) Математическое
просвещены е_
Р. ПЕТЕР
ИГРА
С БЕСКОНЕЧНОСТЬЮ
Математика для нематематиков
Перевод с венгерского В. М. Боцу,
А. Я- Маргулиса, А. Ш. Мей-
лихзона
Под редакцией Б. Л. Лаптева
ИЗДАТЕЛЬСТВ 0-
«ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 1968

Das Spiel mit dem (Jnendlichen
Mathematik fur Aufienstehende
Von
Prof. Dr. ROZSA PETER
Doktor der mathematischen Wissenschaften
Eotvos Lorund— Universitat, Budapest
Dritte Auflage
Mit zahlreichen Figuren im Text
B. G. TEUBNER VERLAGSGESELLSCHAFT LEIPZIG
1963

Посвящается моему брату
Николаю Политцеру, не
вернувшемуся из концентрацион-
концентрационного лагеря Кольдиц (Саксония)

Петер Р.
П29 Игра с бесконечностью. Математика для нема-
нематематиков. Пер. с венгерского В. М. Боцу, А. Я. Мар-
гулиса, А. Ш. Мейлихзона. Под. ред. Б. Л. Лаптева.
М., «Просвещение», 1967.
272 стр. с черт. («Математическое просвещение»).
Книга знакомит читателя с некоторыми важнейшими
математическими проблемами и методами, не привлекая спе-
специальный математический аппарат формул и выкладок. Автор
пользуется главным образом конкретными примерами, на ко-
которых и разъясняет сущность тех или иных понятий, проблем
и методов решения.
2-2-1 f ' 51
168-67

ОТ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Среди многих других иаучио-популяриых книг по
математике «Игра с бесконечностью» Розы Петер выделяется следующими осо-
особенностями:
1. Она не требует от читателя систематических знаний школьного курса
математики и создана в первую очередь для читателя, не имеющего близкого
отношения к математическим наукам, для писателя, врача, философа, худож-
художника и любого культурного человека, не имеющего специального математиче-
математического образования, но желающего познакомиться с вопросами и методами со-
современной математики.
2. Эта книга охватывает очень широкий диапазон понятий, фактов и
проблем современной математики от теории чисел до теории множеств и ма-
математической логики. Сложный материал поднесен читателю с большим искус-
искусством и изяществом, причем математическое понятие бесконечности, естествен-
естественно, играет центральную роль.
3. Значительное место (а именно вся третья часть «Самокритика чистого
разума») уделено в иейтрактовке вопросов математической логики и проблемам
обоснования математики (теория доказательства). Автору здесь удается по-
познакомить читателя с некоторыми очень тонкими методами и принципиальны-
принципиальными, но спорными положениями современной математики.
Эта книга, безусловно, с увлечением будет прочитана и школьниками
старших классов, и рабочей или студенческой молодежью. Она будет полезна
также преподавателям в их работе в школьных математических кружках, да
и любой специалист по естественным или техническим наукам с интересом про-
прочтет «Игру с бесконечностью», причем несомненно, что ее третий раздел при-
принесет ему много нового.
Автор настоящей книги— профессор, доктор математических наук Роза
Петер (Rozsa Peter) — крупный венгерский математик. Она известна своими
значительными работами по теории рекурсивных функций. Понятия и методы
этой теории применяются в настоящее время весьма широко, являясь основным
инструментом в конструктивном обосновании математики. Следует особо от-
отметить, что автору принадлежит первая обобщенная монография в этой об-
области A951-г.), переведенная в 1954 году на русский язык1'.
Р. Петер. Рекурсивные функции. М., ИЛ, 1954.

6 От редактора русского перевода
Написать увлекательную иаучио-популяриую книгу по математике, об-
обращаясь прежде всего к читателю, ие имеющему тесного соприкосновения
с математикой, освободив поэтому почти полиостью изложение от аппарата
формул и выкладок, — это весьма нелегкая задача. Автору удалось блестяще
с ией справиться. Живой, остроумный, легкий стиль изложения, который пе-
переводчики постарались в настоящем издании сохранить в иеприкосиовеииости,
богатый иллюстративный материал и весьма широкий круг поиятий и проблем
современной математики, освещенный или затронутый в этой книге, обеспе-
обеспечили ей большой успех.
На родине автора оиа выходила из печати в 1943 и 1962 годах; кроме
того, ее немецкий перевод издавался в Германской Демократической Респуб-
Республике в 1955, 1957 и в 1963 годах, а ее румынское издание (на румынском языке)
появилось в 1963 году.
При подготовке настоящего перевода использованы как венгерское, так
и оба иноязычных издания. В текст внесены лишь самые незначительные из-
меиеиия, касающиеся названий денежных единиц или городов в математи-
математических задачах, поэтических цитат и т. п. Помещен ряд необходимых при-
примечаний.
Следует еще отметить, что автор несколько односторонне освещает в на-
начале кииги вопрос о происхождеиии математики и о математическом творчестве,
выделяя в качестве основного и почти единственного фактора в создании мате-
математических теорий стремлеиие человека к развлекающей его и доставляющей
ему радость игре. Читателю поэтому будет полезно познакомиться со статьей
академика А. Н. Колмогорова «Математика», помещенной в Большой совет-
советской энциклопедии B-е изд., том 26). В этой статье рассмотрен круг вопросов,
связанных с предметом и местом математики среди других наук, с ее происхож-
происхождением, сжато дана история развития математики и освещены проблемы ее
обоснования.
Хотя в «Игре с бесконечностью», естественно, нет анализа различных су-
существующих направлений в вопросах обоснования математики, заключение
автора, завершающее книгу, вполне соответствует диалектико-материалистиче-
скому подходу к оценке развития математики: «Математика ие является чем-то
статическим и законченным, нет — это живая, развивающаяся наука, которая
всегда перерастает изготовляемые для нее замкнутые, конечные формы, в ко*
торые ее пытаются заключить. Оиа всегда пробивает себе выход и живой выры-
вырывается на свободу».
Б. Л. Лаптев

ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИЮ 1957 года
С 1943 года до настоящего времени прошло 14 лет,
полных событий. В эти годы мой друг, математик Пал Чиллаг, и моя ученица
Като (Като Фукс) пали жертвами фашизма. Отец моей ученицы Анны, приго-
приговоренный к 17 годам тюрьмы за подпольную работу, теперь освобожден; вот
так, может быть, встречаются в воображении Анны прямые, сближающиеся все
больше и больше (см. стр. 221). Книга, полностью законченная, не могла по-
появиться во время немецкой нацистской оккупации; лежащие на складе экземпля-
экземпляры были частично уничтожены бомбардировкой. Оставшаяся часть поступила
в продажу в первый свободный «День книги» в 1945 году. Немецкий перевод вы-
вышел в 1955 году и немедленно был распродан; недавно вышло второе издание.
Благодарю издательство «Bibliotheca», которое сделало возможным распростра-
распространение книги и среди венгерских читателей.
Читатель должен учесть, что эта, книга, которую я теперь издаю почти без
изменений, отражает мои концепции 1943 года. Но конец работы претерпел
все же существенное изменение, так как с тех пор я доказала, вместе с Ласло
Кальмаром, что существование так называемых «абсолютно неразрешимых за-
задач» следует из теоремы Гёделя о задачах «относительно неразрешимых».
Однако ясно, что следствие ни в коем случае не может иметь более важное зна-
значение, нежели теорема, из которой оно было выведено.
Д-р Роза Петер

ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИЮ 1943 года
Эта книга обращается в первую очередь к читателю,
ие разбирающемуся в математике: художнику, литератору и к тому, кто рабо-
работает в области гуманитарных наук. От иих я получила много прекрасного;
теперь я им предлагаю в знак благодарности книгу по математике. Мие хоте- •
лось бы, чтобы они осознали, что мы ие так далеки друг от друга. Мне ира-
вится математика ие только потому, что она может быть применена в технике,
но также и потому, что она прекрасна, потому что человек внес в эту науку свою '
страсть к игре и потому что математика может заниматься высшей игрой: улав-
улавливать бесконечность. Она имеет возможность сказать важное слово, отно-
относящееся и к бесконечности, и к идеям вообще. И она так достойна человека, ие
сводясь никоим образом к «дважды два четыре», ио являясь всегда еще незавер-
незавершенным подлинным человеческим творением.
Тот факт, что настоящая книга популярна, вовсе ие означает, что в ней
материал излагается поверхностно. Я старалась изложить понятия с совершен-
совершенной ясностью и думаю, что их представление в новом свете может дать кое-что
новое и математику, а особенно учителю математики. Я пренебрегала лишь си.
стематичиостью изложения, которая легко утомляет, определениями действи-
действительно очевидных вещей и техническими деталями, так как цель этой книги ие
состоит в том, чтобы обучить читатейя технике математики. Юиоша, заинтересо-
заинтересованный этой областью, может найти в этой книге, так сказать, общую картину
всей математики. Вначале я не намеревалась дать достаточно полное представ-
представление, но по мере написания материал сам собой расширялся и я убеждалась
в том, что число частей, которые могли бы быть опущены, становилось все
меньше. Если некоторые вопросы казались мие ранее скучными, то теперь
у меня возникает чувство человека, вытаскивающего какую-либо старинную
вещь, сдувающего с нее пыль и видящего, как эта вещь начинает блестеть в его
руках.
Может быть, в некоторых местах той книги будет казаться иаивиым, ио я
с удовольствием приму это замечание читателя, потому что наивный подход
к основным вещам всегда вызывает чувство нового открытия.
Во введении я рассказываю, как возникла эта работа. Писатель, о котором
я там говорю, — это Марсель Беиедек (Marcel Benedek). Ему я начинала пи-
писать письма о дифференциальном исчислении, и это была его идея, что эти пись-
письма могут составить хороший материал книги.
Источников я ие указываю. Я многому научилась у других, ио теперь уже
ие могу разложить мои знания иа составляющие элементы. Когда я писала,

Предисловие к изданию 1943 года' 9
то передо мной ие было никакой книги. То тут, то там всплывало в памяти
какое-либо сравнение, источник которого я еще могла вспомнить, например
замечательную книгу Радемахера и Теплица («Числа и фигуры») или пре-
превосходное введение в математический анализ Беке *'; раз в определенной об-
области создался специфический «метод», я ие могла писать иначе, только чтобы
показаться более оригинальной. Это относится в особенности к тому, чем я обя-
обязана Ласло Кальмару. Ои был моим сокурсником и мэтром в математике; то,
что я пишу, неизбежно проиизаио его идеями. Я должна также отметить,
что «пример с шоколадом» из трактовки бесконечных рядов, как и весь ход
рассуждений при построении логарифмических таблиц, исходит от него.
Мои маленькие невольные сотрудники, школьники, будут названы их
именами; они себя узнают. Я должна здесь отметить мою ученицу Като, которая
только что окончила четвертый класс средней школы и высказывала свое мне-
мнение о книге, когда та еще готовилась. Я ей благодарна за то, что смогла смот-
смотреть на материал глазами талантливого ученика.
Но самый важный вклад составляют замечания одного «иематематика».
Мой хороший друг, режиссер Бела Лай (Bela Lay), который ранее думал, что
ие обладает «чувством математики», проследил до конца разработку каждой
главы; я ие завершала ии одной главы, ие добившись его одобрения. Может
быть, без него эта книга ие была бы написана.
Пал Чиллаг (Pal Csillag) просмотрел рукопись глазами математика; Ласло
Кальмар в последние минуты также иашел время бегло просмотреть рукопись;
им я обязана чувством уверенности во всем, что я утверждаю.
Будапешт, осень 1943 года. Д-р Роза Петер
*' Веке Mano, Bevezetes a differencial — es integral (Введение в дифферен-
дифференциальное и интегральное исчисления). Эту ссылку даю для желающих углу-
углубиться в начатую учебу.— Прим. автора.
На русском языке можно рекомендовать книгу: Я. Б. Зельдович.
Высшая математика для начинающих, Физматгиз, 1963, стр. 560.
В этой книге в доступной форме объяснены основные понятия дифферен-
дифференциального и интегрального исчислений, развита до некоторой степени техника
анализа бесконечно малых и рассмотрены практические приложения этих по-
понятий в вопросах физики и техники. Автор ориентируется на лиц, занимаю-
занимающихся самообразованием, иа учащихся старших классов школ и студентов
техникумов и первых курсов вузов.— Прим. ред.

ВВЕДЕНИЕ
\ Я вспоминаю об одной беседе в прошлом.
Один из наших писателей, хороший мой друг, жаловался мне,
что он чувствует неполноту своего образования, так как не знает
математики. Он ощущал этот недостаток даже в своей писатель-
писательской деятельности. Он говорил мне, что он использовал в своей
работе в качестве сравнений кое-какие из математических поня-
понятий, изученных в школе и сохранившихся в его памяти, например
систему координат. Но он полагал, что в математике существует
еще много такого рода материала, который он мог бы исполь-
использовать подобным же образом, и что его литературные вырази-
выразительные возможности обеднены, так как он не может черпать
из этого богатого источника. Но все это он считал пустыми сожа-
сожалениями, будучи уверен, что не сможет проникнуть в глубины
математики.
Я часто вспоминаю эту беседу, породившую идеи и планы.
С первого же мгновения я поняла, что в этом отношении кое-что
можно сделать, потому что решающим фактором в моем труде
в качестве математика было всегда удовольствие, которое дает
мне эта работа, а это душевное состояние наверно является ис-
источником творчества и писателя, и художника. Я вспоминаю
один случай из студенческих времен, когда вместе с несколькими
коллегами по факультету я читала одну пьесу Бернарда Шоу.
Мы дошли до места, где герой пьесы спрашивает героиню, в чем
секрет ее силы пленять и управлять так хорошо даже очень
трудно поддающимися людьми. Героиня задумывается и отве-
отвечает: «Это объясняется тем, что я в сущности отдалена от всех
людей». Тогда студентка, читавшая вслух пьесу, воскликнула:
«Это же математическая теорема, изученная нами сегодня!»
Действительно, математическая задача была такова: можем ли

12 Введение
мы приблизиться ко множеству точек из внешней точки так,
чтобы приблизиться одновременно ко всем точкам множества?
Ответ утвердителен, если внешняя точка расположена доста-
достаточно далеко от множества точек.
С другим утверждением моего друга писателя, что он не смог
бы вникнуть в глубины математики, что он, например, не сможет
никогда понять «производную», о которой так много говорится,
я не была согласна. Я попыталась разложить введение этогр
понятия на отдельные этапы, наиболее простые и ясные, и при-
пришла при этом к неожиданному заключению: математик даже не
может себе представить те трудности, которые преодолевает не-
несведущий человек, чтобы понять самые простые формулы. Точно
* •. • • Из этой точки приближаться таким
• • • * образом невозможно; если мы приблИ'
• • • *v жаемся к некоторым точкам, то одно
• • / •. Ч^ временно от других удаляемся.
•*•*.•••.
Из этой точки можно приближаться
одновременно ко всем точкам.
так же неопытный педагог не может понять, как это получается,
что его ученик двадцатый раз читает по буквам б... о... б...ы и
все-таки не осознает, что речь идет о «бобах» (а в нашем случае
идет речь о чем-то большем, чем о бобах). Это была для меня
тревожная констатация. До того я думала, что причина плохой
математической ориентации широкой публики состоит в том,
что никто не написал хорошую популярную математическую
книгу, например, по дифференциальному исчислению. Интерес
публики очевиден, раз раскупается любая работа такого рода;

Введение \ 13
но до сих пор ни одни специалист-математик не написал такой
книги.^Я подразумеваю настоящего математика-специалиста, ко-
который знает, в кйкой мере можно упростить некоторую идею,
не искажая ее; человека, который отнюдь не довольствуется
преподнесением лишь в несколько более приятной упаковке ста-
старого горького лекарства (потому что для большинства математика
связана с самыми неприятными воспоминаниями школьных дней),
а обладает необходимыми мыслями для того, чтобы разъяснить
суть некоторой идеи, сделав ее очевидной; я имею в виду мате-
математика, который, познав радость математического творчества,
пишет с таким воодушевлением, что может'увлечь и читателя.
Но теперь я начинаю думать, что даже собственно популярная
книга многим читателям не будет доступна. Мне кажется, что
главным свойством математика является то, что он уходит в путь,
сознавая, насколько труден этот путь. «К математике нет цар-
царского пути»,— ответил Евклид своему повелителю; путь к
математике не может быть легким даже для царей. Матема-
Математическую книгу нельзя читать поверхностно; чтобы освоить
абстракцию, нужно обязательно сделать определенное усилие,
и математик — это тот, кто в этих мучениях находит радость.
Даже самая хорошая популярная книга будет понята лишь
теми, кто захочет приложить определенный труд, кто полон
решимости читать формулу по слогам до тех пор, пока не поймет
ее смысл.
Но я пишу не для таких. Я пишу математику без формул,
даю кое-что из того общего источника удовольствия, о котором
я говорила. Но я не знаю, удастся ли мне мой замысел. Отказы-
Отказываясь от формул, я отказываюсь от одной из основных харак-
характеристик математики; как писатель, так и математик знают, что
форма является составной частью сути работы. Попытаемся
представить себе, например, как можно было бы передать дух
сонета без его формы! Все же я попытаюсь, может быть удастся
все же сохранить кое-что из подлинного духа математики.
Имеется единственная уступка, которую я не могу сделать
читателю: нельзя опускать или поверхностно перелистывать ту
или иную главу, оставляя ее чтение на более позднее время.
Этого нельзя допускать. Математика может быть "построена

14 Введение
только кирпич за кирпичом: ни одно слово не является лишним,
каждая часть основана на предыдущей, даже если здесь это и
не так очевидно, как в книге со скучным систематическим изло-
изложением. Небольшое число указаний, которые я даю, необходимо
соблюдать: фигуры надо внимательно рассматривать, рисунок
или простое вычисление необходимо на самом деле выполнить,
когда я прошу об этом читателя. Взамен я обещаю, что ему
не будет скучно. Ни разу я не буду ссылаться на математику,
изученную в школе; начну со счета и дойду до самой современ-
современной отрасли математики: математической логики.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
УЧЕНИК ЧАРОДЕЯ*'
1. Игра с пальцами
Начнем с самого начала. Я не намереваюсь
писать об истории математики. Впрочем, я это смогла бы сделать
лишь на основании письменных свидетельств, а эти свидетельства
очень далеки от настоящих начал. Представим себе первобыт-
первобытного человека, который в своей такой же первобытной среде на-
начинает считать. Вообразить этот процесс нам поможет наблюде-
наблюдение над маленьким ребенком, этим первобытным человечком,
который на наших глазах становится «цивилизованным челове-
человеком»; мы его видим, как он знакомится с миром и одновременно
со своим телом, во время игры с десятью пальцами своих ручонок.
Очень может быть, что, когда он говорит «один», «два», «три»,
«четыре», слова представляют собой лишь сокращение более
сложной идеи: «этот пошел на охоту», «этот увидел зайца», «этот
его застрелил», «этот поджарил на вертеле» и т. д. Мое пред-
предположение кажется правдоподобным, так как один врач мне
сказал, что существуют больные с определенными повреждениями
мозга, которые не могут различать пальцы своих рук, и этот
симптом всегда сопровождается неспособностью считать. Следо-
Следовательно, эта ассоциация, сделавшаяся подсознательной, сохра-
сохраняется неразрывно и у цивилизованного человека. По моему
мнению, одним из источников математики является стремление
человека играть, и как раз поэтому математика не является толь-
только наукой, но в той же степени и искусством.
В настоящее время думают, что счет вначале имел утилитар-
утилитарный характер. Может быть, первобытный человек считал свои *¦
шкуры животных, чтобы знать, каково его имущество. Но столь
же достоверной является и гипотеза, что счет являлся опреде-
определенным магическим церемониалом. И сегодня люди, страдающие
*' Заголовок повторяет название известной поэмы Гёте, в которой молодой
ученнк чародея-волшебннка вызывает духов для выполнення простой техни-
технической работы (натаскать воды), но призванные нм силы оказываются более
мощными н сложными, чем он рассчитывал, и он не в силах справиться с нн-
мн.— Прим. ред.

16 /. Ученик чародея
неврозом, используют часто счет в форме логической формулы,
чтобы отогнать определенные недозволенные мысли; например,
разрешается думать о чем-то лишь после счета от 1 до 20.
Так или этак, идет ли речь о шкурах животных или о последо-
последовательных интервалах времени, счет всегда означает: сделать
от имеющегося еще один шаг.
Так, мы можем выйти при счете за пределы десяти пальцев,
получая первое и замечательное математическое творение чело-
человека — бесконечный ряд
1,2,3,-4,5,6,7,8,9, 10, 11,... ,
так называемый ряд натуральных чисел. Он бесконечен потому,
что, каково бы ни было большое число, оно все-таки может быть
превзойдено на единицу. Для получения этого ряда надо было
проявить высокую степень абстракции, потому что числа явля-
являются лишь тенями действительности. Здесь число 3, например,
не означает 3 пальца, 3 яблока, 3 пульсации и т. д., а пред-
представляет собой то, что является общим этим вещам: абстрагиро-
абстрагированное от них количество. Очень большие числа не являются
уже абстракцией материальной действительности, потому что нет
такого человека, который своими глазами видел бы миллиард
яблок или который сосчитал бы миллиард пульсаций. Эти числа
могут быть поняты человеком лишь по аналогии с малыми числа-
числами, извлеченными из действительности; с помощью своего вооб-
воображения мы можем считать все дальше и дальше, переходя за
все известные до того числа.
Человеку никогда не надоедает считать. Если не другое, то
хотя бы радость повторения не дает ему скучать. Поэтам хорошо
известно это чувство; постоянное возвращение к одному и тому
же ритму,' к тому же звучанию — в этом выражается жизнь.
Так же и маленькому ребенку не надоедает игра; для скучаю-
скучающего взрослого ловить мяч — это неприятная повинность, в то
время как ребенок бросал бы мяч ему без устали.
Мы дошли до числа 4? Будем считать дальше еще на одну
единицу! Прибавим еще 1! И еще И Куда мы дошли? До числа 7.
Туда же мы бы попали, если бы прибавили сразу 3 единицы.
И вот мы открыли сложение:
4+1 + 1 + 1=4+3=7.
Теперь давайте развлекаться этим видом счета дальше: при-
прибавим к числу 3 еще 3, и еще 3, и еще 3! Здесь мы прибавили 4
раза по 3, короче можно бы сказать, что четырежды три равно 12.

1: Игра с пальцами 17
Записывается знаками это так:
3+3+3+3=4-3=12 *>.
Это действие называется умножением.
Раз появилась у нас радость повторения, трудно остано-
остановиться, потому что и умножением мы можем развлечься дальше.
Умножим число 4 на 4 и еще раз на 4:
4-4-4=64.
Это повторение, эта «итерация» умножения называется возве-
возведением в степень. Говорят, что в этом случае «основание» — 4;
а маленькой цифрой, записанной вверху, вправо от числа 4,
указываем «показатель», то есть указываем, сколько четверок
надо перемножить:
43=4-4-4=64.
Как видно, результаты являются все большими и большими
числами: 4-3 больше, чем 4+3, а 43 еще больше, чем 4-3. Это за-
занимательное повторение увлекает нас совсем высоко, к большим
числам. А если мы произведем итерацию возведения в степень,
то пойдем еще дальше. Например, если мы сначала возведем 4
в 4 степень, то получим
44=4-4-4-4=64-4=256.
Ну, а если теперь возведем 4 в степень 44:
444=426в=4-4-4 ... ,
то дальнейшее писание будет нам уже затруднительным, потому
что надо было бы писать 256 раз число 4 да после этого выпол-
выполнить умножение! Результатом было бы невообразимо большое
число, так что мы лучше образумимся: как бы занимательна ни
была последовательная итерация операций, итерацию возведе-
возведения в степень мы исключим из ряда наших употребительных
операций. Мне кажется, что можно утверждать следующее:
человеческий разум увлекается всеми ему представляющимися
умозрительными построениями, но сохраняет лишь те, которые
после зрелого обдумывания признает целесообразными.
Сложение, умножение и возведение в степень оказались очень
полезными в практической деятельности человека, поэтому они
заслужили навсегда гражданские права в математике. Были от-
открыты все их свойства, которые облегчают выполнение: например,
большим облегчением является тот факт, что 7-28 вычисляется
не только лишь как 7 раз повторенное сложением 28, но и путем
*' В нашей математической литературе обычно при умножении сначала
пишется множимое, а затем множитель. — Прим. перевод.

18 /. Ученик чародея
разложения числа 28 на сумму слагаемых 20 и 8 с последующим
почленным умножением на 7. Вычислить произведения 7-20 и
7-8 совсем легко и, наконец, выполнить сложение 140+56 тоже
не трудно. Когда надо складывать длинные столбцы чисел, то
полезно знать, что никакое изменение в порядке слагаемых не
меняет конечный результат. Например, если надо вычислить
8+7+2, то можно поступить так: 8+2=10, а 10 и 7 склады-
складываются легко. Таким образом мы избежали неприятного сложе-
сложения 8+7. После некоторого размышления мы замечаем, что
сложение, собственно говоря, является не чем иным, как счетом,
а именно, отправляясь от одного числа, отсчитывают дальше
столько единиц, сколько надо прибавить к первоначальному
числу, и тогда становится ясным, что от изменения порядка
слагаемых результат не изменяется. Это же утверждение остается
в силе и для умножения, но оно менее очевидно, потому что 4-3
означает 3+3+3+3, а 3-4 означает 4+4+4 и, конечно, само
собой вовсе не понятно, что
3+3+3+3=4+4+4.
Но если сделать рисунок, вышеуказанное утверждение стано-
становится очевидным. Нарисуем 4 раза тройки точек ..., расположив
их одну под другой так:
Всем ясно, что, если бы мы нарисовали три раза четверку, распо-
расположенную так:
мы получили бы то же самое. Следовательно, 4-3=3-4; вот по-
почему математики дают «множимому» и «множителю» общее на-
название «сомножители».
Разберемся еще и в одном из законов возведения в степень:
4-4-4-4-4=46.
Если повторяющееся много раз умножение меня утомляет, я могу
немного отдохнуть таким образом: умножение первых трех 4
дает 43, остается лишь 42; следовательно: 43-42=45. Показателем

2. Температурные кривые действий 19
результата служит 5, то есть 3+2, следовательно, две степени
числа 4 могут умножаться путем сложения их показателей.
Например:
54-52-53=5-5-5-5-5-5-5-5-5=59,
и здесь 9 равно 4+2+3.
Оглядываясь на пройденный путь, мы видим, что счет привел
нас ко всем операциям. Естественно, мне могут задать вопрос:
а где осталось вычитание? А деление? Но эти действия являются
не чем иным, как обратными рассмотренным операциям (как
извлечение корня и нахождение логарифма). Например, 20:5
означает, что я заранее знаю результат некоторого умножения,
равный 20, а теперь ищу число, которое, взятое 5 раз, дает 20.
В рассматриваемом примере легко удается найти это число,
потому что 5-4=20. Но не всегда так просто это сделать, может
случиться, что это число не существует. Например, если тре-
требуется разделить 23 на 5, то нельзя выполнить деление без остат-
остатка, потому что 4-5=20, следовательно, меньше 23, а 5-5=25,
то есть больше 23. Поэтому надо довольствоваться меньшим
числом и сказать: 5 входит в 23 четыре раза и остается оста-
остаток 3. Конечно, эта операция требует более сложных рассужде-
рассуждений, чем итерация, являющаяся столь занимательной. Обычно
обратные операции всегда более трудные. Поэтому они и состав-
составляют самые' излюбленные темы математических исследований.
Но известно, что математик — это человек, которому такие
трудности доставляют удовольствие. Поэтому к обратным опе-
операциям я буду вынуждена позднее еще вернуться.
2. Температурные нривые действий
Мы видели, что итерация операций ведет нас все выше и
выше в область больших чисел. Не бесполезно поразмыслить
немножко об этих высотах.
Когда мы желаем вычислить, например, объем куба, надо
выполнить действие возведения в степень. Выбираем маленький
кубик в качестве единицы, а для вычисления объема большого
куба необходимо узнать, сколько раз входит в него маленький
куб. Предположим, что единицей является кубический санти-
сантиметр, то есть куб с длиной, шириной и высотой, равными 1 см:
I
jCtf

20
/. Ученик чародея
Располагая 4 таких кубика один возле другого, получаем сле-
следующий ряд:
Четыре таких ряда образуют один слой, который содержит 4- 4=*42
кубиков. Наконец, накладывая 4 таких слоя один на другой,
получаем большой куб, составленный из 4-4-4=43=64 кубиков.
Обратно, куб с длиной, шириной и высотой, равными 4 см,
содержит 43 кубических сантиметров. Вообще объем куба вы-
вычисляется путем возвышения в третью степень длины одного из
его ребер. Поэтому третья степень числа и называется кубом
этого числа *(. Этим и объясняется тот факт, что куб с относи-
относительно малым ребром может иметь огромный объем. Например,
расстояние в 1 километр не является слишком большой длиной;
*' Мне известно возражение педагогов: надо было бы сказать, чго мера
объема получается возвышением в куб меры одного ребра. Но я не хочу надое-
надоедать читателю, копаясь в мелочах. Здесь имеется более важная задача, которую
мы незаметно пропустили, а именно: возможно ли выразить в сантиметрах
ребро любого куба? Но к этой проблеме я еще вернусь.

2. Температурные кривые действий
21
все могут его себе представить, если подумают об улице, длина
которой примерно 1 километр. Но если бы мы построили куб,
ребром которого служила бы эта улица, то его объем был бы
настолько большим, что мог бы вместить почти все человечество.
Кто мне не верит, пусть проследит за вычислением:, допустим,
что не существует человека выше 2 метров. Если до высоты
в 1 километр, то есть в 1000 метров, построить по одному пере-
перекрытию через каждые 2 метра, то получим 500 этажей. Если эти
перекрытия разделить и в длину и в ширину на полосы в 1 метр,
то мы имели бы:
•
•
•
1м
1м
—
1м 1м • • •
Таким образом мы получим в каждой горизонтальной полосе
1000 квадратов и будем иметь всего 1000 таких полос. Следо-
Следовательно, на каждом перекрытии будет расположено 1000-1000=
= 1 000 000 таких квадратов. Длина и ширина каждого квадрата
равны 1 метру, поэтому нет сомнения, что на каждом таком квад-
квадрате помещаются по 4 человека; следовательно, на одном этаже
помещаются 1 000 000 раз по 4 человека, то есть легко могут
вместиться 4 миллиона человек. На 500 этажах помещаются
500 раз по 4 миллиона,-то есть 2000 миллионов, или 2 миллиарда,
а население Земли еще не достигло этого числа, когда мне рас-
рассказывали об этом кубе *>.
Мы не должны забывать, что при вычислении объема появля-
появляется лишь третья степень; больший показатель приводит еще
стремительней в область больших чисел. Вероятно, немалым
было изумление государя, от которого изобретатель шахматной
игры попросил со всей скромностью в качестве вознаграждения
*' В настоящее время A966 г.) население Земли составляет около 3,3 мил-
миллиарда человек. Достаточно увеличить длину ребра рассматриваемого куба
На ~5 ее величины, то есть довести до 1200 м, чтобы в таком кубе могли разме-
разместиться при прежних условиях свыше 3,4 миллиарда человек — все. настоящее
население Земли.— Прим. ред.

22 /. Ученик чародея
«несколько» зерен пшеницы, а именно на шахматной доске
с 64 квадратами
он просил положить на первый квадрат 1 пшеничное зерно, на
второй в два раза больше, то есть 2 зерна; на третий еще в два
раза больше, то есть 2-2=4, и так далее. В начале просьба
кажется в самом деле скромной, но по мере продвижения на
шахматной доске появляются все большие и большие степени
числа 2, и в конце концов убеждаемся, что речь идет о таком
числе
1+2+22+23+24+ . . . +2вз
пшеничных зерен (вообразите себе и незаписанные степени,
представленные точками, потому что у меня не хватает терпения
выписать все 64 слагаемых). Если все же кто-либо захочет под-
подсчитать число пшеничных зерен, то он убедится, что оно пред-
представляет собой такое большое количество пшеницы, что им можно
было бы покрыть всю поверхность Земли слоем толщиной в 1 см.
Больше нас не должно удивлять, что итерация возведения
в степень приводит к невообразимым высотам. Отмечу лишь еще
одну любопытную деталь: была произведена оценка числа 99\
Это столь большое число, что только для его записи необходима
бумага длиной в 1800 километров (если его записывать цифрами
шириной в полсантиметра), а для вычисления точного значения
числа 99" не хватит человеческой жизни.
Перечитывая мною написанное, я с удивлением вижу, что
вСе время пользуюсь такого рода выражениями: определенная
операция «ведет нас к высотам», «поднимает нас» в ряду чисел,
хотя этот ряд горизонтален
1, 2, 3, 4, 5
Чтобы выражаться точнее, я должна бы говорить, что ухожу
далеко вправо, или, в крайнем случае, что иду вперед к большим
числам. На моих выражениях сказалось влияние определенного
представления: становиться больше — означает расти, а рост

2. Температурные кривые действий
23
вызывает в нас чувство подъема. Математик придает этому пред-
представлению конкретную форму: он пользуется графиком, и круто
поднимающаяся линия служит изображением стремительного
роста.
Больным хорошо известен этот график: они знают, что доста-
достаточно взглянуть на температурную кривую, чтобы увидеть ход
болезни. Предположим, что температуры, зарегистрированные
через равные промежутки времени, были:
38,5°; 39°; 39°; 38°; 38,5°; 37°; 36,5°.
38°
Эти температуры изображаются графически следующим об-
образом: проводят сначала горизонтальную прямую, на которой
откладывают равные расстояния, представляющие равные от-
отрезки времени:
8
затем берется определенное расстояние, соответствующее одному
градусу, и при каждом отрезке времени откладывается вверх *'
или вниз столько раз установленное для одного градуса рас-
расстояние, сколько градусов содержит поднявшаяся или пони-
понизившаяся температура больного. Впрочем, обычно линии, кото-
которые мы проводим, не являются столь длинными. Дело в том, что
температура нашего больного не понижается ниже 36°; следова-
следовательно, условно можно положить, что горизонтальная линия
соответствует температуре в 36°. Тогда над ней нужно проводить
линии, соответствующие
2; 2,5; 3; 3,2; 2,5; 1; 0,5 градусам.
Таким образом, мы получаем следующую фигуру:
2,5
.. 2-
0,51
¦36"
Слово «вверх» употребляется лишь в переносном смысле, так как на
бумаге, лежащей горизонтально, могут быть проведены лишь горизонтальные
линии. Все же нам кажется, что прямая, направленная так f, -направлена

24 !• Ученик чародея
Если теперь мы соединим концы отрезков, то получим график:
8
Эта температурная кривая говорит сама за себя. Линии,
направленные вверх, показывают рост температуры, линии, на-
направленные вниз, показывают ее понижение, а в той части, где
прямая горизонтальна, видно, что болезнь стабилизировалась.
Вначале рост был равномерным, что показывает равномерный
уклон соответствующей части температурной кривой, затем кри-
кривая горизонтальна и, наконец, происходит быстрое выздоровле-
выздоровление с единственным небольшим обратным ходом во время шестого
измерения температуры. Падение линии между 6-м и 7-м изме-
измерением температуры является более крутым, чем любой ее подъем.
Ничто нам не мешает начертить подобным же образом темпе-
температурные кривые наших счетных операций. Общепринято изобра-
изображать числа графически на так называемой числовой оси: на
некоторой прямой фиксируется произвольная точка — начало,
которое обозначается 0, и от него откладываются одно за другим
равные расстояния, где каждое расстояние представляет одну
единицу:
Кому трудно считать, тот может выполнять действия механи-
механически на подобной оси. Если, нарример, надо выполнить сложе-
сложение 2+3, то исходят от 2 и делают 3 шага вправо, где можно
сразу же прочесть результат 5. В случае если надо выполнить
вычитание 5—3, то исходят от 5 и делают три шага влево и т. п.
Это не что иное, как вариант абака *>, которым пользуются
*' А б а к — это счетное приспособление, употреблявшееся еще в античной
Греции и Риме. В простейшем случае абак представлял собой прямоугольную
доску, разграфленную на полосы, соответствующие десятичным разрядам
числа, и счетные косточки (камешки, жетоны и т. п.), передвигающиеся внутри
каждой полосы. Русские счеты, послужившие образцом для школьных нагляд-
наглядных пособий по арифметике, о которых говорит автор, приобрели современный
вид еще в XVIII веке. В несколько более сложной форме, позволяющей про-
проводить расчеты и с дробями, они употреблялись еще в XVI веке. — Прим. ред.

2. Температурные кривые действий
25
в начальной школе, с проволочками и передвигающимися по
ним косточками, с помощью которых вычисления выполняются
механически.
А теперь будем подниматься от горизонтальной линии вверх.
Отправляясь от определенного числа, например от числа 3,
будем наблюдать, как оно растет, когда мы прибавляем по по-
порядку сначала 1, затем 2, затем 3 и т. д.; потом рассмотрим его
рост при умножении по порядку на 1, затем на 2, затем на 3 и,
наконец, при возведении в первую степень, во вторую и в третью
(само название операции «возводить в степень» указывает их
движение вверх).
Начнем со сложения: первое слагаемое видаЗ; второе слагаемое,
которое надо прибавлять, укажем на горизонтальной линии, а
на вертикальных линиях отложим вверх соответствующие суммы:
3+1=4 3+3=6
3+2=5 3+4=7,
тогда, если единица изображена на горизонтальной линии отрез-
отрезком I—1, а на вертикальной расстоянием I, температурная кри-
кривая сложения примет следующий вид:
Здесь конец каждой линии расположен на одной и той же
прямой: сумма- растет равномерно, когда увеличиваем одно из
слагаемых.
В случае умножения
3-1= 3
3-2= 6
3-3= 9
3-4=12
12
очевидно, что и произведение растет равномерно, если увеличи-
увеличиваем один из множителей, но у произведения рост более быстрый,

26
/. Ученик чародея
чем у суммы: прямая, полученная при умножении, имеет боль-
больший наклон.
Наконец, будем возводить 3 в степени
32=3-3=9
»=з. 3-3=27
В случае возведения в степень мы видим, что результат не
растет равномерно, но все более и более быстро; число З4 даже
не поместилось бы на этой странице. Наклон линии все увели-
увеличивается.
Таким же образом могут быть построены температурные кри-
кривые и для обратных операций, например для вычитания:
3 1 о
3—2=1
3—3-0
Эта операция дает опускающуюся прямую; когда вычитаемое
увеличивается, то разность уменьшается равномерно.
Деление же — это довольно деликатная операция. К темпе-
температурной кривой деления вернемся немного позже.
Еще я хочу отметить следующее: рассмотренные темпера-
температурные кривые называются в математике графическим изобра-
изображением функций. Результат сложения зависит от выбора пере-
переменного слагаемого в сумме; на математическом языке говорят:
сумма есть функция от переменного слагаемого, и выше мы изо-
изобразили графически рост этой функции. Также произведение

3. Разбиение ряда натуральных чисел 27
является функцией переменного множителя, а степень — функ-
функцией показателя и т. д.
Итак, уже при первых операциях счета мы встречаемся с
функциями; и в последующем мы будем исследовать подобные
функциональные зависимости. Понятие функции является глав-
главным стержнем всей математики.
3. Разбиение ряда натуральных чисел
Как далеко отклонились мы от игры с нашими пальцами!
Если мы уже почти забыли, что у нас 10 пальцев, то только
потому, что я не хотела утомлять читателя большими вычисле-
вычислениями. Но выполняя вычисления, читатель давно понял бы,
что сколь угодно большое число записывается с помощью лишь
10 различных знаков, а именно:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Как это возможно десятью только знаками записать любое
из бесконечного множества чисел? Это возможно только путем
разбиения числового ряда, простирающегося однообразно до
бесконечности, на отдельные группы. Как только мы отсчитаем
10 единиц и убедимся, что можем их объять одним взглядом,
мы объединяем их в одну группу (в одну связку) и даем ей новое
название «десяток», подобно тому как 10 рублей можно заменить
банкнотом в 10 рублей или 1 червонцем. Далее мы можем про-
продолжить счет уже большими шагами, а именно продвигаться
десятками. Далее складываем десять десятков, связываем их
лентой, на которой записываем «1 сотня». Продолжая скла-
складывать, связываем вместе 10 сотен и записываем «1 тысяча»,
десять связок по тысяче составляют связку, на которой записы-
записываем «десять тысяч», 10 связок по 10 тысяч дают «сто тысяч»,
10 сотен тысяч дают «1 миллион». Итак, на самом деле все числа
могут быть записаны с помощью упомянутых десяти знаков:
как только мы перешли через число девять, можно написать
опять цифру 1, которая на этот раз означает один десяток;
следующее число составлено из одного десятка и одной единицы,
следовательно, может быть записано с помощью двух знаков
единиц (И) и т.д. Названия «десяток», «сотня» и подобные
естественно должны употребляться при записи чисел. Но одна
остроумная идея делает и это излишним: вот кассир имеет кас-
кассовый ящик с отделениями и кладет банкноты достоинством
в 1 рубль в одно отделение, в 3 рубля — в другое, в 5 рублей —
в третье и т. д. Пусть, например, направо у него находится отде-
отделение для банкнот меньшей стоимости, с которыми он очень часто
имеет дело, а левее расположены отделения с банкнотами все

28 /. Ученик чародея
большей и большей стоимости. Рука кассира так хорошо привы-
привыкает к этой сортировке, что он, не глядя, знает, какой банкнот
он вытаскивает, например, из третьего отделения своего ящика.
Аналогично мы можем установить условный порядок в располо-
расположении единиц, десятков, сотен и т. д. Будем записывать направо
единицы, затем левее будем записывать последовательно все
большие и большие группы: на втором месте запишем десятки,
на третьем — сотни и т. д. Таким образом, слова становятся
бесполезными, потому что значение некоторой цифры следует
уже из того места, которое она занимает: 354 представляет собой
4 единицы 5 десятков и 3 сотни. Эта система счисления, в которой
все числа выражаются с помощью десяти знаков, называется
«десятичной системой».
Конечно, ничто не помешало бы нам при разбиении числового
ряда остановиться на 10 или после 10. Существуют первобытные
народы, которые при счете употребляют лишь понятия: один,
два и много. И для них мы можем составить систему счисления,
группируя числа по два. В этом случае 2 единицы дают новую
единицу — «двойку», аналогично получается новая единица «чет-
«четверка»; две четверки дают «восьмерку» и т. д. В этой системе
счисления с двумя знаками *> достаточны две цифры: 0 и 1,
чтобы записать любое число. В этом легче всего убедиться, если
считать с помощью таких монет (хотя в действительности такие
монеты не делают):
и
то есть монеты изображают соответственно группы единиц систе-
системы счисления с двумя знаками. Как можно с помощью наи-
наименьшего числа таких монет составить 11 копеек? Ясно, что это
осуществляется с помощью следующих трех монет:
A)
*' Или, как говорят математики, с основанием 2.

8. Разбиение ряда натуральных чисел
29
которые, сложенные вместе, дают 11 копеек. Из меньшего числа
таких монет нельзя составить сумму в 11 копеек. Подобно этому
U
B)
дают 9 копеек, а
U
C)
дают в сумме 15 копеек. Попробуйте, пожалуйста, составить
из следующих монет:
каждое число от 1 до 15, и вы увидите, что должны использо-
использовать каждую монету самое большее один раз, то есть либо 0 раз,
либо 1 раз. (Но число 16 уже не может быть составлено этим спо-
способом. Это не удивительно, потому что 2- 8= 16, а 16 — это как раз
следующая группа единиц.) Итак, согласно примеру A) число И
может быть записано в системе счисления с двумя знаками так:
1011, потому что это выражение означает: одна единица, одна
двойка, нуль четверок и одна восьмерка, а они, все сложенные
вместе, и дают на самом деле 11. Рассуждая таким же образом,
мы видим из вышеприведенных примеров B) и C), что 9 и соот-
соответственно 15 могут быть записаны так: 1001 и соответственно
1111. Следовательно, в самом деле в этом случае достаточны два
знака. Стоит проделать и обратное упражнение.
Число 11101 в системе счисления с двумя знаками равно одной
единице + одной четверке + одной восьмерке + одной группе в
16 единиц= 1+4+8+16=29 в десятичной системе счисления.
Для чего, собственно, употребляют какую-то систему счисления?
Дело в том, что любая операция счета становится существенно
более легко выполнимой, если мы установим такого рода поря-
порядок среди чисел. Например, в случае сложения: мы сложим про-
простые единицы с -простыми единицами, десятки с десятками;
даже кассир, когда вечером считает поступившие в кассу деньги,
не считает их как попало, а отдельно сосчитывает одинаковые

30 /. Ученик чародея
банкноты и монеты из каждого отделения своего ящика, и лишь
затем складывает полученные результаты. Удобство часто явля-
являлось важным фактором развития математики. Самая неудобная
операция — это деление; вероятно, трудности, вызванные этой
операцией, дали первый толчок к разбиению числового ряда.
До чего же приятны деления, которые могут выполняться без
остатка. Например, число 60:
1 g0 Это значит, что каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5,
2^0 6> 10- 12> 15> 20- 30> 60 Д^1" число 60 fe3
3 20 остатка.
60 = <! ^ .J5 Таким образом, если мы желаем разделить
12 некоторое данное большое число на любое из
1Q этих 12 чисел (хотя 1 включать в этот ряд 12
чисел бесполезно, потому что, к счастью, она не
влияет на результат ни при умножении, ни при делении), мы дол-
должны вспомнить, что делимое образовано (точно так же, как и вся-
всякое другое число) путем счета единиц. Сгруппируем теперь в этом
числе первые 60 единиц, затем следующие 60 и т. д., приближаясь
все больше к данному числу. Разделение данного числа на груп-
группы по 60 выполняется легко, а если и получается остаток, то он
не может быть больше 59; значит, остаток — относительно не-
небольшое число, а поэтому если надо его разделить, то это не так
трудно выполнить. С этой точки зрения было бы удобнее груп-
группировать числа не по 10, а по 60, что и делали ученые в Древнем
Вавилоне и в Древней Греции. Их деятельность в области астро-
астрономии требовала многих неприятных делений, поэтому они ввели'
систему счисления с 60 знаками как для измерения углов, так и
для измерения времени. До наших дней одна 360-я часть окруж-
окружности называется градусом C60=6-60), градус делится на
60 минут (угловых), а минута на 60 секунд (угловых). Время
измеряется аналогично: один час делится на минуты и секунды
таким же образом.
И все же число 60 — относительно большое число и с ним
работать не очень удобно. Среди чисел, расположенных неда-
недалеко от 10, наибольшее число делителей имеет число 12:
( 1.12 ^' 2> 3> ^' ^' 12 являются делителями числа 12 и
12 I 2. 6 всего их 6 делителей, в то время как число 10
( о. ^ делится без остатка лишь на четыре числа: 1,
2, 5 и 10. Этим объясняется, что следы системы
счисления с основанием 12 сохранились и до наших дней: год
составлен из 12 месяцев, дюжина состоит из 12 штук. Поскольку,
вопреки сказанному выше, одержала верх все-таки десятичная
система счисления, то это доказывает, что игра с пальцами ока-
оказала очень большое влияние на человека. Французы еще вспо-
вспоминают даже, как человек играл и пальцами ног. Иначе они

3. Разбиение ряда натуральных чисел 31
не могли бы говорить вместо 80 «четыре раза по двадцать»
(quatre-vingt), что связано с привычкой к двадцатеричной
системе счисления. Но мы ограничимся десятичной системой
счисления и посмотрим, какие преимущества имеет эта система
для деления.
Во-первых, эта система выгодна, когда желаем выполнить
деление на один из делителей числа 10, то есть на 2, 5 или 10.
Эти числа содержатся без остатка в 10, а следовательно, и в
2-10, то есть в 20, в 3-10, то есть в 30 и т. д. во всех десятках.
Это утверждение верно и для 10-10, то есть для 100, а следова-
следовательно, и для 2-100, то есть для 200, для 3-100, то есть для 300,
иначе говоря, для всех сотен, тысяч и т. д. Таким образом, на
2, 5 и 10 могут разделиться без остатка десятки, сотни, тысячи
и т. д. Одно остается невыясненным: делят ли эти числа и просто
единицы? Число 10 больше любого числа, составленного просто
из единиц; следовательно, если в числе на месте просто единиц
стоит цифра, отличная от нуля, то это число не делится на 10.
Таким образом, на 10 делятся лишь числа, которые не со-
содержат просто единиц. Отсутствующие единицы заменяются ну-
нулем. Получаем известное правило: на 10 делятся лишь числа,
которые оканчиваются нулем.
Единственное составленное просто из единиц число (то есть
меньшее 10), которое делится на 5, есть само число 5; отсюда
получаем правило, что на 5 делятся лишь числа, оканчиваю-
оканчивающиеся на 0 или 5.
Наконец, составленными просто из единиц числами, деля-
делящимися на 2, являются только: 2, 4, 6, 8; следовательно, на 2 де-
делятся лишь числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8. Такие
числа называются четными.
Итак, мы исчерпали все делители числа 10, но не исчерпали
все возможности, содержащиеся в десятичной системе счисления.
Следующей единицей в этой системе счисления является число
100. Нетрудно изучить и все делители числа 100. Например,
число 10 не делится на 4 без остатка, зато 100 точно делится на 4,
потому что 4-25=100. Следовательно, 4 является делителем
числа 100, числа 2-100, то есть 200, и вообще всех кратных чис-
числа 100. Таким образом, все сотни делятся на 4 без остатка, а
значит, и 10-100, то есть 1000, и все кратные числа 1000 и т. д.
Остается сомнительным один вопрос: делятся ли десятки
вместе с просто единицами точно на 4?
Итак, чтобы узнать, делится ли на 4 какое-либо число, сколь
угодно большое, достаточно анализировать только последние
две цифры. Например, число
3 478 524

32 /. Ученик чародея
делится на 4, потому что 24 делится на 4; а это можно заметить
с первого взгляда, не обращая внимания на первые пять цифр.
Также можно сразу убедиться, что число 321 486 434 не делится
на 4, потому что 34 не делится без остатка на 4.
После делителей числа 100 следуют делители числа 1000.
Например, 8 не является делителем числа 100, потому что 8
в 80 содержится 10 раз, а оставшееся число 20 не делится на 8
без остатка. Зато число 8 является делителем числа 1000, потому
что 1000 можно разложить следующим образом: 800+160+40,
где каждое из слагаемых делится на 8 без остатка. Следовательно,
каждая тысяча, десяток тысяч, сотня тысяч и т. д. делится на 8.
Итак, чтобы узнать, делится ли число, сколькими бы цифрами
оно ни изображалось, на 8, нужно рассмотреть лишь последние
три цифры.
И вот мы нашли рецепт, с помощью которого можно быстро
установить, не выполняя деление, делится ли некоторое число
на определенное выбранное число: нужно сначала выяснить,
делит ли выбранное число число 10; если да, то мы должны рас-
рассматривать лишь просто единицы, чтобы узнать, выполняется
ли деление точно или нет. Если же выбранное число не является
делителем числа 10, то нужно идти дальше и провести исследо-
исследование, не является ли это число делителем числа 100, 1000,
10 000, то есть надо рассматривать все больше и больше цифр,
чтобы установить, имеет место делимость или нет. Существуют,
конечно, числа, которые не являются делителями ни числа 10,
ни числа 100, ни числа 1000 и т. д. Даже больше, нетрудно
видеть, что большинство чисел принадлежит именно к этой ка-
категории. Но и для этих чисел соответствующие исследования
дают определенные правила. Самое простое правило относится
к делимости на 9:
10=9+1, 100=99+1, 1000=999+1, ....
Значит, число 9 не является делителем- ни числа 10, ни числа
100 и ни числа 1000, потому что при попытке разделить любое
из этих чисел на 9 получаем остаток 1. Но как раз тот факт, что
остается каждый раз остаток 1, приводит нас к простому пра-
правилу делимости: при делении 10 на 9 остается в остатке 1; а зна-
значит, при делении 20 на 9 остается 2, при делении 30 на 9 остается
3; вообще при делении некоторого числа десятков на 9 в остатке
получается столько раз по 1, сколько десятков делили. Также
при делении 100 на 9 остается 1, при делении 200 на 9 остается 2;
вообще при делении некоторого числа сотен на 9 остается столь-
столько раз по 1, сколько сотен делили, и т. д. Следовательно, чтобы
установить делимость, некоторого числа на 9, целесообразно

4. Ученик чародея 33
разложить число на простые единицы, десятки, сотни и т. д.
Например:
234=2 сотнй+3 десятка+4 единицы.
При делении на 9 двух сотен получается остаток 2, трех десятков
получается остаток 3, а при делении на 9 четырех единиц остаток
равен этим четырем единицам, так что общий остаток равен
2+3+4. Но 2+3+4=9, а это число делится на 9, и получаем:
сумма остатков делится на 9, следовательно, число 234 делится
на 9 без остатка. Таким образом, получили искомое правило:
число делится на 9, если сумма его цифр дает число, делящееся
на 9. Так как сумма цифр многоразрядного числа гораздо мень-
меньше самого числа, то обычно с одного взгляда удается устано-
установить, делится ли данное число на 9. Возьмем, например, число
2 304 576 и выясним, делится ли оно на 9. Сумма его цифр равна:
2+3+4+5+7+6=27.
Любой, кто знает таблицу умножения, видит сразу, что число 27
делится на 9. Зато число
2 304 577
не делится на 9, потому что 2+3+4+5+7+7=28, а 28 не де-
делится на 9 без остатка.
Все, что мы здесь показали, вызвано стремлением избежать
трудностей, причиняемых действием деления. И эти обходные
методы оказались очень плодотворными: все время мы открывали
новые неожиданные, соотношения. Позднее мы осмелимся смот-
смотреть в глаза и таким случаям, когда деление не выполняется без
остатка; это откроет нам перспективы к самым смелым математи-
математическим понятиям,
4. Учении чародея *>
Понятие делимости открывает перед нами еще столь много
интересных аспектов, что небесполезно ими заняться. Таким,
например, является открытие дружественных чисел. Два числа
называются дружественными, если сумма правильных делителей
одного числа равна другому числу и наоборот. Само число не
считается своим правильным делителем (так, например, правиль-
правильными делителями числа 10 являются числа 1, 2 и 5). Такими
Дружественными числами являются, например, 220 и 284, потому
*' См. сноску на стр. 15.
Заказ № 1753

34 /• Ученик чародея
ЧТО
220 =
1-220
2110
4- 55
5- 44
10- 22
11 20
284:
Сумма правильных делителей числа 220 равна:
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284,
а сумма правильных делителей числа 284 равна:
1+2+4+71 + 142=220.
Более того, существуют даже «совершенные числа». Это числа,
равные сумме их правильных делителей. Таким совершенным
числом является, например, число 6, потому что его правиль-
правильными делителями являются 1, 2 и 3, а
1+2+3=6.
Когда-то люди приписывали этим числам определенные ма-
магические свойства и поэтому начали искать совершенные числа.
И много чисел такого рода удалось найти. Среди них всего легче
проконтролировать 28:
28 =
1+2+4+7+14=28. •
Остальные числа этого рода уже гораздо больше. Все они
четные числа. Древние дали даже рецепт, по которому можно
строить четные совершенные числа, но еще не установлено,
пригоден ли этот рецепт для получения произвольно многих
таких чисел. До сих пор еще не найдено ни одного совершенного
нечетного числа. Вопрос о существовании такого числа остается
открытым.
О чем, собственно, здесь идет речь? Чтобы удовлетворить
определенные жизненные потребности, человек создал ряд нату-
натуральных чисел; это его творение, и оно служит для выполнения
счета и действий, основанных на счете. Но, создав числа, человек
потерял власть над ними. Ряд натуральных чисел существует,
он получил самостоятельное существование, так что не может
быть более изменен. Он имеет собственные законы, свои индиви-
индивидуальные характеристики и свойства, которые даже не снились

. 4. Ученик чародея 85
человеку при создании этого ряда. Ученик чародея стоит в изум-
изумлении перед духами, которых он сам вызвал к жизни. Математик
создает из «ничего» новый мир, потом этот мир, имеющий соб-
собственные таинственные законы и неожиданные закономерности,
захватывает его, превращая из созидателя в исследователя:
математик изучает соотношения и тайны мира, созданного им
самим.
Это исследование соблазнительно тем, что почти не требует
предварительной подготовки, для него почти не нужны инстру-
инструменты, а лишь пара любопытных глаз. Однажды одна моя деся-
десятилетняя ученица подошла ко мне со следующей задачей: «Еще
когда я была в начальной школе, я заметила, что если я сложу
числа до некоторого нечетного числа, например до семи, то по-
полученная сумма равна произведению его «середины» на это число.
Например, «середина» семи равна четырем (это выражение сле-
следует истолковать так: в возрастающем ряду чисел до 7 число 4
находится посередине: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7); 7x4=28, а сумма чисел
до 7
1+2+3+4+5+6+7
равна также 28. Знаю, что всегда так получается, но не знаю
почему».
Конечно, здесь речь шла об арифметической прогрессии, но
как объяснить это ученице, подумала я, чтобы она меня поняла?
Во всяком случае, я изложила задачу всему классу: «Сузи пред-
предложила очень интересную задачу ...». Я еще не закончила пол-
полностью изложение задачи, как самая смышленая девочка этого
класса подняла руку с таким воодушевлением, что чуть не вы-
вывалилась из парты. Я ей сказала: «Смотри, Ева, скажешь глу-
глупость, потому что так быстро ты, конечно, не могла ее решить».
Но она все же настаивала, утверждая, что знает решение. «Ну,
хорошо, расскажи!» — «Сузи сказала 7-4. Это означает
4+4+4+4+4+4+4.
Сузи сказала 7-4 вместо 1+2+3+4+5+6+7.
Таким образом, вместо 1 она взяла 4, стало быть, на 3 боль-
больше, чем 1. Но и вместо 7 она взяла тоже 4, стало быть, на 3 мень-
меньше, так что эти две разности уравниваются. Таким же образом
она поступила, когда вместо 2 взяла 4, то есть на 2 больше,
ной вместо 6 она взяла также 4, то есть на 2 меньше, так что и
эти две разности уравниваются. Так же поступила она и в слу-
случае, когда вместо 3 и 5 взяла 4, потому что и здесь разности
уравниваются, таким образом, эти две суммы на самом деле рав-
равны», я была вынуждена признать ответ Евы исчерпывающим;
я сама не была бы в состоянии так красиво объяснить задачу.
2*

36 /. Ученик чародея
Эти маленькие скромные исследователи делают иногда
удивительные наблюдения. Другая ученица, Мария, воскликнула:
«Это как в тетради!» — «Что ты этим хотела сказать?» — «Здесь
первое слагаемое уравнялось с последним, затем второе от на-
начала со вторым от конца. И в этой тетради листы связаны так же:
первый лист с последним, второй с предпоследним».
Эти маленькие исследователи были руководимы лишь любо-
любопытством. Говорят, что Гаусс, названный «princeps matematico-
rum» *>, открыл это же соотношение, когда учился в начальной
школе, но он преследовал определенную цель. Вот что расска-
рассказывают о Гауссе. Говорят, что его учитель, пожелав добиться
некоторого покоя в классе, задал ученикам длительную работу,
а именно: он предложил им сложить все числа от 1 до 100. Все же
покоя он не добился, потому что через несколько мгновений
маленький Гаусс воскликнул: «Результат 5050!». Учитель был
вынужден сказать, что ответ правильный, но спросил ученика,
как он успел так быстро вычислить. «Я заметил, что 1 + 100=101,
2+99=101, 3+98=101 и так далее получаю всегда по 101, а
в конце получаю 50+51 = 101. Так что числа, взятые сначала,
и числа, взятые с конца, встречаются в середине после 50 таких
сложений, а 50-101=5050».
Маленький Гаусс сложил ряд чисел до четного числа, полу-
получив таким образом быстрый способ сложения многих слагаемых,
точно так же, как Сузи, моя ученица, открыла способ выполне-
выполнения сложения ряда чисел, когда последнее число нечетное. Если
немного подумать, то оба способа можно объединить. Здесь
уместен хорошо известный анекдот, в котором рассказывается,
как некто, взглянув на пастбище, сказал: «В этом стаде 357 овец».
Когда его спросили, как смог он это сосчитать, он ответил:
«Очень просто. Я посчитал ноги и разделил результат на 4».
Математик поступает примерно так же. Если, например,
надо вычислить сумму натурального ряда чисел до некоторого
числа, четного или нечетного, мы можем вычислить без труда
удвоенную величину искомой суммы, прибавляя к первому
числу последнее, ко второму предпоследнее и так далее. Посту-
Поступим следующим образом: запишем дважды одно под другим соот-
соответствующие сложения, причем второй раз в обратном порядке.
Например,
1+2+3+4 или 1+2+3+4+5
4+3+2+1 5+4+3+2+1
*' Латинское выражение, означающее «глава математиков» в смысле луч-
лучший, крупнейший из математиков. — Прим. ред.

•4. Ученик чародея 37
Так расположились друг под другом как раз те числа, которые
следует сложить. Складывая числа каждой такой пары, полу-
получаем:
5+5+5+5= или 6+6+6+6+6=
=4-5=20 =5-6=30
Это — удвоенная искомая сумма; соответствующая сумма полу-
получается делением вышеуказанных результатов на 2; стало быть,
окончательный результат 10, соответственно 15, и на самом деле
1+2+3+4=10, а 1+2+3+4+5=15
Ясно видно, что в обоих случаях действительно правило: сумма,
полученная от сложения лервого члена с последним, умножается
на число этих членов и результат делится на два. В это правило
входит как результат, полученный Сузи, так и результат, полу-
полученный Гауссом; в случае суммы 1+2+3+4+5+6+7 сумма
первого и последнего членов равна 8, а умножение на число
слагаемых дает 7-8=56. Половина этого произведения равна 28.
В случае суммы 1+2+3+...+ 100 сумма первого и последнего
членов 101, а умножение на число слагаемых дает 100x101 =
= 10100; половина этого числа равна 5050.
Ясно, что с помощью этого правила — мой класс тоже сразу
это заметил — можно вычислить не только сумму чисел нату-
натурального ряда, но вообще можно вычислить сумму любых чисел,
которые следуют друг за другом через равные интервалы;
например (начальным числом может быть любое число),
5+7+9+11+13
это — ряд, в котором каждое последующее число на 2 больше
предшествующего. Или другой ряд:
10+15+20+25+30+35,
у которого разность между любым членом и ему предшествую-
предшествующим равна 5. В обоих примерах верно утверждение, что сумма
первого слагаемого и последнего равна сумме второго слага-
слагаемого и предпоследнего и т. д. Проверьте, пожалуйста, для пер-
первого примера:
5+13=18 7+11 = 18
Вычисляя сумму 9+9 для числа, находящегося в середине,
получаем также 18. Во втором примере: 10+35=45, 15+30=45,
20+25=45. Математики называют такой ряд чисел, находящихся
на равных расстояниях одно от другого, «арифметической про-
прогрессией».

38
/. Ученик чародея
Интересно отметить, что сходные идеи возникают в различных
областях математики. Например, прием, с помощью которого
мы суммировали члены некоторой арифметической прогрессии,
помогает нам и при вычислении площадей. Площадь прямоуголь-
прямоугольника легко вычисляется: выбирают в качестве единицы измере-
измерения маленький квадрат и устанавливают, сколько таких единиц
нужно, чтобы покрыть прямоугольник. Пусть, например, еди-
единицей будет квадратный сантиметр, то есть квадрат, ширина и.
длина которого равна 1 см.
1см
1см
Расположим 8 таких квадратов один около другого:
и получим фигуру прямоугольной формы, но, чтобы она не была
такой сплюснутой, расположим три таких ряда один над другим:
Полученный прямоугольник составлен из 3x8=24 маленьких
квадратов. Обратно, в случае когда исходят от прямоугольника
с длиной 8 еж и шириной 3 см, известно, что он содержит 3X8=24
квадратных сантиметра. Вообще площадь прямоугольника мы
получаем как произведение длин двух соседних сторон *>. За-
Запомним, что в прямоугольнике соседние стороны составляют
между собой прямой угол (можно сказать и так: две соседние
стороны перпендикулярны одна к другой). Прямой угол является
очень важным углом, например, при постройке домов, очень
*) Я потом еще вернусь к случаю, когда наша единица измерения не укла-
укладывается точно на сторонах прямоугольника.

- 4. Ученик чародея 39
важно его выдерживать в точности. Ни одна из его сторон не
наклоняется к другой и не удаляется от нее, как это имеет место
соответственно у острого и у тупого угла
(стены, наклоненные таким образом, легко обваливаются, в то
время как в случае прямого угла
стороны удерживают устойчивое равновесие).
В фигуре, ограниченной тремя прямыми, то есть в треуголь-
треугольнике, может существовать, но только один-единственный прямой
угол.' Прошу вас попытаться построить треугольник с двумя
прямыми углами. Как бы вы ни старались, если один угол в
треугольнике прямой, то остальные два будут острыми:
В прямоугольном треугольнике стороны, составляющие пря-
прямой угол, называются «катетами», а сторона, противолежащая
прямому углу, называется «гипотенузой».
Если мы попытаемся уложить на этот треугольник наш квад-
квадратик, выбранный в качестве единицы измерения, то увидим,
что из-за острых углов треугольника его площадь не может быть
покрыта квадратами.

40
/. Ученик чародея
Уже в первом нижнем ряду остается непокрытой заштрихованная
часть. Таким образом, вычисление площади становится про-
проблемой.
Она может быть разрешена очень легко. Если мы не можем
вычислить площадь одного треугольника, то можем вычис-
вычислить площадь двух треугольников. Приложим два равных тре-
треугольника так, чтобы гипотенуза второго совпала с гипотенузой
первого, но в противоположном положении, и получим прямо-
прямоугольник, площадь которого умеем вычислять:
для этого перемножим две соседние стороны. Но эти две сосед-
соседние стороны прямоугольника являются не чем иным, как двумя
катетами прямоугольного треугольника. Так вычисляется двой-
двойная площадь треугольника, а площадь одного треугольника по-
получается при делении результата на 2. Итак, площадь прямо-
прямоугольного треугольника вычисляется так: перемножаем оба ка-
катета и берем половину их произведения.
Если проследить за рассуждением Евклида, который 2000 лет
назад подарил миру замечательный и совершенный математиче-
математический труд, мы ясно увидим, что ведущая идея в этом случае та-
такая же, как и при суммировании членов арифметической про-
прогрессии. Евклид выражает геометрически и то, что имеет место
среди чисел. Он изображает числа
1, 2, 3, ...
так
Следовательно, графическое изображение суммы
1+2+3+4

5. Вариации на данную тему
это «ступенчатый треугольник»
41
а прием, использованный выше для чисел, когда мы дописывали
один ряд под другим так, чтобы нижний ряд шел в обратном
порядке по сравнению с верхним, можно выразить в данном
случае приложением
одного к другому двух таких ступенчатых треугольников, так
чтобы столбики одного треугольника расположились над стол-
столбиками другого.
Так, над 1 располагается 4, над 2 располагается 3, над 3
находится 2, над 4 находится 1. В каждом столбике имеем по 5
квадратиков, всего 4x5=20; таким образом, полученный прямо-
прямоугольник имеет длину в 4 единицы и ширину в 5 единиц, следо-
следовательно, его площадь равна 4x5 единиц площади. Это пред-
представляет собой удвоенную искомую сумму, потому что площадь
одного ступенчатого треугольника равна половине площади
прямоугольника. Здесь ясно видно, что мы изложили одну и
ту же идею один раз на арифметическом языке, а другой раз
на геометрическом языке. В дальнейшем увидим, что эта идея
может быть изложена и во многих других формах.
5. Вариации на данную тему
Когда бывает нужно знать сумму всех чиеел, начиная с 1?
Оказывается, следующая, на первый взгляд далеко отстоя-
отстоящая от этого проблема приводит к той же задаче.

42 /. Ученик чародея
Треугольники и четырехугольники мы уже рассматривали.
Вообще замкнутые фигуры с прямолинейной границей назы-
называются многоугольниками.
Все фигуры, здесь нарисованные, называются «выпуклыми» мно-
многоугольниками, они нигде не'содержат впадин, как нижесле-
нижеследующие многоугольники:
Разница между нижними и верхними многоугольниками состоит
в том, что в случае нижних при продолжении одной из сторон
многоугольник рассекается.
Прошу вас попробовать и убедиться, что это не может слу-
случиться у выпуклых многоугольников. Нам надо выяснить эту
разницу. В последующем я буду говорить лишь о выпуклых
многоугольниках (такая же разница существует и между телами).
Отрезок, соединяющий две несоседние вершины, называется
«диагональю» (две соседние вершины связаны не диагональю, а
стороной). В качестве примера проведем в нижеуказанном много-
многоугольнике несколько диагоналей:

5. Вариации' net &анную тему 43
Возникает вопрос: сколько диагоналей можно провести в данном
многоугольнике, например в восьмиугольнике? Если я проведу
все диагонали, то будет трудно их пересчитать, потому что они
покрывают очень густо поверхность фигуры:
Задача упрощается, если мы не будем делать "различие между
соседними и несоседними вершинами, то есть если будем пока
рассматривать и стороны в качестве диагоналей. Впрочем, мы
знаем, что имеется всего 8 сторон, так что из полученного ре-
результата мы потом вычтем 8.
В такой форме наша задача имеет следующий вид: зная все
8 вершин восьмиугольника, найти, сколькими способами могут
быть соединены эти 8 вершин. Для решения имеем два пути:
1
X
*7
Первый: соединяем точку 1 с остальными точками и получаем
7 линий:

44
/. Ученик чародея
Затем соединим точку 2 с остальными точками, конечно, не соеди-
соединяя его с точкой 1, с которой мы уже его соединили раньше.
Так появится 6 новых, кроме 7 старых, отрезков:
Теперь соединим точку 3 с остальными точками, не считая пер-
первые две точки A и 2), которые уже были соединены раньше.
Таким образом получим 5 новых линий. Поступая точно так же
с точкой 4, получим 4 новые линии, от точки 5 пойдут три новые
линии, от 6 две линии, от точки 7 пойдет единственная новая
линия. А точка 8, соединенная со всеми предшествующими точ-
точками, не дает ни одной новой линии. Всего будем иметь
7+6+5+4+3+2+1
линий, или в обратном порядке
1+2+3+4+5+6+7
линий.
Второй путь сосчитывания числа этих линий состоит в том,
чтобы найти, сколько линий исходит из каждой вершины, неза-
независимо от уже проведенных ранее линий из остальных вершин.
Естественно, что из каждой вершины исходит по 7 линий, потому
что каждая вершина может быть соединена с остальными семью
вершинами.
Отсюда мы могли бы прийти к ошибочному заключению, что
если из одной вершины можно провести 7 линий, то из 8 вершин
можно провести всего 8-7 таких линий. Но это неверно, так
как каждая линия у нас соединяет по 2 вершины; линия, соеди-
соединяющая, например, точку 1 и точку 6, была учтена и при счете
линий, исходящих из точки 1, и при счете линий, исходящих
из точки 6. Итак, ошибка состоит в том, что каждая линия была
у нас сосчитана дважды. Правильный результат будет половина
произведения 8-7=56, то есть 28.
Оба приема должны дать один и тот же результат. Сумма
1+2+3+4+5+6+7

5. Вариации на данную тему 45
равна половине произведения 8-7. Получился опять результат
моей ученицы Сузи.
На эту тему могут быть сделаны и другие вариации. Постав-
Поставленный выше вопрос можно видоизменить; поскольку любая из
линий соединяет две вершины, то вопрос можно поставить так:
сколькими способами могут быть выбраны две вершины из этих
восьми? Но здесь уже никакого значения не имеет, идет ли речь
о «вершинах». Например, можно решать и такой вопрос: сколь-
сколькими способами можно вынуть 2 шара из мешочка, содержащего
8 шаров разного цвета? Или, если ставить 8 детей попарно,
сколькими способами можно выбрать первую пару?
Математик все эти вопросы формулирует так: сколько соче-
сочетаний по два можно получить из 8 элементов? Если обозначим
элементы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, тогда «сочетания по два
элемента» (выражаясь проще: «парами») будут
7 8
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
2
2
2
2
2
3
4
5
6
7
8
3
3
3
3
3
4
5
6
7
8
4
4
4
4
5
6
7
8
5
5
5
6
7-
8
6
6
7
8
Очень хорошо видно, что число этих пар, рассматриваемых
справа налево, равно
1+2+3+4+5+6+7
С другой стороны, и в этом случае мы могли бы рассуждать
следующим образом: .каждый элемент может образовать пару
с каждым из остальных семи элементов, так что из 8 элементов
получилось бы 8-7 пар. Но здесь, как и выше, каждая пара учте-
учтена дважды: первый раз, когда считали эту пару полученной
с помощью первого элемента, и второй раз, когда считали эту
пару полученной с помощью второго элемента. Правильный
ответ опять получается: половина произведения 8-7.
Вот как пути, исходящие из столь различных вопросов, при-
приводят к одному и тому же окончательному результату. Поэтому
я не могу удержаться и хочу представить этот факт в виде фор-
формулы. Предварительно следует заметить, что в математике скобки
служат не для того, чтобы в них заключать что-то второстепен-
второстепенное; математик заключает в скобки те члены, связь между кото-
которыми прежде всего надо подчеркнуть. Например, B+3) X 6 озна-
означает, что результат сложения 2+3, то есть 5, надо умножить
на 6. Если же они были бы записаны без скобок, то получилось

46 /. Ученик чародея
бы 2+3x6, что означает, что результат умножения 3x6 надо
сложить с 2.
В математике принято условное соглашение, что умножение
создает «более сильные связи», чем сложение, так что нет необ-
необходимости записывать вышеприведенное выражение в таком
виде: 2+Cx6).
Все знают, что половина числа 4, числа 6, числа 10 может
быть записана так: -~, -^, -^; вообще деление можно предста-
представить и в виде «дроби». Итак, учитывая вышесказанное, мы можем
резюмировать все вариации" на нашу тему в виде следующей
формулы:
1+2 + 3 + 4+.. ,+^Ц
в которой последнее число из ряда чисел, начинающегося с 1,
обозначаем через п, а сумма первого и последнего числа будет
1 + /г. Эту сумму надо умножить на число членов, то есть на /г,
и полученное произведение надо разделить на 2.
По сути дела математический язык — это странный язык:
он использует лишь символы. Вышеуказанная формула является
лишь символом: сама по себе она ничего не означает, но каждый
может вложить в нее свое собственное конкретное содержание.
Один ее использует при счете диагоналей многоугольника, дру-
другой — для подсчета возможностей выбора ведущей пары уче-
учеников. Запись формулы является выражением нашей радости
тому, что все задачи подобного рода могут быть решены с по-
помощью одного и того же хода мысли.
Дополнение о геометрии беа намерения
Между тем у нас возникли две новые темы: одна из геометрии
и другая из арифметики. Сначала хотелось бы немного просле-
проследить за геометрической темой.
Рассмотрим еще раз фигуру на странице 43, представляющую
многоугольник с восьмью сторонами, вместе со всеми своими
диагоналями. Она очень запутанна, так как ее диагонали пересека-
пересекаются в беспорядке, а точки пересечения распределены нерегуляр-
нерегулярно и еле-еле мы можем их пересчитать. К счастью, так как идет
речь о выпуклом многоугольнике, все его вершины находятся
снаружи, поэтому их нельзя смешать с точками пересечения диаго-
диагоналей. Если бы диагонали были эластичными тесемками, при-
прикрепленными в соответствующих вершинах, то фигура стала бы
более ясной, потому что можно было бы поднять диагонали
в пространство. Каждую диагональ можно было бы схватить;
вторую диагональ мы подняли бы чуть выше первой; третью

5. Вариации на данную тему
47
подняли бы еще выше и т. д. При этом диагонали не пересе-
пересекались бы и мы могли бы их спокойно пересчитать. От растяже-
растяжения тесемок их число не изменится.
Существует специальная отрасль геометрии, называемая то-
топологией, которая изучает лишь те свойства фигур, которые
остаются неизменными, если фигура, изготовленная из резины,
произвольно растягивается или сжимается. Удивительно, что
и эта наука включена в геометрию, хотя в этом случае не может
идти речь о каком-либо измерении, так как при растяжении
расстояния и величины углов изменяются. С нашей точки зре-
зрения, самое интересное в этих исследованиях то, что они новы,
что нам известно их происхождение, что на наших глазах разыг-
разыгралось появление новой отрасли математики из некоей игры.
Эта игра имела вид задачи о мостах города Кенигсберга, нынеш-
нынешнего Калининграда. На реке Прегель, в Калининграде, нахо-
находятся два острова, связанные как между собой, так и с обоими
берегами семью мостами, как это изображено на следующей
схеме:
Задача гласила: можно ли, начиная с любой точки, совершить
прогулку так, чтобы пройти по всем семи мостам, но через каж-
каждый мост пройти лишь один раз, и вернуться к исходной точке?
Прошу вас попытаться сделать это. Вы легко убедитесь, что
задача не изменится, если мосты, ведущие к одному и тому же
берегу или соответственно к одному и тому же острову, встре-
встречаются в одной и той же точке на соответствующей части суши
(при этом изменении лишь прогулка по суше становится из-
излишней); тогда наша карта выглядела бы так:

48
/. Ученик чародея
хотя, казалось бы, что нет никакого смысла строить два моста,
которые связывали бы одну и ту же точку острова с одной и той
же точкой на берегу, мы все же можем предположить, что были
построены два моста: один для пешеходов, а другой для тран-
транспорта. Эта идея позволяет составить более простую схему:
и вопрос может быть изменен следующим образом: можно ли
нарисовать эту фигуру одной линией, не отрывая карандаш от
бумаги (так как пешеход не может подыматься в воздух)? При
этом никакую линию нельзя проводить дважды и, наконец,
карандаш должен опять вернуться в исходную точку. Эта задача
нам уже не кажется неизвестной, она встречается обычно в свя-
связи с нарисованными ниже конвертами:
Ясно, что эти вопросы взяты из области топологии. Раз задача |
состоит в том, чтобы вышеуказанные фигуры нарисовать не отры- |
вая карандаша от бумаги, то ничего не изменится, если мы пред- |
ставим себе всю фигуру сделанной из резинки и будем растяги- j
вать ее, сжимать, деформировать совершенно произвольно, но без !
разрывов и без склеивания различных частей.
Великий математик Эйлер дал окончательный ответ на во- :
просы такого рода. Если фигура может быть нарисована одним
росчерком карандаша, то карандаш, выходя из одной точки,
в конце концов возвращается в эту же точку; сколько раз ка-
карандаш заходит в какую-либо вершину, столько же раз он
должен выйти из вершины и двигаться дальше. Таким образом,
каждому ребру, которое заходит в одну из вершин, соответ-
соответствует ребро, которое исходит из этой вершины, а следовательно,
число ребер, которые должны встречаться в каждой вершине,
обязательно четное. Можно доказать, что если это условие
выполняется, то фигура действительно может быть нарисована
одной линией, возвращающейся в исходную точку.

5. Вариации на данную тему
49
Рассмотренная прогулка по Калининграду, следовательно,
невозможна, потому что из схемы видно, что даже во всех вер-
вершинах сходится по нечетному числу ребер. В крайней слева
вершине встречаются 5 ребер, а в остальных трех вершинах
встречаются по 3 ребра. Зато первый конверт может быть нари-
нарисован, если не требовать, чтобы карандаш вернулся в исходную
точку, потому что в трех верхних вершинах встречается четное
число ребер: в двух вершинах по 4 ребра, а в самой верхней
2 ребра, в середине встречаются 4 ребра, а это все четные числа.
Только нижние две вершины запутывают дело, потому что в них
встречаются по 3 ребра. Но если разрешается, чтобы линия
начиналась из одной из этих вершин, а возвратилась бы в дру-
другую, то обвод может быть выполнен в следующем порядке:
0
\
¦ 1
X
IX
Задача, поставленная в связи со вторым конвертом, тоже явля-
является безнадежной. У нее более двух вершин не подчиняются
вышеприведенному условию: только в верхней и средней вер-
вершинах встречается четное число ребер, в остальных четырех
вершинах число ребер нечетно.
Эта и есть та самая игра, из которой возникла топология.
И не думайте, что она осталась на уровне игры. Она стала на-
настоящей наукой и источником для остальных наук, например
для физики в задаче разветвления токов, для органической хи-
химии в задаче о молекулярных моделях. Вообще каждый раз,
когда мы хотим составить себе понятие о структуре некоторого
предмета без учета его размеров, появляются топологические
соображения.
Стоит немного порассуждать о геометрических понятиях,
которые теряются в топологии. Такими понятиями являются, на-
например, конгруэнтность и подобие. В геометрии конгруэнтность
и подобие треугольников играют особо важную роль, потому
что и другие плоские фигуры могут быть разложены на тре-
треугольники. В случае многоугольников, например, это получается
при помощи диагоналей.

50
/. Ученик чародея
Даже круг может быть рассмотрен с некоторым послаблением
как плоская фигура, составленная из треугольников, если про-
провести радиусы круга довольно густо (к этому вопросу мы еще
возвратимся).
В этом случае каждая малая дуга окружности кажется почти
отрезком прямой. (Знаю, что это «почти» является неприятным
воспоминанием школьных лет, потому что оно связано с чув-
чувством неточности, но я обещаю в последующем указать точный
смысл этого слова.)
Два треугольника конгруэнтны, если их можно так нало-
наложить, что они совпадают. Например, следующие треугольники
конгруэнтны между собой:
Мы можем убедиться в этом, если вырежем их и наложим друг
на друга. При наложении все 6 их элементов (по 3 стороны и
по 3 угла) совпадают. Для конгруэнтности, однако, достаточно,
чтобы совпали по 3 элемента, например две стороны треуголь-
треугольника и заключенный между ними угол.
Действительно, пусть мне известно, что только нарисованные
утолщенно элементы фигур совпадают; тогда я наложу друг
на друга равные углы. При этом концы сторон этих углов также
совпадут, следовательно, третья сторона треугольника, соеди-
соединяющая эти концы, наложится на третью сторону второго тре-
треугольника вместе с прилежащими к ней углами.

5. Вариации на данную тему
51
Два треугольника называются подобными, если имеют одну и
ту же форму, не будучи обязательно той же величины. Один
из них может быть уменьшенным изображением другого.
Это легко понять, если представить себе, что мы фотографируем
большой треугольник фотоаппаратом, который дает уменьшен-
уменьшенное изображение. В этом случае очевидно, что длина одной сто-
стороны маленького треугольника устанавливается произвольно,
поскольку мы можем предположить, что наш аппарат способен
произвести произвольное уменьшение. Главное свойство фото-
фотографии заключается в том, что она не деформирует изображение,
так что остальные две стороны уменьшаются в той же мере и
в уменьшенном изображении все стороны имеют те же наклоны,
как и в исходном треугольнике. Следовательно, углы не изме-
изменяются. Итак, стороны подобных треугольников увеличены или
уменьшены в одной и той же мере (короче, они пропорциональ-
пропорциональны), а их углы равны.
Чтобы два треугольника были подобны, достаточно, чтобы
два угла одного треугольника были равны соответствующим
углам второго. Если желаем построить треугольник, подобный
данному
то строим одну из сторон нового треугольника, например ниж-
нижнюю, большей или меньшей по желанию:
После этого пристраиваем к ней оба нижних угла данного тре-
треугольника

52
/. Ученик чародея
С этого момента мы уже не можем действовать произвольно,
потому что стороны этих углов при достаточном продолжении
встретятся в одной точке и таким образом треугольник будет
построен.
И только он и может быть искомым треугольником. Следова-
Следовательно, подобие определено только попарным равенством двух
соответствующих углов.
В геометрии мы постоянно встречаем и конгруэнтные и подоб-
подобные фигуры; например, в следующей фигуре, названной равно-
равнобедренной трапецией, белые треугольники конгруэнтны, а за-
заштрихованные — подобны.
А в топологии и речь не может идти о конгруэнтности или подо-
подобии; растяжение и сжатие изменяют как величину фигур, так и
их форму; прямые, образующие фигуру, могут искривляться и
даже выходить из плоскости.
Очень любопытно узнать, что все же топология в состоянии
ответить на вопрос, сколько существует правильных тел, не-
несмотря на ,то, что «правильность» тел находится в самой тесной
связи с конгруэнтностью и вообще с измерением. Правильными
называют те выпуклые тела, которые ограничены только плоски-
плоскими фигурами с равными сторонами и с равными углами:
А
оооо
Эти фигуры в свою очередь конгруэнтны между собой, в каж-
каждой вершине правильного тела сходится одинаковое число гра-
граней. Из всех свойств правильных тел топология при решении
рассматриваемого вопроса учитывает лишь два: «каждая грань
ограничена равным числом сторон» и «в каждой вершине ветре-

5. Вариации на данную тему
53
чается одинаковое число ребер», а эти свойства не связаны с ве-
величиной или формой тела или фигуры.
Средствами топологии удается доказать, что только 5 видов
тел способны удовлетворить этим немногим условиям. Тот факт,
что 5 таких правильных тел действительно существуют, доказы-
доказывается уже в рамках метрической геометрии.
Три из этих тел ограничены треугольниками, хорошо извест-
известный куб ограничен квадратами, а одно из правильных тел огра-
ограничено пятиугольниками.
J -""I
^,—¦
Это открытие явилось довольно неожиданным, потому что на
плоскости нет никакого ограничения для числа сторон правиль-
правильных многоугольников. Ряд правильных многоугольников можно
продолжить сколь угодно далеко. Однако наши представления,
связанные с плоскостью, не могут быть просто переносимы в
пространство. В пространстве многое получается совсем иначе.
Над этим вопросом стоит немного призадуматься. Можно было
ожидать, что в пространстве мы встретим новые явления, потому
что в пространстве движение происходит более свободно, чем
на плоскости. Поэтому можно было бы ожидать, что здесь будет
больше возможностей, чем на плоскости, например, будет больше
различных видов правильных тел. Но оказывается, что иногда
эти большие возможности означают в то же время и более жест-
жесткие ограничительные условия, потому что свобода установления
условий здесь также больше. Если в вершине плоского много-
многоугольника должны встречаться только два ребра, то в вершине
тела могут встретиться три или сколько угодно ребер, а также
сколько угодно граней; в одной вершине могут встретиться,
например, 30 ребер, а в другой 3; и если одна грань является

54 /. Ученик чародея
треугольником, другая может быть и тридцатиугольником.
То требование, которое мы налагали на правильное тело, лишало
его возможности использовать свои широкие права. Поэтому
предложенное условие довольствоваться одинаковым числом ре-
ребер во всех вершинах и одинаковым числом сторон для всех
граней представляет собой очень сильное ограничение. Только
5 тел удовлетворяют этим условиям.
На топологию я натолкнулась, рассуждая о наилучшем ме-
методе выполнения сложения l+2+3-j-...+n. Это еще раз доказы-
доказывает, что математика составляет одно органическое целое: какую
бы ее отрасль мы ни затрагивали, родственные идеи из остальных
областей математики теснятся к нам.
6. Испытание всех возможностей
Вероятно, учитель не будет ставить перед собой вопрос:
найти, сколькими различными способами можно комбинировать
попарно учеников его класса. Он просто будет стараться раз-
разрешать задачу расположения их в пары в общем и целом пра-
правильно, то есть учитывая взаимные симпатии и антипатии уче-
учеников. Но маленький исследователь, обуреваемый любопытством
молодости, захочет испробовать все возможности. Когда я объяс-
объяснила моим десятилетним ученицам, что умножение, в котором
множитель равен числу 357, можно начинать и с единиц, и с сотен,
то они сразу же спросили: нельзя ли начать умножение с десят-
десятков? Я им ответила, что можно, но только надо быть очень вни-
внимательным при записи частичных произведений. Сразу же у них
возник другой вопрос: сколько существует возможностей для
выполнения такого умножения? И вот я была вынуждена сделать
небольшое отступление в область комбинаторного анализа, по-
потому что именно эта отрасль математики занимается числом
возможных расположений данных элементов (число перестано-
перестановок данных элементов). Я думаю, что почти все дети ставили
перед собой вопрос: сколько разных флажков можно сделать
из материала трех цветов?
Из материала одного цвета можно сделать лишь один флажок.
Вторую горизонтальную цветную полоску можно присоединить
двумя способами (конечно, если мы желаем использовать каждый

6. Испытание всех возможностей
55
цвет только один раз), добавляя новую полоску к первой
полоске сверху или снизу. Итак, получим:
V//////////
У/////////;
А как можно добавить. полоску третьего цвета? Ее можно доба-
добавить по отношению к первым двум либо сверху, либо между,
либо снизу. Так, из двухцветного первого флажка можно по-
получить 3 новых трехцветных флажка:
а из второго флажка (рис. 61) еще три:
Следовательно, из 3 цветных полос мы можем сделать всего
2-3=6 флажков. Поступая таким же образом, выясним, сколько
флажков можно сделать из материала четырех цветов. Четвер-
Четвертый цвет можно добавить над первым цветом, между первым и
вторым, между вторым и третьим и, наконец, под третьим цветом,
так что из каждого трехцветного флажка при добавлении нового
цвета получаются по четыре четырехцветных флажка. Напри-
Например, из первого среди 2-3=6 флажков, полученных выше,
можно сделать 4 таких флажка
а всего 2-3-4=6-4=24 флажка. Если присоединим число 1
в виде множителя, так как умножение на 1 не меняет произве-
произведения, то получаем следующую красивую закономерность:

56
/. Ученик чародея
число одноцветных флажков 1
» двухцветных флажков 1-2=2
» трехцветных флажков 1-2-3=6
» четырехцветных флажков 1-2-3-4=24
Очевидно, что этот ряд можно также образовывать и про-
продолжать и в случае, когда речь идет не о цветных полосах;
например, если надо дать суп пятерым детям, то порядок, в
котором они могут получить свою порцию супа, имеет 1 • 2 • 3 • 4 ¦ 5=
=24-5=120 возможностей;- или если вообще мы имеем 6 про-
произвольных «элементов», то их" можно переставить в различном
порядке всего 1-2-3-4-5-6=120-6=720 раз; каждое такое рас-
расположение элементов называется «перестановкой».
В умножении 1-2-3-4-5-6 скрыто следующее правило: ум-
умножаются числа от 1 до 6, но не дальше! Математики обычно
выражают это кратко следующим образом: пишется последний
множитель и непосредственно за ним восклицательный знак.
Например, данное выше произведение запишется так:
6!
Число 6 является множителем (фактором), поэтому 6! читается:
«шесть факториал». Например:
11 = 1, 21 = 1-2, 31=1-2-3 и т. д.
Значение факториала зависит от числа, на котором остановилось
умножение, так что мы опять встретились с функцией, для кото-
которой сейчас же построим температурную кривую: на горизонталь-
горизонтальной линии укажем число, для которого было выполнено умно-
умножение начиная с 1, а на вертикальной линии укажем значение
соответствующего факториала:
16-
8-

6. Испытание всех возможностей 57
Видно, что вначале кривая факториала остается ниже кривой
степени (сравнить части между 1 и 2 в обоих графиках), а затем
первая кривая резко поднимается над второй и растет много
быстрее второй. Это утверждение верно не только для степени 2:
факториал растет быстрее, чем степень любого числа. Впрочем,
это естественно, так как, сколь бы ни было велико основание,
например 100, при возведении в степень умножается одно и то же
числе (в нашем случае 100) на само себя столько же раз, сколько
единиц в показателе. Если же образуется 100!, то, хотя первые
99 множителей факториала меньше соответствующих множителей
степеней числа 100, зато после перехода через это число 99 мно-
множитель продолжает все время расти: 100,101,102,..., так что ра-
рано или поздно факториал обязательно сделается больше степени.
Начав с отыскания числа одйвцветных флажков, мы посте-
постепенно шаг за шагом нашли число двух, трех, четырехцветных
флажков и получили эти красивые и правильные произведения:
1; 1-2; 1-2-3; 1-2-3-4; ... . Другие задачи комбинаторного ана-
анализа приводят к таким же красивым результатам. Например,
выше мы узнали, сколькими способами можно выбрать пары
из определенного числа элементов (см стр. 45); мы видели, что
8«7
из 8 элементов можно получить пары -^-=28 способами; анало-
аналогично из 15 элементов можно получить пары —^—= 105 спосо-
способами и т. д. Но нельзя ли, исходя из этого результата, вычислить
постепенно число групп по три, по четыре элементов и т. д.,
которые можно образовать из данного множества элементов?
Проанализируем снова способ прибавления третьего элемента
к парам, образованным из элементов: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.'Напри-
8.'Например, рассмотрим пару 1 2. Здесь порядок безразличен, имеют
значение лишь элементы, составляющие данную группу (напри-
(например, ставится задача, чтобы из коллектива в 8 человек отправить
делегацию из 3членов; в этом случае нас интересует лишь, «кто»
именно входит в состав делегации**). К паре 1 2 можно при-
присоединить любой из 6 оставшихся элементов; получается сле-
следующая группа троек элементов:
12 3
1 2 4
1 2 5
1 2 6
1 2 7
1 2 8
*' Такого рода соединение элементов в группу называется сочетанием.—
Прим. ред.

58 /. Ученик чародея
(Просьба к читателю: пока не обращать внимание на подчерки-
подчеркивание.)
Таким же образом все остальные пары могут породить 6 видов
групп троек элементов. Например, пара 2 5 может породить
группы:
2 5 1
2 5 3 или же, расположив
2 5 4 элементы в порядке
2 5 6 возрастания,
2 5 7
2 5 8
На первый взгляд кажется, что из данных 8 элементов можно
составить в 6 раз больше троек, чем было образовано пар. Но сре-
среди этих троек будут и одинаковые: например, группа 1 2 5 по-
появляется и среди троек, образованных парой 1 2, и среди троек,
образованных парой 2 5 (эти тройки я и подчеркнула в обоих
местах); даже больше, эта группа должна появиться и при со-
составлении троек с помощью пары 1 5, потому что здесь присоеди-
присоединится и 2 в качестве третьего элемента. Очевидно, что каждая
тройка появится по 3 раза, потому что, исключая по одному из
этой тройки, мы получим три разные пары. Например, исключая
по одному элементу из тройки 2 3 5, мы получим следующие
три пары:
2 3
2 5
3 5
причем тройка 2 3 5 образуется из первой пары присоединением
элемента 5, из второй пары присоединением элемента 3 и из
третьей пары присоединением элемента 2. Следовательно, если
желаем получить только по одному разу каждую тройку, надо
разделить предыдущий результат на- 3. Таким образом, число
троек получается, если число пар, образованных из 8 элементов,
умножить на 6 и полученный результат разделить на 3. Мы узна-
8-7
ем, что число пар равно -^- ; эта дробь умножается на 6, что
8-7-6 , _
можно записать так: „ , выполняя деление на 2 в конце.
Дальше этот результат надо разделить на 3. Но разделить
сначала на 2, затем на 3 означает разделить на 2-3 (например,
_=6 и -о-=2, а если разделим 12 на 2-3=6, то частное равно
также 2), так что в конце концов, присоединяя к знаменателю
для симметрии еще в виде множителя число 1, которое не из-

6. Испытание всех возможностей 59
меняет результата, мы получаем, что из данных 8 элементов
Я V А
можно-выбрать -f-^-z троек. Аналогично из 12 элементов можно
выбрать ' „' троек, а из 100 элементов можно выбрать
100-99-98 троек.
1-2-3
Зная число троек, мы можем вычислить таким же приемом
число групп по четыре элемента в группе (число четверок эле-
элементов). Если возьмем опять 8 элементов, то из каждой группы,
содержащей три элемента, присоединяя по очереди остальные
элементы, мы получим по 5 групп, содержащих каждая четыре
элемента. Например, из тройки 1 2 3 образуются группы:
12 3 4
12 3 5
12 3 6
12 3 7
12 3 8
Казалось бы, что получаются пять раз столько групп, сколько
гроек мы имели вначале; но надо иметь в виду, что каждая чет-
четверка элементов возникает 4 раза. Например, группа
12 3 4
возникает из тройки 1 2 3 присоединением 4
» » » 1 2 4 » 3
» » » 1 3 4 » 2
» » » 2*3 4 » 1
так что результат надо разделить на 4. Число троек было
8-7-6
1-2-3
Это надо умножить на 5 и разделить на 4, следовательно, число
четверок элементов равно
8-7-6-5
1-2-3-4
Закономерность очевидна: например, число семерок элементов,
образованных из 10 элементов, равно
10-9-8-7-6-5-4
1-2-3-4-5-6-7
Получился результат с красивой закономерностью. При состав-
составлении групп из семи элементов как над чертой, так и под ней

60
/. Ученик чародея
имеем семь множителей: внизу в возрастающем порядке, начи-
начиная с 1, а вверху, если семерки элементов выбраны из 10 эле-
элементов, в убывающем порядке, начиная с 10.
Число отдельных элементов, которые можно выбрать из 5 эле-
ментов, равно у=5, что, впрочем, естественно; число троек эле-
элементов, которые можно составить из трех элементов равно
^pi=|-=l; результат очевиден, потому что из трех элементов
можно выбрать 3 элемента лишь одним способом.
Если, введя руку в мешочек с шариками, вытащить ее пустой
независимо от числа шариков, то это можем сделать лишь одним
способом. Установим следующее соглашение: каково бы ни было
число элементов, число сочетаний из 0 элементов равно 1.
Таким образом, число сочетаний, расположенных по порядку,
согласно числу элементов в одной группе будет:
Из одного
элемента . . .
Из двух эле-
элементов ....
Из трех эле-
элементов ....
Из четырех
элементов . .
Ни од-
одного
элемен-
элемента
1
1
1
1
Один
эле-
элемент
т=1
т-
1 =li
{.,
Два элемен-
элемента
2-1 2
Г2= 2~1
3-2 6
1-2= 2
4-3 12
1Т2= 2=Ь
Три элемен-
элемента
3-2-1 6
1-2-3-6-1
4-3-2 24
1-2-3" 6 ~4
Четыре эле-
элемента
—
4-3-2-1 24
1-2-3-4-24
Если над всеми этими результатами (то есть в первом столбце
над первой строкой) запишем 1 (имея в виду, что из пустого ме-
мешочка мы можем вытащить 0 шариков единственным образом,
следовательно, число сочетаний из 0 элементов по 0 элементов
можно считать равным 1), то полученные результаты можно за-
записать в следующем порядке:
1
1 1
1 2 1
13 3 1
14 6 4 1

6. Испытание всех возможностей 61
треугольная фигура называется «треугольником Паскаля»,
треугольник обладает многими интересными свойствами.
Он оказывается симметричным, то есть левая сторона является
отражением правой. Действительно, например, из мешочка с тре-
тремя шариками можно вытащить 1 шарик столькими же способами,
сколько различных пар шариков можно оставить в мешочке
(строка 1331). Аналогично будем рассматривать следующую за
написанной строку. Если составим различные пары из 5 элемен-
элементов, то одновременно с каждой парой образуется из неисполь-
неиспользованных элементов одна тройка элементов. Следовательно, в
случае пяти элементов число пар равно числу троек элементов,
а именно эти числа и занимают симметричные положения в
треугольнике Паскаля.
Другая особенность треугольника Паскаля дает нам одно
простое правило образования строк в этом треугольнике: я не
случайно записала число 2 между 1 и 1, а потому, что 1 + 1=2;
точно так же 3 находится между 1 и 2, потому что I +2=3, и т. д.
Этот треугольник строится дальше на основании этого же прин-
принципа, и, если учесть, что 1+4=5,4+6=10, за последней строкой
записанного выше треугольника будет следовать строка:
1 5 10 10 5 1,
а за этой строкой, поступая так же, как выше, мы найдем строку
1 6 15 20 15 6 1
и т. д.
Доказательство этого правила не очень простое, мы ограни-
ограничимся одной проверкой: первое число 15 находится на месте
числа пар, которые можно составить из 6 элементов. Их число
равно
6:5_30
1-2~~ 2 '
что на самом деле дает 15.
Из нашего правила следует, что сумма элементов какой-либо
строки равна удвоенной сумме элементов предшествующей стро-
строки. Действительно, например, из последней записанной строки
мы получаем следующую таким путем:
1 1+6 6+15 15+20 20+15 15+6 6+1 1
откуда ясно, что элементы строки
1 6 15 20 15 6 1
появляются каждый по два раза.
Это обстоятельство раскрывает еще одно свойство треуголь-
треугольника Паскаля, а именно: складывая элементы каждой строки,
мы получаем последовательные степени числа 2. Действительно,
это утверждение верно для первой строки (пока мы не будем

62 /. Ученик чародея
учитывать число 1, записанное в самом верху): 1 + 1=2=2х.
Оно верно для второй строки 1+2+1=4=22; дальше нет необ-
необходимости проверять, так как это свойство, будучи верным для
одной строки, переходит «по наследству» к следующей строке.
Ведь выше мы видели, что сумма элементов последующей строки
в 2 раза больше суммы элементов предшествующей, но если сте-
степень числа 2 умножается на 2, получается произведение
2-2-2-...-2-2, в котором на один сомножитель больше, то есть
на единицу большая степень числа 2, чем предыдущая.
Этот способ доказательства некоторого утверждения, пол-
полностью основанный на образовании натурального ряда, назы-
называется «математической индукцией» *'. Натуральный ряд чисел
начинается с 1, и, считая дальше по 1, мы можем дойти до любого
члена ряда. Математическая индукция основана на следующем
принципе: если некоторое утверждение верно для первых эле-
элементов натурального ряда и оно «переходит по наследству»
последовательно от одного числа к следующему, то это утверж-
утверждение верно для каждого натурального числа. Благодаря этой
индукции мы в состоянии доказывать, что некоторое утвержде-
утверждение верно для всех чисел, хотя человеческий разум не в состоя-
состоянии проверить его для всех чисел.
Нам нужно доказать лишь две вещи, вполне доступные наше-
нашему пониманию: во-первых, что соответствующее утверждение
верно для 1, и, во-вторых, что оно «наследственно».
Здесь самым важным поучительным результатом является то,
что в математике бесконечность может быть охвачена конечными
средствами.
Тот, кто любит забавляться умножением, наверное, уже встре-
встречал первые несколько строк треугольника Паскаля. Действи-
Действительно, вычисляя подряд степени числа 11:
И1 =11
Ц«= 11-11 = 12 1
11
121
113= 121 -11= 13 3 1
121
1331
114= 1331-11 = 1 4 6 4 1 ч
1331
14641
*' Употребляется также термин «полная индукция». Об этом методе доказа-
доказательства см. научно-популярную брошюру: И. С. С о м и н с к и й. Л. И. Г о л о-
в и н а, И. М. Я г л о м. О математической индукции. М., «Наука», 1967.—
Прим. ред.

6. Испытание всех возможностей 63
мы видим, что цифры результата дают как раз треугольник Пас-
Паскаля. Тот, кто внимательно рассмотрит выполненные умноже-
умножения, увидит, как это получается: при сложении частичных про-
произведений выполняются как раз сложения, которые встречаются
при образовании строк из треугольника Паскаля. (Когда вы-
вычисляется И6, то при сложении частичных произведений сумма
уже не соответствует строке треугольника Паскаля; в ней чего-то
недостает. Действительно,
115 = 14641 11
14641
161051
в то время как в соответствующей строке треугольника Паскаля
имеем: 1 5 10 10 5 1.)
Учтем теперь, что
11 =104-1
121= 100+ 20+ 1 = Ы02+2-10+1
1331 = 1000+300+30+1 = 1-103+3-102+3-10+1
и т. д.
Таким образом, при разложении степеней 10+1 числа тре-
треугольника Паскаля появляются умноженные на все меньшие и
меньшие степени числа 10. Второй член суммы 10+1 есть число 1,
которое в любой степени остается также 1, потому что 1-1 = 1.
Степени этого второго члена суммы 10+1 не входят в вышеука-
вышеуказанные разложения. Но их можно ввести искусственным путем,
например так:
113=1331 = 1000+300+30+1 = 1-103+3-102-1+3-10-12+1-13,
где видно, что степени первого члена убывают, а степени второго
члена возрастают. Этот прием полезен, так как разложение сте-
степени суммы может быть обобщено в применении к другим сум-
суммам двух слагаемых. Например,
73=E+2K=1-53+3-52-2+3-5-22+1-23.
На основании предыдущего нетрудно доказать, что это утвержде-
утверждение всегда верно; но пока мы удовлетворимся простой провер-
проверкой:
1.5» =5-5-5 =25- 5 =125
3-5а-2 =3-5-5-2 = 15-10 =150
3-5 -2а = 3-5-2-2= 3-10-2= 60
и 1-23 =2-2-2 = 4- 2 ^ 8
Итого: 343

64 /. Ученик чародея
и на самом деле
73=7-7-7=49-7=343.
Это открытие служит для более удобного выполнения вычис-
вычислений: часто удобнее разложить основание степени на два числа,
степени которых легко вычислить, чем непосредственно возво-
возводить это основание в степень; так, при вычислении разложения
E+2K появляются лишь удобные умножения на 5 и на 2. Такие
умножения нужно стараться вычислять так, чтобы группиро-
группировались 5 и 2, так как умножение на 10 — это просто дет-
детская игра.
Сумма двух членов называется биномом, поэтому приведен-
приведенное выше разложение называется формулой бинома, а члены
треугольника Паскаля называются биномиальными коэффи-
коэффициентами.
Чаще всего употребляется возведение в квадрат. Вторая
строка треугольника Паскаля записывается так:
1 2 1.
Поэтому если вычисляется, например, E+3J, то в разложении
появляются убывающие степени числа 5, начиная с 52, и воз-
возрастающие степени числа 3 до З2, умноженные соответственно
на числа вышеприведенной строки, так что
E+3J=1-52+2-5-3+1-32.
Таким образом, мы приходим к хорошо известному правилу (хотя
оно может быть и связано с неприятными воспоминаниями), что
сумму двух слагаемых можно возвести во вторую степень так:
первое слагаемое, возведенное во вторую степень, складывается
с удвоенным произведением обоих слагаемых и со вторым сла-
слагаемым, возведенным во вторую степень.
Конечно, это правило можно вывести гораздо проще, на-
например геометрическим путем. Известно, что площадь прямо-
прямоугольника можно найти, вычисляя произведение двух смежных
сторон; значит, обратно: произведение можно представить гра-
графически с помощью прямоугольника, смежные стороны кото-
которого являются соответственно сомножителями произведения.
Например, графическое изображение произведения 3-5 имеет
вид:
3" 3-5

6. Испытание всех возможностей
а изображение 52=5-5
65
Эта фигура — квадрат, поэтому вторая степень числа и назы-
называется его квадратом.
Теперь изобразим графически выражение E+3)а
В этой фигуре уже не видно, каковы были члены суммы. Но с по-
помощью следующего разбиения их можно выявить
1
Для образовавшихся частей имеем: площадь большого квадрата
равна 5а, а маленького ^ З2 единиц; кроме этого, имеется еще
Два прямоугольника с площадью каждого, равной 5-3 единицам.
Так что на самом деле:
E+3J=52+2-5-3+32.
Наша фигура так же ясна, как и фигуры из древних индийских
учебников. Индийцы были немногословны. Они формулировали
3 Заказ № 1768

66
/. Ученик чародея
правило возведения в квадрат суммы двух слагаемых. А затем
писали лишь «смотри» и рисовали- фигуру, которой все сказано:
а-Ь
аг
Ьг
а-Ь
И кто на нее смотриг, это .видит.
7. Расцвечивание однообразного натурального ряда чисел
Еще с древних времен индийцы были превосходными матема-
математиками, имея особые способности в этой области. Вот что я
слышала об одном их современном ученом: когда его друг евро-
европеец спросил шутя, не является ли номер автомашины, с .кото-
.которой они сошли — 1729 — неблагоприятным, то индийский ученый
ответил ему в совершенно естественном тоне: «Нет, наоборот,
1729 очень интересное число. Это первое число, которое может
быть записано двумя способами в виде суммы двух кубов, потому
что как 10Ч-93, так и 123+13 дают 1729».
Для индусов даже четырехзначные числа являются близкими
знакомыми, имеющими каждое свои индивидуальные особен-
особенности. У нас в начальной школе малые числа рассматриваются
тоже как такие различные индивидуальности: в глазах малень-
маленького ученика число 2 не является одним из множества серых
чисел, а имеет свою самостоятельную многосторонне известную
индивидуальность. Число 2 — это первое четное число, это сумма
1 + 1, это половина числа 4 и т. д. Если бы мы расцветили таким
образом каждое число до 10 или если бы пошли даже так далеко,
как индусы, а именно до четырехзначных чисел, все же это
представляло бы собой лишь незначительный участок уходящих
вдаль серых волн бесконечного ряда.
Известно, что существуют четные числа; каждое второе число
четно:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... .
Известно также, что каждое третье число делится на 3:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... ,
что каждое четвертое число делится на 4:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

7. Расцвечивание однообразного натурального ряда чисел 67
и т. д. Но все это представляет собой внутри числового ряда
лишь меньшие или большие волны, которые, тронувшись, про-
продолжают свой путь монотонно и равномерно. Неужели не су-
существует чего-либо неожиданного, своеобразного, что могло бы
внести оживление в эту однотонность? Оказывается, такое свое-
своеобразие существует: это простые числа, капризное распределение
которых не подчиняется никакому правилу. Вспомним, что мы
говорили выше о делимости. Мы знаем, что:
делителями числа 10 являются 1, 2, 5, 10,
» » 12 » 1, 2, 3, 4, 6, 12,
но делителями числа 11 являются только 1 и 11.
Как уже говорилось, каждое число делится на 1 и само на
себя; так вот, существуют числа, которые не делятся ни на какое
число, кроме этих двух. Таким является, например, число 11.
Такие числа называются простыми.
С такой точки зрения число 1 не ведет себя по этому правилу:
оно обладает лишь одним делителем 1, то есть делится лишь
само на себя. Поэтому 1 не относят к простым числам. Следова-
Следовательно, наименьшим простым числом является число 2, един-
единственное четное простое число, потому что все остальные четные
числа делятся на 2; следовательно, кроме числа 2, никакое чет-
четное число не удовлетворяет признакам простого числа.
Простые числа важны тем, что все остальные числа могут быть
составлены из них путем умножения, именно поэтому все осталь-
остальные числа называются составными. Это можно сформулировать
более точно так: любое составное число можно представить в виде
произведения простых чисел.
Попробуем, например, представить в виде произведения
число 60:
60=6-10.
Здесь как 6, так и 10 могут быть разложены дальше на множи-
множители:
6=2-3, а 10=2-5;
записывая числа 6 и 10 разложенными на множители, получим:
60=2-3-2-5,
где все множители являются простыми числами.
Это же можно было получить и другим путем, так как мы
видели, что число 60 можно выразить в виде произведения
Двух множителей несколькими способами. Вот как;
60=4-15.
3*

68 /. Ученик чародея
Здесь 4=2-2, а 15=3-5, следовательно, 60=2-2-3-5. Если же
мы разложим число 60 так:
60=2-30,
то получим: 30=5- 6, где 6=2-3, так что 30—5-2-3,
или 30=215, » 15=3-5, » » 30=2-3-5,
» 30=310, » 10=2-5, » » 30=3-2-5.
Очевидно, что во всех случаях число 30 разлагается в произ-
произведение простых чисел: 2, 3 и 5. Если, далее, записываем вместо
30 это произведение, то получим: 60=2-2-3-5.
Таким образом, как бы мы ни доступали, число 60 разлагается
на те же простые числа; изменяется лишь порядок расположе-
расположения этих простых чисел; располагая множители этого произве-
произведения в возрастающем порядке и заменяя умножение равных
множителей возведением в степень, получим:
60=22-3-5.
Так же легко можно разложить любое составное число на «про-
«простые множители» (и можно доказать, что разложение на про-
простые множители всегда единственно). Если в первый момент мы
не знаем, как начинать, то надо вспомнить, что наименьшим де-
делителем числа, исключая число 1, является, конечно, простое
число, потому что любой составной делитель может быть в свою
очередь разложен на свои делители, которые являются и дели-
делителями исходного числа. Поэтому, разыскивая наименьший де-
делитель, можно найти простые множители любого числа. Напри-
Например:
90=2-45=
=2-3^5=
=2-3-1Г5.
Такое разложение ясно показывает строение соответствующего
числа. Из этого разложения можно видеть, что, за исключением
числа 1, делителями числа 90 являются:
делители, составленные только из одного множителя: 2, 3, 5;
делители, составленные из двух множителей: 2-3=6, 2-5=10;
3-3 =9, 3-5=15;
» » трех » 2-3-3=18, 2-3-5=30;
» » четырех » 2-3-3-5=90.
Небесполезно познакомиться поближе с кирпичиками, из ко-
которых составлены числа. Попытаемся записать подряд простые
числа. Знаем, что наименьшим простым числом является число 2;
остальные четные числа опускаем, так как они делятся на 2.

7. Расцвечивание однообразного натурального ряда чисел 69
Числа 3, 5 и 7 также простые числа. Хотелось бы сказать, что и 9
также* простое число, но это не верно, так как 9 делится на 3.
Можно было бы подумать, что дальше простые числа встречаются
все реже, но мы допустили бы ошибку, потому что как 11, так и
13 являются также простыми числами. Теперь прошу читателя
записать подряд все простые числа, хотя бы до 50. Для проверки
запишу и я их ниже, но читатель не сможет глубоко понять
вопрос о нерегулярности их появления в натуральном ряде,
если сам не будет их искать, постоянно спотыкаясь на собствен-
собственных ошибках. Приведем простые числа до 50:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
От древних греков мы унаследовали гениальный прием механи-
механического и безошибочного составления ряда этих капризных
простых чисел: решето Эратосфена.
Запишем сначала числа от 2 до 50: первый член этого ряда
чисел несомненно простое число, потому что любой его соб-
собственный делитель (за исключением числа 1) должен быть мень-
меньше самого числа, а значит, в этом ряде он должен фигурировать
перед этим числом, но, как видно, этому числу не предшествует
в данном ряде чисел никакое другое число. А теперь посмотрим,
что это за первое число: это число 2. Последующие числа через
одно являются кратными числа 2, а значит, за исключением чис-
числа 2, они не являются простыми числами; мы будем зачеркивать
через одно каждое число, начиная со следующего после двух.
2 3 / Б Ж 7 $ 9 Уб
и у* 13 у( 15 уб 17 у4 *9 &
21 ?4 23 >4 25 ?ё 27 ?6 29 .3<f
31 34 33 pi 35 34 37 Зё 39 4<f
41 4* 43 44" 45 ft 47 4tf 49
Первое незачеркнутое число после 2 должно быть также про-
простое число, потому что оно могло бы быть кратным лишь пред-
предшествующего числа, но мы знаем, что все числа, кратные 2,
были зачеркнуты в этом ряде чисел. Таким образом, число 3
простое, а числа, следующие за ним через два, являются крат-

70 /. Ученик чародея
ными трех, так что мы зачеркнем и их (неважно, если при этом
некоторые числа будут зачеркнуты дважды):
2 Ъ#Ь#1$$.уЬ
11 А# 13 \4 X \А 17 /& 19 ?<$
,21 ;к? 23 ^ 25 рё ^ ?6 29
31 З^ & з4 35. ,3^ 37 Дё 2$
41 /0t 43 44 4jf 44 47 f& 49 }
Если мы будем действовать дальше, то ближайшим окажется
5; кратные пяти мы будем снова вычеркивать. Так что начиная
с 5 будет вычеркиваться каждое пятое число
2 3/
и $ 13 у4 yff y& \? $ 19
31
41 ДЙ' 43 44 ^ ^ 47 46 49
и, наконец, начиная с 7 — каждое седьмое.
Далее и не надо идти, так как следующее незачеркнутое
число 11; кратное этого числа и 7 превосходит число 50, а его
меньшие кратные фигурируют все среди зачеркнутых чисел.
Выпишем теперь оставшиеся числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Как раз они и являются простыми числами до 50.
Можно было бы даже построить машину, которая выполняла
бы данные указания, точно выбирая простые числа до какой-
либо границы. Но это не меняет существа дела, заключающегося
в том, что за любыми границами простые числа опять появляются,
и притом все более и более капризным образом.
Можно показать, например, что между простыми числами
имеются сколь угодно большие пробелы, если мы продвинемся

7. Расцвечивание однообразного натурального ряда чисел 71
достаточно далеко в натуральном ряде. Например, можно пока-
показать с помощью нижеуказанных операций, что расстояние между
простыми числами может достигать по меньшей мере б единиц,
то есть существуют шесть последовательных непростых чисел:
2-3-4-5-6-7+2 2-3-4-5-6-7+3
2-3-4-5-6-7+4 2-3-4-5-6-7+5
2-3-4-5-6-7+6 2-3-4-5-6-7+7
Эти числа являются действительно последовательными, каждое
из них на 1 больше предшествующего числа и ни одно из них
не простое число, потому что 2-3-4-5-6-7 делится на каждый
множитель, а значит, первое из этих чисел есть сумма, оба сла-
слагаемые которой делятся на 2; по таким же мотивам второе число
делится на 3, третье на 4, четвертое на 5, пятое на 6 и шестое на 7.
Вычисляя 2-3-4-5-6-7=5040,
получаем из вышеуказанных действий следующие шесть чисел:
5042, 5043, 5044, 5045, 5046, 5047.
Как видно, это довольно большие числа; надо было пойти
довольно далеко в натуральном ряде, чтобы найти этим способом
расстояния в 6 членов между простыми числами (конечно, воз-
возможно, что и до этого имелись пробелы такого размера). Но если
мы пойдем совсем далеко, то можем найти таким же способом
промежутки и в 100 членов, если будем прибавлять к произве-
произведению чисел от 2 до 101
2-3-4-5 -...- 101
по очереди числа 2, 3, ... и, наконец, 101. Таким образом мы
можем найти сколь угодно большие пробелы. Несмотря на это,
при весьма далеко простирающихся исследованиях натурального
ряда, за очень большими пробелами появляются опять и опять
нечетные соседние числа, являющиеся простыми, как например
в начале натурального ряда числа 11 и 13 или 29 и 31. Матема-
Математики предполагают, что такие «простые числа-близнецы» су-
существуют, как бы далеко мы ни продвинулись в натуральном
ряде, то есть дальше уже исследованной его части; но до сего-
сегодняшнего дня это утверждение не доказано в общем случае для
всего натурального ряда. Возникает естественный вопрос: су-
существуют ли простые числа, расположенные как угодно далеко
в натуральном ряде? Не. расцвечивают ли они лишь конечный
отрезок от начала натурального ряда?
Ответ на этот вопрос был дан уже 2000 лет тому назад: Евклид
доказал очень изящным способом, что множество простых чисел
бесконечно.

72 /• Ученик чародея
В этом можно убедиться так же, как и в бесконечности самого
натурального ряда чисел: любому, кто попытался бы утверждать,
что он дошел до последнего простого числа, можно доказать,
что существуют простые числа и после этого простого числа.
Достаточно дать доказательство для какого-либо одного про-
простого числа, потому что во всех остальных случаях доказатель-
доказательство проводится таким же образом. Для доказательства надо
учесть лишь следующее: все числа через одно делятся на 2, числа
через каждые два делятся на 3 и т. д., то есть число, непосред-
непосредственно следующее за числом, делящимся на 2, не может делить-
делиться на 2, а число, непосредственно следующее за числом, деля-
делящимся на 3, не может делиться на 3 и т. д. Если кто-либо утверж-
утверждал бы, что простыми числами являются
2, 3, 5, 7
и что дальше не существует ни одно простое число, то это утвер-
утверждение может быть сразу же отклонено, так как из перечислен-
перечисленных выше простых чисел можно составить следующее число:
2-3-5-7+1. Произведение 2-3-5-7 делится на 2, на 3, на 5 и
на 7. Непосредственно следующее число 2-3-5-7+1 не может
делиться ни на одно из вышеуказанных чисел. Но оно является
числом и поэтому должно делиться на какое-либо простое число,
так как может быть разложено на простые числа или, возможно,
само является простым числом и в этом случае делится само
на себя. Так что тот, кто сделал вышеуказанное утверждение,
ошибся. А именно должны существовать простые числа и за
числом 7, а, значит, точно так же и за любым ныне известным
простым числом.
Вычисляя 2-3-5-7+1, получим 211. Поеле нескольких по-
попыток убеждаемся, что это число делится лишь на 1 и само на
себя, то есть случайно это число оказалось простым. Значит,
оно само является тем простым числом, находящимся за числом 7,
существование которого было доказано выше. Естественно, речь
не идет о том, что 211 является простым числом, непосредственно
следующим за числом 7; мы никак не можем ожидать, что по-
последовательные простые числа могут быть найдены по опреде-
определенному правилу. Точный результат нашего метода состоит
в следующем: чтобы найти новое простое число за числом 7,
необходимо дойти самое большее до числа 2-3-5-7+1; за числом
11 — необходимо дойти самое большее до 2-3-5-7-11+1 и т. д.
Но эти расстояния довольно велики. Нельзя ли найти простые
числа в более узких границах?
Многие математики занимались этим вопросом. Я упомяну
лишь один красивый результат: русский математик П. Л. Че-

7. Расцвечивание однообразного натурального ряда чисел
73
бышев доказал, что, начиная с числа 2, между любым числом и
удвоенным существует простое число:
между 2 и 4 3
» 3 и 6 ' 5
» 4 и 8 5 и 7
» 5 и 10 только 7.
Несмотря на то что в этих нескольких примерах невозможно
усмотреть какую-либо закономерность, рассматриваемое пред-
предложение имеет место для любого расстояния в натуральном ряде;
если же продвинуться достаточно далеко, то есть выбрать до-
достаточно большое число, то между ним и удвоенным будет рас-
расположено произвольно много простых чисел.
Так что мы получаем нечто вроде правила расположения
простых чисел, кажущихся столь своевольными: они не могут
удаляться сколь угодно далеко одни от других.
Более того, вопреки всему существует в определенном смысле
даже «закон простых чисел», но, конечно, выполняющийся лишь
в «приближенном» смысле, «почти» выполняющийся, точно
так же, как круг может быть рассмотрен «почти» как многоуголь-
многоугольник, составленный из многих узких треугольников (я уже обе-
обещала дать уточнение этого понятия «почти» несколько позже).
До 2 включительно существует одно простое число: само 2;
до трех существуют два простых числа: 2 и 3; до 4 тоже эти два
числа; до 5 существуют три, потому что прибавляется и 5; до
6 — эти же три числа; до 7 появляются 4 простых" числа: 2, 3,
5 и 7; до 8, 9, 10 остаются те же четыре простых числа и т. д.
Следовательно, число простых чисел равно
до 2 до 3 до 4 до 5 до 6 до 7 до 8 до 9
I | | | | | |
до 10
Элементы этого ряда изменяются, когда мы доходим до нового
простого числа, но эти числа появляются нерегулярно. Все же
можно записать составленный по определенному правилу хорошо
известный ряд *\ члены которого по мере продвижения в этом
ряде похожи все больше и больше на члены нашего вышеука-
*' Для тех, кто еще помнит логарифмы, я напишу здесь этот ряд
_2_ _3_ _4_ _5_
1п2' 1пЗ' 1п4' 1п5 •" '
хотя мой читатель вряд ли может вспомнить такие логарифмы. Ведь это так
называемые натуральные логарифмы, логарифмы по основанию е. Однако
в дальнейшем речь пойдет и о них.

74
/. Ученик чародея
занного ряда. Так что удаленные участки этих двух рядов можно
считать «почти» равными, точно так же, как части круга, вызы-
вызывающие затруднения из-за их криволинейной формы,
становятся все больше и больше похожими на хорошо известные
прямолинейные треугольники. Если мы продолжим достаточно
далеко деление круга, то они могут быть рассмотрены «почти»
как идентичные:
Нельзя себе представить точное правило расположения простых
чисел, но их «почти» правильное поведение имеет точный смысл.
Как мною уже обещано, к этой идее я еще вернусь.
Я не осмеливаюсь дать хотя бы набросок доказательства за-
закона простых чисел. Долгое время самые выдающиеся матема-
математики занимались этим законом, строили его по крупинке, пока,
наконец, он не принял современную форму. Исследования в этой
области еще идут полным ходом: математики пытаются все точ-
точнее установить размер допущенной ошибки, когда члены нашего
непокорного ряда заменяются членами ряда, составленного по
вышеуказанному правилу. Эти исследования не стимулируются
ни практическими приложениями, ни удобствами, а лишь кра-
красотой и трудностью задачи. Эта красота имеет иную природу,
чем красота игры с числами в комбинаторном анализе. Здесь
это — красота незакономерности. Стремление вместить в пра-
правила процесс, происходящий вне всяких правил, предполагает,
конечно, большую храбрость.
Существование закона простых чисел позволяет утверждать,
что простые числа, распределение которых в исследованных
небольших участках натурального ряда чисел не подчиняется
никакому порядку, в своей бесконечной совокупности все же
подчиняются некоторому порядку. Это мне напоминает одну

8. «Я задумал число» 75
притчу о свободе воли, которую я где-то прочитала: если на-
наблюдать за роящимися пчелами вблизи, то кажется, что каждая
пчела летит в своем отличном от других направлении. И все же
весь рой в целом двигается к определенной цели в определенном
направлении.
8. «Я задумал число»
Вернемся теперь к практической математике. Объем куба мы
умеем вычислять, но часто необходимо определить объем непра-
неправильного тела. Непосредственно измерить объем такого тела
не удается. В этих случаях можно выбрать такой путь. Пред-
Предположим, что это тело сделано из дуба. Мы его можем
взвесить, затем вырежем кубик объемом в 1 см3 и взвесим его.
Объем тела в кубических сантиметрах тогда будет найден деле-
делением общего веса тела на вес кубика.
В этом случае мы не смогли установить объем тела непо-
непосредственно, но мы смогли найти непосредственно другое: вес
тела. Однако мы знаем, что между объемом и весом некоторого
тела существует тесная связь. Таким образом, с помощью веса
мы находим искомый объем.
В математике часто встречаются случаи, когда нельзя опре-
определить прямым путем некоторую величину, но известны некото-
некоторые соотношения, в которые входит эта величина. Из этих-то
соотношений мы и можем найти значение неизвестной величины.
Основная идея этого способа, имеющего капитальное значе-
значение с точки зрения практических приложений, идентична идее,
лежащей в основе задачи: «Я задумала число, прибавила к нему
еще столько же, результат умножила на 3 и т. д. ...» Затем я
пересчитаю целую серию выполненных операций над задуман-
задуманным числом и, наконец, говорю результат 36; а затем прошу уга-
угадать задуманное мною число.
Так вот прошу угадать: я задумала число, сложила его с 5 и
получила результат 7. Какое число я задумала? И слепой видит,
что первоначальным числом было число 2.
Но рассмотрим более трудную задачу: «Я задумала число,
умножила его на 5, разделила на 2, сложила с 3, и результат
получился 18. Найти задуманное число!» Эта задача задается
устно, а не письменно, а тот, который должен ее разгадать,
легко забывает, о каких операциях шла речь; поэтому рекомен-
рекомендуется записывать их при изложении задачи. Он не знает число,
задуманное его собеседником, поэтому называет это число бук-
буквой х. Думаю, что читатель разрешит мне это, раз поэт *> имеет
*> Венгерский поэт Михай Бабич (М. Babits, 1883—1941).— Прим. ред.

76 /. Ученик чародея
право написать следующее:
«Любая река впадает в Стикс.
Решением будет, конечно, хт>.
Надеюсь, что и мне разрешат рекомендовать тому, кто хочет
разгадать решение поставленной задачи, написать х вместо не-
неизвестного числа.
Вот как запишется ход задачи: задумано число х, это число
умножено на 5, то есть получено Ьх; этот результат разделен на 2,
Ъх
то есть получено у; затем прибавлено 3, то есть получено
5
. Сказано, что это выражение равно 18. Следовательно,
^ + 3=18.
Таким образом, задуманное число удовлетворяет этому уравне-
уравнению, из которого и надо его найти. Существуют люди, которые
так легко разбираются в числах, что могут найти ответ сразу
даже из этого выражения. Но тот, кому не удается этим путем
найти ответ, может сделать шаг назад: если число стало равным
18 после того, как ему прибавили 3, то значит, что до выполне-
выполнения сложения имелось число 15:
— -15
Из этого выражения можно легко угадать значение х. Кто и сей-
сейчас не угадает, может сделать еще один шаг для облегчения вы-
вычисления: если какое-либо число делится на 2 и получается 15,
то до деления это число было равно 30:
А теперь любой может разгадать, что число, которое, взятое
5 раз, дает 30, может быть равным лишь числу 6.
Использованный в данном случае прием постепенного упро-
упрощения вышеприведенного выражения может быть применен
Ъх
для всех уравнений. Когда из выражения -5-+3=18 мы полу-
Ъх Вх
чили -g-= 15, влево от знака «=» исчез член 3 суммы -к-\-Ъ, а
из числа, находящегося вправо от знака «==», мы вычли число 3.
Это правило формулируется так: разрешается перенести любой
член с одной стороны уравнения в другую с обратным знаком.
А когда из выражения у=15 мы пришли к 5*—30, слева исчез
делитель 2, зато число справа умножилось на 2. Это другое пра-
правило, которое можно формулировать так: разрешается перенести

8. «Я вадумад число* 77
делитель с одной стороны уравнения в виде множителя в другую.
Вообще из одной стороны уравнения можно перенести в другую
любой член, выполняя над ним обратную операцию.
Если мы рассмотрим какое-либо сложное уравнение, то по
существу дело сводится к тому же, то есть чтобы найти число,
кем-то задуманное. Пусть мы имеем, например, такой текст:
«Отцу 48 лет, сыну 23 года; через сколько лет отец будет в два
раза старше сына?» Найдутся, конечно, люди, которые сразу же
угадают искомое число, не составляя уравнения. Кто рассуждает
медленнее, может поступать, как указано мною дальше. Сообра-
Сообразительный человек сразу находит результат; я же обозначу это
число буквой х.
Следовательно, через х лет отец будет в два раза старше сына.
Как проверяет свой ответ тот, кто решил задачу? Вот как: вы-
вычисляет возраст отца и сына через х лет, чтобы убедиться, дей-
действительно ли возраст отца в два раза больше возраста сына.
Через х лет возраст отца будет на х больше числа 48, то есть
48+* лет, а сына будет 23+* лет; следовательно, сообразитель-
сообразительный человек, уже решивший задачу, задумал число, которое
он прибавил и к 48, и к 23, и теперь утверждает, что значение
первой суммы в два раза больше значения второй суммы:
48+*=2-B3+*).
Отсюда-то и надо найти х. Умножение на 2 в правой части
уравнения выполняется путем умножения на 2 обоих слагаемых:
48+х=46+2*.
Чтобы сгруппировать все х по одну сторону знака равенства,
перенесем член х из первой части уравнения, во вторую, к 2х,
но в этом случае он станет вычитаемым, а член 46 из правой
части перенесем в левую часть также в качестве вычитаемого:
48—46=2*—х.
48—46=2, и очевидно, что, вычитая * из 2*. получим *. Таким
образом,
2=х;
следовательно, задуманное число равно 2. Через 2 года возраст
отца будет в два раза больше возраста сына. В самом деле, через
2 года отцу будет 50 лет, а сыну 25.
Перейдем теперь к несколько более сложной задаче: «Я заду-
задумала два числа сразу, их сумма равна 10. Найти эти числа».
Вот как можно объяснить этот вопрос: задуманные два числа
х и у (когда не известно ни имя, ни фамилия какого-либо-чело-

78 /. Ученик чародея
века, называем егоху), так что тот, кто ставит задачу, утверждает,
что х+у—10.
Такие два числа могут быть легко найдены: например,. 1 и 9.
Да! Но такими числами могут быть еще 2 и 8 или 4 и 6, и еще
есть много возможностей решить эту задачу. Вопрос не был пра-
правильно сформулирован; по известным данным нельзя угадать
эти числа. Тот, кто собирается решить эту задачу, имеет право
потребовать: «Скажи мне еще что-нибудь об этих двух числах!» —
«Хорошо, я скажу тебе еще, что их разность равна 2»:
у—х=2.
Теперь можно очень легко угадать, что такими числами являются
4 и 6, потому что из всех пар чисел, сумма которых равна 10,
только в случае этих двух чисел разность равна 2.
Таким образом, чтобы угадать два неизвестных числа, надо
иметь два уравнения; рассматриваемые вместе эти уравнения
называются системой уравнений. Даже если вначале из этих
двух уравнений не видно ясно, какие числа были задуманы,
существуют определенные приемы, с помощью которых упро-
упрощается задача и облегчается угадывание этих чисел. Например,
если в вышеуказанной системе уравнений мы не догадались бы,
что решением является 4 и 6, мы могли бы сделать следующие
попытки: из второго уравнения перенесем вычитаемое во вторую
часть уравнения как слагаемое и тогда остается только у:
Отсюда видно, что второе число на 2 больше первого. Теперь
мы могли бы сформулировать задачу проще: «Я задумала число,
прибавила к нему число на 2 больше первого и нашла, что их
сумма равна 10. Какое число я задумала?» Все это можно выра-
выразить так:
х+(х+2)=10. .
В этом уравнении мы имеем лишь одно неизвестное, а способы
угадывания одного неизвестного нам уже известны. После того
как находим х, угадать число у уже нетрудно, так как мы знаем,
что оно на 2 больше числа х.
Другой пример: «Я задумала два числа; первое число я сло-
сложила с удвоенным вторым и получила 11, затем удвоенное пер-
первое число сложила с учетверенным вторым и получила 22. Какие
числа я задумала?»
Кратко эти условия можно записать так:
х+2у=П,
2х+4у=22.

8. «Я задумал число» 79
У кого острый глаз, тот сразу увидит, что я устроила обман.
Попытаемся решить эту систему: первое условие будет удовлет-
удовлетворено числами 1 и 5, потому что
1+2-5=11.
Эти же числа удовлетворяют и второму условию, потому что
2-1+4-5=22.
Можно подумать, что мы нашли задуманные числа. Но по-
попробуем еще решить иначе: действительно, мы видим, что числа
3 и 4 тоже удовлетворяют условию первого уравнения, потому
что 3+2-4=11; одновременно они удовлетворяют и условию
второго уравнения, потому что
2-3+4-4=22.
Похоже на то, что каждая пара чисел, удовлетворяющая
первому условию, удовлетворяет и второму; таким образом,
второе условие не помогает выбирать определенную пару чисел.
Но это действительно так, потому что, какие бы ни были зна-
значения чисел хну, число 2х будет удвоенным значением числа х,
а 4г/ удвоенным значением числа 2у, так что нет никакого сомне-
сомнения втом, что сумма 2х+4г/ является удвоенным значением суммы
х+2у, а если х+2у=\1, то сумма 2х+4у может равняться
лишь 22. Итак, второе уравнение ничего нового не говорит нам
о числах, которые надо угадать; оно повторяет в точности в скры-
скрытой форме то, что говорится в первом уравнении. Мы были бы
еще более обмануты, если бы от нас потребовали угадать х и у
из следующей системы уравнений:
х+2у=\\,
2х+4г/=23.
В этом случае мы можем ломать себе голову сколь угодно,
но задачу мы не решим, потому что не существует таких двух
чисел, которые удовлетворяли бы условиям, заключенным в
этих двух уравнениях. Мы видели выше, что, каковы бы ни
были значения хну, сумма 2х+4г/ представляет собой удвоенное
значение суммы х-\-2у, так что если х+2г/=11, то 2д;+4г/ должно
равняться 22 и ни в коем случае не может быть 23. Следователь-
Следовательно, второе условие противоречит первому.
Коротко говоря: из двух уравнений можно угадать два неиз-
неизвестных числа при условии, чтобы эти два уравнения не выра-
выражали одно и то же и чтобы они не противоречили друг другу.
Но что мы можем предпринять в случае такого вопроса:
«Я задумала число, возвела его в квадрат, сложила с восьми-

80 /. Ученик чародея
кратным задуманного числа и получила 9. Какое число было
задумано?»
Задача записывается так:
Здесь мы имеем лишь одно неизвестное, но появляется новое
осложнение: х фигурирует в квадрате. Уравнение называется
квадратным или второй степени. Но не следует начинать со столь
сложного уравнения второй степени. Самым простым видом
такого уравнения будет:
Любой может видеть сразу,'что искомым числом является
число 4, так как квадрат числа 4 равняется 16.
Таким же простым является и уравнение:
(к+3)»=16,
потому что число, квадрат которого равен 16, есть 4; так что
в этом случае
х+3=4,
а отсюда любой видит, что х—\.
В этом уравнении фигурировало выражение (х+3J; мы уже
знаем, как возвышается в квадрат сумма двух слагаемых: квад-
квадрат первого (в данном случае х2) складывается с удвоенным про-
произведением этих двух слагаемых (здесь 2-3x=6x) и с квадратом
второго слагаемого (здесь 32=9). Следовательно, наше уравне-
уравнение в развернутом виде будет:
Если бы мы с самого начала были поставлены перед этой
задачей, нам и в голову не пришло бы, с чего начать. Значит,
чтобы можно бьио угадать в развернутом виде квадрат суммы
двух слагаемых, необходимо много упражняться. Если, напри-
например, уравнение выглядит так:
то надо заметить, что здесь 8х=2-4х, а 16 является как pas
квадратом 4, так что
следовательно, будем иметь дело с уравнением:
(*+4J=25,
которое сумеем решить, следуя предыдущим примерам.

8. «# задумал число 81
Конечно, если в рассмотренном выше уравнении мы перенесем
16 из первой части уравнения во вторую в качестве вычитаемого
B5—16=9), уравнение останется неизменным, но получит перво-
первоначально заданную форму: а:2+8а:=9. И для такого уравнения
нужно знать, что левая часть уравнения может быть дополнена
до квадрата суммы двух слагаемых:
поэтому, чтобы получить (аЦ-4J, не хватает теперь 44»16. Если
мы дополним этим числом и левую и правую части уравнения,
то они останутся равными; прибавляя к обеим частям уравне-
уравнения по 16, получим:
л;2+8лН-16=9+16,
х*+8х+16=25,
а эта форма нам уже знакома, с ней мы уже справились. Такое
дополнение суммы двух членов до квадрата суммы двух слага-
слагаемых всегда удается сделать. Но если член второй степени не х2,
а, например, За:2, как в следующем уравнении: За:2+24а:=27,
то сначала мы разделим обе части уравнения на 3.
Если эти две части уравнения равны между собой, то й их
третьи тоже будут равны: одна треть числа За:2 будет хг; одна
треть числа 24* будет 8а:, а одна треть числа 27 будет 9; следо-
следовательно, получаем:
а в этой форме решать уравнение мы уже умеем.
Если бы не все числа делились на 3 или если бы множитель
при а: был нечетным числом, то появились бы и дроби; но пока
я ими не занимаюсь, как не занимаюсь и могущими появиться
вычитаниями, поскольку принципиальных трудностей они не
вызывают.
Таким образом, во всех случаях мы можем дополнить урав-
уравнение до квадрата суммы двух слагаемых, а в этой форме мы его
умеем решать. Такого рода заключение характерно для мате-
математического мышления. Чаще всего математик не берется непо-
непосредственно за решение данной задачи, а обрабатывает и преоб-
преобразовывает ее, пока она не принимает вид задачи, решение кото-
которой уже известно. Конечно, определяющим фактором является
удобство. Этот способ рассуждения иллюстрируется следующим
анекдотом, хорошо известным в математических кругах: «Имеется
газ, кран, коробка спичек и кастрюля. Надо вскипятить воду.
Как эти сделать?». Обычно ответ, данный в несколько неуве-
неуверенном тоне, имеет вид: «Зажигаю газ, наполняю кастрюлю
водой и ставлю ее на огонь». «Это верно. Но сейчас я изменю

82 /. Ученик чародея
задачу: все данные остаются те же с единственной разницей,
что в кастрюле уже имеется нужное количество воды. Что де-
делаешь ты в данном случае?»
Теперь отвечающий говорит уже в более уверенном тоне, бу-
будучи убежден, что сомневаться не в чем: «Зажигаю газ и ставлю
кастрюлю на огонь». А его собеседник замечает с презрением:
«Так поступает физик! Математик же выливает воду из кастрюли
и говорит: таким образом я привел задачу к ее предыдущей
форме».
Во всяком случае, это приведение к предыдущей форме и
является основной идеей при решении уравнения второй степени,
а отнюдь не формула, которая получается и которую ученик
зазубривает так хорошо, что может ее повторить и во сне, спустя
десять лет после выпускного экзамена.
Однако имеется еще одно затруднение: допустим, что мы до-
дополнили левую часть уравнения до полного квадрата суммы
двух слагаемых, но не можем найти число, которое, будучи
возведенным в квадрат, дало бы число, стоящее в правой части
уравнения. Например, (д:+3J=2.
Если на самом деле здесь представлено заранее задуманное
число, то это уравнение невозможно, но оно может возникнуть
в важных приложениях, при решении которых используются
уравнения. В этом случае появляется действие, обратное воз-
возведению в степень: ищем число, которое, будучи возведенным
в квадрат, дает 2. Это задача извлечения квадратного корня.
Так как она является обратной операцией, я изложу ее в спе-
специальной главе (там я займусь и вопросом: сколько решений
может иметь уравнение второй степени? Пока мы рады, если
находим хотя бы одно). Чтобы вас успокоить, я скажу заранее —
эту задачу действительно можно решить.
Тот, кто не опирается на формулы, а понимает по существу
ход рассуждения, может легко решать и уравнения высших сте-
степеней, но определенного вида. Пусть, например,
(х+1K=27. '
Так как 27=3-3-3=33, то число, куб которого равен 27, равно 3.
Следовательно,
Выражение (д:+1K может быть также разложено согласно фор-
формуле бинома, уже нам известной; из этой разложенной формы
можно опять увидеть, что она получилась от возведения в куб
суммы двух слагаемых. Однако дополнение до полного куба
удается сделать не для каждого уравнения третьей степени.
И все же существует общий прием решения уравнений третьей и

8. ч0. задумал число» 83
четвертой степени; здесь, кроме основных четырех операций
и извлечения квадратного корня, появляется еще и извлечение
кубического корня, а также корня четвертой степени, то есть
требуется найти число, куб которого или соответственно четвер-
четвертая степень равнялась бы данному числу, например 2.
Ветвь математики, занимающаяся уравнениями, называется
алгеброй. В средней школе алгеброй назывались все те главы
математики, которые не входили в геометрию. Несомненно, что
во всех областях математики (даже в геометрии) появляются
уравнения, так что у ученика может сложиться представление,
что математика является лишь наукой об уравнениях, а высшая
математика является, вероятно, наукой о более сложных урав-
уравнениях. И в самом деле было такое время, когда внимание мате-
математиков было приковано к алгебре, и по их мнению в этой об-
области развитие математики заключалось бы в том, чтобы после
решения уравнений третьей и четвертой степени найти способ
решения уравнений пятой степени, потом шестой, а затем все
больших и больших степеней. Нетрудно себе представить, на-
насколько были изущены математики, когда Абель *> дал условия,
при которых можно найти метод, позволяющий получить решение
уравнения произвольно высокой степени с помощью четырех дей-
действий и извлечения корня, а затем установил, что этому условию
удовлетворяют только все уравнения первой, второй, третьей и
четвертой степени. Следовательно, не может быть и речи о том,
чтобы найти с помощью наших операций общее решение урав-
уравнения пятой степени. Казалось, что исследователям в области
алгебры остается сложить оружие **'.
Здесь мы подходим к самому романтичному периоду в исто-
истории математики. Как раз тогда молодой француз в возрасте
двадцати лет, по имени Галуа ***>, был убит на дуэли. Ночью,
накануне смерти, он написал одному своему другу письмо, в
котором, как в завещании, изложил свои идеи, вызвавшие
*' Выдающийся норвежский математик Нильс Абель (N. Abel, 1802—1829)
опубликовал этот результат в 1824 году.— Прим. ред.
**' Невозможность найти общий метод (в смысле Абеля) решения
уравнения степени выше четвертой не делает математиков беспомощными,
когда в практических приложениях требуется решить конкретное урав-
уравнение. Умеют решать такие уравнения, когда практика этого требует. Дело
в том, что уже очень давно найдены различные способы приближенного реше-
решения уравнений.
Эти приемы позволяют, применяя основные четыре действия и извлечение
корня, приближаться постепенно все точнее и точнее (с любой степенью точ-
точности) к искомому решению.— Прим. ред.
***) О жизни и творчестве великого французского математика Эвариста
Галуа (Е. Galois, 1811—1832) см.: А. Д а л ь м а. Эварист Галуа — революцио-
революционер и математик. М., Физматгиз, 1960 и Л. Инфельд. Эварист Галуа. (в сер.
«Жизнь замечательных людей»), «Молодая гвардия», 1958.— Прим. ред.

84 /¦ Ученик чародея
новый подъем алгебры, потерявшей, казалось, смысл своего
существования.
Хотя и не существует общего метода решения уравнения пятой
степени, однако специальные уравнения пятой степени могут
быть решены. Например, уравнение *8=32, а также и уравнение
(*-|-1)8=32 можно решить очень легко: 32=2-2-2'2-2=25, так
что решением первого уравнения является:
а поскольку х+1=2, во втором уравнении его решением будет
х=1. Но могут быть решены и уравнения другого вида. Приведу
вам в качестве примера лишь такое:
В этом случае одно решение будет, конечно, х=0, потому что
все степени и все кратные числа 0 равны 0, следовательно,
05-(-2'04-|-0 действительно равно 0.
Алгебраические исследования переходят, таким образом, на
новое поле битвы; даже если мы не можем додуматься до откры-
открытия какого-либо общего приема, все же интересно увидеть, какие
уравнения высших степеней решаются с помощью наших опе-
операций.
Завещание Галуа дает нам один из методов решения этой
задачи.
Его метод оказался очень плодотворным; благодаря ему ал-
алгебра, дошедшая до мертвой точки, расцвела снова еще более
мощно, чем раньше. Там, где математике нанесено повреждение,
там скапливаются все силы, растут новые побеги и начинается
возрождение. В память о Галуа этот новый побег алгебры назы-
называется теорией Галуа. Я хотела бы обратить внимание читателя
еще на одно обстоятельство: в алгебре мы встретили впервые
одно явление, специфическое для математики; эта наука в со-
состоянии доказать собственными средствами свою неспособность
в определенной области. В последующем мы еще встретимся
с такими ситуациями.

ЧАСТЬ -ВТОРАЯ
СОЗИДАТЕЛЬНАЯ ФОРМА
9. Числа, разбегающиеся по разным
направлениям
В предыдущих главах мы дали ряд обеща-
обещаний: все они относятся в большей или меньшей степени к изу-
изучению обратных операций. Пришло время заняться этими опе-
операциями.
Из всех обратных операций наименее опасной кажется опера-
операция вычитаяия. Рассмотрим эту операцию. Сложение может
быть обращено таким образом: известна сумма двух чисел, пусть
она равна 10; одно из слагаемых равно 6, чему равно второе
слагаемое? Конечно 4, потому что, если из 10 вычтем данное
слагаемое, останется 4. Все получается очень легко. Где же здесь
трудность?
Однако небольшое затруднение имеется; прежде чем привести
пример с числами 10 и 6, я должна была немножко подумать.
В случае сложения я смогла бы остановиться, не думая, на лю-
любых двух числах натурального ряда; их можно сложить, да еще
в любом порядке. Но что получилось бы, если вышеуказанный
пример был бы сформулирован так: сумма двух чисел равна 6,
одно из них равно 10, найти второе число. В данном случае само
утверждение является очевидной несуразицей, так как сумма
не может быть меньше любого из своих слагаемых. Поэтому при
вычитании мы должны быть внимательны и выбирать числа так,
чтобы уменьшаемое было больше вычитаемого.
И это все? Конечно, читатель скажет про себя: «Если это все,
то, конечно, не стоило откладывать эту простую операцию на
столь долгое время. Ведь никому и в голову не придет взять
из чего-то больше, чем там имеется, а разумные вычитания вы-
выполняются без всяких затруднений».
Все было бы в порядке, однако существуют случаи, когда
необходимо вычесть из меньшего числа большее.
Давайте вспомним задачу, в которой требовалось угадать,
через сколько лет возраст отца будет в два раза больше воз-
возраста сына. На этот раз я ставлю тот же вопрос, но отно-

86 //. Созидательная форма
сительно отца, которому 52 года, и сына, которому 27 лет. Рас-
Рассуждения те же, что и раньше; искомый момент наступит через
х лет; отцу будет 52+д;, а сыну 27+д: лет. И я утверждаю, что
Ь2+х=2-B7+х).
Поступая, как раньше, выполним в правой части уравнения
операцию умножения:
52+х=54+2д;;
соберем неизвестные в правую часть уравнения, то есть перене-
перенесем х из левой части в правую-в качестве вычитаемого, а взамен
перенесем число 54, также в качестве вычитаемого, в левую
часть:
52—54=2д:— х;
если из 2х вычитаем одно х, останется одно х:
52—54=х.
Но тут мы и застряли: число, которое мы ищем, должно быть
результатом невозможного вычитания 52—54.
В этом случае можно было бы сказать: раз неизвестная
равняется результату вычитания 52—54, то сам вопрос был
поставлен ошибочно; отец никогда не будет в два раза старше
сына.
Но рассмотрим поближе возрасты, о которых идет речь в на-
нашей задаче: 52 и 27. Кто имеет определенное чувство чисел, по-
понимает, что двумя годами раньше отцу было 50 лет, а сыну 25,
значит, тогда отец был в два раза старше сына.
Следовательно, необходимо несколько изменить формулиров-
формулировку задачи: сколько лет тому назад возраст отца был в два раза
больше возраста сына?
В этом случае с уравнением затруднений не получится:
х лет тому назад все были на х лет моложе, значит, тогда возраст
отца равнялся 52—х, а возраст сына 27—х; таким образом, мы
можем утверждать, что
52—д;=2B7—х).
Разность из правой части уравнения умножается на 2, то
есть умножается на 2 как 27, так и х (если, например, надо было
бы выполнить умножение 2-99, можно было выполнить так:
умножаем 100, вместо 99, на 2, а затем из полученного произве-
произведения 200 вычитаем 2; здесь мы рассмотрели число 99 как
разность между 100 и 1, поэтому удвоенное, оно равно
2.Ю0—2-1):
52—x=54—2x.

9. Числа, разбегающиеся по разным направлениям 87
На этот раз соберем неизвестные в левую часть уравнения,
то есть вычитаемое 2х перенесем влево в качестве слагаемого:
2л;+52—х=54;
а теперь перенесем число 52 из левой части в правую в качестве
вычитаемого:
2д_д;=54—52.
Здесь вычитание выполняется легко:
х=2,
что мы и ожидали согласно второй формулировке задачи.
Но мы слишком много трудились. Сначала работали по ста-
старому методу; когда споткнулись, вернулись туда, откуда начали;
сформулировали иначе задачу и начали все сначала, несмотря
на то, что решение было под рукой. Вернемся к тому месту,
где мы споткнулись: выражение
52—54
настолько красноречиво, что мы почти слышим, как оно кричит:
«Я открываю перед вами тайну, что моя разность равна 2. Даже
больше, я говорю, что эти 2 года надо искать в обратной стороне,
то есть не после, а перед настоящим моментом. Почему вы не же-
желаете расшифровать меня в этом смысле?»
Таким образом, представляется случай приписать определен-
определенный смысл даже разности 52—54, считая ее равной в точности
значению разности между 54 и 52, но с оговоркой, что она имеет
смысл, противоположный обычному смыслу этой разности. Учи-
Учитывая, что в данном случае требуется вернуться обратно во вре-
времени, то есть надо вычесть из нынешнего возраста отца и сына
по 2 года, мы обозначаем это число со знаком вычитания:
52—54=—2.
В соответствии с этими рассуждениями мы должны все числа,
о которых мы говорили до сих пор, снабжать знаком +; потому
что если результат нашей операции показал бы, что искомый
момент будет иметь место через 2 года, то надо было бы приба-
прибавить к нынешнему возрасту по 2 года. Так что (когда мы желаем
уточнить этот факт) мы пишем знак +.
Это не единственный случай, когда, говоря о какой-либо
величине, требуется указывать и ее направление. Если в зимний
день мы говорим, что на улице температура 4 градуса, то факти-
фактически мы не назвали эту температуру. Надо уточнить, указывая,
являются ли эти 4 градуса выше 0 или ниже 0. Для человека,
чувствительного к холоду, эта разница может иметь большое

88
//. Созидательная форма
значение. Аналогично мы выражаемся неточно, когда, говоря
о III веке, мы не указываем, идет ли речь о III веке до или после
начала нашей эры; или когда говорим о 15е географической дол-
долготы и не указываем, идет ли речь о 15е восточной или западной
долготы. И для бухгалтера имеет существенное значение поло-
положение, занятое суммой в 100 рублей в его книге, записана ли она
влево или вправо от средней линии, потому что большинству
людей не безразлично, увеличилось или уменьшилось их состояние
на 100 рублей, и они точно хотят знать величину вклада.
Во всех этих случаях количества, имеющие два направления,
могут быть снабжены знаком .+ и соответственно знаком —.
Им можно дать и названия: количества со знаком + называются
положительными, а со знаком — отрицательными. Отрицатель-
Отрицательные числа можно всегда себе представить как результат вычи-
вычитания, когда из меньшего положительного чис-
числа вычиталось большее.
Например: температура на улице 5е выше 0,
а затем понижается на 8е. Это понижение озна-
означает уменьшение температуры, так что мы можем
полагать, что речь идет о результате вычитания.
Температура в 5е уменьшается на 8*; следова-
следовательно, мы должны пройти через точку 0е;
таким образом, получим 3е ниже 0, то есть
—3°: 5—8=—3.
Такого рода вычитание всегда приводит нас к
переходу через 0 в противоположном направле-
направлений. Чтобы графически изобразить на оси количе-
количества, снабженные знаком их направления, надо
нанести положительные числа в одном направлении (обычно их
откладывают вправо), а отрицательные числа в противоположном
направлении:
-
•
.
ч
-5
¦4
¦ 3
¦ г
¦ 1
-0
• 1
¦ 2
¦з
ё
-2 -/
-t-
-t-
+ / +2
Эту ось можно рассматривать точно так же, как в случае
вышеуказанных примеров, относящихся к величинам с проти-
противоположными направлениями; вообразим, например, что эта ось
представляет собой шоссе, на котором в точке 0 помещен ука-
указатель:
¦ Ленинград
п
п
Москва
п
п.
Зт 2км 1км Калинин 1км 2км Зкм

9. Числа, разбегающиеся-по разным направлениям
89
Но имеются случаи, когда нас интересует лишь «абсолютное»
значение чисел, а не их направление. Например, когда мы изме-
измеряем расстояние между двумя точками или когда говорим, что
длина змеи равна 3 метрам, о знаке речь не идет. Никто ведь
по-серьезному не скажет, что ее длина от хвоста до головы равна
3 метрам, а от головы до хвоста опять 3 метра, так что всего
6 метров.
И конечно, следовало ожидать, что и в математике выявятся
противоположности; противопоставления являются ведь столь
характерными для человеческого мышления: да и нет, свет и
тень, тезис и антитезис. Но более тонкий интеллект отмечает
не только резкие противоположности; он выявляет, что при пере-
переходе от света к тени существуют неисчислимые переходные фазы.
Из одной исходной точки могут идти дороги не только в двух
направлениях, а во всех направлениях розы ветров. Поэтому
полупрямая, на которой мы изображали графически натураль-
натуральные числа, должна быть дополнена не только ее антиподом,
направленным в противоположном направлении, но и бесконеч-
бесконечным множеством путей, проходящих как радиусы через точку
нуль.
Это не какая-то неопределенная идея, а идея о величинах,
имеющих любое направление, о так называемых «векторах»,
играющих важную роль в физике. Движение может иметь любую
ориентацию, сила может действовать в любом направлении.
А результат воздействия нескольких таких величин, имеющих
различные направления, часто нас интересует, как, например,
в случае, когда желаем найти эффект двух сил, действующих

90 //. Созидательная форма
одновременно. Таким образом, имеет смысл говорить о вычисли-
вычислительных операциях с векторами.
Любой гребец знает, что когда пересекаешь реку перпенди-
перпендикулярно, то не попадешь на другом берегу в точку, противопо-
противоположную точке отправления, а ниже, потому что лодка движется
не только под действием его весел, но и под действием течения
воды:
В стоячей воде лодка двигалась бы по направлению пунктир-
пунктирной линии; в реке, если бы гребец не греб, лодка пошла бы по
течению по направлению жирной линии. Под одновременным
влиянием обоих воздействий она будет скользить вдоль преры-
прерывистой линии и дойдет до точки, куда пришла бы, если бы дви-
двигалась по каждому из этих путей отдельно и последовательно:
\ или в обратном порядке |
ч ! I
41
Какой бы ни был порядок пройденных путей, лодка достигла
бы одной и той же точки; таким образом, и в этом сложении
порядок слагаемых может быть изменен. Это сложение можно
рассматривать как обобщенный счет; в направлении f надо
считать единицы одной «составляющей», затем счет продолжается
в направлении ¦*- единицами второго вектора, а затем ищем
вектор, который привел бы нас сразу в точ'ку, куда мы прибыли:
этот вектор называется «результирующим». Во всяком случае,
это сложение какое-то странное; мы складываем, например,
и получаем
причем результирующий вектор, измеренный точно, имеет 5 еди-
единиц; так что явно мы получили абсурдный результат: 3+4=6.

9. Числа, разбегающиеся по разным направлениям 91
Но здесь никак не позволено выражаться поверхностно. Надо
уточнить,'каковы направления и числа 3, и числа 4, и числа 5;
а если мы выясним этот вопрос, то не будет казаться нелепостью,
что сложение 3+4 дает сумму меньшую, чем 7, потому что эф-
эффект действия противоположных сил может равняться даже 0.
Говорят, что жители села Простакова имели одну повозку, в ко-
которую впрягали четыре лошади, а затем впрягли еще четыре
лошади, но, как ни старались лошади, повозка не сдвинулась
с места, потому что вторая четверка лошадей была запряжена
в противоположную сторону по отношению к первой.
Пока мы не будем больше касаться чисел, разбегающихся
по всем направлениям; мы удовлетворимся двумя противополож-
противоположными направлениями.
Мы только узнали, как складываются на оси положительные и
отрицательные числа. Если, например, требуется сложить +8 и
—5, сначала отсчитаем, начиная от нуля, 8 единиц:
8
1 1 1 1 1 1 1 f 1 1 1 1 1
..._5 —'+ -з -2 -1 0 Ч +2 +3 +4 +5 +6 +7
а от точки 8 отсчитаем влево 5 единиц:
\ ( н—| ( ь—h
••• -J -4 -3 -2 ?1 0 +1 +Z +3+4 + 5+6 +7 +«•••'
и таким образом доходим до +3; следовательно, сумма чисел
+8 и —5 равна +3..
Отметим, что важно для последующего, что:
то есть вместо того, чтобы прибавить отрицательное число, можем
выполнить простое вычитание.
На нашей оси и вычитание легко выполнить: оно представ-
представляет собой обращение предыдущего приема. Например, если
требуется вычесть из +2 число —3, то это значит, что идет речь
о сложении, результат которого +2, а одно из слагаемых равно
—3, и мы находим второе слагаемое. При этом сложении мы на-
начали так: пошли от 0 влево на 3 единицы
3
Ч 1-
••••_? -2-1 0. +1' +2 ••••

92 //. Созидательная форма
Но спрашивается, как мы поступили бы дальше, если в конце
концов мы должны дойти до +2? От —3 надо идти вправо на
5 единиц, чтобы дойти до +2.
..• -з -г -1 0+1+1'"
Следовательно, разность между +2 и —3 равна +5. Как инте-
интересно! Если к +2 мы прибавили бы +3, то получили бы тот же
результат. Так оно и есть: вмести вычитания числа мы можем
всегда выполнить сложение, но только тогда число нужно брать
с противоположным знаком. Можно было бы подумать, что раз
мы умеем выполнять сложение с отрицательными числами, то
умножение не вызывает никакого затруднения, потому что 3
раза —2 означает не что иное, как:
а если от —2 мы отсчитаем на оси еще 2 единицы и еще две еди-
единицы влево, то дойдем до —6:
Но если множитель отрицательное число? Число может быть
сложено само с собой подряд 2, 3, 4 раза, но какой смысл имеет
сложить его —2 раза? Теперь, имея некоторый опыт, мы не мо-
можем уже просто сказать: «Раз не имеет смысла, то мы не выпол-
выполняем это действие, а просто заявляем, что нельзя умножить
на отрицательное число». Дело в том, что отрицательные числа
потому и были введены, чтобы не подходить к решению одной и
той же задачи двумя способами, а чтобы поступать единым об-
образом. В случае умножения положение аналогичное: при рас-
рассмотрении задачи, которая решается умножением положительных
чисел, очень неудобно выделять и другие случаи и говорить:
в случае положительных чисел мы выполняем умножение, а в
случае отрицательных чисел мы делаем что-то иное. Рассмотрим
теперь, что означает это «иное действие», и назовем его умноже-
умножением и тогда, когда мы оперируем с отрицательными числами.
Мы имеем на это право, потому что вольны приписать опреде-
определенное значение тому, что до сего не имело никакого смысла.
Но не будем затягивать разговор. Один пример скажет нам боль-
больше многих общих рассуждений.
Если кто-либо, прогуливаясь с равномерной скоростью, де-
делает 3 км в час, какой путь он проделает за 2 часа? Ясно, что

9. Числа, разбегающиеся по разным направлениям 93
ответ на этот вопрос дает умножение. Если человек в час делает
3 км, то-за 2 часа он проделает 2-3=6 (км). Таким образом,
найдем длину пройденного пути, умножая скорость пешехода
на продолжительность прогулки. Теперь сформулируем задачу
так, чтобы как путь, так и время были бы выражены направлен-
направленными величинами. На пути имеется точка, которую назову
«здесь»; прогулку вправо будем считать положительной, а вле-
влево — отрицательной. Когда пешеход, двигаясь вправо, делает
3 км в час, будем говорить, что он движется со скоростью +3 км;
когда идет влево, будем говорить, что его скорость равна —3 км
в час. Наконец, выбираем определенный момент времени й назо-
назовем его «сейчас»; время, прошедшее после этого момента, назо-
назовем положительным, а время перед этим моментом назовем отри-
отрицательным. Исходной точкой будет всегда точка «сейчас пешеход
находится здесь».
Сейчас пешеход
находится здесь
...-6 -у _« -3 -2 -1 О *1 +2 +J +4 +S +6 • • •
Ограничимся лишь критическими случаями:
1. Кто-то гуляет со скоростью 3 км в час; сейчас он здесь.
Где он находился двумя часами раньше?
В этом случае ответом послужит результат следующего умно-
умножения: (—2)-(+3).
Проанализируем это положение: пешеход идет с положитель-
положительной скоростью, следовательно, шел слева направо; сейчас он
здесь, прибыл сюда (прошу показать пальцем на указатель),
значит, два часа назад пешеход находился влево от указателя,
а именно на расстоянии, равном пройденному за 2 часа пути:
2-3=6 (км). Пешеход находился на б км влево от указателя
в точке —б, следовательно,
6.
Итак, при умножении положительного числа на отрицатель-
отрицательное число получается отрицательный результат.
2. Пусть скорость равна —3 км в час; сейчас пешеход нахо-
находится здесь; где он находился двумя часами раньше? Ответом
на этот вопрос будет служить результат следующего умножения:
(-2И-3).

94 //• Созидательная форма
Отрицательная скорость означает, что пешеход шел влево; сейчас
он находится здесь (прошу снова показать пальцем на указа-
указатель); это возможно лишь в случае, если 2 часа назад он нахо-
находился вправо от указателя, а именно также на расстоянии б км.
Но 6 км вправо означает +6, следовательно, (—2)-(—3)=+6.
Итак, произведение двух отрицательных чисел положительно.
Здесь получается такое же положение, как в случае двойного
отрицания: «неправда, что я был невнимательным», это значит,
что я был внимательным.
Из правила знаков при умножении видно сейчас же, что
правило деления выглядит аналосично. Например,
(+6) : (-3)
означает, что надо найти число, которое, помноженное на —3,
дает +6; оно, конечно, равно —2. Отсюда же можем вывести и
правило знаков в случае возведения в степень:
(_2)в = (_2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = (+ 4) ¦ (+ 4) • (-2) =
= (+16) -(-2) = -32.
Вообще отрицательные множители, взятые по два, дают по
одному положительному результату; вопрос состоит лишь в том,
чтобы найти, остается или не остается множитель вне обра-
образованных пар, то есть будет иметь место следующее: степень
отрицательного числа с четным показателем будет положитель-
положительным числом, а с нечетным показателем — отрицательным.
В этом случае на основе единственного примера мы построили
правило для распространения умножения и на отрицательные
числа. Может возникнуть сомнение: не привел бы нас другой
пример к другому правилу?
Одно нас может успокоить, а именно, что новое правило умно-
умножения находится в полном соответствии со всеми правилами,
установленными раньше для умножения натуральных чисел,
а значит, мы можем его применить без боязни, потому что мы не
вступим в конфликт с изученной до сих пор математикой. На-
Например, и здесь верно правило, что можно изменить порядок
сомножителей, так как мы видели (и могли бы вывести и из при-
примера с пешеходом), что

10. Безграничная плотность
то есть
а из примера с пешеходом мы получали также, что
(_2
следовательно,
Впрочем, сколько бы раз мы ни вводили новые числа или
операции, мы должны всегда заботиться о том, чтобы они подчи-
подчинялись полностью существующим правилам, так как смысл их
введения и состоит как раз в том, чтобы получить единые пути
в решении задач, которые ставятся перед нами.
Не разрешается различать операции в зависимости от того,
с какими числами мы работали, с новыми или со старыми. Эта
осторожность в отношении расширения старых понятий назы-
называется принципом перманентности. Ряд натуральных чисел воз-
возник стихийно. Когда этот аппарат, который до определенного
момента работал безукоризненно, перестал так работать, чело-
человек был вынужден создать сознательно новые числа. В этом
созидательном труде ему помогла «форма». Действия с новыми
числами должны были удовлетворять вполне определенным тре-
требованиям, диктуемым законами, установленными для старых
чисел, причем от этих законов мы стараемся отклониться как
можно меньше. В этом сознательном творчестве, о котором мы
говорим, человек руководствуется следующим принципом: новое
число должно быть построено таким образом, чтобы оно вмеща-
вмещалось в ранее созданные формы.
10. Безграничная плотность
Для нашей новой задачи не требуется даже уравнения; и ре-
ребенок может быть поставлен перед делением, которое не может
быть выполнено в пределах натурального ряда чисел. Двое
детей должны разделить между собой яблоко; они уверены, что
ни один из них не получит целого яблока. Не задумываясь, они
его разрезают пополам
j яблока

96 //. Созидательная форма
и даже не представляют себе, что таким образом они расширили
опять понятие числа.
До сих пор мы считали число 1 неделимой единицей. Теперь
же вводим его половину в качестве меньшей единицы, и раз
сделан первый смелый шаг, то ничто нам не мешает разделить 1
на 3, 4, 5, ... и на любое число частей и вести счет в дальнейшем
этими новыми малыми единицами, полученными таким способом.
Это значит, что мы можем считать так: две половины, три поло-
2 3 4
вины, четыре половины... или, выражая в знаках: -к; -5-! vJ •••
Это обозначение не противоречит тому, что с помощью черты
мы раньше обозначали деление. Если надо разделить 2 на 3 части,
например, если трое ребят должны разделить 2 пирожных меж-
между собой, то они выполнят это деление, разрезая каждое пирож-
9
ное на 3 части и беря каждый по две третьих, то есть -^-пирожного:
ЪоОО
Число под дробной линией именует доли, то есть новые еди-
единицы, о которых идет речь; это знаменатель. Число над дробной
чертой сосчитывает, сколько таких единиц взято; это числитель.
Наша числовая ось сгановится еще богаче. Мы можем про-
проводить все новые и новые оси, на которых записываем единицы
все более и более мелкие. Вот несколько таких осей:
1 • • •
L 2...
2 2
1 г з ±
I J Т. з
• • i
1 I i ±
4 4 4 4
1 |
О I 1 I ± ? ? 1 I...
ев в в е 6 в в
| 1 •[,,!, |, ,„), П|М , | „„I 1 1 | I "I- '1 ' I '"I "I Н—
0 1 lL?Al.JLA&miilZ!2!il? «...
П. П П П /2 /2 П 72 /2 12 72 1Z П П 16. 72

10. Безграничная плотность 97
Среди чисел, выраженных единицами, фигурирующими на
разных осях, некоторые имеют одно и то же значение. Обратим
внимание на те, которые находятся в точности одни под дру-
другими; например,
L—L — L—1. 2l — L JL ¦
2 ~ 4 ~ 6 ~ 12 ИЛИ 3 ~ 6 ^ 9 '
отсюда видно, в чем именно состоят те преобразования, которые
не меняют значения дроби. Например, -^ имеет значение, равное
2 4 2
более простой дроби -g-; -g- можно «сократить», тогда получится -д-.
Сокращение выполняется делением как числителя, так и зна-
знаменателя на 2, то есть 4 : 2=2; 6 : 2=3; -q=j- Впрочем, это
естественно, прошу проверить и убедиться, что треть в два раза
больше шестой доли, а если от одной трети берем половину,
то получаем одну шестую.
Мы видим также, что -^ — это по сути дела одно целое, а
— это 1 целое и -^, что короче записывается так: 1-g-; это не-
неправильные дроби. Их значение не представляет собой части
целого; поэтому они и называются неправильными дробями *).
Очевидно, что на каждой оси можно выполнить сложение и
вычитание над новыми единицами путем простого счета; напри-
3 „ 5
мер, считая от -j еще две четвертых, дойдем до -^, так что
1 д. А — JL
4 + 4 ~ 4 "
Умножение на целое число выполняется таким же образом:
z 12~ 12^12 "
Переходя от -^ дальше и сосчитав еще пять двенадцатых, дойдем
Ю
на оси до j-2--
Однако когда ставится задача сложить числа, составленные
из различных единиц, то возникает небольшое затруднение.
Например, пусть требуется сложить
Здесь мы можем действовать обходным путем; ищем ось, на
2 3
которой имеется как число, равное -»¦, так и число, равное -j
*' Дословный перевод — «надъединичные дроби».— Прим. переводу
4 Заказ № 1753

Щ Tl. ЬозиЬатёльная форм
(если немного подумаем, то убедимся, что всегда сущесТЁует
такая ось). В нашем случае искомой осью является ось две-
двенадцатых долей. Например,
_8 __ 2_ JL — i.
12"" 3 ' а 12" 4 '
и, таким образом, это сложение может быть выполнено просто
на одной и той же оси: jg+jT,'
Когда ставится задача деления, то мы опять должны пере-
переходить с одной оси на другую *': прошу проследить по чертежу, и
1 1 2
вы увидите, что половина числа — равна -г, а четверть числа j
2
равна рг. Впрочем, это естественно, потому что если знамена-
знаменатель стал в четыре раза больше, то это показывает, что мы делим
целое на большее в 4 раза число частей, а этих частей берем
столько же, сколько и раньше; но тогда результат будет в 4 раза
меньше.
Если бы речь шла о пирожном, то это представлялось бы так:
Очевидно, что при применении к дробям любой из рассмотрен-
рассмотренных выше операций мы в результате получим снова какую-то
дробь (правильную или неправильную). То, что нам при этом
придется играть в какой-то новой тональности, не является
существенным.
Настоящая трудность возникает опять при умножении на
дробь: не имеет никакого смысла складывать что-то -к раза.
Однажды маленький ученик сказал: «Если один раз по 3 равно 3,
то -g- раза 3 равно о»***, и в этом он был до некоторой степени прав.
Впрочем, в данном случае помогает немного и обычное выра-
2
жение: «По высоте Петя -я- своего брата»; это означает, что рост
6
*' Это мне напоминает явление с электронами, когда они, излучая, пере-
переходят с одного энергетического уровня электронной оболочки атома на другой;
может быть, эта иллюстрация из современной теории атома окажется для не-
некоторых читателей полезной.
**' Значок э является нижней половиной цифры 3.— Прим. ред.

10. Безграничная плотность 99
2 2
Пети составляет -о- роста его брата. Взять -^ чего-то означает
не взять целое, а лишь две трети его, то есть два раза его третью
часть.
По сути дела такое же умножение выполняется в следующей
задаче: если 1 кг винограда стоит 40 коп., то 4 кг будут стоить
4-40=160 (коп.)—1 руб. 60 коп. Стоимость нескольких ки-
килограммов получается умножением цены одного килограмма
на количество купленного винограда. Теперь изменим вопрос
следующим образом: 1 кг винограда стоит 40 коп.; сколько стоит
¦J- кг? Здесь мы должны выполнить:
и результат этого умножения является ответом на вопрос.
Стоимость трех четвертей килограмма вычисляется, если взять
3 раза стоимость-г- кг. Стоимость -т кг составляет четвертую
часть 40 коп. (то есть 10 коп.). Эту стоимость надо сложить
3 раза (и получается 30 коп.), то есть -J--40 означает взять три
четверти сорока. Это действие выполняется делением на 4 и
умножением на 3.
Подобными же рассуждениями находим, что деление на -j-
выполняется путем умножения на 4 и деления на 3. Эти опера-
операции дают нам в результате также дроби, расположенные на одной
из наших осей, и можно доказать, что при этом новом расшире-
расширении понятия умножения все старые правила, относящиеся к
умножению, остаются в силе. Нас не должно удивлять, что в этом
случае иногда получается результат меньший, чем число, которое
2
мы умножаем. Действительно, если возьмем ^ раза некоторое
число, то это значит, что берем -j этого числа, а это, конечно,
меньше первоначального числа.
Умножение 20 на -j очень простое: надо взять одну четвертую
часть числа 20, что составляет 5. Также легко умножить на ¦„- »
-я-, -г, потому что в этих случаях задача состоит в том, чтобы
взять половину, одну треть, одну пятую множимого. Поэтому
полезно разлагать дробь на «основные дроби» *> с числителем,
равным 1.
"° «Основные дроби», то есть дроби с числителем 1, называются в математи-
математической литературе аликвотными дробями.— Прим. ред.

100 //. Созидательная форма
1 • ••
1 2 ...
2 2
2 3
3-3
|11 I |1
О 1 1 Л. ± 5 ...
4 4 4 4 4
| 1 1 Н Ь—« 1 1 1 = 1
О 1. I 2 ± ¦ ? ? 1 1...
I—I 1 1 11, 1 , | | | || н—I 1 1 Н—
П 12. П 12 (Z 12 /2 П 1Z 12 /2 11 12 11 П It
Например,
А —1-1.1
12 12"+" 12 *
4 1
Рассматривая соответствующие оси, увидим, что ^ равно -д-,
5 1,11 1
следовательно, i2=y+i2'но 12 ~ это четвеРтая часть числа у
(прошу проверить на осях). Таким образом, нижеследующее
умножение
4
можно выполнить, вычисляя сначала одну треть числа 84, что
дает 28, затем одну четвертую часть числа 28, что дает 7, а
28+7=35.
Для англичан этот способ особенно полезен, так как они со-
сохранили в своих единицах измерения следы различных систем
счисления; например, шиллинг делится на 12 пенсов, так что
они должны постоянно умножать на двенадцатые доли.
Мы видели, что все наши основные операции выполняются и
в области дробей. Рассмотрим еще один пример: кто-то решает
задачи по математике; самую легкую решает за -*- ч B0 мин),
О
над самой трудной ломает голову у ч C0.мин). Сколько времени
трудится он в среднем над одной задачей?
Над решением самой легкой и самой трудной задачи он рабо-
работает (-j+y)'*; если бы они были одинаковыми по трудности,
то на каждую из них потребовалось бы время, равное половине
вышеуказанной суммы. Вероятно, это будет время, затраченное
на решение задачи средней трудности. Вычислим это время:

10. Безграничная плотность 101
на оси_ шестых долей находим число, которое соответствует ¦*-, и
число, соответствующее -^
6 " 3 И 6 ~ 2 '
1 1
следовательно, сумма чисел т и 2~ Равна
б+"б ~ б '
а половина этой суммы (прошу проверить по осям) равна т^ —
на оси двенадцатых долей.
Таким образом, решение одной задачи длится в среднем т~ я
B5 мин); это, конечно, больше, чем время, необходимое для
решения самой легкой задачи, и меньше, чем время, необходимое
для решения самой трудной задачи.
Среднее любых двух чисел может быть вычислено, если взять
половину их суммы. При этом всегда полученный результат будет
числом, значение которого находится между двумя данными зна-
значениями; поэтому математики его и называют средним арифме-
арифметическим.
Если мы поразмыслим немного над этим примером, внешне
невинным, то увидим, что он открывает перед нами изумитель-
изумительные перспективы. Наложим сначала все наши вышеуказанные
оси на одну прямую. Теперь мы можем обозначить все наши дроби
на одной числовой прямой. До сих пор мы для каждой дробной
единицы имели свою ось, что для начала было более наглядно.
На общей же оси дроби с равным значением располагаются в
одной и той же точке (на оси, начерченной ниже, в каждой точ-
точке записывается дробь в том виде, в каком она возникла в пер-
первый раз):
I I I I I I—I I м I—I—mini—I i I I i i—ь-
n±.LLLLL2-lLL1± 1 II LI *. 12 1 Ш1 1 11 ?l г
П 6 4 3 11 2 /2 3 • 4 6 11 12 в 4 3 12 2 /2 3 4 6 /2
Эта ось довольно плотная, несмотря на то что мы совместим
на ней лишь несколько осей, взятых наугад; здесь не фигурируют
пятые, седьмые, тринадцатые, сотые доли и неисчислимое мно-
множество других. Если представим себе все эти дроби записанными
на нашей оси, то соответствующие им точки будут расположены
невообразимо тесно. Попробуем все же разобраться в их мно-
множестве.
Во-первых, мы видим, что среди них находятся и целые
числа; их можно понимать как дроби со знаменателем 1, Напри-

102 //. Созидательная форма
о
мер, дробь -г- означает 3 разделить на 1, а это равно 3. Целые
числа и дроби именуются общим термином: «рациональные' чис-
числа»*1. Это название наводит нас на мысль, что мы встретим еще
и другой вид чисел.
Поставим вопрос, какая дробь, не считая 0 (он может быть
понят как -_-, -о-, -г и т. д.), будет наименьшей? Очевидно, что
Л о 4
11
такой дробью не является -гх, потому что ^ меньше ее; если
число частей пирожного увеличивается на 1, то каждая часть
становится меньше. То же верно для всех дробей: -щ меньше,
чем -щ, у^у меньше, чем ущ. Следовательно, среди рацио.
нальных чисел не существует не только наибольшего числа
(его нет уже и среди целых чисел), но также нет и числа, мень-
меньшего всех чисел.
Таким образом, пересчитывание рациональных чисел нельзя
начать с наименьшего числа. Начнем тогда от произвольно
выбранной малой дроби: пусть это -^г, попытаемся пересчитать
хотя бы отсюда рациональные числа. Какая дробь следует за
г^? Это не может быть-^-, которая следует на нашей оси, так
как известно, что среднее арифметическое дробей-^ и -g- нахо-
находится между ними и, следовательно, это среднее будет лежать
ближе к ys. чем -~-. Как бы мы ни выбрали число, расположен-
расположенное правее дроби т~, можно получить среднее арифметическое
¦р; и этого числа, и это среднее опять будет ближе к т^» чем
данное число. Это значит, что за дробью -^ не может следовать
непосредственно другое число. Итак, отправляясь даже от опре-
определенного рационального числа, мы не можем пересчитать все
рациональные числа, большие этого числа. И вообще два ра-
рациональных числа, как бы близки они ни были на оси рациональ-
рациональных чисел, не являются непосредственно соседними, потому
что между ними всегда находится другое рациональное число.
Этот факт выражается в математических терминах так: множество
рациональных чисел «всюду плотно». Мы встречаемся с новым
аспектом бесконечности; после бесконечного возрастания ряда
Автор называет рациональными числами в данном случае лищь неот-
неотрицательные рациональные числа.— Прим. перевод.

10. Безграничная плотность
103
натуральных чисел или простых чисел мы имеем теперь неогра-
неограниченную плотность. В ряде натуральных чисел не существует
такого большого числа, чтобы за ним не следовало другое число,
еще большее. Когда математик говорит: ряд стремится к беско-
бесконечности, то точный смысл этого выражения и заключается
в том, что сказано выше. Мы установили, что, сколь бы мало
ни было рациональное число, существуют такие рациональные
числа, которые удалены от ^ на еще меньшее расстояние; это
1
выражают на математическом языке так: ут> является точкой
сгущения множества рациональных чисел; конечно, не только
1^, но и все остальные рациональные числа являются точками
сгущения этого множества.
И все же все рациональные числа могут быть расположены
в один ряд, если не требовать, чтобы они были расположены
по величине.
Когда мы изображали графически на разных осях дробные
единицы, мы видели, что рациональные числа могут быть раз-
разложены на бесконечное множество последовательностей. Для еди-
единообразия мы условимся в нижеследующей таблице записывать и
целые числа в виде дробей:
и так далее.
А теперь поставим перед собой задачу расположить рацио-
рациональные числа в один ряд. Это можно осуществить, записывая
одно за другим числа, расположенные вдоль косых линий, потому
что тогда очередь подойдет к каждому из всех этих чисел и по-
получится последовательность:

!04 //. Созидательная форма
_L 2 iililliiilAli
Т'Т'Т'Т'Т'Т'Т'Т'Т'Т'Т' 2' 3' 4' 5 ' * * •'
— ' ' i 1 I I 1 1J
в которой имеются группы, образованные из конечного числа
чисел; запись этих групп может быть продолжена всеми, кто
понял правило, по которому они составляются. Эту последова-
последовательность можно составлять и не смотря на косые линии в выше-
вышеуказанной таблице, так как легко заметить, что у единственной
дроби из первой группы сумма числителя и знаменателя равна 2;
во второй группе, содержащей две дроби, сумма числителя и
знаменателя каждой дроби равна 3; в третьей группе эта сумма
равна 4 и т. д., а в последней записанной нами группе сумма
числителя и знаменателя каждой дроби равна 6. На основе выше-
вышеизложенного, имея в виду, что 7=6+1=5+2=4+3=3+4=
=2+5=1+6, следующую группу можно составить так:
1 А А А 1. _!_
1 ' Y' Т' Т' "' Т '
1 I
а дальше любой может механически продолжить эту последо-
последовательность. Считается вполне определенной, если на основе
закона ее образования могут быть записаны любые ее члены,
как бы далеки они ни были. В нашей последовательности будут,
несомненно, и числа с одинаковым значением, что, впрочем,
мы встречали и при рассмотрении приведенных выше осей.
Если мы желаем записывать каждое рациональное число лишь
один раз, то мы должны дополнить правило образования после-
последовательности следующим условием-: сократимые дроби исклю-
исключаются.- Например, из той части, которую мы записали до сих
2 4 3 2 2 3
пор, исключим дроби у, у, у, -J-; из них у и -д- по значению
равны 1, дробь у равна -у, -т- равна ¦_-. Следовательно, в дей-
действительности последовательность рациональных чисел начи-
начинается так:
1
1 '
2
1 '
1
2 '
3
1 '
1
3 '
4
1 '
3
2 '
2
3 '
1
4 '
Ь
1 '
1
5
и может быть продолжена механически. Здесь можно назвать
подряд первый, второй, третий и т. д. члены, а значит, эта по-
последовательность может быть занумерована, что выражают не-
несколько неясным термином: последовательность является «счет-
«счетной».
Этот простой факт приводит к новому неожиданному след-
следствию: несмотря на бесконечную плотность рациональных чисел

10. Безграничная плотность 105
(то есть всех дробей), в определенном смысле имеется «столько же»
рациональных чисел, сколько и целых. Но как же можно срав-
сравнивать между собой два бесконечных множества? Это можно
сделать очень легко. Если надо узнать, равно ли число девушек
числу юношей в какой-либо школе танцев, то не обязательно
их сосчитывать. Достаточно сказать юношам: «Прошу пригласить
девушек на танец!» Если после выполнения нашей просьбы не
останется ни одного юноши без девушки и ни одной девушки
без юноши, то число девушек равно числу юношей. Этот способ
сравнения может быть применен и к бесконечным множествам:
если можно объединить попарно элементы двух бесконечных
множеств так, чтобы в любом из этих множеств не осталось ни
одного элемента без пары из другого множества, то говорят,
что эти множества имеют одинаковую мощность.
Последовательность рациональных чисел, только что запи-
записанную, можно объединять в пары с натуральным рядом чисел:
1,2,3,4, 5,6,7, ...
Число 1 можно объединить в пару с первым членом нашей
последовательности: с дробью у; число 2 можно объединить в па-
ру со вторым членом последовательности: у-; число 3 — с третьим
членом vht. д.; число 10 можно объединить в пару с десятым
членом нашей последовательности: -р. Если я желаю найти пару
для числа 100, то я составляю, согласно указанному правилу,
сотый член последовательности рациональных чисел; это число и
будет стоять в паре с числом 100. Очевидно, что каждый может
продолжить такое составление пар как угодно далеко и что
невозможно найти какой-либо элемент натурального ряда или
последовательности рациональных чисел, не имеющий соответ-
соответствующей пары. В этом смысле множество рациональных чисел
и множество натуральных чисел в самом деле имеют одну и ту же
мощность, несмотря на то что во всюду плотном множестве ра-
рациональных чисел целые числа вкраплены, как кажется, в ни-
ничтожном меньшинстве.
Здесь раскрывается новый важный факт: к бесконечности
надо относиться очень осторожно. Находятся люди, которые
думают, что идея «часть меньше целого» является всегда истин-
истинным логическим принципом. Но вышеприведенный пример про-
противоречит этому принципу: натуральные числа составляют ни-
ничтожную часть рациональных чисел и все же имеют с последними
одну и ту же мощность.
Человек вывел подобные общие логические принципы из мно-
множества опытов, но эти опыты были проделаны в конечной об-

106 //. Созидательная форма
ласти. Но попытки распространить и на бесконечность
принципы, выведенные на основании опытов в области конеч-
конечного, приводили нередко к большой путанице. Бесконечное
делает как бы скачок, не подчиняясь таким принципам.
И если все-таки мы противимся, как это всегда бывает,
допущению, что часть может быть равна целому, то это мож-
можно объяснить тем, что логические принципы опираются не
только на опыт, но и на неизвестные нам силы. То положе-
положение, что часть может соревноваться с целым, человек вос-
воспринимает как потрясение обычного миропорядка. При этом
он, пожалуй, ощущает некую- радость вкушения запретного
плода, проникая из мира строгих законов в свободную бес-
бесконечность.
11. Опять ловим бесконечность
Теперь оставим ненадолго бесконечность и вернемся в ося-
осязаемый доступный мир и вспомним, что руки, которыми мы пы-
пытаемся охватить этот мир, имеют 10 пальцев. Нельзя ли подо-
подогнать и дроби под десятичную систему счисления?
Известно, что влево от единиц находятся единицы в десять
раз большие, это — десятки; влево от них находятся в десять
раз большие — сотни и т. д. Можно сказать, что само собой напра-
напрашивается идея поступать так же и вправо, записывая справа от
единиц десятые доли, на втором месте десятые десятых, то есть
сотые, на третьем месте тысячные и т. д. Но эти новые единицы
должны быть каким-то образом отделены от остальных единиц,
так как иначе мы не увидели бы, что в выражении 12 1 означает
единицу, а 2 представляет собой две десятых; все читали бы это
выражение так: двенадцать. Поэтому здесь используется запятая
1,2.
Но нельзя забывать, что этот способ изображения является
лишь сокращенной записью следующего выражения:
так же как и
32,456 == 32 + уо + Too + Тооо '
Так мы приходим к десятичным дробям.
Все дроби со знаменателями 10, 100, 1000 или с любой другой
единицей десятичной системы счисления могут быть записаны
в десятичном виде.
23 20 3 20
Например, щ=щ+уоо> а Дробь щ может быть сокращена
23 2 3
делением числителя и знаменателя на 10, и получаем: fog^ro+Too

//. Опять ловим бесконечность 107
В этом случае, так как целых единиц нет, записываем:
Но любую ли дробь можно записать в виде десятичной?
Это преобразование более просто можно выполнить путем
деления, указанного дробной линией:
-g- = 6:5=1 и остаток 1.
Остаток раздробляется на десятые, и получаем вместо единицы
10 десятых. Число десятых, деленное на 5, дает в частном 2 де-
десятых.
6:5 = 1,2
10
Следовательно, -g-=l,2.
Аналогично -кс=7 : 25=0,2.
70
20
Здесь остаются 20 десятых; эти десятые раздробляются на
200 сотых, а если разделим 200 сотых на 25, получим 8 сотых:
7:25 = 0,28;
70
200
Итак, ^=0,28.
Но часто мы затрудняемся даже в самых простых случаях:
40
40
4
Это деление никогда не кончается; сколько бы мы ни про-
продолжали, все время получается остаток 4. Таким образом,
дробь -„ не может быть записана в виде десятичной дроби.
А как удобны вычисления с десятичными дробями!
Приведу один-единственный пример, чтобы показать, что
умножение на 10 десятичного числа — это просто детская игра.
Пусть надо вычислить: 45,365-10.
Надо подумать лишь о том, что 10 раз по 4 десятка дает
4 сотни, 10 раз по 5 единиц дает 5 десятков, 10 раз по 3 десятых
дает 3 целых и т. д. Сразу видно, что задача решается переме-
перемещением запятой на одно место вправо: 453,65.

108 II. Созидательная форма
Таким образом, значение каждого места, занимаемого соот-
соответствующими цифрами, переместилось влево и, например, де-
десятки стали сотнями. Если этот результат помножим еще раз
на 10, получим: 4536,5, то есть увеличенное в 100 раз исходное
число E единиц первоначального числа стали 5 сотнями). Отсюда
видно, что умножение на 100 можно выполнить, перемещая за-
запятую на два места вправо.
Деление на 10 можно выполнить перенесением запятой на
одно место влево. Это в самом деле легко! Как хорошо было бы,
если бы все дроби записывались в виде десятичных дробей!
Давайте посмотрим: где мы только что натолкнулись на за-
затруднение?
1 = 4:9 = 0,44...
40
40
4
В этом случае все время получается остаток 4, который, после
раздробления на меньшие единицы, становится 40, а 9 в 40
всегда входит 4 раза. Даже если это деление никогда не конча-
кончается, частное нам известно: число 4 повторяется до бесконечности.
Человек-практик может сделать следующее замечание: даже
если это деление кончилось бы на десятом члене, я все равно
не использовал бы полностью этот результат, потому что на
практике мне необходимы самое большее децилитры (а децилитр—
это одна десятая литра) или сантиметры (а сантиметр — это сотая
часть метра); возможно, иногда мне понадобятся и граммы
(а грамм — это тысячная часть килограмма); но ничтожные ко-
количества, которые остаются после тысячных, интересуют лишь
тех, кто копается в мелочах. Из этой бесконечной десятичной
дроби мне необходимы лишь 0,4, или 0,44, или 0,444, так что
в вычислениях я могу использовать вместо дроби -„- также нуж-
нужную мне из указанных конечную десятичную дробь.
Физику может потребоваться больше цифр, потому что он
работает с более точными количествами, но и для него имеются
так называемые пределы погрешностей. Физик умеет оценить
величину возможного отклонения при повторении определенных
опытов, отклонения, появляющегося благодаря несовершенству
органов чувств человека и инструментов, которыми он поль-
пользуется.
Так что десятичные знаки более мелкие в вычислениях фи-
физика уже не будут входить. Даже если предположить, что ин-
инструменты все время будут усовершенствоваться и что величина
погрешностей при измерении будет уменьшаться, всегда будет

//. Опять ловим бесконечность 109
существовать определенная допустимая погрешность, всегда мы
сможем, где-то остановиться, хотя и очень далеко, в данном ряду
десятичных знаков:
0,4444 ...
Правда, мы не знаем заранее, до какого разряда дойдем в да-
далеком будущем, но это не имеет значения. Мы точно знаем, что
можем идти как угодно далеко, потому что нам известно разло-
жение дроби -§ дальше любого предела; мы знаем, что будут
появляться вновь и вновь только 4.
Можно ли в этом смысле преобразовать любую дробь в деся-
десятичную? Или поставим вопрос иначе: если деление никогда не
кончается, то существует ли хотя бы какое-то правило, согласно
которому следуют друг за другом десятичные знаки, определяя
таким образом дальнейший ход всей операции?
Легко можно убедиться, что на такой вопрос дается утверди-
утвердительный ответ. Все эти разложения в десятичные дроби стано-
становятся рано или поздно «периодическими», рано или поздно в них
появляются группы цифр, которые повторяются.
21
Проанализируем, например, дробь ^.
Когда делим на 22, то во всяком случае остаток получается
меньше, чем 22; если деление никогда не кончается, то получен-
полученные остатки будут находиться среди следующих чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.
Предположим, что у нас имеется шкаф с 21 ящиком, каждый
из которых имеет в качестве номера одно из вышеуказанных
чисел. Если в процессе деления получается остаток 7, то мы
положим один шарик в ящик с номером 7. Продолжая терпеливо
деление, после 22 шага мы положим уже 22 шарика в какие-то
из этих ящиков. Но всего ящиков 21, а значит, можно сказать
с уверенностью, что будет существовать такой ящик, в котором
будут находиться^по крайней мере два шарика. Самое позднее
после 21 шага один остаток должен повториться! Но если пове-
повезет, то он повторится много раньше и, как только один из остат-
остатков появится во второй раз, все будет повторяться сначала.
Проследим это на нашем примере:
§ = 21:22 = 0,954
210
120
100
12

110 //. Созидательная формй
Стоп! Мы уже имели раньше остаток 12. Начиная отсюда
все повторяется:
21 : 22=0,9545454...
210
120
100
120
100
120
100
Значит, кроме одного «нерегламентнрованного» числа 9, числа 5
и 4 повторяются бесконечно.
Обратно, если мы имеем дело с десятичной периодической
дробью, мы можем всегда найти обыкновенную дробь, которую
она выражает.
Рассмотрим 0,9545454... и предположим, что нам неизвестна
обыкновенная дробь, из которой образовалась данная десятич-
десятичная периодическая дробь. Если она нам неизвестна, то мы ее
обозначим через х:
х=0,9545454...
Умножая это число на 1000, то есть перенеся запятую на три
места вправо, вместо целых получим как раз первый период
числа (вместе с «нерегламентированной» девяткой):
1000x^954,5454 ...
Если помножим х на 10, то на место целых получим как раз
«нерегламентированную» часть, находящуюся перед периодами,
то есть
10x^9,545454 ...
Вычитая из первого уравнения второе, отнимем Юх из 1000 х, и
остается 990х, а цифры справа от запятой соответствуют как
раз бесконечному повторению числа 54, так что в результате
вычитания они уже не фигурируют. Разность между 954 и 9
равна 945; таким образом, получим:
990х=945.
Перенесем теперь число 990 из левой части в правую в ка-
качестве делителя:
_945
Х ~ 990-
Эту дробь можно сократить на 45:
945:45=21, а 990:45=22
45 90

//. Опять, ловим бесконечность 111
21
Следовательно, х—™< то, что мы знали заранее.
Однако в этом рассуждении мы сделали один необдуманный
шаг: мы не учли бесконечность. Выше мы представили себе число
0,9545454 ... записанным не только до определенного места, а
до бесконечности, но умножили его как конечное число. По ка-
какому праву мы можем приписать числу 0,9545454... конечный
смысл?
Пожалуй, лучше проанализировать этот вопрос на более
простом примере. Также проблематично, например, можно ли
числу
1,1111...,
в котором 1 повторяется бесконечно, приписать конечный смысл.
Очень странно, что люди не возражают против такого бесконеч-
бесконечного десятичного разложения, но зато затрудняются, когда
дается бесконечное сложение типа: 1 + го+Ш+ТоЦо"+Тоооо+
до бесконечности. На самом-то деле это лишь другая форма
выражения того же сложения, о котором здесь шла речь. Соб-
Собственно говоря, я не протестую против возражений, относящихся
ко второй записи, скорее следует протестовать против принятия
всего без возражений в первой форме записи.
Верно, что последовательность
. \ J_ _l_ l_
' Гб' Too' Tool' Toooo' • • •
можно считать известной до бесконечности, раз любой может ее
продолжить как угодно далеко. И все же надо иметь большую
смелость, чтобы считать, что этот бесконечный путь был пройден
так, что все члены этой последовательности можно было бы
суммировать. Что в сущности означает сумма бесконечного ряда?
Один известный математик, еще будучи школьником, объяс-
объяснил понятие суммы бесконечного ряда с помощью такого при-
примера: «Существовала когда-то в продаже марка шоколада, для
рекламы которой фабрикант вкладывал в станиолевую упаковку
плитки шоколада талон, а кто набирал 10 таких талонов, полу-
получал взамен одну плитку шоколада (конечно, опять в упаковке).
Какова действительная стоимость такой упакованной плитки
шоколада?»
Конечно, стоимость упакованной плитки — это не только
стоимость шоколада, так как здесь имеется еще талон, а за один
талон фабрикант отдает ^ упакованной плитки шоколада (точ-
(точнее, за 10 талонов он отдавал целую плитку). Но десятая часть
упакоранрой плитки содержит также и одну десятую

112 //¦ Созидательная форма
лона, а если взамен одного талона можно получить ^ плитки,
то взамен ^ талона можно получить десятую часть одной деся-
десятой плитки. Эта щ упакованной плитки содержит в свою
очередь одну сотую талона, которая дает право получить одну
десятую одной сотой части упакованной плитки, но одна десятая
одной сотой равняется щд плитки и т. д.
Очевидно, что эти вычисления могут продолжаться до бес-
бесконечности, так что 1 плитка Шоколада в упаковке, то есть
вместе с талоном, в действительности имеет стоимость
1 4.-1 -i-_L j ! и
1 МО'МОО1" 1000 " • • •
С другой стороны, докажем, что стоимость этой плитки в упа-
упаковке равна 1-д- стоимости одного шоколада. Здесь 1 представ-
представляет собой стоимость одной плитки шоколада без упаковки, так
что остается показать, что талон соответствует -=¦ плитки шоко-
шоколада без упаковки. Для этого достаточно доказать, что 9 тало-
талонов соответствуют одной плитке шоколада без упаковки, так
как тогда будет ясно, что 1 талон соответствует -д- плитки шоко-
шоколада. Можно сразу доказать, что 9 талонов стоят столько же,
сколько одна плитка шоколада без упаковки.
Предположим, что у меня 9 талонов и я захожу в кондитер-
кондитерский магазин и говорю: «Прошу одну упакованную плитку шо-
шоколада; я съем шоколад здесь же, а затем заплачу за него».
Съев плитку шоколада и вынув из упаковки талон, я буду иметь
теперь 10 талонов, которыми и расплачиваюсь. Итак, сделка
закончена: я съел плитку шоколада и у меня не осталось ни
одного талона. Значит, эквивалентом 9 талонов является в точ-
точности 1 плитка шоколада без упаковки. Таким образом, один
талон эквивалентен -„- плитки шоколада без упаковки, а плитка
шоколада в упаковке вместе с талоном соответствует 1-д- плитки
шоколада без упаковки. Так что сумма бесконечного ряда
1 +±+_L + _J_+ •
МОМОО" 1000 ~т- • • ¦
равна в точности 1-д- и является осязаемой и даже съедобной.
Этот результат может быть сформулирован так: если какая-
либо величина при первой приближенной, грубой оценке имеет

//. Опять-ловим бесконечность 113
значение, равное 1, при второй, более точной оценке имеет зна-
значение 1+уо» а ПРИ тРетьем> eu*e более точном приближении
имеет значение 1+уо+уоо и т" д" д0 бесконечности, то абсо-
абсолютно точное значение этой величины равно 1-„- *'.
Теперь пришло время расплатиться с долгами из предыдущих
глав, потому что, имея понятие об абсолютно точном определе-
определении значения предыдущей величины, мы в таком же строгом
смысле говорим,, что площадь круга может быть аппроксими-
аппроксимирована с помощью площадей прямолинейных фигур, или утверж-
утверждаем закон простых чисел. Но вэтом поверьте мне на слово,
так как соответствующие доказательства потребовали бы длин-
длинных рассуждений, которым не место в данной книге.
В алгебре мы пользовались следующим приемом для опре-
определения некоторого числа: пусть х — число, которое после де-
деления на 2, умножения на 3 и сложения с 5 равно 11. Значит,
если это число х, то оно удовлетворяет уравнению:
Но теперь мы научились другому способу определения числа.
Область математики, в которой числа определяются с помощью
приближенных значений, но через приближенные значения ука-
указываются точно, называется математическим анализом.
Пойдем теперь в обратном направлении, а именно от 1 -^ .
Целое можно разбить на 9 девятых долей, так что
lI=-| + i- = ^=10:9=l,lll... до бесконечности,
10
10
10
10
1
а равенство числа 1 -„- с этим бесконечно продолжающимся раз-
разложением получило в предыдущих доказательствах строгий
смысл. В математических терминах это выражают так: последо-
последовательность «частичных сумм»
1; l,l = l + jg", 1,11 = 1 +jq + щ ; ...
*' Что вообще понимается под «приближенными значениями», будет рас-
рассмотрено в следующей главе.

114 //. Созидательная форма
сходится к пределу 1 -„-, или ряд
1 4 -L-4--L-4-
является сходящимся, и сумма его равна 1 -„-.
Мы ввели, таким образом, новое понятие суммы; надо было
бы проанализировать его, чтобы выяснить, удовлетворяет ли
оно старым правилам. Не желая входить в детали этого утоми-
утомительного анализа, я приведу лишь результат: и речи не может
быть о подчинении старым правилам. Бесконечность и в этом
случае опять не подчиняется нашим правилам. Поэтому одной
из целей математического анализа является выяснение вопроса,
в каких рядах можно произвольно изменять порядок членов и
производить группировку. Ряд, о котором шла речь выше: 1 +
+т^+щ+ . . . , обладает как раз такими свойствами. Но по-
попытаемся проанализировать следующий ряд:
1-1 + 1-1 + 1-1+ ...
Если мы здесь выполним действия в другом порядке, а именно
группируя члены по два:
1-1 + 1-1 + 1-1+...,
то мы получим ряд, в котором все члены равны 0 и, сколько бы
нулей мы ни складывали, результат получается также равным О,
следовательно, сумма этого ряда равна 0. Но если мы сгруппи-
сгруппируем члены так:
1-1 + 1-1 + 1-... ,
то получим ряд
а его сумма, конечно, равна 1. Значит, и речи не может быть
о том, чтобы здесь действия выполнялись в произвольном по-
порядке.
Но тем не менее всегда остается в силе правило: бесконечный
ряд может быть умножен почленно на определенное число.
Займемся дальше нашим результатом: если из
вычтем 1, то остается
0,1111...=1,

II. Опять.ловим бесконечность HS
а это, помноженное на 9, дает
0,9999 ... = -§¦ = 1,
а разделенное на 10 дает
0,09999 ...=0,1
и разделенное опять на 10 дает
0,009999 ... = 0,01
и т. д. Значит, конечные десятичные дроби 1; 0,1; 0,01; ... могут
быть записаны и .в виде бесконечного разложения, составлен-
составленного из нескольких нулей, за которыми следует ряд девяток.
Отсюда следует, что любая конечная десятичная дробь может
быть записана в виде бесконечного разложения двояко.
Например, конечная десятичная дробь 0,2 может быть запи-
записана один раз так:
0,200000
потому что, прибавляя 0 сотых, 0 тысячных, 0 десятитысячных
и т. д., мы число не изменим. С другой стороны, ее можно за-
записать и иначе:
0,199999 ... ,
потому что одна десятая, то есть 0,1, которую мы вычли из 0,2,
равна 0,099999... , а это мы и прибавили к 0,1. (Можно показать,
что двузначность только такого рода и может быть при десятич-
десятичном разложении чисел.)
В рассмотренном ряде
1 + То + Too + Тооо" + •••
каждый член представляет собой одну десятую предыдущего
члена или можно сказать, что каждый член в ^ раз больше,
чем предыдущий.
Прошу сопоставить это с арифметической прогрессией, в ко-
которой разность между двумя соседними членами одна и та же.
Ряды, в которых частное двух соседних членов одно и то же,
называются геометрическими прогрессиями.
Но мы не должны себе строить иллюзию, что умеем сумми-
суммировать любой бесконечный ряд. Рассматривая, например, гео-
геометрическую прогрессию:
1 + 10+100+1000+ ....
в которой частное двух членов равно 10, мы ясно видим, что
частичные суммы рано или поздно становятся больше любого

116 //. Созидательная форма.
числа (например, начиная с четвертого члена, они больше числа
1000), то есть эта прогрессия растет бесконечно. Более того, даже
геометрическая прогрессия, у которой частное двух соседних
членов равно 1, то есть за каждым членом следует член, в 1 раз
больший:
растет бесконечно, потому что каждая частичная сумма, начи-
начиная с тысячной суммы, больше тысячи, а начиная с миллионной
суммы, каждая частичная сумма больше, чем миллион, и т. д.
Если, наконец, за каждым.членом следует член в (—1) раз
больше, то, учитывая равенства: \-{—1)=—1, (—1) (—!)=+!,
(+1)(—1) опять равно —1 и т. д., мы получим ряд
1-1 + 1-1 + 1-1+ ... ,
о котором уже знаем много неприятных вещей. Его частичные
суммы равны последовательно:
¦ 1
1—1=0
1—1 + 1=0+1 = 1
1—1+1—1=0+0=0
и т. д. Эти суммы равны поочередно 1 и 0.
... _2 _/
Они все время колеблются между 1 и 0, а следовательно,
не стремятся ни к какому числу.
В случае когда частное двух соседних членов ряда равно от-
отрицательному числу с абсолютным значением большим, чем 1,
колебания все возрастают. Вот изображение этих колебаний:
Из рассмотренных до сих пор рядов мы смогли суммировать
лишь ряд 1 + р0+щ+1ЩГ+ •" • чт0> несомненно> связано

//. Опять, ловим бесконечность , 117
с тем, что члены этого ряда непрерывно уменьшаются, и если
мы идем достаточно далеко, то становятся сколь угодно малыми;
так что, пользуясь понятием, введенным в примере с шоколадом,
мы говорим, что они стремятся к нулю.
Таким образом, можно доказать, что величина, которая при
первом приближении имеет значение 1, при втором -^., при
третьем щ и т. д., должна иметь точное значение 0. В после-
последующем мы не будем формулировать эту идею всегда так подроб-
подробно, а будем лишь ссылаться на понятие точного значения, ис-
использованное в примере с шоколадом.
Можно было бы подумать, что в случае когда требуется сум-
суммировать бесконечный ряд чисел и все более и более удаленные
члены непрерывно уменьшаются, то эти члены все меньше и
меньше влияют на результат и, таким образом, все более и более
длинные частичные суммы представляют все более точно искомую
сумму.
Однако это свойство членов ряда неограниченно умень-
уменьшаться не является достаточным для того, чтобы можно было
суммировать ряд. Вот, например, последовательность
1 1 1 1 1
сходится к 0 (правда, медленнее, чем в предыдущем случае, где
после четвертого члена каждый член меньше, чем щ^; здесь
лишь после тысячного каждый член меньше щ™). и все же
частичные суммы ряда
1 ++ + + + + +
I I
бесконечно растут.
Это следует из такого рассуждения: из предыдущего известно,
что значение дроби уменьшается при увеличении знаменателя
(если целое разрезать на большее число ломтиков, то ломтики
будут меньшего размера). Следовательно, частичные суммы
уменьшаются, если вместо у записываем меньшую дробь -j,
а вместо каждой из дробей -=-, -s- и -=- записываем -sv вместо
0 0/ о

118 //. Созидательная форма
-а> Тл. тт. То. 75' 77 и rs записываем те и так далее — вооб-
У 1U 11 LZ 1о 14 1О 10
ще когда доходим до члена, знаменатель которого является сте-
степенью числа 2 D=22, 8=23, 16=24), то заменяем каждый из
группы предыдущих членов этим членом. Тогда частичные сум-
суммы ряда
1 4-1-4-1-4-1-4-1-4-1 i 1.4-1-4-
'2'4'4'8'8 Г8'8~'
J_J_J_J_J_J__1__1_
•" 16 + 16 + 16+ 16 ^16+ 16 + 16+ 16 •""•
I : 1
безусловно будут меньше, чем частичные суммы предыдущего
ряда. Значение каждой из этих групп в отдельности равно:
1.12 1
х + т = х после сокращения у
~8~ + lF + ir + 1F = lF >} * ~2~
1 + 1 + 1 + 1-4-1+1+1 + 1 » » — И Т
Очевидно, каждая группа дает результат у, а 2000 раз по
у дает 1000, а 2 миллиона раз по у равно 1 миллиону; таким
образом, частичные суммы полученного ряда становятся больше
любого числа, а значит, тем более это будет верно для частичных
сумм исходного ряда.
Итак, чтобы можно было просуммировать бесконечный ряд
положительных чисел, недостаточно, чтобы его члены постепен-
постепенно приближались к 0; они должны приближаться к нулю очень
быстро.
12. Числовая ось заполняется
Десятичное разложение дробей дало нам результаты удиви-
удивительной закономерности: получаются только конечные десятич-
десятичные дроби или десятичные дроби, в которых повторяется один и
тот же период. Мы уже смирились с мыслью рассматривать и
бесконечное десятичное разложение как единственное и опре-
определенное число, так как, отправляясь, например, от числа
1,1111... , мы пришли к выводу, что оно равно 1-д-. Неминуемо
возникает вопрос: существуют ли бесконечные десятичные дроби,
не являющиеся периодическими? И что же, им, наверное, уже
не будет соответствовать число?

12. Числовая ось заполняется 119
Ничто не может помешать нам записать красивый и правиль-
правильный ряд десятичных знаков, ряд, который может быть продолжен
сколь угодно далеко так, чтобы видно было его систематическое
строение и все же чтобы он не содержал повторяющиеся перио-
периоды, например:
0,101001000100001000001... .
Правило его составления очень простое: за цифрой 1 следуют
один 0, затем два 0 и т. д. прибавляется по одному нулю. Здесь
не может идти речь о периодичности, потому что если число было
бы периодичным, то цифры 1 должны были рано или поздно
повторяться на равных интервалах. Следовательно, это число
не может являться разложением дроби: его частичные суммы
не могут сходиться к рациональному числу.
Покажем, что они все же сходятся к чему-то, к некоторому
пробелу во множестве рациональных чисел; а тогда станет ясно,
что среди рациональных чисел, несмотря на их безграничную
плотность, остаются незаполненные пробелы.
Останавливаясь в нашем разложении на десятых, мы прене-
пренебрегаем множеством остальных цифр, значит, последующие
частичные суммы все больше, чем 0,1. Однако все частичные
суммы меньше, чем 0,2, потому что только в случае, когда все
цифры, которые следуют за вышеуказанной десятой, были бы
равны 9, число
0,19999 ...
равнялось бы 0,2, в соответствии с замечанием из предыдущей
главы. В этом случае все частичные суммы располагаются между
0,1 и 0,2, то есть они находятся на участке числовой оси, выде-
выделенном на чертеже утолщенной линией
I Й 1 Н 1 1 4 1 1 1 1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
а значит, любая точка этого промежутка может быть рассмотрена
как первое приближение к значению этого числа.
Если мы остановимся на тысячных долях, то ясно, что ча-
частичные суммы содержатся между
0,101 и 0,102.
Это можно изобразить на чертеже лишь очень приближенно,
потому что точки расположены слишком близко одна от другой
(они разнятся на одну тысячную). Точки этого промежутка,
расположенного полностью внутри первого, дают уже более
хорошее приближение. Продолжая этот прием, мы убеждаемся,

120 //. Созидательная форма
что все частичные суммы, достаточно длинные, содержатся во
все более и более узком промежутке, каждый из которых вклю-
включен в предыдущий:
0,101001 и 0,101002
0,1010010001 и 0,1010010002
Если бы эти промежутки между числами не уменьшались
так быстро, их изображение было бы таким:
I интервал
Длина этих промежутков равна соответственно:
0,1; 0,001; 0,000001; 0,0000000001,
то есть равна одной десятой, одной тысячной, одной миллионной
единицы и т. д.; они сходятся естественно к 0 (сходятся так стре-
стремительно, что невозможно проследить за ними ни графически,
ни словесно). Наши частичные суммы, достаточно длинные,
теснятся в этих промежутках, которые безгранично убывают.
Это вхождение одного промежутка в другой подобно детской
игрушке, составленной из ряда все более и более мелких куби-
кубиков, вложенных один в другой *\ или подобно шутливрму
подарку — «обманному пакету», распаковывая который .захо-
.заходят новую обертку; продолжая терпеливо распаковывать, нахо-
находят все время новые и новые слои обертки; большой пакет
становится все более тощим, и в конце концов, дойдя до его со-
содержания, находят какую-нибудь маленькую штучку или просто
комочек бумаги. Однако досадное занятие распаковки такого
пакета не является бесконечным.
В нашем же случае этот процесс продолжается бесконечно.
Второй промежуток находится внутри первого, третий нахо-
находится как внутри первого, так и внутри второго, четвертый
является общей частью предыдущих и так далее. Наблюдая за
этим процессом, мы видим, что даже при продолжении до беско-
бесконечности построения промежутков, помещенных один в другом,
то, к чему они стягиваются, является общей частью всех проме-
промежутков. Но можно доказать, что существует не более одной точки,
*' Можно упомянуть также «матрешку». — Прим. ред.

12. Числовая ось заполняется 121
общей для всех промежутков. Действительно, предположим,
что мы нашли такую общую точку, но кто-то утверждает, что
нашел пример, противоречащий моему утверждению, то есть
что существует точка, которая хотя и не является точкой, ука-
указанной нами, но все же содержится во всех промежутках. Пусть
этот кто-то вовсе не утверждает, что его точка далека от нашей,
но, чтобы было яснее, я нарисую здесь довольно большое рас-
расстояние. (Однако наше рассуждение может относиться и к сколь
угодно малым расстояниям.)
2 тысячных
-4= i
моя точка его точка
Как бы близки ни были эти две точки, если они различны,
то между ними имеется.вполне определенное расстояние; пусть
это будет 2 тысячных единицы длины. Половина этого расстоя-
расстояния равна 1 тысячной. Длина вложенных друг в друга проме-
промежутков стремится к 0, а значит, рано или поздно все промежутки
будут короче даже 1 тысячной единицы длины. Наша точка при-
принадлежит всем промежуткам, но даже если она находится на ле-
левом крае промежутка, который короче одной тысячной, то пра-
правый край этого промежутка не может достичь точки, располо-
расположенной на расстоянии двух тысячных.
1тысячная
моя точка его точка
Таким образом, указанная для опровержения моего утвержде-
утверждения точка, конечно, не войдет в такой промежуток, а следова-
следовательно, и в более мелкий промежуток. Таким образом, невоз-
невозможно, чтобы эта точка являлась общей для всех промежутков.
Итак, бесконечное множество рассматриваемых промежутков
имеет единственную общую точку, поэтому, учитывая, что
все достаточно длинные частичные суммы разложения
0,1010010001... расположены на одном из таких промежутков,
мы видим, что изображения этих сумм приближаются все боль-
больше и больше к этой точке, то есть они сходятся к ней.
Так мы открыли на нашей оси точку, которой до сих пор не
соответствовало никакое число; как бы густы ни были дроби
.на оси, этой точке не могла соответствовать никакая дробь, так
как мы знаем, что десятичная форма обыкновенной дроби явля-
является периодичной, а разложение 0,1010010001... никогда не ста-
становится периодичным. Наша точка является абсолютно точной

122 //. Созидательная форма
точкой, расположенной на вполне определенном расстоянии
от точки 0, но, если попытаемся измерить это расстояние, мы
не сможем этого сделать ни целыми единицами, ни их дробными
частями. Следовательно, до сих пор это расстояние не имело ме-
меры. Чтобы заполнить этот пробел, мы будем говорить, что мерой
этого расстояния является «иррациональное число»:
0,101001000100001... ,
другими словами, под видом нового числа мы видим нечто быв-
бывшее неизвестным до сих пор, но вполне определенное, которое
аппроксимируется рациональными значениями все более и более
точно. Для практического человека, для физика, это число не
менее применимо, чем разложение -g- =0,444..., потому что при-
приближение этого числа рациональными значениями возможно
с любой степенью точности: ведь нам известны все его десятичные
знаки, которые когда-либо могут потребоваться, так как согласно
сказанному выше известен некий закон их образования.
Совершенно таким же образом можно доказать, что любому
десятичному бесконечному непериодическому разложению, об-
образованному на основе вполне определенного закона, соответ-
соответствует одна точно определенная точка, то есть точное расстояние,
измеренное от точки 0 числовой оси. Мы будем рассматривать
любое подобное десятичное бесконечное разложение как меру
соответствующего расстояния и называть его иррациональным
числом.
Может быть, все эти соображения кажутся вам очень аб-
абстрактными, но у меня была когда-то одна четырнадцатилетняя
ученица, Ева, которая сама открыла, что существуют расстояния,
мера которых не может быть выражена никаким целым числом
или обыкновенной дробью. Ей была поставлена следующая за-
занимательная задача: имеется пруд квадратной формы, в вершинах
которого посажено по одному дереву.
Хозяева хотят увеличить его, а именно удвоить его площадь,
не изменяя его квадратную форму и не трогая деревья. Ева

12. Числдвая ось заполняется
нашла, что решением задачи является
121
Действительно, большой квадрат имеет площадь в два раза боль-
больше площади малого квадрата, так как, проведя в последнем
диагонали
мы видим, что, поворачивая полученные четыре треугольника
наружу, получим большой квадрат
Следовательно, ясно, что к первому квадрату прибавилась в точ-
точности еще один раз его начальная площадь.
Но школьница Ева не удовлетворилась этим. Ей было любо-
любопытно узнать длину сторон нового пруда, если каждая сторона
первоначального пруда равнялась 1 км.
Площадь старого пруда равнялась 1-1 = 1 квадратному ки-
километру; площадь большого пруда.будет вдвое больше, то есть
2 кв. км. Возникает вопрос: какое число, возведенное в квадрат,
равно двум?
Так мы пришли к действию, обратному возведению в квадрат:
к извлечению квадратного корня. А задача, которая ставится,
состоит в вычислении У\ так как У~2 обозначает число; если
оно существует, то квадрат его равен 2.
Ева попыталась решить задачу: сторона малого квадрата
имеет длину, равную I км, а сторона большого квадрата будет,

124 //. Созидательная форма
конечно, больше. Но она не может равняться 2 км, потому что
в этом случае его площадь равнялась бы 2-2=4 кв. км. Следо-
Следовательно, длина большой стороны заключена между 1 и 2 км.
Тогда Ева попыталась возвести в квадрат числа, на не-
несколько десятых больше 1. Путем нескольких проб она нашла,
что
1,42=1,4-1,4=1,96, а 1,52= 1,5-1,5=2,25,
1,96 меньше, а 2,25 больше площади большого пруда. Сле-
Следовательно, длина искомой стороны находится между 1,4 и
1,5 км.
Учитывая и сотые доли километра между 1,40 и 1,50, она
нашла, что искомая длина расположена между 1,41 и 1,42 км.
Продолжая эти вычисления, Ева пришла к убеждению, что она
не найдет числа, квадрат которого равнялся бы двум. «И все же
должно существовать такое число, ведь я нарисовала здесь чер-
черным по белому сторону большого квадрата!»
Интуиция Евы была правильной: не существует рациональ-
рационального числа, квадрат которого дал бы 2. Ева уже показала, что
не существует целого числа, квадрат которого равнялся бы 2,
так как искомое число находится между 1 и 2, а между 1 и 2
нет целого числа. Приходится исследовать дроби между 1 и 2.
Сначала сократим эти дроби, чтобы они стали несократи-
несократимыми. Их знаменателем не может быть 1, потому что, например,
-у равно 3 целым, а между 1 и 2 не существует другое целое
число. Очевидно, и квадраты несократимых дробей также не-
несократимы, потому что, например,
15\2_15-15
UJ 4-14 '
а дробь уг не может быть сокращена, так как
15=3-5 и 14=2-7,
то есть числа 15 и 14 не имеют ни одного общего простого мно-
множителя.
После умножения этих дробей самих на себя новых общих
множителей в числителе и знаменателе не появится:
3-5\2 3-5-3-5
2-7-2-7 '
так что о сокращении говорить.не придется. Известно, что не-

12. Числовая ось заполняется 125
сократимая дробь, у которой знаменатель не равен 1, никак
не может равняться 2.
Попытки Евы представляют собой начало построения вло-
вложенных интервалов и одновременно начало десятичного разло-
разложения числа У2. Во всяком случае десятичная форма числа,
находящегося между 1 и 2, начнется так:
1, - ;
все числа, которые начинаются так, могут быть рассмотрены
как первое приближение числа Y2.
Если известно, что это число находится между 1,4 и 1,5, то
его десятичная форма продолжается следующим образом:
1,4 ... .
Числа, которые так начинаются, дают лучшее приближение;
а если известно дальше, что искомое число находится между
1,41 и 1,42, то десятичная форма продолжается так:
1,41 ... .
Теперь надо было бы разделить расстояние между 1,41 и 1,42
на тысячные, чтобы увидеть, какое именно из чисел 1,410;
1,411; 1,412; 1,413; 1,414; 1,415; 1,416; 1,417; 1,419, возведенное
в квадрат, дает меньше 2, а квадрат следующего за ним непо-
непосредственно числа оказывается уже' больше 2. Эти два числа
определяют интервал в одну тысячную, который содержит число
\^2, причем одновременно становится точно известным число
тысячных в десятичном разложении У~2. Существует и другой
способ, более механический, определения десятичных знаков
числа У~2. Но суть вопроса выявляется более ясно, когда мы
находим все более сближающиеся границы, между которыми
должно лежать это число. Этот прием может быть продолжен
как угодно далеко и дает все лучшие приближения. Мы знаем,
что этот процесс никогда не кончается и что результат не может
быть десятичной периодической дробью, потому что \^2 не может
быть рациональным числом. И все же значение этого числа |/*2,
данное все более точными приближениями, может быть пред-
представлено точной величиной, а именно стороной пруда.
Также наглядно можно изобразить иррациональное число
|/2 и с помощью хорошо известной теоремы Пифагора. Начертим
прямоугольный треугольник, катеты которого имеют длину,
равную 1 единице длины, затем начертим по квадрату, как на

126 //. Созидательная форма
обоих катетах, так и на гипотенузе:
Если мы проведем по одной диагонали в малых квадратах, а
в большом квадрате обе диагонали, то получим несколько кон-
конгруэнтных прямоугольных треугольников.
В каждом малом квадрате находятся по два, а в большом квад-
квадрате находятся четыре таких треугольника. Следовательно, пло-
площади малых квадратов, сложенные вместе, дают площадь боль-
большого квадрата, а это значит (если учесть, что площадь квадрата
измеряется квадратом его стороны), что сумма квадратов обоих
катетов равна квадрату гипотенузы (эта теорема верна не только
для этого треугольника, а для всех прямоугольных треуголь-
треугольников; но ее общее доказательство несколько сложнее). В нашем
случае сумма квадратов катетов равна:
что представляет собой квадрат гипотенузы; это значит, что
длина гипотенузы равна ]/ единиц.
Можно доказать, что в области иррациональных чисел ариф-
арифметические операции выполняются с помощью применения при-
приближенных значений, а приближенные значения являются ра-
рациональными числами, следовательно, старые правила, относя-
относящиеся к операциям, остаются в силе. Так что здесь мы имеем
случай, когда правила вычислений, пригодные в масштабе ко-
конечного, не отвергаются бесконечностью.
Теперь вернемся к вопросу, оставленному ранее открытым:
можно ли всегда выразить в сантиметрах ребро куба или стороны
прямоугольника?

/5. Числовая дсь ШбАняётся 127
Ответ таков: не всегда возможно, в том смысле, что существуют
расстояния, которые не могут быть точно измерены никакой
дробной частью сантиметра. Если, например, некоторое рас-
1 31
стояние содержит 31 раз ~ см, то оно равно ^ см. С другой
стороны, мы видели, что если катеты прямоугольного треуголь-
треугольника равны 1 см, то гипотенуза не может быть выражена ника-
никаким рациональным числом (следует подчеркнуть, что речь идет
о длине гипотенузы, измеренной этой единицей, потому что и
]/ соответствует определенная длина, и если бы мы взяли в ка-
качестве новой единицы именно эту длину, то и число j/2 могло
бы быть выражено с помощью этой новой единицы). Несмотря
на это, прибегая к помощи приближений, выраженных через
рациональные числа, можно строго доказать методом, исполь-
использованным в примере с шоколадом, что и в этих случаях остаются
в силе все результаты, относящиеся к вычислению площадей и
объемов.
Я должна расплатиться еще с. одним долгом, касающимся
уравнения второй степени: мы имели затруднения при решении
уравнения
Теперь мы его можем решить, так как у нас имеются и отрица-
отрицательные числа и мы знаем, что квадрат как положительного,
так и отрицательного числа положителен. Следовательно, как
+l/~2, так и —У~2 могут быть рассмотрены как числа, которые,
будучи возведены в квадрат, дают 2. Итак, х+3=+]/12 или
л;+3=—]/, а если перенесем 3 в правую часть уравнения,
мы получим два результата:
х*=+У2—3 или х=— J/2—3.
Но отрицательные числа порождают еще одно новое осложнение.
Как выпутаться, например, если нужно решить уравнение
х2=—9, а известно, что как +3, так и —3 в квадрате равно +9?
Мы не знаем никакого числа, квадрат которого равнялся бы —9.
Но к этому вопросу мы еще вернемся.
Мы ввели иррациональные числа, потому что нашли пробелы
на числовой оси — это точки, которым до этого не соответство-
соответствовали никакие числа. Теперь множество рациональных и ирра-
иррациональных чисел, называемых вместе одним термином «действи-
«действительные *> числа» (впоследствии нам придется иметь дело с
числами, которые отклоняются от действительности более зна-
значительно), полностью заполняет числовую ось, так как если мы
•> Употребляется также термин «вещественные числа».— Прим" ред.

128 //. Созидательная форма
возьмем на оси произвольную точку, то она расположена между
двумя определенными целыми числами, затем между определен-
определенными двумя десятыми долями, между двумя сотыми.и т.д.,
точно так же, как, например, \^2 в изысканиях моей ученицы
Евы. В результате получаются цифры десятичного разложения.
Если это десятичное разложение заканчивается в определенном
месте (например, на какой-то десятой, сотой, тысячной...) или
принимает вид десятичной периодической дроби, тогда нашей
точке соответствует рациональное число; если нет, то ей соответ-
соответствует иррациональное число.
Если мы попытались бы найти точку, соответствующую числу
1 •„- из примера с шоколадом, заключая ее во все уменьшающиеся
вложенные друг в друга промежутки, мы заметили бы, что она
располагается между 1 и 2, затем между 1,1 и 1,2, затем между
1,11 и 1,12, затем между 1,111 и 1,112 и так далее, так что числа
1; 1,1; 1,11; 1,111; ...
находятся во все время убывающих промежутках (на их левых
концах). Поэтому можно сказать, что они дают все лучшие при-
приближения для числа 1 -д-, все время приближаясь к соответст-
соответствующей точке. Они дают, конечно, периодическое десятичное
разложение, потому что 1-я- является рациональным числом.'
Много ли существует иррациональных чисел? Даже если
до сих пор мы их встречали в виде исключения, их должно быть
очень много, потому что нам кажется чем-то особенным то, что
десятичное разложение является периодическим. Но наши пред-
предчувствия однажды нас уже обманули; мы были убеждены, что
рациональных чисел больше, нежели натуральных, и все же
мы убедились, что все положительные рациональные числа могут
быть расположены в один ряд так, что они будут полностью
объединены в пары с натуральными числами: первый член ряда
с \г второй с 2 и т. д. Но что нам дает этот метод нумерации по
отношению к иррациональным числам?
Проанализируем сначала множество рациональных и ирра-
иррациональных чисел, то есть действительных чисел, рассматривая
их в десятичном виде. Ограничимся лишь такими действитель-
действительными числами, которые находятся между 0 и 1, то есть числами,
которые начинаются с 0 целых, чтобы не усложнять вопрос це-
целыми частями. А теперь я утверждаю, что действительных чисел,
расположенных только на этом интервале, больше, чем нату-
натуральных. Иначе говоря, они не могут быть расположены в ряд
так, чтобы не было пропущено ни одно из действительных чисел.

12. Числовая.ось заполняется 129
Предположим, что кто-то нам возражает и утверждает, что
может привести пример, отвергающий наше утверждение. Пусть
он утверждает, что составил ряд действительных чисел, начи-
начинающихся с 0 целых, из которых ни одно не пропущено. Есте-
Естественно, что в этом ряде записано от начала столько чисел,
чтобы из их последовательности вытекало правило, на основании
которого ряд может быть неограниченно продолжен. А ирра-
иррациональные числа и сами могут быть указаны лишь таким об-
образом, так как они являются бесконечными десятичными раз-
разложениями.
Допустим, что ряд начинается так:
первое число 0,1
второе » 0,202020 ...
третье » 0,3113111311113 ...
и что эти числа следуют друг за другом по некоторому опреде-
определенному правилу, так что рано или поздно наступит очередь
каждого действительного числа. Какое бы ни было это правило,
я построю сейчас же действительное число, которое начинается
с 0 целых и которое, несомненно, не находится в вышеуказан-
вышеуказанном ряде.
Сначала я превращу конечные десятичные разложения ряда
в бесконечные, добавляя безобидные знаки 0. Таким образом,
мы будем иметь:
первое число 0,1000000000000 ...
второе » 0,2020202020202 ...
третье » 0,3113111311113 ...
Теперь я могу начать построение моего числа. Начну во всех
случаях так:
0, ...
Что записать теперь на место десятых? Я посмотрю, какая
цифра находится на месте десятых в первом числе моего против-
противника, и запишу в моем числе другую цифру, но не 0 и не 9.
Для определенности в моем числе я запишу на месте десятых
цифру 2 (здесь и дальше можно было бы записать любую из
цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8); если бы в примере моего противника на этом
месте была бы другая цифра, а не 1, то я записала бы цифру 1.
Таким образом, в данный момент мое число имеет вид: 0,2...
Место сотых я заполню после того, как будет выяснено, какая
цифра является цифрой сотых во втором числе моего противника,
а затем запишу другую цифру, но не 0 и не 9. Мы' можем огра-
5 2-аказ № 1753

130 //¦ Созидательная форма
ничиться применением цифр 1 и 2; на месте сотых мой противник
записал 0, значит, я запишу одна сотая (если бы в его числе
стояла 1, я записала бы 2). Мое числа будет продолжено так:
0,21 ...
Таким же образом я буду действовать и дальше: я запишу
на месте тысячных 2, так как третьей цифрой третьего числа
в примере моего противника является 1, и тогда мое число будет
иметь уже следующие три цифры:
0,212 ...
А дальше каждый понимает, как его продолжать. Правда,
в примере моего противника числа следуют одно за другим на
основании вполне определенного закона, но и мое число тоже
составляется на основе определенного правила. Так я получу
бесконечное десятичное разложение, которое начинается с 0 и
которое, безусловно, отсутствует в ряде противника, потому
что первая после запятой цифра моего числа отличается от де-
десятых первого числа моего противника хотя бы на одну десятую,
вторая отличается от сотых второго числа хотя бы на одну сотую,
тысячные отличаются от тысячных третьего числа хотя бы на
одну тысячную и так далее, от каждого числа ряда оно отличается
по крайней мере одной цифрой. При этом нельзя утверждать,
что мое число отличается от чисел противника только по форме,
а не по значению. Ведь двузначные разложения могут иметь
лишь числа, в которых, начиная с некоторого места, повторя-
повторяются только 0 или только 9, а в моем числе появляются лишь
числа 1 и 2.
Следовательно, как бы ни пытаться любым способом распо-
располагать в ряд действительные числа, то есть объединять их в пары
с натуральными числами 1, 2, 3, 4, 5, ... , ничего из этого не по-
получится, потому что всегда найдутся такие действительные числа,
которых нет в этом ряде. Следовательно, действительные числа
более многочисленны, чем натуральные числа; мощность мно-
множества действительных чисел больше мощности натуральных
чисел. Если не ограничиваться действительными числами, начи-
начинающимися с 0 целых, то их будет еще больше и предложение
будет тем более верным.
Правда, мы рассматривали множества рациональных и ирра-
иррациональных чисел вместе. Но мы знаем из предыдущего, что
множество рациональных чисел счетно, то есть они могут быть
расположены в один ряд. Если бы мы смогли еще составить ряд и
из иррациональных чисел, то было бы легко объединить эти
ряды, а именно помещая в новый ряд поочередно по одному

13. Температурные кривые сглаживаются 131
элементу то из одного ряда, то из другого. Например, ряды
целых положительных чисел
1, 2, 3, 4, 5, ...
и отрицательных чисел
-1, -2, -3, -4, -5, ...
можно объединить в один ряд
1, —1, 2, —2, 3, —3, 4, —4, 5, —5
Объединенный таким образом ряд рациональных и ирра-
иррациональных чисел содержал бы тогда все действительные числа;
но мы доказали, что не существует ряда, содержащего все эти
числа. Следовательно, множество иррациональных чисел, взятое
отдельно, тоже не может быть расположено в один ряд, не может
быть счетным; таким образом, это множество имеет мощность
большую, чем мощность множества рациональных чисел.
Стало быть, введение иррациональных чисел не представляет
собою заполнение некоторых пробелов во «всюду плотном» множе-
множестве рациональных чисел. Иррациональные числа распределены
более непрерывным образом на числовой оси, а рациональные чи-
числа, несмотря на их плотность, представляют собой лишь отдель-
отдельные рассеянные там и сям изюминки. Здесь я нахожу некоторое
сходство с эфиром, о котором предполагалось, что и в атмосфере
Земли он заполняет полностью все пустоты, так что кажущиеся
вездесущими молекулы воздуха парят в нем рассеянные по от-
отдельности.
13. Температурные кривые сглаживаются
Просматривая долги, накопившиеся в предыдущих главах,
я задумываюсь над одинокой единицей, находящейся в вершине
треугольника Паскаля:
1
1 1
1 2 1
13 3 1
Мы доказали, что суммы членов любой строки, начиная со
второй, составляют:
2\ 22, 28
Если бы верхняя единица также подчинялась этой законо-
закономерности, то ее значение должно бы было быть 2°. Однако 2°
до сих пор не имело никакого смысла, нельзя ведь повторить 2

132 //. Созидательная форма
сомножителем 0 раз, и, кроме того, до сих пор не возникала
необходимость придать этому выражению какой-то смысл.
Займемся теперь снова возведением в степень. Вспомним,
как легко было умножать между собой степени одного и того же
числа. Следовало лишь сложить показатели, например:
32-34=3-3-3-3-3-3=Зв, а 6=2+4.
Другие действия над степенями одного и того же числа также
выполняются легко. Так, например:
3» _3-3-3-3-3-3
З2 ~~ • 3-3
Сокращая, здесь на 3-3, мы получаем:
з-з-з-з
1
: = 3-3-3-3 =
3е
Таким образом, -д^З4, а 4=6—2, это означает, что деление
выполняется путем вычитания показателей.
Далее имеем:
C2L=32.32.32.32=3-3-3-3-3-3-3-3=38, a 8=2-4.
Следовательно, если нам нужно возвести степень в степень,
то мы перемножим показатели. Поэтому выгодно составить таб-
таблицу степеней одного и того же основания. Выберем в качестве
основания число 2, так как степени числа 2 легко вычисляются:
Если нам нужно перемножить два числа, то
при наличии некоторых благоприятных обстоя-
обстоятельств мы можем без труда прочитать ответ в
этой таблице. Если, например, требуется выпол-
выполнить умножение
64-32,
то в этом случае нам повезло, так как оба сомно-
сомножителя находятся в таблице; соответствующими
показателями являются 5 и 6. Сложение этих пока-
показателей не требует большого искусства: мы получа-
получаем, таким образом, 11. Один лишь быстрый взгляд
на 11-ю строку нашей таблицы дает нам результат:
2048.
Или допустим, что требуется возвести в квадрат число 32. Соот-
Соответствующий показатель степени есть 5; удвоить это число —
снова пустяк. Мы получаем 10 и можем сразу прочитать в 10-й
строке:
322=1024.
21 =
22 =
23 =
24 =
25 =
2е =
2' =
28 =
2» =
210=
= 2
= 4
= 8
= 16
= 32
= 64
= 128
= 256
= 512
= 1024
2п=2048
912=4096

13. Температурные кривые сглаживаются 133
Это действительно детская игра. Жалко лишь, что не все числа
фигурируют в таблице. Было бы выгодно поэтому так обобщить
понятие возведения в степень, чтобы все числа (например, также
число 3) могли быть записаны как степени числа 2.
Таким образом, мы приходим к новому действию, обратному
возведению в степень. Теперь мы ищем показатель той степени,
в какую должно, быть возведено заданное основание 2, чтобы
получить в качестве результата, например, 3. Это действие на-
называют нахождением логарифма, и его результат, если мы его
получаем, называют логарифмом.
Самое неприятное — это счет с дробями, а дроби до сих пор
в рассматриваемой таблице не встречались. Уже самая малень-
маленькая степень двух, а именно 21, дает 2 целых. Для нашего обоб-
обобщения возведения в степень, к которому мы стремимся, основ-
основным является принцип, что большее число должно записываться
так же, как большая степень двух, для того чтобы не было на-
надобности беспорядочно искать его в таблице. Если мы желаем
представить также дроби в виде степеней, то нам следует опре-
определить степени числа 2 также для показателей, меньших чем
единица.
Если мы пойдем целочисленными шагами в обратном на-
направлении, то получим по порядку степени
2°, 2'1, 2-2, 2-3,
которые, следовательно, тоже должны быть определены. При этом
обобщении действия особенно важно обратить внимание на то,
чтобы старые правила счета сохранились, ибо не следует терять
из виду цели: мы желаем, чтобы вычисления с новыми числами
были столь же удобными, как и со старыми. Между прочим, сле-
следует обратить внимание на то, чтобы результат умножения сте-
степени двух на 2° совпадал с тем, что получается, если прибавить О
к показателю степени числа 2. Однако прибавление нуля ничего
не меняет. Следовательно, 2° следует определить таким образом,
чтобы умножение на 2° не изменило значения числа. Но мно-
множитель, не меняющий значения числа, это только 1. Поэтому
следует 2° (и также нулевую степень любого другого основания)
определить равенством:
2°=1.
Тем самым становится также вполне закономерным и тре-
треугольник Паскаля.
При определении 2 нужно обратить внимание на то, чтобы
было
21-2-1=21+() =21~1=2°=1.

134 //. Созидательная форма
Но если в уравнении N
перенести множитель 21 делителем в другую сторону, ч-о полу-
получается:
1 - 21 '
Таким же образом получается из требования
22.2-2=22+с-2) =2°=1,
что должно быть
L — 22 •
Из требования
2з#2-з:=23+(") =2°^=1
что 2= -^ и т. д.
Следовательно, если мы желаем сохранить неизменными
удобные правила вычислений, то мы должны отрицательную
степень определить так: она равна единице, деленной на степень
с соответствующим положительным показателем. Тем самым
наша таблица распространяется в обратном направлении также и
на дроби:
^ 4
2-2 =
2
2°
21
22
1
~ 2a =
_ 1
=
=
_ 1
~ 4 =
_ 1
10
20
40
= 1:4 =
10
20
= 1:2:
10
= 0,25
= 0,5
1
2
4
Таким образом, мы получили хорошее вспомогательное сред-
средство для вычислений также и с дробями т» Т» Т ••• » или соот-
соответственно с десятичными дробями 0,5, 0,25, 0,125, ...
Но все же между отдельными числами таблицы имеются еще
большие пробелы, например между 21—2 и 22=4, Если мы желаем

/3. Температурные кривые сглаживаются 135
записать как степень числа 2 некоторое число, расположенное
между числами 2 и 4 (например, 3 или 2,7), то достичь желаемого
представления удастся лишь с показателем, расположенным
1 2
между 1 и 2, например с показателем 1 -^. Так как 1=-%, то
1 3
1-^-= я-, и нам следует определить степень числа 2 с показателем
j и вообще с любым дробным показателем.
Это определение установится, если мы потребуем сохранить
в силе правило возведения степени в степень. Если это правило
должно остаться и здесь в силе, то должно быть:
{2* ) =2 * = 2а =23.
3_
Поэтому 2а может быть лишь тем числом, квадрат которого
равен 23. Но такое число обозначается Y~
Таким образом, мы получаем:
Если вычислить У"8 с точностью до одной десятой, то получается
2,8. Учитывая, что
4 = 3:2=1,5
10
и что вычисления с показателями легче выполняются в десятич-
десятичной форме, мы можем между строками для 2х и 22 вставить еще
одну строку:
21 =2
21'5=2,8
22 =4.
Наше тайное желание выразить 3 как степень двух мы все
же этим еще не выполнили, хотя 2,8 лежит уже довольно близко
к трем. Можно доказать, что 3 нельзя точно представить никакой
степенью основания 2 с дробным показателем; однако 3 можно
выразить такой степенью приближенно с произвольной точностью.
С помощью такого же рода приближений определяются и степени
с иррациональными показателями.
Такова основная идея вычисления логарифмических таблиц.
Старые таблицы логарифмов действительно были изготовлены
по существу таким образом. Таблица, которая нам знакома из
школы, имеет основание 10 (основание в ней не указывается,
а указываются лишь показатели). Ради игры с пальцами здесь
была уже принесена значительная жертва: между степенями

136 . //. Созидательная форма
числа 10 (т. е. между числами 10, 100, 1000, ...) зияют еще боль-
большие пробелы, чем между степенями числа 2. Заполнить эти про-
пробелы стоит еще значительно больших трудов.
Некоторые логарифмические таблицы содержат также так
называемые натуральные логарифмы по некоторому определен-
определенному основанию е. Это е — иррациональное число, начинающееся
цифрами 2,71. Каким образом появилась мысль рассматривать
именно это число как естественное основание? К этому можно
прийти различными путями. По моему мнению, следующий путь
является самым разумным.
Число 10 не является подходящим основанием для таблицы
логарифмов; было бы даже хорошо выбрать основанием число
меньшее двух; тогда пробелы между степенями этого основания
с целыми показателями были бы меньше. Разумеется, нельзя
опуститься до единицы, ибо любая степень единицы равна ей же.
Ёзять число меньшее единицы опять-таки нецелесообразно;
действительно, если возводить в целую положительную степень
правильную дробь, то результат оказывается меньше самой
дроби; например,
'П2___1_ J 1_
~ 2 " 2 "~ 4 • ,.
Испытаем число 1,1. Это будет легко хотя бы потому, что
степени числа 11 нам известны уже из треугольника Паскаля;
мы должны лишь подумать, когда ставим запятую, о том, что
каждое умножение на одну десятую означает деление на 10,
так что запятая должна постоянно сдвигаться на один шаг на-
налево. Мы не' должны также забывать, что нулевая степень
любого основания дает 1.
1,1°=1
1,1*—1,1"
1,12=1,21
1,1'= 1,331
1,1*= 1,4641
Эти степени очень медленно возрастают, и, таким образом,
здесь возникает множество чисел между единицей и двумя еще
до утомительного заполнения пробелов.
Естественно, еще меньшее, лежащее еще ближе к единице,
основание было бы для нас еще лучшим. Испытаем в качестве
основания число 1,001 (элементы треугольника Паскаля будут
здесь отделяться друг от друга двумя нулями).
1,001°=1
1,0011=1,001
1,0012= 1,002001
1,001»= 1,003003001

13- Температурные кривые сглаживаются 137
Это уже огромное сгущение. Эти степени возрастают настоль-
настолько улиткообразно медленно, что может возникнуть подозрение,
достигнут ли они вообще значения 2? Однако можно доказать,
что степени числа, превосходящего единицу даже на еще мень-
меньшее число, все же стремятся к бесконечности, хотя и очень
медленно.
Эта таблица имеет еще один небольшой эстетический дефект:
из-за медленного возрастания степеней довольно большие пока-
показатели принадлежат сравнительно небольшим числам; лишь при
тысячной приблизительно степени будет достигнуто число 2.
В тысячу раз меньшие показатели произвели бы на нас более
гармоничное впечатление. Но здесь можно очень легко себе
помочь, если мы просто возведем основание в тысячную степень.
Имеем в самом деле:
1 1 1000
A 0011'00) 100° = 1 001100° • 100° = 1 0011000 ~ 1,0011,
а юоо А- **"?
A,00110»0)*000 = 1,001 100° = 1,0011(Ш0 = 1,0012, '
и, следовательно, основание 1,0011000 следует действительно воз-
возвести в тысячу раз меньшую степень, чем основание 1,001, чтобы
получить тот же результат.
Если возводить в степени основание 1,0011ОО°, то мы можем
продвигаться тысячными долями шага. Далее, так как в деся-
десятичной форме:
то получается, если • использовать прежде полученное соотно-
соотношение между степенями нового основания и степенями числа
1,001:
A,0011000H =1,001°=1
A,0011000)°'001= 1,001 1= 1,001
A,0011000HH02=1,0012=1,002001
A,0011000H>003=1,0013= 1,003003001
Тем самым устранена несоразмерность между числами и
соответствующими показателями, с другой стороны, сохрани-
сохранилась густота.
Ясно, что основания
1,000110000; 1,00001100000; 1,0000011 00° 00°; ... ;

138 //. Созидательная форма
рассмотренные одно за другим, будут все более и более целе-
целесообразными, и можно доказать, что эта последовательность схо-
сходится к иррациональному числу, которое начинается знаками
2,71 ... . Это число играет в математике очень важную роль и
получило поэтому также особое имя. Оно называется е. Лога-
Логарифмы по основанию е называют натуральными логарифмами;
к ним приходят указанным естественным (то есть натуральным)
путем, разыскивая все более и более целесообразные основания.
Ради логарифмов мы заполнили пробелы, которые еще про-
проявлялись в определении степени. Теперь степень имеет уже смысл
для всех показателей, а не. только для натуральных чисел.
Тем самым мы в состоянии дополнить температурные кривые
показательной функции, имевшие большие пропуски. Мы уже
умеем обращаться с уравнениями. Поэтому можем эту функцию
записать также в форме уравнения: пусть основанием будет
снова 2, а показатель мы будем менять. Он теперь не является
известным числом и поэтому будет обозначен буквой х. В зави-
зависимости от показателя будет меняться также значение функции,
которое обозначим через у:
у=2*.
Значения х будут изображены такой единицей «—>- на гори-
горизонтальной прямой (на ней будет взята теперь нулевая точка и
левее ее будут изображаться отрицательные числа). Значения у
будут снова измеряться вверх такой единицей |.
При х = -3 г/ = 2-з = -^ = 1
» х- z y-z - 22 - 4
, v-_i „-2-1-J--1
» х- 1 у-z - 21 -
» л;= 0 г/=2*= 1,
» л;= 1 г/=2х= 2,
» л;= 2 г/=22= 4,
» х= 3 г/=23= 8.
Нужно, следовательно, в точках —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3
отметить вверх соответственно -g-, -т-, -о-, 1, 2, 4, 8 единиц.

13. Температурные кривые сглаживаются
139
-3 -2 Ч 0*12 3
Можем дать х и у также промежуточные значения. Мы уже
видели, например, что
l-i- Л _ _
2 а = 2а =Y3 = YS =2,8.
Аналогично можно вычислить значения между другими це-
целыми числами. Если при вычислении степеней ограничиться
десятыми долями, то получается:
при х = — 2-s- 0 — 0,2, при х = -гг 0 = 1,4,
» х = —1-^ 0-0,4, » л;=1у 0 = 2,8,
» х = — \' 0 = 0,7, » х = 2~ 0 = 5,7.
Таким образом, мы дополним предыдущее изображение, откла-
откладывая в точках
~2' Т1 2' ~2' Т' "'
соответственно 0,2, 0,4, 0,7, 1,4, 2,8, 5,7, единиц
вверх.

140 //. Созидательная форма
В этой температурной кривой уже едва заметны «угловые»
точки там, где встречаются прямолинейные отрезки. Если рас-
распространим в нашем воображении интерполяцию на все ра-
рациональные и иррациональные точки, то температурная кривая
всюду станет гладкой и превратится в единую гладкую кривую.
При продвижении влево кривая приближается, очевидно,
к горизонтальной оси, однако никогда ее не достигая. Мы ведь
не нашли ни одного показателя, чтобы 2 в его степени давало
нуль. А на оси может лежать лишь такая точка, у которой у
имеет значение 0. Такого же рода явление можно усмотреть и
в неполной еще температурной кривой деления. Пока мы рас-
рассматривали лишь целые числа, нельзя было это выявить доста-
достаточно точно.
Пусть, например, делимое будет теперь 12 (мы знаем, что 12
имеет много делителей), а делитель будем менять и поэтому
обозначаем его х. В зависимости от х будет изменяться резуль-
результат деления, то есть частное; мы его обозначим у:
Если х = —12, то У = ^Цо = —1' так как —^—1 = + 12,
12
» х = — 6, » У — -—^ =—2, аналогично,
» * = -4, » у = -^ = -3,
о 12 ,
» х = — 3, » у = —^ = —4,
» х = — 2, » y = ^jy=— 6,
х = - 1,
-2
12
X 1 у У/ у « 1 ^»
Л'= 2, » у =-:—-= 6,
Х= 3, » y = -j-= 4,
х= 4, » у = -Т-= 3,
с ]2 о
» х= 6, » t/ = _= 2,
» *= 12, » У = 4|-= 1.

13. Температурные кривые сглаживаются
141
Положительные значения у мы наносим, считая от оси х-ов
вверх,-а отрицательные значения наносим вниз.
Таким образом, в точках—12, —6, —4, —3, —2, — 1
откладываем вниз — 1, —2, —3, —4, —6, —12 единиц,
а в точках 1, 2, 3, 4, 6,
откладываем вверх 12, 6, 4, 3, 2,
(единица в любом направлении пусть будет 1).
Уч
12
1 единиц
-12
-6 -4-3-2-1
113
П Л
Промежуточные значения едва ли необходимы; кривая ста-
становится уже достаточно гладкой. Однако будет неплохо по-
поближе исследовать ее концы. Для этого рекомендуется провести
через начало прямую вверх и вниз в направлении значений у.
В таком случае горизонтальная прямая называется осью значе-
значений х (осью иксов), а перпендикулярная к ней прямая, прохо-
проходящая через начало, называется осью значений у (осью игреков).
Легко заметить, что обе части кривой все более и более прибли-
приближаются как к оси *-ов, так и к оси у-ов, однако никогда
их не достигают. Такие прямые называют асимптотами кривой.
Если продвигаться по оси *-ов далее вправо, то, например,
при *=24 будет
12 12
У~7~ 24'

142 //. Созидательная форма
что, после сокращения на 12, дает:
1
при л;=36, если снова сократить на 12:
12 J_
У ~ 36 ~ з '
при х=А8
У= ^=±
Если теперь постоянно продвигаться вперед по оси я-ов,
то значения у становятся произвольно малыми, однако они
никогда не обращаются в нуль. На сколько бы частей мы ни
делили 12, каждая из этих частей будет иметь некоторую, хотя,
может быть, и очень малую величину. Аналогично если продви-
продвигаться в отрицательном направлении, мы будем получать стре-
стремящиеся к нулю, но никогда в нуль не обращающиеся значения:
1 _± _!
— 2 , з ' 4 ' •"
Другая ветвь кривой приближается, следовательно, все больше и
больше к оси х-ов снизу, также никогда ее не достигая.
Пусть теперь х=-^\ подумав о том, что целое имеет две поло-
половины, мы находим, что 12 целых содержат 12-2, то есть 24 по-
половины:
«/=24.
Аналогично усматривается, что в 12 содержится 36 третьих,
48 четвертых долей единицы и т. д.:
если x = j, то (/ = 36,
» х = j, » (/ = 48 и т. Д.
Следовательно, у возрастает все больше и больше для зна-
значений х, которые приближаются к нулю. Ось у-т не может
никогда быть достигнута кривой, ибо это могло бы произойти
12
лишь там, где х=0. Но там было бы У=-к, а это деление на-
наталкивается на вечный и непреодолимый запрет. Не позволено
делить на нуль!
В самом деле, проверка деления состоит в том, что выпол-
выполняют умножение:
20 : 5=4, так как 5-4=20.

13. Температурные кривые сглаживаются 143
Но что дало бы деление на нуль? Обычно в качестве ответа ука-
указывают 5 : 0=0. Проверка: 0-0=0, а это не 5!
Или: 5 : 0=5; проверка; 0-5=0, а это не 5!
5:0=1; » 0-1=0 » » 5!
Какое бы число мы ни умножали на 0, результат будет всегда
равен нулю, и это не 5. Поэтому нельзя разделить 5 на нуль.
Подумаем теперь: если число очень мало, то оно очень много
раз содержится в пяти. Чем меньше число, на которое мы делим,
тем больший результат получается. Если бы существовало наи-
наибольшее число, то оно являлось бы результатом деления на
наименьшее число, а именно на нуль. Однако наибольшего числа
не существует.
Может быть, допустимо, по крайней мере, деление нуля на
нуль же? Сделаем проверку:
0:0=1; проверка: 0-1=0.
Кажется, что проверка сходится. Это прекрасно, но теперь я
говорю:
0 : 0=137,
и в этом я также права, так как 0-137 также дает 0. Следова-
Следовательно, здесь несогласованность другого рода: результат цели-
целиком и полностью неопределенный; проверка утверждает истин-
истинность любого результата. Таким образом, запрет остается стро-
строгим для всех случаев. Одна шуточная студенческая газета сфор-
сформулировала это следующим образом: «Когда бог поселил Адама
в рай, он ему сказал: «Ты имеешь право делить на любое число,
но только не на нуль!»
Можно было бы подумать: раз это так строго запрещено, то
никому яе приходит в голову делить на нуль. В явном виде
возможно этого действительно не делают, но нуль иногда встре-
встречается в переодетом виде. Например, в следующем виде:
(х+2J— (x2+4x+4)
нуль не будет всеми сразу распознан, хотя здесь вычитается
из (д;+2J его собственное развернутое выражение. Деление
на такие скрытые нулевые значения лежит в основании различ-
различных шутливых выводов, дающих, например, доказательство ра-
равенства 1=2. Действительно, если в математике совершена пусть
лишь единственная ошибка, если принято за верное пусть лишь
единственное утверждение, противоречащее другим предложе-
предложениям, то отсюда можно уже все вывести, даже что 1=2.-

144 ' //. Созидательная форма
Постараемся хорошенько запомнить вид предыдущей кривой,
я назову ее имя: она называется гиперболой, а тогда мы никогда
не забудем и запрета делить на нуль. Самым впечатляющим
в кривой является то, что она разорвана на ветви. Обе ветви
тянутся вполне гладко и непрерывно, но в начале координат
зияет разрыв, простирающаяся в бесконечность рана: левая
ветвь убегает вниз, правая — вверх в бесконечность. И между
ними поднимается ось у-ов, как обнаженный меч: ты можешь
приближаться, но дойти полностью до нуля ты не смеешь!
14. Существует лишь одна математика
Хотя мы уже знаем, как можно некоторые функции записать
в форме уравнений, мы все-таки не должны думать, что в зада-
задании функции такая форма играет решающую роль. Попробуем,
нельзя ли выразить какой-либо простой формулой следующую
функцию, у от х: если х — рациональное число, то у имеет зна-
значение 1, если же х иррационально, то у принимает значе-
значение 0 (эта функция называется функцией Дирихле). Опреде-
Определение безупречно. Значение у действительно зависит от значе-
значения, которое было выбрано для х, и каждому значению х
соответствует вполне определенное значение у. Если, например,
х—\,5, то(/=1; если же *=1/2, то у=0. Несмотря на это, найти
формулу для этой функции является поистине трудной задачей.
Не легче представить эту функцию и графически, так как ее
колебания между нулем и единицей слишком бешены. Как ра-
рациональные, так и иррациональные числа расположены ведь
всюду плотно.
Самым существенным в понятии функции является сопостав-
сопоставление значениям х соответствующих значений у. При этом х
не обязательно должно принимать все значения. Мы уже
знаем, что в случае функции, которую можно задать формулой
12
у=—, х принимает значения 0. При х=0 эта функция не опре-
определена. При определении любой функции необходимо указывать,
из какого числового множества может быть выбран х, и должно
быть дано указание, какое значение у ставится в соответствие
выбранному из указанного числового множества значению х.
Естественно, большим подспорьем всегда является графиче-
графическое изображение, если только функция его допускает. Хоро-
Хорошее изображение говорит больше, чем старательные попытки
описать функцию словами.
Пусть, например, определение функции будет следующим:
как бы ни был выбран х, у должен всегда быть равным наиболь-
наибольшему целому числу, содержащемуся в х (то есть не превыша-

ч
14. Существует-лишь одна математика 145
ющему х). Например,
если л:=5,45, то у=Ъ,
» x=V% . » «/=1.
так как мы уже видели ]/2=1,4 ...
Попытаемся изобразить эту функцию:
если х=0 , то у=0,
» х=0,\, » у=0,
» х=0,9999, » у=0.
Очевидно, пока х не достиг значения 1, постоянно имеем у=0.
Далее будет
при х=\ у=1,
» х= 1,001 у=\,
» х= 1,999 у=\.
Следовательно, у=\, пока только х не достиг значения 2, и т. д.
И аналогично в отрицательном направлении. Таким образом,
мы получаем следующее графическое изображение:
• • • -3 -2 -1
Из этих разрозненных горизонтальных отрезков состоит кривая.
Стоит бросить один взгляд на рисунок, как мы уже все знаем
о функции. Там, где кривая разрывается, значение функции
делает скачок высотой в единицу; наоборот, на горизонтальных
кусках значение функции остается постоянным. Следовательно,
функция способна не только на бесконечные разрывы, какой
имеет, например, в точке х=0 функция у=—, но и на такие
конечные разрывы, как здесь. Изображение этих обеих функций
тянется, по крайней мере, на неразорванных кусках непрерывно
и гладко, в то время как функция Дирихле нигде не непре-
непрерывна. Ни один промежуток не может быть столь малым, чтобы
в нем нельзя было найти как рациональные, так и иррациональ-
иррациональные числа; а между ними значение функции уже скачет."

146
//. Созидательная форма
Не следует также думать, что если функция может быть
задана формулой и значения х взяты достаточно густо, то изо-
изображение функции всегда разглаживается в линию без «угловых
точек». Допустим, например, что определение гласит: чему бы
ни равнялся х, у должен равняться абсолютной величине х,
то есть значению х с отброшенным знаком *'. Для абсолютной
величины числа вводится определенный символ: ставят по вер-
вертикальной черте перед числом и после числа, например:
-3 | =3,
+31 =3
и, естественно, |0| =0.
Определенная выше функция может поэтому быть задана сле-
следующей простой формулой:
0=1*1.
Следовательно, в то время как х пробегает точки
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,
у принимает соответственно значения
4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4.
Изображение этой функции таково:
Л
-4 -3 -2 -/
Изображение нашей функции состоит, следовательно, из двух
прямых (точнее, полупрямых), выходящих из начала 0 под не-
некоторым углом; ничего здесь не изменится, если мы будем испы-
испытывать и произвольно много промежуточных значений. Если,
= 1 -п (на чертеже обозначено пунк-
например, х=1-^, то у=
тирной линией). Эта точка также падает на одну из сторон угла.
•' Точнее это означает: для х положительного абсолютная величина рав-
равна х; для х отрицательного она равна —х; если к равен 0, то и его абсолютная
величина равна 0.— Прим. ред.

14. Существует лишь одна математика
147
Геометрическое изображение дает яркую, бросающуюся в
глаза картину функции, даже если эта картина не точная. Наш
карандаш чертит не совсем остро, наша линейка не вполне пря-
прямолинейна, наши глаза и наши руки также несовершенны.
Однако геометрия может сказать об отдельных фигурах нечто
вполне точное, не связанное с рисунком. Если, например, я знаю
геометрические свойства гиперболы и знаю, что изображение
12
функции у= — есть гипербола, то я уже знаю почти все об этой
функции.
Однако геометрия обращается часто за помощью также к
другим ветвям математики. Она заимствует, например, некото-
некоторую формулу, если она желает что-то исследовать единообразно;
мы уже видели, сколько различных задач может рассматриваться
при помощи единственной формулы. Геометрия это сделала при
вычислении площадей и объемов. Существует лишь одна мате-
математика. Она не распадается на две различные науки — на гео-
геометрию и на алгебру, как это думает ученик, в особенности
если материал так разделен его учителем, что в понедельник и
в пятницу бывает алгебра, а в среду геометрия. При этом деле-
делении математика действительно распадается на два учебных
предмета.
Одним из мостов, связывающих геометрию с другими об-
областями, является система координат, а именно та пара взаимно
перпендикулярных и проходящих через начало прямых — осей
значений х-оъ и (/-ов, которые мы уже использовали для
описания гиперболы. Эти оси дали возможность характеризо-
характеризовать точки плоскости числами. Они могут рассматриваться как
две дороги, рассекающие луг. Если мною найдено в кустарнике
на лугу птичье гнездо, то я могу отметить это место тем, что
выйду прямо на одну из дорог по возможности равными шагами,

148
//. Созидательная форма
сосчитаю мои шаги, а также те шаги, которые я сделаю по этой
дороге до перекрестка.
Если я хочу теперь привести кого-либо к гнезду и знаю, что
я должен пройти от перекрестка 21 шаг на восток и затем 12 ша-
шагов в северном направлении, то я, наверное, найду гнездо.
Эти два направленных числа являются координатами искомой
точки. В геометрии направления задаются, разумеется, знаками
+ и —, а именно согласно традиции таким образом, что поло-
положительными считаются направления вправо и вверх, а отрица-
отрицательными считаются направления влево и вниз. Вместо шагов
здесь следует ввести определенную единицу, которой будут
измеряться координаты. Таким образом, каждой точке плоскости
принадлежит определенная пара чисел и каждой паре чисел
принадлежит одна точка. Путь, который нужно пройти в на-
направлении оси х, а его всегда указывают первым, называется
абсциссой точки; путь, который нужно пройти в направлении
оси у,— ордината точки.
Я напишу около некоторых точек их координаты, так как
в этом полезно поупражняться.
Ум
f-8-,0)
—Ж I I
fF;6j
i/ч-.
¦2)
Цтз) ¦
Разумеется, это не единственный путь, чтобы связать точки
с числами. Можно, например, себе представить, что дороги
расположены не перпендикулярно друг к другу. И все же я по-
получаю хорошую ориентировку, если я следую по их направлениям.
Но может также существовать лишь одна дорога, на которой,
например, отмечено определенное дерево. К нему я могу добрать-
добраться от куста, пройдя некоторое число шагов, и могу найти также
обратный путь, если я располагаю аппаратом, с помощью кото-
которого я могу установить, в каком направлении отсюда располо-
расположен куст.
Если точки характеризовать парами чисел, то возникает
возможность задавать линию соотношением между числами такой

14. Существует лишь одна математика
149
пары, то есть уравнением. Рассмотрим, например, прямую, про-
проходящую через начало координат и через точку A,1).
Если эта прямая представляет железнодорожную насыпь,
то ее подъем можно задать следующим образом:
1 : 1.
Это означает, что насыпь поднимается на 1 метр в то время, как
мы продвигаемся горизонтально на 1 метр. Так как подъем
равномерен, то насыпь будет иметь вышину 2 метра на рас-
расстоянии двух метров, вышину 3 метра на расстоянии трех
метров и т. д. Следовательно, все точки, лежащие на нашей пря-
прямой, характеризуются тем, что обе их координаты совпадают.
В каждой такой точке имеем:
У=х.
Вне нашей прямой не существует ни одной точки плоскости,
которая имела бы равные координаты. Если соединить любую
другую точку с началом, то мы получим скат, который подни-
поднимается по-иному, а может бьть, даже опускается.
На первом изображении подъем всюду равен 2:1, следова-
следовательно, ордината каждой точки, лежащей на этой прямой, в два
раза больше, чем ее абсцисса. На втором изображении величина

ISO
//. Созидательная форма
подъема 1:1, однако мы имеем здесь не поднимающуюся, а ни-
нисходящую прямую. Степень ее наклона следовало бы, собственно
говоря, задать в нашей системе координат отношением 1 : (—1).
Отсюда следует, что координаты произвольной точки этой пря-
прямой, хотя и совпадают по абсолютной величине, всегда противо-
противоположны по знаку, так что они все-таки не равны друг другу.
Координаты точек, лежащих вне нашей первой прямой, на са-
самом деле не мбгут равняться друг другу. Уравнение
характеризует полностью точки -нашей исходной прямой и толь-
только эти точки. Поэтому мы можем с полным правом сказать, что
это уравнение нашей прямой.
В ходе рассуждений мы получили также, что две другие пря-
прямые, которые изображены на рисунке 114, имеют следующие
уравнения:
при подъеме 2 : 1 у=2х
(с этим уравнением мы еще встретимся; я прошу его тогда уз-
узнать) и
при подъеме 1 : (—1) у=—х.
Перенесем теперь прямую с подъемом 2 : 1 немного вверх,
а именно на 3 единицы, однако таким образом, чтобы ее на-
направление не изменилось.
У
Тогда и подъем прямой также не изменится. В этом мы можем
убедиться, если, исходя из произвольной точки прямой, мы шаг-
шагнем вправо на одну единицу: мы увидим тогда, что вертикаль
в полученной точке встретит прямую выше на две единицы. Един-
Единственная разница по отношению к исходному положению состоит

14. Существует, лишь одна математика 151
в том, что каждая точка поднялась теперь выше на 3 единицы,
так что ордината каждой точки увеличилась на 3 единицы.
Тот у, который раньше составлял 2х, становится теперь 2*+3;
следовательно, при этом положении прямой ее уравнение вы-
выглядит так:
у=2х+3.
Общий характер полученных уравнений
у=х, у=2х, у=—х, у
заключается в том, что все они уравнения первой степени с двумя
неизвестными. Что при этом имеются две неизвестные, само
собой разумеется: ведь точки характеризуются каждая двумя
координатами. Следует подчеркнуть то, что прямая в любом
положении всегда имеет уравнение первой степени. Обратное
также имеет место: можно показать, что уравнение первой
степени с двумя неизвестными, в какой бы форме оно ни было
записано, например уравнение
всегда может рассматриваться как уравнение некоторой опре-
определенной прямой, так что это лишь два различных задания одного
и того же понятия.
Это красивый, однако не столь уж неожиданный результат,
ибо, в каком бы положении ни были изображены прямые, они
все-таки все являются прямыми и принадлежат к одному и тому
же семейству, так что вполне естественно, что их уравнения также
образуют определенное семейство уравнений.
Рассмотрим теперь какую-либо кривую линию. Каждый знает
окружность; достаточно подумать, например, о колесе экипажа
со множеством равных спиц. Это радиусы окружности:

152
//. Созидательная форма
Пусть длина каждого радиуса 5 единиц и пусть центр окруж-
окружности находится в начале координат:
Где бы мы ни выбирали точку на периферии, мы получаем
прямоугольный треугольник, если изобразить координаты этой
точки и ее радиус. Катеты — это координаты, а гипотенуза —
это радиус. Вспомним теперь, что мы уже знаем соотношение
между катетами и гипотенузой, а именно добрую старую теорему
Пифагора: сумма квадратов обоих катетов равна квадрату ги-
гипотенузы. Следовательно, если возвысить в квадрат координаты
любой точки, лежащей на окружности, и сложить эти квадраты,
то мы должны получить 52=25:
х2+у2=25.
Это уравнение нашей окружности. Тотчас видно, что это урав-
уравнение второй степени и к тому же не самой простой формы.
Исследуем, какая кривая имеет простейшее уравнение второй
степени, а именно:
у=х2.
Если х=— 3, то у=(—3J=9,
х=— 2, » у={—2J=4,
у — 1
Л 1 ,
х= О,
х= 1,
х= 2,
Л Oj
у=02=0,
У=12=1,
</=22=4,
#=32=9.
Рассмотрим еще промежуточные значения, по крайней мере
вокруг нуля:
1 _/j_\2 _j_
: 2 ' т0 У — \2 ) ~ 4 '
1 / 1 \2 1
если

14. Существует лишь одна математика
Картина выглядит, следовательно, так:
153
Кривая, которая возникает, если эта ломаная линия стано-
становится совершенно гладкой, называется параболой. Ее обе поло-
половины продолжаются, естественно, до бесконечности и становятся
при этом все прямее, все более уподобляясь вертикальной пря-
прямой. Эта кривая — нечто совсем иное, чем окружность.
Нам уже встречалась другая кривая, которая также имеет
уравнение второй степени, мы только это не заметили. Ее урав-
уравнение выглядело так:
Если же здесь перенести делитель х влево в качестве множи-
множителя, то отсюда получается:
ху=12.
Но в уравнении между неизвестными х и у произведение ху,
в котором показатели обоих неизвестных дают в сумме 2, рас-
рассматривается как член второй степени. На случай, если это по-
покажется еще недостаточно убедительным, я скажу еще, что если
немного повернуть гиперболу так, чтобы она приняла следую-

1S4 //. Созидательная форма
щее положение:
то ее уравнение будет выглядеть так:
а это, бесспорно, уравнение второй степени. Мне хочется здесь
лишь упомянуть, что вытянутая окружность — эллипс —
также имеет уравнение второй степени. Других таких кривых
(если не считать так называемых «вырожденных» случаев) не су-
существует. Если я нарисую перечисленные четыре кривые во всех
положениях по отношению к системе координат *', то я получу
то семейство кривых, которому среди уравнений соответствуют
уравнения второй степени. Однако трудно себе представить
семейство со столь различными членами. Каково же родство
между этими кривыми, часть которых замыкается на конечном
расстоянии, а другая часть простирается в бесконечность, кри-
кривыми, из которых одни вполне связаны, а другие разорваны
на ветви?
Если я назову по имени это семейство, то сразу станет ясным,
в чем состоит родство. Наши кривые называются общим име-
именем; конические сечения.
Теперь мы должны снова выйти из плоскости в пространство.
Как жалко, что мы не в состоянии рисовать в пространстве,
*' Меняя также произвольно их размеры и степень вытянутости.—
Прим. ред.

14. Существует, лишь одна математика
155
как на плоском листе! Но представим себе краску, которая окра-
окрашивает воздух. Пусть в воздухе находится горизонтальный
круг и некоторая прямая, которая наклонена над центром круга
таким образом, что она проходит через некоторую точку края
круга.
Далее мы Должны еще себе представить, что кто-то погрузил
прямую с головы до ног в волшебную краску (разумеется,
прямая не имеет ни головы, ни ног: прямая — бесконечна).
Теперь мы берем эту прямую и придерживаем ту ее точку,
которая лежит как раз над центром круга. Другой рукой мы
держим прямую в том месте, где она задевает окружность, и
ведем эту точку вокруг круга. Тогда при движении прямой крас-
краска, окрашивающая воздух, рисует в воздухе, как ниже закреп-
закрепленной точки, так и выше ее, некоторую поверхность, называемую
конусом.
Если теперь пересекать плоскостями в различных положе-
положениях этот возникший таким образом двойной конус, то на краях
отделяемых частей появятся наши четыре кривые.

1S6
//. Созидательная форма
Круг
Эллипс
Парабола
Гипербола
Лишь четвертая плоскость пересекла также и верхний конус.
Однако если бы даже мы и не нашли между четырьмя кри-
кривыми такое геометрическое родство, то уже то обстоятельство,
что их уравнения все второй степени, выявляет некоторые их
скрытые общие черты. Мы должны себя спросить, что утверждает
алгебра о таких уравнениях и какие следствия можно из этого
вывести. Тогда и получатся общие свойства всех четырех кри-
кривых. Рассмотрим, например, точки пересечения кривой с неко-
некоторой прямой. Такая точка пересечения является точкой, лежа-
лежащей как на кривой, так и на прямой, следовательно, координаты
этой точки удовлетворяют и тому и другому уравнению. Урав-
Уравнение прямой — уравнение первой степени, а алгебра учит:
уравнение первой степени и уравнение второй степени с двумя
неизвестными каждое либо совсем не имеют общих действитель-
действительных решений, либо имеют единственное общее решение, либо
имеют два общих решения. Следовательно, для каждого из наших
конических сечений верно утверждение, что прямая может на-
находиться по отношению к нему в одном из следующих трех
положений: либо она совсем не пересекает коническое сечение,
либо она его касается в одной точке, либо она его пересекает
в двух точках.
Больше чем в двух точках прямая не может пересечь даже
имеющую две ветви гиперболу.
Вот.какие услуги может оказывать алгебра геометрии.

14. Существует лишь одна математика
157
Дополнение о волнах и о тенях
В предшествующем материале звучали два геометрических
мотива. Мне не хотелось бы, чтобы они затерялись.
Первый мотив связан со способом задания направления пря-
прямой. Мы определяли отношение подъема к • горизонтальному
сдвигу, то есть одного из катетов возникающего прямоугольного
треугольника к другому.
Разумеется, направление будет определено однозначно и
тогда, когда указывают, под каким углом наклонена прямая
к некоторому определенному направлению. Обыкновенно выби-
выбирают положительную половину оси х-ов в качестве такого
определенного направления. Тогда этот угол называется направ-
направляющим углом прямой. Он острый, если прямая поднимается,
и тупой, если она опускается *\
Таким образом, направление и тем самым направляющий
угол полностью определены отношением двух катетов; это отно-
отношение может, следовательно, также служить мерой величины
угла. Рассмотрим случай, когда речь идет об остром угле, кото-
которому соответствует откос с подъемом 2 : 3, то есть если из про-
произвольной точки одной стороны провести перпендикуляр к дру-
другой, то возникает прямоугольный треугольник, в котором отно-
отношение катета, противолежащего углу, к прилежащему катету
составляет в точности 2 : 3, или в других обозначениях -д- .
*' Речь идет о движении точки по прямой при увеличении *.— Прим. ред.

158 //¦ Созидательная форма
2
Ёсяи я задаю это отношение -=-, то можно тотчас построить
О
угол. Продвигаются вправо на 3 единицы, а затем вверх на 2 еди-
единицы.
-v
Если теперь соединить точку, которая таким образом дости-
достигается, с начальной точкой, то-искомый угол уже построен.
Если речь идет о тупом угле, то откос идет под гору, и мы
уже видели, что соответствующее отношение отрицательно.
Однако рецепт остается неизменно применимым. Если это отно-
2
шение, например, —-^ , то я знаю, что подъем возрастет при сме-
смещении в обратном направлении, то есть если передвигаться
влево на 3 единицы, а затем вверх на 2 единицы и соединить
полученную точку с начальной, тогда очевидно, что искомый
угол — это тот тупой угол, который заключен между этой про-
проведенной прямой и направлением положительного движения
(направляющий угол всегда образован с положительным на-
направлением оси х).
2-
Такой тупой угол не может быть в прямоугольном треуголь-
треугольнике. Тем не менее слева от угла возникает прямоугольный
2
треугольник, и его катеты относятся друг к другу как -^. Это
то отношение, которое характеризует, если отвлечься от знака,
наш тупой угол.
Можно показать, что отношение двух любых сторон прямо-
прямоугольного треугольника полностью определяет его углы. Эти
отношения, зависящие от величины рассмотренного угла, назы-
называются тригонометрическими функциями угла. Название функ-
функции, рассмотренной выше,— тангенс. Отношение катета, пр'оти-

14. Существует лишь одна математика
159
волежащего углу, к гипотенузе есть синус угла, отношение кате-
катета, пр-илежащего углу, к гипотенузе есть косинус этого угла.
В следующем треугольнике, например, синус отмеченного угла
составляет -?-, а его косинус составляет ¦=-. Определение каждой
тригонометрической функции распространяется также на углы
большие, чем острые. Значения тригонометрических функций,
соответствующие различным углам, помещены в специально со-
составленные таблицы. Если мы знаем теперь стороны некоторого
прямоугольного треугольника (а другие треугольники всегда
можно разложить на два прямоугольных),
то нам нужно лишь взглянуть в таблицы, чтобы иметь возмож-
возможность назвать также углы этого треугольника. Правда, можно
было бы также построить треугольник, если его стороны,извест-
стороны,известны, и тогда углы также можно было бы измерить; однако как
недостаточна точность этого измерения по сравнению с точностью,
достигнутой составителем таблиц путем вычислений. Поэтому
не следует думать,, что составитель таблиц получает значения
тригонометрических функций иутем измерений. Их вычисление
становится возможным, с одной стороны, благодаря тому, что
известны некоторые отдельные значения; например, наша пер-
первая прямая точно делит пополам прямой угол,

160
//. Созидательная форма
и тангенс ее направляющего угла был 1:1, то есть -г = 1 • Пря-
Прямой угол возникает при повороте на четверть полного; следова-
следовательно, мы знаем об угле, соответствующем одной восьмой пол-
полного оборота, что его тангенс составляет 1. Но если мы уже знаем
тригонометрические функции отдельных углов, то мы можем
спросить, как через них можно вычислить тригонометрические
функции, например, суммы этих углов или тригонометрические
функции двойного угла или половинного угла. Такие соотноше-
соотношения исследует тригонометрия. Однако все такие таблицы со-
составляются иным путем; к .этому я еще вернусь.
Но тригонометрические функции имеют значения, которые
выходят далеко за рамки тригонометрии. Если, например, на-
начертить график функции синуса, изменяя угол в пределах от
нуля до полного оборота, то получится следующая волнообраз-.
ная линия, ~
которую можно продолжить и дальше. Угол измеряет, собственно
говоря, поворот прямой от некоторой другой фиксированной
прямой *>. Если мы представим себе, например, что мы посте-
постепенно раздвигаем японский веер,
острый угол
прямой угол
тупой угол
раздернутый угол угол, больишйраздернутого полный угол
то возникают все виды углов. Но очевидно также, что величина
поворота может быть измерена дугой окружности, которая за-
*' Точнее говорить о полупрямых или лучах.— Прим. ред.

14. Существует лишь одна математика
161
ключена между сторонами угла. Однако длина дуги окружности,
разумеется, зависит также от радиуса веера. Поэтому мы будем
измерять наши углы длиной дуги окружности, которая образо-
образована единичным радиусом.
дуга
(Это измерение часто является более целесообразным, чем
деление на градусы, к которому привыкают на школьной скамье.)
Далее можно себе представить (отложив веер в сторону, так
как он в этом случае порвался бы), что вращающаяся прямая
после полного оборота вращается дальше,
так что она дважды пробегает изображенную толстой линией
часть окружности. Очевидно, что после этого прямая остановится
в том же направлении, как если бы она повернулась лишь на
угол, соответствующий маленькой дуге:
Значения тригонометрических функций повторяются, поэтому
для углов, больших полного поворота, кривая синуса дальше
колеблется так же:
Это поведение повторяется подобно повторению периодов
в разложении дробей, поэтому функция синуса называется пе-
периодической функцией^ Каждый физик знает эту линию .точно:
6 Заказ № 1753

162 //. Созидательная форма
это кривая колебаний, и она играет решающую роль в совре-
современной физике. Тот, кого интересует радио, вероятно, уже видел
картину таких «модулированных» волн:
Частые волны в этой картине — это так называемая электро-
электромагнитная волна, ей одной соответствовала бы следующая кар-
картина:
но она модулируется вследствие звука такими длинными волнами.
Здесь еще можно ясно распознать обе волны, из которых со-
составилась модулированная волна. Однако в действительности
звуковая волна никогда не бывает столь простой. Совершенно
чистые звуки не существуют. Постоянно колеблется сразу вместе
много звуков, и разница между ними не столь велика, как между
электромагнитными и звуковыми волнами. Поэтому роли раз-
различных звуковых волн не могут быть столь хорошо различимы.
От наслоений волна просто искажается, например, таким образом:
Часто требуется прочитать по такой искаженной волне,
из каких волн она была составлена. Вообще возникает вопрос:
если мы имеем некоторую непрерывно протяженную, произ-
произвольно искаженную, но все же периодическую кривую, нельзя
ли найти простые волны, взаимодействие которых как раз создало
бы эту кривую?

14. Существует, лишь одна математика 163
Ответ гласит: даже если это не проходит вполне точно, то
все же можно найти волны, которые, наслаиваясь друг на друга,
дают приближенно нащу кривую с произвольной точностью, даже
в том случае, когда наша кривая состоит лишь из изломанных
кусков, например, составлена из следующих прямолинейных
отрезков:
/VWWW
Доказывается это, разумеется, на языке функций. При этом
говорят не о волнах, а о соответствующих им тригонометриче-
тригонометрических функциях.
Другой геометрический мотив, который прозвучал, связан
с сечениями конуса. Пересечем нижний конус дважды, а именно:
один раз горизонтальной плоскостью и второй раз несколько
наклонной плоскостью:
и нарисуем отдельно вершину конуса, круг и эллипс.
А
Представим себе теперь, что в вершине конуса находится
крошечная лампочка, посылающая "световые лучи во всех на-
направлениях. Пусть круг, находящийся на пути лучей, будет
вырезан из листа бумаги, так что он не будет пропускать па-
6*

164
//. Созидательная форма
дающих на него лучей. Тогда скользящие вдоль его края лучи
составят нашу коническую поверхность, и, таким образом, круг
бросает тень в форме эллиггса на наклонную плоскость, под
ним находящуюся.
Эллипс может, следовательно, рассматриваться как тень
круга. Он получается «проектированием» круга из точки на
наклонную плоскость.
Это же самое проектирование создает тень параболической
или соответственно гиперболической формы, если плоскость по-
поворачивать дальше (если пожелать получить также вторую ветвь
гиперболы, то нужно поместить такую же круговую площадку
на пути лучей, направленных вверх). Столь сильно может ме-
меняться тень. Так называемая проективная геометрия исследует
такие свойства, которые не исчезают даже при искажении, вы-
вызванном проектированием. Удалось найти и такие проективные
величины, которые при проектировании остаются инвариант-
инвариантными. Тем самым становится возможным новый подход к едино-
единообразному и простому исследованию конических сечений: доста-
достаточно, если мы займемся хорошо известным кругом. Все его
проективные свойства переходят без изменения к коническим
сечениям, которые получаются из круга проектированием. Тень
может даже простираться до бесконечности, все же она не может
полностью оторваться от своего оригинала.
15. Элементы «Ниже»
Существует интересная русская новелла *>, театральную об-
обработку которой в виде пьесы «Поручик Киже» я видела. Основ-
Основная идея состоит в том, что кто-то, пишущий под диктовку,
*> Речь идет об историческом рассказе Ю. Н. Тынянова «Подпоручик
Кнже» A928).— Прим. ред.

15. Элементы «Киже» 165
неверно понимает слова «поручики же». Таким образом он вводит
в список офицеров также имя «Поручик Киже», и так как этот
список был подписан всемогущим царем, никто не осмеливается
сказать 'ему откровенно, что поручик по имени Киже вообще
не существует. Следовательно, поручик Киже, собственно гово-
говоря, не человек, а лишь описка. Тем не менее с ним и вокруг него
происходят разнообразнейшие события: он попадает в тюрьму,
он женится, он подымает восстание и решительным образом
влияет на жизнь других.
Такие не существующие, однако играющие важную роль
элементы «Киже» можно найти и в математике. Здесь они называ-
называются идеальными элементами. Таким элементом является, напри-
например, известная «бесконечно удаленная точка», в которой встреча-
встречаются параллельные. Она служит для единообразного изложения
геометрии. Действительно, можно показать, что между точками и
прямыми существует известная двойственность: некоторые теоре-
теоремы о точках и прямых остаются справедливыми и тогда, когда
слова «точка» и «прямая» меняются местами. Рассмотрим пример:
три точки, не лежащие на одной прямой, определяют треуголь-
треугольник. Это несомненно справедливо:
«Г-
Двойственная теорема гласит: три прямые, которые не про-
проходят через одну и ту же точку, определяют треугольник.
Эта двойственность очень удобна. Достаточно сказать одно
из утверждений, и тем самым мы без дальнейшего доказали также
и двойственную теорему. Одной теоремой мы охватываем две
теоремы.
Это так, однако с двойственной теоремой дело не ладится
уже в приведенном простом примере. А именно там следовало
добавить: «если только прямые не параллельны». Поэтому здесь
следует лишь приветствовать, что можно сказать: параллельные
прямые были уже Исключены формулировкой теоремы.— они
ведь встречаются в единственной бесконечно удаленной точке.

166 //. Созидательная форма
Однако из этой бесконечно удаленной идеальной точки вы-
выросли многие задачи, более значительные, чем экономия в ого-
оговорках теоремы: «если только ...». Если одинаково направлен-
направленным, то есть параллельным, прямым приписывается единствен-
единственная общая бесконечно удаленная точка, а прямым, имеющим
другое направление, другая бесконечно удаленная точка, то мы
получили столько идеальных точек, сколько существует направ-
направлений. Можно в каждом случае точно описать, о какой из этих
точек идет речь. Должно быть задано лишь идущее к ней на-
направление. Если мы несколько изменим наши координаты, то
можно даже написать уравнение той линии, на которой лежат
все бесконечно удаленные точки. При этом выявляется, что это
уравнение имеет ту же форму, что и уравнение прямой, поэтому
говорят, что бесконечно удаленные точки все лежат на беско-
бесконечно удаленной прямой.
Все это в целом выглядит до сих пор как пустая игра. Мы
написали уравнение некоторой не существующей прямой. Воз-
Возможно, было бы лучше, если бы мы вовсе не пытались сперва ее
себе представить. Прямая бесконечна в двух направлениях,
тем не менее мы ей приписываем лишь единственную бесконечно
удаленную точку (этим достигнут полный порядок в двойствен-
двойственности: две идеальные точки испортили бы дело). Это выглядит
так, как будто оба конца прямой соединяются в бесконечности,
так что она становится в бесконечности своего рода окружностью.
Наши простирающиеся в двух направлениях прямые, превра-
превращенные в такие окружности, висят в отдельных точках беско-
бесконечно удаленной прямой, как плоды на ветке, причем параллель-
параллельные прямые скреплены в одной и той же точке.
Конечно, и саму бесконечно удаленную прямую я также не
должна была рисовать столь прямой, а кто его знает, как; она
ведь имеет точку в одно и то же время и на востоке и на западе,
в другой ее точке сходятся север и юг и т. д. для всех противо-
противоположных стран света. Лучше забудем целое; оно не принад-
принадлежит миру вещей, которые можно себе представить. «Поручик
Киже» — это лишь описка.
Однако на какие действия способна эта бесконечно удаленная
прямая! Ее уравнение нам уже известно. Поэтому намерение
определить точки пересечения этой прямой, например, с неко-
некоторой параболой не является слишком смелым; нужно лишь
искать общие решения обоих уравнений. При этом выявляется,

15. Элементы «Киже» 167
что бесконечно удаленная прямая, которую мы рассматривали
как какую-то путаницу, характеризует конические сечения в
истинном свете. Перед всяким, кто занимается в этой области,
встает вопрос: если дано уравнение второй степени с двумя неиз-
неизвестными, как можно решить, к какому виду конических сече-
сечений принадлежит это уравнение? Бесконечно удаленная пря-
прямая дает ответ: если ее уравнение не имеет общего решения с за-
заданным уравнением конического сечения, то мы имеем дело с
эллипсом; если оба уравнения имеют единственное общее реше-
решение, то имеем параболу; если же уравнения имеют два общих
решения, то мы имеем дело с гиперболой, и не существует ника-
никаких других возможностей. (Окружность — это правильнейший
специальный случай эллипса.)
Теперь мы уже можем предоставить нашему воображению
течь свободно: полученный результат полностью соответствует
нашим представлениям. Эллипс лежит в целом в конечной части
плоскости; естественно, что он не имеет ни одной общей точки
с бесконечно удаленной прямой. Пока параболы становятся
все круче, все более похожими на параллельные прямые, само
собой разумеется, что они встречаются в единственной бесконечно
удаленной точке. Ветви гиперболы тянутся вдоль двух различно
направленных прямых, следовательно, они должны достичь бес-
бесконечности в двух различных точках.
Разве не было бы жалко, если бы мы не стали говорить об
этих несуществующих точках?
Теперь я уже осмеливаюсь заняться нашей последней нере-
нерешенной задачей, а именно уравнением второй степени формы
х2=— 9.
Число, которое после возведения в квадрат дало бы —9,
должно было бы быть обозначено, если бы оно существовало,
V—9. Однако до сих пор мы еще не находили ни одного числа
с отрицательным квадратом. Возводится ли в квадрат —3 или
+3, всегда результат равен +9. Возникает также вопрос, сколь-
сколько составляет У—1; «и этого я не знаю»,— хочу я сказать.
Однако допустим, что я несколько замедлила речь на звуке «и»
и кто-то ревностно отметил то, что я сказала, и принял за ответ i:
Тотчас он меня прервал: «В таком случае я знаю также,
сколько составляет V—9. Это 3i, но это может быть и —3i».
В этом, конечно, он был прав: если бы было V—l = i, то i было
бы число, квадрат которого равен —1:

168 //. Созидательная форма
и тогда было бы также:
(+3iJ=3i-3i=9i2==9-(—1)=—9,
а также (—3?J=—3i—3i=9t2=9(—1)=—9.
Однако плохо то, что это i вообще не существует, все в целом
недоразумение, опечатка. Я действительно не знаю, сколько
составляет ]/"—1.
Все же поскольку мы совершим эту опечатку, мы желаем
ее немного обыграть, как только что при вычислении У—9.
Может быть, этот несуществующий элемент в состоянии что-то
делать?
И действительно, он оказался в состоянии выполнить даже
головокружительные вещи! На нем строится теория функций—
самая почитаемая, важная ветвь математики. Если желают уда-
удалить из математики i, то следует подчеркнуть, что теперь уже
идет речь о теории функций вещественного переменного и вообще
не существует ни одной ветви математики, которая бы не обра-
обращалась за помощью к i как раз тогда, когда нужно было сказать
что-то очень глубокое, и даже геометрия не является исключе-
исключением. Это i увенчивает стремление соединить в единую систему
разрозненные отдельные предложения.
Здесь в моем свободном от формул изложении математики
я могу привести лишь один небольшой пример: ведь идеальные
элементы оживают в действительности с помощью формы.
Если допустить употребление знака i, то между отдельными
функциями открываются такие связи, о которых мы прежде
даже и не подозревали.
Кто бы мог подумать, что существует какая-то связь Между
тригонометрическими функциями и показательной функцией?
Однако можно доказать следующее: если угол измерен длиной
соответствующей дуги окружности, описанной единичным ра-
радиусом,
2 единицы
тогда можно, например, косинус угла, составляющего 2 единицы
(коротко: cos 2), записать с помощью соотношения:

/5. Элементы «Киже* 169
где е — основание натуральных логарифмов. Аналогичная фор-
формула справедлива для любых углов:
cos 3 =
cos 4 = " "V— и т. д.
Но как может косинус угла, то есть отношение двух рассто-
расстояний, которое является вполне приличным действительным чис-
числом, равняться несуществующему числу правой части? Только
таким образом, чтобы с правой стороны находилось действитель-
действительное число. При выполнении действий i появляется из какого-то
воображаемого мира, освещает взаимосвязи и затем снова исче-
исчезает. Подобное появление происходит также при играх, в кото-
которых нужно отгадывать числа: «Задумай число, умножь его на 3,
прибавь еще к полученному 4, удвой результат и вычти из полу-
полученного ушестеренное задуманное число». Я жду, пока мой парт-
партнер решит задачу, тогда, не спрашивая его, я могу утверждать:
«Результат равен восьми!» В самом деле, ход вычисления можно
записать следующим образом: пусть задуманное число х, взятое
трижды, дает Зх, а прибавив сюда 4, мы имеем Зх+4; это нужно
удвоить, так что получается 2(Зх+4), наконец, из этого следует
вычесть ушестеренное задуманное число, это, значит, 6х. Так по-
получается
2 (Зх+4)—6х.
Если Зх+4 умножить почленно на 2, то получается
6х+8—6х,
или в другом порядке
8+6х—6х.
Но если к восьми сначала присчитать 6х, а затем столько же
снова отнять, то останется, конечно, 8. Задуманное число вошло
в вычисления, однако снова из него исчезло. Из связи между
тригонометрическими функциями и показательной функцией
можно также вывести такие соотношения, в которых уже не найти
никаких следов i, даже кажущихся. Подсчитаем, например,
на основании уравнения
cos 2 = ?-3j-—
квадрат числа cos 2. Чтобы нам не нужно было мучиться с дро-
дробями, перенесем сначала делитель 2 правой части в качестве
множителя в левую часть:

170 //. Созидательная форма
Теперь мы возводим в квадрат. Квадрат левой части:
B cos 2J=2-2-(cos 2J
(у меня есть веские основания совсем не желать знать сейчас,
что 2-2=4). С правой стороны стоит двучленная сумма. Она воз-
возводится в квадрат прежде всего вычислением квадрата первого
члена, причем принимается во внимание, что степень возводится
в степень перемножением показателей:
(е2'J = е«.
Затем к этому прибавляют удвоенное произведение обоих
членов, причем следует иметь в- виду, что степени i умножаются
таким образом, что показатели складываются и, далее, что нуле-
нулевая степень имеет значение 1:
2 • е2'- е~2' = 2 ¦ e2i+^nJ) = 2 • е° = 2 ¦ 1 = 2;
наконец, прибавляют еще квадрат второго члена:
(<Г2'J=<Г4''.
Квадрат правой части можно, следовательно, написаты
или в другом порядке:
е4'+ *"*' +2,
и поэтому:
22BJ '
Переносим один из множителей 2 в качестве делителя в пра-
правую часть; мы должны при этом каждый член стоящей там суммы
разделить на 2. Число 2, деленное на 2, дает 1; деление осталь-
остальных членов лишь обозначается:
2-(cos 2)'=*"+'""+1.
Однако здесь нас встречает знакомый: •*}.."
2
Это ведь то выражение, про которое утверждалось, что оно
равно cos 4. Следовательно, имеем:
2-(cos2J=cos4+l,
или в другом порядке (ибо так можно было бы легко подумать,
что речь идет о косинусе угла 4+1, то есть о cos 5):
2-(cos2J=l+cos4.

15. Элементы ч-Киже* 171
Наконец, мы переносим также другой множитель 2 в ка-
качестве, делителя в правую часть:
Но это одно из хорошо известных тригонометрических соот-
соотношений, в нем не найти больше следа i. Этот результат успо-
успокаивает нас, показывая, что счет не был ошибочным; однако
ничего нового мы этим не получили. А вот если бы нам пришло
в голову возводить сумму двух членов не в квадрат, а в любую
степень с помощью биноминальной теоремы, тогда мы могли
бы одним ударом вывести еще множество новых тригонометри-
тригонометрических формул.
Я прошу извинения за длинные вычисления, в ходе которых
следовало вспомнить одновременно столько правил; я думаю,
что для понимания необходимо убедиться хоть раз самому, как i
снова исчезает из вычислений после внесения в них свежей жизни.
Однако не в этом состоит важнейшая роль числа i.
То, что i решает последний нерешенный нами случай уравне-
уравнения второй степени, само собой понятно: для этой цели i и было
введено в рассмотрение, с его помощью извлекаются квадратные
корни из отрицательных чисел. Правда, таким образом мы при-
приходим лишь к «мнимым» *> значениям, однако предыдущие
соображения, может быть, уже убедили читателя в том, что и
эти значения не следует отвергать. Так, например, уравнение
{х—2J=— 9
получает решение
х—2=/=9
и V^9=3i, или
Если перенести вычитаемое 2 как слагаемое в правую часть,
то получаются оба «корня» уравнения (так тоже называют реше-
решения уравнений, ибо часто к ним приходят путем извлечения
корней):
х=2—3i.
Здесь мы получили числа, состоящие из действительной части
и мнимой части; такое странное соединение действительного
*> Обозначение i вошло в математику как первая буква французского
слова imaginaire — мнимый.— Прим. перевод.

172 • //. Созидательная форма
мира и мира мнимого называется комплексным числом. Хотя
оба эти числа и кажутся невозможными, их сумма снова дей-
действительна: при сложении 3t и —3/ уничтожаются. Легко даже
усмотреть, что и их произведение действительно.
Среди комплексных чисел находятся также и действительные
и чисто мнимые числа. Так, например, 5+0/=5 действительное,
a 0+2i=2i чисто мнимое.
Если нам нужно извлечь корень четвертой степени, или ше-
шестой, или восьмой из отрицательного числа, то мы застреваем
точно так же, как и при извлечении квадратного корня. Ведь
степень с четным показателем всегда положительна, как при
положительном, так и при отрицательном основании. Поэтому
не может, например, корень четвертой степени из —16 встре-
встретиться ни среди положительных, ни среди отрицательных чисел,
ибо
(+2L=2-2-2-2=16
(-2)«=(-2) • (-2) • (-2) • (-2)=(+4) • (+4),
что также дает 16. Можно было бы подумать, что эти различные
корни требуют введения все новых идеальных элементов. Однако
этого не потребуется, что дает красивый и поразительный ре-
результат. С помощью только i уже разрешимы все названные
задачи извлечения корней.
Можно даже доказать, что в области комплексных чисел каж-
каждое алгебраическое уравнение любой степени имеет решение; это
называется основной теоремой алгебры. Эта теорема не находится
в противоречии с результатом Абеля, состоящим в том, что уже
при решении уравнения пятой степени с необходимостью приходят
в тупик. Основная теорема алгебры — это только так называемое
чистое доказательство существования. Отыскание (с помощью
основных действий и извлечений корня) того числа, которое
удовлетворяет уравнению, не делается благодаря этому дока-
доказательству возможным.
Извлечение квадратного корня дает всегда два значения:
одно положительное и одно отрицательное. Поэтому уравнение
второй степени имеет в области комплексных чисел всегда два
корня. Правда, все-таки не всегда. Уравнение
имеет лишь одно решение, ибо число, квадрат которого дает 0,
может само быть лишь нулем. Следовательно,
х—3=0,

15. Элементы «Киже* 173
что означает, что
х=Ъ
—• единственное решение. Но развернутая форма этого уравне-
уравнения имеет вид:
х2—6х+9=0,
и к этой форме можно все теснее приблизиться уравнениями,
в которых вместо здесь фигурирующих чисел 6 и 9 стоят числа
Есе менее и менее отличающиеся от них, и все эти уравнения
имеют два корня. Однако эти два корня постоянно приближаются
друг к другу, в то время как уравнения становятся все более
похожими на рассмотренное уравнение. Поэтому говорят, что
в тот момент, когда эти уравнения полностью совпадают с урав-
уравнением:
х2=6х—9,
оба корня совпадают.
Сколько корней имеет уравнение четвертой степени? Уравне-
Уравнение
можно решить также без помощи и Возводится в четвертую сте-
степень + 1 или —1, всегда получают +1. Поэтому дело выглядит
так, как будто здесь также существуют лишь два корня: -\~\ и
—1. Но тут вмешивается i: «Постой, тут что-то не в порядке.
Уравнение четвертой степени, оно должно иметь четыре корня.
Ведь я еще также существую». И на самом деле, i также есть
корель и даже —i, так как
Таким образом, i вносит порядок в вопрос о числе корней
любого уравнения: можно доказать, что в области комплексных
чисел каждое алгебраическое уравнение имеет столько корней,
какова его степень, если учесть, что некоторые из корней
могут и «совпадать».
Вот что дает для алгебры наше L
Однако больше всего i дает для теории функций.
Чтобы иметь возможность дать небольшой пример, нужно
сначала изобразить комплексные числа.
Рассмотрим i как единицу нового рода, с которой мы будем
вести расчеты. Тогда мы должны кратные i изображать на новой

174
//. Созидательная форма
числовой прямой. Начало этой числовой прямой может совпасть
с началом действительной числовой прямой, так как О-i также
равно нулю. Таким образом, можно привести обе числовые пря-
прямые в положение осей некоторой системы координат:
I-
I мнимая ось
к
21
i
-н—i—i *»-
,/ 2 3 • • •
¦' вещественная
-3-2-ГО
-21
-31
ось
Эта возможность дает нам повод изображать комплексные
числа, состоящие из действительной и мнимой части, точками
плоскости; абсциссой должна быть действительная часть, а ор-
ординатой — мнимая часть *>. Изображение некоторых комплекс-
комплексных чисел выглядит в таком случае следующим образом:
-1+31-г
ч—ь
3+21
-2-21 L
Комплексные числа занимают, следовательно, не только чис-
числовую линию, а числовую плоскость.
Под абсолютным значением комплексного числа понимают
его расстояние **' от начала. Это расстояние может, разумеется,
быть меньше или больше. Однако существует бесчисленное мно-
*' Имеется в виду коэффициент при i.— Прим. перевод.
**' Имеется в виду расстояние точки, изображающей комплексное число
до начала координат, — Прим. перевод.

15. Элементы «К.иже»
175
жество комплексных чисел на одном и том же расстоянии от
начала. Они расположены на окружности с центром в 0.
\
l:
Her основания какое-либо из этих чисел считать меньше дру-
других. Следовательно, в области комплексных чисел нельзя го-
говорить о понятиях «меньше» и «больше».
Несмотря на это, легко убедиться, что каждое из старых
правил счета сохраняется, если действия над комплексными чис-
числами производить как раньше: как будто i — некоторая неиз-
неизвестная, о которой мы знаем только, что всюду, где появляется
i2, следует заменить его через —1.
Вернемся теперь.к одному старому результату. Из примера
с шоколадом мы получили:
1 9 МО^ЮО^ 1000 ~r'" '
Здесь с правой стороны каждое число в ^ раз больше преды-
предыдущего: jq — знаменатель этого геометрического ряда. Попы-
Попытаемся 1 -jr преобразовать таким образом, чтобы эта у- получила
какую-то роль:
1 l Ж
1
9 '
Мы уже много раз сокращали, поэтому мы знаем, что можно
делить числитель и знаменатель на одно и то же число. Разде-
Разделим здесь на 10, хотя в знаменателе это деление может быть лишь
обозначено:
19=Т'*
10
g
Этим мы достигли того, что мы имеем дробь уд, которую уже
легко можно выразить через -^г. целое состоит из десяти десятых;

176 //. Созидательная форма
о
если отнять от него одну десятую, то останутся как раз ^- По-
Поэтому имеем:
1-1-1
10 х 10 •
и, наконец:
1-= '
9 I-1 '
1 То
Если подставить выражение, .стоящее справа, вместо 1-д-, то
получается:
1 " _i.A._L+J_+
,_J_~ ~^ Ю" 100^" 1000^ "• *
10
В этой форме наш результат можно обобщить. Если знаме-
1 2
натель геометрического ряда не jq, а, например, -g-, то каждый
последующий член в -»- раза больше предыдущего; члены ряда
равны, следовательно, поочередно числам:
1 2 — "L 2l 2l — i. i. _?_ —А
И можно также доказать, что
Но нужно быть осторожным, потому что мы уже видели, что
не все геометрические ряды можно суммировать; эти ряды не
сходятся, например, при знаменателе +1 или —1 и при знаме-
знаменателях еще большей абсолютной величины. Однако можно
доказать, что этот ряд уже сходится, есЛи знаменатель лежит
ближе к нулю, чем единица, и.тогда его сумму можно написать
1 2 г,
так же, как и в случае знаменателя, равного ~-гх или ¦=¦• Следо-
Следовательно, все знаменатели, для которых ряд можно суммиро-
суммировать указанным образом, лежат на числовой прямой между —1
и +1.
1 1 1 I I 1 1
'•'-3 -2 -/ 0 1 2 3 •••
Если я подумаю об одном из многих чисел, которые лежат
в этом промежутке, но не скажу о каком, то это число может

15. Элементы «Киже» 177
быть названо х. Так же, не зная его, можно утверждать, что
членам образованного им геометрического ряда являются числа:
1, 1-Х=Х, Х-Х=Х2, Х2-Х=Х-Х-Х=Х3,
Х3-Х=Х-Х-Х-Х=Х*, ... ,
и что для этого геометрического ряда также имеет место соот-
соотношение:
Это, очевидно, справедливо, как бы ни был выбран х, если
только следить за тем, чтобы он попал в промежуток между
—1 и +1. Значение у^ естественно зависит от того, какое
число означает х, следовательно, оно является функцией х.
Обычно говорят, что мы здесь развернули эту функцию в «сте-
«степенной ряд»: в бесконечный ряд, состоящий из все более высоких
степеней х. Частичные суммы этого ряда приближаются все
лучше и лучше к значению г^-- В первом грубом приближе-
приближении мы даже можем взять 1 вместо т^-, 1 -\-х — уже лучшее
приближение, 1+х+х2.— еще лучшее. Можно также поставить
вообще вопрос о том, возможно ли разложить заданную функцию
в степенной ряд (разумеется, в общем случае не ожидают появле-
появление ряда, тождественного с предыдущим, а подразумевают такой
ряд, в котором степени х входят умноженными на известные
числа). В теории функций это вопрос решающей важности.
Функция -.— еще довольно проста. Если х — данное число,
то ее значение легко вычислить. Но удалось также развернуть,
например, степень как функцию показателя *> в степенной ряд,
который выглядит особенно просто как раз тогда, когда осно-
основанием является известное число е=2,71. Получается следу-
следующий ряд, каким бы числом ни был х:
где — может быть это еще не забыто —
21 = 1-2; 31 = 1-2-3; 4! = 1-2-3-4 и т. д.
Это уже означает большую помощь для вычисления значе-
значений ех, когда вместо х подставляются определенные числа. Воз-
Возводить в степень бесконечную десятичную дробь е — это не очень
большое удовольствие. Однако если х малое число, то 1+л:
*° Показательная (или экспоненциальная) функция а*.— Прим. ред.

178 //. Созидательная форма
является хорошим приближением вместо ех, а вычислить это
значение, то есть прибавить заданное число к единице, действи-
действительно, детская игра. Если нужна большая точность, то берут
более длинную частичную сумму: в таком случае нужно вычис-
вычислить также некоторые степени заданного числа. Но поистине
более легкое дело возвести, например, х=^ в квадрат, в третью
и в четвертую степень, чем извлечь корень десятой степени
_з
из иррационального числа B,71...K; ведь в этом смысл B,71...I0 .
Хорошо также, что это- разложение верно для всех зна-
значений х.
Тригонометрические функции и логарифмическая функция
также могут быть разложены в ряды; таблицы функций сейчас
составляются на основании именно таких рядов.
Однако не все эти ряды сходятся для каждого х, на что сле-
следует обратить особое внимание, чтобы нечаянно не заменять
что-то через приближенное якобы значение, тогда как о прибли-
приближении никакой и речи быть не может.
Таким образом, возникает вопрос: если я имею функцию,
как можно распознать, для каких х она допускает разложение
в степенной ряд?
Рассмотрим вторично наш геометрический ряд. Мы сказали,
что разложение
законно в промежутке от —1 до +1:
-1 0 1
¦> 1
А видно ли по функции у—-, что как раз 1 (а с другой сто-
стороны нуля на том же расстоянии —1) будет границей?
Конечно! Как бы получилось, если бы здесь х мог обозна-
обозначать число 1?
1 _ 1
1—1~0'
даже записать это страшно. Здесь на страже вечное предостере-
предостережение, запрещающее деление на нуль. Если даже не смотреть
на ряд, уже сама функция повелевает: Стоп! — в точке 1.
Позволяет ли сама функция всегда столь определенно решить,
как далеко можно идти?
В области действительных чисел это получается не всегда.
Это причинило при изучении отдельных функций много забот и

/5. Элементы ч-Киже» 179
труда. Наступил самый подходящий момент, чтобы i могло вме-
вмешаться, и это пролило яркий свет на интересующий нас вопрос.
Рассмотрим один пример.
Тот, кто имеет хоть немного сноровки в обращении с форму-
формулами, может из нашего геометрического ряда тотчас усмотреть,
что функция j—j2 может быть разложена в следующий степен-
степенной ряд:
' 1 уЯ _|_ v4 ув I
И этот ряд также сходится тогда и только тогда, когда х лежит
между —1 и +1:
-1 0 1
Выдает ли здесь функция эти границы?
Подставим +1 вместо х:
1 1 1
1 + 12 — 1 + 1 — 2 '
здесь все в порядке.
Может быть, ошибку следует искать на другом конце; под-
подставим —1 вместо х:
1 = 1 1 .
1 + (— lp 1 + 1~ 2 '
здесь также нет никакой ошибки. Поэтому мы теперь-в большом
затруднении.
Но тут появляется i: «Почему же ты не подставляешь меня
вместо икса?» Попробуем это:
1 _ 1 _ 1
. 1 + J2- 1 -+-(— 1) "О" *
Стоп! — это уже деление на нуль. Если мы подумаем о комплекс-
комплексной числовой плоскости, то мы увидим тотчас, что расстояние i
от начала также составляет единицу. Ввиду того что функция
наталкивается на подводный камень как раз в такой точке, обна-
обнаруживается, что нельзя осмеливаться выходить за пределы еди-
единичного круга:
-1

180 //. Созидательная форма
Поэтому-то целесообразно исследовать значение функции
не только в действительных, но и в комплексных точках.
Справедливо общее утверждение: если существует хотя бы
единственная точка, в которой функция наталкивается на пре-
препятствие, то на расстоянии от нуля большем, чем до этой точки,
функцию нельзя больше разложить в степенной ряд. Следова-
Следовательно, нужно разыскать в комплексной числовой плоскости
ближайшую к началу точку среди тех, которые являются кри-
критическими для функции. Тогда область, в которой функция до-
допускает разложение в степенной ряд, простирается от начала
до расстояния этой точки:
i мнимая ось
щ опасность
^опасность
Так мы получаем круг с центром в начале. Ряд сходится внут-
внутри этого круга, а, может быть, также в некоторых точках его
периферии, однако он несомненно не сходится нигде вне его.
Но такой круг всегда вырезает из действительной оси промежу-
промежуток с серединой в начале координат; этот промежуток изображен
на чертеже толстой линией.
Таким образом, i снова еще раз появился, привел все в поря-
порядок, и, если мы этого желаем, он снова исчезает: мы можем огра-
ограничиться тем действительным промежутком, который с помощью
i как раз был получен. Однако восхищенный математик уже не
дает ему теперь удалиться. Раз i в состоянии столько сделать,
то никогда его больше нельзя рассматривать несуществующим.
Очень даже стоит побродить в комплексной теории функций,
в «этом из ничего созданном мире»; ведь в нем царит больший
порядок, чем в действительном мире.
16. Секреты производства
Как только кто-нибудь освобождается от первоначального
воздействия произведения искусства, в нем пробуждается любо-
любопытство к вещам, стоящим на заднем плане этого мира. Ему

16. Секреты производства 181
хочется узнать, как возникло это искусное произведение и что
в нем имеется от человека: тяжелый труд, мучительно тонкая
шлифовка. Он хотел бы также взглянуть и на мастерскую.
Возвратимся и мы из воображаемых миров и постараемся
выпытать у математика тайны его мастерской. То утомительное
копание, от которого я хотела избавить читателя, все же нельзя
полностью скрыть от его глаз. Писатель, побудивший меня на-
написать эту книгу, проявлял особый интерес к производной, а
производная принадлежит к складу технического реквизита ма-
математики. Если даже это и не столь блестящий вопрос, как рас-
рассмотренные до сих пор, то его важность зато исключительно
велика. Не существует произведения искусства без технической
работы.
С самого начала речь шла о том, что понятие функции — это
ядро всего математического творчества, а о функции нам дает
представление соответствующая кривая. Эта картина, однако,
в силу необходимости несовершенна. С самого начала мы соста-
составили кривую из прямолинейных кусков; мы думали тогда о том,
чтобы эти куски брать мельче, с тем чтобы кривая стала гладкой.
Однако уже после первых разглаживаний карандашные линии
сольются: на нашем рисунке едва можно было отличить уже
шестнадцатиугольник от окружности. Никто не поверит, что
такая неточная картина позволит найти точные закономерности
для нашей функции. Нужен какой-то точный инструмент, кото-
который был бы чувствителен к произвольно тонким отклонениям и
следил бы за ходом функции с произвольной точностью. Таким
точным инструментом и является производная.
Будем исходить из рисунка.
Когда я пыталась дать картину параболы, я сказала, что ее
бока становятся все круче. Однако как можно говорить о на-
направлении гладкой кривой? Мы хорошо знаем, что понимать
под направлением прямой, ее подъем можно ведь проверить
в каждой ее точке. На прямую можно положиться. Она никогда
не отклонится от раз навсегда выбранного направления. Наобо-
Наоборот, кривая линия именно потому и является кривой, что она
постоянно меняет свое направление. Я рассматриваю ее в неко-
некоторой точке и спрашиваю: «Какое направление имеет она здесь?».
Но она гладкая и выскальзывает из моей руки; она не дает
никакого определенного ответа. Все же я чувствую, что она

182
//. Созидательная форма
в этой точке также имеет определенное направление; не было
ведь бессмыслицы, когда я говорила о крутизне параболы.
Будем снимать фильм, и вернемся сначала немного назад
к тому рисунку, на котором кривая еще не была столь гладкой.
На таком изображении мы выберем на кривой некоторую опре-
определенную точку.
В отмеченной точке еще имеет место излом и очевидно, "что
там кривая не имеет определенного направления. Перед этой
точкой направление таково:
а после нее оно таково:
В самой точке линия меняет свое направление.
Теперь будем медленно снимать фильм дальше, когда уже
вставлено больше промежуточных точек.

16. Секреты производства
Здесь излом уже значительно менее острый:
183
Оба направления, которые сходятся к нашей точке, едва
отклоняются друг от друга.
С помощью рисунка я едва ли в состоянии проследить даль-
дальше, что произойдет, если появится еще больше промежуточных
значений. Однако можно себе представить, что излом становится
все слабее и направления до точки и после нее все менее отли-
отличаются друг от друга. В качестве направления кривой в самой
точке следовало бы рассматривать то общее направление, к ко-
которому все больше приближаются обе стороны, когда излом
разглаживается.
Если мы учтем, что оба отрезка прямой, смыкающихся в точ-
точке, приближаются на самом деле к некоторому общему направ-
направлению, то окажется достаточным заняться лишь одним из них.
Возьмем, например, отрезок прямой после точки. Его направле-
направление будет легче распознать, если мы его продолжим вне кривой:
Так мы получаем последовательно различные секущие кри-
кривой. По мере того как точки деления располагаются все гуще,
соседняя точка все больше приближается к нашей точке и внутрь
кривой попадают все более короткие куски секущих. Чтобы
яснее наблюдать, что здесь происходит, мы заменим секущую
линейкой и будем вращать ее так, чтобы одна ее точка постоянно
совпадала с фиксированной точкой кривой.

184
//. Созидательная форма
Тогда наступит момент, когда соседняя точка как раз совпа-
совпадет с нашей точкой и линейка оторвется от кривой.
Секущая здесь становится касательной.
Мы чувствуем, что именно в этот момент мы уловили то на-
направление, к которому приближается верхняя сторона излома.
Если мы будем приближать к кривой линейку, имеющую это
направление,

16. Секреты производства 185
то линейка коснется кривой как раз в нашей точке; здесь линейка
на мгновение прильнет к кривой, а когда они прилегают друг
к другу, они имеют одно и то же направление. Тогда мы оказы-
оказываемся в счастливом положении, нам уже не обязательно иссле-
исследовать это направление в крошечном месте прилегания, ибо
прямая хранит до бесконечности воспоминание об упомянутом
мгновении; ее направление остается постоянно одним и тем же.
Теперь мы уже знаем, что следует понимать под направле-
направлением гладкой кривой в данной ее точке: это направление каса-
касательной, проведенной в этой точке. Направление можно вполне
охарактеризовать, например, отношением, которым обычно вы-
выражают приближенно подъем железнодорожной насыпи. Это и
есть производная.
Понятие касательной нам уже встречалось, когда мы чисто
алгебраическим путем пришли к следующему результату: ко-
коническое сечение имеет с прямой 0, 1 или 2 общие точки. Мы
сказали тогда: если обе линии имеют одну общую точку, то пря-
прямая касается конического сечения. Это верно также и для каса-
касания всех конических сечений. Однако это свойство иметь с кри-
кривой единственную общую точку отнюдь не является решающим
для касания. Если, например, кривая имеет угловую точку,
О
то прямая, проходящая на нашем рисунке через эту угловую
точку, никоим образом не может рассматриваться как каса-
касательная, хотя она и имеет лишь единственную общую точку
с кривой. Здесь не может быть и речи о том, что направление
кривой в рассматриваемой точке задается направлением- этой

186 //. Созидательная форма
прямой. В этой точке кривая вообще не имеет единственного
направления; однако наша прямая не дает даже направления
слева или справа от этой точки.
С другой стороны, на следующем рисунке
прямая имеет две общие точки с кривой; тем не менее в первой
точке ее следует рассматривать как касательную, потому что
она тесно прилегает в ней к кривой.
Однако если мы скажем: касательная лишь прикасается к кри-
кривой, а секущая ее пересекает, то и это свойство не будет реша-
решающим, ибо, например, следующая прямая
предательски пересекает кривую в момент прилегания. Однако
она все же действительно прилегает как к верхней, так и к ниж-
нижней ветви; поэтому нет никакого основания не рассматривать
ее как касательную.
Единственное, решающее свойство касательной заключается
в том, что мы приходим к этой прямой, исходя из секущей, про-
проходящей через все более сближающиеся точки кривой. В обоих
последних случаях это свойство выполняется; я прошу испы-
испытать это вращением линейки.
Следовательно, если мы желаем определить направление ка-
касательной, то, вообще говоря, мы не можем избежать утомитель-
утомительной мелкой работы со все более приближающейся секущей.
Естественно, мы и не думаем- рассматривать вращение ли-
линейки как точный метод. Если бы было необходимо точно узнать
направление кривой — быть может, для установления некото-
некоторой точной закономерности,— то мы не осмелились бы выдви-
выдвинуть результат, полученный вращением линейки. Из чертежа
нельзя надеяться получить точного метода; он достижим только
путем счета *>.
•' Кто не интересуется понятиями производной и интеграла и кому на-
надоела мелкая работа, тот может, в виде исключения, опустить остальную часть
этой главы и следующую главу.

16. Секреты производства
187
Я буду исходить из определенного примера. Пусть мне нужно
проследить за течением функции, заданной уравнением:
Мы уже знаем, что ее изображение — парабола. Установим
теперь точно, какое направление имеет касательная к этой пара-
параболе в точке, абсцисса которой составляет 1.
В этой точке ордината равна:
г/=12=1,
так что наша парабола проходит через точку A; 1).
Изготовление кривой нам уже хорошо известно:
Мы знаем, что нам надо делать: мы должны сначала выбирать
на кривой точки, соседние с точкой A; 1) и все ближе к ней
расположенные. Затем мы проводим через точку A; 1) и каждую
из этих соседних точек секущую и устанавливаем направления
этих секущих, например, в форме отношения, выражающего
подъем железнодорожной насыпи. Наконец, мы смотрим, к ка-
какому направлению постепенно приближаются эти направления,
когда секущие приближаются к положению отрыва от кривой.
Мы выберем соседние точки таким образом, чтобы продви-
продвигаться от точки A; 1) направо сначала на одну единицу, затем
на одну десятую, одну сотую, одну тысячную и т. д. единицы.
Значит, абсциссы соседних точек будут поочередно:
1 + 1=2; 1,1; 1,01; 1,001; ... .
Надо подсчитать также ординаты этих точек, а именно в соот-
соответствии с уравнением у=х2, путем возведения в квадрат. Это
будет легко, ибо 22, разумеется, равно 4, и мы знаем еще из
второй строки треугольника Паскаля (если отвлечься от запятой
и восстановленных нулевых цифр; однако и это уже встречалось),

188 //. Созидательная форма
что:
1,12=1,21; 1,012=1,0201; 1,0012= 1,002001.
Я предварительно замечу еще кое-что, чтобы не задерживать-
задерживаться на мелочах при более важных размышлениях. Мы уже много
раз сокращали, и мы знаем поэтому, что числитель и знаменатель
дроби мы можем разделить на одно и то же число. Но если полу-
получают, например, сокращением на 2:
8 ~~ 4'
то и обратно имеем:
i. —Л
4 ~~ 8 •
Значит, можно также умножить числитель и знаменатель
на одно и то же число. Хотя при этом форма дроби становится
менее простой, мы можем, однако, с пользой применять это пра-
правило, между прочим, и тогда, когда в числителе или знаменателе
встречаются десятичные дроби, например, если мы будем по-
поставлены перед таким неудобным делением:
0,21
0,1 -
Мы уже знаем, что десятичную дробь можно умножить на 10,
переставляя запятую на одно место направо. Так как лишне
писать в начале целого числа нуль, мы получаем здесь, если
умножить числитель и знаменатель на 10:
?i?i?il9 1
0,1 ~~ 1 -^'к
Так же получается из
0,0201
0,01 '
если умножить числитель и знаменатель на 100:
0,0201 _2,01 _0 m
Теперь мы можем отважиться на решение нашей задачи.
Абсцисса точки, которую мы рассматриваем как первую сосед-
соседнюю точку, равна 2 и ордината 22=4. Через эту точку B; 4) и
начальную A; 1) будет проведена первая секущая:

16. Секреты производства
Найдем сначала направление этой секущей. Из точки A; 1)
мы шагнули на 1 единицу вправо — такова разность абсцисс —
и на 3 единицы вверх, ибо на столько превосходит ордината
второй точки нашу ординату, столько составляет разность обеих
ординат. Я разъясню это на новом изображении, где сдвиги
выделены жирными стрелками.
У
Соответственно этому подъем первой секущей
3:1,
то есть -у=3=2+1 (я имею веские основания писать это таким
образом).

190
//. Созидательная форма
Возьмем теперь следующую соседнюю точку, в которой
х=1,1 и, как я предварительно вычислила, г/=1,12=1,21; речь
идет, следовательно, о точке A,1; 1,21). Если я попытаюсь про-
провести секущую через эту точку и через нашу начальную точку и
обрисовать ее подъем снова с помощью жирных линий, то кро-
крошечные отрезки покажутся уже слившимися.
Рассмотрим соответствующую часть рисунка через лупу.
На сколько мы шагнули здесь направо? На 0,1, ибо как раз
столько составляет разность абсцисс. На сколько превосходит
ордината второй точки ординату нашей точки A; 1)? На столько,
сколько составляет разность обеих ординат, то есть на
1,21—1=0,21

16. Секреты производства 191
единицы. Следовательно, подъем второй секущей
0,21 : 0,1,
то есть
"ЬТГ'
и я уже предварительно заметила, что это деление дает
2,1 = 2 + ^.
Если мы переходим к ближайшей соседней точке, в которой
х= 1,01 и — как это уже было предварительно вычислено —
у= 1,012= 1,0201, то нужно еще более сильное увеличение. Одна-
Однако мы, может быть, уже в состоянии сделать себя независимыми
от чертежа, ибо из предыдущего можно усмотреть, что всегда
следует делить разность ординат на разность асбцисс. У точки,
которую следует теперь рассмотреть относительно исходной
точки A; 1), разность ординат равна:
1,0201—1=0,0201,
а разность абсцисс
1,01—1=0,01.
Следовательно, подъем третьей секущей равен
0,0201 : 0,01,
то есть
0,0201
а эта дробь, как я предварительно отметила, составляет
2,01 =2+щ.
Таким же образом мы можем идти дальше; тогда мы находим,
что отношения разностей ординат к разностям абсцисс, короче,
отношения разностей задающих подъемы секущих, все более
приближающихся к отрыву, составляют последовательно:
Мы уже видели, что последовательность
1 1 -L J-
' 10' юс low ••¦

192
//. Созидательная форма
сходится к нулю, как это точно установлено в примере с шокола-
шоколадом; тем самым то число, к которому упомянутые подъемы все
более приближаются, вполне точно равно 2. Но оторвавшаяся
секущая — это касательная. Поэтому подъем касательной, про-
проведенной к параболе в точке A;1), равен 2, то есть 2:1. Зная
этот подъем, можно и нарисовать эту касательную:
Of. X
Если при этом нарисовать параболу с помощью большого
числа промежуточных значений, то мы увидим, что она на самом
деле касается этой прямой
Таким образом, занимаясь неточными чертежами, мы неожи-
неожиданно получили вполне точный вычислительный метод для опре-
определения направления касательной: мы должны взять на кривой,
по соседству с нашей точкой, другую точку, разделить разность
ординат обеих точек на разность абсцисс и выяснить, к какому
значению приближается таким образом полученное отношение,
когда соседняя точка все ближе подходит к нашей точке.
То определенное значение, к которому приближаются отно-
отношения этих разностей, называется производной. Отыскание про-
производной является, следовательно, как я это заранее возвестила,
точным вычислительным методом, служащим для определения
касательной гладкой кривой, а тем самым и для исследования
всего хода кривой.

16. Секреты производства 193
Во всех других точках этот метод может быть равным образом
применен. Если кривая гладкая, то в каждой ее точке существует
определённое направление касательной. В точке B; 4), лежащей
выше, чем точка A; 1), парабола кажется уже более крутой.
Если подсчитать отношения разностей в точках, соответствующих
значениям:
*=2+1; 2,1; 2,01; 2,001;
которые все больше приближаются к точке B;4), то получаются
соответственно значения:
4,1, <*-1-ш. *-т-1Оо' 4 ' 1000' •••'
и вполне точно 4 является тем числом, для которого эти значе-
значения служат все лучшими и лучшими приближениями. Подъем
4
касательной в точке B; 4) равен поэтому 4=у, и он на самом
2
деле больше, чем 2=-г- касательной в точке A; 1).
Таким же образом можно показать, что в точке параболы,
которая соответствует значению х=3, подъем касательной со-
составляет 6; в точке, соответствующей х=4, он составляет 8; и,
вообще, во всех точках параболы подъем в два раза больше,
чем величина абсциссы соответствующей точки. Это положение
вещей выражают следующим образом: производная функции
у=х2
— каково бы ни было значение х — составляет
2х.
Тем самым весь ход параболы находится на самом деле в на-
наших руках.
Чтобы получить определенное начало для дальнейшего ис-
исследования, усмотрим из уравнения функции, что парабола
проходит через начало координат. Именно если л;=0, то у=х2=
=02=0. Все дальнейшее нам будет выдавать уже производная.
Если,-например, х — некоторое отрицательное число, то его
удвоенное значение 2х также отрицательно; подъем касательной,
следовательно, отрицателен. В такой точке касательная должна
опускаться и тем самым также и кривая, к которой касательная
прилегает. Если, напротив, х положителен, то его удвоенное
значение также положительно: в такой точке кривая поднимется.
Если л;=0, то его удвоенное значение, 2х, также равно нулю.
Следовательно, в начале координат кривая имеет касательную
7 Заказ № 1753

194
//. Созидательная форма
с подъемом 0; но скат с подъемом.0 — это горизонтальная дорога;
здесь это сама ось х-ов. Если абсолютная величина х-ов растет,
то и его удвоенное значение становится все больше и тем самым
становится больше крутизна касательной.
Отсюда получается следующая картина кривой: левее начала
координат кривая опускается, в начале координат она стано-
становится на мгновение горизонтальной, прилегая к оси я-ов, затем
правее начала кривая поднимается. Поэтому самая глубокая
ее точка — в начале координат; по мере того как линия оттуда
удаляется, ее оба бока становятся все круче. Все это мы уже
знали о нашей параболе; в случае менее известной функции
производная разъяснила бы это..
Но наши сведения о параболе также заострятся л помощью
производной. О функции, выражаемой произведением 2х, мы
уже установили, когда рисовали первые температурные кривые,
что ее график — прямая (это естественно, так как она первой
степени). Следовательно, эта функция равномерно возрастает.
Поэтому, хотя крутизна параболы возрастает постоянно от на-
начала координат в обе стороны, все же происходит это не стреми-
стремительно, не все более бурно, а вполне равномерно. Естественно,
парабола может принимать положения, которые отличаются от
обыкновенного положения:
например, такие
У

16. Секреты производства
195
а в этих случаях может уже оказаться проблематичным, где ле-
лежит ее самая глубокая, соответственно самая высокая точка.
Производная обнаружит это тотчас, ибо касательная к параболе
и теперь становится горизонтальной в такого рода точке.
Разыскание таких самых глубоких или самых высоких точек,
или — в переводе на язык функций — определение минимумов,
соответственно максимумов функции делает возможным самые
разнообразные приложения.
Допустим, что мы желаем изготовить коробку из квадрат-
квадратного листа, вырезав в его четырех углах по маленькому квадрату
и загнув вверх выступающие прямоугольники.
Ставится вопрос, как велики должны быть куски, подлежа-
подлежащие вырезанию, если желают получить коробку максимальной
емкости.
Сторона маленького квадрата неизвестна, поэтому она будет
названа х. Установить, как зависит объем коробки от выбора х,
будет очень легкой задачей. Во всяком случае, несомненно, что
если х мал, то есть если отрезаются маленькие квадраты, то
коробка, хотя и широкая и длинная, получается низкой. Если
же, наоборот, вырезают большие квадраты, то есть если остается
маленькая площадь основания, то коробка становится выше,
но также уже; поэтому х не должен быть выбранным ни слишком
малым, ни слишком большим; правильное значение нужно искать
где-то посередине. Производная выявляет вполне точно, что
коробку с наибольшим объемом получают тогда, когда сторона
маленького квадрата составляет как раз шестую часть стороны
большого квадрата.
Прилетел мяч; я могла бы узнать, достанется ли он мне или
тебе; ибо производная определяет точно, по какому пути проле-
пролетает брошенное тело.
И существуют еще многочисленные приложения.
Исследуем еще один случай, когда график функции не так
хорошо нам известен, как парабола. Точно так, как и раньше,
можно установить вычислением отношений разностей, что в каж-
каждой точке функции, заданной уравнением

196 //. Созидательная форма
подъем касательной в три раза больше, чем квадрат абсциссы
соответственной точки, то есть что производная этой функции
равна
ЗлА
Какие можно сделать отсюда выводы?
Чтобы получить отправной пункт, мы и здесь из самой функ-
функции заключаем, что
если х=0, то и y=0s=0.
Следовательно, эта кривая также проходит через начало коор-
координат.
Теперь мы даем слово производной.
Можно отметить, что она выражается через квадрат х (ее
собственное изображение — парабола). Отсюда можно сделать
два вывода. Первый состоит в том, что у графика функции
y=xs уже не может быть и речи о равномерном возрастании
подъема. По мере того как кривая отдаляется от начала коорди-
координат, ее подъем возрастает все более и более бурно. Другой вы-
вывод состоит в том, что независимо от того, рассматриваются ли
положительные или отрицательные абсциссы, х2 во всяком слу-
случае положителен; в силу этого касательная поднимается, в то
же время и кривая поднимается — как слева, так и справа
от начала. Так как кривая проходит через начало, то слева от
него она может подниматься только так, чтобы значения функ-
функции лежали здесь ниже, чем 0, следовательно, чтобы кривая
проходила ниже оси х-оъ. После начала кривая поднимается
над этой осью. Тем самым она пересекается в начале с осью
х-ов. Однако
если л:=0, то Зл:2=3-02=3-0=0;
поэтому подъем касательной в начале координат равен нулю,
то есть здесь касательная горизонтальна. Горизонтальная ли-
линия, проходящая через начало, будет сама осью л;-ов. Следо-
Следовательно, ось л:-ов касается нашей кривой там, где она ее также
пересекает, а именно в начале координат. По мере того как
кривая приближается к этой точке, ее подъем становится все
умереннее, здесь она на мгновение отдыхает. Собравшись с но-
новыми силами, кривая начинает затем снова подниматься, сначала
лишь медленно, но вскоре все смелее.

16. Секреты производства
197
Соответственно этому мы получаем при-
примерно следующую кривую:
Представим теперь функцию y=xs не-
непосредственно.
При х=
0 у=
1 У-
2 у-
08 = О,
Is = 1,
23 = 8,
=—2 ы=(_2)8=— 8.
Вычислим еще значения для некоторых промежуточных мест.
п _ 1 -( l\3 —kill— 1
при*— •„ у — [ „I —о75То~Т
1-
4-
2
1-
¦ 4-
•2
1
4
• 2
~8
9
1
64
8 '
•
Однако для изображения числа щ поставленная каранда-
карандашом точка была бы уже слишком высока. Поэтому на нашем
рисунке это выглядит так, как будто кривая уже здесь приле-
прилегает к оси *-ов (более тонкое исследование производной обна-
обнаруживает также это более сильное прилегание). Мы должны,
следовательно, отмерить в точках 0,
1, 2 соответственно

198
//. Созидательная форма
О, g-, 1, 8 единиц вверх, а в точках2
— у, —1, —2 отмерить—g- —1, —8
единиц вниз.
Это на самом деле та картина, которую производная заранее;
почуяла. В промежуточных местах также не может произойти !
даже самого малого излома, ибо производная обнаружила бы и
это. Она чует, естественно, не только ориентировочную картину,
но прощупывает с полной точностью направление кривой в каж- \
дой точке.
Не удивительно поэтому, что математики нашли производ-
производные, соответствующие всем часто встречающимся функциям,
и столько работали с ними, что знают их вдоль и поперек.
И если физик обращается за некоторой функцией в кладовую
математики, то математик передает ему тотчас вместе с функцией
также и производную, как бы в качестве точного инструмента
для исследования.
17. Если малыши объединятся, то сдвинут гору
Нам в жизни приходится так часто умножать, что мы знаем
таблицу умножения наизусть вдоль и поперек. Из нее же мы >
моментально узнаем и результаты обратных действий, например,
когда 20 нужно разделить на 4, то мы уже сразу знаем, что 5 — ;

П. Если малыши объединятся, то сдвинут гору
199
это то число, которое, будучи умножено на 4, дает 20. Матема-
Математик также" вдоль и поперек знает производные употребительных
функций; поэтому, когда они ему попадаются на глаза, он их
тотчас узнает. Если теперь кто-нибудь будет говорить о функции
2х, то нам сразу придет в голову, что это функция 2х откуда-то
нам знакома. Но откуда же? Правильно, это была производная
функции у—хг. Следовательно, и здесь можно говорить об обра-
обращении операции. Если дана некоторая функция, то можно спро-
спросить о том, существует ли другая такая функция, производной
которой является данная; и если такая существует, то какова
она. В случае если эта функция существует, она называется
интегралом данной функции; например, интегралом функции 2х.
является функция у—х2. Как и при решении уравнений, здесь*
существуют искусственные приемы, с помощью которых иско-
искомая функция легче может быть отгадана, если ее не удается опо-
опознать сразу. Пусть, например, х2 — данная функция. Она очень
напоминает Зх2, о которой мы уже знаем, что она производная
функции, заданной уравнением у=х3. Но наш х2 — каков бы
ни был х — это как раз одна треть от Зх2. Поэтому он, вероятно,
является производной трети от х3, то есть функции
Легко доказывается, что это на самом деле так.
Все же в большинстве случаев искусственные приемы не по-
помогают; требуется общий метод. Кроме того, в предшествующем
методе отгадывания имеется еще один недостаток: производная
не могла обнаружить, что, например, график функции у=х2
проходит через начало координат; это нужно было в свое время
высмотреть в самой функции. Но в таком случае как мы можем
думать, что одной производной достаточно для полного восстанов-
восстановления кривой?
И в самом деле, ее для этого недо-
недостаточно; это можно усмотреть тотчас:
подвинем несколько нашу параболу,
например, на одну единицу вверх:
У.
А
д
\\
\\
\\
Л
л
\^
0
/
1
1
1
/1
1
/1
/1
1/
¦*

200
//. Созидательная форма
Ясно, что форма кривой не изменилась из-за простого пере-
передвижения вверх; ее крутизна остается в каждой точке неизмен-
неизменной. Следовательно, и производная остается неизменной. Однако
уравнение кривой все-таки изменилось, так как ордината каждой
точки стала на 1 больше. Соответственно этому тот у, который до
сих пор равнялся х2, повысился до хг-\-\. Следовательно, урав-
уравнение подвинутой вверх параболы таково:
Опираясь только на знание соответствующих направлений
кривой, то есть только на' производную, еще нельзя усмотреть,
идет ли речь именно об этой функции, или о прежней, или об од-
одной из бесчисленных функций, возникающих от сдвига нашей
параболы вверх или вниз. Таким образом, наша задача неопре-
неопределенна.
Однако если еще задать одну-единственную точку искомой
кривой, то кривая полностью определится. Если в качестве
«начального значения» дано, например, что кривая проходит
через начало, то она может быть, при заданной производной 2х,
лишь нашей исходной параболой. Это будет доказано ниже.
Я хочу продемонстрировать общий метод на параболе. До-
Допустим, что мы не распознали бы интеграла функции 2х. Ищется
кривая, о которой мы знаем лишь, что она проходит через начало
и что подъем ее касательной в каждой точке составляет 2х.
Я начну и здесь с чертежа, однако целью является создание
точного метода.
Разделим сначала ось л;-ов на промежутки длиной по еди-
единице и проведем через точки деления вертикальные линии для
пока еще неизвестных ординат:
-4 -3 -I -1 0
+ 1 +Z +3
Мы знаем, что в точке х=0 также и */=0. Здесь мы начнем
изображать кривую, естественно, лишь приближенно.

ft. Если малыши объединятся, то сдвинут гору 201
Основная мысль изображения в том, что кривая на минутку
прилегает- к касательной; касательная на небольшом расстоянии
от точки касания может еще хорошо заменять саму кривую.
Я рассматриваю теперь расстояние между какими-либо двумя
вертикальными линиями как такое маленькое расстояние. Сле-
Следовательно, я провожу сперва ту касательную, которая принадле-
принадлежит началу координат, и допускаю, что она представляет нашу
искомую кривую справа полностью до вертикальной линии в
точке -f 1, а слева полностью до линии в точке —1. Обе точки, ко-
которых я таким образом достигаю, я рассматриваю как те точки
кривой, которые принадлежат к х= + 1, соответственно к х=—1,
и провожу, исходя уже отсюда, соответствующие касательные
до ближайших вертикальных линий. Таким образом полученные
точки я рассматриваю как те точки кривой, которые принадле-
принадлежат Х—+2, соответственно х=—2, и я провожу касательные,
принадлежащие этим значениям, до ближайших вертикалей и
так далее. Разумеется, касательные будут всегда строиться на
основе заданных подъемов. В точке *=0 он составляет
2х=2-0=0,
в точке х—\
а мы знаем, что функция-произведение *) возрастает равномерно.
Тем самым подъем в точках, следующих друг за другом на рав-
равных расстояниях, будет все время увеличиваться на 2, то есть он
будет, начиная с х=\, равняться последовательно числам:
2, 4, 6, 8,...; аналогично налево от точки 0 он будет последо-
последовательно:
-2, -4, -6.
Соответственно этому подъем касательной
в точках I 0 I I I 2 1—11—2
равен соответственно | 0 | 2 | 4 | —2 | —4
Конечно, мы знаем также, что, например, при подъеме 2, то
2
есть подъеме у, следует пройти на одну единицу направо и на две
единицы вверх; и также подъем —2 означает, что надо отложить
налево одну единицу и вверх снова две единицы. Таким образом,
например, в точках +1 и —1 нужно отложить вверх одно и то же
расстояние. Это показывает, что чертеж будет симметричным;
*' Имеется в виду функция y—kx, задающая прямую пропорциональ-
пропорциональность.— Прим. перевод.

202
//. Созидательная форма
достаточно, если мы точно изобразим правую половину, тогда
левую половину можно просто срисовать с правой.
Теперь мы можем приступить к построению. Подъем 0 в на-
начале координат означает, что путь горизонтален, следовательно,
мы идем горизонтально до точки 1. Отсюда мы шагаем дальше до
ближайшей вертикальной линии с подъемом 2=-т-, и отсюда наша
дорога ведет дальше с подъемом
<-!¦
-з -г -1 о
А
/1 :
Так появляется еще довольно грубая картина параболы.
Проверим теперь при помощи вычислений точность наших
результатов. При этом мы ограничимся точкой х=3. Подсчитаем
ординату кривой у=х2 в этой точке. В точке х=3 г/=32=9.
Естественно, что сейчас мы еще не имеем права знать, что
речь идет о функции у=х2. Но так как мы втайне все-таки это
знаем, то это может нам послужить для выяснения меры точ-
точности нашего чертежа. Посмотрим, насколько отличается от зна-
значения 9 ордината нашей кусочной кривой, принадлежащая зна-
значению х=3.
Чертеж показывает, что мы поднялись к соответствующей
ординате постепенно, причем все подъемы, которые имели место,
начиная с начала координат и до последней точки, складыва-
складывались; следовательно,
^=0+2+4=6=9—3.

17. Если малыши объединятся, то сдвинут гору
203
Разница в три единицы означает еще довольно большое от-
отклонение. Сгустим теперь точки деления, проводя вертикаль-
вертикальные линии на расстоянии у единицы друг от друга.
Подъем касательной в начале координат снова 0 (эта каса-
касательная горизонтальна). В точке х—-* он равен:
2х = 2 • у == 1,
и на равных расстояниях подъем возрастает равномерно; сле-
следовательно, теперь он будет постоянно на 1 увеличиваться в сле-
следующих друг за другом точках деления.
Поэтому подъем касательной
равен соответст-
соответственно
0
0
1
2
1
1
2
1
3
2
4
4
5
1
— 1
—1
-2
~12
-3
—2
—4
-4
-5
Раньше, чем мы начнем строить чертеж, мы должны еще кое-
что обдумать. В точке 0 подъем равен нулю; отсюда мы должны
пойти горизонтально до точки у. До сих пор все сходится. Но
в точке у подъем равен 1, то есть у, и отсюда мы должны были
бы шагнуть на 1 единицу направо и на 1 единицу вверх. Однако не
для того мы провели наши вертикальные линии на расстояниях
по-^ единицы друг от друга, чтобы теперь снова идти направо на
целую единицу. Мы должны лишь поразмыслить: если подъем

204 //. Созидательная форма
железнодорожного полотна равен у, то есть если оно поднима-
поднимается на 1 м, когда мы откладываем горизонтально 1 м, то, если мы
1 1
отложим лишь -к м, оно поднимется на -~ м:
2
Таким же образом для полотна с подъемом 2= у справедливо,
что, если мы отложим не 1, а -^ м, оно поднимется выше не на
2, а лишь на 1м.
Следовательно, если мы будем шагать далее шагами по -к-
единицы, то мы должны всегда подниматься вверх на половину
прежде вычисленных подъемов; так, например, шагая вперед
от нуля направо в точках
0 | 1 ll 2 2±
вместо
0 12 3 4 5,
следует подниматься соответственно на
О ' 1— 1 ! о 1 1 о , 1 1
единиц.

П. Если малыши объединятся, то сдвинут гору 205
Теперь ничто больше нам не мешает изготовить чертеж:
\
Эта линия стала уже почти гладкой, как парабола; лишь об-
обнаруживается несколько преувеличенное прилегание к оси х-ов.
Вычислим снова значение ординаты, принадлежащей значе-
значению #=3.
Она складывается здесь не из самих подъемов между нулем и
тремя, а из этих значений, умноженных на у. Лучше написать их
не в окончательной форме
0 — 1 1-1 9 9
2 '
а снова в форме
1.0 1 .1 ' 2 1 -3 !.4 - 5
2 U>  ' " ' Т ' 2 ' 2 0-
Таким образом, мы здесь получаем
у-0 равно нулю, поэтому его можно опустить. Если все члены
нужно умножить на -_-, то проще сначала их сложить и затем раз-
разделить результат на 2:

206
//. Созидательная форма
15
Таким образом, в скобках следует лишь сложить целые
числа, и это также можно еще упростить, а именно по способу
моей ученицы Сюзи: можно вместо составления суммы первых
пяти чисел взять 5 раз их «середину» — 3, что дает 15. Этот ре-
результат нужно теперь умножить на у; мы получаем, следова-
следовательно, у. Если бы к 15 прибавили еще 3, то получилось бы 18,
то есть дважды 9. Поэтому мы имеем, наконец:
18 3 _q 3_
Соответствующая ордината предыдущей кривой отличалась
от 9 на 3; а теперь ордината отличается уже только на у .
Процесс постепенного сглаживания наших кусочных кри-
кривых, который из-за грубости графических средств может дать,
естественно, лишь очень неточный результат, позволяет полу-
получить в качестве побочного выигрыша сколь угодно уточняемый
метод для вычисления принадлежащей значению х=3 ординаты.
Ясно, что при дальнейшем делении оси х-ов на части по -т- еди-
единицы подъем в начале координат снова равен нулю, напротив,
в точке -j он будет равняться:
г. 1 2 1
2x = 2--j = -j , после сокращения у ;
подъем, следовательно, возрастает на равных расстояниях по-
постоянно на у. Следовательно, теперь подъем касательной будет,
начиная с нулевой точки, следующим в указанных ниже точках:
0
п
1
4
1
2"
2 1
4 =
2
"
3
Т
3
"
1
4
2
li
4
5
6
'2
3
¦т
7
2"
2
8
J
4
9
1
4
10
2
4
11
2
Так как мы здесь желаем продвигаться все время направо
на-j единицы, то вверх нужно откладывать -г от заданного зна-
значения подъема; ибо если у поднимающейся насыпи отложена
горизонтально -j- некоторого пути, то насыпь поднимается также
лишь на -j- высоты, на которую она поднялась бы при всем пути.

17. Если малыши объединятся, то сдвинут гору 207
Из этих четвертей составляется наш у, пока мы не достигнем точки
х=3: •
„-1.1 + 1. 1 + 1. 1 + 1. 1 + 1. 1 + 1.1 +
У 4 2 ' 4 2 ~* 4 2"Г4 2^4 2^4 2Т
4-1 1-Л-— 14-1 —4-1 1^4-1 11-
+ 4 " Т + 4 " 2 + 4 " 2 + Т ' 2 "i 4 ' !" '
произведение — 0, разумеется, равно нулю, и поэтому оно опуще-
опущено. Здесь каждый член нужно умножить на -j, то есть нужно,
собственно, делить на 4, а знаменатель каждого члена указывает
еще сверх этого на деление на 2. Мы уже знаем, что если надо
что-то делить на 4, а затем на 2, то мы получим тот же результат,
если сразу разделим на 4-2=8; кроме того, можно снова сна-
сначала сложить делимые и затем разделить результат на 8. Следо-
Следовательно,
г/ = A + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7+8 + 9+10+11).1 •
Когда складывается так многочленов, можно лишь радоваться,
что в нашем распоряжении имеется метод Сюзи: достаточно лишь
умножить на 11 среднее из фигурирующих в сумме чисел, то есть
число 6, чтобы получить сумму. Это составляет 66, а после деле-
fifi
ния на 8 получается -g-. Но, чтобы получить 72, то есть 8 раз 9,
нужно к 66 еще прибавить 6.
Следовательно,
_ 66 _ 72 6 _ Q 6
V—J- 8~~8~У~Т '
6 . о
-а можно сократить на 2; так получается
з
В полученном нами уточнении до девяти не хватает лишь -j .
К этому результату мы пришли уже без чертежа, думая,
однако, постоянно о том, что следовало бы делать на чертеже.
Теперь уже мы можем продолжить этот метод, не думать о каком-
либо чертеже. Ближайший шаг состоял бы в делении оси х-ов
от 0 до 3 на восьмые. При этом в точках деления подъем бы уве-
12 1
личивался соответственно на2х=2--5-— -о~~т единицы. Подъемы
о о 4
в этих точках были бы, следовательно,
П 1 1 1 1 1
1 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4

208 //. Созидательная форма
Эти числа следовало бы одно за другим умножить на длину
расстояния -Q- и затем эти произведения сложить и так до точки
х = 3.
Результат был бы:
Теперь легко усмотреть, что этот метод можно таким образом
продолжать сколь угодно далеко. Но последовательность
ч А 11
о, 2 , 4 , 8- ...
сходится к нулю (если делить поровну 3 пирожных между все боль-
большим числом людей, то на долю каждого из них достается кусок
все более исчезающей величины). Поэтому 9 является вполне
точно тем числом, к которому все точнее приближается ордината,
принадлежащая точке х=3 нашей становящейся все более глад-
гладкой кривой, но 9 — это З2, то есть это значение функции у=х2
в точке х=3.
Аналогично доказывают, что ординаты наших кривых в точке
х=1 сходятся к 1 = 12, в точке х=2 к 4 = 22, в точке х = 4 к
16 = 42 и вообще в любой точке сходятся к квадрату абсциссы
соответствующей точки, то есть к х2. Следовательно, наши кусоч-
кусочные кривые сглаживаются в параболу
На языке функций это выражается так: по функции 2х можно
восстановить ту предварительную функцию, производной кото-
которой служит данная функция, если еще задано одно начальное
значение искомой функции.
- В это же время мы создали также точный метод Для вычисле-
вычисления значений искомой функции. Нужно разделить на равные
промежутки ось х-ов от заданной до рассматриваемой точки
(у нас от 0 до 3), умножить длину промежутка на те значения
заданной функции, которые она принимает в точках деления,
и сложить все эти произведения. Таким образом получают так
называемые приближенные суммы *>. Если точки деления все
более сгущаются, то эти суммы сходятся к значению интеграла
в рассмотренной точке. Я должна сознаться, что в большинстве
случаев это связано со значительным трудом; ведь обратные дей-
действия означают тяжелую работу.
Приближенные суммы можно наглядно изобразить также пло-
площадями. Ведь каждый член любой приближенной суммы есть
*' Их называют также интегральными. — Прим. перевод.

17. Если малыши объединятся, то сдвинут гору
209
произведение: длина каждого промежутка умножается соответ-
соответственно на значение заданной функции. Но мы знаем, что любое
произведение можно наглядно изобразить площадью прямо-
прямоугольника, в котором две соседние стороны соответствуют вели-
величинам сомножителей. Таким образом, каждый член приближен-
приближенной суммы дает площадь некоторого прямоугольника, а вся
сумма может быть наглядно представлена путем присоединения
друг к другу таких прямоугольников.
Попытаемся в этом разобраться. Наша первая сумма была
0+2+4.
Здесь не видны произведения; однако в этом случае длина
промежутка составляла 1 единицу. Следовательно, эта сумма
может быть написана в следующей форме:
1-0+1-2+1-4.
Теперь мы можем уже изобразить эту сумму
У.
0
I
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Pi
ш
i
i
i
i
i
////
////
/у/у
У///
ш
1
з ^
A -0 следует рассматривать как прямоугольник, длина которого
простирается от нуля до 1, а высота составляет 0; естественно,
это всего лишь кусок горизонтальной прямой).
Наша вторая приближенная сумма была:

210 //. Созидательная форма
Этому соответствует следующая картина:
У
111111
2 г П 2.1
Наша третья приближенная сумма состояла уже из 12 членов:
2 т- 4 2 "i 4
4 ' 2 + 4 ' 2 -
Это легко изобразить еще одним делением промежутка попо-
пополам; для написания чисел здесь, конечно, уже нет больше места;
я только черчу:
Легко видеть, что эти ступенчатые фигуры все больше прибли-
приближаются к площади прямоугольного треугольника. Я имею в
виду тот треугольник, который в каждом изображении лежит
под прямой, нарисованной пунктиром. В каждом изображении

17. Если малыши объединятся, то сдвинут &ору
211
фигурирует одна и та же прямая. Из первой фигуры легко ус-
MorpeTbj что ее подъем равен
2:1.
Нетрудно проверить, что в обеих других фигурах прямые
имеют тот же подъем. Еще недавно я просила о том, чтобы снова
опознать эту прямую. Прямая с подъемом 2 : 1 и проходящая
через начало имела уравнение:
У = 2х.
Но это как раз наша заданная функция! Ее изображение —
эта прямая! Приближенные суммы приближаются, следовательно,
и притом все точней, как раз к площади, лежащей под изображе-
изображением заданной функции. Как жаль, что мы этого не знали зара-
заранее: ведь площадь прямоугольного треугольника можно легко
вычислить! Нужно лишь перемножить между собой катеты и ре-
результат разделить на два. Горизонтальный катет — это кусок
оси абсцисс от начала до рассматриваемой точки х=3; он состав-
составляет, следовательно, 3 единицы; вертикальный катет нужно вы-
вычислить. Если х = 3, то у = 2х = 2-3 = 6;
второй катет составляет поэтому 6 единиц:
Таким образом, площадь треугольника составляет
3-6_18_q
2 ~ 2 ~У
единиц, и это на самом деле сходится с тем результатом, который
мы получили раньше столь утомительным путем.
Таким образом, вычисление площадей может прийти на
помощь интегральному исчислению. Это не случайность. Если

212
//. Созидательная форма
только речь идет не о слишком необузданной функции (как,
например, беспрерывно скачущая туда и сюда между нулем и
единицей функция Дирихле, для которой приближенные суммы
совсем и не думают сходиться), то есть в случае нормальной функ-
функции приближенные суммы можно всегда изобразить ступенчаты-
ступенчатыми фигурами,
Кривая
данной функции,
Начальная
точка
Рассматриваемая
точка
и если деление неограниченно сгущается, то эти фигуры*1 дают
приближение с точностью примера с шоколадом к площади, ле-
лежащей под графиком заданной функции от начальной точки до
рассматриваемой. Площадь, лежащая под кривой, и интеграл
означают то же самое, только в различных формулировках.
Но и обратно — вычисление площадей еще больше обязано
интегральному, исчислению.
Площадь прямоугольного треугольника мы можем вычислить,
и мы знаем также, что каждый другой треугольник можно раз-
разложить на прямоугольные треугольники, а каждый многоуголь-
многоугольник можно разложить на треугольники. Следовательно, вычисле-
вычисление площадей фигур, которые ограничены прямыми, не является
проблемой. Мы уже в какой-то степени привыкли также и к тому,
что площадь круга можно вычислить с помощью все более густо
втиснутых треугольников. Но как можно в самом общем случае
вычислить площадь, ограниченную кривыми линиями?
Такая площадь может быть разложена прямыми таким обра-
образом, чтобы можно было каждый кусок положить его прямолиней-
прямолинейной стороной на ось *-ов:
*' Здесь имеется в виду площадь этих фигур.— Прим. перевод.

17. Если малыши объединятся, то сдвинут гору
213
Затем мы вычисляем площадь каждой из отдельных частей.
Вычисление же такой площади, которая лежит под кривой, —
это уже задача интегрального исчисления. Может случиться, что
мы здесь будем иметь дело как раз с интегралом, который легко
угадать, и тогда мы можем тотчас сказать, чему равна площадь.
Так, например, мы уже угадали, что интеграл от х2 дает функ-
функцию
или, вернее, что между многими функциями, которые следует рас-
рассматривать как интеграл, именно эта функция проходит через
начало *\ ибо
для х = 0 -^—х = 0'
Отсюда мы можем тотчас вычислить площадь под параболой,
имеющей уравнение
Она составляет, например, до точки х = 1 столько же, сколько
и значение интеграла на месте х = 1, следовательно,
1» 1
-у = -д- единицы площади.
Следовательно, заштрихованная площадь, которая, очевидно,
занимает только часть единичного квадрата, равна в точности
одной трети этого квадрата:
Но кого интересует, как велика площадь, лежащая вне пара-
параболы? Этот вопрос лишен интереса; однако, решив его, можно тот-
тотчас вычислить площадь между боками параболы до произвольной
*' Здесь подразумевается, что график функции проходит через начало.-
Прим- перевод.

214
//. Созидательная форма
высоты. Например, поскольку одна треть рассмотренного выше
единичного квадрата лежит вне, то две трети его лежат внутри.
Если еще присоединить левое отражение, то в качестве значения
куска площади, заштрихованного в следующем изображении,
получается:
\
У
0
0
1
I
1
X
Я хотела бы еще раз привлечь внимание к множеству малень-
маленьких прямоугольников, которыми аппроксимировалась площадь:
Когда мы сгущаем деления, наши прямоугольники стано-
становятся все уже; площадь каждого прямоугольника с необходи-
необходимостью сходится к нулю, в смысле уже почти надоевшего нам
упоминаниями пирожного, поделенного на много кусков. И эти су-
сужающиеся к 0 полосы, взятые вместе, дают все-таки приближение
некоторой определенной площади, отличной от нуля. Она не
должна даже быть малой. Площадь рассмотренного здесь тре-
треугольника составляла, например, 9 единиц. Ведь прямоуголь-
прямоугольники становятся также более многочисленными как раз во столько
же раз, во сколько они становятся тоньше, а если малыши объе-
объединятся, то сдвинут горы. Следующие друг за другом наслоения
очень тонких пластов песка со временем засыпают даже пирамиды;
множество маленьких людей думает о чем-то, и вот сразу в мире
наступает большая перемена. Так много делает «интегрирование»
малых действий.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
САМОКРИТИКА ЧИСТОГО РАЗУМА
18. И все же существует многообразие
математических миров
Вряд ли найдется математик, к которому
не являлся бы хоть однажды некий таинственный незнакомец,
чтобы доверить ему, как свое самое дорогое сокровище, более
или менее длинную рукопись, в которой «осуществлена» квадра-
квадратура круга. О чем здесь, собственно, идет речь?
Если кто-нибудь говорит: «Зная катеты прямоугольного тре-
треугольника, я построил треугольник», то сейчас же возникает
вопрос: «Какие инструменты ты использовал?» Допустим, что
пользовался деревянным треугольником, который можно полу-
получить в магазине письменных принадлежностей,
водя своим карандашом вдоль катетов этого треугольника.
На совершенство такого изделия не следует слишком полагаться.
Если положить деревянный треугольник наоборот, с другой
стороны нарисованного с его помощью угла, и провести в этом
положении прямые, то чаще всего получается довольно плачев-
плачевный результат.
-; л
* • /,' \ \
Да, деревянный треугольник не вполне прямоуголен.

216 ///. Самокритика чистого разума
Еще древние греки очень тщательно выбрали инструменты,
употребляемые при построениях. Линейка могла быть применена
лишь для того, чтобы вдоль нее провести единственную прямую
(но не для того, чтобы начертить прямой угол), хотя даже это
уже было компромиссом: редко удается изготовить линейку таким
образом, чтобы ее край был вполне прямолинейным. Окружность
мы можем уже провести более точным инструментом; не нужно
водить карандашом вдоль куска дерева, имеющего форму круга,
с помощью циркуля мы вычертим окружность. Если сцепление
между обоими стержнями не шаткое, то закрепляем заостренный
конец одного стержня в некоторой точке и рисующий конец
другого стержня движется действительно на постоянном расстоя-
расстоянии от этой фиксированной точки и, следовательно, чертит на-
настоящую окружность.
фиксированная
точка
Другие инструменты для геометрических построений не были
вообще допущены древними греками. При этом, естественно,
считалось, что построение тем надежнее, чем больше оно опи-
опирается лишь на циркуль, то есть чем реже применяется линейка.
Через несколько столетий выяснилось, что без линейки можно
вполне обойтись: все построения, которые выполнимы циркулем
и линейкой, могут быть выполнены исключительно одним цир-
циркулем. Циркулем, естественно, нельзя провести прямую линию;
поэтому при построениях одним циркулем квадрат, например,
определяется своими четырьмя вершинами:
4-

18. И все же существует многообразие математических миров 217
Изображенную такими точками фигуру можно все-таки пред-
представить себе наглядно вполне хорошо.
Мы, однако, будем пользоваться и циркулем, и линейкой.
Само собой разумеется, что возникает вопрос: какие построения
можно выполнить, применяя только эти два инструмента?
Задача квадратуры круга принадлежит также к этому ряду
вопросов. Дан круг, и задача гласит: построить квадрат, площадь
которого равна площади этого круга.
Мы уже знаем, что площадь круга может быть вычислена точно
с помощью прямолинейных фигур, которые аппроксимируют ее
все лучше и лучше. Если, например, я нарисовала окружность
единичного радиуса, то площадь круга выразится вполне опре-
определенным иррациональным числом, которое начинается следую-
следующими цифрами:
3,14...,
а следующие десятичные знаки можно вычислить сколь угодно
далеко. Это иррациональное число играет такую важную роль
в математике, что ему было дано особое имя: +
л,
хорошо известное еще из средней школы*'.
Но если мы знаем столь точно площадь круга единичного ра-
радиуса, то мы можем немедленно сказать, что за квадрат имеет
ту же площадь. Мы знаем, что площадь квадрата вычисляется
возведением в квадрат длины его стороны и что существует число,
которое, будучи возведено в квадрат, дает я; это число обозна-
обозначается У п. Следовательно, квадрат, стороны которого равны
каждая ]/я, решает проблему квадратуры круга.
Но задача, которая ставится, состоит не в том, существует ли
такой квадрат, а в том, можно ли построить такой квадрат с по-
помощью только циркуля и линейки.
Тот факт, что У1Г есть иррациональное число, не является
препятствием, ибо, когда речь шла об удвоении площади пруда,
мы_ построили квадрат, сторона которого имела длину, равную
]/2; и использованную там идею можно легко преобразовать в точ-
точное построение. Итак, можно ли построить ]/я с помощью цир-
циркуля и линейки?
В течение веков сделать это не удавалось. В конце концов ре-
решение проблемы было получено, когда геометрическая задача
была переведена на язык алгебры.
Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой? Пря-
Прямые и окружности. Мы знаем, что на алгебраическом языке пря-
*' Это обозначение появилось в начале XVIII века.— Прим. ред. -

Й1Й ///. Самокритика чистого разума
мые означают уравнения первой степени, а окружности означают
уравнения второй степени, и притом некоторого определенного
вида. Следовательно, все геометрические построения, которые
можно выполнить с помощью циркуля и линейки, основаны на
решении такого рода уравнений.
Было доказано, что ни }/я, ни даже я не могут быть реше-
решениями таких уравнений; более того, я не может быть решением
уравнения, какова бы ни была его степень, конечно, при усло-
условии, что я не вводится в какое-либо уравнение контрабандой
(например, если в уравнении х—я=0 мы переносим вычитаемое я
в другую часть, получаем л^я*'). Говорят, что я есть число не
алгебраическое, а трансцендентное!
Таким образом, установлено точно, что квадратура круга не
может быть осуществлена циркулем и линейкой. Математике
удалось еще раз доказать блестящим образом собственную не-
неспособность решить некоторую определенную задачу ограничен-
ограниченными средствами. В приведенных выше рассуждениях, помимо
важного открытия существования трансцендентных чисел, кото-
которые не могут встретиться среди решений алгебраических уравне-
уравнений (можно доказать, что число е = 2,71..., основание нату-
натуральных логарифмов, также трансцендентное число; даже более
того, можно доказать, что большинство иррациональных чисел —
числа трансцендентные), я хотела бы отметить еще чистоту метода,
столь характерную для древних греков. Речь шла не о том, чтобы
каким-нибудь способом построить квадрат, площадь которого
равнялась бы площади данного круга — в конце прошлого сто-
столетия был сконструирован прибор, позволяющий механически по-
получить такой квадрат**'; нет, вопрос был поставлен совершенно
точно о возможности построения квадрата циркулем и линейкой.
Таким образом, для всех математиков задача навсегда решена,
и притом в отрицательном смысле. Не хотят этому верить лишь
бедные безумцы, воображение которых возбуждено фантастиче-
фантастическим выражением «квадратура круга».
Чистота используемых методов и ясная формулировка усло-
условий ведут к тому, что математики понимают друг друга, что не
всегда происходит с представителями других наук. Математики
всех времен и стран всегда понимали друг друга. И хотя матема-
математики пользуются репутацией труднопонимаемых, но, может быть,
никто не формулирует свои сообщения с такой большой заботой
*' Имеются в виду уравнения с целыми коэффициентами.— Прим. пе-
перевод.
**> Еще в древней Греции Гиппий (V век до н. э.) указал кривую, назван-
названную квадратрисой, с помощью которой тоже можно было решать эту задачу.—
Прим. ред.

18. И все же существует многообразие математических миров 219
о других, как они. Конечно, математические объекты в такой же
степени поддаются личным интерпретациям, как и объекты дру-
других наук. Например, слова «точка» или «прямая» могут порождать
весьма различные образы в умах отдельных людей. Наш хоро-
хороший профессор Кюргиан начал свою первую лекцию совсем не-
неожиданным вопросом, который он задал одной из студенток:
«Видели ли вы когда-нибудь точку?»— «Нет, не видела».— «А
вы рисовали когда-нибудь точку?» — «Да,—тут моя подруга оду-
одумалась,— то есть я пыталась ее нарисовать, но мне это не уда-
удалось». Я думаю, что за этот ответ профессор полюбил наш курс
на всю жизнь. След графита или мела, образующийся на чертеже,
выглядит под увеличительным стеклом как настоящая гора и,
конечно, не является точкой. Каждый человек как-то вообра-
воображает себе точку и пытается ее изобразить в соответствии со своим
представлением. Представление о прямой может быть еще более
субъективным, так как прямая совсем простая линия; маленькие
дети и примитивные люди никогда не рисуют прямую; линия,
которую они рисуют, не задумываясь,— это некоторая кривая.
Чтобы провести прямую линию, требуется определенная дисцип-
дисциплина. Именно поэтому, когда математик приводит доказательство,
касающееся точек и прямых, он сообщает его себе подобному сле-
следующим образом: «Не знаю, какое представление ты себе составил
о геометрических фигурах. Я представляю себе, что можно про-
провести прямую через любые две точки. Соответствует ли это мое
представление твоему?» Если ответ положителен, он продолжает:
«Я кое-что доказал, но из свойств точки и прямой я использовал
лишь то свойство, о котором мы заранее договорились. Поэтому
впредь ты будешь понимать все, что я говорю, даже если ты бу-
будешь думать о своих точках и прямых».
Математика не создает себе иллюзий, что она может открывать
абсолютные истины. Теоремы — это всегда скромные утвержде-
утверждения, сформулированные с помощью слов: «если — тогда». Если
мы употребляем только циркуль и линейку, тогда невозможно
осуществить квадратуру круга. Если под точками и прямыми мы
понимаем фигуры, имеющие такие-то и такие-то свойства, тогда
справедливы такие-то и такие-то утверждения.
Правда, в школе мы не привыкли к таким теоремам, и в пре-
предыдущих главах теоремы не формулировались таким образом.
Тот, кто передает свои знания другим, поступает правильно, если
не только сообщает конечные результаты, но и способ, с помощью
которого они получены, хотя в горячке получения результатов
точные условия еще не вполне выяснены. Однако великие твор-
творческие эпохи сменяются обычно эпохами критики: математики
снова обозревают пройденный путь и подробно анализируют сущ-
сущность полученных результатов.

220 ///. Самокритика чистого разума
Евклид был одним из великих систематизаторов, и в этой об-
области его произведение являлось образцом на протяжении веков.
Он сначала рассматривает основные понятия и относящиеся
к ним основные условия (они называются по сей день аксиомами);
доказательства, котор ые следуют за ними, имеют силу лишь для
тех, кто представляет себе точки, прямые и плоскости такими, что
может принять справедливость относящихся к ним аксиом.
Именно поэтому эти аксиомы выбираются со всей тщательностью,
а соответствующие утверждения таковы, что согласуются с на-
наглядными представлениями всех людей. Среди аксиом находится,
например, такая: через две данные точки всегда можно провести
прямую, и притом лишь одну.
Творение Евклида имеет свыше чем двухтысячелетнюю дав-
давность, и в.течение всего этого времени споры возникали лишь
вокруг одной-единственной аксиомы. Это знаменитая аксисма
о параллельных прямых: через точку, лежащую вне некоторой
прямой, можно провести в плоскости, проходящей через эту
прямую и точку, лишь одну прямую, не пересекающую данную.
-#¦
Говорят: эта прямая параллельна данной. К этому я еще вер-
вернусь.
Но прежде чем пойти дальше, я хотела бы вам показать дру-
другую возможность, которую нам предоставляет аксиоматический
способ изложения: если доказательство теорем таково, что всякий
может дать своему воображению свободу, как представлять себе
точки, прямые и плоскости при единственном ограничении, чтобы
эти фигуры удовлетворяли условиям, выраженным в аксиомах,
тогда нет необходимости, чтобы объекты, о которых думает соот-
соответствующее лицо, были в каком-то смысле точками, прямыми или
плоскостями; может случиться, что и другие объекты удовлетво-
удовлетворяют условиям, выраженным в аксиомах, и тогда доказательства
приведут к теоремам, справедливым также для этих объектов.
Здесь повторяется случай: «Я сформулировал одну теорему, а их
появилось две» — явление, с которым мы встретились, когда речь
шла о «двойственности». Соответствующие теоремы там сохра-
сохраняют силу для человека с таким странным воображением, что он
представляет себе на плоскости точку как прямую, а прямую

18. И все же существует многообразие математических миров 221
как точку. (Прошу вас вспомнить даТшый по этому поводу пример:
три точки, не расположенные на одной прямой, определяют тре-
треугольник — три прямые определяют треугольник, если они не
проходят через одну и ту же точку.)
Если предположить, что некто понимает под «точкой» лишь
точку, расположенную внутри некоторого круга (но не на его
окружности), а под «прямой» лишь отрезок прямой, находящийся
внутри круга, то даже в этом столь ограниченном мире будет
справедливо утверждение, что через две точки (то есть через две
точки, находящиеся внутри круга) можно провести прямую, и
только одну (то есть отрезок прямой, продолженный до окруж-
окружности круга); следовательно, и в этом случае будут справедливы-
справедливыми все теоремы о точках и прямых, выведенные из этой аксиомы.
Теперь мы вернемся к аксиоме о параллельных прямых.
Я думаю, что всякий, кто немного размышлял над этой проблемой,
согласен с тем, что на плоскости через данную точку можно
провести единственную прямую, параллельную данной прямой,
и не видит, почему эта аксиома оспаривается. Большинство
людей представляют-себе параллельные прямые, так что они
принимают эту аксиому без возражений.. Однако, когда я была
учительницей в школе, со мной произошло следующее: каждая уче-
ученица (это были 10-летние девочки) имела в руке квадрат и должна
была мне сказать, что она замечает относительно его сторон.
Очень скора я услышала слово «параллельны», потому что им,
вероятно, пришлось его слышать в повседневной жизни. Я спро-
спросила учениц, что они понимают под словом «параллельны». Одна
из девочек мне сказала, что параллельные имеют то же направле-
направление, другая, что они остаются постоянно на одном и том же рас-
расстоянии друг от друга, а третья, что сколько бы мы их ни продол-
продолжали, они никогда не пересекутся. «Все это верно,— сказала им
я, — любое из этих свойств уже давно может охарактеризовать
параллельные прямые, а остальные два могут быть из него выве-
выведены». Тогда с первой парты поднялась маленькая Анна, мыслив-
мыслившая глубже, чем кто-либо другой в классе. «Было бы нехорошо

222 ///• Самокритика чистого разума
принять как характеристический признак, что они никогда не
встречаются: потому что я могу себе представить две прямые,
которые не остаются на одном и том же расстоянии друг" от друга,
а приближаются постоянно, но все-таки не встречаются». Она мне
показала также и на чертеже, о каких прямых она говорила
И я вынуждена была поверить, что таким было на самом деле
ее наглядное представление.
Естественно, такое утверждение не может быть доказано
опытным путем. Если я даю маленький наклон нашей параллели,
то я могу убедиться, что, если достаточно ее продолжить, она
пересечется с данной прямой. Но если дать прямой наклон много
меньший, чтобы прямая наклонилась бы лишь на jq, щ
рассмотренного угла, и предположить, что я продолжала бы этот
ряд сколь угодно далеко, то разве не могло бы случиться, что
я получила бы столь малый наклон, при котором верхняя прямая
никогда не пересечет нижнюю? Ведь нельзя пройти до конца
бесконечный путь.
С другой стороны, мы знаем пример линии, которая прибли-
приближается постоянно к прямой, но не может ее пересечь; речь идет
о каждой из ветвей гиперболы.
Так что не удивительно, что встречаются люди, представляю-
представляющие себе сближение прямых, происходящее таким же образом.
Мир чувств обычно сопутствует нашим представлениям, и я,
например, могу себе представить, что в воображении любящего,
находящегося в долгой разлуке, картина безграничного прибли-
приближения без возможности встречи будет отображаться особенно
остро.
Как бы там ни было, но, начиная со времен Евклида и до сегод-
сегодняшнего дня, находились люди, которые рассматривали проб-
проблему параллелей в точности так, как моя ученица Анна. Они не
были вполне убеждены, что их идея правильна, ибо подавляющее
большинство людей придерживалось противоположного мнения,
но они оспаривали тот факт, что аксиома параллельных так же

18. И все же существует, многообразие математически* миров Ш
очевидна, как и другие основные истины: «Мы просим вас ее до-
доказать, .используя лишь такие предположения, которые и для
нас бесспорны; если вам это удастся, мы примем эту аксиому».
На протяжении веков математики пытались доказать аксиому
параллельных прямых с помощью других аксиом не, все было
напрасно. Венгерский математик Янош Боиаи (J. Bolyai) был
одним из тех, кто впервые осмелился открыто выдвинуть противо-
противоположную идею *>. «Аксиому параллельных прямых не удалось
доказать, так как она не верна. Я рассматриваю этот вопрос так:
через точку вне прямой я проведу пересекающую ее прямую
и начну вращать эту прямую.
\
Тогда она будет пересекать первую прямую все дальше и
дальше и в конце концов отделится от нее:
*) Первая научная публикация, в которой развиты эти идеи, принадлежит
Н. И. Лобачевскому A792—1856). Его работа «О началах геометрии» вышла
из печати в 1829—1830 гг. Научный доклад на эту тему был им представлен
7A9) февраля и сделан 12B4) февраля 1826 года в Казанском университете.
Имеются сведения, что первый набросок своих идей (недошедший до нас) Янош
Бойаи A802—1860) составил в 1825 году, но его работа была опубликована
в 1831 году, то есть на 2 года позднее Лобачевского. Оба геометра работали не-
независимо, и слава этого научного открытия принадлежит обоим.
Аналогичные идеи еще раньше начинал развивать крупнейший немецкий
математик К. Ф- Гаусс A777—1855). Но он открыто даже не упоминал о них.
Его наброски, излагающие эти идеи, стали известны лишь после его смерти.
Кроме этих ученых, еще несколько математиков предчувствовали возможность
нового подхода к теории параллелей. Обо всем этом в популярной форме см.
в книгах:
М Колесников. Лобачевский (в сер. «Жизнь замечательных людей»).
М., «Молодая гвардия», 1965.
А. Ливанова. Три судьбы. М., «Молодая гвардия», 1959.
Более полное, но и более трудное изложение см.: В. Ф. К а г а н. Лобачев-
Лобачевский и его геометрия. М., ГТТИ, 1955.— Прим. ред.

224 ///• Самокритика чистого разума
Эта отделяющаяся прямая будет немного наклонной над закреп-
закрепленной прямой. Разумеется, если я вращаю еще дальше прямую,
она тем более не будет пересекать закрепленную прямую, пока
другая ее сторона не наклонится так, что пересечение появится
с другой стороны.
Следовательно, через внешнюю точку проходят две отделяю-
отделяющиеся прямые, которые не встречают фиксированную прямую;
среди бесчисленного множества прямых, расположенных между
ними, ни одна не пересекает данную прямую; все прямые, которые
имеют больший наклон, ее пересекают.- Приходите все, имеющие
такое же представление; я создаю теперь нашу геометрию».
Таким образом, Бойаи взял в качестве основной гипотезы
идею, противоречащую аксиоме параллельных; все остальные
аксиомы Евклида он принял и постарался передоказать, какие
теоремы для точек, прямых и плоскостей можно вывести из этих
гипотез. Таким образом строится геометрия Бойаи *>, в которой
многое выглядит иначе, чем в евклидовой геометрии; в зависимо-
зависимости от своих взглядов можно принять ту или иную **\
Заслуга Бойаи не умаляется фактом, который потряс его, что
в то же время и другие открыли возможность другой геометрии.
*' Эту неевклидову геометрию чаще называют геометрией Лобачевского,
поскольку ему принадлежит первая публикация и более полное ее развитие
(сам Н. И. Лобачевский называл эту геометрию «воображаемой», а затем «пан-
геометрией», то есть всеобщей геометрией), или геометрией Лобачевского —
Бойаи. Ее называют также гиперболической геометрией. Систематическое сжа-
сжатое ее изложение см. в книгах:
П. А. Широков. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского.
М, ГТТИ, 1955.
А. П. Н орден. Элементарное чвведение в геометрию Лобачевского.
М., ГТТИ, 1953.— Прим. ред.
**) Следует отметить, что геометрия Лобачевского — Бойаи в определен-
определенном смысле является более общей, чем геометрия Евклида (это подчеркивал
своим названием «пангеометрия» и Лобачевский), а именно геометрия Евклида
может быть получена из геометрии Лобачевского как предельный случай,
когда некий отрезок, называемый радиусом кривизны пространства Лобачев-
Лобачевского, стремится к бесконечности. Этот факт может быть выражен и следующим
образом: если размеры фигур достаточно малы по отношению к радиусу кри-
кривизны пространства, то свойства этих фигур приближенно евклидовы. —
Прим. ред.

18. И все же существует многообразие математических миров 225
Это явление возникает довольно часто; кажется, как будто по-
постепенно время способствует росту и созреванию той или иной
проблемы, и в различных точках земного шара находятся мате-
математики, которые независимо одни от других начинают понимать
значение этой проблемы.
Однако здесь еще существует невыясненный вопрос: а что
если аксиома параллельных все же может быть доказана и вся
геометрия Бойаи (гиперболическая геометрия) основана на невер-
неверном предположении, так что рано или поздно внутри нее возник-
возникнет множество противоречий? Сегодня мы в состоянии ответить
с полной уверенностью: с точки зрения их надежности геометрия
Евклида и гиперболическая геометрия равносильны. Если бы
гиперболическая геометрия привела к противоречиям, то и гео-
геометрия Евклида была бы противоречивой.
Дело заключается в том, что в рамках евклидовой геометрии
можно построить модель «гиперболической геометрии», именно
так, как я описывала раньше ограниченный мир, точки и прямые
которого находятся все внутри круга евклидовой геометрии,
Я там показала, что точки и прямые, взятые в указанном более
узком смысле, удовлетворяют одной из основных аксиом Евклида;
но можно доказать, что они удовлетворяют всем основным аксио-
аксиомам (если мы изменяем и приспособляем соответствующим обра-
образом понятие равенства фигур), за исключением аксиомы парал-
параллелей. Что касается этой аксиомы, то вместо нее выполняется
противоречащее ей утверждение, основное допущение Бойаи.
.отделяющая L. a \ отделяющая
прямая ?^^ЗттЖ*?^-\ пряная
Отделяющиеся прямые изображаются здесь соответствующи-
соответствующими отрезками прямых, соединяющих данную точку с концами
данной прямой, лежащими на окружности; прямые, проходящие
через данную точку и заключенные между построенными таким
8 Заказ № 1753

226 ///. Самокритика чистого разума
образом прямыми*1, не пересекают данную прямую, то есть
изображающий ее отрезок, лежащий внутри круга. Следователь-
Следовательно, аксиома Бойаи не может противоречить другим аксиомам
Евклида, так как в этом ограниченном мире эти аксиомы прочно
согласованы друг с другом.
Мы здесь встретили две равноправные геометрии, и ничто нам
не мешает увеличить их множество, потому что теперь мы в со-
состоянии продолжать эту игру, не не считаясь с наглядными пред-
представлениями: вместо любой аксиомы, недоказуемой с помощью
других аксиом, мы можем принять противоречащее ей утвержде-
утверждение и затем исследовать, какие именно теоремы можно доказать
на основании этой новой предпосылки. Более того, мы вообще
можем исходить из других основных предпосылок, ибо совсем
не кажется уместным придерживаться во что бы то ни стало
положений, основанных на интуиции, раз гиперболическая
геометрия нам показала, насколько эта основа шатка и сколь
разнообразными могут быть полученные результаты, если каж-
каждый следует своей интуиции.
Таким образом был создан целый ряд геометрий. Они не пред-
представляют собой какой-то бесполезной игры, ибо современная фи-
физика объясняет многие стороны действительности как раз с по-
помощью этих геометрий, построенных абстрактным образом.
Интуиция не неизменна, она развивается вместе с развитием
науки. Когда открыли, что Земля — это не плоский диск, и
люди были вынуждены приучиться к мысли, что подобные им
антиподы гуляют по Земле вниз головой, человеческая интуиция
претерпела глубочайшее изменение. Когда завоевания современ-
современной физики в области теории относительности еще укрепятся и
проникнут в сознание масс, то через некоторое время люди с ев-
евклидовой интуицией не будут уже находиться в таком подавляю-
подавляющем большинстве***; и может случиться, что какая-либо из гео-
геометрий, кажущаяся сегодня абстрактной игрой, станет геомет-
геометрией действительности.
•' Подразумевается внутренность той пары вертикальных углов, которая
не содержит отрезка, изображающего данную прямую.— Прим. ред.
**' С этим мнением автора трудно согласиться. Евклидова геометрия зна-
значительно проще неевклидовых, а в практике обычных измерений, не относя-
относящихся к просторам космоса или микромира, она с громадной точностью отра-
отражает реальные пространственные отношения. Поэтому естественная интуиция,
формирующаяся в детстве и затем развивающаяся в школе, конечно, будет,
как правило, евклидовой, и только дальнейшая тренировка специалиста, ос-
основанная на углубленном изучении математики и физики, будет приводить
к овладению более сложными представлениями неевклидовых геометрий,
причем нередко интуитивное восприятие этих геометрий вообще отсутствует,
и овладевший новой геометрией специалист по существу оперирует с помощью
евклидовой интуиции, пользуясь моделью (интерпретацией).— Прим. ред.

18. И все же существует многообразие математических миров 227
дополнение о четвертом измерении
Я хотела бы вернуться к слову «модель». В рамках евклидовой
геометрии я сумела построить «модель» для гиперболической гео-
геометрии, ограничивая окружностью область евклидовой плос-
плоскости. Здесь каждой фигуре гиперболической геометрии соответ-
соответствует некоторый объект, находящийся внутри круга, то есть
каждой теореме гиперболической геометрии соответствует строго
доказуемая теорема евклидовой геометрии, относящаяся к фигу-
фигурам внутри круга. Мы уже встретились раз с подобным взаимо-
взаимопроникновением между двумя ветвями математики, когда в ал-
алгебре нашли модель для геометрии. Тогда мы установили соот-
соответствие между точками и упорядоченными парами чисел, между
линиями и уравнениями с двумя неизвестными; таким образом,
мы отделили в алгебре некоторую ее часть, в рамках которой
каждая геометрическая фигура представляла определенный алге-
алгебраический объект, а каждая геометрическая теорема — опреде-
определенную алгебраическую теорему. Опираясь на это, мы сумели
вывести алгебраическим путем геометрические теоремы и обрат-
обратно — использовать геометрические результаты при исследовании
функций, соответствующих данным кривым.
Все это относилось к геометрии плоскости, но может быть пе-
перенесено и в пространство, где точка определяется уже тремя
числами (если бы то гнездо на лугу, о котором мы уже говорили,
находилось на вершине некоторого дерева, то для того, чтобы ука-
указать точно место гнезда, следовало бы сказать также, какова
высота дерева, сколь высокой должна быть лестница, которую
нужно с собой принести, чтобы добраться до гнезда). Фигурам
пространства соответствуют уравнения с тремя неизвестными.
Эти три неизвестных могут быть обозначены через х, у и г. Если
мы имеем, например, уравнение вида:
то, очевидно, значение г зависит как от значения х, так и от зна-
значения у; этот г есть так называемая функция двух переменных.
(В жизни мы часто встречаем подобные функции; например, стои-
стоимость страхования жизни зависит как от возраста застрахован-
застрахованного лица, так и от величины денежной суммы.) Так что все, что
мы доказали для геометрических фигур в пространстве, можно
также использовать при изучении функций двух переменных.
В пространстве нет необходимости начинать все сначала:
большинство теорем, верных на плоскости, можно довольно про-
просто обобщить и для фигур в пространстве. На плоскости мы мо-
можем найти расстояние от точки — пусть это точка C; 4) — до
8*

228 ///. Самокритика чистого разума
начала 0 следующим образом:
У
Это расстояние равно гипотенузе прямоугольного треуголь-
треугольника, катеты которого представляют две координаты данной
точки. Согласно теореме Пифагор-а квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов обоих катетов, следовательно, расстояние равно:
Соответственным образом можно доказать, что расстояние
в пространстве — отточки, характеризуемой тремя координатами
C; 4; 5), до начала равно:
Такого рода простыми обобщениями часто и достигается пере-
переход от плоскости к пространству. Для функций этот переход озна-
означает, что многие теоремы о функциях одной переменной могут
просто обобщиться и для функций двух переменных.
Но могут встретиться также функции трех, четырех и более
переменных; и хотя мы могли перейти легко от двумерной пло-
плоскости к трехмерному пространству, за трехмерное пространство
мы не сможем выйти, так как в нашем распоряжении нет четырех-
четырехмерного пространства. Однако алгебраическая модель позволяет
нам поступать так, как будто такое пространство существует.
Назовем, например, четверку C; 4; 5; 6) точкой, а число
расстоянием этой точки от начала координат. Мы будем посту-
поступать с этими числами, как и с числами, соответствующими реаль-
реальным точкам, и постараемся установить, какие теоремы можно
вывести таким образом для функций трех переменных. Можно
доказать, что эти теоремы, полученные на фиктивной основе,
справедливы; следовательно, стоило поступать таким образом,
как будто четвертое измерение существует.

19. Здание заколебалось 229
Соответственным образом могут быть введены абстрактные
пространства с пятью, шестью и даже с бесконечным числом изме-
измерений. Они строятся по образцу нашего хорошо известного про-
пространства, а конечной целью всегда является использование этих
пространств для изучения функций.
Этот способ введения новых понятий для нас не является не-
незнакомым: точки многомерного пространства — это идеальные
элементы; они приходят к нам на помощь из воображаемого мира
и исчезают, когда мы пожелаем, оставляя после себя результаты,
сохраняющие истинность и без привлечения этих понятий.
19. Здание заколебалось
Одной из задач великих критических эпох является подроб-
подробный анализ сути полученных результатов, выяснение условий
правильности теорем, одним словом, аксиоматизация. Опреде-
Определенная система аксиом охватывает ту или иную ветвь матема-
математики. Мы рассматриваем как единое целое, как определенную
область математики то, что можно вывести из этой системы
аксиом.
Однако если мы бросим взгляд на пройденный путь, то заме-
заметим, что там и сям появляются определенные идеи, определенные
понятия, не поддающиеся разграничению при систематизации, по-
поскольку они встречаются в различных ветвях математики. Таким
образом, ставится вторая задача: отбор элементов, возникающих
во многих ветвях, с тем чтобы сделать их предметом самостоя-
самостоятельного изучения.
Вспомним, например, что умножение и деление в области ра-
рациональных чисел — за исключением деления на нуль — всегда
осуществимо и дает в качестве результата рациональное число.
Следовательно, рациональные числа — за исключением нуля —
образуют замкнутую группу по отношению к умножению и деле-
делению. Наоборот, целые числа не проявляют такой замкнутости в
себе, ибо деление выводит за их рамки. Однако целые числа и числа
рациональные имеют общую черту. И те и другие по отдельности
образуют группу по отношению к сложению и вычитанию — ко-
конечно, я имею в виду и положительные и отрицательные числа.
Действительно, вышеуказанные операции не выводят за рамки
этих чисел, при этом даже не требуется исключать нуль.
Но для образования группы относительно определенных опе-
операций нет даже необходимости во многих числах. Рассмотрим,
например, лишь следующие числа:
+ 1, -1;

230 ///. Самокритика чистого разума
сколько бы мы их ни умножали и ни делили между собой, резуль-
результат будет всегда равен:
+ 1 или —1.
Понятие группы не ограничено рассмотрением только вычи-
вычислительных операций. Если мы вспомним о векторах, то обна-
обнаружим, что и они образуют группу по отношению к их странному
сложению: результат сложения двух векторов является снова
вектором. Эта операция является сложением лишь в переносном
смысле, в действительности здесь речь идет о соединении движе-
движений или сил.
Я могла бы еще далеко продолжить перечисление примеров.
Изучение понятия группы, возникающего так часто,— теория
групп — оказалась чрезвычайно полезной; это понятие состав-
составляет суть современной алгебры и находит себе применение также
в современной физике, а различные геометрии могут рассматри-
рассматриваться как теории, охватываемые некоторыми группами.
В свою очередь группы являются множествами, обладающими
определенными свойствами, а множество — это понятие, с кото-
которым мы встречаемся на каждом шагу в различных областях ма-
математики. Почти неизбежным образом в математике мы вынуж-
вынуждены говорить о множествах точек, или о множествах чисел, или
о множествах определенных функций.
Кантор *' сделал из этого понятия предмет самостоятельного
изучения: так называемая теория множеств **>—его творение.
Вы вспоминаете, что мы говорили, например, о множестве
рациональных чисел, а затем о соответствующем множестве точек
на числовой оси и установили, что каждая точка этого множест-
*> Георг Кантор (G. Cantor, 1845—1918) — выдающийся немец-
немецкий математик. В его трудах заложены основы современной теории множеств.
Значительные результаты получены впоследствии московской школой, создан-
созданной Н. Н. Лузиным (П. С. Александров, М. Я- Суслин, Н. А. Колмогоров,
П. С. Новиков и др.).— Прим. ред.
**> Доступное популярное изложение основных понятий и результатов тео-
теории множеств см. в книге: Н. Я. Виленкин, Рассказы о множествах.
М., «Наука», 1965.— Прим. ред.

Id. Здание заколебалось 231
ва — точки сгущения. Это последнее понятие очень важно в тео-
теории точечных множеств: точка называется точкой сгущения мно-
множества, если в сколь угодно малой окрестности точки всегда
находятся еще и другие точки множества.
Мы познакомились с одним примером, давшим нам возмож-
возможность увидеть, какие методы применяет теория множеств; попы-
попытаемся пояснить эти методы новым примером.
Натуральных чисел
1, 2, 3, 4, 5, ...
бесконечно много, однако они не сгущаются нигде, а шагают все
дальше всегда целыми единицами. Но если бесконечно много чи-
чисел теснятся на конечном промежутке, как например члены по-
последовательности
1 1 J_ J_ J_
1 2 ' 3 ' '4 ' 5 ' '-¦¦ '
которые все содержатся в промежутке от 0 до 1,
1 L L
h 3 2
то они непременно будут иметь точку сгущения где-нибудь в этом
промежутке. Это можно в общем случае доказать следующим об-
образом: предположим, что каждая точка бесконечного множества
расположена в промежутке между нулем и единицей, безразлично,
в каком месте. Разделим этот промежуток на две равные части.
По крайней мере в одной из частей будет расположено тоже
бесконечно много точек множества, так как, если бы в обеих
половинах их числа были бы конечными, скажем, один миллион
в одной и 10 миллионов в другой, тогда всего было бы только
11 миллионов точек, число значительное, однако конечное.
В примере, указанном выше, бесконечно много точек лежит
в левой половине промежутка.
Теперь, вместо исходного промежутка, будем заниматься
только той половиной, в которой расположено бесконечное
число точек множества, или любой из двух половин, если оба
содержат по бесконечному множеству точек. Предположим, что
новый промежуток будет:

232 ///. Самокритика чистого разума
По отношению к этому промежутку мы можем в точности по-
повторить прежнее рассуждение и таким образом перейти к одной из
его половинок, а именно к той, в которой будет находиться беско-
бесконечно много точек множества; это деление на-две половины может
продолжаться до бесконечности. Таким образом, мы будем прихо-
приходить ко все меньшим и меньшим промежуткам, вложенным друг
в друга. В нашем примере мы будем иметь:
1. интервал
Очевидно, длина этих промежутков сходится к нулю; мы снова
можем вспомнить пакет-шутку, когда внутри каждой обертки
находится новая обертка, а внутри всех — бумажный шарик;
также и здесь мы можем убедиться, что все промежутки имеют
единственную общую точку. Эта точка будет обязательно точкой
сгущения множества, так как в каждую сколь угодно малую ее
окрестность попадают еще более узкие промежутки, содержа-
содержащие даже не одну, в бесконечно много точек множества.
Теперь мы уже достигли столь высокого уровня познания, что
можем ответить даже на такой вопрос, как поступает математик,
желающий поймать льва в пустыне. Техника, используемая
физиками-экспериментаторами, общеизвестна; любой, начинаю-
начинающий ее, понимает и может применить: физик пропускает Сахару
вместе со всем содержимым через сито и просеивает ее; то, что
проходит через сито,— это Сахара, а то, что в нем остается,—
это — лев. Математик же поступает совершенно методично
следующим образом:
Возможны два случая.
Случай I. Лев покоится
В этом случае изготовляется своего рода клетка, открытая
снизу, в которой поместился бы лев. Затем Сахара делится на две
равные части. По крайней мере в одной из них будет находиться
лев (если он лежит как раз на разделяющей линии, то он будет
находиться в обеих частях). Теперь рассмотрим одну половину
Сахары, в которой находится лев. Делим ее также на две равные
части: наш лев находится хотя бы в одной из этих половинок и

/<3. Здание заколебалось 233
так далее. Продолжая эти деления на две половины, мы приходим
ко все меньшим и меньшим областям, вложенным одна в другую;
рано или поздно одна из этих областей будет меньше, чем основа-
основание клетки, а лев находится как раз в этой области. Тогда мы
накроем клеткой эту малую область и лев пойман.
Случай 2. Лаа движется
В этом случае вышеизложенный метод неприменим.
Точка.
О теории точечных множеств довольно!
Выше мы уже встречали теоретико-множественные доказатель-
доказательства, имеющие силу, не только для точечных множеств. Напри-
Например, метод объединения в пары*', с помощью которого мы уста-
установили, что множество рациональных чисел имеет ту же мощ-
мощность, что и множество натуральных чисел, и что множество ирра-
иррациональных чисел имеет большую мощность, чем множество
рациональных чисел. Этот метод можно применить к любому дру-
другому множеству; впрочем, я вспоминаю, что исходными множест-
множествами у нас были множества юношей и девушек в школе танцев,
а от них мы перешли к менее радостным множествам. Принципы,
сформулированные в отношении мощностей некоторых множеств,
имеют силу в равной степени для множеств танцующих, для
действительных чисел или для множества предложений, которые
можно составить хотя бы на русском языке; Кантор занимался
множествами в этом общем смысле. Он доказал много красивых
теорем относительно мощностей бесконечных множеств, то есть
об этом распространении понятия числа элементов конечного
множества на случай бесконечного множества. Он показал, на-
например, что существуют не только две различные мощности: мощ-
мощность множества всех натуральных чисел **' и мощность мно-
множества всех действительных чисел ***»— и что не существует мно-
множества столь большой мощности, чтобы не нашлось другого мно-
множества еще большей мощности. Венгерский писатель Бабич на-
назвал эти все далее возвышающиеся мощности «башенной построй-
постройкой бесконечного». Кантор ввел также и способы действий с мощ-
мощностями: сложение, умножение по образу и подобию действий,
выполняемых с нашими небольшими числами. Это поистине гран-
грандиозная игра: игра с бесконечностью. Казалось, что человече-
человеческая мысль достигла высот, превзойти которые невозможно.
Но как раз в этот момент все здание заколебалось.
*' Иными словами, метод установления взаимно однозначного соответ-
соответствия между элементами двух множеств.— Прим. перевод.
**' Мощность счетного множества.— Прим. ред.
***) Мощность континуума.— Прим. ред.

234 ///. Самокритика чистого разума
В конце прошлого столетия в математике, в этой почти д<
скуки достоверной науке, появились противоречия. И как ра|
в теории множеств, там, где математика поднялась до самых высо|
ких вершин, выявилось ее уязвимое место. а
Из многочисленных противоречий я перескажу вам одно из
самьх серьезных — так называемый парадокс Рассела *> — сна-
сначала в шутливой формулировке, в какой он обычно известен.
Брадобрей воинской части может быть определен следующим об-
образом: это тот член воинской части, который в своей части обя-=
зан брить всех тех, которые сами не бреются; но — для эконо-
экономии времени — ему запрещено брить тех, которые бреются сами..
Ставится вопрос: бреет ли этот солдат самого себя или нет?
Если да, тогда он один из тех, которые сами бреются, но ему-то
таких брить запрещено.
Если нет, тогда он принадлежит к тем, которые сами не бреют-
бреются, а этих он обязан брить.
Следовательно, неизвестно, что ему делать.
Естественно, что в таком шутливом изложении формулировка
не вполне точна. Я дам вам более серьезный пример.
Обычно множество не является своим собственным элементом.
Например, элементы множества натуральных чисел суть числа,
а не множества, значит, само оно, являясь множеством, не может
фигурировать среди собственных элементов.
Но может случиться, что среди элементов некоторого множест-
множества находятся также и множества. Представим себе, например,
всевозможные числовые множества и рассмотрим их совокуп-
совокупность как некоторое единое множество. Одним из элементов этого
множества является, например, множество натуральных чисел,
другим элементом является множество чисел, меньших 10, и так
далее, каждый его элемент есть множество. Однако само это мно-
множество не фигурирует среди его элементов, ибо его элементы —это
такие множества, которые состоят из чисел, а само это множество
состоит только из множеств.
Однако если мы объединим все мыслимые множества в единое
множество, то мы будем иметь пример множества, которое само
является одним из своих элементов, ибо оно само является мно-
множеством, а ведь каждое множество должно фигурировать среди
элементов этого обширного множества. Тот, у кого создается
впечатление, что ему трудно проследить до конца за этими рас-
рассуждениями, пусть остановится; для понимания последующего
*> Бертран РаЪсел (В. Russell, род. 1872) — английский математик
и философ- Как математик известен своими работами в области математической
логики. Последние годы— активный участник движения сторонников мира.—
Прцм. ред.

19. Здание заколебалось 233
они ему. не будут необходимы. Достаточно если мы встанем на
следующую точку зрения: в «порядочном» множестве такие
странности не возникают. Следовательно, мы будем называть
«порядочным» множеством такое, которое не содержится среди
собственных его элементов, и не будем беспокоиться о всяких
других существующих в мире множествах. Затем мы представим
себе, что все «порядочные» множества объединены в единое боль-
большое множество.
Но будет ли полученное таким образом множество «порядоч-
«порядочным» множеством?
Если оно «порядочное», тогда и оно, как всякое «порядочное»
множество, является одним из элементов этого единого множества.
Но стоп! Это ведь уже совсем не «порядочное» поведение.
Если же оно не «порядочно», оно не может фигурировать
среди своих элементов, ибо все эти элементы — «порядочные»
множества. Но как раз это и есть то, что мы называем быть «по-
«порядочным»! Следовательно, если рассмотренное множество «по-
«порядочно», то оно не «порядочно»; если же оно не «порядочно», то
оно «порядочно». Как бы мы ни рассуждали, мы приходим к про-
противоречию.
И этому ничто не поможет.
Мы не можем также сказать: теория множеств прежде-
преждевременно вознеслась; отбросим все с ней связанное и вернемся
к более скромным, но зато надежным областям математики,
так как мы очень хорошо знаем, откуда возникла теория
множеств: ее начальные идеи таятся во всех ветвях матема-
математики. Если теория множеств содержит ошибки, тогда ничто в
математике не может считаться неуязвимым.
Знание математики было потрясено столь сильно, что и по сей
день колебания еще не успокоились.
Математики тогда заняли позицию, обычную для людей, на-
находящихся перед лицом постоянно угрожающей опасности.
Большинство не хочет даже думать об этой опасности; каждый
занимается своим делом, и всякий раз, когда кто-нибудь заго-
заговаривает об опасности, они раздраженно протестуют.
Однако некоторые пытаются спасти положение.
Вначале, естественно, искали ошибку в парадоксе Рассела.
К тому же сам Рассел считал, что определение объединяющего
множества в формулировке его парадокса некорректно, что оно
содержит «circulus vitiosus» — порочный круг *', ибо в нем встре-
встречается и множество, которое нужно определить: все «порядоч-
*' Логическая ошибка, когда при определении понятия берется в каче-
качестве определяющего такое понятие, которое само опирается на определяемое.—
Прим. ред.

236 ///. Самокритика чистого разума
ные» множества могут быть объединены в единое множество лишь
после того, как предварительно будет решено, является -ли это
единое множество «порядочным» и может ли оно поэтому рас-
рассматриваться как один из своих элементов.
Однако, к сожалению, во всех отраслях математики на каж-
каждом шагу встречается этот «порочный круг»; даже в области нату-
натуральных чисел обычно употребляется определение типа: «рас-
«рассмотрим самое малое число, имеющее такие-то и такие-то свой-
свойства». А ведь это число упоминается в самом его определении;
самое малое число может быть выбрано только из всех чисел,
имеющих указанные свойства, а среди этих чисел оно уже нахо-
находится.
Самую радикальную попытку спасения предприняли так
называемые интуиционисты *'. (Название «интуиционизм» вы-
выбрано не совсем удачно, но не будем сейчас заниматься ис-
исследованием его смысла.) Эта тенденция старше, чем парадоксы,
но парадоксы придали ей новый размах. Новый интуиционизм
связан с именем Брауэра **>. Он отвергает всю математику, со-
созданную до сих пор, и пытается ее построить на новых надежных
основах. Он принимает лишь то, что можно каким-либо образом
построить, ибо то, что я построил, бесспорно существует и, сле-
следовательно, не может быть разрушено парадоксами. Он отвергает
любое «чистое доказательство существования», например дока-
доказательство основной теоремы алгебры***, так как оно не дает ни-
никакого метода для построения корней уравнения. Он и слышать
не желает об «актуальной бесконечности», так как элементы мно-
множества могут быть построены лишь в конечном числе, даже если
процесс их получения можно неограниченно продолжать. По его
мнению, бесконечное множество лишь «потенциально бесконечно»:
оно всегда в становлении и никогда не может рассматриваться
как готовое и законченное.
Таким образом, от классической математики остаются лишь
обломки, и притом то, что осталось неразрушенным, становится
•'Интуиционизм — идеалистическое направление в философии
математики, отрицающее познавательную ценность математики, ее связь
с опытом. Интуиционисты отрицают актуальную бесконечность, трактуют бес-
бесконечность лишь как находящуюся в процессе становления. Их математиче-
математические исследования имеют ряд положительных сторон: развитие конструктив-
конструктивного подхода в доказательствах существования и создание конструктивной
логики.— Прим. ред.
**' Л. Б р а у э р (L. Brouwer, 1882—1966) — голландский математик,
глава интуиционизма. Другие видные представители этой школы — Г. В е й л ь,
А. Г е й т и н г.— Прим. ред.
***) Хеорема о существовании по меньшей мере одного вещественного или
комплексного корня у алгебраического уравнения целой положительной
степени с вещественными или комплексными коэффициентами (см. § 15).—
Прим. ред.

20. Форма отделяется * 237
невероятно запутанным при осуществлении эффективного пост-
построения в каждом отдельном случае. Подлинную спасательную
операцию предпринял Гильберт *'. Ее значение превзошло про-
простое предупреждение опасности: из нее родилась новая пло-
плодотворная ветвь математики. Об этом я и буду говорить в даль-
дальнейшем.
20. Форма отделяется
Не следует думать, что теория множеств несет на себе и се-
сегодня груз противоречий. Когда наступил момент (срочность
которого была вызвана именно противоречиями) привести в по-
порядок первоначальную «наивную» теорию множеств, построить
систему аксиом для этой теории, то математики позаботились
о таком ограничении понятия множества с помощью аксиом,
чтобы оградить все ценное в теории множеств, а «опасные» мно-
множества оставить вне. Но это кажется довольно искусственным
приемом; по словам Пуанкаре**', мы построили ограду вокруг
стада, чтобы уберечь его от волков, но мы не можем знать, не
спряталось ли несколько волков внутри ограды. Мы никоим
образом не обеспечены против появления новых противоречий.
"Давид Гильберт (D. Hilbert, 1862—1943) — один из круп-
крупнейших немецких математиков: его работы оказали огромное влияние на раз-
развитие математики. Наиболее значительных результатов он достиг в следующих
областях: основания геометрии, логические основания математики, теории
инвариантов и алгебраических чисел, теория дифференциальных и интеграль-
интегральных уравнений, уравнений математической физики. Хотя ему свойственно
убеждение в неограниченных возможностях разума и объективном единстве
математики и естествознания, его подход к обоснованию математики (представ-
(представление об этом дается в настоящем разделе) на чисто аксиоматических принци-
принципах, при всей его ценности для отдельных областей математики и важности по-
полученных результатов (теория доказательства), в целом потерпел неудачу,
так как чисто формальное оперирование с бесконечностью и попытки заключить
всю математику в аксиоматические рамки противоречат диалектическому ха-
характеру математики как живой науки, постоянно развивающейся и все полнее
отражающей определенные стороны неисчерпаемого богатства действительного
мира.— Прим. ред.
*" Анри Пуанкаре (Н. Poincare, 1854—1912)—выдающийся
французский математик и физик. Ему принадлежат крупные результаты во
многих областях: качественная теория дифференциальных уравнений, теория
интегральных инвариантов, автоморфные функции, комбинаторная топология,
фигуры равновесия вращающейся тяжелой жидкости, динамика электрона
(начала специальной теории относительности, полученные одновременно
с Эйнштейном) и др. По философским взглядам близок к махизму. Он счи-
считал, что научные теории ценны не соответствием действительности, а являются
условными соглашениями, удобными для применений. Однако он удачно кри-
критиковал формалистов. Критику его философских взглядов дал В. И. Ленин
в «Материализме и эмпириокритицизме».— Прим. ред.

238 * ///. Самокритика чистого разума
Оди.н из величайших математиков нашей эпохи, Гильберт
в последние двадцать лет своей жизни поставил перед собой .цель
исследовать каждый уголок, лежащий внутри ограды аксиом.
И он признает, что сомнения, касающиеся определений, содержа-
содержащих «порочный круг», «чистых доказательств существования»,
«актуальной бесконечности», вполне обоснованы, так как во всем
этом может таиться опасность. Но почему мы работаем со столь
опасными «трансфинитными» понятиями, выходящими за пределы
нашего конечного разума? Мы имеем веские основания так посту-
поступать, и мы не откажемся от этих понятий, если только не будем
вынуждены, потому что они делают возможным построение об-
обширных содержательных теорий, освещают связи между отда-
отдаленными областями математики. Это нам становится ясным бла-
благодаря интуиционистской математике, раздробленной на отдель-
отдельные мелкие части. Мы не желаем отказаться от опасных поня-
понятий, потому что они объединяют математику в единое громадное
здание.
Трансфинитные средства играют в нашей логике такую же
роль, что и бесконечно удаленная прямая или i в рамках мате-
математики: они могут рассматриваться как идеальные элементы
логики. Мы должны обращаться с ними точно так же, как с иде-
идеальными элементами: мы их вводим, если они оказываются по-
полезными (а они показали себя очень полезными), но при этом мы
должны их изучить с особой тщательностью, чтобы они не могли
породить противоречие со старыми нашими правилами. Следова-
Следовательно, задача, которую в этой области нужно решить, сводится
к исследованию непротиворечивости трансфинитных методов.
В соответствии с этой целью Гильберт решил сделать логику,
применяемую в математике, то есть выводы и доказательства пред-
предметом точного математического исследования. Первое, что нужно
было для этого сделать,— это очистить проведение доказательств
от всех неясностей, которые примешиваются из-за неточного
словесного выражения, чтобы выделить чистую, не допускаю-
допускающую никаких двусмысленностей, абстрактную форму.
Числа стали предметом точного исследования, только когда
мы перестали говорить 5 пальцев, 5 яблок, 5 предложений, а
заговорили об общей для всех их абстрактной форме; мы ее на-
назвали количеством и обозначили ее знаком 5. Если мы желаем те-
теперь подвергнуть исследованию определенные высказывания,
мы должны тоже отвлечься от их содержания; в высказываниях:
«2-2=4», «через две точки можно провести прямую», «снег бе-
белый» — нас интересует лишь то общее, что они имеют, а именно,
что они истинны. Чтобы отметить факт, что они истинны, мы
можем ввести новый знак, например такой:
т

20. Форма отделяется 239
Общее*логическое значение высказываний: «2-2=5», «две пря-
прямые пересекаются в двух точках», «снег черен» — состоит в том,
что они все ложны; это можно выразить знаком:
(как у древних римлян в Колизее большой палец, поднятый вверх,
давал свободу, а опущенный вниз осуждал на смерть).
В математике нас интересуют лишь такие высказывания, ко-
которые имеют одно из указанных логических значений (то есть
либо они истинны, либо ложны).
Таким образом, возникает исчисление, которое даже проще,
чем счет с натуральными числами, так как натуральных чисел
бесконечно много, а в логическом исчислении фигурируют лишь
два значения. Поэтому в этом случае написать «таблицу умноже-
умножения» нового исчисления будет очень легко.
Поскольку идет речь о настоящем исчислении, в нем встре-
встретятся также разновидности логических действий, а именно такие
связи между отдельными высказываниями, которыми мы поль-
пользуемся в математике на каждом шагу.
Какие связи здесь имеются в виду, каждый математик может
определить очень просто, если даже он не знает всех культурных
языков мира. Ему нужно лишь взять математическую книгу,
написанную на незнакомом языке, и обратить внимание на то,
какие слова он должен будет искать в словаре при чтении. Через
некоторое время он с удивлением будет констатировать, что если
усвоены выражения: «не», «и», «или», «если ..., то», «тогда и только
тогда», «все», «существуют», «тот, который», то он уже не заме-
замечает, что читает книгу, написанную на иностранном языке, так
как свободно понимает все. Это понятно, ибо формулы интерна-
интернациональны, а текст лишь их поясняет, то есть не является
безусловно'обязательным. А все необходимые логические связи
заключены в тех немногих словах, которые были перечислены
выше.
Как выглядит, например, таблица умножения слова «не»?
Она очень проста: отрицание истинного предложения (например,
«2-2 не равно 4»), конечно, ложно, а отрицание ложного предло-
предложения (например, «2-2 не равно 5») истинно; следовательно, вся
таблица умножения такова:
не f = J
не J = t
Частица «не» обычно сокращенно обозначается обращенным вниз
крючком:
1

240 ///. Самокритика чистого разума
так что, например,
1B.2 = 5)
означает отрицание предложения 2-2=5. С помощью этого обозна-
обозначения таблица умножения частицы «не» получает следующий вид:
Нетрудно составить также таблицу, аналогичную таблице
умножения, но соответствующую логической операции «и»,
связывающей два высказывания. Если мы связываем два истин-
истинных высказывания словом «и», мы получаем снова истинное пред-
предложение; например, предложения «2-2 = 4» и «через две точки
можно провести единственную прямую» истинны. Следовательно,
f и| = f.
Но если хотя бы одно из двух предложений, связанных частицей
«и», ложно, то гибнет все. Например, «2-2 = 4 и 2-3=7» является
ложным высказыванием, хотя одна из частей истинна. Тем более
ложно соединение словом «и» двух ложных высказываний. Значит,
таблица для операции «и» продолжается следующим образом:
t и 1 = 1
I и f = |
| и 1 = 1
Таким образом, мы исчерпали все возможности; эта красивая
конечная таблица умножения для слова «и» много легче обыкно-
обыкновенной таблицы умножения чисел!
А какова таблица для операции «или»? Прежде всего следует
уточнить, о какого рода «или» идет речь, ибо это словесное выра-
выражение имеет различный смысл.
«Или небо будет безоблачно, или на нем будут облака». Одна
из этих возможностей осуществится наверное, но обе вместе не
осуществятся ни в коем случае, так как они исключают друг
Друга.
«Если мы разделим Сахару на две равные части, то лев нахо-
находится или в одной, или в другой половине» — значит, лев нахо-
находится в одной из частей, но может случиться также, что он нахо-
находится в обеих (если он находится на разграничивающей линии).
«Человек или ест, или говорит» — эти две возможности взаим-
взаимно исключаются, но не обязательно, чтобы осуществилась ка-
какая-либо и'з них: человек своим ртом может делать и что-то дру-
другое; например, он может просто держать его закрытым.

20. Форма отделяется 241
В математике слово «или» употребляется в большинстве слу-
случаев в смысле второго примера, то есть высказывание, возникшее
из предложений, связанных между собой словом «или», считается
истинным тогда, когда хотя бы одно из этих высказываний
истинно; таким образом, допускается, чтобы оба высказывания
были истинными; исключается лишь случай, когда ни одно из
них не является истинным. Следовательно, таблица для операции
«или» имеет такой вид:
f или t ==• t
t или ; = t
I или t = t
I или I=I
Когда таблица получена, то мы можем рассматривать ее как
определение логической операции «или», и таким образом эта
операция очистилась от словесных неточностей; теперь эту свя-
связывающую операцию можно понимать лишь в одном смысле.
Другие два смысла частицы «или» могут в свою очередь быть сфор-
сформулированы точным образом с помощью нашего «или», определен-
определенного выше.
Очевидно, и здесь операции подчиняются определенным «пра-
«правилам»; например, как в случае операции «и», так и в случае
операции «или» можно изменить порядок обоих высказываний,
подобно тому как можно переставить множители в произведении.
Я не собираюсь исчерпывать здесь эту проблему, хотя
возможности, которые представляют два логических значения,
столь малочисленны, что их полное изложение не потребовало бы
слишком много времени.
Я лучше приведу пример, каким образом здесь можно проде-
проделывать вычисления. Мы знаем, что при умножении степеней од-
одного основания показатели складываются. Таким образом,
в этом случае умножение сводится к сложению. Существует ли
между логическими действиями подобная связь?
Возьмем пример из области детективных романов. Постараемся
угадать, кто совершил преступление по следующей ситуации.
В процессе об убийстве имеются двое подозреваемых: Петр и
Павел. Допрашивают четырех свидетелей. Показание первого
таково:
— Я знаю только, что Петр не виноват.
Второй свидетель объявляет:
— Я знаю лишь, что Павел должен быть невиновным.
Третий говорит:
— Я знаю, что из первых двух показаний по меньшей мере
одно истинно.
Четвертый свидетель:

242 ///. Самокритика чистого разума
— Я могу утверждать со всей достоверностью, что третий сви-
свидетель дал ложное показание.
Факты подтверждают показание четвертого свидетеля. .Кто же
совершил преступление?
Проанализируем все четыре показания, начиная с последнего.
Четвертое показание подтвердилось как истинное, следовательно,
третий свидетель дал ложное показание. Значит, не верно, что
хотя бы одно из первых двух показаний истинно. Отсюда следует,
что ни одно из них не может быть истинно: ни заявление, которым
утверждается, что Петр невиновен, ни то, котор_ре утверждает,
что Павел невиновен. Следовательно, они оба — убийцы, они
были сообщниками.
Теперь мы очистим логическое ядро сделанного выше рассуж-
рассуждения. Хотя я знаю показания, но ведь их логическое значение
мне неизвестно, так как я не знаю, истинны они'или ложны. На-
Назовем логические значения двух первых показаний соответст-
соответственно х и у. Третий свидетель заявил, что хотя бы одно из этих
показаний истинно (наша операция «или» выражает как раз это
«хотя бы»), так что , по его словам,
х или у
является истинным высказыванием. Четвертый свидетель как
раз опроверг это утверждение, следовательно, в соответствии
с его заявлением истинным является
~] (х или у),
где мы употребили знак отрицания ~| . Основательно подумав, мы
поняли, что это равнозначно тому, что истинно отрицание и пер-
первого и второго показаний, то есть
1 х и 1 у.
Таким образом, логическое содержание этого рассуждения
состоит в том, что независимо от того, истинны или ложны х и у,
утверждение
1 (х или у)
равносильно утверждению
 х и 1 у,
и, таким образом, можно переходить от отношения «или» к отно-
отношению «и» или обратно.
Конечно, вообще говоря, к таким соотношениям не приходят,
опираясь на анекдотические примеры. Их правильность можно
проверить совершенно механически: если написать вместо х и у
их возможные значения f, соответственно!, то можно сделать
проверку и убедиться, дают ли оба выражения один и тот же ре-

20. Форма отделяется 243
зультат. Всего нужно сделать четыре проверки для четырех
возможностей:
1. Как значение х, так и значение у есть f.'
2. Значение х есть t, а значение у есть |.
3. Значение х есть \, а значение у есть f.
4. Как значение *, так и значение у есть \.
Испытаем первую возможность: что происходит с утвержде-
утверждением
 (х или у),
если как х, так и у есть f? В соответствии с таблицей для «или»
(вы не должны слишком много думать, просто ищите, прошу вас, -
в этой таблице)
t или f=t-
Следовательно, в этом случае
х или у~\,
поэтому мы имеем дело с высказыванием
1 t,
которое, согласно таблице умножения для «не», есть
\
Посмотрим теперь, каково значение предложения
 х и 1 у,
если как *, так и у есть t? В этом случае
следовательно, мы имеем дело с высказыванием
-¦ ' \ и 1,
а таблица умножения для «и» нам также показывает
Таким же образом можно доказать и для остальных трех воз-
возможностей, что сравниваемые высказывания равносильны.
В этой области можно пользоваться также алгеброй: можно
исходить из какого-либо высказывания, выполнить с ним различ-
различные алгебраические операции и сказать, получено ли в конце
истинное или ложное высказывание, или ставить вопрос об. истин-
истинности или ложности исходного высказывания по результатам.
Здесь особенно важна игра следующего рода:

244 ///. Самокритика частого разума
«Задумай некоторое высказывание, затем свяжи его с его отри-
отрицанием операцией «или»; тогда, не требуя никаких разъяснений
о высказываниях, я говорю: «Ты во всяком случае получил
истинное высказывание». Результирующее высказывание можно
обозначить следующим образом:
х или ~\ х.
Здесь задуманное высказывание обозначено х, его отрицание бу-
будет ~] х, а между собой они связаны отношением «или». Я могу
утверждать, что значение этого выражения во всяком случае
независимо от того, был ли х f или \. Сделаем проверку.
Если значение х есть f, то в соответствии с таблицей умноже-
умножения для «не» будем иметь:
Следовательно, мы имеем дело с предложением:
f или \.
Поищите, прошу вас, в таблице умножения для «или» и вы
увидите, что значение этого предложения действительно f.
Если значение х есть \, тогда, согласно таблице умножения
для «не», будем иметь:
-\х=-\\ = \.
Следовательно, речь идет о предложении:
\ или f,
а таблица умножения для «или» нам говорит, что результатом
также является f.
Таким образом, между нашими высказываниями существуют
такие связи, которые всегда истинны, совершенно независимо от
самих высказываний, причем независимо не только от их Содержа-
Содержания, но и от их логических значений. Они, истинны только в силу
их логической структуры и называются логическими тождест-
тождествами, и именно эти высказывания играют решающую роль в мате-
математике.
Мы можем продолжать эту игру, предполагая, что нам неиз-
неизвестно не все высказывание, а лишь его подлежащее. Пусть,
например, я задумала число и утверждаю, что оно четное. Над
этим высказыванием я буду выполнять различные операции.
Высказывание можно записать следующим образом:
«л: есть четное число».
Здесь истинность или ложность высказывания зависит от
значения икса. Если, например, х=4, то высказывание истинно,

20. Форма отделяется 245
если х=7„ то оно ложно. Следовательно, мы имеем здесь выска-
высказывание, значение которого является функцией х\ и таким обра-
образом мы дошли в логике до теории функций.
Мы можем немедленно сфабриковать также логические функ-
функции многих переменных: «Я задумала три точки и утверждаю,
что они расположены на одной прямой». Это высказывание можно
записать таким образом: <а, у, z расположены на одной прямой»,
логическое значение этого высказывания зависит от выбора точек
хГ у и z. Если мы выберем три точки в нижеследующем поло-
положении:
то высказывание истинно, если же мы выберем три точки в сле-
следующем положении:
у *
Z
то высказывание ложно. Я обращаю ваше внимание на то, что
здесь нельзя выбирать неизвестные произвольно; в первом при-
примере следовало выбирать х среди натуральных чисел, а во втором
примере х, у, z представляют собой точки пространства. Однако
мы уже встретились с этим явлением и в области наших математи-
математических функций; и там следовало уточнять, из какого множества
можно выбирать неизвестную. В логике это множество тоже на-
называется «областью определения функции».
Теперь появляются опасные операции; они применяются как
раз к логическим функциям. Одна из них выражается словом
«все». В применении к нашей первой функции будем иметь:
«Для всех х имеем х четное»
(естественно, имеется в виду, что все значения х взяты из множе-
множества натуральных чисел). Это во всяком случае высказывание,
хотя оно, конечно, ложно, ибо мы можем дать сразу опровергаю-
опровергающий пример, взяв, например, число 5. Следовательно,
«Для всех х имеем х четное= \у>.
Если применить слово «существует» к нашей функции, то
полученное высказывание представляется следующим образом:
«Существует х, для которого имеем х четное», и высказывание
будет истинным, то есть «Существует х, для которого имеем х
четное, |». Мы видим, таким образом, что как слово «все», так

246 ///. Самокритика чистого разума
и слово «существует» представляют логические операции, кото-
которые можно применять к логическим функциям, и результат их
применения является высказыванием со вполне определенным
логическим значением. В нашем примере высказывание, которое
начинается с «для всех», имеет вполне определенное значение \.
(независимо от х), а то, которое начинается с «существует», имеет
вполне определенное значение f.
Но именно эти новые операции и вводят трансфинитный эле-
элемент в логику. Рассмотрим высказывания: «Все элементы области
определения функции обладают, определенным свойством», «Если
область определения бесконечна —• как в случае множества на-
натуральных чисел или множества точек пространства», то мы
высказываемся по отношению к бесконечности, как будто мы ее
держим в руках, готовую и законченную. «Существует такой-то
х в бесконечной области определения функции»; здесь мы говорим,
как будто мы в состоянии пройти эту бесконечную область, чтобы
отыскать в ней этот х. В первом случае мы высказали что-то об
«актуальной бесконечности»; во втором мы имеем чистое (то есть
не конструктивное) высказывание о «существовании»; иными
словами, утверждаем «существование», хотя и не можем указать
существующий индивидуум. Таким образом, в логике появляются
«идеальные элементы», которые могут получить гражданские
права лишь после того, как будет доказано, что они свободны от
противоречий.
Высказывание теории логических функций можно сформули-
сформулировать таким же образом, как, например, тождество
х или  х=\.
Чтобы исключить опасность двусмысленности, свойственной
словесным выражениям, лучше вводить в случае чисто логиче-
логических высказываний символы вместо слов, как мы, например,
поступили со словом «не». На этом пути возникли работы по сим-
символической логике, написанные теперь действительно на между-
международном языке: в них можно просматривать многие страницы, не
встречая ни одного слова, а лишь ряды знаков. Специалист вос-
воспринимает этот текст подобно тому, как музыкант слышит мыс-
мысленно мелодию, читая ноты партитуры.
Лейбниц *> первый начал построение логического языка, точ-
точного и недвусмысленного, образованного с помощью символов.
*> Готфрид Лейбниц (G. Leibnitz, 1646—1716) — великий немец-
немецкий ученый — математик и философ, дипломат и юрист. Одновременно с Нью-
Ньютоном является создателем методов дифференциального и интегрального исчис-
исчислений, которые он рассматривал как науку о бесконечном, как одну из состав-
составных частей универсального метода познания. Его философская система
основана на идеалистическом учении о монадах, но содержит некоторые
диалектические моменты.— Прим. ред.

21. Перед судом сверхматематики 247
Многие специалисты работали в дальнейшем над его созданием,
пока, наконец, Гильберт вместе со своим сотрудником Пернайсом
не сделали из него отточенный и тонкий инструмент, с помощью
которого математические дедукции (выводы) могут принять столь
точную форму, что сам способ их получения может стать предме-
предметом математического исследования.
21. Перед судом сверхматематики
Наступил момент, когда мы можем исследовать некоторую
четко ограниченную ветвь математики, чтобы установить, не со-
содержит ли она противоречий.
Мы знаем, как происходит это ограничение. Нужно выделить
из имеющихся соответственных теорем основные исходные поло-
положения, то есть аксиомы, и тогда можно сказать, что выделяемая
ветвь математики образована из всех возможных выводов из этих
аксиом.
Аксиомы можно записать на языке символической логики, и
они состоят из последовательностей математических и логиче-
логических знаков и не содержат ни одного слова, могущего привести
к двусмысленностям.
Нам остается еще исследовать, что означает «вывод из аксиом».
Вернее сказать, мы должны точно сформулировать, каким обра-
образом делаются выводы.
Когда из истинности одного высказывания мы выводим истин-
истинность другого и выражаем этот процесс нашей символической
записью, мы просто переходим от одной последовательности
символов к другой. Вспомним решение уравнений, здесь встре-
встречается нечто аналогичное; например, от ряда символов
целесообразно перейти к ряду символов
?=15.
Но, прежде чем это сделать, мы рассуждали так: если получи-
получилось 18 после того как к некоторому числу прибавили 3, то до
выполнения сложения это число было 15. Позднее мы заметили,
что единственным формальным различием между этими двумя
рядами символов является то, что в левой части первого ряда
стоит в качестве слагаемого число 3, которого уже нет в левой
части второго ряда символов, но взамен этого в правой части вто-
второго ряда символов число стало на 3 меньше, чем в первом ряде.
Отсюда мы вывели чисто формальное правило: из одной- части

248 ///. Самокритика чистого разума
уравнения можно перенести любой член суммы в другую часть,
но уже в качестве вычитаемого; дальше мы применяли это пра-
правило, не раздумывая больше над его содержанием. Таким.обра-
Таким.образом, некоторый вывод, тщательно обдуманный по его содержа-
содержанию, в последующем стал механическим «правилом игры»:
«можно переносить из одной части уравнения в другую некоторые
символы, но уже изменив их определенным образом». Итак, мы
получили правило того же рода, как при игре в шахматы: напри-
например, король может делать шаг во всех направлениях.
Вообще всякий раз, когда мы делаем выводы из наших аксиом,
мы можем поступать таким же образом; мы смотрим, какие фор-
формальные изменения в ряде символов-соответствуют этому выводу,
и в дальнейшем применяем механически это формальное измене-
изменение, не размышляя больше о его содержании.
Согласно всему этому мы должны полностью забыть, о чем,
собственно, говорится в рассматриваемой ветви науки, и должны
рассуждать так: мы располагаем несколькими последовательно-
последовательностями символов, смысл некоторых не указан (они называются
аксиомами), и несколькими правилами игры, которые нам гово-
говорят, как можно перейти от данного ряда символов к другому (они
называются правилами вывода). Благодаря такой постановке
система теорем и доказательств сделалась в руках математиков
таким же тонким и гибким материалом, как сами числа; матема-
математик может проверить на нем методы, уже испытанные в мате-
математике.
Однако эти методы нельзя применять механически, подчи-
подчиняясь попросту правилам игры. На каждом отдельном этапе сле-
следует ставить вопрос: является ли это заключение бесспорным,„не
прокрались ли опасные элементы? Ни на мгновение не следует
терять из виду конечную цель: мы хотим доказать права пользо-
пользоваться трансфинитными элементами рассматриваемой ветви
математики. Однако, если бы в самом процессе доказательства
были использованы опасные элементы, доказательство не за-
заслуживало бы доверия. Его средства должны быть столь чисты-
чистыми, чтобы самый придирчивый интуиционист не нашел бы возра-
возражений.
Таким образом, математика распадается на две части: с одной
стороны, на чисто формальные системы, где вместо выводов появ-
появляются формальные правила игры; с другой — на сверхматема-
сверхматематику, в которой каждый шаг тщательно обдуман, в которой при-
применяются лишь такие выводы, которые не содержат опасных
элементов. Это так называемая метаматематика; она исследует
формальные системы как бы извне и имеет главной целью дока-
доказательство отсутствия противоречий в рассматриваемой ветви
математики.

21. Перед судом сверхматематики 219
Но когда мы исследуем вопрос о возможности появления про-
противоречий в результате применения правил нашей игры, то разве
не является необходимым изучать и содержание высказываний из
соответствующей системы? Ведь естественно считать, что не
форма предложения, а его содержание говорит нам, имеется ли
в нем противоречие или нет.
Чтобы помочь освободиться от этого опасения, достаточно
ограничиться одним противоречием, например, предполагая, что
натуральные числа входят в рассматриваемую систему, противо-
противоречием:
1=2.
Этот ряд символов настолько прост, что, судя лишь по его форме,
мы можем сказать, что символ 1, за которым следует символ = ,
а затем символ 2, означает противоречие. Сверх этого ничего и
не требуется. Раньше я вам уже рассказывала, что существуют
такие парадоксальные выводы, с помощью которых доказы-
доказывается, что 1 =2, но еще тогда я обратила ваше внимание на то,
что единственное ложное высказывание, вкравшееся в некото-
некоторый вывод, делает возможным любое следствие, даже 1 =2. По-
Поэтому достаточно доказать, что «формула 1=2 не может быть
выведена в рамках нашей системы», чтобы отсюда с очевидно-
очевидностью следовало, что в систему не могут вкрасться противо-
противоречия.
Значит, перед метаматематикой стоит точно сформулированная
задача: показать, что, исходя из рядов символов, которые назы-
называются аксиомами анализируемой системы, и применяя правила
игры, мы не можем никогда прийти к выражению 1=2.
В некоторых простых случаях сам Гильберт дал примеры
таких доказательств непротиворечивости, затем его школа при-
применила этот способ к другим более обширным системам. В этой
области первым, даже до Гильберта, был Кёниг *>, тот самый,
который перенес в Венгрию почти все отрасли современной мате-
математики.
На этом этапе были подготовлены все средства, необходимые
для анализа любой обширной, богатой содержанием отрасли
математики. Первой, естественно, оказалась наука о натураль-
натуральных числах, так называемая теория чисел. Все говорило за то,
что нужно лишь небольшое усилие, чтобы перенести идеи Гиль-
Гильберта на всю теорию чисел, включая содержащиеся в ней опасные
понятия.
*> Д ь ю л а Кёниг (Konig, 1849—1913) — глава возникшей в XIX ве-
веке венгерской математической школы в Будапештских высших технических
учебных заведениях — Прим. ред.

250 ///. Самокритика чистого разума
В этот момент гильбертова «теория доказательств», эта новая
ветвь математики, построенная со столь красивой осторожностью,
была потрясена некоей бурей.
Гёдель *>, молодой венский математик, доказал, и именно с
помощью методов теории доказательств (в последней главе я вам
обрисую, как именно), что непротиворечивость арифметики
не может быть доказана, если пользоваться лишь средствами,
которые можно описать формально внутри рассматриваемой
системы.
Более точно: метаматематика не работает формальными сред-
средствами; она должна все время сознавать, что она делает; она
всегда проводит выводы, хорошо их обдумывая, и не поступает
никогда механически. Это не означает, что из ее выводов нельзя
было бы создать формальные правила игры. Естественно, их
можно создать, если хочется немного поиграть в метаматема-
метаматематику, отвлекаясь от ее целей. Но если метаматематика будет
формализована, то кажется почти очевидным, что ее осторожные
выводы, избегающие всех опасных элементов, могут быть форма-
формализованы в гораздо более узких рамках, чем рассмотренная
отрасль математики с ее трансфинитными элементами. Но вот
Гёдель приходит к выводу, что непротиворечивость можно дока-
доказать лишь с помощью таких средств, которые выходят за пределы
рассмотренной системы. Однако кто даст себя убедить, что опас-
опасные элементы обоснованы, если такое обоснование совершается
с помощью средств, взятых из области более широкой, чем сама
изучаемая система? По всей видимости, казалось, что это откры-
открытие означало полный крах теории доказательств и что следует
сложить оружие.
Однако сам Гильберт ни на одно мгновение не соглашался
с этим. Он был убежден, что выход существует, что должен суще-
существовать такой метод вывода, который выходил бы за пределы
анализируемой системы, но, несмотря на это, основывался бы на
некоторой конкретной способности нашего конечного интеллекта,
так что он мог бы быть принятым даже интуиционистами.
Тогда начались исследования по отысканию такого способа
вывода. Они оказались плодотворными: Генцен, ученик Гиль-
Гильберта, нашел необходимый для метаматематики инструмент в од-
одном из случаев так называемой трансфинитной индукции и дока-
доказал на этом пути непротиворечивость всей арифметики. Впредь
стадо натуральных чисел может жить и благоденствовать спо-
спокойно, так как в его среде никогда не появятся волки.
*'Курт Гёдель (Godel) — современный австрийский математик.
Один из крупных представителей аксиоматического направления в вопросах
обоснования математики.— Прим. ред.

21. Перед судом сверхматематики 251
«Трансфинитная индукция» кажется как будто опасным по-
понятием, hq в действительности речь идет о следующей не слишком
сложной идее: двигаясь от сколь угодно удаленного члена после-
последовательности натуральных чисел
1, 2, 3, 4, 5,...
и шагая обратно шагами произвольной величины, мы можем,
очевидно, сделать лишь конечное число шагов. Даже если бы мы
двигались от числа 1 000 000 и делали бы в обратном направлении
шаги, равные единице, то, пройдя 999 999 шагов, мы достигли бы
числа 1.
Теперь упорядочим ряд натуральных чисел, иначе написав,
например, сначала бесконечную последовательность нечетных
чисел, а после этого последовательность четных чисел:
1,3,5,7,..., 2,4,6,8,....
Если мы шагаем теперь обратно уже в этой последовательности,
или> лучше сказать, если мы выбираем в ней числа все более и
более близкие к началу последовательности, то мы приходим
также к концу пути после конечного числа шагов. Действительно,
если начать с нечетного числа, то мы достигнем начала последова-
последовательности так же, как и тогда, когда шла речь о последователь-
последовательности натуральных чисел в первоначальной форме, через конеч-
конечное число шагов. Если же мы начинаем с некоторого четного
числа, то само собой разумеется, что, после того как при движе-
движении в обратном направлении четные числа будут исчерпаны, мы
должны будем выбрать некоторое нечетное число, то есть сделать
на него прыжок. Но как только мы попадаем на нечетное число,
как бы велико оно ни было, это означает, что мы перемещаемся
в дальнейшем так же, как и в случае последовательности нату-
натуральных чисел в ее первоначальной форме.
Естественно, последовательность натуральных чисел можно
упорядочить значительно более сложным образом; например,
можно написать последовательность -натуральных чисел, крат-
кратных трем, затем последовательность натуральных чисел, прево-
превосходящих на 1 числа первой последовательности, а затем после-
последовательность натуральных чисел, превосходящих на 2 числа пер-
первой последовательности (ради порядка мы включим и 0), и мы
будем иметь:
. 0/3,6, 9,.... 1,4, 7, Ю,..., 2, 5,8, 11,... .
Если в этом случае мы начинаем шагать от какого-либо числа
из третьей последовательности, то после конечного числа шагов
мы должны будем перейти ко второй последовательности и тогда
снова окажемся в ситуации разработанного ранее случая.

252 ///. Самокритика чистого разума
Мы можем получить и бесконечно много последовательностей,
если, например, сначала отделим все нечетные числа, затем те,
которые кратны числу 2, но не большей его степени, затем те,
которые кратны числу 22=4, но не большей степени двух, затем
те, которые делятся на 23=8, но не делятся на большую степень
2, и так далее:
1, 3, 5, 7,... 2, 6, 10, 14,... 4, 12, 20, 28,... 8, 24, 40, 56,...
Тот факт, что здесь мы получили бесконечно много последователь-
последовательностей, не должен нас пугать, потому что, когда мы задаем неко-
некоторое определенное число, оно обязательно окажется в одной
из наших последовательностей, притом ей будет предшествовать
лишь конечное число последовательностей *'.
Во всех примерах мы видели, что фактически движение в об-
обратном направлении означало переход от более сложного упоря-
упорядочения к менее сложному. Таким образом, выявляется также,
что при переходах от сложного упорядочивания натурального
ряда к все менее и менее сложным упорядочиваниям мы можем
после конечного числа шагов достигнуть и простой последова-
последовательности, не содержащей осложнений.
Доказательство Генцена основано на том факте, что при одном
определенном упорядочивании — однако значительно более слож-
сложном, чем указанные выше — число шагов, которые приводят к на-
началу последовательности в обратном направлении, также ко-
конечно. Таково утверждение, вполне понятное для конечного
конкретного, человеческого мышления и которое все же выходит
за рамки анализируемой системы.
Как можно использовать этот результат для доказательства
непротиворечивости?
В любом доказательстве непротиворечивости рассуждения
ведутся всегда следующим образом: кто-то утверждает, что вывел
противоречие из аксиом системы. В качестве доказательства он
показывает вам, как, исходя из аксиом и применяя только дозво-
дозволенные правила игры, он пришел к результату: 1 =2. Наша задача
состоит в том, чтобы доказать, что вывод ошибочен, и найти
соответствующую ошибку.
Если в доказательстве не фигурирует ни один опасный эле-
элемент, то очевидно, что ошибку можно найти в выводе, потому что,
опираясь на верные предложения и применяя неоспоримые пра-
правила вывода, можно прийти к ложному результату: 1=2, лишь
совершив ошибку где-нибудь в пути.
*' Выбранное число либо нечетное, либо содержит множитель 2 в неко-
некоторой конечной степени.— Прим. ред.

21. Перед судом сверхматематики 253
Но если в доказательство вошел также некоторый трансфи-
трансфинитный элемент, то вышеуказанное подозрение не является
столь очевидным, потому что противоречие мог внести и транс-
трансфинитный элемент.
Однако полученный результат говорит: 1=2. Здесь же не ос-
осталось никакого следа от трансфинитных понятий. Поэтому если
в ходе доказательства такой элемент играл некоторую роль, то
это могло произойти лишь таким образом, что он — по извест-
известному обычаю идеальных элементов — появился, внес свой вклад
и снова исчез. Но тогда нельзя ли провести доказательство
и без него, как, например, в тригонометрии определенные фор-
формулы могут быть выведены с помощью мнимой единицы i, но
также и без i?
Если в доказательстве появляется лишь один опасный элемент
или несколько таких элементов, независимых один от другого,
то дело обстоит действительно так. Гильберт показал, что дока-
доказательства такого рода можно преобразовать в доказательства
без опасных элементов, а в таких доказательствах мы можем
обнаружить тотчас ошибку.
Однако, подобно тому как фантастические бестелесные суще-
существа могут взаимно проникать друг в друга, идеальные элементы
могут появляться в самых сложных взаимосвязях. А из очень
запутанных доказательств* использующих такие взаимосвязи,
уже не удается устранить трансфинитные элементы, прибегая
к этому простому методу. Генцен заметил, что эти запутанные
доказательства представляют собой аналог со сложным упорядо-
упорядочиванием ряда натуральных чисел. Если способ Гильберта приме-
применить к такому сложному доказательству, то трансфинитные эле-
элементы из него не исчезают, но доказательство преобразуется
в вывод, сложность которого соответствует менее сложному упо-
упорядочиванию последовательности натуральных чисел. Если пов-
повторно применить метод Гильберта к этому менее сложному дока-
доказательству, то произойдет то же самое, что и прежде. Мы знаем,
что, проходя через все менее и менее сложные упорядочивания
последовательности натуральных чисел, мы приходим после конеч-
конечного числа шагов к последовательности, не содержащей осложне-
осложнений. Следовательно, применяя метод Гильберта конечное число
раз, мы должны прийти в конце концов к доказательству, пол-
полностью свободному от осложнений, к доказательству, в котором
нет больше трансфинитных элементов и в котором уже можно
легко найти ошибку.
Это красивое и чисто математическое рассуждение приводит
к выводу величайшей важности. Оно восстанавливает доверие
к старым методам доказательства — по крайней мере в области
арифметики. Большинство математиков, а именно те, которое

2S4 ///. Самокритика чистого разума
отказываются думать об опасности, не смотрят с симпатией на 1
теорию доказательств, они предпочитают рассматривать ее ско- :
рее как философию, чем как математику. Они признают право на ;
существование некоторой новой ветви математики, лишь тогда .
она может быть использована плодотворно и в других областях >
математики. Чтобы и им показать, на что способна теория дока-
доказательств, Гильберт исследовал методами теории доказательств
самую грандиозную из старых математических проблем: гипо-
гипотезу континуума в теории множеств.
Речь идет вот о чем: в области натуральных чисел, упррядо- ;
ченных по величине, царит .законченный порядок; за каждым
числом имеется определенное число непосредственно следующее:
за числом 3 следует 4, за числом 12 следует 13. В области дробей
уже не может быть речи о таком точном следовании, потому что,
как бы дробь ни была близка к данной дроби, существуют и дру-
другие дроби, еще более близкие. Если же говорить о всех вещест- ;
венных числах, то этот факт выявляется еще более резко: эти ...
числа распределены на числовой оси непрерывным образом, не- ;
разделимо перетекая одно в другое; поэтому и говорят, что это
множество «имеет мощность континуума»*'. Возникает вопрос: \
в области бесконечных мощностей, введенных Кантором, имеет ;
ли каждая мощность непосредственно за ней следующую? i
Ответ гласит: да, имеет. В этом отношении бесконечные мощности ;
похожи на натуральные числа. Самая малая бесконечная мощ- ;;
ность —это мощность множества натуральных чисел **'. Ставится ':
вопрос: какова непосредственно следующая бесконечная мощ- j
ность? Мы знаем, что мощность континуума, то есть мощность ]
множества всех действительных чисел, больше. Но является ли -i
мощность континуума непосредственно следующей или между 1
ними существует еще и другая мощность? Эта проблема породила 1
много глубоких исследований; постепенно и среди математи-
математиков все более и более распространилась уверенность, что Мощ-
Мощность континуума следует непосредственно за мощностью ряда
натуральных чисел. Эта догадка была названа гипотезой конти-
континуума, а математики, которые в ней не сомневались, назвали даже |
ее теоремой континуума. Но эту проблему так и не смогли ,|
решить. ,'jj
Гёдель (опираясь на идеи Гильберта) доказал с помощью.'!
теории доказательств, что предположение о справедливости '
гипотезы континуума не может внести противоречие в теорию ¦$
множеств. Следовательно, гипотеза континуума либо незави- ¦-
сима от аксиом теории множеств, либо может быть выведена 5
— ч
•' Слово «континуум» (continuum) означает непрерывную протяжен- <
ность.— Прим. ред. ',
**) Мощность счетного множества.— Прим. ред. i

21. Перед судом сверхматематики 255
из них*'; во всяком случае, мы имеем право ее использовать в на-
наших доказательствах: она не вызовет никогда противоречий.
Метод доказательства Гёделя имеет сходство с методом дока-
доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского — Бойаи;
Гёдель построил, в рамках теории множеств, «модель», в которой
аксиомы теории множеств и теорема континуума очень хорошо
сосуществуют.
После всего этого Гильберт был вправе сказать математикам,
относившимся скептически к теории доказательств: «Дерево
узнается' по его плодам».
Дополнение об интуиции бесконечного
Непротиворечивость теории натуральных чисел установлена,
и соответствующее доказательство может быть легко преобра-
преобразовано, чтобы служить доказательствам непротиворечивости тео-
теории других счетных множеств, то есть множества целых чисел,
положительных и отрицательных, и множества дробей, а значит,
и вообще множества рациональных чисел.
Осталось еще множество вещественных чисел, но здесь мы
встречаем новые трудности. •
Нам удалось охватить иррациональные числа, рассматривая
все лучшие и лучшие приближения, заключая их во все более
узкие промежутки. В этом случае речь идет уже не о теории чи-
чисел, а о математическом анализе. Здесь бесконечные процессы
появляются на каждом шагу, принося с собой опасные элементы
нового рода.
Когда я коснулась в первый раз этого круга идей, я позаботи-
позаботилась о том, чтобы сформулировать как можно правильнее то
опасное предложение, от которого зависит существование ана-
анализа. Оно гласит: «Интуиция нам говорит, что, если бы мы про-
продолжали до бесконечности построение все меньших и меньших
промежутков, вложенных один в другой, тогда то, к чему они
стягиваются, будет общим у всех». Но как может наша интуиция
сообщать что-то о бесконечном процессе? Разве мы забыли, что не
имеем права переносить опыт из конечного мира в мир бесконеч-
бесконечности? Я могу дать вам новый пример, заставляющий задуматься.
Не нужно быть математиком, чтобы сообразить, что кратчайшим
путем между двумя точками является прямая линия. Если кто-
*' Результаты американского математика Поля Коэна (P. Cohen), до-
доложенные на Международном конгрессе математиков в Москве A966 г.),
показывают, что отрицание континуума гипотезы тоже не может привести
к противоречиям. Таким образом гипотеза континуума не только совместна
с принятыми аксиомами теории множеств, но и независима от них.—
Прим. ред.

256
///. Самокритика чистого разума
нибудь летит на самолете из Киева в Москву, он прибывает скорее,
если летит по прямой линии, чем если летит через Харьков.
Москва
Киев Харьков
Причина в том, что сумма-двух сторон любого треугольника
больше, чем третья сторона. Но, несмотря на это, я вам докажу,
что сумма двух катетов прямоугольного треугольника равна
длине гипотенузы. Нет сомнения, что это нелепость. Однако,
применяя интуицию, или, иными словами, «наглядное представ-
представление», к бесконечным процессам, я в состоянии это доказать.
Нарисуем на гипотенузе лестницу таким образом, чтобы ее сто-
стороны были параллельны каждая одному из катетов треуголь-
треугольника.
1
Очевидно, что сумма двух вертикальных прямолинейных отрез-
отрезков равна длине вертикального катета, а сумма двух горизон-
горизонтальных отрезков равна длине горизонтального катета. Значит,
длина линии, составляющей контур лестницы, равна сумме обоих
катетов.
То же утверждение справедливо и в случае лестницы с че-
четырьмя ступенями. Сумма горизонтальных отрезков снова равна
^——1
\ 1
I 1
у/
1
длине горизонтального катета, а сумма вертикальных отрезков—
длине вертикального катета.
Если мы будем делить гипотенузу на отрезки все меньшие и
меньшие, то вышеуказанное утверждение остается постоянно

22. Что математика не в состоянии решить
257
правильным:
длина ступенчатой линии равна сумме длин обоих катетов.
С другой стороны, по мере того как число ступеней возрастает,
ступенчатая линия все меньше и меньше отходит от гипотенузы,
и «интуиция нам говорит», что если мы будем продолжать под-
подразделение гипотенузы на отрезки до бесконечности, то лестница
сольется с гипотенузой. Следовательно, и длина гипотенузы
должна была бы равняться сумме длин обоих катетов.
А теперь мы можем еще раз поразмыслить о законности ут-
утверждений, сделанных но основании интуиции, примененной
в области бесконечности.
Но при всем том интуиция дает нам цитированное выше крае-
краеугольное предложение, на котором основано существование ана-
анализа. Либо мы верим в него, не имея каких-либо оснований к это-
этому, верим, потому что желаем верить; либо нам не остается
ничего другого, как прибегнуть к методам теории доказательства,
чтобы исследовать, не ведет ли подобное высказывание к проти-
противоречиям.
Таким образом, в системе аксиом анализа появляются новые
трансфинитные элементы. Если мы допустим их введение, то
система будет столь обширной, что она будет содержать не только
тот случай трансфинитной индукции, который использовал Ген-
цен, но и значительно более сложные случаи этой индукции. И
здесь верна теорема Гёделя: непротиворечивость системы нельзя
доказать с помощью средств, формализуемых внутри самой рас-
рассмотренной системы. Следовательно, мы не можем надеяться на
то, что использованные для настоящего времени методы окажутся
сами по себе достаточными для доказательства непротиворечи-
непротиворечивости анализа. Здесь нам нужно искать новые более острые
вспомогательные средства. Это и сегодня является еще открытой
для исследований областью.
22. Что математика не в состоянии решить
Доказательство непротиворечивости арифметики обнаружило
в то же время один из недостатков аксиоматизации. Примененная
там трансфинитная индукция оказалась способом, который мо-
Заказ № 1753

258 ///. Самокритика чистого разума
жет быть сформулирован на языке натуральных чисел и охвачен
конечным человеческим разумом; однако он выходит за рамки
системы аксиом, охватывающей учение о натуральных числах.
Это не случайное явление, ибо не существует ни одной системы
аксиом, которая могла бы охватить все, что она хочет охватить.
Всегда найдутся вещи, которые от нее ускользают, и нежелатель-
нежелательные вещи, которые в нее проникают. Она как бы охватывает
слишком много и поэтому должна кое от чего отказаться.
Тот факт, что она желает охватить слишком много, был пока-
показан норвежским математиком Сколемом.
Если мы желаем охватить в наших аксиомах только ряд нату-
натуральных чисел в его первоначальном порядке, то неизбежно в эту
систему аксиом прокрадываются также и более сложные упорядо-
упорядочивания этого числового ряда; исходный ряд не может быть огра-
ограничен аксиомами таким образом, чтобы не проникали и более
сложные способы упорядочивания.
С другой стороны, если мы желаем точно ограничить
с помощью аксиом большую, чем счетная, область существования,
например множество вещественных чисел, то всегда будут суще-
существовать счетные множества, которые прокрадутся в эту систему,
удовлетворяя всем условиям, налагаемым аксиомами. Тот факт,:
что системы аксиом должны кое от чего отказываться, был выяв-
выявлен одним неожиданным открытием Гёделя. Он доказал, что-
в любой совместной системе аксиом, включающей арифметику,!
имеются неразрешимые задачи.
Что понимать под этим утверждением?
Математика имеет и по сей день много старых нерешенных*
задач. Я упомянула об одной из них, а именно: существует л»;
бесконечно много простых чисел-близнецов (как, например, И]
и 13 или 29 и 31)? Также и так называемая гипотеза Гольдбаха*1'
до сих пор не разрешена. Вот в чем она заключается: замечено, что;
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7-5+5
*> Христиан Гольдбах (Goldbach, 1690—1764) родился в Герма-1
нии. С 1725 года в России, член Петербургской Академии наук. Так называв-}
мая проблема Гольдбаха была им выдвинута в виде гипотезы ¦ письме к;
Л. Эйлеру A742): всякое нечетное число есть сумма трех простых чисел. Эйлер ]
указал, что для этого достаточно показать, что всякое четное число есть сумма :
двух простых чисел. В 1937 году академик И. М. Виноградов доказал, что лю-
любое достаточно большое нечетное число может быть получено как сумма трех
простых чисел. Другое доказательство дал в 1945 году Ю. В. Лиииик. Гипо-
Гипотеза Эйлера еще не доказана. — Прим. ред.

22. Что математика'не в состоянии решить 259
По-видимому, каждое четное число, большее двух, можно пред-
представить как сумму двух простых чисел, может быть, и различ-
различными способами. Это утверждение оказалось верным для всех
исследованных чисел, но не известно, остается ли оно верным
и за пределами исследованных чисел.
Самая известная из всех нерешенных задач — это так называе-
называемая гипотеза Ферма *'. Здесь идет речь о следующем. Известно,
что
32-1-42=9+16=25=52,
то есть
32+42=52,
и существуют и другие пары целых чисел, которые при возведе-
возведении в квадрат и сложении результатов дают квадрат некоторого
третьего целого числа **>. Ферма ***> в заметках, написанных на
полях одной книги, сообщает, что он нашел доказательство,
согласно которому такое соотношение невозможно для показате-
показателей больших, чем 2, но что его доказательство не помещается на
полях страницы. Таким образом, он утверждает; нельзя найти
три целых числа — х, у и г, между которыми существовало бы
соотношение типа:
или
или
Ферма давно умер,-а математики много раз пытались восста-
восстановить его доказательство, но им это не удалось. Эти безуспешные
попытки найти доказательство, о котором известно, что некто им
владел, возбудили к этой не слишком интересной задаче такой
большой интерес, что было сделано даже завещание, по которому
лицо, решившее эту задачу, должно получить значительную
*' Ее также называют великой теоремой Ферма.— Прим. ред.
**' Так называемые пифагоровы числа.— Прим. ред.
***' Пьер Ферма (Fermat, 1601—1665) — выдающийся француз-
французский математик, по профессии юрист. Его работы были изданы в основном по-
посмертно. Одновременно с Декартом создал аналитическую геометрию; внес
большой вкладе первоначальные вычисления дифференциалов и интегралов
степенной функции (при решении задач на экстремумы и площади), подготовив
тем самым появление анализа бесконечно малых. Особенно известны его дости-
достижения в области теории чисел, одним из создателей которой он являлся.—
Прим. ред.

260 ///. Самокритика чистого разума
сумму *>. Этот факт, разумеется, подстегивал воображение неком-
некомпетентных лиц, даже в большей степени, чем задача о квадра-
квадратуре круга; к счастью, их порыв несколько уменьшился **', так
как с тех пор, как было составлено завещание, соответствующая
сумма совершенно обесценилась ***>.
Несмотря на это, проблема Ферма оказала все же плодотвор-
плодотворное влияние на математику; были введены новые идеальные эле-
элементы, чтобы сделать проблему более доступной, так называемые
«идеалы», которые оказались чрезвычайно полезными в важных
областях алгебры. Но при всем том проблему Ферма удалось дока-
доказать лишь для некоторых определенных показателей, и до сегод-
сегодняшнего дня она осталась недоказанной во всей ее общности.
Вероятно, Ферма ошибся; можно предположить, что он также
нашел доказательство лишь для какого-то специального случая.
Но существуют в математике еще и такие задачи, для которых
строго доказано, что они при употреблении четко указанных
методов неразрешимы. Это окончательно решенные проблемы, то
есть они разрешены в отрицательном смысле. К этим задачам от-
относится, например, решение уравнений пятой степени ****» или
осуществление квадратуры круга. К этой же категории проблем
относятся задачи о трисекции угла и об удвоении куба. Доказано,
что эти задачи нельзя решить только с помощью циркуля и ли-
линейки. Эти два инструмента достаточны для деления угла на
две равные части, но не достаточны, чтобы разделить его на
три равные части. Удвоение куба — это задача, обобщающая на
пространственные фигуры операцию, соответствующую удвоению
квадратного пруда, о которой мы уже говорили. На плоскости мы
сумели построить с помощью циркуля и линейки сторону квад-
квадрата вдвое большей площади, но в пространстве построить выше-
вышеуказанными инструментами ребро куба с объемом в два раза
большим, чем объем данного куба, уже нельзя. Эта задача назы-
называется «делийской», ибо говорят, что будто бы боги потребовали
у жителей Делоса, которых преследовал мор, удвоить их алтарь
кубической формы. При всем желании их попытки остались
напрасными. Позднее Платон изучил эту задачу и утешил де-
*' Премия 100 000 марок.—Прим. ред.
**' Ферматисты встречаются и у нас. Это обычно любители математики,
для которых простота формулировки проблемы кажется обнадеживающим
признакомдля получения решения. Они приносят в НИИ, на кафедры учебных
заведений и даже в математические издательства пухлые рукописи с доказатель-
ствами и требуют признания своих результатов. Иногда явные нелепости об-
наруживаются сразу, а иногда ошибки трудно обнаружить вследствие громад-
громадного объема сложных тождественных преобразований.— Прим. ред.
***' Вследствие девальвации после мировой войны 1914—1918 гг.—Прим.
ред.
****' Имеется в виду решение в радикалах.— Прим. перевод.

22. Что математика не в состоянии решить 261
лийцев: по его мнению, боги поставили эту задачу, чтобы стиму-
стимулировать греков к изучению геометрии.
Однако в теореме Гёделя речь идет не о проблемах, не разре-
разрешенных до сегодняшнего дня, и не о проблемах, разрешенных
в отрицательном смысле, а о проблемах, не разрешимых в рамках
употребляющихся систем аксиом.
Я попытаюсь набросить в общих чертах рассуждение Гёделя.
Допустим, что мы располагаем хорошо построенной системой
аксиом для науки о натуральных числах и что наши аксиомы
содержат все, что может стать необходимым в этой области. Само
собой разумеется, что мы позаботились, чтобы в систему не про-
проникло ни одно противоречие. Допустим далее, что все аксиомы
были представлены на языке символической логики и что, следо-
следовательно, каждое высказывание принимает форму последователь-
последовательности символов.
Тогда мы можем сопоставить каждой последовательности сим-
символов число — в точности так, как мы поступали с точками пло-
плоскости, когда мы им сопоставляли по упорядоченной паре чисел.
Это можно сделать так: мы располагаем конечным числом мате-
математических и логических символов. Сопоставим каждому из них
по простому числу (на этот раз я буду рассматривать и число
1 среди простых чисел). Пусть, например, символу 1 соответствует
само число 1. Другие числовые знаки уже не являются необхо-
необходимыми в нашей формальной системе, ибо 2 можно написать как
1 + 1, а 3 как 1 + 1 + 1 и так далее. Знаку = будет соответствовать
простое число 2, знаку ~] , которым обозначается «не», будет
соответствовать простое число 3, знаку + будет соответство-
соответствовать 5 и так далее. Выбор порядка не имеет никакого значения.
Пусть 17 соответствует последнему символу. Теперь мы сопоста-
сопоставим простые числа, начиная с 19, буквам х, у,..., которыми обо-
обозначаются значения неизвестных, появляющихся в предложениях
этой системы. Например, знаку х будет соответствовать 19, знаку
у — 23 и так далее.
Таким образом, мы получим словарь следующего вида;
1 1
= 2
1 3
+ 5
х. . . '.'.'.'.'. ! Л9
У 23
Отсюда можно сразу увидеть, что, например, формуле
1 = 1

262 ///. Самокритика чистого разума
соответствует следующая тройка чисел:
1, 2, 1.
Из этой тройки я намереваюсь составить одно число. Я могу
это сделать различными способами: например, сложив эти три
числа, я получу одно число: 4. Да, число будет одно, но входящие
в него числа растворились, и не существует никакого средства,
чтобы увидеть, из каких именно чисел образовалось 4, в каком
порядке они находились и сколько чисел было. Число 4 может
быть образовано не только из
' 1+2+1,
но и из
1+3, и 3+1, и 2+2, и 1+1+2, и 2+1 + 1.
Но я хочу образовать число таким образом, чтобы можно было
точно увидеть, из каких элементов оно возникло. И такая воз-
возможность существует. Например, я возведу три первых простых
числа ',
2, 3 и 5
соответственно в степени
1, 2, 1, ¦
то есть я возьму в' качестве показателей первых простых чисел
элементы нашей тройки и затем перемножу полученные степени."
Я найду следующее произведение:
21.32.51= 10-32=10-9=90.
Стало быть, формуле
1 = 1
будет соответствовать число
90.
Обратно, нетрудно распознать, какой именно формуле соот*|
ветствует это число; нужно только разложить его на простые ;:
множители, расположенные в порядке их возрастания:
90=2-45=
=2-3-15=
=2-3-3-5=
=21-32-51,
и вот простые числа
1,2, 1
снова вынырнули как показатели, которые в нашем словаре
соответствуют знакам
1, = , 1.
:

22. Что математика не в состоянии решить 263
Следовательно, мы из числа 90 безукоризненно получили со-
соответствующую ему формулу:
1 = 1.
Таким образом, каждому высказыванию, образованному в этой
системе, соответствует некоторое число. Поступая таким же об-
образом, мы можем сопоставить также по числу каждому доказа-
доказательству, ибо в действительности — с точки зрения формаль-
формальной — доказательство есть не что иное, как последовательность
нескольких высказываний (причем последнее высказывание яв-
является выводом из предшествующих). Если каждому высказыва-
высказыванию соответствует по числу, а некоторое доказательство образо-
образовано из трех высказываний, то ему будет соответствовать тройка
чисел, а тройку чисел можно слить в единственное число, посту-
поступая, как прежде, чтобы когда угодно можно было вернуться к
составным частям соответствующего числа, раскладывая его на
простые множители. Допустим, например, нам дано неимоверно
большое число и мы его уже встречали в некотором соответствии
и имели ангельское терпение разложить на простые множители,
так что полученный результат таков:
280 00° 00° 00° 00° 00° 00° З80
Прежде всего мы видим, что показатели не простые числа, по-
поэтому мы делаем вывод, что исходное число соответствует не про-
простому высказыванию, а некоторому доказательству. Но мы
можем увидеть и более того: число соответствует доказатель-
доказательству, в котором фигурируют лишь два высказывания, а именно
те, которым соответствуют числа, появляющиеся как показатели:
90 000 000 000 000 000 000,
и соответственно
— 90.
Если мы разложим эти два числа на простые множители, мы мо-
можем найти соответствующие предложения. В первом числе мы
имеем 19 нулей, значит, оно разлагается так:
9- Ю19=32- 101в=32-21в-519,
так как 10=2-5. Если мы расположим основания в порядке воз-
возрастания их величины, то будем иметь:
210.32.51»,
так что в показателях фигурирует тройка:
19, 2, 19.

264 /// Самокритика чистого разума
Разложение второго числа уже известно:
90=2! -З2^1.
Следовательно, оно соответствует следующей тройке:
1, 2, 1.
Повторяю словарь.
1 1
= 2
 • • • • 3
+ ¦ 5
1
х 19
У 23
Отсюда мы можем увидеть, что первая тройка чисел, то есть
19, 2, 19,
соответствует формуле:
а второй набор трех чисел, то есть
1, 2, 1,
соответствует формуле:
1 = 1.
Данное доказательство, соответствующее рассматриваемому
большому числу, сказало нам, таким образом, следующее:
из утверждения
х=х,
верного для любого заданного значения х, следует, что
И вот этому-то жалкому доказательству соответствует такое
астрономическое число. Теперь вы можете себе представить,
сколь большим должно быть число, соответствующее более важ-
важному доказательству. Однако самое существенное здесь состоит I
в том, что каждому доказательству соответствует определенное j
число и что по этому числу мы можем восстановить соответствую- 1
щее доказательство, пусть даже на это не хватит одной челове-
человеческой жизни, все-таки в принципе это выполнимо.
Таким образом, формулы и доказательства некоторой системы
можно перевести на язык натуральных чисел. Но для чего это
делать?

22. Что математика не в состоянии решить 265
Метаматематика исследует систему, смотря на нее извне: ее
утверждения говорят нечто о формулах или доказательствах,
построенных так или иначе. С помощью вышеуказанного словаря
эти утверждения можно преобразовать таким образом, чтобы они
говорили о натуральных числах, разложение которых на простые
множители вполне определенно.
Например, анализируя формулы, которые можно записать
символами этой системы, метаматематика может установить, что
с формулами
1 = 1
и
1A=1)
следует обращаться с большой осторожностью, потому что одна
отрицает другую. Но мы видели выше, что формуле
1 = 1
соответствует число
Согласно словарю (если не принимать во внимание тот факт,
что скобки — это также символы и что на самом деле мы должны
им также приписывать определенные числа) мы видим, что
1 1
= 2
1 3
+ 5
формуле  A = 1)
соответствует четверка
3, 1, 2, 1,
значит, если .иметь в виду, что первые четыре простых числа —
это
2, 3, 5, 7,
то выше рассмотренной формуле соответствует число
Подсчитаем также и это число:
23.31-52-71=2-2-2-3-5-5-7=10-10-2-3.7=100-42=4200.
Расположим теперь разложения на простые множители одно
под другим:
90=21-32-51,
4200=23-31-52-71.

266 ///. Самокритика чистого разума
Следовательно, утверждение метаматематики, что ряды сим-
символов
1 = 1 и 1A = 1),
выражают взаимно противоположные утверждения и перево-
переводится в виде следующего высказывания:
«Числа 90 и 4200 таковы, что разложение второго на простые
множители начинается с 23, а показатели последующих простых
множителей соответственно совпадают с показателями в разло-
разложении второго числа».
В этом последнем предложении не осталось больше никакого
следа метаматематики; это чисто теоретико-числовое утвержде-
утверждение. Но ведь рассмотренная система как раз и служит для фор-
формулировки предложений из области арифметики. Следовательно,
и это предложение может быть целиком написано с помощью
символов рассмотренной системы таким образом, чтобы в записи
не содержалось ни единого слова. Это будет одна из обыкновен-
обыкновенных, особо не примечательных последовательностей символов,
и по ней больше не будет видно, что она имеет два смысла. Но
она имеет два смысла, так как по ней можно прочитать два текста:
первый текст — из области теории чисел, вытекающий из формул
системы, если мы вспомним первоначальное содержание симво-
символов; другой текст — это та формулировка утверждения метама-
метаматематики, которая в этой записи воплощена.
Играя с такими имеющими по два смысла последовательно-
последовательностями символов и соответствующими им числами, Гёдель оста-
остановился на некотором числе, скажем 8 миллиардов; в действи-
действительности мы точно знаем, как построено это число из простых
множителей, но для их вычисления не хватит и целой человече-
человеческой жизни. Гёдель заметил, что это число дает следующее, если
сформулировать, метаматематическое утверждение:
«Формула, соответствующая числу 8 миллиардов, не дока-
доказуема в рассматриваемой системе».
Если записать это с помощью символов системы точно так,
как мы поступали выше, то, испытав, какое число соответствует
согласно словарю полученной формуле, мы узнаем с изумлением,
что это число составляет как раз 8 миллиардов. Следовательно,
«формула, соответствующая числу 8 миллиардов», есть сама
первоначальная формула, один из смыслов которой таков:
«Я сама недоказуема».
Я обращаю внимание на то, что мы имеем здесь перед собой не
игру слов и не софизм, а обычную, ничем не выделяющуюся фор-
формулу, бесспорную последовательность символов, такую же, как
и все другие. Но если мы исследуем с помощью нашего словаря,
какой второй смысл вошел в этот ряд знаков через метаматема-

22. Что математика не в состоянии решить 267
тику, то мы заметим, что с невинным лицом она напевает странный
текст:
«Я недоказуема».
Не удивительно, что эта формула не может быть доказана
внутри рассматриваемой системы, каким бы невинным ни было
теоретико-числовое утверждение, которое выражает ее другой
смысл.
Действительно, если бы она была доказуемой, то это было бы
противоречие с метаматематическим смыслом формулы, который
утверждает, что она не может быть доказана.
Наоборот, если бы эту формулу можно было опровергнуть, то
это опровержение было бы ее метаматематическим утверждением,
так как подтвердилось бы, что она не может быть доказана. Она
была бы, следовательно, доказана своим опровержением.
Эту формулу нельзя ни доказать, ни опровергнуть; она ос-
остается неразрешимой.
Я еще раз обращаю ваше внимание: если мы не вспоминаем
словарь, то это обычная формула системы, простое утверждение
в теории чисел, касающееся сложений и умножений. Гёдель дока-
доказал существование таких неразрешимых формул во всех пригод-
пригодных к употреблению системах аксиом. Не исключено, что, напри-
например, гипотеза Гольдбаха принадлежит к ним; может случиться,
что проблема Гольдбаха не была решена до сегодняшнего дня,
потому что если образовать формальную систему аксиом из
средств, которые использовались при попытках решить эту проб-
проблему, то формальное выражение гипотезы, переведенное согласно
словарю, напевало бы:
«Я недоказуема в этой системе».
То же самое может получиться для всех задач, не решенных до
настоящего времени. Каждый математик должен считаться с та-
такой возможностью.
Следовало бы обдумать еще одно возражение: все это происхо-
происходит лишь из-за недостаточности системы аксиом. Вероятно, проб-
проблемы того типа, которые рассмотрел Гёдель, можно было бы ре-
решить, если не замыкаться в определенную систему аксиом. Од-
Однако Чёрч *> поставил такую задачу, которая не может быть раз-
разрешена ни одним из мыслимых в настоящее время математиче-
математических рассуждений, независимо от того, можно ли втиснуть наши
выводы в рамки некоторой системы аксиом или нет.
*> А л о н з о Чёрч (Church) — один из крупных современных спе-
специалистов в области математической логики, профессор Приистоиского уни-
университета (США).— Прим. ред.

268 ///. Самокритика чистого разума
Здесь я должна закончить книгу, ибо мы столкнулись с гра-
границами, установленными современным математическим мышле-
мышлением. Эпоха, в которую мы живем,— это эпоха пробуждения соз-
сознания; и в этом отношении математика выполнила свой долг,
она сама обнаружила пределы своих собственных возможностей.
Но разве встречные препятствия окончательны? История ма-
математики нам показывает, что до сих пор она всегда находила
выходы из тупика. Доказательство Чёрча также содержит в себе
один момент, наводящий нас на размышления: он должен был
сформулировать точно, что он понимает под «математическими
рассуждениями, мыслимыми в настоящее время», чтобы приме-
применить к этому понятию математический метод. Однако если что-то
формулируется, то оно этим самым ограничивается, а всякая
ограда слишком тесна. И всплывающие неразрешимые проблемы
выскальзывают за нее.
Конечно, границы при будущем развитии математики удастся
раздвинуть, хотя мы и не видим сегодня, каким образом. Вот что
надо помнить: математика не статическая и ограниченная наука,
а наука живая, все время развивающаяся. Сколько бы ни пыта-
пытались втиснуть ее в замкнутые неизменные формы, она находит
брешь и живой вырывается на свободу.

УКАЗАНИЕ К ЧТЕНИЮ КНИГИ
Читатель, который желает вернуться, например, к
интегралу, найдет в оглавлении лишь заглавие: «Если малыши объединятся,
то сдвинут гору». Поэтому я указываю в конце, по главам, какие там можно
найти математические понятия. (Прошу не пугаться того, кто просматривает
это раньше, чем прочитал книгу.)
Часть первая
1. Сложение. Умножение, возведение в степень.
2. Объем куба. Графическое изображение функций.
3. Системы счисления. Признаки делимости.
4. Арифметическая прогрессия. Площадь прямоугольника и треугольника.
5. Диагонали выпуклых многоугольников. Сочетания по 2 элемента. Формула
Добавление: Топология. Равенство и подобие. Правильные тела.
6. Комбинаторный анализ. Полная индукция. Квадрат суммы двух чисел.
7. Разложение на простые множители. Распределение простых чисел. Теорема
о простых числах.
8. Уравнения. Неразрешимость уравнения пятой степени. Теория Галуа.
Часть вторая
9. Отрицательные числа. Векторы. Принцип перманентности.
10. Действия с дробями. Среднее арифметическое. Всюду плотное множество.
Мощность множества-рациональных чисел.
11. Преобразование дробей в десятичную форму и обратно. Бесконечные по-
последовательности.
12. Иррациональное число. Теорема Пифагора. Мощность множества дейст-
действительных чисел. ,
13. Таблица логарифмов. Обобщение понятия степени. Гладкие кривые.
Гипербола. Нуль как делитель.
14. Общее понятие функции. Аналитическая геометрия.
Добавление: а) Тригонометрические функции. Приближение периодиче-
периодической функции,
б) Проективная геометрия. Инварианты.
15. Бесконечно удаленная прямая. Комплексные числа. Соотношение между
тригонометрическими функциями и показательной функцией. Основная
теорема алгебры. Разложение функции в степенной ряд.
16. Направление касательной. Производная. Максимум и минимум.
17. Неопределенный и определенный интегралы. Вычисление площадей.

270 Указание к чтению книги
Часть третья
18. Квадратура круга. Система аксиом Евклида. Гиперболическая геометрия.
Различные геометрии. Добавление: Четвертое измерение.
19. Теория групп. Теория множеств. Противоречия. Интуиционизм.
20. Символическая логика.
21. Теория доказательства. Метаматематика. Доказательство непротиворе-
непротиворечивости арифметики. Гипотеза континуума. Добавление: Аксиоматизация
анализа.
22. Нерешенные проблемы и задачи, неразрешаемые с помощью заданных
средств. Вопрос о так называемых неразрешимых проблемах.

СОДЕРЖА Н-ИЕ
От редактора русского перевода . . . . 5
Предисловие к изданию 1957 года 7
Предисловие к изданию 1943 года 8
Введение 11
Часть первая. Учении чародея
1. Игра с пальцами 15
2. Температурные кривые действий 19
3. Разбиение ряда натуральных чисел. . 27
4. Ученик чародея 33
5. Вариации на данную тему , 41
Дополнение о геометрии без измерения 46
6. Испытание всех возможностей 54
7. Расцвечивание однообразного натурального ряда чисел 66
8. «Я задумал число» 75
Часть вторая. Соаидательная форма
9. Числа, разбегающиеся по разным направлениям 85
10. Безграничная плотность 95
1.1. Опять ловим бесконечность : 106
12. Числовая ось заполняется 118
13. Температурные кривые сглаживаются . 131
14. Существует лишь одна математика 144
Дополнение о волнах и о тенях 157
15. Элементы «Киже». . .• 164
16. Секреты производства 180
17. Если малыши объединятся, то сдвинут гору 198
Часть третья. Самонритика чистого разума
18. И все же существует многообразие математических миров .... 215
Дополнение о четвертом измерении 227
19. Здание заколебалось 229
20. Форма отделяется 237
21. Перед судом сверхматематики 247
Дополнение об интуиции бесконечного 255
22. Что математика не в состоянии решить 257
Указания н чтению книги 269

Роза Петер
ИГРА С БЕСКОНЕЧНОСТЬЮ
Редактор И. С. Комиссарова
Художественный редактор В. С. Эрденко
Технический редактор Т., Н. Зыкина
Корректоры Р. Б. Штутман и
М. В. Голцбева
Сдано в набор 3/V1 19 67 г. Подписано к
печати 13/Х 1967 г. 60x90Vi«- Типограф-
Типографская № 2. Печ. л. 17. Уч.-изд. л. 14,12.
Тираж 40000 экз. (Тем. пл. 1967 г. №168).
Издательстзо «Просзещение» Комитета по
печати при Созете Министроз РСФСР.
Москза, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Ордена Трудозого Красного Знамени Перзая
Образцозая типография имени А. А. Жданоза
Глазполиграфпрома Комитета по печати при
Созете Министроз СССР. Москза, Ж-54,
Валозая, 28. Заказ № 1753.
Цена без переплета 66 к., переплет 18 к.