/
Author: Кудрявцев Л.Д.
Text
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, Т. 1.
Кудрявцев Л. Д.
Учебник предназначен для вузов с повышенной математической подготовкой. Его задачей является
не только изложение основных сведений из математического анализа, но и подготовка учащихся к
чтению современной математической литературы. Особое внимание обращено на изложение
аналитических методов, вместе о тем в книге нашли свое отражение и некоторые геометрические
вопросы теории функций.
В первом томе излагаются дифференциальное и интегральное исчисление функций одного
переменного, простейшие сведения о функциях многих переменных и теория рядов. Учебник
предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных
заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. 4.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 78
Глава первая. 4.8. Пределы монотонных функций 80
Дифференциальное исчисление функций 4.9. Критерий Коши существования 81
одного переменного § 1. Вещественные числа 11 предела функции § 5. Непрерывность функции в точке 84
1.1. Свойства вещественных чисел 11 5.1. Точки непрерывности и точки 84
1.2. Обозначения 20 разрыва функции
§ 2. Верхние и ннжние грани множеств 22 5.2. Свойство функций, непрерывных в 88
2.1. Свойства верхних и ннжних граней 22 точке
множеств § 6. Свойства функций, непрерывных на 89
2.2. Сечения в множестве вещественных 27 промежутках
чисел 6.1. Ограниченность непрерывных 89
§ 3. Предел последовательности 28 функций. Достижимость экстремальных
3.1. Определение предела 28 значений
последовательности и некоторые его 6.2. Промежуточные значения 91
свойства 3.2. Пределы монотонных 31 непрерывной функции 6.3. Обратные функции 93
последовательностей § 7. Непрерывность элементарных 96
3.3. Теорема Больцано—Вейерштрасса и 35 функций
критерий Коши 7.1. Многочлены и рациональные 96
3.4. Бесконечно малые и бесконечно 39 функции
большие последовательности 7.2. Показательная, логарифмическая и 97
3.5. Свойства пределов, связанные с 41 степенная функции
арифметическими операциями над 7.3. Тригонометрические и обратные 105
последовательностями 3.6. Изображение вещественных чисел 47 тригонометрические функции § 8. Сравнение функций. Вычисление 106
бесконечными десятичными дробями 3.7. Счетность рациональных чисел. 52 пределов 8.1. Некоторые замечательные пределы 106
Несчетность вещественных чисел 8.2. Сравнение функций 111
3.8. Верхний и ннжний пределы 55 8.3. Эквивалентные функции 116
последовательностей 8.4. Метод выделения главной части 117
§ 4. Функции и их пределы 60 функции. Применение к вычислению
4.1. Понятие функции 60 пределов
4.2. Способы задания функции 64 § 9. Производная и дифференциал 121
4.3. Элементарные функции и их 68 9.1. Определение производной 121
классификация 9.2. Дифференциал функции 124
4.4. Первое определение предела 69 9.3. Геометрический смысл производной 127
функции 4.5. Второе определение предела 72 и дифференциала 9 4. Физический смысл производной и 131
функции 4.6. Свойства пределов функций 76 дифференциала 9.5. Правила вычисления производных, 133
связанные с арифметическими
действиями над функциями
9.6. Производная обратной функции 137
9.7, Производная и дифференциал 139
сложной функции
9.8. Гиперболические функции и их 145
производные
§ 10. Производные и дифференциалы 148
высших порядков
10.1. Производные высших порядков 148
10.2. Свойства производных высших 149
порядков. ...
10.3. Производные высших порядков от 151
сложных функций, от обратных функций
и от функций, заданных параметрически.
10.4. Дифференциалы высших порядков. 154
§11, Теоремы о среднем для 156
дифференцируемых функций
11.1. Теорема Ферма 156
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о 158
средних значениях
§ 12. Раскрытие неопределенностей по 164
правилу Лопиталя
тт 0 165
12.1. Неопределенности вида—
оо 168
12.2. Неопределенности вида—
§ 13. Формула Тейлора 173
13.1. Вывод формулы Тейлора 173
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен 176
наилучшего приближения функции в
окрестности данной точки
13.3. Примеры разложения по формуле 179
Тейлора
13.4. Вычисление пределов с помощью 181
формулы Тейлора (метод выделения
главной части
§ 14. Исследование поведения функции 184
14.1. Критерий монотонности функции 184
14.2. Экстремумы функций. Определение 184
наибольших и наименьших значений
функций
14.3. Выпуклость и точки перегиба 190
14.4. Асимптоты 196
14.5. Построение графиков функций 198
§ 15. Вектор-функция 209
15.1. Понятие предела и непрерывности 209
для вектор-функции
15.2. Производная и дифференциал 212
вектор-функции.
§ 16. Длина дуги кривой 216
16.1. Понятие кривой 216
16.2. Касательная к кривой. 221
Геометрический смысл производной
вектор-функции
16.3. Длина дуги кривой и дифференциал 224
длины дуги
16.4. Плоские кривые 231
16.5. Физический смысл производной 233
вектор-функции
§ 17. Кривизна кривой 234
17.1. Две леммы. Радиальная и 234
трансверсальная составляющие
17.2. Определение кривизны кривой и ее 237
вычисление
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся 239
плоскость
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой 241
17.5. Формулы для кривизны и эволюты 241
плоских кривых
Глава вторая. Дифференциальное
исчисление функций многих переменных
§ 18. Множества на плоскости и в 247
пространстве
18.1. Окрестности и пределы 247
последовательностей точек
18.2. Различные типы множеств 261
§ 19. Предел и непрерывность функций 265
многих переменных
19.1. Предел функции 265
19.2. Непрерывность функций 270
19.3. Непрерывность суперпозиции 272
непрерывных функций
19.4. Теоремы о функциях, непрерывных 273
на множествах
19.5. Равномерная непрерывность 276
функций. Модуль непрерывности
§ 20. Частные производные. 283
Дифференцируемость функций многих
переменных
20.1. Частные производные и частные 283
дифференциалы
20.2, Дифференцируемость функции в 286
точке
20.3. Дифференцирование сложной 293
функции
20.4. Инвариантность формы первого 296
дифференциала относительно выбора
переменных, Правила вычисления
дифференциалов
20.5. Геометрический смысл частных 302
производных и полного дифференциала
20,6. Производная по направлению 305
§21. Частные производные и 310
дифференциалы высших порядков
21.1. Частные производные высших 310
порядков
21.2. Дифференциалы высших порядков 313
Глава третья. Интегральное исчисление
функций одного переменного
§ 22. Определение и свойства
неопределенного интеграла
22.1. Первообразная и неопределенный
интеграл
22.2. Табличные интегралы
22.3. Интегрирование подстановкой
22.4. Интегрирование по частям
§ 23. Некоторые сведения о комплексных
числах и многочленах
23.1. Комплексные числа
23.2. Некоторые понятия анализав
области комплексных чисел
23.3. Разложение многочленов на
множители
23.4. Общий наибольший делитель
многочленов.
23.5. Разложение правильных
рациональных дробей на элементарные
§ 24. Интегрирование рациональных
дробей
24.1. Интегрирование элементарных
рациональных дробей
24.2. Общий случай
24.3. Метод Остроградского
§ 25. Интегрирование некоторых
иррациональностей
25.1. Интегралы вида
f „г ,<2X+Z?,K ,<2X + Z?.,,,
J
J ex + a ex + а
25.2. Интегралы вида
j R(x,ylax2 +bx + c~)dx
Подстановка Эйлера
25.3. Интегралы от дифференциального
бинома
25.4. Интегралы вида j 1'X'1 Jr
J у/ах2 +bx + с
§ 26. Интегрирование некоторых классов
трансцендентных функций
26.1. Интегралы вида j A(sin х, cos х) Jr
26.2. Интегралы вида J sin" xcosm xdx
26.3. Интегралы вида j sin exx cos pxJr ,
j sin exx sin px Jr, j cos exx cos px Jr
26.4. Интегралы от трансцендентных
функций, вычисляющиеся с помощью
интегрирования по частям
26.5. Интегралы вида j R(shx, chx'jdx
26.6. Замечания об интегралах, не
выражающихся через элементарные
318
318
321
323
325
327
327
332
336
338
343
350
350
352
354
359
360
363
363
366
369
371
371
373
374
375
376
377
функции
§ 27. Определенный интеграл 379
27.1. Определение интеграла по Риману 379
27.2. Ограниченность интегрируемой 382
функции
27.3. Верхние и нижние интегральные 383
суммы Дарбу Верхний и нижний
интегралы Дарбу
27.4. Необходимые и достаточные 386
условия интегрируемости
27.5. Интегрируемость непрерывных и 388
монотонных функций...
§ 29. Свойства интегрируемых функций 390
28.1. Свойства определенного интеграла 390
28.2. Теорема о среднем для 399
определенного интеграла.
28.3 . Интегрируемость кусочно- 403
непрерывных функций
§ 29. Определенный интеграл с 405
переменным верхним пределом
29.1. Непрерывность интеграла по 405
верхнему пределу.
29.2. Дифференцируемость интеграла по 406
верхнему пределу. Существование
первообразной у непрерывной функции
29.3. Формула Ньютона—Лейбница 408
§ 30. Методы вычисления определенного 409
интеграла
30.1. Замена переменного 409
30.2. Интегрирование по частям 411
§31. Мера плоских открытых множеств 413
31.1. Определение меры (площади) 413
открытых множеств
31.2. Монотонность меры открытых 415
множеств
§ 32. Некоторые геометрические и 423
физические приложения определенного
интеграла
32.1. Вычисление площадей 423
32.2. Объем тел вращения 429
32.3. Вычисление длины кривой 431
32.4. Площадь поверхности вращения 434
32.5. Работа силы 438
32.6. Вычисление статических моментов 439
и центра тяжести кривой
§ 33. Интегралы от неограниченных 442
функций
33.1, Определение интеграла от 442
неограниченной функции
33.2. Формулы интегрального исчисления 447
для несобственных интегралов на
конечном промежутке
33.3. Несобственные интегралы от 449
неотрицательных на конечном
промежутке функций
33.4. Критерий Коши. Абсолютно 457
сходящиеся несобственные интегралы на
конечном промежутке
§ 34, Несобственные интегралы с 459
бесконечными пределами
интегрирования
34.1 . Определение несобственных 459
интегралов с бесконечными пределами.
34.2 . Формулы интегрального исчисления 461
для несобственных интегралов
34.3 . Несобственные интегралы с 465
бесконечными пределами от
неотрицательных функций
34.4 . Критерий Коши. Абсолютно 469
сходящиеся несобственные интегралы с
бесконечными пределами. Метод
улучшения сходимости интегралов
Глава четвертая. Ряды
§ 35. Числовые ряды 477
35.1. Определение ряда и его сходимость 477
35.2. Свойства сходящихся рядов 480
35.3. Критерии сходимости рядов 482
35.4. Критерии сходимости рядов с 484
неотрицательными членами. Метод
выделения главной части n-го члена ряда
35.5. Знакопеременные ряды 496
35.6. Абсолютно сходящиеся ряды. 499
Использование абсолютно сходящихся
рядов для исследования сходимости
произвольных рядов
35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся 506
абсолютно. Признак Дирихле 506
§ 36. Функциональные 514
последовательности и ряды.
36.1. Сходимость функциональных 514
последовательностей и рядов
36.2. Равномерная сходимость 518
последовательностей и рядов
36.3. Свойства равномерно сходящихся 529
рядов и последовательностей
§ 37. Степенные ряды 536
37.1. Радиус сходимости и круг 536
сходимости степенного ряда. Формула
Коши—Адамара
37.2. Аналитические функции 543
37.3. Вещественные аналитические 544
функции
37.4. Разложение функций в степенные 547
ряды. Различные способы записи
остаточного члена формулы Тейлора
37.5. Разложение элементарных функций 552
в ряд Тейлора
37.6. Разложение в степенные ряды и 560
суммирование степенных рядов методом
почленного дифференцирования и
интегрирования
§ 38. Кратные ряды 562
38.1. Кратные числовые ряды 562
38.2. Кратные функциональные ряды 568
Алфавитный указатель
Математические методы исследования всегда играли и играют огромную роль в естествознании.
Математика неустанно продолжает развиваться и находит все новые и новые области своего
применения. Задачи практики в свою очередь приводят к созданию новых направлений математики и ее
приложений. Развитие математики в целом определяет уровень ее приложений и оказывает
существенное влияние на развитие других наук и техники.
Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и
пространственные формы реального мира. Точность математики означает, что методом исследования в
математике являются строгие логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в
строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения
являются логические модели, построенные для описания и исследования того или иного явления. В
этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные связи между
ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать свойства очень далеких друг от
друга по своему физическому содержанию реальных процессов. Для математики важна не природа
рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними соотношения. С абстрактностью
математики связана, с одной стороны, определенная трудность ее усвоения, а с другой—ее сила,
универсализм и общность.
В последнее время, благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин, произошел
большой качественный скачок в использовании математических методов, которые стали применяться
не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но
и в тех областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно либо применялась мало,
либо ее применение даже не представлялось возможным (медицина, экономика, лингвистика,
социология и т. п.). Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени
ГЛАВА
ПЕРВАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
1.1. Свойства вещественных чисел
В курсе элементарной математики изучаются веществен-
ные (действительные) и комплексные числа. Сначала в процессе счета
возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2, 3, ..., п, ....
Над числами натурального ряда можно производить операции сложе-
ния и умножения, что же касается операций вычитания и деления, то
они уже оказываются не всегда возможными внутри натурального
ряда. Чтобы все четыре арифметические операции (сложение, вы-
читание, умножение и деление) были возможны для любой пары
чисел (кроме операции деления на ноль, которой нельзя приписать
разумного смысла), приходится расширить класс рассматриваемых
чисел. К необходимости такого расширения запаса чисел приводят
также потребности измерения тех или иных геометрических и физи-
ческих величин. Поэтому вводятся целые отрицательные (вида —1,
—2, ..., —п, ...), а затем и рациональные! вид.а где р, q — любые
целые числа) числа.
Та же потребность измерения величин и проведение таких опе-
раций, как возведение в дробную степень, вычисление логарифмов,
решение алгебраических уравнений приводит к дальнейшему
расширению запаса рассматриваемых чисел; появляются иррацио-
нальные и, наконец, комплексные числа.
Напомним кратко известные из элементарной математики свойст-
ва вещественных чисел и дополним их описанием некоторых свойств,
обычно там не рассматриваемых.
Множество вещественных чисел образует совокупность, обла-
дающую следующими свойствами.
t2
§ 1. Вещественные числа
I. Свойство упорядоченности
Для любых двух чисел а и Ь определено соотношение порядка,
т. е. два любых вещественных числа а и Ь удовлетворяют одному и
только одному из следующих трех соотношений:
а < b, а = b или a J> b\
при этом, если а <^Ь и Ь <С с, то а <б с.
Последнее свойство называется свойством транзитивности
упорядоченности вещественных чисел.
Запись а <Г b равнозначна записи b S> а. Запись а b (Ь < а)
означает, что либо а = Ь, либо а > Ь. Например, можно написать
2 >2, 5 >2.
II. Свойства операции сложения
Для любой упорядоченной пары чисел а и Ь*} определено и при-
том единственным образом число, называемое их суммой и обознача-
емое а + Ь, так что при этом имеют место следующие свойства.
IIV Для любой пары чисел а и Ь
а Д- b = b + а.
Это свойство называется переместительным, или коммутатив-
ным, законом сложения.
П2. Для любой тройки чисел а, Ь, с
а + (Ь + с) = (а + Ь) + с.
Это свойство называется сочетательным, или ассоциативным,
законом сложения.
П8. Существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, та-
кое, что для любого числа а
а 4- 0 — а.
Следствие 1. Число, обладающее свойством нуля, единственно.
Действительно, допустим, что существует два нуля 0 и О', тогда 0 + 0' =
= 0 и 0' + 0=0'. В силу коммутативности сложения левые части этих ра-
венств равны, следовательно, равны и правые, т. е. 0 = О'.
П4. Для любого числа а существует число, обозначаемое —а и
называемое противоположным данному, такое, что
а + (—а) = 0.
*) Термин «упорядоченная пара чисел» или вообще «упорядоченная си-
стема п чисел» (п — натуральное число) не следует понимать в том смысле,
что эти числа упорядочены по величине (что всегда можно сделать согласно
свойству I). Это выражение просто означает, что заданные числа перенумеро-
ваны, т. е. указано, какое число является первым, какое вторым и т. д.
1.1. Свойства вещественных чисел
13
Следствие 2. Число, противоположное данному, единственно.
Пусть некоторому числу а числа Ь и с противоположны, т. е. a 4- b = О
и а + с = 0, тогда из первого из этих равенств имеем (а 4~ Ь) 4- с = с, от-
куда (а 4- с) + b = с, но а + с = 0, следовательно, b = с.
Следствие 5. Для любого числа а
~(-а) = а. (1.1)
Из равенства а + (—а) = 0, определяющего противоположный элемент,
в силу коммутативности сложения получим —а 4- а = 0. Это и означает, что
«=—(—а).
П5. Если a Ь, то для любого числа с
а + с <Z Ь + с.
Следствие 4. Если а < Ь, то —а > —Ь.
В частности, если а > 0, то —а < 0, а если а < 0, то —а > 0.
Действительно, из а <_ b следует, что Ь 4- (— а) > 0. Поэтому
-а = —а + b + (-&) - [6 + (—а)] + (—6) > 0 + (-Ь) = —Ь.
Число а >• 0 называется положительным, число а < 0 — отри-
цательным.
Следствие 5. Если а < b и с < d, то
а + с < b + d.
(1.2)
т. е. можно производить почленное сложение неравенств одного знака.
Действительно, если а < Ь и с < d, то, согласно П5, а + с < b + с и
с + b < d + Ь, и поэтому из 1 имеем а + с < b 4- d.
Для любой упорядоченной пары чисел а и Ь число а + (—Ь) на-
зывается разностью чисел а и b и обозначается а — Ь, т. е. по опре-
делению
а — Ь = а + (—Ь). (1.3)
Очевидно,
а — а = 0, (1.4)
ибо
а — а = а + (—а) = 0.
Следствие 6. Для любых чисел а и b
—а — b — —(а + Ь).
Действительно,
а + b 4- (—а — Ь) — (а — а) + (Ь — Ь) — 0.
Следствие?. Если а < b, с > d, то а — с < b — d.
Действительно, из с > d имеем —с < —d. Складывая неравенства а < Ь
и —с < —d, получим а — с < b — d.
14
§ 1. Вещественные числа
III. Свойства операции умножения
Для любой упорядоченной пары чисел а и Ь определено и притом
единственным образом число, называемое их произведением и обо-
значаемое ab, так что при этом имеют место следующие свойства.
II I,. Для любой пары чисел а и Ь
ab — Ьа.
Это свойство называется переместительным, или коммутативным,
законом умножения.
III2. Для любой тройки чисел а, Ь, с
a (be) = (ab) с.
Это свойство называется сочетательным, или ассоциативным, за-
коном умножения.
Ш3. Существует число, обозначаемое I и называемое единицей,
такое, что 1 =/= 0 и для любого числа а
а-1 — а.
1П4. Для любого числа a=f= 0 существует число, обозначаемое —
и называемое обратным данному, такое, что
а--=\.
а
Аналогично доказательству единственности нуля и числа, противо-
положного данному, доказывается единственность единицы и числа, обрат-
ного данному.
ШБ. Если а <С b и сД> 0, то ас < Ьс. Если же а<^Ь ис<^0,
то ас > Ьс.*>
Следствие 8. 1>0.
Действительно, если 1 < 0, то —1 >0. Умножая в этом случае неравен-
ство 1 < 0 на положительное число —1, получим, согласно П15,
1-(-1) <0.
Отсюда в силу определения единицы и коммутативности умножения следует,
что —1 < 0, что противоречит сделанному допущению 1 < 0.
Для любой упорядоченной пары чисел а и b, b =Ь 0, число а^
называется частным от деления а на b и обозначается -у , т. е.
по определению
Число 1 + 1 обозначается 2, число 2 + 1 обозначается Зит. д.
Эти числа 1, 2, 3, ... называются натуральными числами. Чис-
ла 0, ±1. ±2, ... называются целыми числами.
*) Отметим, что второе утверждение следует из первого и нижеследую-
щего свойства IV
1.1. Свойства вещественных чисел
15
Числа вида — , где m целое, а п натуральное, называются ра-
циональными числами.
IV. Связь операций сложения и умножения
Для любой тройки чисел а, b с
(а + Ь) с = ас + Ьс.
Это свойство называется распределительным, или дистрибутив-
ным, законом умножения относительно сложения.
Следствие 9. Для любых чисел а, Ь, о
а(Ь — с) = ab — ао. (1.6)
В самом деле,
а (Ь — с) = а (Ь — с) + ас — ас = а(Ь — с + с) — ас — ab — ас.
Следствие 10. Для любого числа а
a-Q = 0. (1.7)
Действительно, возьмем какое-либо число Ь, тогда Ь — Ь = 0 (см. (1.4)),
и согласно (1.6) получим а-0 = а (Ь — b) = ab — ab = 0*),
Следствие 11. Для любых чисел а и b
(—a)b=—ab, (1.8)
(— а)(—b) = ab, (1.9)
в частности, (—1) а — —а.
В самом деле,
(—о) Ь = (—a)b + ab — ab = (—а + a)b ab = —ab. (1.10)
Далее,
(—а)(—6) = —а(—Ь) = (—1)[а(—6)] = (—1)(—ab) = — (—ab) =ab.
Легко показать, что свойства Пх, 112, III,, Ш2 и IV распростра-
няются по индукции на любое конечное число членов. В качестве
примера покажем, что для любых чисел ак, а2, ап (п'^-2) и b
(a1-[-a2+...-\-an)b=^alb-\-a2b-\-... +anb. (1.11)
В самом деле, при п — 2 эта формула справедлива согласно свой-
ству IV. Пусть теперь (1.11) справедливо при п = k, покажем, что
она будет справедлива и при п = k + 1.
*’ Из следствия 10 вытекает, что утверждение 1 =#= 0 при наличии других
рассматриваемых свойств эквивалентно тому, что существует хоть одно чис-
то отличное от нуля. Очевидно, достаточно показать, что если существует
тисло а ф 0, то 1 0. Действительно, если существует а^=0, то из равенств
т-1 = а следует, что 1 0, так как в противном случае а = 0.
16
§ I. Вещественные числа
Применяя свойство П2 для k + 1 слагаемых (считая, что оно
уже доказано), затем свойство IV, и используя предположение
индукции, получим
(Oi + о2 + ••• + °*4-i) b — [(а, +... + °*+i J b =
— (Oj 4~... -f- ak) b -J- Q/t+i b — Oj b-f-... -f- a^ b-\- a^^. i b.
Из формулы (1.11) в случае аг = о2 = ... = an= 1 следует, что
nb = b-j-... + b,
n раз
т. e. что умножение числа на натуральное число п сводится к сложе-
нию этого числа п раз.
Для любого числа а число, обозначаемое | а | и определяемое по
формуле
. , f а,
1«1 =
I—а,
если а>-0,
если а<С0,
называется абсолютной величиной числа а.
Отметим ряд свойств абсолютной величины.
1. Для любого числа а
| а | > О,
|а| = |-а|,
а < | а |, —а < | а |,
(1.12)
(1 13)
(114)
(1.15)
В самом деле, если а > 0, то | а | — а > 0; если же а < 0, то | а | =
= —а > 0 (см. следствие 4). Неравенство (1.13) доказано.
Докажем равенство (1.14). Если а > 0, то | а | = а и —а < 0, поэтому,
согласно определению и равенству (1.1), получим | —а | = — (—а) = а = | а |.
Если же а < 0, то | а | = —а и —а > 0, поэтому!—а | — а. Равенство (1.14)
доказано.
Докажем неравенства (1.15). Если а 0, то а = | а | и —а < 0 < а =
=| а |, т. е. (1.15) выполняется; если же а < 0, то а < 0 < —а = [а |, т. е.
(1.15) также выполняется.
2. Для любых чисел а и Ь
| а+ Ь | < | а |+ | 6|,
11 а I — I 6| | < I а — 6|.
(1 16)
(1.17)
Докажем эти неравенства. Согласно (1.15),
а < | а |,
6<1Ч
— а < | а|,
-6<Р|.
Отсюда, согласно (1.2) и следствию 6,
п+Ь<[а| + 16|, — (а + (?) < | а | +| b |.
1.1. Свойства вещественных чисел
17
Одно из чисел а + b и —(а + Ь) неотрицательно и, значит, совпадает с
|а+ Ь|. Неравенство (1.16) доказано.
Неравенство же (1.17) является следствием (1.16). В самом деле,
I а | —1*| = | (а — Ь) -+ 6 | — | 61 < | а — * | + | * | — | * | = [ а — * | .
Аналогично
|*| — |о| <|а —*|.
Согласно следствию 4, | b | — | а | = — (|« | — | b |). Одно из чисел | а | — | b |
или — ( | а | — | b |) совпадает с 11 а | — | Ь 1|.
Из сформулированных свойств I—IV вещественных чисел можно получить
и другие хорошо известные свойства чисел, связанные с арифметическими
операциями, например, правила арифметических действий с рациональными
числами. .
V. Свойство Архимеда
Каково бы ни было число а, существует такое целое число п, что
п > а.
Отсюда вытекает, что, каковы бы ни были два числа а > 0 и Ь,
существует целое п, такое, что па > Ь, т. е., складывая числа а
достаточно большое число раз, мы заведомо превзойдем число Ь*}.
В самом деле, в силу условия а =1=0 существует частное —, но
тогда по свойству V найдется' целое п > откуда па > Ь.
VI. Свойство непрерывности вещественных
ч и с е л
Совокупность вещественных чисел обладает еще так называемым
свойством непрерывности, на которое, так же как и на свойство Ар-
химеда, обычно не обращают особого внимания при изучении эле-
ментарной математики. Чтобы его сформулировать, введем следу-
ющие определения.
Если заданы два числа а и Ь, а < Ь, то совокупность всех чисел х,
таких, что а < х Ь, называется числовым отрезком и обозначается
1о, Ь]. Число а называется левым, а число b правым концом от-
резка [о, Ь]. В случае а = h отрезок [а, й] состоит из одной точки.
Система числовых отрезков
[an 6J, 1а2, Ьг], ..., [an, fcj, ...
называется системой вложенных отрезков (рис. 1), если
01 < о2< - < ап < ... < Ьп < ... < b2 < Ьг.
*) Это свойство допускает наглядную геометрическую интерпретацию:
если мы имеем два отрезка длины а и Ь, 0 < а < Ь, то, откладывая последова-
тельно меньший отрезок на большем, мы через конечное число шагов выйдем
за пределы большего отрезка.
18
§ 1. Вещественные числа
Принцип вложенных отрезков. Для всякой си-
стемы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, которое
принадлежит всем отрезкам данной системы.
Это свойство чисел называют также непрерывностью множества
вещественных чисел в смысле Кантора*’.
ai а?
Рис. 1
Ьг t,
Определение 1. Пусть задана система отрезков [ап, Ьп],
п = 1, 2, .... Мы скажем, что длина отрезков 1ап, Ьп\ стремится
к нулю с возрастанием п = 1, 2.если для каждого числа е > 0 суще-
ствует номер пъ, такой, что для всех номеров п не выполняется
неравенство Ьп — ап <Г е.
Теорема 1. Для всякой системы вложенных отрезков, по длине
стремящихся к нулю, существует единственное число, принадлежа-
щее всем отрезкам данной системы.
Доказательство. Пусть Ian, &n], п = 1, 2, ...,— задан-
ная система вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю.
Предположим противное. Пусть существуют два различных числа х
и у, принадлежащих всем отрезкам lan', Z?n] (см. рис. 1), т. е. х^= у и
ап<х<Ьп, ап<у<Ьп, п=1, 2.....................
Пусть для определенности х < у. Вычитая из неравенства
у < Ьп неравенство х > ап, получим
У—х<Ьп—ап.
Для любого числа е > 0 существует пй, такое, что при всех
п пе справедливо неравенство Ьп — и> следовательно,
у — х < е. Полагая е— у — х (это возможно, поскольку из условия
х < у следует, что у — х > 0), получим у — х <^у — х, что про-
тиворечиво. Следовательно, предположение о .существовании двух
различных чисел х и у, принадлежащих всем отрезкам [оп, Ьп],
неверно.
Теорема доказана.
Свойство непрерывности вещественных чисел повсеместно ис-
пользуется на практике. При измерении какой-либо физической
величины (температуры тела, длины тела, силы тока и т. д.) мы
всегда получаем с большей илй меньшей точностью ее приближенные
значения. Если в результате экспериментального измерения данной
величины мы будем получать ряд значений, дающих значение иско-
) Г. Кантор (1845—1918) — немецкий математик.
1.1. Свойства вещественных чисел
19
мой величины с недостатком или избытком, и если каждое последу-
ющее измерение будет проводиться с большей точностью, то мы полу-
чим некоторую последовательность вложенных отрезков. Свойство
непрерывности вещественных чисел выражает собой объективную
уверенность в том, что измеряемая величина имеет определенное
значение, расположенное между ее приближенными значениями,
вычисленными с недостатком и с избытком.
Следует отметить, что в отличие от свойств I—V, которые при-
сущи не только всей совокупности вещественных чисел, но и,
например, совокупности только одних рациональных чисел (в чем
нетрудно убедиться), свойство VI, т. е. свойство непрерывности,
является свойством, которым обладает множество всех вещественных
чисел, но которое отсутствует у совокупности одних только рацио-
нальных чисел.
Например, если взять последовательность «рациональных от-
резков»
[1; 2], [1,4; 1,5], [1,41; 1,42], [1,414; 1,415], ....
т. е. последовательность множеств рациональных чисел, лежащих
на отрезках, концы ап и bn, п = 1, 2,..., которых суть значения \Гъ,
вычисленные соответственно с недостатком и с избытком с точностью
п = 0, 1, 2, ...*’, то, очевидно, не существует никакого рацио-
нального числа, принадлежащего всем этим отрезкам. В самом деле,
таким числом могло быть только число 2 (почему?), которое, од-
нако, не является рациональным.
Мы перечислили все характерные свойства множества веществен-
ных чисел. Подытожим сказанное.
Вещественные числа представляют собой совокупность элементов,
обладающую свойствами I—VI.
Для вдумчивого читателя заметим, что ссылка в начале пара-
графа на то, что вещественные числа и их свойства известны из курса
элементарной математики, не является необходимой. Сформулиро-
ванные выше свойства вещественных чисел можно взять за исход-
ное определение. Именно, перефразируя подведенный итог наших
рассмотрений, получим следующее определение.
Определение 2. Множество элементов, обладающих свойства-
ми I—VI, называется множеством вещественных чисел. Каждый эле-
мент этого множества называется вещественным числом.
Построение теории вещественных чисел, основывающееся на та-
ком их определении, называется аксиоматическим (см. также за-
мечание в конце п. 2.2 и 3.6), а свойства I — VI — аксиомами
вещественных чисел.
*) Это означает, что а? < 2 < и 6„—а„ = —-— , п = 1. 2 ...
—2Q-----------------------£ 1 Вещественные числа
Геометрически множество вещественных чисел изображается
направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа — точ-
ками этой прямой. Поэтому совокупность вещественных чисел
часто называют числовой прямой, а отдельные числа — точками.
Имея в виду такое изображение вещественных чисел иногда
вместо а меньше b (соответственно а больше Ь) говорят, что чис-
ло а лежит левее числа b (соответственно, что а лежит правее Ь).
1.2. Обозначения
В дальнейшем нам придется иметь дело с различными со-
вокупностями (множествами) тех или иных элементов (чисел, точек,
функций и т. п.). Понятия множества и элемента множества яв-
ляются первичными понятиями Первичным понятием является
также понятие пустого множества. Пустое множество не содержит
элементов.
Запись А = {а, Ь, с, ...} означает, что совокупность А состоит
из элементов а, Ь, с, ...; подобным образом запись А = {ха} обо-
значает, что совокупность А состоит из элементов ха, где а — индекс,
пробегающий некоторое множество, которое, конечно, в конкретных
случаях всегда указывается. Запись
(означает, что совокупность А состоит из элементов, обладающих
свойством, указанным после двоеточия в фигурных скобках. На-
пример, если а < Ь, то определение числового отрезка [а, 6] за-
пишется следующим образом:
|а, Ь| = {х а< х < Ь}.
|Если а < Ь, то множество
(а, Ь) = {х : а < х < Ь}
(Называется интервалом. Интервал (о, Ь) называется внутренностью
отрезка [о, &].
Числовые множества |а, Ь) = {х: а < х < Ъ}, (а, Ь] = {х:а<^ х < Ь}
Называются полуотрезками, или полуинтервалами.
Множества [а, Ь\, (а, Ь), [а, Ь) и (о, Ь] называются промежут-
ками, точки а и Ь называются концами, а все остальные их точки —
внутренними точками.
Мы будем рассматривать также бесконечные промежутки, упот-
ребляя для их записи символы бесконечности: со, 4 «э и —сю. При
этом будем считать по определению, что для любого вещественного
1.2. Обозначения
21
числа х имеет место неравенство —оо <^х < +оо. Это делает естест-
венными, например, следующие обозначения:
(а, -р оо) = {х: х > а}, (— оо, Ь) = {х: х<^ Ь},
(а, -р оо) — {х : х а}, (— оо, а] = {х: х < а},
; — оо, -р оо) = (х: — со < х < -р оо}.
Эти множества и будем называть бесконечными промежутками.
Если элемент х принадлежит множеству А, то будем писать
xQ А, если же х не принадлежит А, то х^ А.
Если каждый элемент множества А является элементом мно-
жества В, то будем говорить, что А является подмножеством мно-
жества В, и писать AczB (читается: множество Л содержится во
множестве В), или, что то же, В^>А (читается: множество В со-
держит множество Л).
Пусть даны два множества Л и В. Совокупность всех элементов,
каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из мно-
жеств А и В, называется их объедине-
нием, или их суммой, и обозначается
А'-'В.
Совокупность всех элементов, каж-
дый из которых принадлежит и мно-
жеству Л и множеству В, называется
их пересечением и обозначается А^В.
Совокупность всех элементов, каж-
Рис. 2
дый из которых принадлежит множеству
Л, но не принадлежит множеству В, называется разностью мно-
жеств А и В и обозначается Л\В (рис. 2).
Кратко эти определения можно записать следующим образом:
А^В =
= {х : х принадлежит по крайней мере одному из множеств Л и В};
А/->В — {х : х £ Л и х £ В);
Л\В={х:х£Л, хе£В}.
Если задана система множеств {Ла}, то их объединение (J Аа
а
и пересечение П определяются соответственно по формулам
а
а
= (х: х принадлежит по крайней мере одному из множеств Ла};
П Аа = {х: х £ Аа при всех сх}.
а
22
§ 2 Верхние и нижние грани множеств
§ 2. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ГРАНИ МНОЖЕСТВ
2.1. Свойства верхних и нижних граней множеств
Определение 1. Множество М вещественных чисел назы-
вается ограниченным сверху (соответственно ограниченным снизу)
числом а, если для всякого числа х(М выполняется неравенство х<щ
(соответственно х а). При этом говорят, что число а ограничи-
вает сверху (снизу) множество М. Множество, ограниченное сверху
(соответственно снизу) некоторым числом, называется ограниченным
сверху (снизу) множеством.
Определение 2. Множество, ограниченное и сверху и снизу,
называется просто ограниченным множеством.
Другими словами, множество М называется ограниченным, если
существуют такие числа а и Ь, что а < х Д b для любого xQ М.
Множество, не являющееся ограниченным (сверху, снизу), на-
зывается неограниченным (сверху, снизу).
Примеры ограниченных множеств дают отрезок [1; 2], интервал
(0; 1), множество значений функции sin х. Бесконечный интервал
(—5, +оо), множество натуральных чисел 1, 2, 3, ... являются мно-
жествами, ограниченными снизу, но не ограниченными сверху. На-
конец, множество всех целых чисел, всех рациональных чисел суть
множества, не ограниченные как сверху, так и снизу.
Покажем в дальнейшем, что среди всех чисел, ограничивающих
сверху (снизу) данное множество (если, конечно, такие числа для
рассматриваемого множества существуют), есть наименьшее (наи-
большее). Такое число называется верхней (нижней) гранью мно-
жества.
Дадим точное определение верхней (нижней) грани.
Определение 3. Пусть задано множество М. Число а назы-
вается верхней гранью (нижней гранью) множества М, если:
1) а не меньше (не больше) любого xfM:
х < а (х^> а);
2) для любого а' <С а (соответственно а' > а) существует по
крайней мере одно ха- £ М, такое, что ха- > а' (соответственно
Ха- < а').
Значок а' у числа х£ М означает, что число ха- зависит от выбо-
ра а'.
Верхняя грань множества М обозначается sup М или sup х,
л е л.*
а нижняя грань соответственно inf М или inf х.
х ем
Очевидно, что если для некоторого множества существует верх-
няя (нижняя) грань, то это множество ограничено сверху (снизу).
2.L Свойства верхних и нижних граней множеств
23
Это сразу следует из свойства 1 определения верхней (нижней)
грани множества.
Условие 2 в определении верхней (нижней) грани множества эк-
вивалентно условию:
2') каково бы ни было е >• 0, существует такое Хъ £ М, что
хе^> а — е (соответственно хе <ф а + е).
Чтобы убедиться в равносильности условий 2 и 2', достаточно
положить е — а — а (соответственно е = а' — а).
Приведем примеры, иллюстрирующие понятия верхней и нижней
грани множеств. Если М = 1а, Ь], то inf М — a, sup М = b. Если
М = (а, Ь), то также inf М = a, sup М = Ь. Если М состоит из
двух точек а и Ь, а < Ь, т. е. М = {а}о{6}, то снова inf М = а,
sup М = Ь.
Приведенные примеры, в частности, показывают, что верхняя
(нижняя) грань множества может как принадлежать самому мно-
жеству, так и не принадлежать ему.
Определение 4. Пусть задано множество М. Если существует
такой элемент х0 б М, что х < x0 (соответственно х > х0) для всех
х( М, то л'о называется наибольшим, или максимальным (соответст-
венно наименьшим, или минимальным), элементом множества М
и пишется х0 — max М (соответственно х0 = min М).
Очевидно, что если в множестве М существует наибольший (наи-
меньший) элемент х0, то х0 = sup М (соответственно х0 = inf М).
Дадим еще одно определение верхней и нижней граней мно-
жества.
Определение 5. Пусть задано множество М. Пусть В — мно-
жество всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) множество М.
Наименьший (наибольший) элемент множества В называется верх-
ней (нижней) гранью множества М.
Определение 5 является, по существу, простой перефразировкой
определения 3. Действительно, условие абВ означает, что а ограни-
чивает сверху множество М, т. е. означает выполнение условия 1
определения 1. Условие, что а является минимальным элементом
множества В, означает, что любое Число а <б а не ограничивает
сверху множество М, т. е. что найдется такой элемент хбЛ4, что
х Д> а'. Это и есть условие 2 определения 1.
Аналогично показывается равносильность определений для
нижней грани.
Для множества М, не ограниченного сверху (снизу), никакое
число не может являться верхней (нижней) гранью, и мы будем
считать по определению верхнюю грань равной Ч~со и писать
sup М = (для множества, не ограниченного снизу, inf М -=
= —оо). Если, как указывалось выше, формально считать, что, ка-
ково бы пи было число а, для символа ф-оо (соответственно символа
—оо) имеет место соотношение порядка а<ф +оо (соответственно
24
§ 2 Верхние и нижние грани множеств
__оо < а), то определение sup М = -Доо (inf Л1 = —оо) удовлет-
воряет условиям 1 и 2 определения верхней (нижней) грани. Если
верхняя (нижняя) грань множества является числом, то говорят,
что она конечна, если же она является символом Доо (соответст-
венно — оо), то говорят, что она бесконечна.
Первый вопрос, который естественно возникает после определе-
ния понятия верхней (нижней) грани, состоит в следующем: всегда
ли существует верхняя (нижняя) грань множества. Если множество
не ограничено сверху (снизу), то этот вопрос решается просто:
в этом случае мы, как это было отмечено выше, по определению счи-
таем верхнюю (нижнюю) грань равной +оо (соответственно —оо).
Если же множество ограничено сверху (снизу), то ответ на вопрос
дает следующая теорема.
Теорема 1. Всякое ограниченное сверху непустое множество
вещественных чисел имеет конечную верхнюю грань, а всякое ограни-
ченное снизу — нижнюю грань.
Доказательство. Пусть М — непустое, ограниченное
сверху множество. Это означает, во-первых, что существует по край-
ней мере один элемент а^М, и, во-вторых, что существует такое
число Ь, что х <; b для всех элементов х^М. Отрезок 1а, Ь\ содер-
жит хотя бы одну точку множества М, например, точку а. Разделим
’отрезок [й, Ь] пополам, т. е. рассмотрим два отрезка j^cz, и
Г ~Н 1 ТТхч ° °
~о—, Ь . Первый из них назовем левым, а второй — правым от-
|резком. Если правый отрезок содержит хоть одну точку множества
М, то мы обозначим его [а1( 6J; если же не содержит, то мы обозна-
чим через [й1т bj левый отрезок. Таким образом, в обоих случаях
loj, bj содержит точки множества М, и все множество М расположе-
но левее точки Ьъ т. е. х<Дг для всех х£ М. Из отрезка [alt bj ана-
логичным образом получим отрезок [аг, Ь2] и т. д.
Пусть мы получили отрезок \ап, Ьп], разделим его на два равных
отрезка. Если правый из получившихся отрезков содержит хоть
одну точку множества М, то мы обозначим его [апц, bnhl], если же
не содержит, то через lanil, bnri] мы обозначим левый отрезок.
В результате этого процесса мы получим последовательность вло-
женных отрезков [ап, Ьп], п = 1,2, ..., длины которых Ь„ — ап =
b — а
= стремятся к нулю при возрастании п.
Действительно, для всякого е>0, согласно свойству Архимеда,
найдется такое натуральное п0, что для всех натуральных п п0
- Ь — а b — а
выполняется неравенство п > —, и, следовательно, е
^Замечая, что 2" = (1 -|~ 1)'! = 1 -|-п+ —— +••>», получим
2.1. Свойства верхних и нижних граней множеств
25
1 1 1 о
^й-<— Для п = I, 2, ...
неравенство
Поэтому для всех п п0 справедливо
b — а ' Ь — а
е'
Это и означает стремление к нулю длин отрезков \ап, Ьп] при воз-
растании п.
Эта последовательность отрезков обладает следующими свойст-
вами:
а) х < Ьп для любого п = 1, 2, ... и любого элемента х^М,
т. е. все множество М расположено левее правого конца любого от-
резка [ап, Ьп] полученной системы;
б) любой отрезок \ип, Ьп] содержит хоть одну точку множества М.
В силу принципа вложенных отрезков существует и притом един-
ственная ючка р, принадлежащая всем отрезкам lan, fen], п = 1, 2, ....
Покажем что р = sup М. Для этого докажем сначала, что х С р
для любого Х^М.
Допустим противное: пусть существует х0£/И, такое, что
х0 > р (рис. 3). Из условия, что длина Ьп—ап стремится к нулю
при возрастании п=1,2,..., следует, что существует такое п0)
kn0 fi> 6 -ап<£
—I------1--'---------1-н---------------1---Ь----Н —-Ж
Ч Ч Х0 ап0 Р ЪПо
Рис. 3 Рис. 4
что Ь,.в — ап„ < х0—р, отсюда ЬПс < х0—(Р~а,1о); так как
РС1°«о> Ч1> то ₽—аПв>0, и поэтому х0—(₽—а„о)<х0. Следо-
вательно, b,tl) <С х0. Это противоречит свойству а), и, значит, ука-
занного х0 не можег существовать.
Докажем теперь, что для любого еД-0 существует такое
хе£/И, что хв>р—е.
Пусть е 0 фиксировано. Выберем п0 так, чтобы
Ч—(рис. 4). Тогда, согласно свойству б), существует
х Q М, такое, что х £ [а„0, ЬПо]. По только что доказанному х С р.
Таким образом,
ап„ < х < р < ЬПа.
Из этого следует, что Р—х< а,2о<е и, значит, х>р~е.
Итак, мы доказали, что р = sup М.
Для доказательства существования конечной нижней грани
у ограниченного снизу множества М достаточно заметить, что в этом
случае множество М* всех чисел — х, где х£М, является ограни-
ченным сверху множеством и inf М = —sup М* (почему?).
Теорема 1 доказана.
’6
$ 2. Верхние и нижние грани множеств
Будет ли единственной верхняя (нижняя) грань множества?
Ответ на этот вопрос, естественно возникающий при изучении по-
нятия верхней (нижней) грани, оказывается положительным.
Теорема 2. У всякого числового множества верхняя (нижняя)
рань единственна.
Допустим противное. Пусть существует множество М, у которого
по крайней мере две различные верхние грани а и а'. Пусть для опре-
деленности а' <Д а (при этом не исключается и случай а = +°о).
Согласно определению верхней грани, из того, что а = sup М и
а' < а, следует существова-
ние ТаКОГО Ха-^М, что
Ха' а' • Это противоречит
тому, что а = sup М. Един-
ственность верхней грани
доказана. Аналогично дока-
зывается единственность ниж-
ней грани.
п — 1, 2, ..., — система вло-
Cj dj CLn bn bj b? bj
Puc. 5
Замечание. Пусть [ап, Ьп],
женных отрезков, по длине стремящихся к нулю при возрастании п.
Согласно принципу вложенных отрезков, существует единственная
точка £, являющаяся общей точкой всех отрезков данной системы
(рис. 5).
Покажем, что
g = sup{an} = irif {£>„}.
<1=1.2,... п=1, 2, ...
Из условия £ £ [Gn, bn] следует, что g > an для всех п — 1, 2,....
Из условия же, что длина отрезков [ап, Ьп] стремится к нулю,
следует, что для любого еД>0 существует такой номер пе, что
и так как £—ап^ <С Ь„е—а„в, то аЛе<^в, или
o<ie>^—е. Таким образом, оба требования 1 и 2 определения
верхней грани выполнены и, значит, £== sup {ап}.
11=1,2,”...
Аналогично доказывается, что 2, = inf {bn}.
/1=1, 2. ...
Упражнения. 1. Пусть заданы числовые множества Xb i = 1, 2, .... п
и пусть
У -- (хх = -р ... -|- xtj, £ У/, / = 1, 2, п).
Доказать, что
п
sup X = У sup Х{.
2. Пусть заданы два числовых множества X и Y и пусть
2 = (г : г - х — у, xQX, у (Д'). Доказать, что sup Z — sup Y — ipf X.
2.2. Сечения в множестве вещественных чисел
27
2.2. Сечения в множестве вещественных чисел
Рассмотрим разбиения вещественных чисел на два клас-
са, обладающих определенными свойствами и называемых сечения-
ми. Дадим их определение.
Определение 6. Два множества вещественных чисел А и В на-
зываются сечением множества вещественных чисел, если'.
1) каждый из классов А и В не пуст',
2) каждое вещественное число принадлежит одному из классов
А и В',
3) если aQ A, Ь(-В, то а Ь.
Сечение множества вещественных чисел обозначается A/В. Класс А
называется нижним, класс В — верхним.
Из 3 следует, что множества Л и В не пересекаются. Каждое
число а естественным образом производит сечение множества ве-
щественных чисел следующим образом. В класс А входят все числа,
меньшие а, а в класс В — все числа, большие а. Само же число а
можно отнести либо к классу А, либо к классу В.
Таким образом, мы будем говорить, что число а производит
сечение А/В, если а С а < b для всех а - А и всех b о В.
Естественно возникает вопрос: всякое ли сечение в множестве
вещественных чисел производится некоторым числом? Оказывается,
что да; именно справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Всякое число определяет сечение множества вещест-
венных чисел и для всякого сечения в множестве вещественных чисел
существует число а, которое производит данное сечение. Это число
а является либо наибольшим в нижнем классе (тогда в верхнем классе
нет наименьшего), либо наименьшим в верхнем классе (тогда в ниж-
нем классе нет наибольшего).
Свойство вещественных чисел, выражаемое утверждением этой
теоремы, часто называют принципом Дедекинда не-
прерывности числовой прямой.
То, что всякое число производит сечение, показано выше. До-
кажем второе утверждение теоремы.
Пусть А!В — некоторое сечение множества вещественных чисел.
Согласно определению сечения, если х есть произвольный элемент
множества Ану — произвольный элемент множества В, то х < у.
Таким образом, множество А ограничено сверху и sup Л для
всех у £ В. Откуда в свою очередь следует, что множество В ограни-
чено снизу и sup А < inf В. Случай sup А < inf В невозможен, так
, sup 4-1-inf В
как тогда нашлось бы число например § =---------------, такое,
что sup А <С inf В. Это число £ не принадлежало бы ни к классу Л,
НИ к классу В, что невозможно в силу определения понятия сечения.
28
§ 3. Предел последовательности
Таким образом, sup А = inf В и число а = sup А = inf В про-
изводит сечение А/В. Возможны два случая: либо а £ А, либо а £ В.
В первом случае а является наибольшим числом в классе А, а в
классе В нет наименьшего (почему?), а во втором случае а является
наименьшим в классе В, а в классе А нет наибольшего (почему?).
Теорема доказана.
Замечание. В заключение отметим, что непрерывность
множества вещественных чисел в смысле Кантора (принцип вло-
женных отрезков), принцип непрерывности Дедекинда и теорема
о существовании конечной верхней грани ограниченного сверху мно-
жества, играющие фундаментальную роль при построении основ ма-
тематического анализа, эквивалентны между собой: из любого из
них, принятого за аксиому, вытекают два остальных утверждения.
Заметим также, что эти свойства характеризуют именно совокуп-
ность всех вещественных чисел. Например, можно показать, что для
множества рациональных чисел аналоги этих свойств уже не имеют
места (см. также замечание в конце п. 3.6).
Задача 1. Доказать с помощью сечений, что для любого числа а > 0 и
любого натурального п существует у/~а, т. е. существует такое число Ь, что
Ь'г = а.
§3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
3.1. Определение предела последовательности
и некоторые его свойства
Определение 1. Пусть каждому натуральному числу п
поставлено в соответствие некоторое вещественное число ап (при этом
\разным натуральным числам п могут оказаться поставленными
в соответствие и одинаковые числа'}. Совокупность элементов ап,
\п = 1, 2, ..., называется числовой последовательностью, или просто
последовательностью-, каждый элемент ап называется элементом
\этой последовательности, а число п — его номером.
Числовую последовательность с элементами ап будем обозна-
чать либо ап, п = 1, 2, ..., либо {ап}.
По самому определению последовательность всегда содержит
бесконечное множество элементов.
Определение 2. Число а называется пределом данной последова-
тельности {ап}, если для любого е>0 существует такой номер п *>,
что для всех номеров п пг выполняется неравенство е
|о„—а|<е. (3.1)
*) Запись п подчеркивает, что п зависит от в.
£ £
3.1. Определение предела последовательности
29
При этом пишут
liman = a, или ап->а при п-^оо.
п -» ос
Последовательность, у которой существует предел, называется
сходящейся.
Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется
расходящейся.
Отметим, что неравенство (3.1) равносильно неравенству
а — е < а„< а + Е’
Определение 3. Для заданного числа х всякий интервал вида
(х — е, х + е), где е > 0, называется ъ-окрестноапью, или просто
окрестностью, числа (точки) х на числовой прямой и обозначается
О (х, е) или О(х).
С помощью понятия окрестности определение предела последо-
вательности можно перефразировать следующим образом.
Определение 2'. Число а является пределом последовательно-
сти {ап}, если в любой его окрестности содержатся почти все члены
последовательности, т. е. все члены последовательности, за исклю-
чением их конечного числа.
Примеры. 1. Последовательность сходится и имеет
своим пределом ноль. В самом деле, каково бы ни было е>0,
по свойству Архимеда (см. свойство V в п. 1.1) вещественных
чисел существует такое натуральное число пв, что пе Д> —• Поэто-
му <8 для всех п > пе, а это и означает, что
lim — = 0.
П — оо
П
sin
2. Последовательность
является расходящейся. В самом
деле, каково бы ни было число а, вне его е-окрестности, например
при 0< е <б 1, заведомо лежит бесконечное число членов данной
последовательности, и, значит, оно не является ее пределом.
3. Последовательность I—sin4y«J сходится и lim — sin^-H = 0,
I п I Г1-Х п 2
что следует (почему?) из того, что
1 . л
— sm т, п
п 2
и того, что
lim 1=0.
П
n-»oo
30
§ 3. Предел последовательности
4. Последовательность {/?} расходится, что легко устанавливает-
ся, например, аналогично примеру 2.
В примерах 2 и 4 при доказательстве расходимости последова-
тельности целесообразно использовать не негативное определение
этого понятия, т. е. определение, состоящее из отрицания (расходя-
щаяся последовательность не сходится), а позитивное, т. е. утверж-
дающее наличие каких-то свойств (тем самым в позитивном опреде-
лении отсутствуют слова «не», «нет», «нельзя» и т. п.).
Поясним это на примере позитивного определения того, что не-
которое число не является пределом данной последовательности.
Определение 4. Число а не является*' пределом последова-
тельности {ап}, если существует такое е > 0, что для всякого
натурального п существует такое натуральное тп^>п**, что
|а—
Упражнения. 1. Сформулировать позитивное определение того,
что данная последовательность расходится.
2. Доказать, что если lim ап = а, то Нт|ая| = |а|.
л-*эо я-* со
Теорема 1. Числовая последовательность не может иметь бо-
лее одного предела.
Доказательство. Допустим противное. Пусть существу-
ет последовательность {ап}, у которой имеется по крайней мере
два различных предела а и Ь, и пусть для определенности а < Ь.
Выберем е > 0 так, чтобы
t , t i т окрестности О (а, е) и О (Ь, е) не
а-г а а+с ~b^c Ь й+£ * пересекались (рис. 6). Напри-
Ь — а
мер, можно взять е = - .
Рис. 6
Существует такой номер пъ что
апб О(а, е) для всех п щ, и существует такой номер п2, что
ап с О (Ь, е) для всех п^> п2. Обозначим через п0 наибольший из
номеров лг и п2, тогда anfO (а, е) и ап б О (Ь, е) для любого
п /?о> что невозможно в силу того, что указанные окрестности
не пересекаются.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Отметим три полезных свойства сходящихся последовательно-
стей.
I. Если
ап< Ьп<сп, /г= 1, 2, ...
(3.2)
*) Следует обратить внимание, что здесь частица «не» входит не в определе-
ние, а в определяемое понятие.
**> Индекс п у числа тп показывает, что это число зависит от числа п.
3.2. Пределы монотонных последовательностей 31
U
limon = limcn = a,
«-►ОО «-*ОО
то последовательность {6Д сходится и lim£n —а.
«-►ОО
Доказательство. Пусть зафиксировано е_>0. Существуют
такие п.. и п... что при п~>-пв
а—е<ап<а-р е,
а при п пе
а—е <^сп < о + е.
Обозначим через пе наибольший из номеров п'е и л'.
Тогда для всех «>/ге
а—8<ап<сп<й + 6>
Отсюда в силу (3.2) при п > пе
а—е < Ьп<^а-]-Е,
а это и означает, что
lim bn = а.
П-+О0
II. Если lima„ = а и а<^Ь (соответственно а^> с), то суще-
п-*<х
ствует такое пь (соответственно пс), что an<Z b при n>nL
(ап Д> с при п пс).
Доказательство. Возьмем е = й—а. В силу определения
предела, существует такой номер пь, что при п > пь
а—е <" ап <С а + е = Ь.
Первое утверждение доказано. Аналогично рассматривается и
случай а^>с.
III. Если lim ап—аиап>Ь (соответственноап < с), п= 1 2,...,
то и b (соответственно а < с).
Доказательство. Если бы было а <С Ь, то, согласно свой-
ству II, найдется такое ап, что ап <С Ь, но это противоречит условию.
Аналогично разбирается случай ап < с.
3.2. Пределы монотонных последовательностей
Следует различать последовательность, т. е. множество
ее элементов, и множество значений ее элементов. Первое множество
всегда бесконечно, так как состоит из совокупности элементов, от-
личающихся по крайней мере номерами /2 = 1,2. .... Второе мно-
жество состоит из всех чисел, являющихся значениями элементов
32
§ 3. Предел последовательности
данной последовательности, оно может быть и конечным. Например,
для последовательности ап = 1, п = 1, 2, сама последователь-
ность, как и всякая последовательность, состоит из бесконечного
числа элементов, а множество значений ее элементов состоит из
одного числа 1.
Определение 5. Последовательность называется ограниченной
сверху (снизу), если множество значений ее элементов ограничено
сверху (снизу).
В терминах элементов последовательности это определение
может быть перефразировано следующим образом.
Определение 5'. Последовательность {ап} называется ограни-
ченной сверху (снизу), если существует такое число Ь, что ап <. b
(соответственно ап Ь) для всех номеров п.
Определение 6. Последовательность, ограниченная сверху и
снизу, называется просто ограниченной.
Определение 7. Последовательность, не являющаяся ограничен-
ной (сверху, снизу), называется неограниченной (сверху, снизу).
Очевидно, что последовательность {а„} ограничена тогда и только
тогда, когда существует такое число Ь, что | ап | <1 b для всех номеров
п = 1, 2, ... .
Например, последовательности {-^-| и {sin ограничены.
Последовательность {п} ограничена снизу, но не ограничена
сверху, а последовательность jnsin— п) является неограни-
ченной.
Теорема 2. Если последовательность имеет предел, то она ог-
раничена.
Доказательство. Пусть дана сходящаяся последователь-
ность {а,,} и пусть lima,, = а. Зафиксируем, например, 8=1.
п-*оо
Согласно определению предела последовательное'!и, существует
такое пг, что |яп — а | <С 1 для всех
Пусть d—наибольшее из чисел 1, |—а |,..., |an,_i—a|.
Тогда | ап—а | < d для всех п, т. е. а—ап < a-\-d для всех п.
Это и означает ограниченность заданной последовательности.
Определение 8. Верхняя (нижняя) грань множества значений
элементов последовательности {ап} называется верхней (нижней)
гранью данной последовательности и обозначается sup {an} или
sup ап (соответственно inf {о,,} или inf ап ).
Л~1,2, ... Z /7=1,2, ...
Если верхняя (нижняя) грань является числом, то это определе-
ние можно сформулировать следующим образом.
Число а является верхней (нижней) гранью последователь-
ности ап, п = 1, 2,..., если-. 1) ан^а (соответственно ап^> а)
3.2. Пределы монотонных последовательностей
33
для всех п; 2) для любого е^>0 существует такой номер пЪг
что ап^Д>а—е (соответственно ап ае).
В аналогичной формулировке можно дать определение верхней
(нижней) грани последовательности в случае, когда указанная грань
бесконечна. (Сделайте это.)
В качестве примеров отметим, что sup = inf {-!-} = О,
sup {«} ==4-оо, inf {«}= 1.
Определение 9. Последовательность ап, п = \, 2,..., назы-
вается монотонно возрастающей (монотонно убывающей), если
(соответственно ап^ап + \) для всех п.
Монотонно возрастают, ие и монотонно убывающие последова-
тельности называются просто монотонными.
Например, последовательность монотонно убывает, последо-
вательность {п} монотонно возрастает, а последовательность {sin
не является монотонной.
Теорема 3. Всякая ограниченная сверху (снизу) монотонно воз-
растающая (монотонно убывающая) последовательность {«„} имеет
предел, причем lim ап — sup {ап} (соответственно lim ап = inf (а„}).
п -* СЮ п -> СЮ
Доказательство. Пусть последовательность {ап} моно-
тонно возрастает и ограничена сверху. В силу последнего условия
она имеет конечную верхнюю грань sup {сп}== а. Покажем, что а —
= lim ап.
Зафиксируем произвольное е>0. Из того что a = sup{an},
следует, что ап<^а для всех номеров п = 1, 2,..., и существует
такой номер пе, что ап_)>а— ь. Тогда в силу монотонности за-
данной последовательности для всех номеров п пе имеем
а—е< а,1&< ап<С а. Поэтому \а—ап ] < е для всех п > пе, что и
означает, что a=lima„.
Аналогично доказывается существование предела для ограничен-
ной снизу монотонно убывающей последовательности.
Мы видели, что если последовательность сходится, то опа ограни-
чена (теорема 2), отсюда, в частности, следует, что если монотонно
возрастающая последовательность сходится, то она ограничена
сверху; с другой стороны, если монотонно возрастающая последо-
вательность ограничена сверху, то она сходится (теорема 3). Таким
образом, справедливо следующее утверждение.
Следствие. Для того чтобы монотонно возрастающая по-
следовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она
была ограничена сверху.
34
§ 3. Предел последовательности
Аналогичное утверждение справедливо и для монотонно убыва-
ющей последовательности.
Замечание. Если 1ап, Ьп] — система вложенных отрезков,
по длине стремящихся к нулю, а £ — точка, принадлежащая всем
отрезкам данной системы, то
I = lim an = lim 6П. (3 3)
П -* оо п -♦ оо ' * '
В самом деле, в конце п. 2.1 было показано, что g = sup {ап} =
= inf {bH}. С другой стороны, последовательность {ап} (соответ-
ственно {йп}) монотонно возрастает (убывает), откуда и следует (3.3).
П р и м е р. Число е.
Пусть хп = (1 + п = 1, 2,....
Покажем, что эта последовательность сходится.
Раскрывая скобки согласно правилу бинома Ньютона, получим
/, , 1 \« , . 1 , п (п — 1) I .
Хп — I 1 -р I = 1 -р tl •-1--.— • —2 |-
n I n j n 1-2 n3 1
, и(п—l)(n —2) 1 , , n(n — 1) ... (n — k + 1) 1 | ,
1 ПГЗ 1-2.. & +
Поскольку при переходе от п к п + 1 число слагаемых, которые
все положительны, возрастает и, кроме того, каждое слагаемое уве-
личивается:
1------<1-----------Ц-, 5= 1, 2,... ,п— 1
п п 4~ 1
то
xn xn-pi, и — 1, 2,....
Далее, замечая, что в (3.4)
1 „
меньше единицы и <
1
2Л-1
каждая из скобок вида (1---
для всех /2=1, 2, 3,..., получим
3.3. Теорема Больцано — Вейерипрасса и критерий Коши
35
Геометрическая прогрессия к + ™ + ... + при любом
п — 1, 2, ... имеет сумму (которую легко подсчитать по известной
из элементарной математики формуле), меньшую единицы, поэтому
окончательно
2<хп<3. (3.5)
Таким образом, последовательность {л'п} монотонно возрастает
и ограничена сверху, а значит, согласно теореме 3, имеет предел.
Этот предел и обозначается буквой е. Из (3.4) и (3.5) следует (см. III
в п. 3.1), что
2<е<3.
Более точными оценками можно получить, что
е = 2,718... .
Доказывается также, что число е иррационально и, более того,
трансцендентно, т. е. не является корнем никакого алгебраического
уравнения с целыми коэффициентами.
Число е в математическом анализе играет особую роль. Оно,
в частности, является основанием натуральных логарифмов.
3.3. Теорема Больцано —Вейерштрасса
и критерий Коши
Определение 10. Последовательность bh, й=1,2,...,
называется подпоследовательностью последовательности {ап},
если для любого k существует такое натуральное nk, что bh = ап^
причем пк,<^пь,, тогда и только тогда, когда После-
довательность {bh} обозначается в этом случае также
или ап , k = 1, 2,....
Иначе говоря, если дана какая-либо последовательность и из
некоторого подмножества ее элементов образована новая последо-
вательность, то опа называется подпоследовательностью исходной
последовательности, если порядок следования в ней элементов
такой же, как и в данной последовательности.
Так, последовательность 1, 3, 5, .... 2n + 1, ... является, а по-
следовательность 2, 1, 3, 4.п, ... не является подпоследователь-
ностью натурального ряда чисел 1, 2, ..., п, .... В обоих случаях
элементы последовательностей образуют подмножество*’ множества
натуральных чисел, но в первом случае члены последовательности
расположены в том же порядке, как в натуральном ряде чисел, а во
втором случае этот порядок нарушен.
•> Само множество также считается своим подмножеством,
36 <5 3. Предел последовательности
Упражнение 3. Доказать, что 1) если последовательность имеет
предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел; 2) отбрасы-
вание или замена конечного числа членов последовательности не влияют на
сходимость последовательности, причем в случае сходящейся последователь-
ности не влияют и на величину предела.
Теорема 4 (Больцано — Веаерштрасс*'). Из любой ограни-
ченной последовательности можно выделить сходящуюся подпосле-
довательность.
Доказательство. Пусть последовательность {хп} огра-
ничена, т. е. существует такой отрезок [с, ft], что а хп b для
всех п = 1, 2, ....
Разделим отрезок [с, Ь} на два равных отрезка. По крайней мере
один из получившихся отрезков содержит бесконечно много эле-
ментов данной последовательности. Обозначим его через ftj.
Пусть х„,—какой-либо из членов данной последовательности,
лежащий на отрезке 1сь ftjl.
Разделим отрезок 1^, ftj на два равных отрезка; снова хоть один
из получившихся двух отрезков содержит бесконечно много членов
исходной последовательности, обозначим его через la2, ft2l. В силу
того, что на отрезке [а2, ft2] бесконечно много членов последователь-
ности {хп}, найдется такой член х„2, что х,>„ 0с2. ft2l и п2 > щ.
Продолжая этот процесс, получим последовательность отрезков
[сл, Ьп] и последовательность точек x„k £ [ak, bk\, k= 1,2.В силу
построения последовательность является подпоследовательно-
стью последовательности {хп}. Покажем, что эта подпоследователь-
ность сходящаяся.
Последовательность отрезков [сЛ, bh], ft = 1,2,..., является
последовательностью вложенных отрезков, по длине стремящихся
к нулю, так как bh—ah 0 при ft ->• оо. Согласно лемме
Кантора (см. п. 1.1), существует единственная точка L принад-
лежащая всем этим отрезкам. Как мы видели (см. замечание
к теореме 3), lim ah = lim bk = g, но ah < xn •< bk, ft=l, 2,...,
k-^CO k->oo
поэтому в силу свойства I (см. п. 3.1) сходящихся последова-
тельностей последовательность |хп I также сходится и limx„ = |.
Таким образом, теорема доказана.
Определение 11. Предел любой сходящейся подпоследовательно-
сти данной последовательности называется ее частичным пределом.
*) К. Вейерштрасс (1815—1897) — немецкий математик. Б. Боль-
цано (1781 —1848) — чешский математик.
3.3. Теорема Больцано— Вейерштрасса и критерий Коши
37
Теорема Больцано — Вейерштрасса утверждает, что всякая
ограниченная последовательность имеет, хотя бы один частичный
предел.
У пражнение 4. Для того чтобы последовательность имела предел,
необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и имела единственный
частичный предел.
До сих пор не было дано достаточно общего критерия, с помощью
которого можно было бы узнать, сходится ли данная последова-
тельность. Само определение сходящейся последовательности для
этого мало удобно, так как в него входит значение предела, которое
может быть и неизвестным. Поэтому желательно иметь такой крите-
рий для определения сходимости и расходимости последовательно-
стей, который базировался бы только на свойствах элементов данной
последовательности. Нижеследующая теорема 5 и дает как раз подоб-
ный критерий.
Определение 12. Будем говорить, что последовательность {%„}
удовлетворяет условию Коши * **)>, если для любого е_>0 существует
такой номер пе, что для всех номеров пит, удовлетворяющих усло-
вию п пе, т пЁ, справедливо неравенство
\хп — хт\<г
(3.6)
Условие (3.6) можно сформулировать и таким образом.
Для любого е > 0 существует такой номер пе, что для всех но-
меров н > пе и всех целых положительных р
I хп + р-хп I < Ё'
(3-7)
Для того чтобы убедиться в равносильности условий (3.6) и
(3.7), достаточно положить р = п — т, если п т, и р = т — п,
если т > п.
Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы последова-
тельность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлет-
воряла условию Коши.
Доказательство необходимости условия Коши
Пусть последовательность {хп} сходится и limxn = a. Зададим
Ч-.се
е^>0; тогда, согласно определению предела последовательности,
существует такое пе, что —а Ку для n^nt.
*) О. Коши (1789—1857) — французский математик.
**) Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются
также фундаментальными последовательностями.
38
f 3. Предел последовательности
Пусть теперь п > пе и т^>пе, тогда
1*п—*ml = l(*n—«)+(«—«1 + 1 хт—«|< ^- + f = e.
т. е. выполняется условие Коши.
Доказательство достаточности условия Коши.
Пусть последовательность {х„} удовлетворяет условию Коши, т. е.
для всякого е^>0 существует такое пе, что если п > nf и пг > net
то |хп—л'ш|<'е. Возьмем, например, е--1, тогда существует
такое tii, что | хп—хт|<4 при п пг и zn>«j. В частности,
если п > п, и т = nt, то | хп— хПх | <" 1, т. е. х„,— 1 < хп<хп, + 1
при п пх. Это и значит, что последовательность хп,
n~nv «j+ 1, ..., ограничена. Поэтому в силу теоремы 4 существу-
ет ее сходящаяся подпоследовательность {хп^}.
Пусть limx(i — й. Покажем, что вся данная последователь-
п-*оо
ность {хп} также сходится и имеет пределом число а.
Зададим некоторое е > 0. Тогда, во-первых, по определению
предела последовательности существует такое kz, что
I x,lk~a I (3,8)
для всех k ke. Причем, согласно определению подпоследователь-
ности, неравенство (3.8) выполняется для всех nh > т, . Во-вторых,
так как последовательность {%„} удовлетворяет условию Коши, то
существует такое пе, что
Iхп ХтI<С 2
для всех п > ле и всех т пг.
Положим А7р = max {пр, пь] и зафиксируем некоторое nh^Ne.
Тогда для всех п > Ne получим
I хп~а I = 1 (хп—хп,) + — а) | <
<\xn~x'‘k\ +1ч-с1<т + т = е’
а это и доказывает, что limxn = a.
/2-*оо
Теорема доказана.
Упражнения. 5. Сформулировать позитивные (без отрицаний)
необходимые и достаточные условия, аналогичные условию Коши, для того
чтобы данная последовательность не имела предела.
6. Доказать, что для того чтобы последовательность (хп) была сходя-
щейся необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало
такое п , что I хп — хп I < в для всех п > п^.
3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
3»
3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности
Определение 13. Пусть заданы последовательности
{хп) и {уп}: суммой, разностью и произведением этих последователь-
ностей называются соответственно последовательности {хп + уп),
{хп— Уп) и {хпуп}. Если Уп^г ®, п— 1, 2,..., то частным от де-
ления последовательности {хп} на последовательность {уп} назы-
вается последовательность Наконец, произведением последо-
вательности {хп} на число с называется последовательность
{схп}-
Определение 14. Последовательность {ап} называется беско-
нечно малой последовательностью, если liman = 0.
П -»со
Мы уже встречались в п. 3.1 с бесконечно малыми последо-
вательностями ап = -^-, ап = -^- sin -2- п, п=1, 2.
Отметим несколько свойств бесконечно малых последователь-
ностей.
I. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть {ап} и {Рп}—бесконечно малые
последовательности. Покажем, что и последовательности {ап + Рп}
и {ап—£„} являются также бесконечно малыми. Зададим е>0,
тогда существует (почему?) такой номер пг, что | ап I <Г и
| Pn | у Для всех п пг. Поэтому для п > пе имеем
|«п±РпК1«п1+|Рп1<|+| = е,
что и означает, что lim (а(1 + рп) = 0.
П СО
Соответствующее утверждение для любого конечного числа
слагаемых следует из доказанного по индукции.
Задача 2. Определив сумму бесконечного числа занумерованных слага-
емых (обобщающую понятие суммы конечного числа слагаемых), а затем сумму
бесконечного числа последовательностей, построить пример бесконечного
числа бесконечно малых последовательностей, сумма которых не является
бесконечно малой последовательностью.
II. Произведение бесконечно малой последовательности на огра-
ниченную последовательность является бесконечно малой последова-
тельностью.
§ 3. Предел последовательности
Доказательство. Пусть {а,,} — бесконечно малая по-
следовательность, а {%„} — ограниченная последовательность, т. е.
существует такое число Ь 0, что I x,J < b для всех номеров
п = 1, 2.....
Зададим е >0; в силу определения бесконечно малой после-
довательности существует такой номер пе, что для всех
п > пъ. Поэтому для всех п пъ имеем
К*П|==К1К1<|^=е>
что и означает, что последовательность {<х„хп} бесконечно малая.
Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых
последовательностей является бесконечно малой последовательно-
стью.
Это сразу следует по индукции из свойства II, если заметить,
что бесконечно малая последовательность, как и всякая последо-
вательность, имеющая предел, ограничена (см. теорему 2 п. 3.2).
Задача 3. Определив произведение бесконечного числа занумерованных
сомножителей (обобщающее понятие произведения конечного числа сомножи-
телей), а затем определив произведение бесконечного числа последовательно-
стей, построить пример бесконечного числа бесконечно малых последователь-
ностей, произведение которых не является бесконечно малой последова-
тельностью.
Определение 15. Последовательность {хп} называется беско-
нечно большой, если для любого числа е существует такой но-
мер пг, что | хп | > е для всех п > пг. В этом случае пишут
lim хп = оо.
п ->0О
Если последовательность х„, п = 1, 2, ..., такова, что для лю-
бого числа е существует такое ие, что х„ > е для всех п > пг
(соответственно х„<е), то пишут limх„ = + оо (соответственно
П->оо
lim хп = — оо).
И-*• ОО
Если limх„ = -’(-оо или limx„ =— оо, то последовательность
П-*-О0 п-> со
{хп} является бесконечно большой последовательностью.
Очевидно, что бесконечно большие последовательности не имеют
предела, как мы его определили в п. 3.1. Применение в этом случае
обозначения «lim» является традиционным.
В дальнейшем всегда под пределом последовательности будем
понимать конечный предел, т. е. число, если, конечно, не оговорено
противное.
3.5 Свойства пределов
41
Упражнения. 7. Доказать, что I im qn = оо, если q > 1, и
П — оо
lim qn — (’, если 0 < q < 1.
П-»-0О
8. Привести пример неограниченной последовательности, не стремящей-
ся к бесконечности.
9. Доказать, что если ап < | Ьп | , п = 1.2. и lim =-|-оо, то
л-*оо
lim bn — оо.
п ->оо
10. Доказать, что неограниченная монотонно возрастающая последова-
тельность имеет предел +оо.
11. Доказать, что любая подпоследовательность бесконечно большой
последовательности также является бесконечно большой последовательно-
стью.
12. Доказать, что из всякой неограниченной последовательности можно
выделить бесконечно большую последовательность.
13. Доказать, что для того, чтобы последовательность хп, хп Ф О,
п = 1, 2, ..., была бесконечно большой последовательностью, необходимо
и достаточно, чтобы последовательность —, и = 1, 2, ..., была бесконечно
Хп
малой последовательностью.
Как мы знаем, окрестностью, или, точнее, е-окрестностью
(е р> 0), числа а называется интервал (а — е, а + е). Определим
понятие окрестности для символов оо, -}-оо, —оо; е-окрестностью
О (оо, е) символа оо назовем множество всех чисел х, таких, что
|х| > е, т. е.
О (оо, е) = {х : | х | > е).
Аналогично определяются е-окрестности
и —оо;
О (оо, е) = {х : х > е};
О (— оо, е) = {х: х <Z е).
ДЛЯ СИМВОЛОВ + ОО
Здесь всюду с целью единообразия предполагается что е )> 0.
Применяя эту терминологию, определение конечного и любого
бесконечного предела можно сформулировать единым образом.
Определение 16. Величина а (число или один из символов
оо, -j-oo, —оо) есть предел последовательности {хп}, если,
какова бы ни была и-окрестность О (а, е) величины а, существует
такой номер пг, что хп£О (а, е) для всех п > пг.
3.5. Свойства пределов, связанные с арифметическими
операциями над последовательностями
Лемма. Для того чтобы число а являлось пределом
последовательности {хп}, необходимо и достаточно, чтобы
х„ = а4-а„, п~\, 2,..., где {а_} есть бесконечно малая последо-
вательность.
42
§ 3. Предел последовательности
Доказательство необходимости. Пусть {хД—сходя-
щаяся последовательность и limxn = cz. Положим аГ1 — хп—а,
«~>СО
п=1,2, ...; согласно определению предела для любого е>0
существует такой номер пг, что | хп— п|<Д е для всех и > ие, т. е.
|an|<fe при п > пе, а это и означает, что liman = 0.
«-►оо
Доказательство достаточности. Пусть хп — аД-
п=1, 2,..., и liman = 0. Согласно определению предела, для
любого е^>0 существует такой номер пе, что |ап|<Ге для всех
п > пе. Замечая, что ап~хп—а, имеем, что |хп—п|<^е для
всех п > пе, а это и означает, что limxn = a. Лемма доказана.
«->СО
Эта лемма показывает особую роль бесконечно малых последо-
вательностей при изучении понятия предела, так как общее понятие
предела последовательности с помощью этой леммы сводится к по-
нятию нулевого предела. Это обстоятельство далее широко исполь-
зуется при изучении ряда свойств сходящихся последовательностей.
1. Если хп = с, п=1,2,..., mo Iimx„ = c.
П.->оо
В самом деле, последовательность хп—с~с—с — О,п~\, 2,
бесконечно малая, и поэтому в силу леммы limxn = c.
П -» оо
2. Если последовательности {х„} и {уД сходятся, то после-
довательности {хп 4- уД также сходятся и
lim (х„ ± уД = lim хп ± lim у„,
гг со « -► со п -> со
пг. е. предел алгебраической суммы двух сходящихся последователь-
ностей равен такой же сумме пределов данных последовательностей.
Доказательство. Пусть limxn = a, limy„=6. Согласно
П-*оо П->оо
необходимости условий леммы для существования предела, имеем
хп = а-1-ал, уп =>& + ₽„, п = 1,2.............
где liman—limpn —О, поэтому хп ± уп = (а ± Ь) + (аП ± 0Д,
п = 1, 2,..., где в силу свойства I бесконечно малых последова-
тельностей (см. п. 3.4) lim (а„ Д рд = 0. Поэтому, согласно до-
«-►оо
статочности условий леммы для существования предела, имеем
lim (хп ± уп) = а ± b = lim хп ± lim уп. Утверждение доказано.
п -»СО п -► ОО II -»СО
Следствие. Предел конечной алгебраической суммы сходя-
щихся последовательностей равен той же алгебраической сумме пре-
делов отдельных последовательностей.
3 5 Свойства пределов
43
Эго непосредственно следует по индукции из доказанного свой-
ства пределов сходящихся последовательностей.
3. Если последовательности {х„} и {>,2} сходятся, то после-
довательность {хп уп} также сходится и
т. е. предел произведения сходящихся последовательностей су-
ществует и равен произведению пределов данных последователь-
ностей.
Доказательство. Пусть limx„ = c, Iimyn=fc, тогда
п -» со п -> со
*п = й + а„, у„=й + ₽п, л = 1, 2, ...,
где liman = lim 0n — 0; поэтому хпуп = (а + ап)(Ь 4- Рп) =
Л—>СО П->СО
= ab+ (М + Рп« + а„Рп)-
В силу свойств I и II бесконечно малых последователь-
ностей (см. п. 3.4)
lim(an& + pna+anp„) = 0.
П -»СО
Поэтому
lim хп уп — аЪ — lim хп lim уп.
Л~>со Л--* СО Л-»оо
Следствие 1. Если последовательность {хп} сходится, то
для любого числа с последовательность {схп} также сходится и
limcx„ = с lim хп,
т. е. постоянную можно выносить за знак предела.
Следствие 2. Если {хп} — сходящаяся последовательность
и k — натуральное число, то
lim xkn = (lim xn)\
Л~*-оо k-*oo
Это непосредственно по индукции следует из свойства 3.
4. Если последовательности {хп} и {у„} сходятся, уп =4 0,
п= 1, 2,.... и lim у„ 0, то последовательность 1—1 сходится и
(У„/
lim хп
lim Дг = ^_
п^Уп Ьту„ ’
/2~>со
т. е. предел частного сходящихся последовательностей сущест-
вует и равен частному от пределов данных последовательностей.
Доказательство. Пусть limxri = c, limyn=fe=£0 и для
определенности 6>0. Тогда
= « + Уп=6 + Рп, и==1,2,...,
44
§ 3. Предел последовательности
где liman— Нггфп — 0, поэтому
П—>с© П —>оо
fn~~b=b^f~~br=b(b + ^n) (а^-М- (3-9)
Согласно свойству II пределов последовательностей из п. 3.1,
существует такой номер п0, что уп'у> у>0 для всех номеров
т > н0 (действительно, заметив, что в указанном свойстве
Ь\
в качестве с надо взять с = -^-)—здесь используется предположе-
ние, что b > 0; поэтому при п > п0 имеем
о<______!___= J_<A
(Н~ р„) Ьуп Ь2
Отсюда следует, что последовательность , п— 1, 2,
ограничена (почему?). В силу свойств бесконечно малых после-
довательностей последовательность {апЬ—р„а} является беско-
нечно малой, поэтому и последовательность J, , ,, . (an b—0„а)1
-г Рп) )
бесконечно малая. В силу этого из (3.9) следует, что
lim хп
lim ^- = 4 = ^-.
,^оо Уп ь |1тЬ1
П -»оо
Аналогично рассматривается случай, когда b <Z 0.
Замечание. В случае последовательностей, имеющих бес-
конечные пределы, утверждения, аналогичные 1—4, вообще говоря,
не имеют места.
Например, пусть хп = п+ 1, уп = п, п= 1, 2,..., тогда lim хп =
= limу„=-I-оо и lim(xn—yn)= 1.
Если хп = 2н, уп = м, п=1,2,..., то lim хп= limy„= 4-00 и
п-+оо п-*<х>
lim(x„—уп)= + оо.
П ->оо
Если же xn = n4-sin уп—п, n= 1, 2,..., то limxn = lim уп—
п-+оо п-* со
• •«
= 4-оо, а последовательность хп—yn = sin-g-, п = 1, 2,..., не
имеет ни конечного, ни бесконечного предела.
Эти примеры показывают, что при одинаковых предположениях
относительно последовательностей {%„} и {уп}, имеющих бесконечные
пределы, для последовательности {хп —уп} могут встретиться самые
3 5 Свойства пределов
45
разнообразные случаи. Вместе с тем отдельные обобщения свойств
1—4 на случай последовательностей с бесконечными пределами
все-таки имеют место. Например, если
lim хп=4-оо и lim у„ = -|-оо (или lim уп — конечен),
п-^оо П->оо П->оо
10
lim (Хп+Уп) = +°° (рекомендуется доказать самостоятельно).
П ->оо
Упражнение 14. Если limx„=-|-oo, а последовательность (уп)
п->оо
ограничена, то lim (хп Ц- уп) — + 00
П ~>оо
Пример. Пусть а^>0, х0^>0 и
«=1>2...... (3-10)
z \ лп — 1 /
Очевидно, что х„Д>0 для всех п = 0, 1,2,.... Докажем, что
хп>Уа, /1 = 1,2,..., (З.П)
т. е., согласно (3.10), что
(3.12)
2 \ хп — 1 )
Так как xn_i>0, то неравенство (3.12) равносильно нера-
венству
Xn-i — 2х„_] Уа-'га>0,
это неравенство очевидно, ибо
xji-i —2х,;_] У а-\-а = (xn-i — У а)2 > 0.
Таким образом, неравенство (3.11) доказано.
Покажем теперь, что последовательность {хД монотонно
убывает.
Действительно,
1 ! а \ _ -1 ~ ° п
2 J— 2xn_t ""U’
/1 = 2, 3, ...,
т. е.
х„_1 > хп, п — 2, 3, ....
Итак, последовательность {х,,} ограничена снизу и монотонно
убывает, поэтому, согласно теореме 3, она имеет предел.
46
§ 3. Предел последовательное?!
Пусть limx„ = x. Переходя к пределу в равенстве (3.10) прт
л->оо, получим
откуда к2 —а, т. е. х—]/а.
Формула (3.10) может служить для приближенного вычисления
значений квадратного корня из числа а. Она действительно применя-
ется на практике с этой целью, в частности, при вычислениях на
быстродействующих счетных машинах.
Нетрудно подсчитать и точность, с которой п-е приближение, т, е
член хп, дает значение корня Предварительно заметим, что если хп — а,
то из (3.10) получим
2хп_! /а = х2_1+а,
откуда (*„_] — Г а)2 — 0, т. е. х„_1 = )-Ла; продолжая этот процесс
дальше, получим в конце концов х0 = уа Поскольку нас интересует оцен-
ка отклонения х„ от числа }га, естественно предположить х0 -А т е.
что нам неизвестно точное значение корня и что мы выбрали наугад исход-
ное его приближение х0, в этом случае Хцт^Уа, поэтому, согласно не-
равенству (3.11),
хл > У а, и = 1, 2, ... . (3.1 Г)
Займемся теперь искомой оценкой погрешности приближения. Имеем
Из неравенства (3.11') следует, что
п = 2, 3,
поэтому
Применяя это неравенство п— 1 раз, получим
1
|*л+1 ~ Лп| <^ДТИ'2-Х1|, п = 2, 3...
3.6. Изображение вещественных чисел десятичными дробями
47
Теперь
I хп+р хп | = I (хм+п 1) + (хп+р— 1 *«+₽—2) 4" 4*
р—1 р— 1 ।
4~ (хп4-1 *«) | ** I *п-|-Н-1 xn-f-k I < ^4 gn-|-*—1 I л'2 Л11 <
*=0 £-4)
1
. I V____!____I I 2,8—1 _ I Хг ~ Xl I _ 9 о
I л'а хг | 2п+к~1 — I*2 Xj I 1 ~ 2"~2 ’ П ~~ 2’ 3’ ”* *
«=0 1 ~ ~2
Переходя в этом неравенстве к пределу при р ->• оо, получим
I i /~ I I а2 ai I о Q
|Уа—х„|<—, п=2, 3, ....
Это и есть требуемая оценка погрешности n-го приближения.
Упражнение 15. 11усть а0 > О, Ь1: > 0,
Г----------- , 1 + 6/1-> . А
ап = }[пп_х 6„_j , Ьп =---------g-------- , п = 1, 2, ....
Доказать, что последовательности {оп} и {£>„) стремятся к одному и тому же
пределу а и что
0 < а — ап <
I fro — «о 1
2«
0 < Ьп — а <
I fro — I
2"
3.6. Изображение вещественных чисел бесконечными
десятичными дробями
Пусть задано какое-либо число о, для определенности
п > 0. В силу свойства Архимеда существует целое число п0 д> а.
Среди чисел п = 1,2, ..., /г0 возьмем наименьшее, обладающее свой-
ством п > а и обозначим его u0 + 1, тогда а„< а< а04- 1-
Разобьем отрезок [а0, а0 + 1] на десять равных отрезков, т. е.
рассмотрим отрезки ^а0, с^; <х0, щ -р где аг = 0, 1, 2, ..., 9.
Возможны два случая: либо точка а не совпадает ни с одной точ-
кой деления (рис. 7), либо точка а совпадает с одной из точек деле-
ния (рис. 8, 9). В первом случае точка а принадлежит только одному
из этих отрезков. Обозначим его через
, 1
<х0, cCiS ао, +
где а, обозначает номер отрезка, т. е. одну из цифр 0, 1, ..., 9.
48
$ 3. Предел последовательности
Во втором случае точка а может принадлежать двум соседним
отрезкам. Тогда через /, обозначим тот из них, для которого точка а
является левым концом. Разобьем отрезок /х в свою очередь на де-
сять равных отрезков и через 12— а0. ао, а1«г+ обозна-
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
чим тот из получившихся отрезков, который содержит а и для кото-
рого точка а не является правым концом. Продолжая этот процесс,
получим систему вложенных отрезков
= /1=1,2,...,
, 1
где an = ct0, ctjcta ... <хп, ап = а0, ... ап-|- —, а «„ — одна из
цифр 0, 1, 2, .... 9.
Конечные десятичные дроби ап и ап называются соответственно
нижней и верхней подходящей десятичной дробью порядка п для
числа а. Они обладают следующими свойствами, непосредственно
вытекающими из их определения:
а„<а<ап, (3.13)
ап < а«+1, a„+i < «п, (З.Г4)
= (З-15)
В случае, если п<^0, то, полагая Ь ——а, определяем
2п = — Ь„, ап = — Ьп. (3.16)
Лемма 1. Каково бы ни было число а, последовательность
{ап} монотонно возрастает, а последовательность {пп} моно-
тонно убывает и
liman= lim аи—а. (3.17)
3.6. Изображение вещественных чисел десятичными дробями
49
Следствие. Всякое вещественное число является пределом
последовательности рациональных чисел.
Действительно, неравенства (3.13) и (3.14) означают, что в случае
о > О последовательность (ол) монотонно возрастает и ограничена
сверху, а последовательность {ал) монотонно убывает и ограничена
снизу. Поэтому существуют пределы lim а = а и lim ол = а. Пере-
П->оо П->оо
ходя к пределу при п->оо, из неравенства (3.13) получим, что
а а < а, а из равенства (3.15), что а — а = 0, т. е. а = а = а.
Итак, (3.17) в случае а 0 доказано.
Для а < 0 оно непосредственно следует из (3.16).
Следствие леммы вытекает из того, что ап и ап суть рациональные
числа.
Пусть теперь снова а>Оияп = а0, а1а2...а„. Поставим в соот-
ветствие числу а бесконечную десятичную дробь а0, а1а2...ап....
Подчеркнем, что здесь а0 является неотрицательным целым числом,
а ап, п = 1, 2, .... — одной из цифр 0, 1, 2, ..., 9.
Длины отрезков 1п = [ал, ол] равны и потому (почему?)
стремятся к нулю при п -> оо, поэтому число а является единствен-
ным числом, принадлежащим всем отрезкам п = 1,2, ... . Отсюда
следует, что при указанном соответствии разным числам соответст-
вуют разные десятичные дроби, т. е. отличающиеся хотя бы одним
(хЛ (k = 0, 1, 2, ...).
Заметим далее, что при нашем построении не может получиться
дробь с периодом, состоящим из одной цифры 9. Действительно,
пусть числу а соответствует дробь а0, где а„с=£=9.
Тогда, согласно построению,
о С-
а0, ctL ... а», 9 ... 9; а0, щ ... а,
п цифр
1
10«0
для всех п п0. Отсюда следует, что а является правым концом
всех отрезков /л, п >• п0, что противоречит выбору этих отрезков.
Если же не существует цифры аЛо, такой, что ал„ =1= 9, т. е. числу а
соответствует дробь а0, 99, ... 9..., то а является правым концом всех
отрезков вида [а0> 99...Э; а0 ф- 1]. Следовательно, а = а0 ф- 1,
тогда как по предположению а0 < а < а0 ф- 1.
Таким образом, в силу установленного соответствия каждому
вещественному числу о О соответствует некоторая бесконечная
десятичная дробь, не имеющая периода , состоящего из одной циф-
ры 9. Такие десятичные дроби называются допустимыми.
Наконец, каждая бесконечная допустимая десятичная дробь
а0, ai«2-..а-п... в результате описанного соответствия оказывается
50
§ 3. Предел последовательности
поставленной в соответствие некоторому числу а, а именно тому
единственному числу, которое принадлежит всем отрезкам:
|а0, ... <xn; а0, cq ... а„-|- « = 1, 2....
Это соответствие можно распространить и на отрицательные
числа: если числу а > 0 соответствует дробь а0, Uj..то числу
—а поставим в соответствие дробь —а0, .
Если заданы два множества X и Y и если каждому элементу
хбХ поставлен в соответствие элемент у £- Y, причем разным эле-
ментам х соответствуют разные элементы у и каждый элемент
yC-Y оказывается поставленным в соответствие некоторому эле-
менту х£Х, то говорится, что между множествами X и Y уста-
новлено взаимно однозначное соответствие.
Полученные результаты можно сформулировать в виде следую-
щей теоремы.
Теорема 6. Между множеством всех вещественных чисел и мно-
жеством допустимых десятичных дробей существует взаимно одно-
значное соответствие', причем, если при этом соответствии числу а
соответствует дробь ±<х0, ауа2...ап..., то ±Нш а0, иха2...ап = а.
tl->OO
Бесконечная десятичная дробь ±а0> щи2...ип..., соответству-
ющая числу а, называется его десятичной записью и используется
для его обозначения. Поэтому пишется
а = ±а0, иуу..мп....
Замечание. Любой бесконечной десятичной дроби
а0, (не обязательно допустимой) можно также естествен-
ным образом поставить в соответствие единственное вещественное
число, принадлежащее всем отрезкам
^о, ctj ... <xn, etg, <x* ... -j- jynj •
Однако получившееся при этом соответствие уже не будет
взаимно однозначным: может случиться, что разным
десятичным дробям будет соответствовать одно и то же веще-
ственное число. Именно дробям вида <х0, а1а2---«п99...9... и
<х0, ща2 ... (ап + 1)00...0... {аг.=1- 9) соответствует одно и тоже число.
В описанной выше конструкции соответствия вещественных чисел
и бесконечных десятичных дробей мы получили бы не только допу-
стимые десятичные дроби, если бы отказались от условия каждый
раз выбирать такой отрезок 1п, что число а не является его правым
концом.
Используя запись вещественных чисел, с помощью бесконечных
десятичных дробей можно получить правило для их сравнения по
величине и правила арифметических действий над ними.
3.6. Изображение вещественных чисел десятичными дробями
51
Лемма 2. Пусть а = а0, а1а2...(ип... и b = р0, .. — два
'неотрицательных числа, записанных с помощью бесконечных допу-
стимых десятичных дробей. Тогда а <д.Ь в том и только том случае,
когда существует п0, такое что ап <Г Ьп для всех п п„.
Действительно, пусть а<Т.Ь. Из а = limgn и 6= lim bn сле-
дует (см. свойства пределов последовательное гей в п. 3.1), что
существует такое п0, что при всех /7>-/г0 справедливо неравенство
Обратно, если существует пй, такое, что ап <" Ьп для всех
/г>п0, то случай а^>Ь невозможен в силу только что доказанного.
Невозможен и случай а = Ь, так как тогда бы в силу однозначной
записи чисел с помощью допустимых десятичных дробей при всех
/7 = 1,2, ... выполнялось равенство ап = Ьп. Таким образом, а<Т.Ь.
Лемма доказана.
3 а м е ч а н и е. Если а и b оба отрицательны и а < Ь, то
— а >—b и для положительных чисел —а и —Ь справедлива лем-
ма 2. Если же а и b разных знаков, то никакого специального
правила сравнения чисел по десятичной записи не нужно, так как
всякое отрицательное число меньше неотрицательного.
Лемма 3. Пусть а и b — два вещественных числа, тогда
Ит («п + ^п) = « + Ь,
lim (on—b,A = a — b,
П~>-ЗО
lim an bn = ab,
П ->oo
а при b^f=O
.. an a
11171^2- = —
bn b
Все утверждения этой леммы непосредственно следуют из леммы 1
и свойств пределов, связанных с арифметическими действиями над
последовательностями (см. п. 3.5).
Из леммы 3 следует, что для того чтобы произвести с заданной
степенью точности какое-либо арифметическое действие над числами,
записанными в виде допустимых десятичных дробей, надо взять с до-
*) Может случиться, что при некоторых п будем иметь Ьп = 0, и, следо-
fl ГА
вательно, выражение будет лишено смысла Однако в силу условия
Ь 0 и свойства 3 пределов последовательностей, доказанного в п. 3.1,
существует такое п0, что Ьп #= 0 при п > п0. В этом случае вместо последо-
а„ in
вательности = , п=1,2.......следует рассматривать последовательность г-,
Sn ’ ’ —п
П — По, По + 1......
52
§ 3. Предел последовательности
статочной точностью их подходящие десятичные дроби и произвести
над ними соответствующие действия.
3 а м е ч а н и е. При изложении теории вещественных чисел
можно идти и в обратном порядке: определить вещественные числа
как бесконечные допустимые десятичные дроби и, используя эту
запись, ввести в них соответствующим образом соотношение порядка
и арифметические действия.
Существуют и другие построения теории вещественных чисел,
которые исходят из других конкретных объектов, однако все они
приводят к совокупностям элементов, удовлетворяющих свойствам
I—VI п. 1.1. Здесь мы встречаемся с характерной чертой математи-
ческих методов исследования, для которых совершенно безразлична
природа элементов, а важны лишь количественные связи между
ними, которые в данном случае и выражаются свойствами 1—VI.
Заметим, что совокупность свойств I—VI однозначно определяет
совокупность элементов, обладающих этими свойствами. Поясним
это несколько подробнее.
Пусть мы имеем два множества X и У элементов произвольной
природы и пусть в этих множествах установлены порядок элементов
и операции сложения и умножения, удовлетворяющие свойствам
I—VI.
Мы скажем, что множества X и У изоморфны, если существует
такое взаимно однозначное соответствие между множествами X и
У — обозначим его х-*-у (здесь у £ У является элементом, соответ-
ствующим элементу х£Х при указанном соответствии),— что для
любых элементов хг£Х и х2 X выполняется условие:
если
и х2->у2,
то
’'1 + х2 У1 + х\ х2 У1 Уг-
Можно показать, что любые два множества X и У, удовлетворя-
ющие свойствам I—VI п. 1.1, изоморфны. Иначе говоря, свойства
I—VI однозначно, с точностью до изоморфизма, определяют множе-
ство вещественных чисел. Это свойство называется свойством пол-
ноты системы аксиом 1—VI. Оно означает невозможность расши-
рить множество вещественных чисел с сохранением всех его свойств.
3.7. Счетность рациональных чисел.
Несчетность вещественных чисел
Возникает вопрос: все ли бесконечные множества со-
держат одинаковое число элементов или бесконечности бывают
разные? Прежде всего надо определить понятие «одинаковое число
элементов».
3.7 Счетность рациональных чисел Несчетность вещественных чисел
53
X и
если
Определение 17. Будем говорить, что два множества
Y имеют одинаковое число элементов, или они равномощны,
между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
С этой точки зрения натуральные числа 1, 2, ..., п, ... содержат
столько же элементов, сколько и четные числа 2, 4, ..., 2п, ..., хотя
на первый взгляд последних кажется в два раза меньше. Требуемое
взаимно однозначное соответствие получается, если натуральному
числу п поставить в соответствие число 2п, п = 1,2, ... .
Четные числа составляют часть множества натуральных чисел,
однако эти множества равномощны, следовательно, в случае бес-
конечных множеств часть может равняться в нашем смысле целому!
Определение 18. Множество, которое содержит столько же
элементов, сколько натуральный ряд чисел, т. е. равномощное с мно-
жеством натуральных чисел, называется счетным.
Таким образом, если X счетно, то между множеством X и мно-
жеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное
соответствие, или, как говорят, можно занумеровать элементы мно-
жества X, понимая под номером каждого элемента х£Х соответст-
вующее ему натуральное число.
Счетные множества являются в определенном смысле простей-
шими бесконечными множествами. Именно справедлива следующая
лемма.
Лемма. Любое бесконечное множество содержит счетное под-
множество.
Действительно, пусть X — бесконечное множество. Возьмем
какой-либо его элемент и обозначим его х±. В силу того, что X —
бесконечное множество, в нем заведомо имеется хоть один элемент,
отличный от элемента хх. Выберем какой-либо из таких элементов и
обозначим его х2-
Пусть уже выбраны элементы х1, ..., хп в множестве X. По-
скольку X — бесконечное множество, то в нем заведомо есть еще и
другие элементы; выберем какой-либо из оставшихся элементов и
обозначим его через хп+1, и т. д. В результате мы получили элементы
хп£Х, п = 1, 2, которые образуют счетное подмножество мно-
жества X.
Следующая теорема даег интересный пример счетного множества.
Теорема 7. Рациональные числа образуют счетное множество.
Доказательство. Рассмотрим сначала неотрицательные
рациональные числа. Расположим их в бесконечную таблицу следу-
ющим образом: в первую строчку поместим в порядке возрастания
все целые числа 0, 1, 2, ...; во вторую — все несократимые положи-
тельные дроби со знаменателем 2, упорядоченные по величине чи-
слителя; вообще в /г-ю строчку, п — 1, 2, ...,— все положительные
рациональные числа, записывающиеся несократимой дробью со
знаменателем /г, упорядоченные по величине числителя. Очевидно,
54
§ 3. Предел последовательность
что каждое неотрицательное рациональное число попадет на какое-
то место в получившейся таблице:
0 1 2 3 4 ...
1 3 5 7 9
2 2 Т 2 у ...
1 2 4 5 7
3 3 "з 3 3
2
п
Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно
следующей схеме (в кружочках стоят номера соответствующих эле-
ментов, стрелка указывает направление нумерации):
В результате все неотрицательные рациональные числа оказыва-
ются занумерованными, т. е. мы доказали, что они образуют счет-
ное множество.
Чтобы убедиться, что и множество всех рациональных чисел так-
же счетно, достаточно их записать в подобную же таблицу. Это мож-
но сделать, например, поместив в написанной выше таблице после
|каждого положительного рационального числа х в топ же строчке
'число —х:
0 1 -1 2 —2 ...
1 1 3 3 5
_ _— . — . —
2 2 2 2 2 ”
1 1 2 2 7
——
3 3 3 3 3 —
1 1
п п
3.8. Верхний и нижний пределы последовательностей
85
Перенумеровав элементы таблицы тем же методом, что и выше,
получим счетность всех рациональных чисел.
Возникает естественный вопрос: а существуют ли бесконечные
множества, не являющиеся счетными? Оказывается, что да, суще-
ствуют, и они называются естественно, несчетными множествами.
Важный пример несчетных множеств устанавливается нижеследу-
ющей теоремой.
Теорема 8 (Кантор). Множество вещественных чисел не-
счетно.
Допустим противное: пусть удалось занумеровать все веществен-
ные числа xlt х2, ..., хп, ...; запишем их с помощью допустимых
десятичных дробей:
v _<><') „(б „<б
— CIq f Cl] СХ>2 ••• •••
v — „(2) (2)
^2 — CCq , Ct] $2 Ctm
........................................ (3.18)
Д = 4'>, аГ а(2'г) ... «^ ...
Здесь сД>, и=1, 2......./д=1, 2, ..., обозначает одну из
цифр 0, 1, 2, ..., 9, а а<0'г), п=1, 2, ...,—целое число с тем или
иным знаком.
Выберем цифру щ, п — 1, 2, ..., так, чтобы «пДщ'Г’ и an=f=9.
Тогда дробь 0, а1а2...ап... является допустимой, но числа
а = 0, заведомо нет среди чисел хп, п = 1, 2, ..., так как
десятичная дробь 0, ... ап ... хотя бы одним десятичным знаком
отличается от каждой из десятичных дробей (3.18). Полученное
противоречие и доказывает теорему.
3.8. Верхний и нижний пределы последовательностей
Определение 19. Символ Доо (соответственно —оо)
называется бесконечным частичным пределом последовательности
{хп}, если существует такая подпоследовательность {ДА}> что
lim х„ — Д оо (соответственно lim = —ooV
Легко показать, что у любой последовательности существует
по крайней мере один частичный предел, конечный или бесконечный.
Действительно, если последовательность не ограничена сверху,
то у нее существует подпоследовательность, стремящаяся к Доо
(почему?), и, значит, Доо — ее частичный предел.
Если же последовательность не ограничена снизу, то —оо — ее
частичный предел. Если, наконец, последовательность ограничена
сверху и снизу, то она просто ограничена и, согласно теореме Боль-
цано — Вейерштрасса, имеет конечный частичный предел.
56
$ 5 Предел последовательности
Определение 20. Наибольший частичный предел последова-
тельности {х„} называется ее верхним пределом и обозначается
lim хп, а наименьший частичный предел называется нижним пре-
И—>сю
делом и обозначается lim хп.
tt —>оэ
Теорема 9. У любой последовательности {%,,} существует
как наибольший, так и наименьший частичный предел.
Доказательство. Прежде всего заметим, что если по-
следовательность имеет только один частичный предел, то он будет
и наибольшим и наименьшим. Поэтому в дальнейшем при доказа-
тельстве будем считать, что последовательность {%„} имеет по крайней
мере два частичных предела.
Если последовательность (хп) не ограничена сверху, то, очевид-
но, lim хп — 4“°°, а если не ограничена снизу, то lim хп — —оо.
п->о°
Пусть теперь последовательность {%„} ограничена сверху. Тогда
-|-оо не является ее частичным пределом; согласно же предположе-
нию, она имеет по крайней мере два частичных предела, поэтому в
этом случае существует по крайней мере один конечный частичный
предел. Из ограниченности сверху данной последовательности {хп}
следует и ограниченность сверху непустого множества А ее конечных
частичных пределов. В силу этого множество А имеет конечную верх-
нюю грань.
Покажем, что b = sup А есть частичный предел последова-
тельности {хп}, т. е. что А. Действительно, если бы Ь^А, то
существовало бы такое е > О, что в интервале (Ь — е, b 4- е) со-
держалось бы лишь конечное число членов последовательности {%„},
и поэтому, (почему?), в этом интервале не было бы ни одного
элемента А, что противоречит условию b — sup А.
Таким образом, Ь£А и, следовательно, является наибольшим
элементом множества А (см. определение 4 в п. 2.1), поэтому
b — lim хп.
П —>оо
Аналогично показывается, что если последовательность {хп}
ограничена снизу и множество А ее конечных частичных пределов
не пусто, то inf А = lim хп.
Теорема доказана.
Упражнение 16. Пусть
(-1)" , 1+(-1)"
Хп ~ п + 2
п= 1, 2, ....
Найти lim хп, limx„, ini {л„}, sup
п->оо л->оо
3.8. Верхний и нижний пределы последовательностей
57
Теорема 10. Для того чтобы число а было верхним пределом
последовательности {хп}, необходимо и достаточно выполнение для
любого числа е > 0 совокупности-следующих двух условий.
1. Существует номер пе, такой, что для всех номеров п пе
справедливо неравенство
хп < а в.
2. Для любого номера п0 существует номер п' (зависящий от е и
от щ), такой, что п’ п0 и
хП' >а—е.
Условие 1 означает, что при любом фиксированном е 0 в по-
следовательности {хп} существует лишь конечное число членов хп,
таких, что хп > а 4~ е (их номера меньше щ).
Условие же 2 означает, что при любом фиксировании е 0 в по-
следовательности {хп} существует бесконечно много членов хп,
таких, что хп > а — е.
Доказательство необходимости. Пусть
a — lim хп и пусть е>0 фиксировано. Если бы на полуинтервале
II -» оо
[а 4- е, 4~оо) оказалось бесконечно много членов последовательно-
сти {хп}, то нашлась бы подпоследовательность последовательности
{хп}, элементы которой принадлежат этому полуинтервалу и ко-
торая имеет конечный или бесконечный предел. Обозначим его через
Ь. Очевидно, fc > о 4- £ > я, что противоречит тому, что а — наи-
больший частичный предел последовательности {%„}.
Свойство 1 доказано.
Далее, поскольку верхний предел является и частичным пре-
делом, то существует подпоследовательность {хп^ такая, что
lim х„ =а. Почти все члены последовательности {х.,,} больше
k~> оо
а—е и, следовательно, существует бесконечно много членов дан-
ной последовательности {хп} больших, чем а—е. Свойство 2 также
доказано.
Доказательство достаточности. Пусть число а
удовлетворяет условиям 1 и 2. Покажем, что тогда а является
частичным пределом. Возьмем в = у, k=l, 2, .... Для каждого
натурального k существует номер nh, такой, что хп^^>а—
(согласно свойству 2) и + (согласно свойству 1). По-
скольку для любого k множество элементов хп данной последова-
тельности, для которых выполняются неравенства а—^<Схп<а 4--^,
58
$ 3. Предел последовательности
бесконечно, то номера nh можно последовательно (Л = 1, 2, ...)
выбрать так, чтобы /гй1</г*2 при kx <С k2- В результате мы полу-
чим подпоследовательность данной последовательности {хп}.
Из неравенства |п—xnft|<c4’ слеДУет> что Нтхп =а, т. е., что а
является частичным пределом последовательности {хп}.
Покажем теперь, что число а является наибольшим частичным
пределом. Действительно, если бы нашелся частичный предел b
последовательности {лп}, такой, что Ь^>а, то, беря, еД>0 так, что
а + е< Ь, мы получим, что на промежутке (а 4- е, 4-оо) будет на-
ходиться бесконечно много членов последовательности {хп} (а именно
почти все члены подпоследовательности, сходящейся к Ь). Это про-
тиворечит условию 1.
Теорема доказана.
Упражнение 17. Доказать, что, для того чтобы последователь-
ность (х„) имела предел (конечный или бесконечный, равный одному из симво-
лов -Ьоо или —оо), необходимо и достаточно, чтобы
lim хп = lim хп
П-*оо П-*оо
В дальнейшем (в § 37) нам будет полезно следующее утверж-
ден не.
Лемма. Пусть хп^-0 и уп>-0, /г=1, 2, ..., и последова-
тельность (хп) сходится. Тогда, если lim уп <С4~ оо, то
п-+оо
Нш хпУп= lim хп ПтУп» (3.19)
П-+О0 п~*-оо n-*-oo
а если limyn=4~°°> limxn>0, то
П-*оо
lim хпуп = 4-оо. (3.20)
га-*оо
Доказательство. Пусть
lim хп = а, lim уп=Ь< 4-оо (3.21)
п -* оо П оо
и пусть {ynfc} является подпоследовательностью последователь-
ности {уп}, такой, что limy Поскольку lim хп .—а, то
fe-*oo й k-+vo *
lim хп уп — ab. Следовательно, ab является частичным пределом
последовательности (xny,J, и потому выполняется условие 2
теоремы 10.
3.8. Верхний и нижний пределы последовательностей
59
Покажем теперь, что число ab удовлетворяет и условию 1 этой
теоремы; тем самым будет показано, что ab является наибольшим
частичным пределом, т. е. верхним пределом последовательности
{^пУп}-
Пусть фиксировано е > 0, выберем ех > 0 так, чтобы
ае.г 4~ Лех4- е? < е (это всегда возможно, ибо, для каждой беско-
нечно малой последовательности {а„} имеем lim (<ж,4- Ьап 4- а„) =0)
М-*оо
Из условия (3.21) следует, что существует такой номер п0, что
при п^>п0 выполняются неравенства
0< хп<а4-е1,
0<Уп<6+е1-
Следовательно, при п^>п0 имеем
хп уп а^> 4- аех + ^8] + в? < ab 4- е,
т. е. условие 1 теоремы 10 для числа ab выполнено; поэтому
lim xnyri -=ab— lim хп lim уп.
tl -* ОО П-*-СХ> П-*-ОО
Формула (3.19) доказана.
Пусть теперь limyn=4-oo, limxn = a>»0 и пусть {у }—
П-*-оо Н->оо **
подпоследовательность последовательности {уп}, такая, что
limy =4-оо. Поскольку о^>0, то существует номер N такой,
*-оо "
что при n~^>N выполняется неравенство х,,>~. Поэтому по-
следовательность хп, n — N, A^-J-1, ..., ограничена снизу поло-
жительной постоянной и, следовательно,
Ит х у =4-0°.
Это и означает, что lim хп уп = 4- оо. Формула (3.20) также до-
П ->оо
казана.
Заметим теперь, что если по определению считать, что при
а^>0 справедливо равенство
а- 4- оо = 4- о°>
то при limxn3>0 формулы (3.19) и (3.20) можно объединить
п-*оо
в одну: __ ________________
Нт хпуп = lim xnlim уп.
60 $ 4. Функции и их пределы
§4. ФУНКЦИИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ
4.1. Понятие функции
При изучении тех или иных процессов реального мира
(физических, химических, биологических, экономических и всевоз-
можных других) мы постоянно встречаемся с теми или иными ха-
рактеризующими их величинами, меняющимися в течение рассматри-
ваемых процессов. При этом часто бывает, что изменению одной ве-
личины сопутствует и изменение другой, или даже, более того, изме-
нение одной величины является причиной изменения другой.
Например, при прямолинейном равномерном движении матери-
альной точки, как хорошо известно, связь между пройденным путем
s, скоростью и и временем движения t выражается формулой
s = vi. При заданной скорости и величина пройденного пути зави-
сит от времени/: чем больше затраченное время, тем более длинный
путь пройдет движущаяся точка.
Закон всемирного тяготения масс выражается известной форму-
лой Ньютона:
Л2 '
где тг и т2 — массы двух материальных точек, г — расстояние
между ними, k — гравитационная постоянная, a F — сила тяготе-
ния между этими массами. Из этой формулы следует, что если две
фиксированные массы удалять друг от друга, то сила взаимодейст-
вия между ними будет уменьшаться.
Площадь круга выражается формулой S — nF. Из нее видно,
что при увеличении радиуса круга в п раз площадь круга увеличива-
ется в п2 раз.
Во всех этих примерах имеется несколько переменных величин,
одни из которых могут меняться произвольно, а другие изменяются
уже в зависимости от изменения первых. В таких случаях говорят,
что между этими переменными существует функциональная зависи-
мость. Уточним это понятие.
Переменная величина у называется функцией переменной вели-
чины х, если каждому значению величины х соответствует единствен-
ное значение величины у.
Хотя на первый взгляд в введенном понятии функции нет явных
неясностей, тем не менее оно требует определенного разъяснения.
Дело в том, что термин «.переменная» в интуитивном смысле, как
всякое изменение связано с понятием времени и пространства.
На самом деле эти пространственные и временные представления
в данном случае не являются существенными. Нуждается в разъ-
яснении и само понятие величины.
4.1. Понятие функции
61
Сформулируем понятие функции несколько иначе.
Пусть заданы два множества X uY. Если каждому элементу х Q X
поставлен в соответствие один и только один элемент у Y, обо-
значаемый f(x), и если каждый элемент yQY при этом оказывается
поставленным в соответствие хотя бы одному элементу х £ X, то
говорится, что на множестве X задана однозначная функция
у = f(x). Множество X называется ее областью определения (или
областью задания), а множество Y — множеством ее значений. Эле-
мент х £ X называется аргументом, или независимой переменной, а
элементы у б Y —значениями функции, или зависимой переменной.
Подчеркнем, что, для того чтобы задать функцию f, надо задать,
во-первых, ее область определения X, во-вторых, ее область значений
Y и, в-третьих, закон соответствия, по которому определяется эле-
мент у £ Y, соответствующий элементу х(Х, т. е. элемент у = f(x).
Понятие функции равносильно понятию соответствия, которое
можно свести к более простым первичным понятиям, но мы не
будем на этом останавливаться.
Элементы х и у рассматриваемых множеств X и Y могут иметь
совершенно произвольную природу. В частности это могут быть,
например, вещественные или комплексные числа. В случае, когда
значениями функции являются не числа, а какие-либо другие эле-
менты, часто вместо слова «функция» употребляется слово «отобра-
жение».
Таким образом, у нас термины «функция», «соответствие» и
«отображение» равносильны. Говоря о тех или иных функциях, мы,
конечно, каждый раз будем разъяснять, о какого рода соответствиях
идет речь.
Часто саму функцию (соответствие, отображение) обозначают
только одной буквой f, а через f(x) — ее значение на элементе х.
Впрочем, иногда через f(x) обозначается и сама функция, а для ее
значения на элементе х0 употребляется запись f(x)\x=Xo или /|х=жо.
Если Е — некоторое подмножество множества X, то через f(E)
обозначается множество всех таких элементов у б Y, что у = f(x),
где х б Е, т. е. f(E) = {у : у = f(x), х б Е}. Множество f(E) называет-
ся образом множества Е.
Если теперь D — некоторое подмножество множества Y, то
множество {х : xQX, f(x)(^D} называется полным прообразом мно-
жества D.
Если X и Y — некоторые подмножества вещественных чисел
(быть может, одно из которых или оба совпадают с множеством
всех вещественных чисел), то соответствующие функции называются
вещественными функциями одного (вещественного) переменного.
В частности, если в качестве множества X взять множество нату-
ральных чисел, то получим вещественную функцию, определенную
62
J 4. Функции и их пределы
на множестве натуральных чисел или, употребляя введенную ранее
терминологию, попросту последовательность вещественных чисел.
Если в качестве множеств X и Y взять некоторые подмножества
комплексных чисел, то мы придем к понятию комплекснозначных
функций комплексного аргумента.
Встречаются функции, у которых множества X и Y разной при-
роды. Примером может служить функция, определенная, например,
на некотором множестве X точек плоскости и принимающая число-
вые значения. Поскольку при фиксированной системе координат
каждой точке плоскости однозначно соответствует упорядоченная
пара чисел — ее декартовые координаты, то эту функцию можно
рассматривать как функцию двух вещественных аргументов хр х2
и обозначать у = f(xlt х2).
Встречаются, естественно, и функции с большим числом вещест-
венных аргументов, например, в известной из физики формуле Ку-
лона взаимодействия электрических зарядов
р ei ег
ег2
сила взаимодействия F зависит от четырех аргументов: двух вели-
чин зарядов ег и е2, расстояния между ними г и диэлектрической
постоянной среды е.
Вообще функция, определенная на некотором множестве эле-
ментов, каждый из которых представляет собой упорядоченную сово-
купность п чисел (вещественных или комплексных), называется
функцией от п (соответственно вещественных или комплексных)
аргументов.
Может случиться, что значениями функции являются не числа,
а какие-либо другие элементы. Например, если в качестве X взять
отрезок [0, 2л1 и каждому числу х £ [0, 2л ] поставить в соответствие
точку плоскости с абсциссой sin х и ординатой cos х (при некоторой
фиксированной декартовой системе координат), то множеством зна-
чений построенной функции будет множество точек окружности
единичного радиуса с центром в начале координат.
Отметим, что если функции fug рассматриваются на одном и
том же множестве X, то запись f = g означает, что f(x) = g(x) для
каждого х^Х. В этом случае говорится, что функция / тождест-
венно равна функции g на множестве X.
Над функциями, принимающими числовые значения (такие
функции называются числовыми функциями), можно производить
различные арифметические операции. Если даны две числовые функ-
ции f и g, определенные на одном и том же множестве X, а с — не-
которое число (или, как часто говорят,— постоянное), то функция cf
определяется как функция, принимающая в каждой точке х£Х
значение с/(х); функция f + g—как функция, принимающая в
4.1. Понятие функции
63
каждой точке х£Х значение f(x) + g(x); fg — как функция, в каж-
дой точке принимающая значение /(x)g(x); наконец, — как фуик-
и Z" л/ /
ция, в каждой точке хр Л равная (что, конечно, имеет смысл
лишь при g(x) #= 0).
Числовая функция f, определенная на множестве X, называется
ограниченной сверху (ограниченной снизу), если множество ее значе-
ний ограничено сверху (снизу). Иначе говоря, функция f ограничена
сверху (снизу), если существует такая постоянная /И, что для каж-
ого х(:Х выполняется неравенство f(x) < М (соответственно
f(x) >М).
Функция f, ограниченная на множестве X как сверху, так и
снизу, называется просто ограниченной. Очевидно, что функция f
ограничена на множестве X в том и только том случае, если сущест-
вует такое число М > 0, что | f(x) | < М для каждого х~ X.
Верхняя (нижняя) грань множества значений Y числовой функ-
ции у = f(x), определенной на множестве X, называется верхней
(нижней) гранью функции f и обозначается
sup/2, supf, supf(x) (inff, inf/, inf^x)).
x >. f x x x 6 x
Более подробно это означает, что, например, X = sup f, если,
во-первых, для каждого х^Х выполняется неравенство /(х) < К
и, во-вторых, для любого X < Z существует такой хЛ £ X, что
f(x>. )>Х'. Индекс X у элемента множества X показывает, что он
зависит от выбора числа X.
В приведенном определении верхняя (нижняя) грань функции
может быть как конечной, так и бесконечной.
Согласно результатам п. 2.1, функция / ограничена сверху
(снизу) на множестве X тогда и только тогда, когда она имеет на
этом множестве конечную верхнюю (нижнюю) грань.
Упражнения. 1. Доказать, что если функция / не ограничена
вверху (соответственно снизу) на отрезке [а, 1>], то существует такая последо-
зательность точек хп~[а, Ь], п — 1, 2, ..., что lim f(xn) = -|-оо (соответственно
п ->оо
lim f(x,,) = —ос).
7->oo
2. Доказать, что если функция не ограничена на отрезке, то существует
точка этого отрезка, в каждой окрестности которой функция не ограничена.
Будем говорить, что числовая функция /, определенная на мно-
жестве X, принимает в точке х0 С X наибольшее значение (соответ-
ственно наименьшее), если f(x) С f(x0) (соответственно f(x) f(x0))
64
$ 4. Функции и их пределы
для каждой точки хО X. В этом случае будем писать f(x0) = max /
х
или f(x0) = max / (соответственно f(x0) = min f или f(x0) = min /)*'.
x
Очевидно, что если функция f принимает в точке х0 наиболь-
шее (наименьшее) значение, то /(х0) = sup f (соответственно
f(x0) = inf f).
Иногда приходится иметь дело с функциями /(х), определенными
на некотором множестве X, значениями которых являются некото-
рые подмножества множества Y, т. е. когда каждому элементу х(- X
ставится в соответствие некоторое множество f(x)cz Y, и тем самым
множеством значений функции является совокупность некоторых
подмножеств множества Y. В этом случае говорят, что на множе-
стве X задана многозначная функция [(х) со значениями в множе-
стве Y.
Если каждое /(х) состоит только из одного элемента y^Y, то
получится однозначная функция.
Многозначные функции естественным образом возникают, на-
пример, при рассмотрении так называемых обратных функций.
Определение 1. Пусть на множестве X определена функция f
и пусть Y — множество ее значений. Обозначим через f-1(y) полный
прообраз элемента y^Y, т. е.
f~' (у) = {* : хОХ, f(x) = y}.
Тогда функция, определенная на Y и ставящая в соответствие
каждому у £У множество И1 (у)аХ, называется обратной к f и
обозначается Л”1.
Обратная функция Н1 является, вообще говоря, многозначной
функцией, но, конечно, в частном случае она может быть и одно-
значной.
4.2. Способы задания функций
В дальнейшем в основном будут изучаться однозначные
вещественные функции одного вещественного переменного. Поэтому
остановимся на способах задания только таких функций.
Прежде всего, функции могут задаваться при помощи формул:
аналитический способ. Для этого используются некоторый запас
изученных и специально обозначенных функций, алгебраические
действия и предельный переход.
Например, у — ах + Ь, у — ах2, у = sinx, у — У1—хе,
у — 1 ф- У 1g cos пх.
*> Наибольшее (наименьшее) значение функции называется также ее
максимальным (минимальным') значением. Максимальные и минимальные
значения называются экстремальными.
4.2 Способы задания функций
65
Иногда приходится функцию задавать с помощью нескольких
формул, например,
2Л для х^>0,
О
х— 1
для х = О,
(4.1)
для х<0.
Функция может быть задана также просто с помощью описания
соответствия. Поставим в соответствие каждому числу х > 0 чи-
сло 1, числу 0 — число 0, а каждому х < 0 — число —1. В резуль-
тате получим функцию, определенную на всей вещественной оси
и принимающую три значения: 1, 0 и —1. Эта функция имеет специ-
альное обозначение sign х*}:
sign х =
1 для
О для
— 1 для
х^> О,
х = О,
х<^0.
Другой пример: каждому рациональному числу поставим в соот-
ветствие число 1, а каждому иррациональному — число ноль.
Полученная функция называется функцией Дирихле.
Следует отметить, что всякая формула является символической
записью некоторого где-то описанного ранее соответствия, так что,
в конце концов, нет различия между заданием функции с помощью
формулы или с помощью описания соответствия; это различие
чисто внешнее.
Следует также иметь в виду, что всякая вновь определенная
функция, если для нее ввести специальное обозначение, может
служить для определения других функций с помощью формул, вклю-
чающих этот новый символ.
Если речь идет о вещественных функциях одного аргумента,
то для наглядного представления о характере функциональной за-
висимости часто строятся графики функций.
Графиком функции у — f(x) (хи у — числа) называется геометри-
ческие место точек на плоскости с координатами (х, f(x)), х^Х
(X — как всегда, область определения функции).
Так, например, график функции (4.1) имеет вид, изображенный
на рис. 10, а график функции у = 1 + У 1g cos лх состоит из отдель-
ных точек (рис. 11).
С другой стороны, графическое изображение функции также
может служить для задания функциональной зависимости. Правда,
это задание будет приближенно, потому что измерение отрезков
практически можно производить лишь с определенной степенью точ-
«I Signum — по-латыни означает «знак»,
66
$ 4. Функции и их пределы
ности. Примерами графического задания функций, встречающимися
на практике, могут служить, например, показания осциллографа.
Наконец, функцию можно задать с помощью таблиц, т. е. для
некоторых значений переменной х указать соответствующие значе-
ния переменной у. Данные таблиц
могут быть получены как непо-
средственно из опыта, так и с
•У
-4 -3 -2 -1 О
12 3 4
Рис. 11
1
помощью тех или иных математических расчетов. Примерами
такого задания функций являются логарифмические таблицы
и таблицы тригонометрических функций.
Упражнение 3. Построить графики функций:
а
у =2x4-1. y = ax-yb, у =' у — 2х2,
у == ах2 + Ьх + с, у —2х, у=^, y=lgx,
y=logIx, y = sin2x, у = 2 cos (Зх 4-2) 4-1,
2
y=tg3x, y=-|-ctg2x, у = arc sin x,
у = 3 arccos x -|- 1, у = arctg x.
Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналити-
ческие способы задания функции.
Неявные функции. Пусть дано уравнение вида
F (х, у) = 0, (4.2)
т. е. задана функция F(x, у) двух вещественных переменных х и у,
и рассматриваются только такие пары х, у (если они существуют),
для которых выполняется условие (4.2).
4.2. Способы задания функций
67
Пусть существует такое множество X, что для каждого х0 G X су-
ществует по крайней мере одно число у, удовлетворяющее уравне-
нию F(x0, у) = 0. Обозначим одно из таких у-ков через у0 и поставим
его в соответствие числу хп(Х. В результате получим функцию f,
определенную на множестве X и такую, что
F(x0, f(x0)) = 0 для всех х0^ X.
В этом случае говорят, что функция / задается неявно уравнением
(4.2). Одно и то же уравнение (4.2) задает, вообще говоря, не одну,
а некоторое множество функций.
Функции, задаваемые уравнениями вида (4.2), называются функ-
циями, заданными неявно, или просто неявными функциями, в от-
личие от функций, задаваемых формулой, разрешенной относитель-
но переменной у, т. е. формулой вида у = /(%).
Термин «неявная функция» отражает не характер функциональ-
ной зависимости, а лишь способ ее задания. Одна и та же функция
может быть задана как явно, так и неявно. Например, функции
k (х) = VИ f2 (х) = - /
могут быть заданы также и неявным образом с помощью уравнения
х2 + У2 — 1 = 0 в том смысле, что они входят в совокупность функ-
ций, задаваемых этим уравнением.
Сложные функции. Пусть заданы две функции
у — f(x) и z= F(y), причем область задания функции F содержит об-
ласть значений функции /, тогда каждому х из области определения
функции f естественным образом соответствует z, такое, что
z = F(y), где у = f(x). Эта функция, определяемая соответствием
z = F[f(x)], называется сложной функцией, или суперпозицией функ-
ций f и F.
Сложная функция отражает не характер функциональной за-
висимости, а лишь способ ее задания: может случиться, что одна и
та же функция может быть задана как с помощью суперпозиций ка-
ких-либо функций, так и без их помощи. Например, сложная функ-
ция z = 2У, у = log2 (1 + sin2 х), заданная с помощью суперпозиций
показательной и логарифмической функций, может быть задана
и без этой суперпозиции z = 1 + sin2 х.
Подобным образом можно рассматривать сложные функции, яв-
ляющиеся суперпозицией более чем двух функций, например, функ-
цию w = sin lgf 14—можно рассматривать как суперпозицию
\ у X)
следующих функций:
K> = sino, v = 1g и, u=l-J-z, z = —, y-=|/x.
68
f 4. Функции и их пределы
4.3. Элементарные функции и их классификация
Функции: степенная у = ха, показательная у = ах
логарифмическая у = logD х (а^> 0, a 1), тригонометрические
у = sin х, у — cos х, у — tg х, у — ctg х и обратные тригоно-
метрические у = arcsin х, у — arccos х, у = arctg х и у = arcctg х,
постоянные у=с называются основными элементарными функциями.
Всякая функция, которая может быть явным образом задана
с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметиче-
ских операций и суперпозиций основных элементарных функций,
называется просто элементарной функцией.
Под областью существования элементарной функции, заданной
некоторой формулой, обычно понимают множество всех веществен-
ных чисел х, для которых, во-первых, указанная формула имеет
смысл, и, во-вторых, в процессе проведения всех необходимых вы-
числений по этой формуле получаются только вещественные числа.
Например, областью существования функции
у 1 —X2
(эта функция элементарная, ибо [х| = Ух2 — элементарная функция)
является интервал (—1; 1), хотя эта функция и принимает вещест-
венные значения на полупрямой х <С 1 с «выколотой точкой»
х = —1.
Элементарные функции обычно делят на следующие классы.
1. Многочлены (полином ы). К многочленам относят-
ся функции, которые могут быть заданы формулами вида
п
У^рп(х)^а0-}-а1х+ ... +апхп= ^atxk.
ft=(i
Если an =1= 0, то число п называется степенью данного многочлена.
Многочлены первой степени называются также линейными функ-
циями.
2. Рациональные функции (рациональные
дроби). К этому классу функций относятся функции, которые
могут быть заданы в виде
у-^^1
у <2« ’
где Р(х) и Q(x) — многочлены.
3. Алгебраические функции. Алгебраической
функцией называется функция, которая может быть задана с по-
4.4 Первое определение предела функции
69
мощью суперпозиций рациональных функций, степенных функций
с рациональными показателями и четырех арифметических действий.
Например, функция
является алгебраической функцией.
Заметим, что класс многочленов содержится в классе рациональ-
ных функций, а класс рациональных функций содержится в классе
алгебраических функций.
4. Трансцендентные функции. Элементарные
функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцен-
дентными элементарными функциями. Можно показать, что все
прямые и обратные тригонометрические функции, а также показа-
тельная и логарифмическая функции являются трансцендентными
функциями.
Еще раз напомним, что в анализе в основном изучаются вещест-
венные функции от одного или нескольких вещественных аргу-
ментов, поэтому вместо «вещественная функция» будем говорить и
писать просто «функция». В тех случаях, когда будут рассматри-
ваться функции другой природы, это или будет оговариваться особо,
или будет ясно из контекста.
4.4. Первое определение предела функции
Определение 2. Пусть функция f(x) определена
на интервале (а, Ь), кроме, быть может, точки х0£ (а, Ь). Число А
называется пределом функции f при х -+ х0, если lim f(xn) — А
П-УОО
для любой последовательности {хп}, такой, что
хп£(а, Ь), хп=£ х0, п — \, 2.....и limxn = x0.
п —>оо
Если такое число А существует, то говорят, что функция
у — f(x) имеет предел в точке х0. В этом случае пишут
i4=lim/(x), или f(x)-+A при х-^х0.
X^Xf,
Из этого определения следует, что функция не может иметь двух
разных пределов в одной точке. Далее, из определения следует, что
значения функции f в точках х, лежащих вне любой фиксированной
окрестности точки х0, и значение функции f в точке х0 не влияют ни
на существование, ни на величину предела функции / в точке х0.
Отметим также, что выражение «функция f определена на не-
котором промежутке» не означает, что указанный промежуток не-
70
f 4. Функции и их пределы
ляется областью определения функции f, а лишь что рассматрива-
емый промежуток принадлежит области определения данной
функции.
Примеры. 1. Пусть f (х) — “ • Выясним, существует
или нет limf(x).
г-0
Возьмем какую-либо последовательность хп, такую, что
limxn = 0 и хп=/=0, п— 1, 2......... тогда на основании теорем
П->О0
п. 3.5 имеем
2*2 a. v + 1 2 (lim + Um хп — 1
I • Т ЛП т 1 \ П -> оо / И -> ое 4
11 ГЛ ------7--- = —------п-------;----- = 1
*п — 1 limx„—I
Л.->оо
(при этом мы считали хп=/=1, так как при х = 1 рассматри-
ваемая функция не определена). Таким образом, существует
limf(xn)=l, и так как он не зависит от выбора последователь-
ности хп->0, п—1, 2, ..., то существует и limf(x) = l.
л-0
2. f(x) = sin — (рис. 12). Снова рассмотрим вопрос о суще-
ствовании lim/(x).
*-о
Возьмем две последовательности: х„ = — и х'„ —-----------1---
п пп л '
~2 + ‘4лп
н=1,2.......... Очевидно, lim х = lim х’ = 0, х„=4=0, х'=/=0,
f (xn) = sin лп — 0, f (xn) = siny = 1, n=l, 2, ....
4.4. Первое определение предела функции
71
Поэтому
lim/(xn) = 0 и lim/ (лп) = 1,
/2-*-оо 72-» СО
и, значит, lim/(x) не существует,
л-О
Замечание. Пусть функции f и g определены на интервале
(а, Ь) кроме, быть может, точки х0, и пусть f(x)~g(x) при
х Ф х0, х£(а, Ь), тогда из того, что в определении предела функ-
ции в точке х0 участвуют только значения функции в точках
х =/= х0, следует, что пределы lim f(x) и limg(x) одновременно
существуют или нет, причем в первом случае lim f(x) — limg(x).
На этом простом замечании основано так называемое правило
раскрытия неопределенностей с помощью сокращения дробей.
Поясним его на примере.
3. Найти lim ^2л- +Л ~Л . Повторение рассуждений, анало-
х-0 х х
гичных проведенным выше при разборе примера 1, приводит
к выражению (к неопределенности), т. е. не дает ответа на
вопрос о существовании и значении искомого предела. Однако,
х ~ I ~ 1
беря функцию f(x) =—х — , получающуюся сокращением
|- х _ 1) х
на х выражения g(x) — 2_- —— и, следовательно, такую,
что f(x)=g(x) при х=/=0, вспоминая, что мы уже доказали
существование limf(x) = 1, имеем, согласно сделанному замечанию,
• • , 1- (2х2 + х—1)х .. 2х2 -р х—1 .. с, , <
hm g (х) = hm = Вт-----—:— = lim f (х) = 1.
х-0 х-0 * х г-0 1 л-0
Определение 3. Пусть функция f определена на полуинтер-
вале (а, Ь\, кроме, быть может, точки х0£ (а. Ь\ (теперь не
исключается и случай х0 = Ь), и пусть существует та ое чис-
ло В, что, какова бы ни была последовательность хп^(а, й|,
xn<^x0, п — 1, 2....... сходящаяся к точке х0, последователь-
ность f(xn), п—1, 2, ..., сходится к числу В.
В этом случае число В называется пределом слева функции f
и обозначается lim f(x).
х-х0—0
Аналогично определяется предел справа lim f(x) функции f (х)
*-х„-рО
в точке х0£[а, Ь). Именно В = lim f(x), если из lim хп = х0,
х-х„+0 zi-эо
хп>хо> Ь), Ц = 1, 2, ..., следует, что
Hm f(xn) = B.
W-*0O
72
§ 4. Функции и их пределы
В случае х0 = 0 вместо х -» о 4 0 (соответственно вместо х-о — о
пишут просто х-*- + 0 (соответственно х-*-— 0). Пределы слева и справа
функции называются односторонними в отличие от предела функции,
определенного в начале этого пункта,
( у который называется двусторонним пре-
делом.
7 , В качестве примера рассмотрим
функцию у = sign х(см. п. 4.1 и рис. 13).
_______________ _______ Пусть
0 7 г
хп>о, х;<°> «=1> 2.
и lim х,, = lim х' =0.
»«• п
п-*<х> П~*оо
Рис. 13 Тогда
lim sign xn = lim 1 = 1,
П-+ОО /г->ОО
lim sign x' = lim(—1)= —1,
П->оо n-*oo
значит,
lim sign x— 1,
x->4-o
a lim sign x =— 1.
x—0
4 .5. Второе определение предела функции
Теорема 1. Пусть функция f(x) определена на некото-
ром интервале (а, Ь), кроме, быть может, точки х0 £ (а, Ь). Для
того чтобы А = lim /(х), необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялось следующее условие: для любого числа е Д> 0 существует такое
число S — 6(e) >0*>, что для всех х из (а, Ь), удовлетворяющих ус-
ловиям
\х—х01 < 6, х=/=х0, (4.4)
|/(х)—Л|<е. (4.5)
выполняется неравенство
Доказательство необходимости. Пусть
lim f(x) — А. Допустим, что условие теоремы не выполняется. Это
означает, что существует такое е0 > 0, что для любого 6 > 0 най-
дется такое х = х(6) =f= х0 из (а, Ь), что |х —х0|<6, но
И(х) —А\> е0. Выбирая 6 = —, n = 1, 2, ..., рассмотрим последе-
(1 \ п
—), п — 1, 2... которая по построению
удовлетворяет условиям
l^n-^oKp хп=Дх0, п=1,2,..., (4.6)
») Здесь запись 6 = 6(e) подчеркивает зависимость 6 от е. Ничего не из-
менится, если во всех подобных случаях просто писать одно 6, не забывая,
конечно, что оно зависит от е.
1.5 Второе определение предела функции
73
И
!/(*„) —л |>Е0> 0=1,2,.... (4.7)
Из (4.6) следует, что lim х„ = х0. Вместе с тем, поскольку
п ->оо
е0^>0, то из (4.7) заключаем, что число А не может являться
пределом последовательности f(xn), п=1,2, ..., а это противо-
речит тому, что Л== lim f(x).
Таким образом, необходимость рассматриваемого условия до-
казана.
Доказательство достаточности. Пусть число А
удовлетворяет условию теоремы. Покажем, что lim f(xn)=A
для любой последовательности {хл} из (а, Ь), такой, что
lim х„ = х0 и xn=f=x0, п=1, 2......................... (4.8)
н-*оо
Действительно, пусть е > 0 фиксировано и 6 = 6(e) выбрано
согласно условию (4.4) — (4,5). Из (4.8) следует, что найдется такое
пЁ, что | хп — х0| < 6 для всех п > не, поэтому в силу условия тео-
ремы | f(xn) — А | <С е для всех пе. Так как е> 0 произвольно,
то это и означает, что lim f(xn) — А.
Теорема доказана.
Эта теорема позволяет дать другое определение предела функ-
ции в точке, которое будет эквивалентно исходному.
Определение 4. Пусть функция f определена на интервале
(а, Ь), кроме, быть может, точки х0 £ (а, Ь). Число А называется пре-
делом функции f в точке х0, т. е. А = lim f(x), если для любого числа
е^> 0 существует такое число 6 = 6(e) > 0, что для всех хб(а, Ь),
удовлетворяющих условию
|х—- х0|<6, х^х0,
(4-9)
выполняется неравенство
!/(*)—Л|<е;
(4-Ю)
или, употребляя обозначения окрестностей (см. п. 3.1) А = lim f(x),
если для любого е >• 0 существует такое 6 — 6(e) _> 0, что для
любого хб(а, Ь) из условий
х £ О (х0, 6), х х0
(4.И)
74
§ 4. Функции и их пределы
следует условие (рис. 14)
Рис. 14
f (х) £ О (А, е.). (4.12)
Для односторонних пределов
функции в точке можно также
дать новое определение.
Определение 5. Пусть функ-
ция f(x) определена на полуин-
тервале (а, 6| (соответственно
на |п, 6)). Число В назы-
вается пределом слева (справа)
функции f(x) в точке х0£(а, Ь]
(соответственно х0£(а, Ь)),если
для любого е > 0 существует
6 = 6(e) 0. такое, что
|/(х) —В|<е (4.13)
для всех х, удовлетворяющих условию
х0 — 6 <х< хй (соответственно х0 < X < х0 -ф 6). (4.14)
В этом случае пишут
В= lim f (х) (соответственно В= lim f(x)),
х-х0 —0 *-»Хо + 0
а также
В = f(xu — 0) (соответственно В = f(xn + 0)).
Совершенно аналогично теореме 1 доказывается, что данное
определение эквивалентно исходному.
Связь между односторонними пределами и двусторонним пре-
делом устанавливается следующей теоремой.
Теорема 2. Функция) имеет предел в точке тогда и только тог-
да, когда в этой точке существуют пределы как справа, так и слева и
они равны. В этом случае их общее значение и является двусторон-
ним пределом функции f в точке х0.
Доказательство. В самом деле, пусть lim f(x) — А;
<-х0
для любого е > 0 существует такое 6 = 6(e) > 0, что из
| х — х01 < 6, следует | f(x) — А | <" е, и, значит, в частности, из
условий (4.14) следует (4.13), т. е.
A— limf(x) и А= lim /(х).
^"*^0 0 Л?-* Д'о 0
Обратно, если А = lim /(х) и А = lim f(x), то для любого
—0 х — хо4-0
е>0 существуют такие 6t = 6j(e) и 62 = 62(е), что если
х0—61 < х< х0 и соответственно х0< х < х„+62, то | f(x) — А | < е.
Следовательно, если 6 — наименьшее из чисел и 62, то
\4.5. Второе определение предела функции- 75
| f(x)—А | <Г е при |х—х0|<б, х=/=х0. Это и означает, что
lim /(х) = А.
х-.х0
Теорема доказана.
Лемма 1. Если функция f имеет предел в точке х0, то сущест-
вует окрестность этой точки (быть может выброшенной точ-
кой х0), на которой функция (ограничена (определение ограничен-
ности функции см. в п. 4.1).
Чтобы в этом убедиться, зафиксируем некоторое в > 0, например
е = 1, тогда, согласно определению предела, существует такое
б = 6(1), что
А — 1 < f(x) < А + 1
для всех х^О(х0, б), х=/=х0, и, так как, кроме указанных значений
f(x), существует еще, быть может, только одно /(х0), то лемма
доказана.
Лемма 2. Если А — lim /(%)=/= 0, то существует ^-окрестность
х->х0
О (х, б) точки х0, такая, что f(x) =f= 0 при х £ 0(х, б), х =£ хо, и имеет
тот же знак, что и число А.
Доказательство. Пусть для определенности ЛД>0. Возь-
мем е=4> тогда существует б=б(е) такая, что при
О <Д х— х„ | < б выполняется неравенство | f (х) —• А | < ~ и, еле-
довательно, неравенство f (х) — А ------у ; отсюда имеем
f (х) > приО<|х—х0|<б. Для случая Л>0 лемма дока-
зана; в случае Л<^0 следует взять е= —и провести аналогич-
ное рассуждение.
Леммы 1 и 2 понадобятся в дальнейшем.
Докажем теперь теорему, полезную для вычисления пределов.
Теорема 3 (правило замены переменного для пределов функ-
ций). Пусть существуют limf(x) = y0> при x=f=x0,
*-*о
и lim Е(у), тогда при х-*х0 существует предел сложной Функ-
У—Уо
ции F [f (х)] и
lim F\f (х)|= lim F (у). (4.15)
у-у»
Доказательство. Из определения предела функции сле-
дует, что при сделанных предположениях функции f и F определены
в некоторых окрестностях соответственно точек х0 и у0, кроме, быть
может, самих этих точек. Покажем, что существует такая б-окрест-
ность точки х0, что при х£О(хо, б), х=/= х0, имеет смысл сложная
функция / [/(х)1 и, следовательно, можно ставить вопрос о существо-
§ 4. Функции и их пределы
70
вании ее предела при х х0. Пусть функция Е (у) определена в
е-окрестности точки у0, кроме, быть может, самой точки у0, тогда
из существования lim f(x) = у0 следует существование такого
*-*0
6 — 6(e) > 0, что | f(x) — у01 < е при 0 < | х — х01 < 6. Посколь-
ку, кроме того, по предположению f(x) =F Уо при х Д= х0, то для
х^О(хо, 6) имеет смысл суперпозиция F[f(x)\.
Пусть теперь {хп}—какая-либо последовательность, такая,
что limx„=x0, х„=/= х0, хп (• О(х0, 6), п = 1, 2, .... и пусть
| Л-» ОО
у„ = /(*„), n= 1, 2, ... . По условию теоремы у„=/=у0, п=1,2, ..,
и limy„=y0. В силу существования предела lim/Ду), который
Л-оо У--Уо
обозначим через А, имеем
lim F [f (x„)J = lim F [уJ = A.
I П -» ОО n -> oo
Поскольку это верно для любой указанной последовательности
{хп}, то это и означает, что lim F 1/(х)| = А.
Теорема доказана.
Замечание. Пусть функция / определена в некоторой окрест-
ности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0; пусть lim /(х) =
х->хс
= Уо> f(x) =f= Уо при х =/= х0 и пусть функция / имеет однозначную
обратную функцию /-1, определенную в некоторой окрестности точки
ус, и такую, что lim /-1(у0) = х0, f~1(y)4=xo при уД= у0. Этот факт
У-Уо
мы будем кратко выражать словами «условия х х0 и у у0
эквивалентны». Это имеет то оправдание, что при сделанных пред-
положениях из существования каждого из пределов в равенстве
(4.15) следуют существование другого предела и их равенство.
Действительно, в си iy доказанного выше надо лишь из суще-
ствования lim F [f(x)| доказать существование lim Л (у). Если
У-У<.
lim F \f (х)] существует, то по доказанной теореме существует и
предел lim Е{/[/-'(у)]} = lim F[/(x)J. Но /[/-1(У)1 = У. следо-
У-У« х-хс
вателыю, существует lim/Ду).
У-Уо
4.6 Свойства пределов функций
Все функции, рассматриваемые ниже в этом пункте,
определены на некотором интервале (а, Ь), кроме, быть может, фик-
сированной точки х0£(щ Ь). Сформулируем несколько свойств
пределов функций.
4.6 Свойства пределов функций
77
1. Если ф (%)<;/(х)Ч (х) и lim<p(x) = limip(x) = /l, mo
r-X0 X + Xq
lim /(x) = A.
x->x0
2. Если f(x) — c (постоянная), mo
li m f (x) = c.
X. -*Xq
3. Если lim f(x) существует, то для любого числа с
х-л0
lim cf (х) = с lim f (х).
л -»хс Х-+ х0
4. Если существуют lim f(x) и lim g (х), то
ЛГ-» ¥0 Х -» Л©
lim [f (x) + g (x)J = lim f (x) + lim g (x),
X-*Xt) X-^Xq
lim f (x) g (x) = lim f (x) lim g (x),
X->X6 x-*x0 x-*x0
а если limg(x)=^=O, то и
.. fW
hm --------
X~xo g (x)
1 im f (x)
C- X0
limg(x)*
как
Отметим, что можно ставить вопрос о пределе lim ^у так
при предположении lim g(x) 0, в силу леммы 2 п. 4.5, функция
f(x) „ ,
определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может,
самой этой точки.
Все эти свойства доказываются одинаковым методом, основанным
на соответствующих свойствах пределов последовательностей.
Докажем для примера формулу
lim f (х) g (х) = lim f (х) lim g (x).
X^-Xo x^xc X-^ x0
Пусть 24 = limf(x) и B = limg(x). Тогда, согласно опреде-
x-+x0 x^xo
лению предела функции в точке х0,
Л = Нт/(х„), B = limg(x„)
П-+ОО
78
4. Функции и их пределы
для любой последовательности {х„}, такой, что х„ £ (а, Ь),
хп=г хо Для всех п ----- 1, 2,..., и limxn = x0. Поэтому, применяя
свойство предела произведения двух последовательностей, по-
лучим
lim/ (xn)g(xn) = AB,
П—ОО
причем этот предел не зависит от выбора соответствующей последо-
вательности {хп}. Тогда опять, согласно определению предела функ-
ции в точке х0,
lim f (х) g (х) = АВ.
Утверждения, аналогичные свойствам 1—4, имеют место и для од-
носторонних пределов. Доказательства также аналогичны.
4.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Все функции, рассматриваемые в этом пункте, определены
на интервале (а, Ь) (конечном или бесконечном), кроме, быть может,
точки х0' (о, Ь).
Определение 6. Функция а — а(х) называется бесконечно
малой функцией (или просто бесконечно малой) при х -> хс, если
lim а (х) — 0.
Бесконечно малые функции, как и бесконечно малые последова-
тельности, играют существенную роль, связанную, в частности,
с тем, что общее понятие предела может быть сведено к понятию бес-
конечно малой.
Лемма. Предел limf(x) существует и равен А тогда и
к-*- Xо
только тогда, когда f (х) = Аф- ct(x), где а(х)— бесконечно ма-
лая при х -> х0.
Действительно, если lim f(x) = A, то, полагая /(х)—А = а(х),
Х~* X О
получим lim а(х) = lim f (х)—Л = 0.
х-*х0 Х-Хе
Наоборот, если f (х) = А -ф а (х) и lima(x) = 0, то Нт/(х) =
Л-*-Л'о х-+х0
= Л 4- Нт а(х) = А.
Теорема 4. Сумма и произведение конечного числа бесконечно
малых функций при х -> х(>, а также произведение бесконечно малой
функции при х -> хона ограниченную функцию являются бесконечно
малыми при х -> х0 функциями.
Эта теорема непосредственно следует из теорем п. 3.4 и определе-
ния предела функции в п. 4.4.
4.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
79
Определение 7. Функция f — f (х) называется бесконечно
большой при х-^х0, если для любого в^>0 существует такое
6 = 6 (е) > 0, что | f (х) О е для всех х, удовлетворяющих усло-
вию \х— Х0|<^ё, х^хь.
В этом случае пишут limf(x) = oo.
х-х0
Если же для любого е^>0 существует такое ё = ё (в) > 0, что
f(x)^>e (соответственно f (х) —в) для всех х, удовлетворяю-
щих условию |х—xG | < ё, х4=х0, т0 пишут li m f (х) = 4- °°
х-х„
(соответственно lim/(x) =—оо).
х-»х„
Упражнение 4. Функция а = а(х), а(х) =# 0 при х Ф х0, является
бесконечно малой (бесконечно большой) при х -» х„ тогда и только тогда, когда
—— является бесконечно большой (соответственно бесконечно малой).
а(х)
По аналогии с конечными односторонними пределами определя-
ются и односторонние бесконечные пределы:
lim f(x) = oo, lim/(x) = oo, lim f(x)= 4- оо и т. д.
x -* x о — 0 х -* х о -f- 0 х -* х 0 — О
Например, lim /(х) = +<х>, если, каково бы ни было е>0, суще-
х-хо-О
ствует такое ё = ё(е) 4> 0, что f(x) в для всех х, удовлетво-
ряющих условию х0 — ё <4 х х0.
Точное определение других подобных пределов предоставляется
самим учащимся по мере потребности.
Пусть теперь интервал (а, Ь) пе ограничен, например, вида
(а, 4-°°)- Тогда можно говорить о пределе lim/(x) конечном
4-оо
или бесконечном. Например, говорят, что lim/'(х) = Л, если для
4-00
любого е^>0 существует такое ё = ё(в^>0), что |f(x)—А | <4 в
для всех х^>д.
Упражнения. 5. Сформулировать определение предела lim f(x) =—оо
Д'-» ОО
с помощью понятия предела последовательности и на «е — б-языке»; дока-
зать их эквивалентность.
6. Доказать, что если Р(х) —многочлен степени п > 1, то lim Р(х) =<х>
Х-- Т-оо
и lim Р(х) = оо.
X ——оо
То, что величина, обратная бесконечно малой, является бес-
конечно большой, и наоборот (см. упражнение 4), делает естествен-
80
<5 4. Функции и их пределы
— = 4- °°
+о
— = 0,
ной следующую символическую запись, часто употребляющуюся для
сокращения записи: для любого числа а > 0 пишут
а . а а
— ——оо, — = оо,
-0 0
— =—0, — =0.
- ос оо
В дальнейшем, говоря о пределе функции, всегда будем под-
разумевать конечный предел, если только не оговорено противное.
4.8. Пределы монотонных функций
Определение 8. Пусть функция f определена на число-
вом множестве Е. Функция f называется монотонно возрастающей
(монотонно убывающей) на Е, если для любых х^-Е и х2<~ Е, таких,
что xt < х2, выполняется неравенство /(xj < f(x2) (соответственно
f(Xy) > /(х2)).
Теорема 5. Если функция, {монотонно возрастает на интерва-
ле (а, Ь), то в точках а и Ь у функции f существуют (конечные или
бесконечные) односторонние пределы и
lim /(x) = supf, lim f(x)= inf f.
x-»b— 0 (a, b) (a, b)
Если же функция f монотонно убывает на (а, Ь), то
lim f (х) = inf f, lim f (x) = sup f.
x->b— 0 (a, b) a:-*cz-|-0 {a, b)
Доказательство. Пусть функция f монотонно возрастает
на интервале (а, Ь). Если A = supf< +оо, то, согласно опреде-
(а. Ь)
леиию верхней грани функции (см. п. 2.1 и 4.1), для всяко-
го фиксированного е>0 существует такое хе б- (а, Ь), что
А—е < f (хе) <; А. Положим б = b—хе. Тогда в силу монотонности
f(x)>f(xs) Для любого х>хе, а в силу определения верх-
ней грани f (х) < А. Таким образом, если Ь—Ь<^х<^Ь, то
А — e<^f(x)<A Это в силу произвольности е и означает,
что lim f(x) = A.
x-*b — 0
Если sup/'=-|-oo, то для любого фиксированного е сущест-
(а. Ь)
вует такое хе £ (а, Ь), что f(xe)>e. Положим снова 6 = 6—хе>
тогда в силу монотонности f (х) >• f (хе) > е для любого х, тако-
го, что хе = 6— б<б х<^6, а это и означает, что lim /(х) = +оо.
/с-Ь — О
Аналогично доказываются и другие утверждения теоремы.
4.9. Критерий Коши существования предела функции
81
Следствие. Монотонная на интервале функция f имеет ко-
нечный предел как справа, так и слева в каждой точке этого интер-
вала.
Действительно, если функция f монотонно возрастает (убы-
вает) на интервале (а, Ь), то, каково бы ни было хс н (а, Ь),
f f (х0)< f(x2) Для любых Xj £ (а, х0) и х2(х0, Ь) (соответ-
ственно f (х,) > f (х0) f(x2))- Поэтому sup f <; f(x0) < inf f
(a. >t) (л-», b)
(соответственно inf f > f(x0) > sup f), т. e. пределы lim f (x)
(а. *„) (»«. b) x-x, 4-0
и lim f (x), существующие согласно теореме 4, конечны.
х-»х„ — О
Упражнение?. Доказать, что теорема 4 остается справедливой
и в случае, когда интервал (с, Ь) бесконечен.
4.9. Критерий Коши существования
предела функции
Применяя термин «окрестность», понятие предела для
различных случаев можно перефразировать единым образом.
В дополнение к введенным ранее вп. 3.1 и 3.4 понятиям окрест-
ности числа и символов оо, Доо и —оо введем еще понятие односто-
ронних окрестностей числа х0 (вотличие от обычных окрестностей,
которые естественно назвать двусторонними), а именно 6-окрестность
слева О (х0 — 0, 6) определим по формуле
О (х0—0, 6) = {х: хэ—6<^х<х0', 6>0,
и 6-окретность справа 0(хй-ф0, 6)—по формуле
О (хо + 0, 6) = {х : х0 х < х0 + 6}, 6>0.
Теперь сформулируем определение предела функции с помощью
понятия окрестности.
Определение 9. Величина А (т. е. число или один из символов оо,
4-оо, —оо) называется пределом функции f при х ->- а (где а — число
х0 или один из символов х0 4-0, х0 — 0, оо, 4-°°, —оо), если для
любой e-окрестности О (А, е) величины А существует такая 6-окрест-
ность О (а, 6) величины а, что f(x) ^О(А,г) для всех х^О(а, 6), х=£а
(в случаях а = х0 4* 0 и а = х0 — 0 последнее условие понимается по
определению как х^ х0).
Нетрудно убедиться, что это определение содержит в себе в ка-
честве частных случаев все данные раньше определения соответст-
вующих пределов функций.
Введение такой терминологии позволяет упрощать доказатель-
ства теорем о пределах функции, проводя их единым образом, для
82
§ 4. Функции и их пределы
двусторонних и односторонних, для конечных и бесконечных пре-
делов функций независимо от того, стремится аргумент к конечному
или бесконечному пределам.
Как и в случае предела последовательности, можно получить
необходимое и достаточное условие того, что функция f имеет предел
при х -> а, не используя самого значения предела, а в терминах
лишь значений самой функции в окрестности величины а.
Сформулируем это условие, пользуясь понятием окрестности,
чтобы при их доказательстве не разбирать отдельно случаи, когда а
является числом х() и когда а является одним из символов оо, —оо,
+оо, х0 + 0, х0 — 0.
Определение 10. Пусть функция f(x) определена в некоторой
окрестности величины а, кроме, быть может, х — а, (если это имеет
смысл, т. е. если а — хи — число).- Будем говорить, что функция f
при х —> а удовлетворяет условию Коти, если для любого числа е > О
существует такое число 6 = 6(e) > 0, что | /(%') — f(x) | < в для
любых хб-0 (а, 6), х' f О (а, 6) и х 4= а, х а.
Теорема 6. (критерий Коши). Для того чтобы функция f
имела конечный предел при х -> а, где а — либо число х0, либо один
из символов со, -фоо, —оо, х„ + 0, х0 — 0, необходимо и достаточно,
чтобы она удовлетворяла условию Коши при х -> а.
Доказательство необходимости. Пусть
lim f(x) = А, где А — число. Это означает, что для любого е > О
6
существует такое
х=/= а,
что для любой точки х £ О (а, 6),
|/(х) —А |<е.
(4.16)
Пусть х ^0(а, 6), х' £ О (а, 6), хД=а, х'=Ка, тогда в силу (4.16)
I f (х') - f (х) | = | tf(x') - Л | + [Л - f(x)] | <
< | f(x')-А Ц-1 f(x)—A | < = e,
т. e. условие Коши выполняется.
Доказательство достаточности. Пусть после-
довательность {хп} такая, что
lim хп = а,
П-^оо
хпД=а, п— 1,2............ (4.17)
Покажем, что последовательность f(xn), п = 1, 2, ..., сходится.
Пусть фиксировано е > 0. Согласно условию Коши, существует
такое 6 = 6(e) > О, что для всех
х б О (а, 6), х' £ О (а, 6), х=/=а, х'=/=а, (4.18)
4.9. Критерии Коши существования предела функции
83
выполняется неравенство
|f(x')—f(x)| <е. (4.19)
В силу условия (4.17) для окрестности О (а, 6) существует такой но-
мер ns, что хп £ О (а, 6) при п пъ\ поэтому при любых п п->. и
rn tii,
х„£О(а,Ъ), хт£О(а,д),
и, значит, в силу (4.18) и (4.19) условие
\f(Xm) — f(X„)\<E,
т. в. последовательность {f(xn)} удовлетворяет условию Коши для
последовательностей и потому сходится (см. п. 3.2) к некоторому
числу В:
limf(x„) = В. (4.20)
Покажем теперь, что
lim f (х'„) — В,
Ч -- со
какова бы ни была другая последовательность {х„}. такая,
что
limx,; — а, хп=ф=а, п=1,2, .... (4-21)
П-*оо
Действительно, образуем новую последовательность
( х„, если п = 2k -к 1, k = 0, 1, 2, ...,
Хц, === ] г*
I х„, если n — 2k, 1, 2, ....
Очевидно, lim х„ — а и xn=f=a для всех п=1, 2,.... Поэтому
П-*оо
по доказанному существует предел lim/(%„), а так как предел
любой сходящейся последовательности совпадает с пределом
любой ее подпоследовательности, го
lim f (х„) = lim f (х„) = lim f (x„).
n -► CO n -» co t ’ -» oo
Таким образом, согласно определению предела функции (см. п. 4.4),
lim f (х) = В.
х-*й
Критерии Коши для функций доказан.
84
<5 5 Непрерывность функции в точке
В случае, если а = х0 является числом, то условие Коши можно
перефразировать следующим образом: для любого г > 0 существует
такое 6 = 6(e) > 0, что | /(%') — ((х)| < е для любых х и х , удовле-
творяющих условиям | х — х0| << 6, | х' — Л'о| 6, х х0, х =1= х0.
В случае же когда а = оо условию Коши можно придать
следующий вид: для любого е > 0 существует такое 6 = 6(e) > О,
что |/(х') — f(x)| < е для любых х и х', удовлетворяющих условию
I X I > 6, I X | > 6.
Следует отметить, что эти два критерия существования предела
функции, относящиеся к разным случаям и имеющие разную
формулировку, благодаря удачно выбранной терминологии (поня-
тию окрестности) получили единое доказательство.
Для случая односторонних пределов*' условие
Коши можно перефразировать без терминов окрестности следующим
образом: для любого е > 0 существует такое ц = ц(е), что
| /(х') — ((х) | < е
для любых х и х', удовлетворяющих условию г] х <С а, т] < х' <С а
в случае предела слева и соответственно а < х < т], а <' х' т]
в случае предела справа.
§5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции
Определение 1. Функция [, определенная на интервале
(а, Ь), называется непрерывной в точке х0С (а, Ь), если
lim f (х) = f (х0). (5.1)
Согласно определению предела функции в точке (см. п. 4.4), это
утверждение равносильно тому, что для любой последовательности
хп, п = 1, 2, ..., хп^ (а, Ь), такой, что
limx„ = x0, (5.2)
И -> ос
последовательность {/(х„)} сходится и
lim f(x„) = f(x0). (5.3)
П -* ОО
Согласно же определению предела функции в точке (см. п. 4.6),
условие (5.1) равносильно условию: для любого е > 0 существу-
ет такое 6 = 6(e) > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию
|х-х0|<6, (5.4)
*) Мы, естественно, причисляем понятие предела функции при х-> + оо
и х -» —оо к понятию одностороннего предела.
5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции 85
выполняется неравенство (рис. 15)
Н(х)-/(х0)|<е. (5.5)
Отметим, что при этих определениях непрерывности функции
в точке х0 в условиях (5.2) и (5.4) опущено требование х =/= хс, так
как в данном случае оно яв-
ляется лишним (почему?).
Упражнение 1. Дока-
зать, что если в определении
предела функции f в точке х0 в
смысле п. 4.4 пли п. 4.5 отбросить
условие х =/= х„, то мы получим
определение непрерывности функ-
ции I в точке х0.
Например, если функция f(x)
определена на интервале (а, Ь),
хи£(а, Ь) и если существует число
А, обладающее свойством, что для
любого е > 0 существует такое
6 = 6(e), что |((х) — .4 | < г для
всех х, удовлетворяющих условию
в точке х0.
Рис. 15
[х — х0 |<б, то функция f непрерывна
Определение непрерывности функции f в точке х0 можно еще пере-
фразировать так: функция /(х) непрерывна в точке х0, если, какова бы
ни была заданная степень точности е 0 для значений функции,
существует такая степень точности для аргумента 6 = 6(e), что коль
скоро мы возьмем значение аргумента х, равное х0 с точностью 6, т. е.
удовлетворяющее неравенству (5.4), и возьмем в нем значение функ-
ции /, то мы получим значение /(х0) с заданной степенью точности,
т. е. будет выполнено неравенство (5.5).
Как и в случае определения предела, определение непрерывности
функции в точке можно дать на языке окрестностей. Функция /
непрерывна в точке х0, если для любого е > 0 найдется такое 6 > О,
что
f [О (х0, 6)] с= О (f (х0), е). (5.6)
Наконец, перенося /(х0) в равенстве (5.1) в левую часть равенства,
внося /(х0) под знак предела и замечая, что условие х -> х0 равно-
сильно условию х — х0 -> 0, получим
lim [/(х)—f (Xq)] = 0.
х—хс-*0
(5.7)
Разность х — х0 называется приращением аргумента и обо-
значается Дх, а разность /(х) — f(x0) — приращением функции,
86
<У 5. Непрерывность функции в точке
соответствующим данному приращению аргумента Ах, и обознача-
ется Ау; таким образом,
Ах = х—х0, А у = f (х0 + Ах) — f(x0). (5.8)
В этих обозначениях равенство (5.7) перепишется в виде
limAy = 0, (5.9)
Дл-*0
т. е. непрерывность функции в точке означает, что бесконечно мало-
му приращению аргумента соответствует бесконечно малое прираще-
ние функции.
Примеры. 1. Покажем, что функция f (х) =-Д- непрерыв-
на в каждой точке хо=^О.
В самом деле,
Ду = f (х0 4- Ах)—f (х) = —-----— =--------—----,
A'q-J-Ax (Xq-\-&х) Xq
откуда при хо^=0 имеем
lim Ay = —lim -----------= 0,
Дх-0 Дл-^о (л0-!-Лл) х0
что и означает, согласно (5.9), непрерывность функции
/ (х) =-^~ в точке х0.
2. Покажем, что функция f(x) = |signx| (см. рис. 13) не
является непрерывной в точке хо = О.
Действительно, lim|signx| = l и этот предел не совпадает со
Л--О
значением sign 0 = 0.
Определение 2. Пусть теперь функция f определена на интер-
вале (а, Ь), кроме, быть может, точки х0 £ (а, Ь). Если функция f
не непрерывна в точке х0, то точка х0 называется точкой разрыва
функции f.
Упражнение 2. Сформулировать определение точки разрыва функ-
ции в позитивном смысле, т. е. не употребляя никаких отрицаний «не»,
«нет», «нельзя», «невозможно» и т. и. (см. п. 3.1).
Определение 3. Если х0 — точка разрыва функции f и сущест-
вуют конечные пределы
f (х0—0) = lim f(x) и f(xo4*O) = lim /(х),
X -* X q — 0 х X о Ci
то точка х0 называется точкой разрыва первого рода. Величина
/(х0 + 0) — /(х0 — 0) называется скачком функции f в точке х0.
5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции
87
Если f(x0 — 0) = f(x0 4- 0), то х0 называется точкой устранимого
разрыва.
Последнее оправдано тем, что если в этом случае видоизменить
или доопределить (если функция f была не определена в точке х0)
функцию f, положив
f(x0) = lim / (х) = lim f (х),
XЛ'о ~f- 0 А'->Л0 — 0
то получится непрерывная в точке х0 функция.
Точка разрыва функции [, не являющаяся точкой разрыва первого
рода, называется точкой разрыва второго рода. Таким образом,
в точках разрыва второго рода по крайней мере один из пределов
lim /(х) и lim /(х) не существует. (Здесь под пределом, как обычно,
л->л-о+0 л-л0—0
понимается лишь конечный предел.)
УпражнениеЗ. Сформулировать определение точки разрыва вто-
рого рода для функции в позитивном смысле.
Функция Дх) = sign х (см. рис. 13) имеет в точке х0 = 0 разрыв
первого рода, а функции )(х) = — и /(х) = sin — в точке х0 = 0 имеют
разрывы второго рода. Всякая функция, монотонная на некотором
интервале, может иметь только точки разрыва первого рода
(см. следствие теоремы 4 п. 4.8).
Определение 4. Пусть функция / определена на полуинтервале
(а; /?] (соответственно на полуинтервале [а, Ь))
ветственно хо0о,/;)). Функция f
называется непрерывной слева (непре-
рывной справа) в точке х0, если
lim f(x) = )(х0) (соответственно если
lim )(х) = /(х0)).
При м е р. Рассмотрим функцию,
определенную на всей числовой оси и
для каждого числа х равную наиболь-
шему целому числу, меньшему или
х0 (°> ЭД (соот-
и
равному х. Рис 16
Эта функция имеет специальное
обозначение у — [х], что читается
«у равно entier х»*>. Ее график изображен на рис. 16. Функция [х]
в точках х = п, п = 0, ±1, ±2, ..., непрерывна справа и раз-
рывна слева; во всех же других точках она непрерывна как справа,
так и слева, таким образом, в частности, [х] непрерывна справа во
всех точках.
•> Entier — целый (франц.).
88
§ 5. Непрерывность функции в точке
5.2. Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема 1. Если функции f и g непрерывны в точке х0,
то функции cf (с — постоянное') f + g, fg, а если, кроме того,
f
g(x0) =/= 0, то и функция j — также непрерывны в точке х0.
Эта теорема вытекает непосредственно из определения непрерыв-
ности и свойств пределов функций (см. п. 4.6). Докажем, например,
непрерывность функции fg. Согласно свойству 4 п. 4.6, имеем
1 i m f (х) g (х) = I i m f (x) 1 i m g (x) == f(x0) g (x0), (5.10)
X~+Xq A'-*A'o X->Xq
ибо пределы lim /(x) и lim g(x) существуют и в силу непрерывности
f и g в точке х0 соответственно равны /(х0) и д(х0). Выполнение ра-
венства (5.10) и означает наличие непрерывности функции fg в точ-
ке х0.
Лемма. Пусть функция у — <р(х) непрерывна в точке х0, а функ-
ция f(y) непрерывна в точке у0 = ф(х0), тогда существует д-окрест-
\ность О (х0, 6), такая, что при х^О (х0, 6) имеет смысл сложная
функция /[<р(х)1.
Действительно, поскольку функция f непрерывна в точке у0,
то она определена в некоторой е-окрестности О(у0, е) эт°й точки;
тогда, согласно (5.6), существует окрестность О (х0, 6), такая, что
<р1О(х0, 6)]с:О(у0, е), следовательно, для х£О(хо, 6) имеет смысл
суперпозиция Д<р(х)].
Теорема 2. Пусть функция у = <р(х) непрерывна в точке х0,
а функция f(y) непрерывна в точке у0 = <р(х0), тогда сложная функ-
ция f 1<р(х)] непрерывна в точке х0.
Короче, но менее точно: непрерывная функция от непрерывной
функции является непрерывной функцией.
Доказательство. Прежде всего согласно только что
доказанной лемме, сложная функция Д<р(х)1 определена в некоторой
окрестности точки х0, и потому можно ставить вопрос о ее непрерыв-
ности в этой точке.
Пусть фиксировано е > 0. Тогда в силу непрерывности функции
f в точке у0 существует такое т) = т](е) > 0, что если
|у—УоКл. (5-11)
то
И(У)-НУо)|<е. (5.12)
Далее, для полученного т) > 0 в силу непрерывности функции <р
в точке х0 существует такое 6 = 6(i]) > 0, что если |х — х0| < 6, то
I <Р(х) — Уо I < Л-
6.1. Ограниченность непрерывных функций
80
Таким образом, если | х— х0|<Д то выполняется условие (5.11),
где у = ф(х), а значит, и (5.12), которое для рассматриваемого
случая имеет вид
|/[ф(х)]—/[ф(х0)]|<е.
Это и означает непрерывность сложной функции /(<р) в точке х0.
Теорема доказана.
Утверждение теоремы можно записать в виде формулы
lim/'[ф(х)] = f [ Пт ф(х)], (5.13)
Х~>Х0 Х-*Х0
из которой видно, что операция предельного перехода перестановочна
с операцией взятия непрерывной функции.
В самом деле, левая часть равенства (5.13) равна /[ф(х0)], соглас-
но утверждению теоремы, правая часть также равна /1ф(х0)1 в силу
непрерывности функции ф(х) в точке х0.
При отыскании пределов непрерывных функций теорему 2 удоб-
но использовать еще в одном виде, в виде следующего правила.
Правило замены переменных для пределов
непрерывных функций
limf(T)= Нт/[ф(х)]
у->у0 х-^х0
Теорема 2 естественным образом переносится и на случай одно-
сторонней непрерывности (сформулируйте ее в этом случае).
Упражнения. 4. Доказать, что если для функции х = ф(/) сущест-
вует предел lim (р (/) = х0, а функция у = [ (х) непрерывна в точке х0, то
в некоторой окрестности точки t0, кроме, Сыть может, самой точки /0, имеет
смысл суперпозиция / [<р (01 11 существует
lim Дф(/)] = / (л 0).
5. Сформулировать и доказать правила замены переменных для одно-
сторонних пределов функций.
§6 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ
НА ПРОМЕЖУТКАХ
6.1. Ограниченность непрерывных функций.
Достижимость экстремальных значений
Определение 1. Функция, определенная на отрезке [о, Ь]
и непрерывная в каждой его точке, называется функцией, непрерыв-
ной на отрезке.
so
f 6. Свойства функций, непрерывных на промежутках
При этом под непрерывностью в точке а понимается непрерыв-
ность справа, а под непрерывностью в точке b — непрерывность
слева.
Аналогично определяется и непрерывность функции на проме-
жутке любого другого вида.
Теорема 1. (Вейерштрасс *’)• Всякая непрерывная на отрезке
функция ограничена.
Доказательство. Допустим противное — что сущест-
вует некая функция /(х), непрерывная па некотором отрезке [я, /;],
но неограниченная на |я, ft]. Последнее означает, что для любого
числа е > 0 существует такая точка хе £ !с, /?], что | )(хе) | >• е. Беря
последовательно в = 1, 2, ..., п, ..., получим последовательность
точек хп [о, 6], для которых | /(х„) | п. Согласно теореме Больца-
но — Вейерштрасса (см. п. 3.2), из последовательности {хп} можно
выделить сходящуюся подпоследовательность {x„fe}.
Пусть limx =хв. Из условия сг<х <6, Л=1, 2, еле-
k-*oo
дует (см. п. 3.1), что а-фхоф1/. Теперь, замечая, что
|/(хПй)|^>/гл и Нт = + оо, имеем limf (x„J = <х>; с другой
стороны, в силу непрерывности функции f в точке х0 (см. (5.3))
lim/(x } -f(x0), в частности, рассматриваемый предел конечен.
&>ос
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Заметим, что теорема, аналогичная теореме 1, не справедлива для
промежутков другого вида, чем отрезок; в этом легко убедиться,
построив соответствующие примеры. Например, функция у = — не-
прерывна в каждой точке интервала (0; 1) и вместе с тем не ограни-
чена на нем; функция у = х непрерывна на всей вещественной оси и
неограничена на ней.
Теорема 2. (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке
функция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее
значение.
Доказательство. Пусть функция f определена и непре-
рывна на отрезке 1о, (?) и М = sup f; согласно теореме 1, М — ко-
са. Ь]
нечно. Допустим, что функция f не достигает своей верхней грани
Л4, т. е. f(x)=j=M для всех xf [й, Ь]. Тогда функция
(р(х) = м __ непрерывна на отрезке [я, Ь}, как частное отделения
двух непрерывных функций с делителем, не обращающимся в ноль
(см. и. 5.2). Но в силу определения верхней грани разность М — f(x)
может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора х, говоря
*) К- Вейерштрасс (1815—1897) — немецкий математик.
6.2. Промежуточные значения непрерывной функции
91
точнее: для любого е > О существует такое хе £ [о, 6], что
0< Л1 — f(xe) < е и, значит, <р(х) = грД?-- > —. В силу того,
/\лр) е
1 ъ
|что~, так же как и е, —произвольное положительное число, функция
<р(х) неограничена на отрезке [а, 6], что противоречит теореме 1.
|Таким образом, существует по крайней мере одна точка 6],
такая, что /(£) = М.
Если m = inf f, то —m = sup (—/). Так как — f непрерывна на
[о.Ь] [о. Ь]
(отрезке [с, /Я (см. п. 5.2), то в силу уже доказанного существует
такая точка т)(Дп, ^1, чт0 —(Сп) = —m> т- е- /01) = пг-
Теорема доказана.
Отметим, что если функция f непрерывна не на отрезке, а на
промежутке другого типа и даже, кроме того, ограничена на нем,
Iona вообще говоря, не имеет наибольшего и наименьшего значения.
Например, функция у = х на интервале (0; 1) и функция у = arctgx
на всей вещественной прямой, хотя непрерывны и ограничены на
указанных промежутках, не достигают своих верхней и нижней
граней.
Упражнение 1. Пусть функция f определена и непрерывна на
отрезке [с, 6] и j(x) ' 0 для всех х£[а, Ь]. Тогда существует с>0, такое, что
/(а) > с для всех л'Дсл /Я-
6.2. Промежуточные значения непрерывной функции
Теорема 3. (Коши). Если функция f непрерывна на от-
резке [п, /Я и f(a) = А, [(b) = В, то для любого значения С, заклю-
ченного между А и В, существует такая точка /?], что
= С.
Иначе говоря, непрерывная на отрезке функция, принимающая
[какие-либо два значения, принимает и любое промежуточное.
Доказательство. Пусть для определенности f(a) =
= А <ф В = f(b) и А < С < В. Разделим отрезок [о, /Я точкой х0
на два равных отрезка, тогда либо /(х0) = С и, значит, искомая
'точка £ = х0 найдена, либо f(x0) =f= С, и тогда на концах одного
из полученных отрезков функция / принимает значения, лежа-
1щие по разные стороны от числа С, точнее — на левом конце
значение, меньшее С, на правом — большее.
Обозначим этот отрезок [tz1, oj и разделим его снова на два рав-
ных отрезка и т. д. В результате либо через конечное число шагов
придем к искомой точке £, в которой /(?,) = С, либо получим по-
следовательность вложенных отрезков I ап, /;,J, по длине стремящих-
ся к нулю и таких, что
(6.П
S2
§ С. Свойства функций, непрерывных на промежутках
Пусть g—общая точка системы отрезков [ап, Ьп\, п=1, 2, ...
(см. п. 1.1). Как мы знаем (см. п. 3.2),
g = lim а„ = lim bn.
п-^оо /г -> оо
Поэтому в силу непрерывности функции
f(g) = lim f(a„) — lim f (bn).
П~+оо n~+oo
Из (6.1) же получим (см. п. 3.1)
limf(on)<C < lim f bn).
П-+ОО П ->oo
(6.2)
(6.3)
Из (6.2) и (6.3) следует, что /(g) = С.
Теорема доказана.
Следствие!. Если функция непрерывна на отрезке и на его
концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке
существует точка, в которой функция обращается в нуль.
Это следствие есть просто частный случай теоремы.
Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на отрезке
[о, Ь\ и М — sup /, т = inf /. Тогда функция / принимает любое
[а,6] 1“,Ь]
значение из отрезка [т, М\.
Для доказательства следствия 2 заметим, что если М = sup /,
[с.ft]
т = inf /, то, согласно теореме 2, существуют такие точки а С [о, /Я
[c.fc]
и р (п, 6], что /(а) = т, /(|3) = М. Теперь утверждение след-
ствия непосредственно вытекает из теоремы 3, примененной к от-
резку [а, р], если а < р, или соответственно к отрезку [р, а],
если Р <С а.
Отметим, что свойство непрерывных функций, подобное рас-
смотренному, имеет место для любого промежутка (конечного или
бесконечного). Именно: если непрерывная на некотором промежут-
ке функция принимает в двух его точках а и Ь, причем а <ф Ь, два
каких-то значения, то она принимает и любое промежуточное.
В самом деле, согласно теореме 3, рассматриваемая функция
принимает указанное значение заведомо в некоторой точке отрезка
1а, Ь], который является частью исходного промежутка.
6.3. Обратные функции S3
6.3. Обратные функции
Определение 2. Функция f, определенная на числовом
множестве Е, называется строго монотонно возрастающей (строго
монотонно убывающей), если для любых двух чисел ххо£ и х2б Е,
таких, что хх < х2, выполняется неравенство /(хх) < f(x2) (соответ-
ственно f(xL) _> f(x2)).
Функция, строго монотонно возрастающая или строго моно-
тонно убывающая, называется строго монотонной.
Теорема 4. Пусть функция f определена, строго монотонна и
непрерывна на отрезке 1а, /?], тогда обратная функция Д1*1 опреде-
лена, однозначна, строго монотонна и непрерывна на отрезке с кон-
цами в точках f(a) и f(b).
Доказательство. Проведем доказательство теоремы для
строго монотонно возрастающих функций. Пусть с = f(a), d = f(b).
Покажем, что областью определения обратной функции/ явля-
ется сегмент [с, d\, или, что тоже, что сегмент [с, d] является множе-
ством значений функции f. В самом деле, из условия монотонного
возрастания функции / следует, что f(a) < /(х) < f(b), т. е. что
f(x)C (с, d] для любого хб [а, 6]. С другой стороны, каково бы нн
было у г [с, d], т. е. f(a) < у < f(b), согласно теореме 3, существует
такая точка хб [а, /?], что f(x) = у. Таким образом, все значения за-
данной функции f лежат на отрезке Ic, d], и каждая точка этого от-
резка является значением функции f в некоторой точке. Это и озна-
чает, что отрезок [с, d] является множеством значений функции f.
Покажем теперь, что функция Д1 однозначна на отрезке [с, d].
Допустим противное: пусть существует точка у б [с, di, такая, что
множество Дх(у) содержит по крайней мере две различные точки
хх и х2. Согласно определению обратной функции, это означает, что
f(xx) = f(x2)--y. (6.4)
Но так как хх ф= х2, то либо хх<5 х2, либо хх > хг, но тогда в силу
строго монотонного возрастания функции f в первом случае
/(хх) < f(x2), во втором /(хх) > f(x2); и то и другое противоречит
условию (6.4). Значит, обратная функция Д1 однозначна.
Покажем далее, что функция Д1 строго монотонно возрастает на
отрезке [с, d]. Пусть ух^ [с, d], у2б [с, d],
У1<Ь> (6-5)
= и x2 = f~l(y^, и, значит, yx = f(xx), y2 = f(x2).
Для любых двух чисел хх и х2 возможно одно из трех соотноше-
ний: хх = х2, хх 3> х2 или хх < х2. Первые два случая невозможны,
) Определение обратной функции см. в и. 4.L.
94
§ 6. Свойства функций, непрерывных на промежутках
так как если бы х, = х2, то = /(ху) = /(х2) = у2, а если бы
х£> х2, то /у = f(xj> f(x2) = V2, и то и другое противоречит усло-
вию (6.5). Таким образом, из условия (6.5) вытекает условие хх < х2,
что и означает строгое монотонное возрастание функции f~l.
Покажем, наконец, что функция fl непрерывна на отрезке [с, tf].
Пусть yo0c, d] и х0= f~ 1(у0). Пусть сначала с < у0 < d, т. е.
у0 — внутренняя точка отрезка |о, Ь], тогда, в силу строго монотон-
ного возрастания функции /-1 и а<У х0 < Ь. Зафиксируем некоторое
е > 0. Не ограничивая общности дальнейших рассуждений, можно
считать (почему?), что в таково, что
ц<х0—е<х0<х0-|-е</). (6.6)
Рис. 17
Пусть И = /(х0 — е),
Уг = Дл'о + е). Тогда из
условия (6.6) в силу строго
монотонного возрастания
функции f, следует, что
С < У1 < Уо < у2 < d.
Возьмем 6 > 0 так, что-
бы У! < уо—6 < уо+6 < у2
(рис. 17). Если теперь вы-
брать у так, что
Уо—6<у <Уо + 6,
то тем более
У1 < У < У2,
и, следовательно, в силу строгого монотонного возрастания функции
f~l справедливо неравенство
х0—-e = f-* (yiXf-1 (у2) = ^о + е.
Таким образом, для еТ>0 указано такое б>0, что
!Г1(у)-Г1(Уо)|<е
шля всех у £ (у0 — 6, у0 + 6), т. е. функция непрерывна в точке
|у0. Если теперь у0 = с или у0 = d, то аналогичными рассуждениями
доказывается, что функция /-1 непрерывна справа в точке с и не-
прерывна слева в точке d.
Теорема для строго монотонно возрастающих функций доказана
полностью.
Заметим, что функция f строго монотонно убывает тогда и только
[тогда, когда функция —/строго монотонно возрастает, поэтому спра-
\6.3. Обратные функции
S5
ведливость теоремы для строго монотонно убывающих функций сле-
дует из рассмотренного случая.
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь случай функции, определенной на интервале.
Лемма. Пусть функция f определена, строго монотонна и не-
прерывна на интервале (а, Ь) (конечном или бесконечном) и пусть
(см. п. 4.4)
с — lim f (х), d — lim f(x), (6.7)
x-*<7-|-0 к-*Ь — 0
тогда обратная функция f~l определена на интервале с концами
.cud, т. е. при отображении I образом интервала является так-
же интервал (конечный или бесконечный).
В самом деле, пусть для определенности функция f строго моно-
тонно возрастает (случай строго монотонно убывающей функции
сводится к этому приемом, указанным при доказательстве теоремы 4)
и пусть
а<аП<Ь„<Ь,
f (а„) = сп, f(b„) = d„, /г=1,2,.._,
и
1ппй„ = й, limfc„=6, (6.8)
11-уОО /1-*оо
тогда в силу (6.7)
limc„ = c, limd„ = /f. (6.9)
П->оо n-»-oo
Как известно (см. п. 4.8),
c = inff, d = sup/, (6.10)
(а. b) {и Ь)
поэтому c^f(x)^d для любой точки х £ (а, Ь). Если бы на-
шлась такая точка х(. £ (а, Ь), что, например, f(x0) = d, то в силу
строго монотонного возрастания функции / d — f (х0)< f (х) для
любого л'>л0 из (а, Ь), что несовместимо с (6.10). Значит,
c<^f(x)<^d для всех х£(а, b). С другой стороны, каково бы ни
было УоС(с> ^)> из условия (6.9) следует, что существует такой
номер .'2С (см. п. 3.1), что G,„<yu<d„0. Функция / на отрезке
|Ф1„. удовлетворяет условиям теоремы 4, поэтому множеством
ее значений на этом отрезке является отрезок [с„„, dn |, в част-
ности, существует такое Х(,0о„о, Ьл<)], что f(x0) = yu. Таким обра-
зом, интервал (с, d) является множеством значений функции /,
а значит, и множеством определения функции
Лемма доказана.
96
§ 7. Непрерывность элементарных функций
Теорема 5. Пусть функция f определена, строго монотонна и
непрерывна на интервале (а, Ь) (конечном или бесконечном) и пусть
c=limf(x), d=limf(x).
хаО х-*Ь — О
Тогда обратная функция f~r определена, однозначна, строго моно-
тонна и непрерывна на интервале с концами cud.
Эта теорема сразу следует из теоремы 4 и доказанной выше
леммы. Действительно, функция f-1 однозначна и строго монотонна
на интервале (с, d), так как в силу теоремы 4 она однозначна и
строго монотонна на любом отрезке [cn, dn], п = 1, 2, ... (обозначе-
ния см. в доказательстве леммы), и выполняются условия (6.8) и
(6.9).
Наконец, функция f~1 непрерывна в каждой точке у0^(с, d).
В самом деле, для каждой такой точки можно подобрать номер
п0 так, что cnr,<Z yo<^dno и непрерывность функции f~' в точке
у0 вытекает из теоремы 4, примененной к функции f, рассмат-
риваемой на отрезке [a„0, dnJ.
Теорема доказана.
§7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
7.1. Многочлены и рациональные функции
Теорема 1. Всякий многочлен непрерывен в каждой точке.
В самом деле, функция у = с, где с — постоянная, непрерывна,
ибо ее приращение Ду равно нулю, и поэтому lim Ду = 0.
Дл-»0
Функция у = х также непрерывна в любой точке х0, ибо если
Уо = х0, то Ду = у — Уо = х — Хо = Дх.
Пусть задано е 0, тогда, беря 6 = е, получим, что из условия
I Дх | < 6 следует | Ду | = | Дх | 6 = е. Это и означает непрерыв-
ность функции у = х в точке х — х0.
Всякий же многочлен получается из функций вида у = с и
у = х с помощью сложения и умножения и поэтому является не-
прерывной функцией в каждой точке (см. п. 5.2).
Теорема 2. Всякая рациональная функция (Р(х) и Q(x) —
Ч\Х)
многочлены) является непрерывной функцией во всех точках, в которых
ее знаменатель не обращается в ноль.
Это непосредственно следует из того, что многочлены Р(х) и
Q(x) непрерывны в каждой точке и частное непрерывных функций
также непрерывно во всех точках, где делитель не обращается в
нуль (см. п. 5.2).
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции
97
Эту теорему весьма удобно использовать при нахождении пре-
делов рациональных функций. Пусть требуется найти lim
Q(x)
Для этого нужно сначала произвести, если, конечно, это возможно,
сокращение дроби на множитель (х — х0У с максимально боль-
шим показателем н > 1. Тогда если получившуюся рациональную
дробь обозначить 777-;, то (см. п. 4.4)
lim_LW =Ит AW.
«->Х. Q (х) х->Хс Qi (х)
Теперь, если Qi(x0) 4= 0» то, в силу теоремы 2, этот предел равен
р (х )
просто /Лгу; если же Qi(x0) — ° (и, значит, Р((х0) 4= 0, ибо в про-
Pl(x) , ,
тивном случае дробь \ можно было бы сократить на множитель
х — х0), то этот предел равен оо.
Примеры.
2. lim
х'1 — х— 2 .. х—2
----------------— 11 m---------------= 00
X2 — 1 х-»1 X— 1
7.2. Показательная, логарифмическая
и степенная функции
Мы будем предполагать известными свойства степени пг,
где а>0 и г—рациональное число, г = -^-, р и q— целые. На-
помним их.
1. Пусть /у <Д2. Если П>1, то пг’<^аг% а если а<^1, то
аг' > аг*.
2. аг'-аг* = аг>+г*.
3. (arip = a,if>.
4. а°=1.
5. (aby = arbr, (—X = — (6>0).
\ b J bT
Здесь везде г, гу и г2—рациональные числа.
Из свойств 2 и 4 следует, что а~г-аг
Отсюда
<-'=7- П1>
98
§ 7. Непрерывность элементарных функций
Далее, из свойств 1, 4 и из (7.1) вытекает, что а! > 0 для любого
рационального числа г.
Действительно, если г 0 и а > 1, то в силу 1 и 4 а' >а(| =
= 1 > 0. Отсюда, согласно (7.1), имеем
а~г = — >0.
а'
Аналогично неравенство ат > 0 доказывается и при а<^ 1.
Определим прежде всего степень ах для любого вещественного х
и а > 0.
Для этого докажем две леммы.
Лемма 1. Для любого а^>0
1
lim а" = 1, (7.2)
П->оо
lima " =1. (7.3)
п-*с>о
Доказательство. Пусть сначала а^>1. Положим
x„ = a'r—1. (7.4)
Из свойств 1 и 4 степени а' с рациональным показателем г следует,
что
х„>0. (7.5.
Из (7.4), очевидно, имеем а = (1 + хп)п. Раскроем правую часы
по формуле бинома Ньютона:
а = (1 +*„)"= 1 +на-„+ ...
и отбросим все слагаемые в правой части, кроме второго. Тогда
используя (7.5), получим
и, следовательно, 0<^хп<^—, поэтому lim хп = 0. Откуда, сог-
fl и ->оо
ласно (7.4),
lima" = 1.
7.2. Показательная, логарифмическая и аепенная функции
99
Если теперь 0<а<Д, то Ь —— >1, и так как в силу дока-
1
занного lim ft" =1, то
/2->О0
1 1
lima" = lim | — |n = lim-r- =---------т- = 1.
1 A I 1 1
Z1~>OO \ U J tl-*oo — —
b“ lirai"
П->ОЭ
J 1_
Если a= 1, to a"= 1, n = 1, 2, и, значит, также lim an = 1.
n OO
Таким «разом, (7.2) доказано при любом a>0. Отсюда сразу
следует (7.3):
_1 11,
lima ,!=lim~ = '---------Г : *•
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть а>0. Для любого е > О существует такое
6 = 6(e) >0, что для всех рациональных чисел h, удовлетво-
ряющих условию | Л| <Д, выполняется неравенство \ah — 11 < е.
Доказательство. Пусть сначала а>1. Из (7.2) и (7.3)
следует, что для данного фиксированного е>0 существует та-
кое пЕ, что
1 _1_
| а"Е — 1 | <С Е 11 \а "е — 11 <С 6
и, значит (см. свойство 1 степени),
1 1
Если h — рациональное число и |/г| < —, т. е.-— < 1г<Д — ,
не пе пе
1 ]_
то а П£ <^ah аП£ и, значит, 1—e<^ah<4-Ee. Таким образом,
| ah — 11 < е, если h рационально и | h | < 6, где 6 = — . Для
пе
।аД> 1 лемма доказана.
Для a <Z 1 она доказывается аналогично, только соответствую-
щие неравенства, согласно свойству 1 степени аг при а 1, надо
писать в обратную сторону. При а = 1 лемма очевидна.
Определим теперь степень а' для любого вещественного х.
100
$ 1. Непрерывность элементарных функций
Определение 1. Пусть а^>0, а х—произвольное вещественное
число. Пусть, далее, {rn} — последовательность рациональных чи-
сел, сходящаяся к числу х (для любого х такая последовательность
всегда существует, см. п. 3.6). Положим по определению
ах = limar"-
Это определение корректно в том смысле, что указанный предел
всегда существует и не зависит от выбора рациональной последова-
тельности {г„}, сходящейся к числу х.
Докажем это. Пусть последовательность рациональных чисел
{гп} сходится к числу х. Покажем, что последовательность {аг,г}
удовлетворяет условиям критерия Коши (см. п. 3.3) и, значит, яв-
ляется сходящейся последовательностью. Для этого нам надо
оценить разность
| а Г>1 — а гт | = а'т |а гп~гт.— 1 |. (7.6)
Последовательность {г,,} сходится и, значит, ограничена (см. п. 3.2),
поэтому существует такое число А, которое без ограничения общно-
сти можно считать рациональным (почему?), что —A <Z гп < А.
Отсюда в случае а > 1 имеем а~А аг" < аА, а в случае а <Г 1 со-
ответственно а~А^>аГп аА, п = 1,2,..., поэтому при любом а^>0
существует такое число В, что
п =1,2,... (7.7)
(Д = аА при а 1 и В = агА при a<Z 1)> т. е. последовательность
ап ограничена сверху числом В.
Далее, по лемме 2 для любого фиксированного е j> 0 существует
такое 6 = 6^, что Для всех рациональных г, удовлетворяющих ус-
ловию | г | <Г 6, выполняется неравенство
|a'~l|<V- <7-8)
п
Из сходимости же последовательности {г,J в силу критерия Коши
(см. п. 3.3) следует, что для найденного 6 > 0 существует такой но-
мер и§, что | гп — гт | < 6 для всех п > п§ и т > п§ и, значит, в
силу (7.8)
. {7.9)
Из (7.6), (7.7) и (7.9) следует, что|аг«—пг™|<е для всех п>п6
и /и > ng. Откуда в силу критерия Коши получаем, что последо-
вательность сходится.
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции
101
Пусть теперь {/-„}—другая последовательность, сходящаяся
к х. Покажем, что последовательности {пГп} и {а'"} сходятся к од-
ному и тому же пределу.
Составим новую последовательность
гп, если и = 2&-}-1, k = 0, 1
гп, если n = 2k, k=l, 2, ...
(7.Ю)
Очевидно, что lim гп = х, поэтому в силу доказанного существует
предел lim а п. Предел же любой сходящейся последовательности
совпадает с пределом любой ее подпоследовательности, поэтому
limn'" = limar,i = limar".
(7.П)
Корректность определения ах доказана.
Определение 2. .Пусть задано некоторое число а > 0. Функция
ах, определенная для всех х £ (—оо, +°°), называется показательной
функцией с основанием а.
Согласно определению, lv = 1 для всех вещественных х. Этот
случай не представляет интереса. Поэтому в дальнейшем будем пред-
полагать а =/= 1.
Теорема 3. Показательная функция ах (а^>0) имеет следующие
свойства.
1. При а > 1 она строго монотонно возрастает, а при а < 1 —
строго монотонно убывает на всей числовой оси.
2. а* ау = ах+у для любых вещественных чисел х и у.
3. (ох)у = о'у для любых вещественных чисел х и у.
4. Она непрерывна в каждой точке числовой оси.
Доказательство свойства 1. Пусть для определен-
ности а 1 и х <2 у. Существуют (почему?) рациональные числа
G и гг, такие, что х < гг < г2<б.У- Выберем какие-либо последова-
тельности рациональных чисел {r'J и {г"} так, чтобы lim гп = х,
lim г'п = у и чтобы г' < /у < г2 < г" для всех п — 1, 2.Тогда
агп <б аг' <б аГ2<б агп
и, переходя к пределу при п->оо, получим
А Г-» Г и V
а < в <, а • < (Г •
(7-12)
102
§ 7. Непрерывное / ь элементарных функций
Таким образом, если х у, то ах <Z ау, что и означает строгое
монотонное возрастание функции ах при а > 1.
Случай а < 1 рассматривается аналогичным образом.
Доказательство свойства 2. Пусть jr;'J и —
такие последовательности рациональных чисел, что limr'=x,
lim r'n = у, и, значит, lim (Гп Дг") = х-р у (см. п. 3.4). Тогда в
п — оо П -> оо
силу определения показательной функции
fiA гУ = lim arn^rn = lim ar" lim arn — (fav.
/1 -> OO n -> OO ti -> OO
Заметим, что из свойства 2 следует, что для любого вещественно-
го х справедливо равенство аха~х = а° = 1. Поэтому
-X 1
а — — .
ах
Доказательство свойства 4*’. В силу уже дока-
занной строгой монотонности функции а' утверждение леммы 2 на-
стоящего пункта справедливо (вместе с доказательством) не только
для рациональных, но и для всех вещественных h.
А именно для любого е > 0 существует такое 6 = 6(e) 0,
что | а11 — 1 | < е для всех вещественных чисел It, удовлет-
воряющих условию | й | <^ 6.
Пусть х фиксировано, Ду = ал г Дх —ах = п*(аДл — 1). Согласно
сказанному, для любого е/>0 существует такое 8 — 61 — ] , что
\ах J
| цДа — 1 | <С —при [ Дх | <Г 6**’ и, значит, | Ду | = ах | йДх— 1 | <" е
при | Дх | <С_6, что и означает непрерывность функции ах в точ-
ке х.
Доказательство свойства 3. Пусть сначала
у = р — целое положительное число; тогда, р раз применяя свойст-
во 2, получим
р раз
(пх\Р — пх пх пх — />*+* + • • • ‘*‘х - пхР
\С1 / — С1 • и ... и — и — О, ,
р раз
(7.13)
«) Свойство 3 будет доказано, после доказательства свойства 4.
**) Ответим, что а' > 0 при любом вещественном х. Это легко вытекает из
свойств 1 и 2 теоремы 3 и из того, что а°=-1 (ср. со свойствами аг при рацио-
нальных показателях г).
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции
103
Пусть, далее, у = —, где q—целое положительное число. По-
1 х_ х
кажем, что (пЛ) 7 = а , т. е. что а ч является корнем q-\\ сте-
пени из числа ах. Для этого согласно определению корня, надо
( —V
доказать, что \ач ) — ах; это же сразу следует из доказанного
равенства (7.13).
п Р
Пусть теперь у = -, р и q — положительные целые, тогда, со-
гласно уже доказанному,
(а-»)7 = [(а ')рf = (ахР)4 =ач .
Если же у = — —, то
<7
(пх\ Ч -
1
р_
(сх)Ч
хр
Хр
aq
Наконец, очевидно, что (ах)° = 1 — а0. Таким образом, доказано,
что для любого вещественного х и любого рационального г
(ах)г — ахг. (7.14)
Пусть теперь задано еще одно вещественное число у, возьмем
какую-либо последовательность {гп} рациональных чисел, сходящу-
юся к у. Тогда из (7.14) для всех п = 1,2,... будем иметь
(пЛ)г«== аА'«. (7.15)
Поскольку limxr„ = xy, то, согласно доказанной выше непре-
рывности функции ах,
lim ахгн = аху- (7.16)
П-*оо
С другой стороны, в силу определения показательной функции
lim(aA)r« = (aA)y- (7.17)
п-^оо
Переходя к пределу в равенстве (7.15) при п -> оо, в силу (7.16)
и (7.17) получим свойство 3 теоремы 3.
Теорема доказана.
( а ах
Упражнение 1. Доказать, что (ab)x = ахЬх и — = — для лю-
1 \ о ) Ьх
бых а > 0, b > 0 и всякого х.
104
§ 7. Непрерывность элементарных функции
Определение 3. Функция, обратная к показательной функции
у = ах (а > 0, а ф= 1), называется логарифмической и обозначается
у = log„ х. Если а = е (см. п. 3.2), то вместо у — !og,x пишут
просто у = In х.
Теорема 4. Функция у = logc х, а ф> 0, а =/= 1, определена для
всех х> 0 и является на этом множестве строго монотонной (воз
растающей при а^> 1 и убывающей при а<С 1) и непрерывной функ-
цией.
Доказательство. Надо прежде всего доказать, что мно-
жеством значений функции у = ах является множество всех положи-
тельных чисел. При а > 1, в силу непрерывности и строго монотон-
ного возрастания функции у = ах, это означает (см. п. 4.8), что
ИтаЛ=ф-оо, lima* = 0. (7.18)
Х->—|~СЮ X — СЮ
При этом, поскольку пределы (7.18) существуют (см. п. 4.8),
достаточно доказать, что lim аЛп = ф-оо (соответственно lim ах,‘ = 0)
п -► оо п оо
хотя бы для одной последовательности {хп}» которая стремится
к ф-оо (соответственно к —оо).
Покажем, что при а ф> 1
Нта''=фоо, lima~" = 0. (7.19)
I tl -* сю П -* 4~°°
Так как a = a — 1 > 0, то, раскладывая (1+а)" по биному Ньюто-
на и отбрасывая все члены (которые положительны), кроме второго,
получим
а11 = (1 ф- а)” = 1 ф- па ф- п-п (—— а2 ф- ... )> ап,
и, следовательно, lim ап = ф-оо.
1
Отсюда, lima " =----------=0. Таким образом, (7.18) доказано.
п lima"
Н -> -Loo
| J I
Если теперь а О 1, то b = — )>1 и lim аЛ = Нт---= --------=
° л->-|-сю л ->+оо Ьх Нт Ьх
X-*—}-оо
= 0, lim a-v=---!--= ф- оо.
х—со lim bx
х->—оо
Из доказанного следует (см. п. 6.3 и теорему 3 этого параграфа),
что как в случае а > 1, так и в случае а < 1 множеством значений
функции ах, а значит, и областью определения обратной функции
у = log(J х является полупрямая (0, -i-oo). Этим, в частности, доказа-
ло существование логарифма для любого положительного числа.
Все другие утверждения теоремы 4 непосредственно следуют из
|теоремы 5 п. 6.3 и теоремы 3 настоящего параграфа.
7.3. Тригонометрические функции
105
Определение 4. Пусть задано некоторое вещественное число а.
Функция х°-, определенная для всех xj> 0, называется степенной функ-
цией с показателем а.
Теорема 5. Степенная функция ха непрерывна при всех х > 0.
Действительно, х“=еа 1п Л, т. е. ха есть суперпозиция показатель-
ной функции еи и логарифмической функции, умноженной на по-
стоянную: и = а 1п х. Показательная и логарифмическая функции
непрерывны (см. теоремы 3 и 4), поэтому, в силу теоремы о непрерыв-
ности суперпозиции непрерывных функций (см. п. 5.2), функция
ха также непрерывна.
Теорема доказана.
При рассмотрении функции у — ха предполагалось, что х > 0,
так как выражение ха при х<С 0 не для всех а имеет смысл в вещест-
венной области. Однако, если а рационально и х“ имеет смысл при
х <С 0, например, у = х2, у = у = угх, то функция у = ха будет
при а > 0 непрерывна на всей вещественной оси, а при а< 0 на
всей вещественной оси, кроме точки х — 0.
При хф= 0 это легко следует из теоремы 5, так как функция у —
— х“, если она имеет смысл и для всех х <Д), всегда является четной
или нечетной функцией, а если четная или нечетная функция не-
прерывна при х > 0, то опа непрерывна и при 0 (почему?).
Если же в точке х = 0 четная или нечетная функции имеют предел
справа, равный нулю, то они непрерывны в этой точке (почему?).
При а > 0 как раз lint х“ = 0, ибо ха = 1п х и (см. теорему 4)
lim In х = —оо, поэтому в этом случае ха непрерывна и при х = 0.
7.3. Тригонометрические и обратные
тригонометрические функции
Лемма. При любом вещественном х справедливо нера-
венство
| sin х | С | х |.
Доказательство. Рассмотрим круг радиуса Д с центром
в точке О. Пусть ОА — неподвижный радиус, а ОБ — подвижный,
образующий угол х с подвижным. Пусть 0 < х<у; 11 радиус ОВХ
симметричен радиусу ОБ относительно ОА (рис. 18).
Опустим из точки В перпендикуляр ВС на неподвижный радиус
О А. Тогда ВС = R sin х и, так как ВС = СВЬ то ВВг = 2Д sin х.
Как известно, длина дуги ВАВ1 равна 2Rx. Длина отрезка, соединя-
ющего две точки, не превышает длины дуги окружности, соединяю-
106
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов
гцей те же точки, значит, 2Д sin х < 2Дх, т. е. sin х < х. Если теперь
— *2 < х < 0, то 0< —х < -q , и потому в силу доказанного
sin (—х)<—х, но р атг>м случае sin (—х) = | sin х| и —х = | х|, поэто-
му | sin х| < |х|. Таким образом, если
|х|<-^, то |sinx|<|x|. Если же
I XI > 2, то I sin х| < 1 < ^ < I х|.
Лемма доказана.
Теорема 6. Функции у = sin х,
у = cos х непрерывны на всей ве-
щественной оси.
Следствие. Функции у — tg х
и у = etg х непрерывны при всех х,
при которых cos х, соответственно
sin х, не обращаются в ноль.
|<1, | cos а | < 1 при лю-
:~|Ах|, то
21 sin —
2
Рис. 18
Доказательство. Так как | sin сс |
бом
а и в силу леммы
Ax
sin ----
cos
| Дл-|,
|cos (хф-Ах)— cos
Ах \i . . .
—Л<|Ах|.
Отсюда следует, что при Ах -> 0 левые части неравенств также стре-
мятся к нулю. Это и означает непрерывность функций sin х и cos х.
, т , sin х . cos х
Непрерывность tg х = и etg х — в точках, в которых
знаменатели не обращаются в ноль, следует из непрерывности sin х
и cos х и теоремы о частном непрерывных функций (см. п. 5.2).
Теорема 7. Обратные тригонометрические функции arcsin х,
arccos х, arctg х и arcctg х непрерывны в области их определения.
Это сразу следует из теорем 4 и 5 в § 6 и из непрерывности и стро-
гой монотонности функций sin х на отрезке —ц, ?|, cos х на от-
। > V XL ‘ J А ДЛ W Ж-» J XJ II Их» А A * 1 X-- j J LJ1.
гой монотонности функций sin x на отрезке —к
I I *- I
резке [0, л], tg x на интервале (—" , "j и etg x на интервале (0, л).
§ 8. СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
8.1. Некоторые замечательные пределы
Для дальнейшего весьма полезно вычислить некоторые
пределы конкретных функций.
В.1. Некоторые замечательные пределы
107
Лемма 1.
,. sinx ,
lim-------= 1
х-»О х
(8-1)
Доказательство. Рассмотрим круг радиуса R с центром
в точке О. Пусть О А — неподвижный радиус, ОВ — подвижный,
образующий угол х, 0 < х < с радиусом ОА. Соединим точку А
с точкой В отрезком, восставим из точки А перпендикуляр к радиусу
О А до пересечения в точке С с продолжением радиуса ОВ (рис. 19).
Тогда площадь треугольника АОВ равна gJ^sinx, площадь сектора
АОВ равна у/?2х, а площадь треугольника АОС равна у/\)2tg х.
Треугольник АОВ является частью сектора АОВ, который в свою
очередь является частью треуголь-
ника АОС, поэтому S
— Д2 si п х < — R2 х < — R2 tg х. X*
2 2 2 / / \\
Откуда получим / / \\
1 * —
sin х cos х \ /
или, заменяя величины их обрат- У
H Ы М и, ---
cos х ———— 1. (8.2) рис 19
X
Заметим, что в силу четности функций cos х и неравенство
(8.2) справедливо и в случае — < х < 0.
Так как функция cos х непрерывна и cos 0 = i, то из (8.2) при
х —> 0 следует (см. п. 4.6) равенство (8.1).
Лемма доказана.
Следствие 1.
lim—- = 1. (8.3)
X
В самом деле,
tg х ,. sin х 1 ,
lim-2—= hm ——lim--------= 1.
1*0 X X-O X X-^O COS X
Следствие 2.
. arc sin x ,
lim------= 1. (8.4)
x-»-Q X
108
§ 8 Сравнение функций Вычисление пределов
Функция у = sin к строго монотонна и непрерывна на отрезке
[л л ] .
—2’ 2" ’ ПОЭТОМУ обратная функция x = arcsin у также строго моно-
тонна и непрерывна на отрезке [— 1; 11. Поскольку sin 0 = 0, то
условия 0 и // —> 0 эквивалентны (см. замечание в конце п. 4.5).
Для вычисления предела (8.4) применим правило замены переменно-
го (см. теорему 3 п. 4.5), положив у — arcsin х:
arcs in х у ,
lim----------= |пп —= 1.
л->0 % у-*0 siny
Следствие 3.
А' - 0 X
(8.5)
Это равенство получается аналогично предыдущему из (8.3).
Лемма 2.
1
lim(l + х)х = е. (8.6)
*-()
Ранее (см. п. 3.6) было доказано, что
П
lim (1 + —
П-*оо \ П J
=
(8.7)
где п — 1, 2, .... Отсюда следует, что для любой последовательности
{пД натуральных чисел, такой, что
lim/ift=+oo, (8.8)
П
имеет место
/ 1 \nk
lim (1-|----) =е. (8.9)
4->°о \ nk )
В самом деле, пусть задано е 0; из (8.7) вытекает, что сущест-
вует такое пе, что при п пе:
| р + е|<е, (8.10)
а из условия (8.8) следует, что существует такое ke, что пь > пе
/. 1 \nk
— е <е при/?>k„.
при^>/?е; поэтому в силу (8.10
что и означает выполнение (8.9).
Пусть теперь последовательность {хД такая, что
limXft^O и xft>0.
(8.П)
8.1. Некоторые замечательные пределы
109
I
Покажем, что lim(i 4-xft)%* = e. При этом без ограничения общно-
сти можно считать, что хй<1, k=l. 2, ... (почему?). Для вся-
кого xh найдется такое натуральное nh, что -----<; xh^ — и,
nk + 1 nk
следовательно, иЛТ1 > _> nk.
Поэтому
1
nk + 1
1 +
Замечая, что в силу (8.9)
/ 1 \^+‘ I 1 \"*+'
. , S>k ! +----ГТ Ит 1+-------—
Л i 1 \ Um \ пп +1 1 —k -♦оо \ nk + 1 /
lim /14-------1 =1iiti4------д_!-------=-------i-— <—е
Нт (1 +——
Л-оо \ Пь + 1 /
и
lim fl + —) а+ = lim fl 4--М к lim fl Д — ^ = e,
k-^co \ f^k / k—>oo\ tlk / &-»oo\ П/J
и переходя к пределу в неравенстве (842) при Л->оо, получим
1
lim (1 Д xft)*ft = е.
k->ca
Поскольку {л\} —произвольная последовательность, удовлетво-
ряющая условиям (8.11), то тем самым доказано, что
।
lim(l Д х)* =е. (843)
Л-+0
Пусть теперь последовательность {xk} такая, что
limxft = 0, хй<0. (844)
/?->оо
Положим yh ——xk, тогда уй>0 и limyA = 0, причем без ог-
раничения общности можно считать, что yh<^\, k—i, 2, ... .
Тогда
1 ___i_ _i_
lim (1 + хй)Л* — lim (1 — yh) = lim!—V* =
k-*co k~^OQ 6-00 •, * У kJ
1 1
«lim fl 4———УА = Нт(1 4-гй)**+ ,
k-*<x>\ \~"~Ук' k-^co
110
ft 8. Сравнение функций Вычисление пределов
где
г,? — —>0 и limzft = 0,
1 — Ук t-‘cc
и в силу уже доказанного равенства (8.13)
1 1
iim(l = lim (1 4. ?ft)^ lim (1 4- zft) — e.
k-'<*> k-r<X> k~*<x>
Ho {xh' была произвольная последовательность, удовлетворяю-
щая условиям (8.14), поэтому
।
lim(l+ х)х =е. (8.15)
х->—О
£
Таким образом, функция (1 4- х)* , x=f= 0, имеет в точке 0 пре-
делы слева и справа, равные одному и тому же числу е, поэтому су-
ществует и двусторонний предел, также равный е (см. п. 4.5).
Лемма доказана.
Следствие 1.
lim—~Ь-л-) — log е, я>0, а 4=1, (8.16)
А'-О X
и, в частности, при а = е
limML±±) = i.
*->о х
В самом деле, используя непрерывность логарифмической функ-
ции (см. теорему 4 из § 7), непрерывность суперпозиции функций
(см. п. 5.2) и равенство (8.6), получим
1 1
lim '8§а (1 + Л) = lim Iogc (1 4- х)х = logc lim (1 + х)х = logcе.
х->0 * л — 0
Следствие 2.
lim а- ~ - = In а. (8 17)
х-.с X
В частности, если а — е, то
рХ__ 1
lim-----==1. (8.18)
х - - о X
Функция у -- аг — 1 строго монотонна и непрерывна на всей
вещественной оси, поэтому обратная функция х = -д-также
8.2. Сравнение функций
111
строго монотонна и непрерывна при —1. Поскольку при к = О
имеем также и у — 0, то условия х->0 и у -»() эквивалентны
(см. замечание в конце п. 4.5). Применим для вычисления предела
(8.17) правило замены переменного (см. теорему 3 п. 4.5). Положив
In (1 +у)
х = —fполучим
in а ’ J
ах — I у In а . 1 ,
lim-------= hm —-------------= In а----------------= In а.
Х^о X у-»о In(l-f-y) In(l-Py)
lim ---------
у-0 у
8.2. Сравнение функций
Все нижерассматриваемые в этом параграфе функции
определены на интервале (а, Ь) — конечном или бесконечном, кроме,
быть может, х0£(а, Ь). Если х„ = а или х0 — б, то под пределом
понимается соответственно предел справа или слева. При этом не
исключается и случай х0 = +оо или х0 = —оо.
Как мы уже знаем, сумма, разность и произведение бесконечно
малых функций являются также бесконечно малыми функциями;
этого нельзя, вообще говоря, сказать об их частном: деление одной
бесконечно малой на другую может привести к разнообразным слу-
чаям, как это показывают нижеприведенные примеры бесконечно
малых при х -» 0 функций а(х) и 0(х).
Пусть, например, а(х) — х и Р(х) = х2, тогда
lim = limx = 0,
х-»(; а(х) х-*0
lim а М — lim — — оо.
к-»0 Pi-*) *-о х
Если же а(х) = х, 0(х) = 2х, то
.. р (х)
lim —-
х-о а(х)
а если а(х)~ х, р(х) —xsin—, то предел lim-^-^ не сушест-
х i-octU)
вует.
Определение 1. Если для двух функций /(х) и g(x) существуют
такие постоянные с > 0 и б > 0, что | f (х) | < с |g (х) | при
| х — х01 < б, х =/= х0, то говорят, что f является ограниченной по
сравнению с g функцией в некоторой окрестности точки х0, и пишут,
что f(x) — О (g(x)) (читается', «/(х) есть О большое от g(x)») при
Подчеркнем, что значок х -> х0 здесь имеет другой, чем обыч-
но, смысл: он лишь указывает на то, что рассматриваемое свой-
112
$ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов
сгво имеет место лишь в некоторой окрестности точки х0; ни о ка-
ком пределе здесь речи нет.
Например, — = о/—при х->0, ибо I —I -< — при | х |<^1;
X \ X2 / I X I X2
— = о/—) при х—>оо, ибо — <с| — I при | х| ^>1. Запись/(х)=
х2 \ х J х2 ' | х |
= 0(1) при х-+х0 означает, что функция f (х) ограничена в не-
которой окрестности точки х0, например 2* =0(1) при х->0,
X
, .. sin 2х „ , sin 2х
ибо lim-----= 2, и, значит, функция--------ограничена вокресг-
г-0 х X
ности точки х = 0.
Определение 2. Если функции f(x) и g(x) такие, что f = О (g)
и g ~ О (/) при х -» х0, то они называются функциями одного порядка
при х -* х0.
Это понятие наиболее содержательно, когда функции f и g яв-
ляются либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при
х -» х0. Например, функции а = х и 0 = х^2 ф- sin являются
при х-*0 бесконечно малыми одного порядка, ибо
1,
2 4- sin —
х
2 — sin —
х
—1 = 1 2ф- sin —I < 2ф-1sin—I < 3.
a I | x | x |
Лемма. Если функции a = a(x) и p = P(x) таковы, что
а (х) =/= 0, р (х) =j= 0 при х^= х0 и существует предел
1- «(*)
lim——
Р (х)
Сф=О,
(8.19)
то они одного порядка при х—>х0.
В самом деле, условие (8.19) эквивалентно (см. п. 4.7) усло-
виям
=- с + ех (х) и = — + е8 (х),
а(х) ’ Р(х) с г 84 "
где
lim ех (х) = lim ег (х) = О,
х-*х0 х-^х0
8.2. Сравнение функций
113
и, следовательно, |е1(х)|-\1 и |е2(х)1<^1, x=j=x0, в некоторой
окрестности точки х0. Отсюда следует, что в указанной окрест-
ности выполняются неравенства
т. е. р = О(а) и а = 0(0) при х->х0.
В качестве примера возьмем функции а = 3х2 и 0 = sin х2.
Имеем lim— = — lim -S'-E2L = — (см. (8.1)), поэтому, согласно
А--.С а 3 л-о х' 3
доказанному, функции Зх2 и sinx2 одного порядка при х->0.
Определение 3. Две функции f(x) ug(x), /(х)=^=0 и g(x)=f=O
при хф=х0, называются эквивалентными при х->х0, если
lim —— = 1
(х)
или, что то же, если
lim-—-=!.
I (х)
Эквивалентность функций при х->х0 будем обозначать сле-
дующим образом-. при x—^xQ.
Если f — g при х —> х0 и g—h при х->-х0, то и
f — h при х—>х0. (8.20)
В самом деле,
lim — = lim — • lim — = 1.
h Л-Ло g Л-^Ло h
Из результатов п. 8.1 следует, что при х->0 имеет место
следующая эквивалентность бесконечно малых:
х — sin х-^ tg х~ arcsin х — arctg х — In (14-х)~ ех—1.
Из этих соотношений эквивалентности следуют и более общие
соотношения: если «(х) — какая-либо функция, такая, что
11ти(х) = 0, (8.21)
Л--.0
причем и(х)фО при х =^= 0, то при х->-0
и (х) — si п и (х) ~ tg и (х) — arcsin и (х) — arctg и (х) ~
~lnll + u(x)]~e“w—1. (8.22)
Это сразу следует из правила замены переменного для пределов
функций (см. теорему 3 п. 4.5).
114
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов
Определение 4. Если о.(х) = е(х)/(х), где lim ₽(х) = 0, то говорят,
что а является бесконечно малой функцией по сравнению с функцией f
и пишут а = o(f) (читается: «а есть о малое от /») при х -> х0.
В силу этого определения запись «а(х) = о(1) при х-> х0» означает
просто, что функция а(х) является бесконечно малой при х -> х0.
Если f(x) =f= 0 при х =f= х0, то условие
a^ef, limв = 0, (8.23)
х-^х0
можно переписать в виде
lim—= 0. (8.24)
*-»ЛГ0 f
Таким образом, функция о (/) при х-* х0, f(x) =/= 0 при х =ф х,„ может
быть определена как такая функция, что
lim-^- = 0. (8.25)
х-»х0 (
В случае, если функция f является бесконечно малой при
х~>х0, то говорят, что при х->х0 функция a — ef, где lime = 0
х-»х„
является бесконечно малой более высокого порядка, чем /.
Например, х3~ о (sin х") прих->0, ибо
lim——= lim х lim —— = 0 -1=0.
x-osinx2 х-о х-о sinx2
Подобным образом — -~о(— и х — о(х?) при х->оо.
х2 \ х )
Отметим, что если f = o(g) при х->х0, то и подавно f — O(g)
при х->х0; в самом деле, пусть f = eg, где lime = 0, тогда функ-
х-х„
ция е = в(х) ограничена в некоторой окрестности точки х0
(см. п. 4.6): |е(х)|<с, х =И= х0, и, значит, I f (х)| < с|^(х)| в ука-
занной окрестности точки х0, что и означает f = O(g).
Упражнение 1. Пусть fi = О (а2) при х -> х0, lim а = 0, тогда р —о (а)
при х х0 х-»х„
При использовании равенств с символами Ойо следует иметь
в виду, что эти равенства не являются равенствами в обычном
смысле этого слова. Так, если
а, = о(0), х->х0,
аа = о(0), х-*х0,
8.2 Сравнение функций
115
то было бы ошибкой сделать отсюда заключение, что «j = а2, как
это было бы справедливо для обычных равенств. Например,
х3 = о (х) и х2 — о (х) при х -> 0, но х2 =£ Xs.
Подобным образом, если имеется равенство вида
/ + о (f) = g + о (/) при х х0,
то было бы ошибкой сделать заключение, что f = g.
Дело состоит в том, что один и тот же символ 0(f) или o(f) может
обозначать разные конкретные функции. Это обстоятельство связа-
но с тем, что при определении символов 0(f) и o(f) мы, по существу,
ввели целые классы функций, обладающих определенными свойст-
вами (класс функций, ограниченных в некоторой окрестности точки
х0 по сравнению с функцией /, и класс функций, бесконечно малых
по сравнению с функцией / при х -> х0), и было бы правильнее писать
не а = 0(f) и а = o(f), а соответственно а £ 0(f) и а £ o(f). Однако
это привело бы к существенному усложнению и большим неудобст-
вам при проведении вычислений с формулами, в которых встречают-
ся символы Ойо. Поэтому мы сохраним прежнюю запись а = 0(f)
и a = o(f), но при этом эти равенства будем всегда читать, в согласии
со сделанными определениями, только в одну сторону: слева на-
право (если, конечно, не оговорено что-либо другое). Например,
запись
a = o(f), а:-*х0,
означает, что функция а является бесконечно малой по сравнению
с функцией f при х —> х0, но отнюдь не то, что всякая бесконечно
малая по сравнению с f функция равна а.
В качестве примера на обращение с этими символами докажем
равенство
о (of) ~o(f), (8.26)
где с — постоянная.
Согласно сказанному, нам надо показать, что, если g = o(cf),
то g = o(f). Действительно, если g = o(cf), то g = ecf, где
lim e(x) = 0. Положим ty = се, тогда g = ej, где, очевидно,
Л©
lim е,(х) = 0 и, значит, g = o(f).
x~>x0
Равенство (8.26) доказано.
В заключение отметим, что сказанное об использовании сим-
волов о и О, конечно, не исключает того, что отдельные формулы
с этими символами могут оказаться справедливыми не только при
чтении их слева направо, но и справа налево; так, формула (8.26)
при предположении с =/= 0 справедлива и при чтении справа налево.
lie
$ Я Сравнение функций Вычисление пределов
Упражнения. 2. Доказать, что если а — бесконгчно малая при
х -* х0, то при х -* х0
о(а2)=о(а), а о (а) = о (а2),
о (а) • О (а) — о (а2), о (а + а2) = о (а),
о (а) + о (а) — о (а), о2(а) = о(а2).
3. Пусть lim f (I) = а, прьчем [ (Z) фа прп(фЬ в некоторой окрестности
1Л>
точки t — b. Тогда, если <р (х) — о [ip (х)] при х-*о, то ч> [/(Z)] = о {ip [/(Z)])
при Z Ь\ а если <р(х) = О [ip (х)[ прих-<-а, то <р [f (Z)]=O{<p [f (Z)]} при t-* b.
8.3. Эквивалентные функции
Теорема 1. Для того чтобы две функции f — f(x)u
g — g(x), /(х)¥=0, $(х)ФО при х=Фх0 были эквивалентными при
х->л0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хоть одно
из условий
g~f = o(f) (8.27)
или
g—f = o(g). (8.28)
Доказательство необходимости условий (8.27) и
(8.28). Пусть lim — = 1, тогда lim (1----—’j =0, откуда
lim ——^ = 0, т. е. (см. (8.25)) у— f = o(g). Аналогично из усло-
х-х0 g
вия lim —=1 получается g—f=o(f).
x-x„ f
Доказательство достаточности условий (8.27) и
(8.28). Пусть, например, g—f~o(g), т. е. выполнено условие
(8.28), тогда 1---— = - и lim — — lim f 1 — ° — =
g g x-rxc g x-x;, \ g )
= 1 —lim = 1 (cm (8.25 ). Аналогично доказывается достаточ-
X -» X» g
ность условия (8.27).
Отметим, что из выполнения одного из условий (8.27) или (8.28)
следует выполнение другого. Если, например, выполнено условие
(8.27), то в силу теоремы 1 функции fug эквивалентны при
х->х0, и, значит, в силу той же теоремы выполняется условие (8.28).
Аналогично доказывается, что из условия (8.28) следует условие
(8.27).
Следствие. П усть lim S- = с Ф 0, где с—постоянная, тог-
Х-»Х„ /
Эа g~cf и g = cf ф- о (/) при х х0.
8.4. Метод выделения главной части функции
17
Доказательство. Если lim — — c=f=O, то lim — = 1, и,
X-Хо I х-»х0 cf
значит, g— cf при ,t->x0. Отсюда по теореме 1 имеем
I g = cfo(cf), а значит (см. конец п. 8.2), g = cf + о (f).
Теорема 2. Пусть f^fi и g"~gi при х->х0. Тогда если
f f
существует lim — , то существует и lim —, причем
х-»х0 gt g
lim-L= lim-Ь-. (8.29)
x^x0 g x-»x„ gi
Доказательство. На основании теоремы 1 имеем
if = fi + о (fa) и g = gi 4- о (gj при x-> x0, поэтому, применяя теоре-
му о произведении пределов, получаем
lim iim Jl±£IZaL = Пт Л----------------h_
X-X„ g X-»XC gi + 0 (gl) x-x0 gl J о (gl)
= lim — lim-------—— = lim — .
x^x„ gj x-x„ O (gi) x-x„g,
gi
Теорема доказана.
Поскольку обе части равенства (8.29) равноправны, то из дока-
занной теоремы следует, что предел, стоящий в левой части, сущест-
вует тогда и только тогда, когда существует предел в правой части,
причем в случае их существования они совпадают. Это делает очень
удобным применение теоремы 2 на практике: ее можно использовать
для вычисления пределов, не зная заранее, существует или нет рас-
сматриваемый предел.
Упражнение 4. Доказать равенство (8.29), в случае когда
lim---- равен ос, ос или —оо.
x-xog(x)
8.4. Метод выделения главной части функции.
Применение к вычислению пределов
Пусть р — бесконечно малая при х ->• х0. Если р пред-
ставима в виде р = а + о(а), где а — также бесконечно малая при
х -> х0, то бесконечно малая а называется главной частью бесконечно
малой р.
Если задана бесконечно малая р, то только по ней самой ее
главная часть не определяется однозначно. Например, пусть
f 18
f 8. Сравнение функций. Вычисление пределов
р = х + х2 + х3. Поскольку, с одной стороны, х2 + х3 = о(х) при
х-> О, ТО Р = х + о(х) при х-> 0, ас другой! стороны, X3 = о(х+ X2)
при х —* 0, то р = х + х2 + о(х + х2) при х ->• 0. В первом случае
главная часть а — х, во втором а — х + х2. Однако, если зада-
ваться определенным видом главной части, то при разумном выборе
этого вида можно получить, что главная часть указанного вида
определяется однозначно.
Например, справедлива следующая лемма.
Лемма. Если существует главная часть вида Л(х —х0)'?, Л 0,
где Auk постоянные, то среди главных частей такого вида она опре-
деляется единственным образом.
Действительно, пусть
Р = Л(х—х0)А’-|-о((х—x0)fe), А =/= 0,
и
р = Аг (х- x0)ft* + о ((х—х0)А‘), Аг о.
Тогда р — А х — x0)ft, Р — ЛДх-x0)fcl при х->хв. Поэтому
/1(х—х0)й~Х1(х—х0)\ т. е.
*-,Ло4(х—x0)G1
что справедливо лишь в случае А = А1 и k — Щ.
Метод выделения главной части бесконечно малой функции
широко и с успехом используется при решении разнообразных задач
математического анализа. С помощью этого метода обычно удается
более сложную бесконечно малую функцию в окрестности данной
точки заменить с точностью до бесконечно малых более высокого
порядка более простой (в каком-то смысле) функцией. Напри-
мер, если бесконечно малую Р удается представить в виде
р = А(х — x0)fe + о((х—x0)fe), то это означает, что с точностью до
бесконечно малых более высокого порядка, чем (х— x0)k при х ->х0,
бесконечно малая р ведет себя в окрестности точки х0, как степен-
ная функция А(х — х0)\
Покажем на примерах, как метод выделения главной части бес-
конечно малых применяется к вычислению пределов функций*1.
При этом будем широко использовать полученные нами соотношения
эквивалентности (§.22).
Пусть требуется найти предел (а значит, в частности, и доказать,
что он существует)
|. In (1-|-х + х2) + arcsin Зх — 5х3
х- о s in 2х + tg2 х + (ех — 1 )6
») Заметим, что мы уже использовали этот метод при доказательстве
теоремы 2.
\8.4 Метод выделения главной части функции 119
Используя доказанную выше (см. 8.22) эквивалентность
In (1 + и) и при и -> 0, имеем In (1 4- х + х2) ~ х + х2 при
х-> О, поэтому (см. теорему I) In (1 + х + х2) = х + х2 + о (х + хг),
но о (х + х2) — о (х) (почему?) и х2 = о (х) при х -> О, поэтому
1п(1 + х-|-х2) = х + о(х) при х->0;
далее, arcsin 3х~3х, поэтому
a resin Зх — Зх + о (Зх) — Зх -|- о (х); 5х3 = о (х);
из sin 2х — 2х получим
sin 2х = 2х + о (2х) = 2х + о (х);
из tg2x~x2 получим
tg2 х — х2 + о (х2) = о (х),
а из (ех — I)6-—х6 получим
(ег— 1) = хБ + о (х6) = о (х).
Все эти соотношения написаны при х->0. Теперь мы имеем
In (I +х-)-х2)4- arcsin Зх—5х8 = х4-о(х)4-Зх-|-о(х)—о(х) =
= 4хф-о(х),
si n 2х + tg3 х + (ег — 1)® — 2х + о (х) + о (х) ф- о (х) = 2х о (х).
Поэтому
lim И +-^ + + arcsin Зх — 5х3 |jm 4x-j-o(x)
х-о sin2x + tg2 х -f- (ex — I)6 x-o 2x-f-o(x)
Ho 4x + о (x) — 4x, a 2хф-о(х)~2х при x-*0, и, значит, по
теореме 2
Hm .4+^)_==iimJL=2.
A-^o 2x + o(x) x-o 2x
Таким образом, искомый предел существует и равен 2.
При вычислении пределов функций с помощью метода выделения
главной части следует иметь в виду, что в случаях, не рассмотрен-
ных в п. 8.3, вообще говоря, нельзя бесконечно малые заменять им
эквивалентными. Так, например, при отыскании предела выражения
lim S1—-8~— было бы ошибкой заменить функцию sin х на экви-
х-С Х
валентную ей при х -> 0 функцию х. Естественный метод решения
этой задачи будет дан в п. 13.4.
120
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов
В случае отыскания пределов выражений вида целесооб
разно находить предел их логарифмов. Рассмотрим подобный при
мер.
Найдем предел
1
lim cos1" 2х.
х-0
Замечая, что
1 _L
cosa2 2x = eIn cos х2 2л , (8.30)
видим, что следует вычислить предел
v , 7Т о с lncos2x 1 .. In (1—sin22x)
lim In cosx 2x = lim----------= — hm —---------------- .
x>() x-0 x2 2 x-,0 X2
ме
но
Так как In (1 — sin22x)------sin22x,
2 этого параграфа, имеем
1 .. In (1 — sin2 2х)
— 11m —------------- = —
2 х-о
sin2 2х — (2х/, поэтому
____1_
2
то отсюда, согласно теоре-
x2
— lim
2 х-»о
sin2 2х
ха
.. sin2 2х
lim----------
Х-.0 X2
1 1-
— lim
4х2
— 2.
Таким образом,
1
lim In cos *2 2x= —2.
x^O
В силу непрерывности показательной функции из (8.30) имеем
1 Ilm In cos 2х
lim cosА 2 2x = e*"*° =—.
x-,0 e2
Метод вычисления пределов с помощью выделения главной части
функции является очень удобным, простым и вместе с тем весьма об-
щим методом. Некоторое затруднение в его применении пока свя-
зано с тем, что пока нет еще достаточно общего способа выделения
главной части функции. Это затруднение будет устранено в даль-
нейшем (см. § 13).
Упражнение 4. Вычислить пределы:
, , arc sin 2х — sin2x
1. lim— -------------.
х-.о х2Н- In (1 + Зх)
1 — cos х
2. 1 im----------.
х-.о In (l-|-tg2 x)
9.1. Определение производной 121
л--.о х
tg х — sin х
4. lim-----------------
л-0 XJ
In tg X П
6. lim -----—. Указание: полезно сделать замену х =— —у.
п cos 2.x 4
~Т
§ 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
9.1. Определение производной
Определение 1. Пусть функция у — f(x) определена
в некоторой окрестности точки х0 и пусть х— некоторая точ-
ка этой окрестности, х ф= х0. Если отношение
х— х0
имеет предел при х->-х0, то этот предел называется произ-
водной функции f в точке х0 и обозначается ['(хф.
Таким образом,
f'(x0)~Umf~~^x°-. (9.1)
х^х0 X—Хо
Если ввести обозначение х—х0 = Дх, то определение (9.1)
запишется в виде
fw=|im >fa + y)-LW.
Дх->0 АА
Полагая f(x0 + Дх)—f(x0)== Ду и опуская обозначения аргумента,
получим еще одну запись определения производной:
у'— lim
' Да:-О Лх
122
§ 9. Производная и дифференциал
Если для некоторого значения х0 выполняется условие
lim ^=4-со, или lim =—со, или lim^ = oo,
дх-о Дх Дх-0Д* дх-од*
то говорят, что для этого значения х0 существует бесконечная
производная, равная соответственно Н-со, —со или со.
В дальнейшем под выражением «функция имеет производную»
мы будем понимать всегда наличие конечной произвол-
н о й, если не оговорено противное.
Определение 2. Если функция f определена в правосто-
ронней (левосторонней) окрестности точки х0 и существует
конечный или бесконечный предел lim —Кхд
Дх-+0 ах
( lim Ал)~Н-уо)\ то он называется соответственно ко-
\Дх—О Дх )
нечной или бесконечной производной справа (слева) функции f
в точке х0 и обозначается f+(xo) (или f~(x0)).
Из теоремы об односторонних пределах (см. п. 4.5) сле-
дует, что функция f(x), определенная в некоторой окрест-
ности точки л'о, имеет производную f (х0) тогда и только тогда,
когда Г_(хф и f'+ (х0) существует и f'_(х0) = f'+ (х0). В этом слу-
чае f (х0) = /1 (х0) = f’+ (х0).
Если функция f определена на некотором промежутке и в каждой
точке этого промежутка существует производная (причем под про-
изводной в конце промежутка, который принадлежит промежутку,
естественно, понимается соответствующая односторонняя производ-
ная), то эта производная f' есть, очевидно, также функция, опре-
деленная на исходном промежутке.
Операция вычисления производной от данной функции назы-
вается операциеу. дифференцирования.
Примеры. 1. у = с (с—постоянная).
Так как Ду = с—с = 0, то lim^ = 0, и, таким образом,
Дл->ОАЛ
с' = 0.
2. y = sinx.
Имеем
Ду = sin (хф- Дх)—sin х ~ 2 cosf *+ту') sin ту ,
и поэтому
Дх
1- Д>’ г / , Дх\ Н S111~2”
hm г2-= lim cos hm - = cosx.
Дх>0Д* Дх-0 \ 2 / Дх-»-0
9.1. Определение производной
123
Таким образом,
(sinx)' = cos х.
3. y = cosx.
Так как
Ду = cos (х + Дх)—cos х —
о . / Дх\ . Дх
—2 sin lx -ф-g- sin — ,
то
lim 4^= — lim sin
Дх40Дх Дл-0
— sin х.
Таким образом,
(cosx)' — —sin х.
4. у — ах.
Имеем
Ду = ал+Д*—ах — а* (аЛл— 1),
поэтому
л Дл 1
Ду___ х а — 1
Дх а &х ’
откуда в силу формулы (8.17) получаем
Ду 1
lim ~ = lim —т--------= а* 1п а.
Дх-ОДх Дх-*0 Дх
Таким образом,
(аА)' = а* 1п а,
в частности,
(еА)' = е\
Последнее равенство показывает, что число е обладает замеча-
тельным свойством: показательная функция с основанием е имеет
производную, совпадающую с самой функцией. Этим и объясняется то
обстоятельство, что в математическом анализе в качестве основания
степени и основания логарифмов используется преимущественно
число е. Это очень удобно, так как упрощает выкладки.
5. у = х'1, п—положительное целое.
Используем разложение бинома:
Ду = (х+Дх)'г—хп = пхи~1 Дхф х"~2 Дх2 ф... + Дх'!,
124
£ 9. Производная и дифференциал
и, следовательно,
пх'1-14- LllzzlL xn-i Дх-|_... _|_ Дх"-1.
Дх 1 2 11
Так как при Дх->0 все слагаемые правой части, содержащие
множитель Дх в некоторой положительной степени, стремятся
к нулю, то lim пх'г~1- Таким образом,
(хп)' = пхп~1.
В дальнейшем мы увидим, что эта формула справедлива, когда п
является произвольным вещественным числом.
9.2. Дифференциал функции
Определение 3. Пусть функция у = /(х) определена в не-
которой окрестности точки х0 и пусть Дх — х — х0. Функция f
называется дифференцируемой в точке х0, если приращение
Ду = /(х0 + Д*) — Ях0) представимо в виде
Ду = Л Дх-]-- а (Дх), (9.2)
где А — постоянная *> и о.(Дх) = о(Дх) при Дх -> 0. Линейная
функция А Ах (от Дх) называется дифференциалом функции f в точке
х0 и обозначается df(x0) или, короче, dy.
Таким образом,
Ду = dy -J- о (Дх) при Дх->0, (9.3)
dy — АДх. (9.4)
Заметим, что дифференциал функции dy = АДх, как и вся-
кая линейная функция, определен для любого значения Дх:
— оо<Дх<4~со, в т0 время как приращение функции
Ду = f(xo + Дх) — /(х0), естественно, можно рассматривать только
для таких Дх, для которых х0 4- Дх принадлежит области опреде-
ления функции f.
Если А =/= 0, т. е. если dy ф 0, то дифференцируемость функции
в точке х0 означает, что с точностью до бесконечно малых более высо-
кого порядка, чем приращение аргумента Дх, приращение функции
Ду является линейной функцией от Дх, т. е., используя терминоло-
гию п. 8.4, можно сказать, что главная часть приращения функции
Ду в точке х0 является линейной функцией относительно Дх; при
этом приращение Ду и дифференциал dy являются эквивалентными
бесконечно малыми при Дх -> 0.
*) При фиксированной точке х0 А есть некоторое число, не зависящее
от Ах; конечно, при изменении точки х0 число А, вообще говоря, меняется.
9.2 Дифференциал функции
125
Если же А = 0, т. е. dy = 0, то Ду = о (Дх) при Дх -> 0, т. е.
при Дх 0 приращение Ду является бесконечно малой более высо-
кого порядка, чем Дх.
Пусть / (х0) = у0. Подставляя в (9.3) Ду — I (х) — у0,
Дх = х — х0, dy = Л(х — х0), получим
f х) = у0 + /4(х—х0) + о(х—х0) при х-*х0. (9.5)
Итак, если функция /(х) дифференцируема в точке х0, то с точ-
ностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем х — х0,
она равна линейной функции; иначе говоря, в этом случае функция f
в окрестности точки х0 ведет себя «почти как линейная функция»
Уо + Л(х—х0), (9.6)
причем погрешность при замене функции f линейной функцией (9.6)
будет тем меньше, чем меньше разность х — х0, и, более того, отно-
шение этой погрешности к разности х — х0 стремится к нулю при
х -> х0.
Для большей симметрии записи дифференциала переменную Дх
в этом случае обозначают dx и называют ее дифференциалом
независимого переменного. Таким образом, дифференциал можно
записать в виде
dy — Adx.
Если функция f дифференцируема в каждой точке некоторого ин-
тервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных —
точки х и переменной dx:
dy = A(x)dx.
Пример. Пусть у = х3, тогда
Ду = (х + Ах)3 — х3 = Зх2Дх + Зх(Дх)2 + Дх3;
главная часть выражения, стоящего справа, при Дх->0 равна
Зх2Дх, поэтому dy = 3x2dx.
Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и
существованием производной в той же точке.
Теорема 1. Для того чтобы функция I была дифференцируема
в некоторой точке х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела
в этой точке производную, причем в этом случае
dy = f’{x0)dx. (9.7)
Доказательство необходим > с т и. Пусть функ-
ция I дифференцируема в точке х0, т. е. Ду = ЛДх-|- о(Дх). Тогда
Пш = lim = А
Дл ->0 Дл-0
126
£ 9. Производная и дифференциал
Поэтому производная f'(x0) существует и равна А. Отсюда dy —
= f'(xu)dx.
Доказательство достаточности. Пусть существует
производная f (х0), т. е. существует предел lim ~ = f'(x0).
Дл'-0ЛЛ
Тогда
= f (*<>) + « (Д*)>
где lime Дх) = 0, и для Дх=^=0
Да-О
Ду = f (х0) Д* + е (Дх) Дх, (9.8)
и так как е(Дх)Дх = о(Дх), то наличие равенства (9.8) и означает
дифференцируемость функции f в точке х0.
Теорема доказана.
Из доказанного следует, что коэффициент /1, участвующий в опре-
делении дифференциала (см. (9.4)), определен однозначно, именно
А = /' (х0); тем самым и д и ф ф е р е н ц и а л функции в
данной точке определен однозначно. Это,
впрочем, вытекает также из леммы п. 8.4 о единственности глав-
ной части бесконечно малых определенного вида.
Из формулы (9.7) получается новое обозначение для производ-
ной функции у = f(x):
Здесь правая часть представляет собой дробь, у которой числи-
тель является дифференциалом функции, а знаменатель — диффе-
ренциалом аргумента.
Формула (9.7) позволяет находить дифференциалы функций, если
известны их производные. Так, например, используя производные,
найденные в п. 9.1, получим
dc = 0 (с — постоянная),
d sin х — cos х dx,
dcosx— —sinxdx,
da-' = ax In a dx,
в частности, dex = ex dx,
dxn = nxn~' dx (ji— положительное целое).
В заключение этого пункта выясним связь между дифференци-
руемостью и непрерывностью в данной точке.
Теорема 2. Если функция [ дифференцируема в некоторой точ-
ке, то она и непрерывна в этой точке.
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала
127
В самом деле, пусть функция f дифференцируема в точке х0,
т. е. в этой точке Ду = ЛДх + о(Дх) при Дх-> 0. Тогда
lim Ду = A lim Дх + lim о (Дх) = 0,
Дх-»0 Д.г-0 Дл--о
что и означает непрерывность функции f в точке х0.
Заметим, что утверждение, обратное утверждению теоремы 2,
неверно, т. е. из непрерывности функции f в данной точке не следует
ее дифференцируемость или, что то же (см. теорему 1), существова-
ние производной в этой точке. Например, функция /(х) = |х|, оче-
видно, непрерывна в точке х = 0 (как и во всех других), но не имеет
в этой точке производной. В самом деле, так как /(х) = х при х > 0
и /(х) = —х при х < 0, то / > (0) = 1 и /_(0) = —1. Следователь-
но, функция |х| не имеет производной в нуле.
Упражнение 1. Ввести понятие дифференцируемости функции
справа (слева) в данной точке и доказать, что дифференцируемость справа
(слева) в точке эквивалентна существованию в этой точке производной
справа (слева).
Если функция f, имеет производную в каждой точке некоторого
промежутка (дифференцируема в каждой точке этого промежутка),
то мы будем говорить, что функция f имеет производную или что она
дифференцируема на указанном промежутке.
9.3. Геометрический смысл производной
и дифференциала
Понятия производной и дифференциала функции в дан-
ной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой
точке. Чтобы выяснить эту связь, определим прежде всего касатель-
ную.
Пусть функция / определена на
интервале (а, Ь), непрерывна в точ-
ке х0£(а,Ь) и пусть у0 = /(х0),
рИ0 = (х0, у0), х0 + /гС(о, Ь),
Л'1/г = (А0 4" ^г> КХ0 + ^))-
Проведем секущую M0Mh
(рис. 20). Она имеет уравнение
у = k(h)(x — х0) +у0, где
k(h)= f(xo + h)-fM . (99)
Покажем, что при /г 0 расстояние 7И0/ИЛ стремится к нулю
(в этом случае мы будем говорить, что точка Л4л стремится к точке Л-10,
и писать ЛД-> Л40). Действительно, в силу непрерывности функции /
128
§ 9. Производная и дифференциал
в точке х0 имеем
Л-> О
lim [/(х0 + h) — /(х0)1 = 0; следовательно, при
Л-0
M0Mh = /й2 + [f (х0 + h)-f (х0)]2 -> 0.
В силу равенства (9.9) существование конечного или бесконечно-
го предела функции k(h) при -> Ai0, т. е. при h -> 0, эквивалент-
но существованию конечной или
бесконечной производной f'(x0),
причем k0 = f (х0).
Определение 4. Если сущест-
вует предел lim k(h) = k0, то пря-
мая h~”0
y = k0(x—х0) + у0, (9.10)
которая получается из прямой
у = k(h) (х — х0) + у о при h-+0,
называется наклонной касательной
к графику функции f в точке (х0, у0).
Если lim/?(//) = оо, то прямая
(рис. 21)h^°
Х = Х0,
(9.Н)
которая получается из — х—хоф- при h-*-0, называется
вертикальной касательной к графику функции f в точке (х0, у0).
Прямая у = k0 (х — х0) + у0 в случае конечного предела
lim k (h) и прямая х = х0 в случае бесконечного предела lim k (й)
/г—О /1 — 0
называются предельными положениями прямой (9.9). Поэтому дан-
ное выше определение касательной к графику функции можно пере-
фразировать следующим образом.
Предельное положение секущей М0Л4/г npuh-+G, или, что то же,
при Мь -> MG, называется касательной к графику функции f в точке
Мо.
В результате мы пришли к следующей теореме.
Теорема 3. Пусть функция f непрерывна при х = х0. В точке
(х0, f(x0)) существует наклонная касательная к графику функции f
тогда и только тогда, когда функция f имеет в точке х0 производную
(или, что то же, когда она дифференцируема в точке х0). При этом
уравнение касательной имеет вид
У = f'M(x — х0) + уо, где у0 = f(x0), (9.12)
и, значит, производная в точке х0 равна тангенсу угла наклона каса-
тельной к оси Ох, а дифференциал в точке х0 равен приращению орди-
наты касательной.
9.3 Геометрический смысл производной и дифференциала
129
Соответственно, в точке (х0, /(х0)) существует вертикальная
касательная к графику функции f тогда и только тогда, когда в точ-
ке х0 функция имеет бесконечную производную, причем в этом случае
уравнение касательной имеет вид
X — х0.
Для полного доказательства теоремы к сказанному выше до-
статочно лишь добавить, во-первых, что, как хорошо известно, коэф-
фициент k0 в уравнении прямой у = k0(x — х0) + )'о равен тангенсу
угла наклона этой прямой к оси Ох; поэтому если через а обозначить
угол наклона касательной к графику функции f в точке (Хц, /(х0)), т0
в силу формулы (9.10) будем иметь
f (*o) = tga;
и, во-вторых, что выражение
Г (х0)(х—х0) —f' (x0)h,
где h может принимать любое значение, является дифференциалом
функции f в точке х0 (см. (9.7)). Поэтому из уравнения (9.12) следует,
что df — у — уи, где у — текущая ордината касательной.
Пример. Найти касательную к параболе у = х2 в точке (1; 1).
Согласно п. 9.1 (см. пример 5) у' = 2х, поэтому у' | Ж=1 = 2.
В силу формулы (9.12) искомая касательная имеет уравнение
у = 2(х — 1) -j- 1, т. е. у = 2х — 1.
Если функция I дифференцируема в точке х0, то, подставляя в
формулу (9.5) А — )'(х0) (см. теорему 1 настоящего параграфа),
имеем
f(x) = y0+f'(x0)(x—х0)До(х—х0) при х->х0,
и, значит, согласно (9.12),
/(х)—укас = о(х—х0) при х->х0.
Таким образом, наклонная касательная к графику функции облада-
ет тем свойством, что разность ординат графика функции и этой
касательной есть величина, бесконечно малая по сравнению с при-
ращением аргумента при х -> х0.
Обратно, если существует невертикальная прямая
УпР = Л(х—*о) + Уо. (9.13)
проходящая через точку (х0, у0), такая, что
f(x)—упр = о(х—х0) при х->х0, (9.14)
то эта прямая является касательной к графику функции в точке
(х0, у0). Действительно, в этом случае
f (х) — [А (х—х0) 4- у о 1 = о (х—х0),
130
§ 9. Производная и дифференциал
т. е.
\у = f (х)—у0 = А (х—х0) + о (х—х0), (х -> х„),
следовательно, функция f дифференцируема в точке х0 (см. (9.2))
и А = f'(x0) (см. теорему 1), т. е. указанная прямая совпадает с ка-
сательной (9.12).
Таким образом, условие (9.14) является необходимым и доста-
точным условием того, чтобы прямая (9.13) являлась касательной
в точке (х0, у0). Отсюда, в частности, следует, что если существу-
ет прямая (9.13), обладающая свойством (9.14), то она единственна
(последнее вытекает, например, из того, что дифференциал функ-
ции единствен, или из того, что касательная к графику функции
в данной точке единственна по самому своему определению).
Упражнение 2. Показать, что если функция у = /(х) непрерыв-
на в точке х0 н в этой точке у' = + оо, то график функции f имеет вид, изо-
браженный на рис. 22, если же у’ = — оо, то — на рис. 23, а если у' = со,
то график функции f может иметь один из видов, изображенных на рис 22’
23, 24 или 25,
9.4. Физический смысл производной и дифференциала
131
9.4. Физический смысл производной
и дифференциала
Пусть функция /(х) определена в некоторой окрестности
точки х0 и, как и выше, Ах = х — х0, Ау = /(х0 + Ах0) — /(х(|).
Пусть для определенности Ах > 0. Отношение ~ , равное изме-
нению переменной у на отрезке [х0, хп + Ах], отнесенному к еди-
нице измерения переменной х, естественно назвать величиной
средней скорости изменения переменной у на отрезке [х0, х0 + Ах]
относительно переменной х. При стремлении к нулю Ат, т. е. при
стягивании отрезка [х0, х0 + Ах] к точке х0, отношение дает
величину средней скорости переменной у относительно перемен-
ной х все в меньшем и меньшем отрезке, содержащем точку х0.
Все сказанное, конечно, справедливо и при Ах Д 0 для отрезка
[х0 + Ах, х0].
Предел lim , если он существует, т. е. производную f'(x0),
естественно поэтому назвать величиной скорости изменения пере-
менной у относительно переменной х в точке х0.
Заметим, что если в точке х0 существует производная Г(х0), то,
рассматривая предел средних скоростей переменной у относитель-
но переменной х на отрезках [х0 — Ах, х0 + Ах] (Ах > 0), содер-
жащих точку х0 внутри себя в качестве центра, при стягивании их
к точке х0 (при Ах -> 0) мы придем в пределе к тому же значению
величины скорости переменной у относительно переменной х
в точке х0> т. е. к /'(х0). Действительно, величина средней скорости
изменения переменной у относительно переменной х на отрезке
[х0—Ах, х0 + Ах] равна ~ (частному от деления
изменения функции на длину отрезка, на котором произошло это
изменение), отсюда
lim
Дх-»0
f (л0 + Ах) — f(x0 — Ах)
2Ах
lim /Uo+Дх) — /Up) |
шп л -д-
lim
Дх-0
f (х0 — Ах) — f (х0)
— Ах
] = fUo).
На интерпретации производной как величины скорости изме-
нения одной величины относительно другой и основано применение
производной для изучения физических явлений.
Применение же дифференциала основано на том, что замена
приращения функции ее дифференциалом позволяет заменить
функцию линейной функцией, т. е. считать, что процесс изменения
зависимой переменной «в малом» происходит линейно относительно
132
§ 9. Производная и диффергнцча.'
аргумента. Иначе говоря, можно считать, что изменение функции
прямо пропорционально изменению аргумента или, как говорят,
что упомянутый процесс «в малом» происходит равномерно
При такой замене получающаяся погрешность оказывается беско-
нечно малой более высокого порядка, чем приращение аргумента
Примеры. 1. Пусть s = s(t) — закон движения материаль-
ной точки (рис. 26); s — длина пути, отсчитываемая от некоторой
начальной точки Л40; t — время,
Ф5- за которое пройден путь s. Пусть
j. А1 — положение точки в момент
as времени /, а М' — в момент вре-
мени t + А/ и As — длина путь
/. от точки Л-1 до М.', т. е. As =
/ О Лс
' =s(/+ A/) —s(/). Тогда ду есть
Рис. 26 то, что называется в механика
величиной средней скорости дви-
жения на участке от М до М', a lim = v есть величина ско-
д/-. о
рости движения в точке Л-1 или, как говорят в механике, величина
мгновенной скорости в момент времени t. Таким образом, вели-
„ ds
чина мгновенной скорости v =
По определению дифференциала ds = vdt; следовательно, диффе-
ренциал пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за про-
межуток времени от момента / до момента t + А/, если бы она дви-
галась равномерно со скоростью, равной величине мгновенной ско-
рости точки в момент t. Величина же As действительного перемеще-
ния точки будет As = ds + о (А/).
Мы видим, что с механической точки зрения замена As на ds
означает, что мы считаем движение на рассматриваемом участке
равномерным (в смысле величины скорости*') движением.
2. Пусть q — q(t) — количество электричества, протекающее
через поперечное сечение проводника за время /; А/ — некоторый
промежуток времени; Ас/ = q(t + А/) — q(t) — количество элект-
ричества, протекающее через указанное сечение за промежуток
времени от момента t до момента t + А/. Тогда ~ называется
средней силой тока за промежуток времени А/ и обозначается /ср,
а предел lim /ср = Нт ~ называется силой тока в данный мо-
Д/-0 Д/-0 Л£
мент времени t и обозначается I. Таким образом, 7 = .
*) Следует иметь в виду, что скорость — вектор и потому характеризуется
пе только величиной, но и направлением.
\9.5. Правила вычисления производных
133
Дифференциал dq = IAt равен количеству электричества, про-
текшего через поперечное сечение проводника за момент вре-
мени Д/, если бы сила тока была постоянной, равной силе тока
в момент /. Как всегда, Aq— dq — о (At).
3. Пусть дан неоднородный стержень длины I и пусть т—т(х)—
масса части стержня длины х, о < х I, отмеряемой от одного
фиксированного конца (рис. 27). Пусть Ат = т(х + Дх) — т (х)—
масса части стержня между
точками, расположенными со-
ответственно на расстоянии
х и х + Дх от указанного
n Ат
конца. Величина -т— назы-
m(i) дт
О х х+дх
Рис. 27
I х
вается средней линейной
плотностью стержня на указанном участке и обозначается рср.
Предел lim рср = lim -г- называется линейной плотностью стерж-
Дл-.О Дх-0
ня в данной точке и обозначается р. Таким образом, р = .
Если плотность р не зависит от х, т. е. постоянна, то стержень
называется однородным.
Если вернуться к рассмотрению произвольного, вообще говоря,
неоднородного стержня, то для него дифференциал dm = рДх
равен массе однородного стержня длины Дх с постоянной плот-
ностью р, равной плотности рассматриваемого стержня в данной
точке.
Мы видим на этом примере, что, интерпретируя производную
как величину скорости, мы должны это понимать в широком смыс-
ле слова. Например, плотность стержня тоже «скорость» — ско-
рость изменения массы относительно длины.
9.5. Правила вычисления производных,
связанные с арифметическими действиями
над функциями
Все функции, рассматриваемые в этом пункте, предпо-
лагаются определенными в некоторой окрестности точки х0.
1. Пусть функции уц = Д(х) и у2 = f2(x) имеют производные
в точке х0, тогда их сумма У1 + Уг = ZiU) + fz(x) также имеет
в точке х0 производную и
(У1+У2)' = У1 + У2-
(9.15)
Таким образом, производная суммы функций равна сумме про-
изводных.
134
9. Производная и дифференциал
Действительно, пустьу = Д(х)4-Д(х), Api = Д(*о+Ах)—Д(Ао),
Ау2 = Д(*о +дх)—Д(х0), тогда
А у = [/1 (х0 4* Ах) + f2 (х0 -J- Ах)] — [Д (х„) -J- fi (-'г»)! ~ Ayi ~Ь &У%-
Поэтому
= Ах =Д0. (9.16'
А/ Д/ 1 Л/ ’ '
Пределы lim и lim , согласно предположению, суще-
Дх-0 ДА Дх-0 лх
ствуют и равны соответственно производным у\ и у2 в точке х0.
поэтому предел левой части равенства (9.16) при Ах->0 суще-
ствует и равен yi -J- Уч- Но lim = у', поэтому у' в точке х,
Дх-Д ,хх
существует и у' — yt -j- у2.
Формула (9.15) доказана.
2. Пусть функции yi = fi(x) и y2 — fz(x) имеют производные
в точке х0, тогда и произведение уг у2 = fi (х) f2 (х) имеет в пюч
ке х0 производную, причем
(УгУчУ^У.Уч+УгУ,, (9.П,
, п Д fi(x)
а если у2=£0 в х0, то и частное — — также имеет в точ-
Д <2 W
ке х0 производную, причем
/Уф’ yiy2~yiy2
\yJ у.
Действительно, пусть у = Д(х)Д(х), А)^ = Д (х0 + Ах)—Д(х0),
Ау2 = Д (х0 + Ах)—Д (х0), тогда
Ay = fi (*о + Ах)/2(х04- Ах) Д (х0) Д (х0) =
= [Д (^о) +AyiJ [Д(^о) +Ау2] Д(х0) Д(х0) =
— Ayi Д (х0) + Д (х0) Ау2 Аух Ау2.
Отсюда
Й = 5? ^Ло) + 1 Й" + Й Л>"2’
(9.18,
и так как в точке х0
lim -т^ = У1< Hm у„, limAy2 —0
дх-.о д* дл-и >2 дх.о >2
9.5 Правила вычисления производных
185
(функция у2 имеет производную, а потому и непрерывна в точ-
v «• A у f
ке х0), то при х = х0 существует lim зг- = у и
Дх-0 Ал'
/ = /, Ь + У1/2’
т. е. формула (9.17) доказана.
Пусть теперь /2(хо)=ДО, тогда существует такое h^>0,
чго f (х0 + Ах) =j= 0 для всех Ах, удовлетворяющих условию
| Ах | < h. Если положить г = и Ах выбрать так, что
| Ах К /г, то
Л А (х0 + Ах) /1 (х0)
/г (хр + Ах) /2 (х0)
_ fi (хр) 4~ Ayi_fi (х0) _ Ayt f2 (хр) — fi (х0) Ау2
(г (хр) + Ау2 fi (х'р) [(2 (хр) + Лу2) (2 (хр) ’
поэтому
Ayi , , . , . Ау2
Аг Ах ^(хд) —Л(Хр) дд.
Ах ~ [f2 (х0) + Ду2] f2 (х0) *
Отсюда, как и при доказательстве формулы (9.17), заключаем,
что при х=х0 существует lim т- = г и
Дх-0
г У\ Уч У1 Уч
г — g .
Уч
Итак, формула (9.18) также доказана.
Следствие 1. Пусть функция у — f(x) имеет производ-
ную в точке х0, тогда функция cf (х) (с — постоянная) также име-
ет в вшой точке производную, причем
(су)'-су'. (9.19)
Таким образом, производная произведения функции на постоянную
равна произведению этой постоянной на производную функции.
Действительно, вспоминая, что с' = 0, из формулы (9.17) по-
лучим
(су)' = с'у + су' — су'.
Следствие 2. Пусть функции уЛ — f± (х),..., уп = /„ (х)
имеют производные в точке х0, тогда функция сг/(х) +..•+ cnfn(x)
также имеет в точке х0 производную, причем
(о }'1+ ••• + си Уп)' = С1 У1 + ••• + сл Ут
136
§ 9. П роизводная и дифференциал
т. е. производная линейной комбинации функций равна такой же
линейной комбинации соответствующих производных.
Это утверждение непосредственно вытекает из формул (9.15)
и (9.19) с помощью метода математической индукции.
Рассмотрим некоторые примеры на применение полученных
формул.
1. Пусть у = e*sinx—2x2cosx; в силу формул (9.15), (9.17)
и (9.19) имеем
у' = (еЛ sin х)'—2 (х2 cos х)' =
= ел sin х + ех cos х—2 (2х cos х—х2 sin х).
2. Пусть y = tgx; так как tgx = ^^, то по формуле (9.19)
получаем
,_/sin х \ ' _ cos х cos х— sin х (— sin х) _ 1
I cos X J COS2 X COS2X
Таким образом,
(tg x)' = —.
3. Аналогично для y = ctgx
/cosx\' (—sin x) sin x—cosxcosx 1
У l^sinx) sin2x sin2x ’
t. e.
Свойства 1 и 2 переносятся и на дифференциалы функций.
При тех же предположениях в точке х0 имеем
d O’i + Уг) — dyx + dy2‘,
d(cy) = c dy,
d(yi у2) = Уг d)’1+y1dy2',
д /Т1 \ _ У2 dyi — Ух dy2
V2) У 2
Вычислим, например, дифференциал произведения у = У1у2.
dy = у’ dx = (уху2)’ dx=--yiy2dx + y1 у'2 dx = у2dy^, + ухdy2,
ибо
yidx = dylt y2dx — dy2.
Аналогично доказываются и остальные формулы.
9.6. Производная обратной функции
187
(9.20)
9.6. Производная обратной функции
Теорема 5. Пусть функция у = f(x) определена, не-
прерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки х0 и
пусть в пючке х0 существует производная - =£=0, тогда и об-
ратная функция х = f~\y) имеет производную в пючке у0 — f(x0),
причем
df~l (у0) __ 1
dy df (х0) ’
dx
m. e. производная обратной функции равна обратной величи-
не производной данной функции.
Доказательство. Зафиксируем какую-то окрестность
точки х0, на которой функция f определена, непрерывна и строго
монотонна, и будем рассматривать f только на этой окрестности.
Тогда, как мы знаем (см. п. 6.3), обратная функция определена,
однозначна и непрерывна на некотором интервале, содержащем
точку р0, а именно на образе указанной выше окрестности точки
х0, и, значит, если Ах = х—х0, Ар = у—у0, У = К%), то условия
Ах -> 0 и Ар -> 0 эквивалентны. Мы имеем
Дх___1_
Ду Ду
Дх
При Ах -> 0 (или, что то же в силу сказанного выше, при Ар -> 0)
предел правой части существует, значит, существует и предел
левой части, причем
,. Дх Дх 1 1
дуТо *У д™ Ар _ н АГ ЁНД)'
ДхО dx
Но lim — поэтому , что и требо-
д 0 Ду dy J dy dp (Хр)
dx
валось доказать.
Эта теорема допускает наглядную геометрическую интерпре-
тацию (см. рис. 28). Как известно, = tg«. где а—величи-
на угла, образованного касательной графика функции f в точке
(х0, Ро) с осью Ох, а — -^у— = tgft, где Р —величина угла, обра-
зованного той же касательной с осью Оу.
138
§ 9. Производная и дифференциал
Очевидно, р= —а, поэтому
df-'(y0) trfi 1 I 1 1
dy ctgp /л \ tga df(xQ)’
Рассмотрим примеры применения формулы (9.20).
Рис. 26
1. y=arcsinx, x = siny,
л _ п , _ , ,
— — 1<Х<1.
Применяя формулу (9.20),
получим
~ — (arcsin х)' — ~ .
ах ' ! dx cos у
dy
Так как —у<у то cos у > О, поэтому cosy»
= У 1 — sin2 у — У 1 — хг. Таким образом,
1
arcsin х) — .
7 1/1 - х2
2. у = arccosx, x = cosy, 0< у л, — 1 < х < 1.
Аналогично предыдущему примеру
dy . 1 1 1 1
dA. — (aiccosx) — siuy — уj_ C0S2 y ~ уТТТ^а ’
dy
т. e.
(arccosx)'=-y=^=-.
3. y = arctgx, x = tgy, — y<y<y, —oo<x<yoo.
Имеем
g = (arctgx)' = ^ = cos2y = rTJi37==r^i;
dy
9 7 Производная и дифференциал сложной функции
139
итак,
(arctg х)' = •
4. y = arcctgx, х —ctgy, 0<y<n, —оо <f х <оо.
В этом случае
dy , ., 1 . о 1 1
~ — (arcctg х) = -т- — —sin2 У = —т—,—7-7Г- = —;—5 ,
dx ь ' dx r 1 + ct ёгу 1 + х2
dy
т. е.
(arcctg х)'=- -y-jib .
5. Если y = log„x, х = су, n>0, а=/= 1, х>0,
— оо у <2 -|- оо, то
dy л у 1 1 1
dx ” ' Oga Х> ~ dx ~ аУ In а ~ х In а ’
dy
т. е.
<10ё«х)/=-ик’
в частности, при а = е
(1пх)'= у.
Упражнение 3. Доказать, что если функция у — f(x) определена,
непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки х0 и если в
хв существует производная — 0, то обратная функция f~l(y) имеет в
точке у0 = f(x0) бесконечную производную, и, значит, в условном смысле
(считая Q- = оо) формула (9.20) справедлива и в этом случае.
9.7. Производная и дифференциал
сложной функции
Теорема 6. Пусть функция y=f(x) имеет производную
в точке х0, а функция z = /'()’) имеет производную в точке у0=/(х0).
Тогда в некоторой окрестности точки х0 имеет смысл сложная функ-
ция Ф(х)=Н/(х)1 и эта функция также имеет производную в точке
х(1, причем.
Ф' (x0) = F (у0)/'(х0), (9.21)
или, опуская значения аргументов,
dz _ dz dy
dx ~~ dy dx '
140
§ 9. Производная и дифференциал
Доказательство. Согласно теореме 2 настоящего
параграфа, функции у = f(x) и z — F(y) непрерывны соответ-
ственно в точках х0 и у0 = /(х0) и, следовательно, в силу леммы
п. 5.2 в некоторой окрестности точки х0 имеет смысл сложная функ-
ция Ф(х) = Я/(х)]. Функция F имеет в точке у0 производную и,
значит, дифференцируема в этой точке (см. п. 9.2), т. е.
&z = F' (у0) Ду ф е (Ду) Ду, (9.22)
где lim е(Ду) = 0. Функция г (Ду) не определена при Ду = 0.
Ду-о
Для дальнейшего будет удобнее доопределить ее и при Ду = 0.
Это можно сделать произвольным образом. Проще всего продол-
жить ее «по непрерывности», положив е (0) — 0. Доопределенная
таким образом функция е(Ду) непрерывна при Ду = 0.
Поделим теперь обе части равенства (9.22) на Дх Ф 0. Получим
= F' (у0) 4^ + е (Ду) ~ .
Дх Дх 1 ' Дх
(9.23)
Функция у = f(x) имеет производную в точке х0, т. е. сущест-
вует предел
lim (9.24)
Дх —0 ах
Из существования производной f'(x0) следует непрерывность
функции у = f(x) в точке х0:
lim Ду = 0.
Дх —0
При Дх = 0 имеем Ду = 0. Следовательно, Ду, рассматриваемая
как функция Дх, непрерывна в точке Дх = 0. Поэтому, согласно
правилу замены переменных в пределах непрерывных функций
(см. п. 7.2), имеем
1ппе(Ду) = 0. (9.25)
Дх —0
Теперь из (9.23), переходя к пределу при Дх->0, в силу (9.24)
и (9.25) получим формулу (9.22).
Теорема доказана.
Замечание. При доказательстве теоремы было сказано,
что е(Ду) можно доопределить произвольно при Ду = 0. Однако,
если, например, взять е(0) =1, то на первый взгляд формула
(9.21) не получится, и не только потому, что в этом случае нельзя
применить правило замены переменного для предела непрерывной
функции, а потому, что если е(0) = 1 и если существуют такие
Дх =/= 0, для которых Ду = 0, то равенство (9.25) будет неверно.
9 7 Производная и дифференциал сложной функции
141
Это, однако, не влияет на окончательный результат. Действитель-
но, если для сколь угодно малых Дх =# О существует Ду = 0, то
отсюда легко следует, что
f(x0) = lim rJ = 0,
Дх-»0
и, следовательно, второй член в правой части равенства (9.23)
все равно стремится к нулю при Дх -> О (более того, в этом случае,
как это легко увидеть, все члены равенства (9.23) стремятся к нулю).
Можно было бы воспользоваться также и тем, что из формулы (9.2)
следует, что а (0) = 0.
На примере приведенного выше доказательства теоремы 6 хо-
рошо видно, как удачно выбранная вспомогательная конструк-
ция (в данном случае просто доопределение в нуле функции е (Ду)
нулем) может существенно упростить доказательство.
Следствие (инвариантность формы перво-
го дифференциала относительно выбора
переменных):
dz = F' (уо) dy = Ф' (х0) dx. (9.26)
В этой формуле dy = f'(x)dx является дифференциалом функ-
ции, a dx — дифференциалом независимой переменной.
Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же
вид: произведение производной по некоторой переменной на диф-
ференциал этой переменной — независимо от того, является эта
переменная в свою очередь функцией или независимой переменной.
Докажем это. Согласно формуле (9.7), dz = Ф'(х0)с?х, отсюда,
применяя формулу (9.21) для производной сложной функции,
получаем dz = F'(y0,/'(x0)dx, но f(x0)dx = dy, поэтому
dz = F'(y0) dy, что и требовалось доказать.
Отметим, что теорема 6 по индукции распространяется на супер-
позицию любого конечного числа функций. Например, для слож-
ной функции вида г(у(х(/))) в случае дифференцируемости функ-
ций г(у), у(х) и x(Z) в соответствующих точках имеет место фор-
мула
dz_dz dy dx
di dy dx dt
В случае, когда приходится иметь дело со сложной функцией
z = г(у), у = у(х), для обозначения производной z' употребляет-
ся еще внизу индекс х или у для того, чтобы указать, по какой из
переменных —х или у — берется производная, т. е. пишут z* или
zy. В этих обозначениях формула (9.21) имеет вид
z == z у'
X у ' X*
142
§ 9. Производная и дифференциал
Примеры 1. Пусть у = ха, х > 0, найдем ~ .
Имеем ха — е11, где u = alnx. Замечая, что ~ , получаем
= = е„. « = eu in л * ах®-1.
dx dx du dx x x
Таким образом,
(xa)' = axa‘-1.
2. Найдем производную функции
1 , ix— а|
у = k- In —;.
7 2a J x + о I
Заметим, что если функция и = и (х) дифференцируема и
и (х) =h 0, то
\и \' — и' sign и.
Теперь
х — а
, _ _1_ slSn TVa (х-а\' =
2а | х — а | l^x + aj ”
|х + а|
__ 1 х Ч- а х-У а — (х — а) _ 1
Qa х — а (х а)2 х2 — а2 ’
3. Найдем производную функции
у -In | х + У х2 + А |.
Воспользовавшись замечанием в примере 2 о дифференциро-
вании абсолютной величины функции, получим
/ = л^к+^£±Д(х+/^4)'==
У |х + Ух2 + Д| V K '
—____!---(1 _|_____ = 1 .
х + ~|/х2 -р Д \ У х2 -У А / У х2 4- А
4. Пусть у = In2 arcsin — .
Найдем производную и дифференциал этой функции:
у = In2 arcsin — = 2 In arcsin — In arcsin — —
о I • 1 1 / 1
— 2 n arcsin — .-j- ( arcsin — =
X Ik X I
arcsin — ' '
9.7. Производная и дифференциал сложной функции
143
1
In arcsin —
= 2 р
arcsin —
2 In arcsin —
I X I Ух2— 1 arcsjn —
Отсюда дифференциал находится непосредственно по формуле
dy=y'dx, однако, если бы мы уже не имели готового выражения для
производной, дифференциал можно было бы найти и непосредствен-
но, используя его инвариантность относительно выбора переменных:
d (In2 arcsin — 'i = 2 In arcsin — d
\ x / x
In arcsin — 'l =
x /
= 2 In arcsin —-------—r
x 1
arcsin —
./ • 1’
d arcsin —
i x
— 2 In arcsin —
-—~-dx.
1 arcsin —
2 In arcsin —-
Г"‘
arcsin —
Выведем с помощью теоремы 6 еще одну полезную формулу.
5. Пусть у = и1', где и = и (х) )> 0, v = v (х).
Вычислим ~ :
dx
dy_dev,n“
dx dx
ev In и Ji (у ]п In U -f- —
dx ' ' \dx 1 и dx)
„ dv , . „ du
— Ul' -r- In U 4- VUv~l ~r .
dx 1 dx
(9-27)
С помощью правила дифференцирования сложной функции
можно находить и производные функций, заданных неявно.
6. Пусть дифференцируемая функция у = у(х) задана неявно
уравнением F(x, у) = 0 (см. п. 4.2). (Вопрос о том, как узнать,
что данное уравнение на самом деле определяет некоторую функ-
цию, мы пока оставляем в стороне, он будет изучен в дальнейшем.)
Дифференцируя тождество F(x, у (х)) = 0 как сложную функцию,
dy
можно вычислять производную
144
§ 9. Производная и дифференциал
В качестве конкретного примера вычислим производную неяв-
ной дифференцируемой функции у(х), определенной уравнением
х2 + у2 = 25. В данном конкретном случае существование по-
добных функций не вызывает сомнения, так как ими, например,
являются функции у = ]/25—х2 и у = —У25—х2. Продифференци-
руем уравнение х2 + у2 = 25, считая у функцией от х. Получим
2х ф- 2уу' = 0. Отсюда у' = — у.
С подобными задачами приходится сталкиваться в геометрии.
Пусть, например, надо найти касательную к окружности
х2 + у2 = 25 в точке (3; 4). Угловой коэффициент /е касательной
равен производной: k = у', и, значит, в нашем случае k =— ~ . Для
рассматриваемой точки k = — ; поэтому уравнение искомой
касательной можно записать в виде у — 4 = — (х — 3), т. е.
Зх + 4у — 25 = 0.
Метод дифференцирования неявных функций может быть приме-
нен к выводу формул, полученных ранее другим путем.
7. Рассмотрим снова функцию у = ну. Логарифмируя, имеем
lny — vlnu. Дифференцируя результат как неявную функцию,
получим у = и In и-ф у и' ^выражение (In у)' = у называется лога-
рифмической производной функции у (х)), или y'=y(v' 1пнЦ-у и J ;
подставляя сюда у —и1’, мы и получим снова формулу (9.27).
Другой пример: у — arcsin х, значит, x = siny; дифференцируя
как неявную функцию, получим l = y'cosy, откуда / = ^— =
1 1 п д
— -----= _... - . т. е. то же, что и в п. 9.6.
Vi — sin2 у 1/1 — х2
Замечание. Используя теорему 6, можно все получен-
ные нами формулы для производных основных элементарных функ-
ций записать в несколько более общем виде: если и — и(х) — диф-
ференцируемая функция, то
(sin и)' — и' cos и\
(cos и)' = —и sin н;
(tg и)'
и'
CQS2 U
(ctg и)' =
и'
sin2 и ’
(в11)' — е“ и'-,
(1пн)'=у (н>0);
(arcsin„/ = _^;
(arccos и)' — — у——= :
9.8. Гиперболические функции и их производные
145
(иау = ииа~'и' (и > 0); (arctg и)' = ;
(а“)’ = а"и' In а\ (arcctg и) — — . “ 2
Из перечисленных формул видно (при и = х), что производные
основных элементарных функций являются элементарными функ-
циями.
Полученные же нами в совокупности формулы дают возможность
конкретно вычислить производную и дифференциал любой эле-
ментарной функции в случае, если эта производная существует.
Следует иметь в виду, однако, что не всякая элементарная функ-
ция имеет производные во всех точках области своего определения.
Примером элементарной не дифференцируемой во всех точках
функции является функция|х| = jfx2; она, как мы знаем, не име-
ет производной в точке х = 0 (см. п. 9.2).
Упражнение 4. Ответить на вопросы.
Можно или нет
dz
жнв и разделив
dz dz dy
доказать формулу = при dy^O, просто умно-
на dy?
Можно или нет
dx 1
доказать формулу = jJT при dx =£ 0, рааделив числи-
dx
dx
тель и знаменатель дроби на dx?
9.8. Гиперболические функции и их производные
Определение 4. Функции g — и -—— назы-
ваются соответственно гиперболическим косинусом, и гиперболи-
ческим синусом и обозначаются ch х и sh х:
!ЦС-_с1,х. sb л
Справедлива формула
Действительно,
ch2x—sh2x = 1.
(9.28)
146
$ 9. Производная и дифференциал
Справедлива также формула
sh 2х — 2 sh х ch х\
в самом деле,
2 sh х С]1 х = 2 е-^=^ • = = sh 2х.
Эти формулы напоминают соотношения между обычными (как
1.x иногда называют, круговыми) синусами и косинусами. Для
sh х и ch х имеется и ряд других соотношении, аналогичных соот-
ветствующим формулам для sinx и cos %. Этим и объясняется наз-
вание функций shx и chx. Эпитет же «гиперболический» связан
с тем обстоятельством, что формулы
у = a sh i
параметрически задают гиперболу, подобно тому как формулы
x==gcos/, (9 30)
у —a sin/
параметрически задают окружность. В самом деле, если возвести
в квадрат равенства (9.29), вычесть одно из другого и восполь-
зоваться формулой (9.28), то мы получим уравнение х2—у2 = с2,
т. е. каноническое уравнение гиперболы.
Подобным же образом из уравнения (9.30) вытекает
х2 у2 = а‘, т. е. уравнение окружности.
Найдем производные гиперболических синуса и косинуса.
Замечая, что (е~х)'~—е~х, имеем
(ch х)' = ) = в~~=Т— = sh х<
(sh х)' = —) = е ~— = ch х.
Таким образом,
(ch х)' — sh х, (sh х)' — ch х.
, т sh х ch х .
Частные и по аналогии с обычными синусами и ко-
синусами называются соответственно гиперболическим тангенсом
и гиперболическим котангенсом и обозначаются
sh х
-г- = th х;
ch х
ch х
sh х
= cth x.
9.Я Гипргбпnii'icri-tip фннкшт и rir пртпппИчыс
14?
Упражнения. 5. Вычислить производные th х и cthx. Построить
графики функций y = chx, у — sh х, y = thx и у = cth х. Найти производ-
ные их обратных функций. Выразить указанные обратные функции и их
производные через логарифмы.
6. Вычислить производные следующих функций в тех точках, в которых
они существуют:
1. у = х2(х8 — I)1.
х2 + I
2- + 1 •
3. у =Ух •
I
4. У=—•
Г X
5. у = х2 sin 2х + 2х сое х I п х.
х cos х
6. y = lntg7-2^T.
7. y = ^xctg2x— 7 In arctg Зх.
8. у — arcsin х.
1
9. у = arccos —.
11. у = xVq2 — x2 + «2arcfg —.
Iz. y=ln (x + У x2+<?2).
x+ I
13. у = arctg j- .
arcsin x 1 J—x
14 У = yr=^+ 2 )пГГх
15. у — x •
16. у — ХЛ° + x° + (lxX.
17. у = (sin х)РО' л Ч- (со x)s,nz.
ch х л
18. у = -— — In cth ту
у snx
1
19. у = arccos^.
b 2 У а3 — Ь2 Л| Ла — b х А
20. у = -х+------------arctg |/ th 7) (0 < ft < а).
148
§ 10 Производные и дифференциалы высших порядков
§ 10. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
10.1. Производные высших порядков
Определение 1. Пусть функция f(x), определенная на
интервале (а, Ь), в каждой точке х £ (а, Ь) имеет производную f'(x)
и пусть x(i £ (а, Ь). Производная функции f'(x) в точке х0
называется второй производной функции f и обозначается f"(x0]
или f (2)(xG).
Таким образом, /" (х0) = [/' (х)]' |г=лг или, опуская обозначе-
ние аргумента, у"=(у')'. Аналогично определяется производ-
ная любого порядка п~ 1,2, ...: если существует про-
изводная у*"-1* порядка п—1 (при этом под производной ну-
левого порядка подразумевается сама функция у<°> = у), moyin} =
Вспоминая определение производной (см. п. 9. 1), определе-
ние /г-и производной в точке х(, можно записать в виде предела:
f{n (Хо+А*)—(*о) 1 о
/<«) (х0) = hm -—~, п= 1,2.................
Дл-0 &х
Отметим, что когда говорится, что функция f имеет в точке х0
производную порядка п, т. е. что существует fw(x0), то отсюда
следует в силу определения производной, что в некоторой ок-
рестности точки х0 у функции f существуют все производные
низших порядков k <ф п, в частности, сама функция f определена
в некоторой окрестности точки х0.
Определение 2. Функция f называется п раз непрерывно диф-
ференцируемой на некотором промежутке, если на атом про-
межутке существует производная п-го порядка функции f
и эта производная непрерывна.
Примеры.
1. у=х3, у'=3х2, у" = 6х, у<3)=6, у<4> = у(5> = ...=0.
2. у=«Л, у'=ах Inn, у"—ах ln2«, у^)=ах In3а. Вообще по
индукции легко устанавливается, что у(п> = а* 1ппа. В частности,
(еЛ)(п)=еЛ, /1=0, 1,2,....
3. y=sinx. Вычисляя последовательно производные, получим
y'=cosx, у" — —sinx, у<3>=—cosх, y<4>=sinx, далее производные
повторяются в том же порядке. Чтобы получившийся результат
записать одной формулой, заметим, что cos а=sin (а -ф и по-
Jt \ И ( I \ * { 4, I О
x + ^-j, у =cos(x + -g-J=sin ^х + 2-2
10.2. Свойства производных высших порядков 149
этому у' = cos х = sin
и т. д.
По индукции (sinx)<"> = sin^x-(-для любого п= 1,2,....
4. y = cosx. Замечая, что — sin а = cos (а-ф-^J, аналогично
предыдущему примеру получим
(cos х)(,г) = cos / х + д-^-j, и = 1,2.
10.2. Свойства производных высших порядков
Теорема 1. Пусть функции y^—h (х) w у2 =/2 (х) плгею/и
производные п-го порядка в точке х0, тогда функции J'j + y2 =
= fi (х) + fz (Л) и УгУг — К (х) fz (х) также имеют производные
п-го порядка в точке х0, причем
(Ут + У^’^уТ + у^, (10.1)
( У1 у2)1п) = УУ2 + Сп У1”-0 У21 ’ + Сп У{Г*} У2 + - + У1 У21) =
=2^)Г)уГ, <10-2)
k^O
где, как обычно, С„ обозначает число сочетаний из п элементов
по k, k = 0, 1, 2, ..., п.
Формула (10.2) обычно называется формулой Лейбница*», ее
символически можно записать в следующем виде, удобном для за-
поминания:
(У/ y2)<n) = (yi+y2)i")-
Индекс {п} означает, что выражение (ут + y2)("} записывается по-
добно биному Ньютона, т. е. в виде суммы с теми же коэффициента-
ми, что и у бинома Ньютона, только вместо степеней уц и у2 берутся
их производные соответствующего порядка (см. (10.2)).
Формулы (10.1) и (10.2) доказываются по индукции. При п—1,
т. е. для производных первого порядка, они были доказаны в п. 9.5.
Пусть теперь эти формулы справедливы для производных /г-го по-
рядка. Докажем их справедливость для производных порядка
п + 1.
) Г. Лейбниц (1646—1716) — немецкий философ и математик.
150
f 10. Праизводные и дифференциалы высших порядков
В случае суммы функций имеем
0'1 + У2)(”+1} = 1(У1 + У2)(,,)1' = 6'‘Г’ + У 2°)' =
= (у(1п))'+(у^)'=у(”+1’+уГ1).
Формула (10.1) доказана.
В случае произведения функций выкладки несколько сложнее:
O'O'^+'^Kyi^n'^fs =
Ln=o
=2 с^у^+’^у^+у^’у^1’] =
k^O
- Z. Cn)l у 2 ~V Zj СлУ1 У 2 =
k=0 h=0
- v<°) I V ck v(.n+1-*) vw_l y' Ck v(n~k} ,,(*+'> I Д0’ ,,("+!)
^-У1 У 2 + CZ1)1 У2 + Zd С«У1 У 2 +У1 у2
fe=l k^O
Теперь объединим первые слагаемые полученных сумм, вторые и
т. д. Тогда
(у1у2)<"+1’ =y?+I)>40> + S (^+cr1)y(>''+1-p)y(/)+y(10)y(2n+1’.
Отсюда, замечая, что C^-J-Cf,-1 — C„+i *>, получим
(У1У2)<^ n = yV!+1)yP + i С^у(1',+1~Р)уГ +
Л-i- 1
, .,(0) .,(«+!)_ у гр, . i/M-l-P) П,(Р)
+ У1 у 2 — Z U1+1 У1 у 2 •
р=0
Формула (10.2) доказана.
Следствие. Если с — постоянная, а у = f (х) — функ-
ция, имеющая производную п-го порядка в точке х0, то и функция
cf(x) также имеет производную порядка п в точке х0, причем
(су^п} = су^. (10.3)
Действительно, если в формуле (10.2) положить }ц = с, у2 = у,
мы и получим формулу (10.3). Впрочем, эта формула следует также
«) В самом деле, зафиксируем один из п + 1 элементов, из которых
составляются сочетания по р элементов. Тогда число сочетаний, в которое
вошел этот фиксированный элемент, равно Ср— *, а число сочетаний, в кото-
рые он не вошел, равно Ср, поэтому = Ср— 1 + Ср.
\10.9. Производные высших порядков от сложных функций
151
очевидным образом и из п-кратного применения формулы (9.19)
1к функции су
Рассмотрим пример. Пусть y = x3s:nx. Найдем с помощью
формулы Лейбница производную у<10). Имеем
(xs si п х)<10) — л'8 si и (х + 10 10 • Зх2 si п (х 4- 9 • 4*
4- 10-9-3xsinfхф8--^+ 10-9-8 sin (X4-7-4-V
~ —х3sin x + 30x2cos% + 270xsinx—720cosx.
10.3. Производные высших порядков
от сложных функций, от обратных функций
и от функций, заданных параметрически
Пусть функция у — у(х) имеет вторую производную
в точке х0, а функция 2 = г(у) имеет вторую производную в точ-
ке у0=у(хи). Тогда в некоторой окрестности точки х0 имеет смысл
\ сложная функция г!у(х)1 а она также имеет в точке х0 вторую
производную, причем
„ л , „
zxx^-zyvyx-\-zvyxx. (10.4)
Действительно, поскольку существуют производные у"(х^ и
г"(у0), то существуют производные у'(ха) и г'(у0). Следовательно,
функции у(х) и z(y) непрерывны соответственно в точках х0 и у0.
Поэтому в некоторой окрестности точки х0 имеет смысл сложная
функция z = z[y(x)l. Дифференцируя ее и опуская для простоты
обозначение аргумента, имеем
zx = г'уу'т,
дифференцируя еще раз по х, получим
Zxx = (^у)л yX 4~ Zy Ухх — Zyy Ух 4“ Zy yxX‘
Формула (10.4) доказана.
Аналогичным образом при соответствующих предположениях
вычисляются и производные высших порядков сложной функции.
Этот метод позволяет также доказывать существование и находить
производные высших порядков от обратной функции.
Пусть функция у — у(х) определена, непрерывна и строго мо-
нотонна в некоторой окрестности точки х0 (ср. п. 9.6) и пусть
в точке х0 существуют производные у' и у”, причем у'(х0) =1= 0, тогда
и обратная функция к — х(у) имеет вторую производную в точке
у0 = у(х0), причем она может быть выражена через производные
у' и у" функции у(х) в точке х0.
152
$ 10. Производные и дифференциалы высших порядков
В самом леле, опуская, как и выше, обозначения аргумента,
согласно теореме 5 § 9 (см. п. 9.6), имеем ху — Л. Беря произвол-
Ух
ную по у от обеих частей и вычисляя ее от правой части по правилу
сложной функции, получим
(—У ' _ . _2_ = —
Хуу— (Ху/у-- 1'1 Ху -- ~ • - ,3 •
\Ух)х Гл Ух у.
Аналогично при соответствующих предположениях вычисля-
ются и производные высших порядков для обратной функции. По-
добным же образом можно поступать и в случае так называемого
параметрического задания функции.
Определение 3. Пусть функции х = х(/) и у = у(1) опреде-
лены в некоторой окрестности точки 1(. и одна из этих функций,
например х = х(1), непрерывна и строго монотонна в указанной
окрестности, тогда в этой окрестности для функции х(/) сущест-
вует обратная функция t = t(x), а в некоторой окрестности точки
х(, имеет смысл суперпозиция
у(х) = у(/(х)).
Эта функция у(х) и называется параметрически заданной функ-
цией
Выведем формулы для дифференцирования параметрически
заданных функций.
Если функции х(1) и y(t) имеют в точке 10 производные и если
х'(/0) 4= 0, то параметрически заданная функция y(t(x)) также
имеет в точке xG = х(/0) производную, причем
(Ю.5)
xt О<>)
В самом деле, по правилу дифференцирования сложной функции
имеем (опуская обозначение аргумента)
Ух^у'н'х', (10.6)
по правилу же дифференцирования обратной функции
G = -U (10.7)
Н
Из формул (10.6) и (10.7) и следует формула (10.5).
Если, кроме того, существуют Xi,(t0) и yz, (/0), то сущест-
вует и ухх (х„), причем
10.3 Производные высших порядков от сложных функций
153
Аналогично вычисляются производные более высокого порядка па-
раметрически заданных: функций.
Рассмотрим в качестве примера параметрически заданную фу ню
цию
x=a(t— sin/),
у = <7(1 — COS/),
— оо / <ф -| - оо.
График этой функции называется циклоидой (рис. 29). Пусть для
определенности а 0, тогда функция х(/) = a(t — sin /) стро-
го монотонно возрастает. Действительно, пусть Д/ > 0, тогда,
„ , . А/ , А/
замечая, что 0 < sin -х-<-х-, ltz
имеем
х(/+Д/) —%(/) =
— а{ &t— [sin (/ + Д/)—sin/]} =
= а^Д/—2 cos (/ + ~ j si n
>0^/—2-1- =0,
что и означает строгое монотонное возрастание функции х(/). В
силу этого свойства существует однозначная обратная функция
/ = /(х).
Далее.
t
xt = a({— cos/) = 2a sin2*^->0, yz = asin/,
и x'i обращается в ноль только в точках вида
/ = 2/гл, 6 = 0, ±1,±2.............
Поэтому, если / =/= 2kn, го, согласно правилу дифференцирования
функции, заданной параметрически, имеем
. У1
у-=т:
/ ± t \' / 1 V 1
^ = (с‘еД.“С 8
sin±_ = ctg —•
О 2 / ё 2 ’
2 sin2 —
2
1. 1 = 1
2sin2— 2asin2-L 4 sin4 —
2 2 2
154
f 10. Производные и дифференциалы высших порядков
10.4. Дифференциалы высших порядков
В настоящем пункте мы для удобства будем иногда вместо
символа дифференцирования d писать букву б, т. е. вместо dy, dx
писать равнозначные выражения бу, бх.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема на некотором интер-
вале (а, Ь). Как мы знаем, ее дифференциал
dy = f'(x)dx
является функцией двух переменных: точки х и переменной dx.
Пусть функция f'(x) в свою очередь дифференцируема в некоторой
точке х„ ф(<7, Ь). Тогда дифференциал в этой точке функции dy,
рассматриваемой как функция только от х (т. е. при некотором
фиксированном dx), если его обозначить символом б, имеет вид
б (dy) = б [/' (х) dx] |л=Ло — [/' (х) dx] |х=х° бх = f" (xG) dx дх. (10.8)
Определение 4. Значение дифференциала b(dy), т. е. диффе-
ренциала от первого дифференциала, при dx — бх называется вто-
рым дифференциалом функции f в точке хи и обозначается Фу, т. е.
d2y=f" (xu)dx2. (10.9)
Заметим, что в силу этого определения еРх = 0, ибо, при
вычислении дифференциалов мы считаем приращение dx = Ах
постоянным.
Подобным же образом в случае, когда производная (п — 1)-го
порядка у("—** дифференцируема в точке х0 или, что эквивалентно,
когда в точке х0 существует производная /г-го порядка у('“, опреде-
ляется дифференциал п-го порядка d’y функции у = f(x) в точке
х0 как дифференциал от дифференциала (и — 1)-го порядка J"-1 у,
в котором взято бх = dx'.
d-y =6(^-'y)lbA^..
Покажем, что справедлива формула
dny = y^dxn, п — 1,2,... (10.10)
(для простоты не пишем обозначения аргумента).
Доказательство этой формулы проведем по индукции. Для п -- 1
и п = 2 она доказана. Пусть эта формула справедлива для диффе-
ренциалов порядка п—1:
dn~~L у — у<“~!> dxn-*.
10.4. Дифференциалы высших порядков
155
Тогда, согласно данному выше определению, для вычисления диф-
ференциала /г-го порядка d"y надо взять сначала дифференциал
(мы его обозначим символом 6) от дифференциала d'l-'y:
6 (dn~l у) = б (у*"-1 > dx"-') = ()'("-*> dx11-')' bx = у(«> Ьх dx11-1,
затем положить bx — dx:
dny = 6 (//«-> у) (8д=сх = у<«) dx'1.
Формула (10.10) доказана.
Из формулы (10.10) следует, что
у(«) = ^ (10.11)
ахп ’
Отмстим некоторые свойства дифференциалов высших порядков.
1- d" (ух + у.2) = d" y^d" у*.
2. d" (cy) = cd"y, с — постоянная.
п
3. d" (ут уг) = 2 Ckn dn~k у! dk у2, или, употребляя символиче-
скую запись,
d" (JT Уг) == (ctyi + dy.^n'',
где для какой-либо функции и мы считаем
(dw/=d" и k = 0, 1,2......./г, d° и = н(0> dx° = и.
Эти формулы непосредственно следуют из соответствующих
формул для производных /г-го порядка (см. (10.1), (10.2), (10.3)
и формулы (10.10)).
Важное замечание. Формулы (10.10) и (10.11)
справедливы, вообще говоря, при п 1 (в отличие от случая
п = 1) только тогда, когда х является независимым переменным.
В случае дифференциалов высших порядков по зависимым пере-
менным дело обстоит сложнее.
Пусть г = z (у), у = у(х), имеет смысл суперпозиция z[y(x)] и
функции г (у) и у (х) дважды дифференцируемы. Тогда
dz = zy dy,
дифференцируя еще раз и не прибегая для простоты записи к сим-
волу 6, т. е. считая запись d (dz) равносильной записи 6 (dz)\t,x=dx
(так всегда и поступают на практике), получим
da z = d (dz) = d (zy dy) = d (zy)dy -]-Zyd (dy) ~ zyy dy2 ф- zy d2y (10.12)
156 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
(мы написали dz’ = z'yydy на основании формулы (9.26), т. е. ис-
пользовав инвариантность первого дифференциала).
Сравнивая формулы (10.9) и (10.12), мы видим, что они отлича-
ются вторым членом, и так как, вообще говоря, сРу^=О, то они су-
щественно различны. Деля обе части равенства (10.12) на dx2, мы
получим формулу второй производной для сложной функции:
%хх — %уу У х 4* Т-у У XX,
которая была нами получена раньше (см. (10.4)) другим путем.
Подобным же образом могут быть вычислены дифференциалы и
производные высших порядков сложной функции.
Упражнение 1. Вычислить производные и дифференциалы;
у(8) для функции у= Д/х;
у(50) ДЛЯ утд функции у = ~т=^ ; У •+*
yw ДЛЯ ох-р Ь функции у =7^>
yw для функции у = sin3 х;
yOO для функции у = X ch х;
dn у ДЛЯ функции у — хп ех\
In X
dn у ДЛЯ функции у= ——;
Ухх ДЛЯ функции х = 21—t2, у = 31 — I3;
УXXX для функции % = а (1 — sin 1), у = и (1 — cos 1);
у 'х И Ухх ДЛЯ функции х = у — о sin у;
Ух 11 Ухх ДЛЯ функции хг~У2ху — у2 = 1.
§ 11. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ
ФУНКЦИЙ
11.1. Теорема Ферма
Теорема 1 (Ферма*1). Пусть функция f определена на
некотором интервале (а, Ь) и в точке g £ (а, Ь) принимает наиболь-
шее или наименьшее значение на (а, Ь). Если производная /'(g) суще-
ствует, то она равна нулю.
Доказательство. Пусть для определенности функция f
в точке g принимает наибольшее значение, т. е. Дх) < /(g) для
*) П. Ферма (1601—1665)—французский математик.
11.1. Теорема Ферма
157
всех х^(а, Ь). Тогда
если x<CL и
/(*) —НЕ) >0
И*)-НЕ) <0
Д' — Е :
(И.1)
(И-2)
если х >
с г f(x)— f (Е)
Если существует производная f (() — lirn , товпре-
деле при x->g—0 из неравенства (11.1) получим, что /'(g)>0,
а из неравенства (11.2) при x->g-|-O, чго f (g) < 0, что возмож-
но лишь в случае /'(g) = 0.
Теорема доказана.
Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том,
что, если в точке g £ (а, Ь) функция f принимает наибольшее или
наименьшее значения, то касательная в точке (g, /(g)) к графику
функции параллельна оси Ох (см. рис. 30).
Замечание. Если функция f определена на отрезке [а, Ь],
то в случае, когда она принимает наибольшее или наименьшее зна-
чения на одном из концов а или b и когда на этом конце существу-
ет производная (естественно, односторонняя производная, так как
только о ней и можно говорить в этом случае), то она, вообще го-
воря, не равна нулю. Так, например, рассматривая функцию у = х
на отрезке [0; 1], видим, что эта функция в точке х = 0 принима-
ет наименьшее, а в точке х = 1 наибольшее значения, однако как
в той, так и в другой точке производная равна единице (рис. 31).
158
$ 11. Теоремы о среднем дли дифференцируемых функций
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
о средних значениях
Теорема 2 (Ролль®’). Пусть функция f:
1) непрерывна на отрезке [а, Ь];
2) имеет в каждой точке интервала (а, Ь) производную;
3) /(«) = f(b),
тогда существует такая точка g, что /'(g) = 0, а <С g <С Ь.
Доказательство. Мы уже знаем, что функция, непре-
рывная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значения
в некоторых точках этого отрезка (см. п. 6.1). Пусть М = шах /(х),
т = min /(х), тогда для всех х £ la, /Л выполняется неравенство
т < /(х) М.
Если т — М, то функция / постоянна и, значит, /' s 0 на
[fi, Ь]. В качестве точки £ можно взять любую точку интервала
(fi, b).
Если же т М, то из условия /(fi) = /(Ь) следует, что хоть
одно из значений т или М не принимается на концах отрезка [о, Ы.
Пусть этим значением является М, т. е. существует такая точка
g£(fi, b), что /(g) = М. В этом случае из теоремы Ферма следу-
ет, что /'(g) = 0.
Теорема доказана.
Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непре-
рывной на отрезке и дифференцируемой внутри его функции, при-
нимающей на концах этого отрез-
ка одинаковые значения, сущест-
вует точка, в которой касательная
параллельна оси абсцисс (рис. 32).
Заметим, что все предпосылки
теоремы Ролля существенны.
Чтобы в этом убедиться, доста-
точно привести примеры функций,
для которых выполнялись бы два
из трех условий теоремы, третье
же не выполнялось и у которых
не существует точки g, такой, что
= 0- (При этом в силу условия 3, в котором говорится о зна-
чениях функции в концевых точках промежутка, следует рассмат-
ривать лишь функции, определенные на отрезках.)
Функция /(х), определенная на отрезке [0; 1] п равная х, если
0 х < 1, и 0, если х = 1, удовлетворяет условиям 2 и 3, но не
удовлетворяет условию 1 (рис. 33).
Функция /(х) = | х|, Хг [—1; 11 удовлетворяет условиям 1 и 3,
но не удовлетворяет условию 2 (рис. 34).
*> М; Ролль (1652—1719) —французский математик.
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях
159
Наконец, функция у = х, Х0О; II удовлетворяет условиям 1
и 2, но пе удовлетворяет условию 3 (см. рис. 31).
Для всех этих функций не существует точки, в которой их про-
изводная обращалась бы в ноль.
Заметим, что построением соответствующих примеров (если,
конечно, это удается сделать) и проверяют обычно в математике
существенность тех или иных условий доказываемых теорем.
В дальнейшем мы не будем проводить проверки необходимости
условий теорем, предоставляя это делать учащемуся по мере внут-
ренней потребности.
Упражнения. 1, Доказать, что, если функция / удовлетворяв!
условиям теоремы Ролля на отрезке [а, 6] и не является постоянной, то на
этом отрезке существуют такие точки jjj и |.2, что f'(?i) > 0 и Г Иг) < 0.
2. Привести пример функции непрерывной на отрезке (а, 6|, имеющей
производную в каждой точке интервала (а, Ь), но не имеющей производной
(односторонней) в точке а.
Теорема 3 (Лагранж *>). Пусть функция I непрерывна на от-
резке [а, и имеет производную в каждой точке интервала (а, Ь),
тогда существует такая точка S, что
f(b)-f(a)^f &)(Ь-а\а<Л<Ь. (11.3)
Эта теорема является, очевидно, обобщением теоремы Ролля.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функ
цию
F(x) = f(x)—Ах, (11.4)
где число X выберем таким образом, чтобы F(a) — F(b), т. е. чтобь
f(a) — Fa = f(b) — Fb. Для этого достаточно взять
(11.5)
Ь — а * 4 '
) Ж. Лагранж (1736—1813) — французский математик и механик.
160
§11. Теоремы о среднем для дифференцируемых функцш
Для функции F(x) выполнены все условия теоремы Ролля: F(x)
непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема на интервале (а, Ь)
и принимает на концах одинаковые значения, поэтому существует
такая точка Е, что F'(E) = 0,
Рис. 35
хорда, соединяющая точки А
равно тангенсу угла наклона |3
а <[ g <’ Ь. Из (11.4) получаем
F'(x') = f\x) — поэтому
f(g) — 'F = 0. Подставляя сюд:
X из (11.5), получим
= (И.6)
Теорема доказана.
Геометрический смысл тео-
ремы Лагранжа состоит в сле-
дующем (рис. 35). Пусть
А = (a, f (а)), В = (b, f(b)) -
точки графика функции f,AB—
D 'Г ВЬ) - /(fi-
ll В. 1огда отношение ----
Ь — а
хорды АВ к оси Ох, т. е.
f(b) —f(a)
b — а
= tg₽,
а производная f(g), как известно (см. п. 9.3), равна тангенсу уг-
ла наклона а касательной к графику функции f в точке (£, /(£)),
т. е.
r(£) = tga,
и равенство (11.6) может быть переписано в виде
tga = tg₽.
Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что в условиях
теоремы должна найтись точка g (может быть, и не одна — см.
рис. 35, точки и Е"), в которой касательная к графику парал-
лельна хорде АВ.
Теорема Лагранжа найдет ряд важных приложений в даль-
нейшем.
Приведем другие формы записи формулы (11.3). Пусть
а < £ <Ь и = 6. Тогда
£ = а-ре(6—а), 0<0< 1.
(П.7)
Обратно, если g выражается по формуле (11.7), то, как легко
видеть, а < g < b. Таким образом, в виде (11.7) могут быть пред-
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях
161
ставлены все точки интервала (а, Ь) и только эти точки. Поэтому
формула (11.3) может быть записана в виде
1(b)—f (а)--= f'[а + 8 (Ь—а)] b — а), 0<0<1. (11.8)
Положим теперь а = х, b—а = Дх и, значит, b — х + Дх,
тогда (11.8) перепишется в виде
/(хф-Дх)—f (х) =/' (хф-О Д х Дх, 0 <^0<^1. (Н-9)
Формула (11.9), а также, конечно, равнозначные ей формулы (11.3)
и (11.8), называется формулой конечных приращений Лагранжа,
или просто формулой конечных приращений в отличие от прибли-
женного равенства
/(хф- Дх)—/(х) (х) Дх, (11.10,
которое иногда называют формулой бесконечно малых приращений.
Эта формула выражает собой тот факт, что левая и правая части
равенства (11.10) равны между собой для дифференцируемой в точ-
ке х функции f «с точностью до бесконечно малых более высокого
порядка, чем приращение Дх».
Замечание. Отметим, что формула Лагранжа (11.3)
может быть переписана в виде
7(ц)-НЬ)=Г(В)(й-&),
где а<^ Ь. Отсюда следует, что формула (11.3) справедлива не толь-
ко в случае а <б Ь, но и в случае а > Ь.
Отметим две леммы, легко доказываемые с помощью теоремы
Лагранжа и полезные для дальнейшего.
Лемма 1. Пусть функция f :
1) определена на некотором промежутке (конечном или беско-
нечном)-,
2) имеет производную, равную нулю во всех его внутренних
точках-,
3) непрерывна в каждом из концов рассматриваемого промежут-
ка, если он ему принадлежит,
тогда функция f постоянна на указанном промежутке.
Действительно, каковы бы ни были две точки xt и х2, xL < х2,
рассматриваемого промежутка, функция f, очевидно, удовлетво-
ряет условиям теоремы Лагранжа на отрезке [хг, х2], и, значит,
/ (*2)—f (A'i) = Г (£) (х2—A'i).
где xt g <C x2. Но, согласно условию 2 леммы, /'(g) = 0, и, зна-
чит, /(хф = /(хф для любых двух точек ху и х2 из области опреде-
ления функции /, что и означает, что функция / постоянна.
162
§ 11. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
Следствие. Если две функции fug дифференцируемы во
всех внутренних точках некоторого промежутка и в этих точках
f = g',
а на концах промежутка (если они в него входят) функции fug
непрерывны, то эти функции отличаются на рассматриваемом про-
межутке лишь на постоянную
f — g = с.
Действительно, функция F — f— g удовлетворяет условиям
леммы, в частности, F' = f—g' — 0 во внутренних точках про-
межутка и потому F = с.
Лемма 2. Пусть функция ф:
1) непрерывна на интервале (а, Ь)-,
2) дифференцируема во всех точках интервала (а, Ь), кроме,
быть может, некоторой точки х0 С (а, Ь);
3) существует lim ф' (х),
тогда существует и производная ф' (х0), причем
ф' (х0) = lim ф(х).
х~~
Действительно, пусть lim ф'(х) = Л. Если а<х<;b их#=х0,
х-»х9
то по теореме Лагранжа ф (х)—ф (х0) = ф' (g) (х—х0), где g £ (х0, х),
если х>х0, и g£(x, х0), если х<х0, отсюда
А - Ду
Будем для определенности считать, что х > х0. Точка g = g(x)
является функцией от х и притом, вообще говоря, многозначной.
Выберем произвольно для каждого х С (а, Ь) одно какое-либо зна-
чение g, тогда получим однозначную функцию (как говорят, од-
нозначную ветвь многозначной функции). Поскольку х0<С g(x) <Гх,
то
lim g(x) = x0.
х->х0
Применяя правило замены переменного для пределов функций
(см. п. 4.5), получим, что существует предел
lim ф'(£) = Л,
11.2 Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях
1ЬЗ
а следовательно, существует и предел
lim Ф (>')— ф (-4) _ д
хи х — х0
Это и означает, что производная ф'(х0) существует и равна А.
У п р а ж н е н и е 3. Пусть функция / непрерывна на интервале (а, Ь)
и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, быть гложет,
некоторой точки Л'о £ (а, Ь). Пусть существуют lim /'(л) и lim /'(л), при-
х-+х0—0 л->*оЧ-0
чем они не равны между собой. Доказать, что при этих предположениях
/'(л0) не существует.
Как в теореме Ролля, так и в теореме Лагранжа (а также и
в нижеследующей теореме Коши) речь идет о существовании неко-
торой точки £, а < £<Ь, как можно сказать, «сред и ей то ч к и»,
для которой выполняется то или иное равенство. Этим и объясня-
ется название «теоремы о среднем» для этой группы теорем. Дока-
жем последнюю нужную нам теорему этого типа.
Теорема 4. (Коши). Пусть функции f и g:
1) непрерывны на отрезке 1а, Ы;
2) имеют производные в каждой точке интервала (а, Ь);
3) производная g' =ф= О во всех точках интервала (а, Ь),
тогда существует такая точка S, что
f (b) — f (а)
g(b) — g (а)
Г (Р
ё' Ю ’
а<ё<й.
(П-11)
Заметим, что из условий теоремы следует, что написанная фор-
мула (11.11) имеет смысл, т. е. g(a) Ф g(b). В самом деле, если бы
g(a) = g(b), то функция g удовлетворяла бы условиям теоремы
Ролля и, значит, нашлась бы такая точка g, что g'(£) — О,
а <С £ <С Ь, что противоречило бы условию 3.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функ-
цию
F(x) = f(x)—lg(x), (11.12)
где число X выберем таким образом, чтобы F(a) = F(b), т. е. что-
бы /(а)—^g(fi) = f(b) — Kg(b). Для этого нужно взять
' 8(b)—g (а)-
(11.13)
Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, поэтому
существует такая точка с, что F'(^) = 0, а < £< Ь. Но из (11.12)
F'(x) = f'(x) — Kg(x), поэтому
164
ij 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
откуда следует, что
Z.=
Г (У
е' W *
Сравнивая (11.13) и (11.14), получим формулу (11.11). обычно на-
зываемую формулой конечных приращений Коши.
Отметим, что формула конечных приращений Лагранжа явля-
ется частным случаем формулы конечных приращений Коши, соот-
ветствующим g(x) = х. Эти формулы доказаны независимо, во-пер-
вых, из-за той важной роли, которую играет формула Лагранжа,
а во-вторых, чтобы иметь возможность, используя одну и ту же
идею, применить ее дважды в доказательствах, причем сначала
для большей наглядности в более простом случае.
Формула Коши (11.11), так же как и формула Лагранжа (11.3),
справедлива не только в случае а Ь, но и в случае а > Ь.
Упражнение 4. Пусть / (х) = х2 ; in при х =£ 0 и / (0) = 0. При-
меним к этой функции на отрезке [0, х] формулу Лагранжа.
1
х2 sin ——
1 1 'I
2cj sin — cos -g~l х,
где 0 < £ < х. Сократим обе части равенства на х ф 0:
1 1 1
х sin = 2 4 sin — cos -g- .
Переходя здесь к пределу при х-*0(при этом, очевидно, £ >0), получим
1
lim cos —е-=0,
£->•0 ч
так как два других слагаемых очевидным обрасом стремятся к нулю. Вмес-
те с тем предел cos _1_ при стремлении аргумента к нулю не существует!
Где ошибка?
§ 12. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ
Если при нахождении предела некоторой функции, заданной
формулой, при стремлении аргумента к некоторой величине (числу
или одному из символов оо, -|-оо или—оо)при формальной подста-
новке этой величины в качестве аргумента в формулу, задающую
л о
рассматриваемую функцию, получаются выражения вида -fy-
— , 0 • оо, оо — оо, 0°, оо°, 0°° или 1°°, то они и называются не
ос
о
12.1. Неопределенности вида _.
165
'определенностями, так как в этом случае по получающимся выра-
жениям нельзя судить о том, существует или пет указанный предел,
не говоря уже о его значении в случае его существования.
Наряду с основным методом нахождения пределов функций ме-
тодом выделения главной части существуют и другие способы оты-
скания пределов; ряд из них, носящих общее название правил Ло-
питаля*\ мы и изложим в этом параграфе.
12.1. Неопределенности вида -£
Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x), определенные на
полуинтервале (а, Ь), такие, что'.
1) /(я) = g(o) = 0;
2) существуют производные (односторонние) f'(a) и g'(a), причем
g'(a) =/= 0, тогда
цП1 £« = Ш
д"';+0^(х) £'(«)•
Для доказательства этой теоремы применим метод выделения
главной части.
Доказательство. В силу условия 2 имеем (см. п. 9.2)
/(х) = f(a) -f- f'(a) (х — а) + о(х — а),
g(x) = g(fi) + g'(fi) (х — а) о(х — а).
Откуда в силу условия 1 следует, что
/(х) = ['(а) (х — а) + о(х — а),
g(x) = g'(a) (х — а) + о(х — а),
т. е. (см. теорему 1 в п. 8.3)
)(х)~/'(«) (х —a), g(x)~g'(a) (х — а)
, при х а + 0. Поэтому (см. теорему 2 в п. 8.3)
lim £W=lim
Х+о 8М i"a+Og'(«)(x-«) g'(«)-
Теорема доказана.
В теореме 1 предполагалось существование производных в точке
а. Докажем теперь теорему, в известном смысле близкую по содер-
жанию к предыдущей, в которой, однако, не будет предполагаться
существование производных f'(a) и g'(a).
Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x):
1) дифференцируемы на интервале (а, Ь);
2) lim f(x) — lim g(x) = 0;
х-+а-\-0 x-*tz4-0
*) Г. Лопиталь (1661—1704)—французский математик.
166
§ 12 Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
3) g'(x) О (>ля всех х г (a, £);
4) существует (конечный или бесконечный)
тогда
1- Г Iх)
предел lirn ,
F ^o+0g'W’
существует и
lim = lim
х-.а+О
Г (х)
g' (X)
Доказательство. В силу условий теоремы функции f и
ц не определены в точке а; доопределим их, положив f(a)=g(a) = 0.
Теперь функции f и g будут непрерывны в точке а и будут
удовлетворять условиям теоремы Коши о среднем значении
(см. п. 11.2) на любом отрезке [п, л], где а < х<' Ь. Поэтому для
каждого х, a<Zx<^b, существует такое » = SU)C(°> х)> что
f(x} _ f(x)—f{a} _ f(E) ।
g(x) g(x)-8(a) £'((;)• u ’
Фиксируя для простоты для каждого х одно из указанных
значений £, получим, что lim tAxf-a (ср. с доказательством
л->« + 0
Г м
леммы 2 в п. 11.2). Поэтому, если существует lim ==k,ro
x->u+0 8 W
из правила замены переменного для пределов функций следует,
что существует и lim -rrtk — k- Теперь из (12.1) получаем
х^-а+О 8 №
lim -Ц^=Пт 441г
х->а-т~(д g (х) х-^а-уо g' (У
Теорема доказана.
Теоремы 1 и 2 остаются справедливыми с естественными видо-
изменениями и для случая х -> а — 0.
Теорема 3. Пусть функции fug:
1) дифференцируемы при х^> с;
2) lim /(х) = 0, lim g(x) = 0;
Л—*-}-00 х—»-гсо
3) g’ (х)=^0 для всех х>с;
4) существует (конечный или бесконечный) предел
lim
Г (х)
g' (х) ’
тогда существует и
lim = lim LIT).
Л-Н-оо g (x) X—|-oo g (Л)
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать с^> 0 (если с<( 0, в качестве новогос возьмем, например,
12.1. Неопределенности вида g-
167
с= 1). Сделаем замену переменного г == у. Функции и g(y)
/Л i \
определены на интервале 0, — ; условию х-> +« соответствует
условие t -> +0; на интервале ^0, —j существуют производные
/ 1 \ /' 1 \
V) _ ,m_L
dt ' I t ) t2 ’ dt 8 { t ] t2 >
где штрихом обозначены производные функций / и g по первона-
чальному аргументу.
Из сказанного и условий теоремы следует, что функции
f(—и gf-V) на интервале (о, —1 удовлетворяют условиям 1,
2 и 3 теоремы 2.
f' ( ^ )
Покажем еще, что из существования предела lim С—
» —-J-oofe <А)
который мы обозначим через k, следуют существование предела
[jm —Ё?-----и равенство его/?, т. е. что выполняется и послед-
dg (4)
нее условие 4 теоремы 2. Действительно,
Теперь из теоремы 2, примененной к функциям f I—I и gl-^j , сле-
дует, что
168
§ 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопишля
Теорема доказана.
Эта теорема остается верной при соответствующем видоизме-
нении и при х— оо.
12.2. Неопределенности вида —
Теорема 4. Пусть функции f(x) и g(x):
1) дифференцируемы на интервале (а,
2) lim /(х) = оо, lim g(x) = oo;
3) g' (х) =£0 на (а, б);
4) существует конечный или бесконечный предел
lim
х^+о s (X) >
тогда существует и
(12.2)
lim
к—>с-|-0
Щ = Пт
S W х -.л-|-0
Г м
g’ (х)’
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать g(x) =/= 0 и f (х) =/= 0. Действительно, из условия 2 следует
существование такого т] > 0, что для всех х £ (а, а+т]) указанные
неравенства выполняются.
Пусть сначала предел (12.2) конечен и lim = k.
Пусть фиксировано какое-либо е > 0. Выберем б >- 0 так, чтобы
для всех х, удовлетворяющих условию а <С х а + 6, выполня-
лось неравенство
Зафиксируем какое-либо х0 так, что а х0 < а + б, тогда
для любого х, удовлетворяющего условию а < х < х0, по теореме
Коши существует такое что
f(x) — f (л-0)
g (х) — g (л-р)
х<1<х0,
оо
/2.2. Неопределенности вида —
168
Отсюда 1(х) . £(х) " 1 — /(Хр) f (х) g (х) g’(ij)
и, значит, f (X) Г & _g(Xp) g (X)
£(х) £'Д) /(Хр)
I (х)
(12.4)
Нам надо доказать, что левая часть, а следовательно, и правая
часть этого равенства стремятся к k.
Для первого сомножителя правой части равенства (12.4) при
х0, стремящемся к а 4* 0, имеем
lim
g' (5)
а для второго при фиксированном л0
. g (х0)
lim --------гг—г = 1-
*—«4-0 < f (*>)
1(х)
Таким образом, первый сомножитель может быть сделан сколь
угодно близким к k за счет выбора х0, достаточно близкого
к а, а второй сомножитель может быть сделан близким к единице
за счет выбора х, достаточно близкого к а при фиксированном х0.
Тем самым здесь нельзя просто использовать теорему о произ-
ведении пределов, а придется сделать последовательный переход
к пределу, т. е. сначала выбрать х„ достаточно близко к а, а затем,
зафиксировав его, образно говоря, устремить х к а.
Положим
а1 = та~^’ (12,5)
Точка £, а потому и функция ах зависят от точек х и ха однако при
любом их выборе, таком, что а<л<^х0<Сй~й6|В силу нера-
венства (12.3) имеем
8
Т •
l«il
(12.6)
170 <$ 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
Положим, далее,
8 (*о)
8 (х)
а2(х) = --^-1, (12.7)
f(x)
очевидно,
lim а., (х) = 0. (12.8)
z -47-l О
Из (12.4), (12.5) и (12.7) следует, что
— = (« + «1Н1 + «2 (х)) = /г + «] + (А> -и а,) а, (х). (12.9)
Выберем теперь 6е так, чтобы при а < х <, а + бе выполня-
лось неравенство
I а2 (х) К 2( | /? |+е) • (12.10)
Это возможно в силу (12.8).
Из неравенств (12.6) и (12.10) следует, что для всех х, удовлет-
воряющих условию « <С * <С а + 6Е, выполняются неравенства
j«i+(« + ai)a-2WKIail + (i/',l + lai 1)|«2Х|<
е , /, . । . е ) 6 е . е _
<-2~+ 2( |Л | + е) + ~ 8>
If М I
— k < е при а < х < а 6Cj
что и означает существование предела
.. НХ) Z.
lim —= k.
™+о 8 (х)
гл 1- f (х)
Пусть теперь lim = тогда в некоторой окрестности
х 8 W
точки а имеем f' (х) ¥= 0 (почему?) и lim /*- = 0. Поэтому,
согласно доказанному выше, lim =0, откуда и следует,
Х-Ч74-0 I W
1- f(x)
что lim 4тл=°°-
^+0 8 (х)
Теорема доказана. Она остается справедливой и для случая,
когда х ->а—0, а также для случая х-> — оо их-> + оо.
Из сказанного, очевидно, следует, что правило Лопиталя спра-
ведливо не только для односторонних, но и для двусторонних пре-
делов.
12.2 Неопределенности нида
«71
Примеры
пределов
на применение правила Лопиталя к нахождению
1. Найти
lim
а>0.
ха ’
Замечая,
что
0n*)' = V>
•а—1
и что
1
lim —-—г = —lim =0,
х—»_1_оо ах «-> а х_ , „о ха
получаем, что
1- 1ПХ Л
lim =0.
„ „а
Это означает, что при к -Too функция 1п х растет медленнее,
чем любая положительная степень х.
Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько
раз.
хп
2. Найти lim —, где п—натуральное число иа>1,
X->+оо ах
хп (х") пхл
lim — =hm 7—~ = lim —---------------------------------
д-—>_L-oo d х—>-F-оо \Q ) х—*-Т-00 о In а
х->+оо ах\ппа
= 0.
(12.11)
Таким образом, при х -> + оо любая степень хп растет медлен-
нее, чем показательная функция ах, 1.
3. Следует иметь в виду, что проведение вычислений по типу
(12.11) оправдано только в том случае, когда в результате полу-
чается конечный или бесконечный предел. Так, например, было бы
ошибкой написать
lim
X—»оо
*~sin* =lim
x-pslnx x-»oo (X +sln x) ’
так как предел
lim
OG
(x — sin x)'
(X -p sin x)'
lim
x—00
1 —COS X
1 -f- cos x
172
$ 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
не существует (почему?). Вместе с тем данная неопределенность
вида — может быть элементарно раскрыта:
lim
Х->оо
х — sin л*
х + sinx
= lim
Х-»оо
sin х
1 —-----
-----Л-- 1.
, sin х
1 + х
Упражнение 1. Пусть f(x) = x2sin—, g(x) = sin х. Наити в этом
х
f (-"с)
случае lim и доказать, что для этого примера правило Лопиталя не-
х_»о S Iх)
применимо.
4. Неопределенности 0°, оо°, 0°° или 1°° можно раскрыть,
предварительно прологарифмировав соответствующие функции.
Например, чтобы найти lim х*, следует найти предел
л--»4-0
1
lim х In х = lim =— lim —£—= —limx = 0.
х~+0 х^+0 1 х->+0 _ *-+0
X X2
Поэтому в силу непрерывности показательной функции
lim хх = lim е* Inx= 1.
Х-.+О Л-4 -о
Неопределенности вида 0-оо и оо—оо следует привести к виду
~ или Ц. При этом, как и всегда при применении правила Лопи-
таля, по ходу вычислений рекомендуется упрощать получающиеся
выражения. Поясним это на примере.
5. lim(——ctg2x\ = lim
х-0 \ Х ]
sin2 х — х2 cos2х
х2 sin2x
Заметим, что
sin2 х — х2 cos х _ sin x + x cos x sin x — x cos x
x2sin2x sinx ’ x2sinx
Предел первого сомножителя правой части находится непо-
средственно:
sinx+xcosx .. , , , х \ о
lim ----!----- = limj 1 4- -— cos х =2,
л-»о sin* ^sinx )
13 1 Рывод формулы Тейлора
173
а предел второго — с применением правила Лопиталя:
.. in к—л cos х .. xsinx
lim-----—------= lim -n—;----j—г,----=
0 x* sin к о 2 x sin x + cos x
X *° 2~*~ sinx cos *
Таким образом,
lim —ctg2x) =
x-0\x /
Упражнение 2. Найти пределы:
2. lim л°1п x, e > 0.
Л'-Ч-О
i
3. lim xl~x
x->l
( 1 \
4. lim etg x — — .
x-o \ x /
§ 13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
13.1. Вывод формулы Тейлора
Если функция y~f(x) имеет в точке ха производ-
ную, то ее приращение можно представить в виде
Ду = АДх + о (Дх),
где Дх = х—х0, Ду = Нх)—у0, y0 = f(x0) и Л = Г(х0), т. е.
f (х) = у0 + Л (х—х0)ф-о (х—х0). Иначе говоря, существует линей-
ная функция
Pi(x) = у0 + А(х—хс), ЦЗ. 1)
такая, что
f(x) = P1(x) + o(x—х0),
причем
P1M = y0 = f(x0), Pi (х0) = А = Г (’со-
поставим более общую задачу. Пусть функция f имеет в точ-
ке х0 п производных. Требуется выяснить, существует или нет
многочлен Рп(х) степени не выше п, такой, что
/(х) = Рп(х)4-о((х—х0)") (13.2)
174
//? Фррчцлп ТеИлпрп
f (х0) = Р (х0), Г (х0) = Р'„ (г(!), .... f(,1) (х0) = РТ (х0). (13.3)
Попробуем найти этот многочлен по аналогии с (13.1) в виде
Р„(х) = Д + Д(х —х0) + 4(х—х0)2+ ... +4(г-х0)«
Замечая, что Рп(х0)~ Ао, из первого условия (13.3), т. е.
условия f (х0) = Рп (х0), имеем Zlo = /(xo). Ралее,
Рп (х) — A 4“ 2Л2 (х— х()-|- ... -рп Ап (х— х0) ,
отсюда Рп(х0) — А1, и так как Рп (xfl) — f (хрр тоА1 = Р(х0). За-
тем находим вторую производную многочлена Рп(х>:
Р,,(х) = 2-1-Д-р ... -рп (л — 1) Ап(х — х(,)п~2.
Отсюда и из условия f (хс) = Рп(х0) получим А2 = и
вообще
Л g./*[<*<>> , й = 0, 1,2....п.
В силу самого построения многочлен
Рп(х) =
= f (х0) + Г (х0) (х-х0)+... + (х-х0)»+ ... + f-^ (х—х0)п
удовлетворяет условию (13.3). Проверим, удовлегворяе! ли ин.
условию (13.2).
Пусть
rn(x)^f(x)—Рп (х).
Из условия (13.3) следует, что
гп (х0) = гп (х0) = ... = г',"’ (х0) = 0. (13.4)
Поэтому, применяя п раз правило Лопиталя для раскрытия
неопределенности , при х-*х0, а именно сначала п—1
раз теорему 2 из § 12, а затем теорему 1 того же параграфа,
получим
б,(х) г'(х) /"“‘’(А)
hm — -----= hm------------ттг = —= hm—г-.--------- =
Л-ЛО(Х— А„)" Х-ХО п (X — V0) Л-.Г„ «1(Л — Л-0)
'1П1 (Ар) _ 0
nl
13.1. Вывод формулы Тейлора
175
т. е. действительно
гп(х) = о((х— х0)п).
Итак, доказана следующая очень важная теорема.
Теорема 4. Пусть функция f(x) определена на интервале
(а, Ь), х0 £ (а, Ь), и пусть функция f (х) имеет в точке х0 про-
изводные до порядка п включительно, тогда
= f (х0) + ф!(х-х0) + ... +1^о)(х-хо)« +
-|-о((х-х0)"), (13.5)
или
f (х) = Z /., (х—х0)* + О ((х—х0)«).
jfcsrl Д-1
/г-0
Эта теорема вместе с доказательством остается справедливой и
для функции f, определенной на отрезке [а, Ь] при хэ(Ча, Ы, только
в случае х0 = а и х0 = b под производными следует понимать соот-
ветствующие односторонние производные.
Формула (13.5) называется формулой Тейлора п-го порядка
с остаточным членом в форме Пеано* '.
Многочлен
/эп(х) = /(х0) + £Ц^(х-х0) + ... + (х-х0)" (13.6)
называется многочленом Тейлора, а функция
г„(х) = /(х)—Рп(х) (13.7)
— остаточным членом п-го порядка формулы Тейлора. Как показа-
но, остаточный член г„(х) является бесконечно малой более высо-
кого порядка, чем все члены многочлена Тейлора (13.6).
Укажем другой вид записи формулы (13.5). Полагая
х—х0 = Ах, &y = f (х0 + Дх)—f (х0),
получим
Ду =2
/г=1
Если в формуле (13.5) х0 = 0, то получается частный вид форму-
лы Тейлора, называемый обычно формулой Макларена**-.
/^=2х"+Гп(х'!)- (13-8)
*=0
•) Д. Пеано (1858—1932) — итальянский математик.
К. Маклорен (1698—1746) — шотландский математик.
176
§ 13. Формум Тейлора
Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетворя-
ющую условиям этой теоремы в окрестности некоторой точки, за-
менить многочленом с точностью до бесконечно малых более высо-
кого порядка, чем члены многочлена. Таким многочленом является
многочлен Тейлора. Величина погрешности при этом дается вели-
чиной остаточного члена.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано дает ре-
гулярный метод выделения главной части функции в окрестности
данной точки. На этом обстоятельстве и основаны богатые и раз-
нообразные приложения формулы (13.5) в различных вопросах
анализа.
Упражнение 1. Доказать, что если функция f(x) в некоторой ок-
рестности точки х0 имеет производную порядка п, то, какова бы ни была точ-
ка х этой окрестности и какова бы ни была функция ф(<)> непрерывная на
отрезке с концами в точках х0 и х, имеющая не равную нулю производную
внутри этого отрезка, найдется такая точка £ между точками х0 и х, что для
остаточного члена гп (х) формулы Тейлора функции /(х) будет справедлива
формула
г 1X1= Ф(х) —Ф(х'о) /(н)^) , EV1-1
«() Ф'(^) (и —1)1 Q
Получить отсюда следующие виды записи остаточного члена:
/<«» (5) _
гп (•*) = (п — 1)1 р ^х ~ Х°^Р ^х ~ Р> Р > ° (форма Шлемильха — Роша),
/(,!>(£)
гn (X) = ——j— (х—х0)п (форма Лагранжа),
гп (х) = *( )1 О — ®)" 1 — *«)", 0 < ° < 1 (Ф°Рма Коши).
Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию
<Р (О = f (*) — 2 ~k\
k=0
и применить к функциям «риф теорему Коши о среднем значении. Для вы-
вода остаточного члена в форме Шлемильха—Роша положить ф(<) = (х — t)P.
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен
наилучшего приближения функции в окрестности
данной точки
Заметим предварительно, что, очевидно, всякий мно-
гочлен степени п
Pn(x)=v/iftx*
л=о
(13.9)
13.2. Многочлен Тейлора
177
для любой точки х0 может быть представлен в виде
Рп(х) = 2 ak(x~xo)k- (13.10)
k=0
В самом деле, достаточно в (13.9) положить х = х0 + h и раз-
ложить правую часть по степеням h, тогда
Рп(х) = ап + о1й+... + опЛп, где h = x—x0,
т. е. мы и получили (13.10).
Многочлен Тейлора степени п является многочленом, наилуч-
шим образом среди всех многочленов степени п приближающим
функцию f «в бесконечно малой окрестности» точки х0, т. е. при
условии х -> х0. При этом такой многочлен оказывается единствен-
ным. Более точно, имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть функция f определена и дифференцируема
до порядка п включительно в точке х0 и пусть
f(x) = Pn(x) + o((x-x0Y), (13.11)
п
где Рп(х) = ah(x—xQ)k—некоторый многочлен степени, мень-
*=о
шей или равной п, тогда
ah = J^pL t ^ = 0, 1, ..., п, (13.12)
т. е. многочлен Рп(х) является многочленом Тейлора.
Иначе говоря, никакой многочлен степени, меньшей или рав-
ной п, отличный от многочлена Тейлора, не может приближать рас-
сматриваемую функцию с точностью о ((х — х0)п) при х х0
(а значит, и с более высокой точностью о((х — х0)/г), k > п).
Доказательство. Из формул (13.5) и (13.11) следует,
что
2 б*”* <*—М>)й + о ((*—x0)n) = a Jx—х0) * Д о ((х—х0)п),
fc=o л=о
откуда в пределе при х -> х0 получим а0 = f(x0). Отбрасывая в обе-
их частях равенства этот член, сокращая оставшиеся в обеих ча-
стях выражения на (х — х0) (х =/= х0) и замечая, что
о((х— х0)п) = е(х) (х—х0)п, где lime(x) = 0,
Х-гХ0
и, значит, при х-+х0
1 =е %)(х_Хо)п-1 = о((х—Хо)"-1),
Л AQ
п=1, 2, ...,
178
13. Формула Тейлора
получим
У 2T2}^-^)fr-|+o((x-x0r-1) =
k=l
= 2 ak (x—x0/-* +o((t —Xo)""1).
k=i
Теперь в пределе при х -> х0 имеем ах = /'(х0)- Продолжая этот
процесс дальше, по индукции легко получим
аь — ——г,— , k = 0, 1, 2, п.
н /г!
Теорема доказана.
Единственность представления функции в виде (13.11) может
быть иногда использована для разложения функции по формуле
Тейлора. Именно если удается каким-либо косвенным путем полу-
чить представление (13.11), то в силу теоремы 2 можно утверждать,
что это и есть разложение по формуле Тейлора (13.5), т. е. коэффи-
циенты многочлена выражаются по формулам (13.12).
Так, например, формула (13.10) есть разложение многочлена
(13.9) по формуле Тейлора, причем в этом случае гп (х) = 0, поэ-
тому согласно теореме 2 коэффициенты многочлена (13.10) имеют
вид
_ _ Е‘/г>(л0)
«Л- •
Таким образом,
4=0
В частности, при разложении многочлена степени п по формуле
Тейлора остаток /г-го порядка тождественно равен нулю.
Пусть требуется разложить по формуле Тейлора функцию
f (х) — t 2; ~ в окрестности точки хо = О Замечая, что р2г^ есть
сумма бесконечной геометрической прогрессии
г2-=14-х + х2+ ... + х«+ .... |х|<1,
и полагая
гп(х) = х"+1 + хп+2+ ...
|х|< 1.
получим
== 14-хф- ... 4-х“ + ra(X),
13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора
179
где гп(х) = О (х"+*; и, значит, гп(х)~о(хп) при х->0. Таким
образом, представление
1 "
т— =14-х+ ... 4-х" + о(хп) = ** + о(*п)
&=0
и есть разложение функции по формуле Тейлора в окрест-
ности нуля.
13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора
1. f(x) = sinx.
У функции sinx существуют производные всех поряд-
ков. Найдем для нее формулу Тейлора при х0 = 0, т. е. формулу
Маклорена (13.8). Было доказано (см. п. 10.1), что (sin х)(р> —
= sin (х+ р поэтому
f(₽)(O) = sin^ = ( ° ДЛЯ P^2k’ k = 0, 1,2........ (13.13)
2 l(-l)ft дляр=2*+1, 7
и, согласно формуле (13.5),
уЗ у& у7 и
sinx = x зг+^51 7f+ ••• + (— 0 (2л-р i)| + °(x2n+ )>
— оо<х<^-}- °°, п = 0, 1, 2, ..., (13.14)
или, короче,
« v2A4-1
sinx=V (-l)*.^-), +0(хМ+2).
Мы написали здесь остаточный член в виде о(х8*+2), а не в виде
o(x2t+1), так как следующий за написанным членом многочлена
Тейлора в силу (13.13) равен нулю.
2. f (x)=cosx.
Как мы знаем (см. п. 10.1), f(₽) (х) — cos (х +^г)»
поэтому
f<р) (0) = cos — = ( ° АЛЯ Р = 2^+1- & = о, 1,2.......
2 |(—1)й для p = 2k,
и
у2 у4 уб у2Н
cosx=l jf + ti 'бг+ ••• +(—(2п)| +°(%2n+I)’
— оо <х< 4-оо, п = 0, 1, 2, ..., (13.15)
180
§ 13. Формула Тейлора
или, короче,
cos х = V (- 1)* т~г + о (х2«+*).
fe=0
3. f(x)~ex.
Поскольку (ex)w = ех, то f<n)(0) = l, /г = 0, 1, ...; поэтому
v2 у3 уП
*'-1+*+4r+-sr + - +
— оа<^Х<^ 4- оо, п — 0, 1, 2, ..., (13.16)
или, короче,
П V*
й=0
Отсюда, заменяя х на —х, получим
^ = 2(-l)^+oU«). (13.17)
k=0
рХ — е~х . ех -4- е~х
4. shx ——----- и ch* — —"у > складывая и вычитая
(13.16) и (13.17), получим
п 2^4-1
shx=2(W^+0(*2n+2)’
/г = 0
chx = V -+^r4-o(x2n+1), n = 0, 1, 2, ..., — оо <х< + оо.
й=0
В силу единственности представления функции в указанном
виде (см. теорему 2) полученные формулы являются формулами
Тейлора для функций shx и chx.
5. f (х) = (1 -)- х)а, а—некоторое фиксированное число.
Так как f(n>(x) = а(а—1), .... (а—п + 1) (14-х)а-п, то
/'(''>(О) = сб(а—1) ... (а—/г+1)
и, следовательно,
(1 + Х)« = 1 + ах4-?(ос~1)- х24-а(а~ ^(К—- ^34- - +
+ «(«-!)•»(«-»+21 хп + 0 (%п);
/г = 0, 1, 2, ..., — оо<^х<4 + оо,
13.4 Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора
181
или, короче,
(1 + х)« = 1+2 2<“-Ч--(»т2±!1х»+о(х.).
ft=I
6. f(x) = In(14-x).
Легко видеть, что
г(%) =•- ттг=о+*)-л m=-о+*)-2
и вообще,
^)(х) = (—1)*-*^—1)1(14-х)-\ k = 1, 2, ....
Поэтому f(fe>(0) = (—l)ft_1 (k—1)1, &=1,2, ..., и так как /'(0) = 0,
то
1п(1 + х) = х-4+ ... +(-1)"-'v+°(x")’
п = 1, 2, ..., — 1 <^х<^ + °°»
или, короче,
" k
In (14-х) =2 (_i)*-i2L + o(xn).
Л-1
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы
Тейлора (метод выделения главной части)
Формула Тейлора дает простое и весьма общее правило
для выделения главной части функции. В результате этого метод
вычисления пределов функций с помощью выделения главной ча-
сти функции приобретает законченный алгоритмический характер.
Рассмотрим сначала случай неопределенности вида . Пусть
требуется найти предел lim где lim f (х) = lim g(x) = 0.
В этом случае рекомендуется разложить по формуле Тейлора функ-
ции f и g в окрестности точки х0 (если, конечно, это возможно),
ограничившись в этом разложении лишь первыми не равными нулю
членами, т. е. взять разложения в виде
f (х) = а(х—х0)п4-о((х—х0)«), а=/=0,
g(x)=6(x—x0)m4-o((x—х0)т), ЬфО,
182
$ 13. Формула Тейлора
тогда
lim = lim
х-л„й(х) х„Хо
п (х — Хр)" + о ((х — х0)»)
b (х — хс)'п + и ((л — х0)т)
= -?- lim (х—х0)п~т
° Х^Х0
О, если
а
-г-, если
о
оо, если
п > tn,
п == tn,
п < tn.
Часто бывает удобно для разложения функций f и g по формуле
Тейлора использовать готовый набор разложений элементарных
функций, полученный в п. 13.3; для этого следует в случае х0 =f= О
предварительно сделать замену переменного ( — х — х0, тогда
условию х—>х0 будет соответствовать условие /-> 0. Случай оо
заменой переменного х =-у- сводится к случаю / -> 0.
Если имеется неопределенность вида —, т. е. требуется най-
ти lim-^py, где limf(х) = limg(x) — оо, то ее можно легко при-
х-ха S W х-х0 х-*хс
0 Л f (х) g (х)
вести к рассмотренному случаю -q- преобразованием =—j-4
Подобно вычислению пределов с помощью правила Лопиталя
при применении метода выделения главной части к раскрытию не-
определенностей вида 0-оо и сю—оо их следует преобразовать к
неопределенности вида Наконец, для раскрытия неопределен-
ностей вида 0°, оо°° и 1°° указанным методом надо их предвари-
тельно прологарифмировать.
Посмотрим на примерах, как применяется формула Тейлора
для вычисления пределов функций. Пусть требуется найти предел
,. е* — е А — 2х
lim------:----.
х-о х—-sinx
Замечая, что (см. п. 13.3)
у2 уЗ
ех=1+%+л_+_£:+о(х3)>
4
е~х= 1— х + ~2---------gf + о(*3).
»
Sinx = x------3|-+О(.Х3),
13.4 Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора
183
получим
lim
х-0
ех — е * — 2х
х— sin х
= lim
х->0
X3 о
-3- 4~о(х3)
~^3
-g- +о(Х3)
= lim
х-0
Xs
3
х3
6
= 2.
Рассмотрим неопределенность вида сю — оо:
Г -*3 „Is
X — -д- + о (х3)
/ 1 1 \ sin2x— х“ L 6
i m I — =-»— = lim —5—^-5— = lim :—т-тЛ-
_с\х2 Sin2xy 0 x2sin2x 0 X2 [х + О (х)]“
х^ х^
— ~^~ + o(xi) —-3-4-0 (х’) — -3- !
= Um —s-;-?-,—7-2ГГ = 1>т —г! — Ит -'„а • = —г •
*-»о х2[х24-о(х2)] х_0 х*4-<>М х—о х 3
2
„ /sin х \ х
В качестве последнего примера вычислим предел Um —-— ,
х-0 \ * /
т. е. раскроем неопределенность вида 1°°. Согласно общему прави-
лу, исследуем предел логарифма выражения, стоящего под знаком
предела:
I Л Р ° Р‘2)
lim_L In = Пт ------х---= цт J2IL+2W)
х-0 х х х-0 х х-0 х
Следовательно,
limf-^-V =ех-о* * =1.
х-0^ х )
Ип1Л^- =0.
х-0 х
Упражнение 2. Найти пределы!
2. lim |п С1 +-^ + ^) + ln I1 — Л ~ х2)
х-о-о х sin х
3. lim t1 + х) е .
х-0 х
4. Нт соь (sinx) —cos*
х-0 х4
5. lim (ctg x)sln х.
х-0
c 1. 4 I' 1 — x? — 4evS 4- In (1 4- x2)
6 1 ini —!-------------------1-2—I--------- .
x-O arctg x — sinx
184
$ 14 Исследование поведения функции
7 limcos^e^ — соДхе х) -f- 2х3
’ А8
8. lim
esln *
arctg х 4- 1 +
ctg Xs
§ 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ
В этом параграфе с помощью развитого в предыдущих парагра-
фах аппарата мы займемся изучением различных свойств поведе-
ния функций.
14.1. Критерий монотонности функции
Теорема 1. Пусть функция f определена и дифференци
руема на интервале (а, Ь). Тогда если f'(x) > 0 на (а, Ь), то f(x)
строго монотонно возрастает на {а, Ь), если же f'(x) < 0, то
fix) строго монотонно убывает на (а, Ь).
Доказательство. Пусть а <; х} х2 <С Ь, тогда по
формуле Лагранжа (см. п. 11.2) f(x2)— f(xr) — f'(£) (х2— xt),
где < g < х2. Так как х2— > О, то f(x2) > /(лД, если
/'(£) >0 и /(х2) </(*,), если /'(g) < 0.
Теорема доказана.
Отметим, что условие f(x) ~^> 0, являясь достаточным условием
для строго монотонного возрастания функциине является в то же
время необходимым. Это видно, например, из рассмотрения функции
у = xs, для которой производная в нуле равна нулю и которая
вместе с тем строго монотонно возрастает на всей числовой оси.
Упражнение 1. Доказать, что для того чтобы функция {, опре-
деленная и дифференцируемая на интервале (о, Ь), монотонно возрастала
(соответственно убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно,
чтобы f'(x) > 0 (соответственно f'(x) < 0) для всех а < х < Ь.
14.2. Экстремумы функций. Определение наибольших
и наименьших значений функций
Определение 1. Пусть функция f определена в некоторой
окрестности точки х0. Тогда х0 называется точкой максимума (соот-
ветственно точкой минимума) функции f, если существует такое
14.2. Экстремумы функций
185
б > 0, что Дх0 + Ах) < /(х0), если | Ах| < б (соответственно
f(x0 4- Ах) > f(x0)).
Если существует такое б > О, что f(x 4- Ах) < /(х0) (соот-
f(x0) + А-1') > /(хо)) для всех Ax ф= О, таких, что
то точка х0 называется точкой строгого максимума
ветственно
1| Дх | < 6,
^соответственно строгого минимума).
Точки (строгого) максимума и минимума называются точками
(строгого) экстремума.
Для точек строгого экстремума функции f и только для них
приращение функции А/ = f(x0 + Ах) — f(x0) не меняет знака
при переходе аргумента через точку экстремума х0, т. е. при изме-
нении знака Ах. Именно А/ < 0 для точек строгого максимума
и А/ > 0 для точек строгого минимума независимо от знака Ах.
Теорема 2 (необходимые условия экстремума). Пусть точка х0
является точкой экстремума функции f, определенной в не-
которой окрестности точки х0. Тогда, либо производная f'(x0) не
существует, либо f'(x0) = 0.
Это непосредственно следует из теоремы Ферма (см. п. 11.1),
примененной к интервалу (х(1 — б, х0 4~ б), где б есть то б, которое
указано в определении точек экстремума.
Отметим, что условие f(x0) = 0 не является для дифференци-
руемой в точке х0 функции достаточным условием наличия в точке
экстремума, как это показывает пример функции f(x) = Xs, ко-
торая в точке х = 0 имеет производную, равную нулю, но для ко-
торой эта точка не является точкой экстремума.
Упражнение 2 (достаточные условия экстремума). Пусть функ-
ция / определена на интервале (а, Ь) и непрерывна в точке х0£ (о, Ь). Если
функция/(х) (строго) монотонно возрастает на интервале (а, х0) и (строго) мо-
нотонно убывает на (х0, Ь), то точка х0 является точкой (строгого) максимума;
а если функция f(x) (строго) монотонно убывает на (а, х0) и (строго) монотонно
возрастает на (х0, Ь), то точка х0 является точкой (строгого) минимума.
Теорема 3 (достаточные условия строгого экстрему-
ма). Пусть функция f дифференцируема на интервале (а, Ь), кроме,
быть может, точки х0 ф (а, Ь), в которой она является, однако, не-
прерывной. Если производная f'(x) меняет знак при переходе через
точку х0 (это означает, что существует такое б > 0, что значения
производной f' на каждом интервале (х0 — б, х0) и (х0, х04~б) имеют
один и тот же знак, а на разных — противоположный), то точ-
ка х0 является точкой строгого экстремума.
При этом, если f'(x) > 0 для х0 — б < х < х0 и f'(x) < 0
для х0 + б > х > х0, то х0 является точкой строгого максиму-
ма, а если f(x) < 0 для х0 — б < х < хп и f'(x) > 0, для
хп 4- б > х > х0, то точка х0 является точкой строгого минимума
(рис. 36).
186
f 14. Исследование поведения функции
Доказательство. Рассмотрим первый случай
f'(x) > 0 для х < х0 и f'(x) < 0 для х > х0, х£(а, Ь). По теореме
Лагранжа (см. п. 11.2)
А/ = f (%) — f (х0) = f (g) (х—х0),
где g лежит на интервале с концами х0 и х.
Если х < х0, то х — х0 < 0 и /'(g) > 0, так как
Если х > х0, то х — х0 > 0 и /'(g) < 0, так как в
X < g < х0.
этом случае
х0 < g <С х. Таким образом, всегда А/ <Г 0, т. е. в рассмотренном
случае точка х0 является точкой строгого максимума. Аналогично
рассматривается второй случай.
Теорема доказана.
Задача 4. Построить пример функции, которая дифференцируема на
интервале, достигает в некоторой его точке х0 строгого экстремума, а ее про-
изводная в любой окрестности точки х0, как слева,так и справа от этой точки,
принимает и положительные и отрицательные значения (таким образом,
условие изменения знака производной в данной точке, являясь достаточным
условием строгого экстремума, не является вместе с тем необходимым).
Введем еще одно понятие, полезное для дальнейшего.
Определение 2. Пусть функция f определена в некоторой
окрестности точки х0. Точка хь называется точкой возрастания
(убывания} функции f, если существует такое 6 > 0, что
f(x) < /(х0) (соответственно f(x) > /(х0)) при х0 — б < х < х0
и /(х)>/(х0) (соответственно /(х) < /(х0)) при х0 < х < х0 + б.
Таким образом, точки возрастания и убывания функции / ха-
рактеризуются тем, что при переходе через них приращение функ-
ции Д/ меняет знак, а именно с «—» на «+» в точке возрастания
и с «+» на «—» в точке убывания (рис. 37).
Не следует думать, что если функция определена на интервале,
то всякая точка этого интервала является либо точкой экстремума
функции, либо точкой возрастания, либо точкой убывания: могут
14.2. Экстремумы функций
187
существовать точки, не принадлежащие ни к одному из указанных
типов. Например, точка х — 0 для функции
У =
2 . 1
x2sin---
X
О
при х=ф=0,
при х = О
не является пи точкой экстремума, пи точкой возрастания, ни точ-
кой убывания.
Упражнение 3. Доказать, что функция
х2 sin — при х О,
у=. X
О при х=0
имеет производную при х—0.
Дадим теперь достаточные условия строгого экстремума, а так-
же точек возрастания и убывания в терминах значений высших
производных в точке х0.
Теорема 4. Пусть функция f определена в некоторой окрест-
ности точки х0 и пусть в точке х0 у функции f существуют произ-
водные до порядка п включительно, причем
f(‘)(xo) = 0 для i— 1, ...» п—-1,
f™(xo)*O. (14.1}
Тогда, если n — 2k, k— I, 2, ..., т. е. п—четное число, то функ-
ция f имеет в точке х0 строгий экстремум, именно максимум
при (х0) < 0 и минимум при fw (х0)>0. Если же п = 2&4-1,
/г = 0, 1, т. е. п—нечетное число, то функция f не имеет
в точке х0 экстремума, эта точка является точкой возраста-
ния при /(2*+1) (хо)>0 и убывания при f<2k+i}(xo)<ZO-
Предпошлем доказательству теоремы одно простое замечание
Если р (х) = о (а (х)) при х->х0, то существует такое 6>0,
что при |х —х0|<Д х #= х0, справедливо неравенство
1₽(л-)|< (14-2
188
§ 14. Исследование поведения функции
В самом деле,
Р (х) — е (х) а (х),
где Пп1е(х) = 0 и, следовательно, существует б — б ,
что при | х — х0|<д, х=/=х0, выполняется неравенство
I е (х) I ~2~ •
(14.3)
такое,
(14.4)
Из (14.3) и (14.4) и следует (14.2).
Доказательство. Из условий (14.1) формула Тейлора
п-го порядка для функции f в окрестности точки х0 имеет вид
Af = f (х0 + Ах)- f (х0) = Дх" + а (х), (14.5)
где
а (х) = о (Дх"),
и, значит (см. и. 8.2),
/ ч ( f(n}^ Л Л
а (х) = о I- - п1— Дх" I.
Поэтому, согласно сделанному замечанию, существует такое
6^>0, что при I Дх | б, Дх=у=0,
|а(х)|<4-р^£^Дх"|.
Отсюда следует, что при | Дх | < б, Дх 0, знак правой части ра-
венства (14.5), а значит, знак Д/ совпадает со знаком первого сла-
гаемого правой части.
Если п = 2k, k — 1,2, ..., то Дх возводится в четную степень,
поэтому знак Д/ не зависит от знака Ах, и, значит, точка х0 являет-
ся точкой строгого экстремума, причем точкой строгого максимума
при /<2Л,(х0) <. 0 (в этом случае Д/ <0) и точкой строгого минимума
при f(2k)(x0) >• 0 (в этом случае Д/ >• 0).
Если же п = 2k + 1, k = 0, 1, 2.то Дх возводится в нечет-
ную степень, поэтому знак А/ меняется вместе с изменением знака
Ах, и, значит, точка х0 не является точкой экстремума. Когда Дх
меняет знак с «—» на «+», то при /<2*+1> (х0) > 0 приращение Д/
меняет знак с «—» на «+», и, значит, точка х0 является точкой воз-
растания функции f, а при /(2' + 1)(х0) <" 0 приращение Д( меняет
знак с «+» на «—», и, значит, точка х0 является точкой убывания
функции f.
Теорема доказана.
14.2. Экстремумы функций
189
Из доказанной теоремы, в частности, при п = 1 и п = 2 выте-
кают два следствия.
1. Если f(л',,) > 0, то х0 является точкой возрастания функции’,
если f'(x0) <С 0, то х0 является точкой убывания функции.
2. Если f'(xv) = 0, a f"(x0) У- 0, то при f"(x^ ~j> 0 точка х0
является точкой строгого минимума, а при /”(х0) <f О — точкой
строгого максимума функции f.
Все полученные правила справедливы лишь в том случае, ког-
|да функция f определена в некоторой окрестности точки х0. Об
экстремуме функции можно говорить не только в этом случае:
!пусть функция f определена на некотором числовом множестве
Е; точку x0QE будем называть точкой максимума (минимума),
1если существует такое 6 > О, что если х £ Е и | х — х0| < 6, то
/(х)</(х0) (соответственно /(х) > /(х0)). Подобным же образом в этом
юлучае определяются и понятия строгого максимума и строгого
минимума, следует лишь знаки нестрогих неравенств заменить
знаками строгих неравенств и дополнительно потребовать, чтобы
\Х =/= Хо.
Например, если функция f определена на полуинтервале [я, й),
то точка а в указанном смысле может являться экстремальной.
Заметим, однако, что производная (правосторонняя) в этой точке,
вообще говоря, не обязана обращаться в ноль. Так, функция у = х,
рассматриваемая на отрезке [0, 1], имеет строгий минимум при
\х — 0 и строгий максимум при х = 1, однако в этих точках, как
и всюду на отрезке [0, 1], у’ — 1.
Выяснение обстоятельства, имеет или нет функция экстремум
на концах промежутка, принадлежащего ее области определения
(такой экстремум будем называть концевым), требует специального
исследования.
Упражнение 4. Пусть функция f определена на отрезке [a, ft] и
имеет производные в точках а и Ь\ тогда если Д (о) > О (f__(b) <0) , то
точка х = а (соответственно х=Ь) является точкой строгого минимума; если
Д (°) < 0 (f— (й) > °)» т0 точка х = а (соответственно х — Ь) является
точкой строгого максимума.
Развитые нами методы позволяют общим приемом решать новый
круг математических и физических задач, в которых требуется най-
ти экстремальные значения какой-либо величины.
Пусть, например, требуется определить наибольшее значение
функции / на некотором отрезке [а, й]. Для этого следует найти
все точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо
не существует. Затем из этих точек надо с помощью тех или иных
методов отобрать точки, в которых возможен максимум (можно
заведомо отбросить точки, удовлетворяющие достаточным услови-
ям для точек минимума). После этого достаточно лишь сравнить
190 § 14. Исследование поведения функции
|между собой по величине значения функции в полученных точках
и значения f(a) и /(й); наибольшее из этих значений и будет наиболь-
шим значением функции на отрезке [а, £»]. Эта задача заведомо мо-
жет быть решена, если множество критических точек состоит из
конечного числа точек.
В случае, если функция определена на полуинтервале (конеч-
ном или бесконечном), например на полуинтервале вида [а, Ь), за-
дача об определении наибольшего значения функции на этом полу-
интервале требует дополнительных исследований; найдя множество
указанных выше точек, надо изучить еще поведение функции при
х -> Ь — 0. Аналогичным образом решаются и задачи на опреде-
ление наименьших значений функций.
Пример. Два тела двигаются с постоянными скоростями
су м!сек и ц2 мкек по двум прямым, образующим прямой угол в
направлении вершины этого угла, от которой в начале движения
первое тело находилось на расстоянии а м, а второе— на расстоя-
нии b м. Через сколько секунд после начала движения расстояние
между телами будет наименьшим?
Пусть р = р(1) — расстояние между точками через t сек, после
начала движения, которое будем считать начавшимся при t = 0.
Тогда
Р® (0 = (а — 0® + (b—v2
Функция р(7), очевидно, достигает минимума в той же точке, в ко-
торой достигает минимума функция у = р2(7).
Физически ясно, что расстояние р(7) должно достигать мини-
мума (тела начинают сближаться), а максимума заведомо нет,
ибо р(7) -> + оо при t ->+оо. В силу необходимого условия экст-
ремума это может быть только в точке, в которой у' — 0, и так
как у’ = — 2v!(a — v^t) — 2v2 (b — v2t), то из условия у' = 0
получаем единственное значение
; . .. al'l + hV2
— 2 1 2 ’
Д + f 2
которое и дает ответ на поставленный вопрос.
14.3. Выпуклость и точки перегиба
Пусть функция f определена на интервале (а, Ь) и пусть
а < хх< х2 <Г Ь. Проведем прямую через точки А (хь f(Xi)) и
В(х2, f(x2)) графика функции f. Ее уравнение имеет вид
f (х2) (X — Х1) + / (Х1) (ха — X)
\14.3. Выпуклость и точки перегиба
191
Обозначим правую часть этого уравнения через 1(х), тогда
оно кратко запишется в виде
У = !(*)
Очевидно, Ifa) = f(Xi), l(x2) = f(x2).
Определение 3. Функция f называется выпуклой вверх (выпуклой
\вниз) на интервале (а, Ь), если, каковы бы ни были точки и х2,
а xt <. хг < Ь, для любой точки х0 интервала (xlt х2) выполня-
ется неравенство
l(4)<f(x0), (14.6)
(соответственно
l(x0)>f(x0). (14.7.
Геометрически это означает, что любая точка хорды АВ (т. е.
отрезка прямой у — 1(х) с концами в точках А и В) лежит не выше
Определение 4. Если вместо (14.6) и (14.7) выполняются стро-
гие неравенства l(x0) f(x0) и соответственно 1(хи) > /(х0) при
любых х0, хг и х2, таких, что a хг <С х0 < х2 <Z Ь, то функция
f называется строго выпуклой вверх (строго выпуклой вниз).
В этом случае любая точка хорды АВ, исключая ее концы,
лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции.
Определение 5. Всякий интервал, на котором функция (строго)
выпукла вверх, соответственно вниз, называется интервалом (стро-
гой) выпуклости вверх, соответственно вниз, для этой функции.
Если функция f (строго) выпукла вверх на интервале (а, Ь),
то функция —f (строго) выпукла вниз на этом интервале; поэтому
в дальнейшем при доказательствах мы большей частью будем огра-
ничиваться лишь рассмотрением функций, (строго) выпуклых вверх.
Определение 6. Пусть функция f определена в некоторой окрест-
ности точки хп и непрерывна в этой точке. Точка называется точ-
*92
f 14. Исследование поведения функции
кой перегиба функции f, если она является одновременно концом ин-
тервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой вы-
пуклости вниз. В этом случае точка (х0, f(x0)) называется точкой
перегиба графика функции.
Очевидно, что точка перегиба функции не принадлежит ника-
кому интервалу строгой выпуклости вверх или вниз.
Теорема 5 (достаточное условие строгой выпуклости). Пусть
функция f определена и дважды дифференцируема на интервале
(а, Ь). Тогда, если f" < 0 на (а, Ь), то функция f строго выпукла
вверх, и если f" > 0 на (п, Ь), то функция f строго выпукла вниз на
этом интервале.
Доказательство. Пусть а<^хг<^х<^х2<^Ь. Тогда
Применяя теорему Лагранжа (см. п. 11.2), получим
l(x) — f (х) = ~ ~ *1) ~~ f ~ *д <*2 — X) =
х2 — Л1
_ (Г (Т)) — Г (5)1 (х2 — х)(х — Х1)
Х2~ *1
где хг <С g <S х <С 11 А'г-
Снова применим теорему Лагранжа:
/(%)—f(x) =
f" (С) (-4 — х) (х — хх) (т| — £)
х2 —X!
£ < £ О].
Отсюда видно, что если f" < 0 на (а, Ь), то, в частности, /"(О < О,
и потому /(х) < /(х), т. е. функция f строго выпукла вверх; если же
/" > 0 на (а, Ь), то /(х) > /(х), т. е. функция f выпукла вниз.
Теорема доказана.
Условие знакопостоянства второй производной, являясь до-
статочным условием строгой выпуклости (вверх или вниз), не яв-
ляется вместе с тем необходимым. Так, функция у = х4 строго
выпукла вниз на всей числовой прямой, однако ее вторая производ-
ная у" — 12х® обращается в ноль при х = 0.
Примеры. 1. у = х3; у" — 6х. Очевидно, что у" < 0 для
х > 0 и у" > 0 для х> 0. Поэтому на бесконечном интервале (—оо, 0)
функция у = х3 строго выпукла вверх, на бесконечном интервале
(0, -Ноо) функция у = х3 строго выпукла вниз, а точка х0, являясь
одновременным концом интервала выпуклости вверх и выпуклости
вниз, является точкой перегиба.
14.3. Выпуклость и точки перегиба
193
2. f(x) = уЛх2; /"(%) =---• Здесь Г(х) < 0 для всех х ф О.
Значит, бесконечные интервалы (—оо, 0) и (0, + оо) являются
интервалами строгой выпуклости вверх. Вместе с тем при любом
х=^=0
Нх-)+2/ (- х} =М*) > 0 =/ (0),
поэтому точка х = 0 не принадлежит никакому интервалу выпук-
лости вверх (интервалов выпуклости вниз просто нет), но и не яв-
ляется точкой перегиба
(рис. 39).
Упражнения. 5. Дока-
зать, что точка х— 0 для функции
у—хsin А не принадлежит ни-
каким интервалам выпуклости
вверх или вниз и не является их
концами.
6. Доказать, что у = х4
строго выпукла вниз на всей
числовой оси.
Теорема 6 (необходимое
условие точки перегиба).
Пусть функция f опреде-
лена и дважды непрерывно
дифференцируема на интервале (а, Ь), тогда если точка х0 £ (а, Ь)
является точкой перегиба функции f, то f"(x0) — 0.
Действительно, если бы f"(xo) < 0 (соответственно f"(x0) > 0),
то в силу непрерывности второй производной нашлась бы окрест-
ность точки х0, в которой /"(х) < 0 (соответственно f"{x) > 0), и, зна-
чит, согласно теореме 5, функция f была бы строго выпукла вверх
(вниз) на этой окрестности, что противоречило тому, что х0 является
точкой перегиба.
Замечание. Подобно тому как все точки экстремума функ-
ции находятся среди точек, в которых либо производная функции
равна нулю, либо не существует, так и все точки перегиба функции
(дважды непрерывно дифференцируемой, кроме, быть может, конеч-
ного числа точек) находятся среди точек, в которых вторая произ-
водная либо равна нулю, либо не существует.
Теорема 7 (достаточные условия точки перегиба). Если
функция f определена и дважды дифференцируема на интерва-
ле (а, Ь), кроме, быть может, точки х^С (а, Ь), в которой она, одна-
ко, непрерывна, и ее вторая производная меняет знак при nepexodi
аргумента через точку х0 (т. е. существует 6 > 0, такое, что либо
194
$ 14. Исследование поведения функции
Рис. 40
f" < 0 при х0 — б < х < х0 и f"(x) > 0 при х0 < х < х0 + б, либо
/" (х) > 0 при х0 — б < х < х0 и Г(х) < о при х0 < х < х0 +б), то
точка х0 является точкой перегиба функции.
Действительно, в силу теоремы 5 в этом случае точка х0 явля-
ется одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх
и концом интервала строгой выпуклости вниз, а значит, по опреде-
лению— точкой перегиба.
Мы видели, что выпуклость вверх или вниз функции f зависит
от знака ее второй производной. Оказывается, что расположение
графика дважды дифференцируемой
функции относительно касательной
также в определенном смысле свя-
зано со знаком второй производной.
Теорема 8. Если функция f имеет
на интервале (а, Ь) вторую производ-
ную, все значения которой имеют один
и тот же знак (следовательно, ин-
тервал (а, Ь) является интервалом
строгой выпуклости вверх или вниз),
то, какова бы ни была точка х0 £ (а, Ь),
все точки графика функции f на этом
интервале лежат одновременно либо
проведенной к графику в точке
либо под касательной,
f (х0)), исключая, естественно, саму эту точку, которая
над,
(х0, . _ _
лежит на графике функции*} (рис. 40).
Действительно, уравнение касательной в точке (х0, /(х0)) име-
ет вид
У = Г (*о) (*—х0) + f (х0).
Обозначим правую часть этого уравнения через L (х). Тогда
f (х)—L (х) = [f (х)—f (х0)] — f (х0) (х—хс) =
= F (£) (x—x0') — fr (х0)(х—х0)= [f (g)—f' (х0)] (х—х0),
где
а<У x0<Z b, а<^ х<^Ь,
а точка 5 лежит между точками х и х0.
Применяя еще раз теорему Лагранжа, но уже к приращению
производной, получим
f (x)—L(x) = f" (tj) (g—х0) (х— х0),
•> Если функция f определена и имеет одностороннюю производную в
конце интервала а пли Ь, то указанное свойство, как это видно из нижепри-
водимого доказательства, выполняется и для касательной в точке {a, f(a))
(соответственно в точке (6, f(b))).
14.3. Выпуклость и точки перегиба
1Я>5
где точка т) лежит между точками £ и х0. Поскольку при х х0
всегда (g — х0)(х— х0) > О, то для х =f= х0 f(x) — L(x) > 0 при f" > О
на (а, Ь) и f(x) — L(x) <0 при f" < 0 на (а, Ь).
Теорема 9. Пусть /"(х0) = 0, f '(xo)=f=O, тогда х0 является
точкой перегиба. Если при этом у = L(x) является уравнением
касательной к графику функции f в точке (х0, /(х0)), то при перехо-
де аргумента через точку х0 раз-
ность f(x) — L(x) меняет знак.
Доказательство. Пока-
жем, что х0 — действительно точка
перегиба. Из условия f"(х0) 4= 0
следует, что функция /" возрастает
или убывает в точке х0, и так как
f"(x0) — 0, то в некоторой 6-окрест-
ности точки х0 функция f" имеет
разные знаки по разные стороны от
точки х0. Если, например, f" > 0 при
х0 — 6 < х < х0 и f' < 0 при
х0 < х < х0 + 6, то точка х0 является одновременно левым концом
интервала вверх и правым концом интервала строгой выпуклости
вниз, а следовательно, и точкой перегиба.
Далее, по формуле Тейлора имеем
f (х) — L(x) = (х—х0)3 + о ((х—х0)3).
Отсюда следует (см. замечание о бесконечно малых перед до-
казательством теоремы 4 этого параграфа), что знак разности
f(x)— L(x) меняется при изменении знака х — х0.
Таким образом, график функции f в некоторой окрестности
этой точки переходит с одной стороны касательной на другую
(рис. 41), и «перегибается» через касательную. Отсюда и произош-
ло название точка перегиба.
Задача 5. Пусть функция f непрерывна на интервале (а, Ь) и пусть
для любых точек X] н х2, а < xt < х2 < b
/ (Х1) + f (Х‘д fl Xi + *2 А
2 Ц 2 J ’
тогда интервал (а, Ь) является интервалом выпуклости вверх для функции f.
Задача 6. Для того чтобы дифференцируемая функция f(x) была вы-
пукла вверх или соответственно вниз на интервале (с, Ь), необходимо и до-
статочно, чтобы ее производная монотонно возрастала, соответственно мо-
нотонно убывала на (а, Ь). Для того чтобы дифференцируемая функция f(x.
была строго выпукла вверх (вниз) достаточно, чтобы ее производная строгс
возрастала (убывала) на (а, Ь).
196
§ 14. Исследование поведения функции
14.4. Асимптоты
Определение 7. Пусть функция f(x) определена для всех
х>п (соответственно х<п). Если существуют такие числа
k и I, чпю f(x) — kx — I = о(1) при х~*~ + оо (соответственно
при х-> — оо), то прямая
y — kx^-l
(И.8)
называется асимптотой функции при х~>+оо (соответственно
при х-> — оо).
Существование асимптоты у функции означает, что при стрем-
лении аргумента функции х-> + оо (или х-^>—оо) функция ведет
себя, «почти как линейная функция», т. е. отличается от линейной
функции на бесконечно ма-
лую.
Найдем, например, асимп-
тоту для функции
Разделив числитель на зна-
менатель по правилу деле-
ния многочленов, получим
. 2
^-4+т+Т.
2
и так как —t =о(1) при х~> ± оо, то прямая у = х—4 являет-
ся асимптотой данной функции как при х~>4-оо, так и при
X—» ОС.
Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. ПустьМ=(х, /(х))—
точка графика функции f, Мо — ее проекция на ось Ох, АВ —
асимптота (14.8), 6 — угол, образованный асимптотой с осью Ох,
0^=у, МР — перпендикуляр, опущенный из точки /И на асимптоту
АВ, Q — точка пересечения прямой Л1Л10 с асимптотой АВ (рис. 42).
Тогда Л1Л10 = /(х), QM0 = kx + I, МО = Л4Л4О — Q/vl0 =
= f(x) — (kx + /); MP = TMQcosG. Таким образом, MP отличается
от A1Q лишь на неравный нулю множитель cos 6, поэтому условия
/vlQ-x-О и /ИР->0 при х-*+ оо(соответственно при х->—оо) экви-
валентны, т. е. если lim MQ = 0, то и lim МР = 0, и наоборот.
х->4-оо х->4-оо
Отсюда следует, что асимптота может быть определена как такая
прямая, расстояние до которой от графика функции, т. е. отрезок
МР, стремится к нулю, когда точка М=(х, f(x)) «стремится по гра-
14.4. Асимптоты
197
фику в бесконечность» (когда х -> + оо или соответственно когда
Х-* — оо).
Укажем теперь регулярный способ отыскания асимптоты (14.8),
т. е. регулярный способ определения коэффициентов k и I в урав-
нении (14.8). Будем рассматривать для определенности лишь слу-
чай х—> + оо (случай х->— оо рассматривается аналогично).
Пусть функция f имеет асимптоту (14.8) при х~> + оо, тогда по
определению
f (х) = kx + I ф- о(1).
(14.9)
Разделим равенство (14.9) нах и перейдем к пределу при х-> + оо.
Тогда
lim — k.
*-»-|-ОО Х
(14.10)
Найдя k по этой формуле, для определения I из (14.9) получим фор-
мулу
/==lim(f(x)—kx). (14.11)
Таким образом, формулы (14.10) и (14.11) сводят задачу отыска-
ния асимптот (14.8) к вычислению пределов определенного вида.
Более того, мы показали, что если существует представление функ-
ции f в виде (14.9), то k и I находятся поформулам (14.10) и (14.11).
Следовательно, если существует представление (14.9), то оно
единственно.
д-2_3А-_2
Найдем по этому правилу асимптоту функции /(%)=--------,
X 1
найденную нами выше другим способом:
, .. f (х) .. х2— Зх— 2 .
k — hm = hm------------n----= 1,
X-oo * *+l
Z = lim
X-*-oo
—4x —2
x + 1
т. e. мы, как и следовало ожидать, получаем то же уравнение асимп-
тоты у = х — 4.
В виде (14.8) может быть записано уравнение всех прямых,
кроме параллельных оси Оу. Естественно распространить опре-
деление асимптоты и на прямые, параллельные оси Оу.
Определение 8. Пусть функция f определена в некоторой окрест-
ности точки х0 (быть может, односторонней) и пусть
limf(x)=-oo, или limf(x)=oo, (14.12)
х-х„—О х-хо+0
198
$ 14. Исследование поведения функции
или и то и другое. Тогда прямая х == х0 (рис. 43) называется верти-
кальной асимптотой (в отличие от асимптоты вида (14.8), кото-
рая называется наклонной).
В случае вертикальной асимптоты, как и в случае наклонной
асимптоты, расстояние МР — х — х0 между точкой М и прямой
х = х0 стремится к нулю, когда
точка графика М — (х, f(x)) стре-
мится по графику в бесконечность,
т. е. когда х -> х0 — 0 или соответ-
ственно х-*х0 + 0.
Для того чтобы найти верти-
кальные асимптоты для функции
/, надо найти такие значения х,
для которых выполняется одно или
оба условия (14.12).
Например, функция
х2 — Зх — 2
х + 1
имеет вертикальную асимптоту х — — 1. Вообще если
Р (хУ
\ —рациональная функция (Р(х) uQ(x)—многочлены),
Q(xo) = 0, Р(хо)^=0, то прямая х — х0 является асимптотой функ-
ции f(x).
14.5. Построение графиков функций
Изучение заданной функции и построение ее графика
с помощью развитого нами аппарата целесообразно проводить
в следующем порядке.
1. Определить область существования функции, область не-
прерывности и точки разрыва.
2. Найти асимптоты.
3. Приблизительно, вчерне, нарисовать график функции.
4. Вычислить первую, а если нужно, и вторую производную
(без производных более высокого порядка часто удается обойтись).
5. Найти точки, в которых первая и вторая производные либо
не существуют, либо равны нулю (так называемые критические
точки).
6. Составить таблицу изменений знака первых и вторых про-
изводных. Определить участки возрастания, убывания, выпуклости
вверх или вниз функции, найти точки экстремума (в том числе и
концевые, если такие имеются) и точки перегиба.
7. Окончательно вычертить график.
14.5 Построение графиков функций
199
При этом чем большую точность графика мы хотим получить,
тем больше, вообще говоря, надо найти точек, лежащих на графике
функции. Обычно бывает целесообразно найти (быть может, с опре-
деленной точностью) точки пересечения графика с осями коорди-
нат, точки, соответствующие максимуму и минимуму функции;
другие точки находятся по мере
потребности. у
В случае очень громоздких
выражений для второй произ-
водной иногда приходится огра-
ничиваться рассмотрением тех
свойств графика, которые можно
изучать лишь с помощью первой
п роизводно й. ------ , 1 f
Пример 1. Построить
график функции
Эта функция определена и У
непрерывна для всех х=/= — 1. /\
Она, как мы уже знаем (см.
п. 14.4), имеет асимптоты \
у = х — 4 и х = — 1, причем \
lim /(х) = 4-оо, lim/(х)= —<х>. ' I
у^-1+0 1—0 I
Мы видели также, что I
2
f(x) = х — 4 + ^р-, поэтому Рис. 44
f(x) > х — 4 при х > — 1 (гра-
фик функции находится над асимптотой) и f(x) < х — 4 при х < — 1
(график функции лежит под асимптотой).
График функции /(х) пересекает' ось Ох в точках, в которых
х2 — Зх — 2 = О, т. е. при хь х2 = или приблизительно
в точках хг = 3,5, х2 = — 0,5. Ось Оу график пересекает в точке
у — — 2. Это позволяет нарисовать график функции ((х) в виде,
указанном на рис. 44.
Дальнейшее исследование имеет своей целью нахождение точек
экстремума, точек перегиба и интервалов выпуклости вверх или
вниз графика функции. Для этого найдем у' и у":
x2-f-2x—l
(л + I)2
у" =-----— .
У (х+1)а
200
§ 14. Исследование поведения функции
Отсюда видно, что у' = 0 в точках х = — 1 — /2 » — 2,4
и х = —1 + /2 s; 0,4. В точке х — —1 производные у' и у" не
существуют.
Составим таблицу изменения знака первой и второй производных
в зависимости от изменения аргумента, включив в нее критические
точки.
Таблица 1
к -1- У 2 —1 — 1+У 2
у’ + 0 — Не сущест- вует — 0 +
У” — — — Не сущест- вует + + +
Из этой таблицы видно, что функция f(x) в точке х = —1+ У 2
имеет строгий минимум, а в точке х = —1 — У 2 — строгий мак-
симум; при х < — 1 функция строго выпукла вверх, а при х > — 1—
строго выпукла вниз. Точек перегиба нет, так как при х = —1
функция разрывна.
Мы нашли общий характер поведения функции. Чтобы построить
график более точно, надо найти ряд точек графика, как это отме-
чалось выше.
В дальнейшем для краткости таблицы, подобные табл. 1, будем
называть таблицами поведения функций и иногда сразу отмечать
в них точки экстремума, точки перегиба и интервалы выпуклости.
Пример 2. Построить график функции
f(x) = (x+ 1)3/ х2.
Область определения этой функции — вся вещественная прямая,
причем она непрерывна в каждой точке и потому не имеет верти-
кальных асимптот. Из того, что
hm -=оо,
Л-±00 х
следует, что нет и наклонных асимптот.
Для построения вчерне графика функции f(x) заметим, что
1) f(x) обращается в ноль в точках х — —1 и х = 0;
2) />0 при х > — 1, хф 0;
3) /<0 при л < — 1;
14.5. Построение графиков функций
201
4) lim f(x) = + оо и lim /(х) = — оо.
Л-* **)4-гс> X-»—оо
Приблизительный вид графика функции, который можно нарц
совать на основании этих замечаний, изображен на рис. 45.
Проведем теперь более
подробное исследование функ-
ции с помощью производных.
Находим у' и у”:
< = (х+1)2(Пл+2)
х
„ 2(х+1)(44х2 + 16х — 1)
У — 3,-
Зх у х
Отсюда видно, что у' ~ О
1 2
При X ——I И Х =—ур
у" = 0 при х =—1, а также
когда 44х2+16х— 1=0, т. е.
Рис. 45
9
приблизительно при хг — —
и х2 = Х При х = 0 производные
у' и у" не существуют.
Составляем таблицу по-
ведения функции — табли-
цу 2.
Теперь график функ-
ции у — (хф- 1)V х2 мож-
но нарисовать более точно.
Его вид изображен на
рис. 46. Как видно, с по-
мощью исследования про-
изводных мы существенно
уточнили вид графика (ср.
с рис. 45).
Развитый аппарат по-
зволяет строить и графики
функций, заданных пара-
метрически:
Х = х(/), у = у (/)*).
Сделаем лишь несколько замечаний. Для нахождения асимптот,
параллельных оси Оу, надо найти такие значения для которых
*) При этом здесь не предполагается, что пара функции х = х(/), у — y(t)
определяет однозначную функцию у = у(х) или х = х(у).
**) Здесь и в дальнейшем 10 — число или один из символов + оо, — оо.
* (—ОС. —I) —1 (—1. X,) «1
У' 4“ 0 4“ +
У“ — 0 + 0
Интерва- лы монотон- ности и точ- ки экстрему- ма Возраст, шве
Интерва- лы выпук- лости и точ- ки перегиба Выпук- лость вверх Точка пер- гиба Выпук- лость вниз Точка пере- гиба
Таблица 2
п) 2 11 (-Н 0 <0. Л'2) <Л>, Ч-эо)
+ 0 — Не су- ществу- ет + 4-
— — — Не су- шеству- ет — 0 +
Макси мум Убыва- ние Мини- мум Возрастание
Выпуклость вверх Выпук- лость вверх Точка пере- гиба Выпук- лость вниз
14.5 Построение графиков функций
203
существует конечный предел limx(Z) = а или lim x(t) — a, a lim y(t),
соответственно lim y(Z), равен + оо или — oo.
Если такие значения t0 существуют, то
х — а (14.13)
есть уравнение искомой асимптоты.
Аналогично для нахождения асимптот, параллельных оси Ох,
надо найти такие значения 10, для которых существует конечный
предел lim y(l) = Ь или lim y(l) = b, a lim х(1), соответственно
/—>?() +0 0 t—
lim x(t), равен + со или — со. Ести окажется, что такие зна-
г->л>-о
чения /0 существуют, то
у^Ь (14.14)
есть уравнение искомой асимптоты.
Наконец, для нахождения асимптот, не параллельных ни оси
Ох, ни оси Оу, надо найти такие значения Zo. для которых пре-
делы limx(Z) и lim y(t) (или пределы lim x(t) и lim у(/))
/-+/,+0 /->/о+О
равны 4~°° или —оо и существует конечный предел lim —,7? =
/-*/o+OX
— k=£0 (соответственно lim = k). Если для этого значения /0,
0 х о)
кроме того, существует конечный предел lim [y(Z) — kx(t)] = l
(соответственно lim [у (t)—то прямая
l-t-ic—O
y~kx-\-l (14.15)
является асимптотой рассматриваемой функции.
Здесь везде /0 может быть как конечным, так и бесконечным.
Упражнение?. Вывести уравнения асимптот (14.13), (14.14)
и (14.15), исходя из того, что асимптотой называется прямая, расстояние до
которой от точки (x(Z) y(t)) графика функции, заданной параметрически,
х = х(0, y~y(f), стремится к нулю, когда точка стремится по графику функ-
ции в бесконечность, т. е. когда ;/х2(0 + yl(t) ->ос при /->0,4-0 или
t->t0— 0.
При предварительном вычерчивании графика функции, задан-
ной параметрически, часто бывает полезно предварительно постро-
ить в отдельности графики функций х = х(1) и у = у(1).
Для определения возрастания и убывания функции, заданной
параметрически, определения ее точек экстремума, точек перегиба,
выпуклости вверх и вниз надо использовать выражения для про-
изводных у'х и у"хх через производные xt, у\, х" и у\,. При
этом следует иметь в виду, что функция, заданная параметрически
204
§ 14. Исследование поведения финкиии
в целом, вообще говоря, задает не однозначную функцию у — у(х),
так что при исследовании графика функции надо все время внима-
тельно следить затем, какая «ветвь» графика рассматривается. Иног-
да бывает полезнее рассматривать, наоборот, х как функцию от у.
Пример 3. Построить график функции
t2 + 1
х —---'----,
4(1-0
’""ТП-
Параметрическое представление имеет смысл для всех t, кроме
t = ±1. Асимптоты, параллельные оси Ох, получаются при t = 1
и t — ±оо; их уравнения соответственно
у = 1 и у=1.
(14.16)
Асимптота, параллельная оси Оу, получается при t = —1; ее урав-
нение
Наклонных асимптот в данном случае нет.
Для построения графика функции вчерне полезно написать
таблицу изменения знаков переменных х и у в зависимости от изме-
нения t и некоторых характерных значений х и у. Так, в данном слу-
чае полезна следующая таблица.
Таблица 3
t — ос — 1 0 1 OO
X + OO + _1^ 4 + 4 + 30 — 30
У 1 + ОС 0 + 1 2 + 1
Теперь строим график (рис. 47). Для наглядности на графике ука-
зано, как ветви графика соответствуют изменению параметра.
Далее,
1 ] 2Z — г*2 ' 1
Xt —----!----- yt — ----------
4(1 —0s (1+02
поэтому
x- = (1+/)2(1 + 2Z-ZQ
y 4(1—02
(14.17)
14.5 Построение графиков функций
205
В данном случае лучше рассматривать х как функцию от у,
а не наоборот, так как из нарисованного графика видно, что естест-
венно ожидать, что х является однозначной функцией от у, у =[=
и у Ф1.
Из (14.17) видно, что ху = 0 _при t = — 1 и когда
1 ф-2t—12 — 0, т. е. при /=1 + ]Л2и/=1—У2. Значению
t = — 1 не соответствует никакая точка графика, а при t = 1 ф- У 2
и t = 1 — У 2 соответственно
,.= l+V"2 _ VI „ I-V2 =_У1.
2+1/2 2 2 — / 2 2
Составим теперь таблицу изменения производной ху и точек
экстремума.
Таблица 4
t — оо -1 1 11-/2| 1 1 1 +У 2 4“ оо
У 1 оо 1'2 1 2 |СЧ I у г 1
2
х'у оо - 0 - 0 + ОО + 0 - + оо
Экстре- мумы Мини- мум Макси мум
206
f 14. Исследование поведения функции
т/ 2
Из таблицы видно, что в точке у == -х— функция х = х (у)
1/2
имеет максимум, в точке у =----------минимум и строго моно-
тонна на интервалах
—
1V (1, +оо).
2 ) 2 ) ' '
Следует обратить внимание на то, что, взяв переменную у за
независимую, а переменную х — за зависимую, т. е. взяв ось Оу
за первую координатную ось, а ось Ох — за вторую, мы получили
систему координат, ориентированную противоположно рассматри-
ваемой нами все время системе координат, у которой первой осью
является ось Ох, а второй — ось Оу. Читателю полезно убедиться,
что доказанные нами выше критерии, например, для экстремумов
и точек перегиба геометрически не связаны с той или иной ориен-
тацией осей координат.
Для исследования выпуклости и точек перегиба функции х(у)
найдем хуу:
" _ Г/У Г _ (1 + 043 + 3^-3^ + ^)
Xyy — \Xy)tly — 2(1—О3
Производная хуу равна нулю при t = — 1 и когда
Р(/) = 3 + 3/—3/2 + /3 = 0.
Замечая, что P'(t) — 3(1— 1)2>0, причем Р' = 0 только в одной
точке / == 1, видим, что P(f) строго монотонно возрастает на всей
вещественной оси (почему?). Следовательно, существует един-
ственное /0, такое, что Р(/о) = 0. При этом Р(0) = 3 > 0, а
Р(—1)=—4 < 0, отсюда — 1</в<0. Если у0 = гЛг, то, очевидно,
—оо < у0 < 0 (можно, конечно, получить и более точную оценку
у0, выбирая более близкие tr и t2, такие, что РЦ^) < 0, Р(^)^>0').
Составим теперь таблицу изменения производной хуу и определим
с ее помощью интервалы выпуклости вверх и вниз, а также точки
перегиба — см. таблицу 5.
График функции (14.16) исследован.
Пример 4. Построить график функции
t
(14.18)
v —--------е
' 1 4- /3
t — оо (— ОО, — 1) — 1 (- 1. <о)
У 1 (1, + оо) Функция X (У) не оп реде- лен а (— оо. У«)
ХУУ + —
Интервал выпуклости Т очки перегиба и точки разрыва Точка разрыва Выпуклость вниз Выпуклость вверх
Таблица 5
«о. О 1 (1. + оо) оо
Уо (- т) 2 (т-') 1
0 + Не существует —
Т очка перегиба Выпуклость вниз Точка разрыва Выпуклость вверх Точка разрыва
208
§ 14. Исследование поведения функции
Асимптот, параллельных осям координат, в данном случае нет,
так как х->оо и у->оо при t-*—1, то, возможно, существует на-
клонная асимптота. Для ее нахождения вычислим соответствующие
пределы:
lim — — lim t — — 1, т. е. k = — 1,
t-^—1 X f~—l
lim (у—kx) — lim ( — -1-----—= lim ----------= —
t—i t — 1U+/2 l-H3/ /-.-i /-bl 3
Отсюда следует, что наклонная асимптота существует и что ее
уравнение имеет вид
1
V = —X-----.
3
Построим приблизительный вид графиков x(f) и у(/); для этого
предварительно найдем производные:
I — 2/3 /(2—/3)
(1 + /3)2’ (1 +/3)2 •
Производная Xt обращается в ноль при t = — и меняет знак
1/Г2
ращается в ноль при t = 0, меняя знак с «—» на «+», значит,
з, —
это точка минимума и при t = у 2, меняя знак с «+» на «—»,
значит, это также точка максимума. Из этих замечаний следует,
что графики функций х(1) и y(t) имеют вид, изображенный на
рис. 48.
По этим графикам, зная уравнение асимптоты, можно найти
приблизительный вид графика искомой функции (14.18). Он имеет
вид, изображенный на рис. 49.
15.1 Понятие предела и непрерывности для вектор функции
209
Исследование производной уЛ позволит уточнить размеры «пет-
ли», образуемой графиком. Из (14.19) имеем
>х l—2/з
Теперь видим, что: 1) у'х = 0 при
сательная к графику
t = |Л2, т. е. ка-
в точках (0; 0) и
t = 0 и
оси Ох
параллельна
оо при / =
касательная
Рис. 49
точках
и (0; 0). Таким
-Г_£; _L_L ; 2) у- =
\ 3 3 / х
1 .
=-----и t = оо, т. е.
»<2
к графику параллельна оси Оу в
Z4 . V 2
3 ’ 3
образом, точке (0; 0) (являющейся,
как говорят, точкой самопересече-
ния графика) соответствуют два зна-
чения параметра t = 0 и /==оо, если
только доопределить формулу
(14.18), положив х(оо) = 0, у(оо) —0. В этой точке две части
графика имеют соответственно своими касательными коорди-
натные оси.
График функции (14.18) называется листом Декарта. Из фор-
мул (14.18) нетрудно получить его неявное задание
у'3—ху — 0.
Построить графики следующих функций.
У п р а ж н е н и е 8.
Q. 3 _
у = » (* + 1 )2 — F (х — I)2-
у = sin3 х -|- cos3 х.
у = х2 In х.
2.
3.
4.
6.
7.
Г 2х2________1
x = 2Z — Р, y = 3t — t3.
x = t — e-‘. y = 2t — e~21
х = --------, у =--------.
—1 У ,4+1
§ 15. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ
15.1. Понятие предела и непрерывности
для вектор-функции
Определение 1. Если каждому значению tGT, где Т —
некоторое множество чисел, соответствует определенный вектор
г — r(i) трехмерного пространства, то будем говорить, что на Т
210
§ 15. Вектор-функция
определена сектор-функция, или, что то же, векторная функция,
г(1).
Если в пространстве фиксирована прямоугольная система ко-
ординат, то, как хорошо известно, каждому вектору соответствует
упорядоченная тройка действительных чисел — его координат,
и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует век-
тор, для которого эта тройка является его координатами. Поэтому
задание вектор-функции эквивалентно заданию трех скалярных
(числовых) функций х(/), y(t), z(t), являющихся его координатами:
г (/) = (%(/), y(t),
Длина всякого вектора р обозначается через |р|. Будем пред-
полагать известными основные алгебраические свойства векторов,
понятие скалярного и векторного произ-
ведений, а также свойства этих произ-
ведений. Скалярное произведение век-
торов а и b будем обозначать ab, а
векторное а'/Ь .
Введем понятия предела, непрерыв-
ности, производной и дифференциала
для векторных функций.
Определение 2. Пусть вектор-
функция r(t) определена в некоторой
окрестности точки tB, кроме, быть
может, самой точки tB, и пусть а —
некоторый вектор. Вектор а будем
называть пределом функции r(t) при
t~>tB и писать a— lim г (/) (или г
при если для любого в J>0 существует такое & = б(е)^>0,
что | г (t) — а | <' е для всех t, удовлетворяющих условию 11 — t0 | <Д
t =f= t0 (рис. 50).
Очевидно (ср. с леммой п. 4.7), что
(15.1)
limr(t)=a
тогда и только тогда, когда
!im|r(/)—а | = 0. (15.2)
Если г (t) = (x(t), у t), z(t)) и а — (аг, а2, аа), то для того
чтобы a = limr(/), необходимо и достаточно, чтобы
t-i-to
1 i m х (t) = alt limy(/) = a2, limz(/) = as. (15.3)
t~+to t t о
В самом деле,
I г (/)- а | = /к (0—“J2 + 1V (0 - o2l2 + lz (0 - gs]2- (15.4)
15 1 Понятие предела и непрерывности для вектор-функции 211
11оэтому
|г(/) —я|>|х(/) —п,|.
Отсюда следует, что условие |г(/)— «j-^О при t-+t0 влечет за
собой условие \x(t) — ал |->0 при т. е. условие limx(()~ аг
Аналогично доказываются другие равенства (15.3). Наоборот, если
выполнено (15.3), то из (15.4) сразу получаем, что |г(/)—а|-+0
при /->/0, т. е. а =• lim г (/).
Отметим некоторые свойства пределов векторных функций.
1. Если limr(/) = a, то lim| г (/) [ = | а (. Это сразу следует из
l-+fv
неравенова || г | — | а || | г — д|.
2. lim (г, (/) 4- г2 (01 =li,T1 ri (0 + !im r2 (/).
3. lim/./) г (() = li m f (/) lim r (t) (f (0 — скалярная функция).
4. li m rx (I) r2 (/) — li m r, (/) li m r2(().
t^-t, r^r,
5. limrt(0 X r2(0= HrnrJZ) x limr2(().
t^-t, (->(„
В свойствах 2—5 все рассматриваемые функции определены в
некоторой окрестности точки t0, кроме, быть может, самой точки
t0, и предполагается, что все пределы, написанные в правых частях
равенств, существуют; тогда утверждается, что существуют и пре-
делы, стоящие в левых частях равенств, причем справедливы на-
писанные равенства.
Все эти свойства доказываются аналогично тому, как мы до-
казывали подобные утверждения, встречавшиеся нам раньше
(см. п. 3.5, 4.6). Докажем, например, свойство 5. Предварительно
заметим, что для любых векторов р и q
|px^| = |p||^|sinpj<[p||^l- (15-5)
Поэтому, если p = p(t). q = q(t), причем lim|p(/)| =0, а |q(t)| —
ограниченная функция, то из (15.5) имеем (см. п. 4.8)
lim|pX0| = O. (15.6)
Пусть теперь lim t\ (/) = a, limr2(/) = &. Положим
а(/) = Tj(/) — «?, |i(/)-=/*2(/)—тогда, согласно (15.2),
lim|a(0| = lim|p(/)[ = 0. (15.7)
212
£ 15. Вектор-функция
Теперь
П (О X r2 (I) = \а + а (/)] X [Ь + р (0] =
= а х Ь + а х Р (Z) + a (t) X b -ф а (I) х Р (/),
где в силу (15.7) и (15.6)
liin| а хР(/)| = liin| a(t) х b | = lim | а (/) х Р(О | = 0,
i->t„ t-^t0
и так как
|aXp(Z) + a(/)X& + a(Z)xP(Z)|<|axP(/)| + |a(Z)X&| + |a(Z)xP(Z)|,
то и
liin | a х Р (/) + a (/) х & + a (/) х Р (/) | = 0.
/ -»t(l
А это, согласно (15.2), и означает, что
lim rx (/) х г2 (0 = « X Ь.
t'+tb
Свойство 5 доказано.
Отметим, что свойства 1—5 пределов вектор-функций могут,
конечно, быть получены с помощью формул (15.3) из соответству-
ющих свойств скалярных функций, если перейти к координатной
записи векторов и их скалярных и векторных произведений.
Перейдем к определению непрерывности вектор-функции.
Определение 3. Вектор-функция г — г(1), определенная в неко-
торой окрестности точк i /0, называется непрерывной в точке
10, если
lim г (/) = /-(/<,).
Из эквивалентности условий (15.1) и (15.3) следует, что для
того чтобы вектор функция г(/) = (%(/), y(t), ?(.()), определенная
в некоторой окрестности точки t0, была непрерывна в этой точке,
необходимо и достаточно, чтобы в точке t0 были непрерывны функ-
ции х(1), у(1), г(/).
15.2. Производная и дифференциал вектор-функции
Определение 4. Пусть вектор-функция г = г(1) опреде-
лена в некоторой окрестности точки /0. Если существует предел
lim г Йо +—г (/0)
д/-»о А/
то он называется производной данной вектор-функции в точке
10 и обозначается г'(1ф.
15.2. Производная и дифференциал вектор.функции
213
Таким образом, производная вектор-функции в точке есть век-
тор.
Для того чтобы функция r(Z) = (х(/), y(t), z(t)), определенная
в некоторой окрестности точки /0, имела производную в точке t0,
необходимо и достаточно, чтобы функции х(/), y(t) и г(/) имели
производные при t = /0, причем в этом случае
г' (Zo) = U"'(/()), /(/о), г' (/(,)),
I г' (t0) | = ]Л'2 (Zo) + у'2 (Zo) + г,ТЙ.
Это сразу следует из эквивалентности двух подходов (15.1) и 15.3)
к определению предела для вектор-функции:
Г(/о+А/) —г(/0) =
Д/
= /x('o + &Q-x(<o) y(/p + AQ-y(Z0) г(/0 +Др-г(/0)\
\ Л/ Д/ ’ Л/ /
при Д/—> 0.
Определение 5. Вектор-функция r = r(t), определенная в не-
которой окрестности точки Zo, называется дифференцируемой
в этой точке, если ее приращение Ar = г (Zo+ ДО— г'ФФ о точ-
ке /0 представимо в виде
Ar = a At-у е (At) At (15.8)
где lim е (At) = 0. При этом линейная вектор-функция*'* a At на-
д.» -> и
зывается дифференциалом функции r(t) в точке 1В и обозначает-
ся dr = a At.
Таким образом,
Ar = dr ф- г (At) At. (15.9)
Очевидно, что если вектор-функция дифференцируема в точке
t0, то она и непрерывна в этой точке.
Как и в случае скалярных функций, из дифференцируемости
функции следует существование производной r’(t) и равенство ее
вектору а. В самом деле, из (15.8) имеем
Л/*
lim — = lim [а-p е (Д/)[ = а.
й/-»с Д< Az-»o
*) Вектор-функиия аргумента t называется линейной, если она имеет
вид at -г Ь, где а и b — какие-либо два фиксированных вектора.
214
f 15. Вектор-функция
Обратно, если существует производная г (/0) = lim , то,
Лл*
полагая е(Д/)= —-----г (/0), получим
Дг = г' (/0) Д/ + е (Д/) At,
где Пп1е(Д/) = 0. Значит, г (0 Дифференцируема в точке и
дг->о
dr —г' (/0) Д/.
Положим для независимой переменной t по определению
dt — At, тогда (опуская обозначение аргумента t0)
dr = r'dt, r' = —.
dt
Подставляя полученное выражение для dr в (15.9), получим
Дг = г' Д/ф-е(Д/) At,
или
Дг = г' Д/-}-<х (Д/), (15.10)
где a (At) — о (At) при Д/->0*> и а(0) = 0.
Пусть теперь t = t(i). Если эта функция дифференцируема
в точке т0, Гс = /(т0) и Дт — т — т0, то из (15.10) (обозначая для
ясности г' = г') следует, что
Аг _г AZ । ”<Л0
Дт * Дт ' Дт
Так как Д/->0 при Дт->0, то, как и в случае числовой функ-
ции (см. п. 97/, полагая е(0) = 0, получаем
I- «(А0 л
lim —-—— = О,
дт->0 Ат
поэтому производная rt — hm —— существует nrx = rttr.
дт->о Ат
Отсюда, как и в случае скалярных функций, получается инвариант-
ность записи дифференциала вектор-функции: как для зависимой
переменной I, так и для независимой переменной т имеем
dr — rtdt, dr — rxdr.
*) По аналогии со случаем скалярных функций пишется а = о(р) при
если a (t) = s (Z) (3 (Z), где lim s(i) = 0.
15.2. Производная и дифференциал вектор-функции
215
Приведем формулы дифференцирования вектор-функции (аргу-
мент для простоты обозначений опустим):
1- (П + г2)'=г1 + Г2.
2. = f г + /г'.
3. (Г1Г2)'=Г|
4. (г, х г2) = г\ х r2 + Tj х г\.
Здесь все рассматриваемые функции определены в некоторой
окрестности точки /0 и предполагается, что все производные в точке
/0, стоящие в правой части равенства, существуют; тогда утвержда-
ется, что в точке /0 существуют и производные, стоящие в левых
частях равенства, причем имеют место написанные равенства.
Все эти формулы доказываются аналогично формулам дифферен-
цирования скалярных функций (см. п. 9.5). Докажем, например,
формулу 4.
Используя свойства 1—5 пределов вектор-функнпй, получим
[гг (О X r2 (Г)]^о = lim -n (Z°+ (Z° + A<) ~n (Z,,) x rz (Z,,) =
ДГ-.-0 ЪЛ
— lim
Д/->0
x Гг (/o + д/) + Г1 (/) x r2(/o + AOTf2(Q'
= r '1 (/0) X r2 (/„) +t\ (t0) x Г2 (/0).
Если вектор-функция r(/) = y(t), z(/)) определена в неко-
торой окрестности точки t0 и имеет п производных в этой точке, то
для нее имеет место формула Тейлора
п
Дг = г(/0 +А/)—г(/0)=
k=i
Эта формула непосредственно следует из разложения по формуле
Тейлора координатных функций х(/), у(1) и z(/).
Мы видим, что многие факты теории скалярных функций
буквально переносятся на вектор-функции. Однако было бы ошиб-
кой думать, что это всегда так: например, в определенном смысле
аналог формулы конечных приращений не имеет места для вектор-
функций.
У пражнение. Доказать, что если г(/) — дифференцируемая па
отрезке [а, 6] функция, то, вообще говоря, не существует точки ££ [о, 6],
такой, что
Г(Ь)~ г (а) = г' (§) (6 — ц).
216
§ 16. Длина дуги кривой
§ 16. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
16.1. Понятие кривой
Определение 1. Пусть в пространстве фиксирована
прямоугольная система координат. Множество точек (х, у, г),
координаты которых представлены как непрерывные на некотором
отрезке [й, Ь] функции переменного I
x = x(t), y~y(t), z — z(t), t£\a,b],
называется параметрически заданной кривой Г, или простой кри-
вой Г.
Короче это выражают, говоря, что кривая — это непрерывный
образ отрезка. Само указанное множество точек называется носи-
телем данной кривой. Переменное I называется параметром кри-
вой, а функции %(/), у(/), г(() — координатным представлением
кривой, при этом пишется
Г = {х — х (t), y — y(t), z — z(t), a^.t^b}.
Задание трех функций x(l), y(t), z(t) эквивалентно заданию одной
вектор-функции r(/) = (х(/), y(t), г(1)), а<К.Ь. Поместим начало
всех векторов г = г(/) в начало координат (векторы, начало которых
находится в начале координат, называются радиус-векторами).
Кривая Г называется в этом случае годографом вектор-функции
г(1), а сама вектор-функция r(t) — векторным представлением, или
вектор-представлением, кривой Г и пишется 1' = {r(/); а < I < Ь},
или просто Г = {/•(/)}.
Конец радиус-вектора г{1) будем обозначать г(/). Век гор функ-
ция r(t) и отображение r(t), называются соответствующи-
ми друг другу.
Отображение r(Z), t b, называется представлением кривой.
Таким образом, имеется три вида представлений кривой: коор-
динатное, векторное и просто представление.
Если М — r(t0), то точка М и соответствующее ей значение пара-
метра t0 называется точкой кривой, а сама точка М — носителем
этой точки кривой. Одна и тажеточка пространства, принадлежа-
щая носителю кривой Г, может являться носителем одной или
больше точек кривой Г; последнее будет иметь место в том случае,
когда существует несколько значений параметра t, при которых
вектор функцияr(i) принимает одно и то же значение. Такие точки
называются точками самопересечения кривой Г, или кратными
ее точками.
Определение 2. Кривая без кратных точек называется простой
дугой.
16.1. Понятие кривой
217
Будем говорить, что точка М = г(/) кривой Г стремится к точ-
ке Мо = г(/0) этой кривой, если
Приведенное определение кривой имеет в своей основе физи-
ческое представление о траектории (пути) движущейся в пространст-
ве материальной частицы.
Если рассматриваемая кривая Г лежит в некоторой плоскости,
то эта кривая называется плоской. Если указанная плоскость, вы-
брана за координатную плоскость хОу, то представление кривой
имеет вид
x~x(t), y~y(t), z = 0,
причем уравнение z = О, если это не может привести к недоразу-
мениям, обычно не пишется.
График непрерывной на некотором отрезке [а, й] функции
У — f(x) является кривой в нашем смысле с представлением
х — х, y — f (х), а^.х < b
(в этом случае параметр t = х).
Порядок чисел (по величине) на отрезке [о, й] с помощью пред-
ставления г(/) кривой Г = {г(0; о С t С й}, естественно, порождает
соответствующий порядок точек на кривой.
Определение 3. Точка считается предшествующей
точке г((")^Г, или, что то же, точка r(t") считается следующей
за точкой г(1'), если а < t' < t" < й; поэтому кривую Г называют
также ориентированной кривой, т. е. кривой, на которой указан
порядок следования точек. Точка г(а) называется началом, а точка
г (Ь) — концом кривой.
Определение 4. Если г(а) = г(й), то кривая Г называется замк-
нутой, или контуром.
Замкнутая кривая, начало и конец которой являются ее единствен-
ными кратными точками, называется простым контуром.
Задача 8 (теорема Жордана). Доказать, что всякий простой контур на
плоскости разбивает плоскость на две области (ограниченную и неограничен-
ную); это означает, во-первых, что он является границей каждой из этих
областей, во-вторых, что никакие две точки, принадлежащие различным
указанным областям, нельзя соединить кривой, не пересекающей данный
контур.
Рассмотрим ориентированную кривую Г = {г = г((); п</<й}.
Пусть задана некоторая функция / = /(т), а<..т<0, строго моно-
тонно возрастающая и непрерывная на отрезке [а, 01; причем
((а) = а, /(р) = й, тогда вектор-функция р(т) = г(/(т)), а < т < р,
считается по определению также представлением ориентированной
кривой Г. Отметим, что обратный переход от представления р(т)
к представлению r(t) осуществляется также с помощью строго
218 § 16. Длина дуги кривой
монотонно возрастающей и непрерывной на отрезке [о, функции
г — т(/), являющейся обратной к функции t — 1(т) (см. п. 6.3).
Функция t = /(т), «<т<р, называется преобразованием пара-
\ метра. В зависимости от рассматриваемых вопросов на нее накла-
дываются различные дополнительные условия, причем всегда таким
образом, чтобы они выполнялись и для обратной функции. Напри-
мер, условие дифференцируемости и необращения в ноль производ-
ной, непрерывной дифференцируемости и необращения в ноль про-
изводной, дважды непрерывной дифференцируемости и необращения
в ноль первой производной и т. п. Такие преобразования парамет-
ра называются допустимыми преобразованиями.
Например, чтобы из непрерывной дифференцируемости представ-
ления r(t) кривой Г следовала непрерывная дифференцируемость
другого ее представления р(т), и обратно, естественно потребо-
вать, чтобы преобразование параметра t — /(т) было непрерывно
дифференцируемо и чтобы его производная не обращалась в ноль.
Пусть теперь задан некоторый класс допустимых преобразова-
ний параметра. Две вектор-функции, получающиеся одна из другой
с помощью допустимого преобразования параметра, называются
эквивалентными. Очевидно, в силу нашего соглашения эквивалент-
ные вектор-функции являются представлениями одной и той же
кривой (при заданном классе допустимых преобразований пара-
метра).
Таким образом, окончательно приходим к следующему опреде-
лению.
Определение 1'. Кривая — это геометрическое место точек,
пространства плюс соответствующий класс его эквивалентных пред-
ставлений*'1.
Любое из представлений кривой полностью определяет весь
класс эквивалентных ее представлений (всегда предполагается, что
условия при которых вектор-функции считаются эквивалентными,
заданы), а значит, саму кривую Г, поэтому по-прежнему будем
писать Г = {г(/); п<7<б}, или Г = {г(/)}, где r{i) — какое-либо
из векторных представлений кривой Г. Будем также иногда пи-
сать Г = (г(/); или Г — где г(1) — некоторое пред-
ставление кривой Г, т. е. непрерывное отображение отрезка [а, />1
в пространство
Если р(т); а < т < р и r(t), а < Ь, — два представления
кривой Г, t = /(т), а < т < р, — допустимое преобразование па-
раметра, переводящее второе представление в первое, то р(т0) и
*) Вдумчивый читатель заметит, что в нашем определении кривой само
множество точек кривой («геометрическое место точек») играет подчиненную
роль и его без ущерба можно отбросить, определив кривую просто как класс
соответствующих эквивалентных вектор-фуикций. Мы этого не сделали для
большей геометрической наглядности.
16.1. Понятие кривой
219
r(t0), естественно, считаются одной и той же точкой кривой Г toi-
да и только тогда, когда т0 = т(/0).
Если на представление кривой и на допустимые преобразо-
вания параметра накладывать те или иные ограничения, то будем
получать различные классы кривых.
Определение 5. Кривая Г — {г(/)} называется (непрерывно) диф-
ференцируемой, если ее векторное представление r(t) — (непрерыв-
но) дифференцируемая функция, а допустимыми преобразованиями
параметра являются (непрерывно) дифференцируемые преобразо-
вания с не обращающейся в ноль производной.
Аналогично определяются п раз (непрерывно) дифференцируе-
мые кривые при п > 1.
Указанный подход к понятию кривой естествен с точки зре-
ния физической интерпретации кривой как траектории материаль-
ной точки: положение движущейся материальной точки на ее тра-
ектории можно задавать, пользуясь различными параметрами, на-
пример, временем движения, длиной пройденного пути и т. п.
Пример. В силу нашего определения кривые
х—cos/, y = sin/, 0<3<^2л,
и
x = cos/, у — sin/, 0 < / < 4л,
являются различными, хотя носители их совпадают: они представ
ляют собой одну и ту же окружность х2 + у2 = 1. В первом случае
эта окружность «проходится» один раз, во втором — дважды.
Представления же
, . г л , . л
X — COS /, V ~ sin /,----< / ,
/ 2 2
И
х = )/т(2— т), у — т—1, 0<т^2,
задают одну и ту же кривую, если допустимыми преобразованиями
папаметра считаются все непрерывные строго монотонно возрастаю-
щие преобразования. Действительно, функция т = 1 + sin / не-
прерывна, строго монотонно возрастает на отрезке yj и
переводит одно представление в другое. Множеством точек кривой,
т. е. ее носителем, является в этом случае полуокружность
х2ф-у2=1, х > 0.
Определение 6. Пусть задана кривая Г = {r(t),
причем в качестве класса допустимых преобразований параметра
взят класс строго монотонно возрастающих непрерывных функций.
220
16. Длина дуги кривой
Пусть t = /(т) — строго монотонно убывающая и непрерывная на
^отрезке [а, [3] функция, причем t(a) = b, /ф) = а. Кривая, опре-
деляемая представлением г = г(1(х)), а < т < р, называется кривой
.ориентированной противоположно кривой Г и обозначается — Г.
Если т0 0 а, р] и 10 — /(т0), ю точки г(0 и г(/(т0)) соответственно
кривых Г и — Г называются соответствующими друг другу. Одна
точка кривой Г предшествует другой точке этой кривой тогда и
только тогда, когда точка кривой — Г, соответствующая первой
точке, следует за точкой, соответствующей второй. Этим оправды-
вается термин «противоположно ориентированная кривая».
Подобным же образом определяются противоположно ориенти-
рованные кривые и при других допустимых преобразованиях пара-
метра.
Если г(/), — представление кривой Г, то r(o + b — т),
, а < т < Ь, является представлением противоположно ориентиро-
ванной кривой — Г, ибо функция I = а + b — т, строго
монотонно убывает.
В заключение сформулируем еще несколько полезных для даль-
нейшего определений.
Определение 7. Пусть задана кривая Г = (г(/);
Если [а', 6], то кривая Г'= {/•(/); а’ <(1 < Ь’} назы-
вается частью кривой Г (или ее дугой) и пишется Г'сГ.
Если 10£(а, Ь), Г^Н/). Г2-0г(/),
то кривая Г называется суммой кривых Г, и Г2 и пишется
Г=Г,^Г2.
Аналогично определяется сумма конечного числа кривых.
Определение 8. Пусть Г = {r(/); а < t < b} — плоская кривая,
расположенная на плоскости х, у. Если существует непрерывная
функция F(x, у), такая, что геометрическое место точек (х, у),
удовлетворяющих условию
F(x,y) = 0, (16.1)
совпадает с носителем кривой Г, то говорят, что уравнение (16.1)
является неявным представлением кривой Г.
Следует, однако, иметь в виду, что, вообще говоря, геометриче-
ское место точек, удовлетворяющих уравнению вида (16.1), где
F(x, у) — некоторая непрерывная функция, не является множеством
точек какой-либо кривой в вышеопределенном смысле. Например,
геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению
(х2 ~Е у2) (х2 + у2 — 1) = О,
представляет собой окружность х2 + у2 = 1 и точку (0; 0). Можно
показать, что это множество не является непрерывным образом
отрезка.
16.2. Касательная к кривой
221
Наконец, отметим, что множество точек кривой всегда ограни-
чено, т. е. лежит в некотором шаре; это следует из того, что функ-
ции координатного представления кривой, согласно теореме Боль-
цано — Вейерштрасса, ограничены в силу их непрерывности. Вмес-
те с тем уже в элементарной математике встречаются неограничен-
ные кривые, к таковым относятся, например, прямая, парабола,
гипербола, синусоида, график tg х и т. п. Чтобы охватить и такие
«кривые», можно определить класс так называемых «открытых
кривых» по схеме, подобной вышеприведенной, в которой за
основу взята непрерывная вектор-функция, определенная уже на
интервале, а не на отрезке, как это было сделано выше. Открытые
кривые, в частности, могут быть и неограниченными. Подробное
и точное формулирование всех этих понятий предоставляется про-
делать учащемуся по мере потребности.
16.2. Касательная к кривой. Геометрический смысл
производной вектор-функции
Пусть задана кривая Г = {/•(/); а < t < b} и пусть
tnQ [а, Ь], +
Прямую, проведенную через точки г(/0) и г(/0 -ф А/), назовем
секущей кривой Г и обозначим /дг. Если r(t0)=l= r(t0 -ф Az), то такая
прямая единственна. (Для простоты в дальнейшем будем предпола-
гать, что условие r(l0)=j=r(t0 -ф А/) выполняется для всех достаточно
малых значений А/.) Возьмем какой-либо единичный вектор /(А/),
параллельный секущей /д/. Например, если Аг = г(/0 -|- AZ) —
—г(^о)^=О> то можно взять /(А/) = p^-j, ибо, очевидно, j Z(A/) | = 1.
Определение 9. Будем говорить, что секущая 1st стремится
к предельному положению, когда точка r(tv -ф А/) кривой Г стре-
мится к точке r(t0) (т. е. когда А/->0), если для всех достаточно
малых по абсолютной величине значений At можно так выбрать ука-
занную выше единичную вектор-функцию /(А/)*>, что для нее су-
ществует предел
lim/(A0 = /n. (16.2)
д/-»о
При выполнении этого условия под предельным положением се-
кущей в точке r(tn) будем понимать прямую, проходящую через
точку г(10) и параллельную вектору 11:.
Из формулы (16.2) следует, что угол между секущей и ее пре-
дельным положением стремится к нулю, когда А/->0.
») Это означает, что существует 6>0, такое, что для всех Л/, удовлетво-
ряющих неравенству | AZj <6, можно осуществить указанный выбор век-
тора /(AZ).
222
§ 16. Длина дуги кривой
Поскольку из (16.2) следует, что
lim|Z(A/)| — | Zo1>
Д/->-0
то /0 — также единичный вектор.
Упражнение 1. Доказать, что прямая, являющаяся предельным
положением секущей, единственна, т. е. доказать, что если в предположениях
определения 9 для некоторого единичного вектора Zi(AZ), параллельного се-
кущей /д/, существует Um Zj(AZ), то он равен либо Zo, либо—1и (см. (16.2)).
Заметим, что если для некоторого вектора /*(Д() (не обязатель-
но единичного), параллельного секущей существует предел
limZ*(AZ) = Zo=£O, (!6.3)
X Az —
г
т0 существует и
^/7] / &z—o IZ* (ДО I ро|
/ / / Но вектор
I* (Л/)
// |Z* (Л/) | ’
О' очевидно, единичный; поэтому со-
р 51 гласно сделанному определению,
1 в этом случае секущая /д? стре-
мится к предельному положению.
Определение 10. Предельное положение секущей в точке r(t0)
(если оно, конечно, существует) называется касательной к данной
кривой в точке r(t0).
Лемма. Пусть вектор-представление r(f) кривой Г дифферен-
цируемо в точке t0£ In, 6] и пусть r'(tn)=/=0. Тогда кривая Г имеет
касательную в точке г(10) и производная г'(1й) направлена по этой
касательной.
Доказательство. Действительно, вектор
Ar = r(z0 + AZ) — r(t„),
№
а значит, и вектор — , очевидно, параллельны секущей lAt
(рис. 51). Согласно предположению,
lim ~ = r'(Zo)4=0,
AZ —о Дг
Лл*
т. е. выполняется условие (16.3) для вектор-функции Z(AZ) = ,
16 2. Касательная к кривой
223
что и означает, что вточкег(/0) существует касательная*' и что она
параллельна вектору r'(t0).
•Лемма доказана.
Отметим, что в рассматриваемом случае дифференциал
dr (/о) — r'(t0)dl также направлен по касательной к кривой, ибо он
отличается от производной лишь скалярным множителем dt.
Вектор t = —-—, г'=/=0, является единичным вектором, Ha-
ir' |
правленным по касательной.
Вектор Аг при А/>0 направлен от точки кривой с меньшим
значением параметра к точке с большим значением параметра, по-
этому можно сказать, что вектор Аг при А/>0 показывает направ-
ление, в котором параметр на кривой возрастает, т. е., как говорят,
А/"
положительное направление на кривой. Вектор при А/>0 имеет
Аг ,
то же направление, что и вектор Аг. Поскольку lim = г (/), то
д/-»о LU
естественно говорить, что вектор r'(t), а значит, и вектор t, который
отличается, быть может, от вектора r'(f) положительным числовым
1
I r'(t) |
множителем
, также направлены в сторону возрастания пара-
метра и что их ориентация (направление) соответствует ориентации
кривой. Направление вектора t (или, что то же, вектора г') будем
называть положительным направлением касательной.
Уравнение касательной к кривой Г в точке г(/0), для которой
г'(/о)=^=О, в векторной записи имеет вид
r = r(/0)4-r' (/0)т, — оо<т< + оо,
где г — текущий радиус-вектор касательной. В координатной за-
писи уравнение касательной в этом случае имеет вид
x = x(/0) + x'(Z0)t,
у = у(М+у'(Ш.
z = z(f0)-|-z' (/0)т,
---ОО Т -р оо.
Упражнение 2. Пусть вектор-представление г (t), а < I < b, кри-
вой Г дважды дифференцируемо в точке И и пусть г' (10) = О,
r"(to)=pO. Доказать, что кривая Г имеет в точке г (/0) касательную, и урав-
нение этой касательной будет
г = г Оо) + Г" (/0) т, — оо<т<+оо.
«) Справедливость неравенства г(/0) гОо + при всех достаточно
малых AZ (лишь при выполнении которого было сформулировано определе-
ние касательной) в рассматриваемом случае следует из предположения, что
г'(/и)¥=0.
224
§ 16. Длина дуги кривой
Определение 11. Точка дифференцируемой кривой Г =={/•(/)},
в которой г' =/= 0, называется неособой, а точка, в которой
г' — 0, — особой.
Если r= (x(t), y(t), 2(1)), то из равенства |г'| = ]Лх,2_|_у'2_|_г'2
(см. и. 15.2) имеем: точка (х(1), у(1), г(/)) кривой Г неособая тогда
и только тогда, когда в ней х'2 + у'2 4- г'2 > 0, т. е. хоть одна из
производных х', у' иг' не обращается в ноль.
Согласно доказанному выше, во всякой неособой точке кривой Г
существует касательная.
Если допустимыми преобразованиями параметра являются стро-
го монотонные дифференцируемые функции t = /(т) с производной,
не обращающейся в ноль, тогда неособая точка при одном пред-
ставлении кривой будет одновременно неособой и при любом
представлении: это следует из равенства
/2 /2 ,2 , z2 z2 z2. z2
Хх + Ух + гт ~ \Х< + У' + г‘ ) ^Х •
Рассмотрим более подробно случай плоской кривой. Пусть
Г -- {х = х(1), у = y(t), а< t < b} — непрерывно дифференциру-
емая плоская кривая. Пусть точка (х(/0), )’ (/0)) — неособая,
т. е. x'\t0) + у'2(/о) > 0, например, х'(10)=/= 0. Пусть для определен-
ности x'(t0) > 0, тогда в некоторой окрестности точки t0 также
х'(/)>0 и, значит, функция х(1) строго монотонно возрастает в
этой окрестности; поэтому существует обратная непрерывно диф-
ференцируемая функция t — t(x). Подставляя ее в представление
кривой Г, получим
у = у(/ (x)) = f(x),
т. е. в некоторой окрестности неособой точки непрерывно диффе-
ренцируемая кривая является графиком непрерывно дифференци-
руемой функции /; точнее, существуют окрестность точки t0 и не-
прерывно дифференцируемая функция /, определенная на этой
окрестности, такие, что часть кривой, соответствующая значениям
параметра, принадлежащим указанной окрестности, является гра-
фиком функции Л
Определение 12. Непрерывно дифференцируемая кривая без
особых точек называется гладкой.
Кривая, представимая как сумма конечного числа гладких кри-
вых, называется кусочно-гладкой.
16.3. Длина дуги кривой и дифференциал
длины дуги
Определение 13. Для всякого отрезка 1а, й] систему его
точек Ц, / = 0, 1, 2,..., п, таких, что
а~ ••• ••• <С 1п =
163. Илина дуги кривой и дифференциал длины дуги
225
будем называть его разбиением и обозначать t = {ZJJ=".
Пусть задана кривая Г — (г (/), <?</</>} п пусть T={^}jZro
некоторое разбиение отрезка \а, 6]. Положим
Л
°т = SlHQ—г(^-1)|.
i= 1
Очевидно (рис. 52),
от— длина ломаной с вершинами г (а),
г(О), r(Z„_i), r(b), т. е., как обычно говорил, ломаной, впи
санной в кривую Г.
Определение 14. Величина
Sr = sup от,
т
где верхняя грань взята по все-
возможным разбиениям т отрезка
Io, ft], называется длиной кривой Г.
Если <Si < 4-сю, то кривая Г
Рис. 52
набивается спрямляемой.
В силу этого определения спрямляемость кривой и ее длина не
зависят от выбора представления кривой и всегда
О Si 4- оо.
Упражнение 3. Доказать, что кривая, являющаяся частью спрям-
ляемой кривой, также спрямляема.
Лемма. Пусть Г — Го о Г6, тогда
Sv = STa + SVb.
(16.4)
Доказательство. Пусть а<с<Ь и
Г = {г(О.
Гй = {г(/),
Г, = {г(/),
а t < b},
a^t < с},
с < t < Ь}.
Пусть т — разбиение отрезка [а, 6], ат* — разбиение этого же
отрезка, совпадающее с т, если точка с входит в разбиение т и полу-
чающееся из г добавлением к нему точки с, если эта точка не вхо-
дит в разбиение т. Разбиение г* является объединением двух
разбиений отрезков 1а, с] и 1с, 6]. которые мы обозначим соответ-
ственно то и ть 1. е. т* = та сь. Очевидно, для длин ломаных,
соответствующих разбиениям т*. та и справедливо равенство
°т =°To+0Tft-
226
§ 16. Длина дуги кривой
Но supoT =Sr , sup о_ =Sr , следовательно,
Г 1а а 1 и о
cx»<Sra + Srb.
При переходе от разбиения т к разбиению т*, быть может,
лишь одно звено r(/z_i)r(/<) заменяется двумя r(Zt_j)z (с) и
г (с)/"(/J, и поскольку
ИЛ-1) г (h) | < | г (/,-1) г (с) Ц-1 г (с) г (h) |,
то
°т < °т*
и, следовательно,
от -С Sr -|- Sr .
1 а b
Но Sr = sup от, поэтому
Sr 5гд + Sj^. (16.5)
Докажем теперь обратное неравенство. Для произвольных т
и тй разбиений соответственно отрезков [а, с] и [с, Ь] и разбиения
т* = та ть отрезка [а, 6] имеем
°та+% = от‘<5г-
Отсюда <rT <;Sr—ат ; фиксируя разбиение ть и переходя к верх-
ней грани от при всевозможных тп, получим
8га<5г—оТь.
Отсюда
%<Sr—Sra,
следовательно,
Sr, 5г—Sp ,
b а
т. е.
Si'e 4~ Srfc С Sp. (16.6)
Из неравенств (16.5) и (16.6) получаем (16.4).
Лемма доказана.
Задача 9. Построить пример неспрямляемой кривой.
Теорема 1. Если кривая Г = {г (/) = (%(/), y(t),
непрерывно дифференцируема, то она спрямляема и ее длина Sr
удовлетворяет неравенству
m2i+m22 + ml (fe—а) < Sr <]/М2 +М22-}- М23(Ь—а), (16.7)
16.3. Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги
227
\где
тг = inf | х’ (Z) |; m2= inf\у' (/)]; т-Л = inf | г' (Z) |;
a<z<l)
М1 = sup\х' (Z)[; M2 = sup|/(Z)|; M8= sup |/(Z)|.
u^t^b a^^b a<l4b
Отметим, что в силу непрерывности производных х' (Z), у' (О,
г' (Z) величины mk и Mk конечны, 6=1, 2, 3.
Доказательство. Возьмем какое-либо разбиение г =
= {ZjzZo отрезка [с, 6]. Тогда
2 |г(6)-Г(6-1)| =
„________________‘2_________________________
= 2 Г/|х(6)-х(6_,)]2 + [у(6)-у(6_1)]2 + [г(6)-г(6-1)]2. (16.9)
По формуле конечных приращений Лагранжа (см. п. 11.2)
х (Zz)-x (Zz-i) = х' &) (6—6-i). 6-i < Ь < 6,
У(6)—y(6-i) = /(iiz)(6 —6-i), 6-i <Пг<6,
г(6)—z(6-i) = z' (tz)(6— Zz-i), 6-i <Zi < 6,
i — 1, 2, .... n.
Подставляя эти выражения в (16.9), получим
ат = 2 VHmiy'W+lz'W(6-6-1). (16.10)
Из (16.8) следует, что
mi < |х'О < т2<|у'(г)г)1 <М2, т3<|г'О<'мз,
i = 1, 2, ..., п.
Подставляя эти оценки в (16.10) и вынося множители
+ ml + /«з и V М i + /Иi + zWз за знак суммы (они не зависят
от индекса суммирования), получим
V + — 6-i)<oT<]/++ —
Z=1 г—1
Так как, очевидно, 2(6 — 6-1) = ^—а, то окончательно
1=1
j/"-|-/Л2 “Ь (?тМ1 -j- Ada -j- {b—и)
для любого разбиения т.
228
<5 16. Длина дуги кривой
Переходя в этом неравенстве к верхней грани по т, получим
утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть кривая Г = {г(/) — (х(/), )’(/), г(/));
непрерывно дифференцируема. Тогда переменная длина дуги s, от-
считываемая от начала г(а) кривой Г или соответственно от ее
конца г(Ь), является монотонно возрастающей, соответственно мо-
нотонно убывающей, непрерывно дифференцируемой функцией
параметра t; при этом
ад (i6.il)
at dt |
соот ее тс т в енно
А = _]/х'2 + /2 + г'2= I (16.12)
at | at |
Доказательство. Пусть s = s(/) — длина дуги кривой
Г от точки г(а) до точки г(1). Пусть fc], /0 А/ £ [а, 6] и
As = s(/0 + Л/) — s(/). Очевидно, что функция s = s(/) монотонно
возрастает на отрезке [п, Ь], поэтому если Д/> О, то As> 0; если же
д
Д/ < 0, то As < 0. Поэтому всегда > 0.
Применяя неравенство (16.7) к части кривой Г, соответствующей
отрезку |/0, /0+Д/| при Д/> 0 (соответственно отрезку
Uo + At, /0] при Д/<0), получим
| At | т\ ~г tn^ | As | | At ||/" Л41 -|- М2 TVlf,
откуда
|/т2 + /„2 + ,„з<^. (16.13)
А/
где ггц и Mk, k = 1, 2, 3, — соответственно нижние и верхние
грани абсолютных величин производных функций координатного
представления кривой Г на отрезке [/0, /0 + Д/1 при At > 0 или
на отрезке [/0 + At, /„] при Д<<0. В силу непрерывности этих про-
изводных указанные значения т, и Mh, k = 1, 2, 3,..., принима-
ются в каких-то точках отрезка [/0, t0 + Д/1 при Д^>0 или соот-
ветственно отрезка [/0 ф- At, /0] при Д/<0. Итак,
тх = inf \х’ (Z)| = I х' (/о + 0 At) О<0 < 1,
Л11 = sup|x'(^)l==lA-, (^o + ei Д01> 0<6х< 1,
16.3 Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги
22V
поэтому
подобным образом
li m пц = lim = | x' (t0) |;
Д / О Д*->0
lim m2 = lim M2 = | y' (Jo) I,
Д'-»0 д?->о
lim ms — limA43 = |z'(/0) |.
Д/^fj Д<-»0
Переходя к пределу при i\t ->•0 в неравенство (16.13), получим,
.. Дь
что lim — существует и что
.. As
lim —
Д^-еО
.Кх-Ч/2 + г'2 = |
dr
"di
Формула (16.11) доказана.
Если теперь cr = <у(1) — переменная длина дуги, отсчитываемая
от конца г(Ь) кривой Г, то, очевидно, о = Sr — $, откуда = —1.
В силу этого формула (16.12) сразу следует из формулы (16.11):
do do ds I dr
dt ds dt I dt
Теорема доказана.
Следствие 1. Если параметром на кривой является пере-
менная длина дуги s, то
(16.14)
Это сразу следует из формулы | ПРИ ^ = s-
Следствие 2. Для всякой непрерывно дифференцируемой
кривой Г без особых точек, т. е. для всякой гладкой кривой, су-
ществует ее представление г — r(s), в котором за параметр s взята
переменная длина дуги кривой Г.
Доказательство. Пусть непрерывно дифференцируемая
кривая Г = {г(/); п не имеет особых точек, т. е. г'(0=^=0 Для
всех 1й\а, 6]. В этом случае переменная длина дуги s == s(/) явля-
ется строго монотонно возрастающей непрерывно дифференцируемой
функцией, ибо — = |г'|>0 во всех точках [о, Ь\. Поэтому су-
ществует обратная функция t = /($), 0<s<Sr, которая также строго
монотонно возрастает и имеет непрерывную не обращающуюся в ноль
производную на отрезке [О, S,], т. е. функция t = /(s) является
допустимым преобразованием параметра для непрерывно диффе-
230
§ 16. Длина дуги кривой
щей точки r(Z) и
Рис. 53
ренцируемых кривых без особых точек и представление г = r(/(s))
является искомым представлением, в котором роль параметра играет
переменная длина дуги.
Замечание. Формула (16.14) имеет простой геометрический
смысл: | Аг| = | r(t + А/) — г(/)| равно длине хорды, соединяю-
r(t 4- Л/), а | As| = | s(Z + А/) — s(/)| — длине
дуги между этими точками (рис. 53), и
так как
I dr I .. Ал
— = 11m —
I ds I As->o As
а условия As-лО и Д/->0 равносильны, то
lim — 1-1,
Д.'-»0 As I
что означает, что предел отношения длины
дуги к длине стягивающей ее хорды равен
единице, когда дуга стягивается в точку.
Обозначим теперь через а, р и у угпы, образованные вектором
или, что то же, касательной к кривой Г — {r(s)} соответственно
с осями Ох, Оу и Oz. Тогда из равенства |~ | = 1, очевидно, сле-
dr
дует, что проекции вектора па оси координат равны соответствен-
но cos a, cos () и cos у, т. е.
— = (cosa, cosp, cosy). (16.15)
С другой стороны, для вектор-функции r(s) = (x(s), y(s), z(s)),
как для всякой вектор-функции (см. п. 15.2), имеем
Jz, (16.16)
ds \ ds ds ds j
Сравнивая (16.15) и (16.16), получим
-^- — cosa, -= cos р, — = cosy. (16.17)
ds ds 1 ds Г V ’
В качестве примера рассмотрим кривую, называемую винтовой
шнией. Эта кривая задается представлением
х —acos/,
y = asin/,
z = bt,
a^-b^O, Q^I^T.
16.4 Плоские кривые
231
Очевидно, что винтовая линия является бесконечно дифферен-
цируемой кривой, и так как
л,2 + /2 + z'2 = a2 sin’21 + a2 cos21 ф- b2 —
=«2ф- 6^0,
то она не имеет особых точек (рис. 54).
Следовательно, переменную длину ее дуги
можно принять за параметр. Найдем соот-
ветствующее представление.
Согласно формуле (16.11), имеем
~ = V х'2-у у'2 + г'2 = V a2-Yb2.
Отсюда
di________1
ds, Д/ u2 + b'1
и, следовательно, t = ______!-----. Поэтому искомое представление
\ а2 ф №
имеет вид
х (s) = a cos 5 —г, у (s) = a sin s , г (s) = . bs ,
' ’ У а* + 62 7 ' У а" + 62 ’ У а2 + Ь1
0<s<Tya2+b2.
Упражнение 4. Доказать, что для спрямляемой кривой без точек
самопересечения переменная длина дуги является непрерывной строго мо-
нотонной функцией параметра t.
16.4. Плоские кривые
Пусть Г = {г(/); аУкЬ} — непрерывно дифференци-
руемая плоская кривая, лежащая в плоскости хОу:
r(t) = (*(/), y(Z)),
и пусть s = s(/) — переменная длина дуги кривой Г; для ее про-
изводной из формул (16.11) и (16.12) получаем
(16.18)
где знак «+» берется, если длина дуги s(Z) отсчитывается от на-
чальной точки г(а) кривой, и знак «—», если от конечной точки
г(5).
232
§ 16. Длина дуги кривой
Из формулы (16.18) для дифференциала дуги получаем выра-
жение
ds2 = dx2 + dy2. (16.19)
В случае, если кривая Г является графиком непрерывно диф-
ференцируемой функции у = f(x), формула (16.18) превращается
в формулу
и, значит,
ds= ± V1 -|-y'2dx.
Рассмотрим геометрический смысл формулы (16.19) в случае,
когда Г является графиком непрерывно дифференцируемой функ-
ции у = f(x), а х <. Ь, и длина дуги кривой отсчитывается от
начальной точки кривой (рис. 55). Пусть х0 £ [о, 6], х0 + dx £ [а, Ь],
У о ~ I (*-(>) > Мо = С’ч» У о).
)'о + Ду = f (х0+ dx), М =
= (x0 + dx, у0 + Ду), M„N —
касательная в точке Л1о,
РМ — приращение функции в
точке х0 + dx, PN — прираще-
ние ординаты касательной в точ-
ке х0 + dx. Треугольник Л40Л/7
прямоугольный; очевидно
М0Р = dx, PN = dy, поэтом)
М0№-М0Р2 + Р№ =
= dx2 + dy2 = ds2,
т. е. длина отрезка касательной M0N равна ds. Иначе говоря, по-
лучим главную часть приращения длины дуги М0М, если заменим
ее приращением длины касательной в точке /Ио.
Любопытно отметить, что получается правильная формула(16.19),
если, совершая некоторые ошибки, применить к «криволиней-
ному прямоугольному треугольнику» М„МР теорему Пифагора:
МиМ2 = М0Р2 + РМ2, считая при этом, что его «сторона /И0Л1»
равна ds, а не As, как на самом деле, а сторона РМ равна dy, а не
ее истинному значению Ду. В данном случае одни ошибки компен-
сируют другие и в результате получается правильный результат.
Если теперь на кривой Г в качестве параметра взята переменная
длина дуги s: Г = {r(s); 0<Cs ' Sr}, то, согласно (16.17),
— — cuscz, cosB--sin «, , (16.20)
ds ds 2
16 5. Физический смысл производной вектор-функции
283
где (рис. 56) и — угол, образован-
ный касательной с осью Ох, а р —
с осью Оу.
Отметим, что эти формулы
могут быть получены примене-
нием к «криволинейному прямо-
угольнику» М0МР (см. рис. 55)
формул, выражающих синус и
косинус углов обычного прямо-
угольного треугольника через его
ка1еты и гипотенузу, считая, как
и выше, стороны указанного «тре- Рис. 56
угольника» М0МР равными соот-
ветственно dx, dy, ds. Подобное обстоятельство имеет место и для
пространственных формул (16.17). Такой метод получения формул
(16.17) и (16.20) является, конечно, необоснованным, однако он
облегчает их запоминание.
16.5. Физический смысл производной
вектор-функции
Пусть теперь годограф Г непрерывно дифференцируемой
вектор-функции г(') есть траектория движущейся материальной точ-
ки, а параметр t— время движения. Обозначим переменную длину
дуги, отсчитываемую от некоторой начальной точки r(t0), через
s = s(/). Пусть I > /0; полагая As = s(/-|- Л/) — s(/), согласно (16.11),
получим
dr 1
dt |
ds
dt
As
= lim —
Д/-.0
ur «• __ _
т. e. длина вектора совпадает с величиной скорости в рассмат-
риваемой точке (см. п. 9.4); сам же вектор , как мы знаем (см.
„ „ dr
п. 16.2), направлен по касательной. Вектор -ц называется в этом
случае скоростью движения в данной точке и обозначается v:
dr
<о—------
dt
234
$ 17. Кривизна кривой
§ 17 КРИВИЗНА КРИВОЙ
17.1. Две леммы. Радиальная
и трансверсальная составляющие скорости
Лемма 1. Пусть вектор-функция г{1), определенная на
отрезке[а, Ь], в точке /0£ 1а, />] имеет производную Тогда, если
длина вектора г(1) постоянна на 1а, Ь], т. е. |r(Z)| = с для всех
t £ la, &], то вектор r'(ta) ортогонален вектору r(t0), т. е.
г'= (17.1)
Доказательство. По условию |r(Z)|2 == с2, отсюда и
r2(Z) = с2 для всех t £ 1а, 6]. Вычисляя производную функции r2(Z)
в точке Zo, получим (см. п. 15.2)
2r(Zo)r'(Zo) = 0,
откуда и следует (17.1)
Лемма доказана.
Физическая интерпретация этой леммы состоит в том, что у ма-
териальной точки, движущейся так, что она все время остается на
поверхности сферы, ее скорость направлена по касательной к этой
сфере и, следовательно, перпендикулярна радиус-вектору.
Пусть теперь вектор-функция r(Z) определена на отрезке [а, Ь],
10 (Да, 6], t0 + AZ< |й, Ь] и Atp— угол между векторами r(Z) и
r(Z04- AZ). Будем считать, что Аср > 0 при Az > 0 и Atp < 0 при Az < 0.
Таким образом, всегда > 0.
Определение 1. Предел lirn если он существует, называется
Д/-(> Л?
скоростью вращения вектор-функции г(() в точке (0 и обозначается
u(to, г).
Лемма 2. Пусть вектор-функция r(f) определена на отрезке
la, bl и пусть | r(Z) | = 1 для всех Z (Да, &1. Тогда, если в точке t0 £ |а, Ь]
существует производная то в этой точке существует и ско-
рость вращения to = to(Z0, г) рассматриваемой вектор-функции и
to —
dr
dt
Доказательство. Пусть t0£ [а, 6|, Zo + AZ^ £ [а, bl, AZfe=^=O,
k — 1, 2, .... lim Azfc = 0 и пусть A<pfe — угол между векторами
fe-’OO
r(Z0) и r(Z0 + AZfe). Последовательность {Azft} разобьем на две части
(одна из которых может оказаться пустой), отнеся к первой из них
все такие AZ/f, для которых Atp* = 0, а ко второй все остальные»
т. е. такие AZ*, для которых Atp* =/= 0. Перенумеровав элементы
этих частей в порядке возрастания их индексов в последователь-
17.1 Две леммы
235
ности {AZJ, получим, вообще говоря, две последовательности
{А/л) и {Ath}. Если хоть одна из указанных частей содержит
лишь конечное число элементов, то ее исключим из дальнейшего
рассмотрения.
Для последовательности | А/из условия А<р' — 0 следует, во-
A<pft
первых, что lim------= 0, а во-вторых, при условии |r(Z0 + АД)| =
= |г(/0)|, что г(/0 + AZ') = г(^с). Отсюда в свою очередь имеем
r'(Q= Hm
А’ —> оо
г (й> + ДА) — r Uo)
к
= 0.
Итак,
lim _
4-оо
(17.2)
Рассмотрим теперь последовательность (\/'}- Поскольку
|r(Z0)| = |r(Z0 + AQ| = l, то
I г (t0) х г (/0 + А/") I = I г (Zo) II г (/0 + AQ II sin At₽; I = I sin аф; |.
В силу непрерывности функции r(t) имеем lim А<р"=О
Используя это, получим
.. д<р'а ..
lim —- = hm —-
А-»оо /?-*-ОО А^
= lim
k-*oo
A(pZ
sin Д(р”
lim
k ~»-OO
s i п Д<рА
.. |rPo)xr(^o + 4)1
lim -L-------~---------—
k-*-oo | |
(17.3)
Ho r(/0 + A/) = r(Q + r (Zft) A/ + e (А/) А/, где lim | e (A/) | = 0. Под-
Д/-0
ставляя это выражение в (17.3) и замечая, что г (/„) хг(/0) — О
и что lim|r(/o)xe(A/)| = 0, получим
Д'-О
lim = | г(10)х г' (/0)| = | г (/0)|| г' (l0)l sin (rr').
4-о°
В силу леммы 1, г (Zn) г' (tQ) = | г (t0) 11 г' (t0) | cos rr' == 0, по-
скольку |r((0)| = 1, то либо г'((о) = 0, либо угол гг' между
векторами г((0) и г' (tn) равен ; в обоих случаях
|r(/o)xr'(^o)l = k'(zo)l-
236
§ 17. Кривизна кривой
Таким образом,
lim = (17 4)
Л-оо Mk
Pls (17.2) и (17.4) для всей исходной последовательности {Л/Д
имеем
lim тг
А>-»оо Mk
и так как последовательность (AZfe} была произвольная, то
lim -~ = | г'О-
д/-о
Лемма доказана.
Замечание. Используя лемму 1, можно легко получить
разложение производной вектор-функции на две ортогональные
составляющие: в направлении вектора г(/) (радиальная составляю-
щая) и в перпендикулярном направлении (трансверсальная со-
ставляющая).
Пусть вектор-функция r(t) определена в некоторой окрест-
ности точки tu, г(/)=^=0, и существует производная г'(U- Поло-
жим r0(t)=-—очевидно, | r0 (t) | = 1. В точке tu сущее 1вуег
производная
dlrl d rr’ ,
——L = — [/ Г2 - ----= г,г ,
dt at I г I
. dr0
а значит, в точке t0 существует и производная-----, которая,
dt
согласно лемме 1, ортогональна вектору r0(t0), а значит, и век-
тору r(t0).
Дифференцируя равенство г (t) = | г (t) | r0 (t) в точке /0, полу-
чим
+ (17.5)
dt dt dt dt
Это и есть искомое разложение.
В случае, если годограф вектор-функции r(t) является траек-
торией движущейся материальной точки, то формула (17.5) дает
разложение ее скорости на составляющую поступательного движе-
ния (радиальная составляющая) н составляющую вр ащательного
движения (трансверсальная составляющая).
П.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление
237
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление
Пусть Г = {r(s); 0 < s < S} — дифференцируемая спрям-
ляемая кривая, s — переменная длина дуги, 0 < s0 < S и
As = s — s0.
Определение 2. Пусть Аа — угол между касательными кривой
Г в точках r(s0) и r(s0 + As). Если существует предел lim R- L то
д/-. о 1 asI
он называется кривизной кривой Г в точке r(t0) и обозначается
k = k(t0):
k — li m
As-O
Аа I
As I
Пусть теперь t = Вектор t является единичным вектором,
направленным по касательной (см. п. 16.3). Согласно определению,
кривизна есть скорость вращения (см. п. 17.1) вектор-функции
t = 7(s):
k~- со (s0, t).
В силу леммы 2 п. 17.1 отсюда получаем
ds I
(17.6)
Puc. 57
„ . II I I 1
= /?Аа. Поэтому | | = p.
Определение 3. Величина, обратная к кривизне, называется ра-
диусом кривизны в данной точке и обозначается R, так что R —
Пусть Г — окружность радиуса R.
В этом случае угол Аа между каса-
тельным равен углу, образованному
радиусами точек касания (рис.
a As =
По определению же кривизны для
окружности имеем
k=~- lim
As-о
Таким образом, в случае окруж-
ности ее кривизна k постоянна (не за-
висит от точки) и равна обратной ве-
личине радиуса; радиус же кривизны окружности равен ее ра-
диусу. Отсюда и произошел термин «радиус кривизны».
Достаточные условия существования кривизны в данной точке
и метод ее вычисления даются следующей теоремой.
I —I — —
I As | “ R
238
jj 17. Кривизна кривой
Теорема 1. Пусть Г = (r(Z); а < t < b} — дважды дифференци-
руемая кривая без особых точек. Тогда в каждой ее точке суще ству-
ет кривизна и
f, \г' хг”\
I'" Г
(17.7)
Доказательство. Существование кривизны при пред-
положенных теоремы следует из формулы (17.6). Покажем, что и
формула (17.7) следует из формулы (17.6).
Действительно, в силу того, что |/| = 1, векторы t и орто-
гональны (см. лемму 1 и. 17.1), поэтому либо угол между t и
— равен —, либо — = 0. В обоих случаях из (17.6) имеем
ds 2 ds
/г — I | — I |. | /1 sin Z — = I — х/1. (17.8)
| ds I | ds I ds | ds |
По правилу дифференцирования сложной функции
= = (17.9)
ds ds s'
Штрихом здесь и в дальнейшем обозначаются производные по
параметру I.
Дифференцируя еще раз, имеем
= L = (17.10)
Подставим теперь полученные выражения для t и — в (17.8),
получим
Теорема доказана.
От формулы (17.7) легко перейти к выражению для кривизны
в координатной записи, замечая, что г' = (г', у', z), г"=-(х", у", г")
и что
X у
к" у’
k
z'
z"
i
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость
239
(где i, j и k—единичные векторы соответственно в направлении
осей Ох, Оу, Oz), получим
| г' х г" | = V(y'z’ — y"z')2 + (z'x" — z"x')2 + (x'y" —x"y')2, (17.11)
с другой стороны,
|г'| = 1Лх'2 + у'г4-г'!; (17.12)
подставляя (17.11) и (17.12) в (17.7), мы и получим искомое выра-
жение.
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость
Puc. 58
Обозначим через п единичный вектор в направлении век-
di , dr
тора где t = — единичный касательный вектор к рассматри-
ваемой кривой. Из формулы (17.6) следует, что вектор п опреде-
лен лишь для тех точек, в которых кривизна
#4=0, и что в этих точках х, ,
— =/гп. (17.13)
ds
Вектор t — единичный, поэтому вектор п
перпендикулярен (см. п. 17.1) вектору t.
Формула(17.13) называется формулой Френе*'.
Определение 4. Всякая прямая, проходя-
щая через точку кривой и перпендикулярная
к касательной в этой точке, называется
нормалью к кривой в данной точке. Нормаль
к кривой, параллельная вектору п, называется
главной нормалью.
Вектор главной нормали п с точностью до
более высокого порядка, чем As2, указывает направление, в ко-
тором кривая в окрестности данной точки отклоняется от своей
касательной (рис. 58). Действительно, выбирая на кривой в ка-
честве параметра переменную длину дуги s, согласно формуле Тей-
лора для вектор-функции (см. п. 15.2), будем иметь
Ar = г (s04- As)—г (s0)•= As 4- -1- ?/(So) As24- о (As2),
ds 2 ds‘
бесконечно малых
или, замечая, что
dr _ d2r
ds ’ ds2
kn,
(17.14)
») Ж. Френе (1801 —1880) — французский математик.
240
§ 17. Кривизна привой
получим
Ar — As t + — k/tfn + О (As2),
что и доказывает справедливость нашего утверждения.
Определение 5. Плоскость, проходящая через касательную и
главную нормаль в данной точке кривой, называется соприкасающей-
ся плоскостью.
В силу этого определения соприкасающаяся плоскость опре-
делена для точек, в которых ^=/=0. Найдем уравнение этой плоскости
для кривой, заданной представлением г = г(/) с произвольным
параметром t. Как и выше, производные по переменному t будем
обозначать штрихом, а производные по длине дуги $ — симво-
Дифференцируя г = г (/) как сложную функцию г = r(s),
s = s(/), получим (см. (17.14))
r'~ — s' = s't, г" — s'2 —-|-s"/ ==s'2 kn-\-s"t. (17.1b)
(Эти формулы, очевидно, обращают формулы (17.9) и (17.10) и могуч
быть получены также и из них.)
Отсюда следует, что векторы г' и г" также параллельны сопри-
касающейся плоскости; в силу же условия k=f=O выполняется не-
равенство г' X г"=^0(см. (17.7)), и, значит, г’ и г" не коллинеарны.
Обозначим теперь через г0, г'о и г'' векторы г, г' и г" в некото-
рой фиксированной точке данной кривой Г, а через г обозначим те-
кущий вектор соприкасающейся плоскости, тогда смешанное произ-
ведение векторов г — г0, Гц и г" должно быть равно нулю, так
как все они параллельны соприкасающейся плоскости
(r-r0, /, r0) = G.
Это и есть уравнение указанной плоскости в векторном виде.
В координатном виде оно запишется так:
X— х0
У-Уо
г
О
где г' =(х', у’, г’), r" = (x”, у" z ).
О ' О* Л0’ О'г ' о’ 'О’ о'
В случае, если в данной точке k = 0, то любая плоскость, про-
ходящая через касательную в этой точке, называется соприкаса-
ющейся.
17.5 Формулы для кривизны и эволюты плоских кривых
241
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой
Определение 6. Точка пространства, лежащая на глав-
ной нормали к кривой в данной точке и находящаяся от этой точки
на расстоянии R в направлении вектора п, называется центром
кривизны кривой в указанной ее точке.
Таким образом, если р является радиус-вектором центра кри-
визны, а г, как обычно, радиус-вектор данной точки кривой, то
р = г + Rn,
или, что то же (см. (17.14)),
р==г+^~тг- (17Л6)
№ азг
Найдем выражение р через производные вектор-функции г
по произвольному параметру t. Подставляя выражение для
~ из (17.10) в (17.16), получим
где s' — | г' | = Vx'2 + у'2 + z'2, откуда
„ х'х" 4- у'у” + г'г"
Определение 7. Геометрическое место центров кривизны кри-
вой называется ее эволютой.
Очевидно, что формула (17.16), а также (17.17) дает представ-
ление эволюты данной кривой.
Отметим, что центр кривизны всегда лежит в соприкасающейся
плоскости.
17.5. Формулы для кривизны
и эволюты плоских кривых
Все сказанное в предыдущем пункте, в частности, спра-
ведливо и для плоских кривых.
Заметим лишь, что если кривая Г = {г(/)} лежит в некоторой
плоскости, то все производные вектор-функции r(t) также лежат в
Г Д у
этой плоскости. В самом деле, Аг = г(/ + А/) — г(/), значит, и
лежит в той же плоскости, отсюда легко следует, что и г = lim -А~
Д/-.0 Л‘
242
$ 17. Кривизна кривой
же рассуждение
плоскости, и т л.
В
лежит в указанной плоскости. Применяя то
к г', мы докажем, что и г" находится в той же
Из сказанного следует, что если кривая лежит в некоторой пло-
скости, то касательный вектор t, а если ее кривизна k=f=Q, то и век-
тор главной нормали п лежит в той же плоскости, и, значит, эта
плоскость является соприкасающейся плоскостью для кривой.
Отметим также, что если в случае кривой Г = (r(s)}, лежащей
плоскости хОу, через a(s) обозначить угол, образованный каса-
тельной в точке r(s) с осью Ох (см.
рис. 59), то Аа = a(s0 + As) —
— a(s0), и если угол а возрастает
Да „ „
вместе с s, т. е. если д-- > U при
. . „ , .. Да da
As > 0, то k — lim т- = -j-; если
AS-.0 AS ds’
же а убывает с возрастанием s, то
, Да da
/?= —|im — =---------.
&s-»o As ds
Выпишем некоторые из формул,
полученных в предыдущем пунк-
те, считая, что кривая Г — {/*(/); a <t <b} лежит в плоскости хОу:
r(t) = W), у(/)). Из формул (17.7), (17.11) и (17.12) получим
k = — = (17.18)
R 3 ' '
з
Обозначая (£, т|) центр кривизны кривой Г, из формулы (17.16)
имеем
ds2
Ч = У + Х2^.
ds2
а из формул (17.17) и (17.18) будем имёть
2\3
+ у'2 — *'
? —• Х-[- —_— - -
(Х'у"—Х"у')2
У х'Ч- у’2
(х'2 + /2Л
, Х'2 + УЛ
— х—у •
7 ху—ху'
(17.19)
Аналогично
/2 1 /2
(17.20)
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоских кривых
243
Упражнение 1. Пусть Г — дважды дифференцируемая плоская
кривая без особых точек, пусть а — угол наклона ее касательной к оси Ох
da 1
и пусть k* = (значит, | k* I = k) и R* = — . Показать, что
ds k*
g = х— R* sin a,
i] = у + R* cos a,
а также
dx
= У + — •
da
В случае, когда кривая является графиком функции y = f(x),
формулы (17.18), (17.19) и (17.20) принимают вид
k =--LZJ—(17.21)
(1 + у)'2)У
(|7'22)
Л = У н---гу— •
Примеры. 1. Найдем кривизну и эволюту параболы у=ах2,
а>0.
Замечая, что у' = 2ах, у" ~2а, по формуле (17.21) имеем
k=---------.
1 + 4а2х2
Чтобы найти уравнение эволюты, воспользуемся формулами
(17.22):
| = х— 1 + 4а— 2ах = — 4й2х3,
ь 2а
,.14- 4а2х2 6а2№ + 1
т] = ах2 Н---!------------------
1 2а 2а
Мы получили параметрическое представление эволюты параболы
с параметром х. Можно получить и ее явное представление, исклю-
чив этот параметр х. Для этого из первого равенства найдем
х3 = —а из второго № = —gfr"- Возводя первое получившееся
244
$ 17. Кривизна кривой
равенство в квадрат, а второе в куб и приравнивая правые части,
получим
4 7 2от]— 1 \з
4й2 / \ 6а3 / ’
откуда
Эта кривая называется полукубической
параболой (рис. 60).
2. Найдем радиус кривизны и эво-
люту эллипса х = a cos/, у = b sin/,
а> Ь^>0.
Замечая, что х' = —a sin /,
у' = b cos/, х" = —a cost, у" =
=—b sin/, по формуле (17.18) получим
D 1 a2 sin2 i + b2 cos2 t
k ab sin21 4- ab cos2 t
_a2 sin2 t + b2 cos2 t
" ab '
Уравнение эволюты получаем из формул (17.19) и (17.20):
| = a cos / — b cos /
a2 sin2 t 4- b2 cos21 a2 — b2 „ ,
- -----COS3 /,
a
ab
tj — b sin /—a sin /
a2 sin2 t 4- b2 cos2 t
ab
b2 — a2 . о,
---------sin3/.
b
Это — параметрическое представление искомой эволюты; параметр
/ можно исключить, возводя получившиеся равенства в степень
2
о- и складывая их:
О
1
(ф3 + (bv[)3 = (a*-b*)3 .
Эта кривая называется астроидой (рис. 61).
Иногда для изображения кривой бывает удобно использовать
так называемые полярные координаты (р, ф), р > 0, — л<ф < л,
где р — длина радиус-вектора данной точки М, а <р — угол, обра-
зованный этим радиус-вектором с осью Ох. Таким образом, каждой
точке плоскости, кроме начала координат, взаимно однозначно
соответствует указанная упорядоченная пара (р, ф); для начала же
координат имеем р — 0, а угол ф не определен (рис. 62).
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоских кривых
245
Если М = (х, у), где, как обычно х и у — декартовы координаты
точки М, то
x = pcoscp, y = psintp. (17.23)
Обратная связь выражается формулами
р = |Лх2 + у2, ф = arctg4-/гл, (17.24)
Иногда на угол ф не накладывают ограничения —л<ф<л,
а обозначают через ф любой угол, для которого tg ф — В этом
случае соответствие между упорядоченными парами (р, ф), р =/= О,
и точками плоскости, исключая начало координат, уже, очевидно,
не является взаимно однозначным.
Если задана непрерывная функция
р = р(ф), а<ф<0, (17.25)
то, подставляя ее в (17.23), получим
Х=р(ф) cos ф,
(17.26)
У = р(ф)8Шф, '
т. е. получим параметрическое представление некоторой кривой Г.
В этом смысле можно говорить, что уравнение (17.25) задает в по-
лярных координатах кривую Г. Для вычисления кривизны, ра-
диуса кривизны и эволюты кривой Г, заданной уравнением (17.25),
надо перейти к ее параметрическому представлению (17.26) и вос-
пользоваться выведенными выше формулами.
246
§ 17. Кривизна кривой
Упражнения. 2. Пусть в полярных координатах задана кривая
Р — р(ф), пусть а — угол наклона ее касательной к оси Ох, а со — угол,
образованный этой касательной с продолжением радиуса вектора точки
касания, тогда а = со + <Р и tg со = J—.
Р
3. Найти эволюту кривой р = а(1 + cos ср), 0 < ср < 2л, называемой
кардиоидой.
Указание. Полезно воспользоваться результатами упражнений 1 и 2.
Задача 9. Пусть Г — дважды дифференцируемая кривая без особых то-
чек, Г = {/•(<); а < t < b\ и пусть t0 £ [а, £>], t0 4- Д^ £ (а, £>], tQ 4* Д<2 С 1а> И-
Проведем через точки r(/0), r(t0 + Д4) и r(t0 4“ Д^2) плоскость; тогда при
Д?! 0 и Д/2 -* 0 эта плоскость будет стремиться (определите это понятие)
к соприкасающейся плоскости в точке г(10).
Задача 10. В предположении предыдущей задачи проведем через те
же три точки r(t0), r(t0 4* Д6) и r(t0 4- Д<2) окружность; тогда, если кривизна
k =/= 0 в точке r(t0), то эта окружность при ДД 0 и ДЛ2 -> 0 будет стремиться
к окружности (определите это понятие), лежащей в соприкасающейся плос-
кости с центром в центре кривизны кривой и радиусом, равным радиусу кри-
визны в точке r(t0).
Эта предельная окружность называется соприкасающейся окружностью
в данной точке кривой.
ГЛАВА
ВТОРАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 18. МНОЖЕСТВА НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Прежде чем перейти к изучению функций многих пере-
менных, изучим некоторые свойства множеств, на которых эти
функции задаются.
18.1. Окрестности и пределы
последовательностей точек
Мы будем предполагать, что на рассматриваемой нами
плоскости или в пространстве всегда фиксирована некоторая пря-
моугольная система декартовых координат. Точки будем большей
частью обозначать буквами х, у, а их координаты — теми
же буквами с индексами, т. е. в случае плоскости х — (хъ х2),
У~ (j'i, Уг), а в случае пространства (хь х2> х8), у = (у1( у2, у3)-
Расстояние между точками х и у будем обозначать символом р(х, у).
Как известно, формула для расстояния между точками х и у в слу-
чае плоскости имеет вид
Р (х, У) = VU1—У1)2+(Мг—Уг)2,
а в случае пространства
р(х, у) = /(xj—у J2 ф- (х2—у2)2 + (х3—у3)2.
В дальнейшем придется иметь дело не только с функциями двух
и трех переменных, но и с функциями большего числа переменных,
поэтому полезно ввести понятие /г-мерного пространства.
Определение 1. Точкой х п-мерного пространства называется
упорядоченная совокупность п вещественных чисел
(х1,...,хп) = х
•) Иногда точки обозначаются в большими буквами М, N, Р и т. п.
248
£ 18 Множества на плоскости и в пространстве
или, короче, x — Число л;(/ — 1, 2,.п) называется {-коор-
динатой точки х.
Расстояние между двумя точками x==(xi) и у —(уг) опреде-
лим по формуле
р(х, У1)2+...+ип—уп)". (18.1)
Определение 2. Совокупность точек п-мерного пространства,
для которых определено расстояние согласно формуле (18.1), назы-
вается п-мерным евклидовым пространством и обозначается Еп
£п
X.
В случае п = 1 получается прямая, в случае п — 2— плоскость,
а в случае п — 3 — пространство с обычным расстоянием между
точками. В случае произвольного/г > 3 не следует искать в нашем
определении какого-то скрытого физического или геометрическо-
го смысла. Нашей целью является лишь построение некоторого
математического аппарата, удобного для изучения функций многих
переменных; определения и терминологию мы заимствуем из обыч-
ной геометрии, так как это позволяет включить прямую, плоскость
и трехмерное пространство в одну более общую схему.
Расстояние между точками в n-мерном евклидовом пространстве
Еп обладает следующими свойствами.
1. р(х, у)>0, причем р(х, у) = 0 в том 11 только том слу-
чае, если х — у.
2. Р (х> У) = Р (У. л') для любых двух точек х и у из Еп.
3. р(х, 2)<р(х, у)~гР(У> ?) для любых трех точек х, у и г
из Еп.
Свойства 1 и 2 сразу следуют из формулы (18.1); третье же, обыч-
но называемое «.неравенством треугольника» и хорошо известное
для обычного трехмерного пространства, в общем случае (/г_>3)
требует доказательства.
Докажем предварительно лемму.
Лемма 1. (Коши — Шварц %)). Для любых вещественных
чисел ah и bh, k—1, 2,..., п, выполняются, неравенства
(18.2)
Следствие.
) Г. Щварц (1843—1921) — немецкий математик.
18.1. Окрестности и пределы последовательностей точек
249
Доказательство. Рассмотрим квадратичную функцию
(многочлен второй степени)
F(0= 2(^ + Ьг)2 = *а 2 «1 + 2/ 2«А+ 2Ж (18.4)
i=i i=i i=i
Очевидно,
F(O>0. (18.5)
Из условия (18.5) следует, что многочлен (18.4) имеет либо слив-
шиеся вещественные корни, либо комплексные корни, и, значит,
его дискриминант не положителен:
Перенося второе слагаемое в правую часть и извлекая квадрат-
ный корень, получим (18.2).
Лемма доказана.
Для доказательства неравенства (18.3) оценим сумму
2(«; + ^1)2> применяя неравенство (18.2):
1=1
2 («4+^)2 = 2 °е? + 2 fci + 2 2 а А <
1= 1 Z=1 Z=1
< 2 ai + 2 b‘ +2 |Л .2 a‘ 1//Г Z=
Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим (18.3).
Следствие леммы доказано.
Вернемся теперь к свойству 3 расстояния между точками в про-
странстве Е".
Пусть х=(хг), У = (И) и г = (гг).
Положим
«г = *г —Уп ^ = У1 —Д.
и, значит,
at -В bt = xt—zt, i=l,2...п.
Тогда неравенство (18.3) перепишется следующим образом:
250
f 18. Множества на плоскости и в пространстве
или, согласно (18.1),
р(х, г) <р(х, у) + р(У. г),
т. е. рассматриваемое свойство расстояния доказано.
В дальнейшем в этом параграфе пространство Е” будем считать
фиксированным (т. е. считать фиксированным число /г).
Определение 3. Множество точек х — (хи ..., х„) п-мерного
евклидова пространства Еп, таких, что x1=x2=...=X(_j=x(4-i—...=
= хп = 0, называется i-й координатной осью (I — 1, 2, ..., п)
этого пространства. Точка 0=(0, 0,..., 0) называется началом коор-
динат.
Очевидно, в случае п — 2 и п = 3 наше определение дает
обычные координатные оси.
Замечание. Пусть на плоскости заданы две прямоугольные
системы координат, точка М в одной системе координат имеет
координаты (х, у), а в другой (g, г|), т. е. М — (х, у) = (5, т]). Ставя
в соответствие упорядоченной паре чисел (х, у) упорядоченную пару
(5, г|), получим взаимно однозначное соответствие между множест-
вом всех упорядоченных пар (х, у) и множеством всех упорядочен-
ных пар (д, •]). При этом если М' = (х', у')= (£', if), М"~ (х, у") =
= (s', П"). то
р(М', М") = /(х"-х')2 + (у"-у7= К(Г-Г)2 + (г)"-лТ-
Этот пример делает естественным следующее определение.
Пусть каждой точке х = (х1г..хп)С Еп подставлен в соответ-
ствие упорядоченный комплекс из п вещественных чисел
£ (х) ==(^1,.. . ,д(]) таким образом, что для любых двух точек
х’ ~(Х[,..., хп) и х" = (хь..., х„) и соответствующих им комплек-
сов g (xz) = s') и i (х") = (g",..., g") выполняется равенство
ж-ч;)2-
<=1
Совокупность чисел (gj,..., £„) также называется координатами
точки х («в другой системе координат»). Очевидно, что при любом
выборе координат расстояние между точками не меняется. В даль-
нейшем, если не оговорено что-либо другое, система координат счи-
тается фиксированной.
Если точка х задается координатами (хр...,хп), то иногда
для ясности пространство Е" будем обозначать Епх,........ .
Определение 4. Пусть х^Еп и е > 0. Совокупность всех точек
у пространства Еп, таких, что р(х, у) < 8 называется п-ме р ны м
шаром с центром в точке х радиуса 8 или г-о крестное шью
18.1. Окрестности и пределы последовательностей точек
251
(а иногда сферической окрестностью) точки х в пространстве Еп
и обозначается 0(х\ б), таким образом,
0(х; б) —{у :у£Еп, р (х, у)<8). (18.6)
В координатной записи это определение выглядит так:
О (х; в) = (у = (yt): 2 (У/~*г)2 <<4 > * = (х;), 8 > 0.
I z=i J
В случае прямой, т. е.
при п — 1 (рис. 63), х — хх, -------—---—•-------*—------*"
у = у1, поэтому х~с х ,г+£
О (х; е) = {у: | у—х|<^е}. Рис. 63
Таким образом О(х; 8) является интервалом длины 2s с центром
в точке х, т. е. окрестностью точки х в рассматриваемого выше смыс-
ле (см. п. 3.1).
В случае плоскости, т. е. при п = 2 (рис. 64), х = (xlt х2),
У = (У1, Уг) и
О(х; е) = {у = ()Т, У2) (У1—*i)2~(У2—*2)2<fi2}- е>0.
т. е. О(х; в) — круг радиуса 8 с цент-
ром в точке х = (xj, х2), а в случае
пространства, т. е. при п = 3,
окрестность точки х — (хь х2, х3)
О(х; 8) = {у = (у1, у2, у8):(У1—Xj)2 +
+ (У г—+ (Уз ~ *з)2 О2}. е > 0,
--------------------------------- является шаром радиуса е с центром
° х>-в точке (х1( хг, х3).
Рис. 64 Мы обобщили, таким образом,
понятие окрестности на случай
;г-мерного евклидова пространства Е'1. Однако наряду с указанным
обобщением бывает полезно и другое обобщение этого понятия,
а именно — понятие так называемой прямоугольной окрестности.
Определение 5. Пусть х = (хд^Еп, 6;j>0, i’= 1, 2,..., п.
Множество
Р(х-, 61,...,6Й) =
={У=(У/):М—6;<У/<М +6<> г=1,2,...,п) (18.7)
называется п-мерным параллелепипедом, а точка х — его центром.
?52
$ 18 Множества на плоскости и в пространстве
Если 6t — 62 = ••• — = 6, то Р(х\ 6, 6,..., 6) называется
п-мерным кубом с центром в точке х и обозначается Р(х', 6).
Если п=1, множество Р(х; 6) является интервалом с центром
в точке х длины 26; если п — 2, множество Р(х\ 61т 62) является
прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат,
п длины соответственно 26! и 262; при п = 3 множество
Р(х\ 6,, 62, 63) представляет собой прямоугольный параллелепипед
с ребрами, параллельными осям координат, соответственно длины
26ь 262 и 263.
Под п-мерным параллелепипедом, соответственно n-мерным кубом
понимается также множество, определенное вышеуказанными усло-
виями хотя бы в одной системе координат (а не обязательно
в данной, как это было сделано выше). В дальнейшем /г-мерный
параллелепипед и n-мерный куб понимаются лишь в узком смысле,
т. е. в смысле данного выше определения при фиксированной систе-
ме координат.
Определение 6. Всякий п-мерный параллелепипед Р(х\ 8ц,..., 6,г)
называется прямоугольной окрестностью точки х.
Лемма 2. Какова бы ни была ^.-окрестность 0(х; е) точки хб Еп»
существует ее прямоугольная окрестность Р{х\ 8Ь..., 8„), такая,
что
Р(х-, 8lt..8п)с:0(х-, е), (18.8)
и наоборот, какова бы ни была прямоугольная окрестность
Р(х; 8г.... 6П) точки х£Еп, существует ее е-окрестность
О (х\ е), такая, что
О(х; е)сР(х; 6Х....6П). (18.9)
Доказательство. Пусть задана окрестность О(х;е). За-
метим, что если У = (уг)^Р(х; 6) (рис. 65), то, согласно (18.7),
Vn
2 Об— У;)2<
Z=1
/б24- ... +62< 6 Yn.
Поэтому, если выбрать 6<С-^=,
то )' £ О (х; е) (см. рис. 65).
Так как у—произвольная точка n-мерного куба Р (х; 6), то это
и означает, что
Р (х\ 8) а О (х; е).
Таким образом, (18.8) доказано.
Обратно, пусть задана прямоугольная окрестность
Р(х- 81,...,8п).
18.1. Окрестности и пределы последовательностей точек
253
Положим е = min 6; и рассмотрим О (х; б) (рис. 66). Если
у = (у.) (-0 (х; е), т. е. р(х, у)<^8, то
1Уа—xkl<j/r ^(У>~*/)2 = Р(*. У)<В = ™8П! <6й
для любого &=• 1, 2,..., п, т. е., согласно определению (18.7),
у£Р(х; 6Р...,6П). Так как у—произвольная точка шара О(.г;е),
то это и означает, что
О (х; б) а Р (х; 6j.6„).
Лемма 2 доказана.
Определение 7. Пусть каждому натуральному числу т постав-
лена в соответствие некоторая точка х(,п} £ Еп (необязательно раз-
ные точки для разных т). Тогда множество {х<"!), т = 1, 2,...}, со-
стоящее из точек пространства Е с различными номерами, назы-
вается последовательностью точек Еп и обозначается
х{т}, /п = 1, 2,..., или {х(т>}.
Последовательность {}'(/г)} называется подпоследователь-
ностью последовательности {х<"!>} и обозначается
х(ть\ &=1,2......или {х("!*)},
если для любого k существует такое mh, что y(ft) = x^mk\
причем если то тк,<^ткг-
Определение 8. Точка х £ Еп называется пределом последо-
вательности {х<т)} и пишется
x=limx<m), (18.10)
254
$ 18. Множества на плоскости и в пространстве
если
limp(x('">, х) = 0.
т-*с»
(18.11)
Если х = limx(m>, mo будем говорить, что последовательность
т-*оа
х^ сходится к точке х. Последовательность, которая сходится
к некоторой точке, называется сходящейся.
Используя понятие окрестности, легко получаем, что
х= lim x(m) тогда и только тогда, когда для любого е> 0 суще-
ствует такоетЁ, что для всех m>me
х(П1)£О(х; е). (18.12)
Используя лемму 2, получаем также: х = lim х<т)в томи только
том случае, когда для любой
Р(х; б1(...,бп) существует номер тв
ности), такой, что для всех т>т0
т-><х>
прямоугольной окрестности
(зависящий от этой окрест-
x^Pix-,^, ..., бп).
(18.13)
В случае п = 1 определение 8 превращается в обычное опреде-
ление предела числовой последовательности.
При п = 2 сходимость последовательности {х<т’} точек плоскости
Е2 к точке х(~Е2 означает, что, каков бы ни был круг с центром в точ-
ке х, начиная с некоторого номера, зависящего от этого круга, все
члены данной последовательности
Рис. 67
лежат в этом круге (рис. 67).
В случае п = 3 сходимость последо-
вательности точек {л5т>} простран-
х(г> ства Е3 к точке х £ Е3 означает,
что, каков бы ни был обычный
трехмерный шар с центром в точке
х, начиная с некоторого номера, за-
висящего от этого шара, все члены
данной последовательности лежат в
этом шаре.
Как и в случае числовых последовательностей можно сказать,
что lim х("г> = х, £ Еп, tn = 1, 2,..., если всякая 8-окрестность
т-*оо
точки х содержит почти все точки данной последовательности, т. е.
все, за исключением, быть может, их конечного числа.
Понятие предела последовательности {х",г>} точек пространства
Еп может быть сведено к понятию предела числовых последова-
тельностей, а именно последовательностей координат точек
x(m>, т — 1, 2.....
18 1. Окрестности и пределы последовательностей точек
255
Теорема 1. Для того чтобы последовательность —
= ... х<т)) £ Еп, п — 1, 2, сходилась к точке
х = (хх...хп) б Еп, необходимо и достаточно, чтобы
lim x*"‘) = xi, i = l, 2,..., п. (18.14)
т->со
Док азательство. Докажем необходимость условия (18.14).
Пусть limx<m> = x. Зафиксируем произвольное е>0; тогда, сог-
ласно (18.13), существует такое те, что
х(т) £ Р (х; б)
при всех т тг, т. е.
| х$"г) —Х;|<8
для любого i = l, 2, ..., п и при т~^> тъ, а это и означает,
что
lim x’-m) — xit i=l, 2,..., n.
Докажем достаточность условия (18.14). Пусть Птх’т) = хг,
i — 1, 2..п, п Р (х; 8Ъ ..., еп)—заданная прямоугольная окрест-
ность точки х. Тогда для каждого е,->0, t=l, 2,..., п, суще-
ствует такой номер т, — mt (е,), что для всех т mt выполняется
неравенство
| хГ!)—Х;|<^8;, 1 = 1, 2.... п. (18.15)
Обозначим через т0 наибольший из номеров mltтп:
то — тах^т]^, ..., тп},
тогда при т^т() и всех i=l, 2,..., п будет выполнено усло-
вие (18.15) и, следовательно (см. (18.7)), прити^т0 будем иметь
х<т>£Р(х; еь .... еп),
что и означает, согласно (18.13), что
Птх<'п) = х. (18.16)
щ ->оо
Теорема доказана.
Из теоремы 1 и свойств пределов числовых последовательностей
следует, что если последовательность точек имеет предел, то он
единствен, и что всякая подпоследовательность сходящейся после-
довательности сходится к тому же пределу, что и вся последователь-
ность.
Упражнение 1. Сформулировать и доказать необходимое и доста-
точное условие сходимости последовательности точек пространства £", ана-
логичное критерию Коши для числовых последовательностей.
£ 18 Множества на плоскости и в пространстве
256
Определение 9. Множество Ес.Еп называется ограниченным,
если существует п-мерный куб Р(О; а) с центром в начале коорди-
нат О, такой, что ЕаР(О\ а).
Аналогично лемме 2 доказывается, что, каков бы ни был шар
0(х; е), существует куб Р(х; 6), такой, что Р(х; 6)тэ0(х; е), и обратно:
каков бы ни был куб Р(х; 6), существует шар 0(х; е), такой, что
0(х; e)zdP(x; 6). Отсюда следует, что можно дать еще одно эквива-
лентное предыдущему определение ограниченного множества.
Определение 9'. Множество EczEn называется ограниченным,
если существует п-мерный шар 0(0; е), такой, что EczO(Q', е).
Определение 10. Последовательность точек х(т> £ Еп>
т = 1, 2,..., называется ограниченной, если множество ее значений
образует ограниченное множество в пространстве Еп.
Если последовательность x(m* = (х’"0), т = 1, 2,..., сходится,
то она ограничена, ибо каждая из координатных последователь-
ностей x’m’, т = 1, 2... I—фиксировано (z = 1, 2....п), в этом
случае также сходится и, значит, ограничена.
Теорема 2. Из любой ограниченной последовательности точек
пространства Еп можно выделить сходящуюся подпоследователь-
ность.
Эта теорема, как и в одномерном случае, обычно называется,
теоремой Больцано — Вейерштрасса.
Доказательство. Пусть задана ограниченная последова-
тельность точек х<т> = (х,-т)), т — \, 2, ..., пространства. Оче-
видно, что каждая из п последовательностей {x(-m)}, z = 1, 2, ..., п,
также ограничена. Поэтому, согласно теореме Больцано—Вейер-
штрасса (см. п. 3.2), последовательность {х’Г*} содержит сходя-
щуюся подпоследовательность; пусть это будет последовательность
х<1”’А>), /гх—1, 2,.... Последовательность {Xg'"*’)}, как подпоследо-
вательность последовательности {х2т>}, также ограничена и, значит,
содержит сходящуюся подпоследовательность. Пусть это будет
последовательность x^k^, k2 = 1, 2......... Последовательность
{х^}, как подпоследовательность сходящейся последовательно-
сти {х^)}, очевидно, также будет сходящейся. Продолжая этот
процесс дальше, через п шагов получим п сходящихся последо-
вательностей {x(™kn}, i — 1, 2, ..., п, каждая из которых является
подпоследовательностью, соответственно последовательности {хг-"1)}.
Тогда, согласно теореме 1, последовательность точек {х<"'М}
пространства Е" будет также сходящейся.
18.2. Различные типы множеств
257
18.2. Различные типы множеств
Настоящий пункт по своему содержанию и по своей форме
отличается от остальных: в нем имеется 17 определений, много ут-
верждений, семь из которых названы леммами, и ни одной теоремы.
Это связано с тем, что здесь будут рассмотрены вопросы, вспомо-
гательные для дальнейшего изложения математического анализа,
связанные с геометрией п -мерного пространства.
Определение 11. Пусть Е— некоторое множество точек ев-
клидова пространства Еп. Точка х(^Е называется внутренней точ-
кой этого множества, если существует ^-окрестность этой точки,
содержащаяся в множестве Е, т. е. существует такое е > 0, что
0(х; e)cz£.
Определение 12. Множество точек
пространства Еп, каждая точка кото-
рого является внутренней точкой этого
множества, называется открытым мно-
жеством.
Важный класс открытых множеств
устанавливается следующей леммой.
Лемма 1. Всякая е-окрестность
0(х; е) любой точки xQ En является от-
крытым множеством.
Доказательство. Пусть за-
дана некоторая окрестность 0(х; е) и
пусть у £ 0(х; е). Положим
6 = е—р(у, х) (18.17)
и покажем, что 0(у, 6)czO(x; е) (рис. 68).
Если г^О(у, 6) и, значит, р(г, у) < 6, то, применяя неравенство
треугольника и (18.17), получим
Р (г, х) < р(г, у) + р (у, х) < S+ р (у, х) = &,
т. е. г£ 0(х; е). В силу того, что г— произвольная точка множества
0(у; 6), это означает, что 0(у; 6)сгО(х; е).
Лемма доказана.
Открытые множества пространства Еп будем обозначать боль-
шей частью буквой G.
Очень удобным оказывается следующее определение.
Определение 13. Всякое открытое множество, содержащее точ-
ку х называется ее окрестностью и обозначается 0(х).
Замечание. При таком определении сохраняется свойство
(18.12), т. е. точка х является пределом последовательности {Xе"0}
258
<5 18. Множества на плоскости и в пространстве
тогда и только тогда, когда для любой окрестности 0(х) существу-
ет такой номер т0, что для всех т > т0 выполняется включение
£ О (х).
Определение 14. Точка хСЕ'‘ называется точкой прикоснове-
ния множества Ес.Еп, если любая окрестность этой точки содер-
жит по крайней мере одну точку множества Е.
Очевидно, что каждая точка множества Е является его точкой
прикосновения, ибо всякая окрестность точки х £ Е содержит саму
точку х.
Определение 15. Если у точки xQ Е существует окрестность,
не содержащая никаких других точек множества Е, кроме самой
точки х, то эта точка называется изолированной точкой множе-
ства Е.
Определение 16. Точка х^Е" называется предельной точкой
множества Е, если любая окрестность точки х содержит по крайней
мере одну точку множества Е, отличную от х.
Очевидно, что предельная точка является точкой прикоснове-
ния. С другой стороны, всякая точка прикосновения множества Е
является либо его изолированной точкой, либо его предельной
точкой (в последнем случае она может как принадлежать, так и не
принадлежать самому множеству).
Рассмотрим пример ы. Пусть п = 1, Е = (0; 1), каждая
точка отрезка [0; 1] является точкой прикосновения и предельной
точкой множества Е, при этом точки 0 и 1 не принадлежат самому
множеству Е. Если Е = [0; 1], то множество точек прикосновения
множества Е совпадает с самим множеством. Наконец, если множе-
ство Е состоит из интервала (0; 1) и точки 2, т. е. Е=(0; 1) vj{2}, то
точка 2 является его изолированной точкой, а множество его точек
прикосновения образует множество [0; 1]о{2}.
Определение 17. Совокупность всех точек прикосновения множе.
ства ЕаЕ'1 называется замыканием множества Е и обозначается Е.
Как уже отмечалось, каждая точка множества Е является его
точкой прикосновения, поэтому
Ес£. (18.18)
Определение 18. Множество Е называется замкнутым, если
Е — Е, т. е. если оно содержит в себе все свои точки прикосновения.
Например, при п = 1 интервал (0; 1) не является замкнутым
множеством, а отрезок [0; 1] — замкнутое множество.
Все пространство и пустое множество являются одновременно
замкнутыми и открытыми множествами (проверьте это).
Лемма 2. Замыкание всякого множества является замкну-
тым множеством.
18.2. Различные типы множеств 259
Доказательство. Пусть Ё — замыкание множества
Ecz.En. Согласно определению замкнутого множества, надо пока-
зать, что множество Ё совпадает со своим замыканием, т. е., что
\Ё = Ё.
Так как, согласно (18.18), EczE, то достаточно показать, что
Ёс=Ё, (18.19)
иначе говоря, надо доказать, что если некоторая точка х^Е, т. е.
если к является точкой прикосновения множества Ё, то она явля-
ется и точкой прикосновения множества Е. Пусть х £ Ё; это озна-
чает, что в любой окрестности О(х) существует точка у множества Е.
Поскольку окрестность 0(х) является открытым множеством, то
существует такая окрестность 0(у) точки у (например сама 0(х)),
что O(y)czO(x). Точка у является точкой прикосновения множе-
ства Е, поэтому в окрестности О(у) существует точка г множе-
ства Е, но О(у) cz 0(х) и поэтому О(х). Таким образом, в лю-
бой окрестности 0(х) точки х £ Е содержится точка г множества Е,
а это и означает, что х является точкой прикосновения множе-
ства Е. Включение (18.19), а значит, и лемма 2 доказаны.
Рассмотрим примеры. Всякий п-мерный шар
=lx=(xf): 2 (хг-ог)2<>4 (18.20)
1 ;=1 )
является открытым множеством (см. лемму 1), поэтому его часто
называют также п-мерным открытым шаром. Множество же
Сп = !х=(хг): 2 (хщ-йг)2<г2), (18.21)
1 /=1 )
являющееся замыканием открытого шара Q", называется п-мер-
ным замкнутым шаром. В случае п = 2: Q2—открытый круг,
Q2 —- замкнутый круг; в случае n = l: Q1—интервал, Q1—отрезок.
Замкнутый шар Q" получается из открытого шара Q" добав-
лением к нему множества
x=(Xi): ii(xi—ai)2 = r2
i= I
называемого (n—Vy мерной сферой радиуса г с центром в точке
а = (о,). Мы ее будем обозначать S”-1. В случае п = 2: S1 — окруж-
ность; в случае n=l: S0—пара точек.
260
§ 18. Множества на плоскости и в пространстве
Сфера
x = (xt): 2 (Xi-a^r2
i= i
также дает пример замкнутого множества (почему?).
Заметим еще, что n-мерный шар радиуса 1 с центром в начале
координат обычно называется п-мерным единичным шаром (замкну-
тым или открытым), а (п — 1)-мерная сфера радиуса 1 с центром
в начале координат— (п — \)-мерной единичной сферой.
Упражнение 2. Для того чтобы точка лД £'! была точкой прико-
сновения множества Е с Еп, необходимо и достаточно, чтобы существовала
последовательность точек £ Е, т = 1, 2, такая, что lim х("!) =х-
/?2—>оо
Определение 19. Для всякого множества Е czEn множество
Еп\Е называется его дополнением.
Очевидно, что если множество BczEn является дополнением мно-
жества Ас.Еп, то и, обратно, множество А является дополнением
множества В.
Лемма 3. Для того чтобы множество было открыто, необходи-
мо и достаточно, чтобы его дополнение было замкнуто.
Доказательство необходимости. Пусть G —
открытое множество, тогда никакая точка х £ G не является точкой
прикосновения его дополнения F = En\G, так как множество G,
будучи открытым, является окрестностью точки х и не содержит
точек множества F. Следовательно, все точки прикосновения мно-
жества F содержатся в самом F, что и означает замкнутость множе-
ства F.
Доказательство достаточности. Пусть F яв-
ляется замкнутым множеством и пусть xGG = En\F. В силу зам-
кнутости F точка х не является его точкой прикосновения; поэтому
существует ее окрестность 0(х), не пересекающаяся с множеством
F и, следовательно, такая, что O(x)czG. Таким образом, любая точка
множества G является внутренней, т. е. G открыто.
Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть А и В — замкнутые непересекающиеся мно-
жества из Еп и множество А — ограничено, тогда существует
такое число d^> 0, что р(х, у) > d для любых двух точек хб А и
у^в.
Доказательство. Пусть такого числа d не существует.
Тогда для любого т — \, 2, ..., существует пара точек х^^А и
y<m>GB, таких, что р(х(т), у<т>) < ^-. Поскольку А—ограниченное
множество, то из последовательности {х('">} можно выделить схо-
дящуюся подпоследовательность Пусть Jim х(т*) =х<0).
18.2. Различные типы, множеств 261
В силу замкнутости множества А имеем л'(0) £ А. Из неравенства
р(х(0), /"'<1<р(*<0>. х(т*)) + р(х(,Ч /'Я<
<р(х(0), х<и*)) + 1
I следует, что
lim р (х(0), у^"1^) =0.
Л—>оо
I
Поэтому точка х<0> является точкой прикосновения множества В
и, в силу его замкнутости х(0)££>. Таким обрйзом, xw£A и
х<°> £ В, а это противоречит тому, что А и В не пересекаются.
Лемма доказана.
Определение 20. Для двух множеств Et и Ег величина
р(Еъ Е2)~ inf р(х,у)
усе,
называется расстоянием между множествами Е, и Ez. В част-
ности, если Е1 состоит из одной точки х, то р(Е1; Е2) = р(х, Е2)
называется расстоянием от точки х до множества Е2.
Применяя этот термин, лемму 4 можно сформулировать сле-
дующим образом.
Два непересекающихся замкнутых множества, из которых по край-
ней мере одно ограничено, находятся на положительном расстоянии.
У п р а ж н е н и е 3. Привести пример двух непересекающихся зам-
кнутых множеств, расстояние между которыми равно нулю.
Лемма 5. Если А — ограниченное замкнутое множество,
А^Еп, х£Еп и р(х, A) — d, то существует у £ А, такая, что
р(х, }') = А
Доказательство. Если р(х, А) = inf р (х, y) — d, то для лю-
у е д 1
бого п = 1, 2,... найдется такой у(п)£ Д что р(х, у(,!))<С^-г — • Из
ограниченности множества А следует, что последовательность {у('Д
ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность {у^}. Пусть lim = у<0>. В силу
замкнутости множества А имеем у(0)£А Далее,
р (*. у"") < р (*. >'<"«’) + р (у'Х у'°’)<
<й+1+р(,л>,/»).
Переходя здесь к пределу при k-+ <х>, получим р(х, у(0)) < d.
С другой стороны, р(х, у{0))>р(х, A) —d, следовательно, р(х, y(0))—d.
Лемма доказана.
262
$ 18. Множества на плоскости и в пространстве
Обозначим теперь для всякого множества А с.Еп через Ац,
где л > 0, совокупность всех точек, удаленных от множества А
на расстояние не большее чем тр
Л^ = {х : р (х, Л) < т]}.
Лемма 6. Если А — ограниченное замкнутое множество, то при
любом т] > 0 множество А^ также является ограниченным замкну-
тым множеством.
Доказательство. Ограниченность множества А озна-
чает, что существует такое а > 0, что А содержится в шаре 0(0; а)
радиуса а с центром в начале координат О: Лс0(0; а).
Покажем, что Лг. с: 0(0; а + т]). Если х£ Л^, то согласно лемме
5, найдется точка у£ А, такая, что р(х, у) = р(х, Л) < тр Из условия
же Лс=0(0; а) следует, что р(0; у) < а. Поэтому
р(0; х)<р(О; у) + р(у, х)<а + тр
Таким образом, х £ 0(0; а + т]). Точка х является произволь-
ной точкой множества Л^. Следовательно, Л^ cz0(0; а + т]), и по-
тому Л^ является ограниченным множеством.
Покажем теперь, что Л^ замкнутое множество. Если x^A^t
то для любого е> О существует точка у £ Л1? такая, что р(х, у)<е.
Из определения множества Л^ и леммы 5 следует, что существует
такая точка zuGA, что р(у, г0) = р(у, Л) < тр Поэтому
р(х, Л) = 1пГ р(х, г)<р(х, г0)<р(х, у)+р(у, 20)<т] + е.
z е а
Это неравенство верно для любого е > 0. Устремляя е к нулю, полу-
чим р(х, Л)<т]. т. е. х£ Л1р что и доказывает замкнутость множе-
ства Л^.
Лемма доказана.
Определение 21. Точка хб Еп называется граничной точкой
множества Е cz Еп, если в любой окрестности этой точки суще-
ствуют точки, как принадлежащие множеству Е, так и не
принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек множе-
ства Е называется его границей и обозначается дЕ.
Очевидно, _
дЕсгЕ.
С другой стороны, каждая точка прикосновения множества Е
является либо его граничной точкой, либо его внутренней точкой —
других возможностей нет; поэтому
Ё^Е^дЕ.
18.2. Различные типы множеств 263
Если G открытое множество, то в сумме
G = GodG
слагаемые G и dG не пересекаются.
Действительно, поскольку множество G открыто, то всякая его
точка является внутренней и тем самым не принадлежит его границе.
Рассмотрим примеры. Пусть п = 2, Q2 = {(л^, х2): x'f + xj< 1}—
открытый круг. Если Е — Q2, то любая точка окружности S1 =
— {(Д> хг) : х2 + %2 — 1} является граничной точкой множества
Е и других граничных точек нет, т. е. S1 = дЕ. В этом случае гра-
ница не принадлежит множеству Е.
Если Е — Q2 — замкнутый круг, то снова окружность S1 явля-
ется границей Е, причем в этом случае dEczE.
Наконец, если Е = S1 — окружность, то каждая точка мно-
жества Е является его граничной точкой и других граничных точек
нет, т. е. в этом случае Е — дЕ.
Вообще, (п — 1)-мерная сфера (18.22) является границей как
«-мерного открытого шара (18.20), так и замкнутого (18.21), а также
совпадает со своей собственной границей (почему?).
Упражнения. 4. Для того чтобы множество Acz Еп было замкну-
тым, необходимо и достаточно, чтобы ЗДсД.
5. Доказать, что, каковы бы ни были множества Dас Еп и множество
их индексов 91 = {а}, справедливы формулы
£"XUDa=n(^Da)-
a 6 91 a 691
£мп=ит).
а 691 а 6 ?1
6. Доказать, что пересечение конечного числа и сумма любой системы
открытых множеств снова является открытым множеством, а также что пере-
сечение любой системы и сумма конечного числа замкнутых множеств яв-
ляется замкнутым множеством.
Для дальнейшего нам понадобится еще понятие кривой в «-мер-
ном пространстве. Для этой цели обобщим данное выше определение
кривой в трехмерном пространстве, не касаясь вопроса о преобра-
зовании параметра.
Определение 22. Геометрическое место точек х = (х;) простран-
ства Еп> координаты которых заданы как непрерывные функции
х. = i — 1, 2,..., п, определенные на некотором отрезке 1а, Ь],
называется непрерывной кривой в пространстве Еп. Аргумент I
называется параметром кривой. Точка х(а) = (%,(«)) называется
началом, а точка х(Ь) = (xt(b)) — концом данной кривой.
264
§ 18. Множества на плоскости и в пространстве
Все сказанное в п. 16.1 о кривой в трехмерном пространстве
можно естественным образом перенести и на общий n-мерный слу-
чай, но мы не будем на этом останавливаться.
Определение 23. Пусть х(0) = (лг|0)) £ Еп и аъ ап—не-
которые фиксированные числа. Геометрическое место точек
х = (х;) пространства Еп, координаты которых представлены
в виде
xt — х<0) a, t, —оо^/^-Р00. t = l, 2,..., п,
называется прямой в пространстве Еп, проходящей через точ-
ку х(0) в «направлении» (<Xi, ..., ап).
Часть прямой, соответствующая изменению параметра t в неко-
тором отрезке [о, &J, называется прямолинейным отрезком, а ее часть,
соответствующая изменению параметра t на бесконечном промежут-
ке t > а, — лучом. Очевидно, что в случае п = 3 получается прямая,
соответственно отрезок или луч, в обычном трехмерном пространстве,
а (а,, oz, а3) будет являться направляющим вектором этой прямой.
Если заданы две точки (x'j и (х'^, то уравнение прямой,
проходящей через эти точки имеет вид
Х; = х;+(х"—х;р,
— оо t <ф оо,
i = l, 2,..., п.
Определение 24. Множество Ес.Е'г, любые две точки которого
можно соединить в нем непрерывной кривой, называется связным.
Иначе говоря, множество Е называется связным, если,
каковы бы ни были точки х<1>££ и x^QE, существует непре-
рывная кривая x(Z)=(x;(Z); а < t < b], такая, что ее началом
является точка х(1>, т. е. х(а) = х(|), концом —точка х(2>, г. е.
х(6)==х<2> и все точки этой кривой принадлежат множеству Е,
т. е. х(1)£Е для всех t^\a, fcj.
Примером связных множеств являются точка, отрезок. Примером
несвязного множества — пара различных точек.
Определение 25. Открытое связное множество называется об-
ластью.
Рассмотрим примеры. В случае п = 1 всякий интервал является
областью, а множество, состоящее из двух пли более непересекаю-
щихся интервалов (рис. 69), хотя и есть открытое множество,
но не является областью.
В случае п = 2 всякий открытый круг есть область, а множе-
ство, состоящее из двух или более непересекающихся открытых
.18.2 Различные типы множеств
265
кругов (рис. 70), хотя и есть открытое множество, но не является
областью, так как две точки хну, принадлежащие разным кругам,
нельзя соединить непрерывной кри-
вой, оставаясь внутри рассматри-
ваемого множества.
Рис. 69
Рис. 70
Всякий п-мерный открытый шар является областью.
Определение 26. Область, любые две точки которой можно сое-
динить отрезком, целиком в ней лежащим, называется выпуклой
областью.
Всякий п-мерный открытый шар является выпуклой областью.
У п р а ж п е и и е 7. Построить пример невыпуклой области.
Определение 27. Множество, лежащее в пространстве Е” и
являющееся замыканием некоторой области, называется замкнутой
областью.
Замкнутый п-мерный шар является замкнутой областью.
Лемма 7. Если связное множество пересекается с неко-
торым множеством и его дополнением, то оно пересекается
и с границей этого множества.
Доказательство. Пусть А— связное множество, А <^Еп,
В — некоторое множество, В cz Еп, и пусть пересечения А В и
Аг> (Е'\В) не пусты. Пусть хААоВ и у ф А (Еп\В). По-
скольку А — связное множество, то существует такая непре-
рывная кривая r(t), а I Ь, что г(а) = х, г(Ь) — у и /-(/) £ А
для всех t £ [о, Ь]. Обозначим через т верхнюю грань тех t £ [а, Ь\,
для которых г(Р)(~В. Очевидно, о<Д<£>. В любой окрестности
точки г(т) содержатся как точки, принадлежащие В, так и не
принадлежащие В (почему?). Следовательно, г(х)^дВ. Поскольку
г(т) £ А, то пересечение дВ А не пусто.
Лемма доказана.
§ 19. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В этом параграфе рассматриваются вещественные функ-
ции, определенные на множествах n-мерного евклидова простран-
ства Еп, значениями которых являются вещественные числа.
Эти функции обозначаются одним символом, например f,
или, указывая аргумент, j(x) или f(xu..., хЛ\ При п > 1 эти функции
266
£ 19. Предел и непрерывность функций многих переменных
называются функциями многих переменных. В случае п — 2 вме-
сто /(Xj, х2) будем писать также /(х, у), в случае п = 3 вместо
f(xn х2) — также Дх, у, г).
19.1. Предел функции
Определение 1. Пусть на множестве Е пространства
Еп определена функция у — f(x) и пусть Е*у'—(п+ мерное евкли-
дово пространство точек (х, у) — (хг,..., хп, у). Геометрическое
место точек пространства Ely' вида (х, Дх)), где х£Е, называется
графиком функции f (рис, 71).
Перейдем теперь к определению предела функции.
Определение 2. Пусть функция f определена на множестве
ЕсоЕ", пусть Ео — некоторое подмножество множества Е и пусть
точка х(0) — предельная точка множества Ео.
Число а называется пределом функции f по множеству Ео
при х, стремящемся к х(0>, если для любой последовательности
точек х(П!)£Е0, т = 1, 2,..., та-
кой, что lim x(m) = x<0), числовая
#2-*ОО
последовательность {f (х<"!))} сходит-
ся к числу а:
lim f (x<m>) - а.
tn-^OQ
В этом случае будем писать
lim f(x) — a.
При сделанных предположениях
можно дать и другое, эквивалентное
предыдущему определение функции по аналогии с тем, как это
было сделано раньше для функций одного переменного (см. п. 4.4
|и 4.6).
Определение 3. Число а называется пределом функции j по
множеству Ео при х х(0) если для любого е > О существует
6 — 6(e)j>0, такое, что |f(x)—а|<е для любой точки
х £ О(х(0>; 6) Ео, х=^=х<0).
Совершенно аналогично случаю функций одного переменного
доказывается эквивалентность этих двух определений.
Упражнения. 1. Доказать эквивалентность двух приведенных опре-
делений предела функции по множеству.
2. Сформулировать и доказать критерий Коши существования предела
11 im / (х) по множеству £ с £".
«) Как и выше, мы предполагаем, что точка х^ является предельной точ-
кой множества £0, содержащегося в множестве определения функции /.
19.1. Предел функции
267
Иногда вместо «предел функции при х, стремящемся к х(0)»,
будем говорить «предел функции в точке х*0’».
Запись х—>х(0) будем считать равносильной записи р(х, л50,)->0,
и потому наряду с обозначением lim /(х) будем писать также
хе е0
lim f(x).
р(х. х(">)-». о, *еь„
Определение 4. Если функция fix) определена в некоторой
окрестности О(х<0); 6) точки х'0), кроме, быть может, самой
точки, х<0>, то в этом случае предел функции f по множеству
Е0—О(х<°\ 6) при х->х(°> называется просто пределом функции
и обозначается lim f (х).
Л->х(°)
Определение 5. Если множество Ео является прямой (см. п. 18.2),
проходящей через точку х(0> в некотором направлении, то в этом слу-
чае предел функции f по множеству Ео при х-> х<0) называется пре-
делом функции в данном направлении в точке х(0).
Определение 6. Если множество Ео является множеством точек
некоторой кривой, проходящей через точку х(0), то в этом случае
предел функции f по множеству Ео при х-+ х(0) называется пределом
функции по данной кривой в точке х<0).
Очевидно, что если у функции f существует предел в точке х0,
то он существует в этой точке и по любому направлению и по любой
кривой, причем все эти пределы совпадают с указанным пределом
функции.
Пример. Пусть f(x, у) = Эта формула задает функ-
цию во всех точках плоскости, кроме начала координат (0, 0). Ис-
следуем пределы этой функции по различным направлениям в точке
(0, 0). Уравнение прямой, проходящей через начало координат (0,0)
в направлении вектора (а, £), имеет вид х=а/, у = р/, а2 + р2>0.
Имеем
= ПРИ ^-*0-
т. е. предел по любому направлению существует и равен нулю.
Если же у = х2, то
fix, Х2) = у,
и, значит, предел вдоль параболы у = х2 также существует, но ра-
1
вен <j-.
268
$ 19 Предел и непрерывность функций многих переменных
Таким образом, для рассмотренной функции существует один
и тот же предел по любому направлению, а предел по указанной
параболе, хотя и существует, отличен от общего значения пределов
по направлениям, тем самым просто предел в точке (0, 0) не сущест-
вует.
Упражнение 3. Исследовать пределы по направлению в точке
(0, 0) функции
fU, у)=
Аналогично случаю функций одного переменного для пределов
функций многих переменных по множеству имеют место соответст-
вующие теоремы о пределах суммы, произведения и частного, так
как в силу приведенного выше определения предел функции п пере-
менных по множеству также сводится к понятию предела последо-
вательности (см. п. 4.6).
Наряду с указанными пределами у функций многих переменных
можно рассматривать и пределы других видов, связанные с после-
довательным переходом к пределу, например по различным коор-
динатам, т. е. пределы вида
где (ip i2, ..., in)— некоторая перестановка чисел 1,2.... п,
%(0) = £ g" и функция / определена в некоторой окрестности
точки х<°>, кроме, быть может, самой этой точки. Пределы указан-
ного вида называются повторными пределами', они представляют
собой специфику функций многих переменных.
Рассмотрим функцию
F (*, У) =
определенную на всей плоскости. Исследуем различные ее
пределы.
Очевидно, lim /'(х, у) = 0. Что же касается повторных
пределов
(х, у)-»(0, 0)
1- Гг 1 , г • 1
hm lim х sin-------1- нт у sin —
у-»0[»-*0 У х-»0 х
и lim [limх sin —limy sin —I,
x-»0 У y->0
го они не существуют, так как уже не существуют
lim у sin— (у =^= 0) и lim х sin — (л=^=0).
х->О х у-,-0 У
Для функции же f (х, у) = , определенной этой форму-
лой на всей плоскости, кроме начала координат, оба повторных
'предела существуют и lim lim f(x, у) = lim lim f(x, у) = 0.
jc-»O у ->0 y->(l Z-+0
Просто же предела нет, ибо, как легко видеть, предел вдоль
координатных осей равен нулю, а вдоль прямой у = х предел
1
равен у.
Таким образом, только из существования предела функции в
данной точке не следует существования повторных пределов в этой
точке, и наоборот, из существования повторных пределов не сле-
дует существования предела в соответствующей точке.
Тем не менее, определенная связь между этими понятиями может
быть установлена.
Теорема 1. Пусть функция f(x, у) определена на множестве Е,
содержащем все точки некоторой прямоугольной окрестности
Р((х0, То); ^i, 6г) точки (х0, у0), кроме, быть может, точек прямых
х = х0 и у = у0. Если существует предел функции f в точке (х0, уи)
по множеству Е и если при любом у £ (у0 — 62. у0 4~ б2), у у0, су-
ществует предел*1
lim f(x, y) = g(y), (19.1)
Л ->Л0
то повторный предел lim lim f(x, у) существует и
У-+Уь к-+х0
lim lim f (х, у) = lim f(x, у). (19.2)
уХ-»ЛО (х, у)->(х„. у0), (х,у)еЕ
Доказательство. Пусть lim f(х, у) — А и пусть
(Л-, у) ->(ЛО, Уо), (X, у)С~Е
фиксировано произвольное е>0. Существует прямоугольная
окрестность Р = Р ((х0, у0); гц, ц2)> 0 < % < 0 < ц2 < б2, такая,
что если 0<|х—х0|<i]j, 0<|у—У0КЛ2. 10
|f(x, у)—Л|<|.
(19.3)
В силу существования предела (19.1) для любого числа у
такого, что 0<|у—у0|<ц2, из (19.3) следует, что
|£(У) —Л|
а это и означает, что limg(y) = A
У->Уо
Теорема доказана.
«) Как всегда, под пределами понимаются конечные пределы.
270
f 19. Предел и непрерывность функций многих переменных
Как и для случая функций одной переменной, для функций f(x)
многих переменных можно определить предел lim /(х), т. е. предел,
Х-*ОО
когда точка х = (х;) неограниченно удаляется от начала коорди-
нат, иначе говоря, когда У x‘f + ... ф- х% -*• ф-оо, а также предел
по одной из переменных xt при условии х, -><х> и повторный пре-
дел по переменным х;—>оо и х;-*оо (i, j — 1, 2,..., /г). Отметим,
что и в этом случае имеет место утверждение, аналогичное теоре-
ме 1. Можно ввести и понятие бесконечных пределов. Мы всего
этого делать не будем, предоставляя это проделывать учащемуся
по мере потребности.
Замечание. В дальнейшем будут рассматриваться супер-
позиции функций многих переменных. Для сложных функций мно-
гих переменных справедлив аналог правила замены переменного
для пределов функций, установленного ранее для функций одного
переменного (см. п. 4.5). Его формулировку и доказательство (так-
же аналогичное одномерному случаю) мы предоставляем читателю.
19.2. Непрерывность функций
Определение 7. Пусть функция f определена на множе-
стве ЕаЁ1. Функция f называется непрерывной в точке х(0) £ Е,
если для любого е> 0 существует такое 6 — 6(e), что для всех х ф Е,
удовлетворяющих условию р(х, х(0))<фб, выполняется неравенство
|f(x)-f(x«»)|<e- (19-4)
Заметим, что это определение в случае п = 1 шире соответствую-
щего определения непрерывности, данного в п. 5.1, так как мы здесь
не предполагаем, что функция f определена обязательно в некото-
рой окрестности точки х<0).
Определение непрерывности (в отличие от сформулированного
в п. 19.1 определения предела) не предполагает и того, что точка
1х(0) является предельной для множества Е. Точка х(0> может быть и
изолированной; при этом в изолированной точке множества Е функ-
ция f всегда непрерывна, ибо в этом случае в качестве 6 > 0, участ-
вующего в определении непрерывности, всегда можно взять такое
ф, что окрестность О(х(()); 6) не содержит других точек множества
Е, кроме самой точки х(0>, а для точки х = х(0) условие (19.4), оче-
видно, выполняется при любом е > 0.
Если же точка х(()) является предельной для множества £, то
данное определение непрерывности функции f в точке х(0) эквива-
лентно условию
lim f(x) = f(x<0>). (19.5)
19.2. Непрерывность функций
271
Из сказанного следует, что если функция /, определенная на
множестве Е, непрерывна в точке х(0) £ Е, го либо х(0) является
предельной точкой множества Е и тогда выполняется условие (19.5),
либо х(0) является изолированной точкой.
Если в равенстве (19.5) перенести /(х<0)) в левую часть и
обозначить Ду = f(x)— f(x^), то условие (19.5) перепишется
в виде
lim Ду = 0.
р(х, л-<°)) ->о, в
(19.6)
Число Ду называется приращением функции в точке х<0), соот-
ветствующим изменению аргумента от точки х((1* = (х/(0)) до точ-
ки х — (xf). Так как р (х, х<0)) — У Дх? ф- ... ф Дх^, где
Дхг = хг- — х*0’, i = 1, 2, ..., п, то непрерывность функции/ в точ-
ке х<°> означает, что ее приращение Ду в этой точке стремится
к нулю, когда приращения Дхг всех ее аргументов стремятся
к нулю.
Лемма (о сохранении знака). Если функция f определена
на множестве Еа.Еп и непрерывна в точке х<0)£Е, причем
/(х<°>)ф=0, то существует окрестность О (х(0>) точки х(0>, такая,
что sign f (х) — sign f (х<°>) для всех х^О(х<°>) о Е.
Доказательство. Найдем, например, сферическую окрест-
ность, для которой выполняется указанное свойство. Пусть
е = |/(х<°))|, тогда в силу непрерывности существует такое
6 > 0, что |/(х)—f (х<°>) | < | / (х<°>) | для всех х£О(х<°>; 6), т. е.
f (х< °>)—I f (х<°>) | < f (х) < f (х<°>) + | f (х<°>) I, х С О 6).
Если /(х<°>)>0, то /(х<°>) — |/(х<°>)| = 0, и поэтому /(х)>0,
если же f(x<Cl>)< О, то |/(х(0))| + /(х(0,) = 0, и поэтому /фх)<0
при х £ О (х(0\ 6) Е.
Лемма доказана.-
Совершенно аналогично случаю п = 1 доказывается, что если
функции f и g непрерывны в точке х(0) множества Е, то функции
/ + g, cf(c — постоянная), fg, а если g(x(0)) фО, то и у также не-
прерывны в точке х(0).
пч
§ 19. Предел и непрерывность функций многих переменных
19.3. Непрерывность суперпозиции
непрерывных функций
Пусть на некотором множестве Etcz.Ek задана система п
функций ф, (/), ф2(/), фп(0, t—Qi, , t^(^Et, и пусть на неко-
тором множестве £хс:£” задана функция f(x), х = (хь..., х„)£ £ж.
Если (фД/), фг(‘)« ••> Фл(0)С^л для любой точки t^Et, то
имеет смысл говорить о сложной функции / (фх,фп),
т. е. функции, ставящей в соответствие каждой точке tQEt число
фп(0)- Функция /(Ф1>---, Фп) называется также супер-
позицией функций f и фх,фп.
Теорема 2. Пусть имеет смысл сложная функция f (цц, ..., фп).
Если функции Фр..., <р„ непрерывны в точке № £ £t с Ek,
а функция f непрерывна еточке х(С) = (ф1(Р0)), ..., фп(/(0))) ££жс:£",
то сложная функция [(цц.....фп) непрерывна еточке №.
Доказательство. В силу непрерывности функции f в точке
х(0) = (х(]0), .... х„0)) для любого е О существует r| = i](e)>0,
такое, что
|f(x)-f(x<°))|<e (19.7)
для всех точек х £ Р(х<°>; rj) гл Ех *\ т. е. для всех точек
х = (хр ..., хп)£Ех, для которых
| хг —х)С) | < г], i=l, 2,..., п. (19.8)
В силу же непрерывности каждой из функций фг, i=l, 2, ..., п,
в точке /(()) для указанного 9 > 0 существуют (ц — 6Дц) О,
такие, что
|фг(()-фг^0))|<^1 (19.9)
для всех t £ Et т. О (Р°>; 67).
Обозначим через 6 наименьшее из чисел 6t, г = 1, 2, ..., п.
Тогда для всех t C- Et < О(Р°>; 6) и всех i = 1, 2 ..., п выпол-
няется неравенство (19.9), т. е. неравенство (19.8), где хг=ф,(/),
х!'” = ф, (Ро>), <=1 2,..., п. Поэтому для всех t Etr O (/<°>; 6)
выполняется условие
|f(x)-Hx(0))|<e,
где х = (фД/)), х<°> = (фг(/(0>)), что и означает непрерывность
сложной функции /(фх, ..... ф„) в точке £°>.
Теорема доказана.
*) Здесь удобнее пользоваться прямоугольной окрестностью Р (х'0); г]),
чем сферической.
19.4. Теоремы о функция*, непрерывных на множествах 273
Как видно из проведенных рассуждений, доказательство тео-
ремы 2 по идее повторяет доказательство соответствующей теоремы
для п — 1 (см. п. 5.2).
Замечание. Если функции ..., 4n(t). определен-
ные на множестве Efc.Ek. непрерывны в точке ^<°>££, czEk>
а функция f определена в некоторой окрестности точки
.... фГ1(/(0))), то существует такая окрестность О (/<°>)
точки И0*, что для всех t r\Et имеет смысл суперпозиция
Таким образом, когда функция f определена не на каком-то мно-
жестве Ех, содержащем точку х(0), а на множестве, содержащем
некоторую окрестность точки х(0), то требование существования су-
перпозиции /(<р1, .... <рп) в условиях теоремы 2 можно отбросить.
Действительно, если функция / определена в какой-то окрест-
ности точки До>, то существует и прямоугольная окрестность
Р(х(1); ц) этой точки, в которой функция f также определена. В ка-
честве же искомой окрестности точки /((,) можно взять 6-скрестность
этой точки, построенную при доказательстве теоремы 2. В самом
деле, если /£О(/<0); E)f~\Et, то, согласно неравенству (19.9), полу-
чим (<i\(/),..., (/))£Р(х(0); ц), и, следовательно, сложная функция
определена на 0(/(0); 8)r>Et.
С помощью теоремы 2 можно легко установить непрерывность
функций, большей частью встречающихся на практике, а именно
так называемых элементарных функций многих переменных.
Определение 8. Функции, получающиеся из переменных хъхп
с помощью конечного числа суперпозиций, операций сложения, умно-
жения, деления и взятия элементарных функций одного переменного,
называются элементарными функциями переменных х1, ...,хп.
ху
У Sin -Р—
Например, функция /(х, у) = хе х+у является элементарной
функцией двух переменных х и у. Действительно,
f(x,y) — xw, w = ev, v — yz, z = sinZ, ^=^-,
a — xy, P = x+y.
Из теоремы 2 следует, что всякая элементарная функция мно-
гих переменных непрерывна в каждой точке области своего опре-
деления.
19.4. Теоремы о функциях, непрерывных
на множествах
Функция f называется непрерывной на множестве Е,
если она непрерывна в каждой точке множества Е.
Докажем ряд теорем о непрерывных функциях на множествах.
Эти теоремы доказываются аналогично соответствующим теоремам
274 § 19 Предел и непрерывность функций многих переменных
для функций одного переменного. Мы рассмотрим их при достаточно
общих предположениях, это позволит более глубоко выяснить, с чем
связаны рассматриваемые свойства непрерывных функций. Начнем
с обобщения теорем Вейерштрасса (см. п. 6.1) на многомерный слу-
чай. Определение ряда понятий, которые будут рассматриваться
ниже, как-то: ограниченность функции, верхняя и нижняя грани
функции ит. п. — см. в п. 4.1.
Теорема 3. Если функция f определена и непрерывна на огра-
ниченном замкнутом множестве, то она ограничена и дости-
гает своей верхней и нижней граней.
Доказательство. Докажем сначала первое утверждение
об ограниченности рассматриваемой функции f. Допустим против-
ное: пусть существует ограниченное замкнутое множество А а Еп и
определенная на нем неограниченная непрерывная функция /.
Тогда для любого натурального т(т — 1, 2....) существует точка
х("'’ф А, такая, что |/(x(m)) | > т. Так как А ограничено, то по-
следовательность {х(тф ограничена. Согласно теореме Больцано —
Вейерштрасса (см. п. 18.1) из этой последовательности мож-
но выделить сходящуюся подпоследовательность {х<т*)}. Пусть
limх*т*> = х(С). Так как А замкнуто, тох(0)фЛ. Теперь, с одной
I k~*O0
стороны, | /(х("'л)) | > mh и, значит, /(x("'/J) -> оо при #-> оо, с дру-
гой: /(х(”'4’)-> )(х(С>) при k^-eo.
Полученное противоречие и доказывает, что всякая непрерыв-
ная на ограниченном замкнутом множестве А функция f ограничена.
Пусть теперь sup f — М. Докажем, что существует по крайней
А
мере одна точка х((!)ф А, для которой /(х(С,)) = М. Допустим снова
противное: пусть /(х)=/^Л4 для всех х£А. Тогда функция tp(x) =
= м _ /( также определена и непрерывна на ограниченном замкну-
том множестве А, но в силу определения верхней грани функция
ср не ограничена на А.
Полученное противоречие доказывает достижимость верхней
грани М при сделанных предположениях. Аналогично доказывает-
ся и достижимость нижней грани т — inf f.
А
Теорема доказана.
Перейдем теперь к рассмотрению обобщения теоремы Коши о
промежуточных значениях (см. п. 6.2) для случая функций многих
переменных.
Теорема 4. Пусть функция f определена и непрерывна в области
G С2 Е'\ тогда, принимая какие-либо два значения в G, функция f
принимает в G и любое значение, заключенное между ними.
19.4 Теоремы о функциях, непрерывных на множествах
275
Доказательство. Пусть функция / непрерывна в области
GccEn, пусть x<o((G, х’2) £G, Дх’°) = a, f(x!2',) = b и, например,
а<Ь. Пусть, далее, с— какое-либо число такое, что а<_с<_Ь. Со-
гласно определению области (см. определения 24 и 25 в п. 18.2),
существует такая кривая x(Z), а<7<р, что x(a) = х*0, х(р) = х(2) и
x(Z)£G при всех / С la, р].
Если x(Z) = (x,(Z)), то, по определению кривой, функции x;(Z)
непрерывны на отрезке [a, р]. Согласно же теореме 2 о суперпозиции
непрерывных функций многих переменных, функция /'(x(Z)) =
— xn(t)) также непрерывна на отрезке [a, pi. Так как
Дх(а)) — а, Дх(Р)) = t) и с< Ь, то, согласно теореме Коши
о промежуточных значениях непрерывной функции на отрезке
(см. п. 6.2), существует точка Z0(((a, Р)> такая, что — с.
Полагая х”° = x(Z0), имеем х(и) (Си Дх”0) = с.
Теорема доказана.
Следствие. Функция f, определенная и непрерывная в замк-
нутой области G, принимая какие-либо два значения, принимает
в G и любое промежуточное.
Доказательство. Пусть G—область, функция f опреде-
лена и непрерывна на ее замыкании G, х<° £ G, х<2> £ G, f (х(|))=й,
f(x,2))~ б и пусть для определенности а<^с<^Ь. Докажем, что
существует точка % £ G, такая, что f(%) = c.
Возьмем
e = min{c—а. b— с}.
В силу непрерывности функции f в точке х<!) существует такое
6 —б(е)>0, что если х 0(х<'>; 6) G, то |f(x)—/(*(1))1<(е
и, значит, Ц(х)— а К с —а> в частности, /Дх) <с. Точка х<’> £ G,
т. е. точка х(1>, является точкой прикосновения множества G,
поэтому в окрестности 0(х<1); б) заведомо существует точ-
ка, принадлежащая G, обозначим ее у<°. Таким образом,
y<I>^O(x(1); 6)r>G, и поэтому f (У(|,)<Д. Аналогичным методом
доказывается существование точки y(2)^G, такой, чго f(y(2))>c.
Из существования в области G точек у<° и у(2> с указанным свой-
ством в силу теоремы 4 вытекает существование в G точки Е,
такой, что )(£) = с.
Следствие доказано.
Отметим, что пи при доказательстве самой теоремы 4, ни при
доказательстве ее следствия не использовалось то, что множество G
открыто. Использовалось лишь то, что любые две его точки можно
соединить кривой, принадлежащей самому множеству, т. е. что
оно связно.
276
§ 19. Предел и непрерывность функций многих переменных
Упражнение 4. Пусть функция f определена, непрерывна и при-
нимает значение разных знаков на открытом множестве. Доказать, что мно-
жество точек, в которых / =f= 0, является открытым множеством, но не являет-
ся областью.
Задача 11. Построить пример области G, в замыкании которой сущест-
вуют две точки, не соединяемые в G непрерывной кривой.
19.5. Равномерная непрерывность функций.
Модуль непрерывности
Наряду с понятием непрерывности функции в точке в
математическом анализе большую роль играет так называемое по-
нятие равномерной непрерывности функции на множестве.
Определение 9. Функция f(x), определенная на множестве
Е с: Е", называется равномерно непрерывной на Е, если для любо-
го е > 0 существует д = 6(e) > 0, такое, что для любых двух точек
х' ь Е, х" Е, удовлетворяющих условию
р(х', х")<6, (19.10)
выполняется неравенство
|f(x')-f(x”)|<e. (19.11)
Отметим, что если функция / равномерно непрерывна на мно-
жестве Е, то она и просто непрерывна на Е, т. е. непрерывна в каж-
дой точке хРЕЕ. Чтобы в этом убедиться, достаточно, например,
в (19.10) и (19.11) положить х" = х(0).
Если же функция / непрерывна в каждой точке х f Е, то для лю-
бого е> 0 существует лишь 6 = 6(е; х), такое, что при р(х, х')< 6,
х£Е, х'^Е выполняется неравенство |/(%) — f(x')\<_e. В этом
случае выбор 6 зависит не только от е, но, вообще говоря, и от точки х.
Подчеркнем, что в случае, когда функция f равномерно непре-
рывна на множестве Е, выбор соответствующего 6 зависит только
от е и не зависит от выбора рассматриваемых точек множества Е.
Рассмотрим примеры. 1. Функция f(x) = х равномерно
непрерывна на всей числовой оси, ибо, если задано е> 0, достаточ-
но взять 6 = е, тогда если | х' — х" | < 6, то в силу равенств /(%') =
= х', f(x") = х" получим | /(%') — f(x")\ < е.
2. Функция f(x)= sin-, х=^0, не будет равномерно непрерывной
на своей области определения, т. е. на числовой оси, из которой
удалена точка х = 0. В самом деле, если взять, например, е — 1,
то при любом сколь угодно малом 6 > 0 найдутся точки х' и х", на-
пример, точки вида
, 1 „ 1
X =--------- И X = -=----------
л 3
+ 2лп у л + 2л/г
19.5. Равномерная непрерывность функций 277
(п — достаточно большое натуральное число), такие, что
| х' — х" | < 6, а вместе с тем | f(x') — f(x") | > 1.
В качестве достаточного признака равномерной непрерывности
функций одного переменного на интервале отметим следующий.
Лемма. Если функция f(x) определена и имеет ограниченную
производную на некотором интервале (а, Ь), то она равномерно
непрерывна на этом интервале.
Действительно, если | f(х) |<с (с—постоянная) на (а, Ь), то
с помощью формулы конечных приращений Лагранжа (см. п. 11.2)
получим
| f (x")—f (X) | = | /' (g) (х”-х') I < с |х"-х' |,
а<^х'<^Ь, а<^х”<^Ь, (19.12)
Поэтому для е> 0 достаточно взять б= у, тогда если |х"—х'\ < 6,
a<x’<b, а<х"<_Ь, то в силу (19.12) |/(х") — 7(х')е, что
и означает равномерную непрерывность функции f на (а, Ь).
Лемма доказана.
Аналогичный результат имеет место для любого промежутка,
конечного или бесконечного. Обобщение этого критерия на мно-
гомерный случай будет дано в п. 39.2.
Принципиальное значение имеет следующая теорема.
Теорема 5. (Кантор). Функция, непрерывная на ограниченном
замкнутом множестве, равномерно непрерывна.
Следствие. Функция, непрерывная на отрезке, является
равномерно непрерывной.
Доказательство проведем от противного. Пусть существует
функция /, определенная и непрерывная на некотором ограниченном
замкнутом множестве Е, но неравномерно непрерывная на нем.
Тогда существует такое е0 >0, что для любого 5 > 0 найдутся точки
xg £ Е и х^С Е (индекс «6» у точек означает, что эти точки зави-
ся! от выбора 6), для которых р(х§, xg) < 6 и вместе с тем
|/(xg)— /(xg) | > е0. Возьмем какую-либо последовательность чисел 6,г
так, чтобы lim 6„ = 0, например, 6„ = п = 1, 2 Пусть х'( * = xg ,
хУ!} = xg , и, значит,
°(п) °л
х"(п))<1, |7(Z(n))-7(x'(n>)|>e(). (19.13)
Множество Е ограничено, а х'()фД. п = 1, 2, .... поэтому
, .('О,
последовательность |хп ) также ограничена и из нее по теореме
Больцано — Вейертшрасса (см. п. 18.1) можно выделить сходя-
щуюся подпоследовательность (х J; пусть iim х = g.
278
19. Предел и непрерывность фрикций многих переменных
Точка Е является точкой прикосновения замкнутого множест-
ва Е, и потому Е £ Е.
Рассмотрим теперь подпоследовательность {х"*”*') последова-
( „(«)) I
тельности lx (, соответствующую подпоследовательности lx I.
Докажем, что limx""ft>==E.
k-><x
Действительно,
и так как
р (x'(/7ft), s)-> 0 и —- —> О при й->оо,
то и
р (x"("fc), е) -* 0 при k -> оо,
а это и означает, что
X ->Е при R-*eo.
В силу непрерывности функции f в точке Е^Д, f (х'^О-^/ЧЕ)
и [ (х"("/г>) ->/(Е) при /г-*оо, и, значит,
f (x"f,,/;))—f (x'(”ft>)О при (19.14)
Но по конструкции последовательностей \х I и 1х )
(см. 19.13)
|/(х"<^)) —/(x,(nft’)|>e0 (19.15)
для всех k= 1, 2.......
Очевидно, условия (19.14) и (19.15) противоречат друг другу.
Это и доказывает теорему 5.
Отметим, что при отказе от условий ограниченности и замкну-
тости множества теорема перестает быть верной. Например,
функция у — — определена и непрерывна на интервале (0; 1), ко-
торый хотя и является ограниченным множеством, но не является
замкнутым; эта функция неравномерно непрерывна на интервале
|(0; 1). Функция у — х2 определена и непрерывна на всей веществен-
ной оси, которая хотя и является замкнутым множеством, но не
является ограниченным. Эта функция также неравномерно не-
J9 5 Равномерная непрерывность функций
279
прерывна на вещественной оси. Доказательство неравномерной не-
прерывности функций у — -у и у — х2 на указанных множествах
будет дано в этом пункте несколько далыие.
Часто оказывается более удобным несколько другой подход к
понятию равномерной непрерывности, а именно с помощью так на-
зываемого модуля непрерывности функции
Определение 10. Пусть функция I определена на множестве
ЕаЕ”. Ее модулем непрерывности <о(6: f\ Е) называется функция
со (6; f- Е)~ sup {f(x")—f(x')}, х'£Е, х"ЕЕ. (19.16)
ры’.
Часто для краткости вместо со(6; /; Е) пишется просто со(6; f)
или даже со(6).
Нетрудно убедиться, что
sup {/(Д)-/(Д')} = sup {|/(x"W(x')|}, х'^Е, х"£Е,
р (х'. г") <6 р (х , Z'X 6
т. е. в правой части равенства (19.16) под знаком верхней грани мож-
но писать или не писать знак абсолютной величины, от чего вели-
чина указанной верхней грани не меняется.
Очевидно также, что со (6) >• 0.
Далее, если 0<C6i-<62. то
{у y = f(x")—f(x'), р(Д, x")<61)cz
<= {У : У = f (x")—f (Д), р (Д, х”) < 62},
откуда
sup {f(x") — f(x’)}< sup {/(х")—/(Д)},
p(V. р(х'.
т. е. <0(60 < <о(62), иначе говоря, модуль непрерывности является
монотонно возрастающей функцией.
„ со(6; G)
Задача 12. Пусть G — область в Еп. Доказать, что ели lim-ё—— = 0,
S-0 0
то /—постоянная функция
Примеры. 1. Найдем <о (6) для функции у = Д,
— оо <Д х <СД о°-
Для любого 6>0 и любого фиксированного х имеем
со (6; х2) = sup |х"2—Д2)>-х2—(х — 6)2 = 2Д> —6а. (19.17)
280
jf 19. Предел и непрерывность функций многих переменных
Это неравенство верно при любом х0, и так как при любом
фиксированном 6
lim (2х06— 62) = ф-оо,
то из (19.17) получаем ю(б; х2) = ф-оо, —оо<х<^ф-оо.
Найдем теперь модуль непрерывности для функции у = х2
на отрезке [0; 1].
Пусть 0 < х" — б < х' < х" < 1, тогда, в силу неравенства
х"2—х'2 < х"2—(х" — б)2 = 2х" 6—б2 < 26 — б2,
получим
<о(б;х2) = sup {х"2—х'2} < 26—б2, (19.18)
I V"—г'1 <Г Я
с другой стороны, беря х
1—6, х" = 1, будем иметь
сг>(б; х2) — sup {х"2—х'2}>
\х"—х' I <; 6
>1_(1_S)2 = 26 —б2. (19.19)
Из оценок (19.18) и (19.19) сле-
дует, что на отрезке [0; 1J
со (б; х2) = 26 —б2.
Записав это выражение в виде
со (6; х2) = I2—(1 —б)2, 0<х<1,
видим, что со (б; х2) совпадает с приращением функции на участ-
ке длины б, на котором она растет наиболее быстро (рис. 72).
2. Рассмотрим функцию y = sin-^~, х=^0.
С одной стороны,
/<, - 1 \ (1-1 • 1 11
со 6; sin— = sup < sin---------sin—
\ X ) |X"_X' Kg 11 x" x' |J
< sup (Isin— -I-1sin —II C sup (2) = 2.
С другой стороны, беря x" = ——------, x,' = ——!-----, вы-
~~-]-2лп -±лф-2лл
бирая и фиксируя п так, что |х„| < |х,г|< — и, значит,
о 5. Равномерная непрерывность функций
281
\х','г— х’п | < |хп |н- |х„ | < 6, будем иметь
1
со о; sin —
> sin-Д — sin Д- = 14-1=2.
хп хп
Полученные оценки дают
<Дб; sin — 'j = 2.
\ х /
3. Рассмотрим функцию “ на интервале (0; 1).
При любом фиксированном 6, 0<8<Д, имеем
о)(8; — )== sup I—-------—1= sup /—---------—I >
\ XJ \Х"-Х'\<8(х" * J Х'<Х"<Х +g (-Р х" )
1 1 *) л
>> —--------=------------> ос прило->4-0.
хо *о + 6 Мхо + 8)
Таким образом,
и (б; —=-роо.
I ’ х I 1
В терминах модуля непрерывности равномерная непрерывность
может быть выражена следующим образом.
Теорема 6. Для того чтобы функция f, определенная на множе-
стве Е, была равномерно непрерывна на атом множестве, необхо-
димо и достаточно, чтобы
lim со(б; f; Е) = 0. (19.20)
6-4-о
Доказательство. Пусть функция f равномерно непре-
рывна на множестве Е, т. е. выполнены условия (19.10) — (19.11);
тогда для любого е > 0 существует 8g = б > 0, такое, что если
х'^Е, хЧЕ, р(х', х") < бе, то
Отсюда следует, что для любого & \ выполняется не-
равенство
sup {|fU")--HV)|}<-|-<e,
р (х', х") < g 2
т. е. если 0 <4 8 <4 8е, то о(6)<4, что и означает, что
lim w(8) = 0. Необходимость условия (19.20) доказана,
6-+0
*) Здесь хв таково, что 0 < х0
1-6.
282
£ 19. Предел и непрерывность функций многих переменных
Докажем достаточность условия (19.20). Выполнение условия
(19.20) означает, что для любого е > 0 существует такое 6е > 0, что
если 0 < 6 < 6е, то
со (6; f\ Е) < е,
поэтому (см. (19.16)) при р(х', х")<С6е, х' £ Е, х" £ Е, и по-
давно
т. е. функция / равномерно непрерывна на Е.
Теорема доказана.
Мы видели выше, что на отрезке 10, 1] со(6; х2) = 26 — 62, по-
этому
lim со(6; х2) = 0,
б—1-о
и, следовательно, функция х2 равномерно непрерывна на этом от-
резке, как и должно быть согласно теореме 5. Модуль непрерывно-
сти той же функции х2, но уже рассматриваемой на всей веществен-
ной оси, так же как и модули непрерывности со/6; sin-Y х 0,
. ' \ XJ
и <oi 6; — , 0 < х < 1, не стремятся к нулю при 6-> + 0, и потому
\ х j
все эти функции не являются равномерно непрерывными на соот-
ветствующих множествах.
Введем теперь еще некоторые понятия, полезные для дальней-
шего.
Определение 11. Пусть EciE'‘. Величина
d— sup р(х',х")
х'еН. л"С Е
называется диаметром множества Е и обозначается d(E).
Упражнения. 5. Пусть Qo — n-мерный шар с центром в некото-
рой точке х(|)) и радиусом г: Qn — г), тогда d(Qn) = 2г.
6. Доказать, что множество Е CL Е" ограничено тогда и только тогда,
когда d(E) < + ос.
Определение 12. Пусть функция / определена на множестве Е,
тогда величина a(d(E); f: Е) называется колебанием функции f на
\ множестве Е и обозначается Е) или просто ы(().
Очевидно, что в силу (19.16)
со f;E) = sup {/(х")—f(x')}.
х’е Е, -"€£
Заключительное замечание. Из сказанного в этом
параграфе следует, в частности, что в ряде вопросов, относящихся
283
20.1. Частные производные и частные дифференциалы
к функциям многих переменных, всю их специфику можно в доста-
точной мере усмотреть уже в двумерном или трехмерном случае.
Благодаря удачно выбранным определениям и обозначениям дока-
зательства теорем автоматически переносятся со случая п = 2 на
произвольный п-мерный случай, иногда лишь приводя к некото-
рому техническому усложнению записи. Случай же п = 2 имеет
преимущество геометрической наглядности и более простой записи,
когда в ней участвуют координаты точек. Поэтому для большей
ясности и простоты изложения мы, как правило, будем подробно
рассматривать лишь случаи п = 2 или п — 3, а в случае произволь-
ного п — лишь формулировать соответствующие результаты или
даже только отмечать возможность их обобщения на случай про-
извольного п. Если же при рассмотрении какого-либо вопроса при
/г > 3 возникают какие-либо специфические трудности, то этот
вопрос будет детально рассматриваться в общем случае.
§ 20. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
20.1. Частные производные и частные дифференциалы
Рассмотрим сначала случай функций трех переменных.
Определение 1. Пусть в некоторой окрестности точки (х0, у0, г0)
задана функция и = и(х, у, г). Фиксируя переменные у и г так,
что у = у0, г = z0, получим функцию одного переменного х:
и = и(х, у0, ?о). Обычная производная (см. п. 9.1) этой функции в точ-
ке х — х0 называется частной производной функции и(х, у, г) в точке
(х0, Уо, го) по х и обозначается г”> .
Таким образом,
ди (х0, у0, г0) __ du(x, у0. г0) I
дх dx |л=л0"
_ , „ .. du
Если вспомнить определение ооычнои производной у-
(см. п. 9.1). то, согласно этому определению, можно написать
ди Up, у0, г0) = |. ц(*о+Ах, у0, ?о) — « Ро-Уо ?о>
дх Дх-о
или, если ввести обозначение
и (х0+ Дх, уо, 20)—и(х0, уо, 20) = Дки
284
<$ 20 Частные производные. Дифференцируемость
(Дх и — приращение функции по переменной х),
ди .. А, и
-—= lim .
дх Дл-о Дх
Аналогично вводятся частные производные по у и z:
(х0 То, г0) _ du (х0 у, z„) I
ду dy |у=у„’
ди (х0, то, г0) = du (х0, у0, г) I
дг dz к=г0’
или
ди Ау« ди
— = lim ——, — =hm--------.
ду Ду—о Ду ™ Дг-о дг
где Дун и Дг и—-приращения функции соответственно по пере-
менным у и г.
По аналогии с функциями одного переменного линейные
, ди , ди , ди , , . ,
функции dx, dz переменных dx, dy, dz, называемых
дифференциалами независимых переменных, называются част-
ными дифференциалами функции н(х, у, z) соответственно по
переменным х, у, z и обозначаются
, ди , , ди , , ди .
dxu — — dx, d,. и — — dy, d.u — dz.
x dx y dy f 2 dz
Аналогичные определения имеют место для любого числа пе-
ременных.
Если функция y~f(xlt ..., хп) определена в некоторой окрест-
ности точки х<°> — (х-0)), то, по определению,
df(x\°\ .. , х<°>) df(x™, .... х<°2„ х^„ . ,
дх. ' dx.
, (20.1)
(0) ' '
или, что то же, опуская обозначение аргумента,
ду ^х.У
-д—= lim ; »
dxi ^xi
где
ДЛ/У = И^0>.........х’0)-|-Дхг, х^,............х<°>)-
.... х<-0), ....х<°>).
Для обозначения частной производной ~ применяются так-
же обозначения или L.
20.1. Частные производные и частные дифференциалы 285
Частный дифференциал dx у определяется по формуле
dx.)' = -=dx;, —ОО <(/%,-<-1-00, (20.2)
1 i
п тем самым является линейной функцией переменной <Д;, называ-
емой дифференциалом независимой переменной xt. Здесь везде i =
= 1,2, ..., п. В случае п = 1 частная производная совпадает с обыч-
ной производной, а частный дифференциал — с обычным дифферен-
циалом.
Подчеркнем, что —единый символ, т. е. в нем числитель
и знаменатель не имеют самостоятельного смысла. С другой сто-
роны, частная производная конечно, может быть записана и
I
в виде частного двух дифференциалов:
ду ах. У
дх. dx.
I I
Из определения частных производных, как обычных производных
при условии фиксирования всех переменных, кроме одной, по кото-
рой берется производная, следует, что при вычислении частных про-
изводных можно пользоваться правилами вычисления обычных про-
изводных.
Пусть, например, требуется найти производную для функ-
ции z — хуеУ. Для этого, зафиксировав в этой формуле х, по-
лучим функцию одного переменного у; вычисляя ее производ-
ную, получим
dz — . — д ( х \ х(у — х)еу
= хеу + хуеу -ч- — = —-----------
ду ду \ у / у
В заключение этого пункта отметим, что из непрерывности в дан-
ной точке функции п переменных не вытекает существование у нее
в этой точке частных производных. Соответствующий пример в слу-
чае п = 1 был приведен ранее (см. п. 9.2). Важно заметить, что
при п > 2 из существования даже всех частных производных в не-
которой точке не следует непрерывность функции в этой точке**.
«) Напомним, что при п = 1, т. е. для функции одной переменной, из
существования в точке производной вытекает и непрерывность функции в
этой точке (см. п. 9.2).
288
§ 20. Частные производные. Дифференцируемость
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим функцию f(x у), равную О,
если ху = 0, и I, если ху 0. Очевидно, /(х, 0) /(0, у) = 0,
и, значит,
of (0, 0) of (0, 0) g
дх ду
Однако эта функция разрывна в точке (0, 0), так как, например, ее
предел вдоль прямой у = х при (х, у) (0, 0) равен 1, а /(0, 0) = 0.
Более того, существуют функции, имеющие частные производные
во всех точках и все-таки разрывные. Примером такой функции яв-
ляется функция
f(x, У) =
*У
х2 + у2
0
при х2 + у2> 0,
при х — у =0.
(20.3)
Эта функция имеет частные производные во всей плоскости и раз-
рывна в точке (0, 0) (почему?).
20.2. Дифференцируемость функции в точке
Рассмотрим сначала случай функций двух переменных.
Пусть функция г = f (х, у) определена в некоторой 6-окрестности
О = О(МЬ; Ь) точки /И0 = (х0
Рис. 73
Уо) и пусть М = (х, у) £ О(/И0; 6),
Дх = х—х0, Ду = у—у0(рис. 73)
и, значит, р = р (Л1, Мо) —
= УДх2 ф- Ду2 <ф 6. Пусть, на-
конец,
Дг —
=/(хоф-Дх, у0 + Ду)—f (xu, у0).
Обычно Дг называется пол-
ным приращением функции-, это
название объясняется тем, что
здесь, вообще говоря, все пере-
менные получают приращения,
отличные от нуля.
Определение 2. Функция г = /(х, у) называется дифференциру-
емой в точке (х0, у0), если существуют два числа А и В, такие, что
Вг А Дх ф- В Ду а (Дх, Ду),
где
(20.4)
20.2 Дифференцируемость функции в точке 287
а (Дх, Ду) = б (Дх, Ду) р, р Ф О,
Пте(Дх, Ду) = О*>. (20.5)
р-о
Из (20.4) следует, что а(0, 0) = 0.
В случае дифференцируемости функции f в точке (х;|, у0) линейная
функция ДЛх В Ду переменных Дх и Ду называется полным диф-
ференциалом, или просто дифференциалом, функции f еточке (х0, у0)
и обозначается dz.
Таким образом,
dz — ЛДх + ВДу.
Вместо Дх и Ду употребляются также разнозначные обозна-
чения dx и dy, т. е. пишут
dz = Adx + Bdy.
Из (20.5) следует, что
Пт М. = о. (20.6)
М^МС р
Функции а(Дх, Ду), обладающие свойством (20.6), будем обозна-
чать но аналогии с функциями одного переменного о (р) при
р -> 0**’. Применяя это обозначение, определение дифференцируе-
мости можно переписать в виде
Дг = ЛДх + ВДу + о (р). (20.7)
Лемма. Условие (20.5) эквивалентно условию
а (Дх, Ду) = бг (Дх, Ду) Дх + е2 (Дх, Ду) Ду, р =$= 0, (20.8)
где
lim Ег = lim е2 = 0.
р-’0 р—0
Доказательство. Пусть выполнено условие (20.5), т. е.
а = ьр, р=ДО, где е-э-0 при р-*0, тогда
а — ер = в У Дх2 Ду2 =
= . Ах — Дх + е —у- Ау _ Ду = е, Дх + е2 Ду,
т/Дх2+Д/ V Дх2 + Ду2 ' 1 7
*) Напомним, что, согласно сделанному нами соглашению, запись lim /
равносильна записи lim f, гдер = р(Л1, Л40). р-0
*») Вообще для функций а и р многих переменных мы будем писал.
к ---о(р) при х—>х(0), х б Еп> х(0) £ Еп, если а (х) = е (х) р (л;
где
lim е (х) — 0.
288
20. Частные производные. Дифференцируемость
где
еДх
1 у Дх24-Ду2
Замечая, что
|Дх I <С 1
Д/ Дх2 4- Ду2 | ’
0= еду
|/ Дл-2+Ду2
Лу
У Дх2-|-Ду2
имеем | ej < | е |, | е21 < | е |, откуда lim ех = lim е2 — 0, т. е. пред-
р^о р-»о
ставление (20.8) получено.
Пусть, наоборот, выполнено условие (20.8), т. е.
<х = е1 Дхф-Ег Ду, р =yf= О,
где ех->0 и е2->0 при р->0; тогда
а = (— Ал — - ех -]--— е2 \ У Дх2 У Ду2 = ер,
\УДл2+Ду2 У Дх2у Ду2 ) л
где
Дх , Лу
е — —> е, 4--, Z—..L... — е2
УДх24-Ду2 1 У Дл2+Ду2
и, значит, | | ^ | 14-1 е2|, поэтому е->0 при р -> 0, т. е. пред-
ставление (20.5) получено.
Лемма доказана.
Теорема 1. Если функция г = f(x, у) дифференцируема в. точке
(х0, Уо), то она непрерывна в этой точке.
Действительно, так как | Дх | < р и | Ду | < р, то из формул (20.4)
и (20.5) следует, что Дг -> О при р -> 0, что и означает непрерывность
функции / в точке (х0, у0).
Теорема 2. Если функция г = /(х, у) дифференцируема в точке
(х0, Уо) w dz = ЛДх 4- ВДу — ее дифференциал в этой точке, то
в точке (х0, у0) у функции f существуют чсе частные производные и
df (*о, уо) _ df (х0, уо) _ <2q g,
дх ’ ду
Таким образом,
dz — — dx-]-—dy. (20.10)
дх оу
Доказательство. Согласно определению дифференцируе-
мости (см. (20.4) и (20.8)).
Дг = ЛДх 4~ ЛДу 4~ Е| Дх 4~ е2 Ду,
где
lim Ех == lim s2 = 0. (20.11)
р-*° р-°
20.2. Дифференцируемость функции в точке
289
Полагая Ду = (), получим
Дг = Дхг — А Ах ф- ег Дх, lim е1 = 0,
Дх- О
откуда
А + еп
(20.12)
где при Ах-> 0 правая часть стремится к пределу, равному А, по-
этому и левая часть при Дх -> 0 имеет тот же предел, а это и означает
(см. (20.1)), что в точке (хР, у0) существует частная производная
— А. Аналогично, полагая в (20.4) Дх = 0 и переходя к пределу,
получим = D.
Таким образом, формулы (20.9) доказаны.
Следствие. Если функция f(x, у) дифференцируема в точке
(х0, Уо)> то она имеет единственный дифференциал.
Единственность дифференциала непосредственно вытекает из
формул (20.9), так как частные производные в данной точке определя-
ются однозначно.
Вспоминая формулы для частных дифференциалов (см. (20.2)),
формулу (20.10) можно переписать в виде
dz = dxz-\-dvz,
т. е. полный дифференциал функции (когда он существует) является
суммой ее частных дифференциалов.
Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, не имеет места:
существуют функции, имеющие все частные производные во всех
точках плоскости, но не дифференцируемые в некоторой точке.
Примером такой функции является функция (20.3), приведенная
в конце предыдущего пункта: в точке (0, 0) эта функция не непре-
рывна, откуда f силу теоремы 1 вытекает, что в точке (0, 0) эта функ-
ция и не дифференцируема.
Из сказанного следует, что не всегда выражение dxz + dyz, когда
оно имеет смысл, является полным дифференциалом функции.
Связь между дифференцируемостью функции в точке и существова-
нием в этой точке частных производных сложнее, чем связь между
дифференцируемостью и существованием производной у функции
одной переменной.
(Сформулируем достаточные условия в терминах свойств частных
производных для дифференцируемости функции.
Теорема 3. Пусть функция z - f(x, у) в некоторой окрестности
точки (х0, у0) имеет частные производные и которые неире*
280
§ 20. Частные производные. Дифференцируемость
рывны в самой точке (х0, у,,), тогда функция z = f(x, у) дифференци-
руема в этой точке.
Доказательство. Обозначим через 0(6) 6-окрестность
точки (х0, }'(,), в которой определена вместе со своими частными
производными Д и fy функция f. Выберем Дх и Ду так, чтобы
(х0 + Дх, у0 + Ду) 0(д). Замечая, что
Дг = /(х0 + Дх, у0 + Ду)—/(Хе, уи) =
= [/(х0 + Дх, Уо + Ду)—/(х0, Уи + ДуЛ + ^^'о, Уо + Ду)—И*,» Уо)],
применим к выражениям, стоящим в квадратных скобках и являю-
щимся приращениями функций только по одной переменной, фор-
мулы конечных приращений Лагранжа (см. п. 11.2). Тогда
Дг = fx (х0 ф 0J Дх, у0 + Ду) Дх + fy (х0, у0 +02 Ду) Ду,
о<е1<1, о<е2<1, (20.13)
причем 6j и 02 зависят, конечно, от выбора точки
(х0+Дх, у0-|-Ду), т. е. от Дх и Ду.
Если
fx (х0 + 0! Дх, у0 + Ду)—fx (х0, у„) = £1, (2()
fy(x0, уо + 02Ду)—/\(х0, Уо) = б2,
то в силу непрерывности частных производных fx и f в точке
(х0, Уо) имеем
lim ег = lim е2 = 0. (20.15)
р •« р->и
Подставляя (20.14) в (20.13), получим
Дz = fx (х0, у0) Дх + fy (х0, уо) Ду + Дх + е2 Ду, (20.16)
что в силу выполнения условий (20.15) и означает дифференциру-
емость функции f в точке (х0, у0) (см. (20.4) и (20.9)).
Теорема доказана.
Эта теорема имеет важное значение, связанное с тем, что понятие
дифференцируемости функции играет первостепенную роль в ряде
разделов теории функций многих переменных. Однако непосредст-
венная проверка дифференцируемости функции (например, для выяс-
нения возможности применения тех или иных теорем) часто бывает
затруднительна, в то время как проверка непрерывности частных
производных, для вычисления которых имеется удобный аналити-
ческий аппарат, оказывается проще.
Определение 3. Функция, имеющая в некоторой точке (или со-
ответственно на некотором, открытом множестве} непрерывные
частные производные, называется непрерывно дифференцируемой
в этой точке (соответственно на этом множестве}.
20.2. Дифференцируемость функции в точке
291
В дальнейшем нам понадобятся некоторые дополнительные свой-
ства функций Kj и с2 из формулы (20.16).
Определение 4. Пусть А и В — два плоских множества, AczExy,
BciElv, и пусть функция f — f(x, у, и, v) определена для (х, у)£А,
(и, v) £ В.
Функция f называется равномерно стремящейся к нулю на
множестве А при (и, v)-+(uu, v0), если для любого е>0 сущест-
вует такое 6 = 6 (е) > 0, что для всех (и, о), удовлетворяющих
условию У (и—u„)2-\-(v—у0)2-<б, (и, v)=f=(u0, у0), и всех (х, у)£А
выполняется условие | f(x, у, и, а)|<^е.
Общее определение равномерного стремления функции к пре-
делу будет дано в п. 39.4.
Теорема 4. Пусть функция г — f (х, у) имеет непрерывные
производные fx (х, у) и fy (х, у) на открытом множестве G cz Е2.
Тогда для ее приращения Az существует такое представление
Az = fx (х, у) Ах + fy (х, у) Ay Д Ej Ах Д е2 Ду, что функции ег =
— е, (х, у, Ах, Ду) и е2 = е2(х, у, Ах, Ду) равномерно стремятся
к нулю при р= ]/Дх2-|-Ду2-^0 на любом замкнутом ограни-
ченном множестве AczG.
Доказательство. Пусть А — некоторое ограниченное
замкнутое множество, лежащее в G. Тогда замкнутые множества
А и E2\G не пересекаются, и так как А — ограничено, то
а р(Д E2\G) > 0 (см. лемму 4 п. 18.2).
Множество
Аа_—1(х, у): р((%, у),Д)<-£1
2 I 1 J
содержится в множестве G и является ограниченным замкнутым
множеством (см. лемму 6 п. 18.2).
Пусть теперь р=-^ ]/ Дх2-у Ду2 Д-g-, тогда при (х0, у0) С
получи?,! (см. (20.13))
(Л'о+Oj Дх, Уо+ Ду) (; -Д_, (х0, у0-уб2Ау) А^у,
2 2
и, следовательно, согласно формулам (20.14) имеем
где в правых частях неравенств стоят соответственно модули непре-
рывности функций /ж и fv. Из непрерывности частных производных
и [у на ограниченном замкнутом множестве Аа следует, что
2
lim <0 (р; Д.; Ди 0 и lim сыр; f ; ДЛ = 0.
р-»0 2 / р-0 \ 2 /
292
$ 20. Частные производные. Дифференцируемость
Поэтому для любого е > 0 существует 6 = 6(e) > 0, такое, что для
всех р <С 6 выполняются неравенства
« (Р: lA < е, <о (р; /у, < е.
Поэтому для всех р <2 6 и всех (хс, у0) £ А справедливы не-
равенства
| | < Е, | Е2 [ < Е.
Это и означает равномерное стремление к нулю при р -> 0 функций
Ej и е2 на множестве А.
Теорема доказана.
Все определения и утверждения этого пункта переносятся и на
случай функции у = f(x), х — (хь .... хп), любого числа п перемен-
ных, определенной в некоторой окрестности точки х(0). Например,
условие дифференцируемости в данной точке х((” в общем случае
выглядит так:
Ду = Д1Дх1 + ... + Д1Дх„ + о(р), р->0, (20.17)
где ________
р = f Дх?, Ду = f (хх, ..., xn)-f (хГ, ..., х<п0)),
Дхг = хг—х<-0), i — 1, 2, .... п,
причем в этом случае
Лг = Ж i= 1, 2, ...,/г.
дх.
I
Таким образом, если функция f дифференцируема, то
Дх) = f (х<о>) + Д fc-x}0») Д ... + Ап(хп~ х(п°>) Д о (р), р->0, (20.18)
т. е. функция f в окрестности данной точки с точностью
до бесконечно малых более высокого порядка, чем
р— 1 / 2(х—х<0))2, равна линейной функции*’. Образно говоря,
|/ £ = 1
дифференцируемость функции в данной точке означает, что
функция f «почти линейна» в окрестности этой точки; точный смысл
выражения «почти линейна» заключается в формуле (20.18).
В случае, когда имеет место (20.17), линейная функция
Дхх4-... + &хг п переменных Дхх, ..., Дх„ (здесь вместо
dxt дхп
*) Функции вида у = с0 + еру-j- ... -)-crtx„, где ct— постоянные, назы-
ваются линейными функциями п переменных, или линейными функциями
точки х £ Еп.
20 3. Дифференцирование сложной функции
293
х<(>! написано х) называется дифференциалом функции, или, под-
робнее, полным дифференциалом функции в данной точке х и
обозначается df (х):
df (Х) д1^1 дА- +... + дХп.
дх, дхп
(20.19)
Дифференциал, как и всякая линейная функция п переменных,
определен на всем n-мерном пространстве Е". Таким образом,
формула (20.19) имеет смысл для всех значений Axit i = 1, 2, ..., п,
в то время как формула (20.17) — только для тех, которые не вы-
водят за область определения функции f.
Переменные Дхг называются также дифференциалами перемен-
ных Xi и обозначаются dx,, i — 1,2, ..., п. В этих обозначениях диф-
ференциал функции f записывается в виде
df (X) = dX1 + -.+ dxn. (20.20)
Очевидно, что
Д/(х) = /Д(х) + о (р) при р->0.
Если же рассматривать дифференциал и при изменении точки
х = (хг), то он будет уже являться функцией от 2/г переменных:
хъ ..., хп, dxL.dxn.
Теоремы 1—4 настоящего параграфа очевидным образом обоб-
щаются на функции п переменных, поэтому мы не будем приводить
их формулировки.
20.3. Дифференцирование сложной функции
Теорема 5. Пусть функции х(/) и у(1) одного переменно-
го t дифференцируемы в точке 10 (что, как мы знаем, эквивалентно
существованию у них производных в точке t0, см. п. 9.2) и пусть х0=
= x(f0), Уо — У(^о)- Если функция г — f(x, у) дифференцируема в
точке (х0, у0), то в некоторой окрестности точки t0 имеет смысл
суперпозиция f(x(t), y(t)), сложная функция г — f(x(t), y(t)) в точке t0
dz
имеет производную и в этой точке
dz дг dx dz dy о i.
dt дх dt ду dt
или, подробнее,
df(x[tu), y(fo)) df(x0, уд) dx(t0) . df(xp, y0) dy(t0)
dt dx d,t ' dy dt '
294
§ 20. Частные производные. Дифференцируемость
Доказательство. В силу дифференцируемости функции
f(x, у) в точке (х0, Уо) она определена в некоторой окрестности этой
точки. Из дифференцируемости же функций х(/) и y(t) следует их
непрерывность в точке /0. Поэтому, согласно замечанию к теореме
2 в п. 19.3, в некоторой окрестности точки t0 определена сложная
функция f(x(t), y(t)).
Дифференцируемость функции z = f(x, у) в точке (х0, у0) озна-
чает, что ее полное приращение
&z = f(x0 + &x, уоДДу) — f(x0, у0)
представимо в виде
Дг== — Дх + — Ду + е/Дх2+Ду2,
дх ду
где функция е = е(Дх, Ду) такова, что
Пте(Дх, Ду)~0.
Р-0
(20.22)
Здесь, как обычно, р=У Дх2 + Ду2.
Доопределим функцию е (Дх, Ду) в точке (0, 0), положив
е (0, 0) — 0 (ср. с доказательством теоремы 6 в п. 9.7). Так до-
определенная функция е (Дх, Ду) является непрерывной в точ-
ке (0, 0).
Пусть теперь Л/— приращение переменной t и
Дх = х (t0 Д Д/)—х (t0), Ду = у (t0 + Д/) — у (t0).
Разделим обе части равенства (20.22) на Д<:
Д?
Д/
dz Дх
дх Д/
dz Л. у
ду Д/
(20.23)
При Д^ 0 в силу непрерывности функций x(t) и y(J) в точ-
ке Д получим Дх->0 и Ду->0, а значит, и limp = 0. Отсюда
д/-»о
по теореме о суперпозиции непрерывных функций (см. п. 19.3)
lim е (Дх, Ду) = 0.
д/-о
Далее,
lim
Д/-0
Из всего этого следует, что при Д/->0 правая часть формулы
(20.23) стремится к конечному пределу М = Д),
поэтому и левая часть этой формулы, т. е. ~ стремится к тому
20.3. Дифференцирование сложной функции
295
же пределу, а это и означает, что в точке /0 существует произ-
водная и выражается формулой (20.21).
1еорема доказана.
Отметим, что, хотя в окончательную формулу производной слож-
ной функции (20.21) входят только частные производные и —
функции г = f(x, у), по ходу доказательства существенно использо-
валось более сильное свойство этой функции, чем существование
частных производных, а именно ее дифференцируемость.
У пражнение 1. Показать, что при отказе от требования дифферен-
цируемости функции г = f (х, у), а лишь при предположении существования
дг дг ,
частных производных — и — в точке (х0, у0) и существовании производных
дх ду
— и ‘1У. в точке формула (20.21J, вообще говоря, не имеет места и, более то-
dt dl
го, сложная функция /(х(0, у(0) (предполагается, конечно, чго она имеет
смысл), вообще говоря, может не иметь производной в точке tv.
Следствие. Пусть теперь функции х — х(и, о), у = у(и, о)
определены и некоторой окрестности точки (и„, оф, а функция
2 = /(*> У) определена в некоторой окрестности точки (х„, у0), где
х0 = х(и0, оф, уп — (и0, о0), и в некоторой окрестности точки (щ, оф
имеет смысл суперпозиция f(x{u, с), у (и, о)).
Если функция f(x, у) дифференцируема в точке (х0, у„) и
дх ду
существуют частные производные и -ф- в точке (щ„ оф, то
в точке (и0, оф существует частная производная ~ сложной
функции г = f(x (и, о), у (и, о)).
Фиксируя v = о0 и рассматривая сложную функцию
г = l(x(u, оф, у(и, оф) одного переменного и, согласно формуле
(20.21), получим, что производная в точке (ии, оф существует
и выражается по формуле
дг _ дг дх дг ду
ди дх ди ду ди'
(20.24)
Аналогично, если в точке (ии, оф существуют частные производ-
ные и то у сложной функции г — 1(х(и, о), у(и, о)) существует
296
§ 20. Частные производные. Дифференцируемость
в точке (и0, v0) частная производная по v и для нее имеет место фор-
мула
дг dz дх дг ду
до дх dv ду ди ’
(20.25)
, Л'„), пусть заданы функции
-itTlO Xj ytj > •••> k ) — Xf *
Следствие доказано.
В общем случае пусть в окрестности точки х<0) = (x(i0)
задана функция у = у(xt, ..., хп), пусть
Xi = xl(t1, ...,tk),i =1,2, ...,п
Если функция у = у (хп хп) дифференцируема в точке х(0),
если в точке /<0) = (Zi0), существуют частные производ-
дх
ные , /— 1, 2, /г, i= 1, 2, п, и если в некоторой окрест-
ности точки Z<°> имеет смысл суперпозиция y(x(t)), то слож-
ная
ду
dt; ’
функция y(x(t)) имеет в точке Z<°> частные производные
j= 1, 2, ...» k, причем
dy = У Л - I 9
dtj ох, Otj' 1
(20.26)
20.4. Инвариантность формы первого дифференциала
относительно выбора переменных. Правила
вычисления дифференциалов
Теорема 6. Пусть функция f(x),x = (x1,...,xn), опре-
делена в некоторой окрестности п очки х<0) = (x(i0), .... О,а функ-
ции xi~xi(t), t = (tlt ..., th), i — 1, 2, n, определены в некоторой
окрестности точки Z(0) = (z<10), ..., Z*0)) и пусть х*0)= хг(/<0)),
1 = 1,2, ..., п.
Тогда, если функция f(x) дифференцируема в точке xW, а
функции Xi — x^t), г = 1, 2, ..., п, дифференцируемы в точке Е°>,
то сложная функция f(x(t)) — f (x1(t),..., xn(t)) определена в неко-
торой окрестности точки /<°> и дифференцируема в этой точке.
При этом дифференциал df функции f (х(/)) в точке Z<0> может
быть записан в следующих двух видах'.
df=^ df{Xdp}) d^, (20.27)
/=i 7
d/= dxt, где dxt = dxi(t)\t = z<°>. (20.28)
;—i I
20.4. Инвариантность формы первого дифференциала
297
Доказательство. Поскольку функции хг(/), / = 1,2.п,
определены в некоторой окрестности точки /(0) и поскольку из
дифференцируемости функций следует их непрерывность, то слож-
ная функция /(х(/)) определена в некоторой окрестности точки /(0)
(см. замечание к теореме 2 п. 19.3).
Зафиксируем какие-либо два числа б > 0 и т] > О так, чтобы
функция /(х) была бы определена на трокрестпости точки х<0), функ-
ции хг(/), i = 1, 2, .... п, на 6-окрестности точки /(0) и чтобы
UJO....хп(0) С т]) при t £ 6).
Тогда на окрестности О(/(С); б) определена сложная функция
/(х(О). Возможность выбора таких чисел бит] (очевидно, б зави-
сит от выбора т]) была показана в п. 19.2.
Функция f(x) дифференцируема в точке х(0), поэтому при
имеем
Д/ = f (Д°> + Дхп .... х<°> + Axn)-f (хр, ..., х<0)) =
= 2 д^ + ^> (20-29)
i = l i
где е = е(Дх1, ..., Дхп) таково, что lim 8 = 0. Положим
8 (0, ..., 0) = 0. Доопределенная таким образом функция е являет-
ся непрерывной в точке (0, ..., 0).
В силу дифференцируемости функций хг = хг(/), г = 1,2.п,
в точке (<°> при
р=
получим
дх. = х;(/<0’ + Д71( ...Л0)+ Д^-хДД0), ..., Д0)) =
k
= + t=1.2,...,n, (20.30)
/=i 1
где
Пт8г = 0, «=1, 2, .... п.
р-о
298
$ ?0. Частные производные. Дифференцируемость
Подставляя значения Ахг из (20.30) в (20.29), получае?!
Я «V
л/ - 2 2 Ч + Р. (20.31)
иХ. хяжж (ji J
«=1 I i=i .1
где
V» д1 (*,0))
₽ =Z рлР + ₽г. (20.32)
Переставляя порядок суммирования в (20.31), имеем
А/ = 2 ( 2 "'t ' ) Ч-+ ₽• (20.33)
1 = 1 \i_( i ' )
Теперь, для того чтобы доказать, что сложная функция
/ (х(0) дифференцируема вточкеО0', надо показать, что Р = о(р)
при р->0.
В силу непрерывности функций хД/), 1= 1, 2, п. в точке
/(0) имеем КтДх; = 0 и, следовательно, limr = 0. Отсюда в силу
р-0 р-о
теоремы о суперпозиции непрерывных функций (см. п. 19.2)
lime = 0. (20.34)
р-о
Из (20.32) имеем
п
(20-35>
• I — I I •
Докажем, что отношение ограничено. Используя формулы
(20.30), получаем
V V 1 <?х,(<(||))| I Аг/1
"" ' dt' । р *^Бг"
*» Мы воспользовались неравенством
которое
является следствием очевидного неравенства
20.4 Инвариантность формы первого дифференциала
299
Поскольку Итег = О, то в некоторой окрестности точки Л0)
р-0
|Д/,-| г
функции 8г ограничены, и так как —С 1, то функция —
ограничена в некоторой окрестности точки Z(0). Поэтому из (20.34)
и (20.35) следует, что
lim -&- = 0,
p-о й
т. е. что р = о(р) при р->0. Дифференцируемость сложной функ-
ции в точке <(б) доказана.
Из формулы (20.31) имеем
' v дх. dt; 1
1=1 i j=i J
Отсюда, замечая, что
V gy,(^°>) д/ = dx j = 1 2, .... п,
dt/ J г’ ’ ’
мы и получим формулу (20.28). Формула же (20.27) является обычной
формулой для дифференциала (см. 20.19).
Теорема доказана.
Формально обе записи (20.27) и (20.28) дифференциала функции
выглядят одинаково: в обеих формулах дифференциал равен сумме
произведений частных производных на соответствующие дифферен-
циалы, однако в случае формулы (20.27) dtj являются дифференциа-
лами независимых переменных, а в случае формулы (20.28) dxt суть
дифференциалы функций. Это свойство называется инвариантностью
формы первого дифференциала относительно выбора переменных.
3 а м е ч а н и е. Из формулы (20.33) следует, что
W)= 2(2440
7=1 \i = l г ' )
Но коэффициенты дифференциала функции при дифференциалах
независимых переменных определяются однозначно и равны соот-
ветствующим частным производным, поэтому, сравнивая эту Форму-
лу с формулой (20.27), получим
V <У(х(0)) дх/(<(0))
dt; ~ дх. dt;
’ z=l г J
т. e. снова формулу (20.26). Правда, на этот раз она выведена при
более сильных ограничениях, чем раньше; предполагалась диффе-
300
$ 20 Частные производные. Дифференцируемость
ренцируемость функций xt(t), t — 1,2, ..., п, в то время как в
п. 20.3 — лишь существование у этих функций соответствующих
частных производных.
Инвариантность формы первого дифференциала широко исполь-
зуется при практическом вычислении дифференциалов и частных
производных. Если и и v суть функции какого-то числа пере-
менных, то с помощью формулы (20.28) легко получаются сле-
дующие:
1. d (и + v) = du + dv.
2. d(uv) = vdu-yudv.
(20.36)
Докажем, например, формулу 3. Пусть г — где и =
= и(х1г .... хп), v ~ v (х^... хп). Замечая, что -^- = -^ и
имеем, согласно формуле (20.28),
, 1 , и , vdu — udv
dz — — du------ dv =-----5----
V V1 V
Формула 3 доказана.
При вычислении конкретных дифференциалов функций многих
переменных можно широко использовать формулы, полученные нами
раньше (см. § 9) для дифференциалов элементарных функций. За-
метим для этого следующее: пусть функция у = у(Х], ..., хп) пред-
ставлена в виде у = /(«), где и ~ и(хъ .... хл). Тогда при соответст-
вующих предположениях, согласно формуле (20.28),
dy = F' (и)du, и~и(хх,..., хп).
Например, если у = sin и, то dy = cos и du\ у = In и, то dy = — ;
если у = arctg и, то dy = ^и2 и т. д. (подчеркнем, что здесь
везде и = и(х1г ..., хп)).
В качестве примера найдем дифференциал функции z = arctg --.
Вычисления производятся в следующем порядке:
--1 =
Л2
х2 4- у2
xdy — ydx
х2
Если требуется вычислить частные производные функции мно-
гих переменных, особенно если надо вычислить все производные
20.4. Инвариантность формы первого дифференциала
301
то целесообразно вычислить дифференциал этой функции, тогда
искомыми частными производными будут коэффициенты при соот-
ветствующих дифференциалах.
Так, в рассмотренном примере z= arctg беря коэффициенты
при dx и dy из найденного нами выражения для дифференциала,
получим
дг у дг х
дх х2+У2 dy х2 + У2
Замечание. Всякую функцию у — f(xv хп) от п пере-
менных можно рассматривать в определенном смысле и как функ-
цию от любого числап-\- т> п переменных х1( х2, ..., хп, ..., хпц.т.
Именно, для всякой функции f (х1, ..., х„), заданной на множестве
определим функцию f* (хр ..., хп, ..., хп+т) на множе-
ство точек (х1т ..., хп...хп^т), таких, что (xlt ..., хп) £ Е,
— oo<^Xj<^ -|-оо, / = п-|-1, ••., п-у-т, следующим образом:
f* (х1э ..., хп, ..., хп+т) = f (xv ..., xn). (20.37)
Таким образом, рассмотрение функции п переменных, как функ-
ции п + т переменных, означает фактически продолжение по форму-
ле (20.37) функции f с множества ее определения Е(=Еп на множество
Е* =
= {(лу,..., хп+ту. (хп ..., х„)££, —оо<х;<-|-оо,/=п-|-1, ...,п+т},
лежащее уже в пространстве Еп+т. Для функции f*, полученной
после такого продолжения, имеем
df* (xlt ..., xll+lll) df(Xi.хп)
' '= dF. ’ п’
I I
df* (х., ..., х„ ।,,,)
- ( дх — = °’ / = П + 1 -->» + /П.
tzzCJ
поэтому
df (хр ..., x„_|_m) — dxt —
i=l i
2df(Xl, .... xn)
------------dx^dffxy ..., xn).
i = l i
Например, когда мы говорим, что функцию одного переменного
2 = Дх), определенную па некотором интервале (а, Ь), мы рассмат-
риваем как функцию двух переменных Дх) = Е(х, у), х £ (а, Ь),
302
§ 20. Частные производные. Дифференцируемость
—оо < у < ф- оо, это означает, что функция F(x, у) является по-
стоянной, равной f(x) на любой прямой, проходящей через точку х
интервала (сг, Ь) оси Ох параллельно оси Оу. При этом
^^ = Г(х), ^Д)=0, ^(ху)^07(х),
дх ду
а < х Ь, — оо < у < ф- оо.
Полезно для дальнейшего отметить в известном смысле обрат-
ный факт. Пусть Ес^Е1'. Если функция f* (лу, ..., хп, xn+i) опре-
делена на множестве
£* = {(-4,..., хп, х,,+!):(%!,..., хп) £Е,а <x„+i < b}
и
dTfo x,i+1) 0 на Е* (20.38)
<Ч+1 7
то существует функция f (лу, ..., хп) от п переменных, определен-
ная на множестве Е, и такая, что
Г ,Xn,Xn+l)^f(Xt...........хп)
для всех
4. - . хп) £ Е, х„+1 £ (а, Ь).
В этом случае говорят, что функция f* фактически не зави-
сит от переменной В самом деле, из условия (20.38) сле-
дует, что функция f* постоянна как функция x„+i (см. лемму
п. 11.2) при фиксированной точке (лу, ..., хп), т. е., зафиксировав
какое-либо cQ (а, Ь) для любой точки (хх, ..., хп) £ Е и х„+1 £ (а, Ь)
имеем
f* (лу, ..., х„+!) = /(х1, ..., хп, с).
Искомая функция f, очевидно, определяется равенством
/(Л1, ... ,xn) = f*(x1..................хп,с),
причем она не зависит от выбора с £ (а, Ь).
Из вышесказанного, в частности, следует, что формулы 1—3 для
дифференциалов остаются справедливыми и в том случае, когда
числа переменных, от которых зависят функции и и о,— различны,
так как всегда в силу указанного приема этот случай можно свести
к вышеразобранному случаю одного числа переменных.
20.5. Геометрический смысл частных производных
и полного дифференциала
Для большей геометрической наглядности и для того,
чтобы не вводить новых понятий, в этом пункте ограничимся рас-
смотрением функций двух переменных.
20.5 Геометрический смысл частных производных и дифференциала
303
Рассмотрим функцию г — f(x, у), определенную на плоском от-
крытом множестве G, т. е. множестве G, лежащем на плоскости Ег.
Пусть (х0, у0) £ G и пусть в точке (х0, у0) существует частная произ-
г-1 и
водная Ее геометрический смысл сразу получается из определе-
« о dz
ния частной производной как обычной производной функции
Рис. 74
f(x, у) по х при фиксированном у и из геометрического смысла обыч-
ной производной (см. п. 9.3). В самом деле, возьмем замкнутый круг
Q радиуса г с центром в точке (х0, у0) и лежащий в G**. Пусть у —
кривая, заданная представлением
z=/U,y0)
У = Уо
*0—''ООо + г,
т. е. кривая, которая получается сечением графика функции
г = i(x, у), (х, у) £ Q плоскостью у — у0 (рис. 74).
»> Такой круг Q всегда существует. Действительно, в силу определения
открытого множества существует такая ё-окрестность О точки (х0, Уо), что
О a G. Тогда замкнутый круг Q радиуса А с центром в точке (х0, у0) будет
заведомо лежать в G.
304
f 20 Частные производные. Дифференцируемость
Как известно,
df(x0,y0)_df(x,y0) I
dx g ’
где a —угол, образованный касательной к графику функции f(x, у0)
в точке (х0, f (х0, у о)) с осью Ох, т. е. угол, образованный каса-
тельной к кривой у в точке (х0, у0, [(х0, у0)) с осью Ох.
Таким образом,
анхо.уо) =tga
— в этом и состоит геометрический смысл частной производной.
Совершенно аналогично устанавливается и геометрический смысл
„ о с7(хп, у,,) _
частной производной как тангенса угла наклона, образован-
ного касательной в точке (х0, у0, f(xu, у0)) к кривой, образованной
сечением графика функции г — f(x, у). (х, у) £ Q плоскостью
х = х0, с осью Оу.
Что же касается геометрического смысла дифференциала, то из
формулы (20.18) для нашего случая, т. е. при п = 2, получим
/(х,У) = г0 + Л(х— х0)+ В(у—у0)4-о(р),р->0, (20.39)
р = ]Л(х—Хо)2 + (у—у0)2 > г0 = / (Л-О, у0).
Уравнение
г = г0 + А (х—л'о) + В (у—у0) (20.40)
является уравнением плоскости, проходящей через точку (л0, у0, г0)
и не параллельной осп Ог. Как мы знаем, коэффициенты А и В
однозначно определяются из соотношения (20.39), причем
_ df (Хр, у0) g _ df (х0, у„) <2q ।
дх > ду > \ • )
и, значит, плоскость (20.40) однозначно определена соотношением
(20.39). Эта плоскость называется касательной плоскостью к графику
функции г = f(x, у) в точке (х0, у0, г0).
Таким образом, мы пришли к следующему определению.
Определение 5. Касательной плоскостью к графику функции
f(x, у) в данной точке называется такая плоскость, что разность
ее аппликаты и значения функции f(x, у) является величиной, бес-
конечно малой по сравнению с р при р -> 0.
В силу (20.41) ее уравнение имеет вид
г-?0 д1^1 (Х-ЛО) + (у_уо). (20.42)
20.6. Производная по направлению
305
В дальнейшем (см. т. 2 п. 50.2) мы познакомимся с другим подхо-
дом к понятию касательной плоскости.
Полагая Дх = х — х0, Ду
(20.42) запишем в виде
df (*о. Уо) । дх (*о> Уо)
дх *" ду у'
Это есть обычная запись
дифференциала dz функции
z = f(x, у) в точке (л0, у0).
Если текущую аппликату
касательной плоскости обо-
значить zKac, то (20.42) пере-
пишется следующим образом:
= у — у0, правую часть уравнения
Zftac Z'o dz.
Таким образом, геометрически полный дифференциал функции
в точке (х0, у0) равен приращению аппликаты касательной плоскости
к графику функции (рис. 75).
20.6. Производная по направлению
Частные производные от функции, по существу, являются
производными в направлениях координатных осей. Естественно по-
ставить вопрос об определении и вычислении производной по любо-
му фиксированному направлению. Прежде всего определим это по-
нятие. Проведем рассмотрение этого вопроса на примере функций
трех переменных.
Пусть функция f определена в 6-окрестности О(Л40; 6) точки
Л40 f Е3, пусть Mi у О(М0', 6). Проведем через точки Л40 и Мх прямую.
За положительное направление на этой прямой возьмем направление
---------------►
вектора I — МйМ.х, т. е. направление от точки Мо к точке Л41. Для
всякой точки М этой прямой обозначим через МиМ ориентированную
длину отрезка с началом в точке Л40 и конном в точке М, т. е. длину
---
этого отрезка со знаком «плюс», если вектор М0М имеет то же на-
правление, что и вектор I, и со знаком «минус» в противном случае.
Определение 6. Предел
lim H^)-Z(^o)
М >М„ /И(, М •
308
j5 20 Частые производные. Дифференцируемость
если он существует, называется производной функции f еточке Л-10
по направлению вектора I и обозначается - .
Пусть теперь в пространстве Е3 зафиксирована некоторая систе-
ма координат х, у, г. Пусть М = (х0, у0, z0), М = (х, у, г),
Ех — х — А'о, Ду = у — у0, Дг = z — zn и s = Л4ОЛ4. Найдем связь
между координатами точки М и ориентированной длиной s отрезка
М0М. Пусть а, Р и )> — углы,
образованные вектором
соответственно с осями Ох, Оу
и Ог. Тогда (рис. 76)
х—х„ — scosa,
У—y0 = scosp,
Z — Zo = SCOS у.
Вдоль прямой М0М функция f
является функцией одного пере-
менного s, а именно
f (х, у, z) = /(x0 ф-scos a, у0 ф-s cos р, zn ф-scos у).
Производная этой функции по б(если она, конечно, существует)
и является производной функции f в точке Л1о по направлению вектора
Л^И,.
Заметим, что направляющие косинусы cos a, cos р и cos у век-
тора МьМг определяются следующим образом через координаты
точек Л10 = (л'о, у0, z0) и = (*i. JT, ^):
cosa —Л1 рл° , cos P py°- i cosy = ^-^5, (20.43)
P = V (*J — *o)2 + (h — Уо)2 + (г1—г0Л
Вычисляется производная по направлению по правилу дифферен-
цирования сложной функции. Пусть функция f(x, у, г) дифферен-
цируема в точке (х0, у0, г0) и пусть
х = л0 + s cos а, у = у0 4- s cos Р, г = г0 + s cos у. (20.44)
Согласно общей формуле для производной сложной функции,
(У (Л1о) = dx df (Мо) dy df (Mo) dz
ds dx ds ' dy ds dz ds •
'20.6. Производная пс направлению 307
но из (20.44) следует, что
= cos а, = cos В, ~ = cosy, (20.45)
ds ’ ds 1 ds * ’ '
поэтому окончательно
^=^ = ^cosa+^cosp+^cosV. (20.46)
Это и есть искомая формула.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 7. Пусть функция f дифференцируема в точке (х0, у0, z0).
Тогда в этой точке функция f имеет производные по любому направ-
лению и эти производные находятся по формуле (20.46).
Очевидно, что по самому определению производной по направле-
нию (от точки к точке Л4,) функции точки она не зависит от
выбора прямоугольной декартовой системы координат, а определяет-
ся только точками Л10 и ЛД, или, что то же, точкой М(} и вектором
1 >-
(кстати, этот факт сразу не виден из формулы (20.46)).
Вектор с координатами
df {Мо) df (Мв) df(MB)
дх • ду • дг
называется градиентом функции /(Л4) в точке Л10 и обозначается
grad f. Таким образом, если i, j и k — координатные орты, то
Часто оказывается удобным использование символ-вектора
Гамильтона*’.
. д . . д . . д
v дх 1 J ду дг >
называемого наблой. Набла является обозначением определенной
операции, которую следует произвести над тем или иным объектом.
Для функции / по определению полагаем
v f — i^L _L j-L j k^L
У1 дх ^ ду ‘ дг •
Формально это равенство можно рассматривать как «произведе-
ние» вектора у на число f.
Итак, grad f и \’f являются обозначениями одного и того же вы-
ражения.
) У. Гамильтон (180:? —1865) — английский математик.
308 f 20. Частные производные. Дифференцируемость
С помощью градиента можно коротко записать формулу для про-
изводной функции / по направлению вектора I = (cos a, cos fi, cos у)
следующим образом:
df df , п df , df , . .
dl = cosai- +COS₽^ + cosTd7 =z £rac,A
где в правой части стоит скалярное произведение векторов / и grad/.
Отсюда, поскольку I — единичный вектор,
ди , , .
| grad и I cos <р,
где <р — угол, образованный вектором I и grad и. Из этой формулы
видно, что в случае, если в данной точке
то производная функции по направлению достигает наибольшего
значения в единственном направлении, при котором cos <р = 1, т. е.
в направлении градиента. Из этого, в частности, следует, что при
заданной функции точки /(/И) градиент в каждой точке однозначно
определяется самой функцией, а не зависит от выбора системы коор-
динат, как это могло бы сначала показаться из формулы (20.47).
Возьмем теперь любую непрерывно дифференцируемую кривую
без особых точек, проходящую через точку (х0, }’о, z0), и такую, что
---------->
вектор М0М] является ее касательным вектором. Обозначим через s
переменную длину дуги этой кривой, отсчитываемую от точки Мо
------------------------------------>-
в таком направлении, чтобы вектор MpAlj давал положительное на-
правление на касательной. Если х — x(s), у — y(s), 2 = z(s) представ-
ление этой кривой, то, как мы знаем (см. п. 17.1),
dx dy „ dz
v- = cosa, -r2-=cosp, ^-=0057,
ds ds r ds 1 ’
t. e. также выполняется (20.45). Поэтому если взять производную
в точке (х0, у о, z()) от дифференцируемой функции f(x, у, г) по данной
кривой, т. е. при х = x(s), у = y(s), г = z(s), то мы снова получим
формулу (20.46).
Все сказанное переносится на функции любого числа п перемен-
ных (п > 2). Сформулируем лишь определение производной по на-
правлению.
*) Легко проверить, что если это условие выполняется в одной декарто-
вой системе координат, то оно выполняется и в любой другой подобной сис-
теме.
20.6. Производная по направлению
309
Пусть в некоторой окрестности точки х(0) = (х,0)) определена
функция f(x) и пусть х( 1* = (х\1 ’)—точка этой окрестности. Прове-
дем прямую через точки х(0) и х(1) или, что то же (см. п. 18.2),
прямую через точку б направлении
\ ~Р ............... Р~ / ’
где
(20.48)
Ее уравнение имеет вид
Д1) _ у(0)
х. -------—s, —оо s<С+ оо, < = 1, 2......... п,
1 1 п ’ 1
или, полагая
Л’) —„(о;
cos а, = —-----— > I — 1,2,..., п,
' Р
Ixp — х<п> I
что имеет смысл, ибо —------------< 1, получим
— х,(0) + scoso!;, i = 1,2,... , п, —оо < s<+ оо.
(20.49)
(20.50)
Косинусы cos аь i = 1, 2...... п, называются направляющими
косинусами прямой (20.50). Заметим, что формулы (20.49) аналогичны
формулам (20.43), однако, если (20.43) надо было доказывать, то
(20.49) принимаются за определение.
Очевидно, что из (20.48) и (20.49) следует, что
cos2 aj -J- ... + cos2 ап = 1.
Производная функции f(xt..хп) в точке л<0) в направлении точки
х(|) или, что то же, в направлении (cos ап ..., cos «„) определяется
а df - и
как производная от сложной функции
f (4°’ -|- scosap ..., Ч1 + scoso.n )•
В случае, если функция f дифференцируема в точке х<°>, то со-
гласно формуле для производной сложной функции, имеем в этой
точке
~ = J^-cosa14-...-|- Jp-cosan. (20.51)
ds дхг 1 ' дхп п 7
310
f 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков
можно орать част
, d2f
обозначается ~~
дх2
д2{
чается -s или
ду дх
Аналогично
§ 21. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
21.1. Частные производные высших порядков
Пусть задана функция f(x,y), тогда ее частные произ-
, , df (х, у) df (х, у)
водные (если они, конечно, существуют) - и —- -
снова являются функциями двух переменных и от них также
Г1 д (df \
тые производные. Частная производная ч- у-
С*/С \ (/Л /
г о /df , ,
или fxx, частная производная обозна-
fxy. Таким образом,
фЧс21Л = dlL =f
дх ydx J дх2 'хх’
д (df\ d2f _г
ду (дх )~дудх ~~'ХУ
д (df\__ д2 f
дх (ду ) дхду ~'УХ’
jL(dL\=dH = f
dy \ду / ду2 'УУ
Все эти частные производные называются частными производны-
ми второго порядка. Беря от производных второго порядка снова
частные производные, получим всевозможные частные производные
третьего порядка:
dsf d3f d3f d3f
дх3 ’ ду дх2 > ду2 дх > дх ду дх И Т‘ Д’
Определение 1. Частная производная от частной производной
порядка п—1, п = 1, 2, ...*’, называется частной производной по-
рядка п.
Частная производная, содержащая дифференцирование по раз-
личным переменным, называется смешанной частной производной.
Частная же производная, содержащая дифференцирование только по
одной переменной, называется чистой частной производной.
Число различных частных производных при увеличении п, оче-
видно, возрастает, однако оказывается, что при определенных пред-
*) Частной производной нулевого порядка для удобства обозначений
считается сама функция.
21.1. Частные производные высших порядков ЗН
положениях многие из них совпадают, а именно частные производ-
ные не зависят от порядка дифференцирования.
Более точно, имеет место, например, следующая теорема.
Теорема 1. Пусть функция f(x, у) определена вместе со своими
частными производными fx, fy, fxy и fyx в некоторой окрестности
точки (х0, у0), причем производные fXy и fyX непрерывны в этой точке,
тогда
fxy(x0,y0) = fyx(x0,y0). (21.1)
Доказательство. Пусть функция f(x, у) определена
вместе с производными fx, fy, fXy и fyX в 6-окрестности точки (х0, у0)
и пусть Ах и Ау фиксированы так, что Ах2 4- Ау2 < 62. Будем обо-
значать, как и раньше (см. п. 20.1), символом Ах, соответственно
символом Ау, приращение функции f по аргументу х, соответ-
ственно по аргументу у, в точке (х0, Уо)*’. Положим
Ажу/=АХ( Ayf),
A„J = Ay (Axf)
и покажем, что
Аяу/ = АухЛ (21.2)
Действительно,
Аху f = Аж (Ау 0 = Аж [/ (х0, у0 4- Ay)—f (х0, у0)1 =
= I/(Д4 Ах, у04- Ау)—f (х0 + Ах, у0)] —
— If Uo, Уо+ ^y,~f(x0, Уо)]. (21.3)
Аналогично
Аух f = Ау (Аж f) = |f (х0 4- Ах, уо 4- Ay)—f (х0, у0 4- Ау)] —
— [f (хо4-Ах,уо)—f (хо,Уо)]. (21.4)
Сравнивая (21.3) и (21.4), убеждаемся в справедливости (21.2).
Положим теперь
(х) = f (х, у0 4- Ay)—f (х, Уо),
тогда (21.3) можно переписать в виде
Ажу f = ф (Хо 4- Ах) — <р (х0).
В силу того, что в рассматриваемой окрестности точки (х0, у0)
существует частная производная fx, функция ф(х) дифференцируема
на отрезке с концами в точках х0 и х0 4- Ах.
«> Для всякой функции F (х, у)
A.v F (хо. Уо) = F (х<» В Ах, у,,) — F (х0, ус),
Ду F {х0. у0) = F 1хи, уо + Ду) — F (Хо, у0).
312
f 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков
По теореме Лагранжа о конечных приращениях получим
\J = (P'(*o + 6iA*) д*. 0<©1< 1.
Но ср' (х) = /ж(х,у04-Ау) —/ж(х, у0), поэтому
Джу / = 1/х(х0 + 61 Дх. Уо + Ду)—/х(х0 + 61 Дх, у<>)] Ах.
Применяя еще раз ту же теорему о конечных приращениях, но
теперь уже по переменной у, будем иметь
А«у f = f хУ (Хо + 61 Ах, у0 + 02 Ду)Дх Ду, 0 < 6j < 1, 0 < 62 < 1. (21.5)
Совершенно аналогично, полагая
4 (У) = f (х0 + Ах, у)—f (х0, у),
получим
Дух f = 4 (Уо + Ду) — 4 (Уо) = 4' (Уо + 6з Ду) Ду =
= I/у (х0 + Ах, Уо + ез Ду) — fy (х0, у0 + ез Ду)] Ду =
= /ух (*о + е4 Ах, Уо + 63 Ду) Ах Ду,
о<е3<1, о<о4<1. (21.6)
Согласно (21.2), левые части равенства (21.5) и (21.6) равны
между собой, значит, равны и правые; приравнивая их и сокра-
щая на Дх Ду при Дх=£0 и Ду ¥=0, получим
/ху (х0 + 0, Дх, у0 + О, Ду) = fyx (х0 4- 04 Дх, у0 4- 63 Ду),
0<0;<1, / = 1,2,3,4. (21.7)
В силу непрерывности частных производных fxy и f х в точ-
ке х0, Уд в пределе при Дх—>0 и Ду->0 из (21.7) получим (21.1).
Теорема доказана.
Замечание 1. Из доказанной теоремы по индукции легко
следует, что, если у функции п переменных смешанные частные про-
изводные m-го порядка непрерывны в некоторой точке, то они в этой
точке не зависят от порядка дифференцирования.
Это следует из того, что любые две последовательности дифферен-
цирования, отличающиеся только порядком дифференцирования
(т. е. такие, что по каждому фиксированному аргументу они содер-
жат одно и то же суммарное число дифференцирований), можно пере-
вести одну в другую конечным числом шагов, при каждом из кото-
рых меняется порядок дифференцирования только по двум перемен-
ным, а другие остаются при этом фиксированными. Таким образом,
при каждом шаге фактически рассматривается изменение порядка
дифференцирования у функции лишь двух переменных, т. е. в этом
21.2. Дифференциалы высших порядков
313
случае мы находимся в условиях вышедоказанной теоремы. Тем
самым общий случай и сводится к случаю функций двух переменных.
Поясним это на примере. Докажем, например, что
fxyz = fzyx*
Согласно вышесказанному, имеем последовательно
fxyz — (fx)yz (fx)zy (fxz у (.f zx)y (f z)xy (fz)yx f zyx'
Замечание 2. В заключение этого пункта отметим, что на
первый взгляд доказанная теорема может показаться не очень со-
держательной: для того чтобы судить о том, имеет ли место равенст-
во fXy = fyX, надо, согласно этой теореме, проверить непрерывность
функций fxy и fyX, а для этого надо как будто бы их знать; но если мы
их уже знаем, то без всякой теоремы можем выяснить, равны они
или нет. Тем не менее теорема 1 все-таки содержательна. Дело в том,
что о непрерывности функции можно иногда судить на основании не-
которых общих теорем, не прибегая к конкретному вычислению и ис-
следованию самой функции. Так, мы знаем, что все элементарные
функции многих переменных непрерывны в своей области определе-
ния (см. п. 19.3). С другой стороны, частные производные элементар-
ных функций сами являются элементарными, поэтому частные про-
изводные элементарных функций непрерывный области своего опре-
деления.
Задача 13. Доказать, что если функция f(x, у) определена вместе со своими
частными производными Д, fv и fxv в некоторой окрестности точки (хс, у0),
причем частная производная fxy непрерывна в точке (х0, у0), то в этой точке
существует частная производная fyx и
fух (*0> Уо)-/ху (^0> ) о)-
21.2. Дифференциалы высших порядков
Функция от 2п переменных х},....хп, уи ...,уп или,
что то же, от упорядоченной пары точек «-мерного простран-
ства x = (xt,... ,х„), У = (УХ, ...,уп) вида
А (х, у) ----= А (хг,..., уъ ... , у,,) = 2 alk xt yk,
i, k=l
где aih — заданные числа (г, k = 1, 2, .... п), называется билинейной
формой от х и у. Это название объясняется тем, что если одну из
точек х или у зафиксировать, то функция будет линейной относи-
тельно координат оставшейся точки.
314
$ 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Функция А(х, х) называется квадратичной формой, соответству-
ющей данной билинейной А(х, у):
А(х,х) = А(х1,...,хп;х1, ...,хп) = 2 ашх1*ь-
I, п=\
В случае, когда alh = ahi, i, k = 1,2, ..., n, билинейная форма
A (x, у) и соответствующая ей квадратичная А (х, х) называются
симметричными.
Например, скалярное произведение двух векторов х = (хр хч, х3)
и У = (У1,У2.Уз)
ху = *1 У1 -ф х2 у2 4- х3 у3
является симметричной билинейной формой точек х = (хо х2, х3)
и у = (уъ у2, Уз)» а квадрат длины вектора |х| — соответствующей
ей квадратичной:
1 X | 2 = X i + Х2 + Х3 •
В дальнейшем для удобства изложения будем обозначать Диф-
ференциалы не только символом d, но и символом 6, например, писать
не только
dz — ^- dx+ -=rdy,
дх 1 ду ’ ’
но и
, дг г , дг к
OZ— 0x4- -х- оу.
дх 'ду 7
Пусть функция z = f(x, у) имеет непрерывные вторые произ-
водные в точке (х0, ус) и, значит, ее первые производные дифферен-
цируемы в этой точке. Вычислим дифференциал от первого диффе-
ренциала dz = dx + ^dy в точке (х0, у0), считая dx и dy фиксиро-
ванными, т. е. рассматривая дифференциал только как функцию
точки (х, у); при этом новое дифференцирование обозначим сим-
волом 6:
= (~bx + -p-i>yAdx+ (f±-6x+^y\dy =
I dx2 dy ox 7 J ' \dxdy 1 dy’ 7 / '
= g dx fix + (dx &y + bx dy) + ~ dy Sy.
Все производные здесь взяты в точке (х0, у0). Мы получили би-
линейную форму переменных ах, dy, Ьх, бу, являющуюся симметрии-
2/2. Дифференциалы высших порядков 315
ной в силу теоремы о независимости порядка дифференцирования.
Полагая бх = dx, бу = dy, получим соответствующую ей квадратич-
ную форму, которая и называется вторым дифференциалом функции
г = /(х, у) в точке (х0, Уо) и обозначается сРг.
Таким образом, мы пришли к следующему определению.
Определение 2. Вторым дифференциалом d2z функции z= f(x, у)
в данной точке называется квадратичная форма от дифференциалов
dx и dy независимых переменных, соответствующая билинейной форме
дифференциала от первого дифференциала:
d^^d^+1^Cdxdy + ^. (21.8)
На практике при конкретном вычислении дифференциалов обыч-
но совмещаются оба шага — вычисление дифференциала от диф-
ференциала d(dz) и приравнивание дифференциалов аргументов:
бх = dx, бу = dy. Например, пусть г = x3cos2 у и требуется найти
d?z. Последовательно имеем
dz = Зх2 cos2 у dx—xs sin 2yrfy,
d2 z = 6x cos2 ydx2 — 3x2 si n 2y dx dy—3x2 si n 2y dx dy —
— 2x3 cos 2y dy- = 6x cos2 ydx2—6x2 si n 2y dx dy—2x3 cos2 2y dy2.
Аналогичным образом при непрерывности частных производных
третьего порядка можно вычислить и дифференциал от второго диф-
ференциала 6(d2z), после чего, полагая бх = dx и бу = dy, мы полу-
чим по определению третий дифференциал. По индукции определяет-
ся и дифференциал (л+1)-го порядка /1 = 1, 2..........Именно,
чтобы получить dn+lz, надо взять (если, конечно, это возможно) диф-
ференциал от дифференциала d'lz порядка п: d(dnz) и положить
бх = dx, бу = dy.
При этом справедлива формула
d-z = ^ С'^ kdx-~kdyk, (21.9)
k=x> dx '‘<)уг
ее обычно символически записывают в следующем виде, более удоб-
ном для запоминания:
d'lz^dx -1- ^dy)[n} У)-
(21.10)
316
§ 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Докажем формулу (21.9) по индукции. При п = 1 она, очевидно,
верна. Пусть она справедлива при некотором п, покажем ее справед-
ливость при п + 1. Имеем
6 (dn z) =
bxd^dy> + d^ by dy> \.
Полагаем bx = dx и &y = dy:
dn+i z =
— V d'H1 г__________dvk-\ У Cm д'г+' z dxn~,n dvm+'
~ dx"~k+l dyk У П дхп~тду"‘+' - •
Заменяя во второй сумме индекс суммирования т на к—1
С/г । f k— 1 <— z^/г
,i + C„ — С„_|_1, получим
dn+‘ z ~
- У г* а"+‘ г dx"-^1 dv*4- У С*-' d’1+l г dx^-k+' dvk-
~ io дхп-*+' W y+i n дх^+'ду* У~
«+* 3«+i ,
= 2 См-i dx,l+l-k dyk dxn+l kdyk’
4 = 0
Формула (21.9) доказана.
Замечание. Следует иметь в виду, что если имеется сложная
функция г = f(x, у), где х = х(и, и), у = у(и, v), то второй диффе-
ренциал функции /, записанный через дифференциалы переменных
х и у, уже не будет, вообще говоря, иметь вид (21.8), а будет, как
правило, выглядеть сложнее. Таким образом, в случае дифферен-
циала высшего порядка (т. е. порядка большего или равного двум)
не имеет места инвариантность формы дифференциала относительно
выбора переменных. Чтобы в этом убедиться, вычислим в рассматри-
ваемом случае второй дифференциал функции z = /(х, у), где х =
21.2 Дифференциалы высших порядков
317
= х(и, v), у — у (и, и). В силу инвариантности формы первого диф-
ференциала имеем
dz = -^-dx-j- 'l-dy.
дх ду 7
— дх) dx~l~ d f Qy
Далее вычислим дифференциал d(dz), считая, что бп = du, bv =
= dv, используя инвариантность формы первого дифференциала
относительно выбора переменных и замечая, что дифференциал
6(dx) есть дифференциал функции и, значит, вообще говоря, не ноль,
получим
с?г2 = 6 (dz) |g(^du = dx + fydy) bu=du =
Zv—dv §v—dv
dz dz I
dy + Tx 6 (rfx) + 6 №') |8fi=rf„ =
§u=dv
d2 z , 9 , n d2 z , , . d2 z , 9 , dz <9 . dz ,9
= 5-5 dx2 + 2 4—v dx dy 4- Д-» dy2 + — d2 x 4- -5-d2 у.
дх2 1 dxdy 71 dy2 ' dx 1 dy '
На практике и в этом случае обе операции: взятие дифференци-
алов и приравнивание дифференциалов би = du, dv = dv произ-
водятся одновременно.
Все сказанное, в частности определение дифференциалов высших
порядков, естественным образом переносится на функции большего
числа переменных. Отметим, что дифференциал т го порядка от
функций п переменных у = у(хг......хп) имеет вид
dm у = (Д dx, + - + К) {"’} У (Д, - . хп)- (21.Н)
Доказывается эта формула аналогично формуле (21.10).
Упражнения. 1. Найти частные производные первого порядка функ-
ции
х
z = In tg — .
2. Найти полный дифференциал функции
и = 2ху.
3. Найти все частные производные второго порядка функции
и = х sin (х+у) + у cos (х+у).
4. Найти d2 г, если z = -ту- In (х2 + у2).
5. Найти производные первых двух порядков от функции w = f (и, v),
где и — х2 + у2, v = ху.
ГЛАВА
ТРЕТЬЯ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§22. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
22.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение 1. Пусть функция f определена на некото-
ром конечном или бесконечном промежутке Е, т. е. на отрезке, интер-
вале или полуинтервале числовой оси. Функция F, определенная на Е,
называется первообразной функцией (или просто первообразной)
функции f на Е, если F'(x) — f(x) для каждого х£Е*\
Очевидно, если F — первообразная функция функции f на про-
межутке Е, то функция F + С, где С — некоторая постоянная, также
является первообразной функции f на Е.
Действительно,
[/'(x) + C]' = F'(x) = /(x), х^Е.
С другой стороны, в силу следствия леммы 1 п. 11.2, если F
и Ф — две первообразные функции f на Е, т. е. если
F'(x) = /(x), Ф'(*) = /(*). х^Е,
и, значит,
(F(x) —Ф(*)]' = 0, х£Е,
то они отличаются на некоторую постоянную
Ф(х) = Г(х)+С, х£Е. (22.1)
Таким образом, если F есть какая-либо первообразная функция
функции f, то всякая функция вида (22.1) также является первооб-
разной для f и всякая первообразная функции f представима в таком
виде.
*) Как обычно, на конце промежутка, если он входит в рассматриваемый
промежуток, речь идет о соответствующей односторонней производной.
22.1. Первообразная и неопределенный интеграл
319
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f,
'определенных на некотором промежуткеЕ, называется неопределен-
ным интегралом от функции f на промежутке Е и обозначается
^f(x)dx. (22.2)
Если F — какая-либо первообразная функции [ ua Е, то пишут
^f(x)dx = F(x) + C, (22.3)
। хотя было бы правильнее писать
fy(x)dx = {F(x) + C}. (22.4)
Мы, как обычно принято, будем употреблять запись (22 3). Тем
самым один и тот же символ^ f(x)dx будет обозначать как всю сово-
купность первообразных функции f, так и любой элемент этого мно-
жества, т. е. какую-то первообразную функции /.
Следует, однако, иметь в виду, что всякое равенство, в обеих частях
которого стоят неопределенные интегралы, есть равенство между
множествами.
Значок § называется знаком интеграла. Под знаком интеграла
пишут для удобства не саму функцию /, а ее произведение на диф-
ференциал dx. Это делается прежде всего для того, чтобы указать,
по какой переменной пишется первообразная. Например,
\x*zdx = x-^+С, \x2zdz=~+C;
fj О V Z
здесь в обоих случаях берется функция, записываемая одинаково
х2г, но ее неопределенные интегралы в рассмотренных случаях оказы-
ваются различными; в первом случае она рассматривается как функ-
ция от переменной х, во втором — как функция от переменной г.
Другие удобства, вытекающие из употребления записи § f(x)dx,
будут указаны в дальнейшем (см. замену переменного в интеграле,
п. 22.3).
В формуле (22.2) под знаком интеграла, очевидно, стоит диффе-
ренциал любой из первообразных F функции f:
dF (х) — F’ (х) dx — f (х dx, xQE. (22.5)
Основные свойства неопределенного
интеграла
Будем предполагать, что все рассматриваемые функции
определены на одном и том же промежутке.
320
§ 22. Определение и свойства неопределенного интеграла
I. §dF(x) = F(x)-|-C.
Справедливость этого равенства вытекает из определения не-
определенного интеграла как совокупности всех функций, диффе-
ренциал которых стоит под знаком интеграла (см.(22.5)) и общего
вида (22.1) всех первообразных данной функции.
2. d. § f (х) dx; = f (х) dx.
В данной формуле под § f(x)dx понимается любая первообразная F
функции f. Справедливость этой формулы также очевидна в силу
(22.5).
3. Если функции h и имеют первообразные, то и функция
fi + /2 также имеет первообразную, причем
51Л (*) + h (x)]dx Д (х) dx + 5 /2 (х)dx. (22.6)
Это равенство выражает собой совпадение двух множеств функ-
ций и означает, что сумма каких-либо первообразных функций Е и
/2 является первообразной для функции fL + f2 и что всякая первооб-
разная функции h 4- /2- является суммой каких-либо первообразных
fy и f2. Свойство интеграла, выражаемое формулой (22.6), называется
аддитивностью интеграла относительно функций.
Пусть
^f1(x)dx-=F1(x) + C, J/2(x)dx = F2(x) + C
и, значит, F\—fy, F'2 = f2, положим F = Fl-\-F.1, тогда F' =
= Fi + F2 = + f2, т. e. F — F\ + Fa является первообразной для
Zi + fz. поэтому (см. 22.1)
5 l/i (х) 4- /2 (*)1dx = р(х) + С = Fj (х) ф- F2 (х) 4- С.
Таким образом, левая часть формулы (22.6) состоит из функций
вида Fi + F2 + С, а правая — из функций вида F1 + C1+F2 + С2.
Ввиду произвольности постоянных С, Cj и С2 эти совокупности сов-
падают.
4. Если функция f имеет первообразную и k — постоянная,
то и функция kf(x) также имеет первообразную, причем при 0
справедливо равенство
kf (х) dx =-= k \ / (х) dx.
Действительно, пусть § )(х)</х = F(x) + С или F' = [, тогда
(/t>F)' = kf. Поэтому левая часть формулы (22.7) представляет собой
совокупность функций вида kF + С, а правая, очевидно, является
в силу определения интеграла совокупностью функций вида
k(F + CJ = kF + kCv Ввиду произвольности постоянных С и
Су и условия /г #= 0, обе совокупности совпадают.
22.2. Табличные интегралы
321
Вопрос о существовании первообразной будет изучаться несколь-
ко позже (см. п. 29.2), а теперь рассмотрим методы вычисления перво-
образных для различных классов элементарных функций.
Упражнение 1. Доказать, что функция sign х не имеет первооб-
разной на всей вещественной оси.
22.2. Табличные интегралы
Операция нахождения неопределенного интеграла от
данной функции, называемая операцией интегрирования, является
операцией, обратной операции дифференцирования, т. е. операции
нахождения по данной функции ее производной (см. свойства 1 и 2
неопределенного интеграла в п. 22.1). Поэтому всякая формула для
производных конкретных функций, т. е. формула вида F'(x) = f(x),
может быть обращена (записана в виде интегральной формулы):
§ f (х) dx = F (х) + С.
Используя это соображение, напишем таблицу значений ряда ин-
тегралов, получающуюся непосредственно из соответствующей таб-
лицы производных элементарных функций (см. § 9).
с
1. I ха dx — —j-r +С, х>0, а =#— 1.
J а-Н ‘ ’
Если число а таково, что степень имеет смысл и для всех х < О,
то формула 1 справедлива на любом промежутке, принадлежащем
области определения функции ха. Например, формула
с №
j х2 dx = -у + С
справедлива для всей числовой оси.
Однако для интеграла j" уже нельзя написать подобную единую
формулу, справедливую на всей числовой оси с выкинутым нулем,
в этом случае имеем
---для х > О
—у- +С2 для
2. j = 1п| х| -|-С.
на любом промежутке, на котором х=£Т}.
р dx
322
$ 22. Определение и свойства неопределенного интеграла
3. \ ах dx= 4-С, п>-0, а=А1.
В частности, f ех dx = е* 4- С.
4. j sin х tlx =—cos х4- С.
5. [ cosxdx = sinх4-С.
V
Г ('Х г>
6- J (WTv =tgx4-C.
7 | d2. = — ctg X 4- C.
'• J sm2x
8. J sh xdx = chx-|-C.
9. j ch xdx = sh x 4- C.
C dx
10. J ch2~x~ — th x4~ C.
c dx „
J sh2* — —cthx4-C.
12. J -2+72 = -arctg- 4-C = - arcctg - 4-C.
C dx 1 . I x — a I .
13. I ~2-2 = ---1-I ~Ь
1 °* J x2— a2 2a x + a
14 f - dx— = arcsin — 4- C — —arccos ~ 4- С, I x | <Z I a [.
J ya2—x2 a
15. ^474== +c>
J V*2± a2
причем, когда под корнем стоит х2 — о2, предполагается | х| > | а|.
Само собой разумеется, что если знаменатель подынтегральной
функции обращается в ноль в некоторой точке, то написанные форму-
лы будут справедливы лишь для тех промежутков, в которых не
происходит обращения в ноль указанного знаменателя (см. формулы
2, 6, 7, 11, 13, 15).
То, что производными функций, стоящих в правых частях этих
формул, являются соответствующие подынтегральные выражения,
проверяется непосредственным дифференцированием (см. примеры
в § 9).
С помощью интегралов 1—15, называемых обычно табличными
интегралами, и доказанных выше свойств неопределенного интегра-
ла можно выразить интегралы и от более сложных элементарных
функций также через элементарные функции.
22.3. Интегрирование подстановкой
323
Например,
I (5cosх 4- 2—Зх24- -----Д—й dx —
J \ х А -г- 1 /
= 5 С cos xdx 4- 2 f dx — 3 f х2 dx 4- ( — — 4 f =
1 I I J X I X 1
= 5 sin x + 2x—x84~ In | x | — 4 arctg xd-C.
Отметим, что для всякого многочлена степени п существует
первообразная и она является многочленом степени и 4-1, точнее,
У (Go + ai Х~Ь агх2 4~ ••• ~г ап хп) dx —
= а0 х 4- 4- 4- - 4- 4- С. (22.8)
Это следует из свойств 3 и 4 неопределенного интеграла (см. и. 22.1)
и формулы 1 этого пункта.
Если первообразная некоторой функции f является элементарной
функцией, то говорят, что интеграл § f(x)dx выражается через
элементарные функции, или что этот интеграл вычисляется.
22.3. Интегрирование подстановкой
Теорема 1. Пусть функции f(x) и q>(t) определены на не-
которых промежутках и имеет смысл сложная функция F [<р(/)];
если функция f(x) имеет первообразную F(x), а функция ср дифферен-
цируема, то функция также имеет первообразную и
|Пф(01ф' (/) dl F ftp (/)] 4- С.
(22.9)
Доказательство. Поскольку функция F(x) определена
на том же промежутке, что и функция /(х), то сложная функция
Я</ (/)( имеет смысл и по правилу дифференцирования сложной функ-
ции
4 f 1Ф (01 - Ц Т - ПФ (01 <р'(0.
т. е. функция Дср(г)]имеет в качестве одной из своих первообраз-
ных функцию Я(р(/)], и потому формула (22.9) доказана.
Формула (22.9) часто применяется на практике при вычислении
различных интегралов. Для этого ее удобно записать в виде
/ 1Ф (0J <₽' (0 dt = f f (х) dx I _ .
V I Л —
324 § 22. Определение и свойства неопределенного интеграла
Отсюда видно, что можно сначала вычислить интеграл j f(x)dx,
а затем вместо х подставить <p(Z). Эту же формулу можно записать
в таком виде:
J / [ф (01 ф' (0 dt = f f 1Ф (01 d(P (0-
Примеры. 1. Для вычисления интеграла J cos Зх dx естест-
венно сделать подстановку и — Зх, тогда
J COs3xdx= у J cos tzrftz = у sin tz Д С =—у—Д С.
_ гт С xdx ,
2. Для вычисления интеграла I -2 2- удобно применить под-
J х + °
становку п = х2Дп2:
ftp' (х) dx
— . полезна подста-
V/ Ф \Л/
новка и = ср (х):
Например,
f tgxdx= — ~ = —ln|cosx| + C,
J J A
4. Интегралы вида
P dx
J ’ a °>
в случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некото-
ром интервале*', легко сводятся с помощью подстановок к таблич-
ным.
Действительно, замечая, что
ах1 Д ох Д с = а х Д = - Д с —,
1 1 I 1 2а I 1 1а ’
*) В противном случае, т. е. когда подкоренное выражение отрицатель-
но, получится интеграл от комплекснозначной функции. Такие интегралы
в этой книге не рассматриваются.
22.4. Интегрирование по частям
325
сделаем замену переменного t = | а | и положим
, Ъ2
а —с—тогда получим
С dx ________ 1 Р dt
J V ах- + Ьх + с /I с I J V ± /2 + d
(перед Е стоит знак «+», если а > 0, и знак «—», если а < 0). Ин-
теграл, стоящий справа, является табличным (см. формулы 14 и 15
в п. 22.2).
Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида
f гАХ, ,
J ах* + Ьх + с 1
(см. об этом в п. 24.1).
22.4. Интегрирование по частям
Теорема 2. Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы и
интеграл vdu существует, то и интеграл § udv также существует
и
J udv — uv— J vdu. (22.10)
Доказательство. По правилу дифференцирования про-
изведения имеем
d (uv) = vdu + udv,
и потому
udv = d (uv) — vdu.
Если дифференциалы (или, что то же, производные) каких-либо
функций равны, то их неопределенные интегралы, очевидно, совпада-
ют; поэтому (см. (22.6) п (22.7))
j udv = J d (uv)—[ vdu, (22.11)
но, согласно свойству 1 п. 22.1,
(' d (uv) — uv C.
Подставляя это выражение в (22.11) и относя произвольную постоян-
ную ко второму слагаемому, получим (22.10).
Теорема доказана.
326
£ 22. Определение и свойства неопределенного интеграла
Формула (22.10) часто оказывается очень удобной при кон-
кретном вычислении интегралов. Отметим, что при практическом
использовании этой формулы задана левая часть, т. е. функция
и и дифференциал dv, поэтому функция и определяется неодно-
значно. Обычно в качестве функции v выбирается функция, за-
писывающаяся наиболее простой формулой.
Примеры. 1. Пусть требуется вычислить интеграл J хех dx.
Полагая
и = х, dv = ех dx
и, значит,
du = dx, v = ех,
имеем
[ хех dx = J xdex — xe-r — J ex dx == xex—ex -ф C.
2. Вычислить интеграл
I = J У a2—x2dx.
Полагая
и = У a2—.г2, dv = dx
и, следовательно,
du=------~^= dx, v = x,
у a2 — Л-3
получаем
I = J /a2—*2 dx = x У a2— ФЧ J . (22.12)
Добавим и вычтем а2 в числителе подынтегральной функции
интеграла, стоящего в правой части равенства; тогда, произведя
деление на У а2—х2, будем иметь
(' . = f °2 7 -A- dx=
J /а2 — х~ J /а2 —л-2
= a2 f ._ ал —— ( V а2—х2dx = a2 arcsin — — I
J У а- — х2 J а
и, подставляя это выражение в (22.12), получим
I =. х У а2—х2 + a2 arc si п — — /.
' а
(22.13)
Как уже отмечалось, всякое равенство такого вида выражает
собой равенство между двумя множествами функций, элементы каж-
23.1. Комплексные числа
327
дого из которых отличаются друг от друга на постоянную. Поэтому
общее выражение для элемента из множества /, согласно (22.13),
имеет вид
/ = j К°2—Л'2 + arcs*n 77 +С-
3. Иногда для вычисления интеграла правило интегрирования
по частям приходится применять несколько раз, например,
arcsin2 х dx — к arcsin2 х—2 arcsin х х dx =
J J у 1 _ Х2
= xarcsin2x + 2 j arcsinxdjA 1—х2 =
— х arcsin2x-L2 arcsin x 1 —x2—2x-{-C.
4. Если Pn(x) многочлен степени x, то для вычисления ин-
теграла [ Pn(x)ea*dx следует формулу интегрирования по частям
применить п раз, тогда получим
= + ... + (_1Г ) + с.
§ 23. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ
И МНОГОЧЛЕНАХ
23.1. Комплексные числа
Как известно из курса элементарной математики, ком-
плексными числами называются выражения вида
z = х + iy,
где i2 = —1( а % и у — вещественные числа. Число х называется ве-
щественной частью, у — мнимой частью комплексного числа г. Это
записывается следующим образом:
x = Rez, y = lmz*>.
Комплексное число г, не являющееся вещественным, т. е. у ко-
торого Im z =/= О, будем называть существенно комплексным чи-
слом. Число ух2+у2 называется модулем комплексного числа
z — х + iy и обозначается |z|, т. е. |з| = у х2 4- у2.
О От французских слов reel —действительный и imagine — мнимый.
328
§ 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
Каждому комплексному числу z = х ф- iy соответствует упорядо-
ченная пара вещественных чисел (х, у), и обратно, каждой упоря-
доченной паре вещественных чисел (х, у) соответствует комплексное
число z = х -f- iy.
В силу этого взаимно однозначного соответствия (а также и в
силу других обстоятельств, о которых речь будет ниже) комплексное
число z — х + iy геометрически удобно интерпретировать как ра-
диус-вектор на плоскости с координатами х и у (при некоторой фик-
сированной прямоугольной декартовой системе координат).
Угол ф, образованный радиус-вектором z, z ф 0, с положитель-
ным направлением оси Ох, называется аргументом комплексного
числа z и обозначается Arg г. Значения ф аргумента комплексного
числа z, такие, что —л < ф < л, обычно обозначают arg z. Очевидно,
что Arg z определяется комплексным числом z ф 0 с точностью
до целочисленного кратного 2л*>, в то время как argz определя-
ется уже числом г ф 0 однозначно.
Очевидно также, что
arg z = arctg — ф- /гл,
где k — 0 для первой и четвертой
координатных четвертей, k = 1
для второй и k = — 1 для третьей.
Пусть | z | — г, Arg z = ф, тогда
X = Г COS ф, у = Г5Шф (рис. 77),
и потому
z = х ф- iy = г (cos ф ф- i sin ф).
Представление комплексного числа г в таком виде называется
тригонометрической записью комплексного числа.
Сумма двух комплексных чисел гх = хх ф- /ух и г2 = х2 ф- iy2
определяется согласно формуле
гх + г2 — (хх ф- х2) + /(ух ф- у2). (23.1)
Иначе говоря, вещественная и мнимая части суммы гх ф- г2 равны
суммам соответственно вещественных и мнимых частей гх и г2.
Разность комплексных чисел определяется как действие, обрат-
ное сложению, т. е. разность г = гх — г2 является таким числом г,
что г2 + z = гх.
Следовательно, если г = х ф- iy, то х2 ф- х ф- i(y2 ф- у) = хх ф- iy.
Отсюда х = хх — х2, у — ух — Уг> т. е. вещественная и мнимая
») Поэтому равенства, в которых в обеих частях стоят аргументы (Arg)
каких-то комплексных чисел, представляют собой, по существу, равенство
между множествами.
23.1 Комплексные числа
329
части разности г1 — z2 равны разностям соответственно веществен-
ных и мнимых частей чисел zY и г2.
Поскольку геометрически вещественная и мнимая части комп-
лексного числа являются его координатами, и при сложении (вы-
читании) координат векторов сами векторы также складываются
(вычитаются), то формулы (23.1) означают, что геометрически комп-
лексные числа складываются и вычитаются как векторы (рис. 78
и 79).
Произведение двух комплексных чисел zr = xt + iy и
z2 =т х2 + iy2 определяется по формуле
г2 = (х, + tyj (х2 + гу2) = (%! х2—yt у>) + i (-4 )'2 + Pi хг)- (23.2)
Найдем формулы умножения комплексных чисел в тригонометри-
ческой форме. Если
г1 = ri (cos <₽! +г’ sin <Pi)> 2г = r2 (cos 4>а+« siп ср2),
то
г1 z2 = ri r2 [(cos cos (р2—si п срл si п q>2) +
+ / (cos <рл sin (р2 + sin (pj cos <p2)[ = i\ r2 [cos (cpx -f- <p2) + i sin (<pt -f- 'p2)l
и, таким образом,
lziz2l = l^i |-|z2|, Arg(Zj-z2) = Argzx +Argz2*’. (23.3)
Отсюда для степени zn, n — 1, 2, 3, ..., комплексного числа z
имеем
Argzn = z!Argz,
*) Это равенство, как и вообще все равенства с Arg, следует понимать
как равенство множеств.
330
§ 23 Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
в частности, при |z|= 1, т. е. когда z —cosq>+ tsincp,
(cosq’ + z sin ср)" =cos/icp-|-rsinn<p. (23.4)
Операция деления — комплексного числа zY на комплексное
гг
число z2 4= 0 определяется как операция, обратная операции умно-
жения, т. е. число г = — называется частным, если z1=z2z.
г2
Поэтому
|Zj| = |z2||z| и ArgZj =Argz24-Argz,
откуда
1г1==1г‘1=1гТ’ Argz = Argj1- = ArgZj—Argг2. (23.5)
Формулами (23.5) комплексное число z = ~ при заданных Zj и
z2 #=0, очевидно, определено однозначно. Ряд других свойств комп-
лексных чисел, как, например, коммутативность и ассоциативность
сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно
сложения и другие свойства непосредственно следуют из формул,
с помощью которых определены эти операции для комплексных чи-
сел, и из соответствующих свойств вещественных чисел. Поэтому
не будем на них подробно останавливаться.
П Г-
Корень /г-й степени w — у z из комплексного числа г определяет-
ся как такое число w, п-я степень которого равна подкоренному вы-
ражению:
Wn — 2.
Если z — г (cos гр Ч-1 sin <р), а &у = р(со5ф-Н’ sinip), то
р" (cos пф + i siп /гф) = г (cos <р ф- i siп <р);
отсюда
Р = У г •
Здесь корень понимается в арифметическом смысле— как неотрица-
тельное вещественное число, ибо по определению модуля комплекс-
ного числа р > 0.
Далее,
,гф = <р-р 2/гл (k—целое),
или
Ф + 2fen
п
23.1. Комплексные числа
331
Мы получим по существу различные значения аргумента при
значениях k — 0, 1, п — 1 в том смысле, что если обозначить эти
значения аргумента через и положить wk = p(cosij5ft + i sin
то при p #= 0 получим различные комплексные числа. При всех
остальных k значения^ будут отличаться от указанных угловна
кратное 2л, т. е. эти значения аргумента будут приводить к одному из
комплексных чисел wk, /г = О, 1, .... /г— 1. Таким образом, ко-
V- , г,
рень у г имеет при г^Ов точности п значении w0, ..., wn-i.
Геометрически числа wh, k = 0, 1, ..., п.— 1. располагаются в
вершинах правильного «-угольника, вписанного в круг радиуса р
с центром в начале координат. Это следует из того, что аргумент
числа wk отличается от аргумента числа Wk-x при всех k =1, 2, ....
п — 1 на одно и то же число На рис. 80 изображен случай п — 5.
Каждому комплексному числу z — х + iy соответствует число
х — iy, которое называется сопряженным к z и обозначается z;
г = х— iy. Геометрически число z изображается вектором, симме-
тричным с вектором z относительно оси Ох (рис. 81).
Свойства сопряженных комплексных чисел
1. |z| = |z|, argz= — argz.
2. zz = | z |2.
3. z = z.
4. z1-|-z2 =Zi -J- z2.
5. zx z2 = Zj z2.
332
§ 23 Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
Свойство 1 очевидно (см. рис. 81).
Далее, согласно правилу умножения комплексных чисел,
z • ? = (х + iy) (х—iy) = х2 + у2.
Свойство 2 доказано.
Свойство 3 также очевидно: если z — x-yiy, тог — х—iy и
z = х—iy = х + iy = ?.
В справедливости свойства 4 можно убедиться геометрически,
взяв параллелограмм, симметричный относительно оси Ох, с парал-
,.У
Рис. 82
лелограммом, натянутым на век-
торы zv и ?2 (рис. 82), т. е. парал-
лелограмм, натянутый на век-
торы гх и г2. Диагонали этих
параллелограммов будут также
симметричны относительно оси
и, следовательно, будут соот-
ветственно равны гх + г2 и
zx + ?2. С другой стороны, по-
следняя диагональ, как сумма
векторов ?х и ?2, равна также
и ?! + ?2. Свойство 4 дока-
зано.
Свойства 5 и 6 следуют из
того, что модули и аргументы
выражений, стоящих в разных частях соответствующих равенств,
совпадают. Действительно, используя свойство 1, получим
IД ДI : |д д I I д I I д I — I д I |д I — I д д I >
Arg ?i ?2 = — Arg ?i ?2 = —(Arg ?! + Arg ?2) =
= — Arg д—Arg ?2 = Arg ?! + Arg ?2 = Arg ?i z2.
Свойство 5 доказано.
Аналогично доказывается свойство 6.
23.2. Некоторые понятия анализа в области
комплексных чисел
Понятие предела последовательности легко обобщается и
на случай комплексных чисел.
Определение 1. Пусть задана последовательность комплекс-
ных чисел zn = хп + iyn, п = 1,2, .... Число £=£+«] называется
*) Функция, определенная на множество натуральных чисел и имеющая
своими значениями комплексные числа, называется последовательностью
комплексных чисел.
23.2 Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел
333
ее пределом, если для любого вещественного числа е > 0 существует
такой номер /ге, что при а пЁ выполняется неравенство
К—£1<е-
В этом случае пишут lim zn — t, и говорят, что последователь-
и-* со
ность {zn} сходится к числу t,.
Таким образом, по форме это определение совершенно такое же,
как для предела последовательности вещественных чисел.
Геометрически, если обозначить через Мп конец радиус-вектора
гп, т. е. точку с координатами (х„, у„), а через N — точку с координа-
тами (£, т]), то равенство lim zn — t будет иметь место в том и толь-
П ->оо
ко том случае, когда lim Мп — N
п-*оо
в смысле п. 18.1. Это непосредст-
венно следует из того, что совокуп-
ность концов М — (х, у) векторов
z = х + iy, таких, что | z—11 < е,
образует е-окрестность точки
N = (L т]) (рис. 83).
Из сказанного следует (см.
п. 18.1), что последовательность
= хп + iyn сходится к числу
С = В + б] тогда и только тогда,
когда
limx„ = g, limy„ = T).
Рис. 83
Последовательность комплексных чисел, имеющая своим пределом
ноль, называется бесконечно малой.
На последовательности комплексных чисел естественным образом
переносится ряд теорем о пределах последовательностей веществен-
ных чисел, например, теорема о единственности предела, об ограни-
ченности последовательности, имеющей предел, критерий Коши и
т. п.
В § 8 были введены обозначения «о» и «О» для сравнения функций.
В дальнейшем понадобятся такие же обозначения и для последова-
тельностей.
Определение 2. Будем говорить, что последовательность {zn}
ограничена относительно последовательности {wn}, и писать
z„=O(wn)*'1,
если существует постоянная с > 0, такая, что
|z„l<cKl, «=1,2.........
*) Иногда к этому добавляют: при п -> <х>.
334
23 Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
Это определение в случае wn =£ 0, п = 1, 2, ...» эквивалентно
следующему: для двух данных последовательностей {гп} и (ьу,} су-
ществует постоянная с' > 0 и номер п0, такие, что
п = п0, п0+1.....
Действительно, полагая в этом случае
получим
|zn|<c|t<yn|, /1=1,2.......................
т. е. первоначальное определение.
Определение 3. Если
zn = O(wn)
и
wn^O(zn),
mo будем говоришь, что последовательности (гп} и {оД одного
порядка.
Определение 4. Будем говорить, что последовательность
{гД является бесконечно малой по сравнению с последователь-
ностью {&’„} и писать
?п = °(™п),
если существует бесконечно малая последовательность {ссп}, та-
кая, что
= «=1.2,....
Определение 5. Если последовательности {гп} и {щД такие,
что zn=l=0, wn^0, n=l,2,, и
lim = 1,
И оо V>n
то эти последовательности называются эквивалентными и пи-
шется
zn — wn, л=1, 2....
Упражнения. 2. Д ока-.ать, что если ?„=/=<> и и>„ 0, то, для того
чтобы г„ — wn, необходимо и достаточно, чтобы г„ = (юп). п = 1, 2, ....
3. Доказать: если г„ = ск'„ + о (w„), с =И= 0, п = 1, 2, .... то г„ = О (а>п).
Можно рассматривать функции комплексного аргумента и комп-
лекснозначные функции.
Например, /(г) = | г\, f(z) — z2. Обе эти функции определены на
множестве всех комплексных чисел, первая из них принимает только
23.2. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел
335
неотрицательные вещественные значения, вторая и существенно
комплексные.
Геометрически, если функция /(г) определена на некотором мно-
жестве Е «-мерного евклидова пространства Е" и принимает комп-
лексные значения, то она задает отображение этого «-мерного мно-
жества Е в плоскость. Например, функция w = | z | отображает
плоскость на полупрямую, а функция w = z2 всю плоскость на всю
плоскость, как говорят, двукратным образом — в данном случае
это означает, что при отображении w = z2 каждая точка образа,
кроме нуля, имеет прообраз, состоящий из двух точек.
Если множество Е, на котором задана некоторая функция, лежит
на плоскости Е2, то его можно рассматривать всегда при фиксиро-
ванной системе координат как множество комплексных чисел, а
заданную функцию как функцию комплексного аргумента
Для комплекснозначных функций, определенных на множестве Е
«-мерного пространства Ё', можно ввести многие из понятий, введен-
ных ранее для вещественнозначных функций (предел, непрерыв-
ность, частные производные, дифференцируемость, интеграл и др.).
В дальнейшем нам придется встретиться лишь с понятием непрерыв-
ности комплекснозначных функций; сформулируем его.
Определение 6. Пусть комплекснозначная функция f определена
на множестве ЕссЕп и пусть Ро £ Е. Функция f называется непрерыв-
ной в точке Рп, если для любого е > 0 существует б = 6(e) > О,
такое, что | f(P) — f(Po)\ < е для всех точек Р^Е, удовлетворяю-
щих условию р(Р, Ро) < е.
Мы видим, что по форме это определение полностью совпадает
с определением непрерывности для вещественнозначных функций
(ср. с п. 19.2).
В случае, когда Е — плоское множество и, стало быть, его точки
можно рассматривать как комплексные числа z, определение не-
прерывности примет вид: функция /(z) непрерывна в точке z0QE,
если для любого е > 0 существует б = 6(e) > 0, такое, чго
|f(z) — )(z0)| < е для всех z £ Е, удовлетворяющих условию
г — z01 <6.
Переносятся на комплекснозначные функции и теоремы о том,
что если две функции f и g, определенные на некотором множестве
EczEn, непрерывны в точке P0GE, то и функции f + g, fg, а если
f '
g(Ec) 0, то и — непрерывны в этой точке.
Из этой теоремы следует, например, что любой многочлен
п
Pn(z) = akzb' с комплексными коэффициентами ah, k = Q, 1,«,
*=0
непрерывен в любой точке z0 (ср. с п. 7.1).
336 f 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
23.3. Разложение многочленов на множители
Пусть
рп (-'•)= хп An—i хп~1 4-... 4~ А± х4- Ао (23.6)
— многочлен с вещественными коэффициентами Аь i = 0, 1, ..., п.
Если Ап Ф 0, то число п называется степенью многочлена. Число г
(вообще говоря, комплексное), такое, что
Р„(г) = О,
называется корнем многочлена (23.6).
Из курса алгебры известно, что число z является корнем много-
члена Р„(л) тогда и только тогда, когда многочлен Р„(х) делится
без остатка на х — г (теорема Безу).
Если многочлен Рп(х) делится на (х — z)1, (k — неотрицательное
целое) ине делится на(х — г)' + 1,то число/г называется кратностью
корня г.
Если k равно кратности корня z многочлена Рп(х), то
рп(х) = (x—z)k Qn-k (*).
где Q„_a(a.)—такой многочлен степени п—k, что Q„_*(z)=/=O.
Из курса алгебры известно также, что всякий многочлен (23.6)
степени п можно представить, и притом единственным образом, в
следующем виде:
рп(х) = ап(х—2i)** (*—•• • (х — ^r)kr, (23.7)
где гх, г2, ..., zr — различные корни многочлена (23.6), а числа /г,
являются кратностями корней zt, i = 1, 2, ..., г.
Из формулы (23.7) видно, что всякий многочлен степени п имеет
в точности п корней, если каждый корень считать столько раз, какова
его кратность.
Если число z является корнем многочлена (23.6) с вещественны-
ми коэффициентами, то сопряженное число г также является его
корнем и притом той же кратности, что и г. Действительно, пусть
Рп(г) = 0, т. е.
71,>2" + Ап_ 1 zn~1 H z 7!0 = О,
тогда, замечая, что 0 = 0, имеем
/nz« + /l„_1zn-1 + ... + ?l1z+/o = O.
Отсюда на основании свойств сопряженных комплексных чисел
(см. их свойства 4 и 5 п. 23.1) и того, что At = Ait i — 0, 1, ..., п
(ибо At — вещественны), имеем
Anzn-[-An — \z 4-,.,-[-/11г1-)-Л0 = 0,
23.3. Разложение многочленов на множители
337
1. е.
Р„(5)=о,
что и означает, что z — корень многочлена (23.6).
Покажем теперь, что кратность г и г совпадает. Если г = г
(это условие означает, что z — вещественное число), то утверждение
очевидно. Пусть z =# z (z — существенно комплексное число) и
пусть z является корнем многочлена (23.6) кратности k, тогда, как
мы видели,
Рп (х) = (х—г) Рп _ 1 (х), (23.8)
где Рп—1 (х)—многочлен степени п—1. Согласно доказанному, z
также корень Рп(х), поэтому
(z—z)P„_i (г) = 0,
и так как z—z 0, то P„_i(z) —0; отсюда следует, что много-
член Pn-i(x) делится на (х—г), и поэтому
Рп (x) = (x—z)(x—z)Pn_2(x)
(Рп—2(х)—многочлен степени п—2).
Поступая далее аналогичным образом с многочленом Р„_2(х)>
через k шагов получим
Рп (х) = (х—г)* (х—z)* Pn-2k (х),
где Pn_2k(z)=£0, а значит, и Pn^2k(z) =j=0.
Таким образом, действительно кратность корня г равна k.
Отметим теперь, что произведение (х — г)(х —г) является много-
членом второй степени с вещественными коэффициентами. Действи-
тельно, пусть г == а + Ы, где а и b — вещественны. Тогда
z = а — Ы, и поэтому
(х—г) (х —г) = (х—а—Ы) (х—пД Ы) — (х—п)2 + Ь2 —
= х2—2пх + п2+ Ь2 — х2 + рх-ф q, (23.S))
где положено р = — 2а и q — a2-\-b2', очевидно, р и q—вещест-
венны. Отметим, что при 6=/=0 всегда ---q < 0.
Из сказанного следует, что если в разложении (23.7) многочлена
Рп(х) сгруппировать попарно множители с сопряженными корнями
338
§ 23 Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
и записать произведения типа (х — z)(x — г) в виде (23.9), то,
учитывая, что кратность корней г иг одинакова, мы получим в ре-
зультате формулу
РпИ =
= Ап (* — «1)а 1 - (х — аг)ат (х2 + х + 91)Р*... (х2 + psx+q
(23.10)
где
г 5 2
2«i+22p>=n’ —^<°, z^1-2...................s>
= 1 ;=1
и все коэффициенты Ап, alt .... а.; ръ qlt ..., ps, qs вещественны. При
этом ot, ..., ап суть все вещественные корни многочлена Рп(х), а
каждому существенно комплексному корню z и ему сопряженному
корню г соответствует множитель вида
х2рх~ (х—z)(x—г).
Разложение многочлена на множители вида (23.10) единственно,
ибо оно однозначно определяется корнями этого многочлена и их
кратностями.
23.4. Общий наибольший делитель многочленов
Пусть дан многочлен Р(х). Всякий многочлен Р(х), на
который делится многочлен Р(х),
P(x) = R(x)r(x), (23.11)
где г(х) — также многочлен, называется делителем многочлена Р(х).
Мы видели, что многочлен Р(х) можно записать в виде
Р(х) =
= Л (х—Gj)®’... (х — аГ)аг (х2 + х + Qt)Pi... (х2 + ps х + qs)\
(23.12)
где «ц ...,аг—вещественные корни многочлена, а множители
вида х2 + р;х+ qt соответствуют существенно комплексным корням
этого многочлена,
2
/=l.2>...,s;
коэффициенты А, р} и q^j — 1, 2,..., s)—вещественны.
Отсюда следует, что всякий делитель Р(х) многочлена Р(х)
может быть записан в виде
Р(х) =
= В(х—...(х —«г)^(х2 + р1х + г/1)Н- ...(х2 + р,х + «75)Н»,
(23.13)
23.4. Общий наибольший делитель многочленов
339
где
Д < at, 1 = 1, 2, ..., г,
(23.14)
/=1,2,... ,s.
Действительно, никаких других множителей вида
х—а и х2-\-рх-\- q,
(23.15)
Р2 _____л
где а, р и q — вещественны и --q <Z 0, в разложении многочлена
R(x) быть не может, ибо, с одной стороны, многочлен R(x), как
всякий многочлен, может быть разложен на множители вида (23.15),
с другой стороны, из формулы (23.11) следует, что если в разложе-
нии R(x) на множители имеется множитель вида х — а, соответст-
венно вида х2 + рх + q, то х — а, соответственно корни трехчлена
х2 + рх + q, являются и корнями многочлена Р(х); поэтому указан-
ные множители входят в разложение (23.12). Неравенства (23.14)
также очевидны: из той же формулы (23.11) следует, что кратность
корня многочлена R(x) не может превышать кратности того же
корня многочлена Р(х).
Пусть теперь даны два многочлена Р(х) и Q(x). Всякий многочлен,
являющийся делителем как многочлена Р(х), так и многочлена Q(x),
называется их общим делителем.
Общий делитель двух многочленов, который делится на любой
общий делитель этих многочленов, называется их общим наибольшим
делителем.
Если многочлены Р (х) и Q(x) записаны в виде (23.12):
Р(х) = А' (х— «1')“'-(х—аГ')а'' (х2 + Р\ +<7i)P1 —
...(x2 + ps x+q^', (23.16)
Q(x) = A" (х —aj)ai ... (x~a,-)ar" (x2 + Pi x + ...
... + (23.17)
то всякий их общий делитель R(x) можно записать в виде
(23.13), где множители
г—ah (& = 1, 2,..., г), x2A-PiX + qi (/= 1, 2,..., з) (23.18)
входят как в разложение (23.16), так и в разложение (23.17).
340
§ 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
Пусть индексы у коэффициентов множителей (23.18) в разложе-
ниях (23.16) и (23.17) равны соответственно г*, /7 и «*, ji, тогда в силу
неравенств (23.14) имеем
Xh<a-, 6=1,2,..., г,
ik 1 k
/=1,2, ..., s
(23.19)
Для того чтобы многочлен (23.13) был общим наибольшим дели-
телем многочленов Р(х) и Q(x), необходимо и достаточно, чтобы по-
казатели степени 7.;i, k = 1,2, ..., г, и р;, 7=1,2, ..., s, были макси-
мал । ны»|ц из возможных, т. е., чтобы
Х,=пнп/аа.Л , 6=1, 2,..., г,
k I lk ‘J
pz = min(p's / = 1, 2,..., s.
(23.20)
Действительно, при выполнении этих условий многочлен R(x)
будет общим делителем многочленов Р(х) и Q(x) и будет делиться
на любой многочлен вида (23.13), для которого выполнены условия
(23.19), т. е. R(x) будет делиться на любой общий делитель много-
членов Р(х) и Q(x).
Из найденного вида общего делителя и, в частности, общего наи-
большего делителя следует, во-первых, что общий наибольший дели-
тель двух многочленов не единствен; однако два общих наиболь-
ших делителя двух данных многочленов могут отличаться друг от
друга лишь постоянным множителем (постоянную В в формуле(23.13)
можно брать произвольной, не равной нулю); во-вторых, что общий
наибольший делитель двух многочленов имеет степень, большую,
чем любой их общий делитель, не являющийся общим наибольшим
делителем.
В качестве примера, полезного для дальнейшего, найдем общий
наибольший делитель многочлена Р(х) и его производной Р'(х).
Предварительно заметим, что если число а является веществен-
ным корнем кратности а многочлена Р(х), т. е.
Р(х) = (х—а)а Рг(х),
(23.21)
то а является корнем кратности а — 1 для многочлена Р'(х).
Действительно, дифференцируя (23.21), имеем
Р’ (х) = а(х—а)а~'Р1(х) + (х—a)aP't (х) = (х—а)а-1Р2(х),
23.4. Общий наибольший делитель многочленов
341
где
Р2 (х) = аР4 (х) + (х—а) Р1 (х)
и
P2(n) = aP1(a)=4=0.
Подобным образом, если
P(x) = (x2 + px + Q)PP3(x), (23.22)
где
4~9<о-
и, значит, корни гг и г2 (z2 = Zj) трехчлена x2-Ppx-\-q сущест-
венно комплексны, и если
Р3(г1)=/=0, Р3(г2)=/=0,
то
Р' (X) = (х2 + рх + q/~1 Р4 (х),
где
^4 (21) Д Pt (2s) 7^ 0>
т. е. Р4(х) не делится на x2-Ppx~Pq.
Действительно, дифференцируя (23.22), получим
Р'(х) = Р(х2+рх+?)₽-* (2х + р)Р3(х) +
4- (х2 4- рх 4- qf Р’з (х) = (х2 4- рх 4- qf~1 Р4 (х),
где
Р4 (х) = р (2х 4- р) Ps (х)4- (х2 4- рх 4- q) Р'з (х),
откуда следует, что
Ра (г1) ~ Р 4- р) Р3 (z4) ¥= О,
Р4 (гг) = Р (2z2 4" Р) Рз (2г) ¥= О,
ибо Zj^=—“ и z2=f=—так как они существенно комплексны.
Из доказанного следует, что если многочлен Р(х) записан
в виде (23.12), то его производную Р' (х) можно представит!
в виде
Р' (х) = с (х—а^'~1 ... (х—а^-г~ 1 (х24- ргх 4 q^1 ~1...
... (х2 4- ps х + qs)& ~1 Ps (х),
где многочлен Р4.(х) не делится ни на х—at, i = 1, 2,.... г, ни на
х2-р pj х-р qp j = 1, 2,..., s, т. е. не имеет общих корней с много
членом Р(х).
343 § 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
Из формул (23.13) и (23.20) получаем, что общий наибольший
делитель R(x) многочлена Р(х) и его производной Р' (х) имеет вид
/?(%) =
=(х—П1)“ * -1... (х— а.)аг ~1 (x2+Pj х-}-(/, )Р* ~1 ... (х2 + ps x+qjP*~1.
(23.23)
Изложенный метод получения общего наибольшего делителя
двух многочленов Р(х) и Q(x) принципиально полностью решает
вопрос о существовании и виде общего наибольшего делителя. Прак-
тическое же его применение может, однако, вызвать существенные
затруднения: для использования этого метода надо знать разложения
на множители вида (23.16) и (23.17) данных многочленов Р(х) и
Q(x), которые далеко не всегда удается написать в явном виде.
Существует, однако, другой способ получения общего наиболь-
шего делителя двух многочленов Р(х) и Q(x), называемый обычно
алгоритмом Евклида. Опишем его.
Пусть для определенности степень многочлена Р(х) больше или
равна степени многочлена Q(x). Разделив Р(х) на Q(x), получим
в качестве частного некоторый многочлен Qt(x) и остаток Рфх),
степень которого, очевидно, меньше степени многочлена Q(x) (в про-
тивном случае процесс деления на Q(x) можно было бы продолжить):
Р (х) = Q 00 Qi (х) + Р, (х).
Из этой формулы следует: 1) если многочлены Р(х) и Q(x) делят-
ся на некоторый многочлен г(х), то и многочлен Р](х) делится на этот
многочлен; 2) если многочлены Q(x) и Pj(x) делятся на какой-то
многочлен г(х), то и многочлен Р(х) делится на этот многочлен г(х).
Отсюда следует, что общие делители многочленов Р(х) и Q(x), в част-
ности их общие наибольшие делители, совпадают с общими делителя-
ми, соответственно с общими наибольшими делителями, многочленов
Q(x) и Pj(x).
Разделим далее многочлен Q(x) на многочлен Рфх):
Q СО = Ri 00 Qz (-0+Rz (-0,
продолжая процесс дальше, будем иметь
Pi (х) = Р2 (х) Q3 (х) + Р3 (х),
Р*-г(х) = Rk-t (х) Qk (х) 4- Rk (х).
Степени многочленов Рг(х), i=l,2,... убывают, поэтому суще-
ствует номер, мы его обозначим т-р 1, такой, что P,.,+i(x) = (),
и, значит,
Rm—t (X) — Rm (х) । 1 (?.).
23.5. Разложение рациональных дробей на элементарные
343
Пары многочленов Р (х) и Q(x), Q(x) и /?, (х), /?, (х) и
/?2(х), _ t (х) и Rm(x) имеют одинаковые общие делители,
а значит, и одинаковые общие наибольшие делители. Но R,n_i (х)
делится на Rm(x), поэтому Rm(x) является общим наибольшим
делителем Rm-\ (х) и Rm(x), а значит, и общим наибольшим
делителем многочленов Р(х) и Q(x).
23.5. Разложение правильных рациональных дробей
на элементарные
Пусть Р(х) и Q(x) — многочлены с вещественными коэф-
фициентами.
Рациональная дробь называется правильной, если степень
многочлена Р(х) меньше степени многочлена Q(x).
Если рациональная дробь не является правильной, то, про-
изведя деление числителя на знаменатель по правилу деления много-
членов, ее можно представить в виде
Р(х) _ р/ ч , Pi (х)
<2(х) Q^x) '
(23.24)
где Р(х), Рг(х) и Qj(x) —некоторые многочлены, а —пра-
вильная рациональная дробь.
Р (х)
Лемма 1. Пусть -----------правильная рациональная дробь.
Если число а является вещественным корнем кратности а > I
многочлена Q(x), т. е.
Q(x) = (x—a)aQl(x) и Q± (a) =f=0,
то существуют вещественные число Д и многочлен Р1(х) с ве-
щественными коэффициентами, такие, что
Р(х) _ А РНх)
Q (х) (х — а)а (х— и)а~'Qi(x)
„ (х)
где дпобь -------------- также является правильной.
v (х- «)«-1 <2г(х)
Доказательство. Каково бы ни было вещественное чис-
ло А, прибавляя и вычитая из дроби
Р (х) Р (х)
<2(х) —
344
§ 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
А
выражение ~-------- > получим
Р(х) А Р (х)A I __
(х— а)а .(х—n)aQi(x) (х — а)а.
=---------1- -P(X)~/1Q1 (х) . (23.25)
(х—а)а (х—а)арг(х)
По условию степень многочлена Р(х) меньше степени многочлена
Q(x) = (х — а)а Qi(x). Очевидно, что и степень многочлена Qx(x)
меньше степени многочлена Q(x) (ибо а > 1), поэтому при любом
Л Л Р(х) — HQ^x)
выборе числа А рациональная дробь ——---------— является пра-
(х — a)aQ1(x)
вильной.
Выберем теперь число А таким образом, чтобы число а было
корнем многочлена Р(х) — AQ1(x) и, следовательно, чтобы этот
многочлен делился на х — а. Иначе говоря, определим А из условия
Р (а)—AQj (п) = 0;
поскольку по условию Q1(a)=^0, то отсюда
А=-^-.
<21 (а)
При таком выборе А второе слагаемое правой части в формуле (23.25)
можно сократить иа х — а, в результате получим дробь вида
Pi (х)
(х— а)а ’<21(х)
Поскольку ина получена сокращением правильной рациональной
дроби с вещественными коэффициентами на множитель х — а, где
а вещественно, то и сама она является также правильной рациональ-
ной дробью с вещественными коэффициентами.
Лемма доказана.
л)
Лемма 2. Пусть — правильная рациональная дробь. Если
комплексное число zx — а + Ы (а и Ь вещественны, Ь 0) является
корнем кратности р > 1 многочлена
Q(x), т. е. Q(x) = (х2 + рх + q)^Qi(x), где Qi(z1)#=0,
и если х2 4- рх + q = (х — гд(х — zj, то существуют веществен-
ные числа М и N и многочлен Pi(x) с вещественными коэффициен-
тами, такие, что
Р (х) _ Мх -р N_______________Р, (х)______
Q (х) (х2 + рх -р <?)Р (х2 -р рх -|- <7)Р—1 Qj (х) ’
где дробь --------„Ц---------- также является правильной.
(х2+рх+<7)₽-141(х)
23.5. Разложение рациональных дробей на элементарные
345
Доказательство. Для любых вещественных М и N имеем
Р (х) _ Мх + N ’ Р (х) Мх -|- N I_
Q(X) (х2+р*+<7)Р L (x2 + px + <7)₽Qj(x) (х2 + рх+<7)И
= Мх+ N Р (х) — (Мх + N) Qi (х) (23 26)
(х2 + рх + <7)^ (х2+ px+^QHx)
причем второе слагаемое правой части равенства (23.26) является,
как нетрудно видеть, правильной дробью. Постараемся теперь
подобрать М и N так, чтобы числитель этой дроби делился не
х2 + рх + q — (х — z A (х — 21).
Для этого достаточно выбрать М и (V так, чтобы гг было корнем
многочлена Р(х) = (Мх + A^Q^x). Действительно, тогда, согласно
сказанному в п. 23.3, число zlf сопряженное с zlt также будет являть-
ся корнем указанного многочлена. Отсюда и следует, что этот много-
член в силу существования его разложения вида (23.10) делится на
х2 + рх + q- Итак, пусть
P(zi)-(Mz1 + N)(i1(z1) = G. (23.27)
Если это имеет место, то
Mz, 4- N =
1 + QHzi)’
где по условию Qj (zj =£ 0.
Р (г )
Пусть Zj = а + Ы, ф (г1; = А - IB, тогда
А + IB = Mz1 A-N — M(a+bi) + N.
Отсюда, приравнивая вещественные и мнимые части, получим
Ma -\-N = А и МЬ = В
и, значит,
М = ~ и А/ = Л-------~В. (23.28)
При этих значениях М и N многочлен
Р(х)—(МхА-М) (х)
будет делиться на многочлен х2 + рх + q. Сокращая второе слага-
емое правой части равенства (23.26) на х2 + рх + q, получим дробь
вида
________Pi (х)_____
(х2+рх + <7)Р~‘QHx)
’43
§ 23 Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
Поскольку она получена сокращением правильной рациональной
дроби с вещественными коэффициентами на многочлен с веществен-
ными коэффициентами, то и сама она является также правильной
рациональной дробью с вещественными коэффициентами.
Лемма доказана.
Сформулируем теперь основную теорему этого пункта.
.. * гт Р (х)
Теорема 1. Пусть -
правильная рациональная дробь*',
Р (х) и Q(x)—многочлены с веществе иными коэффициентами.
Если
Q(x) =
= (х —... (х—пг)а^(х2Н PjXH-^Л ... (х8-Ррах+^)₽-', (23.29)
где at — попарно различные вещественные корни многочлена Q (х)
кратности оц, i = 1, 2, ..., г, а х2-)-р.х-|- (/,= (х—z) (х — ?/), где
и гу—попарно различные при разных /’ существенно комплекс-
ные корни многочлена Q(x) кратности fL, / = 1, 2, ..., s, то су-
ществуют вещественные числа А((а), i — 1, 2, ..., г, а= 1, 2, ..., ait
Л1)₽) и / = 1,2, ..., s, ₽=1,2....
такие, что
Л (л) Л)” л<?>
<?W {л-,ъ)а*
гф'1 Л-2> Лаг)
Ч--------~ Ч-----------“=~г + ~-------И
(х — аг) Г (х — агП' х аг
М\' >х + A- V ’ М(,2) х + A'<2) х + А’<₽» >
(х2 + щ х -I- щ)₽1 (х2+ М + <л)Р1—1 ' ”’+ х2 + Р1х + Ч1
/И<|>х+Л11) /И(2) х + Л'(2)
+--------1------+------------£--------+ ... + —5—-----------------1----.
(х2 + Щ X + ys)Ps (х2 + psx+ qs)Ps х 1“ Ps х + 4s
(23.30)
*) Без ограничения общности можно считать, что коэффициент у стар-
шего члена многочлена Q(x) равен единице, так как в случае, когда он равен
какому-то другому числу (отличному от нуля), можно разделить числитель и
знаменатель дроби —на это число, после чего у получившегося в знамена-
Q(x)
теле многочлена коэффициент у старшего члена окажется равным единице.
23.5. Разложение рациональных дробей на элементарные
347
Доказательство. Из разложения (23.29) имеем
Q(x) = (x—oJ^QJx),
где
Qi (х) = (х — о2)“2 ... (х—аг)аг (А-аPl х + ... (х2 + ps х + qs)&>
и, следовательно,
QM=bO,
поэтому, согласно лемме 1,
Р (х) ЛУ» (х)
Q(a) (x-ui)”1 (x-at)a^1 QHx) ’
Применяя в случае «, J> 1 подобным образом ту же лемм-
л Pi (х)
к рациональной дроби --------------, получим
(х — Щ)”1 <21 (х)
Р(х) Д’1» Д(2) Р2(х)
QW (Л—ai)a*+(x-ai)a‘-1+ (x-fll)ai-2Q2w’
Продолжая этот процесс дальше, пока показатель степени у со
множителя х — cq не станет равным нулю, а затем поступая анало
гичным образом относительно множителей х — а,, 1 = 2,..., г.
будем иметь
Р(Х) _ Д?1 Д? ^|И1)
Q(x) ~ (A _fil)a‘ (x-ai)ai~* (A-Q1)
д(1) АЮ Л(«/-) p*(A)
где — снова рациональная дробь, причем Р*(х) и Q*(x)
суть многочлены с вещественными коэффициентами и многочлен
Q* (х) не имеет вещественных корней.
Применяя последовательно лемму 2 к дроби и к по
лучающимся при этом выражениям, в результате получим фор
мулу (23.30).
Теорема доказана.
Рациональные дроби вида
А Мх Д- N
И р ,
(х — a)a------(х2 + рх + </)р
348
$ 23 Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
р2
где а, р, q, А, М и N — вещественные числа и -q < 0 (корни
трехчлена х2 + рх 4- q существенно комплексные), называются
элементарными рациональными дробями.
Таким образом, доказанная теорема утверждает, что всякая пра-
вильная рациональная дробь может быть разложена в сумму эле-
ментарных рациональных дробей.
При практическом получении разложения вида (23.30) для кон-
кретно заданной дроби обычно оказывается удобным так называемый
метод неопределенных коэффициентов. Он со-
стоит в следующем. Для данной дроби пишется разложение
(23.30), в котором коэффициенты Д(-а\ считаются неиз-
вестными (/= 1, 2, ..., г, а =1, 2, ..., a,, j = 1, 2, ..., s, |3 = 1, 2, ..., (37).
После этого обе части равенства приводятся к общему знамена-
телю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются
коэффициенты. При этом если степень многочлена Q(x) равна п, то,
вообще говоря, в числителе правой части равенства (23.7) после при-
ведения к общему знаменателю получается многочлен степени п— 1,
т. е. многочлен с п коэффициентами, число же неизвестных А^а\
7иР\ /V/Р) также равняется п (см. (23.10)):
2 “/+2 2 ₽>=«•
г =1 1
Таким образом, мы получаем систему п уравнений с п неизвест-
ными. Существование у нее решения вытекает из доказанной тео-
ремы.
Отметим, что после приведения выражения (23.30) к общему зна-
менателю и его отбрасывания, в случае, когда Q(x) имеет веществен-
ные корни, целесообразно подставить в обе части получившегося
равенства последовательно эти корни; в результате получаются
некоторые соотношения между искомыми коэффициентами, полезные
для их окончательного определения.
Примеры. 1. Разложим на элементарные дроби дробь
X
(х2 —1)(х —2)'
Согласно (22.30), искомое разложение имеет вид
х АВС
(х2 —1)(х —2) “ х — 1 + л + 1 + х —2 •
Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим
х = А(х+ 1)(х—2) + В(х—1)(х—2)-рС(х—1)(х+1). (23.31)
23.5. Разложение рациональных дробей на элементарные
349
Мы имеем случай, когда все корни знаменателя вещественны
Полагая в равенстве (23.31), согласно сказанному выше, последова-
тельно х = 1, х = —1 и х = 2, получим
1 = —2Д, — 1=6В, 2 = 30,
откуда
Л = -ф. В—т. с=4-
Таким образом, искомое разложение имеет вид
(х2 —1)(х —2) = — 2(х —1)~~ 6(х4- 1) + 3(х —2) • (23-32)
2. Найдем разложение на элементарные дроби для
х2 — 1
х(х24- I)2
Общий вид разложения в этом случае
х2 — 1 А . Rx 4- С . Dx 4- Е
х(х24- I)2 ~ “Г+ (Л2 + I)2 + X2 + 1
Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим
х2—1 —А(х2-[- 1)2 + (Вх-|-С)х + (Ох+£)(хаН- 1)х.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по-
лучим
— 1=Л, 0 = С + Е, 1 = 2Л + В + D, 0 = Е, 0 = Л+£>,
откуда
Л= — 1, В = 2, С = 0, 0=1, Е = 0,
и, значит, искомое разложение имеет вид
х(х34-1)2 = Г + (х2 + 1)2 + ТчП ' (23-33)
Следует заметить, что в отдельных случаях разложение на эле-
ментарные дроби можно получить быстрее и проще, не прибегая
к методу неопределенных коэффициентов, а действуя каким-либо
другим путем. Например, для разложения дроби
1
х2 (1 + л2)2
на сумму элементарных проще всего дважды прибавить и вычесть
в числителе х2 и произвести деление так, как это указано ниже:
1 (14-х2) — х2 1 1
х2(1+х2)2=“ х2(1+х2)2 ~ х2(1 + х)2 (1-|-х2)2~
(14-х2) —х2 111 1
= х2 (1 4- ха) (1 + х2)2 х2 1 + х2 (14- х2)2'
350
§ 24. Интегрирование рациональных дробей
Полученное в результате разложение и является разложением дан-
ной дроби на сумму элементарных дробей.
Упражнение 3. Доказать, что разложение вида (23.30) правиль-
ной рациональной дроби единственно.
§ 24. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
В этом и следующем параграфах будут рассмотрены ме-
тоды интегрирования некоторых классов элементарных функций.
При этом каждый раз, не оговаривая этого специально, будем пред-
полагать, что речь идет о вычислении интеграла на некотором про-
межутке, во всех точках которого определена подынтегральная эле-
ментарная функция (иначе говоря, на котором формула задающая
подынтегральную функиию, имеет смысл, см. об этом в п. 4.3).
24.1. Интегрирование элементарных
рациональных дробей
В предыдущем параграфе показано, что всякая рацио-
нальная дробь представима в виде суммы многочлена и элементарных
рациональных дробей (см. (23 24) и (23.30)). Интеграл от многочлена
вычисляется, и притом очень просто (см. п. 22.2). Рассмотрим вопрос
об интегрировании элементарных рациональных дробей.
Сначала рассмотрим вычисление интегралов от дробей вида
А
(х-а)11 ’
п=1, 2...
Если п = 1, то
J Y~—dx = A In | х—а | -р С,
а если пф 1, то
I -7---Qi'dx=----------------—
J (.V —о)" _ 1) (Х __ n)”-1
Рассмотрим теперь интегралы от дробей
Мх + /V
(л 2 4- рх + q)a ’
где -,--q<"0, п=1, 2, ....
Снова начнем со случая п=1. Замечая, что
(24.1)
(24.2)
х2 + рх ф q = (х +-|-у + (q
24 1 Интегрирование элементарных рациональных дробей
351
и полагая
a2 = q-^->0,
получим
J dx = J —> ,8- '-------dt = М J —f4- +
17 х2 4- рх -|- q d I2 4- a2 d t2 -f a‘ 1
. Mp\ C dt M . , „ 2.N — Mp , t „
+ ---Г j J-Й+7Г = Tln« + a >+—-^T- arct£~7T + C =
M , , , , , . , 2N— Mp , 2x 4- p . n ,n. o.
= - g- in (x2 + px + q) H-— arctg —+ C. (24.3)
В случае п>1, полагая, как и выше,
Z = x + -j-, a2 = q~^,
подобным же образом получаем
с Mx + N Л, f tdl t2.N-pMC dt
J (A2 + w + 9)n“A“' J (/24-a2)'i-r 2 ](t2+a2)n-
(24.4)
Рассмотрим в отдельности каждый из получившихся интегралов
в правой части этого равенства. Что касается первого из них, то
он вычисляется сразу:
tdt 1 Cd(t2 + a2)
(t2 + a2)'‘^ 2 J (t2 + a2)n ~
_____________1 (J
2(77 — l)(/2 + u2)Zi-I '
(24.5)
Второй же интеграл правой части равенства (24.4) вычисляется
несколько сложнее. Пусть
п=1’2’3.....
Проинтегрируем интеграл /п по частям, положив
> я
и = -пт—,—кй- > dv — al,
(t“ 4- а2)'1 ’ ’
и
2ntdt
(/2 4- а2)"+1 ’
V = t,
352
§ 24. Интегрирование рациональных дробей
а затем, добавив и вычтя с? в числителе получившейся под знаком ин-
теграла функции и произведя деление так, как это указано ниже,
получим
f dt _ t , 9 f t2
J 0а + «2)'! (/2 + ^)"+ П] (<2 + о2)'г+1
- - ‘ 4- 2п f (<2 + a2)-°2 dt _
(Z2 + a2)«(z2 + a2f+i
=_____. 2n C________—a2 f dt 1
{Z2 + 02)«-t- "U (/2_|_а2)Л « J (Z2 + a2)n+l] >
t. e.
~ (/2 _|_ a2yi + 2nln 2na? In+i,
откуда
/ 1 t । 2.n 1 j 10
ln+l ~ 2nd2 (t2 -p a2)" "i 2n^~ ri’ П = 1 ’ "
(24.6)
Интеграл Д легко вычисляется (см. п. 22.2 формулу 12); формула
(24.6) позволяет вычислить /2; зная же /2, нотой же формуле можно
найти значение и /3, продолжая этот процесс дальше, можно найти
и выражение для любого интеграла In (п = 1, 2, ...).
24.2. Общий случай
Из результатов п. 23.5 и предыдущего п. 24.1 непосредст-
венно вытекает следующая теорема.
Теорема 1. Неопределенный интеграл от любой рациональной
дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не
обращается в ноль, существует и выражается через элементарные
функции, а именно через суперпозиции рациональных дробей,
арктангенсов и натуральных логарифмов.
Эта теорема есть прямое следствие формул (23.24), (23.30), (22.6),
(22.8), (24.1)—(24.6).
Эти формулы дают и конкретный способ вычисления интеграла
от рациональной функции: сначала делением числителя на знамена-
тель выделяется «целая часть», т. е. данная рациональная дробь
представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональ-
ной дроби (23.1), затем получившаяся правильная рациональная
дробь раскладывается на сумму элементарных дробей (23.30), после
чего, используя аддитивность интеграла (22.6), можно вычислить
интегралы от каждого слагаемого в отдельности, согласно формулам
(22.8) и (24.1)—(24.6).
24.2. Общий случай
353
Примеры. 1. Вычислим
Г х dx
J (х2 —1)(х—2)*
Уже известно (см. (23.32)), что
х 1 1,2
(х2 — 1)(х — 2) 2(х—1) 6(х+1) + 3(х —2) ’
поэтому
Г х dx _ 1 С dx 1 Г dx , 2 f dx
J (X2-l)(x —2) 2 J T^-T Г J T+r+ — J T^2
=---Lln|x-l|—L In I x-f- l| + -|-in|X—2| + c.
2. Вычислим
Г xK + 2x1 + 2x2 — 1 ,
J -;-(x2 + if ax-
Согласно общему правилу, выделим целую часть, разделив чи-
слитель на знаменатель; получим
х» + 2х4 + 2х2 — 1 , х2 —1
х(х24-1)2 Л "г х(х24-1)2 ’
Для получившейся правильной рациональной дроби уже най-
дено ее разложение на элементарные дроби (см. формулу (23.33));
х2 — 1 ______1_ 2х х
х (х2 + I)2 х (х2 -|-1)2 *” х2 + 1 ’
поэтому
Г х” 4-2x12х2 — 1 . С . С dx С 2xdx
J х(х24-1)2 их-^хах J х+](х24-1)2 +
। С х dr х2 iniо । fd<x2+1> । 1 р<*г + о
4 J x2 + ldx~^ lnl*l+J + — J —+Г =
= 4 - In | XI~ 1П (Xs+ 1)+C.
Следует иметь в виду, что указанный метод вычисления неопре-
деленного интеграла от рациональной дроби является общим: с по-
мощью его можно вычислить неопределенный интеграл от любой
рациональной дроби, если можно получить конкретное разложение
знаменателя на множители вида (23.10). Однако естественно, что
в отдельных частных случаях бывает целесообразнее для существен-
ного сокращения вычислений действовать иными путями.
354
$ 24. Интегрирование рациональных Оробей
Например, для вычисления интеграла
х'г dx
(1 — х2)3
проще не раскладывать подынтегральную функцию на элемен-
тарные дроби, а применять правило интегрирования по частям.
Положив и — х, dv—-,Txdx„^ и du = dx, v— 1—, получим
’ (1 — х2)8 4(1 — х2)2 2
/-__Lf -____х____-1 С_____L— dz
2J (1—х2)3 4(1—х2)2 4 J (1 — х2)2 •
Прибавляя и вычитая к числителю получившейся подынтеграль-
ной функции х2, производя деление, получим два интеграла, из
которых первый табличный, а второй легко вычисляется интегри-
рованием по частям:
/ _ *________L f 0 ~^)+-т2 _
4(1 —х2)2 4 ) (1—х2)2
х 1 Г dx If х2 dx
~~ 4(1—х2)2 4 J 1 — х2 4 J (1—х)2 ~
24.3. Метод Остроградского
В пункте (24.1) было показано, что всякая правильная
рациональная дробь может быть представлена в виде суммы элемен-
тарных дробей. Но из п. 24.1 следует, что первообразные элементар-
_ » 1 Alx-pN /р2
ных дробей ----- и ---------- -----о < О) являются транснен-
х — а х2 + рх + q V /
дентными функциями вида A arctg (о, х -ф п2) + Ь’ In (Ь1 хф /'2)-рС
(см. (24.1) и (24.3)); первообразная элементарной дроби
А
(х-а)а ’
а = 2, 3,...,
24.3. Метод Остроградского
355
является рациональной дробью; первообразная же элементарной
дроби
__Мх + Л'
(х2 + рх + ?)₽ ’
₽-2, 3, ....
в силу формул (24.4), (24.5), (24.6) и формулы 12 п. 22.2 может быть
представлена в виде суммы правильной рациональной дроби и мо-
жет быть трансцендентной функции вида A arctg (о, x-J- а2) + С, яв-
ляющейся первообразной от дроби вида — аТр-Д. р ----Q < 0).
Поэтому всякая первообразная любой рациональной дроби пред-
ставима, вообще говоря, в виде суммы рациональной дроби
(алгебраическая часть) и трансцендентной функции, являющейся
первообразной от суммы дробей вида
А Мх /V р2 п
----- и —!—— , а <0.
х — а х2 -р рх -р q 4 '
Таким образом, если - ' '---правильная рациональная дробь и
Q(x) = (x—а^' ... (х—агЛ(х2 + р1х+<71)₽1... (x2 + Psx +
разложение ее знаменателя в виде (23.10), то
f^-dx
J QM
pi (х)
Qi(x)
Х al X2 -р Р: Х ~Р ?.
: = | /=| ' '
отсюда, произведя под знаком интеграла сложение дробей, имеем
-^-dx
<?(х) А
Р1(х)
<21 (х)
Г Р2 (х)
J <?2 (X)
dx,
(24.7)
где Q2(x) = (x—cj ... (х—aj^ + p^+qj - U2 4- ps x + qs); из
формул (24.2) и (24.6) следует, что многочлен Qi(x) имеет вид
Q, (х)=(х—ar)ar \х2+Р1 x+^1)₽,”1...(x2+pix+^)^-1,
и, значит, многочлен Qi(x) является общим наибольшим делителем
многочлена Q(x) и его производной Q'(x) (см. (23.23)).
Формула (24.7) называется формулой Острсградского*'*. Второе
слагаемое
дентной частью интеграла
правой части формулы (24.7) называется трансцен-
" Р(х) , л
- ах; это естественно, ибо из сказанно-
го)
го выше следует, что всякая первообразная дроби с точностью
до постоянного слагаемого представляет собой линейную комбина-
*) М. В. Остроградский (1801—1861) — русский математик.
356
$ 24. Интегрирование рациональных дробей
цию логарифмов и арктангенсов от рациональных функций и, зна-
чит, как это можно показать, будет являться, вообще говоря, транс-
цендентной функцией. Первое же слагаемое, называемое алгебраи-
ческой частью, может быть найдено чисто алгебраическим путем,
если известны многочлены Р(х) и Q(x) (а значит, и Q'(x)), т. е. без
интегрирования каких-либо функций. В самом деле, многочлен Qi(x),
являясь общим наибольшим делителем многочленов Q(x) и Q'(x),
всегда может быть найден с помощью алгоритма Евклида (см. п. 23.4),
тем самым для отыскания многочлена Qj(x) не требуется знания
корней многочлена Q(x); однако, если корни многочлена Q(x) извест-
ны, а значит, известно и его разложение вида (23.17), то многочлен
Q1(x) сразу выписывается по формуле (23.23). Многочлен Q2(x) нахо-
дится как частное от деления Q(x) на Q,(x).
Для отыскания же многочленов Рг(х) и Р2(х) можно применить
метод неопределенных коэффициентов. Поясним его. Обозначим
степень многочлена Q^x) через п1г степень многочлена Qz(x)— через
н2> тогда из равенства
Q(x) = Q1(x)<22(x) (24.8)
I n е. Ei(x) Р2(х)
получим п — П! -р п2. В силу того что дроби и правиль-
ные, степени многочленов Р1(х) и Р2(х) соответственно не выше,
чем Пу — 1 и н2 — 1, и, значит, в этих многочленах число отлич-
ных от нуля коэффициентов соответственно не превышает пг и п2,
таким образом, что число неизвестных коэффициентов равно
«1 + п2 = п. Дифференцируя первообразные, входящие в обе час-
ти формулы (24.7), получим (опуская для краткости обозначение
аргумента) соотношение
Q \ Qi / ' Q2 ’
Производя дифференцирование, получим
Р __ Е] Qi — P\Q\ Р2
V of + о/
Заметим, что
Р1 Qi — Р1Q1 Р1 Qi — Р1R
Qj Qi Qs
где
Q[ Q2
Qi
(24.9)
\24.3. Метод Остроградского 357
является многочленом. Действительно, если г — корень много-
члена Qj кратности X, то, как мы знаем (см. и. 23.3), z является кор-
нем кратности X — 1 для производной Qi и однократным корнем мно-
гочлена Q2> поэтому в этом случае г является н корнем кратности X
для многочлена QiQ2- Отсюда, согласно формуле (23.7), сразу следу-
ет, что многочлен QiQ2 нацело делится на многочлен Qx, т. е. что Д
также является многочленом. Итак, из (24.9) и (24.8) имеем
Р Р i Qz —PiР Р%
~Q = Q. Н ОТ’
откуда
+ (24.10)
Многочлен Р имеет степень не выше, чем п — 1 (ибо дробь
правильная). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях
<k, k = 0, 1.. п — 1, переменного х в обеих частях равенства
(24.10), получим п линейных уравнений относительно п неизвест-
ных. Выше было доказано (см. (24.7)), что многочлены Рг и Р2
всегда (в частности, при некотором фиксированном многочлене Q
и при любом многочлене Р степени, не превышающей п — 1) су-
ществуют; поэтому полученная система линейных уравнений имеет
решение при любой правой части*’. Отсюда следует, что определи-
тель этой системы не равен нулю, а значит, про рассматриваемую
систему можно сказать, что она не только имеет решение, но и что
оно единственно. Тем самым не только получен метод для определе-
ния неизвестных коэффициентов в формуле (24.7), но и доказана
единственность этого представления.
Формула (24.7) сводит, вообще говоря, задачу интегрирования
любой правильной рациональной дроби к задаче интегрирования
правильной рациональной дроби, у которой знаменатель Q(x) имеет
только простые корни. С помощью этой формулы при интегрирова-
нии правильной рациональной дроби можно найти указанным выше
, СР(х),
путем алгебраическую часть интеграла I а затем проинтег-
рировать более простую рациональную дробь Q^j> если, конечно,
случайно, не окажется, что Р2(х) — тождественный ноль: в этом
случае задача будет уже решена.
Описанный здесь метод интегрирования рациональных дробей
носит название метода Остроградского.
*) Как обычно, предполагаем, что все члены уравнений, содержащие не-
известные, перенесены в левую часть равенства.
§ 24. Интегрирование рациональных дробей
Пример. Применим метод Остроградского для вычисления
интеграла
х* -р 2х3 — 2х2 + х ,
(1 — х)3 (1 +ла)2
Согласно формуле (24.7),
х4 + 2х3— 2х2 х I _Кх3 + Lx2 + Мх + N , f kx2 + lx + m
I (l-x)3(l+x2)T ax ~ (T^x)2 (1 + x2) г J (1 —x)(l+x2-)
поэтому
x’ + 2x8 — 2x2 + x
(1 — x)3(x2+I)2 “
Г Kx3 + Lx2 + Mx + N I'
[ (1—x)2(l + x2) ]
kx2 -p lx + m
(1 - X) (1 + x2) •
Произведя дифференцирование, получим
x4 -p 2x3 — 2x2 + x_
(1 — x)3(l+x2)2 ~
(ЗКх+2/.х+/И)(1—x)(x2+l)-(A'x3+ix2+/Wx+W)[—2(l+x2)+(l—X)2x] ,
— " (1 — x)3(l + x2)2 +
, kx2 + lx ~p m
+ (1 - X) (1 + X2) •
Отсюда
x4-p2xs—2x'2-px = (3/(x2-p2Lx-pAf)( — xs-p x2—хф-1) —
— (Kxs+Lx2 + Mx + N) (—4x24-2x—2) +
+ (kx2-\- lx-\~m) (x4—2xs-p 2х2-р2х-ф 1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по-
пу чим
М -р 2^ -р m = О,
—Л/-р2Л-р2Л4—2N—2m + l= 1,
3K—2L + M-t2L~2M + 4N + k—2l-\-2m^—2,
—М 4- 2L — 3/\ -Р 2/C—2L 4 4Л1—2/С -р 2/—2m = 2,
3^-2L—2^ + 4Л + 2^ —2/J-m= 1,
—ЗЛ'-Р4/С—2/г-р Z = 0,
k = Q,
\23.3 Метод Остроградского
359
ИЛИ
Л14-2Л^ + т = 0,
2Л4-Л4—2Л'4-/ —2m= 1,
З/С— Л14-4ЛГ+ k-2l + 2m^- — 2,
— К + ЗЛ4—2k + 21—2т = 2,
K + 2L + 2k—21 +т = 1,
Л' — 2k + l = 0,
/г = 0.
Решая эту систему уравнений, находим
л=4> L=—г- /и=4> дг=-1>
k = 0, 1=-------, т — -±-,
поэтому
Г х4 2х3 — 2х2 + х , 1 Xs — х2 4- Зх — 2
J (1 - х)8 (х2 4-1)3 ах~~2 (1 — х)2 (1 4- х2) +
। 1 Г —х 4-1 , 1 х8 — х24~3х —2 1 , . Г
+ Т J (1—х)(14-%2) dX ~ 2 (1 — х)2(1 4-х2) + 2’aict6% + C-
§ 25. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ
Функция вида
/?(uv ип) = -^“1’ •••-' linl , (25.1)
v 1 n’ Q+i........un) ' ’
где P и Q—многочлены от переменных ux..........un, т. e. функции
вида
V n ,,к< ,,kn
...» k ... un ,
называется рациональными функциями от ult ..., ип.
Если в формуле (25.1) переменные и1г ип в свою очередь яв-
ляются функциями, выражающимися с помощью суперпозиций ра-
дикалов и рациональных функций от одного переменного х, то полу-
чающаяся сложная функция называется рациональной относительно
радикалов.
360
$ 25. Интегрирование некоторых иррациональностей
Например, функция
X + Г (х2 — I)2
Vх —V х2 + 1
является функцией указанного вида, действительно, здесь
._ о_________________
f (х) = AJ (х, ]/х, у'Х2— 1, /х2 + 1),
где
R (иг, и2, и3, и4) =
«1 + ^3
t/2 — «4 ’
Г— з ,_____ _______________
U^-X, и2~У х, и3 = ух2—1, u4—-]/х2-)-1.
Если же в формуле (25.1) переменные и1г ип являются эле-
ментарными тригонометрическими функциями, то получающаяся
сложная функция называется рациональной относительно элемен-
тарных тригонометрических функций.
Примером такой функции является следующая:
Sin2-~c/s-x-=7?(sinx, cosx, tgx).
Перейдем теперь к рассмотрению интегралов от функций
подобного типа и покажем, что в ряде случаев они сводятся к рас-
смотренным выше интегралам от рациональных функций.
25.1. Интегралы вида (/? [х, (ах^ь.
J L \cx+d,
ax-\~b\rs
cx+rf /
dx
Рассмотрим интегралы, указанные в заглавии пункта,
при условии, что постоянные гъ rs рациональны и определитель
| | 0 (а, Ь, с, d — постоянные). Последнее предположение есте-
ственно, так как если бы | | — 0, то коэффициенты а, b были бы
пропорциональны коэффициентам с, d и потому отношение
не зависело бы от х. Подынтегральная функция в этом случае была
бы обыкновенной рациональной дробью от одного переменного, во-
прос об интегрировании которой был рассмотрен выше.
Пусть m — общий знаменатель чисел /у....rs:
rt = 7n’ — целое> i=l> 2..... s-
361
25.1. Интегралы вида \r Гх,
J L \сх -р dl \сх d' J
Положим
tm = ах + fc
сх + d *
откуда
dtm — b
X = ----7m = Р (« )-
а — ctm ' ' '
(25.2)
(25.3)
р(/) является рациональной функцией, поэтому р'(/) также рацио-
нальная функция; далее,
dx=^p'(t)dt (25.4)
и
l=tmri = tpi, i=l, 2, ..., S. (25.5)
Подставляя (25.3), (25.4) и (25.5) в подынтегральное выражение
рассматриваемого интеграла, получим
(ах + b \г‘ / ах + b
сх + d I ’ •••’ I сх + d
ах + b
сх + d
R > tP1...................Р'(0 dt = J /?*(/) dt,
где
R* (/) = R
’dtm - b р,
a — ctm ’
.... ^)p'(0.
очевидно, является рациональной функцией переменного t. Таким
образом, вычисление интеграла
(25.6)
сводится к интегрированию рациональных дробей.
Отметим, что, в частности, к рассмотренному типу интегралов
относятся интегралы вида
J R [х, (ах-\- Ь)Г1.(о%+ ftp] dx,
j* R (x, xr', ..., x's) dx.
Пример. Вычислим интеграл
dx
Д/х + x
362
§ 25. Интегрирование некоторых иррациональностей
Полагая, согласи* общему правилу,
х = /6, dx = 6t°dt,
получим
dx
|/ х )/ х
= 6
/з /2 I
^-4 + /-1п|/+1| +С-
= 2 У х—3 хф- 6 \(х—6 In х + 1) + С.
К интегралам вида (25.6) сводятся иногда с помощью элементар-
ных преобразований и интегралы других типов. Например, если
требуется вычислить интеграл
j V(х—1)(х—2) dx
(25.7)
то, вынося в подынтегральной функции множитель (х — 1) за знак
радикала, получим интеграл вида (25.6): именно при х > 2
J /(х— 1) (х— 2) dx = J(x — Of/"dx,
а при х < 1
J/(x—1 (х—2)dx = j*(l — xjj/^—dx.
При 1 < x < 2 подынтегральное выражение чисто мнимое.
Рассмотрим, например, случай х > 2. Полагая здесь (см.
(25.2))
Р=.х—^,
х — 1
получим
2 — л 2/ di
Х - ' dX - fl _ /2)2 •
Поэтому
--------ГГ7--л С/2-t2 l'' 2t2-dt 9 Г /2di
j V (х 0(x 2) dx— /2 (1 — /2)2 ~ 2 J (| — /2)3 ’
получили интеграл от рациональной дроби, который был вычислен
раньше (см. п. 24.2).
25.2. Интегралы вида .( R (х, Уах2 Ьх -|- с) dx
363
25.2. Интегралы вида
становки Эйлера.
ах2 4- 1>х'Гс) dx. Под-
Указанные интегралы могут быть сведены с помощью
замены переменного к рациональным функциям. Рассмотрим
три замены переменного, носящие название подстановок Эйлера.
Итак, пусть дан интеграл
J R (х, ]/пх2-|- bx+ с) dx, а =1=0.
Первый с л у ч а й: 0.
Сделаем замену х на I следующим образом:
(25.8)
]Лах24- Ьх-\- с = ± х У а ± t (25.9)
(знаки можно брать в любой комбинации). Возведем обе части на-
писанного равенства в квадрат:
ах2 + Ьх + с = ах2 ± 2%; У a -J-I2,
отсюда
/2 —с
b =р '2f\/a
= Ryt),
R1(t)— рациональная функция от /, значит, R\(t)—также рацио-
нальная функция.
Далее, dx = Rl(t)dt, У ах2 -J- Ьх + с — ± Ri (О Уа ± t = R2(t),
где, очевидно, R2(t)—рациональная функция.
Окончательно
J R (х, У ах2 ф- Ьх 4- с) dx =
= J R^RAt), R2 (0) Ri(/)d/ = J R*(t)dx,
где R* (t) = R (R, (t), R2(/))Ri(/)— рациональная дробь.
Второй случай: корни трехчлена ах2-\- Ьхс веще-
ственные.
Пусть х1 и х.2 вещественны и являются корнями трехчлена
ах2 4- Ьх 4- с.
Если х1 = х2, то
У ах2 4- Ьх ф- с = У а (х - - xj2 = | х — хД У а.
Отсюда следует, что в этом случае либо под корнем стоит отрица-
тельная при всех значениях х величина, т. е. корень принимает
364
§ 25 Интегрирование некоторых иррациональностей
только чисто мнимые выражения,— этот случай имеет место при
а < 0 и мы его не рассматриваем, либо при а > О после указанного
элементарного преобразования получаем, что переменное х не входит
под знак корня, т. е. под интегралом стоит просто рациональная
функция от х, вообще говоря, разная для каждого из промежутков
(—оо, xj и (хъ Н-оо).
Рассмотрим теперь случай, когда =/= х2. Замечая, что
ах2 + Ьх + с = а(х — хг)(х — х2), и вынося х — хг из-под знака
корня, получим
R (х, /ах24- bx+c) = R (х, |х—хх||Л) =
= r3 (х, У <251°)
где 7?з (а, v) — рациональная функция переменных и и V.
Как известно (см. п. 25.1), интеграл от функции (25.10) может
быть вычислен с помощью подстановки (см. (25.2))
а(х — х2)
X — Xi ’
что в нашем случае дает
±(х—x^t= /а(х—xj(x—х2) ,
или, беря t^>0 при x^-Xj и t <0 при х < х±,
(х—Xj)/= /ах2+ Ьх-\-с.
Рассмотренный в предыдущем пункте интеграл (25.7) является
примером случая 2; этот интеграл был сведен выше к рациональной
дроби приемом, разобранным сейчас в общем случае.
Два изученных нами способа вычисления интеграла (25.8) поз-
воляют всегда свести этот интеграл к интегралу от рациональной
дроби, если только корень У ах2-\~Ьх-\-с не принимает чисто мнимые
значения (естественно, изучая анализ в действительной области,
исключить этот случай из рассмотрения). Действительно, допустим,
что ни первый, ни второй случаи не имеют места, т. е. а < 0 и корни
хх и х2 трехчлена ах2 + Ьх + с существенно комплексны: хх =
= g + hi, х2 = g — hi, h ф 0. Тогда
/ах2-р Ьх ф-с = /а (х—хг)(х—х2) =
—/а(х—g—hi)(x—g + hi) = /а [(х—g)2 + h2],
и так как а < 0, a h =/= 0, то под корнем при любых х стоит отрица-
тельное выражение.
Утверждение доказано.
25.2. Интегралы вида f R (х, Уах2 4- bx 4- c)dx
365
Третий с л у ч а й: с > 0.
В этом случае можно применить подстановку
ах2 -\-bx-\-c — ± Vс ± xt
(комбинация знаков произвольна). Возводя в квадрат, получим
ax2-\-bx= ^2xty с-\- x2t2,
откуда
х — Ь Т2 —= d* ~
У ах2 + Ьх + с — ±Ус ± Ri(t)t — Rb (t),
где Ri(t), Ri(t) и R6(t) суть рациональные функции t.
Поэтому
[ R (х, У ах2 -Rbx -R с) dx —
= J R (R4 (0> R5 (О) R* (0 = J R (/) dt,
где R(t) = R (Ri(t), R6(Z)) R4 (/)—рациональная дробь.
Интегралы вида
J R (x, Уах-j- b , ycx-]-d)dx
сводятся подстановкой
t2~ax-\-b (25.11)
к рассмотренным интегралам вида (25.8).
В самом деле, из (25.11) имеем
t2 — b . 2 ...
х =-----, dx= — tdt,
а а
У^+d =УС- d = yAR + B~,
где
А=-, B=—- + d,
а а ‘
поэтому
С R (х, У ах + b , У сх + d ) dx = (Re(t, У At2 -J- В }dt,
J
где R6(u, f) — рациональная функция переменных и и v. В правой
части последнего равенства стоит интеграл типа (25.8).
Вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера обычно
приводит к громоздким выражениям, поэтому их следует применять,
366
£ 25 Интегрирование некоторых иррациональностей
вообше говоря, лишь тогда, когда рассматриваемый интеграл не
удается вычислить другим более коротким способом. Например, за-
/ h \2 [;‘г
мечая, что ах2 + Ьх + с = а х + + с — нетрудно убедить-
ся, что интеграл (25.8) в случае, когда подкоренное выражение по-
ложительно на некотором интервале, с помощью линейной подста-
новки может быть приведен (ср. п. 22.3) к одному из трех интегралов:
J(/, —
J R (/, /) dt,
J R (t, ]Л2+ 1) dt
(конечно, здесь символом R обозначена, вообще говоря, другая, чем
в формуле (25.8), рациональная функция). Для вычисления получен-
ных интегралов часто оказывается очень удобными использовать
тригонометрические подстановки
t = sin u, / = cosn, Z = tgn,
а также гиперболические подстановки
/ = shw, i = chw, Z = th«.
25.3. Интегралы от дифференциального бинома
Выражение xm(a + bxny dx (а =^= О, b 0) называется
дифференциальным биномом. Будем рассматривать случай, когда п,
тир — рациональные, а а и Ь — вещественные числа.
Положим
х = А (25.12)
тогда
и
1 с ^L±l_i
хт (а + ЬхпУ dx = — I (а ф- bty t " dt.
Таким образом, интеграл
j хт (а + ЬхпУ dx (25 13',
25.3. Интегралы от дифференциального бинома
367
сводится подстановкой (25.12) к интегралу типа
dt, (25.14)
где р и q рациональны. В рассматриваемом случае
„ + 1 1
Первый с л у ч а й: р — целое число.
Пусть q = т-, где г и s — целые числа. Согласно результатам
1
п. 25.1 в этом случае подстановка г — ts сводит интеграл (25.14) к
интегралу от рациональной дроби.
Второй с л у ч а и: q — целое число.
Пусть теперь р = т~, г и s — целые числа. Согласно результатам
пункта 25.1, интеграл (25.14) приводится в этом случае подстановкой
।
г = (а + Ы)‘ к интегралу от рациональной дробя.
Третий с л у ч а й: р + q — целое.
Пусть р = г-, г и s — целые. Запишем для наглядности интеграл
(25.14) несколько в другом виде:
J(о + Ыу to Л = J tp+e! dt.
Снова имеем интеграл типа рассмотренного в том же пункте 25.1.
На этот раз к интегралу от рациональной дроби его приводит под-
становка
1
(а + bt\s
г=А-~Н •
Итак, в трех случаях, когда одно из чисел р, q или р + q является
целым, интеграл (25.14) при помощи указанных выше подстановок
приводится к интегралу от рациональной дроби.
Применительно к интегралу (25.13) этот результат выглядит
„ m-1-l /71-1-1 ,
следующим образом: когда одно из чисел р, п или —-—И р
является целым, интеграл (25.13) может быть сведен к интегралу от
рациональной дроби. При этом в случае, когда р целое, это сведение
осущес!вляет подсчановка
п
г — г
368
f ?5, Интегрирование некоторых иррациональностей
, tn 4- 1 m 4- 1 г
где число s является знаменателем дроби-----, т. е. —— = —;
1 п п s’
m 4- 1
в случае, когда —целое,— подстановка
£
г = (а+ bxn)s ,
где число s является знаменателем дроби р, т. е. р — — ; а в слу-
m 4- 1
чае, когда —-----\-р целое, —подстановка
1
z — (ах~п + b)s ,
где число s также является знаменателем дроби р.
П. Л. Чебышев *’ показал, что при показателях т, пир не удов-
летворяющих вышеуказанным условиям, интеграл (25.13) не вы-
ражается через элементарные функции.
При м е р. Рассмотрим интеграл
.имеем второй случай.
Сделаем указанную выше подстановку:
/ _®\Т
2 = ^1— х 2) , (25.15)
отсюда
_2_
х = (1—г4) 3,
я -А
dx=-g-(l—г4) 'А zsdz,
и потому
2з 1 1 I 1 4” 21 1 . ।
3(1 _ ,п arct§ г + С>
где г выражается через х, согласно формуле (25.15).
*> П. Л. Чебышев (1821—1894) — русский математик.
369
С Рп(х)
25.4. Интегралы вида I , , --------- - Лх
J V ax'- f Ьх 4- с
25.4. Интегралы вида
_____________dx
V ах- -}- Ьх + с
Рассмотрим интеграл
____________ dx,
Vах2 + Ьх d-c
a=jP0,
где Рп(х) — многочлен степени п 1. С принципиальной точки
зрения этот интеграл всегда можно свести к интегралу от рациональ-
ной дроби с помощью одной из подстановок Эйлера (см. п. 25.2).
Однако в данном конкретном случае значительно быстрее к цели
приводит обычно другой прием.
Именно покажем, что имеет место формула
f dx —
— Pn — i(x) /ах2 fex + с + « [ х ... , (25.16)
J |/ ах2 + Ьх -|- с
где Р„_|(х)—многочлен степени не выше, чем п—1 а а—не-
которое число.
Итак,- пусть многочлен
Pn(x) = anxn + a„_ix',-1-|- ... -|-а0 (25 17)
задан. Если существует многочлен
P„_i(x) = 6„_1xn-I4-b„_2xn-24- ... +&о> (25 18)
удовлетворяющий условию (25.16), то. дифференцируя это равен-
ство, получим
- Р'п_, (X) Vax2+bx + c +
[/ах2 4- Ьх + с
Рп-х (x)(2ax + b) g
2 У"ах2 4- Ьх + с ~[/ах2 4~ Ьх 4- с
или
2Pn (х) = 2Р' _! (х) (ах2 4- Ьх 4- с) + Р„ -1 (х) (2ах 4- Ь) 4- 2а. (25.19)
Здесь слева стоит многочлен степени п, а справа каждое слагаемое
также является многочленом степени не больше п.
Замечая, что
Р„_! (х) = (/г—l)fe„_i х';-24- ... 4-/с6йх*-14- ... 4-t1( (25.20)
370
$ 25. Интегрирование некоторых иррациональностей
и подставляя (25,17), (25.18) и (25.20) в (25.19), имеем
2(a„xn+tzn_ix«-4- ... Н-а1л4-а0) =
= 2(ах2+ 6х-|-с)[(п —1)6,г-1 х"~2+ ... 4-Л6ах*-,+ ...-|-61] +
+ (2ах+6)(6,г_, %«-'+ ... +bhxk+ ... +60)Ч-2а.
Приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней х, получим
следующую систему п линейных уравнений с п неизвестными
60, bv .... bn-i, а:
2с0 = 2с b± + bb0 + 2а,
2d! — 2ЬЬ1 -ф 4с62 -ф 2а 60 -ф bbv
2ah — 2(k—1) abk-1 + 2kbbh-p2(k + 1) cbk+i -ф (25.21)
-}-2a6*—i + bbht
2an-i = 2(n—2)abll^2 + 2(n—l)bbn_l + 2abn-2 + bbn-i,
2an — 2(ti— 1) ab,t-i + 2аЬп—\.
Из последнего уравнения сразу находится bn—i’.
Подставляя это выражение в предпоследнее уравнение и замечая,
что в этом уравнении коэффициент у неизвестного Ьп_2 равен
2а (п—1) =^=0, найдем значение 6п-2- Подставляя далее значения
Ьп-\ и Ьп-2 в предыдущее уравнение, найдем значение Ьп-3,
и т. д. Последовательно получим все значения неизвестных
bk(k~O, 1, ..., п—1). После этого из первого уравнения сразу
находится неизвестное а.
Таким образом, система (25.21) имеет решение при любых значе-
ниях а0, аь ..., ап, поэтому определитель этой системы не равен нулю
и указанное решение единственно.
При практическом применении формулы (25.16) многочлен Рп^(х)
пишут с неопределенными коэффициентами, которые находят, решая
систему (25.21). После этого вычисление данного интеграла сводится
к вычислению интеграла
г dx
J 1/ах2+ bx-f-c ’
который в случае, когда подкоренное выражение положительно на
некотором промежутке, легко сводится к табличному (см. п. 22.3).
26.1. Интегралы вида f R (sin x, cos x) dx
871
Интегралы вида
dx
(x — X)* ['ax- + bx + c
подстановкой
сводятся к интегралам рассмотренного типа (25.16).
§ 26 ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
26.1. Интегралы вида |/?(sin.r, cosx)dx
Подстановка
сводит указанный в заглавии интеграл к интегралу от рациональной
дроби. Действительно,
2 sin cos Д 2 tg —
9 9 ° 9
sin х =---------------=----------глг“2 >
cos2 у 4-Sin2— 1 + tg2
2u
cos x —
cos2 Д — sin2 Д
2*1 2 X
cos2 -g- + sln 2
1 — и2
1 + u2’
x = 2 arctg u. dx = t , (26.1)
поэтому
j7?(sinx,cosx)dx = 2j/?fj-^,
Таким образом, получим интеграл от рациональной функции.
Вычислим указанным методом интеграл
dx
1 д sin х '
Используя формулы (26.1), получим
( dx q С du 2 . __ 2 . г-.
j i+sinxz = — гп/'; а. *+
1 + 'б 9
372
§ 26. Интегрирование некоторых трансцендентных функций
Следует, однако, иметь в виду, что, хотя с принципиальной точки
зрения рассматриваемые интегралы всегда можно привести к ин-
тегралу от рациональной дроби указанным методом при практиче-
ском его применении он часто приводит к громоздким вычислениям;
вместе с тем другие методы, в частности подстановки вида
u = sinx, u = cosx, u = tgx, (26.2)
иногда значительно быстрее позволяют вычислить нужный интеграл.
С dr
Примеры. I. Рассмотрим интеграл j Представим
его в виде
сразу видно, что в этом случае очень удобна подстановка
u = tgx:
= 1 (1 + tg2 х) d tg х = J (l + uz)du =
, U3 . Z-, . , tg3 x -, „
— u 3’ + C — tg x ч------3—|- c.
2. Представляя интеграл I в виде
dx _____ f sin x dx
sin3 x ~ J sin4 x
легко убеждаемся в целесообразности подстановки u = cosx;
действительно.
3. Иногда при вычислении интегралов, подынтегральное выра-
жение которых содержит sin х и cos х, бывает полезно прибегать и
к другим искусственным приемам, используя известные тригоно-
метрические формулы, как. например, формулу sin2 х + cos2 х = 1.
26.2. Интегралы вида [ sinmx cos” г dx
373
Покажем на рассмотренном только что примере способ применения
этой формулы:
rfv
j sin3 х
С sin’ х + cos2 х
J sin3 л'
dx
cos x
d (sin x)
sin3 x
= In
COS X , 1 [“ d COS X
2 sin2 x'2 I sin2 x
= ln|tg||
cos x 1 f dx
2 in2 x 2 I sin x
it IL x I
= У1прё 2 j
cos X , r
2sin2x
Как и следовало ожидать, получился тот же результат, правда,
записанный несколько иначе.
26.2. Интегралы вида j sinm?'cos"x4/x
„ Пусть m ил — рациональные числа. Интеграл
j si nm х cos" х dx с помощью подстановок w = sinx или u = cosx
сводится к интегралу от дифференциального бинома.
Действительно, полагая, например, u = sinx, получим
।
COS X — (1 —п2)2 ,
du —cos xdx, dx = (l—и2) 2 du,
и потому
„ п— 1
si nm х cos" х dx = I um (1 — u2) 2 dx.
Таким образом, интеграл Jsinmx cosmxdx выражается или нет
через элементарные функции в зависимости от того, обладает этим
свойством или нет получающийся интеграл от дифференциального
бинома.
В случае, когда m и п целые (не обязательно положительные)
числа, интеграл
sinm х cos'” х dx
относится к типу интегралов, рассмотренных в предыдущем пункте
в частности, для их вычисления целесообразно применять подстанов-
ки (26.2).
374
§ 26. Интегрирование некоторых трансцендентных функций
Например, если m = 2k + 1 (соответственно п = 2k + 1) —
нечетное число, то можно сделать подстановку и = cos х (соответст-
венно и = sin х):
J sin2A‘+1 х cos" х dx = — j (1 —cos2 x)* cos" x d cos x —
— — J (1 — u2)k un du,
рассматриваемый интеграл сведен к интегралу от рациональной
дроби.
Аналогичный результат можно получить и для интеграла
\sinmx cos2*+' xdx с помощью подстановки и — sin х.
Если оба показателя степени m и и положительны и четны (или
один из них ноль), то целесообразно применять формулы
sin2x
1 — cos2 2х
— 2
9 1 -f- cos 2х
COS2 X —------—Б--------
которые, очевидно, приводят рассматриваемый интеграл к интегра-
лам того же типа, но с меньшими, также неотрицательными показа-
телями. Например,
f 2 1 f 1 +cos 2.x , х , sin 2х .
cos2 xdx — i --------dx == yH----— + C.
26.3. Интегралы вида J sin ax cos p xdx,
J sin a л-siiif} xdx, j cos ax cos p xdx
Указанные в заглавии пункта интегралы непосредствен-
но вычисляются, если в них подынтегральные функции преобра-
зовать согласно формулам
sin ax cos рх — [sin (a + Р) x-ф sin (a— P)x],
sin ax sin рх — у [cos (a—P) x—cos (a 4- P) x],
cos ax cos Рх = у [cos (a 4- P) x 4- cos (a—P) x].
Например,
j sin2xcosxdx = yJ(sin3x4-sinx)rfx=»
= —~cos3x— у cosx4- C.
26.4. Интегралы от трансцендентных функций
875
26.4. Интегралы от трансцендентных функций,
вычисляющиеся с помощью интегрирования
по частям
К числу интегралов, указанных в заглавии этого пункта,
относятся, например, интегралы
J еал cos рх dx,
J x" sin ax dx,
। x" arccos x dx.
J eax sin 0x dx, ( x" cos ax dx,
J x" eax dx, J xn arcsi n x dx,
I x" arctg x dx, I x" arcctg x dx,
J x" In x dx (n—целое неотрицательное).
Все эти интегралы вычисляются с помощью, вообще говоря, по-
вторного интегрирования по частям.
Действител ьно,
/ = J еал cos Рх dx = J еах d sin^x =
P*-|yg°*sinPxdx =
eaxsinPx а Г ax j ( cos Px A
= ——fJe Д—rr
eax (P sin Px + a cos Px) a2 ,
= 02 ' ~ 02 7 >
откуда
. ea* (P sin Px + a cos Px) . p
' -- j 09 '
(26.3)
a2 + P2
Аналогично вычисляется и интеграл I sin. рх dx.
В интегралах j x"cosaxdx, j" xnsinaxdx, J x"eajrdx, поло-
жив и = x" и соответственно dv — cosaxdx, dv — sinaxdx,
dv~eaxdx, после интегрирования по частям снова придем к ин-
тегралу одного из указанных видов, но уже с меньшим на еди-
ницу показателем степени. Применяя этот прием п раз, придем
376
§ 26. Интегрирование некоторых трансцендентных функций
к интегралу рассматриваемого типа с п = 0, который, очевидно,
сразу берется. Например,
J a2 si п х dx — j x2d (—cos x) = — x2 cos x ф- 2 j*x cos x dx *=
— — x2 cos x -|- 2 J xd sin x — x2 cos x ф- 2x si n x—
— 2 J sin x Фа = —x2cosx-p2xsinx4-2cosx-|-C.
Используя интегралы, рассмотренные выше, можно вычислять
и более сложные интегралы, например, вычислим интеграл
J хп еах cos рх dx.
Интегрируя по частям и применяя (26.3), получим
(A-e‘,40SPA-dx= Схм[—-(P---inaPlt8KC0SM1-
.) J L КЧФ J
= хЛ Р ЫП РА_|-_а COSJA "Р f х'1—1 eaAsinpAdx—
а2 -|- р2 а2 + р2 J г
— У л"’ ~1 cos ₽А'dx-
Полученные в правой части интегралы — того же типа, что и
исходный, только степень у х на единицу меньше. Применяя по-
следовательно указанный прием, мы придем к интегралам вида
J еаА sin dx и [ еах cos Ра dx,
которые были рассмотрены выше.
Наконец, интегралы Ja” arcsin х dx, j*A" arccos x dx, J a" arctg x dx,
§ x"arcctgxdx и Jx"lnxdA сводятся интегрированием по частям
к интегралу от алгебраической функции, если в них положить
dv = xndx, а за функцию и взять оставшуюся трансцендентную
функцию, т. е. одну из функций: arcsin a, arccos a, arctgа,
arcctgA, In а. Например,
fl ,/ fl J A8 A8 In А 1 f , A8 In А А8 , г,
( х In xdx — ill Aflj = —2---2” ) Х dx " —2--4”^ С’
26.5. Интегралы вида j /? (ch х, ch х) dx
Подстановка
и — tliy
сводит указанный в заглавии интеграл к интегралу от рацио-
нальной дроби.
26.6. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
377
Действительно,
, , 1 + и2 , 2du
sh X = .---5 , ch х = —'—= , dx = ----5
1 — и2 1 — u2 ’ 1 — u2
поэтому
j R (sh x, ch x) dx = 2 J R
2и 1 + u2\ du
— u2 ’ 1 — u2) 1 — u2 ’
В конкретных примерах иногда оказывается значительно удобнее
использовать подстановки вида и = sh х, и = ch х или и = th х,
позволяющие вычислить интеграл существенно проще (ср. п. 26.1).
Интегралы вида J shmx ch" х dx, где m и п — рациональные
числа, с помощью подстановок и = sh х (и — ch х) приводятся к ин-
тегралу от дифференциального бинома (ср. п. 26.2).
26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся
через элементарные функции
Мы рассмотрели различные классы элементарных функ-
ций и нашли их первообразные, которые также являются элементар-
ными функциями.
Однако не всякая элементарная функция имеет в качестве
своей первообразной элементарную же функцию.
С подобным обстоятельством мы уже встретились при рассмотре-
нии интеграла от дифференциального бинома: в этом случае подын-
тегральная функция элементарная (алгебраическая функция), а ин-
теграл от нее, как отмечалось, вычисляется далеко не всегда.
Можно показать, что интегралы
f <?Л , Г sin х , . Г cos х ,
J Д dx’ J ~Д~ dx’ J “Д~ dx
(п — натуральное число) также не выражаются через элементарные
функции.
Имеется ряд интегралов от элементарных функций, не выража-
ющихся через элементарные функции и играющих большую роль
как в самом математическом анализе, так и в его разнообразных при-
ложениях. К таким интегралам относится, например, интеграл
j e~*2 dx,
а также так называемые эллиптические интегралы
J Я (х, УР (х) )dx,
’78
4 26. Интегрирование некоторых трансцендентных функций
где Р(л) — многочлен третьей или четвертой степени. В общем слу-
чае эти интегралы не выражаются через элементарные функции.
Особенно часто встречаются интегралы
f - dx - и С , 0</г<1,
J VO-Х2) (1-^2 х2) J Н1--*2)(1-/г2х2)
которые подстановкой х — sin <р приводятся к комбинациям
интегралов
они называются, соответственно эллиптическими интегралами пер-
вого и второго рода в форме Лежандра*}.
Упражнение 1. Вычислить интегралы:
j 2. 1 3. 1 4. 1 5. 1 6- ! ч 8. | ч 10. 1 11. 1 12. I 13. 1 14. 1 15. 1 1 | х | dx. 16. j" (2х— 5)г dx. j | sin2 xdx. п ( 1 \ 18. 1 | ( 2х2— Зх + — Idx. J Г4 ^arccos х р) | Iv.-x2^ ‘ ” r 20. 1 | x2 2x3 — 1 dx. «- r dx 2I-1 f X" + 1
) X2(X— 1) (x+ I)2 ,U- ’ 2x3 + X2 + 5x + 1
| (x24-3)(x2 —x+1) dx‘ ” dx
| (1 — x)(1 4- x3) • 4x2 — 8x
| (x — l)2(x24 I)2 ,u- x1 dx
| xle + 1 • ’ dx
| X2(X2 + 1)2 • P x + r<x2 + ^X ,
1 COS X * u | ctg xdx. \xe~^dx. 23. | | In x dx. | arctgxdx. 24. j” arctg2 x dx. । | Д/х2+ 3 dx.
1 x(l+^x-) ,IX- dx
| yr(2-|-x)(2-A)3 f 1 '[/l x x2
| xVl+x + x2 1 (/ x (1 — x2) dx. ’ (x2 + 1) dx
[]/x2— Idx. J Г xdX 27 ( 1 J/—x2+3x—2 1 x3 dx
|(x+l)(x + 2)(x-3)* J 1 (x—1)г1/х2 P 2x + 4
’) А. Лежандр (1752—1853) — французский математик
27.1. Определение интеграла по Риману
379
ж; j" sin3 хcos8 xdx.
29. | । sin4 x dx.
30. | sin2 x |cos2x dx-
31 • ’ ‘‘ dx
| cos x sin2 x ’
32. 1 " dx
| 2 + cos x ‘
33. J । sin 3xcos 5xdx.
34. j arccos2 x dx.
35. J х2 arcsin2 х dx.
J sh х — 2ch к '
37. Jx3 In3 x dx.
38. j" xex sin x dx.
nn f In (x + 1Л + x2) ,
. i g dx»
J (1 + x2p
Г dx
j sin4 x 4- cos4 x ’
§ 27. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
27.1. Определение интеграла по Риману
Напомним (см. п. 16.3), что разбиением т отрезка [а, 6]
'называется любая конечная система его точек xt, 1 = 0, 1,2.k,
такая, что
а = А'о < Хх < ... < А>_1 < xh — Ь.
При этом пишется т = {хг}/1*. Каждый из отрезков [xt_i, xj,
iZ=l, 2,..., k, называется отрезком разбиения т, его длина обо-
значается Ахх; Ахх = хх—Xz—i, 7=1, 2,..., k.
Величина
6_ = max Ах=
Т Z-=1.2____k
называется мелкостью разбиения т.
Разбиение т' отрезка [п, Ь\ называется следующим за разбиением
т того же отрезка или подразделением отрезка т, если каждая точ-
ка разбиения т является и точкой разбиения т'; иначе говоря, если
(каждый отрезок разбиения т' содержится в некотором отрезке раз-
биения т. В этом случае пишут т' т, или, что то же, т«<т'.
Совокупность всех разбиений данного отрезка обладает следую-
|щимн свойствами.
1. Если тх < т2, а т2 < т3, то тх -< т3.
2. Для любых тх и т2 существует такое т, что т )> tx и т т2.
В самом деле, первое свойство следует просто из того, что в силу
условия т3 т2 каждый отрезок разбиения т3 содержится в некото-
ром отрезке разбиения т2, который в свою очередь, согласно условию
(т2 )> тх, содержится в каком-то отрезке разбиения тх; таким образом,
всякий отрезок разбиения т, лежит на определенном отрезке раз-
биения тх — это и означает, что т3 >- тх.
380
§ 27 Определенный интеграл
Для доказательства второго свойства разбиений заметим лишь,
что если заданы два разбиения т, и т2, то разбиение т, состоящее из
всех точек, входящих как в разбиение тъ так и в разбиение т2, оче-
видно, будет следовать за Tj и за т2.
Пусть теперь на отрезке [а, Ь\ определена функция / и пусть
т = — некоторое разбиение этого отрезка:
Ах; =--х,—х,_ i, /=1, 2,..., k,
а бт—мелкость этого разбиения.
Зафиксируем произвольным образом точки £[X/_i, xj,
г — 1, 2.. k, и составим сумму
k
or(f; U-. U=Sf&)A*z-
i=i
Суммы вида <тт(/; ..., Eft) называются интегральными сум-
мами Римана*'1 функции /(см. рис. 84). Иногда для краткости
мы будем их обозначать от(/), oT(Ei..£д) или даже просто оТе
Определение 1. Функция! называется интегрируемой (по Рима-
ну) на отрезке [а, 61, если существует такое число А, что для любой
последовательности разбиений отрезка [а, 61
п=1, 2,...,
у которой lim 6Т — 0, и для любого выбора точек
П-+ОО п
хП 1=1, 2,..., kn, /1=1, 2,...,
выполняется равенство
kn
Hm £ /(^",)ДхН=Д, (27.1)
П-»оо 7=1
где
АхГ’^х^’-хГЛ; z = 1, 2, .... k,;, n=l, 2...
При выполнении этих условий число А называется (Романо-
вым) определенным интегралом функции [ на отрезке [а, 6)
ь
и обозначается j f (х) dx.
а
Таким образом,
f/(x)dx = limoT (/; £(Г,..., ^’),
J со
а
где
*) Г. Риман (1826—1866) — немецкий математик.
27 I Определение интеграла по Риману
381
Для краткости записи будем в этом случае просто писать
ь
f (х) dx = lim от (/).
а 6-0
т
Подобно тому как определение предела функции можно сформу-
лировать двумя эквивалентными способами с помощью пределов
последовательностей и с помощью «(е-б)-языка», так и определение
интеграла можно сформулировать иначе.
Определение 2. Число А называется определенным интегралом
функции f на отрезке [а, Ь\, если для любого е > 0 существует
8 = б(е) > 0, такое, что, каково бы ни было разбиение т = {х;}<“^
отрезка 1а, 61, мелкость которого меньше 6: бт < б, « каковы бы ни
были точки
xj,
выполняется неравенство
^ЦЪ^-А
1=1
е»
где
Ах; = х;— Х(_1, i — 1, 2,..., k.
Упражнение 1. Доказать, что два данных выше определения оп-
ределенного интеграла эквивалентны.
Заметим, что рассмотренное здесь понятие предела интегральных
сумм Римана является новым понятием, не укладывающимся ни
в понятие предела последовательности, ни в понятие предела функ-
ции.
В дальнейшем придется использовать аналогичное понятие пре-
дела не только для интегральных сумм Римана, но и для других
объектов. Поэтому сформулируем общее определение предела этого
вида.
Определение 3. Рассмотрим множество %={х}всех разбиений
отрезка [а, 6]. Пусть на этом множестве определена числовая, вообще
говоря, многозначная функция Ф(т), т £ £. Будем говорить, что функ-
ция Ф(т) при бт -> 0 имеет предел, равный А, и будем писать
lim Ф (т) = А,
бт-о
если для любой последовательности разбиений хп^%, п — 1, 2,
такой, что lim 6X(j = 0, при любом выборе значений Ф(т,г) числовая
последовательность Ф(т„) сходится к числу А, т. е,
ПтФ(гп) = Л.
332
27. Определенный интеграл
Поскольку это понятие предела определено с помощью понятия
предела последовательности, то для него оказываются справедливы-
ми многие свойства, аналогичные соответствующим свойствам пре-
дела последовательности. С соответствующими примерами мы встре-
тимся в дальнейшем.
Как и в случае предела интегральных сумм Римана, понятие
этого предела можно сформулировать на «(е — б)-языке», что предо-
ставляется читателю.
27.2. Ограниченность интегрируемой функции
Теорема 1. Если функция f интегрируема на отрезке
[а, Ь], то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция f не ограничена на
отрезке [а, Ь\ и пусть фиксировано некоторое разбиение т= (xf}J=o
этого отрезка. В силу неограниченности функции f па всем отрезке
[а, 61 она не ограничена по крайней мере на одном отрезке
разбиения т. Пусть для определенности функция f не ограничена
на отрезке [х0, xj, тогда на этом отрезке существует последователь-
ность l)'0 0хо, *11, п = 1, 2,..., такая, что *>
limf(^n)) = oo. (27.2)
П->оо
Зафиксируем теперь каким-либо образом точки £г£[х/_1, х,-|,
t = 2, 3,..., k, тогда сумма
k
i=-2
будет иметь вполне определенное значение. Поэтому в силу (27.2)
limoT(f; g2.........
U = lim
n->2
k
Дхх+ Ядах,.
4=1
-- oo,
и, значит, каково бы ни было число М 0, всегда можно подо-
брать такой номер п0, что если на первом отрезке [х0, хх] взять
точку ^"о), го
1<ч(л ^"о)- и..., ёй)|>м.
Отсюда следует, что суммы от не могут стремиться ни к какому пре-
делу при бт -> 0.
Теорема доказана.
«) Действительно, в силу неограниченности функции f на отрезке
[хо, Х11, например, для любого натурального п = 1, 2, ... существует точка
&1''* б 1Л'о. X1J, такая, что | /(ё*"’) | > п. Очевидно, что последователь ость
(V'PJ и удовлетворяет условию (27.2),
27.3. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу
383
Условие ограниченности функции f, являясь необходимым усло-
вием интегрируемости функции, не является вместе с тем достаточ-
ным для интегрируемости. В качестве примера, доказывающего это
утверждение, рассмотрим так называемую функцию Дирихле .
(1, если х рационально,
' (0, если х иррационально.
Рассмотрим эту функцию, например, на отрезке [О, I]. Она,
очевидно, ограничена на этом отрезке. Покажем, что она не
интегрируема. Зафиксируем произвольное разбиение т = {х;}‘~0
отрезка [0, 1]. Если выбрать точки ь xj, i— 1, 2,..., k,
рациональными, то получим
k k
2 Дхг =1,
f=l i=\
а если взять иррациональными, то получим
k
oT=2/(gf)Axf = 0.
i=l
Так как это верно для любого разбиения т, то интегральные сум-
мы заведомо не стремятся ни к какому пределу при 6т->0.
27.3. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу.
Верхний и нижний интегралы Дарбу
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, Ь(,
т = {-'-iliZo—некоторое разбиение отрезка [а, Ь] и
Дх4 = хг—л',-1, Z= I, 2. k.
Положим (рис. 84)
= sup f(x), tnt= inf f(x), г=1, 2.............. k,
*7—*7—
5т==5т(/)=2/ИгДхг, (27.3)
»—1
ST = Ла> (27-4)
Очевидно,
sT ST.
<0 Л. Дирихле (1805—1859) — немецкий математик.
384
§ 27. Определенный интеграл
Сумма ST называется верхней интегральной суммой Дарбу*},
а сумма sT — нижней
Отметим следующие свойства интегральных сумм Дарбу.
1. Если функция f ограничена, то при любом разбиении суммы
Sx и sT определены, т. е. и тг, i — I, 2, .... k, конечны, и потому
выражения (27.3) имеют смысл.
2. Если т т', то
\ Sx и sT sT-.
Доказательство. Пусть
т и т ={^}/Zo — два
разбиения отрезка [о, 6|, пусть
т т' и пусть
пц— inf f(x), i=I, 2, ..., k,
xt—
m'i== inf f (x), / = 1, 2,.... k‘.
Если [x/_i, xjclx,-!, xj, то, очевидно,
mt < nip (27.5)
В силу условия т т' каждый отрезок [х/_i, х;] разбиения т
является объединением каких-то отрезков разбиения т'; будем
обозначать эти отрезки [x/._i, х/;].
Таким образом, если
Ах t = хг — х,_ 1 и
а%;. = X, — х/ !, 1 1 1 1
то (рис. 85) ji
Ахг = 2Л^/ • Р“с- 85
h 1
Используя эти обозначения и неравенство (27.5), получим
* * , *
«т = 2 "Ц Ах; = 2 «г, 2 Дл'/г = 2 2 mt
Z=1 Z=l h Z=1 Ц
k !<'
< 2 2 тц Ьхц = 2 m’i Л-Ч = Sv-.
Мы доказали, что sT<sT-. Аналогично доказывается, что
SX>SX при г<т'.
*) Г. Дарбу (1842—1917) — французский математик.
27.3 Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу 385
Следствие. Для любых двух разбиений тх и т2 отрезка
[а, 6] выполняется неравенство
Ч < \2, (27.6)
т. е. любая нижняя интегральная сумма Дарбу меньше любой
верхней.
Действительно, если даны два разбиения тл и т2 отрезка
ja, 1>1, то существует разбиение г этого отрезка, такое, что
т)> тх и to (см. и 27 1). Применяя свойство 2, получим
sT ST ST
। L L tg
Следствие доказано.
3. Если ох — иТ([- Ч ..., lh)~какая-либо интегральная сумма
Римана, соответствующая данному разбиению т, то
ьт= inf от<от< sup oT = ST.
-f...Sfc £z..
Доказательство. Пусть т = {хг}‘2* — разбиение отрезка
fa, ft] и xt], i—1, 2,..., k.
Если заданы какие-либо числовые множества Xit i = 1, 2,..., k,
и постоянные а,Д>0, z=l, 2,..., k, то для множества
{k )
х: х = У af xt, xt £Xt, i = 1, 2,..., H,
z-i J
как легко видеть, справедливы равенства (почему?)
k I?
sup X — У, at sup Лг, inf Л = 2 at inf Xt.
Z=1 z=i
В силу этого имеем
/г k
= 2 "1; Ал-г = у; inf /(аг)Ахг =
Z = 1 z=.l
= inf ij/(lz)A^.=
*Z-l<g/^z !=i
г=1. 2, ... , k
inf oT(f; ёг,..., ^,)<ot(/; gft).
*Z-1<^^Z
Z=1. 2.k
38в
§ 27. Определенный интеграл
Аналогично
ST — Ах, = У sup f (£,) Ax, =
Z=1 i = l
k
= sup 2/(^)Ахг = sup GT(f;|1..............gA)>oT(f;^i.....U-
xi- z==1 xi—
i=l, 2..k 1=1, 2..k
Свойство 3 доказано.
4- ST—ST= 2 ®Д/),
z=i
где a>i(f)—колебания функции f на отрезке [x(-_i, xj (см. п. 19.5),
i = l, 2,..., k.
Доказательство. Отметим сначала, что если для
двух данных числовых множеств X и Y положить
Z={z:z = x— у, xQX, у£У}, то supZ = supX— inf У (почему?).
Используя это, получим
/И,—mt — sup /(х)— inf f(x)= sup [f(x")—/(x')J=>
= <»,(/), 1=1, 2, ... , k,
поэтому
A k
ST—ST= s (Al; —m;)Ax; = 5
i=1 i= 1
Положим теперь
I ~ sup sT, 7 = inf Sr,
~ T T
/ называется нижним интегралом Дарбу, а 7 — верхним.
Из свойств 1 и 2 интегральных сумму Дарбу следует, что если
функция f ограничена, то как нгГжиий ее интеграл Дарбу, так и
верхний конечны. Из следствия свойства 2 следует также, что
1 < (27.7)
27.4. Необходимые и достаточные условия
интегрируемости
Теорема 2. Для того чтобы ограниченная на некотором
отрезке функция была интегрируема на этом отрезке, необходимо
и достаточно, чтобы
lim(ST—sT) = 0. (27.8)
27.4 Необходимые и достаточные условия интегрируемости
387
Условие (27.8) означает (см. определение 3 в и. 27.1), что для всякого
е 0 существует 6 = 6(e), такое, что
1\ — «т1<е
(27.9)
для любого разбиения т мелкости 6Т < 6.
Поскольку sT < <ST, то неравенство (27.9) равносильно неравен-
ству
5т—£т<е-
Доказательство необходимости. Пусть ограни-
ченная на отрезке 1о, Ь] функция / интегрируема на этом отрезке и
пусть
а
тогда
limoT = /.
6т-О
Поэтому для любого е>0 существует 6 — 6(e)> 0, такое, что
если 6Т<6, то
|от—/Ке, или 7—е <от<7 -|-8.
Отсюда при 6Т<6, согласно свойству 3 интегральных сумм
Дарбу (см. п. 27.3), получаем неравенство
/—е < sT < ST < /е.
Таким образом, если 6Т<6, то
О С ST — sT < 2е,
а это и означает выполнение условия (27.8).
Доказательство достаточности. Пусть функ-
ция f ограничена и имеет место (27.8). Из определения нижнего и
верхнего интегралов Дарбу и из неравенства (27.7) имеем
sT<_/<7<ST, (27.10)
поэтому
0 < I—7 < —sT>
откуда в силу (27.8) следует, что 7 — 7 = 0. Обозначая их общее
Значение просто через 7, т. е. 7=7 = 7, из (27.10) получим
s.
'V
388
$ 27. Определенный интеграл
и потому
О < /—sT < S_—sT, О С S.—I < Sx—sx.
Отсюда в силу (27.8) следует, что
lim (/—s_) = lim(ST—/) == О,
6т>0 6т->о
а значит,
lim s_ = lim Sx = I. (27.11)
бт-*о 6T-o
Но в силу свойства 3 интегральных сумм Дарбу (см. и. 27.3)
sT<oT<ST. (27.12)
Из (27.11) и (27.12) следует (ср. аналогичные утверждения
в и. 3.1 и 4.5), что
lim о_ = /,
Vе
это и означает интегрируемость функции f.
Теорема доказана.
Следствие. Если функция f интегрируема, то не только ее
интегральные суммы Римана, но также и интегральные суммы Дарбу
стремятся к ее интегралу, когда мелкость разбиения стремится
к нулю.
Действительно, если функция f интегрируема, то выполняется
условие (27.8), а из него, как мы видели, и следует условие (27.11).
Задача 14. Доказать, что, для того чтобы функция была интегрируема
на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и чтобы ее
нижний и верхний интегралы Дарбу совпадали; при этом общее значение
этих интегралов и является ее интегралом.
27.5. Интегрируемость непрерывных
и монотонных функций
Теорема 3. Функция, определенная и непрерывная на
некотором отрезке, интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция f непрерывна на от-
резке [а, 6]. Из непрерывности функции на отрезке, во-первых, сле-
дует ее ограниченность (см. п. 6.1), а во-вторых, ее равномерная не-
прерывность (см. п. 19.5) на этом отрезке, т. е.
lim со (6; f) = 0, (27.13)
6-0
где со(ё; f)—модуль непрерывности функции f.
27 5 Интегрируемость непрерывных и монотонных функций 389
Согласно свойству 4 интегральных сумм Дарбу (см. п. 27.2).
для любого разбиения т={х4}‘г~* отрезка \а, 6]
ST(0— МЛ= S ЛаТ
'==!
где coz (/)—колебания функции f на отрезке [xz_i, xj, i = I, 2,..., k.
Замечая, что
co1(/)= sup [/ (x")—f(x')\ < sup [/(%") —/(%')] = co (6T; f),
I x"—X' K6T
*Z— a^x'^J)
a^x"^.b
имеем
St(f)—sT(f)< 2со/.(/)Дх/.<со(бт; f) 2 Axz = (fc—o.)co(6T; f).
Отсюда в силу (27 13) следует, что
lim[ST(/)—sT(/)J = O,
поэтому (см. п. 27.4) функция f интегрируема на отрезке [с?, 6].
Теорема доказана.
Теорема 4. Функция, определенная и монотонная на отрезке
|а, &], интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция /(х) монотонна на от-
резке [«, Ь], например, монотонно возрастает на этом отрезке. Тогда
/(fl)<(W<((&), о<х<6.
Таким образом, функция / ограничена на отрезке [о, Ь].
Далее, для любого разбиения т={хг}'“* отрезка [а, &], очевид-
но, имеем
тг^Н^-1)> Mt=f(xt), «=1> 2>-> k,
поэтому ,
5Т(/)—8г(7)= У (Mf—/nz)Ax; =
( = 1
k k
= 2 [/(*;) —f(X/_ 1)1 ДХ;<6Т 2 [ДХ4) —f(x,_,)] =
;=i i=\
= l/(^) —По)]6т.
k
ибо в сумме У If(Xf)—f(xz_i)| взаимно уничтожаются все ела
< — 1
гаемые, кроме f(b) и /(а).
390
§ 28. Свойства интегрируемых функций
Из полученного неравенства следует, что
lim [ST(f)-sT(f)J = O.
St-0
Поэтому (см. п. 27.4) функция f интегрируема на отрезке [а, 6].
Теорема доказана.
Упражнение 2. Если функция j ограничена и непрерывна на
отрезке [а, t], кроме, быть может, конечного числа точек, то она интегрируе-
ма на этом отрезке.
Задача 15. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функ-
ция была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для
любого е > 0 существовала конечная, или счетная, система интервалов, ко-
торые содер?кали бы все точки разрыва заданной функции и сумма длин ко-
торых была бы меньше заданного е.
§28. СВОЙСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
28.1. Свойства определенного интеграла
Будем систематически, не делая специальных ссылок,
употреблять обозначения и терминологию, введенную в предыдущем
параграфе.
ь
1. j clx -= b—а.
I а
Действительно, здесь подынтегральная функция равна единице,
а поэтому для любой интегральной суммы Римана от имеем
k
<Д = 2 Ахг = ^—о.
2. Если функция f интегрируема на отрезке [о, Ь], то она
интегрируема на любом отрезке
[«*, 6*|с[а, &].
Доказательство. Прежде всего, если функция f ограни-
чена на отрезке [с, М, то она, очевидно, ограничена и па отрезке
[а*, &*]. Далее, каково бы ни было разбиение т*= {x*}/Zq* отрезка
[я*, Ь*] мелкости 6Т*, его всегда можно продолжить в разбиение
т = {xJ/Zo отрезка [о, М такой же мелкости = 6Т»; для этого
।добавим к точкам xlt i = 1, 2, ..., k', конечное число соответствую-
щим образом выбранных точек, принадлежащих отрезку [а, 6],
но не принадлежащих отрезку [о*, Д].
28.1. Свойства определенного интеграла
361
Полагая
= inf f(x), М* — sup f(x),
t . * X* ,<x<x*
AX/ = Xi--ЛГ/—1, 1=1. 2.... k*,
k*
и замечая, что каждое слагаемое суммы У (Л4*—т*) Ьх* яв-
<=|
k
ляется и слагаемым суммы У, (А1г—m^bxi и что все слагаемые
i~ 1
обеих сумм неотрицательны, имеем
к*
О < 5_* —sT* = У [м] —/n*i) Ьх} <
z=i
k
< 2 (Mt-mг) Ах; = ST-sT. (28.1)
г=1
Если функция / интегрируема на отрезке [а, 6], то, как мы
знаем (см п. 27.4),
lim (ST—sT) = 0, (28.2)
поскольку 6Т = 6Т*, то из (28.2) и из неравенства (28.1) следует,
что
lim (ST*—sT») = 0, (28.3)
&r*-o
т. е. (см. п. 27.4) функция f интегрируема на отрезке [а*, Ь*1.
3. Пусть а < с < Ь. Если функция f интегрируема на отрезках
[а, с] и [с, Ь\, то функция f интегрируема и на отрезке (о, b\, причем
b с b
j* f (x)dx~\ f(x)dxA [ f(x)dx. (28.4)
a ci c
Доказательство. Если функция f интегрируема на от-
резках Ui, с] и lc, dl, то она ограничена на каждом из этих отрезков,
а значит, и на всем отрезке [о, £>], т. е. существует постоянная А > О,
такая, что
I/(%)!<;Л, Ь. (28.5)
Пусть т — некоторое разбиение отрезка [о, Ь\. Если точка с
не входит в разбиение т, то обозначим через т' разбиение отрезка
(а, Ь\, получающееся из т добавлением точки с; очевидно,
т' т. (28.6)
Если же точка с входит в разбиение т, то положим т = т'.
£ 28. Свойства интегрируемых функций
ЗР2
В первом случае обозначим через Д' и Д" длины двух отрезков
разбиения т', примыкающих к точке с с двух сторон. Очевидно, что
Д = Д'4-Д" является длиной отрезка разбиения т, содержащего
точку с (рис. 86). Верхние интегральные суммы Дарбу ST и функ-
ции / на отрезке In, Ь\ отличаются только лишь слагаемыми, соот-
ветствующими отрезкам разбиения гит', которые содержат точку с.
д
---1—— 1—।—<— 1-------
а--------------------------------'дГС~Д"-*-г
Рис. 86
Обозначая через М’, М" иЛ4 верхнюю грань функции |/| на рас-
сматриваемых отрезках, длины которых обозначены соответственно
Д', Д" и Д, получим (см. также (28.5))
О < ST— Sx, < М’ Д' -4- М" Д" + /4 Д < Л (Д' + Д” + Д) =
= 2А Д < 2А бт,
поэтому
lim(ST-ST,) = 0. (28.7)
6т->0
Аналогично
lim(sT—sTz) = 0. (28.8)
ST-o
Во втором случае при т' —т просто
и условия (28.7) и (28.8) также выполняются очевидным образом.
Совокупность точек разбиения т', принадлежащих отрезку [а, с],
образует разбиение этого отрезка, которое обозначим т'[п, с]; со-
вокупность же точек разбиения т', принадлежащих отрезку 1с, £>], об-
разует разбиение этого отрезка, которое обозначим через т' [с, Ь].
Очевидно,
= 5 х'[а, 4] + \'[с, Ь]. % = ST'[a. с] + ST'[C. 6], (28.9)
поэтому
5гг—Sx'== (ST'[a. <l~ST'la-о) + (^т'[е, 6]~ V[e. *])> (28.10)
28.1. Свойства определенного интеграла
393
и так как функция [ по предположению интегрируема на отрез-
ках [о, с] и [с, Ь], то
lim (5т'[а, — ST'[0. c]) = °> lim <5т'[с, 6]~St'[c, =
%. с] " бт'[г. bp0
Замечая, что 6T,[o c]<;61.z, 6Tz[c 6Tz, отсюда и из (28.10)
имеем
lim (ST< —sT,)== lim (STz c]—sT-[o_c])+lim (ST'[c 6]—sT'tc6]) = 0.
0Tz-0 OT'-0 OT'-*°
(28.11)
Мы видели выше, что выполнение подобного условия для любых
разбиений т влечет за собой интегрируемость функции. Здесь же
рассматриваемые разбиения т' имеют специальный вид: они обяза-
тельно содержат точку с. Для того чтобы перейти к произвольному
разбиению т, представим разность — sT в виде
5Т—sx — (Sx—Sxi)-\-(Sx' — sT')+(sTz — sT).
Теперь из (28.7), (28.8) и (28.11) имеем
lim (S_-sT) = 0, (28.12)
6T-o
и так как т было произвольное разбиение отрезка [о, Ь], то из ограни-
ченности функции / на отрезке [а, Ь] и выполнения условия (28.12)
следует ее интегрируемость на этом отрезке.
Из интегрируемости функции [ на отрезках [<т, с], [с, Ь] и [о, /Я
следует (см. п. 27.4), что
ь ь
lim 5т'[С,г] = §f(x)dx, lim STz[6 с]= f f(x)dx,
6T'[a, rj~*° l! c]*0
b
li in Sx> = ( f (x) dx.
6TZ.O J
Поэтому, переходя к пределу при 6Т- ->0 в первом равенстве
(28.9), мы и получим формулу (28.4).
4. Если функции fug интегрируемы на отрезке |п, 6], то их
сумма f + g также интегрируема на этом отрезке и
Ь I? /
j l/U) + g(x)Jdx= J/(x)d%+j g{x)dx. (28.13)
394
<J> 28. Свойства интегрируемых функций
Доказательство. В самом деле, каково бы ни было раз-
биение т = {xj/Z'o отрезка [а, 6] и точки ф [х,—ь xj,
t = l, 2,..., k, имеем
k
or(f+§) = S [/ &)+g a,)j axz=
k k
= S f (Bz) Ax, + 2 g (&,) Ax,. =-- oT (f) + oT(g). (28.14)
i — 1 i— 1
Поскольку в силу интегрируемости функций / и g существуют
пределы интегральных сумм от(/) и ot(gj при 6г -> 0, то из (28.14)
следует, что существует и предел (почему?)
lim °т (f +g) =lim °т(Л +lim oT(g), (28.15)
6T-o бт-’°
что и означает интегрируемость функции f + g на отрезке 1а, &].
Согласно же определению интеграла,
ь
lim oT(f+g) = J [f (x) -j-g (x)J dx,
ч л
b
lim oT(/:) = ( f(x)dx,
ci
b
limaT(g) = J g(x)dx.
a
Подставляя эти выражения в формулу (28.15), получим (28.13).
5. Пусть функция f интегрируема на отрезке |щ />| и с. — по-
стоянная, тогда функция cf также интегрируема на этом отрезке и
ь ь
cf (х) dx = с j f (х) dx.
а а
Доказательство. Каковы бы ни были разбиения
T = {A'iE=i отрезка [о, й] и точки g; С |х(_ь xj, г = 1, 2,..., k,
имеем
k k
От (Cf) С / (gj Axz = с 2 I (^) Ах, = со (/),
i=l 1=1
28.1. Свойства определенного интеграла
395
отсюда, проводя рассуждения по той же схеме, как и при доказатель-
стве предыдущего свойства, получаем
v b
с [ (х) dx = lim сгт (с f) = lim с = с lim от(/) = с [ f (х) dx.
а д^-.О 6^->0 6^-.О а
6. Пусть функции 1(х) и g(x) интегрируемы на отрезке [о, Ь],
тогда и их произведение f(x)g(x) также интегрируемо на этом от-
резке.
Доказательство. В силу интегрируемости функций f
и ц на отрезке [а, М они ограничены на этом отрезке, т. е. существуют
постоянные М > 0 и Л/ > 0, такие, что
|f(x)|<Af, |g(x)|<tf (28.16)
для всех х £ fa, £>].
Пусть т=={х;}^р — какое-либо разбиение отрезка [а, &]. Оце-
ним теперь выражение f(x")g(x")—f(x')g(x'); для этого добавим
и вычтем из него f(x')g(x"), тогда
f(x")g(x")— f(x')g(x') —
= If (x")—f (x')\ g(x") + [g (x")—g(x)] f (x'). (28.17)
Для точек x'^jxi^.1, x;] и xj из (28.16) и (28.17) сле-
дует, что
I f (х) g (x")-f (x) g (x) I < (f) + (g), (28.18)
где <ог(/) и <»;(g)cyTb колебания функций f и g на отрезках
|x,_i, xt], i—l, 2... k.
Из неравенства (28.18) для колебания соД/g) произведения fg
на отрезке [х(_ь xt] имеем оценку
®i(fg)<N®i(f) + M<>)i(g). (28.19)
Отсюда
k
ST (fg)~sr(fg) = 2 (fg) Д Д <
(=1
< N 2 (/) -f- M 2 (g) AXj =
Z=l t=l
= N fST (f)-sr (f)f + M fST (g)-sT (g)]. (28.20)
В силу интегрируемости функций f и g
lim |ST(/)~ sT(/)J= lim [ST(g)- sT(g)f = 0.
-> 0 о
396
$ 2Я. Свойства интегрируемых функций
(1оэтому из оценки (28.20) следует
lim |ST(fe)—sT(/g)J =0,
бг-°
что и влечет за собой интегрируемость произведения fg на отрез-
ке [я, 6].
7. Если функция f неотрицательна и интегрируема на от-
резке [а, Ь\, то
ь
§f(x)dx>0. (28.21)
а
Доказательство. В самом деле, каковы бы ни были раз-
биение Т = {’fJ/Zo отРезка [Л, ^1 11 ТОЧКИ Х;],
/ = 1, 2,..., k, для функции / >0 имеем
k
ат(/)=1Ж)Дхг>0. (28.22)
Если функция / интегрируема на отрезке (а, 61, то, переходя
к пределу в неравенстве (28.22), мы и получим неравенство (28.21).
Следствие. Если функции fug интегрируемы на отрезке
[и, Ь] и
f(x)>g(x)
для всех [и, 6], то
ь ь
f f (х) dx J g (х) dx.
а а
(28.23)
(28.24)
Если интегрируемые функции f и g удовлетворяют неравенству
(28.23), то
f(x)—g(x)>Q, xQ[a, 61,
поэтому, замечая, что функция f — g интегрируема, в силу неравен-
ства (28.21) имеем
ь
J [/(*)—g(*)l dx^O.
Но (см. выше свойства 4 и 5)
b b ь
J [/(•*)—= J f(x)dx—j g(x)dx,
28.1. Свойства определенного интеграла
397
и, значит,
b ь
J f(x)dx— Jgr(x) d.t>0.
а а
b
8. Нами было введено понятие определенного интеграла f(x)dx
а
от функции / по отрезку [«, 6], где, согласно принятым обозначениям,
а < Ь.
Для любой функции f положим по определению
§f(x)dx = 0, (28.25)
а
а для функции f, интегрируемой на отрезке |п, 6],
а b
§f(x)dx=—^f(x)dx, a<^b. (28.26)
b a
Эти определения в известной мере естественны. В первом случае
можно себе интуитивно представлять, что все отрезки «разбиения
отрезка [я, ft]» являются точками, а их длины Ах; равны нулю. По-
этому все «интегральные суммы» У /(£г)Ахг — в этом случае также
I = 1
нули, а значит и «интеграл» — также ноль.
Во втором случае можно себе представить, что длины отрез-
ков {Xi-i, Xi) разбиения т —- отрезка [я, 6] «измеряются
в отрицательном направлении» оси Ох, и поэтому все их длины
отрицательны. Отсюда все «интегральные суммы» интеграла
а
(f(x)dx отличаются знаком от соответствующих интегральных
ь
ь
сумм интеграла J f(x)d , что и делает естественной формулу
(28.26).
Этим интуитивным соображениям можно, конечно, придать и
строгую логическую форму, введя соответствующие математические
определения, однако гораздо проще и короче ввести равенства (28.25)
и (28.26) просто по определению.
9. Если функция f интегрируема на отрезке [я, Ь], то и функция
| f | также интегрируема на этом отрезке и
ь ь
J f(x)dx J | f (х) \dx, а<С Ь. (28.27)
о а
28 Свойства интегрируемых функций
398
Действительно, во-первых, из ограниченности функции f, оче-
видно, следует и ограниченность функции |/|, а во-вторых, для любых
двух точек к, М и М имеет место
откуда следует, что, каково бы ни было разбиение т= {х;}'.=*
отрезка (о, 6], обозначая через 4(f) и coz(| f|) соответственно ко-
лебания функций [ и |/| на отрезке [х,_1, xj, t—1, 2,..., k,
получим
4(1/1) < ч-(/);
поэтому (см. п. 27.4)
0<ST(|fl)-Mlfl)=24(lfl)A4<
i— i
k
< 2 4(f)A4 = \(f)-sx(f)-
4=1
Отсюда, если
lim[ST(f)—sT(f)J==O,
то и
lim [ST(|f|)-sT(|f|)]==O.
6T-o
Это и означает, что из интегрируемости функции [ следует интегри-
руемость функции |/|.
Пусть теперь xj, i = l, 2,..., k,
k
I4(f)l=
k
< S|fOA4 = 4(lfl)-
Переходя к пределу в этом неравенстве при 6т->0 и заме-
чая, что
ь
И1п|ог(/)| = | Нтог(/)|--= p(x)dx ,
ь
limoT(|f|) = JI/(х)| dx,
а
мы и получим неравенство (28.27).
28.2. Теорема о среднем для определенного интеграла
399
Если отказаться от ограничения а < Ь, т.
а — Ь и а^> Ь, то неравенство, подобное
имеет вид
ь
J f (х) dx
а
b
J \f(x)\dx
а
В самом деле, если а Ь, то поскольку
е. допускать случав
неравенству (28.27)
(28.28)
(см. свойство 7)
Ь 1>
J |/(х)|г/х = J |f (х)|г/х,
а а
то это неравенство то же самое, что и неравенство (28.27). А если
а^> Ь, то, используя свойство (28.26) и неравенство (28.27), по-
лучим
ь
J f(x)dx
а
а
J f (х) dx
b
а
< j | f (х)! dx =
b
a
J i f (x) I dx
b
b
J \f (x) | dx
a
Наконец,
при a = b неравенство (28.28) очевидно.
28.2. Теорема о среднем для определенного
интеграла
Теорема 1. Если функция f интегрируема на
отрезке [а, б] и
xQa, b], (28.29)
то
ь
m(b~a) < § f(x)dx <M(b—a). (28.30)
a
Доказательство. Из неравенства (28.29), согласно след-
ствию из свойства 7 (п. 28.1), имеем
b ь b
J-» р р
т dx < j f (х) dx < J M dx.
a & a
(28.31)
400
J 28. Свойства интегрируемых функций
Из свойств 5 и 1 п. 28.1 следует, что
b ь
§ tn dx — m j* dx — m (b—a),
a a
b b
J M dx = M J dx — /M(b—a).
a a
Подставляя эти выражения в неравенства (28.32), мы и получим не-
равенства (28.30).
След с т в и е. Если функция f непрерывна ни отрезке 1а, Ь\,
то существует такая точка £(~1щ Ь], что (рис. 87)
ь
J f(x)dx — f(l,)(b~ а).
(28.32)
Док азательство. Пусть
функция [ непрерывна на отрезке
[о, и пусть
т — min f(x),
М — птах / (х),
Ж Л<Ь
(28.33)
тогда для этих т и М, очевидно, выполняются неравенства (28.29),
и потому справедливы неравенства (28.30). Из них получаем
ь
т -у!—J f (х) dx < М.
а
Таким образом, число
ь
—С f (х) dx
b — a J
находится между наибольшим и наименьшим значениями функции /.
Согласно теореме Коши о промежуточных значениях непрерывной
функции, отсюда следует, что существует такая точка ££ \а, 6], что
ь
/(!) = —!— D(x)dx,
о —a J
а
т. е. существует точка для которой справедливо (28.32).
28.2. Теорема о среднем для определенного интеграла
401
Тем же методом, который был применен при доказательстве теоре-
мы 1 и ее следствия, может бьпь доказана и более общая теорема.
Теорема Г. Пусть на отрезке la, 6] определены функции fug.
Если'
1) функции fug интегрируемы на отрезке !«, 61;
2) т < f(x) < /И, х£ |п, Ь[;
3) функция g(x) не меняет знака на отрезке In, 61, т. е. либо не-
отрицательна, либо неположительна на этом отрезке, то сущест-
вует такое число р, tn < р < М, что
ь
f (х) g (х) dx — р J g (х) dx.
а
(28.34)
Доказательство. Пусть функция g неотрицательна на
отрезке [п, 61, тогда из условия 2 теоремы получим
mg (х) < f U) ё UX Mg (х)< а<х<;б, (28.35)
если же функция g неположительна на [а, 6], то
mg(x)^-f(x)g(x)^Mg(x), п<х<6.
В обоих случаях во всех точках отрезка имеем неравенства одного
знака. Пусть для определенности £(х)>0для всех х£ |о, 6], тогда
(см. свойство 6 и следствие из свойства 7) из (28.35) следует, что
b b J тё (х) dx<C j f (х) g (х) dx < а а b ; J Mg (x) dx, a
или b b b
т j" g (х) dx < j f (x) g (x) dx < M g (x) dx.
a a b a
Если J g (х) dx = 0, то в силу полученного неравенства
а
b
f(x)g(x)dx = 0 и, следовательно, равенство (28.34) справедли-
а
b
во при любом р. Если же \g(x)dx=/=0, тогда в силу предпо-
ложения g(х) > 0 будем иметь
ь
J g (х) dx > 0;
а
402
§ 28. Свойства интегрируемых функций
поэтому
ь
j* f (х) g (х) dx
m < Л—------—— <7И. (28.36)
^g(x) dx
а
Полагая
ь
J f(x)g(x) dx
(28.37)
Jg(x) dx
a
мы и получим (28.34). Аналогично подобное неравенство доказы-
вается и при g<0 на отрезке [а, 6].
Следствие. При дополнительном предположении непрерыв-
ности функции f на отрезке [а, Ь\ существует такая точка £ £ [а, Ь],
что
ь ь
dx = f(%)
а а
Доказательство. Пусть функция f непрерывна на от-
ft
резке [я, Ь]. Если \g(x)dx = 0, то в силу равенства (28.34) полу-
Ь а
чим, что J f (х) g (х) dx = 0 и, следовательно, формула (28.37) справед-
а
лива при любом выборе точки £^[с, ^1-
ь
Если же J g(x)dx=^=0, тогда из формулы (28.36) и из теоремы
а
о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке (см.
п. 6.2), следует, что найдется такая точка [а, Ь], что
j* f(x)g(x) dx
f® = —b---------- ’
Jg(x) dx
a
т. e. что на отрезке [a, b] существует точка E, для которой имеет место
формула (28.37) (см. рис. 87).
Теорема 1 получается из теоремы 1', если положить g(x) = 1,
х£ [с, Ь].
Следствие из теоремы 1 обычно называется интегральной теоре-
мой о среднем. Это название объясняется тем, что в нем утверждается
существование некоторой точки на отрезке, «средней точки», обла-
28.3. Интегрируемость кусочно-непрерывных функций
403
дающей определенным свойством, связанным с интегралом от функ-
ции.
Следствие из теоремы Г обычно называется обобщенной теоремой
о среднем. Формула (28.34), а значит, и формула (28.37), остается
очевидным образом справедливой и при а^>Ь.
Упражнение 1. Если функция f непрерывна на отрезке [а, 61,
то на интервале (а, Ь) существует точка для которой имеет место
формула (28.37).
28.3. Интегрируемость кусочно-непрерывных функций
Обобщим теперь теорему 3 предыдущего параграфа об
интегрируемости непрерывных функций на так называемые ку-
сочно-непрерывные функции.
Определение 1. Функция f называется кусочно-непрерывной на
отрезке [а, Ь\, если существует такое разбиение т = {xJ/Zq этого
отрезка, что функция f непрерывна на каждом интервале хг)
и существуют конечные пределы
/(хг_1+0)= lim f(x)
х->х. ,4-0
U
f(xt—0)= lim /(х), 1 = 1,2, ..., k.
Лемма. Пусть функции f и ср определены на отрезке [а, й] и
f(x)^fp(x) на интервале (а, Ь). Тогда если функция f интегри-
руема на [о, 6], то и функция ф интегрируема на [о, Ь] и
ь ь
j* ф (х) dx = j* f (х) dx.
а а
Иначе говоря, изменение значения функции на концах отрезка
не влияет ни на интегрируемость функции, ни на значение интегра-
ла, если функция интегрируема. Аналогичное утверждение, ко-
нечно, справедливо при изменении значений функции в любом ко-
нечном числе точек.
Доказательство леммы. Функция f интегрируема и,
следовательно, ограничена: |f(x)|<M для всех х £ [а, й]. Пусть
/Ио = max {Л4, ф(«), ф (Ь)}. Возьмем какое-либо разбиение т = {х,}'“*
отрезка [а, 6] и составим интегральные суммы Римана и
ат(Ф), выбирая одни и те же точки ёг £[х/_ь хг]. Пусть, как
всегда, Ах; = хг-—x,_i, i=l, 2. k. Поскольку
\f (li) Дх, | < /ИД, | f &) ^xk | </Ио 6T,
| Ф (£,) Ax, | < /Ио\ и | ф Axa j < /И06т,
404
f 28. Свойства интегрируемых функций
ТО
lim f (gj) Дх, = lim f (gA) Дхл = lim cp (gj) Axj = lim cp (£A) ДлА = 0.
V° 6T-.o 6t~o 6t-o
Поэтому
k k— i
lim о_ (cp) — lim 2 (p^Ax^lim =
6T-o 6T-oz-i 6T-0Z=2
= lim 2j/WA*z= lim 5/Ч1г)Л*/ = [ f(x)dx.
6T-.°Z = 2 6T-0i=l J
Следовательно, интеграл j cp (x)dx существует и равен интегралу
а
b
J f (х) dx.
а
Лемма доказана.
Упражнение 2. Доказать, что изменение значения функции в
конечном числе точек не влияет ни на интегрируемость функции, ни на зна-
чение интеграла, если он существует.
Теорема 2. Функция f, кусочно-непрерывная. на отрезке [а, 6],
интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция f кусочно-непрерывна
на отрезке [a, 6] и пусть т = {х;}'“*— разбиение отрезка [а, /?],
указанное в определении 1. Пусть
' f (х) при
ft (х) =
f(xz_i + 0) при
Ж—0) при
Xi-I <Zxt<Z Xt’
X = X(_1,
x = xt.
Функция f на каждом отрезке [x,_i, xt] отличается от непре-
рывной функции ft, быть может, только на концах этого отрез-
ка, и, следовательно, по лемме функция / интегрируема на
[Xf-l, xf] и
xl xi
J f(x)dx— J ft(x)dx, i=l,2, k.
xi-i xt-\
Применяя свойство 3 интегралов, получим, что функция / ин-
тегрируема на отрезке [а, Ь] и что
ь k *i
jHx)c/x-V J ft(x)dx. (28.38)
a Z“1
Теорема доказана.
29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу
405
§ 29. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ
29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу
Пусть функция /(х) интегрируема на отрезке 1а, &], тогда
она интегрируема и па любом отрезке 1а, х], где а < х<Ь, т. е.
для любого х( 1а, Ь\ имеет смысл интеграл J . Положим
а
F(x) = ^f(t)dt. (29.1)
а
Функция F определена на отрезке [а, Ь} и называется интегралом
с переменным верхним пределом. Изучим некоторые свойства этой
функции.
Теорема 1. Если функция [ интегрируема на отрезке [а, Ь], то
функция [29.1] непрерывна на этом отрезке.
Доказател ьство. Пусть х £ [а, Ь}, х + Дх £ [а, 6], тогда
из формулы (29.1) следует, что
х-ЕДл
F (х Ь Дх « J f (/) dt =
7
х х-|- Дх
*=\f(t)dt+ J f(t)dt =
a x
х+Дх
— F{x)+ J f (t) dt,
поэтому (рис. 88)
Д F = F (x + Дх) — F (x) =
х+Дх
= [ f(t)dt. (29.2)
J Рас. 88
Поскольку функция f интегрируема на отрезке [а, Ы, она огра-
ничена на этом отрезке, т. е. существует такая постоянная М > 0,
что | )(х) | <Л1 для всех х£ [а, Ь].
Применяя это неравенство для оценки выражения j AF|, полу-
чим (см п. 28.1)
|ДЛ =
x-t-Дл
J f(x)dt
ЕДх х+Дл
j 1/(01^ < j‘ Mdt
< М | Дх|.
406 § 29. Определенный интеграл с переменным верхним пределам
Из этой опенки следует, что liin Д/7 = 0 для любого х(До, Ь],
Дх-»0
а это означает непрерывность функции F в каждой точке х£[й, Ь].
29.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему
пределу. Существование первообразной
у непрерывной функции
Теорема 2. Если функция f интегрируема на отрез-
ке [с, 6] и непрерывна в точке х0£ [о. 6], тогда функция
F(x) = jf(t) dt
а
дифференцируема в точке х0 и
ах
Доказательство. Покажем, что
г ДС е/ \
li m —— — f(x0),
Дх-О Дх
где Д/7 = F(х0ф- Дх)—F(х0), х0+Дх£|а, Ь].
ЬР И х
модуль разности-------/(х0):
Для этого оценим
Я Хп)
f t(t)dt
—--------------f(x0)
J j f(x0)d/
уо_____________
Ах
«о+Дх «о+Д*
lf(t)-f(x0)]dt <—Ц f \[(t) — f(x0)\dt
l Дх| J
*0
(29.3)
Пусть теперь задано e > 0. В силу непрерывности функции f
в точке х{1 существует такое 6 — 6(e), что если |х—х0|<6 и
х£ [о, Ы, то
|/(х)—f(x0)j<e. (29.4)
Выбирая теперь Дх так что |Дх|<^6, из неравенств (29.3) и
(29.4) получим
I Дб’ С/ х|
------Нх0)
I Дх I
е
| Дх|
— в.
. .. IxF f,
А это и означает, что urn--------=/(х0).
Ах-0 Дх
29.2 Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу
407
Теорема доказана.
Теперь мы можем решить вопрос о существовании первообразной
функции для непрерывной функции.
Теорема 3. Если функция f непрерывна на отрезке [а, Ь], то
на этом отрезке у функции [ существует первообразная.
Действительно, согласно теореме 2, такой первообразной явля-
ется, например, функция
F (х) = р (/) dt, а < х С Ь.
а
Таким образом, операция интегрирования с переменным верхним
пределом, примененная к непрерывной функции, приводит к перво-
образной функции, т. е. является операцией, обратной для операции
дифференцирования:
f f(f) di = f (х), а С х < Ь.
dx J
(29.5)
Доказанные теоремы показывают, что операция интегрирования
с переменным верхним пределом приводит «к улучшению» свойств
функции: из интегрируемой функции получается непрерывная функ-
ция, а из непрерывной функции получается дифференцируемая.
Заметим, что операция дифференцирования в определенном смыс-
ле «ухудшает» свойства функции: например, производная непрерыв-
ной функции, если она существует, может быть уже разрывной
функцией.
Из формулы дифференцирования по верхнему пределу (29.5)
можно легко получить и формулу дифференцирования по нижнему
пределу.
Пусть функция f интегрируема на отрезке [а, Ь], тогда на этом
отрезке определена и функция
ь
G (х) = f f (t) dt,
причем из тождества
b x b
jj f(/)d/ = J f{t)dt+ ^f(t)dt
a a x
имеем
b
G(x) = ^f(t) dt — F(x).
a
(29.6)
408
29 Определенный интеграл с переменный верхним пределом
Если функция j в точке х (Ис, bl непрерывна, то, как было до-
казано, функция F в этой точке дифференцируема. Из формулы
(29.6) следует, что в этом случае функция G(x) в точке х также диф-
ференцируема и
d(i (л) _ dF (л)
dx dx
Таким образом,
ь
dx J
X
29.3. Формула Ньютона — «Лейбница
Теорема 4. (основная теорема интегрального исчисле-
ния). Пусть функция f непрерывна на отрезке |и, Ь] и пусть
функция Ф является какой-либо ее первообразной на этом отрез-
ке, тогда
ь
1(х)бх^Ф(Ь)—Ф(а). (29.7)
а
Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница.
Доказательство. Положим
F(x) = р(0
а
dt.
Поскольку F и Ф—две первообразные одной и той же функции
f, то
F (х) — Ф (х) 4- С, а < х < Ь,
т. е.
X
J f (/) dt — Ф (х) 4- С, а •< х < Ь.
а
При к —а отсюда следует, что С ——Ф а).
Таким образом,
С f(t)dt = Ф(х)—Ф(н).
Полагая здесь х = Ь, получим формулу (25.7).
Теорема доказана.
30.1. Замена переменного
409
Для краткости записи часто употребляется обозначение
Ф(х)|* = Ф(й)—Ф(й),
или
|Ф(х)]^ = Ф(Й)-Ф(я).
1
Примеры. 1 Найти j x2dx.
о
Известно что
J x2dx = -у-4-С,
поэт ому
л
2. Найти J sin xdx.
о
Имеем
л
J sin xdx = —cos * | о = —cos л + cos 0 = 2.
о
§ 30. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
30.1. Замена переменного
Теорема 1. Пусть
1) функция f(x) непрерывна на отрезке [о, Ь],
2) функция ф(/) определена и непрерывна вместе со своей произ-
водной <р'(7) на отрезке 1а, р], причем а - <р(а) < <р(/) < ч(Р) = Ь,
а < i < р,
тогда
ь.
J f(x)dx = Jf|<p (01 <₽' tt)dt,
a CC
или. что то
же,
b. !?
j f (x) dx = j f [<p (01 dip (t).
° а
(30.1)
(30.2;
4tO
f 30 Методы вычисления определенного интеграла
Эта формула называется формулой замены переменного в опре-
деленном интеграле.
Формула (30.2) показывает, что с символом dx под знаком опре-
деленного интеграла в случае, когда х является функцией x(t), можно
формально обращаться, как с диф-
ференциалом, т. е. писать dx —
— x'(t)dt.
Доказательство. Прежде
всего заметим, что по условию функ-
ция f определена на области значе-
ний функции <р (рис. 89), поэтому
имеет смысл сложная функция Дф(/)].
В силу сделанных предположений
подынтегральные функции в обеих
частях формулы (30.1) непрерывны,
7 поэтому оба интеграла в этой фор-
муле существуют.
Пусть Ф(х) — какая-либо перво-
образная на отрезке |а, Ь] для
функции/, тогда имеет смысл сложная функция Ф|ф(/)], которая
является первообразной для функции Лф(/)1ф'(/). По формуле Нью-
тона— Лейбница (см. п. 29.3)
ь
р(х) Фс = Ф(6)—Ф(а),
а
3
f [ф (01 ф' (0 dt = ф [ф (₽)]—Ф[ф (а)] = ф (Ь)—Ф (а).
а
Из этих равенств и следует формула (30.1).
Теорема доказана.
Пример. Пусть требуется вычислить интеграл
Ш2
0
Положим у=)/ел— 1, тогда x= In (1у2), dx = •2ydy г
Ч~У2
кроме того, если 0 < х < In 2, то 0 < у < 1, поэтому
1п2
j У ех— 1 dx
о
и,
& = 2 (71________L-
1 +/ J \ I 4- р2
о о
= 2(у — arctgyj' .
2
dy=
"0.2. Интегрирование по частям
41)
30.2. Итерирование по частям
Теорема 2. Если функции и — и(х) и v — v(x) непрерыв
ны вместе со своими производными на отрезке [а, Ь], то
•J ь
J udv — luv}b —у vdu. (30.3)
п а
Эта формула называется формулой интегрирования по частям
для определенного интеграла.
Доказательство. Имеем
b ‘J ь ь
У (uv)' dx — у (uv'и'v) dx = у udv-}- у vdu. (30.4)
о а а а
Все эти интегралы существуют, ибо подынтегральные функции не-
прерывны. Но, согласно формуле Ньютона — Лейбница
ь
У (uv)'dx = [uv]ba. (30.5)
а
Сравнивая (30.4) и (30.5), получим
Ь ь
j* udv-}- у vdu — [uv]b,
а а
откуда и следует формула (30.3).
Теорема доказана.
Пример. Найти значение интеграла у In xdx.
Применим формулу интегрирования по частям:
2 2
У In xdx = х In х 12 — у dx — 2 In 2— 1.
i i
Теорема 2 легко обобщается на случай так называемых кусочно-
непрерывно дифференцируемых функций. Определим эти функции.
Определение 1. Функция f называется кусочно-непрерывно диф-
ференцируемой на отрезке, если ее производная кусочно-непрерывна
на этом отрезке.
Теорема 2'. Пусть функции и(х) и о(х) непрерывны и кусочно-
непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, Ь], тогда для них спра-
ведлива формула (30.3) интегрирования по частям.
112
§ 30 Методы вычисления определенного интеграла
Доказательство. Пусть {хг}‘.=*—такое разбиение
отрезка [а, &], что на каждом отрезке [х,_ь х;] этого разбиения
функции
U (х), если Х/-1 <^х< C Xj,
нДх) = п(х/_1 +0), если X = Xi-1,
и(х;—0), если X = Xi,
и ’ v(x), если Xi-1 < х <
Vi (х) - v (х,_1 + 0), если Х = Xi—1,
о(хг—0), если x = xt.
являются непрерывно дифференцируемыми функциями. Существо-
вание такого разбиения т следует (почему?) из кусочно-непрерыв-
ной дифференцируемости функций н(х) и v(x) (см. определение I
из п. 28.3 и определение в настоящем пункте).
Согласно формуле (28.38), имеем
t k
j* udv =2 J UtdVi-
a i= 1 x. ,
i~~ 1
(30.6)
В силу же формулы (30.3) интегрирования по частям непре-
рывно дифференцируемых функций получаем
Подставляя это выражение в (30.6) и снова используя фор-
мулу (28.38), имеем
Из непрерывности функций «(х) и v (х) вытекает, что
u(Xj — 0)о(х> — 0) = н(х7ф 0)d(x>+0), 7=1,2, ..., Л—1.
Поэтому
и, следовательно, из (30.7) получается формула (30.3) для рассматри-
ваемого случая.
31.1. Определение меры (площади) открытых множеств
413
§ 31. МЕРА ПЛОСКИХ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ
31.1. Определение меры (площади)
открытых множеств
Рассмотрим плоскость, на которой зафиксирована не-
которая прямоугольная система координат. Обозначим через То
разбиение этой плоскости на замкнутые квадраты, получаю-
щиеся при проведении всевозможных прямых х = р, у = q,
р = 0, ±1, ±2,..., <7 = 0, ±1, ±2, ... . Такое разбиение назовем
квадрильяжем плоскости ранга 0, а указанные квадраты — квадра-
тами нулевого ранга. Разобьем каждый из квадратов нулевого ран-
га на 100 равных квадратов прямыми, параллельными осям коорди-
нат и отстоящими друг от друга на расстояние ц- . Совокупность
получившихся квадратов обозначим 7\. Продолжая этот про-
цесс дальше, будем получать
квадрильяжи плоскости Тт,
т = I, 2...... состоящие из
квадратов, полученных в ре-
зультате разбиения плоскости
всевозможными прямыми вида
р ,, С]
’ ^’“То™ -
Р = 0, ±1, ±2,...,
<7 = 0, ± I, ±2...
и, следовательно, со сторонами
длины . Квадраты, принад-
лежащие квадрильяжу Тт, бу-
дем называть квадратами ранга
Рис. 90
т, т = 1. 2 ....
Пусть G — плоское открытое множество. Обозначим через
So = S0(G) совокупность точек всех квадратов нулевого ранга,
лежащих вместе с границей в множестве G, через = S^G) —
совокупность точек всех квадратов первого ранга, лежащих в G
вместе с границей.
Вообще через Sm = Sm(G) обозначим совокупность всех квадра-
тов ранга иг, лежащих вместе с границей в множестве G,
т = 0, 1.....Очевидно, что (рис. 90)
So cz Sj cz ... cz Sm cz ... cz G. (31.1)
Множества So, S,.... Sm, ... представляют собой «многоуголь-
ники», составленные из конечного или бесконечного числа квадра-
414
§ 81. Мера плоских открытых множеств
тов соответствующего ранга. В случае, если SITl состоит из конечного
числа квадратов, обозначим площадь многоугольника Sm через
пл. Sm, если же Sm состоит из бесконечного числа квадратов, по-
ложим пл. Sm = -|-оо. Если какое-то Smo состоит из бесконечного
числа квадратов, то и все следующие Sm, m>m0, также состоят из
бесконечного числа квадратов.
Из включений (31.1) в силу соглашения об использовании сим-
вола + оо (см. п. 1.2) следует, что всегда
пл. 50<пл. Si < ... < пл. Sm < .... (31.2)
Возможны два случая.
1. Все пл. Sm конечны, тогда (31.2) является монотонно возраста-
ющей последовательностью, и поэтому она имеет либо конечный
предел, либо стремится к Ч~°°. Этот предел в этом случае и назы-
вается площадью, или мерой, открытого множества G и обозна-
чается mes G*}.
2. Если же существует такой номер т0, что пл. 5,„0 = + оо,
то пл. Sm = +°° для всех номеров m>/n0. В этом случае положим
mes G = + оо.
Для удобства будем считать по определению, что последователь-
ность элементов ап, п = 1, 2,..., таких, что начиная с некоторого
номера, они все равны Ч-оо, имеет своим пределом Ч-оо, и будем
писать lim ап = Ч~ оо. Используя это соглашение, оба рассмотрен-
ных выше случая можно объединить в один. Сформулируем оконча-
тельное определение.
Определение 1. Предел lim пл. Sm(G) (конечный или бесконеч-
т-^со
ный) называется площадью, или мерой, открытого множества G и
обозначается mes G:
mes G = lim пл. Sm(G). (31.3)
/71-Э-ОО
Такое определение меры открытого множества естественно, так
как последовательность множеств Sm, т = О, 1,..., исчерпывает
открытое множество, т. е.
иначе говоря, для любой точки Р ([ G существует такой многоуголь-
ник Sm„, что
) От французского слова mesur — мера, размер.
31.2. Монотонность меры открытых множеств
415
Действительно, какова бы ни была точка Р £ G, в силу открытости
множества G существует сферическая окрестность 0(Р; e)czG, е>0.
Заметив теперь, что диаметр квадрата ранга m равен выберем
т0 так, чтобы
Для всякой точки плоскости существует по крайней мере один
квадрат каждого ранга, содержащий эту точку. Пусть Qmo — квад-
рат ранга т0, содержащий точ-
ку Р. В силу неравенства (31.4)
Qm„czO(P; е) и, значит, QmoczG, но
/’С Qmo. поэтому P€<sm„ (рис. 91).
Утверждение доказано.
Из курса элементарной матема-
тики известно, что в случае, если
открытое множество S является
многоугольником, то его площадь,
являющаяся по определению и пло-
щадью замкнутого многоугольни-
ка S, совпадает с определенной на-
ми мерой:
пл. 5 = пл. S — mesS**.
Если открытое множество G ограничено, то всегда
mes G < +°о.
В самом деле, если G ограничено, то существует замкнутый
квадрат Q, содержащий множество G: G Q, и являющийся объ-
единением квадратов нулевого ранга, тогда Sm(G) cz Q при любом
т = 0, 1,..., и, значит, пл. 5т(С)<пл. Q.
Таким образом, последовательность (31.2) ограничена сверху,
и, значит, предел (31.3) конечен.
Задача 16. Доказать, что мера открытого множества не зависит от выбора
прямоугольной системы координат на плоскости.
31.2. Монотонность меры открытых множеств
Теорема 1. Если G и Г плоские открытые
ства и
G cz Г,
то
mes G < mes Г.
множе-
(31.5)
(31.6)
•) См. также п. 44.1 (квадрируемые множества).
416
$ 3/. Мера плоских открытых множеств
Доказательство. Обозначим, как и выше, через S,„ (G)
и Sm(T) совокупности квадратов ранга ш, лежащих вместе со
своей границей соответственно в множествах G и Г, m = 1, 2, ....
Тогда из условия (31.5) следует, что
S'ffl(G)cSm(r),
откуда
пл. Sm(G)< пл. Sm(Г).
(31.7)
В случае, когда оба множества Sm(G) и 5т(Г) состоят из конечного
числа квадратов, это следует из того, что площадь объемлющего
многоугольника не превышает площади объемлемого, а в случае,
когда хоть одно из множеств .S,„(G) и 5„,(Г) содержит бесконечно
много квадратов, — из соглашения об употреблении символа 4-оо.
Переходя к пределу в равенстве (31.7) при /л->оо, в силу (31.3)
получим неравенство (31.6).
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть G и Gk, k = \, 2, .., —плоские открытые
множества:
Gi cz G, cz ... cz Gh cz ... и G = (J Gh,
a=i
тогда
lim mesGA = mesG.
/г—>-oo
(31.8)
Заметим, что если при некотором k0 имеет место
tnesGfe,. = +<», то, согласно теореме 1, и для всех k > k0 также
mes Gk = +°о; в этом случае равенство (31.8) означает, что
mes G = +°о (подобное соглашение было сделано перед равен-
ством (31.3). Прежде чем доказывать теорему, докажем несколь-
ко геометрических лемм. Введем следующее определение.
Определение 2. Последовательность квадратов (QJ,
Аг— 1, 2,..., называется последовательностью вложенных квадра-
тов, если
Q1 ZD Q2 ZD ... ZD Qh zd Qk+i ZD ... .
Лемма 1. Для всякой последовательности замкнутых вложен-
ных квадратов (QA}, длина ребер которых стремится к нулю при
/г->оо, существует, и притом единственная, точка плоскости,
принадлежащая всем квадратам рассматриваемой системы.
Д о к а з а т е л ь с I во. Пусть квадраты
Qa = {(*. У): nk < * < «а + dk- bk<y^.bh + dh}
образуют последовательность вложенных квадратов и пусть
lim dh =-- 0.
31.2 Монотонное! ь меры открытых множеств
417
Тогда системы отрезков \ah, ak-j-dk] и bk + dh], Z?=l,2........
являются вложенными системами отрезков, длины dh которых
стремятся к нулю при &->оо. Поэтому существуют, и притом
единственные, числа £ и т), такие, что
£ С iak> ah +
1] 6 lbk> bh+dk],
k=\, 2, ....
Отсюда следует, что (5, tj) £Qft, k=l, 2, ..., и что такая точ-
ка единственна.
Лемма доказана.
Определение 3. Пусть Е — плоское множество. Система
Q = {Ga} (31.9)
а621
открытых плоских мн ожеств (§1 = {а) — некоторая совокупность
индексов) называется открытым покрытием множества Е, если
£с UGa.
аЯЧ1
Иначе говоря, система (31.9) называется открытым покрытием
множества Е, если каждая точка этого множества принадлежит
хотя бы одному множеству Са из системы Q.
Определение 4. Открытое покрытие (31.9) множества Е, со-
стоящее из конечного числа открытых множеств Gu, называется
конечным открытым покрытием.
Лемма 2 (Борель*>). Из всякого открытого покрытия плоского
ограниченного замкнутого множества можно выделить конечное
покрытие этого множества.
Доказательство. Пусть (31.9) образует открытое по-
крытие плоского ограниченного замкнутого множества Е. Будем
доказывать лемму от противного. Пусть из покрытия (31.9) нельзя
выделить конечного покрытия множества Е.
Поскольку множество Е ограничено, то существует замкнутый
квадрат Q, содержащий множество Е. Разобьем квадрат Q на четы-
ре равных замкнутых квадрата Qit i = 1, 2, 3, 4. Система (31.9)
образует открытое покрытие каждого из четырех множеств Е oQir
i = 1, 2, 3, 4. Среди этих множеств существует такое непустое мно-
жество Er^Q,' (Д = 1, 2, 3, 4), что из покрытия (31.9) нельзя вы-
делить конечное покрытие указанного множества (в противном
случае из системы (31.9) можно было бы выделить конечное покры-
s) Э. Борель (1871—1956)—французский математик.
418
§ 31. Мера плоских открытых множеств
тпе и всего множества Е, что противоречило бы сделанному предпо-
ложению). Разобьем квадрат снова на четыре равных замкну-
тых квадрата Q/,/, i = 1, 2, 3, 4 и т. д. В результате получим по-
следовательность вложенных замкнутых квадратов
QZ1 Qilh ... => Qlli2.. ,tk =>..., (31.10)
длины ребер которых стремятся к нулю при /г->оо и каждый из
которых обладает тем свойством, что из системы Q нельзя выделить
конечное покрытие множества Er',Qiit1,,. i k = 1, 2, ... (Д при-
нимает одно из значений 1, 2, 3 или 4).
Согласно лемме 1, существует и притом единственная точка
(£, Л), принадлежащая всем квадратам системы (31.10).
Поскольку ребра квадратов этой системы стремятся к нулю и
каждый из- квадратов этой системы имеет непустое пересечение с
множеством Е, то в любой окрестности точки (£,, г,) имеются точки
множества Е. Действительно, обозначим через dh, k = 1, 2,..., длину
ребра квадрата QZiZ!... i . Пусть е > 0; выберем k0 так, чтобы
Это возможно
то
d,j/2 <е.
в силу условия lim dh = 0.
/г->со
(х,
(31.11)
Теперь, если
]Л£-*)2 + (Л-У)2<^о/2 <е.
Поэтому точка (х, у) лежит в 8-окрестности точки (L ij) и, следова-
тельно, весь квадрат Q,\ ,2... zfto, в том числе и его точки, принад-
лежащие множеству Е, содержатся в рассматриваемой 8-окрестности
точки (g, 1]). Таким образом, точка (£, т|) является точкой прикосно-
вения множества Е. Но множество Е замкнуто, поэтому (L i|) £ Е.
Поскольку система (31.9) является покрытием множества Е,
то существует такой индекс а0 £ 31, что (£, т;) £ GUg.
Множество Ga открыто, поэтому найдется такой номер /е0, что
(211г,...чс6Во. (31.12)
Чтобы убедиться в этом, достаточно взять какую-либо 8-окрест-
ность точки (L 1]), содержащуюся в GKo, и выбрать /г0, удовлетво-
ряющее неравенству (31.11).
Из условия (31.12) следует, что
Е Qi ti г... с: Gag,
и, следовательно, из системы (31.9) можно выделить конечное
покрытие множества Er>Qiti,...i , а именно покрытие, состоящее
31.2. Монотонность меры открытых множеств
419
только из одного множества Ga . Это противоречит выбору мно-
жеств Qitt,...ik-
Лемма доказана.
У п р аж пен в я. 1. Доказать аналог леммы 2для ограниченного зам
кнутого множества «-мерного евклидова пространства Еп, п > 2.
2. Доказать, что, каково бы ни было конечное открытое покрытие
Q — {ОД, k = 1, 2, m, ограниченного замкнутого множества Е с: £”,
существует такое число />0, что, каково бы ни было множество D cz Е
диаметра меньшего чем I, существует множество Gk £ й, такое, что D с: Gk°.
3. Доказать теорему Кантора о равномерной непрерывности функции, не-
прерывной на ограниченном замкнутом множестве, с помощью леммы Бореля.
Лемма 3. Пусть Gh, k= 1, 2, — открытые плоские множе-
ства, пусть
Gi cz G2 с:... с: Gft с: G*+i cz ... (31.13)
и пусть
оо
G= U Gk. (31.14)
k=i
Тогда если Е — ограниченное замкнутое множество и
EcG, (31.15)
то существует номер k0, такой, что
E<=GkD. (31.16)
Доказательство. Из (31.14) и (31.15) следует, что си-
стема {Gh}, k — 1, 2,..., образует открытое покрытие множества Е.
Поэтому, согласно лемме 2, существует конечное покрытие
{G*,, ..., Gkm} множества Е:
£ с: (J Gk.-
i=i 1
Обозначим через k„ наибольший из номеров ..km. В силу условия
(31.13) имеем
m
=g*u.
Следовательно, EczGft).
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2. Предварительно за-
метим, что из условия G^czGzCZ... Gftcr... следует (см. теорему 1),
что
mes Gx < mes Ga < ... < mes Gh ..., (31.17)
420
f 31 Мера плоских открытых множеств
поэтому последовательность mes Gh, k = 1, 2,..., всегда имеет
предел, конечный или равный + ею.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть все множества Sm(G), m = 0, 1.состоят из конечного
числа квадратов. В этом случае каждое из множеств Sm(G) является
ограниченным замкнутым множеством и, согласно лемме, для вся-
кого номера пг существует такой номер km, что
Sm(G)cGftm, m=l,2,.„. (31.18)
При этом выберем km так, что при т' > т. Это
всегда можно сделать, например, следующим образом. Если вы-
браны номера Z?j < /еа <... < km-i и для множества Sm (G), соглас-
но лемме, найдено множество G/e„, такое, что
Sm(G)cGfe„, (31.19)
то обозначим через km какое-либо натуральное число, такое, что
kmykm.^ и km>ku, тогда G^czG^, и, значит, Sm(G)cGfem.
Таким образом, последовательность km, т—\, 2,..., является
подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
Обозначим теперь через Sm(G) совокупность всех внутренних
точек множества Sm (G). Очевидно, Sm(G)—открытое множество и
Sm(G)cSm(G)o=G^,
поэтому в силу теоремы 1
mes S (G) < mes G^(; . (31.20)
Поскольку G,; cG, 6=1, 2, ..., то в силу той же теоремы 1
mes Gkm С mes G. (31.21)
Объединяя неравенства (31.20) и (31.21), получим
пл. Sm (G) = пл. S,„ (G) < mes G* < mes G.
Переходя в этом неравенстве к пределу при /н->оо, в силу (31.3)
имеем
lim mes G/; =mesG.
Последовательность {mes Gfe}, как отмечалось выше, имеет конеч-
ный или бесконечный предел, поэтому он совпадает с пределом
любой ее подпоследовательности, т. е.
lim mes Gh — mes G.
A?~>oo
Теорема в первом случае доказана.
31.2. Монотонность меры открытых множеств 421
2. Пусть существует множество Sm(G), содержащее беско-
нечно много квадратов, тогда пл. Sm(G) = 4-оо, а потому и
mes G = 4-оо. Покажем, что в этом случае и
lim mes бЛ = 4~ °о- (31.22)
/г—>оо
Пусть задано е > 0 и пусть Sm(G) состоит из бесконечного
множества квадратов. Площадь каждого квадрата ранга m равна
• Зафиксируем натуральное число п так, чтобы
-^Г>Е’ (31-23)
и выберем из Sm(G) п каких-либо квадратов. Обозначим множество
их точек через D. Множество D является многоугольником (оно
является объединением конечного числа квадратов) и, следова-
тельно, ограниченным замкнутым множеством, причем
(31-24)
В силу леммы существует такой номер k, что
DcGt. (31.25)
Обозначим через D множество внутренних точек многоугольника/).
Согласно теореме 1 и формулам (31.23), (31.24), получаем
mesGft>>wi. D— пл. 0^>е.
В силу же (31.17) для всех k'~>k
niesG*- > е.
Это и означает выполнение условия (31.22).
Теорема доказана.
Примером неограниченной плоской области, имеющей беско-
нечную меру, является полоса
G = {(x, у): 0<у< 1}.
Она содержит в себе бесконечное множество, например, квадратов
первого ранга и потому
mes G= 4- °°-
Для того чтобы построить пример неограниченной области с конеч-
ной площадью, поступим следующим образом.
422
§ 31. Мера плоских открытых множеств
Пусть Q — единичный квадрат:
Q = {(x, у): 0 < х < 1, О < у < 1}.
Положим
61 = {(*> У): 0<Гх<"1,
G2 — Gi о [(х, у): 1 < х < 2, 0 < у < —
I 4
Вообще
Gk+i^Gk {(х, y):k<x<k + 1, 0<y<^TTL k = 1, 2.
Каждое множество Gh открыто (почему?).
Наглядно образование множеств Gk можно представить себе
следующим образом: Gj — половина квадрата Q; для получения
G2 берется половина оставшейся половины квадрата Q и прнклады-
1
з
I
2
О
I
Рис. 92
вается соответствующим образом к Glt получается 62; далее,
половина оставшейся части квадрата О прикладывается уже к G2
(рис. 92), и т. д.
Очевидно, имеем
Gr cz G2 с. ... aGhcz ...
и
1 _____2_
г 1 I 1 I I 1 2 ~ 2ft+1
пл. Gft= —+ — +... =-----~у—
2
32.1. Вычисление площадей
423
Положим
оо
0= и Gh.
Множество G открыто и не ограничено, согласно теореме 2:
mes 6= lim mesGft= lim (1--------M = 1-
fe->oo /г->оо\ 2 /
Мера (объем) открытых множеств в трехмерном и вообще «-мер-
ном пространстве (« = 1, 2, 3, 4,...) определяется с помощью ана-
логичной конструкции, следует только, естественно, исходить не
из разбиений плоскости на квадраты (квадрильяжей), а из разбиений
пространства на соответствующие «-мерные кубы (кубильяжен). На
«-мерный случай переносятся и теоремы, доказанные в этом пара-
графе. /Мы вернемся еще к изучению меры множеств в дальнейших
главах, см. п. 44.1. В этом пункте будут излагаться дальнейшие
свойства меры (например, ее поведение при объединении множеств —
так называемая аддитивность меры); его можно читать непо-
средственно вслед за настоящим параграфом.
Упражнения. 4. Доказать, что площадь прямоугольника равна
произведению его сторон.
5. Пусть G — прямой круговой цилиндр, основанием которого является
круг К, а высота которого имеет длину h. Доказать, что
mes G =h mes К,
где mes G есть мера G в пространстве, a mes К — мера на плоскости.
§32. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
32.1. Вычисление площадей
В этом пункте будут выведены формулы для вычисления
площадей некоторых плоских областей. При этом считаются извест-
ными из элементарной математики свойства площади простейших
плоских фигур (многоугольников, секторов), например, что при
объединении таких элементарных фигур, не имеющих общих вну-
тренних точек, их площади складываются. Впрочем, независимо от
этого это утверждение будет доказано в п. 44.1.
Теорема 1. Пусть функция f определена, неотрицательна и не-
прерывна на отрезке [а, Ы, тогда площадь S множества
G~{(x, у}: а<^х<^Ь, 0<у</(л)},
424
$ 32 Приложения определенного интеграла
выражается формулой
ь
5= J f(x) dx.
а
(32.1)
Множество G является открытым ограниченным множеством
(почему?). Его граница содержится в объединении графика функ-
ции fix), отрезка [а, Ь] оси Ох и отрезков |0, f(a)\ и [0, [(b)] со-
х = Ь. Оно обычно называется
криволинейной трапецией
(рис. 93), порожденной гра-
фиком функции f.
Доказательство.
ответственно прямых х = а и
Рис. 93
Пусть т = {х,}/2о — некото-
рое разбиение отрезка 1а, о],
a ST и sT — соответственно
верхняя и нижняя интеграль-
ные суммы Дарбу функции
f, тогда, как мы знаем (см.
п. 27.4),
ь
f (х) dx > sT. (32.2)
Обозначим через GT и замкнутые многоугольники, состав-
ленные из всех прямоугольников вида
Gt, ,={(*> У)'- М-i < х < xit 0<у<Л4г, t = 1, 2, ..., k},
St, i = {(M V): M-i < x < xt, 0 < у < mt, i = 1 2. k},
t. e.
U G gT^ U grT>.
i—1 ’ i— 1
Если обозначить через GT и gx множество внутренних точек
многоугольников Gx и gv го
fiTcG с Gx. (32.3)
При этом очевидно, что
пл. gT = sv пл. Gx — Sx.
Поэтому из (32.3) в силу монотонное!и меры следует, что
sT <; mes G < ST. (32.4)
32.1. Вычисление площадей
425
Вычитая неравенство (32.4) из неравенства (32.2), получим
ь
sT—ST < J f(x)dx—niesG < sT
a
(32.5)
Поскольку (см. n. 27.4)
lim (ST—sT) — 0,
6T
то, переходя к пределу
в неравенстве (32.5), получим
mesG = J f(x)dx.
а
Таким образом, формула (32.1)
доказана.
Как известно (см. п. 27.4),
ь
lim от = lim s_ — lim ST — f f (x) dx,
fit’0 6T-° J
поэтому в силу формулы (32.1)
lim oT=lim s~— lim ST = mesG.
fiT-< fiT-o
Таким образом, геометрически
интегральные суммы Римана и Дарбу
равны приближенному значению
площади рассматриваемой криволи-
Рис. 94
нейной трапеции, притом, с тем большей точностью, чем больше
мелкость разбиения т, а предел интегральных сумм равен истин-
ному значению указанной площади.
Пусть теперь функция f непрерывна и неположительна на отрез-
ке 1а, 51. Положим в этом случае
6' = {(х, у):с<х<5, /(х)<у<0}.
Пусть G — множество, симметричное с множеством G относи-
тельно оси Ох (рис. 94), тогда
mes G — mes G. (32.6)
В рассматриваемом случае функция — / неотрицательна на
отрезке 1а, Ы, поэтому
ь ь
mes 6 = JI —7(х)| dx= — J / (x)dx. (32.7)
0 а
426
§ 32. Приложения определенного интеграла
Сравнивая (32.6) и (32.7), получим
ь
mesG — —J f(x) dx,
ь
т. е. здесь значение интеграла j" f(x) dx дает значение площади кри-
волинейной трапеции с точностью до знака. Если же функция /
меняет знак на отрезке [а, Ь] в конечном числе точек, то значение
ь
интеграла j f(x)dx дает ал-
гебраическую сумму площа-
дей соответствующих криво-
линейных трапеций, ограни-
ченных частями графика
функции /, отрезками оси Ох
и, быть может, отрезками,
параллельными оси Оу
(рис. 95).
Как видно, одной из за-
приводящих к понятию определенного
вычисления площадей. Развитый аппа-
дач, естественным образом
интеграла, является задача
pai интегрального исчисления дает общий и единый метод вычис-
ления площадей разнообразных плоских фигур.
Примеры. 1. Найдем площадь S круга радиуса г.
Поместим начало координат в центр указанного круга, тогда
уравнение полуокружности, лежащей в верхней полуплоскости,
имеет вид у — У г2 — х2 (рис. 96). Поэтому площадь полукруга
радиуса г вычисляется, согласно теореме 1, по формуле (32.1):
3 = С yr2—x2dx = г2 f sin2 tdt = г2 С dt -
О
о
32/. Вычислений площадей
427
(при вычислении интеграла сделана замена переменного x = rcos /),
откуда искомая площадь круга равна лгг.
Подобным же образом находится и площадь 8^ сектора круга
радиуса г, соответствующего углу <р. Считая для простоты, что
О у, имеем (рис. 97)
rcos<P '
8ф = ( xtgqdx-f- f /г2—x2 dx = Д-УНЕ I ф_|,
J J 2 Io
0 rcos (p
4>
। г<г Г 1 — cos 2/ __r2 sin ip cos <p , r2<p r2 sin 2<p _ r2<p
J 2 ~ 2 ~ 2 4 ~ 2
о
Упражнение 1. Доказать с помощью определенного интегра-
ла, но не используя инвариантность площади относительно систем коорди-
нат, что площадь любого круга радиуса г равна №.
2. Найдем площадь S, ограниченную осью Ох и одной аркой
синусоиды (рис. 98):
Я
Н
о
Iя
sin xdx — — cos х — 2.
о
3. Найдем площадь 8, ограниченную гиперболой у = —, осью
Ох, отрезком прямой х = 1 и отрезком прямой, проходящей через
точку оси Ох с абсциссой, равной х и параллельной оси ординат
(рис. 99):
5 =/т = |п/С =,п*-
1
428
$ 32 Приложения определенного интеграла
Найдем теперь формулу для площади сектора кривой, заданной
представлением в полярных координатах: р = р(ф).
Пусть р = р(ср) — неотрицательная, непрерывная на отрезке
[а, |3] функция, 0<а<|3<2л. Пусть G— открытое множество, огра-
ниченное кривой АВ, для которой р = р(<р) является представлением
в полярных координатах, и, быть может, отрезками ОА и ОВ лучей
Ф = а и <р — р (рис. 100): G = {(р, <р) : <х < < |3, 0 < р < р(ф)}.
Пусть т = — неко-
торое разбиение отрезка [а, Р]
и пусть
Дфг- = фг—Ф,_р
тг = ш1р(ф), /И2 = sup р (ф),
Рис. 100 «7-1 ч’< 'О-1 < ф < 411
g/т = {(Р. ф): Ф/.i < Ф < Фп 0<р<т2),
~ {(р> ф) '• Ф/_1 Ф •С ф2, 0 Р <7 Л4г}.
Впишем и опишем в множество G ступенчатые фигуры gx и GT,
составленные из круговых секторов g. т и G/T i =®= 1,2. k:
Л ft
и^д. GT= UG; T.
£— I i = 1
Обозначим через gT и GT множества внутренних точек мно-
жеств g^ и G^. Очевидно, g^ и G^—открытые множества и
gt с G c GT,
поэтому, согласно определению площади,
пл. ёт < mes G < пл. GT. (32.8)
Площади круговых секторов g2,T и 0/л равны соответственно
-~-т22Дф2 и у/И?Дф2; из элементарной математики известно, что
при сложении фигур их площади складываются (см. об этом
также в п. 44.1), отсюда
! Л
ПЛ.^т = у2т.?Д^’
. ft
пл. GT = y2M^*Pi-
Из этих равенств видно, что пл. gx и пл. GT являются соот-
ветственно нижней и верхней суммами Дарбу для функции
32.2. Объем тел вращения
429
—— р2 (ф) на отрезке [а, ₽]:
sT = rwi. gx, Sx = nn.Gx,
ОТК у да
(32.9)
1 ГР
sT<y | р2(ф)</ф<£т.
сс
Вычитая это неравенство из неравенства (32.8), переписанного
в виде
S.
получим
sT—ST<mesG—1- р2(ф)г(ф<5т — sT,
а
отсюда в пределе при 6т->0 имеем
Рис. 101
mes G = —-1 р2 (ф) dtp.
а
Это и есть искомая формула.
В качестве примера найдем площадь S фигуры, ограниченной
кардиоидой р---а(1 + cos ф) (см. п. 17.5), которая изображена
на рис. 101. По формуле (32.8) получим
2Л 2Я 2Л
S =j (1 Н-созф)2с!ф =j г(ф + а2 j cos фйфф-
о оо
2Л
С 2+.е., 2ф d ± „Л
2 J 2 ’ 2
О
32.2. Объем тел вращения
В конце п. 31.2 отмечалось, что понятие объема в про-
странстве вводится аналогично понятию площади на плоскости.
Выведем формулу для вычисления объемов тел вращения.
Пусть функция f непрерывна и неотрицательна на отрезке
1а, Ы. Сохраним обозначения, введенные в теореме 1 п. 32.1 и ее
доказательстве. Пусть Q — тело, образованное вращением криво-
линейной трапеции G вокруг оси Ох. Покажем, что
ь
mesQ — л f /2(х)dx. (32.10)
430
§ 32. Приложения определенного интеграла
Пусть т—какое-либо разбиение отрезка [а, Ь]. Обозначим
через qx и QT тела вращения, образованные вращением «ступен-
чатых фигур» gx и GT вокруг оси Ох. Из включения (32.3) сле-
дует, что
Д с= Q с= QT,
а потому и
mes qx < mes Q < mes QT. (32.11)
Объемы Vx и Vx множеств qx и QT равны суммам объемов цилинд-
ров, образованных вращением прямоугольников gx . и GT .
(рис. 102):
k
oT = mes<7T= 2лт2Дх.,
г=1
2
Vx — mes QT = 2 ^xi-
i=l
Из этих равенств видно, что vx и Vx являются нижними
и верхними суммами Дарбу функции л/й(х), поэтому
ь
vx < л J /2 (х) dx < 1/г, (32.12)
а
и так как функция /2 ин-
тегрируема, то
lim [VT—от] = 0. (32.13)
бт-о
Из неравенств (32.11)
и (32.12) следует, что
vx—Ит<л ^f2(x)dx—mesQ<VT—кт,
а
откуда в силу (32.13) и вытекает формула (32.10).
Примеры. 1. Найдем объем V шара радиуса г.
Рассматривая этот шар как результат вращения полуокруж-
ности у = Уг2—х2, —/•<%</• вокруг оси Ох (см. рис. 96),
по формуле (32.10) получим
У = л i (г2—х2) dx — лг2х
И « 2 о 4 <>
— -— =2лг®--------лг3 = — №.
3 I-г з 3
32.3. Вычисление длины кривой
481
2. Найдем объем V прямого кругового конуса с высотой, равной
h, и радиусом основания г.
Рассматривая указанный конус как тело, полученное вращением
треугольника с вершинами в точках (0,0), (Л, 0) и (/г, г) вокруг оси
3. Найдем объем V тела вращения, полученного вращением во-
круг оси Ох графика функции у = a ch — b < х < Ь. Этот график
называется цепной линией (рис. 104).
По формуле (32.10) получаем
ь ь
V — па2 ( ch2 — dx = ( (1 4- ch —'I dx ==»
J ° 2 .)( a )
—b — b
i6 it i эт0® ь 26
= -------sh —.
|-ь 2 a
Из рассмотренных в этом параграфе примеров уже отчетливо
видна сила и общность методов интегрального исчисления: единым
методом быстро и просто получаются формулы для площадей и объе-
мов, как известные ранее из курса элементарной математики, так
и совершенно новые. В ближайших пунктах мы рассмотрим еще
ряд задач, также легко решаемых методами интегрального исчисле-
ния.
32.3. Вычисление длины кривой
Мы рассмотрели ряд задач, приводящих к понятию оп-
ределенного интеграла. Все они имеют то общее, что в них опреде-
ление значения какой-то величины приводилось к определению
432
$ 32. Приложения определенного интеграла
предела некоторой интегральной суммы при стремлении мелкости
разбиения к нулю, т. е. к определенному интегралу.
Существует, однако, другой круг задач, также приводящих к
понятию определенного интеграла. Именно, если известна скорость
одной величины относительно другой и требуется найти первую
величину или, говоря точнее, если дана производная, а требуется
найти саму функцию, то эта задача также решается с помощью опре-
деленного интеграла, так как такой первообразной является на-
пример, определенный интеграл с переменным верхним пределом.
В качестве примера подобной задачи рассмотрим вычисление дли-
ны дуги кривой.
Пусть кривая Г задана параметрическим векторным пред-
ставлением
г— г (/), а < t < b
и пусть функция r(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [о, Ь].
Тогда, как мы знаем, кривая Г спрямляема и переменная длина
дуги s(0, отсчитываемая от начала г(а) кривой Г, является также
непрерывно дифференцируемой функцией параметра t на отрезке
1а, Ь], причем (см. п. 16.3)
ds _ I dr I
dt “I’d? Г
Поэтому в силу формулы Ньютона —Лейбница (замечая, что
s(c) = 0) для длины S = s(fc) кривой Г получим
ь
S=s(b)---s(fl;= J
а
Таким образом,
ь
S= fl — Idt
J Ud
а
Если г (/) = (%(/), у(/), г(/)), то
ь ______________________________________
S = J |/х'2(/)+/2(/)4-г'2(/ dt. (32 14)
а
В случае, если кривая Г является графиком непрерывно диффе-
ренцируемой функции у = f(x), х < Ь, то формула (32.14) при-
нимает вид
ь_____________
J V l+l'\x)dx. (32.15)
а
32,3. Вычисление длины кривой
433
Примеры. 1. Найти длину S дуги параболы у = ах2,
О < х < b
Замечая, что у' — 2ах, согласно формуле (32.15), имеем
ь
S = J V1 4- 4a?x2dx. (32.16)
и
Неопределенный интеграл
7 = J /1 4-4a2x2dx
вычислим следующим образом: проинтегрируем его сначала по час-
тям; затем к числителю дроби, получившейся под знаком интеграла,
прибавим и вычтем единицу, произведем деление и проинтегрируем
одну из получившихся дробей:
7 = f /1 4- 4а2хМх = х У Г+4а2х2— [ -- 4о---dx =
J r J У14- 4я2х2
= Л /rpEv-J/Т+4Я№+J =
= x /1 4-4a2x2—74-^- |2gx4-Tz1 4~4a2x21.
Из получившегося относительно 7 уравнения найдем его зна-
чение:
7 = —х|/14-4с2л-24-— In 12ох4-1/' 1 4-4а2х2| 4-С.
2 4о
Теперь легко получаем величину интеграла (32.16):
S = у b У l+4a2b2 + ^- In 12ab + ]/ 14-4o2fc21.
2. Найти длину кривой x = acos3/, y = osin3/. Эта кривая
называется астроидой, и с ней мы встречались раньше (см. рис. 61).
Астроида симметрична относительно начала координат. Ее
части, лежащей в первой четверти, соответствует изменение пара-
метра t от 0 до Вычислим длину S этой части (равной, очевидно,
одной четвертой длины всей астроиды). Замечая, что
х'=—За cos2 i sin t, у'— За sin21 cos t,
по формуле (32.14) (в которой следует положить г' = 0) получим
Л л
2 Т
S = j У9а2 cos41 sin2t 4- 9a2 sill4t cos2t dt = — \ sin 2tdt =
о 2 b 2
434
§ 32. Приложения определенного интеграла
3. Найти длину S дуги эллипса
x = nsin/, y = bcost, 0 < t < 2л,
от верхнего конца малой полуоси до его точки, соответствующей
значению параметра /00,2л].
Полагая
С: ;/a2-fc2
а
(е — эксцентриситет эллипса), имеем
Кх'2 + у'2 = \га2 cos21 + b2 sin21 ~ a ]/ 1 —e2 sin2 /,
поэтому
S = a J /1—e2 sin2 /d/, 0 < e < 1. (32.17)
о
Мы получили эллиптический интеграл второго рода, который,
как известно (см. п. 26.6), не вычисляется в конечном виде, т. е.
формула (32.17) в данном случае является окончательным ответом.
Приближенные значения длин дуг эллипса можно получить, либо
непосредственно вычислив приближенно интеграл (32.17), либо
воспользовавшись имеющимися таблицами значений эллиптических
интегралов.
Упражнения. 2. Доказать, что если плоская кривая задана в
полярных координатах непрерывно дифференцируемым представлением
г = г(ф), а < Д < Р, то для ее длины s имеет место формула
Р
s = V г2 + r'2d<p. (32.18)
ОС
3. Найти длину дуги логарифмической спирали г = аеь^ от точки (<р0, г0)
до точки (Д, г).
32.4. Площадь поверхности вращения
Пусть функция f определена и неотрицательна на от-
резке [я, Ь]. Возьмем какое-либо разбиение т = {х/}'.=* отрезка
[я, ft] и впишем в график функции f ломаную, соответствующую
разбиению т, т. е. ломаную с вершинами (xt, yt), где уг = /(хг),
i = 0, !,...,& (рис. 105). Ее звено с вершинами (х/_[, у£_()
и (хг, уг) при вращении около оси Ох описывает поверхность,
вообще говоря, усеченного конуса, площадь которого равна
Л (У/-! + У4) / ДХ? + Ду? , ГДе ДУ; = У; — У, —!, Дхг = Хг—Х^_|,
т = 0, 1,..., k.
32.4. Площадь поверхности вращения
435
Поэтому для площади поверхности, получающейся от вращения
всей рассматриваемой ломаной вокруг оси Ох, справедлива формула
вокруг оси Ох.
Пусть функция / непрерывно дифференцируема на отрезке
|о, Ь]. Покажем, что в этом случае предел (32.19) всегда существует,
п найдем формулу для его вычисления.
Положим
i = 1
тогда
L^L'X+Lr (32.20)
Пусть /'(л,)=уг, i — Q, 1......k, и пусть
Суммы и <гт являются суммами Римана для функции
уУ1 + у'2, которая непрерывна, а значит, и интегрируема на
отрезке [a, Ь|; поэтому
ь _________
lim о_ = lim ог = л f i I 1 -ф у'* dx. (32.21)
Сс”° а
436
$ 32. П риложения определенного интеграла
Оценим теперь отклонение сумм от и ог соответственно от
сумм Lx и Lx.
Прежде всего, по теореме Лагранжа имеем
АН=/'(^) 2,..., k.
Далее обозначим через со (б) модуль непрерывности функции
в силу непрерывности этой функции
lim со (б) = 0.
Имеем следующие оценки:
(32.22)
со (бт),
®(6Т).
Наконец, замечая, что функция f при сделанных предположе-
ниях ограничена на отрезке {а, (почему?) и что поэтому существу-
ет постоянная М > 0, такая, что
lf(x)|<M, х£\а, Ь],
получим
k
К —От1<л2|Н-1 |®(6т)Дхг<
1
k
< лУИсо (бт)2 Ахг = лД1 —а)ы (6Т)>
I— I
/г
\ь"х— О " | I >'г I И (\) < лЛ! — °) ® (\)-
•=1
Отсюда в силу (32.22)
lim {Lx
6г->-о
—oT) = lim (Lx—о") = 0,
и так как суммы от и от стремятся при бт->0 к пределу (32.21),
то и суммы Lx и Lx стремятся при бт-^-0 к тому же пределу:
ь ____________________________________________
lim Lx = lim Lx = л l у V 1 + у 2 dx.
бт-о бг «о i
32.4 Площадь поверхности вращения
437
Поэтому (см. (32.20)) предел (32.19) существует и
ь _________
lim Lx = 2л ( у V1 + у '2 dx.
6т-*0
Таким образом, для площади L поверхности вращения, обра-
зованной вращением графика функции f вокруг оси Ох, мы по-
лучили формулу
ь _________
L = 2n f у V\+y'2dx. (32.23)
а
Вспоминая, что (см. п. 16.4)
V1 у’г dx — ds,
можем переписать формулу (32.23) в виде
ь
Ь = j" у ds.
а
Предложенный вывод этой формулы имеет некоторый методи-
ческий недостаток, так как в этом выводе по ходу дела уже исполь-
зовалось понятие площади поверхности и ее аддитивность, правда,
лишь в простейшем случае — для поверхностей усеченного конуса
и их объединений. Можно ввести общее понятие площади поверх-
ности, не используя понятие площади поверхности для каких-либо
элементарных поверхностей, и получить ее необходимые свойства.
Эти вопросы будут рассмотрены в дальнейшем в п. 50.5.
Примеры. 1. Найдем площадь S сферы радиуса г.
Указанная сфера может быть получена вращением графика
функции у = Уг2—х2 вокруг оси Ох. Замечая, что в этом случае
, х
7 V г2 — X2
и, значит,
|/ г*— X*
получим, согласно формуле (32.23),
S = 2n J у V 1 ф-у'2б1х = 2лг dx = 4nr2.
438
§ 32. Приложения определенного интеграла
2. Найдем площадь 5 поверхности, образованной вращением
дуги цепной линии (см. рис. 104):
y = «ch—, —
' а
По формуле (32.23) имеем
ь ________
S = 2ла j ch — 1Л1 ф- sh2 — dx =
J о Г а
—ь
b ь
~2па J ch2 dx = ла ^l-|-ch^dx =
—ь — ъ
32.5. Работа силы
Пусть материальная точка М движется по непрерывно
дифференцируемой кривой Г = {г — r(s)}, где s — переменная дли-
на дуги, 0<s<S. Пусть на рассматриваемую материальную точку,
находящуюся в положении r(s)
Л действует сила E(s), направлен-
ная по касательной к траекто-
рии в направлении движения.
Возьмем какое-либо разбие-
ние отрезка [0, S].
Ему соответствует разбиение
траектории Г на части
r(s) Гг = {г(5), S(_1<S<Si},
i=l, 2,..., k.
Выберем произвольно по
Рис. 106 точке sj,
i = 1, 2,..., k (рис. 106). Вели-
чина F(£i)Asi, As; = s,-— s;_lt i — 1, 2, называется элементар-
ной работой силы F на участке Г; и принимается за приближенное
значение работы, которую производит сила F, воздействующая
на материальную точку, когда последняя проходит кривую Гг.
k
Сумма всех элементарных работ ^F^Asi является интеграль-
г = 1
ной суммой Римаиа функции F(s).
32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой
439
Определение 2. Предел, к которому стремится сумма
k
Азг
<=1
всех элементарных работ, когда мелкость разбиения т стремится
к нулю, называется работой силы F вдоль кривой Г.
Таким образом, если обозначить эту работу буквой W, то в силу
данного определения
k
IF = lim
6T-0/=l
имеем
s
IF = f F(s)ds.
6
(32.24)
Если положение точки на траектории ее движения описывается
с помощью какого-либо другого параметра t (например, времени)
и если величина пройденного пути s = s(/), а < t < b, является
непрерывно дифференцируемой функцией, то из формулы (32.24)
получим
ь
W = J F [s(01 S' (0^-
а
32.6. Вычисление статических моментов
и центра тяжести кривой
Пусть Л1 — материальная точка массы т с координата-
ми хи у. Произведения ту и тх называются ее моментами соответ-
ственно относительно осей Ох и Оу.
Пусть Г = {r(s), 0<s<S} — спрямляемая кривая, где s —
переменная длина дуги. Будем считать, что кривая Г имеет массу
и что масса ее дуги прямо пропорциональна длине дуги; если Ат —
масса дуги длиной As, то Дт = pAs, где р — некоторая постоянная,
называемая линейной плотностью кривой Г. Такие кривые в ме-
ханике называются однородными. Поскольку р = ~, то плотность
равна массе длины дуги кривой, приходящейся на единицу длины
дуги. Будем считать для простоты, что р = 1, т. е. что масса части
кривой длины As также равна As, в частности, что масса всей кривой
численно равна S.
440 f 32. Приложения определенного интеграла
Пусть теперь т —{sJ'-Zq— какое-либо разбиение отрезка [0, S],
As = s;— Si—j, i—1, 2,..., k.
Разбиению т соответствует разбиение кривой Г на части
Гг = {г (s), s,_i < Выберем по какой-либо точке £ [s(_i, sj
и положим хг = х(Ег), Н = у(Вг)> г = 1, 2,..., k.
Величины yjAsj при любом выборе указанных точек называ-
ются элементарными статическими моментами части Гг кри-
вой Г относительно оси Ох. Очевидно, элементарный статиче-
ский момент Гг численно равен моменту материальной точки мас-
сы As с ординатой уг, т. е. мы как бы заменяем данную непрерыв-
ную кривую Г k материальными точками.
Определение 3. Предел, к которому стремится сумма
k
У yt Asf (32.25)
всех элементарных моментов, когда мелкость разбиения т стремится
к нулю, называется моментом Мх кривой Г относительно оси Ох.
Этот предел всегда существует, ибо по определению кривой
функция г = r(s), а значит, и координатные функции к = x(s),
У = y(s) непрерывны на отрезке 10, S]; сумма же (32.25) является
интегральной суммой Римана функции x(s) и потому при 6Т -> 0
стремится к интегралу J у (s) ds.
о
Таким образом,
s
A1SC = J у ds. (32.26)
о
Анало! ично определяется и вычисляется момент Му кривой Г
относительно оси Оу.
Afy=[xds. (32.27)
о
Пз формулы (32.26) видно, что в случае, если кривая Г явля-
ется графиком однозначной неотрицательной функции у = /(%),
то момент /Их только множителем 2л отличается от площади Lx
поверхности, образованной вращением графика функции / вокруг
оси Ох, т. е.
2пМх — Lx.
Подобное утверждение имеет место, как это следует из формулы
(32.27), и для момента Му.
32.6 Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой
441
Определение 4. Точка плоскости Р = (х0, Уо)> обладающая
тем свойством, что если в нее поместить материальную точку мас-
сы, равной массе кривой (т. е. в рассматриваемом нами случае мас-
сы S), то эта точка относительно любой координатной оси имеет
статический момент, численно равный статическому моменту кри-
вой относительно той же оси, называется центром тяжести дан-
ной кривой.
Таким образом,
Sx0 = Alv, S)’o = Мх,
откуда в силу формул (32.26) и (32.27) для координат центра тяже-
сти получаем формулы
5 Л
х0 = j х ds, у о = -g J у ds.
о е
(32.28)
В качестве примера
у = a ch — , — b < х < Ь.
' а
найдем центр тяжести цепной линии
В силу симметрии цепной линии отно-
сительно оси Оу имеем
Alv = 0.
Действительно, выбирая за начало отсчета дуг точку цепной
линии, лежащую на оси Оу, и обозначая длину всей цепной линии
через 2S, получим
7WV = J х (s; ds — О,
ибо x(s)—нечетная функция. Поэтому хо = О. Далее,
Как отмечалось выше, 2лЛ4а(, = Lx, где Ех — площадь поверх
ности, образованной вращением цепной линии вокруг оси Ох, и
следовательно (см. п. 32.4),
Lx = па ( 2b + a sh j ,
поэтому
Alx==^-(2d + flsh
442
£ 33. Интегралы от неограниченных функций
С другой стороны, длина 2S цепной линии легко вычисляется
по формуле (32.15):
ь ь ___________
S— J 1 4- у'2 dx = j* 1 + sh2 dx =
-ь -ь
b = f ch — dx = a sh — j6 = 2a sh — la a —6 a -b
Поэтому в силу формулы (32.28) имеем 2b 2b + a sh — Уо= b .
4 sh —
a
Упражнения. 4. Найти площадь конечной области, ограниченной
параболой у2 = 2х + 1, и прямой у = х — 1.
5. Найти площадь области, ограниченной циклоидой х = a(t — sin t),
у = n(l — cos f), 0 < t < 2л, и прямой у = 0.
6. Найти площадь области, ограниченной кривой р2 = a2cos 2<р (лемни-
скатой).
7. Найти объем тела вращения, образованного вращением одной арки
синусоиды у — sin х, 0 < х < л, вокруг оси Ох.
8. Найти длину дуги
кривой у — in cos х, 0 < х < а < —.
9. Найти длину дуги спирали Архимеда р = а<р, 0 < <р < 2л.
10. Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды
2 2 2
xs-f-ys=a3 вокруг оси Ох.
11. Найти координаты центра тяжести дуги кругах = г cos <р, у = г sin ср,
| <р | <. а < л.
§ 33. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИИ
33.1. Определение интеграла
от неограниченной функции
Известно, что если функция неограничена на отрезке
Га, Ь], то она не интегрируема по Риману. Поэтому, если мы хотим,
чтобы хотя бы некоторые неограниченные функции интегрировались
в каком-то смысле, нам необходимо обобщить понятие интеграла.
Определение 1. Пусть функция f определена и не ограничена
на полуинтервале [а, Ь), причем она ограничена и интегрируема по
Риману на любом отрезке [а, т)], а<ц<С.Ь. Тогда, если существует
конечный предел
T)
lim 1 f(x)dx,
33.1. Определение интеграла от неограниченной функции 443
то он называется несобственным интегралом от функции f на
ь
отрезке [а, &] и обозначается f (х) dx.
а
Таким образом,
ь
J f (х) dx = lim j f (x) dx. (33.1)
а ТЦ-^Ь—Оа
Это определение можно записать также в виде
ь ь—е.
I f (х) dx = lim I f(x)dx.
a B-+0 a
b
В отличие от несобственного интеграла \f(x)dx обычный ин-
а
Ь
теграл Римана J f(x)dx будем иногда называть также собствен-
а
ным интегралом.
ь
Существование несобственного интеграла f f (х) dx эквивалент-
а
b
но существованию несобственного интеграла J f (х) dx при любом
с£(а, Ь).
п
В самом деле, интеграл f(x)dx отличается от интеграла
а
Л
j/(x)t?x (при с<^т]<С^) на конечную, не зависящую от г] вели-
С
с
чину J f (х) dx'.
а
П с П
J f (х) dx = J f (х) dx + J f (x) dx,
a a c
поэтому при т]-> b — 0 оба указанных интеграла одновременно
имеют предел или не имеют его.
144
£ 33. Интегралы от неограниченных функций
Если на [а, Ь), то несобственный интеграл
численно равен площади неограниченной области
ь
ff(х)dx
а
G = {(x, y)-.a<x<b, 0<y<J(x)}:
ь
j* f (x) dx = mes G.
a
(33.2)
Действительно (см. рис. 107), если
Gft = j(x, У)'-а<х<Ь—0<y</(x)l,
в п. 32.1,
то, согласно доказанному
mes Gk = J f (x) dx. (33.3)
a
Поскольку
Gr <=. 62 cz ... cz Gh c ...
и
U Gft = G,
*=i
то в силу теоремы 2 п. 31.2
iimmes Gt = mesG.
Согласно же определению
несобственного интеграла
lim I
ь
f (х) dx = J f (х) dx-,
а
поэтому, переходя к пределу в равенстве (33.3), мы и получим (33.2).
Упражнение 1. Пусть функция f определена и ограничена на
[а, Ь), причем она интегрируема по Риману на любом отрезке [а, Ь — е],
Ъ—а
0<е < b — а. Доказать, что в этом случае предел lim I f(x)dx существует
B-+oJ
тогда и только тогда, когда функция f, будучи произвольным образом доопре-
деленной в точке х = Ь, является интегрируемой по Риману на отрезке (а, 6]
ь
и в этом случае указанный предел равен J f(x)dx.
а
\33 1. Определение интеграла от неограниченное: функции 445
Утверждение этого упражнения показывает, что если в определении не-
собственного интеграла (33.1) условие неограниченности функции / на [а, Ь),
заменить условием ее ограниченности, то в случае существования предела
(33.1) мы не придем к новому понятию, а придем к старому понятию инте рала
Римана. Определение 1, конечно, можно сформулировать и без требования не-
ограниченности функции на (а, Ь).
Для справедливости нижедоказанных теорем несущественна
ограниченность или неограниченность подынтегральных функций.
Поэтому мы не будем накладывать этого ограничения, но следует
иметь в виду, что все эти теоремы будут содержательны только в слу-
чае неограниченных подынтегральных функций, содержательны в
том смысле, что для ограниченных подынтегральных функций они
либо тривиальны, либо доказаны ранее.
ь
Итак, в дальнейшем под несобственным интегралом J f(x)dx
а
будем понимать интеграл, определенный формулой (33.1), однако
без предположения неограниченности функции f на [й, Ь). Тем са-
мым (см. упражнение 1) теперь у нас собственный интеграл явля-
ется частным случаем несобственного; этим оправдывается приме-
ь
пение одного и того же символа J /(х) dx для обозначения как ри-
а
мановского, так и несобственного интегралов.
ь
Аналогично определяется и несобственный интеграл J f(x)dx
от функции Л определенной на полуинтервале (п, Й1 и интегрируе-
мой на всех отрезках Ц, Ь], а -< £ < Ь:
ь ь
\f(x)dx — lim \f(x)dx. (33.4)
а £->«4*0 р
Если же функция f определена на интервале (а, Ь) и если при
некотором выборе точки с£(а, Ь) существуют несобственные ин-
с b
тегралы | f(x)dx и ^f(x)dx, то по определению положим.
а с
Ь с b
J f (x)dx = J f (x) dx-\- j* f (x) dx. (33.5)
a a c
При этом в рассматриваемом случае существование и величи-
О
на интеграла | f(x)dx не зависят от выбора точки с£(а, 6].
а
Действительно, в этом случае функция f, очевидно, интегрируема
446
$ 33. Интегралы от неограниченных функций
по Риману на любом отрезке [В, i]|, где и опреде-
ление (33.5) в силу определений (33.1) и (33.4) равносильно
©пределению
ь
Jf(x)dx = lim [f(x)rfx.
0 6
Здесь предел в правой части понимается в смысле предела функции
двух переменных; образно говоря, переменные | и i] стремятся
к своим пределам независимо друг от друга.
Пусть теперь существует конечное число точек
хг, z — О, 1,..., k, a=x0<^x1<^...<^xli = b,
таких, что все несобственные интегралы
J f(x)dx, i= 1, 2,..., k,
ь
существуют, тогда несобственный интеграл J f (х) dx определяется
а
согласно формуле
ь k Х1
Jf(x)r?x=2 J f(x)dx.
(33.6)
I = о, 1, 2,
Из этого определения и определения (33.5) следует, что несоб-
ственный интеграл в общем случае сводится к интегралам вида (33.1)
и (33.4). Поэтому при дальнейших рассмотрениях мы ограничимся
лишь изучением несобственных интегралов двух указанных видов.
Упражнение?. Доказать, что существование и значение несобствен-
6
него интеграла f(x)dx в определении (33.6) не зависит от выбора точек xlt
а
k, удовлетворяющих сформулированным выше условиям.
ь
Иногда вместо выражения «несобственный интеграл J f (х) dx
существует» (и, следовательно, конечен) употребляется равнознач-
ь
ное выражение «интеграл J f (х) dx сходится». Если интеграл
ь
JI (х) dx не существует, то говорят также, что он расходится.
33.2. Формулы интегрального исчисления
447
Примеры. 1. Функция f(x) = -у
0<х<Ч, неогра-
ничена и, следовательно, не интегрируема по Риману, как
бы ее ни доопределять в точке х = 0. Несобственный же
1
fdx
—= существует:
V х
о
интеграл
f ~^= = lim I ~^= = lim 2 % I =2.
JVx Е-н-oJVx £->+о It
о 4
2. Пусть f(x) = -~-< 0<х<1, тогда несобственный интеграл
С* dx «
| — не существует. Действительно,
о
1
f — = Пт f — = lim In х I * = — lim In g = + oo.
J x ^+0J X |(= g^+0
33.2. Формулы интегрального исчисления
для несобственных интегралов
на конечном промежутке
На несобственные интегралы легко переносятся многие
свойства интеграла Римана (см. § 28 и § 30). Рассмотрим некото-
рые из них.
1. Пусть функция f непрерывна на полуинтервале [а, й) и пусть
F — какая-либо первообразная функции f на 1а, Ь), тогда
ь
^f(x)dx — F(b—0)—F (а), (33.7)
а
где
F (Ь—0) - lim F (х).
х,-*Ь—0
Равенство (33.7) понимается в том смысле, что либо обе части
равенства одновременно имеют смысл и тогда они равны, либо они
одновременно не имеют смысла.
Действительно, согласно формуле Ньютона—Лейбница (см.
п. 29.3),
ц
J f(x)dx = F(T]) — F (а).
448
$ 33. Интегралы от неограниченных функций
Переходя в этой формуле к пределу прит]—— 0, получим
формулу (33.7).
Аналогично утверждение имеет место и для несобственных ин-
тегралов вида (33.4).
ь
2. Если существуют несобственные интегралы [ f (х) dx и
b ь
[g(x) dx. то существует и несобственный интеграл J [f (х)+& (x)jdx,
а а
причем
b ь ь
j I/ (х) + g (х)) dx = J f (х) dx + J g (x) dx.
« a 'i
Действительно, например, для несобственных интегралов вида
(33.1) имеем
6 ’1
J If (х) 4- g (х)1 dx = lim J| f (x) + g (x)J dx =
a ^->6—0 u
Tj ’1, b b
= lim J f(x)dx~r !im j g (x) dx = J f (x) dx + J g (x) dx.
—0 a X\-*b—0 a a a
Подобным же образом доказываются и другие формулы для не-
собственных интегралов типа (33.1), например,
6 *
J kf (х) dx — k j / (х) dx,
а а
b b
§udv = uv^a ° — §vdu,
а а
Ь Р
J f (х) dx = Jf |<р(/)1д>'(/)dt
a a
И T. П
Конечно, аналогичные формулы справедливы и для несобствен-
ных интегралов вида (33.4). В дальнейшем для простоты изложения,
как правило, будем ограничиваться лишь рассмотрением несобст-
венных интегралов вида (33.1). К тому же интеграл вида (33.4)
всегда можно заменой переменного свести к интегралу вида (33.1).
В качестве примера вычислим интеграл
1
/п = J (In х)п dx.
о
33.3 Несобственные интегралы от неотрицательных функций
449
Интегрируя по частям, получим
1 1
/п = J (In х)" г/х = х (In х)’-1 * — п J (In x)n~ldx =
о о
= —nln-i, п — 1,2,...,
ибо
lim х (In х)'! = 0.
х-»+0
Замечая, что
1
/0 — J dx = 1,
о
получим
/„=(-
<33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных
функций на конечном промежутке
Теорема 1. Пусть функция f определена и неотри-
цательна на полуинтервале [а, Ь). Для того чтобы несобствен-
ь
чый интеграл J f (х) dx сходился, необходимо и достаточно, чтобы
а
интегралы
Ч
J f (х) dx, а<Сц<^Ь,
а
были ограничены
стоянная М > 0,
в совокупности, т. е. чтобы существовала по-
такая, что
J f (х) dx < М
а
для всех £ [а, Ь), причем в этом случае
11 г
sup J f (х) dx = J f (х) dx.
а<Т] < ba а
Доказательство. Положим
п
Ф (п) = J f (х) dx, а < т] С Ь.
а
(33.8)
(33.9)
450
§ 33. Интегралы от неограниченных функций
Если а<1]<г|'<Ь, то в силу неотрицательности функции/
J f (х) dx > 0,
Ч
поэтому
T]z 1] 1)' 1]
Ч’(п') = J f (x)dx = \f(x) dx + ^f(x)dx> J f (a) dx = <p (rj),
a a -q a
t. e. q> является монотонно возрастающей функцией. Поэтому
предел lim <р(ц) конечный или бесконечный всегда существует
о
(см. п. 4.8); при этом этот предел конечен тогда и только тогда,
когда функция <р ограничена сверху, т. е. когда выполняется
условие (33.8’.
Наконец (см. п. 4.8),
ь
j f (х) dx = lim <р (г)) = sup ф (г)),
а T]-b—0
т. е. имеет место формула (33.9).
Теорема доказана.
Из теоремы 1 следует также, что, для того чтобы несобствен-
ft
ный интеграл j" f(x) dx расходился, необходимо и достаточно, чтобы
функция <р(г|) была не ограничена сверху, но тогда в силу ее моно-
тонности
Ч
lim <р (т])= lim J f (х) dx — 4- оо.
T|-»ft — 0 t]->6-0a
ft
Поэтому, если несобственный интеграл J f(x)dx от неотрица-
а
тельной функции f расходится, то пишут
ь
§f(x)dx — -фоо. (33.10)
а
В дальнейшем в настоящем пункте мы будем всегда предпола-
гать, что
1) функции fug определены и неотрицательны 0, g > О
на [a, by,
2) интегрируемы по Риману на любом отрезке la, b — е], е>0.
33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
451
Нижесформулированные и доказанные теоремы называются
обычно признаками сравнения сходимости несобственных интегра-
лов.
Теорема 2. Пусть
f(x) = O(g(x)), x-+b—0*\ (33.11)
тогда:
ь
1) если интеграл J g(x)dx сходится, то сходится и интеграл
а
b
J f U) dx\
а
b
2) если интеграл J f (х) dx расходится, то расходится и ин-
а
ь
теграл J g (х) dx.
а
Ь
Доказательство. Пусть интеграл J g(х)dx сходится. Из
а
условия (33.11) следует существование такого т|0 С 1а> и такого
с>0, что для всех х^[^0, Ь) выполняется неравенство
f(x)<cg(x) (33.12)
ь
(см. п. 8.2). Из сходимости интеграла J g (х) dx следует и сходи-
а
Ъ
мость интеграла J g (х) dx. В силу же необходимости условий
Чо
теоремы 1 для сходимости интеграла, существует такое число
М _> 0, что для любого т] £ [г)0, Ь) справедливо неравенство
Ч
j g (х) dx < М.
Чо
Отсюда и из неравенства (33.12) имеем
Ч Ч
J f (х) dx < с j g (х) dx < сМ.
Чо Чо
) В частности, если /(х) < g(x).
<52
§ 33. Интегралы от неограниченных функций
Из этого неравенства, в силу достаточности условий теоремы 1
для сходимости интеграла от неотрицательной функции, получаем,
b ь
что интегралУ f(x)dx, а следовательно, и интеграл J f(x) dx схо-
Чо °
дится.
Утверждение 1 теоремы доказано. Докажем второе.
ь ь
Если интеграл § f (х) dx расходится, то интеграл §g(x)dx не
а и
может сходиться: если бы он сходился, то в силу уже доказанного
b ь
сходился бы и интегралУ f (х) dx. Таким образом, интегралУ g (х) dx
а а
расходится.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть §(х)=Д0, а х<^Ь, и
Д“.,Т« = /г’ №-13'
тогда'.
1) если интеграл
ь
У g(x)dx
а
сходится и 0 < #<+ оо, то и интеграл
ь
У f (х) dx
а
также сходится;
2) если интеграл
ь
j g (х) dx
а
расходится и 0 < k <; оо, то и интеграл
ь
J f (х) dx
и
также расходится.
В частности, если f — g (см. п. 8.3), то интегралы
-ф ОО 4-00
У f (х) dx и У g (х) dx
а а
сходятся или расходятся одновременно.
33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
453
Доказательство. Из выполнения условия (33.13)
для 0 < k < -j-оо следует, что существует такое 6 > 0, что если
b — б < х < Ь, то
т. е. /(х)<(/г+ l)g(x),
а это означает, что
f (x)^O(g(x)), х-^Ь—0.
Поэтому утверждение 1 следствия непосредственно вытекает из
утверждения 1 теоремы 2.
Из выполнения условия (33.13) для 0</г<-роо следует,
что для любого k' £ (0, k) существует такое б = fi(fe') > 0, что если
b —б < х < Ь, то
^(х)<^-/(х),
а это и означает, что
g(x) = О (/(%)), х-+Ь—0.
Поэтому утверждение 2 следствия непосредственно вытекает из
утверждения 2 теоремы 2.
Функция g в теореме 2 и ее следствии, с помощью которой уста-
ь
навливается сходимость интеграла ( f(x)dx, называется функци-
а
ей сравнения.
Эффективность использования критерия сравнения для опреде-
ления сходимости интеграла зависит, конечно, от запаса функций
сравнения, о которых известно, сходится от них интеграл или рас-
ходится, и которые тем самым можно пытаться использовать для
исследования сходимости данного интеграла с помощью призна-
ка сравнения.
В качестве простой функции сравнения часто бывает достаточно
брать функции вида
g(x) =——- (33.14)
(6 - х)а
при различных показателях и > 0.
ь
Сходимость интегралов J g (х) dx для функций указанного вида
проверяется непосредственно:
454
§ 33. Интегралы от неограниченных функций
при а =/= 1
ь ь-е
Г dx Г dx (b — х),—а
J (ь-xf J (b-x)a = “el+o
b — Е
а
—j-i— lim [ei-a—(b—п)'-а] =
l~a Е-+О
при а = 1
ь-е
f dx
= lim I ----------=
. J b — x
e-»4-oe a
а, если О < а < 1,
1— а
4-оо, если а^>1;
Ib — B
= -|-oo.
a
Таким образом,
С л,- (СХОДИТСЯ при О’С'К'СЬ
............(33.15)
J(b — X)a (расходится при а>-1.
Если в качестве функции сравнения g(x) взять функцию
(33.14), то
Ш x)af(x),
g(X) > >'
и теорема 2 и ее следствие перефразируются следующим образом.
Теорема 3. Пусть /(х)^>0 при а<х<Ь. Тогда, если
\(Ь-х)а!
то интеграл
ь
\f(x)dx (33.16)
а
сходится, если же
-----— = O(f(x)), x-^b—0, а^>1,
(Ь~х)а
то интеграл (33.16) расходится.
Следствие. Пусть
lim {b—х)а f М~ k,
х-*Ь—о
тогда-.
1) если а<1 и 0<&<4~о°, то интеграл (33.16) сходится-,
2) если а^>1цО<Л<4-°°, то интеграл (33.16) расхоаится.
33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
455
В частности, если
то интеграл (33 Л6) сходится при а < 1 и расходится при а > 1.
Аналогичные теоремы имеют, конечно, место и для несобствен-
ных интегралов вида (33.4), а также в случае, когда функции / и g
неположительны на рассматриваемом промежутке. ।
Г* d X
Отметим, что утверждения (33.15) для интеграла 1—,
о х
т. е. то, что
р dx (сходится при 0<^а<С1,
J х<х ~~ [расходится при а> 1,
геометрически означает (рис. 108), что области
с«= {(*> y):0<x< 1, 0<у<-^}
при 0 < а < 1 имеют конечную площадь, а при а > 1 — беско-
нечную. Это непосредственно следует из геометрической интерпре-
поэтому, согласно следствию теоремы 3, интеграл (33.17) сходится.
2. Интеграл
1
£ 33. Интегралы от неограниченных функций
расходится. В качестве функции сравнения здесь можно взять
^(Х) = Г=3:’ “=1-
3. Интеграл
1
j Inxdx (33.18)
о
сходится.
Действительно, по правилу Лопиталя при любом а > 0, в част-
ности при 0 < а < 1,
д
lim x“lnx=lim ln * = lim --------_* =----— limx“ = 0,
л-»+о +о х~“ *-+о—ах а 1 а г-»4-о
поэтому, согласно теореме 3 (точнее, ее аналогу для отрицатель-
ных функций), интеграл (33.18) сходится (см. рис. 108).
Во всех рассмотренных примерах мы определили, сходится ин-
теграл или нет, не вычисляя самого интеграла в конечном виде,
хотя это и можно было сделать. Выясним теперь сходимость интег-
рала, который заведомо не вычисляется в конечном виде.
4. Для выяснения вопроса о сходимости интеграла
1
Ш <зз19>
о
поступим, как и в предыдущем случае; взяв за функцию сравнения
функцию вида
а > 0,
получим по правилу Лопиталя
lim ^-j——— = — alimx(l — х)а— *.
X-.I— о 1пх х-1— о
Отсюда следует, что выгодно взять а = 1, тогда
lim =— 1,
In х
и, значит, интеграл (33.19) расходится.
В случае, если оказывается трудным сразу выбрать показа-
тель а в функции сравнения (33.14), то часто бывает полезно при-
бегнуть к общему методу выделения главной части функции f в ок-
рестности точки Ь. Соответствующие примеры будут рассмотрены
в пункте 34.3.
33.4. Критерий Коши Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы 457
33.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся
несобственные интегралы на конечном промежутке
Пусть функция f определена на полуинтервале [а, Ь)
и интегрируема по Риману на любом отрезке [а, т)], а< т)< Ъ.
Отметим прежде всего необходимое и достаточное условие схо-
димости несобственного интеграла
ь
§f(x)dx, (33.20)
носящее название критерия Коши.
Теорема 4. (Критерий Коши). Для того чтобы интеграл
(33.20) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0
тогда сходимость интеграла (33.20), т. е. существование предела
(33.1) эквивалентно существованию предела lim ф(т]).
трь—о
В силу же критерия Коши для существования предела функции
имеем: для того чтобы существовал предел lim <р(т]), необходимо
Т] - ь— о
и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое б=
= 6(e) > 0, что если
b—6 < т]'< Ь и b—6 < rf < Ь,
то
|<р(т1")—ф(т)')1 <е. (33.22;
Поскольку
Т]" Т]' Г]"
<₽(Т]") — ф(л') = J f(x)dx—j f(x)dx = j f (x)dx,
a ° t]
to (33.22) равносильно условию (33.21) (рис. 109).
Теорема доказана.
458
§ 33. Интегралы от неограниченных функции
Определение 2. Интеграл ^f(x)dx называется абсолютно
а ь
сходящимся, если сходится интеграл J | f (х) | dx.
а
Из теоремы 4 непосредственно следует критерий абсолютной
сходимости интеграла.
Теорема 5. Для того чтобы интеграл (33.20) абсолютно схо-
дился, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существо-
вало такое 6 = 6(e) > 0, что если
b—и b—6<^т]" <i.b,
то Пя
(x)|dx|<e,
4i
b
Теорема 6. Если интеграл f(x) dx абсолютно сходится, то
а
он и просто сходится*'.
Доказательство. Пусть фиксировано е > 0. Если
ь
интеграл J /(х) dx абсолютно сходится, то в силу критерия Коши
а
(см. теорему 5) для любого е > 0 существует такое 6 = 6(e) > 0,
что
,4"
| j | f (х) | dx | < е, (33.23)
4'
если
b—6<^т]'<^6, 6—6<^т]"<^6.
Так как
Т]" Tf
| J/(x)dx|<|jJf(x)|dx|,
4' 4'
то в силу неравенства (33.23) для любых указанных т/ и т]"
Tj"
|}f(x)dx |<е,
* ь.
поэтому в силу критерия Коши (см. теорему 4) интеграл j f (х) dx
сходится. “
Теорема доказана.
*) Подчеркнем, что здесь, как и раньше, мы рассматриваем только функ-
ции, интегрируемые по Риману на любом отрезке [a, т)], 4€ 1а, Ь).
34.1. Определение несобственных интегралов
459
В дальнейшем (см. п. 34.4) будут приведены примеры сходя-
щихся, но неабсолютно сходящихся несобственных интегралов.
С помощью установленных в п. 33.3 признаков сходимости не-
собственных интегралов от неотрицательных функций можно уста-
навливать абсолютную сходимость несобственных интегралов, а
значит, и просто их сходимость в случае, если они абсолютно схо-
дятся.
Например, интеграл
А • 1
( sin---
о
сходится, и притом абсолютно, ибо
1
sin —
X < 1
/1 — х )'1-х
Г dx
и интеграл j ут~ х СХ°ДИТСЯ-
о
§ 34 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
34.1. Определение несобственных интегралов
с бесконечными пределами
Обобщим понятие интеграла на случай бесконечных
промежутков.
Пусть функция f определена для всех х > а и пусть она интег-
рируема на любом конечном отрезке [а, Т)], т] > а.
Определение 1. Будем говоришь, что функция f интегрируема
в несобственном смысле, или, что то же, что интеграл
4-00
| f(x)dx (34.1) 'Х
а \
сходится, если существует \________г____________
конечный предел «
Р
lim ) f(x)dx. Рис. ПО
Этот предел, если он существует, и называется несобственным
интегралом (34.1). Таким образом (рис. ПО),
+ °° Ч
J f(x)dx==lim i f(x)dx.
а 1')^+°° а
460
§ 34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Существование несобственного интеграла (34.1) эквивалентно
существованию несобственного интеграла
+ оо
J f(x)dx (34.2)
С
при любом с~^>а. Действительно,
Tj < Т]
j f (х) dx = f f (x) dx -4- J f (x) dx,
a a c
поэтому интегралы (34.1) и (34.2) одновременно существуют или не
существуют.
Если f(x) > 0 для х а, то несобственный интеграл (34.1)
численно равен площади неограниченной области
G — {(х, у): х > а, 0 < у < f(x)},
т. е.
J f (.v) dx = mes G.
Q
В этом легко убедиться с помощью теоремы 2 п. 31.2, подобно
тому как это было сделано в предыдущем параграфе для несобствен-
ных интегралов от неограниченных функции (см. п. 33.1).
Упражнение 1. Привести пример функции /, положительной при
х >1 и неограниченной в каждой окрестности +оо, для которой интеграл
-1-00
/ f(x)dx сходится.
1
Аналогично определяется и несобственный интеграл
а
J f(x)dx
— оо
для функции /, определенной на полупрямой х < а и интегрируе-
мой но Риману на любом отрезке [£, al, именно
| f(x)dx — lim \f(x)dx. (34.3)
— ОО -ОО ё
Если же для функции f имеют смысл несобственные интегралы
Q -ф-ле
f /'(х)с!х и J f(x)dx, где a<J&, а также собственный или не-
— со b
34.2 Формулы интегрального исчисления
461
Ь 4~ оо
собственный интеграл J [ (х) dx, то несобственный интеграл | f (х) dx
а —оо
определяется согласно формуле
4- оо а b 4-0°
j f(x)dx = | [ (x) dx + J f (х) dx ф- j f(x)dx. (34.4)
— оо —оо а Ъ
Упражнение 2. Доказать, что существование и значение нессб-
+у°
ственного интеграла j f(x)dx в определении (34.4) не зависит от выбора точек
— оо
а и Ь, удовлетворяющих сформулированным выше условиям.
Вместо «интеграл существует» и, следовательно, конечен (соот-
ветственно не существует) часто говорят также, что интеграл схо-
дится (соответственно расходится).
В дальнейшем для простоты мы в основном ограничимся рассмот-
рением несобственных интегралов вида (34.1). Для интегралов тьт
(34.3) и (34.4) соответствующие утверждения также будут справед-
ливы, и читатель легко сформулирует и докажет их самостоятельно
по мере собственной потребности.
В качестве примера покажем, что
(сходится при а>1,
(расходится при а< 1.
(34.5)
В самом деле, если а =# 1, то
для а 1,
( Id-а__1_\
( 1 — а 1 —а/
— 7---для а~> 1.
1 —а "
Если же а = 1, то
4~ оо Ь
। —- = lim f— = lim lnfe=-}-oo.
J х „ J X . , „
34.2. Формулы интегрального исчисления
для несобственных интегралов
Подобно тому как это имело место для несобственных ин-
тегралов от неограниченных функций, на интегралы с бесконечны-
ми пределами переносятся формулы интегрального исчисления,
462
§ 34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
причем метод их доказательства аналогичен случаю интегралов
от неограниченных функций. Это делается особенно ясным, если
заметить, что оба определения несобственных интегралов можно
формально объединить в одно определение. Сделаем это.
Определение 2. Пусть функция f определена на конечном или
бесконечном промежутке [о, b), а < b < +оо, и пусть функция
f интегрируема на любом отрезке [а, т]], a <Z ц Ь. Тогда несоб-
ъ
ственный интеграл J /(х) dx определим по формуле
а
ь г]
{f(x)dx= lim \f(x)dx, а<^ц<^Ь. (34.6)
a
Очевидно, что в случае конечного b и неограниченности функ-
ции f на промежутке [а, Ь) определение (34.6) превращается в опре-
деление (33.1), а в случае b — -фоо — в определение (34.1).
Случай же, когда h конечно, а функция f ограничена на [а, Ь),
не представляет принципиального интереса, ибо, как это уже отме-
чалось в п. 33.1 (см. упражнение 1 в п. 33.1 и замечание после
него), при этих предположениях существование предела (34.6)
эквивалентно интегрируемости по Риману функции / на отрезке
[а, Ь] (в точке b функция / доопределяется произвольным образом).
Если предел
lim I f(x) dx, a<Zi]<Zb
авен оо, оо или
ь
J f (х) dx — оо,
а
— оо, то соответственно пишут
/> ь
J f (х) dx = + оо или J f (х) dx = — оо.
а о.
В пункте 33.2 формулы интегрального исчисления с помощью
определения (34.6) при конечном b обобщались на случай несобст-
венных интегралов от неограниченных функций. Таким же точно
образом указанные формулы с помощью определения (34.6), но
уже при b = 4-оо могут быть перенесены и на случай интегралов
вида (34.2). В частности, справедливы, например, следующие ут-
верждения.
1. Пусть функция f непрерывна при х~> а и пусть F — какая-
либо первообразная функции f на полупрямой х а, тогда
+°°
У f(x)dx = F(+ оо) — F (а),
(34.7)
34.2. Формулы интегрального исчисления
463
где
F(4- оо)= lim F (х),
Х->4-ОО
причем обе части равенства (34.7) одновременно имеют смысл
или нет.
4-оо
2. Если \f(x)dx сходится и k — число, то интеграл
а
—роо
f kf(x)dx также сходится и
а
-J-OO 4-00
J kf(x)dx — k J f(x)dx.
а а
g (л) dx сходятся, то
а а
4-оо
J If (x) + g(x)]dx сходится и
а
4-00 -|-00 4-00
J [/(*) + g(*)]d* = f + f g(x)dx.
a a a
-l-oo
3. Если интегралы I f(x)dx и
4. Если функции и, v непрерывно дифференцируемы на полу-
прямой х~> а, то
а
4-оо
причем если любые два из выражений J udv, uv
а
4-оо
имеют смысл, то имеет смысл и оставшееся.
5. Пусть функция f непрерывна при х '> а, функция <р(/) опре-
делена и непрерывна вместе со своей производной на полуинтер-
вале la, Р), а < Р < + оо, причем а = ф(а) < ср(/) <
< lim <р(/) = +оо, тогда
4-00 Р
J f(x)dx = p[ip(O]<p'(O^- (34.8)
« а
При этом оба интеграла в формуле (34.8) одновременно сущест-
вуют или нет.
464
§ 34 Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Отметим, что всякий несобственный интеграл
ь
§f(x)dx, —оо <4 a <Ь< + сю,
а
от неограниченной функции f может быть заменой переменной све-
ден к несобственному интегралу по неограниченному промежутку.
Действительно, делая, например, замену переменных
= 7Т?’ <34-9)
получим
Ь -|- ос
С г , , , , . С п (Ы +- а \ dt
J f (х) dx = b—a) J f J (T+vF ’
n *o
Отсюда следует, что при выполнении условий, обеспечивающих
возможность замены переменной (34.9), всякое утверждение для
несобственных интегралов от неограниченных функций по конеч-
ному отрезку может быть перефразировано в утверждение для
несобственных интегралов по неограниченным промежуткам, и
наоборот.
Пример ы. 1. Вычислить интеграл
-фоо
Г дх
J X / X2 — 1
I
П 1
Делая замену переменного х=—, получим
I
f dx С dt . , ! 1 л
I ----г . • = I Т7~ --- = arcSl n t \ = 75- •
J хУх2— 1 J у 1— Н 10 2
I г о г
2. Пусть
4-ое
1п — \ xne~*dx.
о
Интегрируя по частям, получим
-|- ОО -]-ОО
/„= —хпе~ Л|(^ 4-я J хп~1 е~х dx —
о
~ nJtl—\ , 2,
34.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
405
Замечая, что
-)-оо
Io — j e~xdx =— = 1>
о
окончательно имеем
/П = п!
34.3. Несобственные интегралы с бесконечными
пределами от неотрицательных функций
Для указанных в заглавии интегралов справедливы
теоремы, аналогичные теоремам, доказанным в п. 33.3, для несоб-
ственных интегралов от неотрицательных неограниченных функций.
Теорема 1. Пусть функция f определена и неотрицательна
для х а и интегрируема по Риману на любом отрезке [а, т)],
+°°
а < 1] < 4-оо. Для того чтобы несобственный интеграл^ f(x)dx схо-
а
дился, необходимо и достаточно, чтобы интегралы
П
J f (*) dx,
а
а л <4-00.
были бы ограничены в совокупности, причем в этом случае
1] 4-00
sup \ f(x)dx= f f(x)dx.
n > a j J
4 a a
Условие ограниченности интегралов
П
j f(x)dx
a
при т] > а равносильно условию ограниченности этих интегралов
при т] > а', где а' > а.
В самом деле, в силу неотрицательности функции /, если
а < т] < а', то
1] а’
j f (х) dx < J f (x) dx,
a a
n
т. e. интегралы f f(x)dx, а<^ц<^а'> всегда ограничены.
a
46f>
f 34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Заметим еще, что в случае, если интеграл от неотрицательной
функции I расходится, то в силу монотонного возрастания функции
Ч
<Р (•»])==] f(x)dx
а
ее предел при т]-> 4-со равен 4-со, поэтому, согласно сделан-
ному в и. 34.2 соглашению, в этом случае
4-00
J f(x)tlx— 4-со.
а
В дальнейшем в этом пункте будем предполагать, что функции
f и g определены и неотрицательны при
х > а и интегрируемы по Риману на любом
отрезке |ц, т]|, а < т) < 4-оо.
Теорема 2 (признак сравнения). Пусть
f(x) = O(g(xj) при х-*4-оо*>,
+ ОО —J-OO
тогда, если интеграл J g(x) dx сходится, то сходится и j f(x)dx,
а а
4-00
а если интеграл j f (х) dx расходится, то расходится и инте-
а
+ оо
грал J g (х} dx.
а
f (х}
Следствие. Пусть g(x)=f=O и lim , . = k,
Jt->+co ё (х>
тогда:
4-00
1) если интеграл У g(x)dx сходится и 0</г<4-со, то
+ 00
интеграл j f (х) dx также сходится',
о
4-00
2) если интеграл У g(x)dx расходится и 0<&<4-°°> то
а
4-00
интеграл j f(x)dx также расходится.
а
*) В частности, если / (х) < g (х).
1.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
467
В частности, если [ ~ g (см. п. 8.3), то интегралы
4-00 4-00
f f (х) dx и f f (х) dx
а а
сходятся или расходятся одновременно.
Все эти теоремы доказываются совершенно аналогично теоре-
мам п. 33.3. Если в теореме 2 и ее следствии в качестве функции
сравнения g(x) взять функцию
«>о,
X
то получится следующая теорема.
Теорема 3. Пусть /(х)>0 при х>а>0. Тогда если
х->+со, а^>1,
\ л /
то интеграл
4-ое
J f(x)dx (34.10)
а
сходится, если же
~—O(f(x)), х—>-]-оо и а<1,
ха
то интеграл (34.10) расходится.
Следствие. Пусть
lim ха/(х) = /г,
Х-*4-оо
тогда-.
1) если а<^1 и 0 <д k < оо, то интеграл (34.10) расхо-
дится:
2) если 1 и 0<^<^фоо, то интеграл (34.10) сходится.
В частности, если
то интеграл (34.10) сходится при а^>1 и расходится при
а 1.
Примеры. 1. Интеграл
сходится.
f — — — — — — — — — — — — — — — — — — — _
168 §34 Несобственные интегралы с бесконечными пределами
3
Действительно, возьмем а — -?—е, е^>0, тогда
3
V — е
X In X .. In X .. J Л ,о. , о,
lim ——-______ = lim -------= — lim ----= 0. (34.12)
Л-*4°о Г *3 + 1 А-4ОО ЛЁ Л-+оо еЛ-е
Выберем е так, чтобы -|—eJ>1, тогда интеграл
Д оо
(34.13)
[сходится, а значит, в силу следствия теоремы 3 сходится и интеграл
(34.11).
В случае, когда сразу не ясен порядок подынтегральной функ-
с
цни, следует попытаться выделить ее главную часть в виде ~
(си а— постоянные), прибегнув, например, к формуле Тейлора.
2. Исследуем сходимость интеграла
dx. (34.14)
Здесь подынтегральная функция всюду отрицательна. Очевидно,
интеграл (34.14) сходится или расходится одновременно с интег-
ралом
Н-ОО |
(’ Ineos —
1----------dx, (34.15)
'1 х”
у которого подынтегральная функция всюду положительна.
Раскладывая функцию Ineos поформулеТейлора, получим
1 1 / 1 1 ( 1 \
Ineos— In 1-+°pj] +
I___, / 1
2х2-Н< + °^2 + р
Таким образом,
In cos -1_
X I
-----у,-----"Г" *-+<».
и, значит, интеграл (34.14) сходится при 2 -|- р > 1, т. е. при
р > — 1, и расходится при р < —1.
34.4. Критерий Коши Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы
469
34.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся
несобственные интегралы с бесконечными пределами.
Метод улучшения сходимости интегралов
Будем снова предполагать, что функция f определена
для всех х > а и интегрируема по Риману на любом отрезке к, У,
\а<1< +оо.
Теорема 4 (критерий Коши). Для того чтобы интеграл
4-оо
J f(x)dx (34.16)
а
был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого в О
'существовало такое число
Ь = Ь(е) > а, что если b' > b и / \
|Ь"> Ь, то (рис. 111) /
| [ f (х) dx | <б e. гШГ”
b’ abb' b" x
Эта теорема, подобно coot- ptlc. Ill
ветству тощей теореме из п. 33.4,
сразу следует из критерия Копит существования предела при
1] -> ф СО у функции
<Г (11) = j f (X) dx, Г] > a,
a
ибо
Too
lim <p(n)= ( f(x)dx
,r+oo
и
*1"
|tp(n")— ф(п')|= IJ f(x)dx |.
и
Определение 1. Интеграл (34.16) называется абсолютно схо-
дящимся, если сходится интеграл
-ф- оо
f |f(x)|d.v. (34.17)
а
Как всегда, здесь предполагается, что функция / интегрируема
по Риману на любом отрезке lu, i|J, где i| > а.
170
£ 34. Нес с,бет венные интегралы с бесконечными пределами
Критерии сходимости интегралов от неотрицательных функций,
очевидно, применимы также и в качестве критериев абсолютной
сходимости интегралов.
Пусть, например, требуется выяснить: сходится абсолютно
или нет интеграл
J ^dx. (34.18)
1
Поскольку
I cos х I 1
I х2 I хг
4-00
и интеграл j ~ сходится, то, согласно теореме 2 п. 34.3, схо-
*i
дится и интеграл
+ оо
f | COS X I ,
J |~ p*
т. e. интеграл (34.18) абсолютно сходится.
Из теоремы 4, согласно определению абсолютной сходимости
интегралов, непосредственно получается следующий критерий
абсолютной сходимости интегралов.
Теорема 5. Для того чтобы интеграл (34.16) абсолютно схо-
дился, необходимо и достаточно, чтобы для любого г > 0 существо-
вало такое число b — Ь(е) > а, что если b">bub">b, то
Ь"
| f(x) | dx | < e.
b‘
Теорема 6. Если интеграл (34.16) абсолютно сходится, то он
и просто сходится.
Подобно аналогичному утверждению в п. 33.4 эта теорема не-
посредственно следует из критерия Коши сходимости интегралов и
неравенства
Ь" Ь"
IJ f (х) dx | < I ] I) (х) I dx |.
b’ ь
В качестве примера рассмотрим интеграл
sin К
X
dx.
(34.19)
34.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы
471
Покажем, что этот интеграл сходится, но не абсолютно.
Прежде всего заметим, чю поскольку
.. sin х .
lim-----= 1
то подынтегральная функция, доопределенная единицей при х — О,
будет непрерывна на полупрямой х > О и, значит, интегрируема
по Риману на любом отрезке 10, Ы, в частности, на отрезке [0, 11.
Поэтому вопрос о сходимости, соответственно абсолютной сходи-
мости, интеграла(34.19) эквивалентен вопросу о сходимости, соот-
ветственно абсолютной сходимости, интеграла
(34.20)
Для исследования
частям:
его сходимости проинтегрируем его по
В правой части мы получили интеграл (34.18), который, как
мы знаем, абсолютно, а значит, и просто сходится.
Таким образом, оба получившихся выражения в правой части
имеют смысл, т. е. конечны, поэтому, во-первых, проделанное ин-
тегрирование по частям законно, а во-вторых, левая часть также
конечна, т. е. интеграл (34.20) сходится.
Заметим, что в результате интегрирования по частям интеграла
(34.20) мы заменили его суммой некоторого конечного выражения и
другого несобственного интеграла, у которого в знаменателе подын-
тегрального выражения стоит более высокая степень х, чем в (34.20),
а в числителе ограниченная, как в (34.20) функция. В получившемся
интеграле подынтегральная функция быстрее стремится к нулю,
чем в исходном, точнее,
I COS X I
'-—1 — О
при х->со.
Поэтому его сходимость оказалось легче непосредственно исследо-
вать, чем сходимость исходного интеграла: он оказался даже не
просто сходящимся, а абсолютно сходящимся.
472
£ 34 Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Метод исследования сходимости несобственных интегралов, при
котором исследование сходимости данного интеграла сводится к
исследованию сходимости другого интеграла, который в каком-то
смысле «лучше сходится», чем данный, называется методом улучше-
ния сходимости.
Покажем теперь, что интеграл (34.20) не сходится абсолютно,
т. е. что интеграл
I sin х I
—~r—dx
(34.21)
расходится.
Действительно,
из неравенства
. . ,. . 2 1 — cos 2х
I sin х j > sin2 х —-------
при любом а > 1 имеем
а а а
(34.22)
X J X Л j X
1 1 1
-| - oo
Интеграл j расходится и равен + co. Интеграл же
i
I cos 2x сходится. Чтобы в этом убедиться, проинтегрируем
его по частям
+°°
Сходимость интеграла J dx непосредственно следует из
।
+<»
(’ sin 2х ,
сходимости интеграла ] ах, что устанавливается анало-
Y
гично сходимости интеграла (34.18). Переходя теперь к пределу
при -Ьсо в неравенстве (34.22), получим, что правая, а сле-
довательно, и левая часть этого неравенства стремится к Ц-оо и
потому интеграл (34.21) расходится.
Таким образом, интеграл (34.20), а значит, и интеграл (34.19)
не сходятся абсолютно.
34.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы
473
В заключение докажем один достаточный критерий сходимости
интегралов, называемый обычно признаком Дирихле.
Теорема 7 (признак Дирихле). Пусть:
1) функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную
F при х > а;
2) функция g непрерывно дифференцируема при х>а;
3) функция g монотонно убывает при х~>а’,
4) lim g (х) = О,
л->4-оо
тогда интеграл
4-00
j f(x)g (х) dx (34.23)
а
сходится.
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу
сделанных предположений функция fg непрерывна, а значит, и ин-
тегрируема по Риману на любом отрезке 1а, Ь], а< Ь < Ц-со, и по-
тому имеет смысл говорить о несобственном интеграле (34.23).
Интегрируя по частям на отрезке получим
b ь
\f (х> g (х) dx = J g (х) dF (х) =
а а
b
= g (x) F (x) — J F (x) g' (x) dx. (34.24)
a
Исследуем поведение обоих слагаемых правой части прий->4-оо.
В силу ограниченности функции F (см. условие 1 теоремы)
М — sup | F (х) | < -ф со,
поэтому
|g(b)F(&)|<Alg(b),
и в силу условия 4 теоремы
lim g(b) F (b) — 0.
b-*- 4-oo
Далее, из монотонного убывания функции ^следует, что g'(x)^Q
при х>0 и поэтому
ь ь
j | F (х) g' (х) | dx < М J | g' (х, | dx =
а а
b
= — М J g‘ (x)dx = М lg(a)—g(b)] < Mg (а),
а
474
§ 31. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
ибо из условий Зи4 теоремы следует, что ф(х)>0, в частности, что
£(&)> 0.
Таким образом, интегралы
ь
j I F (x) S' (х) I е-х
ограничены в совокупности при всех Ь~>а, и поэтому интеграл
F(x)g' (x)dx
абсолютно, а значит, и просто сходится, т. е. существует конечный
предел
ь
lim [ F(x)g' (x)dx.
ъ-' + °° о
Мы доказали, что в правой части равенства (34.24) оба слагаемых
при b 4-оо имеют конечный предел, а значит, и предел левой
части при Ъ—> 4-со конечен, а это и означает сходимость интеграла
(34.23).
Теорема доказана.
Применим признак Дирихле к исследованию сходимости ин-
теграла
-1-00
С sin х
j dx, а>0. (34.25)
1
Функция f(x) = sin х имеет ограниченную первообразную
1
F(x) = — cos х, а непрерывно дифференцируемая функция g(x) =
при а> 0 монотонно убывает и стремится к нулю при х-> 4-°°.
Все условия теоремы 7 выполнены, поэтому интеграл (34.25)
сходится.
Следует, однако, иметь в виду, что признак Дирихле дает только
достаточные, а не необходимые условия сходимости интеграла; по-
этому не всегда с помощью его можно решить вопрос о сходимости
интеграла. Например, исследуем сходимость интеграла
sin xdx
ха — sin х
а>0.
(34.26)
Попытаемся применить признак Дирихле, положив /(x) = sinx
Hg(r)=------!----. Очевидно, что £(х)->0 при х->4-со. Най-
ха — sin х
34.4. Критерий Коши Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы
475
дем производную:
о' X
Ь (xa-sinx)2’
Отсюда видно, что при а< I эта производная при х—>оо бесконечное
число раз меняет знак и, следовательно, сама функция g(x) не мо-
нотонно убывает.
Таким образом, при а < 1 признак Дирихле оказывается не
применим для выяснения вопроса о сходимости интеграла (34.26).
В этом случае естественно попробовать прибегнуть снова к ме-
тоду выделения главной части.
Применяя формулу разложения бинома по формуле Тейлора
(см. п. 13.3), получим при Х~>ОО
sin х sin х
а
х —ыпх
sin X , sin2 X
a 2a
sinx
in х
in X
а
sill х
а
х
1 cos 2x
2х2а
Кх-)- (34-27)
Т о
,2«
Интегралы
sin х
a dx
cos 2х
dx
(34.28)
сходятся по признаку Дирихле
при всех
а>0. Интеграл же
(34.29)
х
1 1
-g~, и расходится при а -g .
где е(х)->0 при х-><х>, причем
х2
сходится при 2a >1, т. e. при a
Действительно, о ,
kx20J x2a
из формулы (34.27) следует, что эта функция о (—)
\х2С7
непрерыв-
на, и. следовательно, имеет смысл говорить об интеграле (34.29).
Выберем Л>1 так, чтобы при х>Л имело место |е(х)| 1
тогда при х^>А
1 1
4х2а< 2х2К
3
4x2a’
и, следовательно, интеграл (34.29) сходится и
тех же значениях параметра ос, что и интеграл
расходится
при
х
и
о
г
4
76
§ 34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Таким образом, при а > все интегралы (34.28) и (34.29) схо-
дятся, а значит, в силу (3-1.27) сходится и интеграл (34.26). При
0< интегралы (34.28) сходятся, а интеграл (34.29) расходит-
ся, следовательно, расходится и интеграл (34.26).
Заметим, что при а<0 интеграл (34.26) расходится. Действи-
тельно, в этом случае знаменатель подынтегральной функции обра-
щается в ноль бесконечное число раз; причем если — sin х0 — О,
то функция ха — sin х в окрестности точки х0, согласно формуле
Тейлора имеет вид (почему?) ха — sin х = (х —- x0)* гр(х), где k —
некоторое натуральное число, а <р(хо)#=0. Поскольку sin хо=у<=0, то
в каждой подобной точке х0 мы имеем неинтегрируемую особен-
ность.
Упражнение 3. Исследовать сходимость и абсолютную сходимость
следующих интегралов:
— оо < р < -р ОС,
dx
1+(1пх)Р ’
In sin X
dx.
СО
С sin х
4. ------------ dx.
J (x-pcos х)к
о
+ °° / I \
Г — (х* +—)
5. V
— оо
Задача 17. Привести пример двух эквивалентных при х ->~Роо функций
-4-0°
f и g: lim = 1, таких, что f f(x)dx сходится, а интеграл
*-> + « g(x)
-ф-оо 1
( g(x)dx расходится.
ГЛАВА
ЧЕТВЕРТАЯ
РЯДЫ
§ 35. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
35.1. Определение ряда и его сходимость
В настоящем параграфе понятие суммы обобщается на
некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучаются свой-
ства таких сумм. Многие из рассматриваемых ниже вопросов спра-
ведливы не только для вещественных чисел, но и для комплексных
чисел. Поэтому в отличие от предыдущих глав в настоящей главе
будем вести рассмотрения в комплексной области.
Определение 1. Пусть задана последовательность комплексных
чисел ип, п = 1, 2... . Формально написанная сумма
wi + ••• + un~i~ ••• (35.1)
или, что то же,
^П’
называется рядом, а число ип — его п-м членом, п = 1,2,....
Подчеркнем, что всюду, где не оговорено противное, члены рас-
сматриваемых рядов подразумеваются комплексными.
Определение 2. Конечная сумма
sn — ui + +... -ф ип, (35.2)
слагаемыми которой, являются первые п членов ряда (35.1), назы-
вается п-й частичной суммой данного ряда, а ряд
Un+t + • •• + Un+k + •••> (35.3)
членами которого являются все члены ряда (35.1), начиная с
\(п + 1)-го, написанные в том же порядке, что и в данном ряде, на-
зывается п-м остатком ряда (35.1).
478
§ 35. Числовые ряды
Определение 3, Ряд (35.1) называется сходящимся, если после-
довательность его частичных сумм {sn} сходится (см. п. 3.1 и п. 23.1).
Если ряд не сходится, то говорят, что он расходится. Если ряд
(35.1) сходится, то предел
s= lim s„
I n—>OO
называется его суммой. В этом случае пишут
s~ Д + «а + ••• + ип + —
или
I оо
s= 2 ип. (35.4)
Согласно этому обозначению, выражение (35.1) в случае сходя-
щегося ряда всегда обозначает его сумму.
Если
limsn = oo, или lims;i=4-°°> или lim sn ——оо,
I n-юо П-*оо П-»оо
' то соответственно пишут
оо оо оо
2 чп = °°’ 2 «„==+<» или 2 оо.
П=1 П=1 П=1
Каждому ряду естественным образом соответствует некоторая
последовательность — последовательность его частичных сумм;
при этом по определению, сходимость ряда эквивалентна сходимости
последоватлыюсти его частичных сумм.
Обратно, каждой последовательности можно поставить в соот-
ветствие такой ряд, что она будет являться последовательностью
его частичных сумм. Действительно, пусть дана последовательность
комплексных чисел {гп}. Положим
U^ — Zy, U2 — Z2 Д, ..., Uri = Z Zfi— 1, ...
и рассмотрим ряд
Wj-pW-2-l- ... +п„Д ... .
Тогда
8„=-Н1+Н2+- + «п =
= г1 + (г2 — г1) + (гз — гг)+ ••• +(2п — 2Д—1) = г„.
Таким образом, исследование сходимости ряда, согласно опре-
делению, сводится к исследованию сходимости последовательности,
а исследование сходимости последовательности всегда может быть
указанным приемом сведено к исследованию сходимости соответст-
35.1. Определение ряда и его ' ходимость
479
вуюшего ряда. Поэтому всякое утверждение о сходимости ряда
можно перефразировать в терминах сходимости последовательности,
и наоборот.
Если остаток (35.3) ряда (35.1) сходится, что его сумму будем
обозначать
оо
г„ = 2 «А- (35.5)
k = п+1
Всякую сумму конечного числа слагаемых
“В И2 ••• "Г ип,,
можно рассматривать как ряд, добавив к иен члены
^п„+ 1 ~ ^п0+2 “ ... = О
Сумма получившегося ряда, очевидно, будет совпадать с заданной
суммой, ибо при всех п>п0 его частичные суммы равны
Если заранее неизвестно, содержит сумма конечное или беско-
нечное число слагаемых, то иногда удобно в обоих случаях на-
зывать ее рядом, считая, что конечная сумма является рядом в вы-
шеуказанном смысле.
Пример ы. 1. Пусть q — комплексное число и | q\ <Д. Тогда
ряд
q + q2 + qs + - + qn+ -
с членами ип — qn, п = 1, 2,..., называющийся, как известно, бес-
конечной геометрической прогрессией, сходится.
Действительно,
и так как
„п+1
lim —-----= О,
/2->оо 1 Q
ТО
lim s„ = —-—.
1
/7-*ОО I - Ц
2. Ряд
1- 1д_ 1 — 1+ ... + ( —1)п+1
с членами
«,» = ( —О"1’1» п-1,2, ....
расходится.
480 § 35. Числовые ряды
В самом деле, в этом случае
s2ft = 0, 1г 1,2.......................
s2ft+l = l, 6 = 0,1,...,
поэтому последовательность частичных сумм {s,t} не имеет пре-
дела.
35.2. Свойства сходящихся рядов
Теорема 1. Пусть с — комплексное число. Если ряд
сходится, то ряд
оо
2 ^п>
п — I
называемый произведением данного ряда на число, также схо-
дится и
I оо оо
2 сип—-с 2 ип. (35.6)
п=1 п=1
Эта теорема означает, что числовой множитель «можно выносить
за скобку» и в случае бесконечного числа слагаемых, если они обра-
зуют сходящийся ряд. «Можно» в том смысле, что справедливо ра-
венство (35.6).
Доказательство. Пусть
п п
2 «Л И Sn== 2
fe= 1 k— 1
тогда, очевидно,
s'n = csn. (35.7)
По условию lim sn существует, поэтому в силу (35.7) lim sn также
I tl -> оо /4 см
существует и
lim sn = c lims,t,
П->ое п-*оо
это и есть равенство (35.6).
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть ряды
оо оо
2 ч 2 vn
п=- 1 п— 1
35.2 Свойства сходящихся рядов
481
сходятся, тогда ряд
оо
2 («п+»д
rt== 1
называемый суммой данных рядов, также сходится и
оо оо ос
2 (wn + &п)— 2 ип + 2 vn-
п= 1 п= 1 1
(35.8)
Эта теорема означает, что сходящиеся ряды «можно складывать
почленно» (n-й член с п-м), «можно» в том смысле, что справед-
ливо равенство (35.8).
Доказательство. Пусть
sn= 2 S„= 2 vk И О„= 2 («л+^л).
1 /г— 1 k~ 1
тогда
°п~ Sn~ESn,
и так как lim sn и lim sn по условию существуют, то lim tr„
л-*оо п-*<х> rz-*-oo
также существует и
lim on= lim (sn4-sn)= lim sn+ limsn,
/2->O0 n~*oo
это и есть равенство (35.8).
Теорема доказана.
Теорема 3. Если ряд сходится, то любой его остаток сходится.
Если какой-либо остаток ряда (35.1) сходится, то и сам ряд также
сходится.
Доказательство. Пусть
8п = «1 + «2+ +«п- п=1,2,..„
оо
— частичные суммы ряда 2 ип, а
п= 1
S/г — U,n + 1 ... -j- Um+k
— частичные суммы его m-го остатка
</,„4-1 ИщЛ-> Д ... "Д ll/nA-h ... .
Очевидно, что
(35.9)
482
§ 35. Числовые ряды
откуда при фиксированном т следует, что предел
lim sn
П~>оо
существует тогда и только тогда, когда существует
lim s(fem).
fe->oo
Иначе говоря, ряд сходится тогда и только тогда, когда схо-
дится его некоторый остаток. Поскольку натуральное число т было
произвольно, то теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что отбрасывание или добавление
конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходи-
мость.
Заметим, что, употребляя обозначение (35.4) суммы сходящегося
ряда и обозначение (35.5) суммы остатка сходящегося ряда и пе-
реходя к пределу при k-+ оо в равенстве (35.9), получим
s ~ sm + гт-
35.3. Критерии сходимости рядов
Критерий Коши для сходимости последовательностей
может быть легко перефразирован для рядов.
Действительно, как известно (см. п. 3.3), для того чтобы после-
довательность {&,,} была сходящейся, необходимо и достаточно, что-
бы для любого е > 0 существовал такой номер пе, что
I —11 <\ &
для любых номеров п ~> пе и любых целых р> 0 (для удобства ис-
пользования этого критерия в случае рядов мы здесь пишем раз-
ность sn+p — sn_i вместо разности s,i+p — sn, которую писали
раньше в п. 3.2. Это, конечно, не влияет на суть дела).
Если теперь последовательность {s„} является последователь-
ностью частичных сумм ряда (35.1), то
S»4-p — Sn — 1 == Wn4- Un+\ -j- ... +
и сформулированный критерий в этих обозначениях принимает
следующий вид.
Теорема 4 (критерий Коши). Для того чтобы ряд ип схо-
п = 1
дился, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существо-
вал такой номер пе, что
... + Wn+P К е (35.10)
при любом п^>пЕ и любом целом р>0.
353 Критерии сходимости рядов
483
Теорема 5 (необходимое условие сходимости ряда). Если
го
ряд ?j чп сходится, то
п = 1
liniM„ = 0. (35.11)
fl -> ОС
Действительно, в этом случае неравенство (35.10) выполняется
для любого р> 0 и, в частности, для р = 0. Поэтому
К|О
для всех п> пе, а это в силу произвольности е > 0 и означает, что
lim ип = 0.
П> ОО
Пример ы. 1. Бесконечная геометрическая прогрессия
q + q2+qs+ +<?"+ ...
при | q | > 1 расходится, ибо ее n-й член ип — q" не стремится к нулю:
\un\ = \q\!1>E
2. Рассмотрим так называемый гармонический ряд
1+4+ -+—+- •
2 п
Здесь га-й член ип = — стремится к нулю при «->оо, но ряд рас-
ходится. Действительно, для любого п — 1, 2, ... имеем
, . , 1 , 1 , , 1 .
wn+ l/n + l+ — + «2,1—1 —---1--— + ... +----
Il tl J- 1 2n — 1
>—!— + —!—+...4---------, (35.12)
2n—1 2n — 1 2n— 1 2n 2 v ’
т. e. для любого n при e = и p = n — 1 неравенство (35.10) не
выполняется.
Таким образом, из критерия Коши следует, что гармониче-
ский ряд расходится. Этот пример показывает, что условие
(35.11), являясь необходимым для сходимости ряда, не является
вместе с тем достаточным.
484
§ 35. Числовые ряды
35.4. Критерии сходимости рядов
с нео1рицательными членами.
Метод выделения главной части /z-го члена ряда
В этом пункте займемся исследованием сходимости рядов,
все члены которых неотрицательны и, значит, заведомо веществен-
ны.
Теорема 6. Пусть все члены ряда (35.1) неотрицательны'.
ип>0, п=1, 2...................... (35.13)
тогда для того чтобы ряд (35.1) сходился, необходимо и достаточно,
чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена
сверху, причем если s— сумма ряда, a sn, п = 1,2,..., — его частич-
ные суммы, то
sup s„ = s. (35.14)
n^l. 2, ...
Доказательство. Если ряд (35.1) сходится, т. е. если
последовательность его частичных сумм сходится, то эта последо-
вательность, как всякая сходящаяся последовательность, ограниче-
на (см. и. 3.2 и п. 23.1). Однако в общем случае условие ограничен-
ности частичных сумм ряда, как показывает уже пример 2, разо-
бранный в п. 35.1, не является достаточным для сходимости ряда.
Если же выполнено условие (35.13), то
п+1
&п + 1 — Ип = “Ь
/,= 1
т. е. последовательность частичных сумм {sn} в этом случае является
монотонно возрастающей последовательностью, и потому она схо-
дится тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Кроме того,
если
lim sn = s,
Г2*>ОО
то
s= sup s„.
n=l 2...
Теорема доказана.
Из теоремы 6 следует, что если ряд с членами (35.13) расходится,
то последовательность его частичных сумм не ограничена сверху
и в силу ее монотонности
lim sn= 4- оо.
n-t-cci
35.4 Критерии сходимости рядов с неотрицательными членами 485
Поэтому для расходящихся рядов с неотрицательными членами,
согласно сделанному в п. 35.J соглашению, пишут
оо
2 «п= +
п~ 1
Доказанная теорема по своей формулировке внешне напомина-
ет соответствующие теоремы для несобственных интегралов (см.
п. 33.3 и 34.3). Между сходимостью рядов с неотрицательными
членами и несобственных интегралов от неотрицательных функций
можно иногда установить и более непосредственную связь. Именно,
если для данного ряда (35.1) с неотрицательными членами удает-
ся подобрать функцию /(х), определенную при х > 1 и такую, что
f(n) = ип, то при определенных условиях из сходимости или рас-
ходимости интеграла
-|-оо
J f (х) dx
1
можно судить и о сходимости или расходимости ряда (35.1).
Теорема 7 (интегральный признак сходимости рядов). Если
функция f(x), определенная при всех х > 1, неотрицательна
и монотонно убывает, то ряд
оо
2 /(«)
л= 1
сходится тогда и только
когда сходится интеграл
4-00
J f (х) dx.
।
Доказательство. Если k<x~<k + 1, то тогда в силу
монотонного убывания функция )(х) (рис. 112)
/(&)>/(*)>/’(£+1)> 6=1,2,...,
и поэтому
4+1
| /(x)dx > f (k-}~ 1), 6=1,2,..,.
fr
Суммируя эти неравенства от k = 1 до k = п, получим
и п 4 1 п
j /(x)dx> 2/(/г-р !),
i *=i
486
§ 35. Числовые ряды
и, полагая
sn= 2 f(k),
Ы
получим
п+1
sn> j f(x)dx>sn+l-f(V), н=1,2.............. (35.17;.
1
Если интеграл (35.16) сходится, то в силу теоремы 1 п. 34.3 при
любом п = 1, 2, ...
п 4-1 + оо
J f(x)rfx< J f(x)dx.
'i 1
Отсюда и из неравенства (35.17) следует, что
т
sn + i</(l) + J f(x)dx,
1
т. е. последовательность частичных сумм ряда (35.15) ограничена
сверху, а значит, согласно предыдущей теореме, этот ряд сходится.
Если теперь ряд (35.15) сходится и его сумма равна s, то, соглас-
но той же теореме, sn<s для всех п = 1, 2, ..., и, значит, в силу не-
равенства (35.17) для всех п = 1, 2, ...,
4-1
j" f (х) dx s.
i
Если теперь E^l, то, беря п так, чтобы п > получим
в силу неотрицательности функции /
£ н
J / (х) dx < J f (х) dx <; s.
i i
Итак, совокупность всех интегралов §f(x)dx, 5>1, ограничена
1
сверху, а потому интеграл (35.16) сходится (см. теорему 1 п. 34.3).
Теорема доказана.
Эта теорема часто существенно облегчает исследование сходи-
мости рядов, так как, если для данного ряда удается подобрать
соответствующую функцию /, а значит, свести вопрос об изучены!
сходимости ряда к изучению сходимости интеграла, то это дает воз-
можность применить развитый в предшествующей главе annapai
интегрального исчисления.
35.4 Критерии сходимости рядов с неотрицательными членами
487
В качестве примера рассмотрим ряд
1 + -L + -± +... + --1 +...
2а За па
(35.18)
с п-м членом
«п
п
п=1,2.
В данном случае функция /(х), указанная в теореме, подбирается
легко:
)(Л')=-1-, х>1.
И так как интеграл
сходится при а> 1 и расходится при а<1,то и ряд (35.18) сходится
при а> 1 п расходится при а<1. В случае ч = 1 ряд (35.18) является
гармоническим рядом, расходимость которого была установлена
в предыдущем пункте. Получим теперь из теоремы 7 простое след-
ствие, удобное, однако, часто в приложениях.
Если существует такое натуральное п0, что функция /(х) моно-
оо
тонно убывает при х>п0, то ряд^/(тг) сходится тогда и только тогда,
4-00
когда сходится интеграл [f (х) dx. Этот случай сводится к рас-
смотренному в теореме 7 заменой переменного х = у + п0 — 1.
У п р а ж н е н и е
1. Исследовать сходимость ряда
п = 2
Перейдем теперь к признакам сравнения для рядов, также по
своей форме весьма напоминающих соответствующие признаки схо-
димости для несобственных интегралов.
Теорема 8 (признак сравнения). Пусть
ц„>0, о„>0, п=1,2............................ (35.19)
и
«) В частности, ип < vn (объяснение обозначения «О» см. в п. 23.2).
(35.20)
488
$ 35. Числовые ряды
Тогда, если ряд
2 vn (35.21)
л= 1
сходится, то сходится и ряд
-
2 ип, (35.22)
и = I
а если ряд (35.22) расходится, то расходится и ряд (35.21).
Доказательство. Пусть выполнено условие (35.20),
тогда существует такое с^> 0, что
uh^.cvh, k — 1, 2, .... (35.23)
Если теперь ряд (35.21) сходится, то, согласно теореме 6, после-
довательность {$„} его частичных сумм ограничена, т. е. существует
такая постоянная Л1 > 0, что
sn= У, vb^.M, /1= 1,2,.... (35.24)
k= i
Обозначим через оп частичную сумму ряда (35.22). Тогда в силу
неравенств (35.23) и (35.24)
п п
сп= 2 4h < с У vh — csn^cM, /2=1,2,....
4= 1 /г= I
Согласно теореме 6, из ограниченности сверху частичных сумм
ряда (35.22) следует его сходимость. Итак, если ряд (35.21) схо-
дится, то ряд (35.22) также сходится.
Если же ряд (35.22) расходится, то и ряд (35.21) расходится,
так как если бы он сходился, то по доказанному сходился бы и ряд
(35.22), что противоречит условию.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть vn=f=O, /1 = 1,2,..., и
lim = k, '35.25)
Vn
тогда:
1) если ряд (35.21) сходится п 0 < & <С -f- оо , то и ряд (35.22)
также сходится;
2) если ряд (35.21) расходится и 0<^k < оо, то и ряд(35.22)
также расходится.
В частности, если
Un ~ Vn
(ип и vn эквивалентны, см. и. 23.2), то ряды (35.21) и (35.22)
сходятся или расходятся одновременно.
35.4. Критерии сходимости рядов с неотрицательными членами
489
Из выполнения условия (35.25) для 0<&< 4-со следует су-
ществование такого п0, что если п>п0, то
—-<^+1, т. е. w„<(A>+l)t>n,
vn
а это означает, что
un^O(vn).
Поэтому утверждение 1 следствия непосредственно вытекает
из утверждения 1 теоремы.
Из выполнения условия (35.25) для 0 < k < +<*> следует, что
для каждого k', такого, что 0 < k'<Jz, существует номер п0 = п0 (k'),
обладающий тем свойством, что если п^> п0, то
т. е.
— >k',
vn
Vn < yr
k
а это означает, что
vn = O(un).
Поэтому утверждение 2 следствия непосредственно вьггекает
из утверждения 2 теоремы.
При м еры. 1. Пусть
sin2 па
11 п= •
Тогда
/1=1,2,...,
и так как ряд
2"
и = 1
сходится (см. п. 35.1). то сходится и ряд
sin2 па
п~
2”
2. Ряд
11=
490
£ 35. Числовые ряды
расходится ибо
1 1 , о
-----7- > —т=г, /7=1,2, ....
1 + V п 2У п
а ряд
“° j
’Ч1 *
У п ’
п— 1
как мы вплели (см. исследование ряда (35.18)), расходится.
Эффек!явность использования критерия сравнения для иссле-
дования сходимости ряда зависит, конечно, от запаса «рядов срав-
нения», т. е. рядов, о которых мы уже знаем, сходятся они или рас-
ходятся. и которые тем самым мы можем пытаться использовать
для исследования сходимости данного ряда с помощью признака
сравнения.
Если в качестве «ряда сравнения» (35.21) взять ряд
про который мы уже знаем, при каких а он сходится, то из теоре-
мы 8 непосредственно следует справедливость следующей теоремы
Теорема 9. Пусть ип^>0, /1=1,2, ... Тогда, если
и„ ~о( — | и а>1,
п \п«-)
то ряд
оо
2 ип (35.26,
И=1
сходится, если же
— = 0(ип) и а < 1,
У
то ряд (35.26) расходится.
Следствие. Пуешь
iim ла un — k,
П -♦оо
тогда:
1) если а У 1 и 0<;#<-|-со, то ряд (35.26) сходится-,
2) если а < 1 и 0<У < + °°, то ряд (35.26) расходится.
В частности, гели
У 1 и расходится при а < 1.
то ряд (35.26) сходится при а
35.4 Критерии сходимости рядов с неотрицательными членами
491
Если члены ип ряда (35.26) заданы с помощью формул, имеющих
смысл для всех вещественных значений п, и, более того, являются
«достаточно гладкими» функциями этого параметра, то для практи-
ческого применения теоремы 9 обычно бывает целесообразно разло-
жить член ип с помощью формулы Тейлора по степени переменной —.
Если главный член получившегося разложения будет иметь
вид — то, беря в качестве ряда сравнения ряд V .— и при-
менив теорему 9, определим, сходится данный ряд или расхо-
дится.
В известном смысле можно сказать, что этот метод исследо-
вания сходимости ряда является наиболее удобным и вместе с тем
достаточно общим.
Пример ы. Исследуем сходимость рядов, общие члены ип
которых задаются нижеуказанными формулами.
1) ип = 1 —cos —
' " п
Очевидно, ип'^>0. Так как
cosx=l-----^-ф-О(Л'2), Л'->0,
и, следовательно,
то в силу теоремы 9 ряд с общим членом ип сходится.
2) ип = in cos —.
п
Здесь «„<0. Вспоминая, что
1п (1 + х) = х + о (х), х -> 0,
получим . 1 «„ = In cos — п 1 , / 1 \ . г 2п2 \п2) [ Отсюда 1 fi 1 , / 1 — In 1 1 о— — [ 2n* k«2/I 1 , / 1 \] 1 , 1 1 \ — 01 1 — 1- 0 | ]. п- \п2)] 2п2 \п21
492
§ 35. Числовые ряды
и потому ряд
оо
2 (—«п).
п= 1
а значит, и ряд
U
СХОДЯТСЯ.
H-tg —
3) и„= 1п ----/1 = 3> 4; - •
1-tg —
п
Имеем н„>0 и tg —= —4-о(—Y поэтому
u. = ln(l + tgi)-lr,(l^tgi)-
„ , л, /. л \ 2л . I 1 \
= 2tg----ho tg — =-----l-o — ,
/г \ nJ п \ п ]
Таким образом,
2л
п
так как ряд
оо
у —
п
п= I
расходится, то расходится и ряд
°° i + tg_?L
Может, конечно, случиться, что с помощью теоремы 9 довольно
сложно установить, сходится или расходится ряд, а с помощью
какого-нибудь другого приема это сделать значительно проще;
примером такого ряда является ряд
+1) 1П («4-1)
п— 1
(35.26)
35.4. Критерии сходимости рядов с неотрицательными членами
493
отот ряд легко можно исследовать с помощью интегрального
признака сходимости: из того, что интеграл
ОО 4“°°
(' dx ___________________ f1 dt
J (х+ 1)1п(х+ 1) “ J t
1 2
расходится, следует, что и ряд (35.26) расходится.
Иногда оказываются полезными некоторые специальные приз-
наки сходимости ряда. Отметим среди них так называемый признак
Даламбера*’ и признак Коши, непосредственно получающиеся из
признака сравнения, если в качестве ряда сравнения взять соот-
ветствующим образом выбранную геометрическую прогрессию.
Теорема 10 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положи-
тельными членами
оо
ы„>°- 'г=1-2 *...........
п==1
(35.27)
тогда:
1) если существуют такое число ф, 0< ф<1, и такой номер п0,
что
U„,,
—— < а для всех
ип 4
п > По,
то данный ряд сходится;
2) если существует такой номер пп, что
—>-1 для всех п п0,
то данный ряд расходится.
Доказательство. Пусть 0 < q < 1 и пусть существует
такой номер п0, что при
Ыл-Ц
«я
<q,
т. е.
< QUn‘
1 Ж Даламбер (1717—1783) — французский философ и математик.
494
§ 35. Числовые ряды
Тогда
w»0-|-2 < wno-t-i <7 у un„<72,
и . < и . . а
По+р /1о+р — 1 '
и так как ряд
сходится, являясь геометрической прогрессией со знаменателем
q (0< </< 1), то по признаку сравнения сходится и ряд
Мп„+1 + НПо+2 + — + Ы«о+Р + — ’
а значит, и весь ряд (35.27).
Если же существует такое п0, что
> 1 для всех п > п0,
Un0+2 Un„+l Un0>
итак как по предположению «„„> О, то n-й член ряда, будучи огра-
ничен снизу положительной постоянной, не стремится к нулю.
Следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости
ряда (см. теорему 5 этого параграфа), и потому ряд (35.27) расхо-
дится.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть существует
П - оо U Г1
Тогда, если К1, то ряд (35.27) сходится, а если I> 1, то ряд (35.27)
расходится.
Это вытекает непосредственно из доказанной теоремы.
В качестве примера рассмотрим ряд
(35.28)
35.4. Критерии сходимости рядов с неотрицательными членами 495
Здесь
1 г "М-1 г 1 А
ип =— и inn—2— = lim—— = О,
Н- и U п п —> оо Л “I- 1
поэтому, согласно следствию теоремы 10, данный ряд сходится,.
Теорема JI (признак Конт). Пусть дан ряд
V ип, ип'^0, п — 1, 2, ... , (35.29)
Н = 1
тогда:
1) если существуют такое q, 0<д q<Z 1, и такое п0, что
у ип < q для всех п п0,
то данный ряд сходится;
2) если существует такой номер п0, что
)/ ип 1 для всех п пп,
то данный ряд расходится.
Доказательство. Если при п0
\/un<q,
т. е.
«„ < <7;!>
то по признаку сравнения ряд (35.29) сходится, ибо ряд
оо
V qr‘ при сходится.
П = 1
Если же
l'X > I, п0,
то un> 1, и, значит, ряд (35.29) расходится (см. теорему 5).
Теорема доказана.
Следствие. Пусть существует
lim Е ип= I.
Il -> оо
Тогда, если /<Д, то ряд (35.29) сходится, а если 1, то ряд
расходится.
Доказательство следствия очевидно.
§ 35. Числовые ряды
496
D
Рассмотрим ряд
т
Так как
п==1
lim j/' ип = lim — — О,
П —»оо П ->оо И
то, согласно следствию теоремы 11, ряд (35.30) сходится.
Сходимость ряда (35.30) легко устанавливается и с помощью
следствия из теоремы 9.
35.5. Знакопеременные ряды
В этом пункте рассматриваются ряды с вещественными
членами, знаки которых, вообще говоря, изменяются при изменении
номера; такие ряды называются знакопеременными рядами.
Рассмотрим прежде всего так называемые знакочередующиеся
ряды, т. е. ряды, члены которых поочередно то положительны, то
отрицательны.
Теорема 12 (Лейбниц). Если
lim —0 (35.31)
и
ип> н„+1>0, /1= 1, 2, ... , (35.32)
то знакочередующийся ряд
V (35.33)
П=1
сходится.
Доказательство. Рассмотрим частичные суммы четного
порядка ряда (35.33):
2k
/13=1
Их можно записать в виде
S2k~(Ul Ua)~]~(.U3 W4)+ ... + (tioft—1 U2h), k—l, 2, ....
В силу условия (35.32) выражения в круглых скобках неотри-
цательны и потому s2k < s2(*4-i), т. е. последовательность частич-
ных сумм четного порядка ряда (35.33) монотонно возрастает.
35.5. Знакопеременные ряды
497
Замечая, что частичные суммы s,k можно записать также и в виде
^2/г — Hj— (Н2 77g) ... (u<2k—2 Т/2Л—1) 1’ 2, *** ’
и что выражения в круглых скобках в силу условия (35.32) неотри-
цательны, a U2k > 0, получаем, что s2h <С Щ, т. е. последователь-
ность {s,ft} ограничена сверху.
Из монотонного возрастания и ограниченности сверху последо-
вательности {s2a} следует, что она сходится.
Пусть
lims2ft=s. (35.34)
k~>oo
Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда (35.33)
стремятся к тому же пределу. Действительно,
S2A+I ==S2* + U2A+1’ 2............... (35.35)
и так как, согласно (35.31),
lim u.2k ,л =0,
/г->оо
то в силу (35.34) и (35.35) имеем
lim s2ft = s. (35.36)
k-+oo ’
Из (35.34) и (35.36) следует, что
lim sn = s.
п ->ОО
Теорема доказана.
Заметим, что для рядов вида (35.33) справедливо неравенство
s2A < s < s2A_i, А = 1, 2.............. (35.37)
Действительно, с одной стороны, мы уже видели, что s является
пределом монотонно возрастающей последовательности (%), поэто-
му sh < s.
С другой стороны,
S2/e-f-l = S2*-l (и2/г U2k+1) S2k—1 ’ 2, ... ,
т. е. последовательность {s2ft!} монотонно убывает, и так как S
является пределом и последовательности {soft_1J (см. 35.34), то
S S2k-1'
Следствие. Любая частичная сумма sn ряда (35.31) отли-
чается от его суммы s на величину, меньшую следующего члена un+lt
498 ft 35 Числовые ряды
иначе говоря, абсолютная величина остатка ряда в этом случае не
превышает абсолютной величины его первого члена, т. е
1г 1 = 1 s— s I < и ,
I п I I пI »+<
Действительно, из неравенства (35.37) следует, что
S S2k S2*4-l S2k ~ U2k+l'
S2k— 1 S S2k — I S2k = 112k’
k = \, 2, ....
Следствие доказано.
В качестве примера рассмотрим ряд
У -1—. (35.38)
п
п=\
Его члены удовлетворяют, очевидно, условиям теоремы 12, и
потому он сходится. Замечая, что у него st = 1 и s2 = -g, для его
суммы s имеем оценку
— <S<1. (35.39)
На ряды переносятся не все свойства конечных сумм. Поясним
это на примере того же ряда (35.38).
Если
5=1------- + -------- + -------- + ------(35.40)
2 3 4 5 6 7 8 ' '
ТО
сложив этот ряд с рядом (35.40), получим
т. е. ряд, составленный из тех же членов, что и данный ряд (35.40),
взятых только в несколько другом порядке, поэтому
|s = s,
откуда следует, что 5 = 0, что противоречит (35.39).
Несмотря на кажущуюся очевидность законности наших рас-
суждений, мы где-то сделали грубую ошибку. Где? Подробный ана-
лиз этого будет дан в одном из следующих пунктов.
35.6. Абсолютно сходящиеся ряды
499
35.6. Абсолютно сходящиеся ряды. Использование
абсолютно сходящихся рядов для исследования
сходимости произвольных рядов
В этом пункте снова изучаются ряды, члены которых,
вообще говоря, комплексные числа.
Определение 4. Ряд
2 ип (35.42)
/2=1
называется абсолютно сходящимся, если ряд
5 К| (35.43)
П=1
сходится.
Применяя критерий Коши сходимости ряда к ряду (35.43), по-
лучим: для того чтобы ряд (35.42) абсолютно сходился, необходимо
и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовал такой номер
пе, что если п > пе, то
«+₽
У, I uh I < е
k—n
для любого целого р> 0.
Пример ы. 1. Ряд
абсолютно сходится, ибо
I /" ПП I 1
— sin--------<----- ,
I 2" п + 1 I 2"
°° I
а ряд сходится.
2. Ряд
( — 1)я+1
как мы знаем, сходится, однако не абсолютно, ибо ряд, составлен-
ный из абсолютных величин его членов, т. е. гармонический ряд
_1_
п
расходится.
500
§ 35. Числовые ряды
Теорема 13. Если ряд абсолютно сходится, то он и просто
сходится.
Доказательство. Пусть ряд (35.42) абсолютно сходится,
т. е. ряд (35.43) сходится; тогда в силу необходимости выполнения
условия Коши для сходимости ряда (см. теорему 4), для любого
е>() существует такое пе, что если п> пе, то
п+р
2 1«*|<е
k~ п
для любого целого р > 0.
Отсюда и из неравенства 2 Щ
п+и
2 Г,/1 '
k=n
означает
для сходимости ряда, что ряд
Теорема доказана.
Обозначим теперь через
п+р
__ 'k
k—n
п-\-р
У, следует, что
k=n
' е. для любого n^>ng и любого р — 1, 2, .... А это и
в силу достаточности выполнения условия Коши
(35.42) сходится.
*
Um
(35.44)
ряд, составленный из тех же членов, что и ряд (35.42), но взятых,
вообще говоря, в другом порядке.
Теорема 14. Если ряд (35.42) абсолютно сходится, то ряд
(35.44) также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Доказательство. Пусть ряд (35.42) абсолютно сходится,
т. е. сходится ряд (35.43), и пусть
2 | | = s.
/7—1
Обозначим частичные суммы ряда (35.43) через sn, тогда
(см. п. 35.4)
s„<s, п=1, 2........................ (35.45)
Какова бы ни была частичная сумма s*( ряда
2|м«|, (35.46)
т=1
найдется номер п = н(/и), такой, что все члены ряда (35.46), вхо-
дящие в сумму Sm, имеют в ряде (35.43) номера, не превышающие
п, поэтому
&т
где п —п(т), т— 1, 2, ... .
35.6. Абсолютно сходящиеся ряды
501
Следовательно (см. (35.45)),
Sm < s, m~ 1, 2, ....
Отсюда и следует сходимость ряда (35.46), т. е. абсолютная сходи-
мость ряда (35.44).
Покажем теперь, что если
со
2 tin = s,
n = I
то и сумма ряда (35.44) также равна s.
Обозначим частичные суммы ряда (35.42) sn. Пусть фиксировано
в>0. Тогда в силу сходимости ряда (35.43) существует такой номер
пе, что
2 l«nl <4; (35-47)
П-«е+ 1
следовательно, выполняется и неравенство
|8-8„,
М,
и=пе+!
(35.48)
Выберем, далее, помер те так, чтобы частичная сумма 8«е ряда
(35.44) содержала в качестве слагаемых все члены ряда (35.42),
входящие в сумму sng (иначе говоря, номер те таков, что все члены
ряда (35.42) с номерами, не превышающими пъ, имеют в ряде (35.44)
номера, не превышающие те).
Пусть /тг>-те. Положим
** «_____
Из (35.47) следует, что
оо
1»"1< V <ЗМ9>
'7=”е+'
Используя (35.48) и (35.49), получим при т~^тъ
Это и означает, что
2 «>*•
m-l
Теорема доказана.
502
$ 35. Числовые ряды
Теорема 15. Если ряд (35.42) абсолютно сходится и с — какое-
либо число, то ряд
оо
2 сип
,1 = 1
также абсолютно сходится.
Это следует из критерия Коши сходимости рядов и равенства
nJrp п-\-р
2 I cuh\ = I с I S I uh |.
k—n k=n
Тссрема 16. Если ряды
оо оо
2 «„ ч 2 vn
Н=1 Н=1
абсолютно сходятся, тогда их сумма
2 («п+^)
п=1
также абсолютно сходится.
Это следует из критерия Коши сходимости рядов и неравенства
п-\-р п-\-р «+</
2 I uk + vk I < 2 I iik । + 21 vh I-
k=n k—n k—n
Теорема 17. Если ряды
CO co
2 un 4 2 Vn (35.50)
n=l n=l
абсолютно сходятся, то ряд, полученный из всевозможных попарных
произведений unvm членов этих рядов, расположенных в произвольном
порядке, также абсолютно сходится. Если сумма этого ряда равна
s, а суммы рядов (35.50) равны соответственно s' и s", т. е.
оо со
2 4n = s’, 2 vn = s",
п— 1 п= I
то
s-s's". (35.51)
Доказательство. Составим следующую таблицу попар-
ных произведений членов рядов (35.50).
35.6. Абсолютно сходящиеся ряды
ВОЗ
Таблица 6
«1^1 . . .
»2г,1 W2^2
. . . . . . • . .
umvn
. . .
Составим из всех элементов этом таблицы какой-либо ряд
UntVmt + Un2Vm2 + + Un^mk + -• (35.52)
и покажем, что он абсолютно сходится.
В силу абсолютной сходимости рядов (35.50) суммы
со оо
S*= 2 KI И S**= 2 KI
п= 1 п= I
конечны. Рассмотрим частичные суммы sh ряда, составленного из
абсолютных величин ряда (35.52), т. е. ряда
I Un1Vnl | -р | U^V,^ -р ... -р | 1бг/(^пй| “Р ••• • (35.53)
Имеем
— | Г4П1ОЛ1| -р |t4nst>n,| -р ... ~р
-< (| «п, | + |Wfi21 + ••• + ! unf{ (| Г„1,| 4~ | Vni2 | + ... + | Vmk |) < S*S**.
Таким образом, частичные суммы sfe ряда (35.53) ограничены в
совокупности, и, значит, ряд (35.53) сходится, т. е. ряд (35.52)
абсолютно сходится.
Для доказательства формулы (35.51) воспользуемся тем, что
сумма ряда (35.52) в силу теоремы 14 не зависит от порядка его чле-
нов, и расположим их наиболее удобным для нас способом. Именно
занумеруем произведения unvm в порядке, показанном на нижесле-
35. Числовые ряды
дующей таблице, где на месте каждого произведения табл. 6 указан
его порядковый номер:
7 2 5 10 ...
4 3 6 11 ...
3 8 7 12 ...
18 15 74 13 ...
В результате получим ряд
u^-j-u2v2-\-«2^1 +.... (35.54)
Обозначая через sn и s,2 частичные суммы рядов (35.50), для
частичных сумм sn> > п = 1, 2, ..., ряда (35.54), очевидно, полу-
ч'им
Sfit — SnSiie (Зо,55)
Но
lim s'== s', lims" = s", lims„»=s,
/2—>CC /2—>00 П-+-ОО
поэтому, переходя к пределу в равенстве (35.55) при «->- оо, полу-
чим равенство (35.51).
Теорема доказана.
Теоремы этого пункта показывают, что свойства абсолютно схо-
дящихся рядов во многом похожи на свойства конечных сумм: ве-
личина суммы такого ряда не зависит от порядка слагаемых, аб-
солютно сходящиеся ряды можно перемножать почленно и т. п.
В следующем пункте будет доказано, что для сходящихся рядов,
не сходящихся абсолютно, эти свойства не имеют места.
Замечание. В заключение этого пункта подчеркнем, что,
когда члены ряда комплексные или вещественные, но меняющие
знак, вопрос о сходимости этого ряда нельзя решить только с по-
мощью определения порядка убывания п-го члена. Например, n-Q
члены рядов
имеют одинаковый порядок при и—>оо, однако первый ряд расхо-
дится, а второй сходится.
35.6. Абсолютно сходящиеся ряды
505
Более того, нетрудно привести пример двух рядов и
/1—1
со
У vn, п-е члены которых эквивалентны:
п-1
wn~^n> «=!» 2,...,
из которых один сходится, а другой расходится.
В качестве таких рядов можно взять, например, ряд с п-м
членом
и ряд с /i-м членом
С одной стороны, здесь
« = U 2,....
ибо
(-1)п+1 ___________L______
У„ = П__________(п + 1) 1п (п + 1) __ ! (— 1)п+‘ п
ип ’ (-1Г+1 + (п+1)1п(п + 1) ’
п.
и потому
lim -^=1.
П-+со 1Лп
оо
С другой стороны, ряд У ип есть ряд вида (35.33), позто-
71—1
СО
му он сходится. Ряд же У vn расходится. В самом деле, если бы
п=1
он сходился, то сходился бы и ряд
оо оо
2 К—«п) = 2 (п + !) |П (й + 1} ’
т. е. ряд (35.26), который, как мы видели, расходится.
Было бы ошибкой, однако, считать, что метод выделения главной
части годится лишь в случае вещественных рядов, члены которых
имеют один и тот же знак. Метод выделения главной части может
с успехом применяться для выяснения сходимости любых рядов.
506
£ 35. Числовые рябы
Суть этого метода в рассматриваемом случае основана на следующем
оо
замечании: пусть дан ряд У, ип. Если представить его члены в виде
п— 1
оо оо
ип = vn + wn, где ряд 2 сходится, то ряд 2 чп сходится и расхо-
п=1 п=1
оо
дится одновременно с рядом 2 vn (почему?). В силу этого для иссле-
п — 1
оо
дования сходимости ряда У, ип целесообразно попытаться предста-
П=1
вить его члены в виде ип = vn + wn, так чтобы wn = О I— j при 1.
'п“/
оо
Тогда поскольку ряд У wn сходится (и даже абсолютно), то сходи-
л= I
оо
мость данного ряда сводится к исследованию сходимости ряда У пп.
п= 1
Этот прием, конечно, целесообразен в том случае, если получив-
оо
шийся ряд У, vn проще поддается исследованию на сходимость, чем
п=1
данный ряд (ср. с аналогичным исследованием сходимости интегра-
лов в п. 34.4).
т, Г (— 1)пП24- 1п2П
Например, для ряда с общим членом и = !---- ,
п2 1п п
а о г (—1)" In П
н = 2, 3, ... , беря vn — --a wn —----------, получаем, что ряд
In п п2
оо оо
У, ип сходится, ибо ряд из главных частей X vn сходится по
п=2 '1=2
признаку Лейбница, а для «остатков» имеем
n l 1 \
wn = ° — >
П 2 7
ОО
откуда следует абсолютная сходимость ряда У wn.
п=2
35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно
Признак Дирихле.
Если ряд сходится, но не абсолютно, то, как ниже
будет показано, уже нельзя утверждать, что, переставив его
члены в другом порядке, получим сходящийся к той же сумме
ряд. Парадокс в конце п. 35.5 и объясняется этим обстоятель-
ством: получившийся там ряд (35.41) отличается порядком членов
35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Признак Дирихле
507
от данного сходящегося, но не абсолютно, ряда (35.38), и потому
нельзя было утверждать, что его сумма также равнаS. Более того,
получившееся противоречие показывает, что это заведомо не так.
Итак, сумма ряда зависит от порядка слагаемых, т. е. коммута-
тивный закон сложения не имеет места для неабсолютно сходящихся
рядов.
Если в данном ряде сгруппировать каким-либо образом его члены,
не нарушая их порядка, и сложить, то последовательность частич-
ных сумм получившегося ряда будет являться подпоследователь-
ностью частичных сумм исходного ряда. Поэтому если исходный ряд
сходится, то будет сходиться и вновь полученный, причем суммы
обоих рядов будут одинаковы. Однако если данный ряд расходится,
то второй ряд может сходиться. Например, ряд
1 — 1 + 1 — 1 + 1 —1 + ...
расходится. Объединив же попарно его члены
(1-1) + (1-1) + (1-1)+..„
получим сходящийся ряд. Таким образом, вообще для рядов неверен
и ассоциативный закон сложения.
Рассмотрим некоторые свойства сходящихся, но не абсолютно,
рядов с вещественными членами. Пусть дан ряд
5 чп- (35.56)
1
Обозначим через и\, и\, ..., ... его неотрицательные члены:
«„>0, а через — и\, —и~, ..., —и~, ... его отрицательные члены:
п~>0, взятые в том же порядке, в каком они расположены в
ряде (35.56). Рассмотрим ряды
2 “п, (35.57)
п— 1
S и-. (35.58)
п= 1
Один из них, вообще говоря, может превратиться в конечную сумму.
Лемма 1. Если ряд (35.56) сходится, но не абсолютно, то оба
ряда (35.57) и (35.58) расходятся.
Доказательство. Пусть ряд (35.56) сходится, т. е.
lim sn = s, (35.59)
tl —> оо
где sn — его частичные суммы, и пусть один из рядов (35.57) или
(35.58) сходится, например, ряд (35.57). Обозначим его частичные
508
$ 35. Числовые ряды
суммы через sm, tn = 1, 2, а частичные суммы ряда (35.58) —
через s~k, k = 1, 2,... . В силу предположенной сходимости ряда
(35.57
(35.60)
lim s+=s+< + оо.
т->оо
Возможны два случая, либо ряд (35.58) сходится, либо он расхо-
дится. Если он сходится и
liras'= s', (35.61)
то в силу того, что члены рядов (35.57) и (35.58) неотрицательны,
s* <. s+, т — 1, 2, ...,
s' < s', k= 1, 2.................
(35.62)
Всякая частичная сумма sn ряда (35.56) может быть записана в
влде
S„ = Sm — Sk, П=1, 2, ... , (35.63)
где т и k зависят, конечно, от п. Если обозначить через s„ частичную
сумму ряда
оо
2 |м„|, (35.64)
П=1
то в силу формулы (35.63) sn = Sm+s*, поэтому, согласно (35.62),
S„<S++ s’.
т. е. частичные суммы ряда (35.64) ограничены, и, значит,
ряд (35.64) сходится. Следовательно, ряд (35.56) абсолютно сходит-
ся , что противоречит условию леммы.
Рассмотрим вторую возможность, т. е. случай, когда ряд (35.57)
сходится, а ряд (35.58) расходится; тогда (почему?)
lims^ = 4-оо. (35.65)
k—>сс
В этом случае ряд (35.58) заведомо не превращается в конечную
сумму, причем при п->оо и£->оо. В силу же условия (35.60) после-
довательность {s,n} сходится к конечному пределу, поэтому, перехо-
дя в формуле (35.63) к пределу при п->оо, в силу (35.59) и (35.65)
получим в левой части равенства число s, а в правой — символ — оо.
Полученное противоречие показывает, что и второй случай невоз-
можен.
Итак, ни один из рядов (35.57) и (35.58) не может сходиться в
предположениях леммы, значит, оба они расходятся.
Лемма доказана.
35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Признак Дирихле
509
Теорема 18 (Риман). Если ряд (35.56) сходится, но не абсо-
лютно, то, каково бы ни было число А, можно так переставить
члены этого ряда, что сумма получившегося ряда будет равной А
Доказательство. Снова рассмотрим ряды (35.57) и
(35.58). Согласно лемме,
2<;= + °°> (35.66)
т = 1
S Uk = + «>• (35.67)
*=i
Пусть, для определенности, А^>0. Выберем число пг так. чтобы
wi+ я2 Н-••• _Ь Ча, А (Зо.68)
и чтобы (при «!>!)
ui +«2 4~ ••• t (35.69)
Существование номеров nlt для которых выполняется условие
(35.68), следует из условия (35.66); для того чтобы при этом выпол-
нялось и условие (35.69), надо взять наименьший из этих номе-
ров Яр
Далее, выберем из ряда (35.58) я? первых членов так, чтобы
и+. +... А-и* — «7 — ... —w <6А
1 * 1 «2
и чтобы (при «£>1)
и* + ... „у —... —и-п_х^ А.
Существование такого номера я2 доказывается исходя из (35.67)
(аналогично существованию номера nt.
Далее, снова выберем подряд из ряда (35.57) члены до некоторого
(номера п3 так, чтобы
“1 + — +“п, —~un, + unt+l + — +Wns>^
(при Я3>Я1+ 1)
4-«* — «7—•... —'Cs + Wn1+1 +— +Uns-1 < /|-
Продолжая этот провесе дальше, получим ряд
“!+••• + Un,~ Ы\ — —ип +Ып,+ 1 + — + Un,~
-««.+ •••• <35-70)
510
$ 35. Числовые ряды
Для последовательности его частичных сумм
S«l> + S"Z+»3> ••• ’ S,tft+"A4-| ’
в силу построения выполняются неравенства
Sni + n!<^^’ sn2+«3>^> — >
причем отклонение от числа А каждой из указанных частичных
сумм Sn^+n^j не превышает ее последнего члена:
p-s<-w,|<-w <35-71>
где через «±Л|1 обозначен член ряда (35.70) с номером п/г+1 ,
наверху у него в ряде (35.70) стоит индекс « + » или «—».
В силу сходимости исходного ряда (35.56)
lim ип = 0,
«-►сю
и так как при k-^oo номер члена w«&+1 в
стремится к оо, то
ряде
(35.56) также
limwn — 0.
k—>ОО ^-{-i
Поэтому из (35.71) следует, что
lim s„+п = А. (35.72)
>ОО " I 1
Если теперь взять любую частичную сумму sn ряда (35.70), то
в силу конструкции этого ряда всегда можно найти такой номер
k = k(n), что будет иметь место либо неравенство
S + %+i <s'l<S+i+'W
либо неравенство
Ч+п4+1 >Sn>S,'k+\+nk+2'
а потому из (35.72) следует, что и
lim sn = А.
п -*-оо
Теорема доказана.
Упражнение?. Доказать, что если ряд (35.56) сходится, но не
абсолютно, то можно так переставить его члены, что он будет расходиться
(соответственно так, что его сумма будет равна +°°, а также и так, что она
будет равна —- ос).
35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Признак Дирихле
511
В заключение этого параграфа дадим достаточный критерий для
сходимости числовых рядов, пригодный и для рядов с комплексными
числами.
Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм вида
X = Gjfej + с2й2 +... + апЬп, (35.73)
где at, bit z=l, 2,..., п, — комплексные числа.
Положим
Вг = Ьг, В,2 = Ьг + Ь.2, ... , Вп = Ьг ф- Ьг +... + Ьп,
тогда
bj — B^, Ь., — В.2—Bt, ... , Ьп — Вп—Вп—1
и
S = OjBj + а2 (В2— f\) + ••• + ап(&п— Bn—i).
Раскрывая скобки и группируя по-новому члены, получим
5 = (flj — с2) Bj -j- (а2 —а3) В,2 -|-... -J- (on—i ап) Bn~i -j- апВп.
Таким образом, окончательно
2СД = S (аг— а/+1)В; + опВп. (35.74)
i=i 1
Это преобразование сумм вида (35.73) называется преобразо-
ьанием Абеля*'-, оно является в известном смысле аналогом интегри-
рования по частям. Эта аналогия особенно бросается в глаза, если
формулу (35.74) записать в виде
2^ Bt — Bl-l) = (anBn—a1B1) — 2 (a,+l—al)Bl.
1=2 <=l
Докажем с помощью преобразования Абеля лемму.
Лемма 2 (неравенство Абеля). Если
af>a/+1>0, 1=1, 2, ... , п—1**>, (35.75)
и
| + bjl < В, 1=1,2, ... , п, (35.76)
то
2 atbt < Bav
*> II. Абель (1802—1829) — норвежский математик.
**> Следовательно, числа ait I = 1. 2, ..., п, — вещественны.
512
£ 35. Числовые ряоы
Действительно, согласно условию (35.75), at— al+1>0, и по-
этому в силу формулы (35.74) и условия (35.76)
п— I
< 2 («(-^+1)|вИ + «п|вп|<
Z= I
п— I
2 (о( —a< + i) + ап
i=\
= Вах.
Теорема 19 (признак Дирихле). Пусть дан ряд
2 ап Ь„, (35.77)
/7=1
такой, что последовательность {с„} монотонно убывает и стре-
мится к нулю, а последовательность частичных сумм {Вп} ряда
оо
2 Ьп (35.78)
/7=1
ограничена, тогда ряд (35.77) сходится.
Доказательство. В силу ограниченности последователь-
ности {Вп} существует такое число В > 0, что | Вп | < В для всех
п == 1, 2, ... . Отсюда следует, что для любого п = 2, ... и любого
целого р > О
= |Вя+Р-В„_1|<2В. (35.79)
/7-1-р
2
Пусть задано еЗ>0. Из условия liman —0 следует существо-
П~>оо
ванне такого номера пе, что
«п<-^ (35.80)
для всех п > пе.
Теперь, применяя неравенство Абеля к сумме
п+р
2 ai
l=n
где п>лЕ, и учитывая неравенства (35.79) и (35.80), получим
неравенство
п+Р
Ъ ciibi
i=n
откуда, согласно критерию Коши, и следует, что ряд (35.77)
сходится.
Теорема доказана.
35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Признак Дирихле
513
В качестве примера рассмотрим ряд
sin л а
(35.81)
"1 «
Прежде всего, если а=#2лт, т =0,±1,±2,..., то
. Л + 1 п
sin 2 а sin-g-а
а
sin-g-
(35.82)
и поэтому
sin ka
1
С другой стороны, последовательность монотонно убывает
и стремится к нулю. Поэтому при а=И=2л//г по признаку Дирихле
ряд (35.81) сходится. При а = 2л//г, m = 0, ±1, ±2...все члены
ряда (35.81) равны нулю, и тем самым он также сходится.
Заметим, что признак Лейбница (см. п. 35.5) следует из признака
Дирихле. Действительно, если в ряде
£ (—1)"ап, (35.83)
где (zn>a„+i>0, положить Ьп = (—!)«, то, очевидно, суммы
^4-..- + Ьп, п=1,2,..., ограничены и, значит, по признаку Ди-
рихле ряд (35.83) сходится.
У пра мнение 3 Исследовать сходимость и абсолютную сходимость
следующих рядов
1 (л 4- 1) In2 (л 4- 1) •
П=1
514 £ 36. Функциональные последовательности и ряды
<*> ______ _ п___J
11. У (Уп + 1 — У/г)₽ 1п ^r~j .
ч=2 Т
(-1)" \
«“ + (-1)"/
§36. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И РЯДЫ
36.1. Сходимость функциональных
последовательностей и рядов
В настоящем параграфе будут рассматриваться после-
довательности и ряды, членами которых являются некоторые, вооб-
ще говоря, комплекснозначные, функции; т. е. последовательности
/„(л), я = 1,2,..., (36.1)
36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов
515
и, соответственно, ряды
оо
2 «« (*)• (36.2)
n=i
При каждом фиксированном значении аргумента х эти последо-
вательности и ряды, очевидно, представляют собой уже рассматри-
вавшиеся числовые последовательности и ряды.
Пусть Е — некоторое множество элементов, в частности, мно-
жество точек прямой, плоскости или вообще «-мерного пространст-
ва, и пусть (36.1) — последовательность функций, которые опре-
делены на множестве Е и значениями которых являются, вообще
говоря, комплексные числа.
Определение 1. Последовательность (36.1) называется ограничен-
ной на множестве Е, если существует такая постоянная Л1 _> О, что
1/пМ!<Л4
для всех х(~Е и всех «=1,2,.... (Иногда в этом случае после-
довательность (36.1) называется также равномерно ограниченной.}
Определение 2. Последовательность (36.1) называется монотон-
но убывающей (соответственно, монотонно возрастающей) на множе-
стве Е, если
fn+\ (х) < /п (х)
(соответственно если (гЛЛ(х) fn(x)) для всех х(-Е и всех
п = 1, 2, ... .
Это определение, очевидно, предполагает, что функции fn(x),
п = 1, 2, ..., принимают вещественные значения.
Определение 3. Последовательность (36.1) называется сходящей-
ся в точке*' х0 £ Е, если числовая последовательность {/п(х0)} сходится.
Последовательность (36.1) называется сходящейся на множестве
Е, если она сходится в каждой точке множества Е.
Если
lim fn(x) = f(x), x.QE,
П-*<Х>
то говорят, что последовательность (36.1) сходится к функ-
ции !(х), х£Е.
Аналогичное определение можно дать и для ряда (36.2).
Определение 3. Ряд (36.2) называется сходящимся в точке
х0 £ Е, если сходится числовой ряд
оо
2 ИП (хо)’
п=1
Мы называем элементы множества Е точками.
518 $ 36. Функциональные последовательности и ряды
Ряд (36.2) называется сходящимся на множестве Е, если он схо-
дится в каждой точке этого множества.
Определение 4. Ряд (36.2) называется абсолютно сходящимся
на множестве Е, если на множестве Е сходится ряд
Подобно случаю числовых рядов сумма
п
ьп(х)=-^ /1=1,2,...,
называется п-й частичной суммой ряда (36.2); предел частичных
сумм сходящегося на множестве Е ряда (36.2) называется
его суммой s(x):
s(x)~ lim sn(x).
П-*-со
Ряд
оо
2 uh(x) (36.3)
называется п-м остатком ряда. Он сходится на Е тогда и только
тогда, когда на Е сходится ряд (36.2). Если в этом случае сумму ряда
(36.3) обозначить через гп(х), то
s(x)=--sn(x) + rn(x).
Как и для числовых рядов, каждому функциональному ряду
(36.2) можно поставить в соответствие последовательность его
частичных сумм
п
sn (4 = 2 uk(x)’ /г= !> 2, - •
*=1
При этом каждая функциональная последовательность (36.1) ока-
жется поставленной в соответствие некоторому ряду, для которого
она будет последовательностью его частичных сумм. Члены этого
ряда определяются однозначно:
«1(4 = Л(4> «п(4 = /п(4 — п=2,....
Это обстоятельство дает возможность перефразировать всякую
теорему, доказанную для функциональных рядов, в соответствую-
щую теорему для функциональных последовательностей, и наобо-
рот. Мы неоднократно будем использовать это обстоятельство.
36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов
517
Примеры. 1. Пусть дан ряд
, г2 гп
1 + г + 21 + ••• + + •••» (36.4)
г — комплексное число.
Исследуем его абсолютную сходимость, т. е. сходимость ряда
с /i-м членом
Применяя признак Даламбера, получим
lim
п ->со
I “п+1 I
I ип I
= lim =о
при любом комплексном г. Таким образом, ряд (36.4) абсолютно,
а значит, и просто сходится при любом комплексном г, или, как
обычно говорят, на всей комплекс-
ной плоскости. |У
2. Изучим сходимость ряда
Х2+ 1 д-2 + " + ц _|_ + ••• >
х—вещественное число.
Этот ряд сходится при всех х.
Действительно, если х^О, то мы
имеем геометрическую прогрессию
со знаменателем
Рис. 113
И в этом случае сумма s (х) ряда (36.5) легко вычисляется:
s (х) =--- = 1 + х2.
1 “ГДД2
Если же х = 0, то. все члены ряда (36.5) равны нулю, поэтому
он, очевидно, сходится и s(0) = 0.
Таким образом,
(0 длях = 0,
[1-|-х2 длях#=0.
График функции s(x) изображен на рис. 113.
Как видно, несмотря на то, что все члены ряда (36.5) явля-
ются непрерывными функциями и ряд сходится во всех точках ве-
518
$ 36. Функциональные последовательности и ряды
шественной оси, его сумма является разрывной функцией. Следо-
вательно, в случае сходящихся рядов (36.2), членами которых яв-
ляются непрерывные вещественные функции ип(х), их сумма s(x),
вообще говоря, не является непрерывной, т. е.
оо
lim s (х) =# s(x0) = У ип(х0),
Х~*Х0
или, что то же,
оо оо
lim У’ и„ (х) Ф V lim иЛх).
/I / ЛИЛ fl ' I
Х~>Х0 п-- ] П_1 А'-Л'о
Таким образом, предел суммы бесконечного числа слагаемых
необязательно равен сумме их пределов.
Рассмотренный ряд (36.5) показывает, как при естественных
процессах (геометрическая прогрессия) из простых непрерывных
функций возникают функции значительно более сложной приро-
ды — разрывные функции.
В дальнейшем мы выясним условия, при которых можно гаран-
тировать непрерывность суммы сходящегося ряда непрерывных
функций.
Упражнение 1. Исследовать сходимость и абсолютную сходимость
рядвв
оо с©
X4 п X' npsin«x
Z X" ’ Z 1 + п2~ ‘
П=1 /1=1
36.2. Равномерная сходимость последовательностей
и рядов
Определение 5. Пусть задана последовательность функ-
ций (36.1) и функция f, определенная на множестве Е. Будем гово-
рить, что указанная последовательность сходится к функции f рав-
номерно на множестве Е, если для любого е>0 существует такой
номер пЕ, что если п>пЕ, то
(36.6)
для всех х^Е.
Последовательность (36.1) называется равномерно сходящейся
на множестве Е, если существует функция f, к которой она равно-
мерно сходится на Е.
Очевидно, что если последовательность (36.1) равномерно схо-
дится к функции f на множестве Е, то она и просто сходится к этой
функции на Е,
36.2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов
51 9
Если последовательность {/„} сходится на множестве Е к функ-
ции f, то мы будем это символически записывать следующим образом:
fn~4 на Е.
Если же эта последовательность{/„} равномерно сходится на Е
к функции /, то будем писать
на Е.
Заметим, что если последовательность (36.1) просто сходится
к функции f на множестве Е, то это означает, что для любого е/>0
и любого х£ Е существует номер п0 — /г0(е; х), зависящий как от е,
так и от х, такой, что для всех номеров /г > п0 имеет место неравен-
ство (36.6).
Сущность равномерной сходимости последовательности функций
состоит в том, что для любого е/> О можно выбрать такой номер
/ге, зависящий только от заданного е и не зависящий от
О
Рис. 114
выбора точки х£Е, что при п>пе неравенство (36.6) будет выпол-
няться всюду на множестве Е, т. е. «графики» функций fn будут рас-
положены в «е-полоске», окружающей график функции j (рис. 114).
Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого
е/>0 при всех достаточно больших п (именно при /г>ие) значения
функций fn дают приближенное значение функции / с погрешностью,
меньшей е, сразу на всем множестве Е.
Примеры. 1. Последовательность
1, х, х2,...., х1
(36.7)
520
$ 36. Функциональные последовательности и ряды
на отрезке [0, q], 0< /?< 1 сходится равномерно к функции, тожде-
ственно равной нулю на этом отрезке [0, q\.
Действительно, если то
0 < хп < qn, /1=1,2,.... (36.8)
Поскольку lim ф' = 0, то для любого фиксированного е>0
существует такое нЕ, что qn <С& Для
Отсюда в силу неравенства (36.8)
и всех х £ [0, q]. Это означает, что
всех л>-пЕ.
0 С хп е для всех п пе
хп—>0 на [0, q], 0<Cq<l.
2. Та же последова-
Рис. 115
тельность (36.7) на отрезке
[0; 1] сходится к функции
(0 для < 1,
/(%) = , .
(1 для Х= 1,
(36.9)
ожидать, что если взять г0,
но уже неравномерно
(рис. 115).
Формула (36.9) оче-
видна. Докажем, что по-
следовательность (36.7) не
сходится равномерно на
-X отрезке [0, 11, Так как
предельная функция в точ-
ке х = 1 делает скачок,
равный 1, то естественно
не превышающий половины этого
скачка, то уже не удастся найти такой номер п8, что при /г>/ге
на всем отрезке [0, 1] будет выполняться неравенство
|х»_/(х)|<е. (36.10)
Действительно, беря для функции fn(x) = xn точку х„=—1—
получим
\fn (хп)-/(лп)|=ц--°= 4-.
Поэтому, если взять e^-g, то в этом случае заведомо не найдется
номера /г, для которого выполнялось бы неравенство (36.10) для
всех х (ДО, 1]. А это и означает, что последовательность (36.7)
на отрезке [0, 1] не сходится равномерно.
86.2. Равномерная сходимость последователь ногтей и рядов
521
Сформулируем и докажем критерий равномерной сходимости
последовательности, обычно также называемый критерием Коши.
Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости последо-
вательностей). Для того чтобы последовательность функций fn,
/г = 1,2, ..., определенных на некотором множестве Е, равно-
мерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно,
чтобы для любого е О существовал такой номер пЕ, что для всех
номеров пД пЕ, всех целых р Д 0 и всех точек хДЕ выполнялось
неравенство
|/п+р(х)-/п(х)|<е. (36.11)
Доказательство необходимости. Пусть по-
следовательность {/,t} равномерно сходится на множестве Е. Тогда,
согласно определению равномерной сходимости, существует функ-
ция f, такая, что для любого е_>0 существует такой номер /ге, что
для всех щ>/гЕ и всех xf Е
IfU) — fn(x)\<~2.
Поэтому если п > /ге и р>0, то для всех х(Е
\fn+M—fn (х) | < | /,,+р (х)—f (X) | +1 f (х) I < е.
Доказательство достаточности. Если выпол-
нено условие (36.11), то при любом фиксированном хД последо-
вательность
fn(x), /1=1,2,..., (36.12)
является числовой последовательностью, удовлетворяющей кри-
терию Коши (см. и. 3.2), и потому сходится.
Обозначим предел последовательности (36.12) на множестве Е
через f(x).
Покажем, что последовательность {fn} сходится равномерно к
функции f на множестве Е. Действительно, в силу условия (36.11)
для любого е2>0 существует такое не, что для всех н >/гЕ, всех
целых р>0 и всех хбЕ
(36.13)
Замечая, что lim fn+p(x) —f(x), перейдем к пределу в не-
равенстве (36.13) прир-*оо, тогда для всех /г>/ге и всех х£Б
получим
|/(х)-/п(х)|<4-<е,
522
£ 36. Функциональные последовательности и ряды
а это и означает, что
fn=4 на Е.
Теорема доказана.
Часто бывает полезным следующее простое достаточное условие
равномерной сходимости последовательностей.
Теорема 2 (признак Вейерштрасса). Если существует такая
числовая последовательность {ап}, что
lim ап — 0, ап > О,
П-*оо
l/W—fnWI<«n
(36.14)
(36.15)
для всех п = 1,2,... и всех xQE, то последовательность {[„} равно-
мерно на Е сходится к функции f.
Доказательство. В силу условия (36.14) для любого
в>0 существует такой номер пе, что ап е для всех п>пЁ. Но
тогда в силу условия (36.15)
l/W—fn(x)\ <е
для всех пе и всех хС Е, а это и означает равномерную сходи-
мость последовательности {[п] к функции f на множестве Е.
Теорема доказана.
Для рядов, естественно, также можно ввести понятие равномер-
ной сходимости.
Определение 6. Ряд
ОО
П=1
(36.16)
члены которого являются функциями, определенными на множест-
ве Е, называется равномерно сходящимся на этом множестве, если
последовательность его частичных сумм равномерно сходится на Е.
Таким образом, равномерная сходимость ряда (36.16) означает
существование такой функции s(x), что
8„(х)тД5(х) на Е.
(36.17)
Поскольку из (36.17) следует, что sn(x)~*s(x) на Е, tos(x) является
суммой ряда (36.16).
Положим
со
М*)= 2 «„(*)•
36.2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов
523
Тогда s(x)—stl(x) = гп(х) и условие (36.17) можно переписать
в эквивалентной форме:
гп(х):=>0 на Е, (36.18)
откуда следует, что, для того чтобы сходящийся на Е ряд (36.16)
равномерно сходился на множестве Е, необходимо и достаточно,
чтобы
lim sup | гп(х) | = 0. (36.19)
n->oo x£E
Таким образом, из равномерной сходимости ряда, в частности,
вытекает, что начиная с некоторого номера верхние грани
sup|rn(x)|
лея
конечны, а условие (36.19) сводит понятие равномерной сходимости
ряда к стремлению к нулю числовой последовательности этих верх-
них граней. Докажем эквивалентность условий (36.18) и (36.19'.
В самом деле, если имеет место (36.18), то для любого eJ>0 су-
ществует такой номер /ге, что для всех номеров п>иЕ и всех то-
чек х £ Е выполняется неравенство
knWK-y •
Отсюда для всех п > пе
sup|r„(x)| <-5-<е,
х^Е z
а это и означает выполнение условия (36.19).
Обратно, если выполнено условие (36.19), то для любого е/>0
существует такой номер пЕ, что для всех н>/ге
sup | г„ (х) | < е,
х£Е
а значит, и подавно для всех п>пЕ и хСЕ
knWKe,
что и означает выполнение условия (36.18). Утверждение доказано.
Далее, замечая, что
п+р
s„+p(x)—S„_1 (х)-= ttft(x),
k—n
из теоремы 1 получаем следующий критерий равномерной сходи-
мости.
524
§ 36. Функциональные последовательности и ряды
Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходимости рядов).
Для того чтобы ряд (36.16) равномерно сходился на множе-
стве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 сущест-
вовал такой номер пе, что для всех номеров /г> пг, всех целых р>0
и всех xGE выполнялось неравенство
п+р
2 «а (х)
1г~п
(36.20)
Следствие (необходимое условие равно-
мерной сходимости ряда). Если ряд (36.16) равномерно
сходится на множестве Е, то
ип{х)^Д0 на Е. (36.21)
Условие (36.21) получается из (36.20), если положить р = 0.
Упражнение 2. Доказать, что условие (36.21) эквивалентно условию
lim sup | un (x) | =0.
П-*СО x£E
oo oo
Упражнение 3. Доказать, что если ряды ип (х) и v п (х) рав-
/2=1 П—I
номер но сходятся, то и ряды
оо оо
У, [ип (x)-f-vn (х)] и У сип (х)
п—1 П=1
равномерно сходятся.
Часто бывает полезным следующий достаточный признак равно-
мерной сходимости.
Теорема 4 (признак Вейерштрасса). Пусть даны два ряда:
функциональный (36.16), членами которого являются функции, оп-
ределенные на множестве Е, и числовой
У ап, ап 0, /г=1,2....
(36.22)
Если ряд (36.22) сходится и
I чп (х) | < /1=1,2,..., (36.23)
то ряд (36.16) абсолютно и равномерно сходится на множестве Е.
Абсолютная сходимость ряда (36.16) на Е в случае сходимости
ряда (36.22) сразу следует по признаку сравнения из неравенства
(36.23).
Равномерная же сходимость этого ряда легко следует из теоремы
2 этого пункта. Мы, однако, приведем ее непосредственное дока-
вательство.
36.2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов
825
Если ряд (36.22) сходится, то в силу критерия Коши для лю-
бого е > 0 существует такое пЕ, что У ah <Г е для всех п пе
k—n
и всех целых р > 0. Отсюда и из (36.23) следует, что
п+р
2 uh (%)
k~ п
П-1-Р п+р
< X I ^ (*) I < IX <е
k~n k=n
для всех п > пе и всех х £ Е.
Поэтому в силу критерия Коши для равномерной сходимости
ряда (см. теорему 3) ряд (36.16) равномерно сходится на множе-
стве Е.
Пример ы. 1. Рассмотрим снова (см. п. 36.1) ряд
za 2"
1+г + 2Г + ••• + + ••• (36.4)
и покажем, что, каково бы ни было число г>0, ряд (36.4) сходится
равномерно в круге | z|<г. Как мы уже видели, ряд (36.4) сходится
при любом комплексном г, в частности, при г = г, т. е. числовой
ряд
Г2 гп
1 + г + 2Г +
сходится. Беря его в качестве ряда сравнения (36.22) для ряда
(36.4), имеем
при | г|<г. Поэтому наше утверждение о равномерной сходимости
ряда (36.4) непосредственно следует из теоремы 4.
Покажем, что ряд (36.4) не сходится равномерно на всей ком-
плексной плоскости. Это следует из невыполнения в данном слу-
чае необходимого условия равномерной сходимости ряда (см. след-
ствие теоремы 3). Действительно, при любом фиксированном п0
lim
|г|-»оо
(36.24)
Поэтому, если задано е 0, то, каково бы ни было п0, в силу
(36.24) можно подобрать z0 так, чтобы
,«0
го
”0*
526
$ 36. Функциональные последовательности и ряды
гп
т. е. не стремится равномерно к нулю на всей комплексной пло-
скости.
2. Исследуем равномерную сходимость ряда
Л sin пх
УГ+72 (1 Ц-'пх2) ’
(36.25)
Прежде всего заметим, что
I х sin п х | | х|
I Д/1 + П? (1 +nx2j I 1/1 + П2 (1 4-ПХ2) '
Далее, 1 + пх2 > 21 х | j/7i *>, поэтому
И 1 < _L
Д/1 + ,i2 (1 +«х2) 2Д/« (1 + «2) 4
2п 2
И так как ряд
(36.26)
(36.27)
сходится, то по признаку Вейерштрасса в силу неравенств (36.26)
и (36.27) исходный ряд (36.25) равномерно сходится на всей вещест-
венной оси.
3. Рассмотрим ряд
ОО
е~п" sin их. (36.28)
Очевидно,
| e~ nS х’ si п пх | < п | х | е-''1' х*.
Найдем максимум функции
оп (х) = п | х | е~п 5 х‘
при фиксированном п. Функция vn(x) четная, поэтому достаточ-
но рассмотреть лишь х > О (почему?).
Производная vn (х) = и(1—2и5х2) е~'г" х‘ обращается в ноль в
точке х0 = —Цj. Поскольку vn(х) > 0 для всех х в„(0) = 0 и
/2/1 2
lim vn(x) =-0, то в точке х0 функция vn(x) имеет максимум
(почему?). Поэтому
/ 1 1 ___L 1
vn(x)< ---е 2<~з,
Т2н2 Ц2/12 п2
*) Мы воспользовались здесь неравенством 2аЬ < а- + Ь2, которое сразу
получается из очевидного неравенства (а — Ь)2 0.
36.2 Равномерная сходимость последовательностей и рядов
527
и так как ряд V Д_ сходится, то по признаку Вейерштрасса
*7=1 “2
ряд (36.28) равномерно сходится на всей вещественной оси.
Метод, примененный для исследования равномерной сходимости
ряда (36.28) (исследования на экстремум модуля общего члена или
его мажоранты методами дифференциального исчисления), является
достаточно общим и часто применяется на практике. Этим методом
можно было бы исследовать и равномерную сходимость ряда (36.25),
однако примененный выше метод для исследования этого ряда зна-
чительно быстрее приводит к цели.
4. Рассмотрим ряд
00 I 1
V (!)"+
Л'2 + п
П=1
(36.29)
По признаку Лейбница (см. п. 35.5) этот ряд сходится при лю-
бом вещественном х и, как было отмечено там же, остаток ряда
оценивается первым своим членом
I Гп W I < Л2 + п+1 < .
Из этого следует, что
rn(x)zpO при —оо ОО,
т. е. ряд (36.29) равномерно сходится на всей вещественной оси.
Покажем, что этот ряд во всех точках не сходится абсолютно.
Действительно, для любого х существует такое натуральное пх,
что х2<л для всех пх, поэтому
1 1
к2 । п 2п Для всех п пх.
о° ।
А так как ряд 2 _ расходится, то в силу признака сравнения ряд
п=1 п
(36.29) абсолютно не сходится.
Замечание. Признак Вейерштрасса дает лишь достаточ-
ное условие равномерной сходимости ряда, а отнюдь не необходимое.
Например, ниже будет доказано, что ряд
V' sin п JC
~7Г~
п=1
л 3л1 ,
равномерно сходится на отрезке | 1 (см. пример после те-
оо
оремы 5). Однако, каков бы ни был числовой ряд У ап, из не-
п-1
528
$ 36. Функциональные последовательности и ряды
I sin пх\ „ л - Зл
равенства —<ап, н=1,2.................-у <*<.-2*, следует, что
со
I sin лл I 1 X1
max ---------- =—<«„, и, следовательно, ряд Zj ап расходит-
* я „=1
ся. Поэтому в случае «„(*) —“7“^ не существует сходящегося
числового ряда (36.22).
Докажем теперь достаточный признак равномерной сходимости,
применимый в отличие от признака Вейерштрасса и к не абсолютно
сходящимся рядам.
Теорема 5 (признак Дирихле). Пусть дан ряд
оо
2 ап(х)Ьп(х), (36.30)
n=i
вкотором функции ап(х) и bn(x),n = 1, 2,..., определены на множест-
ве Е и таковы, что
1) последовательность {сг,г(л)} монотонно убывает и равномерно
стремится к нулю на множестве Е\
2) последовательность частичных сумм Вп(х), п= 1, 2,..., ряда
со
2 М*)
и=1
ограничена на множестве Е.
Тогда ряд (36.30) равномерно сходится на множестве Е.
Доказательство. В силу условия 2 теоремы существует
такое В>0, что | Вп(х) | <Д для всех х^Е и всех п = 1, 2, .. , и
поэтом /
— | (я)— Вп— 1 (х) | I Вп_^р(х) | +1 Вц— 1 (х) | <2 2В
для всех хТ Е, всех п — 2,3, и всех целых р> 0.
Из условия же 1 теоремы следует, что для любого фиксирован-
ного е 0 существует такой номер пе, что 0 < пп(х)-< для всех
Е и всех п пе.
Теперь, применяя неравенство Абеля (см. п. 35.7), получим,
что
п+р
S ak (X) bh (х)
k=n
^2Вап(х)<е
36.3 Свойства равномерно сходящихся рядов
529
для всех xQE, всех п пе и всех целых р> 0. Это и доказывает
равномерную сходимость ряда (36.30).
Теорема доказана.
В качестве примера применения признака Дирихле рассмотрим
ряд
оо
V sin пх
Согласно этому признаку, этот ряд равномерно сходится на любом
отрезке, не содержащем точек вида 2лт, tn = 0, ±1, ±2, ... .
Действительно, последовательность ап = -, п = 1, 2, ..., в дан-
ном случае является числовой последовательностью, она монотонно
убывает и стремится к нулю (а значит, и равномерно стремится к
нулю), а сумма
п
2 sin kx < —
I sin -g-
(cm. n. 35.7), t. e. ограничены на указанном отрезке.
Упражнение 3. Исследовать сходимость, абсолютную сходимость
и равномерную сходимость рядов
со
2 (1 - X) х".
п=0
оо
V1 sin пх
а
36.3. Свойства равномерно сходящихся рядов
и последовательностей
Мы видели, что сумма сходящегося ряда непрерывных
1функций, вообще говоря, не является непрерывной функцией.
Нижеследующая теорема дает достаточные условия непрерывности
суммы ряда.
Теорема 6. Если функции ип(х), п = 1, 2, ..., непрерывны на
множестве EczE',*'> и ряд
^иЛх)
*) Здесь, как и везде, где пе оговорено что-либо другое, мы рассматри-
ваем комплекснозпачпые функции и„(х). О понятии непрерывности для таких
дикций см. в п. 23.2.
630
$ 36 Функциональные последовательности и ряды
равномерно сходится на Е, то его сумма
оо
s(x)= 2 UM
а=1
также непрерывна на Е.
Доказательство. Выберем какую-либо точку х0£ Е
и докажем, что функция s(x) непрерывна в этой точке. Зафиксируем
какое-либо 0. Пусть
п
S,1W= Х^Е.
1
Согласно условию теоремы,
sn(x) —»s(x) на Е,
поэтому существует такой номер пе, что
|s(x)-sn(x)|<i (36.31)
для всех х £ Е и всех н>пе и, в частности, для п = пе. Функ-
ция 5Пе(х) как сумма конечного числа непрерывных на Е функций
пА(х), k — 1, 2, ..., пе, непрерывна в точке х0£Е. Поэтому суще-
ствует 6 = б такое, что для всех Точек х£Е, удовлетво-
ряющих условию р(х, х0)<^5,
|s„e(x)-s„e(x0)|<|. (36.32)
Теперь, замечая, что
S (X) — S (Хо) = [$ (X) — sn& (X)] + [s„e (X) — 8Пе (Хо)] +
+ [8Ле(*о)~ s(*0)]
(рис. 116), из неравенств (36.31) и (36.32) получим при р(х, х0)<6
и х ( Е
IS (х) — s(x0) | < | S (х) — s„e(x) | + | sne(x) — sne(x0)| + I s„8(x0) — s (xu) |<
R । e . e
<•3 + 3+3—8,
что и доказывает непрерывность функции s(x) в точке хв.
Теорема доказана.
36.3. Свойства равномерно сходящихся рядов
531
Утверждению теоремы можно придать вид
оо оо
lim У. ип(х) = lim s (х) = s (х0) = У ип(х0).
х-*хоп—1 х-> г0 л—1
И так как каждая функция ип (х), п = 1, 2, непрерывна
в точке х0£Е, то ип(х0) — limwn(x), поэтому
оо оо
lim S w„(x)= У Hni«n(x).
Х-*Л'о П=1 п~ 1 *->Л0
Таким образом, в условиях теоремы 6 предел суммы ряда равен
сумме пределов, т. е., как говорят, законен почленный переход
к пределу в рассматриваемом ряде.
Сформулируем теорему 6 для последовательностей.
Теорема 6'. Если функции fn, п — 1, 2, ..., непрерывны но.
множестве EczEn и fn^.f на Е, то f непрерывна на Е.
Это означает, что для любой точки х0££
lim lim /„(х)= lim lim fn(x),
Л'->Л0 П-+О0 !1->Ж X-»X0
т. e. пределы по п и по х можно переставлять.
Действительно, в силу теоремы 6'
lim Iim/„(x) = lim/(x) = /(x0) =
Ж-*А'0Л-О0 X-Xq
•= lim fn (x0) = lim lim/n(x).
»->OQ X-*Xt
532
$ 36. Функциональные последовательности и ряды
Задача 18 (теорема Дини). Пусть функции/^, п = 1,2,непрерывны и,
монотонно убывая (или монотонно возрастая), стремятся на ограниченном
замкнутом множестве ЕсЕп к функции f.
Доказать, что, для того чтобы функция f была непрерывной, необходимо
и достаточно, чтобы последовательность ((„) сходилась на множестве Е рав-
номерно. Перефразировать этот результат для рядов.
Теперь рассмотрим вопросы почленного интегрирования и диф-
ференцирования рядов. Поскольку производная и дифференциал
определялись только в вещественной области, то, начиная отсюда,
до конца этого параграфа, будем считать, что все рассматриваемые
функции определены на вещественных промежутках и принимают
вещественные значения.
Теорема 7. Пусть функции ип(х), п=1, 2, ..., непрерывны
на отрезке [а, Ь\ и ряд
оо
2 ип(х) (36.33)
П-1
равномерно сходится на [я, ft], тогда ряд
2 J ип (/) dt, (36.34)
п— 1 а
также равномерно сходится на fa-, bf, и если
s(x) = У, ип (х), (36.35)
п= 1
то
Js(x)dx=2 \un(t)dt, a<x<;d. (36.36)
а п~ 1 а
Если эту формулу переписать в виде
оо ОО X
У «п(П dt — У ^un(t)dt,
п — 1 п~1 а
то видно, что опа означает законность в условиях теоремы 6 почлен-
ного интегрирования ряда.
Доказательство. В силу равномерной сходимости ряда
(36.33), согласно теореме 6, функция s(x) (см. (36.35)) непрерывна
на отрезке [а, Ь] и потому интегрируема на любом отрезке [а, х],
а < х < Ь.
Покажем, что ряд (36.34) равномерно на отрезке 1а, 6] сходится
к функции
X
J s(/) dt.
(36.37)
36.3. Свойства равномерно сходящихся рядов
533
Пусть
и
Sn (х) = 2 «й (х) и гп (х) = s (х)— s„ (х).
k~ 1
Тогда для любого х0а, имеем
X п X
\s(t)dt — 2 J «*(0^
а /г=1 а
п
k=\
= JS(Z)d/-jS„(/)d/ < f|s(/) —Sn(OI^ =
а а а
=-- JI /'п (О I dt < sup 1 rn (О I j dt <
a fa* ЛJ a
<(x—o)sup|r„(/)| <(b—t?) sup | rn (x) |. (36.38)
(О. л] [a, b]
Последовательность sup | rn(x) I, n = 1, 2, является числовой
[о. ы
последовательностью. В силу равномерной сходимости ряда (36.337
lim sup | rn (x) | —0
n ->oo [a, 6 J
(cm. n. 36.2), поэтому из неравенства (36.38), согласно признаку
Вейерштрасса для равномерной сходимости последовательности,
следует, что последовательность частичных сумм ряда (36.34) равно-
мерно сходится к функции (36.37), а это и означает равномерную
сходимость ряда (36.34) к функции (36.37). Теорема и, в частности,
формула (36.36) доказаны.
Перефразируем полученный результат для последовательностей.
Теорема 7 . Если последовательность непрерывных на отрезке
[а, Ь] функций fn, п = 1, 2,..., равномерно на этом отрезке сходится
к функции f, то
X X
У /п(0 dt zz* J f (/) dt на [а, Ь],
а а
в частности,
f [lim fn(t)]dt.
а я-*-00
534
f 36 Функциональные последовательности и ряды
Теорема 8. Пусть функции иц(х), п= 1, 2,..., непрерывно диф-
ференцируемы на отрезке {а, Ь] и ряд, составленный из их произ-
водных
оо
2 11п (х), (36.39)
/1=1
равномерно сходится на отрезке [а, &). Тогда, если ряд
оо
2 «п (*)
Я=1
сходится хотя бы в одной точке с(- 1 а, 6], то он сходится равномерно
на всем отрезке (а, 6], его сумма
s (х) — У ип (х) (36.40)
непрерывно дифференцируема и
00
s'(x) = 2 ««(*)• (36.41)
П=1
Если эту формулу переписать в виде
2 Мх) = 2 «/.(х),
/2—1 /2=1
то видно, что она означает законность при сделанных предполо-
жениях почленного дифференцирования ряда.
Доказательство. Пусть
о (х) = 2 ип (х), (36.42)
п=1
в силу равномерной сходимости этого ряда его можно почленно
интегрировать:
Jo(/)ti/= 2 J un(t)dt = 2 l«n(x)—i/rt(c)]> а<х<Ь. (36.43)
С /2=1 с n=l
По теореме 7 ряд
с©
2 [ип (*) - “n (с)1. а < X < Ь, (36.44)
36.3 Свойства равномерно сходящихся рядов
535
сходится. Сходится по условию теоремы и ряд
S «„(с), (36.45)
поэтому сходится и сумма рядов (36.44) и (36.45), т. е. ряд
2 ип (х), а < х <b. (36.4G)
/1=1
Поэтому (36.43) можно переписать в виде
J о(/)Л = 2 «nW — S «„(с),
У п=\ п=1
или, что то же (см. (36.40)), в виде
§G(t)dt = s(x)—s(c). (36.47)
Функция, стоящая в левой части этого равенства, имеет произ-
водную по х, значит, и функция s (х) также имеет производную.
Дифференцируя равенство (36.47), получим (см. п. 29.2)
s' (х) = о (д), (36.48)
где функция о(х) Является непрерывной на отрезке [а, Ь] функцией,
ибо представляет собой сумму равномерно сходящегося ряда
(36.39), члены которого — непрерывные функции. Подставляя
(36.42) в (36.48), мы и получим искомую формулу (36.41).
Остается лишь отметить, что из равенства (36.43) в силу доказан-
ной сходимости рядов (36.44) и (36.45) следует, что
ОО ОО X СЮ
S «nW = 2 J U„(t)dt + 2 «п(с).
п=1 п=1 с п=1
оо х
Ряд S f un(t)dt равномерно сходится на отрезке [п, 6] (см. тео-
п=Л с
оо
рему 7), а ряд 2 «п(с)— числовой ряд, поэтому и их сумма,
«=1
т. е. ряд (36.40), равномерно сходится на отрезке [п, 6].
Теорема доказана.
Перефразируем теорему 8 для последовательностей.
Теорема 8'. Пусть последовательность непрерывно дифферен-
цируемых на отрезке [а, Ы функций
fn, п=1, 2...................... (36.49)
536
§ 37. Степенные ряды
сходится хотя бы в одной точке с£[а, Ь], а последовательность их
производных fn, п=1, 2,..., равномерно сходится на [а, Ь]. Тогда
последовательность (36.49) равномерно сходится на 1а, Ь], ее предел
является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функ-
цией и
lim
п ->оо
dfn (*)
dx
d
dx
lim fn(x),
П-+00
a < x
Примеры применения этих теорем будут даны в следующем па^
раграфе.
§ 37. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
37.1. Радиус сходимости и круг сходимости
степенного ряда. Формула Коши—Адамара
Определение 1. Функциональные ряды вида
ОО
2 an(z—г0)«, (37.1)
п—О
где ап, z и z0 — комплексные числа, называются степенными рядами.
Числа
ап, п — 0, 1, 2,...,
называются коэффициентами степенного ряда (37.1).
Будем предполагать, что коэффициенты ряда и число г0
фиксированы, и будем исследовать поведение ряда (37.1) при раз-
личных z.
Если в ряде (37.1) сделать замену переменного, положив
t = z-z0, (37.2)
то получим ряд
со
(37.3)
гг=О
Очевидно, что исследование сходимости ряда (37.1) эквивалентно
исследованию сходимости ряда (37.3), поэтому в дальнейшем будем
рассматривать ряды вида (37.3), употребляя, правда, как правило,
для обозначения переменной букву z, а не С.
Теорема 1 (Абель). Если степенной ряд
f апг" (37.4)
л=0
37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда
537
сходится при z = z0, то он сходится и притом абсолютно при лю-
бом г, у которого | г| <С | z0I.
Доказательство. Пусть ря х
2 ап М (37.5)
п~ О
сходится, тогда его n-й член anzo стремится к нулю при и -> оо
(см. и. 35.3), и поэтому последовательность {аГ1?о} ограничена, т. е.
существует такая постоянная М 0, что
| ап гп01 < М, и = 0, 1, 2...
В силу этого для п-го члена ряда (37.4) получается следующая
оценка:
| anzn0\-I - "<Л4 Ц ".
I z0 | z0
Если I Z | < ] Zq |, то ряд
оо
2 м -Г,
являясь геометрической прогрессией со знаменателем
сходится. Поэтому по признаку сравнения (см. п. 35.3) сходится
И ряд
оо
2 Нг"1.
77—0
а это означает абсолютную сходимость ряда (37.4) при | z j < | z01.
Теорема доказана.
Следствие 1. Если степенной, ряд (37.4) расходится при
z — г0, то он расходится и при всяком z, у которого | z ] > | z01.
Действительно, если |г| > |z0| и ряд (37.5) расходится, то рас-
ходится и ряд (37.4); так как если бы он сходился, то в силу доказан-
ного сходился бы и ряд (37.5).
Определение 2. Величина /?>0 (/? — число или символ -|-оо),
такая, что при всех z, у которых | z\ <" R, ряд (37.4) сходится, а
при всех г, у которых ]г| > R, ряд (37.4) расходится, называется
радиусом сходимости степенного ряда (37.4).
Множество точек г, у которых \z\ MR, называется кругом схо-
димости ряда (МА).
538
57. Степенные ряды
Теорема 2. У всякого степенного ряда (37.4) существует радиус
сходимости R. В круге сходимости, т. е. при любом z, у которого
|z| <С R, ряд (37.4) сходится абсолютно. На любом круге |г| < г,
где г фиксировано и г < R, ряд (37.4) сходится равномерно.
Доказательство. Разобьем все вещественные числа на
два класса: к классу А отнесем все неположительные числа и те
из положительных х>0 (если такие существуют), для которых ряд
^апхп сходится, а к классу В отнесем все остальные. Если класс
В не пуст, то это разбиение является сечением в множестве вещест-
венных чисел (см. п. 2.2); действительно, если х^А н у£ В, то, со-
гласно теореме Абеля, х <С у.
Обозначим через R число, определяющее это сечение. В случае,
когда множество В пусто, по определению положим R — -|-оо.
Величина R является радиусом сходимости ряда (37.4).
В самом деле, пусть зафиксировано некоторое г, у которого
| z I <С R- Возьмем вещественное х(„ такое, что | г | < х0 <д R. В силу
определения величины R получим хобА, поэтому ряд
со
2 anx'i (37.5)
л—О
сходится. Отсюда по теореме Абеля следует, что в зафиксирован-
ной точке z, |г| < R, ряд (37.4) сходится, и притом абсолютно.
Если же то выберем вещественное х0 так, что R<Cx0<Z\z\,
тогда х()(В и, следовательно, ряд (37.5) расходится. В силу следст-
вия из теоремы Абеля отсюда следует, что в этом случае ряд (37.4)
расходится.
Если теперь 0<г< R, то по доказанному ряд (37.4) при г = г
абсолютно сходится, т. е. сходится числовой ряд
2 Кк"-
п=0
А так как для любой точки z круга |г| <г
I «с 2" | < I а„ I Г",
то, согласно признаку Вейерштрасса (см. п. 36.2), на этом круге ряд
(37.4) сходится равномерно.
Теорема доказана.
Таким образом, областью сходимости всякого степенного ряда
является всегда «круг»*’ с точностью до множества его граничных
«•) Слово «круг» пишется в кавычках, так как в случае R — -р оо «круг»
означает всю плоскость.
37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда
Б39
точек. В граничных же точках круга сходимости ряд может как
сходиться, так и расходиться (см. нижеследующие примеры).
Было показано, что на всяком круге, лежащем вместе с грани-
цей внутри круга сходимости, степенной ряд сходится равномерно.
Поскольку члены степенного ряда являются непрерывными функ-
циями, то его сумма непрерывна на всяком указанном круге. Оче-
видно, что для любой точки z круга сходимости можно подобрать
круг, содержащий эту точку и лежащий вместе с границей в круге
сходимости (достаточно взять его радиус г таким, что | z | <С /?),
поэтому степенной ряд непрерывен в каждой точке своего круга схо-
димости |г|<R (подчеркнем, что здесь речь идет об открытом круге).
Все сказанное с помощью преобразования (37.2) легко пере-
носится и на общие степенные ряды вида (37.1). В частности,
областью сходимости такого ряда всегда является круг вида
|z— z0| < /?, конечно, как и выше, с точностью до его граничных
точек. Этот круг называется кругом сходимости ряда (37.1), aR —
его радиусом сходимости.
Примеры. 1. Радиус сходимости R ряда
2 «•' г" (37.6)
। п-=0
равен нулю, т. е. этот ряд сходится только при z = 0*\
Действительно, исследуя абсолютную сходимость этого ряда по
признаку Даламбера, получим при любом z=#0
linl '"'ДТг'»?4 = ,im (« + ОI г | = + оо.
/г~>оо । с ‘ п ->сю
Таким образом, ряд (37.6) не сходится абсолютно при любом
z¥=0; отсюда в силу следствия из теоремы Абеля он расходится
при любом Z #= 0.
2. Радиус сходимости ряда
оо
У £2
ill
п—0
равен 4-оо, ибо, как мы видели (см. п. 36.1), этот ряд сходится при
любом Z.
3. Геометрическая прогрессия
ОО
2г" (37.7)
) При г = 0, очевидно, сходится любой ряд вида (37.4).
540
£ 37. Степенные ряды
сходится при \z\ < 1 и расходится при |z| > 1. Поэтому ее радиус
сходимости 7? = 1. Отметим, что во всех точках границы круга
сходимости, т. е. во всех точках окружности |г| =1, ряд (37.7) рас-
ходится (почему?).
3. Ряд
п=1
(37.8)
сходится при |z|< 1, ибо при выполнении этого условия
оо
z" 1 , 1 V 1
> а ряд 2 сходится.
' п=1
При |г|>1 ряд (37.8) расходится, так как в этом случае
lim = +оо*>,
П ->-00
т. е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда.
Радиус сходимости ряда (37.8), как и ряда (37.7), равен единице,
однако в каждой точке границы круга сходимости ряд (37.8) в от-
личие от ряда (37.7) сходится.
Теорема 3. Пусть R — радиус сходимости степенного ряда
S anz%
п=0
тогда
1
lim у! | ап |
П-*оо
(37.4)
(37.9)
Формула (37.9) называется формулой Коши—Адамара***).
Доказательство. Положим
р= lim рЛ|а„| .
л-юо
*) Действительно, легко, например, с помощью правила Лопиталя убе-
диться, что lim =-р оо (см. пример 8 в п. 12.2).
x-*+oo х
»•) О верхнем пределе см. в п. 3.8.
***) Ж. Адамар (1865—1963) — французский математик.
37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда
641
Рассмотрим сначала случай р = 0. Покажем, что в этом случае
ряд (37.4) сходится при любом г. Возьмем какое-либо гД=;) и такое
е, что 0<е <2 1 • Тогда(см. теорему 10 п. 3.8) существует такое Лх, что
П ,---Е
V |«п( <777 для всех /1>А\,
I г I
т. е.
| ап | | г <2 е" для всех п Nt.
Отсюда по признаку сравнения следует, что ряд (37.4) абсолютно,
а значит, и просто сходится при данном г, а так как г было произ-
вольно, то это означает, что = -{-со.
Возьмем другой крайний случай: пусть р = -{-оо. Покажем,
что в этом случае ряд (37.4) расходится при любом z Ф 0. Действи-
тельно, если р = -{-оо, то существует подпоследовательность nh,
k = 1, 2, ..., натурального ряда, такая, что
lim р\ап I = -{- со.
fe—>00 k
Поэтому, каково бы ни было z 0, существует такой номер kz, что
при k>kz
nk,'\-г-^ 1
V > 1г| ,
т. е.
I ь I
Таким образом, не выполняется необходимое условие сходимости
ряда — стремление к нулю п-го члена, поэтому при данном а=Д0
ряд расходится, а так как г =4=0 было произвольно, то это означает,
что R = 0.
Пусть теперь 0<2р<2+°°, покажем, что ряд (37.4) при всяком
г, таком, что
Р
сходится. Выберем е>0 так, чтобы
I *
|2|<Р~+-е ’
*> Для этого достаточно взять е < т—г- —
Р-
542
,f 37 Степенные ряды
тогда число q = (р + е) | г | < 1. Согласно свойству верхнего преде-
ла, существует такой номер Л\, что при А\
V\an\ <р + е,
поэтому При n'^'N1
I ап zn К (Р-С е)" 171” ~qn, 0<<?<1,
и по признаку сравнения ряд (37.4) при рассматриваемом г абсо-
лютно, а значит, и просто сходится.
Покажем теперь, что ряд (37.4) при всяком г, таком, что
И>
р ’
расходится. Выберем е> 0 так, чтобы
1
р — е
тогда[z|(p-e)>l.Согласно свойству верхнего предела (см. теоре-
му 10 п. 3.8), существует подпоследовательность nh, k = 1, 2,...,
натуральных чисел, такая, что
¥ 1°ч1 >р—е> 2...
Из этого следует, что
|a«ft z"*|>(p—е)"*|г|”*> 1,
т. е. в этом случае не выполняется необходимое условие сходимости
ряда — стремление к нулю его n-го члена, и поэтому для рассматри-
ваемого г ряд (37.4) расходится.
Таким образом, ряд (37.4) сходится, если |г| <и расходится,
р
, . . 1 п 1
если г а это и означает, что R —
1 '^р Р
Теорема доказана.
Упражнение 1. Определить радиусы сходимости рядов
пг г",
z"
n3’
ОО
V (L\n
n=l e !
oo
V (I
(n + iy n + 2) •
37.2. Аналитические функции
643
37 2. Аналитические функции
Определение 3. Функция 1(г) называется аналитической
в точке г0, если существует такое R > 0, что в круге | г — ?J < R
она представима степенным рядом вида (37.1), т. е. существуют
такие комплексные числа ап, п == 1, 2, что
оо
ап(г-гоу, |г-г0|</?. (37.10)
п— О
Сумма, разность и произведение аналитических в точке z0 функ-
ций снопа является аналитической в этой точке функцией (почему?).
Лемма. Если
rn(z) = 2 ah(z— zy)k
*=«4-1
•—остаток сходящегося ряда (37.10), то
гп(г) = О ((г—гс)"+') при г-+г0 (37.11)
и, значит,
гп(г) = о((г— г0)п) при z-^z0. (37.12)
Доказательство. Если |г—г0|<^Д, то
оо
гп(г)-^(г—z0)"+l 2 аА(г—Zo)*-"'1,
и ряд, получившийся после вынесения множителя (г— г0)”+1, схо-
дится. Поэтому функция
<p(z)= 2 Мг~Zo)k~n~l,
*=«4-1
как сумма степенного ряда, непрерывна в круге | г — z(!|<C R.
Если теперь 0< r< R, го функция <р(г), будучи непрерывной на
замкнутом круге ]г—z0| < г, будет и ограничена на нем, т. е. най-
дется такая постоянная М >0. ч >
|ф(а)| </И,
если |г—?о|<У. Поскольку
rn(z) = (z--z0)"+1 ф(г),
то
I rn (z) I = I z—z01"+! I ф (г) I < Л11 г—г0 р+ •
544
§ 37 Степенные ряды
если |z—z0| < г, а это и означает (37.11). Условие (37.12) непо-
средственно следует из (37.11).
Лемма доказана.
Теорема 4. Представление аналитической в точке z0 функции
f(z) в виде степенного ряда (37.10) единственно, т. е. если
оо оо
2 ап(г—г0У — 2 bn(z-zoy, \z-z0\<R. /?>0, (37.13)
п—0 п—о
то
ап — Ьп, п — 1, 2..
Доказательство. Из (37.13) в силу (37.11) следует, что
a0 + «i(z—z0)+ ... + ап(г—г0)« + <7((г—zor+') =
= ^о+Мг—?o)+ - + bn(z—z0)n + O ((г—z0)"+'). (37.14)
Переходя в этом равенстве к пределу при z-*z0, получим а0 = Ьо.
Пусть уже доказано, что я7- = bj, j = 0, 1, ..., k— 1. Тогда,
уничтожая одинаковые члены в обеих частях равенства (37.14) и
деля обе части на (z— z0)*, получим
ctk-\-ak^i(z—z0)+••• + О ((2 го) + ) —
= 6* + bk+i (г—z0)+ ... +O((z—z0)«+1~Aj.
откуда при z -> z0 следует, что ak = bh.
Теорема доказана (ср. с п. 13.2).
37.3. Вещественные аналитические функции
В дальнейшем в этом параграфе везде, где не оговорено
противное, будем предполагать, что коэффициенты всех рассматри-
ваемых рядов вещественны и что переменные г и г0 также веществен-
ны (в этом случае будем их обозначать х и х0). Правда, все рассматри-
ваемые ниже свойства степенных рядов переносятся в определенном
смысле и на степенные ряды в комплексной области, однако для
осуществления этого нам пришлось бы обобщить понятие производ-
ной и интеграла на функции комплексного аргумента, а это не вхо-
дит в задачу настоящего курса.
Итак, мы будем рассматривать ряды
со
2 ап(х-хоу, (37.15)
п=0
где а,„ п—1 2, ..., х и х0—вещественны.
37.3. Вещественные аналитические функции
54Б
ОО
Если R— радиус сходимости ряда 2°п(г—х0), гДе z—комп-
/1=0
лексное число, т. е. ряда с теми же коэффициентами, что и у ряда
(37.15), но рассматриваемого в комплексной области, то, очевидно,
ряд (37.15) сходится, если |х—х0и расходится, если
|х—*о|>Я.
В этом случае R по-прежнему называется радиусом сходимости,
а интервал (х0— R, х0 + R) — интервалом сходимости ряда (37.15).
Теорема 5. Если Д > 0 — радиус сходимости степен-
ного ряда
оо
/(*)= 2 ап(х-х0У, (37.16)
то
1) функция f имеет в интервале (х0 — R, х0 + R) производные
всех порядков, которые находятся из ряда (37.16) почленным диф-
ференцированием;
2) для любого t£(x0—R, x0-}-R)
J f (X) dx = 2 «n , (37.17)
tn. e. внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно
интегрировать;
3) степенные ряды, получающиеся из ряда (37.16) « результате
почленного дифференцирования или интегрирования, имеют тот
же радиус сходимости, что и ряд (37.16).
Доказательство. Найдем радиусы сходимости ряда,
получающегося из ряда (37.16) почленным дифференцированием,
т. е. ряда
2 пап(х—х0)"-1, (37.18)
И=1
и ряда, получающегося из ряда (37.16) почленным интегрированием,
т. е. ряда (37.17).
Заметим, что по правилу Лопиталя
lim In i/ п = lim -= lim — — О,
r fl fl
n-^oo n->co
и поэтому
lim yf n =1.
546
£ 37. Степенные ряды
Аналогично
lim \/ «4-1 = 1-
/1 ->оо
Учитывая это и применяя лемму 2 и 3 п. 3.8, получим
lim iZlmnJ = limj/» lim |«J =н-,
Л~*ос Л->оо Л->эо Г\
Um ^\aj = 1
у п + 1 '
Заметим, что ряд (37 18) и ряд, получающийся из него умно-
жением на (х— х0), а также ряд (37.17) и ряд, получающийся
из него вынесением за скобку множителя (Z — хп), имеют соот-
ветственно одни и те же радиусы сходимости. Поэтому согласно
формуле Коши—Адамара и сделанному замечанию радиусы сходи-
мости рядов (37.16), (37.17) и (37.18) совпадают. Утверждение 2 тео-
ремы теперь непосредственно следует из того факта, что всякий
степенной ряд равномерно сходится на всяком отрезке, целиком
лежащем в интервале сходимости (см. теорему 2), и соответ-
ствующих теорем о дифференцируемости и интегрируемости рядов
(см. п. 36.3).
Теорема доказана.
Теорема 6. Если функция f аналитическая в точке х0, т. е. пред-
ставима в окрестности этой точки рядом (37.16) с радиусом схо-
димости 7? Д> О, то
n = 0, 1, ... (37.19)
т. е.
I™ (Хр)
«!
(X— х0)п.
(37.20)
Доказательство. Дифференцируя п раз обе части
равенства (37.16), получим (см. теорему 5)
/V1,(x) = п(п — 1)... 2-1 («-Ь 1)/г ... 2оп+1 (х—л0) +
4‘ (/г+2)(п4 1)... Зо,;_|_2(х—х0)2-р ....
Отсюда при х — х0 и получается формула (37.19).
Заметим, что из доказанной теоремы следует еще раз свойство
единственности разложения функции в степенной ряд (правда, на
этот раз в силу сделанных ограничений только в вещесгвенной об-
ласти, ср. с п. 37.2).
37.4. Разложение функций в степенные ряды
547
37.4. Разложение функций в степенные ряды.
Различные способы записи остаточного члена
формулы Тейлора
Определение 4. Пусть функция f определена в некоторой
окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные всех поряд-
ков. Тогда ряд
2
(37.21)
п—О
называется рядом Тейлора функции f в точке хй.
Как мы знаем, всякая аналитическая в точке Л'о функция беско-
нечно дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Ока-
зывается, что обратное, вообще говоря, неверно: существуют функ-
ции, бесконечно дифференцируемые, но не аналитические, и, значит,
не представимые своим рядом Тейлора.
Примером такой функции является функция
f (к) =
__р
е А* для хН=®,
О для х = 0.
(37.22)
При х 0 эта функция
торые легко вычисляютс :
имеет производные всех порядков, ко-
Г(х) = |е Г(х)=-^е
и вообще
е
где Рп 0;j—многочлен некоторой степени относительно ~ (н— по-
рядковый номер а не степень многочлена), г. е. /<"> (х) есть
линейная комбинация слагаемых вида
— е
гт
т = 0, 1, 2, ....
(37.23)
Это легко проверяется по индукции.
548
£ 37. Степенные ряды
Сделав замену переменного t — найдем, применив правило
Лопиталя, предел модуля выражения (37.23) при х—>0:
m
1 -- fi
lim | — e zll = lim—— = 0.
x->0 I xm | /->4-00 e‘
Отсюда следует, что и предел выражения (37.23) при х->0 так-
же равен нулю и что
lim f(n> (х) = lim Рп I— | е ** — О (37.24)
х->0 х->0 \х ]
при любом п = О, 1, 2, ... .
Из формулы (37.24) при п — 0 и п = 1 следует, что функция /
непрерывна в точке х = 0и lim /'(х) = 0, поэтому (см. лемму 2 п. 11.2)
Л-.0
/'(0) существует и /'(0) = 0. По индукции легко убедиться подоб-
ным же образом, что
рО(0) = 0, n = 0, 1, 2, ....
Таким образом, все члены ряда Тейлора функции (37.22) в точке
х0 = 0 равны нулю, поэтому его сумма при всех х также равна нулю
и, следовательно, не совпадает с самой функцией /. Заметим еще, что,
согласно теореме 6 п. 37.3, функция (37.22) не может быть разложена
ни в какой степенной ряд (так как если бы это было возможно, то
он оказался бы рядом Тейлора), а это и означает, что она не является
аналитической.
Возникает вопрос: когда ряд Тейлора (37.21) функции /(х) на
указанном интервале сходится к /(х)? Чтобы исследовать этот вопрос,
напишем формулу Тейлора для функции f (см. п. 13.1):
f (х) = 2 U-4>)ft + r„U), (37.25)
которая справедлива при любом п = 1, 2......В этой формуле гп(х)
обозначает остаточный член формулы Тейлора. Полагая
sn м=S "-т!Ло)- (х—xo)k>
*=0 К|
перепишем формулу (37.25) в виде
/(х) = зп(х) + г„(х), (37.26)
где s/t(x) — п-я частичная сумма ряда Тейлора,
37.4. Разложение функций в степенные ряды
549
Отсюда видно, что, для того чтобы функция f равнялась сумме
своего ряда Тейлора на рассматриваемом интервале, необходимо
и достаточно, чтобы для всех х из этого интервала
lim/'„(x) = 0. (37.27)
72—>оо
Если это имеет место, то из формулы (37.26) следует, что гп(х)
является также и суммой п-го остатка ряда Тейлора (37.21).
Теорема 7. Пусть функция f определена и непрерывна вместе
со всеми своими производными до порядка п + 1 включительно на
интервале (х0— Л> *'<> +Л), Л>0. Тогда остаточный член гп(х)
ее формулы Тейлора (37.25) для всех х^(х0 — h, х0 + h) можно за-
писать в следующих трех видах:
rn(*) = ~((x-t)nf<n+i,V)dt,
nl J
(37.28)
= <х-хо>"+,> <37-29)
I 1 )*
где |&—х01 < | х —|,
гп(х) = /-+—(1 — 0)" (х—x0)"+*, (37.30)
где 0 < 0 < 1.
Формула (37.28) называется остаточным членом формулы Тей-
лора в интегральной форме, формула (37.29) — в форме Лагранжа,
а (37.30) — в форме Коши.
Доказательство. Из
X к
f(x)-f (х0) = J f (0 dt = - J f' (0 d (x - 0,
Л'о Xo
интегрируя по частям, получим
X
f W- f Uo) = -f (0 -1) L + J f" (0 - 0 dt =
XB
X
=f' (x0)(x-x0)+ Jr (t)(x-t)dt.
xo
550
§ 37. Степенные ряды
Пусть для некоторого m п уже доказано, что
f(x)—/(х0) =
= 2 (37-31)
Проинтегрируем по частям последний член еще раз:
-~х_ 1); J/(т)(0 U-tr~' dt = - -L J/(-) (/) d(x-0"1=
XO Xq
ft™) — I* 1 C
= -f > L+J f(m+1 > (0 (x - ty dt=
л'о
= ^2 Uo) (x_Xo)m_|_ J_ f tydt.
ml ml J
Подставляя это выражение в (37.31), получим
Цх)—f(x0) =
= S /(A’iXo) (*-*«)* +Л f f(m+i) V)(x~tydt,
k[ ml j
Ao
t. e. получим ту же формулу с заменой m па т+1.
Таким образом, формула (37.31) доказана по индукции для
всех m < п. При m = п она превращается в формулу (37.28).
Применим теперь обобщенную интегральную теорему о среднем
к Интегралу (37.28), вынося за знак интеграла «среднее значение»
производной /(п1) (см. теорему 1 и упражнение 1 в п. 28.2):
rn(x) = -LJ )(->+') ty dt =
*0
rf(_ g"(» г
«I J "I
“ ^J^L(x^Xo)n+
(»+i)i
(x-Qn+l "Iх
« +1
где лежит па интервале с концами в точках х0 и х, г. е,
|£ — х0|< |х — х0|. Формула (37.29) доказана.
37.4. Разложение функций в степенные ряды
551
Если же применить интегральную теорему о среднем к интегралу
(37.28), вынося за знак интеграла «среднее значение» всей подынтег-
ральной функции (см. п. 28.2), то получим
I р И'Н 1) i^\
rn(x) = — = ----JxL (X-^(X-X )j (37.32)
n! J n!
где как и выше, лежит на интервале с концами в точках xv
и х, т. е.
6 —*о + 0(х — х0), 0<0<1.
Отсюда х — £ = х — Л'о — 0(х — х0) = (х— х0)(1 —0). Подставляя
это выражение в (37.32), получим формулу (37.30).
Теорема доказана.
Укажем теперь одно достаточное условие разложимости функ-
ции в степенной ряд.
Теорема 8. Пусть функция f и все ее производные ограничены
в совокупности на интервале (х0 — h, х0 + й), т. е. существует та-
кая постоянная что
| (х) | < М (37.33)
для всех х£ (х0 — h, х0 + й) и всех п — 0, 1, 2, .... Тогда на интер-
вале (х0 — h, х0 + й) функция f раскладывается в ряд Тейлора, т. е.
f (х) = J— . (х—х0)п, \х—х0|<й. (37.34)
Доказательство. Прежде всего заметим, что, каково
бы ни было число а,
lim—= 0. (37.35)
П-*оо п!
Действительно, пусть /г0 такое, что
1«1 < 1
ПО 2 •
Тогда при всех н>/г0
ГД<1
п 2 ’
и поэтому
ап ап° а а а < ап° / 1 \п—
п! п0! + 1 «j 4 2 п ' п.,! \ 2)
а последнее выражение стремится к нулю при «-> оо.
Равенство (37.35) доказано.
552
§ 37. Степенные ряды
Для того чтобы доказать формулу (37.34), достаточно убедиться
(см. (37.27)), что
(37.36)
lim гп(х) = 0,
И ->ое
где гп (х)—остаточный член в формуле Тейлора функции f.
Возьмем гп(х) в форме Лагранжа (см. (37.29)). Из неравен-
ства (37.33) следует, что
г(п+1) /е\
I-----(х — х0)'!+‘
knWl =
(п + 1)!
|х—хДп+'
Поскольку в силу (37.35)
lim
«-*оо
то при |х—х01 <" h выполняется условие (37.36).
Теорема доказана.
37.5. Разложение элементарных функций
в ряд Тейлора
Прежде всего найдем разложение в ряд некоторых основ-
ных элементарных функций.
1. Разложение в ряд функции /(x)=ev.
Так как /<п’(х) = еЛ, то для любого фиксированного h > 0 при
всех х£[— h, h] и всех п = 0, 1, ...
ОС/*'1’ (х)<е".
Таким образом, условия теоремы 8 выполнены (х0 — 0), поэтому
функция ех раскладывается в ряд Тейлора (37.34) на любом конеч-
ном отрезке, а значит, и на всей вещественной оси. Поскольку в дан-
ном случае /('!)(0) = 1, то это разложение имеет вид
~ __________________________
е
(37.37)
Напомним, что в п. 36.1
п=0
было установлено, что ряд
комплексной плоскости*’. Мы видим
абсолютно сходится на всей
теперь, что для вещественных z = х его сумма равна ех. В случае
») Впрочем, это следует, согласно теореме Абеля, и из доказанной сейчас
нами сходимости ряда (37.37) на всей вещественной оси.
37.5. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора 553
существенно комплексных z его сумму по аналогии обозначают е2;
таким образом, формула
“ гп
<?2= У— (37.38)
п!
"=°
для комплексных г является определением функции ег. Это опреде-
ление естественно, во-первых, потому, что в случае вещественного
z — x эта функция совпадает с показательной функцией ех, а, во-вто-
рых, потому, что функция ег сохраняет ряд характерных свойств
функции ех. Покажем, например, что
е2> ez- = е2‘+г» (37.39)
для любых комплексных ?! и ?г.
Л1ы знаем, что ряд (37.38) абсолютно сходится, поэтому ряды
ег2 _
v гг
можно почленно перемножить (см. п. 35.6), причем, поскольку по-
лучающийся при этом ряд также абсолютно сходится, его члены мож-
но располагать в произвольном порядке. Соберем все члены, содер-
жащие произведения z"?? с одинаковой суммой п ф- т, и распо-
ложим эти группы членов по возрастанию п ф- т:
gZ, gZ2 _
co , n+m , ,
2 1 у (Л + my.
(n Ф- my. (n + m — kyk\
n-\-m=v k~ 0
Л!
n+m~k k
Z| 2 2 —
2. Разложение в ряд shx и ch x.
Заменяя в формуле (37.37) х на —х (это означает просто изме-
нение обозначения), получим
п=0
(—1)пхп
п!
(37.40)
554
§ 37 Степенные ряды
Складывая п вычитая равенства (37.37) и (3Z.4U), а затем деля
их на два, получим
ch х
ех-е~х^ x2k+l
2 '
(37.41)
(37.42)
В правых частях этих формул в силу единственности разложе-
ния функций в степенные ряды стоят ряды Тейлора функций ch х
и sh х.
Поскольку функция ez определена теперь для всех комплексных
г, то на существенно комплексные значения аргумента можно рас-
пространить и гиперболические функции sh х и ch х, положив
ег — е г
ch г ~---------------
sh г —
ег -— е г
2
2
Определенные таким образом ch? и shz для комплексных г
раскладываются в степенные ряды (37.41) и (37.42), сходящиеся
на всей комплексной плоскости (под х в них в этом случае понимает-
ся комплексное число).
3. Разложение в р яд sin х и cos х. Формулы Эйлера.
Если f(x) — sin х, то f(n> (х) = sin п у)(см. примерЗп. 10.1),
поэтому |fn,(x)|-< 1 для всех вещественных х.
Согласно теореме 8, отсюда следует, что функция sin х раскла-
дывается в степенной ряд на всей вещественной осп. Вспоминая
формулу Тейлора для синуса (см. п. 13.3), получим ряд Тейлора
для sin х:
“(_1)*х24+1
Б1ПХ = > ---------
(37.43)
Рассуждая аналогично и вспоминая формулу Тейлора для ко-
синуса (см. п. 13.3), получим для него ряд Тейлора
чгч (—1)K x2k
cos х = V1— -----------,
** (2/г)!
л=о '
(37.44)
также сходящийся на всей вещественной оси.
В силу теоремы Абеля (см. п. 37.1) ряды, стоящие в правых час-
тях формул (37.43) и (37.44), сходятся также и при любом комплекс-
37.5. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
555
ном к', это позволяет распространить синус и косинус на комплекс-
ные значения аргумента, положив для любого комплексного г
sinz= > ----1-----
(37.45)
1)Л^
(37.46)
COS 2 =
(2*)'
В комплексной области легко установить связь между показа-
тельной функцией и тригонометрическими.
Заменяя в ряде (37.38) z сначала на iz, а затем на—iz, получим
Z_ IV! . /ЛУ ____
е'2 = V
I
И" О
Замечая теперь, что
е
п—о
п!
(37.47)
из
in =
1
z
-1
—I
при
при
при
при
п - 4k,
п — 4k+ 1,
п = 4k 2,
п = 4k -{- 3,
6 = 0, 1, ...
(37.47) будем Иметь
е1г + е-'г ^(-1)Лгг*
2
elz—e~li
2i
(—1/ г2*+*
(2Л+1)!
(2/гМ „ -
k=o ' ’ *=о
Сравнивая эти формулы с (37.45) и (37.46), получим
eiz + ё~1г . е1г — е~1г
cos г ==-----------------!, sin г =----------------.
2 2«
Из них непосредственно следует также формула
cos г -ф i sin г = elz.
Конечно, эти формулы, в частности, справедливы
вительных г.
Формулы (37.48) и (37.49) называются формулами Эйлера.
Отметим два простых их применения.
В случае, когда в формуле (37.49) г = ср — вещественное число,
мы получим
(37.48)
(37.49)
п для дейст-
cos ф i sin <p = е“₽.
Поэтому комплексное число с модулем г и аргументом ф
г — г (cos ф + i sin ср)
556
§ 37. Степенные ряды
можно записать в виде
z = ге’Ч.
Полагая здесь г ——1, получим
е‘п = — 1
— связь между числами е, п и i!
Легко находятся с помощью формул Эйлера модуль и аргу-
мент числа ez, где z = x-{-iy. Действительно (см. (37.39)),
е- = ех+‘У = ех е‘у — ех (cos у ф- i sin у),
т. е. | ez | = er, Arg ег = у.
Синус и косинус в комплексной области обладают многими свой-
ствами, которыми они обладают и в вещественной области, однако,
далеко не всеми.
Упражнение 2. Используя формулы Эйлера, доказать, что прг
любом комплексном г
cos (—г) = cos z, sin(—г) = — sin г,
sin2 г + cos2 г = 1, cos (г2лп) = cos г, sin (г ф- = sin г.
Покажем, например, что абсолютные величины синуса и коси-
нуса могут превышать единицу.
Заменяя в рядах (37.45) и (37.46) г на iz, получим
. . . г2*+' . г2*
sinzz = z >-------, COS IZ — у------.
Сравнивая получившиеся ряды с рядами (37.41) и (37.42) (при
х — г), получим
sh г = i sin iz, ch z — cos iz.
В частности, при вещественном z — у
| sin ty| — | sh у | и |coszy|=chy,
откуда и видно, что на мнимой оси функции sin г и cos г не ограни-
чены по абсолютной величине.
4. Разложение в ряд функции In (1 ф- х).
Формула Тейлора для In (1 ф- х) имеет вид (см. п. 13.3)
у*Л УП
1П(14-Х) = Х------------... ф-(-1)'!+! — Ф-Гп(х).
о
Запишем остаточный член гп(х) в форме Лагранжа. Замечая, что
[1п(1ф-х)]("+1> = (—1)"-
S7.5. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
557
получим
'п(*) = (-1)П
дЛ+1
(n + 1) (1 +0Х)П+' ’
о<е<1.
Если
то
и потому
и, в частности,
О < х < 1,
0<—?—< 1,
1 +0JC
KWK
1
п + 1
limrn(x) = 0.
rz—>оо
(37.50)
Если же — 1 <5 х < 0, то целесообразно записать остаточный
член гп(х) в форме Коши:
G. (*) = (-!)"
(1-6)" v„+,
(1 + ejc)n+1
В этом случае
и
1 +0Х
поэтому
кп(*)1 <
1—0 «
1 Ох
—1—1x1»+'< .
11+0*1 ' 1 — 1*1
откуда при — 1 <х<0 также получаем (37.50).
Таким образом,
оо
ш(1+х)= 2(- o"+I v
п=1
(37.51)
для всех хС(—1; 1].
При х — —1 ряд, стоящий в правой части равенства (37.51),
отличается от гармонического ряда лишь множителем — 1 и потому
расходится. Расходится он также и при всех х, таких, что |х| > 1,
э58
$ 37. Степенные ряды
ибо в этом случае п-й член ряда (37.51) не стремшся к нулю, более
того (см. п. 12.2),
5. Разложение в ряд бинома (1 + х)а.
Формула Тейлора для биномиальной функции имеет вил (см.
п. 13.3)
. а(а — 1) „ . , а (а—1) ... (cz — п + 1)
(1 ф л)“ = 1 ф ах ф 7 х2 ф ... -|- ' хп ф rn (X)
2! nl
(37.521
Рассмотрим соответствующий ряд (называемый биномиальным
рядом с показателем а):
оо
1 ф V?<к~ 1) .-(а-я+ 1) (37.53)
п\
/1=1
Если а — неотрицательное целое, то ряд (37.53) содержит лишь
конечное число членов, отличных от нуля, и, следовательно, схо
дится при всех х.
Рассмотрим теперь случай, когда а не является неотрицательным
целым. В этом случае в ряде (37.53) все члены отличны от нуля при
х =/= 0.
Для исследования абсолютной сходимости ряда (37.53) исполь
зуем признак Даламбера. Иначе говоря, применим признак Далам-
бера к ряду с п-м членом:
,, _I«(«—!)-(« — » +В ytlI
п ~ I Л I •
I «I I
Замечая, что
.. ,. la— п I , ,
lim —= lim ------х = | х |,
n->oo U/l n-*oo | П -p- 1 |
получаем, что ряд (37.53) абсолютно, а значит, и просто сходится
при | л'|< 1 и расходится при |х |р-1 (см. теорему Абеля в п. 37.1)
Исследуем теперь, чему равна сумма ряда (37.53) при|х|<Д.
Замечая, что
(1 ф х)а] <«> = а (а_ 1)... (а_п ф 1) (1 + Х)а~п,
запишем остаточный член гп(х) формулы (37.52) в форме Коши:
= 0<«<1
37.5. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
Б5'
(6 зависит от л и от п). Положим
Ап(л) = ^.-U - к?-D1)] хп
nt
Ва(Л-) = ах(1 + ()xf *, сп(л) = (1—
Тогда
бч(х) = Д„(х) Вп(х) Сп(х).
Очевидно, Л„(х) является общим членом биномиального ряд;
с показателем и - 1 и, следовательно, в силу доказанной выше схо
димости биномиального ряда при |x|< 1
lim Л„(х) =0, |х|<1.
п^оо
Далее, из того, что 1— jx|<l+6x<14-|x|, следует, что зна-
чения |В„ (л)| заключены между величинами
|ах|(1 —|х|)а~' и |ал|(1 +И)а-',
не зависящими от 0, г. е. последовательность {Вп(х)} при фиксиро*
ванном х £(— 1, 1) ограничена. Наконец,
Из установленных свойств Ап(х), Вп(х) и Сп(х) следует, что
lim rn(x) — 0, |х| < 1,
/7->ос
Таким образом,
а (« — 1)... (а — п 4- J)
п!
для любого х£( —1; 1).
Зад .ча 19 Доказать, что:
1) в точке х = 1 при а > —1 биномиальный ряд сходится, а при
а < — 1 расходится;
2) в точке же х — — 1 при а > 0 биномиальный ряд абсолютно схо-
дится, а при а < 0 расходится.
При этом каждый раз, когда биномиальный ряд (37.53) сходится, его
сумма разка (1 -р х)а‘
560
§ 37. Степенные ряды
37.6. Разложение в степенные ряды и суммирование
степенных рядов методом почленного
дифференцирования и интегрирования
Дифференцируя или интегрируя известные разложения
в ряд Тейлора, можно получать разложения новых функций в сте-
пенные ряды. Так, например, интегрируя формулу геометрической
прогрессии
—!— =1— t + t2~ ... 1)"(37.54)
в пределах от 0 до х, | х| <Т (что законно, ибо ряд (37.54) равномер-
но сходится на отрезке с концами в точках 0 и х при | х| < 1) , по-
лучим известную уже формулу (37.51):
о
г2 г3
Х-— + -----------------...(-1)'
2 3
ЛМ-1
п 4-1
-f- ... .
Дифференцируя или интегрируя заданный степенной ряд, иногда
удается получить ряд, сумма которого уже известна; это позволяет
вычислить и сумму исходного степенного ряда.
Примеры. 1. Найдем разложение функции arcsinх в ряд.
Замечая, что
. . ,, 1
(arcsin х) = у=,
разложим (arcsin к)' в ряд по формуле разложения бинома (см.
п. 37.5):
оо
(агатх)- = ^4=-- 1 + °7'55’
Радиус сходимости получившегося ряда равен единице (см. там
же). Интегрируя ряд (37.55) от 0 до х, | х| < 1, получим
f dx __ х I у (2» — 1)1! __________________________
J УГ—Д (2л)1! 2п +
х2п+1
Искомое разложение найдено.
2. Найдем сумму ряда
S (х) = 2 пхп.
I
(37.56)
37.6 Разложение в степенные ряды
561
Радиус сходимости этого ряда равен единице. В этом легко убе-
диться, например, по признаку Даламбера:
.. (п + 1) .
lim -—!— ----- = | х |.
П -*оо ПХП
Следовательно, ряд (37.56) абсолютно сходится при|х|<4 и рас-
ходится при | х| > 1. Из (37.56) следует, что
П=1
Интегрируя этот ряд почленно от 0 до х, |х|< 1, получим
Продифференцируем получившееся тождество:
5 (х) _ d х _ 1
х dx 1 — х (1 — х)а *
Отсюда имеем
S(x) = -^-, И<1-
(1 — х)а
3. Найдем сумму ряда
<37-57)
П=1
Радиус сходимости этого ряда равен единице; в этом легко убе-
диться, например, тем же способом, что и в случае ряда (37.56).
Продифференцировав ряд (37.57) почленно:
°° vn-l
2^.
П=1
я использовав разложение логарифма (см. п. 37.5), получим
ОО п
xS' (х) = 2-^-=—,п(!—х), |х|<1,
п=\
или
S' (х)= ——<-д. -л).
552
§ 38. Кратные ряды
Замечая, что 5(0) - 0, окончательно получим
о
Таким образом, здесь ответ выражается не в элементарных функ-
циях.
Упражнения. 3. Разложить в степенной ряд (arcsin х)3.
СЮ
4. Найти сумму ряда п2 хп,
п=1
§ 38. КРАТНЫЕ РЯДЫ
38.1. Кратные числовые ряды
Определение 1. Если дана некоторая совокупность чисел
(вообще говоря, комплексных) ип, ••nk, занумерованных k индексами
щ, i — 1, 2, ..., k, каждый из которых независимо от других про-
бегает натуральный ряд чисел щ — 1, 2,..., то выражение
оо
2 un,...nk (38.1)
"1..nfe=>
называется k-кратным рядом, а числа uni..,nk—его членами.
Естественно возникает вопрос о том, как определить сходи-
мость ряда (38.1), как определить его сумму, в каких случаях эта
сумма не будет зависеть от того или иного порядка слагаемых.
Для простоты записи мы ограничимся случаем k — 2, т. е. случаем
двукратных рядов (их называют также двойными рядами).
Все результаты легко переносятся и на случай ^-кратных рядов
любой кратности k = 2, 3,... .
Определение 2. Пусть дан ряд
оо
2 итп. (38.2)
п, т—\
Сумма вида
i—m, i—n
Smn= 2 utJ. (38.3)
Z=1, /=1
называется частичной суммой ряда (38.2).
Введем понятие предела совокупности чисел хтп с двумя индек-
сами т = 1, 2,..., п = 1, 2,... (такие совокупности называюгсм
последовательностями с двумя индексами).
38.1. Кратные числовые ряды
563
Определение 3. Говорят, что последовательность с двумя
индексами хтп, т, и—1, 2, ..., сходится к числу А, и пи.
шут lim хтп — А, если для любого е>0 существует такое N..
т, гс-юо ’
что | А—хтп | < е для всех т^ Ne и п> Ne.
Определение 4. Если для любого е>0 существует такое NB
что I хтп |^>е для всех m^>Ne и и > NB, то пишут, что lim хтп = оо.
т, п-*оо
Аналогично определяются бесконечные пределы:
lim хтп=+°° и lim хтп= — оо.
т, п-ьоо т, п->оо
Определение 5. Если существует конечный предел частич-
ных сумм Smn ряда (38.2) и
lim =
m, «->оо
(38-4)
то S называется суммой ряда (38.2), а ряд (38.2) называется
сходящимся.
В этом случае будем писать
оо
Если конечного предела (38.4) не существует, то ряд (38.4)
называется расходящимся.
Если
lim Sm„ = oo, или lim Smn=4-oo, или lim Smn= — оо, (38.5)
m. n-*tx> mr n-*oo m, n—>oo
то, соответственно, будем писать
2 “mn^00' 2 “mn=+°°. 2 Um=- oo.
m, n~\ m, n— 1 m, n=l
На кратные ряды переносится ряд свойств обычных (одно-
кратных) рядов. Например:
564
$ 38. Кратные ряды
ОО
1. Если 2 umn~S, гд£ 5—число или один из символов
m, п— I
оо
оо, 4-оо, —оо, то У ’Kumn — 'KS*'> для любого числа "К.
т, п=» 1
оо оо
2. Если ряды У umil = S и У umn = S сходятся, то
т, п— 1 т. /г=1
У {limn 4- итп] — S 4-5 •
т, п=1
Эти утверждения легко доказываются аналогично случаю од-
нократных рядов (это предоставляется проделать читателю).
Докажем теперь несколько теорем о кратных рядах.
Теорема 1. Если ряд (38.2) сходится, то
lim
т, п~+оо
Это сразу следует из равенства
Umn — Smn — Sm— 1 п Smn—1 4” Sm— 1, n—1
и условия (38.4).
Теорема 2. Если все члены ряда (38.2) неотрицательны’.
итп>0, т, п=1, 2................................ (38.6)
то всегда существует конечный или бесконечный предел его
частичных сумм Smn, причем
lim Smn = sup Smn. (38.7)
m, n~>oo m, n~\, 2,...
Доказательство. Если выполняется условие (38.6) и
т' > т, п' п, то
Sm’n’ Smn.
Далее, если S = sup Smn и 5' < 5, то в силу определе-
т, п=1, 2....
ния верхней грани существуют такие номера т0 и п0, что
Положим Л/ — max {т0, п0}, тогда при m > N и n^N
ft. .. ..
и так как Smn < S, lim Smn = 5, т. е. выполняется условие (38.7).
тп~>оо
Теорема доказана.
) При этом мы здесь считаем, что 0•oc = 0•4-oo = 0• — оо = 0.
38.1. Кратные числовые ряды
565
Следствие. В предположениях теоремы ряд (38.2) сходится
тогда и только тогда, когда его частичные суммы ограничены.
Доказательство следствия очевидно.
Из двукратного ряда ((38.2) можно формально образовать два
так называемых повторных ряда. Для этого следует сначала про-
извести суммирование по одному индексу, зафиксировав другой,
а затем произвести суммирование по оставшемуся индексу:
оо оо
2 2 итп’
m=i п=1
(38.8)
Аналогично доказанной теоремы о повторных пределах (см.
теорему 1 п. 19.1) доказывается следующая теорема.
Теорема 3. Если сходится двойной ряд (38.2) и сходятся
оо оо оо
ряды 2 итп для всех п= 1» 2.....то повторный ряд 2 2 итп
т= I п= I tn= I
также сходится и его сумма равна сумме данного ряда (38.2).
Определение 6. Ряд (38.2) называется абсолютно сходящимся,
если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов,
т. е. ряд
I Чщп I-
, п=1
(38.9)
Теорема 4. Если ряд (38.2) абсолютно сходится, то сходится
и любой ряд (однократный, двукратный или повторный), получен-
ный перестановкой членов данного ряда (в частности, сходится и
сам заданный ряд). При этом сумма любого такого ряда совпадает
с суммой исходного ряда (38.2).
Доказательство. Расположим члены ряда (38.2) в бес-
конечную прямоугольную матрицу, поместив в т-ю ее строчку
члены ряда с данным фиксированным первым номером т, распо-
ложенные по возрастанию второго индекса п:
U11 П12 W13 ... и1п...
W21 Н22 Н23 ••• U2n--'
llml llm2 итЗ ••• Utnn-
566
38. Кратные ряды
Занумеруем теперь элементы этой таблицы согласно следующей
схеме:
Член ряда (38.2), получивший при такой нумерации номер k,
обозначим vh. Рассмотрим ряд
2 vh (38.10)
k=\
и покажем, что он абсолютно сходится, т. е., что сходится ряд
оо
2 Ы- (38.11)
Л=1
Обозначим частичные суммы ряда (38.9) через Smn, его сумму —
через S*, а частичные суммы ряда (38.11) — через S/e. Прежде
всего заметим, что для любой суммы S*k найдутся такие номера m
и п, что все члены ряда (38.11), входящие в сумму S*, войдут и в
сумму S*mn, тогда
Sk Smn S •
Отсюда и следует (см. п. 35.4) сходимость ряда (38.11).
Из абсолютной сходимости ряда (38.10) следует, что и любой
другой однократный ряд, составленный из членов ряда (38.2), также
сходится и его сумма равна сумме ряда (38.10) (см. п. 35.6). Пусть
оо
ы
Покажем теперь, что любой двойной ряд
т. п=1
(38.12)
полученный некоторой перенумерацией двойными индексами чле-
нов данного ряда (38.2), сходится и что его сумма также равна S.
Обозначим частичные суммы ряда (38.12) через Smn, а частичные
3R.I. Кратные числовые ряды
567
суммы ряда (38.10) через Sh. Пусть фиксировано число е>0.
В силу сходимости ряда (38.11) существует такой номер /?е, что
со
2 М<у> (38.13)
тогда и подавно
ls-4l=
/ е
2
(38.14)
Выберем номер Ns так, чтобы частичная сумма SN N ряда
(38.12) содержала в качестве слагаемых все члены ряда (38.10),
входящие в сумму Sk^. Пусть m > Ne и и > Ne. Положим
^тп — Smn
Тогда, используя (38.13) и (38.14), получим
IS-S™] = I S-S*eI +1I <в.
Итак, S является суммой любого ряда (38.12), в частности, сум-
мой самого ряда (38.2).
Покажем, наконец, что S является и суммой повторных рядов
(38.8). В самом деле, при любом фиксированном п
т0 оо
Следовательно, все ряды
оо
— 1, 2,
m== 1
сходятся, и притом абсолютно. Положим
оо
^тп'
т=1
(38.15)
Зафиксируем снова произвольное число е^>0. Выберем номер
kE так, чтобы выполнялось условие (38.13), а следовательно, и ус-
ловие (38.14). Далее, подобно тому как это было сделано выше,
выберем номер Ne так, чтобы частичная сумма ряда (38.2)
содержала в качестве слагаемых все члены ряда (38.10), входящие
в сумму Sfte- Тогда при всехт>Л/е и n>N&
568
§ 38. Кратные ряды
Переходя в этом неравенстве к пределу при т->оо, получим
(см. (38.15))
п
1=1
Отсюда в силу (38.14) следует, что при п>Кг выполняется нера-
венство
п
+|Sfee—S|<^e.
Это и означает, что
U-nm 2' Un
n~ 1 ni= 1 n= 1
Теорема 4 доказана.
\ нражнение 1. Обобщить критерий Коши сходимости однократ-
ных рядов на случай кратных рядов.
38.2. Кратные функциональные ряды
Определение 7. Ряд вида
У ... nk (х),
.... nfc=l
(38.16)
где функции uni...nk(x) определены на некотором множестве Е,
называется k-кратным функциональным рядом, а суммы вида
тх, .
Smt ... ~ У ...
.... п, = 1
к
— его частичными суммами.
38.2. Кратные функциональные ряды
Б69
Определение 8. Ряд (38.16) называется сходящимся на множестве
Е, если при каждом фиксированном х0£ Е сходится кратный число-
вой ряд
оо
2
....nfe“l
Un
nk Uo)-
Если ряд (38.16) сходится на Е, то функция
S(x) = 2 ип,...П/{(х), х£Е
....л*=1
называется его суммой.
На кратные функциональные ряды легко переносятся понятия
равномерной сходимости ряда, критерий Коши для равномерной
сходимости ряда, признак Вейерштрасса равномерной сходимости
и т. п. Мы не будем на этом останавливаться.
Упражнение 2. Определив понятие равномерной сходимости двой-
ного ряда, доказать, что если ряд (38.16) сходится равномерно и если его чле-
ны являются непрерывными функциями на множестве Е с то и сумма
ряда (38.16) является непрерывной на множестве Е функцией.
Определение 9. Ряды вида
2 с........Дх,-??’)"'... Ь.-?,?’)"•.
где cni...nk—комплексные числа, называются кратными степен-
ными рядами.
Хотя, как это видно из предыдущего, многие утверждения, спра-
ведливые для однократных рядов, обобщаются и на кратные ряды,
последние имеют и много своих специфических особенностей, су-
щественно отличающих их от однократных рядов.
В качестве примера приведем двойной степенной ряд, который
сходится лишь в двух точках плоскости, а именно в точках (0; 0)
и (1; 1). Таким образом, аналога теоремы Абеля для степенных рядов
(см. п. 37.1), во всяком случае в прямом смысле, для двойных рядов
пет. Этот пример показывает опасность использования аналогий,
не подкрепленных математическими доказательствами.
570
§ 38. Кратные ряды
Рассмотрим ряд
ОО
2 cmnxmyn, (38.17)
m. п— 0
где
С0. 0 = °’ С0п = Сп0 = «!-
Cmn = 0’ "I > 2, n > 2.
Его частичные суммы имеют вид
m п
Smn(x, у) = (1-у) 2^!л-й + у + (1-х)2/!/. (38.18)
*=1 1=2
Очевидно, что Smn(0,0) = 0 и Smn(l , 1) = 1, m, п = 1, 2,
и потому ряд (38.17) сходится в точках (0 , 0) и (1 , 1).
Заметим теперь, что радиус сходимости ряда
оо
У г.1 г"
п=1
равен нулю (см. ряд (37.6) п. 37.1), при этом его частичные суммы
Sn(z) — 2 k\zk, n=l, 2,...,
fe=t
при вещественных г^>0, очевидно, стремятся к +оо. Если же
г<0, то, объединяя попарно соседние члены, получим
S2n(z)= 2 (2й—1)11 г |2*—1 (2й | z |—1).
£=1
Отсюда видно, что при любом фиксированном г<^0 при
, 1 п 2k ।
выполняется неравенство S2n(z) >2 (2Уг—1)!|г|
г *=i
Легко убедиться аналогично случаю ряда (37.6) (см. п. 37.1), что
оо
РЯД 2 (2^—I)lz2ft“l расходится при всех z 0. Следовательно
*=i
lim S2n(z) = + оо, z<0.
П —
38.2 Кратные функциональные ряды
571
Из сказанного и из равенства (38.18) следует, что если
(х, у)=/=(0,0) или (х, у)=/=(1, 1), то, каково бы ни было число
в > 0 и каков бы ни был номер т, всегда можно подобрать
такой номер п, что
lsmn(*. У)1>е-
А это и означает, что ряд (38.17) расходится.
оо
Упражнение 3. Число S назовем суммой ряда У ипт, если для
п, т— I
любого s>0 существует такой номер Д', что | S — Snm | < е, если только
п 4- т > N. Выяснить, эквивалентны или нет это определение и определе-
ние 5 л 38 1