Варианты
вступительных экзаменов в вузы в 1978 году
Московский институт стали и сплавов
В с Кванте», 1979, № 5 были опубликованы варианты вступительных экзаменов по физике. Ниже мы публикуем варианты вступительных экзаменов 1978 года по математике (письменный экзамен). Кроме самих вариантов, решений и ответов здесь приводится подробный разбор одного из вариантов с указанием типичных ошибок школьников.
Математика
В 1978 г. МИСиС второй год проводил вступительные экзамены по математике по новой программе. Вместо ожидавшейся нами в этом году стабилизации знаний абитуриентов, мы вынуждены отметить отсутствие заметного улучшения их подготовленности и даже некоторое ее снижение. Это относится, в частности, к разделам школьного курса, посвященных дифференцированию и интегрированию. Особенно плохо дело обстоит с геометрией: применять векторную алгебру к решению геометрических задач поч"ти никто не умеет.
В порядке возрастания трудности вариантов, факультеты МИСиС можно расположить примерно следующим образом: технологический факультет, факультет металлургии черных металлов и сплавов, факультет металлургии цветных и редких металлов и сплавов, факультет полупроводниковых материалов и приборов, физико- химический факультет.
Факультет полупроводниковых материалов
1. Найти область определения функции
У = Vlogc.5 (Зх - 8) - log0l6 (хг + 4)".
Эта задача сводится к решению системы неравенств. Многие из абитуриентов не смогли правильно получить эту систему неравенств, т. к. плохо зналн свойства степенной н логарифмической функций. Система  неравенств имеет вид
Зх—8>0
Зх—8 х* +4   ^
Зх — 8>0 х*—Зх-j- 12>0.
Некоторые поступающие не смогли правильно решить эту систему, хотя из того,   что   второе   неравенство   выполнено
при   всех   х ^ R  сразу   получается ответ:
>
2. Решить  тригонометрическое уравнение
 ctgx    +^TC0S[
I — ctg x =   2(l+ctgx)'
Типичные ошибки здесь следующие: незнание основных формул тригонометрии, например
/         л \	п    •   .         .я
coslx — -?- l=cosx-cos-^- + sin х-sin ~r~,
ctg х =
cosx
sin x  '
приобретение посторонних корней.
Решить это уравнение можно, например, следующим образом. Находим область определения
sinx?40,l+ctgx#0 =>  хф — —гЛ- *"• k?Z, хфтп,   m?Z. Преобразуем уравнение
 I
=>   (1 + ctg x) (cos x-f sin x-\- 1) =.0.
л
1)	l + ctgx = 0  =>  x= ——^-+kn
не входит в область определения.
2)	cos x + sin x -f 1 = 0  =>
2
x = l( — 1)"^ ¦ —11-4-4 (2л + 1)л, Л =2n+ 1

x = (2л + 1) я не входит в область опреде-	/    |
п	+ '-—- —
ления.   Ответ х = —-g- + 2"л, л? Z.
3.  Найти уравнение   общей    касательной к кривым
{/ = л-2 + 4х+8 и у л:2 + 8л + 4. Большинство абитуриентов, не решивших эту задачу, не смогли правильно написать уравнение касательной к кривой. Решение задачи следующее: уравнения касательных к первой и второй кривым
Условие того, что касательная общая, | Г (*i) = g' (*2)
I 2x, + 4     2.v., + 8 =>   |	.,	.,	=>
i x" — x^ = 4	I x = 0.
Получаем уравнение общей касательной
у = 8х + 4.
4.  Найти   предел   последовательности 1	1
*"~   2-3-4-5   "•"   3-4-5-6 1
¦+...+
п(п f 1) (п + 2) (л + 3)
1
Типичная ошибка: поступающие пользовались тем, что последнее слагаемое в сумме стремится к нулю, н на основании этого решали, что предел равен первому слагаемому, или сумме нескольких первых членов, в зависимости от личного вкуса. При этом забывали о том, что число ела-' гаемых в сумме растет с ростом п. Правильно решить задачу можно, например, так. Разложим общий член 1
стейших   дробей    и сложим эти дроби так: \[ 6  I  k - k+зГ 2 \k+2~
к = 2 1
 I        I
 "3"- 6
n+l       л+2
Отсюда
1/1         1       J_\     J_ , ==~6~(f2-+   3  +   4 j~   6   +
limf	1_	1/1
"¦*°°[2(n + 2) ~  6  [n+\ + 1	1    \1       1/1         1
 n+2 + n+3
5. Точки Л (1; 2; 3), В (1; 5; 3), С (3; 3; 3) лежат на окружности нижнего основания цилиндра, а точка D (2; 3; 7) — «я его верхнем основании. Найти координаты центров оснований и объем цилиндра.
С этой задачей на применение векторной алгебры в стереометрии не справились большинство абитуриентов. Можно предположить, например, такое решение
1) Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С (очевидно, проходящей и через центр О нижнего основания)
ах + by + сг + d = 0.
Для определения а, Ь, с и d получим систему (координаты точек А, В, и С удовлетворяют уравнению плоскости).
о + 26 + Зс = — d а + 5fc + Зс = — d  => За+ 36+3с== — d
а + 26 + Зс — — d  c— — d
уравнение   плоскости    нижнего   основания цилиндра г = 3.
2) Пусть О (х;у; г). Тогда для    определения (х; у; г) имеем систему уравнений
j/2 — \y + 4 - j/8 — 10i/ f 25 x* — 2x + 1 -f i/2 — 4i/+4 — x2—6x + 9 + j/2 — 6i/ + 9
40