
? = __L С ^ф=__к(ф2_Ф1),	(1)
J	К
ф<
где — магнитный поток через рамку в первом положении и Ф2 —
магнитный поток через рамку во втором положении. У нас Ф2 = 0;
кроме того,
7? = p//s = p4a/s = p4 У S/s,	(2)
где а—сторона рамки. Так как Ф1 = В8, то
д — В5'У S/4p — 74 мКл,
11.119.	<7=0,15 мКл.
11.120.	<7 = 0,25 мКл.
11.121.	С=10-8 Кл/дел.
11.122.	В = 0,2 Тл.
11.123.	Напряженность магнитного поля в тороиде
H=IN1H.	(1)
Если изменить направление тока в первичной катушке на противо-
положное, то через гальванометр пройдет количество электричества
<7=2ФМ2/Я, где Ф—магнитный поток, пронизывающий площадь по-
перечного сечения тороида. Но Q = BS = pvpHS = p.ap,SINlll\ следо-
вательно,
откуда р, = 9/?Z/2p,0A^iA^aS/.
Так как q = Ca, то
g=Cal?l/2g0^2SZ,	(2)
Подставляя в (1) и (2) различные значения I и соответствующие зна-
чения а, данные в условии задачи, получим таблицу:
1, А	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
Н, А/м	133	266	400	'533	667
Ц	1440	2190	2050	1790	1520
335
11.124.	р= 1200.
11.125.	t = 126 мс.
11.126.	<=0,25 мс. .
11.127.	В 1,5 раза.	_
11.128.	<=10 мс.
14Л30. a) <D=60Ssin to<=2,5-10~®sin 100л< Вб, <Dmax=25 мкВб;
б)	—7,85-10-»cos 100л< В, <£>тах=7,85 мВ; в) /=—2,3cos 100л< А,
Лпах = 2,3 А.
11.131.	a) S-— 33cos 100л< В; б) W' = L72/2=0,263sin2100n< Дж.
11.132.	<£3 = — L13 dlldt = — Liil^ cos <£>t = —15,7 cos 100л< В;
$smax = lV В.
Гл а в а IV
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§ 12. Гармоническое колебательное движение и волны
12Л. x=5sin (5л<+л/4) см.
12.2.	х = 0,1 sin — t м.
12.3.	x=50sin	мм; х£ = 35,2 мм, х2=0.
12.4.	a) x = 5siny< см; б) х=5 sin	<-{—у) см; в) х —
..	/ Л > .	\	. р , f л , , Зл \	. с > л >
= 5sln I — <+л 1 см; г) x=5sin I-у <-{--у- 1 см; д) x=5sin-y < см.
12.5.	См. рис. 103.
/ 2л \
12.6.	Имеем х= A sin (-у <+ф )• По условию х = Д/2. Следо-
вательно, 0,5 = sin (л</12), т. е. л</12 = л/6; отсюда < = 2 с,
12.7.	< = Т/6.
12.8.	<=1 с.
12.9.	Vniax = 7,85 см/с; атах=12,3 см/с2.
12.10.	Т — 4 с; отах = 3,14 см/с; атах = 4,93 см/с2.
12.11.	Скорость о—4т-=-5- cos -5-1. Скорость будет максималь-
на о о
ной прн л</6=1, т. е. при л</6 = лл, где n = 0, 1, 2, ... Таким
образом, максимальная скорость достигается в моменты времени
< = 0, 6, 12 с, ... Ускорение будет максимальным при sin(n//6)=l,
т. е. при л</6 = (2п+1) л/2. Таким образом, максимальное ускорение
достигается в моменты времени < = 3, 9, 15 с, ...
12.12.	V —13,6 см/с.
12.13.	х = 5 sin (л<+л/6) см.
12.14.	А = 3,1 см; Т = 4,1 с.
336
12.15. Лпах = 246 мкН.
12.16.	FmaK=\91 мкН; 47 = 4,93 мкДж.
12.17.	См. рис. 104. Из графика видно, что период колебаний
энергии вдвое меньше периода самого колебательного движения.
.	12.18. а) Й7К/№П = 3; б) Ц7К/Ц7П = 1; в) 47К/Ц7П=1/3.
Оде синусоиды совпадают
12.19	. а)47к/47п = 15;б) 47К/Й7П =
=3; в) Й7К/Й7П = О.
12.20	. x=0,04sin (л/-)-л/3) м.
12.21	, х = ГА2/2117=1,5 см.
12.22	. Период колебаний шарика
Т = 2лУ //g=2,8 с. Амплитуда коле-
баний при малых отклонениях
шарика от положения равновесия
Рис. 103.	Рис. 104.
А = Z sin сс = 2.0,0698 м «0,14 м.
Тогда уравнение движения ша-
рика запишется так:
. . 2л	. 2л .
х— A sin -=- t = 0,14 sin s-л ‘ м,
1	А > о
если время отсчитывать от положения равновесия. При прохождении
шариком положения равновесия его скорость будет достигать иаи-
,	~	0,14-2л 2л .
большего значения. 1ак как v——=-5—cos s-л ' м/с, то
4 , О	J , О
0,14.2л	'
Ушах = —2-§— М/с = 0,31 М/С.
Эту же скорость мы можем найти из соотношения mgh — mv2/2,
где h — высота поднятия-шарика; отсюда о=]/"2^й. Нетрудно видеть,
что Л = /(1—cos а). Тогда v= У 2gl (1—cos а) = 0,31 м/с. При боль-
ших отклонениях маятника от положения равновесия колебания
маятника уже ие будут гармоническими,
12.23	. Т = 0,78 с.
12.24	. й = 805 Н/м.
12.25	. Уменьшится в 2 раза.
337
12,26	. Уменьшится в 1,8 раза.
12.27	. Имеем '
7’i = 2nVm/fe, или 7'i = 4n2m/fe.	(1)
После добавления груза Дт будем иметь
Т2 = 2л У (m-\-Am)lk, или 72 = 4л2 (т + Д/п)/й.	(2)
Вычитая (1) из (2), получим Tl— Т{ = 4л? &m/k. Но k = F/Al =
= AmglM, где F — сила, вызывающая удлинение пружины Д/. Таким
образом,
Т1—Т1 = 4пг — , или Л/=Д (71 — 71) =2,7 см.
g	4л2
12.28	. 7 = 0,93 с.	-
12.29	. На плавающий ареометр действуют сила тяжести (вниз)
и сила Архимеда (вверх). Поэтому в равновесии mg = pg (V-f-Sh),
где (V-j-Sh)—часть объема ареометра, находящаяся в жидкости.
Если погрузить ареометр на глубину х, то результирующая вытал-
кивающая сила .
F=Рё IV+5 (h + х)] — mg =
’	= PgW+ s (h^-x')]—pg(V + Sh) = pgSx = kx,
где k = pgS. Так как Т = 2л Уm/k, то
„	4 ,/тл	16лт ПОП1П, , ,
T=~dV	0ТКуда Р=у2^-=°,89'103 кг/м3.
12.30	. x = 3,7sin	см.
12.31	. Л = 4,6 см; ф = 62°46'.
12.32	. <р2—ф1 = 2л/3.
12.33	. А — 5 см; ф = 36°52' «0,2л; х = 5 sin (л/-]-л/5) см.
12.34	. Из спектра сложного колебания (рис. 61) видно, что
первое колебание имеет амплитуду А1 = 0,03 м и частоту vi = 0,2 Гц,
второе—Л2 = 0,02 м и v2 = 0,5 Гц и третье — Л3 = 0,01 м и v3=l Гц.
Таким образом, уравнения этих колебаний будут следующие:
2л
х = 0,03 sin	t м, x = 0,02sinnl м, х = 0,01з1п2л1 м.
о
На рис. 105 даны качественные графики этих колебаний. Учащимся
предлагается составить таблицы x = f(t) для всех этих колебаний
и найти график результирующего колебания, сложив ординаты сину-
соид для ряда точек на оси абсцисс.
338
12.35	. На рис. 106 изображен спектр результирующего коле-
бания.
12.36	. Имеем
х=Лз1п2лУ1Л А = Д (1 -г cos 2ftv2/).
Подставляя второе уравнение в первое, получим
х=Л0 (1cos 2лv2О sin 2nv^= Aosin 2nv1/-j-4o oos2«v2/sin 2nvi7 =
A	A
= Ло sin 2nvj/ 4—— sin [2л (vx — v2) /]4—sin [2л (vx 4- v2) i].
Таким образом, рассматриваемое колебание может быть разложено
на сумму трех гармонических Колебательных движений с частотами
Рис. 105,
Рис. 106.
Vf, Vi—v2 и Vf4-v2 и с амплитудами Ло, Л0/2 и 'Ло/2. Амплитуда
результирующего колебания будет меняться во времени. Такого рода
колебание уже не представляет собой гармонического колебательного
движения и называется модулированным колебанием.
12.37	. При сложении двух взаимно перпендикулярных колеба-
ний одинакового периода уравнение траектории результирующего
колебания имеет вид
х2 , у2 2хи
-72+-Т2— -HrC0S(<P2 — Vl)=Sin2(<p2 — <Р1).	(1)
/4 j	/12 ™ 1^*2
Так как у нас <р2—ф1 = 0, то уравнение (1) примет вид
х2 . t/2 2ху
Лх	Al	ЛхЛ2 и’
или
/ х и \2	Л2
=0’ откуда У=А1Х
— уравнение прямой линии. Таким образом, результирующее колеба.
ние будет происходить по прямой линии. Угол наклона прямой най-
дется из уравнения tg а — Л2/Лх = 0,5, т. ё. а = 26°34'. Период ре-
339
зультирующего колебания равен периоду слагаемых колебаний, а
амплитуда результирующего колебания А = \^Al 4-	11,2 см. Следо-
вательно, уравнение результирующего колебания имеет нид s =
= 11,2sin (10 л/+л/3)см.
12.38	. а) А = 7 см; б) А = 5 см.
12.39	. х2/4 4-«/2/4 = 1—уравнение окружности радиусом /? = 2м.
12.40	. Имеем
,	п ,	-|	4-cos nt „ . ,	,
х= cosjtr, у = cost = у --------g---, нли 2у2—1=cosji/.
Отсюда (2«/2—1)/х= 1, или 2«/2—х=1—уравнение параболы.
12.41	. х2/14-1/2/4= 1 — уравнение эллипса.
12.42	. у ——0,75х—уравнение прямой.
12.43	. Уравнение затухающих колебаний имеет вид
х= /4e-6,sin (со/Д-ф).	(1)
В нашем случае со = 2л/Т=л/2, <р --0 и 6 = х/Т = 1,6/4 = 0,4с~1.
Амплитуда А найдется из условия х=4,5см прн t = Т/4 = 1 с. Не-
трудно найти из (1), что А =6,7 см. Таким образом, уравнение (1)
примет вид
x=6,7e-°'1? sin у t см.	(2)
Для построения трафика колебания найдем моменты времени tf,
tit t3, ..., соответствующие максимальным значениям смещения х.
Максимум х найдется из условия v = dx/dt = Q. Из уравнения (^на-
ходим (при <р = 0)	‘	.
v= Aae~6t cos at— A8e~6/ sin at = 0, отсюда tg at = со/6 = 2л/х. (3)
Из уравнения (3) видно, что только при незатухающих колебаниях,
когда х = 0, величина tgco/=oo, или со/ = л/2, т. е. 2nt/T = п/2, или
<=7’/4. В нашем же случае tg о>/=2л/х = 3,925, т. е. at = 75°42'«
as 0.421 л, откуда t = 0,421 л/со=0,842 с. Таким образом, х=ттах
при /1==0,842 с; /2 = ^4-7/2=2,842 с, t3=t34-Т = 4,842 с и /4 =
= 44-37/2 — 6,842 с и т. д. Подставляя найденные значения / в
уравнение (2), нетрудно найти соответствующие значения хь х2, х3, ...
12.44	. См. решение 12.43.
12.45	. и^ = 7,85м/с, v3 = 2,88м/с,	о3=1,06м/с, о1 = 0,39м/'с(
v5 = 0,14 м/с.
12.46	. По формулам для затухающих колебаний имеем
Д1 = Доехр I —xyj , Д2 = Доехр	х—у—J ,
откуда Д1/Д2 = ех. По условию х = 0,2; отсюда Д1/Да = 1,22.'
12.47	. х = 0,023.
12.48	. а) / = 120 с; б) / =1,22 с.
340
12.49	. В 1,22 раза.
12.50	. В 8 раз.
12.51	. / = 6,4с.	•»
12.52	. а) 6 = 0,46с~*; б) 6= 10 с~*; в) 6=х/Т = Х(й0//4л2+х2=
= 7,2с^*.
12.53	. Уравнение собственных колебаний имеет вид
х — Лов~в* sin <£>ot.	У)
По условию сдвиг фаз между собственными и вынужденными коле-
баниями равен —Зл/4; следовательно,
отсюда
(Во = |/*со2 2бсо.	(2)
У нас (О=10л и 6=1,6с-1. Подставляя эти значения в (2), полу-
чим (00= Ю,5л, и тогда уравнение собственных колебаний примет вид
я = 7а~*-вг sin 10,5л/ см.
Уравнение внешней периодической силы имеет вид
,	F — Foslna>t.
Максимальное значение внешней периодической силы
Fo = Ат (4—(o2)24-4S2(o2 = 72 мН,
и тогда уравнение внешней периодической силы будет иметь вид
F = 72sin 10nt мН.
12.54	. На рис. 107 дан характер зависимости амплитуды А вы-
нужденных колебаний от частоты <о внешней периодической силы.
12.55	. Коляска начнет сильно рас-
качиваться, если промежуток между
двумя последовательными точками на
углублениях будет равен периоду соб-
ственных колебаний коляски. Период
собственных колебаний коляски нахо-
дится из формулы Т = 2nVmjk. У нас
т= 10 кг/2 = 5 кг—масса, приходящаяся
, на каждую рессору, k — mog/xo = (9,8/2)
Н/см.= 490 Н/м и, следовательно, Т = 0,63с. Время между двумя
последовательными толчками t — l/v = T\ отсюда получаем и=1/Т=
= (0,3/0,63) м/с = 1,7 км/ч.
12.56	. А.=3 мкм.
341
12.57	. с==350м/с; Vmax = 0,785 м/с.
12.58	. Уравнение волны имеет вид
* = lOsin	см.	(1)
Таким образом, x = f(t,l), т. е. смещение точек, лежащих иа луче,
зависит от времени t и расстояния I точки до источника колебаний.
Для точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии
/ = 600м, уравнение(1) примет вид x=10sin	—л^ см, т. е. при
Z = const мы получим x~f(t)~смещение фиксированной точки, ле-
жащей на луче, меняется со временем.
/ л/ \
Прн / = 4с уравнение (1) примет внд х= lOsin (2л—g-1см.
В этом случае t — const и x — f (Г)—различные точки, лежащие на
луче, имеют различные смещения в данный момент времени.
12.59	. х = 0,04м.'
12.60	. х==0; V — 7,85 см/с; а = 0.
12.61	. Дф=л—точки колеблются в противоположных фазах.
12.62	. Дф = 4л—точки колеблются в одинаковых фазах.
12.63	. х = 2,5см.
12.64	. Х = 0,48 м.
12.65	. а) Положения узлов: х = 3, 9, 15, ... см; положения пуч-
ностей: х=0, 6, 12, 18, ...см. б) Положения узлов: х = 0, 6, 12,
18, ...см; положения пучностей: х = 3, 9, 15, ... см.
12.66	. X = 0,1 м.
§ 13.	Акустика
13.1.	Х = 0,78м.
13.2.	От Xf= 17 мм до Хг= 17 м.
13.3.	с = 5300м/с.
13.4.	с=3700 м/с.
13.5.	Так как модуль Юнга Е связан со "сжимаемостью Р соот-
ношением р=1/£’, то Р = 1/рсг = 7,1 • 1О~10 Па-1.
13.6.	1= 1810 м.
13.7.	С! = 318м/с; сг = 330м/с; с8 = 343м/с.
• 13.8. В 1,12 раза.
13.9.	с = 315м/с.
13.10.	с=330м/с.
13.11.	с=336м/с.
13.12.	/=—54 °C.
13.13.	л = С1/с2 = 0,067.	' *
13.14.	'а = 3°51'.
342
13.15.	/2//i = 1,26 (см. задачу 2 во введении к этой главе). 
13.16.	рг/Р1=1,12.
13.17.	Z1/Z2=1000.
13.18.	ДТ/, = 30дБ; p2/pi = 31,6.
13.19.	Т/=100фон; р = 2Па.
13.20.	а) ДЛ/ = 34,8фон; б) Д1,7 = 44,8фон.
13.21.	Расстояние между соседними зубцами звуковой бороздки
на граммофонной пластинке найдется по формуле	где со —
угловая скорость вращения пластинки. Подставляя числовые данные,
получим: а) Z = 2,25mm; б) Z = 0,75mm.
13.22.	a) Z = 8,15mm; б) 1 = 0,41 мм.
13.23.	При возбуждении колебаний в стальном стержне в нем
установится стоячая волна с узлами в точках зажима и пучностями
на свободных концах. В стоячей волне воздушного столба расстоя-
ние между соседними пучностями равно половине длины возбужден-
ной звуковой волны. Имеем
Ац/Л.2 = Ci/c2.	(1)
Длина Z2 воздушного столба на основании сказанного • найдется из
условия
nX2/2 = Z2.	'	(2)
Из (1) и (2) имеем Z2 = пХ1с2/2с1. Тогда: a) X1 = 2Z1, Z2 = 0,392 м;
б) A1==4Zi, Z2 = 0,784 м.
13.24.	Z1 = 0,715m.
13.25.	v = 43kTh—ультразвуковая частота.
13.26.	a) v' = 666Tn; б) v' = 542Tu.
13.27.	10%.
13.28.	Oi = 28,3 км/ч; о2= 14,7 км/ч.
13.29.	В 4 раза.
13.30.	о = 71 км/ч.
13.31.	¥1 = 45кГц, v2 = 46,6kTu.
. 13.32. Z = 0,45 м.
13.33.	F = 7,3 Н.
13.34.	vmax= 158 Гц.
13.35.	Имеем
Vi/v2 = VFi/F2^= V15/16, V6 = v2—Vj = 8 Гц.
Решая эти уравнения совместно, получим ¥2=252Гц.
13.36.	v = 250Tn или v = 254Pn.
13.37.	v = 250Tn.	*
13.38.	а) В открытой трубе образуется 'стоячая звуковая волна
с пучностями на обоих концах. Очевидно, в этом случае на длине
трубы Z может уместиться п -полуволн, где л=1, 2, 3, ..., т. е.
1 = пк!2 и v = c/% = nc/2Z. При п=1 получим частоту основного тона
343
б) В закрытой трубе стоячая волна' имеет узел иа одном
конце и пучность на другом. Очевидно, в этом случае /=лХ/4 и
v=cft,=nel4l. При л=1 получим частоту основного тона v = c/4t
13.39. V —261 Гц; Z=0,65 м.	•
§ 14.	Электромагнитные колебания и волны
14.1.	Л = 2500м.
 14.2. От Х1 = 700м до Х2= 1950 м.
14.3.	L= 12,7 мГн.
14.4.	е = 6.
____14.5. // = 100соз(2л.103/) В, ./ =—15,7 sin (2л-103/) мА; l/j =
= 70,7 В, /1 =—11,1 мА; /У2 = 0, /2 = —15,7 мА; Us =—100 В, /8 = 0.
14.6.	Гэл = 125 cos2 (2л. 103/) мкДж, Ц7М = 125 sin2 (2л. 103) мкДж,
И7=125мкДж; Ц7ЭЛ1 = 62,5 мкДж, Ц7м1== 62,5мкДж, U7j= 125мкДж;
И7ЭЛ2 = 0, Ц7м2= 125 мкДж, 1Г2 = 125 мкДж; Ц7эл8 = 125 мкДж,
1Гм8 = 0, Й78= 125 мкДж.
14.7.	Г = 0,2мс; 0 = 10,15 мГн; / =—157 sin 104л/мА; 7= 60 км.
14.8.	Г=5мс; С=0,63мкФ; /7=25,2 В; Ц7и=0,2 мДж; Й7ЭЛ=
= 0,2 мДж.
14.9.	Имеем //=//0cosco/ и I = CdU/dt ——C//Owsinw(; следо-
вательно,	. .
IF« =
Z,/2 LCWl®2 , . . m CU2 CUl , .
—=—2-----------sin2 со/, U7M=-j- = -g-cos2orf.
Отсюда
= Z,Cco2 —LC&2 tg2 orf,
Ц7ЭЛ cos2 erf
При t = T[% имеем sin co/= J^2/2 и cos co/ = 1^2/2. Так как LC =
= Т2/4л2= 1/to2, co
Ц7М/П7ЭЛ = sin2 со//cos2 co/ = 1.
14.10.	Г=8мс, x = 0,7; Ъ' = 80е-8’/соз250л/В; Ui = —56,5 В,
l/2 = 40B, O8 = — 28 В, Z/4 = 20B.
14.11.	Полагая сопротивление R достаточно малым, находим
период колебаний по формуле Т = 2л]/г/,С = 0,2 мс. Далее имеем
Ui=U(>exp (—nt/T), откуда х//7' = In (l/q/Ot).
По условию при /=1мс отношение U0/Ui = 3. Следовательно,
x=7i^^)=a,22;
Сопротивление контура 7?= 11,1 Ом. Нетрудно убедиться, что это зна-
чение R удовлетворяет условию применимости формулы Т = 2лргLC.
14.12.	В 1,04 раза. "	'
344
14.13.	x = 8pJ<n/C/rfal<poP = 0,018.
14.14.	t = (Tin 100)/2x = 6,8мс.
14.15.	C = 0,7 мкФ.
14.16.	/? = 4,10м.
14.17.	v = 300Tii.
14.18.	7 = 4,6 мА; UC\ = 73,4 В, t/cl=146,6B.
14.19.	74%, 68%.
14.20.	72,5%; 68,5%,
14.21.	С = 3,74мкФ.
14.22.	Т, = 55мГн.
14.23.	a) Z=VЯ3+1/((оС)2, tg<p=l/Z?fi>C; 6) Z==-==JL=,
tg <p = — RwC; B)f Z = VZ?3 + (wZ,)2, tg <p = wL/fl; r)'Z = rJ^=,
V 7?2+(0>LP
tg<p=/?/<B7,; д) Z=/'/?3-b(mt-l/a)C)a, tgy = mL~&1/a£.
К
14.24.	a) Z = 4,38kOm; 6) Z = 2,18kOm.
14.25.	7=1,34 A; Uc= 121 В; t/«=134B; C/t=295B.
14.26.	7? =12,3 Ом.
14.27.	7? = 40 Ом; L = 74 мГн.
14.28.	(7r=156B.
Глава V
ОПТИКА
§ 15.	Геометрическая оптика и фотометрия
15.1.	0 = 2а. '
15.2.	аг~ — 15см, jfj = 5мм; изображение действительное, обрат-
. иое и уменьшенное.
15.3.	02=0,12м, у2 =—8мм; изображение мнимое, прямое н
уменьшенное.
15.4.	а, =7,5см, у2 ——1,5см; изображение мнимое, прямое н
уменьшенное.
15.5.	Of = —0,6 м, аг — —0,3,м.
15’.в. Т =—10см, 0 = —Юдптр.
15.7.	fc = 6.
15.8.	о2 = Я/2—изображение будет находиться в фокусе зерка-
ла; уз = 7,5 см.
15.9.	Из равнобедренного треугольника О AM (рис. 62) имеем
O4 = 7?/2cosa. Но х= AF.= OA—OF = OA—Rj2, т. е.
____1V
2 \ cos a J
345
Если, а = 0, то cosa=l н х=0. Далее, y = FH=xlg £fiAF. Но
/ HAF как внешний угол треугольника АОМ равен 2a, и тогда
у—-х-(—-------------------------------l^tg^a.
’	2 \cos a )	•
Если a = 0, то cosa=l, tg2a = 0 и у — 0.
15.10.	х=1,8см; у=1,5см.
15Л1. й = 8см.
15.12.	d=0,l м.
15.13.	I = 5,8 мм.
15.14.	tg i = n.
15.15.	а) ? = 41°8'; б) В = 48°45'; в) Р=61°10'.
15.16.	Под углом Р = 41°15' к поверхности воды.
15.17.	= 2,02.10ем/с.
15.18.	Имеем sin (/sin Р = iif. Полное внутреннее отражение от
поверхности, отделяющей воду от стекла, произойдет, если выпол-
нено условие: sinP = n2/ni, где п2— показатель преломления воды.
Тогда sin ( = «! sin Р = П1Л2/П1 = п2= 1,33, т. е. sin i > 1 —условия
задачи неосуществимы.
15.19.	г = 0,114м.
15.21.	ркр = 41°28'; Рф = 40°49'.
15.22.	Фиолетовые лучи испытывают полное внутреннее отраже-
ние, красные лучи выходят из стекла в воздух.
J5.23. б = 34°37'.
15.24.	у = 28°.
15.25.	б = 6°2'.
15.26.	i=10°8'.
15.27.	у = 77°22'.
15.28.	i=4°47'.
64“ у у _
15.29.	sin—Д-Д-=n sin	. В этом случае получается наимень-
шее отклонение луча от его первоначального направления.
15.30.	6кр = 30°37', 6ф = 33°27'.
15.31.	Ft = 0,146 м.
15.32.	а) F= 0,188 м; б) F — 0,30 м; в) £ = 0,75 м; г) F = —0,188м;
д) F = -0,30 м; е) F = — 0,75 м.
15.33.	f1/F2=l,4; в жидкости первая линза будет действовать
как рассеивающая линза, а вторая—как собирающая,
15.34.	£> = 2 дпгр.
15.35.	«2 = 0,Зм; 1/2 = 4см.
15.37.	(Zj-j—(z2 = 1 м.
15.38.	а) ai+a2 = 0,48 м; б) «1+«2 = 2,65 м; в) «14-^ = 0,864 м.
15.39.	F= 0,47 м.
15.40.	F = —0,75 м—линза1 будет рассеивающей,
15.41.	f 2 = 0,59 м.
346
15.42.	—Эйсм; а2 = 180см.
15.43.	Ркр—Гф = 3см.
15.44.	а) а2=10см; б) о2 = 5,7см.
15.46.	a) k =12,5; б) А = 7,5.
15.47.	«j —/?2 = 25 мм.
15.48.	Я = 5мм.
15.49.	k = 562.
15.50.	Р = 0,112м.
15.51.	ft = 7° 45'.
15.52.	Диаметр изображения d = 2F tg (oft) =4,6 мм. Поток лу-
чей, попадающих на поверхность линзы площадью nD2/4,. концент-
рируется в изображении Солнца площадью nd2/4. Тогда E^Ei =
= 4nP2/4nd2 = D^/d?=383.	<
15.53.	г=1 м; /1=0,71 м.
15.54.	Ф = 8,34лм.
15.55.	При фотографировании всего чертежа, размеры которого
гораздо больше фотопластинки, изображение получается приблизи-
тельно в главном фокусе объектива. При фотографировании деталей
изображение в натуральную величину получается при помещении
предмета на двойном фокусном расстоянии от объектива (на таком
же расстоянии получается и изображение на фотопластинке).
Площадь изображения при этом увеличится в ftFiF)2 =4 раза. Во
столько же раз уменьшится освещенность фотопластинки; следова-
тельно, время экспозиции надо увеличить в 4 раза.
15.56.	В 5,7 раза. Таким образом, на Северной Земле загорать
лучше стоя, чем лежа.
15.57.	В 2 раза.
15.58.	Освещенность в углах комнаты
£’ = -y2-cosa.	(1)
Расстояние г от лампы до угла комнаты, величина а (половина диа-
гонали квадратного пола комнаты), сторона квадратного пола b и
высота лампы над полом h связаны равенством
a = rsina = &/}^2=Atga.	(2)
На основании (2) выражение для освещенности может быть записано
так:
Е — (cos a sin2 a).
Для нахождения максимума Е возьмем производную dE/da, и при-
равняем ее нулю:
ЯР I
-т—= -5- (2cos2asin a — sin8a) = 0,
da a2 '
отсюда tg2a=2. Тогда A=e/tga=A/yr 2 tg a—b/2—2,5 m.
347
15.60.	Когда горит настольная лампа, освещенность -края стола
получается больше в 1,2 раза.
15.61.	В 2,25 раза.
15.62.	5 «8-10* лк.
15.63.	а) Д= 1,6-10® лм/м2, 5 = 5,1-10* кд/м2; б) Д = 4-Ю4 лм/м2,
В= 1,27-104 кд/м2.
15.64.	а) 5=1,2-10’ кд/м2; б) 5 = 3-104 кд/м2.	,
15.65.	Освещенность будет одинаковая и в случае прозрачной
колбы и в случае матовой колбы: 5; = Е2 = 3,4 лк.
15.66.	5 = 2-10® лк; /?=1,5-10® лм/м2; 5 = 480 кд/м2.
15.67.	5=4,2-10* лк.
15.68.	5 = 210 лк.
15.69.	5=1,61-10“® Вт/лм; г] «2 %.
§ 16.	Волновая оптика
16.1.	Прн фотографировании одного края солнечного диска
(источник света движется к нам)
v'=vc/(c—1>);	(1)
при фотографировании другого края солнечного диска (источник света
движется от нас)
v’=vc/(c+v).	(2)
Учитывая, что v = c/X, из (1) ии (2) находим ДХ = 2оХ/с; отсюда
v = c ДХ/2Х = 2 км/с.
16.2.	t/ = mc2 (ДХ)2/2Хг^ = 2,5 кВ.
16.3.	Смещение спектральных линий в сторону коротких волн
означает, что звезда приближается к нам. Ренальная скорость ее
движения (т. е. скорость вдоль линии, соединяющей звезду и Землю)
находится из соотношения о = с ДХ/Х= 103 км/с.
16.4.	В U3 раза.
16,5.	yj=l,8 мм; у2 = 3,6 мм; у3=5,4 мм.
16.6,	Х = 0,5 мкм.
16.7.	В результате внесения стеклянной пластинки разность
хода между интерферирующими лучами изменится на величину Д =
=nh—h — h (п—1). С другой стороны, в результате внесения пластин-
ки произошло смещение на k полос. Следовательно, добавочная раз-
ность хода, введенная пластинкой, равна АХ. Таким.образом, h (п—\)=
= АХ, откуда h = kfj(n—1) = 6 мкм.	•
16.8.	ДЖ5-10-5.
16.9.	й = 0,13 мкм.
16.10.	Обозначим через Aj и А2 толщины пленки, соответствую-
щие соседним полосам. Тогда ДА=А2—Aj = Х/2л (рис. 108). Учиты-
348
Рис. 108.
вая, что угол у клина мал, можно-считать, что M = /tgy; отсюда
tg у = Кк!2п1 = 5,13 • 10-5 и -у = 11’.
16.11.	Z2 = 1,9 мм.
16.12.	&о=5 'см*1.
16.13.	ife=5, £-(-1=6; А = 0,5 мкм.
16.14.	к = 589 ям.
16.15.	гс = /41?Ав = 2,8 мм; гир= угЗ/?Хир = 3,1 мм. .
Таким образом, мы видим, что третье красное кольцо лежит дальше,
чем четвертое, синее. Этим объясняется, почему наблюдать кольца
Ньютона в белом свете можно только при. небольших
толщинах воздушного слоя. Для больших толщин
происходит наложение различных цветов.
16.16.	А = 675 нм.
16.17.	12 = 3,66 мм.
16.18.	£ = 275.
16.19.	При наблюдении колец Ньютона в прохо-
дящем свете условие максимума света определится
формулой
2fm~kk. .	-	(1)
Толщина слоя h между линзой и пластинкой связана с соответствую-
щим радиусом г* наблюдаемого кольца следующим образом:
Л=г*/2/г.	(2)
Подставляя (2) в ,(1), получим nr^/R — kk, откуда n = kkR/r% = 1,33.
16.20.	h= 1,2 мкм.
16.21.	й = 470 нм.
16.22.	п =1,56.
16.23.	Перемещение L зеркала иа расстояние А/2 соответствует
изменению разности хода на А, т. е. смещению интерференционной
картины на одну полосу. Таким образом, L = kkl2, где k—число
прошедших в поле зрения полос, откуда А = 2А/£ = 644 нм.
16.24.	п — 1 =£A/2Z = 3,8-Ю-4, откуда л= 1,00038.
16.25.	В отличие от интерферометра Майкельсона, в данном
случае луч проходит через трубку с хлором только один раз (рис. 63).
Поэтому разность хода лучей, проходящих в хлоре и вакууме, равна
(л —Z = Z(n—1) = £А; отсюда л —1 =£A/Z = 7,73-Ю~4 и п= 1,000773.,
16.26.	А = 480* нм.
16.27.	d = 115 нм.
16.28.	£ = 5; центр дифракционной картины будет светлым.
16.29.	Радиус k-A зоны гк = У каЬкЦа + Ь). Подставляя числовые
данные, найдем Г1 = 0,50 мм, г2 = 0,71 мм, rs = 0,86 мм, /4.= 1,0мм
и гь —1,12 мм.
16.30.	Г1=0,71мм; г2=1,0мм;г8=1,22мм; г4=1,41 мм; г6=1,58мм.
16.31.	1=167 м.	.
349
16.32.	Пусть отверстие диафрагмы пропускает k зон Френеля.
Тогда радиус £-й зоны есть одновременно радиус отверстия: /? =
= г^= У kabk/(a +&). Наименьшая освещенность центра колец,
наблюдаемых на экране, соответствует двум зонам (£ = 2). Подстав-
ляя числовые данные, найдем 7?=1 мм.
16.33.	1=0,8 м.
16.34.	<pi=17°8'; ф2 = 36°5'; ф8 = 62°,
16.35.	А = 5 см.
16.36.	ф = 30°.
16.37.	d = 2,8 мкм; Л1о = 357О см-1.
16.38.	Afo = 6OO мм-1.	1
16.39.	Х2 = 409,9 нм; Л'о = 5ОО мм-1.
16.40.	/Имеем sin ф =	= £2k2/d, или — отсюда
£2/£1 = Х1/Х2 = 656,3/410,2 = 1,6. Так как числа kf и k2 должны быть
обязательно целыми, то условию £2/£i=l,6 удовлетворяют значе-
ния &i = 5 н £2 = 8. Тогда d = £1X1/sin ф = 5 мкм.
16.41.	Х2 = 660 нм в спектре второго порядка.
16.42.	Х2 = 447 нм—синяя линия спектра гелия.
16.43.	Хкр = 705 нм.
16.44.	£ = 3.
16.45.	d = 5X.
16.46.	£=10.
16.47.	d = 3,9 мкм.
16.48.	d=22 мкм.
16.49.	d = 25,4 мкм.
16.50.	ДХ = 24 пм.
16.51.	Имеем йз!пф = £Х. Дифференцируя, получим
d cos ф dq>=£ dk, или d<f/dk — k/d cos ф.
Подставляя числовые данные, находим sin ф =0,236, откуда ф= 13°38'.
Тогда .cos ф = 0,972 и Ap/dX = 4,l-10? рад/м.
16.52.	d — 5 mkmi
16.53.	£> = 81 мкм/нм.
16.54.	Z = 0,65 мм.
16.55.	Х2 = 475 нм; Л’о = 46О mm_j; Ap/dX = 2,76-104 рад/см.
16.56.	X = 510 нм.
16.57.	F = 0,65 м.
16.58.	iG=57°30'.
16.59.	iB = 54°44'.
16.60.	is = 37°.
16.61.	л =1,73.
16.62.	n=l,63; i = 66°56'.
16.63.	XO = 355 нм, Xe = 395 нм.
16.64.	Обозначим интенсивность естественного света через 70.
После прохождения через поляризатор луч имеет интенсивность
350
/1 = О,5/о. После прохождения луча через анализатор его интенсив*
ность /2 = /j cos’ <р = О,5/о cos1 2 <р. По условию /2/Zo = O,25; тогда
сО8гф = 0,25/0,50= 1/2 и ф = 45°. 
16.65.	ф = 62°32'.
16.66.	Коэффициент отражения падающего света р=///0, где
=	причем
] -0 5/ sin2(Z-P) /и—0 5/	’
/J- — 0’5/°|sin2 («-(-₽) ’	tg2 (<+₽) •
В пашем случае при падении под углом полной поляризации
tgzB = n=l,54; следовательно, /'b = 57°. Так как i'e + 0 = 90°, то угол
преломления (1 = 33° и (‘б — (5 = 24°. Поэтому
ч!п224°	tn2 24°
/X = 0-5/«£90s=0’083/«’ ZH = O,5/oiL-=O,
т. е. в отраженном свете при угле падения, равном углу полной
поляризации, колебания происходят только в плоскости, перпенди-
кулярной к плоскости падения. При этом
/
Р=у
'0
"=0,083,
т. е. отражается от стекла только 8,3% энергии падающих естест-
венных лучей. Это будут лучи с колебаниями, перпендикулярными
к плоскости падения. Следовательно, энергия колебаний, перпенди-
кулярных к плоскости падения н прошедших во вторую среду, будет
составлять 41,7% от общей энергии лучей, упавших на границу
раздела, а энергия колебаний, лежащих в плоскости падения, равна
50%. Степень поляризации лучей, прошедших во вторую среду,
Л|— zj__0,083_
/ц+/х 0,917~
0,091=9,1%.
16.67.	При падении естественного луча на стеклянную пластинку
под углом полной поляризации преломленный луч имеет интенсив-
ность /1 = 0,917/0 (см. решение 16.66). В этом преломленном луче
О,417/о составляют колебания, перпендикулярные к плоскости паде-
ния, и О,5/о— колебания, параллельные плоскости падения. Интен-
сивность луча, отразившегося от второй граин пластинки, /2 =
=0,083-0,0917/о=О,О76/о. Интенсивность луча, вышедшего нз пластин-
ки в.воздух, будет Л3 = 0,91710—О,О76/о-=О,841/о, причем О,5/о со-
ставляют лучи с колебаниями, параллельными плоскости падения, и
0,341/0 — с колебаниями, перпендикулярными к плоскости падения.
Тогда степень поляризации
111~ /±_0,159_
/1(+7х 0,841
18,9%,
351
т. е. степень поляризации увеличилась. На этом основании в качестве
поляризатора употребляется «стопа» плоскопараллельных стеклян-
ных пластинок, («стопа Столетова»).
16.68.	р=7//0 = 5,06%; Рх = 83%; Ра = 4,42%.
§ 17.	Элементы теории относительности
*
17.1.	Имеем
Z=zo/T^.	(1)
По условию (Zo—Z)//0=l—///« = 0,25; отсюда
Z/Zo = 0,75, или Z = 0,75Zo.	(2)
Подставляя (2) в (1), получим у 1 — В2 —0,75, или 1 —Р2 = (0,75)2=
= 0,5625 и р2 = 0,4375. Таким
WK=mocl( —1
\ /1 — Р2
образом, Р = о/с= V~0,4375 = 0,6615 и
окончательно о=рс=0,662-3-108 м/е=
= 1,98- Ю8 м/с.
17.2.	0 = 2,6-108 м/с.
17.3.	(/O-Z)/Zo^68,8%.
17.4.	В 7,1 разй.
17.5.	Ат = 3,2 с.
17.6.	Дпг = 8,6-Т0~27 кг.
17.7.	На рис. 109 дан характер
зависимости массы т электрона и
отношения е/т от величины р==о/с.
17.8.	о=2,6-Ю8 м/с. '
17.9.	Имеем
=<? )=с2 лг«)’
откуда
№к /та = с2 (т—т0)/т0.
Обозначим (т—m9)lmn=k\ тогда Й7к=лгос2й- По условию й = 0,05.
а) Й7К = 25,6 кэВ; б) №к = 47 МэВ; в) №к=94 МэВ.
17.10.	(7 = 1,1 МВ.
17.11.	(7 = 510 кВ.
17.12.	Полная энергия мезона Wn складывается из кинетической
энергии мезона IF и собственной энергии мезона IFO (энергии покоя).
При этом
Г = т0с2(/ Jl^-lV lF0 = zoac2,
\K1-P2 )
т. е.
W — де”=_______т°~— .
352
По условию 1Fn/lFo= 10, т. е. l/'/'l— (J2 =10; отсюда 0 = t>/c= 0,995
и п=2,985-108 м/с.
17.13.	0 = 86,6%.
17.14.	0=99,6%.
17.15.	(Ze-0/Zo=91,5%.
17.18.	0=0,9.
17.18.	Й7К = 8,2-Ю"14 Дж.
17.19.	Длг = 4,6-Ю-17 кг.
17.20.	АГ = 931 МэВ.
17.21.	ДЙ7 = 8,2.1О~14 Дж.
17.22.	Дтц = 3,2-10-8 г/моль. Таким образом, в результате
реакции получается не 18 г воды, а на 3,2 -10~9 г меньше. Эта
величина лежит за пределами чувствительности самых точных весов.
Такого же порядка изменение массы и при других химических реак-
циях. При ядерных реакциях изменение массы уже значительно
(см. следующую задачу).
17.23.	Лтц =0,217 г/моль.
17.24.	т = 7-1012 лет.
§ 18.	Тепловое излучение
18.1.	7’= 1000 К.
18.2.	W=3,9-102’ Вт.
18.3.	7?; = 4,6 кВт/м2.
18.4.	7=1000 К.
18.5.	W = 2,22 кВт; fc=0,3.
' 18.8. 7=2500 К. •
18.7.	5 = 0,4 см».
18.8.	К =1,37 кВт/м2.
18.9.	N = 3,1 МВт.
18.10.	К = 595 Вт/м2.
18.11.	/?э = 73,5 МВт/м2.
18.12.	5 = 6 см2.
18.13.	а) lm = l мкм — инфракрасная область; б) ^ = 500 ям —
область видимого света; в) \т « 300 пм—область рентгеновских
лучей.
18.14.	По графику (рис. 64) находим, что длина волны, на кото-
рую приходится максимальная спектральная плотность энергетиче-
ской светимости тела, «г 1,2 мкм. Тогда по закону Вина получим
7=2400Х
Процент излучаемой энергии, приходящейся на долю видимого
.спектра, определяется той долей площади, ограниченной кривой
гк = / (1), которая отсекается ординатами, восставленными по
краям интересующего иас интервала. Видимый спектр простирается
приблизительно от 400 до 750 нм. Нанося Кривую, изображенную
12 В. С. ВолькевштейН	353
на рис. 64, на миллиметровку, найдем, что при данной температуре на
долю видимого излучения приходится около 3—5% всего излучения.
18.15.	В 3,6 раза.
18.16.	1 = 9,3 мкм.
18.17.	В 81 раз; от lj = 2,9 мкм до 1а=0,97 мкм; в 243 раза.
18.18.	Т2 = С171/(Д171Ч-С1) = 290 К.
18.19.	Увеличится в 1,06 раза.
18.20	М=0,84 Вт.
18.21.	Д1 = О,24 мкм.
18.22.	Д/п = МГ/с2=1,4-1017 кг; т = 7-1012 лет.
Глава VI
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
§ 19.	Квантовая природа света и волновые свойства частиц
19.1.	а) т = 3,2-10~36кг; б) т = 8,8- 10~32кг; в) т= 1,8* 10~30кг.
19.2.	е = 1,15-10~13 Дж; т= 1,38-10~30 кг; р = 4,1 • 10-22 кг-м/с.
19.3.	Vf = 6,2-1018 с-1; ЛГа=1,2.101в с"1; N3= 1,1 -101» с-1;
М4 = 5,9-1018с~1; Мв = 4,6-1018с-1; 2Ve = 5,1 • 1018 с~1.
19.4.	у=9,2-105м/с.
19.5.	V— 1,4 км/с.
19.6.	е = 0,51 МэВ.
19.7.	E—pc/St = 150Дж/(с-м2).
. 19.8. 7 = 9800 К.
19.9.	XSs 0,41 пм.
19.10.	щ = 2,1-10-32 кг.
19.11.	Имеем hv — A-\-mv2/2. Для того чтобы возник фотоэффект,
необходимо, чтобы hv > А, т. е. v > A/h. Но v = c/X и, следовательно,
для возникновения фотоэффекта длина волны падающего света должна
удовлетворять неравенству X < he/А. В опытах Столетова А. <295 нм,
откуда нетрудно найти, что А = 4,2эВ.
19.12.	Х0 = 517 нм; Хо = 540 нм; Хо = 620нм; А0 = 660нм.
19.13.	е = 4,5эВ.
19.14.	Л = 4,5эВ; t>max=9,1 • 10« м/с; IFmax = 3,8.10~18 Дж.
19.15.	Так как фотоэффект начинается при частоте v0 = 6-1014 Гц,
то работа выхода электрона A = /iv0 = 2,48 эВ. Далее,, имеем
/iv = A+«w2/2. Чтобы задержать вылетающие электроны, необходимо
приложить разность потенциалов U- при этом eU = mv*/2. Таким
образом, hv = A-j-eU, откуда v = (A-j-eU)/h= 13,2-1014Гц.
19.16.	(7= 1,75 В.
19.17.	А=204нм; А.0=234нм.
354
19.18.	ртах = 3,45-10-85кг-м/с.
19.19.	Л=6,6-10~?4Дж-с.
19.20.	Ь'=^ + Уо=1,5 В; о= jZ-l (ftv- Л-|-е1/0) =
= 7,3-10® м/с.
19.21.	Хо<254им.
19.22.	Световое давление P=F/S, где Г—сила светового давле-
ния на кружок поверхностью S. Но F = M/l = ka.ll, где М — момент
кручения нити, I—расстояние от центра кружка до, оси вращения,
а—угол поворота кружка. Для того чтобы зайчик по шкале, уда-
ленной от зеркала на расстояние Ь, отклонился на величину а, надо,
чтобы угол поворота зеркальца удовлетворял условию tg 2а = а!Ь,
или при малых углах tg 2а к 2а = а/b. Таким образом, a = a/2Z>
и P = kal2lbS — 3,85 мкПа; Е — 770 Дж/(с-м2).
19.23.	Р = 0,355 мкПа; /V = 2,1mBt.
19.24.	/=1,2-1021 с-^м-2; FiAt= 1,42 мкН-с/м2, Г2Дт =
= 2,13мкН-с/м2; F3At = 2,84мкН-с/м2.
19.25.	Р = 4,5мкПа; т = 7,8-10“18 кг.
19.28.	Р=10,4 мкПа.
19.27.	Р1=0,7мкПа; Р2 = 0,35 мкПа.
19.28.	/ = 2,9-1021с~1-м-2.
19.29.	а) Д1 = 2,42пм, 1 = Хо + ДХ = 73,22 пм; б) ДХ = 4,8пм,
Х = 75,6пм.
19.30.	. ХО = 24,2 пм.
19.31.	ДХ = 2,42 пм; We = hc ДЛ./(А.0Л.) = 6,6 кэВ, ре = 4,4х
Х10~23 кг-м/с.
19.32.	Г=0,26 МэВ; р=9,3.10~12 кг-м/с.
19.33.	№е=0,1 МэВ.
19.34.	Х1=1,23им; 12 =0,123 нм.
19.35.	Аа = 29пм; А.2 = 2,9пм.
19.36.	а) Х = 730пм; б) Х=144пм; в) Х = 6,6-10~28 м, т. е. вол-
новые свойства шарика обнаружить невозможно.
19.37.	а) Х=12,2пм; б) Х = 0,87пм.
19.38.	т= 1,67-10-2’кг.	<
19.39. v, 108 м/с	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8
X, пм	2,70	2,25	1,82	1,39	0,925
•					
19.40.	-Х= 10 пм.
19.41.	Х=180пм.
12*
355
§ 20.	Атом Бора. Рентгеновские лучи .
.	20.1. Г1 = 53пм,	га=212пм, га = 477пм; о1 = 2,19-10вм/с,
va= 1,1-10е м/с, о8 = 7,3-105м/с.
20.2.	В7в=те4/8е26262=13,6эВ; №„= — 2ГК=— 27,2 эВ; W =
= ^К4-Й7П=— 13,6 эВ.	•
20.3.	ГК1 = 13,6 эВ; 1Гка=3,40 эВ; В7кз= 1,51 эВ; U7k4=0,
20.4.	Т = 1,43.10-16 с; ш=4,4  Ю16 рад/с.
20.5.	Длины волн спектральных линий водорода всех серий опре-
деляются формулой
при 6=1, п = 2, 3, 4, ...—серия Лаймана в ультрафиолетовой
области;
при	6 = 2,	п = 3,	4,	5,	...—серия	Бальмера	в	видимой	области;
при	6 = 3,	п = 4,	5,	6,	...—серия	Пашена	л
при	6 = 4,	п=5,	6,	7,	...-серия	Бреккета	1	в инфракрасной
при	6 = 5,	п = 6,	7,	8,	...-серия	Пфунда	I	областа-
Таким образом, видимая область спектра соответствует значениям
6 = 2 и п — 3, 4, 5, ... Очевидно, наименьшая длина волны спектраль-
ных линий этой серии будет при л=оо. Тогда из (1) имеем 1Дт1п =
— R/4, или Amin = 4/R = 365 нм (с точностью до третьей значащей
цифры). Наибольшая длина волны соответствует п — 3; при этом
^тах = 656 нм-
20.6.	Атах == 121 им; o«nin = l>90- 10е м/с.
20.7.	Потенциал ионизации U( атома определяется уравнением
eUj = Ai, где А;—работа удаления электрона с нормальной орбиты
в бесконечность. Для атома водорода
Ai=hv=hRc(lg—
При 6=1 и и =» работа A; — hRc и потенциал ионизации U; =
= Ai!e = hRc/e = 13,6 В.
20.8.	(71 =10,2 В.
20.9.	Bte линии всех серий спектра водорода появятся при иони-
зации атома водорода. Это будет при энергии электронов 1Рт1п = 13,6 эВ
(см. решение 20.7); omin = pr2e(/17m = 2,2-l'0eM/c.
20.10.	Энергия, необходимая для перевода атома в первое воз-
бужденное состояние, W'1 = 10,2 эВ (см. решение 20.8). Энергия, необ-
ходимая для перевода атома во второе возбужденное состояние
(6 = 1, л = 3), Ц72=12,1эВ. Таким образом, спектр водорода будет
иметь только одну спектральную линию, если энергия бомбардирую-
щих электронов лежит в интервале 10,2 <	12,1 эВ.
20,11.	BZmin= 12,1 эВ; >,1=12Гнм; Хз=103нм; Ха = б5бнм.
356	_
20.12.	97,3<1< 102,6нм.
20.13.	AIT = 2,56 эВ.
20.14.	97,3 < К 102,6 нм.
20.15.	С л = 3 иа fe = 2.
20.16.	1 = 0,33 нм.	
20.17.	/1 = 26,6 пм; t>i = 4,37- 10е м/с.
20.18.	а) (71 = 40,8В; б) 1/1=91,8В.
20.19.	а) /7; = 54В; б) 1^=122 В.
20.20.	1=30,4 нм.
20.21.	1=13,5 нм.
20.22.	1 = 589 нм.
20.23.	£7 = 2,1 В.
20.24.	1 = 254 им.
20.25.	Наименьший угол соответствует спектру первого порядка,
т. е. l = 2dsin<p, откуда sin <p = l/2d = 0,033 иф=1°54'.
20.26.	"Молярный объем каменной соли V = p/p. В этом объеме
имеется 2М^ ионов, где N д—постоянная Авогадро. Тогда объем,
приходящийся на один ион, Vi = p/2pMд. Следовательно, расстояние
d между ионами (постоянная решетки) найдется из условия Г1=й®, т. е.
d =	= у/' р/2рМл —281 пм.
20.27.	При увеличении разности потенциалов U, приложенной
к электродам рентгеновской трубки, появляется спектральная линия
в спектре первого порядка, длина волны - которой 1 удовлетворяет
уравнению
eU = hv = hc/K.	(1)
Но по формуле Вульфа — Брэгга
1 = 2d sin ф.	(2)
Из (1) и (2) находим
,	е£71 eU-2d ,	. „	». „
h =-----=--------sin ф= 6,6-10~34 Дж-с.
с с
20.28.	h = 6,6-Ю-34Дж-с.
20.29.	11 = 41,3 пм; 12 = 31 пм; 13 = 24,8пм.
20.30.	1 = 27 пм.
20.31.	/7 = 770 кВ.
20.32.	Все линии A-серии (а также линии остальных серий) поя-
вятся одновременно, как только будет удален электрон с /(-орбиты
атома. Для этого надо приложить разность потенциалов U, удовлет-
воряющую соотношению
<	eU = hv = hc/‘k,	—
Где 1—длина волны, соответствующая переходу бесконечно удаленного
электрона иа A-орбиту, т. е. длина волны, определяющая границу
357
/(-серии. Для нашего случая длина волны X равна (см. табл. XIX):
а) 138 пм; б) 48,4 пм; в) 17,8 пм; г) 15,8 пм. Искомая разность потен-
циалов найдется по формуле U = hc/e\r Подставляя числовые данные,
получим следующие значения для разности потенциалов U: а) 9кВ;
б) 25,3 кВ; в) 69 кВ; г) 79 кВ.
20.33.	Имеем
1,1
Наибольшая длина волны /(-серии соответствует линии Ка. При этом
в формуле (1) мы должны положить b = l, 5=1, п—2. Решая фор-
мулу (1) относительно X и подставляя числовые данные, получим
значения X, равные: а) 194 пм; б) 155 пм; в) 72 пм; г) 57,4 пм; д) 23,4 пм;
е) 22,8 пм; ж) 20,5 пм. Экспериментально найденные значения длин
волн X -линии Ка следующие: а) 194 пм; б) 154 пм; в) 71,2 пм;
г) 56,3 пм; д) 22 пм; е) 21,4 пм; ж) 19 пм.
20.34.	Перевод электрона с М- на А-слой соответствует значе-
ниям й = 2 и п = 3; порядковый номер вольфрама в таблице Менде-
леева 2 = 74. Подставляя эти числовые данные в формулу Мозли,
найдем 5 = 5,5.
20.35.	2 = 40 (цирконий).
20.36.	М0/М = рОэ/Мле = 3,5-10-1°.
20.37.	М=1,6-101*с-1-кг-1.
20.38.	/н = 2,7-10-1« А.
20.39.	х1/2=0,5мм.
20.40.	В 3,7 раза.
20.41.	хту2 = 80 мкм.
20.42.	См. таблицу; Х=1,24пм.
Вещество	Вода	Алюминий	Железо	Свинец
р, м-1 рм, Ю~3м2/кг	6,7 6,7	16 6,2	44 5,6	77 6,8
20.43. п = In 80/ln 2 = 6,35.
§ 21.	Радиоактивность
21.1.	Число атомов радиоактивного вещества, распадающихся
за время dt, определяется формулой'
dN=—f,.N dt.	(1)
Употреблять эту формулу для конечного промежутка времени А/
358 z
можно только в случае, если число имеющихся атомов У можно
считать за время Д1 неизменным, т. е. когда промежуток
времени Л/ гораздо меньше периода полураспада В на-
шем случае (см. табл. XXII) период полураспада полония Т1/г =
= 138 сут; поэтому мы можем число распадающихся за время
Д/ = 1 сут атомов полония найти по формуле	.
In 2
| ДУ | = ХУ А/= -^-—У А/= 5025 сут-1.	(2)
'1/2
21.2.	При решении данной задачи пользоваться приближенной
формулой (2) из решения задачи 21.1 нельзя, так как период полу-
распада радона (см. табл. XXII) =3,82сут.‘ Для нахождения
числа распадающихся за время Д/ = 1 сут атомов радона надо поль-
зоваться формулой N—Noe~u. Тогда искомое число
ДУ = Уо— N = No — Noe~}-t = No (1 — е~^) = 1,67 • 105 сут~1.
Если же мы будем находить ДУ по приближенной формуле (2), то
получим ДУ=1,92-105сут-1, т. е. допустим ошибку порядка 10 %.
Учащимся предлагается убедиться, что решения задачи 21.1 по фор-
мулам (1) и (2) приводят с точностью до третьей значащей цифры
к одному и тому же ответу.
21.3.	а = 3,7-Ю10 Бк.
21.4.	т = 6,5-10~8кг.
21.5.	щ=0,22мг.	t
21.6.	X = 2,l-10-ec~1.
21.7.	а) аи = 7,9-107 Бк/кг; б) ат =5,7-1018 Бк/кг.
21.8.	щ=3,5-10~2°кг.
21.9.	53 отброса.
21.10.	1 = 40 сут.
21.11.	Процентная доля радиоактивности, вносимая каждым из
изотопов в общую радиоактивность природного урана, определится
отношением числа распадов в единицу времени каждого .изотопа
к общему числу распадов в единицу времени природного урана.
Обозначим через т массу природного урана. Тогда массы изотопов
будут равны соответственно mi = 6-10-5m, m2 = 7,l • 10~3m и
m3 = 99,28-10-2m. Число распадов в единицу времени, даваемое
изотопом, будет равно
,,, In 2 1п2Ул/П1Д/
....................Т*Ах .
Дуг=ь^^£, Ду3=ь2.у<;
где Уд—постоянная Авогадро, Т;—период полураспада изотопа
(индекс 1/2 у Т опущен), А;—его молярная масса. Отсюда искомое
359
отношение для каждого из изотопов будет равно
_______________Ml _	mjlAjTj
ДЛ^1“|- AAfg-J-A/Vg /П1/Л171х4-/п>/Л27’14_Л2з/Лз7’з
Подставляя числовые данные, нетрудно убедиться, что вся радиоак-
тивность природного урана обусловлена изотопом 22|U, радиоактив-
ность же изотопов 2^|U и 22|U исчезающе мала.	' -
21.12.	v= 1,52-107 м/с. Полная энергия W, выделяющаяся при
вылете а-частицы, равна сумме кинетической энергии а-частицы
IF1 и кинетической энергии W2 остаточного ядра:
’	W=W1+W2.	(1)
Кроме того, им'еет место закон сохранения импульса. Так как до
распада импульс системы был равен нулю, то после распада
m1v1^m2v2.	(2)
Из (2) нетрудно получить
m,v22mi	m»v2
----= W i2mi = (над)2 — —2т2 — 2m2W2.-
Тогда из (1) имеем
W=W1+-^1 = Wi( 1+—= Ft=4,87 МэВ.
2ma \ т2 /	т2
21.13.	a) Q =0,12 кДж; б) ф=16кДж.
21.14.	Qg =5,2-1012 Дж/моль.
21.15.	а=2,8-Ю8Бк.
21.18.	NA = 6-1023 моль-1.
21.17.	т = 4,8-10-» кг.
21.18.	1=12,6' сут. На рис. НО дан характер зависимости
21.19.	На рис. 111 дан характер зависимости N/N' = f (1). Пе-_
риод полураспада найдется как абсцисса такой точки кривой, орди-
360 ,	' .	'
ната которой равна 0,5. Для нашего случая из кривой У/АГ = f (/),
начерченной сна несением масштаба, можно найти 7^ =3,8 сут.
21.20.	Т1/2<»4ч.
21.21.	1= 10,4 сут.
21.22.	Имеем
где А/—молярная масса изотопа (индекс 1/2 у Т{ опущен). Отсюда
t = 3- 10е лет.
21.23.	У = 2,8-10в.
21.24.	m=7-103 кг.
21.25.	/= 1,1 • 10“’ кд,
21.-26. 63,2%. ,
21.27.	а= 1,67.10е Бк.
21.28.	ат = 5,25.1016 Бк/кг.
21.29.	До смешения удельная активность изотопа
_ ДУ _МУ_1п2Улт1_1п2Ул
— TAimi “ TAi :	(1)
после смешения
a	_= 1П	'	Г21
mi (Ш14-т2)Д/ TAjpn^m,)*	' '
где Xi—молярная масса радиоактивного изотопа (индекс 1/2 у Т
опущен). Из (1) и *	1п'2Ул / Лс“= 7’А1 [ 21.30.	«2 = 11 21.31.	Т4Ро. 21.32.	TeRa, 21.33.	2ЙИ.	(2) получим. '1	)=7л1П.2УУ^а ч = 4,9.101’ Бк/кг. v	^1"Т" ^2/	1	(^1 + ^2) МГ.
21.34. 2Не.
21.35. ТзСэ.
21.36. а) о = 1,92.107 м/с; б) № = 7,83 МэВ (см. решение 21.12);
в) У = 2,26..1О6; г) /и=1,33.10-9 А.
§ 22.	Ядерные реакции
22.1.	а) 12 протонов и 12 нейтронов; б) 12 протонов и ,13 ней-
тронов; в) 12 протонов и 14 нейтронов.
22.2.	Имеем Am=Zm, + (А — 2) тп—тА. У нас (см. табл. XXI)
iH
Дт=(3-1,007834-4-1,00867 —7,01600) а. е. м. = 0,04217 а. е. м.
Так как массе 1 а. е. м. соответствует энергия 931 МэВ (см. задачу 17.20),
361
то окончательно энергия связи ядра зЫ будет равна IF = 0,04217 X
Х931 МэВ = 39,3 МэВ. Эту энергию надо затратить, чтобы расщепить
ядро ’Li на нуклоны.
22.3.	IF=28,3’МэВ.
22.4.	IF = 225 МэВ.
22.5.	a) IF=8,5 МэВ; б) IF = 7,7 МэВ. Ядро ?Н более устойчиво,
чем ядро аНе.
22.6.	IFO = 7,97 МэВ.
22.7.	IF = 2,2 МэВ.
22.8.	а) № = 5,6МэВ;б) IF = 7,5 МэВ; в) IF = 8,35 МэВ; г) IF =
= 8,55 МэВ; д) IF = 8,75 МэВ; е) W = 8,5 МэВ; ж) W = 7,9 МэВ;
в) IF = 7,6 МэВ.
22.9.	Имеем Q = c2 (2mi—ma). Сумма масс исходных частиц
2 «1== (7,01600 +1,00783) а. е. м. =8,02383 а. е. м.
Сумма масс образовавшихся частиц
2 т2 = (4,00260+4,00260) а. е. м. =8,00520 а. е. м.
Таким образом, дефект масс Л/п = 0,01863 а. е. м. Следовательно, при
реакции выделяется энергия Q = 0,01863-931 МэВ = 17,3 МэВ.
22.10.	Q = 1,18 МэВ.
22.11.	a) Q=4,04 МэВ; б) Q=3,26 МэВ.
22.12.	a) Q = 18,3 МэВ; б) Q=22,4 МэВ; в) 0=4,02 МэВ.
22.13.	Л4=570 т.
22.15.	Q = 15 МэВ.
22.16.	Q=4,35MaB.
22.17.	^N + Jn —Х?С+}Н; “С —	+ “N.
22.18.	ат = 1,1 • 1023 Бк/кг.
22.19.	Т1/2=15 ч.
22.20.	Qj = 5,35.1022 МэВ; Q2 = 3,6-1029 МэВ. Таким образом,
Qa/Qi = 7-106, т. е., чтобы осуществить это превращение, надо затра-
тить энергии приблизительно в 7 млн. раз больше, чем выделится
при этой реакции.
22.21.	т —6,015 а. е. м.
22.22.	В результате проведенного цикла четыре ядра водорода
превращаются в одно ядро гелня. Углерод, ведущий себя как хими-
ческий катализатор, может использоваться снова. Нетрудно найти,
что в результате этого цикла освобождается энергия 4,3-10-12 Дж.
С другой стороны, зная солнечную постоянную и расстояние от Земли
до Солнца, найдем, что Солнце излучает в единицу времени энергию
Qc/ =3,8< 1026 Дж/с. Если превращение четырех атомов водорода
дает энергию 4,3-10~12 Дж, то для излучения энергии Qct =
= 3,8-1026 Дж/с необходимо расходовать, в единицу времени массу
водорода /п< = 5,9< 10й кг/с. Так как масса СоЛнца /пс, = 2-Ю30 кг,
362
то запас водорода в солнечном веществе т = 2.108®«0,35 кг=7-Юа9кг.
Следовательно, данного запаса водорода хватит на время i = 4-1010 лет.
22.23.	т =1,00867 а. е. м.	'
22.25.	По определению
k1=^N1/Nt,	'	(1)
где Ni—число происшедших актов ядерного превращения за некото-
рый промежуток времени н М2— число частиц, бомбардирующих мншень
за этот промежуток времеин. С другой стороны, так как активность
изотопа определяется числом распадов в единицу времени (ах = ХЛ\), то
Ni_ 1п2Л\
Tl/2N2’
(2)
где Т1/г—период полураспада образовавшегося радиоактивного изо-
топа. Таким образом, нз (1) и (2) получим
22.26.	kt—1/500, т. е. только один протон из 500 вызывает
реакцию.
22.27.	61 = 1,2.10-3.
22.28.	Непосредственно после изготовления источник дает в еди-
ницу времени число распадов а1 = (ДЛ'/Д/)1 = ХЛ'1; спустя время t
число распадов в единицу времени а2 — (&N/&f)2=KN2, где Л/2= Л\е~М.
Отсюда, учитывая, что только одна а-частица из /1 = 4000 вызывает
реакцию, находим число атомов радона, введенного в источник:
N' = nNi=A-=nN2e^,
е~'-
Тогда масса радона
т =	= ^^-=2.1-10-» кг.
na na . na\
22.29.	л2 = 9,3-106 с"1.
22.30.	Q = 6,9 МэВ; й2 = 5,77-10~ia Бк.
22.31.	Обозначим (рис. 112) пц, т2 и т3—массы бомбардирующей
а-частицы, протона и ядра отдачи (в нашем случае ядра кислорода);
Wlt W2 и W3—их кинетические
энергии. Если ядро азота (т) не-
подвижно, то закон сохранения
энергии запишется так:
B7i+Q = «72 + «73,	(1)
где Q — энергия реакции. Закон
сохранения импульса в векторной
форме имеет вид •
Рис. 112.
Р1=ра+^3.	(2)
863
Из (2) имеем для импульсов (рис. 112)
Рз = Рх+р»~ 2p!pacos<p.	(3)
Так как
p2 = (mu)2 = ^-.2zn = 2m№,	(4)
то уравнение (3) примет вид
2m3№8 = 2/n1№i+2ma№2 — 2соэф У2m1W'1-2m2U72i
или
	+~w2Vmlfn2	(5)
Z7<3	Ш5	/Tig
Исключая из (1) и (5) энергию W3, получим формулу, связывающую
кинетическую энергию бомбардирующих а-частиц с кинетической энер-
гией протонов:
\	/	\	™8	/
Здесь Q — —1,18 МэВ. Решая (6) относительно cos (р и подставляя
числовые'данные, найдем
,п._ т*+тз i/'	т3~пц Wi
*	2 V	2 V пщУ,
-----^W39.— - = 0,849, или <p = 32°.
2 У fflj/nj WrW2
22.32.	№2= 11,3 МэВ ; ф w 90°.
22.33.	Q=—0,78 МэВ—реакция идет с поглощением энергии;
№ = | Q | (mj +m2)/mi = 1,04 МэВ, где mt—масса' покоящегося ядра
и т2—масса бомбардирующей частицы.
22.34.	№=1,52 МэВ.
22.35.	№=1,89 МэВ.
22.36.	Q=—0,30 МэВ, № = 0,35 МэВ; №' = №+<2 = 0,05 МэВ.
22.37.	<2=2,8 МэВ; 0 = 9,3.10» м/с; №=1,8 МэВ.
22.38.	№1=1 МэВ.
22.39.	ftv = 2,2 МэВ.
22.40.	hv — 16,6 МэВ.
22.41.	№ = 2,3-10* кВт-ч.
22.42.	/п = 31 г.
22.43.	Q = 17,6 МэВ; №= 11,8.10* кВт-ч.
§ 23.	Элементарные частицы? Ускорители частиц
“ 23.1. а) М = 2,2-101в; б) М=1,1-10«
23.2.	т=12 а. е. м. (графит),
23.3.	92%.
364
23.4.	a) «100%; б) 1,9%, т. е. в слое свинца нейтроны тормозятся
значительно слабее, дем в соответствующем слое вещества, содержа-
щего водород (например, парафина).
23.5.	Направление скорости v нейтрона, налетающего иа непод-
вижный протон, является биссектрисой прямого угла, под которым
разлетаются частицы. При этом скорости этих частиц одинаковы
и равны v' = v)/~ 2/2. Следовательно, энергия распределится в сред-
нем поровну между нейтроном и протоном.
’ 23.6. При каждом столкновении кинетическая энергия нейтрона
уменьшается наполовину (см. решение 23.5). Следовательно, после
п столкновений энергия нейтрона будет № = (1 /2)" №0. Отсюда п 1g 2 =
=lg (№„/№) = 1g (2.10’) и n = lg(2.10’)/lg2 = 24.
23.7.	q~2e — 3,2-10~19 Кл.
23.8.	(?/m = 4,8-107 Кл/кг.
23.9.	m=l,23-10~30 кг; v = 2,02.10s м/с; №=1,8-10s эВ; е/т =
= 1,3-104 Кл/кг; V' =2,52.108 м/с.
23.10.	По условию W/№0=l/j/" 1 —р2 = 30,‘откуда v=2,998.108 м/с.
Время жизни движущегося мезона по лабораторным часам т =
= т0//" 1—Р2 = 30т0. За это время мезон пройдет расстояние / = ит =
= и-30т0 а; 18 км.
23.11.	В 8 раз.
23.12.	№ = 0,51 МэВ; Х = 2,4 пм.
23.13.	Если фотон с энергией Av.превращается в пару частиц, то
по закону сохранения энергии
ftv = 2m0c2+ №1+ №2,
где т0с2—энергия покоя каждой частицы, №х и №2—кинетические
энергии частиц в момент их возникновения. У нас /пос2 = О,51 МэВ;
следовательно, 2тос2 = 1,02 МэВ, Тогда №1-|-№2 = (2,62—1,02) МэВ =
.= 1,60 МэВ.
-23.14.-Сила Лоренца Bqv = mv2/R, откуда B=mvlqR. Согласно
теории относительности импульс частицы p = mv связан с ее кинети-
ческой энергией W соотношением
p=-VW(W+2moc2),
где т0—масса покоя частицы. Отсюда
B = -^^W(W+2mac2).
Су 1\
(1)
Нетрудно показать (см. решение 23.13), что кинетическая энергия
каждой частицы №=2,34 МэВ. Подставляя в (1) числовые данные,
получим В = 0,31 Тл._
23.15.	ftv=67,5 МэВ,	*
365
23.16.	hv = 940 МэВ.
23.17.	m0 (я)=273/п0, где m0—масса покоя влектроиа; о =
= 2,48.108 м/с.
23.18.	v = Bq/2run; Vj = 9,7 МГц, v2 = 19,4 МГц, vs=9,7 МГц.
23.19.	U7=2n2mv2R2; №г=13,8МэВ, №2=6,9МэВ, 1Гз=27,6МэВ.
23.20.	В = 0,9 Тл; П7=4,8 МэВ.
23.21.	а) В=1,8Тл, W = 9,6 МэВ; б) В = 1,8 Тл, Г= 1'9,2 МэВ.
23.22.	Масса т=1 г радия испускает в единицу времени число
а-частиц П£ = 3,7‘1О10 с-1. Ток /=15 мкА соответствует потоку
а-частиц п2 = 4,7»1013 с-1. Таким образом, данный циклотрон про-
дуктивнее массы т = 1 г радия более чем в тысячу раз.
23.23.	U=R2B2q/2m=l2 МВ.
23.24.	R = 36 см.
23.25.	Для дейтонов и а-частнц В=1,3 Тл; для протонов В =
= 0,65 Тл. Для дейтонов, прртонов и а-частиц п = 3,13-10’м/с.
Для дейтонов U7=10,2 МэВ; для протонов W — 5,1 МэВ; для а-частиц
П7==20,4 МэВ.
При каждом полном обороте заряженная частица проходит
дважды пространство между дуантами и, следовательно, дважды полу-
чит добавочный импульс. Поэтому при п оборотах заряженная частица
приобретает энергию, эквивалентную ускоряющему потенциалу U' =
— 2n.U, где U — разность потенциалов, приложенная между дуантами.
Отсюда n=U'/2U. Для дейтонов и а-частиц га = 68; для протонов
п = 34.
23.26.	U7= 188 МэВ.
23.27.	zn/m0 = l,l; p = v/c = 0,44 н v=l,32-10s м/с.
23.28.	B=2nm0v0/<? = 2nmv/<? = l,62 Тл. Так как v0/v = т/та ==
= 1//Т^р2, то
W' = m0ca/,-7=L=—1^=^-^^ = 300 МэВ.
\К1-₽2 / v
23.29.	а) Т/То= 1,7; б) Т/То= 1,9.
ПРИЛОЖЕНИЯ
I.	Связь между рационализованными и нерационализоваииыми
уравнениями электромагнитного поля
Уравнения электромагнитного поля в рационализованной форме
можно получить из уравнений в нерационализованной форме следую-
щими преобразованиями:
1.	Диэлектрическая проницаемость в, входящая в нерационали-
зованиые уравнения, заменяется величиной
4ле' =4ле08,
где 80—электрическая постоянная, 8—относительная диэлектрическая
проницаемость среды.
2.	Магнитная проницаемость р, входящая в нерационализованные
уравнения, заменяется величиной
И' _ ИоР
4л 4л ’
где р0—магнитная постоянная, р—относительная магнитная прони-
цаемость среды.
3.	Электрическое смещение D = &E, входящее в нерацнонализо-
ванные уравнения, заменяется величиной
4л£> = 4леоеЕ.
4.	Напряженность магнитного поля Н = В/p, входящая в нера-
цнона лизованные уравнения, заменяется величиной
4лл =4л-----.
ЦоЦ
Все уравнения, в которых отсутствуют величины 8, р, D и Н,
имеют один и тот же вид и в нерационализованной, и в рационали-
зованной форме.
Осуществляя указанные выше преобразования, нетрудно составить
таблицу, в которой сопоставлены важнейшие уравнения §§ 9 и 11
гл. III в нерационализованной и в рационализованной формах.
Учащимся предлагается, осуществляя указанные выше преобра-
зования, дополнить эту таблицу не вошедшими в нее формулами
§§ 9 и И гл. III. Нетрудно убедиться, что все уравнения, приведен-
ные в § 10 гл. III, имеют один и тот же вид в рационализованйой
и нерационализованной формах.
867
	Нерационализоваивая' форма (система СГС)	Рационализованная форма (система СИ)
Закон Кулона	г_919а	р	 919а
Напряженность элект- рического поля	ег2 Е= — 9	4Л808Г2 9
Напряженность поля	Е- q	Е ~ q
точечного заряда	er2	4ле08/-2
Теорема Гаусса	Ь> ы II II ' а 'Д'-	Л^=_1у <?; 808 1U •^£> = 29
Напряженность поля	_ 2т	Е~ х
заряженной нити	er	2л808Г
Напряженность поля заряженной плоско- . сти	„ 2ла E 		 8	Е = -Н- 2е08
Напряженность_поля плоского конденса- тора	4no E—	 &	Е= — 808
Разность потенциалов Потенциал поля то-	o- II 1	и=— q U— q
чечного заряда	er	4л е0 гг
Зависимость между напряженностью по- ля и потенциалом		dU Е = ~17
То же для однород- ного поля	£—T-	а
Зависимость между емкостью, зарядом и потенциалом про- водника	q = CU	q = CU
Емкость плоского кон- денсатора	P	e*5 W	r 80eS
Емкость сферического конденсатора	о II- 00 'Ч	„ _ 4л808т/? Д-г
Емкость шара	C=er	С — 4л8о8Г
368
Продолжение табл.
	Нерационализованная форма (система СГС)		Рационализованная форма (система СИ)	
Энергия заряженного проводника	m_qV_CU\ 2	2	2С	2	2	<7* 2C
Энергия поля плоского конденсатора	8ad _ sE2Sd 2ms2Sd		w B0eSU2 2d ~ &azE2Sd	a2 Sd
Объемная плотность энергии электриче- ского поля	8л	8	2 0 2	2e08
Сила притяжения пла- стин плоского кон- денсатора	„ eE2S F - 8л “ _ eSt/2 _	2ло25	„ e0sE2S F	2	 n0eSU2	a2S
Закон Био—Савара — Лапласа	8л</2 / dl sin ос сг2	8	2d2 dfl _ 1 dl sin oc 4nr2	2еов
Напряженность маг- нитного поля в цент- ре кругового тока	и 2л/ H'cR		2R.	
Напряженность маг- нитного поля прямо- го тока	са		2ла	
Напряженность -маг- нитного поля внутри соленоида	г, 4л,1п п =	 с		H — In	
Связь между напря- женностью магнит- ного поля и магнит- ной индукцией	В = цН		B = \t^H	
Плотность энергии маг- нитного поля	0 8л		w<>	2	
Сила Ампера	, „ В/ sin ос dl аг 		 С		dF = Bl sin <xdl	
Сила Лоренца	_ Bqv sin ос с		F = Bqv sin a	
Сила взаимодействия параллельных токов	F c2d'		f 2nd	
Индуктивность солено- ' ида	L = 4лцп2/5		L = p0|xra2iS	
369
II. График зависимости индукции В от напряженности Н
магнитного поля для некоторого сорта железа
III. Фундаментальные физические константы
Гравитационная постоянная
Скорость света в вакууме
Магнитная постоянная
Электрическая постоянная
Постоянная Планка
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Масса покоя нейтрона
Отношение массы протона к мас-
се электрона
Элементарный заряд
Отношение заряда электрона
к егр массе
Атомная единица массы
Постоянная Авогадро
Постоянная Фарадея
Молярная газовая постоянная
Молярный объем идеального
газа при нормальных,условиях
Постоянная Больцмана
0 = 6,6720-10-11 Н-м2/кга
с=2,99792458-10s м/с
р,0= 12,5663706144.10-’Гн/м
е0 = 8,85418782-Ю-12 Ф/м
Л = 6,626176-10-34 Дж-с
/пе = 9,109534-10-31 кг
тр=Л,6726485-Ю-27 кг
т„ = 1,6749543-10 "27 кг
тр/те= 1836,15152
е =1,6021892-Ю-м Кл
е/те= 1,7588047-Ю11 Кл/кг
1 а.е.м. = 1,6605655 -10“27 кг
Мд = 6,022045-1023 моль-1
F=96,48456-Ю3 Кл/моль
R =8,31441 Дж/(моль-К)
Vo = 22,41383 • Ю~? м3/моль
6= 1,380662-10-23 Дж/К
370 z
IV. Некоторые данные о планетах Солнечной системы
	Меркурий	Венера	Земля	Марс	Юпитер	Сатурн	Уран	Нептун	Плутон
Среднее расстояние от Солн- ца, мли. км	57,91	108,21	149,59	227,94	778,3	1429,3	2875,03	4504,4	5900
Период обращения вокруг Солнца, земной год	0,24	0,62	1,0	.1,88	11,86	29,46	84,02	164,8	249,7,
Экваториальный диаметр, км	4840	12 400	12 742	6780	139 760	115 100	51000	50000	—
Объем по отношению к объ- ему Земли	0,055	0,92	1,0	0,150	1345	767	73,5	59,5	—
Масса по отношению к мас- се Земли	0,054	0,81	1,0	0,107	318,4	95,2	14,58	17,26	—
Ускорение свободного паде- ния jio отношению к уско- рению на поверхности Земли (g = 9,80665 м/с2)	0,38	0,85	1,0	0,38	2,64	1,17	0,02	1,14	—
V. Астрономические постоянные•.
Радиус Земли Средняя плотность Земли Масса .Земли Радиус Солнца Масса Солнца Радиус Луиы Масса Луны Среднее расстояние до Луны Среднее расстояние до Солнца (астрономическая единица) Период обращения Луны вокруг Земли Средняя плотность Солнца	6,378164-10" м 5,518-103 кг/м’ 5,976-10’* кг 6,9599-10» м 1,989-10» кг 1,737-10» м 7,35-10” кг ' 3,844-10» м 1,49598-10“ м 27 сут 7 ч 43 мин 1,41 • 103 кг/м3
VI. Диаметры атомов и молекул, им
Гелий	0,20	Кислород	0,30
Водород	0,23	Азот	0,30
VII. Критические значения Тк и
Вещество	'Тк. К	Рк, МПа	Вещество	тк, К	Рк, МПа
Водяной пар Углекислый газ Кислород Аргон	647 304 154 ’ 151	- 22,0 7,38 5,07 4,87	Азот Водород Гелин	126 33 5,2	3,4 1,3 0,23
VIII. Давление водяного пара, насыщающего пространство
при разных температурах
t, °C	Рн- Па	t, °C	Рн- Па	Г, °C	рн- Па
—5	400	8	1070	40	7 335
0	609	9	1145	50	12302
1	656	10	1225	60	19 817
2	704	12	1396	70	31 122
3	757	14	1596	80	47 215
4	811	16	1809-	90	69 958
5	870	20	2328	100	101 080
 .6	. 932	25	3165	150	486240
7	1025	30	4229	200	1549 890
372
IX. Удельная теплота парообразования воды
при развых температурах
t, °C	0	50	100	200
г, МДж/кг	2,49	2,38 _	2,26	1,94
X. Свойства некоторых жидкостей (при 20°С)
Вещество	Плотность, 108 кг/й8	Удельная теп- лоемкость, Дж/(кг-К)	Поверхност- ное натяже- ние, Н/м
Бензол	0,88	1720	0,03
Вода	1,00	4190.	0,073.
Глицерин	1,20	2430	0,064
Касторовое масло	0,90	1800	0,035
Керосин	0,80	2140	0,03
Ртуть	13,60	138	0,5
Спирт	0,79	2510	0,02
XI. Свойства некоторых твердых тел
Вещество	Плот- ность, Ю8 кг/м8	Темпе- ратура плавле- ния, °C	Удельная теплоем- кость, Дж/(кг-К)	Удельная теплота Плавления, кДж/кг	Температур- ный коэффи- циент линей- ного расши- рения, Ю-s К”1
Алюминий	2,6	659	896	322	2,3
Железо	7,9	1530-	500	272	1,2
Латунь	8,4	900	386	—	1,9
Лед	0,9	0	2100	335	—
Медь	8,6	1100	395	176	1,6
Олово	7,2	232	- 230	58,6	2,7
Платина	21,4	1770	117	, 113	0,89
Пробка	0,2	—	2050	—	——
Свинец	11,3	327	126	22,6	2,9 >
Серебро	10,5	960	234	88 -v	1,9
Сталь	7,7	1300	460		1,06
Цинк	7,0	420	391	117	2,9
373
XII. Свойства упругости некоторых твердых тел
Вещество	Предел прочности, МПа	Модуль Юнга, ГПа
Алюминий	но	69
Железо	294	196
Медь	245	118
Свинец	20	15,7
Серебро	290	74
Сталь	785	216
XIII. Теплопроводность некоторых твердых тел,
Вт/(м К)
Алюминий	210	Песок сухой	0,325
Войлок	0,046	Пробка	0,050
Железо	58,7	Серебро	460
Кварц плавленый	1,37	Эбонит	0,174
Медь	390		
XIV. Диэлектрическая проницаемость диэлектриков
Воск	7,8	Парафин	2	Эбонит	2,6
Вода	81	Слюда	6	Парафинированная	2
Керосин	2	Стекло	6	бумага	
Масло	5	Фарфор	6		
XV.	Удельное сопротивление
проводников (при О °C), мкОм-м
Алюминий	0,025	Нихром	100
Графит	0,039	Ртуть	0,94
Железо	0,087	Свинец	0,22.
Медь	0,017	Сталь	0,10
374
XVI.	Подвижности иоиов
в электролитах, 10-8 ма/(В-с)
no;	6,4	С1~	6,8
н+ к+	32,6 6,7	Ag+	5,6
XVII.	Работа выхода электронов
из металла, эВ
W	4,5	Ag	4,74
W + Cs	1,6	Li	2,4
W-|-Th	2,63	Na	2,3
Pt + Cs	1,40	К	2,0
Pt	5,3	Cs	1,9
XVIII. Показатели преломления
Алмаз	2,42	Сероуглерод	1,63
Вода	1,33	Скипидар	1,48
Лед	1,31	Стекло	1,5—1,9
XIX. Длина волны, определяющая
границу /(-серии рентгеновских лучей'
для различных материалов антикатода,
пм
Вольфрам	17,8	Платина	15,8
Золото	15,3	Серебро	48,4
Медь	138		
375
XX. Спектральные линии ртутной дуги, нм
253,7	404,7	546,1	612,8
365,0	435,8	577,0	690,8
365,5	523,5	579,1	708,2
XXI. Массы некоторых изотопов, а. е. м.
Изотоп	Масса	Изотоп	Масса	Изотоп	Масса
 ;н	1,00783		9,01218	3»Si	29,97377
’Н	2,01410	!ОВ	10,01294	^Ca	39,96257
?Н	3,01605	12г 6Ь	12,0	56Co 2 7^°	55,93984
’Не	3,01603	13N	13,00574	63Cu 2 9CU	62,92960
‘Не	4,00260		14,00307		111,90276
	6,01512	S’o	16,99913	^Hg	199,96832
	7,01600	h’Mg	22,99413	2 35TJ 92U	235,04393
1в?	7,01693		23,98504	238u 92°	238,05353
	8,00531	h’Al	26,98154		
XXII. Периоды полураспада некоторых
радиоактивных элементов
t69Ca	164 cyt		1590	лет
398Sr	28 лет	235ТТ 92u	7,1•108	лет
210Po - 8Г u *	138 сут	238т т 92и	4,5-10»	лет
T.Sn	3,82 сут			
87Й
XXIII. Названия, символы.и атомные массы химических
элементов
1 Водород 2 Гелий	н Не	1,0079 4,00260	54 Ксенон 55 Цезнй	Хе Cs	131,30 132,9054
3 Литий	LI	6,941	56 Барий	Ва	137,33
4 БерилЛий	Ее	9,01218	57 Лантан	La	138,9055
5 Бор	В	10., 81	58 Церий	Се	140,12
6 Углерод	С	12,011	59 Празеодим	Рг	140,9077
7 Азот	N	14,0067	60 Неодим	Nd	144,24
8 Кислород	О	15,9994	61 Прометий	Pm	[145]
9 Фтор	F	18,998403	62 Самарий	Sm	150,4
1 0 Неон	Ne	20.179	63 Европий	Ен	151,96
1! Натрий	Na	22,98977	64 Гадолиний	Gd	157,25
12 Магний	Mg	24,305	б5 Тербнй .	Tb	158,9254
1 3 Алюминий	Al	26,98154	66 Диспрозий	Dy	162,5ft
14 Кремний	Si	28,0855	6 7 Гольмий	Ho	164,9304
15 Фосфор	P	30,97375	68 Эрбий	Er	167,26
16 Сера	S	32,06	69 ТулнЙ	Tm	168,9342
17 X лор	Cl	35,453	70 Иттербий	Yb	173,04
18 Аргон	Ar	39,948	71 Лютеций	Lu	174,967
19 Калий	К	39,0983	72 Гафний	Hf	178,49
20 Кальций	Ca	40,08	73 Тантал	Ta	180,947
21. Скандий	Sc	44,9559	74 Вольфрам	W	183,85
22 Титан	T1	4 7,90	75 РеннЙ	Re	186,207
23 Ванадий	V	50,9415	76 Осмий	Os	190,2
24 Хром	Cr	51,996	77 Иридий	Ir	192,22
25 Марганец	Mn	54,9380	78 Платина	Pt	195,09
26 Железо	Fe	55,847	79 Золото	Au	196,9665
2 7 Кобальт	Co	58,9332	8 0 Ртуть	Hg	200,59
28 Никель	Ni	58,71	81 Таллий	T1	204,37
29 Медь	Cu	63,546	82 Свинец	Pb	207,2
30 Цинк	Zn	65,38	.83 Висмут	Bi	208,9804
31 Галлий	Ga	69,735	84 Полоний	Po	[209]
32 Германий	Ge	72,59	85 Астат	At	[210]
33 Мышьяк	As	74,9216	86 Радон	Rn	[222]
34 Селен	Se	78,96	87 Франций	Fr	[223]
35 Бром	Br	79,904	88 Радий	Ra	226,0254
36 Криптон	Kr	83,80	89 Актиннй	Ac	[227]
37 Рубидий	Rb	85,467	90 Торий	Th	231,0381
*38 Стронций	Sr	87,62	91 Протактиний	Pa	231,0359
39 Иттрий	Y	88,9059	92 Уран	и	238,029
40 Цирконий	Zr	91,22	93 Нептуний	Np	237,0482
41 Ниобий	Nb	92,9064	94 Плутоний	Pu	[244]
42 Молибден	Mo	95,9.4	9 5 Америций	Am	[243]
43 Технеций	Tc	98,9062	96 КюрнЙ	Cm	[24 7]
44 Рутений	Ru	101,07	97 Берклий	Bk	[24 7]
45 Родий	Rh	102,9055	98 Калифорний	Cf	[251]
46 Палладий	Pd	106,4	99 Эйнштейний	Es	[254]
47 Серебро	Ag	107,868	100 Фермий	Fm	[25 7]
48 Кадмий	Cd	112,41	101 Менделевий	Md	[258]
49 Индий	In	114,82	102 (Нобелий)	(NO)	[259] .
50 Олово	Sn	118,69	103 (Лоуренсий) <	(Lr)	[260]
51 Сурьма	Sb	121,75	104 Курчатовий	Ku	[260]
52 Теллур	Те	127,60	105		[260]
53 Иод *	1	126,9045	1 06		[263]
377
« XXIV. Синусы (косинусы)
оо
Синусы
Гра- дусы	0'	6'	12-	18'	24'	30'	36'	42'	48'	54'	60'	
0	0,0000	0,0017	0,0035	0,0052	0,0070	0,0087	0,0105	0,0122	0,0140	0,0157	0,0175	89
1	0,0175	0,0192	0,0209	0,0227	0,0244	0,0262	0,0279	0,0297	0,0314	0,0332	0,0349	88
2	0,0349	0,0366	0,0384	0,0401	0,0419	0,0436	0,0454	0,0471	0,0488	0,0506	0,0523	87
3	0,0523	0,0541	0,0558	0,0576	0,0593	0,0610	0,0628	0,0645	0,0663	0,0680	0,0698	86
4	0,0698	0,0715	0,0732	0,0750	0,0767	0,0785	0,0802	0,0819	0,0837	0,0854	0,0872-	85
5	0,0872	0,0889	0,0906	0,0924	0,0941	0,0958	0,0976	0,0993	0,1011	0,1028	0,1045	84
6	0,1045	0,1063	0,1080	0,1097	0,1115	0,1132	0,1149	0,1167	0,1184	0,1201	0,1219	83
7	0,1219	0,1236	0,1253	0,1271	0,1288	0,1305	0,1323	0,1340	0,1357	0,1374	0,1392	82
8	0,1392	0,1409	0,1426	0,1444	0,1461	0,1478	0,1495	0,1513	0,1530	0,1547	0,1564	81
9	0,1564	0,1582	0,1599	0,1616	0,1633	0,1650	0,1668	0,1685	0,1702	0,1719	0,1736	80
10	0,1736	0,1754	0,1771	0,1788	0,1805	0,1822	0,1840	0,1857	0,1874	0,1891	0,1908	79
11	0,1908	0,1925	0,1942	0,1959	0,1977	0,1994	0,2011	0,2028	0,2045	0,2062	0,2079	78
12	0,2079	0,2096	0,2113	0,2130	' 0,2147	0,2164	0,2181	0,2198	0,2215	0,2233	0,2250	77
13	0,2250	0,2267	0,2284	0,2300'	0,2317	0,2334	0,2351	0,2368	0,2385	0,2402	0,2419	76
14	 0,2419	0,2436	0,2453	0,2470	0,2487	0,2504	0,2521	0,2538	0,2554	0,2571	0,2588	75
15	0,2588	0,2605	0,2622	0,2639	0,2656	0,2672	0,2689	0,2706	0,2723	0,2740	0,2756	74
16	0,2756	0,2773	0,2790	0,2807	0,2823	0,2840	0,2857	0,2874	0,2890	0,2907	0,2924	73
17	0,2924	0,2940	0,2957	0,2974	0,2990	0,3007	0,3024	0,3040	0,3057	0,3074	0,3090	72
18	0,3090	0,3107	0,3123	0,3140	0,3156	0,3173	0,3190	0,3206	0,3223	0,3239	0,3256	71
19	0,3256	0,3272	0„3289	0,3305	0,3322	О;3338	0,3355	0,3371	0,3387	0,3404	0,3420	70
	60'	54'	48'	42'	36'	30'	24'	18'	12'	6'	0'	Гра- дусы
Гра- дусы	0-	6'	12'	18'	24'	30'	36'	42'	48'	54'	60'	
20	0,3420	0,3437	0,3453	0,3469	0,3486	0,3502	0,3518	0,3535	0,3551	0,3567	0,3584	69
21	0,3584	0,3600	0,3616	0,3633	0,3649	0,3665	0,3681	0,3697	0,3714	0,3730	0,3746	68
22	0,3746	0,3762	0,3778	0,3795	0,3811	0,3827	0,3843	0,3859	0,3875	0,3891	0,3907	67
23	0,3907	0,3923	0,3939	0,3955	0,3971	0,3987	0,4003	0,4019	0,4035	0,4051	0,4067	66
24	0,4067	0,4083	0,4099	0,4115	0,4131	0,4147	0,4163	0,4179	0,4195	0,4210	0,4226	65
25	0,4226	0,4242	0,4258	0,4274	0,4289	0,4305	0,4321	0,4337	0,4352	0,4368	0,4384	64
26	0,4384	0,4399	0,4415	0,4431	0,4446	0,4462	0,4478	0,4493	0,4509	0,4524	0,4540	63
27	0,4540	0,4555	0,4571	0,4586	0,4602	0,4617	0,4633	0,4648	0,4664	0,4679	0,4695	62
28	0,4695	0,4710	0,4726	0,4741	0,4756	0,4772	0,4787	0,4802	0,4818	0,4833	0,4848	61
29	0,4848	0,4863	0,4879	0,4894	0,4909	0,4924	0,4939	0,4955	0,4970	0,4985	0,5000	60
30	0,5000	0,5015	0,5030	0,5045	0,5060	0,5075	0,5090	0,5105	0,5120	0,5135	0,5150	59
31	0,5150	0,5165	0,5180	0,5195	0,5210	0,5225	0,5240	0,5255	0,5270	0,5284	0,5299	58
32	0,5299	0,5314	0,5329 -	0,5344	0,5358	0,5373	0,5388	0,5402	0,5417	0,5432	0,5446	57
33	0,5446	0,5461	0,5476	0,5490	0,5505	0,5519	0,5534	0,5548	0,5563	0,5877	0,5592	56
34	0,5592	0,5606	0,5621	0,5635	0,5650	0,5664	0,5678	0,5693	0,5707	0,5721	0,5736	55
35	0,5736	0,5750	0,5764	0,5779	0,5793	0,5807	0,5821	0,5835	0,5850	0,5864	0,5878	54
36	0,5878	0,5892	0,5906	0,5920	0,5934	0,5948	0,5962	0,5976	0,5990	0,6004	0,6018	53
37	0,6018	0,6032	0,6046	0,6060	0,6074	0,6088	0,6101	0,6115	0,6129	0,6143	0,6157	52
38	0,6157	0,6170	0,6184	0,6198	0,6211	0,6225	0,6239	0,6252	0,6266	0,6280	0,6293	51
39	0,6293	0,6307	0,6320	0,6334	0,6347	0,6361	0,6374	0,6388	0,6401	0,6414	0,6428	50
40	0,6428	0,6441	0,6455	0,6468	0,6481	0,6494	0,6508	0,6521	0,6534	0,6547	0,6561	49
41	0,6561	0,6574	0,6587	0,6600	0,6613	0,6626	0,6639	0,6652	0,6665	0,6678	0,6691	48
42	0,6691	0,6704	0,6717	0,6730	0,6743	0,6756	0,6769	0,6782	0,6794	0,6807	0,6820	47
43	0,6820	0,6833	0,6845	0,6858	0,6871	0,6884	0,6896	0,6909	0,6921	0,6934	0,6947	46
44	0,6947	0,6959	0,6972	0,6984	0,6997	0,7009	0,7022	0,7034	0,7046	0,7059	0,7071	45
	60'	54'	48'	4 2'	36'	30'	24'	1»'	12'	6'	0'	Гра- дусы
380
Продолжение табл.
Гра- дусы	0'	6'	12'	18'	24'	30'	36'	42'	48'	54'	60'	
45	0,7071	0,7083	' 0,7096	0,7108	0,7120	0,7133	0,7145	0,7157	0,7169	0,7181	0,7193	44
46	0,7193	0,7206	0,7218	0,7230	0,7242	0,7254	0,7266	0,7278	0,7290	0,7302	0,7314	43
47	0,7314	0,7325	0,7337	0,7349	0,7361	0,7373	0,7385	0,7396	0,7408	0,7420	0,7431	42
48	0,7431	0,7443	0,7455	0,7466	0,7478	0,7490	0,7501	0,7513	0,7524	0,7536	0,7547	41
49	0,7547	0,7559	0,7570	0,7581	0,7593	0,7604	0,7615	0,7627	0,7638	0,7649	0,7660	40
50	0,7660	0,7672	0,7683	0,7694	0,7705	0,7716	0,7727	0,7738	0,7749	0,7760	0,7771	39
51	0,7771	0,7782	0,7793	0,7804	0,7815	0,7826	0,7837	0,7848	0,7859	0,7869	0,7880	38
52	0,7880	0,7891	0,7902	0,7912	0,7923	0,7934	0,7944	0,7955	0,7965	0,7976	0,7986	37
53	0,7986	0,7997	0,8007	0,8018	0,8028	0,8039	0,8049	0,8059	0,8070	0,8080	0,8090	36
54	0,8090	0,8100	0,8111	0,8121	0,8131	0,8141	0,8151	0,8161	0,8171	0,8181	0,8192	35
55	0,8192	0,8202	0,8211	0,8221	0,8231	0,8241	0,8251	0,8261	0,8271	0,8281	0,8290	34
56	0,8290	0,8300	0,8310	0,8320	0,8329	0,8339	0,8348	0,8358	0,8368	0,8377	0,8387	33
57	0,8387	0,8396	0,8406	0,8415	0,8425	0,8434	0,8443	0,8453	0,8462	0,8471	0,8480	32
58	0,8480	0,8490	0,8499	0,8508	0,8517	0,8526	0,8536	0,8545	0,8554	0,8563	0,8572	31
59	0,8572	0,8581	0,8590	0,8599	0,8607	0,8616	0,8625	0,8634	0,8643	0,8652	0,8660	30
60	0,8660	0,8669	0,8678	0,8686	0,8695	0,8704	0,8712	0,8721	0,8729	0,8738	0,8746	29
61	0,8746	0,8755	0,8763	0,8771	0,8780	0,8788	0,8796	0,8805	0,8813	0,8821	0,8829	28
62	0,8829	0,8838	0,8846	0,8854	0,8862	0,8870	0,8878	0,8886	0,8894	0,8902	0,8910	27
63	0,8910	0,8918	0,8926'	•0,8934	0,8942	0,8949	0,8957	0,8965	0,8973	0,8980	0,8988	26
64	0,8988	0,8996	0,9003	0,9011	0,9018	0,9026	0,9033	0,9041	0,9048	0,9056	0,9063	25
	60'	54'	48'	42'	36'	30'	24'	18'	12'	6'	о-	Гра- дусы
g
Гра- дусы	°',	6*	12'	18'	24*	30'	36'	4 2'	48'	54'	60'	
65	0,9063	0,9070	0,9078	0,9085	0,9092	0,9100	0,9107	0,9114	0,9121	0,9128	0,9135	24
66	0,9135	0,9143	0,9150	0,9157	0,9164	0,9171	0,9178	0,9184	0,9191	0,9198	0,9205	23
67	0,9205	0,9212	0,9219	0,9225	0,9232	0,9239	0,9245	0,9252	0,9259	0,9265	0,9272	22
’ 68'	0,9272	0,9278'	0,9285	0,9291	0,9298	. 0,9304	0,9321	0,9317	0,9323	0,9330	0,9336	21
69	0,9336	0,9342	0,9348	0,9354	0,9361	0,9367	0,9373	0,9379	0,9385	0,9391	0,9397	20
70	0,9397	0,9403	0,9409	0,9415	0,9421	0,9426	0,9433	0,9438	0,9444	0,9449	0,9455	19
71	0,9455	0,9461	0,9466	0,9472	0,9478 ,	0,9486	0,9489	0,9494	0,9500	0,9505	0,9511	18
72	0,9511	0,9516	0,9521	0,9527	0,9532	0,9537	0,9542	0,9548	к 0,9553	0,9558	0,9563	17
73	0,9563	0,9568	0,9573	0,9578	0,9583	0,9588	0,9593	0,9598	0,9603	0,9608	0,9613	16
74	0,9613	0,9617	0,9622	0,9627	0,9632	0,9636	0,9641	0,9646	0,9650	0,9655	0,9659	15
75	0,9659	0,9664	0,9668	0,9673	0,9677	0,9681	0,9686	0,9690	0,9694	0,9699	0,9703	14
76	0,9703	0,9707	0,9711	0,9715	0,9720	0,9724	0,9728	0,9732	0,9736	0,9740	0,9744	13
77	0,9744	0,9748	0,9751	0,9755	0;9759	0,9763	0,9767	0,9770	0,9774	0,9778	0,9781	12
78	0,9781	0,9785	0,9789	0,9792	0,9796	0,9799	0,9803	0,9806	0,9810	0,9813	0,9816	11
79	0,-9816	0,9820	0,9823	0,9826	0,9829	0,9833	0,9836	0,9839	0,9842	0,9844	0,9848	10
80	0,9848	0,9851	 0,9854	0,9857	0,9860	0,9863	0,9866	0,9869	0,9871	0,9874	0,9877 0,9903	9
81	0,9877	0,9880	0,9882	0,9885	0,9888	0,9890	0,9893	0,9895	0,9898	0,9900		8
82	0,9903	0,9905	0,9907	0,9910	0,9912	0,9914	0,9917	0,9919	•0,9921	0,9923	0,9925	7
83	0,9925	0,9928	0,9930	0,9932	0,9934	0,9936	0,9938	0,9940	0,9942	0,9943	0,9945	6
84	0,9.945	0,9947	0,9949	0,9951	0,9952	0,9954	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9962	5
85	0,9962	0,9963	0,9965	0,9966	0,9968	0,9969	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974	0,9976	4
86	0,9976	0,9977	0,9978	0,9979	0,9980	0,9981	0,9982	0,9983	0,9984	0,9985	0,9986	3
87	0,9986	0,9987	0,9988	0,9989	0,9990	0,9990	0,9991	0,9992	0,9993	0,9993	0,9994	2
88	0,9994	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998	0,9998	0,9998	1
89	0,9998	' 0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0
	60'	54'	48*	42'	36'	30'	24'	18'	12'	6'	0'	Гра- дусы
Косинусы
Валентина Сергеевна Волькенштейн
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
Редакторы <Л< И. Г ладнева, В, А, Г риге рева
Технический редактор В. Н, Кондакова
Корректоры О. А. Сигал, JI. С. Сомова
ИБ № 12698
Сдано в набор 29.06.84. Подписано к печати
28.1 1.84. Формат 84X108*/s!- Бумага тип. № 3.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл.
печ. л. 20,16. Усл. кр.-отт. 20,58. Уч.-изд. л. 21,87.
Тираж 300 000 экз , (1-й завод 1—100000 ЭКЗ,)„
Заказ № 3222. Цена 80 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
МПО «Первая Образцовая типография»
Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли
113054 Москва М-54, Валовая, 23