/
Author: Алексеев В.Б.
Tags: алгебра математика математический анализ задачи по математике
Year: 1976
Text
В. Б. АЛЕКСЕЕВ
ТЕОРЕМА АВЕЛЯ
в задачах
и решениях
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1976
517.1
A47
УДК 512.8
Оглавление
Теорема Абеля в задачах и решениях. Алек-
Алексеев В. Б. Главная редакция физико-математи-
физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1976,
208 стр.
Из этой книги читатель узнает, как решать
алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним
неизвестным и почему для решения уравнений более
высокой степени не существует общих формул
(в радикалах). При этом он познакомится с двумя
очень важными разделами современной математи-
математики — теорией групп и теорией функций комплек-
комплексного переменного. Одна из основных целей данной
книги — дать возможность читателю попробовать
свои силы в математике. Для этого почти весь изла-
излагаемый материал представлен в виде определений,
примеров и большого числа задач, снабженных
указаниями и решениями.
Книга рассчитана на широкий круг читателей,
интересующихся серьезной математикой (начиная
со школьников старших классов), и не предполага-
предполагает у читателя каких-либо специальных предвари-
предварительных знаний. Книга может служить также посо-
пособием для работы математического кружка.
Табл. 14, илл. 115.
20203—131 ?8
А 053@2)-7б
Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1976
Предисловие 5
Введение 7
Глава I. Группы 14
§ 1. Примеры 14
§ 2. Группы преобразований 18
§ 3. Группы 20
§ 4. Циклические группы 24
§ 5. Изоморфизм 26
§ 6. Подгруппы 28
§ 7. Прямое произведение 30
§ 8. Смежные классы. Теорема Лагранжа ... 31
§ 9. Внутренние автоморфизмы 33
§ 10. Нормальные подгруппы 35
§ 11. Факторгруппы 38
§ 12. Коммутант 38
§ 13. Гомоморфизм 40
§ 14. Разрешимые группы 44
§ 15. Подстановки 47
Глава II. Комплексные числа 52
§ 1. Поля и многочлены 53
§ 2. Поле комплексных чисел 59
§ 3. Единственность поля комплексных чисел . 63
§ 4. Геометрические представления комплексных
чисел 66
§ 5. Тригонометрическая форма комплексных чпсел 68
§ 6. Непрерывность 71
§ 7. Непрерывные кривые . . . 75
§ 8. Отображение кривых. Основная теорема ал-
алгебры комплексных чисел 80
§ 9. Риманова поверхность функции ш = Y~z . . 84
§ 10. Рпмановы поверхности более сложных функ-
функций 95
§ 11. Функции, выражающиеся в радикалах . . . 103
§ 12. Группы Галуа многозначных функций . . . 110
§ 13. Группы Галуа функций, выражающихся в ра-
радикалах 112
§ 14. Теорема Абеля 114
Указания, решения, ответы 120
Предметный указатель 206
Предисловие
В курсе средней школы подробно изучаются алгеб-
алгебраические уравнения с одним неизвестным 1-й степени
(линейные) и 2-й степени (квадратные). При этом ока-
оказывается, что для решения таких уравнений сущест-
существуют общие формулы, выражающие корни уравнения
через его коэффициенты с помощью арифметических
операций и радикалов. А существуют ли подобные фор-
формулы для решения алгебраических уравнений более
высоких степеней, знают очень немногие. Оказывает-
Оказывается, что для уравнений 3-й и 4-й степени такие формулы
тоже существуют. Методы решения этих уравнений мы
рассмотрим во «Введении». Если же рассмотреть об-
общее алгебраическое уравнение с одним неизвестным
степени выше 4-й, то оказывается, что оно не разрешимо
в радикалах, т. е. не существует формулы, выражающей
корни такого уравнения через коэффициенты с по-
помощью арифметических операций и радикалов. Это и
есть теорема Абеля.
Одна из целей данной книги — познакомить чита-
читателя с доказательством теоремы Абеля. Мы не будем
здесь подробно рассматривать результаты, получен-
полученные несколько позже французским математиком Эва-
ристом Галуа, который рассмотрел не общие, а конк-
конкретные алгебраические уравнения с фиксированными
числовыми коэффициентами, и для таких уравнений
нашел условие, при котором корни уравнения можно
выразить через коэффициенты с помощью арифмети-
арифметических операций и радикалов. Тем, кто захочет ближе
познакомиться с результатами Галуа, можно рекомен-
рекомендовать книгу Постникова М. М. «Теория Галуа»*).
1963.
*) Постников М. М., Теория Галуа, Физматгиз,
Из общих результатов Галуа можно, в частности,
получить и теорему Абеля. Однако в этой книге мы пой-
пойдем по другому пути, который позволит читателю по-
познакомиться с двумя очень важными разделами совре-
современной математики — теорией групп и теорией функ-
функций комплексного переменного. Читатель узнает, что
такое (в математике) группа, поле и какими свойства-
свойствами они обладают. Узнает, что такое комплексные чис-
числа и почему именно так, а не иначе они определяются.
Узнает, что такое римаыова поверхность и в чем состоит
«основная теорема алгебры комплексных чисел».
Автор будет сопровождать члтателя на этом пути,
но даст ему широкую возможность испытать свои соб-
собственные силы. Для этого читателю будет предложено
большое число задач. Задачи расположены непосредст-
непосредственно в основном тексте книги и являются фактиче-
фактически составной частью основного текста. Задачи имеют
сплошную нумерацию, которая выделена полужир-
полужирным шрифтом. Если какие-то задачи окажутся чита-
читателю не под силу, то ему на помощь придут «Указания,
решения и ответы».
Книга содержит много понятий, возможно новых
для читателя. Чтобы читатель мог легче в них ориенти-
ориентироваться, в конце книги приведен алфавитный список
понятий с указанием страниц, на которых эти понятия
определяются.
Книга написана на основе лекций, прочитанных в
разные годы профессором Московского университета
Владимиром Игоревичем Арнольдом и автором в Мо-
Московской физико-математической школе-интернате № 18
при МГУ. Автор благодарен В. И. Арнольду, выска-
высказавшему ряд ценных замечаний при подготовке руко-
рукописи этой книги. Я благодарю также Александра Ва-
Васильевича Михалева, взявшего на себя большой труд
редактирования этой книги и во многом способство-
способствовавшего ее улучшению.
В. Б. Алексеев
Введение
Мы начнем эту книгу с рассмотрения вопроса о том,
как решаются алгебраические уравнения с одним не-
неизвестным от 1-й до 4-й степени. Методы решения ал-
алгебраических уравнений 1-й и 2-й степени были известны
еще математикам древнего мира, методы решения ал-
алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени были разра-
разработаны лишь в XVI веке.
Общим алгебраическим уравнением с одним неизвест-
неизвестным степени п называется уравнение вида
в котором а0 =f= О*).
При п = 1 получаем линейное уравнение
аох + ах = 0, а0ф0.
Это уравнение имеет, очевидно, единственное решение
при любых значениях коэффициентов.
При п = 2 получаем квадратное уравнение
ах2 + Ъх + с = 0, а
(вместо а0, аг, а2 мы пишем здесь а, Ъ, с, как принято
в школе). Разделив обе части этого уравнения на а
Ъ с
и положив р = —, q =—, получим приведенное квад-
ратное уравнение
A)
х2 + рх -f- q = 0.
*) Коэффициенты а0, аг, ..., ап можно сока считать произ-
произвольными действительными числами.
Из общих результатов Галуа можно, в частности,
получить и теорему Абеля. Однако в этой книге мы пой-
пойдем по другому пути, который позволит читателю по-
познакомиться с двумя очень важными разделами совре-
современной математики — теорией групп и теорией функ-
функций комплексного переменного. Читатель узнает, что
такое (в математике) группа, поле и какими свойства-
свойствами они обладают. Узнает, что такое комплексные чис-
числа и почему именно так, а не иначе они определяются.
Узнает, что такое риманова поверхность и в чем состоит
«основная теорема алгебры комплексных чисел».
Автор будет сопровождать читателя на этом пути,
но даст ему широкую возможность испытать свои соб-
собственные силы. Для этого читателю будет предложено
большое число задач. Задачи расположены непосредст-
непосредственно в основном тексте книги и являются фактиче-
фактически составной частью основного текста. Задачи имеют
сплошную нумерацию, которая выделена полужир-
полужирным шрифтом. Если какие-то задачи окажутся чита-
читателю не под силу, то ему на помощь придут «Указания,
решения и ответы».
Книга содержит много понятий, возможно новых
для читателя. Чтобы читатель мог легче в них ориенти-
ориентироваться, в конце книги приведен алфавитный список
понятий с указанием страниц, на которых эти понятия
определяются.
Книга написана на основе лекций, прочитанных в
разные годы профессором Московского университета
Владимиром Игоревичем Арнольдом и автором в Мо-
Московской физико-математической школе-интернате № 18
при МГУ. Автор благодарен В. И. Арнольду, выска-
высказавшему ряд ценных замечаний при подготовке руко-
рукописи этой книги. Я благодарю также Александра Ва-
Васильевича Михалева, взявшего на себя большой труд
редактирования этой книги и во многом способство-
способствовавшего ее улучшению.
В. Б. Алексеев
Введение
Мы начнем эту книгу с рассмотрения вопроса о том,
как решаются алгебраические уравнения с одним не-
неизвестным от 1-й до 4-й степени. Методы решения ал-
алгебраических уравнений 1-й и 2-й степени были известны
еще математикам древнего мира, методы решения ал-
алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени были разра-
разработаны лишь в XVI веке.
Общим алгебраическим уравнением с одним неизвест-
неизвестным степени п называется уравнение вида
О*).
в котором а0 =^
При п — 1
получаем линейное уравнение
аох -f- ах = 0, ао=^=О.
Это уравнение имеет, очевидно, единственное решение
ах
х =
а0
при любых значениях коэффициентов.
При п = 2 получаем квадратное уравнение
2 + Ъх + с = 0,
ах2
(вместо а0, аг, а2 мы пишем здесь а, Ь, с, как принято
в школе). Разделив обе части этого уравнения на а
Ь с
и положив р = —, q =—, получим приведенное квад-
квадратное уравнение
х2
+ рх + q = 0.
*) Коэффициенты а0, аг, ..., ап можно сока считать произ-
произвольными действительными числами.
После преобразований получаем
л 2 г,2
х2
рх
X
=\ - д.
B)
В курсе средней школы далее рассматривается толь-
только случай -~г д^О. Если же -^--—g<ZO, то говорят,
что равенство B) не может иметь место и уравнение A)
не имеет действительных корней. Чтобы не возникало
таких исключений, нам удобнее будет рассматривать
в дальнейшем алгебраические уравнения не в области
действительных чисел, а в более широкой области
комплексных чисел.
Подробно (вместе с определением) мы будем рас-
рассматривать комплексные числа в главе II. Пока чита-
читателю достаточно знать или принять на веру следую-
следующие утверждения о комплексных числах:
1) множество комплексных чисел является расши-
расширением множества действительных чисел, т. е. дейст-
действительные числа содержатся среди комплексных чи-
чисел, так же как, например, целые числа содержатся
среди действительных;
2) комплексные числа можно складывать, вычитать,
умножать, делить, возводить в натуральную степень,
причем все эти операции обладают всеми основными
свойствами соответствующих операций для действи-
действительных чисел;
3) если z — комплексное число, не равное нулю,
и п — натуральное число, то существует ровно п
корней п-й степени из г, т. е. п комплексных чисел
w таких, что wn= z. При z = 0 имеем у' О = 0.
Если и?х и w2 — корни 2-й степени из числа z, то
JV% = Wx.
Ниже мы не только будем интересоваться как дей-
действительными, так и комплексными корнями уравнений,
ко и в качестве коэффициентов этих уравнений будем
рассматривать произвольные комплексные числа.
При этом приведенные выше рассуждения о линей-
линейных и квадратных зфавнениях останутся в силе, что
вытекает из указанного выше свойства 2) комплексных
чисел.
Продолжим рассмотрение квадратного уравнения.
В области комплексных чисел равенство B) при
8
любых значениях р и q равносильно равенству
где- под у -^-7 д понимается какое-нибудь одно олре-
деленное значение корня второй степени.
Таким образом,
Переходя к а, Ь, с, получим
—ь -
2 — 4ас
C)
D)
Для дальнейшего нам понадобятся два факта, от-
относящиеся к уравнениям 2-й степени:
1)теорема В и е т а *): комплексные числа хх
и х2 в том и только в том случае являются корнями урав-
уравнения х21 + рх -Ь q = 0, если хх + х2 — — р, хх-х2 = #.
Действительно, если хх и х2 —корни уравнения
з?'-\- рх + 5 = 0, то выполняется равенство C). Отсю-
Отсюда хх -\- х2 = —р, хх-х2 = q. Обратно, если
хх + х2=—р, xx-x.2 = q, то, заменяя ридв уравнении
х2 + рх + д = 0 их выражениями через хх и х2, по-
получим х2 —(хх + х2)х + ххх2 = (х —хх)(х —х2) = 0,
и, следовательно, хх и х2 являются корнями уравнения
Ьх + с является пол-
полх2 + рх + q = 0;
2) квадратный трехчлен ах2
ным квадратом (т. е.
ах" + Ьх -+- с = [Уа (х — х0)] 2
для некоторого комплексного числа х0) тогда и только
тогда, когда корни уравнения ах% -f- Ьх + с = 0 сов-
совпадают (оба они должны равняться х0). Это имеет ме-
место в том и только в том случае (см. формулу D)), ког-
когда Ь'1 — Аас = 0. Выражение Ь2 — 4ас называется ди-
дискриминантом квадратного трехчлена.
Рассмотрим теперь приведенное уравнение 3-й сте-
степени
х3 + ах2 + Ьх + с =0. E)
*) Франсуа Виет A540 —1603) — французский математик.
(Общее уравнение 3-й степени сводится к приведенно-
приведенному делением на а0.) Сделаем замену х = у + d, где d
мы выберем позднее. Получим
(у + dK + а(у + dJ 4- Цу + d) 4 с = 0.
Раскрыв все скобки и приведя подобные относительно
у члены, получим уравнение
у3 + Cd 4- а)у2 + Cd2 + 2ad + Ъ)у+
4- (d3 4- ad2 4- bd 4- с) = 0.
Коэффициент при у2 в этом уравнении равен 3d 4- а.
Поэтому если мы возьмем d = §-, то после замены
х = у g- мы приведем уравнение к виду
У3 + РУ + q = 0,
F)
где р ж д — некоторые многочлены от а, Ъ, с.
Пусть yQ — корень уравнения F). Представив его
в виде 1/0 = а 4- Р (где аир пока неизвестны), получим
а3 + Зсф(а 4- Р) 4- Р3 + р(а + Р) 4- ? = 0
а3 4- Р3 4- (а + Р)Cар 4- р) + д = 0. G)
Посмотрим, можно ли на аир наложить дополни-
дополнительное условие
¦*--'¦!•
В этом случае получим для аир два уравнения
( а + Р = у0,
{ «Р " -*¦
По теореме Виета для любого у0 такие а и Р действи-
действительно существуют (возможно, комплексные) и являют-
являются корнями уравнения
w^-zjow-^ =0.
Еели мы возьмем такие аир (пока еще неизвестные
10
нам), то уравнение G) приведется к виду
а3 4- Р3 + Я = 0.
(8)
Возводя обе части уравнения аР = — в 3-ю степень
и объединяя полученное уравнение с (8), будем иметь
откуда по теореме Виета а3 и рз являются корнями
уравнения
ю2 4 gw — —¦ = 0.
Таким образом,
где опять под Т/ -il 4 -?— понимается одно определен-
V 4 27
ное значение корня 2-й степени. Отсюда корни урав-
уравнения F) выражаются формулой
_
.2.3 —
27
2
^2 4- р3
4 "•" 27 '
причем для каждого из трех значений первого корня
3-й степени *) нужно брать соответствующее значение
второго так, чтобы выполнялось условие ар = ^-.
Полученная формула носит название формулы Кар-
дано **). Подставив в нее вместо р и g их выражения
через а, 6, си вычитая -|, получим формулу для корней
уравнения E). Делая затем замену: а =—, Ь — —-,
*) См. указанное выше свойство 3) комплексных чисел.
**) Дж. Кардано (.1501 —1576) — итальянский математик.
11
c = -^-, получим формулу для корней общего
уравнений 3-й степени.
Рассмотрим теперь приведенное уравнение 4-й сте-
степени
ж4 + ах3 + Ъх2 -f ex + d = 0.
(9)
(Общее уравнение сводится к приведенному делением
на а0.) Сделав замену переменной х — у j, подоб-
подобную замене, сделанной в случае уравнения 3-й степе-
степени, приведем уравнение (9) к виду
У4 4- РУ2 + qy + г = 0,
(Ю)
где р, q ж г —некоторые многочлены от а, Ъ, с, d.
Уравнение A0) будем решать методом, который но-
носит название метода Феррари *). Преобразуем левую
часть уравнения A0) следующим образом:
(у2 + f
+ ЧУ + (г
?1
4
= 0
и
(И)
где а. — произвольное число. Постараемся теперь по-
подобрать ее так, чтобы многочлен 2-й степени относи-
относительно у
— qy
. (ар
стоящий в квадратных скобках, стал полным квадра-
квадратом. Как было отмечено выше, для того чтобы он
был полным квадратом, необходимо и достаточно,
чтобы дискриминант этого многочлена равнялся ну-
нулю, т. е.
q2 — 8a [ар + а2 + S, r) =
A2)
*) Л. Феррари A522—1565)
ник Кардано.
12
итальянский математик, уче-
учеРаскрывая скобки, получим для нахождения а уравне-
уравнение 3-й степени, которое мы умеем решать. Если в ка-
качестве а взять один из корней уравнения A2), то выра-
выражение, стоящее в квадратных скобках в A1), будет
полным квадратом. В этом случае левая часть урав-
уравнения A1) является разностью квадратов и поэтому
может быть разложена в произведение двух много-
многочленов 2-й степени относительно у. После этого остает-
остается решить два получившихся уравнения 2-й степени.
Таким образом, уравнение 4-й степени всегда может
быть решено и, более того, можно, аналогично случаю
3-й степени, получить формулу, выражающую корни
общего уравнения 4-й степени через коэффициенты
уравнения с помощью операций сложения, вычитания,
умножения, деления, возведения в натуральную сте-
степень и извлечения корней натуральной степени.
Долгое время математики пытались найти метод ре-
решения в радикалах общего уравнения 5-й степени.
Однако в 1824 г. норвежский математик Нильс Генрик
Абель A802 — 1829) доказал следующую теорему.
Теорема Абеля. Общее алгебраическое урав-
уравнение с одним неизвестным степени выше 4-й неразре-
неразрешимо в радикалах, т. е. не существует формулы, вы-
выражающей корни общего уравнения степени выше 4-й
через коэффициенты с помощью операций сложения,
вычитания, умножения, деления, возведения в натураль-
натуральную степень и извлечения корней натуральной степени.
Мы сможем доказать эту теорему в конце книги.
Однако для этого нам потребуются такие математи-
математические понятия, как группа, разрешимая группа, функ-
функция комплексного переменного, риманова поверхность
и т. д. Со всеми этими и другими математическими
понятиями мы и познакомим читателя в дальней-
дальнейшем на страницах этой книги. Начнем мы с рассмотре-
рассмотрения очень важного в математике понятия группы.
Глава I
Группы
Исследование алгебраических уравнений в начале
XIX века привело математиков к необходимости выделе-
выделения особого математического понятия — понятия груп-
группы. Новое понятие оказалось настолько плодотворным,
что не только проникло почти во все разделы современ-
современной математики, но и стало играть важную роль в не-
некоторых разделах других наук, например в квантовой
механике и в кристаллографии. Исследования, свя-
связанные с понятием группы, выросли в отдельную ветвь
современной математики — теорию групп. Что же пред-
представляет собой понятие группы в математике? Чтобы
ответить на этот вопрос, начнем с рассмотрения неко-
некоторых примеров.
§ 1. Примеры
Уже в арифметике мы сталкиваемся с операциями,
которые двум данным числам ставят в соответствие
третье число. Так операция сложения паре чисел C, 5)
ставит в соответствие число 8, а паре B, 2) число 4.
Операция вычитания, если ее рассматривать на мно-
множестве всех целых чисел, также ставит в соответствие
каждой паре целых чисел определенное целое число.
При этом здесь надо указать не только пару чисел,
но и порядок этих чисел. Так, паре E, 3) вычитание
ставит в соответствие число 2, а паре C, 5) число — 2.
Таким образом, пары E, 3) и C, 5) должны рассматри-
рассматриваться как различные.
Пары, в которых задан порядок элементов, мы бу-
будем называть упорядоченными парами.
Определение. Пусть М — некоторое мно-
множество элементов произвольной природы. Если каж-
44
дой упорядоченной паре элементов из М поставлен в
соответствие определенный элемент также из М, то го-
говорят, что на М задана бинарная операция.
Бинарными операциями являются, например, сло-
сложение на множестве натуральных или на множестве
целых чисел, вычитание на множестве целых чисел,
Вычитание на множестве натуральных чисел бинарной
операцией не является, так как, например, упорядо-
упорядоченной паре C, 5) вычитание не ставит в соответствие
никакого натурального числа.
1. На множестве: 1) всех четных натуральных чисел,
2) всех нечетных натуральных чисел, 3) всех отрица-
отрицательных целых чисел рассмотрите операции: а) сло-
сложения, б) вычитания, в) умножения. В каких случаях
получится бинарная операция? *)
Рассмотрим еще несколько примеров бинарных опе-
операций. К этим примерам мы будем часто обращаться
в дальнейшем.
Пример 1. Пусть А, В и С —вершины равно-
равностороннего треугольника ABC (рис. 1). Повернем тре-
треугольник вокруг его центра О на
120° в направлении, указанном стрел-
стрелкой. Тогда вершина А перейдет в
вершину В, В в С и. С в А. Таким
образом, треугольник совместится со
своим первоначальным положением
(если не учитывать названия вер- -,
шин), т. е. поворот на 120° вокруг
точки О является преобразованием,
переводящим данный треугольник
в себя. Обозначим это преобразо-
преобразование через а. Его можно записать
(ABC
Рис. 1.
в виде а ==
в верхней строчке перечислены все
вершины треугольника, а нижняя строчка показы-
показывает, куда каждая из них переходит. Поворот на 240°
*) Часть предлагаемых в дальнейшем задач носит практи-
практический характер и служит для лучшего уяснения на примерах
новых понятий. Другие задачи являются теоретическими, и
результаты их используются в дальнейшем. Поэтому если чита-
читателю не удается решить какую-либо задачу, то ему необхо-
необходимо ознакомиться с ее решением по «Указаниям, решениям
и ответам».
15
Таблица 1
в том же направлении вокруг точки О также является
преобразованием, переводящим треугольник в себя.
Обозначим это преобразование через Ъ, тогда Ъ —
А В С\ тт
.Имеется еще одно вращение, переводящее
V А В)
треугольник в себя, отличное от а и Ъ, — это поворот
на 0°. Обозначим это преобразование через е, тогда
/ А В С\ „ о
е = . Легко видеть, что существует только о
\А В СI
различных вращения плоскости *), переводящих рав-
равносторонний треугольник ABC в себя, а именно е,
аж Ъ.
Пусть gx и g2 — произвольные преобразования тре-
треугольника. Тогда под gx-gz (или просто g-^g^) мы будем
понимать преобразование g3,
которое получится, если снача-
сначала выполнить преобразование
g% и затем преобразование gx; g3
мы будем называть произведе-
произведением или композицией преоб-
преобразований g2 и gx.
Можно составить таблицу
умножения (табл. 1), где каж-
каждая строка, а также каждый столбец соответствует
некоторому вращению, переводящему треугольник
ABC в себя. На пересечении строки, соответствую-
соответствующей преобразованию glt и столбца, соответствующего
преобразованию g.2, мы будем ставить преобразова-
преобразование, равное gx-ёг- Так, например, в выделенную клет-
клетку табл. 1 мы должны поставить преобразование а -Ь,
которое получится, если сначала повернуть треуголь-
треугольник на 240°, а затем еще на 120°. Следовательно, а-Ъ —
поворот на 360°, т. е. совпадает с е. Тот же результат
мы получим, если будем рассуждать следующим об-
образом: преобразование Ъ переводит вершину А в С,
а преобразование а переводит затем вершину С в А.
Таким образом, преобразование а- Ъ переведет верши-
вершину А в А. Точно так же можно получить, что вершина В
е
а
Ъ
е
а.
Ъ
е
*) Имеются в виду вращения плоскости без выхода в про-
пространство, т. е. вращения только вокруг некоторых осей, пер-
перпендикулярных к плоскости.
16
переходит в В,а С переходит в С. Отсюда аЬ = |
\А В С
т. е. аЪ = е.
2. Заполнить полностью таблицу 1.
Любое преобразование некоторой фигуры в себя,
сохраняющее расстояния между всеми ее точками,
называется симметрией данной фигуры. Так, рас-
рассмотренные в примере 1 вращения равностороннего
треугольника являются его симметриями.
Пример 2. Кроме вращений, у равностороннего
треугольника имеется еще 3 симметрии, а именно, от-
отражения относительно осей Za, Z2 и 13 (рис. 2). Эти пре-
преобразования мы обозначим соответственно с, d, f, так что
(АВС\ , (АВС\ (А В С\ _
с =\ ,о= ,/= • одесь мож-
\ACBj \С В А) \BACJ
но по-разному понимать композицию двух преобразо-
преобразований. Рассмотрим, например, компо-
композицию преобразований c-d. Можно
считать, что при выполнении преоб-
преобразования d ось Zx переходит в
новое положение (а именно, в по-
положение старой оси 13), и после
этого преобразование с рассматри-
рассматривать как отражение относительно
нового положения оси 1г (т. е. отно-
относительно старой оси 13). С другой
стороны, можно считать, что оси
не связаны жестко с фигурой и не преобразуются
вместе с ней и, следовательно, в рассматриваемом при-
примере после выполнения преобразования d преобразо-
преобразование с должно выполняться как отражение относитель-
относительно старой оси Zj. Именно так мы и будем рассматривать
в дальнейшем композицию преобразований. При та-
таком подходе оказываются справедливыми рассуждения
о вершинах фигуры, аналогичные рассуждениям, при-
приведенным непосредственно перед задачей 2. Такие рас-
су ждения удобно использовать для вычисления ком-
композиций преобразований.
3. Составить таблицу умножения для всех сим-
симметрии правильного треуголыиша.
Пример 3. Пусть е, а, Ъ и с обозначают соот-
соответственно вращения квадрата на 0°, на 180°,
17
на 90° и на 270° в направлении, указанном стрелкой
(рис. 3).
4. Составить таблицу умножения для вращений
квадрата.
Пример 4. Пусть d, /, g и h обозначают отраже-
отражения квадрата относительно осей, указанных на рис. 4.
"Ч
Рис. 3.
5. Составить таблицу умножения для всех сим-
симметрии квадрата.
Пример 5. Пусть ABCD —ромб, не являющий-
являющийся квадратом.
6. Найти все симметрии данного ромба и составить
для них таблицу умножения.
Пример 6. Пусть ABCD — прямоугольник,
не являющийся квадратом.
7. Найти все симметрии данного прямоугольника и
составить для них таблицу умножения.
§ 2. Группы преобразований
Пусть X и У — два множества элементов произ-
произвольной природы, и пусть каждому элементу х из X
поставлен в соответствие однозначно определенный эле-
элемент у из У. Тогда говорят, что задано некоторое отоб-
отображение ф множества X в множество У (ср: X —>- У).
Элемент у называют образом элемента х, а х — прооб-
прообразом элемента у, и записывают ц>(х) = у.
Определение. Отображение ф: X -> У на-
называют отображением множества X на множество У,
если для каждого элемента у из У существует эле-
элемент хжз X такой, что ц>{х) = у, т. е. у каждого у из Y
есть прообраз в X.
18
8. Пусть отображение ф ставит в соответствие каж-
каждому городу Советского Союза первую букву из его на-
названия на русском языке (например, ф(Москва) = М).
Будет ли ф отображением всех городов Советского
Союза на весь русский алфавит?
Определение. Отображение ф: X -*¦ Y на-
называют взаимно однозначным отображением множест-
множества X на множество Y, если для каждого у из У суще-
существует, и притом единственный, прообраз в X.
9. Рассмотрим следующие отображения множества
всех целых чисел в множество неотрицательных целых
чисел:
а) ф (п) = п
б) ф(и) = \п\;
в) ф(тг) =
Bтг,
если п.
О,
[2\п\ — 1, если /г<0.
Какие из этих отображений являются отображе-
отображениями на, взаимно однозначными отображениями?
Пусть М — произвольное множество. Произволь-
Произвольное взаимно однозначное отображение множества М на
себя, g:M-*~M, мы будем для краткости называть
преобразованием множества М.
Два преобразования g1 и g2 будут считаться равны-
равными, если gxiA) = gv(A) для любого элемента А Из М.
Вместо термина преобразование часто используется тер-
термин подстановка. Мы будем использовать этот термин
лишь в тех случаях, когда преобразование задано на
конечном множестве. Тогда подстановка может быть
записана в виде
"-i-nj
где в верхней строке перечислены все элементы данно-
данного множества, а нижняя строка показывает, куда каж-
каждый их этих элементов переходит.
Так как преобразование — это взаимно однознач-
однозначное отображение, то для каждого преобразования g
существует обратное преобразование g 1, которое оп-
определяется следующим образом: если g(A) = В, то
19
g-\B) = А. Так, в примере 1, а = fA В С\
\В С А)
поэтому
т. е.
, т. е. а = Ь.
\С А В)
19. Найти обратные преобразования ко всем сим-
метриям равностороннего треугольника (примеры 1, 2,
стр. 15—17).
11. Пусть g(x) = 2х —преобразование всех дейст-
действительных чисел. Найти обратное преобразование.
Произведение преобразований gx и g2 определяется
так: (gigo^A) = g^g^A)) (сначала делается преобра-
преобразование g2, затем gi). Если gx и g2 — преобразования
множества М, то g\gi — также преобразование мно-
множества М.
Определение. Пусть некоторое множество
преобразований G обладает следующими свойствами:
1) если преобразования g1 и g2 содержатся в G, то и их
произведение g3 — gxg2 содержится в G; 2) если преоб-
преобразование g содержится в G, то и обратное ему преоб-
преобразование g~i содержится в G. Тогда такое множество
преобразований G будем называть группой преобразо-
преобразований.
Нетрудно проверить, что множества преобразова-
преобразований, рассмотренные в примерах 1 —6, являются груп-
группами преобразований.
12. Доказать, что любая группа преобразований
содержит тождественное преобразование е такое, что
е(А) = А для любого элемента А множества М.
13. Доказать, что eg — ge = g для любого преобра-
преобразования g.
14. Доказать, что для любых трех преобразований
gx, gi и ga имеет место равенство
(gigjga = giigzga) *)•
§ 3. Группы
При решении задач 6 и 7 мы составили таблицы ум-
умножения для симметрии ромба и прямоугольника.
При этом оказалось, что при наших обозначениях сим-
*) Это равенство справедливо не только для преобразова-
преобразований, но и для любых трех отображений g1} g.2, gg таких, что
g3: MМ ММ ММ
20
метрий (см. решения) эти таблицы совпадают. Для мно-
многих целей такие группы преобразований естественно
считать совпадающими. Поэтому мы отвлечемся от
природы элементов множества (в нашем случае преоб-
преобразований) и природы бинарной операции *) (в нашем
случае композиции преобразований) и будем рассмат-
рассматривать просто бинарные операции на произвольных
множествах, но только такие операции, для которых
выполняются основные свойства групп преобразований.
При этом произвольную бинарную операцию мы будем
обычно называть умножением, и если паре (а, Ъ) соот-
соответствует с, то будем с называть произведением а и Ъ
и писать аЪ = с. В некоторых частных случаях эта
операция может называться по-иному, например, ком-
композицией, сложением и т. д.
Определение. Группой называется множест-
множество G элементов произвольной природы, на котором за-
задана бинарная операция а-Ъ такая, что выполняются
следующие условия:
1) ассоциативность: {ab)c = а(Ьс) для любых эле-
элементов а, Ь, с из G;
2) в G существует такой элемент е, что еа = ае = а
для любого элемента а из G, такой элемент ё называет-
называется единицей группы G;
3) для любого элемента а из G существует такой
элемент а в G, что аа~1 = а~га = е, такой элемент
называется обратным к элементу а.
Из результатов задач 12 — 14 мы видим, что вся-
всякая группа преобразований является группой (в неко-
некотором смысле верно и обратное утверждение (см. 55)).
Таким образом, мы уже имеем несколько примеров
групп. Все эти группы содержат конечное число эле-
элементов, такие группы называются конечными группами.
Число элементов в конзчной группе называется по-
порядком группы. Группы, содержащие бесконечное чис-
число элементов, называются бесконечными группами.
Рассмотрим несколько пример.ов бесконечных групп.
Пример 7. Рассмотрим множество всех целых
чисел. Под бинарной операцией на этом множестве бу-
будем понимать обычное сложение. Тогда мы получим
группу. Действительно, роль единичного элемента в
*) Определение бинарной операции см. на стр. 14.
21
этом случае будет играть О, так как 0 + и = ге + О= п
для любого целого п. Кроме того, для каждого п су-
существует обратный элемент — п (называемый в случае
сложения противоположным элементом), так как п -\~
+ (— п) — ( — п) + п = О. Ассоциативность в этом
случае следует из законов арифметики. Полученная
группа называется группой целых чисел по сложению.
15. Образуют ли группу по умножению: 1) все дей-
действительные числа, 2) все действительные числа без О?
16. Образуют ли группу по умножению все положи-
положительные действительные числа?
17. Образуют ли все натуральные числа группу:
а) но сложению, б) по умножению?
18. Доказать, что в любой группе существует един-
единственный единичный элемент.
19. Доказать, что для любого элемента а группы су-
существует единственный обратный элемент а~1.
20. Доказать, что: 1) е—1 — е, 2) (а—1)—1 = а.
Если а и Ъ — элементы некоторой группы, то по
определению бинарной операции выражение а- Ъ за-
задает некоторый определенный элемент группы. Поэто-
Поэтому выражения вида (a-b)-c, a-(b-c), (a-b) -(c-d) также
задают некоторые определенные элементы группы.
Любые два из полученных элементов можно снова пере-
перемножить, получив опять определенный элемент груп-
группы, и т. д. При этом чтобы на каждом шаге можно
было однозначно восстановить, какая же операция вы-
выполнялась последней, будем оба перемножаемых
выражения заключать в скобки (выражения, состоящие
из одной буквы, можно в скобки не заключать). Все-
Всевозможные выражения, которые можно построить та-
таким способом, назовем правильно построенными про-
произведениями.' Например, (а-Ь)-(с-(а-с)) —правильно
построенпое произведение, а выражение (a- b)-c-(c-d)
не является правильно построенным произведением,
так как не ясно, в каком порядке должны выполняться
операции умножения. Рассматривая произведение
а1-а2-. . '-an нескольких действительных чисел ах,
а2, . . ., ап, мы совсем не ставим скобок, так как ока-
оказывается, что результат не зависит от порядка выпол-
выполнения операций, т. е. при любой расстановке скобок,
дающей правильно построенное произведение, резуль-
результат, соответствующий этому произведению, будет од-
22
ним и тем же. Оказывается, что это свойство выпол-
выполняется в любой группе, что вытекает из результата
следующей задачи.
21. Пусть бинарная операция а»Ъ обладает свойст-
свойством ассоциативности, т. е. (а> b)~c = a-(b-c) для лю-
любых элементов а, Ь, с. Доказать, что любое правильно
построенное произведение, в котором слева направо
идут элементы а1; а2. • • •> ап> задает тот же элемент,
что и произведение
(. . . ((аг ¦ а2) ¦ а3) ¦ . . . • an-i) • ап.
Таким образом, если alt а2, . . ., ап — элементы не-
некоторой группы, то все правильно построенные произ-
произведения, полученпые из элементов alt а2, . . ., ап имен-
именно в этом порядке разными расстановками скобок,
задают один и тот же элемент, который будем обозна-
обозначать ах-а2-. . .-an (уже без указания скобок).
При умножении действительных чисел выполняется
еще одно очень важное свойство, а именно: произве-
произведение ах-а2'. . .'CLn не изменится, если произвольным
образом переставить сомножители. Однако в произ-
произвольной группе это свойство может не выполняться.
Определение. Два элемента а и 5 группы
называются перестановочными или коммутирующими,
если аЪ = Ъа. Если все элементы группы коммутируют
между собой, то такая группа называется коммутатив-
коммутативной или абелевой.
Существуют некоммутативные группы. Такой груп-
группой является, например, группа симметрии треуголь-
треугольника (см. пример 2, где ас = /, са — d и асф. са).
22. Выяснить, являются ли коммутативными сле-
следующие группы (см. 2, 4 —7): 1) группа вращений
треугольника, 2) группа вращений квадрата, 3) группа
симметрии квадрата, 4) группа симметрии ромба,
5) группа симметрии прямоугольника.
23. Доказать, что в произвольной группе:
¦¦ 1) (а6)-1 = 6-1а-1,2)(а1-...-ап)-1 = а •. . .•аГ1.
Замечание. Пиджак надевают после рубаш-
рубашки, а снимают раньше.
Если есть некоторое равенство а = Ъ в произволь-
произвольной группе G (обозначающее, что левая и правая части
задают один и тот же элемент), то из него можно полу-
получить новое равенство, умножив обе части исходного
23
равенства на некоторый элемент с группы G. Однако,
так как произведение в группе может зависеть от по-
порядка сомножителей, то можно только либо обе части
равенства умножить на некоторый элемент справа:
ас—be, либо обе части умножить на некоторый эле-
элемент слева: са = сЪ.
24. Пусть a, b — произвольные элементы некоторой
группы G. Доказать, что каждое из уравнений ах — b
и уа = b имеет, и притом ровно одно, решение в данной
группе.
Условие единственности из задачи 24 можно выра-
выразить еще следующим образом: если abx = ab2 или
Ьга=Ь2а, то Ьх = Ь.2.
25. Пусть а-а — е для любого элзмента а груп-
группы G. Доказать, что группа G коммутативная.
Под ат, где т—произвольное натуральное число и
а— произвольный элемент группы G, мы будем пони-
понимать произведение а-а-. ..-а, где число сомножи-
сомножителей равно т.
26. Доказать, что (ат)—i = (а~1)т, где т —нату-
—натуральное число.
Таким образом, (а™)—1 и (а,—1I71 при т натуральном—
это один и тот же элемент, который мы будем обозна-
обозначать а—т. Кроме того, мы положим а0 = е для любого
элемента а.
27. Доказать, что ат • ап = am+n для любых целых
чисел т и п.
28. Доказать, что (ат)п = атп для любых целых
чисел т и п.
§ 4. Циклические группы
Простейшими и в то же время очень важными груп-
группами являются циклические группы, которые мы сей-
сейчас и рассмотрим.
Определение. Пусть а — элемент некоторой
группы G. Наименьшее натуральное число п такое,
что ап = е, называют порядком элемента а. Если та-
такого п не существует, то говорят, что а—элемент бес-
бесконечного порядка.
29. Найти порядки всех элементов в группах сим-
симметрии правильного треугольника, квадрата и ромба
(см. 3, 5, 6).
24
30. Пусть элемент а имеет порядок п. Доказать,
что: 1) элементы е, а, а2, . . ., an—1 все различны; 2) для
любого целого т элемент ат совпадает с одним из ука-
указанных выше элементов.
Определение. Если элемент а имеет поря-
порядок п и кроме элементов е, а, а2, . . ., а"-—1 в груп-
группе G больше нет элементов, то группа G называется
циклической группой порядка п, порожденной элементом
а, а элемент а называется образующим этой группы.
Пример 8. Пусть на плоскости дан правильный
гс-угольник. Рассмотрим все вращения плоскости (без
переворачивания), переводящие правильный п-уголь-
ник в себя.
31. Доказать, что эти вращения образуют цикли-
циклическую группу порядка п.
32. Найти все образующие элементы в группах
вращений треугольника и квадрата (примеры 1 и 3,
стр. 15 и 17).
33. Пусть элемент а имеет порядок п. Доказать,
что ат = е тогда и только тогда, когда т = nd, где
d —произвольное целое число.
34. Пусть а имеет простой порядок р и т —произ-
—произвольное целое число. Доказать, что либо ат = е, либо
элемент ат имеет порядок р.
35. Пусть наибольший общий делитель натураль-
натуральных чисел тип равен d и а имеет порядок п. Дока-
Доказать, что элемент ат имеет порядок—~.
36. Найти все образующие в группе вращений пра-
правильного 12-угольника.
37. Пусть а — элемент бесконечного порядка. До-
Доказать, что элементы. . . а—2, а—1, а0 = е, а, а2, ... все
различны.
Определение. Если а — элемент бесконеч-
бесконечного порядка и кроме элементов . . .а—2, а—1, е, а, а2,. . .
в группе G больше нет элементов, то G называют бес-
бесконечной циклической группой ж а — ее образующим.
38. Доказать, что группа целых чисел по сложению
(пример 7, стр. 21) является бесконечной циклической
группой. Найти все ее образующие.
Пример 9. Пусть п — натуральное число. Рас-
Рассмотрим всевозможные остатки, которые могут полу-
получаться при делении целых чисел на п, т. е. числа 0,
25
1, 2, . . ., n —1. Зададим на множестве этих остатков
следующую бинарную операцию. Будем складывать
данные остатки как обычно, а за результат принимать
остаток от деления полученного числа на п. Эту опе-
операцию будем называть сложением по модулю п. Так,
но модулю 4 будет
1+2 = 3, а 3 + 3=2.
39. Составить таблицы сложения по модулю: а) 2,
б) 3, в) 4.
40. Доказать, что остатки с операцией сложения по
модулю п образуют группу, причем эта группа цикли-
циклическая порядка п.
Рассмотрим снова произвольную циклическую груп-
группу порядка п: е, а, а2, . . ., а"-—1.
41. Доказать, что ат 'пг = ак, где 0 ^ m < п,
0 <^ г < ге и 0 ^ i < п, тогда и только тогда, когда
по модулю п имеет место равенство т + г = к.
Из результата предыдущей задачи вытекает, что
умножению элементов в произвольной циклической
группе порядка п соответствует некоторым образом
сложение остатков по модулю п. Точно так же умноже-
умножению элементов в бесконечной циклической группе со-
соответствует сложение целых чисел (см. 27). Здесь мы
подошли к важному понятию в теории групп — по-
понятию изоморфизма.
§ 5. Изоморфизм
Определение. Пусть даны две группы Gx
и G2, и пусть имеется взаимно однозначное отображе-
отображение ф элементов группы Gx на элементы группы G2 (см.
§ 2), причем такое, что умножению в Gx соответствует
умножение в G2, т. е. если ср(а) = а', q>(b) = Ъ', ф(с) =
= с' и аЪ = с в группе Gx, то а'Ъ' — с' в группе G2.
Тогда ф называют изоморфизмом группы Gx на груп-
группу G2, а группы, между которыми можно установить
изоморфизм, называют изоморфными. Условие того, что
взаимно однозначное отображение ф является изомор-
изоморфизмом, можно записать еще следующим образом:
ц>(аЬ) = ф(а)-фF) для любых элементов а и Ъ груп-
группы Gx; здесь произведение аЬ берется в группе Gx,
а произведение ф(а)-фF) в группе G%.
26
42. Какие из следующих групп изоморфны: 1) груп-
группа вращений квадрата, 2) группа симметрии ромба,
3) группа симметрии прямоугольника, 4) группа остат-
остатков с операцией сложения по модулю 4?
43. Пусть ф: Gx —*- G2 —изоморфизм. Доказать, что
обратное отображение (р—1: G2 —*- Gx также изоморфизм.
44. Пусть фг: Gx-*-G% и ф2: G2 —*- G3 —изоморфиз-
—изоморфизмы. Доказать, что Ф2Ф1: Gx —>- G3 также изоморфизм.
Из последних двух задач следует, что две группы,
изоморфные третьей группе, изоморфны между собой.
45. Доказать, что любая циклическая группа по-
порядка п изоморфна группе остатков при делении на п
с операцией сложения по модулю п.
46. Доказать, что любая бесконечная циклическая
группа изоморфна группе целых чисел по сложению.
47. Пусть ф: G—*-F —изоморфизм. Доказать, что
ф(<?е) = eF, где eG и eF —единицы групп G и F.
48. Пусть ф: G^F —изоморфизм. Доказать, что
1) = 4>[(ё)]~~1 Для всех элементов g группы G.
49. Пусть ф: G — *¦ F —изоморфизм и ф(#) = h. До-
Доказать, что g и h имеют равные порядки.
Если изучается сама групповая операция, а приро-
природа элементов, из которых составлены группы, не иг-
играет роли, то изоморфные группы можно не различать.
Так, например, мы будем говорить, что существует
лишь одна с точностью до изоморфизма (см. 45) цикли-
циклическая группа порядка п, которую мы будем обозна-
обозначать Zn, js. одна с точностью до изоморфизма (см. 46)
бесконечная 'циклическая группа, которую мы будем
обозначать Z.
Если группа Gx изоморфна группе G2, то мы будем
писать Gx ^ G2.
50. Найти все (с точностью до изоморфизма) груп-
группы, содержащие: а) 2 элемента, б) 3 элемента.
51. Привести пример двух групп с одинаковым чис-
числом элементов и неизоморфных.
52. Доказать, что группа всех действительных чи-
чисел по сложению изоморфна группе положительных
действительных чисел по умножению.
53. Пусть а —произвольный элемент группы G.
Рассмотрим отображение фа множества элементов груп-
группы G в себя, определенное следующим образом: (ра(х) ~
= ах для любого элемента х из G. Доказать, что фа
27
является преобразованием множества элементов груп-
группы G (т. е. взаимно однозначным отображением мно-
множества элементов группы G на себя).
54. Пусть для каждого элемента а группы G построе-
построено преобразование фа (см. предыдущую задачу). До-
Доказать, что множество всех этих преобразований сра об-
образует группу с обычной операцией произведения пре-
преобразований.
55. Доказать, что группа G изоморфна построенной
в предыдущей задаче группе преобразований.
§ 6. Подгруппы
Рассмотрим в группе G некоторое подмножество
элзментов Н. Может оказаться, что Н само является
группой относительно той же бинарной операции, ко-
которая задана на G.
В этом случае Н называют подгруппой группы G.
Так, например, группа вращений правильного п-уголь-
пика является подгруппой группы всех симметрии пра-
правильного и-угольника.
Если а — элемент группы G, то множество всех
элементов вида ат является подгруппой группы G
(эта подгруппа циклическая, мы ее рассмотрели в S 4).
56. Пусть Н — подгруппа группы G. Доказать, что:
а) единичные элементы в G и Н совпадают; б) если а —
элемент подгруппы Н, то элементы, обратные к а в G
и Н, совпадают.
57. Для того чтобы Н было подгруппой группы G
(относительно той же бинарной операции), необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) если а и Ъ содержатся в Н, то элемент аЪ (произве-
(произведение в группе G) содержится в //; 2) е (единичный
элемент группы G) содержится в Н; 3) если а содер-
содержится в Н, то и а—1 (в группе G) содержится в //. До-
Доказать.
Замечание. Из условий 1) и 3) вытекает ус-
условие 2).
58. Найти все подгруппы в группах: 1) симметрии
правильного треугольника, 2) симметрии квадрата.
59. Найти все подгруппы в циклических группах:
a) Z5, б) Za, в) ZXb.
28
60. Доказать, что все подгруппы в Zn имеют вид
" (^ЛА
(^ЛА
е, ad, a2d, . . ., aV / J, где d —делитель геи а —
образующий группы Zn.
61. Доказать, что все подгруппы бесконечной цик-
циклической группы имеют вид {. . ., а—2г, а~г, е, аТ,
а2г, . . .}, где а —образующий, а г —произвольное
натуральное число.
62. Доказать, что в любой бесконечной группе бес-
бесконечно много подгрупп.
63. Доказать, что пересечение любого числа под-
подгрупп *) некоторой группы G также является подгруп-
подгруппой группы G.
Пример 10. Рассмотрим правильный тетраэдр,
вершины которого обозначены буквами А, В, С и D.
Если посмотреть со стороны точки D на треугольник
ABC, то точки А, В, С могут идти по часовой стрелке
или против (рис. 5). Соответственно этому мы будем
различать две ориентации тетраэдра.
. Рис. 5.
64. Сохраняют ли ориентацию тетраэдра следую-
(А В С D\
щие преобразования: а = — вращение на
120° вокруг высоты; Ъ =[ ] —в ращение на 180°
вокруг оси, проходящей через середины ребер AD
*) Пересечение нескольких множеств — это множество всех
тех элементов, которые содержатся одновременно во всех дан-
данных множествах.
29
n/, (А В С D\
и ВС; с = — отражение относительно пло-
\А С BD)
скости, проходящей через ребро AD и середину ребра
ВС; преобразование, порождающее циклическую под-
, (А В С D\
становку вершин d =
\В С D А)
Все симметрии правильного тетраэдра, очевидно,
образуют группу, которая называется группой симмет-
симметрии тетраэдра.
65. Сколько элементов в группе симметрии тет-
тетраэдра?
66. В группе симметрии тетраэдра найти подгруп-
подгруппы, изоморфные: а) группе симметрии треугольника,
0) циклической группе Z4.
67. Доказать, что все симметрии тетраэдра, сохра-
сохраняющие ориентацию, образуют группу. Сколько в ней
элементов?
Группа симметрии тетраэдра, сохраняющих ориен-
ориентацию, называется группой вращений тетраэдра.
68. В группе вращений тетраэдра найти подгруппы,
изоморфные циклическим группам: a) Z2, б) Z3.
§ 7'. Прямое произведение
Из двух групп можно образовать новую группу.
Определение. Прямым произведением двух
групп G и Н (обозначается G X Н) называется мно-
множество всевозможных упорядоченных пар (g, h), где
g — произвольный элемент из G и h — произвольный
элемент из Н, со следующей бинарной операцией:
(ёг,Ю-(ёъ, К) = (gig2,hihs), где произведение g^g2 бе-
берется в группе G, a hxh2 в //.
69. Доказать, что G X Н — группа.
70. Пусть в группе G п элементов, а в группе //
к элементов. Сколько элементов в группе G X Н?
71. Доказать, что группы G X И к Н XG изо-
изоморфны.
72. Найти подгруппы в G X II, изоморфные груп-
группам G и //.
73. Пусть группы G и Н коммутативные. Доказать,
что группа G X Н также коммутативная.
30
74. Пусть Gx —подгруппа группы G и Нх —под-
—подгруппа группы Н. Доказать, что Gx X Нх — подгруп-
подгруппа в G X Н.
75. Пусть G и Н —произвольные группы. Вер-
Верно ли, что любую подгруппу в группе G X Н можно
представить в виде Gx X Нх, где Gx — подгруппа груп-
группы 6г, а Нх—подгруппа группы Н.
76 Доказать, что группа симметрии ромба изо-
изоморфна группе Z2 X Z2.
77. Верны ли равенства: 1) Z2 X23s Ze, 2) Z2 X
X Z4 sss Za?
78. Доказать, что Zm X Zn ^ Zmn тогда и только
тогда, когда числа го и и взаимно просты.
§ 8. Смежные классы. Теорема Лагранжа
С каждой подгруппой # группы G связано следую-
следующее разбиение элементов группы G на подмножества.
Для любого элемента х из G рассмотрим множество
всех элементов вида xh, где h пробегает всевозможные
значзния из подгруппы Н. Полученное множество, обо-
обозначаемое хЫ, называется левым смежным классом по Н,
порожденным элементом х.
79. Найти все левые смежные классы группы сим-
симметрии треугольника по подгруппе: а) вращений тре-
треугольника, б) отражений относительно одной оси {е, с}
(см. примеры 1 и 2, стр. 15—17).
80. Доказать, что каждый элемент группы входит
в некоторый левый смежный класс по подгруппе Н.
81. Пусть элемент у входит в левый смежный класс
по Н, порожденный элементом х. Доказать, что левые
смежные классы по И, порожденные элементами хну,
совпадают.
82. Пусть левые смежные классы по //, порожден-
порожденные элементами х и у, содержат общий элемент. Дока-
Доказать, что эти смежные классы совпадают.
Таким образом, левые смежные классы, порожден-
порожденные любыми двумя элементами, либо не пересекаются,
либо совпадают, и мы получаем разбиение всех эле-
элементов группы G на непересекающиеся классы. Это раз-
разбиение называют левым разложением группы G по под-
подгруппе II.
31
Число элементов в подгруппе называют порядком
подгруппы. Пусть т — порядок подгруппы Н. Если
h±^= h2, то xhx=^= xh2, поэтому каждый левый смеж-
смежный класс содержит также т элементов. Следователь-
Следовательно, если п —порядок группы G и г —число левых
смежных классов в разложении G по Н, то т-г — п,
и нами доказана
Теорема 1 (теорема Лагранжа*)). Порядок под-
подгруппы является делителем порядка группы.
83. Доказать, что порядок любого элемента (см.
стр. 24) является делителем порядка группы.
84. Доказать, что всякая группа простого поряд-
порядка — циклическая и любой элемент в ней, отличный
от е, является образующим.
85. Группа G содержит 31 элемент. Сколько под-
подгрупп может содержать группа G?
86. Доказать, что все группы простого порядка р
изоморфны друг другу.
87. Пусть п делится на т. Построить группу по-
порядка п, содержащую подгруппу, изоморфную дан-
данной группе G порядка т.
88. Пусть п делится на т. Может ли в группе по-
порядка п не быть подгруппы порядка т?
Можно построить также правые смежные классы Нх
и правое разложение группы G по подгруппе //. Если
порядок подгруппы Н равен т, то все правые смеж-
смежные классы также содержат т элементов и число их
равно натуральному числу п/т, где п — порядок группы.
Таким образом, число правых смежных классов сов-
совпадает с числом левых смежных классов.
Замечани е. Для практического построения
разложений конечной группы не надо строить смежные
классы для каждого элемента, так как при этом будут
получаться одинаковые классы, а надо брать элементы,
еще не вошедшие в построенные уже смежные классы.
Так как еН = Не = Н, то сама подгруппа всегда об-
образует как правый, так и левый смежный класс.
89. Построить левое и правое разложенце группы
симметрии треугольника по подгруппе: а) вращений
{е, а, Ь}, б) отражений относительно одной оси {е, с}.
*) Лагранж Жозеф Луп A736 —1813) — французский ма-
математик и механик.
32
90. Построить левое и правое разложение группы
симметрии квадрата по подгруппе: а) отражений от-
относительно центра {е, а}, б) отражений относительно
диагонали {е, d}.
91. Построить разложение группы всех целых чи-
чисел по сложению по подгруппе чисел, делящихся
на 3 *).
92. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы
порядка: а) 4, б) 6, в) 8.
§ 9. Внутренние автоморфизмы
Начнем с примера. Рассмотрим группу симметрии
правильного треугольника. Если мы обозначим верши-
вершины треугольника буквами А, В, С, то каждый элемент
этой группы однозначно определяется подстановкой
трех букв А, В, С. Например, отражение треугольни-
треугольника относительно высоты, опущенной из вершины А на
сторону ВС, записывается в виде I ]. Чтобы пе-
\А С В}
ремножить два элемента группы симметрии треуголь-
треугольника, достаточно выполнить одну за другой соответст-
соответствующие подстановки. Таким образом, мы получаем
изоморфизм группы симметрии треугольника и группы
подстановок трех букв А, В, С. Заметим теперь, что
этот изоморфизм определен неоднозначно: он зависит
от того, какую именно вершину треугольника мы обоз-
обозначили через А, какую через В и какую через С. Пе-
Переобозначение вершин само может рассматриваться как
подстановка трех букв А, В, С. Например, g = (
\В С А
соответствует следующему переобозначению вершин:
старое обозначение
новое обозначение
А
В
В
с_
А
При новом обозначении вершин каждый элемент
группы симметрии треугольника получит новое обозна-
обозначение в виде подстановки букв А, В, С. Например,
*) Мы не указываем здесь, какое разложение требуется
построить — левое или правое, так как в коммутативной группе
оба разложения, очевидно, совнэдают.
2 Б. Б, Алексеев
33
отражение треугольника относительно вертикальной
высоты (рис. 6) обозначается следующим образом:
старое обозначение
новое обозначение
А В С
А С В
(А В С\
\С В А)
/1(8)
93. Рассмотрим элемент группы симметрии тре-
треугольника, которому при некотором обозначении вер-
вершин соответствовала подстановка h.
Какая подстановка будет соответ-
соответствовать этому же элементу груп-
группы симметрии треугольника при
переобозначении вершин g?
Заметим теперь, что «переобоз-
«переобозначение» g превращает элемент h
некоторой группы преобразований в
8(С)
С(Ю
ghg~l не только в рассмотренном
Рис. 6.
примере группы симметрии треуголь-
треугольника, но и в самом общем случае.
Таким образом, исследование переобозначений приво-
приводит к следующему определению.
Определение. Пусть G — группа, g — ее эле-
элемент. Определим отображение ф^ группы G в себя фор-
формулой q>3(h) = ghg—1 (где h — любой элемент группы).
Это отображение называется внутренним автоморфиз-
автоморфизмом группы G, порожденным элементом g.
94. Докажите, что внутренний автоморфизм группы
является изоморфизмом группы иа себя.
95. Во что переходит отражение треугольника от-
относительно его высоты при всевозможных внутренних
автоморфизмах группы симметрии треугольника?
96. Во что переходит вращение треугольника на
120°при всевозможных внутренних автоморфизмах груп-
группы симметрии треугольника?
97. Какие 2 элемента группы симметрии тетраэдра
можно перевести друг в друга внутренним автоморфиз-
автоморфизмом, а какие нельзя? Тот же вопрос для группы вра-
вращений тетраэдра.
98. Докажите, что порядки элементов аЪ и Ъа в
любой группе равны.
34-
Заметим, что при всяком внутреннем автоморфизме
группы (как и при любом изоморфизме) каждая ее под-
подгруппа переходит в подгруппу, вообще говоря, другую
(например, отраясения относительно одной высоты тре-
треугольника переходят в отражения относительно дру-
другой высоты).Однако некоторые «особенно симметричные»
подгруппы остаются на месте при всех внутренних ав-
автоморфизмах (например, подгруппа вращений тре-
треугольника в группе симметрии треугольника). Такие
подгруппы мы сейчас и рассмотрим.
§ 10. Нормальные подгруппы
Определение. Подгруппа некоторой группы
называется нормальной подгруппой, если она переходит
в себя при всех внутренних автоморфизмах группы.
Иными словами, подгруппа N группы G называется
нормальной подгруппой в G, если для любого элемен-
элемента а из N и любого элемента g из G элемент gag—x со-
содержится в N.
Таким образом, подгруппа вращений является нор-
нормальной подгруппой в группе симметрии треугольни-
треугольника, а подгруппа отражений относительно высоты, опу-
опущенной из вершины А на сторону ВС (состоящая из
двух элементов), нормальной подгруппой группы сим-
симметрии треугольника не является.
99. Докажите, что в коммутативной группе всякая
подгруппа является нормальной подгруппой.
100. Является ли нормальной подгруппой группы
симметрии квадрата подгруппа центральных симметрии,
состоящая из двух элементов {е, а} (примеры 3, 4,
стр. 17—18)?
Теорема 2. Подгруппа N группы G является нор-
нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда левое
и правое разложения (см. § 8) группы G по подгруппе N
совпадают *).
101. Доказать сформулированную теорему.
102. Пусть п —порядок группы G, т —порядок
подгруппы Н и т = -^-. Доказать, что Я является нор-
нормальной подгруппой группы G.
*) В этом случае получающееся разложение будет называть-
называться просто разложением по нормальной подгруппе.
2*
35
103. Доказать, что пересечение (см. сноску на
стр. 29) любого числа нормальных подгрупп некоторой
группы G является нормальной подгруппой группы G.
104. Множество элементов группы G, перестановоч-
перестановочных со всеми элементами группы, называется центром
группы G. Доказать, что центр — подгруппа и, более
того, нормальная подгруппа группы G.
105. Пусть Nx и N2 —нормальные подгруппы со-
соответственно в группах Gx и G2. Доказать, что
Nx X N2 — нормальная подгруппа в группе Gx X G2.
Следующий пример показывает, что нормальная под-
подгруппа нормальной подгруппы группы G может не быть
нормальной подгруппой самой группы G.
Пример 11. Рассмотрим подгруппу группы сим-
симметрии квадрата, состоящую из отражений относитель-
относительно диагоналей и центра (см. примеры 3, 4, стр. 17—18,
подгруппа {е, a, d,f}). Эта подгруппа содержит половину
элементов группы симметрии квадрата и является поэ-
поэтому нормальной подгруппой в ней (см. 102). Подгруп-
Подгруппа {е, d}, состоящая из отражений относительно одной
из диагоналей, содержит половину элементов подгруп-
подгруппы {е, a, d, /} и является, следовательно, нормальной
подгруппой в ней. С другой стороны, подгруппа {е, d\
не является нормальной подгруппой всей группы сим-
симметрии квадрата, так как при внутренних автоморфиз-
автоморфизмах d переходит в отражение относительно другой диа-
диагонали: bdb—1 = /.
§ 11. Факторгруппы
Начнем с примера. Рассмотрим разложение группы
симметрии квадрата по нормальной подгруппе, состоя-
состоящей из центральных симметрии ежа (см. примеры 3,
4, стр. 17—18). Легко получить, что разложение нашей
группы на 4 смежных класса имеет вид, указанный
в табл. 2. Обозначим каждый смежный класс какой-
нибудь буквой, например, Е, А, В, С. Если умножить
любой элемент из класса А на любой элемент из клас-
класса В, то результат оказывается в одном и том же клас-
классе С независимо от того, какие именно элементы клас-
классов А ж В взяты. Из решения следующей задачи выте-
вытекает, что это не случайно.
36
Таблица 2
е
а -
Ъ
с
d
f
g
h
В
106. Пусть есть разложение группы G по нормаль-
нормальной подгруппе N, и пусть элементы хх и х.г лежат в од-
одном смежном классе и элементы ух и у2 также лежат в
одном смежном классе. Доказать, что элементы ххух
и х2у2 лежат в одном смежном
классе.
Таким образом, взяв по
представителю из двух смеж-
смежных классов и перемножив их
в определенном порядке, мы
попадем в смежный класс, кото-
который не будет зависеть от того,
каких именно представителей мы выбрали. Следо-
Следовательно, при разложении группы по нормальной
подгруппе N на множестве смежных классов можно
определить бинарную операцию следующим образом:
если А = xN, В =yN, то положим А-В = (xy)N'.
Результат задачи 105 показывает, что эта операция
определена однозначно и не зависит от выбора элемен-
элементов х и у, порождающих смежные классы А и В. Так,
в рассмотренном выше примере А -В = С.
В задачах 107 — 109 речь идет о разложениях по
нормальной подгруппе.
107. Пусть Тх, Г2, Т3 — смежные классы. Дока-
Доказать, что (ТХТ2)Т3 = ТХ(Т2Т3).
108. Пусть нормальная подгруппа обозначена бук-
буквой Е. Доказать, что ЕТ = ТЕ = Т для любого
смежного класса Т.
109. Доказать, что для любого смежного класса Т
найдется класс Т~1 такой, что ТТ~Х — Т~1Т = Е.
Из утверждений задач 107 — 109 следует, что мно-
множество смежных классов с описанной выше бинарной
операцией образует группу. Эта группа называется
факторгруппой группы G по нормальной подгруппе N
и обозначается GIN.
Очевидно, что Gl{e}^ G и GIG se {e}. Очевидно так-
также, что порядок факторгруппы равен натуральному
числу п/'т, где п —порядок группы G, am — порядок
нормальной подгруппы N. Например, факторгруппа
группы симметрии квадрата по подгруппе центральных
симметрии содержит 4 элемента.
110. Выяснить, будет ли факторгруппа группы сим-
симметрии квадрата по подгруппе центральных симметрии
37
изоморфна группе вращений квадрата или группе сим-
симметрии ромба.
111. Найти все нормальные подгруппы и фактор-
факторгруппы *) по ним в следующих группах: а) группа
симметрии треугольника, б) Z2 X Z2, в) группа сим-
симметрии квадрата, г) группа кватернионов (стр. 131).
112. Описать все нормальные подгруппы и фактор-
факторгруппы по ним для групп: a) Zn, б) Z.
113. Найти все нормальные подгруппы и фактор-
факторгруппы по ним в группе вращений тетраэдра.
114. В прямом произведении групп G± X G2 рас-
рассмотрим педгруппу G± X {e2}. Доказать, что это нор-
нормальная подгруппа и что факторгруппа по ней изо-
изоморфна группе G2.
§ 12. Коммутант
Напомним, что два элемента а и b группы G назы-
называются перестановочными (или коммутирующими), ес-
если аЪ = Ъа. Степень некоммутативности двух элемен-
элементов группы можно измерять с помощью произведения
aba~1b~1, которое равно единице тогда и только тогда,
когда а и Ъ перестановочны (докажите).
Определение. Элемент aba~1b~1 называют
коммутатором элементов а и Ь. Коммутантом K(G)
группы G называется множество всевозможных произ-
произведений конечного числа коммутаторов группы G.
115. Доказать, что коммутант является подгруппой.
116. Доказать, что коммутант является нормаль-
нормальной подгруппой группы.
117. Доказать, что коммутант совпадает с единич-
единичной подгруппой {е} тогда и только тогда, когда группа
коммутативна.
118. Найти коммутант в группах: а) симметрии
треугольника, б) симметрии квадрата, в) в группе
кватернионов (стр. 131).
119. Доказать, что коммутант в группе симметрии
правильного я-угольника изоморфен группе Zn при
п нечетном и группе Zn при п четном.
*) В дальнейшем найти факторгруппу означает указать
какую-либо группу, рассмотренную ранее, которой искомая
факторгруппа изоморфна.
38
120. Найти коммутант в группе вращений тетраэдра.
121. Доказать, что если нормальная подгруппа в
группе вращений или в группе симметрии тетраэдра
содержит хотя бы одно вращение вокруг оси, прохо-
проходящей через вершину, то она содержит всю группу
вращений тетраэдра.
122- Найти коммутант в группе симметрии тет-
тетраэдра.
Рассмотрим еще 2 группы: группу вращений куба
и группу вращений правильного октаэдра (рис. 7).
¦ . . Рис. 7.
123. Сколько элементов в каждой из этих групп?
Перечислить элементы группы вращений куба.
124. Доказать, что группы вращений куба и октаэд-
октаэдра изоморфны.
125. Сколькими различными способами можно за-
закрасить грани куба 6 цветами
(каждую грань своим цветом),
если различными считаются рас-
раскраски, которые нельзя сов-
совместить друг с другом враще-
вращением куба. Тот же вопрос для
спичечного коробка.
126. Каким из известных
вам групп изоморфна группа
вращений спичечного коробка?
Вычисление коммутанта
группы вращений куба удобно
провести, вписав в куб тетраэдр,
как это показано на рисунке (рис. 8). При этом,
если соединить оставшиеся вершины В, D, At и С±, то
получится второй тетраэдр. Любое вращение куба
39
Рис. 8.
либо переводит каждый тетраэдр в себя, либо меняет
их местами.
127. Доказать, что все вращения куба, переводя-
переводящие оба тетраэдра в себя, образуют: а) подгруппу,
б) нормальную подгруппу группы вращений куба.
128. Доказать, что коммутант группы вращений
куба изоморфен группе вращений тетраэдра.
Докажем теперь следующие 3 свойства коммутанта,
которые понадобятся нам в дальнейшем.
129. Доказать, что факторгруппа произвольной
группы G по ее коммутанту коммутативна.
130. Пусть N —нормальная подгруппа группы G
и факторгруппа GIN коммутативна. Доказать, что
N содержит коммутант группы G.
131. Пусть N — нормальная подгруппа группы G
и K(N) — коммутант группы N. Доказать, что K(N)
является нормальной подгруппой в G (сравните с при-
примером на стр. 36).
§ 13. Гомоморфизм
Гомоморфизмом группы G в группу F называется
отображение ср: G—*-F такое, что <р(а&) = ср(а)-ср(Ь) для
любых элементов а и b группы G (здесь произведение
ab берется в группе G, а произведение ср(а)-срF) в груп-
группе F). Гомоморфизм отличается от изоморфизма тем,
что при гомоморфизме не требуется взаимной одно-
однозначности.
Пример 12. Пусть G — группа вращений куба,
a Z2 —группа подстановок двух тетраэдров, вписан-
вписанных в него (см. стр. 39). Каждому вращению куба со-
соответствует определенная подстановка тетраэдров; при
последовательном выполнении двух вращении куба со-
соответствующие подстановки тетраэдров перемножают-
перемножаются. Таким образом, отображение группы вращений ку-
куба на группу подстановок двух тетраэдров — гомо-
гомоморфизм.
132. Пусть ср: G —*- F — гомоморфизм группы G на
группу F. Если группа G коммутативна, то и F комму-
коммутативна. Доказать. Верно ли обратное утверждение?
133. Доказать, что при гомоморфизме группы G в
группу F единица группы G переходит в единицу груп-
группы F.
40
134. Доказать, что ср(а—{) = [ср(а)]—*, где ср: G —>-
->• F — гомоморфизм, и в левой части обратный берет-
берется в группе G, а в правой части — в группе F.
135. Пусть срх: G —*- F и ср2: F —*- Н — гомоморфиз-
гомоморфизмы. Доказать, что cp2cpi: G —*- Н —гомоморфизм.
Важные примеры гомоморфизмов получаются с по-
помощью следующей конструкции «естественного гомо-
гомоморфизма».
Пусть N — нормальная подгруппа группы G. Рас-
Рассмотрим следующее отображение ср группы G на фактор-
факторгруппу GIN: сопоставим каждому элементу g группы G
тот смежный класс Т, который содержит элемент g,
136. Доказать, что t cp: G-+GIN —гомоморфизм
группы G на группу GIN.
Отображение ср называют естественным гомомор-
гомоморфизмом группы G на факторгруппу GIN. Мы показа-
показали, что с каждой нормальной подгруппой связан
некоторый гомоморфизм. Покажем, что и, обратно,
каждый гомоморфизм группы G на группу F можно
рассматривать как естественный гомоморфизм G на
факторгруппу GIN по подходящей нормальной
подгруппе.
Пусть ср: <? —ь F—гомоморфизм, тогда множество
элементов g таких, что cp(g') = ер, называется ядром
гомоморфизма ср и обозначается Кег ср.
137. Доказать, что Кег ср —подгруппа группы G.
138. Доказать, что Кег ср — нормальная подгруп-
подгруппа группы G.
Рассмотрим разложение группы G по ядру Кег ср.
139. Доказать, что gx и g2 лежат в одном смежном
классе тогда и только тогда, когда cp(g-x) = cp(g2).
Теорема 3. Пусть ср: G —*~ F — гомоморфизм
группы G на группу F, тогда отображение ip: GIKev cp —>¦
—*- F, сопоставляющее каждому смежному классу значе-
значение ф(^) на каком-нибудь (и тогда любом (см. 139)) его
элементе g, является изоморфизмом.
Доказательство этой теоремы содержится в реше-
решениях следующих задач.
140. Докажите, что ip есть отображение на.
141. Докажите, что тр ¦—взаимно однозначное отоб-
отображение.
142. Докажите, что тр —изоморфизм.
Приведем пример применения доказанной теоремы.
41
h
Рис. 9.
Пример 13. В задаче НО требовалось выясщггь,
изоморфна ли факторгруппа группы симметрии квад-
квадрата по нормальной подгруппе отражений относитель-
относительно центра группе вращений квадрата или группе сим-
симметрии ромба. Каждому элементу группы симметрии
квадрата соответствует некоторая подстановка осей
симметрии lx, h, 1Я, 1А (рис. 9). При этом диагонали 1Х
ж 13 могут переходить только друг в друга, а оси U и
1А —также друг в друга. Мы полу-
/ чаем таким образом отображение
- группы симметрии квадрата в груп-
группу подстановок четырех элементов:
1г, h, l3 и 1А. Это отображение явля-
77 ется гомоморфизмом на всю группу
таких подстановок, что 1Х и 1а пере-
переходят в Zx и l3, a Z2 и ^4 в /2 и /4
ч (проверьте). Эта группа состоит из
четырех подстановок и изоморфна
группе симметрии ромба LXL2L3L±
(рис. 10). Ядром построенного гомо-
гомоморфизма являются все симметрии квадрата, перево-
переводящие каждую из четырех осей симметрии в себя.
Нетрудно проверить, что такими преобразованиями
являются только е и центральная симметрия а.
Следовательно, по теореме 3 подгруппа отражений
относительно центра {е, а} —
нормальная подгруппа в группе
симметрии квадрата, и соответ-
соответствующая факторгруппа изоморф-
изоморфна группе симметрии ромба.
Подобным образом можно ре-
решить следующие задачи.
143. Доказать, что вращения
тетраэдра на 180° вокруг осей,
проходящих через середины противоположных ребер,
вместе с тождественным преобразованием образуют
нормальную подгруппу в группе симметрии тетраэдра,
и найти соответствующую факторгруппу.
144. Доказать, что вращения куба на 180° вокруг
осей, проходящих через центры противоположных гра-
граней, вместе с тождественным преобразованием обра-
образуют нормальную подгруппу в группе вращений куба,
и найти соответствующую факторгруппу.
145. Пусть на плоскости дан правильный п-уголь-
ник с центром О. Пусть R — группа всех вращений
плоскости вокруг точки О. Рассмотрим подгруппу Zn
всех вращений плоскости, переводящих правильный
к-угольник в себя. Доказать, что это нормальная под-
подгруппа группы R и что R/Zn s R-
146. Пусть iVi и Лг2 —нормальные подгруппы со-
соответственно в группах Gx и G2. Доказать, что
Nt X N2 — нормальная подгруппа в Gx X G2 и
Gx X GJNX X N2 c^GJN^ X GJN2.
147. Могут ли две неизоморфные группы иметь изо-
изоморфные нормальные подгруппы и изоморфные фактор-
факторгруппы по ним?
148. Может ли группа иметь две изоморфные нор-
нормальные подгруппы, факторгруппы по которым не-
неизоморфны?
149. Может ли группа иметь неизоморфные нор-
нормальные подгруппы, факторгруппы по которым изо-
изоморфны?
Посмотрим теперь, что происходит при гомоморфиз-
гомоморфизме с подгруппами, нормальными подгруппами, комму-
коммутантами. Пусть ср: G -*- F — гомоморфизм, и пусть в
р-'(Р)
Рис. 11,
G выбрано некоторое подмножество М, тогда образом
множества М при гомоморфизме ф (обозначается ср(М))
будет называться множество всех элементов из F, имею-
имеющих хотя бы один прообраз в М. Обратно, пусть Р —
подмножество в F, тогда полным прообразом Р (обоз-
(обозначается ф—1(Р)) будет называться множество всех
элементов из G, образы которых попадают в Р. Заме-
Заметим, что знак ф—1 отдельно от Р не имеет смысла: для
43
гомоморфизма, вообще говоря, не существует обрат-
обратного преобразования. Заметим также, что если ср(М) =
= Р, то ф— 1(Р) содержит М, но не обязательно с ним
совпадазт (рис. 11).
150. Доказать, что образ подгруппы Н группы G
при гомоморфизме ср: G -+¦ F является подгруппой в
группе F.
151. Пусть // —подгруппа в F и ср: G —.> F —го-
—гомоморфизм. Доказать, что ф~'(/У) — подгруппа в G.
152. Пусть N — нормальная подгруппа группы F
и ср: G -*¦ F —гомоморфизм. Доказать, что <p~1(N) —
нормальная подгруппа группы G.
153. Пусть ф: G —>• F — гомоморфизм, Кг и К.г —
коммутанты групп G и F. Доказать, что ц>(Кх) содер-
содержится в К.2 и Кх содержится в ф— 1(К2).
154. Пусть N —нормальная подгруппа группы G
и ф —гомоморфизм группы G на группу F. Доказать,
что q>(N) — нормальная подгруппа группы F.
155. Пусть Кг и К» — коммутанты групп G и F
и ф —гомоморфизм группы G на группу F. Доказать,
что ф(Я"х) = К2. Верно ли, что К1 = ф J(i?)?
§ 14. Разрешимые группы
Существует важный класс групп, близких к ком-
коммутативным,— так называемые разрешимые группы.
Разрешимыми они называются потому, что возмож-
возможность решить алгебраическое уравнение в радикалах,
как мы увидим, зависит от разрешимости некоторой
группы.
Пусть G — некоторая группа и K(G) — ее комму-
коммутант. Коммутант K(G) сам является группой, и в нем
также можно рассмотреть коммутант K(K(G)). В по-
полученной группе снова можно рассмотреть коммутант
и т. д. Группу К(К(. . .(K(G)). . .)) будем для кратко-
Г
сти обозначать Kr(G). Таким образом, Kr + \(G) =
= K(Kr{G)).
Определение. Группа G называется разре-
разрешимой, если цепочка групп G, K(G), K2(G), K3(G), . . .
заканчивается при некотором конечном п единичной
группой, т. е. при некотором п получаем Kn(G) = {е}.
44
Рис. 12.
Например, любая коммутативная группа разреши-
разрешима, так как если G — коммутативная группа, то уже
на первом шаге получаем K(G) — {е} (см. 117). Также
группа G разрешима, если ее коммутант коммутативен,
так как тогда A'2(G) = {е}.
156. Выяснить, разрешимы или нет следующие
группы: а) циклическая группа Zn, б) группа симмет-
симметрии треугольника, в) группа симметрии квадрата,
г) группа кватернионов (стр. 131), д) группа вращений
тетраэдра, е) группа симметрии тетраэдра, ж) группа
вращений куба.
Все группы, рассмотренные в задаче 156, оказы-
оказываются разрешимыми, поэтому естественно возникает
вопрос, а бывают ли вообще не-
неразрешимые группы. Ниже мы по-
покажем, что группа вращений пра-
правильного додекаэдра (рис. 12) нераз-
неразрешима.
157. Сколько элементов в груп-
группе вращений додекаэдра?
Все вращения додекаэдра можно
разбить на 4 класса: 1) тождест-
тождественное преобразование; 2) вращения
вокруг осей, проходящих через центры противополож-
противоположных граней; 3) вращения вокруг осей, проходящих
через противоположные вершины; 4) вращения вокруг
осей, проходящих через середины противоположных
ребер.
158. Сколько элементов содержится в каждом клас-
классе (п 2) — 4) тождественное преобразование не входит)?
159. Пусть N — произвольная нормальная под-
подгруппа в группе вращений додекаэдра, и пусть в N со-
содержится хотя бы один элемент из некоторого класса
1) — 4). Доказать, что тогда в N содержится весь со-
соответствующий класс;
Таким образом, каждый из классов 1) — 4) либо
полностью не входит, либо полностью входит в N.
160. Доказать, что в группе вращений додекаэдра
ьге существует других нормальных подгрупп, кроме {е}
и всей группы.
161. Пусть группа G некоммутативна и не имеет
нормальных подгрупп, отличных от {е} и G. Доказать,
что группа G неразрешима.
45
Из задач 160 и 161 вытекает, что группа вращений
додекаэдра неразрешима.
Рассмотрим еще несколько задач, результаты ко-
которых потребуются нам в дальнейшем.
162. Доказать, что всякая подгруппа разрешимой
группы разрешима.
163. Пусть ф: G -*¦ F —гомоморфизм группы G на
группу F и группа G разрешима; доказать, что и груп-
группа F разрешима.
164. Привести пример, когда группа F разрешима,
а группа G неразрешима (см. предыдущую задачу).
165. Пусть группа G разрешима и N —нормальная
подгруппа в G. Доказать, что факторгруппа GIN раз-
разрешима.
166. Доказать, что если группы N и GIN разреши-
разрешимы, то и группа G разрешима.
167. Пусть группы G и F разрешимы. Доказать,
что группа G X F разрешима.
168. Пусть группа G разрешима. Доказать, что тог-
тогда существует цепочка групп Go, Gx, G
1) Go — G; 2) каждая группа ??гA
нормальной подгруппой в группе
группы GiilGi коммутативны; 3)
, то тог
., Gn такая, что:
^ i ^ п) является
_!, и все фактор-
факторруппа G
руй в группе <?/_!, и все фактор-
факторкоммутативны; 3) группа Gn комму-
коммугруппы
тативна.
169. Пусть для группы G существует цепочка групп
со свойствами, указанными в условии предыдущей за-
задачи. Доказать, что группа G разрешима.
Результаты задач 168 и 169 показывают, что сущест-
существование для группы G цепочки групп с указанными в
условии задачи 168 свойствами равносильно понятию
разрешимости и само может быть принято за определе-
определение разрешимости. Еще одно эквивалентное определе-
определение разрешимости можно получить, используя резуль-
результаты двух следующих задач.
170. Пусть группа G разрешима. Доказать, что тог-
тогда существует цепочка групп Go, Glt . . ., Gn такая,
что: 1) Go = G; 2) каждая группа Gt@ sgC i ^ n — 1)
содержит некоторую коммутативную нормальную под-
подгруппу Nt такую, что GtINi ^ Gi+1; 3) группа Gn ком-
коммутативна.
171. Пусть для группы G существует цепочка групп
со свойствами, указанными в предыдущей задаче. До-
Доказать, что группа G разрешима.
4C
§ 15. Подстановки
Рассмотрим сейчас более подробно подстановки
(т. е. преобразования) на множестве первых п натураль-
натуральных чисел 1, 2, . . ., п; эти подстановки мы будем
называть подстановками ?г-пстепени. Заметим, что под-
подстановки на произвольном множестве с п элементами
можно свести к рассматриваемым подстановкам, для
чего достаточно занумеровать элементы множества
натуральными числами 1, 2, . . ., п. Произвольную
подстановку ге-й степени можно записать в виде
1 2 . . . п \ . л
], где гт — это образ элемента т при дан-
А Н . . . in/
ной цоДстановке. Напомним, что подстановка — взаим-
взаимно однозначное отображение, поэтому все элементы
в нижней строке различны.
172. Сколько существует различных подстановок
n-й степени?
Определение. Группу всех подстановок п-й.
степени с обычной операцией умножения (т. е. компо-
композиции) подстановок *) называют симметрической груп-
группой степени п и обозначают Sп.
173. Доказать, что при п ^> 3 группа Sn неком-
некоммутативна.
Подстановка может некоторые злементы переме-
перемещать, а некоторые оставлять на месте; при этом может
оказаться, что перемещаемые элементы перемещаются
как бы по кругу. Например, подстановка
4 2 6 3 5 17
оставляет на месте элементы 2, 5 и 7, а остальные эле-»
менты перемещаются по кругу: 1 —>- 4, 4 —>- 3, 3—*- 6,
6—>-1. Подстановки такого типа называются цикличе-
циклическими подстановками или просто циклами. Для цик-
циклических подстановок мы будем использовать еще
другую запись. Например, выражение A436) будет
- *) Согласно нашему определению произведения преобразо-
преобразований (стр. 20) мы будем рассматривать произведение подстано-
подстановок справа налево. Иногда произведение подстановок рассмат-
рассматривают слева напраЕО. Получаемые в обоих случаях группы
изоморфны.
47
обозначать подстановку, переводящую 1 —>-4, 4—>-.3,
3 —*- 6, 6 -*- 1 и оставляющую остальные элементы рас-
рассматриваемого множества на месте. Так, если эта под-
подстановка 7-й степени, то она совпадает с подстановкой,
рассмотренной выше.
Не всякая подстановка является циклической. На-
Например, подстановка
12 3 4 5 6
3 5 4 12 6
циклической не является, но ее можно представить как
произведение двух циклов:
'12 3 4 5
5 4 12
Полученные циклы перемещают разные элементы, та-
такие циклы называются независимыми. Легко видеть,
что произведение независимых циклов не зависит от
порядка их следования. Если не различать произведе-
произведения независимых циклов, отличающиеся лишь поряд-
порядком следования, то будет верно следующее утверждениа.
174. Любая подстановка единственным образом
(с точностью до порядка сомножителей) разлагается в
произведение нескольких независимых циклов. Дока-
Доказать.
Циклы вида (г, /), переставляющие только два эле-
элемента, называются транспозициями.
175. Доказать, что произвольный цикл можно раз-
разложить в произведение транспозиций (не обязательно
независимых).
Транспозиции A, 2), B, 3), . . ., (п — 1, п) на-
называются элементарными транспозициями.
176. Доказать, что произвольная транспозиция
представляется в виде произведения элементарных
транспозиций.
Из результатов задач 174 — 176 вытекает, что про-
произвольная подстановка п-й степени может быть пред-
представлена как произведение элементарных транспози-
транспозиций. Иными словами, верна следующая теорема.
Теорема 4. Если некоторая подгруппа симмет-
симметрической группы Sn содержит все элементарные транс-
транспозиции, то эта подгруппа совпадает со всей группой Sn.
48
Пусть числа i, 2, . . ., п записаны в строку в неко-
некотором произвольном порядке. Скажем, что пара чи-
чисел i, j образует инверсию в этой строке, если i <; /,
но j встречается в строке раньше, чем i. Число инверсий
характеризует беспорядок в данной строке по отноше-
отношению к обычному порядку чисел 1, 2, . . ., п.
177. Найти число инверсий в строке 3, 2, 5, 4, 1.
В дальнейшем нас будет интересовать не само число
инверсий, а только четность этого числа.
178. Доказать, что четность числа инверсий в стро-
строке меняется, если поменять местами два произвольных
числа.
„ тт (I 2 ... п t
Определение. Подстановка [ |назы-
вается четной или нечетной в зависимости от того,
четное или нечетное число инверсий имеется в нижней
„ /1 2 ...га
строке.Например тождественная подстановка
\1 2 . . .п
является четной подстановкой, так как число инверсий
в нижней строке равно нулю.
ЛПП „ /12 3 4 5
179. Определить четность подстановки
V2 5 4 1 3.
180. Доказать, что при умножении четной подста-
подстановки справа на произвольную транспозицию полу-
получается нечетная подстановка и, наоборот, при умноже-
умножении нечетной подстановки справа на транспозицию
получается четная подстановка.
181. Доказать, что четная подстановка может быть
разложена в произведение только четного числа транс-
транспозиций, а нечетная в произведение только нечетного
числа транспозиций.
182. Определить четность произвольного цикла дли-
длины: а) 3, б) 4, в) т.
183. Доказать, что при умножении двух подста-
подстановок одинаковой четности получается четная подста-
подстановка, а при умножении двух подстановок разной чет-
четности получается нечетная подстановка.
184. Доказать, что подстановки а и а имеют оди-
одинаковую четность, где а — произвольная подстановка.
Из результатов задач 183, 184 вытекает, что мно-
множество всех четных подстановок образует подгруппу
группы S п.
49
Определение. Группа всех четных подста-
подстановок ге-й степени называется знакопеременной группой
степени п и обозначается Ап.
185. Доказать, что при п > 4 группа Ап неком-
некоммутативна.
186. Доказать, что знакопеременная группа Ап яв-
является нормальным делителем симметрической груп-
группы Sn, и построить разложение группы Sn по под-
подгруппе Ап.
187. Определить число элементов в группе Ап.
188. Доказать, что группы S2, Sa и .S4 разрешимы.
Докажем теперь, что знакопеременная группа А5
неразрешима. Один из способов доказательства этого
состоит в следующем. Необходимо в додекаэдр так
вписать 5 тетраэдров, занумерованных числами 1, 2,
3, 4, 5, чтобы каждому вращению додекаэдра соответст-
соответствовала четная подстановка тетраэдров, причем чтобы,
разным вращениям соответствовали разные подста-
подстановки. Этим будет установлен изоморфизм между груп-
группой вращений додекаэдра и группой четных подстано-
подстановок 5-й степени Аь. Тогда неразрешимость группы Аь
будет следовать из неразрешимости группы вращений
додекаэдра.
189. Вписать в додекаэдр 5 тетраэдров требуемым
выше способом.
Другой способ доказательства неразрешимости груп-
группы А5 состоит в повторении идеи доказательства не-
неразрешимости группы вращений додекаэдра. Для это-
этого надо решить следующие задачи.
190. Доказать, что любая четная подстановка
5-й степени, отличная от тождественной подстанов-
подстановки, разлагается на независимые циклы одним из
следующих трех способов: а) (Мг^зМв)' б) (i^lj),
191. Пусть N —нормальная подгруппа группы А5.
Доказать, что если в N содержится хотя бы одна под-
подстановка, определенным образом разлагающаяся на
независимые циклы (см. 190), то в N содержатся все
подстановки, таким же образом разлагающиеся на не-
независимые циклы.
192. Доказать, что группа Аъ не содержит нор-
нормальных подгрупп, кроме единичной подгруппы и всей
группы.
50
Из утверждения задач 192, 161 и из того, что груп-
группа А5 некоммутативна, вытекает неразрешимость груп-
группы А ъ.
193. Доказать, что симметрическая группа Sn при
п ^ 5 содержит подгруппу, изоморфную группе Аъ.
Из утверждений задач 193 и 162 получаем теорему.
Теорема 5. При п^ 5 симметрическая группа
S п неразрешима.
Доказанная теорема, а также другие результаты
первой главы потребуются нам в следующей главе для
доказательства неразрешимости в радикалах общих
алгебраических уравнений степени выше четвертой.
Тем, кто захочет изучить теорию групп более глу-
глубоко, можно рекомендовать книги:
К а р г а п о л о в М. И., Мерзляков Ю. И.,
Основы теории групп, «Наука», 1972.
К у р о ш А. Г., Теория групп, изд. 3-е, «Наука»,
1967.
Холл М., Теория групп, ИЛ, 1962.
"-,1
Глава II
Комплексные числа
При изучении чисел в курсе средней школы мы по-
постепенно расширяли рассматриваемое числовое мно-
множество. При этом основное ударение делалось на тот
факт, что такие расширения позволяют нам более сво-
свободно оперировать с числами. Так, при переходе от
натуральных чисел к целым становится возможным
вычитать любые числа, при переходе к рациональным
числам становится возможным делить любые числа
и т. д. На самом деле более важным результатом таких
расширений оказывается тот факт, что свойства расши-
расширенной системы часто позволяют получать новые ре-
результаты об исходной системе. Так, например, многие
трудные задачи теории чисел, касающиеся только на-
натуральных чисел, были решены с использованием дей-
действительных и даже комплексных чисел.
Исторически комплексные числа появились именно
как средство для решения некоторых задач о действи-
действительных числах. Так, например, итальянский матема-
математик Кар дано A501 — 1576) при решении кубических
уравнений находил правильные действительные корни,
используя в промежуточных вычислениях «несущест-
«несуществующие» квадратные корни из отрицательных чисел.
Со временем комплексные числа занимали все более
важное положение в математике и ее приложениях.
В первую очередь они глубоко проникли в теорию ал-
алгебраических уравнений, так как в области комплекс-
комплексных чисел изучение таких уравнений оказалось на-
намного более удобным. Например, любое алгебраиче-
алгебраическое уравнение степени п (п > 1) с действительными
или комплексными коэффициентами имеет по крайней
мере один комплексный корень (см. ниже «основную ,
теорему алгебры комплексных чисел», стр. 82), в то же |
время не всякое алгебраическое уравнение с действи-
52
тельными коэффициентами имеет хотя бы один дейст-
действительный корень.
После того как появилась интерпретация комплекс-
комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на
плоскости, стало возможным применять к изучению
комплексных чисел геометрические понятия, такие, на-
например, как непрерывность и геометрическое преобра-
преобразование. Связь комплексных чисел с векторами поз-
позволила сводить к комплексным числам и уравнениям
для них многие задачи механики, особенно гидро-
и аэродинамики, а также теории электричества, теории
теплоты и т. д.
К настоящему времени изучение комплексных чи-
чисел развилось в большой и важный раздел современной
математики — теорию функций комплексного пере-
переменного.
Довольно глубокое знакомство с комплексными чис-
числами и функциями комплексного переменного и пред-
предстоит читателю в этой главе.
§ 1. Поля и многочлены
Действительные числа можно складывать и умно-
умножать, при этом возможны и обратные операции — вы-
вычитание и деление. В суммах можно произвольным об-
образом переставлять слагаемые, произвольным образом
расставлять скобки. Так же можно поступать с сомно-
сомножителями в произведениях. Все эти свойства, а также
связь между сложением и умножением можно кратко
выразить следующим образом.
Действительные числа обладают следующими 3 свой-
свойствами:
1. Образуют коммутативную группу (см. главу I,
§ 3) по сложению (единичный элемент этой группы
обозначается через 0 и называется нулем).
2. Если отбросить 0, то оставшиеся числа образуют
коммутативную группу по умножению.
3. Сложение и умножение связаны законом дистри-
дистрибутивности: для любых чисел а, Ь, с
а{Ъ +с) = аЪ + ас.
Наличие этих 3 свойств очень важно, так как они
позволяют упрощать арифметические и алгебраические
53
поле а-0 = 0-а = О
поле:
1) (-а). Ь =
для любых
выражения, решать многие уравнения и т. д. Дейст-
Действительные числа —не единственное множество, об-
обладающее этими тремя свойствами. Для выделения
всех таких множеств в математике введено специальное
понятие.
Определение. Если на некотором множестве
определены две бинарные операции (сложение и ум-
умножение), обладающие выписанными выше тремя
свойствами, то такое множество называется полем.
194. Выяснить, являются ли полями следующие
подмножества действительных чисел с обычными опе-
операциями сложения и умножения: а) все натуральные чис-
числа; б) все целые числа; в) все рациональные числа; г) все
числа вида гх + г21/^2, где гг и г2 — произвольные ра-
рациональные числа.
195. Доказать, что в любом
для любого элемента а.
196. Доказать, что в любом
= а-(—Ь) = — (а-Ъ), 2) (— а)-(— Ъ) = аЪ
элементов а и Ъ.
197. Пусть а, Ъ — элементы произвольного поля и
а-Ъ = 0. Доказать, что либо а = 0, либо 6 = 0.
Пример 14. Пусть на множестве {0, 1, . . .,
п —1}, кроме операции сложения по модулю п (см.
пример 9, стр. 25), задано еще умножение по модулю п,
при котором в качестве результата при умножении
двух чисел берется остаток от деления их обычного
произведения на п.
198. Построить таблицы умножения по модулю 2,
3 и 4. .
199. Доказать, что остатки с операциями сложения
и умножения но модулю п образуют поле тогда и толь-
только тогда, когда п —простое число.
Определение. Разностью элементов Ъ и а
в произвольном поле (обозначается Ъ — а) называется
элемент, являющийся решением уравнения х + а = Ъ
(или а + х = Ъ). Частным от деления элемента Ъ на а
при a =j= 0 (обозначается —I называется элемент,
являющийся решением уравнения
ау = Ъ).
Из результата задачи 24 и того, что в поле сложе-
сложение и умножение коммутативны, вытекает, что элемен-
54
уа = Ъ (или
ты
— аи —^- (при а
определяются в любом поле
однозначно.
Так как поле является группой по сложению,
а без нуля и по умножению, то равенство х + а = Ъ
равносильно равенству х = Ь + (—а), а равенство
уа = Ъ при а=^=0 равносильно равенству у — Ьа~х.
Таким образом, Ъ —а = Ъ + (—а) и — = Ъа~1.
Читатель легко может доказать, что операции сло-
сложения, вычитания, умножения и деления в любом поле
обладают всеми основными свойствами этих операций
в поле действительных чисел. В частности, в любом
поле обе части любого равенства можно умножить или
разделить на любой элемент, отличный от нуля; лю-
любой член можно перенести из одной части равенства
в другую с противоположным знаком и т. д. Для при-
примера рассмотрим одно из свойств, связывающих вычи-
вычитание и умножение.
200. Доказать, что в любом поле (а — Ъ)с = ас — Ъс
для любых элементов а, Ь, с.
Если К —некоторое поле, то можно, так же как
для поля действительных чисел, рассматривать много-
многочлены с коэффициентами из поля К или, другими сло-
словами, многочлены над полем К.
Определение. Многочленом степени п (п —
натуральное число) от одной переменной х над полем К
называется любое выражение вида
аохп+ a^-i + . . . + ап-ух + ап, A.1)
где а0, аг, . . ., ап — элементы поля К, причем ао=^= 0.
Если а — элемент поля К, то выражение а также счи-
считается многочленом над полем К, причем если а =^= 0,
то это многочлен нулевой степени, если же а == 0, то
степень такого многочлена считается неопределенной.
Элементы а0, ах, . . ., ап-1, ап называются коэффи-
коэффициентами многочлена A.1), а0 —старшим коэффици-
коэффициентом.
Два многочлена от переменной х считаются равны-
равными в том и только в том случае, если все их соответст-
соответствующие коэффициенты попарно равны.
Пусть
Р(х) =» aQxn + аххп-* + . . . -f- an-xx + ап.
S5
Если в правую часть этого равенства вместо х под-
подставить некоторый элемент а поля К и произвести ука-
указанные вычисления, понимая операции сложения и
умножения как операции в поле К, то в результате
получится некоторый элемент Ъ поля К. В этом случае
записывают Р(а) — Ъ. Если Р(а) = 0, где 0 — нулевой
элемент поля К, то говорят, что а —корень уравне-
уравнения Р(х) = 0; в этом случае говорят также, что а —
корень многочлена Р(х).
Многочлены над произвольным полем К можно скла-
складывать, вычитать и умножать.
Суммой многочленов Р(х) и Q(x) называется много-
многочлен R(x), в котором коэффициент при xh (к = 0, 1,
2, . . .) равен сумме (в поле К) коэффициентов при xh
в многочленах Р{х) ж Q{x). Так же определяется раз-
разность двух многочленов. Очевидно, что степень суммы
или разности двух многочленов не больше, чем макси-
максимальная из степеней данных многочленов.
Чтобы вычислить произведение многочленов Р(х) и
Q{x), нужно каждое слагаемое ахк многочлена Р{х)
умножить на каждое слагаемое bxf многочлена Q(x) по
правилу: axk-bxl — abxk+l, где аЪ — произведение в
поле -ЙГ, а к + I — обычная сумма натуральных
чисел. После этого все полученные выражения надо
сложить, приводя подобные члены, т. е. собирая все
слагаемые, содержащие одну и ту же степень г пере-
переменной х, и заменяя сумму dxxr + d2xr + . . . -f- dbxr
выражением {d + d + + d)
выражением {dL
Если
P(x) = aoxn
Q{x) = box™
уу x +
d.2 + • • . + ds)xr.
-j- . . . + an,
2 + • • • + bm,
TO
P{x)-Q{x) = aoboxn+m + (aobx + a1
+ (aob, + axbx + a»bo)x*+™
Так как a0^= 0 и b0 y^= 0, то и aobo ^
°- + . . . + anbm *)•
0 (см. 197), поэтому
*) Коэффициент при хп + т h в произведении P{x)-Q(x)
равен ao6ft + a16A_1 + ... + aft_1&1 + akbQ, причем здесь надо
положить ai = 0 при t > га п 6j = 0 при ;' ^> т.
56
степень многочлена P(x)-Q(x) равна п + т, т. е. сте-
степень произведения двух многочленов (отличных от 0)
равна сумме степеней данных многочленов.
Учитывая, что операции сложения и умножения
элементов в поле К обладают свойствами коммутатив-
коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, нетрудно
получить, что введенные нами операции сложения и ум-
умножения многочленов над полем К также обладают
свойствами коммутативности, ассоциативности и дист-
дистрибутивности.
Если
Р(х) + Q(x) = Rx{x), P(x) - Q(x) = R2(x),
P{x)-Q(x) = R3{x)
ж а — произвольный элемент поля К, то легко полу-
получить, чго
Р(а) + Q(a) = R^a), P(a) - Q(a) = R.2(a),
P(a)-Q(a) = R3(a).
Многочлены над произвольным полем К можно де-
делить друг на друга с остатком. Разделить многочлен
Р(х) на многочлен Q(x) с остатком — это значит найти
многочлены S{x) (частное) и R(x) (остаток) такие, что
Р(х) = S{x).Q{x) + R(x),
причем степень многочлена R{x) должна быть меньше,
чем степень многочлена Q{x), либо должно быть
R(x) = 0.
Пусть Р(х) и Q(x) — произвольные многочлены над
полем К и Q(x) ^= 0. Покажем, что можно поделить мно-
многочлен Р{х) на многочлен Q{x) с остатком.
Пусть
Р(х) = аохп + а^г"-1 +... + аИ1
Q(x) = box™ + b^™-1 + . . . + bm.
Если п < m, то положим S(x) = 0 и R(x)=P(x) и
получаем требуемые частное и остаток. Если п ^ т, то
рассмотрим многочлен
Р{Х)~^ХП-
= Rx{x).
57
Многочлен R^x) не содержит члена с хп, поэтому его
степень не более чем п — 1 или Rx{x) = 0. Если
и А^. т, то рассмотрим многочлен
и т. д. Так как степень получающегося многочлена
строго меньше, чем степень предыдущего многочлена,
то этот процесс должен окончиться, т. е. на некотором
шаге получим
R , (г\ __ ^о -rl—mf) (-r\ ¦ R (-r\
s—1 \"^i h V \x) — "a \x)'
и степень многочлена Rs(x) будет меньше, чем степень
многочлена Q(x) или Rs\x) — 0. Тогда получим
Р (Я) = JEo. .^-
д х (я) =
Таким образом, выражение, стоящее в скобках, яв-
является частным от деления многочлена Р(х) на' Q(x)
и Rs(x) — остатком. Описанный здесь процесс деления
многочлена на многочлен представляет собой процесс
деления столбиком.
Следующая задача показывает, что если Р(х) и
Q(x) — Два многочлена и Q{x) ф 0, то каким бы спосо-
способом мы не делили Р{х) на Q(x) с остатком, частное и
остаток определяются однозначно.
201. Пусть
Р(х) = S^-Qix) + R^x),
Р(х) = S^v)-Q(x) + R%{X),
53
причем степени многочленов Rx(x) и R2(x) меньше,
чем степень многочлена Q(x) (может быть Rx(x) = 6
или Rz(x) = 0). Доказать, что
St(x) = St(x), Rt(x) = R2(x).
§ 2. Поле комплексных чисел
Из решения задачи 194 вытекает, что существуют
поля, более узкие, чем поле действительных чисел,
например, поле рациональных чисел. Мы же сейчас по-
построим поле более широкое, чем поле действительных
чисел, а именно, поле комплексных чисел.
Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары дей-
действительных чисел, т. е. пары вида (а, Ъ), где а и Ъ —
произвольные действительные числа. Будем считать,
что {а, Ъ) = (с, d) тогда и только тогда, когда а = с
и Ь = d. На множестве всех таких пар определим две
бинарные операции — сложение и умножение — сле-
следующим образом:
(а, Ъ) + (с, d) = (а + с, Ъ + d), B.1)
(a, b)-(c, d) = (ас — bd, ad + be) B.2)
(здесь в скобках в правых частях равенств обычные
операции над действительными числами). Например,
получаем
[V2, 3) + [V2, - 1) = B)/2, 2),
@, 1).@, 1) = (-1, 0).
Определение. Множество всевозможных упо-
упорядоченных пар действительных чисел с операциями
сложения и умножения, определенными согласно B.1)
и B.2), называется множеством комплексных чисел.
Из этого определения видно, что в комплексных
числах нет ничего «сверхестественного»: комплексные
числа — это вполне реально существующие пары дей-
действительных чисел. Однако может возникнуть вопрос:
правомерно ли называть такие объекты числами? Этот
вопрос мы обсудим в конце данного параграфа. Другой
вопрос, который может возникнуть у читателя,— по-
почему именно так, а не иначе определяются операции
сложения и умножения комплексных чисел (особенно
59
странной выглядит операция умножения)? На этот
вопрос мы ответим в § 3.
Выясним, какими хорошими свойствами обладает
определенноэ выше множество комплексных чисел.
202. Доказать, что комплексные числа образуют по
сложению коммутативную группу. Какое комплексное
число является единичным элементом (нулем) этой
группы?
В дальнейшем комплексные числа будет удобно
обозначать одной буквой, например z (или w).
203. Доказать, что операция умножения комплекс-
комплексных чисел коммутативна и ассоциативна, т. е. zx-z2 —
— z2-zx и {z1-Zn)-z3 = zx- (z^-Zg) для любых комплекс-
комплексных чисел zx, z2, za.
Легко проверить, что
¦(о, Ь)-A, 0) = A, 0)-(о, Ъ) = (а, Ь)
для любого комплексного числа (а, Ь). Таким образом,
комплексное число A, 0) является единичным элемен-
элементом в множестве комплексных чисел относительно ум-
умножения.
204. Пусть z — произвольное комплексное число и
z=t^(O, 0). Доказать, что существует комплексное чис-
число z-x такое, что
Z-ZT = Z~X
= A, 0).
Результаты задач 203 и 204 показывают, что комп-
комплексные числа образуют относительно операции ум-
умножения коммутативную группу.
205. Доказать, чго для операций сложения и ум-
умножения комплексных чисел выполняется закон дист-
дистрибутивности, т. е. (zx + z2)-z3 = zx-z3 + zz-z3 для лю-
любых комплексных чисел zx, z3, z3.
Из результатов задач 202 — 205 вытекает, что комп-
комплексные числа с операциями сложения и умножения,
определенными согласно B.1) п B.2), образуют поле.
Это и есть поле комплексных чисел.
Для комплексных чисел вида (а, 0), где а —произ-
—произвольное действительное число, формулы B.1) и B.2)
дают
(а, 0) + (Ь, 0) = (а + Ъ, 0),
(а, 0)-(Ь, 0) = (а- Ь, 0).
60
Таким образом, если сопоставить каждому комплекс-
комплексному числу вида (а, 0) действительное число а, то опе-
операциям над числами вида (а, 0) будут соответствовать
обычные операции над действительными числами. Поэ-
Поэтому мы просто отождествим комплексное число (а, 0)
и действительное число а *) и будем говорить, что поле
комплексных чисел содержит в себе поле действитель-
действительных чисел.
Комплексное число @, 1) не является действитель-
действительным (при нашем отождествлении), и мы обозначим его
чзрез i, т. е. i = @, 1). Так как поле комплексных чи-
сзл содержит все действительные числа и число i, то оно
содержит также числа вида b-i и а + b-i, где а и Ъ —
произвольные действительные числа и операции сло-
сложения и умножения понимаются как операции над
комплексными числами.
206. Пусть (а, Ъ) —комплексное число. Доказать,
что
{а, Ъ) = а + b-i.
Из результата задачи 206, очевидно, получаем, что
а + Ы = с + di тогда и только тогда, когда
а = с и Ъ = d.
Таким образом, любое комплексное число можно, и
причем единственным образом, представить в виде а-\-Ы,
где а и Ь —действительные числа. Если z = а + Ы,
то, следуя историческим традициям, принято а назы-
называть действительной частью комплексного числа z,
Ы —мнимой частью, Ъ —коэффициентом при мнимой
части.
Представление комплексного числа z в виде z —
= а + Ы называют алгебраической формой комплекс-
комплексного числа z.
Для комплексных чисел в алгебраической форме
формулы B.1) и B.2) перепишутся следующим образом:
(а + 6i) + (с + di) = (а + с) + (Ъ + d)i,
(а + Ы) • (с + di) = (ас — bd) + (ad + be) i.
B.3)
B.4)
n
*) Точно так же, например, рациональное число — отож-
1
дгетвляется с целым числом п.
61
207. Решить уравнение (найти формулу разности)
(а + bi) + (х + yi) = с + di.
208. Решить уравнение (найти формулу частного)
(а + Ы)-(х -\- yi) = с -\- di, где а + Ы фО.
Легко проверить, что
i-i = @, 1).@, 1) - (-1, 0) = -1,
т. е. г2 = —1. Таким образом, в поле комплексных
чисел извлекаются квадратные корни и из некоторых
отрицательных действительных чисел.
209. Вычислить: а) г3, б) г4, в) Vх.
210. Найти все комплексные числа г — х -J- yi та-
такие, что: a) z2 = 1, б) z2 = — 1, в) г2 = а2, r) z2 = — а2
(а — некоторое действительное число).
Определение. Комплексное число а — Ы на-
называется сопряженным комплексному числу z = а + bi
и обозначается z. Легко проверить, что
z + z = 2а, z-i"= a2 -f Ь2.
211. Пусть zx и z2 —произвольные комплексные
числа. Доказать, что: a) z1 + z2 = Zj+z?, б) zx—z2 =
= Ч — Z2. B) Zl*Z2 = Z
212. Пусть
P() + «iz"-1 + . . . + a,i-iz + o
j, Г) /-S-) = 4?-.
z — комплексное число и все аг- — действительные чис-
числа. Доказать, что P(z) = P(z).
Переход к комплексным числам является очередным
шагом в последовательности: натуральные числа — це-
целые числа —рациональные числа —действительные
числа — комплексные числа. Однако у читателя может
сложиться мнение, что до действительных чисел это на
самом деле числа, а комплексные числа — это уже не
числа, а объекты более сложной природы. Конечно,
терминология может быть принята любая, однако в
действительности комплексные числа вполне заслужи-
заслуживают, чтобы их называли числами.
Первое возражение против этого может состоять в
том, что это не числа, а пары чисел. Вспомним, однако,
62
что подобным же образом вводятся рациональные числа
(см., например, Кочетков Е. С., Кочетко-
в а Е. С., Алгебра и элементарные функции, ч. I,
изд. 10, «Просвещение», 1975). Рациональное число —
это класс равных дробей, а дроЗи — это пары целых
чисел, записываемых в виде — (где п =4= 0); при этом
действия над рациональными числами — это просто
действия над парами целых чисел. Поэтому первое воз-
возражение оказывается несостоятельным. Другое возра-
возражение может состоять в том, что числа — это то, чем
можно что-то измерять. Если понимать под этим, что
числа — это то, чем можно измерять все, что угодно,
то тогда надо запретить, например, отрицательные чис-
числа, так как не бывает отрезков длиной —3 см, а поезд
не может ехать —4 дня. Если же считать, что числа —
это то, чем можно (или удобно) измерять хоть что-ни-
что-нибудь, то тогда комплексные числа оказываются ничем
не хуже других чисел —ими очень удобно описывать,
например, ток, напряжение и сопротивление в элект-
электрических цепях переменного тока и это широко исполь-
используется в электротехнике *).
Таким образом, переход от действительных чисел
к комплексным является таким же естественным, как,
например, переход от целых чисел к рациональным.
§ 3. Единственность поля комплексных чисел
Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о том,
почему именно так, а не иначе определялись комплекс-
комплексные числа. Ответ на этот вопрос таков: мы хотели, что-
чтобы получилось поле, являющееся расширением поля
действительных чисел. А нельзя ли построить другое
поле, также являющееся расширением поля действи-
действительных чисел? На этот вопрос мы и ответим в этом па-
параграфе.
Определение. Изоморфным отображением
(или просто изоморфизмом) одного поля на другое назы-
*) См., например, «Теоретическиечосыовы электротехники»,
в трех томах, под общей редакцией Поливанова К. М., т. I.
Поливанов К. М., Линейные электрические цепи с сосре-
сосредоточенными постоянными, «Энергия», 1972.
63
вается взаимно однозначное отображение ф, которое
является изоморфизмом одновременно и относительно
сложения и относительно умножения, т. е. ср(а -f- b) = .
= ф(а) + ф(Ь) и ф(аЬ) = ф(а)ф(Ь). Поля, между кото-
которыми можно установить изоморфизм, называются изо-
изоморфными.
Если изучаются только сами операции сложения и
умножения в поле, то у изоморфных нолей все свойства
оказываются одинаковыми. Поэтому, так же как в слу-
случае групп, изоморфные поля можно не различать.
Как мы видели в предыдущем параграфе, в поле
комплексных чисел есть элемент i такой, что i2 = — 1.
Следующая задача показывает, что добавление такого
элемента к полю действительных чисел с необходи-
необходимостью приводит к полю комплексных чисел.
213. Пусть М —некоторое поле, содержащее в се-
себе поле действительных чисел и некоторый элемент i0
такой, что го — —1- Доказать, что М содержит неко-
некоторое поле М', изоморфное полю комплексных чисел.
Будем говорить, что некоторое поле является ми-
минимальным полем с данными свойствами, если оно об-
обладает этими свойствами и не содержит в себе других
полей с теми же свойствами.
В этом случае результат задачи 213 можно сформу-
сформулировать так: минимальным полем, содержащим поле
действительных чисел и элемент i0 такой, что il = — 1,
является поле комплексных чисел. Этот результат до-
доказывает в некотором смысле единственность поля
комплексных чисел. Однако имеет место существенно
более сильный результат. А именно, откажемся от
требования, чтобы поле М содержало элемент ?0 такой,
что fo = —1> и поставим задачу найти все поля, яв-
являющиеся минимальными расширениями поля дейст-
действительных чисел. Оказывается, что таких расширений
всего два (с точностью до изоморфизма), одно из них —
поле комплексных чисел. Покажем это.
Пусть поле М содержит поле действительных чи-
чисел, т. е. М содержит все действительные числа и опе-
операции над ними в поле М совпадают с обычными опе-
операциями над действительными числами. Пусть, кроме
того, поле М содержит элемент /, отличный от всех
действительных чисел. Тогда для любых действитель-
64
ных чисел аЛ, а2, .
равный
ап в М содержится элемент,
h а2г-2 + . . . + ап. C.1)
Будем называть п степенью выражения C.1).
Может быть 2 случая:
а) некоторое выражение вида C.1) при п ]> 1 за-
задает элемент, равный 0;
б) никакое выражение вида C.1) при п ]> 1 не рав-
равно 0.
Предположим сначала, что имеет место случай а).
Определение. Многочлен с коэффициентами
из некоторого поля К называется приводимым над по-
полем К, если он может быть представлен как произве-
произведение двух многочленов меньшей степени с коэффи-
коэффициентами из К. В противном случае он называется
неприводимым над полем' К *).
Например, многочлены а? —1 и ж2 —х ¦—1 приво-
приводимы над полем действительных чисел, так как ж3 —
= {х — 1)(х" + х + 1) и х2 — х — 1 =[х — 1+21/5)
X
Х\х —
^
а многочлены х
%
1 и
х1 -f- x -f- 1
неприводимы над полем действительных чисел. Оче-
Очевидно, что многочлены первой степени над любым
полем являются неприводимыми.
214. Выберем среди выражений вида C.1), равных 0,
выражение наименьшей степени п (п ^ 1). Пусть это
будет выражение
+ • • • + ап = 0.
Доказать, что многочлен
хп
а
неприводим над полем действительных чисел.
В дальнейшем мы покажем (см. 272), что любой
многочлен с действительными коэффициентами степени
выше второй приводим над полем действительных чи-
чисел. Поэтому п в задаче 214 должно быть не больше 2.
*) Многочлены, неприводимые над полем К, являются
аналогом простых чисел в множестве натуральных чисел.
В. Б. Алексеев
65
А так как п =^= i (иначе мы получили бы, что )г + а = О
и / равно действительному числу —а), то п = 2.
Таким образом, в случае а) (см. стр. 65) для неко-
некоторых действительных чисел р и д в поле М должно вы-
выполняться равенство
f + pj + q = О,
причем многочлен х'2 + рх -f- g должен быть неприво-
неприводим над полем действительных чисел.
215. Доказать, что в случае а) (стр. 65) поле М со-
содержит элемент i0 такой, что г'о = — 1-
Из результатов задач 215 и 213 вытекает, что в слу-
случае а) поле М содержит поле М', изоморфное полю комп-
комплексных чисел. Следовательно, если поле М —мини-
—минимальное расширение поля действительных чисел, то по-
поле М должно совпадать с М'. Таким образом, в слу-
случае а) любое минимальное поле, являющееся расши-
расширением поля действительных чисел, совпадает (т. е. изо-
изоморфно) с полем комплексных чисел. Итак, в случае а)
имеется единственное (с точностью до изоморфизма) по-
поле, являющееся минимальным расширением поля дей-
действительных чисел, а именно, поле комплексных чисел.
216. Найти все поля, являющиеся минимальными
расширениями поля действительных чисел в случае б)
(см. стр. 65).
§ 4. Геометрические представления
комплексных чисел
Введем на плоскости прямоугольную систему ко-
координат XOY и поставим в соотвзтствие каждому комп-
комплексному числу а + Ы точку плоскости с координата-
координатами (а, Ъ). Получим взаимно однозначное соответствие
между всеми комплексными числами и всеми точками
плоскости. Это дает нам первое геометрическое пред-
представление комплексных чисел.
217. Какие комплексные числа соответствуют точ-
точкам, указанным на рис. 13?
218. Пусть комплексные числа изображаются точ-
точками плоскости. Каков геометрический смысл преоб-
преобразования (г>, если для любого комплексного числа z:
68
a) rp(z) = —z, 6) (p(z) = 2z, в) ip(z) = z (z —сопря-
—сопряженное z).
Пусть A(xA, yA ) и В(хв, ув) —две точки плоскости
(рис. 14). Отрезок АВ с указанным на нем направле-
направлением от А к В называют вектором АВ. Координаты
У ,
¦ вг*
! 2
-2\ -1 0
С6- _;
-2
!
1 2 х
-
Рис. 13.
¦2-у
Рис. 14.
вектора АВ по определению вычисляются следующим
образом:
АВ АВ " Л
Два вектора считаются равными, если они параллель-
параллельны, одинаково направлены и равны по длине.
219. Доказать, что два вектора равны тогда и только
тогда, когда равны их соответствующие координаты.
Множество равных векторов рассматривают обыч-
обычно как один и тот же вектор, характеризуемый лишь
своими координатами, — так называемый свободный век-
вектор. Поставив в соответствие каждому комплексному
числу а + Ы свободный вектор с координатами {а, Ъ),
мы получим второе геометрическое представление комп-
комплексных чисел.
220. Пусть комплексным числам zlt z2 и z3 соответ-
соответствуют свободные векторы и, v и w. Доказать, что
Zi + 22 = z3 тогда и только тогда, когда и + о = w,
где сумма векторов вычисляется по правилу парал-
параллелограмма.
221. Доказать следующую взаимосвязь между дву-
двумя геометрическими представлениями комплексных
8* 67
чисел: если zA, zB и z_^ —комплексные числа, соответ-
АВ -. >
ствуюпще точкам А, В и вектору АВ, toz_^_ =z —z .
АВ
Из определения равных векторов получаем, что рав-
равные векторы имеют равную длину. Эта длина прини-
принимается также за длину свободного вектора, соответст-
соответствующего данному множеству равных векторов.
Определение. Модулем комплексного числа z
(обозначается |z|) называется длина соответствующего
ему свободного вектора *).
222. Пусть z = а + bi. Доказать, что
|zj3 = а2 + Ъ2 = z-I,
где z — число, сопряженное z.
223. Доказать неравенства:
a) |zi. 4- z2[ < IsJ 4- |z2|,
где zl, z2 —произвольные комплексные числа. В ка-
каких случаях имеет место равенство?
224. Докажите с помощью комплексных чисел, что
в произвольном параллелограмме сумма квадратов длин
диагоналей равна сумме квадратов длин всех сторон.
§ 5. Тригонометрическая форма
комплексных чисел
Напомним, что углом между лучами ОА и ОВ назы-
называется угол, на который надо повернуть луч О А вокруг
точки О против часовой стрелки, чтобы получить луч О В
(если вращение происходит по часовой стрелке, то углу
приписывается знак «минус»). При этом угол опреде-
определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого 2&л,
где к — любое целое число.
Определение. Пусть точка О — начало ко-
координат, и пусть вектор ОА с координатами (а, Ъ) со-
*) Для действительных чисел (как частного случая комп-
комплексных чисел) введенное здесь понятие модуля совпадает с по-
понятием абсолютной величины. В самом деле, действительному
числу а + СИ соответствует вектор с координатами (а, О), парал-
параллельной оси х, н длина его равна \а\ — абсолютной величпне
числа а.
68
ответствует комплексному числу z = a -\- bi (рис. 15).
Аргументом комплексного числа z (обозначается Arg z)
называется угол между положительным направлением
оси ОХ и лучом ОА (рис. 15) (если z=0, то Arg z не оп-
определен).
Так как для данного числа z =?= 0 указанный угол
определяется неоднозначно, то под записью Arg z мы
будем понимать многозначную
функцию, принимающую для
каждого z =j!= 0 бесконечное мно-
множество значений, разность ко-
которых кратна 2л.
Запись Arg z = ф будет оз-
означать, что одно из значений
аргумента равно ср.
Пусть z = a -\- bi =4= 0 и
—>
\z\ = г. Вектор О А с коорди-
координатами (а, Ь) соответствует
комплексному числу а + bi, и
поэтому его длина равна г. Пусть, кроме того,
Arg z = ф. Тогда по определению тригонометрических
функций (см. рис. 15)
cos ф =
sin ф = —.
Отсюда
z = а + bi = r- cos ф + i-r- sin ф =
= r(cos ф -f- i sin ф),
где г = \z\, ф = Arg 2, и мы получаем тригонометри-
тригонометрическое представление комплексного числа z.
Например, если z = — 1 4- ]/~3 i, то | z | = ]/~1 4-3 —
= 2 (см. 222) и cos ср = — -7Г, sin ф = -^—. Мож-
п / О
но взять ф = -5-, тогда z = — 1 4- У^З ъ = 2 I cos -^- 4"
, . . 2л'
4" I SIB -g"
225. Представить в тригонометрической форме сле-
следующие комплексные числа: а) 1 4" i, С) — \ 3 — ?,
в) Ы, г) —5, д) 1 4- 2г.
6S
226. Пусть zx — гi (cos ip! -4- i sin ipx) и z2 —
= r2 (cos cp2 + i sin ф2). Доказать, что
zx-z% = rxr2
— == —(cos
z2 r2
(cos
ф2) 4- i sin (<px + ф2)),
х — Ф2) + i sin (фх — ф2)) (z2 ^ 0).
Таким образом, при умножении комплексных чи-
сэл их модули перемножаются, аргументы складывают-
складываются, при делении модули делятся, аргументы вычи-
вычитаются.
227. Доказать формулу Муавра *):
[r(cos ф + i sin ф)]п — rn(cos пц> 4- i sin пц>)
для любого натурального числа п.
A-УзО100
228. Вычислить
>100
229. Пусть z — r(cos ф + s sin ф) — фиксирован-
фиксированное комплексное число и п — натуральное число. Най-
Найти все комплексные числа и>, удовлетворяющие ра-
равенству
wn — z. E.1)
Определение. Запись y^z (корень степени п
из z) мы будем понимать как многозначную функцию,
ставящую в соответствие каждому комплексному чис-
числу z ф 0 все п решений уравнения E.1). При z — 0
будет у1 0 = 0.
230. Найти все значения корней^ а) ]/"—1, б)уд>,
в) y^cos 100е" 4- г sin 100J, г) y'T+l,
Для дальнейшего удобно ввести следующее обозначе-
обозначение:
i?L + i sin i?b#
231. Доказать, что все значения у 1— это 1, еп,
Замечание. Так как е" = 1, то множество эле-
элементов 1, е„, ?п, • - ., б" является циклической груп-
группой относительно умножения.
*) Муавр A667—1754) — английский математик.
70
232. Пусть zx — одно из значений y^z0. Найти все
п.
значения у z0.
В дальнейпгем мы будем в основном исиользовать
представление комплексных чисел точками плоскости,
т. е. комплексному числу z = а -\- Ы будем ставить
в соответствие точку с координатами (а, Ъ). При этом
вместо «точка, соответствующая комплексному чис-
числу z» мы будем говорить просто «точка z».
233. Пусть комплексные числа изображаются точ-
точками плоскости. Каков геометрический смысл выра-
выражений: a) \z\, б) Arg z, b)\z± — z2|, г) Arg —?
234. Найти геометрическое место точек "z, удовлет-
удовлетворяющих следующим условиям (z0, zt, z2 — фиксиро-
фиксированные комплексные числа, R —фиксированное дей-
действительное число):
a) \z\ = 1, б) \z\ = R, в)|г - ао| = R, г) \z ~ zo| < Rt
д) |z — zj = \z — z2|, e) Arg z = я, ж) Argz = —-,
з) Arg z = ф.
235. Как располагаются на плоскости все значе-
значения j/^z, где z — фиксированное комплексное число.
§ 6. Непрерывность
В дальнейшем важную роль для нас будет играть
понятие непрерывности и, в частности, понятие непре-
непрерывной кривой. Если читатель не знает строгого опре-
определения этих понятий, то он, по-видимому, все же ин-
интуитивно понимает, что такое непрерывная кривая,
а также непрерывная функция действительного пере-
переменного (на интуитивном уровне можно сказать, что это
такая функция, у которой график — непрерывная кри-
кривая). Однако если функция действительного перемен-
переменного является достаточно сложной (например,/(х) =
2-3 2х \
=-г--—: ,—г > то установить, непрерывна ли она,
используя лишь интуитивное понятие непрерывности,
довольно тяжело. Поэтому мы дадим строгое опреде-
определение непрерывности и с помощью него докажем не-
несколько основных исходных утверждений о непрерыв-
непрерывных функциях. При этом мы дадим определение не-
71
прерывности как для функций действительного аргу-
аргумента, так и для функций комплексного аргумента.
Если мы рассмотрим график некоторой функции
действительного аргумента, то этот график в некоторых
точках может быть непрерывным, а в некоторых точках
может иметь разрывы. Поэтому естественно ввести сна-
сначала определение не вообще непрерывности функции,
а непрерывности функции в данной точке.
Если мы попытаемся более точно определить наше
интуитивное представление о непрерывности функ-
функции f(x) в данной точке х0, то получим, что непрерыв-
непрерывность означает следующее: при малых изменениях ар-
аргумента вблизи точки х0 функция тоже изменяется
мало относительно значения /(х0). Причем можно до-
добиться сколь угодно малого изменения функции, вы-
выбирая достаточно малый интервал изменения аргумента.
Болеэ строго это можно сформулировать следующим
образом.
Определение. Пусть f(z) — функция дейст-
действительного или комплексного аргумента z. Говорят, что
функция /(z) непрерывна в точке го,если для любого дей-
действительного числа е ^> 0 можно подобрать такое дей-
действительное число б ^> О (зависящее от z0 и от е), что
для всех чисел z, удовлетворяющих условию
\z—zo\ < б, будет выполняться неравенство
l/(*)-/(zo)|<e*).
Пример 15. Докажем, что функция комплексно-
комплексного аргумента /(z) = 2z непрерывна в любой точке z0.
Пусть заданы точка z0 и произвольное действительное
число s > 0. Нужно подобрать такое действительное
число б > 0, чтобы для всех чисел z, удовлетворяющих
условию \z —zo\ < б, выполнялось неравенство
|/(z) —f(zo)\ — \2z —2z0j < e. Нетрудно видеть, что
можно выбрать б = —~- (независимо от точки z0). Дейст-
Действительно, тогда из условия \z —zo\ < S будет выте-
вытекать:
|2z — 2zo| = |2(z — zo)| = (см. 226) =
= |2|-|z -zo|<26 = e,
*) Геометрический слилсл неравенств \z
f(zo)\ < s см, в задачах 233в) и 234 г).
п 1/(=) -
т. е. |2z —2za| < е. Таким образом, функция f(z) = 2z
непрерывна в любой точке z0. В частности, она непре-
непрерывна при всех действительных значениях аргумента z.
Поэтому, если мы ограничимся только действительными
значениями аргумента, то получим, что функция дей-
действительного аргумента f(x) = 2x непрерывна при всех
действительных значениях х.
236. Пусть а — фиксированное комплексное (или,
в частности, действительное) число. Доказать, что
функция комплексного (или действительного) аргумен-
аргумента /(z) = а непрерывна при всех значениях аргумента.
237. Доказать, что функция комплексного аргумен-
аргумента /(z) = z и функция действительного аргумента
f(x) = х непрерывны при всех значениях аргумента.
238. Доказать, что функция комплексного аргумен-
аргумента/(z) = z2 непрерывна при всех значениях аргумента z.
Определение. Пусть f(z) и g(z) — две функ-
функции комплексного (или действительного) аргумента.
Функция комплексного (или действительного) аргумен-
аргумента h(z) называется суммой функций f(z) и g(z), если в
каждой точке z0 выполняется равенство h(z0) = /(z0) -f-
+ g(z0). При этом, если значение /(z0) или g(z0) не опре-
определено, то значение h(z0) также не определено. Точно
так же определяются разность, произведение и частное
двух функций.
239. Пусть функции комплексного или действитель-
действительного аргумента f(z) и g(z) непрерывны в точке z0. Дока-
Доказать, что в точке z0 непрерывны функции: a) h(z) =
= f(z) -r g(z), 6)h(z)=f(z) — g(z), в) h(z) = f(z)-g(z).
Из результата задачи 239 в) получаем, в частности,
что если функция /(z) непрерывна в точке z0 и п — на-
натуральное число, то функция [f{z)\n также непрерывна
в точке z0.
240. Пусть функции комплексного или действитель-
действительного аргумента f(z) и g(z) непрерывны в точке z0 и
g(z0) =^= 0. Доказать, что в точке z0 непрерывны функ-
функции: a) h(z) = -±-, б) h{z)=f-S±L
' v ' g B)' ; х ' g{z)
Определение. Пусть f(z) и g(z) —две функ-
функции комплексного или действительного аргумента.
Функция h(z) называется суперпозицией функций /(z)
и g{z), если в каждой точке z0 выполняется равенство
h(z0) — f(g(z0))- При этом, если g(z0) не определено или
73
функция /(z) в точке g(z0) не определена, то и h(z0) не
определено.
241. Пусть f(z) и g{z) —функции комплексного или
действительного аргумента. Пусть g(z0) = z1; и пусть
. функция g{z) непрерывна в точке г0, а функция f(z)
непрерывна в точке zx. Доказать, что функция h(z) =
= f(g{z)) непрерывна в точке z0.
Из результатов задач 239 — 241 вытекает, в част-
частности, что если из нескольких функций комплексного
(или действительного) аргумента, непрерывных при
всех значениях аргумента, построено некоторое выра-
выражение с помощью операций сложения, вычитания, ум-
умножения, деления, возведения в натуральную степень
и суперпозиции, то полученное выражение будет зада-
задавать функцию, непрерывную всюду, где ни один из
знаменателей не обращается в 0.
Например, учитывая результаты задач 236 и 237,
получаем, что функции f(z) = zn, f(z) — azn и вообще
f(z) = пцр1 + ах^~х + . . . + ап являются непрерыв-
непрерывными функциями аргумента z при любых комплексных
числах а, а0, ах, . . ., ап.
242. Доказать, что функции действительного аргу-
аргумента }(х) = sin х и f{x) = cos x непрерывны при всех
значениях аргумента х.
243. Рассмотрим при всех действительных значе-
пиях х ^ 0 функцию / (х) = т/^г, где п — некоторое на-
натуральное число и Ух берется неотрицательным. До-
Доказать, что эта функция непрерывна при всех х > 0.
При изучении непрерывности приходится сталки-
сталкиваться с некоторыми утверждениями, которые интуи-
интуитивно кажутся совершенно очевидными, но строгое
доказательство которых соиряжено с большими тех-
техническими трудностями и требует более строгого, чем
это делается в школе, определения действительных чи-
чисел, а также изучения основ теории множеств и тополо-
топологии. Примером такого утверждения может служить
следующее утверждение: если функция действительно-
действительного аргумента f{x) непрерывна на некотором отрезке и
принимает на этом отрезке только целочисленные зна-
значения, то она принимает на всем отрезке одно и то же
значение. Действительно, интуитивно кажется очевид-
очевидным, что при движении точки х по отрезку значение
74
функции Цх) должно изменяться непрерывно и не мо-
может «перескочить» из одного целочисленного значения
в другое. Однако доказать это утверждение строго до-
довольно тяжело.
В дальнейшем изложении мы будем больше ориен-
ориентироваться на интуицию читателя и примем несколько
«интуитивно ясных» утверждений, связанных с непре-
непрерывностью, без доказательства. В частности, без дока-
доказательства мы примем утверждение, сформулированное
выше в качестве примера. Строгое доказательство это-
этого утверждения в популярном изложении можно найти,
например, в книге: Стинрод Н. иЧинн У.,
Первые понятия топологии, «Мир», 1967.
§ 7. Непрерывные кривые
Пусть параметр t принимает действительные значе-
значения на отрезке 0^ ? <1 1, и пусть каждому такому
значению t поставлено в соответствие некоторое комп-
комплексное число
z{t) = x{t) + ty(t).
Плоскость, на которой изображаются значения z, мы
будем в дальнейшем назы-
называть просто «плоскость z».
Если функции x(t) и y(t) не-
непрерывны при 0^ t <^. 1, то
при изменении t от 0 до 1 точ-
точка z(t) будет описывать не-
некоторую непрерывную кривую
на плоскости z. При этом мы
будем рассматривать эту кри-
кривую с направлением, прини- '
мая точку z0 = z@) за на- Рис. 16.
чальную, а точку zx — z(l)
за конечную. Функцию z{t) мы будем называть парамет-
параметрическим уравнением этой кривой.
П р им ер 16. Пусть z(t)=-t + it%. Тогда x(t) = t и
y(t) = t'2. Поэтому y{t) = x~{t) при любом t, т. е. точка
z(t) при любом t лежит на параболе у = х2. При изме-
изменении t от 0 до 1 x(i) также меняется от 0 до 1 и точка
2.A) пробегает дугу параболы у = х- от точки ztt = 0 до
точки zx = l + i (рис. 1.6).
75
\
0
х
244. Построить на плоскости z кривые, задаваемые
следующими параметрическими уравнениями: a) z(t) =
= 2t; б) z(t) = it; в) z(t) = it2; г) z(t) = t — it; д) z(t) =
= t- + it; e) zB) = i?(cos 2nt + i sin 2лг); ж) z(t) =
= i?(cos 4rt? + i sin 4л2); з) z{t) = R(cos nt + i sin л?);
и) z@ =•
cos 2nt + i sin 2sit при 0 =s^ t ^ ——,
4i—3 при -2-<;i^l.
245. Написать какое-нибудь параметрическое урав-
уравнение отрезка, соединяющего точки z0 = а0 + &0? и
2i = «1 + <bii-
Замечание. В последующих задачах парамет-
параметрические уравнения имеют индексы. Эти индексы ука-
указывают лишь на номер кривой, но рассматриваются
данные кривые на одной и той же плоскости z.
246. С помощью каких геометрических преобразо-
преобразований из кривой Сг с уравнением zx(t) получается кри-
кривая С2 с уравнением z*{t), если:
а) z2(?) = z^t) -f- z0 (z0 — фиксированное комплекс-
комплексное число);
б) z2(t) = a-zx{t), где а — действительное положи-
положительное число;
в) z2(t) == Zo-z^t), где \zo\ =- 1;
г) z2(t) = zo-z1(^), где z0 —произвольное комплекс-
комплексное число?
247. Пусть zx(t) — параметрическое уравнение кри-
кривой С. Какая кривая описывается уравнением z.z(t),
если z2(t) = zx(l — t)?
248. Пусть z^t) и z2(t) -— параметрические уравне-
уравнения кривых Сг"и С2, и пусть zx(l) = z.2@). Какая кри-
кривая описывается уравнением z3(t), если
при
z2B*-l) при -i_<^<l?
249. Пусть z(t) — cos nt -f- i sin я^ (рис. 17). Найти
все значения Arg z(t) в зависимости от t.
76
250. Пусть z(^) = cos nt -\- i sin л^. Как нужно
выбрать одно из значений Arg z(t) при каждом t, чтобы
выбранные значения изменялись непрерывно при из-
изменении ? от 0 до 1, при условии, что Arg z@) выбран
равным: а) 0, б) 2л, в) —4я, г)
2пк (к — фиксированное целое
число).
Следующее утверждение ин->
туитивно кажется достаточно
очевидным, и мы приведем его
без доказательства.
Теорема 6. Пусть не-
непрерывная кривая С с парамет-
параметрическим уравнением z(t) не
проходит через начало коорди-
координат {т. е. z(t) =7^= 0 при О
Рис. 17.
t
1),
и пусть
аргумент начальной точки кривой С {т. е. Arg z@))
выбран равным <р0. Тогда можно так выбрать одно
из значений аргумента для всех точек кривой С, чтобы
при движении точки по кривой ее аргумент изменялся
непрерывно, начиная со значения ср0.
Другими словами, можно при каждом t выбрать
ф(?) — одно из значений Arg z(t) так, чтобы функция
ср(?) была непрерывна при О ^ t ^ 1 и чтобы ф@) =
= Фо*).
251. Пусть (f(i) и cf'(t) —две функции, описываю-
описывающие непрерывное изменение Arg z(t) вдоль кривой С.
Доказать, что ср(?) — ф'@ = 2л&, где к —некоторое
фиксированное целое число, не зависящее от t.
252. Доказать, что если выбрано некоторое значе-
значение ф@) = ф0, то функция ф(?), описывающая непре-
непрерывное изменение Arg z{t) вдоль кривой С, определяет-
определяется однозначно.
253. Пусть функция cp(t) описывает непрерывное из-
изменение Arg z(t). Доказать, что функция ty(t) — q>(t) —
— ф@) однозначно определяется функцией z(t) и не за-
зависит от выбора ф@).
*) В книге: Стннрод Н., Чины У., Первые понятия
топологии,. «Мир», 1967, §§ 20—23, строго и доступно опреде-
определяется угол, заметаемый данной кривой. Используя это поня-
понятие, легко получить утверждение теоремы 6: достаточно поло-
положить ф(?) = фо + 4>i(t), гдз Фг(О — угол, заметаемый частью
дапной кривой от г@) до z(t).
77
Из утверждения задачи 253 вытекает, в частности,
при t = 1, что для данной непрерывной кривой С,
не проходящей через точку z = О, величина срA) —
— ф@) однозначно определяется условием непрерыв-
непрерывного изменения cp(t).
Определение. Величину <рA) — ф@) будем
называть изменением аргумента вдоль кривой С.
254. Чему равно изменение аргумента вдоль кри-
кривых со следующими параметрическими уравнениями:
а) z{t) = cos nt + i sin nt,
б) z{t) = cos 2nt + i sin 2nt,
в) z(t) = cos Ant + i sin 4л?,
г) z(t) == A — t) + ^?
255. Чему равно изменение аргумента вдоль кри-
кривых, изображенных на рис. 18?
Рис. 18.
Если непрерывная кривая С замкнута, т. е. z(l) =
= z@), то величина срA) — ф@) имеет вид 2пк, где
к —целое число.
Определение. Если для непрерывной замк-
замкнутой кривой С, не проходящей через точку z = О,
изменение аргумента равно 2кк, то будем говорить, что
кривая С обходит к раз вокруг точки z = 0.
256. Сколько раз обходят вокруг точки z = 0 сле-
следующие кривые:
a) z(f) = 2 cos 2nt + 2i sin 2nt (рис. 19),
73
6) z(t) = -w- cos4ni 2~
(рис. 20),
в) кривая на рис. 21,
г) кривая на рис. 22?
257. Доказать, что число обходов непрерывной зам-
замкнутой кривой вокруг точки z=0 не зависят от выбора
начальной точки, а зависит только от направления
кривой.
Рис. 19.
Рис. 20.
i
0
1
rr
Рис. 21.
Рис. 22.
258. Пусть кривая С с уравнением zx(t) обходит к
раз вокруг точки z = 0. Сколько раз обходит вокруг
точки г = 0 кривая с уравнением z.2(t), если: a) z2(t) —
= 2-zl(t);6) z.2(t) =—-Zi{t); в) z.2(t) = zo-zx{t), где z0 =^= 0;
r) z2(i) = zx(/), где z — число сопряженное z?
Определение. Пусть замкнутая непрерывная
кривая С с уравнением zx{t) не проходит через точ-
точку z = z0. Тогда будем говорить, что кривая С обхо-
обходит к раз вокруг точки z0, если кривая с уравнением
7а
z2(t) = z-iit) —z0 обходит к раз вокруг точки z = О
(рис. 23).
Таким образом, для определения числа обходов кри-
кривой вокруг точки z = z0 нужно следить за вращением
вектора zx(t) —z0, который
можно рассматривать как
вектор, соединяющий точ-
точки z0 и zx(t) (см. 221).
259. Сколько раз об-
обходят вокруг точки z = 1
кривые, описанные в за-
задаче 256?
260. Пусть z±(t) та z2(t) —
уравнения кривых Сх\гС^
не проходящих через точ-
точку z = 0. Пусть измене-
изменения аргумента вдоль этих
рпс 23 кривых равны соответст-
соответственно фх и ф2. Чему равно
изменение аргумента вдоль кривой С с уравнением z(t),
если: a) z(t) = zx{t) ¦ z.2(t), б) 2(*) = f^-?
§ 8. Отображение кривых. Основная теорема
алгебры комплексных чисел
Пусть даны две плоскости комплексных чисел —
плоскость z и плоскость w, и пусть задана функция
w = f(z), которая каждому значению z ставит в соот-
соответствие однозначно определенное значение w. Если на
плоскости z имеется непрерывная кривая С с уравне-
уравнением z(t), то посредством функции w = f(z) каждая точ-
точка этой кривой отображается в некоторую точку пло-
плоскости w. Если при этом функция f(z) непрерывна,
то на плоскости w мы также получим непрерывную
кривую с уравнением wo(t) — f(z(t)). Эту кривую мы
будем обозначать /(С).
261. Что представляет собой кривая /(С), если w —
= /B) = z2, и кривая С:
а) четверть окружности:
2@=
ism
б) полуокружность: z(t) = R(cos nt + г sin nt),
в) окружность: z(t) = R(cos 2nt + i sin 2n,t)?
262. Пусть изменение аргумента вдоль кривой С
равно ф. Чему равно изменение аргумента вдоль кри-
кривой/(С), если: a) f(z) — z2, б) /(г) = z3, в) f{z) — zn, где
п — произвольное натуральное число?
263. Пусть кривая С обходит А; раз вокруг точки z =
= z0. Сколько раз обходит вокруг точки w — 0 кри-
кривая /(С), если f\z) = (z —zo)n?
264. Пусть кривая С обходит вокруг точек z = 0,
z = l,.z = ?, z = — i соответственно кг, k2, k3, кЛ раз.
Сколько раз обходит вокруг точки w = 0 кривая f(C),
если: a) f(z) = z2 - z, б) f(z) = z2 + 1, в) /(z) = (z2 +
+ izL, r) f(z) = z3—z2+ z—1?
Рассмотрим уравнение
anzn
a
= 0,
где все at — произвольные комплексные числа, п !> 1
и ао=т^=0. Наша ближайшая цель —показать, что это
уравнение имеет хотя бы один комплексный корень.
Если ап = 0, то уравнение имеет корень z = 0. Поэ-
Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что ап =^= 0.
Обозначим наибольшее из чисел \ао\, \ах\, ..., \ап\
через А:~ Так как а0 =f= 0, то А > 0. Выберем положи-
положительные действительные числа Rx и R2, причем Rx вы-
выберем настолько малым, чтобы выполнялись два не-
\а I
равенства: Rx ^ 1 и Rx <Z ' ' ? a i?2 настолько боль-
большим, чтобы выполнялись два неравенства: i?2
о ^ 104га.
Li Доказать, что
и
l«ol
265. Пусть
|z| —
-г • • • + а-п-'
10
266. Пусть \z\ = R2. Доказать, что
Кривую с уравнением z(t) = i?(cos 2nt + i sin
(т. е. окружность радиуса R, проходимую против ча-
часовой стрелки) обозначим CR . Так как кривая CR
замкнута (z(l) = z@)), то и кривая f(CR ), где /(z) =
81
^ Л- . • • -V an, также замкнута (/(z(l)) = /(z@))).
Пусть v(R) — число обходов кривой f{CR ) вокруг точ-
точки w = 0 (если f(CR ) не проходит через точку w — 0).
267. Чему равны значения v(Rx) и v(i?2)?
Будем теперь изменять радиус R непрерывно от i?x
до i?2. При этом кривая f(CR) будет непрерывно дефор-
деформироваться от положения /(CrJ до положения /(Сд2).
Если при некотором значении R кривая f(CR) не про-
проходит через точку w = 0, то при достаточно малых из-
изменениях R кривая f(CR) будет деформироваться так
мало, что число ее обходов вокруг точки w = 0 не из-
изменится, т. е. при данном значении R функция v(R)
непрерывна. Если бы кривые f(CR) при всех значениях
i?x ^ R ^ i?2 не проходили через точку w = 0, то v(i?)
было бы непрерывной функцией при всех Rx ^ R ^ R.2.
Так как функция v(R) принимает только целочисленные
значения, то она может быть непрерывна, только если
v(i?) при всех R из отрезка Rx ^ R ^ R2 принимает
одно и то же значение; в частности, должно быть
v(/?1) = v(R2)- Но из решения задачи 267 следует, что
v(Rx) = 0, a v(R2) = п. Следовательно, предположе-
предположение о том, что кривые f(CR) при всех Вх ^ R <^ В2
не проходят через точку w = 0, неверно. Значит,
ири некотором z должно быть f(z) = 0. Тем самым
мы получаем теорему *).
Теорем а7 (основная теорема алгебры комплекс-
пых чисел) **). Всякое уравнение
arf* + a^—i + . . . + an-xz + an = 0,
где все а{—произвольные комплексные числа, п ~^- 1 и
aa=fi= 0, имеет по крайней мере один комплексный
корень.
268. Доказать теорему Безу ***); если z0— корень
уравнения aozn -f- . . . -J- an-xz + an = 0, то много-
*) Наше рассуждение содержит некоторые нестрогостп
и должно рассматриваться, вообще говоря, как идея доказатель-
доказательства. Однако это рассуждение можно (хотя и не просто) сделать
абсолютно строгим (см., например, С т и н р о д Н., Ч и н н У.,
Первые понятия топологии, «Мир», 1967).
**) Эта теорема доказана в 1799 году немецким математи-
математиком К. Гауссом A777—1855).
***) Безу A730—1783) — французский математик.
82
член aozn + . . . + an-xz + an делится на двучлен
z—z0 без остатка.
26Э. Доказать, что многочлен aozn + . . . + an-iz +
-\- ап, где а0 ^ 0, представим в виде
/у /тТХ [ [ /у /у —L— /т ——
"¦О* Т^ • • • Т^ un—lz i un —¦
= ao(z — zj)(z — z2)- ... -(z~zn).
Замечание. Пусть многочлен P{z) разложен
на множители:
P(z) = ao(z —zx)(z — z2). ... -(z — zn).
Правая часть равна 0 тогда и только тогда, когда хо-
хотя бы одна из скобок равна 0 (см. 195, 197). Поэтому
корнями уравнения P{z) = 0 являются числа
z2, .
и только они.
270. Пусть z0 — корень уравнения
aozn ~г ••• . an—iz ~г йп == Oj
где все at — действительные числа. Доказать, что чис-
число z0, сопряженное z0, — также корень этого уравнения.
271. Пусть уравнение с действительными коэффи
циентами
aozn
ап ~ 0
имеет комплексный корень z0, не являющийся дейст-
действительным числом. Доказать, что многочлен aozn +
+ ... + an-.xz'-\- an делится на некоторый многочлен
второй степени с действительными коэффициентами.
272. Доказать, что всякий многочлен с действитель-
действительными коэффициентами можно представить в виде произ-
произведения многочленов первой ж второй степени с дейст-
действительными коэффициентами.
Замечани е. Из результата задачи 272 выте-
вытекает, что неприводимыми многочленами (см. стр. 65)
над полем действительных чисел являются только мно-
многочлены первой степени и многочлены второй степени
без действительных корней. Мы воспользовались этим
в § 3 этой главы. Над полем комплексных чисел непри-
неприводимыми многочленами, как следует из результата
задачи 269, являются только многочлены первой сте-
степени.
Вернемся снова к многочленам с произвольными,
комплексными коэффициентами.
S3
Определение. Пусть z0 — корень уравнения
aozn + ... + an-xz -г ап = 0.
Говорят, что z0 — корень кратности к, если много-
многочлен uqZ71 + .-• + «n-iz + ап делится на (z —zo)h и
не делится на (z —zo)ft+1.
273. Какова кратность корней z = 1 иг — — 1 в
уравнении
z5 — z4 — 2z3 + 2z2 + z — 1 = 0?
Определение. Производной многочлена
P(z) = aozra + c^z"—* + ... + ahzn~h + ...
... + «„-iz + «„
называется многочлен
P'(z) = aQnzn-i + ах(/г
re — k)zn~ h~[
г—!•
Производная обычно обозначается штрихом.
274. Пусть P(z) и Q{z) —два многочлена. Дока-
Доказать равенства: a) (P(z) + Q(z))' = P'(z) + Q'(z);
б) (с • P(z))' = c-P'(z), где с —произвольное постоянное
комплексное число; в) (P(z)-Q(z))' = P'{z)-Q(z) +
+ P(z)-Cr(Z).
275. Пусть P(z) = (z — z0)" (n ^ 1 —целое). До-
Доказать, ЧТО P'(z) = n(z Zq)""".
276. Доказать, что если уравнение P{z) = 0 имеет
корень z0 кратности к > 1, то уравнение P'(z) = 0 име-
имеет корень z0 кратности /с —1, если же уравнение
jP(z) = 0 имеет корень z0 кратности 1, то .P'(z0) =г<ь 0.
^ 9. Риманова поверхность функции w = ]/z
Выше мы рассматривали однозначные функции,
при которых каждому значению аргумента соответ-
соответствует единственное значение функции. Однако в даль-
дальнейшем нас будут особо интересовать многозначные
функции, при которых некоторым значениям аргумента
34
соответствует несколько значений функции *). Наш ин-
интерес к таким функциям легко объясним. Действитель-
Действительно, конечной целью нашего изложения является дока-
доказательство теоремы Абеля о том, что функция, выра-
выражающая корни общего уравнения 5-й степени через
коэффициенты, не выражается в радикалах. Но эта
функция является многозначной, так как уравнение
5-й степени при фиксированных коэффициентах имеет,
вообще говоря, 5 корней. Также многозначными яв-
являются и функции, выражающиеся в радикалах.
Общая идея доказательства теоремы Абеля состоит
в следующем. Многозначной функции комплексного ар-
аргумента мы сопоставим некоторую группу — так назы-
называемую группу Галуа**). При этом окажется, что груп-
группа Галуа для функции, выражающей корни некоторого
уравнения 5-й степени через параметр z, не может сов-
совпадать ни с какой группой Галуа для функций, выра-
выражающихся в радикалах, и, следовательно сама эта
функция не может выражаться в радикалах.
Для того чтобы ввести понятие группы Галуа, мы
введем сначала другое очень важное в теории функций
комплексного переменного понятие — понятие рима-
новой ***) поверхности многозначной функции. При этом
мы начнем с построения римановой поверхности для
одного из простейших примеров многозначной функ-
функции, а именно функции w = ]/~z.
Как мы знаем, функция w = \/~z принимает одно
значение w = 0 при z = 0 и два значения при всех
z фО (см. 229). При этом, если w0 —одно из значе-
значений ~\^z0, то другое значение У"г0 равно —w0.
277. Найти все значения: а) 1/1, б) ]А^~1, в) ~\/~i,
г) У 1 -\- i J/-3 (здесь \^2> — положительное значение
корня).
*) В тех случаях, когда это не вызывает недоразумений,
мы слово «многозначные» будем часто опускать.
**) Эварист Галуа A811 —1832) — французский математик,
установивший общие условия разрешимости уравнений в ради-
радикалах, заложивший основы теории групп. Советуем прочесть:
И н ф е л ь д Л., Эварист Галуа (Избранник богов), пзд-во
«Молодая гвардия», М., 1958.
***) Назвали по имени Б. Римана A826—1866) — немецкого
математика.
85
Проведем на плоскости z разрез по отрицательной
части действительной оси от 0 до — оо и для всех z, не ле-
лежащих на разрезе, выберем то значение w = ]/"z, ко-
которое лежит в правой полуплоскости плоскости w.
При этом мы получим некоторую функцию, однознач-
однозначную и непрерывную на всей плоскости z, исключая раз-
разрез, которую мы обозначим ~\/~z. Эта функция задает
однозначное и непрерывное отображение плоскости z,
исключая разрез, на правую полуплоскость плоско-
плоскости w (рис. 24).
Рис. 24.
Замечание. Если мы выберем Arg z так, что
— л; < Arg z< я, то для функции "J/^z получим Arg "j/"z =
1 1
= -тг- Arg z (см. 229). Пэтому при отображении w = ~\/~z
*• i
плоскость z стягивается наподобие веера к положи-
положительной части действительной оси с уменьшением угла
«веера» вдвое и некоторым изменением длин вдоль лу-
лучей «веера».
Если мы теперь для всех z, не лежащих на разрезе,
выберем то значение w = ~[/~z, которое лежит в левой
полуплоскости плоскости w, то получим другую функ-
функцию, также однозначную и непрерывную на всей пло-
плоскости z, исключая разрез. Эта функция, которую мы
обозначим j/"z, задает однозначное и непрерывное отоб-
2
85
ражёнйе плоскости Z, исключая разрез, на Левую по-
полуплоскость плоскости w (рис. 25). Здесь ~\/"z = — Y"z.
2 i
Построенные нами функции ~\/~z и "j/~z называются
12 _
однозначными непрерывными ветвями функции w — ~\rz
(при данном разрезе).
Рис. 25.
Возьмем теперь два экземпляра плоскости z, которые
мы будем называть листами, и на каждом проведем
разрез по отрицательной
части действительной оси
от 0 до—оо (рис. 26). За-
Зададим на первом листе
функцию |/~2, а на втором
1
листе функцию j/"i. Тогда
2 _
функции y^z и ]/"z мы мо-
1 2
жем рассматривать вместе
как некоторую единую
однозначную функцию, но
заданную не на плоскости z, а на более сложной поверх-»
ности, состоящей из двух отдельных листов.
При этом, если точка z движется непрерывно по
первому листу (или по второму листу), не пересекая
разреза, то построенная нами однозначная функция
изменяется непрерывно. Если же точка z, двигаясь, на-
например, по первому листу, переходит через разрез,
то непрерывность нарушается. Это видно, например,
87
/ (
/ о
/ в
/
/ л
л
с
о
. о П
~ п
-° и
1/
/
г/
Рис. 26.
из того, что близкие точки А и В плоскости z перехо-
переходят при отображении w — V z в далекие друг от друга
точки А' ж В' (см. рис. 24).
С другой стороны, из рис. 24 и 25 легко заметить,
что образ точки А при отображении w—'Vz (точка А')
1
оказывается близко с образом точки D при отображе-
отображении w = "J/"Z (точка D').
2
Таким образом, если при пересечении разреза точ-
точка z будет переходить с верхнего берега разреза на од-
одном листе на нижний берег разреза на другом листе,
то построенная нами однозначная функция будет из-
изменяться непрерывно. Для того чтобы обеспечить нуж-
нужное нам движение точки z,
будем считать верхний бе-
берег разреза первого листа
склеенным с нижним бе-
берегом разреза второго лис-
листа, а верхний берег разре-
разреза второго листа склеен-
склеенным с нижним берегом
разреза первого листа
(рис. 27). При этом во
время склейки мы будем
между склеиваемыми берегами добавлять луч из точ-
точки 0 в — оо. Во время первой склейки для точек z,
лежащих на этом луче, мы будем выбирать значения
w — i/'zi лежащие на положительной части мнимой
оси, а при второй склейке значения w = Iх z, лежащие
на отрицательной части мнимой оси.
После проведения указанных склеек мы получим,
что двузначная функция w = "jAz заменилась некото-
некоторой другой функцией, которая однозначна и непрерыв-
непрерывна, но только не на плоскости z, а на некоторой новой
более сложной поверхности. Эта поверхность и назы-
называется римановой поверхностью функции w = ~V~z~.
Попытки произвести указанные склейки без пере-
пересечений (не переворачивая плоскости) заканчиваются не-
неудачей. Несмотря на это, мы будем считать, что рис. 27
является изображением римановой поверхности функ-
функции w — ~У~г, принимая дополнительное соглашение,
88
Рис. 27.
что пересечение по отрицательной части действитель-
действительной оси является кажущимся. Для сравнения рассмот-
рассмотрим следующий пример. На рис. 7 (стр. 39) изображен
остов куба. Хотя некоторые отрезки на рисунке пере-
пересекаются, но мы легко соглашаемся с тем, что это пе-
пересечение кажущееся, и это позволяет нам избегать
ошибок.
Риманову поверхность произвольной многозначной
функции w(z) можно строить подобно тому, как мы по-
построили риманову поверхность функции w = ~\/~z. Для
этого надо сначала выделить однозначные непрерыв-
непрерывные ветви функции w(z), при этом некоторые точки z
(разрезы) исключаются из рассмотрения. После этого
полученные ветви надо склеить, восстанавливая раз-
разрезы, так чтобы получилась однозначная и непрерыв-
непрерывная функция на построенной поверхности. Полученная
поверхность и будет называться римановой поверх-
поверхностью многозначной функции w(z) *).
Таким образом, остается выяснить, как же выделять
непрерывные однозначные ветви произвольной много-
многозначной функции w(z) и как затем их склеивать. Для
выяснения этих вопросов рассмотрим еще раз более
подробно функцию w = ~)/r~z.
Пусть w(z) — многозначная функция, и пусть за-
зафиксировано одно из значений w0 функции w{z) в неко-
некоторой точке z0. Пусть w'(z) — непрерывная однознач-
однозначная ветвь функции w{z), выделенная в некоторой обла-
области плоскости z (например, на всей плоскости, исклю-
исключая какие-то разрезы), и такая, что w'(z0) = w0. Пусть,
кроме того, С — непрерывная кривая, идущая из точ-
точки z0 в некоторую точку zx и лежащая целиком в рас-
рассматриваемой нами области плоскости z. Тогда при дви-
движении точки z вдоль кривой С функция w'(z) будет из-
изменяться непрерывно от w'(z0) до u/(zi)-
Этим свойством можно воспользоваться и в обрат-
обратную сторону, а именно для определения функции w'(z).
Действительно, пусть в некоторой точке z0 зафик-
зафиксировано одно из значений ю0 функции w(z), и пусть
*) Такие построения можно провести не для каждой много-
многозначной функции, однако для тех функций, которые будут рас-
рассматриваться в дальнейшем^ такие построения провести действи-
действительно можно.
89
С — непрерывная кривая, идущая из точки z0 в не-
некоторую точку zx. Будем двигаться по кривой С,
выбирая для каждой точки z, лежащей на С, одно
из значений функции w(z) так, чтобы выбираемые
значения изменялись непрерывно при движении z по
кривой С, начиная со значения w0. При этом, когда
ыы достигнем точки zu мы будем иметь вполне опре-
определенное значение wx = tv{zx). Мы будем говорить,
что wt — значение w(zx), определенное по непрерыв-
непрерывности вдоль кривой С при условии w(z0) — w0. Е;ли
значения функции w(z), выбираемые для всех точек
кривой С, изобразить на плоскости w, то должна
получиться непрерывная кривая, которая начинает-
начинается в точке w0 и оканчивается в точке wx. Эта кривая
является одним из непрерывных образов кривой С
при отображении w = w(z).
278. Пусть для функции w(z) — "j/"z выбрано w(l) =
= |/ = 1. Определить w (— 1) = ]/"— 1 по непре-
непрерывности вдоль: а) верхней полуокружности радиуса
1 с центром в начале координат, б) нижней полуокруж-
полуокружности (рис. 28).
-1
Рис. 28.
Рис. 29.
В действительности при определении функции по
непрерывности вдоль некоторой кривой мы можем
столкнуться с некоторыми неприятностями. Рассмот-
Рассмотрим соответствующий пример.
279. Найти все непрерывные образы wo(t) кривой С
с параметрическим уравнением z(t) = 2t—1 (рис. 29) при
отображении w = y^z, начинающиеся: а) в точке I,
б) в точке — i.
99
Из решения задачи 279 мы получаем, что даже при
фиксировании образа начальной точки кривой С не-
непрерывный образ кривой С при отображении w = \^z
может определяться неоднозначно. Причем однознач-
однозначность нарушается там, где кривая С проходит через
точку z = 0. Оказывается, что только в этом случае
и может нарушаться однозначность образа для функ-
функции w = ~V~z, так как только в этом случае оба образа
точки z{t) подходят близко друг к другу, сливаясь в
одну точку.
Для того чтобы избежать неоднозначности непре-
непрерывных образов кривых при отображении w = ]/^z,
можно выколоть точку z = 0 и запретить кривым
проходить через эту точку. Но и это ограничение не
дает нам пока возможности выделять однозначные
непрерывные ветви функции w = ~\/~z.
Действительно, если мы зафиксируем в некоторой
точке z0 одно из значений w0 = w(z0) и будем опреде-
определять w(zx) в некоторой точке zx по непрерывности вдоль
различных кривых, идущих из z0 в zx, то мы можем
получать разные значения w(zx) (см., например, 278).
Посмотрим, как можно избежать такой неоднознач-
неоднозначности.
280. Пусть изменение аргумента z(t) вдоль кривой
С равно ф. Найти изменение аргумента wo(t) вдоль
любого непрерывного образа кривой С при отображе-
отображении w{z) = ~У z.
281. Пусть w(z) = У^г и пусть выбрано и?A)=~У~1 =
= — 1. Определить значение w (г) = У^г по не-
непрерывности вдоль: а) отрезка, соединяющего точки
z = 1 и z = i; б) кривой с параметрическим уравнением
3 3
z (t) = cos -5- nt —i sin -j- nt; в) кривой с параметричес-
параметрическим уравнением z (t) = cos Ц?-1 + i sin -^-1.
282. Пусть w{z)= ]/^z, и пусть в начальной точке
кривой С выбрано w A) = ]/ 1 = 1. Определить по не-
непрерывности вдоль кривой С значение w{\) = УН в ко-
конечной точке, если кривая С имеет уравнение:
a) z(t) = cos 2nt -f- i sin 2nt, 6) z{t) = cos 4я? — i sin Ant,
в) z{t) — 2 — cos 2nt — i sin 2nt.
01
283. Пусть С — замкнутая кривая на плоскости z
(т. е. z(l) = z@)). Доказать, что значение функции"J/^z
в конечной точке кривой С, определенное по непре-
непрерывности, будет совпадать со значением в начальной
точке тогда и только тогда, когда кривая С обходит
вокруг точки z = 0 четное число раз.
Для дальнейшего удобно ввести следующую сим-
символику.
Определение. Пусть С — непрерывная кри-
кривая с параметрическим уравнением z(t). Через С~х
будет обозначаться кривая, геометрически совпадаю-
совпадающая с С, но проходимая в противоположном направле-
направлении; ее уравнение (см. 247) zx(t) = z(l — t).
Определение. Пусть начальная точка кри-
кривой С% совпадает с конечной точкой кривой Сг. Тогда
под СХС2 будет пониматься кри-
кривая, которая получится, если
сначала пройти Сх и затем С2
(см. 248).
284. Пусть Сг и С2 — две
кривые, соединяющие точку z0
с точкой zb, и пусть выбрано од-
одно из значений "j/z0 — w0. До-
Доказать, что значения ~yrz1, оп-
определенные по непрерывности
вдоль кривых Сх и С2, будут
одинаковыми тогда и только
тогда, когда кривая С~1С2
(рис. 30) обходит вокруг точки z = 0 четное число раз.
Из утверждения последней задачи следует, в част-
частности, что если кривая С—1 С2 обходит 0 раз вокруг
точки z = 0, то значения функции ]/"z в конечных точ-
точках кривых Сх и С2, определенные по непрерывности,
будут одинаковы, если одинаковы значения в началь-
начальных точках.
Таким образом, для того чтобы выделялись одно-
однозначные непрерывные ветви функции w = ]/z, До-
Достаточно сделать так, чтобы кривая С~^~ С2 не могла
обойти ни разу вокруг точки z ='0. Для этого доста-
достаточно провести какой-нибудь разрез из точки z = 0
в бесконечность и запретить кривым пересекать этот
02
Рис. 30.
разрез. Именно так мы и поступили выше, проведя
разрез из точки z = 0 в —оо по отрицательной части
действительной оси.
Если после проведения разреза зафиксировать в не-
некоторой точке z0 одно из значений wq = V^z0, а значе-
значение в любой другой точке zx определить по непрерыв-
непрерывности вдоль какой-нибудь кривой С, идущей из z0 в
zx и не проходящей через разрез, то на всей плоскости,
исключая разрез, определится некоторая однозначная
непрерывная ветвь j^z функции w = ]Лг. Если в точке
z0 зафиксировать другое значение w"Q = 1^z0, то этим
определится другая ветвь }/'z функции w = \rz.
2
285. Доказать, что для любой точки z, не лежащей
па разрезе, ]/"z=^j/z.
1 2
286. Зафиксируем в некоторой точке z' значение
и/
= ~V z'
ж
определим значения функции w = ~У z
1
в остальных точках плоскости z (исключая разрез)
^о непрерывности вдоль кривых, идущих из точки z'
п не проходящих через разрез. Доказать, что полу-
получающаяся однозначная непрерывная ветвь, совпадает
с функцией j/^z (определенной из точки z0).
1
Из результата задачи 286 вытекает, что, выбирая
в качестве начальной точки при
выделении однозначных непре-
непрерывных ветвей различные точки
плоскости z, мы будем получать
один и тот же набор однозначных
непрерывных ветвей, который
зависит, таким образом, только
от того, как проведены разрезы.
287. Пусть точки z0 и zx не ле-
лежат на разрезе и пусть кривая С,
соединяющая точку z0 с zx, один
раз пересекает разрез (рис. 31).
Пусть выбрано значение w0 = ~[//~z0 и по непрерывнос-
непрерывности вдоль кривой С определено значение wx = ]/~zx.
Доказать, что значения w0 и wx соответствуют раз-
разным ветвям функции w = J^z,
93
Рис. 31.
Таким образом, пересекая разрез, мы с одной ветви
функции w = y^z переходим на другую ветвь, т. е.
ветви соединяются между собой именно так, как мы
соединили их раньше (см. рис. 27). При этом образует-
образуется риманова поверхность функции w = ~\/~z.
Будем говорить, что некоторое свойство выполня-
выполняется при обходе вокруг точки z0, если оно выполняется
при однократном обходе против часовой стрелки по
всем окружностям с центром в точке z0, имеющим до-
достаточно малый радиус *).
288. Доказать, что при обходе вокруг точки z0
мы остаемся на том же листе римановой поверхности
функции w = ~\/~z, если z0 ^= 0, и переходим на другой
лист, если z0 = 0.
Следующее понятие очень важно для дальнейшего.
Определение. Точки, при обходе которых
может происходить переход с одних листов на другие
(т. е. изменяться значение функ-
: ции), называются точками развет-
разветвления **) данной многозначной
функции.
—— Риманову поверхность функции
w = у z можно изобразить в виде
схемы (рис. 32). Эта схема показы-
показывает, что риманова поверхность функции w = "j/"z
имеет 2 листа, что точка z = 0 является точкой раз-
разветвления функции w = ~VZ и что при обходе вокруг
точки z = 0 мы с любого листа переходим на противо-
противоположный лист. При этом стрелки в точке z = 0 пока-
показывают переходы с листа на лист не только при обходе
точки z = 0, но и при пересечении в любом месте раз-
разреза, идущего из точки z = 0 в бесконечность. Ниже
мы увидим, что такая связь между точками разветв-
разветвления и разрезами, проведенными из них, не слу-
случайна.
п
Рис. 32.
*) Более строго это означает следующее: найдется такое
действительное число б > 0, что указанное свойство выполняется
при обходе по всем окружностям с центром sJy радиус которых
меньше б.
**) В математической литературе встречаются два назва-
названия этого понятия — точка разветвления и точка ветвления.
94
В дальнейшем мы в основном будем изображать не
саму риманову поверхность некоторой многозначной
функции, а ее схему.
§ 10. Римановы поверхности
более сложных функций
Рассмотрим многозначную функцию w = y'rz.
289. Пусть изменение аргумента вдоль кривой
z(t) равно ф, и пусть wo(t) — непрерывный образ кри-
кривой z(t) при отображении w = y^z. Найти изменение
аргумента вдоль кривой wo(t).
290. Найти точки разветвления функции w = j/~z.
291. Пусть разрез проведен из точки z = 0 в —оо
по отрицательной части действительной оси, и пусть
непрерывные однозначные ветви функции w — У z зада-
заданы условиями: ДA) = 1,
, ,,. 2л , . . 2л 1 , 1/3 .
= cos
. . 4л 1
г s 1 п -ъ- = п
I.
Найти: а) Д(г), б) /a(i), в) Л(8), г) /3(8), д) /3(—О-
292. Построить риманову поверхность и ее схему
для функции w = \/z.
293. Пусть С — непрерывная кривая с параметри-
параметрическим уравнением z(t), и пусть w0 — одно из значе-
значений y^z(O). Доказать, что имеется хотя бы один не-
п /—
прерывный образ кривой С при отображении w (z) = у z,
начинающийся в точке w0.
294. Пусть изменение аргумента вдоль кривой z(t)
равно ф, ипустьы;,,^) — непрерывный образ kjjhbou z(t)
при отображении w =¦ у z. Найти изменение аргумента
вдоль кривой wo(t).
295. Найти точки разветвления функции j/z.
Ранее (см. стр. 70) мы ввели обозначение
2 л . . 2п_
а п '
Там же рассмотрены некоторые свойства этого ком-
комплексного числа.
296. Пусть кривая z(t) не проходит через точку
z = О, и пусть wo(t) — один из непрерывных образов
кривой z(t) при отображении w = у z. Найти все не-
непрерывные образы кривой z(t) при отображении w =
п.—
Пусть две непрерывные кривые Сх и С2 идут из
некоторой точки z0 в некоторую точку zx. Так же, как
для функции w = ~[/' z (см. 284), доказывается, что если
кривая Cj~l С2 ни разу не обходит вокруг точки z = О,
то функция w = у z определяется по непрерывности
одинаково вдоль кривых Сх и С2. Поэтому, так же как
для функции w = ]/"z, если мы проведем какой-
нибудь разрез из точки z = 0 в бесконечность, то
п,—
функция w = у z распадается на непрерывные одно-
однозначные ветви.
297. Проведем какой-либо разрез из точки z =0
в оо, не проходящий через точку z = 1, и определим
непрерывные однозначные ветви функции у z усло-
условиями: fi(l) — еп, где i пробегает значения от 0 до
п — 1. Как выражаются ветви ft(z) через /0(z)?
298. Построить схему римановой поверхности функ-
ции у z.
299. Для функции ]/"z — 1 найти точки разветвле-
разветвления и построить схему римановой поверхности.
300. Найти точки разветвления и построить схему
римановой поверхности для функции j/z-\-i.
В тех случаях, когда многозначная функция будет
иметь несколько точек разветвления, мы будем для
выделения непрерывных однозначных ветвей прово-
проводить разрезы из каждой точки разветвления в беско-
бесконечность по каким-либо непересекающимся линиям.
При этом схема римановой поверхности данной
функции может существенно зависеть от того, по ка-
каким именно линиям проведены разрезы из точек раз-
разветвления в бесконечность (соответствующий пример
будет рассмотрен ниже в задачах 327 и 328). В тех
случаях, когда такая ситуация имеет место, мы будем
96
указывать, как проводятся разрезы. Если же это не
существенно, то указывать их не будем.
Схемы римановых поверхностей, построенные чи-
читателем при решении предлагаемых ниже задач,
могут отличаться от схем, приведенных в решениях,
за счет различной нумерации листов. При соответ-
соответствующей перенумерации листов эти схемы должны
совпадать.
301. Пусть f(z) — однозначная непрерывная функ-
функция и С — непрерывная кривая на плоскости z, начи-
начинающаяся в точке z0. Пусть wQ — одно из значений
Vf (zo)- Доказать, что существует хотя бы один не-
непрерывный образ кривой С при отображении w =y/ f (z),
начинающийся в точке w0.
Из результата задачи 301 вытекает возможность
определения функции w = у / (z) по непрерывности
вдоль любой кривой, не проходящей через точки, в
которых нарушается однозначность непрерывных об-
образов.
302. Пусть f(z) — однозначная непрерывная функ-
функция и Wq{z) — одна из непрерывных однознач-
однозначных ветвей (при соответствующих разрезах) функции
w (z) = j// (z). Найти все однозначные непрерывные
ветви (при тех же разрезах) функции w(z).
303. Найти все точки разветвления и построить схе-
схемы римановых поверхностей для функций: а)}/^ (z—i),
б) ]/~z2 -f- I-
304. Построить схемы римановых поверхностей
следующих функций: a) -y^z1 — 1, б) j/"(z — lJz,
в) VWTW-
305. Выделить непрерывные однозначные ветви и
построить схему римановой поверхности для функ-
функции ]/^z2.
Замечание. Из решения задачи 305 мы полу-
получаем, что точка z = 0 не является точкой разветвле-
разветвления функции ]Лз2. В то же время образы кривых, про-
проходящих через точку z = 0, определяются не одно-
однозначно. Например, непрерывными образами ломаной
АОВ (рис. 33) при отображении w =yrzi являются
4 g. Б. Алексеев п~"
ломаные COD, COF, EOD и EOF (рис. 33). Проходя че-
через точку z = 0, мы ложем остаться на том же листе
(ломаные COD и EOF) или перейти на другой лист
(ломаные COF и EOD). Риманова поверхность функции
w (z) =J/^z2 имеет вид, показанный на рис. 34.
В
0
i
« -
z -
Я
в
ш
V
Рис. 33.
Определение. Точки, в которых нарушается
однозначность непрерывных образов кривых, но кото-
которые не являются точками разветвления, мы будем
называть точками неоднозначности данной функции.
При построении схем римановых поверхностей из
точек неоднозначности можно не про-
проводить разрезы в бесконечность, доста-
достаточно эти точки выколоть, т. е. не
проводить через них кривые.
306. Построить схемы римановых
поверхностей следующих функций:
Рис. 34.
а) у V
г)
2, б) уТ2 , b)V(z- IJ
'— lK(z + lK, д) yz(z3—1).
Ниже мы будем рассматривать и
такие функции, которые не опреде-
определены в некоторых точках. При этом такие точки
могут оказаться точками разветвления.
307. Построить схему римановой поверхности функ-
функции 1/ J_.
У z
308. Построить схемы римановых поверхностей сле-
К__ з/ 4/ !
Т-Ц-'6)]/ \~\ , В.I/ (f+I|2.3- \
^* ь у & —[- 1 у Z \Z 1)° Б
При решении задач этого параграфа мы везде по-
получали, что после проведения непересекающихся раз-
разрезов из всех точек разветвления в бесконечность рас-
рассматриваемая функция распадается на однозначные
непрерывные ветви, которые затем определенным об-
образом соединяются по разрезам. Оказывается, что
этим свойством обладает довольно широкий класс
многозначных функций. В частности, таким свойством
обладают все рассматриваемыз ниже функции, а имен-
именно функции, выражающиеся в радикалах (§ 11), и ал-
алгебраические функции (§ 14) *).
Доказательство этого утверждения выходит за рам-
рамки данной книги. Поэтому мы могли бы просто сос-
сослаться на существующую по этому вопросу ли-
литературу **) и принять сформулированное выше ут-
утверждение без доказательства. (Читатель может так и
поступить, перейдя сразу к чтению § 11).
Однако при этом у читателя может остаться неко-
некоторое чувство неудовлетворенности. И хотя мы не
сможем полностью избавить читателя от этого чувства,
мы все же покажем, что сформулированное выше
свойство вытекает из другого свойства — так называе-
называемого свойства монодромии, которое выглядит более
очевидным.
Мы знаем, что для выделения однозначных непре-
непрерывных ветвей многозначной функции w{i) (в некото-
некоторой области плоскости z) необходимо, чтобы функция
w(z) определялась по непрерывности одинаково вдоль
любых двух кривых Cj и С2, лежащих в этой области
и идущих из произвольной точки z0 в некоторую дру-
другую точку zx. Свойство монодромии и связано с этим
условием.
Пусть многозначная функция w(z) такова, что при
фиксировании любого ее значения w0 в произвольной
точке za функция w{z) может быть определена по не-
непрерывности (возможно, неоднозначно) вдоль любой
непрерывной кривой, выходящей из точки z0 (и не
проходящей через точки, в которых функция w(z)
*) И те и другие функции являются частными случаями
более широкого класса так называемых аналитических функций,
также обладающих указанным свойством.
**) См., например, Спрингер Дж., Введение в теорию
римановых поверхностей, ИЛ, 1960.
4* 99
не определена). Скажем, что многозначная функция
w(z) обладает свойством монодромии, если для нее
справедливо следующее утверждение.
Свойство монодромии. Пусть Сг и
С2 — непрерывные кривые на плоскости z, начинаю-
начинающиеся в некоторой точке z0, кончающиеся в некоторой
точке zx и не проходящие через точки разветвления и
неоднозначности многозначной функции w(z). Пусть,
кроме того, кривую Сг можно непрерывно деформиро-
деформировать в кривую С2 так, чтобы кривые, получающиеся
при деформации, не проходили через точки разветвле-
разветвления функции w(z) и чтобы концы их оставались не-
неподвижными (рис. 35, a, b — точки разветвления).
Тогда значение w{zj) одинако-
одинаково определяется по непрерыв-
непрерывности вдоль кривых Сг и С2
(если зафиксировано неко-
торое значение wa = w(z0)).
Выясним, какие следст-
следствия вытекают из свойства
монодромии.
309. Пусть функция w(z)
обладает свойством монодро-
монодромии. Проведем на плоскости
z непересекающиеся разрезы
из всех точек разветвления
функции w(z) в бесконеч-
бесконечность и выколем точки неоднозначности функции w(z).
Доказать, что при этом функция w(z) распадается на
однозначные непрерывные ветви.
310. Пусть при условиях предыдущей задачи
разрезы не проходят через точки неоднозначности
функции w(z) и у w{z) конечное число точек разветвле-
разветвления. Доказать, что при пересечении некоторого раз-
разреза (в определенную сторону) мы с любой фиксиро-
фиксированной ветви функции w{z) будем переходить па одну
и ту же ветвь независимо от того, в каком именно
месте мы пересекаем разрез.
Замечание 1. При обходе вокруг точки раз-
разветвления мы один раз пересекаем разрез, идущий из
этой точки в бесконечность. Поэтому в силу результата
задачи 310 переходы с одних ветвей на другие при
пересечении некоторого разреза в произвольном месте
1С0
Рис. 35.
совпадают, с переходами, получающимися при обходе
(в соответствующую сторону) точки разветвления, из
которой проведен разрез, и, следовательно, совпадают
с переходами, указанными в этой точке в схеме рима-
новой поверхности.
Замечание 2. Из результатов задач 309 и
310 вытекает, что если многозначная функция w(z)
обладает свойством монодромии, то для w(z) можно
построить риманову поверхность. Причем для выясне-
выяснения структуры этой поверхности достаточно найти
точки разветвления функции w(z) и установить пере-
переходы между ветвями функции w(z) при обходе этих
точек.
Все функции, которые будут рассматриваться ниже,
обладают свойством монодромии. Строго доказать это
утверждение мы здесь не сможем, так как для этого
требуется привлечение понятия аналитической функ-
функции. Однако мы дадим идею доказательства того,
что некоторая многозначная функция w(z) обладает
свойством монодромии, предполагая, что эта функция
являзтся «достаточно хорошей». Что это означает —
будет видно из идеи доказательства.
Итак, пусть выполняются условия из свойства
монодромии. Пусть d и С %— непрерывные образы
кривых Сг и С2 при отображении w(z), начинающиеся
в точке w0 = w(z0). Надо доказать, что кривые С\ и
Сг оканчиваются в одной и той же точке.
Предположим сначала, что кривые, получающиеся
при деформации Сг в С2, не проходят не только через
точки разветвления, но и через точки неоднозначности
функции w(z) (см. стр. 98). Пусть С — любая из таких
кривых. Тогда существует единственный непрерывный
образ С кривой С при отображении w(z),начинающийся в
точке w0 = w(z0). Если функция w(z) «достаточно хо-
хорошая»*), то при непрерывной деформации кривой
С от положения Сг до положения С2 кривые С не-
непрерывно деформируются от положепия С\ до поло-
положения С2- При этом конечная точка кривой С также
*) Обычно теорема монодромии доказывается для произ-
произвольных аналитических функций. См., например, Сприн-
Спрингер Дж , Введение в теорию римановых поверхностей, ИЛ,
1960, стр. 97.
101
должна деформироваться непрерывно. Но кривая С
оканчивается в точке zx, поэтому конечная точка кри-
кривой С должна совпадать с одним из образов w(zx) точки
Zj. Если функция w(z) принимает при каждом z (в част-
частности, при zx) лишь конечное число значений (а мы
рассматриваем только такие функции), то конечная
точка кривой С не может перескочить из одного об-
образа точки zx в другой образ, так как при этом нару-
нарушится непрерывность деформации. Следовательно, ко-
конечные точки всех кривых С и, в частности, кривых
С\ и Со, совпадают.
Посмотрим теперь, что происходит, когда кривая С
переходит через точку неоднозначности функции w(z),
которая не является точкой разветвления. Рассмот-
Рассмотрим только частный случай, когда кривая изменяется
лишь вблизи точки неоднозначности а (рис. 36). Если в
точке z0 зафиксировано значение wQ = w(z0), то по
непрерывности однозначно опре-
определится значение w(z) в точке А.
После этого одинаково опре-
определятся по непрерывности вдоль
кривых ADE и ABE значения
w(z) в точке Е, так как иначе
при обходе по кривой EDABE
изменялось бы значение функ-
функции w(z) и точка а была бы
точкой разветвления функции
w{z). После того как значения
w{z) в точке Е определились
одинаково по обеим кривым, одинаково определяются по
непрерывности вдоль кривой Ezx и значения w{z)
в точке Zj.
Таким образом, «темным» местом в нашем изло-
изложении осталось утверждение о том, что все рассматри-
рассматриваемые ниже функции являются «достаточно хо-
хорошими» .
Здесь уж читателю придется либо принять это ут-
утверждение на веру, либо обратиться к более глу-
глубокому изучению аналитических функций *).
Рис. 36.
*) См., например, Бицадзе А. В., Основы теории ана-
аналитических функций комплексного переменного, «Наука», 1969.
102
§ 11. Функции, выражающиеся в радикалах
Определение. Пусть f{z) и g(z) — две много-
многозначные функции. Под /(z) + g(z) будет пониматься
многозначная функция, все значения которой в точке
z0 получатся, если каждое значение /(z0) сложить с
каждым значением g(z0). Так же определяются функ-
функции /(z) — g(z), f(z)-g(z),
fiz)
g(z) '
Под [/(z) ]n, где n — натуральное число, будет
пониматься функция, все значения которой в точке
z0 получатся, если каждое значение /(z0) возвести в сте-
степень п.
Под у / (z), где п — натуральное число, будет
пониматься функция, все значения которой в точке
z0 получатся, если для каждого значения /(z0) вычис-
л. т > все п значений >/"/ (z0).
3 , 1 — ~[/—2i
311. Найти все значения: a)j/ — 8 -\-у 2i,6)—\rzn—'
( f)\ д) (ут+VTJ.
Определение. Будем говорить, что много-
многозначная функция h(z) выражается в радикалах, если
она может быть получена из функции f(z) = z и посто-
постоянных функций g(z) = а (а — произвольное фиксиро-
фиксированное комплексное число) с помощью операций сло-
сложения, вычитания, умножения, деления, возведения
в натуральную степень и извлечения корней нату-
натуральной степени.
Например, функция h (z) = | yy~z~-{- 3z2 -^=) выра-
\ v z 1
жена в радикалах. Некоторые функции, выражающие-
выражающиеся в радикалах, мы уже рассматривали выше.
312. Пусть функция h(z) выражается в радикалах,
и пусть С — непрерывная кривая на плоскости z, на-
начинающаяся в точке z0 и не проходящая через точки,
в которых функция h(z) не определена. Доказать, что
если w0 — одно из значений h(zQ), то имеется хотя бы
один непрерывный образ кривой С при отображении
w = h(z), начинающийся в точке wQ. (Считаем, что
параметрическое уравнение w(t) = а, где а — фикси-
103
рованное комплексное число, задает непрерывную кри-
кривую, вырождающуюся в точку.)
Из результата задачи 312 получаем, что произволь-
произвольная функция h(z), выражающаяся в радикалах, может
быть определена по непрерывности вдоль любой не-
непрерывной кривой С, не проходящей через точки, в ко-
которых функция h(z) не определена. Если при этом кри-
кривая С не проходит через точки разветвления и неодно-
неоднозначности (см. стр. 98) функции h(z), то функция h(z)
определяется по непрерывности вдоль кривой С од-
однозначно.
Мы уже отмечали в предыдущем параграфе, что
функции, выражающиеся в радикалах, являются «до-
«достаточно хорошими»*), т. е. они обладают свойством
монодромии. Поэтому для любой функции, выражаю-
выражающейся в радикалах, можно построить риманову по-
поверхность (см. 309 и 310)**). Выясним структуру этих
римановых поверхностей.
В дальнейшем всюду в этом параграфе можно пред-
предполагать, что речь идет о функциях, выражающихся
в радикалах.
313. Пусть h(z) = f(z) + g(z). Выколем из плоскости
все точки неоднозначности функции h(z) и проведем
непересекающиеся разрезы в бесконечность из всех
точек, которые являются точками разветвления хотя
бы одной из функций f{z) или g(z). Пусть fx(z),. . .
. . ., fn(z) и gx(z),. . ., gm(z) — непрерывные однознач-
однозначные ветви функций f(z) и g(z) на полученной плоско-
плоскости с разрезами. Найти непрерывные однозначные ветви
функции h(z).
Если при обходе точки za мы с ветви fit (z) перехо-
переходим на ветвь fi2(z) и с ветви gjx (z) на ветвь gj2 (z),
то, очевидно, с ветви hilih (z) = fit (z) -f- gh (z) мы
перейдем на ветвь hi,j2 (z) = fiz (z) -{- gJ3 (z). Это
подсказывает нам следующий формальный метод по-
построения схемы римановой поверхности функции h(z) —
= f(z) -\- g(z) при условии, что построены (при тех же
разрезах) схемы римановых поверхностей функций
*) Функции, выражающиеся в радикалах, являются ана-
аналитическими .
**) Любая функция, выражающаяся в радикалах, имеет
конечное число точек разветвления,
104
f(z) и g(z).-. Каждой паре ветвей fi(z) и gj(z) ставим в
соответствие лист, на котором считаем заданной ветвь
hi,) (z) — ft(z) + Si(z)- Если в схемах римановых по-
поверхностей функций f(z) и g(z) в точке z0 указаны пе-
переходы с ветви fiL(z) на ветвь ft2(z) и с ветви gjx(z) на
ветвь gj2(z), то в схеме римановой поверхности функции
h(z) указываем в точке z0 переход с ветви hitjl(z) на
ветвь hi2,j2(z).
314. Построить схемы римановых поверхностей
следующих функций: а) У'z +]/ z — 1,6).^z2 — 1 + у — >
в) Vz + >/z-г) Vz* — i + v"z — i.
Описанный выше формальный метод построения
схемы римановой поверхности функции h(z) = f(z) -\-
+ g(z) не всегда дает правильный результат, так как
он не учитывает, что некоторые из ветвей ht, j(z) могут
оказаться равными. Для простоты будем считать, что
разрезы не проходят через точки неоднозначности функ-
функции h(z). В таком случае при пересечении любого разре-
разреза мы с листов, соответствующих равным ветвям функ-
функции h(z), будем переходить, в силу однозначности, на
листы, также соответствующие равным ветвям. Сле-
Следовательно, если мы склеим листы, соответствующие
одинаковым ветвям функции h(z), т.е. заменим каждое
множество таких листов одним листом, то однозначно
определятся переходы между полученными листами
при обходе любой точки разветвления z0.
315. Найти все значения /A), если: a)/ (z) =~\fz +]/ z,
б) f(z) =y~z~+y^ в) Yz+l/z'.
316. Для указанных функций построить схему
римановой поверхности формальным методом и истин-
истинную схему римановой поверхности: а) "[/ z 4- }/~z,
б) yi^z\ в) Vz+V*~-
Окончательно получаем, что для построения схемы
римановой поверхности функции h(z) = f{z) + g(z) no
схемам римановых поверхностей функций f{z) и g(z)
(построенным при тех же разрезах) достаточно постро-
построить схему описанным выше формальным методом и за-
затем произвести соответствующие склейки.
Легко видеть, что этот алгоритм можно применять
и при построении схемы римановой поверхности
105
функций h(z) = f(z) — g(z), h (z) = f (z) • g (z), h (z)
317. Построить схемы римановых поверхностей
следующих функций: a) i
j—у!г?, б) yz _ i .
VT+т
3,-
V
г (z — 1)
318. Пусть ДОг), /2(z),. . ., /m(z) — все непрерывные
однозначные ветви функции f{z). Найти при тех же
разрезах все непрерывные однозначные ветви функции
h(z) — [f(z)]n, где п—некоторое натуральное число.
Из результата последней задачи легко вытекает,
что схема римановой поверхности функции h(z) =
— t/(z) ]n совпадала бы со схемой римановой поверх-
поверхности функции f{z), если бы все ветви ht(z) = [fi{z){a
были различными. Однако это не всегда так. Если
получатся равные ветви, то при переходе через разрезы,
мы в силу однозначности будем с равных ветвей пере-
переходить на равные ветви.
Окончательно получаем, что для построения схемы
римановой поверхности функции h{z) = [f(z)]n доста-
достаточно на схеме римановой поверхности функции f(z)
рассмотреть вместо ветвей ft(z) ветви ht(z) = [f^z)]71.
Если при этом появятся одинаковые ветви, то нужно
склеить соответствующие листы.
319. Построить схемы римановых поверхностей
следующих функций: а) [у z), б) (Уг +|/zJ,
в) \yz~-yrz— l) .
Изучим теперь, как связана схема римановой по-
поверхности функции |/ / (z) со схемой римановой поверх-
поверхности функции f(z).
320. Какие точки могут быть точками разветвления
функции у1 / (z) ?
Проведем на плоскости z разрезы из точек развет-
разветвления функции f(z) в бесконечность так, чтобы они не
проходили через точки, в которых одно из значений
функции f(z) равно 0, и выделим непрерывные одно-
однозначные ветви функции 1(z). Пусть это будут (однознач-
(однозначные) функции fx(z), /2(z),. . ., /m(z). Проведем допол-
дополнительно разрезы в бесконечность из точек, в которых
106
одно из значений функции f(z) равно 0. Пусть
g(z) — одна из непрерывных однозначных ветвей Avhk-
ции у f (z) при этих разрезах.
321. Доказать, что функция \g(z)\n совпадает с
одной из функций fi(z) есюду, кроме разрезов.
Из результата предыдущей задачи вытекает, что
каждая ветвь функции у f (z) соответствует некоторой
ветви функции /(z).
322. Пусть g(z) — непрерывная однозначная ветвь
функции y^f(z), соответствующая ветви ft(z) функции
f{z). Найти все непрерывные однозначные ветви функ-
функции у / (z), соответствующие ветви ft{z).
Из результата последней задачи мы получаем, что
каждой ветви /*(z) функции f(z) соответствует «пачка»,
состоящая из п ветвей функ-ции yrf{z). Мы занумеруем
ветви в этой пачке /г,0B). /i,i(z). • • . /i,n-i(z), при-
причем так, чтобы для любого к выполнялось равенство
fi,k(z) = fi,»(z)-en.
Пусть zn — точка разветвления функции/(z), и пусть
при обходе вокруг точки z0 мы с ветви ft(z) переходим
на ветвь fj(z). Тогда, очевидно, для функции |У / (z) мы
получим следующее: со всех листов пачки, соответствую-
соответствующей ветви fi(z), мы при обходе вокруг точки z0 будем
переходить на листы пачки, соответствующей ветви
323. Пусть С — кривая на плоскости z с парамет-
параметрическим уравнением z(t), и пусть кривая на плоскости
w с уравнением wo(t) является непрерывным образом
кривой С при отображении w=y/f(z). Доказать,
что кривая с уравнением wh(t) = wQ{t)-Zn также явля-
является непрерывным образом кривой С при отображении
w = у f (z).
324. Пусть кривая С на плоскости z не проходит
через точки разветвления и точки неоднозначности
функции yrf{z). Доказать, что если мы при движении
вдоль кривой С переходим с ветви ft s (z) на ветвь
fj,r(z), то с ветви fi>s+k(z) мы перейдем на ветвь
fj,r+h(z), гДе суммы s + к и г -\- к вычисляются по
модулю п (см. 40).
107
Таким образом, для определения того, куда мы
перейдем с листов данной пачки при обходе данной
точки разветвления функции i//(z), достаточно опре-
определить, куда мы перейдем с одного из листов данной
пачки, а для других листов этой пачки переходы
определятся автоматически в силу результата зада-
задачи 324.
325. Построить схему римановой поверхности функ-
функции yr']/'z — 1.
326. Построить схемы римановых поверхностей
следующих функций: а) у/уТ— 2 б) Vfrj— 1.
В следующих двух задачах рассматривается при-
пример, когда схема римановой поверхности функции
зависит от того, как проведены разрезы.
327. Построить схему римановой поверхности функ-
функции /(z)=]/z2 + l—2 при разрезах, изображенных:
о
V3
о I
Ч-Ь
о
VI
Рис. 37.
Рис. 38.
а) на рис. 37, б) на рис. 38. В обоих случаях опреде-
определить, на одном или на разных листах лежат точки z
такие, что j(z) = 0.
328. Построить схему римановой поверхности функ-
функции h(z) =y }/V2 +1 — 2 при разрезах, изображенных:
а) на рис. 39, б) на рис. 40.
Сформулируем еще раз те результаты этого параг-
параграфа, которые потребуются нам в дальнейшем.
Теорема 8. Для построения схемы римановой
поверхности функций h(z) — f(z) + g(z), h{z) = f{z) —
108
no схемам римано-
- g(z), h(z}- = f(z).g(z), h{z)=t^
ьых поверхностей функций f(z) и g(z), построенных при
тех же разрезах, достаточно:
а) каждой паре ветвей fi{z)u gj(z) сопоставить лист,
на котором считать заданной ветвь htj (z), равную
-V3
9-1
Fnc. 39.
соответственно fi(z)
Рис. 40.
g](z), ft(z) - gj(z), fi(z)-gj(z),
gj )
б) если при обходе вокруг точки z0 имеется переход
с ветви /i,(z) на ветвь /i.,(z) и с ветви gj^z) на ветвь
gjXz), mo &ля функции h(z) при том оке обходе указать
переход с ветви hitil(z) на ветвь Ы2^г(г);
в) листы, на которых заданы одинаковые ветви htj(z),
склеить.
Теорема 9. Для построения схемы римановой
поверхности функции h(z) = |/(z)jT1 no схеме римановой
поверхности функции f(z), построенной при тех же
разрезах, достаточно:
а) на схеме римановой поверхности функции f(z) счи-
считать заданными вместо вет,еей fj(z)ветвиhi(z)= [fi(z)]71;
б) листы, на которых оказываются заданными оди-
одинаковые ветви ht)(z), склеить.
Теорема 10. При построении схемы римановой
поверхности функции h(z)=j/'f(z) no схеме римано-
римановой поверхности функции f(z), построенной при тех же
разрезах:
а) каоюдый лист схемы римановой поверхности функ-
функции f(z) заменяется пачкой из ц листов]
10U
б) при обходе вокруг любой точки разветвления функ-
функции h(z) мы с листов одной пачки переходим на листы
одной и той же пачки;
в) эти переходы с одной пачки на другую совпадают
с переходами между соответствующими листами ри-
мановой поверхности функции f{z);
г) если листы в пачках перенумерованы так, что
ft,h(z) — /i,o (z) • Sn> mo переходы с одной пачки на
другую происходят без перемешивания листов, а только
с циклическим сдвигом (см. 324).
§ 12. Группы Галуа многозначных функций
Свяжем теперь с каждой схемой римановой поверх-
поверхности некоторую группу подстановок.
329. Пусть кривая С на плоскости z не проходит
через точки разветвления и точки неоднозначности
функции w{z). Доказать, что при движении, вдоль
кривой С мы с разных листов схемы риманоЕОЙ поверх-
поверхности функции w(z) будем переходить на разные листы.
Таким образом, в силу результата задачи 329, обхо-
обходу (против часовой стрелки) вокруг любой точки раз-
разветвления функции w(z) соответствует подстановка
листов схемы римановой поверхности функции w{z),
которая указывает, на какой лист мы переходим с
каждого листа.
330. Пусть схемы римановых поверхностей для
функций, перечисленных в задаче 314, построены так,
как это сделано в «Указаниях, решениях, ответах»
{стр-. 190), и пусть листы на этих схемах занумерованы
снизу вверх числами 1, 2,. . . Записать для каждой
функции подстановки листов, соответствующие обхо-
обходам вокруг каждой точки разветвления.
331. Пусть gx,. . ., gs — некоторые элементы произ-
произвольной группы G. Рассмотрим все элементы группы
G, которые могут быть получены из gx,. . ., gs путем
многократного применения операций умножения и
взятия обратного элемента. Доказать, что получен-
полученное множество элементов образует подгруппу в груп-
группе G.
Определение. Подгруппа, полученная в за-
задаче 331, называется подгруппой, порожденной эле-
элементами gx,. . ., gs .
НО
Определение. Пусть gx,. . ., gs — подста-
подстановки листов некоторой схемы римановой поверхности
соответствующие обходам (против часовой стрелки) во-
вокруг всех точек разветвления. Подгруппу, порожденную
элементами gx,. . ., gs , будем называть группой подста-
подстановок листов данной схемы римановой поверхности.
Замечание 1. Если число листов в схеме ко-
конечно (а мы рассматриваем только такие схемы), to
при построении группы подстановок листов этой схе-
схемы достаточно использовать операцию умножения
подстановок, а операцию взятия обратной подстановки
можно исключить. Действительно, в этом случае любая
подстановка листов g имеет некоторый конечный по-
порядок k : gn = е, поэтому g—* = gh~~l = g ¦ g ¦ ... • g.
Замечание2. Группы подстановок листов, ко-
которые будут строиться ниже, будут рассматриваться,
как обычно, с точностью до изоморфизма. Поэтому
нумерация листов будет не важна, так как при разных
нумерациях получаются хотя и различные, но изо-
изоморфные подгр ппы группы Sn.
332. Каким из известных вам групп изоморфны
группы подстановок листов схем римановых поверх-
поверхностей следующих функций: а) ]/ z, б) у z, в) У z,
г) V& — 1 (см.304), д) у \г — IJ (z + IK (см. 306).
333. Каким из известных вам групп изоморфны
группы подстановок листов схем римановых поверх-
поверхностей функций, перечисленных в задачах: 1) 314,
2) 317, 3) 319?
334. Описать группу подстановок листов для обе-
обеих схем римановой поверхности функции h (z) =
= V ]/z24-l—2, построенных при решении задачи 328.
Пусть точка z0 не является точкой разветвления л
неоднозначности многозначной функции w{z), и пусть
wx, w2,. . ., wn — все значения функции w{z) в точке z0.
Рассмотрим некоторую непрерывную кривую С, начи-
начинающуюся и кончающуюся в точке z0 и не проходящую
через точки разветвления и неоднозначности функции
w(z). Если мы выберем некоторое значение wt = u>(z0)
и определим новое значение w(z0) по непрерывности
вдоль кривой С, то получим некоторое новое значение
111
Wj — w{z0). При этом, начиная с разных значений
wt, мы будем получать различные значения Wj (иначе
по кривой С—1 нарушилась бы однозначность). Следо-
Следовательно, кривой С соответствует некоторая подста-
подстановка значений wx, w2,. . ., wn. При этом, если кривой
С соответствует подстановка g, то кривой С~х соответ-
соответствует подстановка g~x, и если кривым Сх и С2 (с кон-
концами в точке z0) соответствуют подстановки gx и g2, то
кривой СХС2 соответствует подстановка g2gx (напом-
(напомним, что подстановки выполняются справа налево).
Таким образом, если мы рассмотрим всевозможные
кривые, начинающиеся и кончающиеся в точке z0,
то соответствующие им подстановки будут образовы-
образовывать некоторую группу подстановок значений w(za).
335. Пусть Gx — группа подстановок значений w(z0)
ж G2 — группа подстановок листов некоторой схемы
римановой поверхности функции w(z). Доказать, что
группы Gx и (?2 изоморфны.
Заметим, что при определении группы подстановок
значений w(z0) не использовалась никакая схема рима-
римановой поверхности функции w(z). Поэтому из резуль-
результата задачи 335 вытекает, что группа подстановок зна-
значений w(z0) для произвольной точки z0 и группа
подстановок листов произвольной схемы римановой
поверхности функции w(z) изоморфны. Следовательно,
группы подстановок значений w(z0) для всех точек z0
и группы подстановок листов всех схем римановых по-
поверхностей функции w(z) изоморфны, т. е. являются
фактически одной и той же группой. Эту группу бу-
будем называть группой Галуа многозначной функ-
функции w(z) *).
§ 13. Группы Галуа функций,
выражающихся в радикалах
Перейдем теперь к доказательству одного из основ-
основных утверждений этой книги, а именно следующей
теоремы.
Теорема 11. Если многозначная функция h{z)
выражается в радикалах, то группа Галуа функции
h(z) разрешима (см. главу I, § 14).
*) Эту группу называют также группой монодромии.
112
Доказательство теоремы 11 заключено в решениях
следующих задач.
336. Пусть h(z) = f(z) + g(z), или h(z) = f(z) —
— g(z), или h(z) = f(z)-g(z), или h{z)= ^jp и пусть
схема римановой поверхности функции h(z) построена
из схем римановых поверхностей функций f(z) и g(z)
формальным методом (теорема 8, пункты а), б), стр. 108).
Доказать, что если F и G— группы подстановок листов
исходных схем, то группа подстановок листов постро-
построенной схемы изоморфна некоторой подгруппе в прямом
произведении FxG (см. главу I, § 7).
337. Пусть при условиях предыдущей задачи Нх—
группа подстановок листов схемы, построенной фор-
формальным методом, а Нг — группа подстановок листов
истинной схемы римановой поверхности функции h(z).
Доказать, что существует гомоморфизм (см. главу I,
§ 13) группы Нг на группу Я2.
338. Пусть группы Галуа функций /(z) и g(z) раз-
разрешимы. Доказать, что тогда разрешимы группы
Галуа следующих функций:
h(z) = f(z) + g(z),
Hz) =f(z).g(z),
Hz) = /(*)- g{z),
339. Пусть группа Галуа функции f(z) разрешима.
Доказать, что группа Галуа функции
h(z) = [f(z)]n
также разрешима.
340. Пусть Н — группа подстановок листов схемы
римановой поверхности функции h(z) =-yrf(z), a F —
группа подстановок листов схемы римановой поверх-
поверхности функции f(z), построенной при тех же разрезах.
Построить гомоморфизм группы Н на группу F.
341. Доказать, что ядро гомоморфизма (см. главу I,
§ 13), построенного в решении предыдущей задачи,
коммутативно.
342. Пусть группа Галуа функции f(z) разрешима.
Доказать, что группа Галуа функции h (z) = 7// (z)
также разрешима.
113
Функции константы h(z) = а и функция h[z) = z
являются функциями однозначными и непрерывными
во всей плоскости z. Поэтому их римановы поверхности
состоят только из одного листа, и, следовательно,
соответствующие им группы Галуа состоят только из
одного элемента {е} и, значит, разрешимы, Отсюда,
учитывая определение функций, выражающихся в
радикалах (стр. 103), и результаты задач 338, 339 и
342, получаем утверждение теоремы 11.
Замечание. Для читателей, знакомых с тео-
теорией аналитических функций, отметим следующее. Ес-
Если группу Галуа функции h(z) определять как группу
подстановок значений функции h(z) в некоторой точке
z0 (см. стр. 112), то теорема 11 будет справедливой и для
более широкого класса функций. Например, при по-
построении функции h(z) кроме констант, тождественной
функции, арифметических операций и радикалов, мож-
можно разрешить использовать любые однозначные ана-
аналитические функции (например, ez, sin z и т. д.), много-
многозначную функцию Ln z и некоторые другие функции.
При этом группа Галуа функции h(z) будет разрешимой,
хотя уже не обязательно будет конечной.
§ 14. Теорема Абеля
Рассмотрим уравнение
— z =0.
A4.1)
Мы будем считать z параметром и для каждого комп-
комплексного значения z будем искать все комплексные
корни w этого уравнения. В силу результата задачи
269 данное уравнение при каждом z имеет 5 корней
(с учетом кратности), некоторые из которых могут
совпадать.
343. Какие значения w могут быть кратными корня-
корнями (кратности больше 1, см. стр. 84) уравнения
Зы;5 — 2bwd + 60ы; — z = 0?
При каких значениях z они будут кратными корнями?
Из решения предыдущей задачи вытекает, что при
z = ±38 и z = ±16 уравнение A4.1) имеет 4 различ-
различных корня, при остальных значениях z это уравнениз
114
имеет 5 различных корней. Таким образом, функция
w(z), выражающая корни уравнения A4.1) через пара-
параметр z, принимает 4 различны * значения при z — ±38
и z = ±16 и принимает 5 различных значений при
остальных значениях z. Изучим эту функцию w(z).
Докажем сначала, что при малом изменении пара-
параметра z корни уравнения A4.1) изменяются также мало.
Более точно это свойство выражено в следующей задаче.
344. Пусть z0 — произвольное комплексное число
я w0 — один из корней уравнения A4.1) при z = z0.
Рассмотрим круг сколь угодно малого радиуса г с
центром в точке и?0. Доказать, что существует такое
действительное число .р > 0, что если |z0—zo\ < р,
то в рассматриваемом круге лежит хотя бы один корень
уравнения A4.1) и при z = z0.
Пусть функция w{z) выражает корни уравнения
A4.1) через параметр z и пусть w0 — одно из значений
w{z0). Тогда из результата задачи 344 вытекает, что
если z движется непрерывно по некоторой кривой,
начинающейся в точке z0, то можно так выбирать одно
из значений w{z), чтобы точка w также двигалась не-
непрерывно по некоторой кривой, начинающейся в точке
«V Другими словами, функцию w(z) можно опреде-
определить по непрерывности вдоль любой кривой С. Если
при этом кривая С не проходит через точки разветвле-
разветвления и неоднозначности (стр. 98) функции w(z), то функ-
функция w(z) определяется по непрерывности вдоль кривой
С однозначно.
345. Доказать, что точки, отличпые от z — ±38 и
z = ±16, не могут быть точками разветвления и точ-
точками неоднозначности функции w{z), выражающей
корни уравнения A4.1) через параметр z.
Пусть w{z) — функция, выражающая корни урав-
уравнения A4.1) через параметр z. Являясь одной из ал-
алгебраических функций *), функция w(z) является «до-
*)Многозначная функция w(z) называется алгебраической,
если она выражает через параметр z все корни некоторого урав-
уравнения
в котором все a.j(z) — многочлены от z. Все алгебраические функ-
функции являются аналитическими.
115
статочно хорошей» (см. 510, стр. 101), т. е. она обладает
свойством монодромии. Поэтому для функции w(z)
можно построить риманову поверхность (см. 309 и
310). Эта риманова поверхность будет иметь, очевидно,
5 листов.
В силу результата задачи 345 точками разветвле-
разветвления и неоднозначности функции w(z) могут быть только
точки z = ±38, и z = ±16, но пока не ясно, являются
ли они таковыми.
346. Пусть известно, что точка z0 = +38 (или
z0 — —38, или z0 = ±16) является точкой разветвле-
разветвления функции w{z), выражающей корни уравнения
A4.1) через параметр z. Как соединяются листы рима-
новой поверхности функции w{z) в точке z0 (точнее, на
разрезе, проведенном из точки z0 в бесконечность;
см. замечание 2 на стр. 101)?
347. Пусть w{z) — функция, выражающая корни
уравнения A4.1) через параметр z. Пусть, кроме того,
z0 и zx — произвольные точки, отличные от z = ±38
и z = ±16, и w0, wv — любые их образы при отобра-
отображении w(z). Доказать, что можно провести непрерыв-
непрерывную кривую из точки z0 в точку zx так, чтобы она не
проходила через точки z = ±38 и z = +16 и чтобы
ее непрерывный образ, начинающийся в точке w0,
оканчивался в точке wx.
348. Доказать, что все четыре точки z = ±38 и
z = ±16 являются точками разветвления функции
w(z). Как может выглядеть схема римановой поверх-
поверхности функции w(z)? Нарисовать все различные вари-
варианты. (Различными считаем те схемы, которые нельзя
получить друг из друга перестановкой листов и точек
разветвления).
349. Найти группу Галуа функции w(z), выражаю-
выражающей корни уравнения
через параметр z.
350. Доказать, что функция w(z), выражающая кор-
корни уравнения
— z = 0
через параметр z, не может быть выражена в ради-
радикалах.
116
351. Доказать, что общее алгебраическое уравнение
5-й степени
auwb + axufl + a2w3 + a3w2 + а^о + аъ = О
(ж0, ах, а2, а3, а4, аь — комплексные параметры, а0 ф0)
неразрешимо в радикалах, т. е. не существует форму-
формулы, выражающей корни этого уравнения через коэф-
коэффициенты с помощью операций сложения, вычитания,
умножения, деления, возведения в натуральную сте-
степень и извлечения корней натуральной степени.
352. Рассматривая уравнение
(Зы;5 — 25w3 + G0w — z)u^-5 = о, A4.2)
доказать, что при п > 5 общее алгебраическое уравне-
уравнение степени п неразрешимо в радикалах.
Результаты задач 351 и 352 составляют основное
утверждение данной книги. Нами доказана следую-
следующая теорема.
Теорема Абеля. При п ^ 5 общее алгебраи-
алгебраическое уравнение степени п
aown + axwn—^ + . . . + an_iw + ап — 0
неразрешимо в радикалах.
Замечание 1. Во «Введении» была получена
формула Кардано для решения общего алгебраического
уравнения 3-й степени. Причем корнями уравнения
являлись не все значения, задаваемые этой формулой,
а лишь те, для которых выполнялось некоторое допол-
дополнительное условие. Поэтому может возникнуть вопрос,
нзльзя ли и для общего уравнения степени п (п ^-5)
построить формулу в радикалах так, чтобы его корни
являлись бы лишь частью значений, задаваемых фор-
формулой. Покажем, что этого нельзя сделать уже для
уравнения A4.1).
Действительно, если значения функции w(z), выра-
выражающей корни уравнения A4.1) через параметр z,
являются частью значений некоторой фупкции и?х(г),
выражающейся в радикалах, то риманова поверхность
функции w(z) является отдельной частью римановой
поверхности функции Wi{z). Если G — группа Галуа
функции wx(z), то каждой подстановке группы G соот-
соответствует подстановка пяти листов, относящихся к
w(z). Это отображение является гомоморфизмом груп-
117
пы G на группу S5. Так как группа Sb неразрешима,
то и группа G неразрешима (см. 163). С другой стороны,
группа G должна быть разрешима как группа Галуа
для функции, выражающейся в радикалах. Противо-
Противоречие.
Замечание 2. Из замечания на стр. 114 выте-
вытекает, что теорема Абеля останется справедливой, если
кроме радикалов разрешить использовать и некоторые
другие функции, например любые однозначные ана-
аналитические функции (ez, sin z и т. д.), функцию Ln z
и некоторые другие.
Замечание 3. Рассмотрим уравнение A4.1)
только в области действительных чисел. Пусть функция
у(х) выражает действительные корни уравнения
Зу5 — 2Ъу3 + 60г/ — х= О
через действительный параметр х. Нельзя ли функцию
у{х) выразить в радикалах? Оказывается, что нельзя.
Для тех, кто знаком с курсом теории аналитических
функций, укажем, что это вытекает из теоремы об
аналитическом продолжении. Действительно, функция
w(z), выражающая корни уравнения A4.1) через пара-
параметр z, является аналитической функцией. Поэтому,
если бы функция у{х) выражалась в радикалах, то со-
соответствующая формула, рассматриваемая в области
комплексных чисел, задавала бы, в силу теоремы
об аналитическом продолжении, функцию w(z), т. е.
функция ip(z) выражалась бы в радикалах.
Следовательно, теорема Абеля останется справед-
справедливой и в том случае, если рассматривать только дей-
действительные корни общего уравнения степени п (п ^ 5)
при всевозможных действительных значениях коэф-
коэффициентов. При этом, в силу замечания 2, она останет-
останется справедливой даже в том случае, если кроме ради-
радикалов разрешить использовать некоторые другие функ-
функции, например любые функции, допускающие одно-
однозначное аналитическое продолжение (ех, sin x и т. д.),
функцию In х и некоторые другие.
Замечание 4. Класс алгебраических функций
(см. сноску на стр. 115) является достаточно богатым и
интересным классом. В частности, можно показать,
что все функции, выражающиеся в радикалах, явля-
являются алгебраическими. Мы доказали, что любая функ-
118
ция, выражающаяся в радикалах, имеет разрешимую
группу Галуа (теорема 11, стр. 112). Оказывается, что
если ограничиться алгебраическими функциями, то бу-
будет верно и обратное утверждение: если группа ' Галуа
некоторой алгебраической функции разрешима, то эта
функция выражается в радикалах. Таким образом,
алгебраическая функция выражается в радикалах тог-
тогда и только тогда, когда ее группа Галуа разрешима.
Этот результат является частным случаем общей теории
Галуа (см., например, Чеботарев Н. Г., Основы
теории Галуа, ОНТИ — ГТТИ, 1934).
Указания? решения, ответы
Глава I
1. Ответ. В случаях 1 а), 1 в), 2 в), 3 а).
2. См. табл. 3.
3. См. табл. 4.
4. См. табл. 5.
5. См. табл. 6.
6. См. табл. 7, где е и а—вращения ромба вокруг центра
соответственно на 0° и 180°, b и с — отражения ромба отно-
относительно диагоналей.
Таблица 3
Таблица 4
е
а
b
е
е
а
и
а
а
Ь
е
Ъ
Ь
е
а
Таблица 5
е
а
Ъ
с
d
/
е
е
а
Ь
с
d
f
а
а
Ь
е
d
f
с
Ъ
Ъ
е
а
f
с
d
с
с
f
d
е
Ъ
а
d
d
с
1
а
е
Ь
f
f
d
с
b
а
е
Т а б лиц а 6
е
а
Ъ
с
е
е
а
Ь
с
а
а
е
с
Ь
Ъ
Ъ
с
а
е
с
с
Ъ
е
а
е
а
b
с
d
f
g
h
e
e
a
b
с
d
f
8
h
a
a
e
с
b
f
d
h
S
b
b
с
a
e
h
g
d
f
с
с
b
e
a
g
h
f
d
d
d
f
g
h
e
a
b
с
f
i
d
h
g
a
e
с
b
g
g
h
f
d
с
b
e
a
h
h
g
d
i
b
с
a
e
Таблица 7
e
a
b
с
e
e
a
b
с
a
a
e
с
b
b
b
с
e
a
с
с
b
a
e
120
7. См. табл. 7, где в и а — вращения прямоугольника во-
вокруг центра соответственно на 0° и 180°, b и с—отражения пря-
прямоугольника относительно прямых, проходящих через середи-
середины противоположных сторон.
8. Her. Так как ни у одного города название не начинает-
начинается с буквы ъ, то у этой буквы не будет прообразов.
9. Ответ, а) <р не является отображением на, так как,
например, не существует целого п такого, что ср(га) = 5, т. е.
у числа 5 нет проообразов; б) ср является отображением на,
но не является взаимно однозначным отображением, так как у
каждого неотрицательного целого числа имеется при отображе-
отображении ср(га) = \п\ два прообраза, например, у числа 5 прообра-
прообразы 5 и —5 (<рE) = ф(—5) = 5); в) <р является взаимно одно-
однозначным отображением, так как числа 0, 1, 2,. . . отображают-
отображаются в числа 0, 2, 4,. . . , а числа —1, —2, —3,. . . отображаются
в числа 1, 3, 5, ...
10. Ответ, е—* = е, а— 1 = Ъ, Ь—1 = а, с—1 = с, d—i = d,
/-1 = /•
11. Ответ, g ^{x)=~2-
12. Пусть данная группа преобразований содержит преоб-
преобразование g. Тогда по определению группы преобразований
она содержит также преобразование g и преобразование
g—x-g = e.
13. Из определений преобразования е и произведения
преобразований получаем (eg)(A) = e(g(A)) = g{A) и (ge)(A) =
= g(e(A)) = g(A) для любого элемента А. Поэтому eg — g
14. ((
i«*rfs)<)) gi(gt(.8s(.)))
15. 1) Нет. Единичным элементом здесь может быть только
1, и не существует элемента 0—1,т. е. элемента х такого, что
0-а: = i-O = 1. 2) Да.
18. Да.
17. а) Нет. Среди натуральных чисел нет единичного эле-
элемента х такого, что п-\-х=х-{-п= п для любого натураль-
натурального п. (Если же рассматривать натуральные числа вместе с
нулем, то у всех элементов, кроме 0, не будет противополож-
противоположных.) б) Нет. Единичным элементом может быть только 1, но
тогда у всех элементов, кроме 1, не будет обратных.
18. Пусть ег и е2 — два единичных элемента. Тогда еха =
= а и ае2 = а для любого элемента а. Поэтому ехег = е2 и
ехе.2 = еЛ. Отсюда ех = е%.
19. Пусть элемент а имеет два обратных элемента ау и а2.
Тогда (aja)a2 = ea2 = a2 и а-^аа^) = ауе = ах. Но в силу ассо-
ассоциативности (а^а)^ = ау(аа,). Поэтому аг = а2.
20. 1) ее = е. 2) а—^а'= аа—1= е.
21. Проведем доказательство методом математической ин-
индукции. Для п = 3 утверждение задачи верно, так как в этом
случае можно построить только два произведения: (а^а^а^
и а^а^ау) и по условию задачи а^(а^а3 ) = {ахаг)аа. Пусть ут-
утверждение задачи верно для всех п таких, что 3 <: п <^ к.
Докажем, что тогда оно верно и для п = к. Пусть дано произ-
вольное правильно построенное произведение А, содержащее
к сомножителей а1, а2). . . , ак. В нем имеется операция умно-
умножения, которая выполняется последней, и, следовательно, произ-
произведение А представимо в виде A=(A1)-(Ai), где^4± и А.2—пра-
А.2—правильно построенные произведения, содержащие соответственна
I и к—I сомножителей, причем I < к и к — I < /с. Так как
I <^ к и к — I <^ к, то по предположению индукции произведе-
произведение А± задает тот же элемент, что и произведение (. . . ((а,-^)-
•а3)-. . . -а; \)-aii a -^2 — тот же элемент, что и произведение
(. . . ((«;_(-1-«г-1-2)" аг+з) '• • • 'ah O'ak- Следовательно, произ-
произведение А задает тот же элемент, что и произведение
(... ((а
Пусть
«о) -а3)- ... - at) ¦ (. . .
(• • -((ai' а2> ¦ аз) ¦ ¦ ¦ ¦
' al+2) -al+3)- ••• • «ft)-
Тогда А задает элемент a-(b-ah). Но в силу ассоциативности
a-(b-ak) =(a-b)-ak. Произведение а-б задано у нас как правиль-
правильно построенное произведение, содержащее к—1 <^ к сомножи-
сомножителей. Поэтому по предположению индукции
аЪ = (. . .((а1-а,)а3)-. . .-ак_2)-ак i.
Отсюда произведение А задает элемент
а(Ъ-ак) = (a-b)-ak = (. . . ((ar- a2)- a3). . . . ¦ah_i)-ah.
Что и требовалось доказать.
22. Ответ. 1) Да, 2) да, 3) нет, 4) да, 5) да.
23. 1) (a6)F—la— 1)= а(бб—1)а-1 = аеа—1 = аа—1 = е и
F—1а—1)(аЬ)=б—1(а—1а)б= б—1еб= б—16 = е. 2)Доказывается
индукцией по га: если для п—1 уже доказано, то (аг-. . . -an)—1==
= (по пункту l)) = a~1-(a1-. . . • an—i)~l — a~i-a~_}_l- .. .-a^.
24. Пусть ах = 6 для некоторого элемента х. Тогда, ум-
умножая обе части равенства на a—1 слева, получим а—^ах= а—16
и х = a—16. Таким образом, решением уравнения ах — b мо-
может быть только один элемент a—16. Этот элемент действитель-
действительно является решением, так как а(а—16) = (аа—1N = 6. Точно
так же доказывается, что уравнение уа = Ъ имеет единственное
решение у = 6а—1.
25. Так как аа = е для любого элемента а, то для любых
элементов бис имеем Fс)Fс) = е. Умножим обе части этого
равенства слева на б и справа на с. Получим bbcbcc = bee.
Так как 66 = е и се = е, то получаем (ес)(бе) = (бе)е и еб = 6с.
Так как бис — любые элементы группы G, то эта группа
коммутативная.
26. Надо доказать, что am. (a— i)m= (a—i.)m.am = e. Име-
Имеем a.m. (а—l)«i = а~<п—la-a—1 ¦ (а—1)т—1 — ат—1-е-(а—1)™—1 =
=а™—l(a— i)m—1= . . . =аа—1=е. Точно так же доказывается,
123
что (a— i)
ar"=
= e. (Для большей строгости надо применить
й )
( ) (
принцип математической индукции.)
27- Рассмотрим несколько случаев:
а) т^> 0, п^> 0, тогда а
б) т < О,
а" = а ¦ а ¦
¦ а ¦ а ¦ а
¦ а — ат+п;
m n
п < 0, пг = —А (А: > 0),
т+п
п = —? (Z > 0), тогда а'-ап = а—&¦ а—1 = (а—l)^-(a—1)' = (см.
случай а)) = (а— 1)А-Н = а— (А-М)= а™+"; в) пг > 0, га < 0,
m+гаЗгО, тогда a"i.a»= (см. случай а)) = (am"bi-a— «)a—(—n) =
=am-)-n.a—n.(a—n)—1 = am+n; r) /n > 0, ra^ 0, m -\- n <C 0,
тогда am. an = (см. б)) =a*".(a—m. я*п-|-п) =s™-(«"i)—1- a"i+n =
=a»i+n. Случай m <[ 0, га>0 разбирается аналогично случаям
в) и г). Случаи т = 0, или га = 0 легко проверяются.
28. Рассмотрим несколько случаев: а) п > 0, тогда
п
(ат)п = ат ¦ а7
= (см . 27) = ат + т +
т
=ат"; б) га<0, m>0, ra=— Z(O>0), тогда (am)n=((am)')-1 =
= (см. случай а)) = (ат1)~* = (так как ml > 0)=a~m* =
= атп; в) га < 0, т < 0, га = —1A > 0), т = — А:(А: > 0),
тогда (am)n = (((ай)— 1)—1)* = (см. 20) = (акI = (см. случай
а)) = afel = amn. Случаи т = 0 или га = 0 легко
проверяются.
29. Ответ. В группе симметрии треугольника (см. 3)
a, b порядка 3, с, d, f порядка 2; квадрата (см. 5) б, с порядка 4,
а> ^» /> S, h порядка 2; робма (см. решение 6) все элементы (от-
(отличные от е) порядка 2.
30. 1) Пусть ак = а1, где 0 < А: < л — 1, 0 < Z < га — 1
и i> I. Умножим обе части равенства справа на a '. Получим
ан-а~1 = а1 -а—1 и (см. 27) afe~' = е. Так как 0 </с — / < га—1,
то получаем противоречие с тем, что порядок элемента а равен п.
2) Любое целое число т можно представить в виде т =
= nt + г где 0<^г^га — 1 и t — некоторое целое число.
Тогда ат = ant+r = (см. 27) = an'-ar = (см. 28) = (ап)
п — 1.
элемент — поворот
на
= (так как ап = е) = ar, где 0 <sj г ^
31. Указание. Образующий
угол i?L.
га
32. Ответ. В группе вращений треугольника образующие:
a — вращение на 120° и 6 — вращение на 240°, в группе вра-
вращений квадрата: 6 — вращение на 90° и с — вращение на 270°.
33. Пусть т = nd + г, где 0 ^ г <^ п — 1. Тогда (см.
решение 30 2)) ат = аг. Но ar = е тогда и только тогда (см.
30 1)), когда г = 0. Отсюда ат = е тогда и только тогда, когда
пг = nd.
34. (am)p= amP = (ар)т = em = е. Поэтому (см. 33) по-
порядок элемента ат должен быть делителем числа р. Так как
123
p — простое число, то отсюда следует утверждение задачи.
35. —г и —г— целые числа, поэтому (am)d — ad =
т т
= (ап) d = e d = е. Если же ft — такое натуральное число,
что (am)h = amh = е, то (см. 33) тк должно делиться на га и
— • к должно делиться на —. Так как числа — и — взаимно
d d d d
просты, то к должно делиться на —. Следовательно, наимень-
d
тпим натуральным к таким, что (ат)к=е, является к = —'
36. Пусть а — поворот против часовой стрелки на угол .
Тогда все элементы рассматриваемо!! группы — это е, а,
а2,. . . , а11. Для того чтобы элемент а был образующим, надо,
чтобы его порядок был равен 12, и, следовательно, числа т
и 12 (см. 35) должны быть взаимно просты. Поэтому ат будет
образующим ари т = 1, 5, 7, 11.
Ответ. Образующими являются повороты на углы
я 5л 7 л 11л.
ТГ' ~б~' ~б"' ~б
37. Пусть ак = а' и ft > I. Тогда а"¦ а~1 = а' • а~1 и
afe~' = е, в противоречие с тем, что а — элемент бесконечного
порядча.
33. Указание. Если рассматривается группа по сло-
женлю, то под ат понимается сумма а -\- а + ... + а т слагае-
слагаемых и иода понимается — а. Образующими будут 1 и —1.
39. а) См. табл. 8, б) см. табл. 9, в) см. табл. 10.
Таблица 8
+
0
1
0
0
1
1
1
0
Таблица 9
+| 0 1 2
Таблица 10
0
1
2
0
1
2
1
2
0
2
0
1
+
0
1
2
3
1 о
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
40. Докажем, что выполняются все свойства группы:
1) Д1Я любых остатков а, Ь, с имеем (а + Ь) + с = a -f- (Ъ + с)
по модулю га, так как и справа и слева получится остаток от
деления на га числа а -\- Ь + с; 2) единичным элементом являет-
является 0, так как т-\-0=?0-\-т=т для любого остатка т;
3) если т Ф 0, то обратным (противоположным) для т элемен-
элементом будет га — т, так как по модулю га имеем т + (га — т) =
= (« — w) + m = 0; обратным для элемента 0 будет он сам. Эта
груипа циклическая с образующим 1, так как наименьшее к
такое, что 1 -f- I -f- . .. -|- ^ =0 по модулю га, равно га.
h '
124
41. Так..как amaT = ak, то ат¦ аТ¦ а~к = ак-аГ~k и a(m+r)-* =
•= е. Следовательно (см. 33), (пъ + г) — ft делится на га, т. е.
m -\- r w. к дают при делении на га одинаковые остатки.
42. Ответ. Изоморфны 1) и 4) (рассмотрите отоб[ а кение ф:
ф(е) = 0, ф(а) = 2, ср(Ь) = 1, ф(с) = 3) и изоморфны 2) и 3)
(рассмотрите отображение ф: ф(е) = е, ф(а) = а, фF) = Ъ,
Ф(е) = с (см. решения 6 и 7)).
43. Так как ф — взаимно однозначное отображение, то
ф—1 существует и является взаимно однозначным отображением.
Пусть с и d — произвольные элементы группы G2. Существуют
(единственные) элементы а и Ъ в группе Gx такие, что ф(а) = с
и ф(Ь) = d. Так как ф — изоморфизм, то <p(ab) = ф(а)-ф(Ь) =
= cd (произведения берутся в соответствующих группах).
Отсюда ф—i(cd) = ab=<p— 1(<?)'Ф—i(d). Так как с и d — произ-
произвольные элементы группы С2, то ф—i — изоморфизм.
44. Так как <рг: С?! —» G2 и ф2: G2 — G3 — взаимно одно-
однозначные отображения, то и фгфг: 6?± —» Ся — взаимно одноз-
однозначное отображение. Пусть о и i — произвольные элементы
группы G]. Тогда (<p2«Pi)(ab) = <Pa(«Pi(«*>)) = ф2(ф1 (a) • Ф1 (Ь)) =
= 92(<Pi(«)) • 9a(<Pi(ft)) = ((ф2Фг)(а))-((ФгФг)(Ь)) и, следователь-
следовательно, ф2ф1 — изоморфизм (произведения берутся в соответствую-
соответствующих группах).
45. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи
41. Изоморфизм: ф(ат) = т.
46. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 27.
Изоморфизм: Ц>(ат) = т.
47. Пусть <?(?G) = я. Тогда х-х = ф(^0)-<р(ео) = (так как
Ф — изоморфизм) = ф(ее-ес) = ф(рс) = х, т. е. а;2 =ж. Умно-
Умножив обе части этого равенства на х—1 в группе F, получим
х2х—1 = хх—i и х-— вр.
48. ф(?)ф(#—1)=:(так как ф — изоморфизм) = q>(gg—1) =
*=(p(eG) = (см. 47) = eF. Отсюда ф(^~ 1) = [ф(§)]—1.
49. Пусть га—натуральное число. Тогда <f>(gn)—<f(g- ... -g) =
(так как ф — изоморфизм) = ф (g)
ф (g) = ^п- Пусть ^
и ге2 — порядки элементов g ж h. Тогда <р (gn2) = hn* = ер и
(см. 47) gn* = eG. Отсюда raj ^ га2. С другой стороны, hUi =
= ф (^П1) = ф(е^;) = е^, откуда га2 <^ пх. Следовательно, пг = га,.
50. Ответ, а) одна группа — Z2, б) одна группа — Z~t.
Решение, а) Пусть е, а — элементы группы и е — еди-
единичный элемент. Тогда е-е = е, е- а = ае = а и остается
задать только а-а. Если а-а — а — е-а, то (см. 24) а = е —
противоречие. Значит, a2 = e и имеется только одна группа,
содержащая 2 элемента. Это циклическая группа Z2.
б) Пусть е, а, Ъ — элементы группы я е — единичный
элемент. Нужно задать, чему равны произведения аЪ, Ьа,
аа, ЬЬ. Если ab = а, то Ь = е — противоречие, если аЪ = Ъ,
то а = е — противоречие. Значит, ah = е и точно так же 6а = е.
Если а2 =- в, то а = е — противоречие; если а8 = е = at», то
125
a = b — противоречие. Значит а2 = о и точно так же б2 = а.
Следовательно, существует только сд га группа, содержащая
три элемента. Так как а3 = а--а = Ьа = е, то эта группа с
элементами е, а, Ъ = а1 — циклическая группа Z3.
51. Ответ. Например, группа вращений квадрата не
изоморфна группе симметрии ромба, так как в первой есть
элемент порядка 4, а во второй нет (см. 49).
52. Рассмотрим отображение ф(ж) = 2х. Если х принимает
всевозможные действительные значения, то 2х при этом прини-
принимает ровно по одному разу все положительные действительные
значения. Поэтому ср — взаимно оддозначное отображение мно-
множества всех действительных чисел на множество всех поло-
положительных действительных чисел. При этом дтя любых дейст-
действительных чисел х и у имеем (р(х + у) = 2xJ<~y = 2х- ?у =
= ф(а;)-ф(г/) и, следовательно, ф — изоморфизм группы всех дей-
действительных чисел по сложению на группу всех положитель-
положительных действительных чисел по умножению *).
53. Пусть у — произвольный элемент группы G, тогда
Фа(а—1у)=аа—1у = у, поэтому фа — отображение группы G
на всю группу G. Если q>a(x) = Фа(г/), то ах = ау и х = у,
поэтому фа — взаимно однозначное отображение группы G на
себя.
54. (фафь)(х) = фа(<рь(а:)) = q>a(bx) =abx = <pob(x) для лю-
любого элемента х, поэтому фаф ь= фаЬ- Так как ц>а(а—*х) =
= аа~~1х=х, то (фа)~1(лг)=а~{х = <ра—1 (а:) для любого элемента
#, поэтому (фа)~1 = Фя—1- Следовательно, мы имеем группу пре-
преобразований (см. определение группы преобразований, стр. 20).
55. Рассмотрим отображение о|з такое, чтоф(а)= фд. Так как
фа(е)=ае = а и <Рь(е) = be = Ь, то фд Ф (ръ при а Ф b. Поэтому
ij> — взаимно однозначпое отображение. Кроме того, yjp(ab) =
= фа6 = (см. решение 55) = фаф& = ф(а)г|}(Ь). Следовательно,
¦ф — изоморфизм.
56. а) Пусть eG я ен — единичные элементы соответственно
в группе G и в подгруппе Н. В подгруппе Н имеет место равенст-
равенство <"ден== ея- По определению подгруппы это равенство верно
также и в группе G. Кромэ того, в группе G выполняется ра-
равенство eGeu= ен. Отсюда в группе G получаем енен= eQeH\\
(см. 24) ен= eG.
б) Пусть а — произвольный элемент подгруппы //, и пусть
о^Г1 и с^1 — обратные к нему элементы соответственно в груп-
группе G и в подгруппе Н. Тогда в подгруппе Н имеем а^'а =ен =
= (см. выше) =eG. По определению подгруппы это равенство
*) Вместо основания 2 можно было взять любое основание
а ~> 0 (а т^= 1), так как любое отображение <р(х) = а* является
изоморфизмом.
126
—1
a =
верно также и-в группе G. Кроме того, в группе G имеем а
—eG. Отсюда в группе G получаем a^ia = а^^а и а^1 =aG~i
57. Необходимость вытекает из результата зада-
задачи 56 и определения подгруппы.
Д остаточность. По свойству 1) бинарная операция
группы G является также бинарной операцией и для Н. Эле-
Элемент eQ, который содержится в Я по свойству 2), является
единичным элементом в Н, так как eQa = aeG = а для любого
элемента а группы G и, в частности, для всех элементов из Н.
Если а — произвольный элемент из Н, то элемент ад, кото~
рый содержится в Я по свойству 3), является обратным к а
в Н, так как а^1 a =aaG~1 =eG = eH. Ассоциативность, очевидно,
имеет место. Следовательно, Н — подгруппа группы G.
58. Ответ (обозначения см. в примерах 1—4). 1) Подгруп-
Подгруппа вращений {е, а, Ь), 3 подгруппы отражений относительно
высот: {е, с}, {е, d], {е, /}, 2 тривиальные подгруппы: {е} и
вся группа; 2) подгруппа вращений {е, а, Ъ, с}, подгруппа
центральных симметрии {е, а}, 4 подгруппы отражений отно-
относительно осей симметрии: {е, d), {е, /}, {е, g), {е, Щ, еще 2
подгруппы: {е, a, d, /} и {е, a, g,h}, 2 тривиальные подгруппы:
{е} и вся группа.
59. Ответ. Пусть данные группы содержат элементы
{е, а, а2,. . . , а«— 1} (га = 5, 8, 15). Тогда подгруппами будут:
а) {el, Zt; б) {е}, {е, a*} = Zt, {е, а\ а\ а8} =* Z4, Zs; в) {е},
{е, о», а10} ^ Z3, [е, а3, о», о», а12} = ZB, Z1B (см. 60).
60. Пусть подгруппа Н отлична от {е} и пусть ad — эле-
элемент с наименьшим положительным показателем степени среди
всех элементов подгруппы Н. Тогда в Н содержатся также все
элементы вида ahd = (ad)h при любом целом к. Пусть ат —
произвольный элемент подгруппы Н. Разделим т на d с остат-
остатком: т = td + г, где 0 <J г -^ d —• 1. Тогда в Н содержится
элемент ат¦ а~td = am~~td = ar. Если г >¦ 0, то получаем
противоречие с тем, что d — наименьший показатель в Н.
Значит, г — 0 и т делится на d. Так как элемент ап = е входит
в Н, то d является делителем п. Таким образом, подгруппа Н
имеет вид, указанный в задаче.
61. Решение такое же, как и у задачи 60.
62. Если некоторый элемент группы имеет бесконечный
порядэк, то порождэнная им бесконечная циклическая под-
подгруппа содержит бесконечно много подгрупп (см. 61), которые
также являются подгруппами исходной группы. Если же по-
порядки всех элементов конечны, то рассмотрим циклические
подгруппы, порожденные следующими элементами: сначала
произвольным элементом аг, затем элементом а2, не вошедшим
в построенную подгруппу, затем элементом а3, не вошедшим в
обе построенные подгруппы, и т. д. Этот процесс можно будет
продолжать неограниченно, так как все построенные подгруппы
конечны.
63. Пусть Нг, Н2,. . .,Нт—подгруппы некоторой группы
G и Н — их пересечение. Тогда (см. 57): 1) если а и о содер-
12 7
жатся в Н, то и а и Ъ содержатся во всех Hi. Поэтому аЬ также
содержится во всех Hi и, следовательно, в Н\ 2) е содержится
во всех подгруппах Н% и, следовательно, содержится в Н;
3) если а — произвольный элемент из Н, то а содержится во
всех Hi. Тогда аГ1 также содержится во всех Hi и, следователь-
следовательно, в Я. В силу результата задачи 57 Н — подгруппа группы G.
64. Ответ, а — да, Ъ — да, с — нет, d — нет.
65. Вершина А может перейти в любую вершину, В —
в любую из оставшихся, С — в любую из двух оставшихся.
Ответ. 4-3-2 = 24.
66. Ответ, а) Все симметрии, оставляющие на месте вер-
вершину D;
(ABCD\ . (ABCD\ .„ (ABCD\ (ABCD\\
б) \е =
' -
CDABJ' d3 ~ \ЛАВС)\-
67. Придадим сначала нашему определению ориентации
более симметричную форму. Мы определили ориентацию с
помощью вершины D, но если задано расположение треуголь-
треугольника ABC относительно вершины D, то этим, как легко видеть,
однозначно определяется расположение любого треугольника
относительно четвертой вершины. Поэтому преобразование,
сохраняющее ориентацию тетраэдра, сохраняет расположение
любого треугольника относительно четвертой вершины, а преоб-
преобразование, меняющее ориентацию, изменяет расположение
любого треугольника относительно четвертой вершины. Ясно
теперь, что произведение двух преобразований тетраэдра,
сохраняющих ориентацию, так же как и произведение двух
преобразований, меняющих ориентацию, сохраняет ориента-
ориентацию. Если же одно преобразование сохраняет ориентацию,
а второе меняет ее, то произведение этих преобразований меняет
ориентацию. Так как е, очевидно, ориентацию сохраняет и
а~1а = е для любого преобразования а, то если а сохраняет
ориентацию, то и а—1 сохраняет ориятацию. Следовательно
(см. 57), все симметрии тетраэдра, сохраняющие ориентацию,
образуют подгруппу в группе всех симметрии тетраэдра. Так
как вершина Л может перейти в любую вершину, после чего
треугольник А ВС может занять любое из трех положений, то
эта подгруппа содержит 4-3 =12 элементов.
68. Ответ, а) Псдгруппа вращений относительно оси,
проходящей через середины противоположных ребер; б) под-
подгруппа вращений вокруг высоты, опущенной из вершины D
на плоскость треугольника ABC.
69. Используя ассоциативность в G и Н, докажем ассо-
ассоциативность в GXH. Имеем
((Si, Ai)(?s. h2))(g3, h3) = (gi?2, hih2)(g3, h3) =
3, (AiAa)A3) = (gi(g2g3), ЫЬгЮ) = (gu Ai) (g2g3, h2h3) =
Далее {eQ, eH)(g, h)= (eQg, eHh) = (g, h) и (g, h){eQ, eff) =
= (geG,heH) = (g, h). Поэтому пара (eQ, ед) —единичный эле-
123
мент в G X Н. Кроме того, (g — 1, h— 1) (g, h) =(g— \g h—lh\ —
= (eG, ен) и (g,- h)(g~l, A-l) = (gg-i, Iih-i) = (в(,, е^). Поэто-
Поэтому (g— l, A—i) — элемент, обратный к (g, h) в G X H. Таким
образом, GXH обладает всеми свойствами группы.
70. Ответ, пк.
71. Указание. Проверьте, что отображение ср такое,
что <f>((g, A)) = (h, g),— изоморфизм группы GX Н на группу
Н X G.
72. Ответ. Все элементы вида (g, ед) образуют подгруппу
в G X Н, изоморфную rpynue G. Все элементы вида (eQ, h)
образуют подгруппу, изоморфную группе //.
73. Имеем: {gu A1)(g2) fea) = (gig,,, h^) = (g2gx, hji±) =
= (ft. As) (ft, Ai)-
74. 1) Если (^1? Aj) и (g.2, A2) содержатся в d X //15
то g1; ^.2 и gxg2 содержатся в Gx и hx, A2 и АХА2 содержатся
в 7^!. Поэтому в (?! X i?! содержится элемент (gig^, hxh2) =
( AX fe)
— ksi,
2) Так как Gx и Нг — подгруппы соответственно в G и Н,
то ео содержится в Gx и efI содержится в Нх. Поэтому в GXX H\
содэржится (eQ, ен) — единичный элемент группы G X Н.
3) Если элемент (g, h) содержится в G± X Нг, то g содер-
содержится в Gx и А содержится в Hi. Так как Gt и Нг — подгруппы
то g^T1 содержится в Gx и h^1 содержится в Нх. Поэтому в
(?! X Ну содержится (g^T1, А]^1) — элемент, обратный к (g, A)
в группе G X Н.
В силу результата задачи 57 Gx X Нг — подгруппа группы
G X Н.
75. Нет. Рассмотрим следующий пример. Пусть G = {ег, с}
и II = {е2, d) — две циклические группы второго порядка.
Тогда {(ех, е2), (с, d)\— подгруппа группы G X Н, непредста-
непредставимая указанным в задаче способом.
76. Пусть данный ромб имеет вершины А В CD. Пусть
G = {ег, g] — группа преобразований элементов А и С,
а Н = [e.z, h] —¦ группа преобразований элементов В и D.
Тогда отображение Ф такое, что (обозначения см. в реше-
решении 6)
ф(е) = (в1) е.,), <р(я) = (g, h), ф(Ь) = (еи h), Ф(с) = (g, e2)
будет, легко видеть, изоморфизмом группы симметрии ромба на
группу G X Н ^ Z.2 X Z.,.
77. 1) Пусть {elt g) и {еа, А, /г2}—данные группы. Найдем
порядок элемента а = (g, h): а2 = (g2, A2) = (в!, /г2) Ф {ех, е2),
а3 = (g, е2) ^ .(с„ в8), а4 = (в1, Л) =^ (е„ е.,), а5 = (у, Л») ^
^ (ei> ea)> а* = (eii ег)- Так как группа Z., X Z-д содержит толь-
только 6 элементов, то Z2 X Za ^ Zo.
2) Пусть (g, A) — произвольный элемент группы Z% X Z±.
Тогда (g, AL = (gA, /г4) ,= (elt e2). Поэтому в Z, X Z4 нет эле-
элемента порядка 8 и, следовательно, группа Z.2 X Z4 не изо-
мофна Za.
5 В Б- Алексеев
129
78. Пусть g — образующий в Z , a h — образующий в Z
771'
и пусть г — порядок элемента (g, h) в группе ZmX
Zn. Так как
1=(^
ZmX
г) = {ех, е2), то г^ теге. А так как (gr, hr) =
= (g, h)r = (ег, е2), то (см. 33) г делится на т и на га. Если т
и га взаимно просты, то получаем, что г = ттгтг и (g, h) — обра-
образующий в группе ZmX Zn. Следовательно, ZmX Zn =s %шп.
Если же т и га не взаимно просты, то для их наименьшего
общего кратного ft имеем к <С т.п. Пусть ft = /raft1 и ft = raft2.
Если g и h — произвольные элементы групп Zm и Zn, то gm =
= ег ж hn = е2. Поэтому (g, h)h=(gmkl, hnh*)=(ex, е2). Так как
к <[ тп, то получаем, что в этом случае в группе Z~mX ¦?„ нет
элементов порядка тп и, следовательно, группы
и Zmn не изоморфны.
79. Ответ (см. § 1, примеры 1 и 2). а) {е, в, Ь] [с, d, /};
б) {е, с}, {а, /}, {6, d}.
80. Так как а; = хе и е содержится в Н, то элемент а; со-
содержится в классе хН.
81. По условию y=xht, где hx— некоторый элемент под-
подгруппы //. Отсюда х = yh~x. Пусть h — произвольный эле-
элемент подгруппы Н. Тогда элементы hjh и h^~lh принадлежат
Н. Поэтому элемент yh = (xhx)h = xQi^h) содержится в хН,
а элемент аЛ=(уЛ^)А = y(hYih) содержится в уН. Так как каж-
каждый элемент из уН содержится в хН ж наоборот, то хН = уН.
82. Пусть элемент z входит в хН и в уН. Тогда (см. 81)
хН = zH и уН = zH. Отсюда хН = уН.
83. Указание. Порядок любого элемента равен поряд-
порядку порожденной им циклической подгруппы. Далее восполь-
воспользуйтесь теоремой Лагранжа.
84. Указание. Если порядок группы р — простое
число, то порядок любого элемента, отличного от е (см. 83),
равен р.
85. Воспользуйтесь теоремой Лагранжа. Ответ. Две —
{е} и вся группа.
86.
и 45.
87.
Ответ.
88.
У к аз а н и е. Воспользуйтесь результатами задач 84
Пусть G — данная группа порядка т и га = ind.
G X Zd (см. 72).
Ответ. Может. Например, в группе вращений тетраэдра,
содержащей 12 элементов (см. 67), нет подгрупп, содержащих
6 элементов. Доказательство см. нпже.
Доказательство. Группа вращений тетраэдра (см.
67) содержит 12 элементов: тождественное преобразование е,
8 вращений (на 120° и 240°) вокруг высот, опущенных из каж-
каждой вершины на противоположную грань, и 3 вращения (на
180°) вокруг осей, проходящих через середины противополож-
противоположных ребер. Предположим, что группа вращений тетраэдра со-
содержит подгруппу, имеющую 6 элементов. Эта подгруппа
должна, очевидно, содержать хотя бы одно вращение а вокруг
некоторой высоты, например, опущенной пз вершины А. Если
130
а — вращение на 120° (пли на 240°), то а2 — вращение на 240°
(на 120°). Поэтому наша подгруппа должна содержать оба вра-
вращения вокруг высоты, опущенной из вершины А . Так как имеет-
имеется только 3 вращения (включая тождественное преобразование),
оставляющие на месте вершину А , то наша подгруппа должна
содержать вращение Ь, переводящее вершину А в некоторую
Другую вершину, например в Б. Тогда в подгруппе содержится
также элемент bab~1. Это вращение переводит вершину Б в В и,
кроме того, ЪаЪ Ф е (иначе а = Ъ Ъ = е). Поэтому наша
подгруппа должна содержать хотя бы одно, а следовательно, и
оба вращения вокруг высоты, опущенной из вершины В.
Эти вращения переводят вершину А в С и в D. Отсюда, как и
выше, получаем, что наша подгруппа должна содержать все
вращения вокруг высот, опущенных из вершин С и D. Получи-
Получили уже 9 элементов (вместе с е). Противоречие. Значит, в группе
вращений тетраэдра нет подгрупп порядка 6.
89. Ответ, а) Левое и правое разложения совпадают —•
{ег а, Ь], {с, d, /};
б) левое разложение — {е, с}, {а, /}, {Ъ, d), правое разло-
разложение — {е, с}, {a, d), {b, f).
90. Ответ, а) Оба разложения совпадают — {е, а], {Ъ, с},
{*, /Ь {S, h);
б) левое разложение — {е, d} {b, g), {а, /}, {с, К], правое
разложение— [е, d), {Ь, h), {а, /}, {с, g).
91. Ответ. Оба разложения совпадают и содержат по 3
смежных класса: 1) все числа вида 3/с (к =0, +1, ±2,. . .),
2) все числа вида Зк-\- 1 (к = 0, + 1, ±2,. . .), 3) все числа
вида Зк + 2 (к == 0, ±1, ±2,. . .).
92. Ответ, а) Две группы: Z4 и Z% X Zt",
б) две группы: Zs и группа симметрии треугольника;
в) пять групп: Z8, Z4 X Z2, (Z3 X Z2) X Z2, группа сим-
симметрии квадрата, группа кватернионов с элементами ±1, +i,
+ /, +к и таблицей умножения, показанной в табл. 11.
Таблица 11
1
1
i
7
j
—/
j
—а-
i
i
—i
i
—i
j
/
ft
— ft
— 1
— 1
1
i
T
7'
— ft
ft
i
i
j
— 1
1
— ft
ft
7
—J
— i
— i
i
1
— 1
ft
— ft
—7
i
7
i
i
ft
д.
— l
l
— i
i
—7
7
/
— ft
ft
1
— 1
i
— i
ft
ft
—i
j
i
—i
I
1
— ft
— ft
ft
/
—j
— i
i
1
— 1
Решение, а) Пусть {е, a, b, с] — элементы искомой
группы. Тогда порядки элементов а, Ъ, с либо 2, либо 4 (см.
83). Рассмотрим несколько случаев.
1) Среди а, Ь, с есть элемент порядка 4, тогда данная груп-
группа — циклическая группа Z4.
2) Порядки элементов а, Ь и с равны 2, т. е. а- = б3 = с2 =
= е. Посмотрим, чему в этом случае может равняться аЪ. Не
может быть ab = е (иначе ab = а2 и Ъ = a), ab — а (иначе
b = е) и аЪ = Ъ (иначе а = е). Значит, может быть только
ab = с. Точно так же 6а = с, ас = са = Ъ и 6с = сЪ = а.
Таблица умножения полнсстыо задана и мы получаем (см. 6)
группу симметрии ромба, изоморфную группе Z2 X Z, (см. 76).
б) Элементы "искомой группы могут иметь порядки 1, 2, 3.
или 6 (см. 83). Рассмотрим несколько случаев.
1) Есть элемент порядка 6, тогда данная группа — цикли-
циклическая группа Zs.
2) Все неединичные элементы порядка 2, тогда группа ком-
коммутативна (см. 25), и если a, h — элементы искомой группы,
то элементы {е, a, b, ab} образуют подгруппу в ней. Этого быть
не может (см. теорему Лагранжа) и, следовательно, этот слу-
случай не может иметь места.
3) Все неединичные элементы имеют порядок 2 или 3 и
есть элемент порядка 3. Пусть а — элемент порядка 3 и с —
элемент, не являющийся степенью элемента а. Тогда {е, а, а2}
и {с, са, са2} — два левых смежных класса по подгруппе {е, а,
а3} и, следовательно, все 6 элементов е, а, а2, с, са, са2 различны
(см. 82). Докажем, что на этом множестве из 6 элементов мож-
можно только одним сиособом задать таблицу умножения. Дока-
Докажем, во-первых, что с2 = е. Действительно, не может быть
ei — саь (ИНаче с = ак). Если бы было с2 = а (или с- = а2), то
было бы с3 = ее2 = са Ф е (или с3 = са2 Ф е), но мы предпо-
предполагаем, что все элементы имеют порядок 2 или 3. Следователь-
Следовательно, с2 = е. Так как с — произвольный элемент, не входящий
в подгруппу {е, а, а-}, то также (саJ = е и (са-J =е. Теперь
однозначно определяется произведение любых двух из выпи-
выписанных выше 6 элементов. Действительно, akal = afe+*,
(сак)а1 = сак + 1, (cak)(cal) = (cak)(cak)al~k = eal—k = ax~k,
ak(cal) = c(cak)(cal) = (см. выше) = са1 k. Таким образом,
таблицу умножения в этом случае можно задать только одним
способом так, чтобы получилась группа. Следовательно, су-
существует только одна группа с 6 элементами, порядки всех
элементов которой равны 2 и 3. Мы знаем такую группу — это
группа симметрии треугольника.
в) Элементы искомой группы могут иметь порядки 1, 2, 4
или 8 (см. 83). Рассмотрим несколько случаев.
1) Есть элемент порядка 8, тогда данная группа — цикли-
циклическая группа Z8.
2) Все нееднничные элементы имеют порядок 2. Тогда дан-
данная группа коммутативна (см. 25). Пусть в этом случае а и
Ъ — различные элементы искомой группы, отличные от е.
Тогда {е, а, Ъ, ab} — подгруппа искомой группы. Если элемент
с не входит в эту подгруппу, то элементы {с, ас, be, abc} обра-
образуют второй правый смежный класс но подгруппе {е, a, b, ab}
и, следовательно, все 8 элементов е, а, Ъ, с, ab, ас, be, abc раз-
различны. Произведение этих элементов однозначно определяется,
так как группа должна быть коммутативна и а2 = Ь2 = с2 =
= е (например, (ac)(abc) = a2bc2 = Ъ). Таким образом, если
все элементы имеют порядок 2, то может быть только одна груп-
группа. Такая группа действительно есть — это (Z% X Zz) X Z%.
132
3) Есть элемент а порядка 4 и среди элементов, Отличных от
е, а, а2, а3, есть элемент b порядка 2, т. е. Ь2 = е. В этом случае
{е, а, а2, а3} и {b, ba, ba2, ba3} — два левых смежных класса
по подгруппе {е, а, а2, а3} и, следовательно, все 8 выписанных
элементов различны. Посмотрим, какому из этих элементов
может равняться произведение ab. He может быть ab = ak
(иначе Ъ = afe~1) и ab = b (иначе а = е). Если ab = ?>a2, то
ab2 = ЬаЧ и (так как Ь2 — е) а = Ъа2Ъ. Тогда а2 = (ЬаЧ)(ЬаЧ) =
== ba2a2b = bb = е — противоречие. Значит, либо ab = ba,
либо ab = Ъая.
Рассмотрим 2 подслучая:
a) ab = ba. Тогда таблица умножения однозначно
определяется. Действительно, а а1 — а^~^1, ah(bal) = baJ1^1,
(bak)al ~ bak+l, (bah)(bal) = b2ah+l = ah+l. Значит, в этом
случае может быть только одна группа. Такая группа дейст-
действительно есть. Это группа Z4 X Z2. Если е1 и g — единица и
образующий группы Zt, ег и h — единица и образующий груп-
группы Z2, то достаточно положить a = (g, e2), b = (е±, h) и все ука-
указанные выше свойства будут выполняться.
Р) ab = i>a3. В этом случае таблица умножения так-
также однозначно определяется. Действительно, ahal = afe""~',
(bah)al = bak+l, akb = ba*h, ah(ba') = ba3k+l, (bah)(bal) =
= b(ahbal) = b2a'ih+t = a3h+l. Значит, в этом случае может
быть только одна группа. Такая группа действительно есть.
Это группа симметрии квадрата. Достаточно положить: а —
вращение на 90°, b — симметрия относительно диагонали, и
будут выполняться все указанные выше свойства
4) Есть элемент а порядка 4 и все элементы, отличные от
е, а, а2, а3, также имеют порядок 4. Пусть b — произвольный
из элементов, отличных от е, а, а2, а3. Тогда элементы е, а, аг,
a3, b, ba, ba2, ba3 все различны, Посмотрим, какому из элемен-
элементов может равняться произведение bb. Не может быть Ь2 = Ьа11
(иначе b = ak) и b2 = e (так как порядок Ь равен 4). Если
о'2 = а (или Ъ2 = а3), то Ь* = а2 Ф е — противоречие. Значит,
Ьг = а2. Так как Ъ — произвольный элемент, отличный от е,
а, а2, а3, то также (i>aJ = (ba2J = (tia3J = а2. Так как baba —
= а2 = Ь2, то aba = b, aba* = ba3 и ab=ba3. Таблица умножения
теперь однозначно определяется. Действительно, akal =
= ak+l, (bak)al = bak+', ahb = ba3k, ak(bal) = ba3k+l,
(bak)(bal)= b2a3k + l = a2a*h+l = a3k+l + 2. Итак, в этом
случае может быть только одна группа. Можно проверить, что
наша таблица умножения действительно задает группу. Эта
группа называется группой кватернионов. Элементы ее удобно
переобозначить следующим образом: вместо е, а, а2, а3, Ъ,
Ьа, Ьа2, Ьа3 — соответственно 1, i, —1, —i, j, —к, —/, к-
Тогда умножение на 1, —1 и операции со знаками будут таки-
такими же, как в алгебре. Кроме того, будет i2 = /2 = к2 = —1,
if = к, fi = —к, jk = i, к) = —i, ki = /, ik = —/. Таблица
умножения для группы кватернионов показана в табл. 11
(стр. 131).
133
93. Возьмем вершину, новое обозначение которой А.
Тогда ее старое обозначение g—i(A). Под действием рассматри-
рассматриваемого преобразования эта вершина переходит в вершину, ста-
старое обозначение которой hg—1(Л) и новое обозначение которой
ghg X{A). Точно так же в новых обозначениях вершина В пе-
переходит в вершину ghg -"(В) и С в ghg 1(C). Следовательно,
этому преобразованию в новых обозначениях соответствует под-
подстановка ghg'*1 •
94. ghg—i= hx тогда и только тогда, когда h = g—^hxg.
Поэтому у каждого элемента hx при отображении ф_ есть,
и притом единственный, прообраз. Следовательно, отображение
ср (h) = ghg—i— взаимно однозначное отображение группы на
себя. Кроме того, 9g(A1fe2) = g{hxht)g—i- = ghx(g—ig)h2g— i —
— (gh1g—^)(gh2g—i)= 9g(Ai)9g(fe2)- Поэтому ф^ — изоморфизм.
95. Ответ. В отражения относительно всех высот.
96. Ответ. Во вращения на 120° и на 240°.
97. Ответ. Разобьем все элементы группы симметрии тет-
тетраэдра на следующие классы: 1) е; 2) все вращения вокруг
высот, отличные от е; 3) все вращения на 180° вокруг осей,
проходящих через середины противоположных ребер; 4) все
отражения относительно плоскостей, проходяших через ка-
какое-либо ребро и середину противоположного ?ебра; 5) все пре-
преобразования, порождающие циклическую подстановку вершин
!ABCD\
(например, I I). Тогда 2 элемента могут переходить друг
\ D о LJ АI
в друга при внутренних автоморфизмах группы симметрии тет-
тетраэдра в том и только в том случае, если они содержатся в одном
классе.
В случае группы вращений тетраэдра классов 4) и 5) не
будет, а класс 2) разобьется на 2 подкласса: 2а) все вращения
вокруг высот на 120° против часовой стрелки (если смотреть со
стороны вершины, из которой опущена высота); 26) все враще-
вращения вокруг высот на 240°.
Решение. Пусть все элементы группы симметрии тет-
тетраэдра разбиты на классы так, как это сделано выше. Тогда эти
классы характеризуются следующими свойствами: 2) все эле-
элементы порядка 3 и сохраняют ориентацию тетраэдра, 3) все
элементы порядка 2 и сохраняют ориентацию, 4) все элементы
порядка 2 и меняют ориентацию, 5) все элементы порядка 4
и меняют ориентацию. Так как внутренний автоморфизм яв-
является изоморфизмом (см. 94), то элементы разного порядка не
могут переходить друг в друга (см. 49). Кроме того, h и ghg—1
либо оба меняют ориентацию, либо оба сохраняют ее (доста-
(достаточно рассмотреть два случая: g сохраняет ориентацию и g
меняет ориентацию). Таким образом, элементы разных классов
не могут переходить друг в друга.
Пусть ht и h% — любые вращения на 180° вокруг осей,
проходящих через середины противоположных ребер, и пусть
g — произвольное вращение, переводящее первую ось во вто-
вторую. Тогда вращение ghxg—i переводит вторую ось в себя, не
переворачивая ее, причем gh-^g—^Фе (иначе ht = .g—ieg = e).
Поэтому ghxg—1 совпадает с h2. Следовательно, любые два эле-
134
мента класса 3) можно перевести друг в друга внутренним ав-
автоморфизмом в группе вращений (тем более в группе симметрии)
тетраэдра.
Пусть hi и fe2 — любые отражения тетраэдра относитель-
относительно плоскостей симметрии, и пусть g — произвольное вращение,
переводящее первую плоскость во вторую. Тогда так же, как
и выше, ghxg~i = h2.
Если gxhg~l~i = hx и g%hg~i = h2, то h = g~ih1g1 и
g-2 (g~ihigi)g2~i = h-2- Отсюда (ё'г^Г1) hi (^Г)""*^» сле-
следовательно, если h может переходить в hx и в fc2, то 7ix и К„ мо-
могут переходить друг в друга. Поэтому достаточно показать,
что какой-нибудь один элемент данного класса переходит во
все остальные элементы данного класса.
(ABCD\
Возьмем а = I 1 — элемент класса 5), и пусть gi
\В С LJ J\.J
IABCD\ (ABCD\
0 = 1, -.., 5) — вращения такие, что Si=yACDBJ, 8г = \ADBC)>
[ABCD\ [ABCD\ (ABCD\
Тогда (про-
{) [р) {)
верьте) элементы giagi 1 ('=1,. . . ,5) вместе с элементом а
дают весь класс 5).
( 1
Пусть Ъ =
— вращение тетраэдра на 120° вокруг
высоты, опущенной из вершины А. Докажем, что в группе
симметрии тетраэдра это вращение может переходить при внут-
внутренних автоморфизмах во все остальные вращения вокруг вы-
высот. В силу симметрии достаточно показать, что Ъ может пе-
!ABCD\
реходить во второе вращение вокруг той же высоты bi==\ I
и в какое-нибудь вращение вокруг другой высоты, например,
(ABCD\
с = I . Пусть gx — симметрия и g2 — вращение такие,
\U±j АСг}
IABCD\ IABCD\ __i j
что л = {abdcY л = Wad} Тогда g^ =ь и ftb'2 1=-
Если же в качестве g брать только вращения тетраэдра,
то нетрудно проверить, что вращение вокруг некоторой высоты
на 120° против часовой стрелки (если смотреть со стороны вер-
вершины, из которой опущена высота) не может перейти во враще-
вращение вокруг той же высоты на 240°. Поэтому вращения вокруг
высот на 120° могут переходить только во вращения вокруг вы-
высот на 120°, а вращения на 240° — только во вращения на 240°.
98. (pb(ab) = b(ab)b—i= ba. Так как срь — изоморфизм
(см. 94), то ab и Ьа имеют одинаковые порядки (см. 49).
99. Указание. В этом случае для любого элемента а
из подгруппы N и любого элемента g из группы G элемент
gag—1 = agg-—l— а содержится в N.
100. Ответ. Да. Проверьте, что для любого элемента g
группы симметрии квадрата geg~i== е и gag—1 = а.
135
101. Пусть левое и правое разложения совпадают, И пусть
а — произвольный элемент из N, a g — произвольный элемент
группы G. Так как классы gN и Ng имеют общий элемент g,
то они должны совпадать. Поэтому элемент ga, который содер-
содержится в gN, содержится также и в Ng, т. е. существует элемент
b из N такой, что ga = bg. Отсюда элемент gag—i = Ъ содержит-
содержится в N и, следовательно, N — нормальная подгруппа группы G.
Пусть теперь N — нормальная подгруппа группы G.
Докажем, что gN = Ng для любого элемента g группы G. Пусть
ga — произвольный элемент из gN. Тогда gag—1= Ъ, где
Ъ — некоторый элемент из N, поэтому ga = bg и, следователь-
следовательно, ga (а значит, и все gN) содержится в Ng. Пусть теперь
eg — произвольный элемент из Ng. Тогда (g—1) с (g—1)—l = d,
где d — некоторый элемент из N. Отсюда eg = gd и, следова-
следовательно, eg (а значит, и все Ng) содержится в gN. Таким образом,
gN и Ng совпадают.
102. Указание. В этом случае и левое и правое разло-
разложение содержат два класса: один — данная подгруппа, вто-
второй — все остальные элементы. Далее см. теорему 2 (стр. 35).
103. Пусть Ni, N.2,. . . , Ns — нормальные подгруппы
группы G и N — их пересечение. Если а — произвольный эле-
элемент из N, то а содержится во всех N.. Поэтому если g —произ-
—произвольный элемент группы G, то gag—i содержится во всех N.
и, следовательно, в N. Значит N — нормальная подгруппа в G.
104. Пусть g — произвольный элемент группы G. Так как
eg = ge, то е входит в центр. Если я входит в центр, то ag —
= ga. Умножив обе части этого равенства слева и справа на
а—i, получим ga—1 = а—lg. Поэтому а—1 также входит в центр.
Если а и b входят в центр, то ag = ga и bg = gb. Поэтому
g(ab) = (ga)b = a(gb) = (ab)g и, следовательно, ab также
входит в центр. В силу результата задачи 57 центр —«
подгруппа.
Пусть а — произвольный элемент из центра и g — про-
произвольный элемент группы G. Тогда элемент gag—1 = agg—i = e
также принадлежит центру. Поэтому центр — нормальная
подгруппа группы.
105. Пусть hu й3 — произвольные элементы соответственно
из Nx и N,, и glt g., — произвольные элементы соответственно
из С?± и G2. Тогда элемент й^й'^содержится в Nlt а элемент
^.Л^^содержится в N2. Поэтому элемент(g1,gi,){h1,hi)(g1,g2)—i =
= (g\K, ?2йз)(^Г1> ёТ1) = (Vi^r1» §2к2§Г1) содержится в
N-l X JV.j. Следовательно, Nx X N2 — нормальная подгруп-
подгруппа в (?! X G2.
106. Так как х± содержится в классе xtN, то (по условию)
хг также содержится в xxN. Значит, существует элемент hx
из N такой, что х2 = xjix. Точно так же существует элемент
йа из N такой, что г/3 = 2/]Л2. Так как N — нормальная под-
подгруппа, то Nyl = y\N. Поэтому существует элемент h3 из N
такой, что hxyx = у^. Тогда х^г = x^yji^ = x^yjiji^. Так
как элемент h3h.2 содержится в N, то х1у1 и х.2уя содержатся в
одном смежном классе ^
136
107. Пусть а, Ь, с — произвольные элементы соответствен-
соответственно из Т1г Тг, Т3. По определению умножения смежных классов
(ТгТг)Т3 и Т^Т^Тз) — это смежные классы, которые содержат
соответственно элементы (аЪ)с и а(Ьс). Так как (ab)c = а(Ъс), то
{ТгТг)Т3 = Тх{ТгТя).
108. Указание. В качестве представителя из класса Е
возьмите е.
109. Указание. Пусть а — произвольный элемент из
класса Т. В качестве Т i возьмите смежный класс, который
содержит элемент а *.
110. Легко проверить (см. табл. 2, стр. 37), что А2 = В2 =
= С2 = Е. Поэтому эта факторгруппа изоморфна группе сим-
симметрии ромба.
111. Будут указываться только нормальные подгруппы,
отличные от {е} и всей группы.
а) См. 58 A), 95, 96, 102. Ответ. Нормальная подгруппа —
подгруппа вращений треугольника, факторгруппа по ней
изоморфна Z2.
б) См. 99, 74, 75. Пусть {ег, с} X {е.,, d} — данная группа.
Ответ. Нормальные подгруппы: 1) {(е^ е2), (с, е2)},
2) {(ei, е.2), (ег, d)}, 3) {(е±, е2), (с, d)\. Факторгруппы во всех
случаях изоморфны Z2.
в) Обозначения см. в примерах 3, 4 (стр. 17). Если нор-
нормальная подгруппа в группе симметрии квадрата содержит
элемент Ъ или с, то она содержит всю подгруппу вращений
квадрата. Получаем нормальную подгруппу {е, а, Ь, с} (см.
102), факторгруппа по которой Z».
Имеем bdb—1= / и bfb—i= d. Поэтому если один из эле-
элементов d, f входит в нормальную подгруппу, то и второй также
входит. Так как df = а, то в этом случае элемент а также вхо-
входит в нормальную подгруппу. Получаем нормальную подгруп-
подгруппу {е, a, d, f} (см. 102), факторгруппа по которой Z2.
Так как bgb 1== h, bhb *= g и hg = а, то так же, как
выше, получаем нормальную подгруппу {е, a, g, h), фактор-
факторгруппа по которой Z2.
Если же нормальная подгруппа ие содержит элементов Ъ,
c, d, f, g, h, то она совпадает с нормальной подгруппой {е, а},
факторгруппа по которой изоморфна группе Z9 X Z2 (см. 100,
НО).
Ответ. Нормальные подгруппы: 1) {в, а, Ь, с}, 2) {е, а,
d, /}, 3) {е, я, g, h], 4) {е, а}. Факторгруппа в случаях 1) —
3) изоморфна Z2, в случае 4) изоморфна Z2 X Z2.
г) Пусть {1, — 1, i, —i, j, —/, к, —к) — данная группа.
Если h — любой элемент, отличный от 1 и —1, то h2 = —1.
Поэтому любая нормальная подгруппа (отличная от {1}) со-
содержит элемент —1. Первую нормальную подгруппу получаем,
если ограничимся элементами {1, —1}. Разложение по ней по-
показано в табл. 12. Так как i2 = /2 = к2 = — 1, то А1 = В2 =
= С2 = Е и, следовательно, факторгруппа в этом случае
изоморфна Z2 X Z2. Так как элемент —1 входит в любую
(нетривиальную) нормальную подгруппу, то элементы i и —i
либо оба входят, либо оба не входят в нормальную подгруппу.
То же верно для / н —/, к и —к. Так как (нетривиальная)
137
нормальная подгруппа в группе кватернионов может содер-
содержать только 2 или 4 элемента (см. теорему Лагранжа), то мы
получаем еще только 3 нормальные подгруппы (см. 102):
{1, —1, г, —г}, {1, —1, }, —;}, {1, —1, к, —к}. Факторгруп-
Факторгруппа в этих случаях изоморфна Z2.
Ответ. Нормальные подгруппы: 1) {1, —1}, 2) {1, —1,
I, —i}, 3) {1, — 1, ;, —;"}, 4) {1, — 1, к, —к]. Факторгруппа в
случае 1) изоморфна Z2 X Z2, в случаях 2) — 4) изоморфна Z.2.
Таблица 12
1
—1
i
— i
i
к
— к
Е А В С
Таблица 13
! ... I adl+W-i>
Е
А2
Аа—1
112. a) Cm. 99, 60. Пусть п = dk. В табл. 13 показано раз-
разложение группы Zn = {е, а, а2,. . . , ап~1} по подгруппе {е,
ad, a2d,. . . , a(h—l)d} (Z пробегает все значения от 0 до А; — 1).
Элемент а принадлежит классу Аг и наименьшее положитель-
положительное т такое, что ат принадлежит классу Е, равно d. Поэтому
порядок элемента Аг в факторгруппе равен d и, следователь-
следовательно, факторгруппа изоморфна Zd.
б) См. 99, 61. Табл. 13 дает разложение группы Z =
= {..., а~~2, a~l, e,a, а2,. . .} по подгруппе {. . ., a~2d, a~d,
е, ad, a2d,. . . } (I = 0, +1, +2,. . .). Так же как в случае а),
получаем, что факторгруппа изоморфна Zd.
113. См. 97. Некоторое множество вращений будет нор-
нормальной подгруппой группы вращений тетраэдра тогда и толь-
только тогда, когда оно состоит из нескольких классов, построен-
построенных при решении задачи 97 (для группы вращений), и является
подгруппой. Если нормальная подгруппа содержит вращение
(на 120° или 240°) относительно некоторой высоты тетраэдра,
то она содержит и второе вращение вокруг этой высоты и, следо-
следовательно, содержит все вращения вокруг всех высот тетраэдра.
(ABCD\ , [ABCD\
вокруг высот,
!ABCD\
опущенных соответственно из вершин А и В, то ab = —
\DCBAj
вращение на 180° вокруг оси, проходящей через середины ребер
AD и ВС. Поэтому в этом случае нормальная подгруппа содер-
содержит также все вращения на 180° вокруг осей, проходящих
через середины противоположных ребер и, следовательно, сов-
совпадает со всей группой вращений тетраэдра.
Таким образом, в группе вращений тетраэдра имеется
только одна (нетривиальная) нормальная подгруппа, состоящая
138
из тождественного Преобразования и трех вращений на 180°
вокруг осей," проходящих через середины противоположных
ребер. Факторгруппа по этой нормальной подгруппе содер-
содержит 3 элемента и, следовательно, изоморфна Z3 (см. 50).
114. Пусть (gi, g-i) — произвольный элемент из <?х X <?2
и (g3, е2) — произвольный элемент подгруппы Gt X {e2}.
Тогда элемент (gL, g^-igs, «•;>)• (Si, ?г)~~1= (см. решение 69) =
= (ftft.ft)-(^r1- ST^) =(^ii?3^r1. <Ч) содержится в GtX {e2}-
Поэтому Gx X [е2} —нормальная подгруппа в G± X<?2.
Пусть (gt, а) — произвольный элемент группы Gx X G2.
Посмотрим, какоа смежный класс по нормальной подгруппе
<?! X {е.,} порождается этим элементом. Если умножать эле-
элемент (gi, а) на все элементы нормальной подгруппы Gx X {e2}
(например, справа), то получим все элементы вида (g, а), где g
пробегает все элементы из 6^
Обозначим этот смежный класс Та. Таким образом, смеж-
смежные классы по нормальной подгруппе Gt X {е2} — это классы
вида Та, где а пробегает все элементы из группы <?2. Так как
(е, а) (е,, Ь) и (е,, ab) содержатся соответственно в классах
Н' Ti Га> («1. *Ие1' Ь> = (*!> аЬ)' Т0 ТаТЪ = ТаЪ- ВэаИ^
но однозначное отображение ср группы <?2 на построенную фак-
факторгруппу такое, что <р(а) = Та для любого а из G2, является
изоморфизмом, так как ф(аЬ) = ТаЪ = Та • Тъ = ср(а)фF).
Таким образом, факторгруппа группы Gx X Ga по нор-
нормальной подгруппе Gt X {е2} изоморфна группе G2.
115. См. 57. Свойство 1) из задачи 57, очевидно, выпол-
выпол*1
няется. 2) еее
*е~1=
= е, поэтому е входит в коммутант. 3) Если
к коммутатор aba ib i, то к i = (aba ЛЬ 1) 1= (см. 23) =
= ЬаЪ~~ ia~i, т. е. к~~1 является коммутатором. По определению
коммутанта любой его элемент а представляется в виде a =
= /ii-A-j-. . .'Ал, где все кг — коммутаторы. Тогда а~1 =
= (к\-к,-. . . ¦kn)~i = АГ-. . .-А-^-^1, но все А;^—коммута-
А;^—коммутаторы, поэтому а—1 принадлежит коммутанту.
116. Если g—произвольный элемент группы, к—коммутатор
aba~~ 1Ь~1,то и gkg~i является коммутатором. Действительно:
-1\—1/я-^я-—In—
-Hgbg-'r
Если a — любой элемент коммутанта, то а =
где все Aj—коммутаторы. Поэтому gag~i = g(k1-k2-. . .¦kn)g~i~
„—1.
g-'ig)---'-(g~ig)-Kg~1 -
... • (gkng—J) является произведением коммутаторов и, следова-
следовательно, содержится в коммутанте. Так как g —произвольный эле-
элемент группы, то получаем, что коммутант является нормальной
подгруппой группы.
117. Указание. Докажите, что aba—ifc-=-l= e тогда и
только тогда, когда ab = ba,
139
а) Так как группа симметрии треугольника не ком-
коммутативна, то коммутант в ней отличен от {е}. Если g- —про-
—произвольное преобразование треугольника, то преобразования g
и g—1 либо оба «переворачивают» треугольник, либо оба его не
переворачивают. Поэтому в произведении g-ig^g^^g^1 либо О,
либо 2, либо 4 сомножителя, переворачивающих треугольник,
и, следовательно, всегда элемент g1g2gY1g~>Ti не переворачивает
треугольник, т. е. является вращением. Поэтому в коммутант
могут входить только вращения треугольника. Так как комму-
коммутант отличен от {е} и является подгруппой, то получаем (см.
58), что коммутант в группе симметрии треугольника совпадает
с подгруппой всех вращений треугольника.
б) Так же как в случае а), получаем, что коммутант отли-
отличен от {е} и содержит только вращения квадрата. Если g
произвольное преобразование квадрата, то g и g—1 либо оба
меняют местами диагонали квадрата, либо оба переводят каж-
каждую диагональ в себя. Поэтому всегда элемент gigig^~1S^rl пе-
переводит обе диагонали в себя. Так как, кроме того, любой ком-
коммутатор является вращением квадрата, то он совпадает либо с
е, либо с центральной симметрией а. Поэтому коммутант может
содержать только элементы е и а, а так как он отличен от [е],
то он совпадает с подгруппой "центральных симметрии {е, а}[
в) Элементы 1 и —1 -перестановочны со всеми остальными
элементами группы кватернионов. Поэтому если один иэ эле-
элементов g,, g.2 совпадает с 1 или —1, то gigig~ig^'i = 1. Если
g — любой элемент, отличный от 1 и —1, то g-( g) = g2 =
= —(—1) = 1> т. е. g~1= —g. Поэтому, если gt и g2 — эле-
элементы, отличные от 1 и — 1,то gig^f^ gTi=zg\gz (—Si) (— g3) =
B Но квадрат любого элемента в группе
кватернионов равен 1 или — 1. Поэто-
му коммутант может содержать только
элементы 1 и —1, а так как группа ква-
кватернионов не коммутативна, то коммутант
отличен от{1}.Следовательно, коммутант—
{1,-1}.
119. Так же как при решении задачи
118 а), б), получаем, что коммутант в
группе симметрии правильного и-уголь-
ника содержит только вращения.
Пусть п нечетно, и пусть а — от-
отражение гс-угольника относительно оси
I (рис. 41), b — вращение гс-угольнпка
л
на угол л против часовой стрелки
(переводящее вершину А в В).
Тогда аЪа~^Ъ * — вращение
(проверьте) вершину В в С, т.
2я
стрелки на угол ~^~- Так как коммутант—подгруппа, то полу-
получаем, что при п нечетном он содержит вращения на все углы,
140
д
Рис. 41.
вершину
гс-угольника, переводящее
е. вращение против часовой
2л „,
кратные -^-- Так как коммутант содержит только вращения
гс-угольника, то при п нечетном он совпадает с подгруппой всех
вращений правильного re-угольника, изоморфной ?п(см. ЗЦ.
Пусть теперь гс = 2/с. Впишем в правильный гс-угольник
А-угольник. соединив вершины через одну. Соединив через одну
оставшиеся вершины, получим второй правильный fc-угольник.
Если g — любая симметрия правильного п-угольшша, то
преобразования g и g 1 либо оба меняют местами построенные
2 правильных fe-угольника, либо оба переводят каждый к-
угольник в себя. Поэтому любой коммутатор gigigYisTПерево-
gigigYisTПереводит каждый fc-угольник в себя. Таким образом, при п = 2к ком-
коммутант может содержать только вращения на углы, кратные
2Д Пусть с — вращение гс-угольника против часовой стрелки
к
на угол ——¦> d — отражение относительно оси т (рис. 42).
Тогда с<гс~Ч—1является вращением, переводящим (проверьте)
вершину С в В, т. е. вращением против
По-
В
4я
часовой стрелки на угол = ——
п к
этому коммутант содержит все враще-
2л
ния на углы, кратные —т—> и только
их. Это подгруппа вращений плоско-
плоскости, переводящих правильный А-уголь-
ппк в себя. Она изоморфна Z,=Zn
(см.31).
120. Пусть fc, I, m — оси, проходя-
проходящие через середины противоположных
ребер тетраэдра. Сопоставим им соот- р ^9
ветственяо вершины К, L и М правиль-
правильного треугольника К LM. При лю-
любом вращении тетраэдра либо все оси к, I и т переходят в себя,
либо ни одна ось в себя не переходит (проверьте). Сопоставив
подстановке осей к, I и т подстановку вершин К, L и М тре-
треугольника KLM, получим, что каждому вращению тетраэдра
будет соответствовать преобразование правильного треуголь-
треугольника KLM, которое обязательно будет вращением треугольни-
треугольника. Каждому коммутатору в группе вращений тетраэдра будет
при этом соответствовать коммутатор в группе вращений тре-
треугольника KLM. Так как группа вращений треугольника ком-
коммутативна, то любой коммутатор в ней равен е. Поэтому любой
коммутатор в группе вращении тетраэдра должен переводить
каждую из осей к, I, m в себя. .Следовательно, коммутант в груп-
группе вращений тетраэдра может содержать только тождественное
преобразование и вращения на 180° вокруг осей, проходящих
через середины противоположных ребер. Так как группа вра-
вращений тетраэдра некоммутативна, то коммутант в ней отличен
От {е}, а так как коммутант является нормальной подгруппой,
141
то (см. 113) он совпадает с подгруппой, содержащей тождествен-
тождественное преобразование и все вращения на 180° вокруг осей, про-
проходящих через середины противоположных ребер.
121. См. решение 113.
122. Симметрии тетраэдра g н g 1либо обе меняют ориента-
ориентацию тетраэдра, либо обе не меняют (см. решение 67). Поэтому
любой коммутатор gigig\~lg~^~ сохраняет ориентацию тетраэдра.
Таким образом, коммутант в группе симметрии тетраэдра со-
[ABCD\
дэржит только вращения тетраэдра. Ьслн и = I \ и b =
(ABCD\ ъ —и— 1 (ABCD\
= j — две симметрии тетраэдра, то aba b = —.
вращение вокруг оси, проходящей через вершину А . Так как
коммутант является нормальной подгруппой (см. 116), то
(см. 121) коммутант в группе симметрии тетраэдра совпадает с
подгруппой вращений тетраэдра.
123. Ответ. 24. Для куба: 1) тождественное преобразова-
преобразование; 2) вращения (их 9) на 90°, 180° и 270° вокруг осей, прохо-
проходящих через центры противоположных граней; 3) вращения
(их 6) на 180° вокруг осей, проходящих через середины проти-
противоположных ребер; 4) вращения (их 8) на 120° и 240° вокруг
осей, проходящих через противоположные вершины.
124. Если соединить центры соседних граней куба, то по-
получим октаэдр. Тогда каждому вращению куба будет соответст-
соответствовать вращение октаэдра и наоборот. При этом композиции
вращений куба будет соответствовать композиция вращений
октаэдра и мы получаем изоморфизм группы вращений куба на
группу вращений октаэдра.
125. Если зафиксировать положение куба и различными
считать раскраски, при которых хотя бы одна грань окрашена
по-разному, то всего раскрасок будет 6-5-4-3-2 = 720, так как
первой краской можно закрасить любую из 6 граней, второй
краской — любую из 5 оставшихся и т. д. Так как из одной
раскраски можно с помощью вращений получить 24 раскраски
раскраски
(см. 123), то для куба ответ
720
24
= 30 способов.
Так как существует лишь 4 вращения, переводящих
спичечный коробок в себя (тождественное преобразование и
3 вращения на 180° вокруг осей, проходящих через центры
противоположных граней), то для спичечного коробка ответ
720 = 180 способов.
4
126. Ответ. Группе симметрии ромба и группе Z2 X Z2.
127. Указание, а) См. 57. б) Воспользуйтесь тем, что
g и g либо оба меняют тетраэдры местами, либо оба перево-
переводят каждый тетраэдр в себя.
128. Вращения куба g и g 1 либо оба меняют местами тет-
тетраэдры АСВХВХ и AXCXBD (см. рис. 8), либо оба переводят каж-
длй тетраэдр в себя. Поэтому любой коммутатор переводит оба
тетраэдра в себя. Отсюда любому элементу коммутанта хруппы
вращений куба соответствует вращение тетраэдра ACBXDX.
142
Пусть а — вращение куба на 90° вокруг оси, проходящей
через центры граней A BCD и A1B1C1D1, и такое, что вершина В
переходит в Л. И пусть Ъ — вращение куба на 120° вокруг оси,
проходящей через вершины Ах и С, и такое, что вершина А
переходит в Dx. Тогда вращение аЪа 1Ъ 1переводит (проверьте)
вершину А в себя, а вершину Ах вО, т.е. является нетождест-
нетождественным вращением куба вокруг оси, проходящей через верши-
вершины А и Сх. Это вращение является также вращением тетраэдра
ACBXDX вокруг оси, проходящей через вершину А. Отсюда
легко показать (см. 121), что коммутант в группе вращений
куба содержит все вращения, переводящие тетраэдр ACBXDX
в себя. А так как он содержит только такие вращения, получаем,
что коммутант в группе вращений куба изоморфен группе вра-
вращений тетраэдра.
129. Пусть А, В — два произвольных смежных класса
и a, b — их представители. Так как элемент aba 1Ь~1 содер-
содержится в коммутанте, то АВА~1В~~1= Е. Отсюда АВ = ВА.
130. Пусть a, b — произвольные элементы группы и А,
В — смежные классы, в которые они входят. Так как А В =
= ВА, то ABA гВ 1== Е. Поэтому коммутатор aba 1b x со-
содержится в нормальной подгруппе Лг. Таким образом, N со-
содержит все коммутаторы, а значит, и весь коммутант.
131. Пусть Л1? h2 — произвольные элементы из N и g —
произвольный элемент группы G. Так как N — нормальная под-
подгруппа, то элементы ghxg 1 и gh<,g 1 принадлежат N. Поэтому
=\gh\g~~l) (ghig~~i) (ghig~~l)~l(gh2g~[)~1— коммутатор внор-
мальной подгруппе N, т. е. содержится в K(N). Произвольный
элемент а из K(N) представим в виде а = кх-к^-. . .-kg, где все
А-; — коммутаторы в N. Но gag—l = g(k1-ki- . . . -к )g—i =
= (8к1ё~1)(ёк-2,е—1) ¦ • ¦ (g/csg—i)^ т. е. gag— 1 содержится в К(N)
и, следовательно, K{N)—нормальная подгруппа группыG.
132. Пусть fx и /2 — произвольные элементы группы F.
Так как ф — гомоморфизм группы G на группу F, то найдутся
элементы gx и g, группы G такие, что (p(gx) = fx и <f>(g2) = /2.
Тогда Uf., = cp(g-i)<p(g-2) = 4>(е&) = V(gigi) = W(g-zMei) = hh-
Значит, группа F коммутативна.
Обратное утверждение неверно. См. пример 12 (стр. 40).
133. Пусть ф(ео ) = х. Тогда хх = ф(ео)ф(ео)= ф(еCе<3) =
= (p(eG) = х. Отсюда х-х = х и х = ер.
134. ф(а)ф(а~1) = ф(да—1) = ф(ес) = (см. 133) = ер. Отсю-
Отсюда Ф^—*) «=. [ф(в)]~х.
135. Пусть а, Ъ —• произвольные элементы группы G. Тог-
Тогда (фзФхХаЬ) = ф2(фг(аЬ)) = ф2(ф1(«)-<Pi(&)) = Фг(Ф1(«))' <P2(<Pi(b)) =
(())(()(Ь))
((фгф1)())((фгФ1)()).
136. Если ф(а) = А и ф(Ь) = В, то ц>(а) ¦ ф(Ь) = А ¦ В =
= (по определению умножения смежных классов) = ф(аЬ).
137. См. 57. 1) Если а и b содержатся в Кег ф, то ф(а) = ер
= ер и <p(ab) = ф(а)ф(Ь) = ерер = ер и, следовательно,
143
ab также содержится в Кег ср. 2) ф(«с ) = (см. 133) = ер. Поэ-
Поэтому eQ содержится в Кег ср. 3) Если ср(а) = ер, то ф(а~*) =
= (см. 134) =[ф(а)]~1= е^Г1 = ер. Поэтому, если а содержит-
содержится в Кег ф, то и а 1 содержится в Кег ф.
138. Пусть а — произвольный элемент из ядра Кег ф и
g — произвольный элемент группы G. Тогда ф(а) = ер и
4>(gag~1) = ф(?)ф(а)ф(?-*) = (см. 134) = <p(g)-ep- [ф^)] = ер.
Поэтому элемент gag~1 также содержится в Кегф и,
следовательно, Кег ф — нормальная подгруппа группы G.
139. Пусть элементы gx и g2 лежат в одном и том же смеж-
смежном классе g Кег ф. Тогда найдутся элементы гх и г2 в Кег ф та-
такие, что gx = grx и g2 = gr2. Тогда ф(^) = ф(?гх) = ф(ё-)ф(гх) =
= 4>(8)eF = 4>(8L>(r2) = ф(^2) = Ч>Ш-
Обратно, пусть ф(^1) = (p(g2). Тогда имеем ф(^1^2) ==
^Ф^Г^'Ф^з) = (см. 134)= [ф^Г- ч>Ш = eF- Следователь-
Следовательно, gi—1g.z = г, где г — некоторый элемент из ядра Кег ф. От-
Отсюда g.2 = gxr и поэтому оба элемента gx и g2 содержатся в смеж-
смежном классе gL Кег ф.
140. Пусть / — произвольный элемент из F. Так как ф —
отображение на, то существует элемент а группы G такой, что
ф(а) = /. Пусть А — смежный класс, содержащий а. Тогда
по определению г|з(Л) = ф(а) = /.
141. Пусть г|з(Л) = ty(B), и пусть а, Ь — представители клас-
классов А и В. Тогда ф(а) = г|з(Л) = г|з(Б) = ф(Ь). Отсюда (см. 139)
А = В.
142. Пусть А и В — произвольные смежные классы и а,
Ъ — их представители. Тогда элемент ah содержится в классе АВ.
Учитывая определение отображения г|з, получаем tlp(AB) =
= ф(аЬ) == (ф — гомоморфизм) = ф(а)ф(&) = ty(A )-\Sp(B). Так
как я|з — взаимно однозначное отображение (см. 141), то ¦ф —
изоморфизм.
143. Пусть к, I, m — оси, проходящие через середины про-
противоположных ребер тетраэдра. При каждой симметрии тетраэд-
тетраэдра эти оси некоторым образом переставляются, т. е. мы имеем
некоторое отображение фх группы симметрии тетраэдра в груп-
группу подстановок трех осей к, I, т. Это отображение является
отображением на всю группу таких подстановок, так как не-
нетрудно проверить (проверьте), что любую подстановку осей
можно получить, подбирая подходящую симметрию тетраэдра.
Легко видеть, что дня любых симметрии тетраэдра gL и g% под-
подстановка осей к, I, т, соответствующая симметрии g'l^. являет-
является композицией подстановок, соответствующих симметриям gx
и g2, т. е. (f>x(gig2) = WiigilWdg-i) и, следовательно, фг — гомо-
гомоморфизм.
Каждой подстановке осей к, I, m можно естественным об-
образом поставить в соответстине симметрию правильного тре-
треугольника KLM. Получим изоморфизм ф3 группы подстановок
трех осей А, I, т на группу симметрии треугольника KLM.
Отображение ф./р! будет гомоморфизмом (см. 135) группы
симметрии тетраэдра на всю группу симметрии треугольника
144
KLM. Ядром этого гомоморфизма являются все симметрии
тетраэдра, переводящие каждую из осей А-, I, m в себя. Такими
симметриями являются только тождественное преобразование
тетраэдра и вращения на 180° вокруг осей к, I, т. Из результа-
результата задачи 138 и теоремы 3 получаем, что эти 4 симметрии об-
образуют нормальную подгруппу в группе симметрии тетраэдра
и соответствующая факторгруппа изоморфна группе симметрии
треугольника.
144. Пусть к, I, m — оси, проходящие через центры про-
противоположных граней куба. Так же как при решении зада-
задачи 143, построим гомоморфизм группы вращений куба на груп-
группу симметрии правильного треугольника KLM. Ядром этого
гомоморфизма будут все вращения куба, переводящие каждую
пз осей к, I, m в себя. Такими вращениями являются только
тождественное преобразование и вращения на 180° вокруг осей,
проходящих через центры противоположных граней. Из резуль-
результата задачи 138 и теоремы 3 получаем, что эти 4 вращения обра-
образуют нормальную подгруппу в группе вращений куба и соот-
соответствующая факторгруппа изоморфна группе симметрии тре-
треугольника.
145. Обозначим через га вращение плоскости вокруг точ-
точки О на угол а против часовой стрелки. Отображение ф(га)=
= rnnL является гомоморфизмом группы R иа себя, так как
Ф (Vp) = "Р (Га+В) = гЩа+П = гпагп& = Ф (га) Ф (гр)
и для любого вращевия га есть вращение г такое, что ф/г \ =
п \п;
= г . Ядром гомоморфизма ф являются все вращения гатакие,
2пк
что па = 2лк, т. е. а = Это те и только те вращения
п
плоскости, которые переводят правильный re-угольник в себя. Из
результата задачи 138 и теоремы 3 получаем утверждение дан-
данной задачи.
146. Пусть фх и ф2 — естественные гомоморфизмы (см.
стр. 41) групп Gt и G2 соответственно на факторгруппы Gx/Ni
и G,IN,. Пусть ф — отображение группы Gx X G2 на группу
GJNX X GJN2 такое, что <p((gx, go)) = (Ф^й), ф2(?2))- Это отоб-
отображение является гомоморфизмом; действительно,
)-(вз, ?4))=
(<Pi (gigs), Ф2
), ф2 (g-i) Фг (g*)) =
. Si))-
Ядром гомоморфизма ф будут все пары (gx, g2) такие, что
ф((?1. g-i)) — (-^г. Еъ), где Ег и Е% — единичные" элементы со-
соответственно в факторгруппах GJNX и G^/JV2- Так как ф((^1, gn)) =
= D>\(gi)i Ф2(^2)), то ядром гомоморфизма ф будут все пары (gx, g2)
) Л С) E Т
такие, что
= Лх
рф ф уду
— Ei- Так как
и ф.2 — ес-
есф
тественные гомоморфизмы, то получаем, что ядром гомоморфиз-
гомоморфизма ф будет подгруппа Nx X iVa. Из результата задачи 138 и
теоремы 3 получаем утверждение данной задачи.
6 В. Б. Алексеев 145
147. Могут. Например, группа Z4 = {e, а, а2, а9} и груп-
группа Z, X Z% содержат нормальные подгруппы соответственно
{е, а2"} и Z2 X {е2}, изоморфные группе Z2, факторгруппы по
которым также изоморфны Z2.
148. Может. Например, группа Z4 X Z2, где Z4 = {е, а,
а2, а3\, содержит две изоморфные нормальные подгруппы
{в!} X Z2 и {е1г а2} X {<?»}, факторгруппы по которым соот-
соответственно (см. 146) Zt X Zj{e1} XZjS ZJ{ex] X ZJZ^^ ZA
и Z4 X ^2/{elt a2} X {e2} ^ Z2 X Z2.
149. Может. Пример такой бесконечной группы дан в за-
заR Л/{} ^ Л
рр
даче 145, где Л/^Л= R и, очевидно, Л/{«
Примером конечной группы, является, например, группа
Z4 X Z2, которая содержит нормальные подгруппы вида
Z4 X {с} и Z2 X Z%, факторгруппы по которым изоморфны
Z2 (см. 146).
150. См. 57. 1) Пусть Д и /2 содержатся в ф(#). Это озна-
означает, что в Н найдутся элементы hx и ft2 такие, что cp(ui) = fx
и ф(Аа) = /2. Тогда элемент hji^ содержится в Н и <p(ftj/i2) =
= (так как ср — гомоморфизм) = ф(йх)ф(/12) = А/г- Значит, /х/2
также содержится в <р(#).
2) Так как eG содержится в Н и Ф^^ ) = ер (см. 133), то е^,
содержится в образе <р{Н) подгруппы Н.
3) Пусть элемент / содержится в <р(Н). Это означает, что
в Н найдется элемент h такой, что ср(?О — /. Тогда элемент h '
содержится в Я и <pQi~l) =» (см. 134) = [ф^)]" =/~. Поэ-
Поэтому Z" также содержится в <р(Д).
151. См. 57. 1) Пусть gx и g2 содержатся в (р—ЦН). Это оз-
означает, что элементы <p(gx) = fti и ф(?2) = h2 содержатся в i?
Тогда элемент hjh2 также содержится в Н и ()(
= hjh2. Поэтому ^g-2 содержится в ф1(
2) Так как ф(ео) = ер (см. 133) и eF содержится в J7, то eG
содержится в ф—1(Я).
3) Пусть g содержится в ф ^{Н). Это означает, что элемент
<p(g) = h содержится в Н. Тогда элемент h 4 также содержит-
содержится в Н и ф(#~i) = (см. 134) = [ф(^)]" = /Г. Поэтому g—1
содержится в ф (Н).
152. Пусть а — произвольный элемент из ф 1(N). Это оз-
означает, что элемент ц>(а) = h содержится в N. Если g — про-
произвольный элемент группы G и <p(g) = f, то <p(g—1) = (см. 134) =
= [ф(?)]~1 = t~l- Тогда элемент <p(gag~1) = ф(^)ф(а)ф(^—J)=
= fhf i содержится в N, так как N — нормальная подгруппа
группы F. Поэтому элемент gag~1 содержится в ф—1(./У) и, сле-
следовательно, ф~1(Лг) — нормальная подгруппа в группе G.
153. Если ?i и g2 — произвольные элементы группы G и
<p(*i) = h, ф(^ =/», то (см. 134) 1Р(ёг-1)= /7-\Ф (а--1) =/-!.
Отсюда ф(г1^^7~1^2~1) = сР(^<Р^2)(Р(^Г1)<Р(«гГ1) = Л/г/Г^Г1,
т. е. образ любого коммутатора группы G является комму-
коммутатором в группе .F. Любой элемент коммутанта Кх предста-
представим в виде кхк%. . . . -ка, где все кг —коммутаторы. Элемент
146
А;2- . . . .кп) = ф(&1)ф(А2)- . . . -ф(*п) является произведе-
произведением коммутаторов в группе F и, следовательно, содер-
содержится в коммутанте Я2. Значит, <${К\) содержится в К%. Отсю-
Отсюда вытекает также, что Кх содержится в ф—1(К2).
154. Пусть а — произвольный элемент из ф(Лг). Это озна-
означает, что в N найдется элемент h такой, что ф(й) = а. Пусть
/ — произвольный элемент группы F. Так как ф — гомомор-
гомоморфизм на, то в группе G найдется элемент g такой, что ф(#) = /.
Тогда ф(^~1) = f~i (см. 134) и (p(ghg~l) = faf~l. Так как N—
4
нормальная подгруппа в группе G, то элемент ghg
ся в N. Поэтому элемент faf *
тельно,
содержится в
нормальная подгруппа группы F.
4 содержит-
содержити, следова-
следова155. Пусть fifif~if2~i— произвольный коммутатор в F. Так.
как ф — гомоморфизм на, то в G найдутся элементы gx и g2 та-
такие, что ф(^) = /i и ф(#2) = /2. Тогда (см. 134)ф(^~1) =/f,
<p(eri~1)- = /2~1 и фС^^^Г^Г1) = чЧ^М^ф^г^фСй) =
= Л/г/р1/^1 • Так как элемент gig2gj~i %2~* содержится в
К1л то коммутатор/1/2/^/^ содержится в ф(К1). Так как
ф(/Гх) — подгруппа в/1 (см. 150) и содержит все коммутаторы, то
Ф(/Гх) содержит весь коммутант К2- С другой стороны, ф(^х)
содержится в Н2 (см._153). Поэтому ф(Ях) = Кг.
Равенство Кх = ф i(Jf2) в общем случае неверно. Напри-
Например, отображение ф группы Zz = [ех, а) на группу {е2}, состоя-
состоящую из одного элемента, такое, что Ф(вх) = е2 и ц>(а) = е2, яв-
является гомоморфизмом на. При этом Кх = {«i), Jf3 = {е,} и
ф-^Я.) = {ех, а} ^ Ях.
156. Ответ, а) Да: группа 2п коммутативна, б) да (см. 118),
в) да (см. 118), г) да (см. 118), д) да (см. 120), е) да (см. 122 и
д)), ж) да (см. 128 и д)).
157. Произвольную фиксированную грань можно совме-
совместить с любой иэ 12 граней, причем пятью способами.
Ответ. 60.
158. Ответ. 1) 1, 2) 24, 3) 20, 4) 15.
159. Пусть 1Х и 12 — оси одинакового типа (т. е. либо обе
проходят через середины противоположных граней, либо обе
проходят через противоположные вершины, либо обе проходят
через середины противоположных ребер). Существует враще-
вращение g додекаэдра, переводящее ось 1Х в ось Z2. Если а — неко-
некоторое (нетождественное) вращение вокруг оси 1Х, то вращение
gag 1 переводит (проверьте) ось 12 в себя, не меняя ее направ-
направления. Поэтому gag l — это нетождественное (иначе а =
= g lg = е) вращение вокруг оси 1г. Таким образом, если нор-
нормальная подгруппа в группе вращений додекаэдра содержит
хотя бы одно вращение вокруг некоторой оси, то она содержит
хотя бы по одному вращению вокруг каждой оси того же типа.
Подгруппа вращений додекаэдра вокруг некоторой оси имеет
порядок (в зависимости от типа оси) 5, 3 или 2. Так как 5, 3
и 2 — простые числа, то любой элемент (отличный от е) в такой
подгруппе является образующим (см. 34), т. е. порождает всю
6 * 147
подгруппу. Таким образом, если нормальная подгруппа в груп-
группе вращений додекаэдра содержит хотя бы одно вращение во-
вокруг некоторой оси, то она содержит все вращения вокруг осей
того же типа.
160. Из результата задачи 159 следует, что нормальная
подгруппа в группе вращений додекаэдра должна состоять из
нескольких классов 1) — 4), причем класс 1) обязательно вхо-
входит в нормальную подгруппу. Порядок нормальной подгруппы
должен быть делителем порядка группы вращений додекаэдра
F0) (см. теорему Лагранжа, стр. 32). Легко проверить (см. 158),
что это возможно лишь в том случае, если нормальная подгруп-
подгруппа содержит только класс 1) или все классы.
161. Так как группа G некоммутативна, то коммутант
K(G) =?= {е\. Так как R(G) — нормальная подгруппа в G (см.
116), то при условиях задачи K(G) = G. Поатому в цепочке G,
K{G), -ff2(G) = K(K(G)), . . . все группы совпадают с G последо-
последовательно, эта цепочка никогда не заканчивается единичной груп-
группой. Отсюда группа G не является разрешимой.
162. Пусть группа G разрешима. Тогда существует п та-
такое, что подгруппа Кп (G) = К {К ... (К (G)) . ..) является едн-
п
ничной. Если Н — подгруппа группы G, то К(Н) содержится
в R{G), подгруппа К{К{Н)) содержится в K(K(G)) и. т д. Так как
подгруппа Кп(Н) содержится в Kn(G) и подгруппа Kn(G) еди-
единичная, то и Кп(Н) — единичная подгруппа. Поэтому подгруп-
подгруппа Н разрешима.
163. Обозначим через K(G) коммутант в группе G и через
Kr(G) подгруппу К (К ... (Я (G)) ...). Так как ф — гомомор-
г
физм группы G на группу F, то <p(A"(G)) = K(F) (см. 155). Отсю-
Отсюда q>(A*a(G)) = K2(F) и вообще <p(Jfr(G)) = Kr(F). Так как груп-
группа G разрешима, то для некоторого п подгруппа -ffn(G) является
единичной. Так как <p(Kn(G)) = ICn(F), то и подгруппа Kn(F)
единичная. Поэтому группа F разрешима.
164. Ответ. Например, q>: G-* {е}, где G— группа вра-
вращений додекаэдра.
165. Указана е. Рассмотрите естественный гомомор-
гомоморфизм (см. стр. 41) группы G на факторгруппу G/N. Далее вос-
воспользуйтесь результатом задачи 163.
166. Пусть if(G) — коммутант в группе G и КТ (G) =
= К (К ... (К (G)) .. .)• Рассмотрим естественный гомоморфизм ф
г
(см. стр. 41) группы G на факторгруппу GIN. Тогда (см. 155)
<p(K(G)) = K(G/N), <p(iT2(G)) = K2(G/N) и вообще <p(.ffr(G)) =
= Kr(G/N). Так как группа G/N разрешима, то для некоторо-
некоторого п подгруппа Rn(G/N) будет единичной, т. е. Кп {GIN) = {Е}.
Так как <р (A*n(G)f = Kn(G/N) ={Е], то подгруппа Я?](С) со-
пержится в нормальной подгруппе N. Группа N разрешима,
поэтому для некоторого s подгруппа Rs(N) единичная. Так как
Ji'n(G) содержится в N, то подгруппа ICn+s(G) содержится в
143
KS(N) и поэтому является единичной. Следовательно, группа G
разрешима.
167. Из задачи 146 получаем G X F/G X {е2} ^ {е} X F.
Так как группы G X {е2} и {е} X F изоморфны соответствен-
соответственно группам G и F, а поэтому разрешимы, то (см. 166) и груп-
группа G X F разрешима.
168. Так как группа G разрешима, то в цепочке коммутан-
коммутантов G, R(G), K2(G), . . . при некотором п будет К (G) = [в].
Рассмотрим цепочку групп G, K(G), R2(G), . . ., iTn(G). Эта це-
цепочка групп является искомой, так как каждая следующая
группа является коммутантом и, следовательно, нормальной
подгруппой (см. 116) в предыдущей группе, причем все фактор-
факторгруппы Я{(?)/Я{+1(<?), а также G/K(G) коммутативны (см. 129);
группа Rn(G) = {е} также коммутативна.
169. Так как по условию факторгруппа Gi__i/Gi коммута-
коммутативна, то коммутант K{G i—1) содержится в Gx (см. 130). Отсюда
подгруппа iT2(Gi_1) содержится в KtfiS) и вообще подгруппа
Kr(Gi__i) содержится в KT_i(Gi) при любых г>1н1<!<"-
Поэтому подгруппа Kn + i(G0) содержится в подгруппе Rn(G{),
которая в свою очередь содержится в ICn_1(G2), и т. д. до K(G ).
Следовательно, подгруппа Rn + i(G) содержится в K(Gn). Но
K(Gn) = [е], так как группа Gn по условию коммутативна.
Поэтому и #„_!_!(G) = {е}, т. е. группа G разрешима.
Результат задачи 169 можно также получить с помощью
метода математической индукции, переходя от <?п к G _lf затем
к Gn_2 и т. д. и используя результат задачи 166.
170. По условию группа G разрешима. Это означает, что
при некотором п подгруппа Kn{G) является единичной и, сле-
следовательно, подгруппа Кп i(G) является коммутативной. Так
как Kn_x(G) — нормальная подгруппа в группе G(cm. 131),
то можно рассмотреть факторгруппу Gx = G/K __.(G). Дока-
Докажем, что подгруппа A"n_2(G1) коммутативна. Рассмотрим для
этого естественный гомоморфизм (см. стр. 41) ср: G —> <?х с яд-
ядром Hn_i(G). Так как ф — гомоморфизм на, то (см. 155)
<p(X(G)) = K(GX). Отсюда ф(Л12(С)) = R2(G\) и т. д. Таким об-
раэом, Jfn_1(G1) = q5(A"/l_1(G)) = (так как /Tn_1(G) — ядро го-
гомоморфизма ф) = {eGi}. Так как Kn_l(G1) = JC(A'n_2(G1))=
= ieGj' т0 (см- 117) подгруппа Kn_2(G1) коммутативна. Обо-
Обозначим через G2 факторгруппу Gi/Kn_2(G1). Так же как выше,
можно показать, что подгруппа Kn_3(G2) коммутативна. По-
Положим G3 = G2/A"n_3(G2) и т. д. При этом факторгруппа Gn_i =
~ Gn_zIK(Gn_2) будет коммутативна (см. 129). Цепочка групп
G, Gu G2, . . ,, Gn j вместе с нормальными подгруппами
Kn—\(G), -ffn_2(G1), ifn__3(G2), . . ., K(Gn_2) является искомой.
171. Пусть Go, G1; . . ., Gn — цепочка групп с указанными
в задаче 170 свойствами. Докажем, что все группы в этой це-
149
почке и, в частности, Go) разрешимы. Доказательство проведем
индукцией от п к 0. Группа Gn разрешима, так как по условию
она коммутативна и, следовательно, K(Gn) = {«}• Пусть уже
доказано, что группа G^ разрешима. Докажем, что тогда и груп-
группа <?4 t разрешима. Группа Gi t содержит по условию комму-
коммутативную и, следовательно, разрешимую, нормальную подгруп-
подгруппу Ni j, причем факторгруппа <?| il^i—i = (*i разрешима
по предположению индукции. Но тогда группа Gi_1 также раз-
разрешима в силу результата задачи 166. Таким образом, по прин-
принципу математической индукции можно утверждать, что все
группы в цепочке Go, Glt . . ., Gn разрешимы. В частности, раз-
разрешима группа Go.
172. Произвольную подстановку степени п можно записать
в виде
1 2 ...п\
где все I различны и принимают значения от 1 до п. В каче-
качестве гх можно выбрать любое из п значений. После этого в ка-
качестве i2 можно выбрать любое из п — 1 оставшихся значений
и т. д. Поэтому число различных подстановок степени п рав-
равно п(п — 1)- ... -2-1 = п\
/12 34 ... п\ /12 34 ... п\
173. Бели а = , и Ъ ~ \ , то ab =
\2 31 4 ... п) \1 324 ... я/
12 34 ... п\ /12 34 ... п\
, т. е. аофЪа,. (Напомним,
что в произведении аЪ сначала выполняется подстановка Ь, за-
затем а.)
174. Пусть элемент ix переходит в г2, г2 в г3 и т. д. Пусть
iT — первый повторившийся элемент. Если предположить,
что i = ik, где 2^fe^7" — 1, то получим, что два различных
элемента s ft Iй гг 1 переходят при подстановке в один и тот же
элемент — противоречие. Следовательно, I = ilt и мы полу-
получаем один цикл. Начиная с любого элемента, не вошедшего в
этот цикл, построим второй цикл и т. д. Нетрудно понять, что
данная подстановка является произведением полученных не-
независимых циклов.
Пусть теперь данная подстановка является произведени-
произведением каких-нибудь независимых циклов. Если один из циклов
переводит элемент ?х в s2 и элементы it и ?2 не встречаются в дру-
других циклах, то все произведение будет также переводить it в h.
Поэтому элемент s2, следующий за i1 в цикле, содержащем гъ
однозначно определяется данной подстановкой. Таким обра-
образом, все циклы однозначно определяются. Заметим, что если
циклы не обязательно независимы, то разложение может быть
не единственным. Например,
2 3\ /12 3">
^з1) = A2).B3)иB31^
150
ство
175. У к.а з а н и е. Проверьте, что выполняется равен-
равен(нк. ¦ лт) = (MJ-fMm-ib • .-(МвИМ.).
176. Указание. Пусть i<;. Проверьте, что выпол-
выполняется равенство
(i, /) = (i, i+ l
...-(/— 2, / -
+ 1, i+ 2)-. . .
/— 1, ])•{] - 2, ) - 1).(/ -3, / - 2)-. . .
...•(*+ 1, *+ 2)-(i, i + 1).
177. Пары, образующие инверсии— C, 2), C, 1), B, 1),
E, 4), E, 1), D, 1). Ответ. 6.
178. Если числа i и j меняются местами и kt, кг,. . ., к —
все числа, стоящие между г и /, то свойство образовывать или
не образовывать инверсию заменяется на противоположное
только у следующих пар чисел: (i, j), (i, kr), (&r) ;), где г =
= 1,2,..., s, т. е. у 2s + 1 пар. Так как число 2s -f- 1 нечетное,
то в результате четность числа инверсий изменится.
179. Ответ. Подстановка четная F инверсий).
180. Так как
то нижняя строка в произведении получается из нижней строкл
исходной подстановки перестановкой двух чисел ir и is. В силу
результата задачи 178 полученная и исходная подстановки
имеют разную четность.
181. Любая подстановка разлагается в произведение транс-
транспозиций (см. 174, 175). Пусть произвольная подстановка а раз-
разложена в произведение т транспозиций а = ах-аг-. . .-а
Можно записать а = е-а,л-а%-. . .-«m. Так как четная подста-
подстановка е т раз умножается на транспозиции, то получаем (см.
180), что при т четном а — четная подстановка, при т нечет-
нечетном а — нечетная подстановка.
182. См. указание к 175. Ответ, а) Четная; б) нечетная;
в) четная при нечетном т, нечетная при четном т.
183. Указание. Разложите данные подстановки в про-
произведение транспозиций (см. 181). Посмотрите, какое число
транспозиций будет в произведении данных подстановок.
184. Если бы подстановки а и a i имели разную чет_
ность, то (см. 183) подстановка аа -1 =е была бы нечетной, что
неверно.
185. Например,
4 3 5
но
151
186. Если а — четная подстановка, то и gag" — четная
подстановка независимо от четности подстановки g. Поэтому
А п— нормальная подгруппа в группе Sn. Пусть Ь — произ-
произвольная нечетная подстановка. Докажем, что смежный класс ЬАп
содержит все нечетные подстановки. Пусть с — произвольная
нечетная подстановка. Тогда Ь 1с— четная подстановка. Поэ-
Поэтому подстановка с = b(b 1с) содержится в смежном классе ЬА п>
Таким образом, группа Sn разлагается на два смежных клас-
класса по подгруппе Ап — все четные подстановки и все нечет-
нечетные подстановки.
187. Ответ. Так как группа Sn разлагается на 2 смежных
класса по подгруппе А п (имеющих одинаковое число элементов),
то число элементов в группе Ап равно (см. 172)
п! 1 • 2 • . .. ¦п
2 2
188. Группа iS2 содержит 2 элемента и, следовательно, изо-
изоморфна коммутативной группе Z2. Группы S3 и S4 изоморфны
соответственно группе симметрии тре-
треугольника и группе симметрии тетра-
тетраэдра. Обе эти группы разрешимы (см.
156).
189. Занумеруем вершины додэка-
эдра так, как показано на рис. 43. В
качестве искомых тетраэдров можно
взять, например, тетраэдры со следую-
следующими наборами вершин: A, 8, 14, 16),
B, 9, 15, 17,), C, 10, И, 18), D, 6, 12,
19), E, 7, 13, 20).
190. Подстановки 5-й степени мо-
могут разлагаться в произведение не-
независимых циклов только следующими
способами: а) (МзМ^в)' ^) {hhH)<
B)(s1i8)(i3i4), г) (hhhh), Д) (Ма*а)(*Л), е) (Ма). Учитывая резуль-
результаты задач 182 и 183, получаем, что в случаях а), б), в) подста-
подстановка является четной, а в случаях г), д), е) подстановка яв-
является нечетной.
191. Пусть нормальная подгруппа N в группе Аь содержит
некоторую подстановку h вида а) (см. 190). Без ограничения
общности можно считать, что h = A 2 3 4 5). Докажем, что
произвольная подстановка (МгМ^б) вида а) также содержится
в N. Если в строке гх, i2, i3, г4, i5 четное число инверсий, то под-
/ 1 2 3 4 5 \
становка g=\ 1 четная. Тогда по определению нор-
\ ij i2 t3 i4 i& )
мальной подгруппы в N содержится подстановка ghg ==.
= (МаМл'в)- Если в строке га, г2, г3, г4, г5 нечетное число инвер-
инверсий, то в строке in г4, i2, i5, h четное число инверсий (так как
в трех парах поменялся порядок элементов). В этом случае под-
/1 2 3 4 5 \ п
становка s = четная. Поэтому N содержит иодста-
\ 1. г. ;, i- t.j /
Рис. 43.
ii f s
152
новку ghg =(VV'.>M3). a вместе С ней и подстановку (ghg ^J =
= (MaWe)-
Пусть теперь нормальная иодгруапа N содержит подста-
подстановку h =A2 3) вида б) (см 190), и пусть (iii2ia) — произволь-
произвольная подстановка. Возьмем элементы г4 и г5 из множества {1, 2,
3, 4, 5}, не совпадающие с элементами tlt t2, i3. Либо в строке tj,
hi hi h< ht либо в строке U, i2, t3, tb, it четное число инверсий.
/1 2 3 4 5 \ /12345\
Поэтому одна из подстановок или ( . )
\'i h *з i« '5 / \ h h Н 1ъ гз /
является четной. Обозначив эту подстановку g, получим, что в лю-
любом случае в N содержится подстановка ghg 4= (*V2s3).
Если нормальная подгруппа N содержит подстановку ви-
вида в) (см. 190), например подстановку h = A 2)C 4), то она со-
содержит и произвольную подстановку (М2ХМ4) вида в). Дейст-
Действительно, в этом случае одна из подстановок
/-12345
или
2 3 4 5 \
*1 t3 h h)
/12 3 4 5
V h h h h h
является четной. Если g- — эта подстановка,
то в N содержится подстановка ghg^'i= (tt t2)(i3 i4)-
192. Подсчитаем число подстановок каждого иэ видов а),
б) и в) (см. 190).
а) Существует 5-4«3-2-1 = 120 различных последователь-
последовательностей из элементов 1, 2, 3,4, 5. Так как каждая подстановка ви-
вида а) может быть записана пятью способами (в зависимости от
выбора первого элемента), то число подстановок вида а) равно
б) Таким же рассуждением, как и в случае а), получаем,
5-4-3
что число подстановок вида б) равно g = 20.
в) Подстановка вида в) может быть записана 8 способами
D способами можно выбрать ц и затем 2 способами г). Поэтому
5-4-3-2
число подстановок вида в) равно о = 15.
Любая нормальная подгруппа N содержит единичный эле-
элемент. Кроме того, из результата задачи 191 следует, что в любой
нормальной подгруппе группыЛ5все подстановки одного и того же
вида (см. 190) либо одновременно содержатся, либо одновремен-
одновременно не содержатся. Порядок нормальной подгруппы должен
быть делителем порядка группы Л5F0). Но при добавлении
к 1 чисел 24, 20, 15 только в двух случаях получаются делители
числа 60: когда ничего не добавляется и когда добавляются все
три числа. Первый случай соответствует единичной подгруппе,
второй случай соответствует всей группе Аь.
193. Такой подгруппой является, например, подгруппа, со-
содержащая все подстановки вида
/12 3 4 5 6 ... п\
\ Н Ч Ч *4 *5 6 • • • п 1
с четным числом инверсий в строке 1г, i2, i3, id, i5.
153
Глава 11
194. а) Ответ. Нет, так как натуральные числа не обра-
образуют группу по сложению (см. 17).
б) Ответ. Нет, так как целые числа без нуля не образуют
группу по умножению (у всех чисел кроме 1 и —1 нет обратных).
в) Ответ. Да. Воспользуйтесь результатом задачи 57.
Решение. Так как действительные числа образуют ком-
коммутативную группу по сложению, а без нуля также коммутатив-
коммутативную группу по умножению, то достаточно проверить, что все
рациональные числа образуют подгруппу в множестве действи-
действительных чисел по сложению, а без нуля и по умножению. А это
легко получить, используя результат задачи 57. Действитель-
Действительно: 1) если а и 6 — рациональные числа, то а + Ъ и а-Ь — так-
также рациональные числа; 2) 0 и 1 — рациональные числа; 3) если
а — рациональное число, то — аи — (при а Ф 0) — также ра-
а
циональные числа. Дистрибутивность, очевидно, имеет место.
Следовательно, рациональные числа образуют поле.
г) Ответ. Да. Воспользуйтесь результатом задачи 57.
Решение. Если гх + т-2У2 = 0, где гг и г2 — рациональ-
рациональные числа и г2 Ф 0, то У2 = — —, чего не может быть, так как
У2 не является рациональным числом. Значит, если гх +
+ г2У = 0 и гх и г2 —рациональные числа, то 7^ = т-2 = 0.
Все числа вида гх + ггУ~2 при разных парах (rl7 г2) различны,
так как если r-i + г%У2 = г3 + г4У2, то (гх—т-3)+(г2—r4)Y% =0
и 7"i = г3, г2 = г4. Докажем, что все числа вида гх + гД/Т, где
гх и г3 — рациональные числа,^образуют поле. Для этого дока-
докажем, что числа вида г1! + 7-2|^2 образуют подгруппу в группе
действительных чисел по сложению, а без нуля и по умножению.
Воспользуемся результатом задачи 57: 1) если а = rt + г2У2
И Ь = г3 + г4 У2, то а + Ь = (г,_+ г8) + (г2 + г4) У2~ и аЬ =
= far3 + 2rar4) + far4 + r2r3) У2; 2) 0 и 1 содержатся в рас-
рассматриваемом множестве, так как 0 = 0+ 0-У2 и 1 = 1 +
+ 0-У2"; 3) если а = п + г2 У2, то —а = (—гх) + (—г2) У2
и (при гх+г2У2>0) а~х= — — •
Т*- —I—
г? — 2ri
-2ri
2" ]У2- Так как дистри-
бутивность имеет место для всех действительных чисел, то рас-
рассматриваемое множество является полем.
195. Имеем а0 + а0 = а@ + 0) = аО. Так как поле яв-
является группой по сложению, то можно к обеим частям равен-
равенства а0 + а0 = аО прибавить —(а0). Получим аО = 0. Так как
умножение в поле коммутативно, то и 0а = 0.
196. 1) аЬ + (—а)Ъ = {а + (— о))Ь = 06 = (см. 195) = 0.
Отсюда (—а)Ъ = — (аЪ). Точно так же доказывается, что
154
а(—Ь) = — аЬ. 2) (—а){—Ъ) = (см. пункт 1) = — (а(—Ь)) =
= _(_(afe)) = (см. 20) = аЬ. ^
197. Если аЬ — 0 и а ф0, то существует элемент а~1, об-
обратный к а. Тогда d~xab = а~10= (см. 195) = 0. Но a~Lab=
= 1- Ь = Ъ. Отсюда 6=0.
198. Ответ см. в табл. 14.
Таблица 14
I 0
0
1
о
о
о
1
о
1
2
0
о
о
о
1
2
0
2
1
•
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
199. Пусть га составное, т. е. п = гахга2, где «! < п и ftj < в.
Тогда по модулю п получаем raxn2 = 0, но /^ ^ 0 и f^ ^t 0. Так
как в поле такого быть не может (см. 197), то при п составном
остатки с операциями по модулю п не образуют поля.
Заметим теперь следующее. Пусть х и у — два натуральных
числа, ги г2 — остатки от деления их на п, т. е. х = кхп + rt
И у = А2ге + г8. Тогда х + У = (&i + &2)га + fa + г2) И ху =
= (к^п + A^i-a + k2rt)n + г^, откуда получаем, что чис-
ла х + г/ и г-l + г2, а также числа ху и г^ дают при делении на п
одинаковые остатки. Другими словами, мы получим одинако-
одинаковый результат, если мы сначала возьмем остатки от деления х
и у на га и потом сложим (или умножим) их по модулю п или если
мы сначала сложим (или умножим) х и у как обычные натураль-
натуральные числа, а затем возьмем остаток от деления полученного чис-
числа на п. Таким образом, при вычислении некоторого выражения
с операциями по модулю га можно не брать остаток от деления
на п после каждой операции, а произвести вычисления сначала
как с обычными натуральными числами и обычными операциями
и только в конце взять остаток от деления полученного числа
на п. Воспользуемся этим.
Относительно сложения по модулю га остатки образуют ком-
коммутативную группу (см. 40). Так как для любых натуральных
чисел а, Ъ, с равны числа (а + Ъ)с и ас + Ъс, а следовательно,
равны и остатки от деления их на п, то по модулю п выполняет-
выполняется равенство (а -\- Ъ)с = ас + be, т. е. имеет место дистрибутив-
дистрибутивность. Точно так же по модулю п имеет место ассоциативность
и коммутативность умножения: (ab)c = а(Ьс) и аЪ = Ьа. Еди-
Единичным элементом по умножению является 1. Остается пока-
показать, что при га простом у каждого остатка а, отличного от 0, есть
обратный, т. е. что найдется остаток х такой, что ах = 1 по мо-
модулю п.
Итак, пусть 0 <| а < га. Рассмотрим числа о-0, а-1, . . .
. . . , а(п — 1) (умножение обычное). Разность любых двух из
этих чисел ак — al = а(к — I) не делится на п, так как п
простое, а <[ п и 0 <i\k — 1\<^ п. Таким образом, все эти п
чисел дают разные и, следовательно, всевозможные остатки при
делении на га. Значит, одно иэ этих чисел дает при делении на п
155
остаток 1, т. е. ах = 1 по модулю п для некоторого остатка х.
Таким образом, при п простом все свойства поля выполняются.
200 Так как а — Ь = о 4- (— Ь), то (а — Ь)с = (а -f-
+ (— 6))с = ас + (— Ь)с = (см. 196) - ьо + {—>ос) = ас — 6с.
201. Вычтем из равенства
равенство
Получим
Р(х) = Sx(x)Q(x)
Р(х) = S2(x)Q(x)
0 =
и
A)
Если 5х(лг) — <S2(a:) Ф 0) то степень многочлена, стоящего в ле-
левой части равенства A), не меньше, чем степень многочлена Q(x),
в то время как степень многочлена, стоящего в правой части,
строго меньше, чем степень многочлена О(х). Из этого противо-
противоречия вытекает, что должно быть S^x) — S2(x) = 0 и, следо-
следовательно, R2(x) — R^x) = 0, т. е. S^x) = S2(x) и Нг(х) = Rt(x).
202. Эта группа является прямым произведением группы
действительных чисел по сложению на себя (см. 69 и 73).
Единичным элементом (нулем) в ней является иара @, 0).
203. Пусть zx = (а, b), z2 = (с, d), zs = (е, /). Тогда z^z2 =
= (ас — bd, ad + 6с) и z^-z-^ = (са — db, cb + da). Но ас —
— bd = са — db ж ad -\- be = cb -J- da, поэтому z1-z2 = z^-zx.
Далее имеем: (zvz2)-za = (ас — bd, ad + bc)-(e, /) —
= (ace — bde — ad} — bef, acf — bdf + ade + Ьсе) и
zx-(z2-z-^) = (a, b)-(ce — df,cf-\- de) = (ace — adf — bef— bde,
acf + ade + bee — bdf), т. e. (zx-z*)-z3 ~ zl-(zn-zs).
204. Пусть z = (a, b) ф @, 0), и пусть искомое комплекс-
комплексное число имеет вид z—1 = (х, у). Тогда z-z~l = z~x-z =
= (ах—by, ау-\-Ъх). Для того чтобы было z-z 1= A, 0), должны
выполняться два равенства:
(ах — by = 1,
[Ьх+ ау =0.
Эта система уравнений имеет ровно одно решение:
х =
а2 +
У = — ^
а2 +
причем а2 + Ь2 =И= 0, так как (а, Ь) Ф @, 0). Таким образом,
(а,
-1 _
205. Пусть zx = (a, b), z2 = (с, d), z3 = (e, /). Тогда
(zx + z2)-z3 = (a + с, Ь + d)- (e, f) = (ae + ce — bf — d/, a/ +
+ c/ + be + de) и zx • z3 -f- z2 • z3 = (ae — bf, af + be) +
+ (ce — d/, c/ + de) = (ae — bf + ce — d/, af + 6e + c/ + de),
откуда видно, что (zx + z2)-z3 = %-z3 + z2.z3.
156
206. Имеем а + Ы = (а, 0) + (Ь, 0)@, 1) = (а, 0) + @, Ъ)=
= (а, Ь).
207. Ответ, (с + ds) — (а + bi) = (с — а) + (d — b)i.
__ (ас + bd) -f- (ad — be) i ac + bd ad — be
a2+63 = a3 + b2 + ~a
(так как а + 6i =^ 0, то a2 + b2 Ф 0).
209. Ответ, а) i3 = — i; 6) i* = 1;
b3
в)
1, если п = 4А,
I, если п = 4А + 1,
—1, если « = 4А- + 2,
—г, если « = 4А- + 3.
210. Указание. Уравнение (х + yif = (ж2 — г/2) -f-
-r 2ля/г = b, где b — действительное число, равносильно си-
системе уравнений
Г х2 — у2 = Ь,
1 2.г(/ = 0.
Ответ, а) z = + 1, б) z = + i, в) z = + а, г) z = + as.
211. а) Пусть Zj = a + bi, z2 = с + di. Тогда zx + z2 =
= (a + bs) + (c + di) = (a+ c)+ (b_+ d)i = (a + c) — F +
4- d)i = (a — bs) + (c — ds) = zx + z2.
6) (zx —_z2) + z2 = zt. В ciuxy a) Zi = (z1 — z2) + z2 =
= (i^— г2) + г... Отсюда z1 — z2 = zx — z2.
в) TJ2 = (a + bs)(c + ds) = (ac — bd)_-{-_ (be + ad) t=(ac —
— bd) — (be + ad)L= (a — bs)(c — di) = zx-zz.
r)
= l^.z,) = (noB))=(^
^ / Zl ^ Zl
Отсюда — I = =-•
2
212. Из результата задачи 211 получаем
P(z)=aoz" +
= «o3
= (a- = ai5 так как все ai — действительные числа) =
- a~zn + aZz "-1 + ... + an_l~z + an = P
157
213. Так как поле М содержит все действительные числа и
элемент го, то оно содержит всевозможные элементы вида а -\-
-\- bio, где a, b — произвольные действительные числа. Обо-
Обозначим множество всех элементов поля М, представимых в ви-
виде а + bio, через М'. Тогда, используя коммутативность, ассо-
ассоциативность и дистрибутивность сложения и умножения в по-
поле М, получим для элементов из М'\
(а + bio) + (с + di0) = (а+ с)+ (bio + di0) =
= (а + с) + (Ь + d)i0, A)
(а -(- Ьг0) ¦ (с -\- di0) = ас + adi0 + bci0 -f- bdi$ =
— (так как i% = — l) = (ас — bd) -f- {ad -f- be) i0. B)
Пусть С — поле комплексных чисел. Рассмотрим отобра-
отображение поля С в поле М такое, что
ср(а -f- Ы) — а -\- bio.
Сравнивая формулы A), B) с формулами B.3), B.4) на стр. 61,
получаем, что ср — гомоморфизм (см. стр. 40) С в М относитель-
относительно сложения и относительно умножения. Так как при
этом ф(С) = М', то (см. 150) М' Является подгруппой в М и
относительно сложения и относительно умножения. Так как
в М операции сложения и умножения обладают свойствами ком-
коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, то эти же
свойства имеют место, очевидно, и в Мг. Таким образом, М' —
поле.
Если а + bio = с + dio, то (Ь — d)io = с — а. Если при
может быть, так как квадрат никакого действительного числа
не может быть равен —1. Следовательно, Ъ — d = 0, а тогда
и с — а = 0. Отсюда Ъ = d, a = с. Таким образом, элементы
вида а + bio в поле М различны при различных парах (а, Ь).
Отсюда вытекает, что построенное выше отображение <р являет-
является взаимно однозначным отображением поля С на поле М'.
Так как, кроме того, <р — гомоморфизм, то <р — изоморфное
отображение поля С на попе М', т. е. поле М' изоморфно по-
полю комплексных чисел.
214. Пусть рассматриваемый многочлен приводим, т. е.
(box
bm)-(caxk
ch),
где m <C n, к <[ n, все bi и c; — действительные числа и bo Ф
ф 0, со ф 0. Подставим вместо х в правую часть этого равенст-
равенства /. Так как М — доле, то можно будет обычным способом
раскрыть скобки и привести подобные (относительно степеней /)
члены. При этом мы получим исходный многочлен, в котором %
будет заменено па у.
158
Таким образом, получаем
По условию
bm)-(cojh
= 0,
поэтому (см. 197) хотя бы одна из двух выписанных выше скобок
равна 0. Разделив соответствующую скобку на bo или со, получим
выражение вида C.1), равное. 0 и имеющее степень меньше,
чем га. Получаем противоречие с тем, что га — наименьшая сте-
степень у выражений вида C.1), равных 0. Следовательно, предпо-
предположение о том, что рассматриваемый многочлен приводим,
неверно.
215. Как было доказано, в случае а) элемент / в поле М
удовлетворяет равенству
/* + Р1+ д=0.
где р ~а q — некоторые действительные числа, и многочлен х2 -}-
-f- px + q неприводим над полем действительных чисел. Имеем
Vх + 9 =
Рх
Р2)-( Р2 .
4 J V~
"+*)-(?-
р
Если —г-—
р
, то -j-— q—az для некоторого действитель-
действительного числа а. Тогда
х2 + рх + q
-е- +а
-?. —а
т. е. многочлен х2 + рх -}- q был бы приводим над полем дейст-
2 3
Р Р
вительных чисел. Значит, —?- — q <^0 ж -g- — q = — Ь2 для не-
некоторого действительного числа Ъ, отличного от 0. Так как
в поле М j" + pj + q = 0, то в поле М
Отсюда
Таким образом, элемент
2Ъ
ft2
Р
26
лежащий в поле М, является искомым.
216. Ответ. Единственным (с точностью до изоморфизма)
искомым полем является поле, элементы которого — дроби,
в числителе и знаменателе которых стоят многочлены от /, при-
причем операции над этими дробями производятся как обычно.
217. Ответ. А: 2 + 2i, В: — 1 + 3i, С: —2 — i.
218. Ответ, а) Отражение относительно начала координат
(или что то же самое, поворот вокруг начала координат на 180°).
б) Растяжение плоскости в 2 раза от начала координат, в) От-
Отражение относительно оси х.
219. Указание. Воспользуйтесь равенством треуголь-
треугольников A-lBjC-l и А.2В2С2 (рис. 44).
У
0
Рис. 44.
1гис. 45.
220. По условию задачи z1 = ха + iya, z2 = xv + iyVt
H = xw ~Ь 1Учх>- Поэтому равенство z3~zx-\- z2 равносильно
двум равенствам:
A)
С другой стороны, если w =u -f- v, то (рис. 45) ?„,= (по опре-
опре— xD) + (x
хА) =
ла + xv
делению) = хс — хА = (хс
но так же yw= ya-\- yv- Поэтому равенство w = и+
же равносильно равенствам A).
и точ-
j так-
р р
221. По определению х
АВ
= ха — х,
X
V
Рис. 47.
Рис. 46. Рис. 47. Рис. 48.
222. Равенство |z|2 = a2 -f- Ь2—это теорема Пифагора (рпс. 46).
Равенство z-z — (а -\- Ы)(а — Ы) = а? -\- Ъг легко проверяется.
160
223. См. рис. 47. Указани в. Неравенства, указанные
в задаче, следуют из того, что в треугольнике любая сторо-
сторона меньше суммы, но больше разности двух других сторон.
Равенство в обоих случаях имеет место тогда и только тог-
тогда, когда z2 = kzi, где к — неотрицательное действитель-
действительное число.
224. См. рис. 48.
I zj + zt p + | 2l — *„ |3 = (см. 222) =
= (г, + z2) (zj + z.j)
= (zi + г.,) Gi
225. Omeem. a) 1/2 (cos — + г sin Л ];
\ 4 4/
Bi — z2) (zt — 22) = (см.211) =
z») + (z, — z2) (zx — z2) =
~ • 2z272 = 2 | zx |2 -f 2 | z2 |
6) 2 I cos -jT— -{-
-fisinli); в)
Д)
6
_ я \
— + i sin -1; r) 5 (cos я +/ sin я);
3(cos4
(cos ф 4- i sin ф), где ф = arctg 2.
226. Имеем: zLz2 = ^^[(cos ф, • cos ф2 — sin фх- sin ф2) -f-
-f- i(sin фх- cos ф2 + cos фх- sin ф,)] = (по формулам сложения
из тригонометрии) = Г]Га(со8 (фх + ф2) -\- i sin (ф,^ -f- фг)). Вто-
Второе равенство в задаче равносильно равенству
zx = z2
(cos (ф! — ф2) + i sin (фх — ф2)),
которое легко вытекает из первого равенства.
227. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 226.
228.
8. i-УзЩ-^ <)=2(coe(-4f)+?el
Поэтому A-V5 iI00 = [2 (cos (- f-) + i sin (- j
= (см. 227) =2100- Tcos (— -^p я
eln (-|
= 2100 - ( cos ^?L + i sin ^L). Отсюда
3 3
-Уз?)
100
,100
Ответ. — -1
2
C0S
*'У..3-.
2л
3
1 sin f —
2
229. Если z = 0, то и и? = 0 (см. 197). Если же z Ф 0,
то и w Ф 0. Пусть в этом случае if = p (cos ф + г sin ф). Тогда
161
по формуле Муавра (см. 227)
wn = pn (cos п !р + i sin ит|з) = г (cos cp -f- i sin ф).
Отсюда р" = г и mf> = ф + 2пк, где А: — некоторое целое чис-
число. Следовательно, i]>= и
(cos
V
sin
(
V
»
У
A)
ф
Если hi — к2 = In, где I—целое число, то выражения
и — различаются на 2nl. При атом формула A) дает
одно и то же значение w. Поэтому все различные значения w
можно получить, придавая параметру к в формуле A) значения
к = 0, 1, . . ., и— 1.
230. Указание. Представьте подкоренные выражения
в тригонометрической форме, затем воспользуйтесь формулой A)
из решения задачи 229. _ _
Ответ, a) +i, —i; б) 2, —1 +~l/3 i, —1—"^3 i (здесь
1^3 — действительное положительное значение корня);
в) cos B5° + 90°и) + i sin B5° + 90°га), где га = 0, 1, 2, 3;
г) y^2~(cos A5° + 120°гс) + i sin A5° + 120°»)), где га= 0, 1, 2
(здесь у 2 — действительное положительное значение корня).
231. Указание. См. формулу A) из решения зада-
задачи 229; 1 = 1 (cos 0 + i sin 0);
(см. 227).
232. Указание. Если s™
= cos
z0 и z'i—i
то
Ответ.
7 \П Z
zi I z
(см. 231).
=1.
233. В силу результата задачи 221 zA =z^>, где о на-
начало координат. Ответ, а) Расстояние от точки z до начала ко-
координат; б) угол между положительным направлением оси ОХ
и лучом Oz; в) расстояние между точками zr и z2 (так как
z —zA=z_^.; см. 221); г) угол между лучами Oz2n Oz1 (см. 226).
в ав
234. См. 233. Ответ, а), б) Окружность радиуса 1 (и R)
с центром в начале координат; в) окружность радиуса R с цент-
центром в точке zo; г) круг радиуса R с центром в точке zo вместе с
окружностью; д) перпендикуляр к отрезку, соединяющему точ-
точки zx и z2, проходящий через его середину; е) отрицательная
часть действительной оси; ж) биссектриса первого координат-
координатного угла; з) луч, образующий с положительным направлением
оси ОХ угол ф.
235. См. 229 и 232. Ответ. В вершинах некоторого правиль-
правильного га-угольника с центром в начале координат.
162
236. Пусть заданы точка zo и произвольное действительное
число* е > 0. Выберем 6=1 (независимо и от zo, и от е). Тогда
для всех z, удовлетворяющих условию \z — zol < 1, выполняется
неравенство |/(z) — /(zo)| = \а — а| = 0 < е. Следовательно,
функция f(z) = а непрерывна при любом значении аргумента z.
(В качестве б можно было взять любое положительное действи-
действительное число.)
237. Пусть заданы точка zo и произвольное действительное
число 8 ]> 0. Выберем 6=8 (независимо от zo). Тогда для всех z,
удовлеторяющих условию \z — zo| < б, будет выполняться не-
неравенство |/(z) — /(zo)l = \z — zo| < б=е, т. e. |/(z) —/(zo)| < e.
Следовательно, функция комплексного аргумента /(z) = z
непрерывна при всех значениях аргумента. Рассматривая
только действительные значения аргумента г, получаем,
что функция действительного аргумента f(x) = x также не-
непрерывна при всех значениях аргумента.
238. Пусть заданы точка zo и произвольное действительное
число е > 0. Если S — произвольное положительное действи-
действительное число и |z — zol < б, то
= |*2 — 4 | = IU —z0) (z +
= (см. 226) = | z — z0
z0
б | z + z0
Ho
|z+zo|= l(z — zo) + 2zo| < (см. 223)
Таким образом, при \z — го| < б получаем
б-(б+ 2|zo|).
— so| + |2zo|<
< S + 2 |zo|.
Подберем теперь б так, чтобы выполнялось неравенство
6-F+ 2|zo|) < e.
Если zo = 0, то положим б = "j/e (имеется в виду положитель-
положительный корень из е). Если zo ф 0, то рассмотрим два положитель-
положительных действительных числа |zo| и
и выберем в качестве б
3|zo|
наименьшее из этих двух чисел. Тогда будут выполняться не-
б < |zo| и б < е . Отсюда
3 | г0 |
равенства
б(б
zo|)
2 1 z0
= е.
Таким образом, при \z — zo| < б, где б — выбранное нами чис-
число, |/(г) — /(zo)| <C е- Следовательно, функция комплексного
аргумента /(z) = г2 непрерывна при всех значениях аргумента.
239. а) Пусть задано произвольное действительное чис-
число е > 0. Имеем
\h(z)- h{zo)\ =
g(z)) -
(/(zo) + *(*
z) - g(zo))\
(см. 223) <
/(zo)| + \g(z)
g(zo)\.
1S3
Рассмотрим вместо е число -тг. Тогда, в силу непрерывности функ-
функции /(z) в точке zo, можно подобрать такое действительное чис-
число &! > 0, что для всех z, удовлетворяющих условию \z—zol <С
<С бц будет выполняться неравенство | / (z) — / (z0) |< —•
Точно так же, в силу непрерывности функции g(z) в точке zo,
можно подобрать такое действительное число б2 ]> 0, что для
всех z, удовлетворяющих условию \z — zo\ < б3, будет выпол-
выполняться неравенство | g (z) — g (z0) | < -5.. Выберем в качестве б
наименьшее из чисел бх и б2. Тогда для всех г, удовлетворяющих
условию |z — zo| <^ б, будут выполняться оба неравенства:
I/ (z) — / (zo)| < -|- и | g (z) — g(z0) |<i-. Поэтому для всех z,
удовлетворяющих условию |z — zo| < б, будет
h (г) - A (z0)
(z) — / (z0)
± + ± = e.
т. e. l/i(z) — h(zo)\ < e. Следовательно, функция h(z) = /(z) 4-
+ g(z) непрерывна в точке zo.
б) Если h(z) = /(z) — #(z), то
Ift(z) - ft(zo)| = |(/(z) - g(z)) — (/(zo) -
+ (—(*(*) - *(zo)))l < (см. 223)
zo))| = l(/(z) -/(zo)) +
|/(z) - /(so)| +
- /(zo)l + \g(z) — g(zo)\.
Получаем неравенство
\h(z) — ft(zo)| < |/B) — /(zo)! + |tf(*) — г(го)|
такое же, как в случае а), и далее задача решается точно так же,
как в случае а).
в) Пусть задано произвольное действительное число е > 0.
Имеем
= \f(z)g(z) — /(z)^(Zo) + f(z)g(z0) — /(zo)*(zo)| < (см. 223) <
« W)(gifl) — g(zo))\ + |?(zo)(/(z) — /(zo)) |= (cm. 226) =
= 1/(^I • \g(z) — g(zo)\ + lg(zo)|-l/(z) — f(zo)\.
Подберем теперь действительное число б > 0 так, чтобы для
всех z, удовлетворяющих условию \z — zol < б, оба получен-
е
ных слагаемых были меньше, чем -тр.
1) Если /(zo) ф 0, то рассмотрим число ех = |/(zo)| > 0.
Так как функция /(г) непрерывна в точке го, то для некоторого
действительного числа б' > 0 из условия \z — зо| < б' будет
вытекать |/(г) — /(zo)| < ех = |/(zo)|. Тогда при \z — zo| < б'
164
будет
(см. 223)
т. е.
е
Рассмотрим действительное число еа = 4. |/ (—п~- ^ак как
функция #(z) непрерывна в точке го, то для некоторого действи-
действительного числа б" > 0 из условия . \z — zol < б" будет выте-
g
кать \g (z) — g (zo)l < e2 = 4 . |^ (j8p)| • Выберем в качестве бх
наименьшее из чисел б' и б". Тогда для всех z, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию \z — zo| < бх, будут выполняться два неравен-
неравенства:
4 .
и, следовательно, будет выполняться неравенство
Если /(го) = 0, то проведем рассуждение иначе. В качест-
качестве ех рассмотрим число ег = 1. Тогда для некоторого действи-
действительного числа б' > 0 из условия |г — zo| < б' будет выте-
вытекать |/(s) — /(го)| < в! = 1 и, учитывая, что /(г0) = 0, полу-
е
чим |/(г)| < 1. В качестве е2 рассмотрим число е2 = -^-. Тогда
для некоторого действительного числа б" > 0 из условия
е
\z—zv\ < б" будет вытекать \g (z) — g (zo)| < г2 = —. Если в ка-
качестве б] взять наименьшее из чисел б' и б", то для всех z, удов-
удовлетворяющих условию \z — zol < 6j, будут выполняться два
неравенства:
|/(z)|<l и \g (z) - g (zo)\ <~j-
и, следовательно, будет выполняться неравенство
1U \() ()\<
2) Если g(z0) ф О, то рассмотрим е3 = 2\вG }\ ' НайДется
такое действительное число б2, что для всех z, удовлетворяющих
условию \z — го| < б2, будет выполняться неравенство
е
I/ (з) — / (зо)| < е3 — 2)^ (Zo)|
и, следовательно, будет выполняться неравенство
е
165
Если g(zo) = 0, то в качестве 62 можно взять любое положи-
положительное действительное число, так как в этом случае при любом z
Выберем теперь в качестве б наименьшее из чисел Ьх и б,.
Тогда для всех г, удовлетворяющих условию \z— го| •< б, бу-
будут выполняться два неравенства:
и I/(*I ¦!*(*)-*К)|<-j-
1вЫ\ ¦!/(*) — /Ы|<-|
и, следовательно, будет выполняться неравенство
|А (z) — h (zo)l< — + — = е.
Таким образом, функция h(z) = f(z)-g(z) непрерывна в точке го.
240. а) Пусть задано произвольное действительное чис-
число е ]> 0. Имеем
1 1
\h{z) — A(zo)| =
g
(z0)
— g (z)
(z0)
g(zo)|
= \g (z)\ ¦ \g{zo)Y
Рассмотрим число ех = —g }> 0. Так как функция g(z)
непрерывна в точке zo, то для некоторого действительного
числа бх > 0 из условия \z — zo\ •< бх будет вытекать
If? (ZO)I
U(z) —g (zo)| <si = 2—• ТогДа получим, что для всех z, удов-
удовлетворяющих условию \z — zo| <С 6t, выполняется неравенство
\g U)l = I? U) — (* (*b) — S (*))! > (см. 223) > |g (зо)| —
- I* U) - , (z)| > | i^L l?M
Рассмотрим число s2 = ^ )> О. Найдется действи-
действительное число б2 > 0 такое, что из условия \z — zuj < б, будет
8 • \g (zo)|2
вытекать \g (z) — ^ (zo)| < е2 = g • Выберем в качест-
качестве б наименьшее из чисел 5t и б2. Тогда для всех z, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию \z — zo| < б, будут выполняться два неравенства
166
й, следовательно, будет выполняться . неравенство
,... ,,\. lg(z) —g(z0) | ^ s • | gBn)l8
1 ft (.z) — ft Uo) I = I „i y\ ¦ i - / - \ i "<
= 8.
2 I * (z0) |
непрерывна в точке zo.
IS"
Таким образом, функция h(z) =
б) Так как функции /(z) и #(:
1
точке z0 непрерывна функция , . (см. а)) и, следовательно,
/B) 1
непрерывна функция ft (г) = , . ==/ (г) • ¦ , . (см. 239 в)).
) непрерывны в точке zo, то в
241. Пусть задано произвольное действительное чис-
число е > 0. Так как функция /(z) непрерывна в точке z1; то найдет-
найдется такое действительное число бх > 0, что из условия |z — zx| <
< б, будет вытекать |/(z) — /(zx)| <! e. Рассмотрим далее чис-
число 6\ >> 0. Так как функция g(z) непрерывна в точке г0, то най-
найдется такое действительное число б }> 0, что из \z — zo| < б
будет вытекать \g(z) — g(zo)\ < бх, т. е. \g(z) — zx| < бх. Но
тогда будет выполняться неравенство \f(g(z)) — /(zx)| < e,
т, е. |/(g(z)) — f(g(zo))\ < е. Таким образом, для всех z, удов-
удовлетворяющих условию \z — zo| <C б, будет выполняться не-
неравенство \h(z) — ft(zo)l < е и, следовательно, функция h(z) =
= f(,g(z)) непрерывна в точке z0.
242. Пусть заданы точка х0 и действительное число е > 0.
Для функции /(а;) = sin x получим \f(x
= (по формуле тригонометрии) =
= 2- —*-
— / (жоI = 1 sin х—sin xol =
х — х0 х
—о cos —
2 sin •
sin
sin •
2
cos ¦
так как
cos
Для / (х) = cos х получим | / (х) — / (х0) | = | cos х — cos х0 | =
= (по формуле тригонометрии)
. х— х0 . х-\- х0
— 2 sm 2 Sln о
= 2 ¦
sm
X Xq
2
x—jr0
sin
x0
<(так как
sin ¦
x0
<2 sin
Таким образом,' в обоих случаях
| / (х) - / (*0) I < 2
X — Хп
sin
Подберем теперь б ^> 0 так, чтобы при всех х, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию |а; — хо\ <С б, выполнялось неравенство
8
sin
2 '
Если ^^> 1. то неравенство
sin
х —х0
при всех а; и б можно взять любым. Если—
С "Г выполняется
1, то рассмотрим
167
Яа плоскости с координатными осями х ш у окружность ра-
радиуса 1 с центром в начале координат и проведем ' прямые
е е
у=-2"И у ~— ~2 (рис. 49). Для указанных на рисунке углов
о • е - о е
аир получим sin а = -у, sin p = — у, причем, очевидно,
Р=- а.
В качестве б выберем б = 2а. Тогда из \х — хо\
1а; — х0 I б х — х0
дет вытекать g Г^ = а' т" е- —а ^ —
б бу-
Следовательно^ функции /(а;) = sin а; и /(ж)' = cos а: непрерывны
при любом действительном значении аргумента х.
243. Пусть заданы точка хи ^> О и положительное действи-
действительное число е> 0. Надо подобрать такое действительное чис-
число б > 0, чтобы для всех х, удовлет-
у 1 воряющих неравенству \х — .хо\ < б
(и, конечно, х ^ь 0), выполнялось
неравенство
I п. П, I
A)
fix Последнее неравенство равносильно
У неравенствам
Рис. 49.
х0 + е. B)
Так как функция \/~х монотонно возрастает с ростом х (при
х > 0), то неравенство B) в случав, когда \Гх~^—е^>0, равно-
равносильно неравенствам
4—s) <х<[ухо-\-г)
п
(п.— \п
1>/а;0 — г) —
х0 < а; — х0 <
х0
тп.
C)
В этом случае, взяв в качестве б наименьшее из чисел
хо— (у^о—е) и (./"«о +е)" —х0, получим, что из условия
\з- — хц\<^ б вытекает неравенство C), а вместе с ним и нера-
168
венство A). Если в неравенстве B) У~х0 — е <[ 0, то левая часть не-
неравенства B) всегда выполняется (при х > 0) и неравенство
B) равносильно неравенствам
х <
10 + е)П
В
В
х — хп <
этом случае достаточно
б
D)
взять
— х0
и при всех х, удовлетворяющих условию \х — а;0| < б, будет
выполняться неравенство D), а вместе с ним и неравенства B) и A).
244. Ответ, а) См. рис. 50. Указание. y{t) = 0.
б), в) См. рис. 50. У к а з а н и е. x(t) = 0. г) См. рис. 50;
У'
-ь
Рис. 50.
Рис 51.
x(t) = t, y(t) = — t, у = — x. д) См. рис. 51; x(l) = «2, y(t) = г,
а; = у2, е), ж) Окружность радиуса R, проходимая против ча-
часовой стрелки соответственно один раз (в е)) и два раза (в ж))
с началом в точке z = R -j- Ог (рис. 52). Ук азание.
\z(t)\ = R, Argz(i) = 2nt (в е)) и Argz(i) = Ant (в ж)),
з) Полуокружность радиуса Я (рис. 53). и) См. рис. 54.
х — а0 У — Ьо-
245. См рис. 55. Из подобия получаем д = ^— ^
При движении точки z по отрезку от положения го = ао + bot
до положения zj = а, + Ь^ выписанные отношения меняются
х — а0
от 0 до 1. Поэтому можно, например, положить t= а а =
— Ъа
АВ
вой Ct на вектор, соответствующий комплексному числу zo
(рис. 56). Если zs = zozj и Arg z0'= фо, Arg zx = фг, то (см. 226)
169
Отсюда а; = ао + (ах — ао)*, 3/ = Ьо + (&i —
г(*Г= («о + (аг — а0)*) + (Ьо + (Ь, — 6о)О*. Нетрудно прове-
проверить, что зта форлгула описывает искомый отрезок при любом
расположении точек zo и zx, в частности, при ао = aj или Ьо = Ъ1.
246. Так как z + г_ = zb(cm.221), то а) — сдвиг кри-
|z2| = |zo| • \zj\ и Arg z2 = фо + qv Поэтому б) — растяжение
кривой С± относительно начала координат в а раз (рис. 57);
в) — поворот кривой Сг вокруг начала координат на угол фо =
= Arg zo (рис. 58); г) растяжение в |zo| раз с одновременным
поворотом на угол фо = Arg zo (рис. 59).
247. Когда t меняется непрерывно от 0 до 1, то 1 — t не-
непрерывно меняется от 1 до 0. Поэтому функция z2(t) = zx(l — t)
задает геометрически ту же кривую С, но проходимую в проти-
противоположном направлении.
1
248. Когда t меняется непрерывно от 0 до т»-, то 2г непре-
непрерывно меняется от 0 до 1. Когда t меняется непрерывно от -д-
до 1, то 2* — 1 непрерывно меняется от 0 до 1. Поэтому функ-
функция za(t), указанная в задаче, задает кривую, которая получит-
получится, если сначала пройти кривую С1? затем кривую С2. Усло-
Условие zx(l) = z2@) обеспечивает непрерывность полученной кривой.
__ п
Рис. 52.
Рис. 53.
.-/ О
1 X
Рис. 54.
249. Ответ, nt + 2лк, к = 0, ± 1, ± 2, . . .
250. Ответ, a) nt, б) 2л + nt, в) — 4л + nt, г) 2пк + л?.
251. При каждом t cp(i) — <p'(t) = 2яА, где к, возможно,
свое для каждого t. Поэтому запишем ф(г) — ф'(<) = 2nk(t).
ф (if) ф' (М
Отсюда к (t) = ^ Так как функции ф(г)п ф'(«) непре-
170
я—
рывны при 0 ^ t ^ 1, то и функция k(t) непрерывна при 0 ^
^ t ^ 1 (см. 239, 240). Но так как функция k(t) принимает толь-
только целочисленные значения, то она непрерывна лишь в том слу-
случае, если она постоянная, т. е. k(t) = к, где к — некоторое фикси-
() '()
рованное целое число, не зависящее от t. Отсюда
и ф(г) — ф'(г) = 2лк.
252. Пусть ф(г) и ф'(*) — две функции, описывающие не-
непрерывное изменение Arg z{t) и ф@) = ф'@) = фо. Тогда (см.
251) ф(?) — q>'(t) = 2пк, где к — фиксированное целое число.
Но ф@) — ф'@) =0. Поэтому к =0. Отсюда ф(г) — ф'(г) = 0
п ф(*) = ф'(«).
253. Пусть ф(г) и ф'(^) — две функции, описывающие, не-
непрерывное изменение Arg z(t). Тогда (см. 251) ф(г) — ф'(*) =
= 2л&, где А; — фиксированное целое число. В частности
Рис. 56.
Рис. 57.
Рис. 58.
Рис. 59.
Ф@)
— ф'@) = 2пк. Отсюда ф(*) — ф'@ = ф@) — ф'@) и
— ф'@) = ф'@ — ф'(°)-
254. а) Можно взять ф(?) = nt. Ответ. фA) — ф@) == п
(см. рис. 53); б) фB) = 2я*. Ответ. 2л (см. рис. 52); в) ф(*) =
= 4л*. Ответ, in; г) Ответ. ~ (рис. 60).
171
3 я
255. Ответ, a) -tj- я, б) —-g-.
256. Ответ, а) 1, б) —2, в) 2, г) 0.
257. Пусть направление на замкнутой кривой С задано и
в качестве начальной точки выбрана в одном случае точка А,
в другом — точка В (рис. 61). Если изменение аргумента вдоль
кривой С на участке А. В (по направлению кривой С) равно <р1?
а на участке ВА равно <р2, то изменение аргумента вдоль всей
кривой С в обоих случаях, очевидно, равно ух + <р2.
Рис. 60.
Рис. 61.
258. а), б), в) Если z2(t) = zn-z^t) и фх(*) — функция, опи-
описывающая непрерывное изменение Arg z^t), то функция фаB) =
= <Pi(*) + фо, где фо = Arg zo, описывает непрерывное измене-
изменение Arg z2(t) (см. 226, 239). Поэтому ф„A) — ф2@) = фхA) —
@)
ф1()
Ответ, к раз. Этот результат, очевидно, следует так-
также из результата задачи 246.
г) Если Arg z = qp, то Arg z = — ф (см. 218 в)). Поэтому,
если ФхB) — функция, описывающая непрерывное изменение
Argzx(i), то функция ф2(*) = — Ф1(*) описывает непрерывное
изменение Argz2(i). Поэтому ф2A) — Ф2@) =¦= — (Ф1A) —ф].@)).
Ответ. — к раз.
259. а) 1, б) 0, в) 1, г) 2.
260. Решение. Если фх(*) и ф2(г) — функции, описы-
описывающие непрерывное изменение аргумента вдоль кривых Сх
и С2, то в качестве функции ц>A), описывающей непрерывное из-
изменение аргумента вдоль кривой С, можно взять в случае а)
Ф(*) = фх(«) + ф,(*), в случае б) ф(г) = фх(г) — ф2(г) (см. 226,
239). Отсюда фA) — ф@) = (фхA) ± Ф2A)) — (фх(О) ± ф2@)) =
= (<Pi(l) - «Pi@)) ± (Ф„A) — Ф2@)) = Ф, ± фа.
Ответ, а) фх -\- ф2, б) фх — ф2.
261. wo(t) = fz(i)]2 (воспользуйтесь формулой Муавра;
см. 227):
а) u>o(t) = ft2(cos nt-\-i sin nt) —полуокружность радиуса/?2;
б) wo(t) = 2?2(cos 2nt -f- i sin 2nt) — окружность радиуса Л2;
в) w0 (/) = Д2 (cos 4л? -\- i sin 4 nt) — окружность радиуса R2,
проходимая дважды.
172
262. Воспользуйтесь результатом задачи 260 а). Ответ.
а) 2ф, б) Зф, в) гаф. ц
263. Пусть z(i) — параметрическое уравнение кривой С
и Z](f) = z\t) — z0. По условию изменение Argzx(i) равно
2пк. Кривая /(С) имеет параметрическое уравнение wo{t) =
— (z(t)— zo)n = [zi(i)]n- Поэтому (см. 262 в)) изменение аргумен-
аргумента wo(t) равно 2лкп. Следовательно, кривая /(С) обходит вокруг
точки w = 0 кп раз.
Ответ, кп раз.
264. По условию изменение аргумента z(t) равно 2пкх, ар-
аргумента z(t) — 1 равно 2пк2, аргумента z(i) — i равно 2лк3 и
аргумента z(i) + i равно 2яА4. Воспользуемся результатом за-
задачи 260 а). Получим:
а) wo(t) = z(t)-{z(t) — 1). Изменение аргумента wo(t) рав-
равно 2лкх + 2лк2 = 2л(кг + к2). Ответ. Кривая f(C) обходит
вокруг точки w =0 кг + к.2 раз.
б) wo(t) = (z(i) — i)(z(t) + i). Ответ. к3 -f- kt раз.
в) wo(t) — [z(J)]4-[z(i) + i]4- Ответ. А(кг + kt) раз.
Г) w = (z — l)(z2 + 1) = (z — l)(z + i){z — i). Ответ,
h + ks + kA раз.
265. | aozn
an_,
_, | ¦ | z
(см. 223 a)) ^
|an_i2| = (cM. 226) = |
= | a0 | - Ri + ...
\z\n+ .
|
(так как
266.
10
^u.|< (см. 223 a))
¦% = (см. 226) =
(так как R2^> 1)
^ (так как I ai |
< I так
A) <
^ nA
пА
l«ol
Юге-4
J До I
10
267. Если |г| = Лг, то (см. 265) J / (г) — ап \ <
10
этому вся кривая f(CR , находится в круге радиуса
По-
173
с центром в точке w = ап (рис. 62). Очевидно, такая кривая ни
разу не обходит вокруг точки w = 0. Поэтому v(Rx) = 0.
Докажем, что vB?3) = га. Приведем сначала не совсем стро-
строгое, но красивое доказательство, называемое «дама с собачкой».
Из результата задачи 266 получаем, что при \z\ — Д2
I 4 1-,\ „ *п 1 = I п.?п—i -1 L п. I =
«1
г
=
.\
"- 10
(см.
zn\
226) =
1 «0
1-1
10
_ 1
«Iя
1
R2
10
Обозначим | а0 \ ¦ Д? = R. Тогда 1/B) — aozn | <"]^ при
|г| = Щ. Когда z один раз пробегает окружность радиуса Л2, то
точка w = сюгп («дама») пробегает га раз окружность радиуса R.
X
Рис. 62.
Рис. 63.
R
Так как при этом | / (г) — аогп | < ~77Г, то точка w = f(z) («собач-
R
ка») может отстоять от «дамы» не более чем на -ттт- Но тогда ес-
если «дама» обходит вокруг точки w = 0. га раз по окружности ра-
радиуса Д, то и «собачка» вместе с ней вынуждена обойти га раз во-
вокруг точки w = 0 (рис. 63). То есть v(i?2) = п-
Более строгое доказательство равенства v(R2)=n можно
провести следующим образом. Если Ы = Д2, то (см. 266)
174
/(г)
-«о <
10
¦. Поэтому так же, как при доказательстве ра-
венства v(i?x) = 0, получаем, что когда точка z(t) пробегает ок-
/(г)
ружность CR , изменение аргумента-
равно 0. Изменение
аргумента z при этом равно 2л; и, следовательно, изменение ар-
аргумента zn равно 2лге (см. 262). Так как f (г) =—— ¦ zn, то
(см. 260) изменение аргумента /(z) равно 2лп, т. е. кривая /(Cr2)
обходит вокруг точки w = 0 га раз. Поэтому v(R2) = п.
Ответ. v(i?x) = 0, v(R2) = п.
268. Разделим многочлен P{z) = aozn + . • . + an z -f- a
на двучлен z — zo с остатком (например, столбиком; см. стр. 57).
Остаток будет некоторым комплексным числом г, а частное —
некоторым многочленом Q(z). Тогда справедливо тождество
P(z) = <?(z)-(z — zo) + г.
Подставив в это тождество вместо z значение zo, получим
P(z0) =¦ <?(zo)-(zo — zo) + г = 0 + г = г.
Но P(zo) = 0, так как по условию z<> — корень уравнения
P(z) = 0. Поэтому из равенства P(zo) = г получаем г = 0. Та-
Таким образом, P(z) = Q(z)-(z— zo).
269. Обозначим P(z) == auzn + . . . + an_1z + an. По ос-
основной теореме алгебры комплексных чисел уравнение P(z) =0
имеет некоторый корень гг. По теореме Безу (см. 268) P(z) =
= (z —¦ Zj)Q{z), причем легко видеть, что Q{z) имеет вид Q(z) =
= aozn + b1zn~^2 -\-. . . + bn__^. Если n — 1 > 1, то уравне-
уравнение Q(z) = 0 имеет некоторый корень z2, откуда Q(z) = (z —¦
— z2)R(z) и Л(г) = aozn—2+ . . . При этом P{z) = (z — z1)(z —
— z2)i?(z). Продолжая этот процесс дальше, получим на га-м ша-
шаге частное, являющееся постоянным комплексным числом, рав-
равным, очевидно, ао. В результате получим разложение, указанное
в задаче.
270. O_6o_3Ha4HB_P(z) = aozn -f- . . . + an—^+ an, получим
(см. 212) PJz) = P(z). По_условию Р(г0) = 0. Отсюда P(zo) =
= P(zo) = 0 = 0, т. е. zo — корень уравнения P(z) =¦ 0.
271. Обозначим P(z) = aoz" + . . .-f- an 1z + an. Так как
все a.j — действительные числа и zo — корень уравнения P(z) =0
то zo — также корень уравнения P(z) = 0 (см. 270).
Поскольку го — не действительное число, то zo Ф zo. Так
как zo и zo — корни уравнения Р(г) = 0, то в разложении
(см. 269) P(z) = ao(z — zx)(z — z2) ¦ . . . • (z — zn) должны быть
сомножители (z — z0) и (z —_z0). Можно записать: P(z) =
= (z—г0) (z—~zo)Q{z) = (z2 — (го + zo)z + zozo)-Q(z). Таким обра-
образом, многочлен P(z) делится на многочлен второй степени z2 —
175
— (zo + го) + zozo, коэффициенты которого действительны (см.
равенства перед задачей 211, стр. 62).
272. Пусть P(z) — данный многочлен. Если степень много-
многочлена P(z) больше 2, то уравнение P{z) = 0 имеет по основной
теореме алгебры комплексных чисел некоторый корень го. Ес-
Если го — действительное число, то разделим P(z) на z — zo. По-
Получим P(z) = (z —• zo) Q{z) (см. 268). Если zo — не действитель-
действительное число, то многочлен P(z) делится на некоторый многочлен
второй степени с действительными коэффициентами (см. 271).
В обоих случаях частное является многочленом, коэффициен-
коэффициенты которого действительны, что видно, например, из процесса
деления столбиком (см. стр. 57). Это частное снова делится на
некоторый многочлен с действительными коэффициентами пер-
первой или второй степени и т. д. Этот процесс продолжим до тех
пор, пока очередное частное не будет иметь степень 1 или 2.
В результате получим искомое разложение.
273. z5 — z4 — 2z3 + 2z2 + z — 1 = (z — l)(z4 — 2z2 +
+ 1) = (z — l)(z2 — IJ = (z — lK(z + 1)«.
Ответ. 1 — корень кратности 3; —1 — корень кратности 2.
274. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях в
левых и правых частях указанных равенств. Пусть
P(z) = aozn + ajz"-1 + . . . + an_±z + an.
Тогда P'(z) = aonz71-1 +a1(n — l)zn-'2 +. . . + a n_l и <?'(z) =
= bomz™^1 -f- Ьг(т — l)zm"~3-f- . . . + bm r Легко видеть, что
в случае а) коэффициенты при любой степени zk в обеих частях
равенства равны (an_x_k~\~bm_1_n) (А+1), а в случае б) коэфт
фициенты при zh в обеих частях равенства равны сап ± h(k-\-i).
Докажем в). Для удобства введем широко распространен-
ный в математике символ суммы
\. Запись 2 I соответственно
i=o\
означает, что нужно рассмотреть выражение, стоящее
справа от этого знака, при г =0, 1, 2, . . ., п (соответственно
при всех парах i, / таких, что i + / = г) и все полученные вы-
выражения сложить. В этих обозначениях получаем
Р B) = 2 "г*"'1'
г=0
<?<*>= 2
2
i=o
п—i
Р' (г) =
2
i=0
- 0 гп
Q' (г) =
Пусть к — произвольное целое число от 0 до п + т — 1.
Найдем коэффициент при г ft+x в произведении P(z)-Q{z). Так
как (п — 0 + (.т — 1) = * ~Ь 1 тогда и только тогда, ког-
176
да i + / = и + m — ^ —-.1, то коэффициент при zh+1 после
раскрытия скобок и приведения подобных членов в многочлене
P(z)-Q(z) будет равен
aibr
Поэтому коэффициент
1
=п-\-т—h—1
при г"- в многочлене {P(z)-Q(z))' равен
=n+m—ft—1
Точно так же получаем, что коэффициент при zh в много-
многочлене P'{z)-Q(z) равен
P{z)-Q'{z) равен
=п +т—h—
aibi ("¦— 0. а в многочлене
+j
=п+т—h—1
фициент при zh в многочлене
равен
а^Ъ . (т—/). Таким образом, коэф-
/>'(*) ¦ Q(z) + P(z). Q' (z)
- Л) =>
=n-|-m—ft—i
— (так как (га — Z) + On — ;) = к + 1) ==»
=n-fm—ft—1
что совпадает с коэффициентом при zk в многочлене {P{z)-Q(z))'.
275. При п = 1 утверждение верно, так как (z — zo)' =
= 1 = l-(z — zo)°. При п = 2 оно также верно: ((z — zoJ)' =
= (z2 — 2z0z + 2q)' = 2z — 2zo = 2(z — zoI. Пусть утверж-
утверждение верно при п =' к, т. е. ((з — z<>)ft)' = k{z — zg)ft 1. Дока-
Докажем, что оно верно тогда и при п = к -{- 17 Получаем
((z — zo)ft+1)' = ((z — zo)ft • (z — zo))' = (см. 274 в)) =
= ((z — zo)ft)' • (z — zo) + (z — zo)h ¦ (z — zo)' = ft(z — zo)*-1 X
X (г — zo) + (з — zo)A = (fe+ 1) (z — zo)ft. Таким образом, если
наше утверждение верно при п — к, то оно верно и при
п = A; -f- 1. Так как оно верно при л = 1 и и = 2, то оно
верно при всех целых и ^ 1.
276. По условию P(z) = (z — zo)h-Q(z), где многочлен <?(г)
не делится наг — z0. Отсюда P'(z) — (си. 274 в)) = ((z —zo)ft)' X
X Q(z) + (z —zo)ft-(?'(z) = (см. 275) = k(z — zo)fe~x<? (z) +
+ (z — zo)ft<?4z) = (з — zo)fe-1(A:(?B) + (z — zo)<?' (z)). Много-
Многочлен, стоящий в последней скобке, не делится на z — zo, так как
иначе многочлен Q(z) должен был бы делиться на z— zo. Таким
образом, многочлен P'(z) делится на, (z — zo)ft x и не делится
на (z — zo)ft. Что и требовалось доказать.
277. Ответ. а) ±1, б) ± i, в) ±
г) ± I У— \- i ?—- ) (здесь Т/1Ги ^/б —положительные значения
корней).
7 8. Б. Алексеев 177
278. Непрерывным образом верхней (соответственно ниж-
нижней) полуокружности при отображении w = Л/г, начинающимся
в точке w = 1, является дуга А В (соответственно дуга АС)
(рис. 64). Кривая АВ оканчивается в точке i, крпвая А С—в точ-
Ответ, a) w(—i) = i, б) ш(—1) = — i.
1
1
279. При 0 <^ t ^ -X
может принимать два значения:
вд>@ = + l
При -~ < t
— 2i (значение корня берется положительным).
1 u>o(i) может принимать также два значения:
¦в о
в
Рис. 64.
Рис. 65.
принимает одно значе-
значеич>@ = ± У2t ~ * • ПРП f = 2~
ние: "'("о') =0.
Отееелг (см. рис. 65). а) Непрерывные образы — ло-
ломаные АОВ и АОС, б) непрерывные образы — ломаные DOB
и DOC. ., „ „ _ ,
280 Пусть Сх — непрерывный образ кривой С при отоб-
отображении w = Л/Т, и пусть изменение аргумента вдоль кривой
С, равно Фх- Тогда кривая С является образом кривой Сх
при отображении z = и>2, поэтому (см. 262 а)) <р = 2фх. Отсю-
Ф
да фх = ~2 ,
Ф
Ответ, тр.
281. Пусть w = Т/Г и
кривой. Так как t «= cos —
cos — + i
— непрерывный образ данной
-g . то ~\/i (и w0 A)) может
я.
VL , ,3/2.
и
принимать два значения: cos— -f- i sin -^
cos -^ _|_ t Sin -|^ = — -^>— — i -^—. По условию wo(O) = — 1, и
можно считать Argu>0@) = я.
178
а) Изменение аргумента вдоль данного отрезка равно, оче-
очевидно, ~2- Поэтому (см. 280) изменение аргумента вдоль кри-
/ \ ' я „, , я 5я
вой wo(t) равно -jr и аргумент wo(i) равен, я -\- -г- = —т~.
., — Л/2 Л/2
Ответ. Л/ i = — —- — i JL^~.
б)
z {t) = cos I — —tj— j+ I sin (—~Y~)- Чтобы Arg z(t) изме-
изменялся непрерывно, можно выбрать ф (г) =—"~о~. Изменение ар-
Зя
гумента вдоль кривой: ф A) — ф @) = —-у. Следовательно, из-
изменение аргумента вдоль кривой ы>о(О (см. 280) равно — —г- и
(ОЯ \ Я
— ~4~ / == ~А'
Ответ. Л/i = —«>— + г —т,—•
5nf тж
в)ф @ = 2 • Изменение аргумента вдоль данной кри-
5л
вой:фA) — ф@)=~2-. Изменение аргумента вдоль кривой
5я 5я 9я
равно —г-. Аргумент wo(l) равен я + ~Т" = ~Г-
Ответ.
Л/i = 9 ~Ь
1/2
~—
2&2. Пустые; —Л/z, wo(t) — непрерывный образ данной кри-
кривой и ы>о(О) = 1. Надо определить ы)оA). Можно считать
Arg u>o(O) = 0.
а) Изменение Arg z(t) равно 2я. Поэтому изменение Arg wo(t)
равно я (см. 280). Arg u>o(l) = 0+я = я.
Ответ- "|/l = — 1.
б) z(t) — cos (—4я*) + ?sin(—4я<). Изменение Arg z(t)
равно —4я. Изменение Arg wo(t) равно —2я. Arg ы>0A) ==
= 0 — 2я = — 2я
Ответ.Л/Т— 1.
в) Данная кривая — окружность единичного радиуса, центр
которой сдвинут в точку г = 2 (см. 246 а)). Эта кривая ни разу
не обходит вокруг точки г = 0, поэтому изменение Arg z(t) рав-
равно 0. Отсюда изменение Arg wa(t) также равно 0.
Ответ. ~|/i = 1-
283. Пусть u>o(t) — непрерывный образ кривой С при отоб-
отображении w = Л/z. Так как z(l) = z@), то u>o(l) = "^o(O), или
и\)A) = — u>q@), и для выполнения равенства ы>оA) = и>о(О)
необходимо и достаточно, чтобы изменение Arg u>o(t) было рав-
равно 2яА, где к —целое число.-Для этого изменение Arg z(?) долж-
7» 179
но быть равным ink (см. 280), т. е. кривая С должна обходить
вокруг точки z = 0 2к раз.
284. Пусть кривая Lt — непрерывный образ кривой С^,
а 18 — непрерывный образ кривой С% при отображении w =~[/z.
Е ривые L и Ь начинаются в одной и той же точке w0
a 1, — непрерывный оораз кривой <-2 "*>¦"¦ "•»¦—*-
Если кривые Хх и L% начинаются в одной и той же точке
(рис. 66), то кривая L~lL2, является непрерывным образом
кривой С~ 1С2. Начало и конец кривой Ь~^Ь% (точки А и В) бу-
будут совпадать тогда и только тогда, когда кривая Cj С2 обходит
вокруг точки z = 0 четное число раз (см. 283).
285. Пусть С — некоторая кривая, не проходящая через
разрез и идущая из точки zo в точку z\. Предположим, что, вы-
выбирая разные значения в точке zo и определяя функцию Уz по
непрерывности вдоль кривой С, мы получили одинаковые зна-
значения в точке z. Рассмотрим тогда кривую С х, т.е. кривую С,
проходимую в противоположном направлении. Получим, что
значение в начальной точке кривой С 1
(в точке z) в обоих случаях одно и то
же, но значения в конечной точке (в точ-
точке го), определенные по непрерывности,
различны. Этого не может быть в си-
силу однозначности образа, так как кривая
С не проходит через точку z=0. Зна-
Значит, наше предположение о том, что
Уz =УТ, неверно.
Л
286. Пусть z —¦ произвольная точ-
Рис. 66. ка,не лежащая на разрезе, п пусть Сг —
непрерывная кривая, идущая из точки з'
точку z и не пересекающая разрез. Проведем непрерывную
С2, не пересекающую разрез, из точки zo в точку г'
Рпс. 67. рис- 68-
(рис. 67). По условию выбрано значение и/ = У г'. Это озна-
означает что если мы выберем У7о~ = w'o и определим У? по не-
непрерывности вдоль кривой С„ то получим именно и, . Но тогда
значение У7, определенное по непрерывности вдоль кривой Сг
180
при условии Уz' = w': совпадает, как легко видеть, со значе-
значением "|/г, определенным по непрерывности^ вдоль кривой СгСл
при условииУга= w'o. To есть значение ~|/z при любом z, не ле-
лежащем на разрезе, оказывается равным~|/г!
287. Пусть Сг — непрерывная кривая, идущая из точки zo
в точку Z] и не пересекающая разрез (рис. 68). Пусть м^=~|/17 —
значение функции У г, определенное по непрерывности вдоль
кривой Сг при условпп Уzu = М7О. Так как кривая Сх не пере-
пересекает разрез, то значения wo n ш[ соответствуют одной и топ
же ветви функции ~1/г. Кривая С~ХС„ один раз обходит вокруг
точкп z = 0. Поэтому значения w\ n w^ различны (см. 283).
Так как вдп ш^ соответствуют одной и той же ветви функции Уг,
то шо и и\ соответствуют разным ветвям.
288. Если го ф 0, то окружности с центром в точке zq и
с достаточно малым радиусом ни разу не обходят вокруг точ-
точки z = 0. Поэтому изменение Arg z(t) вдоль таких окружностей
равно 0 п, следовательно, изменение Arg u>o(t) равно 0, т. е. знв-
чение Уг не изменяется. Изменение Arg z(i) вдоль окружностей
с центром в точке 2 = 0 равно 2л. В этом случае изменение
Arg u-'o(i) равно л. Поэтому значение Уz при обходе вокруг точ-
точки z = 0 меняется на противоположное.
289. Кривая z(t) является образом кривой wo(t) при отоб-
отображении z(w) = w3. Поэтому, если ф-| — изменение аргумента
Ф
вдоль кривой wo(t), то ф = Зф] (см. 262 б)). Отсюда фх = -дт.
290. Если zo ф 0, то окружности с центром в точке zo и
с достаточно малым радиусом ни разу не обходят вокруг точ-
точки з = 0. Поэтому изменение Arg z{t) вдоль таких окружностей
равно 0. Но тогда и изменение Arg wo(t) равно 0 (см. 289), т. е.
значение функции w =j/s не изменяется. Значит, любая точ-
точка z Ф 0 не является точкой разветвления.
Изменение Arg z(t) вдоль любой окружности с центром в
точке г = 0 равно 2л. Поэтому изменение Arg wo(t) в этом слу-
2 л
чае равно—«- ¦ Следовательно, при однократном обходе вокруг
з ,
точки z = 0 значение функции w =y z умножается на е3 =
= cos -тт- + i sin —«- , т. е. точка z = 0 является точкой
о о
„ v 3.—
разветвления многозначной функции у' z.
Ответ, z = 0.
291. Пусть z(t) — непрерывная кривая, не проходящая
через разрез и идущая из точки z = 1 в данную точку. Пусть
"-¦<>(*) — непрерывный образ этой кривой при отображении w =
=>/^z и Arg u>o(O) выбран равным фо. Если изменение Arg z(t) рав-
Ф
но ф, то изменение Arg wo{t) равно -g- (см. 289). Поэтому
181
ф
Arg wo A) = фо +"з"- По условию можно считать фо = 0 для ветви
Mz), Фо = ~з~ Для ветви /2(z) и ф0 = — — для ветви /3(z).
а) фо = 0, ф= 2~, Argu>0 (I) = -g"-
л я Т/3" г
Ответ. /х (г) = cos -тг + г sin -g = 2 -j- -g-.
.. 2л я 5я
б) ф0 = -з-, ф=у, Arg u;0 A) = —.
5я 5я Т/3" i
Ответ. /2 (г) = cos -g— + г sin -тт— = ;>— + "о""
в) фо = 0, ф = 0, Arg u;o(l) = 0.
Ответ. Д(8) = 2.
^
г) Фо = — —з~, ф = О,
/ <?л ^я \ ._
Ответ. /3 (8) =21 cos -g— — i sin -g— I = — 1 — i"|/3.
2л я 5л
Д) Фо = — -g~. Ф = — -j • Аг8 ^о A) = — -Q-¦
5л 5л Т/3~ *
Ответ. /3 (— i) = cos -g— — i sin -g- = — —5— — тр
Ряс. 69.
Рис. 70.
292. Так же как для функции w =~[/z, доказывается, что
после проведения разреза из точки г = 0в оо, например, по от-
рицательной части действительной оси функция w =j/z рас-
распадается на три однозначные непрерывные ветви. При однократ-
однократном обходе вокруг точки г = 0 (против часовой стрелки) Arg w
2л 4л
изменяется на ~g~, при двукратном обходе на -д- и только
182
после обхода точки z = 0 три раза значение функции
w = \/~z становится равным исходному. Поэтому схема рима-
новой поверхности функции w = y^z выглядит так, как по-
показано на рис. 69. Саму риманову поверхность можно условно
изобразить так, как показано на рис. 70 (на самом деле 3 выде-
выделенные точки должны быть склеены в одну точку).
293. Предположим сначала, что кривая С не проходит
через точку z = 0. Пусть q>(t) — функция, описывающая не-
непрерывное изменение Arg z(t) (см. теорему 6, стр. 77), и r(t) =
= |з(*)|. Тогда ф(г) и r(t) — непрерывные функции и
z(t) = r(J)(cos
sin
Пусть p(i)— положительное действительное значение |/V (i).
Тогда p(i) — непрерывная функция (см. 243) и п непрерывных
кривых с параметрическими уравнениями
/ /ф (t) 2лк \ fq>(t) 2лк \\
wh (i) = Р (<) I cos f-jp + —^-\ + i sin \—^- + —^—JJ,
А = 0, 1, . . ., п — 1,
являются непрерывными образами кривой z(t) при отображении
ц)(г) = ™/z (см. 229). Так как u>ft@) для этих кривых принимает
все п значений \/~z @), то одна из этих кривых начинается в
точке wo.
Если кривая С проходит через точку z = 0, то точки, в ко-
которых z{t) = 0, разбивают кривую С на части. В этом случае
построим, как выше, по одному непрерывному образу для каж-
каждой части, причем для начальной части возьмем образ, начи-
начинающийся в точке wo. Если z(t) = 0, то и w(z(t)) = 0. Поэтому
полученные образы можно объединить в единую непрерывную
кривую, которая и будет искомой.
294. См. решения 280 и 289 Ответ. JL.
п
295. См. решение 290. Ответ, г = 0.
296. wo{t) при каждом t является одним из значений yrz (t).
Поэтому все значения y^z (t) при данном t — это (см. 232)
wo(t), wo(t)-&n, wo(t) ¦ г\, ..., w0 {t) ¦ e^—1. Так как значе-
значение j/~i в начальной точке кривой гB) может быть выбрано п
способами, то имеется ровно п непрерывных образов кривой
z{t) при отображении w = -|/"г (однозначность может нарушаться
только в точке г = 0, но криваяг(^) через неене проходит). Та-
Такими п непрерывными образами являются кривые и>о(О.
wx(t) = u>o(t)sn, w2(t) = w0 (t)-s\, ..., wn_i {t) = wo{t)-e™".
Ответ. wo(t), wx(t) =wo(t)-en, w2(t) = w9(t)-e%,- ... wn_i(t)=*
183
¦fn-1
¦fn-2
297. Ответ, f^z) = /0(z) • 8^.
Решение. Пусть z(i) — любая кривая, не проходящая
через разрез и идущая из точки z = 1 в произвольную точку.
Из решения задачи 296 получаем, что если значение функции
в начальной точке этой кривой умножить на еп, то значение
в конечной точке, определенное по непрерывности, также умно-
умножится на е*. Поэтому /г(г) =/„ (z) ¦ е?.
298. При решении задачи 297 мы получили, что п ветвей
функции у'"? связаны следующим соотношением: J.(z) = /0(z) - еД
(г = 0, 1, . . ., п — 1). Единственной точкой разветвления
функции y^z является точка г = 0. При однократном обходе
этой точки аргумент функции y/"z изменяется на _2- (см. 294),
т. е. значение функции умножается на е . Поэтому схема рпма-
новой поверхности функции /"г имеет вид, указанпый на рис. 71.
299. Arg (z — 1) изменяется
на 2я при обходе вокруг точки
z = 1 и не изменяется при обхо-
обходе вокруг любой другой точки
(но окружности достаточно мало-
малого радиуса). Поэтому Arg ~[/z—1
изменяется на я при обходе вок-
вокруг точки z = 1 и не изменяется
при обходе вокруг любой другой
точки. Следовательно, единствен-
единственной точкой разветвления являет-
является точка z= 1, при обходе кото-
которой значение функции "l/z — 1
умножается на — 1. Так же
как для функции w = ~[/z, доказывается, что после проведения
какого-либо разреза из точки z = 1 в аз на полученной пло-
плоскости с разрезом выдэляюгея однозначные непрерывные ветви
функции w = ~\/z — t. Схема римановой поверхности функ-
функции T/z — 1 показана на рис. 72.
300. См. решение 299. Единственной точкой разветвления
является точка —i (так как z + i = z — (—i)), при обходе ко-
которой значение функции у z -j- г умножается на вп. Схема рима-
римановой поверхности функции у z-\-i показана на рис. 73.
71 -——
301. Указание. Рассмотрите отображение ш = у / (z)
как композицию двух отображений: т = /(z) и w = у т (см. 293).
302. Отображение w(z)=y f (г)можно представить как ком-
композицию двух отображений:
т (z) = / (z) и w (т) = у"т.
Если С — непрерывная кривая на плоскости г, то на плоскости т
гтмррт-г>я пппнп ппин пбпая С = f(C\ этой KDHBon. Так Кяк f(z) —
г
о
Рис. 71.
имеется ровно один образ С
184
j(C) этой кривой. Так как /(s)
Непрерывная функция, то С' — непрерывная кривая. Если кри-
кривая С" с уравнением wo(l) — один из непрерывных образов кри-
кривой С при отображении ш(х) =угт, то кривые с уравнениями
wt(t) = wa(t)B^(i = 1, . . ., п — 1) также являются непрерыв-
непрерывными образами кривой С при отображении ш(т> =угт: (см. 296)
Рис. 72.
-I
Рис. 73.
и, следовательно, являются непрерывными образами кривой С
при отображении w(z) = j// (z). Поэтому, если значение сЬунк-
ции w(z) =у/ / (z) в начал1шой точке кривой С умножить на е,гг,
то значение в конечной точке кривой С, определенное по непре-
непрерывности, также умножится на еп. Таким образом, если юо(г) —
непрерывная однозначная ветвь функции^/ (z), то все непре-
непрерывные однозначные ветви — это wo(z), wo(z)Bn, wa(z)
. . ., w0 (г) -
Ответ.
«Г1-
wo(z),
«—1
w2(z) = wo(z)
303. а) При обходе точек г = 0 или г = i Arg (z(z — г)
изменяется на 2л (см. 260), a ArgT/z (z — i) изменяется на л
(см. 280), т. е. значение функции Т/г (г — i) умножается на —1.
0 I
Рис. 74.
Рис. 75.
Для выделения однозначных непрерывных ветвей функ-
функции V z{z — ?} достаточно провести непересекающиеся разрезы
из точек z = 0 иг = i в оо (доказательство такое же, как для
функции w — ~|/г). Схема римановой поверхности функ-
функции "]/z(z — г) показана на рис. 74.
б) См. рис. 75. Указание, z2 '+ 1 = (г — i)(z + г).
185
304. См. 303. а) Так как г* — 1 = (г — 1)(г -f 1), то при
обходе точек г=1 и г = — 1 значение функции /гг— 1 ум-
умножается на е3 = cosxL-j- l sin Щ.. Искомая схема изображена
О О
на рис. 76.
б) При обходе точки z = 0 значение функции y^{z — IJ г
умножается на в3. При обходе точки z = 1 Arg ((г — lJz) из-
изменяется на 4л и Arg >' (г — 1 Jг изменяется на —2 т. е. значе-
з
ние функции уг (г — 1Jг умножается на в|. Искомая схема изоб-
изображена на рис. 77.
в) См. рис. 78. Указание, г2 + 1 = (г — г)(г +
305. Однозначными непрерывными ветвями функции ~[
во всей плоскости z являются wa(z) = г, w^z) — — г. При об-
обходе вокруг точки z = 0 Arg г2
изменяется на 4л и Arg"}/^2" на
2л, т. е. значение функции "(/г3
не изменяется. Искомая схема со-
состоит из двух несоединяющихся
листов.
306. Задача решается так
же, как и задача 304. а) См.
рис. 79. Указ а н и е. г2 +2 =
= (г— i ~[/2)(z+ i ~[/2). б) ' См.
рис. 80. в) См. рис. 81. г) См. рис. 82. Указание,
(з2— 1K(г + IK = (г — 1KB+ 1)в. д) См. рис. 83.Указание.
307. См. рис. 84. Указание. При обходе вокруг точ-
точки z = 0 Arg z изменяется на 2л, Arg—— на —2л (см. 260 б)) и
Arg I/ _L на — л, т. е. значение функции 1/
ется на — 1.
¦ ш0 (z)
Рис. 76.
уьшожа-
¦w,
¦ Щ
ю
Юп
-ъ
+1
Рис. 77.
Рис. 78.
308. а) См. рис. 85. б) При обходе точки z = 1 Argf 1
z-f- 1
изменяется на 2л, а при обходе точки z = — 1 — на — 2л
(см. 260). Поэтому при обходе точки z = 1 значение функции
186
• w2
¦Wf
¦Wn
Рис. 79.
Л
-1 1
Рис. 81.
Рис. 83.
Рис. 85.
о
Рис. 80.
•w,
¦1 1
Рис. 82.
О
Рис. 84.
Рис. 86.
0 1 -I
Рис. 87.
3 / л
1/ умножается на е3, а при обходе точки z = — 1 умно-
\ Z-f- 1
жается на е^1 = eg. Искомая схема изображена на рис. 86.
в) См. рис. 87.
309. Пусть в некоторой точке zo зафиксировано произволь-
произвольное значение wa = w(zo), и пусть zx — некоторая другая точка.
Если Сг п С2 — произвольные непрерывные кривые, идущие из zq
в г, и не пересекающие разрезов (рис. 88), то, очевидно, кри-
кривую С1 можно непрерывно деформировать в кривую С2, не про-
проходя через точки разветвления. Так как функция w(z) обладает
свойством монодромии, то значения w(Zi), определенные по не-
непрерывности вдоль кривых С1 и С2, совпадают. Следовательно,
значение w(zj) определяется по непрерывности одинаково вдоль
любой кривой, идущей из го в zx и не пересекающей разрезов.
310. См. рис. 89. Пусть с г-й ветви при движении по А В мы
переходим на ;-ю ветвь. Посмотрим на какую ветвь мы перейдем
В
Рис. 88.
Рис. 89.
с i-й ветви при движении по CD. Так как у функции w(z) конеч-
конечное число точек разветвления, то кривые А В т. CD можно вы-
выбрать настолько короткими, а кривые СА и BD настолько близ-
близкими к разрезу, что внутри кривой CABDC не будет точек раз-
разветвления функции w(z). В таком случае кривую CABD можно,
очевидно, непрерывно деформировать в кривую CD, не проходя
через точки разветвления. Так как функция w(z) обладает свой-
свойством монодромии, то функция w(z) в точке D одинаково опре-
определяется по непрерывности вдоль кривых CD и CABD. Начи-
Начиная с г-й ветви и двигаясь по кривой CABD, мы сначала
находимся на г-й ветви, затем переходим на ;'-ю ветвь и затем
движемся по ]-& ветви. Таким образом, по кривой CABD, a
следовательно, и по кривой CD мы с i-й ветви переходим на /-ю
ветвь, т. е. так же, как и по кривой А В.
311. а) Указание. уг~ 8 = — 2&\ (г = 0, 1,2), У 27=»
= +A -J-i). Ответ (здесь ~\/'6 — положительное значение корня).
188
— 1-Н. - 3 —t, 2 + (УЗ + 1) г, (Т/3 - 1) *, 2 + A — V5) i,
— (УЗ+ О, б) ± (~Y + i\ ± -?-; в) ± A 4- i), 0;
т) ± A + о; д) «.о.
312. Указание. Достаточно доказать, что указанным
в задаче свойством обладают функции h(z) = г и h(z) = а, и что
если указанным свойством обладают функции /(z) и g(z), то им
обладают также функции /(z) + g{z), f(z) — g(z), f{z)-g(z),
' ^z' , [f(z)]n, ^"/(z) (n — натуральное число).
<?(г)
Решение. 1) Если h(z) = z, то wo = /i(zo) = zo. Иско-
Искомой кривой является кривая с параметрическим уравнением
Wu(t) = z{t), где z(t) — параметрическое уравнение кривой С.
2) Если h(z) = а, то wo = а и искомой кривой является кри-
кривая с уравнением Wo(t) = а (вырождающаяся в точку).
3) Пусть h(z) = /(z) + g(z) и для /(z) и g(z) утверждение
задачи верно. По определению суммы двух многозначных функ-
функций w0 = w'o + u>q, где Wq — одно из значений / (z0) и w'^ —
одно из значений g(za). Так как для f(z) и g(z) утверждение за-
задачи верно, то существуют непрерывные образы С' = f(C) и
С" — g(C), начинающиеся соответственно в точках w'o и щ.
Если w'{t) и w"{i) — параметрические уравнения кривых С
и С", то функция wo(t) = w'(t) + w"(t) (она непрерывна как
сумма непрерывных функций) является параметрическим урав-
уравнением искомой кривой, так как. u>o(O) = w'{0) -f- u>"@) =
= u;y-j-u>Q=u>0. Точно так же рассматриваются случаи h(z) = /(г)—
— gB), h(z) = Kz)-g{z), h(z) = [f(z)]n, h(z) =/4^- (в последнем
случае искомая функция wa (t) = wa ^ '¦ непрерывна, так как
по условию кривая С не проходит через точки, в которых функ-
функция /г(г) не определена, и, следовательно, w"(t) Ф 0).
4) Пусть h (z) = ^/7(г)и для /(z) утверждение задачи верно.
По определению функции
(г) имеем и;? = т0, где То _ одно
из значений /(zo). Отображение h(z) =y^f(z) можно рассматри-
рассматривать как композицию двух отображений т = /(г) и w = 7/Ч.
Так как для функции /(г) утверждение задачи верно, то сущест-
существует хотя бы один непрерывный образ С кривой С при отобра-
отображении т = /(г), начинающийся в точке то. В силу утверждения
задачи 293 существует хотя бы один непрерывный образ С"
кривой С при отображении ш = j/t, начинающийся в точ-
точке шо. Кривая С" является искомой.
313. В произвольной точке zo функция h(z) может прини-
принимать пт значений: /i{;- (го) = /i(zo)+ gj(zn), где i = 1, . . ., re;
7=1,..., т. Так как сумма непрерывных функций является
непрерывной функцией, то искомыми однозначными непрерыв-
непрерывными ветвями функции h{z) будут следующие пт функций:
hi,j (z) = /j(z) + Sj{z), где i = 1, . . ., п; j — 1, . . ., т.
189
314. а) См. рис. 90. Указание. Воспользуйтесь схемами
римановых поверхностей функций Уг и ~\/z — 1 (см. 288, 299).
б) См. рис. 91. Указание. См. 304, 307. в) См. рис. 92. Ука-
Указание. См. 288, 292. г) См. рис. 93. Указание. Построй-
Постройте сначала схемы римановых поверхностей функций ~|/ z2 — 1
и у/ z — 1.
315. Ответ, а) Три значения: 2,-2, 0. б) Семь значений:
2, 0, 1 -Ь i, —1 + i, —2, 1 — *, — 1 — i. в) Шесть значений:
§ §
2, 2е3, 2е§,
—1.
Л'
"г,/
Л/
4,0
'0,1
\o
-1
Рис. 90.
Рис. 91.
Рис. 92.
Рис. 93.
316. а) Пусть /о(г) и_/,(г) = — /0(z) — однозначные непре-
непрерывные ветви функции "l/г. Схема римановой поверхности функ-
функции h (г) = ~~[/z + "l/г, построенная формальным методом, по-
показана на рис. 94. Ветви Ао, l(z) = /o(z) + f±(z) = 0 и /и, о(г) =
= /i(z) + /оС2) === 0 совпадают. Поэтому для получения истин-
истинной схемы римановой поверхности функции А (г) = ~[/z -f- "l/г
надо склеить ветви Ао, 1B) и h\, о(г). Истинная схема показана
на рис. 95.
190
б) Пусть fo(z) и ^(г) = — /o(z) — однозначные непрерыв-
непрерывные ветви функции ~[/z. Тогда /o(zJ = z, поэтому [/o(z)]4 = z2.
Следовательно, /0(z) — одна из однозначных непрерывных вет-
ветвей функции /"г2. Все ветви этой функции: go(z) = /0(z),
0
Рпс. 94.
10,0
Рис. 95.
^(г) = t-fo(z), g2(z) = — /0B), g3(z) = — i-fo(z). Схема рима-
римановой поверхности функции Л(г) = ~~\/z -f- i^z2, построенная
формальным методом, показана на рис. 96. Истинная схема
(рис. 97) получается склейкой совпадающих ветвей /ад, 2(z) = 0
и /ц, o(z) ^ 0.
т
V
о
Рис. 96.
V
h1,2
ho
ho,2
h0,1
i
I
t
0
Рис. 97.
г~Л/.1
,3
\з
h0,1
*r,Z
ho,a
в) Пусть /0(z) — одна из непрерывных однозначных ветвей
функции y~z. Тогда все ветви: /o(z), /x(z) = /o(z)- e-j, /2(з) =
= /0 (z) • е|. Схема римановой поверхности функции h (z) = i/"z-f-
о ^
+у' z, построенная формальным методом, показана на рис. 98.
Для получения истинной схемы (рис. 99) необходимо склеить
совпадающие ветви ho, i(z) и Aj, о(г)> ^0, 2(г) и Аг, o(z), Ai, 2(г)
и Аг, i(z).
317. а) Пусть /,,(г) h_/j(z) = — /о(г) — однозначные непре-
непрерывные ветви функции Уz . Тогда L/o(z}]2 = г и [/o(z)]4 = z2.
191
Поэтому однозначными непрерывными ветвями функции
g{z) = yr? будут go(z) = fo(z), gx{z) = i-fo(z), g.2(z) = — /0(z),
8зB) == — ifo(z). Строим схему римановой поверхности функ-
функции h (z) = i^~ z — у/ z2 формальным методом и склеиваем сов-
совпадающие ветви: яо,i(z) = Л1,з(г) = 0. Остальные ветви различ-
различны — достаточно вычислить их значения в точке z = 1. Иско-
Искомая схема показана на рис. 100.
,1
tO
1111^
h2,2
ht
11 0,0
Рис. 98.
Рис. 99.
J
1
1
hi
11 o,o
i\
T
Рис. 100.
Fuc. 101.
б) Пусть /o(z) и /i(z) = — /o(z) — однозначные непрерыв-
непрерывные ветви функции /(г) = Yz — 1, а ?o(z), ^(г) = t-^o(z),
g2(z) = — ?о(-г), g3(z) = — i-?o(z) — однозначные непрерывные
ветви функции g{z) = уЛг. Строим схему римановой поверх-
поверхности функции h (г) = Vz — 1 • |/z формальным нетодом (рис.
101) и склеиваем совпадающие ветви: Йо,о(г) = /и,2(г), /io,iB) =
= &1,з(г), яо,2(г)=/n,o(z), йо,з(г)= fei,i(z). Остальные ветви раз-
192
Днчны — Достаточно вычислить их значения в точке z = 2. йскб-
мая схема показана на рис. 102.
в) См. рис. 103. Решение такое же, как в случае б).
рьтвные
г) Функция /(г) =~l/z + ~l/z имеет 3 однозначные иепре-
пле ветви: /o(z)^O, fx(z) и /2(z) == — f^z)
3,-
(см. решение
316 а)). Функция g{z) = у г(г — 1) )имеет также 3 однозначные
hо,з
Рис. 102.
-/ 1
Рис. 103.
непрерывные ветви: go(z), gt(z) = E3-go(z), g.2(z) = e3.g0(z). Вет-
Ветви feo,o(z), ho,i(z) и Ло,2(г) совпадают: яо,о(г)= ho,i(z)— /io,2(z)^
= 0. Остальные ветви различны — достаточно вычислить их
значения в точке г = 2. Искомая схема показана на рис. 104.
JL
,2
Д, О
Рпс, 104.
'В,2
318. Ответ. Искомыми однозначными непрерывными вет-
ветвями являются функции ht(z) = [/^(z)]", где г = 1, 2, .... т.
319. а) Если /0(г), /x(z) = i-fa(z), /2(z) = —/0B), /3(z) =
= — i-fo(z) — однозначные непрерывные Еетвп функции
f(z)=\r7, то [/о(г)]2 = [/2B)Р и [A(z)]2= f/3(z)]2. Искомая схема
показана на рис. 32, стр. 94.
б) См. 316 а). Если /0(г) = 0, fx(z) и /2(z) = — /^г) —_одно-
31 а шые непрерывные ветви функции / (z) = "\/г +"|/z, то
[Л(г)]2= [/-..(г)]2. Искомая схема показана на рпс. 105.
в) Если /o(z) — одна из однозначных непрерывных ветвей,
функции f(z) = V'z " -|/"s— 1, то все ветви — это /0B), fx{z) =
= /o(z)-e3, /5,B) = /0(г)-8з, /3(z) = — /о(з), /4(г) = — /0(z)-e3,
t/o(z)]3 = [/!(г)]3= [
= - /0B)
этой
193
и f/3(z)P = f/4(z) P = [/5(г) p. Искомая схема показана аа
рис. 32, стр. 94.
320. Пусть точка zo не является точкой разветвления функ-
функции /(г). Тогда при обходе вокруг точки zo по окружности до-
достаточно малого радиуса значение функции /(г) не изменяется.
Рис. 105.
Пусть, кроме того, все значения /(zo) не равны 0. Тогда при отоб-
отображении w = /(z) непрерывными образами окружностей с цент-
центром в точке го и с достаточно малыми радиусами будут являться
некоторые непрерывные замкнутые кривые, находящиеся вбли-
вблизи значений w = /(го). Так как все значения /(го) не равны 0,
то все такие кривые при достаточно малых радиусах окружно-
окружностей не обходят точки w = 0, т. е. Arg f(z) не изменяется. Но тог-
тогда не изменяется также значение функции yrf (z). Поэтому точ-
точками разветвления функции yrf (z) могут быть только точки
разветвления функции f(z) и точки, в которых одяо из значений
функции /(г) равно 0.
Ответ. Точки разветвления функции /(г) и точки, в кото-
которых одно из значений функции /(z) равно 0.
321. Так как g(z) — непрерывная функция на плоскости
с указанными разрезами, то и [g(z)]n — также непрерывная
функция. Так как при каждом z g{z) — это одно из значе-
значений yrf (z)', то [g(z)\ при каждом г— это одно из значений
функции /(z). Таким образом, [?(з)]п — это однозначная непре-
непрерывная ветвь функции /(г) при указанных разрезах.
322. См. 302. Ответ. g(z), g(z)-en, g(z)-e2n, . . ., g^-e^K
323. Указание. Так как wo(t) — непрерывная функ-
функция, то и wk(t) — непрерывная функция; кроме того, [u>k(t)]n =
== [wo(t)]n-e^n = [wo(t)]n и, следовательно, [wk(t)]n равно од-
одному из значений f(z(t)).
324. Указание. Из результата задачи 323 следует,
что если значение функции j// (z) в начальной точке кривой С
умножить на в?, то значение функции j// (z) в конечной точке
кривой С, определенное по непрерывности, также умножит-
умножится на е?.
325. Пусть /o(z) и Д(г) = — /0(z) — однозначные непрерыв-
непрерывные ветви функции ~\/z, причем /оA) = 1, a /^l)— — 1. Тог-
Тогда /о(з) — 1 и fi(z) — 1 — однозначные непрерывные ветви
функции "|/'z — 1, каждой из которых соответствуют две ветви
функции ]/ т/г \ф Если ~\/г — 1=0, то ~У~1 = 1 в j = 1,
194
Поэтому точкой разветвления, кроме точки z = 0, может быть
только точка" z = 1, причем разветвление может происходить
только в пачке, соответствующей ветви /o(z) — 1 (так как долж-
должно быть ~[/Т = l). Имеем
— 1) (/о
/о <*) +
[/о(з)]2-1 _ z-1
/о (г) + 1 /о (г) + 1
При обходе точки г = 1 аргумент знаменателя не изменяется,
так как /оA) + 1 = 2 Ф 0. Аргумент числителя при обходе точ-
точки z = 1 изменяется на 2л. Поэтому Arg (/o(z) — 1) изменяется
на 2л, a Arg У/о (г) — * на я> т- е- значение V/o (z)—1 из-
изменяется. При обходе точки г = 0 изменяется значение функ-
функции Т/гГпоэтому мы с листов пачки, соответствующей /о(г) — 1,
переходим на листы пачки, соответствующей fx(z) — 1, и наобо-
наоборот. При двукратном обходе вокруг точки z = 0 конечное зна-
значение функции "l/z совпадает с начальным значением этой функ-
функции и Arg (Т/Т—1) не изменяется (так как ~[/0~— 1 Ф 0). Поэ-
Поэтому при двукратном обходе вокруг точки z = 0 мы возвращаем-
возвращаемся на исходный лист. Суммируя полученные результаты, мы по-
получаем схему римановой поверхности функции у ~\/z — 1, пока-
показанную на рис. 106.
0 1
Рис. 106.
0
Рис. 107.
326. Эта задача решается так же, как задача 325: а) см.
рис, 107; б) см. рис. 108. Указание. Если /o(z) — одяознач-
Зг-
ная непрерывная ветвь функции -\fz и /0A) = 1, то
/о <з)
1 =
/о U) 1
Z— 1
/о (*) + 1 /§(*) +/о (*) +1'
где /2A) + /оA) +1 = 3^0.
327. Так как z2 + 1 = (z — i)(z + г), то значение "l/z2 + 1
изменяется при обходе точек z = i и z =— i, т. е. эти точки
являются точками разветвления функции ~|/za + 1—2. Иско-
Искомая схема в обоих случаях а) и б) показана на рис. 75,
стр. 185.
195
Если У г2 + 1 — 2=0, то z2+ 1=4 и_г = + "J/3 (~[/3 —
поло;кительное значение корня). Пусть /0("|/3) =0, т. е. в этом
случае выбрано ~\/4 = 2. Найдем /0 (—j/S). Для этого соеди-
соединим точку г = УЗ с точкой z = — У-3 непрерывной кривой,
не проходящей через разрезы.
В случае а) можно взять, например, отрезок, соединяющий
точки z — УЗ и z = — Уз. Нетрудно видеть, что при движе-
движении вдоль этого отрезка Arg (z + i) = Arg (г — (—г)) увеличи-
увеличивается на —, a Arg (z—г) уменьшается на —. Поэтому
Arg (га+ 1) не изменяется и, следовательно, не изменяется значе-
значение Угг +1 — 2. Таким образом, в случае a) f0 (^- Уз) =
= /о(Уз)=о.
В случае б) при движении по любой кривой, идущей из точ-
точки г = Уз в точку z = — Уз и не проходящей через разре-
разрезы, Arg (г+i) увеличивается на _5_, a Arg (z— i) увеличивает-
3
ся на -Л-. Таким образом, Arg (z2 + 1) увеличивается на 2п,
0 /
Рис. 108
Рис. 109.
a Arg'
увеличивается на я, т. е. значение
изменяется на противоположное. Поэтому в случае б)/0(—У§) =
= — 2 — 2 = — 4 =? 0, a /j(— У3)= 2 — 2 = 0.
328. Пусть go(z) и gx(z) — однозначные непрерывные ветви
функции #(г) = Уг2+1, причем go(z) — 2 = /0(г) (см. реше-
решение 327) и gk(z) — 2 = /,(г). В случае а) имеем (У
= go (—Уз) = 2 (см. решение 327) и
, (,)_^-
go
)-4- *2-3 _(г-Уз)B+Уз)
+2 g0 (г) + 2 ?0 (г) + 2
При обходе точек z = Уз и ? = — Уз аргумент знаменателя
не изменяется, так как gQ (Уз) + 2 = g0 (— >^3)+ 2 = 4 Ф 0, а
196
аргумент числителя возрастает на 2л. Пгп этом Arg (go(z) — 2)
увеличивается на 2л, a Arg У#о (г) — 2 увеличивается на я,
т. е. значение Yh (з) изменяется. Следовательно, в случае а)
разветвления в точках z = |^3 н z — — УЗ оказываются в
одной пачке листов. Точно так же показывается, что в случае б)
эти разветвления оказываются в разных пачках. Остается вы-
яенить, как согласуются между собой переходы между листами
при обходе точек z = i и z = — i. Непрерывным образом ок-
окружности CR радиуса R = 1,1 с центром в точке z = 0 при
отображении w = У'z2 + 1 является кривая, показанная на
рис. 109 (рассмотрите это отображение по частям: w = z2,
w = z2 + 1, w =Уз2+ l). Эта кривая ни разу не обходит во-
вокруг точки z = 2. Поэтому при обходе по окружности
Св Arg(yz2 + 1 — 2) не изменяется и не изменяется значе-
значение функции h(z)= Ууг2 + 1 — 2. Следовательно, при ебходе
точки z = i и затем, точки z =— i мы должны вернуться на тот
Т
-V3 -i i
Рис. 110.
т
-Y5' -i i V3
Рис. 111.
же лист (см. замечание 1 на стр. 100). Искомые схемы пока-
показаны на рис. 110 и 111.
329. Указание. В противном случае при движении
по обратной кривой С—1 нарушалась бы однозначность.
М 2 3 4\ /12 3 4^
4 1 2> Z=1:
330. Ответ, a) z = 0:
/12 3
б) * = 0: ^ 4 4
1 2 3 4 5 6
36 б
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
34 5 6 12
1 2 3 4 5 6 7 8
/1
8\
4/'
(I 2 3 4 5 6 7 8>
6 7 8 12 3 4;
331. Указание. Воспользуйтесь результатом зада-
задачи 57: е = gx • g~X> условия 1) и 3), очевидно, выполняются.
332. Ответ, а) Циклическая группа Z.2, б) циклическая
группа Z3, в) циклическая группа Zn, г) Z.,, д) Z4.
333. Для функции y~z-\- ~[/z — 1, указанной в задаче 314 а),
получаем, что обход вокруг точки z = 0 порождает подстановку
197
первых индексов в номерах ветвей hij (z), а обход вокруг точ-
точки z = 1 порождает подстановку вторых индексов. Поэтому
искомая группа является прямым произведением двух групп
Za X Z2 (см. § 7 главы I).
Для функции ~[/z2 — \-\-\/~z—1, указанной в задаче
314 г), пусть gj •— подстановка листов, соответствующая обхо-
обходу вокруг точки z = 1, a g2 — подстановка листов, соответст-
соответствующая обходу вокруг точки г =— 1. Тогда подстановка g2 дает
циклический сдвиг первых индексов в номерах ветвей ki ¦ (z),
а подстановка gig^1 дает циклический сдвиг вторых индексов.
Так как gx = (gig2~1>) #2iT0 подгруппа, порожденная подстанов-
подстановками gxvi g2, совпадает с подгруппой, порожденной подстановка-
подстановками #2 и gig^- Поэтому искомая группа является прямым про-
произведением Z2 X Z4.
Подобным образом задача 333 решается и в остальных слу-
случаях.
Ответ. 1. а) Прямое произведение (§ 7 главы I) Z2 x Z,,
б) Z3 X Z% s Z6 (см. 77), в) Z2 X гя s Ze, г) Z2 X Z4. 2. a) Z'%,
6) Z4, в) Z4, r) Z2 X Z3 =* Ze. 3. a) Z2, 6) {e}, в) Z2.
334. Если подстановка gi некоторым образом переставляет
пачки, а подстановка g2 меняет местами листы в одной пачке,
то легко видеть, что подстановка gigzgj^1 меняет местами листы
в другой пачке. Поэтому группа подстановок листов для обеих
схем содержит некоторую подстановку, переставляющую пачки,
подстановку, меняющую местами листы в одной пачке, и под-
подстановку, меняющую местами листы в другой пачке. Искомая
группа, порожденная этими подстановками, содержит те и толь-
только те подстановки, при которых пачки переходят в себя или
меняются местами, а листы внутри пачек переставляются
произвольным образом. Занумеровав листы в одной пачке
числами 1 и 3, а листы в другой пачке — числами 2 и 4, по-
получим, что каждой подстановке построенной группы соответ-
соответствует симметрия квадрата с вершинами 1, 2, 3, 4 и, обратно,
каждой симметрии такого квадрата соответствует подстанов-
подстановка в построенной группе подстановок листов. Поэтому ис-
искомая группа в обоих случаях изоморфна группе симметрии
квадрата.
335. Пусть wlt w2, . . ., wn — все значения iv(z0), и пусть
zly . . ., zs — точки разветвления функции w{z). Занумеруем
листы схемы римановой поверхности функции w(z) так, чтобы
значение wi = w(zo) соответствовало г-му листу. Тогда каждой
нодстановке значений wi естественным образом соответствует
подстановка листов. Докажем, что при таком соответствии груп-
группы G\ и G2 практически совпадают. Пусть подстановка g из
группы <?! порождена некоторой непрерывной кривой С, начи-
начинающейся и кончающейся в точке го. И пусть кривая С пересе-
пересекает по порядку разрезы (при которых строилась риманова по-
поверхность), идущие из точек разветвления zi , zi , ..., z,- .
Если точке разветвления z^ соответствует подстановка листов g^
то легко понять, что кривой С соответствует подстановка ли-
198
стов (а вместе с этим й значений н^), равная g™- ... • g6-* • g?1,
где о\ = 1, если разрез пересекается против часовой стрелки,
н а. = — 1, если разрез пересекается по часовой стрелке (см.
замечание 1 на стр. 100). Отсюда g = g^"- • ... . g4* и g содер-
содержится в G2. Обратно, если дан элемент gi т • ... ¦ g?1 группы G2
(здесь аг = + 1) *), то легко построить кривую С, порождаю-
порождающую такую же подстановку значений wi в группе Gt. Например,
на рис. 112 показана кривая, соответствующая подстановке
336. Пусть го — точка разветвления функции h(z), и пусть
обходу вокруг точки г0 соответствуют подстановки dx и d2 ли-
листов схем римановых поверхностей функций /(г) и g{z). Если
zq не является точкой разветв-
разветвления какой-нибудь из функ-
функций /(г) или g(z), то соответ-
соответствующая подстановка dt или
d.2 будет тождественной. Если
ветви функции h(z) занумеро-
занумерованы двумя индексами hi j (г)
так, как сказано в теореме 8,
утверждение а) (стр. 109), то
при обходе вокруг точки го
первые и вторые индексы пере-
переставляются независимо (теоре-
(теорема 8, утверждение б)). При-
Причем подстановка первых ин-
индексов есть dl7 подстановка
вторых индексов d2. Такпм об-
образом, обходу вокруг точки
разветвления го соответству-
соответствует подстановка листов схемы римановой поверхности функ-
функции h(z), которую можно рассматривать как пару подстановок
(rfj, d2). Так как dx и rf2 являются соответственно элементами
групп F и G, то пара (dt, d2) является элементом прямого произ-
произведения F X G. Такие пары, соответствующие всем точкам раз-
разветвления функции h(z), порождают некоторую подгруппу в груп-
группе FXG.
337. Схема, построенная формальным методом, может иметь
листы, на которых заданы совпадающие ветви. Объединим та-
такие листы в пачки. В силу однозначности при обходе любой точ-
точки разветвления мы с листов одной пачки будем переходить в
схеме, построенной формальным методом, на листы одной и
той же пачки. Следовательно, любая подстановка d листов схе-
схемы, построенной формальным методом, соответствующая об-
обходу вокруг некоторой точки разветвления, переводит пачки
Рис. 112.
*) Из определения группы G2 (стр. 111) легко вывести, чта
любой элемент зтой группы может быть представлен в указанной
форме.
199
Друг в друга, не разрывая их. Если подстановки Ал и d2
водят пачки друг в друга, не разрывая их, то легко видеть, что
и подстановка dxdt также переставляет пачки, ае разрывая их.
Поэтому все подстановки di листов схемы, построенной фор-
формальным методом, входящие в группу Нх, переставляют пачки,
не разрывая их. Поставим в соответствие каждой подстановке d.
подстановку d\ пачек. Легко видеть, что если подстановке di
соответствует подстановка пачек d\, а подстановке dj — под-
подстановка пачек dj, то подстановке didj соответствует подстанов-
подстановка пачек rijrfj. To есть построенное отображение группы Н1 на
порожденную ею группу подстановок пачек является гомомор-
гомоморфизмом. Так как каждой пачке соответствует лист истинной
схемы римановой поверхности функции h(z) (теорема 8, утверж-
утверждение в)) и переходы между листами истинной схемы — это в
точности переходы между пачками, то построенный намп го-
гомоморфизм можно рассматривать, как гомоморфизм группы Ht
на группу Н.г.
338. См. 336 и 337. По условию группы F n G (см. 336) раз-
разрешимы. Но тогда разрешима также группа F X G (см. 167).
Так как группа Нх — группа подстановок листов схемы, по-
построенной формальным методом,— может рассматриваться как
подгруппа в группе F X G (см. 336), то группа /Jl также разре-
разрешима (см. 162). Так как существует гомоморфизм группы Нх
на группу /72 — группу подстановок листов истинной схемы
римановой поверхности функции Л(г) (см. 337), то группа На
также разрешима (см. 163).
339. Указание. См. теорему 9(стр. 109). Если F и Н —
группы Галуа для схем рнмановых поверхностей функций /(г)
и h(z), то так же, как в задаче 337, доказывается существование
гомоморфизма группы F на rpyuuy H. Далее воспользуйтесь
результатом задачи 163.
340. Каждому листу схемы римановой поверхности функ-
функции j{z) соответствует пачка из п листов в схеме римановой по-
поверхности функции h (z) =/7 (z) (теорема 10, утверждение а),
стр. 109). Подстановки листов схемы рпмановой поверхности
функции h(z), соответствующие обходам вокруг точек разветв-
разветвления функции li(z), переставляют пачки, не разрывая их (тео-
(теорема 10, утверждение б)). Но тогда и все подстановки группы //
переставляют пачки, не разрывая. Поэтому каждой подстановке d
группы Н соответствует подстановка d' пачек. Причем, если
подстановке dt соответствует подстановка пачек d\, подстановке
d% — подстановка пачек d2, то подстановке dtd2 соответствует
подстановка пачек d^d^. Мы получаем гомоморфизм группы //
на порожденную ею группу подстановок пачек. Подстановка
пачек, соответствующая обходу вокруг произвольной точки ад,
совпадает с подстановкой листов при обходе вокруг точки ад
в схеме римановой поверхности функции /(г) (теорема 10, ут-
утверждение в)). Поэтому группа подстановок пачек, порожден-
порожденная группой Н, совпадает с группой F (точнее, изоморфна F).
200
Таким образом, построенный выше гомоморфизм является,
по существу, гомоморфизмом группы Н на группу F.
341. Ядром гомоморфизма, построенного в решении зада-
задачи 340. являются подстановки группы Н, переводящие каждую
пачку в себя. Пусть dx и d2 — две такие подстановки. Если ли-
листы в пачках перенумерованы так, что ft k(z) = fi 0(z)-e?, то обе
подстановки, d, и йг, циклически сдвигают листы в каждой пач-
пачке (см. теорему 10, утверждение г)). Рассмотрим "произвольную
пачку. Если подстановка dt циклически сдвигает листы в этой
иачке на I листои, а подстановка <2.2 — на А; листов, то обе
подстановки, dtd., и d.2du циклически сдвигают листы в данной
качке на I + к листов. Таким образом, подстановки d1di
и d%d{ одинаково переставляют листы в каждой пачке, т. е.
dfd^ = d.idi.
342. Если ф — гомоморфизм, построенный в решении зада-
задачи 340, и Кег ф — его ядро, то факторгруппа Н/Квг ф изоморф-
нв группе F (теорема 3, стр. 41). Так как группа Кег ф комму-
коммутативна (см. 311), а группа F разрешима, то разрешима также
и группа Н (см. 166).
3'i3. Обозначим Pz{w) = 3w6 — 25иг* + 60w — z. Если
wo — кратный корень уравнения Р z(w) = 0, то и?о является кор-
корнем уравнения P2(w) = 0, где Pz(.w)—многочлен, являющий-
являющийся производной от многочлена Рz (ш) (относительно w) (см. 276).
Имеем Р'г (ю) = 15ш* — 75м;2 + 60 = 15 (ut — 5м>2 -f- 4) =
= Щи> — 2)(ш — l)(w -f- \)(w + 2). Так как уравнение P'z(w)=0
имеет 4 корня кратности 1: w0 = — 2, —1, 1, 2, то кратными
корнями уравнения Рг(ш) = 0 (кратности 2) могут быть только
значения wo = — 2, —1, 1, 2.
Подставляя эти значения в уравнение
3W5 — 25ш» + 60w — z = 0,
получаем, что они будут корнями (кратности 2) соответственно
при z = —16, —38, 38, 16.
Ответ. Корнями кратности 2 являются значения: wo = — 2
при z = — 16, wo = — 1 при z = — 38, и>о == 1 при z = 38,
wo = 2 при z = 16.
344. Обозначим Р2(w) = Зи? — 25ш> + 60w — z. Поло-
Положим z = ад и рассмотрим однозначное отображение плоскости
w в некоторую комплексную плоскость т, задаваемое равенст-
равенством т = Рго1>). Пусть С — окружность радиуса г на плос-
плоскости w с центром в точке wo (рис. 113) и С — образ окруж-
окружности С при отображении т = Pz (w). Разложим многочлен
Р (w) = Зы>* — 25м?3 + 60и? — ад на линейные множители
(см. 269). Получим Рг (w) — 3(w — w{) (w — w^) (w — w3) (w —>
— wt)(w — ws), где все u?i — корни уравнения Pz (w) =0.
При обходе по окружности С против часовой стрелки аргумент
сомножителя w — wi не изменяется, если w^ лежит вне окруж-
окружности С, и увеличивается на 2л, если wi лежит внутри окруж-
201
ности С. Поэтому при обходе окружности С против часовой
стрелки аргумент функции PZo (w) увеличивается на 2лт, где
т — число корней (е учетом кратностей) уравнения Pz (w) = О,
лежащих внутри окружности С. Поэтому кривая С" — образ
окружности С при отображении т = Рг (w)—обходит вокруг
точки т= О т раз (рис. 114). Так как по условию задачи
центр окружности С— точка и>о — является корнем уравнения
Рг (w)=Q, то тге ^ 1. Существует такое р ]> 0, что окружность
радиуса р с центром в точке х = О целиком содержится внутри
кривой С' (рис. 114). Возьмем теперь другое комплексное чис-
число г» и рассмотрим еще одно отображение г = Р • (ю). Пусть
Рис. 113.
Рис. 114.
С" —образ окружности С при отображении т = Р , (w). Так как
г
о
— \ = 3wb ~ 25w3 + 60w — г0 +
-$- f z0 — z ) = PZg (w) -j- ( z0 —zj, то кривая С" получается
из кривой С сдвигом на вектор z0—z (см. 246). Если длина
вектора zQ — z меньше р, то кривая С" сдвинется так мало,
что полученная из нее кривая С" будет обходить вокруг точ-
точки т= 0 столько же раз, сколько и кривая С. (Представьте
себе, что, наоборот, сдвигается точка т = 0; рис. 114.) Так- как
кривая С обходит вокруг точки т= 0 т. раз, то и кривая С"
будет обходить вокруг точки т = 0 т раз. Отсюда, рассуждая
как и выше, получаем, что внутри окружности С лежит т Г> 1
корней уравнения Р , (и>) = 0 (с учетом кратностей).
г.
345. Пусть го — произвольная точка, отличная от г = + 38
и z = + 16. Тогда имеется ровно 5 различных образов точ-
точки z при отображении w(z). Пусть это будут точки u>lt w2, w3,
w4, wh. Если непрерывная кривая С выходит из точки го, то из
каждой точки и>г (i = I, . . ., 5) выходит хотя бы один непре-
непрерывный образ кривой С при отображении w{z). Если бы из
203
которой точки wi выходило два непрерывных образа кривой С
(расходящихся именно в точке w\), то кривая С имела бы по край-
крайней мере 6 непрерывных образов. Этого не может быть, так как
уравнение 5-й степени не может иметь более пяти корней. Сле-
Следовательно, точка zo не является точкой неоднозначности функ-
функции w(z).
Рассмотрим теперь 5 кругов: Du D2, D3, Z>4, Db некоторого
радиуса г с центрами в точках u>i. Выберем г настолько малым,
чтобы эти круги не пересекались и не касались друг друга. В си-
силу результата задачи 344 существует круг Do с центром в точ-
точке z0 такого радиуса р, что у любой точки г0 из этого круга име-
имеется по крайней мере по одному и, следовательно, ровно по од-
одному образу в каждом из кругов Dt D.lt D3, Dt, Dh, построенных
на плоскости w. Если С — непрерывная кривая, целиком ле-
лежащая в круге Do, то все образы всех ее точек лежат в кру-
кругах D^ (г = 1, . . ., 5). Но тогда непрерывный образ кривой С
при отображении w{z) не может перескочить из одного круга в
другой, т. е. любой непрерывный образ С кривой С целиком
содержится в одном из кругов Di (i = 1, . . ., 5). Если кри-
кривая С, лежащая целиком в круге Do, начинается и кончается в
одной и той же точке г0, то ее непрерывный образ С должен
начинаться и кончаться в некоторых точках, являющихся об-
образами точки z'Q при отображении w(z). Так как кривая С ле-
лежит целиком в некотором круге Dj(i= 1 5)ив этом кру-
круге имеется ровно один образ точки z0, то кривая С начинается
и кончается в одной и той же точке.
Таким образом, если С — замкнутая кривая, целиком лежа-
лежащая в круге Do, то значение функции w(z) в конечной точке
кривой С, определенное по непрерывности, совпадает со зна-
значением в начальной точке. В частности, это справедливо для
всех окружностей с центром в точке го радиуса, меньшего,
чем р. Следовательно, точка го не является точкой разветвле-
разветвления функции w(z).
346. Из решения задачи 343 следует, что при z = z0 = 38
уравнение A4.1) имеет четыре корня: tvlt w3, w3, ш4, причем
один из них (пусть, например, wx) имеет кратность 2, осталь-
остальные корни простые. Пусть точка z0 лежит вблизи точки го. Тог-
Тогда из решения задачи 344 получаем,что вблизи точки и>г лежат
два образа точки za при отображении w(z), а вблизи точек w.z,
w3 и wA лежит по одному образу точки z0. Пусть окружность С
малого радиуса с центром в точке го начинается и кончается в
точке z'Q. Так же как при решении задачи 345, получаем, что
непрерывные образы окружности С при отображении w(z), на-
начинающиеся вблизи точек w2, w3 и w4, оканчиваются в исход-
исходной точке, а непрерывные образы, начинающиеся вблизи точ-
точки ш1 в одном из образов точки z0, могут заканчиваться в дру-
другом образе точки z0, также лежащем вблизи точки wx. Поэтому
203
в точке 2о с трех листов римановой поверхности нет переходов
на другие листы и только два листа могут соединяться между
собой.
347. Проведем какую-нибудь непрерывную кривую С из
точки wo в точку и\ так, чтобы она не проходила через образы
w(z) точек г = ± 38 и г = + 16. Такую кривую провести мож-
можно, так как точки г = + 38 и z = + 16 имеют конечное число
образов. Пусть теперь С — образ кривой С при однозначном
отображении z(w) = Зм>5 — 25tt'3 -+- GOu\ Так как z(iv) — непре-
непрерывная функция п С" — непрерывная кривая, то и С — непре-
непрерывная кривая. Так как z и w при отображении z(w) связаны
соотношением Зи,5 — 2ЬиР + 60и? — г = 0, таким же, как при
отображении iv(z), то кривая С в свою очередь является не-
непрерывным образом кривой С при отображении w(z). Так как
кривая С не проходит через образы точек г = +38 и з ="+ 16,
то кривая С не проходит через точки г = + 38 и г= + 16.
Начальная и конечная точки кривой С — это г (tt'o) =zo и z(w1)=
= zt. Таким образом, кривая С — искомая.
348. В сплу результата задачи 347 с любого листа рнмановой
поверхности функции w(z) можно перейти на любой другой лист
по некоторой кривой, не проходящей через точки z = ± 38 и
z = ± 16. При этом переходы с листа на лист при пересечении
5
3
¦ 2
¦ 1
1
. i
HI
Рис. 115.
разрезов совпадают с переходами, указанными в той точке раз-
разветвления, из которой проведен данный разрез (см. замечание 1
на стр. 100). Следовательно, соединения листов в точках разветв-
разветвления должны быть такими, чтобы получалась единая связная
схема. Так как точки, отличные от г= + 38 и z = + 16, не яв-
являются точками разветвления (см. 345), а в каждой из точек
z= + 38иг= + 16 могут соединяться только 2 листа (см. 346),
то для получения связной схемы необходимо, чтобы соединения
были в каждой из точек z = + 38 и z = ± 16, т. е. все четыре
точки являются точками разветвления. Все различные связные
схемы показаны на рис. 115. Любые связные схемы римановой
поверхности функции w(z) приводятся к этим трем схемам пе-
перестановкой листов и точек разветвления. (Мы здесь не утверж-
утверждаем, что все 3 схемы могут быть реализованы.)
349. Докажем, что группа подстановок листов для всех
трех схем, показанных на рис. 115, содержит все элементарные
транспозиции (см. стр. 48), т. е. транспозиции A, 2), B, 3), C, 4),
D, 5). Для первой схемы это очевидно, так как эти транспози-
транспозиции просто соответствуют точкам разветвления. Во второй и
204
третьей схемах одной из точек разветвления соответствует
транспозиция A, 2). Транспозиции B, 3) и C, 4) получаются
в обоих случаях как произведения B, 3) = A, 2)-A, 3)-A, 2) и
C, 4) = A, 3)A, 4)A, 3). Транспозиция D, 5) получается для
второй схемы как произведение D, 5) = A, 4)A, 5)A, 4), а для
третьей схемы она просто соответствует одной из точек разветв-
разветвления.
Таким образом, искомая группа во всех трех случаях со-
содержит все элементарные транспозиции и, следовательно (тео-
(теорема 4, стр. 48), совпадает со всей группой подстановок 5-й
степени.
350. Из результата задачи 349 получаем, что группа Га-
Галуа для функции w(z) — это группа S6 всех подстановок 5-й
степени, которая неразрешима (см. теорему 5, стр. 51). С дру-
другой стороны, если функция w(z) выражается в радикалах, то
соответствующая ей группа Галуа должна быть разрешимой (тео-
(теорема И, стр. 112). Из полученного противоречия и вытекает,
что функция w(z) не может быть выражена в радикалах.
351. Указание. Если бы такая формула существова-
существовала, то, подставив в нее значения яо= 3, а.г = — 25, at = 60,
а, = % = 0 и а9 = z, мы получили бы, что функция w{z) (см.
350) выражается в радикалах.
352. Функция wx{z), выражающая корни уравнения A4.2)
через параметр г, имеет риманову поверхность, которая состоит
из отдельного листа, на котором wx(z) ее 0, и 5 листов, которые
составляют схему римановой поверхности функции w\z), выра-
выражающей корни уравнения
Зм>5 — 25ur» -f 60u? — z =0
через параметр z. Поэтому группа Галуа, соответствующая функ-
функции u>iB), совпадает с группой Галуа, соответствующей функ-
функции w(z), т. е. с группой Sb всех подстановок 5-й степени, кото-
которая неразрешима (см. 349). С другой стороны, если функция
w^z) выражается в радикалах, то соответствующая ей группа
Галуа должна быть разрешимой (см. теорему 11, стр. 112).
Из полученного противоречия вытекает, что функция w^z)
не выражается в радикалах и общее алгебраическое уравнение
степени п при п ~^> 5 неразрешимо в радикалах.
Предметный указатель
Абеля теорема 13, 117
Алгебраическая форма комплекс-
комплексного числа 61
Алгебраическое уравнение с одним
неизвестным степени п общее 7
Аргумент комплексного числа 69
Ассоциативность 21
Безу теорема 82
Бинарная операция 15
Вектор 67
— свободный 67
Ветвь функции 87
Взаимно однозначное отображение
19
Виета теорема 9
Внутренний автоморфизм 34
Гомоморфизм 40
— естественный 41
Группа 21
— бесконечная 21
— — циклическая 2Ь
— вращений додекаэдра 45
— — квадрата 17
— — куба 39
— — тетраэдра 30
— — треугольника 16
— Галуа 112
— знакоперемениая 50
— коммутативная 23
— конечная 21
— монодромии 112
— подстановок значений функции
112
— — листов схемы римановой по-
поверхности 111
— преобразований 20
— разретпимая 44
— симметрии квадрата 18
— —- прямоугольника 18
— — ромба 18
— — тетраэдра 30
— — треугольника 17
¦— симметрическая 47
— целых чисел по сложению 22
— циклическая порядка я 25
Группы изоморфные 26
Действительная часть комплекс-
комплексного числа 61
Деление многочленов с остатком 57
Дистрибутивность S3
206
Единица группы 21
Естественный гомоморфизм 41
Знакопеременная группа 50
Изменение аргумепта вдоль кри-
кривой 78
Изоморфизм групп 26
— полей 63
Кардано формула 11
Коммутант 38
Коммутативная группа 23
Коммутатор 38
Коммутирующие элементы 23, 38
Комплексного числа алгебраиче-
алгебраическая форма 61
.— — геометрические представле-
представления 66, 67
•— — тригонометрическая форма
69
Комплексное число 59
Корень алгебраического уравнения
56
— — — кратности h 84
.— многочлена 56
Лагранжа теорема 32
Левое разложение группы по под-
подгруппе 31
Левый смежный класс 31
Лист 87
Метод Феррари 12
Мнимая часть комплексного числа
61
Многочлен 55
— неприводимый 65
•— приводимый 65
Модуль комплексного числа 68
Муавра формула 70
Непрерывная кривая 75
— функция 72
Непрерывный образ кривой 90
Нечетная подстановка 4У
Нормальная подгруппа 35
Обрап подпожества 43
— элемента 18
Образующий 25
Обратное преобразование 19
Обратный элемент 21
Общее алгебраическое уравнение
с одним неизвестным степе-
степени а 7
Однозначная непрерывная ветвь
87
Основная теорема алгебры комп-
комплексных чисел 82
Отображение 18
•— взаимно однозначное 19
— на 18
Параметрическое уравнение кри-
кривой 75
Перестановочные элементы 23, 38
Подгруппа 28
¦— нормальная 35
Подстановка 19, 47
¦— нечетная 49
•— циклическая 47
•— четная 49
Поле 54
Полный прообраз подмножества 43
Порядок группы 21
•— подгруппы 32
¦— элемента 24
Правое разложение группы по под-
подгруппе 32
Правый смежный класс 32
Преобразование множества 19
•— обратное 19
.— тождественное 20
Произведение многозначных функ-
функций 103
•— многочленов 5в
•—• преобразований 20
•— функций 73
Производная многочлена 84
Прообраз элемента 18
Прямое произведение 30
Разложение группы по подгруппе
левое 31
», „ , . правое 32
>—¦ —- •— нормальной подгруппе 35
Разность в поле 54
.— многозначных функций 103
•— многочленов 56
¦— функций 73
Разрешимая группа 44
Риманова поверхность 88, 89
Свойство монодромии 99
Симметрическая группа 47
Симметрия-фигуры 17
Сложение по модулю я 26
Смежный класс левый 31
— — правый 32
Сопряженные комплексные числа
62
Сумма многозначных функций 103
— многочленов 56
— функций 73
Суперпозиция функций 73
Схема римановой поверхности 94
Теорема Абеля 13, 117
— Безу 82
•— Виета 9
¦— Лагранжа 32
Тождественное преобразование 20
Точка неоднозначности 98
•— разветвления 94
Транспозиция 48
¦— элементарная 48
Тригонометрическая форма комп-
комплексного числа 69
Умножение по модулю п 54
Уравнение кривой параметриче-
параметрическое 75
Факторгруппа 37
Феррари метод 12
Формула Кардано 11
•— Муавра 70
Функция, выражающаяся в ради-
радикалах 103
Центр группы 8в
Цикл 47
Циклическая группа 25
Частное в поле 54
•— двух многозначных функций 103
¦— — функций 73
Четная подстановка 49
Элементарная транспозиция 48
Ядро гомоморфизма 41