/
Author: Кудрявцев Л.Д.
Tags: анализ математический анализ функциональный анализ математика естественные науки издательство высшая школа
ISBN: 5-06-001452-5
Year: 1988
Text
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ
КУРС
математического
АНАЛИЗА
учебник
для вузов
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ
КУРС
математического
АНАЛИЗА
В ТРЕХ ТОМАХ
Том 2
Издание второе,
переработанное и дополненное
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
физико-математических и инженерно-физических
специальностей вузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1988
ББК 22.16
К 88
УДК 517 (0.75.8)
Рецензент: проф. В. А. Ильин (зав. кафедрой общей математики
факультета вычислительной математики и кибернетики Московского
государственного университета им. М. В. Ломоносова)
Кудрявцев Л. Д.
К88 Курс математического анализа: Учеб, для студентов
физико-математических и инженерно-физических специ-
альностей вузов. В 3 т. T. 2. — 2-е изд., перераб. и
доп.— М.: Высш, шк, 1988.— 576 с.: ил.
ISBN 5 -06 001452— 5 (т. 2)
Во втором томе содержатся теория рядов, интегральное и дифференциальное
исчисления функций многих переменных, теория дифференцируемых отображений
для конечномерных пространств.
По сравнению с первым изданием (1981 г.) более полно изложены теория
поверхностей, а также теория криволинейных и поверхностных интегралов
1702050000(4309000000) — 446
К------------------------------38 — 88
001(01) —88
ББК 22.16
517.2
Учебное издание
Кудрявцев Лев Дмитриевич
Курс математического анализа
Том 2
Зав. редакцией учебно-методической литературы по физике и математике
Е. С. Гридасова. Редактор Ж. И. Яковлева. Художник В. И. Казакова. Художест-
венный редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор А. К. Нестерова.
Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 6759
Изд. № ФМ-8906 Сдано в набор 21.12.87. Подп. в печать 22.07.88.
Формат OOxSS’/ie,. Бум. кн.-журн. Гарнитура тайме Печать офсетная
Объем 35,28 усл. печ. л. + форзац 0,25 усл. печ. л. 35,77 усл. кр.-отт. 30,87 уч.-изд.
л. + форзац 0,37 уч.-изд. л.
Тираж 65 000 (1-й завод 1—30 000) экз. Зак. № 2135 Цена 1 р. 40 к.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени
МПО «Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. 113054, Москва, Валовая, 28.
ISBN 5—06—001452—5 (т. 2) © Издательство «Высшая школа»,
1981
ISBN 5—06— 000444—9 © Издательство «Высшая школа»,
1988, с изменениями
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
ГЛАВА IV
РЯДЫ
§ 34. Числовые ряды................................................. 8
34.1. Определение ряда и его сходимость ........ 8
34.2. Свойства сходящихся рядов 11
34.3. Критерий Коши сходимости ряда . . 14
34.4. Ряды с неотрицательными членами........................ 15
34.5. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.
Метод выделения главной части члена ряда . .. 19
34.6. Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицатель-
ными членами................................................. 23
34.7. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицатель-
ными членами 26
34.8* . Неравенства Гёльдера и Минковского для конечных и
бесконечных сумм . . 29
34.9. Знакопеременные ряды................................... 31
34.10. Абсолютно сходящиеся ряды. Применение абсолютно сходя-
щихся рядов к исследованию сходимости произвольных
рядов................................................ ..... 34
34.11. Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых
рядов........................................................ 42
34.12. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Теорема
Римана.............................................. . 43
34.13. Преобразование Абеля. Признаки сходимости Дирихле и
Абеля.................................................. 47
34.14* . Асимптотическое поведение остатков сходящихся рядов и
частичных сумм расходящихся рядов............... 52
34.15. О суммируемости рядов методом средних арифметических 57
§ 35. Бесконечные произведения.......... ................. 59
35.1. Основные определения. Простейшие свойства бесконечных
произведений............................................... 59
35.2. Критерий Коши сходимости бесконечных произведений 63
35.3. Бесконечные произведения с действительными сомножи-
телями .................................. ... 64
35.4. Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения 68
35.5* . Дзета-функция Римана и простые числа 71
§ 36. Функциональные последовательности и ряды..................... 73
36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов 73
36.2. Равномерная сходимость функциональных последовательно-
стей ........................................................ 77
36.3. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 84
36.4. Свойства равномерно сходящихся рядов и последователь-
ностей . 96 §
§ 37. Степенные ряды . . 105
37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда 105
37.2*. Формула Коши — Адамара для радиуса сходимости степен-
ного ряда................................................. 113
37.3. Аналитические функции................................. 115
37.4. Аналитические функции в действительной области . . 117
3
37.5. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы
записи остаточного члена формулы Тейлора.................. 121
37.6. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора 127
37.7. Методы разложения функций в степенные ряды ... 137
37.8. Формула Стирлинга................................... 146
37.9* . Формула и ряд Тейлора для векторных функций 149
37.10* . Асимптотические степенные ряды .... . . 151
37.11* . Свойства асимптотических степенных рядов......... 158
§ 38*. Кратные ряды........................................... 163
38.1. Кратные числовые ряды............................. 163
38.2. Кратные функциональные ряды ............. 172
ГЛАВА V
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕ-
РЕМЕННЫХ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих пере-
менных ..................................................... 175
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных . . 175
39.2. Формула конечных приращений для функций многих пере-
менных ................................................... 184
39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейло-
ра во всей области определения функции.................... 185
39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функ-
ций ...................................................... 188
39.5. Замечания о рядах Тейлора для функций многих перемен-
ных . . ......... ................ 192
§ 40. Экстремумы функций многих переменных . 192
40.1. Необходимые условия экстремума...................... 192
40.2. Достаточные условия строгого экстремума . . . 194
40.3. Замечания об экстремумах на множествах . . 201
§ 41. Неявные функции. Отображения.............................. 201
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением . 201
41.2. Произведения множеств . . . . . 208
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 209
41.4. Отображения........................... ....... 219
41.5. Векторные отображения................. .......... 228
41.6. Линейные отображения ... 229
41.7. Дифференцируемые отображения . 235
41.8. Отображения с не равным нулю якобианом. Принцип
сохранения области.........................................243
41.9. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором на-
рушаются условия единственности. Особые точки плоских
кривых........................ . . ............. 246
41.10. Замена переменных................................ 256
§ 42. Зависимость функций........................................260
42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависи-
мости функций ............................................ 260
42.2. Достаточные условия зависимости функций 261
§ 43. Условный экстремум...................................... 267
43.1 . Понятие условного экстремума........................267
43.2 . Метод множителей Лагранжа для нахождения точек услов-
ного экстремума .... 271
43.3 *. Геометрическая интерпретация метода Лагранжа 274
43.4 *. Стационарные точки функции Лагранжа................275
43.5 *. Достаточные условия для точек условного экстремума ... 281
4
ГЛАВА VI
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 44. Кратные интегралы . ......................286
44.1. Понятие объема в «-мерном пространстве (мера Жордана).
Измеримые множества . 286
44.2. Множества меры нуль .... 301
44.3. Определение кратного интеграла 305
44.4. Существование интеграла .... 311
44.5* . Об интегрируемости разрывных функций 317
44.6. Свойства кратного интеграла............................320
44.7* . Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу и их
следствия ................................................ 325
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному.................... 332
45.1. Сведение двойного интеграла к повторному . . ... 333
45.2. Обобщение на «-мерный случай...........................341
45.3* . Обобщенное интегральное неравенство Минковского . . . 345
§ 46. Замена переменных в кратном интеграле........................346
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном слу-
чае ............................................. . . 346
46.2. Замена переменных в двойном интеграле . . ... 355
46.3. Криволинейные координаты.............................. 361
46.4. Замена переменных в «-кратном интеграле 364
§ 47. Криволинейные интегралы..................................... 366
47.1. Криволинейные интегралы первого рода . ..........366
47.2. Криволинейные интегралы второго рода ... 370
47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра
кривой...................................................... 375
47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым . . . 377
47.5. Обобщение понятия криволинейного интеграла второго ро-
да .................... . . . . 378
47.6. Формула Грина..........................................382
47.7. Вычисление площадей с помощью криволинейных интег-
ралов .......................................................388
47.8. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской
области......................................................389
47.9. Условия независимости криволинейного интеграла от пути
интегрирования . 393
§ 48. Несобственные кратные интегралы . 404
48.1. Основные определения.................................... 404
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций . 405
48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак . . 410
§ 49. Некоторые геометрические и физические приложения кратных
интегралов .... .......... 413
49.1. Вычисление площадей и объемов........................... 413
49.2. Физические приложения кратных интегралов . 415
§ 50. Элементы теории поверхностей.................................. 417
50.1. Векторные функции нескольких переменных 417
50.2. Элементарные поверхности.................................419
50.3. Эквивалентные элементарные поверхности. Параметрические
заданные поверхности ... ....... ............ 421
50.4. Поверхности, заданные неявно............................ 430
50.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности............430
5
50.6. Явные представления поверхности.........................436
50.7. Первая квадратичная форма поверхности...................440
50.8. Кривые на поверхности, вычисление их длин и углов между
ними......................................................... 442
50.9. Площадь поверхности.................................... 443
50.10. Ориентация гладкой поверхности . 446
50.11. Склеивание поверхностей............................... 450
50.12. Ориентируемые и неориентируемые поверхности . 453
50.13. Другой подход к понятию ориентации поверхности . 455
50.14. Кривизна кривых, лежащих на поверхности................458
50.15. Свойства второй квадратичной формы поверхности . . .461
50.16. Плоские сечения поверхности........................... 463
50.17. Нормальные сечения поверхности . 465
50.18. Главные кривизны. Формула Эйлера 467
50.19. Вычисление главных кривизн........................... .471
50.20. Классификация точек поверхности 473
§ 51. Поверхностные интегралы.................................... 477
51.1. Определение и свойства поверхностных интегралов .... 477
51.2. Формула для представления поверхностного интеграла второ-
го рода в виде кратного интеграла.............................481
51.3. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм 484
51.4. Поверхностные интегралы по кусочно-гладким поверхнос-
тям ..........................................................485
51.5. Обобщение понятия поверхностного интеграла второго ро-
да .......................................................... 486
§ 52. Скалярные и векторные поля . 490
52.1. Определения............................................490
52.2. Об инвариантности понятий градиента, дивергенции и
вихря ... ............ . . . 496
52.3. Формула Остроградского— Гаусса. Геометрическое определе-
ние дивергенции.......................................... 500
52.4. Формула Стокса. Геометрическое определение вихря ... 507
52.5. Соленоидальные векторные поля . . .........512
52.6. Потенциальные векторные поля . .........515
§ 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра.............. 519
53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непре-
рывность и интегрируемость по параметру.......................519
53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра . . 522
§ 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра..............525
54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегралов,
зависящих от параметра................................ . 525
54.2* . Признак равномерной сходимости интегралов . . . 530
54.3. Свойства несобственных интегралов, зависящих от пара-
метра ........................................................532
54.4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра,
к вычислению определенных интегралов .... . . 539
54.5. Эйлеровы интегралы .... 544
54.6. Комплскснозначные функции действительного аргумента 550
54.7* . Асимптотическое поведение гамма-функции . 554
54.8* . Асимптотические ряды.............................. . 559
54.9* . Асимптотическое разложение неполной гамма-функции . 563
54.10. Замечания о кратных интегралах, зависящих от пара-
метра . . .......... .................. . . 565
Предметно-именной указатель ... . . 568
Указатель основных обозначений....................................575
ПРЕДИСЛОВИЕ
Во втором томе «Курса математического анализа» рас-
сматривается общая теория числовых и функциональных
рядов, а также теория степенных рядов. Даются начальные
сведения об асимптотических рядах по отрицательным
степеням аргумента и более общим асимптотическим после-
довательностям. Кратко излагаются основы теории кратных
рядов.
По сравнению с первым изданием в курс включен раздел
о бесконечных произведениях и некоторых их применениях в
анализе.
Продолжено рассмотрение теории дифференциального
исчисления функций многих переменных, начатое в первом
томе. Здесь основное внимание уделено вопросам, которые
изучаются студентами на втором году обучения в высших
учебных заведениях (формула и ряд Тейлора, теория экстре-
мумов разных видов, неявные функции, зависимость функ-
ций, свойства дифференцируемых отображений).
После изложения элементов дифференциальной геометрии
поверхностей второй том завершается интегральным исчис-
лением функций многих переменных: рассматриваются крат-
ные интегралы Римана, криволинейные и поверхностные
интегралы, основы теории векторных полей, интегралы,
зависящие от параметра, в частности их асимптотические
разложения.
Разделы, посвященные гармоническому анализу и функ-
циональным пространствам, входившие в первом издании во
второй том, в настоящем издании в существенно расширен-
ном виде составляют содержание третьего тома.
Во втором томе нумерация глав, параграфов и рисунков
продолжает нумерацию первого тома.
ГЛАВА IV
РЯДЫ
§ 34. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
34.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЯДА И ЕГО СХОДИМОСТЬ
В настоящем параграфе понятие суммы обобщается на
некоторые случаи бесконечного множества слагаемых и изу-
чаются свойства таких обобщенных сумм. Многие из рассмат-
риваемых ниже вопросов справедливы не только для действи-
тельных чисел, но и для комплексных. Поэтому, в отличие от
предыдущего, в настоящей главе будем вести рассмотрение в
комплексной области.
Аналитическое выражение, имеющее формально вид суммы,
содержащей бесконечно много слагаемых, называется бесконеч-
ным рядом или, короче, рядом. Дадим строгое определение ряда
и его суммы.
Определение 1. Пусть задана последовательность комплекс-
ных чисел ип, п=\, 2, ... . Составим новую последовательность
чисел sn, п = 1. 2, ..., следующим образом:
s2 = u1 + u2,
Л'з = Wj + и2 -|- и^,
sn = u1+u2 + ... + un,
Пара последовательностей {ип} и {5И} называется числовым
рядом (подробнее: числовым рядом с общим членом ип) и
обозначается через
иг-\-и2-\- ...-\-ип-\-(34.1)
или
П= 1
(34.2)
Элементы исходной последовательности {ип} называются
членами ряда (34.1), а элементы последовательности {5„} — час-
тичными суммами этого ряда, при этом ип называется п-м
членом ряда, а конечная сумма sn — п-й частичной суммой ряда,
п=\, 2, ... .
8
Если последовательность частичных сумм ряда (34.1) схо-
дится, то он называется сходящимся рядом, а если она
расходится, то расходящимся.
Определение 2. Ряд, членами которого являются члены ряда
(34.1), начиная с (п+\)~го взятые в том же порядке, что и в
исходном ряде, называется п-м остатком ряда (34.1) и
обозначается через
00
X Uk или ип+1 + ип + 2 + ...
к = п+1
Определение 3. Если ряд (34.1) сходится, то предел
s = lim sn
и—оо
называется его суммой.
В этом случае пишут
S = U^-\-U2~\--.-~[-Un-\- ...,
ИЛИ
00
* = Е ип. (34.3)
п = 1
Таким образом, мы будем употреблять один и тот же
символ £ ип как для обозначения самого ряда (34.1), так и для
п = 1
обозначения его суммы, если он сходится
Если Ншлл = оо, или lim + со, или limsw= —оо, то
п—>00 п—-со п—»-00
соответственно пишут
оо оо со
Е U„ = CO, Е w„=+oo ИЛИ Е W„=—00.
и — 1 и = 1 п = 1
Итак, каждый ряд является парой двух последовательностей
таких, что первая может быть взята произвольной (последова-
тельность членов ряда), а вторая составлена определенным
образом из членов первой (последовательность частичных сумм
членов ряда). Однако ряд однозначно определяется каждой из
этих последовательностей. Действительно, если задана последо-
вательность членов ип ряда, то члены последовательности его
частичных сумм находятся, согласно определению 1, по
формулам sn = u1 + u2-y... + ип, п=1, 2, ... . Если же задана
последовательность частичных сумм ряда, то его члены
определяются по формулам u1=s1, un^=sn—sn_l, п = 2, 3, ... .
Отсюда следует, что для всякой последовательности всегда
можно найти такой ряд, что она будет последовательностью
его частичных сумм.
9
В самом деле, пусть дана последовательность комплексных
чисел {zn}. Положим
U1~Z17 U2 = Z2~ •••> Un = zn~~zn-1^> •••
и рассмотрим ряд
+ ^2 “Ь ••• “Ь ••• •
Тогда для его частичных сумм имеем:
sn = u1 + u2 + ... + un =
= z1+(z2-z1)+(z3-z2)+...+(z„-z„_1) = z„.
Это означает, что рассмотрение рядов эквивалентно рас-
смотрению последовательностей. Всякий вопрос, сформулиро-
ванный в терминах рядов, можно перефразировать в вопрос,
сформулированный в терминах последовательностей и наобо-
рот. Например, задача изучения сходимости рядов равносильна
задаче изучения сходимости последовательностей.
Подчеркнем, что всюду, где не оговорено противное, члены
рассматриваемых рядов подразумеваются комплексными.
Если п-й остаток ряда (34.1) (см. определение 2) сходится, то
его сумму будем обозначать через гп:
00
Г„= Е ик, (34.4)
к = п + 1
и называть для краткости просто остатком ряда.
Всякую сумму конечного числа слагаемых
Ч" ^1+^2+ •- + %
можно рассматривать как ряд, добавив к ней члены
UnQ+l = Ч + 2 = ---“0.
Сумма получившегося ряда, очевидно, будет совпадать с
заданной суммой, ибо при всех его частичные суммы
равны sno.
Если заранее неизвестно, содержит сумма конечное или
бесконечное число слагаемых, то иногда удобно в обоих случаях
называть ее рядом, считая, что конечная сумма является рядом
в вышеуказанном смысле.
Отметим одно существенное свойство сходящихся рядов.
Теорема 1 (необходимое условие сходимости ряда). Если
ряд (34.1) сходится, то
lim ип = 0. (34.5)
и—>00
Доказательство. Если ряд (34.1) сходится, то последо-
вательности его частичных сумм sn, п=1, 2, ..., и 5Л_15 п = 2, 3, ...,
10
очевидно имеют один и тот же предел, равный сумме s этого
ряда. Поэтому, замечая, что un = sn — sn_1, п = 2, 3, ..., имеем
limип= lim (sn —sn_^= lim^— lim^ ^ =0. □
n—*oo n—*00 n—*00 n—*00
С помощью теоремы 1 иногда удается установить расходи-
мость рассматриваемого ряда: если для данного ряда условие
(34.5) не выполняется, то он расходится.
Примеры 1. Пусть q — комплексное число и |#|<1. Тогда
ряд 1+^ + <72 + ^3 + ... + ^” + ... с членами un = qn, п = 0, 1, 2, ...,
образующими бесконечную убывающую геометрическую прогрес-
сию, сходится.
Действительно,
Si=1+<7 + 92 + - + ?>, = 1
1 _q"+1
l-q \-q
qn+x
и, так как lim------------=0, то
п—*ос 1 — Q
lim =
и—*оо 1 ~q
2. Ряд, члены которого образуют геометрическую прогрес-
сию, 1+# + <72 + #3 + .при |д|^1 расходится, ибо его
общий член un = qn не стремится к нулю: lunl = lql”^l.
3. Ряд 1 — 1 +1 — 1+ ... + (—1)л+1+ ... с членами ип = (—1)"+1,
л=1, 2, ..., расходится.
В самом деле, в этом случае
—0, /< = 1, 2, ..., + /с —О, 1, ...,
поэтому последовательность частичных сумм не имеет
предела.
Расходимость рассматриваемого ряда следует, конечно, и из
того, что все его члены по абсолютной величине равны единице,
и поэтому не выполняется необходимое условие (34.5) сходи-
мости ряда.
34.2. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Теорема 2. Пусть с — комплексное число. Если ряд ип>
п = 1
00
ипеС, сходится, то ряд £ си^ называемый произведением
п= 1
данного ряда на число с, также сходится и
СО 00
Е сип = с £ ип. (34.6)
п= 1 п =1
11
Эта теорема означает, что числовой множитель «можно
выносить за скобку» и в случае бесконечного множества
слагаемых, если они образуют сходящийся ряд. «Можно» в том
смысле, что справедливо равенство (34.6).
п п
Доказательство. Пусть sn= ик и s'n= сик- По
fc=l fc=l
условию, lim sn существует, поэтому, в силу очевидного
равенства s'n = csn, существует предел lim s'n и
И—00
lim s'n = с lim sn.
Согласно определению суммы ряда, отсюда сразу следует
(34.6). □
00 00
Теорема 3. Пусть ряды £ ип и £ vn сходятся; тогда ряд
п — 1 п = 1
00
£ называемый суммой данных рядов, также схо-
п= 1
дится и
00 00 00
Е (w«+r„)= Е ип+ Е vn- (34-7)
п= 1 п= 1 п= 1
Эта теорема означает, что сходящиеся ряды «можно
складывать почленно» (н-й член с я-м), «можно» в том смысле,
что справедливо равенство (34.7).
Доказательство. Пусть
п п п
sn= Е s»= Е vk и ст„= Е (uk+vk);
к= 1 к=1 к=1
тогда cn = sn-\-s'n, и так как lim sn и lim s'n, по условию,
п—*00 п—>-00
существуют, то lim также существует и
п—►ОО
lim ст„ = lim (s„+5^)= lim s„+ lim s'n.
H—*00 n—*00 n—*00 n—*00
Это равенство эквивалентно равенству (34.7). □
Пример. Найдем сумму ряда £ --+3 , сведя его к суммам
членов бесконечно убывающих геометрических прогрессий:
12
Теорема 4. Если ряд сходится, то любой его остаток
сходится. Если какой-либо остаток ряда (34.1) сходится, то и
сам ряд также сходится. При этом если
со т оо
5= X Uk, Sm= X Uk, Ут~
к= 1 к= 1 к = т+ 1
то
т’
Доказательство. Пусть sn = u1-Vu2-\- ^.. + ип. п=Л, 2, ...,—
со
частичные суммы ряда £ а s^n)==um+i + --- + ит+к—частич-
но 1
ные суммы его m-vo остатка:
Um+l+Um + 2^~ •’• + ит + к + •
Очевидно, что
sn = srn-]-s^l\ п = т + к, (34.8)
откуда при произвольно фиксированном т следует, что предел
lim sn существует тогда и только тогда, когда существует
п—* X)
lim sj;"0.
к—>оо
Иначе говоря, ряд сходится тогда и только тогда, когда
сходится некоторый его остаток rm = lim s (кт). Поскольку нату-
к—>оо
ральное число т было произвольным, первая часть теоремы
доказана.
Наконец, переходя к пределу в равенстве (34.8) при к-*со и
фиксированном т, имеем s = sm + rm, так как п = т + £-»со при
£->оо, a lim sn = s, Iirns[m)=rm. □
n—>00 к—>oo
Из этой теоремы следует, что отбрасывание или добавление
конечного чйсла членов к данному ряду не влияет на его
сходимость.
Из формулы s = sm-\-rm, очевидно, следует, что если ряд
сходится, то его остаток стремится к нулю:
lim rm = lim (5 —л^) = 0.
т—>оо т—>оо
(34.9)
Отметим, что само собой разумеется, что условие (34.9)
нельзя принять в качестве определения сходящегося ряда, так
как остаток ряда сам является рядом, и говорить о его
стремлении к нулю можно лишь уже зная определение
сходимости ряда.
13
34.3. КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ РЯДА
Критерий Коши сходимости последовательностей может
быть легко перефразирован применительно к рядам. Действи-
тельно, как известно (см. п. 4.7 и 23.3), для того чтобы
последовательность комплексных чисел {sn} была сходящейся,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого 8>0 существовал
такой номер пг, что для любых номеров п>щ и любых целых
р 0 выполнялось неравенство
I Sn + p~ Sn- 1 I <'£-
Для удобства использования этого критерия в случае рядов
мы пишем здесь разность sn+p — sn_1 вместо разности sn + p — sn,
которую писали раньше в п. 4.7. Это, конечно, не влияет на суть
дела. При этом, поскольку сумма 50 не определена, мы всегда
будем считать, по определению, что 5о = 0.
Если теперь под {sn} подразумевать последовательность
частичных сумм ряда (34.1), то
и сформулированный в этих обозначениях критерий принимает
следующий вид.
Теор ем а 5 (критерий Коши). Для того чтобы ряд £ ип
п = 1
сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого 8>0
существовал такой номер пг, что при любом п>пг и любом
целом р^О выполнялось неравенство
I un^~un+i + + (34.10)
Из критерия Коши сходимости ряда легко можно получить
снова необходимое условие (34.5) сходимости ряда. Действи-
тельно, в этом случае неравенство (34.10) выполняется для
любого р^О и, в частности, для /7 = 0. Поэтому для всех п>пг
имеем | ип\ <8, а это, в силу произвольности 8>0, и означает,
что lim ип = 0.
л—>00
Свойство (34.5) означает, что «общий член сходящегося ряда
стремится к нулю».
Примеры. 1. Рассмотрим гармонический ряд
и докажем, что он расходится (факт, установленный еще
Н. Оресмом).
Действительно, для любого и=1, 2, ... имеем 1 *
+ ...+^2и_
1-----“Ь-----7 + ... + -------- >
п п + 1 2л — 1
14
In 2л 2л 2л 2 ’
(34.11)
т. е. для любого п при 8 = - и р = п — 1 неравенство (34.10) не
выполняется.
Таким образом, из критерия Коши следует, что гармони-
ческий ряд расходится.
г» - 1
В гармоническом ряде его и-и член ип=- стремится к нулю
л
при п—^со. Таким образом, пример гармонического ряда
показывает, что условие стремления к нулю последовательности
членов ряда, являясь необходимым условием сходимости ряда
(теорема 1), не является достаточным.
Из рассмотренного примера следует также, что ряд
1+i+i+-+^+- (34.12)
2“ 3“ л“
при ос< 1 расходится. В самом деле, замечая, что при а<1 для
любого п = 2, 3, ... справедливо неравенство па<п. имеем, в силу
(34.11), неравенства
л“ + (л+1)“+ ”^(2л—1)“ л + (л+1)+ ”^2л+1 2
Поэтому в случае ряда (34.12) при ос<1 для любого п=1, 2, ...
при 8 = | и р — п — 1 неравенство (34.11) не выполняется и,
следовательно, в силу критерия Коши, ряд (34.12) при а<1
также расходится.
00
Задача 23. Доказать, что для всякого сходящегося ряда ап с
И=1
неотрицательными членами существует такая возрастающая бесконечно
большая последовательность {bn}, limZ?„= + co, bn^bn + 1, п=\, 2, что ряд
ОО 11 >С°
£ апЬп также сходится.
п - 1
34.4. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
В этом пункте рассмотрим ряды, все члены которых —
неотрицательные действительные числа.
Лемма 1. Пусть все члены ряда (34.1) неотрицательны:
л=1, 2, ...,
(34.13)
15
Для того чтобы этот ряд сходился, необходимо и достаточно,
чтобы существовала хотя бы одна сходящаяся подпоследова-
тельность последовательности его частичных сумм.
Действительно, из условия (35.13) следует, что
п+ 1
$п + 1 /2 + 41 + 1
к=1
т. е. последовательность частичных сумм {$„} рассматриваемого
ряда является возрастающей. Монотонная же последователь-
ность сходится в том и только в том случае, когда сходится
хотя бы одна ее подпоследовательность (см. замечание после
теоремы 3 в п. 4.5). □
Лемма 2. Для того чтобы ряд (34.1) с неотрицательными
членами сходился, необходимо, чтобы последовательность его
частичных сумм была ограниченной сверху, и достаточно, чтобы
была ограниченной сверху хотя бы одна подпоследовательность
{$„ } последовательности {.?„} его частичных сумм, причем если
5 = SUp {S„J,
к
то s является суммой ряда (34.1).
В самом деле, сходимость ряда означает сходимость
последовательности его частичных сумм, а всякая сходящаяся
последовательность ограничена, в частности ограничена сверху.
Таким образом, первая часть леммы справедлива и без
предположения неотрицательности членов ряда.
Однако в общем случае условие ограниченности даже всех
частичных сумм ряда (а не только некоторой их подпоследова-
тельности) не является достаточным для сходимости ряда, как
это показывает, например, пример 3, разобранный в п. 34.1.
Поэтому условие неотрицательности членов ряда существенно
для справедливости второй части леммы 2. Докажем ее.
Из неотрицательности членов ряда, как мы убедились при
доказательстве предыдущей леммы, следует, что последователь-
ность его частичных сумм—возрастающая. Поэтому, если
существует ограниченная сверху подпоследовательность {$Пк}
последовательности частичных сумм {sn} рассматриваемого
ряда, то она тоже возрастающая (как всякая подпоследователь-
ность возрастающей последовательности) и, следовательно (см.
теорему 3 в п. 4.5), сходится, причем
5 = sup {5 }= lim s
к к—*оо
Согласно предыдущей лемме, из сходимости подпоследова-
тельности частичных сумм следует сходимость ряда, т. е.
существование конечного предела lim sn, а так как предел
16
сходящейся последовательности совпадает с пределом любой ее
подпоследовательности, то
lim sn = lim s = s. □
л—>oci k—*oc
Из леммы 2 следует, что если ряд с неотрицательными
членами расходится, то последовательность его частичных сумм
не ограничена сверху и, в силу ее монотонности,
lim sn = + оо.
И—►ОС'
Поэтому для расходящихся рядов с неотрицательными членами,
согласно сделанному в п. 34.1 соглашению, пишут
У w„= + oo.
71= 1
Доказанные леммы по своей формулировке внешне напоми-
нают соответствующие утверждения для несобственных инте-
гралов (см. п. 33.3). Между сходимостью рядов с неотрицатель-
ными членами и сходимостью несобственных интегралов от
неотрицательных функций можно иногда установить и более
непосредственную связь. Для убывающих функций это сделано
в п. 34.7.
Пример. Рассмотрим теперь ряд (34.12) при ос> 1. Покажем,
что в этом случае он сходится. Возьмем сначала частичные
суммы этого ряда порядков и = 2Л—1, Л=1, 2, ..., объединив их
слагаемые в к групп, которые имеют следующий вид:
±+—J р=0, 1, £-1,
2'”' (г'Ч!)’ (2"+ 2)’ (2Р 1 —1)’’ F
т. е.
Заметив, что для каждого слагаемого р-й группы справед-
ливо неравенство
1 < 1
(2р + /и)'"'"2'”’
/и = 0, 1, 2Р—1,
и что в этой группе 2Р слагаемых, получим
+ 00
к < 1-I-2-L22 J- 4- 21-1 <V 1 1 2“'‘
*^2 —1 ' 2a ' 22a ' '' 2(/c l)a / 2(k~1)(a-1) 1 2“-1 — 1*
k=l 1 2“-1
Таким образом, последовательность частичных сумм 5,2^ _1
ряда (34.12) при а>1 ограничена сверху. Далее, в силу
положительности членов рассматриваемого ряда, последова-
тельность его частичных сумм возрастает. Поэтому существует
конечный или бесконечный предел limsw=s. Но тогда и любая
подпоследовательность {^j, в частности последовательность
{^2^-1}’ имеет тот же предел 5, а так как, по доказанному, эта
последовательность ограничена, то предел 5 конечен.
00 J
Отметим, что в случае а = 2 сходимость ряда У -у
п=1П
доказывается значительно проще. Действительно, для любого
п=1, 2, ... имеем
1
т. е. частичные суммы ряда £ — ограничены сверху и,
п=1П
следовательно, согласно лемме 2, он сходится. Отсюда для
любого а >2, в силу неравенства
п2 ’
и = 1, 2,
сразу следует ограниченность частичных сумм ряда £ —при а^2,
п=1 п
поэтому и его сходимость (подобный метод установления сходи-
мости ряда с неотрицательными членами рассмотрен в общем слу-
чае в следующем пункте). Таким образом, только из-за случая
1 < а < 2 пришлось применить выше более сложный способ оценки
00 1
частичных сумм ряда У —, ос> 1, для установления его сходим ости.
и=1,7“
Сумма ряда (34.12) при а>1 является, очевидно, функцией
от а. Эта функция называется дзета-функцией Римана и
обозначается греческой буквой Обычно ее аргумент обозна-
чают буквой 5. Таким образом,
, ч def 00 1
18
34.5. ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ ДЛЯ РЯДОВ
С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ.
МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ ЧЛЕНА РЯДА
Рассмотрим теперь признаки сравнения рядов, также по
своей форме весьма напоминающие соответствующие признаки
сходимости несобственных интегралов.
Теорема 6 (признак сравнения). Пусть
ип^0. vn^Q, п=\. 2, .
(34.14)
и
и„ = О(у„у\
Тогда, если ряд
п = 1
сходится, то сходится и ряд
Е мп’
(34.15)
(34.16)
(34.17)
а если ряд (34.17) расходится, то расходится и ряд (34.16).
Доказательство. Пусть выполнено условие (34.15).
Тогда существует такое о О, что
uk^cvk, к=\, 2, ... . (34.18)
Если теперь ряд (34.16) сходится, то, согласно лемме 2,
последовательность {.$•„} его частичных сумм ограничена, т. е.
существует такая постоянная М>0, что
л„= Е vk^M, л=1, 2, ... . (34.19)
к — 1
Обозначим через суп частичную сумму ряда (34.17). Тогда, в
силу неравенств (34.18) и (34.19),
п И
<^„ = Е ик^с Е vk = csn<cM; п=1, 2, ... .
/с=1 к=1
Согласно лемме 2, из ограниченности сверху частичных сумм
ряда (34.17) следует его сходимость. Итак, если ряд (34.16)
сходится, то ряд (34.17) также сходится.
Если же ряд (34.17) расходится, то и ряд (34.16) расходится,
так как если бы он сходился, то, по доказанному, сходился бы и
ряд (34.17), что противоречит условию. □
** В частности, un^vn. Объяснение обозначения О см. в п. 23.3.
19
Следствие. Пусть г„^0, п=1, 2, и
lim —=к,
п—-ос Vn
(34.20)
тогда:
1) если ряд (34.16) сходится и 0^к< + со, то ряд (34.17)
также сходится;
2) если ряд (34.16) расходится и Ос/с^ + оо, то ряд (34.17)
также расходится,
В частности, если un~vn (ип и vn эквивалентны, см. п. 23.3),
то ряды (34.16) и (34.17) сходятся или расходятся одновременно.
Из выполнения условия (34.20) для 0^/г<4-оо следует
существование такого и0, что если n>nQ, то
^<k+l, т. е. un<(k+l)v„,
а это означает, что
и„=О(уп).
Поэтому утверждение 1 следствия непосредственно вытекает из
утверждения 1 теоремы.
Из выполнения условия (34.20) для Q<k^+co следует, что
если зафиксировать такое к', что 0<к' <к, то существует номер
и0 = и0(£'), обладающий тем свойством, что если п>п$, то
~>к, т. е. vn<-un,
vn к
а это означает, что
vn = O(uJy
Поэтому утверждение 2 следствия непосредственно вытекает
из утверждения 2 теоремы. □
Примеры. 1. Пусть ип = ^^. Тогда п=1, 2, ..., и
так как ряд сходится (см. п. 34.1), то сходится и ряд
п = 1
00
Zsin 2 па
п= 1
ос
V1 1 11
2. Ряд > ----— расходится, так как---——, р= 1, 2, ..., а
Z_ji+v« 1+хА
п= 1
20
00
ряд ) как было показано (см. исследованиес ряда (34.12)),
/ J у/п
п= 1
расходится.
Приведем еще один способ доказательства сходимости
ряда (34.12), т. е. ряда
, при ос > 1, основанный на признаке
п= 1
сравнения рядов.
3. Рассмотрим ряд
п= 1
(34.21)
его члены положительны, и он сходится. В самом деле, для него
легко находятся его частичные суммы:
s = 1 ____1
(п-1)’-”
откуда следует, что lim sn = 1. Применив теперь формулу
«—►00
- тт ж 1
конечных приращении Лагранжа к функции на отрезке
[и—I, п], получим
1 _ 1
Следовательно,
1 1 _ ос-1 ^а-1
(л-!)*-1 ~n“ZT~(«-i+e)a
поэтому
Из этого неравенства, в силу признака сравнения рядов,
следует сходимость ряда (34.12), так как исходный ряд (34.21)
сходится.
Эффективность использования критерия сравнения для ис-
следования сходимости ряда зависит, конечно, от запаса «рядов
сравнения», т. е. рядов, о которых уже известно, сходятся ли
они или расходятся, и которые мы можем пытаться исполь-
зовать для исследования сходимости данного ряда.
21
Если в качестве «ряда сравнения» (34.16) взять ряд
и = 1
о котором уже известно, при каких ос он сходится, то из
теоремы 6 непосредственно следует справедливость следующей
теоремы.
Теорема 7. Пусть и=1, 2, ... . Тогда если ип = О^-^
и ос>1, то ряд
Z и>
п = 1
(34.22)
сходится; если же —=О(и^ и сх1, то ряд (34.22) расходится.
Следствие. Пусть lim паип = к, тогда:
1) если ос> 1 и 0 к < + оо, то ряд (34.22) сходится;
2) если ос^1 и 0</с^ + оо, то ряд (34.22) расходится.
В частности, если ип~\, то ряд (34.22) сходится при ос> 1 и
расходится при ос 1.
Если члены ип ряда (34.22) заданы с помощью форму-
лы, представляющей собой функцию от п\ которая имеет
смысл для всех действительных достаточно больших неотри-
цательных значений переменной п и, более того, являет-
ся «достаточно гладкой» функцией этой переменной, то для
практического применения теоремы 7 обычно бывает целесо-
образно разложить член ип с помощью формулы Тейлора по
1
степеням -.
п
Если главный член получившегося разложения имеет вид —,
№
то, беря в качестве ряда сравнения ряд
и применяя
п- 1
теорему 7, можно определить, сходится ли данный ряд или
расходится.
В известном смысле можно сказать, что этот метод
исследования сходимости ряда является наиболее удобным и
вместе с тем достаточно общим.
Примеры. Исследуем сходимость рядов, общие члены ип
которых задаются указанными ниже формулами.
1) w„=l — cos-. Очевидно, w„>0. Так как (см. замечание в
п
конце п. 13.3) cos х = 1 + О(х2),
х->0, и, следовательно,
то, в силу теоремы 7, ряд с общим членом ип сходится.
2) w„ = lncos-. Здесь п„<0. Вспомнив, что 1п(1 +х) = О(х),
х->0, и применив последовательно формулу Тейлора для
косинуса и логарифма, получим
м„ = 1п cos-=ln
п
п->со,
и поэтому, в силу теоремы 7, ряд с положительными членами
со 00
£ ( — ип) сходится, а вместе с ним сходится и данный ряд £ ип.
п=1 п= 1
п
1+tg-
3) w„ = ln---, п = 3, 4, ... . Имеем и„^0 и tg-=-+
л п п
1-tg-
п
1
п
п^>сс, поэтому
1 / 1 I Л. | 1 4- 7С | л . Л / . Л | 2л
г/л = In I 1 +tg- —In 1 -tg- =2tg-+fl tg- =—+o
\ n / \ n ' ” 1 M '
1
п / п \п
п
Таким образом, ип
2л
—; так как
п
ряд
расходится, то
п=1
расходитсия и ряд
1+tg-
п
/ 1 . к
34.6. ПРИЗНАКИ ДАЛАМБЕРА И КОШИ
ДЛЯ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Иногда оказываются полезными некоторые специальные
признаки сходимости ряда. Отметим среди них так называемый
признак Даламбера** и признак Коши, непосредственно полу-
*} Ж. Даламбер (1717—1783) — французский философ и математик.
23
чающиеся из признака сравнения, если в качестве ряда
сравнения взять соответствующим образом выбранную геомет-
рическую прогрессию.
Теорема 8 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положи-
тельными членами
ип, ип>0, и = 1, 2, ... . (34.23)
п = 1
Тогда:
1) если существуют такое число q, 0<#<1, и такой номер
п0, что для всех п^п0 выполняется неравенство
то данный ряд сходится;
2) если существует такой номер п0, что для всех n^nQ
выполняется неравенство
то данный ряд расходится.
Доказательство. Пусть 0<#<1 и пусть существует
л;кой номер и0, что при п^п^
ип+1
---т. е. un+1^qun.
ип
Тогда
и„ +1 и„ q,
«о + 1 по 4
ип0 + р ип0 + р- 1 Я
ип qp,
п0 'I >
и так как ряд unQq + unQq2 ... + unQqp являясь суммой
бесконечной убывающей геометрической прогрессии со зна-
менателем q (0 <<?<!), сходится, то, по признаку сравнения,
сходится ряд
%+1 +% +2 +•♦• + % + ?+•••>
а следовательно, и исходный ряд (34.23).
Если же существует такое я0, что для всех п^п$ выполняется
неравенство то
ип
UnQ+l^Un0>
Un0 + 2^Un0+l Un0>
24
и так как, по предположению, w„o>0, то п-й член ряда, будучи
ограничен снизу положительной постоянной, не стремится к
нулю. Следовательно, не выполняется необходимое условие
сходимости ряда (см. теорему 1 этого параграфа), поэтому ряд
(34.23) расходится. □
Следствие. Пусть существует lim ^2. = /. Тогда если 7<1,
«-оо Un
то ряд (35.23) сходится, а если 1>\, то ряд (34.23) расходится.
Это вытекает непосредственно из доказанной теоремы.
В качестве примера рассмотрим ряд / —. Здесь ип = — и
/ J п\ п\
п= 1
lim^i=lim------= 0, поэтому, согласно следствию теоремы 10,
и->оо ип п->со W+ 1
данный ряд сходится. Его сходимость, конечно, можно устано-
вить и сравнив его, например, со сходящимся рядом
Более содержательные примеры на применение признака
Даламбера даны в дальнейшем (см., например, п. 36.1).
Теорема 9 (признак Коши). Пусть дан ряд
£ и„, и„^0, п= 1, 2, ... .
п= 1
(34.24)
Тогда:
1) если существуют такое q, 0^д<1, и такое п0, что для
всех п^п0 выполняется неравенство
то данный ряд сходится;
2) если существует такой номер п0, что для всех п^п0
выполняется неравенство
то данный ряд расходится.
Доказательство. Если при п^п^ yfun^q, т. е. un<ql\ то,
по признаку сравнения, ряд (34.24) сходится, так как ряд £ qn
п= 1
при 0 < q < 1 сходится.
Если же то ип^\ и, следовательно, ряд (34.24)
расходится (см. теорему 1). □
25
Следствие. Пусть существует
lim =
п->сс
Тогда, если /<1, то ряд (35.24) сходится, а если />1, он
расходится.
Доказательство следствия очевидно,
ос
V"1 1 /— 1
Рассмотрим ряд > —. Так как lim !^/w„ = lim-=0, то,
/ J и-юо и-»оо п
п = 1
согласно следствию из теоремы 9, данный ряд сходится. Его
сходимость легко устанавливается и с помощью теоремы 7.
Замечание. Если о ряде £ ип, ип>0, п=\. 2, ..., известно
п= 1
лишь, что
или
/7—>00 П—^СС
(34.25)
то ничего определенного о его сходимости сказать нельзя: ряд
может как сходиться,
так и расходиться. Например, ряды
удовлетворяют обоим
расходится, а второй
п= 1 п =1
условиям (34.25), однако первый из них
сходится.
34.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДОВ
С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Если для данного ряда (34.1) удается подобрать функцию,
определенную при х^1 и такую, что f(n) = un, то при
определенных условиях по сходимости или расходимости
интеграла
+ 00
J f(x)dx
1
можно судить и о сходимости или расходимости ряда (34.1).
Теорема 10 (интегральный признак сходимости рядов). Если
функция f(x), определенная при всех х^Л, неотрицательна и
убывает, то ряд
00 -
I /(«) (34.26)
п= 1
26
сходится тогда и только тогда,
когда сходится интеграл
+ сю
J f(x)dx.
1
(34.27)
Прежде
Доказательство.
всего заметим, что. в силу моно-
тонности функции /’ на проме-
жутке [1, + со), она интегрируе- Рис- 155
ма по Риману на любом конеч-
ном отрезке [ 1, т| ] и поэтому имеет смысл говорить о
несобственном интеграле (35.27).
Если k^x^k-\-\, то, в силу убывания функции Дл) (рис.
/(/c)^/(x)W+l), к=\, 2, ...;
Рис 156
п п + 1
поэтому, интегрируя по от-
резку \к, /с+lj, будем
иметь
к+ 1
f(k)> f f(x)dx^f(k+\),
к
z к=1, 2, ... .
Суммируя эти неравенства
от к=Л до к=п (рис. 156),
получим
Е f f(x)dx^ ЕДЛ+1),
к=1 1 /с — 1
и, полагая
•>.= Ё ,/(*).
к= 1
будем иметь
«=1, 2, .... (34.28)
Если интеграл (34.27) сходится, то, в силу леммы 1 п. 33.3,
при любом п=\. 2, ...
п + 1 + ос
J f(x)dx^ J f(x)dx.
1 i
Отсюда и из неравенства (34.28) следует, что
+ 00
•Уи+1 </(!)+ f f(x)dx,
1
27
т. е. последовательность частичных сумм ряда (34.26) ограни-
чена сверху, а значит, согласно лемме 2 п. 34.4, этот ряд
сходится.
Если ряд (34.26) сходится и его сумма равна 5, то, согласно
той же лемме, хп^х для всех п=1, 2, ..., и, следовательно, в силу
неравенства (34.28), для всех п=1, 2, ...
п+ 1
J f(x)dx^s.
1
Если теперь то, беря п так, чтобы получим, в
силу неотрицательности функции /,
£ п
J f(x) dx^ J/(x) dx^s.
i 1
Итак, совокупность всех интегралов .J/(х) dx. £>1, ограни-
i
чена сверху, поэтому интеграл (3.27) сходится (см. лемму 1
п. 33.3).
Эта теорема часто значительно облегчает исследование
сходимости рядов, так как, если для данного ряда удается
подобрать соответствующую функцию /, а значит, свести
вопрос об изучении сходимости ряда к изучению сходимости
интеграла, то это дает возможность применить развитый в
предшествующей главе аппарат интегрального исчисления.
Примеры. 1. Рассмотрим снова (см. п. 34.3 и п. 34.5) ряд
(34.12)
с п-м членом ип — п а, и=1, 2, .... В данном случае при ос^О
функция /(х), указанная в теореме, подбирается легко:
+ 00
/»
ry. dx 1
Так как интеграл — сходится при а>1 и расходится при
1
1, то и ряд (3.1) сходится при ос> 1 и расходится при 1.
Расходимость ряда (34.12) при сх < 0 очевидна сразу — его
общий член не стремится к нулю, поскольку -^^1, а<0.
Эти факты были установлены в п. 35.3 другим методом (см. при-
меры 1 и 2). Как видно из изложенного выше, применение к изуче-
нию ряда (34.12) интегрального признака сходимости рядов зна-
чительно упростило задачу исследования сходимости этого ряда.
28
2. Рассмотрим ряд
1
(«4-1) 1п(и+1)
(34.29)
Этот ряд легко можно исследовать с помощью интегрально-
го признака сходимости: из того, что интеграл =
1
j у расходится, следует, что и ряд (34.29) расходится.
In 2
Сформулируем теперь простое, но часто полезное в прило-
жениях следствие из теоремы 10.
Если существует такое натуральное п0, что неотрицатель-
ная функция f убывает при x^nG, то ряд
00
X /(«)
и = ио
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
f f(x)dx.
"о
Этот случай сводится к рассмотренному в теореме заменой
переменного х=у + п0 — 1.
34.8*. НЕРАВЕНСТВА ГЁЛЬДЕРА И МИНКОВСКОГО
ДЛЯ КОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНЫХ СУММ
Пусть заданы числа (вообще говоря, комплексные) х1? ...,
1 11.
у19 ..., уп, 1 <р< +оо, и число а определяется равенством -+-= 1
р я
(см. п. 20.8 и п. 28.3*). Тогда справедливы неравенства
и / и \ 1/р / и \ 1/q
X X 1х.1р ( X Ы9
i = 1 \ i = 1 / \ i = 1 /
(неравенство Гёльдера) и
(п \l/p / п \ 1/р / и \ 1/р
Iki+^И < £ 1*.1₽ + Ш'
i = 1 / \ i = 1 / \ i = 1 / '
(34.30)
(34.31)
(неравенство Минковского).
Их доказательство проводится по той же схеме, что и в
случае соответствующих интегральных неравенств (см. п. 28.3*).
29
Л
Введем для краткости обозначения
ар bq
Применив неравенство (20.50) ab^—+—, Ь^О к
р ч
будем иметь
Ы Ы 1^1 .1 1л-Г
IMJNOIWI? я\\у\\1
Просуммировав эти неравенства по i от 1 до и, в силу (34.32)
1.1 1
и условия -+-=1, получим
р (1
п п п
откуда
Е 1^л1^П^11р1Ь’Нв;
i= 1
тем самым неравенство (34.30) доказано.
Неравенство Минковского (34.31) следует из неравенства
Гёльдера (34.30): из очевидного соотношения
п п п
Е k.+лГ^ Е к«1к+л1₽“1+ Е 1л1к+лГ-1,
i = 1 i = 1 i = 1
применив к каждому слагаемому в правой части неравенство
Гёльдера получим \1/Р/ „ \i/g
Е к+л1р^ Е klp Е к.+л1в(р'1) +
i=l \i=l / \i=l /
Е 1л-19
i=l
п \ 1/q
Е к+зМ9(₽_1)
1=1 /
Если левая часть равна нулю, то неравенство Минковского
очевидно справедливо: если же она не равна нулю, то, сокращая
(и \ llq
Z 1Х1-+Л-1Р ) и заметив, что
i=l /
-+-=1, q[p— 1)=Л получим неравенство (34.31). □
30
С частными случаями неравенств Гёльдера и Минковского
при p = q = 2 мы уже встречались раньше (см. формулы (18.2) и
(18.3)).
00 00
Для любых двух рядов £ хп, уп справедливы аналогич-
п=1 п=1
ные неравенства
00 / 0° \ 1/р / со \ 1/q
Е knKl<( Е ) ( Е 1к19) •
н=1 \и=1 / \и=1 /
(34.33)
(00 \ 1/р / 00 \ 1/р / 00 \ 1/р
Е кл+лГ Я Е К1Р + Е • (34.34)
п=1 / \и=1 / \И=1 /
Действительно, для всех частичных сумм одного и того же
порядка заданных рядов справедливы неравенства Гёльдера и
Минковского. Переходя в них к пределу при п->оо, мы и
получим неравенства (34.33) и (34.34).
Из доказанных неравенств следует, в частности, что если
ряды
00 00
Е Е
п=1 п= 1
00
сходятся, то ряд £ |*ик1 сходится, а если сходятся ряды
п= 1
00 00
Е К1₽, Е
п= 1 71= 1
00
ТО СХОДИТСЯ ряд Е lxn+/n|P-
п= 1
34.9. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
В этом пункте рассматриваются ряды с действительными
членами, знаки которых, вообще говоря, изменяются при
изменении номера; такие ряды называются знакопеременными.
Рассмотрим прежде всего знакочередующиеся ряды, т. е.
ряды, члены которых поочередно то положительны, то отрица-
тельны.
Теорема 11 (теорема Лейбница). Если
lim^ = 0 (34.35)
/?—>00
U
ип^ип+г>0, п=1, 2,
то знакочередующийся ряд
(34.36)
31
00
I(-i)"+4
п - 1
(34.37)
сходится. При этом любая частичная сумма sn ряда (34.37)
отличается от его суммы s на величину, меньшую следующего
члена ип+ р иначе говоря, абсолютная величина остатка ряда гп в
этом случае не превышает абсолютной величины его первого
члена, т. е.
kn|=k-sn|^wn+i-
Доказательство. Рассмотрим частичные суммы четного
порядка ряда (34.37)
2k
(-1)и+1ч
п = 1
Их можно записать в виде
^=(И1-«2) + (Из-«4) + - + (и2Ь-1-М2к), ^=1, 2, ....
В силу условия (34.36), выражения в круглых скобках неотрица-
тельны и поэтому s2k^s2k + 2, т. е. последовательность частич-
ных сумм четного порядка ряда (34.37) возрастает.
Замечая, что частичные суммы s2k можно записать также в
виде
S2k — U\ (U2 из) ••• (W2fc~2 U2k-lU2k К k—l, 2, ...,
и что выражения в круглых скобках, в силу условия (34.36),
неотрицательны, а и2к>0, получаем, что 52fc<w1, т. е. последо-
вательность ограничена сверху. Из возрастания и ограни-
ченности сверху последовательности {л’2/с} следует, что она
сходится:
lim s2k = s.
к-*х.
(34.38)
Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда
(34.37) стремятся к тому же пределу. Действительно,
S2k + 1 “ S2k “1“ U2k + 1 ’ /< — К 2, ..., (34.39)
и так как, согласно (34.35), limw2k+1=0, то, в силу (34.38) и
/<-->х
(34.39), имеем
lim + 1 (34.40)
А—х
Из (34.38) и (34.40) следует, что
lim sfJ = s.
32
Теперь отметим, что для ряда (34.37) справедливо неравенство
s2k^s^s2k-i> к=1, 2, .... (34.41)
Действительно, с одной стороны, уже было показано, что 5
является пределом возрастающей последовательности {s2k},
поэтому s2k^s. С другой стороны,
S2k+l~S2k-l~(U2k~U2k+l)^S2k-l’ к= 1, 2, ...,
т. е. последовательность {s2k_ t} убывает, и так как 5 является
пределом и последовательности {^-1} (см. (34.40)), то лОд-г
Из неравенства (34.41) следует
S S2k S2k + 1 s2k 112к + 1 ’
S2k-1 ~5^52к-1 ~S2k = ll2k^ А:= L 2, ...,
а это и означает, что для всех /2=1, 2, ... выполняется
неравенство |s—□
Если условия чередования знаков ряда и монотонности
выполняются не с первого члена, а лишь начиная с некоторого
номера ?70, то при выполнении условия (34.35), т. е. при
стремлении общего члена ряда к нулю, рассматриваемый ряд
будет также сходиться. Это следует из того, что отбрасывание
конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (см.
теорему 4 в п. 34.2).
В качестве примера рассмотрим ряд
00
п= 1
(34.42)
Его члены удовлетворяют, очевидно, условиям теоремы 11,
и поэтому он сходится. Замечая, что здесь лд ^-1 и 52 = |, для
суммы S ряда имеем оценку
1
2
5^1.
(34.43)
На ряды переносятся не все свойства конечных сумм.
Поясним это на примере того же ряда (34.42). Если
<(и1Л+1._1+1Л+1Л+..., (34.44)
ТО
2-2135
33
сложив почленно этот ряд с рядом (34.44), получим равенство
(34.45)
т. е. ряд, составленный из тех же членов, что и данный ряд
з
(34.44), взятых только в другом порядке, поэтому у 5=5, откуда
следует, что 5=0, что противоречит неравенству (34.43).
Несмотря на кажущуюся очевидность справедливости про-
веденных рассуждений, где-то совершена грубая ошибка. Под-
робный анализ причин, породивших эту ошибку, дан в одном из
следующих пунктов.
34.10. АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ.
ПРИМЕНЕНИЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
К ИССЛЕДОВАНИЮ СХОДИМОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ
В этом пункте снова рассматриваются ряды, члены ко-
торых. вообще говоря, комплексные числа.,
Определение 4. Ряд
00
I и„, ипеС, (34.46)
п = 1
называется абсолютно сходящимся, если ряд
00
Z \ип\ (34.47)
п= 1
сходится.
Применяя критерий Коши сходимости ряда к ряду (34.47),
получим: для того чтобы ряд (34.46) абсолютно сходился,
необходимо и достаточно, чтобы для любого о О существовал
такой номер чтобы для всех п>пг и всех целых р^О
выполнялось неравенство
п + р
k = n
Примеры. 1. Ряд
00
Zin . пп r
— sin—j-y абсолютно сходится, так как
п = 1
а ряд
п= 1
сходится.
34
2.
сходится он не
ных величин
Ряд
как доказано выше, сходится, однако
абсолютно, ибо ряд, составленный из абсолют-
его членов, т. е. гармонический ряд
расходится.
Теорема 12. Если ряд абсолютно сходится, то он и просто
сходится.
Доказательство. Пусть ряд (34.46) абсолютно сходится,
т. е. ряд (34.47) сходится. Тогда в силу необходимости
выполнения условия Коши для сходимости ряда (см. теоре-
му 5), для любого 8>0 существует такое д8, что для всех п>пг и
всех целых р^О выполняется неравенство
п + р
Е |мк|<е.
к = п
п + р п + р
Z ик X I uk I следует, что для всех
к — п к~п
Отсюда и из неравенства
номеров п>пъ и всех /2 = 0, 1, 2, ... выполняется неравенство
п + р
Е ик
к = п
8.
А это и означает, в силу достаточности выполнения условия
Коши для сходимости ряда, что ряд (34.46) сходится. □
Замечание. Следует иметь в виду, что свойство абсо-
лютной величины суммы не превышать сумму абсолютных
величин слагаемых остается справедливым и для сходящихся
рядов:
Е ип
п= 1
(34.48)
Это неравенство содержательно, когда его правая часть
конечна, т. е. когда рассматриваемый ряд абсолютно схо-
дится. В этом случае левая часть неравенства всегда име-
ет смысл, так как из абсолютной сходимости ряда следу-
ет и его обычная сходимость. Формально неравенство (34.48),
по принятому нами соглашению об употреблении симво-
ла + оо (см. п. 3.1 и 34.1), верно и для любого сходяще-
гося ряда, у которого ряд в правой части (34.48) расхо-
дится.
35
Для доказательства неравенства (34.48) в случае сходящегося
00
ряда X ип заметим, что для любого натурального т
п= 1
т
X Ц.
п= 1
kJ-
Переходя к пределу при т-»оо, получим неравенство (34.48).
Обозначим через
т — 1
(34.49)
ряд, составленный из тех же членов, что и ряд (34.46), но
взятых, вообще говоря, в другом порядке.
Теорема 13. Если ряд (34.46) абсолютно сходится, то ряд
(34.49) также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Доказательство. Пусть ряд (34.46) абсолютно сходится,
т. е. сходится ряд (35.47), и пусть сумма ряда (34.46) равна s:
00
5= X ип. (34.50)
и = 1
Покажем сначала, что ряд (34.49) также сходится и, более
того, что его сумма равна сумме ряда (34.46), т. е. s. Обозначим
частичные суммы ряда (34.46) через л„:
п
sn= X "t, п=\, 2, ...,
1
а частичные суммы ряда (34.49) — через s*m:
т
Sm= X Uk
k=l
И ПОЛОЖИМ
4 00 и
s= X ?„= X l«J’ и=1’ 2’ - •
й=1 к~1
Зафиксируем произвольно 8>0; тогда, в силу сходимобти
ряда (34.47), существует такой номер л?Е, что
X k„|=5-S„E<|,
и J- 1
следовательно, выполняется и неравенство
00 00
Е ип х
п = Пе + 1 п = и£ + 1 2
(34.51)
(34.52)
36
Выберем, далее, номер тъ так, чтобы частичная сумма sZz
ряда (34.49) содержала в качестве слагаемых все члены ряда
(34.46), входящие в сумму sn* (иначе говоря, номер тг таков, что
все члены ряда (34.46) с номерами, не превышающими ис,
имеют в ряде (34.49) номера, не превышающие ш£). Пусть
т mz. Положим
~sm $nz
Поскольку | sZ I не превышает сумму абсолютных величин
слагаемых, входящих в sZ, и так как номера этих слагаемых
больше, чем пг, а следовательно, все они содержатся в сумме
GO
Е |w„|, то, в силу (34.51), имеем
п - Mfc + 1
00
|£|< X |и„|<|. (34.53)
и = л£+1 2
Используя (34.52) и (34.53), получим при т^тг
к-41=к-(5„£+4*)1<к-^|+|4*1<|+|=Е.
Это и означает, что
Е um=s.
т — 1
Осталось доказать, что ряд (34.49) также абсолютно
сходится. Это сразу следует из только что доказанного
утверждения, если его применить к ряду (34.47). Действительно,
этот ряд, очевидно, абсолютно сходится (как и всякий
сходящийся ряд с неотрицательными членами) и поэтому,
00
согласно доказанному, ряд у |w*J, составленный из абсолют-
т — 1
ных величин ряда (34.49), не только сходится (что и означает
абсолютную сходимость ряда (34.49)), но, более того, его сумма
совпадает с суммой ряда (34.47). □
Теорема 14. Если ряд (34.46) абсолютно сходится и
00
с — какое-либо число, то ряд сип также абсолютно схо~
п = 1
дится.
Эго следует из критерия Коши сходимости рядов и
равенства
п + р п + р
Е lcwJ=kl X Ы-
к=п к~п
37
00 00
Теорема 15. Если ряды £ ипи £ vn абсолютно сходятся, то
п =1 п = 1
00
их сумма £ (w„ + t>w) также абсолютно сходится,
п— 1
Это следует из критерия Коши сходимости рядов и из
неравенства
и + р . п + р п + р
Е Е W+ Е Ы-
к = п • к = п к = п
Теорема 16. Если ряды
00 00
Е и™ и Е (34.54)
т =1 п=1
абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных
попарных произведений ит vn членов этих рядов, расположенных в
произвольном порядке, также абсолютно сходится. Если сумма
этого ряда равна s9 а суммы рядов (34.54) равны соответственно
s' и s", т. е.
00 00
Е ит = ^'. Е Vn = s",
т~1 п=1
то
s—s's". (34.55)
Короче говоря, утверждение теоремы означает, что абсолют-
но сходящиеся ряды можно перемножать почленно.
Доказательство. Покажем, что ряд, составленный из
всевозможных попарных произведений umvm членов рядов (34.54),
абсолютно сходится. Заметим, что если показать, что ряд из
этих произведений абсолютно сходится при каком-то их
порядке, то, согласно теореме 13, отсюда будет следовать его
абсолютная сходимость и при любом другом порядке членов.
Поэтому расположим произведения umvm в следующем конкрет-
ном порядке, удобном для доказательства теоремы. Для его
описания составим следующую таблицу попарных произведений
членов рядов (34.54):
u1vi ulv2 . . . uivn . . .
u2v1 u2v2 . . . u2vn . . .
Vi umv2 . . . umvn . . .
Составим из элементов этой таблицы ряд
UiV1 + + 1/2^2 + + —> (34.56)
в котором ее элементы расположены в порядке, показанном на
следующей ниже схеме, где на месте каждого произведения из
таблицы указан его порядковый номер как члена ряда (34.56):
38
Докажем, что ряд (34.56) абсолютно сходится, т. е. что
сходится ряд
| u1v11 +1 I +1 u2v214-1 I + ••• (34.57)
Для этого в силу неотрицательности его членов достаточно
доказать, что существует по крайней мере одна ограниченная
сверху подпоследовательность его частичных сумм (см. лемму 2
п. 34.4).
Положим
00 00 л и
§'= £ КЛ s"= £ s'"= £ s«= £ Ы
m-1 n= 1 k=1 k=1
и через s„ обозначим частичные суммы ряда (34.57). Тогда для
этих частичных сумм порядка п2 будем иметь
s 1 = \u1v11=5<5'5",
5 4 = I urvr I +1 Wjv21 +1 u2v21 +1 u2vt I =
= (I «1 I +1 U2 I) (I Vr I + I v2 I) = 5 25'2 5 '5 ",
...........................................
sn2 = I U1v1 | + ... + |w1a„| + ... + |w„vn| + ... + |M„r1 1 =
= (|W1 I + ... + I W„|) (I Vj 1 + ... + I V„ |) = 5 '„S
причем, в силу абсолютной сходимости рядов (34.54), в правых
частях этих неравенств стоят конечные величины.
Итак, подпоследовательность частичных сумм {s п2} ряда
(34.57) ограничена сверху, и, следовательно, он сходится. Это
означает абсолютную сходимость ряда (34.56) и любого ряда,
полученного произвольной перестановкой его членов (см.
теорему 13). Таким образом, любой ряд
£ umkvnt, (34.58)
к 1
составленный из всевозможных попарных произведений umvn
членов рядов (34.54), сходится, и притом абсолютно.
Для доказательства формулы (34.55) воспользуемся тем, что
сумма ряда (34.58) не зависит от порядка его членов, и снова
расположим их наиболее удобным способом; именно, рассмот-
рим снова ряд (34.56).
I
Обозначим через sn частичные суммы ряда (34.56) и положим
Sn У, ^к-
к=1 к=1
Аналогично тому, как это сделано выше, получаем
— + ... + Wn)(^i + — s'nS„.
(34.59)
Поскольку уже доказано, что ряд (34.56) абсолютно сходится,
следовательно, и просто сходится, то существует конечный
предел lim sn = s. Согласно же условиям теоремы, имеют место
равенства
lim s'n = s', lim s„ = s".
Поэтому, перейдя к пределу в равенстве (34.59) при я->оо,
получим s~s's", т. е. (34.55). □
Теоремы 13—16 показывают, что свойства абсолютно
сходящихся рядов во многом похожи на свойства конечных
сумм: величина суммы такого ряда не зависит от порядка
слагаемых, абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать
почленно и т. п. В следующем пункте будет доказано, что для
сходящихся рядов, не сходящихся абсолютно, эти свойства не
имеют места.
Замечание. В заключение этого пункта подчеркнем, что,
когда члены ряда комплексные или действительные, но меняю-
щие знак, вопрос о сходимости этого ряда нельзя решить
только с помощью определения порядка убывания «-го члена.
н - 1 п = 1
порядок при л-»оо, однако первый ряд расходится, а вто-
рой — сходится.
Более того, нетрудно привести пример двух рядов £ ип и
У2 vn, п-е члены которых эквивалентны (ип~ип, п=1, 2, ...), но
п = 1
один ряд сходится, а другой расходится.
В качестве таких рядов можно взять, например, ряд с «-м
членом
и ряд с 72-М членом
40
V =1------------------
" n («+ 1) In (n +1)
С одной стороны, здесь un~vn, п=Л, 2, так как
НГ. i
t„_ n (n+l)ln(n+l)_ j (-i)”+1n
u„ (—1)"+1 (n+l)ln(/!+l)’
и поэтому
lim —=1.
и-* co Un
С другой стороны, у un является рядом вида (34.37), поэтому
п-1
00
он сходится. Ряд же У, и„ расходится. В сам01М деле, если бы он
и= 1
сходился, то сходился бы и ряд
со ос
п = 1 п = 1
т. е. ряд (34.29), который, как мы видели, расходится.
Было бы ошибкой, однако, считать, что метод выделения
главной части годится лишь в случае рядов с действительными
членами, имеющими один и тог же знак. Метод выделения
главной части может с успехом применяться для выяснения
сходимости любых рядов. Суть этого метода в рассматривае-
мом случае основана на следующем замечании: пусть дан ряд
со
У ип. Если представить его члены в виде un==vn + wn, где ряд
п= 1
У wn сходится, то ряд У и„ сходится и расходится одновре-
п — 1 п - 1
менно с рядом У vn (почему?). Поэтому для исследования
н- 1
сходимости ряда У ип целесообразно попытаться представить
его члены, например, в виде un — vn + wn, так чтобы w =
при а > 1. Тогда, поскольку ряд У wn сходится (и даже
п~1
41
абсолютно), сходимость данного ряда сводится к исследованию
00
сходимости ряда £ vn. Этот прием, конечно, целесообразен в
п—>00
00
том случае, если получившийся ряд £ vn проще исследовать на
п = 1
сходимость, чем данный ряд (ср. с аналогичным исследованием
сходимости интегралов в п. 33.6).
Рассмотрим, например, ряд с общим членом
w„ = ln
Так как (см. замечание в п. 13.3)
In (1 +х) = х — у+0 (л3), х->0,
то
ип=-—~~——+О( — ), я-> + оо.
V" 2п \п2/
(—1)"+1 1 00
Положим vn=-—--------— и w„ = u„ — vn. Ряд У vn расходится
V п п= 1
как разность рядов, из которых один сходится, а другой
00
расходится. Ряд же £ wn сходится, и даже абсолютно, так как
п= 1
wn = O[ -г I, п-^сс.
\п2 J
00
Таким образом, данный ряд £ ип расходится, хотя его
п = 1
00
Z(-l)”+1 А -
-—i— и представляет собой сходящийся
п = 1
ряд. Тем самым эти ряды являются еще одним примером двух
рядов, члены которых образуют эквивалентные последователь-
ности и из которых один сходится, а другой расходится.
34.11. ПРИЗНАКИ ДАЛАМБЕРА И КОШИ
ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Если в случае числового ряда (34.1) ии^0, ипеС, п=\, 2, ...,
существуют такое q. О <q<\. и такой номер л0, что для всех
п п0 выполняется неравенство
42
I u«+11 A 7
или y\u„\^q,
I Un I
то, согласно признаку Даламбера, соответственно Коши (см.
п. 34.6),. данный ряд сходится, и притом абсолютно.
Если же существует такой номер и0, что для всех п^п0
имеет место неравенство
(34.60)
I I
или
(34.61)
то по признакам Даламбера и Коши можно лишь утверждать,
что в этом случае ряд из абсолютных величин членов ряда
00
(34.1), т. е. ряд £ \ип\. расходится, что лишь означает, что
п- 1
заданный ряд не сходится абсолютно.
На самом деле из (34.60) и из (34.61) следует, что данный
ряд (34.1) вообще расходится. Действительно, как видно из
доказательства признака Даламбера, соответственно признака
Коши, применительно к ряду £ \ип\ (см. теоремы 8 и 9 в
п— 1
п. 34.6) при выполнении каждого из условий (34.60) и (34.61) в
отдельности последовательность {|w„|} не стремится к нулю,
следовательно, не стремится к нулю и последовательность {ип},
т. е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда.
Полученные признаки расходимости ряда также обычно
называются признаками Даламбера и Коши.
34.12. СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ, НЕ СХОДЯЩИЕСЯ АБСОЛЮТНО.
ТЕОРЕМА РИМАНА
Если ряд сходится, но не абсолютно (такие ряды иногда
называют условно сходящимися), то, как ниже будет показано,
уже нельзя утверждать, что, переставив его члены в другом
порядке, получим сходящийся к той же сумме ряд. Парадокс в
конце п. 34.9 и объясняется этим обстоятельством: рассмотрен-
ный там ряд (34.45) отличался порядком членов от заданного
сходящегося, но не абсолютно, ряда (34.42), и поэтому нельзя
было утверждать, что его сумма также равна S’. Более того,
получившееся противоречие показывает, что это заведомо не
так.
Итак, сумма ряда зависит от порядка слагаемых, т. е.
коммутативный закон сложения не имеет места для не
абсолютно сходящихся рядов.
43
Если в данном ряде сгруппировать каким-либо образом его
члены, не нарушая их порядка, и сложить, то последователь-
ность частичных сумм получившегося ряда является подпосле-
довательностью частичных сумм исходного ряда. Поэтому если
исходный ряд сходится, то будет сходиться и вновь получен-
ный, причем суммы обоих рядов одинаковы. Однако если
данный ряд расходится, то второй ряд может сходиться.
Например, ряд 1 — 1 + 1 —1 + 1 — 1+ ... расходится. Объединив же
попарно его члены: (1 —1) + (1 —1) + (1—1) + ... получим сходя-
щийся ряд. Таким образом, вообще говоря, для рядов неверен и
ассоциативный закон сложения.
Рассмотрим некоторые свойства сходящихся, но не абсолют-
но, рядов с действительными членами. Пусть дан ряд
Е и„. (34.62}
л—1
Обозначим через uf, uj, и„, ... его неотрицательные члены:
а через — иГ, — — и„ , ... его отрицательные члены:
ип > 0, взятые в том порядке, в каком они расположены в ряде
(34.62). Рассмотрим ряды с неотрицательными членами
GO
Е (34.63)
п= 1
00
Е “»"• (34.64)
И— 1
Отметим, что если ряд (34.63) содержит лишь конечное число
членов, отличных от нуля, или ряд (34.64), все члены которого, по
определению, отличны от нуля, состоит лишь из конечного числа
членов, то начиная с некоторого номера все члены исходного ряда
(34.62) имеют один и тот же знак и, следовательно, его сходимость
равносильна абсолютной сходимости.
Таким образом, если ряд (34.62) сходится, но не абсолютно,
то оба множества {и„ } и бесконечные.
Лемма 3. Если ряд (35.62) сходится, но не абсолютно, то
оба ряда (35.63) и (35.64) расходятся.
Доказательство. Положим
п п
Е *«= Е i«ki>
k=1 (34.65)
п п
Sn Uk , Sn Uk .
к-1 к=1
Вее слагаемые последних трех сумм Sn, s„ и s~ неотрица-
тельны, поэтому последовательности этих сумм возрастают и,
следовательно, имеют конечные или бесконечные пределы.
44
Суммы s„ и sn можно представить в виде
sn = s^,-Sk, (34.66)
s„=s^+s^, (34.67)
п — т + к (34.68)
{тик зависят от п для данного ряда), при этом условие
стремления п к бесконечности равносильно одновременному
стремлению к бесконечности кит. Действительно, если бы при
и->оо номера т — т(п) (номера к = к{п)) не стремились бы к
бесконечности, то это означало бы, что в ряде (34.62) имеется
лишь конечное число неотрицательных (отрицательных) членов,
а в этом случае ряд (34.62) сходился бы абсолютно, что
противоречило бы условию леммы.
Обратное утверждение, чго при /с-->оо и т-*со имеет место
и-»оо, очевидно в силу равенства (34.68).
По условию, ряд (34.62) не сходится абсолютно, а это
означает, что
lim §п — + оо^ (34.69)
и-»оо
Поэтому, в силу равенства (34.67), по крайней мере один из
пределов
lim , lim s„ (34.70)
n->oc И->00
также равен +со. Но тогда из соотношения (34.66), в котором
частичные суммы sn стремятся к конечному пределу (ряд (34.62)
сходится), явствует, что и другой из указанных пределов (34.70)
также равен +оо. Это и означает, что ряды (34.63) и (34.64)
расходятся. □
Теорема 17 (теорема Римана). Если ряд (34.62) сходится, но
не абсолютно, то, каково бы ни было число А, можно так
переставить члены этого ряда, что сумма получившегося ряда
будет равна А.
Доказательство. Снова рассмотрим ряды (34.63) и
(34.64). Согласно лемме,
£ *4 = + оо, (34.71)
т~ 1
£«Г = +а). (34.72)
1
Пусть, для определенности, Л^О. Выберем из ряда (34.71)
подряд столько членов, чтобы их сумма превышала А и чтобы
меныпее число таких членов не обладало этим свойством, г. е.
их сумма была не больше А.
Точнее, выберем число так, чтобы
4-+... Н-> Л, (34.73)
45
причем в том случае, когда номер пг = 1 не удовлетворяет этому
условию, выбор п j произведем еще таким образом, чтобы при
этом выполнялось также и неравенство
и± +и2 + ••• + ипг-1 ^А. (34.74)
Существование номеров и19 для которых выполняется условие
(34.73), следует из условия (34.71); для того чтобы при этом
выполнялось и условие (34.74), надо взять наименьший из этих
номеров п р
Выберем теперь из ряда (34.72) подряд столько членов,
чтобы, вычтя их сумму из суммы уже набранных из ряда (34.71)
членов, получить значение, меньшее Л, и чтобы меньшее число
членов ряда (34.72) уже не обладало этим свойством.
Таким образом, выберем из ряда (34.72) п2 первых членов
так, чтобы
их + ... + wn+ — Ui —— и~ <А„
причем в том случае, когда номер п2 = 1 не удовлетворяет этому
условию, выберем п2 таким образом, чтобы при этом выполня-
лось еще и неравенство
и\ Т...Т1—Ui —... — и„2-
Существование такого номера п2 доказывается исходя из
(34.72), аналогично существованию номера
Снова выберем подряд из ряда (34.71) члены до некоторого
номера п3 так, чтобы выполнялось неравенство
и\ +...+£/+— Щ — ... — Un2-VUni + i + .^ + Un3> А
и (при п3 > пх + 1) неравенство
ui + ...А-и^—щ —... —+ Unx + i +
Продолжая этот процесс далее, получим ряд
ui A-... + Un —Ui — ... — ип A-Un + 1 + ... + и„+ —
+ L . (34.75)
Для последовательности его частичных сумм
•%’ Snl+n2’ ^п2+п2’> •••’ Snk + nk+1> •••> 2, ...,
в силу построения, выполняются неравенства
s„ >А, s„ <А, s„ +и >Л, ...,
причем отклонение от числа А каждой из указанных частичных
сумм $Пк+Пк+1 не превышает ее последнего члена:
(34.76)
Здесь через и± обозначена абсолютная величина члена ряда
(34.75) с номером ик + 1 и соответствующим верхним индексом
« + » или « —».
В силу сходимости исходного ряда (34.62), имеем
46
lim м„ = 0,
П->СС
и так как при Л->оо номер члена + i в ряде (34.62) также
стремится к оо, то
lim и^. =0.
fc+1
Поэтому из (34.76) следует, что
lim +и =А.
пк + пк+1
(34.77)
Если теперь взять любую частичную сумму sn ряда (34.75),
п>п1+п2, то, в силу конструкции этого ряда, всегда можно
найти такой номер к = к(п\ что будет иметь место либо
неравенство
с <С с <С v
"к + пк+1^ пк+1+пк + 2
либо неравенство
Snk + nk+i ^Sn^Snk + l+nk + 29
а поэтому из (34.77) следует, что и
1пп$л = Я. □
»-»ОС
Упражнение 1. Доказать, что если ряд (34.62) сходится, но не
абсолютно, то можно так переставить его члены, что полученный ряд будет
расходиться. В частности, можно сделать так, чтобы его сумма была равна
+ оо, —оо, а также и так, чтобы последовательность его частичных сумм не
имела ни конечного, ни бесконечного предела.
34.13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АБЕЛЯ.
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ДИРИХЛЕ И АБЕЛЯ
В этом пункте будут доказаны достаточные признаки
сходимости числовых рядов, пригодные и для рядов с
комплексными членами.
Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм
вида 1
S=+ а2Ь2 + ••• + апЬп. (34.78)
где ab bb /=1, 2, ..., и, — комплексные числа. Положим
#1=61, B2 = bi+b2. ..., Bn = bx +Ь2 + ... + Ьп‘,
тогда
Ь^ — В^, Ь2 = В2 — ВГ, Ьп — Вп — Вп_^
и
£ — агВг +а2 (В2 В +... + ап(Вп Вп_г}.
47
Раскрыв скобки и группируя по-новому члены, получим
равенство
5,=(О1-а2)51+(я2-«з)^2 + - + («п-1-аи)^я-1+^п-
Таким образом, окончательно имеем
Е aibi= Е (ai~ai+i)Bi+anBn' (34.79)
i=l 7=1
Это преобразование сумм вида (34.78) называется преобразова-
нием Абеля; оно является в известном смысле аналогом
интегрирования по частям. Эта аналогия особенно бросается в
глаза, если формулу (34.79) записать в виде
п п— 1
i = 2 i = l
Докажем с помощью преобразования Абеля лемму.
Лемма 4 (неравенство Абеля). Если
а^а1 + 1, z’=l, 2, ..., п—l,- (34.80)
или
a^ai + l. z=l, 2, ..., п — 14 (34.81)
l^ + ... + ^Д bteC, 2, ..., n. (34.82)
mo
f «Д ^(|й)| + 2|й„|). (34.83)
Действительно, согласно условиям (34.80) или (34.81), все
разности а, —«;+1 в формуле (34.79) одного знака, поэтому, в
силу формулы (34.79) и условия (34.82), имеем
Е atbi < Е'1а;~а(-1НД| + Ш|Вп|^
1=1 1=1
+ |«„| +
Важно обратить внимание на то, что в неравенстве Абеля
оценка рассматриваемой суммы дается через первый и послед-
ний ее члены и не зависит от числа слагаемых в этой сумме.
Из этих неравенств следует, что числа aif i—l, 2,.... п, действительны.
48
Теорема 18 (признак Дирихле). Пусть дан ряд
I апЬ„ (34.84)
п = 1
такой, что последовательность {ап} монотонно стремится к
нулю, а последовательность частичных сумм {Вп} ряда
Е Ьп’ hneC п=1, 2,
п= 1
ограничена; тогда ряд (34.78) сходится.
Доказательство. В силу ограниченности последователь-
ности {Вп}. существует такое число 2?>0, чго для всех
п=\. 2, ... . Отсюда следует, что для любого т? = 2, 3, ... и
любого целого р О
i=l
= |Д1+р-Вв_11^| + |<2Я (34.85)
Пусть задано е>0. Из условия lima„ = 0 следует существо-
вание такого номера пг, что для всех п>пг выполняется
неравенство
8
~6В
(34.86)
Теперь, применив неравенство Абеля (34.83) к сумме £ а^ где
п>пг, и приняв во внимание неравенства (34.85) и
получим
(34.86),
£ а^ ^2В(\ап\ + 2\ап+р
1 = п
отсюда, согласно критерию Коши, и следует, что ряд
сходится. □
В качестве примера
рассмотрим ряд
Прежде всего, если
л и а
Z2sm~ sm ка.
2 sin -
/с-1 2.
\ sin ла
Zj п
п- 1
а^2тит7, т = 0, ±1, ±2, ..., го
2 J
I
” /IX I
У cos I к — I а—cos (Ли— | а
I э / I э I
k—1
„ • а
2 sin -
2
(35.84)
(34.87)
49
и, следовательно,
1
cos-a—cos
2
a
t? + 1 . n
sm------a sin-a
2 2
a
2sm —
2
a
sin-
2
n
£ sin/roc
fc=i
Если же ос = 2кт, m = 0, ±1, ±2, то все члены сумм
п
£ sinAxx равны нулю, поэтому эти суммы при любом п равны
/с=1
нулю и, следовательно, ограничены. Таким образом, при всех a
п
суммы £ sin Zr а ограничены.
к=1
fl)
С другой стороны, последовательность < - > монотонно
[ п J
убывает и стремится к нулю, поэтому, по признаку Дирихле,
ряд (34.87) сходится при любом ос.
Аналогично ряду (34.87) исследуется ряд
cos и a
(34.88)
Так как при т = 0, +1, +2, справедливо
равенство
то для указанных а выполняется неравенство
п
£ COS А: ОС
к= 1
и, следовательно, по принципу Дирихле, ряд (34.88) сходится
при всех ос^2лт, т = 0, +1, + 2, ... . Если же ос = 2лт, т = ±1,
50
±2, то ряд (34.88) в отличие от ряда (34.87) расходится, так
как он превращается в гармонический ряд.
Заметим, что признак Лейбница (см. п. 34.9) следует из
признака Дирихле. Действительно, если в ряде
00
К-ПХ, (34.90)
п = 1
где ап^ап + 1>0, положить Ьп = (— 1)”, то, очевидно, суммы
bx + ... + b„ 77=1, 2, ..., равны нулю или единице и поэтому
ограничены и, значит, по признаку Дирихле, ряд (34.90)
сходится.
Из неравенства Абеля (34.83) можно получить еще один
признак сходимости ряда.
Теорема 19 (признак Абеля). Если последовательность {ап\
оо
монотонна и ограничена, а ряд Z ьп, Ь„еС, 77=1, 2, ..., сходится,
п = 1
то ряд (35.78) также сходится.
Доказательство. В силу ограниченности последователь-
ности {ап} существует такое число М>0, что для все т?=1, 2, ...,
выполняется неравенство | ап | М.
00
Пусть теперь задано 8>0. Из сходимости ряда £ Ьп следует
п = 1
существование такого номера 7?е, что для всех номеров п>пг и
всех целых р^О выполняется неравенство
к = 0
Поэтому для всех номеров п>пг и всех целых p^Q. согласно
лемме 4, справедливо неравенство
р
к = 0
В силу критерия Коши сходимости рядов, это означает, что ряд
(35.84) сходится. □
Отметим, что теорема 19 может быть получена и из
теоремы 18. Действительно, если выполнены условия теоремы
19, то, в силу монотонности и ограниченности последователь-
ности {ап}, существует конечный предел я = 1ппб/и и, следова-
и->оо
тельно, последовательность сп = ап — а, п = 1, 2, ..., монотонно
стремится к нулю. Последовательность же частичных сумм ряда
£ Ьп ограничена, так как этот ряд, по условию, сходится.
п= 1
51
Поэтому, согласно теореме 18, ряд £ сп^п сходится. Но
п— 1
00 ос
c„bn = anbn—abn и ряд £ abn=a £ Ьп также сходится. Следова-
п=1 и=1
тельно, как сумма двух сходящихся рядов сходится и ряд
00 00 00
Crfan “Ь X» ^П’
п= 1 п= 1 п = 1
Пример. Исследуем сходимость ряда
ю . Я к
V4 SinrttfCOS-
п = 2
00
Zsin.
----сходится согласно признаку
In In и
п = 2
тт *
Дирихле: последовательность ----- монотонно стремится к
In in п
нулю, а последовательность частичных сумм ряда £ sinrca
п — 2
ограничена (см. предыдущий пример). Последовательность же
cos-, п = 2, 3, ..., монотонна, поэтому, по признаку Абеля, ряд
п
(34.91) сходится при всех а.
34.14*. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОСТАТКОВ СХОДЯЩИХСЯ
РЯДОВ И ЧАСТИЧНЫХ СУММ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Подобно несобственным интегралам, для рядов бывает
нужно выяснить не только вопрос их сходимости, но в случае
сходимости ряда оценить ее скорость, а в случае расходимости
выяснить характер поведения его частичных сумм при возраста-
нии их номера.
В случае рядов вида
X Ж
п = 1
где /—неотрицательная убывающая функция, на подобные
вопросы иногда удается получить ответы с помощью метода,
примененного при доказательстве интегрального признака схо-
димости рядов (см. п. 34.7). Действительно, если ряд £ f(n)
п= 1
52
00
сходится, следовательно, сходится и интеграл f f(x)dx, то,
1
обозначив, как обычно, через гп остаток рассматриваемого ряда,
получим неравенство
оо оо к + оо
X Дк)^ £ f f(x)dx= f f(x)dx. (34.92)
k = n+l k = n+l к—1 n
Это и есть искомая оценка остатка ряда, показывающая, что
при л->оо этот остаток убывает не медленнее, чем интеграл
J f(x)dx.
Аналогично получается и оценка снизу для остатка ряда:
оо оо к +1 оо
гп= Ё Дк)> Ё f f(x)dx= f f(x)dx. (34.93)
/с = и + 1 к = n +1 к п +1
Если /(л)—неотрицательная убывающая функция при х>1,
то можно получить полезные оценки для частичных сумм ряда
00
£ /(«), не зависящие от того, сходится этот ряд или нет (а
п = 1
следовательно, и не зависящие от того, сходится или расходится
интеграл J f(x) dx).
i
Заметив, что
к+1
f f(x)dx^f(k)-f(k+l),
к
и просуммировав эти неравенства по к от 1 до п, получим
£ f(k)-Y f(x)dx^f(\)-f(n+l)<f(\).
к=1 1
Из приведенных неравенств следует, что последовательность
Ё Дк)~ f f(x)dx, n=l, 2, ...,
к=1 1
монотонно возрастает и ограничена сверху, поэтому стремится
к конечному пределу. Иначе говоря, существует такая постоян-
ная с, что
lim Ё Дк)~ f f(x)dx
L к=\ 1
(34.94)
Это равенство можно переписать в виде
53
п п + 1
Е/(&) = J /(х)dx + c+En, п=1, 2, (34.95)
к = 1 1
где lim£„ = O. Оно показывает, что если ряд Е /(«) расходится,
и—>со п=1
п
то его частичные суммы /(^) с точностью до бесконечно
к=1
п+1
малой последовательности растут так же, как J f(x)dx+c9
1
где с — некоторая постоянная.
п
Отсюда следует, что частичные суммы £ f(k) и интеграл
к = 1
и+1
J f(x)dx асимптотически равны при и->оо, т. е. их отношение
1
стремится к единице при п-+со:
E/(fc)~ f f(x)dx,
к = 1 1
Примеры. 1. Рассмотрим гармонический ряд
который,
п= 1
1 00
полагая /(%)=-, запишем в виде £ f(n).
Х п=1
Функция /(%) = -, х^1, удовлетворяет условиям теоремы 10,
и + 1
। дх
и, поскольку — = ln(/z+l), из доказанного следует, что
1
существует такая постоянная С, что
1+-+-4-...+—In(л +1) + С+еи, п—1, 2, ...,
где Нтел = 0. Эта постоянная С называется постоянной Эйлера.
п->со
Замечая, что 1п(и+1) —1п(и) = 1п^1+-^->0 при и->оо, в получен-
ной формуле можно заменить 1п(л?+1) на In и (при этом,
конечно, изменится и последовательность 8П, но она останется
бесконечно малой последовательностью):
54
1-F—Inn + C+8n, n=\, 2,
2 3л
(34.96)
Любопытно заметить, что до сих пор не удается выяснить
природу эйлеровой постоянной в том смысле, что неизвестно
даже, является ли она рациональным числом или нет.
Из формулы (34.96), очевидно, следует асимптотическое
равенство
1 +- +... +-~Inп, я—>оо.
2 п
00
2. Рассмотрим ряд , 0 < ос < 1.
к= 1
Возьмем функцию /(%)=-!, тогда
и + 1
” ^¥_(л+1)1’а-1
№ 1—a
1
Из (34.94) и (34.95) для
существует такая постоянная
данного случая следует, что
са, что
1
,1. 1 _(л+1)1~а-1
ля 1—а
+ са + 8„,
где lim 8П = О. Отсюда получаем асимптотическое равенство
п—“ОО
3. Рассмотрим сходящийся ряд
Л1 я
1 —а
Взяв снова в качестве функции / функцию — и замечая, что
+ 00
dx _ 1
(a—
п
в силу формул (34.92) и (34.93) получим
55
откуда
1 < V1 < 1
(a— 1)(n + 1)”~ 1 (a—
4. Рассмотрим ряд
(34.97)
Мы уже знаем, что этот ряд сходится и что его предел р/авен
числу е (см. пример 6 в п. 4.9):
е ‘ (34.98)
п - О
Оценим остаток гп этого ряда:
1
(Ш)[
(72 4-1)!
и + 2 (п -i- 2) (п -4- 3)
1 -4"------------у 4-..
«4-2 0? + 2)2
п 4-2 1
«!(>?+ I)2 п\ п
1 1
(к+1)! ]__.Х
п -г?
634.99)
Следовательно, если sn — частичная сумма ряда (34.98), то
<?==s„ + rn (34.100)
и, в силу неравенства (34.99), справедлива следующая оценка
погрешности при замене е на sn:
Таким образом, число е можно приближенно вычислять в
виде суммы
1+1
П 2!
1
'(« + 1)!
1
56
причем полученная оценка указывает точность получающихся
приближений.
Замечание. Если положить
def
е„ =гпп\п,
то из (34.99) получим
о<е„<1
и, следовательно, в силу (34.100),
11 1 А
e=i+71+31 + -+A+-^ 0<0„<1, л = 1,2.....(34.101)
1! 2! п\ п\п
Отсюда легко следует, что число е является иррациональ-
ным. Действительно, если бы е было рациональным числом:
е——, m<=N, то, в силу (34.101), было бы справедливо
п
равенство
™=1+1+1+...+1+Л_
п 1! 2! п\ п\п
откуда
и!7И-(1+1+^+...+^и!д = е„.
Но это равенство невозможно, так как слева стоит целое число,
а справа 0„, где 0 < 0„ < 1. □
34.15. О СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ
МЕТОДОМ СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
Иногда представляет интерес изучение расходящихся рядов,
т. е. рядов, частичные суммы которых не стремятся к
конечному пределу. Как было уже показано, подобные ряды
дают возможность получать асимптотические формулы (см. п.
34.14*, а также п. 37.10*). Изучение расходящихся рядов
целесообразно, в частности, в том случае, когда для них удается
определить надлежащим способом понятие суммы. Различные
методы определения сумм рядов называются методами сумми-
рования рядов. Метод суммирования ряда называется регуляр-
ным, если для сходящегося ряда его сумма, определенная по
этому методу, совпадает с обычной его суммой (в этом случае
говорят: регулярный метод суммирует сходящийся ряд к его
сумме).
57
Рассмотрим метод суммирования ряда средними арифмети-
ческими его частичных сумм. Пусть дан ряд
W1 + ^2 Т • • • 4“ Мп + • • •
и пусть
sn = uY + u2 + ... + un, п=\. 2, ...,
— последовательность его частичных сумм. Обозначим через <зи
среднее арифметическое первых п членов этой последователь-
ности:
о._‘У1+-У2 + — +5п
п
Определение 5. Ряд называется суммируемым методом
средних арифметических к числу <з, если последовательность
{ои} средних арифметических его частичных сумм сходится к <з:
lim =
п—>-00
Метод суммирования средними арифметическими является
регулярным методом суммирования, так как из того, что
некоторая последовательность {%„} имеет предел, следует, что
последовательность, составленная из средних арифметических
первых ее п членов:
Р1+х.2±:.-.-.+х"1 п=1, 2....
I п (
имеет тот же предел (см. пример 5 в п. 4.1).
С другой стороны, существуют расходящиеся ряды, которые
суммируются методом средних арифметических. Таким приме-
ром является ряд
1 - 1 + 1 - 1 + .... (34.102)
f 1 к
В этом случае 52/t = 0, s2k_1 = 1, с>2к=-, ст2и-1 £=h 2> ••••
Следовательно, lim о„=-, т. е. ряд (34.102) суммируется
и—оо
методом средних арифметических.
С применением суммирования рядов методом средних
арифметических мы встретимся в п. 55.6.
Задача 24 (признак Дюбуа-Рсймона сходимости ряда). Доказать, что ряд
<Х) 00
V апЬп (ап и hn комплексные числа) сходится, если ряд £ Ьп сходится, а ряд
п = 1 п = 1
£ (ап — ап+1) абсолютно сходится.
п= 1
58
00
Задача 25 (признак Дедекинда сходимости ряда). Доказать, что ряд У апЬп
п= 1
00
(а„ и Ьп — комплексные числа) сходится, если ряд £ (ап — ап+1) абсолютно
и= 1
00
сходится, lim ап — 0 и частичные суммы ряда У Ьп ограничены.
и—*00 ,
п= 1
§ 35. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
35.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ
ПРОИЗВЕДЕНИЙ
Аналитическое выражение, имеющее вид произведения бес-
конечного множества сомножителей, называется бесконечным
произведением. Дадим более детальное и строгое определение
этого понятия.
Определение 1. Пара последовательностей комплексных чисел
Ш и {рп}, где
Рп = а1а2-ап’ « = Г 2, (35.1)
называется бесконечным произведением и обозначается
00
Д“‘
(35.2)
Члены последовательности {ап} называются сомножителями
бесконечного произведения (35.2), а члены последовательности
{/?„} — его частичными произведениями (порядка п).
Если последовательность частичных произведений {/?„} имеет
конечный или определенного знака бесконечный предел р\
00
р= limрп= lim П ак, (35.3)
п—*00 п—*00
>
то этот предел называют значением бесконечного произведения
(35.2) и пишут
00
р = а1а2...ап... = П ап.
п= 1
Таким образом, аналогично случаю ряда, здесь одним и тем
же символом обозначают как само бесконечное произведение,
так и его значение, если оно существует.
59
Если хотя бы один из сомножителей бесконечного произве-
дения равен нулю, то и значение этого бесконечного произведе-
ния равно нулю:
00
П ап = °-
п = 1
Поэтому естественно предполагать, что все сомножители
рассматриваемых бесконечных произведений отличны от нуля.
Это всегда и будем делать в дальнейшем, не упоминая об этом
специально.
Особый интерес представляют бесконечные произведения,
значениями которых являются числа, отличные от нуля, так как
для них можно построить теорию, аналогичную теории сходя-
щихся рядов. Этим оправдывается следующее определение.
Определение 2. Бесконечное произведение называется сходя-
щимся, если оно имеет конечное значение, отличное от нуля.
В противном случае бесконечное произведение называется
расходящимся. Таким образом, бесконечное произведение назы-
вается расходящимся, если предел последовательности его
частичных произведений либо равен нулю, либо ±оо, либо не
существует. В частности, если
оо
- П ал = 0’
п = 1
00
то произведение Ц ап называется расходящимся к нулю.
п = 1
Примеры. 1. Бесконечное произведение
11-... 1...
сходится, и его значение равно 1. 2. Бесконечное произведение (-1)(-1)...(-1).. расходится, ибо для него рп = (— 1)", {(—1)”} не имеет предела. 3. Бесконечное произведение 1 1 4 И=1 \ р„ = п+1 и, следовательно, lim/?„= + « и—*00 00 / 4. Бесконечное произведение [J 1 1 - п= 1 \ 1 так как здесь рп = ~. • • а последовательность Л -- I расходится, так как п J Л -- 1 расходится к нулю,
60
5. Для бесконечного произведения
имеем
1-3 2’4 (п- 1)(/7 + 1)_ 1 /7+1
22 З2 /?2 2/7
Поэтому
lim рп=-,
П~-ОС 2
т. е. бесконечное
сходится и его
1
значение равно -.
* 6. Формулу Валлиса (см. пример 1 в п. 30.2)
я ,. . I / (2/?)!! V
- = 11Ш -------- ——---------
2 и_>оо 2/7+1 \(2/7—1)!!/
можно рассматривать как разложение числа в бесконечное
произведение:
тс _ 2 2 4 4 2/7 2/2
2”Т 3 3 5 ’2/7—! 2/7 + 1 ’
7. Покажем, что
бесконечное произведение
п= 1
1
е»
1+-
сходится, и найдем его значение Имеем
р”=-^
" П Гр
________—_____
/?+ 1 П + 1
где С—постоянная Эйлера (см. п. 34.14*), а {си} — бесконечно
малая последовательность, поэтому
00 1
П -Ц= limp„ = ec.
п=1 1+! И-»00
Если в бесконечном произведении (35.2) отбросить первые п
сомножителей, то получившееся бесконечное произведение
П (35.4)
к=1
называется н-м остаточным произведением.
61
Отметим простейшие свойства бесконечных произведений.
1°. Если бесконечное произведение сходится, то и все его
остаточные произведения сходятся.
Если какое-либо остаточное произведение сходится, то и
само бесконечное произведение сходится.
Эти утверждения легко доказываются аналогично соот-
ветствующей теореме об остатках ряда (см. п. 34.2).
Таким образом, для бесконечного произведения как отбра-
сывание конечного множества первых сомножителей, так и
присоединение конечного множества отличных от нуля первых
сомножителей, не влияют на его сходимость.
Упражнение !. Доказать, что как отбрасывание конечного множества
сомножителей не обязательно первых бесконечного произведения, так и
добавление конечного множества отличных от нуля сомножителей не влияют на
его сходимость.
2°. Если бесконечное произведение (35.2) сходится, то после-
довательность его остаточных произведений
00
П ап + к
(35.5)
имеет пределом единицу:
limgn=l. (35.6)
Доказательство. Если
П (35.7)
п= 1
ТО
оо j п + т
^<зГ5) lim П ап+к = ~ Нт П = Г
к = 1
Так как
Нт рп - /?/0,
л—ос (35.7)
ТО
lim qn = lim — = -= 1. □
п—*00 Н—*00 Рп Р
3° (необходимое условие сходимости бесконечного произве-
дения). Если бесконечное произведение (35.2) сходится, то
последовательность его сомножителей стремится к единице:
62
lim an = 1.
(35.8)
Доказательство. В самом деле, п = 2, 3, ...,
Рп-1
поэтому
lim ап= lim -^-=-= 1. □
и—»-ос и-^ссА-1 Р
Отметим, что выполнение условия (35.8), т. е. стремление
последовательности сомножителей бесконечного произведения к
единице, недостаточно для его сходимости. Это видно, на-
пример, из рассмотренных выше примеров 3 и 4, в которых у
расходящихся бесконечных произведений последовательности
сомножителей стремятся к единице.
35.2. КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ БЕСКОНЕЧНЫХ
ПРОИЗВЕДЕНИЙ
Установим необходимые и достаточные условия сходимости
бесконечных произведений.
Теорема 1 (критерий Коши). Для того чтобы бесконечное
произведение (35.2) сходилось, необходимо и достаточно, чтобы
для любого 8>0 нашлось такое п0, что для всех п>п0 и всех
т^О выполняется неравенство
Рп + т
Рп
(35.9)
Доказательство. Необходимость. Пусть бесконечное
произведение (35.2) сходится, тогда все п=\. 2, ..., и,
в силу необходимого условия сходимости (35.8), последова-
тельность {|р„|} ограничена снизу: существует такое чис-
ло с > 0, что
\рп\>с, л-1, 2, ... . (35.10)
Зададим произвольно 8>0. Из сходимости последователь-
ности согласно критерию Коши для последовательности,
следует, что найдется такой номер л0, что для всех номеров
п > л0 и всех т 0 выполняется неравенство
\рп+т- Р„1<С’Е, (35.11)
а тогда
т. е. выполнено условие (35.9).
63
Достаточность. Пусть выполнено условие (35.9). Тогда
для 8=1 существует такой номер и15 что для всех
выполняется неравенство
откуда
I Рпх I
Рпу + т
Рп.
1Рпг I "Т 2 |/>И1 |5
и, следовательно, последовательность {рп} ограничена, т. е.
существует такое о О, что
п = \, 2, ...
(35.12)
Зададим произвольно г>0. В силу условия теоремы,
найдется такой номер и0, что для всех номеров n>nQ и всех
будет выполняться неравенство
Рп + т
Рт
(35.13)
т. е.
\рп+т~рт\ < < е-
(35.13)^ (35.12)
Это означает, что числовая последовательность {/?„} удов-
летворяет критерию Коши сходимости числовых последователь-
ностей и, следовательно, сходится.
Покажем, что ее предел р — lim рп не равен нулю. Если бы он
п—►оо
был равен нулю, то, перейдя к пределу в неравенстве (35.13) при
т-*оо (и фиксировано), мы получили бы неравенство l^s, что
противоречит произвольному выбору 8>0. □
35.3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ СОМНОЖИТЕЛЯМИ
До сих пор все доказанные для бесконечных произведений
теоремы были справедливы независимо от того, являлись ли их
сомножители комплексными или только действительными чис-
лами. Перейдем теперь к изучению бесконечных произведений,
сомножители которых являются только действительными чис-
лами. В этом случае из необходимого условия сходимости (35.8)
бесконечного произведения (35.2) следует, что лее его сомно-
жители начиная с некоторого номера положительны. Согласно
же свойству 1° п. 35.1, отбрасывание конечного множества
64
сомножителей не влияет на сходимость бесконечного произве-
дения, поэтому дополнительное предположение о том, что все
сомножители бесконечного произведения положительны, не
будет ограничивать общности изучения сходимости бесконеч-
ных произведений с действительными сомножителями.
Взаимно обратную связь между бесконечными произведе-
ниями с положительными сомножителями и рядами устанав-
ливает следующее утверждение.
Теор е м а 2. Для того чтобы бесконечное произведение
со
П«„, а„>0, л = 1, 2. .... (35.14)
п= 1
сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
х 1па„. (35.15)
и —• 1
Если при сходимости ряда (35.15) 5 является его суммой, а
р — значением бесконечного произведения (35.14), то
p — es. (35.16)
Доказательство. В самом деле, если sn — частичная
сумма порядка п для ряда (35.15), а рп — частичное произведе-
ние того же порядка для бесконечного произведения (35.14), то
sn = Е ln«t = ln П ak = lnp„, п=1. 2, ....
k = 1 к = 1
а следовательно, pn = es*. Перейдя здесь к пределу при л-*оо,
получим формулу (35.16). □
При исследовании бесконечного произведения (35.2) часто
бывает удобным его сомножители ап представлять в виде
ап=\ +ип. л-1, 2, ... .
В случае сходящегося бесконечного произведения (35.2), в
силу его свойства 3° (см. п. 35.1), последовательность {лп}
является бесконечно малой.
Теорема 3. Если все ип, л—1, 2, ..., знакопостоянны (т. е.
все un^Q или все лл<0), то, для того чтобы сходилось
бесконечное произведение
00
, П(1+«Л (35.17)
п= 1
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
f (35-18)
п = 1
3-2135
65
Доказательство. Согласно необходимому условию схо-
димости бесконечного произведения (см. свойство 3° в п. 35.1) и
необходимому условию сходимости ряда (теорема I в п. 34.1),
из сходимости бесконечного произведения (35.17), так же как и
из сходимости ряда "(35.18), следует, что
lim ип = 0. (35.19)
П—-ОС:
Поэтому будем предполагать это условие выполненным.
Сходимость бесконечного произведения (35.17), согласно
теореме 1, равносильна сходимости ряда
Е ln(l+w„).
(35.20)
В силу же (35.19), имеет место эквивалентность
1п(1 + ип)~ип, и->оо,
и так как все ип одного знака, то, согласно признаку сравнения
рядов (см. следствие теоремы 6 в п. 34.4), ряд (35.20) сходится и
расходится * одновременно с рядом (35.18)). □
Отметим, что нами уже было непосредственно и очень
1 00 / Д
просто показано, что бесконечное произведение
расходится (см. пример 3 в п. 35.1). Из этого утверждения, в
00 1
силу теоремы 3, следует, что ряд ~ расходится,—еще одно
п=1П
доказательство расходимости гармонического ряда.
В случае знакопеременных ип имеет место следующее
достаточное условие сходимости ряда (35.17).
Теорема 4. Если сходятся ряды
со оо
Е«п> Е«- (35-21)
п=1 и=1
00
то бесконечное произведение PJ(l+wn) сходится.
п = 1
Доказательство. Прежде всего из сходимости рядов
(35.21) следует выполнение условия (35.19). А тогда, согласно
формуле Тейлора,
1п(1+и„) = и„-^и^ + о(и^, и—>со,
66
и, следовательно,
lim И„-1п(1+Ц„) = £
п—*оо ип 2
Из этого равенства, согласно признаку сравнения рядов,
явствует, что ряд
00
£ u„-ln(l+M„) (35.22)
п = 1
00
сходится, так как, по условию, сходится ряд £ и„. По условию,
п- 1
00
сходится и ряд £ i/„, поэтому из сходимости ряда (35.22)
п= 1
оо
следует и сходимость ряда £ ln(l+w„), что, в силу теоремы 2,
п = 1 '
означает сходимость бесконечного произведения (35.17). □
Примеры. 1. Произведение
сходится при х > 1 и расходится при х 1.
оо j
Согласно теореме 3, это следует из того, что ряд £ —
n = inX
сходится при х>1 и расходится при х<1.
2. Имеет место равенство Эйлера
П0+</")=^—1--------, 0<д<1.
«=* по-?2"’1)
п= 1
X 00
Произведения П О+я") и П(1—#2и г) сходятся, так как
п= 1 1
00 00
сходятся соответственно ряды £ qn и £ q2n~l (см. теорему 3).
п = 1 п = 1
Заметим еще, что в силу аналогичных соображений сходится и
бесконечное произведение
fio-rt
п = 1
а следовательно, в силу критерия Коши сходимости бесконеч-
ных произведений, выполняется условие
67
2п
lim П (1-?2*) = 1- (35.23)
n—*ОО fc = n+ 1
Теперь имеем
оо 2 л 2л 2Jt
П (1 +?”) = lim П 0 + ?*) = lim П 77 =
п=1 °°к=1 °°fc=l 1~Ч
2п
П (1-<72‘) .
— iim - - --t-1-- = --------------.
^ПО-^-1)*35'23^!!-?2"-1)
А=1 л=1
00
Упражнения. 2. Доказать, что, для того чтобы дл = 0, «„>0, п—\,
И— 1
2, необходимо и достаточно, чтобы
f 1па„=—со.
п = 1
со X'
3. Доказать, что если дл<0, п=\, 2, ..., и £ w„= —оо, то fj[ (14-мл) = 0.
л= 1 п = 1
ОО X
4. Доказать, что если ряд £ ип сходится, а ряд £ и„ расходится, то
л= 1 п= 1
П(1+«»)=о-
п— 1
да
5. Построить пример сходящегося бесконечного произведения []_ (1+мл), у
и = 1
да
которого ряд £ ип расходится.
л= 1
6. Построить пример сходящегося бесконечного произведения П(1+ч.),у
л= 1
да да
которого оба ряда £ ип и £ и„ расходятся.
Л— 1 Л=1
35.4. АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ БЕСКОНЕЧНЫЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Вернемся снова к изучению бесконечных произведений с,
вообще говоря, комплексными сомножителями. Подобно рядам
для бесконечных произведений вводится понятие абсолютной
сходимости.
Определение 3. Бесконечное произведение
П (1+«в) (35.24)
л = 1
называется абсолютно сходящимся, если сходится произведение
68
ПО+М- (35.25)
п = 1
Теор е м а 5. Для того чтобы бесконечное произведение
(35.24) абсолютно сходилось, необходимо и достаточно, чтобы
сходился знакопостоянный ряд
£1п(1+М, (35.26)
п= 1
а также необходимо и достаточно чтобы абсолютно сходился
каждый из рядов
00
£1п(1+м„) (35.27)
п — 1
U
00
£ и„. (35.28)
п= 1
Доказательство. Равносильность сходимости бесконеч-
ного произведения (35.24) и ряда (35.26) сразу следует из
определения абсолютной сходимости бесконечного произведе-
ния и из теоремы 3.
Из сходимости каждого из рядов (35.26), (35.27) и (35.28)
следует, что
lim ип = О,
п—>00
а при выполнении этого условия имеет место эквивалентность
ln(l+|w„|)~|l/„|~|ln(l+w„)|, п-+со.
Поэтому все ряды
ос ос оо
X Е I«Л X IН1+м")1
п = 1 п~ 1 п= 1
одновременно сходятся или расходятся. Это и означает, что
сходимость ряда (35.26) равносильна абсолютной сходимости
каждого из рядов (35.27) и (35.28). □
Замечание. Если сходится бесконечное произведение
(35.24), то сходится и бесконечное произведение
п
п = 1 1 ип
причем
00 1 1
П —-—•
-* J- I _L > / а
"=1 " П(М
и= 1
Это следует из того, что если рй, п— 1, 2, ..., является
частичным произведением порядка п бесконечного произведения
69
(35.24), то обратная величина — является частичным произве-
ди
дением того же порядка бесконечного произведения (35.29).
Бесконечные произведения (35.24) и (35.29) одновременно
сходятся абсолютно или нет, так как абсолютная сходимость и
того и другого произведения равносильна абсолютной сходи-
мости ряда (35.27).
Теорема 6. Из абсолютной сходимости бесконечного
произведения следует его сходимость.
Доказательство. Если бесконечное произведение (35.24)
абсолютно сходится, то, согласно теореме 5, сходится, и даже
абсолютно, ряд (35.27), что, согласно теореме 2, равносильно
сходимости бесконечного произведения (35.24). □
Теорема 7. Значение абсолютно сходящегося произведения
не зависит от порядка сомножителей.
Это сразу следует из формулы (35.16), ибо если бесконечное
произведение (35.24) абсолютно сходится, то абсолютно схо-
дится и ряд (35.15) (он совпадает с рядом (35.27)), а
следовательно, его сумма 5 не зависит от порядка сла-
гаемых. □
Если бесконечное произведение сходится, но не абсолютно,
то его значение зависит от порядка сомножителей. В этом легко
убедиться, сведя тем же методом, что и при доказательстве
теоремы 7, рассмотрение бесконечных произведений к соответ-
ствующим рядам.
Пример. Выясним, при каких х сходится, абсолютно схо-
дится и расходится бесконечное произведение
При х> 1 это произведение абсолютно
V 1 гт х
сходится ряд > —. При -<х^1 оно
п= 1
Y(-i)"-1
абсолютно, ибо сходятся ряды / -------— и
Z_J Пх
п= 1
4).
сходится, так как
сходится, но не
оо
(см те°рему
п= 1
Наконец, при оно расходится к нулю, поскольку ряд
п = 1
сходится, а ряд
расходится (см. упражнение 4).
70
35.5*. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Функция
(35.30)
и= 1
определенная этой формулой для х>1 (см. п. 34.3), как
известно, называется дзета-функцией Римана. Она играет
большую роль во многих вопросах математического анализа.
Докажем, что для нее имеется следующее разложение в
бесконечное произведение:
= (35-31)
к 1--
где произведение берется по всем простым числам рк. 2,
..., взятым в порядке возрастания (впрочем, как это будет
показано ниже, это бесконечное произведение сходится абсо-
лютно и поэтому не зависит от порядка сомножителей).
Отметим, что во всех проводимых ниже рассуждениях не будет
предполагаться, что простых чисел бесконечно много (т. е. все
сказанное верно и в случае, если произведение (35.31) было бы
конечно, а не бесконечно). Бесконечность множества простых
чисел будет отдельно доказана в конце этого раздела.
Так как
сходится, то, согласно теореме 5,
к / \
абсолютно сходится бесконечное произведение 17(1— — I, а
к \ РХЧ
следовательно, и произведение (35.30) (см. замечание после
теоремы 5).
По формуле для суммы геометрической прогрессии имеем
(35.32)
где ряды в правых частях равенств, очевидно, абсолютно
сходятся. Зафиксируем некоторое натуральное число N и
71
перемножим равенства (35.32), отвечающие всем простым
числам ръ р2, ..., не превышающим N; тогда
(35.33)
где знак «звездочка» у суммы означает, что суммирование
распространяется только на те натуральные числа n^N+\, в
разложении которых на простые множители участвуют только
простые числа pk^N и которые получаются при умножении
отобранных рядов (35.32). Этими двумя свойствами заведомо
обладают все натуральные числа 1, 2, ..., N.
Так как
л-1 n=N+l n=N+l
(35.34)
и ряд (35.30) сходится, следовательно,
то
. «о N
' Нзз” » П , .
и=1 л-1 п*
т. е. представление (35.31) доказано.
Заметим, что при д-=1 равенство (35.33) остается верным,
поэтому
а так как гармонический ряд
оо N
1 г
- расходится, то пш
П
и = 1 п = 1
= 4- оо и, следовательно,
П-Ц-=+°о- <35-35)
к 1-1
Рк
Из этого равенства следует, что простых чисел бесконечно
много, так как если бы их было конечное множество, то
произведение было бы конечным. Это доказательство
к 1-1
Рк
бесконечности простых чисел было дано еще Эйлером.
Из равенства (35.35) следует больше, чем просто констата-
ция того, что множество простых чисел бесконечно. Этот факт
можно установить и более простым способом. В самом деле,
допустим, что простых чисел конечное множество ръ р2. ..., рп.
Тогда число п=Р\Р2 ... р„+1 больше каждого из чисел р2.
..., рп и, следовательно, не равно никакому из них, а вместе с
тем оно простое: если бы оно было не простым, то оно
делилось бы на одно из чисел р^ р2, ..., рп, так как, по
предположению, других простых чисел нет. Но это не так:
число п не делится ни на одно из чисел рг, р2. ..., рп, ибо при
делении его на любое из них остаток от деления равен 1.
Запишем равенство (35.35) в виде
nfi^Vo-
к \ Л/
Из него, согласно теореме 3, следует, что ряд
00
Z1 (35.36)
рк
k= 1
расходится. Это утверждение сильнее утверждения о том, что
гармонический ряд расходится, так как здесь идет речь лишь о
некоторых его членах. Расходимость ряда (35.36) содержит
информацию о росте простых чисел рк при А'-^оо.
§ 36. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И РЯДЫ
36.1. СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
И РЯДОВ
В настоящем параграфе будут рассматриваться последова-
тельности и ряды, членами которых являются некоторые,
вообще говоря, комплекснозначные функции, т. е. последова-
тельности
73
fn{x)eC, n=l, 2, (36.1)
и соответственно ряды
00
X ип(х), ип(х)еС, п=\, 2, ... . (36.2)
п= 1
При каждом фиксированном значении аргумента, х эти последо-
вательности и ряды, очевидно, представляют собой уже
рассматривавшиеся числовые последовательности и ряды.
Пусть X—некоторое множество элементов, в частности
множество точек прямой, плоскости, «-мерного пространства
или вообще элементов произвольной природы, и пусть (36.1)—
последовательность функций, которые определены на мно-
жестве X и значениями которых являются, вообще говоря,
комплексные числа.
Определение 1. Последовательность (36.1) называется ограни-
ченной на множестве X, если существует такая' постоянная
М>0, что для всех хеХ и всех п=\, 2, ... выполняются
неравенства
(Иногда в этом случае последовательность (36.1) называется
также равномерно ограниченной.)
Определение 2. Последовательность (36.1) называется убы-
вающей (возрастающей) на множестве X, если для всех хеХ и
всех «=1, 2, ... выполняются неравенства
/Я+1(*КЛ(Х)
(соответственно если для всех xgX и всех п—\. 2, ...
выполняются неравенства
Это определение, очевидно, предполагает, что функции fn (х),
/7=1, 2, ..., принимают действительные значения.
Определение 3. Последовательность (36.1) называется сходя-
щейся в точке xQeX, если числовая последовательность
{fn (£о)} сходится.
Последовательность (36.1) называется сходящейся на мно-
жестве X, если она сходится в каждой точке множества X.
Если lim fn(x) =f(x), то говорят, что последовательность
(36.1) сходится к функции f(x\ хеХ.
Аналогичное определение можно дать и для ряда (36.2).
Определение 4. Ряд (36.2) называется сходящимся в точке
00
х^еХ, если сходится числовой ряд «и(х0).
п= 1
Мы называем элементы множества X точками.
74
Ряд (36.2) называется сходящимся на множестве X, если он
сходится в каждой точке этого множества.
Определение 5. Ряд (36.2) называется абсолютно сходящимся
оо
на множестве X, если на множестве X сходится ряд £ | ип (х) |.
п= 1
Подобно случаю числовых рядов, сумма
п
Е М-4 2- •••’
k = 1
называется п-й частичной суммой ряда (36.2); предел частичных
сумм сходящегося на множестве X ряда (36.2) называется его
суммой л(х):
5 (х) = lim sn (х).
и—>00
При этом пишут
Ф) = f U„(x)
п~1
и говорят,
Ряд
00
что функция ^(х) раскладывается в ряд £ Ц,(*)>
п= 1
Е Wfc(^)
= и+ 1
(36.3)
называется п-м остатком ряда (36.2). Остаток ряда сходится на
X тогда и только тогда, когда на X сходится сам ряд (36.2).
Если в этом случае сумму остатка ряда обозначить через ги(х),
то
ф) = $„(х) + Г„(х).
Как и в случае числовых рядов, согласно определению,
каждый функциональный ряд является парой последователь-
ностей {w„(x)} и {sw(x)}, где ип(х) — его члены, a 5и(х)— частич-
ные суммы:
п
sn(x)= Е мк(Ч w=1’ 2’ ••• •
к=1
При этом для каждой функциональной последовательности
(36.1) существует ряд (36.2), для которого она является
последовательностью его частичных сумм. Члены этого ряда
определяются однозначно:
«1М=/1(А wnW=/nM-/„-i(4 «=2, з, ... .
75
Поэтому всякую теорему, доказанную, для функциональных
рядов, можно перефразировать в соответствующую теорему для
функциональных последовательностей, и наоборот. Это обстоя-
тельство неоднократно будет использоваться в дальнейшем.
Примеры. 1. Пусть дан ряд
1+Z+I-+...+5+..., (36.4)
2! и!
где z — комплексное число. Исследуем его абсолютную сходи-
171" Т-Т
мость, т. е. сходимость ряда с и-м членом un——-. Применив
п!
признак Даламбера, получим
lim lim -ld_=0
и—*00 I W,i | «—►ос П + 1
при любом комплексном z. Таким образом, ряд (36.4)
абсолютно, а значит, и просто сходится при любом комплекс-
ном z, или, как обычно говорят, на всей комплексной
плоскости.
2. Изучим сходимость ряда
х2+-^+...+-^-+..„ (36.5)
1+х2 (1+Л-2)"
х— действительное число. Этот ряд сходится при всех х.
Действительно, если х^О, то имеем сумму геометрической
прогрессии со знаменателем
0«7<1.
И в этом случае сумма s(x) ряда (36.5) легко вычисляется:
Если же х = 0, то все члены ряда (36.5) равны нулю, поэтому он,
очевидно, сходится и л(0) = 0.
Таким образом,
{О для х = О,
1+х2 для х/0.
График функции s(x) изображен на рис. 157.
Как видно, несмотря на то что все члены ряда (36.5)
непрерывные функции и ряд сходится во всех точках действи-
тельной оси, его сумма является разрывной функцией. Следова-
76
тельно, в случае сходящегося ряда (36.2), члены которого
непрерывные действительные функции ип(х), его сумма s’(x),
вообще говоря, не является непрерывной, т. е.
00
lim .s(x)^.v(x0) = £ иЛхо\
Х^Х0 п = 1
или, что то же,
lim £ м(х)# £ lim иЛхУ
Х~>А0 п — 1 п = 1 Х~*Х0
Таким образом, предел суммы
бесконечного числа слагаемых не
обязательно равен сумме их пре-
делов.
Рассмотренный ряд (36.5) пока-
зывает, как при предельных процес-
сах (суммирование геометрической
прогрессии) из простых непрерыв-
ных функций образуются функции
значительно более сложной приро-
ды — разрывные функции.
В дальнейшем выяснены усло-
Рис 157
вия, при которых можно гарантировать непрерывность суммы
сходящегося ряда непрерывных функций
36.2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Определение 6. Пусть заданы последовательность функций
(36.1) и функцияф определенные на множестве X. Будем говорить,
что указанная последовательность сходится к функции ф
равномерно на множестве X, если для любого £>0 существует
такой номер пЕ, что если п>пг, то для всех хеХ выполняется
неравенство
|/„(х)-/(х)|<8. (36.6)
Последовательность (36.1) называется равномерно сходящейся
на множестве X, если существует функция ф к которой она
равномерно сходится на X.
Очевидно, что если последовательность (36.1) равномерно
сходится к функции /на множестве X, то она и просто сходится к
этой функции на X.
Если последовательность {/„} сходится на множестве X к
функции / то будем символически записывать это следующим
образом:
77
Если же эта последовательность равномерно сходится на X к
функции /, то будем писать
Заметим, что если последовательность (36.1) просто схо-
дится к функции f на множестве X, то это означает, что для
любого 8>0 и любого хеХ существует номер я0 = /70(е; х),
зависящий как от 8, так и от х, такой, что для всех номеров
п>п0 имеет место неравенство
(36.6).
Сущность равномерной
сходимости последователь-
ности функций состоит в
том, что для любого 8>0
можно выбрать такой но-
мер и£, зависящий только
от заданного 8 и не
зависящий от выбора точки
хеХ, что при п>пг неравен-
ство (36.6) будет выполня-
ться всюду на множестве X.
т. е. «графики» функций fn
расположены в «8-полоске»,
Рис. 158 окружающей график функ-
ции f (рис. 158).
Таким образом, в случае равномерной сходимости для
любого 8>0 при всех достаточно больших п (а именно при
п>п^ значения функций fn приближают функцию f с погреш-
ностью, меньшей 8, сразу на всем множестве X.
Запишем для наглядности определения сходящихся и равно-
мерно сходящихся на множестве X последовательностей с
помощью символов существования и всеобщности:
def
fn-+f<=>V£>0 \/хеХ Уп>п£:
х
1Л (*)-/(*).! <е;
V£>0 ^ХеХ ^п>пг- \fn (*) -I < £.
В этой записи одно определение от другого отличается
перестановкой символов VxeJf и Зле.
Примеры. 1. Последовательность
1, х, х2, ..., х", ... (36.7)
на отрезке [0, q], 0<#<1, сходится равномерно к функции,
тождественно равной нулю. Действительно, если О^х^д, то
0^xn^q\ и=1, 2, ... . (36.8)
78
Так как lim qn = 0, то для любого фиксированного а > 0 существует
Л—00
такое ие, что qn<e для всех п>пг. В силу неравенства (36.8),
0^х"<8 для всех п>пг и всех хе[0, q},
2. Та же последовательность (36.7) на полуинтервале [О, 1)
также, очевидно, сходится к функции, тождественно равной
нулю: lim хл = 0, О^х^ 1. Однако в этом случае сходимость уже
не является равномерной (рис.
159). Действительно, если после-
довательность х", л=1, 2, ...,
равномерно сходилась бы на по-
луинтервале [О, 1) к некоторой
функции, то она и просто сходи-
лась бы к этой функции. В силу
этого, последовательность (36.7)
может равномерно на полуинтер-
вале [0, 1) сходиться только к
функции, равной нулю во всех
точках этого полуинтервала.
Заметим, что lim х" = 1 при лю-
х—-1
бом фиксированном натуральном
п. Следовательно, каково бы ни
было е, 0 < £ < 1, при фиксированном п найдется такое хе,
0<хе<1, что х”>8 (например, при = имеем х” = ъ).
Поэтому при фиксированном 8, 0<8<1, не существует такого
номера и0, что для всех п>п0 и всех хе [О, 1) будет выполняться
неравенство (36.6) при /и(х) = х", /(х) = 0, 0^х<1. Более того,
какое бы N ни взять, для каждого n^N найдется такое хе
е [О, 1), что для него выполняется неравенство, противополож-
ное неравенству (36.6), т. е.
!/„(*)
(в качестве конкретного х здесь можно взять, например хе).
Итак, неравномерная сходимость последовательности (36.7)
на полуинтервале [О, 1) доказана. Заметим, что из приведенных
рассуждений следует, что последовательность (36.7) не сходится
равномерно и на любом интервале вида (г, 1), где 0^r< 1, в
частности на интервале (О, 1).
Следует обратить внимание на то, что если последователь-
ность функций /п(х), определённых на множестве X. не сходится
равномерно на некотором его подмножестве Х0<=:Х9 то она
заведомо не сходится равномерно и на самом множестве Х\
если условия определения 1 не выполняются для всех точек
хеУ0, то они заведомо не выполняются и для всех точек
множества X. Вместе с тем если последовательность функций
равномерно сходится на некотором множестве, то она и
подавно равномерно сходится на каждом его подмножестве.
79
Отсюда следует, например, что последовательность (36.7),
сходящаяся на отрезке [0, 1] к функции
J 0 ПРИ 0^х<1,
J v / | 1 при х — 1,
не" сходится на нем равномерно, так как она уже не сходится
равномерно на полуинтервале [0, 1).
Упражнение 1. Доказать, что для последовательности /„(%) = х", л = 1,
2, ..., не существует максимального множества равномерной сходимости, т. е.
такого множества Хо, что заданная на нем последовательность сходится
равномерно, а на каждом множестве X, на котором эта последовательность
сходится и которое содержит в себе множество Хо в качестве собственного
подмножества, она сходится неравномерно.
Перейдем к описанию критериев равномерной сходимости.
Для функции /и последовательности функций {/„}, заданных на
некотором множестве X, будем рассматривать последователь-
ность чисел (конечных или бесконечных)
sup|/„(x)-/(x)|, и=1, 2, (36.9)
Х€:Х
принадлежащих, вообще говоря, расширенному множеству
действительных чисел R (см. п. 2.5), и ее предел (см. п. 3.2).
Если последовательность {/„} равномерно сходится на
множестве X к функции /, то существует такой номер я0, что
для всех n>nQ верхние грани (36.9) конечны. Действительно,
если фпдД, то, согласно определению равномерной сходимости,
для любого г > 0, например для 8 ^1, существует такой номер
и0, что для всех хеХ и всех n>nQ выполняется неравенство
1.4 (*)-/(*)!< L
следовательно, и неравенство
sup |/;,(х)-/(%) i<i.
хеХ
Поэтому при п>п0 все верхние грани (36.9) конечны.
Теорема 1. Последовательность функций {/„}, определенных
на множестве X, равномерно сходится на этом множестве к
функции f в том и только том случае, когда
lim sup (х) -Дх) | = 0. (36.10)
П—» X ХЕ:Х
Сле дствие. Для того чтобы последовательность
равномерно сходилась на множестве X к функции f, необходимо и
достаточно, чтобы нашлась такая числовая последовательность
{«„}, что
hm ап — 0. ап 0, (36.11)
80
и существовал такой номер п0, что для всех п>п0 и всех хеХ
выполнялось неравенство
\Ш~/{х\\^ап, (36.12)
Доказательство теоремы. Если выполнены усло-
вия определения 6, то для каждого е>0 существует такой
номер ие, что для всех п>пг и всех хеХ выполняется
неравенство
|/„(х)-/(х)|<|.
Взяв указанное пг, для всех п>пг будем иметь
sup |/„(х)-f(x) |<~<£,
хеХ z
а это, согласно определению предела числовой последователь-
ности, и означает выполнение условия (36.10).
Обратно: если условие (36.10) выполнено, то, по определе-
нию конечного предела последовательности элементов из R,
для любого £>0 существует такой номер что для всех n>nz
выполняется неравенство
sup|/n(x)-/(.x)|<s.
хеХ
Отсюда следует, что для всех n>nz и всех хеХ справедливо
неравенство
т. е. выполняются условия определения 6. □
В силу того что почти все члены последовательности
верхних граней (36.9) для равномерно сходящихся последова-
тельностей функций конечны, критерий (36.10), по существу,
сводит понятие равномерной сходимости функциональной по-
следовательности к понятию сходимости числовой последо-
вательности.
Доказательство следствия. Если /„z*/, то, согласно
. сказанному выше, существует такой номер /*0, что для всех
п>щ} все верхние грани (36.9) конечны. Поэтому за последо-
вательность {ап} можно взять
«„ = sup|/n(x)-/(x)|, п=п0+1, n0 + 2, ...
хеХ
(очевидно, яп^0), выбрав первые члены. а}, ..... а произвольно.
Тогда при п>п0 условие (36.12) очевидно выполняется, а в силу
(36.10), имеем lim ап ~ 0.
81
Если же существует числовая последовательность {аЛ.
удовлетворяющая условиям (36.11) и (36.12), то, в силу (36.12),
для любого п>п0 выполняется неравенство
хеХ
Перейдя в этом неравенстве к пределу при н->оо, получим,
согласно (36.11), что
lim sup |/„ (%)-/(*) 1=0-
и—оо хеХ
Выполнение этого условия и означает
(см. теорему 1) равномерную сходи-
мость последовательности {/„} к функ-
ции f на множестве X. □
Примеры. 3. Докажем еще раз с
помощью условия (36.10), что последо-
вательность х”, п=1, 2, ..., не сходится
равномерно на полуинтервале [0, 1).
Т Предел указанной последовательности
на рассматриваемом полуинтервале ра-
вен нулю, поэтому утверждение сразу
следует из очевидного (при любом фиксированном л=1, 2, ...)
равенства sup |хи — 0| = 1, из которого явствует, что условие
хе[0, 1)
(36.10) равномерной сходимости в данном случае не выпол-
няется.
4. Последовательность fn (х) = -х", п = 1, 2, ..., 0 х1,
сходится равномерно на отрезке [0, 1] (рис. 160).
Действительно, так как lim - = 0 и 0<-хи^-, O^x^l, п = 1,
и—♦ос п п п
2, ..., высказанное утверждение следует из следствия теоремы 1.
Сформулируем и докажем критерий равномерной сходимо-
сти последовательности, обычно называемый критерием Коши.
Теорема 2 (критерий Коши равномерной сходимости после-
довательностей). Для того чтобы последовательность функций
fn, п=1, 2, ..., определенных на некотором множестве X,
равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и
достаточно, чтобы для любого £>0 существовал такой номер
пг, что для всех номеров п>пг всех целых р^Ои всех точек хеХ
выполнялось неравенство
\/п+р(^-Ш\<г. (36.13)
Доказательство необходимости. Пусть последова-
тельность {/J равномерно сходится на множестве X. Тогда,
согласно определению равномерной сходимости, существует
82
функция / такая, что для любого е>0 существует такой номер
пг, что для всех п>п(. и всех хеХ выполняется неравенство
[ 1/М-ЛМ1<|-
Поэтому если п>пг и то для всех хеХ получим
\fn + р (х) -fn (х) I ^fn + р (*) ~/(х) I + 1/(х) -fn (х) I < £.
Доказательство достаточности. Если выполнено
условие (36.13), то при любом фиксированном хеХ последова-
тельность
Л(х), л=1, 2, ..., (36.14)
является числовой последовательностью, удовлетворяющей кри-
терию Коши (см. п. 3.7 и 23.3), и потому она сходится.
Обозначим предел последовательности (36.14) на множестве
X через /‘(л). Покажем, что последовательность {fn} сходится
равномерно к функции f на множестве X. Действительно, в силу
условия (36.13), для любого 8>0 существует такое п„ что для
всех /?>/7е, всех целых р^О и всех хеХ справедливо неравенство
1Л+Р(х)-/И(х)|<|. (36.15)
Заметив, что lim fn+p(x)=f(x), перейдем к пределу в неравенстве
(36.15) при р-^со; тогда для всех п>пг и всех хеХ получим
а это и означает, что fn^f. □
В заключение отметим следующие два свойства равномерно
сходящихся последовательностей.
1°. Если последовательности {/„} и {g„} равномерно на
множестве X сходятся соответственно к функциям fug, то
любая линейная комбинация {X/w + pg„}, Хе С, цеС, данных
последовательностей также равномерно на этом множестве
сходится к такой же линейной комбинации предельных функций,
т. е. к X/’+pg.
Доказательство. Если Х = ц = 0, то утверждение оче-
видно. Пусть хоть одно из чисел X или ц отлично от нуля, т. е.
|Х| + |ц|>0. Зафиксируем произвольно 8>0. В силу условий
fnZXfvi g„z^g, существует такой номер п0, что для всех n>nQ и
всех хеХ ^выполняются неравенства
\.fn(х)-Дх) I<Iёп(х)-g(х)I
83
поэтому и неравенство
I [ V,, (*) + Ц?„ (л)] - [Х/(х)+|!g (х)] I =
«Ж I 1Л (*) -f(x) I +1 ц I |g„ (х) - g (х) I
Согласно определению равномерной сходимости, это и
означает, что + □
2°. Если последовательность {/„} равномерно сходится на
множестве X к функции ф а функция g ограничена на этом
множестве, то последовательность {gf\} также равномерно
сходится на X к функции gf.
Доказательство. Ограниченность функции g на мно-
жестве означает, что существует такое Л/>0, что для всех хеХ
выполняется неравенство |g(x)|<A/. В силу же равномерной
сходимости на множестве X последовательности {/„} к функции
ф, существует такой номер /?0, что для всех n>nG и всех хеХ
выполняется неравенство
1Л (*)-/(*) l<J>
следовательно, и неравенство
I g (Ж (*) - g (х)/(х) I=I Ж) I \fn W -f(x) I < е.
Это и означает, что gfnE$gf. □
х
36.3. РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Для рядов можно также ввести понятие равномерной
сходимости.
Определение 7. Ряд
(36.16)
члены которого являются функциями, определенными на мно-
жестве X, называется равномерно сходящимся на этом
множестве, если последовательность его частичных сумм
равномерно сходится на X.
Таким образом, равномерная сходимость ряда (36.16)
означает существование такой функции s(x), что
(36.17)
84
(здесь, как всегда, 5л(х) — частичная сумма порядка п ряда
(36.16), и=1, 2, ...).
Из (36.17) следует, что 5„(х)->5(л) на X поэтому s(x) является
суммой ряда (36.16).
Положим
00
rnW = X ик(х).
к = п + 1
Тогда s(x) —sn(x) = rn(x) и условие (36.17) для сходящегося на
множестве Е ряда можно переписать в эквивалентной форме:
rw(x)z>0, (36.18)
х
откуда, в силу эквивалентности определения 6 равномерной
сходимости последовательности функций и условия (36.10),
следует, что, для того чтобы сходящийся на X ряд (36.16)
равномерно сходился на множестве X, необходимо и доста-
точно, чтобы
lim sup | rn (x) | = 0. (36.19)
и— co xeX
Таким образом, из равномерной сходимости ряда, в
частности, вытекает, что начиная с некоторого номера верхние
грани
sup I г„(х)|
хеХ
конечны, а условие (36.19) сводит понятие равномерной
сходимости ряда к стремлению к нулю числовой последо-
вательности этих верхних граней.
Важное свойство равномерно сходящихся рядов составляет
содержание следующей теоремы.
Теорема 3 (необходимое условие равномерной сходимости
ряда). Если ряд (36.16) равномерно сходится на множестве X,
то последовательность его членов ип(х), п—\, 2, ..., равномерно
стремится к нулю на множестве X, т. е.
h„(x)z>0.
X
Коротко эго свойство выражается следующим образом: у
равномерно сходящегося ряда общий член равномерно стремится
к нулю.
Доказательство. Пусть ряд (36.16) равномерно сходится
на множестве X. Обозначим его частичные суммы, как обычно,
через 5„(л), а его сумму — через s(x), хеХ. Тогда для любого
8>0 существует такой номер л€, что для всех п>щ и всех хеХ
выполняется неравенство
85
|s„(x)-s(x)|<|.
Поэтому для всех п>пг и всех хеХ справедливо также
неравенство
1«п+1(х)| = |5„+1(л)-5и(х)| =
=I к+1 (*) - -у W]+1> (*) - S„ (х)] | < f+f=Е •
Это и означает равномерную (на множестве X) сходимость к
нулю и последовательности членов равномерно сходящегося на
этом множестве ряда. □
Отметим, что, в силу условия (36.10), равномерное стремле-
ние к нулю общего члена ряда (36.16) означает, что
lim sup | ип (х) | = 0.
п—ос хеЕ
С помощью теоремы 3 иногда удается установить, что
ОС
рассматриваемый ряд не сходится равномерно. Так, ряд X хл,
л = О
члены которого образуют геометрическую прогрессию, не
сходится равномерно на интервале (0, 1), поскольку, как это
было показано в п. 36.2 (см. пример 2), последовательность х”,
п = 0. 1, 2, ..., членов этого ряда не сходится равномерно к нулю
на этом интервале. Отсюда, кстати, следует, что ряд X z”, где
л = 0
z — комплексное число, также не сходится равномерно в
единичном круге | z | < 1, так как он не сходится равномерно уже
на подмножестве (0, 1) этого круга.
Часто бывает полезным следующий достаточный признак
равномерной сходимости.
Теорема 4 (признак Вейерштрасса). Пусть даны два ряда:
функциональный (36.16), членами которого являются функции
ип(х), определенные на множестве X, и числовой
X ап, ап^0, п=1, 2, ... . (36.20)
п = 1
Если ряд (36.20) сходится и для любого хеХ выполняется
неравенство
\ut1(x)\^a„ /7=1, 2, ..., (36.21)
то ряд (36.16) абсолютно и равномерно сходится на множестве
X.
86
Абсолютная сходимость ряда (36.16) на X в случае
сходимости ряда (36.20) сразу следует, по признаку сравнения,
из неравенства (36.21). Равномерная же сходимость этого ряда
следует из теоремы 1 этого пункта. Приведем и непосред-
ственное доказательство.
Пусть л(х)— сумма ряда (36.16) и 5„(х)— его частичная
сумма. В силу сходимости ряда (36.20), для любого 8>0
существует такой номер /?е, что для всех п>пг выполняется
неравенство (см. (34.9)) £ ат<ъ. Но тогда для всех п>пг и
т = п+ 1
всех хеХ для остатков ги(х) = 5(х) —5и(х) ряда (36.16) (по
доказанному выше, он абсолютно, а следовательно, и просто
сходится, поэтому равенство rn(x) = s(x)—^(х) имеет смысл)
будем иметь
|5(Х)-5„(Х)| = |Г„(Л')| =
оо
£
«т<£.
£
т = и+ 1
т = п + 1
Это и означает, согласно определению 7, равномерную сходи-
мость ряда (36.16) на множестве X. □
Отметим, что ряд (36:20) называется рядом, мажорирующим
ряд (36.16).
00
В качестве примера возьмем снова ряд £ z", члены
и = 0
которого образуют геометрическую прогрессию. Рассмотрим
его в круге радиуса г:|z|<г, где 0<г<1. Числовой ряд £ г" с
и = 0
неотрицательными членами, образующими бесконечно убываю-
щую геометрическую последовательность, сходится, а для
членов данного функционального ряда справедлива оценка
ибо | z | ^г, поэтому он, согласно признаку Вейерштрас-
са, равномерно сходится во всяком круге | z | г < 1. Вместе с
тем, как это было показано выше, этот ряд не сходится
равномерно в круге | z | < 1.
Признак Вейерштрасса дает только достаточные условия
равномерной сходимости ряда, которые не являются необхо-
димыми. Убедиться в этом для рядов, у которых с возраста-
нием номеров членов чередуются их знаки, достаточно легко.
00 /_ 1
Действительно, сходящийся ряд У -—- (как и всякий сходя-
и=1 П
щийся числовой ряд) можно рассматривать как равномерно
сходящийся, например, на всей числовой оси R ряд: его члены
(-1)"
. ип = -—являются функциями, постоянными на R. Вместе с тем
п
87
всякий числовой ряд X ап, удовлетворяющий условию | ып | < ап.
п = 1
т. е. в данном случае условию -<а„, и=1, 2, расходится по
И
признаку сравнения. Таким образом, ряд
равномерно, а сходящегося ряда X ап,
п-1
у 1--Z_ СХОДИТСЯ
П
удовлетворяющего
условиям признака Вейерштрасса, не существует.
Можно показать, что, более того, условия признака Вейер-
штрасса не являются необходимыми для равномерной сходи-
мости даже рядов, все члены которых неотрицательны. Чтобы в
этом убедиться, приведем пример равномерно сходящегося на
ос)
отрезке [0, 1 ] ряда У ип (х) с неотрицательными членами, для
п= 1
которого также не существует сходящегося числового ряда
00
£ а„, удовлетворяющего условию (36.21).
п- 1
Ряд
Определим член г
грим образом: ип (х)
1 , Ц
п
ада ип (х) следую-
= 0 на отрезках
(}( 1 । 1И 1
_ ----и
\ 2 \ п + 1 и ) / п
0. —
п+
функция ип[х) линейна и непрерывна на
каждом из отрезков
'л
1 ч 1 +1
и-Ы' 2\л+1 п
1 , 1 \ 1
—т+~ )• ~ • Ее график изображен
** ’ 1 п 1
Ч 1
2\и+1
на рис. 161.
сходится равномерно на отрезке [0, 1 ].
и
И
1
п
Действительно, если r„(x)^ X ик(х)— остаток этого ряда,
к = п+ 1
и~1, 2, ..., то для любого хе[0, 1 ] среди его членов существует
не более одного, для которого цДх)^0, При этом,
очевидно, 0^ик(х)^~^~—поэтому 0rt](х)< —Ч- и, следова-
тельно, ПРИ т- е. рассматриваемый ряд
равномерно сходится на отрезке [0, 1 ]. /
88
00
Если У ап — такой числовой ряд, что для всех хе [0, 1 ]
п= 1
выполняется неравенство 0 < ип (х) ап. то
-=тах ип (х)^ап.
п [о, и
” 1
Гармонический ряд - расходится, поэтому расходится и
п=1П
00
ряд У ап. Таким образом, в рассмотренном случае числового
п~ 1
ряда, удовлетворяющего по отношению к функциональному
ряду w„(x) условиям признака Вейерштрасса, заведомо нет.
п- 1
Перейдем теперь к условиям равномерной сходимости ряда,
являющимися одновременно необходимыми и достаточными.
Замечая, что
п + р
s„+р (х) - 5„ -1 (%) = Е (Д (36.22)
к = п
из теоремы 2 получаем следующий критерий равномерной
сходимости.
Теорема 5 (критерий Коши равномерной сходимости рядов).
Для того чтобы ряд (36.16) равномерно сходился на множестве
X, необходимо и достаточно, чтобы для любого г>0 суще-
ствовал такой номер пг, что для всех n>nz, всех целых р^О и
всех хеХ выполнялось неравенство
п + р
Е «*(*)
к — п
8.
(36.23)
Очевидно, что из критерия Коши равномерной сходимости ряда
еще раз (если в (36.23) положить р = 0) получается теорема 3,
т. е. необходимое условие равномерной сходимости ряда (36.16).
Упражнение 2. Выяснить, может ли ряд вида £ anzn (ап и z — комп-
лексные числа), у которого бесконечно много коэффициентов отличны от нуля,
равномерно сходиться на всей комплексной плоскости.
Примеры. 1. Рассмотрим снова ряд (36.4)
Z^ Zn г
l+z+-+.
2 п\
и покажем, что, каково бы ни было число г>0, ряд (36.4)
сходится равномерно в круге | z | г.
89
Как было показано, ряд (36.4) сходится при любом
комплексном z, в частности при z = r, т. е. числовой ряд
«2 jji
1+г+-+.
2! п!
сходится. Возьмем его в качестве
ряда (36.4), тогда при |z|^r имеем
ряда сравнения (36.20) для
zn
п\
—. Поэтому утвержде-
ние о равномерной сходимости ряда (36.4) непосредственно
следует из теоремы 4.
Покажем, что ряд (36.4) не сходится равномерно на всей
комплексной плоскости. Это следует из невыполнения в дан-
ном случае необходимого условия равномерной сходимости
ряда (см. теорему 3). Действительно, при любом фиксиро-
ванном л0
lim
И->ОС’
(36.24)
Поэтому если задано 8>0, то, каково бы ни было ио>0, в силу
(36.24), можно подобрать z0 так, чтобы
^о°
nG\
т. е. — не стремится равномерно к нулю на всей комплексной
п!
ПЛОСКОСТИ.
2. Исследуем равномерную сходимость ряда
оо
х sin п х /о/г
/ —-....—------, — оо<х< + оо. (36.25)
ди V1 +^2 (1 +/2%2)
и= 1
Прежде всего заметим, что
_____-п_______<_______!±!____. (36.26)
-У1 + п2 (1 4-пх2) ^/1 +и2 (1 + пх2)
Далее, 1 + пх2 21 х | ^/п поэтому
-----$ - 1 (36.27)
Д +n2(i+«x2) 2x«(i+n2) 2n2
Мы воспользовались здесь неравенством 2аЬ^а2 + Ь2, которое сразу
получается из очевидного неравенства (а—Ь)2^О.
90
00
Так как ряд > сходится, то, согласно признаку Вейер-
Z_J2t?2
п = 1
штрасса, в силу неравенства (36.26) и (36.27), исходный ряд
(36.25) равномерно сходится на всей действительной оси.
3. Рассмотрим ряд
°° 5 2
£ е п х sin их. (36.28)
п= 1
_ 5 2 .52
Очевидно, |е ” х smnx|^H|x|e п х . Найдем максимум
функции
/ \ II -w5y2
vn(x) = n[xle
при фиксированном п. Функция v„(x) четная, поэтому доста-
точно рассмотреть лишь случай х>0 (почему?). Производная
$ 2 1
v'„(x) = n(l —2п5х2)е~" х обращается в нуль в точке х0 —-5.
Так как т„(х)^О для всех х, v„(0)=0 и lim i>„(x) = 0, то в точке
х0 функция г„(х) имеет максимум (почему?).
Таким образом,
/ X . / 1 \ 1 ’ 1
—I =-------1е 2<^’
\Дп2' ^2п2 п2
00
V 1 R -
и так как ряд > сходится, то, согласно признаку Веиер-
и = 1
штрасса, ряд (36.28) равномерно сходится на всей действи-
тельной оси.
Метод, примененный для установления равномерной сходи-
мости ряда (36.28) (исследование на экстремум модуля общего
члена или его мажоранты методами дифференциального исчис-
ления), является достаточно общим и часто применяется на
практике. С помощью этого метода можно было бы иссле-
довать и равномерную сходимость ряда (36.25), однако при-
мененный выше способ исследования данного ряда значительно
быстрее приводит к цели.
4. Рассмотрим ряд
(36.29)
91
Согласно признаку Лейбница (см. п. 35.5), он сходится при
любом действительном х и, как было отмечено там же,
остаток ряда оценивается первым своим членом
I Гп (х) I <Т~-<~—-•
' 7 х2 + и+1 «+1
Из этого следует, что r„(x)ztO при —оо<х<+оо, т. е. ряд
(36.29) равномерно сходится на всей действительной оси.
Покажем, что этот ряд не сходится абсолютно во всех
точках. Действительно, выберем для данного числа х какое-
либо натуральное пх так, чтобы х2^пх. Тогда для всех п^пх
будет выполняться неравенство х2^п, следовательно, и нера-
венство
1 > 1
х2 + п^ 2п
А так как ряд у расходится, то, в силу признака сравнения,
и= 1
ряд (36.29) не сходится абсолютно.
Упражнение 3. Привести пример ряда, который абсолютно сходится во
всех точках некоторого множества, но не сходится на этом множестве
равномерно.
Указание. См. пример 2 из п. 36.1.
Докажем теперь достаточный признак равномерной сходи-
мости, применимый в отличие от признака Вейерштрасса и к не
абсолютно сходящимся рядам. Его формулировка напоминает
признак Дирихле для сходимости числовых рядов (см. п. 34.13)
и впервые встречается в работах Харди
Теорема 6. Пусть дан ряд
f а„(х)Ь„(х), (36.30)
п= 1
в котором функции ап(х) и Ьп(х), п=\, 2, ..., определены на
множестве X и таковы, что:
1) последовательность {яДх)} монотонна при каждом хеХ и
равномерно стремится к нулю на X:
2) последовательность частичных сумм Вп[х\ п= 1, 2, ..., ряда
оо
Z ЬЛХ)
п = 1
ограничена на множестве X.
Г. Харди (1877—1947) - английский математик
92
Тогда ряд (36.30) равномерно сходится на множестве.
Доказательство. В силу условия 2 теоремы, существует
такое В>0, что \Вп(х)\^В для всех хеХ и всех п=1, 2, ... и
поэтому
п + р
X ы*)
к = п
= | 5п+р(х)-5„_ t (х) I < I Bn+j>(x) I +1 Вп_х (х) I ^2В
для всех хеХ , всех п = 2, 3, ... и всех целых р^О. Из условия же
1 теоремы следует, что для любого фиксированного 8>0
существует такой номер и£, что для всех хеХ и всех п>пг
выполняется неравенство
«ШИК-,
Теперь, применив неравенство Абеля (см. п. 34.13), получим,
что
п + р
X ак(х)Ьк(х)
к = п
^2В [| а„(х) | + 21 ап+р(х)|] <£
для всех хеХ, всех п>пе и всех целых р^О. Это и доказывает
равномерную сходимость ряда (36.30). □
В качестве примера использования теоремы 6 рассмотрим
ряд f
п- 1
Согласно теореме 6, этот ряд равномерно сходится на
любом отрезке [я, Ь]9 не содержащем точек вида 2пт, т = 0,
±1, +2, ... . Действительно, последовательность ап = -9 и=1,
2, ..., в данном случае является числовой последовательностью,
она монотонно убывает и стремится к нулю (значит, и
п
равномерно стремится к нулю), а суммы £ sin/саг удовлетво-
рен
ряют неравенству
1 1
<тах-< +оо
sin-----------^sin-
2 2
sin кх
(см. п. 34.13), т. е. ограничены на любом указанном отрезке.
93
На всяком отрезке, содержащем точки вида х = 2/<л, рассмат-
риваемый ряд не сходится равномерно. В силу свойств синуса,
это достаточно доказать для отрезка [0, я]. Положим х=—;
2/7
тогда для всех = л + 2, ..., 2п имеем 0</слл^1<|.
Следовательно, в силу неравенства ^^>-, 0<а<- (см. (14.1)),
ал 2
получим
sin кп^ ыпкх„ 12 1 1 , - ~
---- =------ - --=—, к = л/4-1, 2п.
к кхп 2п л 2/7 л/7
Отсюда
sin (/7+ l)x„^sin(/7 + 2)x„^ | sin 2пхп> 1 । । 1 _ 1
77+1 П + 2 2/7 nn 7U/z Л
Поэтому ни для какого 8<- на отрезке (0, я] не выполняется
л
критерий Коши равномерной сходимости.
Заметим, что доказать равномерную сходимость рассмат-
риваемого ряда на отрезке, не содержащем точек вида х = 2кп, с
помощью признака Вейерштрасса
нельзя.
Например,
ДЛЯ
отрезка
л Зл
2’ ~2
Поэтому не
оо
Е что
п = 1
имеем
sin пх 1
существует такого сходящегося числового
sin пх
п
ап на
ибо тогда ап^-} а ряд
ряда
расходится.
Подобно случаю числовых рядов, применяя неравенство
Абеля, можно получить еще один признак равномерной
сходимости функциональных рядов, аналогичный признаку
Абеля для числовых рядов. Он также впервые встречается в
работах Харди.
Теорема 7. Если:
1) последовательность {яи(х)} ограничена на множестве X:
Н(х)К7И, хеХ, п=1, 2, ...,
и убывает или возрастает при каждом хеХ;
94
00 '
2) ряд £ Ьп(х] равномерно сходится на множестве X,
п = 1
то ряд (36.30) также равномерно сходится на X.
Доказательство. Пусть задано 8>0. В силу равномерной
00
сходимости ряда £ Ьп(х), существует такой номер пг, что для
п = 1
всех номеров п>п„ всех целых р^О и всех точек хеХ
выполняется неравенство
р
к = 0
е
ЗМ'
Отсюда, в силу неравенства Абеля (см. (34.77)), для всех
номеров п>пъ. всех целых р^О и всех точек хеХ справедливо
неравенство
^(|а„(х)| + 2|йи+р(х)|)^£.
Согласно критерию Коши, это и означает равномерную
сходимость ряда (36.30). □
оо X
Zsin их cos -
—— ----.
Inin п
п = 2
На любом отрезке, не содержащем точек вида 2пт, т = 0,
со
Zsin пх
----, согласно теореме 6, равномерно сходится,
In Inx
п = 2
а числовая последовательность cos-, и = 2, 3, ..., ограничена
п
и возрастает начиная с некоторого номера, причем мож-
но выбрать такой номер, что начиная с этого номера эта
последовательность возрастает во всех точках указанно-
го отрезка. Поэтому на отрезке, не содержащем точек ви-
да 2пт, т = 0, ±1, ..., рассматриваемый ряд равномерно
сходится.
В заключение заметим, что из двух свойств равномерно
сходящихся последовательностей, доказанных в конце п. 36.2,
непосредственно следует справедливость соответствующих
свойств для равномерно сходящихся рядов.
95
00 00
1°, Если ряды У ип(х) и сходятся равномерно на
п = 1 « = 1
со
множестве' X, то для любых чисел Хе С и ре Сряд У Хг/И(х) +
п ~ 1
+ р.ги(х) также сходится равномерно на множестве X.
7 оо
2°. Если ряд У ип(х) равномерно сходится на множестве X,
п — 1
а функция g(x) ограничена на этом множестве, то ряд
У g(x)un(x) также равномерно сходится на X.
1
36.4. СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Как было показано, сумма сходящегося ряда, все члены
которого непрерывные функции, может и не быть непрерывной
функцией. Следующая ниже теорема 8 содержит достаточные
условия непрерывности суммы ряда.
Следует обратить внимание, что рассмотрение непрерывных
на некотором множестве функций накладывает дополнительные
ограничения на само множество — оно \уже не может быть
множеством произвольной природы (каковым до сих пор было
множество X, на котором были заданы члены рассматриваемых
рядов, элементы последовательностей и т. д.), а должно быть
таким, что для функций, заданных на нем, опрёделено понятие
непрерывности. Когда речь пойдет о производных и интегралах,
придется еще более, сузить класс допустимых множеств X.
Теорема 8. Если функции ип(х), и = 1, 2, ..., непрерывны в
00
точке х0 множества XczRm*} и ряд У нп(х) равномерно
п — 1
со
сходится на X, то его сумма s (х) = У ип (х) также непрерывна в
п~ 1
точке х0.
Доказательство. Зафиксируем какое-либо е>0. Пусть
п
Согласно условию теоремы,
_
Здесь, как всюду, где не оговорено что-либо другое, рассматриваются
комплекснозначные функции и„(х); понятие непрерывности для таких функций
см. в п. 23.3; Rn\ как обычно, обозначает m-мерное евклидово пространство.
96
поэтому существует такой номер пе, что для всех хеХ и всех
п>пг выполняется неравенство
1ф)~ МА) 1<|-
Выберем произвольно
п0 > пе. Функция snQ (х), как
сумма конечного числа не-
прерывных в точке х0 функ-
ций ик(х\ к—\. 2. .... п0.
также непрерывна в этой
точке. Поэтому существует
8 = 5(в)>0 такое, что для
всех точек хеХ. удовлетво-
ряющих условию р (х,
х0) < 6, выполняется нера-
венство
(36.31)
(36-32)
Теперь, заметив,что
S (х) - .У (х0 ) = [> (х) - 5„0 (х)] + (.У„о (х0 ) - 5„0 (х0)] +
+к0 (*<>)-Фо)]
(рис. 162), из неравенства (36.31), взятого в точках х0 и х, и
неравенства (36.32) получим при р(х, х0)<8 и хеХ
I * (*) - -S Г'о) I < I -У (*) - s„0 (х) I +15„о (х) - S„o (х0) I +
+ 1ч(Ао)-^(^о)1<|+|+|=£,
что и доказывает непрерывность функции л (х) в точке х0. □
Утверждению теоремы можно придать следующий вид
00 00
lim £ w„(x) = lim s(x)=.s(x0) = У М„(х0),
Х А о п= 1 Х~*Х0 п= 1
а так как каждая функция z/(x), п=1. 2, ..., непрерывна в точке
хеХ, то г/и(х*0)= lim ни(х), поэтому
х—х0
оо оо
lim У ип(х)= У Нт wn(x).
Х~*Х0 л -1 п — 1 х—>х0
Таким образом, в условиях теоремы 8 предел суммы ряда
равен сумме пределов его членов, т. е. в рассматриваемом ряде
допустим почленный переход к пределу.
4-2135
97
Здесь, как и ниже, все пределы функций при х-*х0 берутся по
множеству задания рассматриваемых функций (если, конечно, не
оговорено что-либо другое), т. е. в данном случае по множе-
ству X.
Выше отмечалось, что каждой последовательности функций
соответствует функциональный ряд, для которого она является
последовательностью частичных сумм. При этом если данная
последовательность равномерно сходится на некотором мно-
жестве, то и указанный ряд также, очевидно, равномерно
сходится на этом множестве. Это обстоятельство позволяет
перефразировать теоремы о равномерно сходящихся рядах в
соответствующие теоремы о равномерно сходящихся после-
довательностях. Например, теорему 8 можно перефразировать
следующим образом.
Теорема 8'. Если функции fn, п=\, 2,..., непрерывны в точке
Xq^Xc^R™ и fn^f, то f непрерывна в х0.
х
Это означает, что для точки х^Х
lim lim fn (х) = lim lim fn (x),
X—>XQ n—>00 n—>oo x—-Xq
т. e. предельные переходы по n и по х можно переставлять.
Действительно, предел J последовательности fn, п=\. 2,...,
является, в силу теоремы 8', непрерывной в точке х^Х
функцией, а поэтому левая часть равенства равна /(x0J:
lim lim /„(x)= lim /(x)=/(x0),
X—»-X0 n—>00 X—►Xq
но и правая часть рассматриваемого равенства, в силу
непрерывности функций fn, также равна /(х0):
lim lim/„(%)= lim/и(х0)=/(х0). □
п—*00 х—*Х0 п—*00
Задача 26 (теорема Дини*1). Пусть функции fn, «=1, 2,..., непрерывны и,
монотонно убывая или монотонно возрастая, стремятся на компакте XaRm к
функции /. Доказать, что, для того чтобы функция f была непрерывной,
необходимо и достаточно, чтобы последовательность {fn} сходилась на
множестве X равномерно. Перефразировать этот результат для рядов.
Теперь перейдем к вопросу о почленном интегрировании и
дифференцировании рядов. Производная и интеграл определя-
лись только в действительной области, поэтому, начиная с
этого момента и до конца параграфа, будем считать, что все
*) У. Дини (1845— 1918) — итальянский математик.
98
рассматриваемые функции определены на промежутках действи-
тельной оси и принимают действительные значения.
Теорема 9. Пусть функции ип(х), п = 1, 2,..., непрерывны на
отрезке [а, b ] и ряд
00
X ми(х)
п = 1
(36.33)
равномерно сходится на {а, Ь]. Тогда, какова бы ни была точка
с^ [а, Ь}, ряд
оо X
X dt
п = 1 с
также равномерно сходится на [а, Ь], и если
00
s(x)= X'M«(A
п= 1
то
§s(t)dt= §un(t)dt,
с п = 1 с
Если эту формулу переписать в
X
Г Г 00 ~ 00
X м«(0 dt= X
J Ln = 1 J и = 1
(36.34)
(36.35)
(36.36)
виде
X
un(t)dt,
то видно, что она означает законность при условиях, перечис-
ленных в теореме 9, почленного интегрирования ряда.
Доказательство. В силу равномерной сходимости ряда
(36.33) и непрерывности его членов на отрезке [а, £], согласно
теореме 8, его сумма s(x) также непрерывна на этом отрезке,
поэтому она интегрируется на любом отрезке с концами в
точках се [a, Z?] и хе [а, 6].
Покажем, что ряд (36.34) равномерно сходится на отрезке
[а, Ь] к функции
o(x) = ]s(t)dt. (36.37)
Пусть
•*„(*) = X r„(x)=s(x)-s„(x).
k=l
Обозначим через о„(х) частичные суммы ряда (36.34):
99
s„(t)dt.
Теперь для любого xt= [а, Ь} имеем
|о(х)-сти(х)| = $s(t)dt-$sn(f)dt «£ f \s(t)-s„(t)\dt =
sup |r„ (01 f dt < |x - c | sup |r„ (z) I
' 4 c [a, ft]
r«, ft]
^(b-a) sup |r„(x)|.
[«, ft]
(36.38)
Последовательность sup |r„(x)|, n = l, 2,..., является числовой
[о. ft]
последовательностью. В силу равномерной сходимости ряда
(36.33), имеем
lim sup |r„(x) | = 0
и—*оо [а, b]
(см. п. 36.3); поэтому из неравенства (36.38), согласно следствию
теоремы 1, явствует, что последовательность частичных сумм
ряда (36.34) равномерно сходится к функции (36.37), а это и
означает равномерную сходимость ряда (36.34) к функции
(36.37). Теорема и, в частности, формула (36.36) доказаны. □
Перефразируем полученный результат для последовательно-
стей функций.
Теорема 9'. Если последовательность, непрерывных на
отрезке [а, Ь] функций fn, п = \, 2,.., на этом отрезке равномерно
сходится к функции f, то, какова бы ни была точка сев [а, й],
]fn(t)dt^f(t)dt на [a, Z>],
в частности
lim f/n(O^=j[lim/„(Z)]</Z.
Л—>00 с х п—*<х>
Покажем теперь, что равенство
ь ь
lim J sn (х) dx = J lim sn (x) dx
n-^CO a a n-^CD
справедливо не всегда, когда на отрезке [а, Ь ] существует
предел lim sn (х) и все рассматриваемые функции интегрируемы,
100
т. е. что в этом случае не всегда можно переходить к пределу
под знаком интеграла.
Пусть s„(x) = nxe~nx2, и=1, 2,..., 0<х<1. Тогда sw(0) = 0 и при
любом х^О: Ктл„(х) = 0. Таким образом, $п—-> 0 и, следова-
И—СО И
тельно, интеграл от предельной функции, т. е. от нуля, также
равен нулю. Однако
1
sn(x)dx=n
1
xe~wx2
1
Поэтому lim Lyn(x)Jx = -, т. е., действительно, для рассмот-
п—*00 I 2
О
ренной последовательности {л„(х)} имеет место неравенство
1 1
lim jsn(x)t/x/f lim sn(x)dx = O.
n—► co q 0 n—* co
co
Если построить ряд У «и(х), для которого последователь-
л = 1
ность {$„(%)} является последовательностью частичных сумм,
т. е. положить
i/1(x) = J1(x)5 un(x) = sn(x)-sn_.i(x), п — 2. 3,...,
то для этого ряда будем иметь
1
со оо
£ u„(x)dx^ £
п~1 и= 1
О
1
J ип (х) dx.
о
Упражнение 4. Показать, что если
2л при ,
О при х — О
и функция ftt (х) линейна на отрезках 0, ~
и
то для всех хе [0, 1 ] имеет
место равенство lim fn (х) = 0, a lim ffn (х) dx — 1.
n—-a.’ n—co Q
Рассмотрим теперь вопрос дифференцирования рядов.
101
Теорема 10. Пусть функции ип(х), п = 1, 2,..., непрерывно
дифференцируемы на отрезке [а, Ь] и ряд, составленный из их
производных
00
X и'Ах), (36.39)
п= 1
00
равномерно сходится на отрезке [а, Ь]. Тогда если ряд £ ип(х}
п = 1
сходится хотя бы в одной точке с^ [а, Z>], то он сходится
равномерно на всем отрезке [а, Ь\, его сумма
5(х) = £ ип(х) (36.40)
и = 1
непрерывно дифференцируема и
00
Л*) = X “"(•*)• (36.41)
п= 1
Если эту формулу переписать в виде
X мпО) = X
_и — 1 _J п = 1
то видно, что она означает законность при сделанных предпо-
ложениях почленного дифференцирования ряда.
Доказательство. Пусть
00
а(х) = X (36.42)
и — 1
В силу равномерной сходимости этого ряда его сумма является
непрерывной функцией, а сам ряд можно почленно ин-
тегрировать:
|а(/)Л= \un(t)dt = У [г/п(Л)~ип(е)]> а^х^Ь. (36.43)
с п = 1 с п=1
По теореме 9, ряд
оо
X [w„(x)-w„(c)], a^x^b (36.44)
п= 1
— сходящийся. Сходится, по условию теоремы, и ряд
00
X ^п(с), (36.45)
п= 1
поэтому сходится и сумма рядов (36.44) и (36.45), т. е. ряд
102
00
£ w„(x), a<x<6.
n = 1
(36.46)
Отсюда следует, что равенство (36.43) можно переписать в виде
х оо оо
\c(t)dt= иЛх)~ Е w„(c)
с п= 1 п=1
или, что то же (см. (36.40)), в виде
J О’ (/) dt = 5 (х)—5 (с).
(36.47)
Функция в левой части равенства имеет производную по х,
следовательно, и функция х(х) имеет производную. Дифферен-
цируя равенство (36.47), получим (см. п. 29.2)
5’ (х) = о (х), (36.48)
где функция о(х) непрерывна на отрезке [а, £], так как
представляет собой сумму равномерно сходящегося ряда
(36.39), члены которого — непрерывные функции. Подставляя
(36.42) в (36.48), и получим искомую формулу (36.41).
Остается лишь отметить, что из равенства (36.43), в силу
доказанной сходимости рядов (36.44) и (36.45), следует, что
ОО 00 X 00
Е «»(*)= Е ^'n(t)dt+ £ w„(c).
и = 1 п= 1 с п = 1
00 X
Ряд £ \u'n(t)dt равномерно сходится на отрезке [а, Ь]
п = 1 с
оо
(см. теорему 9), а £ ип (с) — числовой ряд, поэтому и их сумма,
и= 1
т. е. ряд (36.40), равномерно сходится на отрезке [а, &]. □
Итак, если сходящийся ряд непрерывно дифференцируемых
функций таков, что ряд, составленный из его производных,
равномерно сходится, то сумма ряда является дифференцируе-
мой функцией и ее производная получается почленным диффе-
ренцированием ряда.
Из предпосылок этой теоремы следует равномерная сходи-
мость ряда, поэтому, не ограничивая общности теоремы, ее
можно перефразировать следующим образом.
Если ряд непрерывно дифференцируемых функций и ряд,
составленный из их производных, равномерно сходятся, то
сумма исходного ряда непрерывно дифференцируема и ее произ-
водная равна сумме производных членов данного ряда (т. е. ряд
можно почленно дифференцировать).
103
Заметим, что в теореме 10 условие равномерной сходимости
ряда, членами которого являются производные членов задан-
ного ряда, является существенным: если члены ряда непрерывно
дифференцируемы, а равномерно сходится только сам ряд, то,
вообще говоря, его нельзя почленно дифференцировать. На-
пример, ряд
ад
sm пх
равномерно сходится на всей числовой оси, поскольку
sin их < 1
п2 п2'
а ряд, полученный его почленным дифференцированием, т. е.
ряд
расходится в точках х=2тст, ш = 0, ±1; + 2, ... .
Необходимо также в теореме 10 и условие о сходимости
самого ряда в некоторой точке, так как одной равномерной
00
сходимости ряда из производных, т. е. ряда £ и’п(х\ недоста-
п = 1
точно не только для того, чтобы было возможно почленно
00
дифференцировать ряд £ ип(х), но даже для того, чтобы
п — 1
гарантировать его сходимость. Так, ряд, полученный из
производных членов ряда 1 + 14-1 + 1 + ..., т. е. ряд 0 + 0 + 0 +
+ ... + 0 + ..., конечно, равномерно сходится на всей числовой
оси, а сам исходный ряд расходится.
Перефразируем теперь теорему 10 для последовательностей.
Теорема 10. Пусть последовательность непрерывно диффе-
ренцируемых на отрезке [а. Л] функций
2, ..., (36.49)
сходится хотя бы в одной точке се [а, Ь], а последовательность
их производных f'M 71=1, 2, ..., равномерно сходится на [а, Ь].
Тогда последовательность (36.49) равномерно сходится на [а, Ь],
ее предел является непрерывно дифференциуремой на этом
отрезке функцией и
lim ~ lim fn(х), a^x^b,
п--*оо dx dx и—>оо
104
Аналогично случаю рядов, это утверждение равносильно
следующему.
Если функции fn непрерывно дифференцируемы на отрезке
[а, Ь] и
[fl. b] . [a, b]
то существует f и f = ty на отрезке [я, Ь].
Примеры применения этих теорем приведены в следующем
параграфе.
Упражнения. 5. Выяснить, будет ли справедливым равенство
i 1
lim f хп dx = f (lim xn) dx.
о о n"*x
Можно ли это установить с помощью теоремы 9?
6. Доказать, что при х>1 для дзета-функции Римана £ (см. п. 35.5*)
справедлива формула
§ 37. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
37.1. РАДИУС СХОДИМОСТИ И КРУГ сходимости
СТЕПЕННОГО РЯДА
Определение 1. Функциональные ряды вида
Z a„(z-z0)", (37.1)
п-0
где ап и z0— заданные комплексные числа, a z— комплексное
переменное, называются степенными рядами. Числа
а„ п-=0, 1, 2, ...,
называются, коэффициентами степенного ряда (37.1).
Предполагая, что коэффициенты ряда и число z0 фиксиро-
ваны, будем исследовать поведение ряда (37.1) при различных z.
Если в ряде (37.1) выполнить замену переменного, положив
^ — z — z0, то получим ряд
£ (37.2)
п — о
Очевидно, что исследование сходимости ряда (37.1) эквива-
лентно исследованию сходимости ряда (37.2), поэтому в
дальнейшем будем рассматривать ряды вида (37.2), используя,
как правило, для обозначения переменной букву z, а не С.
105
Теорема 1 (первая теорема Абеля). Если степенной ряд
п = О
(37.3)
сходится при z = zo/0, то он сходится, и притом абсолютно,
при любом z, для которого |z|<|z0|.
Доказательство. Пусть ряд
Z «nz"o (37.4)
п = О
сходится. Тогда его и-й член anzn0 стремится к нулю при
(см. п. 34.1), поэтому последовательность {«„zjj} ограничена,
т. е. существует такая постоянная Л/>0, что
\anzn0\^M, п = 0, 1, 2, ... .
В силу этого, для и-го члена ряда (37.3) имеет место оценка
п
Z
\anzn\ = \anzn0\-
Если |z|<|z0| (рис. 163), то
ряд L
п = 0
являясь суммой
геометрической прогрессии со знаменателем
схо-
дится. Поэтому, согласно
00
сходится и ряд £ |flnZn|,
п = 0
признаку сравнения (см. п. 34.5),
а это означает абсолютную сходи-
мость ряда (37.3) при | z | < | z0 |. □
Следствие 1. Если степенной
ряд (37.3) расходится при z = z0, то
он расходится и при всяком z, для
которого |z|>|z0|.
Действительно, если |z|>|z0| и
ряд (37.4) расходится, то расходит-
ся и ряд (37.3), так как если бы он
сходился, то, в силу доказанного,
сходился бы и ряд (37.4).
Определение 2. Пусть задан ряд
00
£ anzn. Если R — неотрицательное
и = О
106
число или 4-оо обладает тем свойством, что при всех z, для
которых | z | <R, ряд (37.3) сходится, а при всех z, для которых
| z | > R, ряд (37.3) расходится, то R называется радиусом
сходимости степенного ряда (37.3).
Множество точек z, для которых | z | < R, называется кругом
сходимости ряда (37.3).
Если = 0, то круг сходимости вырождается в точку z = 0, а
если 1?= + оо, то круг сходимости совпадает со всей комплекс-
ной плоскостью С.
Теорема 2. У всякого степенного ряда (37.3) существует
радиус сходимости R. Внутри круга сходимости, т. е. при
любом z, для которого | z | < R, ряд (37.3) сходится абсолютно.
На любом круге |z|^r, где г фиксировано и r<R, ряд (37.3)
сходится равномерно.
Доказательство. Обозначим через А множество всех
неотрицательных чисел, в которых ряд
X апхП
п = 0
(37.5)
сходится. При х = 0 этот ряд заведомо сходится, поэтому
множество А не пусто и, следовательно, имеет конечную
или бесконечную верхнюю грань. Покажем, что sup А = А.
Действительно, пусть zeC и |z|<7?. Согласно определению
верхней грани, существует такое хеА, что |z|<x^7? (см.
определение 4' в п. 3.4). В силу определения множества А, для
указанного х ряд (37.5) сходится, следовательно, согласно
первой теореме Абеля, в выбранной точке z сходится абсо-
лютно ряд ^a„zn.
п = 0
Если | z | > R, то выберем такое
что R<x<\z\\ тогда снова, в силу
определения множества Л, ряд (37.5)
в такой точке х расходится— она
лежит на действительной оси правее
всех точек, в которых ряд (37.5)
сходится. Поэтому, согласно следст-
вию из первой теоремы Абеля, для
выбранного z расходится и ряд
00
Е a„zn.
п~0
Итак, действительно, R является
радиусом сходимости ряда (37.3).
Если теперь 0<r<R, то, по дока-
занному, ряд (37.3) при z = r аб-
солютно сходится, т. е. сходится
действительное число х,
Рис. 164
107
числовой ряд
00 /
л = О
А так как для любой точки z круга | z | г (рис. 164)
|«„z”|^j^„|rn, л = 0, 1, 2, ...,
то, согласно признаку Вейерштраоса (см. п. 36.3), на этом круге
ряд (37.3) сходится равномерно. □
Таким образом, областью сходимости всякого сгепенного
ряда является всегда «круг», т. е. обычный круг, исключая, быть
может, некоторое множество его граничных точек. В граничных
же точках круга сходимости ряд может как сходиться, так и
расходиться (см. следующие ниже примеры).
Подчеркнем, что радиус сходимости степенного ряда
(37.3) обладает следующим свойством: для каждого числа
z такого, что | z | < R, указанный ряд абсолютно сходит-
ся, а для каждого z такого, что | z | > /?, он просто, а
следовательно, и подавно абсолютно расходится (расходится
ряд, составленный из абсолютных величин членов данного
ряда). Это следует, очевидно, из определения радиуса сходи-
мости и теоремы 2.
Члены степенного ряда являются непрерывными функциями
и, как было показано, на всяком круге, лежащем вместе со
своей границей внутри круга сходимости, степенной ряд
сходится равномерно, поэтому его сумма непрерывна на всяком
указанном круге. Очевидно, что для любой точки z круга
сходимости, |z|</?, можно подобрать круг, содержащий эту
точку и лежащий вместе с границей в круге сходимости
(достаточно взять его радиус г таким, что |z|<r<A), поэтому
степенной ряд непрерывен в каждой точке z, лежащей внутри
его круга сходимости: | z| < R.
Рассмотрим теперь случай, когда степенной ряд сходится в
точке z — R. лежащей на границе его круга сходимости.
Отметим, что случай z — — R может быть сведен к случаю z~R
простой заменой переменного z.
Теорема 3 (вторая теорема Абеля). Если R — радиус
сходимости ряда £ anzn и этот ряд сходится при z = R, то он
п~0
сходится равномерно на отрезке [О, R ] действительной оси.
Следствие. Если степенной ряд (37.3) сходится при z~R,
то его сумма непрерывна на отрезке [О, R j действительной оси.
Доказательство. Пусть Представим ряд
Об оо 00 / \ п 00
£ апхп в виде У — ») • Члены ряда £ anRn не
зависят от х, поэтому его сходимость означает и его
108
П JAYl
равномерную сходимость. Последовательность же <1 — 1 > огра-
ничена на отрезке [О, Л], ее члены неотрицательны: 0^1 - ) ^1,
и она убывает в каждой точке (при x — R она не строго убывает,
точнее, является стационарной). Поэтому, в силу признака
Абеля равномерной сходимости рядов (см. теорему 7 в п. 36.3),
ряд (37.3) равномерно сходится на отрезке [0, 7?]. □
Следствие вытекает из того, что сумма равномерно сходя-
щегося ряда непрерывных функций является также непрерывной
функцией.
Все сказанное с помощью преобразования типа z=£—
(£ — новая переменная, фиксировано) переносится и на общие
степенные ряды вида (37.1). В частности, областью сходимости
такого степенного ряда всегда является круг вида \z—z0|</?,
конечно, как и выше, с точностью до его граничных точек.
Этот круг называется крутом сходимости (ряда (37.1)), а
R — его радиусом сходимости.
оо
Примеры. 1. Радиус сходимости R ряда £ n\zn равен нулю,
и- О
т. е. этот ряд сходится только при z=0**.
Действительно, исследуя абсолютную сходимость этого ряда
по признаку Даламбера, при любом z/О получим
lira —!= lim (и+ l)|z|= +оо.
П—*00 п—*00
Таким образом, рассматриваемый ряд не сходится абсо-
лютно при любом z/О; отсюда, в силу следствия из первой
теоремы Абеля, он расходится при любом z/0.
2. Радиус сходимости ряда У — равен +оо, так как было
л = ол!
показано (см. п. 36.1), что этот ряд сходится при любом z.
3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
00
X (37.6)
и = 0
сходится при |z|< 1 и расходится при |z|^l. Поэтому ее радиус
сходимости Л=1. Отметим, что во всех точках границы круга
сходимости, т. е. во всех точках окружности |z| = l, ряд (37.6)
расходится, так как для общего члена ряда имеем |z”| = 1 и,
следовательно, он не стремится к нулю при л/-»оо.
При z = 0, очевидно, сходится любой ряд вида (37.3).
109
4. Ряд
(37.7)
сходится при |z|^l, так как при выполнении этого условия
V 1
а ряд > — сходится.
1
л2’
При | z | > 1 ряд (37.7) расходится, поскольку в этом случае
I ~ I"
lim ^2"=+оо*\ т. е. не выполняется необходимое условие
п—-СО W
сходимости ряда. Радиус сходимости ряда (37.7), как и ряда
(37.6), равен единице, однако в каждой точке границы круга
сходимости ряд (37.7), в отличие от ряда (37.6), сходится
5. Ряд
имеет радиус сходимости R = 1.
Действительно, применив признак Даламбера для определе-
ния z, при которых ряд абсолютно сходится (расходится),
получим
lim =И lim-J-=|z|
п
и, следовательно, при | z | < 1 данный ряд сходится, причем
абсолютно, а при |z|> 1 он расходится. При z=] получается
расходящийся гармонический ряд
а при z = — 1 — сходя-
и = 0
щийся ряд У -—- (см. п. 34.3 и 34.9). Таким образом, в этом
п = О
примере на границе круга сходимости есть точки, в которых
ряд сходится, и точки, в которых он расходится.
Таким образом, область сходимости степенного ряда не
совпадает, вообще говоря, с его кругом сходимости, а состоит
из внутренности этого круга (он является, по определению 2,
Действительно, легко, например, с помощью правила Лопиталя убедить-
\z I"'*
ся, что lim LJ2-=: + со (см. пример 2 в п. 12.2).
х—► + оо X
ПО
замкнутым множеством) и, быть может, еще из некоторого
множества точек, лежащих на его границе.
Из рассмотренных примеров (см. также п. 36.1) видно, что
иногда радиус сходимости R степенного ряда находится с
помощью признака Даламбера сходимости рядов с положитель-
ными членами (см. теорему 8 в п. 34.6). Действительно,
справедливо следующее утверждение: если существует предел
(конечный или бесконечный) lim ——
«—*00 ап+1
R= lim
n—*00
то
(37.8)
В самом деле, если число R определено этой формулой и
| z | < R, то
lim |a"+1Z"+1| = |z| lim^i^=l^<l,
П—*00 O„z" п—*00 I Яп I R
поэтому ряд (37.3) для такого z сходится (и притом абсолютно).
Если же I z I > Л, то lim ^n+1Z—и, следовательно,
л—оо |й„2л| R
ряд (37.3) абсолютно расходится. Таким образом, R действи-
тельно является радиусом сходимости ряда (37.3).
Аналогично можно найти величину радиуса сходимости
Лис помощью признака Коши (см. теорему 9 в п. 34.6),
если только существует предел (конечный или бесконечный)
limя/iап\. В этом случае
м—*оо
1
lim n/iaj
и—ос
(37.8')
Действительно, если число R задается этой формулой и если
|z|<jR, то
lim J^/|z"(= Iz| lim ц/|аД = ^<1
и—*оо «—*оо К
и поэтому ряд (37.3) сходится. Если же | z | > Л, то
lim = 1
л—*00 К
и, следовательно, ряд (37.3) абсолютно не сходится.
Таким образом, R является радиусом сходимости ряда
(37.3).
111
Затруднения при применении таких методов определения
радиуса сходимости степенного ряда могут возникнуть, напри-
мер, уже в том случае, когда в рассматриваемом ряде имеются
коэффициенты со сколь угодно большими номерами, равные
нулю. Тогда можно попробовать применить один из этих
методов, предварительно перенумеровав подряд все члены ряда
с отличными от нуля коэффициентами (отчего его сходимость и
сумма в случае, если он сходится, не изменяются).
Поясним сказанное на примере. Пусть требуется определить
радиус сходимости ряда
если 77= 1, 3, 5, ...,
если 2, 4, ... .
{1
А
V,
Признак Даламбера неприменим для определения сходимо-
• ап+1
сти этого ряда, так как отношение —— не имеет смысла для
четных номеров п. Не дает отвела здесь и признак Коши,
поскольку нетрудно проверить, что здесь предел lim | не
п—
существует. Однако если положить к = 0. 1, 2, ..., и
записать данный ряд в виде
Е V2*+1
к = 0
00
У -—,
*=0 2*+'
то, исследовав абсолютную сходимость этого ряда с помощью
признака Даламбера, получим
lim
к—*сс
\bk+1z2k + 3\ . |2г
-2== z 2 lim
I / 2/( 1- 1 I I I
I к—* оо
2/с+1
2Т+3
Отсюда следует, что рассматриваемый ряд абсолютно сходится,
когда |z2|<l, т. е. когда | z| < 1, и абсолютно расходится, когда
|z|>l. Таким образом, радиус сходимости этого степенного
ряда равен 1.
Подчеркнем, что с помощью признака Даламбера и призна-
ка Коши можно найти радиус сходимости не для произвольного
степенного ряда, а лишь для такого, у которого существуют
указанные выше пределы (быть может, после новой нумерации
членов).
Упражнения. Определить радиусы сходимости рядов:
2'В- ‘Ь*
П — 1 И : 1 11 -- О
112
37.2*. ФОРМУЛА КОШИ —АДАМАРА ДЛЯ РАДИУСА СХОДИМОСТИ
СТЕПЕННОГО РЯДА
Найдем теперь формулу для определения радиуса сходимос-
ти произвольного степенного ряда через его коэффициенты в
общем случае.
Теорема 4. Пусть R — радиус сходимости степенного ряда
Е v"; (37.3)
п = 0
тогда
R==J—=*\ (37.9)
lim V|a„|
п—*00
Формула (37.9) называется формулой Коши — Адамара**\
Доказательство. Положим р— lim {"ДаД. Рассмотрим
и—
сначала случай р = 0. Покажем, что в этом случае ряд (37.3)
сходится при любом z. Возьмем какое-либо z/О и такое 8, что
0<8<1. То1да (см. теорему 10 п. 4.12*) существует такое N\,
что
”/|дп|<— для всех n>NA,
kl
т. е.
|tzj|z|"<8" для всех n>Nr.
Отсюда по признаку сравнения следует, что ряд (37.3) абсолют-
но, а значит, и просто сходится при данном z, а гак как z было
произвольно, то это означает, что R^+co.
Возьмем другой крайний случай: пусть р=-Ьоо. Покажем,
что в этом случае ряд (37.3) расходится при любом z/0.
Действительно, если р= 4-оо, то существует последовательность
пк. 2, .... натурального ряда такая, что lim ”^/| = +оо.
Поэтому, каково бы ни было z/О, существует такой номер kz,
что при к > кг
Таким образом, не выполняется необходимое условие
сходимости ряда - стремление к нулю и-го члена, поэтому при
данном z^O ряд расходится, а так как z#0 было произвольно,
то это означает, что /^0.
О верхнем пределе см. в п. 3.12*.
* Ж, А дамар (1865 - -1963) — французский математик.
113
Пусть теперь 0<р< + оо. Покажем, что при всяком z таком,
что |z|<— ряд (37.3) сходится. Выберем е>0 так, чтобы
р
|z|<—тогда число q, определяемое равенством q =
р T" £
= (p + e)|z|, будет удовлетворять неравенству q<l. Согласно
свойству верхнего предела, существует такой номер Л\, что при
n>Nr
поэтому при n>Nr
И v/M<lzl(p+e)=^ т- е- l«nz"l<^ 0<^<1,
и по признаку сравнения ряд (37.3) при рассматриваемом z
абсолютно, а значит, и просто сходится.
Покажем теперь, что ряд (37.3) при всяком z таком, что
| z | > -, расходится. Выберем е > О так, чтобы
Р
|z|>—>0, (37.10)
р-8
тогда | z | (р — в) > 1. Согласно свойству верхнего предела (см.
теорему 10 п. 4.12*), существует подпоследовательность пк,
к=1, 2, ..., натуральных чисел такая, что
"VT«J>P-e, 1 2> ••••
Из этого, в силу (37.10), следует, что
kryRj>|z|(p-£)>i
и, следовательно,
т. е. в этом случае не выполняется необходимое условие
сходимости ряда — стремление к нулю его л-го члена, и
поэтому для рассматриваемого z ряд (37.3) расходится.
Таким образом, ряд (37.3) сходится, если |z|<—, и рас-
Р
ходится, если |z|>-, а это и означает, что /? = -. □
Р Р
1
Для этого достаточно ВЗЯТЬ £<----.
И-р
114
Отметим, что из доказанной теоремы еще раз следует, что
для каждого степенного ряда (37.3) существует такое конечное
или бесконечное число что для всех zeC, для которых
| z | < /?, ряд (37.3) сходится, а для которых | z | > R,— расходится,
т. е. что для каждого степенного ряда существует радиус
сходимости: им является
lim и^/| ап |
37.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определение 3. Функция f(z) называется аналитической в
точке Zq, если существует такое R>0, что в круге \z — z$\<R
она представима степенным рядом вида (37.1), т. е. существуют
такие комплексные числа ап, п = 0, 1, 2, ..., что
00
/(z)= Е «„(z-z0)n, \z—z0\<R. (37.11)
п~ О
Сумма, разность и произведение аналитических в точке
функций снова являются аналитическими в этой точке функци-
ями (почему?).
Лемма 1. Если R—радиус сходимости ряда (37.11), R>0 и
00
r„(z)= X ak(z-z0)k
k = n+ 1
— остаток ряда (37.11), то
r„(z)=O((z-z0)n+1) при z-*z0 (37.12)
и, следовательно,
rn(z) = 0((z-zo)") пРи z~>zo- (37.13)
Доказательство. Если \z — z0\<R, то
'•„(2) = (z-z0)"+1 f ak(z—z0)k~n~l
k = n+ 1
и ряд, получившийся после вынесения множителя (z—z0)"+1,
сходится. Поэтому функция <p(z)= ak(z—z0)k~n~1, как
k = п + 1
сумма степенного ряда, непрерывна в круге \z — z0|<7?.
Если теперь 0<r<R, то функция cp(z), будучи непрерывной
на замкнутом круге \z — z0|^r, является ограниченной на нем,
т. е. найдется такая постоянная М>0„ что (см. п. 23.3) при
|z — z01г выполняется неравенство | <р(z)|<М. Поскольку
rn(z) = (z — z0)n + 1cp(z), ТО при \z — z0|^r получим
115
k„(z)l = k-z0|"+1 |q>(z)^M|z-z0|n+1,
а это и означает (37.12). Условие (37.13) непосредственно
следует из (37.12). □
Теорема 5. Разложение аналитической в точке z0 функции
в степенной ряд вида (37.11) единственно, т, е. если
00 00
X a„(z-z0)" = X bn(z-z0)", \z-z0\<R, R>0. (37.14)
n = 0 n—0
то
an — bn, n = Q, 1, 2, ... .
Доказательство. Из равенства (37.14) (при п — 0), в силу
формулы (37.12), следует, что при z->z0
a04-O(z-z0) = Z»0 + O(z-z0).
Переходя в этом равенстве к пределу при z->z0, получим а0 — Ь0.
Пусть уже доказано, что
aj=bj, /=О, 1, 2, ..., и—1;
тогда, в силу (37.12) и (37.14),
«0 + o1(z-z0) + ... + «„(z-z0)',+O((z-z0)"+1) =
= Z>0+Z>1(z-z0) + ... + fen(z-z0)"4-O((z-z0)n+1).
Уничтожая одинаковые члены в обеих частях этого равенства и
разделив обе его части на (z — z0)n, имеем
a„ + O(z-z0) = b„ + O(z-z0), z^z0, z^z0.
Отсюда в пределе при z-+z0 получим, что ап^Ьп (ср. с
теоремой 2 в п. 13.2). □
Может оказаться, что лишь рассмотрение ряда в области
комплексных чисел может объяснить величину его радиуса
сходимости. Например, ряд
со
I (-1)п*2и,
л = 0
являющийся суммой геометрической прогрессии со знаменате-
лем —х2, сходится при | х | < 1 и расходится при | х | > 1. Его
сумма на интервале (—1; 1) равна ••• А 2. Функция
определена и бесконечно дифференцируема на всей действитель-
ной оси, непонятно почему, раскладывая ее в ряд
00
м = 0
116
мы получаем ряд, сходящийся только при |х|<1. Это разло-
жение делается совершенно естественным, если рассмотреть эту
функцию в области комплексных чисел, поскольку функция - J „
имеет «особую точку» при z = z (в этой точке функция не
определена и при приближении к ней стремится к бесконечнос-
ти), т. е. как раз на границе круга
37.4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
В настоящем пункте будут в основном рассматриваться
степенные ряды с действительными членами. Однако предвари-
тельно докажем лемму, справедливую для степенных рядов и в
комплексной области.
Лемма 2. Радиусы сходимости рядов
00
X anzn, (37.15)
л = 0
X пап7п 1
п- 1
(37.16)
47.17)
равны.
Таким образом, ряды (37.16) и (37.17), получаемые из ряда
(37.15) соотвественно с помощью «формального интегрирования
и дифференцирования», имеют те же радиусы сходимости, что и
исходный ряд. Интегрирование и дифференцирование названы
здесь формальными, поскольку для функций комплексного
аргумента эти операции не были определены, и они выполня-
лись так, как если бы z было действительным числом, т. е. в
действительной области ряд (37.16) получается из ряда (37.15)
почленным интегрированием, а ряд (37.17) — почленным диф-
ференцированием.
Доказательство. Пусть R —радиус сходимости ряда
(37.15), Rr — радиус сходимости ряда (37.16), a R2 — радиус
сходимости ряда (37.17). Из неравенств
——<|z| |a„zw|^|z2| |иаи2л 11, и=1, 2, ...,
и теоремы сравнения (см. теорему 6 в п. 34.5) следует, что если
в некоторой точке z сходится ряд (37.17), то в этой точке
сходится и ряд (37.15), и если в некоторой точке z сходится ряд
117
(37.15), то в той же точке сходится и ряд (37.16). Отсюда
следует, что
(37.18)
Покажем теперь, что
R^R2. (37.19)
Возьмем какую-либо точку zo^0 из круга сходимости ряда
(37.16) и покажем, что в ней сходится ряд (37.17). Так как
| z01 < jR, то найдется такое действительное число г, что
\z01 <r<Rx. Запишем абсолютную величину члена ряда (37.17)
следующим образом:
|«a„z.o 1
п (п + 1)
l^ol2
wn+1
/? + 1
(37.20)
В силу сходимости ряда (37.16) при z = r, общий член этого ряда
при z = r стремится к нулю, когда 77->оо:
lim
Z7—> сх5
« +1
-0.
Следовательно, последовательность
чена, т. е. существует такое Л/>0,
a rn+l
и+1
/7=1, 2, ..., ограни-
что для всех и=1, 2, ...,
выполняется неравенство
и+1
^М.
Положив
q=
, из (37.20) получим неравенство
+ 0«7<1.
I ^0 I
Ряд с общим членом Mqn + l сходится (в этом легко
I zo I
убедиться, например, по признаку Даламбера), поэтому при
z = z0 сходится и ряд (37.17). Неравенство (37.19) доказано. Из
неравенств (37.18) и (37.19) следует, что
□
Замечание. Утверждение леммы может быть доказано
проще, если использовать формулу Коши — Адамара для
радиуса сходимости степенного ряда (см. п. 37.2*). Это не
сделано, так как приведенное доказательство также не сложно, а
поскольку оно не использует формулы Коши — Адамара,
п. 37.2* можно пропустить при первом чтении (на что и
указывает звездочка при его номере).
118
Далее в этом параграфе везде, где не оговорено противное,
будем предполагать, что коэффициенты всех рассматриваемых
рядов действительны и что переменные z и z0 также действи-
тельны (в этом случае будем их обозначать х и х0). Правда, все
рассматриваемые ниже свойства степенных рядов переносятся в
определенном смысле и на степенные ряды в комплексной
области, однако для осуществления этого нам пришлось бы
обобщить понятие производной и интеграла на функции
комплексного аргумента, а это не входит в задачу настоящего
курса.
Итак, будем рассматривать ряды
00
X «„(х-х0)", (37.21)
и = О
где (/7 = О, 1, 2, ...), х и х0 действительны. Если R — радиус
оо
сходимости ряда £ an(z — x0), где z — комплексное число, т. е.
п= 1
ряда с теми же коэффициентами, что и у ряда (37.21), но
рассматриваемого в комплексной области, то, очевидно, ряд
(37.21) сходится, если |х —х01</?, и расходится, если |х —х0|>А.
В этом случае R по-прежнему называется радиусом сходимос-
ти ряда (37.21), а интервал (x0 — R, х0 + 7?) — его интервалом
сходимости.
Теорема 6. Если R—радиус сходимости степенного ряда
00
/(*)= Y (37.22)
п = 0
7?>0, то:
1) функция f имеет в интервале (х0 — R, х04-7?) производные
всех порядков и они находятся из ряда (37.22) почленным
дифференцированием^
2) для любого хе(х0- R, х0 + 1?)
X 00
х0 и = 0
т. е. внутри интервала сходимости степенной ряд можно
почленно интегрировать}
3) степенные ряды, получающиеся из ряда (37.22) в резуль-
тате почленного дифференцирования или интегрирования, имеют
тот же радиус сходимости, что и сам ряд (37.22).
Доказательство. В силу леммы, доказанной в начале
этого пункта, радиусы сходимости ряда
00
п = 1
119
получающегося из ряда (37.22) почленным дифференцировани-
ем, и ряда
оо
V1 С„(х-хо)"+1
Zj «+1
п = О
получающегося из того же ряда почленным интегрированием,
равны радиусу сходимости ряда (37.22) (чтобы в этом убедить-
ся, достаточно сделать замену переменного х — х0 —z).
Всякий степенной ряд вида (37.22) с радиусом сходимости R
равномерно сходится на отрезке [х0 — г, x0 + r], Q<r<R (см.
теорему 2 в п. 37.1), поэтому утверждение теоремы о
возможности почленного дифференцирования и интегрирования
вещественных степенных рядов непосредственно следует из
соответствующих теорем о дифференцируемости и интегрируе-
мости функциональных рядов, доказанных в п. 36.4. □
Заметим, что, например, возможность почленного интегри-
рования степенного ряда (37.22) внутри интервала сходимости
(Xq — R, x0 + R) сразу’вытекает (см. теорему 9 в п. 36.4) из того,
что степенной ряд равномерно сходится на всяком отрезке
[х0 —г, х0 + г], 0<г<7?. Отсюда следует, что при почленном
интегрировании радиус сходимости степенного ряда не умень-
шается. Доказанная теорема содержит более полное утвержде-
ние, что указанный радиус сходимости, кроме того, и не
увеличивается, т. е. остается прежним.
Теорема 7> Если функция f аналитическая в точке х0. т. е.
представима в окрестности этой точки рядом (37.22) с
радиусом сходимости R > 0, то
йп=Т"ТЦ, „ = 0, L (37.23)
п\
т. е.
оо
п = 0
Доказательство. Продифференцировав п раз обе части
равенства (37.22), получим (см. теорему 6)
/,(п)(х) = и(п—!)... 2-1 •«„ + («+1)и ... 2<1,1+1(х-х0) +
+(л + 2)(л+1)... За„+2(л'-л'0)2 + ... .
Отсюда при x = xQ и вытекает формула (37.23). □
Заметим, что из доказанной теоремы следует еще раз
свойство единственности разложения функции в степенной ряд
(правда, на этот раз в силу сделанных ограничений только в
действительной области (ср. с. п. 37.3).
120
37.5 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЗАПИСИ .
ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
Определение 4. Пусть функция / определена в некоторой
окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные всех
порядков. Тогда ряд
00
ZAJr2'—»)/
п = 0
(37.24)
называется рядом Тейлора функции /’ в. точке х0.
При хо = 0 ряд (37.24) называется также рядом Маклорена
функции ,/(х).
Как известно, всякая аналитическая в точке х0 функция
бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности этой
точки и равна в этой окрестности сумме своего ряда Тейлора.
Вместе с тем оказывается, что существуют функции, бесконечно
дифференцируемые, но не аналитические и, значит, не предста-
вимые своим рядом Тейлора.
Примером является функция
1
е для х^О,
Дх) = (37.25)
О для х = 0.
При х/0 эта функция имеет производные всех порядков,
которые легко вычисляются:
2 _2_ 6 4 _2.
f'(x)=^e /"(х)=--е ^+-^е
V X X
и вообще
где Рп - — многочлен некоторой степени относительно -
\х] X
(п - порядковый номер, а не степень многочлена), т. е.
/(и) (х) — линейная комбинация слагаемых вида
-2 m = 0, 1, 2,.... (37.26)
Это легко проверяется по индукции. Сделав замену переменного
121
t=\, найдем, применив правило Лопиталя, предел модуля
выражения (37.26) при х->0:
1 _1
т
lim— е~^ = lim ^ = 0.
х—о Хт е
Отсюда следует, что и предел выражения (37.26) при х->0 также
равен нулю и что при любом п = 1, 2,...
lim /(и’(х) = НтР„|-)е“^=0. (37.27)
х—±0 X—О \х/
Из формулы (37.27) при п = 0 и п=\ следует, что функция f
непрерывна в точке х = 0и lim /'(х) = 0, поэтому (см. следствие
х—► ± О
3 из теоремы 3 п. 11.2) f'(0) существует и /' (0) = 0. По индукции
легко аналогично убедиться, что /(п)(0) = 0, п = 0, 1, 2,... .
Таким образом, все члены ряда Тейлора функции (37.25) в
точке хо = 0 равны нулю, поэтому его сумма при всех х также
равна нулю и, следовательно, не совпадает с самой функцией.
Заметим еще, что, согласно теореме 5 п. 37.3, функция (37.25) не
может быть разложена ни в какой степенной ряд (так как если
бы это было возможно, то он оказался бы рядом Тейлора), а
это и означает, что она не является аналитической.
_i
Упражнения. 6. Установить, можно ли разложить функцию f(x) — e~x9
х>0, Д0) = 0. на отрезке [0, 1] в ряд Маклорена.
7. Пусть
0 (х) = <
1
-1
при
при
х<0.
Доказать, что функцию 0(х)<? можно так доопределить при х = 0, что в
результате получится бесконечно дифференцируемая на всей числовой оси
функция.
Заметим, что если функция раскладывается в некоторой
окрестности данной точки в степенной ряд, то такой ряд
единствен (см. теорему 5 или теорему 7) и является ее рядом
Тейлора в этой точке. Однако один и тот же степенной ряд
может служить рядом Тейлора для разных функций. Так,
00
степенной ряд с нулевыми коэффициентами Ох", является как
п = О
рядом Тейлора функции, тождественно равной нулю на всей
числовой оси: f(x) = 0, x^R, так и рядом Тейлора функции
(37.25) в точке х = 0.
122
Возникает вопрос: когда ряд Тейлора (37.24) функции
f(x) на некотором интервале сходится к /(х)? Чтобы исследо-
вать этот вопрос, напишем формулу Тейлора для функции/(см.
п. 13.1)
п
/(А') = ^^^(х-Хо)'‘ + ^и) (37.28)
к = 0
(она справедлива при любом п = 0, 1, 2,...). В этой форму-
ле гп(х)— остаточный член формулы Тейлора, а не оста-
ток ряда Тейлора, так как с остатком ряда нельзя опериро-
вать до тех пор, пока не будет установлено, что ряд схо-
дится,— лишь в этом случае можно утверждать, что остаточный
член формулы Тейлора совпадает с остатком ряда Тейлора.
Полагая
, \ V fW (Хо) / ч»
5" х = х ~ х° ’
к = 0
перепишем формулу (37.28) в виде
/(х)=5„(х)+г„(х). (37.29)
где ли(х) — н-я частичная сумма ряда Тейлора. Отсюда следует,
что, для того чтобы функция / была равна на рассматриваемом
интервале сумме своего ряда Тейлора, т. е. чтобы lim.s„(x) =
и—>оо
=/(х), необходимо и достаточно, чтобы для всех х из этого
интервала ее остаточный член в формуле Тейлора стремился к
нулю:
limr„(x) = 0. (37.30)
п—>00
Если это имеет место, то из формулы (37.29) следует, что
остаточный член формулы Тейлора гп(х) является также и
суммой л-го остатка ряда Тейлора (37.24).
Для того чтобы найти условия, при которых остаточный
член в формуле Тейлора стремится к нулю в окрестности
данной точки, предварительно установим некоторые формы его
возможной записи.
Теорема 8. Пусть функция f определена и непрерывна вместе
со всеми своими производными до порядка п+1 включительно на
интервале (x0—h, x0 + h), h>0. Тогда остаточный член гп(х) ее
формулы Тейлора (37.29) для всех x<^(x0 — h, xQ + h) можно
записать любым из следующих трех способов:
123
л
Ju-On/<n+1)(0^ (37.31)
x0
^)ЦйТ7г(*-*о)”+1> <37-32)
(к+ I):
где £ принадлежит интервалу с концами в точках х0 и х, и
r„ (х) =f— П ^(л J (I -0)"(А-хо)в+1, (37.33)
где О<0<1.
Формула (37.31) называется остаточным членом формулы
Тейлора в интегральной форме, формула (37.32) -в форме
Лагранжа, а (37.33) — в форме Коши.
Доказательство. Из основной теоремы дифференциаль-
ного и интегрального исчисления (см; теорему 4 п. 29.3) имеем
ftx) =/(х0) + f f (0 dt =f(x0) - f f'(f)d(x — t).
xo x0
Проинтегрировав по частям интеграл в правой части равенства,
получим
/(*) =/(х0)+[ -/' (О - z) ]JO + J f" (t) (х -1) dt=
х°
=Л*о) +f (*o) (x - *o) + f f" (0 (* - 0 dt.
x0
Пусть для некоторого m^n уже доказано, что
m- 1
/(*) = ^<^(A-x0)k+^l^ f f^iOix-tr-1 dt. (37.34)
Проинтегрируем по частям последний член еще раз:
X X
f* f*
—1— /(т) (?) (х- ty-1 dt= -1 (ш—1)! ' m! 1 x0 *c X X+_L ml m! xo * xo f(m\t)d(x-t)m = 1 (l)(x-t)mdt=
124
X
с
x0
и йодставим это выражение в (37.34):
т х
Я*) = ^f-^>(x-X0)k +1 Г/<т+ !> (/) (x-t)m dt.
k = 0 xq
В результате получилась формула (37.34), в которой т заменено
на т+1.
Таким образом, формула (37.34) доказана методом матема-
тической индукции для всех т п. При т = п ее остаточный член
имеет вид (37.31).
Применим теперь первую интегральную теорему о среднем
значении к интегралу (37.31). Заметив, что функция (х— t)n не
меняет знака на промежутке интегрирования, вынесем за знак
интеграла «среднее значение» производной /<я+1) (см. следствие
из теоремы 1 в п. 28.2):
_/я+1>К)
п!
1
=-----— (х-х0)‘
>0 (и+1)! V 07
где £ лежит на интервале с концами в точках х0 и х. Формула
(37.32) доказана.
Если же применить интегральную теорему о среднем к
интегралу (37.31), вынося за знак интеграла «среднее значение»
всей подынтегральной функции (см. п. 28.2), то получим
r”(A')=i [fn+14t)(x-t)”dt^f^-^(x-i,r (х-х0), (37.35)
х0
где %, как и выше, лежит на интервале с концами в точках х0 и
х, т. е.
^ = хо4-0(х—х0), О<0< 1.
Отсюда х — % = х—х0 — 0 (х—х0) = (х — х0) (1 — 0). Подставив это
выражение в (37.35), получим формулу (37.33). □
Приведем достаточное условие разложимости функции в
степенной ряд.
125
Теорема 9. Пусть функция f бесконечно дифференцируема и
все ее производные ограничены в совокупности на интервале
(х0 —А, х0 + Л), т. е. существует такая постоянная М>0, что
для всех x<^(x0 — h, x0 + h) и всех п = 0, 1, 2,... выполняется
неравенство
\f™(x)\^M.
(37.36)
Тогда на интервале (х0 —/г, х0 + /г) функция f раскладывается в
ряд Тейлора:
оо
/(х) = ^^^(х-х0)", |х-х0|</г. (37.37)
и = 0
Доказательство. Прежде всего заметим, что, каково бы
ни было число а,
lim—=0 (37.38)
' и—оо п!
(см. пример 4 в й/ 4.9, впрочем, это равенство следует и
ап г
непосредственно из того, что выражение — — общий член
п!
00
сходящегося ряда > см. (36.4)).
/ j п!
п= 1
Для того чтобы доказать формулу (37.37), достаточно
убедиться (см. (37.30)), что
lim г„ (х) = О,
п—«-оо
(37.39)
где г„(х)— остаточный член в формуле Тейлора функции f.
Возьмем г„(х) в форме Лангранжа (см. (37.32)). Из неравенства
(37.36) следует, что
|г„ (Х) (= /,л+1>(^ (х - х0)"+1
1 "v 71 (и+1)! v 07
м[- *о1"+1,
(и+1)!
где |^-х0|<|х-х0|<h.
На основании (37.38)
lim
lx-ХоГ1
(и+1)!
поэтому при |х — х0|<Л выполняется условие (37.39). □
Упражнение 8. Заменим в теореме 8 условие ограниченности производ-
ных fM(x), и=1, 2,..., на интервале (x0 — h, л0 + /?) условием их ограниченности
только в точке х0, т. е. пусть существует такое М>0, что для всех п выполня-
ется неравенство |/(и)(х0) |^Л/. Тогда, очевидно, ряд (37.37) сходится, и притом
126
абсолютно, на всем интервале (x0—h, x0 + h), так как
М(х-х0У
п\ ’
а ряд
\П
---j-2- сходится при всех х (см. ряд (36.4)). Следует ли отсюда
и = 0
утверждение теоремы 9?
37.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА
Прежде всего найдем разложение в ряд некоторых основных
элементарных функций.
1. Разложение в ряд функции f(x) = ex. Так как
/(и)(х) = ех, то для любого фиксированного /г > 0 при всех
xg(-h, h) и всех л = 0, 1,...
0</(л)(х)<е\
Таким образом, условия теоремы 9 выполнены (хо = 0), по-
этому функция ех раскладывается в ряд Тейлора (37.34) на
любом конечном интервале, а следовательно, и на всей действи-
тельной оси. Так как в данном случае /(п)(0) = 1, то, согласно
формуле (37.37), разложение ех имеет вид
(37.40)
п = О
Напомним, что в п. 36.1 было установлено, что ряд
п = О
абсолютно сходится на всей комплексной плоскости. Теперь по-
казано, что для действительных z = x его сумма равна ех. В
случае существенно комплексных z его сумму, по аналогии,
обозначают ez; таким образом, формула
е
(37.41)
п = О
для комплексных z является определением функции ez.
Данное определение естественно, во-первых, потому, что в
случае действительного z = x эта функция совпадает с показа-
тельной функцией ех, а во-вторых, функция ez сохраняет ряд
характерных свойств функции ех. Покажем, например, что
eziez2 =ez^+z2 (37.42)
для любых комплексных zr и z2
127
Ряд (37.41) абсолютно сходится, поэтому ряды
можно почленно перемножить (см. п. 35.10), а так как получаю-
щийся при этом ряд также абсолютно сходится, то его члены
можно располагать в произвольном порядке. Соберем все
члены, содержащие произведения z*[ z™ с одинаковой суммой
п+т, и расположим эти группы членов по возрастанию п + т:
н + m-Q к--О
от
(и+m)! z„+m-kzk= У (z-1+z2)"+-"_
(п+т —к)1к! 1 /. (п + т)1
к —О
+ т = О
2. Разложение в ряд shx и chx. Заменив в формуле
(37.40) х на — х (это означает просто изменение обозначения),
получим
(37.43)
Складывая и вычитая равенства (37.40) и (37.43), а затем
разделив их на/два, получим
(37.44)
(37.45)
В силу единственности разложения функций в степенные ряды,
правые части этих формул являются рядами Тейлора функций
chx и shx.
Функция ех определена теперь для всех комплексных z.
поэтому на существенно комплексные значения аргумента
можно распространить и гиперболические функции chx и shx,
положив
128
def^ + e-x
ch z =-------.
def
shz =
ez — e z
~2 ’
ze C.
Определенные таким образом chz и shz для комплексных
раскладываются в степенные ряды (37.44) и (37.45), сходящиеся
на всей комплексной плоскости (под х в них в этом случае
понимается комплексное число).
3. Разложение в ряд sinx и cosx. Формулы Эйлера.
Если /(x) = sinx, то /(w)(x) = sinf х + и| 1 (см. пример 3 п. 10.1),
поэтому
теореме
|/(и) (х) | 1 для всех действительных х. Согласно
9, отсюда следует, что функция sinx раскладывает-
ся в степенной ряд на всей действительной оси. Вспоминая
формулу Тейлора для синуса (см. п. 13.3), получим ряд Тейлора
для sm х:
sinx =
fc = 0
(-l)*x2fc+1
(2/с+1)!
(37.46)
Рассуждая аналогично и используя формулу Тейлора для
косинуса (см. п. 13.3), получим и для него ряд Тейлора
оо
cos"=2nsr- (3747)
к = 0
также сходящийся на всей действительной оси.
В силу теоремы Абеля (см. п. 37.1), ряды в правых частях
формул (37.46) и (37.47) сходятся также и при любом
комплексном х; эго позволяет дать определение синуса и
косинуса для комплексных значений аргумента, положив для
любого комплексного z
def V f—nfc72fc+1
sinz=2/WiT’ (37-48)
k = 0
oo
def \ Л 1V r2k
cosz= (37’49)
k = 0
В комплексной области легко установить связь между
показательной и тригонометрическими функциями. Заменив z в
ряде (37.41) сначала на zz, а затем на — zz, получим
129
5-2135
п = 0 п=0
В силу равенств
1 при n = 4k,
.п_ I z при л? = 4/с+1,
— | —1 при и = 4& + 2,
— i при и = 4^+3
и, следовательно, равенства z2k = (—1)к, fc = 0, 1, 2, из (37.50)
имеем
eiz + e-‘z_\ (-l)kz2* eiz-e~iz_\ (-l)kz2fc+1
2 / J (2А)! ’ 2i (2£+l)!
k = 0 k = 0
Сравнив последние формулы с формулами (37.48) и (37.49),
получим
piz-\~p~iz piz—p~iz.
cosz =--------, sinz =------(37.51)
2 2i
Отсюда непосредственно следует также формула
cos z+z sin z = elz. (37.52)
Равенства (37.51) и (37.52) называются формулами Эйлера.
Они справедливы, в частности, и для действительных z.
Если в формуле (37.52) z=<p — действительное число, то
coscp + zsincp = eI<p.
Отсюда, во-первых, следует, что
\е*\= 1,
так как | | = ^/cos2 ср + sin2 ф = 1, и, во-вторых, что комплексное
число z с модулем г и аргументом ср, т. е. z = r(cos cp-hz sin ср),
можно записать в виде z = rel<₽, называемом показательной
формой записи комплексного числа.
Положив z= —1 и, следовательно, (р = л, получим
?л=-1.
Эта формула показывает, что числа е, л и z связаны между
собой!
Напомним, чго числа л, е и z были открыты математиками
при изучении далеких друг от друга задач: число л найдено как
130
отношение длины окружности к диаметру, е — как такое
основание показательной функции, при котором производная
функция совпадает с самой функцией, а мнимая единица i
введена для того, чтобы каждое квадратное уравнение имело
решение.
С помощью формул Эйлера легко находятся модуль и
аргумент числа ez, где z = x+iy. Действительно (см. (37.42)),
ez = ex+lJ = e*ety = ex (cos у + i siny),
т. е. jezl = ex, Arg ez=y.
Синус и косинус в комплексной области обладают многими,
однако далеко не всеми свойствами, которыми они обладают и
в действительной области. Появляются и новые свойства, не
имеющие аналогов в действительной области.
Упражнения. Доказать, что при любом комплексном z\
9. sin( — z) = — sinz, cos(—z) = cosz.
10. sin2z + cos2z= 1.
11. sin(z+2л) = sinz, cos (z+2л) = cosz.
12. Для всех zeC справедливо неравенство ez/0.
def sin z
13. Пусть tgz =---. Доказать, что для всех zeC выполняется неравенство
cosz
tgz/±/.Указание. Выразить tgz через показательную функцию ez.
14. Можно ли разложить функции ^/z, sin^/z, cos^/z в степенной ряд (37.3)?
Покажем, что абсолютные величины синуса и косинуса в
комплексной области могут быть больше единицы и, более
того, не ограничены по абсолютной величине.
Заменим в рядах (37.48) и (37.49) z на iz:
. . \ *2Л+1
sm iz = i / 7------r, cos iz—
Zj(2fc + 1)!
k = 0
к~о
Сравнив получившиеся ряды с рядами (37.44) и (37.45) .(при
x = z), получим
i sh z = sin i z, ch z = cos i z.
В частности, при действительном z=y имеем
| sin iy | = | sh у | и | cos iy | = ch y,
откуда и следует, что на мнимой оси функции sinz и cosz не
ограничены по абсолютной величине.
В качестве свойства нового типа у показательной функции в
131
комплексной области укажем еще на ее периодичность *}.
Именно, докажем, что функция ez имеет период 2л/‘:
^Z + 2ni = = ^z(COs2K + ZSin2K) = eZ.
(37.42) (37.52) ' ’
4. Разложение в ряд функции 1п(1 +х). Формула
Тейлора для 1п(1 + х) имеет (см. п. 13.3) вид
1п(1+х)=х-^+^-...+(-1)и+1^г„(4
Запишем остаточный член г„(х) в форме Лагранжа. Заметив,
что
получим
г (х)=(-1)"—о<е<1.
’ (и+ i)(i+ех)’,+1
Если O^x^l, то 0<—!—<1 и поэтому |г„(х)|<——, откуда
lim г„(х)=0. (37.53)
л—-оо
Если же — 1<х<0, то целесообразно записать остаточный
член г„(х) в форме Коши:
В этом случае
0<±±
1 + 0х
1-0
1—0|х|
так как в числителе дроби.——— из единицы вычитается число
i-ew
большее, чем в знаменателе; кроме того,
1 _ 1 1
i+0x“i-e|x| 1-|х|’
поэтому
I'•„(*)!
1 +0х
11+ 0Х | 1 — I X I ’
откуда при — 1<х<0 также получаем (37.53).
Если функция f определена на некотором множестве чисел (вообще
говоря, комплексных) X, то число Т^С называется ее периодом, если для
каждого х^Е имеем х+Т^Х и f(x+T)=f(x). Функция, имеющая период,
называется периодической.
132
Таким образом, для любой точки х полуинтервала (—1, +1 ]
имеет место разложение
оо
(37.54)
При х= — 1 ряд в правой части равенства (37.54) отличается
от гармонического ряда лишь множителем — 1 и поэтому
расходится. Расходится он также и при всех х таких, что |х|> 1,
так как в этом случае п-й член ряда (37.54) не стремится к нулю,
более того (см. п. 12.2),
lim
и—*00
5. Разложение в ряд степени бинома (1+х)“.
Формула Тейлора для степени бинома имеет вид (см. и. 13.3)
’• (1 4-х)“ = 1 +ax+^r-^x2 + ...+
I + a (a - 1 )..fo - п + 1) b„ + (37 55)
Рассмотрим соответствующий ряд (называемый биномиаль-
ным рядом с показателем а):
00
1 + «(«+1).Д«-п-И) хп (31.56)
п= 1
Если а — неотрицательное целое, то ряд (37.56) содержит
конечное число членов, отличных от нуля, и, следовательно,
сходится при всех х.
Рассмотрим теперь случай, когда а не является неотрица-
тельным целым. В этом случае в ряде (37.56) все члены отличны
от нуля при х/0.
Для исследования абсолютной сходимости ряда (37.56)
используем признак Да ламбера. Иначе говоря, применим
признак Даламбера к ряду с п-м членом
_ а(«-1)...(а-и+1) „
ми л
Замечая, что lim lim
п—*оо и—*00
(37.56) абсолютно, а значит,
расходится при | х | > 1.
а—п
п+ 1
= |х|, получаем, что ряд
и просто сходится при | х | < 1 и
133
Однако из одного лишь факта сходимости биномиального
ряда (37.56) при | х | < 1 нельзя еще сделать заключение о том,
что его сумма равна (1+х)“. Для этого надо доказать, что в
формуле (37.55) г„(х)-»0 при л->оо.
Замечая, что
[(1 +х)а](и + 1) = а(ос— 1)...(а — и)(1 +х)а“и-1,
запишем остаточный член г„(х) формулы (37.55) в форме Коши:
гп(х) = а(а-1)-(а-”И1+ел)° " О<0<1
(0 зависит от х и от п). Положим
А »)-(”-Q]
В„(х) = ах(1+0х)“ \ С„(х) = (г^
тогда
гп(х) = Ап(х)Вп(х)С„(х).
Очевидно, Л„(х) является общим членом биномиального
ряда с показателем а—1 и, следовательно, в силу доказанной
выше сходимости биномиального ряда при |х|< 1,
lim Ап (х) = 0, | х | < 1.
п—►ОО
Далее, из того, что 1— |х|<1 + 0х<1 + |х|, следует, что значения
| Вп (х) | заключены между величинами
|оос|(1 — |х|)а-1 и |ах|(1+|х|)“-1,
не зависящими от 0, т. е. последовательность {В„(х)} при
фиксированном хе(^1, 1) ограничена. Наконец,
Из установленных свойств Л„(х), Вп(х) и С„(х) следует, что
lim гп (х) = 0, | х | < 1.
л—►оо
Таким образом, для любого хе(—1, 1) справедливо равен-
ство
00
Л = 1
134
Задача 27. Доказать, что: 1) в точке х=1 при а> —1 биномиальный ряд
сходится, а при а< —1—расходится;
2) в точке х = — 1 при а>0 биномиальный ряд абсолютно сходится, а при
а < 0 — расходится.
При этом каждый ряд, когда биномиальный ряд (37.56) сходится, его сумма
равна (1+%)“.
6. Логарифмическая функция в комплексной
области. Функция w = w(z), обратная показательной функции
ew, т. е. определяемая равенством
ew = z,
называется логарифмической и обозначается .Lnz.
В силу периодичности показательной функции, логарифмиче-
ская функция является многозначной: если при данном z/0
комплексное число w — значение Lnz, то всякое комплексное
число вида w+2nni, п = 0, ±1, ±2, ..., также является значением
Lnz, так как
gW + 2nni —
Если w = u + iv, то
z = е w = еи+lv = euelv = еи (cos v 4- i sin v),
поэтому
|z| = eM, Argz = v + 2яи, и = 0, ±1, ±2, ... .
Следовательно,
= In | z I,
и если ф— какое-либо значение аргумента z, то
и = ф + 2яи, п — 0, ±1, ±2, ... .
Таким образом, все значения Lnz, z/0, задаются формулой
Lnz = ln|z|4-(<P + ^n)z, и = 0, +1, ±2, ..., z^O.
Если значение аргумента ф числа z^O выбирать всегда на
полуинтервале ( — я, я], т. е. считать, что ф = argz (см. п. 23.1),
то значение логарифма Lnz определяется однозначно. Одно-
значная функция, ставящая в соответствие числу z указанное
значение Lnz, обозначается lnz и называется главной ветвью
логарифма. Итак, если z^O и
z = r(cosф^-zsinф), — я<ф^я, (37.57)
то
In z = 1п г 4- /ф. (37.58)
Отсюда следует, что если z = x4-zy и — яс^^я, то
lnez = z.
135
Если z^rJcoscpj + zsintpJ, ~|<(Pi^> z2 = r2(cos<p2 +
, . • \ я .я
.-Hsmcp2),--<(p2^-, to
In ZjZ.2 = In zr + In z2, (37.59)
In — ==lnz1 — lnz2.
Z2
Эти формулы непосредственно вытекают из формулы (37.58)
и правил умножения и деления комплексных чисел. Например,
для первой формулы (37.59) имеем
— л < arg zt + arg z2 = arg z^z2 < n,
поэтому
lnz1z2 = ln|z1z2| + zargz1z2 =
= lnjz1 | + ln|z2| + z(argz1 + argz2) =
= (ln|Zi | + zargz1)+(ln|z2| + zargz2) = lnzJ +lnz2.
Если |z—1|^1, z^O, то можно показать, что функция Inz
раскладывается в ряд по степеням z—1:
lnz = ^(-l)”-1^^, |z-l|^l, z/0.
п= 1
Заменив в этом разложении z на 1+z, получим равносиль-
ную формулу
00
ln(l+z) = ^(-l)"“1^, |z|sSl, Z/-1. (37.60)
п — 1
Естественный вывод этой формулы производится с по-
мощью методов комплексного анализа, изложение которых
выходит за рамки данной книги. Впрочем, ее можно получить и
методами, рассматриваемыми в нашем курсе. Это будет
сделано в п. 55.13.
Зная для комплексного переменного z функции ez и Lnz,
можно определить степень wz комплексного числа w с
комплексным показателем z по формуле
def
wz =
В силу многозначности логарифма, степень wz является
многозначной функцией от z.
136 :
37.7. МЕТОДЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Дифференцируя или интегрируя известные разложения в ряд
Тейлора, можно получать разложения новых функций в
степенные ряды. Так. например, интегрируя формулу геометри-
ческой прогрессии
^=1 ‘ г + /2-...+(-1)"/" + ... (37.61)
в пределах от 0 до х, |х|<1 (что законно, так как ряд (37.61)
равномерно сходится на отрезке с концами в точках 0 и х при
|х|<1), получим известную уже формулу (37.54):
Раньше эта формула была доказана на полуинтерва-
ле (—1; I], а теперь только для интервала (—1; 1). Однако,
в силу второй теоремы Абеля о степенных рядах (п. 37.1).
из справедливости формулы (37.54) на интервале ( I; 1)
сразу следует ее справедливость и при х=1. Действитель-
но, ряд в правой части этой формулы сходится при х=1
и, следовательно, его сумма непрерывна в этой точке (см.
теорему 3 в п. 37.1), функция 1п(1+х) также непрерывна при
х=1, поэтому в обеих частях равенства (37.54) (если известно,
что оно справедливо на интервале (—1; 1)) можно перейти к
пределу при х-»1—О и тем самым доказать его справедливость
и при х=\:
и= 1
В результате дифференцирования или интегрирования задан-
ного степенного ряда иногда удается получить ряд, сумма
которого уже известна; это позволяет вычислить и сумму
исходного степенного ряда.
Примеры. 1. Найдем разложение функции arcsinx в ряд.
Заметив, чю
(arcsin)'^ ———
разложим (arcsinx)' в ряд по формуле разложения степени
бинома (см. п. 3/.6):
137
(arcsinx)' = -^==l + ^^-^x2n. (37.62)
n= 1
Радиус сходимости получившегося ряда равен единице (см. там
же). Интегрируя ряд (37.62) от 0 до |л|<1, получим
X 00
f dx \ 1 (2лг — 1)!! х2”+1
J Vi-*2 / I (2й)!! 2,1+1
О и=1
2. Разложим функцию arctg х в степенной ряд и с помощью
него найдем числовой ряд, сумма которого равна тс.
Поступая при | х | < 1 аналогично примеру 1, имеем
arctg х =
2п +1
и = О
(37.63)
Заметим, что полученный ряд при х= +1 по признаку Лейбница
(см. теорему 11 п. 34.9) сходится, поскольку сходится знакопе-
ременный ряд
\ (-1)"
Л2и+1‘
и = 0
Функция arctgх непрерывна при х=±1, поэтому, согласно
второй теореме Абеля для степенных рядов (см. теорему 3
п. 37.1), сумма ряда (37.63), являясь непрерывной функцией на
отрезке [—1; 1] и совпадая с arctgx на интервале (—1; +1),
совпадает с ним и в концевых точках х = +1. Иначе говоря,
разложение (37.63) справедливо для отрезка [—1, +1]. Взяв в
этом разложении, например, х=1 и заметив, что arctg 1=^,
получим
00
Я-У(-1)"
4 / _,2и+Г
и = 0
Этот ряд называется рядом Лейбница.
Отметим, что арктангенс определен на всей действительной
числовой оси, в частности и вне отрезка [-1,1]. Однако его
разложение в степенной ряд (37.63) справедливо только на этом
отрезке. Вне этого отрезка ряд (37.63) расходится, в чем легко
убедиться, найдя его радиус сходимости, например, по формуле
138
(37.9). Анализ этого явления проводится в теории функций
комплексного переменного.
3. Найдем сумму ряда
S'(x) = £ пхп.
п= 1
(37.64)
Радиус сходимости этого ряда равен единице. В этом легко
убедиться, например, по признаку Даламбера,
lim
л-юо
(п + 1)х”+1
пх
Следовательно, ряд (37.64) абсолютно сходится при |х|<1 и
расходится при |х|>1. Из (37.64) следует, что
00
Упх”-1, и<1.
X / I
п= 1
Проинтегрируем этот ряд почленно от 0 до х, |х|<1,
О и=1
и затем продифференцируем получившееся тождество:
S(x)_ d х _ 1
х dx 1 —х (1 — х)2
В результате получаем
Г sM=o^r
4. Найдем сумму ряда:
оо
I sm=I5-
п= 1
Радиус сходимости этого ряда равен единице; в этом легко
убедиться, например, тем же способом, что и в случае ряда
(37.64). Продифференцировав ряд (37.65) почленно
и использовав разложение логарифма (см. п. 37.6), получим
139
00
xS'(x) = ^ —= — ln(l — x), |х|<1, или 5"(x)= — ——
n= 1
Принимая во внимание, что 5(0) = О, окончательно получим
5(x)=_Jln!lz£)6ZZ.
о
Таким образом, здесь ответ выражается не в элементарных
функциях.
Упражнения. 15. Разложить в степенной ряд функцию (arcsin.v)2.
00
16. Найти сумму ряда £ п2хп.
п — 1
5. При разложении рациональных функций в ряд Тейлора
удобно использовать их разложение на элементарные дроби
(см. п. 23.6). Поясним этот метод на примере: найдем
разложение функции
з
в ряд Тейлора в окрестностях точек zo = 0, zo==2 и 2о = ^.
Разложив функцию /(z) на элементарные дроби, получим
z _ 1 _ 2
(z—l)(z—2) 1—z 2—z’
Найдем сначала ряд Тейлора для /(z) в окрестности zo = 0. Для
г- 1 2 1 _ „
этого заметим, что дроби --- и ---=---- представляют собой
1—z 2—z J z
~2
суммы бесконечных геометрических прогрессий
и, соответствен-
со знаменателями z и | при условии, что | z | < 1
но, что
< 1. Оба этих условия выполняются, когда выполня-
ется первое. Таким образом,
Z
(z-l)(z-2)
z.
« = О п~ О п = О
140
Это и есть разложение функции /(z) в ряд Тейлора в
окрестности точки zo = 0, причем радиус сходимости получив-
шегося ряда равен 1. Действительно, в силу доказанного, он не
может быть меньше 1 (полученный степенной ряд сходится при
|z|< 1), а с другой стороны, он не может быть и больше 1, так
как на расстоянии, равном единице от точки zo = 0, имеется'
точка Zj = l, для которой lim/(z)=oo, и поэтому разложение
функции /(z) в степенной ряд не может сходиться в точке zP
Для получения ряда Тейлора функции /(z) в окрестности
з
точки z0=- снова воспользуемся суммой бесконечно убываю-
щей геометрической прогрессии, но проделаем это иначе,
выделяя в знаменателях элементарных дробей, на которые
разложена дробь /(z), члены z—|:
z _ 1 2
(z-l)(z-2)~ Т-z ’ 2=3
1
ГЛ П 3
Эта выкладка справедлива при условии, что 2 z—-
(абсолютная величина знаменателя рассматриваемых геометри-
ческих прогрессий меньше единицы), т. е. если
1
2
3
z —-
2
радиус
Рассуждая,
сходимости
получившегося ряда равен
как и в случае zo = 0, получим, что
1
2’
Наконец,
в случае z0 = 4 имеем
z 12 1
(z— l)(z — 2) 1— z 2—z
2
— 3 —(z—4) -2-(z-4)~
141
Все это справедливо, когда
1, т. е. при \z — 4|<2.
Отсюда, как и выше, следует, что радиус сходимости получив-
шегося ряда равен 2.
Обратим внимание на то, что во всех трех случаях радиус
сходимости получившихся степенных рядов равен расстоянию
от точки z0, в окрестности которой искалось указанное
разложение, до ближайшей от нее «особой точки» функции. В
данном случае до такой точки z19 что lim/(z) = oo. В случае
з
zo = 0 такой точкой является 1 и |z0 — z1l=l; в случае z0=- это
точка z1 = l или zx=2 и здесь lz1— z0|=|; наконец, при z0 = 4
имеем zx = 2 и |zx—z0| = 2. Это не случайное явление, оно
подробно изучается в теории функций комплексного перемен-
ного.
Рассмотренным методом можно раскладывать в соответст-
вующих областях рациональные функции в ряды не только по
положительным, но и по отрицательным степеням z.
Например, при | z | > 2 имеем
Z _ 1 _ 2 _ _ 1 1
(z—l)(z—2) 1—z 2—z / 1\ / 2\
z| 1 — I z\ I — J
\ z / \ z)
n = 0 n = 0 и = 0
а в кольце 1 < | z | < 2
142
В первом случае получившееся разложение содержит только
отрицательные степени z, во втором — как положительные, так
и отрицательные. Общая теория подобных разложений также
изучается в теории функций комплексного переменного.
К разложению рациональных дробей в степенные ряды
сводится и разложение в такие ряды функции вида 1п —
Q Vх)
arctg^j^ и arcctg^pj, где Р(х) и Q(x) — некоторые многоч-
лены. Для получения нужных разложений можно продифферен-
цировать данные функции, в результате получатся рациональ-
ные дроби. Разложив эти рациональные дроби в степенные
ряды и проинтегрировав их, будем иметь искомые разложения.
Иногда сумму ряда удается найти, применив какой-нибудь
искусственный прием. Впрочем, следует отдавать отчет в том,
что понятие «искусственный прием» весьма относительно: по
поводу этого Г. Полна и Г. Сеге в предисловии к своему
задачнику (Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анали-
за.— М.: Наука, 1956) писали: «Идея, примененная однажды,
порождает искусственный прием, примененная дважды, она
становится методом».
6. Найдем сумму ряда
2л+1
(37.66)
п = 0
в области его сходимости. При | х | < 1 этот ряд сходится
абсолютно, ибо
.п
2/7+1
при | х | > 1 он расходится, так как его общий член не стремится
к нулю; при х==М он сходится по признаку Лейбница; при
х= — 1 расходится, что, например, следует, согласно интеграль-
ному признаку сходимости рядов, из расходимости интеграла
dx
2х+1 ’
о
Заметим (это и есть искусственный прием), что
1 _
2/7+1 J
о
t2ndt.
143
и преобразуем ряд (37.66) следующим образом:
00 00 1
п = О п = О О
(37.67)
Для любого /е[0, 1] выполняется неравенство | — а72 |"^|х|".
Поэтому если |х|<1, то, по признаку Вейерштрасса, ряд
00
п = 0
(37.68)
равномерно сходится (по t) на отрезке [О, 1 ], следовательно, его
можно почленно интегрировать. Его можно почленно интегри-
ровать и при х= 1, хотя в этом случае ряд У ( —/2)" не сходится
и = 0
равномерно на отрезке [О, 1 ], так как он даже расходится
при /=1. Возможность почленного дифференцирования ряда
(37.68) при х=1 можно проверить, например, непосредст-
венно:
1 00 1
।( - {2)П dt = |-j^2 = arCtg Z
0 м = 0 О
co 1 00
У (-,2Wr=V^ = =
ZjJ' ’ Л 2и+ 1(37.63) 4
п = О 0 п = О
00
(при интегрировании функции У ( — t2)n по отрезку [О, 1]
и = 0
достаточно рассматривать ее значения только на полуинтервале
[О, 1), которые по формуле для бесконечно убывающей
1
геометрической прогрессии равны -—- и, следовательно, огра-
ничены на указанном полуинтервале. Значение этой функции в
точке t = 1 можно выбирать произвольно, так как это не влияет
ни на интегрируемость функции, ни на значение интеграла,
когда функция интегрируема).
Итак, для всех :ve( — 1, 1 ] имеем
144
При выводе этой формулы было использовано соотношение
(37.63), т. е. известное ранее частное значение суммы ряда
(37.66) при х=1. Это можно было и не делать, но тогда мы
получили бы формулу (37.69) только при |х|<1, из которой
следует, что сумма .v(x) степенного ряда (37.66) является
непрерывной на интервале (—1, 1) функцией и имеет конечный
предел
lim s (х) = lim arctgj^--=arctg 1 = -.
х—>1 х—► ! 4
(37.70)
Ряд (37.66) сходится при х=1, поэтому, в силу второй
теоремы Абеля (см. теорему 3 в п. 37.1), его сумма непрерывна
на отрезке [0, 1] и, следовательно, при х=1 совпадает со
значением предела (37.70), т. е.
/72л+1 4’
и мы тем самым,
взятой только при
наоборот, получили из формулы (37.69),
| х | < 1, разложение (37.63).
Упражнение 17. Найти сумму ряда
в области его определения.
Указание. Воспользоваться соотношением
1 -1I 1 _
«2—1 2\л — Т
145
37.8 . ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
С помощью разложения логарифмической функции в степен-
ной ряд можно легко найти формулу, описывающую асимпто-
тическое поведение факториала п\ при и->оо. Она называется
формулой Стирлинга и может быть записана в виде
я—>оо;
(37.71)
согласно определению асимптотического равенства для после-
довательностей (см. п. 23.3), это означает, что
lim
п—►оо
Из разложения
00
п~ 1
следует, что
п=1 п —1 к = 0
Полагая здесь х =-----. 2, ..., получим
2п +1
1
/ \ 1+-----
1п(1+-) = 1п 2й+1 =
V "J 1__J_
2и+1
=^_ 1+1_!_+!._!_ + 2 1
2и+1 3(2л+1)2 5(2w+l)4 ” 2и+1 1
L л + -,
2
Дж. Стирлинг (1692—1770) — английский математик
146
откуда
п+- llnl 1 +- l> 1,
2 / \ п
или, потенцируя и принимая во внимание, что функция
In л — возрастающая,
(37.72)
Положим
def п\еп
(37.73)
так как, согласно (37.72),
л„+1 п
то хи>хи+1, т. е. последовательность {%„} убывает щ кроме
того, она ограничена снизу хп^0. Следовательно, существует
предел
def
lim хп = а.
Поэтому
Х„ = й(1+£„),
(37.74)
где lim в„ = 0.
Покажем, что а^О. Так как
3 (2 л +1)2 + 5(2л+1)4
3 _(2и+1)г + (2л+1)4+"
1 (2л+1)2 _ 1
3 1 12п(л+1)’
1 ' Tvo
(2и+1)2
12л (л +1)
147
и, следовательно,
Поэтому
т. е.
1
£ 1 + 12и (и+ 1)ф
X 1/ Л 2
-^-=- 1+-
хя+] nJ
1 1
хпе -Т2" < *n+1e~12(w+1)-
i
Таким образом, последовательность уп=хпе~12и, и=1, 2,
возрастает,\ и так как, очевидно, уп<хп, то она ограничена
сверху и, следовательно, имеет предел
1
lim уп = lim хп lim е ^ = а,
п—►оо п—►оо п—*00
Кроме того, при любом п справедливо неравенство а>у„>0,
поэтому а>0.
Подставим (37.74) в (37.73):
1
ип + У
«!=й-77-(1+£и)-
(37.75)
Для того чтобы получить формулу (37.71), осталось лишь
показать, что « = ^/271. По формуле Валлиса (см. (30.8) в п.
30.2),
я ,. 1 Г (2л)!!
-= 11Ш ---------- ——
2 „-.оо 2п+1 |_(2л — 1)!!
(37.76)
а согласно (37.75),
(2л)!! _ [(2л)!!]2 _22”(л!)2
(2л-1)!!- (2л)! ” (2л)!
(1+е„)2
1 + е2„
Подставив это выражение в (37.76), получим
-= lim
2 п—*00
1 2 п (1+е„)4 _о2
2л+1 2(1+е2„)2 4’
откуда а
148
37.9 *. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА
ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим векторную функцию /: [a. b]-^>R\ где Rn—
л-мерное векторное пространство. Как уже отмечалось, на
векторные функции обобщаются понятия предела, непрерывно-
сти, производной, дифференциала и интеграла (см. § 15, п. 18.4
и 30.4), на которые переносятся многие свойства этих понятий,
справедливые для числовых функций. Однако / далеко не для
всех свойств это имеет место. Так, в п. 15.2 было показано, что
утверждение, аналогичное формуле конечных приращений
Лагранжа, уже не справедливо для векторных функций. Поэто-
му не справедливо, конечно, и ее обобщение в виде формулы
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Покажем,
что для векторных функций справедлива формула Тейлора с
остаточным членом в интегральной форме.
Теорема 10. Пусть функция f:(tQ+h, tG — h]~^Rn непрерывна
вместе со всеми своими производными до порядка п+1 включи-
тельно на интервале — Zo + A), Л>0. Тогда для любого
te^tQ — h, t0 + h) справедлива формула
" 1 I 1
W= X + <37.77)
k = 0K- пл0
Следствие.
п
к = 0
+y-toy+1 sup |Г"+1‘(г)|,
«I (t0-h, tQ + h)
te(t0 — h. tQ + h).
Доказательство теоремы. Прежде всего что если напомним,
(37.78)
то г(/)=(Л(/), .... Л(0, te(t0—h, t0+h), (37.79)
'*0 zo ' (37.80)
Из предположений теоремы следует, что каждая координатная
функция fi непрерывна на интервале (/0 — К t0 + h) вместе со
всеми своими производными до порядка п 4-1 включительно,
149
поэтому для нее справедлива формула Тейлора с остаточным
членом в интегральной форме
И г
(-1, 2,
t=o t0
п.
Отсюда, в силу формул (37.79) и (37.80), и следует сразу
справедливость формулы (37.77). □
Следствие вытекает из неравенства
f (?-т)пГ"+1)(т)<7т
(о
J Г"+1)(т)Л
*о
sup |f(n+1)(x)|
(t0-h. »0 + Ю
рт
zo
= p—z0|"+1 sup | Г("+1)(т)|. □
t0 + h)
Для векторных функций справедлива формула Тейлора и с
остаточным членом в форме Пеано: если функция f:(t0—h,
t0+h)^>Rn имеет в точке /0 производную порядка п, то
Л') = i (37.81)
к = 0К‘
Это также сразу следует из того, что для каждой координат-
ной функции fi9 i=l, 2, ..., п, в предположениях теоремы имеет
место формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в
окрестности точки /0 (см. п. 13.1).
Если векторная функция f:(/0 —Л, tG + h)-+Rn имеет в точке Т
производные всёх‘ порядков и для любого te(tQ — h, tQ + h)
выполняется условие
к = О
то на интервале (tQ — h, to + ty функция f раскладывается в
степенной ряд с векторными коэффициентами
00
л'' У,''’"('«)('
п = О
называемый ее рядом Тейлора.
150
37.10 *. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Известно (см. п. 13.1), что если функция f определена в
окрестности точки х0 и п раз в ней дифференцируема, то
существует такой многочлен Рп(х) степени, не большей п, а
именно многочлен Тейлора, что
Дх) = Р„(х)+о((х—х0)"), х->х0, х=1, 2, ... . (37.82)
При этом
Ри(х) = Ри-1(х)+^(^х0)"- (37.83)
Из (37.82) и (37.83) следует, что разность f(x)—Pn_1(x)
представима в виде
ЛД - Рп- 1 (*)= (х - х0)" + о ((х-х0)"), х->х0,
и тем самым имеет место асимптотическое равенство
f(x)-Pn-i(x)~f—^(x-x0)n, х->х0.
Таким образом, члены многочлена Тейлора Рп(х) (ряда
Тейлора, если функция f бесконечно дифференцируема в точке
х0) можно последовательно определить как слагаемые вида
ап(х— х0)п, асимптотически равные разности Дх) — Рп_± (х) при
х—>х0.
Аналогично можно поступать и при изучении функции при
стремлении ее аргумента к бесконечности. Пусть, для опреде-
ленности, функция f определена при х^а и существует
конечный предел
lim f(x)=a0, (37.84)
а следовательно, lim [Дх) —ао] = 0.
X—►+ 00
Иногда возникает вопрос: как именно разность f(x) — a0
стремится к нулю, каков порядок убывания этой разности? Может
случиться, что указанная разность имеет по крайней мере порядок
1 ~
- и, более того, что существует такое число а19 что
151
Дх)—а0~—, х—> + <х>, (37.85)
т. е. (см. теорему 1 в п. 8.3)
Дх)—а0=—х-> + ос, (37.86)
откуда
х[Дх)-«0] = «1 + хо^\ х-» + оо,
/Л л
а так как, в силу определения символа о, хо!-1 = 0, то
«i = lim х[Дл)-п0]. (37.87)
X—*+ 00
Наоборот, из (37.87) следует, что
х [Д%) “ *о] = + £ (*), Нт г ( v) = О,
и, следовательно,
/7 \ 1 ал । 8(х) । । 1И
/(х) = бг0 +—4- — = а$+—+о - , х->4-00,
' 7 XX X \х /
т. е. выполняется асимптотическое равенство (37.86). Если
указанное ах найдено, то часто бывает нужно найти, как
говорят, «следующий член асимптотического разложения» функ-
ции /, т. е. асимптотическое поведение разности f(x) — ^я04- —
при х-> + оо. Эта разность, согласно (37.86), представляет собой
не что иное, как о х-> + оо. Может случиться, что указанная
разность имеет по крайней мере порядок -у и, более того, что
существует такое число а2, что
или, что то же.
152
Это условие равносильно существованию предела
lim х2 f(x) — \aQ + —
х—+ +оо \ Л
— ^2 ’
Вообще, если
5„_1(х) = а0+^+^+...+^1, п=[, 2, (37.88)
— такой многочлен степени, не большей и—1, относительно
~ 1
переменной -, что
%-> + оо, т? = 2, 3,
то может случиться, что существует такая постоянная ап, для
которой имеет место асимптотическое равенство
х->4-оо.
(37.89)
Это условие равносильно следующему:
/(x)-5n_1(x)=J+ofl\ х^ + со,
лп \Л /
которое, полагая
п
к = 0
можно переписать в виде
/(х)-5и(х)=<?(—), х-> + оо,
\ Хп J
или, что то же, в виде
lim х" [/(х)-5„(х)]=0.
(37.90)
(37.91)
(37.92)
(37.93)
Как и выше, при п — 1 легко показать, что условие (37.90)
равносильно существованию конечного предела
lim х"[/(х)-5„_1(х)] = й„. (37.94)
х-> + 00
Если указанные пределы ап существуют для всех я = 0, 1,
2, ..., то можно образовать ряд
153
(37.95)
«о+-+^+-+^+- •
х х хп
Ряды такого вида можно также назвать степенными рядами,
точнее, степенными рядами по целым отрицательным степеням
переменной х.
Определение 5. Пусть функция f определена при х^а и
lim f(x) = aQ. Если существует ряд вида (37.95), частичные
х-» + со
суммы (37.98) которого удовлетворяют условию (37.89) либо,
что равносильно, одному из условий (37.92) или (37.93), то этот
ряд называется асимптотическим рядом (асимптотическим
разложением) в смысле Пуанкаре*^ функции f при х-> + оо.
В этом случае пишут
и = 0
Подчеркнем, что здесь знак ~ означает не асимптотическое
равенство в том смысле, как оно, например, понимается в
формуле (37.89), т. е. в смысле определения 3 п. 8.2, а
соответствие: ряд (37.95) соответствует функции /•
Как было отмечено, условие (37.90) равносильно условию
(37.94), поэтому если у функции f существует при х-> + оо
асимптотический ряд (37.95), то его коэффициенты ап, п=1,
2, ..., могут быть последовательно найдены по формулам
(37.94). При п=0 следует воспользоваться формулой (37.84).
Отсюда следует, что если у функции имеется при х-» + оо
асимптотический ряд, то он единствен и его коэффициенты
выражаются по формулам (37.84) и (37.94).
Принимая во внимание, что при разложении функции в сте-
пенной ряд была доказана также единственность степенного ряда, в
который раскладывается функция, а именно было доказано сов-
падение этого ряда с ее рядом Тейлора. Однако там было отмечено,
что один и тот же степенной ряд может являться рядом Тейлора
разных функций. Подобная ситуация имеет место и для асимпто-
тических рядов: один и тот же ряд вида (37.95) может оказаться
асимптотическим рядом при х-> + со разных функций. Например,
нулевой ряд, т. е. ряд, все коэффициенты которого равны нулю:
а„ = 0, х = 0, 1, 2, ...,
является при х-+ + оо как асимптотическим рядом функ-
ции, равной нулю во всех точках числовой оси: /;(х) = 0,
— оо<х< 4-со, так и функции f2(x) = e~x, в чем легко убедиться,
вычислив в этих случаях последовательно пределы (37.94).
*’ А. Пуанкаре (1854—1912) — французский математик.
154
В отличие от разложения функций в степенные ряды, при
котором суммой степенного ряда является заданная функция и,
следовательно, рассматриваемый степенной ряд сходится, при
построении асимптотического ряда функции может случиться,
что полученный ряд не только не сходится к данной функции, а
вообще расходится во всех точках. Тем не менее асимптотичес-
кий ряд (37.96) функции является полезным инструментом для
ее изучения, в частности для вычисления ее значений. Это,
очевидно, связано с тем, что частные суммы асимптотического
ряда (37.96) функции, в силу условия (37.92), достаточно хорошо
приближают саму функцию, причем тем лучше, чем больше х.
Принципиальное отличие разложения функции в асимпто-
тический ряд от разложения в обычный функциональный ряд
состоит в том, что при обычном разложении функции в ряд
стремится к нулю остаток ряда, т. е. абсолютная погрешность
приближения функции частичными суммами ряда, тогда как
при разложении в асимптотический ряд этого может не быть,
но зато заведомо стремится к нулю относительная погрешность
приближения функции частичными суммами асимптотического
ряда в следующем смысле:
г /(х)-5и(х) л
lim v v — 0.
и->оо
Разность Дх)— S„(x) бесконечно мала при л->со по сравнению с
каждым (в том числе и последним) членом частичной суммы
5„(х) асимптотического ряда, причем увеличение числа членов
приводит к более точным асимптотическим формулам.
Поясним сказанное на примере функции
Д*)= |
-—dt, х>0.
(37.97)
Интегрируя п раз по частям, получим
(37.98)
Ряд
/1 х"
(37.99)
155
является асимптотическим разложением функции (37.97). Дейст-
с / \ 1 о с / \
вительно, если *\(x) = > -—-—£----и=1, 2, ..., т. е. Sn\x) —
к=1
частичные суммы ряда (37.99), то, в силу (37.98), будем иметь
X
Проинтегрировав еще раз по частям, получим
т. е. выполняется условие (37.92).
Вместе с тем легко убедиться по признаку Даламбера, что
ряд (37.99) расходится при всех хе( — оо, +оо). Действительно,
полагая
, /7=1, 2,
получим
lim
П-> + <Х)
ип+1 Г П
-^2 = [1т = +оо.
ип п-> + оо I х I
Итак, асимптотический ряд (37.99) функции (37.97) расходит-
ся во всех точках. Однако, несмотря на это, значения функции
(37.97), в силу условия (37.92), могут быть вычислены с
большой степенью точности с помощью частичных сумм этого
ряда.
Покажем, что если ряд (37.95) сходится к некоторой функции
00
/(x)=^J, х^а>0, (37.100)
п = 0
то он является и асимптотическим рядом этой функции при
х—> + оо.
В самом деле, пусть
00
Я"М= Z ?
к = п + 1
и, следовательно,
156
/(х) = 5„(х)+7?„(х).
Покажем, что
Rn(x)=o(^y х—> + оо, (37.101)
а потому, тем более что
*^ + оо,
т. е. что выполняется условие (37.92). Для этого рассмотрим
def / ] \ |
функцию 0</^~. В силу (37.100), получим ра-
венство
00
F(Z)= X ant\
п = 0
Л 1
в котором ряд в правой части сходится при 0<z<-, откуда, по
а
теореме Абеля, следует, что он сходится и при всех таких г, что
... 1 г?
|/|<—. Если
а
00
r„(0= Е аек, и<->
к = и+1 а
то (см. лемму 1 в п. 37.3) rn(t) = O /-*0. Выполнив здесь
замену переменного /=-, получим (37.101).
В заключение отметим, что условие (37.92) разложения
функции в степенной асимптотический ряд можно заменить
другим, внешне более сильным, но по существу эквивалентным
условием. Сформулируем его в виде леммы.
Лемма 3. Для того чтобы ряд (37.95) являлся асимптоти-
ческим при х-* + оо, для функции f необходимо и достаточно,
чтобы
х^ + оо, и=1, 2, .... (37.102)
Достаточность этого условия очевидна, так как о( —Е|=
\хп J
— I (напомним, что подобные равенства читаются только
слева направо), следовательно, при выполнении условия (37.102)
выполняется (37.92).
157
Наоборот, если выполнено условие (37.92):
/(х)-5„+1(х) = о^-1т^
п = 0, 1, 2, х-> + оо,
то, поскольку 5п+1(х)=5„(х)+^|, получим
Дх)-5и(х)=^+^-1т) = о(^, х^ + оо. □
37.11*. СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
В этом пункте будут сформулированы и доказаны некоторые
основные свойства разложений функций в асимптотические
степенные ряды. В дальнейшем (см. п. 54.6) будут рассмотрены
более общие, не обязательно степенные, асимптотические ряды.
В настоящем пункте будут изучаться только асимптотические
разложения функций при + оо в степенные ряды вида (37.95),
поэтому будем их называть просто асимптотическим раз-
ложениями,
I. Если
00 00
х^+со’ (37Л03)
и = 0 м=0
то для любых чисел X и ц
00
Х/(х)+|lg(х)~ , х—> + оо,
и = 0
т. е. асимптотическое разложение линейной комбинации функ-
ций, имеющих асимптотическое разложение, равно такой же
линейной комбинации асимптотических разложений этих функ-
ций.
Действительно, если
и п
(37 104)
fc = 0 k=0
то для любых чисел X и ц
п
= х^ + оо. □
к = 0
158
II. Если имеют место асимптотические разложения (37.103),
то
00
/(x)g(x)~^J, Х^ + ОО,
л = 0
где cn = aobn + a1bn^1 + ,.. + anbQ, т. е. асимптотическое разложе-
ние произведения функций, имеющих асимптотические разложе-
ния, равно произведению этих разложений, расположенных по
1
возрастающим степеням -.
В самом деле, если имеет место (37.104), то
/(x)g(x)=fa0+^+...+J+oQWz>0+^+...+^ + oQ^ =
п
U \ и афп — к / 1 \
7 . «0^1+«1^0 । । к = 0 . / 1 \ . I—I
= 67oZ>o+-------Н...+----— + б>| —-), х—> + со. П
и и х хп \х J
III. Если
со
х-> + оо, (37.105)
и = 0
и ао^0, то функция 1//(х) также имеет асимптотическое раз-
ложение
00
Ях)~г+У$’
«О / j X
п= 1
и коэффициент d„ этого разложения выражается через коэффи-
циенты а0, аг, ап разложения (37.105), л = 0, 1, 2, ... .
Действительно, из (37.105) следует (см. (37.84)), что
lim /(х) = а0. Поэтому существует предел
х-> + оо _ <>-
lim -1-=—.
х-^ + оо/к) а0
Далее, можно последовательно показать существование преде-
лов >(37.94) для функции 1//(х), непосредственно вычисляя их.
Например, .
г ( 1 1 \ г ( 1 1 I
lim х -тг\~— = iim Х1 ----1 =
х-> + оо -\f\X) а0 / х-> + оо \ I I I 1 | а0 /
\я0+—+<? - /
X \Х J
159
Т. е. di = -allal.
Аналогично вычисляются d2, d3, .... □
IV. Если функция f непрерывна при х^а>0 и имеет асимп-
. 1
тотическое разложение, начинающееся с члена порядка
то
(37.106)
(37.107)
т. е. в указанном случае асимптотические ряды можно почленно
интегрировать.
Докажем это. Пусть
S„(x) = ^J, Ля(х)=7(х)-5„(х), и=2, 3, ... .
/с = 2
Функции f и Sn непрерывны при х^а, поэтому и функция Rn
непрерывна при х^а. В силу (37.106),
Следовательно, для любого 8>0 существует такое хг^а. что
для всех x>xz выполняется неравенство
+ со
Отсюда вытекает, во-первых, что интеграл J 7?„(/) dt, поэтому
+ оо С
и интеграл J Rn(t)dt, х>хг, существуют, а во-вторых, что при
х>хг имеет место неравенство
160
и, следовательно, так как е>0 произвольно,
+ 00
lim хп~1 j Rn(t)dt=Q.
(37.108)
Теперь, интегрируя равенство f(x) = Sn(x) + R„(x), получим
+ 00 п
х к = 2
R„(t)dt. (37.109)
В силу выполнения условия (37.108), равенство (37.109) и
бзначает справедливость асимптотического разложения (37.107)
(см. (37.93)). □
V. Если функция f раскладывается в асимптотический ряд
| /(л)~^Д х->Е^, (37.110)
п - 1
и если она имеет при х^а непрерывную производную, которая
также при х~> + оо раскладывается в асимптотический ряд, то
этот ряд получается формальным почленным дифференцирова-
нием ряда (37.110):
н= 1
В самом деле, пусть
со
п-в
(37.112)
По формуле Ньютона — Лейбница для любых х^а и у^а
у
b
^+у+И(/)-/’о-г
di —
+ /'(z) ~bo~~~ dt.
(37.113)
6-213.5
161
Согласно (37.112), — b0— /-> + 00. Следова-
тельно, интеграл
+ 00
/'W-^0-7 dt
X
сходится. В силу (37.110), существует конечный предел
lim f(y)=a0.
у^ + со
Поэтому, переходя к пределу при у-> + оо в (37.113), убеждаемся
в том, что существует конечный предел
lim Z>0(y—xJ+Z^ln- .
у—* + оо [_ х _
Это возможно только в случае, когда b() = b1 = Q, Таким
образом, равенство (37.113) в пределе перейдет в равенство
+ 00
ao~f(x)= f f'(t)dt;
I X
при этом, в силу условия из (37.112) имеем
+ оо
п — 2
отсюда, интегрируя почленно в пределах от х до + оо согласно
свойству IV, получим
' 00
х^ + со.
п= 1
Но из (37.110) следует, что
п = 1
Принимая во внимание, что разложение функции при
х-> + оо в асимптотический степенной ряд единственно, и
сравнивая получившиеся для функции a0—f(x) ряды, найдем,
что
Ьп+1=— пап, п=1, 2,.... □
162
Замечание. Если непрерывно дифференцируемая при х^а
функция f раскладывается при + оо в асимптотический ряд,
то ее производная может не иметь при х-» + оо асимптотичес-
кого разложения. Тем самым требование существования асимп-
тотического разложения у производной в предложении V
является существенным. В качестве примера рассмотрим функ-
цию f(x) = e~x sinex, — оо<х< + оо. Нетрудно с помощью фор-
мул (37.94) убедиться, что функция f при + оо раскладывает-
ся в нулевой асимптотический ряд, т. е. ряд (37.95), у которого
п„ = 0, и = 0, 1, 2,.... Ее производная f'(x) = —е~х sin^-l-cose*
заведомо не имеет асимптотического разложения при х->+ро,
так как она даже не имеет предела при х-> + оо.
Упражнение 18. Доказать, что:
ч Г ext . I 2! , 4!
а) -—х-* + со;
7 1+Z2 X х3 х5
§ 38*. КРАТНЫЕ РЯДЫ
38.1. КРАТНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
В настоящем параграфе рассматриваются так называемые
кратные ряды вида
Unx ... пк, / (38.1)
nV ...,пк=1
где Unr ... пк — заданные числа (вообще говоря, комплекс-
ные), занумерованные к индексами nif z=l, 2,..., к, каждый из
которых независимо от другого пробегает натуральный ряд чи-
сел: nt= 1, 2,... . Ряд (38.1) называется /r-кратным рядом, а числа
иП1 ... пк — его членами.
Определим четко эти понятия, Предварительно введем
понятие кратной последовательности.
Определение 1. Пусть X—некоторое множество; к-кратной
последовательностью элементов множества X называется ото-
бражение f\ NxNx...xN ->Х (TV, как всегда, обозначает
к раз
множество натуральных чисел).
Элемент x=f(nlf...f пк), nl^N, nk<^N, обозначается через
хИ1 ... пк, а сама последовательность — через {хпА ... nfc}.
Однократная последовательность называется просто после-
довательностью .
163
Итак, элементы ^-кратной последовательности «занумеро-
ваны» п натуральными индексами. Мы будем рассматривать
числовые кратные последовательности, последовательности,
элементами которых являются комплексные, в частности
действительные, числа. Для простоты обозначений ограничимся
случаем к = 2. Обобщение на случай произвольного натураль-
ного k&N не представляет трудности.
Определение 2. Число а^С называют пределом двойной
последовательности {хши} и пишут а~ lim хтп, если для любого
т, и—»оо
е>0 существует такое n^N, что для всех т>пг, п>щ} m^Nf
п g=N, выполняется неравенство \хпт — а | < г.
Если двойная последовательность имеет предел, то она
называется сходящейся.
Обратим внимание на то, что данное определение предела
двойной последовательности отличается от определения ее
предела, содержащегося в п. 19.2, где это определение являлось
частным случаем предела функции lim f(x, у). Поясним это
(X, У)-* со
различие подробнее. При прежнем определении а= lim итп,
(т, л)—*оо
если для любого £>0 существует такое m^N, что для всех
m<=N и иеТУтаких, что т2 У-п2 > п(., имеет место неравенство
\итп — а\ <г. Условие ^[т2+ п2>пг может выполняться за счет
выбора одного достаточно большого индекса, другой может
даже оставаться равным единице. В сформулированном же
здесь определении 2 оба индекса т и п должны быть достаточно
большими для того, чтобы обеспечить выполненйе неравенства
|цпи —&|<г при достаточно малом £>0. В этом параграфе будем
использовать только определение 2.
Отметим, что не все свойства пределов обычных последова-
тельностей переносятся на двойные. Так, например, последова-
тельность иГп~п, итп = 0, т/1. 2,..., т = 2, 3,..., сходится:
lim итп =0, однако эта последовательность, очевидно, не
т, п*ос-
ограничена.
Определение 3. Двойную последовательность называют после-
довательностью, стремящейся к + оо, и пишут lim х^^+оо,
т, и—*оо
если для любого £>0 существует такое n^N, что для всех
m>nz, n>nz, m^N9 n^N, выполняется неравенство хтп>г.
Аналогично определяются бесконечные пределы
lim хтп = — оо и lim хтп = оо.
164
Как обычно, под пределом (в данном случае двойной
последовательности) понимается конечный предел, если не
оговорено что-либо другое.
Определим теперь двойной ряд.
Определение 4. Пусть задана двойная последовательность
{итг}. Составим двойную числовую последовательность:
т п
s= £ £«w. (38.2)
к=1 1=1
Пара последовательностей {итп}, называется двойным
рядом и обозначается через
00
I итп- (38.3)
т, п = 1
Элементы двойной последовательности {итп) называются
членами ряда (38.3), а элементы двойной последовательности
{5ШИ}— частичными суммами этого ряда.
Определение 5. Двойной ряд (38.3) называется сходящимся,
если последовательность его частичных сумм сходится. Ее
предел называется суммой ряда; причем если
lim Smr~S, (38.4)
т. п—*со
то пишут
£ umn=s.
т, п = 1
Если конечного предела (38.4) не существует, то ряд (38.3)
называется расходящимся. Если существует один из бесконеч-
ных пределов
lim Smn = + оо, lim Smn = — co, (38.5)
m, n-^-co m, n—*co
то соответственно пишут
£ «„,„= +<», £ umn=-^-
m,n=l m,n=l
Замечание. Содержательность определения ряда как пары
последовательностей хорошо видна на примере кратных рядов.
Например, если задана последовательность {мнш}, то соответ-
ствующую ей последовательность «частичных сумм» можно
задавать не только указанным выше способом (38.2), но и по-
другому. Наряду с суммами (38.2), которые определены выше и
называются прямоугольными (в них суммируются элемен-
165
ты ukl, которым соответствуют точки (к, /) плоскости ху,
содержащиеся в прямоугольнике О^х^т, рассматри-
ваются треугольные суммы Tr= X ик1, г=1, 2,... (точка
k + Z^r
(к, I) лежит в треугольнике х^О, у^О. х-Уу^г), сферичес-
кие суммы Sr= У ик1, г=1, 2,... (точка (к, /) лежит в круге
x2+j2^r2), и др. Таким образом, для одной и той же последо-
вательности {мши} имеются разные последовательности частич-
ных сумм, причем в случае сходимости одной из них другая не
обязательно сходится. Поэтому естественно рассматривать каж-
дую пару, состоящую из последовательности {wmn} членов ряда
и каких-то его «частичных сумм», как самостоятельный ряд.
Последовательности частичных сумм кратных рядов (напри-
мер, частичных сумм Тг или Sr) в отличие от последователь-
ностей частичных сумм однократных рядов не всегда однознач-
но определяют последовательность общих членов ряда.
Общее определение ряда имеет следующий вид.
Рядом называется пара, состоящая из (кратной) последова-
тельности, называемой последовательностью его членов, и
некоторого множества {5а}, ocge9I, сумм его членов. Здесь
91 — некоторое множество, элементами а которого являются
наборы мультииндексов (нр..., пк) (в частности, обычных
индексов), и
X Unv..nk-
(пх, пк)еа
Следует отметить, что иногда два разных в смысле данного
определения ряда, имеющих одну и ту же последовательность
членов ряда, называют одним и тем же рядом, но с разными
способами его «суммирования».
В дальнейшем при изучении кратных рядов будут рассма-
триваться только прямоугольные частичные суммы, в частности
для двойных рядов суммы Smn.
Пример. Пусть |#|<1, Р^С, q^C; тогда ряд
00
X pmq” сходится. Действительно, в этом случае
т, п = О
т и т п
5,„- £ I PV- 2 р" £
ц = 0 v = 0 ц = 0 v = 0
1-4и+1
\-р \-q
Поэтому существует предел
образом,
166
1
Нш Sinn
т л—>оо
Таким
'"l<L
Ряд свойств обычных (однократных) рядов переносится на
кратные ряды.
00
1°. Если ряд итп сходится и S—его сумма, то
т,п=1
оо
£ 'kumn = 'kS для любого числа X.
т, п = 1
00 00
2°. Если ряды £ u'mn = S' и £ urmn = S" сходятся, то
т,п=1 т,п=1
f (u'mn+u'^)=S' + S".
т, п— 1
Эти утверждения легко доказываются аналогично случаю
однократных рядов. Их доказательства могут быть проведены
читателем самостоятельно.
Докажем теперь несколько теорем о кратных рядах.
Теорема 1. Если ряд (38.3) сходится, то
lim wmn = 0.
т. л—>оо
Это сразу следует из равенства
^тп = $тп $т - 1л $т л - 1 + - 1 л - 1
и условия (38.4). □
Теорема 2. Если все члены ряда (38.3) неотрицательны,
итп^0, т, 2,..., (38.6)
то всегда существует конечный или бесконечный предел его
частичных сумм Smn, причем
lim Smn= sup Smn. (38.7)
m, n—*oo m, л = 1, 2,...
Доказательство. Если выполняется условие (38.6) и
т’^т, п’^п, то Smn^Smn.
Далее, если 5= sup Smn и S'<S, то, в силу определения
т, п = 1, 2,...
верхней грани, существуют такие номера т0 и п0, что S'mo„o>S".
Положим 7V = max{ra0, п0}, тогда при m>N и n>N
&тп &NN ^mQnQ > ’
и так как Smn^S, то lim Smn = S, т. е. выполняется условие
т, л—*оо
(38.7). □
167
Следствие. В предположениях теоремы, ряд (383) схо-
дится тогда и только тогда, когда его частичные суммы
ограничены.
Доказательство следствия очевидно.
Для двойных рядов с неотрицательными членами спра-
ведлив признак' сравнения.
00
Теорема 3. Если ряд £ атп сходится и существует
т, п ~ 1
такое c>Q, что для всех т, п~1, 2,..., выполняется неравенство
О ипгп сапгп,
00
то ряд У итп также сходится,
т, п =
Это сразу следует из следствия теоремы 2, так как для
любых натуральных т и п выполняются неравенства
п
v~ 1
Из двукратного ряда (38.3) можно формально образовать
два повторных ряда. Для. этого следует сначала просуммиро-
вать по одному индексу, зафиксировав другой, а затем
выполнить суммирование по оставшемуся индексу:
00 00
п = 1 т =1
00 ОС’
Z Z 11>П„
т = 1 п = 1
(38.8)
Аналогично доказанной ранее теореме о повторных пределах
(см. теорему 1 п. 19.2) доказывается следующая теорема.
Теорема 4. Если сходится двойной ряд (38.3) и для всех
00 00 00
и=1, 2,..., сходятся ряды ‘ итп, то повторный ряд £ X итп
т — 1 п—1т=1
также сходится и его сумма равна сумме данного ряда (38.3).
Определение 6. Ряд (38.3) называется абсолютно сходя-
щимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин
его членов, т. е. ряд
V KJ- (38.9)
т, п = 1
Отметим, что если ряд (38.3) абсолютно сходится, то его
общий член стремится к нулю при неограниченной возрастании
хотя бы одного из индексов:
lim ит„ — 0.
тзх/гн, щ—> + ос
168
В самом деле, пусть 5= Е 1мт«1>' тогда Для -любого е>0
т, п = 1
существует натуральное пг такое, что при т>пг и п>п?
выполняется неравенство
т и
0<S- £ Е
/с-1
Поэтому если номера т и п таковы, что max {т; п}>пг+19 то
будем иметь
vt1 ч.+ 1
Е е Е М<е-
{n>m}U{v>n) fc=l 1=1
Из стремления общего члена абсолютно сходящегося ряда к
нулю очевидно следует, что члены этого ряда ограничены.
Отметим, что у сходящегося, но не абсолютно, ряда это может
не иметь места. Примером такого ряда является, например,
рассмотренный ниже {эяд (38.17) в точке (1, 1).
Теорема 5. Если ряд (38.3) абсолютно сходится, то
сходится и любой ряд (однократный, двукратный или повтор-
ный), полученный перестановкой членов данного ряда (в частнос-
ти, сходится и сам заданный ряд). При этом сумма любого
такого ряда совпадает с суммой исходного ряда f38.3).
Доказательство. Расположим члены ряда (38.3) в беско-
нечную прямоугольную матрицу, поместив в m-ю ее строку
члены ряда с данным фиксированным первым номером т,
расположенные по возрастанию второго индекса п:
U12 U13 •" Ц1п
U21 U22 U23 “•* U2n
U ml Мт2 ^тЗ *** ^тп
Занумеруем теперь элементы этой таблицы согласно следу-
ющей схеме:
1 j 2 5
4 3 6
3 8 7 —
Член ряда (38.3). получивший при такой нумерации номер Л,
обозначим i\. Рассмотрим ряд
Е (З8.ю)
к'1 169
и покажем, что он абсолютно сходится, т. е. что сходится ряд
X Ы- (38.11)
к=1
Обозначим частичные суммы ряда (38.9) через §тп, его
сумму — через S, а частичные суммы ряда (38.11)— через §к.
Прежде всего заметим, что для любой суммы §к найдутся такие
номера т и п, что все_ члены ряда (38.11), входящие в сумму §к,
войдут и в сумму Smn; тогда
к ^тп
Отсюда и следует (см. п. 35.4) сходимость ряда (38.11).
Из абсолютной сходимости ряда (38.10) следует, что и
любой другой однократный ряд, составленный из членов ряда
(38.2), также сходится и его сумма равна сумме ряда (38.10) (см.
п. 34.10). Пусть
00
X ^=s-
к—1
Покажем теперь, что любой двойной ряд
т,п= 1
(38.12)
полученный некоторой перенумерацией двойными индексами
членов данного ряда (38.3), абсолютно сходится и что его
сумма также равна S.
Абсолютная сходимость ряда (38.12) легко следует из
абсолютной сходимости ряда (38.3), т. е. из сходимости ряда
(38.9), и доказывается тем же приемом, с помощью которого
была доказана абсолютная сходимость ряда (38.10). Докажем
теперь, что сумма ряда (38.12) равна S. Обозначим его
частичные суммы через S*m„, а частичные суммы ряда (38.10) —
через Sk. Пусть фиксировано число £>0. В силу сходимости
ряда (38.11), существует такой номер kz, что
00
X (38.13)
k = fcF+l 2
тогда и подавно
(38.14)
Выберем номер Ne так, чтобы частичная сумма S^N ряда
(38.12) содержала в качестве слагаемых все члены ряда'(58.10),
входящие в сумму Skc. Пусть rn^N£ и n~^Nz. Положим
170
тп тп ^к£’
тогда, использовав (38.13) и (38.14), получим
|S-SLI = |S-SJ + IO<e.
Итак, S' является суммой любого ряда (38.12), в частности
суммой самого ряда (38.3).
Покажем, наконец, что S является и суммой повторных ря-
дов (38.8). В самом деле, при любом фиксированном п
00 00
Е KJ^E ы=£
т =1 к=1
Следовательно, все ряды
00
Umn->
т = 1
сходятся, и притом абсолютно.
Положим
00
Un ~ Umn
т=1
(38.15)
Зафиксируем снова произвольное число 8>0. Выберем номер
кг так, чтобы выполнялось условие (38.13), а следовательно, и
условие (38.14). Далее, подобно тому, как это было сделано
выше, выберем номер N£ так, чтобы частичная сумма SN&Nz ряда
(38.3) содержала в качестве слагаемых все члены ряда (38.10),
входящие в сумму Sk. Тогда при всех m>N£ и n>N£
п т
Е Е 11 ji ~
i=l j=l
Перейдя в этом
(см. (38.15))
неравенстве к пределу при т->оо, получим
Е “i~ske
i = 1
Отсюда, в силу (38.14), следует, что при n>N&
выполняется
неравенство
Е щ-s
Е ui~skc
i= 1
+ 1 $к£~ <8-
Это и означает, что
оо оо оо
Е Е Е u„=s- °
п = 1 т= 1 п = 1
Упражнение 1. Обобщить критерий Коши сходимости однократных
рядов на случай кратных рядов.
171
38.2. КРАТНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Определение 7. Ряд вида
Е uni,...,„Sx\ (38.16)
где функции ип (х) определены на некотором множестве X.
называется k-кратным функциональным рядом, а суммы вида
— его частичными суммами.
Определение 8. Ряд (38.16) называется сходящимся на
множестве X, если при каждом фиксированном хоеХ сходится
кратный числовой ряд
"1.."t=1
Если ряд (38.16) сходится на X, то функция
со
5(х)= £ иЯ1...пДх), хеХ,
"1.n4=1
называется его суммой.
На кратные функциональные ряды легко переносятся поня-
тия равномерной сходимости ряда, критерий Коши для
равномерной сходимости ряда, признак Вейерштрасса равно-
мерной сходимости и т. п. Мы не будем на этом останав-
ливаться.
Упражнение 2. Определив понятие равномерной сходимости двойного
ряда, доказать, что если ряд (38.16) сходится равномерно и если его члены
являются непрерывными функциями на множестве XcR\ то и сумма ряда
(38.16) является непрерывной на множестве X функцией.
Определение 9. Ряды вида
оо
п1.........
где с„ — комплексные числа, называются кратными степен-
ными 1 рядами.
Хотя, как это видно из предыдущего, многие утверждения,
справедливые для однократных рядов, обобщаются и на
кратные ряды, последние имеют и много своих специфических
особенностей, существенно отличающих их от однократных
рядов.
172
В качестве примера приведем двойной степенной ряд с
действительными коэффициентами, который, если он рассмат-
ривается в действительной области, сходится лишь в двух
точках плоскости, а именно в точках (0, 0) и (1, 1). Таким
образом, аналога теоремы Абеля для степенных рядов (см. п.
37.1), во всяком случае в прямом смысле, для двойных рядов
нет. Этот пример показывает опасность использования анало-
гий, не подкрепленных математическими доказательствами.
Рассмотрим ряд
00
X ст„хтУп, (38.17)
т,п = 0
где соо = 0, сОп = спО=п\, п = \, 2, clm = cml = -rn!. т=\, 2,
стп~0, т^2, п>2. Его частичные суммы имеют вид
т п
Smn(x, у) = (1-у) X + X Пу1. (38.18)
к=1 1 = 2
Очевидно, что 0) = 0 и Smn(l, 1)=1, т, « = 1, 2, .., и
поэтому ряд (38.17) сходится в точках (0, 0) и (1, 1)
Заметим теперь, что радиус сходимости ряда
Е n'-z”
п= 1
равен нулю (см. пример 1 в п. 37.1), при этом его частичные
суммы
k\z\ и=1, 2, ...,
к= 1
при действительных z>0, очевидно, стремятся к +оо.
Покажем, что при z<0 его четные частичные суммы S2n(z}
также стремятся к +со. В самом деле, объединив при z<0
попарно соседние члены, получим
S2„(z)= t (2А:—1)! |z|2/c-1 (2Л:|z|—1).
к=1
Далее заметим, что при любом фиксированном z^Q для
, 1
номеров к>— выполняется неравенство
И
(2/c-l)!|z|2,[~1 (2£|z|-l)>(2A-l)!|z|2*~1
и что при z/О ряд
00
Z(2^-l)!z—
к = 1
173
расходится (это, например, легко доказывается тем же спосо-
бом, каким доказывалась при z / О расходимость ряда в
примере 1 п. 37.1) и, следовательно, при z>0 его сумма равна
+ оо, поэтому и
lim S2n(z)= + 00, z^O.
Из сказанного и из равенства (38.18) следует, что если
(х, у)/(О, 0) или (х, г)^(1, 1), то, каково бы ни было число 8>0,
всегда можно подобрать такие номера тип. что | Smn(x. j/)| > е.
А это и означает, что ряд (38.17) для указанных (х, у)
расходится.
Заметим, что хотя в точке (1, 1) рассматриваемый ряд
сходится, его члены (т. е. в данном случае коэффициенты) не
ограничены. Если у степенного ряда (38.17) в некоторой точке
(х0, >’о) его члены образуют ограниченное множество (это имеет
место, например, если ряд сходится абсолютно (см. п. 38.1), то
для такого ряда справедлив двумерный аналог первой теоремы
Абеля (см. п. 37.1).
Теор ема 6. Если в точке (х0, у0) члены ряда (38.17)
ограничены, то в любой точке (х, такой, что |х|<|х0|,
|y|<|j0|, Ря& (38.17) сходится абсолютно.
Доказательство. Если существует такое Л7>0, что
для всех натуральных т и п выполняется неравенство
\ст„хоУо\^М, то при |л-|<|х0|, |у|<|у0| получим
kmn^mri = kmn^rol
У
Уо
Отсюда, в силу признака сравнения (см. теорему 3) и
сходимости ряда вида £ pmq\ |/?|<1, |д|<1 (см. пример
т, п = 1
в п. 38.1), и следует утверждение теоремы. □
Упражнения. 3. Назовем число S’ суммой ряда £ мтл, если для
т, п = 1
любого £>0 существует такой номер /V, что для всех номеров т и п„
удовлетворяющих условию m + n>N, выполняется неравенство |Smn — S'|<£.
Выяснить, эквивалентно или нет это определение определению 5 п. 38.1.
4. Назовем число S' суммой ряда £ итп, если для любого £>0 существует
т, п = 1
такое конечное множество 9ie = {(w, /?)} пар индексов т, п членов данного ряда,
что, каково бы ни было другое конечное множество Л пар индексов членов
этого ряда, содержащее множество ЛЕ : выполняется неравенство
^mn $
<£.
Выяснить, эквивалентно или нет это определение определению 5 ш 38.1 и
определению, сформулированному в предыдущем упражнении.
ГЛАВА V
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 39. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И РЯД ТЕЙЛОРА
ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
39.1. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Если функция многцх переменных имеет достаточное число
непрерывных производных в окрестности некоторой точки, то
эту функцию в указанной окрестности можно (подобно тому,
как это было сделано для функций одного переменного)
представить в виде суммы некоторого многочлена и остатка,
который «мал» в определенном смысле.
Теорема 1. Пусть функция z=f(x, >’) определена и непре-
рывна вместе со всеми своими частными производными до
порядка т включительно (m^l) в некоторой Ъ-окрестности
точки (х0, уо). Тогда для всех Ах и Aj?, удовлетворяющих
условию р = х/Ах1 4-Aj;2<6, существует такое 0 = 0 (Ах, А>?),
О<0<1, что справедлива формула
Az=/(x0 + Ax, y0 + \y)-f(x0, у0) = д-^р^\х+°^^\у +
+ 1 рУ(^2о)дх2 + 2^/(Хо, >'о) Ах А>, + а2/?0' ^о) Aj?l +
2! [_ дх1 дхду J ду2 J _
1 / д А <э\{3’ , х
+ 3! ^Хд~х + АУдР f(X°’ - +
+(^(Ахй+д->х) л*- л)+г—(Дх' м.
или, короче,
т~1 1 / 8 я\{к}
= Ж), Уо)+^-1(Д^, Ду), (39.1)
г — 1 Л. \ ОХ иу /
где / \ w
rm_t(Ax, Aj) = T(AxA-|_Aj.£j Дх0 + еАх, jo + 0Aj). (39.2)
175
Формула (39.1) называется формулой Тейлора (порядка т— 1)
для функции f.
Пусть х = х0 + Ах, y=j0 + Ay. Многочлен
и । f л \
.Ж-М «=0’2,...,
/с = 0 К- \ 6Л
называется многочленом Тейлора степени п функции f в точке
(х0, у0), разность Дх, у) — Рп(х, у)— остаточным членом гЛх, у)
формулы Тейлора. Таким образом, формула Тейлора (39.1)
имеет вид
/(х, y) = Pm-i(x, Я + г>п-1(-^ у)
Запись rw_1(Ax, А у) в виде (39.2) называется остаточным
членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.
При т=1 в (39.1) требует разъяснения смысл первого члена
правой части, поскольку в этом случае верхний индекс суммиро-
вания равен нулю. В этом случае, по определению, полагается, что
этот член равен нулю, т. е. что формула (39.1) имеет вид
Az = r0 (Ах, Aj).
В дальнейшем всегда, когда встретится выражение, записан-
ное с помощью символа У, у которого значение верхнего
индекса суммирования меньше значения нижнего индекса,
будем также считать, что это выражение равно нулю.
Доказательство. Пусть Ах и А у зафиксированы так, что
p~v/Ax2 + Ay2<8: тогда все точки вида (х0-ЫАх, j0-hAj), где
0^7^ 1, лежат на отрезке, соединяющем точки (х0, у0) и
{х0 + Ах, у0 + Ау), и поэтому все они принадлежат 8-окрестности
точки (х0, у0). Вследствие этого имеет смысл композиция
функции
>)
и
х = х0 + гАх, y=y0 + tAy,
т. е. сложная функция
/Д)=/(х0 + гАх, j’o + rAj), (39.3)
Очевидно, что
Д2-=/(х0+Дх, Л) + Дг)-/(л-о, y0)=F(\)-F(Q). (39.4)
Поскольку функция / имеет в 8-окрсстности точки (х0, j0) т
непрерывных частных производных, го, согласно теореме о
производных сложной функции (см. п. 20.3), функция F также
имеет на отрезке [0. 1 ] т непрерывных производных и поэтому
для нее справедлива формула Тейлора порядка т — 1 с
остаточным членом в форме Лагранжа
176
F(t)-F(O) = F'(O)t+^t2+ ... +F<"1
v 7 2! (m — 1)! ml
0<e<l, (39.5)
и в рассматриваемой окрестности точки (х0, у0) функцию (39.3)
можно т раз продифференцировать по правилу дифференциро-
вания сложной функции (см. замечание 2 в и. 20.4), причем
значения получающихся смешанных частных производных не
зависят от порядка дифференцирования (см. п. 21.1).
Выразив производные F№(/) через производные функции
f(x, у) и положив в формуле (39.5) t—1 (см. (39.4)), получим
требуемую формулу Тейлора для функции Дх, у). Действи-
тельно, из (39.3) следует, что
д] ^4-
дх dt ду dt
df(xQ + Z &Х, У О + Z Д)7)
дх
ду
Отсюда для F"(t), опустив для краткости обозначения аргу-
ментов. получим
„,,/д d( X л. , <УА \ 52 f л 2 , <52/ л А , &f . г
F у-кх+^Ьу =--7Ах2 + 2^-АхАу+-4Ау2.
у 7 dt\ дх ду J дх охду ду
Вообще по индукции легко установить, что
Fm (/) = I Ах —+Ау — у Дх0 +1 Хх, у о +1 Ах),
/с=1, 2, ..., т. (39.6)
Положив в формулах (39.6) 1 = 0 при к = 1, 2, т— 1, будем
иметь
F' (0)=^£1^ + a v;
' 7 дх су
Г.(0) = ^ЛОДЛ2 + 2^0,^ДХД 2
v ; дх2 дхду 7 ду2 J
и вообще
F<fc’(0) = (Ax£ + Ay£j /(х0, у0), /с=1, 2, .... щ-1.(39.7)
При к--т, заменив t на 9/,
Г<т>(9/) = (дх^+АуА) Дх0 + егАх, уо + ОгАу). (39.8;
\ сх СУ/ ХТ[
Подставим теперь (39.7) и (39.8) в (39.5) и положим ?=1;
тогда, в силу соотношения (39.4),
лг=г(1)-г(0)= Z
т 1 1 f р. л \
"J, ЛХ«' +
+-!-(Ах^-+Ау^-) /(хо + 0Ах, _уо + 0Ау), О<0<1. □
т\ \ дх ду/
Следствие. В предположениях теоремы 1 справедлива
формула
т 1 / я я \ №
м Лх^+Л>’;л ^х°' Уо)+гт<Ах' ЛЛ (399)
причем остаточный член гт(Лх, Ду) может быть записан в
каждом из следующих видов'.
гт(Ах, Ду) = £ еДДх, Ду)АхкЛут~к, (39.10)
к = О
где
КшеДДх, Ду) = 0, к = 0, 1, т, Дх2 + Ду2
р-+О
или
гт(Лх, Ау) = а(Ах, Ау)рт, (39.11)
где lime (Ах, Ау) = 0, т. е.
р—О
гш(Дх, Д^) = ^(р"). (39.12)
Представление остаточного члена формулы Тейлора в фор-
ме (39.12) называется его записью в форме Пеано.
Доказательство. Положим
Av\_5m/(*o+0A-V-To+04T) й'"Ж,То) И9 13)
аДДл, Ау)-------------------(39-13)
В силу непрерывности всех частных производных порядка уп.
Нш8^(Дх, Ду) = 0.
р->0
Преобразуем остаток rw_x(Ax, Ду) (см. (39.2)), использовав
выражение (39.13), следующим образом:
178
r.-,(Ax. f сi,а'ж + * % А" =
/ fl • , q С/Л у
=А Е C^7^°’/-0?AxfcAjm-4
ml дхду
1 m
+~7 E С*еДАх, Aj/)AxfeAj7m k =
m- k = 0
=EfДх^-4-А.уЕ-) f(x0, J/O)+ E et(Ax, Ay) Axk Aym~k, (39.14)
m 1 у ox oy J k = 0
ck
где efc(Ax, Ай = — 8^ (Ax, Ар), и поэтому
ml
lim8fc(Ax, Aj’) = O.
p—>o
(39.15)
Подставляя (39.14) в (39.1), получим формулу Тейлора (39.9) с
остаточным членом в виде (39.10).
Покажем, что остаточный член (39.10) можно записать в
виде (39.11). Для этого положим
т / лV-\/ А1Лт-^
е(Ах, Aj’)= £ еДАл, АуН— / (>) • (39.16)
Тогда
rm(Ax, Ду)='£ еДАх, Ду) АхкАут~к =
к = О
= Рт Е ек(дх, Ду)(—J (—j =е(Ах, Aj)pm,
и, так как
Ах
Р
1, то из (39.15) следует, что
1
и
Р
lim с (Ах, Aj) = 0. □
р—*о
Используя понятие дифференциалов высших порядков, фор-
муле Тейлора можно придать более компактную форму, внешне
идентичную формуле Тейлора для функций одного перемен-
ного, записанной также с помощью дифференциалов. В самом
Деле, так как (см. п. 21.2)
dkf[x. у) = ( Ах—+Aj — J /(х, >>), = U 2’ •••’
то, полагая для краткости 7И0 = (х0, yG) и Л/=(х0 + Ах, j0 + Aj’),
формулу (39.9) можно записать в виде
179
Z ^dkf{M0) + rm(M\ (39.17)
к—1^'
Эта форма записи формулы Тейлора наиболее проста и
поэтому удобна для запоминания.
Сделаем несколько замечаний к доказательствам теоремы 1
и ее следствия. Прежде всего в условиях этой теоремы было
потребовано, чтобы функция f имела непрерывные производные
до порядка т включительно в некоторой 8-окрестности точки
(х0, То)- Можно было бы потребовать непрерывность в ука-
занной окрестности только производных порядка т, посколь-
ку из их непрерывности вытекает и непрерывность в этой
окрестности всех младших производных данной функции, т. е.
производных порядков /< = 0, 1, ..., т~ 1 (см. п. ’ 20.2).
Подчеркнем, что непрерывность частных производных в
8-окрестности точки (x0, у0) была использована, во-первых, для
того чтобы встречающиеся частные производные не зависели от
порядка дифференцирования (это было использовано как при
доказательстве формулы Тейлора (39.1), так и в самой форме
записи этой формулы), и, во-вторых, для того чтобы функцию
(39.3) можно было т раз дифференцировать по правилу
дифференцирования сложной функции. Обратим внимание на
то, что при т = 1 смешанные производные отсутствуют; для
возможности же один раз дифференцировать функцию (39.3) по
правилу сложной функции, а следовательно, и для справедли-
вости теоремы 1 достаточно более слабого предположения о
рассматриваемой функции / Именно, вместо предположения о
непрерывной дифференцируемости в вышеуказанной 8-окрест-
ности точки (х0, у0) функции / достаточно ее дифференцируе-
мости в этой окрестности (см. определения 2 и 4 в п. 20.2).
Непрерывность частных производных порядка т (в точке
(х0, у0)) использована также при доказательстве следствия
теоремы 1: она нужна для того, чтобы функции еЦЛх, Ду),
определенные формулами (39.13), стремились к нулю при р~»0.
Подчеркнем е1це, что при сделанных предположениях в
формуле (39.9) доказано, что rw(Ax, Ау) = <^(рж) при р~^0 не в
смысле предела по любому фиксированному направлению, как
может показаться на первый взгляд из приведенного доказа-
тельства, а в более сильном смысле — в смысле предела в точке
(*о- >’о) (почему?).
Формулу (39.1) можно несколько обобщить, если не стре-
миться к тому, чтобы она была справедливой для всех точек
(х0 + Дх0, у0 + Ду) 8-окрестности точки (х0, у0), а рассматривать
эту формулу лишь при фиксированных Ал: и Ду. Именно, если
функция / определена и имеет непрерывные частные производ-
ные порядка т на открытом множестве, содержащем отрезок с
концами (х0, у0) и (л0 + Ах, у0 + Ду), то формула (39.1) также
остается справедливой вместе с ее доказательством. Из этого
180
следует, что если функция f определена в выпуклой области G
(см. п. 18.2) и имеет в G непрерывные частные производные
порядка т, то для любых двух точек (х0, y0)eG и (х0+Дх,
y0+Ay)eG справедлива формула Тейлора (39.1).
Упражнение 1. Пусть функция f(x, у) непрерывна вместе со своими
частными производными до порядка т включительно в некоторой окрестности
точки (х0, у0) включительно. Доказать, что ее многочлен Тейлора порядка т.
т. е. многочлен
р(х> >')= I (х“хо)^.+()’-№)4; Г'Л'о, у0),
к —О *- ' -
является многочленом наилучшего приближения функции Дх, у) «в бесконечно
малой окрестности точки (х0. у0)». Это означает следующее: каков бы ни был
многочлен g(x. у) степени, не большей т (т. е. в каждом его члене сумма
показателей степеней у переменных х и г не должна превышать числа т\ такой,
что
Дх, у) = (Дх. у) + Др"), при р->0,
где р = ^/(х ~ х0) + (у — л оон совпадает с указанным многочленом Тейлора
Р(х, у) функции Дх, у).
Все сказанное переносится и на случай функции любого
числа переменных.
Теор ем а Г. Если функция п переменных y=f{xl, .... хи)
определена и непрерывна вместе со всеми своими частными
производными до порядка т, включительно в некоторой
^-окрестности точки х(0) =Дх i0), то справедлива формула
ЬуЧ\*Г+Ьх^ х^
т ~~ 1 । / л z)
= I* /(*°)+'’m-i(Ax)> (39.18)
где
Гт-1(А^) =
=-~f Axt —+...+Лхп/(x^ + SAxj, ..., х*,0)+9Ах„),
(хг cxnJ
О<0<1, Лх = (Ах1, ..., Ахи), (39.19)
а также формула
Дг= Z п( а-х17Г + - + А*"£-) Ж°>)+гт(Ал-), (39.20)
/с==1 К1\ 6’Xi 6Лл/
где гт(Ах) можно записать в каждом из следующих видов: либо
гт(Ьх)= Е emt...m„(Ax)AxT>...Ax^ (39.21)
т j 4- ... Г тп — т
181
где Ншет1>...>тп(Дл)=О, р =
i. либо
гт (Ах) = е (Ах) pw, lim 8 (Ах) = 0,
р—о
т. е.
Наконец, через дифференциалы формулу (39.20)
записать в виде
m
Aj’= Ё ^^f(x(0)) + rm(Ax).
k~l K'
Раскроем теперь скобки в формулах (39.18) и
воспользовавшись алгебраической формулой
k м
I — V ____________:___aki ak2 Qkn
1 к у к » к » 1 2 ” " ’
k.+... + к =к
(п
Ё °-
i=l
Для того чтобы короче записать результат, введем
обозначения. Положим k=(klf kn\, \k\—k1 + ...+kJ
=kl\...kn\,
(39.22)
можно
(39.23)
(39.19),
новые
k\ =
k = (klf ..., кп) называется мультиинйексом.
В этих обозначениях формула Тейлора (39.18) с остаточным
членом в виде (39.19) перепишется в виде
|k|<m |k|=m
Здесь, как всегда, х = (х19 ..., хи), х(0) = (х(10), ...ч х^0)) и
х(О) + 0(х-х(О)) = (х(1О) + 0(х1+х(1О)), ..., х<0) + е(хи-х<0)))-
В этом виде формула Тейлора для функций любого числа
переменных выглядит так же, как и для функций одной
переменной.
Иногда; особенно в случае функций многих переменных, для
производных употребляется обозначение
Dk def afe> + - + fe>-
схке...дхкУ
где k = (kY, ..., кп] — мультииндекс. Если пользоваться этой
символикой, то формула Тейлора примет вид
182
/(*)= L ^£7'(*<0))(х~х<0)Г+
|fc|<m К-
+ Z ^W<0)+e(x-x(0'))(x-x<0>)\ o<e<i.
I*l = m k-
Покажем единственность представления функции f в виде
/(x+Ax) = Pm(Ax)+o(pm), р->0, (39.24)
где
Pm(Ax)= X акЛхк (39.25)
1*1 = 0
— многочлен степени не выше т от и переменных Ахп ..., Ахп.
Лемма. Если многочлен
т
Рт(х)= X ак^’ х=(хк, .... хп\ х*=х*1...х*«, к—(к1, кп),
1*1=о
тождественно равен нулю:
Рт(х)=ь (39.26)
— в некоторой окрестности нуля, то все его коэффициенты
равны нулю.
Доказательство. Из (39.26) следует, что для любого
k=(klf ..., kn) имеет место равенство Р(^(0) = 0. Но если
то Р(^(0) = к\ ак. Из двух последних равенств следует,
что для всех к таких, что 0^|&|^т, выполняются равенства
ак = 0. □
Теорема 2. Если функция / задана в окрестности точки х,
то ее представление в виде (39.24) единственно.
Доказательство. Пусть число 8>0 выбрано таким
образом, что для всех Ах, |Ах|<8, у функции f наряду с
представлением (39.24) имеет место представление
/(х+Ах)= X Z>fcAx* + o(pm), р-»0. (39.27)
1*1 = 0
Тогда, положив
ck = bk — ак, Аг = О,1, ..., т, (39.28)
и вычтя из равенства (39.27) равенство (39.24), получим, что
X скЬхк+о (рт) = 0, р->0. (39.29)
1*1 = о
Зафиксируем произвольно Дх, |Ах|<8; тогда если то
|/Ах| <8 и в (39.29) можно вместо Ах подставить /Ах. Выполнив
эту подстановку, будем иметь
183
£ скГ1/с|Ах/с + б>(р7) = 0,
W = 0
J £ (/Ах7)2 = Гр->0 при /—>0
(так как Ay фиксировано, то и p также фиксировано), г.е.
f? £ c^xk+o(tm) = 0, r->0.
/ = 0 |fcT-/
В силу теоремы 2 п. 13.2, отсюда следует, что
£ cfcAx* = 0,
- \к\ = 1
причем это верно для всех таких Ах, что |Ах|<8, т.е. стоящий в
левой части этого равенства многочлен относительно перемен-
ных Алд,..., Ах„ равен нулю в некоторой окрестности нуля.
Согласно лемме, отсюда следует, что все ск=--0. Поэтому, в силу
(39.28), для всех к таких, что выполняется равенство
ак^Ьк. □
39,2. ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ
ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Частный случай формулы Тейлора (39.18), в котором т=1,
обычно называется формулой конечных приращений Лагранжа
для функций многих переменных. В силу сделанных в предыду-
щем пункте замечаний к теореме 1 о предположениях, при
которых справедливы формулы (39.1) и (39.18), из теоремы Г
получаем следующее утверждение.
Теорема 3. Если функция /(ад, ..., хл) дифференцируема в
каждой точке некоторой выпуклой области GciJint то для
каждой пары точек (хр ..., х„) и (х1Д-Ах1, ..., х„ + Ахл) из G
существует такое 0, О<0<1. что
/(л^+Лл'!. .... ..... лв) =
— У + 1 ’ + вА-Ч) ду
или, короче,
f(x+Ax)-J{x)= £ (39.30)
i=-l ('Xi
где х^(х3, ..., хи), х + Ах = (хх + Ах3, ..., х„ + Ах„) и
х-I-0Ах — (х। Д-0Ах,, хп + 0Ахд).
184
Формула (39.30), как указывалось, и называется формулой
конечных приращений Лагранжа.
Эта формула, так же как и вообще формула Тейлора,
находит многочисленные и разнообразные применения в раз-
личных вопросах математического анализа.
Обратим внимание на то, что теорема 2 не является частным
случаем теоремы 1. поскольку в ней требуется не непрерывная
дифференцируемость рассматриваемой функции в каждой точке
множества G, а лишь ее дифференцируемость. Однако доказа-
тельство теоремы 2 фактически содержится в доказательстве
теоремы 1. Действительно, как это отмечалось в замечаниях к
доказательству теоремы 1 и ее следствию (см. п. 39.1), при
приведенное выше доказательство теоремы 1 сохраняет силу и
при предположениях теоремы 2, т. е. при предположении лишь
дифференцируемости (а не непрерывной дифференцируемости)
функции f.
В качестве примера применения формулы (39.30) докажем
следующее утверждение.
Теорема 4. Если функция дифференцируема в каждой точке
выпуклой области G и имеет в G ограниченные частные
производные, то она равномерно непрерывна в этой области.
Доказательство. Если
W)
CXi
z=l, 2, ..., п, x^G
(с— постоянная), то для любых двух точек х'= (х{, ..., х„) и
x" = (xi, ..., х") из (39.30) следует, что
Ш)
dXj
|х" — х<| < спр (х', х")
(здесь — некоторая точка отрезка с концами в точках х' и х").
Поэтому, если задано е>0, достаточно взять 5=—, чтобы для
СП
любых точек x'eG и x"eG таких, что р(х', х") <Р, выполня-
лось неравенство
|Дх")-/(х')|<в, (39.31)
а это и означает равномерную непрерывность функции f в
области G.
39.3. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОЦЕНКЕ
ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
ВО ВСЕЙ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ
Остаточный член в формуле Тейлора, очевидно, зависит не
только от приращений аргументов, но и от самой точки, в
окрестности которой рассматривается разложение функции и
185
которую мы в п. 39.1 считали фик-
сированной. Теперь нас будут инте-
ресовать поведение и оценка оста-
точного члена в зависимости от
изменения указанной точки. Чтобы
подчеркнуть эту зависимость, мы в
этом пункте будем остаточный член
порядка т обозначать гт(х, Ах), где
х=(х1, ..., хп)— точка, в окрестнос-
ти которой раскладывается данная
функция по формуле Тейлора. Как
и раньше, Ax = (Axt, ..., Ахи).
В формулах (39.21) и (39.22) бу-
Рис 165 дем вместо (Ах) и е(Ах) со-
ответственно писать т (х, Ах)
и 8(х, Ах). В дальнейшем нам потребуется оценка ос-
таточного члена формулы Тейлора в форме Пеано сразу для
всей области существования разложения по указанной фор-
муле.
Введем сначала понятие непрерывности частных производ-
ных в замыкании открытого множества. Это требует специаль-
ного определения, так как в граничной точке открытого
множества G_ даже в случае, когда функция определена на
замыкании G множества G, понятие частной производной,
вообще говоря, не определено (см., например, точку М границы
области G на рис. 165).
Определение 1. Функция f, определенная на открытом
множестве G с Rn, называется непрерывно продолжаемой на его
замыкание G, если существует такая непрерывная на G функция
F, что F—f на G.
. Функция F называется непрерывным продолжением функции f
(на G) и для простоты будет также обозначаться символом f.
Очевидно, в силу единственности предела функции, если у
функции, определенной на G, существует непрерывное продол-
жение на G, то оно единственно.
Определение 2. Функция f называется непрерывно дифферен-
цируемой (соответственно т раз непрерывно дифференцируемой)
на замыкании G области G (т.е^ на замкнутой области), если
функция f определена на G и все ее частные производные первого
порядка (соответственно частные производные до порядка т
включительно) непрерывно продолжаемы с G на G.
Упражнения. 2. Доказать, что если функция f определена на открытом
множестве G<=:Rn, имеет на нем непрерывно продолжаемую на его замыкание G
df
производную -— и в некоторой точке границы множества G существует
охх
186
df
(односторонняя) частная производная -, то она совпадает с непрерывным
дхг
„ 8/
продолжением в эту точку частной производной -.
дх^
Указание. Воспользоваться следствием 3 из теоремы 3 в п. 11.2.
3. Доказать что, для того чтобы непрерывная функция, определенная на
ограниченном открытом множестве GaRn, была непрерывно продолжаемой на
его замыкание, необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно
непрерывной на G. Показать, что в случае неограниченного открытого
множества условие равномерной непрерывности продолжаемой функции, яв-
ляясь достаточным для непрерывного продолжения, не является необходимым.
4. Построить пример непрерывной и ограниченной в области функции,
которую нельзя непрерывно продолжить на замыкание этой области.
Вернемся теперь к формуле Тейлора. Пусть функция f т раз
непрерывно дифференцируема на замыкании G открытого
ограниченного множества G. Тогда, согласно результатам
п. 39.1, в каждой точке x^G имеет место разложение (39.20)
функции f по формуле Тейлора, причем стремление к нулю
£mv..mn(*> Ах) в формуле (39.21) и е(х, Ах) в формуле (39.22)
при р—>0 равномерно на множестве G (см. определение в п.
20.2), т. е.'для любого е>0 существует такое 8 = 8(е)>0, что
если
р= /£ Ах? <8, (39.32)
V i=i
то
|fiw ...ж (*, Ах)|<£ И |е(х, Ах)|<Е
для всех точек x<=G.
Это в данном случае непосредственно следует из метода
получения функций ЕШ1.„тп и е(Ах). Действительно, в силу
ограниченности и замкнутости замыкания_ G открытого мно-
жества G, непрерывные продолжения на G частных производ-
ных порядка т данной функции равномерно непрерывны на G,
поэтому (см. формулу (39.13) для случая п = 2; в общем случае
справедлива аналогичная формула), если выполнено условие
(39.32), то
8, И1 7 и„, G , (39.33)
дхх ...дх /
т = т1 + ... + тп.
Здесь правая часть (модуль непрерывности соответствующей
производной) не зависит от точки множества G и стремится к
нулю при 8->0. Поэтому из (39.33) следует равномерное
стремление £т1.,.тп к нулю на G.
Теперь можно” оценить бесконечно малую е(Ах, Ау) в
формуле (39.22). Для произвольного натурального п ее можно,
187
аналогично случаю п~2 (см. (39.16)), представить в виде
/л /л \w
£(х, Ах) = £ %, т(х, Ах)1 —I ...”.
»<1 +...+тп = т 1 ” \р/ \Р/
Отсюда имеем:
|Е(Х, Ах)|< £ |emi...m„(x, Дх)|. (39.34)
т + ... + тп = т
В правой части неравенства (39.34) стоит некоторое фиксиро-
ванное число слагаемых; обозначим его через N. В силу уже
доказанного равномерного в G стремлении к нулю функции
f-»i U. Ах), для любого заданного е>0 существует такое
8 = 8(e) > О, что если выполнено условие р(х, х+Ах)<8, то
|£mi...mB(x, Ах)|<^, т1 + ... + тп = т.
Отсюда и из неравенства (39.34) следует, что
| £(х, Ах)|<£.
Отметим еще одну оценку в целом остаточного члена
формулы Тейлора, получающуюся из записи его в форме
Лагранжа (39.19).
Если функция / определена на открытом множестве G и
имеет на G ограниченные частные производные порядка т, т. е.
существует такая постоянная Л/>0, что
ml+...+mn=m, x^G, (39.35)
(7Aj ...CXn
то при выполнении условия p(x, х-|-Ах)<8 для всех x^G
справедливо неравенство
гт-1(х, Ах) «5--—.
т\
Это сразу следует из формулы (39.19), если абсолютные вели-
чины каждого слагаемого ее правой части оценить с помощью
неравенства (39.35) и очевидного неравенства |AxJ^8.
39.4. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
ПО ПАРАМЕТРУ СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
В предыдущем пункте мы встретились с понятием равно-
мерной сходимости на данном множестве семейства функций,
зависящих от некоторого параметра, когда этот параметр
стремится к определенным значениям. Такими функциями в
нашем случае являлись 8т Ш|1(х, Ах) и е(х, Ах), где роль
параметра играло Ах. В простейшем виде этот случай встре-
чался еще раньше в п. 20.2.
188
Сформулируем определение равномерной сходимости семей-
ства функций в общем случае.
Определение 3. Пусть XczRn, Y<^Rm, j(0) — точка прикосно-
вения множества -Y, конечная или бесконечно удаленная оо, 4-оо,
— оо (последние две бесконечности имеет смысл рассматривать
только при т=\). Пусть, далее, функция ф(х) определена для
всех х^Х, a f(x, у) для всех х^Х и y^Y.
Функция f(x, у) называется равномерно стремящейся на
множестве X к функции ф(х) при у-^у^} и пишется
f(x,
X
если для любого £>0 существует такая окрестность U(y{^}
точки У0), что для всех х^Хи всех у<^ Yf\U(у0)), выполняется
неравенство
\f(x, у)-ф(х)|<£. (39.36)
Переменная у часто называется в этом случае параметром,
а функция f(x, у), y^Y,— «семейством функций от х» (в том
смысле, что эта функция при различных фиксированных y^Y
задает функции переменной х).
Подобно случаю равномерной сходимости последователь-
ности функций (см. п. 36.1) условие равномерной сходимости
функций по параметру можно сформулировать, используя
понятие предела, следующим образом.
Функция f(x, у) равномерно стремится на множестве X к
функции ф(х) при у-*у^} тогда и только тогда, когда
lim sup |/(х, ^)-ф(х)|-0. (39.37)
у—у(0) х^Х
Таким образом, условие f(x, ^)^ф(х), у->уШ), равносильно
х
def
стремлению к нулю при p-*j’(0) функции F(y) = sup \f(x, у) — ср (х) |.
х&Х
Доказательство этого утверждения совсем не сложно и анало-
гично случаю равномерной сходимости последовательности
функций. Его проведение предоставляется читателю.
Справедлив в рассматриваемом случае и аналог критерия
Коши равномерной сходимости последовательностей.
Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы функция
f(x, j) при равномерно стремилась на множестве X к
некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы для
любого 8>0 нашлась такая окрестность U(y{(y*) точки j(0), что
для любых
y^U(y^Y и y"^U(y^^Y
189
и любого х<=Х выполнялось неравенство
1Ж У')-Ж У))<е. (39.38)
Действительно, необходимость условия (39.38), как всегда в
подобных ситуациях, легко следует из условия (39.36). Для
доказательства же достаточности следует показать, что из
условия (39.38) вытекает, что для любого фиксированного х^Х
существует lim /(х, j) и что стремление функции f(x, j) к
этому пределу при происходит равномерно.
Все это также рекомендуется проделать читателю самостоя-
тельно.
Упражнение 5. Доказать: для того чтобы функция f(x, у), х^Х, у^Х,
равномерно на множестве X стремилась при т~*У0) к функции <р(х), х^Х,
необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности y(n) е Y,
п=1, 2,..., стремящейся к у(0), последовательность f(x, у(п}), п—1, 2,...
равномерно на множестве X сходилась к функции <р(х).
Примеры. 1. Рассмотрим семейство функций /(х, у) = еху,
где Oix^l, 0^у<4-оо. Очевидно,
0, если х>0,
1, если х = 0
lim f(x, j)= <
у—*+ 00
(таким образом, переменная у, если использовать указанную
выше терминологию, является параметром). Обозначим пре-
дельную функцию через (р (х):
Ф (х) = <
О, если х>0,
1, если х = 0.
(39.39)
Докажем, что стремление функции f(x, у) к ф(х) при у^ + оо
происходит неравномерно. Для этого достаточно показать, что
существует такое ео>0, что, какую бы окрестность С/( + оо) ни
взять, найдутся такие хе [0, 1. ] и у е U(+ оо), что будет выполнено
неравенство |е“ху — ф (х)|^80. Возьмем е0 такое, что 0<е0 < 1, и
произвольную окрестность щ+оо). Тогда, какое бы [7( +оо)
ни взять, для него lim е~ху — 1, поэтому найдется такое хе(0, 1 ],
X—*0
ЧТО
|e-^-<p(x)| = k-^-0|>80.
Таким образом, в данном случае условия равномерной сходи-
мости не выполняются.
190
Однако при любом а, 0 < а < 1, семейство функций f(x, у ) = е~ху
при j-> + oo равномерно стремится к нулю на отрезке [а, 1].
Проверим в этом случае выполнение условий равномерной
сходимости. Для любого 8>0 существует число г|£>0 такое, что
^-«пе<8 (достаточно взять любое т| >115^1), поэтому для всех
j;>T|e и всех х^\а, 1] будем иметь
\е~ху-0| = е”ху <e-flTle<8.
Конечно, исследование равномерной сходимости рассматрива-
емого семейства функций можно выполнить и применив критерий
(39.37). Действительно, использовав формулу (39.39), получим
sup |е~ху — ф(х)|^ sup е~ху=\,
0^х<1 0<х^1
поэтому условие (39.31) заведомо не выполняется. Если же
0<я<1, то
lim sup \е~ху — ф (х)|= lim sup е~ху= lim =
у—* + оо а х 1 + оо а х 1 у—+ + оо
Таким образом,
е~ху ф(х), е~ху =? О, 0<«<1, j-* + oo.
[О, 1] [а, 1]
2. В том случае, когда Y является множеством натуральных
чисел Y = {1, 2, 3,...}, a j(0) = + об, приведенное определение
равномерной сходимости по параметру превращается в опреде-
ление равномерной сходимости последовательности функций
/»W=/(^w), и=1, 2,..., на множестве X.
3. Пусть функция fix, у) непрерывна на прямоугольнике
Q = {(x, у): — оо <а^х^Ь< 4-оо, — со <c^y^d< +оо } и пусть
Joe[c, d],
’• Обозначим через со (8, /) модуль непрерывности функции f в
прямоугольнике Q\ тогда
1Ж ^)-Ж Joi; /), (39.40)
Правая часть этого неравенства не зависит от х и, в силу
равномерной непрерывности функции f на прямоугольнике Q,
lim со (8, /) = 0. Поэтому из неравенства (39.40) следует, что при
S—*0
У~~>У() функция f(x, у) равномерно на отрезке [а, 6] стремится к
функции f(x, у0).
Упражнение 6. Доказать, что если семейство функций f(x, у), x^X<^Rn,
y^Y^Rm таково, что функции f(x, у} при любом фиксированном y^Y
непрерывны по х на множестве X и равномерно на этом множестве стремятся к
<р(х) при т->У0), то <р(х) также непрерывна на множестве X
191
39.5. ЗАМЕЧАНИЯ О РЯДАХ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Если функция /(х) определена и бесконечно много раз
дифференцируема в некоторой 8-окрестности точки х(0) = (х(1°\...
..., х£0))б1?и, то для этой функции формула Тейлора (39.20)
будет, очевидно, справедливой при любом натуральном
2,... и УДх2<82. Если при этом ряд
i — 1
a
-+м>~) ^0))
будет сходиться к Ду=/(х) —/'(х(0)) (см. п. 38.2), то получится
формула
да / д q \ гр
а + ... +ДХ.Т.)'
где х — (х1? . ., хи) и х?. — х^0) —Axf, i—1, 2, ..., п. Отсюда, перенося
/(х(0)) в правую часть, получим разложение функции в степенной
ряд, называемый рядом Тейлора функции /:
или, что то же.
Дх) = Е z>fc/(x‘0’)(x-x'0»)\
И=ол-
где к=(к1, .... кп) — мультииндекс.
Упражнение 7. Разложить в ряд Тейлора функцию f(x, у) = е*+у.
§ 40, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
40.L НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Изучаемые в настоящем и некоторых следующих параграфах
вопросы носят аналитический характер, и их доказательства не
усложняются при увеличении числа переменных. Поэтому мы
проведем их рассмотрение сразу в общем и-мерном случае,
указывая при необходимости их специфические особенности для
случаев п^2 и п~3.
Определение L Пусть функция /*(х) определена на множестве
XcJP1. Точка х(0)е ¥ называется точкой строгого максимума,
соответственно строгого минимума, если существует такая
окрестность 1/(х(0)) точки х(0), что для всех х 6 U (х(0)) f) X,
192
х А х(0), выполняется неравенство f(x)<f (х(0)) соответственно
неравенство f (х) >/(х(0)).
"Таким образом, точка строгого максимума (соответственно
строгого минимума) харак-
теризуется тем, что А/=
=/(х) —/(х(0)) < 0 (соответст-
венно А/>о) при всех хе
е U (х(0)) П X, хф х(0) (рис.
166).
Если же для точки х(0)
существует такая окрест-
ность С/(х(0)), что при всех
х е U (х(0)) Р| X выполняется
условие /’(х) / (х(0)) (соот-
ветственно' /(х)>/(х(0)), то
х(0) называется просто точ-
кой максимума [соответст- Рис. 166
венно минимума).
Определение 2. Точки (строгого) максимума и минимума
функции называются точками (строгого) экстремума.
Теорема 1. Пусть функция f(x), x = (xt, х2, .... хи) определе-
на в некоторой окрестности точки х(0); если она является
точкой экстремума функции f(x) и если в ней существует
какая-либо из производных (j может принимать одно из
\ of I Л?
значений 1, 2, ..., п), то она равна нулю: —j—- = 0.
Следствие. Если функция f(x) дифференцируема в точке
экстремума х(0), то ее дифференциал равен нулю в этой точке:
df(yv)=V.
Доказательство (теоремы и следствия). Пусть для
определенности у=1. Если х(0) = (х(10), х^0)) является точкой
экстремума для функции /(х)^/(хъ ..., хи), то x(j0) является
точкой экстремума для функции /(х1? х(20), ..., х^0)) одной пере-
менной хх (рис. 167), причем так как точка х(0) была внутренней
для области определения функции /(х19 ..., х„), то точка x(i0)
является внутренней для области определения функции /(х1?
х(20), ..., х<°>). Поэтому если в этой точке существует производная
df
то по теореме Ферма (см. п. 11.1) она равна нулю, т. е.
дх!
dxx
(О)
Аналогично обстоит дело в случае любой переменной
х7.(/=2, п).
7-2135
193
Если функция /(х) дифференцируема в точке экстремума х(0),
df . . о
то в этой точке существуют все производные —, i = 1, 2, и, и,
dxt
согласно доказанному, все они равны нулю, поэтому и
i=l CXi
Примеры. 1. Найдем точки экстремума функции z = x2+y2.
Точки экстремума, в силу дока-
занного, находятся среди тех,
для которых t/z = 0. Так как
dz = 2xdx + 2у dy, то условие
dz = 0 выполняется в единствен-
ной точке (0, 0). В этой точке
z = 0, во всех же других точках
z = x2+y2>Q. Поэтому (0,0) яв-
ляется точкой строгого миниму-
ма для функции z = x2+y2 (рис.
168).
2. Исследуем точки экстремума функции z = x2— у2. По-
ступая аналогично предыдущему случаю, находим, что условие
dz = 0 снова выполняется в точке (0, 0) и в этой точке z = 0.
Однако здесь при ^ = 0 и любых х#0 имеем z>0, а при х = 0 и
любом j’^0 имеем z<0. Поэтому точка (0, 0) не является
точкой экстремума, и, значит, функция z = x2—y2 вообще не
имеет экстремальных точек (рис. 169).
Рис. 169
40.2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СТРОГОГО ЭКСТРЕМУМА
Напомним несколько определений из курса алгебры.
Определение 3. Квадратичная форма Л (х) = Л (х19 ..., хп) =
п
£ a^j xt Хр а^ = аф i. j=l, 2, ..., п, называется положительно
i,j=l
194
(соответственно отрицательно) определенной, если А (х) > О
(соответственно Л(х)<0) для любой точки xeRn, х^О.
Квадратичная форма, являющаяся положительно или отри-
цательно определенной, называется также просто определенной
(или знакоопределеннои) квадратичной формой.
Определение 4. Квадратичная форма, принимающая как
положительные, так и отрицательные значения, называется
неопределенной.
Лемма 1. Пусть S — единичная сфера в Rn:
S={x: xj + ... + х^ = 1},
и пусть А (х) — определенная квадратичная форма; тогда
inf | А (л) | = ц>0.
хе S
Доказательство. Функция А (х) является многочленом
второй степени по переменным х1? ..., хи5> поэтому (х), а
следовательно, и | А (х) | непрерывны во всем пространстве Rn.
Отсюда вытекает, что функция | А (х) | непрерывна на компакте S.
Согласно теореме Вейерштрасса, функция | А (х) | достигает на 5
своей нижней грани, т. е. существует такая точка х(0) е S, что
ц =f inf | А (х) | = | А (х(0)) |.
хе S •
По определению знакоопределенной квадратичной формы
IА (х) | > 0 для всех точек х g S, значит, в частности, ц =
= | А (х(0)) | > 0. □
Определение 5. Пусть функция f дифференцируема в точке
x^eRn. Если df(x^}) = Q, то х(0) называется стационарной
точкой функции f
Очевидно, что точка х(0), в которой функция / дифференци-
руема, является стационарной в том и только в том случае, если
^=0, z=l, 2, п. (40.1)
axi
Согласно следствию из теоремы 1, точка экстремума, в
которой функция f дифференцируема, является стационарной;
обратное, конечно, вообще говоря, неверно: не всякая стацио-
нарная точка, в которой функция дифференцируема, является
точкой экстремума (см. пример 2 в конце п. 40.1).
Теорема 2 (достаточные условия строгого экстремума).
Пусть функция f определена и имеет непрерывные производные
второго порядка в некоторой окрестности точки х(0). Пусть х(0)
является стационарной точкой функции f; тогда если квадра-
195
тичная форма
A (dx1} dx„) = £ dxt dxj ’ (40.2)
т. е. второй дифференциал функции f в точке х(0\ положительно
определенна (отрицательно определенна), то х(0) является точ-
кой строгого минимума (соответственно строгого максимума);
если же квадратичная форма (40.2) неопределенна, то в точке
х(0) нет экстремума.
Доказательство. Пусть U(x(0\ 80) — 80-окрестность ста-
ционарной для функции f точки х(Ъ), в которой функция f имеет
непрерывные вторые производные. Пусть точка
x(0) + dx = (x(10) + dx1, ..., x^} + dxn)
принадлежит этой окрестности.
По формуле Тейлора (см. (39.23)), учитывая условия ста-
ционарности (40.1), получим
д /=/'(*(0) + -/(^(0>)=| Е ) dxt dxj+е (dx) р2,
X- • • __ , .j OXiOX;
где dx = (dx1, ..., dxn\ р2 = dx2+ ...+dx2. и
lim a (dx) = 0,
p->0
или
d2/(x(0)) dxi dxj
dxi дх^ p p
(40.3)
+ 2 £ (dx)
a(^, + 2e(&) , p^O.
(40.4)
Точка ( —, лежит на единичной сфере S’ (т. е. на сфере с
\ Р Р /
центром в начале координат и радиусом, равным I), ибо
/ б/хД2 _/ dx^ = j
\ Р / \ Р /
Пусть квадратичная форма (40.2) знакоопределенна. Тогда,
согласно лемме, inf | А | = ц>0. Выберем 8, 0<8<8о, так, чтобы
5
2|£(dx)|<p при р<8. Тогда при р<8, т. е. при x(0) + dxe
еС/(х(0\б) и dx^O, все выражение в квадратных скобках в
правой части формулы (40.4) будет иметь тот же знак, что и
. (dx, dx\
первое слагаемое АI —..., —- :
\ Р Р /
196
sign A f= sign A
dxr
. P
dx,
P
Поэтому, если квадратичная форма (40.2) является положитель-
но определенной, то А/’>0. а если отрицательно определенной,
то А/<0 при x(0) + z/xel7 (х(0), 5). Значит, в первом случае х(0>
является точкой строгого минимума, а во втором — точкой
строгого максимума.
Пусть теперь квадратичная форма (40.2) является неопреде-
ленной; это означает, что существуют две такие точки
dx' = (dxi, ..., dx'n) и dx" = (dxi, ..., dx"), что А~(dx\, ..., dxr^>Q, а
А = (ах'[, ..., dx")<0. Мы не можем
на основании этого сразу сказать,
что приращение функции А/ меняет
знак в дюбой окрестности точки
х(0), так как точки x^A-dx'^
= (x(i} + dx\, ..., + и х(0) +
+ dx" = (хр + dx i, ..., х^0) + dx’£) мо-
гут, вообще говоря, даже и не
принадлежать области определения
функции /. Однако, нужный нам
результат будет следовать из того,
что квадратичная форма A (dx) со-
храняет один и тот же знак или
равенство нулю на каждой прямой,
проходящей через точку х*0), из
которой удалена сама эта точка,
вообще не зависит от выбора точки на этой прямой.
Рассмотрим точку dx' = (dx'i, ..., dx'n). Проведем полупрямую,
начинающуюся в точке х(0) и проходящую через точку x^A-dx'.
Для любой точки Х=(х^ ..., хп) этой полупрямой положим
dxi = xi — x\°\ z=l, 2, ..., и, и р= dxl. Тогда (рис. 170)
ал, . -I п
—-=cosaf, z= 1, 2, ..., п,
Р
(40.5)
где cos а; суть направляющие косинусы рассматриваемой
полупрямой. Поэтому точка
(—, ..., —)=(cosai, ... , cosa„), (40.6)
лежащая, очевидно, на единичной сфере*’ S' с центром х<0’,
** Напомним, что для направляющих косинусов справедливо равенство
cos2a1 + ... + cos2an= 1.
197
будет одной и той же для всех точек х этой полупрямой, т. е.
точка (40.6) не зависит от расстояния р между х и х(0).
Следовательно, и значение квадратичной формы (40.2) в
точке (40.6), т. е. А\ —, — |, не зависит от р. Отсюда для
\ Р Р /
любой точки (40.6) имеем
а(^-, ..., ^) = а(^, ^=-LT(rfxi, dx'n}>0.
\р р J \р р/р 7
Пусть А —•> = Выберем р0>0 так, чтобы при
р < р0 имело место неравенство 2 | е (dx) | < ц', что возможно в
силу (40.3). Тогда для любой точки х(0)4-б/х, лежащей на
полупрямой (40.5) и такой, что 0<р = J^dx? <р0, в формуле
(40.4) выражение в квадратных скобках будет иметь знак
первого члена, и поэтому А/>0. Итак, в любой окрестности
точки х(0) имеются точки, для которых А/>0.
Аналогично, исходя из отрицательного значения квадратич-
ной формы (40.2) в точке (dx"), доказывается, что в любой
окрестности точки х(0) существуют точки, для которых А/< 0. А
это и означает, что в рассматриваемом случае х^ не является
точкой экстремума. □
При практическом применении этой теоремы возникает
вопрос: как установить, будет ли квадратичная форма (40.2)
положительно или отрицательно определенной. Для этой цели
может служить, например, так называемый критерий Силь-
вестра** положительной определенности квадратичной формы,
доказываемый в курсах алгебры. Он состоит в следующем.
Для того чтобы квадратичная форма
п
А(х)=А(х1, ..., х„) = У atjXtXj,
i,j=l
(40.7)
у которой aij = aji, i, j =1,2, ..., п, была положительно опреде-
ленной, необходимо и достаточно, чтобы
«и>0,
«11 «12
«21 «22
о,
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
«11 «12 • • • «1л
«21 «22 • • • «2л
«л 1 «л2 • • «лл
Замечая, что квадратичная форма А (х) отрицательно опреде-
лена тогда и только тогда, когда квадратичная форма — Л(х) =
Д. Д. Сильвестр (1814— 1897) — английский математик.
198
= £ (— а^ Xi Xj положительно определена, получаем, поль-
зуясь известными свойствами определителя, следующий крите-
рий отрицательной определенности.
Для того чтобы квадратичная форма (40.7) была отрица-
тельно определенной, необходимо и достаточно, чтобы
«и <0,
#11 #12
#21 #22
#11 #12 #13
0, «21 #22 #23 <0,..., (— 1)'
#31 #32 #33
#11 #12 • • • #1и
#21 #22 • • • #2и
#л1 #и2 • • • #ил
Сформулируем теперь теорему 2 для случая двух перемен-
ных, выразив условия, накладываемые на квадратичную форму
(40.2), в явном виде через вторые частные производные.
Теорема 3. Пусть функция f(x, у) определена и имеет
непрерывные частные производные второго порядка в некоторой
окрестности точки (х0, j/0), которая является стационарной для
f(x. ^), т. е. в ней
(40.8)
Тогда если в (х0, у0)
(40.9)
то она является точкой строгого экстремума, а именно:
строгого максимума, если в ней
и строгого минимума, если
Если же в точке (х0, yj)
(40.10)
то экстремума в ней нет.
Наконец, когда
(40.11)
в точке (х0, j0), то может случиться, что экстремум в ней
есть, и может случиться, что экстремума нет.
Действительно, если fxx^0 в точке (х0, у0), то квадратичную
форму (40.2) в нашем случае можно записать в виде
A (dx, dy) =fxx dx2 + 2fxy dx dy +fyy dy2 =
=7?- [(Ax dx +fxydy)2+(fxxfyy-fxy) dy2] :
J XX
(40.12)
Очевидно, из условия (40.9) следует, что fxx^0 в точке (х0, То)-
Лх<0*\
199
Все частные производные здесь и ниже взяты в точке (х0, j^0).
Мы непосредственно видим, что при выполнении условия
(40.9) выражение в квадратных скобках в формуле (40.12)
положительно при dx2 + dy2 > 0, т. е. A (dx, dy) является опреде-
ленной квадратичной формой, а именно положительно-опреде-
ленной при/хх>0 и отрицательно-определенной при fxx<0. Это,
конечно, следует и из вышеприведенного критерия Сильвестра.
В первом случае, согласно теореме 2, (х0, j^0) является точкой
строгого минимума, а во втором — точкой строгого максиму-
ма. Если же выполнено условие (40.10) и /хх/0, то при dy = 0,
dx^O, из (40.12) имеем sign A (dx, 0) = sign/хх, а при dx=fxy,
dy=-fxx получим sign Л (Д,, -fxx) = - sign/xx, откуда следует,
что квадратичная форма A(dx,dy) при выполнении условия
(40.10) является неопределенной.
Итак, полностью разобран случай
И fXXfyy-fXy^0.
Случай
ЛА-х = 0. fyy*0 И fxxfyy~fxy^
исследуется аналогично.
Если же fxx—fyy —но по-прежнему fxxfyy —fxy^<f то,
очевидно, fxy^0, следовательно, в этом случае выполняется
условие (40.10) и A(dx, dy) = 2fxydx dy. Отсюда сразу видно, что
квадратичная форма A (dx, dy) при сделанных предположениях
является неопределенной, ибо sign A (dx, dy) = — sign A (dx, — dy).
Поэтому достаточно взять сначала dx и dy одного знака, а
затем разных знаков, чтобы получить значения квадратичной
формы разных знаков. По теореме 2 (х0, у0) не является в этом
случае точкой экстремума.
Наконец, случай fxx=fyy=fxy=z^ несовместим с предположе-
нием fxxfyy—fiy¥^- Таким образом, разобраны все возможные
случаи при выполнении неравенства fxxfyy—fxy^-
Для завершения доказательства теоремы нам достаточно
показать на примерах, что, когда имеет место соотношение
(40.11), экстремум может быть, а может и не быть.
У функции z~x2 + 2 ху+у2 точка (0,0) является стационар-
ной, и в ней zxx=zXy—zyy^29 и, значит, выполняется условие
(40.11). Замечая, что z = (x+y)2, видим, что всюду z^0, причем
z = 0 на прямой х4->’ = 0; поэтому точка (0, 0) является точкой
экстремума, правда, нестрогого.
Для функции z^xj3 точка (0, 0) также является стационар-
ной, и в ней zxx = zKV = zxy = 0, поэтому условие (40.11) также
выполняется. Однако в силу того, что в формулу, задающую
эту функцию, переменные х и у входят в нечетных степенях,
функция меняет знак в любой окрестности нуля, значит, (0, 0) не
является точкой экстремума. □
200
40.3. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ЭКСТРЕМУМАХ НА МНОЖЕСТВАХ
Пусть функция f дифференцируема на открытом ограничен-
ном множестве G и непрерывна на его замыкании G. Пусть
требуется найти^ наибольшее и наименьшее значения функции f
на множестве G (они существуют по теореме 3 п. 19.5). Для
этого можно, например, найти все стационарные точки функции
/ в G, вычислить в них значения функции и выбрать, если,
конечно, это возможно (а теоретически возможно это, напри-
мер, когда число стационарных точек конечно), точки, в
которых функция принимает наибольшее и наименьшее значе-
ния из всех значений в стационарных точках. После этого
следует сравнить эти значения со значениями, которые функция
принимает на границе открытого множества G, например найдя,
если это удается сделать, наибольшее и наименьшее значения
функции f на границе области G. Сравнив наибольшее и
наименьшее значения в стационарных точках с наибольшим и
наименьшим значениями на границе множества G, мы можем,
очевидно, найти искомый максимум и минимум f на G.
В том случае, когда G — плоская область и ее граница
является кривой, заданной некоторым представлением х = х(/),
у=у /), вопрос о нахождении экстремальных значений
функции /(х, j) на границе G сводится к исследованию на
экстремум функции одного переменного /(х (/), у (/)), что де-
лается уже известными методами.
Методы, которые можно применять в многомерном случае
для отыскания экстремальных точек на границе области, будут
рассмотрены в § 43.
§ 41. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. ОТОБРАЖЕНИЯ
41.L НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ОДНИМ УРАВНЕНИЕМ
Выясним условия, при которых одно уравнение с несколь-
кими переменными определяет однозначную функцию, т. е.
определяет одну из этих переменных как функцию остальных.
Начнем рассмотрение с изучения уравнения, содержащего два
неизвестных,
Г(х, у>0.
Если функция двух переменных F(x, у) задана на некотором
подмножестве А плоскости AczR^y, и существует такая
функция одной переменной у==/(х), определенная на множестве
BcRv содержащемся в проекции множества А на ось Ох, что
для всех хе В имеет место (х,/(х))еЛ и справедливо тождество
F(x,/(x)) = 0, то/ называется неявной функцией, определяемой
уравнением F(x, у) = 0.
201
Например, если задано уравнение
х2+у2 = 1,
то функции
fl М = л/1“х2’ /2 (*) = - 1 Ь
являются неявными функциями, задаваемыми этим уравнением.
Кроме них существует бесчисленное множество других неявных
функций, задаваемым этим уравнением. Например, для любого
xog[—1, 1] функция
f(x\ = jfi еСЛИ х*х<»
J (Д (*)> если Х~Х0>
также представляет собой неявную
функцию, определяемую тем же
уравнением.
Если потребовать, чтобы неяв-
ная функция удовлетворяла некото-
рым дополнительным условиям, то
может случиться, что такая функ-
ция будет единственной. Так, если
потребовать, чтобы значения неяв-
ной функции, определяемой уравне-
нием х2+^2 = 1 на отрезке |—1, 1],
были неотрицательны, то имеется
только одна такая неявная функция,
а именно
/iC^HV1-*2’ -1^1.
Другой пример: если координаты точки (х0, у0), ^о^0, удовлет-
воряют этому ш же уравнению
Хо+Уо=1,
и U= U (х0, j;0) — какая-либо 8-окрестность точки (х0, j/0),
не пересекающаяся с осью Ох (рис. 171), то снова сущест-
вует единственная неявная функция /, определенная урав-
нением x2+j^2 = l на ортогональной проекции окрестнос-
ти U на ось Ох и такая, что ее график содержится в окрест-
ности U.
Сформулируем в виде леммы одно общее утверждение,
представляющее собой условие, при котором существует
единственная неявная функция, определяемая заданным урав-
нением.
Лемма 1. Пусть функция F[x,y] непрерывна в некоторой
прямоугольной окрестности
202
U(x0, j0)={(x, у): |х-х0|<£, |у-,у0|<л}*’
точки (х0, >>0) и при каждом фиксированном хе(х0- х0 + ^)
строго монотонна по у на интервале (у — Т|, у0 + п)- Тогда, если
f(x0, Уо)=0,
то существуют окрестности U (х0) = (х0 — 8, х0 + 8) точки х^ и
U(Уо) = (У“8’ .Уо + 8) точки yQ такие, что для кажоого xeU[x0)
имеется и притом единственное решение yeU (у0) уравнения
F(x, j) — 0. Это решение, являющееся функцией от х и обозна-
чаемое y=f(x}, непрерывно в точке х0 и
Л*о)=^о-
Таким образом, лемма, в частности, утверждает, что при
сделанных предположениях неявная функция у =/(х), опреде-
ляемая уравнением F(x, у) = 0, существует и обладает тем
свойством, что при условии хе U(х0), у е U(у0) равенства
Г(х, у) = 0 и y=f(x)
равносильны.
Доказательство. По условиям леммы функция F(x,y)
при каждом фиксированном хе(х0 —х0 + ^) строго монотонна
по переменной у на интервале (у0 ~~ Л, Л) + Л), в частности,
на нем строго монотонна функция F(x0, у). Пусть для
определенности она строго возрастает. Выберем произволь-
ное е>0, подчиненное лишь условию 0<8<г|. Посколь-
ку функция F(x0, у) переменной у строго возрастает на от-
резке [jo-8, Л) + 8Х и по условию F(x0, ^о) = 0, то
F(x0, у0 - s) < 0, F(x0, у0 + е) > 0.
Но функция двух переменных F(x, у) по предположению не-
прерывна на открытом множестве с/(х0, j^0) и (х0, у0 — е)б
6 U(x0, у0), (х0, + е) 6 [/(х0, у0), поэтому существует такое 8,
0<8<^, что в 8-окрестности точки (х0, j0 —8) выполняется нера-
венство F(x, у)<0, а в 8-окрестности точки (х0, ^0 + 8) — нера-
венство F(x, у)>0 (см. лемму 1 в п. 19.3). В частности, при всех
хе(х0 —8, х0 + 8) (рис. 172) будут справедливыми неравенства
у0 —8)<0, F(x, ^о + е)>0. (41.1)
Положим
def def
U(x0) = (х0 —8, х0 + 8), Щу0) = (у0 -г, Jo+e)-
Поскольку при фиксированном х е U (х0) функция F(x, у) пере-
менной у непрерывна на отрезке [у0 — s, у0 + в], то из условия
В соответствии с принятыми в курсе обозначениями окрестность точки
(х0, То) правильнее было бы обозначать через U((x0, у0)), а не через V(х0, у0).
Для простоты обозначений мы будем опускать вторые скобки.
203
(41.1), согласно теореме Коши о промежуточных значениях
непрерывной функции (см. теорему 2 в п. 6.2), следует,
что существует такое y*ef7(y0) (рис. 172), что F(x, у*) = 0.
В силу строгой монотонности функции F(x, у) на отрезке
[j0 —е, Л) + 81 по переменной у, указанное у* единственно.
Таким образом, получено однозначное соответствие (одно-
значная функция) хну*, xg[/(x0), у*б[7(у0), которое будем
обозначать через /: j*=/(x).
По определению этого соответствия, для любого хе U(х0) и
у * = /(х) имеем
F(x, = у*е U(y0),
причем точка у*, обладающая этим свойством, единственна.
Тем самым нами доказаны существование и единственность
искомой функции /.
Далее, по условию леммы, F(x0, уо) = 0 и так как хое С/(х0),
у0 е U (у0), то, в силу единственности функции /, имеем у0 =/ (х0).
Наконец, заметим, что 8>0 было фиксировано произволь-
ным образом при условии, что 8<г|, и что для него было
найдено такое 8>0, что из |х —х0|<8 (т. е. из условия хе С/(х0))
вытекало включение /(х)е J7(y0), т. е. неравенство |/(х) —/(х0)|<
<8. Это и означает непрерывность функции f в точке х0. □
Удобные для приложения достаточные условия однозначной
разрешимости уравнения F(x, у) = 0 в некоторой окрестности
точки (х0,у0), для которой F(x0, Jo)”0, даются следующей
теоремой.
Теорема 1. Пусть функция F(x,y} непрерывна в некоторой
окрестности точки (х0, у0) и имеет в этой окрестности
частную производную Fy (х, у), которая непрерывна в точке
(х0, у0). Тогда, если
Т(х0, уо)=0, Fy(x0, уо)*0,
то найдутся такие окрестности t/(x0) и и(уф соответственно
точек х0 и уQ, что для каждого хе с(х0) существует и притом
единственное решение у=/(х)е С/(у0) уравнения F(x, у) = 0*}. Это
решение непрерывно всюду в U(x0) и у0 — /(х0).
Если дополнительно предположить, что функция F имеет в
некоторой окрестности точки (х0, у0) частную производную
Fx(x, у), непрерывную в точке (х0, у0), то функция /(х) также
имеет в точке х0 производную и для нее справедлива формула
/'(Л'о) =
-Уо)
^(*о, Ло) ’
*’ В этом случае говорят также, что уравнение F(x, у) = 0 однозначно
разрешимо в окрестности t/(.v0, To)—У)-хе U (хо)> УЕ U (Уо)} точки
(*о> То)
204
Рис. 172
Доказательство. В силу не-
прерывности функции F{x, у) в не-
которой окрестности точки (х0, у0)
и непрерывности частной производ-
ной Fy (х, у) в точке (х0, у0), сущест-
вует прямоугольная окрестность
Ц*о>Ло)={(х’ J’):k~*ol <& 1У-Уо1<т1)
точки (х0, у0), в которой сама функ-
ция F(x, у) непрерывна, а значения
частной производной Fy (х, у) име-
ют тот же знак, что и ее значение в
точке (х0, у0). Поэтому при каждом
фиксировайном хе(х0 -£,, х04-£,)
функция cp(y)=fF(x, у) дифференцируема на интервале
(у 0 ~ Л> У о + л)? а ее производная ср' (у) = Fy (х, у) сохраняет
постоянный знак. Следовательно, функция ср (у) строго моно-
тонна на указанном интервале.
Таким образом все условия леммы для функции F(x, у) в
построенной прямоугольной окрестности <7(х0. у0) выполнены.
Следовательно, существуют окрестности U (х0) = (х0 — 5, х0 + 8),
[7 (То)= (.Уо ~ Уъ + 8) и единственная функция у =/(х), определен-
ная на U(хД такие, что при каждом хе U(х0) имеют место
включение Дх) g t/(y0) и равенство F(x, /(x)) = 0, причем функция
f непрерывна в точке х0.
Поскольку для каждой точки (х, у), для которой хе U(х0),
у е U (у0), существуем ее прямоугольная окрестность U (х, у),
содержащаяся в прямоугольной окрестности
(*о> ^о) = {(*’ у): к - х0| < 8, I у - у0| < в}
(рис. 173), то для U(x, у) также выполняются все условия
леммы. Следовательно, в силу единственности решения
/(х) уравнения F(x, у) = 0 в окрестности Uo (х0, у0), согласно
той же лемме, функция у=/(х) непрерывна в каждой точке
xeU (х0).
Докажем теперь последнее утверждение теоремы. В силу
непрерывности частных производных Fx и Fy в точке (х0, у0),
функция F дифференцируема в этой точке:
F(x0 + Ax, у0 + А4 ~F(x0, у0) =
=Fx(x0, y0)Ax+Fy(x0, Дх+е2\у, (41.2)
где
lim 81 = lim 82 = 0, р = х2 + А у2 .
р-»0 р->0
205
Возьмем в формуле (41.2)
х0 + Ах е и (х0), \у =/(х0 + Ах) -/(х0).
Тогда, в' силу условия Fty; /(х)) = 0, получим
F(x0 + Ax, y0 + Ay) = F(x0 + Ax, /(хо+Дх)) = 0,
и так как Г(х0, уо) = 0, то из (41.2) имеем
Fx(x0, у0) Ax+Fy(x(), уо)Ау + е1Ах+е2Ау = О.
Отсюда
Дг = F^Xp, УсО+ё!
Fy(x0, у0)+е2’
Пусть теперь Ах->0; тогда, в силу непрерывности функции f,
Ау->0, а, значит, при Ах-»0 имеем р = х/Ах2 + Ау2->0, откуда
следует, что в формуле (41.3) lim 8Х= lim е2 = 0. Поэтому при
Дх—>0 Дх—-0
Ах—>0 предел правой части равенства (41.3) существует и равен
То) (напомниМ5 чт0 Fy(x0, уо)#0), следовательно, при
>’о)
предел левой части, т. е. существует
Лх->0 существует и
производная
Рис. 173
J (41.4)
Замечание. Если функции Fx и Fy
непрерывны в окрестности ио(хо,
точки (х0, j^0), то производная f непре-
рывна на интервале и(хЛ. Действитель-
но, применив формулу (41.4) к произ-
вольной точке хеС7(х0), получим
откуда по теореме о композиции непрерывных функций выте-
кает непрерывность функций f’(x) на <7(х0).
Аналогичным образом вводится понятие неявной функции,
определяемой уравнением
F(xp ..., х„, у) = 0, (41.5)
а также формулируется и доказывается теорема, аналогичная
теореме 1. Для того чтобы получить ее формулировку,
достаточно лишь в формулировке теоремы 1 под х понимать
точку ^-мерного пространства, х = (х1? ..., х„)е/?л, в частности
х(0)=Дх(0), ..., х<0)).
206
Теорема 1'. Пусть функция F(x. y] = F(x^ хп9 j?)
непрерывна в некоторой окрестности точки (х(0), у^) и имеет в
этой окрестности частную производную Fy, непрерывную в точке
( Если 1(х(0), у(О)) = 0, a Fy(x{®\ у(О))^0, то найдутся такие
окрестности Ux и Uy соответственно точек х(0) и j/0), что для
каждого xeU(x) существует, и притом единственное, решение
Xn}zUy
уравнения F(x, у) = 0*), причем это решение y=f(x] непрерывно
на Ux и у(0)=/(х(0)).
Если, кроме того, в некоторой окрестности точки (х(0), у(0))
" непрерывные в точке
и частные производ-
существуют все частные производные Fx.,
(х(0), у^\ то в точке х^ существуют
ные fx., i=l, 2, п,
причем если частные
производные Fx_, i = 1,
2, п, и Fy непрерыв-
ны в окрестности точ-
ки (х(0), ^(0)), то част-
ные производные f су-
ществуют и непрерыв-
ны в некоторой окрест-
ности точки х(0).
При этом формулы
для частных производ-
ных неявной функции,
определяемой уравне-
нием (41.5), имеют вид
8F
ду _ дхЛ
dxt dF
i= 1, 2, ..., п.
ду
Упражнения. 1. Сформулировать условия, при которых функция f(x\
определяемая уравнением F(x, у) = 0 (теорема 1), имеет в точке (х0, То)
непрерывные производные до и-го порядка включительно. Найти формулы для
и /"'(х0).
2. С помощью теоремы 1 и ответа на предыдущие упражнения наити
достаточные условия существования функции х = ф(У), обратной к y=f(x) и
имеющей в точке у0 непрерывные производные до и-го порядка включительно.
Доказать, что
d2x = f" (х) б/3л _ 3 [/" (х)]2 (х)Г' (-*)
dy2 [/'«’ Ф-3 [Ж]5
** На рис. 174 изображен случай, когда и = 2 и окрестность Ux прямо-
угольная.
207
41.2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ МНОЖЕСТВ
Прежде чем рассмотреть вопрос о разрешимости систем
уравнений, введем некоторые новые понятия.
Пусть 1?” — /7-мерное евклидово пространство, точки кото-
рого будем обозначать x = (x1? ..., xw), R™— m-мерное евклидово
пространство, точки которого будем обозначать у = (у^ уш),
а — (т7 + т)-мерное евклидово пространство точек
х„, У1, ут).
Рис. 175
Определение 1. Пусть A^Rnx и
B<^R™. Множество то-
чек (x, >’) пространства RnXy™ та-
ких, что хе А и уеВ, называется
произведением*} множеств А и В и
обозначается Ах В (см. п. 1.2*).
Таким образом,
АхВ={(х, : хеА, уеВ}.
Примеры. 1. Если A^Rnx,
B=R™, то
A xB = Rx х R™ = Rnx*m.
2. Пусть 77 = 2 и А — круг; т=1 и В — отрезок. Тогда
Ах В — прямой круговой цилиндр (рис. 175).
3. Пусть х(0} = (х(1()}. x(„})eRx и Л = Р(х(0); 81ч ..., 8п) = {х :
I xi — *i0) I <8f; 7=1, 2, ..., 77} — прямоугольная окрестность точки
х(0); пусть = и B=P(yw; rjt, т|„) =
= {т ' IУ]~Уд I<Лд j= h 2, .., m}—прямоугольная окрестность
точки j(0). Тогда
АхВ={(х, j) : |xI--~xfG)|<8Z, z=l, 2, .... 7z;
\У]~^0>l<nj, J=h 2, m} =
= P((x(0), /0)); Sj. 8„, r|i, -> Пт) (41-6)
является прямоугольной окрестностью точки (х(0), j/(0)).
Очевидно и обратное: поскольку всякая прямоугольная
окрестность точки (х(0), записывается формулой, стоящей
в середине равенства (41.6), то она всегда может быть
представлена как произведение прямоугольных окрестностей
точек л(0) и j/0).
Упражнение 3. Доказать, что если множества AaRnx и BaR™ являются
открытыми множествами соответственно в пространствах Rnx и то и их
произведение Ах В — открытое множество в пространстве R"?”'.
*) Применяется также термин декартово произведение.
208
41.3. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ,
ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим условия, при которых система уравнений
Ff(x, j) = 0, z=l, 2, ..., m, xeRn, yeRm. (41.7)
или, подробнее,
•••> х„, У1, J’m) = 0
F2(X1, хп, У1, ут)=0,
х„, У!, ут} = 0
однозначно разрешима относительно j^, ут в некоторой
окрестности точки (х(0), j(0)), в которой Ff(x(0), у(О)) = 0, i=l,
2,..., т.
Определение 2. Пусть задана система функций ui = ui(t1, ...
..., Ги), / = 1, 2, ..., т. имеющих в некоторой точке /{0) все частные
производные первого порядка. Тогда матрица, составленная из
частных производных этих функций в точке F0),
дих диг диг
dtr dt2 dtn
ди2 ди2 ди2
dtY dt2 dtn
дщ,
dtr dt2 dtn
или, короче,
/=1, 2, ..., т, j—1, 2, ..., и,
dtj ’ ’ ' ’ J
называется матрицей Якоби данной системы функций.
Если т = п, то определитель матрицы Якоби называется
определителем Якобщ или якобианом, системы функций иг, ..., ип
по переменным tr, ..., tn и обозначается следующим образом***
д(г/1, ип)
Мы увидим в дальнейшем, что якобиан системы функций
*} К. Якоби (1804 1851) немецкий математик
**) Применяется также обозначение -~1' '--“д
209
естественным образом возникает в различных вопросах теории
функции многих переменных.
Прежде чем перейти к изложению основной теоремы, кратко
поясним на простом примере (не оговаривая все детали) идею
ее доказательства и покажем, каким образом в ее условиях
возникает якобиан рассматриваемой системы. Пусть в какой-то
окрестности точки (х0, у0, z0) заданы непрерывно дифференци-
руемые функции F и Ф, причем
F(x0, У о, zo) = 0,
Ф(х0, Ж zo)=0.
Допустим, что необходимо решить систему уравнений
F(x, у, z) = 0
Ф(х, у, z) = 0
в некоторой окрестности указанной точки, найдя из нее
переменные у = ср(х) и z = \|/(x), как такие непрерывные функ-
ции (риф переменной х, что <р(х0)=у0, \|/(x0) = z0. Разрешив для
этого, например, первое уравнение относительно z, получим
z=/(x, у). Подставив это выражение во второе уравнение и
разрешив его относительно у, будем иметь у = (р(х). Полагая
ф(х)=/[х, (р(х)], получим искомое решение:
У=Ч>(х),
и = ф(х).
Возникает, конечно, вопрос о том, при выполнении каких
условий возможно проделать указанные операции, или, точнее,
когда существуют и однозначно определены все вышеупомяну-
тые функции. (Естественно, при этом надо выяснить, где, т. е.
для каких значений переменных х и у, определены эти функции?
Этот вопрос мы сейчас не будем подробно анализировать,
чтобы не отвлекаться от основной идеи. Он будет рассмотрен
при доказательстве теоремы 2 этого пункта.)
Для того чтобы одно из данных уравнений, например
первое, было разрешимым в некоторой окрестности точки
(х0, у0, z0) относительно переменной z, достаточно, чтобы
(см. теорему Г в п. 41.1) z°^0. Если z=/(x, у) — соот-
ветствующее решение, то, для того чтобы уравнение, полу-
чающееся в результате подстановки этого решения во второе
уравнение, Ф{х, у, /‘(х, у)] = 0 было разрешимым относительно
переменной у, достаточно, чтобы полная частная производная
по у левой части получившегося равенства не обращалась в
нуль в точке (х0, у0), т. е. чтобы в этой точке
ду dz ду
210
Но, согласно п. 41.1,
dF
ду dF’
Tz
следовательно, подставляя это выражение в предыдущее нера-
венство, получим, что условие разрешимости можно записать в
виде
d(F, Ф) дРдФ dFd® , А , \
77—7=7-—7-/0 в точке ЛО, у0, z0 .
с (у, г) су cz cz су
Из этого условия очевидно вытекает, что в точке (х0, у0, z0)
либо —^0, либо —=^0, т. е. одно из заданных уравнении
CZ CZ
разрешимо относительно z.
Таким образом, для заданной системы уравнений неравенст-
i \ - Жф) -
во нулю в точке (x0, у0, z0) якобиана —у обеспечивает
существование в некоторой окрестности точки (x0, у0, z0) реше-
ния вида
J = <p(x), z = \|/(x).
Рассмотрим теперь общий случай, т. е. решение системы
уравнений (41.8).
Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы эту
систему можно было разрешить относительно переменных ...
..., уп, в результате чего получается система функций
У}=/1(^1, Хт),
Уп •••, ^m)>
задающая отображение некоторой окрестности точки
xeRm в я-мерном пространстве /?”.
Теорема 2. Если функции ..., хт. у19 ..., уп), i=l,
2, ..., и, непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности
точки (х(0), £р(0)) = (х(10), ..., /10), У<0)) и
Ft(x^\ j2(O)) = 0, z=l, 2, ..., п9
Система функций fk(xlt .... хи), /с=1, 2, т, обозначена одним
символом /(х), поскольку она задает определенное соответствие: точкам
(ххт) некоторого множества пространства R" указанная система функ-
ций ставит в соответствие определенные точки (ylf..., ут) пространства или,
как говорят, отображает указанное множество пространства R" в пространство
1?-
211
д(Л, -,f„) _^0
-,л) (х(0)>/0))
то существуют такие окрестности Ux и Uy точек х(0)=(х(10), ...
..., и y(0) — (y(i \ .... у(п0)) соответственно в пространствах
Rm и кп, что система уравнений (41.8) однозначно разрешима в
окрестности Ux х Uy точки (х(0), у(0)) относительно переменных
у19 ..., уп. Иначе говоря, для любого xeUx существует, и притом
единственное. yeUy такое, что (см. обозначение (41.7))
Ft(x, _р) = 0, z=l, 2, п.
Если
. . ( У1=Л(Х1, Х„),
y=f(x)=< . . ... . . xeU„
I yn=fn\xr, ..., xn),
—указанное решение, то все функции Е 2. .... п. непрерывно
дифференцируемы на Ux и y®}=f(x$’}.
Таким образом, если выполняются предположения теоремы,
то условие
Fi(x, ^)=0, i=l, 2, ..., т, (х, y)eUxxUf
эквивалентно условию
_у=/(х), xeUx, yeUy.
Доказательство. Прежде всего заметим, что утвержде-
ние: решение У—fM системы уравнений (41.7) удовлетворяет
условию f(x(0’)=)№. очевидно, непосредственно следует из
утверждения о единственности решения y=f(x)eUy при хе Ux и
условий Ff(x(0), j,(O)) = 0, i—1. 2. .... т. x(Q)eUx. y{0)eUy.
Для доказательства теоремы применим метод математичес-
кой индукции. Для случая одного уравнения, т. е. когда т—\.
теорема была установлена нами в п. 41.1. Пусть теперь она
верна для т— 1 уравнений (т>1). Докажем, что тогда она
имеет место и для т уравнений.
Покажем сначала, что каждое из уравнений (41.8), например
последнее
Fm(xi, ..., х„, yt, ..., ут)=0,
можно разрешить в окрестности точки (х(0), ^(0)) по крайней
мере относительно одного переменного. Действительно, по
условию теоремы, в точке (х((Т), .у(0))
ал
8У1 Sym ^0,
8yt <~У„,
212
г
а поэтому в этой точке хотя бы один элемент последней
строчки определителя Якоби отличен от нуля, Пусть для
определенности это будет последний элемент:
Отсюда, в силу теоремы Г п. 41.1, следует, что уравнение
Fm(x, у) = 0 может быть разрешено относительно ут в некоторой
окрестности точки (х0, ^0). Сформулируем это более точно.
Обозначим через U окрестность точки (х(0), ^(0)), в которой
функции Fb i=l, 2, ..., m, непрерывно дифференцируемы, и
I положим у=(У1, Тогда найдутся прямоугольная
окрестность U т+п ~1 точки
(х<0), j(0)) = (x^, ..., х<°>, у<?\ ..., у^Ц) (4L9)
и окрестность С/1 точки такие, что х U1 с U, и
существует единственная определенная на [/w+n~1 функция
= j215 ..., ут_^), (41.10)
удовлетворяющая следующим условиям: если
(х, у ) = (х15 х„, У1, ...,
ТО
ф(х, у)=ф(х15 х„, уг, y^^eU1, (41.11)
Fm(xi, ..., х„, У1, ут_1, ф(х, у)) = 0. (41.12)
Кроме того, согласно той же теореме 1функция ф (х, у)
непрерывно дифференцируема на (7ш+п-1 и
ф(х<°), (41.13)
При этом если (х, y)eUm+n~1 и ymeU1, то система (41.8)
эквивалентна системе
Fj(x, у) = 0, j=\, 2 т-1, (41.14)
Ут = <?[Х, У)-
\ 4*
Подставим в первые т — 1 уравнения системы (41.14) выражение
(41.10). Тогда, введя обозначение
фДх15 ..., х„, У1, ...,
= Г;(Х!, ..., Х„, Уг, ..., ут_1, ф(Х1, ..., х„, У1, ..., bn-i)),
i=l, 2, ..., т-\, (41.15)
получим следующую систему т — 1 уравнений с т-\-п— 1
неизвестными:
213
x„, У1, ..., ym_1)=0,
................................... (41.16)
Фт_1(х1, ..., xn, У1, ..., jm_1) = 0.
При этом для (x, y')eUm+n~1, ymeUl система уравнений
ФДх, y) = 0, j=l, 2, m-1, (41.17)
Ут=<?(х, У)
эквивалентна системе (41.14).
Покажем, что система (41.16) удовлетворяет условиям,
отличающимся от тех, которым удовлетворяет система (41.8),
только тем, что т — 1 заменено через т. Действительно,
функции Фк, 2, ..., т—1, непрерывно дифференциру-
емы в окрестности ит+п~г как композиции непрерывно
дифференцируемых функций. Из условий F£(x(0), j(O)) = 0, i=\,
2, ..., т и (41.15), (41.13) следует, что Ф^(х(0), у(О)) = 0, к=1. 2, ...
..., т—1.
Докажем, что в точке (х(0), у(0)](см. (41.9))
Для этого предварительно заметим, что из (41.12) и (41.15)
следует, что
а из (41.12)—что
= к=\, 2, .... т-1. (41.19)
дук дут дУк
Теперь в определителе
S(y\, Ли)
к /<-му столбцу прибавим
последний столбец, умноженный на —, &=1, ..., т—1, от чего,
дУь
как известно, значение определителя не изменится. Поэтому,
использовав (41.18) и (41.19) и разложив получившийся опреде-
литель по элементам последней строки, получим
5(У1> ••••>'„)
(х<0,.?0))
dF{ dFr дф б)ф dFi
З.У„, 8yt 1 СУт 4vm-i <'>ym
a<p 0<P oFm
dyi 8ym Syt 1 vym Sym-1 Sym
(v<°\ г<°>)
214
дФ± дФг dFr
dyi дУт-i дут
агт(х<°>, /°>) а(Фр „ Фт х)
fym 8(уи Ут-1)
(х«»,у<”)
и так как левая часть равенства отлична от нуля, то отлична от
нуля
и правая, откуда
а(Фх,.... Фт,)
д(У1> • Ут-1)
/0.
В силу выполнения для функций Ф;, г=1, 2, ..., т — 1,
условий, аналогичных условиям для функций Ft, z=l, 2, ..., т, и
согласно предположению индукции система уравнений (41.16)
однозначно разрешима относительно переменных ..., ут^1
в некоторой окрестности точки (х(0), у(0)). Точнее, пусть
jjm+n-i—прямоугольная окрестность точки (х(0), у <0)), полу-
ченная при разрешении уравнения Fm = 0 относительно перемен-
ной ут. Разложим ее в произведение прямоугольных окрестно-
стей Ux и С/у точек = ..., х^0*) и у(°} = (у{°}, ...,
соответственно в пространствах Rx и Ry~l (здесь у = (ук,
Um+n~1 = Uxx Uy. Тогда существует окрестность Ux с U'x
точки х<0), окрестность Uy с U~ точки у<0) и единственная
система функций
•У1=/1(*)=Л(*1, > хп),
................................... (41.20)
Ут — 1 fm — 1 (^) fm-1(^1’ •••» %п)’
определенных на множестве Ux и удовлетворяющих следующим
условиям: если xeUx, то
(/1(4 ..., /т_х(х))еС/у (41.21)
и на Ux функции (41.20) непрерывно дифференцируемы и
удовлетворяют системе уравнений (41.16):
Ф;(хх, ..., х„,/х(х), ...,/m_x(x)) = 0, /=1, 2, ..., т-1. (41.22)
Важно заметить, что в силу единственности решения (41.20)
системы (41.16) при xeUx, yeUy и ymeU1. система уравнений
ук=А(х), к=1 2, т-1, (41.23)
Тт = ф(*> У)
эквивалентна системе (41.17).
215
Подставляя выражения (41.20) в (41.10), получим функцию
от х, определенную на t/x; обозначим ее через fm\
Ут = Ч>(Х1, Хп, /(х), /„-i(x))==
— xn)=fm(x). (41.24)
Покажем, что система функций
хп), к=\, 1, т (41.25)
(см. (41.20) и (41.24)), и является искомой системой функций,
удовлетворяющей требованиям, сформулированным в теореме.
В самом деле, пусть Uy=UyX U1; тогда если xeUx, то, в силу
(41.21) и (41.11), /(х) = (/Дх), /т(х))еС/. Из (41.15), (41.22),
(41.24) и (41.12) следует, что (х, Дх)) == 0. z=l, 2, ..., т, для всех
xeUx. В силу теоремы Г и предположения индукции, функции
(41.10) и (41.20), а поэтому и функция (41.24) непрерывно
дифференцируемы.
Таким образом, доказано, чго отображение Дх), задаваемое
функциями (41.25), является непрерывно дифференцируемым
решением системы уравнений (41.8) на множестве Ux, причем
если xeUx, то y—f(x)EUy, Отметим еще, что если xeUx9 то
система (41.25) эквивалентна системе (41.23).
Остается доказать единственность решения системы уравне-
ний (41.8). Для доказательства изобразим проделанные в
процессе доказательства переходы от одних систем уравнений к
другим, им эквивалентным, г. е. имеющим точно ге же
решения, системам в виде схемы следующим образом:
Л(х, v) = 0, /= L 2, ..., т.
F;(x, До, /=1,2, ...,т-1,
J’m = <p(x. Л
ft Ф/х, y) = rj(x, у, ср(х, у)), /= 1, 2, ..., т- 1,
Ф/(х, г) —0, j— 1, 2, ..., т- 1,
Ут = Ф Д
/•=Л(Д 7=1’ 2’
>„,=<₽ (*, Д
ft /т(л-) = ф(х./(Д .-.,/m-i(.v))
Л~Л(х), i—}, 2, ..., т.
Двойные стрелки обозначают эквивалентность рассматри-
ваемых систем уравнений, которая имеет место во всяком
случае для xeUx, yEUy. Из этой эквивалентности и следует
единственность решения (41.25) системы (41.8) в рассматривае-
216
мых окрестностях, откуда, как было отмечено выше, в силу
условия ГДх(0), у(О))-=0, z=l, 2, m, вытекает, что /(х(0)) =
Доказанная теорема о неявных функциях является одной ,из
основных теорем математического .анализа и имеет много
разнообразных приложений в различных его разделах. С неко-
торыми из них мы познакомимся в последующих частях нашего
курса. Она является «чистой теоремой существования»: ни из ее
формулировки, ни из приведенного ее доказательства не
следует, вообще говоря, никакого конкретного метода для
решения системы (41.8). Например, если все Fk. /с^1, 2, ..., т, в
указанной системе уравнений являются элементарными функ-
циями, то, следуя схеме доказательства теоремы, вообще
говоря, не удастся «найти в явном виде» все те функции,
существование которых использовалось при проведении указан-
ного доказательства, и получить решение системы так же в виде
элементарных функций. И в действительности в этом случае
решение системы уравнений (41.8), которое существует в силу
указанной теоремы, не является, вообще говоря, набором
элементарных функций (даже если эта система состоит из
одного уравнения).
Конечно, если функции Fk элементарные и, следовательно,
задаются некоторыми формулами, то решение системы (41.8)
может быть найдено с любой степенью точности, т. е.
принципиально с любой степенью точностйГможно составить
таблицы значений этих решений. Фактическая же точность, с
которой вычисляются решения, определяется, конечно, конкрет-
ной целью, для которой решается рассматриваемая система.
Сама теорема 2 в этом случае дает объективную уверенность,
что проводя правильно соответствующие вычисления, мы
действительно вычисляем искомое решение системы. Мы не
будем останавливаться на численных методах решения систем
уравнений; лишь некоторые вопросы численного решения
уравнений рассмотрены в «Дополнении» в конце третьего тома.
Существенным является также то обстоятельство, что
теорема 2, как и вообще теоремы подобного типа, дает
качественные методы в данном случае для изучения свойств
решений системы уравнений.
Интересно отметить, что частные производные решения
системы (41.8) при выполнении условий теоремы 2 легко
выражаются в явном виде через частные производные функций
Fk, fc=l9 2, ..., т. Действительно, чтобы найти частную про-
изводную 222, надо продифференцировать равенства (41.8) по хь
dxt
считая их тождествами по х19 ..., т. е. подставив в них их
решения y^y/fa, х„), _/= 1, т. Тогда получим
217
ч
Эта система уравнений, линейных относительно в силу того,
. OXi
что в рассматриваемой точке ее определитель не равен нулю:
8(У1. - Ут)
имеет, и притом единственное, решение, которое может быть
найдено, например, по правилу Крамера *\
Если нужно найти все производные
г=1, 2, ..., п, j=l, 2, ..., т,
то целесообразно вычислить дифференциалы обеих частей
указанных выше тождеств (41.8). Использовав инвариантность
формы первого дифференциала относительно выбора пере-
менных, получим
V'' ^к J I J (X 7 1 о
£ —dxf + £ = ^=1’ 2’ •••’ т-
• i=i fyj J
Эта система линейных относительно ..., dym уравнений, в
силу того же условия -4-2---^/0, имеет, и притом единствен-
% к,)
ное, решение. Если его найти, то коэффициент при dx{ в
выражении для dy{ и будет частной производной
Оба эти метода применимы и для вычисления производных
высших порядков функций у(хг, ..., хл), являющихся решениями
системы уравнений (41.8) (например, в предположении, что все
функции Fk. к= 1, 2, ..., т, имеют соответствующих порядков не-
прерывные производные). Применяя метод дифференциалов,
следует, конечно, помнить, что дифференциалы порядка выше пер-
вого в случае, когда они выражаются через дифференциалы функ-
ций, имеют более сложный вид, чем когда они выражаются
только через дифференциалы независимых переменных (см. п.
21.2).
Производные высших порядков функций yj(xi9 ..., хп) можно
получить последовательным дифференцированием и из выраже-
ний для первых производных —, найденных по формулам
dxt
Крамера из указанной ранее системы уравнений
510 Г. Крамер (1704—1752) — швейцарский математик.
218
ал.+ у д.= 1? 2.
r dyj dxt
.., т.
в виде отношения двух определителей. Это отношение можно
дифференцировать столько раз, сколько раз дифференцируемы
функции Fk. к=1. .... т. При этом если все производные
функций Fk. к=Л. .... т. до порядка г включительно непрерыв-
ны, то будут непрерывными и все частные производные
функций х„), у=1, т. до того же порядка г.
Множество (называемое также часто классом) всех г раз
непрерывно дифференцируемых в области G функций обозна-
чается через Cr(G). Таким образом, если дополнительно к
условиям теоремы *2 FkeCr(U). к—1. 2. .... т. где U—некоторая
окрестность точки (х(0), j(0)), то решения у~у^(хг. ..... х„)
системы уравнений (41.7) также принадлежат классу Cr(U^
в некоторой окрестности UX^U точки х(0).
41.4. ОТОБРАЖЕНИЯ
В этом пункте будут изучаться отображения f\X-*Rm.
X<^Rn. т. е. такие соответствия, которые каждой точке х = {х1....
..., хп) множества X. лежащего в и-мерном арифметическом
точечном пространстве Rn (см. п. 18.1), ставят в соответствие
точку j = (^i, ут) ^-мерного арифметического точечного
пространства Rm. Таким образом, /:(х15 ..., хп)\-^(у1. .... ут).
(хр ..., хп)еХ. Очевидно, что задание такого отображения f
равносильно заданию т функций Л:XR таких, что /рхь-^ур
7=1, 2, ..., т. хеХ, y^R- Эти функции
fj(x)=fj{xl, х„), 7=1, 2, т, хеХ, (41.26)
называют координатными функциями отображения f и пишут
/=(/р Л).
На рассматриваемые отображения обобщаются понятия
предела и непрерывности. При определении предела под а
будем понимать конечную или бесконечно удаленную точку
пространства Rm. а точка х(0) будет предполагаться конечной
или бесконечно удаленной точкой прикосновения множества
задания рассматриваемого отображения.
Определение 3. Точка а называется пределом отображения f:
X-+Rm. XczR\ при х->х(0) (или в точке х(0)), если для любой
последовательности точек х{к)еХ. к=1, 2, ..., таких что
lim х(Л) = х(0), выполняется условие
к—^х
lim /(x(/t)) = a. (41.27)
к—+оо
219
В этом случае пишут
lim f(x) = a.
v-*x<0)
Если a = (ar, am)eRm, fm), то в силу того, что
сходимость последовательности точек пространства к некото-
рой точке равносильна сходимости координат точек последо-
вательности к координатам указанной точки (см. п. 18.1),
условие (41.27) равносильно условию
lim fi(x(k)) = ai, z=l, 2, ..., к.
к-^-оо
Таким образом, отображение имеет предел в данной точке
тогда и только тогда, когда в этой точке имеют предел все
координатные функции.
Можно сформулировать эквивалентное определение предела
отображения в терминах окрестности (напомним, что окрест-
ностью конечной точки называется любое содержащее ее
открытое множество).
Определение 3'. Точка а называется пределом отображения
f\X-^Rm, X<^Rn при x->x(0), если для любой окрестности V
точки а найдется такая окрестность U точки х(0), что
выполняется включение
/(XQ^czK (41.28)
Эквивалентность определений 3 и У доказывается аналогич-
но случаю функции одного переменного. Проведем это доказа-
тельство.
Пусть предел lim f(x\ — a существует в смысле определения
х-+х™
3' и lim x{k) = x{0\ x{k)eX, k=l, 2, 3, ... . Зададим произвольно
k—*ос
окрестность V точки а. Для нее, согласно определению 3',
существует такая окрестность U точки %(0), что выполняется
включение (41.28). Последовательность {х(/с)} сходится к точке
х(0), поэтому для окрестности U точки х((” существует такой
номер /с0, что для всех номеров k>kQ выполняется включение
x(k)E U; тогда, в силу (41.28), будем иметь /(х(к))еК для всех
k>kQ. А это и означает выполнение условия (41.27).
Пусть, наоборот, предел lim f(x\ = a существует в смысле
Г-Э-Х<0)
определения 3. Допустим, что точка а не является пределом
отображения / в смысле определения 3'. Это означает, что
существует такая окрестность V точки а. что, какую бы
220
окрестность U точки х(0) ни взять, в ней найдется такая точка
хеХ. что/(х)ф V. В качестве окрестностей U возьмем сферичес-
кие окрестности Uk = U(х(0); А:= 1, 2, ... . В каждой из них
найдется такая точка x(k)eXQ?7k, что Дх(к))^К к—\, 2, ... . Так
как х{к}еи( х{0); то lim x(k) = x{Q\ Однако lim/(x(k))/fl,
поскольку все точки /(х(к)) лежат вне окрестности V точки а.
Полученное противоречие доказывает сделанное утвержде-
ние. □
Если использовать только сферические окрестности, то в
том случае, когда х0 и а — конечные точки, определение предела
в терминах окрестностей можно выразить на языке неравенств
следующим образом.
Точка а называется пределом отображения f‘.X-*R”\ XczRn,
при х~+х(0\ если для любого 8>0 существует такое 8>0,
что для всех точек хеХ. для которых р(х, х(0))<8 (т. е.
хеУР|С/(х(0), 8)), выполняется неравенство р(/(х), я) <8 (т. е.
/(х)е£/(я, 8)).
Если точка х(0) принадлежит области задания отображения
f\X-+Rm, т. е. х(0)е1, и существует предел lim fix}, то
х->х<0)
аналогично случаю числовых функций этот предел равен /(х(0)).
Если в точке x{Q)eX выполняется условие
Пп?о/(х)=Лх<0)Ь
то отображение f'.X^R называется непрерывным в этой точке.
Если в определениях 3 и У при условии x{Q)eX заменить
точку а значением /(х(0)), то получатся непосредственные
определения понятия непрерывности в терминах последователь-
ностей и соответственно в терминах окрестностей.
Из указанной выше связи пределов отображений с предела-
ми их координатных функций следует, что отображение
непрерывно в некоторой точке в том и только том случае, когда
в этой точке непрерывны все координатные функции.
Отсюда, в частности, следует, что определение непрерывных
отображений отрезка, данных при рассмотрении понятия
кривой в п. 16.1 (для случая отображений отрезка в трехмерное
пространство) и в п. 18.2 (для случая отображения отрезка в
произвольное и-мерное евклидово пространство) как отображе-
ний, координатные функции которых непрерывны, равносильны
данному здесь определению непрерывных отображений.
Отображение f : X-+R™, XczRnx называется непрерывным на
множестве X, если оно непрерывно в каждой точке множества X.
221
Лемма 2. Отображение f открытого множества прост-
ранства R" в пространство R™ непрерывно на этом множестве
тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого
множества пространства R™ при отображении f является
открытым множеством пространства R".
Доказательство необходимости. Пусть / непрерыв-
но отображает открытое множество G<^Rnx в пространство Ry и
пусть U — открытое множество пространства R™: Uс= R™. Пока-
жем, что прообраз этого множества — открытое в
пространстве Rx множество. Если множество /“1 (С/) пусто, то
утверждение очевидно, так как пустое множество открыто.
Пусть множество не пусто, т. е. существует точка
х(0)е/-1(С/) и, следовательно, /(x(0J6 U. Поскольку U—откры-
тое множество, то оно является окрестностью точки у(0) =
=Дх(0)). Поэтому, в силу непрерывности отображения /в точке
х(0) (см. определение 3'), существует такая окрестность Ux этой
точки, что f(Ux Q G) с U следовательно, l/x [) Ge/-1 (G). Пос-
кольку множество Ux [] G, как пересечение двух открытых
множеств Ux и G, является открытым и x(0)et7x(|G, то х(0) —
внутренняя точка множества /-1(С7).
Таким образом, каждая точка прообраза открытого мно-
жества U является внутренней точкой этого прообраза, значит,
он — открытое множество.
Доказательство достаточности. Пусть /—отобра-
жение открытого множества G пространства /?” в R™ и пусть при
этом отображении прообраз каждого открытого в пространстве
R™ множества является открытым в Rx множеством. Пусть х(0) е G.
Покажем, что отображение f непрерывно в точке х(0).
Пусть Uy — некоторая окрестность точки j(0)=/(x(0)). По-
скольку прообраз открытого множества Uy являет-
ся. по предположению, открытым множеством и, очевидно,
x(6)G/“1(Gy)<=G. то множество Ux=f~r(Uy) является окрест-
ностью точки х{°\ причем f(Ux)=Uy. Отсюда непосредственно и
вытекает непрерывность отображения f в точке х^ (см. опре-
деление 3'). □
Пример. Рассмотрим отображение f.R2^>R, заданное фор-
мул ой /(х, = 1. Согласно лемме 2, прообраз открыто-
го множества (—оо, 0), т. е. множество точек (х, ^), удовлет-
воряющих неравенству ^+^<1 (и, следовательно, составляю-
щих внутренность эллипса), а также прообраз открытого
множества (0, +оо), т. е. множество таких точек (х, j^), что
х2 у2
^+р->1 (эти точки образуют внешность эллипса), являются
открытыми множествами.
222
Вообще, если f:Rn-+R—непрерывная на Rn функция, то
для любого числа aeR множества {x*.f(x)<a, xeRn} и
{x\f(x)>a, xeRn} являются открытыми множествами как
прообразы открытых множеств (—оо, а) и [а. +оо).
Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывных на
компактах функций и достижимости этими функциями их нижних
и верхних граней обобщается и на случай непрерывных
отображений. Более точно, справедливо следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть f\A-+Rm, A<^Rn — непрерывное отобра-
жение компакта А в пространство Rm. Тогда множество f(A)
также является компактом.
Короче: непрерывный образ компакта является компактом.
Доказательство. Пусть y{k}ef(A}~ произвольная после-
довательность точек из/(Л). В силу определения образа множества
при заданном отображении, для любого к= 1, 2,... существует та-
кая точка х(/с)еЛ, что /(x(fc)] = y(fc). Поскольку А—компакт, то из
последовательности {х(к)} можно выделить сходящуюся под-
последовательность {x(fcs)}, предел которой х(0) принадлежит
компакту A: lim х(к^ = х(0)еА.
В силу непрерывности функции / в точке х(0), имеем
lim f{x{k^—f(x{Q}\ т. е. lim у{к*} =/(х(0))е/(Л).
s—*00 S—*00
Таким образом, из любой последовательности точек, принад-
лежащей множеству f(A\ можно выделить сходящуюся, предел
которой принадлежит этому множеству. Это и означает, что
/(Л)— компакт. □
Замечание. Из леммы 3 следует доказанная ранее теорема о
достижимости нижней и верхней граней действительной функцией,
непрерывной на компакте (см. п. 19.5). В самом деле, согласно
лемме 3, множество значений такой функции является компактом
на числовой прямой, а всякий компакт на числовой прямой имеет
конечные минимальную и максимальную точки. Это следует из
того, что компакт — ограниченное множество и, следовательно,
имеет конечную верхнюю (нижнюю) грань, которая в силу своего
определения является точкой прикосновения множества. По-
скольку компакт замкнут, то она ему принадлежит и является,
очевидно, его максимальной (минимальной) точкой.
Обобщается на случай отображений и понятие равномерной
непрерывности.
Определение 4. Отображение f множества Xc=.Rnx в прост-
ранство R™ называется равномерно непрерывным, если для
любого 8>0 — существует такое 5 = 8(8)>0, что для любых точек
х'еХ и х"еХудовлетворяющих условию р(х', х")<5, выполняется
неравенство p{f{x'\ /(%"))< 8.
223
I
Для отображений имеет место и утверждение, аналогичное
теореме Кантора (см. п. 19.6) для непрерывных функций.
Лемма 4. Непрерывное отображение компакта равномерно
непрерывно.
Доказательство. Воспользуемся тем же методом, что и
при доказательстве теоремы Кантора о равномерной непрерыв-
ности действительных функций, непрерывных на компактах (см.
теорему 5 в п. 19.5).
Допустим, что существует отображение f\A-^Rm, Ac:Rn,
непрерывное на компакте А, но не равномерно непрерывное на
нем. Тогда существует такое ео>0, что для любого 5>0 найдутся
точки х'6еА и х^еА, для которых имеют место неравенства
p(x8Xs,)<6 и p(/(xs), /(xg))^e0.
Пусть 8=-, х'т = x'1/k, x"(k) = x'[/k, k=l, 2... Поскольку
k
A—компакт, то из последовательности {x'(/t)} можно выделить
сходящуюся подпоследовательность {х'(^}, предел х<0) которой
содержится во множестве А : lim x'(k^ = х<0) е А При этом из
р(х"<4 х(0))<р(х"(Ч x'<V) + p(x'<4 х<°>)<
<^-+р(х'№Л х<0))->0 при 5->ОО
следует, что подпоследовательность {л"(кР} второй последова-
тельности также сходится к точке х(0).
Теперь заметим, что из непрерывности отображения f б
точке х(0) явствует, что
i
lim /(x'(V) = lim =f(x(0)),
5—*O0 S—*00 /fl
и так как !
р(Ж'^)> /(*‘0)))+р(/(х(0>), /(х'<У)Ь0
при 8-* СО,
то lim p(/(x"((tP)), /(х'№»))) = 0. Это противоречит условию
S—*00
р(Ж'(М), □
С помощью доказанных свойств непрерывных отображений
можно получить одно полезное для дальнейшего свойство
областей (т. е. открытых линейно связных множеств, см.
п. 18.2). Сформулируем это свойство также в виде леммы.
Лемма 5, Открытое множество является областью тогда
и только тогда, когда любые две его точки можно соединить
целиком лежащей в нем ломаной.
i
224 j
Доказательство. Достаточность сформулированного ус-
ловия не требует доказательства. В самом деле, если у
некоторого открытого множества GaRn любые две точки
можно соединить некоторой ломаной, целиком лежащей в нем,
то, поскольку всякая ломаная является кривой (см. п. 16.5),
любые две точки множества G оказываются соединимыми в нем
кривой, что и означает, согласно определению (см. определение
27 в п. 18.2), что открытое множество G линейно связно, т. е.
является областью (см. определение 28 там же).
Докажем необходимость условий леммы. Пусть G — область
пространства Rn. Рассмотрим точки xeG и yeG. Согласно
определению области, существует кривая Г = {г(г), a^t^b}.
соединяющая в G точки х и у, т. е. г(а) = х, г (й)=у и r(t)e.G,
Кривая Г представляет собой непрерывный образ
отрезка [а, Ь]. являющегося компактом, и поэтому (см. лем-
му 3) сама будет компактом. Так как компакт Г не пересекается
с замкнутым множеством Rn\G. то расстояние между ними
больше нуля (см. лемму 7 в п. 18.2). Следовательно, существует
такое число т]>0, что р(Г, i?”\G)>r|.
Отображение r(/), a^t^b отрезка [а. Ь], будучи непрерыв-
ным, является и равномерно непрерывным (см. лемму 4).
Поэтому существует такое 8>0, что для любых двух точек
1'е[а, 6] и t" [а, /?], удовлетворяющих условию |У'~/'|<8,
выполняется неравенство
р(г(Г'), г(/'))< г].
Отсюда вытекает, что для любого разбиения т = {zj отрезка
[а. Ь] мелкости |т|<8 все точки ломаной с вершинами гД,
i—0, 1, ..., /с, будут содержаться в G (почему)? Следовательно,
XTczG.
Началом и концом ломаной являются соответственно
начало и конец кривой Г, т. е. произвольно заданные точки х и
у из G, поэтому нами доказано, что любые две точки области
могут быть соединены ломаной. □
Пусть теперь XczRx, YczR™, y=f(x}— отображение мно-
жества X в Rly, причем/(А)с= У и z=g(y) — отображение У в
т. е. f:X-*Y, g:Y-+Rp. В этом случае имеет смысл
композиция gof: X-+Rp, отображающая множество XczR” в
^-мерное пространство Rp '.(g°f)=g Дх)), хеХ.
Отметим, что если отображение Дх) множества X непре-
рывно в точке x(o)el, a g(y) определено в некоторой
окрестности точки у(0) —f(x(0)), то всегда существует такая
окрестность Gx точки х(0), что на множестве X[\Ux имеет смысл
композиция go/. Действительно, пусть Uy — окрестность точки
Д0), на которой определено отображение g(y); согласно опреде-
лению 3, для нее существует такая окрестность Ux. что
225
8-2135
/(C/xQX)cz Uy. Очевидно, что для всех точек xgUx^\X и имеет
СМЫСЛ КОМПОЗИЦИЯ go/
Напомним еще, что, согласно введенной для функций
терминологии (см. п. 1.2*), отображение f:X-^>R™, XczRx
называется взаимно однозначным или инъекцией, если разным
точкам множества X при этом отображении соответствуют
разные точки. В этом случае говорят также, что множество X
взаимно однозначно отображается посредством этого отобра-
жения на множество /(А^, т. е. /:Х-*/(А) является биекцией. При
выполнении этого условия на множестве /(А) существует
однозначное обратное отображение (обратная функция)
/-1(й = х, где х таково, что f(x)=y. Поэтому f~l [/(*)] = *, т. е.
тождественное 9 отображение (тождественным отображением
множества X называется отображение, которое каждой точке
хеХ ставит в соответствие эту же точку).
Определение 5. Если отображение f множества XczRx в
пространство R™ взаимно однозначно и непрерывно на X, а
обратное ему отображение f~Y непрерывно на f(X), то f
называется гомеоморфным отображением или гомеоморфиз-
мом, а множество f(X) называется гомеоморфным образом
множества X или, что то же, множеством, гомеоморфным
множеству X.
Очевидно, что если /—гомеоморфизм множества X, то f~L
является гомеоморфизмом множества /(А).
При гомеоморфном отображении открытого множества на
открытые образы открытых подмножеств также открыты.
Действительно, если /—гомеоморфное отображение открытого
множества G на открытое множество D, V—открытое под-
множество множества G, то V=f~1(W), т. е. V
является образом множества W при непрерывном отображении
/-1 открытого множества D и, следовательно, W является
прообразом открытого множества V при этом отображении.
Поэтому, согласно лемме 2, множество W открыто.
Рассмотрим теперь композицию непрерывных отображений.
Лемма 6. Пусть f\X-*R™, X^R\ g.Y-+Rs, Если
отображение f непрерывно в точке х(0)еА, a g непрерывно в
точке /(х(0)), то композиция g°f также непрерывна в точке х(0).
Доказательство этого утверждения может быть проведено
методом, аналогичным использованному при доказательстве
теоремы 6 п. 5.16 и теоремы 2 п. 19.5; докажем его, исходя из
определения непрерывности в терминах последовательности.
Пусть x(k)eX, k=\, 2, ..., и lim x(k) = x(0). Тогда /(x(fe))e У и, в
силу непрерывности отображения / в точке х(0), имеем
lim/(x(k))=/(x(0)). (41.29)
к—>оо
226
В силу же непрерывности отображения g, в точке Дх(0)) для
любой последовательности y(k}eY, к—1, 2, lim у<fe) =Дх(0))
имеет место lim g(yw)=g(/(x0)). В частности, в силу (41.29), при
к—+оо
у(к) =f(x </с))
lim g (Дх(fc)))=g (Дх(0))).
к—+оо
Это и означает непрерывность композиции go/ в точке х(0). □
Упражнение 4. Доказать, что непрерывное взаимно однозначное
отображение компакта пространства Rn в некоторое пространство Rm является
гомеоморфизмом.
В заключение этого пункта определим, что будет пони-
маться под образом кривой при заданном непрерывном
отображении, и докажем лемму о непрерывных образах
линейно связанных множеств.
Пусть /—непрерывное отображение множеств YcjJJ в
пространство /?™, а Г — кривая, целиком лежащая во множестве
X т. е. задан класс эквивалентных отображений отрезков во
множество X (см. § 16).
Пусть
х(/), a^t^b,
— одно из представлений кривой Г. Кривая в пространстве R™,
представлением которой является отображение
/[х(/)], a^t^b,
называется образом кривой Г при отображении / и обозначается
через ДГ).
Это определение корректно, так как при сделанных предпо-
ложениях/(x(f)), является непрерывным отображением
отрезка в пространство R™ и, следовательно, определяет
некоторую кривую.
Лемма 7. Пусть f\X~^Rm — непрерывное отображение
линейно связного множества XczRn в пространство Rm. Тогда
множество f(X) также линейно связно.
Короче: непрерывный образ линейно связного множества
линейно связен.
Доказательство. Пусть X—линейно связное множество
и /—непрерывное отображение в Rm. Для того чтобы доказать,
что множество /(А) является линейно связным, надо доказать,
что две любые его точки можно соединить в f(X) непрерывной
кривой (см. определение 27 в п. 18.2). Пусть У^е/(А) и
y{2}ef(X); выберем какие-либо точки х(1)б/-1 (у(1)) и х(2)е
е/-1(у(2)). Так как х(1)еХ, х{2)еХ и X линейно связно, то
существует такая кривая Г, что ее началом является точка х(1),
концом — точка х(2) и все ее точки принадлежат множеству X.
227
Кривая /(Г) является искомой кривой. Действительно, ее
началом является точка у(1>=Дх(1)), а концом — точка у(2> =
=Дх(2)). Все же другие ее точки принадлежат множеству ДД.
Таким образом, ДА")— линейно связное множество. □
41.5. ВЕКТОРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
При изучении дифференцируемых отображений (их определе-
ние будет дано ниже, в п. 41.7) пространство R", в котором лежит
отображаемое множество, и пространство Rm, в которое
происходит отображение, удобнее рассматривать как векторные
евклидовы пространства (см. п. 18.4). Для простоты «-мерный
вектор с координатами (хг, ..., хп) будем обозначать тем же
символом х, которым мы обозначали точку «-мерного точечного
пространства с теми же координатами. Это, конечно, не приведет
к недоразумениям, так как и точка «-мерного пространства и
«-мерный вектор представляют собой упорядоченный набор п
действительных чисел.
Пусть X^Rn и/: X^Rm, где теперь отображение / ставит в со-
ответствие каждому вектору хеХ некоторый вектор у =
=f(x}eRm. Такие отображения будем называть векторными.
Если ..., еп — координатные векторы в пространстве R" (см.
п. 18.4), £j, ..., em — координатные векторы в пространстве Rm,
п т
х=(х1; ..., х„)= Y xieu J=(V1, Am)= Е yfij ну=ф(х), то каждая
j=l
координата 1, 2,т. вектора у также является функцией от
вектора хеЕ и, следовательно, функцией от его координат х1?хп:
yj=fj(x)=fj(xi.... хп\ 2, (41.30)
Как и в случае точечного пространства (см. (41.26)), функции
(41.30) называются координатными функциями отображения f и
пишется ..., /т).
Интерпретация и-мерных точек (х19 .... хп) как векторов не
препятствует, конечно, рассмотрению таких свойств отображе-
ний как их непрерывность и равномерная непрерывность.
Поэтому все сказанное об отображениях в предыдущем пункте
остается в силе и для векторных отображений. Напомним еще,
что для расстояния р(х, у) между векторами х и у справедлива
формула (см. в п. 18.4 формулу (18.37)) р(х, ^) = |х—у{.
В качестве примера отметим, что длина | х| вектора xeRn
является непрерывной функцией в R”. Это следует из неравен-
ства (18.36): поскольку для любых xoeRn и xeRn справедливо
неравенство
Н*|-|*0||<|.х~х0|,
то
lim |х| = lim |х| = |х0|.
l-v-.voH0
228
41.6. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Рассмотрим специальный класс отображений пространства
Rn в называемых линейными.
Определение 6. Отображение fzRn->Rm называется линей- .
ным (или, более полно, линейным однородным), если для любых
двух векторов x'eR\ x"eRn и любых двух чисел %'eR9 VeR
выполняется равенство
/(X' х' + X ”х ") = X Дх')+X ”f(x ").
Из этого определения по индукции следует, что при
линейном отображении f любая конечная линейная комбинация
векторов x(j)eRn отображается в такую же линейную комбина-
цию образов Дх0)), у=1, 2, Л, этих векторов
(к \ к
Z МО И МИ
J=1 / J=1
Обычно линейные однородные отображения называются
линейными операторами. О линейном операторе f-.Rn-*Rm
говорят, что он действует из Rn в Rm.
Из определения линейного оператора непосредственно сле-
дует, что композиция gtf линейных операторов f-.Rn-+Rm и
g:Rm-+Rs также является линейным оператором grf:Rn->Rs.
Пусть f:Rn-+Rm— линейный оператор. Образ каждого коор-
динатного вектора ej€Rn, 7=1, 2, ..., п, при отображении f
является вектором пространства Rm и поэтому раскладывается
по координатным векторам z=l, 2, ..., т. Обозначим
коэффициенты этого разложения через а^:
т
Ж)= X aij£i-
i=l
п
Пусть y=f{x\ х= X xiej и
7=1
т
У= X (41.31)
1 = 1
Тогда, в силу линейности отображения /, получим
ww=/(x xjej)=i
\J=1 / J=1
n m m / n \
= X л X auei= X ( X аихдЕг <4L32>
7=1 i=l i=l\7=l /
Сравнив коэффициенты разложения вектора у по коорди-
натным векторам е15 £,„ в (41.31) и (41.32), получим
229
у1 = а11х1 + ... + а1„х„
Ут = ат1х1 + ... + ат„х„.
(41.33)
Наоборот, легко проверить, что всякое отображение f-.Rn->Rm,
координатные функции которого имеют вид (41.33), является
линейным оператором.
Матрица
I ат1 ... а,
называется матрицей линейного оператора f.
Очевидно, что если (41.34) является матрицей линейного
п
оператора /, то для любого х = £ х-е. имеет место (см. (41.32))
7=1
разложение'
т
/М= Z
1 = 1
(п
7=1
aiJXj )£
(41.35)
Пример. Пусть — оператор проектирования на z-ю коорди-
натную ось, т. е.
’ti(y) = n,.(y1, ..., ут)=У; (41.36)
(z— фиксированное число среди чисел 1, 2, ..., т). Тогда я-
является линейным оператором с квадратной матрицей порядка
т, состоящей из одних лишь нулей, кроме z-ro элемента главной
диагонали, равного единице:
г 0 ... О 0 0 ... (Г
О О* 0 О ... О
О ... О 1 о ... о
о ... о о о ... о
о ..*. о’о о о
С помощью операторов проектирования z=l, 2, ..., д,
легко устанавливается связь между произвольным векторным
отображением f\E-+Rm, EcRn и его координатными функци-
ями f (см. (41.30)):
ft = (41.37)
т. е. каждая координатная функция/^-, z=l,2, ..., т, является
композицией отображения f с оператором проектирования
230
Если m=l, т. е. линейный оператор f.Rn-*R отображает
пространство Rn во множество всех действительных чисел, то
он называется обычно линейным функционалом,
В силу (41.33), всякий линейный функционал имеет вид
y = + ... + апхп9 (41.38)
где а1? ..., ап — некоторые действительные числа.
Обозначив через а вектор с координатами (а1? ..., tzw),
получим, что всякий линейный функционал f.Rn-+R имеет вид
/(х)=(а, х),
где через (а, х) обозначено скалярное произведение векторов а и
х. Очевидно и обратное: каждое отображение вида х н-> (я, х)
является линейным функционалом f :Rn-+R.
Напомним определения некоторых операций с матрицами
(известных из алгебры). Если А = (а^ и В—(Ь^— прямоуголь-
ные матрицы с одинаковым числом строк и столбцов, z= 1, 2, ...
..., т, j=l,2,...,n, то их сумма определяется как матрица,
элемент ctj которой является суммой соответствующих элемен-
тов матриц А и В, т. е.
Cij aij+bij, i= 1, 2, ..., m. j= 1, 2, ..., n.
Произведением матрицы А на число X называется матрица,
все элементы Cij которой получаются из соответствующих
элементов матрицы А умножением их на X
Сц^= Ха1Ь i= 1, 2, ..., т, j= 1, 2, ..., п.
IJ LJ7 7 7 7 7 J 7 7 7
Если число столбцов матрицы А = (а^) равно числу строк
матрицы B = (bjk\ Z= 1, 2, ..., m, j=l, 2, ..., п, k=l9 2, ..., s, то
произведение АВ матриц А и В определяется как матрица,
состоящая из элементов cik9 которые определяются по форму-
лам:
cik = Е *=1,2, ..., т, Л=1, 2, ..., 5.
7=1
Отметим два нужных нам для дальнейшего свойства
линейных операторов.
1°. Если fug— линейные операторы, f: Rn^>Rm, g: Rn-+Rm,
a X и |i— произвольные числа, то kf+\x.g также линейный
оператор, действующий из Rn в Rm, причем, если А и В суть
матрицы линейных операторов / и g, то ХЛ + цВ является
матрицей оператора Xf+pg.
Доказательство этого утверждения производится путем его
непосредственной проверки: если
231
п
У,= Е atjXj, z=l, 2, т
j=i
— координатные функции отображения / а
п
z~ Е bijXj, i—1, 2, т
j=i
— координатные функции отображения g, то для координатных
функций отображения X/+pg будем иметь (при сложении и
умножении на числа векторов их координаты складываются и
умножаются на те же числа)
п п п
X^ + pz,- = X Е aijXj+y. Е ЬцХ}= Е (^aij+^bi^Xj,
J=i J=i J=t
т. e., во-первых, координатные функции отображения X/'+pg
являются линейными функциями, а, во-вторых, элементами су
матрицы отображения Х/'+pg являются числа cy = Xzzy+p#y,
т. е. элементы матрицы ХЛ + р/Л где /1—(</,-), В=(ЬЛ □
2°. Если/ и g—линейные операторы, f .&"-*Rm, g: Rm^>Rs,
то их композиция g°f также является линейным оператором
Rn^Rs, а ее матрица равна произведению матриц отображений
g uf-
Снова выполним непосредственную проверку утверждения.
Если
п
Ya aijXp 2, ..., m,
./=1
— координатные функции отображения / a
m
E ьк1Уи ^=1’2’ >
i= 1
— координатные функции отображения g, то
m m n n / m \
E E bki E aijxi= E E bkiaujxj,
i=l t=l j=l j=l \i=l /
т. e., во-первых, координатные функции композиции go/ суть
линейные функции, а, во-вторых, элементы ckj ее матрицы
получаются из элементов матриц а^ и bki операторов / и g по
правилу
т
(41.39)
i= 1
Как было сказано, такая матрица (q7) и называется произведе-
нием матриц (bki) и (а^). □
232
Заметим, что каждый линейный оператор f:Rn-+Rm явля-
ется непрерывным отображением пространства R\ ибо все его
координатные функции (41.33), будучи линейными, непрерывны.
Длина вектора хеДй, как это отмечалось в п. 41.5, является
непрерывной в пространстве Rn функцией. Поэтому, если
f\Rn-+Rm— линейный оператор, то функция |/(х)|, как компо-
зиция двух непрерывных функций, будет также непрерывной в
/?".
Поскольку единичный шар Qn = {xeR": |х|^1} является
компактом, то для всякого линейного оператора f-.Rn^>Rm
сужение непрерывной функции \f\-.Rn-*R на шар g", т. е.
функция |/|: Qn-+R, ограничено:
sup |/(х)|<+ оо. (41.40)
Определение 7. Для линейного оператора (в частности — для
линейного функционала, при т = 1) f:Rn-+Rm число sup |/(х) I
|л| < 1
называется его нормой*’ и обозначается через ||/1|:
11/11 = sup |/(х)|.
(41.41)
В силу неравенства (41.40), норма любого линейного оператора
конечна.
Оценим длину образа вектора хе R" через норму оператора
/ и длину х самого вектора. Для любого х / 0, хе R", вектор
6=— имеет длину 1:161= — =—|х| = 1. Поэтому, использовав
|х| W И
линейность оператора /, свойство (18.34) длины вектора и
определение (41.41), получим
W sup 1/(6) | —|х| 11/11,
1^1 <1
т. е.
|/(х)М/|| W- (41.42)
Из этого неравенства следует, что при |х|<1 справедливо
неравенство |/(х)|< ||/||. Вспомним, что непрерывная на ком-
пакте функция достигает на нем своего наибольшего значения
(9м. теорему 3 в п. 19.6). Поэтому функция \f\;Qn->R, будучи
непрерывной на компакте Qп, достигает на нем своего
наибольшего значения:
*’ Общее определение нормы будет дано в п. 58.2.
233
11/11= sup |/(x)| = max |/(x)|,
|x|<l 1*1^1
а поскольку при |x| < 1 имеет место неравенство |/(х)|<||/||, то
указанный максимум достигается при |х| = 1, т. е. на единичной
сфере S’”-1 = = 1}.. Таким образом,
11/11 = max |/(х)|.
1*1 = 1
(41.43)
Отметим еще одно полезное выражение для нормы линейно-
го оператора
11/11= sup (41.44)
x^R \ х^О |Х|
Докажем его. Используя снова свойство длины (18.34)
вектора, линейность отображения / и формулу (41.41), получим
I/MI
sup < = sup
хе/?", х/0 хе/?", х^О
//(*)
1*1
= sup
x^R\ х^О
= sup 1/(01 = 11/11.
1^1 = 1
Нетрудно оценить норму ||/|| линейного оператора / через
элементы его матрицы (41.34). Замечая, что квадрат длины
вектора равен сумме квадратов его координат, применяя
формулу (41.35) и неравенство Коши — Шварца (18.2), будем
иметь
т / и
l/Wl2= Z ( Ё anxj
i=l \J=1
т / п \2 т / п \ / п \ / т п \
= Е Е °,л « Е I Е *г> )- Е Е «5 W2.
1=1 \j=l / i=l \J=1 / \J=1 / \i=l J=1 /
Отсюда для каждого x/0, xeff":
Поэтому, в силу (41.44),
11/11= sup /f E»u. (41.45)
x^R\ x^G 11 Vi=lj=l
Тем самым еще раз, но уже «алгебраическим путем»
доказано неравенство (41.40).
234
41.7. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Определению понятия дифференцируемости отображения
предпошлем определение символа «о малое» для отображений в
специальном, нужном нам случае.
Пусть XczRn и xQf=Rn.
Отображение a:X-*Rm назовем бесконечно малым при х->х0
по сравнению с функцией |х—х0|” и будем писать
ос (х) = о ((х — х0 )л), х-*х0;
если существует такое отображение z:X-+Rm9 что для всех точек
х&Х, принадлежащих некоторой фиксированной окрестности
точки х0, имеет место равенство
0С(х) = 8(х) |Х —Хо|”
(|х —х0|—длина вектора х — х0) и
lim 8(х) = 0.
х->х0
Если отображение ос(х) определено в точке х0, т. е. х0<=Х, то
отображение 8 (х) также будет определено в этой точке, а
следовательно, согласно определению предела, и непрерывно в
ней: 8(0) = 0.
Элементы «-мерных пространств будем рассматривать здесь
как векторы. Для векторных выражений с символом «о малое»
сохраняются обычные правила действий с ними, например
о(х) + о(х) = (?(х) при х->0 и т. п.
Перейдем теперь к определению дифференцируемых вектор-
ных отображений. Предварительно напомним, что функция п
переменных f:X-+R, Xc=.Rn*\ определенная в окрестности точки
х = (хр ..., хп)еХ, называется дифференцируемой в этой точке,
если существуют такие постоянные ап (они являются
частными производными функции j в этой точке что
/(xt + Zzp .... xn+hn)—f(xl.. х„) =
— ajii + ... + anhn + o(h\ (41.46)
где h = (hlf ..., hn).
Линейное отображение (линейный функционал) (Л1? ..., Л„)н->
^a1h1-y ...y-anhn в формуле (41.46) называется дифференциалом
функции f в точке х. Обозначив его через Л(х), получим
£>(х) (ti) = arhr + ... + anhn. (41.47)
Таким образом, определение дифференцируемости (41.46) мож-
но представить в виде
*} Через R, как всегда, обозначается множество всех действительных чисел.
235
f(x+h) =f(x)+D (x) (h) 4- о (Л), /z —* 0.
Аналогично определяется и дифференцируемость отображе-
ния в общем случае.
Определение 8. Отображение f:X-^Rm^ XaRn, определенное
в некоторой окрестности точки х^Х, называется дифференци-
руемым в этой точке, если существует такое линейное
отображение {линейный оператор) l:Rn-+Rm, что
f(x + h) =f(x) у-1(h) у-о (h\ h->0, h^Rn. (41.48)
Линейный оператор I называется дифференциалом отображе-
ния f в точке х и обозначается через Df(x), или, более подробно,
сдл (х).
Используя это обозначение, определение дифференцируемос-
ти (41.48) можно переписать в виде
f(x+h)=f(x)+Df(x) (h)+o(h\ h-+0. (41.49)
Матрица дифференциала Df(x) (см. (41.34)) называется
производной отображения f в точке х и обозначается через /' (х).
Отметим, что из формулы (41.48) сразу следует, что
отображение, дифференцируемое в точке х. непрерывно в ней:
lim f(x+h)=f(x).
Теорема 3. Если отображение f:X-+Rm, XaRn, дифферен-
цируемо в точке х^Х, то его дифференциал в этой точке
определяется однозначно.
Следствие. Дифференциал линейного отображения совпа-
дает с самим отображением.
Доказательство теоремы. Пусть наряду с равенством
(41.48) выполняется также равенство
f(x+h) =f(x)+lx (h)+o(h), h->0, (41.50) •
где lr:Rn-^Rm^ lr—линейный оператор. Вычитая одно из этих
равенств из другого, получим
1(h) —(h) = o(h) при /?-*0,
т. е. существует такая функция 8(A), определенная на некоторой
окрестности V нуля пространства J?n, т. е. 8:К->/?ш, что
lim 8 (h) = 0 и для всех h е= V имеет место
й—>0
|/(й)-/1(/7)| = |8(Л)||А|. (41.51)
Возьмем теперь произвольное k<^Rn; тогда для всех
достаточно малых t будем иметь tk&V. Поэтому в (41.51) для
таких t можно взять h = tk:
\l(tk)-l. (/AOHIsWII^I.
236
Поскольку |rit| = |/| |/<| и отображения I й /г линейны, будем
иметь
Ktk)-^ (/й)=/[/(й)-/1 (£)],
а поэтому
|/(й)-/1(й)| = |£(/й)||й[. (41.52)
Но lim tk=Q, следовательно, в силу свойства функции £, имеем
t—»о
также lime(?A:) = 0. Переходя к пределу при г-+0 в (41.52),
t—*о
получим \l(k) — ll(k)\ = Q, т. е. для любого k<=Rn
1(к) = 1^к).
Это и означает, что /=/t. □
Доказательство следствия. Пусть f:Rn~>Rm— линей-
ный оператор. Тогда в силу линейности для любых лей" и
h^R"
f(x+h)=f(x)+f(h),
т. е. равенство (41.48) выполняется при l=f и о(/г) = 0. В силу
единственности дифференциала Df(x)=f. □
Теорема 4 (линейность дифференциала). Если отображения
f:X-+Rm и g:X->-Rm, дифференцируемы в точке х^Х, то
при любых числах Лиц линейная комбинация А/4-pg также
дифференцируема в точке х и
D(kf+ pg)(x) = kDf(x)+pDg(x).
Доказательство. В силу дифференцируемости отображе-
ний / и g в точке х, имеем (см. (41.49))
f(x+h) =f(x)+Df(x)(ti)+о (Л), h -> О,
g (х+h)=g (x)+Dg (х)(/г)+о (h), h-*0;
отсюда
kf(x+h)+pg(x+h)=[kf (x)+pg (x) ] +
+ [kDf (x) + pDg (x) ](/i)+о (h), h->0.
Так как kDf(x)+pDg(x) является линейным отображением
(см. п. 41.6), то, в силу определения 8, линейное отображе-
ние kDf(x)+pDg(x) является дифференциалом отображения
kf+pg. □
Теорема 5. Пусть XcR", Y^Rm,f:X^Y, g: Y ->RS, причем
отображение f дифференцируемо в точке х^Х, a g — в точке
/(х). Тогда композиция gtf дифференцируема в точке х и ее
дифференциал в этой точке равен композиции дифференциалов
отображений f и g:
237
D (g°f) (x) = Dg (/(x))°Z)/(x). (41.53)
Следствие. Если выполнены условия теоремы, то производ-
ная композиции отображений равна произведению производных: '
(g°/)'М=/(/(*))/(•*)• (41 -54)
Как видно из приведенных формул, благодаря удачному
выбору определений и символики в формулировках теорем
имеет место полная аналогия с одномерным случаем.
Доказательство. В силу дифференцируемости отображе-
ния f, имеем
(g°/)(x+/z)=g(/(x+/z))=
=Ц/(х)+Р/(х)(Л)+п(/г)), Л^О. (41.55)
Таким образом, аргумент функции g в точке y=f(x) получил
приращение
k = Df(x)(h)+o(h\ (41.56)
Поэтому из (41.55) в силу дифференцируемости функции g
имеем
(g°f)(x+h)=g(y+k)=g(y)+Dg(y)(k)+o{k\ k-*0. (41.57)
Поскольку (см. неравенство (41.42))
|£>/(х)(/г)|^||Л/(х)|| |/г|, (41.58)
где норма ||7)/(х)|| линейного оператора Df(x) является неотри-
цательным числом, то для функции k = k[h\ определенной
равенством (41.56), получим
lim £ = 0. (41.59)
Л->0
Более того, справедлива оценка ।
|A:|<||Zy(x)|||A| + |p(A)|, Й^О,
а так как при достаточно малых h имеет место неравенство
|о(А)|<|Л|, то для таких h справедлива и оценка
|^(||£>Дх)|| + Ш (41-60)
Далее, из определения о (К) (см. (41.47)) явствует, что
существует такая функция е(/<), что
lim в(/с) = О (41.61)
к—О
и о (k) = е (k)\k\. Поэтому, в силу (41.60), для указанных
достаточно малых h выполняется неравенство
|о (£)| = |е (Л)| |Л| < е (£)(||£>/(х)|| + 1)|Л|. (41.62)
1!
238
А поскольку из (41.59) и (41.61) вытекает, что lim е(А;) = 0 и,
h—*0 7
следовательно,
e(Az)(||Z><(jc)||4-1)|А| = о(А) при А—>0,
то из (41.62) имеем |о(А?)|^|о (h)\, h->0, откуда
o(k) = o(ti) при h->0.
Это означает, что формулу (41.57) можно переписать в виде
(gGf)(x+h)=g(y)+Dg(y)(k) + o(h), h->0, (41.63)
где к задается по формуле (41.56).
Рассмотрим теперь среднее слагаемое в правой части
равенства (41.63). В силу линейности отображения Dg(y), имеем
Dg (у)(к) = Dg (y)(Df (х)(Л)) + о (й)) =
= Z>g(y)(Z>/(x)(/z))+Z>g(y)o(A), h-^0. (41.64)
Вследствие неравенства (41.42), будем иметь |Z>g(y)o(/z)|^
<||.Dg(y)|| |о(й)|, а поэтому
Z»g(y)o(/z) = o(/z), й->0;
следовательно, из (41.64) получим
Dg (у)(£) = Dg (y)(Df (х)(Л))+о (Л) =.(Dg +о (/г), h -►().
Подставляя полученное для Dg(y) выражение в (41.63) и
принимая во внимание, что y—f(x), будем окончательно иметь
(g°/)(x+A)=g(/’(x))+(Z>g(/’(x)) £>/(х))(й)+о(/г), /г->0.
Композиция линейных операторов является линейным опе-
ратором, поэтому, в силу единственности дифференциала,
оператор Dg(f(x)yDf(x) является дифференциалом композиции
fig, т.е. формула (41.53) доказана.
Формула (41.54) сразу следует из нее, поскольку при компо-
зиции линейных операторов их матрицы перемножаются. □
Теорема 6. Отображение fm):X-+Rm, X<^Rn,
дифференцируемо в точке х^Х в том и только том случае,
когда все его координатные функции ф\:Х-*11, z=l, 2, ..., т,
дифференцируемы в этой точке. В этом случае элементы а^
матрицы дифференциала Df(x) являются соответствующими
частными производными координатных функций’.
dfAx) • 1 О • 1 Э
0^=-—^, г= 1, 2, ..., т, у=1, 2, ..., п.
CXj
Иначе говоря, производная /' (х) является матрицей Якоби
системы функции f (см определение 2 п. 41.3)
239
ofi(x) cfr(x)
0X1
%,(*)
(41.65)
ox1
Sx„
и называется также матрицей Якоби отображения f в точке х.
Доказательство. 1. Координатные функции Д = лг°/(см.
(41.37)) являются композицией двух дифференцируемых отоб-
ражений: отображения f, которое дифференцируемо в точке х по
условию, и проекции (см. (41.36)), которая, как всякий
линейный оператор Rm-+R, дифференцируема на всем про-
странстве Rm. Следовательно, согласно теореме 5, функции /•,
z=l, 2, ..., т, дифференцируемы в точке х.
2. Пусть все координатные функции = отображения
дифференцируемы в точке х. В силу (41.46), это означает, что
существуют такие постоянные а^, z=l, 2, ..., m,j~\, 2, ..., п, что
ft (x+h) =fi (х) + ^ +... +ain hn + о (й),
Л->0, z=l, 2, ..., m.
(41.66)
Отсюда, как известно (см. (20.2)), следует, что коэффициенты
aLj при приращениях hj аргументов Xj являются соответствую-
щими частными производными функций f:
аи=.^, z=l, 2, ..., т, j=l, 2, ..., п. (41.67)
IJ о v
Обозначим через kRm-+Rm линейный оператор с матрицей
(я0). Так как {о (h)) =o(h)*\ то равенства (41.66) можно
записать в виде
J\x 4- h) —f(x) + l(ti) + o (/г), h -»0.
Это и означает дифференцируемость отображения /’ причем из
(41.67) следует справедливость формулы (41.65). □
Замечание 1. В силу формул (41.54) и (41.65), следствие из
теоремы 5 означает, что матрица Якоби композиции отобра-
жений / и g равна произведению матриц Якоби этих отобра-
жений.
Это, впрочем, непосредственно следует и из формулы
дифференцирования сложной функции: если zk=gk(yif ут\
2, ..., s, a yi=:fi(xlf ..., х„), z=l, 2, ..., т, то (см. (20.26))
Запись ...» о (h))~o(h) означает, что вектор, координаты которого
являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем Л, сам является
бесконечно малой более высокого порядка, чем h при h-+Q. Совпадение в
данном случае обозначений вектора и его координат связано с тем, что мы,
чтобы не усложнять символики, выбрали для //-мерного вектора обозначение х,
в котором не отражена его размерность. Она делается ясной, когда вектор
записан с помощью координат: х — (лд, хп).
240
5Л= у э^Зу, 2
8xj ^cy.cxj
5, j=l, 2,
.., п,
что согласно правилу умножения матриц (см. п. 41.6) и
/ ^Zk\
означает, что матрица является произведением матриц
\ОХ: J
( dzk\ (
— и ,
\ ду» / \dxj /
у CXj J \ C1y; J у CXj J
Определение 9. Б случае m^n определитель
det (W)
\ °xj J
матрицы Якоби (41.65) называется определителем Якоби или
якобианом отображения f\X-+R\ Xc.Rn, в точке х^Х и
обозначается (см. п. 41.3)
...
. ч ИЛИ- , » •>
г (%!, .... х„) Щх,.... Л„)
Замечание 2. Из алгебры известно, что при умножении
квадратных матриц их определители перемножаются; поэтому
при выполнении условий теоремы 5 в случае m = n=s якобиан
композиции отображений f и g равен произведению якобианов
отображений f и g
Z") ajZ1...г-)ф-Ц (41.68)
d\xi> ..., Л-J д(уг, .. , ..., хп)
Действительно,
ferde'
d(xi, х„)
= det
Замечание 3. Пусть X<^R” и Id:X->X—тождественное
отображение множества X на себя В координатной форме оно
записывается в виде условия равенства координат точек образа
и прообраза при этом отображении, т. е. координатные функции
имеют вид
Z—1, 2, ..., п, (х3, ..., хп)^Х.
Если х(0) -- внутренняя точка множества X, то эти функции
можно дифференцировать в этой точке, и поскольку — = 0 при
дх 3
i^j и то матрица Якоби тождественного отображения
OXi
является единичной матрицей
241
/1 ... о
Е=[• • •
^0 ... 1
Пусть теперь Uc^Rn, V<^Rn и f:U-*V—взаимно одно-
значное (инъективное) отображение, a —об-
ратное ему. Тогда для любой точки x^U имеем =
т. е. композиция /-1°/ является тождественным отображе-
нием.
Пусть отображение f дифференцируемо в точке
(следовательно, х0 — внутренняя точка множества [7, ибо
только для таких точек определено понятие дифференцируемос-
ти), а обратное отображение f~l дифференцируемо в точке
/(х0). Поскольку /-1°/—тождественное отображение, то в силу
формулы (41.54) имеем
(/-1)' /' = (/-lo/)'=(ld)' = £. (41.69)
Перейдя от этого равенства матриц к их якобианам, получим
det det /'=1, (41.70)
ибо det Е=1.
Если отображение f задано координатными функциями
(41.30), то формулу (41.70) можно переписать в виде
djx^ .... х) .... у„) j (41 71)
5(Т1..к) о(Х1. х„)
Из этой формулы следует, что при сделанных предположениях
как якобиан отображения f в точке х, так и якобиан обратного
отображения f~1 в точке /(х) не обращаются в ноль.
Перепишем формулу (41.71) еще в виде
д(*1.... *„) 1
5(Т1. к) ^(Т1. уи)~
а(хР .... %„)
(41.72)
Эта формула является очевидным обобщением формулы для
~ , dx 1.
производной обратной функции одного переменного: —=—
dy dy
dx
В заключение сформулируем два полезных определения.
Определение 10. Отображение f:X-+Rm, XczRn дифференци-
руемое в каждой точке х<=Х, называется дифференцируемым
отображением множества X.
Очевидно, если отображение дифференцируемо на множестве
X, то, какова бы ни была точка х^Х, согласно определению 8,
242
отображение f определено в некоторой ее окрестности, т. е.
X—открытое множество.
Согласно теореме 6, отображение ..., fn) дифференци-
руемо на множестве X тогда и только тогда, когда на этом
множестве дифференцируемы все его координатные функ-
ции /р ..., fn. Если все координатные функции непрерывно
дифференцируемы на X, т. е. все их первые частные производ-
ные непрерывны на X, то отображение / называется непрерывно
дифференцируемым отображением множества X.
Определение 11. Гомеоморфное отображение f:G-*D, где G и
D — открытые множества пространства Rn, называется диф-
феоморфным отображением или диффеоморфизмом, если как
оно само, так и обратное ему отображение f~l:D-*G дифферен-
цируемы.
В дальнейшем будут рассматриваться и производные выс-
ших порядков отображений (и даже в более общем, чем здесь,
случае, см. п. 58.10).
41.8. ОТОБРАЖЕНИЯ С НЕ РАВНЫМ НУЛЮ ЯКОБИАНОМ.
ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ОБЛАСТИ
Прежде всего рассмотрим вопрос о существовании отобра-
жения, обратного данному. Как мы знаем, в случае п = 1 для
непрерывно дифференцируемой на некотором отрезке функции
условие необращения в нуль ее производной (которое влечет за
собой ее строгую монотонность) является достаточным для
существования обратной ей однозначной непрерывно диффе-
ренцируемой функции. В случае же произвольного п дело
существенно осложняется: соответствующие точечные условия,
налагаемые на дифференциальные свойства отображения, позво-
ляют утверждать лишь что локально, т. е. в окрестности точки,
существует обратное отображение. Более точно, справедлива
следующая теорема.
Теорема 7. Пусть
У =/(*)= .............. (41.73)
I У„=Л(Х1’ > *„)
— непрерывно дифференцируемое отображение открытого мно-
жества G^Rn в пространство Rn. Если якобиан этого
отображения не обращается в нуль в точке x(0)eG, то
существуют такие окрестности Ux и Uy соответственно точек
л:(0) и у^ —f(x^}), что fix), х е Ux, является взаимно однознач-
ным отображением окрестности Ux на окрестность Uy, и
обратное ему отображение непрерывно дифференцируемо на
множестве Uy.
243
Следствие. Пусть f— непрерывно дифференцируемое отоб-
ражение открытого множества GcR" в пространство Rn. Если
якобиан отображения f не равен нулю на G, то образ множества
G при этом отображении также является открытым мно-
жеством.
Доказательство. Рассмотрим функции
Ft(x, y)=fi(x1, ..., хП)-у(, z=l, 2, ..., п.
Они определены для всех у — (у1г .... yn)^Rny и всех x=(xj, ...
..., х„)е<7с/?". С их помощью система равенств (41.73),
задающих отображение f, перепишется в виде
Ft(x, у) = 0, i=l, 2, ..., п. (41.74)
При этом функции- (х, у) определены и непрерывно дифферен-
цируемы в некоторой окрестности точки (х<0), у<0)) (за такую
окрестность можно взять, например, GxRJ),
F(x<0) v(0)) —О и S('F1 F"^ — Wi Л)
Таким образом, выполнены все условия теоремы 2 настоящего
параграфа о разрешимости системы уравнений.
В силу этой теоремы уравнения (41.74), или, что то же,
система (41.73), могут быть разрешены, и притом единственным
образом, относительно переменных ..., хп в некоторой
окрестности точки (х<0), У0)). Более подробно это означает, что
существуют такие окрестности U* и Uy, соответственно точек
х(0) и у(и\ x(())<^U*, y*0)(^Uy и такое единственное отображение
*=g(y)= л
•••• Уп\
I — Л),
(41.75)
отображающее окрестность Uy в окрестность 17*, что для всех
y^Uy имеет место тождество
Иначе говоря, для каждой точки y<^Uy существует и притом
единственная точка x=g(y)^U*, переходящая при отображении
f в точку у. Тем самым хе/”1 (y)(\Ux, a g(y) является
отображением, однозначным., непрерывно дифференцируемым и
обратным к f на Uy:g=f.
Положим Ux = £/(//”’ (Uy)- Тогда Ux— открытое множе-
ство, ибо оно является пересечением двух открытых множеств
U* и f~l(Uy) (открытость множества/”1 (7/) следует из того,
что оно является прообразом открытого множества Uy при
244
непрерывном отображении f, см. лемму 2 в п. 41.4). Очевидно,
что Ux отображается взаимно однозначно на С7 а поскольку
х(0)е[/* и /(х(0))=У0)<=Uy, то х(0)еС/х, т. е. Ux — искомая
окрестность точки х(0). □
Замечание 1. Окрестности Ux и Uy, фигурирующие в
условиях теоремы 4, обладают еще тем дополнительным
свойством, что якобиан отображения f окрестности Ux на
окрестность Uy не обращается в ноль на окрестности Ux, а якобиан
обратного отображения не обращается в нуль на окрестности
Uу. Это сразу следует из формулы (41.71). Действительно, в силу
того что отображение f взаимно однозначно переводит окрест-
ность Ux в окрестность Uy и того, что f и f~* непрерывно
дифференцируемы, можно применить указанную формулу к
отображению f, рассматриваемому на множестве Ux. Согласно
этой формуле, произведение якобианов отображений/и/“1 равно
единице и. следовательно, каждый из них не равен нулю.
Доказательство следствия. Пусть y—f(x)— непре-
рывно дифференцируемое отображение открытого множества G
в пространство Rn, а у{0) — произвольная точка множества /(G)-
Выберем какую-либо точку х(0) в прообразе точки У^/х^е
е/-г(У0)), следовательно, /(х<0))=У0). В силу теоремы 4,
существуют такие окрестности UX<^G и Uy соответственно точек
х(0) и У 0), что /(С7Х) = Uу. Следовательно, Uycif(G). Иначе
говоря, для всякой точки у0)е/(С) существует ее окрестность,
содержащаяся во множестве f(G}. Таким образом, любая точка
множества /(G) является внутренней для этого множества, что
и означает, что /(G) — открытое множество. □
Замечание 2. Если при некотором отображении f для
точек х<0) и У0)=/(х(0)) существуют соответственно окрестности
Ux и Uy. взаимно однозначно отображающиеся им друг на
друга, то говорят, что отображение f локально взаимно
однозначно в точке х(0).
Если при этом отображение / непрерывно на Ux, а /-1
непрерывно на Uy, то f называется локально гомеоморфным в
точке х(0) отображением или локальным гомеоморфизмом. Если,
наконец, указанный локальный гомеоморфизм является диф-
феоморфизмом, то рассматриваемое отображение называется
локально диффеоморфным в данной точке (определения го-
меоморфизма и диффеоморфизма см. в п. 41.4 и 41.7).
Употребляя эту терминологию, можно сказать, что отобра-
жение /’ рассматриваемое в теореме 4, в каждой точке, в
которой его якобиан не равен нулю, является локально
диффеоморфным отображением.
Теорема 8 (принцип сохранения области). Образ п-мерной
области в п-мерном пространстве при непрерывно дифференциру-
емом отображении с якобианом, не обращающимся в нуль,
является областью.
245
Доказательство. Пусть G — область, GczSn и y=f(x)—
отображение G в Rn, удовлетворяющее условиям теоремы.
Согласно следствию теоремы 4, множество J\G} открыто, а по
лемме 7 п. 41.4, линейно связано. Поэтому если G — область, то
при выполнении условий теоремы множество f{G) также
является областью. □
Упражнение 5. Построить пример непрерывно дифференцируемого
отображения некоторой плоской области, якобиан которого нигде не обраща-
ется в нуль и которое не взаимно однозначно.
41.9. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ УРАВНЕНИЕМ,
В КОТОРОМ НАРУШАЮТСЯ УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
Мы уже знаем, что если координаты некоторой точки
х(0) = (х(10), х^0)) удовлетворяют уравнению
F(xr, ... хи) = 0 (41.76)
dF
и в этой точке производная — не равна нулю, то при
соответствующих условиях, налагаемых на непрерывность са-
мой функции F и указанной производной, уравнение (41.76)
разрешимо в некоторой окрестности точки х(°1 относительно xt
и решение является непрерывно дифференцируемой функцией
остальных координат.
Естественно, возникает вопрос: а что будет в случае, когда в
точке х(0) частные производные по всем аргументам обраща-
ются в нуль — определяет в этом случае уравнение (41.76)
какие-либо функции или нет? Остановимся на этом вопросе,
однако ввиду его сложности ограничимся рассмотрением
двумерного случая.
Итак, будем рассматривать уравнение
F(x, у) = 0, (41.77)
где функция F определена и непрерывно дифференцируема в
некоторой окрестности точки (х0, у0) такой, что
F(x0, _уо>0. (41.78)
Пусть
Fx(xOf Уо) = Ру(хо> Jo>0. (41.79)
Покажем, что и при выполнении этих условий уравнение (41.77)
иногда может быть разрешено в окрестности точки (х0, j>0)
относительно одной из переменных, так что получится непрерывно
дифференцируемая функция; однако это можно сделать, вообще
говоря, не единственным образом. Таким образом, условие
Fx(x0, y0)+Fj(x0, уо)^0, (41.80)
246
которое в нашем случае (см. (41.79)) не выполняется и которое
позволяет применить теорему 1 о неявных функциях к одному
из переменных, естественно назвать условием однозначной
разрешимости уравнения (41.77).
Определение 12. Точка (х0, уф, координаты которой удовлет-
воряют условиям (41.78) и (41.79), называется особой точкой
уравнения (41.77).
Особая точка называется изолированной, если существует ее
окрестность, в которой она является единственной особой
точкой.
Геометрически это означает, что если уравнение (41.77)
является неявным представлением какой-либо кривой, то в
окрестности особых точек уравнения кривая, вообще говоря, не
является графиком некоторой гладкой однозначной функции
(как это имеет место при выполнении условия (41.80)); здесь
возможны разные особенности, которые мы сейчас и рассмот-
рим.
Введем для краткости записи обозначения
Fxx(X0> Уф = ^хх> FXy(X0’ Уо) — ^ху> Fyy(XO> Уф — Fyy
Теорема 9. Пусть функция F(x, у) определена и дважды
непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности изолиро-
ванной особой точки (х0, у0) уравнения (41.77) и пусть
у?о _
1 XX 1 уу 1 ху / v-
Тогда, если
FxxFyy — Fxy>0, (41.81)
то (х0, у0) является изолированным решением уравнения (41.77),
т. е. существует окрестность точки (х0, уф, никакая точка
которой, кроме (х0, уф, не удовлетворяет уравнению (41.77); если
же
FxxFyy—Fxy<0, (41.82)
то уравнение (41.77) разрешимо в некоторой окрестности точки
(х0, уф, но не однозначно: имеются две различные дифференциру-
емые функции, удовлетворяющие уравнению (41.77). Поэтому
(х0, Уф называется в этом случае двойной точкой.
Например, если
/*/0, (41.83)
то существуют две дифференцируемые функции Д(х) и /2(х),
определенные в некоторой окрестности точки х0 и такие, что в
этой окрестности F(x, (х)) = 0, F(x,/2(x)) = 0, причем
=/2(х0)=у0, а производные функции/j (х) и /2(х) в точке х0
являются различными корнями уравнения
247
Fxx + 2Fxyk+Fyyk2 = 0*>. (41.84)
Доказательство. Пусть выполнено условие (41.81). Вмес-
те с (41.79) оно достаточно для наличия строгого экстремума
функции F(x, у) в точке (х0, у0) (см. теорему 3 в п. 40.2).
Поэтому существует окрестность U точки (х0, у0) такая, что при
(х, y)^U и (х, у)^(х0, у о) либо всегда F(x, y)>F(xQ, у0), либо
всегда F(x, y)<F(xOf у0), и так как F(x0, уо) = 0, то F(x,
для всех (х, y)^U, (х, у)/(х0, у0), т. е. (х0, у0) является
изолированным решением ’ уравнения (41.77)**).
Пусть теперь выполнено условие (41.82). Разложим функцию
F(x, у) по формуле Тейлора в окрестности точки (х0, у0) до
слагаемых второго порядка; тогда, приняв во внимание условия
(41.78) и (41.79), получим:
F(x, r)-’[/-'l(-V ..v0)2i
+ 2F$y(x-x0) (у-у0)+Г°у(у-у0У2] + о(г2), (41.85)
где г = у/{х — х0)2 + (у — j0)2. Положим; х—x0 = rcos<p, у—у0 =
= г sin ср. Очевидно, (г, ср) — полярные координаты точки (х, у),
причем в качестве начала полярной системы координат принята
точка (х0, у0).
В этих координатах
г2
F(x, у) = у (F°x cos2 <p+2F2,,cos ф sin <p + F)). sin2 ф) + o(r2) =
= ур(ф) +°(r2)> (41.86)
где
Р(ф) = Fxx cos2 <p + 2Fxycos <p sin ф+F^ sin2 <p, (41.87)
или при ф/^(2&+1), k = 0, + 1, ±2,
P (ф)=cos2 Ф (F°x + F°y tg Ф + F tg2 ф) . (41.88)
Предположим теперь, что выполнено также и условие
(41.83). Пусть к} и к2 — корни уравнения (41.84) и пусть
Ф^апД^А^ и ф2 = а1чД£А2. Тогда
Ф1/+л/2, ф20+л/2, (41.89)
и из (41.88) следует, что
*’ Корни этого уравнения вещественны и различны в силу условий (41.82)
И (41.83).
В доказательстве этого утверждения используется не то, что (х0, j/0)
является изолированной особой точкой, а лишь то, что она является просто
особой точкой, в которой выполняется условие (41.81).
248
Р (ф) = cos2 ф (tg ф - tg ф!) (tg Ф - tg Ф2). (41.90)
Из формулы (41.90) видно, что функция Р(ф) при ф^
^(2/c-hl), /с = 0, + 1, ±2,...' обращается в нуль только для
ср = (р1 + тг и ср^ф2 + /сл, /г = 0, ±1, ±2, причем при переходе
аргумента через эти значения она меняет знак. Нам будет удобно
интерпретировать Р(ф) как функцию точки окружности С с
центром в точке (х0, jy0) и радиуса, равного 1 (такой радиус
выбирается для простоты, чтобы длины дуг совпадали с углами ф).
Пусть £>0. Обозначим через — открытый угол,
определяемый неравенством фх — 8<ф<ф1+е, т. е.
^i = {(r> ф): Ф1 —е<Ф<Ф1+е},
соответственно положим
U2 = {(r, ф): ф2-Е<ф<ф2+е};
при этом выберем 8>0 столь малым, чтобы Ur и U2 не
пересекались и не содержали в себе полуоси ординат, а значит,
и вообще вертикальных полупрямых (последнее всегда можно
выполнить вследствие условий (41.89)).
Пусть U* и U 2—углы, центрально симметричные с Ur и U2
относительно точки (x0, j^0):
<7* = {(г, ф): ф1+к-8<ф<ф1 + к + е},
U$ = {(r, ф): ф2 + тс - 8 < ф < ф2 + ти + 8} .
В силу выбора числа 8
множества U2, и U$
попарно не пересекаются
(рис. 176).
Рассмотрим теперь Р (ф)
как функцию точки выше-
указанной окружности С.
Точку окружности С, кото-
рой соответствует поляр-
ный угол ф, будем для
простоты также обозначать
через ф. Удалим из указан-
ной окружности интервалы
с центрами в точках ф19 ф2,
Фх + 71 и ф2 + я длины 2е*}; в
силу выбора 8>0 эти интер-
валы не имеют общих то-
чек. Оставшееся множество,
которое обозначим через В,
Интегралом длины 2е на окружности с центром в точке, полярный угол
которой равен (р0, называется множество ее точек, полярные углы (р которых
удовлетворяют неравенству <р0 —£<cp<<p0 + 8.
249
является ограниченным и замкнутым, а следовательно,, ком-
пактом. На В функция Р(ср) непрерывна и не обращается в нуль,
а поэтому
inf |Р(ср)| = ц>0. (41.91)
<р е В
Обозначим через Кр замкнутый круг с центром в точке
(х0, у0) и радиусом р:
Kp = {(r, <p):O«Sr«Cp},
а через Lp обозначим множество, которое получается вычита-
нием (в теоретико-множественном смысле, см. п. 1.1) множеств
Ux, U2, U* и U* из круга Кр. Очевидно, что в силу (41.91),
inf |Р(ф)| = д>0.
(Г, (p)eLp
Теперь, замечая, что из (41.86) следует
F(x, у)=у [Р(<р) +oc(r, ф)] , (41.92)
где lim а (г, (р) = 0, выберем р > 0 так, чтобы при г р выполня-
ло
лось неравенство
|а(г, ф)|<д. (41.93)
Тогда из (41.92) следует, что для всех точек (г, ср)е£р выра-
жение, стоящее в правой части формулы (41.92), имёет^тот же
знак, что и Р(ср).
Множество ьр состоит из четырех замкнутых секторов (см.
рис. 176), на каждом из которых, за вычетом их центра,
функция Р(ср), а значит, в силу выбора р, и функция F(x, у)
принимают значения одного и того же знака, а ца соседних
секторах — разных.
Рассмотрим теперь угол Ui = U1(s). Пусть для,-определен-
ности Пересечение замыкания Ur угла U1 с
вертикальной прямой х = х*, x0<x*^x0 + pcos((p1+s), представ-
ляет собой отрезок,' на верхнем и нижнем концах которого
функция F(x*, у) принимает значения разного знака. Функция
Л(х*, у), рассматриваемая как функция одного переменного у
при фиксированном х*, будучи непрерывной на указанном
отрезке, обращается в некоторой его точке у* в нуль, т. е. для
каждого х*, где x0<x*^x0 + pcos((p1 + e), существует по край-
ней мере одна точка у* такая, что
F(x*, у*)-0, (х*, у*) 6 (£)ПХр. (41.94)
250
Определим у=Л(х) как функцию, ставящую в соответствие
числу х* число у*:
/1(Х*) = У*> *о <х* ^хо + Р cos (<Pi + е) .
Покажем, что при достаточно малых вир функция ft
определена однозначно, т. е. существуют такие е>0 и р>0, что
при заданном х* условия (41.94) однозначно определяют у*.
Допустим противное. Возьмем последовательности £„->0 и
р„->0 при и->оо. Тогда существуют две последовательности
точек с одинаковыми абсциссами хп и разными ординатами у'„
и у'п такие, что
(х„, у '„) е иг (e„) AKPn, F(xn, у '„)=О,
Ж,у") = 0.
Тогда, в силу теоремы Ролля, на отрезке [у'„,Уп] прямой х = х„
найдется точка у„ такая, что
Fy(xn, уп)=0, (41.95)
при этом очевидно, (хи, у„)е Ux (е„)РА?р ; по условию (см. (41.79))
мы имели еще
^(хо,уо)=0. (41.96)
По формуле конечных приращений, примененной к функции
ру(х>у\-
Fy(xn, у„) -ТДх0, у0)=^х(^„, П„)(хп-х0) +7уу(^„, n„)(y„-y0),
(еи)П^Р/
откуда, в силу (41.95) и (41.96),
FXy&, П„) +Fyy^n, П„) J^=0. (41.97)
Хп~Х0
Пусть (х„, у„) = (г„, ф„). Очевидно, |фи-<р1|<£„; а поэтому из
условия 8и-*0 следует, что \|/n-при n-^со, и так как
tg(/„=^, то
х„-х0
lim ncZo = tg(p1=A:1. (41.98)
П—>00 xn X0
Переходя к пределу в равенстве (41.97) при п-+со, в силу (41.98),
имеем
F^ + F^k^O, т. е. ^ = -^;
F уу
подставляя это значение корня в уравнение (41.84), получим
251
F° рО _рО2 а
XX z уу 1 ху v9
что противоречит условию (41.82).
Итак, функция y=fi(x) действительно однозначно опреде-
ляется при достаточно малых а и р. В дальнейшем будем
предполагать, что 8 и р выбраны именно таким образом.
Доопределим функцию fx в точке х0, положив =/г (х0).
Очевидно, по самому определению функции fr (х) имеем
Г(х,/г (х)) = 0, x0^x^x0 + pcos(cp1 + 8).
Покажем, что в точке х0 у функции f\ (х) существует правосто-
ронняя производная и что она равна кг. Пусть произвольно
фиксировано е>0. Из вышеизложенного следует существование
такого p = p(a)>0, что соответствующая часть графика функции
fi (х) целиком лежит в (е)р|Л7р:
(x,/i(x))e x0^x^x0 + pcos((p1 + £). (41.99)
Возьмем S = pcos((p1+s) и пусть х таково, что 0<х —х0<8,
y=fi(x) и (х’ у)=(г, ф)- В силу (41.99) имеем |(р — (р1|<8. Это
означает, что lim cp = cpt и поэтому lim tg<p = tgcp1.
л->хо + 0 х->хо + 0
Поскольку tgcp = -——, то из доказанного следует, что
х-х0
lim /i(x) /1(х0)_ цт 2L21=tg(p1,
х->х0 + 0 х — хо Х->.¥0 + 0 х ~ хо
т. е. у функции Д (х) существует производная справа в точке х0,
равная tg(p1=A1.
Подобным же образом из рассмотрения поведения функции
F(x,y) в угле Uf доказывается, что при некотором 8'>0 на
отрезке [х0 — 8', х0] существует функция /t (х) такая, что при
х0 8 х Xq.
F (х, j\ (х)) = 0, (х, fr (х)) е U *, /1 (х0) = к t (под производной,
естественно, в данном случае понимается левосторонняя произ-
водная).
Если число р взять столь малым, чтобы в круговой
окрестности радиуса р точки (х0, j’o) не содержалось других
особых точек уравнения (41.77), кроме (х0, j;0), то функция Д (х)
будет дифференцируемой и во всех точках х/х0. Это сразу
следует из доказанной выше теоремы о неявных функциях (см.
теорему 1 в п. 41.1). В результате мы и получили функцию Д (х),
определенную в некоторой окрестности точки х0 и обладающую
всеми требуемыми свойствами.
Аналогично доказывается существование функции /2 (х),
также являющейся решением уравнения (41.77) и удовлетворяю-
щей условиям теоремы, причем график этой функции проходит
в углах U2 и U % и через точку (х0, j’o).
252
Если F°y=0, a Fxx=/=0, то все рассмотрения проводятся
аналогичным образом; следует только поменять местами роль
осей Ох и Оу, так что в результате получим решения уравнения
(41.77) в виде функций от переменной у :./j (у) и f2 (у).
Если, наконец, Fxx = Fyy=0 и, значит, Fxy^0, то проще всего
выполнить замену переменных: х = £,+т], y=t>— ц (повернуть
оси координат на угол л/4). Тогда (как легко убедиться
непосредственно дифференцированием)
Fo^-Fom = 2F°Xy*0, F^—0,
т. е. в новой координатной системе получим уже изученный
случай. В частности, уравнение (41.84) для угловых коэффициен-
тов касательных в особой точке в координатной системе г]
имеет вид
к2 -1=0,
щ значит, fclj2=±l- Иначе говоря, биссектрисы координатных
углов, являющиеся координатными осями в старой системе
координат х, у, суть касательные к графикам двух функций,
которые определяются уравнением (41.77) в некоторой окрест-
ности рассматриваемой особой точки. □
Если уравнение F(x, у) = 0 является неявным представлением
какой-либо кривой; то в особой точке (х0, у0) этого уравнения
кривая может (хотя и не обязана) иметь какие-либо особен-
ности, т. е. в окрестности особой точки этого уравнения кривая,
вообще говоря, не является графиком некоторой гладкой
однозначной функции.
Следует напомнить также, что множество точек, координаты
которых удовлетворяют уравнению (41.77), вообще говоря, не
является всегда кривой в смысле данного ранее определения
кривой (см. п. 16.2*), задаваемой параметрически.
Примеры. 1. Пусть дано уравнение у2(х2+у2 + 1)=0. Здесь
F(x, у)—у2 (х2 +у2 +1), а поэтому Fx = 2ху2, Fy = 2х2у+4у3 + 2у.
Условия наличия особой точки (41.78) и (41.79) дают в этом
случае
хо=0, уо=0-
Таким образом, особой точкой является (0, 0). Однако в этой
точке кривая, определяемая уравнением, не имеет особенности,
так как оно (множитель х2+у2+1 нигде не обращается в нуль)
равносильно уравнению у = 0 и рассматриваемая кривая явля-
ется графиком явной функции у=/(х)^0. Отметим, что, как
легко убедиться, в этом случае в точке (0, 0)
FxxFyy-F2y = 0. (41.100)
2. Для уравнения
(х2+у2)(х2+у2-1) = 0. (41.101)
253
условия (41.79) превращаются в следующую систему уравнений:
2х3 + 2ху2 — х = 0,
2у3 + 2х2у —у = 0.
Сложив и вычтя эти уравнения, получим систему
(х+у) (2х2 + 2у2 — 1) —О
i (х—у) (2х2-у2у2—1) = 0.
Отсюда либо х=у = 0, либо 2х2 + 2у2— 1=0, однако точка (х, j),
координаты которой удовлетворяют последнему соотношению,
не является корнем уравнения (41.101) ^для нее х2у-у2 = ~, и,
значит, ни один из сомножителей левой части (41.101) не
обращается в ноль^.
Таким образом, единственной особой точкой является (0, 0).
Легко проверить, что здесь выполняется условие (41.81), и,
значит, точка (0, 0) является изолированным корнем уравнения
(41.101). Геометрически, как это сразу видно: уравнение (41.101)
задает единичную окружность и ее центр (0, 0) (это множество,
очевидно, не является носителем никакой кривой, заданной
параметрически в смысле п. 16.2*).
3. Для уравнения
х3+у3 — Заху = 0 (41.102)
условия (41.79) наличия особой точки приводят к системе
уравнений
х2 — ау = 0,
у2 — ах = 0,
откуда либо х=у = 0, и эта точка удовлетворяет уравнению
(41.102), либо х = а, у = а, но координаты этой точки не
являются решением уравнения (41.102). Снова здесь (0, 0) —
единственная особая точка. Нетрудно убедиться, что при этом
выполняются условия (41.82), и, значит, (0. 0) является двойной
точкой.
Геометрически для кривой, неявным представлением кото-
рой является уравнение (41.102) (она называется декартов лист,
и мы с ней уже встречались в п. 14.5); точка (0, 0) является
точкой самопересечения (см. рис. 72 в первом томе).
4. Для уравнения
/_х3-0 (41.103)
(0, 0) является особой точкой; в ней выполняется уже условие
(41.100), и тем самым, в этом случае не выполняются условия
254
теоремы 6. Геометрически кривая, выражаемая уравнением
(41.103) и называемая полукубической параболой у=+х3/2,
имеет в точке (0, 0) касательную и расположена в окрестности
этой точки по одну сторону от нормали.
Точки такого типа называются точками возврата (рис. 177).
5. Для уравнения
/_х4 = 0 (41.104)
(0, 0) также является особой точкой, и снова здесь выполняется
условие (41.100). Уравнение (41.104), очевидно, распадается на
два уравнения: у = х2 и у = —х2, которые задают две параболы,
имеющие в точке (0, 0) общую касательную.
Особые точки, в некоторой окрестности которых уравнение
(41.77) задает две непрерывно дифференцируемые кривые,
имеющие в точке (х0, j/0) общую касательную, называются
точками самоприкосновения (рис. 178) этих двух кривых.
Может случиться, что при выполнении условия (41.100)
особая точка окажется изолированным решением уравнения
(41.77), или его двойной точкой.
В заключение дадим некоторые пояснения к уравнению
(41.84). Если (х0, у0) — особая точка уравнения (41.77), то после
параллельного переноса начала координат в точку (х0, у0)
уравнение (41.77) примет вид
Fxxx2^-2F^yxy-yFyyy2 + o(x2-Vy2) = Q (41.105)
(здесь через х и у обозначены координаты точки в новой
системе координат, а индексом 0 наверху обозначены значения
частных производных в точке (0, 0) этой системы), откуда с
точностью до бесконечно малых более высокого порядка наше
уравнение можно записать следующим образом:
Fxxx2 + 2Fxyxy+Fyyy2 = (). (41.106)
В случае выполнения условия (41.82) левая часть уравнения
(41.106) распадается на два действительных множителя, каждый
255
из которых, приравненный нулю, и дает касательные к двум
ветвям кривой в точке (0, 0) (см. (41.84)). В случае же
выполнения условия (41.81) левая часть уравнения (41.106)
распадается на два комплексных множителя: «касательные
мнимы». Это естественно, так как здесь говорить о касательной
не имеет смысла, ибо в этом случае особая точка является
изолированной.
Это замечание особенно удобно использовать для определе-
ния характера особой точки в случае алгебраической кривой,
т. е. кривой, заданной уравнением
Р(х, у)-0, (41.107)
где Р (х, у) — многочлен от двух переменных х и у. Если
(0, 0)—: особая точка этого уравнения, то из условий (41.78) и
(41.79) следует, что этот многочлен не содержит ни свободного
члена, ни членов первого порядка, т. е. уравнение (41.107) имеет
вид
ах2 + 2Ьху + су2 + Q (х, у) = 0,
где Q (х, у) — многочлен, все члены которого по крайней мере
третьего порядка. Характер поведения решений этого уравнения
определяется его главной частью, т. е. уравнением
ах2 + 2hxy 4- су2 — 0,
которое является уравнением (41.106) для данного случая ибо,
как легко видеть, здесь
a = b=F*y и c^F°yy.
Если же точка (0, 0) удовлетворяет уравнению (41.107), но не
является особой, то (41.107) имеет вид
Лх + Ву+Я(х, у)-0, Л 2 + 52>0,
где R (х, у) — многочлен, все члены которого имеют порядок не
ниже второго. Из теоремы о неявных функциях (см. теорему 1 в
п. 41.1) следует, что уравнение
Ax + By^Q
является в этом случае уравнением касательной в точке (0, 0) к
графику решения уравнения (41.107).
41.10. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Часто в различных вопросах математического анализа и в
его приложениях при изучении той или иной формулы,
содержащей какие-либо функции и их производные (обыкновен-
ные или частные), оказывается целесообразным перейти к
другим независимым переменным, а иногда и к другим
256
функциям, которые связаны с функциями, входящими в
рассматриваемую формулу, определенными соотношениями.
Все эти преобразования делаются на основании правил диффе-
ренцирования сложных и неявных функций. Рассмотрим не-
сколько примеров.
Пусть и~-и(х, у). Преобразуем выражения ( — и
\дх/ \ду)
д2и д2и
— + тгу к полярным координатам г и ср. Первое из этих
выражений является квадратом длины градиента Vu функции и,
т. е. равно |Vu|2, а второе имеет специальное обозначение Au:
<41-108)
уохJ усуJ
А def д2и , д2и z. 1 1
Ам = — + -^. (41.109)
дх2 ду2
Символ А, указывающий на применение к функции и операции
(41.109), называется оператором Лапласа*\
Из формул, связывающих декартовы координаты с поляр-
ными,
x^rcoscp, j; = rsincp (4l.H0)
находим:
дх дх . ду . ду 1
— = cos<p', —=— rsmcp, —=sm<p, —=rcoscp. (41.111)
dr v дф dr r дф v 7
Применим формулы дифференцирования сложной функции:
ди
дг
ди дх , ди ду си ди .
----4------~ — — GOS фН 81П ф,
дх дг ду дг дх ду
ди ди дх ди ду ди . t си
— =г.---4----± = — —Г8Шф+ — ГСО8ф.
дф дх д<р ду дф дх ду
ди ди
эти равенства относительно — и — :
дх ду
ди ди ди sin ср ди ди . , ди cos ф / i
—=—costp—---------* = sm(p+---------1 (41.112)
дх dr dtp г оу дг dtp г
и подставим получившиеся выражения в (41.108):
|Vu|2=f— cos ср —
\дг
ди sin ф'
dtp г
[ди .
+ — 81Пф +
\ дг
ди cos ф
дф г
1 / дгЛ2
дг) г2\дф/
*) П. Лаплас (1749—1827) — французский механик и математик.
257
9-2135
Теперь перейдем к вычислению выражения (41.109). Продиф-
ференцируем формулы (41.110) сначала по х, затем по у:
л дг . Эф
1 =cos<p— -rsmcp-2-,
v дх v дх
к • dr Эф
0 = sin ф — + Г COS ф — ,
дх дх
п дг . дер
0 = COS ф — — Г Sin ф — ,
v ду Y ду
. дг Эф
1 = sm ф — + г cos ф —.
V оу ду
__ дг Эф Эг Эф
Разрешим получившиеся системы относительно —, —, — и —;
дх дх ду оу
дг дг . Эф sin ф Эф cos ф
— = СО8ф, — = 81Пф, , — =----
ох оу дх г оу г
(41.113)
Продифференцируем теперь формулы (41.112) по х и j;
тогда, использовав (41.113), получим
д2и д (ди ои sin ф\ дг , о (ди ди sm ф\ Эф
—- = — — COS ф—----------------h — —-COS ф — -------- Н—
дх дг\дг Эф г J дх ЭфуЭг Эф г J дх
д2и 2 cos ф sin ф д2и sin2 ф д2и sin2 ф ди 2 cos ф sin ф ди
dr2cos Ф г дгдер г2 Эф2 г дг г2 Эф ’
д2и д (ди . , ди cos ф\ дг , Э (ди . , ди cos ф\ Эф
— _ I _ sm ф + -------1 — + —- I — sm ф + —----) —-
ду огудг Эф г J ду Эф\Эг Эф г J oy
д2и . 2 cos ф sin ф д2и , cos2 ф д2и , cos2 ф ди
= —Sin2 ф+----------— + 2 , 2 1
дг г дг Эф г о ср
Подставив получившиеся выражения в (41.109),
. д2и , 1 д2и
/Хи = —т 4- -г-—г
дг2 г2 дер2
дг
2 cos ф sin ф ди
г2 Эф
будем иметь
1 ди
г дг
В случае, когда в преобразуемое выражение входит не одна,
а несколько производных данного порядка, удобно применять
метод вычисления не производных, а дифференциалов. Напри-
мер, считая независимыми переменными х и у, найдем
выражения для дифференциалов dr и б/ф. Из формул (41.110)
имеем
dx = cos ф Jr —г sin ф б/ф, Jy = sin ф dr-Уг cos ф б/ф,
отсюда
dr = cos ф б/x + sin ф dy, d<y = — dx + dy (41.114)
Г Г
(отметим, что из этих формул также сразу получаются
формулы (41.113)).
Для функции и = и (х, j;) имеем
258
du = — dr+ —d<p =
dr dtp
f du du sm <p\ , , /ou . , du cos cp\ , , . 1 , . ~
= — coscp— ---------kZx+ — sin(p+-------------- \dy. (41.П5)
\dr dip r J \dr dip r J
В выражении для дифференциала du коэффициенты у dx и dy
du du z л 1 t 1
являются производными — и —, поэтому из (41.115) сразу полу-
чаются обе формулы (41.П2). Найдем далее вторые дифферен-
циалы d2r и d2cp из (41.П4):
,7 . it, 11 sin2(ptZx2 — 2cos (р sin ф dxdy + cos2 (р dy2
d r= — sm ср dtp dx + cos <p dtp dy=----------—------------,
/cos ф , sintp j \ i /sin® j cosф , \ 7
d (p= —I—-dx+—-dy 1б/(р+ I —Y~dx— -—f-dy\dr =
2 cos ф sin ф dx2 — 2 (cos2 ф — sin2 ф) dx dy — 2 cos ф sin ф dy2
r2
Теперь из (41.115) для d2u получим
d2u = <^dr2+ dr d(p + |-^d(p24- ^-d2r+ ^-d2<p =
dr or o<p dip or dip
(У d2u 2 cos ф sin ф d2u , sin2 ф d2u . s\n2ipdu ,
“’F-------------;---+ — s₽ + ~7”S +
+ 2«.Syin„g\rix2 + 2(
• d2u d2u d2u
Отсюда и получаются выражения для —, —— и —г как
dx1 dx dy dy1
соответственно коэффициенты при dx\ Idxdy и dy2.
Аналогичные методы применимы, конечно, и в случае, когда
производится какая-либо другая замена переменных х = х(и. г),
у=у(и^ d). когда имеются производные высших порядков, а
также когда речь идет о функциях большего числа переменных.
Упражнение 6. Преобразовать выражение |Vt/|2, где и = и(х, у\ к
ортогональным координатам ц, т. е. таким координатам, что
dx dx dy dy
d^ d^dry
Задача 28. В и-мерном пространстве преобразовать выражение |Vw|2, где
и = и(хг, хп), к ортогональным координатам £19 т. е. таким координа-
там, что при i^k выполняется равенство
259
§ 42. ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ
42.1. ПОНЯТИЕ ЗАВИСИМОСТИ ФУНКЦИЙ.
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЗАВИСИМОСТИ ФУНКЦИЙ
Определение 1. Пусть на открытом множестве GczRn
заданы непрерывно дифференцируемые функции
^ = фДх), /=1, 2, .... т. х = (х±. .... xn)eG. (42.1)
Если существуют открытое множество D в пространстве
и непрерывно дифференцируемая на D функция
Ф(у±. .... V'w-i) такие, что в любой точке xeG выполняются
условия (фг (х). .... фш_1(х))еЛ и Ф(ф1(х), .... Фт-1 (х)) = Фт(х),
то функция фт называется зависимой на множестве G от
функций фр .... фж_р
Определение 2. Если среди функций системы (42.1) есть
функция, зависимая от остальных на множестве G. то эта
система называется зависимой на множестве G.
Если ни одна функция системы (42.1) не зависит от
остальных на множестве G, то эта система называется
независимой на G.
Иногда для краткости вместо выражения «зависимая (неза-
висимая) система функций» будем просто говорить «зависимые
(соответственно независимые) функции».
В вопросе зависимости системы функций (42.1) фундамен-
тальную роль играет матрица Якоби этой системы
г=1,2...т; j= 1, 2, и. (42.2)
\ dxj /
i — нбмер строчки, /—номер столбца.
Теорема 1 (необходимое условие зависимости функций).
Пусть т^п и система функций (42.1) зависима на открытом
множестве G. Тогда в любой точке этого множества ранг
матрицы Якоби (42.2)*} этой системы меньше т.
Доказательство. По условию, система функций (42.1)
зависима на G. т. е. по крайней мере одна из этих функций
зависит от остальных. Пусть для определенности фш зависит от
Ф1? •••> фш-1-
Фт(*) = Ф(ф1С4 Фт-1(Х))>
Напомним, что рангом матрицы называется максимальное число ее
линейно независимых строк. Это число совпадает с максимальным порядком
минора этой матрицы, не равного нулю.
260
где Ф— непрерывно дифференцируемая функция от (ли — 1)
аргументов у1,...,ут-1. Отсюда
- т— 1 л
у~= L ДЛЯ всех 7=Ъ 2’ •••’ п-
dxj dyt дх}
Эта формула показывает, что m-я строка матрицы Якоби (42.2)
в каждой точке х е G является линейной комбинацией остальных
строк этой матрицы, и, значит, ранг матрицы Якоби (42.2)
меньше т в каждой точке xeG. □
Следствие 1, Пусть т = п и система функций (42.1)
зависима на G. Тогда ее якобиан -’Л' равен нулю во всех
точках множества G.
Следствие 2 (достаточные условия независимости функ-
ций). Пусть т^п и пусть ранг матрицы Якоби (42.2) хоть в
одной точке открытого множества G равен т. Тогда система
(42.1) независима на множестве G.
Следствие 1 получается сразу из доказанной теоремы при
т — п.
Следствие 2 легко доказывается от противного.
Поскольку строки матрицы Якоби (42.2) являются координа-
тами градиентов функций (42.1), то теорему 1 можно перефра-
зировать следующим образом.
Если система функций (42.1) зависима в области G, то
градиенты Vcpj-, ..., Vcpw этих функций линейно зависимы в
каждой точке G.
42.2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАВИСИМОСТИ ФУНКЦИЙ
В этом пункте сохраним обозначения предыдущего пункта и
будем, как и раньше, предполагать, что функции (42.1)
непрерывно дифференцируемы на открытом множестве GczRn.
Теорема 2 (достаточные условия зависимости функций).
Пусть ранг матрицы Якоби (42.2) системы функций (42.1) в
каждой точке открытого множества G не превышает числа г,
г<т^п, а в некоторой точке x{Q)eG равен г. иначе говоря,
существуют такие переменные Xj , ..., Xj и функции yt = фг- (х),...
Л =<Pi (*), что 1
..........+0.
д(Х;^, Xi ) х(0)
(42.3)
Тогда все г функций, входящих в условие (42.3), независимы на
множестве G и существует окрестность точки х(0) такая, что
261
любая из оставшихся т — г функций зависит на этой окрест-
ности от указанных г функций.
Доказательство. Пусть для простоты записи условие
(42.3) имеет вид
.У1’ -,Л)А (42.4)
^(%1, ... , хг) х«»
(этого всегда можно добиться, перенумеровав в случае необхо-
димости функции и аргументы системы (42.1) в нужном
порядке). Согласно следствию 2 из теоремы 1 п. 42.1. функции
уг. .... у, независимы в G.
Покажем, что каждая из остальных зависит от них в
некоторой окрестности точки х(0) = (х(1°\ ..., х^0)). Пусть j40) =
= cpf (х(0)), i=l, 2, ..., т. Рассмотрим систему первых г функций
системы (42.1):
Л = Ф1(*1> •••> •*„)
' ............................... (42.5)
К = Фг(*1> •••> X„).
Прежде всего выберем такое т|0, чтобы всякая точка х = (х19 ...
..., хп), принадлежащая г|0-кубической окрестности точки х(0),
т. е. всякая точка х, для которой |xf —xjo)|<r|o, z=1, 2, ..., и,
принадлежала множеству G . хе G. Это всегда возможно в силу
его открытости.
Далее, в силу условия (42.4) и теоремы о неявных функциях
(см. п. 41.3), система (42.5) разрешима относительно перемен-
ных х15 ..., хг в некоторой окрестности точки (х(0), у(0
•••, Л, *r+i, — х^
....................... (42.6)
*г=/г(У1, Л, *г+1, *„)•
При этом функции /19 ...,/г определены и непрерывно диффе-
ренцируемы в некоторой окрестности точки (у(10), ..., у(г°\ х^+\,...
Более подробно (если в качестве окрестностей брать
кубические окрестности) это означает следующее: можно *йы-
брать такие числа 8>0 и ц>0, причем для удобства взять их
меньшими т|0: 8<rj0, г|<т)0, что если чеРез обозначить
кубическую окрестность точки (у^, ..., у[°\ х^, ..., х^0)), за-
даваемую неравенствами
|уг-у$0)|<8, Z=l, 2, ... , г, \xj—х$0)|<8, y=r-hl, п.
то:
1) на окрестности U функции^, к=1, 2, ..., г, определены и
непрерывно дифференцируемы;
262
2) для всех точек (у15 ..., yr, хг+1, x„)eU справедливы нера-
венства
1А(У1, -,Уг, ^г+1, х„) - 40) |<г|, к={, 2, г;
3) на окрестности U выполняются равенства
фг(/ъ *г+1, •••, хп)=уь /=1, 2, ..., г,
где под/к, к=\, .... г, Донимаются правые части равенств (42.6).
Рассмотрим композицию функций (42.6) и <рг+1 (х15 ..., хп),
т. е. функцию
уг+1 = <рг+1 (А,...,/,, хг+1, ..., х„), (42.7)
где fk=fk(yi. уг, хг+1, •••, +J, ..., г. Эта сложная функция
заведомо определена и непрерывно дифференцируема на указан-
ной выше кубической окрестности U точки
(У10),у?\ 4°?!,40)).
Покажем, что на самом деле функция (42.7) в этой
окрестности U не зависит от переменных хг+1, хп. т. е. не
меняется при их изменении, и тем самым является фактически
лишь функцией переменных ..., уг. Для этого достаточно
показать, что для функции (42.7) на окрестности U выполняется
равенство
^21=0, j=r+\,...,n (42.8)
dxj
(см. п. 20.4 или формулу конечных приращений Лагранжа в п.
39.2, из которой сразу следует достаточность условия (42.8) для
независимости функции от переменных хг+1, ..., хп в выпуклой
области, а следовательно, и в кубической окрестности).
Для доказательства равенства (42.8) зафиксируем одно из j
...? п) и координаты хк с индексами к. принимающими
значения г+1, ...,/—l,j+l, ..., д, обозначив их через х£, причем
выберем х* так, чтобы |х* — х£0)|<8, k = r+l, ...,j—1,у+1, ..., п.
Рассмотрим отображение
У1=У1>
...... (42.9)
Уг~Уг>
Уг+1=фг+1(/1, Х*+1, •*?-!, Х}, Х*+1, ..., X*),
где ft =fk (у1; уг, х*+1, ..., Xf-!, Xj, xf+!, ..., х*), кубической
окрестности U{j) точки ..., у*0), х*0)), задаваемой неравен-
ствами
1Л-ЯО)1<8, ^=1,2, ..., г, |х7-х<0)|<5.
263
Символически, чтобы подчеркнуть, какие именно перемен-
ные меняются, изобразим отображение (42.9) в виде
(у15 ..., уг, х^(у1г ..., уг, уг+1).
Это отображение непрерывно дифференцируемо на U(j); его
матрица Якоби имеет вид
" 10 0 0 "
0 10 0
дуг+1 дуг+1 суг+1 дуг+1
дуг ду2 дуг dXj
и поэтому
д(л, ♦ Л, Л+1)_дк+1
т. е. якобиан рассматриваемого отображения равен интересую-
щей нас производной.
На окрестности 1/(/) это отображение можно представить в
виде композиции двух отображений: непрерывно дифференци-
руемого отображения
xl=fl (У1. •••’ К, 4+1, 4~1’ хр 4+1’ •••> 4),
Хг=/г{У^ •••’ К’4+1, 4~1’ ХР 4+1’ •••’ 4),
XJ = XJ
окрестности UU) и непрерывно дифференцируемого отображе-
ния
j^i = (pi(xi9 х*-±, xj9 xf+1, х*),
уг=ч>г(х^ — K’4+i, xj-i> хг 4+1’ ’ 4),
уг+1=фг+1 (%i,..., xr,x*+i, ...,4-i’ хр 4+1’ 4)
окрестности точки (40), 40), х)0)), задаваемой неравенствами
| х,—40) |<т]’ i— Ъ 2, ..., г, | Xj—40) I <8.
В силу выбора чисел бит] композиция этих отображений,
которую для наглядности можно символически изобразить в
виде
(.У1, ..., yr, Хг, х7)-+(у1; yr, к+1),
определена и непрерывно дифференцируема на окрестности U 0).
Первое из этих отображений непрерывно дифференцируемо в
окрестности U(j) точки (У10), у? \ ^0))5 а второе непрерывно
264
дифференцируемо в соответствующей окрестности точки (x(i\ ...
..., х[0), х<°>)- Поэтому из (42.10) и из свойств якобианов
отображений (см. п. 41.7) имеем
8уг+i От, Уг+1)_а(У1, .... Уг, Уг+ 1) 8(*!,. Xr, Xj)
8xs д(>!, ..., у„ xj) 8(хи .... х„ xj) 8(yt, ..., уг, Xj)
В силу условия теоремы, ранг матрицы Якоби на множестве
G меньше или равен г, следовательно,
д(У1, Л, K+i)_g
5(Х],..., Л'г, х^
всюду на G. Поэтому из (42.11) сразу следует, что для любой
точки (у15 ..., уг, х7)е Uu> и, следовательно, для любой точки
(Л, ..., л,хг*+1, ..., xf-1, Xj, xf+1, ..., x*)eU
справедливо равенство (42.8). Поскольку координаты х* были
фиксированы произвольным образом, лишь бы |х* — х!0)|<8;
к = г-у 1, j— 1, 1, п. то это означает, что равенство (42.8)
справедливо на всей окрестности U.
Таким образом, функция (42.7) зависит только от перемен-
ных у^ ..., уг. Обозначив ее символом Ф, получим
Фг+1(/1, -,fr, Хг+1, Х„) = Ф(у1, ..., уг).
Выберем теперь так 80, 80<8 и 80<т], чтобы при |х;—х<0) |<
<80, z=l,2, ..., и. выполнялись бы неравенства
1Л--И°'1<8> 7=1,2, ..., г.
Это возможно в силу непрерывности функций yj = (pj(x1, ..., х„),
j= 1, 2. ..., г, системы (42.5) в точке х'0).
В силу доказанного для любой точки х 80-кубической окрест-
ности точки х(0), т. е. для любой такой точки x=(xt, ..., х„), что
| х(—х|0> |<80, z = l,2, ..., п,
будет справедливо тождество
фг+1 (х) = Ф(<Р1 (*), Фг(*)),
т. е. в указанной окрестности точки х(0) функции ср1? ..., <рг, срг+1
зависимы.
Аналогично доказывается и зависимость каждой из функций
(рг+2, фт от ф19 <рг в некоторой окрестности точки х(0). □
Аналогично необходимому условию зависимости функций
достаточные условия также можно сформулировать в терминах
градиентов. Для простоты ограничимся случаем г = т—1.
Если градиенты Vcp^ ..., V<pm линейно зависимы во всех
точках области G, то какова бы ни была точка xeG, в которой
т—1 из указанных градиентов линейно независимы, существует
, 265
ее окрестность, в которой функции <рх, ..., <рт зависимы. При
этом, если, например, градиенты V<pp ..., V(pw_t линейно незави-
симы в рассматриваемой точке, и, следовательно, градиент V(pw
в этой точке является их линейной комбинацией, то в указанной
окрестности функция <рт зависит от функций ср1? ..., фт_Р
Следует обратить внимание на то, что достаточные условия
зависимости функций, установленные в этом пункте, имеют
локальный характер в отличие от результатов предшествую-
щего пункта, имеющих глобальный характер. Это означает
следующее: если система т непрерывно дифференцируемых
функций (42.1) зависима на открытом множестве GczRny то
согласно теореме 1 п. 42.1 в каждой точке этого множества
ранг матрицы Якоби этой системы меньше т (соответственно
если хотя бы в одной точке множества G ранг рассматриваемой
матрицы равен т, то система независима на всем множестве
G). Что же касается теоремы 2 настоящего пункта, то она
утверждает лишь, что если в какой-то точке х(0) е G выпол-
няются условия этой теоремы, то только на некоторой
окрестности этой точки (а не на всем множестве G) данная
система функций является зависимой системой. Таким образом,
действительно, утверждение теоремы 2 имеет локальный харак-
тер.
Добавим еще, что если в каждой точке х{0) открыто-
го множества G выполняются условия теоремы 2, то, ко-
нечно, в этом случае в некоторой окрестности каждой точ-
ки рассматриваемая система функций будет зависимой. Од-
нако теорема 2 не гарантирует, что эта зависимость будет
одной и той же во всех указанных окрестностях, т. е. из
теоремы 2 не следует, что в разных точках одни и те же
функции будут зависимыми от других и что функции Ф,
«осуществляющие» зависимости одних и тех же функций,
рассматриваемых на разных окрестностях, будут совпа-
дать в точках пересечения этих окрестностей. Следователь-
но, из теоремы 2 не следует, что система функций, удов-
летворяющая условиям этой теоремы во всех точках х(0)
множества G, будет зависимой на всем множестве G в
целом, едином смысле, т. е. в смысле определения 1. Это
и означает, что теорема 2 не имеет глобального харак-
тера.
Заметим, что существует несколько более общий подход к
понятию зависимости функций, позволяющий построить гло-
бальную теорию этого вопроса, однако не будем на этом
останавливаться.
Пример. Рассмотрим систему функций
= sin (х+у),
r^cos (х +,у).
(42.12)
266
Якобиан этой системы равен нулю на всей плоскости
cos (х+у) cos (х+у)
— sin (х+у) — sin (х+у)
= 0,
и, как легко видеть, ранг матрицы Якоби этой системы равен
единице во всех точках плоскости.
Согласно теореме 2, функции (42.12) зависимы в окрестности
каждой точки плоскости. В данном случае зависимость функций
легко находится в явном виде, например на открытом
множестве точек (х, у), для которых cos(x+y)>0, она может
быть задана формулой v = y/l — и2.
Упражнения. 1. Пусть w = x2+t2 + z2, v = xy+yz + zx, w=x+y+z. Дока-
зать, что функции w, v, w зависимы, и найти уравнение, выражающее их
зависимость.
2. Исследовать вопрос о зависимости функций w = ^3 + r]3 + ^3, и = %т|£,
w = ^2 + T|2 + t2, z = ^T| + 'n^+/^-
Задача 29. Функция и = и (х, у) называется гармонической в плоской области,
если во всех точках этой области она удовлетворяет уравнению Aw = 0 (см.
(41.109)). Доказать, что две гармонические функции зависимы в плоской области
тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.
§ 43. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
43.1. ПОНЯТИЕ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
Пусть на открытом множестве GczRn заданы функции
yt=fi(x), z=l, 2, т, (43.1)
x = (xt, ..., хй)еб. Обозначим через Е множество точек xeG, в
которых все функции fb обращаются в нуль:
Е={х :/Дх) = 0, i= 1, ..., т, хе G}. (43.2)
Уравнения
/(х) = 0, л= 1, 2, ..., т, (43.3)
будем называть уравнениями связи.
Определение 1. Пусть на G задана функция у=70(х)- Точка
х(0) е Е называется точкой условного экстремума^ функции fQ (х)
относительно (или при выполнении) уравнений связи (43.3), если
она является точкой обычного экстремума этой функции,
рассматриваемой только на множестве Е (см. п. 40.1).
Иначе говоря, здесь значение функции /0 (х) в точке х(0)
сравнивается не со всеми ее значениями в достаточно малой
окрестности этой точки, а только со значениями в точках,
принадлежащих одновременно указанной достаточно малой
Принят также термин «относительный экстремум».
267
Рис 179
окрестности и множеству Е.
Как и в случае обычных экст-
ремумов, можно, естественно,
рассматривать точки просто
условного экстремума и точки
строго условного экстремума.
Примеры. 1. Рассмотрим
функцию
f(x, j)=x2+/ (43.4)
У и уравнение связи
x+j;_l=0. (43.5)
Найдем условный экстремум
функции (43.4) при выполне-
нии уравнения связи (43.5). Из
(43.5) имеем у = 1 — х, откуда
Дх, 1 —х) = 2х2 —2x4-1.
Таким образом, при выполнении условия связи функция (43.4)
является функцией одного переменного. Ее экстремум нахо-
дится элементарно: приравнивая нулю ее производную (необхо-
димое условие экстремума), получим 2х--1=0, откуда х=Ц. В
этой точке рассматриваемая функция, очевидно, имеет минимум
(она является многочленом второй степени с положительным
коэффициентом при старшем члене). Значению х = |, согласно
уравнению связи (43.5), соответствует У^-
Следовательно, в точке (1/2, 1/2) функция (43.4) достигает
минимума относительно уравнения связи (43.5). Геометрически
это означает, что точка параболоида z — х24-Д, проектирующаяся
в точку (1/2, 1 /2), является самой низкой из всех его точек, лежащих
над прямой (43.5) (рис. 179). Этот пример показывает, что точка, в
которой функция достигает условного экстремума, не является,
вообще говоря, точкой экстремума этой функции.
2. Рассмотрим функцию Дх, у)=у2 — х2 и уравнение связи
^ = 2х.
Имеем Дх, 2х) = 3х2, г. е. при выполнении уравнений связи
рассматриваемая функция также является функцией одного
переменного и, очевидно, достигает минимума при х —О (рис. 180).
Значению х = 0, согласно уравнению связи, соответствует значение
у = 0, а поэтому функция Дх, т) = у2 —х2 имеет в точке (0,0)
условный минимум относительно уравнения связи у — 2х.
268
Следует заметить, что в этом случае сама функция /(%, у) не
имеет ни максимума, ни минимума ни в какой точке плоскости.
Таким образом, рассмотренный пример показывает, что функ-
ция может не иметь экстремума, но при определенных
уравнениях связи может иметь условный экстремум.
рис. 180
В дальнейшем будем предполагать, что
1) все функции /0,/19 - > fm непрерывно дифференцируемы в
открытом множестве G;
2) в рассматриваемой точке л(0) векторы V/i, ..., \fm линейно
независимы, т. е. ранг матрицы Якоби
(—, j= 1, 2, ..., т, i= 1, 2, ..., л,
ydxf J
равен т — числу ее строк (строки матрицы Якоби являются
компонентами градиентов V/i, ..., V/m).
Согласно результатам предыдущего параграфа это означает,
что функции системы (43.1) независимы в некоторой окрест-
ности точки л(0). Поскольку в и-мерном пространстве не может
быть больше чем п линейно независимых векторов и ранг
матрицы не может быть больше числа столбцов, то из усло-
вия 2) следует, что т^п.
Согласно условию 2) в точке х(0) хотя бы один из
определителей вида
269
отличен от нуля. Пусть для определенности в точке х(0)
а(%1,хт)
(43.6)
Тогда при и >/77, но теореме о неявных функциях (см. п. 41.3), сис-
тему уравнений (43.3) в некоторой окрестности точки х(0) = (х(10), ...
..., x^J можно разрешить относительно переменных х15 ..., хт:
................................. (43.7)
Фт(-^т+1? •••? 2СЛ).
Подставив значения х15 ..., хт, даваемые формулами (43.7) в
y=f0(x), т. е., рассмотрев композицию функции /0 и <р15 ..., <рж,
получим функцию
Фту^т+Х, •••> Хп), Хт + 1? ..., Хп
def / х
= g{Xm+1. ..., Хп)
(43.8)
от и— т переменных xw+1, ..., х„, определенную и непрерывно
дифференцируемую в некоторой окрестности точки х(0) =
Ц4+ь-^40)) в (и— щ)-мерном пространстве Rn~m,
Поскольку, согласно теореме о неявных функциях, условия
(43.3) и (43.7) равносильны, то справедливо следующее утверж-
дение.
Точка х(0) является точкой (строгого) условного экстремума
для функции /0(х) относительно уравнений связи (43.3) в том и
только в том случае, когда х(0) является точкой обычного
(строгого) экстремума функции (43.8).
Если х(0) — точка обычного экстремума функции g, то она
является стационарной точкой этой функции (см. п. 40.1):
dg(x <О)) = 0. (43.9)
Напомним, что дифференциал — линейная однородная функ-
ция и его равенство нулю означает равенство нулю этой
функции при любых значениях ее аргументов, в данном
случае — при любых Jxm+1, dxm+2, dxn. Это возможно,
очевидно, в том и только в том случае, когда все коэффициенты
при этих аргументах, т. е. производные л °g , k=l, 2, ..., п — т,
ехт+к
обращаются в ноль в точке х(0). Условие (43.9) необходимо для
условного экстремума в точке х(0).
Таким образом, метод, основанный на решении системы
уравнений (43.3), позволяет свести вопрос о нахождении
условного экстремума к уже изученному вопросу об обычном
270
экстремуме. Именно таким образом мы и поступали в
рассмотренных выше примерах. Однако выразить решение
системы (43.3) через элементарные функции часто невозможно
или весьма затруднительно; поэтому желательно располагать
методом, позволяющим найти условный экстремум не решая
системы (43.3). Такой способ изложен ниже.
43.2. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ
ТОЧЕК УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
В п. 43.2 предполагаем, что все функции /0, /19
непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G<^Rn,
п^т.
Теорема 1. Пусть х(0) — точка условного экстремума
функции fQ при выполнении уравнений связ!? (43.3). Тогда в этой
точке градиенты V/o, V/i, ..., линейно зависимы, т. е. су-
ществуют такие, не все равные нулю, числа Хо, ..., Хт, что
Wo + ^1 VA+ ... +Xmv/,„ = O. (43.10)
Следствие. Если в точке х(0) условного экстремума
функции f0 относительно уравнений связи (43.3) градиенты
V/m линейно независимы, т. е. ранг матрицы Якоби
f—\ /=1, 2, ..., т. z= 1, 2, ..., п,
ydxj
равен т, то существуют такие ..., Хт, что в этой точке
т
(43 И)
j= 1
т. е. является линейной комбинацией градиентов .... \fm.
В координатной форме это условие имеет вид: для любого
/=1, 2, ..., п в точке х(0)
(43.12)
dxL j=\ J dxi
Функция
dpf m
^W=/oW + Z ЧШ <43-13)
где числа X19 ..., удовлетворяют условию (43.12), называется
функцией Лагранжа рассматриваемой задачи, а сами числа
Х19 ..., — множителями Лагранжа.
Условие (43.12) означает, что если х(0) является точкой
условного экстремума функции /0 относительно уравнений связи
(43.3), то она является стационарной точкой для функции
Лагранжа, т. е.
271
тельно, ранг матрицы Якоби
=0, z = l, 2, ..., п. (43.14)
Прежде чем доказать теорему, разъясним ее смысл и
покажем, как ее использовать для нахождения точек условного
экстремума. Прежде всего обратим внимание на то, что у
функции вида (43.13)/ при произвольных числах ..., Хт,
каждая точка ее условного экстремума является и точкой
условного экстремума исходной функции /0, и наоборот. Мы
выбираем такие значения ..., Хп9 чтобы выполнялись условия
(43.12), т. е. чтобы данная точка условного экстремума оказа-
лась и стационарной точкой функций (43.11).
Для отыскания точек условного экстремума следует рас-
смотреть систему п + т уравнений (43.3) и (43.10) относительно
неизвестных х{°\ ..., л^0), Х15 ..., и решить ее (если это
окажется возможным), найдя x{i\ ..., х^0) и по возможности
исключив ..., km. Сформулированная теорема утверждает,
что все точки условного экстремума будут находиться среди
найденных таким образом точек (x{i\ ..., х^0)). Вопрос о том,
какие же из них фактически будут точками условного экстре-
мума, требует дополнительного исследования; соображения об
этом будут высказаны в пункте 43.5*.
Доказательство теоремы. Докажем утверждение, рав-
носильное теореме: если в точке x(0) = (xi0), ..., x^°j, удовлетво-
ряющей уравнениям связи
Л(х(О>) = 0, /с=1,2, (43.15)
градиенты V/o, V/i, ..., V/m линейно независимы, то х<0) не
является точкой условного экстремума.
Итак, пусть V/o, V/i, ..., V/m линейно независимы и, следова-
, у = 0, 1, ..., т, i= 1, 2, ..., п,
равен т+\. Тогда в этой матрице существует минор порядка
т+1, не равный нулю. Для определенности будем считать, что
он образован первыми т +1 столбцами, т. е.
&
Sx^
Множество G — открыто, а поэтому существует такое 8о>0,
что при всех 8, 0<8<8о, куб
Qs = {x: |х1.--х(/))|<8, г —1, 2, ..., п]
лежит в G, и следовательно, на нем определены все функции
Зафиксируем хт+2 = Хт + 2> •••> = и введем обозначения
х* = (х1, ..., хт+1),
272
g8m+I ={x*: |x;—x(;0)|<8, «=1, 2, m+l}.
Очевидно, функции.... хт+1, х^г, > x<,O)),j = 0, 1, т,
определены и непрерывно дифференцируемы всюду в б™+1-
Рассмотрим отображение , задаваемое форму-
лами
Ь=/о(*1> -> Хт+1, Х^+2, Х(„0))
У2^/1(Х1, Хт + 1, Х^+2, X™)
(43.17)
В силу (43.16), для точки х*(0>=(х[°\ Xm0+i) имеем
д(У1. ym+i)
Й(Х1, .... Лт + 1)
...Л)
Х*=Х*(О) d(xlf х2, . хт+1)
а, в силу (43.15), Ф(х*(0)) =
— (/о(%(0)Х 0, 0). Поэтому
(см. теорему 7 в п. 41.8 о
локальной обратимости непре-
рывно дифференцируемого
отображения в точке, в кото-
рой его якобиан не равен
нулю) существует такое £>0,
। ।
_£-------------J-------------1
что на окрестности
1у7|<£, 7 = 2,3, ..., т+1}
Рис. 181
(рис. 181, m=l, и = 2) определено обратное к Ф отображение, и,
следовательно, в любую точку этой окрестности отображается
какая-то точка из 0§+1.
В частности, поскольку при любом т], 0<л <8, имеет место
включение (/’(х(0))±т], 0, ..., 0)еК, то в кубе Q™+1 найдутся
точки = xm+i) и = Xm+i), отображающиеся
при отображении Ф в указанные точки окрестности К
Ф(х'*) = (У(х<0)) + тЪ 0, ..., 0), Ф(х"*) = (У(х(0))-т|, 0 ..., 0). Если
положим для краткости x' = (x'lt х'т+1, хД72..... х„' ’)
и x" = (xi, .... Xm+i, х^2, , х„(0)), то в координатной записи
(см. (43.17)) получим
/о(х')=/о(х<о>)+П>/(х<°’),
/к(х') = 0, к=1, 2, .... т, x’^Ql
А(х") = 0, к=\, 2, ..., т, x^Ql
273
В силу произвольности 5>0, 0<8<8о, это и означает, что х(0)
не является точкой условного экстремума. □
Доказательство следствия. Если векторы V/j, \fm
линейно независимы, то в равенстве (43.10) имеем Хо/0, так как
в случае Хо = 0 указанные векторы в силу (43.10) оказались бы
линейно зависимыми. Разделив обе части (43.10) на Хо, получим
равенство вида (43.11). □
43.3* . ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТОДА ЛАГРАНЖА
Дадим теперь некоторые геометрические пояснения к теоре-
ме 1. Рассмотрим для простоты случай условного эктремума
функции двух переменных z=f(x, у) при выполнении уравнения
связи ф(х, j) = 0.
Пусть функции f и ср непрерывно дифференцируемы в
7^0 и
окрестности точки (х0, yQ), Уф(х0, j0) = ^-
То) дф(*о, То У
дх ’ ду
ф(х0, >’о) = 0. В силу условия У7ф (х0, go)?£0, согласно теореме о
неявных функциях, уравнение ф(х, g) = 0 в окрестности точки
(х0, У о) задает некоторую гладкую кривую, обладающую явным
представлением либо вида у=у(х\ либо вида х = х(у). Пос-
кольку нас интересуют только достаточно близкие к (х0, г0)
точки, то указанную кривую будем называть просто кривой
ф(х, j) = 0 (т. е. попросту говоря, всюду в дальнейшем будем
рассматривать сужение функции f и ф на указанную окрестность
точки (х0, j0)).
Градиент Уф(х0, j0) является нормалью к кривой ф(х, g) = 0
в точке (х0, g0) (п. 20.6). Обозначим через т единичный
касательный вектор к кривой ф(х, j) в точке (х0, j0). Пусть для
определенности рассматриваемая кривая задается уравнением
у=у(х). Если (х0, у0) — точка условного экстремума, то х0
является точкой обычного экстремума для функции g(x) = f(x,
g(x)) (см. п. 43.1) и поэтому g'(x) = 0, т. е. производная функции
f в точке (х0, у0) в направлении кривой ф(х, J7) = 0, или, что то
же (см. п. 20.7), в направлении вектора т, равна нулю,
^^=(V/(x0, Jo). *) = 0.
Это означает ортогональность градиента V/(x0, у0) и касатель-
ного вектора т, что равносильно коллинеарности векторов
V/Uo, Jo) и .Vcp(x0, j0):
V/(x0, j0) = XV<p(x0, Jo),
т. e. выполняется условие (43.11). Выполнение этого условия в
точке условного экстремума можно пояснить и другим путем.
274
Пусть f(xQ, у$) — с- Если в точке (х0> у0) не выполняется условие
(43.11), т. е. градиенты V/'и Vcp не коллинеарны, то это означает, что
в этой точке \//0 и линия уровня f(x, у) = с и кривая ср(х, _у) = 0 в
этой точке пересекаются под некоторым углом а, отличным от 0 и я
(рис. 182). Поэтому в любой достаточно малой окрестности точки
(х0, >’о) часть кривой ф (_х, > ) = 0 окажется расположенной в области
f<c (в «области меньших значений»), а часть — в области f>c (в
«области больших значений»). Это означает, что в точке (х0, yQ)
нет рассматриваемого условного экстремума.
Рис. 182
В случае же, когда векторы V/и Vcp коллинеарны, V/= ХД<р часть
кривой ср(х, j) = 0 может принадлежать некоторой окрестности
точки (х0, ), целиком лежащей в области меньших значений f< с
(рис. 183) или в области больших значений f>c. В этом случае в
точке (х0, у0) достигается условный экстремум.
Однако в случае коллинеарности векторов V/и Vcp кривая ср (х,
j) = 0 также может оказаться расположенной в любой достаточно
малой окрестности точки (х0, >'о) частично в области меньших, а
частично в области больших значений функции/(рис. 184) — тогда
в точке (х0, у0) снова не будет условного экстремума. Подобная
ситуация возникает, например, когда кривые/(х, у ) = с и ср (х, у) = 0
имеют в точке (х0, у0) общую касательную, причем кривая /(х,
у ) = с расположена в достаточно малой окрестности точки (х0, j/0)
по одну сторону от этой касательной, а кривая ср (х, у ) = 0 имеет в
этой точке перегиб, переходя с одной стороны касательной на
другую.
Сказанное поясняет то обстоятельство, что (43.10) является
необходимым, но не достаточным условием для
условного экстремума.
Приведенные геометрические рассмотрения вопроса об ус-
ловном экстремуме распространяются и на многомерный случай.
43.4*. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА
В этом пункте будет дано описание стационарных точек
функции Лагранжа (43.13) посредством функции g(xm+1, ..., хи),
введенной в п. 43.1 (см. (43.8)). Предварительно докажем одну
простую лемму из линейной алгебры.
275
Пусть задана система линейных однородных уравнений
аих\ + -- + «т-хл = 05 /=1, 2, .... т, (43.18)
и еще одно линейное однородное уравнение
Ь1х14-... + Ьпхп = 0. (43.19)
Систему уравнений, получаемую присоединением к системе
(43.18) уравнения (43.19), будем называть расширенной системой
(43.18) —(43.19).
Лемма. Для того чтобы расширенная система (43.18)—-
(43.19) была равносильна основной системе (43.18) необходимо и
достаточно, чтобы уравнение (43.19) являлось линейной комби-
нацией уравнений системы (43.18).
Следствие. Для того чтобы уравнение (43.19) было
линейной комбинацией уравнений (43.18) или, что то же, чтобы
вектор
def
b = (blt .... bn} (43.20)
был линейной комбинацией векторов
def.
ai~(au, •••> ain\ i— L 2, ..., m, (43.21)
необходимо и достаточно, чтобы каждое решение системы
(43.18) являлось решением уравнения (43.19).
Доказательство леммы. Пусть ранг матрицы
коэффициентов системы (43.18) равен т0. Очевидно, что т^т.
Если mQ<m, то т — т0 уравнений * системы (43.18) являются
линейными комбинациями остальных. Отбросив те т — т0
линейные уравнения, которые являются линейными комбинаци-
ями оставшихся, получим систему из т0 линейно независимых
уравнений, равносильную системе (43.18), причем уравнение
(43.19) является линейной комбинацией уравнений системы
(43.18) тогда и только тогда, когда оно является линейной
комбинацией указанной системы из оставшихся т0 уравнений.
Поэтому будем с самого начала считать, что т = т0, т. е. что
ранг матрицы (а^) коэффициентов системы (43.18) равен
т — числу уравнений этой системы.
Пусть системы (43.18) и (43.18) — (43.19) равносильны.
Это означает, что пространства их решений совпадают.
Поскольку все уравнения основной системы (43.18) входят в
расширенную систему (43.18) — (43.19), то каждое решение
расширенной системы является и решением основной системы,
т. е. пространство решений расширенной системы содержится в
пространстве решений основной системы. Следовательно, сов-
падение этих пространств равносильно равенству их раз-
мерностей.
276
Размерность s пространства решений системы линейных
однородных уравнений равна, как известно, числу неизвестных п
этой системы, из которого вычтен ранг г матрицы коэффициен-
тов системы: s = n — r. Отсюда следует, что равносильность
систем (43.18) и (43.18) — (43.19) означает равенство рангов
их матриц. Ранг матрицы коэффициентов системы (43.18) по
условию равен т, т. е. векторы (43.21) линейно независимы.
Ранг матрицы коэффициентов расширенной системы (43.18) —
(43.19) согласно сказанному в наших условиях также равен т.
Поэтому векторы (см. (43.20) и (43.21))
Ь, а1Л ..., ат (43.22)
линейно зависимы. А это означает, что b является линейной
комбинацией векторов at, ат.
В самом деле, линейная зависимость векторов (43.22)
означает, что существуют такие числа ц0, ..., не все
равные нулю, что
poZ’ + Pi«i+... + pmnm = 0. (43.23)
Здесь заведомо цо^0, так как в противном случае векторы а1г...
..., ат оказались бы линейно зависимыми. Поделив равенство
(43.23) на ц0, получим, что b является линейной комбинацией
векторов аг, .... ат.
Обратно, если b является линейной комбинацией векторов
(43.21), то в системах векторов (43.21) и (43.22) имеется в
точности по т линейно независимых векторов, т. е. ранги
матриц коэффициентов систем уравнений (43.18) и (43.18) —
(43.19) равны.
Итак, условие, что вектор b является линейной комбинацией
векторов (43.21):
эквивалентно равенству рангов матриц коэффициентов рас-
сматриваемых основной и расширенной системы уравнений, а
следовательно, эквивалентно их равносильности. □
Утверждение следствия сразу следует из леммы, поскольку
системы (43.18) и (43.18) — (43.19) очевидно равносильны тогда
и только тогда, когда каждое решение системы (43.18) является
и решением уравнения (43.19) — остальные уравнения этих
систем просто совпадают. □
Замечание 1. Доказанная лемма и ее следствия имеют
простую геометрическую интерпретацию в «-мерном евкли-
довом векторном пространстве /?", т. е. в «-мерном прост-
ранстве со скалярным произведением. Используя обозначение
скалярного произведения, систему (43.18) можно записать в
виде
(ait х) = 0, /=1, 2, ..., «?, (43.24)
277
а уравнение (43.19) — в виде
(b, х) = 0, (43.25)
где векторы alf ат и b определены в (43.20) и (43.21), а
x=(xv хп).
Множество всевозможных линейных комбинаций векторов
alf ..., ат образует подпространство пространства Rn и
называется подпространством, натянутым на эти векторы.
Обозначим его через L(ar, ат).
Множество решений системы (43.24) состоит из всех
векторов х, ортогональных подпространству L(ar, ат).
Обозначим это множество решений через Т. Оно также является
подпространством пространства J?n.
def
Подпространства L = L(alf ..., ат) и Т называются ортого-
нальными дополнениями друг к другу в пространстве Rn.
Поскольку L = L(alf ат), то представимость вектора b в
виде линейной комбинации векторов alf ат равносильна его
принадлежности подпространству L пространства Rn\h^L. Это
условие, в свою очередь, равносильно ортогональности вектора
b подпространству T’.bLT, которая означает, что для всех х^Т
имеет место равенство (Ь, х) = 0, т. е. что любое решение х
системы (43.24) является решением уравнения (43.25). Это и
является утверждением следствия леммы.
Замечание 2. Напомним метод, которым можно получить
все решения однородной системы линейных уравнений. Пусть
система (43.18) состоит из линейно независимых уравнений.
Тогда ранг матрицы его коэффициентов равен т. Это означает,
что существует минор этой матрицы порядка т, не равный
нулю. Пусть для определенности
^1т
#0.
(43.26)
В этом .случае все решения системы (43.18) можно получить,
задавая произвольно последние п — т координаты вектора (xlf...
..., хп). Остальные координаты однозначно находятся из
системы уравнений (43.18). В самом деле, возьмем произволь-
ное решение (хх(0), ..., хи(0Ч системы (43.18). После подстановки
xm + i=xm+if .., хп = хп в (43.18) получится система из т
линейных уравнений (с т неизвестными xlf ..., хт), матрица
коэффициентов которой в силу условия (43.26) невырожденная.
Поэтому существуют единственные значения xlf хт, удовлет-
воряющие получившейся системе. Поскольку (xi(0), •••> хи(0))
также было решением системы (43.18), то х± = хр\ ..., хт = х^\
Перейдем теперь к анализу стационарных точек функции
Лагранжа.
278
Теорема 2. Пусть функции f0, j\, fm непрерывно диффе-
ренцируемы в области G<^Rn, xw^G,
/;(х<°>) = 0, z=l, 2, ..., т,
и ранг матрицы Якоби функций j\, в точке х(0) равен т.
Для того чтобы в точке ..., х^0)) градиент X7fQ
являлся линейной комбинацией градиентов ^fm необхо-
димо и достаточно, чтобы точка x(0) = (Xm+i, •••> хп0)) была
стационарной точкой для функции g(x)=g(xm + i, хп)
(см. (43.8)).
Напомним, что если в точке х(и) градиент V/o является
линейной комбинацией
V/0 = W1 + ... + XwV/w, (43.27)
градиентов V/t, ..., V/„p то это равносильно тому, что
существует функция Лагранжа
F=f0-XJ1-...-K.fm, (43.28)
для которой точка х(0) является стационарной:
^—2 = 0, г = 1, 2, п. (43.29)
OXi
Это просто координатная запись условия (43.27), ибо, в силу
(43.28),
z=l, ..., т.
ранг матрицы Якоби
vnvi^ivioi ipj'njMj.nn jjm D л равен m. Будем считать
для определенности, как и в п. 43.1, что
j т
cXf сх^ 1dxi
Доказательство. По условию
Г ио)
->fm) _^0
d(xlf хт)
(43.30)
Подставим в уравнение связи (43.3) функции (43.7), являющиеся
решением этих уравнений, и продифференцируем получившиеся
относительно переменных хт+1, тождества. Получим для
точки л(0) равенства df\(x{Q>} ) = 0, i= 1, 2, ..., т, справедливые для
любых приращений dxm+1, ..., dxfJ независимых переменных
хт + 1, ..., хп (напомним, что дифференцйад является линейной
функцией, определенной на всем пространстве). Использовав
инвариантность формы первого дифференциала относительно
выбора переменных, получим, что в точке х(0) выполняются
равенства
^dxl + ...+^dxm+y^dxm + i + ...+^dxn = Q, (43.31)
(^1 СХт+х СХп
i=l, 2, ..., т,
Т19
где dxn произвольны, a dxif ..., dxm находятся из
формул (43.7). Таким образом, вектор
dx = (dxlt dxm, dxm+lf ..., dxn) (43.32)
является решением линейной однородной системы (43.31).
Отметим, что в силу условия (43.30) значения dx1} dxm
при заданных dxm+1, ..., dxn однозначно находятся и из системы
(43.31). Из замечания 2 следует также, что указанным способом
получаются все решения системы (43.31).
Стационарность точки х (0) для функции g(x )=^g(xm+1, ..., хп)
означает, что dg(x (О)) = 0. Это равенство, в силу инвариант-
ности формы первого дифференциала, можно более подробно
записать в виде
^Ldxi + ... + ^dxm+J^dxm+i + ...+^dx„ = 0, (43.33)
cxt дхт дхт+1 дхп
где dxm + i, ..., dxn можно задавать произвольно, a dxl} dxm
следует находить из формул (43.7) или, что дает тот же
результат, из формул (43.31). Иначе говоря, любое решение
системы уравнений (43.31) является и решением уравнения
(43.33). Согласно следствию из леммы это возможно тогда и
только тогда, когда уравнение (43.33) является линейной
комбинацией уравнений системы (43.31), т. е. когда существуют
такие числа ..., что
W0 = ^W1 + -+KWm- □
Замечание 3. Согласно замечанию 2, совокупность всех
решений системы уравнений (43.31) образует подпространство Т
пространства Rn, являющееся ортогональным дополнением к
подпространству L = L(V, ..., V/m). Любой вектор у е Г
ортогонален каждому градиенту V/j, а поэтому его естественно
назвать касательным вектором в точке х(0) к гиперповерхности
_/z (a*)^0, являющейся множеством уровня (см. § 19) функции
z=l, т.
Таким образом, пространство решений Т системы (43.31),
состоит из векторов, касательных одновременно ко всем
гиперповерхностям /^(х) = 0, z=l, ..., т, и поэтому его называют
касательным пространством пересечения всех гиперповерхно-
стей /-(х) = 0, z —-1, 2, ..., т. Напомним, чго векторы касатель-
ного пространства Г, г. е. решения системы (43.31), были
обозначены через dx (см. (43.32)).
Поскольку в точке условного экстремума, согласно теореме
2, имеет место включение
V/oeL = L(V/1, V/m), то
Vf0±T.
280
Иначе говоря, градиент V/o одновременно ортогонален всем
касательным dx к гиперповерхностям /Дх) = 0, z=l, 2, ..., т:
(yfOf dx) = 0
(это другая запись уравнения (43.33)), т. е. градиент V/o
перпендикулярен касательному пространству Т в точке х(0). Но
множество всех векторов, ортогональных к V/o, образует
(п — 1)-мерное подпространство То, называемое касательным
пространством к гиперповерхности f0(x)=f0(x(Q)). В силу ска-
занного выше, каждый вектор из Т, будучи ортогонален гради-
енту V/o, принадлежит к Го, т. е. Т<=Т0.
Итак, если х(0)— точка условного экстремума, то TczT^,
т. е. касательное пространство в точке х(0) пересечения всех
гиперповерхностей, задаваемых уравнениями связи, содержится в
касательном пространстве в той же точке гиперповерхности
/о(*)=/о(*(О))-
Замечание 4. Из теоремы 2 еще раз вытекает следствие
теоремы 1. В самом деле, если х(0) является точкой условного
экстремума, то х (0) является точкой обычного экстремума для
функции g (см. п. 43.1) и, следовательно, ее стационарной
точкой. Поэтому согласно теореме 2 точка х(0) является
стационарной точкой для функции Лагранжа, т. е. выполняется
условие (43.29).
43.5*. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ДЛЯ ТОЧЕК УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
В этом пункте также будем предполагать выполненными все
предположения, наложенные на функции/0 и/-, z=l, 2, ..., т, в
п. 43.1. Пусть
т
F=f.+ Z Kfi
i=l
— функция Лагранжа (см. (43.13)) для функции /0 и уравнений
связи (43.3). Пусть х(0)еб удовлетворяет уравнениям связи
(43.3) и является стационарной точкой функции Лагранжа, т. е.
точкой, координаты которой удовлетворяют системе уравнений
(43.12) и (43.3). Нашей целью является получение метода, с
помощью которого можно установить условия, достаточные
для того, чтобы х(0) являлась точкой условного экстремума
рассматриваемой задачи.
Заметим прежде всего, что если точка x<=G удовлетворяет
уравнениям связи (43.3), то
А/=/(х) -/(% <0)) - F(x) - F(x <0)) - A F (43.34)
Отсюда сразу видно, что если х(0) является точкой обычного
экстремума для функции F, т. е. AF не меняет знака в некоторой
281
окрестности точки х(0), то х(0) является точкой условного
экстремума для функции /0.
Действительно, из (43.34) следует в этом случае, что
приращение А/о для допустимых значений х, т. е. удовлетворя-
ющих уравнением связи, также не меняет знака. Это достаточ-
ное условие, однако, накладывает слишком сильное ограничение
на поведение функции Лагранжа F(x) в рассматриваемой
точке — она должна иметь обычный экстремум, что сильно
сужает область возможного применения указанного условия при
решении задач. Поэтому целесообразно получить более общий
достаточный признак условного экстремума.
Пусть х(0) = (х(10), х^0)) удовлетворяет уравнениям связи
(43.3). Вернемся к рассмотрению функции (43.8), т. е. функции
g(* )=g(*™+i, *„), х = (хт+1, ..., xj, получаемой из
/о(Х)^/о(ХР •••> Хп) ПРИ условии, что хр ..., хт являются
функциями переменных хт+1, ..., хп, определяемыми уравнени-
ями связи (43.3) в некоторой окрестности точки х®>. Будем
дополнительно предполагать, что /0(х) и /i(4 2,..., т,
дважды непрерывно дифференцируемы в точке х(0).
Выше отмечалось (см. п. 43.1), что х(0) является точкой
условного (строгого) экстремума для функции /0 (х) относитель-
но уравнений связи (43.3) тогда и только тогда, когда
Х(0) = (Хт+1, ^л0)) является точкой обычного (строгого)
экстремума для функции g(x). Поэтому, если например, в точке
х<°> функция g(x) удовлетворяет достаточным условиям сущест-
вования строгого экстремума, то в этой точке функция /0-(х)
имеет условный строгий экстремум относительно уравнений
связи (43.3). Достаточные условия для обычного строгого
экстремума были получены нами ранее (см. теорему 2 в п. 40.2).
Для нашего случая они имеют вид
1) (О>) = 0, i=m+l, п; (43.35)
CXi
2) второй дифференциал
6?2g(x<°>) = f a2f(-!<0)) dXidX] (43.36)
i, j = m+l ^xicxj
является положительно или отрицательно определенной квадра-
тичной формой.
При выполнении этих условий х(0) является точкой строгого
минимума или максимума для функции g(x). В силу сказанного
выше, указанные условия являются и достаточными условиями
для того, чтобы х(0) являлась точкой условного строгого
минимума (максимума) для функции /0 (х) относительно уравне-
ний связи (43.3). Однако они неудобны для практического
использования, так как требуют знания функции g(x). Поэтому,
282
исходя из полученных достаточных условий условного стро-
гого экстремума, выраженных посредством функции g(x),
получим достаточные условия того же экстремума, но вы-
раженные только через функцию Лагранжа и уравнения
связи.
Прежде всего заметим, что в силу условия (43.6), система
(43.31) разрешима, и притом однозначно, относительно dxlt ...
..., dxm при произвольно фиксированных dxm+..., dxn. Систему
(43.31), выражающую равенство нулю дифференциалов функций
f.(x) в точке х(0): 4б = О, у=1, 2, ..., т, при выполнении условий
(43.3), будем записывать кратко в виде
df=0, (43.37)
где > fm)-
Пусть х(и) является стационарной точкой для функции
Лагранжа F(x) (см. (43.13)). Это означает, что tZF(x(O)) = 0, т. е.
т
что в этой точке V/o+ £ V/z —0. В теореме 2 п. 43.4* было
i = 1
показано, что в этом случае х (0) является стационарной точкой
для функции g (х ), т. е.
dg(xw) = 0. (43.38)
Поясним еще раз вывод этой формулы и покажем, что
d2g(xw) = d2F(x^\df=0. (43.39)
Это равенство следует понимать как равенство функций п—т
переменных dxm+1, dxn. В правой части равенства (43.39)
остальные переменные dxk, dxm, которые входят в выражения
написанных дифференциалов, определяются из системы уравне-
ний (43.37) или, что равносильно (см. формулы (43.7)),
dxk = dg>k(xr, х„-т), к=1, 2, ..., т.
Используя инвариантность формы первого дифференциала
относительно выбора переменных и формулу (43.8), имеем
dg^^t^dx.
Прибавим к этому равенству сумму (равную нулю) левых
частей тождеств (43.31), умноженных соответственно на посто-
янные входящие в функцию Лагранжа F(x) (точнее, z-e
равенство (43.31) умножается на постоянную Х-). Тогда,
использовав условие (43.13), получим
dg(xm) = Y 4- Л(*)+ Ё ViW dxj
j=lOXJL 1=1 J
:(0) Д
dF(x(0))
dXj
dXj = 0.
283
Утверждение (43.38) доказано.
Равенство (43.39) доказывается аналогичным приемом.
Прежде всего напишем второй дифференциал для функции g (х )
в точке х(0):
</2g(x<»>) = i *^<Рх,. (43.40)
j, k=l GXjCXk j=1 (JXj
Далее, продифференцировав тождества, получающиеся в резуль-
тате дифференцирования уравнений связи (43.3), т. е. тождества
dx! + ...+ dxn = 0,
будем иметь в точке х(0):
v л , V dfdxt0}) о
/ —/ —dx:dxk+ > ---</“х, = 0,
j,fc=l cxjcxk j=i cxj
z=l, 2, ..., п,
/= 1, 2, ..., т. (43.41)
Умножив i-e равенство (43.41) на постоянную входящую в
функцию Лагранжа F(x), прибавим получившиеся выражения к
правой части равенства (43.40); тогда получим
п
d2g(xm) = £
Л Л= 1
a2F(x(0))
dxjdxk
п
dxjdxk +
j = i
dF(x(0))
d2Xj,
где dxif z=l, ..., л,, удовлетворяет системе уравнений (43.37).
Поскольку точка х<0) стационарная для функции Лагранжа, то
второй член получившегося равенства обращается в ноль, и тем
самым формула (43.39) доказана.
Будем говорить, что квадратичная форма d2F(x(0)) является
положительно (отрицательно) определенной квадратичной фор-
мой переменных dxb z=l, 2, ..., п, при условии, что эти
переменные удовлетворяют системе уравнений (43.37), если для
любых dxif z=l, 2, ..., п, удовлетворяющих этой системе
п
уравнений и таких, что £ (6?xf)2>0, выполняется неравенство
1=1
d2F(x{Q}) > 0 (соответственно d 2F(x(0)) < 0).
Пусть точка х(0) удовлетворяет уравнениям связи (43.3) и
является стационарной для функции Лагранжа (43.13) и пусть
второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является
положительно (отрицательно) определенной квадратичной фор-
мой переменных dxv ..., dxn при условии, что они удовлетво-
ряют системе уравнений (43.37). Тогда из (43.38) и (43.39)
следует, что х является стационарной точкой для функции
g (х) и что второй дифференциал этой функции в точке х (0)
является положительно (отрицательно) определенной квадра-
тичной формой переменных б/х?и+1, ..., dxn, и, следовательно,
284
функция g (х) имеет в точке х (0) строгий минимум (максимум),
а значит, функция /0(х) имеет в точке х(0) условный строгий
минимум (максимум) относительно уравнений связи (43.3).
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 3. Если х(0) = (х{10), ..., х£0)) удовлетворяет уравне-
ниям связи (43.3) и является стационарной точкой для функции
Лагранжа (43.13) и если второй дифференциал функции Ла-
гранжа в этой точке является положительно (отрицательно}
определенной квадратичной формой переменных dxlt ..., dxn при
условии, что они удовлетворяют системе уравнений (43.31), то
х<°> является точкой условного строгого минимума (максиму-
ма) для функции f относительно уравнений связи (43.3).
Таким образом, чтобы исследовать стационарную точку
функции Лагранжа (43.13) на условный экстремум, надо
исследовать на определенность квадратичную форму (43.39),
,т. е. второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке при
выполнении условий связи (43.3) (когда дифференциалы dxif
z= 1, 2, ..., п, связаны соотношениями (43.31)). При этом следует
иметь в виду, что если второй дифференциал функции Лагранжа
в рассматриваемой точке окажется положительно (отрицатель-
но) определенным и без выполнения условий связи, то он будет
таковым, конечно, и при их выполнении.
Пусть, например, требуется найти точки экстремума функ-
ции f(x, у) = ху, когда точка (х, у) лежит на прямой х—у = 0.
Функцией Лагранжа в данном случае является F(x, у) =
л z х dF ~ dF -
= ху — л(х—уу и так как •—=у — к, —=х + л, то для определения
стационарных точек функции F(x, у), удовлетворяющих услови-
ям связи, имеем систему уравнений
х — j? = о, у — Х = 0, х + Х = 0,
из которых следует, что х=у = Х = 0.
Исследуем в точке (0, 0) второй дифференциал функции F(x, у)
при выполнении условий связи, т. е. когда dx—dy = 0. Имеем
d2F=2dxdy, (43.42)
и, значит, при выполнении условий связи
(43.43)
т. е. второй дифференциал (43.42), являясь неопределенной
квадратичной формой, при выполнении условий связи превра-
щается в положительно определенную квадратичную форму
(43.43). Поэтому (0, 0) является точкой строго условного
минимума для рассмотренной задачи. Впрочем, в данном
случае это легко усмотреть и сразу: вдоль прямой х—у = 0
функция f(x, у) — ху примет вид f(x, х) = х2, имея, очевидно, в
точке х = () строгий минимум.
ГЛАВА VI
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 44. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
44.1. ПОНЯТИЕ ОБЪЕМА В Л-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
(МЕРА ЖОРДАНА). ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Напомним кратко основные понятия, связанные с определе-
нием «-мерного объема (площади в случае п = 2), и дадим новое
определение понятия объема (меры) множества, которое будет
отличаться от введенного ранее (см. п. 31.1).
Пусть Rn— «-мерное евклидово пространство («=1, 2, 3, ...).
Его точки, как обычно, будем обозначать через х = (хг, хл),
где xif z=l, 2, ..., п,— координаты точки х в некоторой раз и
навсегда фиксированной системе координат.
Множество точек x^Rn, координаты xit z=l, 2, ..., «,
которых удовлетворяют линейному уравнению вида
а1х1 + ... + апхп+ао = 0, а[+ ... + л„>0
(tzf — фиксированные числа, z=l, 2, ..., «), называется гипер-
плоскостью в пространстве Rn, При п = 3 понятие гиперплос-
кости совпадает с понятием обычной плоскости в пространстве
R3.
Семейство всевозможных гиперплоскостей
= т = 0, +1, +2, ..., z=l, 2, ..., «
(k — фиксировано, fc = 0, 1, 2, ...), разбивает пространство Rn на
«-мерные замкнутые кубы вида
г=1> 2’ п}’ (441)
где при z=l, 2, ,...О пробегают независимо друг от друга
множество всех целых чисел.
Кубы (44.1) называются кубами ранга к, и их совокупность
обозначается через Тк, к = 0, 1, ....
Множество всех кубов ранга к, очевидно, покрывает все
пространство, т. е.
286
Rn= (J Qn.
Qn^Tk
Два куба одного ранга могут иметь в качестве общих точек
лишь некоторые свои граничные точки. В случае п=Л куб (44.1)
является, очевидно, отрезком, а в случае п = 2— квадратом.
Число называется и-мерным объемом куба (44.1) и
обозначается через [iQn:
pQ"=f10-fc".
Для множества S. представляющего собой объединение конеч-
ного или счетного числа различных кубов 2/ данного ранга к,
j=l, 2,
Qnj^
j
его и-мерный объем ц5 определяется равенством
j
(44.2)
Очевидно, pS неотрицательное число или +оо.
Пусть теперь Е—произвольное множество в Rn. Обозначим
через sk = sk(E} множество точек всех я-мерных кубов ранга к,
целиком лежащих в Е, а через Sk = Sk(E}—множество точек всех
^-мерных кубов ранга к, каждый из которых пересекается с
множеством Е по непустому множеству
(fc=0, 1, 2, ...):
sk(E)= и 2",
бпс:£
Sk(E)= U 2", QncTk.
QT\t*0
Таким образом, все кубы ранга к,
содержащиеся в sk, лежат во множестве
Е, а кубы ранга к, содержащиеся в Sk,
образуют покрытие множества Е
(рис. 185), т. е.
sk(E)^E^Sk{E).
При этом множество Е лежит «стро-
го внутри» многогранника Sk = Sk[E\
т. е. не пересекается с его границей oSk.
287
Действительно, точка xeE(^8Sk не может существовать, так как
будучи граничной для Sk, она принадлежала бы грани некото-
рого куба ранга к. Поскольку рассматриваемые кубы замкнуты,
то по определению многогранника Sk к нему принадлежали бы
и все кубы ранга Л, содержащие указанную грань, ибо она
содержит точку хеЕ. Тем самым эта точка не была бы
граничной для Sk.
Очевидно,
«оС^с.-.с^с^^с..., S0^S1=>...=}Sk=DSk + 1=>...
и, следовательно, в силу определения (44.2)
Ц50 < < ... < < VSk+ i ...,
pS0 ••• М^кч-1 • (44.3)
Таким образохМ, получились две монотонные последователь-
ности, членами которых являются элементы расширенного
множества действительных чисел R (см. п. 2.5), а именно, либо
неотрицательные действительные числа, либо +оо. Поэтому
для любого множества EczRn всегда существуют конечные или
бесконечные пределы
lim |т$7С(£’) и lim
k—>оо k—>оо
Определение 1. Конечный или бесконечный предел lim
к—>оо
называется нижней или внутренней п-мерной мерой Жордана
множества Е и обозначается через ц*Е,
g*£<limp5fc(£), ’ (44.4)
к—>оо
а предел lim называется верхней или внешней п-мерной
к—>оо
мерой Жордана множества Е и обозначается через р*Е,
H*£=flimg5fc(£). (44.5)
к—>оо
Если нижняя \i*E и верхняя \х*Е меры множества Е конечны
и совпадают, то оно называется измеримым по Жордану. Общее
значение нижней и верхней меры Жордана измеримого множест-
ва Е обозначается через цЕ и называется п-мерной мерой
Жордана или п-мерным. объемом множества Е:
рЕ^^Е^^Е. (44.6)
Для пустого множества по определению полагается ц0 —0.
288
Иногда вместо цЕ будем писать ц„Е, для того чтобы
подчеркнуть, что речь идет о мере множества Е, рассматривае-
мого как подмножество именно ^-мерного пространства.
В дальнейшем для простоты меру Жордана будем часто
называть просто мерой, а множество, измеримое по Жордану,
просто измеримым.
Под измеримым множеством, как это показывает сам смысл
слова «измеримый», в математике подразумевается такое
точечное множество в Rl\ которое можно каким-то образом
измерить, т. е. сопоставить ему, по определенным правилам,
некоторое неотрицательное число, являющееся объемом в
трехмерном случае, площадью в двумерном и длиной в
одномерном. Если размерность пространства и^З, то множест-
во, измеримое по Жордану в этом пространстве, называется
также кубируемым, а в случае п = 2— квадрируемым. Термины
кубируемое и квадрируемое множество отражают собой тот
факт, что указанное выше измерение множества осуществляется
посредством кубов, соответственно квадратов.
Простым вычислением нетрудно проверить, что если мно-
жество Е представляет собой объединение конечного числа
различных ^-мерных кубов (и=1, 2, ...) данного ранга, то оно
измеримо и его мера Жордана совпадает с мерой, определенной
равенством (44.2).
Для любого множества Е при каждом /< = 0, 1, 2, ...,
очевидно,
Перейдя к пределу при получим ц*Е^0, р*Е^0. Отсюда
вытекает следующее свойство меры Жордана
Свойство 1°. Для всякого измеримого множества цЕ^О.
Далее заметим, что в силу определений (44.4) и (44.5), для
любого множества Е определена конечная или бесконечная
нижняя и верхняя меры Жордана. При этом, поскольку для
каждого £ = 0, 1, 2, ... выполняется неравенство О^ц^ДЕ)^
^цЕк(Е), то, выполнив предельный переход при /с—>оо, для
любого множества Е будем иметь
0^ц*Е^ц*Е.
Отсюда очевидным образом следует, что если верхняя мера
множества Е равна нулю, ц*Е=0, то множество Е измеримо и
рЕ=0.
Если у множества Е имеется внутренняя точка, то найдется
такой номер £0, что множество ^о(Е) будет непустым; следова-
тельно ц5ко(Е)>0, откуда в силу0 (44.3), (44.4) и (44.6) будет
следовать, что ц*Е>0. В самом деле, если х— внутренняя точка
множества Е, то существует такое £ > 0, что сферическая
окрестность U(x, е) содержится в Е. Поэтому достаточно взять
289
10-2135
такой ранг kG, чтобы длина диагонали куба*} ранга к0 была
меньше 8:
10 коч/^<8.
Тогда куб Qn ранга к, содержащий точку х (такой куб, по
крайней мере один, всегда существует) будет целиком лежать во
множестве sk(E) ("рис. 186). Поэтому
№о(£)^ие->о.
Таким образом, если у множества Е имеется внутренняя
точка, то его нижняя мера положительна:
Верно и обратное утверждение: если ]i;Jc£’>0, то у множества Е
существуют внутренние точки. В самом деле, в этом случае
lim = ц*£>0; следовательно, существует такой номер к$,
/с—>оо
что Ц5ко(£’)>0. Это означает, в частности, что множество sk (£’)
не пусто, а так как оно, состоя из квадратов, имеет внутренние
точки и s (Е) с £, то и множество Е имеет внутренние точки.
В частности, нижняя мера Жордана любого открытого
множества G всегда положительна:
p*G>0.
ется только с
следовательно,
тому, согласно
Отметим, что определенный нами ранее в п.
31.1 объем открытого множества совпадает с
его нижней мерой Жордана. Однако, для
построения достаточно общего аналога интег-
рала Римана в случае функций многих перемен-
ных понятие только нижней меры Жордана
оказывается недостаточным. Для этой цели
очень удобно понятие измеримого по Жордану
множества.
Если множество Е ограничено, то ц*/? и
всегда конечны. Действительно, из ограничен-
ности множества Е следует, что оно пересека-
конечным множеством кубов нулевого ранга и,
SAE] состоит из конечного числа кубов. Поэ-
(44.2), ц.80(£)< + оо. Но при любом /< = 0, 1, ...
5fc(£)<=£fc(£)<=£0(£).
Поэтому
0<цлк(£)^|1^(£)^ц5о(£).
Диагональ /7-мерного куба с ребром длины а равна а^/п.
290
Отсюда, перейдя к пределу при Е-> + оо, получим
О Ц*ё р*£Х pSo(E) < + оо,
т. е. меры ц*Е и ц*Е конечны.
Если же множество Е неограничено, то для любого /с = 0, 1,
2, ... множество Sk(E] состоит из бесконечного количества кубов
ранга к. Поэтому, в силу формулы (44.2), для всех к имеем
1Х5,(£) = + со, следовательно, и ц*Е=+оо, т. е. множество Е
заведомо не измеримо. Отсюда:
если множество измеримо по Жордану, то оно ограничено.
Как нижняя, так и верхняя меры Жордана обладают так
называемым свойством монотонности. Сформулируем
его в виде леммы.
Лемма 1. Если Ехсг.Е2. то
V*Et^V*E2, ц*£, «S|i*£2. (44.7)
Это вытекает непосредственно из того, что при всех к = 0, 1,
2, ... справедливы включения
5k(£1) С sk(E2), ) С Sk(E2), (44.8)
ибо первое из них означает, что куб ранга А, лежащий в Е^
лежит и в Е2, а второе, что куб ранга к, пересекающийся со
множеством пересекается и с Е2. И то и другое утверждения
следуют из включения ЕХ^Е2. Из (44.8), в силу (44.2), вытекает
справедливость неравенств
Ц5Л(£1) ц^(£2),
Устремив здесь к к +оо, получим в пределе (44.7). □
Следствие 1. Если Е1аЕ2 и цЕ2 = О, то pEt=O.
Действительно, в силу леммы 1,
О < ц* Ег ц* Е2 = ц Е2 = 0.
Следовательно, ц*£\=0, откуда и цЕ^О. □
Следствие 2. Верхняя мера любого множества Е равна
верхней мере его замыкания:
ц* Е=р* Ё;
в частности, если цЕ=О, то и цЕ=0.
Заметим, что множество Ек(Е) для любого множества Е
всегда замкнуто (независимо от того, содержит ли оно конечное
или бесконечное множество кубов ранга к). Поэтому из
включения EczSk(E) следует, что Е с= Ё с= S k (Е) = (Е). Отсюда, в
силу (44.7), имеем
ц*Е ц*£ n*5k(£) = gSfc(E).
(44.7) (44.7)
291
Перейдя к пределу при £->оо, получим
ц* £< ц* £Х lim ц Sk (£) = ц* Е,
к—-оо
откуда и следует равенство
Если цЕ=0, то цЕ=0,_ибо ц*£=ц£=0 и поэтому, согласно
доказанному, имеем p*E=0, т. е. ц£=0. □
Из леммы 1 для измеримых множеств вытекает следующее
свойство.
Свойство 2° (монотонность меры). Если и Е2— измеримые
по Жордану множества и E1clE2j то
\^Е^Е2. (44.9)
Лемма 2 (полуаддитивность верхней меры). Для любой
конечной совокупности множеств Elf Е2, Ет имеет место
неравенство
р* Q £ ц*Е. (44.10)
j=i j=i
Доказательство. Для любого ранга Zc = O, 1, 2, ...
справедливо равенство
(т \ т
U = U
7=1 / j=l
В самом деле, каждый куб ранга к, который пересекается с
т
множеством (J Ер пересекается хотя бы с одним из множеств
7=1
Ед и наоборот. Поэтому, в силу (44.2),
(т \ т т
и е, -ц и адк z паду
7=1 / 7=1 7=1
Перейдя здесь к пределу при к-> + со, получим (44.10). □
Следствие. Объединение конечного числа множеств меры
нуль имеет меру нуль.
Действительно, если цД = 0, у=1, 2, ..., т. то, в силу (44.10),
т т т
и* U ej^ Е X м£/=0-
7=1 7=1 7=1
т
Следовательно, множество (J Ej измеримо и его верхняя мера,
7 = 1
а поэтому и мера равны нулю:
т
ц и ^=0- □
7= 1
292
Упражнения. 1. Показать, что объединение счетной совокупности
множеств жордановой меры нуль может не иметь меру нуль.
2. Доказать, что если Ех и Е2 — открытые множества, то
Н*(£1 ^1 + Н.Ь’г-
Указание. Полезно воспользоваться утверждением, содержащимся в
упражнении 18 п. 18.3.
Будет ли это неравенство всегда справедливым, т. е. без предположения об
открытости множеств Ех и Е2?
3. Привести пример таких непересекающихся множеств Ег и Е2, что
Критерий измеримости множеств устанавливается следую-
щей теоремой.
, Теорема 1. Для того чтобы множество Е было измери-
мым по Жордану, необходимо и достаточно, чтобы оно было
ограниченным и чтобы его граница дЕ имела меру Жордана,
равную нулю:
р£Е=0. (44.11)
Для всякого множества Е обозначим через су^суДЕ)
множество точек тех и только тех кубов ранга к, которые
содержатся в Sk(E) и не содержатся в sk(E)\
Таким образом, множество ак(Е) состоит из замкнутых кубов и
теоретико-множественная разность Sk (E)\sk (Е) содержится в
множестве сгДЕ) и, вообще говоря, не совпадает с ним!
С другой стороны,
= (£)*’.
Доказательству теоремы 1 предпошлем лемму.
Лемма 3. Для любого множества E^Rn справедливы
включения
дЕ<=. ок (Е) с= Sk (дЕ). (44.12)
Доказательство леммы. Покажем сначала, что
5Eczok(E). (44.13)
Так как Ec=Sk(E), то EczSk(E). Множество Sk(E), независимо от
того, содержит ли оно конечное или бесконечное множество
кубов ранга к, всегда, как это уже отмечалось выше, является
замкнутым подмножеством пространства /?”, т. е.
Черта над множеством, как всегда, обозначает его замыкание (см.
п. 18.2).
293
хеск(Е).
Следовательно, для любого к = 0, 1, 2, EczSk(E), а значит, и
dEczSk(E), ибо дЕ<^Е.
Возьмем какую-либо граничную точку х множества Е: х е дЕ.
В силу включения дЕ<^8к(Ё), существует по крайней мере один
такой куб Qn ранга к, что xeQn и Q"cz8к(Е). Если Qn не
содержится в sk(E), то, очевидно, Qn<^(jk(E), а следовательно, и
Если же Qnczsk(E) (рис. 187), то, в силу
включений xeQn и Qnczsk (Е)^Е, имеем
хеЕ. Поэтому в этом случае все кубы ранга
содержащие точку х, лежат в Sk(E\ ибо
пересечение всякого такого куба с множест-
вом Е содержит точку х и, следовательно, не
пусто. Все эти кубы не могут принадлежать
множеству Е— в противном случае точка х
была бы внутренней, а не граничной точкой
множества £. Поэтому среди всех кубов
ранга /с, содержащих точку х, найдется по
крайней мере один куб Qq, который не содержится в sk(E), т. е.
Qvc=Sk(E), ио QnQ<£sk(E). Отсюда следует, что Q о <= <зк (£), и так
как хе Q о, то и в этом случае хесук(£). Точка х была
произвольной точкой границы дЕ, а поэтому включение (44.13)
доказано.
Второе включение (44.12), т. е. включение сгк (£) с Sk (дЕ),
доказывается проще. Всякий куб Qn ранга к, лежащий в ак(£),
имеет заведомо точки как из множества Е (в силу определения
множества ак (£) всякий куб ранга к, содержащийся в этом
множестве, содержится и в Sk(E), а следовательно, пересекается
с Е), так и точки, не принадлежащие Е (ибо, согласно тому же
определению, никакой куб ранга к , целиком лежащий в Е, т. е.
принадлежащий к sk(£), не содержится в ак(Е)). Куб Qn — ли-
нейно связное множество, поэтому в нем заведомо имеются
точки границы множества Е (см. лемму 9 в п. 18.2). Это и
означает, что Qп с= Sk (5Е), а так как Qп был произвольным
кубом ранга к, лежащим в сгк(£), то
vk(E)c:Sk(dE). □ (44.14)
Доказательство теоремы. Необходимость. Пусть
Е — измеримое множество. Тогда, как доказано выше, оно
ограничено. Далее, согласно определению измеримого мно-
жества нижняя и верхняя меры множества Е конечны и равны:
ц E=[i*E, т. е.
lim ц sk (Ё) = lim ц Sk (£).
к—* + оо к—► оо
Поскольку, согласно определению множества <5к(Ё) и формуле
(44.2)
pok(£) = pSj£')-p5fc(4 (44.16)
(44.15)
294
го из (44.15) следует, что
lim )юк(Е) = 0.
к—*+ос
(44.17)
В силу включения (44.13) и монотонности верхней меры (см.
(44.7))? при любом Zc = O, 1, 2, ... справедливо неравенство
ц* аЕ^ц*оДЕ) = цак(Е).
Перейдя к пределу при £-> + оо, в силу (44.17) получим ц*<ЭЕ=О.
Следовательно, множество дЕ измеримо по Жордану, и
цдЕ=0.
Достаточность. Пусть Е—ограниченное множество и
цЗЕ=0. Тогда, по определению меры,
lim ц5ДЭЕ) = 0. (44.18)
к—+ос
В силу включения (44.14) и монотонности меры (см. свойство 2е
меры) справедливо неравенство (Е) (дЁ) и, следователь-
но, (см. (44.16)) неравенство
pSk(E)-psk(E)<pSt(a£). (44.19)
Поскольку множество Е ограничено, то его нижняя мера
ц*Е и верхняя р*Е конечны и поэтому (см. (44.4) и (44.5)) в
неравенстве (44.19) можно перейти к пределу при к-> + со.
В силу (44.18), получим
ц*Е— ц*Е=0, т. е. ц^Е^ц^Е.
Это и означает измеримость по
Жордану множества Е. □
С помощью теоремы 1 легко по-
казать, что при теоретико-множест-
венных операциях объединения мно-
жеств, пересечения и вычитания их
измеримость не нарушается. Предва-
Рис. 188
(рис. 188)
рительно заметим, что для любых
двух множеств Ег и Е2, лежащих в
пространстве Rn, справедливы включения
a(E1(jE2)caE1|jaE2,
д^Е^Е^дЕ^дЕ^
d(E1\E2)(zdEi[j дЕ2.
(44.20)
(44.21)
(44.22)
Докажем, например, включение (44.21). Пусть х е 5 (Et Q Е2).
Тогда, прежде всего, хеЕ} f) Е2, ибо из того, что xea(Et Q Е2),
следует, что в любой окрестности точки х имеются точки,
одновременно принадлежащие к Еу и к Е2, т. е. х является
точкой прикосновения как множества Ег, так и Е2. Если хедЕг,
295
или хедЕ2, или и то и другое, то, очевидно, хедЕ± |J дЕ2. Если
же хфдЕг и хфдЕ2. то поскольку хеЕг и хфдЕъ то х является
внутренней точкой для множества Ег и, аналогично, внутренней
точкой для множества Е2 (ибо замыкание всякого множества
состоит только из внутренних точек этого множества и его
граничных точек; каждое из них может, конечно, оказаться
пустым). В этом случае у точки х существуют окрестности
Ul(x)^Ei и U2(x)cE2, пересечение U (х) = UY (х) Q U2 (х) кото-
рых будет также окрестностью точки х, и, очевидно, t/(x)<=
czE1 Q Е2. Таким образом, у точки х нашлась окрестность с/(х),
все точки которой принадлежат множеству Er Q Е2, т. е.
х — внутренняя, а не граничная точка этого множества:
хфд(Ех QE2). Полученное противоречие показывает, что случай
хфдЕ\ и одновременно хфдЕ2 невозможен, если хе8[Ех Q Е2).
Упражнение 4. Доказать включения (44.20) и (44.22).
Из включений (44.20) и (44.21) методом математической
индукции для любого конечного числа множеств легко устанав-
ливается справедливость включений
т tn т tn
д U U дЕ, д П Е^ П дЕ, (44.23)
7=1 7=1 7=1 7=1
Свойство 3°. Объединение и пересечение конечного числа
измеримых по Жордану множеств, а также разность двух
таких множеств являются измеримыми по Жордану мно-
жествами.
В самом деле, если множества Ej измеримы, то согласно
теореме 1, |15Е~0, /=1, 2, ..., т. Поэтому, в силу следствия из
т
леммы 2, ц (J dEj = Q, а тогда (см. следствие 1 леммы Г) из
7 = 1
включений (44.23) следует соответственно, что
т т
цс и £;=0, 0 £,. = 0.
j=i j=i
т
Отсюда следует, что в силу той же теоремы 1, множества |J Ej
j= i
т
и Р Ej также измеримы. Аналогично доказывается измери-
7=1
мость разности измеримых множеств.
Теперь можно легко доказать, чго для меры Жордана
справедливо неравенство, аналогичное неравенству (44.10) для
верхней меры. Сформулируем соответствующее утверждение.
Для. любой конечной совокупности измеримых множеств Ег,
Е2, ..., Епг справедливо неравенство
296
(44.24)
tn tn
и U Д< Z иД-
i = 1 i = 1
Действительно, если множества Et измеримы, то |а*Д = цД,
т
и, согласно доказанному выше, объединение (J Д также
i = 1
т пг
измеримо, и следовательно, ц* (J Д = ц (J Д. Поэтому формула
4=1 4=1
(44.24) в рассматриваемом случае совпадает с формулой (44.10).
Свойство 4° (аддитивность меры). Мера объединения конеч-
ного числа попарно непересекающихся измеримых по Жордану
множеств равна сумме мер этих множеств.
Таким образом, если Д — измеримые множества, ДР)Д =
= 0. h 7=1, 2, ..., /и, то
т tn
МД- (44.25)
4=1 4=1
Докажем это. Поскольку для любого ранга к справедливо
включение (Д) Д (Д) с Д. Д £), то из условия Д Д Д = 0 при
i^j следует, что л\(Д) Д 5ц.(Д) = 0, /V); поэтому, согласно
(44.2),
tn tn
У ЦЛ,. . ) = мимд). (44.26)
4=1 i=1
Если куб ранга /< лежит в некотором множестве Д, то он лежит
т
и в объединении (J Д, следовательно,
4 = 1
т Ст
и мд)с54 и д
4=1 \4=1
Отсюда, в силу (44.26) и монотонности меры (в данном случае даже
из формулы (44.2)), вытекает, чго
т tn Ст
Е м^(Д)=ни МДКм-U U Д
4=1 4=1 \4 = 1
Перейдя к пределу при А:-> + оо, получим
т т
У рД<р J Д. (44.27)
4=1 4=1
С другой стороны, для любых измеримых множеств
справедливо обратное неравенство (44.24). Очевидно, что из (44.24)
и (44.27) и следует равенство (44.25), т. е. аддитивность меры.
297
Замечание. Из свойств 3° и 4° меры вытекает, что если к
измеримому множеству присоединить или вычесть из него
множество меры нуль, то полученное множество будет также
измеримым, и его мера будет равной мере исходного мно-
жества. Действительно, если Е — измеримое множество, а
цЕо = 0, то, по свойству 3° меры, множества Е\Е0 и E|jE0
также измеримы. Далее по свойству 4° при EqCzE и ц£о = 0
имеем
цЕ= ц [(Е\Е0) U Ео] = ц (Е\Е0) + цЕ0 = ц (Е\Е0).
В силу же монотонности меры и неравенства (44.24), для
любого Ео, цЕо = 0 справедливы неравенства
pEsS ц (Е Ео) цЕ+цЕ0 = цЕ,
откуда g(E(J Е0) = |тЕ.
В свою очередь, из сказанного следует, что если к
измеримому множеству присоединить или вычесть из него
какое-то множество его граничных точек, то получится снова
измеримое множество с той же мерой, что и данное. Это
вытекает из того, что, в силу теоремы I, граница измеримого
множества, а значит и любое ее подмножество, имеют меру
нуль. Таким образом, в частности, если множество Е измеримо,
то его замыкание Е=Е (J дЕ также измеримо, причем рЕ=ц£.
Обратное утверждение неверно: существуют неизмеримые по
Жордану множества, замыкания которых измеримы. Простым
примером подобного множества является множество рацио-
нальных точек на некотором отрезке. Оно неизмеримо (поче-
му?), а его замыканием является отрезок, который измерим.
Примеры измеримых множеств сколь угодно большой
размерности можно получить с помощью построения цилинд-
ров. основаниями которых служат также измеримые множества.
Сформулируем определение цилиндра.
Определение 2. Пусть Ео — множество, лежащее на гипер-
плоскости /?”-1 = {х:хп = 0} пространства Rn, а и Ь— действи-
тельные числа, а^Ь. Множество
Е={х\(х^ х2, xn-i, ^eEq, a^xn^b}
называется п-мерным цилиндром с основанием Ео и образующей
(параллельной координатной оси хп) длины h = b — a.
Очевидно, что, используя понятие произведения множеств
(см. п. 1.2* или 41.2), можно сказать, что цилиндр Е являет-
ся произведением множеств Ео и отрезка [а. Ь]: Е= Еох [а. Ь].
Если Eq — ограниченное множество, то и цилиндр с основанием
Ео является ограниченным множеством. Отсюда следует,
что всякий цилиндр, в основании которого лежит изме-
римое множество, ограничен, ибо измеримое множество ог-
раничено.
298
Теорема 2. Если Ео— измеримое по Жордану множество
пространства Rn~1, то всякий п-мерный цилиндр Е с основанием
Ео является измеримым по Жордану множеством в простран-
стве Rn, и
^nE=hiin_lE0, (44.28)
где h — длина образующей цилиндра Е.
Следствие. Если основание цилиндра имеет (п — 1)-мерную
меру, равную нулю, то сам п-мерный цилиндр имеет п-мерную
меру, также равную нулю.
Доказательство теоремы. Прежде всего заметим, что
проекция каждого «-мерного куба Qп ранга к является
(«—1)-мерным кубом Qn~1 также ранга к и
pQ” = (10~k)p2" 1- (44.29)
Обозначим через («—1)-мерные кубы ранга к,
составляющие множество sk(E0\ а через 2V1, б™-1—(я—1)-
мерные кубы, составляющие Sk(E0).
Пусть цпц. ..., qnip суть «-мерные кубы из sk(E\, проектирую-
щиеся в куб q ”<^sk(E0). Поскольку Е— цилиндр, то число р
таких «-мерных кубов q^ одно и то же для всех 7=1, 2, ..., /,
поэтому
i р
M^)=U 1М- (44.30)
i=l 7=1
Аналогично, число г «-мерных кубов Q "j из Sk(E), проектирую-
щихся в один и тот же куб Qi из Sk(E0), одинаково для всех
г=1, 2, т, поэтому
т г
Sk(E}= и (44.31)
>=1J=1
р
Проекция множества |J q”j на ось х„ является отрезком
j= 1
длины /?/Ю\ причем
J9/104A, (44.32)
ибо все кубы q"j содержатся в sk(E) и, следовательно, в цилинд-
ре Е. Проекция же указанного множества на гиперплоскость
Rn l представляет собой один из кубов q -1-1, поэтому
i р ip
на(£)= Е Е m"j= Е Е
J=1 i=l j=l
Проекцией прХ| E множества EaRn на гиперплоскость 1 = {x:xn = 0}
называется множество точек вида (хь х,^, 0), для каждой из которых
существует такое хп, что (хр хи) еЕ.
299
=jj (44.33)
Проекция «столбика кубов» (J (рис. 189) на ось хп есть
j=i
отрезок длины 10 г, причем
h^—^h+—t. (44.34)
10* 10* v
Далее, каждый такой столбик проектируется на гиперплос-
кость Rn i в куб либо содержащийся в sk(E0). либо в
cyk(£'0) = 5'k(E0)\5fc(£0) (множество ок(Е0) было введено при
доказательстве теоремы 1). Поэтому
m г т г
iinsk(E)=Y
• =1 7=1 >=1 7=1 Ш
т
X^-iQ"~l=^Sk(E0)+^k(E0)-]. (44.35)
Рис. 189
Наконец, заметим, что каждый из стол-
г
биков (J Qij, который проектируется в куб
./=1
р
qn~l c5fc(E0), отличается от столбика (J <7ц,
>= 1
проектирующегося в тот же куб qn \ лишь
двумя кубами, добавленными к нему снизу и
сверху (в смысле убывания, соответственно
возрастания, координаты хп, см. рис. 189).
Поэтому
г=р + 2.
Отсюда и из неравенств (44.32) и (44.34)
имеем
10* 10* 10* 10*’
В силу этого, из неравенств (44.33) и (44.35) получим
Sk (£) sk (Е) ю к - j sk (Ео) +
r 2. / 2 \
+ jo*(£о)<Р' 1 £о + ( h +1^ ) (£о)>
2
и поскольку lim—- = 0, lim |icrfc(Eo) = 0, то
к—► оо к—* оо
300
lim [Ия^(£)-ц„5к(£)] = 0. (44.36)
к—* + оо
Множество Ео, как всякое измеримое множество, ограни-
чено. Нетрудно убедиться, что диаметры d(E0) и d(E) множеств
Eq и Е связаны соотношением d(£) = v/[J(E0)]2 + /z2, из которого
следует, что множество Е также ограничено. Поэтому, как было
упомянуто выше, оно имеет конечные верхнюю и нижнюю
меры. Из формул (44.4), (44.5) и (44.36) следует, что они равны:
т. е. множество Е измеримо.
Докажем теперь формулу (44.28). Для этого умножим
неравенство
Ни - 1 Sk (^о) Ни - 1 $к ( Д))
на /?. Применив неравенства (44.32) и (44.34), будем иметь (см.
также (44.33) и (44.35))
^ (£)=Мл -1 (£о) h М Ео < Мл -1 Sk (£о) = Мл Sk (£),
причем обе части получившегося неравенства в силу (44.36)
стремятся при £->сс к одному и тому же пределу цЕ, откуда и
следует формула (44.28). □
Задача 30. Построить пример неизмеримой по Жордану области.
Задача 31. Доказать, что мера Жордана не зависит от выбора декартовой
системы координат.
44.2. МНОЖЕСТВА МЕРЫ НУЛЬ
В предыдущем пункте было установлено, что множество
измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница
имеет меру нуль. Поэтому важно иметь признаки, по которым
можно было бы установить, что множество имеет меру нуль.
Достаточно общим примером множеств меры нуль являются
цилиндры, в основании которых лежат множеств;’ меры нуль
(см. следствие из теоремы 2). Другой широкий класс множеств
меры нуль дается в следующей ниже теореме.
Теорема 3. График всякой непрерывной на компакте
функции имеет меру нуль.
Доказательство. Пусть функция y=f(x)=f(x^ ..., хл)
непрерывна на компакте AczRnx. Пусть Е—-ее график, т. е.
множество таких точек (х, j?) = (x19 хп, j’) в и-мерном
пространстве RnXyl, что (лд, ..., хп)еА, а ^=/(х19 ..., хп):
£={(%. >'):(х1, х„)еА, y=f(xt, х„)}.
Покажем, что (и+ 1)-мерная мера Жордана множества Е равна
нулю. Множество А будучи компактом, ограничено. Поэтому
существует такое натуральное число т, что ^-мерный куб
301
Pm = {x: z=l, 2, ..., n}
содержит множество A'.Pm^A. Тем более куб
Еж+1 = {х: —/77—1 ^Xf^/77+1, 7=1, 2, ..., П }
также содержит Л:Рш + 1=эЛ и, более того, каким бы ни
был куб Q некоторого ранга /с = 0, 1, 2, пересекающийся
со множеством Л, т. е. Q<^Sk[A\ он также содержится в
Лк + 1:СсЛп+1- Поэтому при любом к имеем $к(А )сРш+1.
Здесь
Рис. 190
и в дальнейшем через Ек(А),
Sk(E), как и в п. 44.1, обозна-
чаются множества точек всех
кубов ранга к. соответствую-
щих пространств, пересекаю-
щихся с множествами А<^ЕХ,
E^Rnx^.
Множество Sk (Е) распада-
ется на конечное число «столби-
ков» S{k\ каждый из которых
состоит из (// + 1)-мерных кубов
ранга к, имеющих одну и ту же
проекцию (см. сноску на с. 299)
Qlk в пространство Rnx (на рис.
190 изображен случай /7=1):
Sk(E)=USll), np.Sj^e^ ^ = 0, 1, 2, .... (44.37)
Обозначим через со(3) модуль непрерывности функции f
на А. Замечая, что диагональ (диаметр*}) //-мерного куба с
ребром длины 1/10* равна ^/л/10*, для высоты h{k} каждого
столбика Sk} имеем (см. рис. 190) оценку
(44.38)
Действительно, для оценки высоты h{k} к расстоянию со(10 ку/п)
между наибольшим и наименьшим значениями функции /(х) на
кубе Qk} достаточно добавить длины ребер самого нижнего и
самого верхнего кубов рассматриваемого столбика Sk} (эта
оценка достигается, когда точки графика, соответствующие
указанным экстремальным значениям, окажутся на гранях
кубов ранга к). Из (44.37) и (44.38) получаем
Определение диаметра множества см. определение 11 в п. 19.6.
302
(Е) = ц (J S? = ц 5V’ = Z № ц QV>
i i i
+ ю(>)+^ HEm + i- (44.39)
Поскольку функция / непрерывна на компакте, она равномерно
непрерывна на нем, и поэтому lim ©(Ю-* х/й) = 0, и поскольку
к—► + со
2
lim — = 0, то из (44.39) имеем lim ^Sk(E) = 0, а это и означает,
к-*+оо 10 к—*эс
что р*Е=0, следовательно, и цЕ=0. □
В силу теорем 2 и 3, всякое ограниченное множество,
границу которого можно представить как объединение ко-
нечного числа множеств, каждое из которых представля-
ет собой либо часть графика непрерывной на ограниченном
замкнутом множестве функции, либо часть цилиндра с ос-
нованием меры нуль, является измеримым множеством, ибо, в
силу аддитивности меры, мера границы указанного множест-
ва равна нулю, и, следовательно, согласно теореме 1 оно
измеримо. Таким образом, получено описание достаточ-
но широкого класса множеств, измеримых по Жордану и
часто встречающихся в математическом анализе и его при-
ложениях. Так, например, плоские множества (криволинейные
трапеции, «секторы» кривых, заданных в полярных коорди-
натах, а также тела вращения, площади и соответственно
объемы которых вычислялись в § 32 с помощью одномерного
интеграла Римана, являются измеримыми по Жордану мно-
жествами, ибо, как нетрудно убедиться, их границы имеют меру
нуль.
Подобным же образом измеримы по Жордану параллеле-
пипеды и эллипсоиды, в частности — шары, так как их границы
можно представить в виде объединения графиков непрерывных
на компактах функций.
Заметим, что в § 31 было введено понятие меры mes G для
открытых множеств. Сравнивая ее определение с определением,
приведенным в п. 44.1, видим, что mes G = т. е. введенная в
§ 31 мера является нижней мерой Жордана. Однако в силу
сказанного выше все рассмотренные в примерах § 32 множества
были измеримыми по Жордану и, следовательно, для них мера
mes G являлась мерой Жордана, т. е. для них имело место
mesG = pG.
Представляет интерес обобщить теорему 3 на случай
параметрически заданных множеств, в частности на случай
параметрических кривых. Оказывается, что даже в этом случае
одной лишь непрерывности рассматриваемых кривых недоста-
точно для того, чтобы они имели меру нуль. Существуют,
например, кривые х, —xt(z), a^t^b, /=1, 2, ..., д(хД/)— непре-
303
рывные на некотором отрезке [a, b ] функции), называемые
кривыми Пеано, которые проходят через каждую точку
некоторого «-мерного куба и, следовательно, не имеют меры
нуль.
Задача 32. Построить пример кривой Пеано.
Теорема 4. Всякая плоская спрямляемая кривая имеет
меру нуль.
Доказательство. Пусть за-
дана спрямляемая кривая Г, длина
которой равна S. Пусть, далее,
/г —х г = г(/), a^t^b — некоторое предс-
/тавление кривой Г. Разобьем ее
гьТхЧJ । последовательно, т. е. в порядке
/\ к J возрастания параметра t точками
( r^f t.E[a> b]f z^o, 1, ..., m, t0 = a,
\ /r7 / 1т = Ь, на m равных по длине частей,
т. е. возьмем такое разбиение
о 1П1 т = отрезка Г«, b], чтобы
длина каждой части Г- (кривой Г),
задаваемой представлением г = г(/), /=1, 2, ..., т,
S
имела длину —.
т
Обозначим через К, замкнутый круг с центром в точке
и радиусом —. Дуга Г. имеет длину — и ее начало
' т т
является центром круга Kh поэтому вся она лежит в этом круге
(рис. 191). Отсюда вытекает, что вся кривая Г содержится в
объединении кругов Ку.
т
г<= и к,
i = 1
Следовательно, в силу монотонности и полуаддитивности
верхней меры (см. леммы 1 и 2 в п. 44.1),
ц*ГХц* Q
i = 1 i = 1
(44.40)
у s\2
Но v*Kt = \аК{ = к — , 7=1, 2, ..., m*\ поэтому из (44.40) имеем
\m /
ц*Г^я£2/«7. Левая часть неравенства не зависит от т. а
Действительно, окружность С, являющуюся границей круга К, можно
представить как объединение двух полуокружностей, каждая из которых
представляет собой график непрерывной на отрезке функции. Поэтому, соглас-
но теореме 3, цС = (); следовательно, всякий круг К является измеримым
множеством.
304
правая — стремится к нулю при т—» + со, вследствие чего
цГ-0. □
Упражнение 5. Доказать, что всякая спрямляемая кривая в трехмерном
пространстве имеет меру нуль.
Из теорем 1 и 4 следует, что всякое ограниченное плоское
множество, граница которого является спрямляемой кривой,
измеримо.
44.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА
Сформулируем определение кратного интеграла Римана.
Для этого введем прежде всего понятие разбиения измеримого
множества и понятие мелкости этого разбиения.
Пусть Е—измеримое по Жордану множество, E^Rn.
Конечная система т = {Е1-}-=11т непустых измеримых по Жордану
множеств Е;, z=l, 2, ..., zT, называется разбиением множества Е,
если:
1) попарные пересечения множеств Et имеют меру нуль:
ц(дП^) = 0- /Vj;
2) = К
1 = 1
Число | т | = max d(EX где dlEA — диаметр множества Ei?
i= 1,
называется мелкостью разбиения т.
В силу аддитивности меры Жордана для всякого разбиения
T = {Ei}ii = lf множества Е, имеем
(44.41)
1=1
Действительно, пусть при фиксированном i E* = [J E^Ej и
./V/
Е* = (J Е*. Тогда, в силу условия 1 определения разбиения
i = 1
множества, p(EzP|E;) = 0, zVj, поэтому цЕ?^^ p(El-QE/-) = 0,
./V/
т. е. цЕ* = 0. Отсюда цЕ*^ £ цЕ* = 0; следовательно, цЕ* = 0.
i - 1
Кроме того, множества £*, ЕДЕ* = Е?*,д‘= 1, 2, ..., zT, попарно
не пересекаются и, в силу условия 2, |J E-^IJ^*^ U Д =
i=l i=l
Так как
|iEf = ц (Et \ Е*) = цЕ^*,
305
то из всего этого, в силу аддитивности меры, следует, что
|1Е= £ + £ цЕ;. □
1=1 1=1
Для простоты обозначений иногда вместо [EI.}-ZIf будем
писать {EJ.
Пусть T = {Ei} и т' = {Е'-}~- разбиения измеримого множест-
ва Е. Разбиение т' называется вписанным в разбиение т, если для
каждого Е]ет' существует такой элемент Е-gt, что Е'« <=:£.. В
этом случае пишут т'Е-т или т^т'.
Отметим два свойства разбиений множества.
1°. Если т-Зт' и т'4К", то т-Зт".
2°. Для любых двух разбиений т' = {Е-} и т" = {Е'-} измеримого
множества Е существует такое его разбиение т, что тЕ-т' и
тЕ-т".
Свойство 1° очевидным образом следует из определения
вписанного разбиения. В качестве же указанного в свойстве 2°
разбиения т можно взять множество всевозможных непустых
пересечений Е • Q Е .
Примером разбиения измеримого множества является сово-
купность всевозможных непустых пересечений данного множест-
ва с кубами некоторого фиксированного ранга к. Отсюда видно,
что для всякого измеримого множества существуют разбиения
сколь угодно малой мелкости.
Определение 3. Пусть на измеримом по Жордану множестве
E^Rn задана функция y=f(x)=f\x^ хп) и t = {EJ-Zit— неко-
торое разбиение множества Е; выберем произвольным образом
точки ^(1}еЕь /=1, 2, ..., z0. Сумма вида
ат = <7т(/; (44.42)
i = 1
называется интегральной суммой Римана функции f.
Подобно случаю функции одного переменного определение
кратного интеграла можно сформулировать, используя понятие
предела последовательности или «язык 8 — 5».
Определение 4. Число А называется интегралом Римана от
функции /по измеримому по Жордану множеству Ec:Rn. если
какова бы ни была последовательность разбиений ит = {ЕУ}}\ = 111\
т=\. 2, ..., множества Е такая, что мелкости разбиений тт
стремятся к нулю при т—> + оо: lim |тш| = 0, и каковы бы ни
т-^ + ос
были точки ^(1'т)ЕЕ\т\ z=l, 2, ..., i(m\ последовательность
интегральных сумм £>(1 т\ ..., ^(l(w)'m)) при т-^У-со имеет
306
своим пределом число А:
^) = А.
(44.43)
Интеграл от функции f по множеству Е обозначается через
[/(л-) dE или ff... Л'2, .... xn)dx1dx2 ... dxn.
Если существует интеграл J Дх) dE, то функция J называется
интегрируемой по Риману на множестве Е. Интегрируемые по
Риману функции часто будем называть просто интегрируемыми.
Равенство (44.43), т. е. определение интеграла, кратко запи-
сывается в виде формулы
J /(х) dE= lim <jt. (44.44)
|тН0
В терминах с и 8 этот предел означает следующее: для
любого 8>0 существует такое 8е>0, что каково бы ни было
разбиение T=={Ef}-^iT множества Е мелкости | т | <6£ и каковы бы
ни были точки ^(I)eEz, z=l, 2, ..., zT, выполняется неравенство
..., ^)-f/(x)6?£|<£. (44.45)
Обычным путем доказывается, что определения (44.43) и (44.45)
предела интегральных сумм эквивалентны.
Отметим, что определение интеграла (44.44), в случае, когда
Z7=l, а множеством, по которому производится интегрирование,
является отрезок, формально не совпадает с данным ранее
определением интеграла Римана от функции одной переменной,
так как там рассматривались лишь разбиения отрезка на
отрезки, а теперь рассматриваются всевозможные разбиения
отрезка на измеримые по Жордану множества. Однако, можно
показать (это будет сделано в п. 44.7*), что при п=А оба
определения для случая, когда множество, по которому
производится интегрирование, является отрезком, равносильны,
т. е. приводят к одному и тому же понятию интегрируемости
функции и к одному и тому же понятию интеграла.
При определении интеграла по множеству E<^Rn можно для
составления интегральных сумм использовать не все элементы
разбиений т множества Е, а отбрасывать те слагаемые, которые
соответствуют элементам разбиения, замыкания которых пере-
секаются с некоторым фиксированным множеством меры нуль.
Проанализируем это обстоятельство подробнее.
Пусть Е—измеримое множество, Еос=Е и T = {Ei}liZli— раз-
биение множества Е. Обозначим через т(Е0) совокупность тех
307
элементов разбиения т, замыкания которых не пересекаются со
множеством Ео:
т(Ео)={Е1:Е^Ео=0, Дет}, (44.46)
а через т0(Е0)— наоборот, совокупность тех Д, для которых их
замыкания Et пересекаются с Ео:
т0 (Ео) = { Д: Е^Е0 Ф 0, Дет]. (44.47)
Лемма 4. Пусть Е—измеримое по Жордану множество
пространства Rn, EoczE и \лЕо = 0. Тогда
lim £ рД = 0.
|тН° £.еТ()(£())
(44.48)
Суммирование в формуле (44.48) происходит только по тем
индексам i, для которых Дет0(Е0).
Рис. 192
Доказательство. Пусть и
цЕо = 0; тогда и цЕо = 0 (см. в п. 44.1
замечание после доказательства адди-
тивности меры). Поэтому для любого
е>0 существует такой ранг к, что
ИД(Ё0)<8. (44.49)
Здесь, как всегда, Д(£о) обозначает
совокупность точек всех кубов ранга к,
пересекающихся со множеством Ео и,
следовательно, покрывающих его:
£ос=Д(£о).
Напомним, что Ео лежит строго
внутри многогранника Sk (Ео ), т. е. не пе-
ресекается с его границей (см. п. 44.1).
Поскольку множество Ео ограничено и замкнуто, а граница
cSk(EQ) многогранника Д(Е0), как и граница любого множес-
тва, замкнута, то £0 и dSk(E) находятся на положительном
расстоянии 8 друг от друга (см. лемму 7 в п. 18.2).
8 = р(Ё0, ЗД(Ё))>0. (44.50)
Поэтому всякое множество D диаметра diam(Z)), меньшим чем
8, пересекающееся со множеством Еос:Ео, будет целиком
лежать в Д(Е0). Действительно, если diam(Z>)<8 и су-
ществует xf=D(yE0, то (см. (44.50)) DcU(x, 8)с=Д(Е0), где,
как обычно. U(х, 8) — шаровая окрестность точки х радиуса 8.
Пусть теперь т = {Е{} — разбиение множества Емелкости |т| < 8
и Дет0(Е0), т. е. ДР|Ео/0, а так как диаметр diam(Er)<8, то,
в силу сказанного выше, Дс=Д(Е0) (рис. 192). Поэтому
(J Д<=Д(£0).
£1ето <£О>
308
Следовательно, в силу (44.49),
X ЦД = Ц U Е^ц8к(Ё0)<Е. □
Е(®то(£О» £',-ет0<£0>
Введем еще одно обозначение. Пусть Е—измеримое мно-
жество, т = {Д}^1— некоторое его разбиение, £ос:£. Для
всякой функции определенной на Е, положим (см. (44.46) и
(44.47))
^(ЕО)-^(ЬО)(./; ^) = Е Ж(0М- (44.51)
Эта запись означает, что суммирование в правой части
равенства происходит только по тем индексам i, для которых
Е^тСЕ^). Как всегда Для симметрии записи обычные
интегральные суммы Римана можно по аналогии записывать в
виде
<?т = ЕЖ(°)НД-
£-еТ
Вместо символа суммирования £ иногда для краткости будем
Е^т
писать
г
Теорема 5. Пусть Е^-измеримое по Жордану множество
пространства Rn, x = {Ei}li=l{ — его разбиение, Е^сЕ и ц£о = 0.
Если функция f ограничена на множестве Е, то риманов
интеграл
\f(x}dE
существует тогда и только тогда, когда существует конечный
предел
lim сут,£ >.
IrHO т(£о’
При этом, если последний предел существует, то он равен
интегралу $f(x)dE.
Доказательство. Для всякого разбиения т = {£1_}-=У
множества Е у каждого элемента Et либо его замыкание £, не
пересекается со множеством £0, и тогда £;ет(£0) (см. (44.46)),
либо пересекается (см. (44.47)), тогда £(-ет0(£0). Следователь-
но, t = t(£o)|J^o(^o)’ причем т(£0) и т0(£0) не имеют общих
элементов.
Положим
%«„>- I Ж “>£,. 5“’ = £!
£1ет0 <Е0 ’
309
Здесь суммирование в правой части равенства происходит
только по тем индексам i, для которых £{ет0(£0). Очевидно,
что для любой интегральной суммы Римана стт справедливо
равенство (см. (44.42) и (44.51))
^ = ^(е0) + %(£0)- (44.52)
В силу ограниченности на Е функции /‘ существует такая
постоянная Л/>0, что для всех х^Е выполняется неравенство
|/fx)| М. Поэтому
Е-ет0(Ед) £zexo(EO)
Поскольку согласно лемме 4
lim £ цД = 0, то
|т|->0 Е^т0(£0)
lim о. ^> = 0.
|тН0 то(£о)
В силу этого, из равенства (44.52) следует, что интегральные
суммы ат и ст(£о) одновременно имеют или нет пределы при
|т|—>0, причем, если эти пределы существуют, то они равны. □
Из этой теоремы следует, что, если функция определена и
ограничена на некотором измеримом множестве Е, то при
определении интеграла, как предела интегральных сумм, в них
можно отбрасывать все слагаемые, соответствующие элементам
разбиения, замыкания которых содержат граничные точки, ибо
множество Е^ = сЕ имеет меру нуль (см. теорему 1 в п. 44.1).
Из теоремы 5 следует также, что если функция f определена
и ограничена на измеримом множестве Е, то изменение ее
значений на некотором множестве Е^Е меры нуль, в
результате которого снова получается ограниченная на Е
функция, не влияет ни на интегрируемость функции, ни на
значение интеграла от функции, если он существует. Это сразу
следует из того, что при указанном изменении функций сумма
ат(£ } не меняется, а в силу теоремы 5, если ее предел при |т|->0
существует, то он равен интегралу J/(x)<7£:
Из этого замечания, в частности, следует, что функция j
является интегрируемой на измеримом множестве Е тогда и
только тогда, когда на этом множестве Е интегрируема всякая
функция, получающаяся из f произвольным изменением ее
значений в граничных точках, т. е. на множестве Е^\8Е таким,
что эти значения остаются, однако, ограниченными. При
310
указанной операции не меняется и значение интеграла \J\x)dE.
Все это следует из того, что граница измеримого множества, а
значит, и любая ее часть, имеют меру нуль.
Таким образом, интегрируемость и значение интеграла от
функции по множеству Е не зависят от значений функции в
граничных точках измеримого множества Е, если только эти
значения ограничены.
44.4. СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА
Простейшим примером интегрируемой по Риману функции
является произвольная числовая функция f, определенная на
некотором множестве E^R", мера Жордана которого равна
нулю: цЕ=0. В этом случае для любого разбиения x = {Ei}li=lf
множества Е будем иметь |iEf = 0 для всех i = \, 2, ..., ix, и
потому при любом выборе точек получим /(^(1))цД = О,
и, следовательно, (см. (44.42))
<\ = <Ш ^-х’)=ЕЖ(°М = 0-
i = 1
Отсюда, согласно определению интеграла, он существует в этом
случае и равен нулю:
|/’(х)б/Е= lim сут = О.
Поскольку функция / произвольна, то в частности, она
может быть и неограниченной. Иначе говоря, условие огра-
ниченности функции не является необходимым для ее интег-
рируемости по Риману на произвольном измеримом по
Жордану множестве. Вспомним, что для интегрируемости
функции по Риману на отрезке условие ограниченности функции
было необходимым (см. теорему 1 в п. 27.2). Однако, с
некоторым видоизменением теорема об ограниченности интег-
рируемой функции оказывается справедливой и для рассматри-
ваемого здесь интеграла.
Предварительно докажем лемму.
Лемма 5. Пусть функция f определена на измеримом по
Жордану множестве Е, T = {Ej-ZiT—разбиение этого множест-
ва и Е* — объединение всех элементов этого разбиения, имеющих
положительную меру'. Е* = (J Et.
> о
Если функция f неограничена на множестве Е*, то каково бы
ни было число Л/>0, можно так выбрать точки что
будет справедливо неравенство
311
Е/(Л°)мД >М.
Следствие. Пусть функция f определена на измеримом по
Жордану множестве Е. Если у множества Е существуют сколь
угодно мелкие разбиения, для которых функция f неограничена на
объединении всех их элементов положительной меры, то
функция f неинтегрируема на Е.
Доказательство леммы. По условию леммы мно-
жество Е* является объединением элементов Д положительной
меры разбиения т. Поскольку всякое разбиение состоит из
конечного числа элементов, то Е* является конечной суммой
указанных множеств Дет. Поэтому, если функция f неограни-
чена на множестве Е*> то она неограничена и на некотором
множестве Д положительной меры. Пусть для определенности
им будет множество ЕР В силу неограниченности функции/на
Ег, можно выбрать такую последовательность ^и(1)^Ер л?=1, 2,
..., что будет иметь место равенство lim/(^J11)) = оо. Зафикси-
руем каким-либо образом остальные точки £>(1)еД при 1 = 2, 3,
Поскольку сумма £/(£,(1)) рД— фиксированное число и
|дЕ± > 0, то в сумме
i = 2
при первое слагаемое стремится к бесконечности, а
второе — постоянное; отсюда
Нт /(^1))цЕ)+ £/(£(,)) ЦД = + <х.
Поэтому для любого числа М>0 можно подобрать такой
номер n0 = nQ(M), что будет справедливым неравенство
,/Л )цЕ,+ £<<'’) цд
i = 2
м. □
Доказательство следствия. Если функция / интегри-
руема на множестве Е, т. е. существует предел
lim ЕЖ °’)мД = fЖ)dE'
|т|—° / = 1
то для любого 8<0, например для 8=1, существует такое 5>0,
что для всех разбиений т = {Д}-Ё11т множества Е мелкости |т|<8
312
при любом выборе точек ЕД* ^Е^т выполняется неравенство
<i
i = 1
и, следовательно, неравенство
№) dE-1 < Y <<-•’) цД < J/(x) dE+1, (44.53)
i= 1
т. е. множество всех интегральных сумм сгт при |т|<8
ограничено.
Если же функция f удовлетворяет условиям следствия, то у
множества Е существует разбиение т мелкости |т|<5, для
которого функция f неограничена на объединении всех элемен-
тов положительной меры этого разбиения. Тогда, по лемме 7,
сумму £ f&l)) цД можно сделать сколь угодно большой по
i = 1
абсолютной величине за счет выбора точек Поэтому
такая функция не может быть интегрируемой для нее не
выполняется условие (44.53). □
Покажем теперь, что если пренебречь множеством меры
ноль, то всякая интегрируемая функция будет ограниченной.
Теорема 6. Если функция f интегрируема на множестве Е,
то существует такое множество EQcE меры нуль: jiEq = О,
что функция f ограничена на E\EQ.
Доказательство. Пусть функция f интегрируема на Е, и
указанного в теореме множества Бо не существует. Возьмем
любое 8>0 и какое-либо разбиение т множества Е мелкости
|т|<8. Обозначим через Е* объединение всех элементов
положительной меры. Тогда множество Е\Е* является объеди-
нением конечного числа множеств Дет меры нуль, и поэтому
оно само имеет меру нуль: ц(£’\£*) = 0. Вследствие этого по
сделанному предположению функция f неограничена на мно-
жестве £*. Отсюда, согласно следствию из леммы 7, получаем,
что функция f неинтегрируема. □
Покажем теперь, что для важного класса измеримых по
Жордану открытых множеств теорема об ограниченности
интегрируемой функции полностью сохраняется. Для доказа-
тельства этого нам понадобится одна геометрическая лемма.
Лемма 6. Непустое пересечение замкнутого п-мерного куба
с открытым множеством п-мерного пространства имеет
положительную нижнюю меру Жордана.
Следствие. Для любого открытого измеримого по Жор-
дану множества существуют сколь угодно мелкие разбиения, все
элементы которых имеют положительную меру.
313
Доказательство леммы.
Пусть Q — «-мерный куб, G — откры-
тое множество пространства Rn и
QP\G^0. Какова бы ни была точка
x^QP\G, в силу открытости множест-
ва G, существует такая ее окрестность
U (х), что
C/(x)c:G. (44.54)
Нетрудно убедиться, что во множест-
ве U (х) всегда имеется внутренняя
точка у куба Q. В самом деле, может случиться, что сама точка
х является внутренней для куба Q и тогда можно взять у = х.
Если же х— граничная точка куба Q, то она является граничной
и для множества его внутренних точек. Поэтому ее окрестность
С/(х) заведомо содержит внутреннюю точку у куба Q (рис. 193).
В силу определения внутренней точки (см. п. 18.2), существует
такая ее окрестность V (у), что
И(у)<=2- (44.55)
В силу (44.54) и (44.55), справедливы включения
U{x)C\V(y^U{x)^G, U(x)[}V(y)^Q-
поэтому
U(x)[}V(y^Q(}G. (44.56)
Поскольку J’gL'(x) и y<=V(y), то пересечение t/(x)QK(y) не
пусто, ибо содержит во всяком случае точку у. Далее, будучи
пересечением двух открытых множеств, оно также является
открытым и потому (см. п. 44.1)
ц*[С/(<У(у)]>0.
В силу свойства монотонности нижней меры (см. лемму 1 в п.
44.1), из (44.56) имеем
цД[/(х)Пг(у)]^цлеПб).
Из двух последних неравенств явствует, что ц*(СП^)>0. □
Доказательство следствия. Пусть G — измеримое от-
крытое в Rn множество. Зафиксируем разбиение пространства
Rn на кубы некоторого ранга к. Множество кубов Q этого
ранга, имеющих непустое пересечение со множеством G,
является конечным, ибо множество G, в силу его измеримости,
ограничено. Перенумеруем все указанные кубы: Qt, Q2f Qix.
Множества Ei = Qi[)G^0f i=l, 2, ..., ix измеримы и образуют
разбиение T = {Ei}ii=if множества G. Действительно, с одной
стороны, E—Q^G^G, следовательно, (J E^G, а с дру-
зы
гой — каждая точка x^G, как и всякая точка пространства
принадлежит хотя бы одному кубу Q ранга к: x^Q(^G.
Тогда QQGget, т. е. при некотором i Q = Qi} поэтому
Таким образом, Q Ep=G.
i = 1 i = 1
Далее, E^EjCiQ^Qj. Если пересечение QiQQj непусто, то
оно представляет собой куб размерности, меньшей чем п, и
следовательно, является графиком непрерывной (даже линей-
ной) функции на компакте. Поэтому его мера равна нулю:
откуда и рДР £) = (), Наконец, согласно
лемме 8, рД>0.
Очевидно, что существуют сколь угодно мелкие разбиения т
указанного вида. Действительно, каково бы ни было 5>0, до-
статочно взять такой ранг к, чтобы ^<8(d(Q) = 10“\/й — ди-
аметр куба Q ранга к), тогда
6Z(^)-6Z(6fQG)^€7(6z)=10-/cy^<8, z=l, 2, ..., ix,
и поэтому |т|<8. □
Теорема 7. Если функция интегрируема на открытом
множестве, то она ограничена.
Доказательство. Пусть функция f интегрируема на
открытом множестве G. Тогда, согласно определению интегра-
ла, множество G измеримо по Жордану, а на основании
следствия из леммы 6, существуют сколь угодно мелкие его
разбиения, все элементы которых имеют положительную меру.
Очевидно, что, в силу леммы 6, для разбиений, построенных
при доказательстве следствия из указанной леммы, объединение
всех их элементов положительной меры совпадает с самим
множеством G. Если функция / была бы неограниченной на G,
то, согласно следствию из леммы 5, она была бы неинтегри-
руемой. □
Замечание. Как видно из приведенного доказательства
теоремы 7, открытость множества G потребовалась лишь для
того, чтобы показать, что существуют его разбиения сколь
угодно малой мелкости, все элементы которых имеют положи-
тельную меру. Тем самым для всех множеств, обладающих
этим свойством, интегрируемость на них функций влечет за
собой их ограниченность.
Легко, например, можно убедиться в том, что замыкание G
любого измеримого открытого множества G также имеет сколь
угодно мелкие разбиения, мера всех элементов которых
положительна. Действительно, достаточно снова взять все кубы
Qt ранга к, имеющие с G непустое пересечение. Тогда они будут
и подавно иметь непустое пересечение с замыканием G
315
множества G:QiPilG=iQi0G^0. При^ этом так как Sk(G) —
замкнутое множество и GcSk(G), то G<^Sk(G). Следовательно,
если положить Ei = QiQ\G, где QiP\G^0, то t = {EJ образует
покрытие замыкания G множества G, ибо многогранник Sk(G)
состоит только из указанных кубов Qt.
Упражнение 6. Построить пример функции, неограниченной и интегри-
руемой на множестве положительной меры.
Если функция f ограничена на измеримом множестве, то, как
и в одномерном случае, можно определить верхние и нижние
суммы Дарбу.
Определение 5. Пусть f—функция, ограниченная на измери-
мом по Жордану множестве Е, т = {£’-}-^11т —разбиение мно-
жества Е
mt = inf /(х), Mir- = sup Дх), i=\, 2, ..., zT.
x^Et
Тогда суммы
m^Ei, ST= £ Л/;цЕ;
i=l i=l
называются соответственно нижними и верхними суммами
Дарбу.
Аналогично одномерному случаю (см. определение 7 в п.
27.1), для сумм Дарбу функций многих переменных вводится
понятие предела при |т|—>0.
Для сумм Дарбу и интегральных сумм Римана справедливы
очевидные неравенства
*^т'
Как и для функций одной переменной, для любых двух
разбиений и т2 справедливо неравенство
Теорема 8. Для того чтобы ограниченная на измеримом по
Жордану множестве EczRn функция f была интегрируемой по
Риману на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы
lim (5Т — \) = 0.
И Но
(44.57)
При выполнении этих условий
lim S = lim S=\f(x)dE. (44.58)
h но It ho
Условие (44.57) равносильно следующему:
316
lim Yj Д)цД = О, (44.59)
I T |—*0 i = 1
где co(/‘; Д)— колебание функции f на множестве Дет = {Д}.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично одно-
мерному случаю и рекомендуется проделать читателю самосто-
ятельно.
Упражнение 7. Сформулировать определения пределов (44.57) — (44.59)
с помощью последовательностей и используя «е-8-язык».
Теорема 9. Если функция непрерывна на измеримом по
Жордану компакте, то она интегрируема на нем.
Доказательство. Пусть Е—измеримый компакт,
E<^R\ a f—непрерывная на нем функция. Всякая функция,
непрерывная на компакте, ограничена (см. п. 19.6) и равномерно
непрерывна (см. п. 19.7) на нем. Поэтому и здесь доказатель-
ство протекает аналогично одномерному случаю (см. п. 27.5):
легко получается оценка
Y ; E, )pE,<co(ST;/)цЕ,
1=1
где со(8, /) — модуль непрерывности функции /. Из этой оценки
сразу следует выполнение условия (44.59), а поэтому, согласно
теореме 8, и интегрируемость функции f. □
44.5 *. ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
Непрерывность функции не является необходимым условием
интегрируемости: существуют и разрывные интегрируемые
функции. Достаточно широкий класс разрывных интегрируемых
функций устанавливается следующей теоремой.
Теорема 10. Если функция ограничена на измеримом по
Жордану компакте и множество ее точек разрыва имеет
жорданову меру нуль, то эта функция интегрируема по Риману.
Доказательство. Пусть функция /определена и ограни-
чена на компакте, т. е. на ограниченном замкнутом множестве
Ec:Rn. В силу ограниченности функции/на Е существует такая
постоянная 7И>0, что для всех х^Е выполняется неравенство
|/(х)|«. (44.60)
Пусть Ео — множество точек разрыва функции f. По
условию теоремы щЕ^О, а поэтому для любого фиксирован-
ного £>0 существует такой ранг к, что
X™ (44.61)
317
Это следует из того, что в данном случае, согласно определе-
нию меры, lim pSk(Ео) = 0. Пусть многогранник Sk(EQ) состо-
к—*+ оо
ит из кубов Qlt Q2, ..., Qt. Обозначим через Pj куб,
получающийся из Qj преобразованием подобия с центром в
центре куба Qj и коэффициентом подобия равным трем; тогда
= У= h 2, ..., /. (44.62)
i
Положим Р= II Pj. В силу неравенств (44.61) и (44.62) имеем
j=i
= ц Ц f f 3"ц27 = 3>^(£0)<^. (44.63)
Отметим, что множество Р получается из Sk(E0) окаймлением
последнего полосой кубов с ребрами длины 10~\ поэтому
всякое множество А с диаметром d(A), меньшим чем 10 ,
пересекающееся с множеством Sk(E0), содержится в Р (рис. 194):
d(A)< 10"\
A^Sk(Eo)^0=>AczP,
(44.64)
Обозначим теперь через G мно-
Рис. 194
жество внутренних точек многогран-
ника Sk(E0). Очевидно, G — открытое
множество, а поскольку по условиям
теоремы Е замкнуто, то множество
F=E\G также замкнуто, причем в
силу ограниченности Е множество F
ограничено, поэтому F— компакт. Да-
лее, множество Ео лежит внутри мно-
гогранника Sk(Ео), т. е. Eq<^.G (как
отмечалось выше, см. п. 44.1, это
справедливо вообще для любого мно-
жества Е и вытекает из определения
многогранника Sk(E)). Отсюда явст-
вует что функция / непрерывна на
компакте F, а поскольку, кроме того,
множество F измеримо, как разность
двух измеримых множеств Е и G, то, согласно теореме 9,
функция / интегрируема на F. Поэтому для выбранного выше
8 > 0 существует такое 5 > 0, что для любого разбиения tf
множества F мелкости | tf | < 5 выполняется неравенство
V г
2
(44.65)
где 5Т, и лт—верхние и нижние суммы Дарбу функции /,
соответствующие разбиению tf множества F.
318
Пусть
80 = min{10“\ 8} (44.66)
т= {Ei}-=jT — какое-либо разбиение множества Е мелкости
|т|<80. Очевидно, что тг= {£;f)£}, где £;Q£^0, является
разбиением множества £ мелкости | xF | < | т | < 80, и поэтому, в
силу (44.66), для xF выполняется неравенство (44.65).
Положим
Mj = sup f (х),
x<==Ei
S,= E ад
inf /(x),
x^Ei
s.= E ™,ц£;,
i= 1
M i = sup f (x),
x^EiftF
inf Дх),
x^EiHF
St= E M'^E^F),
Ei^F* 0
S= £ ^;-ц(£гР)£).
EiOF*0
Каждое множество E,-gt либо пересекается c G, либо нет. В
случае непересечения, т. е. если ДП<7 = 0, то E^F, и для таких
индексов i имеем М^М'Ь Ei[\F=Ei.
Поскольку Е^0 и E^E^F[J G, то из Et(~}G = 0 следует,
что EiczF и, следовательно, Ei(}F^0. Поэтому, заметив, что
в нижеописанных суммах все слагаемые неотрицательны,
получим:
£ (7И- —ahJ цД = (М[ — m'i) рД^
EiC}G=0 Eif}G=0
< Е (л/;-аи;)ц(£;П^)=\-ч<|- f44-67>
EiC\G=0 2
Если же Д Q G^0, то, в силу (44.64) и (44.66), Е^Р
для этих индексов z (см. еще (44.63))
Е мД=ф U Е>
Ei^G^0 \EiOG*0
r 4М
Использовав очевидные неравенства | mi | М,
z=l, 2, ..., zT, непосредственно вытекающие из
применив неравенство (44.68), будем иметь
и поэтому
(44.68)
\МД^М,
(44.60), и
Е (М,—w,)p£,< Е
EiQG^0 EiHG*0
[ I 1 +1 m, I ] p£f
319
«С2М у ц£;<-. (44.69)
в;пе*0 2
Из (44.67) и (44.69) вытекает, что
i=l
= £ (Л/;-т;)ц£; + £ (Л/£-т;)ц£,.<|+| = £.
EjAG=0 EjAG^0 2 2
Отсюда, согласно теореме 8, следует интегрируемость функции
f на множестве Е. □
44.6 . СВОЙСТВА КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА
В этом пункте будут рассмотрены свойства кратного
интеграла, аналогичные свойствам интеграла от функции
одного переменного по отрезку. Напомним, что интегрируе-
мость какой-либо функции (по Риману) на некотором множест-
ве предполагает его измеримость по Жордану.
1°. Пусть Е — измеримое множество; тогда \dE=[iE.
Действительно, в данном случае подынтегральная функция
тождественно равна единице. Поэтому если т^Е^У-Т?— неко-
торое разбиение множества Е, то (см. (44.41))
2°. Пусть Е и Е* — измеримые множества, Е*<^Е и
функция f ограничена и интегрируема на Е; тогда она
интегрируема и на Е*.
В самом деле, множество Е** = Е\Е* так же измеримо, как
разность двух измеримых множеств. Пусть т* = (Е?}— разбие-
ние множества Е* мелкости | т* | и т** = {Е** } —разбиение
множества Е** мелкости |т**|^|т*|. Тогда т = {Е?, Е**}
является разбиением множества Е мелкости |т| = |т*|. Если
сот-£со(/; Е* JpE* + £ со(/, Е?*И*
т* т**
И
о)т. = £ со (/, £* )ц£*,
т*
то, очевидно, О^сот*^сот. Но lim сот = 0, а поэтому lim сот* = 0,
| т |->0 | т* 1—0
откуда и следует интегрируемость функции f на множестве Е*
(см. (44.59)).
320
3°. Аддитивность интеграла по множествам. Ес-
ли Е' и Е" — измеримые множества, E=E'\jE", E'Q^E" = 0 и
функция f ограничена и интегрируема на множестве Е, то
интегралы ^f(x)dEr и \J\x)dE" существуют и
р(х) dE=f/(x) dE' + f f(x) dE". (44.70)
Существование интеграла \f(x)dE' и ^f(x)dE" следует из
свойства 2°, поэтому нуждается в доказательстве лишь формула
(44.70). Пусть т' = {Е(} и т" = {£}'}—разбиения соответственно
множеств Е' и Е". Тогда т = {£-,£"} является разбиением
множества Е и его мелкость равна наибольшей из мелкостей
разбиений т' и т": |т|=тах {|т'|, |т"|}.
Пусть <= Е •, Т]0) s Е ',
ат = с?т< +ot„- (44.71)
В силу интегрируемости функции f на множестве Е, Е' и Е"
lim о. = [f(x)dE, lim = \f(x)dE', lim ат- = \f(x)dE".
| r HO J- |т'НО | г" НО
Поэтому, переходя к пределу в равенстве (44.71) при |т |->0,
получим (44.70).
Замечание. Следует обратить внимание на следующее
обстоятельство: может случиться, что функция f определена на
множестве E=E'[jE", где Е' и Е"— измеримые множества,
Е’ П-Е" =0, интегралы \f(x)dE' и $f(x)dE" существуют, а
интеграл $f(x)dE не существует.
Поясним сказанное на примере. Пусть (г, ф)— полярные
координаты точки на плоскости,
/(г, ф)=<
0, если г < 1,
1/ф, если г=1, 0<ф^2я,
Е'~{(г, ф): rd}— открытый круг, Е" — {(г, ф): г=1 } — окруж-
ность. Очевидно, цЕ" = 0, а поэтому, несмотря на то, что функ-
ция / неограничена на Е", она интегрируема и j/(r, ф) dE" = 0.
Существует и интеграл J/(r, ф)б/Е' = 0. Однако интеграл
И(г, ф)г/£ по замкнутому кругу E=£'(j£" не существует.
Действительно, множество Е представляет собой замыкание
области, поэтому у него существуют сколь угодно мелкие
разбиения, все элементы которых имеют положительную меру.
Следовательно (см. замечание к теореме 7), всякая интегриру-
емая на Е функция ограничена, а заданная функция f
неограничена и поэтому не интегрируема.
321
Важно отметить, однако, что для ограниченных функ-
ций подобной ситуации быть не может: если функция f
ограничена и интегрируема на измеримых множествах Ё'
и Е”, E'f^E" = 0, то она интегрируема и на множестве
E=E'\jE", причем справедлива формула (44.70). Это будет
доказано в п. 44.7*.
Заметим лишь, что в случае, когда одно из множеств Е'
или Е" имеет меру нуль, то интегрируемость ограниченной
функции /' на их объединении, в предположении ее интегри-
руемости на каждом из них, можно получить почти дослов-
ным повторением рассуждений, проведенных при доказательс-
тве теоремы 10. В самом деле, пусть f интегрируема и
ограничена на измеримых множествах Е' и Е", цЕ' = 0,
E=E'[jE". Тогда, если, как и в указанном доказательстве,
построить множество G о Е'(множество Е' играет здесь роль
множества Ео из теоремы 10) и положить E=E\G, то будем
иметь F<^E” и, следовательно, в силу свойства 2 е интегралов,
функция f окажется интегрируемой на множестве F, откуда, как
и выше, вытекает ее интегрируемость на множестве Е, а значит,
в силу свойства 3 , и справедливость формулы (44.70), где
$f(x)dE' = 0.
Из доказанного следует, что, ^ля того чтобы функция
Ё ограниченная на замыкании Е измеримого множества
Е, была интегрируема на Е, необходимо и достаточно, чтобы
она была интегрируема на его замыкании Е, причем
J f(x) dx = J f (x) dx.
E Ё
Действительно, если интеграл существует по множеству Е,
то так как граница дЕ измеримого множества £ имеет меру,
равную нулю, то и ц(Е\Е) = 0, ибо Е\Ес=ЗЕ. Поэтому
J /’(х)б/х = 0, а так как Е=Е \)(Е\Е\ то, в силу сказанного
Ё\Е
выше, f f (х) dx = f/(х) dx + J /‘(х) dx = J/(x) dx.
Ё E Ё/E E _
Наоборот, если существует интеграл по замыканию Е
множества Е, то, в силу свойства 2(, он существует и по самому
множеству.
4°. Линейность интеграла. Если функции и /2 интегрируемы
на множестве Е, то для любых чисел и Х2 существует
интеграл f [^i/i (х) (х)] dE и справедливо равенство
f [/ 1/1 (*) + W2 W] dE=)^ J/i (x) dE+ X2 f/2 (x) dE.
5°. Если функции f и g интегрируемы и ограничены на
некотором множестве, то и их произведение и отношение f / g
(при inf I g I > 0) интегрируемы на этом множестве.
322
6°. Интегрирование неравенств. Если функции fug интегри-
руемы на множестве Е и для всех хеЕ выполняется
неравенство (х), то
\f(x)dE^g(x)dE.
7°. Если функция / интегрируема и ограничена на множестве
Е, тогда и ее абсолютная величина |/| интегрируема на нем,
причем
Доказательство свойств 4°, 5°, 6 , 7° проводится совершенно
аналогично одномерному случаю (см. п. 28.1).
8°. Монотонность интеграла от неотрицательных функций по
множествам. Если Е и Е* — измеримые множества, Е^аЕ,
функция f неотрицательна, ограничена и интегрируема на Е, то
f/(x) dE * < J/(x) dE. (44.72)
Действительно^ в силу свойств 2° и 3 , интегралы \J\x}dE* и
\f(x)d(E\E*) существуют и
№) dE=\f(x) dE *+f/(x) d(E\E *)
Поскольку /(х)^0, то, в силу свойства 6°, \ffyd[E\E*y^Tf а
отсюда и следует неравенство (44.72).
9°. Пусть функция f интегрируема и неотрицательна на
измеримом открытом множестве G, х° е G, функция f непрерыв-
на в точке х(0) и /(х(О))>0. Тогда
|/(х)бЙ7>0. (44.73)
Действительно, в силу непрерывности функции f в точке х(0)
для любого е > 0 существует такая окрестность U= U (х(0)) этой
точки, что для всех хе U выполняется неравенство /(х(0))—г<
</(х)</(х(0)) +е. При этом в силу открытости множества G
окрестность U всегда можно выбрать так, чтобы UciG.
п а Ж0))
Выбрав 8 = ™—-
. получим для него такую окрестность J7, что
для всех х, принадлежащих этой окрестности, будем иметь
f\x)> v . Отсюда, применяя последовательно свойства 8е, 6° и
1°, найдем, что
dG> f(x)dUp&
du=^l^U>0,
ибо ц[7>0, как мера всякого открытого множества □
Отметим непосредственное следствие из свойства 9°.
323
Следствие. Если функция f непрерывна, интегрируема и
неотрицательна на измеримом открытом множестве G и не
является тождественным нулем, то ^f{x)dG>Q.
10°. Полная аддитивность интеграла по множествам. Пусть
функция f ограничена и интегрируема на множестве Е, а {Ек} ,
к =1.2, ...?—последовательность таких измеримых множеств
Ек с= Е, что
lim (44.74)
к-* + 00
Тогда
lim \f(x)dEk = \f(x)dE. (44.75)
к-+ + оо
В силу аддитивности интеграла имеем
f/(x) dE-f /(х) dEk = f/(x) d(E \Ek\
Поскольку по условию функция f ограничена, т. e. существует
такая постоянная Л/>0, что |Дх) для всех хеЕ, то
| \f(x)dE-\f(x)dEk | = | f/(x)rf(£\£k) i^f |/(х) | d(E\Ek)^
^M[d(E\Ek)=M^(E\Ek).
По аддитивности меры имеем = p£fc, следова-
тельно,
| f Дх) dE-JДх) dEk | < М(рЕ- ц£Л).
Отсюда, в силу (44.74), и следует (44.75). □
11°. Теорема о среднем. Пусть функции fug ограничены
и интегрируемы на множестве Е. Если функция g не меняет
знака на Е и m^f(x)^M, хеЕ, то существует такое число к,
т^к^М, что
f/(x) g (*) dE— к f g (x) dE.
Следствие. Пусть E—измеримое линейно связное мно-
жество или замыкание линейно связного множества. Тогда если
функция f ограничена, интегрируема и непрерывна на Е, то
существует такая точка %еЕ, что
f/(x)J£=/(^)g£.
Теорема о среднем доказывается совершенно аналогично
одномерному случаю (см. п. 28.2). Для получения следствия
надо использовать теорему о промежуточных значениях функ-
ции, непрерывной на линейно связном множестве или на его
замыкании (см. п. 19.5).
С последовательностями измеримых множеств, обладающих свойством
(44.74), мы уже встречались; см., например, теорему 2 в п. 31.2.
324
44.7 *. КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ
РИМАНА И ДАРБУ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
Пусть функция f определена и ограничена на измеримом по
Жордану множестве Е, т=={Д} \=1[— его разбиение, mf = inf/
'т ч Е
Mi = sup f, sx = У m; p E„ Sx = У H Д —нижняя и верхняя
E i = 1 i — 1
суммы Дарбу, соответствующие разбиению т. Положим
7* = sup 7 * = (44.76)
т т
7* называется нижним, а 7*— верхним интегралом Дарбу
функции / Оказывается, что нижний и верхний интегралы
Дарбу являются не только соответственно верхней и нижней
гранью интегральных сумм Дарбу, но и их пределом при
условии, что мелкость разбиений стремится к нулю.
Теорема 11. Если функция /ограничена на измеримом по
Жордану множестве Е, то
Е = lim у_, I * = lim Sr
14-0 14—0
Доказательство. Установим справедливость первой фор-
мулы (вторая доказывается аналогично). Пусть |/(х) | М, хеЕ,
а 8>0 задано. В силу определения (44.76), существует такое
разбиение т* = {Е*) множества Е, что
Т £
s * > Е — -.
т * 3
(44.77)
’ 4.
Здесь .sT* = У т*
;=1
inf/, z=l,2, ..., ix*. Пусть
£*
гт*
' Ео = IJ дЕ*. (44.78)
i= 1
Поскольку каждое множество Е* измеримо,, то [idE * = 0;
поэтому ц Ео = 0. Следовательно, существует такой ранг k = k(s),
что
(44.79)
Покажем, что для любого разбиения т = {Д} множества Е
мелкости |т|<10-/с выполняется равенство
(44.80)
325
В силу произвольности £>0, это и означает, что lim sx = E.
|?Н0
Неравенство sx^I* непосредственно вытекает из определе-
ния нижнего интеграла I* (см. (44.76)). Поэтому надо доказать
лишь неравенство
(44.81)
при условии I Т I < 10 “А
Пусть Sk = Sk(E0) состоит из кубов ..., Qm. Аналогично
тому, как это было сделано при доказательстве теоремы 10,
обозначим через Pj куб, получающийся из Qj преобразованием
подобия с центром в центре куба Qj и коэффициентом подобия,
равным 3, 7=1, 2, ..., т. Положим
Р= Q рр G = E\P. (44.82)
J=1
Из определений множеств Р и G следует, что множество G
отделено от многогранника Sk(EQ) «полосой» кубов с ребрами
длины 10 "А Прежде всего оценим меру цР. Из определения
множества Р (см. (44.82)) и неравенства (44.79) имеем (сравните
с (44.63))
т т т
цР = ц и £ ир,.=3" X н27 = 3'’ц^(£0)<-|-. (44.83)
j=l j=l j=l
Далее заметим, что для любого множества AczE с диамет-
ром б/(Л)<10“\ пересекающимся со множеством G: A(}G^0.
существует, и притом единственное, множество Е ? е т* такое,
что
AczE*. (44.84)
Действительно, выберем какую-либо точку xeA(}G. Поскольку
A cz Е, то х е Е, и поэтому точка х содержится в некотором
элементе Е* разбиения т*. Для этого элемента и выполняется
включение (44.84). В самом деле, если это включение не имело
бы места, то нашлась бы точка уеА \Е*. Поскольку хе А, уеА
и d(A)<10~k, то p(x, j)< 10"А Следовательно, отрезок с
концами в точках х и у, имея длину, меньшую, чем 10 *, и один
конец х во множестве G, не пересекается со множеством Sk (Ео),
ибо оно отделено от G полосой ширины 10~к. Однако из того,
что один конец отрезка принадлежит некоторому множеству, в
данном случае — множеству Е*, а другой нет, следует (см.
лемму 9 в п. 18.2), что на этом отрезке существует точка
zedE*. Но (см. (44.78)) дЕ*czЕоczSk(Ео), т. е. zeSk(E0).
Следовательно, указанный отрезок пересекается со множест-
вом Sk (Eq). Полученное противоречие и доказывает вложе-
ние (44.84).
326
Докажем единственность множества Ef, удовлетворяющего
включению (44.84). Пусть существует еще одно множество
Е*ет*, такое, что АсЕ*, k^i. Тогда AczEf^E^. Если
пересечение E*(}E% содержало бы хоть одну точку, являю-
щуюся одновременно внутренней для множеств Е* и Е£, то эта
точка была бы внутренней и для пересечения E^QEf, а тогда
имело бы место неравенство pE*f)E*>0. Это неравенство
противоречит определению разбиения (см. п. 44.3), в силу
которого цЕ*ПЕ* = 0 при i^k. Следовательно, каждая точка
пересечения Е*С|Е*, поэтому и каждая точка множества А.
является граничной точкой по крайней мере для одного из
множеств Ef. Е%. Но тогда Ac Q дЕ * = Ео cz (Ео). Это
i=l
невозможно, так как множество А пересекается со множеством
G, которое не пересекается с Ек(Е0). Противоречие получилось
из предположения о существовании второго элемента Е* из т*,
содержащего множество А. Следовательно, такой элемент
единствен.
j=jx
Возьмем теперь произвольное разбиение т = {Е;} .= 1 мно-
жества Е мелкости |т|< 10“*. Нижнюю сумму Дарбу
Л
ST= X mjV-EP mi= inf /(*)’ 7=1, 2, ... ,jT,
j = i xeEj
разобьем на два слагаемых, соответствующих тем Ер которые
пересекаются со множеством G, и тем, которые с ним не
пересекаются и, следовательно, целиком лежат в множестве Р
(см. (44.82))
5t= X mjVEj+ X mjV-Ej- (44.85)
EjC}G^0 Ej<=P
Использовав очевидное неравенство
j=l,2, ...,л, (44.86)
где |/(х)|^М, хе Е, и оценку (44.83), получим
X mjilEj < X \mj\PEj^M X (J
Ej<=P EjcP Ej^P Ej<=P
^МцР<М—=~.
и ЗЛ/ 3
В частности, X mjy-Ej> ~ ~ Поэтому из (44.85) имеем
£,-<=£ 3
\> X mjP-Ej-1- (44.87)
Ef\G*0
327
Теперь заметим, что d(E^\ т |< 10~/с, поэтому для каждого
Ер пересекающегося со множеством G, в силу (44.84), су-
ществует такое что EjCzEf. Обозначим через Gf
объединение всех тех Ер которые пересекаются с G и
содержатся в Е*:
G,- J Е,.
Ej<=E?, EjpiG^0
Группируя в сумме m^Ej слагаемые, содержащиеся в
Е^0
одном и том же множестве G';, запишем ее в виде
I Е (44-88)
j=i EjtiGi
Для оценки внутренней суммы заметим, что для любого
i= 1, 2, ... , ix, согласно очевидному равенству
\<7()
(второе равенство следует из включения б(сЕ(*), имеем
т * цЕ*=т ? р Gi+m * ц(Е* \G))=
= Ej+m ? p(E* \G,) =
£jcG;
=т* £ pEy+w7*p(E*\Gf). (44.89)
Ej с: Gj
Оценим второе слагаемое. Каждая точка хеEf \Gt принадле-
жит некоторому множеству £) е т : х е Ер Это Е) не может
пересекаться с G, так как всякое Е7-ет, пересекающееся с G,
целиком содержится в некотором элементе разбиения т* (см.
(44.84)). Поскольку пересечение Ej(}Ef непусто: xgEjQE*, то в
данном случае этим элементом может быть только множество
Е-\ т. е. EjCzEf. Но тогда, в силу определения множества Gh
имело бы место включение EJczGl и, следовательно, xeGf. Это
противоречит предположению, что х е Е f \Gp Итак, множество
Ej не пересекается с G и поэтому Е^Р. Отсюда, в частности,
вытекает, что хеР. Поскольку х — произвольная точка мно-
жества Е ? \Gh то Е f \Gt с Е, и поэтому Е^\С^Е f (]Р.
Использовав это включение и неравенство (44.86), получим
w*p(E*\G^JWp(E*nP).
Подставив это неравенство в (44.89), будем иметь
т*цЕ*^ £ /?г*цЕ7.+Л/ц(Е?:ПР).
E^G,
328
Теперь заметив, что из включения Ej^G^E* следует
неравенство, (нижняя грань подмножества не меньше,
чем нижняя грань самого множества), получим
E^Gt
откуда
£ т j\iE^m 't \хЕ f — Мр[Е?()Р).
Просуммировав обе части по i от 1 до /т*, в силу (44.88),
будем иметь
£ т^Е^ f £ p(E*QP) =
Ej(}G*0 i = l . •=!
Ц(Е?ПР).
i= 1
Поскольку, согласно (44.83),
f ц(£ГПР) = ц Q P<^,
TO
c
£ m^Ep-s,.- (44.90)
E,(}G*0
Применив теперь последовательно неравенства (44.87),
(44.90) и (44.77), получим
лт> X miН Ei~ |> V- |>Ц-Е,
1. е. неравенство (44.81), а следовательно, и теорема И,
доказаны. □
С ее помощью можно установить два критерия интегри-
руемости ограниченной функции.
Теорема 12 (критерий Дарбу). Ограниченная на измеримом
по Жордану множестве функция интегрируема по Риману тогда
и только тогда, когда ее верхний и нижний интегралы Дарбу
равны.
Доказательство. Пусть I* и /*— соответственно ниж-
ний и верхний интегралы Дарбу функции /, ограниченной на
измеримом множестве Е. Следовательно, для любого разбиения
т множества Е выполняются неравенства (см. (44.76))
sT^7^/*<ST. (44.91)
329
Необходимость условия /* = /*. Если функция f
интегрируема на множестве Е, то (см. (44.57))
lim (S' — $)=0,
М-о
и, поскольку 0<7* — 7^.<ST —sT, то L=I*.
Достаточность условия Е —I*. Если 7 =7* то в силу
теоремы 11,
lim (S,—s)= lim S— lim 5 =7* —7 =0,
M-o M-o ItHO
и поэтому, согласно теореме 8 из п. 44.4, функция /
интегрируема. □
Теорема 13 (критерий Римана). Ограниченная на измеримом
по Жордану множестве Е функция / интегрируема по Риману
тогда и только тогда, когда для любого 8>0 существует такое
разбиение т множества Е, что
ST-5T<8, (44.92)
где sx и ST - нижняя и верхняя суммы Дарбу функции /,
соответствующие разбиению т.
Доказательство. Если функция f интегрируема на
множестве £, то для нее выполняется условие (44.57) (см.
теорему 8 в п. 44.4). Справедливость (44.92) следует из
определения предела сумм Дарбу при |т|->0.
Если, наоборот, выполняется условие (44.92), то в силу
(44.91), при любом 8>0 справедливо неравенство 0^/* —/*<8
и поэтому = Отсюда, согласно теореме 12, и вытекает, что
функция f интегрируема на множестве Е. □
Вспоминая определение кратного интеграла (см. п. 44.3)
теорему 8 из п. 44.4 и теоремы 12 и 13, получим для ограни-
ченных функций эквивалентность следующих пяти утверждений:
1) функция f интегрируема на множестве Е, т. е. су-
ществует предел lim от = f f{x) dE;
М-о
2) lim (ST-sT) = 0;
M-o
3) lim £ (d(/; T = {Ei}i=l—разбиение множе-
M-0.i=i
ства E;
4) для любого 8>0 существует такое разбиение т мно-
жества Е, что 5Т —5Т<8;
5) Ц = 1*.
Таким образом, выполнение каждого из этих условий
равносильно существованию интеграла J/(x)JE, причем
\f[x\dE= lim сгт= lim sT= lim Sx.
|т|—>0 |t|-0 M—0
330
Замечание 1. Доказанные теоремы позволяют теперь без
труда доказать аддитивность интеграла по измеримым мно-
жествам для ограниченных функций (см. п. 44.6, свойство 3) в
следующем виде: если ограниченная функция f интегрируема на
непересекающихся множествах Ег и Е2, то она интегрируема и
на множестве E=Et\JE2.
Действительно, если функция f ограничена и интегрируема
на множествах Ег и Е2, то, в силу теоремы 13, для любого е>0
существуют разбиения и т2 соответственно множеств Е± и Е2
такие, что
(44.93)
Поскольку является разбиением множества E=EX\JE2
и соответствующие ему верхняя Sx и нижняя sx суммы Дарбу
выражаются через аналогичные суммы Дарбу, соответствующие
разбиениям и т2, по формулам SX = SX + \ , *vT = ^T , то
вычитая из первого из этих равенств второе, получаеЛ, в 2силу
(44.93),
Из выполнения этого условия следует (снова согласно
теореме 13), что функция f интегрируема на множестве Е.
Замечание 2. Как уже отмечалось в п. 44.3, для функций
одной переменной, определенных на отрезках, мы располагаем
двумя определениями интеграла, а именно, определением,
данным в п. 27.1—с помощью разбиений отрезков только на
отрезки, и определением из п. 44.3 — с помощью разбиений
отрезков на любые измеримые по Жордану множества. Эти два
определения эквивалентны.
Докажем это. И при первом и при втором определении
необходимым условием интегрируемости является ограничен-
ность рассматриваемой функции: см. теорему 1 в п. 27.2
и замечание к теореме 7 в п. 44.4. (отрезок является за-
мыканием интервала, т. е. замыканием открытого множества).
Поэтому рассмотрим ограниченную на некотором отрезке [я, Z?]
функцию, f. Пусть для этой функции существует интеграл
1= lim У в смысле п. 44.3, т. е. для всевозможных
|т|-0 i=l
разбиений т = {Д}-=-т отрезка [а. на измеримые по Жордану
множества Et. Тогда, если ограничиться лишь частью разбиений
т, для которых все множества Д являются отрезками, то при
i
|т|—>0 предел интегральных сумм по указанной
i=i
части разбиений также будет существовать и будет равен тому
331
же числу 1 Следовательно, если существует интеграл в смысле
п. 44.3, то он существует и в смысле п. 27.1.
а
Пусть, наоборот, существует интеграл I=\f(x)dx в смысле
ь
п. 27.1. Тогда, согласно теореме 2 из п. 27.4, lim (Sx—sx) = 0, где
г -I кНО
т — разбиение отрезка [а, Ь\ на отрезки. Следовательно, для
любого а > 0 существует такое б > 0, что для всякого разбиения т
отрезка [«, £>] на отрезки длин, не превышающих б, справедливо
неравенство Sx—sx<s. Но уже *из того, что существует по
крайней мере одно разбиение т, для которого выполняется
неравенство Sx — sx<t, следует, согласно теореме 13 из этого
пункта, что функция / интегрируема в смысле определения
п. 44.3.
Итак, оба определения интеграла по отрезку действительно
эквивалентны.
Аналогично одномерному случаю для функций многих
переменных формулируется и доказывается критерий интегри-
руемости функций в терминах описания множества точек
разрыва функции, называемый также критерием Лебега. Сфор-
мулируем его.
Множество в /7-мерном пространстве называется множест-
вом «-мерной лебеговой меры нуль, если для любого заданного
£>0 это множество можно покрыть системой открытых шаров,
сумма объемов которых меньше 8.
Примеры. 1. Множество, жорданова мера которого равна
нулю, является и множеством лебеговой меры нуль.
2. Всякбе счетное множество является множеством лебего-
вой меры нуль.
3. Множество рациональных чисел на числовой прямой
является примером множества одномерной лебеговой меры
нуль, которое не является множеством меры нуль в смысле
меры Жордана.
Теорема 14 (критерий Лебега). Для того чтобы функция
была интегрируема по Риману на измеримом по Жордану
множестве, необходимо и достаточно, чтобы множество точек
ее разрыва было множеством лебеговой меры нуль.
Доказательство критерия Лебега проводится по той же
схеме, что и в одномерном случае.
§ 45. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА
К ПОВТОРНОМУ
Перейдем теперь к свойствам кратного интеграла, связан-
ным со специфическими чертами, отличающими многомерный
332
случай от одномерного. Использование
этих свойств часто существенно облегчает
вычисление конкретных кратных интегра-
лов. Полные доказательства будут прово-
диться лишь для случая функций двух
переменных. Общий и-мерный случай в
идейном отношении не отличается от плос-
кого, однако рассуждения там принимают
более громоздкий и трудно обозримый
вид.
Рис. 195
45.1. СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
К ПОВТОРНОМУ
В настоящем параграфе будет показано, что интегрирование
функций многих переменных может быть сведено к последова-
тельному интегрированию функций одной переменной. Начнем
с того, что определим понятие повторного интеграла;
Пусть на отрезке [а, Ь] заданы непрерывные функции <р (х) и
ф(х) такие, что (р (х) ф (х), а^х^Ь, и пусть на множестве
(рис. 195)
Е={(х. у)\а^х^Ь. <р(х)^у^ф(х)} (45.1)
определена функция f(x, у).
Если для любого фиксированного хе [a. Л] функция f(x. у),
как функция переменного у, интегрируема на отрезке [ср (х),
\|/ (х)], т. е. при любом xg [tz, /?] существует интеграл J f(x, y)dx
ф (х)
и функция
х|х (X)
F(x)= f f(x, y)dy (45.2)
ф(х)
интегрируема на отрезке [а. 6], то интеграл
(45.3)
называется повторным
интегралом и обозначается через
Ь ф (х)
$dx f f(x, y)dy. •
а ф (x)
(45.4)
Функция F(x), задаваемая равенством (45.2), называется
интегралом, зависящим от параметра х. Таким образом,
повторный интеграл (45.4) является интегралом от интеграла,
зависящего от параметра (см. также § 53, 54).
333
Заметим, что множество Е. задаваемое формулой (45.1),
измеримо в смысле плоской меры Жордана и замкнуто.
Действительно, из непрерывности функций ср и ф на отрезке
[а. b ] следует их ограниченность, а поэтому множество Е
ограничено. Далее, его граница дЕ состоит из графиков
указанных функций ф и ф, а также, быть может, отрезков
прямых х = а и х = Ь. Каждое из указанных множеств имеет
меру нуль (см. теорему 3 в п. 44.2), а поэтому и граница дЕ
множества Е также имеет меру нуль. Наконец, множество Е
задается с помощью нестрогих неравенств a^x^b. ф(х)^у<
<ф(х), где функции (риф непрерывны, следовательно, эти
неравенства сохраняются и при предельном переходе, откуда и
вытекает замкнутость множества Е. Таким образом, Е—изме-
римый компакт.
Достаточные условия для возможности сведения двукрат-
ного интеграла к повторному даются следующей теоремой
Теорема 1. Пусть функция f(x, у) непрерывна на мно-
жестве Е, заданном формулой (45.1). Тогда
b f (х)
П-Ж y)dxdy = \dx f f(x, y)dy. (45.5)
E a q> (x)
Доказательству теоремы предпошлем следующую лемму.
Лемма 1. В предположениях теоремы 1 функция (45.2)
непрерывна на отрезке [а, А].
Доказательство леммы. Прежде всего заметим, что
интеграл (45.2) существует при любом хе [а, 6]. Действительно,
функция Дх, у), будучи непрерывной по совокупности перемен-
ных х и у, непрерывна по каждому из них. Поэтому указанный
интеграл существует как интеграл от непрерывной по у функции
на отрезке [ф(х), ф(х)].
Выполнив в этом интеграле замену переменной у на г по
формуле
у = ф(х) + [ф(х) — ф(х)]t, O^Z^l, (45.6)
получим
= £/[•*’ ф(х)+(Ф(х)-ф(х))/](Ф(х)-ф(х))<*. (45.7)
О
Положим
Поскольку функция g(x, получается с помощью арифметиче-
ских операций и композиции из непрерывных функций ft ф, ф и
(45.6), то в силу теоремы о непрерывных функциях (см. п. 19.4 и
334
19.5), g(x, t) непрерывна по совокупности переменных х, t на
прямоугольнике
Р={(х, i):a^x^b, O^z^l}.
Таким образом, для функции F(x) (см. (45.2)), в силу (45.7),
имеет место более простое представление
1
F(x) = fg(x, t)dt
О
(более простое в том смысле, что в нем постоянны пределы
интегрирования).
Пусть теперь хе [а. Ь], х + Дхе [cz, Л]. Обозначим через со(8;
g) модуль непрерывности (см. п. 19.6) функции g(x, /). Тогда
|Г(х+Дх) —F(x)| =
i i
fg(x+Ax, t)dt-$g(x, i)dt
0 0
L
^f|g(x+Ax, t)-g(x, t) | dt co (| Ax I; g).
0
(45.8)
Функция g(x, z), будучи непрерывной на ограниченном
замкнутом множестве Д, равномерно непрерывна на нем, а
поэтому (см. п. 19.6) lim со(8; g) = 0. Отсюда, в силу неравенства
8—►О
(45.8), имеем:
lim [F(x+Ax)~ F(x)] = 0,
Ах—-О
что и означает непрерывность функции F(x), определенной
формулой (45.2).
Доказательство теоремы. Прежде всего заметим, что
интеграл, стоящий в правой части равенства (45.5), т. е.
b Ь ф (х)
J F(x)dx = \dx f /(х, y)dy.
а а <р (х)
является интегралом от непрерывной функции (см. лемму) и
поэтому существует.
Для доказательства равенства (45.5) разобьем отрезок [cz, b]
на к равных отрезков точками
x£ = cz+^y^z, z = 0, 1, ..., к (45.9)
(к фиксировано), и рассмотрим функции
335
Ф0(*) = ф(*)>
Ф i (х) = ф (х) + ,
фДх) = ф(х)+Ф(а)^<р(л)7,
фл (%)=ф (х)+IkLiW =ф (х),
^Ь, (45.10)
(рис. 196). Очевидно, из фор-
мул (45.10) следует, что
;=1. 2.... к. (45.11)
Положим
Е$* = {(х, у): х; _ j < х < xf,
Ф7_1(х)^у^ф>(х)}, (45.12)
z, j=l, 2,. к.
Множества Е($ образуют
разбиение (обозначим его тк)
множества Е (рис. 196): тЛ = {£^)}. Покажем, что
lim | тк | = 0. (45.13)
k—*оо
Функции <p(x) и ф(х), будучи непрерывными на отрезке [я,
/?], ограничены на нем, т. е. существует такая постоянная о О,
что для всех точек хе [a, h] выполняются неравенства
|ф(х)|^С, |ф(х)|^с,
и, следовательно, из формул (45.11) вытекает, что
I Фу й - Фу -1 (а-) | 1Ф(х) 1+1 ф WI 1, 2, .... А, (45.14)
Пусть (х, у) е Е(х', у') е Еу. Оценим расстояние
р((х', у'), (х, у)) = ч/(х' -х)2 + (у'-у)2.
Имеем
(45?9) А'
(45.12)
(45.15)
336
I у' - УI I у' - Фу (*') I +1 Фу СИ - Фу (х) I +1 Фу (х) - У | < 2)
I Фу (х') - фу-1 (х') | +1 Фу (*') - Фу WI +1 Фу W- Фу-1 (*) I 5 Л1
(4-5.14)
<7+®.(фу)’ (45.16)
где а\(ф;)= sup • |ф.(х') — Ф7-(х)|— колебание функции ф7 на
х, x'G [xf Х;]
отрезке [xf_19 xj.
Поэтому если (х, у)еЕ%\ {х',у')еЕто
р((х', у')’ (-х >’))=\/(x'“x)2+(>,'~>’)2^I-y'-xI+I>’'“J;I <
(45.15)
(45.16)
h — a , 4с z х
+т+”.Ы-
z, у=1, 2, ..., к, (45.17)
и, следовательно, для диаметров diamE$' множеств
выполняются неравенства
diamE<P= sup р((х', у'), (х, у))^
(*. >), (х'. у')е£^
^^+т+«Мфу)> г> /=1’ 2’ •••’ к-
к к J
(45.18)
Поскольку все функции ф15 <р2, ..., <рк непрерывны, а поэтому
и равномерно непрерывны на отрезке [a, Z?], то для любого £>0
существует такое 3£>0, что при 0<8<Зе для модулей непрерыв-
ности го (8; ф7) функций ф7 выполняются неравенства
со(8; фу)<|, ./=1, 2, ..., к.
(45.19)
Выберем теперь число /<0 так, чтобы имели место нера-
венства
b — a g b — а^г 4с<е
ТГ< £’ '7Г<3’ ^<з’
тогда для всех к>к0, в силу соотношения
Ь—а Ь—а ~
будем иметь
/ \ / Ь — а \ 8
Ф7)^со ф7 <
J \ к у (45.19)3
(45.20)
(45.21)
337
Таким образом, для всех k>kQ и всех z, у= 1, 2, к
выполняются неравенства
diam£(/c) < ^+^+cof((p.)
(45.18) к к
<
(45.20)3 3 3
(45.21)
а так как (см. п. 44.3)
| тк | = max diam Е
то при всех указанных к имеют место неравенства
|тк|<8.
Это и означает выполнение условия (45.13).
Теперь имеем
Ь ф(х) к X; ф(х)
\dx f Дх, y)dy=Y J dx f f(x, y)dy =
a Ф (x) i = 1 xt _ г <p (x)
к xi к <?j(x)
= Ё J dxt J f(x, y)dy =
i= 1 xf l j= 1 (p._j (x)
к к x ф (x)
= Ё Ё S dx f Ж y)dy-
i= 1 j= 1 x ф. (x)
Положим
= inff(x, Д и My = sup/(x, Д, i, y=l, 2, k.
Eij Eij
Заметив, что (см. п. 32.1)
гЖ f [фЖ~ф./-ЖЖ
Xi- 1
получим
Х1 ф (х) xi ф (х)
f dx f f(x, y)dy^Mij f dx f dy =
Xi-1 Ф7-1(х) x/-l «Pj-jGO
= Mtj f [фЖ-Ф,Жх)Ж = ЛЖ£и (45.22)
Xi- 1
и, аналогично,
Xj (X)
J dx f f{x, y)dy^mijp.EiJ. (45.23)
Фу.^Х)
338
С помощью неравенств (45.22) и (45.23) для повторного
интеграла (45 4) получаем следующую оценку через нижние и
верхние суммы Дарбу sT и Sx функции /(х, jA:
к к ' f
к к Ъ \|/ (х)
\= Е Е m^y-E^dx f f(x, y}dy^
i=l j=l a (p(x)
к к
Z M^E^S (45.24)
i=i j=i
Мелкости разбиений тк стремятся к нулю (см. (45.13)),
поэтому, в силу интегрируемости функции /(х, у) на Е (см. п.
44.4),
lim s4= lim STk = y)dxdy.
k—>oo k—>co G
Переходя теперь к пределу в неравенстве (45.24) при к^со,
получим формулу (45.5). □
Замечание. Если воспользоваться теоремой 10 из п. 44.5*,
то доказательство теоремы 1 настоящего параграфа можно
технически существенно упростить. Для этого достаточно
выбрать какой-нибудь прямоугольник
Р = {(х, yj'.a^x^b, c^y^d},
содержащий множество Е (см. формулу (45.1))
и продолжить функцию f нулем на дополнение Р\Е множества
Е в прямоугольнике Р. Полученная функция (обозначим ее тем
же символом f) интегрируема на прямоугольнике Р, так как
множество точек ее разрыва содержится в границе дЕ измери-
мого множества Е, которая, как известно, имеет меру нуль.
Разбив на к равных частей отрезок [а. Ь] на оси Ох и
отрезок [с, d] на оси Оу и проведя через точки деления прямые,
параллельные координатным осям, получим разбиение прямо-
угольника Р на прямоугольники
Z= 1, 2, ..., Р; 7=1, 2, ..., к; /с=1, 2, ...,
Ь — а d—c
---- И ------ И.
к к
с длинами сторон равными
следовательно,
(Ь — а) (d—c)
площадей ---------
к
Поэтому последовательность мелкостей
339
| тк | разбиений тк = {Е^} стремится к нулю:
lim | тк | = 0.
Поэтому, рассуждая так же, как и при доказательстве теоремы
1, получим ь 4
ИЖ y)dxdy = \dx\f(x, y)dy,
Р ас
& так как функция f равна нулю вне множества Е, то эта
формула равносильна формуле (45.5).
d
Заметим лишь, что все интегралы f/(x, y)dy существуют, так
как при любом фиксированном хе [а, Ь] функция /(х, у) как
функция переменного у имеет не более двух точек разрыва, а
именно на пересечении отрезка, по которому производится
интегрирование с границей дЕ. Существование же повтор-
ного интеграла следует, как и выше, из непрерывности функ-
ции (45.2).
Если множество Е таково, что существуют такие непрерыв-
ные функции а (у) и Р (ж), что
Е={(х, yf.c^y^d, а(у)^х<₽(у)}, (45.25)
а функция /(х, у), как и раньше, непрерывна на Е, то в силу
равноправия переменных х и у, из теоремы 1 следует, что
а
ff./(x, у) dxdy = j dy f f(x, y)dx. (45.26)
E c a (y)
Рис. 197
Если же для множества Е справедливо
как равенство (45.1), так и (45.25) (рис.
197), то, приравнял правые части равенств
(45.5) и (45.26), для непрерывной на
множестве Е функции /(х, у) получим
формулу
Ь ф (х) dp (У)
\dx f f(x, y)dy = \dy f f(x, y)dx;
а Ф (x) c a (y)
(45.27)
выражающую собой правило перемены
порядка интегрирования в повторных интегралах.
Отметим, что условия, при которых были доказаны форму-
лы (45.5), (45.26) и (45.27), могут быть ослаблены.
Пример. Вычислим интеграл от функции z = x2y по конечной
области G, ограниченной частью параболы у = х2 и прямой у — 1
340
(рис. 198). Имеем
JJ х2}, dx dy = j х2 dx j у dy =
g “1 x2
= f — x2dx = - f (1 — x4)x2 dx =—.
Л 2 2 2 V 21
— 1 x — 1
Если требуется вычислить двойной интеграл по множеству,
которое нельзя задать в виде (45.1) или (45.25), то для того
чтобы использовать полученные формулы, надо попытаться
разбить данное множество на части, каждая из которых будет
уже иметь вид (45.1) или (45.25) (рис.. 199). Если это удастся
сделать, то, в силу аддитивности интеграла по множествам (см.
п. 44.6), вычисление данного интеграла сведется к вычислению
интегралов по указанным частям, а последние с помощью
формул (45.5) и (45.26) могут быть сведены к однократным.
Ь х
Упражнение. Доказать формулу Дирихле fdxJДх, у)dy =
а а
=РИЛ*’ y)dx-
45.2. ОБОБЩЕНИЕ НА //-МЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим сначала трехмерный случай. Пусть Ec-R3 и
функция J\x, у, z) определена на Е. Обозначим через Еху
проекцию множества Е на координатную плоскость переменных
х и у (рис. 200):
£XJ, = {(x, у, 0)}: существует такое z, что (х, у, z)eE}.
Если множество Е имеет вид
Е={(х, у, z):(x, у, 0)еЕху, срДх, у^г^ф^х, у)},
где функции (рДх. у) и фДх, у) непрерывны на множестве Еху,
которое в свою очередь представимо, например в виде (45.1), а
341
функция Дх, у, z) непрерывна на
исходном множестве Е. то справед-
лива формула, аналогичная формуле
(45.5),
У-> z)dxdydz =
Е
Ь ф(х) ^(х.у)
= \dx J dy j Дх, j, z)dz.
а Ф(х) Ф1 (x,^)
(45.28)
Объединив в правой части два внеш-
них интеграла, можно переписать
(45.28) в виде
(х,у)
ШДХ’ У’ z)dxdydz = j J dxdy J Дх, у, z)dz. (45.29)
£ Е ху Ф1 (х,у)
Обозначим, теперь, через Е(х) сечения множества Е плос-
костями, перпендикулярными координатной оси Ох,
Е(х0) = £ Л {(х, Ь z):x=x0}.
Объединив в правой части формулы (45.28) два внутренних
ингеграла, получим
ъ
ШДХ, У’ z)dxdydz= f dx J J Дх, у, z)dydz. (45.30)
Е а Е (х)
Таким образом, формулы (45.29) и (45.30) показывают, что в
трехмерном случае существует два способа сведения трехмер-
ного интеграла к повторному, содержащему интегралы мень-
шей кратности.
В частном случае, когда Дх, у, z) = 1, имеем (см. свойство Г
кратных интегралов в п. 44.6) JJJ dx dy dz = \iE(x) (цЯ—объем
множества £), J J dy dz = \xE(x) (]\E(x}— площадь сечения E(x^.
E(x)
Таким образом,
ъ
ц£=ДцЕ(х)б/х (45.31)
— объем тела равен интегралу от переменной площади сече-
ний Е(х).
Пример. Найдем объем эллиптического цилиндра высоты Л,
в основании которого лежит эллипс с полуосями а и Ь. Взяв за
координатную плоскость ху плоскость одного из оснований
цилиндра, а за ось Oz— его ось симметрии, перпендикулярную
342
основаниям (рис. 201), получим согласно
формулае (45.31) pE=f \iE(z)dz. Но E(z)
о
эллипс с полуосями а и Ь. а поэтому (см.
пример 4 в п. 32.1) \iE(z) — Ttab^ следова-
тельно,
h
[iE=nab dz = nabh.
о
। Аналогично трехмерному случаю крат-
ные интегралы от функций любого числа
переменных п>3 можно свести к повтор-
ным интегралам. Пусть Rn — «-мерное
пространство, Rn~1 —гиперплоскость хп = 0,
EczR\ Ех _х— проекция множества Е на
гиперплоскость переменных х19 ..., х„_19 т. е. на Rn~r\
Е ={(х19 ..., х„_19 0): существует такое хл, что
(х15 х„)еЕ}.
Пусть существуют такие непрерывные на ЕХ1 х функции
ф(х19 ..., x„_t) и ф(х19 ..., хл_1), что множество Е состоит из
точек х = (х19 ..., хл_19 хл), для которых
(*1, х„_н 0)е£Х] ... Хп1, <р(х15 x^J^x^xKxi, х^Д
Пусть множество Ех Хп1 измеримо в смысле (п— 1)-мерной
меры Жордана и замкнуто. Тогда аналогично двумерному
случаю (см. п. 45.1) доказывается, что Е также измеримо, но
уже в смысле «-мерной меры, и замкнуто, а потому является
компактом.
Если функция /(х)=/(х19 ..., хл) непрерывна на компакте Е,
то справедлива формула
п рдз
f ... f/(x1; ..., xn)dX1 ... dxn =
E
и - 1A раз ^(Xj
= f ... p/xj ... dxn_l f f(xt, ..., x^JJx^ (45.32)
которая сводит интегрирование функции « переменных к
последовательному интегрированию функции одной переменной
и функции «—1 переменных.
Если проекция EXi ... Хи1 множества Е на гиперплоскость
R”-1 в свою очередь может быть представлена в виде,
аналогичном виду множества Е, то получившийся в правой
части равенства (45.32) («—1)-кратный интеграл можно свести к
(« —2)-кратному. Продолжая этот процесс, если, конечно, это
возможно, дальше придем к формуле вида
343
п лраз
f - №i> ... dxn =
Е
Ь фф) ф2(х х2) фв_1(х1 хп^)
= J«Xj J dx2 J dx3 ... j J{Xi,
а ф^хр Ф2(хрХ2) «>„-1 (Xj.-.x^p
..., x„)dxn.
(45.33)
Таким образом, в рассматривае-
мом случае интегрирование функции
от п переменных сводится к после-
довательному интегрированию п раз
функций одной переменной.
Обозначим, теперь, через Ех ... Хт
проекцию множества Е в пространст-
во R™ _х , а через Е(х19 ..., хт) —сече-
ние множества Е гиперплоскостями
размерности п-т. проходящими че-
рез точку (х15 ..., хт, 0, ..., 0) и
ортогональными подпространству
R™ х . Объединив в формуле (45.21)
т первых и п — т последних интег-
рирований, получим
п Лраз
x^dxv ... dxn =
Е
т Лраз п ~тл раз
= f...J dxl...dxm J...J f(xr, x„)dxm+1... dx„.
Ex ...x E (x . X )
Im 1 m
(45.34)
Если /(xj, ..., x„)=l на E, то из этой формулы аналогично
(45.31) получаем
рЕ= f...f PjEUv ..., x„^dxr ... dxm. (45.35)
£X ...X
1 m
Пример. Вычислим интеграл от функции Дх, у9 z) = xy2z3 по
конечной области G, ограниченной поверхностями z = xy, у=х,
х=1 и z —0 (рис. 202). Применив формулу (45.33), будем иметь
1 X ху
Ш ХУ2^ dx dy dz=^x dx J у2 dy J z3 dz =
G 0 0 0
=\\xSdx]y6dy = -~\xi2dx=^-
4 о 0 0
344
45.3*. ОБОБЩЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО МИНКОВСКОГО
В качестве еще одного примера применения правила
перемены порядка интегрирования докажем одно часто при-
меняемое интегральное неравенство.
Пусть функция Дх, г) непрерывна на прямоугольнике Д =
^{(х, y):a^x^b, c^y^d}. Тогда она, очевидно, при любом
фиксированном ye [с, d] непрерывна по х на отрезке [«, Ь] и
при любом фиксированном х е [а, b ] непрерывна по у на отрезке
[с, d].
Для любого р > 1 справедливо обобщенное неравенство
Минковского
(45.36)
Положим
(45.37)
ь
Г(у)=||/(х, y)\dx.
a
Функция F непрерывна (см. лемму 1 в п. 45.1) и неотрицательна
на отрезке [с, d]. Поэтому ее p-я степень также интегрируема и
d
неотрицательна на этом отрезке, и dy< +оо.
d
Если то, в силу непрерывности функции F,
будем иметь (см. свойство 9° п. 28.1): ДД==0 на [с, d]. Поэтому
из формулы (45.37) в силу того же свойства следует, что при
любом ye [с, d] имеет место Дх, Д = 0 на [а, Ь], т. е. Дх, Д = 0
на А. В этом случае неравенство (45.36) очевидно справедливо.
d
Пусть jFp(y)<7y>0. Тогда, изменив порядок интегрирования
и применив неравенство Гель дера (28.48), получим, в силу
(45.37),
d d ГЬ
= f|/(x y)\dx dy =
c c La _
b d
a c
~ 1/pTd “| 1/q
, J F^<p~l^yjdy
где -+-=1 и, следовательно, q(p—l)=p. Сократив обе части
p q
b Fd
dx, (45.38)
345
/d \ 1/q
неравенства (45.38) на множитель I \Fp[y)dy I /0, будем
иметь
d \l/p
fFp(y)dy)
b d l/p
f y)lp<fy
dx.
Подставляя сюда (45.37), получаем неравенство (45.36). Условие
непрерывности функции / не является существенным для
справедливости ^неравенства (45.36) и может быть ослаблено.
Для простоты доказательства в качестве области определения
функции f был взят прямоугольник. При более общих предпо-
ложениях доказательство неравенства Минковского, основанное
на той же идее, можно найти в монографии Харди Г. Г.,
Литтльвуда Д. Е., Полна Г. Неравенства. М., 1948, с. 179—180.
§ 46. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
46.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ ЯКОБИАНА
В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ
3) якобиан 7(
Пусть G— открытое множество на плоскости 7?^, (7*—
открытое множество на плоскости F—отображение G на
(7* и
М = (и, v)eG, Af* = (x, =
Отображение F задается парой функций
х = х(и, v), у—у (и, г). (46.1)
Будем предполагать, что F удовлетворяет следующим
условиям:
1) оно взаимно однозначно отображает G на G*;
2) оно непрерывно дифференцируемо на G;
и, v) = -^7~1A не обращается в нуль на G.
' О [и, V)
Заметим, что отображение F"1, обратное к F, также является
непрерывно дифференцируемым взаимно однозначным отобра-
жением с якобианом, не равным нулю на (7* (см. п. 41.7).
Поэтому, в частности, отображение F является диффеоморфным
отображением открытого множества G (см. определение 11 в п.
41.7) на G*.
Если Г — простой замкнутый контур, лежащий в G, то, в
силу взаимной однозначности отображения F, его образ
Г* = 7(Г) также является простым замкнутым контуром.
346
Лемма 1. Пусть D — открытое ограниченное множество и
D <^G. Тогда D* = F(D) также ограниченное открытое мно-
жество и
8F{D) = F(dD\ (46.2)
Доказательство. Так как F и Л-1—гомеоморфные
отображения, то при каждом из них открытые множества
отображаются в открытые. Следовательно, внутренние точки
какого-либо множества, например D или соответственно Л*,
переходят во внутренние точки его образа, а граничные — в
граничные.
В самом деле, пусть для примера М — внутренняя точка
множества Л, т. е. существует ее окрестность U=U(М\ лежа-
щая в D.UczD. Тогда окрестность t7* = F(J7) точки M* = F(M)
лежит в Л*:Л*с=Л*, т. е. 7W*— внутренняя точка множества
£)* *)
Пусть теперь М — граничная точка множества Л, M* = F(M)
и U* — окрестность точки М*. В силу гомеоморфности отобра-
жения F, множество U=F~1(U*) является окрестностью точки
М9 а так как MedD, то в окрестности U имеются как точки,
принадлежащие множеству Л, так и не принадлежащие ему.
Следовательно, в окрестности U* точки M* = F(M) (поскольку
эта окрестность является образом окрестности U = U (М) точки
М при отображении F) также есть точки, как принадлежащие
множеству Л*, так и не принадлежащие ему, т. е. граничные
точки действительно отображаются в граничные:
F(dD) cz 32)*. (46.3)
Аналогичные рассуждения справедливы и для обратного
отображения, поэтому в формуле (46.3) можно заменить знак
включения знаком равенства, т. е. выполняется условие (46.2).
Кроме того, из открытости множества Л, в силу доказанного,
вытекает и открытость множества Л*. Далее, Л — ограниченное
множество; следовательно, замкнутое множество Л также
ограничено. Поэтому, согласно лемме 3 из п. 41.4, множество
Л(Л) ограничено. Из ограниченности множества F(D) вытекает
и ограниченность множества Л* = Л(Л), ибо Л(Л)с=Л(Л). □
Следствие. Если в предположениях леммы 1 граница D
состоит из конечного числа кусочно-непрерывно дифференцируе-
мых кривых, то открытые множества D и D* квадрируемы.
Доказательство. Если Г — непрерывно дифференцируе-
мая кривая, лежащая во множестве G, и u = u(t\ v = v(/),
a^t^b.— некоторое ее представление, то функции u(t) и г(/) не-
прерывно дифференцируемы на отрезке [а. Ь]. При отображе-
Мы получили это утверждение как прямое следствие только гомео-
морфности отображения F. Конечно, в данном случае это следует сразу из более
сильных сделанных выше предположений (см. следствие из теоремы 7 в п. 41.8).
347
нии F кривая Г перейдет в кривую Г* = Г(Г) с представлением
x(/) = x(w(r), ^(0)’ г(0)’
у которого, в ‘ силу формул дифференцирования сложной
функции (см. п. 20.3) и теоремы о непрерывности композиции
непрерывных функций (см. п. 19.4), функции и >’0
имеют непррывные производные на отрезке [я, Ь]. Ст
тельно, кривая Г* также непрерывно дифференцируема. Отсю-
да, очевидно, сразу вытекает, что если Г — кусочно-непрерывно
дифференцируемая кривая, т. е. является объединением конеч-
ного числа непрерывно дифференцируемых кривых (см. п. 16.3),
то Г* также кусочно-непрерывно дифференцируемая кривая.
Если теперь граница дГ открытого множества D с= G состоит
из конечного числа кусочно-непрерывно дифференцируемых
кривых, то и граница dD* открытого множества D* cz G* также,
в силу сказанного выше, состоит из конечного числа кусочно-
непрерывно дифференцируемых кривых. Следовательно, как dD.
так и dD* спрямляемы (см. теорему 1 в п. 16.5), вследствие чего
они имеют меру нуль (см. теорему 4 в п. 44.2). Поэтому в
рассматриваемом случае открытые множества D
границы меры нуль, квадрируемы. □
) также
’ледова-
и £>*, имея
Рис. 203
теперь (w0,
h — некото-
Рассмотрим
Пусть
г0) е 6 и
рое число,
замкнутый квадрат S
(рис. 203) с вершинами
в точках
(w0, v0), (u0 + h, v0),
(u0 + h, v0 + h),
(«о» v0 + h). (46.4)
Пусть SczG (при дос-
таточно малом h это
включение всегда вы-
квадрата S, состоящая из
полняется; почему?). Граница dS
четырех его сторон, очевидно, является простым замкнутым
кусочно-гладким контуром. В силу следствия из леммы 2,
множество S* = F(S) (см. рис. 203) представляет собой замкну-
тую квадрируемую область (то, что 5* — замкнутая область,
следует из принципа
Изучим поведение
при стремлении h к
замкнутая область,
сохранения области, см. п. 41.8).
отношения
цГ(5)/ц5 *>
нулю.
(46.5)
** Здесь, как всегда, цЕ обозначает меру (в данном случае — площадь)
множества Е.
348
Введем обозначения:
х(«„, 1’о) = ^0, >'(“о. ’оНл» ^^“-“12.
ЗгК^>=<221. 2!%^.<,22. и-и„=Аи, »-г0-л»,
CU CV
г = V/Aw2 + Ar2 .
В силу дифференцируемости функций (46.1), справедливы
формулы
х^=х{и. г) = Х04-^ц (w —П0) + «12(г —Г0) + 8!Г,
У=у(и, v)=y0+a2l(u-u0)+a22{y-v^+z2r,
где функции 8,— еДг/о, и0, Aw, Аг), z= I, 2, стремятся к нулю при
г-*0.
Наряду с отображением F рассмотрим линейное отображе-
ние F плоскости Riv на плоскость Я2У, задаваемое формулами
х=х0+ап (и — щд + а^Лъ — сЛ,
\ (46.7)
У=У о + «21 Xй “ «о) + а22 [V - г0).
Из аналитической геометрии известно, что при линейном
отображении образ всякого параллелограмма, в частности —
квадрата, является параллелограммом, причем отношение пло-
щади последнего к площади отображаемого параллелограмма
равняется абсолютной величине определителя отображения,
который для отображения F совпадает с якобианом J(w, v)
отображения F в точке (w0, г0). Таким образом, в рассматривае-
мом нами случае для отображения (46.7) имеем
^=|ЙП "12| = |/K го)1- (46.8)
W2] а22
Непрерывно дифференцируемое отображение F в окрестно-
сти точки (w0, г0) отличается от линейного отображения F на
бесконечно малую функцию более высокого порядка, чем
приращение аргументов (см. (46.6)). Покажем, что отсюда
следует справедливость равенства
lim^=|J(Mo, v0)|. (46.9)
Более того, покажем, что стремление к пределу в этом
равенстве происходит равномерно на любом компакте, лежа-
щем в открытом множестве G. Сформулируем этот результат в
виде теоремы.
Теорема 1. Пусть отображение F открытого множества
G ex R„v на открытое множество G* с: R*y взаимно однозначно
349
и непрерывно дифференцируемо на G и пусть его якобиан J(u, v)
не обращается в нуль на G. Тогда, если S — квадрат с вершинами
(46.4), то
г0) |+е(м0, v0, h), (46.10)
где функция 8 = 8(w0, г0, Л) при h^Q стремится к нулю
равномерно относительно (и0, г0) на любом компакте AczG*^
Следствие. Для любой точки (w0, г0) открытого мно-
жества G выполняется равенство (46.9).
Доказательство. Покажем, что площадь образа квадра-
та S при отображении F отличается от^ площади образа этого
квадрата при линейном отображении F на бесконечно малую
более высокого порядка, чем площадь h2 самого квадрата S, и
эта оценка равномерна на любом компакте А с G, т. е. что
pF(S)-pF(S) + 8/z2, (46.11)
где 8 стремится к нулю равномерно на множестве А, когда
длина h стороны квадрата S стремится к нулю (определение
равномерного стремления функции к пределу см. в п. 39.4).
Поскольку (см. (46.8))
ИЯ$) = 1Ж> г0)|И5 (46.12)
И
ц5=Л2,
то из (46.11) непосредственно следует утверждение теоремы,
т. е. формула (46.10).
Переходя к доказательству формулы (46.11), зафиксируем
прежде всего множество А. Так как А—компакт и A cz G, то
функции 8f = 8f(i70, г0, Aw, Аг), z=l, 2 (см. (46.6)), равномерно
стремятся к нулю на множестве А при г->0 (см. замечание к
теореме 4 в п. 20.2, а также п. 39.4). Множества А и E2V\G не
пересекаются и замкнуты и, кроме того, А ограничено, поэтому
(см. лемму 7 в п. 18.2) r| = p(y4, £2v\G)>0.
В дальнейшем будем h всегда выбирать таким, что |Л|<-^.
72
В этом случае из того, что (w0, v0)eA, следует, что SczG.
1) Оценка расстояния между образами точек
при отображениях F и F квадрата S.
Пусть
М=(щ v)eS, F(M) = (x, у) и F(M) = (x, j^).
Тогда из (46.6) и (46.7) получим х = х-\-г1г, y=y + z2r и>
следовательно,
Таким образом, Лэ(и0, v0).
350
p (F(M), F (Л/))=^/(x-x^+^-y)2 = r^/ej + e^.
Так как г — расстояние от вершины (и0, г0) квадрата S до точки
M&S, а | h | ^/2 - длина диагонали квадрата 5, то, очевидно,
выполняется неравенство r^\h\y/2, поэтому имеем
d= sup р (F(M), F(M)) = sup *\/ef+ s2 sup | h | + e2 =
s s
= |/z|e3(u0, v0, h), (46.13)
где e3 = 83(w0, v0, A) = supx/2(£2 + 82) при /г—>0 стремится к нулю
MgS
равномерно на множестве А.
2) Построение параллелограммов S, Sit Se и их
свойства.
Построим замкнутый S*}
и открытый S*?° параллело-
граммы со сторонами, па-
раллельными сторонам па-
раллелограмма S=F (S) и
отстоящими от его соответ-
ствующих сторон на расстоя-
ние d (рис. 204) так, чтобы
Stc=S=^S )с5е. (46.14)
Прежде всего покажем,
что при достаточно малых h
множество S t не пусто. Более того, покажем, что параллело-
грамм S i содержит в себе открытый круг радиуса d с центром в
центре параллелограмма S.
Обозначим через а и
b длины сторон парал-
лелограмма S, а через
На и Нь — длины его
высот, опущенных со-
ответственно на сторо-
ны длин а и b (рис. 205).
Для доказательства то-
го, что при достаточно
малых h круг радиуса d
с центром в центре па-
раллелограмма S со-
держится в 5\, очевид-
но, достаточно устано-
е — начальная буква латинского слова exterior (внешний).
i — начальная буква латинского слова interior (внутренний).
351
вить справедливость при достаточно малых h неравенств
4d<Ha, 4d<Hb. (46.15)
Докажем ~это. Пусть для определенности сторона параллело-
грамма S длины а соединяет вершины, являющиеся при
отображении F образами вершин (ид, г0) и (uQ У-h, г0) квадрата
S, т. е. соединяет точки (х0, и \x0 + a11ht Уо + a^ti). Тогда
а = a2rh2 у- a21h2 = | h | у/а^У-а^. (46.16)
Аналогично,
b = \h\Jah+^~2. (46.17)
Функции а^ = ау(и0, r0), i, j=l. 2, являются значениями
соответствующих частных производных функций х(и, v) и у(и, v)
в точках (w0, г0) компакта А. В силу предположенной
непрерывности этих частных производных, они ограничены на
множестве А., г. е. существует такая постоянная ct>0, что на А
выполняются неравенства z, ./= 1, 2.
Отсюда и из формул (46.16) и (46.17) следуез, что
|я| <с1х/2|А|, (46.18)
И^с1ч/2|Л|. (46.19)
Далее, по предположению, якобиан J(u, v) отображения F,
являющийся непрерывной функцией, не обращается в ноль на
множестве G, а следовательно, и на компакте Л. Поэтому
существует (почему?) такая постоянная с2>0, что на множестве
А выполняется неравенство
\J(u, v)\^c2. (46.20)
Заметив, что [iS=aHa = bHb = \J(u(), v0)\h2, получим (см.
(46.18), (46.19) и (46.20)):
^2 _ а^а
|Д«о, ^о)1
С2
..-
|J(u0. 1>0)|
-clx/2\h\Hb,
С2
т. е.
(46.21)
(46.22)
352
г
Располагая этими оценками, легко доказать справедливость
неравенств (46.15). Действительно, использовав
(46.13), (46.21) и (46.22), получим
4б/^4£э|Л| ^4^С15з//а,
неравенства
Сг
(46.23)
4г/^4^С16зЯь.
(46.24)
?2
Выберем теперь такое 8>0, чтобы при \h\ <8 и (и0, v0)eA
выполнялось условие
4л/2с1£3 < j
(46.25)
Это всегда возможно в силу того, что функция 83 = с3 (и0, v0, h)
(см. (46.13)) стремится к нулю равномерно на компакте А при
Л->0. Из (46.23), (46.24) и (46.25) следует, что при |Л|<8
выполняются неравенства (46.15), откуда, в частности, вытекает,
что множество SL не пусто. В дальнейшем в ходе доказательства
будем всегда предполагать, что \h\ <8.
3) Рамка R = S e\Si и оценка ее площади.
Множество Se\Si назовем рамкой и обозначим через R\
R^Se\S,
Рамка R представляет собой объединение четырех не облада-
ющих общими внутренними точками трапеций, высоты кото-
рых имеют длину 2d. а средние линии совпадают с соответству-
ющими сторонами параллелограмма S. Поэтому \kR = 4d(a + b).
Заметим, что если множество было бы пустым, то подсчет
площади рамки R пришлось бы делать иначе: указанные выше
трапеции превратились бы в треугольники, у которых стороны
параллелограмма S уже не являлись бы, вообще говоря,
средними линиями.
Из полученного для площади цА рамки R выражения, в си-
лу неравенств (46.13), (46.18) и (46.19), следует, что цЛ
^8y/2cic3h2. Положив ^ = 8^/20^^ окончательно будем иметь
(46.26)
где функция е4 равномерно стремится к нулю на компакте А
при /?—>0.
4) Доказательство включения
S. cz F(S) с= §е. (46.27)
Включение F(S) cz Se очевидно, так как, в силу оценки
p(F(7H), F(M))^d, MeS. множество F(S) содержится в
замыкании ^-окрестности t/(F(S): d) параллелограмма F(S)
353
F(5)c: U(F(Sy,d),
а из построения параллелограмма S e следует, что
U(F (S);^czSe
и, таким образом, F(5)
Осталось доказать, что 5fcz F(S). Прежде всего заметим, что
F(&S) с= R. (46.28)
Действительно, если MedS. то F(M)ed§ и, согласно (46.13),
р (F(M), F (М))^г/. Но по построению рамка R содержит все
точки плоскости, отстоящие от границы 8S параллелограмма S
на расстояние, не превышающее числа d, поэтому F(M)eR и
включение (46.28) доказано. При сделанных предположениях
граница cF[S) образа F(S) квадрата S совпадает с образом
F(dS) границы dS квадрата S (см. лемму 1 п. 46.1), поэтому
включение (46.28) можно переписать в виде
dF(S) cz R. (46.29)
Пусть теперь Мо— центр_квадрата 5. При отображении F
он переходит в центр М 0 = F (Мо) параллелограмма S. Пусть
Q — замкнутый круг радиуса d с центром в точке М 0 (величина
d определяется формулой (46.13)). Выше было доказано, что
gcSp Если 7W§ = F(M0), то, согласно (46.13), р(Л/§, М0)^d, и,
следовательно, MfieQ, поэтому Таким образом, замы-
кание S i параллелограмма содержит заведомо одну точку F(5),
а именно образ М* центра Мо квадрата S при отображении F.
Покажем теперь, что и все точки S t принадлежат^ F(S).
Допустим противное: пусть существует такая точка М*е§^ что
A/*^F(5) (рис. 205). Всякий отрезок является, очевидно,
линейно связным множеством, поэтому, согласно лемме 9 из п.
18.2, на отрезке М* с концами в точках М* и Л/* найдется
точка границы dF(S) множества F(S). Этой точкой не может
являться 2И*, поскольку множество F(S) замкнуто (см. лемму 3
в п. 41.4) и, следовательно, dF(S) с F(5j, а, по предположению,
M*£F(S). Не может ею являться и точка поскольку Мо —
внутренняя точка множества S, а при отображении F внутрен-
ние точки переходят во внутренние, и поэтому точка М* =
= F(A/J является внутренней, а не граничной точкой множества
F(S). В силу этого, точка пересечения множества dF(S\ с
отрезком М* М* является внутренней точкой отрезка м*.
Но один конец — М* — отрезка М* М* лежит в замкнутом
параллелограмме S-, а другой — Л/*— в открытом парал-
лелограмме S ь т. е. является его внутренней точкой. Поэтому
все внутренние точки отрезка М* М*, в jtom числе и точка
пересечения с ним границы dF(S), лежат в S h что противоречит
включению (46.29).
354
Таким образом, не существует точки М* е §ь для которой
одновременно поэтому <= F(5). Формула (46.27)
доказана.
Покажем теперь, что площадь множества F(S) отличается от
площади параллелограмма S=F (S) не более чем на площадь
рамки R.
5) Доказат ельство основного соотношения
((46.11).
Из (46.14) и (46.27) следует, что
и, следовательно,
Поэтому, в силу (46.26),
IpF(S') -pF(5)|^84/z2, (46.30)
где 84 стремится к нулю равномерно на компакте А при А->0.
Положим
8 (z/0,r0,/») = gf(5)~Mf(S); (46.31)
тогда из (46.30) следует, что |s| |е4| и поэтому 8 равномерно на
множестве А стремится к нулю при h^>0. Из (46.31) имеем
pF(S) = pF(S) +8А2,
т. е. получена формула (46.11), откуда, как это уже отмечалось,
сразу следует (46.10). □
46.2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Вначале сохраним обозначения и предположения предыду-
щего пункта, в частности будем предполагать, что F является
взаимно однозначным непрерывно дифференцируемым отобра-
жением открытого множества G <= /?2Г на открытое множество
G * cz Rxy с якобианом, не равным нулю на G. Пусть D и D * —
квадрируемые^ (и, следовательно, ограниченные) открытые
множества, D^G. D * с G * и пусть при отображении F
множество D отображается на D *. Тогда D и D * —
компакты, внутренние точки D переходят во внутренние, а
граница D отображается на границу D *.
Теорема 2 (формула замены переменных в двойном
интеграле). Пусть функция f(x, у) определена и непрерывна на
D *. Тогда
П Лх’ y)dxdy=\\f\.x(u’ у(и>г)]
D* D
du dv. (46.32)
355
Доказательство. Заметим, что входящие в (46.32) интег-
ралы существуют как интегралы от функций, непрерывных на
замыкании квадрируемых областей. Действительно, по усло-
вию, функция fix. у} непрерывна на D * и якобиан —
v д (и, V)
на D. а функция /[x(w, г), у (и. г)] непрерывна на D как
композиция непрерывных функций.
Возьмем разбиение ранга к плоскости на квадраты. Ранг
к выберем столь большим, чтобы всякий квадрат этого ранга,
пересекающийся с D. целиком содержался в G (почему такой
ранг существует?). Обозначим через Д, /=1,2, ... , ik, всевоз-
можные непустые пересечения квадратов ранга к с множеством
D. Множества Д квадрируемы, ибо их границы имеют меру
нуль, так как состоят, вообще говоря, из части границы
соответствующего квадрата ранга к и части границы множества
D. Совокупность тк = образует разбиение множества 7),
причем, очевидно,
lim |тк| = 0.
к —>оо
(46.33)
Пусть, далее, D * =
при этом граница Di
отображается на границу
7)*, а поэтому граница
7)*, вообще говоря, со-
стоит из части границы
множества D * (эта гра-
ница, в силу предполо-
женной квадрируемости
множества 7) *, имеет ме-
ру нуль) и части кусоч-
но-гладкой кривой, яв-
ляющейся образом гра-
ницы соответствующего квадрата, и имеет поэтому также меру
нуль. Из сказанного следует, что D * является квадрируемым
множеством. Из взаимной однозначности отображения F следует,
что совокупность т* = {D *}*•“]* образует разбиение множества D *
(рис. 206). *
Оценим мелкость разбиения тк. Пусть — диаметр квадрата
(/2 / \
очевидно, и 1 \xi’
М * = (х2, у2) с 7) *. Тогда существуют такие Mr g Dt и М2 g Д, что
F(MX} = M*. F(M2) = A/2, причем р(ЛД, М2)<дк. Следовательно,
р (М*, М*) = х/(х1-%2)2+ (F-уУ
356
< ^/ш2 (8к; х) + со2 (8fc; у) , (46.34)
где со (8; х) и со (8; у)— модули-Непрерывности функций х=
=х(и, г) и у=у(и, г) на компакте D. В силу непрерывности этих
функций на D, они равномерно непрерывны, и поэтому (см. п. 19.6)
lim со (8k; х) = lim to(8k;y) = 0. (46.35)
Z:—>00 /с—>сс
Из (46.34) для диаметра d(D*) получаем
d(Д*)- sup р (Mt, М*) <л/со2 (5k; х) + со2 (8к; у)
M*eD*
M*eD*
и, следовательно,
1**1 = s*up*dх/®2(У; x)+®2(sk;>’) ’
Di етк
а поэтому, в силу (46.35),
lim Щ | = 0*». (46.36)
fc—00
Отберем теперь только те элементы разбиений тк и т к,
замыкания которых не пересекаются с границами 3D и 5/)*,
множеств D и D*. Обозначим их соответственно через тк(й£>) и
Tfc(a£>*):
D^SD = 0}.,
x*k(dD*)={D*i:D*iex,,k, D*i(}3D* = 0}.
В силу сделанных предположений. D • е т £ (5D*) тогда и только
тогда, когда Z), е хк (8D); при этом хк (8D) состоит из тех и только тех
элементов которые являются целыми квадратами,
содержащимися вместе с их границами в множестве D.
Составим интегральные суммы сут* (8D*} (см. п. 44.3) для функции
f(x9 взяв в качестве точек (^, г^еД е т £ (3Z>*) образы каких-либо
вершин (ui9 vt) соответствующих квадратов
^ = x(w;, г;), r\i=y(ut, V,.). (46.37)
Иначе говоря, рассмотрим суммы вида
= У ж, (46.38)
Как известно (см. теорему 5 в п. 44.3), в силу выполнения
условия (46.36),
Нетрудно убедиться, что равенство (46.36) можно непосредственно
получить из равномерной непрерывности непрерывного отображения компакта
(см. лемму 4 в п. 41.4).
357
lim oT. у) dx dy. (46.39)
к—оо D*
С другой стороны, для D*i = F(Dl), для которых является
квадратом, и, следовательно, для ДетДсЮ), согласно теореме 1
предыдущего пункта,
|г£>* = | J(ut, г,) | pZ>; + a pZ>;, (46.40)
где £ = е(н;, V/, | тк I) на компакте D равномерно стремится к
нулю при £->со. Подставляя (46.37) и (46.40) в (46.38), получим
^•t(8D*)= Е ЛЛМ«’ Л У(ии ЛПЛмь г()1мА +
А-етДсЛ))
+ Е £Лх(мь Л Лмр ЛЛА- (46.41)
Суммирование^ этих суммах распространено на все индексы i,
для которых Di не пересекается с границей D. Для первой
суммы, стоящей в правой части равенства (46.41), в силу
условия (46.33), имеем (см. теорему 5 в п. 44.3)
lim Е Лх(мь Л У{ии ЛИЛМ/’ ЛнА =
к—со £).етЦа£>)
= г)’ У(и^ r)]l^(w’ v)\dudv.
D
Вторая сумма в равенстве (46.41) стремится к нулю при к-^со.
Действительно, в силу непрерывности функции f[x(u, v), у (и. г)]
на компакте £>, она ограничена на нем, т. е. существует такая
постоянная с > 0, что
|/[х(и, v), у (и, г)]|^с, (w, v)eD.
Если фиксировано произвольное 8о>0, то, в силу равно-
мерного на D стремления 8 к нулю при £->оо, можно выбрать
/с0 так, чтобы при к^к$ выполнялось неравенство 181для
c\lD
всех (ub v^eDi, D^D; тогда
Е £ЛЛМ>’ vi\ у(щ, ЛЛА <
Я,-етД?Я)
Е 1£1ЛЛы.’ Л у(и,’ ЛПнА<^ EhA^£o
Dj 6 тк (uD) [
358
Итак,
lim aT*(e)D) = ff/[x(w, г), у (и. г)] | J(u. v)\dudv. (46.42)
k—oo к D
Из (46.39) и (46.42) и следует непосредственно формула
(46.32). □
Доказанная теорема легко обобщается и на несколько более
общий случай, когда якобиан отображения (46.1) может
.обращаться в пуль на границе области интегрирования, а само
отображение быть не взаимно однозначным на этой границе.
Точнее, справедлива следующая теорема.
Теорема 2\ Пусть G и G* — открытые квадрируемые
множества G<^Ruv, G* <^Rxy и
х=х(и, г),
У=у(и, v)
— непрерывное отображение G на G*. взаимно однозначно и
непрерывно дифференцируемо отображающее G на G*, якобиан
этого отображения не обращается в нуль на G и
д(и, и)
непрерывно продолжаем на_в. Тогда если функция f(x, у)
непрерывна на множестве G*, то
ПЖ y)dxdy = \\f[x(u,
G* G
v), у (и, v)]
у)
д(и, г)
dudv.
Доказательство. Пусть £\, А:=1, 2, ..^—последователь-
ность ограниченных открытых квадрируемых множеств, гра-
ница которых состоит из конечного числа кусочно-гладких
кривых, и
ос
Dk<=G, DtcDl+1, U Dk = G.
k=l
В качестве Dk можно взять, например, совокупность всех
внутренних точек множества Sk(G) (см. п. 44.1). Пусть Dk =
= F(Dk); тогда D"k также является ограниченным открытым
квадрируемым множеством и
00
D*k = F(Dk)<=G*, D^D*k+1, J Щ = С*.
k = 1
Из выполнения этих условий следует, что (см. теорему
2. п. 31.2)
lim lim pD^pG*. (46.43)
к—>оо к—>оо
Для каждого из множеств Dk, к=\. 2, ..., выполняются все
359
условия теоремы 2 этого пункта, поэтому
y)dxdy=Nf[x{“, 4 0]
д(и, г)
Функция Дх, Д, как непрерывная на G*
руема на (7*, а функция /[x(z/, г), у (и, г)]
dudv.
(46.44)
функция, интегри-
д(*> т)
с (и, v)
по тем же
соображениям интегрируема на G. Поэтому, в силу выпол-
нения условий (46.43), получаем (см. свойство 10 в п. 44 6)
lim ЭДДх. y)dxdy = tff(x, yjdxdy,
D*k G*
lim П/[х(и, v)y(u, г)]
/с— со Dk
dudv =
д (-У, v)
c(w, r)
dudv.
(46.45)
=Я/'[х(м’ v\ у Уp)]
G
Переходя к пределу при к-^со в равенстве (46.44), в силу
формул (46.45), мы получим искомую формулу замены перемен-
ного в интеграле. □
Замена переменных в кратном интеграле часто существенно
упрощает его исследование и вычисление. При этом в отличие
от однократного интеграла нередко целью замены переменного
является не упрощение подынтегральной функции, а переход к
более простой области интегрирования даже ценой некоторого
усложнения подынтегральной функции.
Пример. Вычислим интеграл
Для этого введем новые
координаты) по формулам
JJ cos тс^/х2 У у 2 dx dy.
л-2+г2< 1
переменные г, ф (полярные
Х = ГСО8ф, у^ГБШф.
(46.46)
_ д х, й cos ф -гыпф
Тогда J J,= .
о (г, ф) 8Шф ГСО8ф
г. Отображение (46.46) отобра-
жает прямоугольник (7 = {(г, ф):0<г<1, —л<ф<л} (здесь г и ф
рассматриваются как декартовы координаты на плоскости г, ф)
взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо и с якобиа-
ном, не равным нулю, на круг ЛГ={(х, у):х2Уу2< 1}, из
которого исключен радиус, лежащий на отрицательной части
оси дх, т. е. на множество (рис. 207) G* = K\{(x, Д:х^0, J? = O}.
Напомним, что в силу условий теоремы, эта функция непрерывно
продолжаема со множества G на 6, причем значения продолженной функции на
границе множества G не влияют на значение интеграла (см. п. 44.3).
360
Замкнутый же прямоуголь-
ник G при отображении (46.46)
переходит в замкнутый круг
6* = К, причем на границе G
это отображение уже не взаим-
но однозначно. Якобиан ото-
бражения (46.46) непрерывен
на G, причем в одной точке
границы, в начале координат,
он обращается в нуль. Все
условия, накладываемые на
отображение (46.1) в теореме
2' этого пункта, выполняются для отображения (46.46), а
поэтому можно применить формулу замены переменного в
интеграле:
JJ cos тс yjx2+y2 dx dy =
х2+у2<\
JJ г cos nrdrdty =
0<r< 1
2л 1
= J dtp J r cos nrdr = 2tc
о 0
r sin it r
It
1 1 1
— - f sin nr Jr
0 71 0
Формула (46.32) замены переменных в двойном интеграле
может быть доказана и для более общего случая, в частности
когда якобиан отображения обращается в нуль в области
интегрирования, а подынтегральная функция имеет разрывы.
Если множества указанных точек имеют меру нуль и отобра-
жаются также в множества меры нуль, причем эти множества
разбивают области интегрирования G на G* на конечное число
открытых множеств, на каждом из которых подынтегральная
функция продолжаема до непрерывной вплоть до границы
функции, то формула (46.32) непосредственно следует из
доказанного выше.
46.3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
Формулы
х = х(и, г),
у=у(и, г)
(46.47)
можно рассматривать не только как отображение, но и как
переход от одной системы координат к другой, вообще говоря,
криволинейной. Поясним прежде всего понятие криволинейной
системы координат.
361
Пусть G — некоторое открытое множество на плоскости R*y и
каждой точке М=(х, у) <= G, а значит, и каждой упорядоченной паре
чисел (х, у), являющихся координатами точки М в выбранной
прямоугольной системе координат, поставлена в соответствие
пара чисел (и, v) таким образом, что разным точкам Мг и М2
соответствуют разные пары (ur, v1) и (и2, v2). В этом случае
говорят, что на множестве G задана система координат и, v. При
этом если точке М соответствует пара (и, v), то пишут М= (и, v ).
Каждая пара (и, v) является функцией точки поэтому и
каждый из ее элементов и и v также является функцией точки
М:и = и(М), v = v(M), или, что то же, ее декартовых координат:
и = и(х, ^),
v = v(x, j/). (46.48)
Обратно: каждой паре (и, г) из рассматриваемого множества
пар соответствует точка M^G, т. е. точка М есть функция пар
(и, v):М = М(и, г), а поэтому ее декартовы координаты х и у
также являются функциями указанных пар (и, v). Иначе говоря,
справедливы формулы (46.47), задающие отображение, обратное
отображению (46.48).
Множества точек (х, y)^G, удовлетворяющих условию
и(х, у) = и0 и соответственно v(x, y) = v0, где и0 и г0 — некото-
рые фиксированные постоянные, называются координатными
линиями в системе координат и, v.
Используя формулы (46.47), координатные линии можно
записать в виде
х = х(и0, г),
У=у(и0, v), (46.49)
соответственно в виде
х = х(и, г0),
у=у(и- М-
(46.50)
В случае декартовых
прямые, в общем же
координат координатные линии суть
случае — некоторые кривые, задавае-
мые представлениями (46.49) и (46.50).
Этим и объясняется название «кри-
волинейные координаты» (рис. 208).
Будем предполагать, что функции
(46.47) удовлетворяют на G всем
условиям, при которых была выведе-
на формула (46.32) замены перемен-
ного в интеграле, в частности, что
они непрерывно дифференцируемы и
д(х> г)
что якобиан —-—=4 не равен нулю на
д(и, V)
362
G. В силу этого координатные линии в окрестности каждой
точки из G являются непрерывно дифференцируемыми кри-
выми.
Исследуем, какой смысл будет иметь в этом случае модуль
якобиана. Зафиксируем какие-либо значения и0, Ди, v0, Av.
Пусть М0 = (и0, г0), D — множество всех точек, криволиней-
ные координаты и, v которых удовлетворяют неравенствам
и0<и<и()-[-Ди, v0<v<vg + Av, и пусть: DcG. Множество D
называется координатным (криволинейным) параллелограммом.
Множество D открыто (почему?), и его граница представляет
собой кусочно-гладкий контур (он состоит из кривых вида
x = x(uq, v), y=y(uo, г), где г0^гО0 + Ди и т. п.), поэтому D
квадрируемая область. Вычислим ее площадь (рис. 208).
Применив формулу замены переменного в интеграле и интег-
ральную теорему о среднем (см. п. 44.6), получим
д(х» г)
_ a(jc,
В силу
\dxdy= J J
«0 <u < Wq + Au
vQ < v < vQ + Av
du
dv =
'o
+ Au vn + Av v
( du f
“о
- Ди
3(u, v) M
непрерывной дифференцируемости
функций (46.47)
г)
с (и, г) М д(и, v) Мо
D
0
Дг, M^D.
где lim s = 0. Таким образом,
Дм2 + Др2—*0
а(х, у)
с (и, v) MQ
AuAv + eAuAv.
(46.51)
что
»о)
Рис. 209
Формула (46.51) показывает,
модуль якобиана в точке (uG,
представляет собой коэффициент
главной части площади координат-
ного параллелограмма с вершиной
в точке (uQ, v0) относительно произ-
ведения ДиДи при Ди2 + Дг2-»0. Это
замечание часто используется на
практике при вычислении якобиана
преобразования криволинейных ко-
ординат в декартовы. Покажем это
на примере полярных координат г,
значения г, г+Дг, ср и ф + Дф и
параллелограмм D (рис. 209), образованный координатными
ср. Зафиксируем какие-либо
рассмотрим координатный
363
линиями г, г+Лг, (р и ф + Дф. Длины двух его сторон равны
соответственно Дг и гАф. Вычислим площадь этого параллело-
грамма так, как если бы он был обыкновенным прямоуголь-
ником, будем иметь
цР^гЛгЛф.
Таким образом, коэффициент у произведения ДгДф оказался
д (х, у) ~
равным г, откуда естественно ожидать, что —4-=г. В
д(и, V)
действительности (см. пример в п. 46.2) так и есть. Это
произошло потому, что при наших неточных вычислениях
площади D допущена ошибка более высокого порядка малости,
чем произведение АгАф при Дг2-ЬАф2—>0. В самом деле,
вычислив piZ) как разность площадей двух секторов, получим
(г + Дг )2 — 2 = гАгАф + 1Дг2 Аф.
46.4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В Л-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Все сказанное в предыдущих пунктах этого параграфа вместе
с доказательством переносится и на л-мерный случай, поэтому
ограничимся лишь формулировкой соответствующих теорем.
Теорема 3. Пусть GxczRnx и GtczRt — открытые множе-
ства, x = F{t) — {xi = xi(tlf ..., /и), z=l, 2, ..., п} — взаимно
однозначное непрерывно дифференцируемое отображение Gt на
Gx, якобиан 2------ которого не равен нулю на Gt.
Пусть далее S — п-мерный куб:
z=l, 2, ..., = ..., Z<0)).
Тогда lim— | J(r(0))|; при этом если
л—о yiS
= + h),
то для любого компакта AczGt функция е(/(0), /г), /(0,еЛ
равномерно стремится к нулю на А при h-*Q.
Теорема 4. Пусть: 1) Gx и Gt — измеримые открытые
множества Gx^.Rnx, GtcRnt\ 2) x = F(t)— непрерывное отобра-
жение Gt на G х, взаимно однозначно и непрерывно дифференци-
руемо отображающее Gt на Gx; 3) якобиан J(/) —
и
этого отображения не обращается в нуль на Gt и непрерывно
продолжаем на G t. Тогда если функция f(x) непрерывна на
множестве G х, то
364
f(x)dGx = \f(x(t) \J(t)\dGv
Упражнения. Написать формулы замены переменных в тройных
интегралах для преобразований координат:
L x = rcos\|/ cosф, = cosф sin<р, z = rsin\|/, 0^г< + со, 0^ф^2тг, —
тс
(сферические
координаты).
2. л = гсо8ф, j^ = rsin(p, z = z, 0^г< + оо, 0<ф^2л, — oo<z<4-oo (цилин-
дрические координаты).
Замечание. В силу формулы замены переменного, для
любого измеримого множества G^Rn и любых криволинейных
координат ип справедлива формула
аир .... хп)
д(их, ..., ип)
dur... dun.
В частности, если
Условие (46.52) заведомо выполняется, если ut, ип так-
же являются декартовыми координатами в пространст-
ве /?”, и следовательно, выражаются через xlf ..., хп с по-
мощью линейного преобразования, определитель которого
равен +1;
п
xf= X cijujf z=l’ 2, •••, п, det(c0-)=±l.
i = 1
Левая часть формулы (46.53) равна мере цС множества G «в
координатах xlf ..., хп» (см. свойство 1 кратного интеграла в п.
44.6), а правая часть этой формулы в случае, когда uit ..., ип —
декартовы координаты, равна соответственно мере множества
G «в координатах ulf ..., ип». Таким образом, формула (46.53)
показывает, что мера открытого измеримого множества не
зависит от выбора декартовой системы координат.
Справедливости ради следует заметить, что при доказатель-
стве формулы замены переменных в кратном интеграле мы
365
использовали тот доказываемый в геометрии факт, что при
аффинных (т. е. невырожденных линейных) отображениях абсо-
лютная величина определителя преобразования равна отно-
шению объема параллелепипеда, являющегося образом некото-
рого куба, к объему этого куба.
§ 47. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
47.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
Пусть в трехмерном пространстве R3 задана кривая
Г = {г(г); (см. § 16). Мы будем рассматривать одно-
значные функции F, определенные на точках r(Z) этой кривой:
F=F(r(j)). Если p(z), — какое-либо другое представле-
ние той же кривой Г и Z = Z(t), — отображение отрезка
[а, р] на отрезок [а, Ь], осуществляющее эквивалентность этих
представлений (т. е. / = г(т), ос^т^Р — допустимое преобразова-
ние параметра, см. п. 16.1), то, поскольку значение функции F
определяется лишь точкой кривой, будем иметь
F(p(r)) = F(r(Z)), / = (т), а^т^р.
Рассматриваемые функции F принимают, вообще го-
воря, различные значения в точках кривой, соответствую-
щих различным значениям параметра, но совпадающих как
точки пространства (см. кратные точки в п. 16.2). Такая
точка зрения соответствует физической интерпретации кри-
вой Г, например как траектории движения материальной
точки, а функции F—как некоторой силы, действующей
на нее и зависящей не только от положения точки в
пространстве, но и от момента, в котором эта точка нахо-
дится в данном месте. Кроме того, такой подход дает и
определенные математические преимущества, которые будут
видны в дальнейшем.
Из сказанного следует, что указанные функции, заданные на
кривой, нельзя рассматривать как функции, определенные на
некотором множестве пространства J?3, и поэтому, строго
говоря, их нельзя обозначать через F(x, у, z), где х, у, z— де-
картовы координаты пространственных точек. Однако в рас-
сматриваемых ниже вопросах такое обозначение является
традиционным, поэтому мы будем его употреблять. Если всегда
помнить, что в этих вопросах речь идет о функциях, определен-
ных на точках кривых, то его использование не приведет к
недоразумениям.
Пусть теперь задана спрямляемая ориентированная кривая
Г, причем r(s) = {х(Д ^(s), — ее представление,
366
где в качестве параметра взята переменная длина дуги s и пусть
?4 = г(0) и В = г (5) — начальная и конечная точки этой кривой.
В этом случае будем писать Г = АВ. Противоположно ориенти-
рованную кривую обозначим ВА.
Определение 1. Пусть на точках r(s) кривой Г задана
некоторая функция F. Тогда выражение J F(x, у, z)ds, опреде-
АВ
ляемое по формуле
J F(x, у, z)ds = f F(x(s), у (s), z(s))ds,
AB 0
(47.1)
называется криволинейным интегралом первого рода от функции
F по кривой АВ.
Этот интеграл обозначается также символами
£ F[r(5)]cZs-
АВ
j F[r (5) ] ds, или, короче,
\Fds.
Г
И
г
Таким образом, хотя определение кри-
волинейного интеграла первого рода и
связано с понятием кривой, т. е. с геомет-
рическим образом, оно сводится к обыч-
ному интегралу по отрезку, и поэтому на
криволинейный интеграл переносятся все
свойства обычного интеграла.
Отметим некоторые специфические свойс-
тва интеграла (47.1)
1
J ds = S.
АВ
Это очевидно.
2°. Если функция F непрерывна в точках кривой Г как функция
параметра s, т. е. если непрерывна функция Г[г(^)], 0<5^5, то
интеграл J Fds существует.
г
367
В самом деле, согласно определению (47.1), интеграл f Fds
г
s
сводится к интегралу J F [х(л), yfs-), z(s]ds, от непрерывной
о
функции по отрезку, который, как известно, существует.
3°. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от
ориентации кривой:
J F(x, у, z)ds = j F(x, у, z)ds.
АВ BA
Действительно, пусть M=r(s)—точка кривой АВ и v — дли-
на дуги AM. Если o = S—s, то о равняется длине дуги ВМ
(рис. 210). Функция r = r(S— с), является представле-
нием кривой ВА, поэтому, выполнив в интеграле (47.1) замену
переменного s = S—о и заметив, что ds = — do, получим
J F(x, у, zj ds = f F[x(s), у (s), 2(5)]^ =
AB 0
0
= -jF[x(S'-c), у(S— a), z(S—су)]do =
s
s
= JF[x(5— <j), y(S— су), z(S—су)] с/су = J F(x, y, z)do.
0 BA
Это свойство криволинейного интеграла первого рода
связано с тем, что, согласно определению, длина дуги кривой
считается положительной независимо от конца, от которого она
отсчитывается.
Прежде чем перейти к следующему свойству, заметим, что
^Fds, как и всякий интеграл, является пределом соответствую-
г
щих интегральных сумм; специфика этого случая состоит лишь
в том, что эти суммы можно описать в геометрических
терминах, связанных с кривой Г, по которой ведется интегриро-
вание. Сформулируем, это более точно.
4 . Пусть т — — разбиение отрезка [0, 5], л;],
\s~Si~Si-i — длина дуги кривой Г от точки r(si-i) до точки
i
r(sd, z=l, 2, и сут = у Fp(^)]Ast. Тогда, если функция
368
f[r(5)] интегрируема no Риману на отрезке [0, 5], то
। lim сут = J F ds. (47.2)
Действительно, очевидно, является интегральной суммой
Римана интеграла J F[r (s)] ds*, и поэтому формула (47.2)
о
непосредственно следует из (47.1).
Формула (47.1) очень удобна для изучения свойства интегра-
р
ла Fds, однако она далеко не всегда удобна для его
г
вычисления, так как нередко бывает очень сложно или даже
практически невозможно найти представление данной кривой,
где за параметр взята переменная длина дуги. Укажем поэтому
формулу для интеграла J Fds при любом параметрическом
г
представлении кривой Г.
5°. Пусть Г — гладкая кривая (см. определение 16 в п. 16.4),
r(z) = {<p(z), \|/(Z), x(Z); — ее непрерывно дифференцируе-
мое представление, и следовательно, ф7 2 (/) + ф72 (Z) + %'2 (Z) > О,
Пусть функция F непрерывна на кривой Г (в том смысле, что
функция F[r(Z)] непрерывна на отрезке [а, 6]). Тогда
jF(x, у, z)ds =
г
= fF[<p(z), \|/(z), X(?)2 (?) + \1/'2 (Z) + %'2 (Z)б/r. (47.3)
а
В самом деле, при сделанных предположениях кривая Г
спрямляема, и переменную длину дуги s = s(t) можно принять за
параметр (см. следствие 2 из теоремы 2 в п. 16.5) и потому
интеграл J Fds имеет смысл. Выполнив замену переменного
г
л = 5 (г) в правой части равенства (47.1) и вспомнив, что (см. п.
16.5)
dt v
получим формулу (47.3).
*) Напомним, что это условие означает отсутствие особых точек на кривой
(см. определение 15 в п. 16.4).
369
Из (47.3) следует, что для данной кривой значение интеграла,
стоящего в правой части равенства (47.3), не зависит от выбора
параметра на кривой, ибо при любом выборе параметра этот
интеграл равен интегралу, стоящему в левой части этого
равенства.
47.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА
Ряд математических и прикладных задач приводит к
криволинейным интегралам другого типа. Например, если
г=г(0 является радиус-вектором движущейся материальной
точки, a F=F(t)— сила, действующая на эту точку, то естес-
твенно определить работу силы F вдоль траектории Г рассмат-
риваемой точки как интеграл \ F dr или, если F=(P, Q, R), а
г
dr=(dx, dy, dz), в координатной записи как интеграл
Р dx + Q dy + Rdz.
г
(47.4)
Вспоминая, что (см. п. 16.5)
dx dv п dz
— = cosoc, — = cosp, — = cosy,
ds ds ds
(47.5)
где t= (cos a, cos [3, cos y) — единичный касательный вектор,
интеграл (47.4) можно представить формально в виде
J (Р cos ос + Q cos р + R cos у) ds.
г
Сформулируем теперь строгое определение интегралов вида
(47.4). Пусть Г = АВ — гладкая ориентированная кривая, т. е.
непрерывно дифференцируемая ориентированная кривая без
особых точек. Тогда существует такое ее непрерывно дифферен-
цируемое представление
r(Z) = {x = (p(Z), j, = v|/(z), z = %(Z); A=r(a), B=r(b),
ЧТО
(p'2(z) + \j/'2(z) + %'2(z)>0,
Пусть s = s(f) — переменная длина дуги, OOCS, 5 — длина
всей кривой Г, отсчитываемой от конца А, (cos ос, cos р, cos у) —
единичный касательный вектор к кривой, ос = ос (s), Р = Р (У), у = у (5),
и пусть функция F, как и в предыдущем
370
пункте, определена на множестве {г (/), a^t^b} всех точек
кривой Г.
Определение 2. Интеграл
формуле
F(x, у, z) dx определяется по
АВ
F{x, j, z)dx = F(x, у, zjcosads. (47.6)
АВ АВ
Аналогично, по определению полагается
j F(x, у, z) dy= J F(x, у, zJcosP ds,
(47.7)
J F(x, y, z) dz= J F(x, y, zjcosy ds.
AB AB
Интегралы вида (47.6) и (47.7) называются криволинейными
интегралами второго рода от функции F по кривой АВ.
Естественность этих определений видна из формул (47.5).
Как в случае интеграла (47.1), так и в случаях интегралов (47.6),
(47.7) говорят, что функция F интегрируется по кривой АВ.
Отметим некоторые свойства криволинейных интегралов
второго рода, ограничиваясь для краткости только случаем
интеграла (47.6).
Iе. Если функция F непрерывна на кривой Г, т. е. непрерывна
функция F(r(t)), a^t^b, то интеграл (47.6) существует.
Действительно, при сделанных относительно кривой Г
предположениях функция t = t(s), (t—параметр на кривой Г,
5 — переменная длина дуги) непрерывно дифференцируема на от-
резке [О, S ], поэтому функция cos а = непрерывна на этом от-
резке и, следовательно, в силу свойства 2 криволинейных интег-
ралов первого рода (см. п. 47.1), интеграл (47.6) существует. □
В дальнейшем в этом пункте для простоты будем предпола-
гать, что функция F непрерывна на кривой Г. В этом случае все
написанные ниже интегралы заведомо существуют.
2 . Криволинейный интеграл второго рода меняет знак при
изменении ориентации кривой, т. е.
j F(x, у, z)dx= — J F(x, у, z)dx.
AB BA
371
В самом деле, если а — угол,
образованный положительным на-
правлением касательной к кривой
АВ с осью Ох, а а' — угол, обра-
зованный положительным направ-
лением касательной к кривой В А с
осью Ох, то для соответствующих
ис* точек имеем а' = а + л (рис. 211) и,
следовательно, cos а' = — cos а.
Использовав теперь свойство независимости криволинейного
интеграла первого рода от ориентации кривой (см. п. 47.1),
получим
J F(x, у, z)dx = j F(x, у, z) cos a' ds = — J F(x, y, z) cos a ds =
BA BA BA
= — J F(x, y, z) cos a ds = — j F(x, y, z)dx.
AB AB
Таким образом, это свойство криволинейного интеграла
второго рода вытекает из того факта, что криволинейные
интегралы
J F(x, у, z)dx
АВ
и J F(x, у, z)dx
ВА
равны соответствующим криволинейным интегралам первого
рода, подынтегральные выражения которых отличаются только
знаком. □
3°. Если F—непрерывная на кривой Г = АВ функция, то для
интеграла (47.6) справедлива формула
ъ
f F(x, у, z)dx=$F((p(t), 4/(0, x(0)q>'(0^- (47.8)
а
АВ
Действительно, согласно определению (47.6),
х
J F(x, у, z)ds = § F(x(s), ХД z (s))cos a (x) ds.
о
AB
Выполнив в интеграле, стоящем в правой части этого ра-
венства, замену переменного s = s(t) и замечая, что (см. (47.5))
372
dx xt
cosa = — = —, получим
ds s't
s b
$F(x(s), >’0))cosa (,s)J.s' = f F(<p(/), ф(?), x(f))^s'tdt=
О a St
b
=fp(<p(r), \|/(0, х(0)фИ0Л. □
a
Отметим, что мы доказали также, что интеграл, стоящий в
правой части этой формулы, не зависит от выбора параметра
на кривой, сохраняющего ее ориентацию.
В частном случае, когда за параметр t можно взять
переменную х, т. е. когда кривая Г обладает представлением
у=у(х), z = z(x), a^x^b, и, следовательно, не имеет кратных
точек, функция F является однозначной функцией не только
точек кривой, но и соответствующих точек пространства (в
этом случае разным точкам кривой соответствуют разные точки
пространства, и наоборот).
Формула (47.8) принимает в этом случае вид
ъ
f F(x, у, z)dx = \ F(x, .у(х), z(x\)dx. (47.9)
n a
AB
Если на гладкой кривой AB={r(t)\ a^t^b}, r(z) = (cp(z), ф(/),
X(0), заданы непрерывные функции P(r(Z)), g(r(0)? ^(r(0)> TO
для интегралов J Qdy и J Rdz имеют место формулы,
ЛВ АВ
аналогичные формулам (47.8), и поэтому
J Р dx + Qdy + Rdz =
ь 7в
= f [Р (г (?) )ф' (?) + Q(r (?) )х|/ (?) + Я (г (?) ) х' (?) ] dt. (47.10)
4°. Интеграл J F(x, у, z)dx является пределом соответст-
у АВ
вующих интегральных сумм, описываемых в терминах, связан-
ных с кривой Г, точнее: пусть t = {z£ —разбиение отрезка
[a, Z?], |т| — его мелкость, zj, /=1, 2, ..., ix, и
(47.И)
373
где Ax—cp^)-ф(/г-1); тогда
lim dT= J F(x, у, z)dx. (47.12)
АВ
Сумма 6Т называется интегральной суммой криволинейного
интеграла второго рода (47.6).
В самом деле, по формуле конечных приращений Лагранжа,
Ах; = ф'(ПгЖ- где г).е[Л-1. = 7=1, 2, ix,
поэтому
6Т= Е F(r(£,)) <р' (п,) Az,
i= 1
Положим
<\=Е F(r(WW
Сумма от является интегральной суммой Римана для функции
F(r (/)) ф' (/), поэтому
lim ат = f F (г (/)) ф' (0 dt.
х Н° а
(47.13)
С другой стороны,
|F(r(^))| |ф'(п,)-ф'О Az;
i = 1
(о(8т; ф') (b—a) sup |F[r(Z)]|,
где со(5/ cp'J—модуль непрерывности функции ф'. Так как из
непрерывности функции F[r(Z)] на отрезке [а, Л] следует, что
sup |F[r(z)]| <оо, а из непрерывности функции ф' на том же
отрезке следует, что lim со(5т; ф' ) = 0, то lim (дт —<5Т) = О.
| т |->0 1 т НО
Поэтому, в силу (47.13), получим
ь
lim dT = f F(r (0) ф' (0 dt.
Отсюда, согласно равенству (47.8), следует формула (47.12). □
Мы рассмотрели только те свойства криволинейных инте-
гралов, которые связаны со спецификой их определения, с
кривой, по которой производится интегрирование. Естественно,
что так как рассматриваемые интегралы сводятся к обычным
374
интегралам по отрезку, то на них переносятся и различные их
свойства (линейность относительно интегрируемых функций,
аддитивность по дугам, интегрирование неравенств, интеграль-
ная теорема о среднем и т. д.).
47.3. РАСШИРЕНИЕ КЛАССА ДОПУСТИМЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
ПАРАМЕТРА КРИВОЙ
Непрерывно дифференцируемая ориентированная кривая без
особых точек определялась (см. п. 16.2—16.4) как кривая,
имеющая непрерывно дифференцируемые векторные представ-
ления г(Е), a^t^b, такие, что r'(z)^0 на отрезке [а, Ь]. В
качестве допустимых преобразований параметра при этом
рассматривались функции
Z = Z(t), r(a) = a, t($) = b,
которые были непрерывно дифференцируемыми и имели поло-
жительную производную на отрезке \а, />]. Это требование,
однако, часто оказывается слишком обременительным. Напри-
мер, для дуги Г единичной окружности с центром в начале
координат представления
У = —a2, O^x^l, и x = sin/, у = cosz,
оказываются неэквивалентными в этом смысле. Да и само
представление у = ^/1 — х2, 0 х 1, не определяет в нашем
смысле непрерывно дифференцируемую кривую, поскольку у
него при х=1 производная не существует. Поэтому естественно
расширить класс допустимых преобразований параметров и
допустимых представлений непрерывно дифференцируемых кри-
вых. Это можно сделать следующим образом.
Рассмотрим совокупность векторных представлений r=r(z),
a^t^b, непрерывных на отрезке \а, Ь] и непрерывно дифферен-
цируемых на интервале (а, Ь). допустимым преобразованием
параметра будем называть всякую функцию Z = z(t), ос^т^Р,
Z (ос) — zz, z(p) = Z?, непрерывную на отрезке [а, Р], непрерывно
дифференцируемую и имеющую положительную производную
на интервале (а, Р). Как всегда, два представления называются
эквивалентными, если можно перейти от одного к другому с
помощью допустимого преобразования параметра.
Определение 3. Класс эквивалентных представлений указан-
ного типа задает непрерывно дифференцируемую кривую, если в
этом классе существует по крайней мере одно представление
r=r(t), a^t^b, непрерывно дифференцируемое на всем отрезке
[а. />].
Определение 4. Непрерывно дифференцируемая кривая назы-
вается кривой без особых точек, или, короче, гладкой кривой,
375
если при некотором ее представлении r(t), a<t<b (а значит, и
при всех ее представлениях}, выполняется условие
a<t<b.
В смысле этого определения для указанных выше представ-
лений дуги окружности оказываются эквивалентны и задают
гладкую кривую.
Гладкие в смысле определения 4 кривые спрямляемы, так
как имеют непрерывно дифференцируемое на отрезке представ-
ление. В качестве одного из параметров на такой кривой может
быть выбрана длина дуги.
Остаются в силе и все данные выше определения криволи-
нейных интегралов и их свойства. Следует только иметь в виду,
что при некоторых представлениях кривых в формуле (47.10)
могут получаться несобственные интегралы, так как производ-
ные ф'(0, ФЧО и ХЧО, стоящие под знаком интеграла, не
являются, вообще говоря, непрерывными вплоть до концов
промежутков интегрирования.
Остаются в силе и все данные выше определения криволи-
нейных интегралов и их свойства, естественно, при учете того,
что при некоторых представлениях кривых можем получить
несобственный интеграл.
Следует подчеркнуть, что расширение класса представлений
кривой позволяет вычислять криволинейный интеграл при более
разнообразных представлениях кривой. Например, интеграл
Р(х, y)dy, где Г—рассматриваемая выше дуга единичной
г
окружности, а Р — непрерывная на кривой Г функция, можно
вычислить, используя оба указанных представления:
1
P(xt y)dy=-
г о
Р(х,
п/2
Р(х, y)dy= — P(sint, cos?) sin tdt.
г о
В первом случае здесь может получиться несобственный
интеграл.
Вместе с тем при доказательстве теорем можно
выбирать «хорошие представления», т. е. непрерывно дифферен-
цируемые вплоть до концов отрезка, а проведенные рассмотре-
ния окажутся справедливыми и для расширенного понятия
кривой.
376
Упражнение 1. Доказать, что при новом определении непрерывно
дифференцируемой кривой Г = {%(/), y(t), z(t)} ее длина выражается формулой
у/х'2 +у'2+z'2 dt, где написанный интеграл, вообще говоря, несобственный
а
47.4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ПО КУСОЧНО-ГЛАДКИМ КРИВЫМ
Определение 5. Если кривая Г — кусочно-гладкая, т. е. пред-
ставима в виде объединения конечного числа гладких кривых Гр
Г2, ...» Гк, а функция F(x, у, z) по-прежнему определена на
точках кривой Г, то, по определению, положим
к
jF(x, у, z)dx=£ J F(x, у, z}dx.
Г i=l п
Подчеркнем, что здесь гладкость кривых понимается в
обобщеном смысле, т. е. в смысле определения 4.
Если Г — кусочно-гладкая кривая, a x^x(f), y=y(t), z = z (t),
a^t^b, ее кусочно-гладкое представление, то также будем
иметь
ь
JjF(x, у, z)dx = $ F[x(t), y(fy z(fQx'(t)dt
Г a
(здесь производная х'(t) может быть не определена в конечном
числе точек отрезка \_а, и интеграл, стоящий в правой части
равенства, следует понимать, вообще говоря, в несобственном
смысле).
Аналогичные определения имеют место и для интегралов
вида (47.7). В дальнейшем придется иметь дело с суммами
интегралов вида (47.6) и (47.7), т. е. с интегралами вида (47.4),
где Р, Q и R — некоторые функции, определенные на точках
кривой Г. Согласно определениям (47.6) и (47.7), для кусочно-
гладких кривых Г также справедлива формула
^Pdx + Q dy + Rdz^ (Р cos ос+ 2 cos p + P cos у) ds.
г г
Замечание 1. Если Г — конечная совокупность кусочно-
гладких ориентированных кривых Г/9 z=l, 2, ..., к, то, по
определению,
к
Fds=
i = i
г
С к
Fdx=
J 1 = 1
F dx
и т. д.
377
Замечание 2. Мы дали определение криволинейных инте-
гралов для кривых, лежащих в трехмерном пространстве R3.
Аналогично они определяются и для кривых, лежащих в любом
и-мерном пространстве Rn, п = 2, 3, 4,... . Криволинейные
интегралы в /7-мерном пространстве обладают свойствами,
аналогичными рассмотренным выше в трехмерном случае,
причем доказательства их также совершенно аналогичны
приведенным выше. Поэтому не будем останавливаться ни на
формулировках, ни на доказательствах соответствующих ут-
верждений.
Упражнение 2. Доказать, что данные в настоящем пункте определения
криволинейных интегралов по кусочно-гладким кривым не зависят от способа
разбиения этих кривых на гладкие дуги.
47.5. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА
ВТОРОГО РОДА
Более общее понятие криволинейного интеграла второго
рода, независимое от понятия криволинейного интеграла
первого рода, можно получить с помощью предела интеграль-
ных сумм ат (см. (47.11)), т. е. принять за определение
равенство (47.12). При этом нет необходимости делать предпо-
ложения о какой-либо гладкости кривой, по которой ведется
интегрирование.
Пусть T = {r(Z); a^t^b}— параметрически заданная непре-
рывная кривая, r(Z) = (<p(O, ф(/)> х(0) и функция F задана на
множестве точек этой кривой. Как и выше в п. 47.2, для
каждого разбиения T = {rJJZI(j отрезка \а, А] положим
= Е Г(г (^) )Ах;, = ф (/,) — ф Д - 1), ti - 1 tt
i=\, 2, zT. (47.14)
Определение 2'. Если существует конечный предел lim д_,
И но
то он называется криволинейным интегралом второго рода от
функции F по кривой Г и обозначается J F(x, у, z)dx.
г
Таким образом,
def
jF(.x, у, z)dx = lim dT. (47.15)
г Iт Но
Правомерность использования в этом определении ранее уже
введенного другим способом термина «криволинейный интеграл
второго рода» оправдывается тем, что в случае непрерывно
дифференцируемого и без особых точек на отрезке [а, 6]
378
представления r(/), a^t^b, кривой Г, в силу равенства (47.12),
для криволинейного интеграла второго рода в смысле определе-
ния 2 этот интеграл совпадает с криволинейным интегралом в
смысле определения 2'.
Обобщение понятия криволинейного интеграла в определении
2' достигается прежде всего за счет того, что предел (47.15) может
существовать и для «негладких» кривых, т. е. тот да. когда нельзя
использовать понятие касательных векторов, которое необходимо
для того, чтобы можно было применить определение 2.
Криволинейный интеграл (47.15), подобно криволинейному
интегралу (47.6) (см. определение 2), не зависит от выбора
представления ориентированной кривой. Действительно, пусть
t=f(u), oc^t/^P,— допустимое преобразование параметра, т. е.
непрерывное строго возрастающее отображение отрезка [ос, Р]
на отрезок [а. Ь] и пусть т = {^}^о — разбиение отрезка [а, р].
Положим
W(4 /=0, 1, ..., /т. (47.16)
Тогда т* = {^}-^о является разбиением отрезка [а, Ь], и важно
заметить, что, в силу равномерной непрерывности функции
t=f(u) на отрезке [а, р], из стремления к нулю мелкости
разбиения т следует стремление к нулю мелкости разбиения т*,
т. е.
lim |т*| = 0? (47.17)
|т|->0
Если uj и
П;=Ж)’ i=1’ 2’ А
(47.18)
то для представлений r(/), a^t^b, и r(f(u)\ ос^и^р, кривой Г
имеем
%7=14) Z (ЛЖф(Ж-Д4=7)
1“1 (47.18)
= t ЖЖ) [<р('<)-фЖ 1)](47=14)Ж
Поэтому из существования конечного предела lim ёх* и
|Г|->0
выполнения условия (47.17) следует существование конечного
предела lim дт и равенство
|т|—>0
lim lim 07.
|т|-0 |т*|->0
379
Это и означает независимость интеграла (47.15) от выбора
представления кривой.
Если под гладкой кривой понимать кривую, которая имеет
хотя бы одно представление, непрерывно дифференцируемое
вплоть до концов отрезка, на котором оно задано, и не имеет
особых точек внутри этого отрезка (см. определения 3 и 4 в
п. 47.3), то для функций, непрерывных на такой кривой,
определения 2 и 2' криволинейных интегралов второго рода
эквивалентны, т. е. дают одно и то же значение интеграла,
какое бы представление этой кривой ни выбрать. В самом деле,
во-первых, для представления кривой, непрерывно дифференци-
руемого вплоть до концов отрезка, на котором оно задано, эти
определения, согласно доказанному выше, эквивалентны; а
во-вторых, оба эти определения не зависят от выбора парамет-
ра на кривой.
Криволинейный интеграл (47.15), подобно интегралу (47.6),
меняет знак при изменении ориентации кривой, по которой
производится интегрирование. Действительно, при замене пара-
метра t = a + b — и. а^и^Ь, в представлении r(/), a^t^b, кривой
Г все приращения Ах~ф(^) — (p(zi_1), z= 1, 2, ..., zT, функции (р
изменяют знаки на противоположные. Поэтому каждая ин-
тегральная сумма также меняет знак, а следовательно,
меняет знак и предел lim дт, т. е. интеграл j F(x, у, z) dx.
|тН0 Г
На криволинейный интеграл (47.15) переносятся и другие
свойства интеграла (47.6), такие, как линейность, аддитивность
по дугам, интегрирование неравенств и т. п.
Аналогично интегралу jF(x, у, z)dx обобщаются и понятия
г
криволинейных интегралов второго рода вида jF(x, у, z)dy и
г
j F(x, у, z) dz\ они определяются как пределы соответствующих
г
интегральных сумм. Таким образом, можно рассматривать в
этом смысле и интеграл вида
J Р dx+Qdy + Rdz.
г
Этот интеграл, в силу его аддитивности по дугам, совпадает с
интегралом, рассмотренным в п. 47.2, не только по гладким
кривым (как это было доказано выше), но и по кусочно-глад-
ким. Следовательно, в данном случае остается справедливой
формула
JРdx + Qdy + Rdz = J(Pcosoc + (2cosP + Pcosy)ds, (47.19)
г г
380
где (cosa, cos[3, cosy) — единичный касательный вектор к
кривой в тех точках, в которых у нее существует касательная.
Рассмотрим два примера криволинейного интеграла второго
рода в смысле определения (47.15).
Пример 1. Пусть кривая Г такова, что на ней можно взять за
параметр одну из координат, например координату х, т. е.
кривая Г имеет представление
у=у(х), z=z(x), a^x^b, (47.20)
а функция F непрерывна на этой кривой. В этом случае
интегральная сумма имеет вид
dr= Е F^’ y^i)’
i= 1
т. e. является интегральной суммой Римана, непрерывной на
отрезке [а, Ь] функции F(x, у(х), z(x)), поэтому ее предел при
ь
|т|—>0 существует и равен интегралу jF(x, ^(х), z(xtydx. Следо-
41
вательно, как и в случае кусочно-гладких кривых, для интеграла
(47.15) имеем &
jF(x, у, z)dx = j F(x, у(х), z(x))dx. (47.21)
Г а
Отметим, что здесь эта формула в отличие от формулы
(47.9) получена для произвольной непрерывной кривой вида
(47.20), т. е. эта кривая может быть, в частности, неспрямляе-
мой, не иметь касательной ни в одной точке и т. п.
Пример 2. Если кривая Г лежит в плоскости, перпендику-
лярной оси Ох, т. е. имеет представление
х = х0, y=y(t), z = z(t), a^t^b, (47.22)
то
jF(x, у, z)dx — 0. (47.23)
г
Действительно, в этом случае в интегральных суммах ат все
слагаемые равны нулю, так как для любого разбиения t = -Zo
отрезка [а, Ь] все Axt- равны нулю: Ах~х0 —хо = 0, z = 1, 2, ..., zT,
и, следовательно, сами интегральные суммы сгт также равны
нулю, откуда и следует равенство (47.23).
Криволинейный интеграл второго рода в новом расширен-
ном смысле встретится, во-первых, тогда, когда кривая V — AB
является графиком непрерывной относительно одной из коорди-
нат функции, например функции v=/(x), a^x^b, на плоскости
переменных х, у, а функция F(x, у) непрерывна на этом графике.
381
В этом случае
f Fix. y)dx =
(47.21)
b
fF(x, f(x))dx и, следовательно,
a
b
J F(x, y)dx=— jF(x, fiptydx'.
FA a
во-вторых, тогда, когда кривая Г лежит в плоскости перемен-
ных х, у и является отрезком, параллельным одной из
координатных осей, например оси Оу:х = х0, c^y^d. В этом
случае
f Fix. у, z\dx = 0.
V 7 (47.23)
(47.25)
47.6. ФОРМУЛА ГРИНА
В дальнейшем для простоты будем всегда предполагать, что
на плоскости и в пространстве заданы правые прямоугольные
системы координат.
Определение 6. Пусть простой замкнутый контур Г явля-
ется границей ограниченной плоской области G. Если ориентация
контура выбрана таким образом, что при обходе контура Г,
соответствующем возрастанию параметра, область G остает-
ся слева (такой обход обычно называется обходом контура
против направления движения часовой стрелки), то эта
ориентация называется положительной, в противном же случае
(т. е. когда обход контура производится по направлению
движения часовой стрелки) — отрицательной (рис. 212).
Будем говорить также, что
обход контура, соответствую-
щий положительной (отрица-
тельной) ориентации, проис-
ходит в положительном (от-
рицательном) направлении.
Положительно ориентиро-
ванный контур будем обозна-
чать через Г , а отрицательно
ориентированный — через Г".
Эти понятия определены не строго, не в точных математических
терминах. Однако мы не будем давать точных определений, с
одной стороны, потому что это нельзя коротко сделать, а с
другой стороны, поскольку в дальнейшем во всяком отдельном
случае рассматриваемая ориентация всегда будет конкретно
указываться. Тем самым наше «общее» определение положи-
тельной и отрицательной ориентации простого замкнутого
382
контура послужит лишь для
геометрической наглядности рас-
сматриваемых ниже вопросов.
В дальнейшем плоскую об-
ласть G, замыкание которой
может быть представлено од-
новременно в виде (45.1) и
(45.25), т. е. область, граница
которой может быть представ-
лена как в виде объединения
графиков непрерывных функций Рис
от одной переменной, так ив '*
виде объединения графиков непрерывных функций от дру-
гой переменной и, быть может, еще отрезков, параллель-
ных соответствующим координатным осям, будем для крат-
кости называть элементарной областью (рис. 213).
Будем говорить, что плоская область G разбита на конечное
число областей GI? z= L, 2, ..., к, если множество их замыканий
= i является разбиением замкнутой области G (см. п. 44.3).
Если плоская область G может быть разбита на конечное число
элементарных областей G„ z=l, 2, ..., к, то ее граница состоит
из конечного числа дуг, принадлежащих границам областей Gf,
причем эти дуги не пересекаются друг с другом в своих
внутренних точках, а каждая концевая точка этих дуг принадле-
жит не более чем двум из них. Поэтому граница области G
состоит в этом случае из конечного числа простых замкнутых
контуров.
Теорема 1. Пусть плоская область G может быть
разбита на конечное число элементарных областей и ее граница
Г является простым замкнутым контуром. Если на замыкании
G области G заданы функции P(x, j) и Q(x. j), непрерывные на G
. cP dQ *>
вместе со своими частными производными — и ——, то имеет
су сх
место формула
Р dx+Qdy,
(47.26)
называемая формулой Грина **\
Следствие. Если в условиях теоремы контур Г, являю-
щийся границей области G, кус очно-гладкий и (cos ос, sin ос) —
*) Непрерывность частных производных на G понимается как их
непрерывность на открытом множестве G и их непрерывная продолжаемость на
границу G (см. п. 39.3).
Дж Грин (1793— 1841)--английский математик
383
единичный касательный к нему вектор (в тех точках, где он
существует), то
(°® д?
у дх ду
G
dx dy = (Р cos ос + Q sin ос) ds.
(47.27)
где s — переменная длина дуги на контуре Г+.
Доказательство. Пусть сначала область G сама элемен-
тарна и, следовательно, ее границу можно представить как
объединение графиков двух кусочно непрерывно дифференци-
руемых функций ф(х) и ф(л), (р(х)^ф (х), а^х^Ь. и, быть
может, отрезков прямых х = а и х = Ь. а также как объединение
двух графиков кусочно непрерывно дифференцируемых функций
ос (у) и P(j), ос(у)^Р(у), и, быть может, отрезков прямых
у = с и y = d.
В этом случае, применяя правило сведения двойного
интеграла к повторному, теорему Ньютона — Лейбница (п. 29.3)
и формулу (47.24), имеем
Ь ф (х)
j I — dy dx =
J L J Sy
a (p (x)
b
pF , ,
— dxdy =
)J дУ
G
{Р[х, v|/(x)]-P[x, <p(x)]}tZ:
ъ
AB
(47.28)
Для кривых AB и CD ничего, кроме их непрерывности, не
предполагалось, поэтому естественно, что здесь все криволиней-
ные интегралы второго рода понимаются в смысле определения
2f (см. п. 47.5).
Замечая, что для отрезков ВС и DA (см. (47.25))
f Р(х, y)dx= J Р(х, y)dx^Q.
вс DA
(47.29)
384
и сложив равенства (47.28) и (47.29), имеем
^dxdy =
J дУ
G
Pdx — Pdx — I Pdx — Pdx =
j j j
AB BC CD DA
= - Pdx. (47.30)
r +
При этом получилась ориентация граничного контура Г, при
которой следует последовательно одна за другой точки А, В. С,
D. Эта ориентация является положительной (см. определение 6)
и обозначается через Г+.
Совершенно аналогично, исходя из того, что область G
элементарна, выводится формула
G
Qdy.
Вычитая из левой и правой частей этой формулы соот-
ветственно левую и правую части формулы (47.30), получим
формулу Грина (47.26).
Рассмотрим общий случай. Пусть область G разбита на
области Ср z=l, 2, ..., к, указанного в условиях теоремы вида, и
Г- контуры, ограничивающие области Gt. В силу доказанного,
для каждого z=l, 2, ..., к
п / \ Г*
8Q 8Р\ , ,
—------\dxdy =
JJ уДх су J
G. г/
Сложив эти равенства, получим
Р dx + Qdy.
dx dy=Y j Р dx + Qdy. (47.31)
г.+
В силу аддитивности двойного интеграла по множествам (см.
п. 44.6), имеем
В сумме, стоящей в правой части равенства (47.31),
криволинейные интегралы берутся дважды по всем внутренним
частям границ Г19 областей G\, т. е. таким дугам кривых Г£,
385
которые являются частью границ двух областей Gb i= 1, 2, к.
и, следовательно, не входят в границу области G; при этом
ориентации этих дуг кривых Г- противоположны (рис. 214).
В силу изменения знака криволинейного интеграла второго
рода при изменении ориентации кривой, сумма двух криво-
линейных интегралов по указанным частям кривых Г£ равна
нулю Поэтому в правой сумме формулы (47.31) останутся
только интегралы по положительно ориентированным частям
Рис. 215
границы Г области G, дающие в сумме J Pdx + Qdy Таким
г +
образом,
к
£ J* Pdx+Qdy = f Pdx + Qdy. (47.33)
i = 1 Г + Г +
I
Из (47.31), (47.32) и (47.33) следует формула (47.26) в общем
случае. □
Пусть G — ограниченная область на плоскости R2, и пусть ее
граница состоит из конечного числа простых контуров, которые
будем называть граничными контурами. Если граничный контур
является одновременно и границей неограниченной области,
лежащей в 7?2\G, то будем называть его внешним, а если он
является одновременно и границей ограниченной области,
лежащей в R2\G, то — внутренним. Так, на рис. 215 контур Гг
внешний, а контуры Гп и Г/2 внутренние.
Если граница области G состоит из внешнего контура Ге и
внутренних контуров Гп, Г/2, ..., Гйи и если область G может
быть разбита на конечное число элементарных областей, то
справедлива формула
Pdx + Qdy+ £
j=i
Pdx+Qdy. (47.34)
386
функции Р и Q, как и выше, предполагаются непрерывными
дР dQ „ г-
вместе со своими производными — и в замкнутой области G.
Доказывается эта формула так же, как и (47.26), если толь-
ко заметить, что в сумме, стоящей в правой части равенс-
тва (47.31), останутся криволинейные интегралы по поло-
жительно ориентированным частям внешнего контура и по
отрицательно ориентированным частям внутренних контуров
(рис. 215).
Отметим еще, что в формуле (47.34) все контуры (как
внешние, так и внутренние) ориентированы таким образом, что
при их обходе область интегрирования остается слева.
Определение 7. Пусть граница 3G ограниченной плоской
области G состоит из конечного числа простых кусочно-гладких
контуров. Совокупность этих контуров, ориентированных так,
что при обходе по каждому из них область G остается слева
(справа), называется положительной (отрицательной) ориента-
цией границы G и обозначается также 8G (соответственно
-8G).
Формулу Грина можно распространить и на другой, чем
указанный в теореме 1, класс областей. Для этого заметим, что
в силу этой теоремы формула Грина справедлива для треуголь-
ника, а значит, и для любого многоугольника. Поэтому
предельным переходом, аппроксимируя границу области конеч-
нозвенными ломаными, можно получить формулу Грина для
любой области (и даже просто открытого множества), граница
которой состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых.
Мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта, а
ограничимся лишь его формулировкой. При этом, используя
определение 7, запишем формулу (47.34) в более компактном
виде.
Теорема Г. Пусть граница плоской ограниченной об шсти G
состоит из конечно г о. числа кусочно-гладких кривых. Тогда если
функции Р, Q, — и — непрерывны на G, то
ду дх ' '
cP
ду
]dxdy= Pdx+Qdy,
J \ дх ду 1 J
G cG
где 8G положительно ориентированная граница области G.
Формула Грина является для кратных интегралов аналогом
формулы Ньютона— Лейбница для однократных интегралов: и
в той и в другой формуле интегралы от производных по
области интегрирования выражаются через значения функции
на границе указанной области (в случае формулы Грина эти
значения еще интегрируются).
387
ПЛ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
С ПОМОЩЬЮ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Положив в формуле Грииа = Р = 0, получим j$dxdy =
G
= f xdy и, следовательно,
г +
pG- J xdy. (47.35)
г +
Аналогично, положив Р=—у, Q — 0, получим
pG=- J ydx. (47.36)
г +
Складывая формулы (47.35) и (47.36), имеем
j’ xdy-ydx. (47.37)
2r +
Примеры. 1. Найдем с помощью формулы (47.37) площадь S.
ограниченную эллипсом ^-+'—=1. Используем его параметриче-
ское представление: x = 6/cos/, y = bsint. Применив формулу
(47.37), получим искомую площадь:
1 I 2л
S=- J xdy—ydx = -ab$(cos2t + sin2t)dt^nab.
2 г + 2 о
Сравнивая этот метод вычисления площади, ограниченной
эллипсом, с приведенным раньше (см. пример 4 в п. 32.1), легко
убедиться, на сколько здесь меньше объем вычислений.
2. Найдем площадь, ограниченную астроидой (см. в т. 1 рис.
87) x=x/cosG, y = asin\ 0^/^2л. Замечая, что здесь возраста-
ние параметра t соответствует положительной ориентации
контура, имеем
1 За2 2я
S = - f xdy—ydx =— J (cos4/sin2/ + sin4/cos2/)dt =
2r+ 2 о
о 2 2л т 2л _ э
Зя г . 7 ~ . За с /1 л \ 1 Зпа~
= —-J sin22zrf/ = —| (1— cos4t)dt =--------------.
8 о 16 о 8
388
47.8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЗНАКА ЯКОБИАНА
ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
Пусть F—взаимно однозначное непрерывно дифференцируе-
мое отображение плоской области GczR^ в плоскость R2xy с
якобианом, всюду в G не равным нулю. Тогда, в силу принципа
сохранения области, множество G* = F{G) также является
областью (см. п. 41.8), а якобиан, в силу его непрерывности,
сохраняет знак на G (см. теорему 4 в п. 19.5), т. е. либо всюду
на G положителен, либо всюду отрицателен.
Пусть в координатной записи отображение F задается
формулами
х = х [и, V),
у=у(щ г). (47.38)
Лемма 1. Если Г — кусочно-гладкая кривая, лежащая в G,
то ее образ T* = F(T) при отображении F также будет
кусочно-гладкой кривой.
Доказательство. Пусть сначала Г — гладкая кривая, т. е.
непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек (см.
определения 15 и 16 в п. 16.4), и пусть
u = u{t\ v = v(t), a^t^b,
— некоторое ее представление. Тогда на отрезке [а, Л] функции
6^) + U >0‘
Представлением кривой T* = F(T) является пара функций
x = x(u(t), и (г)), y=y(u(i), v(t)\ a^t^b,
которые, в силу свойств композиции непрерывно дифференци-
руемых функций (см. п. 19.3 и 20.3), также непрерывно
дифференцируемы. Покажем, что кривая Г* также не имеет
особых точек. В самом деле, так как
dx _ дх du । дх dv
dt du dt dv dt'
dy
dt
dy du । dy dv
du dt dv dt
то, рассматривая эти равенства как систему линейных уравне-
du dv
нии относительно — и —, видим, что если в некоторой точке
dt dt
г , dx dy
1е\а, b\ выполнялись бы равенства — = ~ = 0, то’ в СИЛУ
необращения в нуль якобиана
389
дх дх
д(*. J')_ Ни Hv
д(и, v) £'У (У
ди dv
указанная система имела бы единственное решение, которым
является нулевое решение, т. е. в той же точке t были бы
du dv
справедливыми равенства = Q и тем самым соответ-
ствующая точка кривой Г была бы особой, что, по предполо-
жению, невозможно.
Итак, если кривая Г — гладкая, то кривая Г* = F(r) также
гладкая. Отсюда сразу следует, что образ кусочно-гладкой
кривой при рассматриваемом отображении является также
кусочно-гладкой кривой, ибо кусочно-гладкая кривая (см.
определение 16 в п. 16.4) представляет собой объединение
конечного числа гладких кривых. □
Пусть теперь D^G. D— ограниченная область и ее граница
8D является простым кусочно-гладким контуром Г (такие
границы называются кусочно-гладкими). Пусть далее D* = F(Z>).
Тогда, в силу принципа сохранения области, множество 7?*
также область и, кроме того, ее граница SD* есть образ
границы 8D области D (см. лемму 1 в п. 46.1), т. е. 8D* = F(dD).
Поэтому граница 8D* также является простым (в силу
взаимной однозначности отображения F) кусочно-гладким (со-
гласно лемме 1 этого пункта) контуром Г*. Следовательно, по
контурам Г = 8D и JT* = 8D* можно вычислять криволинейные
интегралы. Пусть области D и D* таковы, что к ним применима
формула Грина, например они удовлетворяют условиям,
налагаемым на область в теореме 1 п. 47.5. (На самом деле, как
уже отмечалось, при сделанных предположениях формула
Грина всегда применима, однако это не было доказано.)
Обозначим через Г + , как обычно, положительно ориентиро-
ванный контур Г (см. п. 47.5). Пусть
u = u(t), v = v(f), a^t^b,
- представление контура Г+ и, следовательно,
x = x[w(r), г (г)], г = у[Ъ(г), r(z)], (47.39)
- некоторое представление контура Г*.
Будем предполагать еще, что существуют смешанные произ-
д2г д2у
водные —— и ——- и что они непрерывны, а следовательно, и
dv du ди dv
равны друг другу во всех точках области G
390
Согласно формуле (47.35),
ц£>* = 8 J х dy, (47.40)
г*
где 8 = + 1, если ориентация контура Г* положительна, и 8 = — 1
в противоположном случае. Иначе говоря, 8= + 1 (соответ-
ственно 8= —1), если положительному обходу данного контура
Г соответствует при отображении (47.38) положительный же
(отрицательный) обход контура Г* = Г(Г).
Преобразовав интеграл (47.40) по формуле (47.8) и исполь-
зовав представление (47.39) контура Г*, имеем
р,£>* = 8 xy'tdt = z
x — du + x^dv.
du CV
К получившемуся интегралу применим формулу Грина (см.
теорему 1 в п. 47.5). Положив Р = х^-, Q = Xy и заметив, что в
этом случае
cQ_gx ду d2y
ди ди dv dudv
dP _ dx dy % d2y
dv dv du dvdu
(здесь используется потребованное выше существование вторых
d2y d2y
частных производных ——- и ——), получим
dv du du dv
dQ dP _ dx dy dx dy _ d (x, y)
du dv du dv dv du d(u. i')’
откуда
ц£>* = 8 Pdu + Qdv = s
г*
du dv = 8
\u-^ddudv.
J v)
D
Левая часть этого равенства больше нуля, значит, правая
часть также положительна, и так как якобиан отображения
(47.38) не меняет знака, то это возможно лишь в том случае,
d (х, у) ~
когда 8—)—^>0, т. е. когда число 8 имеет тот же знак, что и
d(u, V)
391
якобиан
с(х, у) с (л, г)
а в этом случае £-)——
д (и, v) с (и, v)
3;)
с (и, v)
. Тем самым
знак е не зависит от выбора контура Г, а определяется знаком
якобиана, который один и тот же во всех точках области G.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 2. Если выполнены сделанные выше предположения,
то справедлива формула
jtD* =
j
D
du dv.
(47.41)
Кроме того, если на D, то £= + 1, иначе говоря, если
д(и, v)
якобиан отображения F положителен, то положительному
обходу всякого контура Г cz G, являющегося границей ограничен-
ной области DcG, при отображении F соответствует положи-
тельный обход контура Г* = Р(Г), являющегося границей ограни-
ченной области D* = F(D). Если же якобиан л- < 0 на D, то
х ' С (и, V)
£=—1, т. е. положительному обходу всякого контура Г
указанного типа соответствует при отображении F отрица-
тельный обход контура T* = F(T).
Таким образом, геометрический смысл знака якобиана
состоит в том, что в случае положительного якобиана
ориентация контура при отображении сохраняется, а при
отрицательном — меняется.
С помощью формулы Грина (47.34) формула (47.41) легко
обобщается на случай, когда граница области Г состоит из
конечного числа кусочно-гладких замкнутых контуров.
Отметим еще, что с помощью формулы (47.41) можно без
труда получить более простое доказательство теоремы 1 из п.
46.1 о геометрическом смысле модуля якобиана. Действительно,
пусть Л/Ое£>, diam(D) —диаметр области Г, и область D
каким-либо образом стягивается к точке Л70 и, следовательно,
diam(D)->0. По теореме о среднем (см. п. 44.6),
du dv —
цГ>, MeD,
м
поэтому
pD*
м
392
В силу непрерывности якобиана,
S(x, J>)
£(//, t*)
следовательно,
lim
diam (D)—-О
\iD*
lim
diam (D)—►О
>')
c(w, r)
м0
(47.42)
М
т. e. доказана формула (46.9) и в некотором смысле даже в
более общем виде; так, здесь D не обязательно квадрат (правда,
на отображение F мы наложили несколько более сильные
условия, потребовав непрерывности смешанных производных
44- и 44 и возможности применения формулы Грина для
ди(т dvГ и
области Z)*). Нетрудно убедиться и в том, что стремление к
пределу в формуле (47.42) происходит равномерно в смысле,
указанном в теореме 1 п. 46.1.
Несмотря на простоту вывода формулы (47.41) (достигнутую
во многом за счет более сильных предположений), следует
отметить, что доказательство теоремы 1, приведенное в п. 46.1,
идейно предпочти гельнее, так как оно лучше раскрывает
сущность вопроса, связанную с тем. что дифференцируемое
отображение в малом достаточно хорошо аппроксимируется
линейным отображением.
47.9. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА
ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Все кривые (контуры), рассматриваемые в этом пункте,
будут всегда предполагаться кусочно-гладкими; для краткости
это каждый раз специально не оговаривается. Отметим еще. что
во всякой области G любые две ее точки всегда можно
соединить кусочно-гладкой кривой, например ломаной (см.
лемму 5 в п. 41.4), лежащей целиком в G.
Пусть задана плоская область G и на ней определены
непрерывные функции Р = Р(д-, д’) и Q = Q(x, д). Рассмотрим
вопрос о том, при выполнении каких условий криволинейный
интеграл J Pdx4Qdy при произвольно фиксированных точках
AgG и BgG не зависит от выбора кривой АВ, их соединяющей
и лежащей в G.
Лемма 2. Условие независимости рассматриваемого криво-
шнейного интеграла от указанного пути интегрирования равно-
сильно равенству нулю интеграла по любому замкнутому
контуру, лежащему в области G.
393
Рис. 216
Доказательство. 1. Действительно,
пусть для любого замкнутого контура Г <= G
имеет место равенство $ Pdx+Q dy = 0 и
г
даны две кривые (Л5)х и (АВ)2, соединяю-
щие в G точки А и В (рис. 216). Обозначим
через (ВА)2 кривую, получающуюся из (ЛВ)2
заменой на ней ориентации на противоположную. Объединение
(J (ВА}2 кривых (АВ\ и (ВЛ)2 является замкнутым контуром,
поэтому
J Р dx + Qdy = £y
(ЛВр и(1Ц)
(47.43)
но
| Р dx+Qdy = j Pdx+Qdy + j Pdx + Qdy —
(ЛВ)1 (ВЛ2)
= J Pdx + Qdy — f Pdx + Qdy. (47.44)
(Л1Щ (AB2)
Из (47.43) и (47.44) следует, что
J Р dx+Qdy= j Pdx + Qdy,
(АВ)г (AB2)
т. e. криволинейный интеграл j Pdx + Qdy не зависит от пути
АВ
интегрирования АВ cz G при фиксированных AeG и BeG.
2. Обратно: пусть интеграл § Pdx + Qdy не зависит от пути
интегрирования в указанном смысле и задан замкнутый контур Г,
лежащий в G. Выберем на нем две точки А и В + А; тогда
Г=АВ^ВА и
(№+е^= j + j = f - f =о,
Г
АВ ВА АВ (АВ)
где обозначает кривую, получающуюся из кривой В А
заменой на ней ориентации на противоположную. □
394
Сформулируем критерий независимости интеграла от пути
интегрирования.
Теорема 3. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны в
плоской области G. Для того чтобы криволинейный интеграл
. J Pdx + Qdy при фиксированных точках AeG и BeG не зависел
АВ
от пути интегрирования АВ cz G, необходимо и достаточно,
чтобы выражение Pdx + Qdy являлось полным дифференциалом
некоторой функции и = и(х, г), определенной в области G:
du = Pdx + Qdy (47.45)
(это равносильно тому, что ~~Р, C-^- = Q, (х, v)eG).
При выполнении этого условия для любых двух точек А =
= (х0, f0)gG и В = (л1, yJeG и любой кривой АВ, соединяющей
эти точки в G.ABczG, имеет место тождество
yPdx + Qdy = u(x,, jJ-wfA'o, у0). (47.46)
АВ
Доказательство необходимости условия (47.45).
Допустим, что рассматриваемый интеграл не зависит от пути
интегрирования, лежащего в области G, а только от его
начальной и конечной точек. Пусть Л/0 = (х0, г0)б(7, М=
= (х, y)eG и М^М—некоторая кусочно-гладкая кривая, соеди-
няющая в G точки Мо и М (такая кривая, даже ломаная, всегда
существует, см. лемму 5 в п. 41.4). Положим
и(М) = и(х, у) — f Pdx+Qdy.
м()м„
Функция и(х, И однозначна, так как значение и(М) = и(х, j’) не
зависит от выбора кривой, соединяющей в G точки MQ и Л7.
Покажем, что
Си(х, Г) п/ \ СИ(Х> У) хл/ \
—х—^- = Р(х, у) и ——- = Q(x, j).
Зафиксируем точку Л/=(х, j), а точку Mh = (x + h,
h + О, выберем так, чтобы отрезок MMh, соединяющий М
395
и Mh (который, очевидно, параллелен оси Ох и имеет длину
|/г |), содержался в G (рис. 217). Для всех достаточно малых
чисел h такой выбор всегда можно сделать (почему?). Тогда
имеем
w(x + /z, j) — и(х, у) = J Pdx+Qdy— J Pdx+Qdy =
M„Mh м„м
= J Pdx-У Qdy.
h
Вдоль отрезка MMh координата у постоянна, поэтому
f Qdy = ^ и, следовательно, w(x + /z, у) — и(х, у) = f Pdx =
мм, мм,
h h
x + h
= J P(t, y)dt. Применив интегральную теорему о среднем,
получим
u(x + h. у) —z/(x, y) = P(x + Qh, y)h, О<0<1,
откуда
»(.v+/i,.r) »(w)=P|x+e/; o<e<i.
(47.47)
Рис 217
и (х, у), для которой имеет
Правая часть этого равенства в
силу непрерывности функции
Р(х, г) имеет предел при /?->0,
следовательно, и левая часть при
Л->0 имеет предел. Перейдя к преде-
лу в (47.47), будем иметь — J ) =
сх
= РУ’ V)-
Совершенно аналогично доказы-
вается и равенство —С—- = Q(x, у).
Итак, существование функции
место соотношение (47.45), доказано.
Пусть теперь AeG, BeG, АВ—-некоторая кривая, соединяю-
щая в G точки А и В. и пусть x = x(z), у—у(/), — ее
представление и, следовательно, J=(x(a), у (я)), В = (х(Ь], у{Ь]).
396
Тогда
ь
f Pdx+Qdy=${P[x(t), j;(/)]x'(z)+6[x(r), j(z)] /(/)} dz =
cu(x, t), y(t)) dx
ex dt
dy dt
dt =
b
= fu;(x(z), y(t)dt = u[x(b), у (/?)]-и [x(a), y(a)] = u(B)-u(A),
a
т. e. формула (47.46) также доказана.
Доказательство достаточности условия (47.45) для
независимости криволинейного интеграла от пути интегриро-
вания непосредственно следует из формулы (47.46). Действи-
тельно, начальная точка любого замкнутого контура Г совпадает
с конечной, а поэтому, в силу (47.46),
J Pdx-\- Qdy — u^A ) — и(А) = 0.
г
Согласно лемме 2, это и означает независимость соответст-
вующего криволинейного интеграла от пути интегрирования. □
Заметим, что, хотя доказанная теорема и дает необходимые и
достаточные условия независимости криволинейного интеграла
от пути интегрирования, эти условия трудно проверяемы.
Если сузить класс рассматриваемых областей, то можно
получить существенно более простой и эффективный критерий.
Введем следующее определение.
Определение 8. Плоская область G
называется односвязной, если, каков бы ни
был простой контур Гс=С, ограниченная
область D, границей которой является Г,
содержится в G.
Образно говоря, односвязность об-
ласти означает, что область не имеет
«дыр». Круг является примером одно-
связной области, круговое кольцо — неодносвязной (рис. 218).
Прежде чем формулировать другой критерий независимости
криволинейного интеграла от пути интегрирования, докажем
лемму, которая понадобится при доказательстве этого критерия.
Лемма 3. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, j) непрерывны в
области G, Г — гладкая кривая, лежащая в G, x = x(t), y = y(t)>
a^t^b, - ее представление, т = {—разбиение отрезка [щ b ],
Ат — ломаная с вершинами в точках (x(rf), >’(б))> * = Ь •••’
397
(см. п. 16.5). Тогда
lim f Pdx+Qdy = \ Pdx+Qdy. (47.48)
|т|->Од Г
т
Заметим, что, в силу равномерной непрерывности на отрез-
ке [г/, функций х(г) и y(t\ длины звеньев ломаной Лт, т. е.
длины отрезков с вершинами в точках (х(б_х), ^(б-i)) и (л(/-),
}’(/•)), при |т|—>0 также стремятся к нулю.
Доказательство. Кривая Г является компактом; гак как
этот компакт не пересекается с замкнутым множеством R^y \ G, то
расстояние между ними больше нуля (см. лемму 7 п. 18.2). Пусть
т| —какое-либо число такое, что р(Г, /?ДГ\ С)>т| >0. Обозначим
через Гп совокупность всех точек плоскости, находящихся от Г на
расстоянии, не большем чем гр Множество Гп ограничено,
замкнуто (см. в п. 18.3 лемму 11) и I^czG.
В силу равномерной непрерывности функций х(/) и г (г) на
отрезке \а. /?], существует такое число 8>0, что для любых двух
точек Г е[с/, Л] и t" е\а, /?], удовлетворяющих условию
11' — t" | < 8, выполняется неравенство
р(М'. Л/-)-Лг(>")--’(<')]2 + [>(<-)-?(<')]2<П.
где М' = (x(z'), М" = (x(t”\ у(г")) (СР- с ^ммой 4 в п. 41.4).
Все точки отрезка с концами в точках М' и М", очевидно, также
находятся от точки W' на расстоянии, не большем чем т|, и
поэтому лежат в множестве ГТ1 и, следовательно, в G. Это
означает, что если мелкость | т | разбиения т отрезка [г/, такова,
что |т|<8, то все точки ломаной Лт лежач в G и для таких
разбиений т имеет смысл интеграл J Pdx+Qdy.
л
т
Рассмотрим интегралы J Pdx и J Pdx. Положим
г Л
т
Xf = x(/J, yi=y(ti). Pi = P(xh yj, ^xi = xi — xi_i, z= 1, 2, ..., zT,
<\= E t a
i= 1
Как известно (см. п. 47.2, свойство 4°),
lim сут = J Рdx. (47.49)
|т1—О Г
Пусть, далее, Mi = (xh г,) вершины ломаной Лт; тогда
f Pdx = X f Pdx- (47.50)
л i=l
398
С другой стороны, заметим, что (используя обозначения из
п. 47.2)
J dx = j cosads = |Mf_1Ml-|cosoc = AxI.,
м. ,м. м. ,м.
iii I— 1 i
поэтому
= Е = Z f Р^х. (47.51)
i i М.^М.
Обозначив через Lx длину ломаной Лт, через S—длину кривой
Г, а через со(8; Р)— модуль непрерывности функции
Р(х, j’) на компакте Г и заметив, что, в силу определения длины
кривой, из (47.50) и (47.51) получим
J Pdx-o, <£ f \P-Pt\dx
Л м. лм.
Т I - 1 1
^со(8т; Р) £|Дл,.|^со(8т; Р)£тсо(|т|; P)S.
i
Отсюда, в силу равномерной непрерывности функции Р(х, >') на
множестве Г имеем lim ( f Pdx — от) = 0 и, значит, согласно
|т|-0 Л
(47.49),
lim J Pdx = j Pdx. (47.52)
У|->0 Л г
Аналогично доказывается и равенство
lim f Qdy = \ Qdy. (47.53)
|т|—>0 л г
т
Из (47.52) и (47.53) непосредственно и следует утверждение
леммы, т. е. формула (47.48). □
Замечание. Утверждение, аналогичное лемме, справедливо
и для криволинейных интегралов в пространстве, причем
доказательство пространственного случая проводится по той же
схеме, что и для плоского.
Теорема 4. Пусть функции Р(х,у) и Q(x, у) непрерывны
/ cP cQ
вместе со своими частными производными — и — в плоской
оу сх
области G. Для того чтобы криволинейный интеграл J Pdx-y
АВ
+ Qdy при произвольно фиксированных точках AeG и BeG не
зависел от пути интегрирования AB^G, необходимо, а если
399
область G односвязна, то и достаточно, чтобы во всех точках
дР dQ
области G выполнялось равенство — =—.
оу дх
Доказательство необходимости. Пусть рассматри-
ваемый интеграл не зависит от пути интегрирования, лежащего в
области G, а зависит только от его начальной и конечной точек.
Тогда, согласно теореме 3, существует функция и = и(х. г) такая,
что du = Pdx + Qdy, т. е. такая, что — = — = Q. Так как — = -^А,
дх ду ду дудх
dQ д2и дР дО
= —— и, по условиям теоремы, производные — и —, а
дх ох су ду дх
с2 и д2и
следовательно, и смешанные производные---и-----непрерывны,
dydx дхду
то (см. п. 21.Г) они равны, т. е. — .
ду дх
Доказательство достаточности. Пусть сначала Г —
замкнутая ломаная без самопересечений, TczG, и D -ограни-
ченная ею конечная часть плоскости, лежащая, в силу односвяз-
ности области G. в этой области: DclG. Очевидно, функции Р
и Q определены в замыкании D области £>, поскольку
D = £>|JrМногоугольник D можно разбить на треугольники,
а каждый треугольник является областью, элементарной
относительно обеих координатных осей. Поэтому для области
D, согласно теореме 1 п. 47.5, имеет место формула Грина, а так
дР dQ
как -- = ^, то
th’ дх
J Pdx + Qdv = \\(— dxdy = 0.
Отсюда следует, что и для любой замкнутой ломаной Г (быть
может, самопересекающейся), лежащей в области G, также имеет
место равенство
J Pdx + Qdy = (\
Г' :
(47.54)
поскольку любая ломаная распадается на конечное число
замкнутых ломаных без самопересечений и отрезков, проходимых
и в одном и в другом направлениях. И по первым и по вторым
частям ломаной Г интеграл равен пулю.
Наконец, если Г={г(/); a^l^h} произвольный простой
кусочно-гладкий контур Г G, го при достаточно мелких
разбиениях т=!/;}/ = о отрезка р, Л] ломаные Лт с вершинами в
точках r(/f), z = 0, 1./т. лежат в G и поэтому, по доказанному,
400
f Pdx + Qdy = 0. Отсюда предельным переходом, согласно
; (47.54)
Лт
формуле (47.48), следует, что и
\Pdx + Qdy = 0. □
г
cP сО
Иногда условие —называют критерием полного диффе-
CV сх
ренциала в односвязной области, поскольку, согласно теоремам 3 и
4, это условие необходимо и достаточно для того, чтобы
выражение Pdx + Qdy в односвязной области G являлось
дифференциалом некоторой функции и(х. j), (х, y)eG.
В заключение этого пункта отметим, что требование
односвязности рассматриваемой области при доказательстве
достаточности условий теоремы 4 для независимости криволи-
нейного интеграла от пути интегрирования является существен-
ным и его нельзя отбросить. Подтвердим это примером.
Пример. Пусть P(.v, у) = g(.v, =
Легко проверить, что
(47.55)
для всех точек плоскости, исключая начало координат (0, 0). При
х + 0 это следует, например, из того, что
dl arctg -
- vdx + xdy 2 I 2^ A
--—л + v >0;
Л'2+Г"
(47.56)
равенство (47.55) означает равенство смешанных вторых про-
изводных
Таким образом, в этом случае за область G можно взять всю
плоскость с «выколотым» началом координат: G =
= /?2\{(0, 0)}. Область G, очевидно, не односвязна. В качестве
замкнутого контура возьмем единичную окружность Г0 = {х =
= cos/, p = sinz, 0^г^2л}; тогда
Pdx + Qdy^
2л
dt = 2n.
о
Следовательно, в этом случае условия (47.55) выполнены и
существуем замкнутый контур Го, по которому интеграл не равен
нулю. Нетрудно убедиться, что вообще по любой окружности Гг
радиуса г с центром в начале координат
401
f Pdx+Qdy=2n. (47.57)
Г
г
Далее, каков бы ни был простой кусочно-гладкий контур Г,
являющийся границей ограниченной области £>, содержащей
начало координат (в этом случае говорят, что контур Г содержит
внутри себя начало координат), для него также
$Pdx+Qdy = 2n. (47.58)
г
Для доказательства этого возьмем окружность Гг такого радиуса
г, что Гг<=£); тогда Г и Гг не пересекаются. Соединив контуры Г и
Гг отрезками Aj и Л2, как показано на рис. 219, получим два
замкнутых контура Г\ и Г2, не содержащих внутри себя начала
координат и состоящих из дуг Г' и Г", окружности Гг, частей Г' и
Г" контура Г и отрезков Л1 и Л2.
В силу условия (47.55), для этих контуров справедливы
равенства
J Pdx + Qdy = 0, J Pdx + Qdy = 0.
’ Г! г,
Сложив эти равенства и опустив для краткости подынтегральные
выражения, получим (рис. 219)
»=f+f=.f + ( + J + J + J + f + J + f =
Г, I, Г‘ Л’ Г А, Г"’ Лэ Г' л,
= f + = f-.f
r,h г"- г* гу г г;
Отсюда, в силу (47.57), и следует (47.58). Более того, это равенство
выполняется и в случае, если контур Г, обходя «один раз» вокруг
начала координат, образует конечное число
402
«петель», не охватывающих начало координат (рис. 220),
поскольку интеграл по этим петлям равен нулю.
Если Мо —фиксированная точка рассматриваемой области
G, MqeG, MeG, МоМ—какая-либо кривая, соединяющая в G
точки Мо и М. то и(М) = J Pdx + Qdy является уже много-
значнои функцией, значения которой определяются выбором
различных путей, соединяющих точки Мо и М. Если Го — ка-
кая-либо фиксированная кривая, соединяющая Л/о и Л/, то все
значения функции и в точке М задаются формулой
и(М) = f Pdx + Qdy+ 2лп. л? = 0, +1, ±2, ...,
1 о
и каждый обход вокруг начала координат изменяет значение
функции и(М] на величину +2п в зависимости от направления
обхода.
В данном случае в этом легко убедиться и непосредственно:
из формулы (47.56) следует, что
Pdx+Qdy= ^7'=(Arctg f)0’
Г г
1 о о
где ( Arctg-I —некоторое фиксированное значение Arctg-;
\ Л/ о х
поэтому
и (М ) = Arctg-.
Вдумчивый читатель заметил, что многие рассуждения,
проведенные в этом примере, не зависят от конкретного вида
функции Р и Q и являются справедливыми всегда, когда мы
имеем дело с одной изолированной «особой точкой», т. е.
точкой, в которой нарушается условие (47.55). Конечно, при
однократном «обходе» такой особой точки будет получаться не
2л, а, вообще говоря, какое-то другое число.
Результат, аналогичный теореме 4, имеет место и когда
Г—пространственная кривая (см. п. 52.6).
Упраждение 3. Доказать формулу
JJгAudxdy= — JJ((^(^ + ^<^\dxdyy- J v(^-ds,
G G \cxcx C'ycyj r + (V
где G плоская область, для которой справедлива формула Грина. Г ограни-
чивающий ее контур, v единичная внешняя нормаль к контуру Г, а
А — оператор Лапласа (см. п. 41.10).
403
§ 48. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
48.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Как и ранее для однократных интегралов, введем понятие
несобственного кратного интеграла, т. е. кратного интеграла от
функций, которые либо неограниченны, либо определены на
неограниченной области. Определение кратного несобственного
интеграла сформулируем в таком виде, что оно будет охваты-
вать оба указанных случая (ср. с п. 33.1).
Определение 1. Пусть G— открытое множество (ограничен-
ное или неограниченное) в п-мерном пространстве Rn. Последо-
вательность открытых множеств Gk, k—\, 2, будем
называть последовательностью, монотонно исчерпывающей от-
крытое- множество G, если'.
1) GtcGH1, k=\, 2,
2) (j Gk = G.
k = 1
Здесь G, как всегда, означает замыкание (см. п. 18.2)
множества G.
Определение 2. Пусть на открытом множестве G задана
функция f (ограниченная или неограниченная), интегрируемая по
Риману на любомизмеримом по Жордану открытом множестве
D таком, что DczG. Функция f называется интегрируемой в
несобственном смысле на открытом множестве G, если для
любой последовательности открытых измеримых множеств Gk,
k — 1, 2. ..., монотонно исчерпывающей множество G, существу-
ет предел lim \fdGk, не зависящий от выбора указанной
последовательности Gk, &=!, 2, ....
Этот предел называется несобственным интегралом от
функции f по открытому множеству G и обозначается через
\fdG, или, более подробно,
Л-£/(а'ь а2, ....vJJx, dx2...dxn.
Ci
Таким образом,
\fdG=\m \fdGk. (48.1)
Если интеграл [fdG существует, то говорят также, что он
сходится, а в противном случае — что он расходится.
Следует заметить, что в случае п=\ данное определение
несобственного интеграла не эквивалентно определению несоб-
404
ственного интеграла от функции одного переменного, данного в
§ 33. Это связано с тем, что в указанном параграфе мы в качестве
множеств Gk брали лишь интервалы, т. е. одномерные открытые
измеримые множества весьма специального вида. Поэтому
введенное в настоящем параграфе понятие несобственного
интеграла (48.1) будем применять только в случае /?^2, сохранив
для случая п=] прежнее понятие несобственного интеграла.
Если открытое множество G измеримо по Жордану и
функция / интегрируема на G, то несобственный интеграл от
функции / совпадает с обычным интегралом Римана; это
следует из полной аддитивности интеграла Римана (см. п. 44.6).
Определение (48.1) позволяет перенести на несобственные
интегралы ряд свойств собственных интегралов: аддитивность
интеграла по множествам, линейность интеграла, интегрирова-
ние неравенств, сведение кратного интеграла к повторному,
формулу замены переменного и др.
Например, если x = F(u) — непрерывно дифференцируемое
взаимно однозначное отображение открытого множества Dc-Rr‘
на открытое множество GczR'x и якобиан J(u) этого отображения
нигде не обращается в ноль на D, то для любой непрерывной на G
функции / справедлива формула захмены переменного в интеграле:
Р(л-) dG — ^fР(г/)] \J(u)\dD.
Доказать это хможно точно так же, как доказана теорема 2' в
п. 46.2; следует только вместо полной аддитивности интеграла
использовать определение (48.1).
Используя аддитивность несобственного кратного интеграла,
определение (48.1) можно переписать в другом эквивалентном
виде. Замечая, что для измеримого открытого множества G0<^G
справедливо равенство
\fdG - \fdG0 = \fd(G \ G 0), (48.2)
можно сказать, что интеграл ^fdG сходится тогда и только
тогда, когда для любой последовательности измеримых откры-
тых множеств Gk, к=\. 2, ..., монотонно исчерпывающей
множество G, существуют интегралы j/?/(G\G\) и
Hm \fd(G\G J = 0.
Упражнение 1. Доказать формулу (48.2); в маетности, показать, что
интегралы \fclG и f/c/(G <70) одновременно сходятся или расходятся.
48.2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Теорема 1. Пусть функция f неотрицательна на открытом
множестве G<^Rn. Тогда, какова бы ни была последовательность
{С/J открытых измеримых по Жордану множеств Gk, моно-
405
тонно исчерпывающих множество G. предел
lim (48.3)
конечный или равный +оо, всегда существует.
Если он конечен, то интеграл J /‘(х) dG существует и,
следовательно, предел (48.3) равен этому интегралу, если же
предел (48.3) бесконечен, то интеграл \J\x)dG не существует.
В последнем случае пишут = 4-со. Это оправдывает-
ся тем, что, в силу сформулированной теоремы, для любой
другой последовательности {Dk} открытых измеримых мно-
жеств Dk, монотонно исчерпывающих множеств G, имеем
lim J/(x) dDk = + ос.
Доказательство. Очевидно, что теорема будет доказана,
если показать, что в предположении неотрицательности функ-
ции f на открытом множестве G для любой монотонно
исчерпывающей область G последовательности измеримых
множеств Gk, /<=1, 2, ..., существует конечный или бесконечный
предел
lim \fdGk,
k—► оо
и этот предел не зависит от выбора указанной последователь-
ности.
Пусть Gk, k=\, 2, ...,— последовательность измеримых мно-
жеств, монотонно исчерпывающая открытое множество G. Тог-
да, согласно определению такой последовательности, Gkcz
^Gk + 1, а так как />0, го JfdGk\fdGk + j, А = 1, 2, ..., и,
следовательно, всегда существует конечный или бесконечный
предел
lim \fdGk = /j.
Пусть теперь Dk, A'=l, 2, ...,—какая-либо другая последо-
вательность измеримых множеств, монотонно исчерпывающая
открытое множество G В силу доказанного выше, существует
конечный или бесконечный предел
lim \fdDk=G2.
Покажем, что
(48 4)
406
Для любого фиксированного элемента Gk первой последова-
тельности существует номер к0 = к0(к) такой, что
Gk^Dko. (48.5)
В самом деле, G — измеримое и, следовательно, ограничен-
ное множество, поэтому его замыкание также ограничено, т. е.
является компактом. В силу этого, существование такого
номера к0, что имеет место включение Dko^>Gk, вытекает из
леммы 1 п. 31.2.
Теперь заметим, что, в силу условия /^0, из включения
(48.5) вытекает, что JfdGk^\fdDk^. Но, очевидно, JfdDkQ^I2,
поэтому при любом к=\. 2, ....
\fdGk^I2.
Перейдя в этом неравенстве к пределу при £->оо, получим
Л ^^2*
Подобным же образом доказывается и неравенство 1Х □
2 2
Пример. Рассмотрим интеграл 1=JJe-x ~-v dxdy. Положим
R2
Gfc = {(x, v):x2+ y2<k2}, /с= 1, 2, .... Эта последовательность
является последовательностью открытых квадрируемых мно-
жеств (в данном случае просто кругов), монотонно исчерпываю-
щей всю плоскость R2.
Пусть Ik = JJ е х у dxdy. Перейдем к полярным координатам:
gl
Отсюда, согласно определению (48.1),
1= lim 1к = п.
(48.6)
Формула (48.6) позволяет найти величину интеграла
J е~*2 dx,
называемого интегралом Пуассона*} и часто встречающегося в
приложениях. Действительно, обозначая через Dk квадрат
Аг=1, 2, ..., и применив к интегралу по Dk от
_ 2_ 2
функции е х у формулу сведения кратного . интеграла к
С. Пуассон (1781 — 1840) -французский физик и математик.
407
повторному (см. п. 45.1), получим
= lim
/=jf е х у lim Jf е х v dxdy —
r2 D'k
k * _ 2_ 2 к f к _ 2 \ _ 2
J dx J e x y dxdy^Wva fl J e x dx je -v dy =
-к -к к^ -к\ -к /
/ к _ 2 у
= lim f е х dx
\ -к J
Поэтому из (48.6) сразу следует, что
J е х dx — y/ji.
Теорема2 (признак сравнения). Пусть на открытом мно-
жестве G выполняются неравенства 6^/(x)^g(x), xeG. Тогда
из сходимости интеграла \g(x)dG следует сходимость интег-
рала \f(x]dG, а из расходимости интеграла ^j\x)dG следует
расходимость интеграла f g (х) dG.
Эта теорема доказывается аналогично подобной теореме в
одномерном случае (см. п. 33.3).
В качестве примеров и эталонов для сравнения с другими
интегралами рассмотрим интегралы
(48.7)
(48.8)
Первый интеграл берется по внешности единичного шара:
второй по его внутренности.
Для исследования этих интегралов удобно ввести сферичес-
кие координаты р, (pt.... фн-1 в ^-мерном пространстве. Они
вводятся по формулам
ХД =pCOS(p„_. ! COS(p„ -2 ...
Х2 — р COS (pn _ j COS _2
x3 = p cos <pH _ t cos cpn _2 ...
cos (p2 COS (pn
cos (p2 sin (pt,
cos cp3 sin <p2,
x—pcoscp,,-! ... COS (pz- sin <pf_ J,
> (48.9)
x„ = psin
где
0< p< + ос',
0^<Pi
7Г . 71 . ~ ~ -j
Z = 2, 3, ..., H— 1.
2 2
408
С помощью этих формул декартовым координатам х17 хп
точки пространства сопоставляются сферические координаты р,
ср1? ..., фи_19 и обратно. При этом следует иметь в виду, что,
подобно полярным координатам на плоскости, здесь не
существует полного взаимно однозначного соответствия между
множествами п чисел (х19 ..., х„) и (р, ф1? фп_1).
Отметим, что р = х/х? +...+х^
Элементарными, но несколько громоздкими вычислениями,
которые не будем здесь приводить, можно показать, что
якобиан этого преобразования имеет вид
= р”~ 1 COS ф2 cos2 Ф3 ... cosH 2 Ф„_3.
Положим для краткости
Ф(<₽2, (p„_1) = COS<p2COS2(p3 ...COS"“2(p„_1.
Легко убедиться, что Ф(ф2, • Фл-3)^0 и что
2п п/2 л/2
c’=f f - f ф(<р2. •••• - </ф„-1>0.
О -п/2 -п/2
Это сразу следует из свойства 9° кратных интегралов в п. 44.6.
Исследуем теперь сходимость интеграла (48.7). В качестве
последовательности открытых измеримых множеств Gk, к=\.
2, ..., монотонно исчерпывающей внешность единичного шара
2, возьмем последовательность множеств
6\ = {х = (р> Ф1> — Ф„-1):1+^<Р<^}, к=\, 2........
Перейдем к еферичеким координатам:
(V-xi+-+x")“
к 2п я/2 п/2
= L f f •• f р"“1“аФ(ф2, ^n-1)dpd(f>l...d(p„_1 =
1+- 0 — п, 2 п/2
к
= С j ! р" 1 ““dp.
1+1
Таким образом, вопрос о сходимости интеграла (48.7) свелся
к сходимости интеграла J р"-1а<7р, который, как известно (см.
1
п. 33.3), сходится при п— 1— а< — 1, т. е. при а>л, и расходится
при а ^/7. Итак, доказана следующая лемма.
409
Лемма 1. Интеграл (48.7) сходится, если ос больше
размерности пространства, и расходится в противном случае.
Рассмотрим теперь интеграл (48.8). Положив
Gfc=V = (P’ Ф1’ -,ФИ-1):7<Р<1 ~Д, к=3, 4,
/ . 7 к к)
получим
dxt, dxn
J Gk J (Дс? + ... + х*)’
In n
к 2n 2 2 _ _
= f f j - f P “Ф(ф2> Ф„-1)ФФ1 ... d<P„-i =
1 0
к 2 2 i
1 ~ к
= c j p" 1
1
к
Таким образом, вопрос о сходимости интеграла (48.8) свелся
к сходимости интеграла j ри“1-“<7р. Этот интеграл, как извест-
о
но, сходится, если п— 1 — ос> — 1, т. е. если ос<и, и расходится в
противном случае. Полученный результат сформулируем снова
в виде леммы.
Лемма 2. Интеграл (48<8) сходится, если ос меньше раз-
мерности пространства, и расходится в противном случае.
Подобно одномерному случаю (см. п. 33.3), с помощью
интегралов (48.7) и (48.8) можно сформулировать критерии
сходимости несобственных кратных интегралов, однако мы не
будем на этом подробно останавливаться.
48.3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ,
МЕНЯЮЩИХ ЗНАК
Определение 3. Несобственный интеграл dG называется
абсолютно сходящимся, если сходится интеграл \\f\dG.
Для изучения абсолютной сходимости интеграла от функции
/(х) будут полезны функции
(х), если /(х)^О,
О, если /(х)<0,
/-(*)=
-Дх), если/(х)<0.
О, если /‘(х)>0
Легко видеть, что
1/1+/ _!/!-/
2’7- 2 ’
(48.10)
0^/+(х)< Дх)|, 0</_(х)^|Дх)|,
|Дх) I =/+(х)+/-(х).
(48.11)
(48.12)
410
Из формул (48.10) следует, что если функция/интегрируема по
Риману на некоторой измеримой по Жордану области, то и функ-
ции /+ и /_ интегрируемы по Риману на этой области; из первой
формулы (48.12) следует обратное утверждение. Поэтому из
(48.10)— (48.12) следует, что интеграл [fdG абсолютно сходится
тогда и только тогда, когда сходятся интегралы \f+dG и §f_dG.
Как и в случае несобственных интегралов от функции одного
переменного, из абсолютной сходимости кратного интеграла
следует его сходимость (при этом, конечно, рассматриваются
только такие функции, которые интегрируемы на каждом
открытом измеримом множестве, содержащемся вместе со
своим замыканием в открытом множестве, по которому
производится интегрирование). Это сразу получается на основа-
нии формул (48.11), первой формулы (48.12) и из теоремы 2
настоящего параграфа (см. п. 48.2).' Однако для кратных
несобственных интегралов справедлива и обратная теорема.
Теорема 3. Если кратный интеграл \fdG (и ^2) сходится,
то он и абсолютно сходится.
Эта неожиданная на первый взгляд теорема связана с отличием
определения несобственных интегралов от функции одного и п
переменных (я>1), указанных в начале этого параграфа*).
Доказательство теоремы. Пусть интеграл \fdG абсо-
лютно расходится, т. е. для некоторой (а значит, и для всякой,
см. теорему 1 в п. 48.2) последовательности открытых
измеримых по Жордану множеств G\, ^=1, 2, ..., монотонно
исчерпывающей открытое множество G, имеем lim ^\f\dGk =
к->-ф
= +оо. Без ограничения общности (переходя, если надо, к
подпоследовательности) можно предполагать, что
W.f\dGk+1>3\\f\dGk + 2k, k=G 2, ... . (48.13)
Пусть Ak = Gk + 1\Gk; тогда Ак — открытое измеримое мно-
жество, и так как Gk<^Gk+l, то (см. рис. 221) Gk+1 = Jk(jGk и
\\f\dGk+l=\\f\dAk+\\f\dGk.
Отсюда, в силу неравенства (48.13), J |/| dAk > 2j |/| dGk + 2к.
Используя вторую формулу (48.12), получим
** Отметим, однако, что можно было бы и в «-мерном случае получить ту
же связь между сходимостью и абсолютной сходимостью интеграла, что и в
одномерном случае, если соответствующим образом ввести определение
несобственного «-кратного интеграла. Например, в случае интегралов по всему
пространству для этого достаточно в определении интеграла в качестве
элементов монотонно исчерпывающей последовательности брать только «-мер-
ные шары с центром в начале координат. Впрочем, если применить к
одномерному интегралу определение несобственного интеграла, данное в
п. 48.1, и понимать одномерный интеграл Римана в смысле § 44, то теорема 3
вместе с ее доказательством будет справедливой и при «= 1.
411
можно просто
\.f+dAk-^f_dAk>2j \f\ dGk + 2k.
Пусть для определенности \f+dAk^
$f_dAk; тогда
2\f+dAk^\f+dAk + ^dAk>2^\f\ dGk + 2k
и, следовательно,
\f+dAk>\\f\dGk + k, (48.14)
Нашей целью является получение нера-
венства подобного типа не для функции /+,
а для функции f Для этого, казалось бы,
отбросить точки, в которых функция /+
обращается в ноль; тогда на оставшемся множестве мы имели
бы /=/+. Однако получившееся множество может, вообще
говоря, оказаться неизмеримым, а поэтому мы будем действо-
вать обходным путем.
Из неравенства (48.14) следует, что при любом достаточно
мелком разбиении т={Д}-^1т множества Ак (см. п. 44.3) для
любой интегральной суммы Римана имеем
^•еЕ). z = 1, 2, zT.
Выберем указанное разбиение т открытого измеримого мно-
жества Ак таким, чтобы все элементы Д этого разбиения,
имеющие положительную меру, также были открытыми изме-
римыми по Жордану множествами. Обозначим через Ef те
множества положительной меры Дет, для которых/+(^)>0 во
всех точках £еД. Пусть т* = {Е*}. Выбрав для тех Д^т*, у
которых цД>0, точки ^-еД так, что /’(^) = 0, получим
Xf+^^E?>^\f\dGk + k,
(48.15)
где (а также и в дальнейшем) знак «штрих» у ^суммы означает,
что суммирование распространяется только на те индексы z, для
которых Д = Е^. Положим Bk = \J'E? (см. рис. 221). Очевидно,
i
что Вк — открытое измеримое множество, лежащее в множестве
Ак, a т* = {Е?} является его разбиением. На множестве Вк имеем
./+>0 и, следовательно, /+Из неравенства (48.15) следует,
что для нижней суммы Дарбу лт* функции f на мно-
жестве Вк справедливо неравенство \fdGk+k. Отсюда,
очевидно, следует, что
\fdBk>\\f\dGk+k. (48.16)
412
Заметим, что и, следовательно,
\fdGk>-\\f\dGk. (48.17)
Сложив неравенства (48.16) и (48.17). получим
\fdBk+\fdGk^k. (48.18)
Пусть Dk — Bk\jGk, к—\, 2, .... Очевидно, Dk — открытое
измеримое множество и
GkcDkcGk+l, к=\, \ ... (48.19)
В силу того что множества Вк и Gk не пересекаются (так как не
пересекаются множества Ак и Gk), из (48.18) имеем [fdD^k,
откуда
limJ/<7Z>fc = + 00.
(48.20)
Из включения (48.19) следует, что множества Dk, к^\, 2, ... ,
образуют последовательность измеримых открытых множеств,
монотонно исчерпывающую открытое множество G, ибо тако-
вой являлась заданная последовательность Gk, к—1, 2, ... ,
поэтому равенство (48.20) означает, что интеграл [fdG расхо-
дится. □
Итак, для кратных интегралов сходимость несобственного
интеграла \fdG эквивалентна его абсолютной сходимости,
Упражнение 2. Заменив в определении кратного несобственного интегра-
ла всюду открытые множества областями (в частности, рассматривая только
монотонно исчерпывающие данную область последовательности, состоящие
только из измеримых областей), показать, что и при таком «более узком»
определении кратного несобственного интеграла сохраняется теорема 3.
§ 49. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
49.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Пусть Е—измеримое множество в Rn. Как известно (см.
п. 44.6),
\iE=\dE. (49.1)
Таким образом, с помощью «-кратного интеграла можно
вычислять меру измеримых множеств в «-мерном пространстве
(площадь — в двухмерном, объем — в трехмерном). Если «-
кратный интеграл (49.1) можно свести к повторному (см. § 45),
то вычисление меры измеримого множества Е «-мерного
пространства сведется к вычислению (« —1)-кратного интеграла.
413
Пусть, например, D открытое измеримое множество в
(п—1)-мерном пространстве _ , хп=1\х\> -•> хи-1) —не-
отрицательная функция, определенная1 и непрерывная на замы-
кании D множества 7), а
G = {x = (x1, .... х„): (х1Л x^JeZ), 0<х„</(х1, xn_j)}
(таким образом, G является ^-мерным аналогом криволинейной
плоской трапеции, рассмотренной нами в п. 32.1). Тогда
pG = pG = J</7) 1 j " 1 dx„=jf(xlf .... x^jdD,
О
т. е.
= 1 Xn~l)dxl - dxn-l-
D
Меру произвольных (не обязательно измеримых по Жорда-
ну), в частности неограниченных, открытых множеств прост-
ранства Rn, п^2, если ее понимать в смысле определения
п. 31.1 и 31.2, т. е. как нижнюю меру Жордана, можно
вычислить с помощью несобственных интегралов. Действитель-
но, пусть G— произвольное открытое множество в Rn и Gk,
к=\. 2, ...,— последовательность открытых измеримых мно-
жеств, монотонно исчерпывающих множество G (см. и. 48.1).
Тогда, как известно (см. п. 31.2), lim = цб\ Но, в силу (49.1).
к—ос
= J dGk, поэтому = lim j dGk.
к—-ос
По определению же кратного несобственного интеграла,
lim J dGk = J dG. Таким образом, \aG = \fdG, где интеграл в
к—-ос
правой части понимается, вообще говоря (а именно: если G не
является измеримой областью), как несобственный.
Остается лишь показать, что для любого открытого
множества G всегда существует последовательность измеримых
множеств Gk, к=\. 2, ..., монотонно исчерпывающая заданное
множество G. Докажем это.
Рассмотрим последовательность Тк, к=\, 2, ..., разбиений
пространства Rn на кубы (см. п. 44.1) и обозначим через Qk
^-мерный открытый куб, определяемый следующим образом:
Qk = {(xi’ *и):|*.1<к, /=1, 2, /?}.
Число кубов данного ранга к (см. п. 44.1), содержащихся в Qk, а
следовательно, и подавно в пересечении G(^Qk, конечно.
Обозначим эти замкнутые кубы Р7:
414
P^Tk; PjcG(^Qk, j=l, 2, jk. Через
Gk обозначим множество внутренних точек
Л
множества (J Pj. Например, в случае, изоб-
7=1
раженном на рис. 222, множество Gk
состоит из внутренних точек двух квадра-
тов Рг и Р2 и интервала, получающегося
отбрасыванием вершин этих квадратов из
их общего ребра.
Множества Gk. Л=1, 2. ..., являются
открытыми измеримыми множествами, об-
разующими последовательность, монотон-
но исчерпывающую данное открытое мно-
жество G.
Рис. 222
Напомним, что для вычисления объемов тел часто оказы-
вается удобным метод сечений (см. формулу (45.31)).
Упражнение 1. Доказать, что построенная последовательность множеств
Gk, Л=1, 2, действительно образует последовательность измеримых
множеств, монотонно исчерпывающих данное множество G.
49.2. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С помощью кратных интегралов можно вычислить различ-
ные физические величины: массу и заряд тела, центр тяжести,
момент инерции, поток жидкости, потенциал тела и т. п.
Найдем в качестве примера центр тяжести плоской фигуры.
Пусть в некоторой квадрируемой области G распределена
некоторая масса, вообще говоря, с переменной поверхностной
плотностью р(х, у), т. е. на замыкании G области G задана
некоторая неотрицательная и непрерывная функция р(х, у).
Область G с распределенной в ней массой будем называть
фигурой S, а величину
М = JJ р (х, у) dx dy (49.2)
G
— ее массой. Если р(х, у) —не тождественный нуль, то М>0.
Определим и найдем центр тяжести фигуры S. Возьмем
какое-либо разбиение т = /=1, 2, ..., к, области G (см.
п. 44.3). Множество G; с распределенной в нем массой
плотности р(х, у), (х, у)еб(, назовем фигурой Выберем по
некоторой точке (^, ту) е= Gt. Величину mf = p(^z, T|f)pGz назовем
приближенным значением массы фигуры St (естественность
такого названия следует из формулы (49.2)). Величины же и
тру назовем приближенными значениями статистических мо-
ментов фигуры Si} i— 1, 2, ..., к, соответственно относительно
координатных осей Оу и Ох (естественность этого названия
415
следует из того, что статическими моментами материальной
точки массы т с координатами (х, у) относительно осей Ох и
Оу называются величины ту и тх, см. п. 32.6). Наконец,
величины
к к
= Z 4,™,= £ TliPU,.
1 = 1 t = 1
к к
E(T) = Z ^imi= E (49.3)
1=1 1 = 1
назовем приближенными т-моментами фигуры 5 относительно
осей Ох и Оу, а их пределы при |т|—>0
lim 5х(т) = 5г, lim Sv(t) = Sv
|tH0 ' |?но
-- статическими моментами фигуры S относительно осей Ох и
Оу. Эти пределы при сделанных предположениях существуют.
Действительно, из формул (49.3) видно, что 5х(т) и 5Л(т)
являются интегральными суммами Римана для функций
>’р(х, г) и хр(х, у), а поэтому
Sx = Jj гр (х, у) dx dy, Sy = J J xp (x, у) dx dy. (49.4)
g ' G
Определение 1. Точка (x0, yQ) называется центром тяжести
(центром масс, центром инерции) фигуры S, если статические
моменты относительно координатных осей материальной точки
массы М, равной массе всей фигуры S и находящейся в точке
(х0, Jo)’ равны соответствующим статическим моментам
фигуры S, т. е. если
Мх0 = Sy, Му0 = Sx.
Из формул (49.2) и (49.4) получаем
£|*лр(л, y)dxdy Птр(А- y)dxdy
x0- J-----------, J o - J--------.
П P (-V, у) dx dy fJ p (.v, г) dx dy
G G
Упражнение 2. Доказать, что центр тяжести фигуры не зависиг от
выбора системы координат.
В качестве примера рассмотрим «криволинейную трапецию»
G, порожденную графиками непрерывных неотрицательных
функций /’(х) и g(x), 0<g(x)^/(x), а^х^д:
G = {(лЛ-а <x<h, g (х) < у </ (л)}.
416
Пусть р(х, >')=!. Так как ^dxdy = \iG, то
G
j 1 b f (x) b
xo=^ttxdxdy=—$xdx f dy=— f[/(x)-g(x)]x<Zx,
G a g{x) a
1 . b f (x) b
Уо = цё И У dx dy=^d\dx g fx) y dy=w\ V2 - g2 dx’
отсюда
b b
2nyG [iG = n\J2 (a) dx — я J g2 (a) dx.
Здесь в правой части равенства стоит объем тела, получен-
ного вращением криволинейной трапеции G вокруг оси Ох. Мы
пришли ко второй теореме Гульдина.
Теорема (теорема Г у льдина). Объем тела вращения плоской
фигуры вокруг не пересекающей ее оси равен произведению
площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром
тяжести фигуры.
Пример. Вычислим с помощью второй теоремы Гульди-
на объем \xQ гора Q, полученного вращением круга
(х — а)2-\-у2^г2, 0<г^а, вокруг оси Оу:
= 2тиг71г2 = 2л2 аг2.
§ 50. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
50Л. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕ1МЕННЫХ
Пусть на плоскости R2 задана декартова прямоугольная
система координат и, v, множество Ха R2 и каждой точке
М=(и, v)eX поставлен в соответствие вектор г(М) = г(щ v)eR2.
Такие функции называются векторными функциями двух пере-
менных U, V.
Аналогично случаю векторной функции одной переменной
(см. § 15) для них вводятся понятия предела, непрерывности,
дифференцируемости.
Вектор я называется пределом при (и, v)^>(u0, г0) векторной
функции г(щ г), заданной на множестве если для любо-
го е>0 существует такое 8>0, что для ,всех (и. v)eE, для
которых | и — щ | < 5, | v — vQ I < 8, выполняется неравенство
I r(ll, v) — Я| <£.
417
В этом случае пишут
lim r(u, v} = a.
(и, v Н«о« 1?о)
Функция г(т г) называется непрерывной в точке (w0, г0),
если
lim r(w, r) = r(w0, v0).
(M, v )—(u0, v0)
Если функция r(w, г) определена в окрестности точки
/ х СГ
(w0, г0), то ее частная производная г= — в этой точке
ди
определяется равенством
г Л, „ \ = ar("0’ v0)_dr(u, v0)
ru\uQi и О/ — д-------7
du u = Uq
Аналогично определяются и другие частные производные
первого и высших порядков. При этом легко убедиться (см. п.
15.1), что если в пространстве /?3 введена декартова прямоу-
гольная система координат х, у, z и
r(u, v) = (x(u, v), у (и, г), z(u, v))
(функции х(и, г), у (и, v), z(w, v) называются координатными
функциями), то
д”г(и, v) _ / дпх(и, v) дпу(и, v) cnz(u, v)
dukcvn~k ydukcvn~k’> cukdvn~k’ cukdvn~k
Векторная функция r(u, v) называется дифференцируемой в
точке (w0, v0), если существуют такие постоянные векторы а и
Ь, что
Аг = ф, г) —r(w0, v0) = a A и+ЬА г + г(Аи, Аг)р,
limь(Aw, Аг) = 0, Aw = w — и0, kv = v — vQ, р = ^/Aw2 + Ar2.
р—-о
Аналогично скалярному случаю легко убедиться, что в этом
drills vQ) , drtu^ р0) r .
случае а =—ЦЬ=——— и, таким образом (опуская
обозначения аргумента),
Ar=^Jz/l^d' + sp, (50.1)
о и си
1- м j л j def А
lim 8=0, du = A w, dv = A v.
р—*о
418
Функция
dr =^-du + °^dv (50.2)
du dv 7
называется дифференциалом дифференцируемой функции г (и, г) в
данной точке. Из формул (50.1) и (50.2) следует, что
Ar = dr-\-sp, lim£ = 0.
р—*о
Подобно скалярному случаю для векторной функции г(и, г),
имеющей в окрестности точки (и0, г0) непрерывные частные
производные до порядка п включительно, имеет место формула
Тейлора
r(w, г)= £ ~dkr(u0, v0) + o(p”), р->0, (50.3)
k = 0
где
dkr(uG, г0) — У (du—+dv— Yk} r(u0, г0),
k = Q ou ov' ' 7
o(p")=f£( Ai/, Ar)p\ lims(Ai/, Ar)==0.
p >o
Формулу Тейлора для векторной функции можно получить,
использовав разложение по формуле Тейлора координатных
векторных функций или непосредственно, рассуждая по анало-
гии со скалярным случаем.
Если вектор r(u, v)eR3 рассматривать как радиус-вектор, то
векторная функция r(w, г) задает отображение множества У на
котором она задана, в пространство /?3: каждой точке (и, vjeX
она ставит в соответствие точку г (и. v) — конец радиуса-вектора
г(и, г).
50.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Будем рассматривать отображения плоских областей и их
замыканий (напомним, что замыкание области называется
замкнутой областью) в пространство /?3. Области будем
обозначать, как правило, буквой D а их границу, как обычно,
8D.
Определение 1. Элементарной поверхностью называется
непрерывное отображение f
J\M)eR3, MeD^R2, (50.4)
замыкания D плоской области D в пространство R3. а образ
От англ, domain — область.
419
множества D в пространстве R3 при рассматриваемом ото-
бражении — носителем этой поверхности.
Подчеркнем, что при определении элементарной поверхнос-
ти не предполагается, что отображение (50.4) является взаимно
однозначным. Точка носителя поверхности (50.4), в_ которую
отображаются по крайней мере две точки замыкания D области
/), называется кратной точкой поверхности (50.4) или ее точкой
самопересечения.
Таким образом, если точка Р является кратной точкой
поверхности^ (50.4), то существуют по крайней мере две такие
точки MyeD } и M2eD. что
/(М1)=/(М2) = Р.
Если элементарная поверхность (50.4) не имеет кратных точек,
т. е. отображение (50.4) взаимно однозначно отображает замы-
кание D области D в пространство R\ то элементарная
поверхность называется простой.
В дальнейшем на плоскости R2 всегда будет введена
прямоугольная система координат, например и. v. В этом случае
будем употреблять следующие обозначения:
г (и, r)=ff(M\ М = (и, г). (50.5)
Тем самым отображение (50.4) будет записываться в виде
г (и, v)eR3, (и. v)eD, (50.6)
или векторной форме
r(w, v)eR\ (и. v)eD. (50.7)
(r(w, v) — конец радиуса-вектора r(w, г)).
При такой записи элементарной поверхности переменные и.
v называются координатами поверхности, или ее параметрами.
Если в пространстве R3 также задана прямоугольная
система координат (иногда будем выбирать ее специальным
образом, исходя из целей, которые ставятся при изучении
элементарной поверхности), то отображение (50.4) можно
записать в координатном виде:
х=х(и. г), у=у(и, г), z=z(u. г), (и, г)еД (50.8)
где
^М)(5=5) Г(М’ И = (*(М’ »)’ V\
Если за параметры и и v поверхности можно взять две
какие-либо координаты пространства R3, например х и у, то
отображение (50.8) может быть записано в виде
420
z=f& y\ y)^
здесь x = u, y — v9 z=f(x9 j). Такое задание элементарной
поверхности называется явным.
Элементарная поверхность, заданная явно, является простой
элементарной поверхностью.
В дальнейшем будут изучаться прежде всего дифференциаль-
ные свойства поверхностей определенных классов, состоящих из
«достаточно гладких», т. е. достаточное число раз непрерывно
дифференцируемых, поверхностей. Поэтому определим понятие
п раз непрерывно дифференцируемой элементарной поверхнос-
ти.
Элементарная поверхность (50.4) называется и раз непрерыв-
но дифференцируемой, если векторная функция (50.7) или, что
равносильно, координатные функции (50.8), задающие отобра-
жение (50.4), п раз непрерывно дифференцируемы на замыкании
D области D.
Напомним, что непрерывность частных производных в
замыкании D области D понимается в смысле существования
непрерывного продолжения этих производных с области D на ее
границу 8D (см. п. 39.3). В случае если в некоторой точке
границы какая-либо частная производная, быть может, односто-
ронняя, существует в обычном смысле, то ее значение совпадает
с указанным непрерывным продолжением (см. там же упражне-
ние 2).
Пример. Для элементарной бесконечно непрерывно диффе-
ренцируемой поверхности, заданной отображением
х = Л cos ф cos ср, у = R cos ф sin ф, z=Rsin\|/,
v ’ 2 Y 2
ее носителем является сфера с центром в начале координат и
радиусом R. Весь меридиан ф = 0 этой сферы состоит из
кратных точек.
Иногда термин «элементарная поверхность» (в случаях, где
это не может привести к недорозумению) употребляется и в
смысле «носитель элементарной поверхности».
50.3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Если вспомнить определение кривой (см. п. 16.1 и 16.2), то
понятие элементарной поверхности окажется аналогичным
понятию пути. Кривая определялась как класс в определенном
смысле эквивалентных путей. Подобным же образом естествен-
но считать некоторые элементарные поверхности эквивалентны-
421
ми между собой и определить поверхность как класс эквива-
лентных элементарных поверхностей.
Определение 2. Элементарная поверхность
f(M)eR\ MeD (50.9)
называется эквивалентной элементарной поверхности
J\(M]eR\ MeDr (50.10)
(здесь D и D.—плоские области), если существует такое
гомеоморфное \см. определение 5 в п. 41.4) отображение F
замкнутой об tacmu D на замкнутую область D t, при котором
внутренние точки переходят во внутренние, а граничные — в
граничные (т. е. D отображается на Dlt a SD — на 5Лг), и для
каждой точки MeD выполняется равенство
(50.11)
т. е. f=j\oF.
В этом случае F называется отображением, осуществляю-
щим эквивалентность элементарной поверхности (50.9) с эле-
ментарной поверхностью (50.10) (или, что то же самое,
отображения f с отображением /г). Если / эквивалентно /19 то
пишут
/~/1-
Схематически определение эквивалентных отображений мож-
но изобразить диаграммой, где стрелками изображены рассмат-
риваемые отображения и результат отображений не зависит от
выбора пути на диаграмме:
Очевидно, что: 1) всякое отображение эквивалентно самому
себе: f (здесь отображением, осуществляющим эквивалент-
ность, является тождественное отображение);
2) если то Л
3) а если ./ -Д и Д ~/2, то /~/2
Если / и —- эквивалентные непрерывные отображения
соответственно замкнутых областей D и D то из (50.1)
следует, что образы множеств D и Dr при отображениях / и
совпадают:
д/))=/1(п)>
(50.12)
422
т. е. две эквивалентные элементарные поверхности имеют
одинаковый носитель.
Заметим еще, что условия, наложенные на эквивалентные
отображения в определении 1, независимы. Именно: из того,
что F является гомеоморфным отображением замкнутой обла-
сти D на замкнутую область D j, не следует, что оно переводит
внутренние точки во внутренние. Например, если D = {(u, г):
u2 + v2<\}— круг, a D1 = {(u, v). О < и2 + v2 < 1} — круг с «выко-
лотым» центром, то тождественно^ отображение (очевидно,
являющееся гомеоморфным) D на D t переводит внутреннюю
точку (0, 0) области D в граничную точку (0, 0) области Dx.
Перейдем теперь к определению поверхности.
Определение 3. Всякий класс S эквивалентных элементарных
поверхностей называется поверхностью, или, более подробно,
непрерывной параметрически заданной поверхностью.
Каждая элементарная поверхность из этого класса, г. е.
отображение г(м, г), (и. называется представлением по-
верхности S, тройка соответствующих координатных функций
(50.6)—ее координатным представлением, а соответствующая
векторная функция (50.7) — ее векторным представлением.
Очевидно, что поверхность 5 однозначно определяется
каждым из своих представлений, так как если имеется
какая-нибудь элементарная поверхность, то все эквивалентные
ей элементарные поверхности получаются с помощью всевоз-
можных отображений, осуществляющих эквивалентность. Та-
ким образом, чтобы задать поверхность, надо задать некоторое
ее представление.
Поверхность S, заданную каким-либо своим представлением,
записанным в виде (50.4), (50.6), (50.7) или (50.8), будем
обозначать соответственно одним из следующих способов:
S={f(M); MeD},
S={r(u, г); v)eD}, (50.13)
S={r(u, и); (и, v)eD }, _
S={x(u, г), у(и. г), z(u, г); (и. v)eD }.
Для того чтобы поверхность могла быть задана тремя
последними способами, на плоскости R2 должна быть задана
система координат, а для того чтобы четвертым — еще и
система координат в пространстве Z?3.
Поверхность однозначно определяется каждым из своих
представлений, поэтому это позволяет (что часто очень удобно)
правую часть каждого из равенств (50.13) понимать не как
совокупность всех представлений поверхности S, а как некото-
рое вполне определенное ее представление^
Если г(ич г), (г/, v)eD и р(^, t\), (ur, v^eD : — представления
одной и той же поверхности S, то всякое отображение F,
423
осуществляющее эквивалентность отображения г [и. v) с отобра-
жение р^р rj, в координатной записи имеет вид
w1 = (p(w, v),
v1 = ^(u, v), (50.14)
(и, (ult v^eD
и называется допустимым преобразованием параметров и, v.
Как отмечалось выше, две эквивалентные поверхности
имеют один и тот же носитель, поэтому носители всех
элементарных поверхностей, составляющих поверхность, т. е.
элементарных поверхностей, эквивалентных между собой, сов-
падают. Это делает естественным следующее определение.
Определение 4. Общий носитель всех элементарных поверх-
ностей, составляющих поверхность, называется носителем этой
поверхности.
Определим теперь, что называется точкой поверхности.
Точкой элементарной поверхности MeD, назовем пару
(Л/, /(Л/)), т. е. точку М замкнутой области D и ее образ f\M)
при отображении f.
Носителем точки (М, /(Л/)) элементарной поверхности
называется пространственная точка /(Af).
Определение 5. Пусть элементарные поверхности (50.9)_ и
(50.10) эквивалентны между собой и отображение F:D->D 1
осуществляет их эквивалентность.
Точка элементарной поверхности (50.9) называет-
ся эквивалентной точке (М1, элементарной поверхности
(50.10), если
(50.15)
В этом случае будем писать
(М,
Легко проверить, что это соотношение эквивалентности
обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзи-
тивности:
1) (Л/, Ж))~(М,
2) если (М, х, fx(Mx)), то (Mn fx
3) если (М,/(М))~(МХ,/Х(МХ)) и в (Mi))~(M2,fAM2)y
то (М, ,в(м2)у
Очевидно, что из выполнения условий (50.15) и (50.11)
следует, что две эквивалентные точки эквивалентных элемен-
тарных поверхностей имеют в пространстве j?3 один и тот же
носитель.
Определение 6. Каждый класс {(Л/, /‘(Л/))} эквивалентных
между собой точек элементарных поверхностей, составляющих
424
некоторую поверхность, называется точкой этой поверхности, а
их общий носитель — носителе у этой точки поверхности.
Если М — внутренняя (граничная) точка области D, то точка
(Л/, /(А/)) элементарной поверхности (50.9) называется ее
внутренней (соответственно краевой} точкой. Краевые точки
элементарной поверхности (50.9) — это те ее точки, которые
задаются сужением отображения f на границу 6D области D.
Совокупность всех краевых точек элементарной поверхности
называется ее краем.
Если (Л/, /(Л/))~(Л/1,/JA/J) и М —внутренняя (граничная)
точка замкнутой области D (см. (50.9) и (50.10)), то, согласно
определению 2, точка Мг также является внутренней (соответ-
ственно граничной) точкой замкнутой области D г.
Точка {М, f(M)} поверхности S называется внутренней
(соответственно краевой} ее точкой, если каждая точка М (а для
этого достаточно, чтобы хотя бы одна из них) является
внутренней (соответственно граничной) точкой замкнутой об-
ласти £>, на которой задано отображение f.
Совокупность всех краевых точек поверхности называется ее
краем. Ясно, что край поверхности представляет собой сово-
купность всех краев ее представлений
Каждая точка {(Л/, /(М))} поверхности S однозначно
определяется каждой отдельной точкой (М, входящей в
нее, т. е. в класс эквивалентных точек всевозможных представ-
лений поверхности S, а каждая точка (Л/, /(А/)) элементарной
поверхности (50.9) однозначно определяется точкой MeD,
следовательно, и ее координатами, если задана координатная
система. Таким образом, каждая точка поверхности^ S при
выборе какого-либо ее представления г (г/, г), \и, v}eD. одно-
значно определяется значениями параметров и, v. Поэтому в
данном случае точку поверхности S вместо {((и, z?), г (и, г))}
будем просто обозначать г (и, v).
Очевидно, что совокупность всех носителей точек поверх-
ности составляет ее носитель.
Точка носителя поверхности, являющаяся носителем по
крайней мере двух различных точек поверхности, называется
кратной точкой или точкой самопересечения поверхности.
Если поверхность имеет хотя бы одно представление ./(AY),
MeD, которое взаимно однозначно отображает плоскую замк-
нутую область D в пространство 7?3. то и все другие ее
представления взаимно обозначно отображают соответствую-
щие плоские замкнутые области, на которых они заданы, в
пространство. В этом случае поверхность не имеет кратных
точек и называется простой поверхностью.
Для простых поверхностей, как и для простых дуг, точка
носителя поверхности однозначно определяет точку поверхнос-
ти. Поэтому можно не делать между ними различия.
425
Отметим, что поверхность, имеющая явное представление,
является простой поверхностью.
Понятие эквивалентных отображений замкнутых плоских
областей можно вводить не только для непрерывных отобра-
жений, но и для других классов отображений, например для
непрерывно дифференцируемых. В применении к параметричес-
ки заданным поверхностям это приводит к непрерывно диффе-
ренцируемым поверхностям. Их определение базируется на
понятии отображений, эквивалентных относительно непрерывно
дифференцируемых преобразований.
Определим это понятие. Как и раньше (см. п. 39.3), под
функцией, непрерывно дифференцируемой в замыкании некото-
рой области, будем понимать такую функцию, которая имеет
непрерывные в самой области производные, непрерывно про-
должаемые на ее границу.
Отображение некоторой замкнутой области называется
непрерывно дифференцируемым, если каждая координатная функ-
ция, задающая это отображение (см. п. 41.4), является
непрерывно дифференцируемой функцией на рассматриваемой
замкнутой области. При этом продолженные функции в этих
случаях обозначаются теми же символами, что и исходные
продолжаемые функции.
Если некоторое отображение их=<$(щ г), г1 = ф(г/, г) непре-
рывно дифференцируемо на замыкании D области Z), то,
согласно сделанному соглашению, это означает, в частности,
что якобиан этого отображения непрерывно продолжаем
С’(н, V)
с области D на ее замыкание D и его продолжение,
обозначаемое тем же символом также будет называться
c(lK г)
якобианом.
Прежде всего сформулируем, что будем понимать под
эквивалентными непрерывно дифференцируемыми отображени-
ями. Для этого введем понятие регулярных отображений.
Определение 7. Гомеоморфное отображение F замыкание D
плоской области D на замыкание Dx плоской области Dx,
переводящее внутренние точки во внутренние, а граничные — в
граничные^ называется регулярным ^отображением замкнутой
области D на замкнутую область D х, если как само это ото-
бражение F, так и обратное ему F~1 непрерывно дифферен-
цируемы соответственно на замкнутых областях D и D 1.
Заметим, что всякое регулярное отображение F замкнутой
области D имеет во всех точках области D не равный нулю
якобиан Действительно, согласно определению 8, при отобра-
жении F образ каждой внутренней точки является внутренней
точкой. В этих точках прямое и соответственно обратное
отображения непрерывно дифференцируемы, поэтому их яко-
426
бианы не могут обратиться в нуль, ибо их произведение равно
единице (см. п. 41.7).
Отсюда следует, что якобиан регулярного отображения F не
равен нулю и на замкнутой области D. Действительно, в силу
непрерывной продолжаемости якобианов как прямого, так и
обратного отображений соответственно на замыкания D и F(£>)
областей D и F(Z)), произведение этих якобианов равно единице
и для всех точек замкнутой области D
Мы уже встречались с регулярными отображениями замкну-
тых плоских областей специального вида, например, в п. 46.1.
Определение Пусть f и f \ — непрерывные отображения
замыканий D и D х плоских областей D и D{e пространство R3
и пусть эти отображения непрерывно дифференцируемы в
замкнутых областях D и D Р Отображения f и j\ называются
эквивалентными относительно непрерывно дифференцируемых
преобразований, если существует такое регулярное отображение
F замкнутой области D на замкнутую область D г, что для
каждой точки MeD выполняется условие (50.1).
Это соотношение эквивалентности обладает свойствами
рефлексивности, симметричности и транзитивности и, следова-
тельно, порождает разбиение множества всех элементарных
поверхностей, задаваемых непрерывно дифференцируемыми
представлениями, на классы эквивалентности.
Определение 9. Всякое множество элементарных поверхнос-
тей, задаваемых непрерывно дифференцируемыми отображени-
ями
г —г (и. г), (ц, г)е£>, (50.16)
замыканий D плоских областей D в пространство R3 и
эквивалентных относительно непрерывно дифференцируемых
преобразований, называется непрерывно дифференцируемой по-
верхностью, а каждое отображение (50.16) — ее представлением.
Подчеркнем, что если поверхность S={r(u. г); (w, v)eD}
непрерывно дифференцируема, то это, в частности, означает,
что каждое ее векторное представление г=г(ц, г), (и, v)eD,
имеет частные производные ги и г1;, непрерывные в области D и
непрерывно продолжаемые на ее границу. Согласно принятому
соглашению, продолженные функции обозначаются теми же
символами, что и продолжаемые**, поэтому можно считать, что
функции гм и rv непрерывны на замкнутой области D.
Подобным образом можно определить и другие классы
параметрически заданных поверхностей, например дважды
непрерывно дифференцируемые или вообще п раз непрерывно
Точнее, это соглашение было принято (см. п. 39.3) для скалярных
функций и, следовательно, для координат векторных функций, поэтому его
естественно принять и для самих векторных функций.
427
дифференцируемые параметрически заданные поверхности, а
также понятие их точки и носителя.
Подобно тому, как в п. 47.3 было обобщено понятие
непрерывно дифференцируемой кривой, можно обобщить и
понятие непрерывно дифференцируемой поверхности. Это де-
лается следующим образом. Взаимно однозначное отображение
замыкания одной плоской области на другую, переводящее
внутренние точки во внутренние, граничные — в граничные,
называется регулярным в широком смысле, если как само это
отображение, так и ему обратное непрерывны на замыканиях
областей, на которых они заданы, и непрерывно дифференцируе-
мы в самих этих областях. Если в определении 9 регулярные ото-
бражения заменить на регулярные в широком смысле, то полу-
чится определение отображений, эквивалентных относительно
непрерывно дифференцируемых отображений в широком смысле.
Множество непрерывных отображений замыканий плоских
областей в трехмерное пространство, непрерывно дифферен-
цируемых в этих областях и эквивалентных в широком смысле
относительно непрерывно дифференцируемых преобразований,
называется параметрически заданной непрерывно дифференцируе-
мой поверхностью в широком смысле, если среди рассматривае-
мых отображений существует хотя бы одно отображение,
непрерывно дифференцируемое вплоть до границы.
Примером непрерывно дифференцируемой поверхности в
широком смысле является полусфера х2 + у2 + z2 — 1, z О,
заданная явным представлением z = ^/l —х2—j2, х2 + г2^1. Это
представление не непрерывно дифференцируемо вплоть до
границы х2+у2 = 1 круга x2+j2^l Однако если этот круг
спроецировать из точки (0, 0,-1) на рассматриваемую полу-
сферу, то получится ее представление, непрерывно дифферен-
цируемое вплоть до границы указанного круга.
При этом можно рассматривать поверхности, представления
которых определены не на замыканиях плоских областей, а
только на самих областях и даже на произвольных открытых
множествах. Такие поверхности будем называть открытыми.
Их носители могут быть неограниченными множествами,
например гиперболоиды, параболоиды.
Резюмируя, окончательно можно сказать, что параметричес-
ки заданной поверхностью какого-то класса является некоторая
совокупность эквивалентных между собой в определенном
смысле отображений г (и, г), (w, г)е£>, называемых ее представ-
лениями.
Понятие эквивалентности определяется в зависимости от
выбора класса.
Определение 10. Преобразования параметров, осуществля-
ющие переход от одного представления поверхности к другому,
ему эквивалентному, называются допустимыми.
428
Таким образом, если г(и, г), (и, v)eD, и р(их, rj, (t/1? rj,
(w19 v^eD t—два представления одной и той же параметрически
заданной поверхности некоторого класса, а отображение
= г),
V1=^(u. v)
замкнутой области D на замкнутую область D j является
допустимым преобразованием параметров, то для всех точек
(и. v)eD выполняется соотношение (см. (50.1))
r(u, v) = p[cp(t/, и), и)].
Параметрически заданная поверхность при заданном классе
допустимых преобразований параметров однозначно определя-
ется каждым своим представлением, поэтому, чтобы задать
такую поверхность, достаточно задать лишь одно ее представ-
ление.
Следовательно, для таких поверхностей, как и для не-
прерывных поверхностей, имеет однозначный смысл их обоз-
начение с помощью только одного их представления, т. е.
только одной из элементарных поверхностей, составляющих
заданную поверхность. Таким образом, при обозначении по-
верхности S некоторого класса одним из способов (50.13)
можно считать, что в правой части каждого из равенств
стоит не совокупность всех представлений рассматриваемой
поверхности, а лишь одно из них. Так обычно мы и будем
поступать.
Аналогично случаю элементарных поверхностей тер-
мин «поверхность» иногда употребляется (если это не мо-
жет привести к недоразумению) и в смысле носителя по-
верхности.
Определим теперь понятие части поверхности.
Определение 11. Пусть S — поверхность некоторого класса и
f(M)— какое-либо ее представление, MeD, D — плоская область.
Если U—область, содержащаяся в £>, то поверхность,
представлением которой является сужение отображения /
на замыкании U области U, называется частью поверхнос-
ти S.
Можно в качестве U брать и произвольное открытое
множество, лежащее в Д и рассматривать сужение отображения
не на замыкании U множества С/, а на самом (7; в этом случае
открытую поверхность, задаваемую сужением отображения f на
множестве [/, будем называть открытой частью поверхности S,
а иногда и просто частью поверхности S. Эта открытая
поверхность называется окрестностью на поверхности S всякой
точки /(Л/) поверхности S, где MeU.
429
50.4. ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННЫЕ НЕЯВНО
Отметим еще один подход к понятию поверхности. Если
F(x, у, z) — непрерывная в некоторой трехмерной области
функция, то совокупность точек (х, у, z) таких, что
F(x, у, z) = 0, (50.17)
называется поверхностью, заданной неявно. Не останавливаясь
подробно на анализе такого подхода к понятию поверхности,
отметим лишь, что в том случае, если функция F удовлетворяет
в некоторой точке (х0, j0, z0) условиям теоремы о неявных
функциях (см. п. 41.1), часть поверхности (50.17) в некоторой
окрестности указанной точки (т. е. пересечение этой окрестнос-
ти с данной поверхностью) допускает явное представление, и
можно сказать, что в этой ситуации поверхность, заданная
неявно, локально сводится к поверхности, заданной явным
представлением (см. п. 50.1). Только такой случай поверхностей,
заданных неявно, встретится в дальнейшем, поэтому не будем
специально останавливаться на разъяснении тех или иных
понятий для общего случая поверхностей, заданных неявно.
В качестве простейшего примера поверхности, заданной
неявно, отметим уравнение
x2+j2 + z2 = 1.
Точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению,
образуют поверхность шара единичного радиуса с центром в
начале координат.
В дальнейшем будем рассматривать в основном лишь
непрерывные поверхности, заданные параметрическим представ-
лением и, вообще говоря, с кратными точками. Их будем
называть, как это уже отмечалось, просто «поверхностями»; в
тех случаях, когда понятие поверхности понимается в каком-ли-
бо другом смысле, это будет специально оговариваться.
50.5. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Пусть
S={r(uP г); (и, v)eD } (50.18)
— непрерывно дифференцируемая поверхность. Рассмотрим не-
которое ее векторное представление. Как и всякое ее векторное
представление, оно является непрерывно дифференцируемой
векторной функцией на замкнутой плоской области D.
Будем для простоты считать, что пересечение каждой
прямой и = и0 или v = v0 с замкнутой областью D состоит из
одного отрезка (быть может, вырождающегося в точку) или
430
пусто. Пусть, например, пересечение D с прямой v = v0 не пусто:
тогда
r=r(w, г0), (п, т0)еД
(г0 фиксировано) является представлением некоторой непрерыв-
но дифференцируемой кривой, которая называется координат-
ной линией (и-линиеи). Вектор
является ее касательным вектором. Аналогично определяются
другие координатные линии (р-линии) с помощью представления
г=г(м0, v), (и0, v)eD
(и0 фиксировано) и касательные к ним векторы
(50.19)
(50.20)
случае
(50.21)
кривая
Определение 12. Точка r(u. v) поверхности (50.18), для
которой векторы ги и rv не коллинеарны (линейно независимы),
называется неособой при данном представлении этой поверхнос-
ти. В противном случае, т. е. когда векторы ги и rv коллинеарны
в данной точке, она называется особой точкой поверхности при
данном ее представлении.
Если точка поверхности неособая, то в ней, в частности,
гм#0, гг/0. Очевидно, что точка поверхности является неособой
при данном представлении поверхности в том и только в том
случае, когда в этой точке
г„хгг^0.
Если поверхность задана явным представлением
z=.f\x, j), (х, y)eD,
то опа не имеет особых точек. В самом деле, в этом
п = v=y и, следовательно,
^и К У и zu Ух’
^ = о, уг=1, zv==fy,
поэтому
гх=(1, о, Л)’ rv=(0’ 1’ Л);
отсюда явствует, что
l^xrj =ч/1+Д+Д>0.
Рассмотрим кривую на поверхности (50.7). Пусть эта
задана непрерывно дифференцируемыми функциями
431
u = u(t), v = v(t\ {u(t}, a^t^b,
т. e. представлением
r=r[z/(/), r(z)], v[t)]eD. a^t^b.
2 2
причем и' -hr' (r)>0 на [я, b\.
Продифференцировав равенство (50.7), получим
dr=rudu+rvdv\
(50.22)
(50.23)
здесь du = u (t)dt, dv = v'(r) dt. Если точка поверхности, в
которой рассматривается равенство (50.23), неособая, то вектор
dr является касательным к кривой (50.22). Равенство (50.23)
показывает, что в данной точке r(uQ, г0) поверхности (50.18)
касательная к любой кривой (50.22) на этой поверхности.
проходящей через точку г\щ
ru(u0, v0) и rv(u0, Vo).
, v0), лежит в плоскости векторов
Определение 13. Плоскость,
проходящая через точку г(и^ г0)
поверхности (50.18), в которой
лежат все касательные к кривым
(50.22), проходящим через эту
точку, называется касательной
плоскостью к поверхности в дан-
ной точке (называемой точкой
касания).
Если данная точка поверхнос-
ти (50.18) неособая, го в ней
всегда существует, и притом
единственная, касательная плос-
кость; именно, в силу (50.23), ею является плоскость, проходя-
щая через r(w0, г0) параллельно векторам rM(w0, и0) и гг(м0, г0).
Отсюда легко написать ее уравнение в векторном виде.
Обозначив через г0 радиус-вектор точки касания, а через
г—текущий радиус-вектор точек на касательной плоскости,
получим (рис. 223)
(г-Го)гиГг = 0
(в левой части равенства стоит смешанное произведение
указанных векторов).
Если г=(х, г. i), го = (-^о, г0, ~о), r., = (.v„, Г„. Г„), г,. = (л\., Л., С,.),
то уравнение касательной плоскости в координатном виде
принимает следующий вид:
хо У J’o - -о
XU У и ~U
Хг Уг Zr
432
В случае явного задания поверхности, т. е. в виде z=f(x, у)
(см. (50.20)). в силу формул (50.21). уравнение касательной
плоскости имеет вид
л-х0
1
0
У-у о
о
1
откуда
s-z0 = (x-A-0)/x + (y-y0)/v, (50.24)
где через fx и fy для краткости обозначены частные производные
/Х(х, у) И у) в точке (х0, у0).
Из этой формулы следует, что два определения касательной
плоскости для поверхности с явным представлением (50.20),
данные в настоящем пункте и ранее в п. 20.5, эквивалентны.
В самом деле, оба определения приводят к одному и тому же
уравнению (50.24).
Определение 14. Прямая, проходящая через точку касания
поверхности с касательной плоскостью и перпендикулярная этой
плоскости, называется нормальной прямой к поверхности в
указанной точке.
Ее уравнение в общем случае в неособой точке поверхности
имеет вид
Л" ЛО ________ У Уо __________ - ^0
V V V V
' и ~tt “и и 'и • и
Уг ~. xt) у,.
В случае явного представления (50.20) эти уравнения
принимают вид
(50.25)
Определение 15. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный
нормальной прямой, проходящей через данную точку поверхнос-
ти, называется нормалью к этой поверхности в указанной
точке.
Примером нормали в неособой точке поверхности является
векторное произведение
п=гц X
вычисленное в рассматриваемой точке.
Согласно данному определению, в каждой неособой (при
заданном представлении) точке г (и, v) рассматриваемой поверх-
ности при фиксированных значениях параметров и и v
существуем. и притом единственная, нормальная прямая. Сле-
дует иметь в виду, что если мочка Р пространства является
433
кратной точкой поверхности, т. е. существуют по крайней мере
две пары параметров (при заданном представлении) (w19 гг) и
(w2, и2) таких, что P = r\ux, vA} = r[u2, v2\, то может, конечно,
случиться, что этим парам параметров будут соответствовать
различные нормальные прямые, тем самым в указанной точке Р
нормальная прямая будет не единственна.
Для поверхности, заданной неявно уравнением
F(x, у, z) = 0.
где F(x, у, z) — непрерывно дифференцируемая в окрестности
точки (х0, у0, z0) функция, F(x0, у0, zo) = 0, и в этой точке
F^ + Fy+Ff>0, уравнение касательной плоскости в точке
(хо> У о, z0) имеет вид
(x-xo)Fx+(y-yo)Fy + (z-zo)Fz = 0.
где Fx, Fy и Fz обозначают значения соответствующих частных
производных, взятых в точке (л0, у0, z0).
Вспомнив, что вектор с координатами Fx, Fv, F., т. е. вектор
VF=(FX, Fy, Fz\ называется градиентом функции F (см. п. 20.6),
видим, что градиент функции в данной точке поверхности
F(x, у, z) = 0 перпендикулярен касательной плоскости в этой
точке, т. е. коллинеарен нормальной прямой.
Поэтому уравнение нормальной прямой к поверхности
имеет вид
-х ~Л'о_Г “ .Го_z ~~ 2 о
Fx ~Fy fT‘
Все эти формулы сразу следуют из (50.24) и (50.25).
Действительно, если, например, Fz#0 и z=/(x, у) — функция,
определяемая уравнением F=Q в окрестности точки (х0, у0, z0),
F F
то достаточно заметить, что /х= — -4, / = — — (см. п. 41.1).
‘ Fz
Если функция F(x, у, z) задана и непрерывно дифференци-
руема в области (7, то для любой точки поверхности, заданной
неявно уравнением F(x, у, z) = c (с* — постоянная), получим
уравнение касательной плоскости и нормальной прямой того же
вида, что и в случае F=0, если только в этой точке
F^ + F^ + Ff>0. Множество точек (х, у, z)eG, для которых
F=c. называется, как мы знаем, поверхностью уровня функ-
ции F (см. п. 19.1).
Таким образом, градиент VF=(FX, Fv, Fr) в точке (х0, у0, z0)
поверхности уровня F(x, у, z) = c направлен по нормальной
прямой к этой поверхности в точке (х0, у0, z0). Иначе говоря,
градиент функции ортогонален к поверхности уровня (т. е.
перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня в
рассматриваемой точке).
434
Мы доказали существование касательной плоскости в
неособой точке у непрерывно дифференцируемой поверхности
при фиксированном ее представлении. Возникает вопрос: что
будет, если перейти к другому представлению этой поверхнос-
ти? Прежде всего, останется ли неособая точка неособой, а
особая — особой? Оказывается, что да.
Докажем это. Пусть r(w, г), (w, v]eD и p(wt, rj, (w19
суть два представления одной и той же непрерывно дифферен-
цируемой поверхности. Переход от любого представления
непрерывно дифференцируемой поверхности к другому ее
представлению осуществляется посредством регулярного отоб-
ражения, поэтому существует такое регулярное отображение
г),
v) (50.26)
замкнутой области D на замкнутую область D 1? что для всех
точек (щ r)eD справедливо равенство
. r(u. r) = p[cp(zY, г), г)]. (50.27)
При этом, как было доказано, якобиан отображения (50.26) не
равен <нулю нигде в замкнутой области D:
Ф)
с (и, v)
фм
Фа
^о,
'К
г)е£>.
Продифференцировав тождество (50.27), получим
(50.28)
Следовательно, пара векторов pMi, pVi преобразуется в пару
векторов гм, rv с помощью невырожденной матрицы
<Рг 'К
Поэтому для данной точки (и, v) векторы ru, rv линейно
независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы
векторы рМ1, рГ1 в точке rj, получающейся из точки (и. v) с
помощью преобразования (50.26), причем в случае их линейной
независимости плоскость векторов ги и rv и плоскость векторов
ры и рГ1 совпадают.
Итак, неособая (особая) при данном представлении точка
непрерывно дифференцируемой поверхности будет неособой (осо-
бой) и при любом другом представлении этой поверхности, а
плоскость, касательная к поверхности в неособой точке при
одном представлении поверхности, будет касательной и при
другом ее представлении.
435
Определение 16. Непрерывно дифференцируемая поверхность,
у которой нет особых точек, называется гладкой поверхностью.
В силу доказанного выше, чтобы проверить, что данная
поверхность является гладкой, достаточно убедиться, что у нее
имеется одно непрерывно дифференцируемое представление и
при этом представлении нет особых точек.
Следует обратить внимание на то, что у гладкой поверх-
ности 5={г(и, г), (w, v)eD } векторные функции ги и rv не
только непрерывны на замыкании области D, но, согласно
определению, и не коллинеарны на этом замыкании D. Иначе
говоря, у_ гладкой поверхности (50.18) всюду на замкнутой
области D выполняется неравенство (см. (50.19))
гыхгр/0.
Отметим, что непрерывно дифференцируемая поверхность в
широком смысле (см. п. 50.3) называется гладкой, если среди ее
представлений существует по крайней мере одно представление,
непрерывно дифференцируемое на замкнутой области, на
которой оно задано, и не имеющее особых точек.
Замечание. Из формул (50.28) следует, что
X =(ф„рИ1 + Кр,; ,) X (ф„рИ1 + ) = ф„\р„ (рМ1 х рР1)+
+ ^фЛр,, X РМ1 )=|^у (рИ1 X р„,).
При допустимых преобразованиях параметров (50.26) яко-
биан нигде в D не обращается в нуль, поэтому из
О {U, V )
полученной формулы следует, что векторные произведения
ruxrv и рМ1 хрУ1 в данной точке поверхности могут обращаться в
нуль только одновременно. Но было показано, что необходи-
мым и достаточным условием того, что данная точка поверх-
ности при данном представлении поверхности г (и, v) неособая,
является неравенство нулю в этой точке векторного произве-
дения ги х rv. Тем самым еше раз доказано, что неособая
(особая) точка поверхности при одном представлении поверх-
ности будет такой же и при другом ее представлении.
50.6. ЯВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
Явное представление поверхности не является, как это может
показаться на первый взгляд, специальным способом ее
задания. Нетрудно показать, что локально во внутренней
неособой точке непрерывно дифференцируемая поверхность
всегда имеет явное представление. Это означает следующее.
Пусть непрерывно дифференцируемая поверхность S задана
своим представлением
436
r(u, v)=(x(w, г), y(u, v), z(u, v)), (w, r)eD (50.29)
и г(и0, г0) — ее внутренняя неособая точка, (w0, т0)бЛ.
Это означает, что в этой точке ru х rv ф 0, а так как
I ги х rv | =
то хотя бы один из определителей, стоящих под знаком
радикала, отличен от нуля. Пусть, для определенности,
Хи J и
Уи
/0.
Тогда, согласно теореме о неявных функциях, для отобра-
жения
х = х(и, v),
у=у(и, г)
(50.30)
(см. (50.29)) существуют такие окрестности U и V соответствен-
но точек (м0, г0) и (х0, у0), где x0 = x(w0, г0), у0=у(и0, г0), что U
отображается на V взаимно однозначно и, следовательно,
система (50.30), рассматриваемая как система уравнений отно-
сительно переменных и. v, может быть однозначно разрешена
относительно их при (х, у)еК
и = и(х, у
v = v (х, у
Подставив эти формулы в выражение для z в (50.29),
получим
z=f(x, y) = z(u(x, у), v(x, у)), (х, у)еК (50.31)
Таким образом, часть поверхности S, соответствующая
окрестности U точки (г/0, г0), имеет явное представление (50.31).
Под частью поверхности 5 здесь понимается открытая
поверхность, задаваемая представлением r(w, v), (и, v)eU. Для
этой поверхности непрерывно дифференцируемое взаимно од-
нозначное отображение (50.30) является допустимым преобразо-
ванием параметров.
Упражнение 2. Доказать, что в любой внутренней неособой точке
непрерывно дифференцируемой поверхности существует ее явное локальное
представление, задаваемое ограниченной функцией.
Итак, при локальном изучении поверхности в неособой
внутренней точке можно ограничиться изучением поверхностей,
заданных явным представлением. Следует, однако, иметь в
виду, что формулы для вычисления тех или иных величин,
437
связанных с поверхностью, полезно
получать и для поверхностей, кото-
рые заданы общим параметрическим
представлением, так как при кон-
кретном их использовании не всегда
бывает целесообразно переходить к
явному представлению поверхности,
не говоря уже о том, что это бывает
практически неосуществимо.
Иногда бывает полезным и более
специальное явное задание поверх-
ности, чем (50.31). Для того чтобы
установить его возможность, дока-
жем предварительно лемму.
Лемма 1. Пусть функция z —
—f[x^ непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности
U точки (х0, ^0) и пусть у0). Тогда у точки (х0, у^ z0)
существует такая окрестность V в пространстве R3 и такая
окрестность W на касательной плоскости П к графику функции
f в этой точке, что пересечение графика функции f с
окрестностью V взаимно однозначно проектируется на окрест-
ность W при проектировании в направлении, перпендикулярном
плоскости П (рис. 224).
Доказательство. Введем обозначения
fx=fx(x0, лД fy=fy(x0, у о).
Если fx=fy= 0, то координатная плоскость переменных х, у
параллельна касательной плоскости П и утверждение леммы
очевидно: W=U.
2 2
Пусть +/° >0 и, для определенности,
/^0.
(50.32)
Напишем уравнение прямой, параллельной нормали в точке
(*о> zo)- Вектор
v=(A,./r -1)
параллелен этой нормали (см. (50.27)), поэтому уравнение
указанной прямой в векторной форме имеет вид
r=rG-y a+vZ, — оо</<+оо, (50.33)
где г0 = (х0, j?0, z0), а а — вектор, параллельный касательной
плоскости П. Его можно записать в виде
а=(а, ₽, аЛ + ₽Л°), (50.34)
где а и Р — произвольные параметры (при любых ос и Р, имеет
место av = 0).
438
В координатной форме после исключения параметра t
уравнение прямой (50.33) принимает вид
(х—х0 — (v —у$ — Р)/х — О* (50.35)
x-xo-a+[z-zo-(a/° + ₽/°)]/$ = 0.
Подставив в эту систему уравнений z=/(x, у), для опре-
деления координат х, у точки пересечения прямой (50.35) с
графиком функции f получим систему уранений
(х-х0 -a)f°y -(у-у0- Р)/? = 0, (50 36)
х-х0-а+[/(х, /)-zo-(a/$ + p/°)]/®=0.
Ее якобиан по переменным х, у не зависит от ос и р и имеет вид
J(x, у) =
1+А.Л0 ЛЛ°
=(1+АЛ +./у Jy)f°x- (50-37)
Левые части уравнений (50.36) являются непрерывно дифферен-
цируемыми функциями переменных х, у, ос и [3, значения х = х0,
у=Уо, ос = Р = 0 удовлетворяют этим уравнениям и
Ч*». ->о)„0=з„(1+Л:+Л2)Л^а
Поэтому, согласно теореме о неявных функциях, существуют
такие окрестности Uo точки (х0, у0), Uo cz U, и окрестность Ео
точки (0, 0) на плоскости параметров ос, р, что система (50.36)
может быть единственным образом разрешена относительно
переменных х и у
х = х(ос, р),
у=у(а, р)
(50.38)
таким образом, что отображение (50.38) отображает окрест-
ность Ио в окрестность Uo. При этом окрестность Ио всегда
можно выбрать круговой (уменьшив в случае необходимости
данную окрестность Ео: любая плоская окрестность точки
содержит ее круговую окрестность), т. е. такой, что для
некоторого £>0 будет иметь место равенство
И0 = {(а, р) : а2 + р2<е}.
Таким образом, для любого вектора а (см. (50.34)), для
которого
ос2 + Р2<82, (50.39)
прямая (50.33) имеет, и притом единственную, точку пересече-
ния с графиком сужения функции,/ на окрестность (70 точ-
ки (х0, J’o).
439
Координаты х, у этой точки находятся по формулам (50.38),
а v).
Теперь заметим, что
| а | = Уа2 + р2+(а/° + |3/’О)2 > v/«2 + p2.
Поэтому если
|я|<г, (50.40)
то заведомо выполняется условие (50.39) и, следовательно, прямая
(50.33) пересекает график функции f в единственной точке.
Концы всевозможных радиусов-векторов rQ + a, где вектор а
удовлетворяет условию (50.40), образуют искомую окрестность И
точки (х0, у0, z0) на касательной плоскости П, а совокупность
точек всех прямых (50.33), проходящих через точки окрестности
И, образуют искомую пространственную окрестность И7 той же
точки (л-0, J’o, z0). □
Из доказанной леммы следует, что при локальном изучении
поверхности, заданной явным представлением (50.31), в окрест-
ности U точки (х0, у0) можно за новую координатную
плоскость независимых переменных взять касательную плос-
кость к данной поверхности в точке (.y0, г0, г0), z0=/’(.Yq, у0).
При этом в некоторой окрестности точки (х0, г0, z0) для
поверхности снова получится явное представление. Параметры
поверхности, конечно, изменятся, но новая область изменения
параметров получится проектированием параллельно оси Oz на
касательную плоскость некоторой окрестности точки (л0, р0) на
плоскости переменных v, г (см. рис. 224). Это преобразо-
вание взаимно однозначно и взаимно бесконечно дифференци-
руемо (оно линейно) и поэтому для некоторой окрестности
точки (.y0, v0, z0) на поверхности является допустимым
преобразованием старых параметров, декартовых координат _y.
г, в новые — декартовы координаты на касательной плоскости.
50.7. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
Зафиксируем какое-либо представление г=г(и р), (zz, v)eD
данной гладкой поверхности и рассмотрим касательную к ней
плоскость в некоторой ее точке. Как мы видели, векторы ги и
образуют в этой плоскости базис. Векторы, лежащие в
касательной плоскости, будем обозначать символом dr, а их
координаты относительно базиса ги и гг через du и dv*}.
Таким образом,
dr= rudu-\-rvdv.
*} Это обозначение естественно, так как если вектор в касательной
плоскости является касательным к некоторой кривой (50.22) на поверхности, то
при соответствующем выборе параметра вектор dr является тифференциалом
вектора (50.22) и, следовательно, для него выполняется равенство (50.23).
440
Найдем квадрат длины вектора, лежащего в касательной
плоскости, выраженный через координаты естественного базиса
ги и rv (в линейной алгебре это выражение обычно называется
основной метрической формой рассматриваемого пространства,
в данном случае плоскости):
| dr|2 = (rudu + rvdv)2 = г2du2 + 2гмгрdudv + г2dv2.
Введем обозначения
F=rurv, G = ri; (50.41)
тогда
\dr2 \ = Edu2-\-2Fdudv + Gdv2. (50.42)
Определение 17. Квадратичная форма Edu2 + 2Fdudv + Gdv2
называется первой квадратичной формой поверхности.
Посмотрим, как она меняется при переходе к другому
представлению поверхности (см. формулы (50.26)). Как известно
(см. ((50.28)), при этом базисы в рассматриваемой плоскости
преобразуются с помощью матрицы
( Ф« Фи)
\ Фг Фр /
Следовательно, координаты векторов преобразуются с по-
мощью транспонированной матрицы, т. е. матрицы Якоби
Если матрицу первой квадратичной формы (50.42) при
представлении поверхности r=r(w, г) обозначить через А, а при
представлении p = p(wr, rj — через т. е.
7 Е F \
А=[ , Е=г%. F=rurv, G=r„,
\ F GJ
(E F \
P P I, Et=pi Ft=p p Gr = pl
Г1 (j^ J 1 1
то, как известно из курса линейной алгебры, для первой
квадратичной формы поверхности, как и вообще для всякой
квадратичной формы,
A^J^A.J,
где через J* обозначена матрица, транспонированная с матри-
цей Якоби J.
Отсюда для соответствующих определителей
Е F = £j Fr (р„ 2
F G Л Gi ф, ’
441
или
EG—F2=(E1G}-Fl)
d(»i. Vi) 2
d(u, v)
(50.43)
Заметим, что по самому своему определению первая
квадратичная форма положительно определенна (действитель-
но, если du2 + dv2>Q, т. е. то |<7г|2>0), поэтому ее
дискриминант положителен: EG — F2>0. В силу же отсутствия
особых точек, выполняются неравенства ru#0, rv^0, а поэтому
из определения коэффициентов Е и G (50.17) непосредственно
следует, что Е>0 и G>0.
Если известна первая квадратичная форма поверхности, то
можно, даже не располагая уравнением поверхности и не зная
ее формы, решать ряд относящихся к ней задач, например
находить длины лежащих на ней кривых и углы между ними,
вычислять площадь частей поверхности. Совокупность всех
свойств поверхности, которые можно установить, исходя из
одной лишь первой квадратичной формы, называется внутрен-
ней геометрией поверхности. К рассмотрению подобных задач
мы и перейдем.
50.8. КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ, ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ ДЛИН
И УГЛОВ МЕЖДУ НИМИ
Рассмотрим непрерывно дифференцируемую кривую (50.22),
лежащую на данной поверхности (50.18). Предположим, что
отсчет длины дуг s = на кривой производится в направлении
возрастания параметра, т. е. что у>0. Как известно (см. п.
ds
16.5), -
dt
dr
dt
откуда ds = \dr\; следовательно (см. (50.42)),
ds2 = | dr\2 — dr2 — Edu2 + 2Fdudv-\-Gdv2,
поэтому
+ 2F--+G
dt dt
dv\2
dt J
Таким образом, для длины L кривой (50.8) получаем формулу
ь
L = f /я(-Y+2F--+g(-Ydt.
J \ \dt J dt dt \dt J
Перейдем теперь к вычислению углов между кривыми на
поверхности.
442
Определение 18. Если две кривые пересекаются в некоторой
точке, то углом между ними в этой точке называется угол,
образованный их касательными в указанной точке (если, конечно,
эти касательные существуют).
Пусть две гладкие кривые, лежащие на рассматриваемой
поверхности, пересекаются в некоторой точке. Обозначим
дифференциалы их представлений в этой точке соответственно
через dr и 5г, а коэффициенты разложений по векторам ги и rv —
через du, dv и Ъи, 5г; тогда
dr=rudu + rvdv,
Ъг=ги bu + rv 5г.
Поэтому если ф— искомый угол между кривыми, т. е. между
векторами dr и 5г, то
drbr Е du§u + F(du§v + dv§u\+G dvbv
COS ф =----—--------------------------------------.
W |Sr| y/Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 0Ebu2 + 2Fbu bv + Gbv2
Упражнение 3. Доказать, что, для того чтобы координатные и- и
г-линии на поверхности были ортогональными, необходимо и достаточно,
чтобы всюду на поверхности выполнялось равенство Е=0.
50.9. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Пусть непрерывно дифференцируемое представление r(w, г)
рассматриваемой гладкой поверхности 5 определено на замыка-
нии D квадрируемой области D. Рассмотрим разбиение Тк
плоскости переменных и и г на квадраты некоторого ранга к.
Из квадрируемости области следует ее ограниченность, поэтому
замкнутая область D окажется покрытой конечным числом
квадратов ранга к. Пронумеруем каким-либо образом jsce
непустые пересечения этих квадратов с замкнутой областью D и
обозначим их через Д, /=1, 2, ..., zT. Тогда
^{Ey.Ei = Qi^D^0, QteTk, z=l,2, ..., Q
образует разбиение замкнутой области D (определение разбие-
ния см. в п. 44.3).
Рассмотрим множества Д, которые представляют собой
полные замкнутые квадраты, лежащие в области D (при
достаточно малой мелкости разбиения т такие непустые
множества Д всегда существуют; почему?). Совокупность всех
указанных множеств Д обозначим через т(3£>) (ср. с п. 44.4).
Возьмем какой-либо квадрат Д g т (dD) (рис. 225). Пусть
длина его стороны равна /z, a Pt—одна из его вершин. Тогда
при переходе от вершины Д к соседним вершинам радиус-век-
тор r(zz, г) с точностью до бесконечно малых более высокого
порядка, чем Л, получит приращения, равные по абсолютной
443
величине соответственно числам \ruh\ и |гг/7|, ибо
r(w + /z, г) — r(w, v)==ruh + o(h) ,
г (и, г + Л) — г (и, v) = rvh + o(ti).
При определении площади поверхности будем образы
квадратов Дет(3£)) заменять прямолинейными параллелограм-
мами, построенными на векторах ruh и rvh (рис. 226). Найдем
площадь такого параллелограмма. Обозначив ее через Асу.,
получим
Аа, = |гм/г х rvh\P=\ru х rv\P.h2 = \ru х |л£;.
Функции jru и rv непрерывны на замкнутой квадрируемой
области D; поэтому
lim £ Acyf = \ги х rj dudv, (50.44)
I1!-*0 Е(ет(^Р) р
где |т|, как всегда, обозначает мелкость разбиения т. Очевидно,
условие, что мелкость разбиения |т| стремится к нулю,
равносильно тому, что ранги к квадрильяжей плоскости, из
которых мы исходили, стремятся к бесконечности.
Для доказательства справедливости равенства (50.44) доста-
точно заметить, что при произвольном выборе точек PieEiex,
Z=l, 2, ..., справедливо равенство
4
lim £ Асу— lim £ \ru х rv\ Р, цД = ff \ru х rv\dudv.
|тН°/=1 ' D
Действительно, во-первых, предел интегральных сумм интег-
рируемой функции не зависит от выбора в данном случае точек
PieEiex, а, во-вторых, выбрасывание из интегральных сумм
слагаемых, соответствующих множествам Дет, не входящих в
т(5£>), не влияет, как известно (см. п. 44.3), на величину предела
интегральных сумм, в данном случае на величину предела
(50.44).
444
Определение 19. Предел (50.44) называется площадью или
мерой поверхности S*.
Для вычисления
ственно получается
|15 = lim £ До;.
площади поверхности из (50.44) непосред-
формула
= JJ |гм х rv\ du dv. (50.45)
D
Запишем ее в другом виде, выразив подынтегральное
выражение через коэффициенты первой квадратичной формы.
Прежде всего заметим, что для любых векторов а и b
справедливы формулы
|а х Z>| = |a| \b\ sin ab,
ab=\a\ \b\ cos ab.
Л
где ab —угол между векторами a и b. Возведем в квадрат и
сложим эти формулы:
|а х Л|2+ \ab\2 = a2b2
(это равенство называют тождеством Лагранжа). Отсюда
следует, что
|г„ х rv\2 = r2r2-(rurvy = EG-F2, (50.46)
поэтому формула (50.45) может быть записана также в виде
=П^FG-F2 dudv. (50.47)
D
Иногда для краткости записи выражение yjEG — F2 dudv
обозначается символом dS\
dS = jEG-F2 du dv; (50.48)
и называется элементом площади. Применяя это обозначение,
формулу (50.47) можно переписать в виде
D
Покажем, что величина площади поверхности не зависит от
выбора ее представления (при этом рассматриваются только
представления, заданные на замкнутых квадрируемых облас-
445
тях). Перейдем к другому представлению p = p(wt, vj данной
непрерывно дифференцируемой поверхности, которое задано на
замыкании D , квадрируемой области Z), и, следовательно, для
которого преобразование (50.26) параметров и, v в параметры
i>i является регулярным отображением D на D t.
В новой системе координат рассмотрим интеграл
115= Jf X/F1G1—Fi du. dv..
D.
Для сравнения его с интегралом (50.47) выполним замену
переменных (50.26), что возможно, так как все предпосылки
теоремы 2' п. 46.2 в данном случае выполнены. Использовав
(50.43), получим
liSr = П du. dv. = H
= J J EG — F2 du dv =
du dv =
D
Таким образом, действительно, величина площади по-
верхности не зависит от выбора ее представления.
Найдем выражение для площади поверхности, имеющей
явное представление z=f(x, у), (х, y)eD. В этом случае и = х,
v=y, r=(x, y,f(x, у)) и, следовательно (см. формулы (50.21)),
г„=(1,о,А), Гг=(о, 1,4),
£=г2 = 1+/2, F=rurv=fxfy, G=r2v = \+f2y,
EG~F2=(] +Л)(1 +Л2) -/Х = 1 +.f2+f2 ( }
х/1 +7 х +fl dx dy.
D
Упражнение 4. Доказать, что площадь поверхности вращения, опреде-
ленная в п. 32. 4, совпадает с площадью этой поверхности, определенной в
настоящем пункте.
50.10. ОРИЕНТАЦИЯ ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В этом параграфе будем предполагать, что в пространстве
выбирается всегда правая система координат. Это означает
следующее.
Пусть А у и к—единичные орты координатных осей. Если
смотреть из конца вектора к на плоскость хОу, то вектор i надо
повернуть на угол | против часовой стрелки, чтобы он совпал с
вектором /. В этом случае говорят также, что упорядоченная
тройка векторов j, j и к согласована по «правилу штопора».
446
Аналитически это означает, что в пространстве точек (х, у, z)
рассматриваются только такие упорядоченные базисы е15 е2, е3,
которые получаются из упорядоченного базиса /=(1; 0; 0),
/=(0; 1; 0), А=(0; 0; I) с помощью матриц, имеющих положи-
тельный определитель (точнее, равный + 1). Таким образом, если
/Т ctn2 ст3к. т 1, 2, 3.
является базисом, задающим правую систему координат, то
С1 1 с12 с13
^21 с22 £*23 — + 1 •
^31 с32 ^33
Все определения и понятия, связанные с координатами,
вводимые ниже в этом параграфе, даются применительно к
правым системам координат.
Пусть S — гладкая поверхность (см. определение 16). Тогда
всякое ее векторное представление г=г(и, г), (w, tjeZ), непре-
рывно дифференцируемо и ги х гг#0 на замкнутой области D.
Следовательно, в каждой точке поверхности 5 определен
нормальный единичный вектор
(50.50)
к х rv\
являющийся непрерывной функцией на D. Кратко это обстоя-
тельство выражают, говоря, что на поверхности S существует
непрерывная единичная нормаль.
Определение 20. Всякая непрерывная единичная нормаль v_==
= v(u,v), (и, гладкой поверхности S=[r(u^v\ (u.v)eD}
называется ориентацией поверхности S
Очевидно, что если вектор v является ориентацией по-
верхности S, то и вектор —V также является ориентацией той
же поверхности, и легко показать, что других ориентаций нет.
Упражнение 5. Доказать, что поверхность может иметь только две
ориентации.
Одна из двух ориентаций v или — v (произвольно выбранная)
называется положительной, а другая — отрицательной.
Таким образом, понятие положительности и отрицатель-
ности ориентации в этом смысле не определяется однозначно
самой поверхностью, а зависит от выбора ее представления.
Положительная и отрицательная ориентации поверхности назы-
ваются противоположными ориентациями этой поверхности.
Для определенности в дальнейшем для гладкой поверхности,
заданной фиксированным векторным представлением г=г(и, р),
(и, v) е D за положительную ориентацию будем принимать
всегда вектор (50.50).
447
Подчеркнем, что непрерывность
нормали v рассматривается отно-
сительно переменных и. г, а не
относительно пространственных пе-
ременных х, у и z. Если поверх-
ность имеет кратные точки, то мо-
жет случиться, что в точке прост-
ранства, являющейся носителем раз-
ных точек поверхности, может ока-
заться несколько различных норма-
лей.
Чтобы при регулярном преобра-
зовании параметров и, v у поверхнос-
ти сохранялась ориентация, необхо-
димо дополнительно потребовать,
чтобы якобиан этого преобразования был положительным.
Действительно, для преобразования параметров
щ =(р (w, г),
Г, =\|/ (и, г)
из формул (50.28), как мы видели (см. замечание в конце
п. 50.5), следует, что
и, следовательно, если якооиан положителен, то векторы
с (и. V)
ги х rv и ри х направлены в одну и ту же сторону, а если он
отрицателей, то1 в противоположные.
Таким образом, для поверхностей, у которых выбрана
ориентация, допустимыми преобразованиями будем считать
такие непрерывно дифференцируемые преобразования, у кото-
рых якобиан положителен.
Поверхность S с положительной ориентацией будем обозна-
чать через ас отрицательной — через S~.
Подчеркнем, что всякая гладкая параметрически заданная
поверхность всегда ориентируема, т. е. у нее всегда существует
ориентация.
Если гладкая _ поверхность 5* имее1 явное представление
s=/ (x, у), (х, D — область на плоскости переменных х, у,
то
i J к
1 0 А
0 1 Л
448
откуда, в силу формулы (50.50),
v /__________________.4____ 1
\ Д +./;+/? ’ Д+Д+Л ’ ТСд+Л2 -
и. следовательно (рис. 227).
cos vk = ...-----.— > 0.
у/'+Л+Л
(50.51)
т. е. ориентация v образует острый угол с осью z. Это означает,
что вектор v направлен вверх от поверхности S. Поэтому
поверхность S, ориентированная единичной нормалью v, назы-
вается верхней стороной поверхности Л и обозначается s, а
ориентированная противоположной нормалью — v (направлен-
нои вниз) ее нижней стороной, которая обозначается s.
Определение 21. Поверхность, у которой фиксирована одна из
ее ориентаций, называется ориентированной
Данное выше определение ориентации, разумеется, не
переносится на негладкие поверхности. Примером поверхности,
не дифференцируемой в одной точке, на которой уже нельзя
выбрать непрерывную нормаль, является конус:
z = y/x2+y2. х2+у2^а2. (50.52)
В этом случае векторное представление имеет вид
r(.v, y)=(.v, ь \Л?+з’2);
следовательно,
Пределы lim -- и lim ——-----не существуют
(л\ г)->(0, 0) л/-¥2 + V2 (л-. г)~>(0; 0) vГх2 + г
(почему?), поэтому и единичная нормаль
Г. х Г / А* Г 1 \
v — - -—- — — ---------- : — —--------;----
k.v х Л-1 \ ч/2(Р+г) х/2(а2+/) 72/
не имеет предела при (л\ у)—>(0. 0). Следовательно, на конусе
(50.52) нельзя выбрать нормаль, непрерывную на D = {(x. у):
х2 -Уу2 ^а2}.
Простым примером негладкой поверхности S. на которой
существует целая линия, вдоль которой нормали при любом их
449
к В / выборе терпят разрыв, является часть
двугранного угла, изображенная на рис.
/ />, 228. Указанной линией на этой поверх-
/ у ности является отрезок АВ.
/ Замечание. На первый взгляд может
/ показаться, что понятие ориентации по-
верхности не является обобщением понятия
ориентации кривой. Это, однако, не так. Ес-
Рис. 228 ли гладкая кривая Г = {г(^); О^Л’^5} ориен-
тирована в направлении возрастания длин
ее дуг 5, то в каждой ее точке определен единичный касательный
. dr
вектор f= —, который, очевидно, является непрерывной на
ds
кривой Г векторной функцией. Поставим в соответствие
вектору t вектор л, получающийся из вектора t поворотом
против часовой стрелки на прямой угол. Вектор п является
единичным нормальным к кривой Г вектором, непрерывно
меняющимся вдоль нее. Таким образом, ориентация гладкой
кривой порождает выбор единичной непрерывной вдоль этой
кривой нормали.
Верно и обратное: если на гладкой кривой задана непрерыв-
ная единичная нормаль, то по этой нормали, в силу указанного
выше соответствия, однозначным образом определяется непре-
рывный на кривой единичный касательный к ней вектор,
который, в свою очередь, однозначно задает направление
возрастания параметра 5, т. е. ориентацию кривой.
50.11. СКЛЕИВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Данное выше определение параметрически заданной непре-
рывной поверхности не охватывает все то, что интуитивно
входит в понятие поверхности. Так, можно показать, что
поверхность шара не является носителем какой-либо непрерыв-
ной параметрически заданной поверхности без кратных точек.
Считать же, что поверхность шара имеет кратные точки,
представляется неоправданным усложнением. Существуют раз-
личные пути для преодоления этого неудобства. Мы выберем
способ, основанный на склеивании конечного числа поверх-
ностей. Склеивание поверхностей естественным образом возни-
кает при рассмотрении самых простых задач. Например,
боковую поверхность цилиндра естественно рассматривать как
результат склеивания противоположных сторон прямоугольни-
ка, полную поверхность цилиндра — как результат склеивания
его боковой поверхности и двух оснований, поверхность
конуса — как результат склеивания его боковой поверхности с
основанием и 1. д.
450
Перейдем к точным определениям. Будем говорить, что у
поверхности S={r=r(u, г); (u,v)eD} ее край (см. п. 50.2)
является кривой, если граница 8D области D является кривой
(точнее, носителем кривой):
8D = {u(t), г(/); а^t^b}.
В этом случае край 8S поверхности 5 можно также рассматри-
вать как кривую
8S={r(u(z), r(z));
Определим операцию склеивания поверхностей для поверх-
ностей, края которых являются кривыми.
Пусть заданы поверхности = {rf (щ, /у); (ц-, v^eD^ края 8St
которых суть кривые, т. е. границы 8Dt областей £>• являются
кривыми:
zy = zy(zz), (r£), a^t^b^ z=l, 2, ..., т.
Тогда края поверхностей 8S{ будут представлять собой кривые
гi = {г,- (w; Vi (ti)); at bt}.
Пусть для некоторых nap (z, у), z, у=1, 2, ..., т, i^j, задано
конечное число отрезков [a kj, b -j] <= [ah akj^bkj, и отрезков
[ял, ^л]°[а7-5 bj\. акп^Ьк^ fc=l, 2, ..., пи = п]Ь причем как отрез-
ки [я-j, bkj], так и отрезки [akh bki] попарно не имеют общих
внутренних точек, а также гомеоморфизмы ф -: [a-j, Z)-]->
->[aki, называемые склеивающими гомеоморфизмами. При
этом для любого tie\akij.bk^\ имеет место «склеивание»:
ri (и< Vi (р)) = r} (Uj (<pt- (',)), vj (($ (rf)) (50.53)
Обозначим через Г kj кривую с представлением
r;(M;(z,.), v,.(z;)), blj].
Кривые rkj называются кривыми склейки или кривыми, по
которым производится склеивание.
Очевидно, что в силу (50.53), отображение
r= rj (UJ (G)’ vj O’ G-G La Ji’ b Ji]
также является представлением кривой Г kj, ибо гомеоморфизмы
<pkj представляют собой допустимое преобразование параметра
для кривой Г kj.
Будем предполагать кроме того, что при yVy отрезки
[а^ 6 У и [а1и', blijf], /с=1, 2, ..., пи, 1=1, 2, ..., ^г,
не имеют общих внутренних точек, а следовательно, каждый
конец отрезка [a kj, b kj] может принадлежать еще не более чем
одному отрезку [a-j', b-j']. Это условие означает, что каждая
451
кривая склейки Г ц является частью только двух кривых Г, и Г,,
образующих края поверхностей и Sj.
Поверхности и Sj называются соседними, если они
склеиваются по крайней мере по одной кривой Г”. Система
склеивающих гомеоморфизмов cp-j называется связной, если для
любых поверхностей Sp и Sq из рассматриваемой системы в ней
существуют такие поверхности Si9 St, ..., Sir, что Sti = Sp,
Sir = Sq, и каждая поверхность St является соседней с 5iv+i, т. е.
склеена с ней по одной или нескольким кривым с помощью
соответствующих склеивающих гомеоморфизмов <р£ t- , v =
= 1, 2, ... r-1.
Определение 22. Система поверхностей Sr. S2. ..., Sm со
связной системой склеивающих гомеоморфизмов называется
поверхностью, склеенной из поверхностей Sx, ..., Sm по кривым
Г-) и обозначается через 5={5j.
Это определение, несмотря на свою формальную гро-
моздкость, имеет, очевидно, простой геометрический смысл.
Образно говоря, склеенная поверхность 5= {S’,} представляет
собой поверхности ..., Sm. у некоторых пар которых S'-, Sj
отождествлены (склеены) точки, лежащие на кривых Г - и
отображающиеся друг в друга при гомеоморфизмах ср^ — в
этом и состоит условие склеивания (50.53). Безусловно, как
отмечалось, кроме того предполагается, что от каждой поверх-
ности St можно через конечное число шагов перейти к любой
другой поверхности Sj, переходя каждый раз с некоторой
поверхности на одну из соседних с ней.
Если S'={S'.} — склеенная поверхность, то совокупность всех
дуг, являющихся такими частями кривых dSt, что никакие точки
этих частей, кроме, быть может, концевых, не склеиваются ни с
какими точками других кривых называется краем 8S
склеенной поверхности 5.
Можно показать, что объединяя соответствующим образом
указанные части кривых 8Sb принадлежащие краю 8S по-
верхности S'={5J, можно получить конечное число замкнутых
кривых (контуров). Иначе говоря, край склеенной поверхности
состоит из конечного числа замкнутых контуров.
Примером склеивания поверхностей может служить склеива-
ние в сферу x2+y2 + z2 = \ двух полусфер 7 = ^/1 —х2 — у2 и
z — — ^/1 — %2—j?2 , х2+у2^С по их краю, т. е. по окружности
х2+у2 = \, z = 0. Задавая уравнение этой окружности в парамет-
рическом виде
x = cos/, V = sin г, z = 0, 0^^2л,
в качестве склеивающего гомеоморфизма <р: [0, 2л]-+[0, 2л]
можно взять тождественное отображение отрезка [0, 2л] на
себя.
452
С помощью склеивания гладких поверхностей можно опре-
делить понятие кусочно-гладкой поверхности.
Определение 23. Поверхность S={Si}, склеенная из гладких
поверхностей .... Sm, называется кусочно-гладкой поверх-
* ностъю.
Поверхность кругового цилиндра, поверхность параллелепи-
педа дают примеры кусочно-гладких поверхностей. Прямой же
круговой конус (50.27) нельзя разбить на конечное число
.склеенных гладких частей, поэтому он не является кусочно-
гладкой поверхностью в смысле определения 23. Можно
обобщить операцию склеивания поверхностей таким образом,
что при формальном сохранении определения кусочно-гладких
поверхностей для такой обобщенной операции склеивания в
класс кусочно-гладких поверхностей попадут уже и конические
поверхности. Мы не будем на этом останавливаться и
предоставим проделать это в случае необходимости самому
читателю.
Поверхность, склеенная из конечного множества гладких
поверхностей в широком смысле (см. п. 50.3), называется
кусочно-гладкой в широком смысле.
50.12. ОРИЕНТИРУЕМЫЕ И НЕОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Определим понятие ориентации для поверхностей, склеенных
из параметрически заданных поверхностей.
Определение ориентации с помощью выбора непрерыв-
ной единичной нормали на поверхности оказывается в этом
случае неудобным даже при отсутствии кратных точек и
понимании непрерывности нормали как ее непрерывной за-
висимости от точек пространства (а не параметров склеиваемых
поверхностей). Это связано с возможным нарушением глад-
кости поверхности на кривых, по которым происходит склеи-
вание.
Например, часть поверхности двугранного угла, изобра-
женную на рис. 228, можно рассматривать как результат
склеивания двух равных прямоугольников. Если стремиться по
разным граням к одной и той же точке на ребре этого угла, то
пределы соответствующих единичных нормалей получатся
разные. Ниже будет дано такое определение ориентируемой
поверхности, при котором указанная поверхность является
ориентируемой.
Отметим, что при склеивании поверхностей даже «гладким
образом» (т. е. когда для любой кривой, по которой произведе-
но склеивание, в каждой ее точке можно так выбрать
единичную нормаль, что она будет пределом соответствующим
образом выбранных в окрестности этой точки единичных
нормалей двух склеивающихся поверхностей) у склеенных
453
поверхностей могут возникнуть качественно новые особенности:
в отличие от параметрически заданных поверхностей в этом
случае не всегда на всей поверхности можно выбрать непрерыв-
ную единичную нормаль. Примером такой поверхности являет-
ся так называемый лист Мёбиуса**. Его можно получить, взяв
прямоугольную полоску бумаги A BCD. один раз перекрутив ее
вокруг оси симметрии MN. параллельной сторонам ВС и A D, и
склеив ребро АВ с CD (рис. 229). Правда, при таком способе
образования лист Мёбиуса получается в результате склеивания
поверхности самой с собой. Однако нетрудно получить его и
склеиванием, описанным в определении 22, двух прямоуголь-
ников ABEF и FECD (рис. 229).
Рис. 229
Одной из характерных особенностей листа Мёбиуса является
то, что у него имеется лишь одна «сторона»: его невозможно,
как, например, боковую поверхность цилиндра, покрасить,
скажем, с одной стороны красной, а с другой — синей краской.
Кроме того, на листе Мёбиуса нельзя выбрать единичную
нормаль, которая являлась бы непрерывной функцией точки
пространства.
Все приведенные соображения делают естественным по-
пытаться дать такое определение ориентации поверхности, для
которого поверхности, например типа поверхности параллеле-
пипеда, оказались бы ориентированными, а поверхности типа
листа Мёбиуса — неориентированными.
Обратим внимание на то, что лист Мёбиуса может являться
носителем параметрически заданной гладкой поверхности с
кратными точками, и эта поверхность, как всякая гладкая
параметрически заданная поверхность, будет ориентированной.
Это, конечно, не имеет никакого отношения к неориентируе-
мости самого листа Мёбиуса.
А. Ф. Мёбиус (1790—1868) — немецкий математик и астроном
454
50.13. ДРУГОЙ ПОДХОД
К ПОНЯТИЮ ОРИЕНТАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ
Опишем другой подход к понятию ориентации, основанный
на склеивании поверхностей, 2фая которых суть кривые.
Пусть S=[r=r(u, г); [и. v\eD} —гладкая поверхность, краем
которой является кривая. Положительная ориентация кривой
dD = {u(t), г(г); t^b} (т. е. ориентация против часовой стрел-
ки на плоскости и, v с правой системой координат) в силу
отображения г (и (О’ г(0)’ a^t^b, порождает вполне определен-
ную ориентацию края dS поверхности S. Эта* ориентация края
8S поверхности S’ называется согласованной с ориентацией
(см. определение 20) поверхности S.
Естественность этого определения можно пояснить следую-
щим образом. Рассмотрим явно заданную поверхность S:z =
=f(x, у), (х, y)eD. Для нее (см. (50.51))
у=(_ .Л.........; _ —Л________, 1
\ \/1 +./ х +./ у у/1 +./ у +.fy \/1 + / х + / у /
Следовательно, cos = —1.....— >0, т. е. вектор нормали v
\/1 +. / X + / у
образует с осью Oz острый угол и поэтому согласован с
положительной ориентацией края 8S поверхности 5 по правилу
штопора: ориентация контура 8S соответствует направлению
вращения ручки штопора, а направление нормали v — движе-
нию самого штопора (см. рис. 227).
Очевидно, что если ориентация v рассматриваемой гладкой
поверхности S согласована с ориентацией ее края 8S, то
ориентация — v согласована с противоположной ориентацией
кривой 8S. Таким образом, задание ориентации v гладкой
поверхности равносильно заданию ориентации кривой 8S,
являющейся ее краем. Поэтому ориентированный край 8S
гладкой поверхности 5 будем так же как и непрерывную
единичную нормаль v называть ориентацией поверхности S.
Для негладкой параметрически заданной поверхности, краем
которой является контур, его ориентацию можно принять за
исходное определение ориентации самой поверхности. Пусть
и S2— две гладкие поверхности, у которых края — кривые, и
пусть эти две поверхности склеены (в смысле определения 22)
по кривым уг, ..., ут, являющимся частями краев поверхностей
и S2. Ориентации dSr и dS2 поверхностей и S2 называются
согласованными, если каждая из них порождает на склеиваю-
щихся кривых уп ..., ут противоположные ориентации.
455
Определение 24. Поверхность S, склеенная из поверхностей
..., Sm, называется ориентируемой, если существуют такие
ориентации 5S1? SSm краев поверхностей Sr, .... Sm, что для
любых двух соседних поверхностей St и Sj их ориентации и
dSj согласованы.
Совокупность таких ориентаций, если она существует,
называется ориентацией поверхности S.
Если указанной совокупности ориентаций dSi не существует,
то поверхность S называется неориентируемой.
Если dSi. .... dSm является ориентацией поверхности 5={5j,
то совокупность противоположных ориентаций также является
ориентацией поверхности S. называемой противоположной
данной.
Можно показать, что если поверхность S ориентируема, го
никаких других ориентаций, кроме двух указанных, у нее нет.
Одна из этих двух ориентаций (произвольно какая) обычно
называется положительной, а другая - отрицательной.
Аналогично ранее рассмотренному в п. 50.10 случаю
ориентируемая поверхность, у которой фиксирована одна из ее
ориентаций, называется ориентированной. При этом та из
ориентированных поверхностей, ориентация которой названа
положительной, обозначается через 5 1, а противоположно
ориентированная через S ~
Край ориентированной склеенной поверхности S={5J, как
край всякой склеенной поверхности, состоит, согласно сказан-
ному выше, из конечного числа замкнутых контуров. Каждый
из этих контуров, в свою очередь, представляет собой
объединение конечного числа кривых, каждая из которых
является частью одного из контуров dSt. а именно такой
частью, что все ее точки, кроме быть может концевых, не
склеиваются с точками других краев dSj. Поэтому заданная
согласованная ориентация склеенной ориентируемой поверхнос-
ти S={SJ порождает определенные ориентации (т. е. порядки
точек) на указанных кривых. Можно показать, что эти
ориентации, вместе взятые, составляют ориентации всех конту-
ров, входящих в край dS склеенной поверхности S. Совокуп-
ность этих ориентаций контуров, составляющих край dS
поверхности S. называется ориентацией этого края, порожден-
ной заданной ориентацией поверхности S, или, что то же,
согласованной с ней.
Обратим внимание на то, что в определении 24 ориентации
поверхности не предполагалось даже дифференцируемости
склеиваемых поверхностей ..., Sm.
Если поверхность S склеена из гладких поверхностей S\, ..., Sm.
то для задания ее ориентации можно задать на каждой поверх-
ности ..., Sm непрерывные единичные нормали таким образом,
чтобы согласованные с ними ориентации с5г краев поверхностей
456
Si были согласованы между собой в смысле определения 24,
т. е. являлись ориентацией поверхности S (см. рис. 230).
Для того чтобы при таком задании ориентации узнать,
совпадают или нет две ориентации, достаточно проверить это
лишь в одной произвольной точке: если в ней нормали
совпадают, то они совпадают и всюду, а если они в этой точке
не совпадают, т. е. противоположны, то они и всюду противо-
положны, поскольку, как выше отмечалось, существуют только
две ориентации заданной поверхности.
Рис. 231
Рис. 230
Однако в случае кусочно-гладкой поверхности уже нельзя
ввести понятие положительной ориентации, используя заданные
представления склеиваемых гладких поверхностей и беря на них
единичные нормали по формуле (50.50), так как эти ориентации
могут оказаться несогласованными. Поэтому в случае кусочно-
гладких поверхностей следует всегда конкретно оговаривать,
что именно подразумевается в данном случае под ориентиро-
ванными поверхностями S+ и S" заданной поверхности S.
Можно показать, что всякая кусочно-гладкая поверхность,
являющаяся границей некоторой области трехмерного про-
странства, ориентируема. При этом одна из ориентаций состоит
из единичных нормалей, направленных от поверхности в
область так называемые внутренние нормали, а другая со-
стоит из единичных нормалей, направленных от поверхности
наружу от области — так называемые внешние нормали. Приме-
ром такой поверхности является сфера. В качестве ее ориента-
ции можно взять. например, единичные нормали, направленные
по радиусу от точки сферы к центру (рис. 231).
Примером неориент ируемой поверхности (в смысле опреде-
ления 24) является лист Мёбиуса.
Иногда ориентируемые кусочно-гладкие поверхности назы-
вают также двусторонними поверхностями', они имеют две
«стороны», соответствующие двум выборам единичных норма-
лей, задающим две ее ориентации. Соответственно неориенти-
руемые поверхности называются односторонними. Оправдание
этого термина было пояснено в п. 50.12 на примере листа Мёбиуса.
457
Мы не будем останавливаться на математизации всех описан-
ных наглядных соображений и доказательстве высказанных утвер-
ждений. Это потребовало бы использование методов, изучение ко-
торых выходит за рамки настоящего курса. Упомянутые выше без
доказательства общие утверждения, по существу, не используются
в дальнейшем изложении. В каждом же конкретном случае, о кото-
ром будет идти речь, можно будет всегда непосредственно указать,
какая именно ориентация рассматривается в данном случае.
Упражнение 6. Пусть заданы вектор т и кривая Г={р^/), а^и^Ь}.
Цилиндрической поверхностью S с образующей Г и направляющей, параллель-
ной вектору т, называется поверхность, заданная представлением вила
def
г= г (и, V) = р (и) 4- гт, а и b. с v d.
Доказать, что если кривая Г кусочно-гладкая, то и поверхность S
кусочно-гладкая.
50.14. КРИВИЗНА КРИВЫХ, ЛЕЖАЩИХ НА ПОВЕРХНОСТИ
С помощью первой квадратичной формы были получены
формулы для вычисления длин кривых на поверхности, углов
между кривыми и площади поверхности. Однако знание всех
этих величин еще не определяет поверхность. Например,
прямоугольник можно изогнуть так, что он будет образовывать
половину боковой поверхности цилиндра. Эта цилиндрическая
поверхность и исходный прямоугольник — разные поверхности,
однако при указанном изгибании длины кривых углы между
ними и площади частей поверхности сохраняются неизменными.
Дальнейшие локальные исследования поверхности в окрест-
ности заданной ее точки будем проводить, изучая всевозможные
кривые, лежащие на поверхности и проходящие через рас-
сматриваемую точку, в частности изучая кривизны этих кривых.
Пусть
S={r(z7, г); (д, v)eD} (50.54)
— дважды непрерывно дифференцируемая поверхность и
r(w0, г0) — ее внутренняя неособая точка. Рассмотрим кривую на
поверхности S, заданную представлением
r(s) = r(u(s), г (.у)), 0^л<5, (50.55)
где функции //(л) и v(s) дважды дифференцируемы на отрезке
[0, SJ, л — длина дуги кривой (50.55), м(л’0) = м0, г(50) = г0,
0^5’o^S, и. следовательно, r(s0) = r(w0, г0). Будем предполагать,
что точка r(s0) является неособой для кривой (50.55).
Вспомним, что вдоль кривой выполняется равенство
~ = А'л, (50.56)
ds
458
где л —главная нормаль кривой, а к — ее
кривизна. Будем предполагать, что
тогда главная нормаль п определена одно-
значно.
Обозначим через v единичную нормаль к
поверхности (50.54) в ее точке г(п0, г0) и через
0 угол между вектором v и главной нормалью
п кривой (50.55) в ее точке r(s0) (рис. 232).
Тогда, умножив скалярно обе части равенства
(50.56) на вектор v, получим
(50.57)
Заметив, что
из (50.57) получим
A cos 6 = (50.59)
(50.57) ds2
(50.58)
Введя обозначения
def def
L(m v) = ruuv, M(u, v) = ruvv, N(u, v) = rvvv (50.60)
и вспомнив, что ds2 = Edu2+ 2F dudv + G dv2 (cm. (50.44)), за-
пишем равенство (50.59) в виде
7 n L du2 + 2М du dv + N dv2
к cos 0 =------------------------т.
E du2 + IF du dv + (J dv~
(50.61)
Определение 25. Квадратичная форма
L du2 + 2 M dudv + N dv2
называется второй квадратичной формой поверхности.
Ее коэффициенты L, М и 7V, согласно определению (50.60),
однозначно определяются в каждой точке поверхности при
заданном ее представлении и выборе к ней единичной нормали
в рассматриваемой точке (от этого выбора зависит лишь знак
коэффициентов L, /И, N). Коэффициенты первой квадратичной
459
формы также однозначно определяются в каждой точке
поверхности при заданном ее представлении, поэтому в этом
случае дробь, стоящая в правой части формулы (50.61), зависит
в данной точке поверхности только от отношения du: dv (в чем
легко убедиться, разделив числитель и знаменатель дроби на du
или на dv).
Для кривой (50.55)
dr= ru du + rv dv,
поэтому отношение du'.dv задает положение касательной к
кривой (50.55) в точке r(w0, г0). Таким образом, правая часть
равенства (50.61) имеет одно и то же значение для всех кривых
(50.55), проходящих через точку r(w0, г0) и имеющих одну и ту
же касательную.
В левой части формулы (50.61) угол 0 между векторами п и v
зависит для данной точки поверхности от вектора главной
нормали кривой (50.55). Главная нормаль лежит в сопри-
касающейся плоскости, поэтому если задана не только ка-
сательная к кривой, но и ее соприкасающаяся плоскость, то с
точностью до знака определен и cosO (главная нормаль может
иметь одно из двух взаимно противоположных направлений,
перпендикулярных касательной к кривой). Знак cos0, а следо-
вательно, и одно из двух указанных возможных направлений
нормали определяются из формулы (50.61), поскольку кривизна
всегда положительна.
Итак, если задана касательная и соприкасающаяся плоскость
кривой, лежащей на поверхности и проходящей через заданную
точку поверхности, то ее кривизна к однозначно определяется
из формулы (50.61):
1 L du2 + 2М du dv + N dv2
cos 0 E du2 + 2Fdu dv + G dv2
Иначе говоря, доказана теорема.
Теорема 1. Две кривые на дважды непрерывно дифференци-
руемой поверхности с одними и теми же касательными и
главными нормалями во внутренней неособой топке поверхности
имеют в этой точке одинаковую кривизну, для которой имеет
место формула (50.62).
Две такие кривые имеют одну и ту же соприкасающуюся
плоскость, пересечение которой с касательной плоскостью к
поверхности является касательной к кривой.
Но одну и ту же касательную и соприкасающуюся плоскость
могут иметь много различных кривых, лежащих на поверхно-
сти. В каком-то смысле наиболее простой из них является
плоская кривая, лежащая в соприкасающейся плоскости. Таким
образом, изучение кривизны кривых, лежащих на поверхности,
460
сводится к изучению кривизны плоских кривых — сечений
данной поверхности плоскостями. Напомним, что плоская
кривая полностью, с точностью до положения в пространстве,
задается своей кривизной (см. п. 17.6).
Обратим внимание на то, что мы изучаем поверхность в
окрестности неособой точки. Поэтому в замыкании некоторой
окрестности этой точки поверхность допускает явное представ-
ление (см. п. 50.6) и, следовательно, является простой поверх-
ностью (см. п. 50.2). Подобным образом часть кривой в
замыкании некоторой окрестности неособой точки является
простой дугой (см. п. 16.2). Простые поверхности и простые
дуги однозначно определяются своими носителями, поэтому мы
здесь вместо «носитель поверхности» или «носитель кривой»
говорим просто «поверхность или кривая».
Сечения поверхности плоскостями будут рассмотрены чуть
позже, а сейчас вернемся ко второй квадратичной форме.
50.15. СВОЙСТВА ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
ПОВЕРХНОСТИ
Знание первой и второй квадратичных форм на поверхности
дает возможность вычислять кривизны кривых, лежащих на
этой поверхности. Поэтому важно иметь удобные формулы для
вычисления коэффициентов второй квадратичной формы по-
верхности:
S={r(u, г); (w, v)eD}.
Если за единичную нормаль v к поверхности 5 в рассмат-
риваемой ее неособой точке взять, как обычно, вектор
и вспомнить (см. (50.46)), что | х rj = ^/£6 —F2, то из формул
(50.60) получим
Liu, v) = -
' 7 JIg^f2
М(и, у) — (50.63)
y/EG — F2
N(u, v)=-^=^=,
V 7 JlXF-F2
где в числителе дробей стоят смешанные произведения векто-
ров. Нетрудно записать эти формулы и в координатной форме.
461
Сделаем это для случая, когда поверхность S задается явным
представлением:
z—f{x, j), (x, v)et7. (50.64)
Здесь U—открытое плоское множество. В этом случае (см.
(50.49)) EG — F^= 1 +/l+/v, а так как радиус-вектор г точек
поверхносги
имеет
вид г=(х г. /(.Г. J’)),
то
./XV
rvr,
Таким
имеем
образом,
=./л
в этом
случае, в
М = f_______
х'|
дальнейшего анализа второй
более специальную систему
/ХЛ - -
х/1+Л2+/’у
= /л
силу формулы
(50.63),
N=
(50.65)
квадратичной
координат: перенесем
формы
Для
выберем
начало координат в рассматриваемую точку поверхности и за
плоскость переменных х, г выберем касательную плоскость к
поверхности (см. п. 50.6).
Пусть для
поверхности
0
1
0
О
О
о
о
0
0
А
О
О
Г
координатная
плоскостью к
z=/(x, г), (х, y)eU, (50.66)
плоскость переменных х, у является касательной
поверхности в точке (0, 0) и, следовательно,
(50.67)
этом случае
Вторая квадратичная форма в точке (0, 0) в
принимает вид (см. (50.65))
fxx dx2 + 2 fxy dx dy +fyy dy2,
(50.68)
т. е. совпадает со вторым дифференциалом функции f в этой
точке.
Разложим функцию /‘ по формуле Тейлора в окрестности
точки (0,0). В силу (50.67), получим
z=|(Ax(°- 0) .v2 + 2/Х}, (0. 0)л-г+/уг(0, 0)у2) + «(л-2+Л
(л\ г)-»(0. 0) (50.69)
т. е. вторая квадратичная форма поверхности в точке (0, 0)
.fxx -v? + 2/х>. ху +/,„ у2,
462
1
с точностью до постоянного множителя - равна главной части
отклонения поверхности от ее касательной плоскости при
стремлении точки поверхности к точке касания.
Формулы (50.61) и (50.69) раскрывают геометрический
смысл второй квадратичной формы.
50.16. ПЛОСКИЕ СЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
Как мы видели, изучение кривизны кривых на поверхности
сводится к изучению кривизны сечений поверхности плоскостя-
ми. Прежде всего покажем, что, вообще говоря, при сечении
поверхности плоскостями действительно получаются кривые.
Выражение «вообще говоря» добавлено, так как указанное
явление не всегда имеет место; например, при сечении
плоскости совпадающей с ней плоскостью получается целая
плоскость, а не кривая; при сечении поверхности z — x2 — у2
плоскостью z = 0 получается пара пересекающихся прямых:
х-Уу = 0, х—у = 0.
При изучении сечений поверхности ограничимся рассмотре-
нием только ее неособых точек и будем предполагать, что
поверхность задана явно и что плоскость переменных х, у
является касательной плоскостью к поверхности. Это не
ограничивает общности рассмотрений, так как локально поверх-
ность в неособой точке всегда имеет указанное представление
(см. лемму 1 в п. 50.6), а кривизна кривых на поверхности,
которая нас будет интересовать, является локальным свой-
ством.
Лемма 2. Если
z=f(x,y), (x,y)eD (50.70)
— дважды непрерывно дифференцируемая на открытом мно-
жестве D функция, (0, 0)gZ),
ДО, 0)=Д(0, 0)=/;.(0, 0) = 0 (50.71)
(т. е. координатная плоскость переменных х и у является
касательной плоскостью к графику функции f) и П — плоскость,
проходящая через точку (0, 0, 0) и не касающаяся в этой точке
графика S функции то существует такая окрестность U
точки (0, 0, б), что пересечение поверхности S с плоскостью П,
содержащееся в замыкании U окрестности U, является дважды
непрерывно дифференцируемой простой дугой, для которой точка
(0. 0, 0) является внутренней точкой.
Доказательство. Уравнение плоскости П, проходящей
через начало координат, имеет вид
Ax + By + Cz = <d, (50.72)
463
причем если эта плоскость не является касательной плоскостью
в точке (0, 0, 0) к поверхности S, т. е. не совпадает с
координатной плоскостью переменных х, у (см. (50.71)), то
коэффициенты А и В не могут одновременно обратиться в нуль:
Л2 + В2>0. (50.73)
Подставив в формулу (50.72) выражение (50 70) для z.
получим
def
F(x, г)-Лх + Ву+С/‘(х, у)-0, (50.74)
откуда
FJ0, 0) - A. FJ0, 0) = В.
Согласно условию (50.73), хотя бы одна из этих частных
производных не равна нулю. Пусть, для определенности,
Fv(0, 0)^0. Так как, кроме того, F(0, 0)(5О=71)0ч го из теоремы о
неявных функциях, примененной к уравнению (50.74), следует,
что существует такая окрестность
U={(x, у): a<x<b, c<y<d]
точки (0, 0) на плоскости переменных х, г, в которой уравнение
(50.74), а следовательно, и систегиа уравнений (50.70), (50.72)
имеют единственное решение:
г = ф(х), хе (а, Р), (50.75)
где (а, р) некоторый интервал, содержащий точку х = 0 и
лежащий в интервале (щ /?). Это означает, что в окрестности
точки (0. 0, 0) пересечение поверхности (50.70) с плоскостью
(50.72) является кривой, задаваемой представлением х = х,
к = ф(л). -=/(л-, <р(л-)). а<л-<р.
Если теперь сх с г/0 < 0 < Ао < Р, то кривая
г = ф(х), т = /’(х, ф (х)), Яо^х</)о, (50.76)
является простой дугой (отображение (50.76) взаимно одно-
значно), имеющей точку (0, 0, 0) своей внутренней точкой.
Выберем теперь числа <?0 и dQ гак, чтобы с < с0 < 0 < г/0 < г/, и
пусть
и = {(-V. Г. -): «о < -V < />0, сп < г < 70. - ос < ~ < + со}
- бесконечный откры тый параллелепипед, являющийся, оче-
видно, окрестностью точки (0, 0, 0). Часть кривой (50.76),
лежащая в замыкании U окрестности С точки (0, 0, 0), является
простой дугой (частью простой дуги (50.76)), для которой точка
(0, 0, 0) также является внутренней точкой
464
Функция f\ по условию, дважды непрерывно дифференци-
руема, поэтому, по теореме о неявных функциях, функция ср (см.
(50.75)) также дважды непрерывно дифференцируема, а следова-
тельно, и простая дуга (50.76) дважды непрерывно диффе-
ренцируема. □
В дальнейшем нас будет интересовать структура поверхно-
сти лишь вблизи данной точки, и мы всегда будем предпола-
гать, что на поверхности выбрана такая окрестность этой точки,
что пересечение каждой рассматриваемой плоскости с поверх-
ностью (в наших рассмотрениях всегда участвует лишь конечное
множество таких плоскостей), лежащее в замыкании указанной
окрестности, будет всегда представлять собой кривую (даже
простую дугу), чго, согласно лемме 2, всегда имеет место для
достаточно малой окрестности.
50.17. НОРМАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
Среди всех сечений поверхности плоскостями, проходящими
через некоторую ее точку, особую роль играют так называемые
нормальные сечения, т. е. сечения поверхности, образованные
плоскостями, содержащими нормаль к поверхности в рас-
сматриваемой ее точке. Такие плоскости называются нормаль-
ными плоскостями.
Нормальных сечений, проходящих через данную точку
поверхности, бесконечно много. Однако если заранее задать
прямую, которая должна быть касательной к нормальному
сечению (эта прямая, очевидно, должна лежать в касательной
плоскости к поверхности, где лежат касательные ко всем
кривым на поверхности (см. п. 50.5)). то нормальное сечение
определяется однозначно. В самом деле, это нормальное
сечение должно лежать в плоскости, проходящей через нормаль
к поверхности, и через заданную касательную, так как
касательная плоской кривой лежит в той же плоскости, где и
кривая. Плоскость же, проходящая через две пересекающиеся
перпендикулярные прямые, определяется однозначно. Пересече-
нием этой плоскости с касательной плоскостью к поверхности
является заданная прямая, гак как она лежит в обеих
плоскостях. Получившееся нормальное сечение будет иметь
своей касательной заданную прямую, так как его касательная
должна, с одной стороны, лежать в его плоскости, а с
другой Л в касательной плоскости к поверхности.
Начнем изучение кривизн плоских кривых па поверхности с
изучением кривизн кривых, имеющих одну и ту же касательную.
Пусть r(w0, г0) неособая внутренняя точка дважды непре-
рывно дифференцируемой поверхности S. Рассмотрим кривые
на поверхности, проходящие через эту точку и имеющие общую
касательную. Если через эту касательную и нормаль к
465
поверхности S’ провести плоскость, то получим нормальное
сечение Го, кривизну которого обозначим kQ, Рассмотрим
случай, когда /<о#0. Главная нормаль нормального сечения Го
лежит, очевидно, в плоскости сечения и поэтому, будучи
перпендикулярной касательной, направлена по нормали к
поверхности. Выберем за нормаль v к поверхности S в точке
r(w0, г0) главную нормаль нормального сечения Го; тогда угол
между ними равен нулю и, следовательно, из формулы (50.61)
имеем
, L du2 + 2М du dv + TV dv2
iz —____________________
0 Edu2 + 2Fdudv TGdv2
(50.77)
Для кривизны любой другой кривой Г, лежащей на
поверхности S, которая проходит через точку r(w0, v0) и имеет
ту же касательную в этой точке, что и нормальное сечение Го,
справедлива формула (50.61)
7 Л L du2 Т 2 М du dv Т N dv 2
К COS 0 =----,-------------- ,
Edu2 Т 2 F du dv Л-G dv2
(50.78)
где 0 — угол между нормалью v к поверхности S и главной
нормалью кривой п.
Правые части формул (50.77) и (50.78) равны, так как
зависят только от отношения du: dv, т. е. от касательной,
которая у них общая. Из равенства правых частей этих формул
следует и равенство левых их частей:
/<0 = /vcos0. (50.79)
Итак, мы пришли к следующей теореме.
Теорема 2 (теорема Менье*}). Если во внутренней неособой
точке дважды непрерывно дифференцируемой поверхности у
некоторого ее нормального сечения радиус кривизны R() конечен,
то радиус кривизны R любой другой кривой, имеющей ту же
касательную, что и указанное нормальное сечение, равен Ro,
умноженному на косинус угла 0 между нормалью к поверхности
и главной нормалью к кривой:
J? = Aocos0. (50.80)
Эта формула сразу следует из формулы (50.79), так как
Дадим геометрическую интерпретацию формулы (50.80).
Рассмотрим сечение поверхности S плоскостью, проходящей
через точку М0 = г(и0, г0) и перпендикулярной общей касатель-
Ж. Мснье (1754 1793)- французский математик.
466
Мп
По
Со
Рис. 233
ной рассматриваемых кривых (рис. 233).
В этой плоскости лежат нормаль v к
поверхности S и главная нормаль п
кривой Г (они обе перпендикулярны
обшей касательной к кривым), следова-
тельно, и центры кривизн Со и С
соответственно кривых Го и Г. Соотно-
шение (50.80) показывает, что центры
кривизн С составляют окружность, для
которой отрезок Л/о Со длины Ао являет-
ся диаметром.
Если рассмотреть только плоские
сечения поверхности, имеющие общую касательную с нормаль-
ным сечением Го, г. е. образованные плоскостями, проходя-
щими через эту касательную, то на рис. 233 прямая Мо Со
является следом нормального сечения, прямая MQC — следом
секущей плоскости, а 0 — углом между этими плоскостями.
Формула (50.80) показывает, что центр кривизны С любого
плоского сечения является основанием перпендикуляра, опущен-
ного на секущую плоскость из центра кривизны Со нормаль-
ного сечения, имеющего ту же касательную, что и рассматри-
ваемое плоское сечение.
При вращении секущей плоскости от совпадения ее с
нормальным сечением до совпадения с касательной плоскостью
(это соответствует изменению угла 0 от 0 до |) радиус
кривизны сечения изменяется от Ао до 0, в частности когда
секущая плоскость стремится к касательной плоскости, т. е.
0-Л, радиус кривизн плоских сечений будет стремиться к нулю,
а следовательно, их кривизны — к бесконечности.
Конечно, согласно теореме 1 п. 50.14, таким же будет и
закон изменения кривизн кривых, которые имеют общую
касательную с нормальным сечением Го и для которых
указанные секущие плоскости являются соприкасающимися
плоскостями.
50.18. ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
В том случае, когда рассматривается нормальное сечение
поверхности S в данной ее точке, для его кривизны к имеет
место формула (см. (50.59)—(50.61))
. . Ldu2 + 2 М du dv + N dv 2 L du2 + 2 M du dv + N dv 2 / cn о 1 \
4- к =----------z--------=--------------------- , (5 0. б I)
ds 2 E du2 + 2 F du dv + G dv2
467
так как угол 0 между нормалью v к поверхности 5 и главной
нормалью п нормального сечения равен 0 или л, а следова-
тельно, cos 0 = +1.
Рассмотрим теперь, как изменяются кривизны нормальных
сечений в зависимости от положения нормального сечения в
неособой внутренней точке поверхности. Как известно, в
окрестности такой точки поверхность всегда можно задать
явным представлением, в котором плоскость независимых
переменных является касательной плоскостью в рассматри-
ваемой точке поверхности (см. п. 50.6). Мы и будем рассматри-
вать поверхность, заданную таким представлением.
Пусть поверхность S задана дважды непрерывно дифферен-
цируемой функцией f(x, у) к окрестности U точки (0, 0)
z=/(x, у), (х. ^)е U, (50.82)
причем координатная плоскость переменных х, у является
касательной плоскостью к поверхности 5 в ее точке /(0, 0) и,
следовательно,
/(0, 0)=/х(0, 0)=Л(0, 0)=0. (50.83)
Введем обозначения
А о), f% =7^(0,0), л =7v(0,0)
и зафиксируем какую-либо единичную нормаль v к поверхности
5 в точке (0, 0, 0), например v = (0, 0, 1).
Формула для кривизн нормальных сечений поверхности 5 в
точке (0, 0, 0) имеет вид (см. (50.81), (50.65) и (50.83))
±k =f^dx2 + 2f^dy±f^dyj _ (5() 84)
Касательная к. нормальному сечению лежит в плоскости
переменных х, у, поэтому
dx dy
— = coscp, — = smcp,
ds ds
где (см. (16.19) и (16.22)) ср — угол между касательной к
нормальному сечению и осью Ох. Поэтому формула (50.84) для
нормальных сечений поверхности 5* имеет вид
±к = fxx cos2 ср + 2f^y cos ср sin ср +fyy sin2 ср.
Для простоты записи отнесем здесь знак минус к кривизне к,
т. е. будем считать кривизну нормального сечения положитель-
ной, если направления нормали к поверхности S и главной
нормали нормального сечения совпадают, и отрицательной,
если они имеют противоположное направление. При этом
соглашении имеем
468
k =fxx cos2 <p + 2fxy cos ф sin ф 4-fyy sin2 ф. (50.85)
Повернем теперь координатные оси Ох и Оу в их
координатной плоскости так, чтобы член с произведением
косинуса и синуса в формуле (50.85) обратился в нуль. Это
всегда можно сделать согласно общей теории приведения
квадратичных форм к каноническому виду. Впрочем, в данном
случае в этом легко убедиться непосредственно.
В самом деле, координаты точки х, выражаются через ее
координаты х *, у * в системе координат, полученной поворо-
том координатных осей на угол ф, по формулам
х = х * cos ф—у *sin ф,
у = х * sin ф + у *cos ф.
Подберем угол ф так, чтобы для функции
/* (х *, у *) =f/(x * cos ф—у *sin ф, х * sin ф+>’ * cos ф)
имело место равенство
0) = 0. (50.86)
Так как ./х*==.Асо5ф+/т81пф, то
/** у* = —fxx cos ф sin ф +/xv (cos2 ф — sin2 ф) sin ф cos ф =
= | [(A.v - Ax) sin 2ф -4- 2fxy cos 2ф] ,
следовательно, для того чтобы выполнялось условие (50.86),
следует выбрать угол ф так, чтобы
ctg2^=7-^.
2.7 ЛУ
После поворота на этот угол ф формула (50.85) принимает
вид
к = кх cos2 ф + /с2 sin2 ф. (50.87)
Здесь кх =/**х*(05 0), 0), а ф — угол между касатель-
ной к нормальному сечению и новой координатной осью Ох *.
Для простоты новые координаты будем обозначать по-прежне-
му через х и у без звездочек.
Из формулы (50.87) следует, что kt является кривизной
нормального сечения, произведенной нормальной плоскостью,
проходящей через ось Ох, а к2— кривизной нормального
сечения, произведенного нормальной плоскостью, проходящей
через ось Оу.
Из формулы (50.87) следует также, что кривизны кх и к2
являются экстремальными значениями нормальных кривизн.
469
Действительно, если кг=к2. то из формулы (50.87) получим, что
для всех углов ср выполняется равенство к = кг=к2, т. е. что
кривизна не зависит от угла ср.
Если же кх^к2 и, например, кг>к2, то, записав формулу
(50.87) в виде
А = (Ад — к2) cos2 (p + A2(cos2 ср + sin2 <р) = (/сг — к2) cos2 <р + к2.
получим отсюда, что к^к2 и А =(Ад — Ад) cos2 ср + А2^(Ад —Ад) +
+ A2 = A'i, т. е. что к2 ^к^кг.
Определение 26. Экстремальные значения кх и к2 кривизн
нормальных сечений в данной точке поверхности называются
главными кривизнами, соответствующие им нормальные сече-
ния главными нормальными сечениями, а их касательные -
главными направлениями.
Кривая на поверхности, которая в каждой своей точке имеет
главное направление, называется линией кривизны.
Полученный выше результат можно в терминах главных
направлений сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 3. Кривизна к любого нормального сечения во
всякой внутренней неособой точке дважды непрерывно дифферен-
цируемой поверхности выражается через кривизны kr и к2 двух
взаимно перпендикулярных главных нормальных сечений по
формуле
k = kx cos2 (р + Ад sin2 ср,
где (р — угол, образованный плоскостью нормального сечения с
плоскостью главного нормального сечения с кривизной Ад.
Формула (50.87) называется формулой Эйлера.
В случае Ад #Ад для любой кривизны А, не равной ни одной
из главных кривизн, существует четыре значения угла <р, для
которых выполняется соотношение (50.87): <р, <р+*, (р + л и
з
(р+уЛ. Углы, отличающиеся друг от друга на л, определяют
одно и то же нормальное сечение, поэтому для каждой
указанной кривизны А существует точно два различных нор-
мальных сечения, имеющих данную кривизну.
Если же А = Ад или А = А2. то из формулы (50.87) следует, что
существует только одно нормальное сечение, имеющее своей
кривизной данную главную кривизну.
Отметим, в частности, что при k{^k2 значение к = 0
(которое было исключено из рассмотрения при доказательстве
теоремы Мепье) может либо совсем отсутствовать в данной
точке поверхности, когда главные кривизны одного знака, либо
получаться при одном значении ср, когда одна из главных
кривизн равна нулю, либо при двух, когда главные кривизны
470
имеют разные знаки. Направления, которым соответствуют
нормальные сечения нулевой кривизны, называются асимптоти-
ческими направлениями на поверхности. В каждой точке поверх-
ности, в которой kx^k2. в силу сказанного выше, имеется не
более двух асимптотических направлений. Кривая на поверх-
ности, которая в каждой своей точке имеет асимптотическое
направление, называется асимптотической линией.
Экстремальное свойство главных кривизн, очевидно, не
зависит от выбора представления поверхности: оно опреде-
ляется свойствами кривизн кривых, лежащих на поверхности, и,
таким образом, главные кривизны являются характеристиками
самой поверхности. Замечательным фактом является то обстоя-
тельство, доказанное выше, что главные направления, т. е.
направления, отвечающие экстремальным значениям кривизн
нормальных сечений, ортогональны.
Подведем некоторые итоги. Из полученных результатов
следует, что изучение кривизн кривых на поверхности в данной
ее точке сводится к кривизнам плоских сечений (теорема 1),
кривизны плоских сечений — к кривизнам нормальных сечений
(теорема 2), а кривизны нормальных сечений выражаются через
главные кривизны по формуле Эйлера (теорема 3).
50.19. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ КРИВИЗН
Перепишем формулу (50.77) для определения нормальной
кривизны в виде
(L - kE) du 2+ 2 (М-kF) du dv+(N-kG) dv2 = 0.
Разделив это уравнение на du2 и введя вспомогательную
переменную t = — (значение t определяет нормальное сечение),
du
получим
(L-kE)t2 + 2(M-kF)t + (N—kG) = 0. (50.88)
Корни этого квадратного уравнения определяют положение
нормального сечения, отвечающего кривизне к. Для главных
кривизн, и только для них, такое положение единственно,
поэтому для них корни квадратного уравнения (50.86) должны
слиться, г. е. его дискриминант должен обратиться в нуль:
(М-kF)2-(L—kE)(N—kG) = 0, (50.89)
или в виде, более удобном для запоминания,
Л —М — /сЛ (50.90)
M—kF N-kG
Это и есть уравнение для определения главных кривизн.
471
Если главные кривизны кх и к2 найдены, то, подставив их
значения в уравнение (50.88), найдем значение главного направ-
ления t.
Определение 27. Произведение главных кривизн поверхности в
данной ее точке называется полной или гауссовой кривизной
поверхности
К=кгк2,
(50.91)
а их полусумма
Н=-(к^к2)
(50.92)
- средней кривизной поверхности.
Очевидно, что знание главных кривизн в точке поверхности
равносильно знанию ее полной и средней кривизн в этой точке.
Однако в некоторых вопросах, в чем мы скоро убедимся,
удобнее иметь дело с полной и средней кривизной, чем с
главными кривизнами.
Для получения формул для полной и средней кривизн
запишем уравнение (50.89) для главных кривизн в следующем
виде:
(EG-F2)k2-(EN-2FM + GL)k + LN-M2 = 0.
Отсюда по теореме Виета получим
К - к. k2 = L-~M\
(50.91) EG — F~
(50.93)
н -
(50.92)
+ Л2) —
EN-2FM+GL
2(EG — F2)
(50.94)
Главные кривизны в данной точке поверхности не зависят от
представления поверхности, поэтому не зависят от представ-
ления поверхности полная и средняя кривизны. Так как
первая квадратичная форма поверхности положительно-опреде-
ленная (она равна ds2 у и, следовательно, ее дискриминант
больше нуля: EG — F2>d, то из формулы (50.93) для полной
кривизны следует, что и сигнатура дискриминанта LN—M2
второй квадратичной формы поверхности не зависит от
представления поверхности: если полная кривизна равна нулю,
то и этот дискриминант равен нулю, а если полная кривизна
отлична от нуля, то его знак совпадает со знаком полной
кривизны.
Пример. Вычислим полную и среднюю кривизны для
гиперболического параболоида z = х2 — г2.
** К. Ф. Гаусс (1777 1855) немецкий математик.
472
Согласно формулам (50.49) и (50.65), в этом случае
Е-1+4х2, F=-4xy, (7=1+4 у2, EG-F2 = 1 + 4х2 + 4/,
L = 2, М-0, N=-2, LN—M2=—4,
поэтому
к = - 4 н = 4(>’2~*2)
(50.91) l+4.v2 + 4j/2 (50.92) 1 +4-Х2+4>’2
50.20. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПОВЕРХНОСТИ
С помощью полной кривизны поверхности оказывается
удобным классифицировать точки поверхности
Определение 28. Точки поверхности, в которых полная
кривизна положительная, называются эллиптическими точками
поверхности, в которых она отрицательная — гиперболиче-
скими, а в которых она равна нулю, но одна из главных кривизн
отлична от нуля,— параболическими.
Точки, в которых обе главные кривизны равны нулю, а
следовательно, равна нулю и полная кривизна, называются
точками уплощения поверхности.
В эллиптической точке поверхности АдА2>0. Будем
считать, что Ад>0 и А:2 > 0, так как этого всегда можно
добиться, изменив в случае необходимости направление норма-
ли к поверхности, в результате чего знаки главных кривизн
изменятся на противоположные. В этом случае все кривизны
нормальных сечений положительные и, следовательно, все
главные нормали нормальных сечений направлены в одну и ту
же сторону — в сторону нормали v к поверхности,— поэтому
все нормальные сечения загибаются в сторону вектора v (см. п.
17.3). Иначе говоря, поверхность в некоторой окрестности
рассматриваемой точки располагается по одну сторону от своей
касательной плоскости (рис. 234).
Асимптотических направлений в эллиптической точке нет:
если Ад>0 и А2>0, го из формулы Эйлера (50.87) следует, что
473
для любого нормального сечения его кривизна к = кх cos2 ф +
-\-к2 sin2 ср > 0.
Так как знак полной кривизны К совпадает со знаком
дискриминанта LN—M2 второй квадратичной формы поверх-
ности (см. п. 50.19), то в эллиптической точке
LN—M2>0. (50.95)
В гиперболической точке поверхности гауссова кривизна
отрицательна: К=кгк2<0. Следовательно, главные кривизны
имеют противоположные знаки, поэтому главные нормали
главных нормальных сечений направлены в противоположные
стороны. Это означает, что одно главное нормальное сечение
загибается от касательной плоскости в сторону нормали v к
поверхности, а другое — в противоположную.
Когда нормальное сечение непрерывно вращается от одного
главного сечения до другого, его кривизна непрерывно меняется
от отрицательного до положительного значения или наоборот
и, следовательно, для некоторого нормального сечения об-
ращается в нуль. Направление касательной этого сечения
(а именно угол ср, который она образует с одним из глав-
ных направлений) находится из формулы Эйлера: /qcos2<p +
+ к2 sin2 (р = 0. откуда
tg <Р= ±
(Так как кг и к2 имеют разные знаки, то под знаком корня
стоит положительная величина.) Итак, в случае гиперболиче-
ской точки существует два асимптотических направления:
одно —под углом
другое— под углом
и, следовательно, симметрично первому относительно главных
направлений.
Из двух пар вертикальных углов, образованных асимптотичес-
кими направлениями, в одной паре кривизны нормальных сечений
положительны, в другой—отрицательны. Поэтому нормальные
сечения в одной из указанных вертикальных углов отклоняются от
касательной плоскости к поверхности в противоположную сто-
рону по сравнению с отклонением от этой плоскоскости нор-
мальных сечений в другой паре вертикальных углов (рис. 235).
474
Из совпадения знаков полной кривизны и дискриминанта
LN— М2 следует, что в гиперболических точках поверхности
выполняется неравенство
В параболической точ-
ке К=кл к2 = 0 и одна из
главных кривизн отлична
от нуля, например кх >0. В
этом случае главное нор-
мальное сечение с кривиз-
ной Ад загибается в сто-
рону нормали v к поверх-
ности, а другое имеет в
этой точке кривизну, рав-
ную нулю, например име-
ет эту точку своей точкой
перегиба, т. е. соответст-
вует асимптотическому направлению (рис. 236). В этом случае
из формулы Эйлера A = A1cos2(p следует, что других асимпто-
тических направлений в параболической точке нет.
Из равенства нулю полной кривизны следует, что в
параболической точке поверхности (см. (50.93))
LN-M2 = 0.
(50.97)
Если в точке поверхности к} = к2 и, следовательно, кривизны
всех нормальных сечений равны между собой, то такая точка
поверхности называется точкой закругления или омбилической
точкой', ее частным случаем является точка уплощения, т. е.
точка, в которой А^Ад^О. В омбилической точке все
направления главные. Это означает, что уравнение (50.88) при
k = kx=k2 должно удовлетворяться при любом t, что возможно
лишь в случае, когда все его коэффициенты равны нулю:
L-kE=M-kF=N-kG = 0.
Отсюда для точек уплощения, т. е. когда А = 0, получаем
l=m=n=o,
а для точек закругления, не являющихся точками уплощения,
условие
Т_Л/_ЛД
E~~F~G ’
каждое из этих отношений равно кривизне А.
В заключение выясним, как характеризуются различные
виды точек на поверхности, если в окрестности этих точек
выбрать явные представления поверхности, при которых плос-
475
кость независимых переменных х, у параллельна касательной
плоскости к поверхности в рассматриваемой точке.
Пусть z =/(х, у) — дважды непрерывно дифференцируемая в
окрестности U точки (х0, у0) функция zQ=f(x0, yQ) и в точке
(х0, Уо> zo) касательная плоскость к графику функции f парал-
лельна плоскости переменных х, у. Тогда
А Ао, У о) =fy Ao, Jo) = °- (50.98)
Введем обозначения
/ хх = Ах Ao, Jo), , =ГА, Ao, J0), fyy =f fyy Ao, Jo).
Согласно формулам (50.65), условие (50.95) эллиптичности
точки Ao, Jo, -о) графика функции f имеет вид
LN—M2 =fQxxf%-fiy > 0- (50.99)
Условия (50.98) и (50.99) являются достаточными условиями
строгого экстремума функции f в точке (х0, j0). Таким образом,
если точка (х0, у0, -о) графика функции f является эллиптиче-
ской, то функция f имеет в точке (х0, у0) строгий экстремум и,
следовательно, в некоторой окрестности точки (х0, j0, z0)
график функции f (поверхность) расположена либо над каса-
тельной плоскостью, либо под ней, исключая, конечно, саму
точку (х0, yG. zoj, которая лежит на касательной плоскости.
Условие (50.96) гиперболичности точки (х0, yG, z0) имеет вид
(50.100)
Выполнение соотношений (50.98) и (50.100) является доста-
точным условием того, чтобы в точке (х0, j^0) функция f не
имела экстремума. Поэтому в любой окрестности гиперболиче-
ской точки имеются точки по обе стороны от касательной
плоскости.
Таким образом, мы еще раз подтвердили некоторые
результаты предыдущего анализа структуры поверхности вбли-
зи эллиптических и гиперболических точек.
Наконец, условие параболичности имеет вид
fO /о -f°2 = 0
J XX J yy J xy v
и в этом случае ничего сказать об экстремуме функции f в точке
(х0, j’o) нельзя.
Мы убедились, что с помощью первой и второй квадратич-
ных форм можно достаточно детально изучить структуру
поверхности в окрестности ее неособой внутренней точки.
Оказывается, что первая и вторая квадратичные формы
476
поверхности в известном смысле полностью описывают по-
верхность подобно тому, как кривизна и кручение простран-
ственной кривой определяют ее с точностью до положения в
пространстве. Например, можно доказать, что если две простые
поверхности имеют такие представления, параметры которых
меняются в одной и той же области, что в точках поверхностей,
соответствующих одним и тем же значениям параметров, у
поверхностей совпадают их первая и вторая квадратичные
формы (т. е. совпадают их коэффициенты), то эти поверхности
конгруэнтны (см.: Погорелов Л. В. Лекции по дифференциальной
геометрии.— Харьков: Изд-во ХГУ, 1961).
§ 51. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В этом и следующих параграфах будут рассматриваться
только поверхности, задаваемые параметрическими представле-
ниями, и притом только гладкие (см. определение 16 в § 50) и
кусочно-гладкие (см. определение 23 в § 50).
51.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пусть задана гладкая поверхность 5, причем
jr=r(u, v) = {x = x(u, v), у—у (и, г), z —z(w, г); (w, v)e D} (51.1)
— ее представление, точнее, непрерывно дифференцируемое
представление без особых точек, D — квадрируемая плоская
область и, как обычно, Е, G и F—коэффициенты первой
квадратичной формы поверхности 5. Пусть, далее, на мно-
жестве точек г (и. v) поверхности S задана функция Ф, т. е.
функция Ф (г (и, г)) = Ф (х (и. г), у (и. v), z {и. г)). Иногда функцию Ф
будем обозначать также через Ф(х, у, z) (ср. п. 47.1).
Определение 1. Интеграл JJ Ф (х, у, z) dS определяется равен-
ством (см. (50.48))
Иф(х, у. z) dS= JJ Ф (х (и, г), у (w, г), z (и. г)) yjEG — F2 du dv. (51.2)
S D
Он называется поверхностным интегралом первого рода.
Таким образом, в поверхностном интеграле JJ Ф (х, у, z) dS
$
под dS понимается элемент площади (50.48).
При определенных ограничениях, налагаемых на функцию
Ф, интеграл (51.2) существует. Так, например, он существует
для всякой непрерывной на гладкой поверхности S={r(u. г),
(и, г) е D} функции Ф, т. е. для непрерывной на замкнутой
477
квадрируемой области D функции Ф(г(и, г)). В самом деле, в
этом случае, согласно определению 1, интеграл
Дф(х, у, z)dS
S
сводится к интегралу от непрерывной на D функции, который,
как известно (см. п. 44.4), существует. Более общие условия
существования поверхностного интеграла первого рода могут
быть получены из соответствующих условий существования
кратных интегралов (см. п. 44.4), примененных к интегралу,
стоящему в правой части равенства (51.2).
Пусть для простоты функция Ф непрерывна на глад-
кой поверхности S и пусть р = р(^19 г1) = (ср(w15 rj, rj,
x(wi, ri))—другое представление этой поверхности^ которое
задано на замыкании D , квадрируемой области D г и для
которого преобразование (50.14) параметров и, v в vt
взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо на D и
имеет на D не равный нулю якобиан. Если Е15 /д и Gr суть
коэффициенты первой квадратичной формы, соответствующие
этому представлению, то
JJ Ф (х (w, г), у (и, г), z (и, г)) у/EG — F2 du dv =
D
= П Ф(ф(Ы1> Г1)’ «1), Z(«l, dul dvi- (51-3)
Чтобы в этом убедиться, достаточно в интеграле, стоящем в
правой части этого равенства, выполнить замену переменных
(50.26) и воспользоваться формулой (50.43). Таким образом,
поверхностный интеграл первого рода не зависит от выбора
представления поверхности. Поверхностные интегралы первого
рода встречаются в различных вопросах математики и ее
приложений. Например, площадь поверхности (см. п. 50.7)
выражается с помощью поверхностного интеграла первого
рода: если функция Ф (х, у, z) тождественно равна единице на
поверхности S, то формула (51.2) превращается в формулу для
площади |iS поверхности S (см. (50.47)):
pS = JJ EG — F2 du dv = JJ dS.
D S
Если Ф (x, y, z) — плотность некоторой массы, распределен-
ной по поверхности S, то интеграл (51.2) дает величину массы
всей поверхности.
Пусть теперь 7, j и А, как обычно, единичные координатные
векторы,
478
i j к
(51.4)
(51.5)
причем, согласно нашим предположениям, нормаль v непрерыв-
но продолжаема на границу области D.
Поверхность S, на которой выбрана единичная нормаль v,
обозначим через S + , а ту же поверхность, на которой выбрана
нормаль —V,—через 5 “ (очевидно, v и — v суть две ориентации
поверхности S). Подчеркнем, что S + и S “ определяются самой
поверхностью «с точностью до ориентации» и зависят от
выбора представления поверхности.
Через ос, Р, у обозначим углы, образованные единичной
нормалью v с координатными осями Ох, Оу, Oz, т. е.
v = (cos ос, cos р, cos у). (51.6)
Пусть на поверхности 5 задана векторная функция
я=я(г(и, г)) = (Л Q, R),
Р = Р(х(и, v), у (и, v), z(u. v)), Q = Q(x(u, г), у (и. v), z(u. t?)), (51.7)
R = R (.v (и, г), у (и, v), z (и, v)).
Определение 2. Поверхностным интегралом ПadS второго
рода по ориентированной поверхности S называется интеграл
JJ avdS, т. е.
S
П adSd= Jf avdS. (51.8)
S+ 5
Обозначение £[ adS называется векторной записью интеграла
второго рода. Его координатной записью называется выражение
JJ Р dy dz + Qdz dx + R dx dy.
S +
Таким образом,
Jj adS= JJ P dy dz + Qdz dx + Rdx dy, (51.9)
5+ S +
479
так как, по определению, левая и правая части этого равенства
являются разными записями одной и той же величины.
Согласно определению (51.8),
JJ Р dy dz + Q dz dx +Rdx dy = JJ adS = JJ avdS =
S+ (51.9) (51.8) (51-6)
(51-7)
= JJ(Pcos oc + 2 cos P + Я cos y) (51.10)
s
В частности, беря поочередно две из функций Р. Q и R
тождественно равными нулю, будем иметь
JJ Р dy dz = J J Р cos ос dS'
s+ s
f j Q dz dx = Jj Q cos p dS,
s+ s
(51.11)
Jf R dx dy = J J R cos у dS.
s+ s
Рис. 237
Интуитивный смысл этих фор-
мул состоит в том, что элемент
площади (см. (50.48)) данной по-
верхности, умноженный на коси-
нус угла, который он «составляет»
с некоторой координатной плос-
костью, «приближенно» равен эле-
менту площади его проекции на
рассмаз риваемую координатную
плоскость, как если бы речь шла о
площади плоской фигуры и ее
проекции. На рис. 237 изображен
случай, когда указанное проекти-
рование производится на плос-
кость переменных х и у. В этом случае dx dy я dS cos у, где
dS — элемент площади поверхности S, a dxdy — элемент пло-
щади проекции этой поверхности на плоскость переменных х, у,
у — угол между dS и указанной плоскостью, очевидно равный
углу между нормалью v к поверхности и единичным оргом к
оси Oz.
Ориентируемая поверхность имеет две ориентации v и — v.
Поверхность с ориентацией v обозначена S+, поверхность с
ориентацией — v обозначим, как обычно, S . Имеем
jj adS ffa( — v)dS= -ff avdS = - ff adS,
S S 's (51.8)
480
таким образом, при изменении ориентации поверхности интег-
рал второго рода меняет только знак.
Если векторная функция а непрерывна на поверхности S, то
интеграл JJ adS существует, так как, в силу сказанного выше,
S4
существует интеграл, стоящий в правой части равенства (51.8).
51.2. ФОРМУЛА ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОГО
ИНТЕГРАЛА ВТОРОГО РОДА В ВИДЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА
Вспомнив, что (см. (50.46)) \ru х rv\=^EG — F2 . где Е, G и
F коэффициенты первой квадратичной формы поверхности Е,
получим
Ги X 1
I ги X rv I JeG-F2
Jeg-f2 \ л
а так как v = jcos a+jcos P + Acos у, то. сравнивая это равенство
с предыдущим, будем иметь
cos ос — v i=
cos$ = vj=--^=~r,
(51 12)
Уг
cos у = v к= .
Jeg-f2
Теперь легко получить формулу, выражающую поверхностный
интеграл второго рода через двойной интеграл:
П adS = ff (Pcos ot + 2 cos P + EcosyjJS =
i + (519) S (51-2)
P(x(z7, r),
у (и, v), z (u, I?))
(51.12)
+
Vfg-f2
481
zv xv
y/EG^T2
+ Q (* (*A v), У (и, v), z (u, v))
+ R (x (u, v), у (и, v), z (u, t>))
yfEG^—~F^ du dv =
+ Q (x (u, v), у (и, v), z (u, v))
+
+ R (.V (m, v), у (u, v), z (u, v))
du dv.
Таким образом,
fj P dy dz + Q dz dx + R dx dv = ff avdS=
'(51.% +
(51.9)
P Q R
du dv = JJ (a, rw, ri;) du dv.
D
(51.13)
Распространение этой формулы на случай гладких поверх-
ностей в широком смысле этого термина (см. п. 50.5)
потребовало бы предварительного изучения вопроса о замене
переменного в кратном несобственном интеграле, который
может получиться за счет якобиана преобразования одних
параметров в другие. Поэтому мы не будем останавливаться на
этом вопросе.
Еслг£ поверхность S имеет явное представление z=f\x, у),
(х, j^) g D, то
•^и У и I 0 1
хг yv 0 1
482
л(здесь х = и, y — v) и поэтому для интеграла по верхней стороне
S' поверхности S (см. пример в и. 50.10) в случае Р~0 и Q = 0
на S' будем иметь
\\Rdxdy = £[ Л cos ydS = J J Л(х, у, f(x, у)) dxdy, (51.14)
s1 (51J1)s (51-13)/)
а для интеграла по нижней стороне S поверхности S получаем
JJ Rdx dy = — jj Р(х, у,/(х, у)) dxdy. (51.15)
Вместо JJ R dx dy иногда пишут просто JJ R dx dy, а вместо
s'+ *
JJ R dx dy — соответственно JJ R dy dx. т. е. в случае нижней
s V s
стороны S поверхности S дифференциалы dx и dy пишут в
обратном порядке.
Если функция R непрерывна на поверхности S, то формула
(51.14) справедлива и тогда, когда явно заданная поверхность S
гладкая в широком смысле (см. п. 50.4), т. е. тогда, когда
функция f, будучи непрерывной на замыкании D области D,
предполагается непрерывно дифференцируемой лишь в самой
области D; однако наряду с этим предполагается, что у
поверхности S имеется представление г (и, v), (и, v)eD 19 непре-
рывно дифференцируемое вплоть до границы квадрируемой
области Dx, на замыкании которой оно задано, и, следова-
тельно, для этого представления справедлива формула (51.13).
Действительно, сделаем в интеграле jj R (х, у, f \x, у)) dx dy
D
замену переменных
х = х(и, г), у=у(и, г), (и, v)eD.
Это возможно, так как функция R (х, у, /‘(х, у)) непрерывна на
замыкании D квадрируемой области D, а якобиан
c(u, V)
непрерывен вплоть до границы области Di (по предположению,
частные производные ~ непрерывны вплоть до
си си CV CV
границы области Dj. Обратим внимание на то, что здесь не
возникают несобственные интегралы, как в общем случае, при
переходе от одних параметров поверхности к другим в
поверхностных интегралах по гладким в широком смысле
поверхностям.
483
Итак, имеем
П R (х, у, f(x, >’)) dx dy =
D
= П 7? (x (u, v), у (и, r), f(x (и, v), у (и. v)))
а (*>>’)
д(и, v)
du dv =
(51.13)
= ff P cos у dS.
s
Из доказанного следует, что формула (51.14) справед-
лива, например, для поверхностных интегралов от непре-
рывных функций по полусфере, заданной явным представлением
z = x/l — х2—у2, х2+у2^1 (оно не является непрерывно диф-
ференцируемым вплоть до границы х2+у2=\ круга х2+у2^1,
на котором оно задано).
51.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
КАК ПРЕДЕЛЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СУММ
Поверхностные интегралы могут быть получены также и как
пределы соответствующих интегральных^умм. Пусть 5 — глад-
кая поверхность и r=r(w, г), (и, v)eD, -- ее представление,
D — квадрируемая область. Очевидно, что у замыкания/)
области D существуют сколь угодно мелкие разбиения, элемен-
тами которых являются замыкания DL квадрируемых областей
Возьмем какое-либо из указанных разбиений
замкнутой области D. Обозначим через S, z=l, ..., _zT,
поверхность, задаваемую представлением r=r\u, v), (и. и) с/)..
Очевидно, что все St также гладкие поверхности (система
называется разбиением поверхности S). Пусть функ-
ция Ф(г(и, г)) = Ф(х(и, г), у (и, v\ z(u, v)) непрерывна на D и
(^, vJeD Ф—Ф(г(нг, rz)). Обозначим через cosjv, А) косинус
угла между нормалью v и ортом к в точке г(щ, rf) данной
поверхности и положим
с>Р)= £ с>^2)= У Ф,-cos;(v,A*) ц >S',; i=l i = 1 (51.16)
тогда
lim с— JJФ(х, у, z)dS,
|т|-0 5
lim су(2} — JJ Ф (х, у, z) dx dy\
|тН0 s
(51.17)
(51.18)
484
где, как всегда, | т | — мелкость разбиения т. Действительно.
||Ф(х, у, z)6/S = JJO(r(u, г)) у/FG — F2 du dv =
5 D
= X v)) \/ EG ~ E2 du dv;
i~l D.
так как pSr- = JJ -J EG — F2 du dv. to '
D.
I
oV)== X Иx/^~dudv =
i = 1 D.
i
= £ JJO(r(i/f, t'2)) у/EG — F2 du dv.
i=lD.
I
Обозначив теперь через со (8; Ф) модуль непрерывности
функции Ф на замкнутой области D, будем иметь
JJ®(x, к z}dS— <
s
Z Л^Ф(Г(^’ г)) —Ф(г(ц-, ^)) I у/EG — F2 dudv
i = 1 D.
i
<со(|т|, Ф) £ ц5; = со(|т|; Ф)ц5.
i= 1
Перейдя в этом неравенстве к пределу при | т]—>0 и заметив, что
Нтсо(|т|; Ф) = 0, получим формулу (51.17).
|тН0
Аналогично доказывается формула (5.18) (произведение
Фсо8(у,Л£) непрерывно, а значит, и равномерно непрерывно на
D). Подобные утверждения справедливы и для интегралов
второго рода других типов (51.11), следовательно, и для
интеграла (51.8).
Упражнение 1. Доказать формулу (51.18).
51.4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ПО КУСОЧНО-ГЛАДКИМ ПОВЕРХНОСТЯМ
Определим поверхностные интегралы по кусочно-гладким
поверхностям.
Определение 3. Пусть 5={5j-Zi— кусочно-гладкая поверх-
ность (см. определение 23 в п. 50.11) и Ф(х, у, z)— функция,
485
определенная на множестве точек поверхности S. Тогда, по
определению,
к
Определение 4. Если кусочно-гладкая поверхность S={S-}-=i
ориентируема и S+ = {S z+} •=\ — одна из соответствующих
ей ориентированных поверхностей (обозначения см. в п. 50.13)
с помощью нормалей vz на Sb z=l, 2, /с, то, по определе-
нию,
к
П adS=Y ffav^S. (51.19)
s+ /~1S.+
Конечно, это определение содержательно только в том
случае, когда интегралы, стоящие в правых частях равенств,
существуют. Для этого, прежде всего, представления поверх-
ностей St должны быть заданы на квадрируемых областях.
Аналогично в рассматриваемом случае определяются и
интегралы по поверхности S’- = {S7} }= i-
Мы остановились только на тех свойствах поверхностных
интегралов, которые связаны со спецификой их определения и с
поверхностью, по которой производится интегрирование. Есте-
ственно, что, поскольку они сводятся к обычным кратным
интегралам, на них переносятся и различные их свойства
(линейность, интегральная теорема о среднем и т. п.).
51.5. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ
ВТОРОГО РОДА
ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА
Подобно тому, как в п. 47.5 было обобщено понятие
криволинейного интеграла второго рода, может быть обобщено
и понятие поверхностного интеграла второго рода на более
широкий класс поверхностей, по которым производится ин-
тегрирование.
Пусть S — элементарная_ поверхность, т. е. непрерывное
отображение г (и, г), (и, v)eD, замкнутой плоской области в
пространство, г (и. г)=4ср(г/, г), v\, х(^,_г)) (см. п. 50.2), и
отображение х = <р(м, г), = г), {и, r)eD, гомеоморфно на
D. Пусть D — квадрируемая область и функция Ф задана на
множестве точек поверхности 5.
Если т = {Xi} li=cQ — разбиение замкнутой области D (см. п.
44.3), Xf^—образ множества Xt на плоскости
переменных х, у при отображении
х = <у(щ г), y = \\f(u, г), (и, v)eD, (51.20)
и множества Х?'^ измеримы по Жордану, то положим
486
f
def 4
дт = д(Ф; ср; ф; (£,j, Hi), П,-,))= Е П.))|^7’'‘'•(51.21)
1=1
Будем предполагать, что элементарная поверхность S'
такова,.что для нее существует сколь угодно мелкое разбиение
T = {Xi}1i~l{ замкнутой области Z), для которого множества
измеримы по Жордану, и только такие разбиения т будем в
дальнейшем рассматривать.
Примером такой поверхности является, например, элемен-
тарная поверхность S, у которой существуют сколь угодно
мелкие разбиения т замкнутой области D, для которых границы
элементов Xf являются кусочно непрерывно дифференцируе-
мыми кривыми и тем самым имеют плоскую меру Жордана,
равную нулю. Отсюда следует, что множества Хр\ z=l, 2, ...
..., /т, измеримы по Жордану.
К числу элементарных поверхностей, удовлетворяющих
этому условию, относятся полусфера 7 = ^/1 — х2—j^2, x2+j2^l,
цилиндрическая поверхность z = ^/l — х2, — l^x^l, и
т. п.
Определение 2'. Если существует конечный предел lim дт
|тН0
сумм (51.21), то он называется поверхностным интегралом
второго рода от функции Ф по элементарной поверхности S и
обозначается £[Ф((х, у, z)dxdy.
s
Таким образом,
def
JJ Ф (х, у, z) dx dy = lim (5 т. (51.22)
S |T l-o
В этом определении не предполагается какой-либо гладкости
элементарной поверхности S, поэтому в целом к такому классу
поверхностей неприменимо ранее сформулированное определе-
ние 2 поверхностных интегралов второго рода. Правомерность
же использования в определении (51.22) термина «поверхност-
ный интеграл второго рода» оправдывается тем, что если
элементарная поверхность S гладкая, а функция Ф непрерывна
на S, ю на поверхности S можно так выбрать ориентацию, что
определения 2 и 2' будут эквивалентны. Это следует из того, что
аналогично случаю криволинейных интегралов второго рода
(см. п. 47.5) доказывается, что разность между суммами с^2)
(см. (51.16)) и су стремится к нулю при |т|—>0:
lim (&т —су <2)) = 0.
|т|->0
487
Рассмотрим примеры, на которых хорошо видны преиму-
щества расширенного понятия поверхностного интеграла вто-
рого рода.
Пусть элементарная поверхность S имеет явное пред-
ставление
z=/(.r, Д (х, y)eD, (51.23)
D —измеримая по Жордану область и функция Ф непрерывна
на S, т. е. непрерывна функция Ф(х, у, /(х, j’)), (х, y)eD. В этом
случае отображение (51.20) является тождественным, и так как
существование у всякого измеримого множества сколь угодно
мелких разбиений очевидно (например, всевозможные пересече-
ния замкнутой области D с кубами рангов /с, /г = 0, 1, 2, ...), то
применимо определение (51.22). Сумма дт имеет здесь вид
^=Еф(^, т|р П,))рЖ (£г, тЦеА')-,
i= 1
т. е. является обычной интегральной суммой Римана функции,
непрерывной на замкнутой квадрируемой области Ь. Поэтому
существует конечный предел
1нпдт = £[Ф(х, у, /*(х, v))dxdy. (51.24)
|т|-->0 D
Следовательно, в этом случае поверхностный интеграл
второго рода (51.22) равен интегралу Римана, стоящему в
правой части равенства (51.24):
JJ Ф (х, у, z) dx dy = JJ Ф (x, у, /(x, y))dxdy. (51.25)
По аналогии co случаем гладких поверхностей интеграл
(51.25) будем называть «интегралом по верхней стороне
поверхности» и обозначать £[Ф(х, у, z)dxdy, а тот же интеграл
л
S
со знаком минус, т. е. — £[Ф(х, у, /‘(х, y))dxdy, будем называть
D
«интегралом по нижней стороне поверхности» и обозначать
£[Ф(х, /, z)dxdy или ]|Ф(х. г, z)dydx. Следовательно,
V S
S
£[ф(х, у, z)dxdy = ]|ф(л, у, z) dx dy = JJ Ф (x, y, /(x, y))dxdy,
S A D
s (51.26)
Дф(х, j’, z) dy dx = Jj Ф (x, r, z)dxdy= ))<!>(.v. г, Дх, y))dxdy.
SV D
s
488
Таким образом, для поверхностного интеграла (51.22)
получены те же самые формулы (51.26), что и для поверх-
ностного интеграла в смысле определения 2 (см. (51.14) и
(51.15)). Однако на этот раз эти формулы доказаны без
предположения о какой-либо гладкости элементарной поверх-
ности, кроме ее непрерывности, тогда как раньше, в силу
самого определения 2, предполагалось, что рассматривается
поверхность непрерывно дифференцируемая.
Опишем еще один случай поверхностного интеграла (51.22),
который встретится в дальнейшем. Пусть представление r_(u, v),
(и, г) е Z), поверхности S таково, что образ множества D при
отображении (51.20) имеет меру Жордана, равную нулю, а
Ф произвольная функция, заданная на поверхности S. Тогда
JJФ(х, у, z)dxdy = 0. (51 27)
s
В са_мом деле, в этом случае для любого разбиения
замкнутой области D мера всех множеств Xf'^ на
плоскости переменных х, у равна нулю. Поэтому все суммы бт
равны нулю, а следовательно, их предел при |т|—>0, т. е.
интеграл (51.22), также равен нулю. В этом случае бывает
удобно для единообразия терминологии говорить об интеграле
по той или иной стороне поверхности, в зависимости от задачи
она может называться верхней, нижней, внутренней или
внешней. Будем по определению считать, что в рассматривае-
мом случае все термины «поверхностный интеграл по той или
иной стороне поверхности S» равносильны, и писать
£[Ф(х, у, z)dxdy = ((Ф(х, у. z)dydx = Q. (51.28)
S 5
Отметим, что если, кроме того, S является ориентируемой
кусочно-гладкой поверхностью, то отмеченная выше эквива-
лентность определений 2 и 2' поверхностных интегралов легко
проверяется здесь непосредственно. Действительно, образ на
плоскости хОу замкнутой области D при отображении (51.20)
совпадает с проекцией на эту плоскость самой поверхности S.
Поэтому поверхность является частью цилиндра, основанием
которого является указанная проекция, а образующая парал-
лельно оси Oz. Следовательно, если v = (coscx, cos [3, cosy) -ка-
кая-либо ориентация поверхности S, то нормаль v ортогональна
оси Oz. поэтому cos у = 0, откуда следует, что
JJ Ф (х, у, г) cos у dS = 0.
S
и гем самым в этом случае справедлива формула
489
£[Ф(х, у, z) dxdy = JJ Ф(x, у, z) cosydS.
s s
так как обе части этого равенства равны нулю.
Так же как и в частных случаях (51.24) и (51.27), можно и для
общего понятия интеграла второго рода (51.22) ввести понятие
интеграла по той или иной стороне поверхности. Именно, по
аналогии со случаем гладких поверхностей, интегралы
||Ф(х, у, z)dxdy и — |{Ф(х. J, z)dxdy
s s
называются интегралами по разным сторонам поверхности S.
При этом следует обратить внимание на то, что термин «та или
иная сторона поверхности» как самостоятельный термин не опре-
деляется, а определяется только в целом термин «поверхностный
интеграл второго рода по той или иной стороне поверхности».
Аналогично тому, как выше было введено обобщение
понятия поверхностного интеграла второго рода (51.22) вида
JJ Ф (х, у, z) dx dy вводятся и обобщения понятий поверх-
ностных интегралов второго рода вида JJ Ф (х, у, z)dydz и
s
[|Ф(х, у, z)dzdx, следовательно, и вида Pdydz + Qdzdxy-
s s
+ Rdxdy по заданной стороне поверхности.
§ 52. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
52.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Вместо терминов «числовая функция точки», «векторная
функция точки» употребляются и равнозначные им: «скалярное
поле», «векторное поле». Эта терминология подчеркивает, что
значения рассматриваемых функций зависят именно от точек
пространства (в которых эти функции определены), а не от их
координат, при выборе той или иной системы координат.
Используя эту терминологию, можно сказать, например, что
всякое скалярное поле и = и(М), определенное и дифференцируе-
мое в некоторой области 6, порождает векторное поле его
градиентов (см. п. 20.6 и и. 50.5): a(A/) = grad и(М).
Определение 1. Пусть в области G*) задано векторное поле
я = я(М) и существует определенная в G функция и = и(М)
такая, что я(М} = %г'гЛи(М\ Тогда функция и(М) называется
В этом параграфе для простоты рассматриваются только плоские или
трехмерные области G.
490
потенциальной функцией или потенциалом данного векторного
поля*\
Вводя символ набла, V = i^-+j-^-+A’4- (см. п. 20.7), можно
ОХ су 07
написать
grad и =
где в правой части равенства стоит «произведение» символи-
ческого вектора набла на числовую функцию и.
Пусть, например, Е(М)— напряженность электрического
поля, созданного единичным отрицательным зарядом, который
помещен в начале координат. Тогда в точке М(х, у, z) вектор
Е(М) имеет, как это известно из физики, длину где
r==^x2-yy2-yz2^ и направлен от точки М к началу координат.
Отсюда получаем, что
Электрический потенциал рассматриваемого поля, т. е. функ-
ция и(М) = -, является и потенциалом в указанном выше
смысле, поскольку grad и (М) = Е[М).
Рассмотрим снова векторное поле а = а(7И), определенное в
некоторой области G. Зафиксируем систему координат, тогда
векторную функцию а(7И) можно рассматривать как функцию
трех переменных — координат х, у, z точки М: a = a(x, у, z).
Пусть М0 = (х0, у0, z0)eG и задан единичный вектор е=
= (cosос, cosP, cosy). Проведем через точку Мо прямую в
направлении е:
X = X0 + ZCOSOU J’=y0 + /cosp, z = z0-Hcosy,
— ОО < t< + оо.
Определение 2. Производная векторной функции
a(x0-Hcosoc, ^0-Hcosp, z0 + rcosy)
по t при t = Q (если она существует) называется производной
векторной функции а(М) по направлению е в точке MQ и
са
обозначается через
aix^-ytcas^, j^0 + /cosp, z0 + /cosy)|z = 0.
ос dt
Иногда в приложениях потенциал и определяется формулой a= — grad и.
491
По правилу дифференцирования сложной функции, опуская
для простоты обозначения аргумента, получаем
да да о , да 1Х
—=—cosa + — cos р + — cosy. (52.1)
де сх ду dz
Полагая eV = cos а —+cos [3 —h cos у — («скалярное
дх ду dz
ние» вектора е и символического вектора V),
формулу (52.1) в виде
произведе-
перепишем
Определение 3. Если b=(bx, by, bz) —произвольный (не
обязательно единичный) фиксированный вектор, то вектор
(bV)a=bJ?-+b
7 дх у су cz
называется градиентом вектора я по вектору Ь.
Если b=bb^ где |А0| = 1, то «формальными преобразова-
ниями» получим
(6V) a=(Z>Z>0V) a=Z>(h0V) а=ьУ.
Переходя к координатной записи, легко непосредственно убе-
диться в справедливости полученной формулы и показать, что с
символом V можно обращаться при вычислениях, как с
настоящим вектором, не забывая, конечно, при этом, что, кроме
этого, V означает также и определенную операцию дифферен-
цирования. Мы не будем здесь останавливаться на обосновании
законности таких «формальных преобразований с символом V».
Любая формула, полученная подобным образом, может быть,
конечно, получена и без применения символа V обычными
обоснованными рассуждениями в координатах. Следует иметь в
виду, однако, что применение символа V часто весьма
существенно сокращает выкладки.
Вернемся снова к исходному векторному полю а = (ах, ау, az)
в области G.
Определение 4. Пусть поле a = (ax, ау, az) дифференцируемо в
некоторой точке. Число называется дивергенцией
дх ду dz
поля в этой точке и обозначается череу diva, т. е.
дах да да. /си оч
div а = —- + --2+--. (52.2)
дх ду dz
492
Символически div а может быть записана как скалярное
произведение символа V и вектора а:
diva = Va.
Геометрический и физический смысл diva будет выяснен в
дальнейшем.
Определение 5. Вектор с координатами
caz дау дах daz дау дах
су dz 9 dz дх ’ дх ду
(52.3)
называется вихрем, или ротором, векторного поля а = а(М) и
обозначается rot а.
С помощью символа V ротор можно записать в виде
следующего векторного произведения:
' J к
rot а = V х а =
д д д
(52.4)
Термин «ротор» происходит от слова «ротация» (вращение).
Это объясняется следующими обстоятельствами. Рассмотрим
движение твердого тела. Зафиксируем в нем точку и обозначим
ее MQ. Из механики известно, что скорость т=т(7И) любой
точки М этого тела выражается по формуле
У= к0-Ыхг,
где г0— скорость точки А70, со— мгновенная угловая скорость
вращения всего твердого тела относительно точки Л?о, а
г -радиус-вектор с началом в точке Мо и концом в точке М.
Векторы т0 и со не зависят от точки тела М (при фиксированной
точке Л/о), а радиус является, очевидно, функцией точки тела:
г=г(М\
Зафиксируем в пространстве систему координат х, j, z и
пусть f=(px, vy, vz), со = (<ох, ыу, <oz), г=(х, у, z), F0 = (v0x, vOy, vOz);
тогда
Vx = vox + Myz-azy, ry = rOv + cozx-coxz, vz = vOz + axy-coyx.
Отсюда
Cl\ (Tx
O’ dz
= (OZ, ^=— C0x
dx z dz
Выясним теперь, как меняется в рассматриваемом твердом
теле ротор скоростей его точек. Для этого воспользуемся
формулами (52.3):
493
Таким образом,
rot f=2co.
Иначе говоря, с точностью до числового множителя ротор
скоростей г точек тела совпадает с мгновенной угловой
скоростью вращения твердого тела. Отсюда и происходит
название «ротор».
Приведем пример формальных преобразований с символом
V. Если за символом V следует несколько членов, на один из
которых он действует как оператор дифференцирования, а на
другие — нет, то для ясности будем обозначать этот член
вертикальной стрелкой. Поясним это на примере.
Пусть / — скалярное, а -векторное поле; тогда
rot/a = V х/а = V x/a+V х/ а
=/(V х а] + (V/ х a) =/rot а+grad f ха.
Введем некоторые определения, связанные с векторным
полем a = (ax, ay, az) в области G.
Определение 6. Пусть Г — замкнутая кусочно-гладкая кривая
в области G. Интеграл
J axdx + aydy + azdz
г
называется циркуляцией векторного поля а = (ах, ау, az) по кривой
Г и обозначается J adr, где dr=(dx, dy, dz\
г
Если Г — ориентированная гладкая кривая, f= (cos ос, cos [3,
cosy) — ее единичный касательный вектор, а — переменная
длина дуги, а пр a — величина проекции вектора а на каса-
тельную, то г
J adr= J пр ads.
г г f
Действительно.
J adr= f axdx4- aydy + azdz = J (ax cos oc4- ay cos fS 4- az cos у) ds =
г г г
Определение 7. Поле, циркуляция которого по любой замк-
нутой кусочно-гладкой кривой, лежащей в области G, равна
нулю, называется потенциальным.
494
Напомним, что в п. 47.8 было показано (см. лемму 2), что
условие равенства нулю интеграла J Pdx+Qdy по любому
г
замкнутому контуру TczG равносильно тому, что J Pdx + Qdy
не зависит от пути интегрирования между точками А и В. При
доказательстве этого утверждения нигде не использовался тот
факт, что кривая Г лежит в плоской области. Поэтому
доказательство леммы 2, приведенное в н. 47.8, сохраняет силу
и для криволинейных интегралов по пространственным кривым.
Таким образом, циркуляция J adr=\ axdx + aydy + azdz равна нулю
г г
по любому замкнутому кусочно-гладко му контуру Г cz G тогда и
только тогда, когда интеграл J axdx + aydy + azdz не зависит от
АВ
пути интегрирования, т. е. от кривой с началом в точке А.
концом в точке В и целиком лежащей в области G.
Рассмотрим в качестве примера плоское векторное поле, т. е.
поле я = (Л Q), заданное на плоской области G:P = P(x, г),
Q = Q(x, J*)- Вихрь этого поля имеет вид
• j k
с д д . [ дО дР\
rota= — — — =k\ — )•
дх cv cz \дх dy J
Р Q О
Теорема 4 п. 47.8 во вновь введенных терминах может быть
перефразирована следующим образом. Для односвязной плоской
области G потенциальность поля, существование потенциальной
функции и условие, что вихрь поля во всех точках равен нулю,
эквивалентны.
Определение 8. Пусть S некоторая ориентированная по-
верхность, лежащая в области G, v — единичный вектор нормали
к поверхности, задающей ее ориентацию, и S + —поверхность S с
указанной ориентацией. Интеграл
Иavds
S'
называется потоком векторного поля через поверхность S и
обозначается
И adS,
S
495
где
dS=vdS ( или П adS +, dS + =vdS).
s
Очевидно, что #v = npva, поэтому JJ adS=^ nipvadS.
s s
Обычно в потоке JJ avdS опускают индекс ориентации и
s +
пишут просто JJ a vdS, считая, что в качестве ориентации взята
s
нормаль v, стоящая в подынтегральном выражении.
В дальнейших пунктах этого параграфа будут рассмотрены
некоторые свойства векторных полей, в частности, установлены
в трехмерном случае необходимые и достаточные условия
потенциальности поля. Предварительно докажем теоремы о
кратных и поверхностных интегралах, тесно связанные с
понятиями, введенными в этом пункте.
Упражнение 1. Доказать следующие формулы:
a) rot grad i/ = 0;
б) div rota = 0;
в) div grad u — &u,
c2u e2u e2u
где A;/ = —
CX GV GZ~
r) rot rota = grad diva—Ля,
где Да = (А<7Л., Аб/у> Ащ), a = (c/v, uv, uz);
1) di v (/я) = f div a+grad /a;
c) div ax b^brot a—a rot b.
52.2. ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ПОНЯТИЙ ГРАДИЕНТА, ДИВЕРГЕНЦИИ
И ВИХРЯ
Прежде всего заметим, что при ортогональном преобразо-
вании декартовых координат символический вектор V преобра-
зуется по правилам преобразования обычных векторов.
Действительно, пусть задано ортогональное преобразование
координат
JV — и । । .Y 4~ (112 J ’ 4~ и 1 з Z,
У = a 21х + а22у+ Cl 23z,
z' - а31 .V + <732j + tf33z. (52.5)
Для таких преобразований матрица обратного преобразования
совпадает с транспонированной матрицей, поэтому
A' = ^ii-V+6/2iy-h6Z31Z,
У = а{2хЧа22у' + а32у',
z - al3x' + a23 у' + г/33У. (52.6)
При этом, как хорошо известно, по формулам (52.5) и (52.6)
преобразуются как координаты точек, так и координаты
векторов.
496
Используя формулы (52.5) и правило дифференцирования
сложной функции, получим
с С сх' с Cv с cz' С д , д
Л\- Сх‘ СХ Су СХ CZ Сх J 1 Сх' 21 ГУ CZ
( с ( х ((у с с — с С (
; —+Л ~+—~=ai2-^+a^2-^-^a32--f’ (52.7)
(V сх Су су ст cz су СХ Су CZ
С С Сх' С Cv с Cz С д t с
~=— —+— —Ь — хг = а13 ^~ла22 ДТ/ + 6/зз ~zz-
CZ СХ ( Z С г CZ CZ CZ СХ Су CZ
Обратные формулы, выражающие производные по переменным
х', у', z’ через производные по х, у, z, имеют вид
y=aily+ai2x+aiiL
-С~=а21-С + (Ь2-С+^2зС' (52.8)
оу сх “ сг с:
С С д с
_=й31~+й32-+4/33-.
Формулы (52.5) — (52.8) показывают, что координаты
обычных векторов и «координаты» символического вектора V
при ортогональных преобразованиях декартовых координат
преобразуются по одному и тому же правилу. В частности, из
(52.8) следует, что градиент функции и в системе координат х, у,
Си Си Си . . , ~
z, т. е. век юр с координатами — —, —, в системе х , у , z будет
Гд Су cz
иметь координаты т. е. являться градиентом и в этой
сх' Cv' CZ
системе координат. Тем самым еще раз доказано (см. п. 20.7),
что градиент функции не зависит от выбора декартовой
системы координат. Так как вектор V преобразуется подобно
обычным векторам, то естественно ожидать, что и скалярное
произведение Va не зависит от выбора указанной системы
координат.
Пусть вектор а в системе х, г, z имеет координаты ах, ау) az,
а в системе хС, у , z — координаты cix>, ау>, az>. В силу формул
(52.7) имеем
С си. с си, с а. с си. С си. сах
---1- —— -|- —— = Cl 1 < - + ^21 'ТТ 3 1 ~~7 "Г
JLy с г с" ( у 1 cv С~
с си, С си. С си. с-сц Сек Са^
+ С11 2~Z^ + a22 ~~+а32 Т“7+^13 Т"7 + 6/2 3 ^7+6Z33 =
сх су CZ с;х су CZ
=у (а,!ах + a j 2av + a j 2az)+~ («21 ах + "2 2ау + а2 з«г) +
+ У Сз 1 ах + a32av + a33(‘z )• (52.9)
497
Применяя формулы (52.5) к вектору а = (ах. ау, az), (т. е.
заменяя в этих формулах х, у, z на ах, av, az, а х', у',' z' на ах>, ау.,
az>\ получим, что выражения в круглых скобках в правой части
равенства (52.9) равны последовательно ах>, ау>, az. и, следова-
тельно,
ccl. cav са„ сах- да- да_-
сх су 0Z сх су CZ
Это равенство и показывает, что дивергенция векторного
поля в каждой точке однозначно определяется самим вектор-
ным полем, а не зависит от выбора системы координат, как это
могло бы показаться сначала из формулы (52.2).
Векторное произведение обычных векторов в силу своего
геометрического смысла не зависит от выбора декартовых
систем координат с одинаковой ориентацией (например, век-
торное произведение двух векторов не изменится, если от одной
правой декартовой системы координат (см. п. 50.8) перейти к
такой же другой). Поэтому естественно ожидать, что тем же
свойством обладает и «символическое векторное произведение»
rot a = V х я.
В самом деле, если обозначить единичные координатные
векторы системы координат х', у', z' соответственно через
i'9 к', то, как известно, единичные координатные векторы /,
к системы координат х, г, z выражаются через
Г, к' посредством матрицы, транспонированной к матрице
преобразования (52.5), т. е. посредством матрицы преобразова-
ния (52.6):
i=a{y+a2J'+a3lk',
j=ax2i'+a22j'+a32k',
k=al3i'+a23j'+a33k'.
(52.10)
Используя формулы (52.6), (52.7) и (52.10), получим
rot я = V х а =
i j к
д ( (
СХ су CZ
ах ау az
axxi'+a2J'+a2xk
а 1 1 С1х’ + а2 1 ау' + а2> 1 а~'
“и* + « 22./ + а32к
с д (
; + «727—; + «з?—
C.V " сг “ CZ
а 1 2 (1х' + «22«у- + «32«z
"|з''+«2з/+«33*'
с ( д
"13 ~ + «23 — + "ЗЗТ*
СХ (V CZ
«13«л-' + «2з"у'+"зз"г'
498
а\\ а12 6/13
Cl2\ С122 а23
а2>\ С12>2 а33
i' j' к'
С С С
сх' су dz1
ах, ау/ az>
(52.11)
Последнее равенство доказывается так же, как для обычных
числовых матриц доказывается тот факт, что определитель
произведения двух квадратных матриц одного и того же
порядка равен произведению их определителей. Для доказа-
тельства этого равенства достаточно убедиться, что в обеих его
частях стоят одинаковые алгебраические суммы одних и тех же
слагаемых.
Определитель ортогонального преобразования равен +1 или
— 1, причем если это преобразование сохраняет ориентацию, то
+ 1. Поэтому если в рассматриваемом случае выбрать системы
координат х, г, z и х', у', z', ориентированные одинаково, то
будем иметь
4/и с/12 я13
а21 С122 а23
f/31 а2>2 6133
и, следовательно, из (52.11) получим
• j к
с с С
СХ су CZ
ах ау az
i' j' к'
С С С
дх' су' dz
ах> ау. az>
Это равенство и означает, что • вихрь векторного поля не
зависит от выбора декартовой системы координат, имеющей ту
же ориентацию, что и заданная. Заметим, однако, что если от
одной системы координат перейти к системе с другой ориен-
тацией, например от правой системы координат — к левой, то
каждый вихрь (как и обычное векторное произведение) заме-
нится противоположным вектором. Это следует из формулы
(52.11), поскольку определитель ортогонального преобразова-
ния, меняющего ориентацию, равен —1.
Таким образом, вихрь векторного поля однозначно «с
точностью до знака» определяется самим векторным нолем, а
если ограничиться только одними правыми декартовыми
системами координат, то не зависит от их выбора.
499
52.3. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО —ГАУССА.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИВЕРГЕНЦИИ
Пусть G — область в пространстве R3xyz. Предположим,
что на плоскости R*y существует такая квадрируемая об-
ласть D, что граница 8G области G состоит из двух
поверхностей и S2, задаваемых явными представлени-
ями, соответственно z=<p(x, у) и z = \|/(x, j), где функции
(риф непрерывны на замкнутой области D, (р(х, ^)<ф(х, у),
(х, y)ezD, и, быть может, из поверхности So, являющей-
ся частью цилиндра, основанием которого является гра-
ница 8D области D, а образующая параллельна оси Oz (см.
п. 44.1):
aG = ^|JS2US0. (52.12)
В этом случае область G называется элементарной относи-
тельно оси Oz. Она имеет вид
G = {(?c, у, z):(x, y)^D, <р(х, >>)<z<i|/(x, >’)}• (52.13)
Области такого типа уже встречались при изучении вопроса
о сведении кратного интеграла к повторному. Обозначим для
краткости границу 8G области G через S; тогда (см. (52.12))
S=SiU52lK (52.14)
Пусть на S' задана функция Ф = Ф(х, у, z). Поверхностные
интегралы второго рода Ф (х, у, z) dx dy от функции Ф по
S1
верхней стороне поверхности £[Ф(х, у, z)dxdy по нижней
v
s2
стороне поверхности S2 и |{Ф(х. i, z)dxdy по поверхности So
So
(см. п. 51.4) называются «поверхностными интегралами второго
рода по внешним сторонам этих поверхностей», а их сумма —
«интегралом по внешней стороне поверхности S>>, и обозначается
£[Ф(х, у, z)dxdy, т. е.
s +
£[Ф(х, у, z)dxdy = ^fy(x, у, z)dxdy + JfФ(лг, у, z)dxdy +
+ JJ Ф (х, у, z) dx dy.
so
(52.15)
500
Аналогично определяется «поверхностный интеграл
JJ Ф (х, у, z) dx dy по внутренней стороне поверхности S»:
s~
£[Ф(х, у, z)dxdy = \\$(x, у, z)dxdy + JJФ(jc, у, z)dxdy +
о- v л
$1 s2
+ £[Ф(х, у, z)dxdy. (52.16)
so
Напомним (см. п. 51.4), что fJ (х, у, z)dxdy = 0 и, следова-
ло
тельно, это слагаемое можно было бы и не писать. Его пишут
для того, чтобы формулы (52.15) формально соответствовали
формуле (52.14). Как следует из дальнейшего, это оказывается
очень удобным.
Если поверхности S2 и кусочно-гладкие, то интеграл
||Ф(х, у, z)dxdy представляет собой поверхностный интеграл
s +
по поверхности S, ориентированной с помощью внешней
единичной нормали v. В этом случае если
v = (cosa, cosp, cosy), (52.17)
то
£[Ф(х, у, z) dxdy = JjФ(x, у, z) cosy dS. (52.18)
Здесь термин «кусочно-гладкая поверхность» понимается в
широком смысле (см. п. 50.11). Например, поверхность S
(см. (52.14)) является кусочно-гладкой, если у замкнутой облас-
ти D существует такое ее разбиение t = {D где — об-
ласти, границы которых состоят из кусочно-гладких кривых,
что функции (риф непрерывны на замыканиях Dt областей Db
непрерывно дифференцируемы в самих Dt и для каждой
поверхности, задаваемой представлением ср(х, у), (х, y)<=Dt
или представлением ф(х, у), (х, y)^Dh z=l, 2, ..., zT, у нее суще-
Дствует представление, непрерывно дифференцируемое вплоть
до границы области, на котором оно задано. Отсюда следует,
что поверхности Si и S2 кусочно-гладкие в широком смысле.
Кусочная гладкость поверхности $0 следует из того, что
граница области D сострит из частей границ областей Dh т. е.
является объединением конечного множества кусочно-гладких
кривых. Поэтому цилиндр, основанием которого является
граница области D, а образующая параллельна оси Oz, так же
501
Рис. 238
как и всякая поверхность,
являющаяся его частью,
представляют собой ку-
сочно-гладкие поверхнос-
ти.
Аналогично областям,
элементарным относи-
тельно оси Oz, опреде-
ляются области, элемен-
тарные относительно
осей Ох, Оу, и интегралы
^®dydz, \\<bdydz,
s+ s-
JJ Ф dz dx, J J Ф dz dx, a
следовательно, для облас-
тей, одновременно эле-
ментарных относительно всех координатных осей, и интегралы
JJ Рdydz + Qdzdx +Rdxdy, JJ Pdydz + Qdzdx-yRdxdy (52.19)
s +
по внешней и внутренней сторонам границ этих областей.
Области, элементарные одновременно относительно всех
координатных осей, называются элементарными областями.
Примерами элементарных областей являются тетраэдры,
кубы (вообще любые выпуклые многогранники), шары, эллип-
соиды и т. п. (рис. 238).
При рассмотрении поверхностных интегралов
JJ Р dy dz + Q dz dx-\- R dx dy
s
по поверхностям, являющимся границами элементарных облас-
тей, становится ясной целесообразность включения третьего
нулевого слагаемого в правых частях формул типа (52.15) и
(52.16). Действительно, поверхность, являющаяся частью ци-
линдра с образующей, параллельной одной из осей координат,
не является, кроме «вырожденных случаев», частью цилиндра с
образующей, параллельной другой оси координат. Поэтому
если бы не включать в интеграл (52.19) по всей границе области
указанные нулевые слагаемые, то интегралы \\Pdydz, \\Qdzdx
s s
и ^Rdxdy следовало бы понимать как интегралы по различ-
s
ным, вообще говоря, частям границы рассматриваемой области.
502
Теорем_а 1. Пусть G — элементарная область и на ее
замыкании G заданы функции Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z),
л * cP $Q
непрерывные вместе со своими частными производными*) —, — и
дх ду
cR
—. 1огда имеет место формула
dz
дР dQ dR\ til
—+^+— ]dxdvdz =
\дх ду dzJ
= JJ Pdy dz + Qdzdx + Rdxdy, (52.20)
s +
где интеграл в правой части равенства берется по внешней
стороне границы S области G.
Формула (52.20) называется формулой Остроградского — Га-
усса.
Следствие. Если при выполнении условий теоремы граница
области G кусочно-гладкая, то
Ш + — + — \dxdydz =
г \ ОХ СГ CZ )
Сг \ - /
= JJ (Pcosoc + gcos р + R cos у) dS. (52.21)
s
где cos a, cos p, cos у — направляющие косинусы единичной внеш-
ней нормали v (см. (52.17)) к поверхности S.
Положив
def
a = (Л Q, А), (52.22)
формулу (52.21) можно переписать в виде
JJJ div a dx dy dz = JJav dS. (52.23)
g s
Доказательство. Рассмотрим, например, интеграл
№™dxdydz-
G c“
Использовав обозначения, введенные в начале этого пункта,
получим
Ф (X, у)
tf^dxdyciz^
G D
Ф <х, у)
dz dx dy =
Непрерывность частных производных на границе понимается как их
непрерывная продолжаемость на границу области
503
= ff W-V’ Г, ф((-г, Д]-7?[х. у, ф(л-, y)}}dxdy =
= JJ 7?(.v, г, с)г/хг/г +Jf R(x, у, z)dxdy. (52.24)
$2 Si
Заметим далее (см. (51.27)), что
|JO(x, у, z)dxdy = 0„
so
так как проекция на плоскость хОу поверхности S содержится в
границе квадрируемой области Ь и поэтому имеет плоскую
меру Жордана, равную нулю. Таким образом, формулу (52.24)
можно переписать в виде
Ш У*dx 'dz = И R dxdy+П R dx dy + И R d* d>\52=15)
G Л V So
s2
- JJ Rdxdy. (52.25)
s +
Совершенно аналогично доказываются формулы
^\~dxdy dz = || Pdydz, \\^-ydxdydz== |f Qdzdx. (52.26)
fA s+ G l) s +
Складывая (52.25) и (52.26), получим формулу (52.20). П
Подчеркнем, что формула (52.20) доказана без предположе-
ния о какой-либо дифференцируемости поверхности, ограничи-
вающей область G (поверхностные интегралы второго рода
берутся здесь в смысле определений п. 51.5).
Формула Остроградского — Гаусса (52.12) может быть дока-
зана и в случае областей G более общего вида, чем было
указано, а именно для таких, для которых существует конечное
разбиение на элементарные области Gt, i=\, \ • ••, Ф- Для этого
достаточно написать формулу Остроградского для каждой
области Gi и полученные результаты сложить; в результате
получается искомая формула для области G. Действительно, в
левой части равенства, в силу аддитивности интеграла, полу-
чится соответствующий интеграл ио области G, а в правой
части равенства сумма всех поверхностных интегралов но
частям границ, которые принадлежат границам двух облас-
тей, равна нулю. В самом деле, если некоторая поверх-
ность представляет собой часчь границ двух областей, го
интеграл по внешней стороне поверхности относительно
одной из этих областей является интегралом по внутренней
504
стороне поверхности относительно другой области, т. е. первый
интеграл отличается от второго только знаком и поэтому они
взаимно уничтожаются. В результате останутся только инте-
гралы по частям границ Gh составляющим в совокупности
границу области G (ср. с п. 47.5). Указанные разбиения области
G часто бывает удобно производить плоскостями, параллель-
ными координатным плоскостям.
Заметим, что среди областей такого типа есть и области,
граница которых состоит из нескольких «кусков», т. е. может
быть представлена как сумма конечного числа кусочно-гладких
непересекающихся поверхностей (ср. с соответствующими обоб-
щениями формулы Грина в п. 47.5).
Можно показать, что формула Остроградского - Гаусса
справедлива для любой ограниченной области, граница которой
состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей.
Однако это довольно громоздко, и мы не будем на этом
останавливаться, а ограничимся лишь формулировкой теоремы.
Теорема Г (теорема Остроградского — Гаусса). Пусть гра-
ница cG ограниченной области G состоит из конечного числа
кус очно-гладких поверхностей, а вектор a^(P, Q, R) и частные
л “Q dR с-
производные —— и — непрерывны на G: тогда
сх су CZ
f (J div a dx dy dz = Jj a dS.
G cG
В качестве ориентации на гладких частях границы SG здесь
выбрана внешняя нормаль.
Например, если (7 = {(х, у, z):0<a<x/x2+y2+z2 <Ь} *• ша-
ровое кольцо и, следовательно, его граница состоит из двух
сфер
= {(х> у> ZV- -у2 + у2+-2=^2} и
S2 = {(x, у, z):x2+y2 + z2==b2},
то на внутренней сфере надо взять нормаль, направленную к
центру шара G, и внешней сфере S2 - от центра шара.
Формула Остроградского Гаусса позволяет найти выраже-
ние для объема области через соответствующий поверхностный
интеграл. В самом деле, полагая в (52.12) Р(х, г, z) = x,
Q(x, у, z)=y, R(x, у, z) = z и заметив, что JJJ dxdy dz =
G
получим
pG = - [f (xcosoc+y cos P + zcosy)dS
3 s +
505
или
ц(7 = - JJ xdydz+ydzdx + zdxdy.
3 s +
Формула Остроградского — Гаусса дает также возможность
установить геометрический подход к понятию дивергенции.
Теорема 2. Пусть в трехмерной области G*} определено
непрерывно дифференцируемое векторное поле a=a(M). Пусть
M^G u_D — область с кусочно-гладкой границей S такая, что
Mq^D, DgG и для области D справедлива формула Остроград-
ского — Гаусса**\
Обозначим через S+ поверхность S, ориентированную с
помощью выбора внешней нормали, а через d(D) —диаметр
области D. Тогда
JJ a dS +
diva(7H0)= lim -------. (52.27)
Доказательство. По формуле (52.23) имеем
JJJdiv adxdydz = jj adS +.
d s
(52.28)
Но по интегральной теореме о среднем (п. 44.6),
div a dx dy dz = div a
M<D.
(52.29)
Подставив (59.29) в (52.28), получим
diva(7H)=------. (52.30)
Переходя к пределу в формуле (52.30) при <7(Z))->0, в силу
непрерывности в точке 7И0 функции diva(TH) получим формулу
(52.27). □
Можно показать, что величины, входящие в правую часть
равенства (52.27), не зависят от выбора системы координат (в
правую часть входит двойной интеграл от скалярного произве-
дения векторов и объем области), поэтому отсюда еще раз
следует, что дивергенция векторного поля не зависит от выбора
системы координат.
** Здесь на структуру области G не накладывается никаких ограничений.
**> Такие области D всегда существуют, например, к ним относятся все
шары достаточно малого радиуса с центром в точке MG или кубы достаточно
малого размера с центром в точке Мо.
506
Из равенства (52.27) следует, что правая часть этого
равенства может быть принята за определение дивергенции
данного поля.
Точки векторного поля а, в которых div а#0, называются
«источниками» векторного поля. Интуитивно естественность
этого термина объясняется тем обстоятельством, что если точка
является «источником», то, как видно из формулы (52.27), для всех
достаточно малых по диаметру областей D, содержащих точку
Л/о, будем иметь Jat/5^0, т. е. поток через любую достаточно
малую поверхность, окружающую источник, не равен нулю.
52.4. ФОРМУЛА СТОКСА. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИХРЯ
Пусть S—дважды непрерывно дифференцируемая поверх-
ность без особых точек в пространстве R*yz и г=г(и, г),
(и, v)^D,— ее представление, D — плоская ограниченная об-
ласть, для которой справедлива формула Грина. Допустим, что
граница области D состоит из одного простого кусочно-гладко-
го контура. Обозначим через Го положительно ориентирован-
ный контур, .ограничивающий область D, и через u = u(t),
v = r(/), a^t^b — его представление. Пусть
|гихЛ-1
— ориентация на поверхности S (см. определение 20 в п. 50.10),
v ~ (cos сх, cos Р, cosy). При сделанных предположениях нормаль
v непрерывна на D.
Обозначим через S+ поверхность S с выбранной на ней
нормалью v. Пусть Г — контур с представлением r=r(w(z), v (/)),
a^t^b. Будем говорить, что контур Г ограничивает поверхность
S, а также, что поверхность S натянута на контур Г.
Пусть, наконец, G — область в пространстве R*yz и S<^G.
При выполнении этих предположений справедлива следующая
теорема.
Теорема 3 (теорема Стокса*1). Пусть функции Р, Q и R
непрерывны вместе со своими первыми частными производными в
области G и пусть я = (Р, Q, R). Тогда
adr= frotad$+, (52.31)
J J J
г s
** Дж. Стокс (1819 -1903) — английский механик и математик
507
т. е. циркуляция векторного поля по контуру Г равна потоку
вихря этого поля через поверхность S, ограниченную контуром
Г. В координатной форме эта формула имеет вид
Рdx + Qdy-У Rdz =
г s
COS ОС cos а cosy
d а а
сх а>- aZ
р Q R
dS,
или
Р dx + Qdy+ Rdz =
dS.
cR \ ,
— cosp +
ox /
др\
-JC°S7
(52.32)
Доказательство. Рассмотрим, например, интеграл jРdx.
г
Заметив, что вдоль кривых Го и Г переменные и и и являются
функциями от г, и употребив обозначения, введенные в начале
этого пункта, получим
Jp(x, у, z)dx =
г
P[x(w(Z), г(0), J'(w(/), г(0), z(w(/), v(t))~\xft(u(fR v(t))dt =
а
= Р[х(м, р), у (и, г), z(u, v)] -du+^^ -dv .
J -'on dv
Го
Мы здесь воспользовались формулой
x't(u(t) V (t) ) = du + дх(ы^' v(0) dy
' du dt dv dt
Применив формулу Грина к получившемуся интегралу
Р—du + Pc-^-dv, будем иметь
OU UV
508
Г D
du dv =
dP dx dP dy dP dz \dx D d2x I dP dx dP dy dP dz\ dx
---___ _— __ I — p------------— I---------------|-----j —
dx du dy du dz du J dv dudv \ dx dv dy dv dz dv j du
dv du
dudv^=
dP d (z, x)
dz d(u, v)
dP d (x, f)
dy d(u, v)
du dv =
— dzdx —
oz
dP a dP \ 7C
—-cos p — —cosy
dz oy J
(52.33)
D
(Здесь использовано соотношение (51.13).) Аналогично доказы-
вается, что
Qdy =
oQ
^cosy —
сх
dS,
(52.34)
₽ ]dS.
(52.35)
Складывая формулы (52.33), (52.34) и (52.35), получим формулу
(52.32), которая называется формулой Стокса. □
Используя координатную запись поверхностного интеграла
второго рода (см. формулу (51.10)), формулу Стокса (52.32)
можно записать в следующем виде:
dR dQ
dy dz
dydz +
— ) dxdz +
oz ox /
— — — \dxdy =
dx cy J
= J P dx+Qdy+ Rdz.
г
Чтобы наглядней представить себе связь выбора нормали v
на поверхности 5 с ориентацией ограничивающего ее контура Г,
рассмотрим поверхность S, имеющую явное представление
У\ (*>
Пусть Го — положительно ориентированный на плоскости
хОу контур, являющийся границей D, и x = x(fy y=y(t).
509
— его представление. Как и выше, ориентацию кривой Г
зададим представлением
х = Л'(/), y=y(t), z=/'[.v(/), v(0], (52.36)
В рассматриваемом случае контур Го является проекцией
кривой Г. Нормаль же v, как это было показано, при явном
представлении поверхности образует
h? S ? острый угол с осью Oz (см. п. 50.10),
поэтому если смотреть на поверхность S
с положительного направления оси Oz,
то контур Г будет ориентирован против
I I I I часовой стрелки, т. е. ориентация кривой
j । | । Г согласована с нормалью v «по правилу
/-------1—j—к-1—штопора» (рис. 239). Это равносильно
| I । | тому, что наблюдатель, обходящий по-
верхность S по ориентированному конту-
ру Г и смотрящий на нее из конца
47 0 нормали v, видит поверхность S слева.
Рис 239 Такая наглядная интерпретация согласо-
ванности ориентации нормали v и кон-
тура имеет то преимущество, что она не связана с выбором
системы координат и остается справедливой для любой
поверхности S, рассматриваемой в теореме Стокса, а не только
для явно заданной поверхности. Конечно, все подобные
рассуждения не являются математическими доказательствами, а
служат лишь для наглядного пояснения формулы Стокса.
Следует заметить, что формула Стокса остается справедли-
вой, если в ней взять противоположную ориентацию контура и
противоположные нормали — v; в этом случае обе части
равенства (52.31) изменят знак на противоположный (при этом
ориентации контура и поверхности остаются согласованными
по «правилу штопора»).
Формула Стокса может быть доказана и для ориентируемых
кусочно-гладких поверхностей 5= а именно таких, для
которых поверхности Sif z=l, 2, ..., z0, удовлетворяют условиям
доказанной теоремы 3. При этом край поверхности dS (см.
п. 50.11) может состоять из конечного числа замкнутых
контуров Г;, j=l, 2, ..., /0.
Для доказательства этого достаточно написать формулы
Стокса для каждой поверхности Sif z=l, 2, ..., z0, и сложить их
(ср. с обобщениями формулы Грина в п. 47.5 и теоремы
Остроградского--Гаусса в п. 52.3).
Отметим также, что в теореме 3 условие дважды
непрерывной дифференцируемости поверхности S было нало-
жено только для простоты доказательства (оно в этом случае
существенно упрощается). Формула Стокса (52.31) справед-
лива и при предположении лишь гладкости поверхности S (при
510
сохранении прочих условий теоремы 3). Доказательство этого
факта выходит за рамки нашего курса.
Из всего сказанного следует, что формула Стокса остается
справедливой и для просто ориентированных кусочно-гладких
поверхностей 5= (т. е. без' предположения о дважды
непрерывной дифференцируемости поверхностей S?).
Сформулируем теорему для этого случая.
Теорема 3' (теорема Стокса). Пусть векторная функция я
непрерывно дифференцируема в области G и пусть —
ориентированная кус очно-гладкая поверхность, лежащая в G, и
dS— ее край с ориентацией, порожденной заданной ориентацией
поверхности S (см. п. 50.13). Тогда
J adr= JJrotadS.
dS S
Наглядно согласование ориентаций
контуров Г;, на которых состоит край
dS поверхности S, с ориентацией этой
поверхности и, следовательно, с ориен-
тацией v поверхностей St означает, что
наблюдатель, движущийся по контуру
Г-, 7=1, 2, ..., Jo, и смотрящий на
поверхность S из конца нормали v,
видят поверхность S слева.
Теорема Стокса дает возможность
установить геометрический подход к
понятию вихря векторного поля.
Теорема 4. Пусть в трехмерной области G определено
непрерывно дифференцируемое векторное поле a=a(M); Мо — фик-
сированная точка, Mq<^G; v - произвольный постоянный единич-
ный вектор, П—плоскость, перпендикулярная вектору v и
проходящая через точку Мо, S — ограниченная область в
плоскости П, границей которой является кусочно-гладкий
контур Г; d (S) —- диаметр области S; пусть контур Г
согласованно ориентирован с нормалью M0^S и S<=G**’ (рис.
240). Тогда***'
rotva(7H0)= lim
d (S)->0
(52.37)
Как и в теореме 3 (по «правилу штопора»).
**’ Указанные области S, очевидно, всегда существуют (почему?)
***’ Через rolva обозначена проекция вектора rota на вектор v, т. е.
rotva = npvrot a.
511
Доказательство. По формуле Стокса,
J adr= JJ rotv adS,
г s
но по интегральной теореме о среднем,
JJ rotv adS= rotv а (М) М g S.
s
Следовательно,
J a dr
rotva(A/)-^—. (52.38)
Заметим, что при 6/(3")—>0 и В силу непрерывности в
точке М() функции rotva(A/), переходя к пределу в (52.38) при
<7(S)->0, получим формулу (52.37). П
Из (52.37) следует, что правая часть его может быть принята
за определение проекции вихря данного поля на произвольный,
но фиксированный единичный вектор v. Это приводит и к
новому определению самого вихря, так как достаточно,
например, взять три произвольных ортогональных единичных
вектора vt, v2, v3, проекциями на которые, как это хорошо
известно, однозначно определяется всякий вектор.
Можно показать, что величины, входящие в правую часть
равенства (52.37), не зависят от выбора системы координат,
однако согласованность ориентаций вектора v и контура Г
зависит от ориентации системы координат: при переходе от
правой системы координат к левой согласованность ориентаций
v и Г по правилу штопора заменяется согласованностью по
правилу «антиштопора», т. е. при фиксированной ориентации
вектора v ориентация контура Г изменяется на противополож-
ную. Тем самым интеграл §adr при изменении ориентации
Г'
системы координат изменяет знак, поэтому, в силу формулы
(52.37), меняет знак и rot я.
Из сказанного следует, что формула Стокса (52 32) справед-
лива не только в правой, но и в левой системе координат, так
как при изменении ориентации системы координат и левая и
правая части равенства (52.32) меняют знак: при фиксированной
ориентации v поверхности S в случае изменения ориентации
системы координат изменяют знак как rota, так и контур Г.
52.5. СОЛ ЕНОМ ДАЛЬНИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
В этом пункте ограниченную область, для которой справед-
лива теорема Остроградского - Гаусса (см. п. 52.3), будем
называть допустимой Совокупность поверхностей будем назы-
512
вать допустимой, если она является границей допустимой
области.
Выше отмечалось (см. п. 52.3), что теорема Остроград-
ского— Гаусса справедлива для любой ограниченной области,
граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких
поверхностей. Поэтому всякая такая область допустима. Если
теорема 1 применяется в виде (52.23), то область G обязана
иметь границу, состоящую из конечного числа кусочно-гладких
поверхностей, иначе нельзя было бы даже говорить о поверх-
ностных интегралах по границе.
Читатель, предпочитающий пользоваться только доказан-
ными фактами, может под допустимыми областями и поверх-
ностями понимать именно те, для которых в настоящем курсе
была доказана теорема Остроградского — Гаусса.
Определение 9. Непрерывно дифференцируемое в од. мсти G
векторное поле а — а(х, г, г) называется соленоидальным в этой
области, если его поток через ориентированную границу любой
допустимой области D, замыкание D которой лежит в G:
D^G, равен нулю:
fW=°-
?D
(52.39)
Если рассматриваемое векторное поле является, например,
полем скоростей текущей жидкости, то его соленоидальность
означает, что в каждую область, содержащуюся внутри текущей
жидкости, в каждый момент времени сколько жидкости втекает,
столько же ее и вытекает.
Граница PD допустимой области D
имеет две ориентации, порожденные
соответственно внутренней и внешней
нормалями. Очевидно, если условие
(52.39) выполняется при одной ориен-
тации, то оно выполняется и при
другой, так как соответствующие ин-
тегралы могут отличаться только зна-
ком.
Поясним определение соленоидаль-
ности поля на примере. Пусть G -
шаровое кольцо: часть пространства, ри 24J
заключенная между двумя сферами Sr
и SR с общим центром О и радиусами г и R. r<R, и
векторное поле а соленоидально в G. Тогда его поток будез
равен нулю, например, через любую сферу S, лежащую в G и
ограничивающую шар, также лежащий в G (рис. 241).
Однако поток векторного поля а через сферу Sp с центром в
точке О и радиусом р, r<p<R, не обязан быть равным нулю,
513
так как шар, ограниченный этой сферой, не содержится в
области G.
Вместе с тем сумма потоков векторного поля а будет равна
нулю через две сферы SPi и 5Р2 с тем же центром и радиусами
р! и р2, г<р1<р2<А, если одну из них ориентировать, выбрав
нормаль, идущую к центру О, а другую — от центра. Действи-
тельно, указанные сферы ограничивают шаровое кольцо, цели-
ком лежащее в области G, а выбранная их ориентация является
ориентацией границы, соответствующей внешней или внутрен-
ней нормали. Поэтому, по определению соленоидальности
поля, его поток через рассматриваемую ориентированную
границу будет равен нулю.
Теорема 5. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое
в области G векторное поле было соленоидалъным в ней,
необходимо и достаточно, чтобы его дивергенция равнялась нулю
во всех точках области G:
div а (А/) = О, MeG.
Доказательство необходимости. Пусть а — соленои-
дальное в области G векторное поле и MQeG. Обозначим через
Qr открытый шар радиуса г>0 с центром в точке Мо, а через
Sr — ограничивающую его сферу. Поскольку все точки MeG, в
том числе и точка Мо, являются внутренними для G, то
существует такое что при г<г0 все шары радиуса г вместе
с ограничивающими их сферами Sr будут содержаться в G.
Заметим теперь, что предел (52.27), равный значению
дивергенции векторного поля а в точке А/о,_ существует для
произвольных допустимых областей D, DclDczG. диаметры
которых стремятся к нулю. Поэтому он существует и при
специальном выборе D = Qr, r<r0:
ffadS
div а (7И0) = lim -.
r—>o ^2'
В силу определения соленоидальности поля, для всех г<г0
имеет место равенство
JJa<ZS=O.
поэтому diva(A/o) = 0.
Доказательство достаточности. Пусть а —непре-
рывно дифференцируемое в области G векторное поле с
дивергенцией, равной нулю во всех точках области G. Если
D — произвольная допустимая область такая, что D^DclG, то,
в силу теоремы Остроградского — Гаусса,
514
JJ a dS= JJJ div adxdy dz = O,
dD D
т. e. поле а соленоидально. □
Типичным примером соленоидального поля является вектор-
ное поле, представляющее собой в некоторой области поле
роторов дважды непрерывно дифференцируемого в этой облас-
ти векторного поля.
Действительно, если а — дважды непрерывно дифференци-
руемое в области G поле, то rot а является соленоидальным в G
полем, так как div rot а = 0.
Нетрудно провести правдоподобное рассуждение, убеждаю-
щее в справедливости этого соотношения. Для этого достаточно
перейти к символическому вектору V; тогда рассматриваемое
равенство примет вид V (V х а) = 0. Смешанное произведение
обычных векторов в случае, когда два сомножителя совпадают,
равно нулю, ибо в этом случае параллелепипед, натянутый на эти
векторы, вырождается в параллелограмм, и, следовательно, его
объем равен нулю. Поэтому естественно ожидать, что указанное
равенство справедливо и для вектора V. Это правдоподобное
рассуждение можно превратить в математически обоснованное и,
тем самым, имеющее доказательную силу, если доказать, что
символический вектор V на самом деле обладает использован-
ными нами свойствами, аналогичными соответствующим свойст-
вам обычных векторов. Это можно сделать простой проверкой,
переходя, например, к координатной записи (см. (52.2) и (52.4)).
52.6. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
В этом пункте поверхность S, для которой справедлива
теорема Стокса, будем называть допустимой.
Определение 10. Трехмерная область G называется односвяз-
ной, если какова бы ни была замкнутая ломаная А. лежащая в G,
существует допустимая поверхность S, также лежащая в G и
натянутая на ломаную А (см. п. 52.4).
Иногда односвязные области называются также поверх-
ностно односвязными.
Если рассматриваемая область G выпуклая, то существует
очень простой способ натягивания поверхностей на контур.
Искомую поверхность всегда можно взять в этом случае в виде
конуса с вершиной в произвольно фиксированной точке MogG,
направляющей которого служит заданная кривая Г. Если
р = р (z/), 0^w^2ji,
— представление этой кривой и г0 —радиус-вектор точки Л/о, то
искомый конус 5, натянутый на данный конгур, задается
515
r=r0 + v
0^u^2n, 1.
[р(м)-г0],
Рассматривая и и v как полярные координаты, видим, что
«представление» конуса задано на единичном круге, причем
единичная окружность Го = {(и, г): v — 1} переходит в заданный
контур Г, ее центр — в вершину конуса (рис. 242).
Слово «представление» взято в кавычки, так как понятие
представления поверхности было введено выше лишь для
случая, когда параметры и и v являлись декартовыми коорди-
натами. Конус (52.40) в общем случае будет иметь кратные
точки и не будет кусочно-гладкой поверхностью даже в случае,
когда Г — достаточно гладкая кривая, т. е. если Г — достаточ-
ное число раз непрерывно дифференцируемая кривая без особых
точек. При этом на конусе (52.40) будут иметься, вообще
говоря, особые точки, отличные от вершины. Чтобы устранить
это затруднение наиболее простым образом, мы и ограничились
при определении односвязной области рассмотрением лишь
контуров, являющихся замкнутыми ломаными. В этом случае
вершину конуса Мо всегда можно выбрать таким образом, что
указанный конус будет кусочно-гладкой поверхностью. Действи-
тельно, при любом выборе вершины конуса в случае, когда его
направляющей является некоторая ломаная Л, конус распа-
дается на конечное число треугольников St, Z= 1, 2, ..., к, правда,
быть может, вырожденных, т. е. превратившихся в отрезок или
точку. Одной из вершин этих треугольников будет вершина
конуса 7И0, а противоположной стороной — одно из звеньев
ломаной Л. Каждый такой треугольник можно рассматривать
как непрерывно дифференцируемую любое число раз поверх-
ность и задавать его представлением, осуществляемым линей-
ными функциями (см. п. 16.5 и (52.40)). Если треугольник
вырожденный, то все его точки будут особыми. Однако сколь
угодно малым смещением вершины конуса можно добиться
того, что она окажется в общем положении со всеми звеньями
516
ломаной Л, т. е. не будет лежать ни на одной прямой,
проходящей через какое-либо звено ломаной Л. В результате
все треугольники z=l, 2, ..., к, станут невырожденными и,
следовательно, могут рассматриваться как гладкие поверхности
без особых точек. Сам же конус S окажется, таким образом,
кусочно-гладкой поверхностью 5={5j-=i. При этом, поскольку
при всех достаточно малых смещениях каждой точки области
она остается внутри области, вершину Мо конуса 5 всегда
можно выбрать в области и поэтому, в силу ее выпуклости, весь
конус S будет лежать в этой области. К получившемуся
кусочно-гладкому конусу S можно применить теорему Стокса,
иначе говоря, этот конус является допустимой в этом пункте
поверхностью. Итак, мы доказали, что всякая выпуклая область
односвязна.
Примером неодносвязной области является тор, т. е. об-
ласть, образуемая вращением круга вокруг не пересекающей его
оси (рис. 243).
Напомним, что поле называется потенциальным, когда его
циркуляция J a dr равна нулю по любому замкнутому контуру
г
Г cz С, или, что то же, когда интеграл J a dr не зависит от пути
интегрирования, соединяющего в области G точки А и В.
Подробнее об этом см. п. 52.1. Оказывается, что в односвязной
области векторное поле потенциально тогда и только тогда,
когда оно безвихревое. Это утверждение содержится в ниже-
формулируемой и доказываемой теореме 6.
Теорема 6. Пусть в односвязной области G задано
непрерывно дифференцируемое векторное поле a = (P, Q, R). Тогда
эквивалентны следующие три свойства:
1°. Векторное поле a=a[M) является в области G потенци-
альным.
2°. Существует потенциальная в G функция и = и(М), т. е.
такая функция что а = §уы\и, или, что то же,
du = Pdx + Qdy + Rdz. В этом случае для любых двух точек
AeG и BeG и любой кусочно-гладкой кривой АВ. соединяющей в
G эти точки,
J adr= и [В] — и (А).
ап
3°. Векторное поле a — a(M) является безвихревым: rota = 0 в
области G, т. е.
dP_dQ dQ dR dR_dP
ду дх ’ dz ду дх dz
517
Подчеркнем, что из теоремы 6, в частности, вытекает, что
непрерывно дифференцируемое в односвязной области векторное
поле а потенциально тогда и только тогда, когда оно является
полем градиентов некоторой скалярной функции и:
а = \7 и.
Доказательство. Применим схему
Первый шаг: 1->2. Это утверждение, т. е. существование
потенциальной функции, доказывается совершенно аналогично
рассмотренному раньше случаю плоской области (см. теорему 3
в п. 47.8) и поэтому не будем приводить его доказательство.
Второй шаг: 2->3. Утверждение 2->3 также доказывается
аналогично плоскому случаю: оно означает просто-напросто
равенство соответствующих в горых смешанных производных
потенциальной функции.
Утверждения 1->2 и 2-^3 справедливы и без предположения
односвязности области.
Третий шаг: 3->1. Пусть rota = 0 в G. Допустим сначала,
чго Г—кусочно дважды непрерывно дифференцируемая зам-
кнутая кривая, лежащая в G. Если существует допустимая
поверхность У содержащаяся в G и ограниченная контуром Г,
то из теоремы Стокса сразу получаем
J adr= JJ rot adS=0.
Г' 5
В силу односвязности области G (см. определение 10), это
верно, в частности, для любой конечнозвенной ломаной.
Поэтому, если Г—любая кусочно-гладкая замкнутая кривая,
лежащая в G, то, выбирая последовательность ломаных Ли,
вписанных в Г со звеньями, стремящимися к нулю при л—>оо,
по лемме 3 п. 47.8 получим
J adr= lim j adr=Q. □
a л„
В заключение заметим, что хотя потенциальные и солено-
идальные векторные поля не исчерпывают совокупности всех
возможных векторных полей, однако они позволяют описать
широкий класс векторных полей. Именно: при достаточно
общих предположениях любое векторное поле а представляет
собой сумму потенциального и соленоидального векторного
поля. Более точно, существуют такие скалярная функция и и
векторное поле Ь, что a = Vw + rot/>. Так как rotVz/ = 0 и
518
div rot 0, то первое слагаемое является потенциальным
полем, а второе — соленоидальным.
Это предложение называется теоремой Гельмгольца (ее
доказательство можно найти в кн.: Шилов Г. Е. Математиче-
ский анализ. Функции нескольких переменных.— М.: Наука,
1972, С. 379).
Упражнения. 2. Доказать, что поток ротора непрерывно дифференцируе-
мого в некоторой области векторного поля через любую сферу, лежащую в
указанной области, равен нулю.
3. Доказать, что
JJJ grad <р rot a dx dy dz = ^(ax grad (p) dS.
G S
Здесь предполагается, что для области С, ограниченной поверхностью 5.
применима теорема Остроградского Гаусса.
§ 53. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
53.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА;
ИХ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ПО ПАРАМЕТРУ
Пусть У— некоторое множество действительных чисел, ср (у)
и Ф(у)— Две функции, определенные на Y, <р(^)^ф(у) и функция
j\x. у) определена на множестве
{(х, y)-.yeY, хб[<р(у), ФЩ]}. (53.1)
Интегралы вида
Ф (у)
ф(у)= f Ж y)dx
Ф (у)
(53.2)
называются интегралами, зависящими от параметра, а перемен-
ная у называется обычно параметром.
Часто встречается тот частный случай такого типа интегра-
лов, когда функции (риф постоянны, т. е. интегралы вида
ъ
Ф(у>) = J/(x, yjdx. (53.3)
Если У является множеством всех натуральных чисел
Y=N={\, 2, ..., т ...}, то, полагая /Дх)=/‘(х, п), п=\, 2, ...,
интеграл (53.3) можно переписать в виде
ъ
$fn(x)dx, п = 1, 2, ...
а
*’ Г. Гельмгольц (1821 — 1894)- немецкий физик и физиолог.
519
Тем самым получилась числовая
последовательность, образованная
интегралами от функций некоторой
функциональной последовательнос-
ти.
Мы рассмотрим случай, когда
множество Y представляет собой
отрезок [а, р], функции ср О’) и Ф0;)
непрерывны на этом отрезке и
ф(г)^Ф(г), уе [ос, 61. Пусть графики
функций ср (у) и ф(у) и, быть может,
отрезки прямых у = и и у = Р обра-
зуют границу ограниченной облас-
ти G (рис. 244). Она, очевидно, квадрируема (см. п. 44.1). В этом
случае множество (53.1),на котором определена функция Дх, у),
является замыканием G указанной области С:
G=[(.v, j); ср (у) О'=$4 (у)}- (53.4)
В дальнейшем мы изучим свойства функции Ф(у) (ее
непрерывность, правила ее дифференцирования и интегрирова-
ния) в зависимости от свойств функций Дх, у), (р (у), ф(у).
Некоторые из этих свойств были получены раньше при
изучении кратного интеграла. Так, например, лемма, доказан-
ная в п. 45.1, дает условия, при которых интеграл, зависящий от
параметра, является непрерывной функцией этого параметра.
Сформулируем эту лемму в обозначениях настоящего парагра-
фа в виде теоремы.
Теорема 1. Если функция Дх, у) непрерывна на замыкании
G области G (см. (53.4)), то функция Ф(у), задаваемая формулой
(53.2), непрерывна на отрезке [ос, [3].
Утверждению этой теоремы можно придать следующий вид:
lim ф (у)
Ф (г) У-*У0
lim j /(.V, г)г/.х= j lim Дх, y)dx. (53.5)
У~*У0 ф (у) lim Ф (у)
У-Уо
Действительно, из теоремы I следует, что предел, стоящий в
левой части равенства (53.5), равен Ф(у0), а в силу непрерыв-
ности функций (р, ф и X правая часть равенства также равна
Ф(УО)
f /Д Уо)^ = ф(Уо)-
<р Оо)
В частности, для интеграла (53.3) имеем
Л ь
lim 1Дх, y)<7x=f lim Дх, jjJx,
у- -*у а а а у- *у 0
т. е. в этом случае возможен предельный переход под знаком
ишегртла.
520
В теореме о предельном переходе под знаком интеграла
можно ослабить требования, накладываемые на функцию
Дх, j), потребовав вместо ее непрерывности по совокупности
переменных, лишь непрерывность по одной переменной и
равномерное стремление к пределу по другой.
Теорема 2. Пусть функция Дх, г) определена для всех
хе [а. Z>], yeY и непрерывна по х на [я, Л| при любом
фиксированном j'G Y. Тогда если при j’-> г0 *) функция f(x, у)
равномерно на отрезке [г/, />] стремится к ф(х) (см. п. 39.4), то
ъ ь
lim J /(х, г) dx = [ ф (х) dx.
Д о к а з а г е л ь с т в о. Рассмотрим какую-либо последова-
тельность упЕ Y. n=Y 2, ..., такую, что lim v„ = r0. Тогда (см.
упражнение 5 в п. 39.4) последовательность фи(х)=Дх, у„) будет
равномерно на отрезке [щ Л] стремиться к функции ф (х).
Отсюда следует (см. и. 364), во-первых, что ф(х) непрерывна и,
следовательно, интегрируема на отрезке [с/, Л], а во-вторых, что
b b ь
lim f/(x, rj dx = lim f ф„ (x) dx = f ф (x) dx.
и так как до верно для любой указанной последовательности
{т„}, то теорема доказана. П
Перейдем к вопросу об интегрировании интегралов (53.2),
зависящих от параметра.
Теорема 3. Пусть об шеть G элементарна относительно
обеих осей координат, т. е.
G = {(x. г):ос<г<р, ф(г)<х<ф(г)}-=
- {(х, у):а<х<Ь. ф1 (x)<v<\|/j (х)}.
где функции ф и ф непрерывны на отрезке [ос, Р], а функции фг и
xJjj - на отрезке [щ Л]. Тогда если функция Дх, Д непрерывна на
замыкании G области G. то
=Ш (Л- Л dx d>'-
а
(53.6)
Очевидно, теорема 3 является перефразировкой соответ-
ствующей теоремы о сведении кратного интеграла к повтор-
ному (см. п. 45.1).
Здесь г0 число или одна из бесконечное гей х, -ь зс иди —сс.
521
53.2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ
ОТ ПАРАМЕТРА
При изучении дифференциальных свойств интегралов, зави-
сящих от параметра, рассмотрим сначала интегралы вида (53.3).
Теорема 4 (правило Лейбница). Если функция f(x. j) и ее
частная производная непрерывны в замкнутом прямоуголь-
ь
нике Д = {(х, у): a^x^b, a^J’^P}, то функция Ф(р) = |/‘(х, y)dx
а
дифференцируема на отрезке [ос, Р] и
dy Ja dy
Таким образом, чтобы при сделанных предположениях
продифференцировать интеграл, зависящий от параметра, до-
статочно продифференцировать подынтегральное выражение,
оставляя пределы интегрирования неизменными.
Доказательство. Пусть je[oc, Р] и г + А^е[ос, Р]; тогда
ь
^(>+Ад1)~Ф(~>) = ^ [[Ж У+АД-Ж у)]^ =
- - *.
а
Ь
= о<е<1.
д
Здесь применена формула конечных приращений Лагранжа.
5; — I модуль непрерывности
ж/
л
функции получим
д
(53.7)
а
ъ ~ 1 д’
В силу равномерной непрерывности функции — на
д
замкнутом
522
прямоугольнике А, имеем lim со( |Aj|; тг) = 0; поэтому из (53.7)
А г-»О \ О'/
получим ь
limФа+ду)-ф(1)= <жг)dx п
Аг-+0 by J O'
Теорема 4 легко обобщается и на случай зависящего от
параметра интеграла общего вида (53.2).
Теорема 4'. Пусть*. 1) функция ф(х, у) и ее частная
х cf(x, >’)
производная \ непрерывны на замкнутом прямоугольнике
А = ((х, у): ос^у^Р],
2) GczA (см. (53.4));
3) пусть функции ф(у) и ф(у) имеют непрерывные на отрезке
[ос, р] производные.
Тогда интеграл (53.2), зависящий от параметра, также
имеет производную на отрезке [ос, Р], причем
Ф(.у)
"= f CfeLU-y Wr). /]^. (53.8)
dy J dy • l \ / dy L x dy
<p(y)
Доказательство. Рассмотрим функцию
V
F(y\ и. y)dx, a^u^b, a^v^b, oc^j^p.
Нетрудно непосредственно проверить, что частные производные
с F с F с F
—, —, ~ функции F существуют и непрерывны по совокупности
су си CV
переменных у, и, v. Проверим сначала существование и
cF _
непрерывность частной производной —. Ее существование
непосредственно следует из теоремы 4, причем
dF
[-^dx.
cy
(53.9)
и
Докажем ее непрерывность. Пусть a^u^b, a^v^
а^и-УЛи^Ь. a^v + Av^b, ос^у + Ау^р; положив
д cF(y\ и, v)_cF(y + Ay, zz + Azz, г + Аг)_cF(y, и, г)
О' ду су
523
получим:
t’ +At>
a/(x, j’+a.f)
J Sy
m + Am
(53.10)
Поскольку функция у- определена на прямоугольнике А, то в
6 Л
силу вышеуказанного выбора значений аргументов, все написан-
ные интегралы имеют смысл и
|г — — а.
(53.11)
Далее, из непрерывности функции на прямоугольнике А
следует, что она ограничена на нем, т. е. существует такая
постоянная Л/>0, что для всех точек (х, ^)бЛ выполняется
неравенство
т)
су
М.
(53.12)
модуль непрерывности
Обозначив, как и выше, через со ( 8; --
\
i V Л
функции — на прямоугольнике А и использовав неравенства
(53.11) и (53.12), из (53.10), получим
(£ —я)соН Ay |; gj + M|Aw| + M|Ar|.
Отсюда следует, что lim Это и означает
^'Аг2 + А,/2-1-Аг2->0
524
„ dF
непрерывность частной производной — на множестве
СУ
{(у, и, v) : c^y^d, a^u^b, a^v^'b}.
Непрерывность на этом множестве частных производных
гг-Л“- >'»• >’» <5213>
очевидна.
Связь между функциями Ф и F устанавливается формулой
Ф(ф) = Г(ф, ф(р), ф(у)).
В силу доказанного выше, функцию Ф можно дифференциро-
вать по правилу дифференцирования сложных функций:
дФ дР_у । cF dv
ду ду ди ду dv dy
Подставляя сюда выражения для частных производных
dF dF dF
—, — и —
су си dv
(см. (53.9) и (53.13)) и полагая и = ф(ф) и г = ф(ф), получим
формулу (53.8). □
§ 54. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
54.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
Мы будем рассматривать интегралы вида
ь
ф(з’)=£Ж
а
(54.1)
где —ос^ж/>^4-оо, переменная у принадлежит некоторому
множеству Y и интеграл (54.1) при некоторых (в частности, при
всех) значениях г является несобственным.
Определение 1. Если для каждого yQeY интеграл
ь
ф(Уо)=$Лх' Уо)с1х
сходится, то интеграл (54.1) называется сходящимся на
множестве Y.
525
В дальнейшем, если не оговорено что-либо другое, будем
рассматривать только случай, когда выполняются условия:
1) — оо <а<Ь^ + оо;
2) при любом yeY функция /(х, у) по переменной х
интегрируема, по Риману, на каждом отрезке [я, т| ], где т|
таково, что жг|</).
В этом случае сходимость интеграла (54.1) на множестве Y
означает, что при любом ye Y существует предел
lim J/(x, p)dx = J/(x, y)dx
(если /?=4-оо, то Л —0 =+оо). Поскольку
y}dx-$f(x, y)dx*Sf(x, y)dx.
то из сказанного при каждом фиксированном ye Y получим
lim £/(х, y)dx — O.
Таким образом, если интеграл (54.1) сходится на множестве
У, то при каждом фиксированном ye Y для любого числа е>0
существует такое ц£ = rie(y)<Z\ что если т)Е<т|</?, то
J7(.v. y)dx <£.
(54.2)
Условия, при которых для несобственных интегралов,
зависящих от параметра, справедливы теоремы, аналогичные
доказанным в предыдущем параграфе для собственных интегра-
лов, основаны на понятии так называемой равномерной
сходимости интеграла.
Будем предполагать, как было отмечено, что интеграл (54.1)
удовлетворяет вышеуказанным условиям 1) и 2).
& Определение 2. Сходящийся на множестве Y интеграл
j\/(x, y}dx называется равномерно сходящимся на этом мно-
жестве, если для любого е>0 существует такое Т{г<,Ь. что для
всех yeY и всех т| таких, что т|е<г|<Л>, выполняется
неравенство
y)dx <£.
Напомним, что в рассматриваемом нами случае b может
быть как конечным, т. е. числом, так и бесконечным, т. е.
526
равным +оо. Таким образом, в приведенном виде определение
равномерной сходимости годится одновременно как для случая,
когда интегрирование производится по конечному отрезку
[а, Z>], а несобственный интеграл возникает за счет неограни-
ченности подынтегральной функции, так и для случая, когда
несобственный интеграл получается за счет неограниченности
промежутка интегрирования [а, +оо).
Приведенные определения сходимости и равномерной сходи-
мости интеграла напоминают соответствующие определения для
рядов (см. п. 36.1 и 36.3). Между ними действительно имеется связь.
Пусть {т]п} — некоторая последовательность, такая, что
г|1=<2, г|„е[я, Ь), п=\, 2, ..., и lim iqn = /?.
Наряду с интегралом (54.1) рассмотрим ряд
00 щ -ь 1
Е f Ж y)dx.
к=1 Пк
(54.3)
Пусть
и-1 Пк+i
s„(j’)= Е f Ж Ж=Ж y)dx
- его частичная сумма. Тогда, если интеграл (54.1) сходится
(соответственно равномерно сходится) на множестве У, то,
очевидно, сходится (соответственно равномерно сходится) на
множестве У и ряд (54.3); при этом
т. е. рассматриваемый интеграл равен сумме ряда (54.3).
Определение равномерной сходимости интеграла можно
перефразировать еще следующим образом.
Определение 2'. Сходящийся на множестве У интеграл (54.1)
называется равномерно сходящимся на этом множестве, если
lim sup J/(x, y}dx =0.
(54.4)
T|-*/>--0 rGy
Действительно, если интеграл (54.1) равномерно сходится на
множестве У в смысле определения 2, то для любого 8>0
существует такое г|с</\ что выполняется неравенство (54.2) при
уе У и рс<т|<£> и, следовательно,
sup J / (х, у) dx ^8, Г|е < Г) < Ь,
УП
откуда и следует (54.4). Обратно, если рассматриваемый
интеграл равномерно сходится на множестве Y в смысле
определения 2'. то из условия (54.4) для любого £>0 следует
существование такого числа qe, что при ytY и qe<q<A
выполняется неравенство (54.2). □
Если рассмотреть интеграл
ь
y)dx,
n
то, очевидно, что условие (54.4) означает, чго этот интеграл
равномерно на Y стремится к нулю при q-»Z> —О (здесь в
терминологии п. 39.4 параметром является не )\ как это было
там, а переменная г|).
Равномерная сходимость на множестве Y интеграла (54.1)
означает также равномерное стремление на множестве Y
функции
п
ф(ь п)- )Ж )У1х (54.5)
а
при q——О к функции (54.1).
Действительно, последнее означает (см. п. 39.4), что для
любого £>0 существует такое qc<Z>, что для каждого q,
удовлетворяющего условию qe<q<Z), и всех геУ выполняется
неравенство
1ф0)-Ф(г. п)1<е-
Но
Ь г] b
Ф(у)-Ф(ь п) = £/Д, y)dx-^f(x, y)dx = $f(x, y)dx.
а а г)
Поэтому ь
y)dx Л <8.
Таким образом, условие Ф(у, г])=зФ(г) при q-^й —О равносиль-
г
но выполнению условий определения -2, т. е. равномерной
сходимости на множестве Y интеграла (54.1).
+ ос
Пример. Рассмотрим интеграл Ф(г)~ f В качестве
о
множества Y возьмем полуось у^О (при любом г<0 этот
интеграл расходится). Легко убедиться, чго рассматриваемый
интеграл сходится на Y. Для любого ос > О он сходится
равномерно на промежутке [а, + оо). Действительно, в этом
случае легко проверяется, например, выполнение условия (54.4)
52S
lim sup
Г)—♦ + X -V^a
ye xy dx
= lim supe = lim e “’’ = 0.
T|— + ОС Ja r|—* + ОС
На всей же полуоси
Y равномерной сходимости нет. В
n
самом деле,
lim sup
Т]—4-00
J ye ху dx
п
= lim sup е = 1,
Т|—*+ос .’ОгО
т. е. на множестве Y условие (54.4) не выполняется.
Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Если существует
неотрицательная функция ср(х), определенная на промежутке
[с/, Ь) и интегрируемая по Риману на каждом! отрезке [я, р], где
а<г\<Ь, такая, что:
1) 1/(х- г^е a^x<b, ytY\
2) интеграл J(p(x)Jx сходится, то интеграл (54.1) равномер-
а
но сходится на множестве Y.
Доказательство. Прежде всего, в силу признака сравне-
ния (см. п. 33.3), интеграл (54.1) абсолютно, а значит, и просто
сходится при любом ye Y Далее, в силу сходимости интеграла
ь
J(p(x)dx, для любого числа £>0 существует такое pf<Z), что
а
b
если ре<р<А, то J(p(x)c/x<£. Тогда, в силу условия 1 теоремы,
п
ь
P U y)dx
п
f|./(x, jJ| dx^Jcp(x)Jx<£, pe<p</>, yeY,
n n
ъ
а это и означает равномерную сходимость интеграла f/(x, y)dx
на множестве У. □
С помощью признака Вейерштрасса, например, сразу уста-
навливается, что интеграл
dx
~равномерно сходится на
всей вещественной оси — оо <j;< + оо. Действительно, интеграл
сходится и при любых х и у выполняется
1 1
неравенство------7
1 1мх-му- \Мх2
529
Из критерия Коши равномерной сходимости функции по
параметру (см. п. 39.4) непосредственно получаются необходи-
мые и достаточные условия (также называемые критерием
Коши) для равномерной сходимости интегралов.
Теорема 2 (критерий Коши равномерной сходимости инте-
гралов). Для того чтобы интеграл (54.1) равномерно сходился на
множестве Y, необходимо и достаточно, чтобы для любого 8>0
существовало такое v\<h, что для всех т|' и р", удовлетворяю-
щих условиям г]<г]'<Л, т]<т|"<Ь, и всех yeY выполнялось
неравенство
п
f/(x, y)dx
(54.6)
Действительно, как было отмечено, равномерная сходимость
интеграла (54.1) равносильна равномерному стремлению к
пределу функции Ф(у, р) (см. (54.5)), а неравенство (54.6) в
обозначениях (54.5) можно записать в виде
|ф(ь Г|')|<£.
Поэтому теорема 2 является просто перефразировкой теоре-
мы 4 из п. 39.4 для рассматриваемого здесь случая.
54.2*. ПРИЗНАК РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ
В этом пункте будет доказан признак равномерной сходи-
мости интегралов, аналогичный соответствующему признаку
для равномерной сходимости рядов (см. п. 36.3).
Теорема 3. Пусть функции j\x, у) и g(x, у) определены при
а^х<+со и yeY (а —конечно, Y—некоторое числовое мно-
жество), причем функция f(x, у) непрерывна по переменной х. а
g(x, у) имеет непрерывную по х производную Если:
1) функция у (а, у) при каждом yeY монотонна по х и
равномерно на множестве Y стремится к нулю при х-»оо;
п
2) интеграл J/(x, y)dx ограничен как функция переменных
а
ре[б/, +со) и yeY на множестве [«, +со)хУ; то интеграл
f g(v. y)dx
(54.7)
равномерно сходится на множестве Y.
Доказательство. Согласно второй теореме о среднем,
для интегралов (см. п. 30.3*) при любых q' и г|", я<г|'<г|",
справедливо равенство
530
n"
f g{x, y)f{x, y)dx =
n'
£ n"
=g(n'- .ШЖ j)^+g(r)", y)dx, (54.8)
n' t>
где т|'<£<т|". В силу условия 2) теоремы, существует
постоянная М>0, что для всех (т|, +оо)х Y имеет
такая
место
неравенство
f/(x, y)dx
Поэтому
J7(x, y)dx
n'
£ n
J y)dx— f/(x, y)dx
аналогично,
(54.9)
(54.10)
Зафиксируем произвольное e>0. В силу равномерного на
множестве Y стремления к нулю функции g(x, j) при х—> + оо,
существует такое ре>«, что для всех х>ре и всех yeY
справедливо неравенство
Л', J’)l
(54.11)
С помощью неравенств (54.9), (54.10) и (54.11) из (54.8)
следует, что для любых р'>ц£ и т|">т|£ имеет место оценка
п"
f g(x, y)f(x, y)dx
n'
>’)l
n'
+|g(n", y)l
n"
f/(x, y)dx
f /U
2M \
4M 4M
Таким образом, выполняется условие Коши (см. п. 54.1)
равномерной сходимости интеграла (54.7). □
Замечание. Можно было бы интеграл в левой части
равенства оценить и не прибегая ко второй теореме о среднем,
а поступая аналогично доказательству признака Дирихле в
п. 33.6, проинтегрировать его по частям. Это однако удлинило
531
бы доказательство и по существу были бы повторены рассуж-
дения, проведенные при доказательстве второй теоремы о
среднем.
Наличие у функции g(x, у) непрерывной производной по х не
является существенным и вызвано лишь тем, что вторая
теорема о среднем в п. 28.3* была доказана при этом
предположении.
+ 00
Пример. Интеграл J ^х равномерно сходится при
1
У^Уо>®' Действительно, функция g(x)
def х
1 + х2
убывает при х^ 1
и lim g(x) = 0,
х—* + 00
стремление g(x)
относительно у;
причем, поскольку g(x) не зависит от у. то
к нулю при х-> + оо происходит равномерно
кроме того,
п
sin ху dx
о
1 — cos г| г < 2
У Уо'
Таким образом, оба условия теоремы 3 выполнены.
Задача 33. Доказать, что если^функции /(х, у) и g(x, у) определены при
— оо<а^х< + оо и уеУ, причем J f(x, y)dx равномерно сходится на У. а
а
функция g(x, у) монотонна по х и ограничена на множестве [а, +оо)х У, то
+ ос
интеграл f g(x, y)f(x, y)dx сходится равномерно на У.
а
Упражнение 1. Пусть функции /(х) и g(x, у) непрерывны по х. функция
g(x. у) монотонно и равномерно относительно уе У стремится к нулю при
х—* + оо и имеет непрерывную производную х^а, yeY, а интеграл
+ оо +оо
f f(x)dx сходится. Доказать, чю интеграл f /’(x)g(x, y)dx равномерно
а а
сходится на множестве У.
54.3. СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ,
ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
При изучении свойств несобственных интегралов, завися-
щих от параметра, очень часто придется иметь дело с
перестановкой предельных переходов по различным перемен-
ным. Поэтому прежде всего докажем лемму, относящуюся к
этому вопросу.
532
Лемма 1. Пусть X и Y—два числовых множества;
функция f(x. j) определена на их произведении XxY (см. п. 41.2):
хеХ, уе У; х0 и у0 — числа или какие-то из бесконечностей оо,
+ оо, — оо и существуют конечные пределы
<p(x) = lim/(x, j), хеХ. и ф(у) = lim/(л, у), yeY.
у--»Уо -Y_>Yo
Если стремление функции f хотя бы к одному из. указанных
пределов происходит равномерно, то существуют и равны оба
повторных предела'.
lim lim/(x, y) = lim lim/'(x, у).
-V—>A'O y—>vo У—►J’o -Y—>-Yo
Доказательство. Пусть, например, функция /(х, j)
равномерно на X стремится к (р(х) при у->у0- Тогда для любого
фиксированного е>0 существует окрестность J7(j0) такая^ что,
каковы бы ни были у е U(у0)Q Y и хеХ, выполняется нера-
венство
|/(х, j)-(p(x)|<|. (54.12)
Если J4 е C7(jp0)Q К и У2е^(у)АУ’ то
|/(х, У1)-.Ж Уг)1^1Ж У1)~ф(*)1 + 1ф(*)-/(*’ Уг)1<е-
Переходя здесь к пределу при х->х0, получим
(54.13)
Согласно критерию Коши для существования предела
функции (см. п. 4.11), из (54.13) следует существование
конечного предела
lim ф (у) =
v-’To
Итак, доказано существование повторного предела
lim lim/(x, у) = А.
У—>.Уо •Y“>Yo
Зафиксируем теперь е U(y0) Q У. Тогда из (54.12) при y=yt
и из (54.13) при у2~*Уо соответственно получим
1/'(^ У1 )-<pWI<|, 1Ф(У1)-Л |^е. (54.14)
Для всех ye Y существует предел lim/(x, у) = Ф(у)- Поэтому
533
при фиксированном yt е <7(j0)Q Y для заданного е>0 найдется
такая окрестность L'(xo), что для всех х е (7(л0) ("X будем иметь
|/(л\ У’1)-ф(У1)|<£. (54.15)
Из неравенств (54.14) и (54.15) для всех хе С/(л*о)СХ имеем
|(р(х)-Л |<|ф(х)-/(х, yJI + l/U', }'])-ф(У1)1 + 1Ф(4’1)-^ 1<Зе,
что и означает существование повторного предела
Л == lim ф(х)= lim lim/(x, v). □
л —> .vn
Теор ем а 4. Пусть —сс<я<Л< + эо и функция /*(х. г)
определена для всех хе[щ 7>), те У и при любом yeY непрерывна
по х на [б/, Л). Тогда если при любом ре[г/, /?) функция f(x, у)
равномерно на отрезке [а. р] стремится к функции ф(х) при
У_^Уо*) и интеграл
ь
f./U y)dx (54.16)
а
равномерно сходится на множестве У, то
b Ъ h
lim J/(.y, y}dx = j lim f(x, y)dx=$ <p(x)dx. (54.17)
a a -r->.ro a
Доказательство. Если a<x]<h, то в силу теоремы 2 п.
53.1, имеем
пл л
lim J./(x, y]dx= J lim /‘(x, y)dx = |ф(х)г/х. (54.18)
y-*y0 a a y-»y0 a
Поэтому, согласно определению несобственного интеграла,
равенство (54.17) можно переписать в виде
л л
lim lim f/(x, y)dx = lim lim J./(x, y)dx. (54.19)
Л-Л’-О a T|-*b~O y—yQ «
Таким образом, остается доказать возможность перестановки
порядка предельных переходов для функции
л
ф(л Л ) = _[./'(*, y)dx.
Эго следует из доказанной выше леммы. В самом деле,
согласно (54.18), существует предел lim Ф(г, р). С другой
у->у0
стороны, существует и предел
*’ Здесь г0 число или одна из бесконечностей ос, + ос, — эо.
534
П ь
lim Ф(у, т|) = lim J Дх, >’) dx = \f{x, y)dx,
ri—b-0 n-*b-0 a a
причем здесь, согласно условию теоремы, стремление к пределу
происходит равномерно на множестве Y. Следовательно,
справедливость равенства (54.19) непосредственно вытекает из
утверждения леммы. □
Теорема 5. Пусть функция J(x, у) определена и непрерывна
(как функция двух переменных) на полуоткрытом «прямоуголь-
нике»
{(х, у}‘.а^х<Ь, c^y^d},
— оо<я<6^+со, —00<С<6?<+00.
ь
Тогда, если интеграл Ф(у) = |Дх, у) dx сходится равномерно на
[с, d]. то он является непрерывной функцией на этом отрезке.
Доказательство. Каково бы ни было y0G [с, d}. функция
Дх, у) при у->у0 равномерно на любом отрезке [а, т) ], а<г[<Ь,
стремится к функции /(х, у0) (см. п. 39.4). Поэтому, согласно
предыдущей теореме (см. (54.17)),
ь ь
lim Ф(Д = f lim Дх, у) dx = ^f(x, у0) €/х = Ф(з’о). □
У—У о а У—У о' а
+ 00
Упражнение 2. Доказать, что если интеграл Ф(Д = f f(x)g(x, y)dx
— 00
равномерно сходится на отрезке [с. d], функция f(x) абсолютно интегрируема на
действительной оси и для любого конечного отрезка [а, Ь] функция g(x, Д,
сXy^d, равномерно относительно х непрерывна на отрезке [с, d], то
функция Ф(т) также непрерывна на этом отрезке.
Указанные условия будут выполнены, если функция Дх) абсолютно
интегрируема на действительной оси, а функция g(x, у) ограничена и
непрерывна как функция двух переменных, — оо<х< + оо,
Теорема 6. Если выполнены предположения теоремы 5, то
d d b b d
j Ф(р) </>’== J y}dx=\dx\f(x, y)dy. (54.20)
с с a a c
Доказательство. Если жг|</), то по теореме 3 п. 53.1,
имеем
d т] т] d
]dy$f(x, y)dx = $dx$f(x, y)dy. (54.21)
с а ас
Ч
Функция Ф(у, T|) = J/’(x, y)dx непрерывна по у и при т|->& —О
стремится к своему пределу Ф(у) равномерно на отрезке [с, d].
535
Поэтому, согласно теореме 2 п. 53.1, в левой части равенства
(54.21) можно перейти к пределу под знаком интеграла при
г|->£ —0:
d 1] d d
lim y)dx = lim |Ф(г r|)dy = J lim Ф(у, r|)A =
T]—— 0 c a rj- - 0 c c r|—"b — О
d d b
= f Ф (j) dy = j dy f/(x. j) dx;
c c a
при этом полученный предел конечен. Следовательно, при
г)——0 существует тот же предел и у правой части равенства
(54.21), который, в силу определения несобственного интеграла,
равен
b d
y)dy. □
а с
Докажем одну теорему о перестановке порядка интегрирова-
ния для случая, когда оба интеграла несобственные.
Теорема 7. Пусть функция /(х, г) определена и непрерывна
на полуоткрытом прямоугольнике
{(.х, y):a^x<b. c^y<d],
— oo<tz<Z>^+oc, — эо<с<г7^+оо.
Если интеграл
ь
[f(x, y)dx (54.22)
а
равномерно сходится на любом отрезке [с, р], с<Г|<б/, а
интеграл
f/(x, y)dy (54.23)
С
равномерно сходится на любом отрезке [а, %], а<^<Ь. и
существует один из двух повторных интегралов
d b b d
j dy$ | /(.v, f dx [ |/(.v, j)</r.
c a a i
то существуют и равны между собой оба повторных интеграла
d b b d
$dyjf(x. y)dx и \dx\f\x. y)dy, с.
с а ас
d b b d
y)dx=jdxj.f(x, y)dy. (54.24)
536
Доказательство. Пусть, например, существует интеграл
b d
y)\dy (54.25)
а с
и пусть с < т| < d. В силу равномерной сходимости на отрезке
[с, т| ] интеграла (54.22), со1ласно теореме 6, имеем
т] b b г)
p/yf/fv, y)dx = j dx \f(x, y)dy. (54.26)
c a a c
Предел левой части этого равенства при г|—О, очевидно,
равен
d b
$dy$f(x, y)dx.
с а
Покажем, что предел правой части равенства (54.26) равен
b d
]dx]f(x, y)dy,
а с
т. е. что в этом случае возможен предельный переход при
г)—0 под знаком интеграла. Проверим выполнение предпо-
п
сылок теоремы 4 этого пункта. Функция Ф(х, т|) = |/(х, y)dy
непрерывна по х (см. теорему 1 п. 53.1) и, согласно условию
теоремы, на любом отрезке [а, ^], а<^<Ь, при x]-+d— О
равномерно стремится к интегралу (54.23), т. е. к функции
d
F(x) = J/(x. y)dy. Наконец, интеграл
с
b b г)
(Ф(х, y)dy
а ас
сходится равномерно относительно т|, c<V[<d, ибо
|Ф(л, 11)|^J|/(.V, y)\dy,
с
а интеграл (54.25), по предположению, сходится.
Следовательно, условия теоремы 4 для правой части
равенства (54.26) выполнены, поэтому
b d b d
lim [Ф(х, г|)<7х = | lim Ф(л. r|) Jx = j^xj/(x, y)dy.
i]-—d -0 a a v^d - О а с
Итак, доказываемое равенство (54.24) получается из (54.26)
предельным переходом при т|—0. □
537
Перейдем теперь к рассмотрению дифференцируемости
несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Теорема 8. Пусть функция f(x, у) и ^х-—1 определены и
оу
непрерывны на полуоткрытом прямоугольнике
A = {a^x<b, c^y^d},
— оо <a<b^ + оо, — ос- <с<б/< + ос.
ь
Если интеграл f(x„ y)dx сходится, а
а
равномерно сходится на отрезке [с, d\
ь
= f/(x, y)dx непрерывно дифференцируема
а
b
f df(x, у) ,
интеграл —------- dx
J дУ
а
то функция Ф (у) =
на этом отрезке и
ь ь
~ f(x, y)dx = f —~^dx.
dy J J °У
a ,a
b
Доказательство. Представим функцию Ф(у) = £/’(х, y)dx
а
в виде сходящегося на отрезке [с, d} ряда
Ь 00 п„+1
Ф(>') = [Ж y)dx= У J Дх, y)dx, (54.27)
а п — 1 п
•и
dx — в виде
где т]„, я=1, 2, — фиксированная последовательность такая,
что т]и е [а, Л), г] j = а и lim т]п = Ь, а функцию
п—-со
равномерно сходящегося на отрезке [с, d] ряда
Г 8l^dx. (54.28)
J 8У n=i J дУ
a
Согласно теореме 4 п. 53.2, каждый член ряда (54.28)
является производной по переменной у от соответствующего
члена ряда (54.27), а поэтому, в силу теоремы о дифференциро-
вании рядов (см. п. 36.4), сумма ряда (54.28) является
производной суммы ряда (54.27). □
Как уже отмечалось, все предыдущие формулировки и
доказательства относятся к несобственным интегралам, завися-
538
щим от параметра, которые удовлетворяют условиям 1) и 2),
сформулированным в начале п. 54.1. Совершенно аналогично
рассматриваются и другие случаи, например когда:
Г) — оо + оо;
2') при любом ye Y функция /‘(х, у) на переменной х
интегрируема, по Риману, на каждом отрезке [^, т| ], где
с/ < £, < г| <Ь.
Построенная теория интегралов, зависящих от параметра,
естественным образом переносится и на случай, когда интеграл
зависит о г двух или вообще от некоторого конечного числа
параметров >4, ..., уп. При этом многие формулировки
определений и теорем, а также доказательства формально
остаются прежними, если только вкладывать новый смысл в
применяемые обозначения. Это относится, например, к опреде-
лению равномерной сходимости и теореме о предельном
переходе под знаком интеграла, следует только считать, что
= ..., уи) —конечная точка л-мерного евклидова простран-
ства, у0- конечная или бесконечно удаленная точка того же
пространства, а р->р0 понимать в смысле предела в этом
пространстве.
54.4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ,
ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА,
К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
До сих пор в нашем распоряжении было два способа
вычисления определенных интегралов. Первый из них ис-
ходит из определения интеграла как предела интегральных
сумм й широко используется в численных методах (с ними
мы более подробно ознакомимся в п. 62.4). Второй способ,
которым мы уже постоянно пользовались, основан на на-
хождении первообразной подынтегральной функции и при-
менении формулы Ньютона — Лейбница. Оказывается, что
иногда удается получать точные значения определенных ин-
тегралов, используя теорию интегралов, зависящих от па-
раметра. При этом ценность этого метода состоит в том, что с
его помощью в ряде случаев вычисляются интегралы от
функций, первообразные которых не являются элементар-
ными функциями и тем самым обычный способ использо-
вания формулы Ньютона — Лейбница оказывается неприме-
нимым.
Пример 1. Пусть требуется вычислить интеграл
1
J= [-ai'c-t-gx- dx. > (54.29)
J Л'У 1 - A'2
О
539
Приведем способы его вычисления, основанные на его замене
некоторым интегралом, зависящим от параметра, для которого
(54.29) является частным значением.
Рассмотрим функцию f(x, v) = arctg и интеграл
1 1
J Су) = \f (.х, у) dx = fdrelgxJ . dx.
J J х\/1 — x
о о
(54.30)
Очевидно, что интеграл (54.29) получается отсюдачпри у=1. Так
как a^tgx>2. = C>(l) при х->0 и
любом фиксированном у,
любом у.
Из неравенства
TO
arctg ху
Х\/1 —X2
интеграл (54.30) сходится при
= 1 при х—>1 и
мости интеграла
Ш у)
ду
(1 + х2у2 )^/1 — х2
.2
и сходи-
1
Г дх л
=- следует, что интеграл
Jx/1-^2 2
о
1
8f^dx
J 8У
О
(54.31)
равномерно сходится на всей вещественной оси и, согласно
теореме 8 п. 54.3, равен J'(y).
Выполнив последовательно замены переменного интегриро-
вания x = coscp и Z = tg<p, получим
1
п/2
J'W)=
о
dx
,2\ /1^2
dtp
1 +у2 cos2 ср
о
о
л
dt
\+y2 + t2
= arctg —=
г2 \/Т+7
о 2Ч/1+ у2
Отсюда, согласно определению неопределенного интеграла,
вытекает, что
J(y)= [f(y)dy=? Д~д = 3 In (у+71+/)+С.
Но из (54.30) следует, что <7(0) = 0, поэтому С=0 и
540
7(у) = | 1п(у + 71+>’2)-
Подставляя сюда у=1, получаем значение искомого интеграла
(54.29)
J=7(l) = ^ In (1+^/2).
Интеграл (54.29) можно вычислить й используя интегрирова-
ние по параметру. Заметив,
arctg х
ЧТО ----— =
—получим для J
о
выражение
dx
.2
О
1
f dy
I 1 v-2.,2
(54.32)
Интеграл же
dx
J (1 + х2у2 )^/1 — х2
о
сходится равномерно
по
у, ибо
.2
а интеграл
1
/»
dx
СХОДИТСЯ.
/1 — V-2
Поэтому в
О
(54.32) можно переменить порядок интегрирования
му 6 п. 54.3). ~
выше значение
(см теоре-
найденное
Тогда (используя непосредственно
получающегося интеграла по х) находим
1
J= dy
dx _ к f
>2 Х/1 -х2 2 J
О
О
Пример 2. Вычислим значение интеграла
М|л(|+^)'
/(<*) =
sin ах ,
-------dx.
(54.33)
о
о
о
Можно показать, что соответствующий неопределенный инте-
грал при ос не выражается через элементарные функции, и
тем самым' данный интеграл нельзя вычислить обычным
приемом с помощью формулы Ньютона —Лейбница.
Интеграл (54.33) сходится при всех значениях а. Действи-
тельно, если ос = 0, то, очевидно, /(0) = 0. Если же ос#О, то,
541
производя замену переменного t = их при ос > О и t = — их при
и < 0. получим
+ со
S—Л = /(1), 'если ос>О,
t
если ос<О.
Интеграл же /(1) сходится (см. п. 33.5), поэтому и интеграл /(ос)
сходится.
Для того чтобы вычислить интеграл (54.33), рассмотрим
более общий интеграл /(ос, Р) =
о
Продифференцировав формально по ос под знаком интегра-
ла, получим интеграл
е ^Xcosuxdx, который при любом
о
фиксированном £>0 равномерно сходится относительно пара-
метра ос, —оо<ос<+оо. Следовательно, при р>0 (см. т. 1,
п. 26.4)
а/(ос, Р) f -вх Р
да J а2 + р2
о
откуда
а
Ж ₽) = j^+C(₽) = arctg?+C(P).
О
Но /(0, р) —0, следовательно, С(р) = 0. Итак,
/(а, р) = arctg р>0.
Нас, однако, интересует значение интеграла /(ос, Р) при р = 0.
Проще всего попытаться обосновать возможность предельного
перехода под знаком интеграла /(ос, Р) при Р->+0. Зафиксируем
число Ь^О и покажем, что интеграл /(а, р) при любом
фиксированном ос/0 равномерно сходится по параметру р на
отрезке [0, b ]. Действительно, интегрируя по частям (см. там
же, п. 26.4), получим
542
+ 00
-рх
sinax^_ а cos a-v + Р sm ах +ос
V' V- г/2 R2 ~
_px oc cos ocx + p sin ocx dx
e 72J_R2 T2'
n
Зададим произвольно £>0. Выберем r|e так, чтобы при т| > т|
выполнялись неравенства
1 ос cos осп + P sin ocr]
i/ oc2 + p2
|oc| + Z> 1 £
П<2’
ос2
- рх ос cos осх + Р sin осх dx
|а| + 6
ос2
dx £
x2<2
Тогда при т|>ц£ получим
sin ax ,
e рл----------dx
8, что и доказыва-
е
П
л
п
2 y2
п
п
ет равномерную сходимость интеграла /(ос, Р) по параметру Р
на любом отрезке [О, Z?]. Теперь, в силу теоремы 4 п. 54.3,
Z(cx) = /(oc, 0)= lim /(ос, р) = lim arctg ^=- sign ос;
+ о + о Р 2
итак,
/(ос) =
sin осх j
-------dx= <
о
Следует обратить внимание
по ос в (54.33) привело бы
л/2,
О,
— л/2,
если
если
если
сх = О,
что дифференцирование
на то,
к расходящемуся интегралу
cosocxdx. Оно стало возможным в /(ос, Р), благодаря
о
наличию множителя е ₽х, р>0, называемого «множителем
сходимости». Вычисление интеграла вида
f(x) dx путем
о
перехода к
е *xf(x)dx, дифференцирования по (3, нахождения
0
543
полученного интеграла и перехода к пределу при р~>0
называется «методом введения множителя сходимости».
Знание значения /(а) позволяет легко находить и значение
многих подобных интегралов. Например, легко можно показать
(и это мы используем в дальнейшем), что
1 — COS ОСА 7 . . / с л ~ . ч
-----—dx = \ ос | л. (54.34)
Действительно, интегрируя по частям, найдем
1 — COS ОСА ,
dx — a
sin ОСА J -
-------dx = 2a
sin ОСА . ,
— dx — I ос I тс.
54.5. ЭЙЛЕРОВЫ
ИНТЕГРАЛЫ
г2
О
Рассмотрим
интегралы
1
В
(54.35)
о
Г(5’>
(54.36)
о
называемые эйлеровыми интегралами соответственно первого и
второго рода. Интеграл (54.35) называется также бета-функцией,
а (54.36) — гамма-функцией.
Выясним прежде всего, для каких значений параметров р, q и
5 имеют смысл правые части формул (54.35) и (54.36).
Рассмотрим сначала интеграл (54.35). Подынтегральная функ-
ция имеет, вообще говоря, две особенности: при х = 0 и при
х=1, поэтому представим его в виде
Т2 1
В (р, q) = хр~ 1 (1 -х)^1 dx + хр~ 1 (1 -xf1 dx.
г г
О 1/2
Сравнивая первый интеграл в правой части с интегралом
1/2
/»
хр “ 1 dx, а второй — с
а.
1
/»
(1 — x)li ~1 dx, которые сходят ся
о
1/2
544
соответственно при р>0 и q>Q и соответственно расходятся
при выполнении неравенств и (см. п. 33.3), получаем,
что областью определения бета-функции (54.35) в плоскости р. q
является прямой угол p>Q, q>0.
Далее, интеграл В (р, q) равномерно сходится в каждом
прямом угле р^Ръ, q^q^, каковы бы ни были /?о>0 и qQ>Q.
Действительно, это следует, согласно признаку Вейерштрасса
(см. п. 54.1), из неравенства
^(l-x)^1^0’1 (1-хГ0-1, O^x^l,
и доказанной выше сходимости интеграла
1
В(р0> <7о) = *Ро“1 (1-х)"0'1 dx, ро>0, </о>0.
Поскольку всякая точка (р, q), /?>0, <7>0, принадлежит
некоторому углу; p>pQ, q><4v, при соответствующем выборе
чисел Pq>$ и qQ>ti, то, в силу теоремы 5 п. 54.3, функция
В (/>, q) непрерывна по всей своей области определения.
Для отыскания области определения гамма-функции (54.36)
представим ее в виде
1 + х
TU) = xs-'e~xdx+ xs~'e~xdx. (54.37)
о 1
Сравнивая первое слагаемое в правой части с интегралом
/»
xs~ldx, который сходится при s > 0 и расходится при 5^0,
о
1
получим, что xs~1e~xdx сходится и расходится при тех же
о
значениях параметра я. Что же касается второго интеграла в
правой части равенства (54.37), то он сходится при всех зна-
чениях 5. Это, например, следует из справедливости при любом s
асимптотического равенства Xs"1 е~х = о(е~х/2) для х-> + ос и из
сходимости интеграла J е~х>2 dx = 2e~1/2. Таким образом,
1
интеграл (54.36) сходится для всех л>0 и расходится при
Покажем теперь, что интеграл (54.36) равномерно сходится
на всяком отрезке [л’р s2]> гДе 0<л\ <s2 < + оо. Действительно,
пусть 5jOO2; тогда если O^x^l, то
545
1 о
xs x^xSl re x,
а если x^l, to
xs re X^x*2 xe x,
1 + OO
и так как интегралы JxS1-1 е~хdx и xS2~Y е~хdx сходятся, то
о 1
из формулы (54.37), в силу признака Вейерштрасса равномерной
сходимости интегралов (см. п. 54.1), вытекает равномерная
сходимость интеграла Г (5) на отрезке s2]. Отсюда, в силу
теоремы 5 п. 54.3, следует, что функция Г (5) непрерывна
во всей своей области определения.
Упражнение 3. Доказать, что функции В(р, q) и Г(5) бесконечно
дифференцируемы.
Задача 34. Доказать, что В(р, q) и Г (s) являются аналитическими функциями.
Установим некоторые свойства интегралов Г (л) и В(р, q).
Прежде всего из формулы (54.36) непосредственно получаем
Г(^)>0 (5>0), (54.38)
в частности гамма-функция не имеет нулей. Далее, проинтегри-
ровав по частям, получим
Г(5+1) =
х dx =
о
+ оо
/»
Xs-1 е~х dx = sV (5).
о
(54.39)
Таким образом, если s>n (п=\. 2, ...), то
Г (*у) = (л* — 1) (^-2)...(5-д)Г(5-д). (54.40)
При любом s > 0 можно выбрать целое неотрицательное
число п так, чтобы Осз1 — (п = 0, 1, 2, ...), и тогда Г(5) с
помощью формулы (54.40) будет выражаться через значение
гамма-функции в некоторой точке промежутка (0, 1]. Иначе
говоря, зная значения гамма-функции на промежутке (0, 1],
можно найти ее значение в любой точке.
Заметим еще, что Г (1) = 1, и, следовательно, в силу формулы
(54.40),
Г(д+ 1) = и!.
546
Отсюда видно, что гамма-функция T^+l) является про-
должением функции Д определенной только для целых
5 = 0, 1, 2, на всю полуось s> — 1 действительных чисел.
Из свойств бета-функции В(р, q) докажем следующие.
1(. Для любых р > 0 и q > 0
В (Л 9) = В(.^ р). (54.41)
Чтобы в этом убедиться, достаточно в интеграле (54.35)
выполнить замену переменного t=\— х.
2°. Для любых p>Q и q>\
(54.42)
Аналогично, в силу симметрии (см. (54.41)), для любых q>0
и р> 1
(54.43)
Действительно, проинтегрировав по частям (54.35) и за-
метив, что хр(1 — x)q~2 = xp~1 (1 — x)q~2 — xp~l (1 — x)q~\ полу-
чим
В(л
=^-1в(р, q— 1)-^--В(р, q),
р р
откуда следует (54.42), а в силу симметрии, и (54.43).
3°. Для любых р>0
ТЛ / \ г» / \ 1'2-3 ... (п— 1) ! о
В(д, и) = В(и, р)= ——-—-, п=1, 2, ... .
р(р+1) ... (р + и-1)
Эта формула получается последовательным применением соотно-
/*
шения (54.42), если только заметить, что BQ?, 1)— хр~ ldx = ~.
о
о/ у (П-1)! (т-1)!
Если же и р = т — натуральное число, то В(т, п)=—----------——.
547
Между функциями В (р, q) и Г (5) существует связь, которая
устанавливается формулой Эйлера
в(р^)=£^.
T(p+q)
р>0, q>0.
(54.44)
Докажем ее, следуя методу Дирихле. Сделаем в формуле (54.36)
замену переменного x=(l + t)y, t>Q:
г (5)
(1+?Г
+ 00
J ys~le~(l+t)y dy
о
и положим s=p + q, р>0, #>0; тогда
Г (/? + ?)
(1+г)^
+ 00
yp+q-le-(l+t)ydy^
О
Умножим обе части этого равенства на tp 1 и проинтегриру-
ем по t от 0 до +оо:
Г(д+4)
?Р‘+ dt
J (1 + + “
о
+ 00
/»
tp~rdt
о
+ 00
yp + q-le-{l^y dy^
О
(54.45)
В интервале, стоящем в левой части этого равенства, выполним
X
замену переменного t=-—:
+ 00 1
zp-i f
Jxp-1(l-^“1^ = B(p,4). (54.46)
0 0
Для вычисления правой части равенства заметим, что
+ 00 4- 00
t^dt yp+‘,~1e~(1+‘>ydy =
О о
4- оо Ч-оо
= lim \tp-ldt \ yp+q-le~^t}ydy. (54.47)
+о J J
о $
4- оо
Действительно, обозначая Ф(/, £) = J yp+q~le~{l +t}y dy~ из-оценки
£
548
t,
о
+ оо 4-оо
j tp l Ф(1, 'Qdt^ /Р-1Ф(/, 0)6?/
О о
заключаем, что при £->+0 функция Ф(Л Q стремится к
Ф(7, 0) равномерно относительно Ze (О, +оо) и что интеграл
4- оо
1Р~1Ф(1, Qdt равномерно сходится относительно ибо
о
сходится интеграл (54.45). Следовательно, в правой части (54.47)
можно перейти к пределу под знаком внешнего интеграла. Далее,
+ оо 4-оо
/₽-1Л ур+<1~1 e~(1+,)ydy =
о
4-оо 4-оо
Г г
= yp+q-le~ydy ^>0, q>\. (54.48)
К о
Перестановка порядка интегрирования здесь возможна
4- оо
в силу того, что, во-первых, интеграл J yP+q-ie-(i+t)y^у
равномерно сходится по t на любом отрезке [0, а], что следует
из равномерной оценки подынтегральной функции
tp-lyP + q-le-(l+i)y^ap-lyP + q-le-yf
4- оо
и сходимости интеграла
yp+q у^у, во-вторых, интеграл
£
^р4-^-1 е~у
о
tP-^-^dt
равномерно сходится по у на любом отрезке [£,, Z>], %>0, что
следует из равномерной оценки подынтегральной функции
yP + q-le-y^p-le7ty^bP + Q-lfp-le~^
549
и сходимости интеграла J tp 1е & dt; в-третьих, интеграл,
о
стоящий в правой части равенства (54.48), существует. Таким
образом, законность перестановки порядка интегрирования в
(54.48) следует из теоремы 7 п. 54.3 (отметим, что здесь
подынтегральная функция неотрицательна).
Выполнив замену переменного ty = u, получим
+ оо + 00 + 00
J yP+^le~ydy tp~le~'dt = T(p) y^'e^dy. (54.49)
£ О
Наконец,
+ 00
/»
lim yq~ le~y dy = r (q).
+ o J
(54.50)
Из (54.45) — (54.50) получаем формулу (54.44) для p^l, q^\.
Если теперь р > 0 и q > 0, то, по доказанному,
В(р+1, <?+ 1) =
Г^+1)Г(<7+1)
Г (/?-4-iy Ч-2)
Применяя соотношения (54.39), (54.42) и (54.43), получим
формулу (54.44) в предположении /)>0, q>Q. □
54.6. КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
АРГУМЕНТА
Мы будем в дальнейшем систематически рассматривать комп-
лекснозначные функции и’ (t) = и (/) + iv (/) действительного аргу-
мента t (функции и (г) и v (0 принимают действительные значения).
Мы уже встречались с понятием предела и непрерывности подоб-
ных функций. Производная функции w (t) определяется по формуле
def
w'(t) = u (t) + iv' (t).
Покажем, например, что, согласно этому правилу,
(eI0tZ)' = zaeI0tr. Действительно.
(eiat У = (cos а/ + i sin а/)' = — а sin аг + za cos а/ =
= za (cos аг + i sin а/) = iuelM.
Исходя из определения производной w' легко доказыва-
ется и правило дифференцирования сложной функции: если
t = — дифференцируемая функция действительного аргумен-
550
та т, то
<=^;гт.
Аналогично определяется и интеграл (собственный или
несобственный) от функции w = u-\-iv:
ъ ъ ь
с
w (t) dt = и (/) dt+i г (/) dt,
а а а
Интеграл (и (х) + iv (х)) dx называется несобственным, если не-
а
b b
собствен хотя бы один из интегралов ^u(x)dx и Jr(x)t/x. При
а а
b
этом несобственный интегралам (х) +/г (х))б/х называется сходя-
а
b b
щимся, если сходятся как ^u(x)dx, так и Jr(x)dx. В этом случае
а а
b b b
def Г
(и (х) + iv (х)) dx = \и (х) dx-yi v (х) dx.
а а а
При этом функция w называется абсолютно интегрируемой,
если абсолютно интегрируемы функции и и v.
Это равносильно тому, что абсолютно интегрируема абсо-
лютная величина |w| самой функции w. Это сразу следует (в
силу признака сравнения для сходимости интегралов), с одной
стороны, из неравенств
I mI^^/m2 —г2 = | и’|,
I | л/м2 + г2 = I W I,
а с другой — из неравенства
I w I = у/и2 + т2^2(|м| + |г|)
оно сразу получается возведением в квадрат неравенства
I и I -1» | )2 >0).
551
Очевидно, что ряд свойств интегралов от действительных
функций (линейность интеграла, аддитивность его по множест-
вам и т. п.) автоматически переносится и на комплекснозначные
функции. Отметим, например, что если w (х) = и (х) + iv (х), где
и(х) и v(х) — интегрируемые по Риману на отрезке \а,
ъ
действительные функции, то интеграл и’(х)<7х также является
а
к
пределом интегральных сумм £ и’(^)Ахг- (т = {x£}'-Zjj—раз-
1 = 1
биение отрезка
\а, Z>], Xi-iAxi = xi — xi-i, z=l, 2, ..., zT):
b
J w(x)dx = lim aT,
a |t|-0
где | т | — мелкость разбиения т. Отсюда, как и для действитель-
ных функций, следует, что в этом случае функция |и (х)| также
интегрируема по Риману и что выполняется неравенство
ь ь
J w (х) dx J | w (х) | dx.
а а
Предельным переходом справедливость этого неравенства уста-
навливается и для абсолютно интегрируемых в несобственном
смысле комплекснозначных функций.
Из того, что формула Ньютона — Лейбница, формула
замены переменной в интеграле и формула интегрирования по
частям справедливы для действительной и мнимой частей
комплекснозначной функции действительного аргумента, сле-
дует, что эти формулы имеют место и для самой этой функции
Вместе с тем в случае функций, принимающих комплексные зна-
чения, следует быть осторожным при использовании аналогов тео-
рем, доказанных для действительных функций. Далеко не все ут-
верждения, справедливые для функций действительного аргумен-
та, принимающих только действительные значения, переносятся
на комплекснозначные функции. С подобной ситуацией мы уже
встречались при изучении векторных функций (см. п. 15.2ип. 37.9*).
Например, утверждения, подобные теореме Ролля, а следователь-
но, и теореме Лагранжа о средних значениях, не имеют места для
комплекснозначных функций. Это показывает пример, приведен-
ный в п. 15.2, если его записать в терминах комплексных
чисел.
Именно: рассмотрим функцию /(z) = cos r + zsin /, 0^?^2тс;
тогда /(0)=/(2ti) = 1, /'(/) = —sint + icost. Так как |/'(/)| =
552
^^/sin z + cos t= 1, то не существует такой точки ^g[0, 2л], что
/'(£) = (). Следовательно, аналог теоремы Ролля в этом случае не
имеет места.
Неверным оказывается и правило Лопиталя, доказательство
которого было основано на теоремах о среднем. Подтвердим
это примером
Пусть /(z) = Z, g(t) = t + t2el , O<Z<1. Поскольку, согласно
формуле Эйлера, c,/f2 = cos-^+zsin^, то
| е 1/г | = /cos2 — + sin2 — = 1.
\ t2
Поэтому Iim/(/) = limg(z) = O и
г -О 1^0
lim — =lim (1 + te'"') = 1.
(54 51)
Заметив, что
g'(/)=l+(2z-y к!/'2, 0<Г<1,
получим
Следовательно,
/'(4
НО
вследствие чего
1 < t
НтЦЦ=0.
(54,52)
Сравнивая (54.51) и (54.52), убеждаемся, что в данном случае
правило Лопиталя не применимо.
* Этот пример заимствован из книги: Рудин У. Основы математического
анализа. М., 1966.
553
54.7*. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ
Покажем, что асимптотическое поведение гамма-функции
+ 00
Г(5+1)= J e~xxsdx. s> — 1,
о
(54.53)
при больших значениях независимой переменной s может быть
описано довольно простой формулой, содержащей только
элементарные функции.
Подынтегральная функция в интеграле (54.53) прини-
мает, как легко видеть, наибольшее значение при x = s.
Выполним в этом интеграле замену переменной интегри-
рования, перенеся точку x = s в новое начало координат:
x = s+y, а затем произведя преобразование подобия с
коэффициентом, равным 5: y=st. т. е. положим х = 5(1+г).
Получим
+ 00
r(5+l) = e’s5s+1 f [e“'(l+z)]s^. (54.54)
Рассмотрим функцию
def
ф(г) = е ~*(1 + /), — оо <t< +оо,
(54.55)
Поскольку ф'(г) = — te то при />0 функция ср убывает, при
/<0 — возрастает, а в точке Z = 0 достигает наибольшего
значения ф (0) = 1. Далее, положив
def
h(t)= —г + 1п(1 +/), — 1<г<—оо, (54.56)
получим
где при 111 < 1
и поэтому
ф(/) = £’/1(0, — 1 <t< Н-00,
t2 t3 t*
мо-4+7-т+-
Л(/)=-у+о(/2), ^0.
(54.57)
(54.58)
Итак, гамма-функция представима в виде (см. (54.54), (54.55) и
(54.57))
+ 00
r(5+l) = e-s5s+1 f eshWdt,
-1
(54.59)
554
где поведение функции h(t) при /->0
описывается соотношением (54.58).
Прежде чем переходить к выво-
ду асимптотической формулы для
Г(5+1) при 5-> + оо, поясним метод
ее получения с помощью нестрогих,
но правдоподобных рассуждений.
График функции ср (г)
имеет вид, изображенный на рис.
245. При возрастании параметра s
график функции [ср (г)]5 будет «прижиматься» к оси переменной
t и к единичному отрезку оси ординат. Поэтому ясно, что
интеграл
J esh{t}dt,
-1
Рис. 245
(54.60)
стоящий в правой части формулы (54.59), при больших
значениях s будет хорошо приближаться интегралом
§
J esh{t}dt, (54.61)
-8
(где 8>0 произвольно, но фиксировано) причем с тем большей
точностью, чем больше значение параметра s. Иными словами,
если s достаточно велико, то как при — 1 < t< — 8, так и при Z>8
значения функции esh(t} столь малы, что каждым из интегралов
-8 а;
j esh(t} dt и \esh{v*dt можно с высокой точностью пренебречь.
-18 '' ♦
Естественно ожидать, что при фиксированном 8>0 и отно-
сительная погрешность приближения интеграла (54.60) с по-
мощью интегралов вида (54.61) может быть сделана сколь
угодно малой за счет выбора достаточно большого значения
параметра 5.
В силу (54.58), взяв достаточно малое 8>0, можно интеграл
(54.61) хорошо приблизить интегралом
8
е и2 du.
-8
-‘Vi
Если 8 > 0, то правая часть этого равенства
стремится к интегралу Пуассона (см. п. 48.2)
J е
— 2 I—
u du = y/n.
(54.62)
при 5->Ч-00
(54.63)
555
В результате интеграл (54.60) при больших значениях s
оказывается в каком-то смысле хорошо приближенным выраже-
нием 7(2л)/5 (см. (54.62) и (54.63)). Поэтому естественно
попытаться доказать асимптотическое равенство
f esh{t}dt~, s-* + oo.
Покажем, что оно действительно имеет место. Зададим
произвольно 8, 0<8<^. В силу (54.58), существует такое 8,
О < 8 < 1, что для всех te [ — 8, 8 ] выполняется неравенство
t2
h(t)+- <£?2’
т. е.
Следовательно, в силу монотонности функции ех,
5>0 имеет место неравенство
(1+2е)яГ2 r (1—2е)яг2
е 2 <es <е~ 2 .
при всех
(54.64)
выполнив замену переменной интегрирования t = u
Заготовим еще одно соотношение, которое нам понадобится:
/ т~
(1+28)5’
получим
(1 ± 2s) я/2
2 dt =
e~u2du = /__—___
(54.63)^ (1+28)5*
е
(54.65)
Нужная
оценка сверху интеграла
f esh^dt
(54.66)
получается
легко:
esh^dt
(54.64) I
- 1
(1 — 2s) яг2
е 2 dt
(1-2Е)я/2 /
е 2 dt = -----—.
(54.65) ^(1-2ф
(54.67)
556
Снизу интеграл (54.66) оценивается сложнее. Предварительно
докажем одно вспомогательное неравенство:
557
(по ходу вычислений мы воспользовались здесь тем, что
_ (l+2e) (s-l)t2
функция е 2 на бесконечных промежутках ( — оо, 8] и
[5, + оо) принимает наибольшие значения в точках t= ±8), где
(l+2s)52 п
а=-------— >0, с = е г
2
Таким образом, а и с зависят от е, но не зависят от 5
(напомним, что 8 также зависит от е).
Теперь можно оценить интеграл (54.66) снизу
+ оо +оо (1+2е) st2
f esh{t)dt > f e~ 2 dt^
Д (5<64)
6 (l+2s)sf2 I ~
<5469>
Итак,
/—-------ce-as +f eSh(')dt < •
•\/(l+2g)5 (54.69) (54.67)д/ (l-2gjj
П ’ fa
Поделим полученное неравенство на /—:
Перейдя в этом неравенстве к пределу при + оо, получим,
что для любого е>0 имеет место неравенство
1 г
hm
+2е в—+ о
esh^dt^—l—.
Устремив здесь 8 к нулю, получим
V 1
hm —г
esh("dt=\,
558
или, что то же, искомое асимптотическое равенство
Умножив обе его части на е sss+1, в силу (54.54), получим
асимптотическую формулу
s-^ + оо, (54.70)
называемую формулой Стирлинга для гамма-функции. Эта
формула является, очевидно, обобщением формулы Стир-
линга для факториала натуральных чисел (см. п. 37.8), ко-
торая получается из (54.70), если положить s = n. ибо Г (п + 1) = п\
(см. п. 54.5).
54.8*. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
В п. 37.10* изучались разложения функций в асимптотиче-
ские степенные ряды при х--* + оо. Напомним, что ряд
называется асимптотическим разложением функции f при
х-* + оо, если его частичные суммы
S„(x)-a0+^+...+^
удовлетворяют условию
Понятие асимптотического разложения функции естествен-
ным образом обобщается на ряды по системам функций,
образующих гак называемые асимптотические последователь-
ности.
Определение 3. Последовательность функций <ри(х), и = 0, 1,
2, ..., определенных в некоторой проколотой окрестности точки а
(конечной или бесконечно удаленной), называется асимптотичес-
кой последовательностью при х^»а, если для всех n = Q, 1, 2, ...
имеет место соотношение
фп+1(х)=о(ф„(х)), х-^а. (54.71)
559
Примерами асимптотических последовательностей при х^»а
являются фи(х) = (х — а)п, если а—конечная точка и фн(х) = х“п,
если я=+оо или а= — оо, п = 0, 1, 2, ... .
Определение 4. Пусть ф„(х), /1 = 0, I, 2, ..., является
асимптотической последовательностью при х-+а. Ряд
а0Фо(х)+а1Ф1(х)+... + о„ф„(х) + ... (54.72)
называется асимптотическим рядом (или асимптотическим
разложением) при х-+а заданной функции f, определенной в
некоторой проколотой окрестности точки а, если его частичные
суммы
s„ (Д = «оФо (*)+а\ Ф I (*) + • • + О„ф„ (л-) (54.73)
удовлетворяет условию: для любого /1 = 0, 1, 2, ... имеет место
аси митотическое равенство
/(Д-'М-*) = Дфп(*)), (54.74)
Лемма 2. Пусть ф„(х), /7 = 0, 1, 2, ...,— асимптотическая
при х-^а последовательность. Для того чтобы ряд (54.72)
являлся асимптотическим разложением функции f при х-*а,
необходимо и достаточно, чтобы
ЛД-5„(х) = С>(ф„+1(х)), n = Q> Ь 2’ •••• (54.75)
Иначе говоря, ряд (54.72) является асимптотическим разло-
жением функции / при х^а тогда и только тогда, когда его
частичная сумма S„(x) служит приближенным значением функ-
ции Дх) с точностью до O(cp,l + ] (х)) при х-*а. т. е. ошибка имеет
порядок первого отбрасываемого члена.
Доказательство необходимости условия (54.75).
Соотношение (54.74) при /1=1, 2, ... можно переписать в виде
/(*) - $„ _! (х) - а„(р„ (х) = о (ф„ (х)), х-*а,
откуда
/(х)-5,„_1(х) = а„ф„(х) + о(ф„(х)) = С»(ф„(х)), х->я, /7=1, 2,...,
т. е. выполняется условие (54.75). П
Доказательство достаточности условия (54.75). В
силу (54.75) и (54.71), имеем
./(- sn (*) = О (ф„ + J (х)) = О (о (ф„ (х))) = о (ф„ (х)), х->а,
/7 = 0, 1, 2, ...,
что совпадает с (54.74). □
560
Любопытно отметить, что если для любого /7 = 0, 1, 2,
выполняется условие
Дх)-5'„(х) = (9(фп(х)), х^а, (54.76)
более слабое, чем (54.74), то из него, в силу (54.71), следует
(54.74). Иначе говоря, выполнение условия (54.76) для всех п = 0,
1, 2, ... означает, что ряд (54.72) является асимптотическим
разложением функции f при х-+а. Действительно, из (54.76) для
/7=1, 2, ... имеем
/(х) - S„ . ! (х) = ап Ф„ (х) + О (ф„ (х)) = О (ф„ (х)) =
= О (о (ф„ _! (х))) = о (ф„ _ j (х)), х—>о,
т. е. условие (54.74).
Если асимптотическая последовательность ф„(х), /7 = 0, 1,
2, ..., такова, что существует проколотая окрестность точки а, в
которой при всех /7 = 0, 1, 2, ... имеет место неравенство
<рл(х)/0, то аналогично случаю степенных асимптотических
рядов функций получаем:
если функция f раскладывается при х-*а в асимптотический
ряд (54.72), то такое разложение единственно и его коэффици-
енты последовательно определяются по формулам
1 Г п1
а0 = НтДх), «п = Пт —- Дх)- У ^фДх) ,
X—a k = 0
П=\, 2, ... .
Однако для практического нахождения асимптотических
разложений заданных функций эта формула оказывается не
всегда удобной. Часто проще получить нужное разложение дру-
гим путем, например в случае интегралов при помощи
интегрирования по частям. При этом обычно заранее не
задаются асимптотической последовательностью {(ри(х)}, а
строят ее, исходя из свойств данной функции в окрестности
точки а.
Пример. Разложим в асимптотический ряд при х-> + со
функцию
F(x, ос)= e^dt, х>0, (54.77)
(ос > 0 — параметр), подобрав соответствующую
скую последовательность. Поскольку
+ со + оо
_/ \ GOS/. . sin/ 7.
F(x, ос)= -p-dt + i -p-dt,
асимптотиче-
561
то, по признаку Дирихле (см. п. 33.6), мнимая и действительная
части функции F(x, а) представляют собой при х>0 сходящиеся
интегралы. Поэтому сходится и интеграл (54.77). Отметим, что
1
действительной и мнимои частью интеграла -
ляются неполные интегралы Френеля (см. § 33)
+ 00
f cos Q2 dQ,
j sin 02 dQ.
яв-
2
Чтобы в этом убедиться, достаточно в интеграле
сделать замену переменной интегрирования / = 02.
Интегрируя по частям (54.77), получим
F(x,
е “ , ie,х .
—dt=------ia
р ip ix
^di = — -iaF(x, a+1).
Применяя последовательно эту формулу к значениям функ-
ции F, получающимся в правой части, будем иметь
F(x, a) = ^—zaF(x, ос+ 1) =
7^-г'(а+,)Ж a+2) =
__ielx ca2elx a(a+l)z3eIX (— l)”a(a+ l)...(a + «— eix
xa xa+1 xa+2 xa+n
+ ( — z)w+1 a(a+ l)...(a + ft)F(x, ос + и+ 1) =
_ ie1Л
xa
Ряд
a(a+l) (<х+* 1) + a(a+1)...(а+л)а + п+}у (54.78)
ie
у a(a+ 1)...(а+и-1)
,=0 О*)"
(54.79)
асимптотическим разложением функции F(x, а) при
является
x-> + oo.
Действительно, последовательность функций <pn (х) =
= е1Х х \ п = 0. 1, ..., является, как легко проверить, асимпто-
тической, а для частичных сумм 5л(х, ос) ряда (54.79) в силу
к = 0
562
(54.78) имеем:
\F(x, a) — Sn(x, ос) | = a^a+ ^(x> а+и+1)
т. e. выполняется условие (54.76), и, следовательно, ряд (54.79)
действительно является асимптотическим разложением функции
F(x, а) при х—> + со.
54.9 * АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ НЕПОЛНОЙ
ГАММА-ФУНКЦИИ
При любом х>0 для гамма-функции Г (л) имеем
Г(^) = J ts~r е dt = j Zs-1 е dt+ j ts~re~ldt.
О О x
Функция
def +с0
Г(5, х) = J t^e^dt, х>0, (54.80)
называется неполной гамма-функцией. Она определена при всех
действительных значениях параметра s. Найдем ее асимптоти-
ческое разложение при х-^ + оо. Выполняя в правой части
(54.80) интегрирование по частям, получим
+ сю
Г (л , х) = J Zs-1e-'A =
— Xs1 е 1) f ts~2e ~ldt = xs~l e — 1)Г(д — 1, x).
Применяя последовательно эту формулу к значениям неполной
гамма-функции, получающимся в правой части, будем иметь
Г^, xj — xsle “x + (s— l)xs-2e “х + ... + (^ — 1)(5 — 2)...
...(s — и + -x + (s— l)(s — 2)...(5 — z?)r(5 — n. x) =
= e~xxs £ ~1) (5 ~ +(5 _ 1) (5 _ 2)... (5 - n) Г (.у - и, x).
k = O x
563
Отсюда при n>s— 1 имеем
r(s, x)-e~V t _
k = 0 *
^|(5-l)(5-2)...(5-«)|p2_
e f dt =
= |(5-1)...(5-«)|^т ), X-^ + 00
т. e. для частичных сумм ряда
£ (5 l)fc 2)„.(5 и + 1) (54.81)
n = 0 X"
и для последовательности <pn(x) = x-n+s+1 e ~x, которая явля-
ется, как это легко проверить, асимптотической, при х-> + сю
выполняется условие (54.75). Таким образом, ряд (54.81)
является асимптотическим разложением неполной гамма-функ-
ции Г (.у, х) при х-> + оо.
В п. 54.7* был найден первый член асимптотического
разложения гамма-функции Г(5+1) при s-» + oo. Можно найти и
следующие члены, т. е. разложить гамма-функцию в асимпто-
тический ряд. Он выглядит следующим образом:
Г(»+0~
5-> + оо. (54.82)
Здесь {q} — последовательность коэффициентов разложения в
степенной ряд (в окрестности нуля) функции t = t(z), определя-
емой равенством ^z2= где h(t) задана формулой (54.56).
Можно получить и асимптотическое разложение для нату-
рального логарифма гамма-функции. Оно имеет вид
1пГ(5')~ Ь -1 )1П5-5+|1п2л + £ 2и_р 5~> Т 00 ,
\ 2/ 2 £г\2п\2п —1)5
(54.83)
564
и называется рядом Стирлинга. Здесь В2п — так называемые числа
Бернулли, определяемые равенством
т—1 п
k = 0 n^~lj = Q
(все нечетные числа Бернулли, кроме Вх = — 1, равны нулю).
Из формулы (54.81) с помощью потенцирования можно
найти асимптотическое разложение для гамма-функции, в
котором коэффициенты выражены в явном виде. Оно имеет вид
r(s)~(27Lpe"sss~^
139
±+-
125 288s2 51840.V3
+ оо.
Доказательство формул (54.82) и (54.83) не входит в задачу
настоящего курса. Описание методов, с помощью которых
получаются подобные разложения, можно найти в книге:
Федорюк М. В. Метод перевала. М., 1977.
54.10 . ЗАМЕЧАНИЯ О КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ,
ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
Мы рассмотрели выше «одномерные» интегралы, зависящие
от параметра, т. е. случай, когда и переменная интегрирования
и параметр являлись числовыми переменными. Эта теория
обобщается на случай кратных интегралов, зависящих от
«многомерного» параметра, т. е. на интегралы вида
Ж)= Ж y)dG-
(54.84)
Здесь функция /(х, 4) определена на открытом множестве
GczRn и интегрируема, по Риману, на любом открытом
измеримом по Жордану множестве Г, таком, что Г c=G.
Параметр у пробегает некоторое множество У, которое может
быть, например, подмножеством m-мерного пространства Rm. а
интеграл (54.84) понимается, вообще говоря, в несобственном
смысле.
Интеграл (54.84) называется сходящимся, если при каждом
фиксированном у$ е У интеграл
|ж yo)dG
565
сходится. В
эквивалентно
случае п 2 это, как известно
условию сходимости интеграла
(см. п. 48.3),
Сходящемуся интегралу (54.84) (и любой последовательности
открытых измеримых по Жордану множеств Gk, к=А, 2, ...,
монотонно исчерпывающей множество С) естественным обра-
зом сопоставляется ряд, суммой которого он является:
f(x, y)dG = Дх, y)dGi+ Y
J k= 1
Дх, y)d(Gk + l\G k).(54.85)
Подобно одномерному случаю определяется и равномерно
сходящийся интеграл.
Определение 5. Сходящийся интеграл (54.84) называется равно-
мерно сходящимся, если для любого е>0 существует такой ком-
пакт A<=G, что для каждого открытого измеримого по Жордану
множества Г, для которого А с Г cz Г cz G, выполняется нера-
венство
;'ис\Г)|<е.
Это определение равносильно следующему:
Определение 5'. Сходящийся интеграл (54.84) называется
равномерно сходящимся, если, какова бы ни была монотонно
исчерпывающая открытое множество G последовательность
открытых измеримых по Жордану множеств Gk, k=l. 2, ..., и
каково бы ни бы ю число £>0, существует номер кг, зависящий
от данной последовательности и числа г, такой, что для
каждого номера к >кг и всех y^Y справедливо неравенство
Если интеграл (54.84) равномерно сходится на множестве G
относительно параметра у е Y, то ряд (54.85) также равномерно
сходится на G.
Для кратных интегралов, зависящих от параметра, остаются
в силе теоремы об их непрерывности, дифференцируемости и
интегрируемости, аналогичные доказанным выше. В этом легко
убедиться, и мы не будем на этом подробно останавливаться.
Встречаются интегралы, зависящие от параметра и более
сложным образом: в них не только подынтегральная функция
но и множество G, по которому происходит интегрирование,
зависит от параметра, т. е. G = G(y):
F(y)= |Дх, (54.86)
566
Примером такого интеграла в одномерном случае является
интеграл
ь
F(y)= —, а
а
Здесь G(y) состоит из двух (кроме случая у = а и у = Ь)
интервалов \а, у) и (у, b), меняющихся с изменением параметра
У-
Рассмотрим аналогичный пример в ^-мерном пространстве.
Пусть G— открытое множество в Л", функция ц = ц(х) непре-
рывна в G, р = р(х, у) — расстояние между точками х и у, x^G,
y^Rn и а — некоторое число. Интегралы вида
M(?) = Jg(^G (54.87)
называются потенциалами и относятся к типу (54.86), так как в
них множеством, по которому производится интегрирование,
является множество G\{y}, зависящее от у (в формуле (54.87),
мы обозначили, как это делается обычно, область интегрирова-
ния просто через G). Если ос=1 и п = 3, то функция (54.87)
называется ньютоновым потенциалом.
Задача 35. Доказать, что если G — измеримое по Жордану открытое
множество и функция ц = ц(х) непрерывна на его замыкании G, то интеграл
(54.87) при а<п непрерывен во всем пространстве.
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ
УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно интегрируемая комплекс-
нозначная функция действительного
аргумента 551
- сходящееся бесконечное произведе-
ние 68
— сходящийся несобственный крат-
ный интеграл 410
- ряд 34, 75, 168
Аналитическая функция 115
Асимптотическая линия 471
последовательность 559
Асимптотический ряд 154, 560
Асимптотическое направление на по-
верхности 48
разложение 154, 158, 559, 560
Безвихревое поле 517
Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия 11
Бесконечное произведение 59
Бесконечный предел 164
Бета-функция 544 548
Векторная функция двух перемен-
ных 417
Векторное отображение 228
представление поверхности 423
Верхний интеграл Дарбу 325
Верхняя л-мерная мера Жордана 288
сторона поверхности 449
сумма Дарбу 316
Взаимно однозначное отображение 226
Вихрь 493, 494, 499, 511, 512
Внешний контур 386
Внешняя нормаль 457
/7-мерная мера Жордана 288
Внутренний контур 386
Внутренняя нормаль 457
л-мерная мера Жордана 288
точка поверхности 425
Возрастающая последовательность 74
Вписанное разбиение 306
Вторая квадратичная форма поверх-
ности 459 463
Гамма-функция 544 -548, 559
Гармоническая функция 267
Гармонический ряд 14
Гаусс К. 472
Гауссова кривизна поверхности 472
Гельмгольц Г. 519
Гиперболическая точка поверхности
473, 476
Гиперболические функции в комплекс-
ной области 128, 129
Гиперплоскость 286
Главная ветвь логарифма 135
Главные кривизны 470. 471
- направления 470
нормальные сечения 470
Гладкая кривая 375, 376
поверхность 436
Гомеоморфизм 226
Гомеоморфное множество 226
- отображение 226
Гомеоморфный образ множества 226
Градиент 434, 492, 497
Граничный контур 336
Грин Дж. 383
Даламбер Ж. 23
Двойная точка 247
Двойной ряд 165
Двусторонняя поверхность 457
Декартово произведение 208
Дзета-функция Римана 18. 71
Дивергенция 492, 493, 498, 506. 507
Дини У. 98
Диффеоморфизм 243
Диффеоморфная функция 243
Дифференциал векторной функции двух
переменных 419
- отображения 236
— функции многих переменных 235
Дифференцируемость векторной функ-
ции двух переменных 418
- функции многих переменных 235,
236
Дифференцируемое отображение 236,
242
Длина кривой 367, 442
Допустимая область 512
поверхность 515
совокупность поверхностей 512, 513
Допустимое преобразование парамет-
ра 375, 423, 424, 428
Зависимая система функций 260
Знакоопределенная квадратичная фор-
ма 195
Знакопеременный ряд 31
Знакочередующийся ряд 31
Значение бесконечного произведения 59
Измеримое множество 289
- по Жордану множество 288
Изолированная особая точка уравне-
ния 247
Интеграл, зависящий от параметра
333, 519
- от комплекснозначной функции дей-
ствительного аргумента 550
— Пуассона 407, 408
Римана 306, 307
- Эйлера второго рода 544
- первого рода 544
Интегральная сумма 306, 373, 374
Интегральный признак сходимости ря-
да 26 -28
Инте! рируемая в несобственном смыс-
ле функция 404
- по Риману функция 307
Интервал сходимости степенного ря-
да 119
Инъекция 226
Источник 507
Касательная плоскость к поверхнос-
ти 432 434
Касательное пространство 280
Касательный вектор 280
Квадрируемое множество 289
Координатное представление поверх-
ности 423
Координатные линии 362, 431
- функции отображения 219, 228
Координатный параллелограмм 363
Координаты поверхности 420
Коэффициенты степенного ряда 105
Краевая точка поверхности 425
Край поверхности 425, 452
Крамер Г. 218
Кратная последовательность 163
точка поверхности 420, 425
Кратный интеграл 306, 307
- , геометрические приложения
413 415
—, зависящий от параметра 564, 565
—, основные свойства 320 -324
—, сведение к повторному 334, 340,
342—344
—, физические приложения 415-
417
— , формулы замены переменных
355, 359, 364, 365
- ряд 163, 166, 172
Кривая Пеано 303, 304
- склейки 451
Криволинейные координаты 362
Криволинейный интеграл второго рода
371 374, 377- 381, 395, 399, 400
первого рода 367 370, 377, 378
Критерий Дарбу 329, 330
- измеримости множества 293- -295
- независимости криволинейного ин-
теграла от пути интегрирования
395 -397
Коши равномерной сходимости ин-
теграла 530
последовательности 82, 83
ряда 89
569
Критерий Коши равномерной сходи-
мости семейства функций 189, 190
----сходимости бесконечного произ-
ведения 63, 64
------- ряда 14
— Лебега 332
— полного дифференциала в односвяз-
ной области 399—401
— потенциальности поля 517, 518
- Римана 330
— Сильвестра 198
— соленоидальности поля 514, 515
Круг сходимости степенного ряда 106,
107, 109
Куб ранга к 286
Кубируемое множество 289
Кусочно-гладкая граница 390
— поверхность 453
Лаплас П. 257
Линейное отображение 229
Линейность интеграла 153, 332
Линейный оператор 229, 231, 232
— функционал 231
Линия кривизны 470
Лист Мёбиуса 454
Логарифмическая функция в комплекс-
ной области 135, 136
Локально взаимно однозначное отоб-
ражение 245
— гомеоморфное отображение 245
— диффеоморфное отображение 245
Локальный гомеоморфизм 245
Мажорирующий ряд 87
Масса фигуры 415
Матрица линейного оператора 230
— Якоби отображения 239, 240
----системы функций 209
Мелкость разбиения 305
Менье Ж 466
Мера 289
— поверхности 445
Метод введения множителя сходимос-
ти 543, 544
— выделения главной части 22, 23, 41,
42
— множителей Лагранжа 271—275
— суммирования рядов 57
-----средними арифметическими
58
Мёбиус А. Ф. 454
Многочлен наилучшего приближения
181
- Тейлора 176, 181
Множество лебеговой меры нуль 332
Множители Лагранжа 271
Множитель сходимости 543
Мультииндекс 182
Независимая система функций 260
Неопределенная квадратичная форма
195
Неориентируемая поверхность 456
Неособая точка поверхности 431
Неполная гамма-функция 563, 564
Непрерывно дифференцируемая кри-
вая 375
- поверхность 421, 427
--------в широком смысле 428
— функция 186, 426
— дифференцируемое отображение
243, 426
— продолжаемая функция 186
Непрерывное продолжение функции
186
Непрерывность векторной функции
двух переменных 418
— отображения 221
Неравенство Абеля 48
— Гёльдера 29
— Минковского 29
---обобщенное 345
Несобственный интеграл, зависящий от
параметра 525
---от комплекснозначной функции
действительного аргумента 551
— кратный интеграл 404
Неявная функция 201, 206, 209
Неявное задание поверхности 430
Нижний интеграл Дарбу 325
Нижняя /i-мерная мера Жордана 288
— сторона поверхности 449
— сумма Дарбу 316
570
«-мерная мера Жордана 288
«-мерный объем куба 287
-----множества 288
цилиндр 298
Норма линейного оператора 233, 234
Нормаль к поверхности 433
Нормальная плоскость 465
прямая к поверхности 433, 434
Нормальное сечение 465
Носитель поверхности 424
точки поверхности 424, 425
- - элементарной поверхности 424
- элементарной поверхности 419, 420
Ньютонов потенциал 567
Образ кривой 227
Объем тела 342, 505, 506
Ограниченная последовательность 74
Односвязная область 397, 515
Односторонняя поверхность 457
Окрестность на поверхности 429
Омбилическая точка 475
Оператор Лапласа 257
Определенная квадратичная форма 195
Определитель Якоби 209, 241
О реем Н. 14
Ориентация края поверхности 456
- поверхности 447, 455, 456
Ориентированная поверхность 449, 456
Ориентируемая поверхность 448, 456
Орто! ональное дополнение 278
Ортогональные координаты 259
Основная метрическая форма 441
Особая точка поверхности 431
- уравнения 247
Остаток ряда 9, 75
Остаточное произведение 61, 62
Остаточный член формулы Тейлора
123, 176
- в интегральной форме
124, 149
- форме Коши 124
- Лагранжа 124, 176
Пеано 150, 178
Открытая поверхность 428
- часть поверхности 429
Отрицательная ориентация границы
387
---- контура 382
----поверхности 447
Отрицательно определенная квадра-
тичная форма 194, 195, 284
Параболическая точка поверхности
473,"476
Параметр 189, 519
Параметры поверхности 420
Первая квадратичная форма поверх-
ности 441
Период 132
Периодическая функция 132
Площадь плоской фигуры 320, 388, 392
- поверхности 445, 446, 478
Поверхностно односвязная область 515
Поверхностный интеграл второго рода
479—490, 500, 501
- первого рода 477, 478, 484 486
Поверхность 423
Повторный интеграл 333, 340
Подпространство, натянутое на данные
векторы 278
Показательная форма комплексного
числа 130
- функция в комплексной области 127,
128, 132
Полная кривизна поверхности 472
Положительная ориентация границы
387
---- контура 382
- — поверхности 447
Положительно определенная квадра-
тичная форма 194, 195, 284
Последовательность, монотонно ис-
черпывающая открытое множество
404
Постоянная Эйлера 54
Потенциал 490, 491, 567
Потенциальная функция 490, 491
Потенциальное поле 494, 495
Поток векторного поля 495, 496
Правая система координат 446, 447
Правило Лейбница 522
— «штопора» 446, 447
Предел векторной функции двух пере-
менных 417, 418
571
Предел двойной последовательнос-
ти 164
— отображения 219—221
Представление поверхности 423, 427
Преобразование Абеля 47, 48
Признак Абеля 51
- Вейерштрасса равномерной сходи-
мости интеграла 529
----------ряда 86, 87
— Даламбера 24, 25, 43
— Дедекинда 59
— Дирихле 49
— Дюбуа-Реймона 58
- Коши 25, 26, 43
— сравнения для несобственных крат-
ных интегралов 408
— рядов 19, 20, 168
Принцип сохранения области 245, 246
Проекция множества на гиперплос-
кость 299
Произведение матриц 231
— матрицы на число 231
— множеств 208
— ряда на число 11
— рядов 38, 39
Производная векторной функции по
направлению 491, 492
— комплекснозначной функции дейст-
вительного аргумента 550
— отображения 236
Простая поверхность 425
— элементарная поверхность 420
Противоположная ориентация 447, 456
Прямоугольная сумма 165, 166
Пуанкаре А. 154
Пуассон С.
Равенство Эйлера 67
Равномерно непрерывное отображение
223
— ограниченная последовательность
74
— сходящаяся функциональная после-
довательность 77, 78
- сходящееся семейство функций 189
— сходящийся интеграл 526, 527, 566
---функциональный ряд 84, 85
Радиус сходимости степенного ряда
106, 107, 109, 111, 119
Разбиение множества 305
— поверхности 484
Разложение основных элементарных
функций в ряд Тейлора 127- -129,
132, 133
Рамка 353
Ранг матрицы 260
Расходящееся бесконечное произведе-
ние 60
Расходящийся интеграл 404
— ряд 9, 165
Расширенная система уравнений 276
Регулярное в широком смысле отобра-
жение 428
- отображение 426
Регулярный метод 57
Ротор 493, 494, 511, 512
Ряд 8
— Лейбница 138
— Маклорена 121
- Стирлинга 564, 565
— Тейлора 121, 150, 192
Связная система склеивающих гомео-
морфизмов 452
Семейство функций 189
Сильвестр Д. Д. 198
Склеенная поверхность 452
Склеивающий гомеоморфизм 451
Согласованные ориентации поверхнос-
тей 455
Соленоидальное поле 513
Соседние поверхности 452
Средняя кривизна поверхности 472
Статический момент фигуры 416
Стационарная точка 195
Степенной ряд 105, 154, 172
Степень с комплексным показателем
136
Стирлинг Дж. 146
Стокс Дж. 507
Сумма матриц 231
- ряда 9, 75, 165, 172
— рядов 12
Сферическая сумма 166
572
Сферические координаты 365, 408
Сходящаяся последовательность 74,
164
Сходящееся бесконечное произведение
60
Сходящийся интеграл 404, 525, 551,
565
- ряд 9, 74, 165, 172
Теорема Абеля вторая 108, 109
----- первая 106
— Гельмгольца 519
— Гульдина вторая 417
- Дини 98
— Лейбница 31—33
- Менье 466
— о геометрическом смысле вихря 511,
512
--------дивергенции 506
— единственности разложения анали-
тической функции в степенной ряд
116
— круге сходимости степенного ряда
107, 108
— необходимом условии ^сходимости-
ряда 10, 11
— почленном дифференцировании ря-
да 102, 103, 119, 120
-----интегрировании ряда 99, 100,
119, 120
-----сведении двойного интеграла к
повторному 334—339
-----среднем для кратного интеграла
324
— Остроградского Гаусса 503—505
- Римана о перестановке членов ус-
ловно сходящегося ряда 45—47
- Стокса 507—509, 511
Теоремы о бесконечных произведениях
63—67, 69, 70
-----геометрическом смысле модуля
и знака якобиана 349—355, 364, 392,
393
-----двойных рядах 167—171, 174
-----дифференцируемых отображени-
ях 236—240, 243—246
-----зависимости функций 260—265
----замене переменных в кратных
интегралах 355—360, 364, 365
----кривизне кривых на поверхнос-
ти 460, 4б6, 470
— множ, -твах меры нуль 301—305
----несобо кснных интегралах, за-
висящих от параметра 529—531,
534 5с *
кратных интегралах 405—
408, 411—413
----неявных функциях 204—207,
211—217, 247—253
----равномерно сходящихся после-
довательностях и рядах 80—83,
85—87, 89, 92—95
----рядах Тейлора 123 —125, 149,
150
--собственных интегралах, завися-
щих от параметра 520—525
----сходящихся рядах 10 —14, 19, 22,
24—28
— об интегрируемых функциях многих
переменных 313, 315, 316—320,
..•325—330
----условных экстремумах 271 —274,
279, 280, 285
----экстремумах функций многих
переменных 193—200
Тождественное отображение 226
Тождество Лагранжа 445
Тор 517
Точка возврата 255
— закругления 475
— касания 432
— максимума 193
— минимума 193
— самопересечения 254, 420, 425
— самоприкосновения 255
— строгого максимума 192, 193
----минимума 192, 193
----экстремума 193
— поверхности 424, 425
— уплощения поверхности 473
— условного экстремума 267
— экстремума 193
— элементарной поверхности 424
Треугольная сумма 166
573
Тригономерические функции в комп-
лексной области 129 —131
Убывающая последовательность 74
Угол между кривыми 443
Уравнение связи 267
Условно сходящийся ряд 43
Фигура 415
Формула Грина 383, 386, 387
— Дирихле 341
— конечных приращений Лагранжа
для функции многих переменных 104,
105
— Коши — Адамара 113
— Остроградского- Гаусса 503
— Стирлинга для гамма-функции 559
— факториала 146
-Стокса 508, 509, 511
Тейлора 123, 149, 175, 176, 180, 183,
419
— Эйлера для гамма- и бета-функций
548
— кривизны нормального сече-
ния поверхности 470
показательной функции в
комплексной области 130
Функциональная последовательность
73, 74
Функциональный ряд 73, 74, 172
Функция Лагранжа 271
Харди Г. 92, 94
Центр тяжести фигуры 416
Цилиндрическая поверхность 458
Цилиндрические координаты 365
Циркуляция 494, 495
Частичная сумма ряда 8, 75, 165, 172
Частичное произведение 59
Часть поверхности 429, 437
Числа Бернулли 565
Число е 56, 57, 130, 131
— i 130, 131
- л 61, 130, 131, 138
Числовой ряд 8
Член ряда 8, 165
Эйлер Л. 73
Эквивалентные отображения 422, 423,
427
— представления кривой 375
— точки элементарных поверхностей
424
— элементарные поверхности 422
Элемент площади 445
Элементарная область 383, 500, 502
— поверхность 419
Эллиптическая точка поверхности 473,
476
Явное задание поверхности 421
Якоби К 209
Якобиан отображения 241, 426
— системы функций 210
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
X ип ряд
п = 1
00
ап — бесконечное произведение
Л= 1
/„-»/ —последовательность {/„} сходится к функции f на множестве X
х
fn^f - последовательность {fn} равномерно сходится к функции/на множестве X
х
Ln z—логарифмическая функция в комплексной области
In z—главная ветвь логарифма
-дзета-функция Римана
00 00
X > при х-^ + оо—асимптотический ряд ~ соответствует функции /
л = 0 х п = 0
при х-> + оо
— кратная последовательность
00
Е и\ -пк- кратный ряд
”1..пк
к = (к{, ..., кп), ki — целое неотрицательное число, z=l, 2, ..., п — мультииндекс
Dk = a kf < ь,, к = (кг, кп)—частная производная Е-го порядка
/(х, .у) f(x) при y^»y(Q)- -семейство функций/(х, (у —параметр) равномерно
,(0)
по
стремится к функции
на множестве
при
«и - «г
т; ..., п — матрица
ч«ш1 •••
«11 ••• «1л
. . , det(«l7), z=l
«Я 1 • • • «лл
<?(Uj..un)
tnY ж
«; 7=1,..., и—определитель матрицы (яу)
якобиан системы функций м15 ип по переменным Г15 ..., Г,
11/Ц - норма линейного оператора /
Id:X-*Х - тождественное отображение множества X на себя
р*Е— верхняя мера множества Е
|л*Е— нижняя мера множества Е
цЕ, ц„Е—и-мерная мера множества Е
575
$f(x)dE, fJ... xn)dxr ...dxn — «-кратный интеграл от функции f по
Е
множеству Е; несобственный «-кратный интеграл от функции f по
множеству Е
y}dxdy— двойной интеграл от функции f по множеству Е
Е
Ь ф(х) d В(у)
\ dx f f[x,y)dy, ^dy J /(x, y) dx повторные интегралы
a <p(x) с a(y)
AB — кривая с начальной точкой А и конечной точкой В
Г + - положительно ориентированный контур
Г “ — отрицательно ориентированный контур
J F(x, у, z)ds, J F(r(s)) ds криволинейный интеграл первого рода от функции F
АВ ав
по кривой АВ
J adr= J Р dx + Qdy + Rdz- криволинейный интеграл второго рода от векторной
АВ АВ
функции а=(Р, Q, R) по кривой АВ; циркуляция векторного поля а по
кривой АВ
S={f(M); M&D}, S={r(u.v); («, v)eD },
S={x(u, г), у (и, г), z(u, v); (и, v)eD }— поверхность
S + - положительно ориентированная поверхность
S “ — отрицательно ориентированная поверхность
ff Ф (х, у, z) dS поверхностный интеграл первого рода от функции Ф по
S
поверхности S
f J a dS= Jf av dS= f f P dy dz + Qdz dx + R dx dy — поверхностный интеграл второго
s s s*
рода от векторной функции а=(Р, Q, R) по поверхности S; поток
векторного поля через ориентированную поверхность 5+
Л - оператор Лапласа
diva, Vа -дивергенция вектора а
rota, Vxa- ротор вектора а
В=В(А<?) бета-функция
Г— Г (5) - - гамма-функция