/
Text
Р. М. ШНЕЙДЕРОВИЧ
ПРОЧНОСТЬ
ПРИ СТАТИЧЕСКОМ
И ПОВТОРНО -
СТАТИЧЕСКОМ
НАГРУЖЕНИЯХ
Р. М. ШНЕЙДЕРОВИЧ
ПРОЧНОСТЬ
ПРИ СТАТИЧЕСКОМ
И ПОВТОРНО-СТАТИЧЕСКОМ
НАГРУЖЕНИЯХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МАШИНОСТРОЕНИЕ»
Москва 1968
УДК 621 : 539.4.001 24
Шнейдерович Р. М. Прочность при статическом
и повторно-статическом нагружениях. Изд-во «Машино-
строение», 1968 г., стр. 1—343.
В книге рассмотрено приложение инженерной теории
пластичности к расчетам деталей машин на прочность
при статическом и повторно-статическом нагружениях,
изложены основы теории малых упруго-пластических
деформаций, метод переменных параметров упругости,
рассмотрены диаграммы однократного и циклического
деформирования, описаны методика и аппаратура, ис-
пользуемые’ для получения жтих диаграмм, дано обосно-
вание критериев несущей способности деталей, показа-
ны резервы повышения несущей способности за счет
использования пластического деформирования, приве-
дены справочные материалы и примеры расчета деталей
машин.
Книга предназначена для инженеров-конструкторов,
специалистов по расчетам на прочность и научных ра-
ботников. Может быть полезна также студентам втузов.
Рис. 170, табл. 59, библ. 108 названий.
Рецензент канд. техн, наук Д. А. Гохфельд
3-1-4
273-68
ПРЕДИСЛОВИЕ
В связи с ростом рабочих параметров современных машин и
аппаратов вопросы повышения надежности и несущей способно-
сти деталей и элементов конструкций представляются весьма ак-
туальными. В соответствии с этим, помимо исследований несущей
способности деталей при действии переменных напряжений (ус-
талость), в современном машиностроении и аппаратостроении все
большее внимание уделяется несущей способности деталей при
статическом и повторно-статическом нагружениях.
Проблема расчета статической и повторно-статической несу-
щей способности деталей машин связана, с одной стороны, с раз-
работкой для инженеров-машиностроителей методики расчета
в упруго-пластической области типовых деталей при действии
статических и циклических нагрузок на базе обычных представ-
лений и формул сопротивления материалов и, с другой,— с обос-
нованием критериев несущей способности деталей при статичес-
ком и повторно-статическом нагружении.
Аппарат теории пластичности разработан в настоящее время
достаточно полно, и, поскольку в большинстве случаев в деталях
машин осуществляется близкое к простому нагружение, для ре-
шения инженерных задач могут быть использованы методы, ос-
нованные на теории малых упруго-пластических деформаций для
случая однократного и циклического деформирования.
При решении ряда задач упруго-пластического деформирова-
ния деталей вместо полной системы уравнений совместности де-
формаций можно воспользоваться некоторыми кинематическими
гипотезами типа гипотез плоских сечений, прямых нормалей и
т. п., как это обычно делается в сопротивлении материалов в слу-
чае упругого деформирования для обширного класса задач. При
этом можно записать уравнения для усилий и перемещений с
переменными параметрами упругости, характеризуемыми неко-
торыми интегральными функциями пластичности, и для опреде-
ленного класса задач (стержни и стержневые системы, осесим-
метричное растяжение и изгиб пластин и оболочек) получить
уравнения, обобщающие обычные формулы сопротивления мате-
риалов. Интегральные функции пластичности могут быть вычис-
лены заранее.
Метод переменных параметров упругости приводит к системе
нелинейных алгебраических (Как для стержневых систем) или
интегральных (как для дисков, пластин, оболочек) уравнений.
3
Использование электронных вычислительных машин в этом
случае лает возможность инженеру не только выполнить расчет
лля конкретных условий задачи, но и провести анализ напряжен-
ного и деформированного состояний и несущей способности де-
тали и зависимости от многих параметров задачи.
Обоснование критериев несущей способности связано с рас-
смотрением предельных нагрузок по разрушению, когда в детали
возникает трещина или происходит разрушение, и предельных
нагрузок по перемещениям, соответствующих достижению в де-
тали перемещений, при которых нарушается нормальная работа
узла или конструкции. В соответствии с этим следует определять
два запаса прочности - по разрушению и перемещениям, срав-
нение которых с соответствующим минимально допустимым запа-
сом позволяет судить о надежности детали.
Основой для получения исходных данных при проведении рас-
четов напряженного и деформированного состояния и несущей
способности деталей являются экспериментальные исследования
характеристик деформирования и разрушения при однократном
и циклическом нагружении. Эти исследования, особенно приме-
нительно к повторно-статическому нагружению, требуют разра-
ботки специальных методов испытаний и аналитической аппрок-
симации диаграмм деформирования и кривых квазистатического
и усталостного разрушения.
В предлагаемой книге вопросы теории малых упруго-пласти-
ческих деформаций освещены лишь в той мере, в какой это необ-
ходимо для изложения методов решения конкретных задач. Эти
вопросы подробно рассмотрены в фундаментальных работах
А. А. Ильюшина и В. В. Москвитина.
Метод переменных параметров упругости в обшей форме из-
ложен И. А. Биргером, им же широко использованы интеграль-
ные уравнения в случае линейного и нелинейного деформирова-
ния и указаны пути улучшения сходимости приближений. В пред-
лагаемой книге этот метод развит для задач сопротиадения ма-
териалов в связи с использованием интегральных функций пла-
стичности.
Обоснование критериев несущей способности деталей в связи
с характером нагружения и особенностями эксплуатации дано
в работах С. В. Серенсена и его сотрудников. В предлагаемой
книге выполнены дальнейшие разработки для повторно-статиче-
ского нагружения и большое внимание уделено вопросам экспе-
риментального определения свойств деформирования и разруше-
ния и их аналитической интерпретации, а также критериям раз-
рушения, при повторном нагружении, поскольку эти вопросы не
нашли надлежащего отражения в технической литературе.
Глава I
ДИАГРАММЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПРИ ОДНОКРАТНОМ
И ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
Изучение диаграмм деформирования и их свойств имеет важ-
ное значение как для исследования характеристик материала за
пределами упругости, так и для решения задач о напряженном и
деформированном состоянии в упруго-пластической области.
Свойства диаграмм деформирования при однократном нагру-
жении изучались весьма подробно и достаточно хорошо ’извест-
ны, свойства диаграмм деформирования при циклическом нагру-
жении недостаточно изучены и описаны; в соответствии с этим
в настоящей главе методам экспериментального изучения, экс-
периментальным данным и свойствам диаграмм циклического
деформирования уделено основное внимание.
§ 1. ДИАГРАММА ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ПРИ ОДНОКРАТНОМ НАГРУЖЕНИИ И ЕЕ АППРОКСИМАЦИЯ
Диаграммы однократного деформирования, определяющие
связь между напряжениями и деформациями при однократном
нагружении, чаще всего строятся на основании эксперимента при
сдвиге или растяжении. Поэтому возникает вопрос об инвариант-
ности (единственности) диаграммы деформирования, т. е. о не-
зависимости ее от вида напряженного состояния [29, 31, 56].
Единственность диаграммы деформирования, выраженной че-
рез максимальные касательные напряжения ттах и максималь-
ные сдвиги -утах или через интенсивность напряжений аг- и интен-
сивность деформаций хорошо подтверждается экспериментом
для изотропных стабильных материалов.
На рис. 1 приведены результаты опытов Дэвиса [25], прове-
денных при плоском напряженном состоянии (трубчатые образ-
цы с внутренним давлением и осевой силой) с различным отно-
шением главных напряжений. Как видно из данных эксперимен-
та, в координатах тШах— Утах и сГ;— единственность диаграм-
мы выполняется до весьма больших деформаций, соответствую-
щих разрушению. Для материалов анизотропных и метастабиль-
5
ных (свойства которых в процессе пластического деформирова-
ния меняются) единственность диаграммы дефО|рмирования на-
aj
о-
& окт
КГ Г
см2
1000 -
800
Серия А
8^
600
400
200
0 0,04 0,08 0,1Z О, IS 0,20 0,24 0,28 0,32 0,36 0,40 еокт
Ь)
с
о
о °
о
Рис. 1. Диаграмма деформирования меди при
различных соотношениях главных напряжений
(сГохтг еОхт — октаэдрические напряжение и
сдвиг):
V 2 1
а ~ Tmax~^max; 6 ° окт~ ч ° Г еокт “ — е1
3 /2
рушается, особенно при больших степенях деформирования
[56, 77].
Величина пластического деформирования, с которой прихо-
дится считаться при рассмотрении несущей способности деталей,
6
как правило, не превосходит пяти, редко десяти величин дефор-
мации предела текучести. При таких степенях пластического де-
формирования для большинства конструкционных материалов
единственность диаграммы деформирования достаточно хорошо
обеспечивается, если диаграмма построена в координатах интен-
сивность напряжений — интенсивность деформаций цг- — еи ко-
торые и приняты в дальнейшем изложении.
Диаграмму деформирования удобно выражать в относитель-
— а — е
ных координатах о = — и е = —; здесь за предел текучести
(Ту в
принимается напряжение, соответствующее пределу пропорцио-
нальности в обычном его определении. Здесь и в дальнейшем
О'/' = (УПц>
В относительных координатах упруго-пластическая часть
диаграммы деформирования выражается уравнением о =
= f(e) (е 1), упругая часть — очевидным уравнением о = е.
Аналитическое описание части кривой деформирования в об-
ласти упруго-пластических деформаций (е<5 4- 10) представ-
ляет известные трудности. Это описание должно быть проведено
так, чтобы уравнения при решении задач пластичности интегри-
ровались достаточно просто и обеспечивали надлежащую
точность расчетов. В связи с этим можно рассмотреть линей-
ную и полигональную аппроксимации кривой деформирования
[28, 65].
Для инженерных расчетов наиболее удобной оказывается по-
лигональная аппроксимация и ее частный случай — линейное уп-
рочнение. При использовании полигональной аппроксимации
кривая деформирования схематизируется вписанной ломаной и
на каждом интервале деформирования изображается прямой.
Если для участков кривых деформирования выбрать одни и те
же интервалы деформаций, то параметры полигональной аппрок-
симации окажутся сопоставимыми. __
В интервале деформаций еп е en+i уравнение кривой
деформирования может быть записано следующим образом
(рис. 2):
й = йп+ (e-U (1.1)
е«+1 - еп
отсюда
“ _ °п(еп+\ еп) еп (gn4-l °п) | gn-i-l °гг —_
еп+1 еп еп
СУ м м 11 ~~ б »^СУ । । CJ f । G
= п _+1-----" ?± + -Г11—~ е = ап + Ьпе. (1.2)
елгЦ-1 еп еп
7
Параметры ап и Ьп характеризуют диаграмму деформирова-
ния материалов в интервале еп е en+i; они связаны между
собой соотношением
П—
an = ^ien(bn — bn+i) + (l — b1).
П=1
В дальнейшем приняты интервалы деформации е = 1 -4-
4- 1,25 -4-1,5 4- 2 4-3 -4-4 4- 5.
Если положить ап и Ьп не зависящими от интервала деформи-
рования, то получим диаграмму с линейным упрочнением, схема-
тизируемую двумя прямыми (рис. 3). За предел текучести здесь
следует принимать точку в'г пересечения прямой упругого дефор-
мирования и прямой линейного упрочнения (схематизированный
предел текучести). Наклон диаграммы деформирования харак-
теризуется модулем упрочнения при линейной аппроксима-
ции ап = 1 — GT, bn = GT во всех интервалах деформирования.
В этом случае
o' = 1 — Gt ~Ь Gt^, (1.3)
причем напряжения и деформации отнесены к значениям в'т и е'г*
При линейном упрочнении модуль GT определяется так, чтобы
прямая упрочнения располагалась как можно ближе к диаграм-
ме деформирования, полученной из эксперимента. Такое построе-
ние легко выполнить способом наименьших квадратов в сочета-
нии с последовательными приближениями для уточнения схема-
тизированного предела текучести оу и модуля упро’чнения GT-
При этом в первом приближении приходится принимать Оу = 1 и
находить Gt способом наименьших квадратов для значений
8
е = 1; 1,25; 1,5; 2,0; 3,0; 4,0; 5,0 и соответствующих им значений
о по уравнениям, записанным в принятых обозначениях:
Gry ё2 +a0^e—^ео = 0;
От У* е + /го0 — У о = 0,
_ п п
где по — напряжение, соответствующее прямой упрочнения при
е0 = 0;
п — число точек, по которым производится спрямление.
б
2
1
ё0
Рис. 4. Пример построения диаграммы с линейным
упрочнением (римскими цифрами обозначены при-
ближения)
Точка пересечения прямой упрочнения и прямой, соответст-
вующей упругой области, дает значение схематизированного пре-
дела текучести а'т =
Для этого нового значения о'т = ет
— GT
находим по кривой деформирования значение о0 и затем вновь
повторяем вычисления, начиная со значения деформации е — ет
и соответствующих им напряжений. Пример иллюстрируется
рис. 4 для стали ЭИ654, вычисления приведены в табл. 1, из ко-
торой видно, что процесс сходится достаточно быстро.
В табл. 19—21 гл. VIII для ряда материалов даны параметры
полигонального упрочнения ап и Ьп, модули линейного упрочне-
ния GT и схематизированные пределы текучести ат , вычисленные
по приведенным выше формулам. На основе этих данных кривая
деформирования при однократном нагружении полностью опре-
деляется.
9
Таблица 1
Таблица вычислений параметров линейного упрочнения
Прибли- жение е а е2 е<з GT, а0, от
Первое (I) 1 1,25 1,5 2 3 4 5 17,75 1 1,18 1,35 1,65 2,07 2,31 2,43 11,99 1 1,56 2,25 4 9 16 25 58,84 1 1,475 2,025 3,3 6,21 9,24 12,15 35,4 58,81 GT + 17,75а0 —35,4 = 0 17,75 бг + 7а0 — 11,99 = 0 ~qt = 0,362 а0 = 0,795 - 0.795 (j'P — — — 1,25 1— GT 0,638
Второе (II) 1,25 1,5 2 3 4 5 16,75 1,18 1,35 1,65 2,07 2,31 2,43 10,99 1,56 2,25 4 9 16 25 57,84 1,474 2,025 3,3 6,21 9,24 12,15 34,4 57,81 Gr + 16,75а0 —34,4 = 0 16,75GT 4- 6а — 10,99 = 0 = 0,336 а0 = 0,895 Op = 1,35
Третье (Ш) 1,35 1,5 2 3 4 5 16,85 1,25 1,35 1,65 2,07 2,31 2,43 11,06 1,82 2,25 4 9 16 25 58,07 1,685 2,025 3,3 6,21 9,24 12,15 34,61 58,07Gr + 16,85а0 — 34,61 = 0 16,85Gr +6а — 11,06 = 0 Gr-0,331 а0 = 0,915 о'т= 137
§ 2. МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
ДИАГРАММ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Методы экспериментального исследования диаграмм дефор-
мирования при однократном нагружении известны достаточно
широко, и им посвящено большое количество работ, обзор кото-
рых можно найти, например, в монографиях [3, 5, 8]. Как прави-
ло, эксперименты проводятся при растяжении или сдвиге (кру-
чении полых образцов) с измерением перемещений на (выбранной
базе с помощью механических, оптических, резистивных и дру-
гих тензометров.
Методы экспериментального изучения диаграмм циклическо-
го деформирования разработаны значительно меньше. Вместе с
тем, специфика исследования диаграмм циклического деформи-
рования и большое количество параметров, влияющих на эти
диаграммы, требуют использования специальных машин и уста-
новок для нагружения и аппаратуры для записи. Эти методы мо-
10
гут использоваться и для изучения диаграмм однократного де-
формирования.
Характерной особенностью методов изучения диаграмм цик-
лического деформирования является их трудоемкость, так как
требуется записать цикл за циклом диаграмму деформирования
в зависимости от уровня исходного (ib нулевом полуцикле) на-
пряжения (деформации), асимметрии цикла, вида нагружения и
т. д. Важно также обеспечить непрерывную запись деформации,
так как остановка машины для измерения деформации при цик-
лическом нагружении, как правило, связана с развитием процес-
сов ползучести и может привести к искажению результатов изме-
рений.
Основные требования, которым должна отвечать современная
методика исследования диаграмм циклического упруго-пласти-
ческого деформирования, можно сформулировать следующим
образом:
1) обеспечение достаточной производительности исследова-
ния для получения характеристик циклического деформирования
ряда различных по механическим свойствам конструкционных
сталей и сплавов в широком интервале деформаций и чисел цик-
лов нагружения;
2) создание установки, позволяющей осуществлять различ-
ные виды нагружений с постоянной амплитудой нагрузок (мяг-
кое), с постоянной амплитудой деформаций (жесткое), с задан-
ной асимметрией;
3) возможность непрерывной записи диаграмм деформиро-
вания в процессе циклического нагружения;
4) получение достаточной точности измерения и записи на-
пряжений и деформаций (± 1 %);
5) обеспечение однородности напряженного и деформирован-
ного состояний образцов на базе измерения.
Эти требования обусловливают разработку автоматических
установок для нагружения и устройств для непрерывной записи
диаграмм деформирования. Одной из первых работ, в которой
описана автоматизация нагружения и записи, была работа [105].
Параметры диаграмм непрерывно регистрировались шлейфовы-
ми осциллографами с последующим построением диаграмм де-
формирования по фотографической записи изменения деформа-
ции и нагрузки во времени. При данной методике эксперимента
сравнительно трудоемким остается процесс построения диаграмм
деформирования.
В работах [74, 89] описаны автоматические установки с непре-
рывной регистрацией диаграмм деформирования на катодном ос-
циллографе с послесвечением.
Важным преимуществом электронного прибора является от-
сутствие инерции записи, что позволяет выбрать практически
любую возможную частоту нагружения образцов.
К недостаткам серийных двухкоординатных катодных осцил-
лографов следует отнести малый масштаб записи диаграмм, не-
стабильность аппаратуры (дрейф нулей, непостоянство коэффи-
циента усиления) и «необходимый при таком регистраторе про-
цесс фотографирования и получения отпечатка. Все перечислен-
ное создает дополнительные методические трудности и снижает
точность фиксации исследуемых параметров. Так, по данным ра-
боты |[74] точность регистрации на катодном осциллографе со-
ставляет ±10%. Для повышения точности записи диаграмм цик-
лического упруго-пластического деформирования необходима
разработка специальных высокостабильных схем осциллографи-
рования.
Свойства и параметры диаграмм циклического деформирова-
ния, рассмотренных ниже, изучались при сдвиге (кручении тон-
костенных образцов) и при растяжении-сжатии по методике,
учитывающей рассмотренные выше требования к нагружающим
и записывающим устройствам.
Диаграммы деформирования были изучены путем испытания
на кручение трубчатых образцов (рис. 5). Отношение толщины
стенок к диаметру составляло — ~ 0,05, что обеспечивало прак-
d
тически однородное напряженное состояние. Длина тонкостенной
Рис. 5. Чертеж образца для испытания на сдвиг
части образца была выбрана такой, чтобы обеспечить устойчи-
вость стенки толщиной 1 мм в диапазоне исходных деформаций
до е = 10 и исключить влияние галтельных переходов на измере-
ние деформаций.
В качестве нагружающего устройства использовалась пере-
оборудованная машина типа К-3 (рис. 6), захваты которой были
снабжены достаточно жесткими торсионами, изготовленными из
пружинной стали 60С2. Образец закрепляли на торсионах с по-
мощью пальцев, образующих своеобразные шарниры Гука. Это
позволяло существенно уменьшить долю изгиба за счет несоосно-
12
сти захватов. Нагрузки измерялись датчиками сопротивления, ус-
тановленными на неподвижном торсионе-захвате (динамометре).
Упруго-пластические деформации на базе образца 10 мм из-
мерялись с помощью приспособления, позволяющего получать
упругие деформации чувствительного элемента, пропорциональ-
ные упруго-пластическим деформациям образца. Каждое из не-
Рис. 6. Вид машины для испытания на циклический сдвиг
замкнутых колец 1 (рис. 7) фиксируется на сечении, ограничи-
вающем базу измерений, тремя заостренными штырями 5, равно-
мерно расположенными по окружности. Деформирование образ-
ца вызывает поворот колец, что приводит к изгибу упором 5 уп-
ругой балочки 4, на которой расположены датчики. Создание
предварительного прогиба балочки позволяет вести измерение
при знакопеременном деформировании. Штыри 3 поджимаются к
образцу силами упругости кольца и пружины 2.
Для надежной фиксации кольца от проворота на образце на-
носят алмазной пирамидой с помощью твердомера насечку с диа-
гональю 0,25 мм, в которую и вводят 1вершину одного из штырей.
У испытанных материалов насечка, как правило, не являлась ме-
стом начала разрушения.
Установка колец на определенной базе в плоскости, перпенди-
кулярной к оси образца, обеспечивается специальным механичес-
ким приспособлением.
Непрерывная запись диаграммы деформирования осуществ-
ляется электронным прибором, изготовленным на базе серийных
потенциометров ЭПП-09 [10, 23]. Перемещения диаграммной бу-
маги и каретки осуществлялись с помощью двух независимых
13
электронных автоматически уравновешивающихся мостов. Рео-
хорд одного из мостов приводил во вращение барабан, реохорд
другого — перемещал каретку. На рис. 8 показана блок-схема
прибора, где / и II— измерительные мосты; 1 — усилитель; 2 —
Рис. 7. Приспособление для измерения деформаций при цикличе-
ском сдвиге
реверсивный двигатель; 3 — пишущая каретка; 4 — вращаю-
щийся барабан.
Прибор имеет три диапазона регистрируемых относительных
деформаций: ±Ы0-3; ±2-10_3, ±5-10-3, которые для каждой
координаты могут быть выбраны независимо. Основная погреш-
ность регистрирующей части прибора не превышает ±0,5% диа-
Рис. 9. Схема реверсивного устройства
Рис. 8. Блок-схема диаграм-
много аппарата
14
пазона измерений. В настоящее время промышленностью выпус-
кается двухкоординатный прибор с плоской записью ПДС-021>
который может быть использован для записи диаграммы дефор-
мирования.
При работе двухкоординатного прибора совместно с испыта-
тельной машиной предусмотрена возможность автоматического
реверса машины при достижении заданного уровня напряже-
ний (или деформаций) в данном полуцикле (рис. 9). Над шкалой
прибора с перемещающейся кареткой 7 помещена рейка с фото-
сопротивлениями 4, которые, передвигаясь по направляющим 3,
могут устанавливаться на заданном уровне напряжений (или
Рис. 10. Характер изменения нагрузок и деформаций
за цикл:
ab — нагружение; Ъс — разгружепие, cd — выборка люфтов,
е] — упруго-пластическая деформация, fq — упругая дефор-
мация; gh — выборка люфтов
деформаций). Флажок 2 прибора и фотосопротивления 4 включе
ны в цепь поляризованного реле 5, которое управляет промежу-
точным реле 6, обеспечивающим реверс двигателя 7 испытатель-
ной машины. Число циклов нагружения регистрируется счетчи-
ком импульсов 8.
Как было отмечено выше, испытательная машина имеет по-
стоянную скорость вращения активного захвата, что определяет
характер изменения во времени нагрузок и деформаций за цикл
нагружения (рис. 10). Запись сделана прибором ЭПП-09, приспо-
собленным для работы отдатчиков сопротивления (скорость про-
тягивания ленты 9600 мм[ч). Данные показывают, что деформа-
ции изменяются во времени линейно. Время выработки зазора
при изменении знака нагрузки занимает в среднем 20% от вре-
мени цикла нагружения
Время цикла деформирования зависит от величины исходного
напряжения, характера и интенсивности изменения деформаций
в процессе циклического упруго-пластического деформирования.
В среднем продолжительность цикла нагружения при деформа-
15
циях, равных (максимально) десятикратной деформации преде-
ла пропорциональности, составляла 15 сек.
База испытаний определялась закономерностями изменения
упруго-пластического гистерезиса и долговечностью испытывае-
мого материала. Так, алюминиевые сплавы В-96, АК-8 и Д-16 при
деформировании -с постоянными максимальными нагрузками уже
через 200 циклов переходили в состояние, близкое упругому, а
материалы 1Х18Н9Т и ЗОХГСА приходили к стабилизации петли
упруго-пластического гистерезиса при циклическом нагружении
через 5 и 1000 циклов соответственно. В отдельных случаях база
испытаний составляла 20 000—25 000 циклов.
Испытания проводились при мягком и жестком нагружении и
симметричных и асимметричных циклах. Если в процессе цикли-
ческого мягкого нагружения расширяется петля или односторон-
не накапливается пластическая деформация (угол закручивания
образца увеличивается), то при некотором числе циклов наступа-
ет потеря местной устойчивости и дальнейшие измерения оказы-
ваются невозможными. В этом случае для получения данных при
большом числе циклов можно использовать образцы сплошного
круглого сечения и по полученным данным рассчитывать диаг-
рамму деформирования при сдвиге, используя формулу, анало-
гичную формуле Людвига-Кармана [56]:
s = —— Гзм + е —
2 лР3 L м
где момент М, угол закручивания 0 и напряжение S отсчитыва-
ются от момента начала разгрузки.
На рис. И в качестве примеров показаны записи диаграмм
деформирования при сдвиге для стали 45 (рис. 11, а) и алюминие-
вого сплава АК-8 (рис. 11, б) при симметричном цикле напряже-
ний. Запись 100-го, 200-го, 300-го и 400-го циклов для сплава
АК-8 смещена, чтобы не затемнять диаграммы.
При растяжении-сжатии диаграммы циклического деформи-
рования изучались на специально сконструированной для этих
целей (СКБИМ, г. Армавир) машине УМЭ-10Т [46], в настоящее
время серийно выпускаемой заводом испытательных машин в
г. Армавире. Максимальное усилие, развиваемое машиной при
растяжении и сжатии, составляет 10 т, привод — механический от
винта с вращающейся гайкой, скорость перемещения активного
(нижнего) захвата составляет от 10-3 до 102 мм/мин и регулиру-
ется с помощью коробки передач. При циклическом нагружении
максимальная частота не превышает 10 цикл!мин, команда на ре-
версирование нагрузки подается при достижении заданного уров-
ня нагрузки (мягкое нагружение) или деформации (жесткое на-
гружение) и осуществляется за счет реверсирования двигателя.
Конструкция гайки устраняет люфт, который может возникнуть
при перемене знака нагрузки. Верхний захват связан с тонко-
16
степным трубчатым тензометрическим динамометром и снабжен
устройством, позволяющим при работе только на растяжение ис-
пользовать упругую шарнирную подвеску. Напряжения и дефор-
мации измеряются датчиками сопротивления, сигнал от которых
поступает на тензометрический пульт, снабженный шкалами для
измерения сил и электронно-механическим диаграммным аппара-
том для записи диаграмм размером 500 X 500 мм, Машина мо-
жет быть выполнена в «температурном» 'варианте с радиацион-
Рис. 11. Диаграмма деформирования:
а — сталь 45, б — сплав АК-8
ной печью (до 1100° С), термокамерой (до 400° С) и регулирую-
щей и записывающей аппаратурой.
Существенное значение для получения надежных данных по
диаграммам циклического деформирования имеет точное центри-
рование образца в захватах в процессе деформирования. Прове-
денные измерения доли деформации от изгиба за счет эксцен-
тричного приложения нагрузки показали, что она составляет не
более ±2,5% от общей деформации и не изменяется при цикли-
ческом нагружении (для описанных условий испытаний). Разме-
ры образца и их соотношение (рис. 12) исключают возможность
потери устойчивости при испытании. Даже при образовании
в процессе циклического деформирования шейки в цикле сжатия
2 Заказ 1099 1 7
не отмечается общей потери устойчивости, хотя площадь сечения
образца уменьшается, а длина его возрастает.
Деформометр (рис. 13) имеет базу 50 мм и устанавливается
на образец с помощью закаленных призм /, перемещающихся
V 4 остальное
Рйс. 12. Чертеж образца для испытаний на растяжение-сжатие
при деформировании образца за счет поворота упругого шарни-
ра 2. При этом деформируется измерительная балочка <3, и сиг-
нал с датчиков сопротивления, наклеенных на нее, поступает на
Рис. 13. Эскиз деформометра
измерительный мост диаграммного аппарата тензометрического
пульта. Точность измерения деформаций составляет ±1%.
§ 3. НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ ПО СВОЙСТВАМ КРИВЫХ
ЦИКЛИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Свойства диаграмм циклического деформирования исследова-
ны еще недостаточно, хотя изучение их является весьма важной
задачей. Рассмотрим схематически основные характеристики ди-
аграммы циклического деформирования. Диаграмма цикличес-
кого деформирования за k полуциклов представляет собой сово-
18
купность кривых деформирования в каждом из k полуциклов.
Кривая циклического деформирования в 6-м полуцикле описыва-
е S — е
ется в координатах о = — и е = — с началом координат
(Уу. С р
в точке, соответствующей началу разгрузки в каждом полуцикле.
В этих координатах участку, на котором может быть приближен-
но принята пропорциональность напряжений и деформаций, со-
ответствует разгрузка и некоторая доля реверсивного нагруже-
ния. Переход к нелинейному участку кривой деформирования
в 6-м полуцикле соответствует напряжению и деформации преде-
ла текучести (пропорциональности) St\ а в координатах о—
е—напряжению и деформации е{т}. Для перехода от си-
стемы координат S— 8 к системе о — е могут быть использова-
ны выражения
?« = 5«-“+ (- !)*?«; I
?« = + (- !)*?«, J
б
Рис. 14. Схема диаграммы циклического
деформирования
где о^-1) и — конечные значения напряжений и деформаций
в (6 — 1)-м полуцикле.
На рис. 14 показана схема диаграммы деформирования при
циклическом упруго-пластическом нагружении с постоянной ам-
плитудой нагрузок. При ис-
ходном нагружении (нуле-
вом полуцикле) до уровня
(7<0), дана диаграмма де-
формирования при однократ-
ном нагружении; при после-
дующих разгрузке и нагру-
жении — кривые деформи-
рования в соответствующих
полуциклах. В процессе цик-
лического деформирования
возможно изменение шири-
ны петли упруго-пластиче-
ского гистерезиса б и накоп-
ление суммарной деформацг
тель в четном и нечетном полуциклах.
Изучение кривых циклического деформирования может про-
водиться в двух направлениях: с одной стороны, существенно
знать изменение предела текучести (пропорциональности) S{t}
(или от) при циклическом деформировании, с другой — измене-
ние формы кривых деформирования от цикла к циклу.
Систематическое изучение упруго-пластических циклических
свойств было начато, по-видимому, Баушингером [86, 87] в кон-
2* 19
есу!,за счет разницы ширины пс-
це прошлого столетия. Баушингер исследовал изменение предела
текучести мало- и среднеуглеродистых сталей при повторном на-
гружении с изменением и без изменения знака нагружения. Им
было установлено, что при пульсирующем растяжении с напря-
жением оо, превышающим предел текучести от, новое значение
предела текучести при последующем нагружении (после полной
разгрузки) приближенно соответствует этому напряжению а0-
При реверсивном нагружении напряжением, превышающим пре-
дел текучести от, предел текучести в последующем полуцикле о(г!)
оказывается ниже исходного и в тем большей степени, чем выше
было первоначальное напряжение. Это явление, подтвердившееся
впоследствии для разнообразных металлов и сплавов и при дру-
гих видах напряженного состояния, принято называть эффектом
Баушингера. Эффект Баушингера изучался целым рядом иссле-
дователей (см. обзор в работе [43]), причем был предложен ряд
интересных моделей явления, в том числе и статистические
[62, 106].
Некоторые количественные зависимости значения предела те-
кучести при реверсировании нагрузки от степени предшествую-
щей деформации были предложены Мазингом [97]. Из этих зави-
симостей вытекает уравнение для предела текучести
“(D "(0) 9
О 7' ~ О Z,
где о<0) — значение напряжения в исходном нагружении;
отсюда следует, что Sr ) = 2 (рис. 15).
В. В. Москвитин обобщил это уравнение, положив линейную
зависимость (в принятых обозначениях):
8^ = р + (2-р)ёт; )
> I 1 .О)
где р — постоянная материала.
В работе [57] исследовано изменение пределов пропорциональ-
ности и текучести при растяжении-сжатии и кручении. Показано,
что эффект Баушингера проявляется не в одинаковой степени у
различных металлов и сплавов. У чистых металлов эффект наи-
меньший и с повышением легирования увеличивается. Так, у тех-
нически чистого алюминия уменьшение о^Рпо сравнению с исход-
ным пределом текучести составляет всего 0—5%, У углеродистых
сталей 15—30%, а у магниевого сплава 85—90% при предвари-
тельной деформации 0,2%.
Эффект Баушингера зависит от величины зерна деформируе-
мого металла и с уменьшением зерна возрастает [24].
С увеличением степени исходного деформирования эффект
Баушингера вначале возрастает, достигает максимума, а затем
20
постепенно уменьшается и исчезает. Исходная деформация, соот-
ветствующая максимальному снижению предела пропорциональ-
ности при реверсивном нагружении, не одинакова для различных
материалов. Так, у сталей и высокопрочных алюминиевых спла-
вов эта деформация соответствует приблизительно 1,5%, а у мел-
козернистой латуни — приблизительно 4% [42].
В работе [99] были подтверждены обнаруженная [86] нелиней-
ность разгрузки и наличие петли гистерезиса при пульсирующем
цикле нагружения (рис. 16). Модуль разгрузки, измеренный как
тангенс угла наклона прямой, соединяющей точки начала и кон-
ца разгрузки, уменьшается по сравнению с модулем упругости
в исходном состоянии. Например, у латуни снижение составляло
приблизительно 3%.
Рис. 15. Схема зависимости
предела текучести от исходно-
го уровня напряжений (по Ма-
зингу)
Рис. 16. Петля гистерезиса при
пульсирующем цикле нагруже-
ния
Работы [26, 79] подтвердили наличие петли гистерезиса при
разгрузке и повторной нагрузке, а также уменьшение модуля раз-
грузки при этом. Так, модуль разгрузки у стали ЗОХГСА в отож-
женном состоянии [26] уменьшился на 10% независимо от степени
предварительной упруго-пластической деформации (2, 4, 6, 8,
10%). В работе [80] получены данные о снижении модуля раз-
грузки для сталей 1Х18Н9Т и 8КП.
Все перечисленные выше свойства упруго-пластического де-
формирования относятся к первому после исходного нагружения
и разгрузки деформированию. Однако -в процессе циклического
деформирования от цикла к циклу изменяется также предел ’про-
порциональности в связи с изменением сопротивления материа-
лов деформированию.
Ю. С. Данилов определял пределы текучести (пропорцио-
нальности) после различного числа симметричных циклов на-
гружения с амплитудой €r0j2- Он показал, что возможно как уве-
личение, так и уменьшение пределов текучести (пропорциональ-
ности) по мере накопления числа циклов нагружений, а также
21
Рис. 17. Изменение пре-
дела пропорционально-
сти при циклическом на-
гружении:
/ — сплав Д-16, 2 — сталь
ЗОХГСА
смена одного процесса другим. Так, у алюминиевого сплава Д-16
предел пропорциональности после 100 циклов нагружений воз-
рос с 18,1 до 35,5 кГ1мм2, а у стали ЗОХГСА наблюдалось умень-
шение предела пропорциональности с 51,5 до 27,3 кГ/жж2
(рис. 17).
В работе [66] при исследовании теплоустойчивой стали отме-
чено постоянное уменьшение предела пропорциональности по ме-
ре увеличения числа циклов нагружений при симметричном цик-
ле напряжений, причем чем больше степень исходного деформи-
рования, тем интенсивнее протекает процесс снижения Sr*. В этой
же работе показано аналогичное умень-
шение модуля разгрузки с ростом чис-
ла циклов нагружений.
Необходимо отметить, что опреде-
ление предела текучести при реверсив-
ном нагружении представляет извест-
ные методические трудности. Это объ-
ясняется тем, что предшествующая раз-
грузка осуществляется не по прямой,
как это обычно условно принимают, а
по некоторой кривой (см. рис. 16), так
что при пульсирующем нагружении об-
разуется петля гистерезиса. Площадь
такой петли мала и сопоставима с
петлей упругого гистерезиса; по срав-
нению с петлей при реверсивном на-
гружении ею можно пренебречь. Одна-
ко нелинейность разгрузки затрудняет
точное определение предела текучести при последующем нагру-
жении, и попытки составить уточненные выражения для S{t } (или
dr*) представляются условными.
Изучение формы кривых циклического деформирования явля-
ется весьма трудной задачей, особенно при многократном нагру-
жении.
Для первого полуцнкла нагружения в работе [97] была рас-
смотрена зависимость, имеющая в принятых здесь обозначениях
следующий вид:
3=^2/(-j); (1-6)
здесь функция f ^-|-) соответствует f (ё) в исходном нагружении, т. е.
для диаграммы однократного деформирования. Эта зависимость,
вытекающая из предложенной в работе [97] модели поликристал-
лического материала, является достаточно грубой и не подтверж-
дается последующими работами того же автора и ряда других
исследователей [95].
22
В развитие уравнения (1.6) в работе [43] была рассмотрена
зависимость (в наших обозначениях)
(1-7)
которая предлагается и для случая многократного циклического
нагружения. Эта зависимость по существу соответствует условию
подобия кривой однократного деформирования и кривых цикли-
ческого деформирования, и экспериментальная ее проверка пред-
ставляет значительный интерес. Проведенная для красной меди и
алюминиевого сплава АК-6 в первом полуцикле проверка дала
хорошие результаты. Вероятно, путем подбора можно было бы
найти значения Sr* , при которых уравнение (1.7) удовлетворя-
лось бы с определенной точностью. Однако такие данные по
в зависимости от числа полуциклов не опубликованы.
В работе [107] исследовано упруго-пластическое циклическое
кручение металлов с гранецентрированной и объемно-центриро-
ванной кубической решеткой и предложено следующее уравнение
для кривой деформирования при нагружении обратного знака:
s = a(0)f(~) + S; (1.8)
здесь о<°) — напряжение в исходном нагружении; f — функция,
характеризующая диаграмму однократного деформирования.
Это уравнение вытекает из отмеченного в работе (107] свойст-
ва кривых циклического деформирования при различных уровнях
исходного нагружения
о-9)
\ (Г /
На рис. 18 показана диаграмма, полученная при симметрич-
ном цикле для меди при различных а<°), соответствующих дефор-
мациям в 2; 5,5; 15 и 121,5%. Здесь можно отметить хорошее сов-
падение данных эксперимента с предложенным допущением, за
исключением области вблизи = —1. Несовпадение на этом
участке объясняется явлением ползучести, интенсивно развивав-
шимся при значительных степенях деформирования. Действи-
тельно, использованная методика измерений не позволяла исклю-
чить деформаций ползучести, возникавших за счет выдержки во
времени при визуальном отсчете на заданной ступени нагрузки.
Однако, с другой стороны, зависимость (1.8), как отмечено ав-
тором, пригодна лишь при деформациях, больших 1%, при ма-
лых деформациях эта зависимость дает значительные погрешно-
23
сти; вместе с тем, при малых деформациях ползучесть проявля-
ется существенно слабее.
В отличие от работы [107] при многократном циклическом на-
гружении для деформаций 5 4- 10 была предложена зави-
симость [21]
(1.10)
где — ширина петли в некотором k-м полуцикле; эта зависи-
мость, проверенная для сталей и алюминиевых сплавов, иллюст-
рируется рис. 19 на примере сплава АК-8. На этом
Рис. 18. Диаграмма циклического
деформирования по Вулли
рисунке нанесены полосы разброса и обозначены х= - - и
S = Зависимость (1.10) дает погрешность величины S по-
рядка 10—15% при малых значениях х; с увеличением х погреш-
ность S уменьшается.
Представляет интерес работа [105], в которой эксперименталь-
но исследовалась диаграмма циклического деформирования мо-
нокристалла алюминия при растяжении-сжатии. Авторы устано-
вили степенную зависимость ширины петли от числа полуцпклов
нагружения:
g(fc) = с
km ’
причем показатель степени т практически не зависел от ампли-
туды напряжений. В работе не приводится анализа формы кри-
вых циклического деформирования, однако отмечено, что измене-
24
нием масштаба по оси деформаций можно добиться соответствия
кривых циклического и однократного деформирования, в то вре-
мя как изменением предела текучести от цикла к циклу этого до-
стичь нельзя.
Выше были рассмотрены работы, в которых на основании экс-
периментов над некоторыми материалами (главным образом
чистыми металлами) «предлагались зависимости для описания
кривых циклического деформирования при реверсивном и много-
кратном циклическом нагружении. Можно отметить также ряд
работ по циклическому деформированию при неоднородном на-
пряженном состоянии, дающих качественную картину явления
[60, 85].
Помимо экспериментальных работ, были сделаны попытки
аналитического описания кривых циклического деформирования
на основе некоторых априорных предположений о характере
пластического деформирования и структуре материала [42, 90,
91, 106].
Наибольший интерес представляют работы Весселинга
[90 и 91], где рассмотрен некоторый элементарный объем тела
как конгломерат подэлемептов, обладающих различными преде-
лами текучести и различным упрочнением. Считается, что все
подэлементы подвергаются общей деформации и в каждом из
них развивается различная пластическая деформация, вызываю-
щая остаточные напряжения в материале после разгрузки. Эти
остаточные напряжения проявляются в анизотропии материала
и определяют его поведение при изменении знака нагружения.
Весселингу удалось вычислить характеристики подэлементов по
диаграмме однократного деформирования и составить уравнения
для приращения напряжений в зависимости от истории нагруже-
ния. Тем самым оказалось возможным рассчитать диаграмму
циклического деформирования по диаграмме однократного де-
формирования. Как отмечает автор, предложенная теория дает
качественно хорошее описание свойств, однако «не было сделано
попытки получить количественные сравнения между предсказа-
ниями теории и имеющимися экспериментальными данными».
Исследование диаграмм циклического деформирования, осу-
ществляемое обычно при мягком нагружении (постоянной ампли-
туде напряжений), показывает, что величины суммарных дефор-
маций в четном и нечетном полуциклах, достигаемые в зави-
симости от числа предшествовавших циклов (рис. 20), определя-
ют характерные свойства кривых деформирования для заданно-
го уровня напряжений и степени асимметрии цикла.
В качестве осно«вного параметра, характеризующего пласти-
ческую деформацию при циклическом деформировании с посто-
янной амплитудой напряжений, удобно принять ширину петли
деформирования в некотором полуцикле k (остаточная деформа-
ция за полуцикл) (см. рис. 14).
25
На рис. 20 показаны схемы некоторых наблюдаемых вариан-
тов изменения суммарных пластических деформаций в процессе
циклического нагружения в зависимости от числа полуциклов.
Схема на рис. 20, а характерна для циклически упрочняющих-
ся материалов, когда остаточная деформация за полуцикл (ши-
рина петли) с числом циклов уменьшается, а пластическая де-
формация, накопленная в процессе циклического деформирова-
ния, стремится к некоторой постоянной предельной величине; про-
веденные эксперименты пока-
зывают, что такая картина со-
храняется при различных асим-
метриях цикла вплоть до мо-
мента образования трещины.
Для циклически стабильных
материалов с неизменной ши-
риной петли картина деформи-
рования может соответствовать
схеме на рис. 20, б, если шири-
на петель в четном и нечетнОхМ
полуциклах различна; при
этом наблюдается непрерывное
одностороннее накопление де-
формации есум, и интенсивность
роста есум непосредственно пе-
ред разрушением увеличивает-
ся. Характер процесса цикли-
ческого деформирования в этом
случае существенно зависит от
степени асимметрии цикла.
Так, для циклически стабиль-
ной углеродистой стали при
симметричном цикле рост де-
формаций не наблюдается, в то
же время малая асимметрия
вызывает интенсивное накопле-
действия максимального напря-
Рис. 20. Схема изменения суммар-
ных деформаций материалов:
а — упрочняющегося; б — стабильно-
го; в — разупрочняющегося
ние деформаций в направлении
жения цикла.
Циклически разупрочняющиеся материалы характеризуются
увеличением ширины >петли и суммарной деформации, причем
деформации могут накапливаться в обоих направлениях дейст-
вия нагрузки (рис. 20, в).
Для циклически разупрочняющихся материалов накопление
деформации также существенно зависит от асимметрии цикла
и происходит в направлении действия максимального напря-
жения.
В качестве иллюстрации к указанным схемам на рис. 21 пона-
26
заны графики деформаций для циклически упрочняющегося алю-
миниевого сплава В-96, циклически стабильного сплава В-95 и
циклически разупрочняющейся теплоустойчивой стали.
Для характеристики деформационных свойств, таким образом,
Рис. 21. Графики изменения суммарных деформаций
(N — число циклов)
а — сплав В-96, б — сплав В-95, в — теплоустойчивая сталь
каждого цикла, и суммарную пластическую деформацию за k по-
луциклов, характеризующую пластические свойства после дости-
жения соответствующего количества циклов.
27
Суммарная деформация связана с шириной петли в четном и
нечетном полуциклах следующей формулой:
п п
?«= ?и + V б<="> - 2 в'2-2» + + а,„,(-!)•, (1. 11)
_ _ п= 1 п=0
где Отах и Hmm — максимальное и минимальное напряжения
цикла.
Суммарная пластическая деформация
= i” + i S'2"’ - i S'2" ’11 + S„ + 8,. H D*. (1.12)
71=1 71=1
где om и 0a — среднее напряжение и амплитуда цикла.
Исследования ширины петли показали, что для упрочняющих-
ся материалов хорошее соответствие с экспериментом дает сте-
пенная зависимость для четного и нечетного полуциклов
при а > 0:
6<2,г) = ^L(k = 2,4,6...); 6(2n+') = (k = 1,3,5...), (1.13)
где б(1)— ширина петли в первом полуцикле;
&Ф—фиктивная ширина петли во втором полуцикле (приве-
денная к первому полуциклу), т. е. такая ширина
петли, которая во втором полуцикле соответствует ши-
_,2 д(2) -
рине петли 6 } = _А_ или б<2> = Для упрочняю-
2а
щихся материалов, как правило, бф2)= 6(1).
Параметр циклического деформирования а (или р) характе-
ризует изменение ширины петли по числу полуциклов деформи-
рования. Этот параметр в общем случае может зависеть от ис-
ходной деформации, однако в первом приближении его можно
считать постоянным и принимать некоторое среднее значение а
(или р).
Для материалов, циклически стабилизирующихся при числе
полуциклов kCT, ширина петли в четном и нечетном полуциклах
g(2n) ___ kcm). (к > kcm} (k = 2, 4, 6...);
(1.14)
g(2n+I) = (^m)(^=i>3(5...);
R ^ctn
для циклически разупрочняющихся материалов в четном и нечет-
ном полуциклах
6<2,1) ^2)ехрр(7г — 1) (6 = 2,4,6. ..);
6(2"Н) = 6(1)ехрр(£ — 1) (£—1,3,5...). (1.15)
28
Для разупрочняющихся материалов в некоторых случаях хо-
рошее соответствие с экспериментом дает также степенная зави-
симость при а < 0.
Ширина петли определяется не только числом полуциклов, но
и зависит от степени исходного деформирования и от асимметрии
цикла.
7 2 3, 9, 5, Q 7, Q
1 2, 3, 9, 5, 6t 7 8 ,
7 2, 3, 9, 5, 6, 7 8, 9, 1Q ,
1 23956789 10
Рис. 22. Зависимость ширины пет-
ли от исходной деформации
“(°):
1 — сплав В-95, 2 — сплав АК-8; 3 —
теплоустойчивая сталь; 4 — сплав
В-96, 5 — сталь 1X18H9T
Рис. 23. Зависимость S от е для сплава
В-96 при различных асимметриях цикла
и значениях k == 1; 2 и 18
Для циклически упрочняющихся материалов при симметрич-
ном цикле нагружения ширина петли в первом полуцикле опреде-
ляется выражением
\ 2 /
где параметр циклического деформирования с характеризует уро-
вень деформации в первом полуцикле, с которого начинается цик-
лическое деформирование.
На рис. 22 для ряда материалов приведены зависимости 60)
от е^\ из которых вытекает записанное выше выражение. Для
асимметричного цикла нагружения в случае упрочняющегося ма-
териала может быть использована аналогичная зависимость, но
в этом случае основное влияние на ширину петли оказывает
амплитуда напряжений а среднее напряжение цикла о?п суще-
ственного значения не имеет. В соответствии с этим может быть
записано выражение
б(1) =
\ 2 /
29
где еа<0) —деформация по кривой исходного деформирования,
соответствующая амплитудному значению напряжений оо
(рис. 23).
На рис. 23 для сплава В-96 нанесены экспериментальные дан-
« ^min
ные для различных степеней асимметрии цикла г = -----от
°тах
г = —1 до г = —0,75, черными точками обозначены асимметрич-
ные циклы, светлыми — симметричные. Как видно из рисунка,
соответствие с выражением для оказывается хорошим.
Для циклически разупрочняющихся и стабилизирующихся
материалов ширина петли в первом и втором полуциклах при
симметричном цикле нагружения зависит от степени исходного
деформирования и определяется выражениями
х(1> — г (Z(0) ST ] и х(2) _ г С"(0)_ \
\ 2 / " \ 2/
Интенсивность накопления суммарной пластической деформа-
ции определяется соотношением величин сх и с2 (для симметрич-
ного цикла нагружения):
=?">+(>- ЦК “р ₽ -кч+1 )* < 1 -1 б»
\ 2 / ехр 2(3 — 1
Для случая стабильной петли
Ж = ?”4 0-17>
В выражениях (1.16), (1.17) параметры сх и с2 характеризуют
уровень деформации в первом и втором полуциклах в зависимо-
сти от направления деформирования (совпадающего или не сов-
падающего с исходным направлением — нулевым полуциклом)„
Иначе говоря, соотношение параметров сх и с2 характеризует
своеобразную циклическую анизотропию свойств, при сх = с2 ма-
териал оказывается циклически изотропным и одностороннего
накопления пластических деформаций не происходит. Как прави-
ло, параметры и с2 для упрочняющихся материалов существен-
но не различаются, и в этом случае можно принять с сх с2.
На рис. 24 и 25 показаны кривые суммарной пластической де-
формации для циклически стабильного (сплав В-95) и цикли-
чески разупрочняющегося материала (теплоустойчивая сталь);
из рисунков видно, что циклическая анизотропия свойств приво-
дит к одностороннему накоплению пластических деформаций.
Для асимметричного цикла нагружения в случае циклически
стабилизирующихся и разупрочняющихся материалов, помимо
30
амплитудного значения напряжений оа, на ширину петли сущест-
венное влияние оказывает среднее напряжение цикла ат. В этом
Рис. 24. Значения суммарных пластических деформаций для цикли-
чески стабильного материала (N — число циклов)
№ 45 / / /о f 1 ет=2,5
U Л
о о е. -® ‘ о <
e,0>-W
Теплоустойчивая сталь, 20°С
/2 ------------------------L2_____________L__J________________
о 5 10 15 20 25 30 35 ±0 У-5 50 55 N
Рис. 25. Суммарные пластические деформации для разупрочняюще-
гося материала (штрифовые линии —с учетом циклической анизотро-
пии)
случае в качестве первого приближения можно использовать ве-
личину исходной деформации е{пр\ соответствующей приведен-
ному напряжению бпр = оа + по диаграмме однократного
31
деформирования. Коэффициент % определяется из данных экспе-
римента; коэффициент %2 относится к четным полуциклам, коэф-
фициент %1 — к нечетным [37].
В этом случае
s'" - (г;, - = " 18>
На рис. 26 для материала ЗОХГСА (закалка, отпуск ов =
= 133 кГ[мм2) для первого и второго полуциклов даны графики
Рис. 26. Зависимость ширины
петли от приведенной дефор-
мации при различных сте-
пенях асимметрии г для стали
ЗОХГСА; (Ь - 133 кГ/мм2:
а — для первого полуцикла;
б — для второго полуцикла
зависимости ширины петли от приведенной деформации пр ДЛЯ
различных коэффициентов асимметрии г. Соответствие с уравне-
ниями (1.18) оказывается хорошим. Для указанной стали
ST = 1,6; /1 = 0,65; %2 = 0,7; сх = 0,86; с2 -= 1,19. Эти уравнения
справедливы в тех случаях, когда удвоенная амплитуда напряже-
ний превышает предел текучести ST, т. е. при значениях коэффи-
Sr
циента асимметрии 1— ---------. С помощью этих уравнений
°" шах
деформирование при асимметричном цикле приводится к некото-
рому условному симметричному циклу с амплитудой (5пр (в чет-
32
ном и нечетном полуциклах амплитуда опр может быть раз-
личной).
Изучение закономерностей изменения ширины петли дает
возможность охарактеризовать влияние целого ряда факторов на
циклические деформационные свойства материала (см.
табл. 60).
На рис. 27 в двойной логарифмической системе координат по-
казано изменение ширины петли гистерезиса б^ в зависимо-
сти от числа полуциклов нагружения для алюминиевого сплава
АК-8.
Аналогичными свойствами обладают сплавы В-96 и Д-16Т.
Рис. 27. Зависимость ширины петли от числа полуциклов для
сплава АК-8 (кривые 7—11) и теплоустойчивой стали (кривые
1-6)
В процессе деформирования эти материалы переходят в состоя-
ние, когда ширина петли упруго-пластического гистерезиса ста-
новится соизмеримой с шириной петли упругого гистерезиса.
На этом же рисунке для разупрочняющейся теплоустойчивой
стали в полулогарифмической системе координат даны значения
в зависимости от числа полуциклов. Для этого материала, на-
против, характерно значительное увеличение ширины петли
с ростом числа циклов.
На рис. 11, б приведена запись диаграмм циклического де-
формирования материала АК-8. Видно, что при большом числе
циклов кривые нагрузки и разгрузки практически совпадают,
хотя в исходном состоянии ширина петли пластического гистере-
зиса составляла 10.
з Заказ 1099 33
У углеродистой стали 45 (рис. И, а) и аустенитной нержавею-
щей стали 1Х18Н9Т петля гистерезиса стабилизируется в процес-
се циклического деформирования.
Сталь 1Х18Н9Т перед переходом в стабильное состояние уп-
рочняется в течение 8—10 полуциклов нагружения, а у стали 45
стабилизированная петля гистерезиса не зависит от степени ис-
ходного деформирования, если оно находится в пределах пло-
щадки текучести. По абсолютной величине с = 3,55, что прибли-
зительно соответствует протяженности площадки текучести.
Рис. 28. Запись диаграммы деформирования теп-
лоустойчивой стали
При подходе к стабилизированному состоянию сталь 45 в за-
висимости от степени исходного деформирования может
упрочняться, разупрочняться или быть стабильной практически
с первого полуцикла нагружения; при низких значениях мате-
риал разупрочняется, а при высоких упрочняется перед перехо-
дом в стабильное состояние.
В качестве примера разупрочняющегося материала можно
привести теплоустойчивую сталь (рис. 28), для которой на
рис. 27 в полулогарифмической системе координат была показа-
на зависимость ширины петли от числа полуциклов. В этих ко-
ординатах зависимость приближается к прямой линии, за ис-
ключением области нескольких первых полуциклов.
Поведение материала при циклическом деформировании зави-
сит и от его исходного состояния.
34
Для проверки влияния исходного состояния на закономерно-
сти циклического упруго-пластического деформирования была
испытана сталь ЗОХГСА после различных термообработок:
1) отжиг при 840—850° С, медленное охлаждение до 550—
600° С;
2) нормализация при 860—880° С, охлаждение на воздухе;
3) отпуск, охлаждение в масле;
4) изотермическая закалка при 870—890° С, перенос в ванну
с температурой 350° С.
Эксперименты подтвердили литературные данные [60, 88, 102]
о том, что материалы в нестабильном состоянии (закалка, на-
клеп) разупрочняются, а в ста-
бильном (например, отжиг) уп-
рочняются,
В отожженном состоянии ма-
териал упрочняется (рис. 29, кри-
вая <?). Во всех остальных рас-
смотренных случаях материал
разупрочняется и по мере увели-
чения нестабильности состояния
интенсивность разупрочнения уве-
личивается; кривые 4, /, 2 соот-
ветствуют нормализации, отпуску
И изотермической закалке. Рис- 29- Зависимость ширины
Можно отметить также, ЧТО ПСТЛИ °" ЧАИСЛа "Циклов
’ стали ЗОХГСА при различных
предварительное пластическое термообработках
деформирование (наклеп) также
приводит к циклическому разу-
прочнению материала. Например, отожженнная медь, сильно уп-
рочняющаяся при циклическом деформировании, в случае пред-
варительного наклепа деформацией порядка 30% приобретает
свойства циклически разупрочняющегося материала.
Ширина петли циклического деформирования сама по себе не
определяет форму кривой деформирования в некотором полуцик-
ле. Поэтому оказывается существенно важным изучение предела
пропорциональности, модуля разгрузки и геометрии кривой цик-
лического деформирования.
Предел пропорциональности при циклическом упруго-пласти-
ческом деформировании St } изменяется [22] как в зависимости
от степени исходного деформирования £(0), так и с ростом числа
полуциклов нагружения k. При обработке данных эксперимента
за предел пропорциональности принималось напряжение, соот-
ветствующее 0,01% остаточной деформации.
Для исследованных материалов характерна слабая зависи-
мость предела текучести (пропорциональности) Зт* в первом
полуцикле нагружения от е(0). Это видно на рис. 30, где показана
3* 35
зависимость S^ от степени исходного деформирования для ря-
да материалов.
В процессе циклического деформирования предел пропорцио-
нальности упрочняющегося алюминиевого сплава В-96 несколько
растет, разупрочняющейся теплоустойчивой стали — падает,
а у циклически стабильной аустенитной нержавеющей стали
1Х18Н9Т остается практически неизменным. В дальней-
шем принято, что предел те-
кучести (пропорционально-
сти) не зависит от числа
циклов и от степени исход-
ного деформирования.
Модуль разгрузки в про-
цессе циклического дефор-
мирования меняется и зави-
сит как от степени исходно-
го деформирования, так и от
числа циклов нагружения.
Рис. 31. Изменение модуля разгрузки:
а — в зависимости or исходной деформации,
б — в зависимости от числа циклов
/ — сплав Д16Т, 2 — сплав В-96, 3 — сплав
ЛК-8, 4 — теплоустойчивая сталь
Рис. 30. Зависимость предела про-
порциональности от исходной де-
формации:
/ — сплав В-96, 2 — теплоустойчивая
сталь, 3 — сталь 1XI8H9T
На рис. 31, а показано изменение модуля разгрузки, отнесен-
ного к модулю упругости £, в первом полуцикле в зависимости от
степени исходного деформирования а на рис. 31, б — измене-
ние циклического модуля разгрузки по мерс увеличения числа
полуциклов нагружения.
Максимальное уменьшение модуля разгрузки в первом полу-
цикле нагружения (считая исходное нагружение за нулевой полу-
цикл) для исследованных материалов составляет 15% от модуля
упругости. Исключением является алюминиевый сплав Д-16Т,
у которого изменения модуля разгрузки не наблюдается.
Циклически упрочняющиеся материалы по мере роста числа
полуциклов нагружения несколько восстанавливают величину
циклического модуля разгрузки. Например, модуль разгрузки
материалов В-96 и АК-8 (рис. 31, б) после 20—30 полуциклов на-
36
гружения уменьшается по сравнению с модулем упругости всего
на 5%.
У циклически разупрочняющейся теплоустойчивой стали мо-
дуль разгрузки уменьшается с ростом числа полуциклов нагруже-
ния, причем интенсивность снижения модуля увеличивается с ро-
стом степени исходного деформирования.
Для циклически стабильного материала 1Х18Н9Т модуль раз-
грузки после некоторого восстановления на участке упрочне-
ния (k = 8 4- 10) практически не изменяется на всей базе испы-
тания.
Рис. 32. Схема диаграммы циклического деформирования
при асимметричном цикле
Следует отметить, что изменение модуля разгрузки по срав-
нению с модулем упругости при исходном нагружении невелико,
и приближенно можно принять, что модуль разгрузки не зависит
от степени исходного деформирования и числа циклов и численно
равен модулю упругости.
Систематическое исследование свойств диаграмм деформиро-
вания конструкционных материалов с контрастными циклически-
ми свойствами показало, что кривые циклического упруго-пласти-
ческого деформирования по параметру числа полуциклов образу-
ют обобщенную диаграмму циклического деформирования.
На рис. 32 изображена схема диаграммы циклического дефор-
мирования при асимметричном цикле /г =const | и трех
различных уровнях напряжений и приведена кривая деформиро-
вания в k-м полуцикле при размахах Smax = 2оа и Snp = 2сгар.
Рассмотрим в пластической области участки кривых деформи-
рования в каждом полуцикле нагружения в координатах, начало
которых каждый раз совмещается с точкой, соответствующей пре-
37
делу текучести в данном полуцикле (рис. 33). Из эксперимента
вытекает, что в каждом полуцикле нагружения эти участки кри-
вых деформирования для различных уровней исходных амплитуд
приведенных напряжений (деформаций) при совмещении начала
координат Л, В, С совмещаются и образуют единую зависимость
между напряжениями и деформациями Л, В, С, L, 7И, N.
При этом приведенные напряжения для нечетных полуциклов
“(О)' ' “(0)" " “(0)"'
<5пр\ =GaPi; <5пр\ =ОаР!; Onpl --^OaPi
и для четных полуциклов
“(0)' “(0)" —(0)'"
(Зпр2 = (УаР2; (Упр2 = СаР2', ^пр2 = Р2 И Т. Д.,
где
/ 1 . \ 1 . 1 + Г , , 1 4- Г
Pi — 1 + Xi —— ) — 1 + Xi “-----» Р2 — 1 + %2 ———
\ О a J 1 — Г 1 — г
— коэффициенты приведения амплитуд напряжений.
Для симметричного цик-
ла нагружения (г = —1)
коэффициент приведения р =
= 1 и Опр = оа. Таким об-
разом, все конечные и про-
межуточные точки участков
кривых деформирования в
пластической области &-го
полуцикла нагружения, по-
лученные при различных
уровнях исходных деформа-
ций и различных асиммет-
риях цикла /?, для данного
полуцикла нагружения ук-
ладываются на одну и ту
Рис. 33. Схема совпадения участков кривую.
кривых циклического деформирова- На рИС. 34 И 35 показаны
ния в пластической области результаты обработки экспе-
риментальных кривых цик-
лического деформирования в координатах 5 — е для ряда полу-
циклов при г = —1. Максимальный разброс экспериментальных
данных по напряжениям составляет ±5%. На рис. 36 даны участ-
ки кривых в пластической области для стали ЗОХГС (сгв =
= 133 кГ1мм2) при г = —1; —0,75; —0,5.
Следует отметить, что во всех рассмотренных случаях цикли-
ческого деформирования (контрастные по свойствам материалы,
различные температуры и скорости деформирования) возмож-
ность совмещения участков кривых деформирования в пластиче-
ской области экспериментально подтверждается при величинах
38
исходных деформаций до 10—12 деформаций предела пропорцио-
нальности. При больших степенях исходного деформирования
Рис. 34. Экспериментальные дан-
ные по текущим (черные точки) и
конечным (светлые точки) значе-
ниям деформаций для сплава
В-95:
могут наблюдаться отклонения
ностей.
Рис. 35. Экспериментальные дан-
ные по текущим (черные точки)
и конечным (светлые точки) зна-
чениям деформаций для теплоус-
тойчивой стали
от полученных выше закономер
Рассмотрим теперь кривую циклического деформирования,
включающую участок упру-
гого деформирования, ус-
ловно приведенную к сим-
метричному циклу (см.
рис. 32). Предел текучести
для приведенной кривой ра-
вен пределу текучести при
симметричном цикле ST, и
начало координат незави-
симо от степени асимметрии
и __размаха цикла Smax =••
= Omin + O'max ДЛЯ Всех ПрИ-
веденных кривых деформи-
рования совпадает. Харак-
терной особенностью, выте-
кающей из совмещения в
пластической области участ-
ков кривых деформирова-
ния, является равенство те-
кущей приведенной пласти-
ческой деформации епл.пр и
Рис. 36. Участки кривых деформирова-
ния стали ЗОХГС (аб = 133 кГ/мм2) в пла-
стической области при различных асим-
метриях цикла:
1 — г — — 1, 2 — г = —0.75, 3 — г = —0,5
39
приведенной ширины петли дпр при одинаковом уровне
денной амплитуды опр = оар в k-м полуцикле:
&пл.пр — cF (k)
ST
2
приве-
(119)
причем при определении ширины петли значение напряжения
является максимальным Snp max, в то время как при определении
текущей пластической деформации значение напряжения являет-
ся текущим Snp. Функция числа полуциклов F(k) может быть
принята в виде степенной F(k) = — или полулогарифмической
k*
F(k) =ехрР(й—1) зависимости; здесь использовано соотноше-
ентов асимметрии по эксперименту и расчету
S г / S \ -(0)
ние = — и /1 — Pj = епр—уравнение кривой однократного де-
формирования.
В общем случае асимметричного цикла напряжений сущест-
венно перейти от кривой циклического деформирования, приве-
денной условно к симметричному циклу, к кривой деформирова-
ния при заданной степени асимметрии г.
Из факта совмещения участков кривой деформирования выте-
кает зависимость предела текучести при асимметричном цикле
8Тт от степени асимметрии и уровня напряжений. На рис. 33 по-
казана кривая деформирования, условно приведенная к симмет-
ричному циклу, и даны значения предела текучести STr. При пе-
реходе к асимметричному циклу с заданной асимметрией эта
кривая в /е-м полуцикле разворачивается в семейство кривых,
различающихся только в упругой части, с пределами текучести,
зависимыми от размаха напряжений Smax = атах + Omin и равны-
ми STr = 87—Smax(p—1) (см. рис. 38). На рис. 37 приведены
экспериментальные зависимости STr от 5шах для стали ЗОХГСА.
40
Соответствие эксперимента и расчета оказывается хорошим. При
одной и той же степени асимметрии и различных уровнях разма-
хов напряжений по кривым деформирования в k-м полуцикле
строится кривая зависимости размахов напряжений от деформа-
ций, которая может быть названа обобщенной кривой цикличе-
ского деформирования; на рис. 38 показано построение этой кри-
вой при некоторой асиммет-
рии цикла.
Таким образом, в k-м по-
луцикле при заданной асим-
метрии цикла деформирова-
ние для заданного уровня
напряжений Отах, Omin вы-
ражается кривой деформи-
рования асимметричного
цикла с размахом Smax, а
совокупность конечных то-
чек этих кривых для раз-
личных Smax образует обоб-
щенную кривую цикличе-
ского деформирования, ко-
торая и характеризует связь
напряжений и деформаций.
На рис. 38 показано се-
мейство обобщенных кри-
вых деформирования для
k-ro -полуцикла при различ-
ных степенях асимметрии г,
т. е. для различных значе-
Рис. 38. Обобщенные кривые цикли-
ческого деформирования при раз-
личных степенях асимметрии
ний коэффициентов приведения р. При симметричном цикле
(г =—1) обобщенная кривая циклического деформирования
совпадает с кривыми деформирования на каждом уровне разма-
ха напряжений, а предел текучести STr = ST при всех размахах.
Семейство обобщенных кривых циклического деформирования
для степени асимметрии г, построенное по параметру числа по-
луциклов k (четных или нечетных), образует обобщенную диа-
грамму циклического деформирования (рис. 39).
Приведенные выше диаграммы циклического упруго-пласти-
ческого деформирования были получены при постоянной ампли-
туде напряжений. Вместе с тем, весьма распространенными явля-
ются испытания при постоянных амплитудах деформаций (жест-
кое нагружение). Поэтому сопоставление деформационных
свойств при мягком и при жестком нагружениях представляет
определенный интерес.
Если при мягком нагружении деформации изменяются от цик-
ла к циклу, то при жестком нагружении максимальная величина
41
упруго-пластических деформаций ограничена, и от цикла к цик-
лу изменяются максимальные напряжения за счет перераспреде-
ления упругой и пластической частей деформаций.
Для всех исследованных материалов было установлено каче-
ственное соответствие между мягким и жестким нагружениями
в характере изменения диаграмм циклического деформирования
(рис. 40). Так, при жестком нагружении сопротивление деформи-
рованию упрочняющегося сплава В-96 увеличивается от цикла
к циклу, сопротивление разупрочняющейся теплоустойчивой ста-
ли уменьшается, а сопротивление
Рис. 39. Схема обобщенной диаграм-
мы циклического деформирования
упрочняющегося и разупрочняюще-
гося материала: s = const (мягкое
нагружение); е = const (жесткое на-
гружение); s = /(е)— случай концен-
трации напряжений. Коэффициент
асимметрии r = const
циклически стабилизирующейся
аустенитной стали 1Х18Н9Т
не изменяется, начиная с то-
го же, что и при мягком на-
гружении, число полу-
циклов.
Из приведенных экспери-
ментов можно в первом при-
ближении заключить, что
кривые циклического дефор-
мирования при мягком на-
гружении соответствуют кри-
вым при жестком нагруже-
нии. На рис. 41 показаны
обобщенные диаграммы ци-
клического деформирова-
ния при мягком и жестком
нагружениях аустенитной
стали 1Х18Н9Т и теплоус-
тойчивой стали (черные точ-
ки соответствуют мягкому
нагружению, а белые —
жесткому).
Единственность диаграммы циклического деформирования
изучалась в работах (41 и 42] только при симметричном цикле
растяжения-сжатия и сдвига. Было установлено, что в координа-
тах S* — е* соответствие кривых циклического деформирования
при сдвиге и растяжении-сжатии оказывается хорошим, если да-
же исходные диаграммы деформирования при растяжении, сжа-
тии и сдвиге в координатах о — е существенно различаются. Ин-
тересно отметить, что в этом случае определяющей является
диаграмма однократного деформирования при сдвиге, так как,
по-видимому, исходная анизотропия свойств при растяжении и
сжатии через несколько циклов нагружения исчезает. На рис. 42
для упрочняющегося сплава В-96 приведены диаграммы одно-
кратного деформирования при растяжении, сжатии и сдвиге, а на
рис. 43 — расчетные кривые циклического деформирования в ко-
42
о g
ординатах 3* = и е* = —, построенные по диаграмме одно-
S ’р
кратного деформирования при сдвиге, и экспериментальные точки
для растяжения-сжатия, сжатия-растяжения и сдвига при сим-
метричном цикле. Соответствие оказывается хорошим.
Рис. 40. Диаграммы деформирования при жестком
нагружении:
а — сплав В-96; б — сталь 1Х18П9Г
На рис. 44 для разупрочняющейся теплоустойчивой стали при-
ведены аналогичные кривые деформирования. В первом полу-
цикле еще не удается получить единственности кривой цикличе-
( кого деформирования, так как диаграммы однократного дефор-
мирования при растяжении и сжатии существенно различаются,
но начиная со второго полуцикла диаграммы совпадают.
43
Для циклически стабильных материалов также наблюдается
единственность диаграммы деформирования, как это видно из
рис. 45, где приведена кривая циклического деформирования ста-
ли ЗОХГС для k > kCT при растяжении-сжатии, сжатии-растяже-
нии и сдвиге.
Однако следует иметь в виду, что данные по единственности
диаграммы деформирования носят ограниченный характер и не-
обходимы дальнейшие исследования в этой области, особенно при
плоском напряженном состоянии с различными соотношениями
главных напряжений.
Рис. 41. Кривые циклического деформирования (20° С, п = 0,35):
а — сталь 1X18H9T; б — теплоустойчивая сталь
§ 4. ДИАГРАММА ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
И ЕЕ АППРОКСИМАЦИЯ
Выражение для кривой деформирования в асимметричном
цикле с размахом 5тах,какэто вытекает из § 3, может иметь вид
г = S (при S Srr);
е - S + cF (k)
(при S > STr);
(1-20)
здесь с = с, Ci или с2 в зависимости от циклических свойств мате-
риала (упрочнение или разупрочнение, анизотропия); предел те-
кучести при асимметричном цикле STr = ST — Smax(p— 1).
В общем случае предел текучести при симметричном цикле
параметры функции F(k)—а (или р). параметр с, модуль
44
Рис. 42. Диаграммы однократного
деформирования сплава В-96:
1 — растяжение, 2 — сжатие; 3 —
сдвиг
Рис. 43. Диаграмма циклического де-
формирования сплава В-96 при растя-
жении-сжатии (А), сжатии-растяжении
(X) и циклическом сдвиге (°)
Рис. 44. Диаграмма цикличе-
ского деформирования для
теплоустойчивой стали при ра-
стяжении-сжатии (X), сжатии-
растяжении (°) и цикличе-
ском сдвиге (А)
Рис. 45. Диаграмма цикличе-
ского деформирования стали
ЗОХГСА при растяжении-сжа-
тии (А), сжатии-растяжении
(X) и циклическом сдвиге (°)
45
разгрузки и т. д. зависят от числа полуциклов и исходной де-
формации, однако если учитывать это обстоятельство при ап-
проксимации кривых циклического деформирования, то исполь-
зование этих кривых для расчетов окажется весьма затрудни-
тельным. Вместе с тем, как видно из данных § 3, приближенно
можно считать параметры циклического деформирования, мо-
дуль разгрузки и предел текучести постоянными. Для удобства
аппроксимации и последующих расчетов следует также поло-
жить предел текучести ST = 2. Тогда выражение для диаграм-
мы деформирования примет вид
l = S + F1(Snp)F(k);
здесь предполагается, что влияние исходного приведенного на-
пряжения, деформации и числа полуциклов выражается произве-
дением двух независимых функций:
F(k) — (или
ka
Отсюда выражение для кривой деформирования в асиммет-
ричном цикле с размахом Smax может быть записано следующим
образом:
8 = S + cF (k)
— 1
при S > STr=2— smax(p—1);
(1.21}
e = S
при S < Srr •
Имея в виду, что кривая циклического деформирования, поми-
мо параметров с, а (или р) и коэффициента приведения р, опре-
деляется еще диаграммой однократного деформирования, рас-
смотрим кривую циклического деформирования при аппроксима-
ции диаграммы однократного деформирования на основе
полигональной и линейной зависимости.
При полигональной аппроксимации для симметричного цикла
нагружения (р = 1) уравнение кривой циклического деформиро-
вания может быть получено из выражения
А-(0„+6„)
t = S + cF(k)-----------
1 п
ИЛИ
Оп+-п- cF (k)
S — 2 2Ь- - + г------' =2An(k) + Bn(k)e, (1.22)
cF(k) cF(k)
2bn + 2b, t
46
где ап и Ьп — параметры полигональной аппроксимации
однократного деформирования;
ап + Ьп
1
Ап (k) = —----------- и Вп (£) =---!------
! , cF^ j ,
+ 2bn + 2bn
кривой
(1.23)
— параметры полигональной аппроксимации кривой циклическое
го деформирования при симметричном цикле (ST = 2). Если пе-
рейти к относительным координатам S* и 8*, в которых напряже-
ния и деформации отнесены к пределу пропорциональности при
циклическом нагружении ST, то диаграмма однократного дефор-
мирования и кривые циклического деформирования приводятся
к одному масштабу, а уравнение кривой деформирования в сим-
метричном цикле (ST = 2) принимает вид
S* = An(k) + Bn(k)e*.
Уравнение кривой циклического деформирования в асиммет-
ричном цикле с размахом Smax удобно записать для случая поли-
гональной аппроксимации (1.2) следующим образом:
Sp
_ . 9 _
е = S + cF (k)------------ при S > Srr = 2 — Smax (р — 1).
bn
После преобразований получим уравнение обобщенной кри-
вой циклического деформирования:
ап + Ьп
~2Ь----- () 1 - $т
5=2 —--------------1------?----- при S > . (1.24)
j PcF W j 4 с? (&)Р Р
+ ^Ьп ’ 2Ьп
Предел текучести при использовании обобщенной кривой цик-
лического деформирования определится в зависимости от коэф-
_ _ ST 2
фициента приведения р из условия S = е = -----= —, по-
Р Р
СКОЛЬКУ .Sr = 2 И (21 + &i = 1.
Отнеся напряжения и деформации к пределу текучести обоб-
щенной кривой циклического деформирования —, получим урав-
Р
некие обобщенной кривой циклического деформирования в удоб-
ной для расчетов форме:
Ж- = An(k) + Bn(k)A~, (1-25)
5 'Т* Q'T*
47
где
cF (k) p
cF (k) p
*>n
A^k) = ^±
S‘r = -. (1.26)
i cF (k) p p
+ 2bn
Для линейного упрочнения с модулем GT при однократном
деформировании ап = 1 — GT; bn = GT, а при циклическом де-
формировании Вп = g (k) =---?----; Ап = 1 — g (k).
t cF (fe) p
+ 2GT
Уравнение обобщенной кривой циклического деформирования
при линейном упрочнении принимает вид
S* =------------1----gW------8*. (1.27)
p + (l-?W) p + (1-pW)
Обозначим модуль циклического упрочнения
q(k) = —ш— = —1—
P+(1~PW) cF(k)
1 + -=- Р
2Gr
запишем
S* = 1 ~ ? (fe) + q (k) e* (1.28)
p
S* e*
или в координатах—— и——
S 'р
Q* р*
^=.l-q(k) + q(k)^-. (1.29)
Для симметричного цикла р = 1 и Sr = 1, q(k) = g(k), для
упрочняющихся материалов %i = %2 = 0, р = 1 и обобщенная кри-
вая циклического деформирования запишется так:
5*-I-g(^) + g(fe)c*. (1.30)
Таким образом, диаграмма однократного деформирования оп-
ределяет форму кривых циклического деформирования, и, зная
эту диаграмму, функцию числа циклов и коэффициент приведе-
ния р симметричного цикла, можно построить обобщенную диаг-
рамму циклического деформирования. На рис. 39 приведена схе-
ма обобщенной диаграммы циклического деформирования для
упрочняющегося (параметр а > 0) и разупрочняющегося мате-
48
риалов (параметр сс<0); условно принято, что диаграмма од-
нократного деформирования у этих материалов одинакова.
Изменение деформаций при асимметричном цикле напряже-
ний определяется пересечением обобщенных кривых циклическо-
го деформирования с прямыми S = const, изменение напряжений
при жестком нагружении — пересечением этих кривых с прямой
8 — Д, где А — заданный размах деформаций.
Изменение напряжений при жестком нагружении аналити-
чески получается из уравнения кривой циклического деформиро-
вания (1.21) для заданного Д:
Sw = ^-'cF(k)[f 1
(1-31)
Из рис. 46, а сплошной линией проведена расчетная кривая,
полученная из уравнения (1.31) для сплава В-96, соответствие
Рис. 46. Сопоставление расчета и эксперимента при жестком нагружении:
а — для сплава В-96, б — для стали ЗОХГСА = 133 кГ!мм?)
между расчетом и экспериментальными точками удовлетвори-
тельное.
Существенно отметить, что при вычислении напряжений при
жестком нагружении следует учитывать в нечетном и четном по-
луциклах изменение коэффициента приведения pi,2 за счет изме-
нения от'полуцикла к полуциклу коэффициента асимметрии:
1 1.жаз 1099
49
В случае накопления односторонней пластической деформа-
ции при мягком нагружении можно ожидать «сползания» кривых
деформирования при жестком нагружении, однако изменение
коэффициента асимметрии г оказывается таким, что это «сполза-
ние» компенсируется и устанавливается величина г, при которой
накопление односторонней деформации при мягком нагружении
прекращается.
На рис. 46, б для жесткого нагружения стали ЗОХГС (ов =
= 133 кГ!мм2) приведено сопоставление эксперимента с пересче-
том по данным мягкого нагружения с учетом изменения коэффи-
циента асимметрии г. На рисунке видно, что после периода неко-
торого изменения коэффициента г при дальнейшем росте числа
полуциклов этот коэффициент почти не меняется. Соответствие
между экспериментом и расчетом можно считать удовлетвори-
тельным.
Хорошее соответствие мягкого и жесткого нагружения дает ос-
нование считать, что диаграмма циклического деформирования,
полученная из данных для мягкого нагружения, может быть ис-
пользована при монотонном изменении напряжений и деформа-
ций в пределах квадранта между прямыми S = const и е = const,
т. е. во всех случаях рассмотрения кинетики напряжений и де-
формаций в зонах неоднородного напряженного состояния при
постоянной амплитуде нагрузок.
Диаграмма циклического деформирования в координатах
S* — 8* может быть преобразована в диаграмму в координатах
о — е. Если при этом иметь в виду соотношения (1.4), то в £-м
полуцикле напряжения и деформации составят
k-\
= ет + 2 (- + (- 1)А 2e*<ft);
т=\
k_I
а(» = а<°> + 2 (- l)m + (—!)* 2S*(t).
т= I
(1.32) '
Для упрочняющихся
материалов [при F(k) = — ; р = 1]
ka
в случае мягкого нагружения асимметричным циклом с напряже-
ниями Оа и вт
(1.33)
50
и деформация после k-ro полуцикла составит
На рис. 47 приведены графики функции Z,(k, а) = 2j----—
k
в зависимости от значения параметра циклического деформиро-
I' 51
вания а для различных значений числа полуциклов k, в табл. 80
даны значения этой функции.
При весьма большом числе циклов диаграмма деформирова-
ния упрочняющихся материалов стягивается в достаточно узкую
петлю, ширина которой сопоставима с петлей упругого гистере-
зиса, и можно считать, что в предельном случае диаграмма де-
формирования может быть выражена прямой, сдвинутой на ве-
личину предельной остаточной деформации:
+ (1.35)
V» (—1)*
здесь функция 5(сс) = У3----- может быть выражена через
ka
дзета-функцию Римана 5(a) {14]:
?(a) = -(l-21-“)?;(a). (1.36)
Приближенно функция 5(a) выражается уравнением
5(a)— (—In 2 + 0,5) a— 0,5.
Для циклически разупрочняющихся материалов {при F(k) =
= ехр|3(/г—1)] при мягком нагружении амплитудой оа и сред-
ним напряжением от
e(k) = ет+ c2[f(oap2) — 1] V ехр0(/г—1) —сх х ’
k=2, 4, 6
хЦ(олР1)—1] ехРр(А-1)+2ао(-1Г
*=i’3’5‘ * (1.37)
ИЛИ v ’
= ет + 2 (- 1)* + -
— 1] expp — Ci[f(oaPi)— И}-
Глава II
МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ УПРУГОСТИ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Вопросы определения напряженного (и деформированного)
состояния детали при упруго-пластическом деформировании яв-
ляются существенной частью задачи о несущей способности де-
тали. Важно иметь в виду, что при решении инженерных задач
о несущей способности деталей в большинстве случаев дефор-
мации могут считаться малыми, а нагружение — близким к про-
стому. Это позволяет воспользоваться аппаратом теории малых
упруго-пластических деформаций, разработанным в настоящее
время достаточно полно, в частности, трудами советской школы
теории пластичности.
Подробно эта теория рассмотрена, например, в работе [29],
здесь же приведем лишь основные уравнения.
Для случая однократного активного деформирования, когда
нагрузки, действующие па тело, изменяются так, что интенсив-
ность напряжений в каждой точке тела в данный момент не
меньше предшествующего значения, теория малых упруго-пла-
стических деформаций формулируется следующим образом.
1. Объемная деформация является упругой:
где Е — модуль упругости;
ц — коэффициент Пуассона.
2. Девиатор напряжений пропорционален девиатору дефор-
маций:
(2.2)
Знак (xyz) означает круговую перестановку символов в ана-
логичных уравнениях.
53
3. Между напряжениями и деформациями существует связь,
инвариантная относительно напряженного состояния:
(2.3)
эта связь определяется из эксперимента, например, из диаграм-
мы деформирования при растяжении (см. гл. I).
Теория малых упруго-пластических деформаций примени-
тельно к циклическому деформированию была разработана
В. В. Москвитиным [43], который показал, что в координатах,
соответствующих началу разгрузки в каждом полуцикле нагру-
жения, могут быть использованы уравнения, аналогичные урав-
нениям активной деформации в исходном нагружении:
S<k> = —-— е<*>;
1 —2р.
e(fe) _ 1
s(ft> — s(k) = —
"хх 3
S<A>
е<*>
ху
(xyz)
(2.4)
при зависимости известной из опыта. Напряже-
ния и деформации в этих уравнениях отсчитываются от момен-
та начала разгрузки (см. гл. I). В. В. Москвитин показал так-
же, что если все нагрузки, действующие на тело, изменяются
пропорционально одному параметру, то при циклическом дефор-
мировании осуществляется простое нагружение при тех же огра-
ничениях, что и в случае однократного активного деформиро-
вания.
Методы, основанные на теории малых упруго-пластических
деформаций, получили в настоящее время достаточное распро-
странение. Можно отметить метод упругих решений А. А. Илью-
шина [29, 30], идея которого состоит в том, что напряжения и
деформации в упруго-пластическом теле определяются, как в
упругом теле с дополнительными объемными и поверхностными
нагрузками, величина которых определяется в конечном итоге
видом кривой деформирования. Поскольку эти нагрузки зависят
от напряженного (и деформированного) состояния тела и, сле-
довательно, заранее не могут быть определены, используется
процесс последовательных приближений, и для получения обще-
го решения необходимо решить серию упругих задач с меняю-
щимися от приближения к приближению поверхностными и объ-
емными нагрузками.
Интересный анализ метода упругих решений был проведен
И. А. Биргером [7], показавшим, что для получения упруго-пла-
54
стического решения могут рассматриваться упругие задачи с до-
полнительными деформациями.
Методом упругих решений в настоящее время исследован
ряд задач, в том числе и задачи о концентрации напряжений
[46—48 и др.].
Можно отметить, что этот метод дает решение краевых задач
при упруго-пластическом деформировании и в этом смысле яв-
ляется достаточно общим. С другой стороны, использование его
в инженерных расчетах деталей машин приводит к весьма
сложным решениям, поскольку дополнительные поверхностные
и объемные нагрузки достаточно общего вида затрудняют вычи-
сления. В соответствии с этим необходима разработка такого
метода, с помощью которого можно распространить формулы
сопротивления материалов, широко используемые в инженерных
расчетах стержней и стержневых систем, дисков, труб, пластин,
оболочек, на расчеты при упруго-пластическом деформировании.
Это удается сделать на основе методд переменных параметров
упругости при условии простого нагружения.
Метод переменных параметров упругости был сформулиро-
ван в общем виде И. А. Биргером |[7], который использовал урав-
нения упруго-пластического деформирования в форме уравнений
упругости, но с переменными параметрами связи между вторыми
инвариантами девиаторов напряжений и деформаций:
еХх =-j^-[°xx— Н* (оуу + °«)]; (xyz), (2.5)
где (xyz) —знак круговой перестановки символов.
Переменные параметры упругости:
Е* — Е________Зф________.
2(1 ^И) + (1-2|х)ф’
(2.6)
* (1 +Н) —(1 — 2ц) <р . ,2 7)
И 2(1 + ц) + (1 - 2р)ф’ ’ ’
G* =----—-----= G(<p); G =—-------, (2.8)
2(1 + М*) 2(1+JX)
где £, G,jli— обычные параметры упругости;
Ф = ----функция пластичности, определяющая зависи-
мость параметров упругости от свойств пластиче-
ского деформирования материала (о; = сч/ат;
ei = ei!eT).
Для практического использования уравнений можно поло-
жить коэффициент Пуассона во всем диапазоне деформирования
р = 72, и эти уравнения существенно упростятся. Если при этом
55
отнести напряжения и деформации соответственно к ог и ет, то
уравнения (2.5) принимают вид
^хх ~ ~ (°Уу °zz)~| » Уху Ъу (ХУ^) (2-9)
(р L 2 J у у у
При ф = 1 уравнения обращаются в обычные уравнения тео-
рии упругости.
Для случая циклического деформирования в £-м полуцикле
можно записать
ё« = —krlXx------- (Svv + Sjl; гхv = ~^rSxv. (2.10)
ХХ ф * L ХХ 2 К уу zz\ ху ху \ /
Уравнения (2.9) и (2.10) с уравнениями равновесия, гранич-
ными условиями и уравнениями совместности деформаций обра-
зуют систему уравнений, решение которой дает решение задачи
для однократного и повторного нагружения соответственно.
В общем случае задача , решается методом последовательных
приближений, причем параметры упругости в каждом приближе-
нии вычисляются по напряженному (деформированному) со-
стоянию предыдущего приближения.
В большинстве инженерных задач, связанных с расчетом де-
талей, не удается решить полную систему уравнений. В этих
случаях обычно точно удовлетворяются уравнения равновесия и
граничные условия и используются уравнения, характеризующие
связь напряжений и деформаций, а уравнения совместности де-
формаций удовлетворяются приближенно путем введения соот-
ветствующих кинематических гипотез. Такие методы широко
используются в сопротивлении материалов и дают решения для
обширного класса задач. Аналогичные методы можно использо-
вать и при упруго-пластическом деформировании, причем уда-
ется получить решения для того же класса задач.
Уравнения совместности деформаций заменяются гипотезой
плоских сечений, прямых радиусов, прямых нормалей или дру-
гой кинематической гипотезой в зависимости от типа задачи.
Правомерность неточного удовлетворения условий совместности
может оцениваться экспериментально. Например, эксперимен-
тальная проверка гипотезы плоских сечений при изгибе прямых
брусьев показывает хорошее соответствие гипотезы эксперимен-
ту даже при весьма больших деформациях наружного волок-
на [5].
Введение кинематических гипотез позволяет перейти от соот-
ношений между напряжениями и деформациями, связанными
функцией пластичности ф в некоторой точке тела, к интеграль-
ным соотношениям между внутренними усилиями и соответству-
ющими им перемещениями в некотором сечении тела. Примени-
тельно к упруго-пластическому деформированию это означает,
что могут быть записаны уравнения для усилий и перемещений
56
с переменными параметрами, характеризуемыми некоторыми
интегральными функциями пластичности:
Q-Фё, (2.11)
где Q — некоторое усилие;
е — соответствующая этому усилию обобщенная дефор-
мация.
Эти величины отнесены к величинам, соответствующим дости-
жению предела текучести; интегральная функция пластичности
Ф зависит как от функции пластичности ср, так и от геометриче-
ских особенностей сечения.
Глава III
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕЙ
И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Напряженное состояние и усилия в сечении стержней с пря-
мой осью при изгибе, кручении, растяжении и их комбинациях
при диаграмме деформирования с упрочнением на основе кине-
матических гипотез изучалось рядом авторов. Рассматривались
зоны пластичности и уравнения оси балки при упруго-пластиче-
ском деформировании для некоторых частных случаев нагруже-
ния, зависимости деформации от момента в сечении для упроч-
няющегося материала и т. д. Ряд таких решений приведен в мо-
нографиях [29, 44, 69], там же дана обширная библиография. За-
дача упруго-пластического деформирования кривых брусьев так-
же рассматривалась довольно широко. Были получены зависимо-
сти напряжений и усилий от деформации в сечении при линейном
и степенном упрочнении для одномерной постановки задачи [13,
34, 76], а при отсутствии упрочнения удалось получить более об-
щее решение для напряжений с учетом плоского напряженного
состояния для чистого изгиба [100].
Большое количество работ посвящено выявлению предель-
ных состояний стержней при изгибе и отсутствии упрочнения ма-
териала, когда критерием исчерпания несущей способности кон-
струкции является образование целиком пластичных сечений, не
способных к восприятию усилий, превышающих предельные.
Такое направление работ характерно для строительных конст-
рукций, для которых, как правило, величина перемещений не
ограничивает несущую способность. Работы этого направления
рассмотрены в монографиях [12, 59], содержащих подробную
библиографию задач теории предельного равновесия.
Вычисление перемещений при изгибе стержней существенно
при рассмотрении несущей способности деталей машин. Мето-
дика определения перемещения для статически определимых
стержней рассмотрена в работах [1, 81], для изгиба статически
неопределимых систем применялись разновидности метода упру-
58
гих решений [51, 54] и метод переменных параметров упругости
[8, 82, 83].
Вместе с тем представляет интерес получить выражения для
напряжений, усилий и перемещений, обобщив соответствующие
уравнения сопротивления материалов с помощью интегральных
функций пластичности, так чтобы на основе заранее составлен-
ных таблиц и графиков этих функций (получить инженерные ре-
шения задач пластичности стержней.
§ 1. УСИЛИЯ, ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
При совместном действии изгиба и растяжения уравнения
равновесия стержня, сечение которого имеет одну ось симмет-
рии, совпадающую с плоскостью действия момента, могут быть
записаны в следующем виде:
М = J aydF = J aybdy\
? (3.1)
W = f adF = Ccfcdt/,
F у
где М и N — изгибающий момент и сила в сечении стержня;
у — ордината точки сечения;
b — ширина сечения с ординатой у._
1-т i Q
Переходя к функции пластичности ср = —, запишем
е
— = f cpefiydy; —У-— = С qefidy, (3.2)
“тах^т р
где р = —------относительная ширина сечения;
^тах
&тах — максимальная ширина сечения.
Для стержней с прямой осью, используя гипотезу плоских се-
чений, можно записать деформацию в сечении от растяжения и
изгиба стержня как сумму деформаций:_постоянной по сечению
ер и линейно зависящей от координаты еи = 0ц (рис. 48):
д
здесь ц = —; гц = — ; hi — наибольшее расстояние до оси пово*
h h
рота сечения, h — высота сечения.
59
Подставив выражение для деформации в уравнения равно-
весия (3.2), получим выражения для относительных значений
М TV N
моментов М =------ и сил 1\/ =---:
oTW oTF
_ 41 41 41
M = ku J <₽ [<?p + IMn = ku J <₽<?ррг]Л1 + ku J <p0T]2dr];
—42 —42 —4a
__ 4i 4i 4i
N = kp J <p [ep + 0r|] № = kp J <p<?p₽dr] + kp J фР9т]^П;
-42 -42 -42
(3.3)
здесь предполагается, что диаграммы деформирования при ра-
стяжении и сжатии одинаковы; ku и kp — коэффициенты, зави-
сящие от формы сечения.
Рис. 48. Схема деформаций при изгибе
Максимальная деформация в сечении (рис. 48)
етах = ер + 0г]1 = 0(а + т),
где а = -%-.
и
Ордината т]i при заданной максимальной деформации может
выбираться произвольно, в частности, из условия
41
J = 0;
-42
(3.5)
в этом случае выражения для моментов и сил упрощаются:
— — Ч1
М = ku6 j (pPrfdri;
— 42
— Л1
N = kpep f фРЛ].
— 42
(3.6)
60
Ордината rji зависит от соотношения а = и величины мак-
симальной деформации етах в сечении и определяется при ин-
тегрировании уравнения (3.5). На рис. 49 приведены значения
т]! в зависимости от этих величин для стержня прямоугольного
сечения при линейном упрочнении. Определение оси поворота
сечения по уравнению (3.5) связано с достаточно громоздкими
вычислениями и вызывает увеличение объема вычислений при
определении перемещений (см. гл. III, § 3). Поэтому в ряде слу-
чаев, особенно для сечений с двумя осями симметрии, удобно
выбирать ось поворота в
центре тяжести сечения,
1
полагая т]i = — и т|2 —
1
=-----и определять мо-
менты и силы из уравне-
ний (3.3). В этом случае
- , е
£тах = ер + — , причем
условно можно считать
£тах = еи max, ГДС
ер — деформация растя-
Рис. 49. Ордината оси поворота сечения
при изгибе (прямоугольное сечение)
в зависимости от деформации
жения; еи max — макси-
мальная деформация изгиба (см. рис. 48). Обозначим х =
— 2а, ТОГДа £?тах — £umax(l “F х).
еи шах
Коэффициенты формы сечения ku и kp можно определить из
условий упругого деформирования (ф = 1). В этом случае
___ 41 _ ч 1
М = kuep j* Prjdr] + kuQ j‘ Pr)2rfri;
-Th -Th
N = kPeP^ ₽dl1 + kPQ f Рл^л-
—Th —Th
(3.7)
Ось поворота сечения при изгибе выберем совпадающей с
центром тяжести сечения:
41
j = О,
—Th
и тогда
___ _ Tlj _ _ т)1
М = f Рт]2б/т]; N = kpep j pdrp
-Th - Th
61
Для случая упругого деформирования отношения —--= 1
еи max
n 1
— = 1 и
ер
^=-^— ;kp = -^—; (3.8)
J Рт]2б/г) у
-Л 2 — Л 2
в этом случае ордината определяет собой расстояние от наи-
более удаленной точки сечения до оси, проходящей через центр
тяжести сечения, т. е. до оси, относительно которой происходит
поворот.
Ниже приведены значения коэффициентов ku и kp неко-
торых сечений:
Коэффициенты Двутавр Прямоуголь- ник Круг Ромб
Ьц kp 4,6—4,7 3,2-3,4 6 1 10,2 1,27 24 2
Рассмотрим интегрирование уравнений моментов и сил при
полигональном упрочнении, когда ср = ~ + Ьп, для прямоуголь-
е
ного сечения (|3 = 1).
Рис. 50. Расположение областей пластичности
При совместном действии изгиба и растяжения в зависимо-
сти от соотношения усилия и момента могут представиться сле-
дующие случаи расположения области пластичности (рис. 50):
1) в сечении две области пластичности и одна область упру-
гости: CumaxO + х) > 1 и eumax(x — 1) < 1;
62
2) в сечении имеется одна область пластичности и одна об-
ласть упругости: еи max (1 + х) > 1 И —1< eumax(x— 1) < 1;
3) целиком пластичное сечение: £umax(l + х) > 1 и
^umax(x 1) > 1.
Для случая полигонального упрочнения уравнения (3.3) при
двух областях пластичности могут быть записаны в следующем
виде:
2
м = ka [2 J (ап + ьпе) n^T] + J en]<h] —
п -Пг
— 2 J (а„—
Т
kp [2 J dy\ + У edy\ —
п
“V
— 2 У (^—
__]_
2
(3.9)
Первый интеграл соответствует упруго-пластической области
с положительными значениями деформаций, второй — упругой
области, третий — упруго-пластической области с отрицательны-
ми значениями деформаций. В последнем случае диаграмма де-
формирования при полигональном упрочнении описывается
уравнением о = —ап + Ьпе.
При одной области пластичности
М = ku [2 J (ап + Ьпё) Т]Л1 + J er]dn];
п _ 1
__ 2 _
N = &р[2 J (а„ + bne) Ch] + J еЛ]] •
П х\т _1_
При целиком пластичном сечении
____ 2 _ __ 2
М = f + N=kPy. [ (fln + bne)ch}.
п 1 п 1
г г
(3.10)
(3.11)
63
Суммирование здесь ведется по участкам, соответствующим
интервалам деформации с одинаковыми параметрами диаграм-
мы ап и Ьп. В этих выражениях в пластических областях преде-
лы интегрирования записаны условно для всей области. В дей-
ствительности на п-м участке суммирования интегрирование
Рис. 51. Схема распределения напря-
жений при полигональном упрочне-
нии
ведется в пределах от
до На рис. 51 для слу-
чая двух областей пластич-
ности показаны распределе-
ние напряжений и участки
интегрирования.
Принимая во внимание
уравнение (3.4) и_имея в
виду соотношение eUmax =
е
= — , можно записать сле-
2
дующее уравнение:
£ — Ср 4“ Си гпах2т| .
Заменив переменные в уравнениях для усилий, получим вы-
ражения, интегрирование которых дает возможность подсчитать
значения моментов и сил в зависимости от ешах для различных
значений:
М -- Мп + %bnJМп + JV} |
N — ЪапJ^bnJNtl /дг p; |
(3.12)
здесь значения интегралов JM и JN вычисляются в зависимости
от случая деформирования из следующих выражений.
Для случая 1. В пластической области:
в интервалах деформации ч- совпадающих в первой и
второй областях пластичности,
64
1 , ** ~‘k
— Г de C de\ = 0;
emax J % '
ek-l ek-l
e k ~~ek
JNn = 1,5 1 ~^x ( f ede— C ede}=0;
«max 'J J >
k-i k-t
(3.13)
в интервалах деформации ek-t-ek~i в первой области пластич-
ности при ek-i > I emin |
(3.14)
в упругой области
X (1 х)
етах
Для случая 2. В пластической области
1 + х у ~~ 4-1
^тах / 3
^4±21(а- ft-,) I 1.5;
етах J
1,5;
етах
JNn= Л^-Х- (gft — ek-i) 1,5;
етах
JNn =
5 Заказ 1099
(3.15)
(3.16)
65
Л"₽= 1,5
J Мп —
В упругой области
гУпр
j м —
Ь х \2 1 — efe-i * / 1 — х \ 1 ~~ el-i
iax / 3 \ gfnax / 2
^Р = Д±^(1_-2^0,75.
^тах
1,5;
(3.17)
Для случая 3 в пластической области уравнения аналогичны
уравнениям (3.16), причем J^p = 0; J^np = 0.
Вычисления, проведенные по приведенным выше формулам
для значений интервалов деформаций 1; 1,25; 1,5; 2; 3; 4 и 5 и
таких же значений етах, дают величины интегралов /м и JN. Эти
величины сведены в табл. 22—24, по которым на основе формул
(3.12) можно вычислить значения моментов и усилий при раз-
вр
личных отношениях = х для прямоугольного сечения.
Си max
В табл. 2—4 сведены вычисления моментов и сил при изгибе
стержня прямоугольного сечения из стали 1Х18Н9Т, параметры
полигонального упрочнения которой приведены в табл. 20; на
рис. 52 даны зависимости для усилий в этом случае.
Для линейного упрочнения ап = 1 — GT и bn = GT и форму-
лы (3.12) принимают вид
А1 = (1 — Gr) Jм + JmP:>
N = (\ — Gt) V J'N + Gr£ J"N + JyNnp. (3J8)
При линейном упрочнении значения моментов и сил можно
вычислить по данным табл. 22—24 или непосредственным инте-
грированием уравнений в пределах всего интервала деформаций
каждой из областей сечения. После интегрирования уравнений
получим:
для случая 1
л7 г " । 1 1 ер I втах 1
W = GTep Н--------— ер -=----------=- + ---------=-
L ^тах Ср ^тах ер
। (1 ~1~ етах) (1 2ер -|~ gmax) -
“Г _ 9 "г ’
2 (^тах + ер)
М “ (^тах &р) Н ~ X
(3.19)
[ 1 gmax 2gp] (ер 1) (^тах 0
(gmax ^p)
66
Таблица 2
Значения произведений anJM и bnj"M и их сумм для вычисления изгибающих моментов
*max е ап X Ьп *
0 0,1 0,25 0,5 0,75 I 0 0,1 0,25 0,5 0,75 1,0
1,25 0,4 0,013 0,017 0,021 0,030 —0,019 -0,033 0,6 0,023 0,029 0,036 0,052 -0,031 —0,054
1,5 0,88 0,037 0,045 0,058 0,084 —0,032 —0,060 0,26 0,015 0,018 0,023 0,033 —0,003 —0,025
к 2 0.96 0,101 0,124 0,157 0,058 -0,035 —0,086 0,20 0,040 0,045 0,058 0,002 —0,012 —0,031
□ 3 1,09 0,327 0,396 0,512 0,172 0,068 0 0,11 0,083 0,102 0,131 0,031 0,019 0,002
4 1,15 0,483 0,586 0,272 0,276 0,285 0,276 0,09 0,113 0,161 0,074 0,079 0,079 0,078
5 1,27 0,686 0,414 0,417 0,485 0,547 0,610 0,06 0,146 0,089 0,089 0,104 0,117 0,131
2>anJ м 1,647 1,582 1,435 1,105 0,814 0,707 0,420 0,444 0,411 0,301 0,169 0,100
1,25 0,40 0,022 0,025 0,032 0,047 —0,017 —0,033 0,6 0,036 0,043 0,056 0,081 —0,027 —0,054
1,5 0,88 0,058 0,069 0,089 0,042 -0,021 —0,050 0,26 0,023 0,027 0,028 0,015 —0,009 —0,021
л 2 0,96 0,158 0,190 0,245 0,040 0,006 —0,044 0,20 0,058 0,070 0,062 0,016 0,004 —0,015
3 1,09 0,510 0,619 0,441 0,265 0,245 0,204 0,11 0,131 0,158 0,089 0,063 0,066 0,050
4 1,15 0,753 0,580 0,452 0,521 0,766 0,648 0,09 0,208 0,143 0,124 0,143 0,163 0,180
1,501 1,483 1,259 0,915 0,973 0,870 0,456 0,441 0,359 0,318 0,197 0,040
Продолжение табл. 2
— X h X
emax е ап 0 0, 1 0,25 0,5 0,75 1 п 0 0, 1 0,25 0,5 0,75 1,0
3 1,25 1,5 2 3 0.4 0,88 0,96 1,09 0,037 0,100 0,278 0,900 0,042 0,121 0,340 0,667 0,059 0,158 0,315 0,540 0,005 0,032 0,136 0,617 —0,008 —0,011 0,115 0,680 —0,026 -0,018 0,081 0,730 0,6 0,26 0,2 0,11 0,063 0,040 0,102 0,230 0,078 0,049 0,125 0,180 0,101 0,063 0,112 0,139 0,009 0,012 0,021 0,159 —0,013 —0,003 —0,044 0,177 —0,040 —0,009 —0,032 0,190
^anJ м 1,315 0,270 1,072 0,790 0,174 0,767 0,435 0,431 0,315 0,201 0,125 0,141
2 1,25 1,5 2,0 0,4 0,88 0,96 0,084 0,228 0,630 0,102 0,277 0,451 0,164 0,127 0,379 0,038 0,134 0,435 0,031 0,135 0,500 0,018 0,125 0,540 0,60 0,26 0,20 0,144 0,092 0,233 0,175 0,111 0,161 0,221 0,050 0,140 0,067 0,052 0,162 0,056 0,052 0,185 0,036 0,048 0,203
0,942 0,830 0,670 0,607 0,666 0,683 ZbnJ м 0,469 0,447 0,411 0,281 0,293 0,287
1,5 1,25 1,5 0,4 0,88 0,149 0,400 0,174 0,227 0,086 0,250 0,093 0,290 0,099 0,334 0,083 0,336 0,6 0,26 0,256 0,162 0,290 0,087 0,154 0,099 0,162 0,115 0,174 0,131 0,174 0,174
0,549 0,401 0,336 0,383 0,433 0,419 ^-Ь^м 0,418 0,377 0,253 0,277 0,305 0,348
1,25 1,25 0,4 0,214 0,129 0,131 0,152 0,172 0,190 0,6 0,370 0,220 0,225 0,264 0,300 0,335
м 0,214 0,129 0,131 0,152 0,172 0,190 *>nJM 0,370 0,220 0,225 0,264 0,300 0,335
Таблица 3
Значения произведений anJN и bnJN и их сумм для вычисления растягивающих сил
етах е ап X bn X
0, 1 0,25 0,5 0,75 1 oo 0,1 0,25 0,5 0,75 1 oo
1,25 0,4 0 0 0 0,018 0,020 0,60 0 0 0 0,029 0,034 —
1,5 0,88 0 0 0,031 0,039 0,044 —. 0,26 0 0 0,005 0,018 0,020 —
г 2 0,96 0 0 0,072 0,084 0,096 — 0,20 0 0 0,026 0,031 0,035 —
о 3 1,09 0 0 0,163 0,191 0,218 — 0,11 0 0 0,041 0,026 0,055 —
4 1,15 0 0,144 0,172 0,195 0,230 — 0,09 0 0,038 0,047 0,055 0,063 —
5 1,27 0,127 0,159 0,191 0,222 0,254 — 0,06 0,027 0,034 0,041 0,047 0,054 —
N 0,127 0,303 0,529 0,749 0,862 1,27 bbnJ n 0,027 0,072 0,160 0,206 0,261 0,300
1,25 0,40 0 0 0 0,022 0,085 0,60 0 0 0 0,037 0,042 —
1,5 0,88 0 0 0,041 0,049 0,056 — 0,26 0 0 0,014 0,022 0,026 —
4 2 0,96 0 0 0,089 0,105 0,120 — 0,20 0 0 0,032 0,038 0,044 —
3 1,09 0 0,101 0,204 0,238 0,272 — 0,11 0 0,028 0,052 0,060 0,069 —
4 1,15 0,115 0,179 0,215 0,252 0,284 — 0,09 0,033 0,049 0,059 0,069 0,079 —
N 0,115 0,280 0,549 0,666 0,757 1,115 ^bnJ N 0,033 0,077 0,157 0,226 0,26 0,036
1,25 0,40 0 0 0,025 0,029 0,033 0,6 0 0 0,042 0,049 0,056 —
2 1,5 0,88 0 0 0,055 0,064 0,073 — 0,26 0 0 0,026 0,030 0,034 —
2 0,96 0 0,040 0,120 0,140 0,160 — 0,20 0 0,0150 0,044 0,051 0,058 —
ZanJ n 0,096 0,225 0,301 0,350 0,400 0,96 ^bnJ N 0,036 0,098 0,168 0,195 0,223 0,400 J
о
Продолжение табл. 3
ешах е ап У. Ьп х
0,1 0,25 0,5 0,75 1 оо 0,1 0,25 0,5 0,75 1 оо
1,25 0,4 0 0,041 0,050 0,059 0,067 — 0,6 0 0,070 0,084 0,097 0,112
1,0 1,5 0,88 0,006 0,092 0,110 0,129 0,147 — 0,26 0,013 0,043 0,051 0,061 0,069 —
0,006 0,133 0,160 0,188 0,214 0,88 *>nJ м 0,013 0,013 0,135 0,158 0,181 0,39
1,25 0,4 0,040 0,050 0,060 0,070 0,080 0,4 0,6 0,067 — 0,084 0,100 0,118 0,134
0,040 0,050 0,060 0,070 0,080 0,4 0,067 0,084 0,100 0,118 0,134 0,75
Таблица 4
Значения моментов и сил при совместном изгибе и растяжении стержня прямоугольного сечения из стали 1Х18Н9Т
етах Моменты м при х Силы дг при z
0 0,1 0,25 0,5 0,75 1,0 0 0, 1 0,25 0,5 0,75 1,0 сю
1 1 0,910 0,80 0,666 0,563 0,5 0 0,090 0,200 0,333 0,437 0,500 1
1,25 0,224 1,149 0,985 0,790 0,696 0,605 0 0,107 0,244 0,414 0,525 0,614 1,15
1,5 1,412 0,319 1,165 0,936 0,803 0,657 0 0,119 0,286 0,482 0,606 0,728 1,27
2 1,661 1,520 1,471 1,095 0,902 0,720 0 0,132 0,323 0,572 0,746 0,873 1,36
3 1,810 1,836 1 ,561 1,245 1,020 0,616 0 0,146 0,342 0,653 0,887 1,036 1,42
4 2,020 2,000 1,815 1,380 1,040 0,660 0 0,148 0,357 0,706 0,967 0,142 1,51
5 2,087 2,075 1,911 1,496 1,070 0,587 0 0,154 0,375 0,689 0,998 1,223 1,57
для случая 2
N = Grep’+ (1 - Gt) ер ;
^шах ер
м = Gt(е — е ) 4- 1~^т Зйтах ~ 2ер) ~ 1
2 Umax — ео)
(3.20)
Рис. 52. Зависимость усилий для случая изгиба
стержня прямоугольного сечения из стали
1Х18Н9Т
для случая 3
N = Ствр + (1 — Gr); 1
М. = Gt (^max £р) • J
(3.21)
Для круглого сечения при линейном упрочнении (|3 == У\ — 4rj2;
П1 = П2 = y)
71
для случая 1
S - Gri, + {(=„ - О - -»„)(!- 4лп)',‘+ '
+ — 1) ПГ| (1 — “I’ll,)''' + у arcsin 2т)т1 } ;
Я = Or - а.) + L± (1 _ ip) (1 _ 4n“ _
Z (_ ОЛ
— (4ax — ёр) Пт-1 (1 — 4n г I )’Z’ — у-
-{ъО-Ч)’'2- Yarcsin2tb]b
для случая 2
N = GTep Н---------Ь. /—-L (етах — е ) [(1 — 4t]ti )Л —
2 ( оЛ
- (1 - 4п^)2/»] + 7 - о pin (1 - 4nh),/2 +
+ -Ь arcsin 2пГ1 ] + — (ер — 1) [nr2 (1 — 4t]^2),/i +
2 J Л ।
I 1 • п 1)
+ — arcsin 21]^ |;
М = ёг(ётах-ер) + ±=_£l {2|_ (1 _ ёр) [(1 _ 4г121Г/2 +
+ (1 — 4t]|2),/i] — (ётах— ер) Пт-i (1 — 4Пг1)’/г +
+ Лг2 (1 - 4п|2)’А - -у Пг, (1 -4nh)*/2 -
— У *17-2 С1 ~ 4Пт2)‘/2 — 7 arCS‘n 2ПП — arCS’n 2ПГ2 ]} ’
для случая 3
N = Grep + (1 — Gt); 1
^4 — Gt (втах £р). )
1(3.22)
(3.23)
(3.24)
Из полученных уравнений могут быть найдены усилия N и М,
если иметь в виду, что
Ч„= -4-ил„- ib7-- (3.25)
£щах — ер етах ер
72
Соотношения усилий для этого случая приведены на рис. 53.
При изгибе без растяжения ер = 0и# = 0и уравнения (3.3)
принимают следующий вид:
Рис. 53. Зависимость сил и моментов при совместном действии растяжения
и изгиба для стержня круглого сечения:
а — G =0; 6 — G = 0,1; в — (Г =0,2
т т т
Если сечение имеет одну ось симметрии, то положение ней-
тральной оси зависит от степени пластического деформирова-
ния, пределы интегрирования меняются и определяются из урав-
нений равновесия. В этом случае положение нейтральной оси на-
ходят по второму уравнению (3.26). У сечений с двумя осями
симметрии нейтральная ось проходит через центр тяжести сече-
ния, и второе уравнение (3.26) удовлетворяется тождественно,
о 1 1
В этом случае ; т)2 =-----и
___ __ 2
М = еап>аЛ j <Pl2fW
2
(3.27)
73
Для прямоугольного сечения при полигональном упрочнении
момент можно определить по уравнениям (3.12) и табл. 22—24
при значениях х = 0. В случае линейного упрочнения
м = Greaax + 4 (1 - Gr)- 4 (1 - Gr) 4-. (3.28)
Z Z рл
max
Для круглого сечения при линейном упрочнении и х = 0
+ Д— (втах — 1)1/2 + етах 4 arcsin Д-1. (3.29)
^етах ^тах I
На рис. 54 приведены графики моментов для прямоугольного
Рис. 54. Величина моментов при чистом изгибе сечений:
а — прямоугольного; б — круглого
определяются моменты в зависимости от дефор-
Аналогично
мации наружного волокна и для других симметричных сечений.
Для сечений с одной осью симметрии из уравнения
п»
-42
определяются ординаты нейтральной оси.
Для трапециевидного сечения
Р = — (1 — а) т) + (1 — а) г|х + а,
и из уравнения
41
[ ф((1 — а)(т]1 — п) + а] — = 0
-аД.)
74
b.
можно определить rji в зависимости от emax; здесь а = — — от-
*2
ношение сторон трапеции.
В предположении линейного упрочнения после интегрирова-
ния получим уравнение для определения координаты нейтраль-
ной оси:
при одной области (пластичности
1 ,1 \ q 0 етах,
-г- (1_а)яз--------------
ешах
1 и 0 ^тах)
_^ат)2 -----
‘ max C'max
+ -4JLt1i-2vl = °: <3-30)
при двух областях пластичности
-Ц^(1-а)т|? -4 t33eLx
о ей
max
1—а (1—— б^тах 2« п
---Т]1 --------------<jT------— и.
^тах о
+ 2(1 -
^max
(3.31)
Последние уравнения при выбранных значениях етах легко
решаются относительно т)Ь причем при -qi > -——— существу-
етах + 1
ет одна область пластичности, при тр < _ ^тах----две области.
0max 1—
Следует отметить, что в предельном случае (етах->оо) изги-
ба несимметричного сечения при отсутствии упрочнения (GT =
= 0) нейтральная ось делит площадь сечения на две равные
части, а при наличии упрочнения совпадает с центром тяжести
сечения.
Результаты решения уравнений (3.30) и (3.31) для треуголь-
ного сечения (сс = 0) приведены на рис. 55.
Для вычисления зависимости момента от деформации может
быть использовано первое из уравнений (3.26):
— Я1 2
м = k~eu max f <р pdn
J 41
—42
и в случае трапециевидного сечения
М = и -С V-Л----------~max f Ф10 — а)Пх — (1 — а)П + а]
(1 4- а)2 -4- 2а Лх
(3.32)
75
Для одной области пластичности I т------------
' Алах “Ь 1 /
М = 12(2 + «)еытах P.zfo.. (1 _ a) JL------[(] _ а)П14-а] Х
2а + (1+а)2 2 V ч
Т1? / 1 \ 1 — GT Г)1
X -----41-a)J^ +
_ Cmax \ 3emax J 3 emax
GT Tin
— [(1 — a) Th + а] г)? + [(1 — a) th + a] +
о о
1 - ОС A /'*1 - ОС A.
__ n4_G7.__ n4
Для двух областей пластичности
д| ___ 12 (2 -р ос)ец щах
“ 2сс-^(1 + сс)2
1 —GT n?
—-— ((1 — «) Пт + тт~
3 «max
(3.33)
1 --ТЬ 1 -
Н-----— [(1 — а) П1 + а] (п? + п!)-----;— X
2 «max 3
Х(1 — а) -=3i-(T|3 — T)|)4-Gr[(l — ^nt + a] Л| j-112.—
^max
-ёГ”(ч!"П?)Н. (3.34)
Совместное решение уравнений (3.30), (3.31), (3.32) и (3.33)
дает решение задачи. На рис. 56 приведены графики моментов
Рис. 55. Зависимость ординаты нейтральной Рис. 56. Величины изгибающе-
оси от степени деформирования при из- го момента для треугольного
гибе стержня треугольного сечения сечения
76
циями пластичности: функцией Фи, устанавливающей связь ме-
жду изгибающим моментом и деформацией изгиба, и функцией
Фр, устанавливающей связь между продольным усилием и де-
формацией растяжения (сжатия).
Учитывая уравнения (3.26), можно записать
Ф
—₽п + — П2
. еи max
М
еи шах
max Р
(3.35)
Для случая чистого изгиба
Фи = &и f ф —₽<*Т|.
Л 111
(3.36)
Применительно к полигональному упрочнению для функций
пластичности можно записать следующие уравнения:
Фи = ДА? [2 м + 2 bnJ м + Jmp] ;
£щах п
. , (3.37)
фр = -=-— [2 anJк + ^bnjJлГР] .
^maxX n
Для прямоугольного сечения могут быть использованы дан-
ные табл. 22—24 применительно к тому или иному значению па-
раметра х = - ер -. В табл. 5 приведены значения функций пла-
еи max
стичности Фи и Фр, вычисленные по данным табл. 4 для прямо-
угольного сечения при полигональном упрочнении, а на рис. 57
даны графики.
В случае линейного упрочнения
фя = [(1 - Ст) 2 J'm + Gt^Jm + JyMP];
^max
Фр = [(1 - Gr) S J'N + Gr 2Jn + Л"р].
Xemax
(3.38)
На рис. 58, 59 даны значения функций Фи и Фр при значении
GT = 0 для прямоугольного и круглого сечений.
Значения интегральной функции пластичности Фи при чистом
изгибе определяются из выражения для моментов
Фи=^—; (3.39)
еи max
77
графики этих функций для прямоугольного и круглого сечений
при линейном упрочнении GT = 0; 0,1 и 0,2 показаны на рис. 60.
Выше были приведены уравнения для усилий в сечении
стержня и для интегральных функций пластичности, построенные
Рис. 57. Функции пластичности фи и фр при изгибе с растяжением стали
1Х18Н9Т (прямоугольное сечение)
Рис. 58. Функции пластичности фи
и фр для прямоугольного сече-
ния при GT — 0
Рис. 59. Функция пластичности фи
и фр для круглого сечения при
Gr = 0
по параметру отношений деформаций х = ——— . Вместе с тем
еи max
в ряде практически важных случаев существенно получить зави-
симости усилий и интегральных функций пластичности по пара-
метру отношения усилий % = —г. Такие зависимости могут быть
78
получены перестроением, если известна связь параметров и и Л
или если построен график зависимости между усилиями М и N
Рис. 60. Функции пластичности ф при чистом изгибе сечений:
а — прямоугольного; б — круглого
сечения при GT = 0 и GT = 0,1
по параметру еШах, где Л изображается лучом, выходящим из на-
чала координат. На рис. 61 и 62 приведены для прямоугольного и
круглого сечений зависимости X от и при значениях модуля уп-
рочнения GT = 0; 0,1. На рис. 63 и 64 при полигональном упроч-
нении (сталь 1Х18Н9Т) даны зависимости моментов от макси-
79
мальной деформации по параметрам Лих, полученные перест-
роением из рис. 52.
Рис. 62. Зависимость параметров Ли и для круг-
лого сечения: при GT = 0 и GT = 0,1
Напряжения в сечении стержня при совместном действии из-
гиба и растяжения легко могут быть определены из уравнения
° = Ф (еи + ер).
Максимальные напряжения в сечении
Отах = V" Фе + -Г" Фе'* <3 ’40)
здесь фе — функция пластичности, соответствующая максималь-
ной деформации.
Распределение напряжений в сечении дается формулой
о = М + (3.41)
ф« ф₽
80
Таблица 5
Значения функций пластичности Фм и Фр при совместном изгибе и растяжении
стержня прямоугольного сечения из стали 1Х18Н9Т
5пах Фи при х фр при X
0 о, 1 0,25 0,50 0,75 1 0, 1 0,25 0,50 0,75 1 СО
1 1,25 1,5 2 3 4 5 1 0,995 0,941 0,830 0,603 0,505 0,418 1 0,985 0,973 0,836 0,674 0,550 0,457 1 0,985 0,970 0,920 0,652 0,567 0,478 1 0,948 0,936 0,870 0,624 0,518 0,450 1 0,975 0,936 0,790 0,595 0,457 0,375 1 0,97 0,875 0,720 0,410 0,330 0,235 1 0,942 0,872 0,726 0,535 0,408 0,340 1 0,98 0,955 0,807 0,570 0,446 |0,375 1 0,995 0,965 0,86 0,653 0,530 0,413 1 0,98 0,94 0,87 0,690 0,565 0,465 1 0,98 0,97 0,875 0,690 0,571 0,49 1 0,98 0,848 0,680 0,473 0,378 0,315
здесь функция ф определяется для деформации
е = тах 2L + ер = <?тах -^1-— (3.42)
ГЦ 14-х
в точке сечения с ординатой т|.
Если задано соотношение усилий X = , можно воспользо-
м
ваться графиками М = f(emax), построенными по параметру Z, из
А Ф//
УСЛОВИЯ X = X —— •
ё=ётах-ЛА-----(3.43)
1+х-^
фр
в этом случае функции пластичности определяются для макси-
мальной деформации етах при заданном соотношении усилий к.
Рассмотрим вычисление распределения напряжений в стерж-
не прямоугольного сечения из стали 1Х18Н9Т, имея в виду, что
усилия возрастают при сохранении соотношения усилий л = 0,5.
Для заданного значения деформации £тах по рис. 63 и 64 нахо-
дим значения момента М и функций пластичности Фи, Фр, а по
формуле (\ = Д-
е =
определяем деформацию в
тональном упрочнении
4>е =
е ________2JL-
таХ Фц
1 +^-Д-
различных точках сечения. При поли-
^- + ьп (е > 1)
е
б Заказ 1099
81
и распределение напряжений вычисляется по формуле
Рис. 63. Зависимость моментов от максимальной де-
формации по параметру % (сталь 1Х18Н9Т)
Рис. 64, Зависимость моментов от максимальной дефор-
мации по параметру х для стали 1Х18Н9Т
На рис. 65 приведены соответствующие графики напряжений
в различных точках сечения при значениях етах = 1,5; 3 и 5 для
стали 1Х18Н9Т.
82
Для стержней с кривой осью также могут быть использова-
ны уравнения равновесия (3.3); эти уравнения преобразуются,
если использовать гипотезу плоских сечений для кривых брусь-
ев. На основании этой гипотезы перемещение произвольной точ-
ки может выражаться как результат двух перемещений: поворо-
Рис, 65, Распределение напряжений Рис. 66. Схема деформаций при
при изгибе бруса из стали 1Х18Н9Т изгибе кривого бруса
при полигональном упрочнении
та вокруг некоторой оси, отстоящей от центра кривизны на рас-
стоянии г, и плоскопараллельного перемещения (рис. 66):
dwQ + ydQ = dw.
Деформация некоторого исходного элемента бруса ds =
= (г + при этом составит
e = J^._L--------(3.44)
dtp г + у dtp г + у
обозначения ясны из рис. 66.
С другой стороны, это же перемещение может быть представ-
лено как результат поворота сечения на угол Ар вокруг центра
кривизны и на угол dQ' вокруг оси, отстоящей от центра кривиз-
ны на расстоянии г. Тогда деформация составит
e = (3.45)
Др Др г у
Как видно из рис. 66, dQ' = rf0 + dty, a rdty = dwQ. Введя обо-
1 dty 1 Д) a
значения ----• —— = еп и — •------= 6, можно записать в отпо-
ит dtp р ет dtp
сительных координатах выражение для деформации
ё = ёр-(0 + ёр)-4- = (0+ёр)(а----------3—Y (3.46)
р + п \ р + п /
где а = -
0 +
83
Здесь и далее все радиусы и высоты сечений отнесены к -внут-
реннему радиусу бруса: р = — и т| = —
^2
Теперь уравнения равновесия запишутся в следующем виде:
(3.47)
где Мп — момент относительно центра поворота;
р ь
г> =-------относительная ширина сечения.
^тах
Положение радиуса оси поворота р, который может быть на-
зван радиусом нейтральной оси, определяется из условия
41
ftp—рА] = 0; (3.48)
J . Р + Т)
-ч2
при выполнении этого условия решения уравнений равновесия
несколько упрощаются.
Как известно, при деформировании кривых брусьев в преде-
лах упругости нейтральная ось смещается относительно центра
тяжести в сторону центра кривизны на постоянную величину;
при деформировании за пределом упругости положение нейтраль-
ной оси зависит от изменения параметров упругости по сечению
[83]; при пластическом изгибе радиус нейтральной оси зависит от
характера диаграммы и степени деформирования. Даже для про-
стейшего случая идеальной пластичности после интегрирования
условия (3.48) получается трансцендентное уравнение относи-
тельно р; его решение весьма громоздко и может быть найдено
графически или путем последовательных приближений. На
рис. 67 для GT = 0 приведены значения радиусов нейтральной
оси в зависимости от максимальной деформации в сечении етах
при pi = 6 для различных а.
Необходимость решения трансцендентных уравнений делает
определение р достаточно сложным, особенно для случая поли-
гонального упрочнения.
Более удобно для вычислений полагать радиус оси поворота
постоянным и не зависящим от деформации, в этом случае ус-
ловие (3.48) не соблюдается, и уравнения равновесия несколько
усложняются. В качестве оси поворота сечения может быть при-
нята любая ось, при этом при одних и тех же усилиях и дефор-
мациях £тах величины ер и 0 окажутся различными и зависящи-
84
ми от расстояния оси до центра кривизны бруса, как это видно
из рис. 66. Такой осью может быть выбрана точка на нейтраль-
ной оси бруса при чистом изгибе в области упругости. Радиус
Рис. 67. Значения радиусов нейтральной осй в зависимости
от деформации в сечении при pi = 6
При интегрировании уравнений равновесия (3.41) необхо-
димо знать границы зон упругих и упруго-пластических дефор-
маций.
При одинаковых знаках деформаций ер и (9 4- ер) возможны
три варианта областей пластичности: одна область со стороны
малого радиуса [ 1 > — ——- (б + ер) + ер > — 1; (б + ер) (р —
— 1)>1) , две области пластичности (— ——- (0 + ер) + ер <
< —1 ; (9 + ер) (р— 1) > 1 I и целиком пластичное сечение
Pi—Р(б + ёр) + ёр> 1).
В этом случае максимальная деформация имеет место всегда
со стороны малого радиуса бруса и составляет етах = (9 + ер) X
X (а + р— 1).
Расстояние зон пластичности от нейтральной оси можно опре-
делить, положив деформацию на границе упругой и упруго-пла-
стической зон равной деформации при пределе текучести.
Для области пластичности, примыкающей к малому радиусу
бруса, т]Т2 = ре? для области пластичности, примыкающей
к большому радиусу бруса, = р ер .
0—1
При разных знаках деформаций возможны четыре варианта
областей пластичности: одна область со стороны большого или
малого радиуса бруса, две области пластичности и целиком пла-
стичное сечение. Этот случай деформирования бруса практически
менее важен и в дальнейшем не рассматривается.
85
Рассмотрим деформирование бруса прямоугольного сечения
при полигональном упрочнении. В этом случае радиус центра по-
ворота р=—------ и уравнения равновесия могут быть запи-
Inpi
саны следующим образом:
при одной области пластичности
при двух областях пластичности
86
при целиком пластичном сечении
(3.51)
здесь суммирование ведется по участкам, соответствующим ин-
тервалам деформации с одинаковыми параметрами диаграммы
О-п и Ьи.
В пластической области с отрицательными значениями де-
формаций диаграмма деформирования при полигональном уп-
рочнении описывается уравнением ст = —ап + Ьпе.
Приведенные выше уравнения удобно интегрировать в дефор-
мациях. После замены переменных на основе уравнения е =
= (а------3—) ер), и интегрирования получим выражения,
\ Р + Т
позволяющие подсчитать значения моментов и сил для различных
а в зависимости от етах:
-----“ = 2 ап^М + 2 ЫМ„ + JМупр',
oTbR2 п п
" , „ (3.52)
-----== anJN 4- b„J м 4- J
I —J n П Nynp
Значения интегралов JM и вычисляются в зависимости от
расположения пластических областей из следующих выражений.
При одной области пластичности
J Мп —
1 — а
2сх,— 1 ^max —
1 о
1 — а р
2а — 1 <?max
1-а ‘ Р
( ^max , - \2
* gmax 2
1—а ‘ р Р
gmax
87
J Мп — —------
1 — a
* gmax 2
1-a ’ p P
gmax
p
3—2<X ^max . - 2 a
-------- . ---- ck---------
2(1 — a) p k 1 — a
3 2a gmax , — 2 — a
2(1—a) p ^ek-\ ]a
J Nn
^max . —
j-+2
emax , -
(3.53
gmax
₽
1
1 — a
. - ^max . -
+ ^/г p +ek~\
— In
- . e max
ek + ~r
gmax
p
88
в упругой области
J М упр —
^iriax
p
p2
^min
e-2_^_
1 — а
етах
р
1 — а
fmax
p
р2
^max
р
3 —2а
2(1 —а)
e max ~
-K^-de -=
ginax 2 ОС
(3 1 — а
7 \2
3 — 2а
2(1-a)
gmax
p
2 — а
1 — а
gmax
p
(3.53)
(I + т)2
^max
р (1+v)
7 __ 1
J N упр —
1 — а
gmax
p
Р
ede
£max
2
min
где
£max
р р
^max
-1 р v
^max , . ^max . ч
-p-+l -y-d+Y)
emax
р +
— In
^max .j . ч
“7~(1 4-Т)
а — 1 — —
= а + (р-1) . = к рд /
1 1 —а ’ Г 1 -а
р . = р
1 mm cmax
цри двух областях пластичности
Мп-----
1 — а
gmax
р
р2
(3.54)
89
(3.54)
90
в упругой области
т _________ 1
d М упр — ~
1 — а
ede
gmax \2
Р /
JN упр — ~
1 — а
Стах
₽
В интервалах деформации, в которых |е/г| > | emin|, второй
интеграл в приведенных выше выражениях равен нулю, для не-
которого промежуточного интервала |ег-| > |emin| > |^i-i | вто-
рой интеграл берут в пределах —+ emin.
Для целиком пластического сечения JMynp = hynp = 0, а
выражения для интегралов совпадают с аналогичными выраже-
ниями для случая одной области пластичности, причем, если в
некотором промежуточном интервале ei > emin > ег-ь то интегри-
рование в этом интервале ведется в пределах е* - i —
Вычисления по приведенным выше формулам весьма гро-
моздки, однако, если значения функций JM и табулированы,
то определение по формулам (3.52) значений моментов и сил
затруднений не представляет.
В табл. 25—36 приведены значения интегралов и JN для
интервалов деформации 1; 1,25; 1,5; 2; 3; 4 и 5 и для таких же
и G г>
значении етах для различных а = z—Чг •
9 _ _
Для линейного упрочнения ап = 1 — GT; Ьп = Gr п формулы
для подсчета моментов относительно нейтральной оси и сил при-
нимают вид
-i- - (1 - Gr) S JM + GrSJ^ + JT;
—— (1 — Gp) 'ZJn + Gr^Jn + JyuP.
(3.55)
При линейном упрочнении формулы для моментов и сил мо-
гут быть получены интегрированием уравнений равновесия в пре-
делах от р = 1 до р! при граничных значениях т]п и т]т2«
91
В этом случае уравнения для моментов и сил имеют вид:
при одной области пластичности
-~°-L [(Р— I)2 — Пт2] + (ёр + e„max х
Мн
bvTRl
(Рг-Р)2 q (Р-D2
2 2
ЧТ2
2
'и max (9 + ер] р [(Pl — р) + Gt (р — 1) + (1 — Gt) ^гг] +
р— 1
+ ёа тах —gp) р2 - [— In Pi + (1 - Gt) In (p — t)t2)]!
Р— 1
(3.56)
= (1 - Gt) (p - 1 - T)r2) + (ёр~ ^-e+.ep ..
Ь(5т^2 \ max(Р О
х [(Pi - р) + Gt(р- 1) + (1 - Gr) ПГ21 - -(e+zep) рп
еи max (Р
х [— In Pi + (1 — Gr) In (р— T]r2)J;
при двух областях пластичности
MH i —&
baTR\
- l(Pi
2
1
О -Ь еР \ (Pi - Р)2 " (Р - I)2
+ Gt \ ер еа тах р__у 4
/- - 0+ёр \ Пт1 +Пт2
еи max __ j J 2
2
(0 ер) р
и max р_____ J
х [Gt (Р - 1) + (1 - Gt) (пГ1 + ПГ2)] ~ ёи тах
(3.57)
Р — ЛГ2
N
boTRi
; 1
•р тах
р— 1
+ е —В-
г max ,
Р— 1
Р Чг2
92
при целиком пластичном сечении
Мн
borR?2
(1 — GT) 4- GT
ер
еи max
р— 1
(Pi-P)MP- I)2 ,
2
+ GT—^—e,l max[(Pi— 1) — p In Pi];
p — 1
(3.58)
44 = (1 — G)(p - 1) + GTep(f> —l)-GT-^-
X [(Pl — 1) —plnpj.
Аналогичные уравнения могут быть получены и для других
форм сечения, в частности, представляет интерес близкое к се-
чению крюка трапециевидное сечение с отношением сторон
~ = 4 и pi = 3. При вычислении моментов внешних сил от-
носительно центра тяжести выражения для Мн следует пересчи-
тать, учитывая момент от продольной силы относительно ней-
тральной оси:
~ ---~ р) . (3.59)
a rbR* fSpbRi, ^TbR^
При использовании табл. 25—36 и формул (3.52) это выраже-
ние преобразуется:
----— — IV м — Jn (Ро Р)1 4" [ Jм — Jn (Ро — р)1 4~
oTbRi
4" JМ упр JN упр (Ро Р)- (3.60)
— М
Введем относительные значения моментов и сил М = в
N О7&(Р1— ])(Ро—р)^2 ,,
N = -гг- , где Мт =--------------------- и NT — oTb (pi —
Р — 1
— 1)^2 — момент и сила при достижении предела текучести
в наиболее напряженном волокне бруса. Отсюда
М = МН - №(р— 1)/?2. (3.61)
На основании приведенных выше уравнений могут быть по-
строены графики предельных (по деформациям) значений М и
А; для кривых брусьев прямоугольного сечения при линейном
упрочнении GT = 0; 0,1 и 0,2 и pi = 3; 4; 5; 6; 8 и 10; такие графи-
ки показаны на рис. 68.
Интегральные функции пластичности могут быть определены
М N
как отношения = z--------- и Фр = здесь принято eumax =
_ _ еи max ер
= (0 + еД (р-1).
93
Эти функции вычисляются при известных зависимостях между
усилиями и деформациями в сечении:
Ф" = (О+,>)(Р1^1)(Ро-Р) ^[^-J'v(Po-P)1 +
+ -bn [Ли — JN (ро — р)1 + Jm упр — Jn упр (ро — р)};
Фр = “ \^an^N + ^bnJN + Jn упр\
ep (Pl— 1)
(3.62)
94
95
и
96
Заказ 1099
А = ^3
Л=1,1 ^2^
' 0,1'
JJr ~ г
^0,3-0,1
Л _ Я
JJr - J
^0,5 1,0 -
/23^ $тах /23^ Птах 1 2 3 У- Иглах
Рис. 69. Графики функции пластичности фи и фР при йг 0 и pi = 3; 4; 5; 6; 8 и 10
12 3ч
Рис. 70. Графики моментов при изгибе
98
3
и растяжении кривого бруса при pi = 3; 4; 5; 6; 8 и 10
7*
99
Для случая полигонального упрочнения могут быть использо-
ваны данные табл. 25—36.
Для вычислений необходимо знать значения функций пластич-
ности Фи и Фр и моментов М в зависимости от максимальной
деформации етах по параметру Л = Такие графики показаны
М
па рис. 69 для кривого бруса прямоугольного поперечного сече-
ния при pi = 3; 4; 5; 6; 8 и 10 и линейном упрочнении GT = 0.
Напряжения в сечении кривых брусьев
о =
еитах Л \
р — 1 р + л /ч
Максимальное напряжение
N <ре , Л4(р— 1) 'Г.-
тах Р ' Фр ЛРо-Р) ’ Ф«
Распределение напряжений по сечению
Фр p-l-л Лг Ф«
или
_N ср М и (р
т фр /Др —р) рЧ-п ф« ’
(3.63)
(3.64)
(3.65)
здесь функция фе определяется по деформации
(3.66)
соответствующей усилиям в сечении. Графики рис. 68 могут быть
использованы для получения зависимости деформации от уси-
лия етах в сечении (например, момента) по параметру Л. На
рис. 70 показаны подобные графики для прямоугольного сече-
ния. При известном М и X по этим графикам определяется етах и
по формуле (3.66) —деформации в сечении. По этим данным оп-
ределяются Фи, Фр и <р и напряжения.
Выражения для напряжений, полученные выше, по структуре
аналогичны обычным выражениям сопротивления материалов.
Пластическое деформирование учитывается коэффициентами
Фи, Фр 'и фе, зависящими от степени деформирования етах-
100
§ 2. УСИЛИЯ, ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
ПРИ СОВМЕСТНОМ РАСТЯЖЕНИИ, ИЗГИБЕ ИЛИ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
Решение задачи о напряженном состоянии стержня при упру-
го-пластическом деформировании совместным кручением и рас-
тяжением было рассмотрено для идеальной пластичности Надаи
[8]; В. В. Соколовский [50] дал общие интегралы этой задачи.
Уравнения равновесия стержня круглого сечения, подвержен-
ного совместному действию кручения и растяжения, могут быть
записаны следующим образом:
---= С хгЧц
2яТу J
W Г - 7
------ = аг аг.
2логт J
1 г
(3.67)
Используя гипотезу о сохранении прямых радиусов плоского
сечения при кручении и растяжении, можно написать уравнение
для деформаций кручения и растяжения:
7щах __ 1 .
У Р
ер = const.
— v
Здесь у = ——; утах — максимальная
Ут
- е [ ет 1 \ г
ния, ер =---; ---где
£у \ Уу У 3 у
деформация от круче-
— радиус сечения
стержня.
Использовав уравнения (3.67) и введя
Мк и N =—получим уравнения
___________________ _ 1
Ж = 4ymax J <pp3dp;
Ро
Мк
относительные усилия
равновесия в форме
(3.68)
— - р X
N = 2ер (ppdp;
Ро
здесь
Ф =
Ту J
т2 /- а т
— а = — И т = —
+ У2 \
Для полого стержня р0 = —для сплошного стержня ро = 0.
_
При чистом кручении (Af = 0; ер = 0)
мк = 4ymax J <pp3dp
Ро
(3.69)
101
и интегральная функция пластичности
1
= 4 J (pp3dp. (3.70)
Ро
Для полигональной аппроксимации ср = —h bn и уравне-
ei
ние (3.70) после интегрирования при р0 = 0 дает выражение для
интегральной функции пластичности
фк = JK упр + V anJ'K пл + ^ьпгпл, (3.71)
п
где
, 1 . 4 Тп-Тп-1 . f Уп-Уп-1
h упр ~~ > Jk ПЛ J к пл _
Tmax Ymax Vmax
При линейном упрочнении ап = 1 — GT и Ьп = GT и
ФК — Jk упр + (1 — Gt) пл + GT Jк пл-
п
Значения функций JKynp, 1'кпл и J"cnA приведены в табл. 37.
На рис. 71 и 72 «показаны графики крутящих моментов Мк =
= ФкТтах и интегральной функции пластичности, вычисленные
для значений GT = 0; 0,1 и 0,2.
Для интегрирования уравнений (3.68) удобно ввести параметр
1/""2 “2
ер V ei ~ ер а .
; имея в виду, что р =--=----- и р0 = 0, преобразуем
Утах Ттах
уравнения (3.68) для случая полигональной аппроксимации:
при ер 1 первые члены этих выражений обращаются в нуль.
102
Рис. 71. Зависимость крутящего мо-
мента от деформации
Рис. 72. Значения интегральной функ-
ции пластичности при кручении
Имея в виду, что деформации растяжения и сдвига выража-
ются через параметр и интенсивность деформаций ер =
= './-гД——max> Ymax = ^max. ПОСЛе интегрирования
V 1 4- х2 V 1 + *
получим
Л1К — JМ упр 4“ &п^М пл + bnJм пЛ]
п п
N = Jn упр +2 ап^w ял 4“ 2 N пл’
п п
(3.73)
здесь
3
Г _ (14-х2)2 14
J М упр — —~ 1
е. I
i max
_Л1_ё2
1+х2 *imaXJ’
N упр —
3
_ 4(1 + к2) 2
М пл — ~
е.
i max
3
_4(1+х2)2
М пл — ~
е.
i max
X У1 4- X2 [ 1 X2 ~2 1 .
= 1 — Т 2/max ,
ei max L 1 т X J
“2
max
“4 “4 _2 “°
-2 X2 en-en-l
~ max Г ’ ~
4 1 4- x2 2
_ 2x ]/4 4- x2
N nA “ = {en — en-\
cl max
- _ 2x/l+x2
J N пл — —
e.
i max
"2 “2
en “ ^-1
2
10J
X
Для целиком пластичного -сечения
max
мупр = о, Jn упр = о значения /Мпл и JNlu определяются
1 j
по
приведенным выше формулам.
В табл. 38 — 40 приведены значения 1мупр\ lNynp\
Jм пл\ Jn пл и Jn пл для max = 1,23; 1,5^ 2j 3’, 4", 5 по пара-
метру х.
Интегральные функции пла-
стичности Фк = --- И фр =
_ Утах
N
= -т— могут быть определены из
?р
выражений (3.73).
При линейном упрочнении
44к = Jм упр 4“ (1 Gt) М пл Н-
“Ь Gt м ПЛч
N = Jд’ упр + (1 — Gt) n пл 4~
4- Gt^J n пл •
О 0,5 1,0 1,1
Рис. 73. Зависимость между усилиями Мк и .V
1,51/
На рис. 73 показаны зависимости между усилиями Мк и N по
параметру е^тах для значений GT = 0; 0,1 и 0,2.
104
1,5
1,0
0,5
Рис. 74. Зависимость крутящих моментов от де-
формации при совместном кручении и растяже-
нии
Приведенные выражения для крутящего момента и продоль-
ной силы дают зависимость Мк и N от деформации ^тах по па-
раметру отношения деформаций и = --ер . В ряде -случаев эти
Ушах
зависимости более удобны для расчетов, если они представлены
по параметру отношения усилий % = Для этой цели исполь-
зуют уравнения (3.72),
строят график зависимо-
сти между моментом и си-
лой и по нему для задан-
ного значения параметра
А получают необходимые
зависимости. Такие зави-
симости для сплошного
стержня (ро = 0) показа-
ны на рис. 74 для момен-
тов и на рис. 75 — для
интегральных функций
Рис. 75. Интегральные функции пластичности при совместном кручении
и растяжении при GT = 0, GT — 0,1 и GT = 0,2
пластичности при упрочнении GT = 0; 0,1 и 0,2. Зависимость
между параметрами Лих дается графиками на рис. 76 при
GT = 0; 0,1 и 0,2.
106
Напряжения в сечении стержня при совместном действии рас-
тяжения и кручения определяются по уравнению
~ 1Л2 1 "2
о,- = ф у ер + у ,
где ср — функция пластичности, соответствующая
1Z-2 . ~2
в данной точке — V ер + у .
Максимальное напряжение в сечении
(3-74)
деформации
(3.75)
Распределение интенсивностей напряжений в сечении описы-
вается формулой
Распределение нормальных и касательных напряжений опре-
деляется соответственно формулами
<Р
Ф
W Ф - Мк
G = -- . И Т = ------£
Р Фр
(3.76)
(3.77)
в этих выражениях интегральные функции Фк и Фр определяют-
ся для деформации так же как и функция фе на крайнем
волокне, а функция ф — для деформации
max
Vx2 4- Р2
/1 + х2
Здесь при известном соотношении усилий % параметр х мо-
жет быть определен по графикам на рис. 76. В первом прибли-
жении без больших погрешностей можно принять 3i = eimax X
]А2 + Р2
V л.2 + 1 ’
Уравнения равновесия круглого стержня, подверженного сов-
местному действию изгиба и кручения, можно записать так:
М“ 1 - М* 1 р -
J - ¥? S 'te-ydF- <3'78)
а/ ]Л2+т2 л.и
здесь ф = -з— = —===- ; Мк — крутящий момент при совме-
у е2 + у2
стном действии изгиба; М* — изгибающий момент при совмест-
ном действии кручения.
Если считать справедливой и гипотезу плоских сечений, то
можно записать
^тах ^шах
(3.79)
107
На основе этих соотношений
e~i = el max [х2£2 + (1 + х2) л2],
(3.80}
где параметр деформирования х = _'Утах ; £ = ]/"р2 — т]2.
еа max _
На границе упругой и пластической областей = 1 и урав-
нение границы имеет вид
х2С2 + (1+х2)^ = =^—- (3.81}
eu max
Интегрирование уравнений равновесия с пределами интегри-
рования, определяемыми уравнением границы (3.81), было
проведено в работе [50] для
линейного упрочнения.
Рис. 76. Зависимость между параметрами Лих при совместном кру-
чении и растяжении
Следует особо подчеркнуть, что гипотеза плоских сечений и
прямых радиусов при совместном упруго-пластическом изгибе и
кручении несправедлива [55], так как в процессе деформирования
граница пластической области не остается окружностью. Лишь
при весьма большой деформации, когда упругая область стано-
108
вится достаточно малой, а пластическая область близка к кругу,
эти допущения становятся более достоверными. Точных решений
рассматриваемой задачи до настоящего времени не получено, по-
этому приходится использовать приближенные решения.
Рассмотрим два крайних случая деформирования: упругое
деформирование стержня и пластическое деформирование с об-
разованием целиком пластического сечения при идеально пласти-
ческом стержне.
При упругом деформировании в предельном случае, когда
впервые достигается предел текучести в крайнем волокне,
@1 — j/"^гпах Ч- Ymax “ — ^тах»
Ж— Ттах; Ж + М= 1,
т. е. предельная кривая (для ei = 1) является окружностью.
При полной пластичности сечения идеально пластичного
стержня (GT = оо и = 0 и уравнения равновесия
принимают вид
я W + г
= АСС—......
я М + г
4 Г Г
л J J Vх2£2 + (1 Н- х2) т)2
S л
2 Г Г хр2Дг^£,
л J J /х2£2 +(1 -[ -Х2)Т]2
(3.82)
Для удобства интегрирования эти уравнения можно записать
в иной форме, через полные эллиптические интегралы, используя
зависимости rj = р cos ср; £ = р sin <р и обозначив &2 = ---:
2
ы
о
d(p 8 х F [k Я
— k* sin ф Зл )/ 1 - х2 \ 2
(3.83)
Зл
(3.84)
где k' = У 1—k2; E\k, — ] и F\k, — | —полные эллиптические
\ 2 ) \ 2 /
интегралы первого и второго рода.
109
Аналогичные выражения были получены в работе [58] другим
путем.
Предельная кривая для моментов Ми и Л4К, соответствующих
полному исчерпанию несущей способности, вычисляется по урав-
нениям этих моментов при варьировании параметра k= —?— .
1 + X2
Предельная кривая 1 приведена на рис. 77, она близка к эл
липсу 2, определяемому по уравнению
мк2 ми2
——-I-----^-=1; (3.85)
Чоо <ОО
здесь индекс оо означает, что деформации ег-юах, ^umax и уШах
— 16 — 4
стремятся к бесконечности; MuaQ ~---- и Мкос =-----изгибаю-
Зл 3
Рис. 77. Предельные кривые при со-
вместном изгибе и кручении:
1 — по формулам (3 83) и (3 84); 2 — эл-
липс по уравнению (3 85)
щий и крутящий моменты
при действии только изгиба
или только кручения при
GT = 0. Если за пре-
дельную кривую принять эл-
липс 2, то предельные мо-
менты окажутся несколько
меньше моментов, опреде-
ленных при точном реше-
нии 1. Оценка предельной
кривой выполнена также в
работе [55].
Для любых значений де-
формаций приближенно при-
нимаем, что предельные (по
деформациям) кривые так-
же близки к эллипсам и за-
нимают промежуточное по-
стью Мит + = 1 и
дельных эллипсов для
= Ср + Утах может быТЬ
ложение между окружно-
эллипсом (3.85). Уравнение пре-
предельных деформаций е;тах =
записано в следующем виде:
К
(3.86)
где Ми— момент при действии одного изгиба для деформации
Ci max ~ Си тах>
Мк — момент при действии одного кручения для деформации
Ci щах = Утах-
НО
Из уравнения (3.86) можно получить зависимость момента
(изгибающего или крутящего) от деформации ^тах:
__ МдМ.к
(3.87)
здесь К = -=^ — параметр нагружения.
На рис. 78 приведены значения изгибающих моментов Мки
для различных деформаций ег-тах и X.
На рис. 79 показаны графи-
ки крутящих моментов в за-
висимости от ei max для моду-
лей линейного упрочнения
GT = 0; 0,1 и 0,2.
Для случая линейного уп-
рочнения дано также сопостав-
ление с результатами [50], по-
Рис. 78. Графики изгибающих моментов М * для GT = 0; GT = ОД и GT = 0,2
лученными при интегрировании уравнений (3.78). Различие в
решениях оказалось несущественным (рис. 80).
Интегральные функции пластичности при совместном дейст-
вии изгиба и кручения
Мк
Фи = =—— ; (3.88)
еи max
ми
Ф“=-=-^~ (3.89)
Углах
111
1 2 3 b Pimax.
Рис. 79. Графики крутящих
моментов для GT = 0; GT = 0,1
и GT = 0,2
Рис. 80. Сопоставление решений по уравнению (3.86) — сплошные линии
и по работе [50] — штриховые линии
112
легко определяются, если установить зависимость eumax и утах
от е,тах; при этом для вычислений удобно определять функции
пластичности по параметру А = -=7- Из уравнений (3.83) и (3.84)
_
для весьма больших деформаций и GT = 0 получим
На рис. 81 показана зависимость параметров нагружения X
и деформирования х для предельного случая, из которой видно,
что здесь можно приближенно при-
нять % = х. При весьма малых пластичес-
ких деформациях это соотношение выдер-
живается с большей точностью, так как
при ei = 1 это соотношение становится
точным.
Приняв для приближенного решения
X = х, найдем
1
еи max max j/ j ^2 И Vmax ' max у
%
(3.91)
Интегральные функции пластичности
можно получить из приближенной эллип-
тической зависимости (8.9) и уравнений
(8.10). Функция пластичности при изгибе
Мимк г I +
et max V^2M2U + М2
Фи®к /1 + X2
V 12ф2н-ф2
Рис, 81. Зависимость па-
раметров лих для пре-
дельного случая
(3.92)
где Фи и Фк — интегральные функции пластичности при дейст-
вии только изгиба или только кручения для деформации
е и max max И Tmax max •
Аналогично
Ф“ Мк . max ф„фк V1 + v
Ми Углах V Х2ф2 + ф2
но Mjr . еи max = — ~ J
Ми Yniax X
и, следовательно, Ф“ = Ф* = ®ик-
8 Заказ 1099
(3.93)
1 13
На рис. 82 приведены графики интегральной функции пла-
стичности Фик в зависимости от e2-max по параметру А при упроч-
нении GT = 0; 0,1 и 0,2.
Напряжения в сечении стержня при совместном действии из-
Рис, 82, Графики интегральной функции пластичности Фик
GT = 0,1 и Gr = 0,2
при GT — 0;
Максимальное напряжение в сечении
Распределение интенсивностей напряжений в сечении
о ( Ми>] Y ( ф Г I f V f Ф у
1 V \ wu М ф«к ) k wK М '
Нормальное напряжение от изгиба
Л4„ ср
о = —— —— п.
Касательное напряжение от кручения
т = Л4хр ?
WIC ' *ик ’
(3.95)
(3.96)
(3.97)
(3.98)
114
В этих выражениях интегральная функция Ф определяется
для максимальной деформации efmax, а функция ср — для де-
, “ 1/"-2 2 . “2 2 -
формации et = V етахт] + утахР или, после преобразовании,
max :—г»
(3.99)
Если изгибающие моменты лежат в различных плоскостях,
под Ми следует понимать результирующий момент Ми =
= Ум^ + м2у.
§ 3. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТЕРЖНЯХ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ
Перемещения в стержнях можно определить на основании
обобщения формул строительной механики для случая упруго-
пластического деформирования. Для нелинейной связи между
обобщенными силами и перемещениями энергетические теоремы,
используемые для определения обобщенных перемещений, были
развиты Л. М. Качановым [32].
Теорема Кастильяно, обобщенная для случая нелинейной за-
висимости, имеет вид
(З.ЮО)
где Д4-— обобщенное перемещение в направлении действия
силы;
R = ^RydV — дополнительная работа.
v
Для случая изгиба и растяжения элементарная дополнитель-
ная работа усилия N, приложенного в центре тяжести сечения на
перемещении этой точки, составит [ер + — h4T)]Ndx, а до-
полнительная работа момента М — на повороте сечения QMdx
(см. рис. 48).
Дополнительная работа для стержня
R = [кр + 0(Л1 — h4T)}Ndx + JOWx; (3.101)
V V
здесь ордината h\ наиболее напряженного волокна определяет
положение оси поворота и в общем случае зависит от соотноше-
ния ер и В и от максимальной деформации етах; такая зависи-
мость была приведена на рис. 55 § 1 гл. III. Если считать ось
поворота проходящей через центр тяжести сечения, то выраже-
ние для дополнительной работы упрощается:
R = J (бр + /^0) Ndx + J QMdx (3.102)
V V
8*
115
и перемещение (прогиб, угол поворота) под «силы (момента) Р составит действием некоторой
Ар = ^ р дР С /- дм др L - + ^ i max ^1 дМ \ dP J । dx; (3.103)
имея в виду, что ер N 1 и е EF Фр и шах ~ - JL EW ’ 1 Ф« ’ (3.104)
получим Ар- 1 " М дм dx — N dN - дх. (3.105)
1 £/Ф,д ’ дР EF$p ' дР
При расчетах удобнее пользоваться выражением для переме-
щений в форме обобщенных уравнений Мора — Максвелла
мм°
Е1^и
N№ .
----ах
ЕГФр
(3.106)
в которых выражение для жесткости сечения умножается на со-
ответствующую интегральную функцию пластичности.
В относительных координатах
Д 1 f М°~М . . С №N . 1ГГ7Ч
---- ==---\ ----ах -- \----dx; (3.107)
ет /ч J фм J ФР
здесь М° и № — усилия от единичной силы, приложенной в месте
отыскания перемещения в направлении, совпадающем с направ-
лением перемещения.
Для случая изгиба и растяжения кривого бруса дополнитель-
ная работа усилий на соответствующих перемещениях составит
(см. рис. 66)
R - J [ер - (0 + <?р)] Nds + J (0 + ер) Mdy - J epMdr,
(3.108)
первый член этого выражения характеризует работу силы на пере-
мещении точки, соответствующей центру тяжести сечения бруса;
это перемещение зависит от поворота 0 + сечения. Второй член
соответствует работе момента на повороте сечения, однако по-
скольку за счет только момента М этот поворот осуществляется
на величину 0, приходится добавлять дополнительный третий
член. Это делается для удобства использования суммы (0 + ер)у
так как деформация eumax= (0 + ер) (р—1) и функция пла-
м
СТИЧНОСТИ Фи = 7=--—-------.
(0+сР) (Р-1)
116
Выбор в качестве центра поворота оси, проходящей через
центр тяжести, упрощает выражение для работы:
R =-- J epNds + f e/Wdcp,
однако при этом существенно затрудняется определение функ-
ций пластичности Фи и Фр и в результате вычисление перемеще-
ний оказывается более громоздким.
Перемещение в кривом брусе под действием некоторой силы
при использовании обобщенных уравнений Мора—Максвелла
с М°М ds , №N 1 f ММ°
I ----- -------------ds — ------
J ES&U Ro EF$p J EF*P
s s
№M (p0 - p) # ds
ES&tl Rq
или в относительных координатах
Л _ 1 Г М°М ds Г _N^ ds —
Rt J (Р- О Ф/ Яо + J Фр S J Фр
1 Р №М Ро — Р ds
^2 J Ф/1 Р — 1 #0
ds
(3.109)
ds
(3.110)
При заданных внешних
приведеным выше форму-
лам, причем функции пла-
стичности Фи и ФР опре-
деляются по деформаци-
ям вщах, соответствую-
щим заданным усилиям в
сечении.
Для частного случая
при идеальной пластично-
сти и чистом изгибе кри-
вого бруса получено точ-
ное решение (при плос-
ком напряженном состоя-
нии) для перемещений
силах перемещения вычисляются по
Рис. 83. Сопоставление точного и прибли-
женного решений для перемещения кри-
вого бруса
[100]; решение по уравне-
нию (3.109) хорошо со-
гласуется с точным (рис.
83).
Перемещения при кручении и кручении с растяжением мож-
но найти из обобщенных уравнений Мора — Максвелла анало-
гично тому, как это было сделано при изгибе стержней.
117
В этом случае перемещение
г м°мк , , с
I ------ ах + -------
J О1КФК J EF$
l l
(3.111)
или в относительных координатах
А
М°МК
№N
dx.
(3.112)
Для случая кручения или кручения и растяжения обычно ха-
рактерно постоянство момента и силы на отдельных участках
стержня; например, угол закручивания стержня
-А _= V1 . _А_. (З.пз)
Ут Фк/ d; v
/=1
Из обобщенного уравнения Мора—Максвелла перемещение
при совместном изгибе и кручении
Л F М°М
А - —.....и dx + _dx (3.114)
J е/ф J gik$ v '
/ /
или в относительных координатах
Л М°„М„ г- С* М°М„
— dx + /3 к * dx. (3.115)
СТ J ₽хФ J /?!«
I I
Используя интегральные функции пластичности, можно об-
общить ряд правил, известных из сопротивления материалов.
В частности, если при изгибе на отдельных участках стержня
усилия изменяются линейно, можно воспользоваться обобщени-
ем правила Верещагина. Имея в виду, что Ми = еитахФи, запи-
шем уравнения (3.107) при отсутствии растяжения для п участ-
ков стержня в относительной форме:
(3л16)
/=1 1 о
где § = -----относительная координата по длине /-го участка
Ч
длиной Zj;
А^ — перемещение от той же системы сил, соответ-
ствующее достижению предела текучести в наибо-
лее напряженном волокне;
hj —наибольшая ордината крайнего волокна в /-м се-
чении.
118
По правилу Верещагина (рис. 84, а)
h$M^uma^ = hF№> (3.117)
О
1 _
где F^j = j еи шах jd%\— площадь, заключенная между кривой
о_
emax — g И ОСЬЮ g;
'Atj—ордината единичной эпюры моментов под координа-
той центра тяжести гц/ площади Ftj (рис. 84,6).
Площадь F^i и координату ее центра тяжести можно выра-
зить через площадь Fe, заключенную между кривой Af — еи тах и
Рис. 84. Схема использования правила Верещагина
ординатой М, и координату центра тяжести площади Fc. Ве-
личины Fe и Не определяются зависимостью М — еи тах и могут
быть вычислены заранее для стержней определенного сечения
при упрочнении GT. По определению
м _ ___ _ ~е_____
Fе = J та\^А1 — еа j Mdeu max; (3.118)
о b
\MdFe________ *
Г]е=~------- = . (3.119)
IС Г-* О О ! ** '
г £ 2 2 J
о
На рис. 85, а и б показаны графики Fe и т)е для прямоуголь-
ного и круглого сечений при линейном упрочнении GT = 0; 0,1
и 0,2.
119
При линейной зависимости между М и g связь между Ft, и
Fe и между тц и т]е легко определяется. Действительно,
М — М, 1 „ — 1
? = —----и б/5 = dM —---------=---;
Mf — —
отсюда
Рис. 85. Графики функций Fe и т)е:
а — для прямоугольного сечения, б — для круглого сечения
НО
J max jdM — Fе] Fej—i>
Mj-i
и поэтому
= (3.120)
Mj - M,_t'
Аналогично
= --------(3.121)
Fe.-Fei_t Mj-Mj-^
12 0
Рассмотрим применение формул (3.120) и (3.121) на приме-
ре определения перемещений в балке круглого сечения на двух
опорах, нагруженной сосредоточенной силой.
Эпюры моментов от действующих и единичных сил для опре-
деления прогиба балки в месте приложения силы показаны на
рис. 86. Балка может быть разбита на два участка, па границах
которых Mq = 0; Mi = М2 и
М2 = 0. На первом и втором участке
P7/1Z2
WEI ’
Имея в виду, что fr = Рт----- и ет
ЗЕН
можно записать
f _ 3 Ре^\е
f т М2
Аналогично для углов поворота
0 = 3 Ре'Пе
Интересно, что в этом случае перемещения, отнесенные к пе-
ремещениям при достижении предела текучести, от точки при-
ложения силы не зависят.
На рис. 87 показаны графики зависимости от М
для круглого сечения при GT = 0; 0,1 и 0,2.
В качестве примера рассмотрен также более сложный случай
распределения прогибов по всей длине балки при фиксирован-
ном положении силы. На рис. 88 приведены эпюры моментов от
действующих и единичных сил при g < р и g > (3, здесь §1 = -у-
И ₽ = А.
121
В упругом случае при достижении в наиболее напряженном
сечении предела текучести изменение прогиба по длине балки §
определяется уравнениями
У =Zz±(l-p)?[2(l-^)-(l-^-(l-PH; Ъ. < 0;
т 6EI
Р I3
Ут = ~^г (1-£)₽[2(1-Р)-(1-0)2-(1-£)2]; ^>0.
Рис. 87. Графики перемещений Рис. 88. Эпюры моментов от дейст-
в зависимости от изгибающего вующих и единичных сил
момента
Балка разбивается при вычислениях на участки
о < £ < ъ < К < 0 И 0 < к < 1 (при <р);
0<^<Р;р<^<^и^<^<1 (при > р).
Рассмотрим вычисления при |] < р.
На первом участке
= к 4г-li Z~%1 = /2рг(1 — $х).
мг ~мх 1 м\
На втором участке
= I2 (1 - ?1) (1 - 0) [ - (1 - 0) Fe^e'-Fe^-
[ М\
здесь использовано соотношение
м, = мг.-1—.
2 1 —₽
122
На третьем участке
ть
== '2G - ₽)2^
М2
отсюда при Bi < р
3 г F
У'АЛ = 'г +
^1 1
X (1 -5)(2р- 1) +
мг
Аналогично при > р
з
Г Fe^et р2 + 0 _ 2р) Д- ^£1—
М
Ml
™1
даны на
от проги-
10 %; при
= р
м
1,5
Рис. 89. График относительных прогибов
0,5
2,#
~15~
1,0
у,
2,0 у
Результаты вычислений при р = 0,5 и р = 0,75
рис. 89, из которого видно, что отличие прогибов ——
Ут
f
ба в месте приложения силы -т- не превосходит
17'
GT > 0 это отличие должно быть еще меньше. Поэтому для при-
ближенных расчетов
можно определять пе-
ремещения, пользуясь
результатами первого
примера (рис. 87).
В общем случае оп-
ределения перемеще-
ний по заданным си-
лам необходимо поль-
зоваться уравнениями
Мора — Максвелла
(3.106) и (3.107) и про-
водить численное инте-
грирование, что особых
затруднений не вызы-
вает.
При решении обрат-
ной задачи, т. е. при
определении усилия при
заданном перемещении,
выше методикой и, построив зависимость перемещения от на-
грузки, найти нагрузку, соответствующую заданному перемеще-
нию. Такой способ не дает возможности решать статически не-
определенные задачи и, кроме того, весьма трудоемок, так как
123
можно воспользоваться приведенной
требует построения кривой усилие — перемещение, хотя на этой
кривой необходимо определить лишь одну точку.
При заданных перемещениях Д, соответствующих опреде-
ленной схеме нагружения, уравнения (3.106) или (3.107) могут
быть преобразованы так, чтобы из них можно было определить
усилия в некотором сечении:
м(а) =
A
(3.122)
М°М* N{a) С /V°/V*
/7ФЦ dX + м{а) J EF$p dX
где Л4* =-------изгибающий момент, отнесенный к моменту в
некотором сечении (а);
N* — усилие, отнесенное к усилию Ма) в сечении (а); нужно
иметь в виду пропорциональность N и М.
При заданной схеме нагружения М* и вполне определе-
ны. Сечение (а) может быть выбрано произвольно, однако удоб-
нее выбирать некоторое характерное для данной задачи сечение,
например то, где ожидаются наибольшие деформации.
В уравнении (3.122) неизвестными являются момент Л1<а> и
функции Фи и ФР, определяемые по деформациям, соответ-
ствующим моментам М = М*М(а\ В общем случае это уравне-
ние должно решаться методом последовательных приближений.
Однако последовательные приближения при решении уравнения
(3.122) могут расходиться. Определение момента М® соответ-
ствует решению задачи с переменными параметрами упругости
в напряжениях. В этом случае процесс последовательных при-
ближений сходится значительно хуже, чем при решении в де-
формациях.
Для построения решения в деформациях преобразуем урав-
нение (3.122), имея в виду, что для сечения (а)
-<а> _ ~(а) ,~(а) _ М<а> Ма> _ М™
^гпах — max Т ~ “1 ~~ ~ ~~
ф<а) ф(а) ф(а)
и р и
ф<а) \
и |
ф (а) Г
Р /
откуда
ейах =--__—_____(1 + , (3.123)
£(^(а)ф(а) ф(а) ) v 7
где Ф^} и Фра) — интегральные функции пластичности для
_ сечения (а) при деформации CmL\
л(а) Л/(а)
Л = ---параметр, определяющий соотношение про-
дольного усилия и изгибающего момента в
сечении (а).
124
Определив момент из уравнения (3.122), .получим выра-
жение для деформации в некотором сечении (а) через заданное
перемещение:
А = д------------
E^WW4>{“} j
ф(а)
1-М(а>~и—
--------фр)_____________
1" М°М* Nw (' №Л/*
1 ------dx 4
J Е1Фи
i
J ЕРФр
i
(3.124)
это уравнение решается методом последовательных приближе-
ний, причем деформация в текущем сечении стержня
Л4*М(а) Г, , , Ф„ 1
= --------- 1 -г- Л----
ЕЖФи L
(3.125)
или, имея в виду формулу (3.123), получим
^тах
— р{а) /И*
£(а)|^(а)ф(а)
2v-T—
фр
ф<°)
1+Х«0 ——
ф<р)
р
(3.126)
1 4
Задавшись в исходном приближении етах, определяем по
графикам интегральные функции ФииФри по формулам (3.124)
и (3.125) вычисляем новое значение гтах, для которого процесс
повторяется.
В качестве примера рассмотрим простейший случай изгиба
балки круглого постоянного сечения на двух опорах сосредото-
ченной силой, приложенной посредине. В уравнениях (3.124) и
(3.126) следует
р(а) „
f-max —
положить
и
тогда
ф<д)
__ _________и
— с-гпах
фр
А
^шах
I
В качестве характерного сечения (а) здесь принято сечение
под силой посредине пролета, в этом сечении деформация до-
стигает наибольших значений. Для балки на двух опорах с со-
средоточенной силой посредине
ет = -2—; д = _Z_ • м° = — п М* = =
т 4WE 48EI 2 Mw
= 2—(при х(а> = —'j.
I \ 2 /
125
Величина деформации в относительных координатах
где
___________А__________
еТ 2 С М°М*
---ф ? ----------dx
d U J Фи
I
£-р 12d
1
р Е2
зф<й) 4— d?
j ф«
о
пусть Д = 2, GT = 0.
Положим в исходном приближении = А (упругий слу-
чай); вычисления сведены в табл. 6, где даны три приближения,
причем_второе приближение совпадает с третьим. Здесь дефор-
мация е<а) уточнялась в каждом приближении по формуле е(аУ =
= —у-, где функция Фм определялась по значению е<а\ по-
Ф
и
лученному предварительно в данном приближении. В результате
вычислений момент в сечении (а) оказывается равным MSa) =
= 1,66; его можно проверить по рис. 87, где методом Верещаги-
на построен график зависимости момента от прогиба.
Задачу для кривого бруса при заданных перемещениях мож-
но решать аналогично задаче для стержней, у которых кривиз-
на оси может не приниматься во внимание.
Сделаем необходимые преобразования для случая кривого
бруса:
д = Л/](а) е M°-№(R0-r) ds __ N(a} С ds .
J Яо J ЕРФр /?о ’
S
N{a} л (а) р(а) — 1 1
отсюда, имея в виду, что -----------= Л -----------7-.--, получим
pj>a)-p(a) Rz
м{а} =_________________________±________________________
f М° - (Ro - г) ds к(а) р<а> - 1 1 f М°-№^
J ES*U Ro р(«) _ р(а) RW J ЕЕФр
S S
(3.127)
Л/* -
Из выражений, приведенных в
(3.23) можно записать
§ 2, аналогично уравнению
= М(а) —1 + К{а)
(3.128)
126
Таблица 6
Приближение
Первое Второе Третье
£ V е. ф и ф е ф и V ф и \ /ср е ф и I2 ф и (4-) X и /ср
0 1 0 0,005 1 0 0,005 — 1 0 0,005
0,1 0,01 1 0,01 0,025 — 1 0,01 0,025 — 1 0,01 0,025
0,2 0,04 1 0,04 0,065 — 1 0,04 0,065 — 1,0 0,04 0,065
0,3 0,09 1 0,09 0,125 — 1 0,09 0,125 — 1 0,09 0,125
0,4 0,16 1 0,16 0,205 — 1 0,16 0,205 — 1 0,16 0,205
0,5 0,25 1,о 1 0,25 0,306 1,0 1 0,25 0,306 1,0 1 0,25 0,305
0,6 0,36 1,2 0,995 0,362 0,436 1,055 1 0,36 0,427 1,01 1 0,36 0,425
0,7 0,49 1,4 0,96 0,510 0,619 1,280 0,99 0,495 0,615 1,19 1 0,49 0,597
0,8 0,64 1,6 0,88 0,728 0,864 1,59 0,87 0,735 0,892 1,53 0,91 0,703 0,876
0,9 0,81 1,8 0,81 1,0 1,165 1,94 0,77 1,05 1,352 1,94 0,77 1,05 1,388
1,0 1,0 2,0 0,75 1,33 2,61 0,605 1,655 2,86 0,58 1,725
0, 2(- —1 =0,3815 ' ср 0,1 2Н \ — 1 = < и /ср 0,4006 0,1 - ) ср 0,4006
7!а> = — 2 = 2,33 ^п 1 2 :2,75 7(a) __ - ЯЛ 2 .,•0 12 = 2,86
1 ЗФ «•0,12 ~ ЗФ„ • 0,12
7(a) ' -— 2 -2,61 е11 2 ___ _ - 2,86
3ф1 \ • 0,12 ЗФ„ . 0,12
= ' Ф' == и 1,75 ЛЦ? = еп)ф« = 1 >66 <> = ё<“>фи = 1,66
и затем
е{а}
t'max
ф(а) ‘
1 Х(а) —и—
Р J
Р^-1
5(«)ф(а)£(а)
ds 0(а) — 1 1
aS . । ^(а) —В______
Ro 1 p^-pW R<°>
M°—N°Rt ds ; (3.129)
еефр Ro
это уравнение решается методом последовательных приближе-
ний, причем деформация в текущем сечении бруса
1 □_?. ф“
с(а)ф(л) 1 Ч" Л т
-------(3.130)
'+1М^
Метод решения статически неопределимых стержневых си-
стем может быть разработан на основе рассмотренной выше
методики определения внешних нагрузок по заданному переме-
щению. При этом можно использовать метод сил, положив в
основу схему, принятую при решении задач в упругом случае.
При этом статически определимая система получается из за-
данной статически неопределимой путем отбрасывания лишних
связей, заменяемых действием неизвестных усилий. Затем
составляют уравнения, выражающие условия, что под действием
нагрузки и неизвестных усилий перемещения вдоль отброшен-
ных связей равны нулю. Система из п уравнений содержит п не-
известных — по числу лишних связей:
^Art + A,<? = 0 (i= 1,2, ...,п); (3.131)
в этой системе канонических уравнений Дг-^ — перемещение в
направлении z-й отброшенной связи, вызванное силой, действую-
щей в направлении £-го неизвестного усилия; &iQ— перемеще-
ние в направлении z-й отброшенной связи, вызванное внешней
нагрузкой.
В случае упруго-пластического деформирования из урав-
нения (3.106) и по определению следует
A f , Г NiNk }
-E-^-dx;
‘k J Е1Фи J EF$P
I l
Г №;Nn
AiQ = —ЕЛ. dx + I — dx.
J Е1Фи ] ee*p j
(3.132)
128
При решении системы (3.131) в деформациях эти уравнения
преобразуются к виду
£1Р'(о)ф(а) /
... <Ч°’ '
ф(Ф С
Р I
EFW<№№ +
-----И_2_ _^JL dx
ф(“) I ЕГФр
1+M?’—J
k ф(«> z
р 4
л —
— Стах k
I 1 'T*
MiMk
—d-*- dx -|-
I Е/Ф„
max k
(3.133)
Суммарная деформация в некотором сечении,
щаяся из деформаций от п неизвестных усилий
нагрузок,
складываю-
и внешних
е — е ь 4-
maX max k “
MQ
EW4>„
NQ
ЕЕФр
(3.134)
J
здесь деформация
ти/(^)ф(а)
о — № Л1 и
^max k ^тах k^k
I -Г Х^Ф^Ф^
используя это выражение, систему уравнений можно записать в
виде преобразованных канонических уравнений
у df’Elk + Д,-<? = 0.
(3.135)
Эти уравнения решаются относительно деформаций от неиз-
вестных сил в некотором сечении (а). Система канонических
уравнений при упруго-пластическом деформировании является
нелинейной; коэффициенты уравнений зависят от деформации,
так как содержат выражения, в которые входят функции пла-
стичности сечения. В соответствии с этим систему решают мето-
дом последовательных приближений, в каждом приближении
коэффициенты уравнений бг/< предполагают постоянными и оп-
ределяют для деформаций, полученных из предыдущего при-
ближения.
Как показывают вычисления для ряда стержневых систем,
процесс последовательных приближений сходится: решение пре-
образованных канонических уравнений соответствует решению
задачи пластичности методом переменных параметров упругости
в деформациях.
£) Заказ Ю99 129
Рассмотрим структуру нелинейных членов 6^. Из уравнения
(3.133) следует, что в общем случае совместного действия изги-
ба и растяжения
EW,a’<S>^ L М°;М. /
--------dx Ч---------------------——
Ф(а) | Е7Ф„ ф(«) I
Ч-^’—77 ]
’/ ' Ф(ра)
* N°Nk
I
dx. (3.136)
Матрица il bik || не является симметричной, так как 6ik ф
~ 6ik (при Z #= Л), поскольку 7И? =Н= Mk и N? 7VZ;
Л7,? 7^- Nk, с другой стороны, М° является моментом от еди-
ничной силы, а М'" — моментом от неизвестного усилия в сече-
нии, где устранены лишние связи, отнесенным к этому же мо-
менту в некотором произвольном сечении (а). Поэтому М°
пропорционален Л4", причем коэффициентом пропорционально-
сти служит момент от единичной силы в сечении (а), т. е. /И* =
,7V0
____ , тогда Mi = ---- и Mk = и аналогично = ——
д^О(а)----------------д^ГЦсг) Д/О(Л)
Отсюда следует, что
г mW 1 р mW t
—-—- dx =----- i-----dx;
) El*u M^ J EI<bu
о k 0
f dx = —— Г_^£ dx;
J Е1ФП л№ J Е1Фи
о о
(k i)
► (3.137)
p i p
J EF$P CX J ЕЕФР
l I ГЛ я 0 A 7 ' '» \1^ A/^ i Л'Ж 1 I N/>Ni t dx - —1— —41 dx
J Е/:ФР №(а) J 0 ' 0
(k i)
A1W 1 Г M{]2dx {* nW 1 p N°W
1 1 dx — - I - I ——— --------------- \ -----
) Е/Фп M0(a) ) El^a ’ ] ЕАФр Д/W J EF^p
о 1 о о 1 о
{k = i)
130
Поэтому, если ввести обозначения
^iku
£Ц7(а)ф(а>
ф(л)
1 + _JL_
U ф(а)
Р
м"м{1
dx-,
Е1Фи
О
I
&ikp
ф(«)
р
№.№k
—-----dx,
EF<bp
то можно записать
67> - - —-—6ik -j----— д/Л ;
М^а) <а)
б/.;-------Н----------$kipi
М^а} N^a}
(3.138)
ГДе -- ^kiu, $ikp $kip'
Таким образом, члены ди., и бы, не обладая свойством сим-
метрии, представляют собой линейные комбинации одних и тех
же членов. Это обстоятельство облегчает решение канонической
системы (3.135).
Определитель системы (3.135) без учета влияния продольных
сил на деформацию (т. е. дг-/гр = д/нр = 0)
| О | =----------------------------| 8iku |, (3.139)
<<*>... и
а определитель, получающийся из |D| заменой в | diku | столбца
k = т на A/q,
IW; (3.140)
отсюда
е(а) = _ | £>ml tti'nu | м0(a). (3.141)
1^1 I $lkll I
Статически неопределимые системы для кривого бруса мож-
но решать на основе тех же канонических уравнений (3.135), что
и для стержней с прямой осью. При этом
д,4 = 1 ” м°.-№.(е0-Г) - Mk ds t Nk—;'
1 ES$U к 1 ЕЕФр k Rn ’ • (3.142)
^iQ — ' mO-N^Ro-г) -Mq ds Г . j
1 ES®U ^0 t J EFQp R. J
131
Систему канонических уравнений с членами (3.142) следует
также решать -в деформациях. Выразим значение момента М(а)
в некотором сечении (а) через деформацию с^ах в этом сече-
нии от момента:
£(а)^(а)ф(а)
(3.143)
Тогда
А -
Lmaxk
ф(а)
__Ч—
ф(а)
Р .
/э M"N^R0 — г)
ESK
X Mk
ds
EwFw^^k^ (i MU-N^Rn ds
ф«0 I EF4>p k ~R0
ф(“) , I
=--^xAU3.144)
g(a)$(a)(p(a)
Система канонических уравнений при решении в деформаци-
ях принимает вид
£e^xk8ik + А(<? - 0 (i -1,2, 3, .. . , /г).
Так как уравнения метода сил в упругой и упруго-пластиче-
ской областях аналогичны, ряд приемов и упрощений в части
выбора основной статически определимой схемы, использования
прямой и обратной симметрии и т. п., детально разработанных
для случая упругого деформирования, может быть использован
и при решении для упруго-пластических деформаций.
На примере расчета статически неопределимых систем про-
является формальная аналогия между решением задач упруго-
сти и решением задач пластичности методом переменных пара-
метров упругости для стержней. В характеристику жесткости
сечения стержня в упругом случае вносится поправка с помо-
щью интегральной функции пластичности при упруго-пластиче-
ском деформировании; задача решается в деформациях, а не в
напряжениях (усилиях), если приходится находить решение
методом последовательных приближений. Например, теорему о
трех моментах для многопролетных неразрезных балок при
упруго-пластическом деформировании по аналогии можно запи-
сать следующим образом:
, Г (1-ЕМ
“ J Е1ФШ1
.) Е1пФ,т
О
п
132
J ^hi~\ 1 II I 1
J fin®'!
о
, лл f Г (1-У^
V ^hi \-lhi [-1 I ——----
J д_|_1
р %H-i 0 — □
Для улучшения сходимости последовательных приближении
неизвестные моменты на опорах следует заменить их выраже-
нием через деформации на опорах:
1 - - Сп — 1ЕW п_. 1 Ф//-г-1 \ Мп enEWнФип\
^hi-\ 1 —“ G?-[-1-£*$ п-\- •
§ 4. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ДЕТАЛЕЙ ТИПА СТЕРЖНЕЙ
Расчет звена тяговой цепи. Тяговая цепь транспортера при-
водится в движение от звездочек, зубья которых входят в
зацепление со звеньями цепи.
Т а б л и ц а 7
Размеры (в мм) звеньев с распоркой
(по ГОСТу 228—65)
d в Г) L
15 54 20 90
17 61 22 102
19 69 25 114
22 79 29 132
25 90 33 150
28 100 36 168
31 111 40 186
34 122 44 204
37 133 48 222
118
122
161
178
200
218
236
254
Нагрузка
в т
зубья которы
Эскиз звена цепи (по ГОСТу
228—65) 'показан на рис. 90.
Типоразмеры звеньев по ГОСТу
приведены в табл. 7. Материал
Ст.ЗЦ (ГОСТ 924—65) или
24
27-
31
35
40
44
49
54
59
6,2
8,1
10,2
13,8
17,7
22,2
27,2
32,7
38,7
9,4
12,2
15,3
20,6
26,6
33,3
40,8
49,1
58,1
Рис. 90. Эскиз звена цепи
Сг.З (ГОСТ 380—60) упрочнением не обладает (Gr —0). За
счет пластического деформирования, возникающего в процессе
работы из-за значительных перегрузок, возможно увеличение
шага звеньев цепи. Увеличение шага звена, связанного со
звездочкой, ограничено зазорами в зацеплении и допусками на
шаг зубьев. Поэтому существует предельно допустимое изме-
нение шага зубьев, определяющее предельное усилие на цепь и,
следовательно, ее несущую способность.
133
Звено цепи, схематизированный эскиз которого показан на
рис. 91, представляет собой статически неопределимую раму.
Параметры схематизированного звена приведены в табл. 8, из
которой видно, что все
±1,5% имеют одинако-
вые относительные па-
2Л 1
раметры —— =1,04 и
— = 0,385; в запас на-
Ь
дежности принято R =
_ _Ь_
“ 2
типоразмеры звеньев с точностью до
Рис. 91. Схема звена цепи
Таблица 8
Усредненные расчетные параметры цепей
(размеры в мм)
d ь 2Д 1 h h R h 2~ d 2R d b
13 15 17 19 22 25 28 31 34 37 34 39 44 50 57 65 72 80 88 96 30 35 39 44 51 58 64 71 78 85 65 75 85 95 НО 125 140 155 170 185 17,5 20 23 25,5 29,5 33,5 38 42 46 50 1,165 1,145 1,180 1,160 1,155 1,155 1,185 1,180 1,180 1,175 1,03 1,025 1,045 1,02 1,035 1,03 1,055 1,05 1,045 1,04 0,433 0,428 0,436 0,432 0,432 0,432 0,437 0,437 0,435 0,435 0,382 0,385 0,387 0,380 0,386 0,385 0,389 0,387 0,387 0,385
Среднее 1,170 1,04 0,434 0,385
Таким образом, расчет звена в относительных параметрах
позволяет охватить все типоразмеры звеньев. Сечение звена,
включая распорку, принято
везде одинаковым.
На рис. 92 показана схе-
ма контура звена с распор-
кой; действие на звено свя-
занных с ним звеньев выра-
жено сосредоточенной силой
Q. Так как контур п нагруз-
ки симметричны, система
является дважды статиче-
ски неопределимой. Основ-
ная статически определимая
система и лишние неизвест-
ные показаны на рис. 93.
Канонические уравнения
для дважды статически не-
определимой системы имеют
следующий вид:
схема звена
Рис. 93. Схема
лишних неизвест-
ных
I -Т С 2^612 ~ — Aiq;
^(1%1+4а)б22- -A2Q.
134
^11
Так как вдоль контура величины Е, F и I постоянны, то
^12 ~
621
^22
ф(я)
______и_______
ф(а)
р
*{иа)
ф(я)
1+^-7“
2 ф(я)
р
ф(а)
и
ф(")
1 н- Аа}
Ф<а)
р
ф(я)
и
ф(°)
1 -r%<2a) —
2 ф(0)
Р
р m\mq
2_
d
2
d
4
фи
и
о
Л
I ф»
ds +
ф(л)
I л (fl) -—
гл‘ ф(°)
р
Х^Ф^>
о
№.n*
1 1 ds;
фр
/V®/Vo
О
2 А ,
— —=-----as
d
фр
N°N
ф
Lt
ds;
2_
d
о
I ф«
ds +
о
J Е1*.и
О
^^Q ds---R_
EFP
J EF$p
о
ф(“> I
1+X(a)_!f_ I
Ф V
р О
ф(«) I Ф„
+ 2.<а)—Ч-
ф(О) J
р О
Х^Ф^’ р
Ф<а> \ Фр
’+х(2п)-7- ]
ф(^ J
м\а>
----xf.
м<“>
ds;
ds;
д2(3 -= -^-2
J Е/Ф„
О
Слагаемое
—— = —— е\а>
ЕЕр M(a) EFP
С N^Nq
J EFi>p
О
ds.
ф(а)
и
ф(°> „ /
1 H- х(ф —— R (
ф(а) '
p
соответствует деформации сжатия распорки звена,
полагается, что распорка деформируется упруго.
Запишем выражения для усилий
при 0 < — < 1,04 = —
R R
причем пред-
(см. рис. 93):
— R —, N^O, X1 = 0,
R
М\ ----
М<а>
R
h
R
^ = 0, Х2 = О, ТЙ2 = 1, Mq = О, Nq = P;
135
при 0 < <р <
М\ = R
Sin ф
h
sin ср 4- —
JK
h
1 'ЛГ
Л/х = sin ф,
d
8R
sin ср
h
sin ср -I- -~
f\
M2 = l, N„ — O, X., = 0,
Aj'q —- PR (1 — cos <p), Nq = P cos <p, Xq - — • C0S(p
8R 1 — cos cp
Учитывая выражения для усилий, можно после некоторых
преобразований записать
136
рр _ I _ в 2
или, введя обозначения SR ----------; е\а) —-— ; е<>а) ~= —-— ,
W СрЬ, Ср Ср
получим систему двух уравнений
е‘!)--------------Ц- Л1 -₽(2aWJn -
ф<а) 4 h
l+*(a)-Jr + R
ф(а)
.. Ф(„а)
--!-J12-eM’4 - ®.Lq.
Обозначения 7ц; /12; /22; J\q', hq ясны из уравнений. Эти инте-
гралы легко вычисляются при известных Фи и Фр, определяемых
в зависимости от еП1ах для случая совместного действия изгиба и
растяжения при круглом сечении стержня (см. рис. 59), при
етах 1, Фи = 1 и Фр = 1. Решая систему, определяют е\а) и
е 2а), а по ним — значения деформаций в любом сечении от изги-
ба и растяжения:
при О С — 1,04 = —
7? R
q — __|_ х
I ------
R
ф
и
eUQ — 0,
ф(а)
]+мо)-^
~ePQ --= + ® — •
8R
еи2=±ёта’-^-,
—, ер1= 0;
/I
R
фр
р2 ~
137
при 0 < q> <_ —
ft
— + s
_ /?
H1 ф„
~ . / ft
ep1 - + (
ф(а)
1 + л<“) —1
1 ф(«)
p
x, "W
фр <!>(»)
I +xw^_.
ф(о)
p
. луд 1 COS CD c\Y\ d
euQ=±^—^~< =
^±W^, ёр2 = 0.
Максимальная деформация в сечении
h
~R
h
1 H R
cos cp
фр
6?max-----F eul + euQ -t <4/2 + CpQ + <?pl>
причем из двух значений eraax выбирается наибольшее по абсо-
лютной величине, и для пего определяются значения Фи, Фр, а
также к = в новом приближении. Затем для новых зна-
чений X, Фи и Фр вычисляются интегралы J и т. д.
Как показывают вычисления, процесс оказывается сходя-
щимся; используя окончательные данные, по деформациям в се-
чении можно вычислить моменты и силы в каждом сечении
стержня:
Ми - Фиеи;
N = Фре~.
В табл. 9, 10 приведены вычисления для случая Р = 1,9
{третье приближение). Здесь используется прием улучшения
сходимости за счет «улучшения» отыскания функций пластич-
ности.
«Улучшенные» значения деформаций определяются по фор-
муле
, ф(п~1)
Л") __ Д«) « .
Стах — сгпах ,
ф(")
и
по этой же формуле были найдены новые значения Ф (”) и про-
деланы все дальнейшие вычисления.
138
Табл и иа 9
3-е приближение, Р= 1,9
1 2 з 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X R д ('—'1 етах X ф« фр (—Y ' R / фи [7] [21 R Ф и i ф и [М]Д,/' —
0 0,2 1,020 0,498 1,00 1,00 0 0,02 0,004 0 0,10 0,2 1,00 1,00 0,2
0,2 0,2 0,776 0,776 1,00 1,00 0,04 0,10 0,02 0,2 0,30 0,06 1,00 1,00 0,2
0,4 0,2 0,532 1,759 1,00 1,00 0,16 0,26 0,052 0,4 0,50 0,10 1,00 1,00 0,2
0,6 0,2 0,390 0,625 1,00 1,00 0,36 0,50 0,10 0,6 0,70 0,14 1,00 1,00 0,2
0,8 0,2 0,635 1,149 1,00 1,00 0,64 0,82 0,164 0,8 0,90 0,18 1,00 1,00 0,2
1,0 0,04 0,879 0,629 1,00 1.00 1,00 1,011 0,042 1,0 1,020 0,041 1,00 1,00 0,04
1,04 0,928 0,577 1,00 1,00 1,082 2 0,382 1,04 22 0,541 1,00 । ,01
X (0,382 -|-4,789 -' 0,037 0,904 + 0,037) — Y (0,541 + 2,744) = 1,86 • 1,9(1,205 — 0,037 • 0,503)
X (0,541 + 2,744) — Y (1,04 + 1,626) = 1,86 • 1,9 • 0,625; X = 1,231; Y = 0,688
Здесь X и J коэффициенты при и Y12
16 17 18 19 20 2 1 22 9°, 24 25 26
[1 7]-[1 6] [2 1 ]+[1 8] [22]-)-[19] Ф и ер Ф ? _ Р Р ~ ф еи “
eui epQ [16]-[17] ~еи
0 0,688 0,339 0.339 0,688 1,027 —0,688 -0,349 1,00 0,493 0, 193
0,246 0,688 0,339 0,339 0,442 0,781 —0,442 —0,102 1,00 0,768 0,768
0,492 0,688 0,339 0,339 0,195 0,535 —0,195 0,144 1,00 1,737 1,737
0,739 0,688 0,339 0,339 -0,051 0,288 0,051 0,390 1,00 6,667 6,667
0,985 0,688 0,339 0,339 -0,297 0,042 0,297 0,636 1,60 1,142 1,142
1,231 0,688 0,339 0,339 -0,543 —0,204 0,543 0,883 1,00 0,624 0,624
1,280 0,688 0,339 0,399 —0,593 -0,253 0,592 0,932 1,00 0,572 0,572
3-е приближе
1 о 3 4 5 6 7 8 9 10 11
С1 sin2 q>
ф Дф fmax л фи Ф р ч* £' Ър [8] Дх фр
0 0,131 0,928 0,577 1,00 1,00 1,082 1,226 0,161 0 0,009
0,131 0,131 1,071 0,495 1,00 0,995 1,370 1,528 0,200 0,017 0,043
0,262 0,13! 1,147 0,471 1,00 0,982 1,687 1,856 0,243 0,068 0.109
0,393 0,131 1.150 0,470 1,00 0,982 2,024 2,198 0,288 0,149 0,200
0,524 0,131 1,079 0,491 1 ,00 0,992 2,372 2,545 0,333 0,252 0,311
0,655 0,131 0,941 0,566 1,00 1,00 2,719 2,886 0,378 0,371 0,435
0,786 0,131 0,745 0,775 1,00 1,00 3,052 3,207 0,420 0,500 0,565
0,917 0,131 0,474 1,721 1,00 1,00 3,361 3,497 0,458 0,629 0,690
1,048 0,131 0,393 2,229 1,00 1 ,00 3,633 3,745 0,491 0,750 0,802
1,179 0,131 0,704 0,511 1 ,00 1,00 3,857 3,940 0,516 0,854 0,896
1,310 0,131 1,055 0,241 1,00 0,995 4,024 4,199 0,550 0,938 1,063
1,441 1,572 0,131 0,131 1,552 3,065 0,167 0,127 0,943 0,588 0,827 0,422 4,374 7,081 5,728 0,750 1,189 2,372 1,781
2 4,789
23 24 25 26 27 2 8 29 30 3 1 32 33 epi
^ер [38] Дф 1 — COS <ф ИЧр [41] Дф Г—1 1| Y фи /1 , г sm ф R 6 х [31]
ф и
1,60 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,030 1,381 0,131 0,131 0,131 0,131 0,131 0,131 0,131 0,131 0,131 0,131 0,135 0,181 0 0,009 0,034 0,076 0,134 0,207 0,293 0,391 0,500 0,617 0,741 0,922 1,702 0,004 0,021 0,055 0,105 0,170 0,250 0,342 0,446 0,559 0,679 0,831 1,312 0,000 0,003 0,007 0,014 0,022 0,033 0,045 0,058 0,073 0,089 0,109 0,172 1,280 1,141 1,599 1,752 1,896 2,030 2,151 2,257 2,347 2, 118 2,470 2,651 4,274 0 0,030 0,120 0,269 0,473 0,730 1,035 1,383 1,767 2.182 2,619 3,257 6,013 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,688 0,729 1,170 1,040 1,176 1,322 1,448 1,552 1,649 1,747 1,833 1,906 1,964 2,016 2,457 4,840 1,280 1,448 1,628 1,783 1 ,910 2,030 2,151 2,257 2,347 2,418 2,482 3,025 5,958 0 0,016 0,031 0,046 0,060 0,072 0,084 0,094 0,102 0,109 0,115 0,142 0,280
X__- 1 9 d
2 1,626 2 0,625 Y= 0*688
140
Табл и ц а 10
ние, Р — 1,9
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
[1 1] Дф —-—sin ф Я в £ 1 ^ср [14] Дф -1 о 1 [32] Дф Л SOD UIS в [•’Чр [ ;з5] дх 1 Ф и
0,001 0,006 0,014 0,026 0,041 0,057 0,074 0,090 0,105 0,117 0,139 0,233 1,04С 1,171 1,29$ 1,42: 1 ,54( 1,64$ 1,74 1,83. 1,90( 1,96 2,00 2,15 3,47 ) ) ) 7 3 $ 3 1 1,105 1,235 1,361 1,481 1,594 1,698 1,790 1,870 1,935 1,985 2,080 2,812 0,145 0,162 0,178 0,194 0,209 0,222 0,234 0,245 0,253 0,260 0,272 0,368 0 0,010 0,044 0,108 0,206 0,341 0,512 0,717 0,953 1 ,212 I ,487 1 872 3,471 1 0,005 0,027 0,076 0,157 0,274 0,426 0,614 0,835 1,083 1,350 1,680 2,672 0,001 0,004 0,010 0,021 0,036 0,066 0,081 0,109 0,142 0,177 0,220 0,350 0 0,130 0,254 0,360 0,436 0,483 0,500 0.483 0,433 0,354 0,251 0,156 0 0,065 0,192 0, 07 0,398 0,460 0,491 0,491 0,458 0,393 0,302 0,204 0,078 0,009 0,025 0,040 0,052 0,060 0,064 0,064 0,060 0,051 0,040 0,027 0,010 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,060 1,702
2 0,904 2 2,744 2 1,205 2 0,503
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
_ d W “ад COS ф % 1 ftEl -[2S] -[29] — [561 —1 ‘шах [28]-[29]-[30] ^inax % ">u CP e и X
0,339 0,339 0,339 0,339 0,339 0,339 0,339 0,339 0,339 0,339 0,339 0,339 0,339 1,00 0,996 0,983 0,940 0,873 0,793 0,707 0,609 0,500 0,383 0,260 0,158 0 0,339 0,338 0,334 0,319 0,296 0,269 0,240 0,207 0,170 0,130 0,088 0,054 0 1 1 1 Ч 1 1 1 ),593 ),723 Э, 791 ),795 ),735 3,612 Э, 428 3,187 3,108 3,451 3,837 1 ,335 2,910 0,339 0,354 0,365 0,365 0,356 0,341 0,323 0,300 0,272 0,239 0,203 0,195 0,280 -0,253 —0,369 —0,426 -0,430 -0,379 —0,271 —0,105 0,113 0,380 0,690 1,040 1,530 3,190 0,593 0,723 0,791 0,795 0,735 0,612 0,428 0,187 —0,108 —0,451 —0,837 — 1,335 2,910 0,93$ 1,07/ 1,156 1,16C 1,09C 0,95c 0,75$ 0,48; 0,16' —0,21$ —0,63' —1,146 —2,62$ > 1,00 7 0,005 1 1,018 ) 1,018 ) 1,088 J 1,00 > 1,00 7 1,00 1 1.00 > 1,00 1 1,005 ) 1,141 ) 1,394 0,572 0,489 0, 161 0,459 0,484 0,557 0,756 1 ,607 2,515 0,529 0,242 0,146 0,096 0,573 0,491 0,469 0,468 0,488 0,557 0,756 1,607 2,515 0,530 0,244 0,167 0,134
141
Улучшенная простая итерация позволяет уменьшить число
приближений. Вычисления, сделанные для Р = 1,9 с использо-
ванием улучшения, показывают, что при одном и том же первом
приближении третье улучшенное приближение очень близко
к пятому простому приближению. На рис. 94 показаны значения
Ми, N, етах для простого и улучшенного приближений.
Увеличение шага звена цепи за
6тах 2 счет действия тягового усилия со-
Рис. 94. Значения деформа-
ций для различных прибли-
жений:
ставит удвоенное перемещение кон-
ца стержня от усилий Р, Х{ и Х2 в
направлении силы Р. Обозначим
момент от единичной силы в направ-
лении перемещения через Л4о, а уси-
лие — через No, тогда перемещение
i
г _ И
1 “ ' Е1Фи
о
ds
----- ds
ЕГФр
------ ds - - ----
Е1Фи J Е1Фи
о
ds + |------- ds.
о
В этом выражении
7И° -= 01
Л/° = 1J
при 0
X
R
- - 1,04;
R
Л4° =/?(1 — cos <р)] л
' I при 0<ср< — .
№ - cos <р / 2
/-Зе н 2-е улучшенное при-
ближения, 2 - 5 с и 3-е улуч- Для того ЦТООЫ ИСПОЛЬЗОВИТЬ
шейное приопижения
проведенные при определении внут-
ренних усилий в статически неопре-
делимой системе вычисления, преобразуем уравнение для про-
гиба:
t
1 J- Ца>
ф<“>
р
л л
~2 2
+ f—V f d(p 4- е(9а>Фи * f f 1~cos-?- d<p] +
\ 4R J J Фр T ’ LJ Ф« J
0 Jo
142
л
h
R
d(()
•J
р
...O.-cos^ Z_d_\2
L J \ 4/? ) \J
о 0
Для случая достижения в наиболее напряженном сечении
предела текучести 3ft = 1,86 обозначим относительное значение
РЯ 5 и пс
величины —через Р = . На рис. 95 показаны эпюры из-
О 'р iv JJip
гибающих моментов, продольных сил и деформаций для различ-
ных значений Р; на рис. 96 — зависимость относительного уси-
лия от относительного увеличения шага цепи . Абсолютное
Рис. 95. Эпюры:
а - изгибающих моментов, б — продольных
сил, в — деформации
2-1,86Раг1Г
Q - 2Р - ----------7—
R
значение усилия тяги це-
пи
Рис. 96. Зависимость усилия на
цепь от относительного увели-
чения шага
Для принятых по ГОСТу типоразмеров цепей и материала
звеньев = 0,77; = 24 кГ[мм2 и тяговое усилие Q =-
= 6,73 Pd3. Абсолютное значение увеличения шага цепи А ==
-- fr = -=^0,324, откуда А = 2,07-^- R 10“'
R
Приведенное выше решение получено с учетом жесткости
распорки. Решение можно упростить, если считать, что жест-
кость распорки при сжатии существенно превышает изгибную
жесткость контура звена. При этом в качестве расчетной может
143
быть принята схема, когда половина звена цепи в месте распор-
ки считается жестко заделанной.
Расчет вала рабочего органа машины. Эскиз вала рабочего
органа показан на рис. 97. а схема рабочего органа — на рис. 98.
На консолях вала крепятся рабочие коронки с резцами, на ко-
торые действуют силы резания, возникающие при углублении
резцов в обрабатываемую породу. В процессе работы возможны
повторные перегрузки за счет ударов резцов о вкрапления по-
род повышенной твердости.
В табл. 11 приведены исходные данные по изгибающим и
крутящим моментам п моментам от единичных сил от напболь-
Рис. 97. Эскиз вала
ших кратковременных нагрузок; подробный расчет и обоснова-
ние этих нагрузок приведены в работе [64]. На рис. 99 показаны
схемы сил и эпюры изгибающих и крутящих нагрузок и момен-
тов от единичных сил, там же дана схема вала. На участке
расположения шлицев диаметр вала по моменту инерции сече-
ния принят эквивалентным диаметру гладкого участка. Для ва-
ла из стали ЗОХГС, термообработанпой до НВ 255, принято
от = 75 кГ1мм2\ тт = 45 кГ1мм2\ GT = 0,1.
Определяем перемещения (углы поворота и прогибы) вала,
которые могут иметь значение при расчете его несущей способ-
ности. Несущая способность вала может ограничиваться углом
наклона сечений вала на роликовых опорах, так как работоспо-
собность подшипника зависят от взаимного перекоса наружного
и внутреннего колец [2, 15]. Наибольший угол наклона в рас-
сматриваемом случае будет на верхней опоре. Работоспособ-
ность вала может зависеть также и от прогиба и угла поворота
вала в месте посадки шестерни [63]. Прогиб и угол поворота сече-
ния вала на консоли в месте установки режущей коронки мало
влияют на условия резания, а дебаланс коронки на работе вала
не сказывается из-за малой скорости вращения, и, следователь-
но, эти перемещения можно не определять.
144
Рис. 98. Схема рабочего органа
।
Рис. 99. Схемы сил и эпюры моментов
Таблица 11
Исходные данные для расчета вала
X в см Дх в см d в см ми Мк Mk Ми м\ в кГсм м; в к Г см м'\ в кГсм
0 4,5 11,0 0 0 0 0 0 0
4,5 4,5 11,0 0,142 0 0 0,071 0,071 2,33
9,0 0 11,0 0,284 0 0 0,141 0J41 4,66
9,0 3,1 11,5 0,256 0 0 0,141 0,141 4,66
12,1 3,1 11,5 0,345 0 0 0,190 0,190 6,25
15.2 3,1 11,5 0,433 0 0 0,239 0,239 7,85
18,3 3,1 11,5 0,520 0 0 0,288 0,288 9,45
21,4 3,1 11,5 0,609 0 0 0,336 0,336 11,05
24,5 3,1 11,5 0,697 0 0 0,386 0,386 12,68
27,6 3,1 11,5 0,784 0,0825 0,105 0,434 0,434 14,28
30,7 0 11,5 0,875 0,170 0,194 0,483 0,483 15,85
30,7 3 11,5 0,875 0,170 0,194 0,483 —0,517 15,85
33,7 3 11,5 0,860 0,252 0,293 0,529 —0,469 14,1
36,7 0 11,5 0,846 0,338 0,400 0,576 —0,423 13,0
36,7 2 12,2 0,693 0,276 0,400 0,576 —0,423 13,0
38,7 0 12,2 0,685 0,276 0,404 0,608 —0,391 12,0
38,7 4 13,0 0,562 0,226 0,404 0,608 —0,391 12,0
42,7 4 13,0 0,548 0,226 0,414 0,671 —0,328 10,05
46,7 4 13,0 0,536 0,226 0,423 0,733 —0,266 8,14
50,7 4 13,0 0,525 0,226 0,433 0,796 —0,202 6,22
54,7 4 13,0 0,513 0,226 0,443 0,859 —0,140 4,28
58,7 0 13,0 0,499 0,226 0,453 0,922 —0,077 2,36
58,7 4,9 11,0 0,825 0,374 0,453 0,922 —0,077 2,36
63,6 11,0 0,800 0,374 0,466 1,000 0 0
Численное интегрирование ведется по формуле
А р
2^7 ~ J
L
dx =
k _
jZj dfl>i
z=i
Дх(.,
где k — число интервалов интегрирования. Интервалы интегри-
рования по длине вала выбраны в зависимости от распределе-
ния изгибающих моментов и предполагаемых участков упруго-
пластического деформирования.
Относительные величины моментов составляют:
М = ——
Мк
Мк
wKTT
и их отношение
Ми Ми 2тг ’
146
Таблица 12
Вычисление перемещений при ---— 1 (Ф = 1,0)
рт
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X Дх d Х,и Ч х = —— Ми Тли d м\ Mi' [6] • [7] [6] [8]
0 4,5 9,0 9,0 12,1 15,2 18,3 21,4 24,5 27,6 30,7 30,7 33,7 36,7 36,7 38,7 38,7 42,7 46,7 50,7 54,7 58,7 58,7 63,6 4,5 4,5 0 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 0 3,0 3,0 0 2,0 0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 0 4,9 11,0 11,0 11,0 11,5 11,5 11,5 11,5 11,5 11,5 11,5 11.5 11,5 11,5 11,5 12,2 12,2 13,0 13,0 13,0 13,0 13.0 13,0 11,0 11,0 0 0,156 0,312 0,282 0,380 0,476 0,572 0,670 0,767 0,863 0,962 0,962 0,946 0,931 0,762 0,754 0,618 0,603 0,590 0,578 0,565 0,549 0,908 0,880 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,105 0,194 0,194 0,293 0,400 0,400 0.404 0,404 0,414 0,423 0,433 0,443 0,453 0,453 0,466 0 0,0142 0,0284 0,0245 0,0330 0,0414 0,0498 0,0583 0,0667 0,0750 0,0837 0,0837 0,0823 0,0810 0,0625 0,0618 0,0475 0,0464 0,0454 0,0445 0,0435 0,0422 0,0825 0,0800 0 0,071 0,141 0,141 0,190 0,239 0,288 0,336 0,386 0,434 0,483 0,483 0,529 0,576 0,576 0,608 0,608 0,671 0,733 0,796 0,859 0,922 0,922 1,0 0 0,071 0,141 0,141 0,190 0,239 0,288 0,336 0,386 0,434 0,483 —0,517 —9,469 —0,423 —0,423 —0,391 —0,391 —0,328 —0,266 — 0,202 —0,140 —0,077 —0,077 0 0 2,33 4,66 4,66 6,25 7,85 9,45 11,05 12,68 14,28 15,85 15,85 14,4 13,0 13,0 12,0 12,0 10,05 8,14 6,22 4,28 2,36 2,36 0 0 0,00101 0,004 0,00346 0,00628 0,00989 0,0143 0,0196 0,0257 0,0326 0,0404 0,0404 0,0435 0,0466 0,0360 0,0376 0,0289 0,0311 0,0333 0,0354 0,0373 0,0389 0,0761 0,0800 0 0,00101 0,004 0,00346 0,00628 0,00989 0,0143 0,0196 0,0257 0,0326 0,0404 —0,0432 -0,0386 —0,0342 —0,0264 —0,0242 —0,0186 —0,0512 —0.0121 —0,00898 —0,00608 —0,00325 —0,00636 0
Продолжение табл. 12
1 2 1 3 14 1 5 16 17 18 19 20 21
, "и ,, К
[6] [9] м 1 d<b М, 1 d* Л1. —— 1 1'^р [‘5^Р [16] Лх [17] Дх [18] Дх
0 0 0 0 0,0005 0,0005 0,0165 0,00226 0,00226 0,0743
0,033 0,00101 0,00101 0,033 0,0025 0,0025 0,0826 0,0113 0,0113 0,372
0,132 0,004 0,004 0,132 0,00373 0,00373 0,123 0 0 0
0,114 0,00346 0,00346 0,114 0,00487 0,00487 0,160 0,0151 0,0151 0,497
0,207 0,00628 0,00628 0,207 0,00808 0,00808 0,266 0,0251 0,0251 0,824
0,325 0,00989 0,00989 0,325 0,0121 0,0121 0,397 0,0375 0,0375 1,232
0,470 0,0143 0,0143 0,470 0,0169 0,0169 0,557 0,0525 0,0525 1,726
0,644 0,0196 0,0196 0,614 0,0227 0,0227 0,745 0,0703 0,0702 2,309
0,846 0,0257 0,0257 0,846 0,0292 0,0292 0,959 0,0904 0,0904 2,972
1,072 0,0326 0,0326 1,072 0,0365 0,0365 1,199 0,113 0,113 3,716
1,36 0,0404 0,0404 1,326 0,0404 - 0,00142 1,326 0 0 0
1,33 0,0404 —0,0432 1 ,326 0,0420 -0,0409 1,255 0,126 —0,123 3,766
1,18 0,0435 —0,0386 1,185 0,0451 -0,0364 1,119 0,135 —0,109 3,356
1,05 0,0466 —0,0342 1,052 0,0413 -0,0303 0,932 0 0 0
0,812 0,0360 —0,0264 0,812 0,0368 — 0,0253 0,777 0,0736 —0,0506 1,554
0,742 0,0376 —0,0242 0,742 0,0332 —0,0214 0,656 0 0 0
0,570 0,0289 —0,0186 0,570 0,0300 —0,0169 0,518 0.120 —0,0676 2,073
0,466 0,0311 -0,0152 0,466 0,0322 -0,0136 0 417 0,129 —0,0546 1,671
0,369 0,0333 —0,0121 0,369 0,0343 -0,0105 0,323 0,137 —0.0421 1,292
0,277 0,0354 —0,00898 0,277 0,0364 -0,00753 0,231 0,145 —0,301 0,925
0,186 0,0373 —0,00608 0,186 0,0381 —0,00467 0,143 0,153 —0,0187 0,571
0,0997 0,0389 —0,00325 0,0997 0,0575 —0,00481 0,147 0 0 0
0,195 0,0761 —0,00636 0,195 0,0781 -0,00318 0,0974 0,382 —0,0156 0,477
0 0,0800 0 0
X 1,819 —0,937 29,468
Таблица 13
Р
Вычисление перемещений при —— = 2
рт
1 2 з 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12
X Лх d йи Ч, Л и d 71 ф [7] • [6]
0 4,5 11,0 0 0 0 0 0 0 1,0 1,0 0
4,5 4,5 11,0 0,312 0 0,0284 0,071 0,071 2,33 1,0 1,0 0,0020
9,0 0 11,0 0.624 0 0,0567 0,141 0,141 4,66 1,0 1,0 0,008
9,0 3,1 11,5 0,564 0 0,0490 0,141 0,141 4,66 1,0 1,0 0,0069
12,1 3,1 11,5 0,760 0 0,0661 0,190 0,190 6,25 1,0 1,0 0,0126
15,2 3,1 11,5 0,952 0 0,0828 0,239 0,239 7,85 1,0 1,0 0,0198
18,3 3,1 11,5 1,144 0 0,0995 0,288 0,288 9,45 1,0 1,0 0,0286
21,4 3,1 11,5 1,340 0 0,117 0,336 0,336 11,05 1,0 1,0 0,0392
24,5 3,1 11,5 1,534 0 0,133 0,386 0,386 12,68 1,0 1,0 0,0515
27,6 3,1 11,5 1,726 0,105 0,150 0,434 0,434 1 4,28 3,019 0,574 0,0651
30,7 0 11,5 1.924 0,194 0,167 0.483 0,483 15,85 4,727 0,411 0,0808
30,7 3,0 11,5 1,924 0,194 0,167 0,483 —0,517 15,85 4,727 0,411 0,0808
33,7 3,0 11,5 1,892 0,293 0,164 0,529 —0,469 14,4 5,019 0,389 0,0870
36,7 0 11,5 1,862 0,400 0,162 0.576 —0, 123 13,0 5,470 0,359 0,0933
36,7 2,0 12,2 1,524 0,400 0,125 0,576 —0,423 13,0 2,620 0,634 0,0719
38,7 0 12’,2 1,508 0,404 0,124 0,608 —0,391 12,0 2,505 0,653 0,0752
38,7 4,0 13.0 1,236 0,401 0,095 0,608 —0,391 12,0 1,476 0.89/ 0,0578
42.7 4,0 13,0 1,206 0,414 0,0928 0,671 —0,328 10,05 1,407 0,924 0,0622
46,7 4,0 13,0 1,180 0,423 0,908 0,733 -4L266 8,14 1,363 0,948 0,0665
50,7 4,0 13,0 1,156 0,433 0,0889 0,796 -0,202 6,22 1.303 0,974 0,0708
54,7 4,0 13.0 1,130 0,443 0,0869 0,859 —0,140 4,28 1,274 0,981 0,0747
58,7 0 13.0 1,098 0,453 0,0845 0,922 —0,077 2,36 1,212 0,993 0,0779
58,7 4,9 11,0 1,816 0,453 0,165 0,922 —0,077 2,36 5,495 0,356 0,152
63,6 11,0 1,760 0,466 0,160 1,0 0 0 5,100 0,377 0,160
Продолжение табл. 1
13 14 15 16 1 7 18 19 20 21 22 Z о
[1 '] [13] [14] l‘6VP [П]гр
[8] [6] [9] [6] [Н] [И] [1 И [! 5]ср [18] Лх [ 1 9] Ах [20] Лх
0 0 0 0 0 0,00101 0,00101 0,0330 0,0045 0,0045 0,149
0,0020 0,0661 0,0020 0,0020 0,066 0,005 0,005 0,165 0,0225 0,0225 0,743
0,008 0,264 0,008 0,008 0,264 0,0075 0,0075 0,246 0 0 0
0,0069 0,228 0,0069 0,0069 0,229 0,0097 0,0097 0,321 0,0302 0,0302 0,994
0,0126 0,413 0 0126 0,0126 0,413 0,0162 0,0162 0,531 0,0501 0,0501 1,648
0,0198 0,650 0,0198 0,0198 0,650 0,0212 0,0242 0,795 0,0751 0,0751 2,464
0,0286 0,940 0,0286 0,0286 0,940 0,0339 0,0339 1,114 0,105 0,105 3,453
0,0392 1,287 0,0392 0,0392 1,287 0,0453 0,0453 1,4895 0,140 0,140 4,618
0,0515 1,691 0,0515 0,0515 1,691 0,0825 0,0825 2,712 0,256 0,256 8,407
0,0651 2,143 0,113 0,113 3,732 0,15.5 0,155 5,092 0,481 0,481 15,79
0,0808 2,652 0,197 0,197 6,452 0,197 —0,00692 6,4515 0 0 0
—0,0865 2,652 0,197 —0,210 6,452 0,210 —0,204 6,27 0,630 —0,613 18,80
—0,0772 2,369 0,223 —0,198 6,083 0,241 —0,194 5,972 0,725 —0,583 17,92
—0,0685 2,105 0,260 —0,191 5,860 0,187 —0,137 4,208 0 0 0
—0,0528 1,624 0,114 —0,0834 2,563 0,114 —0,0787 2,416 0,229 —0.157 4,833
—0,0483 1,483 0,115 —0,0740 2,270 0,0897 —0,0577 1,771 0 0 0
—0,0372 1,141 0,0644 —0,0414 1,272 0,0659 —0,0372 1,140 0,264 —0,149 4,562
-0,0304 0,932 0,0674 —0,0329 1,009 0,0688 —0,0292 0,894 0,275 —0,117 3,577
—0,0241 0,739 0,0702 —0,0255 0,780 0,0715 —0,0220 0,674 0,286 —0,0879 2,695
—0,0180 0,553 О’, 0727 —0,0184 0,568 0,0744 —0,0154 0,474 0,298 —0,0617 1,894
—0,0122 0,372 0’0761 —0,0124 0,379 0,0773 —0,00948 0,280 0,309 —0,0379 1,160
—0,0065 0,199 0*0785 —0,0066 0,201 0,2532 —0,00506 0,648 0 0 0
-0,0127 0,390 0*428 —0,357 1,095 0,4261 —0,00179 0,5477 2,088 —0,0876 2,684
0 0 0,424 0 0
X 6,266 —0,730 96,384
Напряжения достигают предела текучести в сечении х =?
= 36,7 см при значении
7ЙГ = МиТ/1 + V = 0,931 /1 +0,42 = 1,
и нагрузки, соответствующие достижению предела текучести,
у'
превосходят наибольшие кратковременные нагрузки в----- =
Ми раб
= 1,1 раза (т. е. запас прочности пт = 1,1). Усилие Рт на шес-
терне при достижении в валу предела текучести составляет
40 400 кГ.
Рис. 100. Графики предельных усилий в зависимости
от предельно допустимых перемещений
Методика вычислений перемещений вала при однократном
нагружении рассмотрена на примерах расчета при Р = 1 и 2
(табл. 12, 13); результаты вычислений, отнесенные к перемеще-
ниям при достижении предела текучести, показаны на рис. 100.
Там же даны зависимости предельно допустимых перемещений от
усилия Р, отнесенные к перемещениям при достижении предела
текучести ([0] и Л) [64].
Глава IV
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ
ДЕФОРМИРОВАНИЕ КРУГОВЫХ ПЛАСТИН
И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
§ 1. РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ КРУГОВЫХ ПЛАСТИН
Уравнение равновесия диска при осесимметричном растяже-
нии силами, лежащими в его плоскости, может быть записано
следующим образом:
— (rNr) — Ne = Nr, (4.1)
dr
здесь Nr—радиальное усилие; А/о — окружное усилие на неко-
тором текущем радиусе г; N—продольное усилие на том же
радиусе (отнесенные к единице длины).
Если иметь в виду, что при действии сил в плоскости диска
напряжения в его сечении распределены по толщине h равно-
мерно, то уравнение равновесия в напряжениях будет иметь
вид
-у— (rh<3r) — Nr. (4.2)
Наиболее распространенным является случай нагружения
диска объемными центробежными силами, когда
Af — — 9L о?/гг.
ё
Уравнение совместности деформаций [71]
4-(гее)-^--=0. (4.3)
dr
Используя уравнения связи напряжений и деформаций, мож-
но записать в относительных координатах
— 9 — —
ог = -^-ср(2ег + <?9);
— 9 _ _
Сто = ф (2е0 + ег);
О
(4-4)
152
здесь функция пластичности ср определяется для интенсивности
деформаций:
— 2 1^ — 2 ~~ ~ — 9
У ее 4~ ег •
Сведем систему дифференциальных уравнений к интеграль-
ному уравнению и решим его методом последовательных при-
ближений.
Запишем уравнение (4.2) в виде, удобном для дальнейших
преобразований, введя относительные координаты:
^2чр<о + р4с + (°'--ае) + —“2р2<4-5>
dp 7. dp g °т
Г h п
здесь р = ---, х = -------, где л0 — внутренний
/?о ^0
п0 — толщина диска на этом радиусе; сф — ;
радиус диска;
ое
Для решения задачи в деформациях в уравнении (4.5) заме-
ним напряжения через деформации по выражениям (4.4) и
сделаем некоторые преобразования:
—— . —- [ср (2ег + £е)] + р 2 [ср (2е + ее)1 +
% dp dp
Ф(ег —efl) з v со2/?? -у
4-—-^-----------------L---------2_ р2 = о. (4.6)
JL 2 g (5Т
Р2
Имея в виду, что
1 1
-у- 1р 2 Ф (2С + ее)] = Р 2 -у- 1ф (2ег + е0)] +
dp dp
+ -L- [<р(2ёг+?0)], (4.7)
после преобразований получим
d г v /О- . - 3 фё0 . d‘A ч
— [р ф(2ег + <?0)]--------------— -|-_Р__• — X
dp 2 J dp
P2
— — 3 v Rr}
X [<p(2er+ee)]+ -X . —-°-p- =0. (4.8/
2 g
i53
_L 0>2/?2 ±
P x аЯ, + 0,4y ——— (p- -l)-% . _
a0o=----------------------------------1-4-^,. (4.19)
(p. *Pee 2
—y-6fp
1 p2
Переход от деформаций к напряжениям после получения ре-
шения осуществляется по формулам
— 2 / — 1 — \ —
СТО сго„-----------— Or0 <(> (2е0 -I ег);
и \ £ J
°, -- -у (уе, — — оЫ tp (2zr 4- е0).
(4.20)
Сходимость последовательных приближений оказывается
вполне удовлетворительной при решении в деформациях; при
решении в напряжениях приближения могут расходиться. Ин-
тегральные уравнения при решении в напряжениях аналогичны
по 'Структуре уравнениям в деформациях (4.9).
Доказательства сходимости последовательных приближений
для нелинейных уравнений .в общем случае нс получено. Можно,
однако, качественно показать, что применительно к задачам
пластичности при кривой деформирования, направленной выпук-
лостью вверх, решение в деформациях имеет лучшую сходи-
мость, чем решение в напряжениях. Это связано с тем, что
последовательные приращения функций пластичности при реше-
нии в напряжениях больше приращений напряжений, в резуль-
тате чего приближения могут расходиться, а такое же (отно-
сительно) приращение деформаций вызывает существенно
меньшее приращение функций пластичности, что улучшает схо-
димость. Очевидно, что для задач упругости, когда ср = 1, Ф = 1,
безразлично, что определяется последовательными приближе-
ниями— напряжения или деформации.
Сказанное можно иллюстрировать примером расчета вра-
щающегося диска при степенной зависимости между напряже-
ниями и деформациями Ci = а”, когда условие n> 1 соответ-
ствует кривой деформирования, направленной выпуклостью
вверх. Приращение функции пластичности ср в этом случае всег-
да меньше приращения деформаций и становится больше при-
ращения напряжений при п > 2.
На рис. 101 сопоставлены результаты вычислений напряже-
ний при решении в напряжениях (/) и в деформациях (//) для
степенной зависимости при п = 1,5; 2,0 и 3,0. Как видно из
рис. 101, б приближения при решении в деформациях сходятся
достаточно быстро при всех значениях п; при решении в напря-
жениях и /г =1,5 сходимость оказывается удовлетворительной,
156
при /1 = 2 приближения сходятся весьма медленно, а при п = 3
расходятся.
Уравнение равновесия круговой пластинки при действии осе-
симметричного изгиба можно записать так [72]:
— (г.Д)—/W0 = Qr; (4.21)
dr
здесь Мг — изгибающий момент на единицу длины, действую-
щий в радиальном направлении; Mq — изгибающий момент в
окружном направлении на некотором текущем радиусе г.
Поперечное усилие на единицу длины, действующее на том
же радиусе,
Qr - — q(r)rdr-Y N\R„ (4.22)
/
где Pj — сила, распределенная по окружности радиусом гг- (на
единицу длины);
7 (г) —распределенная по некоторой кольцевой площади на-
грузка;
N»— распределенная по контуру v реакция (на единицу
длины).
Индекс v относится к наружному или внутреннему контуру
пластинки.
Уравнение совместности деформаций
_^(г/.0)-хг = О; (4.23)
здесь
1 dW d2W
хе =----- • -----; xf =-------,
г dr dr2
где W — прогиб пластинки.
Используя уравнения связи напряжений и деформаций, пос-
ле преобразований получим в относительных координатах
— 9 —
о, = ~ Ф (2'/-г + хе) т);
О
9 - _
<>о = ~ ф (2-'-е + xf) Т):
3
(4.24)
— хг / 2 \ - х е 2z ..
здесь хг =---- = — ег \; Х0 =-------; -и =---- (п — толщина пла-
\ h } хт h
станки); были использованы также соотношения ег = с^тахЛ и ео =
~ ^0 тахЦ .
157
бе г бг
Рис. 101. Сходимость последовательных приближений при решении в
а - п = 1,5;
158
С другой стороны, на основе гипотезы прямых нормалей
Мг = = Т j0,116/11 = (2/'г + I vnW
-1 —1
44 о = 4^- = Y | аЯ^т1 = (2z° + xr) j cpnW
--1 ±1
Обозначив интегральную функцию пластичности
1
фц = A J (p^dq,
— 1
(4-25)
(4.26)
можно записать уравнения
ниям (4.4) для диска:
(4.25) в форме, аналогичной уравне-
напряжениях (/) и деформациях (И); цифрами обозначены приближения:
б— л = 2;в— п = 3
159
Если перейти к абсолютным значениям усилий, то
Мг - 2РФП (2хг + хе); М0 - 2ОФ„ (2х0 + хг), (4.28)
где D =—-----цилиндрическая жесткость при р, = 0,5.
Интегральную функцию пластичности Фп можно выразить
через интенсивность деформаций:
С' — er max + ?r тах ^Отах + шах — тах, (4.29)
откуда с учетом формулы (4.26)
Ф;, = — 2
“ 9
ei max _ _
(e?de. 1
ф^-^- = 3——
73 I3
i max z max
0
(4.30)
Для случая полигонального упрочнения ф = + Ь„ и
ei
функция пластичности будет иметь вид
~ упр + yanJи + Wи- (4.31)
В табл. 41 приведены значения величин /, необходимых для
линейного
1 — Gt .
вычисления интегральной функции пластичности.
Для случая
упрочнения ф =
Рис. 102. Интегральная функция пла-
стичности для изгиба круговой пла-
стины
ei
+ GT и интегральная функ-
ция пластичности (рис. 102)
3
2 в/ max
I — Gr
(4.32)
0.
i max
Система уравнений изги-
ба круговой пластинки
(4.21), (4.23) и (4.24) анало-
гична системе уравнений
растяжения диска (4.2) —
(4-4).
160
В соответствии с этим получим интегральные уравнения для
пластинки, аналогичные уравнениям (4.10) и (4.11) для диска:
р2 ф«
р
Г dD р
2 I L dp D
4
Р
11 f
з
р2
р
р
ар
dD
хгс/р+ ’ —
ФаР
р2
dD
dp
P2
) J- dp
> 2р2 D '
jlA
D 3
р
— ( Xrdp + х0 X
2р J
, 1,1
rfp--н---
2p 4
MR.
2р
p2 ««о,
(4.33)
Р
D
2
4
1
2
1 r 7-e
7-g — — I 7. dp ---------------—
p J P
где и а индекс v относится к наружному или
(4.34)
внутреннему
контуру.
Q d2W dW „ w/
Запишем условно уравнения для хг =------------; ---- прогиоа w:
dr2 dr
= Jr (р, xr)+ (А (р) + MR В (р); (4.35)
dr2 \ dr D
= /е(р, М + С(р) + MR D(p); (4.36)
dr \ dr Jv
w = Jw (p, 7.f) + ( E (p) + (P) + W G (p). (4.37)
\ J V
Система (4.33) и (4.34) в общем случае задания граничных
условий приводит к краевому интегральному уравнению, в кото-
ром постоянные ЬСдj и определяются из уравнении
(4.35) — (4.37).
Если, например, пластинка заделана по наружному и внут-
реннему контурам, то, используя условия U70 = 0; (-^1=0
\ dr /О
и = 0; I------) 0, из уравнения (4.36) можно получить
1 I Заказ 1099
161
Для оплошной опертой по наружному контуру пластинки
j = 0 и — О и уравнение (4.35) можно условно
записать в такой форме:
zr)» (4.39)
если проинтегрировать первый член этого уравнения один раз
от внутреннего и один раз от наружного контура.
Система интегральных уравнений для пластинки решается
методом последовательных приближений точно так же, как для
диска, рассмотренного выше.
Для плоской пластинки
р2 Фи 1 2р 2 D р 2 Фм 1 р
+ 2_. -4^-; (4.40)
4 рЧ».
1 Г X0V
х0 = — ----(4.41)
Р J Р
1
В табл. 14 приведены вычисления в четвертом (последнем)
приближении, проведенные при условии идеальной пластичности
для опертой по контуру плоской оплошной пластинки, нагружен-
ной равномерно распределенной нагрузкой q= — = 1,8, где
Qt
48h2oT „ ,
ат ==_____L —нагрузка, при которой пластическая деформация
4 63/??
впервые достигается в центре пластинки. Для указанных гра-
ничных условий и нагрузки уравнения в относительных коорди-
натах имеют вид
5
Р -п-
хг = .. °’75 - J~+ 0,685 -- ~~1 q----------~ х0;
Р 2 ф„ 1 р 2 р 2 Фц
р
1 г ,
х0 =----- I x/zp.
р J
о
162
Вычисление W (четвертое приближение)
Таблица 14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
р dp 'г х0 -2 ;0 ;2_l;2_l г ' е 1 + \ *е 2 -^[9] = V з = "et 1 2 Р
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 — 1,766 — 1,766 — 1,536 — 1,202 —0,871 -0,593 —0,352 —0,163 —0,020 —0,000 0,361 — 1,759 — 1,757 — 1,702 — 1,591 — 1,453 — 1,310 — 1,170 — 1,041 —0,923 —0,822 —0,722 3,119 3,119 2,361 1,444 0,759 0,351 0,124 0,0267 0,001 0,000 0,131 3,093 3,093 2,898 2,531 2,111 1,715 1,370 1,083 0,852 0,676 0,521 3,106 3,106 2,616 1,912 1,265 0,776 0,412 0,170 0,028 0,000 —0,261 9,317 9,317 7,875 5,887 4,135 2,842 1,905 1,279 0,881 0,676 0,391 3,052 3,052 2,806 2,426 2,033 1,686 1,380 1,131 0,938 0,822 0,625 3,525 3,525 3,240 2,802 2,348 1,947 1,594 1,306 1,084 0,949 0,722 0,415 0.415 0,450 0,518 0,605 0,705 0,820 0,920 0,990 1,000 1,000 0 0,316 0,447 0,548 0,632 0,707 0,775 0,837 0,894 0,949 1,000
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
[И] [12] [11] [12] [14] • [4] tl5]cp [‘5Мр Р / [15] d? 1 [18] [13] 0,75 [19] хе 2 [20J-[21] р2
0 0,131 0,201 0,283 0,383 0,499 0,635 0,770 0,886 0,949 1,000 1,312 1,006 0,945 0,957 0,997 1,059 1,099 1,107 1,054 1,000 —2,308 —1,713 — 1,503 — 1,390 — 1,306 — 1,239 — 1,144 — 1,022 —0,867 —0,722 —2,010 — 1,608 — 1,447 — 1,348 — 1,272 — 1,192 — 1,083 —0,944 —0,794 —0,201 —0,161 —0,148 —0,138 —0,127 —0,119 -0,108 —0,094 —0,079 1,170 0,969 0,808 0,663 0,529 0,401 0,282 0,174 0,079 0 8,913 4,814 2,850 1,733 1,060 0,632 0,367 0,196 0,084 0 6,685 3,610 2,138 1,300 0,795 0,474 0,275 0,147 0,063 0 —0,879 —0,879 —0,851 —0,795 —0,726 —0,655 —0,585 —0,520 —0,461 —0,411 -0,361 7,564 4,462 2,933 2,027 1,450 1,059 0,795 0,609 0,474 0,361 0 0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 0,36 0,49 0,64 0,81 1,000
о
Продолжение табл. 14
24 25 26 27 28 29а 296 29в 30 31 32 33
[23] [12] [24]- 1 [25] [13] 0,685 [26] [27] [3] — [22] [28] [3] [296]= = Х2 [29в1ср [30] rip р J [30] df 0 [32] __ Р *8
[29а]
0 0,004 0,018 0,049 0,101 0,177 0,279 0,410 0,572 0,768 1,000 — 1,000 —0,997 —0,982 —0,951 —0,899 —0,823 —0,721 -0,590 —0,428 —0,232 0 —7,596 —4,880 —3,354 —2,349 —1,651 — 1,135 —0,767 —0,483 —0,244 __0 —5,203 —3,343 —2,298 —1,609 — 1,131 —0,778 —0,525 —0,331 —0,167 0 -9,365 —6,017 —4,136 —2,896 —2,036 — 1 ,400 —0,945 —0,595 —0,301 0 —9,330 —5,999 —4,135 —2,898 —2,043 — 1,411 —0,958 —0,639 —0,474 0 1,004 1,003 1,000 1,999 0,997 0,992 0,986 0,932 0,635 0 —1,773 — 1,773 — 1,541 — 1,202 —0,871 —0,591 —0,349 -0,161 —0,028 0,000 0,361 — 1,772 — 1,657 — 1,372 — 1,036 —0,731 —0,470 —0,255 —0,095 —0,014 +0,180 —0,177 —0,166 —0,137 —0,104 —0,073 —0,047 —0,026 —0,010 —0,001 0,018 0 —0,177 —0,343 —0,480 —0,584 —0,657 —0,704 —0,730 —0,740 —0,741 0,723 — 1,772 —1,772 — 1,715 — 1,600 — 1,460 — 1,314 — 1,173 — 1,042 —0,924 —0,822 —0,722
34 35 36 3 / 3 8 39 40 41 42 43 44
[33] [20]—[34] [29в] — - [35] [28] [29в] X X [37]"г t38Vp [39] do Р 1 [39] rip 0 и Игр [42] rip Р f [4 2]rip=W 0
2 [36]
—0,886 —0,886 —0,857 —0,800 —0,730 —0,657 —0,587 —0,502 —0,462 —0,411 —0,361 7,572 4,468 2,938 2,030 1,452 1,060 0,796 0,609 0,474 0,361 —9,344 —6,009 —4,140 —2,901 —2,043 — 1,410 —0,957 -0,637 —0,474 0,000 1,002 1,001 0,999 0,999 0,997 0,993 0,988 0,934 0,635 0 — 1,777 — 1,777 — 1,543 — 1,201 —0,869 —0,589 -0,347 —0,159 —0,026 0,000 0,361 — 1,777 — 1,660 — 1,372 — 1,035 —0,729 —0,468 —0,253 —0,093 —0,013 0,181 —Q,Y78 —0,166 —0,137 -0,104 —0,073 —0,047 —0,025 —0,009 —0,001 0,018 —0,178 —0,344 —0,481 -0,585 —0,658 —0,705 —0,730 —0,739 —0,740 —0,722 -0,089 —0,261 —0,412 —0,533 —0,621 —0,681 —0,717 —0,734 —0,739 —0,736 —0,009 —0,026 —0,041 —0,053 —0,062 —0,068 —0,072 —0,073 —0,074 —0,074 0,552 0,543 0,517 0,476 0,423 0,361 0,293 0,221 0,148 0,074 0
-2
Интегральная функция пластичности Фи определялась по
рис. 102 для GT = 0 при значениях деформации +
________ V 2
+ *0ХГ + Последовательные приближения осуществлялись
по схеме подобной итерации.
На рис. 103 приведены значения усилий и деформаций в зави-
симости от радиуса пластинки для различных величин распреде-
ленной нагрузки при GT = 0, полученные на основании аналогич-
ных вычислений.
Рис. 103. Значения усилий и деформаций в круглой равномерно
нагруженной пластинке
Для случая совместного действия на круговую пластинку осе-
симметричного растяжения и изгиба можно записать систему
уравнений равновесия.
J-(rMr)-Me = Qr,
dr
— (rMr) — Ne = Nr
и систему уравнений совместности деформаций
-у- ('М — *г = 0;
dr
(гее) — е, = 0.
dr
(4.42)
(4.43)
165
Суммарная деформация от изгиба и растяжения в некоторой
точке пластинки с координатами (г, г)
er = 4- егр = еги е1р, |
ее = ZX0 -|- + £opi I
здесь индекс р соответствует деформациям от растяжения усилия-
ми Nr и Nо , индекс и — деформациям от изгиба.
Используя уравнения связи, после преобразований получим
в относительных координатах
°г — — <Р W2erp + er®p) + (2y-r + 7-о) ЛИ
<*е = -|- Ф [(2е0р -|- егр) 4- (2х0 + -/.г) л].
(4.45)
Здесь напряжения и деформации отнесены соответственно
к напряжению и деформации предела текучести от и ег;
где h — толщина пластинки.
С другой стороны, уравнения для усилий в сечении имеют вид
Nr h С - , Мг й2 i' “ л 1
—1 -1 j 1 (4.46)
Ne he-, Щ h- (- , 2 J 4 J — 1 —1
Эти уравнения могут быть преобразованы на основе выраже-
ний (4.45):
Nr
= 4 + м) \ +Х0) I
о J J
-1 —1
1 I
= (2егр + еер) J фт^п + (2/> + *о) J фТ]2^Ъ
(4.47)
Обозначив интегральные функции пластичности
i 1 1
Ф„ = -|- J ФлЖ Фр =- 4 j Ф^п; ф«р = 4 Ф^7!. (4.48)
166
получим уравнения для выражения усилий через деформации:
К = -у 1(2~егр +76р) Фр +±(27г + хе)Ф„р]; '
Я = -у [(2хг + хе) Ф„ + (2ёгр + е“ер) Ф„р];
= -у [(2ебр + сгр)Фр + (2х9+хг) Фир];
Me = 4 Ц2-'.е + хг) Фи + ^-(2ёер +ёгр) Фир].
о о )
(4.49)
Интегральные функции пластичности Фгь Фр и Фир зависят от
интенсивности суммарных деформаций.
2 l/"-~2 - - “2
Интенсивность деформаций eL = у ег +
V 3
чае совместного действия на пластинку растяжения и
можно записать в таком виде:
в слу-
изгиба
е}
V Т|2х?
(4.50)
+ Г]*е + е2.р ,
где
= -у (4 + Хг + х0хг);
eip “ — \еЬр + е р + erpe$Ph
4 __ _ _ __ ---
~ (2x0 £0Р Н- 2хгвГр -ф ^0 ^rp ~h &&р)’
При q = 1 eL = отсюда е}\ — — е]р = у.е и интенсивность де-
формаций
= V^nCn— 1)х/—(Т)— 1)4р + • (4.51)
Пользуясь формулой (4.51), выразим ординату сечения через
интенсивность деформаций:
„ = +7- - «?.) + нч+»*У -. (4 52)
2х?
Обозначим параметры деформаций совместного изгиба и ра-
С! п л X/
стяжения круговых пластин —= X и р,.
167
Тогда
\2
ц2(1 4-Х2)]2 — 4ц2 g2X2 —
Л = -------------
2ц2
et =^1]/'я(т| — 1)Н2 — (П— 1)^2V + Л-
(4.53)
(4.54)
Границы пластической области определяются из уравнения
- [1 - ц2
_и2(1+Л2)]-4р2^2Х2--^
\
2ц2
(4.55)
Рассмотрим (в зависимости от соотношений параметров де-
формаций ц и X) изменение областей пластичности по сечению
пластинки с изменением деформации в связи с интегрировани-
ем уравнений функции пластичности. На рис. 104 схематически
Рис. 104. Схема сечения пластины
показано сечение пластины, одна из кромок сечения условно обо-
значена /, вторая — 2. Здесь приведены схемы областей пластич-
ности, возникающих при различных соотношениях параметров р
и X и соответствующих изменению пределов интегрирования при
вычислении функций Фр, Фир и Фи. Область пластичности может
вначале появиться на одной из кромок; случай одновременного
начала пластического деформирования является промежуточ-
ным. Этот случай, соответствующий равенству высоты границ
пластической области сечения rlTt = гр*, возможен при значениях
параметра
1
r V is- №
(4.56)
168
T-r 1 л
При значениях ц > —?__= сначала появляется область пла-
н К1 + %2
стичности, примыкающая к кромке 2, и т)го > ; при значе-
1 <
ниях ц < г___= имеет место обратный процесс и > 7]т .
у 1 + №
На рис. 105 приведена линия ц = р===- (линия 3), разграничи-
вающая эти два случая.
Область возможных соотношений р и % определяется действи-
тельными выражениями для
= ^гтах) уравнение (4.54)
принимает вид
~ei2 = ~ел К2и2(1 + V) -1,
(4.57)
откуда эта область pi
-----.1 —. На рис. 105
' У2(1+Х2) Н
нанесена граничная линия
1 / /X
и = .=- (линия /).
/2(1+Х2)
Область значений парамет-
ров деформаций р, и X, ле-
жащих выше линии 3, соот-
ветствует условию
область значений ц и А, зак-
люченная между линиями 1
и 3, соответствует условию
Рис. 105. Области возможных соот-
ношений параметров ц и X
> eit.
Вместе с тем, если за параметры деформаций принять X =
eip
и , где за ег-тах принимается большая из величин eit
max
или ?imax, то область возможных соотношений параметров ц и л
ограничивается линиями 1 и 3. В дальнейшем принято ц = z—-— •
ei max
В общем случае при деформировании совместным растяжени-
ем и изгибом сначала появляется одна область пластичности
вблизи кромки 1 или 2 (рис. 104), затем две области пластично-
сти, сливающиеся при дальнейшем деформировании, так что все
сечение оказывается пластичным. Однако этот третий этап не
всегда реализуется. Действительно, из уравнения (4.55) следует,
что ~ при равенстве нулю подкоренного выражения (ес-
ли деформация ец достаточно велика). В этом случае
[1 - н2(1 + X)2] [1 — н2(1 — А)2] = 0 (4.58)
169
и корень уравнения, соответствующий границе, где сплошное
1 ,
пластическое сечение не реализуется, равен ц = у—
при ^гтах-^00)* На рис. 105 это соответствует линии 2.
При р <; <ieZmax может быть выполнено ин-
]/ 1 + X2
тегрирование выражений для Фи, Фр и Фпр, результаты которого
в силу симметрии всех выражений могут быть использованы и
ДЛЯ условия 3i2 = Ci max-
при заданном соотношении параметров ц и X одна область
пластичности соответствует деформации
< 1
\ /max -|42p2(1 +X2)—! ’
две области пластичности — деформации
1- <___________2ц_____________.
/2ц2 (1 4- X2)— 1 ''тах V4ц4Х2 — [1 — ц2 (1 4- X2)]2 ’
область сплошной пластичности — деформации
ё. >___________________________________________
‘тах 4ц4Х2 — [1 — g2 (1 4- W ’
1 — GT
При линейном упрочнении ф =---------[-Gt и интегральные
ei
функции пластичности при одной области пластичности
_ 1— GT
= Gt Н----— (I + Лт\) +
| l~Gr In 2Ц^2р.24Ч1-ц2(1 4-А,2)]
2ge/max =2H_4s.2fi2n^ + [i_(i2(1+V)]
ei max
ф„ = Gt -I---—(1 + пл) + - ~T :
2 4 Ц 2/max
x [Л ЗП-И2(1 + ^)] \ /
x Ц 2P j “ 1Л -
3 [1 — H3 (1 +X2)] \ 1 ,
2p2 / max
1 / 3[l-p2(l+X2)]
ц \ 4ц2
x ln 2ц 4- 2P2 + Il ~ P2(l + X2)]
2u
=~^~ > 2р2т]Л + [1 - p2 (1 + X2)]
ei max 1
(4.59)
170
1 — GT 1 — GT (I i \
Ф«₽ = 4 (’’It. 1) + 2g2l- {О — ~
4 GL max l\ ei max/
x in 2g+2p + [i-p(i-m
2g
=-£- + 2g2n?i -I- [1 - g2 (1 + X2)]
ei max
1-р(1 + V)
2ц
При двух областях пластичности
1 — GT
Фр = Gt 4--—Oly, — Пт2) +
2ц
1 ]n е» max______________2
2Не,- max + 2g2t)^
ei max
+ [l-g2(l+X2)H___________2g + 2g2 + П - g2 (1 -I-%2)]__'
+ [l_g2 (1 +x2)] (2g /2g2 (1 +%2)-l - 2g2 + (1 - g2 (1 + X2)]
Ф« — Gt + (1 — Gt) (лК — rjT'J + -7- • —=—— X
4 Ц max
- "r_~’lr- +1 + w(i+v)-i +
ei max 2ц2
_l_ /1 _ 3 [l-p2(l +V)] \ / 3[1 - ц2(1 +X2)]2 _
2ц2 ) \ 4ц2
2ц
+ 2ц2Пг2 + [ 1 -(1 + V) И
— g2X2 ) — In -^2^------------------------ X
/g +2li2^+[1_(1 +X2)g2]
ei max
_________2g 4- 2g2 + 11 - И2 (1 + X2)]_ .
2g /2g2 (1 + X2) — 1 - 2g3 + [1 - g2 (1 4- X2)] ’
(4.60)
1 — K2g2(l + %2)— 1 —
ei max
1 - g2 (1 + X2) ln 2g 2g2 + [1 - g2 (1 + x2)]
2g 2g
=~2~+2g2i]r, + [1 — g2 (1 4-X2)]
ei max
2p
=-2— + 2g2,17.2+ [1 - g2 (1 + X2)] -i
ei max
2g /2g2 (1 + X2) — 1 — 2g2 4-[l — g2 (1 + V)] .
При области пластичности, охватывающей все сечение,
Фр = Gt + In .7... 2H+2g2-Ml-g2(l+X^---------
₽ 2ge,max 2g/2g2(l+X2)-l-2g2 + [l-g2(14X2)]
(4.61)
171
Ф" = 5г + Т i^-l1 + 3S'W)l W (> + V) - +
* г eimax I
+ 1-
3{l_fX2(l^X2)] \ / 3[1_ц2(1 +Х2Я
2ц2 ) \ 4g2
— нМ — х
/ Ц
х 1п__________2g -fr 2g2 -Ь [1 - и2 (1 +Х2)]
2ц V 2g2 (1 -к X2) — 1 — 2g2 4- [1 — g2 (1 -к %2)] J’
(4.62)
Фир = [(1 - ]/2g2 (1 +Л2)- 1)- 1-^0 4-А,2) х
ei max 2ц
х in 2g-к 2g2 4-[1-g2 (1-М-2)]__________________1 (4
2g /2g2 (1 +А2)— 1 — 2g2 + [l — g2(l +X2)] J‘ 1
Графики интегральных функций пластичности Фи, Фр и Фир
показаны на рис. 121 для ц = 0,5 и X = 1,2. На рис. 106 видно,
Рис. 106. Соотношения функций Фи; Фр и Фи?
при ц = 0,5 и % = 1,2
что значения функции Фпр существенно меньше значений функ-
ций Фп и Фр; это связано с тем, что функция <р при совместном
изгибе и растяжении пластинки близка к симметричной.
Если для практических расчетов положить Фир = 0 независи-
мо от деформации ег тах и параметров ц и X, то уравнения (4.49)
существенно упрощаются:
— о __ _ — 9 _ __
Nr = — (2егр + е0р) Фр; Х0 = 4 (2е0р + егр) Фр;
О о
--- 9 — — — 9 —
мг = 4 (2хг + х0) Ф„; Л40 = 4 (2х0 + ХГ) Фи.
О о
(4.64)
172
12 3k eLmax
Рис. 107. Значения функций Ф7г и Фр при GT — 0 для различных значе-
ний параметров р, и Z
173
Эти уравнения аналогичны уравнениям (4.4) и (4.27) для чи-
стого растяжения и чистого изгиба круговой пластинки и совме-
стно с уравнениями (4.3) и (4.23) могут быть преобразованы
в систему интегральных уравнений, аналогичных уравнениям
(4.10), (4.11) и (4-33), (4.34). Интегральные уравнения для де-
формаций изгиба хе и хг и деформаций растяжения cqp и егр
связаны между собой через значения интегральных функций Фи
и Фр.
Значения функций Ф« и Фр приведены на рис. 107 в зави-
симости от деформации ei max по параметрам ц и л для случая
идеальной пластичности (GT = 0). Для других значений модуля
линейного упрочнения Gt интегральные функции пластичности
могут быть получены из соотношений
1 —Фц = (1 —Gr)(l —ФУо)
и
1-Фр = (1-ёг)(1-ФРо)
по этим же графикам для одинаковых значений деформа-
ций max.
§ 2. ИЗГИБ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Уравнение равновесия цилиндрической оболочки (рис. 108)
при отсутствии осевой силы можно записать так:
^- + -^ + р = 0, (4.65)
ах* а
где а — радиус оболочки;
р — нормальное к поверхности давление.
Компоненты усилий, дейст-
Li AU Рис. 108. Схема элемента оболоч- ки вующих в такой оболочке, со- ставляют h, h 2 2 ТХ ~ j Ту = j ^yydy, h Ii 2* ~~ h h ~2 ~2 MX = J Gxxydy; My = J ayyydy. — Jl —Jl 2 2 (4.66)
174
На основе гипотез Кирхгофа-Лява для упруго-пластического
деформирования оболочек при ц = 0,5 можно записать в
относи-
тельных координатах
h
2ет
1
ет
/ d2W
ехх = е1 —-----•
хх 1 \ dx2
- W
еуу ~' а
^22 (^ХХ ^уу)у
отсюда, используя уравнения (1.5), получим
2 /о- - о d2W
°хх = ~г Ф 2е, + е2 — 2т] —-
3 \ dx2
— 2 /— —
о^ = ^-ф(е1 + 2е2-П-^г •
h
2е^
h
2ет
(4.67)
(4.68)
При Тх = О
2(?i + е2 — О,
(4.69)
и тогда
4 d2W h
®ХХ о Ф^1 j 2 О ’
3 dx2 2ет
- 2 . d2W h
Gyy = — 7Г Ф 3ei + П —— • -ттг
О \ С1Х“ j
Из уравнений (4.67) и выражений для усилий получим
'Т Ту
у GTh
W 1
ает 2
(4.70)
(4.71)
ТТ Мх
м* =-------—
х h2
(5Т
т 6
d2W
dx2
_з
2
(4.72)
ак как J cp'qd'q = 0 вследствие
четности функции <р при ц = 0,5.
h \ 4
2ет ) 3
Легко установить также, что Му =-у мх. Введя обозначения
Eh3 Eh
D =----(цилиндрическая жесткость при ц = 0,5) и К =-- ,
9 а2
можно записать уравнение равновесия оболочки (4.65):
— (D Ф J + WK®P = Р;
dx* \dx*u) р
(4.73)
175
в этом уравнении интегральные функции
1 1
фи= -|~ j ФЛ2^; фр = ~ j Ф^Т). (4.74)
— 1 --1
Относительные усилия выражаются через соответствующие
им деформации:
^ = -^РфР и < = (4-75)
Г - dW h
ГДе Ср ~ aer ’ е“mdx ~ dx- ' 2(’т '
Интегральные функции пластичности удобно выразить через
интенсивность деформаций, которая применительно к изгибу обо-
лочки имеет вид
е1 вхх + еххеУУ + еУУ' (4-76)
V
Подставив в это уравнение выражение для компонентов де-
формаций (4.67), получим
или
— / —2 4 “2
- - |/ Ср Л~ ~~ ша\Л •
(4.77)
(4.78)
Максимальная интенсивность деформаций при (т] = 1)
ei max ” шах . (4.79)
Интенсивность деформаций па нейтральной поверхности
(Л = 0)
=еР-
Заменив переменные
Л = -V1 • -1- (4-80)
еи max
и имея в виду, что
^nlax = ^P-/^max-^, (4.81)
176
получим выражения для интегральных функций пластичности:
(4.82)
При eio 1 первый интеграл следует считать^ равным нулю,
а интегрирование второго ведется в пределах от е/0 до егшах-
Рассмотрим интегрирование этих выражений для полигональ-
ной зависимости сч = ап + bnei. Для /г-го участка еп-\ < е <еп
12 Заказ 1099
177
В этих выражениях Ju и Jp— некоторые функции от ein^ x ;
eL ; eio для n-го участка; значения этих функций ясны из урав-
нений (4.89) и (4.84).
Используя эти функции, запишем выражение для функций
пластичности при изгибе оболочки:
при eio< 1
± 1
/ —2 \ 2
ф« = ~Ч---------------------------------- У (anJu + bnJu);
\ е- — е.) 4
\ ‘п,ах /о7 7-2 -2\2 п
Xеi max ci0J
V i _ ё2 1
Фр = — ___Ч—..................... У (ап^р + bnJр);
V~elmax~~el Кё/max-^ П
ф„ =-----?< V; + ьА
(7? -7?V "
V/max Lz0/
Фр 1 у (anJ'p + b,A
]Л2п1ах-ё2 ~
(4.86)
Поскольку функции Ju и Jp зависят лишь от ег- и ег-0 то, вычис-
лив их значения для различных деформаций, получим таблицы
этих функций, с помощью которых для экспериментально опре-
деленных ап и Ьп легко вычислять значения Фи и Фр. В табл. 42 и
43 приведены значения функций Ju и Jp для различных е; max для
интервалов деформаций вг = 1; 1,25; 1,5; 2; 3; 4; 5, там же даны
значения всех других величин, входящих в функции Фи и Фр.
В случае линеаризованной диаграммы деформирования для
всех участков диаграммы ап = 1 — GT и bn = GT. За начальное
значение ег- принимается еiQ (или 1), за конечное значение —
max- В соответствии с этим выражения для функций пластич-
ности Фи и Фр упрощаются и принимают вид:
при е io <1
Ф
3
0-П)2 .
3 "* _3_
r;2 — ?2V (е? -72V
max ci0J V* max
(4-87)
178
при е i9> 1
(4.88)
i‘2
179
При использовании данных табл. 42 и 43 удобнее записать эти
выражения в следующем виде:
з
[(l-G7-)SJ;,+GrS4];
з_
2
(е2
Xеi max
>2
I так ci0J
[(1 _Gr)S./P+CrSj;];
(4.89)
Ф„ =--------------- [(1 - От) + GrS/:];
ф„ » — ' [(1 - Gr)SJ„ +
Графики функций ФУ и Фр для модуля упрочнения GT = 0 по-
казаны па рис. 109. В табл. 15 в качестве примера приведены вы-
числения интегральных функций пластичности Фп и Фр для стали
Рис. 109. Значения функций фи и фр для случая изгиба оболочек при GT = 0
ЭИ 503 при полигональной аппроксимации диаграммы однократ-
ного деформирования (рис. НО).
Дифференциальное уравнение (4.73) является двучленным
уравнением четвертого порядка для прогиба и может быть сведе-
но к интегральному уравнению для прогиба последовательным
интегрированием [6].
В результате получим
jLrD(D
dx L U dx2 J
TCOpW-r + p(x)dx 4-
a a
d
dx
d2W
dx2 Jx-
180
при этом надо иметь в виду, что
d
dx
где Q— перерезывающая сила в сечении оболочки.
Изгибающий момент в сечении оболочки
d2W I
dx2 J
Рис. 110. Значения функций Фи и Фр для
(сталь ЭИ503)
полигонального упрочнения
отсюда
d1 2W
dx2
X Xi X Xi
-— f f K<VoWdxdx + —— f f p (x) dxdx —
a a a a
1 (‘ M (a )
— Q(ajdx-------------—
D*u ,1 4 V ОФ,,
(4.91)
181
Пример вычисления интегральных функций пластичности для изгиба оболочки
Таблица 15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
~ei Ф b j" п и anJ'u [3] -J- [4] S[5] п 3 [6] ф« b j" п р п р [9] + [10] 2 [И] п
3 ( е‘2 “ е2 ) 2 \ i max /0/
1,0 1,25 1,50 2,0 3,0 4,0 5,0 1 0,945 0,882 0,74 0,527 0,405 0,330 0 0,230 0,266 0,480 0,633 0,493 0,616 0 0,0727 0,167 0,753 3,2 5,1 6,75 0 0,3027 0,433 1,233 3,833 5,593 7,366 0 0,3027 0,736 1,969 5,802 11,39 18,76 0 0,466 0,652 0,738 0,645 0,535 0,450 1 0,379 0,995 0,865 0,682 0,551 0,458 0 1,185 0,140 0,155 0,100 0,040 0,030 0 0,058 0,088 0,248 0,520 0,420 0,336 0 0,243 0,228 0,403 0,620 0,460 0,366 0 0,243 0,471 0,874 1,494 1,954 2,320
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
[12] фр е, ь j" п и anJu Г 1 -1- S [18] bj'' п р anJ’p [21] + + [22] 2 [23] фр
]/* е? — е2 r i max i0 + [17 ']
0 0,195 0,314 0,437 0,497 0,489 0,464 0 0,995 0,981 0,937 0,830 0,739 0,664 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 0 0,239 0,508 0,446 0,576 0 0,364 2,55 4,63 6,46 0 0,603 3,058 5,076 7,036 0 0,603 3,661 8,737 15,773 0,882 0,784 0,626 0,514 0,435 0 0,409 0,128 0,044 0,032 0 0,686 0,666 0,467 0,351 0 1,095 0,794 0,511 0,383 0 1,095 1,889 2,400 2,783 0,882 0,730 0,725 0,648 0,585
а а а а
V V V V
а а а
V V V
•Ч х2
—$ j p(x)dxdxdx—
а а
V V
(4.92)
Интегральное уравнение для прогиба
X Xt Х2 Х3 X Х1 х2 х8
W = — j* J j* J KO>pWdxdxdxdx + у у - j* j* p(x)dxdxdxdx—
а а а а а а а а
v v v v v V м V
X Xt Х2 X xt
а а а а а
V V V V V
+ (——С dx + W (av).
\ ах / х—а <'
v а
)
(4.93)
Интегральное уравнение для прогиба W можно решить мето-
дом последовательных приближений, если заданы условия на
границах интервала интегрирования ab. В этом уравнении а,—
значение границы интервала, на котором задано соответствующее
граничное условие; av принимает значения av = а и av = b.
Если граничные условия заданы на обоих концах интерва-
ла ;[а&], то входящие в интегральное уравнение для прогиба по-
стоянные приходится в ряде случаев определять, пользуясь теми
из уравнений (4.90), (4.93), в которых задаются условия на обеих
границах интервала. Для оболочки со свободными концами, на-
пример, М(а) = 0; М(Ь) = 0; Q(a) = 0; Q(b) = 0. Интегрируя
дважды от а и затем дважды от &, получим
117=- И ik И+
+ (4Ч (%-«) +Г (а) (4.94)
\ dx / а
или, если обозначить первый член правой части через /Дх), а вто-
рой через /2(*), то
W = Л(х) + J2(х) + (-^\ (x-a) + W(a). (4.95)
\ ах ) а
183
Подставив полученное для прогиба выражение в уравнения
(4.90) и (4.91), для которых заданы граничные условия на обоих
концах интервала, и проинтегрировав во всем интервале, получим
ъ ь ь
f Д7, (х) Ф/х + J KJ2 (х) Ф/х + W (a) j ^Фpdx +
а а а
/ \ ь ь
+ ( —) (Шх-a)dx — (p(x)dx = 0;
\ dx J J
а а
b b b b b ь
J J (X) Ф/х2 + [ J KJ2 (х) Ф/х2 + w (a) J у^Ф/х2+
а а а а а а
A\V7 / \ Ь Ь Ь Ь
Н—J J /СФр (х — a) dx2 — j" р (х) dx2 = 0
а а а а
ИЛИ
Л1 + ^(а)В1=С1; Л2 + ^(а)В2 = С2. (4.97)
\ dx Ja \ dx ]а
Отсюда
I Л^
г (а) = ;
I М I
I ^2^2 I
I СХВГ I
( dw \ I С2В2 I
\ dx )а I -^1^1 I
I А%В2 I
(4.98)
(4.99)
Коэффициенты уравнений Ль Сь A2i В2, С2 вычисляются
в процессе интегрирования уравнения для прогиба.
Система уравнений (4.90) — (4.93) дает решение задачи об
упруго-пластическом деформировании оболочки. В этой системе
геометрические параметры оболочки характеризуются величииа-
Eh3 Eh
ми D —— и К ——. Уравнение (4.90) можно интегрировать
9 а2
при плавно меняющейся толщине оболочки /г, при этом D и К бу-
дут функциями длины оболочки; входящая в уравнение нагруз-
ка р(х) может иметь произвольный закон изменения с тем ог-
раничением, что функция нагрузки должна принимать на интер-
вале интегрирования конечное значение и иметь конечное число
разрывов первого рода. При известных значениях W и ----- по
dx2
формулам (4.67), (4.69) легко определить значения напряжений
Охх и буу в любом сечении оболочки.
184
В тех случаях, когда для ряда различных оболочек толщина
изменяется по одинаковым закономерностям, рационально вве-
сти относительную координату g = — , гдеь = I/ — . Толщина
оболочки выбирается для одного из сечений оболочки, например,
А = Лщах-
Для цилиндрической оболочки постоянной толщины L = const
и уравнения (4.93) принимают вид
£ £ Ы t I S I
v - - J Я f J Я
6 6 5 6 6 6
JJ *« J KL JJ 1. Л -1 J №
(4.100)
§ 3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ДИСКОВ И ОБОЛОЧЕК
Расчет цилиндрической оболочки. Рассмотрим упруго-пласти-
ческое деформирование бесконечной оболочки постоянной тол-
щины под действием сосредоточенной кольцевой силы. При этом
оказывается удобным проследить особенности сходимости про-
цесса последовательных приближений, так как здесь за счет рез-
кого изменения сил и моментов по длине сходимость процесса
ухудшается, а точность численного интегрирования падает, т. е.
случай нагружения является для расчета невыгодным. При ре-
шении предполагаем материал идеально пластичным, так как для
упругой оболочки сходимость процесса последовательных при-
ближений может быть доказана. В случае же идеальной пластич-
ности можно ожидать наихудшей сходимости приближений, по-
скольку функции Фи и Фр, определяющие нелинейность уравне-
ния, отличаются от 1 больше, чем в других возможных случаях
упрочнения.
Задача симметрична, поэтому рассмотрим половину оболочки
(0 < g < оо); кроме того, исключим из рассмотрения нулевую
точку, при этом удается упростить основное уравнение, так как
P(g) =0 при g > 0. Наличие сосредоточенной внешней силы
Р
при g = 0 учтем в граничных условиях, положив Q(0) =----— .
Таким образом, при g = 0 граничные условия Q = Q(0) и вслед-
/ dW\ а
ствие симметрии ----) —0.
\ /о
В бесконечной цилиндрической оболочке, нагруженной сосре-
доточенными силами, область упруго-пластических деформаций
ограничена, поэтому вместо интегрирования уравнения (4.93) на
всем интервале [0 оо] проводим его на интервале [0 £т], где
185
е-координата, соответствующая границе пластической обла-
сти; для упругой области используем готовое решение для обо-
лочки, нагруженной по краю (рис. 111) усилиями Q(5T) и мо-
ментами Л4(е)- При этом на границе областей должны быть
равны прогибы и углы поворота iF^(gT) и (----- и, кроме того,
\ )lT
еГт = 1,0.
При заданном усилии Р для решения задачи необходимо оты-
скать границу областей, что при численном интегрировании мож-
но сделать лишь методом подбора. Кро-
ме того, необходимо найти зависимость
внешнего усилия от прогиба в месте при-
ложения усилия, т. е. получить ряд значе-
ний усилий. Поэтому задаемся коорди-
натой и для нее отыскиваем значе-
ние Q, при этом отпадает надобность в
подборе по Q. При такой трактовке за-
дадим граничные условия следующим об-
V- A dW п . t
разом: при 5 = 0----- = 0; при 5 = ёт
W=W(£Ty, Q = Q^r); М = М(Ы с по-
следующим определением Q, М и W из
условий
S(fr)
М(?т)
M(h)
Рис. 111. Схема нагруже-
ния оболочки
Ц7(^)„л = «7(^пр;
Уравнение (4.100)
ях принимает вид
/ dw \ dW \ - . s e
\~1Г] = НН : е,.= 1приС = ^.
\ d£ / пл \ de, / ynp
для прогиба при таких граничных услови-
% 5.
(' (' dt&
Ф«
J J Ф„
UO
4 Mr)
KL ’ L
j* jj^ + r(^)
v°
(4.101)
и и
5г0 lTir
r6 I
LM
Связь между Q и М при 5 = 5т найдем из решения для упру-
гого полубесконечного цилиндра с нагрузкой Q и М на краю [78]:
w&) = - + (4Л02)
186
dW \
4? Л.
2М (1Т)
L
Из уравнения (4.102)
М£т) __
L ~
М(1Т\
Подставив значение —
получим
£ £ £ £
w = - 4 С f -J- f
£ в
-<1+МК
U0
(4.103)
—--------Q(&).
(4.104)
в уравнение (4.101) для прогиба,
-М
6 5
д_ 2W (^r) f [ + W &) (4.105)
м
— IT
Введем относительные координаты W = w/ • Здесь
и/
U?t(0) — прогиб в нулевом сечении при достижении в нем преде-
ла текучести Из известного решения для упругой бесконечной
оболочки
CIC'p dCj'
^(0) =------Qt=-^-KL,
откуда
Qt = — Wt (0) KL.
Тогда выражение для прогиба принимает вид
_ or
W = — 4 f f —f f cDpWdWld^, + 4 —
J J J .) Qt
iT0
rH
j' _
.Lu
-(l+^)j‘J^- +2№(!L) (4.Ю6)
j iro
Если теперь ввести координаты w = то окажется, что
исходное приближение отличается от решения лишь распределе-
нием перемещений, но не абсолютными значениями их, что
187
существенно упрощает вычисления. Интегральное уравнение для
прогиба w
w = —4
(* f f Г + _2М_ г с ж _
) J ф« J J •' ф«
6 5
JW+1-
U0
5 &
^0
(?(£г)
Постоянная —==—— получится из условия равенства на гра-
QtW &г)
еи « / dW \ / dw \
нице областей углов наклона поверхности: --------- или --------
\ кт \ d^ Кт
может быть определена из вы-
т
ражений (4.102) и (4.103):
(—) = — Г<2 (ет) + 2М (^г) 1 = — [Q ) — W (£г) KL —
\ OS, ) KL [ ’ L J KL v ' v
(4.107)
В упругой области
-2QO =-----^-2U7(^t)
ЛЬ
ИЛИ
dw \ __ 2Q(^)
d^ kT~
В пластической области при £ = составит
£ £
_*?L\ - — 4 f — (' f (bwdWZ + 4 —_
dt, hT фи J J P QTW
0
Q(Sr) Г
r^(er) J
0
(4.108)
•
1^7
(4.109)
J Л и
0
о
Приравняв уравнения (4.108) и (4.109), получим
lj. £ £
! I -- | I Ф pwd^d^dc,
J Фи J J
о ^,Т1Т
и
о
Q (?:?)
(4.110)
Г6Т
(• _м
.) ф«
uo
J
0
188
Для перехода от относительных координат к абсолютным не-
обходимо определить значение №(£т). Это можно сделать, если
использовать последнее из условий на границе областей ег(£т) =
= 1. Как установлено выше,
(4.1Н)
или, если иметь в виду, что №т(0) = —
и ет > 0, то
(4.112)
отсюда при £ =
(4.113)
(4.114)
Функции пластичности Фг4 и Фр определяются по величинам
деформаций в; и в/0.
При расчете в координатах w
при известных значениях w и ----.
Перепишем теперь уравнения, дающие решение задачи.
Прогиб
w — 4 1 ( —( f c^pWdid^d^dE, 4-------------=^-—
J J Ф« J J Р QTW (5г)
( f(l + ^)^ +2 1, (4.116)
J J J J
О J о
189
где
Q&r)
(4.U7)
Вторая производная прогиба
d-w
dt*
5 В
= — 4 — <&Dwdi<ft +
Ф„
^Эр
4Q(^)
Qrr (5Г)
5 — 5т — 1 2
-—---------h —. (4.118)
ф« Ф«
Эти уравнения вместе с уравнениями (4.115) и зависимостя-
ми Фп и Фр определяют относительный прогиб w (или W). Для
GT = 0 функции Фи и Фр определяются по рис. 109.
Прогиб связан с внутренними усилиями уравнениями (в отно-
сительных координатах) для момента
(4.119)
Здесь использовано условие W (£г) = —
(4.120)
2
И ОП-
ределения -----ОФи —- = — Q (х) и ОФ -----------= — М (х).
dx dx2 dx2
М
и---
мт
т-r d2W
При известных w и--------- значения SR и Я, а отсюда
d£2
и легко определяются. На рис. 112 показана зависимость
Ц/J.
Q(0) от №(0) для 6Г = 0.
190
Рассмотрим теперь процесс
сходимости последовательных
приближений при решении по-
лученного интегрального урав-
нения для прогиба при GT =
= 0 на примере числового ра-
счета для = 0,5 (табл. 25—
30).
В качестве исходного реше-
ния принимаем упругое, выра-
зив значения прогиба и его вто-
рой производной в относитель-
d2w
них координатах w и ----- .
d£,2
В табл. 16а даны вычисле-
ния в четвертом приближении в
случае простой итерации. Схо-
димость процесса оказывается
весьма медленной, и лишь чет-
вертое приближение может
быть признано удовлетвори-
тельным, так как перемещения
w в третьем и в четвертом при-
ближении различаются прибли-
зительно на 3%. Для улучше-
ния сходимости процесса вме-
сто простой итерации можно
воспользоваться подобной ите-
Рис. 112. Значения прогибов, пе-
ререзывающих сил и моментов
для простой и «улучшенной» по-
добных итераций:
1 — 1-е приближение; 2 — 2-е и 3-е
приближение улучшенное, 3 — 2-е при-
ближение; 4 — 4-е приближение; 5 —
3-е приближение улучшенное; 6 —
упругое решение
рацией [6] для w. В этом случае в n-м приближении, как следует
из выражения (4.116), можно записать
( С* С 1 С С 4Q(^r)
№ Г Г /1
— — (1 - 5г) —
u(n—l) J J п(л—1) _
Кроме того, для улучшения сходимости 'последовательных
приближений можно улучшить процесс последовательных отыс-
каний «параметров упругости», определив значение
Ф
и (л)
ф
(4.121)
а по нему и по ранее определенному значению прогиба wn по-
лучить окончательное значение Фи для n-го приближения.
191
Табл и'ц а 16а
_ 0(0) W)
Четвертое приближение W ($т ) = 1,97; -----= (0,548 + 0,430) • 1,97 = 1,93; — = 2,61
0(П W(T)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
t W2 3 (d2w\* 4 \ d-2/ 1 + — 4 +А 4 /d2w\2 \~d^4 / d2 w \ - I d^)tT e. i о % ‘% V
0 0,02 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,30 0,40 0,50 1,73 1,72 1,70 1,68 1,65 1,60 1,54 1,36 1,18 1,0 21,1 17,1 13,5 8,4 5,55 3,66 2,32 0,728 0,21 0,04 22 18,1 14,6 10,4 6,92 5,26 3,71 2,01 1,34 1,04 4,7 4,25 3,82 3,22 2,63 2,29 1,93 1,415 1,16 1,02 1,29 1,285 1,280 1,27 1,26 1,24 1,22 1,145 1,043 0,98 0,29 0,32 0,35 0,41 0,485 0,54 0,61 0,745 0,90 1,0 0,435 0,460 0,480 0,53 0,59 0,63 0,69 0,81 0,92 1,0 0,572 0,602 0,627 0,686 0,758 0,796 0,856 0,945 1,0 1,0
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
— 1 О2 - j[10]W [И] dt 10* £ f [14] dt 10* h 2 фи [14] [13] 102 [15]d£10* £ J [15]^ 102 0 -[17] dt, 10* £ - j [17] (% IO2
1,174 1,229 2,625 2,890 3,110 3,305 9,00 9,73 10,0 43,04 41,88 40,66 38,035 35,14 32,03 28,73 19,73 10,0 0 84,93 82,54 157,5 146,5 134,5 121,5 242 148,5 50 11,67 10,830 10,005 8,430 6,965 5,620 4,405 1,985 0,500 0 6,9 6,25 5,72 4,88 4,13 3,71 3,28 2,68 2,22 2,00 80,5 67,8 59 41,2 28,8 20,85 14,45 5,32 1,11 0 148,3 126,8 200,4 140 99,3 70,6 98,8 32,1 5,55 0 1,483 2,751 4,755 6,155 7,148 7,854 8,842 9,161 9,216 1,483 4,234 15,05 21,81 26,6 30,0 83,5 90 91,8 3,745 3,730 3,688 3,537 3,219 2,950 2,653 1,848 0,918 0
13 Заказ (099
Продолжение табл. 16а
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
-2 [19] 108 — 102 фи 1 [21] 102 0 -[?2]d; 104 E ~ f [23] 102 0 1 -f- [24] 2 102 E Ф и 1102 % E f [27]102 0 - [28] dj 10*
7,490 7,460 7,376 7,074 6,438 5,906 5,306 3,636 1,836 0 13,5 12,13 21,5 18,02 15,7 14,0 29,8 24,5 21,1 0 13,15 25,28 46,78 64,8 80,5 94,5 124,3 148,8 169,9 13,5 38,42 144,1 231,5 290,5 350 109,5 1365 1595 51,22 51,09 50,71 49,27 46,96 44,05 40,55 29,60 15,95 0 38,4 38,2 38 36,9 35,2 33 30,4 22,2 11,97 0 0 0,062 0,114 0,195 0,247 0,297 0,328 0,403 0,445 0,500 0,062 0,176 0,618 0,884 1,089 1,250 3,66 4,24 4,725 0 0,062 0,239 0,857 1,741 2,830 4,080 7,740 11,98 16,705 0,062 0,301 2,195 5,190 9,15 13,82 59,2 98,7 143,5
30 3 1 32 33 34 35 36 37 38 39
£ — f [29]1 О2 IT ([30]—[25]) 1 0- 4 [31] 10s 4 [31] [33] w — [13] фи -4[33] фи d2w dtf эд
3,322 3,321 3,318 3,296 3,244 3,152 3,014 2,422 1,435 0 35,08 34,9 34,7 33,6 32,0 29,85 27,3 19,8 10,53 0 140,3 139,5 138,7 134,5 128 119,5 109 79,2 42,1 0 CO II O' 1^ O’ 0,770 0,765 0,760 0,736 0,700 0,655 0,598 0,435 0,231 0 1,333 1,330 1,327 1,314 1,290 1,274 1,245 1,175 1,089 1,000 1,61 1,356 1,18 182,4 0,576 0,417 1,289 0,106 0,022 0 11,33 10,1 9,14 7,58 6,23 5,44 4,67 3,72 2,68 2,19 6,04 5,21 2,46 3,524 12,676 2,147 1,68 0,966 0,452 0,19 1,75 1,67 1,61 1,445 1,30 1,16 1,025 0,72 0,43 0,194
Таблица 166
Qa VV (0)
= (0,434 + 0,542) • 1,975 = 1,93; —— = 2,62
^у' ГГ у’
Третье приближение (улучшенное) W (£т) = 1,975;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
в W2 l+±m2 4 ) e i Ф и dV [3] [4] '4< */0
т( d‘w\ d?)
1 4. 3 !d*w V 4
0 0,02 0,04 0,08 0,12 0, 16 0,20 0,30 0,40 0,50 1,785 1,78 1 ,78 1 ,75 1,72 1,63 1 ,56 1,37 1,18 1.0 24 18,4 14,95 9,0 5,7 3,61 2,18 0,685 0,19 0,029 23,8 18,65 15,45 9,9 6,59 4,92 3,51 2.075 1,44 1.0 4,87 4,32 3,94 3, 15 2,565 2,22 1 , 875 1,47 1,2 1,0 1,320 1,320 1,315 1,305 1,295 1 , 260 1,23 1 , 15 0,070 0,985 0,285 0,315 0,335 0,41 0,485 0,545 0,625 0,755 0,875 1.0 6,15 5,35 4,78 3,54 2,7 2,14 1,65 0,948 0,495 0. 195 28,4 21,4 17,1 9,38 5,47 3,42 2,04 0,674 0,184 0,029 29,3 22,5 18.35 10.8 7.00 5,9 3,50 1 , 99 1,32 1.0 5,42 4,75 4,28 3,29 2,65 2,22 1 ,87 0,410 1 , 15 1,0 1 ,320 1 ,320 1,315 1,305 1,295 1 ,26 1,23 1,15 1,070 0,985
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Ф и Ф Р фр1£, 10» [15]-^ 10a [17] d\ 10* £ ( [17]^ lT 102 2 Ф и [20] [19] 10» [21]d\ 10* £ J [2 1]^ 0 102 - [23] d\ 10*
0,26 0,29 0,315 0,395 0,470 0,545 0,625 0,77 0,89 1 ,о 0,41 0,44 0,46 0,53 0,58 0,66 0,70 0,81 0,92 1,0 0,548 0,588 0,613 0,701 0,762 0,811 0,875 0,948 1 , о 1,0 1,136 1,201 2,630 2,925 3,204 3,43 9,11 9,74 10 43,406 42.270 41,069 38,439 35,514 32,31 28,85 19,74 10,0 0 85,676 83,339 159 148 135,7 122,4 2,43 148,7 50 11,758 10,901 10,068 8,478 6,998 5,641 4,417 1,987 0,50 0 7,7 6,9 6,35 5,07 4,26 3,67 3,2 2,6 2,25 2,0 90,5 75,3 64 42,9 29,8 20,7 14, 1 5,17 1,125 0 165,8 139,3 213.8 145,5 101 69,5 96,5 31.4 5.62 0 1 , 658 3,051 5,189 6,644 7 654 8,349 9,314 9,628 9,684 1,658 4,709 16,5 23,65 28,60 32,0 88,2 94,7 96.6
Продолжение табл. 166
195'
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
t £
[23] Ч' -2 j [23] dl [20] 10* j [20]di IO1 0 - [28] dl. 10‘ - f [28] 10* V Е ф и [31]^ Ю2 % [ [31]Л 10’ б - [33] di 10* -[[ззт
1 О2 Ю2 1 1 О2
3 86 7 7,734 14.6 0 52.94 0 0,069 0 0,069 3,304
3,850 7,700 13,25 14,6 14,6 52.79 0,069 0, 196 0,069 0,334 3.304
3,803 7.606 22,85 27,85 42.45 52.37 0,127 0,660 0,265 2,350 3,30 1
3.638 7,276 18,65 50,70 157, 1 50,8 0,203 0,916 0,925 5,530 3,278
3,401 6 802 15,85 69,35 240 48,40 0,255 1 , 100 1,841 9,56 3,223
3,115 6,230 13,75 85,20 309 45,31 0 294 1,23 2,941 14,2 3,127
2,795 5 590 29,0 98.95 368 41 .63 0.320 3,55 4,171 59,4 2 985
1.913 3,826 27,25 127,95 1135 30.28 0.390 4,20 7,721 98. 1 2.391
0.996 1 ,932 21.25 152,20 1400 16,28 0,450 4,75 11,921 147 1.41
0 0 173.45 162,8 0 0.500 16,371 0
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
1 +U - 4 [39] X
[30] <[353—[36]) 4г,71102 •* 2 10а 4 [3 / J 11И 1 О2 [37] • [39] 1 О2 W — [19] ф и 1 X 1 [8]—— Ж Q QT 1
39,7 36 4 14 5, 6 0,789 1 . 337 1,81 12,5 6,61 1 , 72 1,93
39,6 36,3 145 . 2 ю 0.786 1 ,335 1 ,506 11,05 5.656 1 ,65 1 , 905
39,2 36 144 0,780 1 ,332 1 ,28 10.05 4,98 1 . 58 1,881
38, 1 34,8 139 . 0,755 1 , 320 0,858 7,8 3,588 1 4 2 1 ,83
36,3 33. 1 132. • 4 0,714 1 , 308 0,596 6,38 2,716 1 . 285 1 , 78
34,0 30.9 123 . । 6 _ 0.670 1 , 279 0,414 5,34 2,084 1 04 1 , 708
31,2 2 8.2 112. 8 0,610 1,250 0,282 4,51 1 . 592 0.995 1 . 64
22,7 20,4 8 1,| 6 i-T' 0,442 1,177 0,1034 3,38 0,886 0,685 1 ,46
12,2 10,8 43 ( 2 0,234 1 , 09 0,0225 2,68 0.455 0,405 1 . 267
0 0 0 О’ 0 1 .0 0,0 2,175 0, 17 0,175 1 .07
CO
СП
Третье приближение
Таблица 17
1 9 3 4 5 6 7 8 9 10 11
р 8ё е2 егЕе [2] + [3]- -[4] 2 . , ^[5] 1 3 Ф Ф 1 2 P ф8е 1 2 P [9]с/г f W\pdr
1,0 1,2 1,4 1,8 2,2 2,6 3,6 4,6 1,000 0,590 0,389 0,205 0,128 0,087 0,0396 0,0202 0,250 0,090 0,0361 0,0071 0,00303 0,0016 0,003 0,00505 0,500 0,231 0,1185 0,0382 0,0197 0,0118 0,0109 0,750 0,449 0,3065 0,174 0,111 0,0768 0,0317 1 0,774 0,638 0,481 0,384 0,320 0,206 0,142 1,000 1,291 1,568 2,080 2,600 3,120 4,850 7,04 1,000 1,180 1,325 1,550 1,752 1,932 2,570 3,28 1,000 0,907 0,826 0,703 0,628 0,570 0,511 0,466 0,1907 0,1733 0,3058 0,2662 0,2396 0,5405 0,4885 0,1907 0,3640 0,6698 0,9360 1,1756 1,7161 2,2046
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
— 0,4 (О2Яо X & f 5 \ Ч [И] -[12] 0,75 1 2 - р ф [13] • [14] 8е 2 8 Г s c|7Wr 1 -[19] 8е 8е 2
0,0787 0,0655 0,1711 0,307 0,4920 1,171 2,205 0,000 0,162 0,299 0,4987 0,629 0,6836 0,545 0,000 0,750 0,530 0,405 0,268 0,194 0,149 0,0817 0,086 0,121 0,134 0,122 0,102 0,0445 0,500 0,385 0,312 0,226 0,179 0,148 0,100 0,071 0,500 0,199 0,191 0,092 0,057 0,046 0,055 0,071 0,0799 0,0490 0,0566 0,0298 0,0206 0,0501 0,063 0,0799 0,1289 0,1855 0,2153 0,2359 0,2860 0,349 1,000 0,9201 0,871 0,8145 0,7847 0,7641 0,714 0,651 1,000 0,769 0,622 0,452 0,356 0,294 0,198 0,142 0,500 0,299 0,190 0,092 0,056 0,045 0,054 0,071
В табл. 166 приведены вычисления в третьем приближении для
подобной итерации с улучшением значений ~7“и
На рис. 112 даны значения w, -Д-и U7(gT) для различных при-
s'г
ближений при простой итерации (четвертое приближение) и
улучшенной подобной итерации.
Следует отметить, что аналогичная задача решалась методом
упругих решений [29], причем для случая идеальной пластично-
сти разница в прогибах между вторым и третьим приближением
составляла 5%.
Рис. 113. Распределение напряжений в диске:
а — при различных последовательных приближениях (обозначены цифрами),
б — при различных скоростях вращения
Расчет плоского вращающегося диска. Рассмотрим расчет це-
ликом пластичного диска для случая идеальной пластичности
(Gr = 0) при р = 4,6 и при отсутствии контурных нагрузок
(ов0'= 0 и оД1 = 0). Ход вычислений для третьего приближения
дан в табл. 17. В качестве исходного приближения принято уп-
ругое распределение деформации. На рис. 113, а показано рас-
пределение напряжений в исходном и последующих приближе-
ниях. Сходимость приближения для наиболее неблагоприятного
случая идеальной пластичности оказывается хорошей.
На рис. 113, б показано распределение напряжений в диске
при различных скоростях вращения.
Глава V
ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
ПРИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ
Распределение напряжений и деформаций в зонах концентра-
ции при упруго-пластическом деформировании представляет су-
щественный интерес, поскольку несущая способность деталей ча-
сто определяется прочностью в этих зонах.
Решение такого рода задач связано с существенными труд-
ностями, и точных решений получено в настоящее время весьма
мало. В работе (48] на основе метода упругих решений дан ана-
лиз напряженного состояния в полосе с отверстием при действии
осевой силы; решение задачи об упруго-пластическом деформи-
ровании при сдвиге в области острой выточки содержится в ра-
боте [78]; некоторые результаты для полосы с отверстием при
сдвиге приведены в работе [33]. Дальнейший прогресс в получе-
нии точных решений задач концентрации в упруго-пластической
области-при наличии упрочнения может быть достигнут, по-видп-
мому, только средствами вычислительной математики, и в на-
стоящее время этот прогресс уже намечается [11].
Следует отметить работы Нейбера [98] по концентрации на-
пряжений в остром надрезе при сдвиге, предложившего и для
других случаев концентрации напряжений формулу а(У = ykoks,
где цст— коэффициент концентрации напряжений в упругом слу-
чае, k(j и k£ — коэффициенты концентрации напряжений и дефор-
маций при упруго-пластическом деформировании.
Трудности точного решения привели к появлению ряда работ,
в которых делались попытки путем того или иного допущения о
характере распределения деформаций, заменяющего условия сов-
местности, получить решение задачи о концентрации в упруго-
пластической области, пригодное для инженерных расчетов.
Приближенное решение для полосы с отверстием при растя-
жении по схеме, предложенной для упругого случая С. П. Тимо-
шенко [73], было получено в ряде работ [73, 76]. По этой схеме
из полосы вырезают кольцо, внешний радиус которого равен шес«
ти-семи радиусам отверстия, и ио внешнему контуру кольца
в направлении действия силы прикладывают равномерно распре-
198
кольцевым надрезом при условии
Рис. 114. Расчетная схема полосы
с отверстием
деленную по проекции нагрузку. Схема нагружения показана на
рис. 114. Кольцо можно рассматривать как статически-неопреде-
лимую систему, и задача решается с учетом кривизны оси упру-
го-пластического стержня по формулам гл. III. При этом опреде-
ляется только осевая составляющая напряжений. При полиго-
нальном упрочнении, например, для получения функций пластич-
ности следует использовать данные табл. 20, 21.
Приближенное решение для случая растяжения цилиндри-
ческого стержня с глубоким
идеальной пластичности бы-
ло предложено Г. В. Ужи-
ком [75], который предпола-
гал, что осевая составляю-
щая деформации, отнесен-
ная к величине составляю-
щей на контуре надреза, в
процессе пластического де-
формирования не меняется.
Этот метод был усовершен-
ствован в работе [27].
Существенные результа-
ты для приближенных реше-
ний в пластической области
были получены в работах
А. Н. Грубина [16, 17], касающихся цилиндрических стержней с
кольцевьим надрезом, полос с надрезом при растяжении и полос
с выступами при передаче усилий через выступ.
Большинство из рассмотренных приближенных решений осно-
вано на гипотезах, не имеющих полного теоретического обосно-
вания и непосредственно не проверенных экспериментом; в боль-
шинстве случаев не проверялись также и результаты решений.
Следует отметить, что все приближенные решения относятся к
наиболее напряженному сечению и не дают поля напряжений и
деформаций в окрестности источника концентрации.
Приближенное решение задачи о концентрации напряжений
следует основывать на допущениях, вытекающих из эксперимен-
тально установленных 'положений; конечно, такое решение будет
справедливым лишь в определенном диапазоне параметров кон-
центратора. С другой стороны, стремление к высокой точности
вычислений при таких допущениях не является оправданным, и
более важным представляется получение наиболее простого для
вычислений решения.
В общем случае концентрации напряжений при объемном на-
пряженном состоянии экспериментальное исследование деформа-
ций по сечению детали при упруго-пластическом деформировании
в настоящее время неосуществимо. Поэтому для исследования
концентрации напряжений приходится использовать плоские ме-
199
таллические модели с напряженным состоянием, близких к двух-
осному. При этом желательно применять методы измерения де-
формации, позволяющие изучить поле деформаций при весьма
малой базе измерения, так как градиенты деформаций в зонах
концентрации могут быть большими. Такими методами являют^
ся метод оптически активных прозрачных покрытий и метод му-
аровых полос. Первый метод наиболее эффективен при сравни-
тельно небольших'пластических деформациях (до 3%), второй —
при значительных пластических деформациях (от 5% и выше).
Далее рассматриваются главным образом результаты изме-
рений деформаций методом оптически активных покрытий и в со-
ответствии с этим дается краткое изложение методики и аппара-
туры, применяемых при исследовании [9].
Сущность метода прозрачных оптически чувствительных по-
крытий состоит в том, что слой оптически активного материала,
монолитно закрепленный на детали, деформируясь вместе с ее
поверхностью, становится двулучепреломляющим. При прохож-
дении поляризованного света через слой и отражении его от по-
верхности детали возникает интерференционная разность хода,
пропорциональная разности главных деформаций. Так как при
монолитном соединении тонкого слоя с поверхностью детали
главные деформации в нем близки к главным деформациям на
поверхности детали, то измерения интерференционной разно-
сти хода дают возможность определить разность главных дефор-
маций в точках поверхности детали. Относительная разность хо-
да б световых лучей, получающаяся после двукратного прохож-
дения света через покрытие, по закону фотоупругости связана с
напряжениями в слое зависимостью
6 = 2tjt — о2)сл>
где tCJl — толщина слоя;
Z
k—-------оптический коэффициент напряжения для материала
ао
слоя;
А — длина волны применяемого света;
Оо — оптическая постоянная материала по напряжению для
толщины в 1 см.
Так как в слое создается плоское напряженное состояние
(оз = 0), то можно выразить разность главных напряжений
в слое при его упругой деформации через разность главных де-
формаций:
(а1 аг)сл —-
Есл (е1 еъ)сл
1 Рсл
Тогда разность хода лучей
6 = 2tCAk
Есл (е1 — ^а)сл
1 + №сл
200
Введя оптическую постоянную по деформации материала слоя
получим основную зависимость
(<?х — е2)„ = (в! — ё2)дет = ,
где т — порядок полосы интерференции.
Таким образом, для определения разности главных деформа-
ций в слое и в точках поверхности детали необходимо знать ве-
личину оптической чувствительности по деформации материала
слоя. Эту величину обычно определяют при растяжении плоского
гладкого образца (пластинки) из исследуемого материала с оп-
тически чувствительным слоем, нанесенным тем же способом, что
и на детали. По полученной разности ei — е2 и измеренным вели-
чинам т и t находят постоянную материала слоя:
_ (е, — e2)t
е0 — .
т
При этом деформацию измеряют, как правило, тензометрами
Гугенбергера или Мартенса. Тогда ei — е2 = (1 + ц) при упру-
гой деформации и — е2 = 1,5 ех при пластической.
Величины относительных деформаций, до которых наблюдает-
ся пропорциональность между 'разностью хода и деформацией
в слое, для большинства оптически чувствительных материалов
лежат в пределах 2—3%, что соответствует деформациям, нахо-
дящимся за пределами упругости конструкционных материалов.
В качестве оптически активного покрытия использовали ма-
териал ЭД5-М, плоскую пластинку из которого наклеивали на
предварительно зачищенную шкуркой и обезжиренную поверх-
ность металлического образца, нагретого до температуры 50° С.
Картину полос исследовали с помощью V-образного отражатель-
ного полярископа [53], а относительную разность хода с точ-
ностью до 0,02 полосы измеряли с помощью микроскопного отра-
жательного полярископа.
Для оценки влияния толщины слоя на точность измерения де-
формаций в зонах концентрации напряжений расчетные напря-
жения в наименьшем сечении полосы с отверстием сопоставля-
лись с экспериментальными данными, полученными методом оп-
тически активных покрытий. Для упругого случая на рис. 115
сплошной линией нанесено точное решение для полосы с отвер-
стием. Экспериментальные данные, полученные при разной тол-
щине наклейки (0,5 мм, 1 мм, 2 мм), как видно из рисунка, хо-
рошо согласуются с точным решением.
При деформировании за пределами упругости основного ма-
териала сравнивались максимальные деформации, измеренные
201
при различной толщине слоев. Для этого на образцы одинаковой
формы и размеров из сплава В-96 наклеивали оптически актив-
ные покрытия толщиной 0,6; 1,2 и 2,4 мм. Затем при некоторых
уровнях нагрузки с помощью микроскопа ОПМ измеряли поря-
док полосы в зоне максимального напряжения и сравнивали
значения деформаций при одинаковой нагрузке, полученные для
покрытий различной толщины. Было установлено, что с увели-
чением толщины покрытия получаются заниженные значения
Рис. 115. Сравнения точного решения
с экспериментом для полосы с от-
верстием
Рис. 116. Экстраполяция
толщины наклеек на нуле-
вую толщину:
1 — надрез р = 1 мм, 2 — по-
лоса с отверстием
деформаций. Это связано с особенностью передачи усилия с
образца на слой и наиболее резко проявляется при больших гра-
диентах напряжений. Значения относительной разности хода
строили в зависимости от толщины и экстраполировали па нуле-
вую толщину. Допустимую толщину наклейки для различных
концентраторов определяли исходя из погрешности в определе-
нии порядка полосы интерференции, составляющей 10% (отно-
сительно значения экстраполированного на нулевую толщину).
На рис. 116 приведены данные для полосы с надрезом радиусом
р = 1 мм и для полосы с отверстием. Для полосы с отверстием
использовались наклейки толщиной 1 мм, для полос с надрезом
радиусом р = 3 мм и выше — толщиной 0,75 мм, для меньших
значений р — толщиной 0,5 мм.
На рис. 117 показаны картины полос при упруго-пластичес-
ком деформировании стержня с отверстием и с надрезом радиу-
сом р = 3,0 мм из алюминиевого сплава В-96.
Основным недостатком метода оптически активных покрытий
является сложность разделения главных деформаций и напря-
жений. С помощью метода муаровых полос такое разделение мо-
жет быть осуществлено достаточно просто [104].
202
Экспериментальное исследование напряженного и деформи-
рованного состояний в зонах концентрации позволяет предло-
жить приближенную кинематическую гипотезу, заменяющую
Рис. 117. Картины полос при упруго-пластическо/л дефор-
мировании сплава В-96:
а — отверстие, о — надрез р = 3,0 мм
уравнения совместности деформаций и существенно упрощаю-
щую решения [35].
В качестве приближенной гипотезы для деформаций можно
принять предположение о том, что закон распределения интеп-
203
сивности деформаций и разности главных деформаций ei — е2
не зависит от характера деформирования, и в зоне концентрации
отношения
£1 —
И
- = НЛ)
\е1 е2/тах
е i — Г
(5.1)
ei max '
при упруго-пластическом реформировании сохраняются такими
же, как и при упругом деформировании, независимо от упроч-
нения материала. Здесь g— координата точки наименьшего се-
чения, отнесенная к характерному размеру этого сечения: тах и
(е, — е2) max — максимальные значения интенсивности деформа-
ции и разности наибольшей ei и наименьшей е2 главных дефор-
маций в зоне концентрации напряжений.
Из принятого допущения следует также, что распределение
отношений главных напряжений-^- по наименьшему сечению не
ai
зависит от степени пластического деформирования, т. е. это от-
ношение принимается таким же, как и в упругом случае. Дейст-
вительно, за пределом упругости связь между разностью главных
напряжений н разностью главных деформаций может быть запи-
сана в следующем виде (см. гл. И):
2 о/ ч
С1 ~ (C?l e2b
6 ei
Если иметь в виду формулу (5.1), то можно использовать
уравнение (5.2) для определения отношения —- (при плоском
напряженном состоянии):
\2 2 — ц (О <т2 1 j = 0
/ 1 —Ц(У
2
. Здесь при допущениях (5.1) отношение
А (£) J
= ф (£) зависит только от координаты g.
На рис. 118 приведены данные, полученные при эксперимен-
тальной проверке допущений (5.1) за пределом упругости мето-
дом оптически активных покрытий. Сплошной линией обозначены
результаты расчета для упругого случая, экспериментальные точ-
ки (черные) относятся к различным значениям деформации (до
2%), светлые точки — к деформированию в пределах упругости.
На рис. 118 видно, что в зоне концентрации допущение о неиз-
менности закона распределения относительных величин разности
главных деформаций по наименьшему сечению подтверждается с
204
(5.2)
где П(£) =Д_Ш.
<4
достаточной точностью; вне зон концентрации при малых значе-
ниях разности деформаций, точки, соответствующие различным
деформациям, также ложатся достаточно близко, хотя расчетные
Рис. 119.
Значения интенсивностей де-
ei
-------, разности
р.
i max
—• е2
Рис. 118. Распределение относи-
тельной разности главных дефор-
маций при упруго-пластическом
деформировании плоских алюми-
ниевых образцов:
, а . „
формаций
главных де-
полоса с надрезом
1.8;
формаций
функций %
2 — полоса с отверстием;
а
с надрезом ------
Р
3 — полосы
= 3,6
е2)П1ах
и за пределом упругости
с отверстием по данным расчета и экс-
для полосы
перимента
Обработка результатов [93] исследования напряженного и де-
формированного состояний при растяжении полосы с отверстием
за пределом упругости методом муаровых полос с разделением
составляющих деформаций показала, что при изменении макси-
мальных деформаций от 0,5 до 10% распределение относитель-
ных величин разности главных деформаций и интенсивности де-
формации в зоне концентрации (рис. 119) существенно не ме-
няется.
Вместе с тем вне зоны концентрации расхождение существен-
но выше и, кроме того, экспериментальные данные для упругого
случая отличаются от расчетных также и в зоне концентрации.
Видимо, точность метода муаровых полос при малых деформа-
циях оказывается недостаточной, что подтверждается и сравне-
нием данных на рис. 118 и 119 для полосы с отверстием.
205
Преобразуем уравнение связи разности главных напряжений
и деформаций (5.2) применительно к допущениям о деформа-
ции (5.1).
В случае полигональной аппроксимации кривой однократного’
нагружения за пределом упругости и при коэффициенте Пуассо-
на ц = 0,5 уравнение (5.2) запишется так:
~ ~___ап "h ~ е1 2 (с} е2) max .
и1 и2 — Z Ч max ~Z " ‘ q ~ ,
^2)max max
здесь an и bn — коэффициенты полигональной аппроксимации
кривой деформирования щ = ап + Ьпе^. Преобразовав, получим
о 1 = \ап —!-----------------1- bnei maxl —— k, (5.3)
1 L" J i-v(S)
где ф (£) = ; k = — . (ei J-ga) max.
3 e[ max
На основе указанных выше допущений и уравнений равнове-
сия в интегральной форме для стержня при растяжении или из-
гибе
N — J G±dF и Л4 у c^ydF
(5.4)
можно получить приближенное решение задачи о концентрации
[ci — осевое напряжение, определяемое выражением (5.3)].
При растяжении тонкой полосы осуществляется плоское на-
пряженное состояние, в этом случае k = 1 (при коэффициенте
Пуассона jx = 0,5), и после преобразований первое из уравне-
ний (5.4) будет иметь вид
—— ei max +
1—(p(U J
(5.5)
здесь N = -77---осевая сила, отнесенная к силе, соответствую-
/V у
щей достижению в зоне концентрации предела текучести; —
коэффициент концентрации напряжений в предположении упру-
гости материала; gn, £n-i— координаты сечения, соответствую-
щие границам n-го участка полигональной аппроксимации;
&—координата границы зоны пластичности. Эти величи-
ны определяются при заданной максимальной деформации на
контуре Gi шах И ИЗВеСТНОЙ функции fl (£).
206
Поскольку функции /(£), fi(£) и cp(g) определяются упругим
С f (£)
решением задачи, величины интегралов ф(£) = \и
.) 1 —ф(£)
о
dt
------- также определяются упругим решением.
1 — ф (У
J I.R)
0
На рис. 120, а приведены значения перечисленных функций
для растяжения полосы с отверстием, полученные из решения
Роуланда [61], а на рис. 120, б — г — значения этих функций для
полосы с надрезом по Нейберу [45] при различных— = 1,8;
Р
3,6; 6,4.
Аналогичное выражение может быть получено и для изгиба
полосы при наличии концентрации напряжений:
£ ____________
0 п ^п-1
^4 J Ш
м =
f (5) Ж 1-
< bi max
1 — Ф (г.) J
(5.6)
1 - Ф (U
п
Для полосы с надрезом также используется решение Нейбе-
ра [45] для изгиба в пределах упругости. Значения функций f(g)
£ £
fiG): <р(£); Ш = f и Х(е) = С
J 1 —Ф(5) J М£)
о о
надреза— = 3,6 приведены на рис. 120, д.
При объемном напряженном состоянии экспериментальная
проверка допущений о деформациях представляет существенные
трудности. Если предположить справедливость уравнений (5.1)
и в этом случае, то выражения для усилий в зависимости от мак-
симальной деформации в зоне концентрации получаются анало-
гично выражениям для плоского напряженного состояния.
Например, для цилиндрического стержня с надрезом
растяжении
%л—1
.. для
1 -ФК)
•при
# -
((Ж
J
о п
, VI „ Г
1 -
, ,гх bi max
1 — фЮ J
J Л(Ш1-Ф(Ш’
1
(5-7)
207
___________fi®,*((,),№) 'P(i)
\ Iftte)
0,2 O,tt 0,6 0,k £ 0,2 0,4 0,6 0,8 £
Рис. 120. Значения функций % (1), ф (2), ф (3), интенсивностей
а — полоса с отверстием (растяжение); б — полоса с надрезом = 1,8 (растяжение);
Р
а
ние), д — полоса с надрезом ---= 3,6 (изгиб);
Р
208
2. tg __g \ ci
здесь k = — • -^3—— зависит от параметра надреза “.На
р Р
max
рис. 120, е приведены значения функций f(g); fi(g); ср(£); ф(£) и
%(g) для цилиндрического стержня с надрезом— при растя-
жении.
Структура уравнений связи усилий и деформаций в пласти-
ческой области при концентрации напряжений может быть выра-
жена следующим образом (аналогично для случая изгиба):
N = аот | [ip (5т) 4- 2 (S) — 1 (£)]] е,- тах +
п
+ 2^[b(£)-Xn-ia)]}; (5.8)
п
здесь т — коэффициент, зависящий от параметра надреза и ви-
да нагружения. Из этого уравнения для заданного усилия можно
определить максимальную интенсивность деформаций в; max, по
в — полоса с надрезом ------- 3,6 (растяжение); г — полоса с надрезом ----= 6,4 (растяже-
Р Р
а
е — цилиндрический стержень с надрезом------ = 6,4 (растяжение)
Р
14 Заказ 1099 2 09
ней — интенсивность напряжений Огтах и составляющие напря-
жений и деформаций.
Точность решения, полученного из уравнения (5.8), опреде-
ляется справедливостью допущений, 'положенных в основу ре-
шения, и влиянием этих допущений на величину функций ip(g)
и %(g), определяющих связь усилий и максимальных дефор-
маций.
На рис. 119 сопоставлены результаты теоретического вычи-
сления функций ф(£) и %(g), полученные в предположении со-
хранения такого же распределения деформаций, как и в упругом
случае (сплошные линии), и экспериментальные данные с уче-
том перераспределения в пластической области [93]. Здесь же
сопоставлены значения /(g) и /i(g). На рис. 119 видно, что рас-
четные значения ф (g) и %(g) мало отличаются от эксперимен-
тальных даже при пластической области, охватывающей все се-
чение; отличие расчетных значений /(g) и /1(g) от эксперимен-
тальных с ростом пластических деформаций возрастает. Данные
рис. 119 и результаты расчетов для полосы с отверстием пока-
зывают, что максимальные значения интенсивностей напряжений
и деформаций определяются весьма точно; ошибка в вычислении
компонентов напряжений и деформаций, особенно вне зоны кон-
центрации, может быть существенной.
Для линейного упрочнения с модулем GTX уравнение (5.8)
упрощается:
Д', = аот {[4> (&) + Gn [1р (1) — ф (5г)]] ё, тах +
+ (1-Сг1)(х(1)-х(5г)]}. (5.9)
При одинаковой деформации ег’тах и модуле упрочнения GT2
усилие можно выразить через уравнение (5.9):
N2 =N1+(GT2-GTi) (hHl)-Ф(5г)]е/тах-lx(l)-х(^)]}. (5.10)
Таким образом, при линейном упрочнении достаточно знать
решение для какого-либо модуля упрочнения, чтобы получить
решение для любого его значения.
Для целиком пластичного сечения, т. е. для развитых пла-
стических деформаций ф(£т) = х(£т) = 0 и уравнение (5.9)
упрощается:
= а0/п[0гпрё/тах + (1 —Gn)x(l)]. (5.11)
В упругой области
(5-12)
Nупр &onTtyei max,
210
Таблица 18
Вычисления зависимости усилий от максимальной деформации для случая растяжения полосы с отверстием
ei max еп ^п. ФЙ) Ф — Ф п п—1 х (£) Ьп (фя- -ф ,) п— г ап - -Хп-1> Усилие
5 1 0,4 0,04 1,065 0,065 0,0016 0,068 N = 2,5 (0,0293 • 5 + 1,012) = 2,9
3 0,95 0,36 0,052 1,000 0,100 0,0031 0,099 [2ЗДЛ-= 0,0293;
е: 2 0,85 0,308 0,308 0,900 0,900 0,0246 0,845 2«л(%л-%л-1) = 1.012]
1,5 — 0 0
1,25 1 — — —
3 1 0,4 0,030 1,065 0,040 0,0018 0,038 N = 2,5 (0,0575 • 3 + 0,905) = 2,69
2 0,966 0,370 0,030 1,025 0,050 0,0024 0,047 %,_!)= 0,0575;
3 1,5 0,920 0,340 0,025 0,975 0,055 0,0030 0,048 905]
1,25 0,866 0,315 0,315 0,920 0,920 0,0503 0,772
1 0 0 0
2,5 1 0,40 0,020 1,065 0,025 0,0012 0,0248 N = 1,5(0,332-2,51 +0,147) = 2,44
2 0,98 0,38 0,022 1,040 0,035 0,0018 0,029 [26„(ip„- ^0=0,3325;
2,5 1,5 0,95 0,358 0,018 1,005 0,035 0,0021 0,0308 (Xa—Xn-i) =0,1474]
1,25 0,92 0,34 0,015 0,970 0,070 0,0024 0,0587
1 0,85 0,325 0,325 0,900 — 0,325 —
0 0 0 0
Эти уравнения дают возможность записать выражения для
деформаций и напряжений при модуле упрочнения GT2, если из-
вестно решение для модуля GTi, при одинаковых значениях
усилий:
- ^72—@Т\ 1 “ 1 @Т2 @Т\ ~
max2 Z ' "ZZ ynp\ ~ ~ maxi,
1—GT2 ^T2 zr
(5.13)
- _ !— GT2 - I ^T2~^T\ -
U/max2 _ maxi Г _ ®iynp-
1 — GT\ 1 — GTl
Эти выражения совпадают с полученными в гл. VI уравне-
ниями и могут быть использованы с теми же ограничениями.
Рис. 121. Зависимость силы W от мак- Рис. 122. Вычисленные и экспе-
симальной деформации для полосы риментальные значения разно-
с отверстием сти главных деформаций
Если принять, что выражения (5.13) справедливы не только для
целиком пластичного сечения, но и во всем диапазоне деформа-
ций, и положить, что на контуре в зоне концентрации интенсив-
ности напряжений и деформаций близки к значениям осевых
компонентов, то можно записать приближенную формулу для
коэффициентов концентрации деформаций и напряжений:
здесь аа=ае — коэффициент концентрации напряжений (де-
формаций) в упругом случае, индексы 1 и 2 соответствуют вели-
чинам коэффициентов концентрации для модулей Gri и GT2-
212
Под коэффициентом концентрации деформаций понимается
отношение максимальной осевой деформации к деформации, со-
ответствующей номинальным напряжениям.
Рассмотрим в качестве примера решение задачи о концен-
трации в полосе с отверстием, материал — алюминиевый сплав
В-96, параметры полигонального упрочнения приведены в
габл. 21. Задаемся рядом значений е^тах и для них, пользуясь
рис. 120, а для значений еп и еп_х определяем функции /(g) и
ф(£) и по формуле (5.5) вычисляем значения силы N. Вычисле-
ния для значений е* max = 2,5; 3 и 5 сведены в табл. 18. На осно-
вании этих вычислений на рис. 121 'построена зависимость силы
N от максимальной деформации и даны значения силы, полу-
ченные из эксперимента; соответствие оказывается хорошим. На
рис. 122 показано экспериментальное и расчетное распределение
разности главных деформаций; на рисунке видно, что даже при
распространении зоны пластичности на все сечение соответствие
оказывается хорошим.
а -------- и
Глава VI
ПРИБЛИЖЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ
ОДНОКРАТНОГО И ЦИКЛИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ПРИ ЛИНЕЙНОМ УПРОЧНЕНИИ
§ 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ
ОДНОКРАТНОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Для линейного упрочнения при достаточно больших дефор-
мациях, когда пластическая область в сечении существенно
больше упругой и усилие определяется в основном напряжения-
ми в этой области, для рассмотренного в гл. Ill, IV класса задач
связь между усилиями и деформациями в сечении асимптотиче-
ски стремится к линейной. Для модуля линейного упрочнения
GT = 0 при этом асимптотически достигается предельная на-
грузка Qnp, соответствующая переходу сечения в целиком пла-
стическое состояние, а для других значений модуля GT усилие
в сечении, соответствующее достижению характерной деформа-
ции е (рис. 123),
Q — (1 — Gt) Qnp + Gre; (6.1)
из этого уравнения вытекает выражение для деформаций е2 и
усилий Q2 при модуле GT = GT2, определяемых по деформаци-
ям и усилиям прд модуле GT\\
Q2 = Qx '~°Г2 _ 2-T.gn Gj-Ге, + вГ2ё2; (6.2)
1 — ^7’2 1 @Т\
это выражение дает значение усилия для модуля GT2 при извест-
ном решении для модуля GTi, если предположить, что_деформа-
ция е2 (цля Gtz) задана. При равенстве деформаций = е2
+ . (6.з)
1 — 1 — Gpj
214
Выражение (6.2) также дает значения деформаций для мо-
дуля Gt2, если предположить, что усилие Q2 задано, и если из-
вестно соотношение между усилием и деформацией для модуля
упрочнения GTb
При равенстве усилий Qi = Q2
—----h ei----—
справедливы для
пластическая область охватывает
(6-4)
СГ2
предельного слу-
усилий от
характерных дефор-
маций
г, = q,
1
Выражения (6.3) и (6.4)
чая деформирования, когда
все сечение. Предполагается, что эти ,
выражения могут быть использова-
ны в качестве интерполяционных при
любой (в том числе малой) степени
пластического деформирования и да-
ют соотношения между усилиями и
деформациями в сечении для любо-
го модуля линейного упрочнения, ес-
ли известно это соотношение для не-
которого модуля.
В этих выражениях рассматри-
вается усилие в сечении и соот-
ветствующая ему характерная де-
формация, которые связаны между
собой через интегральные функции
пластичности; для совместного изги-
бами ^растяжения, например, М =
== Финишах) N == Фр£р (СМ. ГЛ. III),
— 2 ~
для изгиба пластинок Мг = Фи—(2ermax , - и
3 3
х(2е0
max + ег
max )> —Ф#,- тах (см. гл. IV) и т. д. Рассмотрим
свойства интегральных функций пластичности при линейном уп-
рочнении с тем, чтобы оценить возможность перехода от пре-
дельных соотношений (6.2) к соотношениям при любой степени
пластического деформирования.
Функция пластичности в точке при линейном упрочнении с
модулем Gti (см. гл. I)
— 2
-г max + £0 max); Mq — Фа“Т" X
1 - GTt -7^
Ф1 = —----------F Gti •
е.
(6.5)
При одном и том же значении деформации функция пластич-
ности ф2 при модуле Gt2 определяется через функцию фь
1 — GT9
Ф2 = 1---------£1(1-^). (6.6)
1 — °Т1
215
Имея в виду, что интегральные функции пластичности Ф, как
это следует из гл. Ill, IV, связаны с функцией ф выражениями
типа
Ф — k j фТ]2б/г| или Ф = k j фту/т],
можно записать уравнение, аналогичное уравнению (6.6):
ф2=1------Lzl£Z2_(1 — ф1); (6.7)
1 — GTX
при этом нужно заметить, что Ф = 1 при ф = 1.
Уравнение (6.7) справедливо при условии, что при одинако-
вых значениях характерных деформаций границы пластической
области не зависят от модуля линейного упрочнения. Это урав-
нение можно непосредственно проверить по данным гл. Ill, IV.
Так как для GT2 и GT\ при одинаковых деформациях = е2 уси-
лия в сечении Q2 = Фг^1 и Qi = Ф^ь то из уравнения (6.7) мож-
но получить выражение (6.3)
q2 = в1 + Q, ,
1 — 1 — G^i
которое, следовательно, справедливо не только для предельного
случая, но и для любого значения деформаций при соблюдении
условий справедливости уравнения (6.7).
Соотношения (6.3) и (6.4) можно записать в форме комби-
нации решения упругой и упруго-пластической задачи
(6.8)
1 — G^i 1 — G^x
&2 упр — — (6.9)
1 — ^Т\ QТ2 1 — ^Т\ @Т2
в предположении, что тело деформируется упруго усилием
Qynp ~ £упр- "
Следует еще раз подчеркнуть, что соотношения (6.3) и (6.8)
справедливы, когда при переходе к другому модулю упрочнения
сохраняются постоянными все составляющие деформаций, а со-
отношения (6.4) и (6.9) — когда сохраняются постоянными все
составляющие усилий. Например, для совместного действия из-
гиба и растяжения выражение (6.8) можно использовать для
одинаковых ентах (или ер) и х = —ер— , а выражение (6.9) —
еи птах
для одинаковых М (или N) и Z = ---; для изгиба пластинок
М
216
выражение (6.8) —для одинаковых et max (или ermax и еетах) и
выражение (6.9)—для одинаковых Mt=l^ М? — MrMQ + Me
(или Mr и Me) и т. д.
Уравнения (6.8) и (6.9) дают выражения для остаточных де-
формаций:
в предположении равенства характерных деформаций
1 йГ2
^Пл2 _ ^пл!
1 ~ GTl
и в предположении равенства усилий
— 1 ^т\ —
^пл2 ~ Z ’ ~ ^пл1 •
1 GTi GT2
(6.10)
(6.11)
Уравнение (6.9) можно использовать для приближенного оп-
ределения напряжений, подставив его в выражение для напря-
жения (при линейном упрочнении GT2) 02 = (1 — GT2) + GT2e2.
Напряжение при усилии Q, соответствующее характерной де-
формации при модуле GT2,
= + (6 12)
1 — (jpj 1 — (jpl
определяется через напряжение ai при упруго-пластическом де-
формировании с модулем Gn и напряжение оупр при упругом
деформировании.
Рассмотренные выше соотношения для усилий и деформаций
используются в качестве приближенных формул для определе-
ния нагрузок и перемещений, так как предельные соотношения
(6.3) и (6.4) справедливы и в этом случае.
Для статически определимых задач, когда нагрузки и усилия
в сечении пропорциональны, формула (6.4) для перемещений
принимает вид
Д2=^_£Т221£7Ч_ + (6.13)
1 1 —^Т\ ^Т\
это выражение по сравнению с точным решением дает завышен-
ные значения нагрузок и заниженные значения перемещений.
При использовании выражения (6.3) для определения зави-
симости нагрузок от перемещений можно записать выражение
Qi = Q,-LJkL + A, 5^-°п (6 14)
1 — GT} 1 — GT}
217
В этом случае, как показывают вычисления, по сравнению с
точным решением значения нагрузок оказываются заниженны-
ми, а перемещения (при одинаковых нагрузках) —завышенны-
ми, при этом погрешность может составлять до 10%. На рис. 124
приведено точное решение для изгиба балки на двух опорах си-
лой, приложенной посредине для GT2 = 0,2. Это решение сопо-
ставлено с приближенными зависимостями (6.13) и (6.14)^ вы-
численными для того же значения GT2 по решению для GT\ —
= 0,1. На рис. 124 видно, что приближенные решения ограничи-
вают точное сверху и снизу.
ных решений с точным при изгибе женных решений с точным для
балки диска
Для статически неопределимых задач упруго-пластического де-
формирования внешние нагрузки и усилия в сечении не пропор-
циональны, поэтому погрешность при пользовании формулой
(6.14) может оказаться больше, если пластическая деформация
достаточно развита. На рис. 125 сопоставлены зависимости на-
грузок в дискете отверстием (пропорциональных квадрату угло-
вой скорости) от перемещений на внутреннем контуре, получен-
ные по формулам (6.13) и (6.14), с зависимостями, полученными
в результате решения интегральных уравнений диска (см.
гл. IV). Погрешность оказывается небольшой, причем формула
(6.13) дает завышенные, а формула (6.14) заниженные значения
нагрузок при одинаковом перемещении.
Приближенные зависимости нагрузок (усилий) от перемеще-
ний (деформаций), характерных для данной задачи, вытекают из
некоторых предельных соотношений, свойственных жестко-упроч-
няющимся телам и распространенных на случай упруго-пласти-
ческого деформирования при линейном упрочнении. Эти зависи-
218
мости, учитывая принятые кинематические гипотезы, позволяют
получить приближенное решение для модуля упрочнения GT2 на
основе упругого и упруго-пластического (для модуля GTi) ре-
шений.
§ 2. КИНЕТИКА НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ
Выше были рассмотрены решения упруго-пластических задач
об однократном деформировании стержней, пластин и оболочек,
а также приближенная оценка концентрации напряжений. Эти
задачи решались применительно к линейной и полигональной
аппроксимации диаграмм однократного деформирования.
Как показано в фундаментальной работе В. В. Москвитина
[43], при циклическом деформировании могут быть использова-
ны уравнения теории малых упруго-пластических деформаций
(2.4) для случая простого или близкого к простому нагружения.
В случае циклического деформирования в пределах одного
полуцикла кривая циклического деформирования, как показано
в гл. I, также может быть аппроксимирована линейным или по-
лигональным упрочнением.
Функции пластичности в этом случае составляют:
при полигональной аппроксимации
= +
8*
8 у*
при линейной аппроксимации
,«=
8*
а по структуре аналогичны функциям пластичности при одно-
кратном деформировании.
Следовательно, для определения напряженного и деформи-
рованного состояния в пределах одного /г-го полуцикла могут
быть использованы методы решения для однократного деформи-
рования, изложенные в гл. Ill, IV.
Напряжения и деформации, возникающие после &-го полу-
цикла, получаются суммированием совокупности напряжений и
деформаций в k полуциклах в общем случае асимметричного на-
гружения по формулам
?4> = о,0' + 2р,(4’(-1)4,
k—\
^>=ё<0) + 22е’16)(-1Л
*=i
(6.15)
219
Таким образом, получив решения задачи о напряженном и
деформированном состоянии в каждом из k полуциклов и про-
суммировав их по формулам (6.15), получим решение задачи
для циклического упруго-пластического деформирования.
Этот путь является весьма громоздким, хотя в ряде случаев
достаточно ограничиться определением напряжений и деформа-
ций лишь в некоторых полуциклах, не вычисляя величин
и
С другой стороны, как отмечалось в гл. I, диаграмма цикли-
ческого деформирования выражается через диаграмму одно-
кратного деформирования, и это обстоятельство указывает на
возможность решения задачи при циклическом нагружении на
основе решения при однократном.
Воспользуемся приближенными соотношениями, полученны-
ми в предыдущем параграфе для линейного упрочнения, имея в
виду, что при циклическом деформировании в k-м полуцикле
диаграмма деформирования для асимметричного цикла (см. § 4,
гл. I) записывается следующим образом:
= 1 — q (k) + q (k)
здесь
Из соотношения (6.8) вытекает выражение для усилия при
циклическом деформировании:
Q*{k} _ 1 __ q (fc) ~(0) q (k) — GT ~ .
* - ^ynpf
QT \ — GT 1—GT
(6.16)
Q* Qp
здесь -V =
QT 2-
— приведенное усилие при циклическом дефор-
мировании до значения деформации -Д—; Q<0)— усилие при одно-
Е р
— 8*
кратном деформировании до значения деформации =— ;
• 8 р
Qynp — усилие в предположении упругого деформирования до де-
формации коэффициент приведения р = 1 + % —.
1 — г
Аналогичное выражение записывается и для заданных пере-
мещений, в результате чего можно найти зависимость усилий от
перемещений.
220
Выражение (6.16) получено в предположении равенства де-
формаций (перемещений) в каждом полуцикле; в случае жест-
кого нагружения они непосредственно используются для опреде-
ления изменения усилий по числу циклов при постоянной дефор-
мации или перемещении.
Соотношение (6.16) позволяет получить зависимости усилий
от деформаций по параметру числа полуциклов и для случая
мягкого нагружения, т. е. постоянства приведенных усилий, гра-
8*
фически определить величины деформаций —— в каждом полу-
8^
S*
цикле, а по ним — величины напряжений-^-. Такой способ оп-
Sr
ределения деформаций и напряжений при мягком нагружении
является достаточно трудоемким, особенно при определении на-
пряжений и деформаций и е^.
Рассмотрим в связи с этим приближенное соотношение (6.9),
из которого вытекает выражение для деформации при цикличе-
Q* 75(0)
ском мягком нагружении, т. е. при —— = Qnp.
Qt
8* -пр — , -(0) 1— q(k) GT
— — Vynp _ “i £np • -
ег (1 — GT)q(k) 1— GT
(6.17)
Следует иметь в виду, что = Q*p = -у-, т. е. в нулевом
полуцикле нагружение как бы ведется до уровня приведенного
усилия Qnp = Qap, и, таким образом, е(п°р — деформация в нуле-
вом полуцикле от приведенного усилия Q(°pj; епУпР —деформация
от приведенного усилия в предположении упругого дефор-
мирования.
В соответствии с этим уравнение (6.17) может быть преобра-
1
cF(k)
+ —Z—P
2GT
для нечетных полуциклов
зовано / при q (k) = -
1
р(°) __ рпр
.* епр 1 иупр 1
Ч — ----------—----
1 — GT
I с
I упр>
2
(6.18)
для четных полуциклов
ДО) _
* __ епр2 еупр2
02 — ---------L----
1 — GT
(k) -
2 । ca упр-
(6.19)
221
Из уравнения (6.17) напряжения в й-м полуцикле
S* q(k) — GT -пр ( l-q(k)-W.
—“ — ~ ®упр i Z Qnp,
Sr 1 — GT \—GT
здесь напряжения в нулевом полуцикле и в предположении упру-
гого деформирования определяются для приведенного усилия
Qnp = QaP-
Амплитуда напряжений в й-м полуцикле
с* _ 1—Q(^) ° пр °упр |
. -f иа р,
1—GT Р
где ва упр — напряжение от амплитудного значения усилия в
предположении упругого деформирования. _
pcF (k)/2GT
Имея в виду, что 1—q(k) = -------------, можно запи-
1 + pcF (k)/2GT
сать амплитуду напряжений:
в нечетных полуциклах
. cj (k)/2GT ' ” , C1F (fe) 1 + - P 2GT o(0) — a n nPl <^Р' + Ъаупр- (6.20) 1 j— G'p
в четных шолуцикл ax . c2F (fe)/2Gr 02 = 2GT ^-°°»n’p* + 'aynp. (6.21) 1 — GT
Для симметричного цикла и в случае % = 0 (упрочняющийся
материал) коэффициенты приведения р = 1 и амплитуда напря-
жений
cF(k}!2GT а(0)—а
S* =-------.------------------^aynp + Qa (6.22)
' 1 +- cF (k)/2Gr 1 — GT
При нагружении детали усилиями, амплитуда и среднее зна-
чение которых остаются в процессе нагружения постоянными,
коэффициент асимметрии г изменяется от цикла к циклу. Это
может быть учтено путем вычисления коэффициента р в каждом
полуцикле, однако значительное изменение коэффициента асим-
метрии г может иметь место лишь в первых нескольких циклах,
поэтому коэффициент приведения р меняется слабо, и можно
полагать его в первом приближении постоянным, тем более, что
при постоянном соотношении минимального и максимального
усилий изменение коэффициента R также незначительно.
222
Напряжения и деформации после завершения &-го полуцикла
определяются по уравнениям (6.15), если просуммировать полу-
ченные выше выражения для деформаций и напряжений в каж-
дом полуцикле.
После преобразований получим величину деформации
7<о) п
FW-
\—GT
7(0) — п
----npi---^PLC1^ F{2n+ 1) + ёарпр(—1)*. (6.23)
1 GT п=0
Здесь приведенные деформации епр и еУпР соответствуют
приведенным напряжениям с коэффициентом приведения для
нечетных и р2 для четных полуциклов. Деформация еаупр соот-
ветствует амплитуде напряжений в предположении упругого де-
формирования.
Для случая F(k) = exp 0(& — 1)
[ 7(0) _
ё(й) = ё<°> - ~еа упр + с2 ехр р -
\ — G'р
ДО) _ ~рпр
пр! еупр\ с
\—GT 1
ехр р/г—1
ехр 2р— 1
(6.24)
4" еа упр ( 0 •
Для упрочняющихся материалов (р = 1) при F(k) =
^ = (ё(0)-й0)) + (й0)-гарпр) 1 +
А Z(k, а)1 +
1 — GT
+ (6-25)
где k(k, а) = ---функция, рассмотренная в § 4 гл. I.
4й k
График функции g(£, а) приведен на рис. 47, а ее значения даны
в табл. 56.
При симметричном цикле нагружения эти выражения упро-
щаются:
= (?°> - еупр) Г1 + I (k, а)1 + (- 1)*ёупр;
1 --------------------- I
= (ё<°>_ё )Г1 + . ехрУ-1 1 +
\ 1 1_GT ехр р 1
+ (— 1)кёупр (при с, = с2 = с).
(6.26)
223
Из уравнений (6.20), (6.21) и (6.15) напряжение после &-го
полуцикла
М _ Л(°) ~ I ° а упр Рг
и u иа упр _
1 Gj’
2а2 yi 1
р2 а2 + 1//7(2п)
п— 1
д(0) __гг п
илр1 иаупрР\
\—GT
п
— V-----------5-----------н оа упр (— 1)*; (6.27)
Pi Д1+ 1/Г(2л+1) vnpy )’ \
п—0
здесь, помимо использованных ранее обозначений, принято
п С1Р1 . п С2р2
1*1 — ---— , С*2 — —
2Gr 2GT
Для случая F(k) = exp р(6 — 1) и Ci #= с2
?в - 5'"’ - 5. „„ + х, (Л, р, 0) -
1 — GT Pi
а<0) _ п п о
ъ(Мл)-%л/>НЛ (6-28)
1 — GT Pi
Здесь функции z, (k, 0, а) = V 1 и х2 (k, р, а) =
ехр[-Р(й—1)1+0,
2/г-Н
VI 1
= —[~P(fe—1)]+" ‘ пРедставляют с°бои суммы выражении
2п
-------------и четных (х2) значениях числа при нечетных (xj
eXp[-p(fe-l)]+o V 27 И
полуциклов. В этих выражениях £ > 0 (разупрочняющийся ма-
териал) и при больших /г, начиная с некоторого значения k*, при
котором ехр[—£(&— 1)] <§; а,
x, = xi(**, р, «) + ^—х2 = х2р, а) + —- . (6.29)
^2
Значения функций xi и х2 приведены в табл. 44—55 для р =
= 0,025; 0,05; 0,1 и 0,15 и а = 5; 10; 15. В зависимости от вели-
чин а и р k = 40 ч- 100; при большем числе полуциклов функ-
ции xi и х2 определяются из выражений (6.29).
Для случая, когда
Cl = с2, ai = а2 и %(k, р, а) = V —.
^ехр [—P(fe—1)]+а
значения функции х даны в табл. 44—55.
224
Для упрочняющихся материалов (р = 1) при F(k) = на-
пряжение
2а ,, Д
----2— т] (k, а, а) +
1 — GT
+ (- 1)ЧиР; (й-зо)
k
здесь функцию ц(&, а, a) = можно вычислить заранее
^a + k-
для заданных параметров а и а = -4- при различном числе
2GT
полуциклов. Графики функций т](&, а, а) для а = 5; 10 и 15 по-
казаны на рис. 126. При а > 0 сумма ряда сводится к функции
т](а, а) и для целых значений а может быть приближенно вы-
числена из уравнения
т] (а, а) = (----1 In 2 — 1) Л а---,
\ а 4- 1 / а -р 1
где g(a, 1) определяется по рис. 47 для а = k и а = 1.
На рис. 127 показаны графики предельной функции для раз-
с
личных значении а = —— .
2GT
Значения функций т](а, a, k) для различных а при а = 5; 10
и 15 даны в табл. 57—59.
Для симметричного цикла нагрузок (р = 1)
= (-(0) _ Cynp)h -^-Г] (k, а, а)1 + оупр (— if;
I 1 ---- 6т
+ <w(— о4с1 = с2 = с).
(6.31)
Оценим кинетику изменения напряженного и деформирован-
ного состояний на простейшем примере симметричного цикла.
Приращение напряжений
cF (k)
2G7
1 + cF (U)/2GT _
(6.32)
Разность напряжений (ваупр— o(0)) зависит от того, на-
сколько напряжения в упругом случае отличаются от напряже-
ний при однократном упруго-пластическом деформировании той
же силой. Если рассматривать два различных случая концен-
15 Заказ 1099 225
трации напряжений, то отношение приращений напряжений при
одинаковых значениях параметров циклического деформирова-
-0,25 0 0,25 0,5 0,75 оС ~0tZ5 0 0,25 0,5 0,75 oL
Рис. 126. Графики функций а),
для а = 5; 10 и 15
где экспериментально установлено,
ния не зависит от числа цик-
лов и исходного уровня
деформации (напряжения) ?
т. е. имеет место условие по-
добия приращений напряже-
ний
<?*(&)_й(°) Л(0)
(6.33)
Отношение (6.33) опреде-
ляется только изменением
напряжения при переходе от
упругого к упруго-пластиче-
скому деформированию. Это
подтверждается работой [34],
что приращение напряжений
не зависит от исходного уровня напряжений от числа циклов.
Изменение деформаций в зависимости от числа циклов опре-
деляется выражениями (6.26). Как видно из этих выражений..
226
для симметричного цикла также соблюдается условие подобия
приращений деформаций
ё<2Л> — ё<°>
~р 70)
еУПР1 — е _
еупр2 )
(6.34)
Для упрочняющихся материалов характерно увеличение на-
пряжений по мере роста числа циклов; в этом случае, если при-
1
1 — GT '
1
--- _ q -----
GT a-
a S* ~ при
1
1 — (% ’
нять F(k) = to
S*(*)-5(°) _ j
^ynp— tf(0) a+ka
При k = 1 (в первом полуцикле)
это отношение близко к нулю, так как
с 1 а
а = -тг~ имеет порядок и -------- X
26т " ' '
X-L-
1 — GT
большом k это отношение стремится к
единице, и, следовательно, амплитуда
напряжений S* с увеличением числа
циклов стремится к амплитуде напря-
жений в предположении упругого де-
формирования. Изменение деформа-
ций для упрочняющихся материалов
:(*) _ ДО) с
Рис. 127. Графики предель-
ных функций т](а, а)
е — ?°>
“упр
в соответствии со свойствами функций
£(&, а) носит выраженный затухающий характер, и после
100 циклов нагружения деформации изменяются незначительно.
Для разупрочняющихся материалов, если принять F(k) =
= ехрр(&—1), приращение напряжений определится из соот-
ношения
— а<°> = j__________а__________1 .
вупр _ 5(0) а + ехр [-р (k-1)] 1-5/
при k = 1 это отношение близко к нулю и S* близко к ц(°), с уве-
личением числа циклов это отношение стремится к величине
GT
------— и амплитуда напряжений, уменьшаясь, стремится к ве-
1—GT
личине
1 — GT
15»
227
Приращение деформаций
--eW ~e(0> = —С^ХР g ~ (exp р k—1)
e(0)-w (exp 20-1)(1— Gt) H1
с ростом числа циклов для разупрочняющихся материалов резко
увеличивается в соответствии со свойствами экспоненциальной
функции, и через 50—100 циклов деформация может в десятки
раз превышать первоначальную.
По выражениям (6.20) и (6.18) для амплитуд напряжений и
деформаций приближенно определяются коэффициенты кон-
центрации напряжений и деформации в некотором 6-м полу-
цикле:
tZjy
cF (k)
Ы,"’ -а,„р) + а,„.
[2GT + cF (k) р] (1 — GT)
cF (fe) -(a(0) _ > a
2Gr(l-Gr)
(6.35)
(6.36)
здесь напряжения отнесены к амплитудным значениям номи-
нальных напряжений, а деформации — к значениям деформа-
ций, соответствующих этим напряжениям. Таким образом, коэф-
фициенты концентрации напряжений и деформаций и
Рис. 128. Перераспределение напря-
жений в полосе с отверстием:
/ — однократное нагружение, 2 — N = 10,
3 — N = 100, 4 — М = 1000 ; 5 — упру-
гое деформирование
в 6-м полуцикле определяются
коэффициентами концентрации
(0) (0)
«а и ае при однократном
упруго-пластическом деформи-
ровании и коэффициентами
концентрации аупр в предполо-
жении упругого деформирова-
ния.
Рассмотрим в качестве при-
мера кинетику напряженного
состояния при наличии кон-
центрации напряжений (поло-
са с отверстием и надрезами)
для симметричного цикла на-
гружения. Материал — цикли-
чески упрочняющийся алюми-
ниевый сплав В-96, модуль
упрочнения GT = 0,04, пара-
метры циклического деформи-
рования с = 1,4, а = 0,4, коэф-
фициент приведения р = 1.
228
На рис. 128 показано перераспределение напряжений в поло-
се с отверстием при Qa = 2,75. Напряжения при исходном нагру-
жении вычислены по методике гл. V, напряжения для различных
чисел циклов — по формуле (6.22).
Рис. 129. Изменение коэффициентов концентрации напряжений
и деформаций в полосе с надрезом:
а ' а
а — ---1,8, б — -----= 6,4
Р Р
Рис. 130. Рост напряжений по числу циклов:
1 — жесткое нагружение; 2 — надрез —— ~ 6,4; 3 — надрез —
Р
=» 3,6, 4 — мягкое нагружение
На рис. 129 показано изменение коэффициентов концентра-
ции напряжений и деформаций в зависимости от числа циклов
для полосы с надрезом при — = 1,8 п —= 6,4 при различных
229
уровнях исходного нагружения. Характерно, что коэффициент
концентрации деформации ае быстро достигает значения аупр, в
то время как коэффициент концентрации напряжений остается
значительно ниже аупр-
На рис. 130 приведены значения напряжений на контуре над-
резов— = 6,4 и 3,6 и при жестком нагружении в зависимо-
Р Р
сти от числа циклов, вычисленные по формулам (6.22). Там же
даны значения напряжений, полученные методом оптически ак-
тивных покрытий; соответствие оказывается хорошим.
Глава VII
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ДЕТАЛЕЙ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ
И ПОВТОРНО-СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
§ 1. ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ МАЛОМ ЧИСЛЕ
ЦИКЛОВ НАГРУЖЕНИЯ
Разрушение ’при малом числе циклов развивается на фоне
значительных упруго-пластических деформаций в макрообъемах
нагружаемого тела, которые в случае испытаний образца при од-
нородном напряженном состоянии (сдвиг или растяжение-сжа-
тие) могут охватывать всю рабочую часть образца. Это обстоя-
тельство во многом определяет особенности исследования харак-
теристик разрушения и их связь с характеристиками деформиро-
вания ври циклическом нагружении за пределами упругости.
Как отмечалось в гл. I, циклическое деформирование при
мягком нагружении характеризуется в общем случае изменени-
ем ширины петли упруго-пластического гистерезиса и накопле-
нием суммарной пластической деформации; при жестком нагру-
жении напряжения изменяются от цикла к циклу. Таким обра-
зом, при рассмотрении характеристик разрушения необходимо
иметь в виду влияние на прочность кинетики напряжений и де-
формаций.
При мягком нагружении двум характеристикам развития цик-
лических пластических деформаций (ширине петли и накоплен-
ной пластической деформации) соответствуют два типа разруше-
ния, наблюдаемые при растяжении-сжатии в упруго-пластичес-
кой области: усталостное разрушение и квазистатическое разру-
шение. Разрушение от усталости, связанное с накоплением уста-
лостных повреждений, сопровождается образованием трещин
усталости и малой пластической деформацией. Квазистатическое
разрушение обусловлено накоплением пластической деформации
до уровня деформации, соответствующей разрушению при одно-
кратном статическом нагружении. Такое разрушение происходит
только у материалов, циклически разупрочняющихся и цикличе-
ски стабильных, склонных к накоплению пластических дефор-
маций.
231
Осуществление того или иного вида разрушения в связи с
циклическими свойствами материала, уровнем напряжений,
асимметрией цикла и другими факторами зависит от соотноше-
ния интенсивностей процессов накопления усталостных повреж-
дений и роста деформации. С ростом максимальных напряжений
интенсивность накопления деформации (если она имеет место)
резко возрастает, и деформация может достичь предельных зна-
чений за весьма малое число циклов; с другой стороны, для раз-
вития трещины усталости с последующим разрушением даже на
уровне напряжений, близких
Рис. 131. Виды разрушения при асим-
метричном растяжении-сжатии стали
1Х18Н9Т
к пределу прочности, требу-
ется некоторое число цик-
лов. Поэтому, как правило,
усталостное разрушение со-
ответствует большей долго-
вечности и квазистатическое
разрушение предшествует
усталостному.
При соответствующем
выборе материала и асим-
метрии цикла можно полу-
чить только квазистатиче-
ское разрушение вплоть до
напряжений на уровне пре-
дела пропорциональности,
когда пластическая дефор-
мация уже не может накапливаться, и, напротив, при затухаю-
щем характере накопления пластической деформации оказывает-
ся возможным осуществить только разрушение от усталости.
Процессы накопления усталостных повреждений и накопле-
ния пластических деформаций протекают одновременно, поэтому
возможно также образование промежуточных форм разрушения,
когда трещины усталости образуются на фоне развитых пласти-
ческих деформаций. На рис. 131 показаны образцы из стали
1Х18Н9Т с явно выраженными квазистатическим (рис. 131, а) и
усталостным (рис. 131, в) типами разрушения и переходным ти-
пом разрушения (рис. 131, б). В последнем случае ясно видны
микротрещины, проходящие в шейке, образовавшейся при раз-
рушении. Пластичность при переходном типе разрушения оказы-
вается ниже (ф = 45%), чем при квазистатическом разрушении
(Ф = 67%).
Характерно, что все виды разрушения получены на образцах
из одного материала, при одной степени асимметрии, но разных
уровнях максимальных напряжений.
Прочность при мягком нагружении исследовалась сравни-
тельно мало. Можно сослаться на работы (18 и 70], в которых от-
мечалась связь статического характера разрушения с накоплен-
232
ной пластической деформацией, работу [89], где были получены
кривые усталости для алюминиевого сплава и отмечены особен-
ности разрушения на уровнях напряжений, близких к пределу
прочности. Более систематические данные по прочности при ма-
лом числе циклов приводятся в работах [19 и 20], в которых отме-
чается переход от квазистатического разрушения к разрушению
от усталости в связи с влиянием уровня напряжений и характе-
ристик циклического деформирования. Особо следует отметить
работы Н. И. Марина [36], собравшего обширный эксперимен-
тальный материал по испытаниям на прочность при малом числе
циклов.
Разрушение при постоянных амплитудах напряжений для ма-
териалов, обладающих контрастными циклическими деформа-
ционными свойствами, желательно рассматривать в условиях,
когда эти свойства проявляются наиболее разносторонне, что да-
ет возможность выявить все разнообразие свойств, характери-
зующих разрушение.
В соответствии с этим для проведения исследований были вы-
браны алюминиевый сплав В-96 (циклическое упрочнение), аус-
тенитная нержавеющая сталь 1Х18Н9Т и сталь ЗОХГСА (упроч-
нение с последующей стабилизацией петли), сталь 45 (постоян-
ная ширина петли), теплоустойчивая сталь (циклическое
разупрочнение). Свойства этих материалов достаточно разнооб-
разны, поэтому удалось получить типичное сочетание видов раз-
рушений, возникающих при растяжении-сжатии. Испытания про-
водились при различных степенях асимметрии цикла напряже-
ний, что позволило выявить ряд особенностей разрушения при
малом числе циклов нагружения.
Циклически разупрочняющаяся теплоустойчивая сталь при
симметричном цикле нагружения характеризуется интенсивным
накоплением деформаций во всем диапазоне напряжений, пре-
вышающих предел пропорциональности; накопление пластичес-
кой деформации завершается квазистатическим (разрушением. На
рис. 132 показаны кривая разрушения теплоустойчивой стали, а
также кривые роста накопленной с числом циклов нагружения
пластической деформации и приведены данные по характеристи-
кам пластичности при разрушении (коэффициент поперечного су-
жения ф). Видно, что при напряжениях, превышающих предел
пропорциональности (от = 48 кГ1мм2), разрушение осуществля-
ется с характеристиками, соответствующими однократному на-
гружению, т. е. во всем диапазоне квазистатического разрушения
характеристики пластичности не зависят от уровня действующих
напряжений и, следовательно, от числа циклов нагружений до
разрушения.
Для этой стали характерен резкий переход от квазистатичес-
кого разрушения к усталостному. В экспериментах не удавалось
получить усталостного разрушения при напряжениях, больших
233
предела пропорциональности. Переход от квазистатического раз-
рушения к усталостному на рис. 132 виден по резкому снижению
характеристик пластичности при разрушении. Это объясняется
тем, что даже небольшое превышение предела пропорционально-
сти вызывает интенсивное накопление деформаций, в то время
как при напряжениях, равных пределу пропорциональности, на-
копления деформаций вообще не происходит и накапливаются
только усталостные повреждения.
Для циклически упрочняющихся материалов, у которых на-
копление пластических деформаций носит затухающий характер,
квазистатическое разрушение не удается получить даже при на-
пряжениях, близких к пределу прочности о>в. На рис. 133 показа-
Рис. 132. Кривые разрушения теп-
лоустойчивой стали:
1 — значение ф; 2 — кривая квазиста-
зического разрушения, 3 — экстрапо-
лированная кривая усталости; 4 —
значения
сум
Рис. 133. Кривые разрушения
алюминиевого сплава:
/ — кривая усталости, 2 — значе-
ния ф
мы кривые разрушения алюминиевого сплава В-96, а также даны
коэффициенты поперечного сужения ф. В случае циклического
нагружения образец разрушается при коэффициенте поперечного
сужения ф = 2 н- 3%, в то время как при статическом нагруже-
нии ф = 15%.
Для такого типа материалов характерной является область
долговечностей менее 50 циклов, в которой не удается получить
разрушения от циклического нагружения. Для развития макро-
скопической трещины, приводящей к разрушению с малой плас-
тичностью, требуется, по-видимому, некоторое число циклов, так
как образцы, испытанные на уровне предела прочности, либо
разрушались при исходном нагружении, либо выдерживали бо-
лее 50 циклов нагружений.
Приведенные данные по разрушению теплоустойчивой стали
и алюминиевого сплава В-96, обладающих контрастными цикли-
ческими деформационными свойствами (резко выраженными ра-
234
зупрочнением и упрочнением), показывают, что не только эти
свойства, но и свойства, характеризующие разрушение в упруго-
пластической стадии деформирования, различны квазистати-
ческое разрушение для циклически разупрочняющегося и уста-
лостное для упрочняющегося материала без переходного вида
разрушения независимо от уровня напряжений.
Для материалов с менее выраженным преобладанием накоп-
ления пластических деформаций или усталостных повреждений
отмечается переходная зона разрушения и в зависимости от уров-
ня напряжений осуществляется тот или иной вид разрушения.
Циклически стабилизиру-
ющаяся сталь ЗОХГСА
при больших напряже-
ниях может накапливать
пластическую деформа-
цию, и осуществляется
квазистатическое разру-
шение. По мере пониже-
ния уровня напряжений
интенсивность накопления
пластических деформаций
падает, что приводит к по-
степенному переходу от
квазистатического к уста-
лостному разрушению.
Эти особенности материа-
Рис. 134. Кривые разрушения стали
ЗОХГСА при мягком нагружении:
1 — значения о, 2 — значения ф
ла показаны на рис. 134. Квазистатическое разрушение отмечено
светлыми точками, усталостное — черными. Переходная область
сильно растянута от 50 до 1000 циклов нагружений (наполовину
зачерненные точки). По мере приближения к усталостному типу
разрушения пластичность падает.
Выше были рассмотрены особенности разрушения при сим-
метричном цикле нагружения на примере трех материалов, об-
ладающих различными свойствами. Асимметрия цикла сущест-
венно влияет на характеристики разрушения, активизируя (в оп-
ределенном диапазоне коэффициентов асимметрии) процессы на-
копления деформаций.
Например, у циклически стабилизирующейся стали 1Х18Н9Т
и циклически стабильной стали 45 наблюдается высокая чувст-
вительность к асимметрии цикла напряжений при малом откло-
нении от симметричного цикла. В этом случае даже при малой
асимметрии накопление пластической деформации оказывается
достаточно большим и происходит в сторону наибольшего по аб-
солютной величине напряжения. При точности автоматического
реверса нагрузки на испытательной установке порядка ±1,0%
и поминальном симметричном цикле нагрузок для таких мате-
риалов наблюдается попеременное накопление пластической
235
деформации в сторону растяжения или сжатия. Последнее об-
стоятельство затрудняет получение достаточно стабильных ха-
рактеристик прочности.
Как отмечалось выше, для циклически упрочняющихся мате-
риалов при асимметричном цикле нагружения характерно отсут-
ствие сколько-нибудь значительного накопления деформаций, а
деформационные характеристики зависят в основном от ампли-
туды напряжений цикла. Поэтому разрушение не может быть
квазистатическим и прочность определяется разрушением от ус-
талости, причем разрушение зависит в основном от величины ам-
плитуды напряжений. Для сплава В-96 во всем исследованном
диапазоне асимметричных цик-
лов наблюдается разрушение
от усталости, а разрушающие
значения амплитуд напряже-
ний при разных степенях асим-
метрии укладываются на одну
кривую (рис. 135).
Кривая усталости в интер-
вале чисел циклов порядка
102—104 хорошо описывается
степенным уравнением, причем
на уровне предела прочности
число циклов Ne до разруше-
ния может составлять 10—100.
В амплитудных значениях на-
пряжений кривая усталости
имеет вид
GaNm = = const,
Рис. 135. Кривая усталости сплава
В-96 при различных коэффициен-
тах асимметрии:
/ — Я = —1; 2 — R = —0,7;
3 - R = -0,5
где т — показатель степени, определенный из опыта и связан-
ный с параметрами циклического деформирования (см. ниже).
Это уравнение справедливо в области коэффициентов асиммет-
рии R = —1 ~—0,5; при большей асимметрии следует использо-
вать обычное для усталости приведение напряжений бзкв = ва +
+ фОт-
Для циклически разупрочняющихся и циклически стабилизи-
рующихся материалов, склонных к накоплению пластических
деформаций, в общем случае асимметрия цикла сказывается не
только на величине разрушающих напряжений, по и на характе-
ре разрушения.
Для теплоустойчивой стали при асимметричном и симметрич-
ном циклах нагружения и напряжениях выше предела пропор-
циональности интенсивность накопления пластических деформа-
ций так велика, что осуществляется только квазистатическое раз-
рушение при достижении уровня деформации, соответствующего
однократному разрушению. На рис. 136 приведены значения по-
236
перечного сужения при разрушении, полученные при различных
степенях асимметрии; на рисунке видно, что независимо от сте-
пени асимметрии разрушение происходит при одинаковой дефор-
мации. Аналогично испытания стали 45 при асимметричных цик-
• > О ° Хо X А ° □ о
° о А ° х А
Ф
7°
75
50
1 10 100 N
о г -- 1; Л г=~ 0,7;
□ г = -0,9; х г=-0,3
Рис. 136. Значения поперечного сужения при разрушении,
полученные при различных степенях асимметрии для теп-
лоустойчивой стали
лах напряжений (7? = —0,9; —0,5; —0,3) показали, что характер
разрушения при напряжениях,
нальности, квазистатиче-
ский, и деформация при
разрушении не зависит от
степени асимметрии.
В более общем случае,
когда накопление пластиче-
ских деформаций менее ин-
тенсивно и происходит уста-
лостное разрушение, асим-
метрия сказывается на диа-
пазоне числа циклов, в кото-
ром наблюдается переход-
ная зона, хотя в области
квазистатического разруше-
ния величина деформации
при разрушении не ме-
няется.
На рис. 137 приведены
данные по разрушению, на-
копленной пластической де-
формации и коэффициенту
поперечного сужения для
стали 1Х18Н9Т при 7? =
= —0,9 и —0,7. Переходная
область зависит от асиммет-
превышающих предел пропорцио-
Рис. 137. Данные по параметрам ма-
лоциклового разрушения для R =
= —1 (кружки) и R = —0,5 (тре-
угольники) стали Х18Н9Т (светлые
точки — квазистатическое разруше-
ние, зачерненные — усталостное, за-
черненные наполовину — переход-
ное)
рии и занимает примерно от 102 до 103 циклов до разрушения. От-
мечается плавное снижение пластичности (д и ф) при увеличении
числа циклов до разрушения.
237
Как вытекает из сказанного выше, в области квазистатическо-
го разрушения критерием предельного состояния при однород-
ном напряженном состоянии и циклическом нагружении являет-
ся достижение накопленной в процессе циклического нагруже-
ния деформации, соответствующей разрушению при однократном
статическом нагружении.
Накопленная пластическая деформация
- С1 [/ (оа+-1 ] j f (£) +
2л-Н
‘ +c2[f(oa + %2om)- l]^F(k); (7.1)
2п
это уравнение было получено для случая мягкого нагружения и
записано в условных деформациях и напряжениях. Если пола-
гать это уравнение справедливым и для истинных деформаций
при условии сохранения амплитуды истинных напряжений, то из
него можно получить условие прочности при квазистатическом
разрушении
ёь=~1п-^— = е%, (7.2)
ет 1 — гр
из которого определяются разрушающие напряжения для задан-
ного числа циклов до разрушения.
При прочих равных условиях интенсивность накопления пла-
стических деформаций в зависимости от асимметрии цикла оп-
ределяется из этого же уравнения, причем для коэффициентов
асимметрии в пределах г = —1ч--0,6, имея в виду сравнитель-
но большие значения коэффициентов %, можно приближенно счи-
тать, что интенсивность накопления пластических деформаций
в основном зависит от максимального напряжения цикла отах, и
квазистатическое разрушение определяется уровнем максималь-
ных напряжений.
В области разрушения от усталости связь разрушающих на-
пряжений и числа циклов также описывается эмпирической сте-
пенной зависимостью, рассмотренной выше для циклически уп-
рочняющихся материалов.
Сочетание квазистатического и усталостного разрушений при
асимметричных циклах напряжений можно проследить на аусте-
нитной нержавеющей стали 1Х18Н9Т (рис. 137). В области ква-
зистатических разрушений (светлые точки) разрушение опреде-
ляется максимальными напряжениями, в области же усталостных
разрушений (черные точки) — амплитудными значениями напря-
жений.
Точки, характеризующие переходный вид разрушения (зачер-
ненные наполовину), оказываются промежуточными при выра-
жении разрушающих напряжений в максимальных и амплитуд-
ных значениях.
238
Следует отметить, что испытания, проведенные при больших
степенях асимметрии (г = 0), показали отклонение от рассмот-
ренных выше закономерностей, и в области г > —0,5 требуют-
ся дополнительные исследования.
Все рассмотренные выше данные и результаты относятся к
нагружению с 'постоянной амплитудой напряжений. Вместе с тем
широко используются также испытания с постоянной амплитудой
деформаций (жесткое нагружение). На рис. 138 показана схема
диаграммы циклического деформирования и даны основные обо-
значения, используемые для ха-
рактеристики прочности.
При однородном напряжен-
ном состоянии жесткое нагру-
жение сопровождается измене-
нием уровня напряжений за
цикл; при этом для материалов,
упрочняющихся в процессе цик-
лического деформирования, на-
пряжения с увеличением числа
циклов нагружений растут,
для разупрочняющихся умень-
шаются; при неизменной шири-
не петли уровень напряжений
остается постоянным (см.
гл. II).
Испытания при жестком на-
Рис. 138. Схема предельных на-
пряжений (а) и деформаций (б)
для различной асимметрии цикла
гружении описаны в работах
[96, 103], подробная библиогра-
фия по этому вопросу содер-
жится в обзорах [3, 4, 96].
Нужно иметь в виду некоторые методические особенности ис-
пытаний при жестком нагружении. Реверсирование нагрузки
должно в этом случае осуществляться при достижении заданной
величины деформации образца. Испытания, проведенные при за-
данных перемещениях захватов, не дают постоянной амплитуды
деформации, которая в этом случае зависит от соотношения
жесткостей машины и образца, меняющегося в процессе нагру-
жения [84]. Например, в случае испытаний на циклический изгиб
при заданном прогибе образца деформации могут изменяться
в процессе циклического нагружения (их рассчитывают на ос-
нове формул, полученных в гл. VI). Поэтому, используя данные
о прочности при жестком нагружении, необходимо учитывать
методику их получения.
При жестком нагружении разрушение может быть только ус-
талостным с образованием трещин, так как по условиям испыта-
ний накопление деформаций отсутствует, что исключает возмож-
ность квазистатического разрушения, и из эксперимента устанав-
239
ливается зависимость предельных амплитуд деформаций от чис-
ла циклов до разрушения. По данным, основанным на испытании
29 образцов из разных материалов с контрастными свойствами
(96] (стали аустенитного, перлитного и ферритного классов, жа-
ропрочные сплавы, алюминиевые и титановые сплавы, чистые
металлы), связь полной упруго-пластической деформации с чи-
слом циклов можно представить в виде единой по структуре за-
висимости. При этом полная деформация определяется как сум-
ма пластической и упругой деформаций, каждая из которых
зависит от числа циклов N до разрушения следующим образом:
амплитуда предельной пластической деформации (по разру-
шению)
амплитуда предельной упругой деформации
е —1 75 Qg N~°'12
ьаупр—
£
и амплитуда полной деформации
еа = ±71п—!_\°-6дг0’6+ 1,75(7.3)
2 \ 1 — ф/ Е
На рис. 139 изображена схема, иллюстрирующая эти эмпири-
ческие уравнения, а на рис. 140 и 141 нанесены области разбро-
са экспериментальных данных, полученные при испытаниях 29
образцов.
В том случае, когда кривая усталости строится по моменту об-
разования трещины, амплитуда пластической деформации опре-
деляется уравнением
<7Л>
соответствующим обычной зависимости Менсона-Коффина [96].
Амплитуду предельной упругой деформации удобно выражать че-
рез параметры кривой усталости: предел усталости o-i при числе
циклов и показатель степени кривой усталости ц:
е = (7.5)
ьа упр £ ^б1У1 • \ 7
В соответствии с этим уравнение кривой усталости при жест-
ком нагружении
^ = т(1пт^)Л/-(,’5 + -^да“и- (7-6)
В ограниченном диапазоне чисел циклов можно использовать
обычную степенную (эмпирическую) зависимость
eaNn = const. (7.7)
240
Рис. 140. Предельные амплитуды пластических
деформаций
JG Заказ 1099
241
При асимметричном цикле деформаций с коэффициентом
асимметрии Re =• em~ - прочность определяется амплитудным зна-
£тах
чением деформации еа в диапазоне Re = —1 + 0. На рис. 142 по-
казаны результаты испытаний углеродистой стали на растя-
жение-сжатие при жестком нагружении и различных степенях
асимметрии, из которых видно хорошее соответствие форму-
ле (7.7).
В области разрушений от усталости можно установить связь
между данными по прочности при мягком и жестком нагруже-
ниях. Для этого может быть сформулирована гипотеза, опреде-
ляющая следующий критерии
разрушения при циклическом де-
Рис. 143. Схема соответствия кри-
вых усталости при мягком и жест-
ком нагружениях для материалов:
(1) — циклически упрочняющихся;
(2) — циклически стабильных; (3) —
циклически разупрочняющихся. I и
II — разные уровни исходных на-
пряжений и деформаций
Рис. 142. Кривые усталости при
жестком нагружении и разных
асимметриях цикла деформаций:
а — для алюминиевого сплава,
и — для углеродистой стали
формировании с постоянной амплитудой деформаций; усталост-
ное разрушение (трещина) возникает тогда, когда напряжения,
изменяющиеся в процессе жесткого нагружения, достигнут зна-
чений предельных амплитуд напряжений при мягком нагружении
и том же числе циклов [67].
Следует подчеркнуть, что данная гипотеза не учитывает на-
копления повреждений, происходящего в результате изменения
напряжений от цикла к циклу. Это обосновано тем обстоятельст-
вом, что напряжения значительно изменяются лишь в первых
циклах деформирования, а основная часть долговечности прихо-
дится на нагружение с малым изменением напряжений, кото-
рым можно пренебречь.
На рис. 143 показана схема соответствия кривых усталости
242
при мягком и жестком нагружениях [20]. Для мягкого нагруже-
ния приведены кривые разрушения в квазистатической (АВ), ус-
талостной (СС') и переходной (ВС) областях. Кривые (1) харак-
теризуют изменения напряжений при жестком нагружении для
упрочняющихся материалов, кривые (2)—для разупрочняю-
щихся и кривые (3) — для циклически стабильных материалов.
При некотором исходном напряжении о, соответствующем дефор-
мации е при жестком нагружении, кривые изменения напряже-
ний достигают уровня разрушающих напряжений (кривая СС')
для упрочняющегося материала в точке 1 (число циклов до раз-
рушения N}), а для разупрочняющегося материала — в точке 2
(число циклов до разрушения N2). Аналогичное построение мож-
но сделать и для других уровней исходных напряжений и дефор-
маций и получить число циклов до разрушения. На основе дан-
ных по деформации и числу циклов строится кривая усталости
при жестком нагружении. Аналогично по данным о разрушении
при жестком нагружении можно построить кривую усталости для
мягкого нагружения. В частности, так можно получить ту часть
кривой усталости, которая не реализуется в области квазистати-
ческого разрушения и в переходной области (штриховая кривая
В'С). Из схемы видно, насколько существенно влияние кинетики
напряженного состояния.
Следует отметить попытки сопоставления кривых усталости
при мягком нагружении и жестком нагружении без учета изме-
нения напряжений по мере увеличения числа циклов нагружений
[88]. Однако такое сопоставление возможно лишь для циклически
стабильных материалов.
Экспериментальные данные, 'полученные при испытаниях цик-
лически упрочняющегося алюминиевого сплава В-96 и стабилизи-
рующейся стали ЗОХГСА, показали возможность пересчета по ре-
зультатам мягкого нагружения долговечности при жестком на-
гружении, если в обоих случаях разрушение носит усталостный
характер; аналогичный пересчет может быть выполнен и для ра-
зупрочняющегося высокопрочного чугуна ЧВ-2. На рис. 144, а, б
нанесена полоса разброса экспериментальных данных для спла-
ва В-96 и стали ЗОХГСА. Данные по разрушающим напряжени-
ям, построенные с учетом роста напряжений при жестком на-
гружении, укладываются в полосу разброса. Из рис. 144, в вид-
но соответствие кривых усталости при мягком и жестком нагру-
жениях и для разупрочняющегося материала (чугун ЧВ-2), не
накапливающего деформаций.
Нужно иметь также в виду, что скорости развития трещины
при рассматриваемых двух видах нагружения существенно отли-
чаются. При мягком нагружении растяжением-сжатием и весьма
высоких уровнях напряжений трещина развивается очень быстро,
в то время как при жестком нагружении после появления трети-
16* 243
ны скорость ее развития может существенно замедлиться. Поэ-
тому более правильным является сопоставление кривых устало-
сти по моменту образования трещин (светлые треугольники на
рис. 144, а), чем по разрушению.
Теплоустойчивая сталь обладает выраженным циклическим
разупрочнением, и в случае мягкого нагружения (разрушение от
усталости удается получить лишь, когда напряжения ниже пре-
дела пропорциональности и накопления пластических дефор-
маций не происходит. При жестком нагружении разрушение
Рис. 144. Соответствие кривой ус-
талости при мягком нагружении
и разрушающих напряжений при
жестком:
а — упрочняющийся сплав В-96, б —
стабилизирующаяся сталь ЗОХГСА,
в — разупрочняющийся чугун ЧВ-2
(заштрихована полоса разброса кривой
усталости)
этой стали носило усталостный характер, а напряжения в про-
цессе нагружения падали. Пересчет кривых усталости для жест-
кого нагружения позволяет получить кривую усталости для мяг-
кого нагружение, если учесть это падение напряжений. На
рис. 145 показаны экспериментальные кривые усталости при
жестком нагружении (по разрушению) и пересчитанная по этим
данным кривая усталости при мягком нагружении, совпадаю-
щая с экспериментальными значениями разрушающих напря-
жений ниже предела пропорциональности. Здесь же нанесены
данные по разрушающим напряжениям для квазистатического
разрушения.
Как видно из графика, усталостное разрушение не реали-
зуется, поскольку долговечность при квазистатическом разруше-
нии оказывается ниже.
Изучение закономерностей циклического упруго-пластическо-
го деформирования, проведенное в гл. I, позволяет определить
244
изменение амплитуды напряжений в процессе жесткого нагруже-
ния из следующих выражений:
е* .S* + cF(k)[f(S*p)-l]
или
е* S* +-А- . Ж [f(S*)- 1];
здесь е* — амплитуда деформаций, заданная при жестком нагру-
жении; S* — напряжения при жестком нагружении; /(S4)—
уравнение кривой деформирования в исходном цикле; Лиа —
параметры циклического деформирования; k — число полуциклов
нагружения.
Если для простоты анализа принять линейное упрочнение в
_____________________________1
исходном нагружении /(£*) = —---,то изменение напряжений
Gt
в процессе жесткого нагружения можно определить из уравнения
А
(?T/Va21+a
S* -
2a+!
т
А '
GT1T-
где GT— модуль упрочнения; N— число циклов нагружения.
С другой стороны, уравнение кривой усталости при мягком
нагружении можно приближенно записать следующим образом:
Решив эти уравнения, получим уравнение амплитуд полных
разрушающих деформаций при жестком нагружении:
А
1
еа = -Ж
N,n 2a+1GT Na+'n
А 1
2абг Na
(7.8)
На рис. 146 приведены данные испытаний сплава В-96 при
жестком нагружении (десять точек на уровень) и расчетная кри-
вая усталости, полученная с учетом рассеяния при мягком нагру-
жении; для сплава В-96 в соответствии с данными экспериментов
было принято ов = 43 кГ/мм2\ Ne = 102; tn = 0,1; А = 2,5; a = 0,4;
GT = 0,04; от = 27,1 кГ1мм2.
Если воспользоваться уравнением Менсона-Коффина для
размаха пластической составляющей деформации
Ж0,5 = J_|n—= с,
р ет 1 —
то уравнение кривой усталости при мягком нагружении примет
вид
С-21+а(7г
<? =----------
А
245
Отметим, что при такой трактовке в определенном диапазоне
чисел циклов т ~ 0,5 — а. Действительно, если принять для
сплава В-96 а = 0,4, то т = 0,1, для стали 1Х18Н9Т а = 0,31,
т = 0,19, что довольно близко соответствует данным экспери-
мента (рис. 146). Необходимо иметь в виду, что приведенные
выше формулы справедливы в определенном диапазоне чисел
циклов для напряжений выше предела пропорциональности.
Прочность при малом числе циклов и программном нагруже-
нии изучена еще недостаточно. Имеющиеся в литературе данные
относятся главным образом к двухступенчатому нагружению с
постоянной на каждой ступени амплитудой деформации (жест-
чивой стали при жестком нагружении
и пересчитанная кривая при мягком на-
гружении:
1 — усталостное разрушение (из эксперимен
та), 2 — значения разрушающих напряжений,
Рис. 146. Сопоставление данных
испытаний на усталость и рас-
четных данных при мягком и
жестком нагружениях:
вычисленные из данных по жесткому нагру-
жению, 3 — квазистатическое разрушение
сталь 1Х18Н9Т, 2 — сплав
В-96
этим предлагается использо-
кое нагружение). В соответствии с
вать линейное суммирование повреждений
-
известное из работ по накоплению повреждений в случае устало-
сти при большом числе циклов в форме, вытекающей из уравне-
ния (7.7):
<7-9>
где —число циклов нагружений на f-й ступени деформации с
амплитудой eai\ Ni — число циклов до разрушения на этом уров-
не деформации; Се — постоянная.
246
Экспериментальная проверка этого соотношения показывает,
что линейное суммирование повреждений даже для двухступен-
чатого жесткого нагружения с малым числом циклов достаточно
оправдано.
Случай 'программного мягкого нагружения почти не нашел
отражения в литературе. Вместе с тем изучение накопления по-
вреждений в этом случае представляет существенный интерес
[101]. В работе [94] приводятся данные о накоплении поврежде-
ний при двухступенчатом нагружении с постоянной амплитудой
изгибающего момента. В этом случае также предлагается ис-
пользовать линейное суммирование повреждений. Эксперимен-
тально установленное отклонение от этого соотношения автор
связывает с деформационными характеристиками материала при
циклическом нагружении, т. е. с изменением напряжений в пре-
делах ступени.
Использование линейного суммирования повреждений в фор-
ме, вытекающей из уравнения кривой усталости, приведенного
в начале этой главы,
1
(7.Ю)
возможно для тех уровней напряжений, на которых осуществ-
ляется усталостное разрушение при нагружении с постоянной
амплитудой напряжений. Это вытекает также и из установлен-
ного выше соответствия кривых усталости при мягком и жест-
ком нагружениях.
Если распространить закон линейного суммирования повреж-
дений на случай непрерывного изменения амплитуды деформа-
ции (напряжения), то текущее значение усталостного поврежде-
ния составит
при разрушении dyCT = 1.
На основании представлений, изложенных выше, и рассмотре-
ния экспериментальных данных предложена схема предельных
деформаций и напряжений и накопления повреждений при одно-
родном напряженном состоянии для некоторой асимметрии цик-
ла г мягкого нагружения.
На рис. 147, б показана схема предельных напряжений, соот-
ветствующих разрушению, на рис. 147, а — схема предельных
деформаций; на рис. 147, в схематически изображена величина
усталостного повреждения.
Участок АВ соответствует преимущественно квазистатическо-
му разрушению, причем предельная накопленная деформация
247
Рис. 147. Схема предельных дефор-
маций, напряжений и накопления по-
вреждений для однородного напря-
женного состояния:
а — предельные Деформации, с5 — пре-
дельные напряжения, в — накопление по-
вреждений
мало зависит от числа циклов до разрушения и <в случае растя-
жения-сжатия равна деформации при разрыве однократным ста-
тическим растяжением. Предельное напряжение сравнительно
мало зависит от асимметрии
цикла (в пределах г =
= —0,9 ----------------------------------------0,3), поскольку
интенсивность накопления
деформаций определяется в
основном наибольшим по аб-
солютной величине напря-
жением цикла Отах- На уча-
стке АВ накопление устало-
стного повреждения мало.
Участок В'С соответст-
вует усталостному разруше-
нию. В этом случае разруше-
ние зависит в основном от
амплитуды напряжений па,
уравнение кривых усталости
соответствует степенному
соотношению = const.
Накопленные деформации
невелики, а накопленное
усталостное повреждение
dycT близко к единице.
Участки ВВ' кривых пре-
дельных напряжений и де-
формаций являются пере-
ходными, и процессы накоп-
ления деформаций и устало-
стных повреждений сопоста-
вимы по интенсивности. Пе-
реход от одного вида разру-
шения к другому (если эти
процессы независимы), по-
видимому, сопровождается
резким падением деформа-
ции при переходе к меньшим
напряжениям (точка /().
В действительности же протяженность переходного участка зави-
сит от степени асимметрии и материала и может быть достаточно
большой; в этой области существует взаимное влияние процессов
накопления деформаций и накопления усталостных повреждений.
Это взаимное влияние может быть приближенно выражено
интерполяционной зависимостью
d4yc,n + dld^ = D, (7.12)
248
где D — повреждение при совместном накоплении односторон-
ней деформации и усталостных повреждений. При разрушении
£> = 1, функция накопления усталостных повреждений dIJCT =
— , функция накопления деформаций с/осф = Здесь
Ni еь
Hi — число циклов нагружения на f-n ступени, Л^- — число цик-
лов до разрушения на f-й ступени без учета влияния накопле-
ния деформаций (линия А'В'), enjli — пластическая деформа-
ция, накопленная на f-й ступени нагружения.
При действии постоянной амплитуды напряжений для случая
разрушения
где 7V'Z— число циклов до разрушения с учетом влияния накоп-
ления деформаций (линия ВВ')\
еРазр — накопленная деформация при разрушении на этом
уровне напряжений.
Эти зависимости нуждаются в экспериментальной проверке.
§ 2. КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ
ПРИ НЕОДНОРОДНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Выше было рассмотрено разрушение при однородном напря-
женном состоянии и отмечено, что в области усталости разруше-
ние происходит при достижении предельного напряжения, а в ква-
зистатической области — при достижении предельной деформа-
ции. В случае неоднородного напряженного состояния также
развиваются процессы, связанные -с изменением напряжений и
деформаций, однако интенсивность их зависит не только от цик-
лических деформационных свойств материала, но и от степени
стесненности пластических деформаций в зоне их локализации.
Для циклического деформирования -с постоянной амплитудой на-
грузок кинетика изменения деформаций и напряжений при мяг-
ком и жестком нагружениях соответствует крайним случаям сте-
сненности пластических деформаций: в первом случае деформа-
ции свободно развиваются в соответствии только со свойствами
материала, во втором — деформации полностью стеснены и огра-
ничены условиями испытаний.
Если пластические деформации стеснены в зонах их локали-
зации, то изменение напряжений оказывается менее интенсив-
ным, чем при жестком нагружении; накопление деформаций и
изменение напряжений в зависимости от локальности зон наи-
большей напряженности занимает промежуточное положение
между мягким и жестким нагружениями. В этом смысле наибо-
лее показательными являются зоны концентрации напряжений,
где, как правило, происходит образование трещин и разрушение
при циклическом деформировании. В зонах концентрации может
249
б широких пределах меняться степень стесненности пластических
деформаций в зависимости от параметров концентраторов. Выше
было показано, что напряженное и деформированное состояния
изменяются в зависимости от числа циклов и, следовательно,
оказывается возможным
пряжений и предельных
например, в гл. Ill, IV
рассчитать достижение предельных на-
Рис. 148. Схема напряже-
ний наибольшего^ (х) и
наименьшего (s) стесне-
ния
деформаций. Такое решение получено,
для случая деформирования стержней,
пластин и оболочек. Вместе с тем ре-
шение задач циклического деформиро-
вания для деталей сложной конфигу-
рации может быть достигнуто далеко
не всегда, и для качественного анализа
кинетики напряжений и деформаций
следует приближенно оценить меру
стесненности пластической деформа-
ции, характеризующую эту кинетику.
В качестве меры стесненности пласти-
ческой деформации в каком-либо на-
правлении примем величину производ-
ной интенсивности деформаций по это-
му направлению, отнесенную к макси-
мальному значению интенсивности де-
формаций. Эту величину условно назо-
вем относительным градиентом интен-
сивности деформации по соответствую-
щему направлению.
Рассмотрим поле значений интен-
сивности деформаций, например, для
полосы с надрезом (рис. 148, зона
пластичности заштрихована). В этом
поле могут быть намечены линии наи-
большего (х) и наименьшего (s) стес-
нения для поверхности интенсивности
деформаций. Если несколько обобщить
указанные соображения, то можно
предположить, что эти линии соответ-
ствуют направлениям наибольшего и
наименьшего стеснения пластических
шего стеснения следует
деформаций. В направлении наиболь-
ожидать наиболее интенсивного измене-
ния напряжений, в направлении наименьшего стеснения — наибо-
лее интенсивного изменения деформаций. Поле интенсивности де-
формаций от цикла к циклу в общем случае меняется, и это дол-
жно учитываться при рассмотрении указанных выше сообра-
жений.
Для упрочняющихся материалов рост деформации можно не
принимать во внимание, и основное значение приобретает гради-
250
ент интенсивности деформаций вдоль линии наибольшего ската,
так как именно в этой зоне рост напряжений оказывается наи-
большим.
Для циклически упрочняющегося материала разрушение, как
правило, носит усталостный характер. Гипотеза о возникновении
трещины при жестком нагружении, изложенная в § 1, может
быть распространена на случай неоднородного напряженного со-
стояния и сформулирована так: разрушение (трещина) при неод-
нородном напряженном состоянии возникает тогда, когда ампли-
Рис. 149. Схема предельных напряжений и деформаций для неоднородного
напряженного состояния:
а — упрочняющийся материал, б — разупрочняющийся материал
тудные значения максимальных приведенных напряжений дости-
гают значений предельных амплитуд напряжений при однород-
ном напряженном состоянии и том же числе циклов. При этом
предполагается, что напряжения возрастают в основном на на-
чальных стадиях нагружения и нестациопарность напряжений не
оказывает существенного влияния на прочность [18, 68]. На
рис. 149, а показаны кривые усталости для упрочняющегося ма-
териала при жестком и мягком нагружениях и липни /, 3 и 2, со-
ответствующие кинетике изменения напряжений при мягком и
жестком нагружениях и при неоднородном напряженном состоя-
нии; из схемы видны взаимная связь кривых усталости для обоих
251
видов нагружения, а также порядок определения предельного
усилия в детали с неоднородным напряженным состоянием при
заданной долговечности. Возможность расчетного определения
роста напряжений при жестком нагружении позволяет рассчи-
тать одну из кривых усталости по известной другой кривой. Ниже
будет показано, что и при неоднородном напряженном состоянии
в широком диапазоне распределения деформаций в области пла-
стичности указанная гипотеза подтверждается эксперимен-
тально.
Для случая интенсивного накопления деформаций, т. е. для
циклически стабильных материалов при асимметричном цикле
напряжений или циклически разупрочняющихся материалов,
прочность в основном зависит от кинетики деформаций в зоне
наименьшего стеснения. В зоне наибольшего стеснения деформа-
ции напряжения уменьшаются более быстро с увеличением числа
циклов, а деформации растут замедленно по сравнению с зоной
наименьшего стеснения, т. е. накопление усталостных поврежде-
ний и накопление деформаций существенно именно в зоне наи-
меньшего стеснения. На рис. 149, б показана схема предельных
деформаций и напряжений для разупрочняющегося материала с
выраженным накоплением деформаций {67]. Линии 1 и 3 соответ-
ствуют напряжениям и деформациям при мягком и жестком на-
гружениях, линии 4 и 2— изменению напряжений и деформаций
при неоднородном напряженном состоянии в зоне наименьшего
стеснения.
На рис. 149, б видно, что при малых уровнях напряжений раз-
рушение носит усталостный характер, а накопление деформации
невелико. Напротив, при больших уровнях напряжений и разви-
той зоне пластических деформаций интенсивность односторонне-
го накопления деформаций епл -в зоне наименьшего стеснения су-
щественно выше, чем накопление усталостных повреждений, и
предельная деформация, необходимая для разрушения еразр, до-
стигается раньше, чем предел усталости при том же числе цик-
лов. В промежуточном случае возможно различное сочетание
роста деформаций и накопления повреждений. При развитой пла-
стической зоне'И небольших градиентах деформаций деформа-
ции (линия 2) накапливаются быстрее, чем повреждения, и тре-
щина образуется при достижении кривой предельных односто-
ронне накопленных деформаций еразр (АВВ'С). Предельные на-
пряжения описываются линией АВВ', расположенной ниже кри-
вой усталости А'В'С. При менее развитой пластической зоне и
больших градиентах деформаций накопление повреждений про-
исходит быстрее роста деформаций (линия 4) и предельные на-
пряжения достигаются раньше, чем предельные деформации
еРазр (образуется трещина усталости).
Полное стеснение пластических деформаций (например, при
жестком нагружении) исключает возможность их накопления, и
252
разрушение осуществляется в соответствии с кривой усталости,
выраженной в деформациях еа\ как отмечалось выше, эта кривая
соответствует кривой усталости в напряжениях о.
Участок кривой усталости А'В' не может быть получен при од-
нородном напряженном состоянии и мягком нагружении, так как
ранее достигаются значения предельных монотонно накопленных
деформаций. Однако участок А'В' можно получить из кривой ус-
талости для жесткого нагружения путем расчета с учетом изме-
нения напряжений.
Таким образом, в зоне АВ осуществляется квазистатическое
разрушение в результате одностороннего накопления деформа-
ций, в зоне В'С — усталостное разрушение за счет накопления
усталостных повреждений при малой интенсивности накопления
деформаций. Зона ВВ' является переходной, в ней интенсивности
процессов накопления деформаций и накопления повреждений со-
поставимы, и разрушение осуществляется при достижении по-
вреждения D, близкого к единице при совместном накоплении
деформаций и повреждений от усталости. В этом случае накоп-
ленные деформации также могут быть достаточно большими
(кривая епл), однако меньше предельной величины еразр-
Асимметрия цикла напряжений и деформаций влияет на пре-
дельные значения деформаций и напряжений, однако общая схе-
ма достижения предельных состояний, «по-видимому, существенно
не меняется.
Рассмотренные выше особенности разрушения и схемы дости-
жения предельных состояний в зависимости от кинетики напря-
жений и деформаций позволяют сформулировать следующую ги-
потезу, определяющую критерии разрушения.
В зависимости от уровня нагружения, степени стесненности
деформированного состояния и пластических свойств металла
при циклическом деформировании разрушение может быть ква-
зистатическим или усталостным; оно может определяться либо
достигнутой предельной величиной односторонне накопленной
пластической деформации, либо достигнутой предельной величи-
ной амплитуды напряжений, зависящих от числа циклов. Пер-
вый критерий свойственен преимущественно циклически разу-
прочняющимся материалам и циклически стабильным с выра-
женным накоплением деформаций в зонах наименьшего стесне-
ния деформаций, второй — циклически упрочняющимся матери-
алам с выраженной кинетикой напряженного состояния в зонах
наибольшего стеснения деформаций.
Интенсивность изменения деформаций в первом случае боль-
ше для деформированных состояний с меньшей неоднородно-
стью. В соответствии с зонами наибольших изменений деформа-
ций или напряжений возникают и развиваются первые стадии
малоциклового разрушения.
253
С целью проверки критерия разрушения для упрочняющихся
материалов были испытаны образцы из сплава В-96 и стали
ЗОХГСА с концентрацией напряжений (полоса с отверстием и с
надрезами). Деформации измерялись методом оптически актив-
ных покрытий, изложенным в гл. V. Напряжения в опасном сече-
нии на контуре концентратора определились по значениям дефор-
маций на контуре и диаграммам циклического деформирования
(см. гл. I).
Выбранные виды концентраторов напряжений позволили по-
лучить различные степени неоднородности напряженного состоя-
ние. 150. Картины полос при цик-
лическом нагружении сплава В-96
в 1-м (слева) и 100-м (справа)
полуцикле.
Источник концентрации и—oiBcp
стие (6,1 и 5,05 полос), б — надрез
—~ =- 1,8 (7,8 и 5,3 полос), в — над-
Р
рез = 6,4 (1,29 и 4,27 полос)
Р
ния и оценить влияние локализации пластической деформации на
перераспределение напряжений.
Все исследованные образцы доводились до разрушения при
симметричном цикле нагрузок. Момент появления и развития тре-
щины фиксировался с помощью микроскопа МИР-1 с сорока-
кратным увеличением. Одновременно момент появления трещи-
ны наблюдался по искажению картины полос, что проявлялось
в неожиданном увеличении порядка полос в зове максимальных
напряжений с последующим отклеиванием слоя. После некоторо-
го числа циклов трещина становится видна в микроскоп МИР-1.
При длине трещины 50 мк, производился отсчет числа циклов, со-
ответствующего числу циклов по образованию трещины.
254
На рис. 150 показаны картины полос в разных циклах нагру-
жения для исследованных видов 'Концентратора напряжений.
Точное значение порядка полосы на контуре концентратора опре-
делялось с помощью микроскопного отражательного поляриско-
па. Деформации интенсивно уменьшались но всему минимально-
му сечению при малых коэффициентах концентрации и градиен-
тах напряжений (рис. 150, б), однако уменьшение было меньше,
чем при мягком нагружении в условиях однородного напряжен-
ного состояния. С увеличением градиента напряжений зона пла-
стических деформаций все больше локализуется, а интенсивность
изменения деформаций по числу циклов затухает (рис. 150, а).
В предельном случае, когда нагружение пластической зоны
в вершине надреза соответствует жесткому нагружению при од-
Рис. 151. Значения относительных разностей главных деформаций при цикли-
ческом нагружении сплава В-96:
„а а
а — отверстие, б — надрез ---= 1,8; в — надрез ---= 3,6
Р Р
породном напряженном состоянии, распределение деформаций по
числу циклов будет неизменным (рис. 150, в). Обработка картин
полос позволила получить закон изменения по числу циклов раз-
ности главных деформаций (деформаций сдвига) в наименьшем
сечении образцов с концентрацией, отнесенной к разности де-
формаций на контуре. Эти данные для сплава В-96 показаны на
рис. 151, где видно, что относительная разность главных дефор-
маций мало зависит от числа циклов и близка к разности глав-
ных деформаций в случае упругого деформирования. Это под-
тверждают соображения, изложенные в гл. V, для случая цик-
лического деформирования.
На рис. 152 приведены распределения — а2 в зависимости
от числа циклов нагружения для образцов, деформированное
состояние которых показано на рис. 150. Анализ полученных дан-
ных показал, что различная степень локализации пластической
255
Рис. 152. Значения Ci —<у2 при различных числах циклов нагружения
полосы из сплава В-96:
а
а — отверстие 0 5 мм, б — надрез ---=36
Рис. 153. Изменение максимальных напряжений по
числу циклов (сплав В-96) для различных источников
концентрации:
а а
1 —жесткое нагружение и------- 9; 2 —----= 6,1;
Р Р
а а
3--------- 3,6; 4 ---= 1,8
Р Р
256
деформации в зоне концентрации напряжений приводит к раз-
личному изменению напряженного состояния. На рис. 153 пока-
зано изменение максимальных напряжений в зоне концентрации
в зависимости от числа циклов для различных концентраторов
напряжений. Видно, что рост напряжений в условиях неоднород-
ного напряженного состояния ограничен предельными случаями,
соответствующими мягкому и жесткому нагружениям в услови-
ях однородного напряженного состояния. Для образца с парамет-
а
ром — =9 изменение напряжении практически соответствует
жесткому нагружению, а для образца с отношением — = 1,8 —
мягкому нагружению. На рис. 154 нанесена полоса разброса
разрушающих напря-
жений для сплава В-96
при испытаниях с по-
стоянной амплитудой
напряжений. На этом
же рисунке для разных
исходных уровней на-
грузок показаны неко-
торые кривые роста
максимальных напря-
жений в зонах концен-
трации напряжений в
зависимости от числа
Рис. 154. Сопоставление кривых роста напря-
жений и кривой усталости в момент разруше-
ния (сплав В-96)
циклов и отмечен мо-
мент разрушения (образования трещины) данного образца. Как
видно, момент разрушения соответствует достижению действую-
щим напряжением кривой усталости. На рис. 156 для этого же
материала нанесены данные по разрушению образцов с концен-
тратором (полоса с отверстием и полоса с надрезом) и гладких
образцов при мягком и жестком нагружениях. Все точки уклады-
ваются в полосу разброса кривой усталости при мягком нагру-
жении, полученной на пяти уровнях напряжений (по 10 образцов
на уровень).
Влияние кинетики напряженного состояния на прочность ста-
ли ЗОХГСА при малом числе циклов менее заметно в связи со
слабым упрочнением, однако его необходимо учитывать, особен-
но для случаев, когда нагружение близко к жесткому. Парис. 155
показана кривая усталости образцов из стали ЗОХГСА; по оси ор-
динат отложена амплитуда действующих напряжений. Как вид-
но, все данные укладываются в довольно узкую полосу раз-
броса.
Аналогичные результаты были получены и для плоского сим-
метричного изгиба {96]. На рис. 157 сопоставлены данные по раз-
рушению стали и алюминиевого сплава и показана кривая уста-
17 Заказ 1099 * 257
лости при изгибе, пересчитанная по кривой -при растяжении-сжа-
тии. Соответствие расчета и эксперимента оказывается хорошим.
Рассмотрение критериев прочности в связи с кинетикой на-
пряженного и деформированного состояния для разупрочняю-
щихся материалов требует исследования деформаций не только
Рис. 155. Данные по разруше-
нию из стали ЗОХГСА с различ-
ной концентрацией и при мяг-
ком и жестком нагружениях
образцов
Рис. 156. Данные по разруше-
нию образцов из сплава В-96
с различной концентрацией и
при мягком и жестком нагру-
жениях
Рис. 157. Расчетная кривая усталости при изгибе, пере-
считанная по растяжению-сжатию, и данные по разру-
шению от циклического изгиба:
а — стали, б — алюминиевого сплава
в области наибольшего стеснения, но и в области всего поля де-
формаций. Это связано с существенными методическими трудно-
стями и затрудняет прямую экспериментальную проверку рас-
смотренных выше критериев разрушения.
Вместе с тем нужна высокая точность измерения локальной
деформации в зоне концентрации и зоне образования трещины,
поскольку необходимо сопоставлять предельные деформации, со-
258
ответствуюнГие разрушению, при различной степени неоднород-
ности деформированного состояния.
Исследование весьма больших деформаций при их локализа-
ции в зоне образования трещины применительно к циклическому
упруго-пластическому деформированию проводилось с помощью
нанесенных царапаньем се
ток с шагом 100 мк ,[37—39].
На рис. 158 показаны линии
равных пластических дефор-
маций, полученные на осно-
ве этих измерений для об-
разца с надрезом по рис. 159
из теплоустойчивой разу-
прочняющейся стали для
различных чисел циклов при
номинальном напряжении
(j(°) = 1,2. Начало координат
находится в вершине над-
реза.
Если построить прираще-
ние пластических деформа-
ций в направлениях х и s
(см. рис. 148), то можно ви-
деть, что приращение в зоне
наибольших деформаций су-
щественно ниже в направ-
лении s. Из рис. 158 видно,
как по мере увеличения чис-
ла циклов область пластиче-
ских деформаций увеличи-
вается в направлении обла-
сти наименьшего стеснения
деформаций и на некоторой
стадии циклического дефор-
мирования в этом же на-
Рис. 158. Линии равных пластических
деформаций для различных чисел
циклов (теплоустойчивая сталь)
Рис. 159. Эскиз образца с надрезом
правлении начинает разви-
ваться трещина. На рис. 160 показана фотография зоны концен-
трации на разных стадиях развития трещины [39].
Измерения деформаций в корне трещины на базе 100 мк не
могут дать необходимой точности (требуется база по крайней ме-
ре на порядок меньше), поэтому данные об абсолютных величи-
нах предельных деформаций следует считать ориентировочными
и для сопоставления результатов пользоваться отношением раз-
рушающей накопленной деформации при циклическом нагруже-
нии еРазр к разрушающей деформации при однократном нагру-
жении врдэрдля одного и того же концентратора. На рис. 161
17*
259
нанесены значения-^-— и -~--эр >отнесенные к разрушающей де-
формации при однородном напряженном состоянии (истинная
деформация в шейке) ев. На рисунке видно, что, хотя е^зд с
ростом концентрации напряжений уменьшается (возможно так-
же и за счет увеличения погрешности измерений), различие пре-
Рис. 160. Фото зоны концентрации на разных стадиях развития трещины
Рис. 161. Величины относительных предельных
деформаций для теплоустойчивой стали в за-
висимости от различной неоднородности на-
пряженного состояния; светлые точки — одно-
кратное нагружение; темные — циклическое
дельных деформаций при квазистатическом и статическом раз-
рушениях невелико.
На рис. 162 нанесены значения еРазР. в зависимости от чи-
д°)
разр
ела циклов до разрушения для образцов из теплоустойчивой ста-
260
ли: гладких, с умеренной концентрацией (аа = 2,7) и с острым'
надрезом (аа= 7,3). Здесь же даны .кривые роста деформаций
епл для номинальных напряжений 62 и 67 kTImm2 при аа = 2,7
(кривые /) и сса = 7,3 (кривые 2). На рис. 162 видно, что в обла-
сти квазистатических разрушений предельная накопленная де-
формация нс зависит от числа циклов; характерно также, что
интенсивность нарастания деформаций с увеличением числа цик-
лов уменьшается с ростом концентрации, и это может привести к
тому, что пластическая деформация при разрушении окажется
меньше предельной, поскольку в этом случае предельное состоя-
ние по усталости достигается раньше (сравни схему па рис. 149).
Рис. 162. Кривые роста деформаций и предельные дефор-
мации в зависимости от уровня концентрации напряжений
и числа циклов
Квазистатическое разрушение -при неоднородном напряжен-
ном состоянии развивается на фоне образования и развития тре-
щины, причем к моменту достижения предельной накопленной
деформации длина трещины может составлять несколько сотен
микрон. В работе [40] рассмотрена кинетика развития трещин для
разупрочняющейся теплоустойчивой стали при квазистатическом
разрушении. На рис. 163 приведены значения относительной пре-
дельной деформации еразр- в зависимости от длины трещины
разр
в момент разрушения для различной неоднородности напряжен-
ного состояния. Как видно из рис. 163, квазистатическое разру-
шение достигается даже при длине трещин порядка 1 —1,2 мм;
при большей длине величина деформаций при разрушении рез-
ко падает. Интенсивность развития трещины и ее длина в момент
разрушения зависят от степени неоднородности напряженного
261
состояния и уровня номинальных напряжений На рис 164 для
полосы с отверстием и острым надрезом приведены значения де-
формации в корне трещины в зоне концентрации в зависимости от
ее длины при различных уровнях номинальных напряжений. Как
уже отмечалось, трещина развивается в направлении наимень-
шего стеснения деформаций в зоне концентрации, причем чем
выше уровень номинальных напряжений и меньше степень неод-
нородности, тем меньше длина трещины при одинаковой дефор-
мации в зоне наименьшего стеснения.
Рис. 163. Зависимость предельной деформации от дли-
ны трещины в момент разрушения
Процесс накопления односторонней пластической деформации
на фоне развития трещины можно рассматривать как сочетание
накопления деформаций и накопления усталостных поврежде-
ний. При высоких напряжениях преобладает процесс накопления
деформаций, а величина накопления повреждений dycT невелика;
при dt/CT < 0,1 4- 0,2 трещины, предшествующей разрушению, нс
Рис. 164. Зависимость деформации в корне трещины от длины
трещины:
а — а = 2,7, б — а =7,3
ст ст
262
наблюдается, а -р“™~ = 1- Снижение напряжений вызывает
еразр
уменьшение интенсивности накопления деформаций, и к моменту
разрушения величина накопления повреждений dycT = 0,2 н- 0,4,
в этом случае разрушение наступает при
вразр
р(0)
разр
и сопровож-
дается развитой трещиной (до 1000 мк). При дальнейшем сни-
жении напряжений значение накопленного повреждения от уста-
лости приближается к единице, а значение накопленной дефор-
мации невелико, и происходит усталостное разрушение. Такая
трактовка характеризует развитие трещины при квазистатиче-
ском разрушении и дополняет схему на рис. 147.
Следует заметить, что для полной количественной оценки кри-
териев разрушения в зонах концентрации в случае циклического
разупрочнения имеющихся данных недостаточно. Необходимо
изучение полей деформаций и напряжений и их кинетики в широ-
ком диапазоне величин деформаций на весьма малых базах.
Пересчетом жесткого нагружения следует получить более под-
робные сведения о кривых усталости при мягком нагружении
в диапазоне чисел циклов, в котором их нельзя получить непос-
редственно из эксперимента. Необходимо изучение взаимного
влияния процессов одностороннего накопления пластических де-
формаций и накопления усталостных повреждений в связи с ки-
нетикой развития трещин и характеристикой переходного типа
разрушения.
§ 3. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ И ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ
ПРИ СТАТИЧЕСКОМ И ПОВТОРНО-СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИЯХ
Несущую способность ряда высоконапряженных деталей со-
временного машиностроения, работающих при достаточно высо-
ких параметрах, следует рассматривать с учетом упруго-пласти-
ческого деформирования в зависимости от условий нагружения.
К таким деталям в первую очередь относятся диски и роторы
турбомашин и электромашин, сосуды и трубопроводы под давле-
нием, ряд деталей грузоподъемных механизмов, детали химиче-
ского и реакторного аппаратостроения. Следует иметь в виду,
что с ростом напряженности деталей область расчета в упруго-
пластической области приобретает все большее значение. В соот-
ветствии с этим необходимо рассмотреть критерии несущей спо-
собности в этой области.
При действии на деталь статических нагрузок в предельном
состоянии должна еще обеспечиваться нормальная работа узла.
Нарушение работы детали, сопряженной с деталями узла или
конструкции в целом, может происходить за счет значительных
перемещений, превышающих предельно допустимую величину, за
счет разрушения детали, а также в том случае, когда при малом
263
возрастании нагрузок деформации детали резко увеличиваются.
В соответствии с этим будем различать несущую способность
по перемещениям, разрушению и деформациям.
Несущая способность по деформациям достигает предельно-
го значения, когда дальнейшее увеличение нагрузки невозмож-
но вследствие перехода всего сечения в пластическое состояние
и нарушения кинематической неизменяемости системы. Такое ис-
черпание несущей способности возможно при идеальной пла-
стичности материала, когда модуль упрочнения GT = 0.
Понятие несущей способности по деформациям является для
машиностроения условным, поскольку она связана с быстрым
нарастанием перемещений на определенной стадии пластическо-
го деформирования, когда еще до исчерпания несущей способно-
сти работа сопряженных деталей нарушается в результате
больших перемещений. Вместе с тем несущая способность по
деформациям имеет существенное значение для расчета строи-
тельных конструкций и других сооружений, где используются
материалы с малым упрочнением, а перемещения не имеют су-
щественного значения и расчет ведется по предельному состоя-
нию, соответствующему исчерпанию несущей способности. Такое
предельное состояние изучено достаточно подробно [12, 52, 59],
указанные монографии содержат весьма полную библиографию.
Несущая способность по перемещениям определяется пре-
дельно допустимыми перемещениями в узле и перемещениями
детали от внешних нагрузок. Внешняя нагрузка, соответствую-
щая достижению предельного перемещения, является для дан-
ной детали в узле предельной. Таким образом, необходимо
знать связь внешней нагрузки с перемещением, т. е. решить со-
ответствующую упруго-пластическую задачу, и определить пре-
дельно допустимые перемещения детали в узле.
Предельно допустимые перемещения детали в узле зависят
от конкретной конструкции узла и сопряженных деталей; эти пе-
ремещения необходимо определять в каждом конкретном случае
конструирования и расчета узла. Для дисков турбомашин, на-
пример, предельно допустимое перемещение внешнего контура
определяется величиной зазора между лопатками и кожухом,
перемещение внутреннего -контура — ослаблением посадки диска
на валу. Для колокола центрифуги, представляющего собой
вращающуюся оболочку, предельно допустимое перемещение
ограничивается перемещением свободного края оболочки — вы-
боркой зазора между кожухом и колоколом и т. д. В общем
случае предельно допустимое перемещение, определяемое усло-
виями работы сопряженной детали в узле или конструкции, мо-
жет зависеть от нагрузок на эту конструкцию.
На рис. 165 показана схема, поясняющая определение пре-
дельной нагрузки для предельно допустимого перемещения
264
Кривая 1 соответствует зависимости между внешней нагрузкой
и перемещением детали при однократном нагружении детали,
кривая 2 — зависимости между внешней нагрузкой и перемеще
нием сопряженной детали. Графическое решение позволяет оп-
ределить предельную нагрузку рассматриваемой детали по пре-
дельному перемещению сопряженной. В частном случае (напри-
мер, для зазора между кожухом и лопатками диска) предель-
ное перемещение от нагрузки не зависит.
Предельные перемещения некоторых деталей могут опреде-
ляться не только конструктивными факторами, но также усло-
Рис. 165. Схема опреде-
ления предельной на-
грузки по предельно до-
пустимому перемещению
при статическом нагру-
жении
Рис. 166. Усилия при из-
гибе брусьев:
1 — прямая ось; 2 — кри-
волинейная ось. 3 — рас-
пределенная нагрузка, 4 —
сосредоточенная нагрузка.
5 — звено цепи
виями выполнения ими технологических операций, точностью
получаемых изделий, чистотой поверхности и т. д. Повышение
несущей способности при статическом нагружении связано с бо-
лее равномерным распределением напряжений и усилий в дета-
ли при переходе за предел упругости. За счет этого снижаются
максимальные напряжения в сечении и предельные напряжения
достигаются при значительно более высоких нагрузках, причем
раньше достигаются предельные перемещения, которые, в свою
очередь, являются критерием несущей способности.
При отсутствии упрочнения наиболее полно проявляются
упомянутые выше «геометрические» факторы, т. е. неравномер-
ность распределения напряжений по сечению и усилий по длине
или площади детали. Например, для случая изгиба кривого
бруса прямоугольного сечения, обладающего большой неравно-
мерностью распределения напряжений по сечению, предельные
265
усилия оказываются выше, чем при изгибе аналогичного стерж-
ня с прямой осью (рис. 166). Для стержня, нагруженного попе-
речной сосредоточенной силой, предельная нагрузка выше, чем
для стержня, изгибаемого распределенной нагрузкой (рис. 166);
еще выше предельные нагрузки в статически неопределимых кон-
струкциях, так как усилия в них перераспределяются по длине
контура.
Рис. 167. Предельные усилия:
а — во вращающемся диске, б — в равномерно на-
груженном опертой пластине, в — в цилиндрической
оболочке под действием кольцевой силы
Для упрочняющегося материала, помимо «геометрических
факторов», увеличению предельной нагрузки способствует так-
же возрастание напряжений по мере деформирования.
Из формулы
" Q = (1 — GT) Qnp + GTer
легко установить, как возрастают предельные нагрузки в случае
линейного упрочнения при прочих равных условиях. На рис. 167, а
приведены графики предельных усилий во вращающемся диске
при GT = 0; 0,1 и 0,2, на рис. 167, б — в равномерно нагружен-
ной свободно опертой пластине, и на рис. 167, в — в цилиндри-
ческой оболочке, нагруженной сосредоточенной кольцевой силой.
Несущая способность по разрушению определяется, с одной
стороны, предельными нагрузками, соответствующими разру-
шающим напряжениям, с другой—напряжениями в детали в за-
висимости от внешних нагрузок, вычисленными с учетом пере-
распределения в результате пластического деформирования.
266
Связь между внешними нагрузками и напряжениями определя-
ется на основе методики, подробно рассмотренной в гл. III—V.
При этом чем меньше упрочняется материал, тем более вы-
равниваются напряжения в процессе пластического деформиро-
вания и тем большая нагрузка соответствует достижению пре-
дельного напряженного состояния; в
рочнением напряжения выравнива-
ются в значительно меньшей степени
и предельное напряженное состоя-
ние достигается раньше, чем для
весьма пластичного материала. На
рис. 168 приведены схематические
графики предельных нагрузок в за-
висимости от отношения разрушаю-
щего напряжения к пределу текуче-
сти для различных модулей упрочне-
ния. При однократном нагружении
возможно ограничение несущей спо-
собности как по перемещениям, так
и по разрушению. Для весьма пла-
стичных материалов раньше дости-
гается предельная нагрузка по пере-
мещениям, и критерий по разруше-
нию можно не использовать. Мате-
риалы, обладающие небольшой пла-
стичностью, а также склонные к
хрупкому разрушению, могут разру-
шаться раньше, чем будут достигну-
ты предельные перемещения. Крите-
рии несущей способности по разру-
материалах с высоким уп-
Рис. 168. Предельные нагрузки
в зависимости от разрушаю-
щего напряжения
шению и по перемещениям, рассмотренные для статического од-
нократного нагружения, могут быть также использованы для пов-
торно-статического нагружения, если дополнительно учесть влия-
ние цикличности нагружения.
Предельно допустимые перемещения детали в узле зависят
ог конкретной конструкции узла и сопряженных деталей и от чи-
сла циклов приложения нагрузки (расчетной долговечности).
Например, жесткость валов может определяться условиями
работы связанных с валом зубчатых колес подшипников и дру-
гих деталей. Прогиб вала под зубчатым колесом приводит к уве-
личению межоссвого расстояния, снижению коэффициента пере-
крытия и уменьшению бокового зазора; поворот сечения вызыва-
ет неравномерное распределение нагрузки по длине зуба и
снижает прочность зубчатой передачи [63]. Поворот сечения вала
на опоре качения приводит к защемлению шариков или перекосу
роликов и снижает долговечность подшипников [15]. При выбран-
ной долговечности определяется предельно допустимый угол по-
267
ворота вала на опоре, при заданном коэффициенте перекрытия —
предельно допустимый прогиб под зубчатым колесом и т. д.
В общем случае предельно допустимое перемещение может
зависеть от числа циклов нагружения. Фактические перемеще-
Рис. 169. Схема определения пре-
дельных нагрузок по предельно до-
пустимому перемещению при цикли-
ческом нагружении
ния в детали также зависят от числа циклов приложения нагру-
зок, и несущая способность детали по перемещениям в связи с
этим зависит от числа циклов. На рис. 169 показана схема опре-
общем случае; серия кривых 1
соответствует зависимостям ме-
жду внешней нагрузкой и пе-
ремещениями в рассматривае-
мой детали, серия кривых 2—
зависимостям между предель-
но допустимыми перемещения-
ми сопряженной детали и на-
грузкой. Графическое решение
дает ряд предельных нагрузок,
зависящих от числа полуцик-
лов, и, следовательно, запас
прочности в зависимости от по-
луциклов нагружения.
Как отмечалось выше, при
циклическом упруго-пластиче-
ском деформировании критери-
ем разрушения может быть до-
стижение в детали предельной
разрушающей деформации, на-
копленной в процессе циклического деформирования, и предель-
ного напряжения. Предельному напряжению и предельной дефор-
мации для заданного числа циклов до разрушения соответствуют
предельные нагрузки. Предельные по усталости нагрузки опре-
деляют из условия достижения предельных напряжений, если
приравнять действующие напряжения, полученные по уравнени-
ям (6.21), (6.20), к предельным, полученным по кривой уста-
лости.
Если в общем случае положить, что при асимметричном цик-
ле разрушение осуществляется при достижении кривой устало-
сти напряжением = оа + фот (см. § 1 гл. VII), то условие, из
которого может быть определена предельная по усталости на-
грузка Qnped, имеет вид
cF (27V)
cF (27V) -i
2^(1 — GT) / j . 1 +M =
, , cF (2JV) < 1 - /J Nm
1 +-----------P
2GT
1 +------z----р
2GT
(7-14)
268
При этом необходимо иметь в виду, что в исходном нагруже-
(0)
нии су ^зависит от нагрузки Qnp(?d.
Рис. 170. Значения предельных нагрузок в за-
висимости от числа циклов для полосы с над-
резом из сплава В-96:
а а
1 — ----= 9,0, жесткое нагружение, 2 —----- = 6,4.
Р Р
3 - — = 3,6, 4 - — = 1,8,
Р Р
мягкое нагружение
Для упрочняющихся материалов (р = 1) это уравнение уп-
рощается, и, если принять F(k) = “рг* можно записать для сим-
метричного цикла
Nm
(7.15)
На рис. 170 приведены значения предельных нагрузок в зави-
симости от расчетной долговечности для полосы с надрезом из
сплава В-96.
?)ти значения вычислены по зависимости Q = f(e), получен-
ной в гл. V и по формуле (7.15).
Для упрочняющихся материалов можно ограничиться опре-
делением предельной нагрузки, вызывающей усталостное разру-
шение. Для материалов, склонных к накоплению односторонней
деформации (разупрочняющихся и циклически стабильных), не-
обходимо, кроме того, определять предельные нагрузки, связан-
ные с возможным квазистатическим разрушением при достиже-
нии предельной деформации.
269
Зависимость предельной деформации от предельного усилия
и числа циклов до разрушения определяется следующим выра-
жением, вытекающим из уравнения (6.23):
п
епред = ^2 "А" У F (2и) - -А У F (2и + 1) -
1 — GT jaw 1 — Gr
1 tl— 1 1 n~0
-пред
n n
У F(2/i)—-^C1 У/7(2/г + 1)
(7-16)
Приведенные деформации в исходном нагружении определя-
ются для нагрузок Qnpedp\ и Qnpedpz в нечетных и четных полу-
циклах соответственно.
Для F(&)=expp(/e—1) при р{ = р2 это уравнение прини-
мает вид
р — J°> д- р(0) ехр р (exnPfW_1)__
епреа-епл +е'«Р0_и^(ехр2р_1)(ехрфЛ/ 1)
- QnpeOP "9^ (eXp2fW “ °’ (7‘' 7)
(1 — Gr)(exp2p-1)
Величина предельной накопленной деформации может при-
ближенно приниматься равной деформации разрушения при од-
нородном напряженном состоянии. В качестве предельных мож-
но использовать деформации, соответствующие значению по-
вреждения 0=1.
Запас прочности определяется выражением [65]
n=^^Qnpednr,
Qpa6
Qt
где пт — —— —запас прочности по пределу текучести, соот-
Qpa6
ветствующий достижению напряжениями
_______ Qnped
пред___Ту
Ч.Т
предела текучести в опасном сечении;
— предельная нагрузка для данного критерия
несущей способности.
Определение Qnped базируется на изложенных в гл. Ill—V
решениях для статического и циклического упруго-пластического.
270
деформирования и вытекает из критериев несущей способности
Величину Qnped можно определять, основываясь на критерии пе-
ремещений или разрушения или на обоих критериях; эта вели-
чина при циклическом нагружении зависит также от заданной
долговечности детали.
Величина относительной предельной нагрузки Qnpeo показы-
вает, насколько запас прочности, определенный но критерию нс*
сущей способности по перемещениям пли по разрушению, отли-
чается от запаса по пределу текучести пт, на котором обычно ба-
зируются расчеты.
в
Глава VIII
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ
(ПРИЛОЖЕНИЕ)
Таблица 19
Данные по линеаризованной диаграмме деформирования
конструкционных сталей и сплавов
Материал «о t> И 8 в % 1о '|Ь o'* m Т • « CQ
Стали среднеуглеродистые, норма- лизация 0 1 24—40 2,1
Сталь 40Х, отжиг 70 25 0,069 1,07 40 2,05
Сталь 40Х, закалка, отпуск 600° С 100 9 0,028 1,1 78 2,1
Сталь 40Х, закалка, отпуск 500° С 120 6 0,022 1,04 НО 2,08
Сталь 40ХНМ, закалка, отпуск 560° С НО 10 0,0285 1,055 94 2
Сталь ЗОХГС закалка, отпуск 600° С 100 12 0,018 1,095 80 2,05
Сталь ЗОХГС, закалка, отпуск 500° С 120 8 0,035 1,07 104 2,05
Сталь ЗОХГСН, закалка изотер- мическая, 330° С 160 8 0,224 1,34 72 1,95
Сталь 18ХНВ, закалка, отпуск 525° С 115 9 0,0545 1,28 77 1,95
Сталь 18ХНВ, закалка 950° С, закалка 850° С, отпуск 180° С 130 10 0,331 1,37 53 1,95
Сталь ЭИ503 105 15 0,104 1,33 60 2
Сталь 1Х18Н9Т, закалка 1050° 60 49 0,117 1,17 18,8 1,88
Сталь ЭИ257, закалка, отпуск 650° С 30 30 0,131 1,28 16 1,7
Сталь ЭИ659, нормализация и от- пуск 500° С 130 11 0,226 1,385 52 1,95
Сталь ЭИ654, закалка 950° С . . 80 33 0,327 1,38 22 1,8
Сплав В-95, закалка, искусствен- ное старение 65 7 0,0285 1,07 55 0,72
Сплав В-95Т, закалка, искусствен- ное старение 60 6 0,0353 1,21 46 0,7
Сплав Д-16, закалка, естествен- ное старение 50 13 0,0625 1,045 30 0,75
272
Продолжение табл. 19
Материал t> CQ % а 2 1 *• а т в кГ мн2 7 з •« U4 со
Сплав Д-16Т, закалка, естествен-
ное старение 50 8 0,0445 1,1 34 0,72
Сплав АК-4, закалка, искусствен-
ное старение 40 15 0,126 1,14 20 0,72
Сплав ВТ1, отжиг 700° С . . . . 60 15 0,079 1,3 33 1,17
Таблица 20
Параметры полигонального упрочнения конструкционных сталей
Сталь и <й to 5 в % Параметры Интервалы деформаций
св. 1 до 1,25 св. 1 до 1,5 св. 1,5 до 2 св. 2 до 3 св 3 до 4 св 4 до 5
40Х, отжиг 70 25 ап Ьп 0,66 0,34 0,96 0,10 0,99 0,08 1,01 0,07 1,04 0,06 1,10 0,045
40Х, закалка, отпуск 600° С 100 9 “п Ьп 0,60 0,40 0,96 0,12 1,08 0,04 1,10 0,03 1,15 0,01 0,17 0,005
40Х, закалка, отпуск 500° С 120 6 ап Ьп 0,84 0,16 0,96 0,06 1,02 0,03 1,04 0,025 1,05 0,015 1,07 0,01
40ХНМ, закал- ка, отпуск 560° С 110 10 ап ьп 0,78 0,22 0,96 0,08 1,03 0,04 1,049 0,033 1,077 0,017 1,085 0,015
ЗОХГС, закал- ка, О!ПуСК 600° с 100 12 ctn Ьп 0,66 0,34 1,02 0,06 1,04 0,04 1,08 0,02 1,12 0,010 1,125 0,005
ЗОХГС, закал- ка отпуск 500° С 120 8 ап bn 0,68 0,32 0,98 0,10 1,04 0,04 1,065 0,03 1,08 0,025 1,14 0,01
ЗОХГСН, изо- термическая закалка 330° С 160 8 <1п Ьп 0,28 0,72 0,40 0,61 0,72 0,42 1 ,01 0,26 1,37 0,15 1,57 0,10
18ХНВА, закал- ка, отпуск 525° С 115 9 ап bn 0,24 0,76 0,76 0,36 1 ,00 0,18 1,27 0,05 1,36 0,02 1,40 0,01
18 Заказ 1099
273
Продолжение табл. 20
Сталь л со to 8 в % Параметры Интервалы деформаций
св. 1 до 1,25 св. 1,25 ДО 1,5 св. 1,5 до 2 св. 2 до 3 св. 3 до 4 св. 4 до 5
18ХНВА, за- калка 950° С закалка 850° С, отпуск 180°С 130 10 Ьп 0,2 0,8 0,4 0,64 0,52 0,56 0,9 0,37 1,32 0,23 1,68 0,14
ЭИ654, закалка 950° С 80 33 «•С 0,28 0,72 0,32 0,68 0,44 0,6 0,84 0,42 1,35 0,24 1,82 0,12
ЭИ659, норма- лизация и отпуск 500° С 130 11 ап Ьп 0,16 0,84 0,4 0,64 0,74 0,42 1,05 0,27 1,36 0,16 1,57 ( 0,11
ЭИ257, закалка и отпуск 650° С 30 30 е е Q О 0,36 0,64 0,60 0,44 0,76 0,34 1,14 0,15 1,38 0,07 1,58 0,02
ЭИ503 105 15 ап Ьп 0,24 0,76 0,52 0,56 0,94 0,26 1,22 0,12 1,46 0,04 1,50 0,03
1Х18Н9Т, за- калка 1050° С 60 49 ап Ьп 0,4 0,6 0,88 0,26 0,96 0,20 1,09 0,11 1,15 0,09 1,27 0,06
Таблица 21
Параметры полигонального упрочнения алюминиевых и титановых сплавов
Сплав <50 to % а 2 Параметры Интервалы деформаций
св. 1 до 1,25 св. 1,2 5 до 1,5 св. 1,5 до 2 св. 2 до 3 св. 3 до 4 св. 4 до 5
Д-16, закалка, естест- венное старение 50 13 ап Ьп 0,80 0,20 0,88 0,14 0,92 0,12 0,96 0,09 1,08 0,04 1,12 0,03
Д-16Т, закалка, естест- венное старение 50 8 Яп Ьп 0,64 0,36 0,94 0,12 0,98 0,10 1,1 0,04 1,19 0,01 1,19 0,01
В-95, закалка, искус- ственное старение 65 7 ап Ьп 0,72 0,28 0,96 0,08 1,015 0,05 1,065 0,025 1,08 0,02 1,12 0,01
В-95Т, закалка, искусст- венное старение 60 6 ап Ьп 0,36 0,64 0,80 0,28 1,08 0,10 1,24 0,02 1,26 0,01 1,27 0,01
АК-4, закалка, искусст- венное старение 40 15 ап Ьп 0,52 0,48 0,72 0,32 0,90 0,22 1,05 0,13 1,20 0,08 1,32 0,05
ВТ-1, отжиг 700° С 60 15 ап Ьп 0,20 0,80 0,60 0,48 1,04 0,18 1,23 0,09 1,41 0,03 1,49 0,01
274
Таблица 22
Значения интегралов fM и JM при совместном изгибе и растяжении стержня прямоугольного сечения
*тах е при X ПРИХ
0 0, 1 0,25 0,5 0,75 1 2 0 0,1 0,25 0,5 0,75 1 2
5 1,25 1,5 2 3 4 5 0,033 0,042 0,105 0,300 0,420 0,540 0,042 0,051 0,129 0,365 0,510 0,326 0,053 0,066 0,164 0,470 0,236 0,328 0,075 0,096 0,006 0,158 0,240 0,382 —0,048 —0,036 —0,036 0,063 0,248 0,431 оо ОО О ОО со СП О ОО О О О О СМ -Ф О О О О О О 1111 -0,300 —0,267 —0,428 -0,45 0,09 0,53 0,039 0,057 0,200 0,759 1,475 2,43 0,048 0,069 0,225 0,921 1,790 1,465 0,060 0,087 0,291 1,188 0,826 1,485 0,087 0,126 0,012 0,293 0,879 1,730 -0,051 —0,013 —0,060 0,177 0,874 1,950 -0,090 -0,097 —0,153 0,020 0,870 2,180 —0,331 -0,37 —0,739 1,08 0,345 2,85
4 1,25 1,5 2 3 4 0,054 0,066 0,165 0,468 0,655 0,063 0,078 0,198 0,567 0,504 0,081 0,101 0,255 0,405 0,393 0,117 0,048 0,042 0,243 0,453 —0,042 —0,024 0,006 0,225 0,666 -0,082 -0,057 —0,046 0,187 0,563 —0,327 —0,271 —0,420 —0,150 0,690 0,060 0,087 0,291 1,190 2,310 0,072 0,105 0,351 1,435 1,585 0,093 0,135 0,309 0,811 1,375 0,135 0,060 0,078 0,571 1,590 -0,045 -0,036 0,020 0,600 1,815 —0,090 -0,083 -0,075 0,454 2,00 —0,361 —0,384 —0,663 —1,8 2,475
3 1,25 1,5 2 3 0,093 0,114 0,288 0,825 0,104 0,137 0,354 0,612 0,147 0,180 0,328 0,496 0,012 0,037 0,142 0,566 —0,021 0,012 0,120 0,062 -0,065 —0,020 0,084 0,670 -0,33 —0,232 —0,188 0,750 0,105 0,153 0,510 2,095 0,129 0,189 0,627 1,635 0,168 0,243 0,558 1,260 0,015 0,045 0,104 1,44 —0,021 0,013 —0,220 1,61 —0,068 -0,033 —0,16 1,73 —0,360 —0,184 —0,30 2,0
2 1,25 1,5 2 0,210 0,258 0,656 0,255 0,315 0,470 0,410 0,144 0,395 0,094 0,152 0,453 0,078 0,153 0,520 0,045 0,142 0,563 -0,180 0,045 0,705 0,240 0,355 1,165 0,291 0,426 0,806 0,369 0,199 0,700 0,111 0,200 0,809 0,093 0,200 0,927 0,060 0,183 1,015 0,014 0,405 2,28
1,5 1,25 1,5 0,372 0,455 0,435 0,255 0,216 0,285 0,233 0,330 0,246 0,380 0,208 0,382 0,18 0,57 0,426 0,625 0,484 0,340 0,256 0,380 0,270 0,442 0,29 0,504 0,29 0,666 0,24 0,730
1,25 1,25 0,536 0,322 0,327 0,380 0,433 0,475 2,12 0,616 0,366 0,375 0,440 0,500 0,558 0,758
276
Таблица 23
Значения интегралов J'N и JN при совместном изгибе и растяжении стержня прямоугольного сечения
етах е JN при х j'N при X
0,1 0,25 0,50 0,75 1,0 2,0 1,0 0,25 0,50 0,75 1,0 2,0
1,25 0 0 0 0,044 0,05 0,075 0 0 0 0,049 0,056 0,084
1,5 0 0 4 0,035 0,044 0,05 0,075 0 0 0,019 0,069 0,079 0,118
2 0 0 0,075 0,087 0,1 0,15 0 0 0,131 0,153 0,175 0,263
5 3 0 0 0,150 0,175 0,2 0,30 0 0 0,375 0,237 0,500 0,550
4 0 0,125 0,150 0,175 0,2 0,30 0 0,437 0,525 0,613 0,700 1,050
5 0,1 0,125 0,150 0,175 0,2 0,30 0,45 0,562 0,675 0,787 0,900 1,350
1,25 0 0 0 0,055 0,063 0,094 0 0 0 0,062 0,70 0,105
1,5 0 0 0,046 0,055 0,063 0,094 0 0 0,052 0,086 0,099 0,148
4 2 0 0 0,093 0,109 0,125 0,188 0 0 0,164 0,192 0,219 0,328
3 0 0,093 0,187 0,219 0,25 0,375 0 0,252 0,468 0,547 0,625 0,938
4 0,1 0,156 0,187 0,219 0,25 0,375 0,364 0,546 0,655 0,767 0,875 1,312
1,25 0 0 0,063 0,073 0,083 0,125 0 0 0,070 0,082 0,094 0,140
1,5 0 0 0,063 0,073 0,083 0,125 0 0 0,099 0,115 0,132 0,198
3 2 0 0,042 0,125 0,146 0,167 0,25 0 0,078 0,219 0,256 0,291 0,438
3 0,1 0,208 0,250 0,292 0,333 0,56 0,387 0,520 0,625 0,780 0,833 1,25
1,25 0 0,015 0,094 0,109 0,125 0,187 0 0,019 0,105 0,122 0,140 0,210
2 1,5 0 0,078 0,094 0,109 0,125 0,187 0 0,123 0,148 0,173 0,198 0,296
2 0,100 0,156 0,187 0,219 0,250 0,375 0,180 0,272 0,328 0,383 0,437 0,656
1 с 1,25 0 0,104 0,125 0,146 0,167 0,25 0,117 0,140 0,162 0,187 0,280
1,5 1,5 0,07 0,104 0,125 0,146 0,167 0,25 0,05 0,165 0,197 0,232 0,264 0,395
1,25 1,25 0,1 0,125 0,150 0,175 0,20 0,30 0,112 0,140 0,168 0,196 0,224 0,336
Таблица 24
Значения интегралов ^мупр и ^Nynp ПРИ совместном изгибе и растяжении
стержня прямоугольного сечения
етах при X м упр
0 о, 1 0,25 0,5 0,75 1 2
1 1 0,911 0,80 0,668 0,563 0,5 0,333
1,25 0,64 0,77 0,629 0,372 0,224 0,080 —0,370
1,5 0,445 0,54 0,576 0,276 0,065 —0,11 —0,505
2 0,250 0,303 0,390 0,207 —0,057 —0,25 —0,455
3 0,110 0,135 0,174 0,250 —0,084 —0,278 —
4 0,063 0,076 0,097 0,140 —0,054 —0,250 —
5 0,040 0,049 0,063 0,090 —0,013 —0,220 —
J Лг при А упр X
ешах 0 0, I 0,25 0,50 0,75 1 2
1 0 0,09 0,200 0,333 0,437 0,500 0,667
1,25 0 0 0,110 0,254 0,337 0,400 0,507
1,5 0 0 0,040 0,187 0,260 0,333 0,375
2 0 0 0 0,103 0,201 0,250 0,200
3 0 0 0 0 0,120 0,167 —
4 0 0 0 0 0,75 0,125 —
5 0 0 0 0 0,043 0,100
277
Таблица 25
Значение функций JMpnp и JNynp при рх = 3
тих
1 , 00 1,25 1 .5 2 3 4 5
упр
—0,25 0,1373 0,0655 0,0383 0,0179 0,0069 0,0037 0,0023
—0,10 0,5629 0,6298 0,5345 0,2169 0,0762 0,0394 0,0243
j 0,00 0,4379 0,4616 0,4956 0,5828 0,2160 0,1080 0,0654
0,11 0,3518 0,3434 0,3464 0,3750 0,4776 0,2618 0,1552
0,33 0,2525 0,2031 0,1671 0,1240 0,1020 0,1178 0,1488
1,00 0,1356 0,0294 —0,0592 —0,1895 —0,3203 —0,3562 —0,3466
3,00 0,0567 —0,0967 —0,2265 —0,4033 —0,4476 —0,1747 0,0000
9,00 0,0204 —0,1587 —0,3088 —0,4884 —0,2871 0,0000 0,0000
-11,00 —0,0192 —0,2302 —0,4023 —0,5393 0,0000 0,0000 0,0000
—3,00 —0,0780 —0,3470 —0,5400 —0,2504 0,0000 0,0000 0,0000
—2,00 —0,1280 —0,4608 —0,6007 —0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,50 —0,1887 —0,6120 —0,0000 —0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 —0,2476 —0,2394 -0,0000 —0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,10 —0,3046 —0,0000 —0,0000 —0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
JN упр
—0,25 —0,2877 —0,0274 —0,1726 —0,1159 -0,0631 —0,0153 —0,0098
-0,10 -0,3142 —0,1044 —0,4875 —0,5013 -0,2527 —0,0573 —0,0363
0,00 -0,0006 —0,1990 —0,1118 —0,2195 —0,4251 —0,1074 —0,0674
0,11 0,2151 —0,3008 0,1429 0,0727 —0,0602 —0,1899 —0,1180
0,33 0,4641 ' 0,2123 0,4312 0,3966 0,3292 0,1164 0,0345
1,00 0,7572 0,6024 0,7567 0,7446 0,7033 0,5056 0,4196
3,00 0,0951 0,5353 0,9609 0,9395 0,8431 0,1595 0,0000
9,000 1,0462 0,2792 1,0476 1,0089 0,8429 0,0000 0,0000
—11,00 1,1456 0,0000 1,1337 1,0598 0,7536 0,0000 0,0000
—3,00 1,2929 0,0000 1,2353 1,0495 0,2367 0,0000 0,0000
-2,00 1,4183 0,0000 1,2745 0,8557 0,0000 0,0000 0,0000
—1,50 1,5705 0,0000 1,1655 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 1,7181 0,0000 0,2244 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,10 1,8612 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
278
Таблица 26
Значения функций и JN при рх = 3
п -
X JM JN JN
emax .25: = 1.25] 1 = 2; ' cmax ek = 1.25
—0,25 —0,0932 0,1061 0,1651 —0,1969 0,0195 0,0221 0,0558 ”0,0631
—0,10 —0,0657 0,0738 —0,0845 0,0948 0,2811 0,3195 0,2482 -0,2811
0,00 0,0763 0,0857 —0,0990 0,1110 0,0501 0,0564 —0,0875 0,0982
0,11 0,0858 0,0964 —0,1123 0,1259 0,0557 0,0627 —0,1042 0,1168
0,33 0,1002 0,1126 —0,1330 0,1489 0,0627 0,0707 —0,1331 0,1192
1,00 0,1247 0,1401 —0,1697 0,1898 0,0681 0,0771 —0,1954 0,2187
3,00 0,1492 0.1676 —0,2085 0,2329 0,0565 0,0648 —0,2803 0,3133
9,00 0,1640 0,1841 —0,2331 0,2602 0,0339 0,0403 —0,3469 0,3873
—11,00 0,1835 0,2061 —0,2674 0,2982 —0,0302 —0,0293 —0,4617 0,5147
—3,00 0,2220 0,2495 —0,3422 0,3802 —0,4349 —0,4682 —0,8418 0,9343
—2,00 0,2674 0,3009 —0,4490 0,4983 —0,5355 —0,6341 —0,6131 0,7299
— 1,50 0,3315 0,3761 —0,7235 0,7977 —0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 —0,1192 -0,0701 —1,7744 1,9233 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 —0,3600 -0,3808 —2,0000 2,3265 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
emax = 1,5; ё/ г = 1,25 = 1,5
—0,25 0,0482 0,0548 0,1065 —0,1205 0,0294 0,0407 0,0713 -0,0984
—0,10 0,2221 0,2349 0,0699 —0,0653 0,3303 0,4450 0,2125 -0,2825
0,00 0,0660 0,0742 —0,0955 0,1071 0,0500 0,0688 —0,0764 0,1048
0,11 0,0744 0,0836 —0,1105 0,1239 0,0562 0,0773 —0,0891 0,1223
0,33 0,0868 0,0976 —0,1348 0,1510 0,0654 0,0899 —0,1102 0,1512
1,00 0,1073 0,1208 —0,1813 0,2029 0,0795 0,1094 —0,1521 0,2084
3,00 0,1259 0,1418 —0,2357 0,2633 0,0901 0,1242 —0,2032 0,2782
9,00 0,1355 0,1529 —0,2729 0,3047 0,0936 0,1293 —0,2396 0,3278
—11,00 0,1455 0,1645 —0,3290 0,3669 0,0929 0,1288 —0,2963 0,4050
—3,00 0,1481 0,1692 —0,4691 0,5216 0,0575 0,0825 —0,4480 0,6111
—2,00 0,0805 0,0998 —0,7200 0,7973 —0,1431 —0,1828 —0,7546 1,0257
— 1,50 —0,6564 -0,6913 — 1,4620 1,6256 —0,6559 —0,9253 —0,8960 1,2762
—1,25 —0,6446 -0,7795 —0,8588 1,0436 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
~ek= U 5 = 2
—0,25 0,0814 0,1129 0,1413 —0,1951 0,1087 0,1938 0,1984 -0,3507
—0,10 0,0545 0,0749 —0,0694 0,0953 0,0826 0,1444 —0,1079 0,1879
0,00 0,0633 0,0869 —0,0812 0,1114 0,0960 0,1678 —0,1269 0,2209
0,11 0,0711 0,0977 —0,0919 0,1260 0,1080 0,1887 —0,1445 0,2512
0,33 0,0830 0,1140 —0,1084 0,1486 0,1262 0,2204 —0,1719 0,2986
1,00 0,1033 0,1419 —0,1375 0,1883 0,1571 0,2743 —0,2215 0,3839
3,00 0,1236 0,1697 —0,1679 0,2298 0,1877 0,3278 —0,2750 0,4756
9,00 0,1358 0,1865 —0,1870 0,2557 0,2058 0,3595 —0,3094 0,5344
—11,00 0,1522 0,2090 —0,2133 0,2916 0,2296 0,4012 —0,3582 0,6178
—3,00 0,1848 0,2538 —0,2698 0,3683 0,2740 0,4800 —0,4677 0,8037
—2,00 0,2249 0,3089 —0,3481 0,4744 0,3186 0,5609 —0,6323 1,0809
—1,50 0,2964 0,4082 —0,5380 0,7302 0,2959 0,5478 -1,1040 1,8649
—1,25 0,2846 0,4081 —1,1412 1,5336 —0,3600 —0,4952 —2,0000 3,4362
—1,10 0,3600 -0,4570 —2,0000 2,7918 —0,3600 —0,6093 —2,0000 3,7224
279
Продолжение табл. 26
X j' м JN J N j' M j" M JN JN
^max = 3; ek = = 1,25 ~tk~- = 3
—0,25 0,0066 0,0075 0,0236 -0,0267 0,1296 0,3352 0,2478 -0,6311
—0,10 0,0788 0,0893 0,0939 -0,1062 0,2766 0,6197 0,0004 0,0600
0,00 0,2429 0,2755 0,1872 -0,2118 0,1293 0,3223 —0,1767 0,4370
0,11 0,0321 0,0363 —0,0899 0,1009 0,1455 0,3627 —0,2024 0,4998
0,33 0,0291 0,0330 —0,1222 0,1370 0,1699 0,4234 —0,2432 0,5992
1,00 —0,0030 —0,0025 —0,2028 0,2273 0,2106 0,5253 —0,3188 0,7824
3,00 —0,1237 —0,1359 —0,3405 0,3809 0,2495 0,6231 —0,4036 0,9863
9,00 —0,3064 —0,3375 -0,4744 0,5299 0,2714 0,6787 —0,4599 1,1209
—11,00 —0,3920 —0,4581 —0,4000 0,4694 0,2977 0,7468 —0,5424 1,3170
—3,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,3329 0,8460 —0,7389 1,7797
—2,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,3054 0,8174 — 1,0682 2,5433
— 1,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 —0,3600 —0,5662 —2,0000 4,7116
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 —0,3600 —0,7428 -2,0000 5,1544
— 1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 —0,3600 —0,9139 —2,0000 5,5836
e*= 1,5 emax — = 1,25
—0,25 0,0090 0,0125 0,0294 -0,0406 0,0034 0,0038 0,0131 -0,0143
—0,10 0,1158 0,1598 0,1220 -0,1684 0,0374 0,0424 0,0501 -0,0566
0,00 0,2827 0,3827 0,1697 -0,2269 0,1075 0,1217 0,0961 -0,1087
0,11 0,0353 0,0486 —0,0798 0,1095 0,2780 0,3152 0,1760 —0,1991
0,33 0,0371 0,0511 —0,1052 0,1444 0,0097 0,0112 —0,1098 0,1233
1,00 0,0278 0,0386 —0,1644 0,2253 —0,0543 -0,0600 —0,1983 0,2222
3,00 —0,0167 —0,0215 —0,2544 0,3484 —0,3096 —0,3436 —0,3753 0,4200
9,00 —0,0806 —0,1080 —0,3327 0,4553 —0,1607 —0,1949 —0,1451 0,1761
—11,00 —0,2603 —0,3508 —0,4837 0,6610 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—3,00 —0,2567 —0,3756 —0,2424 0,3550 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—2,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
"^ = 2 1,5
—0,25 0,0280 0,0497 0,0773 -0,1372 0,0044 0,0060 0,0161 -0,0223
—0,10 0,4174 -0,7437 0,3524 -0,6236 0,0509 0,0703 0,0633 -0,0873
0,00 0,0669 0,1170 -0,1141 0,1987 0,1527 0,2110 0,1243 -0,1716
0,11 0,0744 0,1304 —0,1354 0,2357 0,0627 0,0819 —0,0363 0,0536
0,33 0,0845 0,1481 —0,1721 0,2993 0,0187 0,0258 —0,0971 0,1333
1,00 0,0941 0,1659 —0,2501 0,4341 —0,0152 —0,0203 —0,1654 0,2268
3,00 0,0848 0,1520 —0,3549 0,6143 —0,1419 —0,1927 —0,2875 0,3938
9,00 0,0620 0,1150 —0,4359 0,7534 —0,3415 —0,4638 —0,4119 0,5638
—11,00 —0,0054 0,0044 -0,5739 0,9893 —0,0740 —0,1100 —0,0645 0,0959
—3,00 —0,4362 —0,7044 — 1,0187 1,7439 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—2.00 —0,6654 —1,2014 —0,9318 1,7114 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
280
Продолжение табл. 26
X JN j' M JN J N
~ek = 2 emax — 5; 1,25
—0,25 0,0126 0,0223 0,0419 -0,0739 0,0020 0,0023 0,0083 —0,0094
—0,10 0,1588 0,2817 0,1722 -0,3041 0,0221 0,0250 0,0313 —0,0354
0,00 0,4181 0,7249 0,2707 -0,4626 0,0614 0,0695 0,0591 —0,0668
0,11 0,0519 0,0911 —0,1234 0,2150 0,1519 0,1720 0,1056 —0,1194
0,33 0,0529 0,0932 —0,1640 0,2855 -0,0015 —0,0015 —0,0988 0,1109
1,00 0,0315 0,0575 —0,2602 0,4520 -0,0886 —0,0986 —0,1894 0,2125
3,00 —0,0593 —0,0957 —0,4114 0,7128 -0,1834 —0,2184 —0,1673 0,1994
9,00 —0,1912 —0,3181 —0,5471 0,9459 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 11,00 —0,5783 —0,9686 —0,8192 1,4113 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—3,00 —0,2567 —0,5008 —0,2424 0,4734 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—2,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
~ek = 3 Ck = = 1,5
—0,25 0,0489 0,1257 0,1271 -0,3229 0,0026 0,0036 0,0102 —0,0141
—0,10 0,6113 1,5291 0,4607 -1,1272 0,0290 0,0400 0,0391 —0,0539
0,00 0,1001 0,2503 —0,1638 0,4059 0,0828 0,1143 0,0728 —0,1032
0,11 0,1119 0,2799 —0,1933 0,4782 0,2129 0,2941 0,1365 —0,1883
0,33 0,1281 0,3211 —0,2434 0,6008 0,0070 0,0097 —0,0890 0,1221
1,00 0,1476 0,3729 —0,3475 0,8543 -0,0472 —0,0642 —0,1615 0,2216
3,00 0,1466 0,3781 —0,4835 1,1829 -0,2648 —0,3608 —0,3084 0,4226
9,00 0,1275 0,3392 —0,5865 1,4302 -0,0526 —0,0782 —0,0455 0,0676
—11,00 0,0627 0,1992 —0,7581 1,8395 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—3,00 —0,3775 —0,7713 —1,2898 3,0908 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—2,00 —0,6786 —1,6337 —1,3677 3,5112 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-1,50 —0,6559 —1,8506 —0,8960 2,5524 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
~ek = 4 ek = = 2
—0,25 0,1087 0,3876 0,1984 -0,7014 0,0072 0,0127 0,0263 —0,0464
—0,10 0,0826 0,2888 —0,1079 0,3757 0,0843 0,1492 0,1036 —0,1829
0,00 0,0960 0,3355 —0,1269 0,4417 0,2547 0,4517 0,2043 —0,3609
0,11 0,1080 0,3775 —0,1445 0,5025 0,1377 0,2213 —0,0233 0,0577
0,33 0,1262 0,4409 —0,1719 0,5973 0,0307 0,0544 —0,1537 0,2678
1,00 0,1571 0,5486 —0,2215 0,7678 -0,0211 —0,0338 —0,2608 0,4535
3,00 0,1877 0,6555 —0,2750 0,9512 -0,2160 —0,3660 —0,4514 0,7825
9,00 0,2058 0,7191 —0,3094 1,0689 -0,5237 —0,8886 —0,6149 1,1154
—11,00 0,2296 0,8024 —0,3582 1,2355 -0,2871 —0,5495 —0,2754 0,5282
—3,00 0,2742 0,9601 —0,4677 1,6073 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—2,00 0,3186 1,1218 —0,6323 2,1618 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,50 0,2959 1,0956 —1,1040 3,7298 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 —0,3600 —0,9903 —2,0000 6,8723 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 —0,3600 —1,2186 —2,0000 7,4448 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
281
Продолжение табл. 26
rf
X JM JN J „ M JM JN JN
?k = 3 5
—0,25 0,0255 0,0651 0,0781 -0,1981 0,0932 0,4243 0,1651 -0,7477
—0,10 0,3451 0,8886 0,3343 -0,8518 0,0657 0,2954 —0,0845 0,3790
0,00 0,3807 0,8662 0,1410 -0,2697 0,0763 0,3430 —0,0990 0,4441
0,11 0,0864 0,2169 —0,1816 0,4499 0,0858 0,3857 —0,1123 0,5036
0,33 0,0935 0,2358 —0,2367 0,5853 0,1002 0,4503 —0,1330 0,5957
1,00 0,0834 0,2161 —0,3618 0,8906 0,1247 0,5604 —0,1697 0,7591
3,00 0,0110 0,0515 —0,5460 1,3374 0,1492 0,6705 —0,2085 0,9317
9,00 —0,0974 —0,1970 —0,7019 1,7125 0,1640 0,7366 —0,2332 1,0407
—11,00 —0,4051 —0,9015 —0,9945 2,4115 0,1835 0,8245 —0,2674 1,1923
—3,00 —0,6719 —1,7363 —0,9596 2,5461 0,2220 0,9980 —0,3422 1,5231
—2,00 —0,3681 —1,0735 —0,3699 1,0806 0,2674 1,2034 —0,4490 1,9931
—1,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,3315 1,5045 —0,7235 3,1907
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 —0,1192 —0,2803 — 1,7744 7,6931
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 —0,3600 —1,5232 —2,0000 9,3060
^ = 4
—0,25 0,0495 0,1760 0,1169 -0.4128
-0,10 0,4171 1,3921 0,2460 -0,7900
0,00 0,0798 0,2791 —0,1208 0,4207
0,11 0,0897 0,3139 —0,1408 0,4900
0,33 0,1043 0,3650 —0,1738 0,6041
1,00 0,1269 0,4449 —0,2390 0,8291
3,00 0,1440 0,5068 —0,3183 1,1018
9,00 0,1497 13,5291 —0,3747 1,2950
—11,00 0,1486 0,5302 —0,4626 1,5953
—3,00 0,0899 0,3482 —0,6982 2,3952
—2,00 -0,2593 —0,7699 — 1,1810 4,0176
—1,50 —0,6915 —2,4482 — 1,2765 4,6620
— 1,25 —0,2408 —0,9577 -0,2256 0,8975
— 1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
282
Таблица 27
Значение функций JM упр и JN упр при рх = 2
^гпах
1 1 ,25 1,5 2,0 3 4 5
М f упр
—0,25 1,6305 0,6650 0,3075 0,1114 0,0347 0,0170 0,0102
-0,10 1,0690 1,2026 1,3482 1,1034 0,2939 0,1381 0,0813
0,00 0,8689 0,9375 1,0187 1,2076 0,8002 0,3543 0,2032
0,11 0,7202 0,7382 0,7691 0,8601 1,1114 0,8361 0,4623
0,33 0,5360 0,875 0,4523 0,4159 0,4324 0,5107 0,6176
1,00 0,2999 0,1571 0,0281 —0,1832 —0,4517 —0,5885 —0,6527
3,00 0,1272 —0,0546 —0,3018 —0,6460 —1,0220 —1,0364 —0,7808
9,00 0,0436 —0,2208 —0,4698 —0,8737 —1,1675 —0,7166 0,0000
—11,00 —0,0505 —0,3670 —0,6678 —1,1209 —0,9471 0,0000 0,0000
—3,00 —0,1963 —0,6101 —0,9960 —1,3614 0,0000 0,0000 0,0000
—2,00 —0,3266 —0,8497 —1,3042 —0,4633 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,50 —0,4933 — 1,2107 — 1,4120 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,25 —0,6643 —1,5830 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 —0,8398 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Г упр
—0,25 —1,2165 —0,7437 —0,4616 —0,2343 —0,0972 —0,0534 —0,0338
—0,10 —0,3231 —0,5245 —0,7233 —0,7797 —0,2907 —0,1546 -0,0965
0,00 —0,0008 —0,1408 —0,2762 —0,5412 —0,5225 —0,2691 —0,1658
0,11 0,2317 0,1418 0,050 —0,1302 —0,4728 —0,4560 —0,2753
0,33 0,5246 0,4880 0,4456 0,3555 0,1811 0,0232 -0,1206
1,00 0,9002 0,9222 0,9283 0,9144 0,8467 0,7697 0,6981
3,00 1,1751 1,285 1,2523 1,2376 1,0683 0,8085 0,5085
9,00 1,3080 1,3715 1,3941 1,3457 1,0008 0,4507 0,0000
— 11,00 1,4577 1,5270 1,5361 1,4027 0,6384 0,0000 0,0000
—3,00 1,8896 1,7482 1,6944 1,2235 0,0000 0,0000 0,0000
—2,00 1,8970 1,9118 1,7079 0,2723 0,0000 0,0000 0,0000
—1,50 2,1621 2,0104 1,1501 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 2,4342 1,5948 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,10 2,7134 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
283
Таблица 28
Значения функций JM и Л\/ при рг = 4
X JM JN j' м
етах = 1,25; eh = 1,25 ^тах , = 1,25
-0,25 1,2298 1,3731 0,7028 —0,7769 0,1661 0,1891 0,2280 -0,2581
—0,10 0,1190 0,1336 —0,1076 0,1206 0,6219 0,6579 0,2202 -0,2228
0,00 0,1323 0,1486 —0,1203 0,1348 0,0977 0,1099 —0,1149 0,1289
0,11 0,1444 0,1620 -0,1320 0,1478 0,1072 0,1205 —0,1316 0,1475
0,33 0,1627 0,1825 —0,1499 0,1678 0,1210 0,1361 —0,1600 0,1793
1,00 0,1942 0,2173 —0,1816 0,2031 0,1415 0,1593 —0,2192 0,2453
3,00 0,2261 0,2535 —0,2148 0,2400 0,1529 0,1726 —0,2964 0,3313
9,00 0,2456 0,2753 —0,2357 0,2631 0,1511 0,1713 —0,3547 0,3961
—11,00 0,2720 0,3048 —0,2646 0,2951 0,1303 0,1495 —0,4514 0,5032
—3,00 0,3257 0,3648 —0,3268 0,3638 —0,0523 —0,0467 —0,7443 0,8270
—2,00 0,3943 0,4414 -0,4136 0,4594 — 1,2217 —1,3021 —1,5088 1,6670
—1,50 0,5305 0,5941 —0,6265 0,6922 —0,6560 —0,8098 —0,4000 0,4940
—1,25 0,6588 0,7527 —1,3276 1,4479 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-1,10 —1,0200 -1,0498 —3,0000 3,3917 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
^тах 1.5; = = 1,25 1,5
—0,25 0,6115 0,6993 0,5123 —0,5813 0,3224 0,4477 0,3214 -0,4442
—1,00 0,1071 0,1203 —0,1051 0,1178 0,0827 0,1137 —0,0845 0,1159
0,00 0,1200 0,1347 —0,1197 0,1342 0,0929 0,1276 -0,0971 0,1332
0,11 0,1316 0,1478 —0,1336 0,1496 0,1020 0,1402 —0,1092 0,1497
0,33 0,1495 0,1678 —0,1557 0,1744 0,1161 0,1595 —0,1289 0,1766
1,00 0,1806 0,2028 —0,1975 0,2209 0,1401 0,1925 —0,1671 0,2288
3,00 0,2119 0,2380 —0,2451 0,2738 0,1635 0,2247 —0,2123 0,2906
9,00 0,2307 0,2591 —0,2771 0,3093 0,1767 0,2429 —0,2437 0,3333
—11,00 0,2551 0,2867 —0,3243 0,3617 0,1924 0,2647 -0,2915 0,3984
—3.00 0,2991 0,3367 —0,4381 0,4874 0,2102 0,2903 —0,4132 0,5639
—2,00 0,3291 0,3730 —0,6294 0,6979 0,1686 0,2379 —0,6387 0,8693
—1,50 0,0358 0,0742 — 1,3204 1,4507 — 1,0100 — 1,3069 — 1,6714 2,2553
—1,25 — 1,6605 -1,8766 —2,0941 2,4297 -0,8165 — 1,2131 —0,5161 0,7672
— 1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Q ~ 1,5 ek = 2
—0,25 1,0594 1,4390 0,5801 —0,7819 1,4332 2,5128 0,8662 -1,4963
—0,10 0,0983 0,1349 —0,0881 0,1208 0,1507 0,2630 —0,1382 0,2403
0,00 0,1092 0,1499 —0,0983 0,1348 0,1879 0,2928 —0,1551 0,2695
0,11 0,1190 0,1334 —0,1076 0,1475 0,1833 0,3196 —0,1706 0,2963
0,33 0,1340 0,1839 —0,1219 0,1670 0,2069 0,3606 —0,1947 0,3379
1,00 0,1569 0,2190 —0,1469 0,2012 0,2476 0,4312 —0,2378 0,4120
3,00 0,1856 0,2545 —0,1729 0,2365 0,2889 0,5030 —0,2838 0,4908
9,00 0,2014 0,2702 —0,1890 0,2585 0,3142 0,5467 —0,3131 0,5408
—11,00 0,2227 0,3054 —0,2112 0,2887 0,3482 0,6057 —0,3542 0,6110
—3,00 0,2662 0,3649 —0,2583 0,3526 0,4171 0,7252 —0,4448 0,7648
—2,00 0,3221 0,4412 —0,3224 0,4396 0,5026 0,8743 —0,5766 0,9874
—1,50 0,4366 0,5979 —0,4727 0,6424 0,6460 1,1301 —0,9286 1,5749
— 1,25 0,6405 0,8801 —0,9059 1,2216 —0,2035 —0,1155 —2,4839 4,1011
—1,10 —1,0200 -1,2597 —3,0000 4,0700 — 1,0200 — 1,6796 —3,0000 5,4267
284
Продолжение табл. 28
X j' м 3 N JN 3 N
ешах 3; <7 = = 1,25 £k ~~ = 3
—0,25 0,0399 0,0453 0,0871 --0,0985 1,6709 4,2766 1,0924 -2,7264
—0,10 0,3769 0,4284 0,2843 -0,3219 0,2054 0,5105 —0,1937 0,4771
0,00 0,8319 0,9195 0,3767 -0,4116 0,2292 0,5693 —0,2180 0,5380
0,11 0,0704 0,0793 —0,1204 0,1351 0,2507 0,6225 —0,2412 0,5942
0,33 0,0727 0,0820 —0,1550 0,1738 0,2835 0,7036 —0,2776 0,6828
1,00 0,0544 0,0621 —0,2380 0,2666 0,3402 0,8436 —0,3444 0,8441
3,00 —0,0336 —0,0347 —0,3708 0,4145 0,3975 0,9850 —0,4179 1,0206
9,00 —0,1671 —0,1816 —0,4918 0,5493 0,4320 1,0705 —0,4661 1,1356
-11,00 —0,5742 —0,6286 —0,7398 0,8245 0,4778 1,1841 —0,5355 1,3008
—3,00 —0,7258 —0,8769 —0,4493 0,5436 0,5663 1,4032 —0,6963 1,6801
—2,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,6511 1,6285 —0,9518 2,2750
— 1,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,4724 1,3442 —1,7931 4,1862
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 — 1,0200 — 1,9929 —3,0000 7,3025
— 1,1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 —1,0200 —2,5194 —3,0000 8,1401
ё* = *-5 е max ek = 1.25
—0,25 0,0629 0,0871 0,1128 -0,1557 0,0174 0,0197 0,0466 -0,0527
—0,10 0,6724 0,9328 0,4029 -0,5569 0,1492 0,1692 0,1413 -0,1598
0,00 0,0667 0,0917 —0,0891 0,1223 0,4123 0,4681 0,2569 -0,2907
0,11 0,0724 0,0995 —0,1039 0,1425 0,5769 0,6240 0,2068 -0,2172
0,33 0,0795 0,1094 —0,1301 0,1784 0,0398 0,0451 —0,1445 0,1621
1,00 0,0833 0,1149 —0,1885 0,2584 —0,0193 —0,0205 —0,2404 0,2694
3,00 0,0630 0,0879 —0,2728 0,3735 -0,2510 —0,2772 —0,4185 0,4682
9,00 0,0265 0,0386 -0,3424 0,4685 —0,6373 —0,7042 —0,6080 0,6792
-11,00 —0,0806 —0,1055 —0,4692 0,6413 —0,7088 —0,8409 —0,4371 0,5198
—3,00 —0,8691 —1,1653 —0,9483 1,2916 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—2,00 —0,4695 —0,6949 —0,2759 0,4084 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
ek 2 t'k 1,5
—0,25 0,2508 0,4479 0,3231 -0,5716 0,0250 0,0316 0,0588 -0,0811
—0,10 0,6500 1,0413 0,1907 -0,2770 0,2274 0,31 17 0,1861 -0,2574
0,00 0,1293 0,2259 —0,1490 0,2594 0,6778 0,9390 0,3517 -0,4900
0,11 0,1419 0,2480 —0,1702 0,2960 0,0516 0,0710 -0,0956 0,1313
0,33 0,1605 0,2807 —0,2059 0,3578 0,0511 0,0/01 -0,1216 0,1710
1,00 0,1890 0,3310 —0,2797 0,4850 0,0270 0,0378 -0,1960 0,2687
3,00 0,2078 0,3654 -0,3746 0,6482 —0,0731 - 0,0983 0,3151 0,4315
9,00 0,2099 0,3709 —0,4454 0,7697 —0,2271 -0,3069 0, 1286 0,5864
-11,00 0,1930 0,3458 —0,5615 0,9682 —0,7179 -0,971 I 0,6733 0,9199
—3,00 0,0096 0,0501 —0,9061 1,5535 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—2,00 —1.2016 —1,9134 —1,7723 3,0075 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-1,50 —1,4924 —2,8241 — 1,2069 2,3001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1 ,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
285
Продолжение табл. 28
Продолжение табл. 28
X JN JN JM JN JN
—0,25 0,1960 e* = 3 0,5072 0,3080 -0,7847 1,2298 ek z 5,4925 = 5 0,6028 —3,1074
—0,10 1,3706 3,3378 0,7065 -1,6743 0,1190 0,5344 —0,1076 0,4822
0,00 0,1585 0,3958 —0,2018 0,4996 0,1323 0,5943 —0,1203 0,5392
0,11 0,1728 0,4318 —0,1338 0,5781 0,1444 0,6482 —0,1320 0,5911
0,33 0,1919 0,4805 —0,2897 0,7148 0,1627 0,7301 —0,1499 0,6712
1,00 0,2101 0,5306 —0,4118 1,0124 0,1942 0,8712 —0,1816 0,8122
3,00 0,1873 0,4863 —0,5829 1,4263 0,2261 1,0142 —0,2148 0,9599
9,00 0,1318 0,3641 —0,7209 1,7581 0,2456 1,1013 —0,2357 1,0523
—11,00 —0,0417 —0,0249 —0,9668 2,3456 0,2720 1,2190 —0,2646 1,1805
—3,00 —1,3762 —3,0147 — 1,8590 4,4446 0,3257 1,4591 —0,3266 1,4552
—2,00 —1,6614 —4,3223 —1,5893 4,2453 0,3943 1,7656 —0,4136 1,8375
—1,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5305 2,3765 —0,6265 2,7689
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,6588 3,0106 —1,3276 5,7915
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -1,0200 —4,1991 —3,0000 13,5668
—0,25 —0,10 0,00 0,11 0,33 1,00 3,00 9,00 —11,00 —3,00 —2,00 —1,50 —1,25 —1,10 0,5683 0,1316 0,1476 0,1621 0,1843 0,2222 0,2589 0,2796 0,3039 0,3292 0,2471 —1,5505 — 1,6788 0,0000 ek = 4 2,0391 0,4595 0,5154 0,560 0,6435 0,7759 0,9050 0,9782 1,0653 1,1647 0,9237 —4,8430 —6,3321 0,0000 0,5368 —0,1335 —0,1533 —0,1721 —0,2023 —0,2622 —0,3324 —0,3811 -0,4551 —0,6440 —0,9971 —2,3735 —1,6724 0,0000 -1,9034 0,4647 0,5331 0,5983 0,7044 0,9091 1,1501 1,3167 1,5696 2,2118 3,4020 8,0417 6,3792 0,0000
287
Таблица 29
Значения функций JM упр и JN упр при Р1 = 5
*тах
1 1 ,25 1,5 2 3 4 5
JM упр
—0,25 2,4000 2,8366 1,8032 0,4743 0,1149 0,0507 0,0287
—0,10 1,6727 1,8935 2,1269 2,622 0,8795 0,3649 0,2026
0,00 1,3910 1,5241 1,6693 1,9903 2,4477 0,9220 1,4928
0,11 1,1732 1,2362 1,3109 1,4922 1,9418 2,2038 1,1125
0,33 0,8926 0,8618 0,8415 0,8353 0,9285 1,1051 1,3247
1,00 0,5145 0,3482 0,1897 —0,0866 —0,4761 —0,7059 —0,8376
3,00 0,2236 —0,0570 —0,3334 —0,8333 — 1,5379 — 1,8579 — 1,8666
9,00 0,0784 —0,2640 —0,6046 — 1,2198 — 1,9957 —2,0461 — 1,3690
— 11,00 —0,0889 —0,5077 —0,9281 — 1,6735 —2,2902 —0,9901 0,0000
—3,00 —0,3561 —0,9129 — 1,4770 —2,3652 0,0000 0,0000 0,0000
—2,00 —0,6036 — 1,3150 —2,0323 —2,5423 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,50 —0,9333 —1,9225 —2,7743 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,25 —1,2872 —2,7503 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,10 — 1,6684 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
’ Упр
—0,25 — 1,1703 —1,5771 — 1,3081 —0,5852 —0,2258 —0,1213 —0,0761
—0,10 —0,3310 —0,5527 —0,7745 —1,2132 —0,6257 —0,3181 —0,1948
0,00 —0.0008 —0,1590 —0,3145 —0,6245 — 1,1217 —0,5398 —0,3233
0,11 0,2456 0,1436 0,0369 —0,1797 —0,6039 —0,9089 —0,5276
0,33 0,5693 0,5305 0,4825 0,3746 0,1512 —0,0620 —0,2625
1,00 1,0058 1,0448 1,0647 1,0708 1,0242 0,9550 0,8851
3,00 1,3414 1,4319 1,4898 1,5379 1.4751 1,3031 1,0784
9,00 1,5090 1,6211 1,6906 1,7333 1,5590 1,1654 0,6332
— 11,00 1,7021 1,8346 1,9083 1,9085 1,4326 0,4319 0,0000
—3,00 2,0105 2,1609 2,2089 1,9876 0,0000 0,0000 0,0000
—2,00 2,2961 2,4369 2,3117 1,5177 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,50 2,6767 2,7199 2,2361 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,25 3,0851 2,6581 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,10 3,5250 0,0000 0,0000 0.0000 0,0000 о.оооо 0,0000
288
Таблица 30
Значения функций JM и JN при рх = 5
X JM J;V J N J М JN
emax ~ = 1,25; ek = 1,25 етах — 2; = 1,25
—0,25 0,1456 0,1634 —0,1019 0,1141 0,9930 1,1366 0,6675 -0,7578
—0,10 0,1760 0,1974 —0,1241 0,1390 0,1393 0,1564 —0,1202 0,1347
0,00 0,1914 0,2147 —0,1355 0,1518 0,1539 0,1728 —0,1370 0,1535
0,11 0,2053 0,2303 —0,1459 0,1633 0,1671 0,1878 —0,1534 0,1719
0,33 0,2265 0,2540 —0,1619 0,1812 0,1874 0,2106 —0,1810 0,2026
1,00 0,2632 0,2949 —0,1900 0,2124 0,2215 0,2489 —0,2371 0,2652
3,00 0,3005 0,3366 —0,2193 0,2449 0,2518 0,2833 —0,3081 0,3442
9,00 0,3233 0,3620 —0,2375 0,2651 0,2658 0,2994 —0,3603 0,4022
— 11,00 0,3543 0,3966 —0,2627 0,2930 0,2747 0,3104 —0,4444 0,4955
—3,00 0,4182 0,4677 —0,3163 0,3523 0,2174 0,2513 —0,6849 0,7614
—2,00 0,5013 0,5602 —0,3901 0,4336 —0,3114 —0,3130 — 1,2407 1,3721
—1,50 0,6772 0,7558 —0,5657 0,6259 —2,9830 —3,4544 — 1,9000 2,2257
—1,25 1,0209 1,1413 — 1,0946 1,1983 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 —2,0800 —2,0855 —4,0000 4,4062 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
етах = = 1,5; ё* = 1,25 ek = : 1,5
—0,25 1,5421 1,6320 0,5419 -0,5619 2,0904 2,8668 0,8993 -1,1149
—0,10 0,1635 0,1835 —0,1242 0,1391 0,1281 0,1759 —0,1009 0,1384
0,00 0,1793 0,2013 —0,1379 0,1544 0,1410 0,1936 —0,1130 0,1549
0,11 0,1938 0,2175 —0,1507 0,1688 0,1528 0,2097 —0,1244 0,1705
0,33 0,2162 0,2425 —0,1712 0,1915 0,1710 0,2348 —0,1428 0,1958
1,00 0,2556 0,2866 —0,2091 0,2338 0,2032 0,2789 —0,1780 0,2437
3,00 0,2965 0,3325 —0,2517 0,2812 0,2364 0,3245 —0,2188 0,2994
9,00 0,3218 0,3609 —0,2800 0,3125 0,2567 0,3524 —0,2466 0,3373
—11,00 0,3563 0,3995 —0,3211 0,3581 0,2837 0,3895 —0,2882 0,3939
—3,00 0,4264 0,4782 —0,4177 0,4650 0,3342 0,4593 —0,3908 0,5334
—2,00 0,5093 0,5720 —0,5735 0,6365 0,3732 0,5150 —0,5703 0,7767
—1,50 0,5499 0,6295 —1,0827 1,1929 0,0233 0,0645 —1,2765 1,7272
—1,25 —2,9242 —3,0837 —3,2286 3,5851 —3,0937 —4,3945 —2,1163 3,0340
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1,5 ek = = 2
—0,25 0,1201 0,1649 —0,0835 0,1145 0,1849 0,3224 —0,1307 0,2274
—0,10 0,1448 0,1988 —0,1013 0,1389 0,2241 0,3905 —0,1601 0,2782
0,00 0,1574 0,2159 —0,1104 0,1514 0,2442 0,4253 —0,1754 0,3045
0,11 0,1687 0,2314 —0,1187 0,1627 0,2623 0,4567 —0,1893 0,3286
0,33 0,1858 0,2549 —0,1314 0,1800 0,2900 0,5047 —0,2110 0,3658
1,00 0,2154 0,2954 —0,1535 0,2101 0,3380 0,5878 —0,2149 0,4318
3,00 0,2454 0,3364 —0,1763 0,2412 0,3871 0,6728 —0,2900 0,5013
9,00 0,2637 0,3614 —0,1904 0,2604 0,4173 0,7250 —0,3156 0,5452
—11,00 0,2884 0,3952 —0,2098 0,2868 0,4584 0,7959 —0,3515 0,6063
—3,00 0,3393 0,4646 —0,2504 0,3420 0,5433 0,9423 —0,4294 0,7387
—2,00 0,4052 0,5546 —0,3053 0,4164 0,6538 1,1326 —0,5404 0,9263
—1,50 0,5448 0,7448 —0,4308 0,5859 0,8797 1,5233 —0,8235 1,4004
—1,25 0,8442 1,1528 —0,7714 1,0425 1,0137 1,8201 —1,8837 3,1362
—1,10 —2,0800 —2,5026 —4,0000 5,2874 —2,0800 —3,3367 —4,0000 7,0499
19 Заказ 1099
289
Продолжение табл. 30
X j'. м JM 1N M JM JN
—0,25 етах 0,1613 = 3; ek = 0,1836 = 1,25 0,2150 -0,2433 1,6622 ek = 3,5937 = 3 0,4584 -0,8947
—0,10 1,4658 1,6731 0,6916 -0,7848 0,3083 0,7645 —0,2255 0,5561
0,00 0,3715 0,3883 —0,0214 0,0357 0,3367 0,8344 —0,2483 0,6116
0,11 0,1197 0,1346 —0,1467 0,1645 0,3625 0,8978 —0,2694 0,6629
0,33 0,1286 0,1443 —0,1827 0,2048 0,4020 0,9949 —0,3025 0,7431
1,00 0,1265 0,1431 —0,2662 0,2980 0,4710 1,1640 —0,3626 0,8880
3,00 0,0709 0,0824 —0,3935 0,4398 0,5419 1,3377 —0,4280 1,0447
9,00 —0,0222 —0,0195 —0,5044 0,5632 0,5855 1,4445 —0,4704 1,1458
—11,00 —0,3046 —0,3289 —0,7196 0,8021 0,6448 1,5895 —0,5309 1,2897
—3,00 —2,8021 —3,0543 —1,6562 1,8381 0,7857 1,8857 —0,6682 1,6139
—2,00 —0,0000 —0,0000 0,0000 0,0000 0,9145 2,2532 —0,8788 2,1058
— 1,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0946 2,7485 —1,5135 3,5577
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 —2,0800 —3,8617 —4,0000 9,2553
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 —2,0800 —5,0051 —4,0000 10,5749
—0,25 0,2976 eft= 1,5 0,4130 0,2958 -0,4087 ( 0,0596 -max ~ 4; 0,0676 ~ek = 1,25 0,1093 । -0,1236
—0,10 1,0555 1,3813 0,3200 -0,4094 0,4605 0,5233 0,3090 -0,3498
0,00 0,1495 0,1495 —0,1087 0,1492 1,2994 1,4795 0,5630 -0,6381
0,11 0,1178 0,1619 —0,1238 0,1399 0,3329 0,3470 —0,0354 0,0507
0,33 0,1307 0,1796 —0,1502 0,2059 0,0828 0,0935 —0,1751 0,1964
1,00 0,1476 0,2031 —0,2073 0,2840 0,0346 0,0403 —0,2757 0,3088
3,00 0,1489 0,2055 —0,2865 0,3920 —0,1651 —0,1804 —0,4521 0,5056
9,00 0,1337 0,1855 —0,3493 0,4778 —0,4868 —0,5355 —0,6291 0,7026
—11,00 0,0764 0,1088 —0,4596 0,6281 —0,6114 —1,7731 — 1,0390 1,1576
—3,00 —0,3728 —0,4936 —0,8388 1,1432 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—2,00 —2,7956 —3,8135 —1,6486 2,2766 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—0,25 1,6061 ek = 20 2,8949 0,9777 -1,7383 0,0954 ek = 0,1321 : 1,5 0,1422 -0,1963
—0,10 0,1832 ' 0,3198 —0,1557 0,2709 0,8092 1,1223 0,4346 -0,6006
—0,00 0,2023 0,3531 —0,1770 0,3077 0,9825 1,2918 0,2852 -0,3663
0,11 0,2197 0,3835 —0,1970 0,3435 0,0894 0,1229 —0,1176 0,1613
0,33 0,2464 0,4301 —0,2322 0,4031 0,0940 0,1293 —0,1481 0,2031
1,00 0,2917 0,5093 —0,3018 0,5231 0,0825 0,1141 —0,2208 0,3026
3,00 0,3337 0,5831 —0,3888 0,6727 0,0097 0,0156 —0,3361 0,4602
9,00 0,3543 0,6205 —0,4521 0,7811 —0,1053 —0,1400 —0,4405 0,6027
—11,00 0,3720 0,6542 —0,5532 0,9539 —0,4603 —0,6201 —0,6527 0,8919
—3,00 0,3292 0,5938 —0,8369 1,4364 —1,9953 —2,8052 —0,983 1,3896
—2,00 —0,1989 —0,2512 —1,4726 2,5068 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,50 —3,1748 —5,5485 —2,4865 -2,4865 4,4723 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
290
Продолжение табл. 30
JM JN m JM
—0,25 —0,10 0,00 0,11 0,33 1,00 3,00 9,00 — 11,00 —3,00 —2,00 — 1,50 —1,25 — 1,10 —0,25 —0,10 0,00 0,11 0,33 1,00 3,00 9,00 — 11,00 —3,00 —2,00 —1,50: — 1,25 —1,10 —0,25 —0,10 0,00 0,11 0,33 1,00 3,00 9,00 — 11,00 —3,00 —2,00 — 1,50 — 1,25 — 1,10 0,3905 1,9322 0,1645 0,1777 0,1958 0,2154 0,2005 0,1552 0,0067 — 1,1796 —2,7956 0,0000 0,0000 0,0000 3,0835 0,2674 0,2948 0,3199 0,3585 0,4246 0,4882 0,5224 0,5584 0,5516 0,0618 —2,9597 —3,0937 0,0000 0,1849 0,2241 0,2442 0,2623 0,2900 0,3380 0,3871 0,4173 0,4584 0,5433 0,6538 0,8797 1,0137 —2,0800 0,6982 3,2348 0,2875 0,3106 0,3427 0,3783 0,3561 0,2820 0,0362 — 1,9252 -5,0846 0,0000 0,0000 0,0000 ck = 3 8,0067 0,6648 0,7328 0,7950 0,8907 1,0556 1,2156 1,3035 1,3997 1,4213 0,4041 —6,7798 —8,7891 0,0000 ёА = 4 0,6448 0,7810 0,8505 0,9134 1,0093 1,1755 1,3455 1,4499 1,5918 1,8846 2,2652 3,8465 3,6401 —6,6735 0,4120 0,7058 —0,1696 —0,1940 —0,2268 —0,3315 —0,4662 -0,5763 —0,7780 — 1,5111 — 1,6486 0,0000 0,0000 0,0000 1,5668 —0,2211 —0,2499 —0,2777 —0,3238 —0,4151 —0,5269 —0,6068 —0,7325 —1,0757 —1,8110 —3,1765 —2,1163 0,0000 —0,1307 —0,1601 —0,1754 —0,1893 —0,2110 —0,2494 —0,2900 —0,3156 —0,3515 —0,4294 —0,5409 —0,8235 —1,8837 —4,0000 -0,7292 -1,1580 0,2952 0,3374 0,4116 0,5752 0,8071 0,9959 1,3355 2,5855 3,0354 0,0000 0,0000 0,0000 -3,9655 0,5463 0,6168 0,6847 0,7966 1,0179 1,2872 1,4789 1,7788 2,5896 4,2974 7,9057 6,0679 0,0000 0,4548 0,5563 0,6090 0,6572 0,7316 0,8636 1,0027 1,0904 1,2127 1,4774 1,8526 2,8009 6,2725 14,0993 0,0306 0,2235 0,5810 1,4441 0,0499 —0,0414 —0,4119 —1,0741 — 1,0318 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0453 0,3469 0,9668 0,3153 0,0650 0,0226 —0,1509 —0,4317 — 1,4240 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1620 1,4054 1,3486 0,1429 0,1507 0,1344 0,0237 —0,1531 —0,031 —2,5660 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 max — °* 0,0346 0,2534 0,6596 1,6422 0,0566 —0,0448 —0,4558 — 1,1887 — 1,2376 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 ek = 0,0626 0,4802 1,3398 0,4068 0,0897 0,0321 —0,208 —0,5851 —1,9296 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 ek = 0,2885 2,5131 2,1892 0,2503 0,2644 0,2383 0,0525 —0,2449 — 1,1687 —4,6090 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 F/e = 1,25 0,0669 0,1793 0,3104 0,5370 —0,1619 —0,2754 —0,4920 —0,7372 -0,4495 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,5 0,0850 0,2384 0,4312 —0,0099 —0,1425 —0,2256 —0,3726 —0,5217 —0,8709 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 = 2 0,2340 0,7255 0,3799 0,1859 0,2338 0,3474 -0,5270 —0,6893 — 1,0186 —1,4162 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0756 - 0,2028 -0,3514 -0,6085 0,1850 0,3086 0,5505 0,8236 0,5399 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,1173 -0,3292 -0,5958 0,0242 0,1955 0,3092 0,5103 0,7139 1,1898 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,4134 -1,2862 -0,5880 0,3236 0,4066 0,6031 0,9126 1,1915 1,7551 2,5738 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
19*
291
Продолжение табл. 30
X J м JN JN JN JN
= 3 ek = = 5
—0,25 1,0501 2,7513 0,8506 —2,1805 0,1456 0,6538 —0,1019 0,4569
—0,10 1,5618 3,4156 0,3875 —0,7517 0,1760 0,7897 —0,1241 0,5560
0,00 0,2551 0,6354 —0,2442 0,6036 0,1914 0,8588 —0,1355 0,6070
0,11 0,2765 0,6890 —0,2765 0,6826 0,2053 0,9211 —0,1459 0,6534
0,33 0,3080 0,7681 —0,3320 0,8183 0,2265 1,0160 —0,1619 0,7246
1,00 0,3538 0,8855 —0,4503 1,1058 0,2632 1,1797 —0,1900 0,8496
3,00 0,3741 0,9454 —0,6099 1,4914 0,3005 1,3162 —0,2193 0,9795
9,00 0,3597 0,9212 —0,7344 1,7905 0,3233 1,4482 —0,2375 1,0604
— 11,00 0,2780 0,7482 —0,9482 2,3014 0,3543 1,5864 —0,2627 1,1721
—3,00 —0,4554 —0,8715 —1,6583 3,9763 0,4182 1,8709 —0,3163 1,4091
—2,00 —3,1551 —7,2857 —2,7206 6,7079 0,5013 2,2410 —0,3901 1,7343
— 1,50 —2,5428 —7,2919 — 1,3953 4,0203 0,6772 3,0230 —0,5657 2,5035
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0209 4,5602 — 1,0946 4,7932
— 1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 —2,0800 —8,3419 —4,0000 17,6248
е/г = 4
—0,25 2,4108 8,1806 1,0320 —3,4454
—0,10 0,2033 0,7090 —0,1593 0,5539
0,00 0,2235 0,7795 —0,1780 0,6188
0,11 0,2420 0,8440 —0,1958 0,6802
0,33 0,2707 0,9437 —0,2245 0,7792
1,00 0,3212 1,1193 —0,2792 0,9643
3,00 0,3731 1,3002 —0,3424 1,1844
9,00 0,4047 '1,4104 —0,3855 1,3319
—11,00 0,4465 1,5569 —0,4500 1,5521
—3,00 0,5233 1,8290 —0,6091 2,0935
—2,00 0,5738 2,0257 —0,8893 3,0398
—1,50 —0,2144 —0,3980 —2,0390 6,8595
—1,25 —3,1009 -11,0014 —2,9054 10,6323
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
292
Таблица 31
Значения функций Jм упр и JN упр при р, = ~6
tfmax
х 1 1,25 1 . 5 2 3 4 5
J М упр
—0,25 3,2475 3,8329 4,4314 1,7697 0,3200 0,1257 0,0670
—0,10 2,3478 2,6706 3,008 3,7040 2,3867 0,8462 0,4381
0,00 1,9817 2,1939 2,4161 2,8913 3,9327 2,1614 1,0579
0,11 1,6915 1,8139 1,9448 2,2376 2,9213 3,6847 2,4149
0,33 1,3083 1,3086 1,3148 1,3578 1,5575 1,8588 2,2179
1,00 0,7739 0,5953 0,4169 0,0906 —0,4022 —0,7157 —0,9081
3,00 0,3483 0,0171 —0,3210 —0,9646 —1,9877 —2,6195 —2,9099
9,00 0,1309 —0,2829 -0,7086 — 1,5234 —2,7661 —3,3173 —3,1360
—11,00 —0,1238 —0,6398 — 1,1750 —2,1969 —3,5425 —3,2344 —0,5047
—3,00 —0,5404 —1,2397 — 1,9753 —3,3265 —3,1368 0,0000 0,0000
—2,00 —0,9374 — 1,8397 —2,8007 —4,2450 0,0000 0,0000 0,0000
—1,50 —1,4828 —2,7444 —4,0649 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 —2,0917 —4,0022 — 1 ,9935 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 —2,7758 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
упр
—0,25 —1,1448 —1,5617 —1,9773 —1,2683 —0,4386 —0,2284 —0,1412
—0,10 —0,3315 —0,5676 —0,806 —1,2830 —1,2031 —0,5742 —0,3429
0,00 —0,0006 —0,1655 —0,3354 —0,6793 —1,3588 —0,9724 —0,5617
0,11 0,2618 0,1519 0,0345 —0,2091 —0,6976 —1,1727 -0,9148
0,33 0,6082 0,5689 0,5174 0,3966 0,1341 —0,1256 —0,3750
1,00 1,0913 1,1446 1,1761 1,1992 1,1695 1,1045 1,0323
3,00 1,4760 1,5964 1,6825 1,7822 1,8069 1,7065 1,5423
9,00 1,6725 1,8240 1,9320 2,0494 2,0152 1,7507 1,3379
— 11,00 1,9028 2,0870 2,2134 2,3224 2,0794 1,3366 1,1613
—3,00 2,2793 2,5054 2,6362 2,6114 1,2379 0,0000 0,0000
—2,00 2,6383 2,8831 2,9641 2,4852 0,0000 0,0000 0,0000
—1,50 3,1313 3,3350 3,1170 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,25 3,6817 3,5613 0,6975 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 4,3002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
293
Таблица 32
Значения функций JM и JN при рх = 6
У JN JN ff
^max = = 1,25: ek = 1,25 gmax — 2; e* = l,25
—0,25 0,2019 0,2265 —0,1166 0,1306 3.6568 4,0727 1,2786 —1,4104
—0,10 0,2355 0,2641 —0,1368 0,1532 0,1986 0,2229 —0,1389 0,1557
0,00 0,2527 0,2832 —0,1472 0,1648 0,2170 0,2436 —0,1555 0,1742
0,11 0,2681 0,3005 —0,1566 0,1753 0,2339 0,2626 —0,1715 0,1921
0,33 0,2916 0,3268 —0,1711 0,1914 0,2603 0,2922 —0,1981 0,2218
1,00 0,3323 0,3721 —0,1964 0,2195 0,3066 0,3442 —0,2514 0,2811
3,00 0,3737 0,4183 —0,2226 0,2186 0,3530 0,3964 —0,3172 0,3543
9,00 0,3991 0,4466 —0,2389 1,2666 0,3796 0,4265 —0,3645 0,4069
—11,00 0,4336 0,4850 —0,2613 0,2914 0,4107 0,4620 —0,4392 0,4897
—3,00 0,5018 0,5613 —0,3086 0,3438 0,4348 0,4922 —0,6439 0,7162
—2,00 0,5982 0,6679 —0,3730 0,4147 0,2289 0,2773 —1,0790 1,1948
— 1,50 0,7993 0,8909 —0,5229 0,5792 —5,1519 —5,5529 —3,1925 3,5506
— 1,25 1,2478 1,3876 —0,9483 1,0409 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 —3,5500 —3,4698 —5,0000 5,3752 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
^max - = 1,5; el: = 1,25 е/г = = 1,5
—0,25 0,1889 0,2120 —0,1154 0,1293 0,1487 0,2042 —0,0933 0,1280
—0,10 0,2243 0,2517 —0,1394 0,1562 0,1779 0,2442 —0,1143 0,1568
0,00 0,2428 0,2723 —0,1523 0,1705 0,1932 0,2652 —0,1258 0,1724
0,11 0,2597 0,2912 —0,1643 0,1839 0,2073 0,2845 —0,1366 0,1872
0,33 0,2858 0,3205 —0,1833 0,2050 0,2292 0,3145 —0,1539 0,2108
1,00 0,3321 0,3723 —0,2182 0,2435 0,2683 0,3681 —0,1865 0,2553
3,00 0,3808 0,4266 —0,2568 0,2868 0,3095 0,4245 —0,2237 0,3061
9,00 0,4112 0,4606 —0,2821 0,3149 0,3353 0,4599 —0,2487 0,3402
—11,00 0,4532 0,5075 —0,3187 0,3554 0,3708 0,5085 —0,2857 0,3906
—3,0 0,5416 0,6064 —0,4030 0,4487 0,4139 0,6089 —0,3747 0,5116
—2,0 0,6578 0,7365 —0,5348 0,5940 0,5313 0,7296 —0,5241 0,7142
— 1,5 0,8627 0,9701 —0,9372 1,0345 0,5386 0,7528 — 1,0556 1,4308
—1,25 —2,5303 —2,4917 —3,6151 3,9014 —5,1241 —6,9109 —3,4462 4,7623
—1,1 —4,1037 —5,0720 —1,7620 2,1803 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1,5 = 2
—0,25 0,1661 0,2279 —0,0953 0,1307 0,2574 0,4485 —0,1501 0,2610
—0,1 0,1933 0,2652 —0,1115 0,1528 0,3013 0,5245 —0,1771 0,3075
0,0 0,2072 0,2842 —0,1197 0,1611 0,3237 0,5633 —0,1910 0,3315
0,11 0,2196 0,3012 —0,1272 0,1743 0,3440 0,5984 —0,2038 0,3534
0,33 0,2385 0,3271 —0,1386 0,1899 0,3750 0,6520 —0,2234 0,3873
1,0 0,2711 0,3716 —0,1585 0,2169 0,4288 0,7450 —0,2582 0,4469
3,0 0,3042 0,4168 —0,1789 0,2447 0,4840 0,8403 —0,2947 0,5093
9,0 0,3244 0,4444 —0,1915 0,2619 0,5181 0,8989 —0,3176 0,5485
—11,00 0,3517 0,4818 —0,2087 0,2853 0,5645 0,9788 —0,3495 0,6028
—3,0 0,4079 0,5584 —0,2446 0,3341 0,6609 1,1446 —0,4180 0,7195
—2,0 0,4810 0,6581 —0,2927 0,3993 0,7883 1,3632 —0,5142 0,8823
— 1,5 0,6372 0,8705 —0,4008 0,5455 1,0633 1,8344 —0,7520 1,2812
—1,25 0,9887 1,3476 —0,6824 0,9237 1,5741 2,7275 —1,5538 2,6012
—1,1 0,5537 0,9082 —3,2380 4,2700 —3,5500 —5,5516 —5,0000 8,6003
294
Продолжение табл. 32
JN JN JN
етах = 3; е/е = = 1,25 ek = = 3
—0,25 0,5519 0,6298 0,4540 -0,5145 0,3550 0,8798 —0,2107 0,5201
—0,10 2,7305 2,9713 0,8119 -0,8730 0,4177 1,0338 —0,2509 0,6179
0,00 0,1668 0,1875 —0,1493 0,1674 0,4499 1,1130 —0,2720 0,6692
0,11 0,1789 0,2011 —0,1700 0,1906 0,4793 1,1848 —0,2915 0,7163
0,33 0,1952 0,2196 —0,2068 0,2317 0,5244 1,2952 —0,3219 0,7898
1,00 0,2105 0,2374 —0,2898 0,3243 0,6033 1,4878 —0,3766 0,9216
3,00 0,1859 0,2113 —0,4116 0,4600 0,6850 1,6869 —0,4357 1,0630
9,00 0,1273 0,1476 —0,5140 0,5739 0,7356 1,8101 —0,4736 1,1535
—11,00 —0,0629 —0,0598 —0,7049 0,7858 0,8049 1,9786 —0,5274 1,2814
—3,00 —1,6928 —1,8334 —1,4721 1,6331 0,9496 2,3296 —0,6176 1,5656
—2,00 —3,0971 —3,7108 — 1,1827 1,4211 1,1389 2,7891 —0,8275 1,9866
—1,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,4999 3,6813 — 1,3380 3,1600
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -1,5416 —2,2881 —4,2975 9,6501
:— 1,ю 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -3,5500 —8,3275 —5,0000 12,9005
е/г = 1,5 emax — 4; e = 1,25
—0,25 1,2249 1,7048 0,6860 -0,9493 0,1704 0,1938 0,2148 —0,2431
—0,10 1,1442 0,1980 —0,1105 0,1516 1,2798 1,4585 0,6051 —0,6860
0,00 0,1578 0,2168 0,1258 0,1725 2,7276 3,0270 0,8119 —0,8933
0,11 0,1703 0,2339 —0,1410 0,1933 0,1349 0,1518 —0,1609 0,1804
0,33 0,1890 0,2597 —0,1671 0,2291 0,1379 0,1554 —0,2029 0,2274
1,00 0,2187 0,3006 —0,2226 0,3049 0,1047 0,1192 —0,3063 0,3430
3,00 0,2393 0,3294 —0,2970 0,4065 -0,0589 —0,0611 —0,4795 0,5361
9,00 0,2418 0,3333 —0,3545 0,4850 -0,3220 —0,3510 —0,6455 0,7209
—11,00 0,2214 0,3069 —0,4524 0,6184 -1,1974 — 1,3134 — 1,0080 1,1233
—3,00 —0,0232 —0,0195 —0,7671 1,0461 -2,0449 —2,4711 —0,7172 0,8678
—2,00 —2,0013 —2,6567 —1,6999 2,3068 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
- = 2 ek = = 1,5
—0,25 3,7080 6,2082 1,2459 -2,0522 0,3056 0,4239 0,2919 —0,4033
—0,1 0,2601 0,4536 —0,1794 0,3120 2,6937 3,7472 0,9339 —1,2928
0,0 0,2839 0,4951 —0,2003 0,3480 0,1270 0,1746 —0,1198 0,1643
0,11 0,3059 0,5333 —0,2203 0,3827 0,1356 0,1864 —0,1373 0,1883
0,33 0,3401 0,5929 —0,2536 0,4400 0,1461 0,2009 —0,1688 0,2315
1,0 0,4004 0,6980 —0,3194 0,5534 0,1489 0,2052 —0,2418 0,3313
3,0 0,4616 0,8050 —0,3998 0,6916 0,1035 0,1443 —0,3529 0,4831
9,0 0,4973 0,8678 —0,4572 0,7898 0,0219 0,0342 —0,4498 0,6153
— 11,0 0,5410 0,9454 —0,5470 0,9433 -0,2328 —0,3097 —0,6378 0,8717
—з,о 0,5901 1,0390 —0,7890 1,3552 -2,5947 —3,4871 —1,4805 2,0154
—2,0 0,4096 0,7662 —1,2898 2,2003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,5 —5,0499 -8,1298 —3,6620 6,2339 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,2 —2,0084 —3,9871 —0,7025 1,3951 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
295
Продолжение табл. 32
JM JN JN j" M J N </
еь = 2 e} max = 3; । ek — 1,25
—0,25 1,5540 2,7960 0,9357 -1,6619 0,0794 0,0901 0,1275 -0,1442
—0,1 0,8595 1,3561 0,0335 -0,0129 0,5454 0,6197 0,3312 -0,3749
0,0 0,2403 0,4196 —0,1971 0,3429 1,4445 1,6439 0,5769 -0,6538
0,11 0,2589 0,4522 —0,2218 0,3857 2,0192 2,1909 0,5161 -0,5510
0,33 0,2865 0,5006 —0,2647 0,4598 0,0935 0,1056 —0,1944 0,2180
1,0 0,3270 0,5724 —0,3573 0,6196 0,0103 0,0136 —0,3109 0,3483
3,0 0,3451 0,6070 —0,4846 0,8387 —0,3310 —0,3644 —0,5282 0,5908
9,0 0,3317 0,5873 —0,5856 1,0118 —0,9155 — 1,0106 —0,7614 0,8505
—11,0 0,2550 0,4636 —0,7617 1,3132 —3,2102 —3,5383 —1,3549 1,5094
—3,0 —0,4500 —0,6948 —1,3657 2,3397 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—2,0 —5,0985 —8,4900 —2,8827 4,9705 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
ek = 3 ~ek = : 1,5
—0,25 3,8055 8,5537 1,1853 -2,5647 0,1279 0,1772 0,1663 -0,2295
—0,1 0,3765 0,9342 —0,2533 0,6250 0,9461 1,3119 0,4629 -0,6397
0,0 0,4102 1,0175 —0,2813 0,6932 2,7019 3,7444 0,8380 -1,1565
о,н 0,4412 1,0942 —0,3081 0,7585 0,1077 0,1481 —0,1308 0,1794
0,33 0,4895 1,2134 —0,3520 0,8652 0,1093 0,1504 —0,1653 0,2268
1 ,о 0,5749 1,4245 —0,4379 1,0730 0,0788 0,1093 —0,2509 0,3440
3,0 0,6625 1,6420 —0,5409 1,3208 —0,0652 —0,0860 —0,3956 0,5418
9,0 0,7149 1,7728 —0,6132 1,4941 —0,2966 —0,3999 —0,5356 0,7328
—11,0 0,7815 1,9411 —0,7249 1,7606 — 1,0721 —1,4501 —0,8444 1,1537
—3,0 0,8787 2,2023 —1,0186 2,4556 —0,8333 — 1,2356 —0,2710 0,4020
—2,0 0,7602 2,0139 — 1,6031 3,8181 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,5 —4,6133 —9,6002 —4,2480 9,9629 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,25 —5,1241 -13,8218 —3,4462 9,5246 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
ek = 4 ek = = 2
—0,25 0,2574 '0,8969 —0,1501 0,5219 0,5300 0,9477 0,4842 -0,8571
—0,1 0,3013 1,0489 —0,1771 0,6150 3,7127 6,4991 1,2443 -2,1520
0,0 0,3237 1,1266 —0,1910 0,6631 0,2025 0,3540 —0,1894 0,3296
0,11 0,3440 1,1968 —0,2038 0,7069 0,2162 0,3782 —0,2168 0,3772
0,33 0,3750 1,3040 —0,2234 0,7745 0,2333 0,4085 —0,2662 0,4627
1,0 0,4288 1,4900 —0,2582 0,8937 0,2393 0,4213 —0,3801 0,6596
3,0 0,4840 1,6805 —0,2947 1,0187 0,1713 0,3092 —0,5531 0,9577
9,0 0,5181 1,7978 —0,3176 1,0970 0,0463 0,1004 —0,7036 1,2162
—11,0 0,5645 1,9576 —0,3495 1,2057 —0,3482 —0,5593 —0,9955 1,7157
—3,0 0,6609 2,2893 —0,4180 1,4389 —4,1208 —6,8193 —2,3098 3,9437
—2,0 0,7883 2,7264 —0,5142 1,7645 — 1,7278 —3,3934 —0,5930 1,1654
— 1,5 1,0633 3,6688 —0,7520 2,5623 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,25 1,5741 5,4549 —1,5538 5,2023 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,1 —3,5500 -11,1033 —5,0000 17,2006 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
296
Продолжение табл. 32
J N JN JN
ek = 3 ek = = 5
0,25 4,9975 13,2276 2,0911 —5,3875 0,2019 0,9060 —0,1166 0,5225
—1,00 0,3346 0,8321 —0,2481 0,6130 0,2355 1,0565 —0,1368 0,6128
0,00 0,3661 0,9102 —0,2806 0,6928 0,2527 1,1330 —0,1472 0,6591
0,11 0,3948 0,9816 —0,3128 0,7713 0,2681 1,2020 —0,1566 0,7010
0,33 0,4386 1,0908 —0,3675 0,9046 0,2916 1,3071 —0,1711 0,7654
1,00 0,5106 1,2720 —0,4815 1,1814 0,3323 1,4885 —0,1964 0,8779
3,00 0,5691 1,4236 —0,6311 1,5423 0,3737 1,6732 —0,2226 0,9943
9,00 0,5882 1,4793 —0,7447 1,8152 0,3991 1,7864 —0,2389 1,0665
—11,00 0,5750 1,4673 —0,9346 2,2689 0,4336 1,9401 —0,2613 1,1658
—3,00 0,2046 0,6790 — 1,5263 3,6671 0,5048 2,2570 —0,3086 1,3750
—2,00 —3,2443 —6,8396 —3,2170 7,5708 0,5982 2,6717 —0,3730 1,6590
— 1,50 —5,0712 -13,6367 —2,8078 7,6996 0,7993 3,5636 —0,5229 2,3167
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,2478 5,5503 —0,9483 4,1636
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 —3,5500 —13,8791 —5,0000 21,5008
ek = 4
0,25 0,2358 0,8221 —0,1474 0,5128
—0,10 0,2816 0,9816 —0,1802 0,6262
0,00 0,3057 1,0651 —0,1980 0,6878
0,11 0,3278 1,1418 —0,2148 0,7457
0,33 0,3621 1,2610 —0,2417 0,8385
1,00 0,4232 1,4729 —0,2924 1,0127
3,00 0,4875 1,6959 —0,3501 1,2107
9,00 0,5276 1,8351 —0,3889 1,3434
—11,00 0,5825 2,0259 —0,4462 1,5391
—3,00 0,6948 2,4171 —0,5842 2,0089
—2,00 0,8239 2,8743 —0,8169 2,7961
—1,50 0,7218 2,6589 —1,6693 5,6403
—1,25 —4,7978 -16,0089 —4,0517 14,2451
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
297
Таблица 33
Значения функций JM упр и JN упр при pL = 8
tfmax
X 1 1 , 25 1,5 2 3 4 5
г упр
—0,25 5,2283 6,1831 7,1476 9,1077 1,7764 0,5412 0,2533
—0,10 3,9232 4,1087 5,0991 6,3064 8,8182 3,5286 1,5379
0,00 3,3627 3,7864 4,2118 5,0861 6,9343 8,8763 3,7993
0,11 2,9056 3,1953 3,4838 4,0810 5,3773 6,7774 8,2415
0,33 2,2837 2,3879 2,4859 2,6962 3,2242 3,8770 4,6131
1,00 1,3797 1,2064 1,0164 0,6388 0,0108 —0,4221 —0,6999
3,00 0,6274 0,2134 —0,2298 — 1,1279 —2,7446 —3,9902 —4,8633
9,00 0,2313 —0,3139 —0,8969 —2,0837 —4,2127 —5,7413 —6,5585
—11,00 —0,2433 —0,9508 —1,7091 —3,2580 —5,9451 —7,3712 —6,8539
—3,00 —1,0451 —2,0429 —3,1225 —5,3268 —8,2530 —3,2109 0,0000
—2,00 —1,8404 —3,1549 —4,5990 —7,4696 —2,5257 0,0000 0,0000
—1,50 —2,9858 —4,8414 —6,9472 —8,9057 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 —4,3429 —7,1325 —9,8969 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,1 —5,9763 —9,4441 0,0000 0,0000 0,0 0,0000 0,0000
упр
—0,25 —1,1578 — 1,6008 —2,0465 —2,9375 —1,2277 —0,5845 —0,3487
—0,10 —0,3517 —0,6125 —0,8804 —1,4238 —2,5096 —1,4678 —0,8181
0,00 —0,0055 —0,1898 —0,3837 —0,7842 —1,5949 —2,3963 —1 ,3476
0,11 0,2768 0,1542 0,0193 —0,2686 —0,865 —1,4606 —2,0453
0,33 0,6609 0,6207 0,5637 0,4219 0,0938 —0,2467 —0,5830
1,00 1,2192 1,2948 1,3446 1,3948 1,3919 1,3313 1,2510
3,00 1,6839 1,8512 1,9818 2,1636 2,3292 2,3453 2,2796
9,00 1,9285 2,1419 2,3107 2,5464 2,7359 2,6792 2,4600
—11,00 2,2217 2,4878 2,6974 2,9770 3,0957 2,7463 2,0025
—3,00 2,7168 3,0637 3,3243 3,5968 3,0878 0,7555 0,0000
—2,00 3,2080 3,6201 3,8948 3,9557 0,5813 0,0000 0,0000
—1,50 3,9155 4,3747 4,5242 2,8868 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 4,7537 5,0835 4,0276 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 5,7625 3,0708 0,0000 0,0000 0,0 0,0000 0,0000
298
Значения функций JM и JN при рх
S
299
Продолжение табл. 34
X JN JN
—0,25 —0,10 0,00 0,11 0,33 1,00 3,00 9,00 —11,00 —3,00 —2,00 — 1,50 —1,25 —1,10 — 0,25 — 0,10 0,00 0,11 0,33 1,00 3,00 9,00 —11,00 —3,00 —2,00 — 1,50 — 1,25 — 1,10 —0,25 —0,1 0,0 0,11 0,33 1,0 3,0 9,0 —11,0 —3,0 —2,0 —1,5 —1,2 —1,1 ^max 4,8690 0,2705 0,2933 0,3141 0,3454 0,3944 0,4236 0,4179 0,3516 —0,3612 —7,9239 0,0000 0,0000 0,0000 4,8031 0,2459 0,2663 0,2852 0,3147 0,3670 0,4190 0,4475 0,4772 0,4565 —0,1531 —9,5147 0,6000 0,0000 0,3636 0,4240 0,4562 0,4860 0,5329 0,6177 0,7086 0,7659 0,8447 1,0024 1,1451 —0,5005 -10,7050 0,0000 -- 3; ek = 5,5987 0,3037 0,3294 0,3527 0,3881 0,4434 0,4773 0,4723 0,4017 —0,3696 —8,5035 0,0000 0,0000 0,0000 = 1,5 6,2864 0,3376 0,3656 0,3915 0,4321 0,5039 0,5754 0,6149 0,6563 0,6324 —0,1752 -13,3586 0,0000 0,0000 ek = 2 "0,6336 0,7385 0,7944 0,8461 0,9275 1,0746 1,2322 1,3318 1,4689 1,7451 2,0064 —0,5358 -19,7937 0,0000 = 1,25 1,6349 —0,1652 —0,1865 —0,2078 —0,2450 —0,3257 —0,4378 —0,5275 —0,6855 —1,2396 —3,2975 0,0000 0,0000 0,0000 1,162 —0,1375 —0,1528 —0,1678 —0,1932 —0,2453 —0,3121 —0,618 —0,4430 —0,6819 —1,2668 —3,0588 0,0000 0,0000 —0,1802 —0,2158 —0,2356 —0,2545 —0,2852 —0,3448 —0,4153 —0,4642 —0,5387 —0,7291 —1,0852 —2,8056 —4,2941 0,0000 -1,8615 0,1852 0,2090 0,2328 0,2743 0,3644 0,4892 0,5889 0,7643 1,3769 3,6297 0,0000 0,0000 0,0000 -1,3171 0,1886 0,2095 0,2301 0,2647 0,3359 0,4271 0,4949 0,6055 0,9304 1,7225 4,3302 0,0000 0,0000 0,3133 0,3749 0,4090 0,4416 0,4946 0,5971 0,7181 0,8018 0,9292 1,2534 1,8561 4,7181 8,0552 0,0000 0,5622 0,6365 0,6747 0,7095 0,7629 0,8564 0,9535 1,0138 1,0969 1,2720 1,5084 2,0352 2,7250 —7,9800 e 0,9760 7,1745 0,2398 0,2541 0,2717 0,2738 0,1821 0,0149 -0,5306 —6,4957 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2,2654 0,2097 0,2273 0,2430 0,2660 0,2977 0,3015 0,2721 0,1515 —0,9592 —8,8998 0,0000 0,0000 0,0000 ek = 1,3899 1,5713 1,6646 1,7493 1,8792 2,1065 2,3417 2,4877 2,6882 3,1098 4,6769 4,9370 6,7649 -17,9290 max — 4; 1,1144 8,1367 0,2695 0,2858 0,3057 0,3090 0,2092 0,0259 —0,5720 —7,0705 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 ek = 3,1554 0,2881 0,3122 0,3338 0,3656 0,4094 0,4157 0,3767 0,2150 — 1,2769 -12,2331 0,0000 0,0000 0,0000 3 —0,2517 —0,2872 —0,3057 —0,3227 —0,3491 —0,3961 —0,4462 —0,4780 —0,5227 —0,6206 —0,7622 —1,1356 —2,7059 —7,0000 ek - 1,25 0,6179 1,7229 —0,1794 —0,2041 —0,2490 —0,3547 —0,5202 —0,6688 —0,9680 —2,4683 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 : 1,5 0,9571 —0,1332 —0,1513 —0,1697 —0,2021 —0,2740 —0,3774 —0,4627 —0,6184 —1,2113 —2,7087 0,0000 0,0000 0,0000 0,6197 0,7059 0,7507 0,7917 0,8553 0,9684 1,0882 1,1640 1,2702 1,5019 1,8344 2,6981 6,2058 17,2875 -0,7005 -1,9385 0,2012 0,2288 0,2790 0,3970 0,5815 0,7468 1,0789 2,7341 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -1,3251 0,1828 0,2076 0,2327 0,2770 0,3754 0,5166 0,6330 0,8451 1,6508 3,7593 0,0000 0,0000 0,0000
300
Продолжение табл. 34
X J N J N JM J N JN
ek = 2 emax — 5; ek = 1,25
—0,25 7,9577 13,4013 1,9663 -3,2649 0,3718 0,4232 0,3374 -0,3820
—0,10 0,3781 0,6593 —0,2162 0,3759 2,5176 2,8728 0,8962 ~1,0167
0,00 0,4096 0,7143 —0,2412 0,4192 6,457 7,2961 1,4670 -1,6478
0,11 0,4387 0,7651 —0,2659 0,4619 0,2046 0,2302 —0,1957 0,2195
0,33 0,4841 0,8441 —0,3080 0,5346 0,2069 0,2331 —0,2451 0,2747
1,00 0,5625 0,9813 —0,3958 0,6859 0,1513 0,1722 —0,3689 0, 1131
3,00 0,6351 1,1095 —0,5110 0,8839 —0,1176 —0,1244 —0,5831 0,6520
9,00 0,6694 1,1713 —0,5984 1,0339 —0,5652 —0,6181 —0,7960 0,8890
—11,00 0,6897 1,2122 —0,7445 1,2838 -2,1485 —2,3601 — 1,2835 1,4303
—3,00 0,4931 0,9047 —1,1965 2,0531 —3,2926 —4,0136 —0,7742 0,9444
—2,00 —1,7337 —2,7060 —2,4439 4,1522 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,5 —9,5147 ~17,8115 —3,0588 5,7736 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
= з = : 1,5
—0,25 0,5226 1,2948 —0,2542 0,6273 0,7120 0,9886 0,4725 -0,6530
—0,10 0,6065 1,5011 —0,3020 0,7438 5,7777 8,0492 , 1,4507 -2,0101
0,00 0,6509 1,6104 —0,3283 0,8076 0,1927 0,2618 —0,1460 0,2003
0,11 0,6921 1,7113 —0,3532 0,8681 0,2040 0,2804 —0,1663 0,2282
0,33 0,7565 1,8694 —0,3935 0,9657 0,2173 0,2989 —0,2034 0,2789
1,00 0,8727 2,1543 —0,4706 1,1519 0,2155 0,2971 —0,2912 0,3991
3,00 0,9968 2,4587 —0,5604 1,3678 0,1310 0,1832 —0,4298 0,5885
9,00 1,0752 2,6510 —0,6220 1,5151 —0,0192 —0,0198 -0,5552 0,7597
—11,00 1,1835 2,9170 —0,7147 1,7362 —0,5080 —0,6806 —0,8101 1,1070
—3,00 1,4047 3,4647 —0,9467 2,2862 —5,9473 —7,9994 —2,1194 2,8837
—2,00 1,6355 4,0622 —1,3673 3,2712 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,5 0,1892 1,2363 —3,2778 7,6223 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 -10,1042 -24,6459 —5,7895 14,9345 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
= 4 ek -= = 2
—0,25 0,4033 1,4032 —0,1776 0,6167 4,1786 7,5504 1,6326 -2,9073
—0,1 0,4541 0,5787 —0,2010 0,6972 1,6865 2,6369 0,0910 -0,0915
0,0 0,4800 1,6683 —0,2130 0,7386 0,3611 0,6305 —0,2388 -0,4154
0,11 0,5034 1,7492 —0,2239 0,7763 0,3862 0,6743 —0,2676 0,4651
0,33 0,5393 1,8728 —0,2408 0,8341 0,4229 0,7388 —0,3182 0,5526
1,0 0,6014 2,0871 —0,2703 0,9354 0,4739 0,8295 —0,4301 0,7464
3,0 0,6652 2,3066 —0,3011 1,0406 0,4821 0,8488 —0,5912 1,0232
9,0 0,7045 2,4416 —0,3202 1,1060 0,4378 0,7783 —0,7237 1,506
—11,0 0,7581 2,6258 —0,3467 1,1963 0,2515 0,4720 —0,9653 1,6640
—3,0 0,8697 3,0085 —0,4029 1,3876 —1,5149 —2,4478 — 1,8880 3,2319
—2,0 1,0179 3,5155 —0,4802 1,6494 -10,0965 -17,5998 —3,4839 6,1985
—1,5 1,3455 4,6319 —0,6634 2,2660 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 2,1242 7,2742 —1,2105 4,0801 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,1 —7,9800 -23,9054 —7,0000 23,0500 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
301
Продолжение табл. 34
X J м JN JN JM JN JN
ek =3 = 5
—0,25 6,5345 14,1740 1,3223 —2,7406 0,3143 1,4094 —0,1372 0,6144
—0,1 0,5626 1,3953 —0,3055 0,7534 0,3528 1,5811 —0,1546 0,6918
0,0 0,6079 1,5073 —0,3377 0,8320 0,3724 1,6684 —0,1634 0,7313
о,п 0,6500 1,6113 —0,3690 0,9083 0,3900 1,7471 —0,1715 0,7671
0,33 0,7160 1,7743 —0,4214 1,0357 0,4168 1,8668 —0,1838 0,8218
1,0 0,8335 2,0654 —0,5276 1,2927 0,4631 2,0733 —0,2052 0,9169
3,0 0,9530 3,3634 —0,6611 1,6145 0,5103 2,2833 —0,2272 1,0145
9,0 1,0217 2,5370 —0,7589 1,8493 0,5392 2,4120 —0,2408 1,0748
—11,0 1,1010 2,7425 —0,9164 2,2256 0,5785 2,5865 —0,2594 1,1572
—3,0 1,1297 2,8723 —1,3682 3,2955 0,6595 2,9465 —0,2983 1,3294
—2,0 0,1519 0,8266 —2,4365 5,7834 0,7657 3,4177 —0,3505 1,5597
—1,5 -10,5867 -24,9697 —5,2368 13,1022 0,9960 4,4364 —0,4685 2,0785
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,5361 6,8153 —0,7797 3,4344
—1,1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,6239 7,8946 —3,8837 16,5291
*Л = 4
—0,25 0,3856 1,3427 —0,1808 0,6284
—0,1 0,4432 1,5425 —0,2111 0,7328
0,0 0,4734 1,6472 —0,2273 0,7888
0,11 0,5012 1,7435 —0,2425 0,8410
0,33 0,5445 1,8933 —0,2665 0,9238
1,0 0,6219 2,1611 —0,3111 1,0769
3,0 0,7043 2,4457 —0,3607 1,2471
9,0 0,7565 -2,6257 —0,3935 1,3591
—11,0 0,8292 2,8769 —0,4410 1,5216
—3,0 0,9856 3,4167 —0,5519 1,8993
—2,0 1,1989 4,1538 —0,7287 2,4985
—1,5 1,6107 5,6043 —1,2946 4,3966
— 1,25 —9,5161 -28,5300 —6,2203 25,3339
—1,1 —9,6039 -37,7763 —3,1163 12,2833
302
Таблица 35
Функции JMynp и JNynp при р! = 10
X *111 ах
1 1 , 25 1,5 2 3 4 5
1 упр
—0,25 7,4096 8,7801 10,1528 12,9223 8,8968 1,940 0,7802
—0,10 5,6852 6,5776 7,4647 9,2524 12,9204 13,7510 4,6926
0,00 4,9217 5,5995 6,2674 7,6105 10,3849 13,2675 12,4083
0,11 4,2883 4,7864 5,2702 6,2386 8,2594 10,3959 12,6151
0,33 3,4107 3,6568 3,8814 4,3203 5,2754 6,3626 7,5529
1,00 2,1018 1,9645 1,7915 1,4129 0,7239 0,2212 —0,1055
3,00 0,9808 0,5062 —0,0207 —1,1346 —3,2894 —5,1240 —6,5816
9,00 0,3788 —0,2811 — 1,0047 —2,5309 —5,4906 —7,9616 —9,7685
— 11,00 —0,3538 —1,2441 —2,2149 —4,2631 —8,1997 — 11,1899 —12,5832
—3,00 —1,6197 —2,9237 —4,3476 —7,3644 —12,7326 — 13,3548 0,0000
—2,00 —2,9120 —4,6659 —6,6016 —10,7128 — 14,4735 0,0000 0,0000
—1,50 —4,8406 —7,3500 — 10,2109 —15,7338 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,25 —7,2349 — 10,9805 — 15,5140 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
— 1,10 —10,2867 — 17,4160 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
J1 V упр
—0,25 —1,1631 —1,6238 —2,0907 —3,0307 —3,0572 — 1,2525 —0,7086
—0,10 —0,3562 —0,6321 —0,9189 —1,5076 —2,6996 —3,3823 — 1,6873
0,00 0,0011 —0,1942 —0,4030 —0,8412 — 1,7448 —2,6494 —2,8839
0,11 0,2974 0,1684 —0,0233 —0,2931 —0,9665 — 1,6497 —2,3276
0,33 0,7081 0,6698 0,6112 0,4579 0,0857 —0,3141 —0,7171
1,00 1,3206 1,4147 1,4802 1,5543 1,5770 1,5223 1,4361
3,00 1,8451 2,0493 2,2148 2,4619 2,7402 2,8501 2,8635
9,00 2,1268 2,3884 2,6045 2,9326 3,2976 3,4050 3,3394
— 11,00 2,4696 2,7992 3,0731 3,4845 3,8798 3,8278 3,4056
—3,00 3,0619 3,5028 3,8633 > 4,3589 4,4470 3,1254 0,0000
—2,00 3,6666 4,2100 4,6322 5,0716 3,5224 0,0000 0,0000
—1,50 4,5691 5,2303 5,6426 • 5,1787 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 5,6894 6,3618 1 6,1316 1 0,0000 ' 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 7,1174 6,2437 0,0000 । 0,0000 । 0,0000 ' 0,0000 0,0000
303
Таблица 36
Значения функций JM и JN при рх = 10
X j” м JN JM JN J N
—0,25 emax = 0,4302 1,25; ek 0,4820 = 1,25 —0,1518 0,1699 ё] 0,4080 max = 2; 0,4576 ek = 1,2 0,1632 5 0,1828
—0,10 0,4723 0,5288 —0,1671 0,1869 0,4663 0,5228 —0,1905 0,2133
0,00 0,4936 0,5526 —0,1749 0,1956 0,4974 0,5576 —0,2055 0,2300
0,11 0,5128 0,5741 —0,1819 0,2034 0,5263 0,5899 —0,2198 0,2459
0,33 0,5421 0,6066 —0,1927 0,2153 0,519 0,6409 —0,2429 0,2717
1,00 0,5925 0,6628 —0,2113 0,2360 0,651 0,7338 —0,2873 0,3211
3,00 0,6437 0,7198 —0,2303 0,2571 0,7455 0,8349 —0,3389 0,3785
9,00 0,6751 0,7546 —0,2421 0,2701 0,8036 0,8999 —0,3743 0,4178
—11,00 0,7176 0,8018 —0,2580 0,2878 0,8856 0,9915 —0,4276 0,4768
—3,00 0,8052 0,8991 —0,2913 0,3246 1,0628 1,1898 —0,5603 0,6238
—2,00 0,9197 1,0260 —0,3354 0,3733 1,2926 1,4484 —0,7973 0,8853
—1,50 1,1670 1,2993 —0,4333 0,4810 1,2654 1,4580 — 1,7858 1,9668
— 1,25 1,7466 1,9369 —0,6796 0,7499 -18,5169 -21,1118 —5,8570 6,7947
—1,10 4,1356 4,5576 —2,4663 2,6531 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—0,25 ^max = 0,4281 = 1,5; ёу 0,4798 = 1,25 —0,1581 0,1770 0,3468 e'k = 0,4757 1,5 —0,1310 0,1795
—0,10 0,4778 0,5353 —0,1779 0,1991 0,3899 0,5348 —0,1490 0,2041
0,00 0,5036 0,5641 —0,1883 0,2107 0,4126 0,5657 —0,1585 0,2172
0,11 0,5272 0,5904 —0,1979 0,2213 0,4333 0,5941 —0,1674 0,2293
0,33 0,5637 0,6311 —0,2129 0,2380 0,4657 0,6384 —0,1815 0,2485
1,00 0,6282 0,7031 —0,2398 0,2679 0,5236 0,7176 —0,2072 0,2836
3,00 0,6961 0,7787 —0,2687 0,3000 0,5853 0,8020 —0,2354 0,3220
9,00 0,7387 0,8262 —0,2872 0,3205 0,6245 0,8555 —0,2538 0,3471
1,00 0,7979 0,8920 —0,3133 0,3494 0,6794 0,9304 —0,2801 0,3830
—3,00 0,9248 1,0331 —0,3710 0,4133 0,7987 1,0933 —0,3403 0,4648
—2,00 1,1007 1,2285 —0,4553 0,5063 0,9670 1,3231 —0,4324 0,5899
—1,50 1,5162 1,6893 —0,6787 0,7520 1,3686 1,8713 —0,7011 0,9535
—1,25 2,5309 2,8219 —1,5620 1,7118 1,7527 2,4474 —2,1198 2,8524
—1,10 -17,4878 -19,7244 —7,5435 8,7265 —5,3832 —8,0578 —0,9595 1,4364
—0,25 0,3514 ek = 1,5 -0,4818 —0,1234 0,1691 0,5545 ek = 0,9637 = 2 —0,1972 0,3422
—0,10 0,3850 0,5278 —0,1355 0,1855 0,6105 1,0604 —0,2180 0,3779
0,00 0,4020 0,5510 —0,1416 0,1939 0,6391 1,1096 —0,2286 0,3961
0,11 0,4173 0,5719 —0,1471 0,2015 0,6649 1,1541 —0,2382 0,4127
0,33 0,4406 0,6036 —0,1556 0,2130 0,7043 1,2219 —0,2530 0,4380
1,00 0,4805 0,6581 —0,1701 0,2327 0,7725 1,3393 —0,2788 0,4822
3,00 0,5208 0,7132 —0,1848 0,2529 0,8424 1,4593 —0,3055 0,5279
9,00 0,5454 0,7467 —0,1939 0,2652 0,8853 1,5331 —0,3221 0,5561
—11,00 0,5787 0,7921 —0,2062 0,2819 0,9439 1,6335 —0,3448 0,5949
—3,00 0,6469 0,8849 —0,2315 0,3163 1,0656 1,8419 —0,3927 0,6764
—2,00 0,7352 1,0052 —0,2647 0,3614 1,2269 2,1173 —0.4576 0,7865
—1,50 0,9232 1,2607 —0,3368 0,4590 1,5831 2,7233 —0,6074 1,0391
—1,25 1,3509 1,8398 —0,5087 0,6908 2,4542 4,1946 —1,0233 1,7316
—1,10 3,1778 4,2944 —1,4565 1,9496 —8,9268 -12,5156 —8,0405 12,7985
304
Продолжение табл. 36
X J М J N JM j" м J N J N
—0,25 —0,10 0,00 0,11 0,33 1,00 3,00 9,00 — 11,00 —3,00 —2,00 — 1,50 —1,25 — 1,10 —0,25 —0,10 0,00 0,11 0,33 1,00 3,00 9,00 — 11,00 —3,00 —2,00 — 1,50 — 1,25 — 1,10 —0,25 —0,10 0,00 0,11 0,33 1,00 3,00 9,00 —11,00 —3,00 —2,00 — 1,50 —1,25 — 1,10 ^max ~ 9,5153 0,4105 0,4425 0,4722 0,5188 0,6000 0,6758 0,7112 0,7295 0,4794 —2,4748 —8,2198 0,0000 0,0000 0,3129 0,3625 0,3893 0,4143 0,4539 0,5261 0,6036 0,6518 0,7157 0,8202 0,7328 -10,3072 0,0000 0,0000 0,5297 0,6039 0,6434 0,6800 0,7376 0,8425 0,9563 1,0293 1,1322 1,3554 1,6507 1,7777 -18,1918 0,0000 = 3; ek = 10,0572 0,4607 0,4966 0,5300 0,5823 0,6736 0,7593 0,7999 0,8228 0,5582 —2,6160 -10,1101 0,0000 0,0000 ^ = 1,<с 0,4295 0,4975 0,5342 0,5685 0,6227 0,7218 0,8281 0,8943 0,9823 1,1277 1,0204 -13,4906 0,0000 0,0000 == 2 0,9222 1,0507 1,1191 1,1825 1,2823 1,4638 1,6606 1,7869 1,9649 2,3513 2,8659 3,1789 -31,0280 0,0000 = 1,25 1,5997 —0,1959 —0,2175 —0,2390 —0,2758 —0,3534 —0,4570 —0,5370 —0,6726 — 1,1076 —2,4027 — 1,5459 0,0000 0,0000 —0,1330 —0,1595 —0,1746 —0,1892 —0,2135 —0,2623 —0,3230 —0,3669 —0,4366 —0,6301 —1,0514 —4,3598 0,0000 0,0000 —0,2099 —0,2440 —0,2627 —0,2804 —0,3090 —0,3634 —0,4263 —0,4691 —0,5331 —0,6908 —0,9673 —2,0788 —6,9293 —0,0000 -1,6713 0,2195 0,2437 0,2676 0,3087 0,3952 0,5106 0,5994 0,7500 1,2312 2,6538 1,9028 0,0000 0,0000 0,1825 0,2187 0,2393 0,2592 0,2925 0,3592 0,4420 0,5019 0,5969 0,8600 1,4312 5,8653 0,0000 0,0000 0,3647 0,4236 0,4558 0,4863 0,5355 0,6290 0,7369 0,8101 0,9195 1,1883 1,6571 3,5171 12,2631 0,0000 0,7795 0,8628 0,9057 0,9446 1,0043 1,1087 1,2169 1,2842 1,3766 1,5717 1,8359 2,4394 3,8818 -14,3100 е 4,8463 3,2466 0,3782 0,4024 0,4369 0,4785 0,4568 0,3686 0,0456 —3,1800 -12,7404 0,0000 0,0000 0,0000 12,7163 0,3221 0,3475 0,3709 0,4071 0,4675 0,5151 0,5268 0,4976 —0,0115 —5,5315 0,0000 0,0000 0,0000 е/г = 1,9233 2,1261 2,2303 2,3247 2,4695 2,7223 2,9837 3,1458 3,3683 3,8362 4,4673 5,9000 9,3234 -30,8601 max — 4; 5,5638 3,3334 0,4249 0,4521 0,4911 0,5386 0,5167 0,4213 0,0692 —3,4426 -15,0348 0,0000 0,0000 0,0000 ~eti = 17,5043 0,4423 0,4772 0,5093 0,5591 0,6421 0,7083 0,7253 0,6877 0,0077 —7,3565 0,0000 0,0000 0,0000 = 3 —0,2815 —0,3134 —0,3299 —0,3450 —0,3684 —0,4099 —0,4535 —0,4811 —0,5194 —0,6025 —0,7199 — 1,0155 —2,0707 —9,0000 q = 1,2 1,5811 0,3054 —0,2156 —0,2416 —0,2880 —0,3935 —0,508 —0,6854 —0,9416 —2,0370 —2,6830 0,0000 0,0000 0,0000 1,5 2,4681 —0,1591 —0,1781 —0,1968, — 0,2292 —0,2992 —0,3955 —0,1719 —0,6054 — 1,0637 —2,6691 0,0000 0,0000 0,0000 0,6921 0,7693 0,8092 0,8456 0,9019 1,0013 1,1057 1,1713 1,2626 1,4591 1,7354 2,4220 4,8051 21,3522 >5 -1,7984 -0,2897 0,2416 0,2707 0,3225 0,4403 0,6156 0,7653 1,0497 2,2598 3,1808 0,0000 0,0000 0,0000 -3,3739 0,2186 0,2142 0,2698 0,3142 0,4099 0,5113 0,6455 0,8275 1,4505 3,6199 0,0000 0,0000 0,0000
20 Заказ 1099
305
Продолжение табл. 36
X JM JN
ek — 2 emax = 5*, ek = 1,25
—0,25 0,4834 0,8425 —0,2089 0,3633 1,4334 1,6373 0,7558 —0,8570
—0,10 0,5615 0,9782 —0,2522 0,4382 10,8866 12,4961 2,2316 —2,5406
0,00 0,6036 1,0514 —0,2770 0,4811 4,0462 4,1760 0,4378 —0,4278
0,11 0,6429 1,1198 —0,3013 0,5230 0,3378 0,3798 —0,2368 0,2655
0,33 0,7051 1,2278 —0,3420 0,5932 0,3557 0,4003 —0,2895 0,3244
1,00 0,8177 1,4238 —0,4249 0,7360 0,3380 0,3820 —0,4170 0,4668
3,00 0,9356 1,6297 —0,5301 0,9166 0,1508 0,1767 —0,6254 0,6992
9,00 1,0061 1,7533 —0,6075 1,0495 —0,1769 —0,1836 —0,8210 0,9168
—11,00 1,0928 1,9069 —0,7329 1,2640 —1,2883 —1,4041 —1,2374 1,3791
—3,00 1,1712 2,0609 —1,0957 1,8820 -15,2168 -16,6935 -3,5104 3,9068
—2,00 0,4753 0,9657 — 1,9606 3,3424 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,50 -18,5271 -31,4676 —5,9058 10,3575 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
ek = 3 ek = = 1,5
—0,25 0,7548 1,8665 —0,2942 0,7247 0,3923 4,7266 1,1835 —1,6389
—0,10 0,8562 2,1151 —0,3395 0,8348 3,1786 4,0627 0,3407 —0,4162
0,00 0,9100 2,2466 —0,3641 0,8945 0,3050 0,4190 —0,1758 0,2412
0,11 0,9596 2,3681 —0,3872 0,9506 0,3243 0,4455 —0,1973 0,2706
0,33 1,0376 2,5586 —0,4244 1,0405 0,3515 0,4830 —0,2357 0,3231
1,00 1,1787 2,9029 —0,4944 1,2092 0,382 0,5258 —0,3236 0,4434
3,00 1,3308 3,2737 —0,5743 1,4010 0,3561 0,4918 —0,4556 0,6237
9,00 1,4282 3,5107 —0,6281 1,5297 0,2731 0,3804 —0,5693 0,7789
—11,00 1,5650 3,8438 —0,7077 1,7197 —0,0226 —0,0180 —0,7875 1,0763
—3,00 1,8615 4,5662 —0,9006 2,1772 —2,9737 —3,9879 — 1,7387 2,3682
—2,00 2,2596 5,5429 — 1,2297 2,9504 —9,0550 -13,1596 — 1,7336 2,5235
—1,50 2,6340 6,6587 —2,4868 5,8405 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 -16,7642 -37,3287 —7,9767 19,2943 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,10 —5,3832 -16,1156 —0,9595 2,8727 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
ek = 4 ek = = 2
—0,25 0,5545 1,9275 —0,1972 0,6844 14,2738 24,3090 2,8197 —4,7367
—0,10 0,6105 '2,1207 —0,2180 0,7557 0,5109 0,8910 —0,2515 0,4373
0,00 0,6391 2,2192 —0,2286 0,7922 0,5510 0,9609 —0,2807 0,4879
0,11 0,6649 2,3081 —0,2382 0,8253 0,5880 1,0255 —0,3100 0,5385
0,33 0,7043 2,4438 —0,2530 0,8761 0,6453 1,1254 —0,3606 0,6259
1,00 0,7725 2,6786 —0,2788 0,9645 0,7409 1,2933 —0,4697 0,8140
3,00 0,8424 2,9187 —0,3055 1,0557 0,8170 1,4294 —0,6194 1,0715
9,00 0,8853 3,0662 —0,3221 1,1123 0,8364 1,4677 —0,7380 1,2751
—11,00 0,9439 3,2671 —0,3448 1,1898 0,7917 1,4020 —0,9451 1,6297
—3,00 1,0656 3,6839 —0,3927 1,3528 —0,0201 0,0779 —1,6576 2,8418
—2,00 1,2269 4,2347 —0,4576 1,5730 —9,4784 -15,3318 -4,2104 7,1225
— 1,50 1,5831 5,4465 —0,6074 2,0782 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
—1,25 2,4542 8,3892 —1,0233 3,4633 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-1,10- —8,9268- —25,0312 —8,0405 25,5969 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
306
Продолжение табл. 36
X JM JN JM JM J N
—0,25 0,7116 е/г = з 1,7630 —0,2960 0,7303 0,4302 £k 1,9278 — 5 —0,158 0,6796
—0,10 0,8203 2,0305 —0,3516 0,8660 [ 0,4723 2,1154 —0,1671 0,7476
0,00 0,8787 2,1742 —0,3829 0,9422 0,4936 2,2105 —0,1749 0,7823
0,11 0,9332 2,3080 —0,4131 1,0156 0,5128 2,2962 -0,1819 0,8136
0,33 1,0192 2,5196 —0,4630 1,1366 0,5421 2,4266 —0,1927 0,8613
1,00 1,1762 2,9057 —0,5619 1,3756 0,5925 2,6510 —0,2113 0,9440
3,00 1,3450 3,3214 —0,6827 1,6664 0,6437 2,8790 —0,2303 1,0286
9,00 1,4508 3,5830 —0,7689 1,8732 0,6751 3,0184 —0,2421 1,0805
—11,00 1,5934 3,9377 —0,9042 2,1964 0,7176 3,2074 —0,2580 1,1513
—3,00 1,8464 4,5857 — 1,2714 3,0673 0,8052 3,5962 —0,2913 1,2984
—2,00 1,7958 4,6149 —2,0468 4,8812 0,9197 4,1038 —0,3354 1,4931
—1,50 -17,5906 -36,6968 —7,4709 17,1886 1,1670 5,1972 —0,4333 1,9239
— 1,25 -17,6579 -50,1654 —4,7587 13,6288 1,7466 7,7476 —0,6796 2,9998
— 1,10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 4,1356 18,2306 —2,4663 10,6124
—0,25 —0,10 0,00 0,11 0,33 1,00 3,00 9,00 — 11,00 —3,00 —2,00 — 1,50 —1,25 — 1,10 0,5473 0,6148 0,6501 0,6825 0,7329 0,8230 0,9189 0,9796 1,0646 1,2490 1,5079 2,1136 1,6013 -18,4456 e/е = 4 1,9042 2,1376 2,2596 2,3716 2,5458 2,8567 3,1872 3,3965 3,6891 4,3232 5,2128 7,2967 6,2135 -69,6640 —0,2061 —0,2341 —0,2490 —0,2628 —0,2846 —0,3245 —0,3682 —0,3967 —0,4375 —0,5307 —0,6739 —1,0958 —3,5617 —6,5337 0,7159 0,8123 0,8636 0,9111 0,9860 1,1228’ 1,2727. 1,3701 1,5097 1,8272 2,3129 3,7328 11,8184 24,9747
20*
307
1 а б л и ц a 37
Значения функций JK упр; j'KnJl‘, fK пл при кручении
^тах j' при т к пл п j" При к пл J купр
1,25 1,5 <2 3 4 5 1 ,25 1,5 2 3 4 5
1,25 0,522 — — 0,589 0,409
1,5 0,251 0,375 — — — — 0,284 0,516 — — — — 0,197
2,0 0,080 0,119 0,385 — — — 0,090 0,165 0,683 — — — 0,062
3,0 0,015 0,023 0,076 0,312 — — 0,018 о, озз 0,135 0,800 — — 0,032
4,0 0,005 0,007 0,024 0,099 0,192 — 0,006 0,010 0,043 0,252 0,683 — 0,004
5,0 0,002 0,003 0,010 0,041 0,079 0,13 0,002 0,004 0,018 0,104 0,280 0,490 0,002
Таблица 38
Значения функций Jм упр и JA, упр при совместном растяжении и кручении
Jпри X 1 м упр 1 J При х N упр
ei max 0 0, 1 0,25 0,50 0,75 1 2 5 0 1 1 0,1 0,25 0,5 0,75 1 2 5
1 1,0 0,995 0,976 0,892 0,800 0,707 0,417 0,212 0 0,1 0,243 0,447 0,600 0,707 0,896 0,977
1,25 0,512 0,510 0,466 0,338 0,193 0,070 0 0,080 0,187 0,298 0,330 0,248
1,5 0,296 0,289 0,244 0,126 0,021 0 0,066 0,148 0,204 0,119
2 0,125 0,119 0,080 0,007 1 0 0,048 0,099 0,056
3 0,037 0,031 0,009 1 0 0,031 0,040
4 0,016 0,011 0 ! 0 0,021 0,004
5 0,008 0,0047 i о 0,015
Таблица 39
Значения функций j'N пг и J"N пл при совместном растяжении и кручении
бтах еп j' при X N пл /' при X N пл
0, 1 0,25 0,5 0,75 1 2 5 0, 1 0,25 0,50 0,75 1 2 5
1,25 1,25 0,045 0,116 0,250 0,420 0,630 1,083 1,25 0,04 0,103 0,223 0,376 0,565 0,934 0,996
1,5 1,25 1,5 0,037 0,046 0,096 0,118 0,208 0,257 0,350 0,431 0,414 0,649 1,345 1,43 | 0,033 0,033 0,085 0,085 0,186 0,186 0,312 0,312 0,470 0,357 0,958 0,996
2 1,25 1,5 2 0,028 0.035 0,087 0,072 0,089 0,224 0,156 0,192 0,485 0,056 0,324 0,845 0,176 1,23 1,79 1,94 0,025 0,025 0,050 0,065 0,065 0,129 0,139 0,139 0,279 0,047 0,234 0,469 0,127 0,705 0,941 0,997
3 1,25 1,5 2 3 0,019 0,023 0,058 0,167 0,048 0,059 0,149 0,428 0,100 0,388 1,115 0,780 1,561 2,115 2,69 2,96 0,017 0,017 0,033 0,067 0,043 0,043 0,086 0,171 0,072 0,223 0,446 0,125 0,625 0,826 0,956 0,997
4 1,25 1,5 2 3 4 0,014 0,014 0,044 0,125 0,175 0,036 0,045 0,112 0,323 0,452 0,111 0,697 0,975 0,784 1,64 0,352 2,465 3,58 3,90 0,013 0,013 0,025 0,05 0,05 0,032 0,032 0,065 0,129 0,129 0,059 0,279 0,279 0,280 0,469 0,120 0,705 0,941 0,998
5 1,25 1,5 2 3 4 5 0,011 0,019 0,035 0,100 0,140 0,181 0,004 0,036 0,080 0,258 0,360 0,464 0,445 0,780 1,05 1,31 1,685 1,183 2,528 4,5 4.99 [ 0,011 0,011 0,021 0,042 0,042 0,042 0,004 0,026 0,052 0,103 0,103 0,103 0,17 0,223 0,223 0,375 0,375 0,259 0,564 0,951 0,998
Таблица 40
Значения функций J'm л и ПРИ с0вместном растяжении и кручении
^тах 4Плпри х JMnA ПРИ *
0 0, 1 0,25 0,50 0,75 1 2 5 0 0,1 0,25 0,50 0,75 1 2 5
1,25 1,25 0,738 0,745 0,«750 0,780 0,813 0,816 0,785 0,326 0,650 0,655 0,665 0,685 0,712 0,708 0,59 0,27
1,5 1,25 1,5 0,426 0,810 0,426 0,815 0,420 0,832 0,386 0,875 0,308 0,940 0,154 0,99 0,742 0.45 0,375 0,556 0,375 0,547 0,370 0,563 0,342 0,595 0,269 0,625 0,134 0,632 0,41 0
2 1,25 1,5 2 0,180 0,329 1,37 0,178 0,329 1,385 0,162 0,317 1,395 0,095 0,266 1,425 0,004 0,155 1,46 0,028 1,41 0,947 0,8 0,159 0,235 0,773 0,157 0,235 0,778 0,142 0,226 0,786 0,082 0,189 0,800 0,001 0,108 0,810 0,77 0,458 0
3 1,25 1,5 2 3 0,053 0,098 0,406 2,4 0.051 0,095 0,396 2,45 0,035 0,077 0,372 0,248 0,012 0,255 2,56 0,042 2,36 1,92 1,274 0,785 0,047 0,070 0,229 0,936 0,045 0,068 0,227 0,943 0,030 0,055 0,209 0,946 0,006 0,141 ,0988 0,029 0,895 0,770 0,450 0,216
4 1,25 1.5 2 3 4 0,022 0,041 0,17 1,01 2,71 0,020 0,039 0,166 1,01 2,75 0,004 0,019 0,122 0,852 2,775 0,014 0,720 2,84 0,285 2,9 0,044 2,78 1,750 1,160 0,020 0,029 0,396 0,392 0,765 0,018 0,027 0,093 0,393 0,776 0,006 0,016 0,074 0,370 0,782 0,074 0,273 0,795 0,092 0,808 0,013 0,765 0,483 0,224
5 1,25 1,5 2 3 4 5 0,012 0,021 0,088 0,52 1,4 2,94 0,009 0,019 0,083 0,511 1,4 2,98 0,000 0,005 0,051 0,442 1,36 3,018 0,177 1,182 3,12 0,811 3,24 0,244 2,08 2,205 0,551 0,010 0,015 0,050 0,202 0,394 0,65 0,008 0,013 0,047 0,199 0,395 0,657 0,004 0,029 0,171 0,382 0,665 0,072 0,388 0,685 0,209 0,71 0,145 0,709 0,466 0,212
Таблица 41
Значения Jynp^ Зпл и ^пл Для слУчая изгиба круглой пластинки
ei max 4л "Рн ei
1,25 1,5 2 3 4 5
1,25 1,5 2 3 4 5 0,218 0,109 0,0264 0,003 0,001 0,000 0,134 0,0322 0,004 0,001 0,000 0,0824 0,011 0,002 0,001 0,031 0,007 0,002 0,010 0,003 0,004
max JnA ПРИ ‘l
1 ,25 1,5 2 3 4 5 J упр
1,25 1,5 2 3 4 5 0,308 0,126 0,030 0,004 0,001 0,000 0,184 0,044 0,006 0,001 0,000 0,145 0,019 0,005 0,002 0,078 0,018 0,006 0,036 0,012 0,019 0,5 0,294 0,125 0,037 0,0156 0,008
311
Таблица 42
Значения Ju и Jp для вычисления функций пластичности при изгибе оболочек для 1
ei /, Т2 Г/г V ~eio) (-? 72 Y'* \ ei ei0j 3 / —2 -2 V/, \ ei eio) J"u J и v а--.*. 1 1/ “2 -2 V е1 - М
1,0 1 0 0 1 — 0 0
1,25 0,513 ' 1,54 0,311 0,280 0,8 0,8 0,25 0,224
1,5 0,295 0,885 0,476 0,345 0,667 0,667 0,25 0,182
0 2,0 0,125 0,375 1,550 0,875 0,500 0,500 0,5 0,288
3,0 0,037 0,111 6,330 2,500 0,333 0,333 1,0 0,406
4,0 0,0157 0,047 12,330 3,500 0,25 0,25 1,0 0,288
5,0 0,008 0,024 20,370 4,500 0,20 0,20 1,0 0,224
1,0 1 — 0 0 1,1 1 0 0
1,25 0,420 2,00 0,290 0,264 0,730 0,875 0,309 0,266
1,50 0,223 1,063 0,440 0,319 0,594 0,709 0,265 0,195
0,5 2,0 0,087 0,413 1,48 0,845 0,432 0,515 0,530 0,300
3,0 0,024 0,116 6,21 2,448 0,283 0,338 1,02 0,418
4,0 0,010 0,048 12,17 3,474 0,211 0,252 1,01 0,290
5,0 0,005 0,0243 20,3 4,472 0,168 0,201 1,01 0,224
1,0 1 — 0 0 1 — 0 0
1,25 0,331 2,71 0,247 0,219 0,691 0,965 0,320 0,288
1,5 0,157 1,285 0,409 0,295 0,539 0,754 0,293 0,212
0,7 2,0 0,059 0,456 1,407 0,797 0,383 0,535 0,542 0,315
3,0 0,015 0,1205 6,105 2,402 0,245 0,342 1,050 0,423
4,0 0,006 0,049 12,11 3,428 0,182 0,254 1,020 0,295
5,0 0,003 0,0243 20,10 4,468 0,144 0,204 1,020 0,228
1,0 1 0 0 1 — 0 0
1,25 0 7,15 0,14 0,121 0 1,333 0,75 0,694
1,50 0 2,14 0,327 0,290 0 0,895 0,369 0,268
1,0 2,0 0 0,557 1,265 0,663 0 0,577 0,613 0,354
3,0 0 0,1325 5,818 0,289 0 0,354 0,998 0,448
4,0 0 0,0515 11,85 3,355 0 0,258 1,050 0,300
5,0 0 0,0255 19,8 4,386 0 0,204 1,020 0,228
Таблица 43
Значения Ju и Jp при вычислении функций пластичности для е/0 > 1,0
eio е. i 3 Ju Ju 1 Jp
/ -2 - 2 у/2 \ ei eiQ/ 1/ -2 — 2 V ei ~ ei0
1J 1,25 0 0 0 0
14,5 0,69 0,058 1,69 0,592 0,516
1,50 2,82 0,285 0,205 0,980 0, 128 0,313
1 1 2,0 0,644 1,197 0,678 0,599 0,650 0,377
1 ,1 3,0 1,138 5,699 2,235 0,358 1,12 0,456
4,0 0,0529 11,65 3,338 0,260 1 ,05 0,302
5,0 0,0259 19,70 4,364 0,205 1 ,04 0,231
1 ,2 0 0 0 0
1,25 7,15 0,014 0,012 2,88 0,347 0,285
1,50 4,11 0,229 0,164 1,111 0,553 0,408
1 9 2,0 0,732 1,122 0,633 0,625 0,700 0, 106
3,0 0,144 5,565 2,186 0,364 1,150 0,470
4,0 0,054 11,62 3,270 0,262 1,060 0,303
5,0 0,0262 19,55 4,358 0,206 1,050 0,235
1,3 0 0 0 0
1,5 7,15 0,14 0,099 1,333 0,750 0,548
1 3 2,0 0,855 1,03 0,578 0,658 0,752 0,419
3,0 0,1515 5,43 2,128 0,369 1,19 0,485
4,0 0,0555 11,4 3,23 0,264 1,09 0,308
5,0 0,0266 19,6 4,355 0,2065 1,06 0,233
1,4 0 0 0 0
1,5 19,25 0,052 0,035 1,85 0,54 0,378
1 4 2,0 1,03 0,920 0,532 0,70 0,89 0,518
3,0 0,1605 5,268 2,067 0,376 1,23 0,503
4,0 0,0568 11,36 3,225 0,266 1,10 0,315
5,0 0,027 19,4 4,270 0,208 1 ,05 0,233
1,5 0 0 0 0
2,0 1,30 0,77 0,423 0,757 1,32 0,798
1 ч 3,0 0,171 5,08 1,995 0,384 1,28 0,521
1 , о 4,0 0,0588 11,15 3,167 0,270 1,11 0,320
5,0 0,0276 19,2 4,305 0,210 1,06 0,234
313
Таблица 44
Значения х1т х2 и х при а = 5 и (3 = 0,025
(хх — для нечетных, х2 — для четных значений k)
k И х2 X k Х1 и х2 X k xt и х2
1 0,16667 0,16667 35 3,17422 0,17538 68 6,21430 —0,01327
2 0,16736 —0,00069 36 3,18345 —0,00923 69 6,39398 0,17968
о 0,33470 0,16734 37 3,35918 0,17573 70 6,40742 —0,01344
4 0,33605 —0,00135 38 3,36875 —0,00958 71 6,58526 0,17984
5 0,50405 0,16800 39 3,54482 0,17606 72 6,60086 —0,01360
6 0,50605 —0,00200 40 3,54473 —0,00991 73 6,78086 0,18000
7 0,67468 0,16863 41 3,73111 0,17639 74 6,79461 —0,01375
8 0,67730 —0,00262 42 3,74133 —0,01022 75 6,97476 0,18015
9 0,84654 0,16924 43 3,91803 0,17670 76 6,98866 —0,01390
10 0,84976 —0,00322 44 3,92855 —0,01053 77 7,16895 0,18029
11 1,01958 0,16983 45 4,10555 0,17699 78 7,18299 —0,01404
12 1,02338 —0,00380 46 4,11636 —0,01081 79 7,36342 0,18043
13 1,19378 0,17040 47 4,29363 0,17727 80 7,37759 —0,01417
14 1,19813 —0,00435 48 4,30473 —0,01109 81 7,55815 0,18056
15 1,36907 0,17094 49 4,48227 0,17755 82 7,57245 —0,01430
16 1,37396 —0,00489 50 4,49363 —0,01136 83 7,75313 0,18068
17 1,54543 0,17147 51 4,67143 0,17780 84 7,76755 —0,01442
18 1,55083 —0,00540 52 4,68304 —0,01161 85 7,94835 0,18080
19 1,72281 0,17197 53 4,86109 0,17805 86 7,96288 —0,01454
20 1,72871 —0,00590 54 4,87295 —0,01185 87 8,14379 0,18091
21 1,90117 0,17246 55 5,05124 0,17829 88 8,15844 —0,01465
22 1,90755 —0,00638 56 5,06332 —0,01208 89 8,33946 0,18102
23 2,08048 0,17293 57 5,24184 0,17852 90 8,35421 —0,01475
24 2,08732 —0,00684 58 5,25414 —0,01231 91 8,53533 0,18112
25 2,26070 0,17338 59 5,43287 0,17873 92 8,55018 —0,01485
26 2,26798 —0,00728 60 5,44539 —0,01252 93 8,73140 0,18122
27 2,44179 0,17381 61 5,62433 1,17894 94 8,74634 —0,01495
28 2,44949 —0,00770 62 5,63705 —0,01272 95 8,92765 0,18131
29 2,62372 0,17423 63 5,81619 0,17914 96 8,94269 —0,01504
30 2,63183 —0,00811 64 5,82910 —0,01291 97 9,12409 0,18140
31 2,80646 0,17463 65 6,00842 0,17933 98 9,13921 —0,01512
32 2,81496 —0,00850 66 6,02152 —0,01310 99 9,32069 0,18148
33 2,98997 0,17501 67 6,20102 0,17951 100 9,33590 —0,01521
34 2,99884 —0,00887
Таблица 45
Значения xlt х2 и х при а = 5 и р — 0,05
(хх — для нечетных, х2 — для четных значений /г)
k Х1 и х2 X k *1 И х2 X k Х1 и х2 X
1 0,16667 0,16667 5 0,50788 0,16922 9 0,85843 0,17143
2 0,16803 —0,00137 6 0,51171 —0,00383 10 0,86438 —0,00595
3 0,33602 0,16799 7 0,68207 0,17036 11 1,03679 0,17241
4 0,33866 —0,00264 8 0,68700 —0,004931 12 1,04369 —0,00690
314
Продолжение табл. 45
k xt И х2 X k Xj и Х2 X k Xi И х2 X
13 1,21701 0,17332 43 4,06450 0,18065 72 6,84637 —0,01646
14 1,22478 —0,00777 44 4,07929 —0,01479 73 7,02882 0,18246
15 1,39894 0,17416 45 4,26016 0,18087 74 7,04533 —0,01651
16 1,40752 —0,00858 46 4,27516 —0,01500 75 7,22784 0,18251
17 1,58245 0,17493 47 4,45623 0,18107 76 7,24440 —0,01656
18 1,59177 —0,00932 48 4,47142 —0,01519 77 7,42695 0,18255
19 1,76741 0,17564 49 4,65267 0,18125 78 7,44355 —0,01660
20 1,77741 —0,01000 50 4,66803 —0,01536 79 7,62614 0,18259
21 1,95370 0,17629 51 4,84944 0,18141 80 7,64278 —0,01664
22 1,96433 —0,01063 52 4,86495 —0,01551 81 7,82541 0,18263
23 2,14122 0,17689 53 5,04651 0,18156 82 7,84209 —0,01668
24 2,15242 —0,01120 54 5,06216 —0,01565 83 8,02475 0,18266
25 2,39285 0,17744 55 5,24386 0,18169 84 8,04146 —0,01671
26 2,34158 —0,01172 56 5,25964 —0,01578 85 8,22415 0,18269
27 2,51952 0,17794 57 5,44145 0,18181 86 8,24089 —0,01674
28 2,53172 —0,01220 58 5,45735 —0,01590 87 8,42361 0,18272
29 2,71012 0,17840 59 5,63928 0,18192 88 8,44038 —0,01676
30 2,72276 —0,01264 60 5,65528 —0,01600 89 8,62312 0,18275
31 2,90157 0,17882 61 5,83731 0,18202 90 8,63991 —0,01679
32 2,91461 —0,01304 62 5,85340 —0,01610 91 8,82268 0,18277
33 3,09381 0,17920 63 6,03552 0,18212 92 8,83949 —0,01681
34 3,10721 —0,01340 64 6,05170 —0,01619 93 9,02228 0,18279
35 3,28676 0,17955 65 6,23390 0,18220 94 9,03911 —0,01683
36 3,30050 —0,01374 66 6,25017 —0,01626 95 9,22192 0,18281
37 3,48036 0,17986 67 6,43244 0,18227 96 9,23876 —0,01685
38 3,49440 —0,01404 68 6,44877 —0,01633 97 9,42159 0,18283
39 3,67455 0,18015 69 6,63111 0,18234 98 9,43845 —0,01686
40 3,68887 —0,01431 70 6,64751 —0,01640 99 9,62129 0,18284
41 3,86928 0,18041 71 6,82991 0,18240 100 9,63816 —0,01688
42 3,88385 —0,01456
Таблица 46
Значения хх, х2 и х при а — 5 и (3 — 0,1
(хх— для нечетных, х2— для четных значений k)
k Xt И х2 X k xt и х2 X k Xt И х2 X
1 0,16667 0,16667 11 1,06490 0,17610 21 2,02471 0,18013
2 0,16935 —0,00269 12 1,07631 —0,01141 22 2,03979 —0,01509
3 0,33853 0,16917 13 1,25354 0,17723 23 2,22037 0,18058
4 0,34354 —0,00502 14 1,26598 —0,01244 24 2,23586 —0,01549
5 0,51488 0,17134 15 1,44414 0,17816 25 2,41681 0,18094
6 0,52191 —0,00702 16 1,45743 —0,01329 26 2,43263 —0,01583
7 0,69510 0,17319 17 1,63638 0,17894 27 2,61388 0,18125
8 0,70384 —0,00874 18 1,65038 —0,01401 28 2,62998 —0,01610
9 0,87861 0,17477 19 1,82998 0,17959 29 2,81148 0,18150
10 0,88880 —0,01019 20 1,84457 —0,01460 30 2,82780 —0,01633
315
Продолжение табл. 46
k и х2 X k Xj и х2 X k Xj и х2 X
31 3,00950 0,18170 41 4,00385 0,18229 51 5,00177 0,18251
32 3,02602 —0,01651 42 4,02090 —0,01705 52 5,01901 —0,01725
33 3,20789 0,18187 43 4,20325 0,18235 53 5,20154 0,18253
34 3,22455 —0,01667 44 4,22036 —0,01710 54 5,21881 —0,01727
35 3,40656 0,18201 45 4,40276 0,18241 55 5,40136 0,18255
36 3,42335 —0,01679 46 4,41991 —0,01715 56 5,41865 —0,01728
37 3,60547 0,18212 47 4,60236 0,18245 57 5,60122 0,18257
38 3,62237 —0,01689 48 4,61955 —0,01719 58 5,61851 —0,01730
39 3,80458 0,18222 49 4,80203 0,18248 59 5,80110 0,18258
40 3,82156 —0,01698 50 4,81925 —0,01722 60 5,81840 —0,01731
Таблица 47
Значения х2 и х при а = 5 и р = О,15
(хг — для нечетных, х2—для четных значений/г)
k xt И х2 X k xt И х2 х /г Xj И х2 X
1 0,16667 0,16667 15 1,47495 0,18008 28 2,68079 —0,01739
2 0,17063 —0,00396 16 1,49074 —0,01579 29 2,86280 0,18202
3 0,34086 0,17023 17 1,67138 0,180641 30 2,88027 —0,01747
4 0,34801 —0,00715 18 1,68767 —0,01628 31 3,06236 0,18209
5 0,52108 0,17307 19 1,86873 0,1810б| 32 3,07989 —0,01753
6 0,53074 —0,00967 20 1,88538 —0,01665 33 3,26203 0,18214
7 0,70604 0,17529 21 2,06676 0,18138 34 3,27961 —0,01758
8 0,71766 —0,01162 22 2,08368 —0,01692 35 3,46179 0,18218
9 0,89467 0,17701 23 2,26530 0,18161 36 3,47940 —0,01761
10 0,90780 —0,01313 24 2,28242 —0,01712 37 3,66161 0,18221
11 1,08613 0,17833 25 2,46421 0,18179 38 3,67924 —0,01764
12 1,10041 —0,01428 26 2,48148 —0,01727 39 3,86147 0,18223
13 1,27973 0,17932 27 2,66340 0,18192 40 3,87913 —0,01765
14 1,29487 —0,01514
Таблица 48
Значения хь х2 и 7- при а = 10 и р — 0,025
(%х—'для нечетных и х2— для четных значений k)
k Xi И х2 X k xt И х2 X k Xt и X,
1 0,09091 0,09091 8 0,36677 —0,00077 15 0,73773 0,09215
2 0,09111 —0,00020 9 0,45843 0,09166 16 0,73915 —0,00142
3 0,18222 0,09111 10 0,45938 —0,00094 17 0,83145 0,09230
4 0,18262 —0,00040 11 0,55121 0,09183 18 0,83301 —0,00156
5 0,27393 0,09130 12 0,55232 —0,00111 19 0,92545 0,09244
6 0,27451 —0,00059 13 0,64431 0,09199 20 0,92716 —0,00170
7 0,36600 0,09149 14 0,64558 -0,00127 21 1,09173 0,09258
316
Продолжение табл. 48
k xt И х2 k xt И х2 X k Xj И х2 X
22 1,02157 —0,00184 49 2,36270 0,09396 75 3,63523 0,09464
23 1,11428 0,09271 50 2,36589 —0,00319 76 3,63909 —0,00385
24 1,11624 —0,00196 51 2,45991 0,09403 77 3,73376 0,09468
25 1,20908 0,09283 52 2,46317 —0,00325 78 3,73765 —0,00389
26 1,21116 —0,00209 53 2,55726 0,09409 79 3,83236 0,09171
27 1,30411 0,09295 54 2,56058 —0,00332 80 3,83628 —0,00392
28 1,30632 —0,00220 55 2,65473 0,09415 81 3,93102 0,09474
29 1,39938 0,09307 56 2,65811 —0,00338 82 3,93498 —0,00395
30 1,40170 —0,00231 57 2,75233 0,09421 83 4,02975 0,09478
31 1,49487 0,09317 58 2,75576 —0,00344 84 4,03374 —0,00398
32 1,49729 —0,00242 59 2,85004 0,09427 85 4,12854 0,09481
33 1,59057 0,09328 60 2,85353 —0,00349 86 4,13256 —0,00401
34 1,59310 —0,00252 61 2,94785 0,09432 87 4,22739 0,09483
35 1,68647 0,09338 62 2,95140 —0,00355 88 4,23143 —0,00404
36 1,68909 —0,00262 63 3,04577 0,09438 89 4,32630 0,09486
37 1,78257 0,09347 64 3,04937 —0,00360 90 4,33036 —0,00407
38 1,78528 —0,00271 65 3,14380 0,09443 91 4,42525 0,09489
39 1,87884 0,09356 66 3,14744 —0,00364 92 4,42935 —0,00409
40 1,88164 —0,00280 67 3,24191 0,09447 93 4,52426 0,09491
41 1,97529 0,09365 68 3,24560 —0,00369 94 4,52838 —0,00412
42 1,97818 —0,00289 69 3,34012 0,09452 95 4,62331 0,09494
43 2,07191 0,09373 70 3,34385 —0,00373 96 4,62746 —0,00414
44 2,07488 —0,00297 71 3,43841 0,09456 97 4,72242 0,09496
45 2,16869 0,09381 72 3,44218 —0,00377 98 4,72658 —0,00416
46 2,17174 —0,00304 73 3,53678 0,09460 99 4,82156 0,09498
47 2,26562 0,09389 74 3,54060 —0,00381 100 4,82575 —0,00418
48 2,26874 —0,00312
Табл и ц а 49
Значения хь х2 и х при а = 10 и р = 0,05
(хх — для нечетных и х2 — для четных значений k)
k Xt и х2 X /г xt И х2 k xt и Х2
1 0,09091 0,09091 14 0,65317 —0,00223 27 1,32566 0,09406
2 0,09131 —0,00040 15 0,74621 0,09304 28 1,32908 —0,00342
3 0,18261 0,09130 16 0,74866 —0,00245 29 1,42325 0,09418
4 0,18339 —0,00078 17 0,84191 0,09325 30 1,42678 —0,00353
5 0,27504 0,09165 18 0,84456 —0,00265 31 1,52107 0,09429
6 0,27616 —0,00112 19 0,93801 0,09344 32 1,52470 —0,00364
7 0,36815 0,09198 20 0,94084 —0,00283 33 1,61909 0,09439
8 0,36958 —0,00143 21 1,03446 0,09362 34 1,62282 —0,00373
9 0,46186 0,09228 22 1,03746 —0,00300 35 1,71730 0,09448
10 0,46359 —0,00172 23 1,13124 0,09378 36 1,72111 —0,00382
И 0,55615 0,09256 24 1,13439 —0,00315 37 1,81567 0,09456
12 0,55813 —0,00199 25 1,22831 0,09392 38 1,81956 —0,00389
13 0,65094 0,09281 26 1,23160 —0,00329 39 1,91420 0,09463
317
Продолжение табл. 49
k и х2 X k хх И х2 X k xt и х2 X
40 1,91816 —0,00396 47 2,30956 0,09487 54 2,67142 —0,00431
41 2,01286 0,09470 48 2,31375 —0,00419 55 2,70645 0,09503
42 2,01689 —0,00403 49 2,40866 0,09491 56 2,71078 —0,00434
43 2,11165 0,09476 50 2,41290 —0,00423 57 2,80584 0,09506
44 2,11574 —0,00409 51 2,50785 0,09495 58 2,81021 —0,00437
45 2,21056 0,09482 52 2,51212 —0,00427 59 2,90529 0,09508
46 2,21470 —0,00414 53 2,60711 0,09499 60 2,90969 —0,00439
Таблица 50
Значения хь х2 и х при а = 10 и р — 0,1
(%! — для нечетных, х2— для четных значений k)
k Xj и х2 X k хх и х2 X k Xi И х2 X
1 0,09091 0,09091 21 1,05374 0,09461 41 2,04849 0,09516
2 0,09170 —0,00079 22 1,05791 —0,00418 42 2,05316 —0,00467
3 0,18334 0,09164 23 1,15264 0,09473 43 2,14834 0,09518
4 0,18481 —0,00146 24 1,15692 —0,00428 44 2,15303 —0,00469
5 0,27706 0,09225 25 1,25174 0,09482 45 2,24822 0,09519
6 0,27909 —0,00203 26 1,25611 —0,00437 46 2,25292 —0,00470
7 0,37186 0,09277 27 1,35101 0,09490 47 2,34812 0,09520
8 0,37436 —0,00250 28 1,35544 —0,00443 48 2,35282 —0,00471
9 0,46756 0,09320 29 1,45040 0,09496 49 2,44803 0,09521
10 0,47045 —0,00289 30 1,45489 —0,00449 50 2,45275 —0,00472
И 0,56401 0,09356 31 1,54991 0,09501 51 2,54797 0,09522
12 0,56723 —0,00322 32 1,55444 —0,00454 52 2,55269 —0,00472
13 0,66108 0,09386 33 1,64950 0,09506 53 2,64791 0,09522
14 0,66457 —0,00349 34 1,65408 —0,00458 54 2,65264 —0,00473
15 0,75868 0,09410 35 1,74917 0,09509 55 2,74787 0,09523
16 0,76239 —0,00371 36 1,75378 —0,00461 56 2,75260 —0,00473
17 0,85670 0,09431 37 1,84889 0,09512 57 2,84783 0,09523
18 0,86060 —0,00390 38 1,85353 —0,00463 58 2,85256 —0,00474
19 0,95507 0,09447 39 1,94867 0,09514 59 2,94780 0,09523
20 0,95912 —0,00405 40 1,95333 —0,00466 60 2,95254 —0,00474
Таблица 51
Значения хь х2 и х при а — 10 и р = 0,15
(хг— для нечетных, х2 — для четных значений k)
k Xj И х2 X k xt И х2 X k xt и х2 X
1 0,09091 0,09091 5 0,27881 0,09273 9 0,47198 0,09379
2 0,09208 —0,00117 6 0,28157 —0,00276 10 0,47566 —0,00368
3 0,18401 0,09194 7 0,37490 0,09333 И 0,56980 0,09413
4 0,18608 —0,00207 8 0,37819 —0,00329 12 0,57378 —0,00398
318
Продолжение табл. 51
k xt И х2 X k xt И Х2 k Xt И Х2 X
13 0,66817 0,09439 23 1,16453 0,09497 32 1,56861 —0,00481
14 0,67238 —0,00421 24 1,16924 —0,00471 33 1,66371 0,09511
15 0,76696 0,09458 25 1,26426 0,09502 34 1,66854 —0,00482
16 0,77133 —0,00437 26 1,26900 —0,00475 35 1,76365 0,09512
17 0,86606 0,09473 27 1,36406 0,09505 36 1,76848 —0,00483
18 0,87056 —0,00450 28 1,36883 —0,00477 37 1,86361 0,09512
19 0,96539 0,09484 29 1,46391 0,09508 38 1,86844 —0,00484
20 0,96998 —0,00459 30 1,46870 —0,00480 39 1,96357 0,09513
21 1,06490 0,09492 31 1,56380 0,09509 40 1,96842 —0,00484
22 1,06956 —0,00466
Таблица 52
Значения х2 и % при Л = 15 и = 0,025
(хг — для нечетных, %2— для четных значений k)
k Xj и Xz k Xt и x2 X k xt И X2 X
1 0,06250 0,06250 21 0,69675 0,06328 41 1,34336 0,06377
2 0,06260 —0,00010 22 0,69761 —0,00086 42 1,34470 —0,00134
3 0,12519 0,06259 23 0,76095 0,06334 43 1,40851 0,06381
4 0,12538 —0,00019 24 0,76186 —0,00092 44 1,40989 —0,00138
5 0,18807 0,06268 25 0,82526 0,06340 45 1,47373 0,06384
6 0,18834 —0,00028 26 0,82623 —0,00097 46 1,47514 —0,00141
7 0,25111 0,06277 27 0,88969 0,06345 47 1,53902 0,06388
8 0,25148 —0,00036 28 0,89071 —0,00103 48 1,54046 —0,00144
9 0,31433 0,06285 29 0,95422 0,06350 49 1,60437 0,06391
10 0,31477 —0,00044 30 0,95529 —0,00108 50 1,60585 —0,00148
11 0,37771 0,06293 31 1,01885 0,06355 51 1,66979 0,06394
12 0,37823 —0,00052 32 1,01997 —0,00113 52 1,67130 —0,00151
13 0,44124 0,06301 33 1,08357 0,06360 53 1,73527 0,06397
14 0,44183 —0,00059 34 1,08475 —0,00117 54 1,73680 —0,00153
15 0,50491 0,06308 35 1,14839 0,06365 55 1,80080 0,06400
16 0,50558 —0,00066 36 1,14961 —0,00122 56 1,80236 —0,00156
17 0,56873 0,06315 37 1,21330 0,06369 57 1,86639 0,06403
18 0,56946 —0,00073 38 1,21456 —0,00126 58 1,86798 —0,00159
19 0,63267 0,06322 39 1,27829 0,06373 59 1,93203 0,06405
20 0,63347 —0,00080 40 1,27959 —0,00130 60 1,93364 —0,00161
Таблица 53
Значения %2 и % при а = 15 и р = 0,05
(к1 — для нечетных, х2 — для четных значений k)
k Xx И X2 X k Xj и x2 X k xt И x2 X
1 0,06250 0,06250 4 0,12574 —0,00037 7 0,25212 0,06300
2 0,06269 —0,00019 5 0,18859 0,06285 8 0,25279 —0,00067
3 0,12537 0,06268 6 0,18912 —0,00053 9 0,31593 0,06314
319
Продолжение табл. 53
/г Н и х2 /г Х1 и Х2 X /г xt и Х2 х
10 0,31674 —0,00081 21 0,70356 0,06376 31 1,03089 0,06406
11 0,38001 0,06327 22 0,70495 —0,00139 32 1,03257 —0,00168
12 0,38094 —0,00093 23 0,76878 0,06383 33 1,09667 0,064)0
13 0,44432 0,06339 24 0,77024 —0,00146 34 1,09839 -0,00172
14 0,44536 —0,00104 25 0,83413 0,06389 35 1,16253 0,06414
15 0,50885 0,06349 26 0,83566 —0,00152 36 1,16429 -0,00176
16 0,50999 —0,00114 27 0,89961 0,06395 37 1,22847 0,06518
17 0,57358 0,06359 28 0,90119 —0,00158 38 1,23027 —0,00179
18 0,57481 —0,00123 29 0,96520 0,06401 39 1,29448 0,06421
19 0,63849 0,06368 30 0,96683 —0,00163 40 1,29631 —0,00183
20 0,63980 —0,00131
Таблица 54
Значения хъ х2 и 7. при а = 15 и (3 = 0,1
(%! — для нечетных, х2 — для четных значений /?)
k Xj и х2 X k Хх и Х2 X /г хх и X, X
1 0,06250 0,06250 15 0,51459 0,06397 28 0,91320 —0,00204
2 0,06287 —0,00037 16 0,51630 —0,00172 29 0,97756 0,06436
3 0,12572 0,06284 17 0,58037 0,06406 30 0,97962 —0,00207
4 0,12640 —0,00069 18 0,58217 —0,00180 31 1,04400 0,06438
5 0,18953 0,06313 19 0,64631 0,06414 32 1,04609 —0,00209
6 0,19048 —0,00095 20 0,61818 —0,00187 33 1,11049 0,06440
7 0,25384 0,06337 21 0,71238 0,06420 34 1,11259 —0,00210
8 0,25501 —0,00116 22 0,71430 —0,00192 35 1,17701 0,06442
9 0,31857 0,06356 23 0,77856 0,06425 36 1,17913 —0,00212
10 0,31992 —0,00134 24 0,78053 —0,00197 37 1,24355 0,06443
11 0,38364 0,06373 25 0,84482 0,06430 38 1,24568 —0,00213
12 0,38514 —0,00149 26 0,84683 —0,00201 39 1,31012 0,06444
13 0,44900 0,06386 27 0,91116 0,06433 40 1,31226 —0,00214
14 0,45061 —0,00162
Таблица 55
Значения х2 и л при а= 15 и 3 = 0,15
(%! — для нечетных, %2 — для четных значений k)__
k И х2 х. /г 71 И Х2 X k xt И X, X
1 0,06250 0,06250 15 0,51836 0,06419 28 0,91926 —0,00219
2 0,06305 —0,00055 16 0,52038 —0,00201 29 0,98367 0,06441
3 0,12603 0,06298 17 0,58463 0,06425 30 0,98587 —0,00220
4 0,12700 —0,00097 18 0,58670 —0,00207 31 1,05028 0,06441
5 0,19034 0,06335 19 0,65100 0,06130 32 1,05249 —0,00221
6 0,19163 —0,00129 20 0,65311 —0,00211 33 1,11692 0,06442
7 0,25525 0,06362 21 0,71741 0,06433 34 1,11913 —0,00222
8 0,25678 —0,00153 22 0,71958 —0,00214 35 1,18355 0,06442
9 0,32060 0,06383 23 0,78395 0,06436 36 1,18577 —0,00222
10 0,32231 —0,00171 24 0,78611 —0,00216 37 1,25020 0,06443
И 0,38629 0,06398 25 0,85049 0,06438 38 1,25242 —0,00222
12 0,38813 —0,00184 26 0,85267 —0,00218 39 1,31685 0,06443
13 14 0,45223 0,45117 0,06410 -0,00194 27 0,91707 0,06440 40 1,31908 —0,00222
320
Таблица 56
Значения функций Е, (a, k) (при а = 0 для всех значений k £ — — 1)
k £ (a, k) при а
+ 1 +0,5 +0,25 +0,125 —0,125 -0,25 -0,5
1 — 1,0 — 1,0 — 1,о — 1,0 — 1,00 — 1,0 — 1,0
2 —0,5 —0,2928 —0,1591 —0,0829 0,0905 0,1892 0,4142
3 —0,8333 —0,8702 —0,9189 —0,9546 — 1,0567 — 1,1269 — 1,3179
4 —0,5833 —0,3702 —0,2118 —0,1137 0,1325 0,2873 0,6821
5 —0,7833 —0,8175 —0,8806 —0,9315 — 1,0904 — 1,2081 — 1,5510
6 —0,6166 —0,4092 —0,2416 —0,1322 0,1606 0,3570 0,8955
7 —0,7595 —0,7871 —0,8564 —0,9162 — 1,1148 — 1,2696 — 1,7504
8 —0,6345 —0,4336 —0,2618 —0,1452 0,1820 0,4122 1,0781
9 —0,7456 —0,7669 —0,8391 —0,9050 — 1,1341 — 1,3199 — 1,9220
10 —0,6156 —0,4507 —0,2768 —0,1551 0,1994 0,4581 1,2402
11 —0,7365 —0,7522 —0,8259 —0,8961 — 1,1501 — 1 ,3627 —2,0763
12 —0,6532 —0,4635 —0.2886 —0,1631 0,2142 0,4985 1,3877
13 —0,7301 —0,7409 —0,8152 —0,8888 — 1,1638 — 1,4003 —2,2179
14 —0,6587 —0,4736 —0,2982 —0,1698 0,2270 0,5341 1,5239
15 —0,7253 —0,7318 —0,8064 —0,8827 — 1,1759 — 1,1339 —2,3491
16 —0,6628 —0,4818 —0,3064 —0,1756 0,2383 0,5661 1,6511
17 —0,7216 —0,7244 —0,7989 —0,8773 — 1,1867 — 1,4644 —2,4719
18 —0,6661 —0,4887 —0,3134 —0,1805 0,2485 0,5954 1,7708
19 —0,7187 —0,7181 —0,7924 —0,8726 — 1,1964 — 1,4923 —2,5878
20 —0,6687 —0,4945 —0,3195 —0,1850 0,2578 0,6224 1,8841
21 —0,7163 —0,7127 —9,7867 —0,8684 — 1,2053 — 1,5183 —2,6991
22 —0,6709 —0,4995 —0,3249 —0,1889 0,2663 0,6174 1,9911
23 —0,7144 —0,7079 —0,7814 —0,8646 — 1,2136 — 1 ,5426 —2,8051
24 —0,6727 —0,5038 —0,3297 —0,1925 0,2473 0,6708 2,0942
25 —0,7127 —0,7038 —0,7769 —0,8612 — 1,2211 — 1,5653 —2,9058
26 —0,6742 —0,5077 —0,3341 —0,1958 0,2816 0,6928 2,1931
27 —0,7113 —0,7002 --0,7728 —0,8581 — 1,2282 — 1,5867 —3,0031
28 —0,6756 —0,5112 —0,3380 -0,1988 0,2885 0,7136 2,2885
29 —0,7100 —0,6969 —0,7689 —0,8552 — 1,2348 — 1,6070 —3,0965
30 —0,6767 —0,5143 —0,3416 —0,2015 0,2950 0,7334 2,381 1
31 —0,7090 —0,6939 —0,7651 —0,8525 — 1,2411 — 1,6262 —3,1862
32 —0,6777 —0,5171 —0,3450 —0,2041 0,3011 0,7521 2,4702
33 —0,7080 —0,6912 —0,7623 —0,8500 — 1,2471 — 1,6117 —3,2713
34 —0,6786 —0,5198 —0,3482 —0,2065 0,5069 0,7701 2,5566
35 —0,7072 —0,6888 —0,7593 —0,8478 — 1,2527 — 1,6622 —3,3592
36 —0,6894 —0,5222 —0,3511 —0,2088 0,3124 0,7873 2,6410
37 —0,7064 —0,6865 —0,7565 —0.8456 — 1,2581 — 1,6790 —3,4417
38 —0,6801 —0,5243 —0,3537 —0,2109 0,3176 0,8037 2,7221
39 —0,7058 —0,6845 —0,7539 -0,8435 — 1,2632 — 1 ,6952 —3,522!
40 -0,6808 —0,5263 —0,3563 —0,2129 0,3226 0,8197 2,80 ?6
41 —0,7051 —0,6825 —0,7515 -0,8416 — 1 ,2681 — 1,7107 —3,6903
42 —0,6813 —0,5283 —0,3587 —0,2149 0,3274 0,8350 2,88-'2
43 —0,7046 —0,6808 —0,7492 —0,8398 — 1,2728 — 1,7256 —3,67<)7
44 —0,6818 —0,5300 —0,3699 —0,2166 0,3320 0,8499 2,956!
45 —0,7041 —0,6791 —0,7471 —0,8380 — 1,2773 — 1,7401 —2,7519
21 Заказ 1099
321
Продолжение табл. 56
k £ (a, k) при а
+ 1 4-0,5 +0,25 +0,125 —0, 125 — 0,25 -0,5
46 —0,6823 —0,5317 —0,3631 —0,2184 0,3365 0,8642 3,0305
47 —0,7036 —0,6776 —0,7458 —0,8364 — 1,2816 — 1,7540 —3,8244
48 —0,6828 —0,5332 —0,3651 —0,2200 0,3408 0,8782 3,1042 ,
49 —0,7032 —0,6761 —0,7431 —0,8348 — 1,2858 — 1,7677 —3,8962
50 —0,6832 —0,5347 —0,3670 —0,2216 0,3449 0,8915 3,1749
51 —0,7028 —0,6747 —0,7412 —0,8333 — 1,2898 — 1,7809 —3,9664
52 —0,6836 —0,5360 —0,3688 —0,2230 0,3489 0,9045 3,2450
53 —0,7025 —0,6733 —0,7394 —0,8318 — 1,2937 — 1,7938 —4,0357
54 —0,6839 —0,5373 —0,3706 —0,2245 0,3527 0,9170 3,3124
55 —0,7021 —0,6721 —0,7378 —0,8305 - 1,2975 — 1,8063 —4,1038
56 —0,6843 —0,5385 —0,3722 —0,2258 0,3564 0,9292 3,3790
57 —0,7018 —0,6709 —0,7362 —0,8291 — 1 ,3012 — 1,8184 —4,1699
58 —0,6846 —0,5396 —0,3738 —0,2271 0,3600 0,9412 3,4457
59 —0,7015 —0,6698 —0,7346 —0,8278 — 1,3048 — 1,8303 —4,2354 ,
60 —0,6848 —0,5407 —0,3753 —0,2284 0,3635 0,9529 3,5105
61 —0,7012 —0,6688 —0,7331 —0,8266 — 1,3082 — 1,8418 —4,2996
62 —0,6851 —0,5417 —0,3767 —0,2296 0,3669 0,9643 3,5744
63 —0,7010 —0,6677 —0,7317 —0,8254 — 1,3116 — 1,8530 —4,3627
64 —0,6853 —0,5427 —0,3781 —0,2308 0,3702 0,9754 3,6373
65 —0,7007 —0,6668 —0,7303 —0,8242 — 1,3148 — 1,8640 — 1,4246
66 —0,6856 —0,5437 —0,3795 —0,2319 0,3734 0,9862 3,6989
67 -0,7005 —0,6659 —0,7290 —0,8231 — 1,3180 — 1,8748 —4,4864
68 —0,6858 —0,5446 —0,3808 —0,2330 0,3766 0,9968 3,7597
69 —0,7003 —0,6650 —0,7277 —0,8220 — 1,3211 — 1,8853 —4,5466
70 —0,6860 —0,5454 —0,3820 —0,2341 0,3796 1,0072 3,8202
71 —0,7001 —0,6641 —0,7265 —0,8210 —1,3242 — 1,8956 —4,6058
72 —0,6862 —0,5463 —0,3832 —0,2350 —0,3825 1,0174 3,8796
73 —0,6999 —0,6633 —0,7253 —0,8199 1,3272 — 1,9056 —4,6645
74 —0,6864 —0,5470 —0,3843 —0,2360 0,3854 1,0274 3,9377
75 —0,6997 —0,6625 —0,7241 —0,8190 — 1,3301 — 1,9154 —4,7226
76 —0,6866 —0,5478 —0,3855 —0,2370 0,3882 1,0372 3,9950
77 —0,6996 —0,6618 —0,7230 —0,8185 —1,3329 — 1,9251 — 4.7800
78 —0,6867 —0,5485 —0,3865 —0,2379 0,3910 1,0468 4,0516
79 —0,6994. '—0,6610 —0,7220 —0,8171 — 1,3356 — 1,9344 —4,8365
80 —0,6869 —0,5492 —0,3876 —0,2389 0,3938 1,0564 4,1080
81 -0,6992 —0,6603 —0,7209 —0,8162 — 1,3383 — 1,9436 —4,8921
82 —0,6871 —0,5499 —0,3886 —0,2397 0,3964 1,0656 4,1634
83 —0,6991 —0,6597 —0,7199 —0,8153 — 1,3410 — 1,9529 —4,9482
84 —0,6872 —0,5506 —0,3896 —0,2406 0,3989 1,0746 4,0177
85 —0,6990 —0,6580 —0,7190 —0,8145 — 1,3436 — 1,9618 —5,0023
86 —0,6873 —0,5512 —0,3906 —0,2414 0,4014 1,0834 4,2707
87 —0,6988 —0,6584 —0,7180 —0,8136 — 1,3462 — 1,9706 —5,0559
88 —0,6875 —0,5518 —0,3916 —0,2422 0,4039 1,0922 4,3250
89 —0,6987 —0,6578 —0,7171 —0,8128 — 1,3486 — 1,9792 —5,1090
90 —0,6876 —0,5524 —0,3924 —0,2430 0,4064 1,1009 4,3778
322
21* 323
to ND ND ND to -4 -4 05 05 СЛ О oooo t o NO NO NO NO СП 4- CO CO О CO О CO О 219 220 229 209 ' 210 N0 — О СО О СО СО 00 00 О со О О ~-3 05 05 СИ СО О СО О О СИ 44 44 СО СО О СО О СО О NO NO — — О СО О СО О СО О СО СО СО СО О СО 00 -4 05 со с© О СО со СЛ 44 СО ND — Sr
1 1 1 1 1 о co о о о 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 ООО 44 44 1 1 1 ООО 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о
CO С Q> О С: СО О гО о ►+4 — Сл — СЛ СО ОС о to — СП СП СП СП СП СО СО СО со СО — Си — Сл — NO NO — СО О ,6955 ,6909 ,6954 СП о со со О СИ 00 05 ,6957 ,6907 ,6904 ,6958 ,6905 05 05 05 05 05 со со СО со О Си О 05 О 05 СО ND — О СО 05 05 05 05 05 00 со 00 со 00 со 05 СО 05 со СО ел 05 -4 СО 05 05 05 05 05 СО 00 СО 00 со -4 СО *~4 00 -4 О О СО 05 -4 05 05 05 05 05 00 СО 00 СО 00 00 00 00 00 -4 ND NO — СО СО 05 05 05 05 05 сооосооо — 00 -4 00 -4 00 44 00 СЛ -О 05 +
1 II 1 1 о о о о о II 1 1 1 со о со о со 1 1 1 ООО 1 1 о о 1 1 о о 1 1 1 ООО 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о +
05 Си 05 Сл 05 СО -ч СО -4 СО 44 44 СИ СО СП 00 СП СО СО со СЛ 05 СЛ О' СП -4 СО -4 СО -Л Си СП NO -4 NO СО СП -4 NO О ,6386 ,5712 ,6379 ,6394 ,5704 СП 05 05 44 СО О 05 СО ,5677 ,6412 ,5687 05 Си 05 СП 05 4^ СП 4- 05 4- to 05 СО СЛ 4- tO 05 со сл СЛ ел 05 ей 05 СЛ 05 4- 05 — 05 -+4 ел to ^3 — ND СО 00 СО ND 05 СЛ 05 СЛ 05 И-» СЛ СЛ СЛ СП ОО СО О -4 ND СО 44 -^3 44 -4 ел 05 ел 05 ел СЛ СП О1 СЛ СЛ ел сл 44 ел 44 — — 05 05 — 05 СЛ 05 СЛ 05 ел ел СП СЛ СП 05 СО 05 СО -4 — СЛ -4 О СО О ел
1 1 1 1 1 о о о о о СП 44 05 44 СП -4 СО -ч NO -4 05 4 СО 00 СП — -4 СО СО —0,4260 —0,6814 —0,4274 —0,6802 —0,4287 —0,6842 —0, 1245 —0,6828 —0,6857 —0,4230 —0,6874 —0,4215 —0,4180 —0,6891 —0,4198 1 1 1 1 1 ооооо СП 4-^ 05 4^ 05 — СО — СО — 05 СО 4- СЛ о — о о to 1 1 1 1 1 о о о о о 44 05 4^ -3 44 — СО О О О -40005 00 СЛ СО О 05 1 —0,7091 I —0,4003 —0,7057 —0,4036 —0,7027 1 1 1 1 1 о о о о о СО -4 СО -4 со СО — СО — СО 05 ND СИ СО СИ -4 СО СО -4 О 1 1 1 1 1 о о о о о — со — со — 44 44 СЛ СО 05 СЛ ND СО СО ND 4-0,2 5 итс
II II 1 о со о о о 1 1 1 1 1 о оо о о 1 1 1 ООО 1 1 о о 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о 1 1 1 1 1 о о о о о + о (а, /
^-4 ND -4 NO -3 44 СО СП 00 00 СО О — — NO -4 N0 -3 N0 05 00 СП СО 44 СО СО СП СП NO -4 ND -3 00 -41 00 О NO NO СО 00 СО ,7839 ,2713 N0 -О СП 00 СО СЛ 00 Си ,2665 ,7872 ,2682 -х] to -ч to -<! 00 05 СО 05 СО СО 44 О tO tO О 05 00 -4 СО ND -4 ND -3 ND 05 со ел со ел о ел оо -ч ел СЛ — NO 44 -3 NO 00 NO 00 СО Сл О СЛ О со со NO О СП со О 05 О "4 ND 00 ND 00 ND 44 О 44 о 44 05 СО 05 СО СП -4 — О 00 СО 00 ND 00 ND 00 О 44 — СО ND СЛ 05 СО 00 О , 125 0 при
1 1 1 | 1 I I 1 I I 1 1 1 I | 1 1 1 I I 1 1 1 й
1 1 1 — О — О — ООО 1 1 — О — 1 о — 1 О —• 1 о — о 1 1 1 — О — О — 1 1 О — О — О 1 1 1 — О — О — 1 1 о — о — о 1 1 1 — О — О — 1 о
44 СЛ 44 СЛ 44 00 СО -4 NO -4 СО 44 СО СО 44 -4 ND ND СИ 44 Сл 44 Сл 44 СЛ 10 05 — 05 — 44 СО СО 4- 4-^ 05 Си *-J ND 05 ,4531 ,5093 ,4588 СЛ 44 О 44 СО -4 СО ND ,4412 ,4980 ,48551 .4349 ,4919 4^ 4^ 4^ 4^ иР. ND*-JND“-J — Оо се — — 4^ СО -4 Си -4 to 44 44 44 ее 44 05 О СЛ СО 44 44 05 05 00 -4 NO СП NO СП 05 СО 44 СО О* СО СО СО 00 NO -4 О 00 О 00 — О 44 СО 05 О 44 СО 44 СО 44 — 05 — СП- 00 О СЛ СО СО О СО 00 О СП СО 44 со 44 СО СЛ — СЛ О СП СЛ — СООО — -4 ND 44 00 О , 125
1 1 1 to — NO — NO 1 1 — ND — ND — 1 1 ND — NO 1 — N0 — N0 -4- 1 1 1 tO — tO — NO — NO — NO — 1 1 1 ND — NO — NO — ND — tlo — 1 1 1 ND — — — —
4^Ь14-СП4^ 00 00 05 СП 44 -4 Д-» СО СИ СО -4 СП ND -4 СО СП 44 СП 44 СЛ 4х СО NO О О СП О СП О С1 — NO СО СП 44 So 00 05 00 00 44 СО 05 СО СО 5 & ND СО — 4— Ю 00 — СО СО Сл-ЗО 4- Ю -4 to co to co to --3 05 44 CO- tO Си СП 00 00 О to -4 — си СО — NO — NO ООО-ЗСЛ 4 СО СО СО СО 00 СО 00 СО 00 СЛ — NO О — О NO — СО -4 СЛ 00 СИ 44 СО СО NO О -*4 СО — — О — О — 44 ND СО — ND — — СО ND СП ND — .14 00 СЛ ,9877 ,1092 ,9963 ,1174 ,0047 гэ сл
1 1 1 00 -4 00 00 1 1 -4 00 00 '3 1 СП -4 1 05 -<1 1 05 -3 05 1 1 1 -о 05 05 Си 05 1 1 СП 05 СЛ 05 СЛ 1 1 1 05 СЛ СП 44 СЛ 1 1 44 ел 44 ел 44 1 1 1 СП 44 СЛ 44 ел
-4 00 СП О 44 44 СО СО СО 4^ 44 СП 4— СП н- Cl NO СО — NO N0 00 СП NO О Ou -4 -4 СО NO СП 4- СП Ч- СП СО О -4 СП СО СО NO СП СП 44 05 н- 00 СП 05 NO 05 44 ,4444 ,6976 СП to СО Ю СП со О W -4 05 4и. 05 О — 00 СО 05 --з ел оо сл со СО — 05 -<| — 44 05 05 44 -Ч 4- СП NO СО СЛ ОС 44 00 СО 00 СО СО NO СО 05 44 05 44 05 О — 00 00 05 05 0 44-3- 00 СО 44 СЛ NO 44 05 44 05 4- 05 СО СЛ СО СЛ СО 05 00 — СО — ОС 4 to 05 44 00 tsD — ND44ND44 — 05 00 — ND 05 О5 — 44СО — — 44 ND СО СЛ с> сл
Продолжение табл. 56
Продолжение табл. 56
k (a, k) при а !
4-1 4-0,5 4-0,25 4-0,125 —0, 125 -0,25 —0,5
280 —0,6914 —0,5751 —0,4322 —0,2804 0,5388 1,6029 7,9836
289 —0,6949 —0,6343 —0,6756 —0,7738 — 1 ,4882 —2,5059 —8,9004
290 —0,6914 —0,5756 —0,4332 —0,2855 0,5432 1,6207 8,1286
299 —0,6948 —0,6338 -0,6745 —0,7727 —1,4926 —2,5241 —9,0514
300 -0,6915 —0,5761 —0,4343 —0,2825 0,5474 1,6375 8,2676
319 —0,6947 —0,6329 —0,6726 —0,7707 — 1 ,5006 —2,5581 —9,3334
320 —0,6916 —0,5770 —0,4361 -0,2845 0,5560 1,6713 8,5546
339 —0,6946 —0,6320 —0,6708 —0,7689 — 1,5086 —2,5905 —9,6124
340 —0,6917 —0,5778 —0,4379 —0,2863 0,5636 1,7037 8,8286'
359 —0,6946 —0,6913 —0,6691 —0,7672 — 1,5161 —2,6208 —9,8714,
360 —0,6918 —0,5786 —0,4396 —0,2881 0,5710 1,7350 9,1016
379 —0,6945 —0,6306 —0,6676 —0,7656 —1,5229 —2,6507 — 10,133
380 —0,6919 —0,5793 —0,4411 —0,2896 0,5783 1,7643 9,3590’
399 —0,6944 —0,6299 —0,6661 —0,7640 —1,5294 —2,6796 — 10,389 1
400 —0,6919 —0,5799 —0,4425 —0,2912 0,5853 1,7925 9,6110'
419 —0,6944 —0,6294 —0,6648 —0,7626 -1,5356 —2,7064 — 10,624 ,
420 —0,6920 —0,5806 —0,4439 —0,2926 0,5921 1,8203 9,8710
439 —0,6943 —0,6288 —0,6635 —0,7612 — 1,5418 —2,7326 —10,861 '
440 —0,6920 —0,5812 —0,4452 —0,2940 0,5983 1,8474 10,116
459 —0,6943 —0,6283 —0,6623 —0,7599 — 1,5478 -2,7586 — И ,101
460 —0,6921 —0,5817 —0,4464 -0,2953 0,6042 1,8725 10,346
479 —0,6943 —0 6278 —0,6613 —0,7588 -1,5537 —2,7841 —11,337
480 —0,6922 —0,5822 —0,4476 —0,2965 0,6098 1,8967 10,573
499 —0,6942 —0,6274 —0,6601 —0,7576 —1,5594 —2,8081 — 11,563
500 —0,6922 —0,5827 —0,4487 —0,2977 0,6152 1,9207 10,728
519 —0,6942 —0,6270 —0,6591 —0,7564 —1,5650 —2,8321 —11,792
520 —0,6923 —0,5831 —0,4497 —0,2988 0,6203 1,9432 11,011
539 —0,6941 —0,6265 —0,6581 —0,7554 — 1 ,5698 —2,8537 — 11,999
540 —0,6923 —0,5835 —0,4506 —0,2999 0,6258 1,9670 11,240
549 —0,6941 -0,6261 —0,6571 —0,7543 —1,5747 —2,8750 — 12,205
560 —0,6923 —0,5839 —0,4515 —0,3009 0,6309 1,9895 11,459
579 —0,6941 —0,6258 —0,6502 —0,7533 — 1 ,5795 -2,8970 — 12,421
580 —0,6924 —0,5843 —0,4524 —0,3019 0,6358 2,0105 11,663
599 —0,6941 —0,6255 —0,6584 —0,7524 —1,5840 —2,9181 — 12,627
600 —0,6924 —0,5846 —0,4533 —0,3029 0,6407 2,0312 11,868
649 —0,6940 —0,6246 —0,6533 —0,7501 —1,5954 —2,9691 — 13,137
650 —0,6925 —0,5854 —0,4553 —0,3050 0,6516 2,0801 12,358
699 —0,6940 — 0,6239 —0,6515 —0,7480 —1,6060 —3,0168 — 13,625
700 —0,6925 —0,5862 —0,4571 —0,3070 0,6620 2,1270 12,834
749 —0,6939 —0,6234 —0,6499 —0,7461 —1,6155 —3,0606 — 14,079
750 —0,6926 —0,5868 —0,4588 —0,3089 0,6721 2,1725 13,307
799 —0,6939 —0,6228 —0,6483 —0,7443 —1,6249 —3,1036 — 14,530
800 —0,6926 —0,5875 —0,4603 —0,3107 0,6813 2,2147 13,755
849 —0,6938 —0,6223 —0,6470 —0,7427 — 1,6333 —3,1431 — 14,953
850 —0,6927 —0,5880 —0,4618 —0,3124 0,6904 2,2565 14,202
324
Продолжение табл. 56
k £ (a, k) при а
+ 1 -10.5 -1-0.25 ч-и . 1 2 5 —0.125 -0,25 -0,5
899 —0,6938 —0,6219 —0,6456 —0,7412 —1,6118 —3,1824 — 15,383
900 —0,6927 —0,5885 —0,4630 —0,3139 0,6985 2,2947 14,616
949 —0,6938 —0,6214 —0,6444 —0,7397 —1,6499 —3,2209 — 15,805
950 —0,6927 —0,5890 —0,4642 —0,3153 0,7064 2,3310 15,018
999 —0,6938 -0,6210 —0,6431 —0,7383 — 1,6576 —3,2568 — 16,210
1000 —0,6928 —0,5894 —0,4653 —0,3166 0,7138 2,3665 15,412
оо —0,6931 —0,5965 —0,5483 —0,5247 — — —
Таблица 57
Значения функций т] при а = 5 (при а -- 0 для всех значений к г] =—0,167)
/г 10 п (/г. а, а) при а
-н 4 0,5 1-0.25 +0,125 —0,125 — 0,25 —0,5
1 — 1 ,6667 — 1 ,6667 — 1 ,6667 — 1 ,6667 — 1 ,6667 — 1,6667 — 1,6667
2 —0,2381 —0,1077 —0,0510 —0,0248 0,0233 0,0454 0,0855
3 — 1 ,4881 — 1 ,5931 — 1 ,6313 — 1 ,6516 —1 ,6798 — 1,6908 — 1,7075
4 —0,3770 —0,1645 —0,0753 —0,0359 0,0323 0,0614 0,1107
5 — 1 ,3770 — 1,5466 — 1,6149 — 1,6429 — 1,6866 — 1,7027 — 1,7251
6 —0,4679 —0,2042 —0,0917 —0,0432 0,0377 0,0707 0,1239
7 — 1 ,3012 — 1,5121 -1,6008 — 1.6367 — 1 ,6912 — 1,7103 — 1,7356
8 —0,5320 —0,2348 —0,1042 —0.0486 0,0416 0,0771 0,1322
9 — 1 ,2463 —1 ,4848 — 1 ,5896 — 1 ,6319 — 1 ,6946 — 1,7159 — 1,7427
10 —0,5796 —0,2596 —0,1143 —0,0530 0,0446 0,0819 0,1383
11 —1 ,2046 — 1 ,4620 — 1,5803 — 1 ,6279 — 1 ,6973 — 1,7202 — 1,7480
12 —0,6636 —0,2806 —0,1229 —0,0566 0,4700 0,0857 0,1428
13 — 1,1719 — 1 ,4426 — 1 ,5724 — 1 ,6245 — 1 ,6995 — 1,7237 — 1,7521
14 —0,6455 —0,2986 —0,1303 -0,0598 0,0491 0.0889 0,1464
15 — 1,1456 — 1 ,7257 — 1,5655 — 1 ,6216 — 1 ,7013 — 1,7266 — 1,7554
16 —0,6694 —0,3146 —0,1369 —0,0626 0,0509 0,0916 0,1494
17 — 1,1240 — 1 ,4107 — 1 .5593 — 1,6190 — 1 ,7029 — 1,7291 — 1 ,7581
18 —0,6892 — 0,3288 —0,1428 —0,0650 0,0525 0,0939 0,1519
19 — 1,1059 — 1 ,3973 — 1 ,5537 — 1 ,6166 — 1,7043 — 1,7313 — 1,7604
20 —0,7059 —0,3416 —0,1482 —0,0672 0,0539 0,0959 0,1540
21 — 1,0905 — 1 ,3852 — 1 ,5486 — 1,6144 — 1 ,7056 — 1,7332 — 1 ,7624
22 - 0,7201 —0,3532 —0,1530 -0,0692 0,0551 0,0977 0,1558
23 — 1 ,0773 - 1,3738 — 1,5437 — 1,6124 — 1,7068 — 1 ,7349 —1,7641
24 —0,7324 —0,3637 —0,1574 —0,0710 0,0562 0,0994 0,1575
25 — 1,0658 — 1 ,3638 — 1 ,5394 — 1,6106 — 1,7079 — 1,7364 — 1,7656
325
Продолжение табл. 57
k 10 -г| (k, а, а) при а
+ 1 4-0,5 +0 2 5 Л-0 , 1 25 -0.125 —0.2 5 —0,5
26 —0,7432 —0,3736 —0,1616 —0,0728 0,0572 0,1009 0,1589
27 — 1,0557 — 1 ,3544 —1,5353 — 1,6089 —1 ,7089 — 1 ,7378 —1 ,7670
28 —0,7526 - 0,3827 —0,1655 —0,0744 0,0581 0,1022 0,1502
29 — 1,0468 — 1 ,3456 — 1,5315 — 1,6073 —1,7098 — 1,7391 —1,7682
30 —0,7610 — 0,3911 —0,1692 —0,0759 0,0590 0,1034 0,1613
31 — 1 ,0389 — 1,3374 —1 ,5280 — 1,6059 — 1,7106 —1 ,7403 — 1,7693
32 —0,7686 —0,3990 —0,1727 —0,0774 0,0598 0,1046 0,1624
33 — 1,0318 — 1,3298 — 1,5247 — 1,6046 — 1,7114 — 1,7414 — 1,7703
34 —0,7753 —0,4065 —0,1761 —0,0788 0,0605 0,1056 0,1634
35 — 1 ,0254 — 1,3228 — 1,5216 — 1 ,6033 — 1,7122 —1,7424 — 1,7712
36 —0,7815 —0,4137 —0,1792 -0,0801 0,0612 0,1066 0,1643
37 — 1.0196 — 1 ,3160 — 1,5185 — 1,6021 — 1,7129 — 1 ,7434 — 1,7720
38 —0,7870 —0,4202 —0,1821 —0,0813 0,0618 0,1075 0,1651
39 — 1 ,0143 — 1,3096 — 1,5156 — 1,6009 — 1,7136 — 1,7443 — 1 ,7728
40 —0,7920 —0,4265 —0,1849 —0,0825 0,0624 0,1084 0,1659
41 — 1 ,0095 — 1,3036 — 1,5129 — 1,5998 — 1,7142 — 1,7451 —1,7735
42 —0,7967 —0,4326 —0,1877 —0,0836 0,0630 0,1092 0,1666
43 — 1,0051 — 1 ,2979 — 1,5103 — 1 .5987 — 1,7148 —1,7459 —1,7742
44 —0,8010 —0,4382 —0,1902 —0,0846 0,0636 0,1100 0,1673
45 — 1 ,0010 — 1 ,2924 — 1,5078 — 1,5976 — 1,7153 —1,7446 — 1,7748
46 —0,80 19 —0,4437 —0,1928 —0,0856 0,0612 0,1108 0,1679
47 —0.9972 -1 ,2872 — 1,5051 -1 ,5966 — 1,7158 — 1,7473 — 1 ,7754
48 —0,8085 — 0,4488 —0,1952 —0,0866 0,0617 0,0115 0,1685
49 —0,0937 — 1 ,2822 — 1 ,5031 — 1,5957 — 1 ,7163 — 1,7479 — 1,7759
50 —0,8119 —0,4537 —0,1975 -0,0876 0,0652 0,1122 0,1691
51 -0,9904 — 1,2773 -1,5008 — 1,5948 — 1 ,7168 — 1,7485 -1 ,7764
52 —0,8150 —0,4583 —0,1996 —0,0885 0,0657 0,1129 0,1696
53 —0,8874 — 1 ,2727 — 1,4986 — 1,5939 -1,7172 -1 ,7491 -1,7769
51 —0,8179 —0,4629 -0,2018 —0,0893 0,0662 0,1135 0,1701
55 —0,9846 — 1,2684 — 1 ,4966 — 1 ,5930 1,7176 — 1 ,7497 — 1 ,7774
56 —0,8207 —0,4672 —0,2038 —0,0901 0,0666 0,1140 0,1705
57 —0,9820 — 1 ,2611 — 1 ,4945 — 1,5921 — 1 ,7181 —1 ,7503 — 1 ,7779
58 —0,8232 —0,4714 —0,2058 -0,0909 0,0670 0,1145 0,1709
59 —0,972^ —1,2600 — 1 ,4925 — 1,5913 — 1,7185 -1,7509 —1,7783
60 —0,8256 —0,4754 -0,2077 —0,0917 0,0674 0,1150 0,1714
61 —0,9771 — 1,2561 — 1,4906 — 1 ,5906 — 1 ,7189 — 1,7514 — 1,7787
62 —0,8275 —0,4793 —0,2095 -0,0925 0,0678 0,1155 0,1718
63 -0,9750 — 1 ,2523 — 1,4887 — 1 ,5893 — 1 ,7183 —1,7519 — 1 ,7790
64 —0,8307 —0,4820 —0,2113 -0,0932 0,0681 0,1160 0,1722
65 —0,9729 — 1,2487 — 1,4869 -1,5891 — 1 ,7197 — 1,7524 — 1 ,7794
66 —0,8320 —0,4867 —0,2131 —0,0940 0,0685 0,1165 0,1725
67 —0,9709 — 1,2451 —1,4852 — 1 ,5884 — 1,7200 — 1 ,7528 — 1,7798
68 —0,8339 —0,4902 —0,2148 —0,0947 0,0689 0,1170 0.1728
69 —0,9691 — 1,2417 — 1,4835 — 1,5877 — 1 ,7203 —1,7532 — 1,7803
70 -0,8357 —0,4935 —0,2165 —0,0953 0,0693 0,1175 0,1731
326
Продолжение табл. 57
k 10 г) (Ь, а, а) при а
4-1 4-0,5 + 0.25 | 4-0, 1 25 —0,125 —0,25 -0.5
71 —0,9673 --1 ,2383 — 1 ,4819 — 1 ,5870 — 1,7206 — 1,7536 — 1 ,7805
72 —0,8375 —0,4967 —0,2181 —0,0960 0,0696 0,1179 0,1734
73 —0,9657 — 1 ,2350 — 1 ,4802 — 1,5864 — 1,7209 — 1 ,7540 — 1 ,7809
74 —0,8391 —0,4998 — 0,2196 —0,0967 0,0700 0,1183 0,1737
75 —0,9641 — 1 ,2319 — 1,4786 — 1,5858 — 1 ,7212 — 1 ,7544 -1 ,7812
76 — 0,8406 —0,5029 —0,2211 -0,0973 0,0703 0,1187 0,1739
77 —0,9626 — 1 ,2289 — 1 ,4770 —1,5852 — 1,7215 — 1 ,7548 — 1 ,7815
78 —0,8421 —0,5059 —0,2226 - 0,0980 0,0706 0,1191 0,1742
79 —0,9611 -1 ,2260 — 1 ,4756 — 1,5846 — 1 ,7218 — 1,7552 — 1 ,7818
80 —0,8435 — 0,5088 —0,2242 —0,0986 0,0709 0,1194 0,1745
81 —0,9598 — 1 ,2231 — 1 ,4742 — 1,5840 — 1,7221 — 1,7556 -1,7820
82 —0,8448 —0,5116 —0,2256 -0,0992 0,0712 0,1198 0,1748
83 —0,9585 — 1 ,2202 — 1 ,4727 — 1,5835 — 1 ,7223 — 1 ,7559 — 1 ,7822
81 —0,8461 —0,5143 —0,2270 —0,0998 0,0715 0,1202 0,1751
85 —0,9572 — 1 ,2176 -1 ,4714 — 1 ,5826 — 1,7226 — 1,7562 — 1,7824
86 —0,8473 —0,5170 —0,2285 —0,1003 0,0717 0,1205 0,1754
87 —0,9560 — 1 ,2150 — 1 ,4701 — 1 ,5823 — 1,7229 — 1,7566 — 1 ,7826
88 —0,8485 —0,5196 —0,2299 -0,1008 0,0720 0,1208 0,1757
89 —0,9549 — 1 ,2124 — 1 ,4688 — 1 ,5817 — 1,7231 — I ,7569 — 1.7828
90 —0,8496 - 0,5221 -0,2312 —0,1013 0,0723 0,1212 0,1759
91 —0,9538 — 1 ,2099 — 1,4675 — 1 ,5812 — 1,7234 — 1 ,7572 — 1.7830
92 —0,8075 —0,5245 —0,2325 —0,1019 0,0725 0,1215 0,1761
93 —0,9527 — 1,2075 — 1,4663 — 1,5807 — 1 ,7237 — 1 ,7575 — 1,7833
94 —0,8517 —0,5270 —0,2338 —0,1024 0,0727 0,1218 0,1763
95 —0,9517 — 1 ,2052 — 1 ,4650 — 1,5802 — 1 ,7239 — 1 ,7548 — 1 ,7835
96 —0,8527 —0,5294 —0,2350 —0,1029 0,0730 0,1221 0,1765
97 —0,9508 -1 ,2029 — 1 ,4638 — 1 ,5797 — 1 ,7241 — 1 ,7581 — 1 ,7837
98 —0,8537 —0,5317 —0,2363 —0,1034 0,0732 0,1224 0,1767
99 —0,9498 — 1 ,2006 —1 ,4626 — 1 ,5792 — 1,7244 — 1 ,7584 -1,7839
100 —0,8546 —0,5339 —0,2375 —0,1039 0,0731 0,1226 0,1769
109 —0,9456 — 1 ,1898 — 1 ,4569 — 1,5768 — 1,7255 — 1 ,7597 —i,7849
ПО —0,8587 —0,5441 —0,2431 —0,1061 0,0745 0,1240 0,1777
119 —0,9422 — 1,1802 — 1,4515 — 1,5747 — 1,7264 — 1 ,7608 — 1 .7858
120 —0,8622 -0,5534 —0,2481 —0,1083 0,0755 0,1252 0,1783
129 —0,9392 — 1,1717 — 1 ,4467 — 1,5728 — 1 ,7274 — 1 ,7619 — 1 .7865
130 —0,8651 —0,5620 —0,2529 —0,1103 0,0763 0,1263 0,1790
139 —0,9366 -1,1639 — 1 ,4422 — 1,5708 — 1 ,7282 — 1 ,7629 — 1 .7872
140 -0,8676 -0,5698 —0,2574 —0,1119 0,0771 0,1272 0,1796
149 —0,9344 —1,1568 — 1 ,4380 — 1 ,5689 — 1 ,7292 — 1 ,7639 — 1 ,7877
150 - 0,8699 —0,5769 —0,2615 —0,1134 0,0776 0,1280 0,1802
159 - 0,9324 — 1,1501 — 1 ,4342 — 1 ,5673 — 1 ,7299 — 1 ,7648 — 1 ,7882
160 0,8718 -0,5835 —0,2655 -0,1151 0,0783 0,1287 0,1807
169 --0,9307 -1,1437 — 1 ,4303 — 1 ,5658 — 1 ,7306 — 1 ,7658 — 1,7887
170 - 0,8735 —0,5893 —0,2690 —0,1166 0,0789 0,1292 0,1811
179 —0,9291 — 1,1378 — 1 ,4268 — 1 ,5644 — 1 ,7314 — 1 ,7666 — 1 ,7890
327
Продолжение табл. 57
k 10-n (k, а, а) при a
+ 1 -F0,5 4-0,25 +0 , 125 -0,125 —0,25 -0,5
180 —0,8751 —0,5948 —0,2725 —0,1180 0,0794 0,1298 0,1816
189 —0,9277 — 1,1323 —1,4235 — 1,5630 — 1 ,7320 — 1,7673 —1,7895
190 —0,8762 —0,5999 —0,2757 —0,1193 0,7990 0,1305 0,1819
199 —0,9265 — 1,1273 — 1,4203 —1,5617 -1,7326 — 1,7678 — 1,7899
200 —0,8777 —0,6048 —0,2788 —0,1206 0,8040 0,1312 0,1822
209 —0,9253 — 1,1226 —1 ,4172 — 1,5602 — 1 ,7331 — 1,7685 — 1,7903
210 —0,8788 —0,6095 —0,2817 —0,1216 0,8090 0,1317 0,1825
219 —0,9243 —1,1183 —1,4143 — 1,5591 —1 ,7337 — 1 ,7690 — 1,7906
220 -0,8799 —0,6140 —0,2845 —0,1228 0,0813 0,1323 0,1828
229 —0,9234 — 1,1143 —1 ,4114 —1,5578 — 1 ,7342 — 1,7695 — 1,7909
230 —0,8808 —0,6184 —0,2871 —0,1238 0,0818 0,1328 0,8131
239 —0,9225 — 1,1104 —1 ,4089 —1,5568 — 1 ,7346 —0,7700 — 1,7910
240 —0,8817 —0,6224 —0,2899 —0,1250 0,0822 0,1333 0,1835
249 -0,9217 —1,1068 — 1,4063 — 1,5558 —1 ,7350 —1.7704 — 1,7915
250 — 0,8825 —0,6263 —0,2923 —0,1260 0,0827 0,1338 0,1835
259 —0,9210 — 1,1033 —1,4039 —1,5548 — 1,7354 — 1 ,7708 — 1 ,7919
260 —0,8832 —0,6299 —0,2947 —0,1270 0,0831 0,1343 0,1836
269 —0,9203 —1 ,0999 — 1,4015 —1,5538 — 1 ,7357 —1,7712 — 1,7919
270 —0,8839 —0,6333 —0,2970 —0,1280 0,0836 0,1348 0,1841
279 -0,9196 -1,0968 — 1 ,3994 —1,5530 — 1 ,7362 — 1,7715 — 1,7922
280 -0,8845 -0,6367 —0,2994 —0,1290 0,0838 0,1353 0,1842
289 —0,9190 -1 ,0938 — 1,3974 — 1,5522 —1,7365 — 1 ,7720 — 1 ,7924
290 — 0,8851 —0,6398 —0,3017 —0,1300 0,0842 0,1355 0,1844
299 -0,9185 — 1 ,0909 — 1 ,3953 — 1 ,5573 — 1,7369 — 1 ,7724 — 1 ,7926
300 —0,8857 —0,6428 —0,3038 —0,1309 0,0845 0,1359 0,1846
319 —0,9175 — 1,0854 — 1 ,3913 — 1,5497 — 1,7375 — 1 ,7732 — 1 ,7931
320 — 0,8867 —0,6485 —0,3078 —0,1326 0,0852 0,1365 0,1848
339 -0,9166 —1,0804 — 1 ,3874 — 1 ,5481 — 1 ,7382 —1 ,7739 — 1,7934
340 —0,8876 —0,6538 —0,3115 —0,1341 0,0858 0,1371 0,1851
359 —0,9158 — 1,7600 — 1,3841 — 1 ,5463 — 1,7387 — 1 ,7744 — 1,7938
360 — 0,8888 —0,6589 —0,3153 —0,1353 0,0864 0,1378 0,1853
379 —0,9151 — 1,0719 — 1,3808 — 1 ,5449 — 1,7392 — 1,7751 — 1,7941
380 - 0,8891 —0,6636 —0,3187 —0,1367 0,0870 0,1382 0,1856
399 —0,914-5 — 1 ,0678 — 1 ,3776 — 1,5436 — 1 ,7392 —1,7755 — 1,7945
400 —0,8898 —0,6678 —0,3219 —0,1381 0,0880 0,1389 0,1857
419 —0,9139 —1 ,0642 — 1,3746 — 1,5424 — 1 ,7392 — 1,7755 — 1,7949
420 —0,8904 —0,6719 —0,3250 —0,1394 0,0890 0,1399 0,1858
439 —0,9134 — 1 ,0608 — 1 ,3716 —1 ,5412 — 1 ,7398 — 1,7758 — 1,7951
440 —0,8909 —0,6758 —0,3278 —0,1407 0,0893 0,1405 0,1860
459 —0,9129 —1,0577 —1,3690 — 1 ,5399 —1 ,7403 —1,7763 —1,7953
' 460 —0,8914 —0,6796 —0,3307 —0,1417 0,0896 0,1409 0,1862
479 —0,9125 — 1,0547 —1,3665 — 1 ,5389 — 1 ,7408 — 1,7776 — 1,7955
480 —0,8919 —0,6830 —0,3335 —0,1429 0,0900 0,1414 0,1864
499 —0,9121 —1,0520 —1,3638 — 1 ,5376 —1 ,7412 — 1,7769 —1,7957
500 —0,8923 —0,6865 —0,3359 —0,1438 0,0903 0,1419 0,1866
328
Продолжение табл. 57
k Ю-т] (Л, а, а) при а
4-1 +0,5 4-0,25 4-0,125 —0, 125 —0,25 —0,5
519 —0,9117 —1,0490 — 1,3612 — 1,5364 — 1,7416 —1,7773 — 1,7960
520 —0,8927 —0,6893 —0,3382 —0,1447 0,0907 0,1423 0,1866
539 —0,9114 —1,0461 — 1,3589 — 1,5353 —1,7418 —1,7775 —1 ,7963
540 —0,8931 —0,6919 —0,3406 —0,1456 0,0912 0,1428 0,1866
559 —0,9116 —1,0433 —1,3567 —1,5343 — 1,7422 —1 ,7778 — 1,7964
560 —0,8934 —0,6944 —0,3429 —0,1465 0,0915 0,1432 0,1868
579 —0,9108 —1,0408 —1,3544 — 1,5333 — 1,7426 —1,7792 —1,7966
580 —0,8937 —0,6969 —0,3451 —0,1474 0,0918 0,1435 0,1869
599 —0,9106 —1,0386 —1,3522 — 1,5324 —1,7429 —1,7784 —1 ,7968
600 —0,8940 —0,6995 —0,3571 —0,1483 0,0921 0,1439 0,1870
649 —0,9099 —1,0333 —1 ,3473 — 1,5301 —1,7435 —1,7793 — 1 ,7972
650 —0,8947 —0,7053 —0,3521 —0,1502 0,0930 0,1445 0,1872
699 —0,9094 —1,0284 —1,3424 —1,5280 — 1 ,7442 —1,7800 — 1,7975
700 —0,8953 —0,7105 —0,3565 —0,1521 0,0937 0,1451 0,1875
759 —0,9090 —1,0237 —1,3377 — 1,5265 — 1,7449 —1,7807 — 1,7979
760 —0,8958 —0,7149 —0,3604 —0,1543 0,0943 0,1457 0,1876
799 —0,9086 —1,0195 — 1,3335 —1,5248 — 1 ,7456 —1,7810 —1,7980
800 —0,8962 —0,7190 —0,3643 —0,1561 0,0948 0,1465 0,1880
849 —0,9083 — 1,0160 — 1,3300 — 1,5230 — 1,7461 — 1,7815 — 1 ,7984
850 —0,8966 —0,7232 —0,3684 —0,1576 0,0954 0,1471 0,1880
899 —0,9080 —1,0126 —1,3266 —1,5214 — 1 ,7467 — 1,7820 —1,7985
900 —0,8970 —0,7268 —0,3721 —0,1591 0,0985 0,1475 0,1883
949 —0,9078 —1,0095 —1,3235 —1,5201 —1,7472 —1,7825 —1,7985
950 —0,8973 —0,7303 —0,3757 —0,1607 0,0963 0,1480 0,1886
999 —0,9076 —1,0066 —1,3206 —1,5188 — 1,7476 —1,7930 —1,7886
1000 —0,8976 —0,7334 —0,3792 —0,1622 0,0968 0,1483 0,1888
00 0,9023 —0,8678 —0,8505 —0,8419 —
Таблица 58
Таблица функций т] при а = 10 (при а = 0 для всех значений k т] = — 0,091)
k 1 02т) (k, а, а)
+ 1 +0,5 +0,25 +0,125 —0,125 —0,25 -0,5
1 —9,0909 —9,0909 —9,0909 —9,0909 —9,0909 —9,0909 —9,0909
2 —0,7576 —0,3299 —0,1537 —0,0742 0,0691 0,1334 0,2487
3 —8,4499 —8,8535 —8,9907 —9,0451 —9,1291 —9,1604 —9,2055
4 — 1,3070 —0,5202 —0,2297 —0,1079 0,0952 0,1792 0,3183
5 —7,9737 —8,6931 —8,9290 —9,0183 —9,1489 —9,1940 —9,2536
6 —1 ,7237 —0,6605 —0,2822 —0,1302 0,1109 0,2054 0,3542
7 —7,6061 —8,5683 —8,8832 —8,9910 —9,1620 —9,2154 —9,2816
8 —2,0505 —0,7733 —0,3229 —0,1471 0,1221 0,2234 0,3769
9 —7,3137 —8,4655 —8,8465 —8,9841 —9,1717 —9,2308 —9,3005
10 —2,3137 —0,8679 —0,3562 —0,1607 0,1307 0,2368 0,3930
22 Заказ 1099
Продолжение табл. 58
1 02т] (k, а, । 3)
k +1 +0,5 +0,25 +0, 125 -0, 125 —0,25 —0,5
11 —7,0756 —8,3774 —8,8156 —8,9717 —9,1794 —9,2427 —9,3143
12 —2,5301 —0,9502 —0,3848 —0,1722 0,1377 0,2474 0,4051
13 —6,8779 —8,3020 —8,7889 —8,9611 —9,1857 —9,2523 —9,3250
14 —2,7112 —1,0228 —0,4096 —0,1821 0,1435 0,2562 0,4147
15 —6,7112 —8,2315 —8,7655 —8,9519 —9,1911 —9,2602 —9,3336
16 —2,8650 —1,0886 —0,4322 —0,1909 0,1485 0,2636 0,4225
17 —6,5687 —8,1691 —8,7443 —8,9436 —9,1957 —9,2670 —9,3407
18 —2,9973 —1,1480 —0,4523 —0,1987 0,1529 0,2700 0,4290
19 —6,4456 —8,1125 —8,7252 —8,9362 —9,1998 —9,2729 —9,3467
20 —3,1123 —1,2026 —0,4608 —0,2058 0,1568 0,2756 0,4346
21 —6,3381 —8,0601 —8,7076 —8,9294 —9,2035 —9,2781 —9,3518
22 —3,2131 —1,2527 —0,4877 —0,2122 0,1602 0,2805 0,4394
23 —6,2434 —8,0104 —8,6909 —8,9230 —9,2068 —9,2828 —9,3564
24 —3,3022 —1,2981 —0,5032 —9,2181 0,1634 0,2849 0,4436
25 —6,1593 —7,9658 —8,6759 —8,9173 —9,2098 —9,2870 —9,3603
26 —6,3815 —1,3428 —0,5180 —0,2237 0,1663 0,2889 0,4474
27 —6,0842 —7,9234 —8,6617 —8,9119 —9,2125 —9,2908 —9,3638
28 —3,4526 —1,3839 —0,5319 —0,2289 0,1690 0,2926 0,4507
29 —6,0167 —7,8835 —8,6483 —8,9069 —9,2150 —9,2943 —9,3670
30 —3,5167 — 1,4223 —0,5448 —0,2337 0,1714 0,2959 0,4537
31 —5,9557 —7,8459 —8,6357 —8,9021 —9,2174 —9,2975 —9,3699
32 —3,5747 — 1,4589 —0,5571 —0,2382 0,1737 0,2990 0,4564
33 —5,9003 —7,8106 —8,6238 —8,8976 —9,2196 —9,3005 —9,3725
34 —3,6276 —1,4942 —0,5690 —0,2426 0,1758 0,3018 0,4589
35 —5,8498 —8,6128 —8,8935 —9,2216 —9,3033 —9,3749
36 —3,6759 —1,5277 —0,5803 —0,2468 0,1778 0,3045 0,4612
37 —5,8036 —7,7452 —8,6018 —8,8895 —9,2236 —9,3058 —9,3771
38 —3,7203 —1,5587 —0,5908 —0,2507 0,1796 0,3070 0,4633
39 —5,7611 —7,7146 —8,5915 —8,8857 —9,2254 —9,3082 —9,3791
40 —3,7611 —1,5887 —0,6010 —0,2544 0,1814 0,3094 0,4653
41 —5,7219 —7,6854 —8,5817 —8,8820 —9,2271 —9,3104 —9,3809
42 —3,7988 —1,6180 —0,6110 —0,2580 0,1831 0,3116 0,4671
43 —5,6856^ —7,6579 —8,5724 —8,8785 —9,2287 —9,3125 —9,3827
44 —3,8337 — 1,6456 —0,6204 —0,2614 0,1847 0,3137 0,4688
45 —5,6519 —7,6311 —8,5633 —8,8752 —9,2303 —9,3146 —9,3843
46 —3,8662 —1,6727 —0,6296 —0,2648 0,1862 0,3156 0,4704
47 —5,6206 —7,6057 —8,5547 —8,8721 —9,2318 —9,3165 —9,3858
48 —3,8965 —1,6985 —0,6384 —0,2680 0,1876 0,3175 0,4719
49 —5,5914 —7,5807 —8,5462 —8,8690 —0,2332 —9,3183 —9,3873
50 —3,9247 —1,7229 —0,6468 —0,2711 0,1890 0,3193 0,4733
51 —5,5640 —7,5563 —8,5378 —8,8660 —9,2345 —9,3200 —9,3886
52 —3,9511 —1,7460 —0,6547 —0,2740 0,1904 0,3210 0,4746
53 —5,5384 —7,5331 —8,5299 —8,8631 —9,2358 —9,3216 —9,3899
54 —3,9759 —1,7692 —0,6627 —0,2768 0,1916 0,3226 0,4758
55 —5,5144 —7,5111 —8,5224 —8,8603 —9,2371 —9,3232 —9,3912
330
О CO CO CO CD CD CO CO CO CO CO 00 00 00 00 00 00 00 00 00 ОО Ч Ч Ч Ч Ч 4 N-] О О О D 0 0)0 0 0 OOOOO
О Ф 00 Ч О СЛ 44 CO ND — О CD ОО q 05 0! 44 СО ND — ОСО ОО N О 01 44 СО ND — О со 00 q 05 01 44 оо ND — О СО 00 q 05
1 1 1 1 1 44 01 44 СЛ 44 ND ND ND ND ND CO О CD — 00 00 q О 05 — C.U1^-O^ 1 1 1 1 1 Сл 44 СЛ 44 01 ND ND ND ND ND ND q CO 05 44 44 ND CO CO CO 00 44 CO О 44 1 1 1 1 1 СП СП 4^ СП 44 ND ND ND ND ND СП СП 44 05 CO CO CO CO CO ND CO CO ND 05 q 1 1 1 1 1 ЦП 44 СП 44 Сл ND ND ND ND ND q ND 00 — CO 44 ел o q 44 00 05 CO CO 1 1 1 1 1 44 СП 44 Си 44 — СО >— СО- СО О 00 ND q ОО СО 01 ND ND 44 СП СО СО СО 1 1 1 1 1 Си 44 Сп 44 си СО — СО — СО СО СЛ 44 44 05 Си 44 СО 44 44 q nd q со 44 1 1 1 1 1 44 Сл 44 Сл 44 L- co — co о ND -q — co co CD CD 44 05 -q 00 00 О — 44 1 1 1 1 1 СЛ 44 Сл 44 сл ~ q й §5 Si CO CO — — O ND CO CO 44 CO 1 1 1 1 1 44 Сл 44 СЛ СО О 44 CD 44 СО 44 N0 СО СО — О — — со 00 4- ~ q ьо 4-
ND q ND -L ND 4^ WON) 00 00 05 — CO q 01 ND 44 ND —7,2008 —2,0964 —7,1873 —2,1101 —7,1743 1 11 1 1 ND q ND q ND О ND О ND О 00 — 05 ND 01 ND 44 CO 00 44 00 05 ND 00 00 1 1 1 1 1 q nd q nd q ND О ND О ND 44 CO СП ND q CO CO q СЛ ND О 00 CO o co 1 1 1 1 1 nd q 1 q • О ND CD СО CO -wcoo-q о 00 44 44 ~<J — <05 О ND CO со со со со со ND 05 СО 44 СП О — -4 44 44 4- сл — q q 1 w CD CO CO CO 00 nd q — CO CD q ND О О ND ОО 05 ND q CD 44 oo 44 00 44 О q ND СП 44 со nd q co q CO сл CD О 00 LlaLLL 00 44 00 44 q СО 05 — 00 СО NO q ND CO- CO СО 44 CD >— + о сл
1 1 1 II о 00 о ОО о 1 1 1 1 1 OOOOO ООО 1 1 1 1 1 о 00 о 00 о 1 1 1 1 1 00 о 00 о 00 1 1 1 1 1 о 00 о 00 о 1 1 1 1 1 Оо О 00 О 00 1 1 1 1 1 О 00 CD 00 О 1 1 1 1 1 00 000 000 1 1 1 1 1 О 00 О 00 о + о
q СО q СО q со СО со СО 00 05 оо — 00 q СП СО СО СП 44 OOOO^^ CO ND 00 q ND ND 44 О СП CD q 44 q 44 q — 05 ND <05 ND q q CO ND 05 CO q О 05 ND СП CO СП CO. oo q co — oo — ND ND CO 00 СП 44 О СО СЛ 05 44 со co ND N о q о СЛ ND 05 ND 05 СЛ со со -q -q сл ~q 05 со ~ q ~ оо o q 44 — о co q ND 05 <05 о 44 05 44 05 СЛ 00 <D CO CO О qoo w - o ND 05 q CO 05 05 СЛ 05 СЛ 05 ОО О q q 00 05 q со СО ю
1 1 1 1 1 О 00 О 00 о 1 1 1 1 1 00 о 00 о OO 1 1 1 1 1 о O0 О СО о 1 1 1 1 1 CoOOoOOo 1 1 1 1 1 О ОО О ОО о 1 1 1 1 1 Оо о 00 О 00 1 1 1 1 1 О 00 О 00 CD 1 1 1 1 1 00 CD 00 О 00 1 1 1 1 1 О 00 О 00 о + о
СО 00 со оо 00 ND — ND — ND 44 44 ND 05 — 44 05 00 ND >— 00 СО со со 00 — — — ND qcOCOq — СО СП <05 00 СО СО 00 со оо со — ND — ND — 05 СО 44 44 ND О СО ND 00 44 CO CO 00 CO 00 ND — ND О CO 05 О OO 00 О 05 СП 44 05 CO СО 00 со со со о со о со о 05 ND 44 44 ND q со q со -о 00 СО Оо ND 00 СО О СО СО 44 05 О 00 00 О 44 -q сл 05 -q ND 00 ND 00 ND CD 14 CD 44 CO 05 CO 44 СЛ ND СЛ О CO CO — 00 ND CO ND 00 44 CO СЛ 00 СЛ q со o q nd q q о w сл ND 00 ND 03 ND 00 СЛ 00 сл q 44 СЛ ND q CD 00 О ND 05 СЛ , 125
1 1 О CD О СО О ND ND ND ND ND ‘—сп — сп1— — 05 О СП о - 1 — CO 44 CO 1 1 I СО О CD О СО ND ND ND ND ND СП О СП О СП 44 СО 44 CD СО 1 1 О CD о CD О ND ND ND ND ND О СП О СП О 00 ND q — 05 СО 05 05 СО СО CD О CO О CO ND ND ND ND ND СП О СП О 44 — 05 о СП со •— ND СО 44 05 1 1 1 О со О со о ND ND ND ND ND О 44 О 44 О -q ОО СО Оо ND 05 оо q о со 1 1 1 со о со о со ND ND ND ND ND 44 o 44 О 44 -q ND 05 —* СЛ — ND ND CO 1 1 О CD CD co О NDND — ND'— О 44 CO 44 CO О 44 CO CO 00 CO 44 CO СЛ CO 1 1 1 CO О CD О CD ND ND ~ ND 44 CO 44 CD 44 ND q >— 05 О СП CO СЛ ND СЛ 1 1 О CD О CD CD —* ND — ID — CD CO CO CO CD СЛ CO 44 00 ND — 44 О ND 00 —0,125
I 1 О CD О co О 00 co co co co q 05 05 Си СП ND CO 44 0> 05 1 1 1 со о со о СО со со со со со 44 44 44 44 со 00 00 О О ND о со о СО О СО СО СО СО СО CONDND— — ND СО 44 44 СП 1 1 1 СО О со О со СО СО СО со СО 44 44 СО СО СО О О СО СО Оо 05 05 q 05 оо 1 1 О со О со о со со со со со со со со со со Оо q -- I 05 05 05 со CD <О СЛ 1 1 1 CO О CO О CD CO CO CO co co CO CO co CO CO Сл СЛ 44 44 CO CO СЛ 00 44 *q 1 1 О CD ODO CO CO CO Co OD CO CO CO CO CO CONDND- — CO СЛ t O CO CD CO О <D О <D QO <DD OD CO СЛ 05 ND ND tO ND o co oo oo q о oo q сл 44 CD CD О CO О co co co co co to ND ND ND q 05 СЛ 44 44 — — 05 q — ьэ сл
1 1 О CO О CO О CO О CD О CD 00 q ND q ND •— CD 05 45» — 1 1 1 СО О СО О CD О со о со о 05 — 05 —* СП СО 05 СО — q 1 1 О СО 05 СО О СО О СО О 00 О СП О 44 СО 05 — О 01 44 1 1 1 CD О CD О CD О 00 О 00 О СО 00 СО 0О ND СО 00 СО — q 1 1 О со О CD О 00 О 00 О 00 q ND 05 1— 05 44 о q со о CD О co О CO 44 44 CO 44 CO О 00 CO 00 CD О СЛ CD 44 CD 05 ND CO 44 — 1 1 О CO CD fD О 44 CO 44 CO 44 00 CO CO CD 00 coooNDq — 05 co q сл Oo 1 1 1 CO О CD О CO CO ОС Й 00 CD 05 CD 01 О 44 05 CO 05 О 05 1 1 CD CD О CD CD 44 CO 44 CO 44 q co q co q <D CO 00 ND 05 ОСЛО 44 0 S'o-
[родолжоние табл. 58
Продолжение табл. 58
k 102л (k, а, а) при а
+ 1 +0,5 +0,25 +0,125 —0, 125 —0,25 -0,5
109 —5,1692 —7,0881 —8,3719 —8,8068 —9,259С 1 —9,3498 —9,4101
110 —4,3359 —2,2074 —8,8182 —0,3319 0,2146 i 0,3507 0,4954
119 —5,1371 —7,0330 —8,3512 —8,7996 —9,2616 . —9,3529 —9,4122
120 —4,3679 —2,2609 —0,8375 —0,3389 0,2174 0,3538 0,4973
129 —5,1094 —6,9835 —8,3325 —8,7931 —9,2641 —9,3557 —9,4138
130 —4,3951 —2,3113 —0,8569 —0,3454 0,2198 0,3567 0,4983
139 —5,0855 —6,9375 —8,3151 —8,7869 —9,2666 —9,3583 —9,4163
140 —4,4188 —2,3573 —0,8746 —0,3514 0,2218 0,3592 0,4999
149 —5,0646 —6,8947 —8,2986 —8,7911 —9,2687 —9,3605 —9,4176
150 —4,4396 —2,3997 —0,8909 —0,3570 0,2239 0,3617 0,5014
159 —5,0461 —6,8538 —8,2828 —8,7756 —9,2706 —9,3626 —9,4188
160 —4,4579 —2,4386 —0,9063 —0,3623 0,2259 0,3639 0,5028
169 —5,0297 —6,8152 —8,2677 —8,7704 —9,2725 —9,3645 —9,4200
170 —4,4741 —2,4749 —0,9208 —0,3673 0,2276 0,3660 0,5039
179 —5,0151 —6,7797 —8,2535 —8,7658 —9,2743 —9,3665 —9,4210
180 —4,4888 —2,5095 —0,9345 —0,3721 0,2291 0,3677 0,5050
189 —5,0019 —6,7461 —8,2400 —8,7910 —9,2760 —9,3682 —9,4220
190 —4,5019 —2,5414 —0,9474 —0,3765 0,2306 0,3695 0,5060
199 —4,9900 —6,7145 —8,2272 —8,7565 —9,2775 —9,3698 —9,4230
200 —4,5138 —2,5722 —0,9600 —0,3807 0,2321 0,3712 0,5068
209 —4,9790 —6,6840 —8,2147 —8,7524 —9,2790 —9,3713 —9,4239
210 —4,5245 —2,6010 —0,9719 —0,3850 0,2335 0,3727 0,5076
219 —4,9691 —6,6553 —8,2026 —8,7484 —9,2803 —9,3727 —9,4247
220 —4,5345 —2,6284 —0,9831 —0,3889 0,2348 0,3742 0,5083
229 —4,9600 —6,6288 —8,1913 —8,7447 —9,2814 —9,3740 —9,4256
230 —4,5433 —2,6552 —0,9941 —0,3929 0,2363 0,3756 0,5089
239 —4,9517 —6,6036 —8,1809 —8,7413 —9,2824 —9,3753 —9,4262
240 —4,5517 —2,6811 —1,0054 —0,3968 0,2377 0,3769 0,5097
249 —4,9444 —6,5794 —8,1705 —8,7377 —9,2836 —9,3768 —9,4269
250 —4,5595 —2,7052 — 1,0156 —0,4003 0,2389 0,3779 0,5103
259 —4,9370 —6,5556 —8,1603 —8,7343 —9,2847 —9,3779 —9,4275
260 —4,5666 —2,7278 —1 ,0254 —0,4037 0,2400 0,3791 0,5109
269 —4,9303 —6,5331 —8,1505 —8,7308 —9,2857 —9,3790 —9,4280
270 —4,5732' —2,7500 — 1,0350 —0,4068 0,2411 0,3802 0,5715
279 —4,9243 —6,5122 —8,1413 —8,7278 —9,2869 —9,3801 —9,4286
280 —4,5795 —2,7718 —1,0445 —0,4101 0,2620 0,3813 0,5120
289 —4,9186 —6,4921 —8,1324 —8,7246 —9,2879 —9,3811 —9,4291
290 —4,5853 —2,7924 —1,0536 —0,4130 0,2429 0,3823 0,5125
299 —4,9132 —6,4719 —8,1234 —8,7215 —9,2888 —9,3821 —9,4296
300 —4,5906 —2,8118 —1,0623 —0,4159 0,2439 0,3832 0,5130
319 —4,9034 —6,4336 —8,1065 —8,7157 —9,2905 —9,3838 —9,4304
320 —4,6004 —2,8481 — 1,0789 —0,4215 0,2458 0,3852 0,5140
339 —4,8948 —6,3985 —8,0906 —8,7103 —9,2923 —9,3854 —9,4312
340 —4,6091 —2,8826 — 1,0949 —0,4269 0,2473 0,3870 0,5749
359 —4,8873 —6,3668 —8,0759 —8,7053 —9,2938 —9,3869 —9,4326
332
Продолжение табл. 58
k 102л (k, а, а) при а
+ 1 +0,5 +0,2 5 +0,125 —0,125 — 0,25 -0,5
360 —4,6170 —2,9155 — 1,1102 —0,4320 0,2490 0,3887 0,5155
379 —4,8804 —6,3365 —8,0617 —8,7006 —9,2951 —9,3880 —9,4328
380 —4,6240 —2,9457 — 1,1245 —0,4370 0,2506 0,3905 0,5162
399 —4,8742 —6,3076 —8,0478 —8,6960 —9,2965 —9,3894 —9,4334
400 —4,6303 —2,9745 — 1,1381 —0,4416 0,2520 0,3919 0,5168
419 —4,8687 —6,2818 —8,0353 —8,6917 —9,2977 —9,3905 —9,4341
420 —4,6361 —3,0026 —1,1516 —0,4461 0,2534 0,3934 0,5173
439 —4,8635 —6,2561 —8,0226 —8,6874 —9,2988 —9,3016 —9,4378
440 —4,6413 —3,0278 — 1,1639 —0,4502 0,2548 0,3947 0,5178
459 —4,8589 —6,2317 —8,0106 —8,6833 —9,3000 —9,3926 —9,4348
460 —4,6461 —3,0522 — 1,1760 —0,4543 0,2560 0,3960 0,5188
479 —4,8543 —6,2099 —7,9996 —8,6795 —9,3012 —9,3937 —9,4348
480 —4,6504 —3,0760 — 1,1879 —0,4582 0,2570 0,3971 0,5198
499 —4,8504 —6,1878 —7,9882 —8,6756 —9,3022 —9,3947 —9,4353
500 —4,6543 —3,0978 — 1,1988 —0,4618 0,2582 0,3982 0,5202
519 —4,8468 —6,1669 —7,9774 —8,6718 —9,3032 —9,3957 —9,4356
520 —4,6581 —3,1183 — 1,2093 —0,4651 0,2592 0,3992 0,5207
539 —4,8432 —6,1468 —7,9671 —8,6685 —9,3042 9,3966 —9,4359
540 —4,6614 —3,1383 — 1,2198 —0,4688 0,2602 0,4002 0,5213
559 —4,8400 —6,1275 —7,9569 —8,6651 —9,3051 —9,3974 —9,4363
560 —4,6646 —3,1571 —1,2296 —0,4721 0,2612 0,4012 0,5216
579 —4,8371 —6,1088 —7,9472 —8,6619 —9,3060 —9,3982 —9,4367
580 —4,6676 —3,1750 —1,2392 —0,4754 0,2621 0,4021 0,5219
599 —4,8342 —6,0925 —7,9386 —8,6589 —9,3070 —9,3989 —9,4371
600 —4,6703 —3,1936 —1,2493 —0,4787 0,2628 0,4031 0,5222
649 —4,8282 —6,0502 —7,9155 —8,6502 —9,3091 —9,4005 —9,4379
650 —4,6769 —3,2327 —1,2705 —0,4851 0,2648 0,4053 0,5230
699 —4,8233 —6,0122 —7,8942 —8,6433 —9,3108 —9,4024 —9,4386
700 —4,6825 —3,2694 —1 ,2908 —0,4920 0,2669 0,4069 0,5237
749 —4,8182 —5,9789 —7,8748 —8,6370 —9,3126 —9,4040 —9,4389
750 —4,6876 —3,3040 —1,3101 —0,4987 0,2686 0,4085 0,5247
799 —4,8151 —5,9480 —7,8567 —8,6308 —9,3143 —9,4055 —9,4394
800 —4,6916 —3,3362 —1,3287 —0,5048 0,2701 0,4099 0,5254
849 —4,8118 —5,9200 —7,8404 —8,6252 —9,3158 —9,4069 —9,4399
850 —4,6955 —3,3661 —1,3467 —0,5108 0,2716 0,4113 0,5259
899 —4,8085 —5,8925 —7,8238 —8,6197 —9,3174 —9,4081 —9,4030
900 —4,6986 —3,3924 — 1,3626 —0,5162 0,2728 0,4126 0,5265
949 —4,8057 —5,8666 —7,8080 —8,6145 —9,3186 —9,4089 —9,4405
950 —4,7015 —3,4169 — 1,3778 —0,5214 0,2743 0,4142 0,5272
999 —4,8033 —5,8421 —7,7925 —8,6092 —9,3186 —9,4101 —9,4407
1000 —4,7043 —3,4396 —1,3919 —0,5260 0,2768 0,4152 0,5278
оо —4,7500 —4,6470 —4,5960 —4,4571 — — —
333
Таблица 59
Таблица функций т] при а — 15 (при а = 0 для всех значений k т]=—0,0625)
k 1 02т| (k, а, а) при а
+ 1,0 +0,5 +0,25 -1-0,125 —0,125 —0,25 -0,50
1 —6,2500 —6,2500 —6,2500 —6,2500 —6,2500 —6,2500 —6,2500
2 —0,3676 —0,1577 —0,0730 —0,0352 0,0326 0,0628 0,1165
3 —5,9232 —6,1342 —6,2019 —6,2282 —6,2679 —6,2824 —6,3031
4 —0,6600 —0,2518 —0,1096 —0,0512 0,0449 0,0841 0,1485
5 —5,6600 -6,0537 —6,1720 —6,2154 —6,2771 —6,2980 —6,3252
6 —0,8481 —0,3228 —0,1352 —0,0619 0,0523 0,0963 0,1648
7 —5,4436 —5,9899 —6,1497 —6,2061 —6,2832 —6,3079 —6,3380
8 —1,0958 —0,3810 —0,1552 —0,0700 0,0575 0,1046 0,1752
9 —5,2625 —5,9365 —6,1317 —6,1389 —6,2877 —6,3150 —6,3650
10 — 1,2625 —0,4305 —0,1716 —0,0765 0,0615 0,1108 0,1825
11 —5,1087 —5,8900 —6,1165 —6,1929 —6,2913 —6,3204 —6,3528
12 — 1,4050 —0,4742 —0,1858 —0,0820 0,0648 0,1157 0,1880
13 —4,9764 —5,8449 —6,1033 —6,1878 —6,2942 —6,3248 —6,3576
14 — 1,5281 —0,5131 —0,1981 —0,0868 0,0675 0,1198 0,1924
15 —4,8614 —5,8119 —6,0916 —6,1813 —6,2967 —6,3284 —6,3615
16 —1,6536 —0,5487 —0,2092 —0,0910 0,0698 0,1232 0,1959
17 —4,7606 —5,7779 —6,0810 —6,1793 —6,2989 —6,3315 —6,3647
18 —1,7303 -0,5812 —0,2193 —0,0948 0,0718 0,1262 0,1988
19 —4,6715 —5,7469 —6,0715 —6,1757 —6,3008 —6,3342 —6,3674
20 — 1,8144 —0,6113 —0,2286 —0,0982 0,0736 0,1287 0,2013
21 —4,5922 -0,57179 —6,0627 —6,1724 —6,3025 —6,3366 —6,3698
22 —1,8895 —0,6381 —0,2371 —0,1013 0,0752 0,1310 0,2034
23 —4,5211 —5,6901 —6,0543 —6,1693 —6,3041 —6,3387 —6,3719
24 — 1,9570 —0,6649 —0,2449 —0,1042 0,0766 0,1330 0,2053
25 —4,4570 —5,6651 —6,0467 —6,1665 —6,3055 —6,3407 —6,3736
26 —2,0180 —0,6897 —0,2523 -0,1069 0,0780 0,1348 0,2070
27 —4,3990 —5,6412 —6,0395 —6,1639 —6,3067 —6,3424 —6,3752
28 —2,0734 —0,7131 —0,2593 —0,1094 0,0793 0,1365 0,2085
29 —4,3461 —5,6185 —6,0327 —0,6614 —6,3078 —6,3440 —6,3766
30 —2,1239 —0,7350 —0,2658 —0,1117 0,0805 0,1380 0,2099
31 —4,2978 —5,5970 —6,0736 —6,1591 —6,3089 —6,3455 —6,3779
32 —2,1704 —0,7560 —0,2720 —0,1140 0,0815 0,1394 0,2110
33 —4,2534 —5,5767 —6,0202 —6,1570 —6,3099 —6,3468 —0,6379
34 —2,2126 —0,7763 —0,2780 —0,1162 0,0825 0,1408 0,2122
35 —4,2126 —5,5576 —6,0146 —6,1550 —6,3109 —6,3408 —6,3802
36 —2,2518 —0,7957 —0,2838 —0,1182 0,0834 0,1420 0,2132
37 —4,1749 —5,5387 —6,0090 —6,1530 —6,3118 —6,3492 —6,3812
38 —2,3881 —0,8138 —0,2891 —0,1201 0,0842 0,1431 0,2141
39 —4,1400 —5,5209 —6,0037 —6,1512 —6,3127 —6,3503 —6,3821
40 —2,3218 —0,8314 —0,2942 0,1219 0,0850 0,1442 0,2150
41 —4,1075 —5,5038 —5,9980 —6,1494 —6,3135 —6,3513 —6,3830
42 —2,3531 —0,8487 —0,2993 —0,1237 —0,0858 0,1452 0,2158
43 —4,0772 —5,4876 —5,9939 —6,1477 —6,3142 —6,3523 —6,3838
44 —2,3823 —0,8650 —0,3041 —0,1253 0,0866 0,1462 0,2165
45 —4,0490 —5,4718 —5,9892 —6,1460 —6,3149 —6,3532 —6,3846
334
Продолжение табл. 59
k 102л?(/г, а, а) при а
+ П0 +0,5 +0,25 +0,125 —0,125 —0,25 —0,50
46 —2,4097 —0,8808 —0,3088 —0,1269 0,0873 0,1471 0,2172
47 —4,0226 —5,4566 —5,9847 —6,1444 —6,3156 —6,3540 —6,3853
48 —2,4353 —0,8963 —0,3133 —0,1284 0,0879 0,1480 0,2179
49 —3,9978 —5,4414 —5,9804 —6,1429 —6,3163 —6,3548 —6,3860
50 —2,4593 —0,9115 —0,3176 —0,1299 0,0885 0,1488 0,2184
51 —3,9745 —5,4270 —5,9761 —6,1414 —6,3169 —6,3556 —6,3806
52 —2,4820 —0,9255 —0,3217 —0,1313 0,0892 0,1496 0,2190
53 —3,9526 —5,4129 —5,9720 —6,1400 —6,3175 —6,3563 —6,3872
54 —2,5033 —0,9394 —0,3258 —0,1327 0,0897 0,1503 0,2195
55 —3,9319 —5,3991 —5,9681 —6,1386 —6,318 —6,3571 —6,3878
56 —2,5234 —0,9532 —0,3297 —0,1340 0,0903 0,1510 0,2200
57 —3,9123 —5,3861 —5,9643 —6,1373 —6,3186 —6,3577 —6,3883
58 —2,5424 —0,9661 —0,3335 —0,1353 0,0908 0,1517 0,2205
59 —3,8938 —5,3736 —5,9605 —6,1360 —6,3192 —6,3584 —6,3888
60 —2,5605 —0,9773 —0,3372 —0,1366 0,0913 0,1523 0,2210
61 —3,8763 —5,3616 —5,9569 —6,1348 —6,3197 —6,3590 —6,3892
62 —2,5776 —0,9895 —0,3408 —0,1378 0,0918 0,1530 0,2215
63 —3,8597 —5,3491 —5,9533 —6,1335 —6,3202 —6,3595 —6,3896
64 —2,5939 —1,0013 —0,3443 —0,1389 0,0923 0,1535 0,2220
65 —3,8439 —5,3376 —5,9499 —6,1323 —6,3206 —6,3602 —6,3900
66 —2,6093 —1,0132 —0,3478 —0,1401 0,0928 0,1541 0,2224
67 —3,8288 —5,3261 —5,9465 —6,1312 —6,3211 —6,3211 —6,3904
68 —2,6240 — 1,0244 —0,3511 —0,1412 0,0932 0,1546 0,2228
69 —3,8145 —5,3149 —5,9433 —6,1300 —6,3216 —6,3613 —6,3908
70 —2,6380 —1,0352 —0,3543 —0,1422 0,0936 0,1552 0,2232
71 —3,8008 —5,3038 —5,9400 —6,1289 —6,3220 —6,3618 —6,3911
72 —2,6514 —1,0457 —0,3574 —0,1433 0,0941 0,1557 0,2236
73 —3,7878 —5,2930 —5,9368 —6,1278 —6,3224 —6,3623 —6,3915
74 —2,6642 —1,0562 —0,3605 —0,1443 0,0945 0,1562 0,2239
75 —3,7753 —5,2826 —5,9337 —6,1268 —6,3228 —6,3628 —6,3918
76 —2,6764 —1,0664 —0,3635 —0,1453 0,0949 0,1567 0,2243
77 —3,7634 —5,2726 —5,9307 —6,1258 —6,3232 —6,3132 —6,3921
78 —2,6881 —1,0765 —0,3664 —0,1463 0,0953 0,1572 0,2246
79 —3,7519 —5,2629 —5,9279 —6,1248 —6,3235 —6,3636 —6,3924
80 —2,6993 —1,0866 —0,3694 —0,1473 0,0957 0,1577 0,2249
81 —3,7410 —5,2531 —5,9249 —6,1238 —6,3239 —6,3640 —6,3927
82 —2,7101 —1,0960 —0,3722 —0,1482 0,0960 0,1582 0,2252
83 —3,7305 —5,2433 —5,9920 —6,1228 —6,3243 —6,3644 —6,3930
84 —2,7204 —1,1053 —0,3749 —0,1491 0,0964 0,1586 0,2255
85 —3,7204 —5,2343 —5,9193 —6,1219 —6,3246 —6,3648 —6,3399
86 —2,7303 —1,1148 —0,3777 —0,1500 0,0967 0,1590 0,2258
87 3,7107 —5,2254 —5,9166 —6,1210 —6,3250 —6,3652 —6,3936
88 —2,7398 —1,1239 —0,3804 —0,1509 0,0970 0,1594 0,2260
89 —3,7013 —5,2164 —5,9139 —6,1201 —6,3254 —6,3656 —6,3639
90 —2,7489 —1,1325 —0,3829 —0,1517 0,0973 0,1598 0,2262
335
Продолжение табл. 59
k 102т) (k, а, а) при а
4-1,0 4-0,5 +0,25 +0,125 —0,125 —0,25 —0,50
91 —3,6923 —5,2077 —5,9113 —6,1192 —6,3257 —6,3660 —6,3942
92 —2,7577 —1,1411 —0,3855 —0,1525 0,0976 0,1602 0,2264
93 —3,6836 —5,1991 —5,9087 —6,1183 —6,3261 —6,3664 —6,3945
94 —2,7662 — 1,1498 —0,3880 —0,1534 0,0979 0,1605 0,2266
95 —3,6753 —5,1908 —5,9062 —6,1175 —6,3264 —6,3668 —6,3948
96 —2,7744 —1,1581 —0,3905 —0,1542 0,0982 0,1608 0,2268
97 —3,6673 —5,1825 —5,9037 —6,1670 —6,3267 —6,3672 —6,3950
98 —2,7823 — 1,1664 —0,3930 —0,1550 0,0985 0,1611 0,2271
99 —3,6595 —5,1743 —5,9013 —6,1159 —6,3270 —6,3676 —6,3952
100 —2,7899 —1,1745 —0,3954 —0,1558 0,0988 0,1614 0,2273
109 —3,6246 —5,1354 —5,8895 —6,1119 —6,3284 —6,3693 —6,3962
ПО —2,8246 — 1,2121 —0,4066 —0,1594 0,1001 0,1629 0,2284
119 —3,5948 —5,0997 —5,8795 —6,1084 6,3299 —6,3708 —6,3970
120 —2,8541 —1,2469 —0,4170 —0,1628 0,1011 0,1642 0,2293
129 —3,5691 —5,0672 —5,8688 —6,1052 —6,3310 —6,3720 —6,3978
130 —2,8794 —1,2798 —0,4269 —0,1661 —0,1023 0,1656 0,2301
139 —3,5468 —5,0367 —5,8594 —6,1022 —6,3320 —6,3731 —6,3985
140 —2,9016 —1,3099 —0,4364 —0,1691 0,1033 0,1668 0,2308
149 —3,6272 —5,0083 —5,8580 —6,0993 —6,3330 —6,3741 —6,3992
150 —2,9211 — 1,3382 —0,4452 —0,1719 0,1043 0,1679 0,2314
159 —3,5097 —4,9810 —5,8421 —6,0966 —6,3339 —6,3751 —6,3998
160 —2,9383 —1,3642 —0,4534 —0,1745 0,1051 0,1689 0,2319
169 —3,4943 —4,9552 —5,8340 —6,0939 —6,3348 —6,3760 —6,4004
170 —2,9538 — 1,3889 —0,4609 —0,1768 0,1059 0,1698 0,2324
179 —3,4803 —4,9313 —5,8264 —6,0916 —6,3357 —6,3768 —6,4009
180 —2,9675 —1,4124 —0,4682 —0,1793 0,1966 0,1707 0,2328
189 —3,4679 —4,9083 —5,8191 —6,0891 —6,3364 —6,3776 —6,4013
190 —2,9801 —1,4340 —0,4751 —0,1843 0,1073 0,1715 0,2333
199 —3,4565 —4,8868 —5,8122 —6,0868 —6,3371 —6,3681 —6,4018
200 —2,9914 —1,4552 —0,4819 —0,1833 0,1080 0,1724 0,2336
209 —3,4463 —4,8657 —5,8054 —6,0846 —6,3378 —6,3788 —6,4023
210 —3,0019 — 1,4749 —0,4882 —0,1853 0,1086 0,1731 0,2338
219 —3,4369 —4,8459 —5,7991 —6,0826 —6,3384 —6,3794 —6,4027
220 —3,0114 ^-1,4939 —0,4945 —0,1997 0,1092 0,1738 0,2341
229 —3,4283 —4,8275 —5,7932 —6,0807 —6,3391 —6,3800 —6,4030
230 —3,0201 — 1,5125 —0,5006 —0,1891 0,1097 0,1745 0,2345
239 —3,4201 —4,8102 —5,7876 —6,0789 —6,3396 —6,3805 —6,4033
240 —3,0279 —1,5309 —0,5067 —0,1910 0,1103 0,1751 0,2348
249 —3,4125 —4,7934 —5,7818 —6,0770 —6,3402 —6,3810 —6,4037
250 —3,0353 — 1,5489 —0,5121 —0,1926 0,1108 0,1757 0,2350
259 —3,4059 —4,7766 —5,7763 —6,0752 —6,3407 —6,3845 —6,4040
260 —3,0423 — 1,5637 —0,5175 —0,1942 0,1113 0,1763 0,2352
269 —3,3994 —4,7605 —5,7510 —6,0736 —6,3412 —6,3820 —6,4045
270 —3,0485 —1,5791 —0,5227 —0,1959 0,1118 0,1768 0,2352
279 —3,3935 —4,7456 —5,7560 —6,0721 —6,3417 —6,3825 —6,4050
336
Продолжение табл. 59
k 102т) (k, а, а) при а
+ 1,0 +0,5 +0,25 4-0,125 —0,125 —0,25 — 0,50
280 —3,0545 — 1,5945 —0,5279 —0,1976 0,1112 0,1773 0,2352
289 —3,3880 —4,7315 —5,7611 —6,0705 —6,3421 —6,3830 —6,4051
290 —3,0601 — 1,6093 —0,5428 —0,1990 0,1127 0,1777 0,2356
299 —3,3829 —4,7170 —5,7563 —6,0690 —6,3425 —6,3834 —0,4054
300 —3,0654 — 1,6231 —0,5376 —0,2005 0,1132 0,1782 6,2357
319 —3,3735 —4,6895 —5,7370 —6,0660 —6,3434 —6,3840 —6,4057
320 —3,0750 — 1,6491 —0,5467 —0,2032 0,1139 0,1792 0,2362
339 —3,3651 —4,6642 —5,7382 —6,0633 —6,3442 —6,3849 —6,4061
340 —3,0834 —1,6739 —0,5553 —0,2059 0,1147 0,1799 0,2366
359 —3,3575 —4,6411 —5,7301 —6,0607 —6,3448 —6,3856 —6,4064
360 —3,0908 —1,6978 —0,5637 —0,2083 0,1155 0,1806 0,2369
379 —3,3510 —4,6193 —5,7222 —6,0582 —6,3456 —6,3862 —6,4067
380 —3,0978 —1,7201 —0,5715 —0,2107 0,1161 0,1813 0,2372
399 —3,3450 —4,5982 —5,7146 —6,0558 —6,3461 —6,3868 —6,4070
400 —3,1040 — 1,7412 —0,5791 —0,2129 0,1163 0,1819 0,2375
419 —3,3395 —4,5791 —5,7077 —6,0537 —6,3467 —6,3873 —6,4074
420 —3,1096 — 1,7618 —0,5866 —0,2152 0,1174 0,1826 0,2377
439 —3,3345 —4,5599 —5,7008 —6,0516 —6,3473 —6,3878 —6,4075
440 —3,1147 — 1,7803 —0,5935 —0,2173 0,1180 0,1832 0,2380
459 —3,3301 —4,5420 —5,6940 —6,0495 —6,3479 —6,3885 —6,4078
460 —3,1196 — 1,7986 —0,6001 —0,2193 0,1184 0,1836 0,2382
479 —3,3260 —4,5256 —5,6879 —6,0476 —6,3480 —6,3886 —6,4079
480 —3,1240 — 1,8162 —0,6068 —0,2213 0,1194 0,1844 0,2385
499 —3,3222 —4,5089 —5,6845 —6,0357 —6,3480 —6,3895 —6,4081
500 —3,1280 —1,8324 —0,6128 —0,2231 0,1204 0,1845 0,2388
519 —3,3188 —4,4932 —5,6755 —6,0438 —6,3487 —6,3899 —6,4082
520 —3,1319 — 1,8478 —0,6186 —0,2248 0,1206 0,1850 0,2390
539 —3,3157 —4,4781 —5,6697 —6,0420 —6,3492 —6,3902 —6,4084
540 —3,1355 — 1,8630 —0,6245 —0,2266 0,1210 0,1855 0,2392
559 —3,3127 —4,4635 —5,6641 —6,0404 —6,3495 —6,3905 —6,4086
560 —3,1388 —1,8772 —0,6300 —0,2283 0,1216 0,1860 0,2393
579 —3,3099 —4,4494 —5,6586 —5,0388 —6,3499 —6,3910 —6,4089
580 —3,1418 — 1,8909 —0,6354 —0,2300 0,1220 0,1863 0,2394
599 —3,3073 —4,4368 —5,6535 —6,0373 —6,3503 —6,3915 —6,4090
600 —3,1447 — 1,9040 —0,6408 —0,2317 0,1224 0,1866 0,2396
649 —3,3012 —4,4044 —5,6401 —6,0333 —6,3514 —6,3924 —6,4093
650 —3,1508 —1,9348 —0,6523 —0,2352 0,1232 0,1874 0,2400
699 —3,2967 —4,3755 —5,6272 —6,0298 —6,3523 —6,3931 —6,4098
700 —3,1568 —1,9635 —0,6629 —0,2387 0,1240 0,1883 0,2401
749 —3,2923 —4,3494 —5,6165 —6,0366 —6,3531 —6,3939 —6,4100
750 —3,1616 —1,9901 —0,6741 —0,2421 0,1248 0,1889 0,2405
799 —3,2887 —4,3254 —5,6064 —6,0236 —6,3540 —6,3945 —6,4103
800 —3,1660 —2,0163 —0,6848 —0,2453 0,1254 0,1896 0,2407
850 —3,1701 —2,0390 —0,6948 —0,2483 0,1262 0,1900 0,2409
899 —3,2830 —4,2818 —5,5886 —6,0179 —6,3549 —6,3958 —6,4107
337
Продолжение табл. 59
k 102Т| (k, а, а) при а
+ 1,0 +0,5 +0,25 +0, 125 —0,125 -0,25 —0,50
900 949 950 999 1000 оо —3,1737 —3,2805 —3,1769 —3,2781 —3,1796 —3,2300 —2,0595 —4,2616 —2,0792 —4,2421 —2,0973 —3,1780 —0,7041 —5,5788 —0,7130 —5,5701 —0,7213 —3,1520 —0,2510 —6,0153 —0,2536 —6,0127 —0,2561 —3,1380 0,1271 —6,3553 0,1279 —6,3557 0,1287 0,1907 —6,3964 0,1912 —6,3969 0,1917 0,2412 —6,4110 0,2413 —6,4110 0,2416
Таблица 60
Значения параметров циклического деформирования
для некоторых сталей и сплавов
Материал и термообработка г а 0 С1 Xi 7.2 ^ст
Сталь 45, нормализация Сталь 1Х18Н9Т, аустени- 1,13 0 — 3,55 3,50 0,02 0,04 20-т-ЗО
зация 1,66 0,15 — 1,13 1,13 0 0 10
Сталь ЗОХГС, отжиг . . Сталь ЗОХГС, закалка, 1,61 0,03 — 0,9 0,69 0 0 —
отпуск 680° С Сталь ЗОХГС, закалка, 1,34 — 0,01 1,2 1,19 0,06 0,11 —
отпуск 360° С 1,60 — 0,10 0,86 1,19 0,65 0,70 —
Сталь теплоустойчивая Сплав В—96, естественное 1,45 — 0,02 1,93 1,86 0,01 0,015 —
старение Сплав АК—8, искусствен- 1,84 0,4 — 1,15 1,15 0 0 —
ное старение Сплав Д16Т, естественное 1,67 0,28 — 1,35 1,35 0 0 —
старение 1,76 0,35 — 1,6 1,10 0 0
ЛИТЕРАТУРА
1 БаловневГ. Г. «Вестник машиностроения», 1953, № 2
2. Бейзельман Р. Д., Цыпкин Б А. Подшипники качения Машгиз,
1957
3. Бекш Т. А., Шнейдер о вич Р. М. «Заводская лаборатория», 1964,
№ 12
4. Б е н г а м П. П. В сб. «Материалы I Международного конгресса по кон-
струкции и прочности судов». Изд-во Морской транспорт, Л., 1963
5. Бернштейн С. А., Туркин В. С. Труды конференции по пласти-
ческим деформациям. АН СССР, 1938
6. Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженер-
ных задач, Оборонгиз, 1956.
7. Биргер И. А. ПМАА, т. XV, вып. 6, 1951.
8 Б и р г е р И. А. Сб. «Расчеты на прочность», вып. 7, Машгиз, М., 1961.
9. Б о г д ы л ь П. Т. и др. «Заводская лаборатория», 1965. № 9.
10. Б о р т к е в и ч В И. и др Сб. «Методы измерения напряжений в ма-
шинах». Машгиз. М., 1960.
11. Галлагер Д. и др. «Ракетная техника», 1962, № 5.
12. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности по методу предельного
равновесия. Стройиздат. М , 1949
13. Герасимов В. И. Сб. «Расчеты на прочность и жесткость». Маши-
ностроение, 1966
14. Гр ад штейн Е. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, рядов,
сумм и произведений, Физматиздат, М , 1953.
15. Г р о м а н М. Б., Ш н е й д е р о в и ч Р. М. Известия вузов. МВО, «Ма-
шиностроение», 1958, № 9.
16. Грубин А. Н, Л ихачев Ю. И. ЖТФ, № 3, 1955.
17. Грубин А. Н. «Энергомашиностроение», 1962, № 3
18. Гусенков А. П., Ларионов В В. Сб. «Сопротивление деформи-
рованию и разрушению при малом числе циклов нагружения». Наука, 1965.
19. Гусенков А. П., Ларионов В В., Ш н е й д е р о в и ч Р. М «За-
водская лаборатория», 1965, № 6.
20 Г у с е н к о в А. П., Л а р и о н о в В В., Ш н с й д е р о в и ч Р. М. «За-
водская лаборатория», 1965, № 12.
21. Г у с е н к о в А. П., Паршин дева Т., Шнейдеров ич Р. М.
Известия АН СССР, ОТН, «Механика и машиностроение», 1960, № 5
22. Гусенков А. П., Кал у ги н а О. Н., Ларионов В. В. Сб. «Сопро-
тивление деформированию и разрушению при малом числе циклов нагруже-
ния». Наука, 1967.
23. Гусенков А. П., Шнейдерович Р. М «Заводская лаборато-
рия», 1961, № 9.
24. Д а н и л о в Ю. С. «Металловедение и термическая обработка», 1964,
№ 9.
25. Дэвис. Сб. Теория пластичности. М.— Л., 1948.
26 Жуков А. М. Инженерный журнал, т. 1, вып. 1, 1961.
27. Жуковский В. С. Сб. «Проблемы прочности в машиностроении»,
вып. 2, 1959.
28 Иванов Г. Т., Скорый И. А. Труды МАТИ, вып. 37. Оборонгиз,
1959
29. И л ь ю ш и н А. А. Пластичность, ГИТТЛ, 1948.
30. Ильюшин А. А, ПММ, т. VII, вып. 4, 1943.
31 К а ч а н о в Л. М. Механика пластичных сред, ГТТИ, М.— Л., 1948.
32. К а ч а н о в Л. М., ПММ, т. VI, вып. 2—3, 1942.
339
33. Коданев А. И. Труды ВВИА им. Жуковского, вып. 316, 1949.
34. Ларионов В. В. Сб. «Сопротивление деформированию и разруше-
нию при малом числе циклов». Наука, 1966.
35. Ларионов В. В., Шнейдерович Р. М. «Вестник машинострое-
ния», 1967, № 8.
36. Марин Н. И. Доклад на III Всесоюзном совещании по механиче-
ским вопросам усталости ВИНИТИ.
37. MaxyTOiB Н. А. Сб. «Конструкционная прочность легких сплавов и
сталей». Труды МАТИ, № 61. Машиностроение, 1964.
38. Маху то в Н. А. «Машиноведение», 1965, № 2.
39. М а х у т о в Н. А. Сб. «Сопротивление деформированию и разруше-
нию при малом числе циклов нагружения», Наука, 1966.
40. Ма хутов Н. А. Доклад на III Всесоюзном совещании по механи-
ческим вопросам усталости, ВИНИТИ, 1966.
41. Медекша Г. Г, Шнейдерович Р. М. «Машиноведение», 1967,
№ 3.
42. М о с к в и т и н В. В. «Вестник МГУ», № 6, Механика, стр. 47, 1954.
43. М о с к в и т и н В. В. Пластичность при переменных нагружениях.
Изд. МГУ, 1965.
44. Н а д а и А. Пластичность И разрушение твердых тел. Изд. ИЛ, М.,
1954.
45. Ней б ер Г. Концентрация напряжений, ГИТТЛ, 1947.
46. Оганесян А. Г., Яблонко В. Я. «Заводская лаборатория».
1966, № 7.
47. Панферов В. М., ПММ, т. XIII, вып. 1, 1949.
48. Панферов В. М., Известия АН СССР, ОТН, 1954, № 4.
49. Пономарев С. Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении*,
Машгиз, 1959.
50. Пономарев С. Д. Труды МВТУ, 1949, № 127.
51. П о с п е л о в А. Д. Труды ВАИА им. Ф. Э. Дзержинского, вып. 7, 1956.
52. Прагер В., Ходж Ф., Теория идеально пластических тел. ИЛ, М.,
1956
53. П р и г о р о в с к и й Н. И., Богдыль П. Т. Сб. «Проблемы проч-
ности в машиностроении» Изд. АН СССР, вып. 8, 1962.
54. Р а к о в щ и к Ю. А. Известия ОТН, 1958, № 3.
55. Р а к о в щ и к Ю. А. Известия ОТН, механика и машиностроение,
1959, № 3.
56. Ратнер С. И. Прочность и пластичность металлов, Оборонгиз, 1949
57. Р а т н е р С. И., Данилов Ю. С. «Заводская лаборатория», 1950,
№ 4.
58. Р ж а н и ц ы н А. Р. Исследования по вопросам строительной механи-
ки и теории пластичности. Стройиздат, 1956.
59. Р ж а н и ц ы н А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических двойств
материалов. Стройиздат, М., 1954.
60. Ройтман Й М., Фридман Я. Б. Заводская лаборатория, т. XIII,
1947, № 4.
61. Савин Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий. Физмат-
издат, 1953.
62. Сафронов Ю. Р. Труды КАИ, 1959, № 46.
63. Сборник «Детали машин» (под ред. Н. С. Ачеркана), Зубчатые и чер-
вячные передачи. Машгиз, 1951.
64. Серенсен С. В, Шнейдерович Р. М., Г р о м а н М. Б. Валы и
оси. Конструирование и расчет. Машгиз, 1959.
65. Серенсен С В., Ко га ев В. П., Шнейдерович Р. М. Несу-
щая способность и расчеты деталей на прочность, Машгиз. М., 1963.
66. Серенсен С. В., Ма хутов Н. А. «Заводская лаборатория»,
1964, № 1.
67. Серенсен С. В., Шнейдерович Р. М. «Машиноведение»,
1965, № 2.
340
68. Серенсен С. В., Шнейдерович Р. М. Сб. «Сопротивление де-
формированию и разрушению при малом числе циклов нагружения». Наука,
1966.
69. Соколовский В. В. Теория пластичности, ГТТИ 6—Л, 1950.
70. Софронов Ю. Д. Труды КАИ, 1959, № 47.
71. Тимошенко С. П. Теория упругости, ТИТТЛ, 1950.
72. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки, ТИТТЛ, 1950
73. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов.
74. Трощенко В. Т. Сб «Новые машины и приборы для испытаний ме-
таллов. Металлургиздат, М, 1963.
75. У ж и к Г. В. Сопротивление отрыву и прочность металлов. Изд. АН
СССР 1950
76. Ф а ер бе р г И. И. Труды ЦАГИ, № 615, 1947.
77. Фридман Я. Б. Механические свойства металлов. Оборонгиз, 1952.
78. Хальт и др. Сб. переводов «Механика», № 6, 1959.
79. Шишмарев О. А., Инженерный журнал, т. 3, вып. 4, 1963.
80. Шишмарев О. А. Известия АН СССР, ОТН, «Механика и машино-
строение», 1962, № 4.
81. Шнейдерович Р. М. Сб. «Расчет и конструирование деталей ма-
шин» Машгиз, 1957.
82. Шнейдерович Р. М Известия ОТН, 1958, № 3.
83. Шнейдерович Р. М. Сб. «Проблемы прочности в машинострое-
нии», вып. IV, 1959.
84. Я б л о н к о В. Я. Сб. «Сопротивление деформированию и разрушению
при малом числе циклов нагружения». Наука, 1966.
85. В a i 1 е у W. Proc, of the Intern. Congr. of Fatigue of Metals, L.—>N. Y.,
1956.
86. Bauschinger I. Ziviligenieur, 1881.
87. Bauschinger I. Mitteilungen des mech.— techn., Miinchen. H. XIII,
B. XXV.
88. Benham P. P. Journal of the Inst, of Metals, v. 89, 1960—61; v. 91,
1962—1963.
89. Benham P. P., Ford H. Journal of Mech. Eng. Sciense, vol. 3, № 2,
1961.
90. В e s s e 1 i n g J. Journal of Applied Mech., v. 25, № 4, 1958.
91. Bessel ing J. Nat. Aero Research. Inat. (NLK), Amsterdam, Rep.
5_______410 1953.
92 D a u n i s M. A. Mokslas ir Technika, № 1, 1964.
93. Du relly A. Skiamarella S. Transaction of ASME, Ser. E, v. 30, № 1,
1963.
94. Kawamoto M., NakagavaT., Ida A. Bulletin JSME, № 33, 1966;
95. Kunze W., Sachs G. Zeitschrift fiir Metallwirtschaft, № 9, Bd. 83,
1930.
96. M a n s о n S. S. Experimental Mechanics, July, 1965.
97. M a s i n g G. Wissenschaftliche Veroffentlichungen aus dem Siemens—
Konzern, H. 1, Bd. Ill, 1923; H. 5, S. 135, 1926.
98. N euber H. Journal of Applied Mechanics, v. 28, № 4, 1961.
99. Sachs G., Shoji H. Zeitschrift fiir Physik, Bd. 45. 1927
100. Shaffer, Hause, Journal of Applied Meehan., v. 22, № 3, 1965.
101. Serensen S. V., Makhutov N. A. Doc. XIII—371—65, JJW.
102. Takenaka J. Bull. Japan Society Mech. Engrs. v. 3, № 12, 1960
103. Tavernelli J. F., Coffin I. J. Transaction of ASM, v. LI, 1959.
104. Teo car is P. S., Hazzell С. B. Journal of the Mechanics and
Physics of solids, v. 13, № 5, 1965.
105. Thompson N. Journal of Inst, of Metals, v. 84, 1955—1956
106. Whiteman H. Paper Amer. Soc. Mech. Engrs., NA—68, 1958.
107. Wooley R. Philosophical Magazine, v. 44, № 353, 1953
341
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................... ... 3
Глава I. Диаграммы деформирования при однократном и цикли-
ческом нагружении.............................................. 5
§ 1. Диаграмма деформирования при однократном нагружении
и ее аппроксимация ..........................................5
§ 2. Методы экспериментального исследования диаграмм дефор-
мирования .................................................10
§ 3. Некоторые экспериментальные данные по свойствам кривых
циклического деформирования.................................18
§ 4. Диаграмма деформирования при циклическом нагружении и
ее аппроксимация............................................44
Глава II Метод переменных параметров упругости примени-
тельно к задачам сопротивления материалов ... 53
Глава III. Упруго-пластическое деформирование стержней и стер-
жневых систем..................................................58
§ 1. Усилия, деформации и напряжения при изгибе и растяжении
стержней....................................................59
§ 2. Усилия, деформации и напряжения при совместном изгибе,
кручении и растяжении стержней.............................101
§ 3. Перемещения в стержнях и стержневых системах . . 115
§ 4. Примеры расчета деталей типа стержней.133
Глава IV. Упруго-пластическое осесимметричное деформирование
круговых пластин и цилиндрических оболочек .152
§ 1. Растяжение и изгиб круговых пластин .... . 152
§ 2. Изгиб цилиндрических оболочек..............................................174
§ 3 Примеры расчета дисков и оболочек..........................................185
Глава V. Приближенная оценка концентрации напряжений при
упруго-пластическом деформировании............................198
Глава VI. Приближенные соотношения для задач однократного
и циклического деформирования при линейном упроч-
нении . . . . е ..............214
§ 1. Приближенные соотношения для задач однократного пла-
стического деформирования..................................214
§ 2. Кинетика напряжений и деформаций при циклическом де-
формировании ..............................................219
342
Глава VII. Несущая способность деталей при статическом и пов-
торно-статическом нагружении 231
§ 1 Характеристики разрушения при малом числе циклов нагру-
жения ..........................................................231
§ 2 Критерии прочности при неоднородном напряженном состоя-
нии ...............................................249
§ 3 Несущая способность и запасы прочности при статическом и
повторно-статическом нагружениях..............................263
Глава VIII. Справочные данные (приложения)......................272
Литература.........................................................339
Редактор издательства Л. Н. Данилов
Технический редактор Н. Ф. Дёмкина
Корректор Ж. Л. Суходолова
Переплет художника А. Я. Михайлова
Сдано в производство 4/VII 1967 г.
Подписано к печати 20/1II 1968 г.
Т-04960 Тираж 6500 экз. Печ. л 21,5
Бум. л. 10,75 Уч.-изд. л. 22,0
Формат 60 X 90!/1б
Цена 1 р. 80 к Зак. 1099
Издательство «МАШИНОСТРОЕНИЕ»,
Москва, Б-66, 1-й Басманный пер , 3
Экспериментальная типография ВНИИПП
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва К-51, Цветной бульвар, 30