Text
                    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИ1
ШЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
Физика в задачах
Новосибирск
2013


УДК 372.016:53 ББК 74.262.22 Р 17 Б28 Баткин В. И., Башкатов Ю. Л., Лежнин С. И., Савченко О. Я. Физика в за¬ дачах: Учеб, пособие / Под ред. О. Я. Савченко. Новосибирск: НГУ, 2013. 676 с. ISBN 978-5-4437-0171-4 Рецензенты: кафедра физики СУНЦ НГУ; доцент Харитонов В. Г. ISBN 978-5-4437-0171-4 © Новосибирский государственный университет, 2013 ©СУНЦНГУ, 2013 © Баткин В. И., Башкатов Ю. Л., Лежнин С. И. Савченко О. Я., 2013
Предисловие Авторы - преподаватели первой физико-математической школы и науч¬ ные сотрудники институтов СО РАН - создали эту книгу, в основном, для школьников, увлеченных физикой. Решение задач по физике обязательно для будущих физиков-иселедователей, а получения навыков решения задач помо¬ гут таким школьникам успешно выступать на Олимпиадах по физике, а затем поступить или в университет на физический факультет, или в соответствую¬ щий институт, только по результатам этих Олимпиад. В книге свыше 2 000 задач, которые появились за последние тридцать лет. Более простые задачи взяты, в основном, из задач физического отделения За¬ очной школы при СУНЦ НГУ и из задач вступительных экзаменов в НГУ. Более сложные задачи, которые требуют и сообразительности и нестандарт¬ ного мышления, в основном, взяты из задач по физике, которые использова¬ лись в Новосибирской физико-математической школе-интернате (СУНЦ НГУ) и из задач различных Олимпиад по физике. Книга состоит из 11 глав: Кинематика; Динамика; Твердая среда; Жидкость; Молекулярная физика. Газ; Электрическое поле; Магнитное поле; Электромагнитные волны; Опти¬ ка; Специальная теория относительности; Корпускулярно-волновой дуализм. Каждая глава имеет несколько разделов. В каждом разделе кроме условий задач коротко приводится методический материал, которого вполне доста¬ точно для решения задач данного раздела. Этот материал можно использо¬ вать и для решения задач из книги «Задачи по физике» под редакцией О. Я. Савченко (впервые опубликованной издательством Наука в 1981г.), т. к. очередность глав, в главах - очередность разделов, в разделах - очеред¬ ность тем задач, в обеих книгах почти одинаковые. Это позволяет решить каждую из более 4 000 задач из этих учебников. О. Я. Савченко
КИНЕМАТИКА глава Основной задачей кинематика является описание движения тела в класси¬ ческой механике. § 1. ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ Поезд движется от железнодорожной станции в одном направлении и расстояние между стан¬ цией и поездом за любой промежуток времени t увеличивается на Vt, где V— постоянная величи¬ на. Рассмотренный пример- движение тела с постоянной скоростью V по прямой линии. Дру¬ гой пример, на рис. 1.1 изображено движение самолета С по прямой, проходящей через точки I и 2, Как и в первом примере, расстояние меж¬ ду точкой 1 и самолётом за время t изменяется на величину Vt9 когда самолёт движется по этой прямой с постоянной скоростью V. Но расстояние г между самолётом С и аэродромом О уже не пропорционально /, если аэро¬ дром не находится на пути самолёта. Однако расстояния самолета до выде¬ ленных плоскостей линейно зависят от времени (рис. 1.2)1 X = Х0 + Vxu <У = Уо+Уу*> z = z0 + Vzt9 где х0, у0, z0 - расстояние до плоскостей в нулевой момент времени, Vx, Vy9 Vz - составляющие вектора скорости V по осям X, Y, Z, которые связаны с Точка, О расположена на пересечении трёх взаимно-перпендикулярных плоскостей ZOY,ZOXxXOY
Физика в задачах 5 величиной скорости V формулой: v=№+v;+v?, где Vx = Fcosa, Vy = Vcosp , Vz = Vcosy, a, p, у - уг¬ лы между вектором скорости V и осями координат X, YwZ. Пример 1.1. Звуковая волна удаляется от источни¬ ка звука с постоянной скоростью. В воздухе скорость звука равна 330 м/с. Докажите, что гром, который длится более четырёх секунд рождён молнией длина которой больше километра. Доказательство. Длительность грома, умноженная на скорость звука, равна (ri ~гг) ~ разности расстояние от наблю¬ дателя до самого удалённого и самого близкого участка молнии (рис. 1.3). Длина молнии больше километра, так как она заведомо больше длины отрезка Рис. 1.3 который длиннее (г, - г2) = 330 м/с х 4 с = 1,32 км. Задачи и упражнения 1.1.1. Путь длиною 120 км автобус проходит за 2,5 часа. На пути тридцать одинаковых остановок. Между остановками автобус движется со средней скоростью 60 км/час. Определите продолжительность каждой остановки. 1.1.2. Из двух населённых пунктов, расположенных на расстоянии / друг от друга, одновременно вышли навстречу друг другу два путника - один со скоростью V, другой - и. Через какое время они встретятся? 1.1.3. Через какое время автомобиль догонит велосипедиста, если велоси¬ педист движется со скоростью 20 км/час, а автомобиль со скоростью 100 км/час, а расстояние между автомобилем и велосипедистом 40 км? 1.1.4. Число автомобилей, перегоняющих пешехода, в 1,2 раза меньше числа встречных автомобилей, хотя автомобили двигаются по трассе одина¬ ково в обоих направлениях со скоростью 66 км/час. С какой скоростью дви¬ жется пешеход? 1.1.5. Машины в колонне двигаются после поворота со скоростью в к раз меньшей, чем до поворота. Во сколько раз изменилась длина колонны после поворота.
6 Глава 1. Кинематика 1.1.6.* Три микрофона, расположенных на одной прямой в точках А, В, С (см. ри- ^ g сунок). Расстояние между соседними мик¬ рофонами L. Микрофоны в точках^, В и К задаче 1.1.6 С зарегистрировали в момент времени tA, tB произошёл на этой прямой между точками В и С. Определите скорость взрывной волны, место и мо¬ мент времени взрыва. 1.1.7. Два сорта частиц А. и В проходят через от¬ верстие О в один и тот же момент времени (см. ри¬ сунок). В детектор D частицы сорта А попадают на / = 106с позднее, чем частицы сорта В. Скорость частиц сорта А равна vA - 5* 106 м/с. Чему равна скорость частиц сорта В, если расстояние между отверстием О и детектором D равно 1 = 10 м . и tc звук от взрыва, который 1.1.8. Счётчики А и В, регистрирующие проход у-кванта, расположены на расстоянии 5 м друг от друга. Между счётчиками произошёл распад л° - мезона на два у-кванта. Найдите положение мезона, если счётчик А зарегист¬ рировал у-квант на 1(Г8 с позднее, чем счётчик В. Скорость света с = 3-108м/с. 1.1.9. * Стрелок пытается попасть в диск радиуса R, который движется между стенками с постоянной по величине скоростью так, что стрелок не в состоя¬ нии за ним уследить (см. рисунок). Расстояние между стенками L. Выстрелы производятся на уровне центра диска перпендикулярно его плоскости. Диск движет¬ ся так, как показано на рисунке. В какой точке при- целивания вероятность попадания наибольшая? Че¬ му она равна? 1.1.10. Короткие звуковые импульсы наземного локатора, испускаемые через время т, возвращаются после отражения от самолёта, который удаляет¬ ся от локатора, следуя друг за другом через время кх, где к > 1. Определите во сколько раз скорость самолёта меньше скорости звука? 1.1.11. Частота следования коротких звуковых импульсов, испускаемых локатором самолёта, в к раз меньше частоты следования импульсов, которые фиксируют датчики самолёта у звуковых импульсов, отражённых от непод¬ вижного тела, находящегося на пути самолета. Во сколько раз скорость само¬ лёта меньше скорости звука? 2К задаче 1.1.9 2 Отношение ожидаемого числа попаданий к общему количеству выстрелов.
Физика в задачах 7 1.1.12. а) Два звуковых датчика расположены на пути движения автомоби¬ ля, один - впереди, другой - позади. Первый датчик регистрировал звуковой сигнал автомобиля в течение 0,9 с, второй - 1,1 с. Скорость звука 330 м/с. С какой скоростью двигался автомобиль? б) Звуковой сигнал наземного локатора, отражённый от самолета движу¬ щегося от локатора, в четыре раза длиннее посланного сигнала. Определите скорость самолёта. 1.1.13. Два человека стоят на расстоянии hx и h2 от стенки и / - друг от друга. Один из них сказал слово, другой услышал конец слова, совпавшее с началом эха этого же слова. Скорость звука с. Определите длительность зву¬ чания слова. 1.1.14. * Самолёт летит горизонтально на высоте 4 км от поверхности зем¬ ли. Звук дошёл до наблюдателя через 10 с после того, как над ним пролетел самолёт. Во сколько раз скорость самолёта превышает скорость звука? 1.1.15. Фронт волны от моторной лодки об¬ разует угол а с направлением ее движения (см. рисунок). Угол не меняется при движении лодки. Скорость волны и. Определите ско¬ рость лодки. 1.1.16. Навстречу друг другу по плоскости со скоростью v движутся две длинные палки, расположенные так, как изображено на рисун¬ ке. С какой скоростью движется точка их пе¬ ресечения? 1.1.17. Человек высоты h идёт от фонаря, подвешенного на высоте Я, со скоростью и (см. рисунок). С какой скоростью движется конец тени человека? / / N ж К задаче 1.1.17 А В К задаче 1.1.18 1.1.18. Два портовых города А и В находятся на расстоянии L друг от дру¬ га. Пароход отчалил от города А и движется со скоростью v под углом а к линии, соединяющей эти города (см. рисунок). Через какое время должен от¬ чалить катер из города 5, чтобы, двигаясь со скоростью 2v курсом, перпен¬ дикулярным курсу парохода, встретиться с ним. 1.1.19. Оператор радиолокационной станции обнаружил на расстоянии 20 км от станции самолёт, летящий с постоянной скорость. Через 20 мин one-
8 Глава 1. Кинематика ратор повернул луч локатора на 90° и обнаружил этот же самолёт на том же расстоянии, что и в первый раз. Определить скорость самолёта. 1.1.20. Первый луч локатора обнаружил объект, движущийся с постоянной скоростью, на расстоянии г{, а через время х - на расстоянии г2. Угол, кото¬ рый образовывал луч с осями X и 7, был соответственно равен оц и , а во второй раз - а2 и р2. С какой скоростью двигался объект? 1.1.21. * Две стенки образуют угол а. Под каким углом к одной из стенок должен влететь шарик, чтобы вылететь по траектории влёта после трёх упру¬ гих ударов о стенки; после пяти ударов; после 2п +1 ударов? Движение ша¬ рика происходит в плоскости перпендикулярной стенкам. При упругом ударе угол падения шара равен углу отражения. 1.1.22. а) Внутри сферической полос¬ ти радиуса R летает маленький шарик, упруго отражаясь от поверхности полос¬ ти (см. рисунок). Минимальное расстоя¬ ние шарика от центра полости h. Чему равна вероятность обнаружить шарик на расстоянии, меньшем, чем г, от центра полости; большем чем г ? б) Чему равна вероятность, что шарик из задачи а) находится на расстоянии, большем чем а, но меньшем, чем г от центра полости? 1.1.23. По бильярдному столу с бор¬ тами длины а и b пустили шар от сере¬ дины борта длины b и он, упруго отра¬ жаясь от бортов, вернулся в то же место, из которого он начал своё движение (см. рисунок). Первый удар шар совершил о борт длины а. Расстояние от места пер¬ вого удара до ближайшего угла а/п , где к задаче 1.1 23 п - целое положительное число. Сколько всего ударов, о борта длины а, со¬ вершил шар? 1.1.24. Траектория атома, упруго отражённого от стенок куба, размеры ко¬ торого а х а х а , - квадрат (см. рисунок). Скорость атома v . а) С какой средней скоростью станет перемещаться по каждой стенке ме¬ сто удара, если сместить одну стенку на значение А. б) Через какое время в задаче а) атом вернётся на место, из которого он летел, если А = а/п, где п - положительное целое число, а атом летел в сторону сме¬ К задаче 1.1.22 Ь У ч У ч У ч У ч У S У ч * ч ч У ч У И а щённой стенки сразу же после его отражения от стенки? Чему равно расстояние между ближайшими параллельными участками траектории?
Физика в задачах 9 а в) Решите задачу б), если А = ак/п, где кип целые положительные числа, не имеющие общего делителя, и к < п. г) * Почему обычно считают, что расстояние между ближайшими парал¬ лельными участками траекторий в в) сколь угодно малы? 1.1.25. Со скоростью v навстречу друг другу ползут черепахи. Когда рас¬ стояние между черепахами было L, с одной из них слетела муха и со скоро¬ стью и, u > v полетела навстречу второй черепахе. Долетев до неё, развернулась, К задаче 1.1.24 и с той же скоростью полетела назад к первой черепахе. Долетев до неё, раз¬ вернулась, и полетела ко второй и т. д. Какой путь пролетела муха, прежде чем черепахи встретились? §2. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ Если промежуток времени dt очень мал, то тело в течение времени dt движется с постоянной скоростью. Поэтому расстояние dl, пройденное те¬ лом за время dt, определяется формулой dl - vdt, где величина v, называется мгновенной скоростью или просто - скоростью. Мгновенная скорость может меняться с течением времени. Представляет интерес случай, когда скорость линейно зависит от времени: v - v0 + at, где величина а называется ускорением тела. В качестве примера подобного поведения скорости можно привести: • скорость падающего камня: v- gt, где g- 9,8 м/с2 - ускорение свобод¬ ного падения; • скорость стартующего автомобиля линейно зависит от времени: v~at, где а - ускорение автомобиля, a t — время от начала старта; • скорость поезда, который, подходя к железнодорожной станции, тормо¬ зит так, что его скорость линейно уменьшается: v = v0 - at, где v0 - скорость поезда до начала торможения, (-а) - отрицательное ускорение поезда, t - вре¬ мя торможения. Расстояние /, пройденное телом, которое движется в течение времени t с постоян¬ ным ускорением а, равно средней скорости тела, умноженной на время t. Поэтому
10 Глава 1. Кинематика 7 Ь ч 1 2 I = —[vQ + v + at)'t = vQt +—at , 2 2 где v0 - скорость тела в нулевой момент времени. Наглядную картину движения тела дают графические изображения зависимостей ускорения, скорости и расстояния от вре¬ мени. Три графика на рис. 2.1 дают значе¬ ния ускорения, скорости и расстояния, пройденные автомобилем в любой момент времени, когда он двигался по прямому участку дороги. Наклон графика3 скорости в каждый момент времени равен ускоре¬ нию в этот же момент времени. Аналогич¬ но, наклон графика расстояния, пройденно¬ го автомобилем, равен его скорости. По¬ этому расстояние, пройденное телом на момент 4т равно «закрашенной» площади под графиком скорости: /0 = 2г;0т. т 2т Зт 4т Рис. 2.1 Пример 2.1. Поезд двигался равноускоренно от станции в течение време¬ ни Tj с ускорением а, а затем равнозамедленно в течение времени т2 вплоть до полной остановки. На каком расстоянии от станции остановился поезд? Решение. На рис. 2.2 изображён график за¬ висимости скорости поезда от времени. Иско¬ мое расстояние — площадь треугольника: / = ^tl-(T.+'r2)- О* i Задачи и упражнения 1.2.1. а) Камень бросили вертикально вверх со скоростью 9,8 м/с. Через какое время камень вернётся? б) Первую половину пути сосулька летела 1 с. Сколько времени ей оста¬ лось лететь до земли? Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2. 1.2.2. Двигаясь с постоянным ускорением, автомобиль на участке длины 50 м увеличил свою скорость с 11 до 25 м/с. Определить ускорение автомобиля. 3 Тангенс угла наклона касательной к графику.
Физика в задачах 11 1.2.3. Поезд начинает тормозиться на расстоянии £ от железнодорожной станции, имея скорость v. С каким отрицательным ускорением он должен двигаться, чтобы остановиться на станции? Чему равно время торможения? 1.2.4. На неподвижный космический корабль со скоростью v летит широ¬ кий поток метеоритов. Двигатель корабля может развить ускорение а. На ка¬ ком расстоянии от корабля нужно обнаружить этот поток, чтобы, включив двигатель, избежать столкновения? 1.2.5. * Предпоследний вагон прошёл мимо пассажира за время tx, послед¬ ний - за t2, t2 < tx. Электричка с вокзала двигалась равноускоренно. На какое время опоздал пассажир? 1.2.6. Спортсмен может пробежать первую половину дистанции с ускоре¬ нием а, а вторую - 2а. Это же он может сделать наоборот: первую половину дистанции пробежать с ускорением 2а, а вторую - с ускорением а. В каком случае он пробежит дистанцию быстрее? 1.2.7. Тело в течение времени т двигалось с ускорением ах, а затем равно¬ замедленно, с ускорением -а2, вплоть до остановки. Какое расстояние про¬ шло тело, если в начале оно: было неподвижно; имело скорость г>0? 1.2.8. * Поезд, двигаясь от станции равноускоренно, через время т после отправления изменил величину и направление ускорения, а через время т по¬ сле этого проехал мимо станции со скоростью V. На какое максимальное рас¬ стояние поезд удалялся от станции? 1.2.9. а) Из одной и той же точки вертикально вверх с интервалом времени т выброшены два шарика со скоростью V. Через какое время после вылета второго шарика они столкнуться? б) С какой скоростью нужно выбросить второй шарик в задаче а), чтобы столкновения не произошло? в) С вертолёта, поднимающегося вертикально вверх со скоростью v с вы¬ соты h над землёй, отпускают груз. Через какое время груз упадёт на землю? С какой скоростью упадёт груз? Ускорение свободного падения g . 1.2.10. Восстановите, если это возможно, недостающие графики на рисун¬ ке, если в диапазоне от 0 до 1 с везде / = 0 м. 1.2.11. Нарисуйте график зависимости от времени величины скорости тен¬ нисного шарика, подпрыгивающего в поле тяжести над упругой горизонталь¬ ной плоскостью. Известно, что шарик отпускают без начальной скорости с высоты 1 м. 1.2.12. Тело в течение времени т двигается с постоянной скоростью v0. Затем скорость линейно возрастает во времени так, что в момент времени Зт она равна 3v0. Сохранив достигнутую скорость в течение времени т, тело затем начинает тормозить так, что к моменту времени 6т оно имеет ско¬ рость 3v0, но в противоположном направлении. Построить график зависимо¬ сти скорости, ускорения и перемещения от времени.
12 Глава 1. Кинематика а, м/с' 2< ►- — 2* 1« 1* 3 А U с 1 0 -1 > 1 -i! А А ! t>, м/с 4f з{ 2* 1? О 12 3 4 f/, м 4+ з! I 2* I 1| I # —• — • - - -« • о- 12 3 4 /, С а, м/с' i . . а, м/с" 12 3 4 V, м/с t, с • ■-> 4f 3- /, с 3* 2* 1г о 12 3 4 К задаче 1.2.10 t, с |12 3 4 -If А V, м/с 4* 3* 2* If i «- —•—* 0 12 3 4 А/, м ^ С t, С 1.2.13. * Постройте график зависимости скорости от времени по графику зависимости ускорения от времени (см. рисунок). Скорость в нулевой момент времени равна нулю. Определите скорость в момент времени 2т и в момент времени 4т. 1.2.14. * Какое максимальное расстояние может пробежать спортсмен от остановки до остановки за время т, если он может разгоняться с ускорением а, а тормозить с ускорением (-2а)? 1.2.15. * а) Определите минимальное время движения автобуса от одной остановки до другой, если расстояние между остановками t. При движении автобуса от остановки он может развивать ускорение ах, а при подходе к ос¬ тановке тормозиться с ускорением (- а2). б) Решить задачу а) при условии, что скорость автобуса на трассе не больше v.
Физика в задачах 13 § 3. БАЛЛИСТИКА На рис. 3.1 изображена траектория тела4, брошенного под углом а к гори¬ зонту со скоростью Vo. Если промежуток времени dt предельно мал, то тело в течение этого времени движется с постоянной скоростью и расстояние, прой¬ денное телом за время dt, определяется формулой: dl -vdt, где v - вектор скорости, направленный по касательной к траектории тела. В момент броска вертикальная составляющая скорости равна a0sina, а горизонтальная со¬ ставляющая скорости равна v0 cos a. Ускорение свободного падения g направлено вертикально вниз. Поэтому через время t после броска вертикальная составляющая скорости уменьшится на gt и будет равна vQ sin a - gt, а горизонтальная составляющая не меняется. Рис. 3.1 Пример 3.1. Камень бросают со скоростью v под углом а к горизонту (рис. 3.2). Через какое время угол наклона скорости к горизонту уменьшится в 2 раза? Решение. Вертикальная составляющая скорости в момент броска равна z; sin а, а через время t равна acosatg(a/2) (рис. 3.2). Значит, время t = Г i; sin a - vcosa- tg(a/2)1/g = —tg—. • l j/ , g 2 9t 4 В § 3 не учитывается влияние воздуха на движение тела.
14 Глава 1. Кинематика На рис. 3.3 изображены вектор скорости v и век¬ тор ускорения а. Штрихованной линией изображе¬ на траектория тела. За время dt составляющая уско¬ рения tfjj, параллельная скорости изменит величину скорости на a^dt, а составляющая ускорения aL, перпендикулярная вектору скорости, изменит на¬ правление скорости тела на угол dq> = a±dt/v и тело будет двигаться по дуге окружности радиуса R = v2/a±. Величина R называется радиусом кри¬ визны траектории. Пример 3.2, Определите максимальный и мини¬ мальный радиус кривизны траектории снаряда, вы¬ пущенного под углом а к горизонту со скоростью V. Ускорение свободного падения g . Решение. Максимальный радиус кривизны будет в начале полёта снаряда, когда а± минимально (рис. 3.4), а скорость снаряда максимальна и равна v: Лтах ~v2/g cos а. Минимальный радиус кривизны траектории будет на мак¬ симальной высоте, когда скорость снаряда минимальна и равна v cos a, a а±= g ~~ максимально: Rmin = v2 cos2 а/g . Задачи и упражнения 1.3.1. а) Камень бросают со скоростью v под углом а к горизонту. Опре¬ делите время полёта камня. б) Решите задачу а) в случае, когда камень бросают с высоты h. 1.3.2. Пушка стреляет под углом а к горизонту. Скорость снаряда в момент выстрела v0. Как зависит от времени скорость и расстояние снаряда от пушки? 1.3.3. Баскетболист бросает мяч в кольцо. Скорость броска 8 м/с, и на¬ правлена под углом 60° к горизонту. С какой скоростью мяч влетел в кольцо, если он долетел до него за 1 с? 1.3.4. С высоты h бросают камень под углом к горизонту. После прохож¬ дения точки наивысшего подъёма, находящейся на высоте Н от поверхности земли, за оставшееся время падения он переместился по горизонтали на рас¬ стояние /. Найти величину начальной скорости камня. 1.3.5. Спортсмен толкает ядро под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Через какое время после толчка угол наклона скорости к горизонту уменьшится до 30°? 1.3.6. Камень бросили с крутого берега вверх под углом 30° к горизонту со скоростью 10 м/с. С какой скоростью он упал в воду, если время полёта кам¬ ня 2 с?
Физика в задачах 15 1.3.7. С балкона, находящегося на высоте 20 м, броса¬ ют мяч со скоростью 20 м/с (см. рисунок). Мяч упруго ударяется о стену соседнего дома и падает на землю под балконом. Определите расстояние до соседнего дома, если время полёта мяча 1,4 с. 1.3.8. а) Зенитный снаряд, взлетающий вертикально, через время х достигает максимальной высоты и взрыва¬ ется. Скорость осколков в момент взрыва равна v. Какой участок земли засыпят осколки через время т после взрыва? б)* На каком участке окажутся осколки (см. задачу а)), когда все они упадут на землю? 1.3.9. а) Со склона с углом а к горизонту бросают ка¬ мень в горизонтальном направлении, со скоростью v. Че¬ рез какое время камень упадёт на склон? На каком рас¬ стоянии от места броска будет место падения камня? б) Из миномёта, расположенного на склоне горы, ведут стрельбу вниз по склону, образующему угол (3 с горизон¬ том (см. рисунок). На каком расстоянии от миномёта бу¬ дут падать мины, если их начальная скорость v направле¬ на под углом а к горизонту? 1.3.10. Самолёт пролетает над зенитной пушкой на высоте А, со скоростью V, которая направлена горизонтально. Под каким углом к горизонту должна в этот момент выстрелить пушка, и какова должна быть скорость снаряда, что¬ бы поразить самолёт? 1.3.11. С какой скоростью в момент старта ракеты должен вылететь из пушки снаряд, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорени¬ ем а, если расстояние от пушки до места старта ракеты равно £ и пушка стреляет под углом а к горизонту? 1.3.12. На расстоянии L друг от друга находятся две одинаковые пушки, направленные в одну сто¬ рону под углом а к горизонту. Начальная скорость снаряда v (см. рисунок). На какой высоте можно поразить снаряд одной пушки снарядом другой? 1.3.13. В прямоугольной коробке, упруго ударяясь о дно и правую стенку, по одной траектории туда и обратно прыгает шарик (см. рисунок). Промежуток времени между ударами о дно и стенку равен Т Дно коробки образует угол а с горизонтом. Определить минимальную скорость шарика. К задаче 1.3.13 1.3.14. * В сферической лунке радиуса Л, упруго отражаясь от стенок лун¬ ки, по одной траектории туда и обратно движется шарик. Места ударов нахо¬ дятся на одной горизонтали. Время от удара до удара Т. Определить ско¬ рость шарика в момент удара. К задаче 1.3.12
16 Глава 1. Кинематика 1.3.15. * Из миномёта выстреливают под углом а к горизонту. Скорость вылетающей мины v. Через какое время мина будет на максимальном рас¬ стоянии от миномёта? 1.3.16. * а) После взрыва снаряда, лежащего в центре дна прочного стакана, осколки снаряда, вылетевшие из стакана, усеяли область вокруг него в радиусе R (см. рисунок). Высота стакана h, радиус г, осколки разлетелись в момент взрыва во все стороны с одинаковой скоростью. Определите эту скорость. б) После взрыва снаряда, лежащего в центре дна цилиндрического колод¬ ца глубины h и радиуса г, осколки снаряда, вылетевшие из колодца, усеяли область вокруг него в радиусе R (см рисунок). Осколки в момент взрыва раз¬ летелись во все стороны с одинаковой скоростью. Определите эту скорость. 1.3.17. * С какой минимальной скоростью можно бросить камень через здание высоты Н с куполообразной крышей радиуса R1 1.3.18. * а) С какой скоростью должен скользить шарик радиуса г по гори¬ зонтальной доске, чтобы, достигнув края доски, оторваться от неё? б) Горизонтальная доска имеет на конце закругление радиуса R, С какой скоростью должен скользить по доске шарик радиуса г, чтобы, достигнув начала округления доски, оторваться от неё?
Физика в задачах 17 1.3.19. Какое дополнительное ускорение в горизонтальном на¬ правлении должен развить реактив¬ ный снаряд, выстреливаемый гори¬ зонтально с высоты h (см. рисунок), чтобы удвоить дальность полёта в сравнении с дальностью £, которая была при выключенном двигателе. 1.3.20. Ракета на старте развива¬ ет дополнительное ускорение а под углом а к горизонту, asina>g. Через время т после старта тяга вы¬ ключается. Определите длитель¬ ность и дальность полёта ракеты. 1.3.21. Из орудия под углом а к горизонту произведён выстрел ре¬ активным снарядом (см. рисунок). Начальная скорость снаряда v, и 8 а К задаче 1.3.21 сразу же после выстрела развивает постоянное дополнительное ускорение а в направлении выстрела. Определите время полёта, дальность полёта и макси¬ мальную высоту подъёма снаряда. § 4. ДВИЖЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМ УСКОРЕНИЕМ Тело только в редких случаях в течение длительного времени движется с постоянным ускорением. Чем меньше рассматриваемый промежуток време¬ ни, тем меньше меняется ускорение. В предельно малом промежутке времени dt ускорение постоянно и изменение скорости в этот промежуток времени определяется формулой: dv = adt, где вектор а называется мгновенным ускорением или ускорением. Приведем несколько примеров движения с переменным ускорением. Пример 4.1. По прямой линии движутся два тела. Расстояние, которое проходит за время t первое тело, равно Cxt2, а второе С2/3. Как меняется со временем скорость и ускорение этих тел? Решение. Скорость и ускорение первого тела в момент времени / опреде¬ ляется равенствами: v = Ct(t + dtf-с/ dt = 2 CJ + C,dt = 2 С,/, J 1 dt-> о 1
18 Глава 1. Кинематика а 2 Cj (t + dt}-2Cj dt 2 Cv а скорость и ускорение второго тела - равенствами: 3 ~ £ ■ 2 * ~ * \2 v=C2(t + dt) С/ =3Cf+3 c2tdt + c^dty = 3C/, dt dt-> 0 -iCAt + dt) -ЪС/ a = -JA 1 L_ = 6C,t + 3C2dt = 6 C2t, dt 2 2 2 так как dt стремится к 0. Пример 4.2. Чем меньше скорость лодки v, тем слабее она тормозится: а - dv/dt = -av. Какое расстояние пройдёт лодка, которой сообщили скорость v0, до её остановки5? Как зависит путь, пройденный лодкой от времени? Решение. Задача связана с функцией Сеш, которая называется экспонен¬ циальной зависимостью, а - экспонентой с показателем а (рис. 4.1). Через промежуток времени т = 1/|а| экспонента с положительным показателем а увеличится в е = 2,718281828459045... раз, а с отрицательным - во столько же раз уменьшится. Экспоненциальное возрастание и затухание имеет место тогда, когда скорость изменения величины х пропор¬ циональна х: —~ах. Показатель экспоненты . dt 6 равен коэффициенту пропорциональности а. Поэтому, когда а положительно и скорость 4 изменения величины тем больше, чем больше эта величина, имеет место экспоненциальное 2 возрастание этой величины, а когда а отрица¬ тельно и скорость уменьшения величины тем меньше, чем меньше величина, имеет место экспоненциальное затухание этой величины. На рисунке ниже изображена возрастающая и затухающая экспонента с l/|a| = 1 с . Уменьшение скорости (-dv) - avdt = adt, а уменьшение скорости v0 - v = а/, где / - пройденный путь. Поэтому искомое расстояние £~v0/a, так как скорость лодки уменьшилась на v0. Скорость изменения скорости пропорциональна скорости. Коэффициент пропорциональности равен -а. Поэтому скорость убывает экспоненциально: v = v0e~M, а I = (a0/a)(l - е~ш), так как за время t скорость уменьшилась на vQ(\-e ш). Зависимость пути от 5 Формула справедлива при малых скоростях лодки
Физика в задачах 19 времени изображена на рис. 4.2 в случае, ко- 2 гда а = 1 c_i и v = 2 м/с. Если чуть отклонить маятник, а затем от- М пустить его, то он будет двигаться к положе¬ нию равновесия с ускорением тем большим, i чем больше его отклонение х : а = ~®ох» 0,5 - положительная постоянная величина, разная у разных маятников. Подобная зави- 0 симость ускорения тел при малых отклоне¬ ниях от положения устойчивого равновесия универсальна и вблизи равновесия все тела движутся синусоидально: х = ,4cos(co0r + (p) = i4sin(oo0f + ср + тг/2). При малых колебаниях тела вблизи равновесия амплитуда колебаний А и фаза ср могут иметь любые значения, но со0 — угловая частота колебаний— для этого тела, своя неизменная величина. Пример 4.3. На рис. 4.3 изображено неболь¬ шое тело, которое движется со скоростью со0А по окружности радиуса А. В нулевой момент времени радиус, соединяющий тело с центром окружности, образует с осью X угол ф. На ось X падает перпендикулярно световой поток. Как за¬ висит от времени расстояние тени тела до центра окружности, а также скорость и ускорение тела? Решение. Расстояние тени до центра окружно¬ сти О в момент времени t определяется формулой: х = ^4cos((o0/ + ф), а скорость и ускорение тени - формулами: v = -Нш0 sin (су + ф), а - -Аю20 cos (со0/ + ф) = -(о20х. Этот результат можно получить, если спроектировать скорость и ускорение на ось АГ. Таким образом, тень тела, движущегося по окружности радиуса А со скоростью Лсо0 повторяет колебательное движение тела с амплитудой А и фазой ф в случае, если угловая частота равна ш0. Когда скорость и ускорение сложным образом зависят от времени, напри¬ мер, так, как это изображено на рис. 4.4, то используется графический метод. В первом случае расстояние, пройденное телом за время t2-t{, равно площа¬ ди закрашенной фигуры, сначала деленной на площадь 50, а затем умножен¬ ной на v0x0. Во втором случае изменение скорости за время t2 - tx равно за- 0 2 4 6 8 Рис. 4.2
20 Глава 1. Кинематика штрихованной площади, деленной на S0, а затем умноженной на а0т0. Пример 4.4. Г рафик зависимости скорости тела от времени имеет вид по¬ луокружности (рис. 4.5). Максимальная скорость тела v0, время движения т0. Определите путь, пройденный телом. Решение. Площадь заштрихованного квадрата (см. рис. 4.5) равна R1, если R - радиус полуокружности. Она соответству¬ ет пути у0т0/2 . Путь I пройденный телом во столько раз больше и0т0 /2, во сколько раз площадь полуокружности больше площади квадрата. Поэтому: l = \v0J~nR2/R2 Z \Z — nv0T0. Задачи и упражнения 1.4.1. Стартуя, гонщик линейно наращивает ускорение своего автомобиля. Через время т после старта, он имел скорость v . На каком расстоянии от старта он находился в это время, через время Зт после старта? 1.4.2. Ускорение сначала неподвижного тела в течение времени т линейно увеличи¬ лось с 0 до а, а затем с такой же скоростью уменьшилось до 0. Определить максималь¬ ную скорость тела. 1.4.3. Зависимость ускорение ракеты изо¬ бражена на рисунке. Определите скорость и расстояние ракеты от места старта в момент времени t > t2. 1.4А* Мальчик начал раздувать воздушный шарик и через время t его радиус стал R. С какой скоростью в этот момент времени двигалась поверхность шарика, если считать, что объем шарика увеличивается равномерно? 1.4.5.* Через какое время исчезнет капля радиуса R, если с единицы по¬ К задаче .1.4.3
Физика в задачах 21 верхности в единицу времени испарился объём жидкости q ? 1.4.6.* Из конической воронки с углом а при вер¬ шине конуса, через трубку радиуса г, со скоростью vQ, вытекает жидкость (см. рисунок). В нулевой мо¬ мент времени уровень жидкости в воронке находится на расстоянии h от вершины конуса. Как зависит от времени скорость движения уровня жидкости? К задаче 1.4,6 1.4.7. * Нефть, равномерно вытекающая из танкера, потерпевшего аварию, через время /0 растеклась по воде вокруг него в радиусе R. Толщина слоя нефти h. Какой объём нефти в единицу времени вытекает из танкера? С какой скоростью увеличивается радиус пятна через время t после аварии? 1.4.8. Через 2 с после толчка скорость лодки уменьшилась в два раза. Во сколько раз уменьшится скорость лодки через 10 с после толчка, если тормо¬ жение лодки пропорционально её скорости? 1.4.9. Скользящая с постоянной скоростью шайба попадает на вязкую дорож¬ ку ширины h, на которой ускорение шайбы отрицательно и линейно зависит от скорости: а = ~av. На сколько уменьшится скорость шайбы после дорожки? 1.4.10. * а) Если шарик скатывается с горки, то его уско¬ рение пропорционально расстоянию х до вершины горки: а - а2х (см. рисунок). Докажите, что ускорение так зави¬ сит от расстояния х до вершины горки, когда расстояние х следующим образом зависит от времени: х = Схеш + С2е~ш, где Сх и С2 - произвольные постоянные. б) В задаче а), на вершине горки, шарик имеет скорость v0. На каком рас¬ стоянии от вершины будет находиться шарик, и какую скорость он будет иметь спустя время / ? 1.4.11. Определите, пользуясь рисунком к примеру 4.3, период колебания тела вблизи равновесия, если его максимальная скорость v0, а максимальное отклонение от положения равновесия х0. 1.4.12. Колеблющееся вблизи равновесия тело за время 0,01 с сместилось на расстояние 0,5 см от положения равновесия до наибольшего, равного 1 см. Каков период колебания тела? 1.4.13. Зависимость скорости центра мяча при ударе его о стенку - полу- период косинусоиды: v = ^Ocos(o/t), 0</<л/о), если время отсчитывается от начала контакта мяча со стенкой. Определите путь, пройденный мячом по направлению к стенке, во время контакта с нею, пользуясь, рис. 4.3. 1.4.14. Горизонтальная мембрана совершает гармонические колебания по вертикали с частотой ю и амплитудой А. На мембране лежит грузик. При ка¬ ких амплитудах А он будет колебаться вместе с мембраной, а при каких нач¬ нёт подскакивать? Ускорение свободного падения равно g .
22 Глава 1. Кинематика 1.4.15. * а) Зависимость скорости тела от времени изображена на рисунке. Кривая линия на этом рисунке- четверть окружности. На¬ чиная с момента времени т, тело движется с постоянной скоростью v0. Определите путь, пройденный телом за время t, если t > х. б) Зависимость ускорения тела от време¬ ни изображена на рисунке. Кривая линия на графике состоит из полуокружности. Начи¬ ная с момента времени т, тело движется с постоянным ускорением а0. Определите скорость тела в момент времени /, если t > т. 1.4.16. Мотоциклист, движущийся со скоростью 72 км/ч, на повороте радиуса 200 м тормозит и через 20 с останавливается. Скорость на повороте вплоть до остановки мотоциклиста уменьшалась линейно от времени. Чему равно нормальное и полное ускорение в начале поворота? 1.4.17. а) Тело движется по окружности радиуса R со скоростью, которая линейно зависит от времени: v = a0t. Как зависит от времени полное ускоре¬ ние тела? б)* Решите задачу а) в случае, если скорость квадратично зависит от вре¬ мени: v-at2. 1.4.18. * По окружности радиуса R движет¬ ся тело, скорость которого пропорциональна времени v = a0t (см. рисунок). В нулевой мо¬ мент времени тело находилось на оси справа от центра окружности. Тело освещается све¬ том, падающим перпендикулярно к оси х. Че¬ му равна скорость и ускорение тени тела на оси х в момент времени ft 1.4.19. Частица движется по спирали радиу¬ са R, с шагом А. Чему равно ускорение частицы, если она движется по спирали с постоянной по величине скоростью v0, если её скорость ли¬ нейно увеличивается по закону v = a0t ? 1.4.20. Определить скорость линии пересе¬ чения двух лучей прожекторов, которые вра¬ щаются в противоположных направлениях с угловой скоростью ш в момент, когда угол к горизонту обоих прожекторов равен ср (см. ри¬
Физика в задачах 23 сунок). Расстояние между прожекторами рав¬ но 2 L 1.4.21. Автомобиль с включёнными фара¬ ми движется перпендикулярно стене. На рас¬ стоянии L от стены он делает поворот радиу¬ са R (см. рисунок). Как зависит скорость све¬ товых пятен на стене от угла поворота авто¬ мобиля ср? Скорость автомобиля постоянна и равна v. 1.4.22. * По палочке, которая вращается во¬ круг точки О так, как показано на рисунке, ползёт жук. Угловая скорость палочки ю. Жук удаляется от центра О со скоростью v0. Опре¬ делите скорость и ускорение жука на расстоя¬ нии I от точки О. 1.4.23. * Бревно, упираясь нижним концом в угол между стенкой и землёй, касается дна грузовика на высоте h от земли (см. рисунок). Длина бревна t. Определите скорость и ус¬ корение верхнего конца бревна в зависимости от угла а между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью м. 1.4.24. Бусинка может двигаться по кольцу радиуса R, подталкиваемая спицей, которая равномерно вращается с угловой скоростью со в плоскости кольца (см. рисунок). Ось вращения спицы находится на кольце. Определите макси¬ мальное ускорение бусинки. 1.4.25*. Скорость протяжки магнитофонной плёнки vQ. Начальный радиус бобины (с плёнкой) R, а конечный (без плёнки) г. Толщин пленки Л, /г <зс г . Как зависит от вре¬ мени радиус бобины? С какой скоростью он уменьшается? 1.4.26. * За лисой, бегущей прямолинейно с постоянной скоростью v, го¬ нится собака со скоростью и, которая всегда направлена на лису. В момент, когда векторы скоростей собаки и лисы перпендикулярны, расстояние между ними I. С каким ускорением двигалась в это время собака? 1.4.27. * а) Четыре черепахи находятся в нулевой момент времени в вер¬ шинах квадрата со стороной ( (см. рисунок). Они двигаются с постоянной по величине скоростью v. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелки. С каким ускорением двигаются черепахи в нуле¬ вой момент времени, в момент времени ft
24 Глава 1. Кинематика б) Три черепахи находятся в нулевой момент вре¬ мени в вершинах правильного треугольника со сторо¬ ной I. Они двигаются с постоянной скоростью v, ка¬ ждая по направлению к своей соседке (см. рисунок). Их движение происходит по часовой стрелке. Где встретятся черепахи, и в какой момент времени? С каким ускорением двигались черепахи в нулевой момент времени, в момент времени t? 1.4.28.* По палочке, которая вращается вокруг своего конца с угловой скоростью со, движется бусин¬ ка, удаляясь от центра со скоростью и (см. рисунок). Как зависит радиус кривизны траектории бусинки вращения? К задаче 1.4.27,а от расстояния до центра К задаче 1.4.27,6 К задаче 1.4.28 § 5. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА При поступательном движении твёрдого те¬ ла скорости всех его точек одинаковы (рис. 5.1). При вращательном движении ско¬ рость любой точки твёрдого тела перпендику¬ лярна радиусу г, который соединяет эту точку с осью вращения О (рис. 5.2.). Величина скорости при вращательном дви¬ жении пропорциональна г: v~(or 9 где ш - угловая скорость тела. В течение малого промежутка времени dt лю¬ бое движение твёрдого тела можно рассматривать как наложение вращатель¬ ного и поступательного движения. Ось вращения О (рис. 5.3) называется мгновенной осью вращения. Колесо радиуса 7?, изображённое на рис. 5.4, ка¬ тится по плоскости со скоростью v . В любой момент времени это движение Рис. 5.1
Физика в задачах 25 можно представить только как мгновенное вра¬ щение е угловой скоростью со = v/R по часовой стрелки вокруг точки касания колеса с плоско¬ стью. Но можно представить это движение как наложение поступательного движения колеса со скоростью v и его вращения вокруг центра ко¬ леса с угловой скоростью со = v/R по часовой стрелки. И в первом и во втором случае мгновен¬ ная ось вращения движется со скоростью v. 2со R v 2v Пример 5.1. Определите скорость на ободе диска радиуса R в верхней части обода и на уровне центра диска, который катится без проскальзывания по плоскости со скоростью и. Решение. Движение диска должно быть таким, чтобы нижний участок диска был неподвижен, так как диск катится, а не скользит. Это происхо¬ дит при наложении поступательного движения со скоростью v и такого вращения по часовой стрел¬ ке вокруг центра диска, когда скорости участков диска на ободе равны v (см. рис. 5.5)). Наложение этих двух движений даёт на ободе нулевую ско¬ рость внизу, скорость 2v наверху и скорость yjlv на уровне центра. Это же движение можно рассматривать и как мгновенное вращение диска вокруг нижней точки с угловой скоростью Cd = v/R по часовой стрелке, когда мгновенный центр вращения пе¬ ремешается со скоростью v (см. рис. 5.6)), В этом случае верхний участок обода движется со скоростью 2R - 2v, а участки обода на уровне центра - со скоростью W2 = Vyjl. Рис. 5.6
26 Глава 1. Кинематика Задачи и упражнения 1.5Л. Скорость на краю наждачного диска <7к=10м/с. Радиус диска R = 20 см. Сколько оборотов он делает в секунду? Какова его угловая ско¬ рость? С какой скоростью движутся участки диска на расстоянии г - 10 см от оси вращения? 1.5.2. Цилиндрический снаряд, летящий в направлении своей оси со скоростью V, одно¬ временно вращается вокруг этой оси с угловой скоростью со (см. рисунок). Определите мини¬ мальную и максимальную скорость на поверх¬ ности снаряда, если радиус снаряда R. 1.5.3. Определите скорость центра Земли, связанную с её вращением во¬ круг Солнца. Насколько может отличаться величина этой скорости от скоро¬ сти на экваторе из-за движения Земли вокруг своей оси? Расстояние до Солн¬ ца 1,5-108 км, радиус Земли 6,4Л03км. 1.5.4. Луна обращена к Земле одной стороной. Расстояние от Земли до Лу¬ ны 3,8-Ю5 км , радиус Луны 1,7НО3 км . Насколько отличается скорость по¬ верхности Луны наиболее близкой к Земле и наиболее удалённой от нее? 1.5.5. а) Автомобиль движется без проскальзывания колёс со скоростью v0. Определите максимальную скорость на ободе колеса. б) Чему равны скорости верхних участков гусеницы трактора, который движется со скоростью v0 ? Как меняется скорость этих участков в зависимо¬ сти от их расстояния до земли А, если радиус колеса трактора R7 1.5.6. Диск радиуса R катится по плоскости со скоростью V. а) Определите скорости точек на ободе диска на уровне R/2 и 3R/2 от поверхности. б) Определите минимальную и максимальную скорость точки, которая на¬ ходится на расстоянии г от центра диска, r<R. в) Чему равно ускорение точек на ободе диска; на расстоянии г от центра диска, (г<Я)? 1.5.7. * Как зависит ускорение точек на ободе колеса радиуса R в верхней части обода и на уровне центра от его скорости, если колесо катится с уско¬ рением д0? 1.5.8. а) На каком расстоянии находятся соседние вершины траектории6 точки обода диска радиуса R, который катится по плоскости (см. рисунок)? Как зависит радиус кривизны траектории от расстояния до плоскости? 6 Эта траектория называется циклоидой от греч. кюкЛоаЗ^- кругообразный круг¬ лый. На рисунке представлен пример циклоиды.
Физика в задачах 2 б) Решите задачу а) для траектории точки, которая находится на расстоя нии г от центра диска, г < R . 1.5.9. Колесо радиуса R катится по горизон¬ тальной плоскости без проскальзывания (см. рисунок). От задней точки колеса, находящей¬ ся на уровне оси отрывается комочек грязи. С какой скоростью движется колесо, если комо¬ чек опустился на то же место, с которого он оторвался? 1.5.10. Человек держит один край длинной доски (см. рисунок). Второй её край лежит на круглой бочке. Человек, толкая доску, идёт к бочке. Какое расстояние он пройдёт, прежде чем приблизится к ней? Доска параллельна полу. Проскальзывание между доской и боч¬ кой, бочкой и полом отсутствуют. Длина доски L. 1.5.11. Шарик радиуса R находится между двумя параллельными плоскостями, одна из которых движется вправо со скорость v, а вторая - влево со скоростью и (см. рисунок). Проскальзывания между плоскостями и шари¬ ком нет. С какой скоростью движется центр шарика? С какой угловой скоростью вращает¬ ся шарик относительно оси, проходящей через его центр? 1.5.12. * По внутренней поверхности закре¬ плённого цилиндра радиуса 2R катится без проскальзывания колесо радиуса R (см. рису¬ нок). Как зависит от времени скорость и уско¬ рение точки обода? За начало отсчёта времени возьмём момент, когда точка соприкасается с поверхностью цилиндра. 1.5.13. Внутренний радиус подшипника R, внешний - (R + 2r) (см. рисунок). Определи¬ те скорость шариков, когда внешняя часть v К задаче 1.5.11
28 Глава 1. Кинематика подшипника, которая опирается на шарики, двигается с угловой скоростью со, а внутрен¬ няя часть неподвижна. Проскальзывания ша¬ риков с поверхностями, с которыми они име¬ ют контакт, нет. 1.5.14. Скорости концов палки длины £, равны v и 2v, перпендикулярны палке и на¬ правлены в разные стороны (см. рисунок). На каком расстоянии от ближайшего конца нахо¬ дится неподвижный участок палки? 1.5.15. Стержень длины £ упирается своими концами в стороны прямого угла. Нижний конец стержня движется со скоро¬ стью v (см. рисунок). С какой скоростью движется верхний конец стержня и его центр, когда стержень образует угол а с нижней стороной угла? 1.5.16. Скорость точки А твердого тела об¬ разует угол а с прямой АВ9 а точки В - угол р (см. рисунок). Скорость точки А равна V. Чему равна скорость точки В, если обе скорости ле¬ жат в плоскости чертежа? Чем равна скорость в центре прямой АВ1 1.5.17. Клин с углом а, движущийся со скоростью v по вертикальной стенке, застав¬ ляет двигаться по горизонтальной плоскости цилиндр радиуса R (см. рисунок). С какой скоростью движется цилиндр? Чему равна угловая скорость цилиндра относительно его центра, если нет проскальзывания между ци¬ линдром и горизонтальной плоскостью? Если нет проскальзывания между цилиндром и клином? V 2v К задаче 1.5.14 К задаче 1.5.15 К задаче 1.5.17 § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАЛИЛЕЯ Когда скорости тел много меньше скорости света с = 3 ■ 108 м/с, то справед¬ ливо утверждение. Если существует одно состояние движения тел, то может су¬ ществовать и другое состояние, в котором лишь скорости этих тел отличаются на постоянный вектор v , а относительно расположение тел остается тем же. В таких случаях говорят, что второе состояние «движется со скоростью v », а пер¬
Физика в задачах 29 вое неподвижно (если Вы систему отсчета связали с первым состоянием). Пример 6.1. Вы находитесь на пристани, от которой со скоростью v от¬ плывает пароход. Данное событие схематично изображено на рис. 6.1. С какой скоростью удаляются от Вас предметы на пароходе, выделенные на рисунке кружками? Скорости этих предметов относительно парохода указа¬ ны на рисунке. пассажир стрелка часов кот Рис. 6.1 Решение. На палубе относительно пристани все предметы приобретают дополнительную скорость v (см. рис. 6.1). Пассажир имеет скорость vjl. Кот, бегущий по палубе, движется со скоростью 2v, а конец стрелки часов - со скоростью л/а2 +иг . а) -и б) в) о-*- о— ft+u о -&+Я) Q (Я+21Г) -и о Рис. 6.2 Пример 6.2. При нормальном упругом ударе тела о неподвижную стенку его скорость v меняется лишь по направлению (рис. 6.2,6). Определите, на какую величину изменится после удара скорость этого тела, если стенка дви¬ жется со скоростью и навстречу телу (рис. 6.2,6). Решение. На рис. 6.2,6 изображено отражение шарика, имеющего скорость v + и, от неподвижной стенки, в) - состояние движения, полученное из пер¬ вого состояния, когда скоростям всех тел прибавить скорость (-и). В новом состоянии стенка движется со скоростью (-и) навстречу шарику, летящему на стенку со скоростью д. Отражённый шарик в этом состоянии летит от
30 Глава 1. Кинематика стенки с абсолютной скоростью v + 2и. Значит шарик при отражении от стенки увеличил свою абсолютную скорость на 2и . Пример 63. Две одинаковые космические станции движутся навстречу друг другу со скоростями 1 м/с и 3 м/с. Определите скорости станции после их стыковки. Решение. Две одинаковые станции, летящие на встречу друг другу с оди¬ наковыми скоростями 2 м/с, после стыковки останавливаются, т. к. ситуация абсолютно симметричная. Если ко всем скоростям добавить скорость v в на¬ правлении движения какой-либо из станции, то мы получим картину движе¬ ния, приведённую в условии задачи. Из описанного выше следует, что после стыковки станции будут двигаться со скоростью 1м/с. Пример 6.4. На рис. 6.3 изображены скорости шести зайцев, выпущенных ста¬ рым Мазаем в системе координат, в кото¬ рой Мазай неподвижен. Нарисуйте век¬ тор скорости Мазая и векторы скоростей остальных зайцев в системе координат, в которой один из зайцев неподвижен. Решение. Согласно принципу относи¬ тельности Галилея, в системе координат, в которой один из зайцев, например, заяц 1, неподвижен, мир выглядит таким же, как и в неподвижной системе координат, если ко всем скоростям зайцев и Мазая прибавить скорость, которая равна по величине скорости зайца 1, но направлена противоположно. Эта ситуация представлена на рис. 6.4. Задачи и упражнения 1.6.1. Пароход отчаливает от пристани со скоростью v. С какой скоро¬ стью удаляются от пристани объекты, выделенные на рисунке. Скорости этих объектов указаны на рисунке. 1.6.2. а) При нормальном упругом ударе шарика о неподвижную поверх¬ ность его скорость меняет направление, но величина скорости не меняется. Определите, во сколько раз изменится скорость шарика при нормальном уп¬ ругом ударе о стенку, которая движется со скоростью в три раза меньшей, чем скорость шарика, в том же направлении, что и шарик (см. рисунок). 2 3 4 Рис. 6.3 4 Рис. 6.4 К задаче 1.6.1
Физика в задачах 31 О К задаче 1.6.2,а и К задаче 1.6.2,б б) Тело движется под углом 45° к плоскости стенки, как это изображено на рисунке. Стенка движется со скоростью и, которая перпендикулярна плоскости стенки. Скорость тела до удара о стенку v . Определи¬ те величину скорости тела после упругого удара о стенку. в) Навстречу автомобилю «КАМАЗ» со скоростью 5,5 м/с летит упругий шарик. Скорость автомобиля «КАМАЗ» - 40 км/ч. Во сколько раз скорость шарика сразу же после удара будет больше скорости автомо¬ биля «КАМАЗ»? 1.6.3. Две одинаковые космические станции летят на¬ встречу друг другу со скоростями v и 5v . Определите скорости этих двух станций после их стыковки. 1.6.4. Крейсер движется со скоростью v, а миноносец со скоростью й (см. рису¬ нок). Когда корабли были на расстоянии L, их скорости образовывали с линией, соеди¬ няющей корабли, углы аир, соответст¬ венно. На каком минимальном расстоянии пройдут корабли друг от друга? 1.6.5. На рисунке изображены скорости четырёх зайцев, выпущенных Мазаем. Сис¬ тема координат выбрана такой, в которой Мазай неподвижен. Нарисуйте векторы скоростей остальных зайцев и Мазая в сис¬ теме координат, в которой один из зайцев К задаче 1.6.5 неподвижен. ^ 1.6.6. * Одна из частиц пылевого облака (частица А) покоится, а все ос¬ тальные разлетаются от неё в различные стороны со скоростями пропор¬ циональными расстоянию от частицы А (см. рисунок). Какую картину движения обнаружит наблюдатель, движущийся вместе с частицей В? 1.6.7. * Нить, привязанная концами к по¬ толку и полу, проходит через тонкую пря¬ мую трубу, как это показано на рисунке. В некоторый момент времени труба состав¬ ляет угол а с вертикалью и движется со скоростью д, которая направлена вниз. Участки нити вне трубы вертикальны. С какой скоростью движется в этот момент времени нить в трубе? 1.6.8. а) В U-образной тонкой трубе скользит нить (см. рисунок). Скорость вхо- К задаче 1.6.4 1 М \ \! ,у ч \\ [ Г'/,/ S/I ■ / / VV4 \ \ К задаче 1.6.6
32 Глава 1. Кинематика дящего в трубу конца равна v, выходяще¬ го - и . С какой скоростью движется труба? б) Тонкая труба изогнута в виде почти замкнутой окружности. В этой трубе сколь¬ зит упругая нить (см. рисунок). Скорость участка нити, входящего в трубу v, скорость трубы 2 v. Обе скорости одинаково направ¬ лены. С какой максимальной скоростью движется К задаче 1.6.7 участок нити в трубе? К задаче 1.6.8,а 1.6.9. а) В поток космической пыли влетает шар радиуса R. Скорость пы¬ линок v, скорость шара перпендикулярна скорости пылинок и равна й . Ко¬ личество пылинок в единице объёма п, время пребывания шара в потоке Т. Определите число пылинок, осевших на поверхности шара. б) Решить задачу а), если в поток влетел цилиндр радиуса R и длины L. Ось цилиндра ориентирована вдоль его скорости. Как нужно изменить ори¬ ентацию цилиндра, чтобы количество пылинок, осевших на его поверхности, было максимальным? 1.6.10. С угла квадратного плота спрыгнул пёс и плывёт вокруг плота, двигаясь вдоль его сторон. Нарисуйте траекторию движения пса относитель¬ но берега, если скорость пса относительно воды составляет половину скоро¬ сти течения. 1.6.11. При порывах ветра капли дождя, ранее падавшие из-за ветра под углом а к горизонту, падают под более острым углом р. Во сколько раз уве¬ личивается скорость ветра при порывах? 1.6.12. Скорость самолёта относительно воздуха и. Во сколько раз изменится длительность рейса самолёта туда и обратно, проходящего по прямой, если в течение всего полёта под углом а к траектории дует ветер со скоростью v . 1.6.13. а) Дым из выхлопной трубы автомобиля, который движется со ско¬ ростью v по просёлочной дороге, стелется под углом а к ней, а дым от кост¬ ра - под углом р. Определите скорость ветра. б) Два корабля идут встречным курсом с одинаковой скоростью v. Дым от одного корабля стелется под углом а, а от другого - под углом Р к трассе. Определите скорость ветра над морем. в) Решите задачу б) в случае, если скорость первого корабля vx, а второго v2. 1.6.14. На быстрине скорость течения реки 10 м/с, а на разливе реки - 5 м/с. Расстояние между берегами на быстрине 40 м, на разливе 100 м. Пловец плы¬ вёт прямо на берег. Где отнесёт его больше, - на разливе или на быстрине?
Физика в задачах 33 1.6.15. Тело отпускают в поле тяжести на высоте h от горизонтально расположенной плиты, которая движется вниз со скоростью и, (см. рисунок). Опре¬ делите время между последовательными ударами те¬ ла о плиту. Удары абсолютно упругие. Ускорение свободного падения g . 1.6.16. Двигаясь в поле тяжести, тело влетает со скоростью и под углом а к горизонту в пространство между двумя вертикальными пластинами, которые движутся с постоянной скоростью й, как показано на рисунке. Определите скорость тела, после п -го удара. Расстояние между стенками много больше размеров тела и равно £. Удары абсолютно упругие. Ускорение свободного падения g. и К задаче 1.6.15 g и и jt '1 j * К задаче 1.6.16 1.6.17. Ядра, движущиеся в пучке со скоростью и, распадаются на оскол¬ ки. Экспериментатор измеряет скорости осколков, вылетающих в направле¬ нии, перпендикулярном пучку. Скорость осколков в этом направлении оказа¬ лась равной w. Нужно определить направление, в котором летят самые быст¬ рые осколки и их скорость. 1.6.18. Ядро, летящее со скоростью и, распадается на два одинаковых ос¬ колка. Определите максимально возможный угол между скоростью одного из осколков и первоначальной скоростью ядра, если при распаде покоящегося ядра осколки разлетаются со скоростью v, v < и. 1.6.19. Имеется пучок одинаковых ядер, дви¬ жущихся параллельно со скоростью н. Ядра в пучке самопроизвольно делятся на два одинако¬ вых осколка. Скорость осколков, движущихся в направлении пучка, в к раз больше скорости ядер. Найдите скорость осколков, движущихся в направлении, перпендикулярном пучку. 1.6.20. Скорость невязкой жидкости, падаю¬ щей под углом а на жёсткую плоскость, вдали от места падения имеет одну и ту же величину, если скорость в падающей жидкости направлена вдоль струи (см. рисунок, а). Определить мини¬ мальную и максимальную скорость жидкости, если скорость падающей жидкости направлена поперёк струи (см. рисунок, б) и равна й . 1.6.21. Две длинные и широкие пластины, расположенные под углом 2а друг к другу, движутся со скоростью и по нормали к своим поверхностям. Найдите скорость струй, возникающих при столкновении пластин, если дви¬ жение материала пластин рассматривать как движение идеальной жидкости.
34 Глава 1. Кинематика 1.6.22. Академик М. А. Лаврентьев расска¬ зывал: «... В 1941 г. немцы придумали кумуля¬ тивный противотанковый снаряд. На конусе снаряда - запал. При ударе он вызывает дето¬ нацию и воспламеняет весь снаряд. Снаряд пробивает броню (см. рисунок, а). В 1944 г. такие снаряды попали в наши руки и руки со¬ юзников. Начался широкий эксперимент. При этом обнаружили много дополнительных эф¬ фектов и парадоксов. Стали выяснять - что же летит, что пробивает? Сперва думали, что этот снаряд бронепрожигающий, что броню пронзает струя горящего газа. Нет, оказалось, что летит металл, причём самым необъяснимым образом: перед плитой скорость около 8 км/с, внутри плиты 4 км/с, за плитой - снова 8 км/с (см. рисунок, б). Как это может быть? Ни механика, ни газовая динамика не могли дать ответа. А решение оказалось чрезвычайно простым! Даже математический аппарат уже был: за 15 лет до это¬ го в гидродинамики уже была теория - теория жидких струй. И она целиком по¬ дошла к этой задаче. Дело в том, что при давлении в тысячи атмосфер прочность металла уже не важна. И как это ни парадоксально - железо можно считать жидкостью ...». Объясните это явление. а) § 7. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ Высота подъёма камня, брошенного вертикально вверх, через время t по¬ сле броска, определяется формулой: h = h0+v0t-^gt2, (1) где h0 и v0 - высота и скорость тела в момент броска. Колебание тела массы т , связанного пружиной жёсткости к со стенкой, описывается формулой: vQ . X = х0 cos co0f + — sin ш0/, (0n (2) где x, x0 - соответственно расстояние до положения равновесия тела в мо¬ мент времени t ив нулевой момент времени, v0 - скорость тела в нулевой момент времени, в ш0 = yjk/m . Уравнения (1) и (2) называются уравнениями движения и описывают все возможные варианты движения тел: (1)- в поле тяжести, (2) - при наличии упругой силы. Приведённые примеры демонстри¬ руют общие свойства движений в механике по прямой линии. Уравнение
Физика в задачах 35 движения включает в себя два произвольных параметра. В рассмотренных случаях - это координата и скорость тела в нулевой момент времени. Но не обязательно эти параметры являются координатой и скоростью в нулевой момент времени. Иногда уравнение движения по вертикали в поле тяжести удобнее записать следующим образом: h = v0{t-t,)~g(t-trf, (3) а уравнение движения тела на пружине часто записывают в форме: х = A cos (со0Г + ф), (4) где v0 и t0 в (3) и А и ф в (4) - параметры, определяемые условиями движения. Пример 7.1. Тело, брошенное вертикально вверх в момент времени t0 на¬ ходилось на высоте h0, а в момент времени - на высоте Л,. Как зависит высота подъёма тела от времени / ? Решение. Уравнение движения тела: h = A + Bt — gt2 h0 = A + Bt0-~gt h1 = A + Bt1 Вычитая из второго уравнения первое, получаем: К - К = В (А - 'о ) - \ё (tf - 'о ) следовательно: Поэтому, „ А, - йп 1 / ч B~TZt + r°)’ Ч *0 z A = h0-Bt0+-gt0 1 2 ><h,. -t,,h, 1 т_ч) io"i h ~ h g4o- h = Vi~Vo 1 •04 h ~ ~~g¥o + h, - An 1 / ч 1 f-s-+-zg{ti+t0)t--gr V h h A A J Пример 7.2. Колебания тела на пружине происходят с частотой ©0. В ну¬ левой момент тело находилось на расстоянии х0 от положения равновесия, и скорость тела была равна ш0х0. Определите амплитуду и начальную фазу ко¬ лебания. Решение. Уравнение движения х — ^cos(©0/ + 9).
36 Глава 1. Кинематика Поэтому скорость равна v = dx dt = х sin(co0/ + q>). Следовательно, < х(0) = -А(й0 sirup = х(0) = ^coscp = х0 При движении тела по плоскости уравнение движения содержит четыре произвольные постоянные, в пространстве - шесть. Обычно, эти постоянные определяются по начальным координатам (2 координаты на плоскости, 3 - в пространстве) и по начальным скоростям (2 составляющие скорости на плос¬ кости, 3 - в пространстве). 1.7.1. Тело, брошенное вертикально верх в момент времени /0 находилось на высоте h и имело скорость v . На какой высоте находилось тело в момент времени ft 1.7.2. Колебания тела на пружине происходят с частотой ш0. В момент времени t0 тело находилось на расстоянии х0 от положения равновесия и скорость тела был равна v0. Как скорость тела зависит от времени? 1.7.3. Через время t после выстрела снаряд находился на высоте h и на рас¬ стоянии I по горизонтали от пушки. Определите время и дальность полёта снаряда. 1.7.4. Через промежуток времени t угол наклона скорости снаряда к гори¬ зонту уменьшился с а до р. Как изменилась за это время высота полёта? Ка¬ кое расстояние по горизонтали пролетел снаряд? 1.7.5. Брошенный камень в момент времени tx был на высоте а в мо¬ мент t2 - на высоте h2. За этот промежуток времени камень пролетел в гори¬ зонтальном направлении расстояние I. Определите максимальную высоту подъёма и дальность полёта камня. 1.7.6. Уравнение движения тела, соскальзывающего с вершины сфериче¬ ского купола, при достаточно малых расстояниях по его вершине, имеет сле¬ дующий вид: где х - расстояние до вершины купола, а А±- постоянные, определённые условиями движения. Определите положение и скорость тела через время t после того, как его положили на купол на расстоянии х0 от вершины. Задачи и упражнения х = A+eyt + A_e~yt,
Физика в задачах 37 1.7.7. Найдите уравнение движения тела, торможение которого пропор¬ ционально скорости: х ~ -ух. Как будет меняться скорость тела, если в нуле¬ вой момент времени ему сообщили скорость v0 ? 1.7.8. * В атмосфере Земли отрицательное ускорение метеорита пропор¬ ционально квадрату его скорости: а = ~av2. Метеорит влетает в атмосферу Земли со скоростью v0 . Через какое время эта скорость уменьшится в 2 раза? 1.7.9. * Уравнение движения тела массы т , на пружине жёсткости к , при «жидком» трении определяется формулой: х = Ае yt cos где х - отклонение от положения равновесия, А и ф - постоянные, определяе¬ мые начальными условиями, со0 = yjkjm < у. Как зависит от времени х для тела, которое в нулевой момент времени проходит положение равновесия со скоростью v0 ? 1.7.10.* Для тела массы т, на пружине жесткости к при «жидком» тре¬ нии с у > yjk/m = ш0, уравнение движения имеет следующий вид: х = А. -(■у+лЛ + А е где х — отклонение от положения равновесия, А± - постоянные, определён¬ ные начальными условиями. Телу в положении равновесия сообщили ско¬ рость v0. Определите максимальное отклонение тела от положения равнове¬ сия. К какой величине стремится это отклонение при ш0 —> 0 . § 8. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО КИНЕМАТИКЕ В этом задании приводятся задачи, решение которых возможно в рамках школьной программы. Темы задач и последовательность этих тем повторяют темы и последовательности тем параграфы 1-4. Задачи каждой темы, как правило, расположены по мере возрастания трудности их решения. Задачи и упражнения 1.8.1. В бассейне длиной 50 м проводятся соревнования по плаванию на дистанцию 100 м. Пловцы плывут по водяной дорожке сначала от места стар¬ та, затем, в конце дорожки поворачивают и плывут к месту старта. Первый пловец, когда возвращался к месту старта, встретил второго пловца, который еще не доплыл до поворота 4 м. Первый пловец проплыл свою дистанцию за
38 Глава 1. Кинематика 69 с. За какое время проплыл свою дистанцию второй пловец, если каждый из пловцов двигался с постоянной скоростью? 1.8.2. Собака бегает между домом и своим хозяином, который удаляется от дома. Всякий раз время возвращения собаки в к раз больше времени предыду¬ щего возвращения. Во сколько раз скорость собаки больше скорости ее хозяина? 1.8.3. Дворник начинает мести дорожку, когда начинается листопад. Когда он дошел до конца дорожки, то смел N листьев. Сразу же, развернувшись, он начинает мести дорожку, идя в противоположную сторону. Сколько ли¬ стьев он смел на обратном пути? 1.8.4. В цилиндрическом стакане находится однородная взвесь (в жидко¬ сти равномерно распределены твердые частицы) со средней плотностью час¬ тиц и жидкости Р!. Тяжелые частицы взвеси начинают опускаться с постоян¬ ной скоростью v . Осевшие твердые частицы образуют осадок, пропитанный жидкостью, со средней плотностью частиц и жидкости р2. С какой скоро¬ стью движется граница осевших частиц? За какое время произойдет полное осаждение? Плотность воды р0, начальная глубина Н . 1.8.5. Два студента стартовали с крыльца общежития к столовой. Первый студент может двигаться только с постоянной скоростью v, а второй - толь¬ ко с постоянным ускорением а . Увидев, что дверь в столовую закрыта, пер¬ вый студент сразу повернул обратно. Он встретил второго на расстоянии L от крыльца. Чему равно расстояние от крыльца до столовой? 1.8.6. Спортсмен может пробежать первую половину дистанции с ускоре¬ нием ах, а вторую половину - с а2 > ах. Он может сделать наоборот: первую половину дистанции пробежать с ускорением а2, а вторую - с ускорением ах. Докажите, что во втором случае он пробежит дистанцию быстрее. 1.8.7. Какое максимальное расстояние может пробежать спортсмен от останов¬ ки до остановки, если он может ускоряться с ускорением ах, а тормозить - с а2 ? 1.8.8. На длинной спице, установ¬ ленной вертикально, в поле тяжести могут скользить без трения две бусин¬ ки (см. рисунок). Начальное расстояние между бусинками равно L. Сначала отпускают верхнюю бусинку, а через время т - нижнюю. Через какое время после начала движения верхней бусин¬ ки, она встретится с нижней? 1.8.9. Во сколько раз увеличится дальность полета снаряда массы Л/, если на максимальной высоте включа¬ ется вертикальная реактивная тяга F (см. рисунок)? Изменением массы сна¬ г! L I* ч К задаче 1.8.8
Физика в задачах 39 ряда пренебречь. 1.8.10. С какой минимальной скоро¬ стью надо бросить камень с расстояния L от ближайшей стены дома, чтобы он перелетел дом (см. рисунок)? Дом представляет в сечении квадрат со сто¬ роной а . 1.8.11. * Определите максимальную дальность полета снаряда над морем, если его скорость равна v, а высота над морем, с которой начинается полет снаряда, равна h (см. рисунок)? 1.8.12. Ромб состоит из стержней, скрепленных шарнирно. Вначале две противоположные вершины находятся рядом. Затем их начинают разводить с постоянной скоростью v до максималь¬ ного расстояния. Определите макси¬ мальные скорости двух других вершин. М К задаче 1.8.9 1* / / / L А / а ха \ / \ / .—L-, К задаче 1.8.10 К задаче 1.8.11
ДИНАМИКА глава Основной задачей динамики7 является определение движения тел под дей ствием приложенных к ним сил. § 1. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА Галилей, обобщая экспериментальные данные, пришел к выводу, что ус¬ корения, с которыми тела двигаются, обусловлены влиянием на них других тел. Если тело не взаимодействует с другими телами, то оно сохраняет или состояние покоя, или состояние прямолинейного равномерного движения. Это утверждение носит название первого закона Ньютона. Системы отсчета, относительно которых все тела, не взаимодействующие с другими телами, движутся прямолинейно и равномерно или, как частный случай такого дви¬ жения, покоятся, называются инерциальными. В основном мы будем работать с инерциальными системами отсчета. В природе существуют разные взаимодействия. Количественно они опре¬ деляются силами. Сила F, действующая на тело массы М, равна произведе¬ нию массы на ускорение тела а : F ~ Ма . Приведенная формула носит название второго закона Ньютона. Единица си¬ лы - 1 Н (Ньютон). Сила в 1 Н сообщает телу в 1 кг ускорение в 1 м/с2. В механике довольно часто встречаются задачи, в которых нужно опреде¬ лить движение тела под действием известной силы. Пример 1.1. На рис. 1.1 изображен график зависимости силы, действующей на тело мас¬ сы 2 кг, от времени. В начальный момент тело покоилось. Чему равна скорость тела после действия силы? Решение. Ускорение тела в промежутке времени от 1 с до 2 с равно я [F, Н 2 1 А и -1 2 3 4 5 6 ' От греческого dynamis - сила.
Физика в задачах 41 а\ = 2 Н 2 кг = 1 м/с' Ускорение тела в промежутке времени от 2 с до 4 с равно *2 =- 1Н I /2 = м/с 2 кг 2 Ускорение тела в промежутке времени от 4 с до 6 с равно а3 = ЗН _ 3 2 кг 2 мЛ После первого промежутка времени скорость тела равна 1 м/с2 ■ 1 с = 1 м/с, после второго промежутка времени скорость уменьшилась на Д_ Л — м/с * 2 с = 1 м/с , а после третьего 3/2м/с2 - 2с = 3м/с. Итого: конечная скорость равна 1 м/с Если на тело действует несколько сил, то результирующая сила нахо¬ дится векторным сложением сил. На рис. 1.2 действующие на тело силы изображены «тонкими» стрелками, а результирующая сила представлена «толстой» стрелкой. промежутка - увеличилась на 1 м/с + 3 м/с = 3 м/с . Пример 1.2. Надо найти перегрузку пассажира8 при взлете самолета, который равномерно набирает взлетную скорость в 60 м/с на пути в 1 км. Решение. Самолет ускоряется равномерно, это означает, что его движение равноускоренное. Уско¬ рение самолета а определяется из соотношения __ V2 __ 602 (м/с) 2S“ 2М000 м 1,8 м/с2. Так как пассажир тоже движется равноускоренно, в горизонтальной плоскости на него действует со сто¬ роны сидения в этом направлении сила та, а в вер¬ тикальном направлении сила (-mg) как на рис. 1.3. та 8 Если F- сила, действующая со стороны сидения, mg~ сила притяжения пасса¬ жира к Земле, то перегрузкой называется величина F/mg.
42 Глава 2. Динамика Поэтому результирующая сила F = J(mgf +(maf = mjg2+a2 , а перегрузка F rnyjg2 +а2 п = = —1 mg mg 1,016. Задачи и упражнения 2.1.1. Наблюдая за движением муравья по вертикальному стеблю, экспери¬ ментатор нарисовал графики зависимости скорости муравья на трех различных участках от времени. Графики представлены на рисунках а, б, в. Масса муравья 0,01 г. Определите максимальную разницу сил, с какой муравей отталкивается от стебля на каждом участке9. К задаче 2.1.1 2.1.2. Определите силу сопротивления воздуха, действующую на пара¬ шют, если последний опускается с постоянной скоростью. Масса парашюти¬ ста с парашютом 90 кг. 2.1.3. При начальной скорости 72 км/час, тормозной путь автомобиля оказался равен 20 м. Определите перегрузку водителя при таком торможении. 2.1.4. При упругом ударе о стенку ско¬ рость шарика массы 10 г меняет свое на¬ правление. Длительность удара шарика 10 2с, скорость шарика 10 м/с. Чему равна сила, действующая на шарик? Силу в про¬ цессе удара считать постоянной. 2.1.5. На рисунке показан график зави¬ симости высоты подъема теннисного шари¬ ка, подпрыгивающего над упругой плитой, от времени. Как зависит от времени скорость шарика и действующая на него сила? Масса шарика 100 г. 9 Во всех задачах этой главы, пренебрегается, если это не оговорено в условии за¬ дачи, размерами движущихся тел.
Физика в задачах 43 2.1.6. Определите: а) силу, действующую на Луну со стороны Земли (рас¬ стояние до Луны 384 000 км); б) силу, действующую со стороны Солнца на Зем¬ лю и на Луну (расстояние от Земли до Солнца свет проходит за 8 мин, а скорость света равна 300 тыс. км/с). Масса Луны 7,4 * 1022 кг, масса Земли 6 • 1024 кг . 2.1.7. Космический корабль массы М9 летящий со скоростью и, обнару¬ жил на расстоянии / по курсу рой метеоритов, летящих ему навстречу со скоростью v. Какую минимальную «противотягу» должен развить корабль, чтобы «убежать» от метеоритов. 2.1.8. Два шарика массы М, связанные ни¬ тью длины /, скользят по гладкой горизон¬ тальной плоскости со скоростью v, как пока¬ зано на рисунке. При их движении нить, свя¬ зывающая шарики, налетает на столбик квад¬ ратного сечения ах а так, как это изображено на рисунке. Какие силы будут действовать на шарики в течении времени л(/ -а)Д4v) после контакта нити со столбиком? 2.1.9. Шарик массы т, привязанный ни¬ тью длины / к неподвижному бревну ра¬ диуса г , двигаясь со скоростью v, наматы¬ вает нить на бревно (см. рисунок). Как за¬ висит натяжение нити от угла поворота ф. 2.1.10. На первоначально неподвижное тело массы М с момента времени / = 0 действует постоянная сила F, которая ка¬ ждые т секунд меняет свое направление. Какое расстояние пройдет тело за 2т секунд, где п —■ целое число? 2.1.11. Представьте, что Вы сидите в пассажирском кресле самолета, гото¬ вого к взлету. Попробуйте сконструировать прибор для измерения ускорения, который можно изготовить из подручных материалов за несколько минут, оставшихся до старта самолета. Оцените точность измерения ускорения Вашим прибором. 2.1.12. Хоккеист сообщает шайбе ускорение, дей¬ ствуя на нее клюшкой с силой, зависимость которой от времени показана на рисунке. Масса шайбы 0,2 кг. Определите максимальную скорость шайбы. 2.1.13. * Двигатели ракеты после старта создают постоянную силу тяги, но по мере расходования то¬ плива масса ракеты уменьшается, а ускорение воз¬ растает. Ускорение ракеты меняется следующим об- л л разом: после 2 с полета оно 50 м/с , после 8 с - 450 м/с . Стартовая масса ракеты 1010 000 кг. Какое количество топлива она израсходовала за первые 8 с полета? К задаче 2.1.12
44 Глава 2. Динамика 2.1.14. * Буксир тащит привязанную к нему тросом баржу. При какой мощности10 двигателя баржи трос еще не порвется, если он выдерживает на¬ тяжение не больше Т. Сила сопротивления воды зависит от скорости движе¬ ния буксира v и определяется формулой F = -kv. Сила сопротивления воды для баржи в четыре раза больше, чем для буксира. 2.1.15. К потолку лифта, масса которого w2, подве¬ шен груз массы тх (см. рисунок). Приложенная сила F заставляет лифт двигаться с ускорением вверх. Груз т{ находится на расстоянии / от пола лифта. Нить вне¬ запно оборвалась. Чему равно ускорение лифта и груза тх до и после разрыва нити? Сколько времени пройдет от момента разрыва нити до удара о пол? 2.1.16. Ракета имеет пять одинаковых двигателей. Ес¬ ли работают сразу все, то ракета движется вертикально вверх с ускорением 2g относительно Земли. С каким ускорением будет подниматься ракета, если один из двигателей перестанет работать11? 2.1.17. * Метеорологическая ракета массы М стартовым ускорителем за¬ пускается вертикально с начальной скоростью vQ. Ракета также имеет собст¬ венный двигатель, который способен в течение времени т развивать силу тяги F, F > mg. В какой момент времени должен начать работу двигатель, чтобы ракета достигла наибольшей высоты? Какова эта высота? 2.1.18. * Ракета имеет два двигателя, которые могут сообщать ей постоянные ус¬ корения ах и а2, направленные вертикально вверх. Первый двигатель рассчитан на работу в течение времени tx, второй - t2, причем ах > а2 и tx < t2. Двигатели могут включаться как одновременно, так и последова¬ тельно. Какой порядок включения двигателей следует выбрать для того, чтобы ракета подня¬ лась на максимальную высоту? Чему она равна? 2.1.19. Сила, действующая на тело, линейно за¬ висит от времени: F = at. Как меняется скорость тела под действием этой силы? Масса тела т . 2.1.20. Жесткий однородный стержень длины / и массы М поднимают вертикально, действуя силой F на его верхний конец, как это показано на рисун¬ ке. Какая сила действует при этом на нижнюю часть К задаче .2.1.20 К задаче 2.1.15 10 Мощность равна силе, умноженной на скорость. 11 Влиянием сопротивления воздуха и изменением массы ракеты на ее движение во всех задачах этого раздела можно пренебречь, если это не оговорено в условии задачи.
Физика в задачах 45 стержня со стороны верхней части в сечении АА\ отстоящем от нижнего конца стержня на расстояние х < /. 2,1.21. Жесткий стержень соединяет два бруска с массой М = 100 кг и т - 1 кг (см. рисунок). Если неподвижный стержень сжимать с силой больше 1000 Н, то он ломается. а) С какой силой можно толкать вдоль стержня тело массы М, чтобы стержень не ломался? б) С какой силой можно толкать вдоль стержня тело массы т так, чтобы стержень не ломался? 2.1.22. Два тела массы тх и т2 связаны неве¬ сомой пружиной и подвешены на нити, как это по¬ казано на рисунке. Нить пережигают. Определите ускорение тел сразу же после пережигания нити. 2.1.23. Два одинаковых тела соединены друг с другом пружиной и подвешены на нитях так, как это показано на рисунке. Верхнюю нить пережигают. Найти ускорения тел в первый момент времени. 2.1.24. Определите ускорение артиллерийского снаряда массы М после вылета из ствола орудия под углом а к горизонту, при наличии сопротивле¬ ния воздуха F. 2.1.25. Определите ускорение и силу тяги ракеты массы М, движущейся по прямой под углом а к палубе ракетоносца, если струя газа отбрасывается ракетой под углом (3 к направ¬ лению полета ракеты (см. рисунок). 2.1.26. Ракета массы М движется в горизон¬ тальной плоскости со скоростью v по окруж¬ ности радиуса R, как изображено на рисунке. Определите силу тяги этой ракеты. К задаче 2.1.22 К задаче 2.1.26 2.1.27. Тело массы т, подвешенное на нити, отклоняют от положения равновесия на угол а и отпускают. Определите ускорение тела в первый мо¬ мент времени.
46 Глава 2. Динамика 2.1.28. С обрывистого берега вы¬ соты Я стартует ракета массы М Сила тяги ракеты F все время на¬ правлена горизонтально, как это по¬ казано на рисунке. На каком рас¬ стоянии12 ракета упадет в воду? 2.1.29. Стартуя с самолета, летя¬ щего горизонтально со скоростью v на высоте Я, реактивный снаряд массы М развивает тягу F под углом а к горизонту (см. рисунок). При этом F sin а < Mg . Определите дальность полета снаряда. А я ^ f К задаче 2.1.28 2.1.30. * Чтобы поразить цель, ра¬ кета массы М, стартовала под углом а к горизонту со скоростью vq. Сразу включив постоянно направленную тягу под углом 2а к горизонту, она выходит на горизонтальный участок полета (см. рисунок). Далее, изменив величину тяги, ракета движется го¬ ризонтально. Какая должна быть по¬ стоянная тяга на первом и втором участках пути, чтобы через время Т поразить цель на высоте Я и на рас¬ стоянии L от места выстрела? 2.1.31. Ракету массы М, двига¬ тель которой развивает силу тяги F, запускают в тот момент, когда над пусковой установкой на высоте Я со скоростью v пролетает самолет (см рисунок). Под каким углом к гори¬ зонту должна лететь ракета, чтобы попасть в самолет? / / К задаче 2.1.30 К задаче 2.1.31 12 По горизонтали.
Физика в задачах 47 § 2. УПРУГОСТЬ ПРУЖИНЫ, РЕАКЦИЯ ОПОРЫ, НАТЯЖЕНИЕ НИТИ Груз, положенный на пружинные весы, под действием силы тяжести дви¬ жется до тех пор, пока сила упругости сжатой пружины не остановит его. Груз, подвешенный на пружине динамометра, двигается, пока сила упругости растянутой пружины его не остановит. В обоих случаях при полной останов¬ ке груза сила тяжести равна по величине и противоположна по направлению силе упругости пружины, которая определяется формулой Fy = -кх, где к - жесткость пружины, х - ее растяжение. Знак минус в этой формуле означает, что сила направлена в сторону обратную растяжению пружины. Поэтому на пружинных весах и на динамометре перемещение груза пропор¬ ционально его весу (силе тяжести). Пример 2.1. Балка лежит на трех пружинах одинаковой длины как это показано на рис. 2. Г Определите силы, действующие на балку со стороны каждой пружины. Масса балки- Л/, жесткость пружины в центре в два раза больше жесткости крайних пружин. Решение. Все пружины сжимаются балкой одинаково, поэтому сила упру¬ гости каждой крайней пружины в два раза меньше силы упругости централь¬ ной пружины. Балка неподвижна, поэтому суммарная сила упругости, дейст¬ вующая со стороны пружин равна по величине и противоположна по направ¬ лению силе тяжести балки равной Mg. Следовательно, F + 2F + F = 4F = Mg, где F - величина силы, действующей со стороны каж¬ дой крайней пружины, a 2F - со стороны центральной. Значит, каждая край¬ няя пружина действует на балку с силой- (1/4)Mg, а центральная - с си¬ лой- (l/2) Mg. Будучи положено на пол, любое тело под действием силы тяжести будет двигаться до тех пор, пока из-за деформации пола не возникнет упругая сила, останавливающая тело. Эта сила перпендикуляр¬ ная полу и направленная в сторону обратную этой деформации, называется реакцией опоры. Время движения тела и величина такого рода деформа¬ ций настолько малы, что такое движение можно наблюдать лишь с помощью специальных прибо¬ ров. Но, каждый из нас видит конечный результат такого движения - множество неподвижных пред¬ метов рядом с нами.
48 Глава 2. Динамика Пример 2.2. Определите реакцию опор у тон¬ кой палочки массы М и длины R, лежащей гори¬ зонтально в лунке радиуса R, как на рис. 2.2. Решение. На рис. 2.3 изображены силы, дейст¬ вующие на палочку: Mg - сила тяжести, Nx и N2 - реакции опор с левой и правой стороны па¬ лочки соответственно, которые перпендикулярны поверхности лунки в точках касания палочки. Так как палочка неподвижна, то сумма всех этих сил равна нулю. Из-за симметрии следует, что Nx=N2=N. Но тогда 2Ncos30° = ТУл/з = Mg. Поэтому N = Mgjл/з . Если к нити подвесить тело массы М, то тело под действием силы тяжести будет двигаться до тех пор, пока в результате растяжения нити не возникнет упругая сила, направленная в сторону обратную растяжению, ос¬ танавливающая это тело. Эта сила, которую называют натяжением, сущест¬ вует на любом участке нити. Пример 2.3. На брусок массы М, находящийся на гладкой поверхности, действует сила F (рис. 2.4). На бруске укреплен невесомый блок, через блок перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы тх и т2. Определить ускорение бруска13. Решение. Рассмотрим тело массы т{. На него вертикально вниз действует сила тяжести mxg, вверх реакция бруска. Эти силы равны по величине и про¬ тивоположно направлены, их результи¬ рующая равна нулю. В горизонтальном на¬ правлении на тело массы тх действует сила натяжения нити Т' По второму закону Нью¬ тона Т = тхау. На груз т2 в вертикальном направлении действует сила тяжести и сила натяжения нити Т. Сила натяжения нити везде одна и та же, так как нить невесомая. Под действи¬ ем этих сил груз т2 двигается с ускорением 13 В дальнейшем, если в условие задач не оговорено, считать поверхность абсо¬ лютно гладкой, блок - невесомым, нить - практически нерастяжимой.
Физика в задачах 49 а2 в вертикальном направлении Т - m2g = m2a2. В горизонтальном направлении на тело т2 действует реакция бруска. Она сообщает ему ускорение а3: N = т2а3. Под действием суммы сил F -Т - N брусок двигается с ускорением а : Ма ~ F-Т-N . Итого мы получили 4 уравнения и 6 неизвестных. Для решения задачи не хватает еще двух уравнений. Эти уравнения можно получить из кинематиче¬ ских условий задачи: • Брусок М и груз т2 в горизонтальном направлении двигаются вместе, а это значит, что горизонтальное ускорение груза будет равно ускорению бру¬ ска, т. е.: а3 - а. • Нерастяжимость нити накладывает усло¬ вие на ускорение всех тел. Из рис. 2.5 видно, что s2=s-s{9 где Л', и s2 - пути, проходимые телами тх и т2 за одинаковое время по гори¬ зонтали и вертикали соответственно, a s - путь, пройденный бруском. Ускорения посто¬ янны во времени, следовательно, соотношение для путей можно заменить на соотношение для ускорений: Рис. 2.5 а2 = а - ах. Решив систему уравнений, получим, что F (w, + т2) - mxm2g тхт2 +(Л/ + m2)(m, +/я2) Задачи и упражнения 2.2.1. Один и тот же груз растягивает первую пружину на 1 мм, а вторую на 2 мм.У какой пружины жесткость больше? 2.2.2. Груз массы 1 кг растянул пружину динамометра на 5 см. Определите жесткость этой пружины. 2.2.3. Во сколько раз жесткость двух последовательно соединенных оди¬ наковых пружин меньше жесткости одной пружины? Во сколько раз жест¬ кость резинового шнура меньше жесткости половины этого шнура? 2.2.4. Резиновый шнур сложили втрое. Во сколько раз увеличится жест¬ кость сложенного шнура?
50 Глава 2. Динамика К задаче 2.2.5 2.2.5. На три пружины одинаковой длины и жесткости кх, к2 и кх положили балку так, как это показано на рисунке. Определите силы, на балку со стороны пружин. Масса балки М 2.2.6. Шарик массы Юг радиуса 1 см нале¬ тает на закрепленную пружину жесткости 200 Н/м, как показано на рисунке. Влетит ли шарик в отверстие, которое перекрывает пру¬ жина, выступающая из отверстия на 1 см? Ско¬ рость шарика 10 м/с. 2.2.7. Трос подъемного крана может разо¬ рвать при резком изменении скорости подъема груза. Во избежание этого явления применяют специальную пружину, которую располагают между крюком и тросом. Как работает это при¬ способление? 2.2.8. Когда поезд идет в гору, и паровоз - впереди, то соединения вагонов растягиваются. Когда же паровоз идет сзади, то соединения сжимаются. На крутых подъемах состав ведут два паровоза, один спереди и один сзади. Как ведут себя соединения в этом случае? 2.2.9. Карандаш массы 10 г стоит вертикально на пружине в закрытом пе¬ нале (см. рисунок). Когда пенал перевернули, карандаш стал давить на крыш¬ ку в 1,2 раза сильнее. С какой силой он давил на нее первоначально? 2.2.10. Пружина скрепляет два груза, массы которых т и 2т . Когда сис¬ тема подвешена за верхний груз (см. рисунок, а), длина пружины равна /. Если систему поставить на подставку, как показано на рисунке, б, длина пру¬ жины равна (1/2)/. Определите длину ненапряженной пружины. К задаче 2.2.6 g птш ггглтп К задаче 2.2.9 \ J m g 2m 3 m a 6 2m К задаче 2.2.30 2.2.И.* Три резиновых шнура связывают вместе и медленно растягивают в разные стороны (см. рисунок, а). В некоторый момент длины всех трех шнуров оказываются равны Ц = 20 см. Затем шнуры растягивают под другими углами
Физика в задачах 51 (см. рисунок, б). В этом случае равенство длин шнуров насту¬ пает при длине Ь2- 30 см каж¬ дого из них. Известна началь¬ ная длина шнура 1 (см. рисунок а и б) в недеформированном состоянии: / = 15 см. Найдите длины двух других шнуров и отношение их жесткостей к же¬ сткости шнура 1. К задаче 2.2.11 2.2.12. На подставке лежит тело массы т, подвешенное на пружине жесткости к (см. рисунок). Пружина не деформиро¬ вана. Затем подставку начинают опускать с ускорением а. Через какое время по¬ сле начала движения тело оторвется ог подставки? 2.2.13. а) Три одинаковых шарика, со¬ единенные последовательно пружинами, подвешивают на нити (см. рисунок). Найти ускорение каждого шарика сразу после пережигания нити, если масса пру¬ жин много меньше массы шариков1. б) Два одинаковых шарика, соединен¬ ных пружиной, висят на нитях так, как изображено на рисунке. Определите ус¬ корение шариков сразу после пережига¬ ния нити слева. 2.2.14. Из-за сопротивления воздуха, которое растет с увеличением скорости теннисного шарика, его скорость практи¬ К задаче 2.2.12 К задаче 2.2.13,а К задаче 2.2.13,6 чески не зависит, падает ли он с высоты 10 км или 100 м. Объясните это явле¬ ние. Чему равно ускорение такого шарика сразу после упругого удара о корт? 2.2.15. Два гвоздя вбиты в вертикальную стенку на одном уровне на рас¬ стоянии /. На них свободно висит легкий резиновый жгут длины L. Концы жгута скрепляют и к ним подвешивают груз массы т , который опускается на h (см. рисунок). Определите жесткость жгута. Трением жгута о гвозди и ве¬ сом пренебречь. 1 Как и в других задачах этой главы, масса тел много больше массы пружин, кото¬ рые их соединяют.
52 Глава 2. Динамика 2.2.16. На корпуса двух одинаковых пру¬ жинных динамометров, соединенных так, как показано на рисунке, действуют противопо¬ ложно направленные силы Fx и F2. Что пока¬ жут динамометры? Что покажут динамомет¬ ры, если динамометр слева будет иметь массу в п раз больше массы динамометра справа? 2.2.17. На дне шахтной клети лежит груз т — \ 00 кг. Какова будет реакция опоры этого груза, если клеть: а) поднимается вертикально с ускорением а = 0,3 м/с2; б) опускается с ус¬ корением а' = 0,4 м/с2; в) свободно падает? / •с - - - - » К задаче 2.2.15 Ft к К задаче 2.2.16 2.2.18. а) Какую силу, направленную горизонтально, надо приложить к те¬ лу т, лежащему на наклонной гладкой плоскости с углом а к горизонту, чтобы оно оставалась в покое? Чему равна в этом случае реакция опоры? б) Решите задачу в случае, когда сила направлена под углом Р к горизонту (см. рисунок). 2.2.19. На стержень длины 21 надета бусинка массой М Бусинка может пере¬ мещаться по стержню без трения. В на¬ чальный момент времени и бусинка, кото¬ рая находилась в центре стержня, и стер¬ жень были неподвижны. Затем стержень начал двигаться с ускорением а, направ¬ ленным под углом а к стержню (см. рису¬ нок). Определить реакцию опоры и время, через которое бусинка покинет стержень. 2.2.20. * С каким минимальным ускоре¬ нием в горизонтальном направлении должны двигаться горизонтальная плита с лункой радиуса R и глубины h (с гладкой сферической поверхностью) (см. рисунок), чтобы все тела, находящиеся в лунке, вы¬ скочили из нее? 2.2.21. Шарик радиуса г удерживается на гладкой наклонной плоскости горизонтально расположенной пружиной жесткости к (см. рисунок). Угол наклона плоскости а. При опускании плоскости в горизон¬ тальное положение пружина устанавливается под уг- К задаче. 2.2.20 К задаче 2.2.21
Физика в задачах 53 лом 2а к горизонту. С какой силой плоскость действует на шарик в каждом случае? 2.2.22. Один конец натянутого растяжимого троса закреплен на застряв¬ шем автомобиле, другой привязан к прочному дереву. Когда потянули за се¬ редину троса, перпендикулярно ему, то точка приложения силы отошла от первоначальной на / = 0,1м. Расстояниемежду деревом и автомобилем L - 20 м. Во сколько раз сила, с которой трос подействовал на автомобиль, больше силы, приложенной к середине троса? 2.2.23. Обезьяна массы 30 кг спускается по веревке с ускорением 0,2g . Найдите натяже¬ ние веревки. 2.2.24. Веревку массы т и длины L тянут вверх по наклонной гладкой плоскости с уско¬ рением а, прикладывая силу к ее верхнему концу. Как зависит натяжение веревки от рас¬ стояния х до точки приложения силы? Угол наклона плоскости равен а. 2.2.25. * Цепь массы М подвешена на гвоздях А и В, причем около них она идет под углами а и (3 к вертикали (см. рисунок). Найти натяжение цепи вблизи гвоздей. 2.2.26. К центру цепи массы т, оба конца которой закреплены на потолке, подвесили груз массы М (см. рисунок). Угол, который образует цепь с потолком, равен а, а угол ме¬ жду ближайшими участками цепи справа и слева от места крепления груза равен 2р . Оп¬ ределите натяжение цепи вблизи груза и вбли¬ зи потолка. 2.2.27. * а) Одна тяжелая гладкая цепь длины L и массы Мподвешена од¬ ним концом к потолку, другая переброшена через блок так, что оба ее конца находятся на уровне свободного конца первой цепи, а середина на уровне крепления первой цепи (см. рисунок). Масса единицы длины у цепей одина¬ кова. Докажите, что натяжение у цепей на одном уровне одинаково. б) Один конец гладкой цепи длины L и массы т закрепляют в нижней точке горизонтально расположенной балки радиуса R, другой конец, пере¬ брошенный через балку, свободно висит, так как L > 2nR (см. рисунок). Оп¬ ределите натяжение цепи в точке крепления. 2.2.28. * На горизонтальной плите имеется лунка глубины Л, поверхность ко¬ торой часть сферы радиуса R. В лунке лежит участок тяжелой гладкой цепи. Один конец цепи закреплен на краю лунки, а свободный конец находится на В К задаче 2.2.26
54 Глава 2. Динамика плите (см. рисунок). Масса единицы длины цепи р. С какой минимальной силой нужно потянуть за свободный конец в горизонтальном направлении, чтобы цепь начала отрываться; чтобы цепь полностью оторвалась от поверхности лунки? К задаче 2.28 2.2.29. * Во сколько раз натяжение провода электропередачи вблизи его крепежа больше его веса, если он, при длине /, провисает на h (см. рисунок)? 2.2.30. Воздушный шар массы М, подгоняемый ветром, движется горизон¬ тально с постоянной скоростью, волоча за собой канат массы т и длины / (см. рисунок). Выталкивающая сила, действующая на шар, равна F, Mg <F <{М + m)g , коэффициент трения между канатом и землей р. На ка¬ кой высоте летит шар? 2.2.31. На нити висит груз массы т . Нить перекинута через блок, а другой конец нити привязан к противовесу, лежащему на столе (см. рисунок). Блок начинают подни¬ мать по вертикали с постоянным ускорением а. При ка¬ кой массе противовеса он не оторвется от стола? 2.2.32. Через неподвижный блок перекинута нить, к одному концу которой прикреплена масса тх, а к друго¬ му первый раз присоединили пружинку с подвешенной к ней массой т2, второй раз пружинку с другой жестко¬ стью с подвешенной к ней массой т3, в третий раз по¬ следовательно к первой пружинке с подвешенной массой К задаче 2.2.31
Физика в задачах 55 тг, присоединили вторую пружинку с подвешенной к ней массой тъ (см. ри¬ сунок). Все движения тел установившиеся (нет колебаний). В первый раз длина пружинки увеличилась на хх, во второй раз - на х2. Каково суммарное увеличе¬ ние длины пружинок в третий раз? 2.2.33. Тела массы т и 2т связаны нитью, перекинутой через тело массы 3т . Определите ускорения тел: а) при действии силы F на тело массы т (см. рисунок); б) при действии этой же силы только на тело массы 2т ; К задаче 2.2.33,а в) при действии силы - F только на тело массы 3т ; г) при действии силы F на тело массы т, силы kF на тело массы 2т , силы /(-F) на тело массы Ът, к, I > 0. 2.2.34*. В теле массы М, лежащем на гори¬ зонтальной поверхности, проделан вертикаль¬ ный канал. Два одинаковых грузика связаны нитью, переброшенной через блок. Один гру¬ зик находится внутри канала, а другой на по¬ верхности тела (см. рисунок). Трения нет. Ка¬ кая должна быть масса каждого грузика, чтобы тело двигалось с ускорением (l/4)g ? 2.235. Два одинаковых груза связаны между собой нитью, перекинутой через блок (см. рису¬
56 Глава 2. Динамика нок). Плоскости, на которых находятся грузы, составляют с горизонтом углы 30° и 60°. Опре¬ делить ускорение грузов, если трения нет. 2.2.36. Во сколько раз изменится давле¬ ние клина с углом 45° на пол при пережига¬ нии нити, удерживающей на его поверхности брусок, если масса клина и бруска одинакова, а трения нет. 2.2.37. * Клин массы М находится на глад¬ ком полу. На гладкой поверхности клина с уг¬ лом наклона а находится тело массы т . К ни¬ ти, связанной с телом и перекинутой через блок на клине, приложена горизонтальная сила F так, как показано на рисунке. Найдите уско¬ рение клина. 2.2.38. * Гантель с одинаковыми шариками устанавливают под углом а к горизонту так, что один шарик находится на гладком полу, другой касается гладкой вертикальной стенки (см. рисунок). Определите ускорение шариков гантели после того, как гантель отпустили. F § 3. ТРЕНИЕ Перестал работать мотор автомобиля. Проехав несколько метров, автомо¬ биль остановился. Вы ударили по футбольному мячу. Упав на землю, мяч несколько раз подскочит и остановится. Это действует сила трения, которая всегда уменьшает относительную скорость тел. Если бы не существовали другие силы, например, сила упругости или сила тяготения, которые посто¬ янно вызывают (вместе с потоком солнечных лучей и горообразованием) но¬ вое движение, силы трения на Земле остановили бы все. Принято разбивать силы трения на три сорта. Между двумя соприкасающимися твердыми тела¬ ми возникает «сухое трение», которое пропорционально реакции опоры, воз¬ никающей при соприкосновении, движущихся твердых тел: где [х - коэффициент трения, N - реакция опоры. Эта сила направлена против скорости каждого тела относительно другого. На рис. 3.1 изображено тело массы М, которое движется со скоростью V по полу. Относительно пола
Физика в задачах 57 скорость тела направлена влево. Поэтому сила трения Fw = (LtiV = \iMg, действующая на тело со стороны пола, направлена вправо. Пол движется относительно тела вправо. Поэтому сила трения, действующая на пол со стороны тела, направлена влево. Трение лодки о воду пропорционально скоро¬ сти лодки; трение быстролетящих тел в газе (на¬ пример, метеорита в воздухе) пропорционально квадрату скорости тел. В предлагаемых задачах этого раздела будет в основ¬ ном встречаться «сухое трение», которое обладает следующей особенностью. Если сила, действующая на тело, лежащее на плоскости, параллельно плоско¬ сти и меньше щУ , то тело не будет двигаться, так как возникает сила трений, т v М Рис. .3.2 g равная по величине приложенной силе, но противоположно направленная. (Такая сила трения похожа на реакцию опоры, но направлена параллельно плоскости.) Пример 3.1. Телу массы т, лежащему на длинной доске массы М, сообщили вдоль доски скорость v (рис. 3.2). Коэффициент трения между доской и телом р. Трение между доской и гори¬ зонтальной плоскостью, на которой лежит доска, нет. Через какое время тело перестанет скользить по поверхности доски? Решение. Пока тело скользит по поверхности доски, на него действует си¬ ла трения \xrng, направленная влево, а на доску-эта же сила направленная вправо. Поэтому ускорение тела ат = ~pg, ускорение доски ам -\igmj М . Сила трения, а вместе с ней и перемещение тела по доске, прекратится в мо¬ мент совпадения скорости тела и доски: v-\xgt = \ig(m!M)t, где t - искомое время. Следовательно, t - — ^ - . pg \ + т/ М Пример 3.2. Неподвижные санки массы М потянули с силой F, направ¬ ленной под углом а к полу (рис. 3.3). Коэффициент трения между санками и полом р. С каким ускорение будут двигаться санки? Решение. Реакция опоры со стороны пола N = Mg - F sin а. Поэтому в гори¬ зонтальном направлении на санки действует разность силы Fcosa и силы трения F' , которая определяется формулой F' = Fcosa- F^ ~ Fcosa-piV = Fcosa-yi^Mg— Fsince),
58 Глава 2. Динамика если эта разность больше нуля. Поэто¬ му, при F > \iMgj(cos а + р sin а), когда это условие выполняется, ускорение санок определяется формулой а = м pg- — (cosa + psina). При F>pMg/(cosa + psina), сила трения равна Fcosa и направлена противоположно горизонтальной проекции силы F. Поэтому сумма сил, действующих на санки будет равна нулю и санки останутся неподвижными (т. е. а ~ 0), Задачи и упражнения 2.3.1. На обледеневшем участке шоссе коэффициент трения уменьшился в 9 раз. Во сколько раз нужно снизить скорость автомобиля, чтобы путь тор¬ можения остался прежним? 2.3.2. Поезд движется со скоростью v-12 км/ч. Каково наименьшее вре¬ мя торможения поезда до полной остановки, безопасное для спящих пасса¬ жиров (чтобы они не упали с полок)? Коэффициент трения о полку р = 0,2. 2.3.3. На наклонной плоскости, со¬ ставляющей угол а с горизонтом, нахо¬ дится неподвижный груз (см. рисунок). Чтобы сдвинуть груз вверх по плоскости, надо приложить к нему силу не меньшую Тх чтобы сдвинуть вниз-не меньшую Т2. Найдите коэффициент трения между грузом и плоскостью. 2.3.4. Два бруска с одинаковой массой скользят, будучи соединены нитью, по двум параллельным доскам с углом на¬ клона а (см. рисунок). Угол между нитью и доской - р. Коэффициент трения между верхним бруском и доской р, трения ме¬ жду нижним бруском и доской нет. Оп¬ ределите ускорение брусков. 2.3.5. Сани тянут под углом а к гори¬ зонтальной дорожке. В другом случае, такая же по величине сила направлена по дорожке (см. рисунок). Оказалось, что в обоих случаях, сани разгоняются до оди¬
Физика в задачах 59 наковой скорости за одинаковое вре¬ мя. Найдите коэффициент трения. 2.3.6. На клине с углом а покоится шайба. Клин начинают двигать по сто¬ лу перпендикулярно направлению кратчайшего спуска с увеличиваю¬ щимся ускорением (см. рисунок). При ускорении равном а шайба начинает проскальзывать. Определите коэффи¬ циент трения между шайбой и клином. 2.3.7. * По деревянным сходням, образующим угол а с горизонтом, за ве¬ ревку равномерно втаскивают ящик. Коэффициент трения ящика о сходни р. С каким наименьшим усилием можно втащить по сходням ящик массы т ? 2.3.8. На доске массы М9 лежащей на полу, лежит шайба массы т . Коэф¬ фициент трения между доской и полом р. Каким должен быть коэффициент трения между шайбой и доской, чтобы при действии любой горизонтальной силы на шайбу доска оставалась неподвижной? 2.3.9. а) Тело массы М находится на плоскости с углом наклона а. Коэффи¬ циент трения хмежду плоскостью и телом равен р. На тело в поле тяжести до¬ полнительно действует горизонтальная сила F. Определите ускорение тела. б) Решите задачу а) в случае, когда сила F направлена под углом р к гори¬ зонту. 2.3.10. На клине с углом наклона а лежит брусок. Коэффициент трения равен р (см. рисунок). При ка¬ ких значениях горизонтально направленного ускоре¬ ния клина, брусок не будет перемещаться по поверх¬ ности клина? 2.3.11. * Клин с углом наклона а движется с уско¬ рением а по горизонтальной плоскости (см. рисунок). С каким ускорением движется брусок, находящийся на клине, если: а) зрения между бруском и клином нет; б) коэффициент трения между бруском и клином равен р? 85 2.3.12. * а) Брусок массы Мнаходится на столе, ко¬ торый движется горизонтально с таким ускорением, что не горизонтальный участок нити, связывающей К задаче 2.3.12 этот брусок с грузом массы т , при движении стола образует постоянный угол а с вертикалью (см. рисунок). Определите ускоре¬ ние стола и натяжение нити, если коэффициент трения бруска о пол равен р. б) Решите задачу а) в случае, когда поверхность стола наклонена под уг¬ лом р к горизонту, (3 + а < л/2. К задачам 2.3.10. 2.3.11,2.3.14
60 Глава 2. Динамика 2.3.13. На покоящемся бруске массы М покоится тело массы т. К свободному концу легкой нити ос¬ торожно подвешивают груз (см. рисунок). При какой массе груза брусок сдвинется с места? Коэффициент трения между полом и бруском равен ц, трения меж¬ ду телом и бруском нет. 2.3.14. а) Клин с углом наклона а начинает сколь¬ зить по полу, когда масса бруска, скользящего по его поверхности без трения, превысит массу клина (см. рисунок). Определите коэффициент трения между полом и клином. б) При каком коэффициенте трения клин в задаче а) при соскальзывании с не¬ го бруска начинает двигаться, если коэффициент трения между клином и полом и между клином и бруском одинаков? 2.3.15. С горки под углом наклона а на санках сказывается мальчик. Масса мальчика Му масса санок т . Коэффициент трения между санками и горкой р,, К задаче 2.3.13 между мальчиком и санками р2. Определите ускорение 2.3.16. а) Детский игрушечный автомобиль, постав¬ ленный на горизонтальную плоскость, движется с ус¬ корением а (см. рисунок). Если к нему прицепить ку¬ бик такой же массы, как сам автомобиль, ускорение станет равным (2/5) а. Каким будет ускорение, если к мальчика и санок. g а К задаче 2.3.16 автомобилю прицепить два кубика? Какое максималь¬ ное число кубиков он сможет утащить? б) Детский игрушечный автомобиль движется вверх по наклонной плоскости с ускорением я,, а вниз по этой же плоскости - с ускорением я2. Каким будет ускорение автомобиля на горизонтальной плоскости? Чему равен максимальный угол наклона плоскости, на которую сможет взобраться автомобиль? 2.3.17. Грузовик массы М со всеми веду¬ щими колесами тянет за собой на тросе сани с грузом (общей массы т). Трос ориенти¬ рован под углом а к горизонту (см. рису¬ нок). Определите его натяжение в момент, К задаче 2 3 17 когда грузовик развивает максимальное уско¬ рение. Коэффициент трения колес грузовика о дорогу равен щ, а саней Ч2 2.3.18. Вагончик начинает движение с одной станции и останавливается на другой. Найти минимальное время необходимое для этого. Коэффициент трения колес о рельс ц = 0,2, сопротивлением воздуха при движении пренеб¬ речь. Расстояние между станциями L = 200 м.
Физика в задачах 61 2.3.19. Первоначально покоящееся тело стали тянуть за горизонтальную нить с силой F в течение времени т. Затем нить отпустили. Какова сила тре¬ ния со стороны плоскости, если тело остановилось через время Зт от начала движения? 2.3.20. Лента транспортера натянута горизонтально и движется с постоянной скоростью и. Навстречу движению лен¬ ты со скоростью v пускают скользить шайбу, которая удаляется от точки пуска на максимальное расстояние / (см. ри¬ сунок). Через какое время шайба вернет¬ ся в точку пуска? 2.3.21. Мотонарты «Буран» массы М тянут по укатанной горизонтальной дороге с постоянной скоростью санки массы т . В некоторый момент санки от «Бурана» оторвались. Они остановились, пройдя путь /. На каком рас¬ стоянии от них был в это время «Буран»? 2.3.22. После столкновения на горизонтальной плоскости два тела остано¬ вились на расстоянии / друг от друга. Время движения одного тела , вто¬ рого- т2. Коэффициенты трения у тел одинаковы. После удара они двига¬ лись по одной прямой, но в разные стороны. Определите скорости тел сразу же после удара и коэффициент трения. 2.3.23. Брусок толкнули вверх вдоль узкой доски с углом наклона а, со скоростью V. Коэффициент трения между бру¬ ском и доской р. При каком условии, брусок вернется на прежнее место? Какова при этом будет его скорость? Если брусок не вернется, то где он остановится? 2.3.24. На склоне с углом наклона а на вы¬ соте подъема меньше h коэффициент трения санок равен щ, при этом \хх > tg а, а на высоте подъема больше h равен р2, при этом р2 < tga (см. рисунок). С какой высоты нужно опустить санки, чтобы они доехали до начала склона? 2.3.25. Доска лежит на полу. На доске ле¬ жит кирпич, коэффициент трения между ними ц (см, рисунок). Доску перемещают в горизон¬ тальном направлении со скоростью, зависящей от времени, как показано на графике. Макси¬ мальная скорость доски v0, время движения t0. Определите смещение кирпича относи- \ К задаче 2.3.20 тельно доски.
62 Глава 2. Динамика 2.3.26. На краю доски, длина которой равна /, а масса М, находится небольшой брусок массы т. Доска лежит на гладкой поверхности стола (см. рисунок). Коэффициент трения между бру¬ ском и доской р. Брусок начинают тянуть вдоль доски с постоянной горизонтальной си¬ лой F. Через какое время брусок соскользнет с поверхности доски?- 2.3.27. На длинной доске массы М9 лежащей на гладкой горизонтальной плоскости, лежит тело массы т . Коэффициент трения между доской и те¬ лом р. Доске в продольном направлении толчком сообщили скорость v и тело стало скользить по ее поверхности. Через какое время после толчка это скольжение прекратится? Какую скорость будут иметь доска и тело после этого события? 2.3.28. Телу массы т, лежащему на длинной доске массы М9 сообщили вдоль доски скорость V. Коэффициент трения между доской и телом р,, меж¬ 8 F ' м * т \ * L > К задаче 2.3.26 ду доской и полом, на котором лежит первоначально неподвижная доска -р2. Через какое время тело перестанет скользить по поверхности доски? 2.3.29. Тележка и ящик с равными массами удерживаются упором А на горке с углом на¬ клона a, tga = 0,4 (см. рисунок). Упор убира¬ ется, и ящик с тележкой приходят в движение. Во сколько раз при этом уменьшается сила давления тележки на ящик? Коэффициент тре¬ ния между ящиком и поверхностью горки р = 0,2. Соприкасающиеся стенки ящика и тележки ^перпендикулярны по¬ верхности горки. Трением между тележкой и горкой пренебречь. 2.3.30. По наклонной плоскости с углом наклона а неподвижно удерживают доску. На верхней гладкой поверхности доски лежит брусок, прикрепленный с помощью нити к гвоздю, вбитому в доску. Нить параллельна наклонной плоско¬ сти (см. рисунок). Если доску отпустить, то она начинает скользить по наклон¬ ной плоскости и сила натяжения нити уменьшается в п раз. Найти значение коэффициента трения скольжения между доской и наклонной плоскостью. 2.3.31. С гладкой доски с углом наклона а со¬ скальзывает клин массы т . Верхняя грань клина горизонтальна (см рисунок). На клине находится тело, массы М Найдите силу трения, действую¬ щую на это тело, если коэффициент трения между клином и телом равен р.
Физика в задачах 63 2.3.32. Через неподвижный блок переброшена нить. На одном конце нити подвешен груз массы М9 который может скользить по нити (см. рису¬ нок). При скольжении сила трения этого груза о нить равна F. Какой груз нужно подвесить на вто¬ рой конец, чтобы груз массы М скользил по нити? 2.3.33. На бруске массы М находится тело мас¬ сы т . Они соединены нитью, которая перекинута через блок. Какую горизонтальную силу можно приложить к блоку, чтобы во время движения не было скольжения тела но бруску? Коэффициент трения между телом и бруском ц. Трения между бруском и столом нет. 2.3.34. * Монета лежит на плоскости с углом наклона а. Коэффициент трения между монетой и плоскостью равен tga. а) Монете параллельно плоскости сообщили скорость v под углом Р к горизонтальной прямой (см. рисунок). Найдите скорость монеты в высшей точке ее подъема по плоскости и установившуюся скорость. К задаче 2.3.32 g т М В- К задаче 2.3.33 К задаче 2.3.34,а б) Монете в горизонтальном направлении сообщили по плоскости скорость. Как зависит величина скорости монеты от у - угла поворота вектора скорости монеты? 2.3.35. Лыжник скользит по склону с углом наклона р, не отталкиваясь палками. Коэффициент трения р. Сила сопротивления воздуха F = bv, где v - скорость лыжника. Какую максимальную скорость может развить лыж¬ ник, если его масса т ? 2.3.36. Кубик массы М, смазанный снизу маслом, скользит по доске с углом наклона а с постоянной скоростью v (см. рисунок). Сила трения пропорциональна скорости кубика. а) На сколько увеличится установившаяся скорость кубика, если на кубик в направлении его движения дополнительно будет действо¬ вать сила F?
64 Глава 2. Динамика б) Во сколько раз увеличится установившаяся скорость, если в отсутствии силы F, наклон доски увеличить до 2а ? 2.3.37. * При движении тел в вязкой среде сила трения F пропорциональна скорости v и направлена в сторону, противоположную скорости: F = -bv . а) Докажите, что уменьшение скорости на любом участке пути равно дли¬ не этого участка, умноженной на Ь/т , где т - масса тела. б) Моторную лодку массы 100 кг толкнули от берега со скоростью 5 м/с. Пройдя расстояние 10 м, лодка остановилась. Определите, какую мощность должен развивать мотор лодки, чтобы она двигалась со скоростью 36 км/ч. в) Нижняя поверхность ящика хорошо смазана маслом, поэтому сила тре¬ ния пропорциональна скорости ящика. Сначала он со скоростью v скользит по доске с углом наклона а, а затем, съехав с доски на пол, скользит по полу. Какое расстояние пройдет по полу ящик? 2.3.38. Сила, действующая на мелкие капли радиуса г при их движении со скоростью v в среде с коэффициентом вязкости \х определяется формулой Стокса: F - -6n^xrv. Определите установившуюся скорость: а) всплывания капли масла плотности 800 кг/м3 с радиусом 1 мм в воде. Ко¬ эффициент вязкости воды 2 • 1(Г3 Па • с; б) падения капель тумана с радиусом 0,01 мм. Коэффициент вязкости воз¬ духа 1,7 10 5 Па-с. § 4. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих тел т] и т2. Если масса т{ будет иметь ускорение ах, то масса т2 обязательно будет иметь ускорение, направленное в другую сторону, и величина этого ускорения будег во столько раз меньше, во сколько раз масса т} будет меньше массы т2: — т] — а2= 4ij. т2 Следовательно, -m2a2=mxav Fn=-F2l. Последнее равенство представляет собой третий закон Ньютона: два тела действуют друг на друга с одинаковой по величине, но противоположно на¬ правленной силой. Рассмотрим пример. Пример 4.1. На гладком склоне с углом наклона а находится доска массы т. Куда, и с каким ускорением должна бежать по доске кошка массы М (рис. 4.1), чтобы доска стояла на месте?
Физика в задачах 65 Решение. Чтобы доска оставалась на месте, суммарная сила, действующая на доску, должна равняться нулю. Поэтому сила F, с которой кошка действует вдоль доски, должна по величине сов¬ падать с составляющей силы тяжести доски вниз по склону, которая равна mg sin а . Следовательно, сила, с которой кошка действует вдоль доску вверх по склону, равна wgsina. По третьему закону Ньютона доска будет действо¬ вать на кошку с такой же силой в направлении вниз по доске, поэтому доска будет неподвижна, если кошка будет бежать с ускорением а = F + A/gsina mg sin ом- Mg sin a + m ~M gsina M M вниз по доске, так как только в этом случае она будет действовать на доску вверх по доске с силой равной по величине силе, с какой поле тяжести дейст¬ вует на доску вниз по доске (и суммарная сила вдоль доски равна нулю). Из третьего закона Ньютона следует: при взаимодействии двух тел масс тх и т2, имеющих скорости vl и v2, их полный импульс р = mxvх + m2v2 не меняется, так как за малое время dt увеличение импульса первого тела на dp = mxdvx = mxaxdt = F2Xdt, равно такому же уменьшению импульса второго тела. Действительно, dp2 ~ m2dv2 = m2a2dt = Fudt = -F2Xdt = -dp так как со¬ гласно третьему закону Ньютона сила Flx, с которой второе тело действует на первое, равна по величине и противоположно направлена силе FX2, с кото¬ рой первое тело действует на второе. Пример 4.2. При катапультировании с самолета, летящего со скоростью и горизонтально, летчик вместе с креслом получил вертикальную скорость и. Масса летчика с креслом т, первоначальная масса самолета (вместе с летчиком и креслом) М. Определите скорость самолета сразу после катапультирования. Решение. После катапультирования горизонтальная и вертикальная со¬ ставляющие полного импульса не меняются. Поэтому [М-m)vT = Mv, mu + MvB = 0, где vr и v9 = - горизонтальная и вертикальная составляющие скорости самолета после катапультирования. Задачи и упражнения 2.4.1. Лошадь тянет сани в горизонтальном направлении, двигаясь с по¬ стоянной скоростью. Масса саней М, коэффициент трения саней ц. С какой силой действуют на лошадь сани, поверхность земли? С какой силой дейст¬ вует на сани лошадь, поверхность земли?
66 Глава 2. Динамика 2.4.2. Поезд массы т тянет состав массы М с ускорением а. Сила трения меж¬ ду ведущими колесами поезда и рельсами F, F >(т + М)а. С какой силой тянет поезд вагоны? Чему равна сила трения между колесами вагонов и рельсами ? 2.4.3. Лыжник массы т движется по склону под углом а к горизонту с постоянной скоростью. Коэффициент трения между лыжами и снегом р, p<tga. Чему равно сопротивление воздуха? С какой силой действует на лыжника в горизонтальном направлении снежная поверхность? С какой си¬ лой лыжник действует на поверхность в горизонтальном направлении? 2.4.4. Через блок перекинута гладкая нить, к концам которой прикрепле¬ ны грузы массы т1 и т2 (см. рисунок). Определите силу, действующую на блок со стороны нити. 2.4.5. Через блок перекинута гладкая нить так, как это показано на рисун¬ ке. На концах нити прикреплены грузы массы тх и т2. Определите силы, действующие на блоки. 2.4.6. Определите силу, действующую на стенку со стороны клина (см. рисунок) при соскальзыва¬ нии с клина груза массы т. Угол при основании клина а. Коэффициент трения между грузом и по¬ верхностью клина равен р. Трения между полом и клином нет. 2.4.7. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона а находится доска массы т . По доске бежит вниз кошка массы М. Определите ускорение кошки, если доска движется по плоскости вверх с ускорением а. 2.4.8. а) Клин массы М находится на полу. На поверхность клина с углом наклона а кладется брусок массы т . Трения нет. С какой силой нужно дей- 2 Если в задаче не оговаривается сопротивление воздуха, то им можно пренебречь.
Физика в задачах 67 ствовать на брусок в горизонтальном направлении, чтобы он не скользил по поверхности клина? б)* С какой силой надо действовать на брусок в задаче а), чтобы он начал двигаться по поверхности клина вверх, в случае, когда коэффициент трения между всеми поверхностями равен р ? 2.4.9*. а) На поверхности клина массы М с углом наклона а лежит брусок массы т, кото¬ рый связан с нитью, переброшенной через блок, закрепленный в верхней части клина. С какой силой нужно тянуть за другой конец нити в го¬ ризонтальном направлении, чтобы брусок не перемещался по клину? Трения между клином и бруском; клином и полом, по которому скользит клин; нет. б) С какой силой нужно тянуть за нить в задаче а), чтобы брусок двигался вверх по клину, когда коэффициент трения между всеми поверхностями равен р? в) Когда в задаче а) ко второму концу подвесили второй брусок так, как изображено на рисунке, то клин стал двигаться с ускорением а вправо. Опре¬ делите массу второго бруска. г) Решите зада чу в), когда коэффициент трения между брусками и клином равен р, а трения между клином и полом нет. 2.4.10. * а) Брусок массы т положили на клин на высоте h от пола, по ко¬ торому может скользить клин. Угол при основании клина а, его масса М За какое время соскользнет с клина брусок, если трения нет? б) Решите задачу а) в случае, когда коэффициент трения между всеми плоскостями равен р. 2.4.11. Деревянный брусок массы М скользит по полу со скоростью v9 наце¬ ленный так, чтобы попасть в бортик в точ¬ ке А (см. рисунок). Когда расстояние от переднего торца до точки А было L, в средней части бруска застряла пуля массы т, скорость которой й была перпендику¬ лярна скорости v и параллельна бортику. На каком расстоянии от точки А брусок попадет в бортик? 2.4.12. С высоты Я падает шар. Когда он пролетал мимо небольшого окна на высоте Я/2, в него выстрелили пулей, масса которой в десять раз меньше массы шара. Скорость горизонтально летящей пули v. Пуля застряла в шаре. На какое расстояние отклонится шар от предполагаемого места падения? М v > L л А и фГП К задаче 2.4.11
68 Глава 2. Динамика 2.4.13. Небольшой деревянный шар массы М лежит на тонкой подставке. Снизу в шар попадает вертикально летящая пуля (см. рисунок) массы т и пробивает его. При этом шар подскакивает на высоту h, а пуля на высо¬ ту Я. Определите скорость пули при попадании в шар. 2.4.14. При катапультировании с самолета, летящего т Н i км +- (Т Л со скоростью v под углом а к горизонту, летчик вместе с креслом получил вертикальную скорость и (см. рису¬ нок). Масса летчика с креслом m, первоначальная масса самолета с содержимым М Определите скорость само¬ лета сразу же после катапультирования. К задаче 2.4.13 2.4.15. Палочка массы 3 г длины 10 см лежит на гладком полу. На конце палочки сидит кузнечик массы 1 г. С какой скоростью должен прыгнуть куз¬ нечик под углом 45° к палочке, чтобы попасть на другой ее конец. g Ч Ч Ч ч ч ч а X ч \ К задаче 2.4.14 § 5. РАБОТА. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ Работа А равна произведению силы F на путь /, если постоянная сила F действует в направлении движения тела: А = FI. Если же сила F направлена под углом а к направлению движения, то A - FI cos а = F{1, где Fl - проекция силы F на направление движения. Это значит, что сила, действующая пер¬ пендикулярно направлению движения, работы не производит. Примером мо¬ жет служить равномерное движение по окружности, например, движение спутника по круговой орбите. Рассмотрим следующую задачу. Пример 5.1. Тело массы m поднимают по наклонной плоскости силой F. Высота наклонной плоскости /г, угол у основания (3 (рис. 5.1). Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью ц. Определить работу силы F,
Физика в задачах 69 Решение. Сила F совершает работу на пути l = hjsinP; угол между силой и перемещением а-0, поэтому работа на всем пути / будет А = F(Л/sinР). Сила трения F 9 = pmgcos[3, образует с перемещением / угол а = л и ее работа работу силы трения и работу силы тяжести. h Рис. 5.1 sinP Сила тяжести р = mg образует угол с перемещением / , равный Р + п/2, по¬ этому ее работа При вычислении работы надо иметь в виду, что одна и та же сила в разных системах отсчета будет совершать разную работу. Это связано с тем, что при переходе от одной инерциальной системы координат к другой силовые поля не изменяются, но перемещения тела за одно и то же время в разных систе¬ мах оказываются различными. Рассмотрим пример. Пример 5.2. Снаряд, летящий со скоростью v, имеющий массу т, попа¬ дает сзади в очень тяжелый поезд, двигающийся относительно земли со ско¬ ростью и, и застревает в нем. Со стороны поезда на снаряд во время соуда¬ рения действует тормозящая сила. Предполагая эту силу постоянной в тече¬ нии времени соударения х, найти ее работу в системе отсчета, связанной с землей, в системе отсчета поезда и в системе отсчета, где снаряд покоился до соударения., Решение. За время т скорость снаряда в системе отсчета, связанной с зем¬ лей, изменилась на величину u-v9 а импульс- на величину Ap = m(u-v). Сила, с которой поезд действовал на снаряд, и так как по условию и < v, она отрицательна (снаряд тормозится). Измене¬ ние скорости снаряда в любой инерциальной системе отсчета равно и - v, так что величина силы F во всех системах одинакова. За время соударения т в системе отсчета, связанной с землей, снаряд про- _ Ар _ т(и-у) X X а работа силы F на пути /зем равна
70 Глава 2. Динамика 4» = FK u-v U + V т т = — т(и2 - v2). 2 2 1 7 В системе поезда снаряд вначале имел скорость v - и. Путь, пройденный снарядом в этой системе, равен 1 , 1 ln=(v-u)x + -aT2=-(v у) т, а работа на пути 1п равна А. = FL=m 'u-v'' 'v-u'' X J l 2 J т = т (v-u) В системе отсчета, где снаряд покоился до соударения, его путь равен / = —ах2 с 2 а работа равна A -Fl-rn 'u-v'' f u-v' l т: J l 2 J 1 / X т = —m(v-u) 2 v 7 Во всех трех случаях работа оказалась разной. Часто F- проекция силы на направление движения - зависит от пройденного пути /. На рис. 5.2 изображена такая зависимость F от /. Для вычисления работы от точки В до точки С разобьем весь путь на такие малые перемеще¬ ния dx9 на которых F(x) можно считать не из¬ меняющейся. Тогда, умножая F(x) на dx9 по¬ лучим работу dA = F{x)dx на участке пути dx. Она равна площади мелко заштрихованного Рис. 5.2 столбца на рис. 5.2. Работа же на пути от В до С будет равна сумме всех та¬ ких столбцов, которая равна площади фигуры BDEC. Если такая площадь лежит выше оси Ol, то работа положительна, если ниже - отрицательна. Пример 5.3. Определите графически максимальную работу, которую мо¬ жет совершить сжатая на х пружина жесткости к ? Решение. На рис. 5.3 изображена зависимость силы F от перемещения одного конца пружины, когда второй конец закреплен. При перемещении сила линейно уменьшается и при х исчезает, так как в этом положе¬ нии пружина оказывается недеформированной. Макси¬ мальная работа А равна площади заштрихованного пря¬ моугольного треугольника, высота которого равна кх, а длина основания х. Поэтому А = (Ах/2) • х = [кх1 )^2 . Рис. 5.3
Физика в задачах 71 В поле тяжести, в электрическом поле ра¬ бота по любому замкнутому контуру (т. е. с возвращением в исходную точку О на рис. 5.4) равна нулю. Для таких полей, называемых по¬ тенциальными, вводится очень важное поня¬ тие - потенциальная энергия. Это - способ¬ ность тела совершить работу. Например, пру¬ жина жесткости к , сжатая на х способна, как следует из примера 2.5.3, совершить разжимаясь, работу кх2/2. Следовательно, потенциальная энергия сжатой пружины равна кх1/!. Теперь вычислим потенциальную энергию тела массы т на вы¬ соте h от поверхности земли (рис. 5.5), приняв за нуль потенциальную энергию тела на поверхности земли (в точке О на рис. 5.5). Работа силы тяжести (-wg) с высо¬ ты h равна А - mgh . Это означает, что потенциальная энергия U тела массы т на высоте h равна mgh: U = mgh. Потенциальная энергия на высоте х равна mgx. Разность потенциальных энергий на высоте h и на высоте х , - (mgh - mgx) = mg (h - x), - равна работе со¬ вершенной телом при его опускании с высоты h до вы¬ соты х . Как в рассмотренном, так и в других случаях, уменьшение потенци¬ альной энергии всегда равно работе, совершаемой телом. Третий пример по¬ тенциальной энергии приводится в следующей задаче. Пример 5.4. На дне моря, на глубине Н находит¬ ся пустой бак (рис. 5.6). Масса бака т , его объем V, плотность воды р. Найти потенциальную энергию бака относительно дна на глубине х. Решение. На бак действуют: вверх - выталкивающая сила pgV и вниз-сила тяжести mg (см. рис. 5.6). Результирующая сила F = pgV-mg направлена вверх. Поэтому U = -F(H-x) = -(pgV-mg)(H-x) отрицательная величина. Это означает: для возвращения бака на дно нужно совершить работу, равную (pgV -mg)(H - х). Изменение кинетической энергии тела равно работе силы, действующей на это тело:
72 Глава 2. Динамика -mV?--mV} =А, VK ~ конечная, Vu - начальная скорость тела, т - масса тела. Если сила, со¬ вершающая работу, направлена по скорости тела, кинетическая энергия тела возрастает, если против скорости - кинетическая энергия уменьшается. Пример 5.5. Тело, двигаясь по гладкому полу со скоростью v, попадает на участок протяженности / с трением и теряет на нем половину своей скоро¬ сти. Определите коэффициент трения на этом участке. Решение. Изменение кинетической энергии тела массы т равно работе си¬ лы трения: т mv2 — = , где р - искомый коэффициент трения, g - ускорение свободного падения. Из уравнения следует: р = 3v2/$>gl. Задачи и упражнения 2.5.1. Найти работу силы трения и работу силы тяжести при соскальзыва¬ нии тела массы т по поверхности клина с углом наклона а с высоты h. Ко¬ эффициент трения тела о поверхность клина р. 2.5.2. Два коротких бруска, соединенных пружиной жесткости к , стоят на полу так, как изображено на рисунке. Какую минимальную работу можно совершить над верхним бруском массы т , поднимая его вверх, чтобы оторвать нижний брусок. 2.5.3. Санки массы Мтянут за веревку с силой F, направ- | ленной под углом а к горизонтальной дорожке (см. рису- г““ нок). Коэффициент трения между дорожкой и санками р. Какую работу совершит сила F и сила трения на пути /, если Fcosa < mg ? 2.5.4. С тяжелого самолета, летящего горизонтально со скоростью и, в направлении полета выпускается снаряд со скоростью v относительно самолета. Разгон снаряда произ¬ водится постоянной силой F в течение времени т. Определи¬ те работу этой силы в системе отсчета самолета, в системе отсчета, связанной с землей и в системе отсчета, где снаряд М К задаче 2.5.2 после выстрела покоится. 2.5.5. Цилиндрический сосуд плавает в жидкости плотности р. Высота участка сосуда, выступающего из жидкости h (см. рисунок), сечение сосуда s. Определите минимальную работу, которую необходимо совершить, что¬ бы утопить сосуд, двигая его вниз.
Физика в задачах 73 К задаче 2.5.5 в) К задаче 2.5.6 2.5.6. Две одинаковые, соединенные между собой пружины жесткости к растянуты силой F. Определите потенциальную энергию пружин, если: а) пружины соединены последовательно (см. рисунок, а), б) пружины соединены параллельно (см. рисунок, б). 2.5.7. Определите, какую работу необходимо совершить, чтобы брусок длины L и массы М9 лежащий на полу, поставить вертикально. 2.5.8. Рогатка сделана из резинового шнура же¬ сткости к (см. рисунок). Найдите скорость снаряда массы т, выпущенного из этой рогатки, если ро- „ гатку растянули на длину /. Как изменится ско- | рость, если резиновый ^шнур сложить не вдвое, а вчетверо, а растяжение рогатки будет тем же? К задаче 2.5.8 2.5.9. На гладкой плоскости с углом наклона а с высоты Н начинает двигаться тело (см. ри¬ сунок). На высоте И тело попадает на участок плоскости с трением. Пройдя по нему расстоя¬ ние /, тело остановилось. Какую скорость вверх по плоскости нужно сообщить телу, что¬ бы оно поднялось на прежнюю высоту Ш 2.5.10. От груза массы А/, висящего на пружине жестко¬ сти к , отрывается часть груза массы т (см. рисунок). Ка¬ кую максимальную скорость приобретет оставшаяся часть груза? На какую максимальную высоту она поднимется? 2.5.11. На дне горизонтального прямоугольного желоба лежит брусок массы М и клин массы т (см. рисунок). Угол скоса бруска а. Трения нет. По нормали к левой грани бру¬ ска прикладывают силу F. Определите скорость бруска в момент, когда он будет на расстоянии / от прежнего места, а клин еще не дойдет до стенки желоба. К задаче 2.5.10
74 Глава 2. Динамика F , М К задаче 2.5.11 К задаче 2.5.12 2.5.12. Три тела с массами М? т и т0, связанные длин¬ ными нитями, переброшенными через два блока так, как изображено на рисунке, приходят в движение после того, как отпускают тело массы т0. Трения нет. Определите скорости всех тел в момент, когда тело массы т0 опусти¬ лось на h. 2.5.13. * К концам нити, перекинутой через блок массы А/, подвешены два груза массы т и 2т (см. рисунок). Трения нет. Когда скорости грузов были равны v, ранее неподвиж¬ ный блок начал двигаться с ускорением а. Какая сила вы¬ зывает это ускорение? На какую величину изменилась кине¬ тическая энергия грузов за время т действия этой силы? 2.5.14. Между двумя брусками массы А/, лежащими на полу неподвижно, на расстоянии / друг от друга, пустили со скоростью и тело, скользящее без трения по прямой, соединяющей бруски (см. рисунок). Коэффициент трения между брусками и полом ц. На каком расстоянии окажутся бруски после то¬ го, как тело, упруго ударяясь о бруски, потеряет свою скорость? 2.5.15. Небольшая бусинка надета на гладкую проволочную полуокруж¬ ность радиуса R, расположенную вертикально над плоской поверхностью (см. рисунок). Бусинка начинает двигаться с начальной скоростью v из ниж¬ ней точки полуокружности. На каком расстоянии от начального положения бусинка упадет на поверхность, сорвавшись с верхнего конца проволоки? а S 2т т К задаче 2.5.13 К задаче 2.5.14
Физика в задачах 75 2.5.16.* Небольшое тело скользит со скоро¬ стью v по гладкой горизонтальной дорожке, которая переходит в вертикально расположен¬ ную круговую дорожку радиуса R (см. рису¬ нок). На какую максимальную высоту подни¬ мется тело? К задаче 2.5.16 2.5.17. Тело, скользящее по горизонтальной плоскости, налетает на горку, которая может двигаться по плоскости. Подъем на горку - четверть окружно¬ сти радиуса R (см. рисунок). Коэффициент трения между горкой и плоско¬ стью р. Трения между горкой и телом нет. Масса тела много больше массы горки. При какой минимальной скорости тело сдвинет горку? 2.5.18.* Подставка массы М с полусферической гладкой выемкой радиуса R стоит на столе. Тело массы т кладут на край выемки и отпускают (см. ри¬ сунок). Определите минимальное значение коэффициента трения между сто¬ лом и подставкой, при котором подставка не сдвинется с места. § 6. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ В физике большое значение имеют законы сохранения. К таким законам относятся, например, законы сохранения энергии, импульса, момента количе¬ ства движения, электрического заряда. В этом разделе мы рассмотрим законы сохранения энергии и импульса. Эти законы утверждают, что полная энергия и импульс системы тел, не взаимодействующих с другими телами, не меня¬ ются, что бы ни происходило в этой системе: столкновения, взрывы, химиче¬ ские превращения. Под полной энергией подразумевается сумма кинетиче¬ ской, потенциальной, тепловой и т. д. энергий. Эти законы не выводятся из других законов, они являются экспериментальным фактом, который до сих пор везде подтверждается. Применение этих законов позволяет решить много интересных задач. Приведем пример.
76 Глава 2. Динамика Пример 6.1. Протон с массой т0 и скоростью VQ, проходя через газовую мишень и упруго столк¬ нувшись с одним из неподвижных атомов газа, от¬ клоняется на угол а. Его скорость после столкно¬ вения уменьшается до Vx. Найти массу атома, с которым столкнулся протон. Решение. Обозначим неизвестную скорость яд¬ ра через F, а угол вылета через (3. Ось х направим по начальной скорости протона (рис. 6.1). По зако¬ ну сохранения импульса и энергии Рис. 6.1 ■*- х т/0 = MV + т0Ц, 2 2 2 Первое уравнение распишем по компонентам: вдоль оси х и оси у. Вдоль х: m0V0 = MV cos(3 -ь m0Vj cos a . Вдоль у: 0 = A/FsinP* tf^sina . Переписывая эти уравнения в виде: то{К cosa) = MVcosp , mQVj sin a = MV sin [3 и возведя обе части в квадрат, а затем, складывая, получим: Второй закон Ньютона приводит к закону сохранения механической энер¬ гии в потенциальном поле - сумма кинетической и потенциальной энергии в потенциальном поле не меняется. Общий закон сохранения энергии подразу¬ мевает возможность перехода кинетической и потенциальной энергии в дру¬ гие формы энергии, например, в тепловую. Пример 6.2. Снаряд, летящий со скоростью v, имеющий массу т, попа¬ дает сзади в очень тяжелый поезд, движущийся относительно земли со ско¬ ростью и, и застревает в нем. Сила, действующая на пулю, постоянная. Оп¬ ределите выделившуюся тепловую энергию. Решение. Снаряд и поезд являются изолированной системой, в которой энергия сохраняется. Записываем закон сохранения энергии в системе отсче¬ т02 (vo2 + V2 - 2V0Vl cos a) = M2V2. Закон сохранения энергии можно записать в виде m0(V02-V2) = MV2. Если поделим одно уравнение на другое, то получим о
Физика в задачах 77 та, связанной с землей: 1 2 1 2 2 '2 2 * где Ех и Е2 - кинетическая энергия поезда до и после соударения с пулей, Q - выделившаяся тепловая энергия. Отсюда Q = ^m(v1-u2) + El-E2. Во время соударения т на поезд действует сила со стороны снаряда обратная той, которая действует на снаряд со стороны поезда: F = ma = m(v~u)/т. За время т поезд проходит путь I -их (скорость и почти не меняется - поезд очень тяже¬ лый). Работа силы F будет А = FI — m(v - и) . Эта работа равна изменению ки¬ нетической энергии поезда: Е2-Е] = mu (v - и). Отсюда выделившееся тепло И-( V »2) 1 2 ти(р-и) = — m(v-u) . Рис. 6.2 При решении задач иногда встречаются ситуации, когда вместе с энергией сохраняется только одна из составляющих импульса. Рассмотрим пример. Пример 6.3. На гладком полу лежит глад¬ кая подвижная горка массы М и высоты h. Тело массы т двигается в направлении с горки (рис. 6.2). Надо определить, какую скорость должно иметь это тело, чтобы пре¬ одолеть горку. Решение. При взаимодействии тела т с горкой, последняя начинает двигаться в горизонтальном направлении. И если тело т, поднявшись на горку, будет иметь скорость, чуть большую, чем гор¬ ка, оно преодолеет горку. Поэтому при нахождении минимальной скорости мы должны считать скорости тела т и горки равными, т. е. v = и (если v < и , тело т скатится назад, а если и > и, оно преодолеет горку). Так как поле тяжести потенциально, то сохраняется механическая энергия. Запишем ее для момента времени, когда тело т поднимется на горку —mV* — —mv +mgh + — Mu . 2 0 2 2 В горизонтальном направлении на систему (т + горка) внешние силы не действуют, поэтому будет сохраняться горизонтальная составляющая импульса PQ= Рт+ Рм -> mv0 = mv + Ми . Помня, что v = и , решив систему из двух уравнений с неизвестными и0 и v , получим: v0 > ^2gh(M + т)/М
78 Глава 2. Динамика При взаимодействии системы с внешними телами энергия и импульс системы не сохраняются. Импульс системы меняется на величину, равную сумме произ¬ ведений векторов внешних сил на время их действия. Энергия системы меняется на работу, которую совершают внешние силы над телами системы. Решим следующую задачу, иллюстрирую¬ щую изменение импульса и энергии системы в процессе действия на нее внешних сил. Пример 6.4. На длинной пластине массы М лежит тело массы т. На тело действует горизонтальная сила F в течение времени х (рис. 6.3). Определите, на какое расстояние переместится тело по поверхности пластины. Коэффициент трения между телом и пластиной [X. Трение между пластиной и горизонтальной поверхно¬ стью равно нулю. Решение. На верхнее тело действует сила F и сила трения Fx - -\xrng , если F > m{\+mlM)\xg . Поэтому тело будет в течение времени т двигаться с ус¬ корением а = (F/m)-\xg . В дальнейшем движение тела по поверхности пла¬ стины будет продолжаться до тех пор, пока сила трения не выровняет скоро¬ сти тела и пластины. Обозначим эту общую скорость тела и пластины через V. Изменение импульса системы т + М равно Fx . Поэтому (m + M)V = Fx. Теперь определим работу силы F. Путь пройденный телом - I = ах2 /2 . Сле¬ довательно, работа внешней силы равна А = FI + Км gV x2F . Но работа внешней силы равна увеличению энергии системы т + М . Поэтому 'Т —<?ц Км т + М F2+|imgX, 2 2 где Х~~ искомое перемещение. Первое слагаемое справа - кинетическая энер¬ гия системы, второе слагаемое - часть энергии, которая из-за трения перешла в тепловую энергию. Из первого и последнего уравнения легко находим X— путь, пройденный телом по поверхности пластины 1 Fx2 Г FM Х = 2 mg\x т {т + М) Если F < w(l + /w/M)pg, то X = 0 . Часто внешняя сила, например, реакция опоры, действует на систему, но не совершает работы, и поэтому энергия системы не меняется, как это имеет ме¬ сто в следующей задаче.
Физика в задачах 79 Пример 6.5. Клин массы т соскальзывает по вертикальной плоскости вниз, толкая кубик массы М (рис. 6.4), Вначале, кубик и клин неподвижны. Определите скорости кубика и клина, когда клин спустится на h. Решение. Поле тяжести потенциально, поэтому имеет место закон сохранения механической энергии. (Кроме сил тяжести на клин и кубик действуют си¬ лы реакции стенки и горизонтальной плоскости, которые, однако, работы не совершают, так как перпендикулярны перемещениям клина и кубика соот¬ ветственно.) Запишем закон сохранения энергии {Ет+ит) + {Ем+им) = (Ет,+ит,) + (Ем,+им,), где Ет и Ет, - начальная и конечная кинетическая энергия клина, Ем и Ем, - начальная и конечная кинетическая энергия кубика, Um, Um, и Uм, UM, - соответственно начальная и конечная потенциальная энергия клина и кубика. Из равенства нулю начальных скоростей клина и бруска следует, что Ет и Ем равны нулю. Кроме того, ясно, что потенциальная энергия кубика не изменится: Uм - UM<. Поэтому mv2/2 + mgx'+ Ми2jl-mgx, где х’ и х конечная и начальная высота клина, V и и соответственно конечная скорость клина и кубика. Так как х - х' = h , из последнего равенства следует: mv2/2 + Ми112 = mgh. К этому уравнению необходимо добавить соот¬ ношение, связывающее v и и, которое следует из кинематики движения тел. Обратимся к рис. 6.5. Пусть пунктиром обозначено начальное состояние тел, а сплошными линиями - состояние через малый интервал времени dt. За время dt клин опустился на dh, а куб сместился на dl. Из рисунка следует, что dl udt и — = = — = tga. dh vdt v Поэтому, решая систему из двух уравнений 1 2 [mv2 + Ми1) - mgh , и V = tga, с двумя неизвестными v9 и, получим и = 2mgh т + М tg“ a v = 2mgh т + М ctg2 a
80 Глава 2. Динамика Задачи и упражнения 2.6.1. Протон с массой т0 н скоростью V0, прохо¬ дя через газовую мишень и упруго столкнувшись с одним из атомов газа с массой М, отразился назад с той же по величине скоростью. Определите началь¬ ную скорость этого атома. 2.6.2. Шарик массы т со скоростью V налетает на стенку и отражается от нее под прямым углом (см. рисунок). Чему равен импульс, полученный стенкой при ударе, если пятая часть кинетической энергии шарика уходит в тепло? 2.6.3. Шарик с импульсом mV упруго ударяет в кубик так, как это показано на рисунке. Масса куби¬ ка равна массе шарика. Определите импульсы шари¬ ка и кубика после удара. 2.6.4. Клин массы М и углом при вершине 2а на¬ летает со скоростью V0 на два покоящихся шарика mV К задаче 2.6.2 S I т, расположенных симметрично относительно вы¬ соты (и вектора скорости) клина (см. рисунок). Най¬ дите скорость клина после упругого удара. 2.6.5. Протон, летящий со скоростью V, после уп¬ ругого столкновения с неподвижным протоном от¬ клонился на угол а. Определите скорости обоих про¬ тонов после столкновения. 2.6.6. Стальная пуля массой т, летящая со скоростью F, пробивает дере¬ вянный шар массы М, в результате чего скорость пули уменьшается вдвое. Какая часть кинетической энергии пули пошла на нагревание? 2.6.7. Доска массы т лежит на гладком полу. На доске, на расстоянии / от дальнего конца доски находится брусок такой же массы (см. рисунок). Бруску сообщили скорость V, в сторону дальнего конца, и он слетает с доски со скоростью V/2 . Оп¬ ределите выделившееся тепло и коэффициент тре¬ ния между бруском и доской. 2.6.8. С какой скоростью скользила по гладкому полу в продольном направлении доска массы т, если после упругого удара о стенку брусок массы М, который находился на ней, переместился по доске на расстояние / (см. рисунок)? Коэффици- _ К задачам 2.6.8, 2.6.9 ент трения между бруском и доской р. 2.6.9. * Длинная доска массы т , вместе с лежащим на ней бруском массы т V V т \~ К задаче 2.6.7 * М т
Физика в задачах 81 М, М > т, скользит со скоростью V по гладкому полу. Коэффициент трения между бруском и доской р. На какое максимальное расстояние сдвинется брусок по поверхности доски после удара доски о стену (см. рисунок)? Как долго после первого удара будут происходить повторные удары доски о стену? 2.6.10. * Если шарику сообщить скорость вдоль пружины, связывающий его с неподвижной стенкой, то максимальное сжатие пружины будет в и раз больше, чем если бы вместо стенки был другой шарик. Определите отноше¬ ние масс этих шариков. 2.6.11. Шар массы М, пробитый пулей массы т снизу, поднимается на высоту Л, а пуля на Н выше. Определите выделившееся тепло. 2.6.12. На гладком полу со скоростью V скользит гладкая подвижная горка массы М и высоты h. На встречу ей скользит брусок массы т . Какую ско¬ рость должен иметь этот брусок, чтобы преодолеть эту горку? 2.6.13. Пружинная пушка, ори¬ ентирована к горизонту под углом 45°, стреляет на длину /, если за¬ креплена. Определите дальность полета снаряда, если пушка на гладком полу не закреплена, а мас¬ са снаряда равна массе пушки (см. рисунок). 2.6.14. * Подставка массы М с К задаче 2.6.13 полусферической гладкой выемкой радиуса г стоит на гладком столе. Тело массы т кладут на край выемки и отпускают. Определите скорость подстав¬ ки в момент, когда тело опустилось на h. 2.6.15. Имеются две наклонные плоскости с углами наклона аир соответственно, которые мягко стыкуются (см. рисунок). Тело опущенное с высоты h на первой наклонной плоскости про¬ ходит участок протяженности /, / sin а < Л, с коэффициентом трения р, pctga. На какую высоту и за какое время тело поднимается по второй наклонной плоскости? 2.6.16. Тело массы т толкнули вверх по наклонной плоскости с углом на¬ клона а. Оно поднималось от исходной точки вверх за время t, а спускалось назад к исходной точке за время It. Определите коэффициент трения и тепло, выделившееся при возвращении тела к исходной точке. 2.6.17. Тело скользит по доске с углом наклона а, упруго отражаясь от стенки, которая поставлена перпендикулярно доске в ее основании (см. рису¬ нок). После каждого удара тело поднимается на высоту, которая в к раз меньше высоты подъема при предшествующем отражении. Определите ко¬ эффициент трения между доской и телом.
82 Глава 2. Динамика 2.6.18.* Небольшое тело скользит по доске с углом наклона а, с высоты h. В основании доски перпендикулярно ей поставлена стенка (см. ри¬ сунок). Тело после упругого отражения от стен¬ ки, движется вверх по доске, а затем, вернув¬ шись, опять упруго отражается от стенки и т. д. Коэффициент трения равен р, pctga. Сколько времени будет двигаться тело? К задачам 2.6.17, 2.6.18 2.6.19.* На доске с углом наклона а непод¬ вижно лежит брусок массы М0. Коэффициент трения между бруском и доской р, p>tga. Тело массы т начинает скользить по доске с высоты й, а тело массы М- с высоты Я по от¬ ношению к бруску (см. рисунок). Трения ме¬ жду доской и телами нет. Удары этих тел друг с другом и удары тела массы т с бру¬ ском упругие и направлены вдоль доски. На сколько опустится брусок? 2.6.20. Пружину жесткости к и дли¬ ны L разрезали на две части, одна из ко¬ торых имеет длину /. Их соединили ни¬ тью, нить перебросили через неподвиж¬ ный блок, к свободным концам подве¬ сили груз массы М (см. рисунок) и от¬ пустили груз. Определите максималь¬ ную скорость груза и максимальное рас¬ стояние каждой части пружины. 2.6.21. Определите, на какое макси¬ мальное расстояние сместится подвиж¬ ный блок, изображенный на рисунке, если к нему подвесить груз массы М и отпустить его. Жесткость пружин, связы¬ вающих блоки с потолком и полом к . 2.6.22. Грузы массы и т2 связаны с грузом массы М и друг с другом нитью, пе¬ реброшенной через три блока, так, как это изображено на рисунке. Определите скоро¬ сти всех грузов после того, как груз массы М опустится на h. Трения нет. Первона¬ чально грузы были неподвижны.
Физика в задачах 83 2.6.23. Система из трех тел массы т, М и М0, связанных нитями, перекинутыми через два неподвижных блока, изображена на рисунке. Первоначально неподвижные тела приходят в движение, когда опускают висящее тело массы М0. Коэффициент трения между телом массы т равен р. Трения в блоках и на горизонтальной плос¬ кости нет. Определите скорости тел в мо¬ мент, когда тело массы М0 опустится на hi 2.6.24. Два крайних груза массы т, свя¬ занных нитью, перекинутой через два бло¬ ка, приводит в движение центральный груз массы А/, который подвешивается к центру нити (см. рисунок). Расстояние между бло¬ ками /. Определите максимальную ско¬ рость центрального груза. 2.6.25. * На гладком полу, лежат, касаясь друг друга, два одинаковых гладких бревна радиуса R. На них сверху кладут третье бревно такого же радиуса, но в два раза тя¬ желее, так, как изображено на рисунке, и отпускают его. С какой скоростью разле¬ тятся крайние бревна? 2.6.26. Определите скорость нижнего шарика гантели длины /, падающей на гладком полу из вертикального положения, в момент, когда она находилась под углом а к горизонту (см. рисунок). 2.6.27. При встречном центральном уда¬ ре к -я часть кинетической энергии шари¬ ков с одинаковой массой и одинаковой по величине скоростью переходит в тепло. Ка¬ кая часть кинетической энергии этих шари¬ ков перейдет в тепло, если при встречном центральном ударе первоначальная ско¬ рость одного шарика, была в п раз меньше, другого? К задаче 2.6.23 К задаче 2.6.24 а К задаче 2.6.26
84 Глава 2. Динамика § 7. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ До настоящего времени мы рассматривали механические системы, в кото¬ рых движение происходит либо в одном заданном направлении, либо в двух, но так, что эти два направления легко разделяются. Способ описания движе¬ ния, когда мы сначала раскладываем векторы ускорения и сил на проекции, а затем раздельно записываем уравнение движения в направлении V и ”уп, не всегда является лучшим. В данном разделе мы обсудим движение по окруж¬ ности, которое трудно описать в фиксированных декартовых координатах. Тело движется по окружности радиуса Л, если на него действует неизменная по величине сила F, перпендикулярная направлению движения: F = (mv2\ R. Скорость v при этом не меняется по величине, а действие си¬ лы заключается в том, что вектор скорости все время поворачивается к цен¬ тру круга. Вместе со скоростью поворачивается и сила, так что она все время оказывается направленной к центру окружности. За это ее свойство такая си¬ ла именуется центростремительной. Движение по окружности удобно описы¬ вать с точки зрения наблюдателя, находящегося в ее центре. Для него естественно определены два направления - направление взгляда на вращающееся тело и перпендикулярное ему направление. Первое направ¬ ление называется радиальным, второе - азимутальным. На рис. 7.1 в ради¬ альное направление указывает вектор F±, а азимутальное - . Положение тела на окружности удобно определять при помощи угла (рис. 7.1), под ко¬ торым оно видно из центра окружности. Если угол, отмеряемый от некоторо¬ го наперед выбранного направления, выразить в радианах, то а = S/R = vt/R, поскольку путь тела S представляет дугу, на которую опирается угол а. Ана¬ логично линейной скорости, можно ввести в обращение угловую скорость со, так что а = со/. При этом v - соR. Движение по окружности является моделью всякого криволинейного движения - в любой участок траекто¬ рии можно вписать окружность. Вам уже известно (раздел кинематики), что ускорение тела, движущегося по криволинейной траектории, можно разделить на две компоненты разного физического смысла: перпендикулярная к траектории компонента вектора ускорения aL связана с изменением направления движения, а параллельная, или тангенциальная компонента яц, связана с изменением величины скоро¬ сти. Первая может быть выражена через радиус R вписанной в траекторию окружности и скорость движения V : aL = v2/R. Вектор а± указывает центр
Физика в задачах 85 вписанной окружности и его вполне можно назвать центростремительным ускорением. Другая, тангенциальная компонента ускорения не зависит от то¬ го, вращается тело, или движется по прямой: = dv/dt. Действующую на тело силу F (рис. 7.1) можно также разложить на перпендикулярную к тра¬ ектории центростремительную силу FL и силу iv создающую тангенциаль¬ ное ускорение. Пример 7.1. Определить, какой минимальный коэффициент трения колес автомобиля о землю необходим, чтобы он мог двигаться по кругу радиуса R со скоростью v ? Решение. Двигаясь по окружности, автомобиль испытывает ускорение а± “ v2/R , которое должно создаваться силой трения FT = mv2/R < \img . Но сила трения не может быть больше \itng. Поэтому, mv2jl<\xmg. Отсюда получаем ответ: ц = v2/gR . Пример 7.2. Колесо радиуса г катится без проскальзывания по поверхно¬ сти неподвижного цилиндра радиуса R. Определить ускорение а точки «А» обода колеса в момент времени, когда она касается поверхности цилиндра, если полный круг колесо проделывает за время г, а скорость его центра по¬ стоянна. Оси цилиндра и колеса параллельны. Решение. Скорость точки «А» (рис. 7.2) равна нулю - она является мгновенной осью вращения. Центр колеса описывает окружность радиуса R + r за время / и, следовательно, имеет скорость vc =2n(R + r)/t. Угловая скорость вра¬ щения колеса со = vc/r. Легко убедиться, что такая же величина получится, если мы перейдем в систему отсчета, связанную с осью колеса. Положение точки «Л» обода задается вектором S = Sc + Scx, где Sc ука¬ зывает на центр колеса, a Scx - на точку «X» из центра. Скорость этой точки v = AS/At = vc+ vcx также является суммой скорости центра колеса и скорости точки «X» относительно центра. Аналогично соотносятся ускорения: а - ас +асх. Центростремительное ускорение а с = v2c/(R + г) и - v2 г = со2г определяются отдельно. Учитывая, что направления ускорений противоположны, получаем ответ: а = 4я2(7? + г)/?//2г . Как видно, ускорение точки, являющейся в данный мо¬ мент мгновенной осью вращения, вовсе не равно нулю.
86 Глава 2. Динамика Задачи и упражнения 2.7.1. Один конец веревки длины / закреплен, а на другом, по окружности в горизонтальной плоскости, вращается тело массы т (см. рисунок). Какую наи¬ большую скорость может иметь тело, если веревка выдерживает максимальное натяжение 7? 2.7.2. Три одинаковых тела массы т связаны нитями длины / и вращаются с угловой скоростью со, сохраняя конфигурацию равностороннего треуголь¬ ника (см. рисунок). Ось вращения проходит через центр треугольника и пер¬ пендикулярна его плоскости. Найти натяжение нитей. 2.7.3.* Брусок, с мелкой цилиндрической лункой на верхней поверхности, движется горизонтально со скоростью V. В выемку попадает массивное тело, легким стержнем прикрепленное к шарниру «А» (см. рисунок). Длина стерж¬ ня /, а высота шарнира такова, что при его вертикальном положении тело касается нижней точки лунки. Определите высоту, на которую поднимется тело после того, как выскочит из лунки. Предполагается, что эта высота много больше глубины лунки. 2.7.4. Тело массы т движется по окружности радиуса R со скоростью, ко¬ торая линейно увеличивается во времени v-kt. Как зависит от времени си¬ ла, действующая на тело?
Физика в задачах 87 К задаче 2.7.5 2.7.5. Бусинка скользит по горизон¬ тально расположенному проволочному кольцу радиуса R (см. рисунок). Коэф¬ фициент трения между бусинкой и кольцом р. Определите ускорение бу¬ синки в момент времени, когда она имела скорость v. Ускорение свобод¬ ного падения g. 2.7.6. В центре вращающегося гори¬ зонтального диска имеется отверстие, через которое продета нить. На одном конце нити находится лежащее на по¬ верхности диска тело А, а на другом конце - висящее на нити тело В (см. рисунок). Если расстояние от тела А до центра диска находится в пределах от 1г до /2, тело вращается вместе с дис¬ ком, не проскальзывая. Определите угловую скорость вращения диска © и коэффициент трения тела А о диск, если массы тел одинаковы. 2.7.7. * Диск радиуса г катится без проскальзывания с постоянной скоро¬ стью по поверхности неподвижного цилиндра радиуса R, делая полный круг по цилиндру за время т (см. рисунок). На поверхность диска вблизи точки его соприкосновения с цилиндром, положили небольшой грузик. Каким должен быть коэффициент трения между грузиком и по¬ верхностью диска, чтобы он не соскользнул и двигался вместе с диском? Оси цилиндра и коле¬ са вертикальны. 2.7.8. По внешней поверхности конуса, по ок¬ ружности радиуса R, едет мотоциклист. Коэф¬ фициент трения р. Определите максимально возможную скорость мотоциклиста. Угол рас¬ твора конуса 2а. Ось конуса расположена вер¬ тикально. 2.7.9. * Диск радиуса R вращается с малой уг¬ ловой скоростью со. По диску скользит малень¬ кая бусинка в форме куба, надетая на горизон¬ тальную спицу (см. рисунок). Спица расположе¬ на на расстоянии Я от центра диска и прижимает бусинку к диску так, что трение между ними велико, а трение скольжения бусинки по спице отсутствует. За какое время бусинка проскользит от одного края диска до другого? К задаче 2.7.9
88 Глава 2. Динамика 2.7.10. При вращении с угловой скоростью со груза массы т, прикреплен¬ ного к оси пружиной, длина растянутой пружины /. При вращении с той же угловой скоростью груза массы 2т на той же пружине ее длина равна 21. Найдите длину пружины в недеформированном состоянии. 2.7.11. * Шайба массы т прикреп¬ лена двумя одинаковыми пружинами жесткости к к рамке и может двигать¬ ся без трения вдоль горизонтального стержня АВ, соединенного с рамкой (см. рисунок). Рамку привели во вра¬ щение с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси СД лежащей в плос¬ кости рамки на расстоянии а от ее цен¬ тра. На каком расстоянии от оси шайба может оставаться неподвижной? В ка¬ ком случае это положение шайбы бу¬ дет устойчивым? 2.7.12. В горизонтальной «карусе¬ ли» имеется вертикальный канал на расстоянии Rx от оси, в который сво¬ бодно входит тело массы т,. На по¬ К задаче 2.7.12 верхности карусели на расстоянии от оси R2 находится тело массы т2, связанное с телом массы тх нитью, пере¬ брошенной через блок (см. рисунок). Трение тела массы т2 о поверхность «карусели» отсутствует, а между телом массы тх и поверхностью канала при¬ сутствует, и имеет коэффициент р. При каких угловых скоростях вращения «карусели» тела, отпущенные в указанных положениях, не будут смещаться? 2.7.13. До какой угловой скорости нужно раскрутить вокруг своей оси вед¬ ро, чтобы весь находящийся в нем песок был выброшен? Угол наклона сте¬ нок ведра к горизонтали а, радиус дна R, коэффициент трения песчинок о стенки ведра р, ускорение свободного падения g . 2.7.14. * Два тела массы т и М, связанные нитью длины I, скользят по полу со скоростью v9 направленной перпендикулярно нити. Центр нити налетает на не полностью вбитый гвоздь. Определить натяжение нити в этот момент времени. 2.7.15. * Один конец нити продет через втул¬ ку и закреплен пружиной жесткости к со стен¬ кой. На втором конце с перпендикулярной к нити скоростью v0 движется тело массы т
Физика в задачах 89 (см. рисунок). При протягивании нити через втулку создается сила трения F. Нить на рас¬ стоянии /0 >mvl/F от тела налетает на глад¬ кий тонкий гвоздь и накручивается на него. Ка¬ кой будет скорость тела, когда его расстояние до гвоздя уменьшится до / ? Пружина первона¬ чально не деформирована. 2.7.16. Веревка длины 21 с двумя грузами- один прикреплен к середине веревки, другой к нижнему ее концу-своим верхним концом привязана к вертикально стоящему столбу и вращается вокруг него (см. рисунок). Опреде¬ лите отношение масс грузов, если расстояние от первого груза до столба а от второго- R2. Какова угловая скорость вращения? 2.7.17. Вокруг вертикальной оси вращается связанный с осью двумя нитями длины / ша¬ рик массы т (см. рисунок). Угол между нитя¬ ми 90°. При какой угловой скорости оборвется одна из нитей, если нити выдерживают пре¬ дельное натяжение Г. К задаче 2.7.16 §8. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Природа использовала вращение раньше людей: планеты вращаются во¬ круг своих звезд, электроны - вокруг атомного ядра. Только в масштабах че¬ ловеческого быта вращение было редкостью. Со временем техника воспол¬ нила пробел, и модель вращательного движения стала универсальной. Обсу¬ дим эту модель на примере механической системы, в которой на тело дейст¬ вует центральная сила, направленная вдоль линии, соединяющей тело (мате¬ риальную точку) с неподвижным центром О и зависящая от расстояния г от тела до этого центра. Что особенного в этой системе? Первая особенность состоит в том, что тело всегда движется в плоскости, со¬ держащей центр О. Допустим, оно это дела¬ ло некоторое время до настоящего момента. Поскольку центральная сила также лежит в плоскости, содержащей траекторию тела до настоящего момента, то изменение вектора скорости к следующему моменту будет в той же плоскости, тело из нее не выйдет.
90 Глава 2. Динамика Вторая особенность менее очевидна. У тела при его движении сохраняется момент импульса N, определяемый формулой: N - /и Кг sin а = mVh, (1) где mV - импульс тела, г - расстояние от тела до центра, а - угол между радиус-вектором г и импульсом mV (рис. 8.1). Рассмотрим несколько при¬ меров, в которых доказывается, а затем используется эта особенность. Пример 8.1. В гладкой горизонтальной плоскости проделаем отверстие, про¬ денем через него нить, прикрепим к ней небольшой грузик и толчком заставим его вращаться со скоростью V на расстоянии / от отверстия. Вопрос: как будет меняться скорость V{l), если медленно выбирая, или отпуская нить мы будем менять / ? Решение. Для того чтобы расстояние / от тела до оси вращения не меня¬ лось, нить придется удерживать усилием F = mV2jl. Для того, чтобы вы¬ брать нить на малую длину dl нам придется совершить работу dA - Fdl и эта работа должна будет увеличить кинетическую энергию тела dEk m(V + dV)2 2 mV2 2 *mVdV. Здесь мы пренебрегли членом (dVУ , поскольку считаем dV малой величи¬ ной. Из закона сохранения энергии dA~dEk получаем mdVl-rnVdl = 0. С точностью до члена ~ dVdl эта формула совпадает с d(mVl) = m{V + dV)(l + dl)~mVl. Если теперь просуммируем результат ма¬ лых приращений /, то получим, что d(mVl) = mVl-mVJi =0 или mVl = const. В сделанных нами выкладках мы считали, что нить выбирается медленно, так что можно пренебречь отличием траектории тела от окружности и появ¬ лением у него радиальной компоненты скорости. Из рассмотренного примера видно, что азимутальная компонента скорости под действием центральной силы меняется V(l) = const//. Если из центра смотреть на движущееся вокруг него тело, то наблюдателю всегда будет представляться, что в направлении на тело, движение происходит ускоренно, потому что действует центральная сила, а в перпендикулярном направлении тело движется равномерно - силы тут отсутствуют. Сидящий на вращающем¬ ся стуле наблюдатель скажет, что азимутальная компонента скорости посто¬ янна, поскольку она не меняется никогда. Почему? Законы Ньютона форму¬ лируются в инерциальной системе отсчета, а следящая за телом вращающая¬ ся система таковой не является. В каждый момент наблюдения вы найдете подходящую инерциальную систему отсчета, если будете поворачиваться толчками, как это делает балерина, но именно при повороте азимутальная составляющая импульса изменится вместе с азимутом.
Физика в задачах 91 Пример 8.2. Имеются векторы А, В. Покажите, что величина АЛ АЛ (2) не меняется при вращении системы координат вокруг оси z, перпендикуляр¬ ной плоскости Оху. Решение. При переходе из системы S в по¬ вернутую на угол а систему отсчета S (рис. 8.2) координаты векторов преобразуются следую¬ щим образом: Ах = Ах cos а 4- Av sin а, А - Ах sin а + Ay cos а. (3) Используя тождество sin а2 +cosa2 = 1 и фор¬ мулу (3), получаем, что АхВу - АуВх = АхВу - АуВх. Кроме плоскости Оху можно взять Oyz и Oxz, и из соответствующих пар координат составить вели¬ чины, не меняющиеся при повороте системы вокруг осей х и у. Три получен¬ ные нами величины очень напоминают вектор с проекциями на оси z, х и у. Это действительно так. Составленный по данному рецепту вектор С называ¬ ется векторным произведением А и В, С = [^Лх В . Определяемая по фор¬ муле (3) компонента С2 не меняется при повороте как вектор параллельный оси вращения. Векторному произведению можно дать более наглядное описание (рис. 8.3): вектор С направ¬ лен перпендикулярно плоскости, опирающейся на А и й, его величина равна С = АВsin а, где а - угол между А и В. Это легко вывести из формулы (2), если выбрать координатные оси X и F в плоскости, опирающейся на А и В : АхВу - АуВх = ABzos$a sin(3A - - АВ sin cos = АВ sin(p£ - Pa) = АВ sin a. Здесь рв, Р6 - углы А к В но отношению к оси X. Используя векторное произ¬ ведение, можно дать точное определение момента импульса: это вектор jV = [Fx/>]. Пример 8.3. Показать, что момент импульса не меняется, если на тело действует сила, всегда направленная на центр, совпадающий с началом коор¬ динат.
92 Глава 2. Динамика Решение. Проекция момента импуль¬ са на ось вращения не меняется при по¬ вороте системы координат. Можно сис¬ тему повернуть так, чтобы ось х была направлена на тело, а ось у расположена в плоскости движения (рис. 8.3)-для тела это будут радиальное и азимуталь¬ ное направления - в этой системе N2 = гхру, (4) поскольку гу = 0. Величина Nz пропорциональна азимутальной компоненте импульса Р , которая в данный момент не меняется. Не должна меняться и величина Nz. Приведем другой более формальный, но более строгий вывод. Этот вывод основывается на определении N ~ [г х pj. Операция вектор¬ ного произведения по своим алгебраическим свойствам аналогична операции умножения чисел. Посмотрим, как меняется величина N в течение короткого интервала времени dt = t2 - tx: ^ = ^K)-^fi) = [^,) + ^:xP(/1) + dP]-[r(/1)xP(f1)] = = [dr xP(/i)] + [r(/i)xdPJ + [dr xdPJ. Здесь dr = r (t2)- f (/,); dP = P(t2)-P(tx). Выразив перемещение через скорость dr « vdt, изменение импульса через силу a dP « Fdt и учитывая, что векторное произведение параллельных век¬ торов равно нулю: [v х pj = 0, получим dN + [vxF~^(dt)2. Рис. 8.4 Выбирая промежуток времени достаточно малым, мы сделаем в этом вы¬ ражении второй член сколь угодно малым по сравнению с первым, так что в пределе dt -> 0 им можно будет пренебречь, равно, как можно будет пренеб¬ речь различием моментов времени tx и t2. В итоге получается dN = [rxF~\dt. (5) Если вектор F направлен к центру, то он параллелен вектору г, правая часть (5) равна нулю, и это означает неизменность момента импульса N . При dt —> 0 из (5) для вращательного движения можно получить формулу, аналогичную II Закону Ньютона, где вместо dP/dt = F будет dN_ dt 7 х F J = M.
Физика в задачах 93 Место импульса занимает момент им¬ пульса N, а место силы - момент силы М = х Fj. Величина момента силы равна произведению силы F на плечо или Frsina, а - угол между г и F. Ве¬ личина момента импульса может быть получена аналогично, умножением им¬ пульса на его плечо N = Ph. На рис. 8.5 плечо силы F обозначено буквой h - это перпендикуляр, опущенный из центра вращения на линию, вдоль которой дей¬ ствует сила. При решении задач придется иметь дело только с ситуацией, когда моменты сил и импульса направлены вдоль оси вращения. Даже в этом случае возможны два направления моментов. На рис. 8.6 момент силы Fx, которая «вращает» век- F тор гх против часовой стрелки, направлен Рис. 8.6 на нас, а момент силы F2, «вращающей» радиус-вектор г2 по часовой стрел¬ ке - против нас. Моменты направления «на нас» можно считать положитель¬ ными, а моменты противоположного направления - отрицательными. Если сила центральная, то a = 0 и момент импульса сохраняется неизменным. Закон сохранения момента импульса, как и закон сохранения импульса, применим к системе тел. Пример 8.4. Покажите, что суммарный момент импульса системы двух тел не меняется под действием внутренних сил, если эти силы центральные, направлены по линии, соединяющей тела. Решение. Пусть имеются два тела с моментами импульса Nx и N2. На них действуют внешние силы F]e и Fle, а также, силы их взаимодействия Fu и, соответственно, Р21. Применим к каждому из тел формулу (6) dNt r,*{Fu+Fn)\dt, dN2 - [r2 x(F2<> +F21) dt.. Если сложить эти равенства, учитывая, что Fn = -F2l, мы получим изменение полного момента импульса системы N = Nx + N2, dN - \jxxFu + ^jxFle +[(^ -r2)xF,e]rf/. Если силы взаимодействия двух тел направлены вдоль линии, связывающей эти тела, то правый член равен нулю и
94 Глава 2. Динамика dN = (MXe + Mle)dt, (7) изменение полного момента импульса системы вызывается только суммой моментов действующих на тела внешних сил. Центральное, взаимодействие между телами не меняет полного момента импульса системы. Центральным является гравитационное взаимодействие, взаимодействие зарядов. Не меняет момента импульса также локальное взаимодействие, когда i\-r2=0. По¬ следнее особенно важно, поскольку в основе всех сил локальное взаимодей¬ ствие частиц и их движение. Внутреннее взаимодействие элементов системы не меняет ее полного мо¬ мента импульса. Это утверждение не выводится из законов Ньютона, но яв¬ ляется следствием симметрии известных нам взаимодействий. Влияние внеш¬ них сил на момент импульса системы можно исключить, если внешние силы направлены на неподвижный центр вращения. Если этот центр сделать нача¬ лом отсчета, то относительно такого начала момент импульса системы будет сохраняться так же, как он сохраняется для отдельного тела. Это, в частности, относится к движению тела, закрепленного на оси. Реакция оси является цен¬ тральной силой. Если искать наиболее доступные объекты, иллюстрирующие закон сохра¬ нения момента импульса, мы их найдем на небе. Конечно, трудно в плаваю¬ щих по небесному своду звездочках признать планеты, которые вращаются вокруг Солнца, зато это спутники всей нашей жизни. Солнце большое, его притяжение велико по сравнению с взаимным влиянием планет, и можно считать, что планеты вращаются вокруг неподвижного центра притяжения, сохраняя свой момент импульса. Пример 8.5. Иоган Кеплер, изучая движение планет, установил эмпириче¬ ский закон, согласно которому площадь, описываемая радиус-вектором пла¬ неты, пропорциональна времени. Покажите, что формулировка этого закона является следствием закона сохранения момента импульса. Решение. На рис. 8.7 показана описы¬ ваемая радиус-вектором планеты фигу¬ ра - она образована фрагментом траекто¬ рии, пройденной планетой между момен¬ тами времени tx и t2 и радиус-векторами r(t{) и r(F2), проведенными из центра, вокруг которого вращается планета. Если моменты tx и t2 близки, то эта фигура близка к треугольнику и ее площадь равна = 0,5 hV(t2-tx), где V - скорость тела.
Физика в задачах 95 Момент импульса планеты-это произведение ее импульса Р на плечо М = Ph — mVh . Сопоставив формулы, получаем S = М(/2 -t{)/(2m), где т - масса планеты. Если взять более отдаленные моменты времени tx и t39 то заметаемую планетой сложную фигуру можно представить суммой большого числа треугольников. Складывая площади этих треугольников, мы получим сумму, которая после вынесения общего множителя М/(2т) превратится в S = М(73 -/1)/(2ш). Вывод: заметаемая планетой площадь зависит только от величины интервала времени, в равные промежутки времени заметаются рав¬ ные площади. Пример 8.6. Космический корабль на расстоянии / от Земли имеет отно¬ сительно нее скорость v, направленную под углом а к линии, соединяющей его с центром планеты. Найти максимальное и минимальное расстояние кос¬ мического корабля от центра Земли. Потенциальная энергия притяжения Земли Ep--GMm/l, где М и т - масса Земли и корабля, / - расстояние между ними. Решение. Разложим скорость корабля v на две составляющие: параллель¬ ную радиус-вектору г радиальную компоненту ar = ^cosa, и перпендику¬ лярную ему азимутальную компоненту vQ = г?sin a . Момент импульса кораб- mv2 GMm ля N - mvQl и полная энергия Е = тела сохраняются. Выразим их через начальные параметры движения: „ mv2 GMm N = mvl sina; E- . 2 r Как в точке максимума расстояния до планеты, апогея, так и в точке мини¬ мума, перигея, радиальная компонента скорости отсутствует, скорость раке¬ ты направлена азимутально и может быть выражена через ее момент импуль- са: &(rmin) = N/(mrmin), для гтах аналогично. Из закона сохранения энергии Д^2 2 тг GMm Ггшп гтах является решением этого же уравнения, искомые величины rmin и гтах являются двумя корнями jCj и х2 квадратного уравнения 2 GMm N2 п х + х = 0. Е 2т Е Ответ: г шах _ Г • nun GMm . If GMm + N2 ImE 2 E V 2 E у
96 Глава 2. Динамика Задачи и упражнения 2.8.1. Через отверстие в гладкой горизонтальной плоскости продернута веревка. На этой веревке вокруг отверстия вращается тело массы т. Перво¬ начальная длина веревки Z, а скорость тела V. Длину участка веревки между телом и отверстием начали медленно сокращать, протягивая ее через отвер¬ стие. При некоторой длине участка / веревка порвалась. Определите, какое наибольшее натяжения она выдерживала. При какой длине этого участка ве¬ ревки она порвется, если при тех же условиях не вытягивать веревку через отверстие, а позволить ей наматываться на воткнутый в отверстие шест? 2.8.2. Грузик массы т вращается вокруг оси, будучи прикрепленным к ней пружиной. При минимальном расстоянии грузика от оси пружина не дефор¬ мирована, ее длина равна /, а скорость грузика V. При какой жесткости пру¬ жины ее наибольшее удлинение не превысит величины А? 2.8.3. Космонавт совершает «облет» астероида, вращаясь вокруг него на небольшой высоте h. На' какую минимальную величину он должен умень¬ шить скорость своего движения, чтобы совершить «посадку» на астероид? Форма астероида - шар радиуса R. Ускорение свободного падения на его по¬ верхности а и оно существенно не меняется на высоте h. Величина а настоль¬ ко мала, что космонавт не рискует разбиться. 2.8.4. Два пластилиновых шарика одинаковой массы вращаются в одной плоскости вокруг одной оси, привязанные к ней нитями длины соответствен¬ но / и 1,5/ (см. рисунок). Скорость первого шарика и, второго - 2v. Второй шарик догоняет первый, его нить начинает накручиваться на первый шарик, и шарики слипаются. Определите скорость образо¬ вавшегося комка. 2.8.5. На какое «прицельное» расстояние h может промахнуться космический стрелок, чтобы все же по¬ пасть в тяжелую мишень (см. рисунок). Мишень представляет собой шар радиуса R и массы М Стре¬ лок находится от нее далеко. Начальная скорость пу¬ ли V. Потенциальная энергия силы притяжения двух масс М и т на расстоянии / друг от друга рав- "a-CM'n/,• К задаче 2,8.5 2.8.6. Качели представляют собой легкую доску, посередине закрепленную на горизонтальной оси (см. рисунок). На правую половину доски на расстоянии / от оси положили мешок с песком. На левую половину с высоты h сбросили вто¬ рой такой же мешок. На какую высоту подпрыгнет первый мешок, если удар второго о перекладину произошел на расстоянии х от оси? При каком расстоя¬ нии х0 эта высота будет наибольшей? v
Физика в задачах 97 I «& <-{ ' I I & П1 т I 1 I I I I Ж & а,-? / К задаче 2.8.6 2.8.7. Тело движется на веревке дли¬ ны /, привязанной к векрхнему концу вертикально стоящего столба (см. рису- нок). Минимальное расстояние тела от столба х}, максимальное - х2. Найдите скорости тела в этих положениях. 2.8.8. * Тело массы т привязано к С внешней поверхности барабана веревкой длины /, как показано на рисунке. Бара¬ бан может вращаться вокруг оси О. Вся его масса М сосредоточена вблизи внешней поверхности, имеющей радиус R. Телу сообщили азимутальную ско¬ рость v . Определите, с какой скоростью тело ударится о поверхность барабана. При каких условиях это произойдет? С какой угловой скоростью будет в этот момент двигаться барабан? 2.8.9. В гладком горизонтальном сто¬ ле имеется отверстие, через которое продета нить (см. рисунок). На одном конце нити под столом висит тело 1 массы М, на другом-на столе, на рас¬ стоянии R от отверстия, удерживается другое тело 2 массы т . Тело 2 отпусти¬ ли и сообщили ему перпендикулярную нити скорость — в результате тело 1 опустилось на расстояние Н и далее вновь начало подниматься. Какой вели¬ чины скорость сообщили телу 1? 2.8.10. Тело большой массы М и свя¬ занное с ним веревкой тело малой массы то скользят по гладкому горизонтально¬ му стол (см. рисунок). В момент време¬ ни, когда большое тело покоилось, а ма¬ лое имело скорость V, веревка наскочила на выступающий из стола гладкий гвоздь радиуса г . Какой будет скорость тела массы М9 когда длина участка нити, накрутившейся на гвоздь, будет / ? 2.8.И.* Космический аппарат вращается на околоземной орбите. При его высокой скорости даже очень разреженная на высоте полета атмосфера соз¬ дает заметное сопротивление движению. Пусть на аппарат массы т действует К задаче 2.8.9
98 Глава 2. Динамика сила сопротивления F9 направленная против движения. Как под действием этой силы и силы тяжести будет меняться во времени высота и скорость полета? Радиус Земли R. Началь¬ ная высота и скорость полета Л0 и vQ, h0 R, и она мало меняется за один оборот вокруг планеты. 2.8.12. Рулетка содержит пружину, втягивающую ленту внутрь корпуса: для того, чтобы вытянуть отрезок ленты дли¬ ны / нужно приложить силу F -kl. «Экспериментатор» привязал к концу ленты тяжелую гайку массы т, а рулетку прикрепил к ротору двигателя, который создает постоянный момент силы М После включения двигателя гайка начала двигаться по спирали, вытягивая ленту по мере увеличения скорости вращения. Как будет зависеть от времени раскрутки длина вытянутого участка ленты. Величина момента М достаточно мала, чтобы лента не накручивалась на вал двигателя. Силой тяжести и мас¬ сой рулетки можно пренебречь. 2.8.13. Астероид представляет собой гладкий шар радиуса г, медленно вращающийся с угловой скоростью со. Чтобы оторваться от поверхности и стать спутником астероида, один космонавт на экваторе взялся за веревку, а второй, закрепившийся на полюсе, начал медленно тянуть его за эту веревку. Когда между космонавтами остался отрезок веревки длины /, первый из них оторвался от поверхности, отпустил веревку и стал искусственным спутни¬ ком астероида. Определите ускорение свободного падения на астероиде. § 9. ПЛАНЕТЫ И ЗВЕЗДЫ Планеты как будто созданы для того, чтобы демонстрировать точность ме¬ ханики. Современная «дальняя» космонавтика напоминает эпоху великих гео¬ графических открытий. Тогда была построена система глобальных морских маршрутов «по воле ветра», основанная на циркуляции земной атмосферы. Со¬ временные космические маршруты используют движение планет: бывает так, что аппарат направляется в сторону, противоположную своей цели, но, совер¬ шая прыжки от одной планеты к другой, приходит к цели, и намного быстрее, чем при непосредственном движении. Эффектность космической акробатики основывается на точных знаниях и сложных расчетах. Делая оценки в тетрадке, невозможно получить точность, необходимую для космического полета, но более скромные задачи оказываются вполне по силам. Что мы знаем? Между массивными телами действует сила гравитационно¬ го притяжения F - -GMmn/l2. Здесь Мит - массы тел, / - расстояние ме¬ жду ними, п - единичный вектор в направлении на второе тело, G- гравитационная постоянная, равная 6,67 10 й Н-м2/кг2. Эта сила создает потенциальную энергию —G Мт/1.
Физика в задачах 99 Еще до открытия закона всемирного тяготения Ньютоном, Кеплер устано¬ вил законы движения планет. Первый закон гласит, что планеты движутся вокруг Солнца по замкнутым эллиптическим орбитам. Для того, чтобы оце¬ нить этот факт, нужно знать, что такое эллипс. Это фигура, которая получа¬ ется, если нарисовать круг, а потом посмотреть на лист с кругом под углом, так, чтобы все вертикальные размеры уменьшились, а горизонтальные — нет. Эллипс имеет две разные полуоси, большую (а) и малую (6). Площадь эллип¬ са S = nab . Круг - частный случай эллипса, когда а = Ъ. Другое свойство эллипса - сумма расстояний от любой точки, пробегающей по эллипсу до двух неподвижных точек — фокусов является постоянной. Эллипс можно по¬ строить при помощи карандаша и отрезка нити с закрепленными в фокусах концами. Центр, вокруг которого вращается планета, располагается в одном из фокусов. Второй закон Кеплера мы уже обсуждали в примере из предыдущего раз¬ дела. Площадь, заметаемая планетой в равные промежутки времени, одина¬ кова. Он эквивалентен закону сохранения момента импульса. Третий закон утверждает, что периоды обращения планеты зависят только от больших полуосей эллипса, причем квадраты периодов относятся как кубы 4-п^а^ больших полуосей орбит, т. к. период Т2 , где М - масса Солнца. GM Пример 9.1. Вывести третий закон Кеплера для эллиптической траектории планеты, пользуясь определением эллипса как сжатой в направлении «у» в Ь/а раз окружности и рассматривая движение в окрестности ближайшей к Солнцу точки траектории как движение по вписанной в траекторию окружности. Решение. Радиус кривизны траектории R = dSjdfy., где dS- путь по траек¬ тории, </ф -угол поворота касательной к траектории. Если сжать окружность в направлении «у» в bja раз (рис. 9.1), мы получим эллипс с большой полуосью а и малой - b. Если такой эллипс является траекторией планеты, то место Солнца вблизи его крайней правой точки. Оно обо¬ значено кружочком. Найдем радиус кри¬ визны траектории планеты в ближней к гипотетическому Солнцу точке, в точке перигелия. Прообразом участка траекто¬ рии вблизи перигелия является дуга ок¬ ружности радиуса а длиной dS', сжатая в направлении у (рис. 9.1, справа). Будучи достаточно короткой, эта дуга будет мало отличаться от вертикального отрезка и ее длина при преобразовании от окружности к эллипсу уменьшится в bja раз: dS = {bja)dS'. Небольшие, но все же отличные от нуля углы, которые составляет касательная к дуге с вер¬
100 Глава 2. Динамика тикалью, напротив, увеличатся в а/Ь раз. В итоге, радиус кривизны R = a'{b/af = Ь2/а. Если теперь вспомнить, что кривизна траектории созда- ется силой притяжения Солнца, находящегося на расстоянии г от точки пе¬ ригелия, то: Mm mv2 mv2 а (j—7“ = = —i— . г2 R b2 Время полного периода обращения планеты можно получить, зная площадь эллипса S = nab и скорость заметания этой площади (см. пример 8.4) dSjdt. Эта величина не меняется и ее достаточно определить вблизи перигелия dS 1 1 — = -rv = -x dt 2 2 У b GM a В итоге получаем искомый период Т: _ nab 2 па 3/2 dS/dt 4GM ’ или 4л V GM Задачи и упражнения О 2.9.1. Радиус Земли 6370 км, ее средняя плотность 5,5 г/см . Для Луны эти параметры соответственно 1738 км и 3,34 г/см а для укрытого толстой азот¬ ной атмосферой спутника Сатурна, Титана это 2575 км и 1,85 г/см2. Опреде¬ лите силу тяжести, которую будет испытывать на Луне и Титане человек, ко¬ торый на Земле весит 70 кг. 2.9.2. Первой космической скоростью называется скорость, при которой тело вращается на низкой орбите вокруг планеты. Используя сведения из за¬ дачи 2.9.1, определите первую космическую скорость и период обращения вокруг Земли, Луны и Титана. 2.9.3. Сатурн в 9,5 раза дальше от Солнца, чем Земля. Определите дли¬ тельность путешествия к Сатурну по эллиптической траектории с перигелием вблизи Земли и апогелием вблизи Сатурна. Аппарат Кас-сини на путешествие Земля - Венера - Венера - Земля - Юпитер - Сатурн потратил 7 лет. 2.9.4. Определите расстояние от Луны, на котором сила притяжения Земли уравновешивается силой притяжения Луны. Расстояние от Земли до Луны 380 тыс. км, масса естественного спутника 1/81 от массы Земли. 2.9.5. * Полет из пушки на Луну не получился, потому что выстрелили пря¬ мой наводкой, забыв о ее движении. Сколько времени длился полет, если по¬ роха было минимально необходимое количество для того, чтобы достичь спутника по прямой траектории. Период обращения Луны 27 суток. Луна оказалась далеко от того места, в которое целились.
Физика в задачах 101 2.9.6. Согласно популярной ныне гипотезе, Луна состоит из материала, выброшенного из Земли в результате ее столкновения с другой планетой. Приливное трение замедляет вращение Земли и удаляет от нее естественный спутник. Оцените продолжительность суток в далекое от нас время, когда Луна была значительно ближе, чем сейчас. Момент инерции шара 2mR2/5, масса Луны 1/81 от массы Земли. 2.9.7. Орбита Земли почти круговая. Все же минимальное расстояние до Солнца, которое планета имеет в конце февраля, на 3,4 % меньше макси¬ мального, которое наблюдается в конце августа. Оцените, насколько сутки в феврале короче, чем в марте. Оцените сдвиг световых суток относительно календарных, связанный с непостоянной скоростью вращения Земли вокруг Солнца. 2.9.8. Один из перспективных способов космических путешествий основан на использовании ионных двигателей. Вследствие высокой (20-60 км/с) ско¬ рости создаваемой двигателем ионной струи, расход топлива оказывается много меньше, чем в химических двигателях. Недостатком ионных двигате¬ лей является их малая тяга, так что заметное ускорение аппарата достигается при их непрерывной работе в течение нескольких лет. Представим, что аппа¬ рат был выведен на орбиту вокруг Солнца химической ракетой и далее, от начального расстояния от Солнца /0 по спирали удаляется от светила дейст¬ вием ионного двигателя. Орбитальная скорость вращения Земли вокруг Солнца v0 =30км/с, сила тяги двигателя F, масса аппарата т существенно не меняется. Как будет меняться расстояние / (/) от аппарата до Солнца во времени. Сколько времени нужно, чтобы при тяге 0,06 Н и массе станции 1000 кг от орбиты Земли добраться до пояса астероидов, находящегося в « 2 раза дальше от Солнца, чем Земля. 2.9.9. Расстояние от Юпитера до Солнца в 5,2 раза больше, чем от Земли. Оцените, какую наибольшую прибавку к скорости полета можно получить, используя его тяготение. Орбитальная скорость вращения Земли 30 км/с. Космический аппарат стартует с Земли. 2.9.10. * Невесомость на орбите вокруг Земли является относительной. Опишите качественно движение мяча, который космонавт бросил с некото¬ рой небольшой скоростью v относительно себя по направлению полета. Где и на каком расстоянии от космонавта будет он находиться через время Т одного витка вокруг Земли, если скорость движения станции с космонавтом относи¬ тельно Земли v0. 2.9.11. Орбитальная станция движется по круговой орбите со скоростью = 7,65 км/с, совершая полный оборот за Г = 5550с.Из шлюзового отсека станции по направлению к Земле со скоростью и = 1 м/с выброшен контей¬ нер с мусором. Вместо того чтобы упасть на Землю, он через некоторое вре¬ мя вновь поднялся на высоту станции, затем оказался выше нее, вернулся и
102 Глава 2. Динамика ударился об обшивку борта, обращенного против Земли. На какое расстояние контейнер приблизился к Земле? На каком расстоянии от станции он оказал¬ ся, когда вновь поднялся на ее высоту? С какой минимальной скоростью нужно выбросить контейнер, чтобы он после первого оборота станции вокруг Земли не врезался в борт станции, если расстояние от шлюза до края ее кор¬ пуса по ходу движения d — 3 м ? 2.9.12. Период обращения двойной звезды Г, длина большой полуоси пер¬ вой из звезд ах, второй - а2. Определите массу каждой звезды. § 10. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Движение твердого тела представляет особый интерес. Во-первых, это ос¬ нова техники, во-вторых - эффектная демонстрация механики. До настояще¬ го времени, мы обычно пренебрегали размером тел. Способ, которым мы бу¬ дем описывать движение реальных тел, современному человеку кажется со¬ вершенно естественным. Подобно изображению на экране телевизора, по¬ строенному из светящихся пятнышек, твердое тела мы будем представлять набором взаимодействующих точек, которые совершают согласованное дви¬ жение. Наиболее просто устроено поступательное движение: все точки тела совершают одинаковые перемещения и достаточно описать движение одной из них. Более сложным является вращательное движение, когда точки тела, лежащие на одной линии, оси вращения, неподвижны, а остальные точки вращаются вокруг этой оси. Как бы твердое тело ни двигалось, для него в любой момент существует мгновенная ось вращения, которая, вообще, может менять свое положение. Ограничимся случаем, когда эта ось неподвижна. Но что мы понимаем под твердым телом? Твердое тело сохраняет свою форму, и расстояние между любыми его точками не меняется. Выделим, как это изо¬ бражено на рис. 10.1, три точки твердого тела, лежащие в плоскости, перпен¬ дикулярной оси вращения: А, В и О, причем, точка О находится на этой оси. Через некоторое время тело сместится так, что точки примут положение Ах и Вх. Ось вращения не изменит своего положения. Поэтому треугольники ОАВ и ОАхВх равны, откуда следует, что равны и углы АОАх и ВОВх. Посколь¬ ку точки А и В произвольные, то все точки твердого тела в движении поворачиваются относительно оси вращения на равные углы. Угол при вращательном движении это аналог вектора перемещения при по¬ ступательном. Вы возразите, что угол, это число, и оно не может быть эквивалентом вектора. На самом деле, это число привязано к определенным образом направленной оси вращения. В случае, изображенном Рис. 10.1
Физика в задачах 103 на рисунке, это ось, направленная на нас. Вектором поворота можно назвать вектор с длиной, равной углу, и направленный по оси поворота. Таких на¬ правлений может быть два. В случае, изображенном на рис. 10.1, это направ¬ ление на нас и против нас. Из двух возможных направлений мы выбираем то, в котором вкручивается буравчик или винтик, когда его поворачивают в на¬ правлении вращения тела. Для описания динамики поступательного движения, мы вектор перемеще¬ ния дополнили вектором скорости v-dsjdt и ускорения а - dv/dt. Для опи¬ сания вращательного движения нам придется ввести угловую скорость и уг¬ ловое ускорение E = d(b/dt. На практике нам понадобятся только их величи¬ ны а, ш и е. Осталось выяснить, как соотносится новый параметр, угол пово¬ рота а, с путем S точки тела. Если угол измерять в радианах, а расстояние точки до оси вращения при¬ нять равным г, то s = га. Аналогично соотносятся скорость и угловая ско¬ рость v = cor, ускорение и угловое ускорение а{{ = гг. Теперь выразим через угловую скорость момент импульса N материаль¬ ной точки. В данном случае скорость точки, как и ее перемещение, будет азимутальной. Поэтому N = rP = rmv = тг2со . Здесь т - масса материальной точки. Полный момент импульса твердого те¬ ла, которое вращается с угловой скоростью со, или сумма моментов импульса материальных точек, составляющих это тело, равен: N = Nx + N2 +... - ю1г|2ш + от2г22оо + ... = (тхгх,2 +т2г2 +...)со. Выражение в скобках не меняется при вращательном движении твердого тела и является такой же его постоянной характеристикой, как и полная масса. Его можно единожды вычислить или померить, назвать, и далее постоянно ис¬ пользовать для данного тела. Эта величина называется моментом инерции тела и обозначается буквой I. N связано с / равенством: г \ N = 1 ш = со. V i / Здесь г. - расстояние точки «/» от оси вращения. Здесь и далее мы считаем ось вращения заданной. Если на тело в течении малого времени dt действо¬ вали моменты сил М. = Ftг{, где F( - проекция сил, перпендикулярные как оси вращения, так и ^ , то изменение момента импульса тела определяется равенством (см. § 7): dN ~ Ida) — ^ M.dt. i Поэтому
104 Глава 2. Динамика /—= /е = Ум., dt V Таким образом, произведение момента инерции на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на твердое тело. Это соответствует фор¬ муле F = та . Поскольку все формулы механики выводятся из законов Нью¬ тона, то можно сразу привести таблицу соответствия формул поступательно¬ го и вращательного движения. Координата/ угол X а Скорость / угловая скорость V со Ускорение / угловое ускорение а г Масса / момент инерции т I = Ътп Импульс / момент импульса Р = mv У = /со Сила / момент силы F М -Fr II Закон Ньютона F -та М - /8 Кинетическая энергия mv1/2 /со2/2 Работа Fs Ма Полезно, также, знать моменты инерции некоторых симметричных тел при их вращении вокруг оси симметрии: полый цилиндр радиуса R тц2 диск радиуса R mR2/2 стержень длины / ml2/\2 Пример 10.1. Момент инерции тела массы М относительно его центра масс равен /0. Каким он будет, если тело вращать вокруг оси, параллельно смещенной на расстояние d ? Решение. Момент инерции точки, вращающейся вокруг оси, равен / = тг2, г - вектор, находящийся в перпендикулярной к оси вращения плос¬ кости и указывающий с этой оси на тело. Представим этот вектор суммой вектора d, указывающего на центр масс всего тела и вектора гс, из центра масс указывающего на точку. В таком случае момент инерции: . _ \2 ( } ( f ЛЛ (d+Fa) HZ™. d2 + d\ ZW/c, V / ) V V / JJ поскольку второй член равен нулю (определение центра масс) мы получаем формулу I = I0 + Md2, которая называется формулой Штейнера.
Физика в задачах 105 Пример 10.2. На неподвижное колесо перевернутого велосипеда сверху положили небольшой не скользкий грузик массы т . Колесо начало вращать¬ ся-грузик упал. Найти угловую скорость вращения колеса после падения грузика. Радиус колеса /?, момент инерции I. Решение. Будем считать, что отрыв произойдет при угле поворота колеса а. До этого момента эти два предмета движутся как одно тело, с одной угло¬ вой скоростью со. Признак отрыва - обращение в нуль силы реакции опоры mv2 ~~R~ — may2 R = mg cos a. Используем закон сохранения энергии. Кинетическая энергия Ек системы двух тел в момент отрыва грузика равна работе силы тяжести А над грузиком £* = mv4 /со2 mR2 со2 /со 4- = А - mgR(1 -cosa) = mgR-mR2®2.. 2 2 2 2 Из этих равенств следует, что со = ^2mgR/(/ 4-3mR2). Тело может одновременно совершать вращательное и поступательное движение. Примером служит катящееся колесо. В этом случае кинетическая энергия равна энергии движения центра масс Ес = Ми]/2 и энергии враще¬ ния, наблюдаемой в системе центра масс. Здесь ис - скорость центра масс, а М- полная масса системы. Покажем это. Скорости тела v можно представить суммой его скорости в системе центра масс системы vc и скорости самого центра масс: v = vc 4- йс. В результате получаем: ^тр] __ ^Г— т ( ( \ \ ( \ + йс* 2>а 4- Ът> \ i J ) К i / - \2 («с) . 2 г 2 Т 2 Второй член в этом выражении равен нулю, поскольку ^трк. - полный i импульс в системе центра масс, равен нулю. Поэтому т .у2 Ми2 /со2 Ми; + с 4- В этой формуле первое слагаемое мы выразили через момент инерции те¬ ла / в системе центра масс и угловую скорость.
106 Глава 2. Динамика Пример 10.3. Найти ускорение, с которым ведро с водой падает в колодец, если, не снимая его с крючка, отпустить ворот (рис. 10.2). Масса ведра w, момент инерции ворота /, его радиус R. Решение. Ускорение ведра а и угловое ускорение ворота б связаны соотношением б = a/R. На ведро действуют сила его веса mg и сила натяжения троса Т : та - mg - Т. Сила Т создает момент, раскручивающий ворот. Соотношение углового ускорения ворота и момента сил (см. таблицу) mR? Ie- M = TR. Отсюда получаем ответ: а = g г . mR +/ 8 v Рис. 10.2 Пример 10.4. Диск радиуса R и массой М скатывается без проскальзы¬ вания с горки высоты Н . Найти ее скорость внизу горки. Решение. Скорость движения центра диска v связана с угловой скоростью ш его вращения.соотношением v = со/?. Кинетическая энергия диска может быть представлена как сумма энергии движения его центра масс Mv1 /2 и энергии его вращения вокруг центра /со2/2. Применив к кинетической и по¬ тенциальной энергии закон сохранения энергии, получим Mv2 + 2 /ю2 2 Mv2 Iv2 1 т 2 2 R- = MgH . Ответ: v- IMgHR2 MR2+I ‘ Задачи и упражнения 2.10.1. Легкий стержень длины / закреплен своим концом на оси (см. рисунок). К нему приклеены четыре одинаковых небольших гру¬ за. Грузы расположены с интервалом //4, при¬ чем один - на свободном конце. Определите максимальную угловую скорость, которую при¬ обретет стержень, если его поставить верти¬ кально вверх и легким толчком вывести из не¬ устойчивого равновесия? Ускорение свободно¬ го падения g . g К задаче 2.10.1 2.10.2*. Определите ускорения грузов (см. рисунок), если радиусы и мо¬ менты инерции обоих блоков соответственно R и /, масса груза на конце троса, а также, суммарная масса подвижного блока и груза на нем равны m . Трос не проскальзывает по поверхности блоков.
Физика в задачах 107 2.10.3. Тонкий обруч с массой т и радиусом R вращается без проскальзывания вокруг гори¬ зонтально расположенного столба радиуса г (см. рисунок). Скорость центра обруча в самом верх¬ нем положении v. Определите его скорость в са¬ мом низком положении. 2.10.4. В центре цилиндрического сосуда ра¬ диуса R положили вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью со тонкий свиток фольги радиуса г. Фольга в свитке раскрутилась и ока¬ залась прижатой к стенкам сосуда. Найдите уста¬ новившуюся угловую скорость вращения фольги. Трения между фольгой и сосудом нет. Свиток и сосуд соосны. g К задаче 2.10.3 К задаче 2.10.5 2.10.5. На блоке массы М висит веревка массы т, так, что ее свободные концы с обеих сторон имеют одинаковую длину //2 (см. рисунок). Опреде¬ лите угловую скорость блока после того, как неустойчивое равновесие нару¬ шится, и веревка с него скатится. Радиус блока Л, его момент инерции MR2/2 . Веревка не проскальзывает по блоку. 2.10.6*. На гладкой горизонтальной поверхности стола стоит обруч с ра¬ диусом R. Масса обруча М. Обруч пытались перепилить, однако дело не было доведено до конца, масса удаленных опилок составила т, размер по¬ врежденной области мал по сравнению с радиусом. В начальный момент по¬ врежденное место находилось точно внизу. Обруч выходит из состояния не¬ устойчивого равновесия и начинает качаться, сохраняя вертикальное поло¬ жение. Найти максимальную скорость центра обруча и максимальную угло¬ вую скорость его вращения. 2.10.7. Два одинаковых валика, представляющие собой тонкостенные ци¬ линдры массы т могут вращаться без трения на закрепленных горизонталь¬ ных осях, которые расположены в плоскости, наклоненной под углом а к горизонту (см. рисунок). На валики кладут доску массы М так, что расстоя¬ ние от концов до точек касания валиков одинаково. Определите коэффициент
108 Глава 2. Динамика трения между валиками и доской, при котором доска не будет проскальзывать относительно валиков в первый момент времени. 2.10.8. Кольцо радиуса R стоит на гладком горизонтальном столе с очень незначительным трением (см. рисунок). В нем застревает горизонтально летящая пуля. При какой высоте полета пули от¬ носительно стола после ее удара кольцо будет катиться по столу не проскальзы¬ вая? Масса пули много меньше массы кольца. 2.10.9. Шайба движется поступатель¬ но и ударяется о бортик хоккейной ко¬ робки (см. рисунок). Под каким углом к поверхности бортика она отскочит, если угол падения а, а трение шайбы о бортик велико. Шайба представляет собой диск, момент инерции которого mR2/2. 2.10.10. Тонкостенный цилиндр радиуса R раскрутили до угловой скорости со и по¬ ставили на наклонную плоскость, и он начал подниматься (см. рисунок). На какую высо¬ ту цилиндр поднимется? Коэффициент тре¬ ния цилиндра о плоскость р, угол наклона плоскости а. 2.10.11. * Доска массы т стояла на двух опорах, расположенных на расстоянии 1/4 длины от правого и левого края (см. рису¬ нок). Одну из опор быстро выбивают. С ка¬ кой силой доска будет сразу после этого да¬ вить на оставшуюся опору? Момент инер¬ ции доски длины / и массы т относитель¬ но ее центра ml2/12. 2.10.12. Один из экологически чистых источников энергии для транспорта - энер¬ гия раскрученного ротора. Сколько времени можно ездить на повозке, если вместо лоша¬ ди (мощностью в 1 л.с.) в нее «запрячь» рав¬ ноценный по мощности двигатель, исполь¬ зующий цилиндрический ротор с диаметром К задаче 2.10.8 А ч\\%\ЧЧЧЧЧЧЧЧ К задаче 2.10.11
Физика в задачах 109 1 м и массой 100 кг, раскрученный до скорости 6 000 оборотов в минуту? Мо¬ мент инерции цилиндра радиуса г и массы т относительно оси равен тгг/2 . 2.10.13. Для того чтобы выполнить этап соревнования, его участник дол¬ жен пробежать по свободно вращающейся трубе. Он бежит параллельно оси трубы вдоль ее верхней линии, но, поскольку эту линию визуально опреде¬ лить трудно, то несколько от нее сменяется. Оцените, при каком смещении он не соскользнем с трубы. Длина трубы 10 м, диа¬ метр 1 м, ее масса 100 кг сосредоточена на пери¬ ферии. Скорость бега 5 м/с, а предельная мощ¬ ность, которую может развить бегун 0,4 кВт. Масса бегуна 70 кг. 2.10.14. Диск радиуса г закрывает отверстие диска радиуса R (см. рисунок). Высота дисков и плотность одинакова. Диски лежат на шерохова¬ той горизонтальной поверхности стола и имеют с ней одинаковый коэффициент трения. Небольшой моторчик на первом диске создает между дисками крутящий момент. Какой из дисков будет вращаться? Весом моторчика и трением между дисками можно пренебречь. 2.10.15. Два диска радиусов г и R (R > г) раскрутили до одинаковой уг¬ ловой скорости и положили на шероховатую горизонтальную поверхность (оси направлены вертикально). Высота дисков и плотность одинакова. Через время tr малый диск остановился. Когда остановится большой диск? 2.10.16. Те же диски, что и в предыдущей задаче, положили на ту же по¬ верхность, но предварительно смазав ее маслом, так что сила трения стала пропорциональна не только силе давления N, но и относительной скорости v поверхностей F = av-N. Угловая скорость вращения малого диска умень¬ шилась в два раза за время t. За какое время в два раза уменьшится скорость большого диска? §11. СТАТИКА В предыдущих разделах Вы определяли, как различные силы влияют на движение тел. А если движения не происходит? Тогда сумма сил, действую¬ щих на тело равна нулю. Казалось бы, что можно найти интересного в том, что все время равно нулю? - Ответ был бы отрицательным, если бы мы точно и наперед знали все силы, действующие на тело. В том, что бывает и не так, Вы могли убедиться на собственном опыте, делая покупки в магазине. Про¬ давец кладет продукт на чашу весов и определяет, сколько он весит. Вес те¬ ла-это сила его гравитационного взаимодействия с Землей. Весы не вмеши¬ ваются в это взаимодействие, они показывают силу давления, действующую
110 Глава 2. Динамика на чашу. Но мы знаем, что чаша весов будет под грузом опускаться, сила давления будет увеличиваться, и это будет происходить до тех пор, пока движение вниз не прекратится. Мы наперед знаем, чем закончится процесс взвешивания - он закончится равновесием. В равновесии сумма действую¬ щих на тело сил равна нулю. Следовательно, сила веса Р будет уравновешена силой реакции опоры N, N = —Р, а показываемая весами сила давления - это сила противодействия по отношению к N, она равна Р. Сила N зависит от других сил, действующих на тело, и мы решаем обратную задачу: из извест¬ ного состояния движения определяем силы. Такова основная задача статики. Состояние покоя является наиболее точно определимым состоянием движе¬ ния, его легче всего воспроизвести - именно оно взято в основу статики. Есть ряд сил, сведения о которых мы получаем только из условия равновесия. Это силы реакции опоры (или давления), силы натяжения, силы трения покоя. Твердое тело может двигаться поступательно и вращаться. Соответствен¬ но этому, равновесие предполагает два условия: равенство нулю суммы сил, поскольку тело не двигается Z^=o, (1) i и баланс моментов сил, поскольку оно не вращается ХЯ= 0- (2) Если силы, действующие на тело, находятся в одной плоскости, то для равно¬ весия тела наряду с условием (1) достаточно условия (2) для одной оси, пер¬ пендикулярной этой плоскости. Если же мы сформулируем условие (2) отно¬ сительно двух смещенных осей вращения - в таком случае условие (1) ока¬ жется лишним. Пример ИЛ. Действующие на части тела силы тяжести мы заменяем од¬ ной равнодействующей силой. К какой точке нужно ее приложить? Решение. Сила тяжести действует на разные части тела, дающие разный вклад в полный момент сил. Разделим тело на небольшие фрагменты с массами Ami и положениями rt относительно начала отсчета О (рис. 11.1) и выберем ось вращения, проходящую че¬ рез начало и перпендикулярную плоскости рисунка. Сумма моментов действующих на фрагменты сил тя¬ жести будет: М здесь riL - проекция вектора на горизонтальную ось. По определению цен¬ тра масс
Физика в задачах 111 R = V / отсюда М ~ w. . Поскольку направление оси вращения мы выбрали V i произвольно, то сделаем вывод: равнодействующую силу тяжести прикладывать к центру масс тела-в этом случае она создаст такой же момент, что и реальные силы тяжести. Пример 11.2. Лестница приставлена к стене. При каком угле по отношению к полу она не упадет, если коэффициент трения о пол и о стену равен р, а масса лестницы распределена равномерно по длине? Решение. Определим силы, действующие на лест¬ ницу. Будем обращать внимание не только на величи¬ ну и направление сил, но, также, на точку их приложе¬ ния. Мы видим 5 сил (рис. 11.2): на верхний конец действует сила реакции опоры N. и сила трения F,, нужно на нижний - соответственно N2 и F2. Силу тяжести Р мы прикладываем к центру масс лестницы. Посмотрим, сколько существует условий равновесия. Два условия получаем из отсутствия движения центра масс в направлении X и Y. Еще одно - из того, что лестница не вращается, например, относительно нижнего конца: 'N,-F2 = о, < fx+n2-p = о, Fxa + Nxb - Ра/2 = 0. Эти три условия делают невозможным ускоренное движение в плоскости рисунка. Никаким другим содержательным условием мы их дополнить не можем. Посмотрим теперь, сколько у нас неизвестных. Неизвестными явля¬ ются все величины кроме веса лестницы. Вы возразите, сказав, что и этой величины «не дано». То, что она не дана в условии, не значит, что вес являет¬ ся неопределенным - это всего лишь подсказка о том, что масса лестницы не войдет в ответ. С другими силами: силой трения покоя и силой реакции опо¬ ры дело сложнее. Они являются «автоматическими», устанавливаются при кратковременном движении системы к равновесию и должны быть следствием условий равновесия. Но условий 3, а неизвестных - 4. Это значит, что возмож¬ но много состояний равновесия. Если тщательно сбалансированное колесо не вертится, то это не значит, что какое-то его место будет сверху, а какое-то сни¬ зу. Как мы его оставим, так оно и будет стоять. Также и здесь. Мы можем на¬ давить на лестницу, а потом ее отпустить - и лестница не вернется в прежнее состояние, силы будут другими. Поскольку «последовательная» логика не при¬
112 Глава 2. Динамика способлена для анализа сразу многих ситуаций, предположим, что кроме веса тела, мы знаем, например, величину Nx, и эта информация делает состояние равновесия однозначным. Выразим все величины через Р и Nx ' F2 = Nt, ■F{=0,5P-(b/a)Nly (3) N2 =0,5P + (b/a)Nv Теперь обратимся к условию задачи и вспомним, что нам надо найти пре- дельный угол равновесия, дальше которого начнется скольжение. Для силы трения покоя такой переход задается неравенством: Г /^ < piJV,, {f2<^2. (4) Выразив величины через Nx и Р9 получим (\ ь) P>2Nl vH- а> (ъ \ P<2NX -+ц U J Подставив в неравенства Ь/а - tga , мы увидим, что чем меньше а, тем уже диапазон значений, которые может принимать Nl. При критическом а пра¬ вые части неравенств совпадут и будет ровно одно возможное значение Nx, а при меньших значениях угла равновесие будет невозможно. В итоге получа¬ ем ответ tga = (l - р2 )/2р. Этот результат можно было получить и проще, за¬ метив, что скольжение нижнего конца лестницы неминуемо приводит к сколь¬ жению верхнего и наоборот. Неравенства (4) обращаются в равенства одно¬ временно, и для определения критического угла можно было сразу положить в уравнениях (3) Fx = pN,; F2 = pN2. В некоторых случаях (см. задачу 2.11.8) действующие в разных местах силы трения покоя не достигают предельного значения одновременно - в одном месте может быть скольжение, а в другом нет - тогда предположение о том, что везде Fw = pN является ошибкой. Задачи и упражнения 2.11.1. На наклонной плоскости находятся два соединенных невесомой нитью тела с массами тх и т2 (см. рисунок). Коэффициенты трения между телами и наклонной плоскостью соответственно равны р, и р2, причем
Физика в задачах 11; g ц2 > |i1. При каком наибольшем угле наклона плоскости по отношению к го ризонтали тела могут не скользить по наклонной плоскости? 2.11.2. Два кирпича, размером (ахахЗа) каждый, прочно соединены в форме буквы «Г» (см. рисунок). Плотность нижнего кир¬ пича р,. Найти максимальное значение плотности верхнего кирпича р2, при кото¬ рой буква «Г» еще стоит на горизонтальной плоскости. 2.11.3. Какую массу нужно поместить справа, чтобы система грузов пришла в дви¬ жение (см. рисунок). Масса левого груза т], коэффициент трения грузов о плоскость р, причем pctga, левый угол при основании клина а, при вершине - 90°. 2.11.4. * Длинный однородный стержень массы т с закрепленным на конце грузом массы М шарнирно соединен с горизонталь¬ ной балкой в точке О (см. рисунок). Стер¬ жень удерживается пружиной жесткости к , прикрепленной ко второму его концу в точке А на балке, при этом расстояние ОА равно длине стержня. В состоянии равновесия угол отклонения стержня от горизонта равен а. Найти длину растянутой пружины, если в ненапряженном состоянии она равна L0. 2.11.5. На наклонной плоскости находятся две опоры на расстоянии L друг от друга. На опоры кладут доску длины 1,5L (см. рису¬ нок). Коэффициент трения между доской и верхней опорой равен р, нижней опорой- 2р. Определите углы наклона, при которых доска будет соскальзывать при любом ее по¬ ложении. 2.11.6. На столе лежат бусы длины L (см. рисунок). Какова максимальная длина све¬ шивающейся части бус, если коэффициент трения между ними и верхней поверхностью стола р, а остальные поверхности гладкие. О
114 Глава 2. Динамика Бусы представляют собой цепочку соприка¬ сающихся шариков. 2.11.7. В каком случае тормозной путь ав¬ томобиля будет короче: при торможении передними или задними колесами? Почему? 2.11.8. * Между двумя отвесными стенами оврага над ручьем «на честном слове» висит легкое бревно, удерживаемое только силами трения (см. рисунок). Расстояние между стена¬ ми d, левый конец бревна на h выше правого. Незадачливый турист пытается слева напра¬ во пройти по этому бревну. На каком рас¬ стоянии х от левого края оврага он вместе с бревном упадет в ручей? Коэффициент тре¬ ния краев бревна о стенки оврага р. 2.11.9. Катушку поставили в угол и нача¬ ли тянуть вниз за намотанную на нее нитку (см. рисунок). Коэффициент трения катушки о пол и стену одинаков. При каком коэффи¬ циенте трения она не сможет вращаться? Радиус большого обода катушки равен /?, малого - г. 2.11.10. На гладкой полуцилиндрической поверхности радиуса R покоится однородная цепь массы т и длины L (Z,<7tR/2), у ко¬ торой верхний конец закреплен в наивысшей точке полуцилиндра (см. рисунок). Опреде¬ лите натяжение цепи около точки крепления. 2.11.11. Два одинаковых груза массы М висят на нити, перекинутой через доску- горбыль (см. рисунок). Нижняя поверхность доски плоская, верхняя имеет цилиндриче¬ скую поверхность радиуса R. С какой силой давит на доску центральный участок нити длины /? 2.11.12. На отвесные скалы альпинисты иногда поднимаются «спортивным» спосо¬ бом (см. рисунок). Каким должен быть ко¬ эффициент трения между ботинками альпи¬ ниста и скалой, чтобы он смог двигаться вверх? Считайте, что точка опоры о скалу А, центр тяжести С и точка крепления веревки В лежат на одной прямой, перпендикулярной К задаче 2.11.6 К задаче 2.11.11 К задаче 2.11.12
Физика в задачах скале и АС -2СВ. Угол между веревкой и поверхностью скалы а. 2.11.13*. Связка из двух веревок одина¬ ковой длины /, но различной массы т] и т2 подвешены так, что сила натяжения в узле Г, а провисание незначительно (см. рисунок). Определите силы натяжения веревок вблизи точек подвеса. 2.11.14. Две линейки соединены так, что образуют двугранный угол с раствором 2а. Плоскость биссектрисы этого угла занимает вертикальное положение. Снизу между ли¬ нейками вдавливают неизвестной силой твердый шар массы т (см. рисунок). Ка¬ кую силу необходимо приложить, чтобы после прекращения воздействия шар не вы¬ пал? Коэффициент трения шара о линейки равен р. 2.11.15. Какую горизонтальную силу нужно приложить к табуретке (см. рисунок), чтобы сдвинуть ее вправо. Высота табуретки А, масса т, расстояние между ножками /. Коэффициент трения о пол левых ножек р3, правых - р2. 2.11.16. На горизонтальном столе нахо¬ дится лист бумаги, прижатый однородным стержнем веса Р9 верхний конец которого шарнирно закреплен (см. рисунок). Угол ме¬ жду стержнем и листом а, коэффициент тре¬ ния между ними р. Между столом и бумагой трение отсутствует. Какую минимальную силу нужно приложить к листу по горизон¬ тали, чтобы его вытащить? 2.11.17. Однородный стержень массы т одним концом опирается на гладкую гори¬ зонтальную, другим-на гладкую наклон¬ ную плоскость (см. рисунок). Угол между плоскостями равен а. Какую силу, направ¬ ленную вдоль наклонной плоскости, нужно приложить к стержню, чтобы он находился в равновесии? Тс'! , , 7V? /71 „ / Т g К задаче 2.11.13 К задаче 2.11.14 К задаче 2.11.15 К задаче 2.11.16 К задаче 2.11.17
116 Глава 2. Динамика 12. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Колебаниями можно назвать любые периодические процессы. Среди разнообразных физических явлений в окружающем нас мире мы часто наблюдаем такие процессы: покачивание корабля на море, колебания маятника часов, переменный электрический ток и т. д. Единый подход к изу¬ чению колебаний разной физической природы позволяет, в конечном счете, почувствовать единство физического мира. Часто колебательный процесс можно описать некой периодической функ¬ цией от времени / (7), для которой при любом значении t выполняется тож¬ дество: /(/) = /(/ + Г). Функция f(t) называется периодической с перио¬ дом Г. Величины 2Г, 3Г,... будут также периодами, но из всех значений пе¬ риодов выбирают минимальное значение Т. Число колебаний, совершаемое системой в единицу времени, называется частотой v = 1 /Т. Она измеряется в герцах (1 Гц = 1 с"1). Рассмотрим простейшую колебательную систему-тело массы m с пружиной, вто¬ рой конец которой связан со стенкой (рис. 12.1). При отклонении тела на х от положения равновесия вправо (х > 0) на него действу¬ ет влево сила со стороны пружины: F = -кх. N Mm m Рис. 12.1 Здесь к - коэффициент жесткости пружины. Запишем 2-й закон Ньютона для тела: та = —кх. Последнее уравнение можно переписать в виде а = х" = х = -со2х, (1) т где хм - вторая производная х повремени, (2) Из уравнения (1) следует, что сила упругости пружины - возвращающая. Она стремится вернуть тело в положение равновесия. Величина со называется круговой (или циклической) частотой колеба¬ ний. Ее размерность [со] = рад/с, как у угловой скорости. Мы ниже убедимся, что между этими величинами и в самом деле имеется связь. Для определения зависимости от времени смещения и скорости тела (рис. 12.1) выявим связь между колебаниями тела и вращением его по окруж¬ ности с постоянной скоростью.
Физика в задачах 117 Пусть по окружности радиуса R с постоянной по величине скоростью V движется небольшое тело массы т (рис. 12.2). При вращении по окружно¬ сти, ускорение тела равно V2/R и направлено к центру окружности, противоположно радиус- вектору R. Связь между ускорением и радиус- вектором можно записать в векторном виде: V2 - - 2- а = -R , или а-- со R . R2 Здесь со - угловая скорость вращения: со = V/R . В проекции на ось х получим скалярное уравнение: ах--со2х. (3) Уравнения (1) и (3) тождественны, если круговая частота (2) совпадает с угловой скоростью вращения тела по окружности. Одинаковые уравнения (1) и (3) должны иметь одинаковые решения. Пусть для определенности в мо¬ мент времени / = 0 угол ср между радиус-вектором вращающегося тела и осью х равен ср0. Тогда в любой момент времени координаты вращающегося тела запишутся в виде: х = /?cos(cp0 -но/), так как ср = ср0 -ь со/ - угол поворота радиус-вектора точки. Значит, и для тела на пружинке должны годиться те же решения: х = x0cos(cp0 4- со/). (4) Величина х0 (рис. 12.3) называется ам¬ плитудой колебаний (максимальное смещение груза относительно положения равновесия, т. е. положения, в котором пружина недеформирована). Название других величин: угол ср = ср0 + Ш - фаза колебаний; ср0 - начальная фаза; со - круговая час¬ тота колебаний, совпадающая с угловой скоростью при вращении по соответ¬ ствующей окружности (рис. 12.2). Поскольку через время Т колебания повторяются, то х(7) = х(/ + Г), cos(90 + tof) = cos(cp0 +со(/ + Г)), (5) Значит, минимальная разность аргументов косинусов должна составлять 2л (один период): ср0 + со(^ + Г) - ср0 -* cctf = 2л. Рис. 12.2
118 Глава 2. Динамика Откуда соТ = 2к или со - 2я/Г = 2tiv . Частота v совпадает с числом оборотов тела в единицу времени при вращении его по окружности (рис. 12.2). Коле¬ бания тела на пружине называют гармоническими колебаниями. Такое на¬ звание возникло потому, что чистый музыкальный тон порождается именно такими колебаниями. Гармонические колебания описываются гармонически¬ ми функциями от времени (синусом и косинусом). Заметим только, что для гармонических колебаний период не зависит от амплитуды х0, что было уста¬ новлено еще Галилеем. Скорость х' при гармонических колебаниях с амплитудой х0 находится как проекция вектора V вращающегося тела на ось х, когда х0 = R (рис. 12.2): х1 = Vx - -Vsin(ф0 + oof) = -соRsin (<р0 + cor) = -сох0 sin(ср0 + со/), (6) так как величина вектора V равна сох0. Для описания колебательного про¬ цесса необходимо знать период колебаний (или частоту), амплитуду колеба¬ ний х0 и начальную фазу ср0. Вычислением периода колебаний для различ¬ ных систем займемся позже, в пока выразим х0 и ср0 через начальные усло¬ вия, то есть через смещение тела и его скорость в начальный момент времени (/ = 0), которые обозначим через хн и VH соответственно. Из формул (4) и (6) следует хн = x0coscp0 и VH = -cox0sincp0. Поделив вто¬ рое выражение на первое, получаем: V V tgcp0 = —, ИЛИ ср0 = -arctg——9 сохн сахн . г , (7) = — = ^„V1 + tg2(Po = Jx2H+^T- COS(p„ V со Пример 12.1. На гладкой горизонталь¬ ной плоскости находится брусок, соединен¬ ный через пружину со стенкой (рис. 12.4). Круговая частота колебаний бруска равна со. Его отклонили от положения равновесия вправо на расстояние L и сообщили ско¬ рость Vtl, направленную влево. Через какое время после начала движения брусок достигнет положения равновесия? Решение. Колебания описываются формулой (4): х = jc0 cos(cp0 + ш). В по¬ ложении равновесия x(fp) = 0 (/р - время, когда груз находится в положении равновесия). Откуда cos((p0 +соtp) = 0 или ф0 + Шр = л/2 = ли, где л = 0,1,2,3,.... N «Щ L К 44V-, ^. 4V Рис.12.4
Физика в задачах 119 Значит моменты времени, когда брусок будет проходить положение рав¬ новесия, определяются формулой 1 tp — со -Фо + КП со Для нахождения ср0 воспользуемся выражением (7): Фо = -arctg arctg со L соL Здесь мы учли, что в начальный момент времени смещение положительно, а скорость отрицательна (направлена влево). Окончательно искомое время можно представить в виде: 4 пп tp ~ к ♦ К] — arctg— 2 соL) + со N SШШШМйШSL \ Рис. 12.5 Первый член в этом выражении - время, за которое брусок достигнет по- ложения равновесия в первый раз. Второй член ля/оэ соответствует целому числу полупериодов (Г/2=л/со) и определяет моменты времени, когда бру¬ сок проходит положение равновесия во 2, 3-й и т. д. раз. Пример 12.2. На гладкой горизонтальной плоскости между двумя стенками находится небольшой шар, соединенный через пружину с одной из стенок (рис. 12.5). Период собст¬ венных колебаний шара на пружине Т0. Шар толкнули таким образом, что он стал совер¬ шать колебания, ударяясь о стенку. При этом оказалось, что его максимальное смещение влево ровно в 2 раза превышает расстояние от положения равновесия до правой стенки. Удары шара о стенку - абсолютно упругие. Найти период данного колебательного движения. Решение. Если бы правой стенки не было, то шар смещался бы влево на такое же максимальное расстояние х0, как и вправо, и его период колебаний был бы равен Т0. Поскольку удары о стенку абсолютно упругие, скорость после удара меня¬ ет свой знак, сохраняясь по абсолютной величине. Период колебательного движения будет меньше, чем Г0 на то время, ко¬ торое необходимо, чтобы шар от положения х0/2 дошел до х0 и снова вер¬ нулся к х0/2. Это время в 2 раза больше времени движения от х0 до х0/2, которое обозначим за т. Итак, искомый период равен Т = Т0 - 2 т. Пусть максимальное смещение х0 (и нулевая скорость) имеют место в момент времени t = 0. Тогда из общего выражения (4) получим зависимость
120 Глава 2. Динамика смещения от времени в нашем случае *(/) = *0 cos((p0 + со/) = x0cosc£tf (так как ср0 = 0 в (4)). В момент времени т х(т) = х0 cosw/ = х0/2 . Откуда со/ - arccos— = —, Зсо 3 2л 6 ределяется формулой; Г = Г0 -2т = 2Г0/3. При больших отклонениях системы от положения равновесия сформули¬ рованное выше условие гармоничности колебаний (сила, возникающая в данной системе при смещении должна быть пропорциональна смеще¬ нию...), вообще говоря, может и не выполняться. Например, при очень боль¬ ших деформациях пружина перестает подчиняться закону F = ~кх. Поэтому, гармонические колебания часто называют еще и малыми (колебания малой амплитуды). Определение частоты малых (гармонических) колебаний- важней¬ шая задача многих разделов физики и механики, важная техническая проблема. Это связано с тем, что любое тело, находящееся в положении ус¬ тойчивого равновесия, практически всегда при малом отклонении возвращает¬ ся в положение равновесия силой F, пропорциональной отклонению х: Поэтому вблизи равновесия тело массы т может совершать гармониче¬ ские колебания с круговой частотой, определяемой формулой (2) Эта частота называется собственной или резонансной. Как видно из форму¬ лы (2), ее вычисление связано с вычислением коэффициента жесткости к . Рассмотрим случай, когда сила, действующая на тело, имеет вид F = F0~kx, где F0 - некая постоянная сила. В частности, такая сила действует на тело массы т, подвешенное в поле тяжести на пружине жесткости к, которая растянута на х (рис. 12.6): F -mg-кх . Поэтому из 2-го закона Ньютона: ma = mg-kx. В положении равновесия (а = 0) пружина будет растянута на величину хр, которую можно определить: Смещение удобнее обозначить другой буквой (z, например) отсчитывать его от нового, обусловленного силой тяжести положения равновесия: z — х — Хр. Для смещения z справедливо уравнение (1) F = ~кх. О = mg-kxp, хр - (mg)/k.
Физика в задачах 121 a = z" = к т -со2г, (О т . Следовательно, (см. формулу (4)), ж - z0 cos(<p„ + со/), а полное смещение х = хр +z = хр +z0cos(cp0 + со/). (8) В формуле (8) 20 и ср0 можно выразить через начальные условия, то есть через смещение тела и его скорость в начальный момент времени (/ = 0), ко¬ торые обозначим через хи и VH соответственно. Из формул (8) и (6) следует хн = хР + z0 coscp0 и К - -шх(, sincp,, (постоян¬ ное смещение хР не влияет на выражение для скорости). Поделив выражение VH = -сох0 sin ср0 на z0 cos ср0 = хн - х tg<Po = V р , получаем: V. © или Ф0 = -arctg х,. -х L = (xH-Xp)^+tg2%. (9) (о ы(хн-хРУ cos(p0 где хР = mgjk. На этом примере мы показали, что действие постоянной силы не влияет на период гармонических колебаний, а определяет только новое равно¬ весное положение. Пример 12.3. Собственная частота коле¬ бания груза, подвешенного в поле тяжести равна со (рис. 12.6). Груз отпустили «с нуле¬ вой» скоростью из положения, в котором пружина недеформирована. Через какое время смещение груза будет максималь¬ ным? Через какое время он вернется в ме¬ сто, из которого был отпущен? Решение. При решении мы можем восполь¬ зоваться полученными ранее формулами (8), (9) описывающие движение груза на пружине при действии на него постоянной силы. Начальное смещение и начальная скорость груза равны нулю (= 0 VH = 0). Выражение (8) с учетом формулы (9) запишется в виде: x-xp+zQ cos(cp0 + СО?) = Хр + ——cos (со/ + Ф0 ) = СОБфо т * т Хр + Z Рис. 12.6 (1-COSCO/) = -Дг(1 - COS со/) к К ’ C02V ’
122 Глава 2. Динамика На рис. 12.7 представлен график зависи¬ мости смещения от времени. Максимальное смещение равно 2mg/k = 2g/co2. Время смещения равно полупериоду колебаний t = T/2 = n/G}. Время, через которое груз вернется в исходное место равно полному периоду колебаний Т = 2л/со. Теперь рассмотрим математический маятник: тело массой тп подвеше¬ но в поле тяжести на нерастяжимой нити длины L (рис. 12.8). Размеры тела пренебрежимо малы по сравнению с длиной нити. При отклонении от положения равновесия тело двигается по окружности фиксированного радиуса L, и смещение по дуге окружности при отклонении нити на угол а будет х = аL. При этом, возникает результирующая сила F, направленная к положению равновесия. Эта сила равна векторной сумме си¬ лы натяжения FH и силы тяжести mg : F = FH + mg. Спроектируем векторное уравнение движения (2- й закон Ньютона) для тела на касательную к окруж¬ ности (на ось, перпендикулярную нити): . х та = -mg sin а = ~/wgsm—. L При малых а (а «с 1) когда sin а » а = x/L , из предыдущего уравнения получим: а = х" = -(g/L)x, что совпадает с уравнением (1) только с другим коэф¬ фициентом пропорциональности (g/L вместо к/т ). Следовательно, для матема¬ тического маятника круговая частота колебаний и период соответственно равны: со - yjgji, Т = — = . со Какие же отклонения (углы) считать малыми? Насколько законно заме¬ нять sin а на а = x/L ? Как вы узнаете в дальнейшем из курса высшей математики, на самом деле, функция sin а может быть представлена в виде суммы бесконечного ряда, члены которого содержат а в различных степенях. Поскольку sin а - функция нечетная, то следующий член ряда пропорционален а3, а не а2 sin а « а-а3/б + ... Если а «1, то а3/б <sc а, возникающая сила близка к линейной, а колеба¬ Рис. 12.8
Физика в задачах 123 ния близки к гармоническим. Если же а не мал (а3/б по величине будет уже сравнимо с а), сила не будет линейной, а колебания гармоническими. Например, для а«1 радиан (чуть меньше 60°), нелинейная добавка а3/б примерно в 6 раз меньше линейного члена. В то время как для а = 0,1 радиан (около 6°), добавка меньше уже в 600 раз. Пример 12.4. Четыре одинаковые шарика массы т каждый, связанные одинаковыми недеформированными пружинами жесткости к, образуют квадрат (рис. 12.9). Все шарики одновременно сместили к центру квадрата на одинаковые расстояния. Определите период колебаний шариков. Решение. Из-за симметрии задачи, рассмотрим колебание одного шарика под действием двух пружин. При этом необходимо связать изменение длины пружины и смещение шарика. При смещении груза к центру на величину х длина каждой пружины уменьшится на 2xsin45° = л/2 * х. С учетом того, что сила упругости каждой пружины направлена под углом 45° к направлению смещения шарика, то полная сила, действующая на него равна: F - -к • 2 * sin 45° • ypl * х = 2кх. Подставив выражение для силы в уравнение (12.1), получим: Задачи и упражнения 2.12.1. Собственная частота колебания груза, подвешенного на пружине в поле тяжести равна со. Груз отклонили вниз на расстояние L от положения равновесия и отпустили «с нулевой» скоростью. Через какое время груз пройдет расстояние L/2, L, 3L/2,2Ы Через какое время он вернется в место, из которого был отпущен? 2.12.2. Брусок, соединенный через пружину со стенкой, находится на гладкой горизонтальной плоскости. Собственная частота колебания бруска равна со. а) Брусок отклонили от положения равновесия влево на расстояние L и от¬ пустили. Определите расстояние до положения равновесия и скорость бруска в произвольный момент t. б) Решите задачу а) для случая, когда бруску в положения равновесия со¬ общили скорость V0 вправо.
124 Глава 2. Динамика в) Решите задачу а), если брусок отклонили от положения равновесия вле¬ во на расстояние L, а затем в этом положения сообщили скорость V0 влево. Покажите, что решение этой задачи является суммой решений задач а) и б) как для смещения бруска, так и для его скорости. 2.12.3. На гладкой горизонтальной плоскости между двумя стенками на¬ ходится небольшой шар, соединенный через пружину с левой стенкой. Пери¬ од собственных колебаний шара на пружине Т0. Шар толкнули таким обра¬ зом, что он стал совершать колебания так, что его максимальное смещение влево от положения равновесия в V2 раза превышает расстояние от положе¬ ния равновесия до правой стенки. Удары шара о правую стенку - абсолютно упругие. Найти период данного колебательного движения. 2.12.4. Наблюдая за далекой двойной звездой, астроном обнаружил, что в направлении, перпендикулярном направлению наблюдения, обе звезды со¬ вершают гармонические колебания с периодом Т{) и амплитудами Ах и соответственно. Определите массы этих звезд, если их размеры малы по сравнению с амплитудами колебаний. 2.12.5. Чувствительность пружинного динамометра 1 см/кг. Определите частоту колебаний груза весом 4 кг, подвешенного на этом динамометре. 2.12.6. Во сколько раз изменится частота колебаний груза на резиновом шнуре, если шнур сложить вдвое? 2.12.7. Жесткость пружины устройства для измерения массы космонавта равна 100 Н/м. Масса кресла устройства 5 кг. Период колебаний кресла с космонавтом 5,4 с. Определите массу космонавта. 2.12.8. * После загрузки 100 т груза, период вертикальных колебаний ко¬ рабля увеличился 1,4 с до 2 с, а после полной загрузки период колебаний увеличился до 3 с. Определите массу всего груза. Считать, что масса воды, вовлекаемая в движение, не изменяется при загрузке. 2.12.9. На расстоянии L от пола висит, повешенный на пружине жесткости к небольшой шарик массы m (см. ри¬ сунок). Какую скорость нужно сообщить шарику вниз, что¬ бы после упругого удара о пол, он поднялся на высоту 3L (относительно пола)? Чему равен период колебаний шарика в этой ситуации? 2.12.10. На гладком полу находятся два шарика массы m каждый, связанные пружиной жесткости к . Пружину сжали этими шариками, а затем их отпустили. а) Определите частоту колебаний шариков. б) Решите задачу а) в случае, когда масса одного шарика m, другого - М 2.12.11. * Один из двух шариков, лежащих на гладком столе (на рисунке левый шарик), связан длинной нитью со стенкой. Правый, точно такой же шарик связан с первым пружиной жесткости к . Правый шарик отодвинули L К задаче 2.12.9
Физика в задачах 125 \ 8 IfliL К задаче 2.12.11 \ \ N * \ \ к V ттш. \ \ \\ \ т Л'\ \ \\ \ \ V.. \ '• "V К задаче 2.12.12 от стенки, растянув пружину на А/, и от¬ пустили. Масса каждого шарика т. Какую максимальную скорость приобретет левый шарик? Через какое время после начала движения правого шарика это произойдет? Какое расстояние пройдет за это время ле¬ вый шарик? Правый шарик? 2.12.12. Находящийся на гладком полу брусок массы т связан недеформированной пружиной жесткости к со стенкой (см. рису¬ нок). Коэффициент трения между бруском и полом равен ц. В направлении от стенки бру¬ ску сообщили скорость V. Через какое время брусок остановится первый раз? Какое растя¬ жение будет у пружинки в этот момент? 2.12.13. а) Три одинаковые шарика массы т каждый, связанные одинако¬ выми недеформированными пружинами жесткости к , образуют правильный треугольник (см. рисунок). Всем шарикам одновременно сообщили одинако¬ вые по величине скорости, направленные к центру треугольника. Определите период колебаний шариков. б)* Решите задачу а), когда N шариков массы m/N каждый3, связанные N пружинами жестко¬ сти kN каждая4, образуют правильный TV- угольник. Чему будет равен период колебаний этих шариков, если N -»оо (это совпадает с пе¬ риодом радиальных колебаний массивного эла¬ стичного кольца жесткости к и массы т )? 2.12.14. а) Восемь шариков массы т каждый, связаны пружинами жесткости к так, что обра¬ зуют куб (см. рисунок). Всем шарикам одновре¬ менно сообщили одинаковые по величине ско¬ рости, направленные к центру куба. Определите период колебаний шариков. б)* Большое количество шариков массы т каждый и пружин жесткости к каждая образу¬ ют правильный TV-гранник. Всем шарикам одно¬ временно сообщили одинаковые по величине скорости, направленные к центру TV-гранника. Чему равен период колебаний этих шариков, если К задаче 2.12.3 3 Масса всех шариков равна т. 4 Суммарная жесткость всех соединенных последовательно пружин равна к . оооооооо
126 Глава 2. Динамика гранями являются квадраты? Если грани - правильные шестиугольники? 2.12.15. Два шарика массы т каждый, соединены пружиной жесткости kQ9 а со стенками - пружинами жесткости к так, как изображено на рисунке. Си¬ лой тяжести можно пренебречь. а) Шарики приблизили друг другу на 21, при этом, растянув крайние пру¬ жины на / каждую. Затем шарики отпустили. Определите амплитуду колеба¬ ний каждого шарика и их максимальные скорости. б) Решите задачу а), если оба шарики сдви¬ нули влево на /, а затем отпустили, в) Пока¬ жите, что сумма решений задач а) и б) отвеча¬ ет условию: левый шарик оставили на месте, а правый сместили на 21 влево, и затем шарики отпустили. Чему в этом случае равна макси¬ мальная скорость левого и правого шариков. 2.12.16. Между потолком и полом висят два шарика, связанные друг с другом пружи¬ ной. Нижний шарик через пружину связан с полом (см. рисунок). Жесткость каждой пру¬ жины к , а масса каждого шарика т . Нижняя пружина вначале недеформирована. а) Определите натяжение двух других пружин, когда оба шарика неподвижны. б) * Определите максимальное растяже¬ ние каждой пружины, если нижнему шарику сообщили скорость V0, направленную вверх. 2.12.17. * а) Доска массы т лежит на двух катках, вращающихся с большой угловой скоростью навстречу друг другу (см. рису¬ нок). Расстояние между центрами катков L, коэффициент трения между левым катком и доской при скольжении доски по катку pj, а между правым катком и доской - р2. Найди¬ те период колебаний доски. б)* Решите задачу а) в случае, если доска наклонена под углом а к горизонту (один каток расположен выше). 2.12.18. Тело массы т закреплено в центре натянутой струны длины / (см. рисунок). Натяжение струны равно Т. Определите час¬ тоту малых поперечных колебаний тела. Влиянием силы тяжести пренебречь. N : pm ^k^iT * N \ К задаче 2.12.15 К задаче 2.12.16 g I - 1 .v1'. - - • Т" "V’-'T WJ==@ К задаче 2.12.17 \J К задаче 2.12.18
Физика в задачах 127 2.12.19. Над полюсом Земли перпендику¬ лярно ее оси протянут прямой гладкий провод. Определите период малых колебаний шайбы, надетой на провод на участке, который нахо¬ дится ближе всего к поверхности Земли (см. рисунок). Радиус Земли 6300 км. 2.12.20. * а) Гладкий стержень длины L и массы М находится в невесомости. На стер¬ жень надета маленькая шайба, масса которой гораздо меньше массы стержня (см. рисунок) и которая может скользить без трения по стерж¬ ню. Гравитационная постоянная G. Определите период малых колебаний шайбы вблизи центра стержня. б) Решите задачу а) в случае, когда масса шайбы равна массе стержня. в) Как изменятся ответы задач а) и б), если стержень согнуть в полукольцо? 0 § 13. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ Баланс механической энергии записывается следующим образом: измене¬ ние суммы кинетической и потенциальной энергии частицы (тела) равно ра¬ боте внешних сил: ДЕ + Д£/ =А . кин пот внеш Часто внешней силой является сила трения. В отсутствии внешних сил выполняется закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциаль¬ ной энергии частицы (тела) - величина постоянная. Потенциальная энергия пружины жесткости к сжатой (или растянутой) на х равна кх2/2, так как такая пружина способна совершить работу кх1 /2. Проверим выполнение закона сохранения энергии (в отсутствии внешних сил) для гармонических колебаний. Из формул (12.2), (12.4) и (12.6) следует: V2 х2 x'(t) x(f) т— + к— -т—-J— + k- = 2 2 2 2 тп ^ к к = —со2xlsin2 (со/ + ср0) +—Xg cos2 (cot + фц) = —х2 =JV0= const, 2 2 2 0) что означает, что кинетическая энергия переходит в потенциальную и наобо¬ рот, а суммарная энергия - величина постоянная. Уравнение (1) можно считать законом сохранения энергии для любого гармонического движения, когда х = х0 соз(ф0 + соt).
128 Глава 2. Динамика Из общего вида уравнения энергии (1) можно сделать важный вывод: квадрат круговой частоты гармонических колебаний равен множителю, стоящему перед х2 (в данном случае это k/2), деленному на множитель, стоящий перед V2 (в данном случае это т/2). Поэтому использование зако¬ на сохранения энергии, приводящее к уравнению вида (1) - эффективный способ определения о. Приведем пример использования этого способа конкретно для определения частоты колебаний математического маятника (рис. 12.8). В этом случае потен¬ циальная энергия маятника есть потенциальная энергия тела в поле тяжести: Wn - mgh = mgL (1 - cos а) = mgL 1-cos— L \ / Здесь h отсчитывается от нижней точки (положения равновесия), а, х = а/ - смещение по дуге окружности радиуса/, (рис. 2.12.8). Для малых значений углов cos а - 1 — 2 sin2 — « 1-2—= 1-—. 2 4 2 Следовательно, потенциальная энергия Wn « mgL— = —-—, а кинетическая 2 /2 V2 энергия WK = т—. Множитель, стоящий перед х2, равен (mg)/(2L), а перед равен т/2 , квадрат круговой частоты определяется формулой 2L' '2 L Следовательно, круговая часто/га колебаний равна \]g/L , а период Т = 2\jш = 2n^jb/g (сравните с формулой (12.10)). Ранее рассматривали, пример, где было показано, что действие постоянной силы не влияет на период гармонических колебаний, а определяет только но¬ вое равновесное положение. Запишем для этого случая (когда постоянная си¬ ла - сила тяжести) закон сохранения энергии. Общая потенциальная энергия состоит из энергии пружины и энергии в поле тяжести: гт/ \ К 2 К U{x) = -2x ~mgx = - z + mg mg z + mg к _2 m2g2 2~ 2 к (2) В формуле (2) мы перешли к введенному ранее смещению z = x-(mg/k) и получили «квадратичный» закон для общей потенциальной энергии. По¬ этому закон сохранения энергии совпадает с выражением (1): V2 z1 m ь к— = Wn = const. ? 7 0
Физика в задачах 129 Если механическая система состоит из нескольких масс, закон сохранения энергии (1) при малом смещении х. /-й массы в общем случае примет вид: V2 х2 „ (3) Wn = const. Если при этом кинетические и потенциальные энергии всех масс системы можно выразить соответственно через скорость и смещение одной из масс (например, массы под номером 1), это уравнение (3) перейдет в следующее: V; V: + В —= Wa- const. (4) i 2 i 2 2 2 Здесь А и В - некоторые коэффициенты, полученные в результате суммиро¬ вания и, которые определяются конкретной системой. Из (3) следует, что квадрат круговой частоты гармонического движения равен В/А . После чего полная энергия записывается в виде (4). Квадрат кру¬ говой частоты гармонических колебаний равен мно¬ жителю, стоящему перед х2, деленному на множи¬ тель, стоящий перед V2 (со2 = В/А^. Проиллюстрируем «энергетический» способ вы¬ числения частоты колебаний несколькими примерами. Пример 13.1. Пусть маятник состоит из двух оди¬ наковых масс, закрепленных на невесомом стержне (рис. 13.1). Расстояние от точки подвеса до первой массы равно расстоянию между массами и равно L. Найти период малых колебаний. Решение. Обозначим смещение от положения рав¬ новесия и скорость верхней массы через х и V соответственно. Тогда для нижней массы эти же величины будут 2х и 2 V. Поэтому кинетическая энергия системы определяется формулой: Рис.13,1 V 2 V) W = т — + т±— к 2 2 = -mV2 2 следовательно, А = (5/2) m . При смещении верхней массы на х (отклонении на малый угол а = xj L ) ее потенциальная энергия изменилась на mgb[a2/2) = (mg/L)(x2/2), а ниж¬ ней массы на mg2L(ar/2) = (mg/L)x2. Поэтому потенциальная энергия системы определяется формулой W_ = mg дГ , mg 2 3mg 2 1 % — х . L 2 L 2 L
130 Глава 2. Динамика Следовательно, В = ш= IМ г=2л 2 1 \А Ъ \ к т W\ ЧЧ^Ч^чЧ %х\\\\ V Пример 13.2. Между двумя стенками за¬ жат груз пружинами жесткости кх и к2 (рис. 13.2). Пружины в равновесии деформи¬ рованы. Найти частоту и период колебаний «энергетическим» способом. Рис. 13.2 Решение. Пружины вначале деформированы. Обозначим начальные де¬ формации сжатых пружин жесткости к{ и к2 как хх и х2 соответственно. Так как груз вначале покоился, то кххх = к2х2. Пусть х - смещение груза вправо при его колебании, a F- его скорость. Тогда изменение длины левой пружины (по отношению к длине в ненапря¬ женном состоянии) равно (jtj - х), а правой (х2 4 х). Запишем закон сохранения энергии с учетом того, что потенциальная энергия складывается из энергий двух пружин: V- т 4* к. (х2+х)2 _ г = т 4 к л —-Х.Х + — 2 1 2 + L х,х4 F2 (x2V х т~ + (Л + ^2) + х(к2х2 -кххх)4-кх — 4 к2 = const. х: 2 2 2 X X Учитывая что k1-L + k2~ - постоянная величина, а (&,х, -к2х2) = 0, за- 2 2 кон сохранения энергии можно записать в виде равенства (13.4): V2 х2 т — 4 {кх 4 к2)— = const. 2 2 То есть, А~т, В = кх 4к2, а круговая частота колебаний, частота, период соответственно равны: #7^
Физика в задачах 131 Пример 13.3. Найти частоту колебаний идеальной жидкости в (/-образной изогнутой трубке сечения S (рис. 2.13.3). Общая длина части трубки, заполненной жидкостью, равна L. Решение. При колебаниях жидкость движется в трубке по изогнутой траектории, и решать задачу из 2- го закона Ньютона затруднительно. Введя х - смешение уровня жидкости, запишем за¬ кон сохранения суммы кинетической и потенциальной энергий жидкости: ¥^-V2 + р Sxgx- — V2 +—х2 = W0 =const, 2 К 5 2 2 0 А = рSL, В = 2рSg9 (5) V- скорость жидкости, р - плотность, S - сечение трубки. При этом мы учли, что скорость жидкости в некий момент времени в лю¬ бой точке одинакова по величине, а изменение потенциальной энергии при отклонении от равновесия равно изменению потенциальной энергии «цилин¬ дрика» массой pSx, поднятого на высоту х. По формуле (13,5) следует со- Т Эти гармонические колебания могут иметь Пример 13.4. Пружина жесткости к од¬ ними концом присоединена к оси колеса мас¬ сы m, которое способно кататься без про¬ скальзывания, а другим прикреплена к стенке (рис. 13.4). Масса колеса равномерно распре¬ делена по ободу, а) Какова частота колебаний такого колеса? б) Какова максимальная ампли¬ туда колебаний колеса, при которой еще возможно движения колеса без про¬ скальзывания, если коэффициент трения обода о пол равен р? Решение, а) Колесо - не материальная точка, а твердое тело, которое вра¬ щается, и центр которого движется. Если скорость центра колеса, масса кото¬ рого равномерно распределена по ободу, равна К, то его полная кинетическая энергия (с учетом того, что проскальзывания нет) равна Е^ = mV2. Поэтому большую амплитуду! закон сохранения энергии в данном случае имеет вид: г2 mV2 +к— ~ Wn ~ const, 2 0 где кх2/2 - потенциальная энергия пружины растянутой (сжатой) на х. Сле¬ довательно, А = 2т, 5 = &, а частота определяется формулой:
132 Глава 2. Динамика б) Пусть радиус колеса R. На колесо дей¬ ствует сила упругости пружины F = -кх и сила трения Fт (рис. 13.5). Из 2-го закона Ньютона: F = j та = -Ах - F . При этом колесо вращается относительно своей оси под действием момента силы т = FlvR. Сила тяжести и сила упругости, приложенная к оси колеса, не создают мо¬ мента. Момент инерции колеса относительно оси равен J = mR2. Вращение колеса описывается уравнением Рис. 13.5 mR2г = F^R, где е = со’ -угловое ускорение. Оно связано с ускорением (так как проскаль¬ зывание отсутствует): 8 = а/R. Поэтому тг2 a/R = FipF и, подставляя это вы¬ ражение в уравнение движения, получим: F = -kx-F или 2F = -Ьс. Для силы трения можно записать неравенство: F^ < \xN = pwg. Причем строгое неравенство соответствует трению покоя, а равенство - скольжению. Чтобы проскальзывания не было, для силы упругости всегда должно выполняться неравенство: -кх = 2Flp < 2\xmg . Поэтому максимальная амплитуда колеба- ний Атах = 2\mgfk. 2.13.1. а) В аттракционе «падение g пропасть» человек массы М, привя¬ занный к шнуру длины L и жесткости к шагает в глубокий обрыв. Определи¬ те максимальную глубину, на которую может «упасть» человек. Каково вре¬ мя «падения» человека? Сопротивлением воздуха пренебречь, б) Какова должна быть жесткость шнура длины 20 м, чтобы сила, действующая на че¬ ловека массы 70 кг в задаче а), не превышала 2800 Н? 2.13.2. Подпрыгивая с земли, кузнечик оказывается на высоте Я. Он со¬ вершает прыжки, прикладывая все время одинаковые усилия, находясь на плите, совершающей гармонические колебания в вертикальном направлении с периодом Т. а) Оказалось, что, подпрыгивая с плиты, в момент, когда она находится в верхнем положении и в момент, когда она находится в среднем положении, кузнечик в итоге оказывается на одинаковой максимальной высоте. Найдите амплитуду колебаний плиты. Задачи и упражнения
Физика в задачах б)* На какой максимальной и какой ми¬ нимальной высоте он может оказаться, если амплитуда колебаний плиты мала по сравне¬ нию с высотой Н. 2.13.3. Массивная цепочка длины /, дви¬ гаясь по гладкому полу в продольном на¬ правлении со скоростью V0, наезжает на вы¬ сокую гладкую горку с углом наклона а (см. рисунок). Определите время контакта цепоч¬ ки с горкой. 2.13.4. Между двумя одинаковыми по массе брусками, лежащими на полу, находится пру¬ жина (см. рисунок), которая удерживается в сжатом состоянии нитью. Коэффициент трения между первым бруском и полом ц. Трением между вторым бруском и полом можно пре¬ небречь. Нить пережигают. Через время т по¬ сле пережигания нити первый брусок останав¬ ливается. Чему равна в этот момент скорость второго бруска? Изменится ли ответ, если кон¬ цы пружины закрепить на брусках? 2.13.5. Сжатую на А/ пружину жесткости к вставляют между двумя брусками с мас¬ сами т, стоящими на полу и отпускают (см. рисунок). Найдите путь каждого бруска до остановки, если коэффициент трения между брусками и полом равен р. 2.13.6. * а) Определите период малых ко¬ лебаний полукольца радиуса R в его плоско¬ сти. Полукольцо подвешено за центр невесо¬ мого стержня, соединяющего концы полу¬ кольца (см. рисунок). б) На дне гладкой лунки сферической формы радиуса R (см. рисунок) находится цепочка длины / (/ < TtR ). Определите час¬ тоту малых продольных колебаний цепочки. 2.13.7. К ободу колеса с горизонтально расположенной осью, прикреплен грузик массы т (см. рисунок). Найдите радиус и массу колеса, с учетом ее равномерного рас¬ пределения по ободу, если период колебаний колеса с грузиком вокруг оси равен Т. Из- \ И К задаче 2.13.4 m j)Q00000d m Ц а) К задаче 2.13.6
134 Глава 2. Динамика вестно, что при увеличении массы грузика вдвое, период колебаний умень¬ шается на 10 %. 2.13.8. а) Маятник состоит из трех одинаковых шариков, закрепленных на невесомом стержне. Расстояние от точки подвеса до первого шарика и рас¬ стояние между шариками равно / (см. рисунок). Найдите период малых ко¬ лебаний такого маятника. К задаче 2.13.8 К задаче 2.13.9 б) Решите задачу а) для случая, когда закрепленные шарики имеют массы тх, т2 и тъ соответственно. 2.13.9. Гантелька состоит из двух одинаковых небольших шариков, соеди¬ ненным невесомым стержнем длины /. Определите период малых колебаний гантельки, подвешенной на двух нитях длины L, соединяющей шарики с точ¬ кой подвеса (см. рисунок) в случае, когда а) гантелька совершает колебания в плоскости, проходящей через центры шариков и подвес; б) гантелька совер¬ шает колебания в направлении, перпендикулярном этой плоскости. 2.13.10. * Жесткая конструкция, образованная восемью небольшими оди¬ наковыми шариками, соединенными жесткими невесомыми стержнями, име¬ ет вид куба, в вершинах которого расположены шарики (см. рисунок). Длина ребер куба равна а. Определите частоту ма¬ лых колебаний конструкции в случае, когда она подвешивается на горизонтальной оси: а) за два соседних шарика; б) за два противопо¬ ложных шарика одной из граней; в) за сере¬ дины противолежащих ребер одной из граней. 2.13.11. Всем участкам массивного резино¬ вого кольца радиуса R и массы М сообщили скорость V0, направленную от центра кольца (см. рисунок). Жесткость тонкого шнура, из которого изготовлено кольцо, равно к . Опре¬ делите максимальный радиус кольца и время его расширения. К задаче 2.13.10
Физика в задачах 2.13Л2. Определите частоту малых коле¬ баний лежащего на полу тонкостенного ци¬ линдра массы М и радиуса R с небольшим шариком т , закрепленным внутри цилиндра в нижней его части (см. рисунок) в случаях: а) между цилиндром и полом трения нет; б) между цилиндром и полом нет про¬ скальзывания. 2.13.13. Определите период малых колеба¬ ний тонкостенного цилиндра радиуса г, ле¬ жащего в горизонтальном тоннеле радиуса R (см. рисунок) в случаях: а) между цилиндром и тоннелем трения нет; б) между цилиндром и тоннелем нет проскальзывания К задаче 2.13.11 К задаче 2.13.12 2.13.14. * На гладком полу лежит тонко¬ стенный цилиндр радиуса R и массы М Внутри него находится второй тонкостенный цилиндр радиуса г и массы т (см. рису¬ нок). Определите период малых колебаний внутреннего цилиндра в случаях: а) между поверхностями цилиндров тре¬ ния нет; б) если между цилиндрами нет проскаль¬ зывания; в) если внутренний цилиндр в нижней части жестко закреплен на первом цилиндре. 2.13.15. В игрушке «ванька-встанька» расстояние между небольшими массивными шариками, закрепленных внутри легкой цел¬ лофановой оболочки равно /. Радиус нижней части игрушки равен R (см. рисунок). Опре¬ делите частоту малых колебаний игрушки в случаях: а) между игрушкой и полом трения нет; т
136 Глава 2. Динамика б) игрушка качается, не проскальзывая. 2.13.16. В полусферической гладкой лунке ра¬ диуса Л, сделанной в полу, удерживаются на рас¬ стоянии R, на одном уровне небольшие шарики, массы т каждый. Между шариками находится сжатая с 3R до R пружина жесткости к (см. рису¬ нок). Шарики отпускают и они вместе с пружиной вылетают из лунки. На какой высоте над полом ша¬ рики впервые окажутся на таком же расстоянии друг от друга, как и в момент вылета из лунки? 2.13.17. Момент инерции физического маятника относительно места подвеса равен J, масса маятника М, расстояние от места подвеса до центра масс R. Определите «энергетическим способом» период колебаний такого маятника5. 2.13.18. Определите период колебаний следующих физических маятников в плоскости рисунков: а) стержня длины /, подвешенного за конец (см. рисунок); б) правильного треугольника, собранного из трех одинаковых стержней дли¬ ны /, подвешенного за вершину (см. рисунок); в) квадрата, собранного из четырех одинаковых стержней длины /, подвешенного за середину одного из стержней (см. рисунок); г) подвешенного обруча радиуса R (см. рисунок); д) шайбы радиуса г и массы М, подвешенной через жестко соединенный с шайбой конец стержня массы т и длины 1 (см. рисунок); е)* шайбы радиуса R с отверстием радиуса г, подвешенной за край, в случае, когда центр отвер¬ стия находится на расстоянии 1 от центра шайбы (см. рисунок). I К задаче 2.13.18 5 Для решения задачи 2.13.17 полезно ознакомиться с параграфом 10.
Физика в задачах 137 К задаче 2.13.18 § 14. ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ СИЛ НА КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА Отклонение от равновесия любой механической системы, будь-то маят¬ ник, гитарная струна, упругая деформация колокола после удара и т. п., при¬ водит, как правило, к колебаниям, амплитуда которых из-за трения постепен¬ но падает. Мы видим, как постепенно падает размах колебаний маятника, ви¬ дим (и слышим), как затухают колебания гитарной струны, слышим, как сла¬ беет звучание колокола, связанное с уменьшением амплитуды колебаний его стенок. Пример 14.1. На полу лежит брусок массы т, связанный со стенкой не- деформированной пружиной жесткости к (рис. 14.1). Коэффициент трения между бруском и полом р. Брусок оттянули от стенки на /, растянув тем са¬ мым пружину, а затем отпустили. Чему равно максимальное удлинение пру¬ жины при втором колебании бруска, при третьем, при н-м колебании? Рис. 14.1 гас- Решение. На рис. 14.2 точкой 0 обозначено начальное положение бруска, точкой 1 обозначено положение равновесия сил, когда брусок движется к стенке, точкой 2 - когда брусок движется от стенки. Расстояние точек 1 и 2 до точки 0 равно А = [img/k . Поэтому отпущенный в точке 3 брусок, двига¬ ясь к стенке, пройдя точку 0, удалится от нее на максимальное расстояние /-4А, а затем на расстояние 1-2А и возвращаясь назад, пройдя точку О второй раз, удалится от нее на максимальное расстояние / - 4А = l-A^mg/k.
138 Глава 2. Динамика С этого расстояния начинается второе колебание, для которого начало дви¬ жения в этот момент пружина максимально растянута на l-4\img/k, для п- го колебания равно 1-4{п-1 )\xmgk, при условии к (l - 4(я -1)|xmgk} > [xmg . Невыполнение неравенства означает, что ( п +1 )-го колебания у бруска не будет. Внешняя сила, действующая на механическую систему в такт с ее собст¬ венными колебаниями, резонансно раскачивает эти колебания. Например: тяжелые качели или автомобиль, попавший в неглубокую яму, сильно раска¬ чиваются даже небольшой силой, действующей в такт их колебаний; опасно раскачивается веревочный мост через ущелье, когда шаги туриста действуют на мост в такт его колебаний. Часто вращение ведущего вала станка старают¬ ся установить в рабочее состояние как можно быстрее, когда частота враще¬ ния вала при такой установке проходит через частоту собственных колебаний вала. Быстрый переход через эту частоту позволяет //////////// избежать разрушительной резонансной раскачки коле- * баний вала, вызываемых его вращением. Пример 14.2. При раскачивании маятника с перио¬ дом колебаний Т каждый раз при прохождении точки равновесия скорость шарика в направлении движения увеличивается на (рис. 14.3). Определите амплиту¬ ду малых колебаний шарика через время т после нача¬ ла раскачки маятника. « Решение. За время т шарик [(2т/Г) + 1] раз6 прой¬ дет через положение равновесия. Всякий раз в поло¬ жении равновесия он получает дополнительно скорость v0 мальная скорость шарика будет определяться формулой V, Рис. 14.3 Поэтому макси- 2т v = + 1 (1) а амплитуда малых колебаний - формулой: л; о (2) Из последней формулы следует, что продолжительная резонансная рас¬ качка приводит к линейному возрастанию амплитуды: v - v0x/и . 6 [К] означает целую часть числа К.
Физика в задачах 139 Задачи и упражнения 2.14.1. Почему отряду солдат командуют «вольно», когда они подходят к мосту? 2.14.2. а) Машину, попавшую в яму, раскачивают в такт с ее колебаниями в яме. В какой момент, и в каком направлении нужно прикладывать макси¬ мальную силу, чтобы раскачать машину как можно быстрее? б) В какой момент времени и в каком направлении нужно прикладывать максимальную силу, чтобы как можно быстрее остановить тяжелые качали? 2.14.3. Грузовики въезжают по грунтовой дороге на склад с одной сторо¬ ны, разгружаются и выезжают со склада с такой же скоростью с другой сто¬ роны. Почему выбоины на дороге в склад идут приблизительно в два раза реже, чем на дороге со склада? Масса машины 1 т. Оцените массу груза. 2.14.4. Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда мальчик сто¬ ит на ней неподвижно, она прогибается на А. Длина шага мальчика / . При ка¬ кой скорости бегущего по доске мальчика доска может сильно раскачаться? 2.14.5. Частота ударов волн о катер, стоящего на пристани v, частота покачи¬ вания катера в спокойной воде v0, v0 > v. Катер вышел в открытое море и стал двигаться навстречу волнам под уг¬ лом а к гребням волны (см. рисунок). При скорости v катер стал сильно раска¬ чиваться волнами. Определите скорость волн. Что должен сделать капитан, чтобы уменьшить раскачку катера? 2.14.6. При раскачивании качелей с мальчиком всякий раз в крайнем по¬ ложении на б увеличивают расстояние до положения равновесия. Длина ка¬ челей /, масса мальчика много больше массы качелей. Амплитуда колебаний много меньше /. Определите максимальную скорость мальчика, если время раскачки т. 2.14.7. Тело, подвешенное на пружине, совершает гармонические колебания с амплитудой х0 и частотой оо0 (см. рисунок). В течение времени х тело раскачи¬ вают, сообщая ему дополнительную скорость v в на¬ правлении движения всякий раз, когда тело проходит положение равновесия. На какую величину возрастет амплитуда колебания тела после такой раскачки? 2.14.8. Казалось бы, стреляя из рогатки в мост в такт его собственным колебаниям и сделав очень много вы¬ стрелов, его можно сильно раскачать, однако вряд ли удастся. Почему? К задаче 2.14.7
140 Глава 2. Динамика 2.14.9. Брусок массы М, лежащий на полу, связан со стенкой недеформиро- ванной пружиной жесткости к . Коэффициент трения между бруском и полом ц. Брусок оттянули от стенки на х0, а затем отпустили (см. рисунок). Рассчи¬ тайте каждый из трех вариантов, обеспечивающих возвращение бруска на прежнее место. а) Насколько всякий раз нужно увеличивать скорость бруска, когда он проходит положение равновесия, приближаясь к стенке? Удаляясь от стенки? б) Какую скорость нужно всякий раз сооб¬ щать бруску при его остановке вблизи стенки? в) Насколько всякий раз нужно смещать бру¬ сок при его остановке вблизи стенки? к г i Ъ~0~0~<Г6~0Т) М 8 К задаче 2.14.9 8 2.14.10. На пружине жесткости к висит неподвижно груз массы т (см. рисунок). а) Определите амплитуду колебаний гру¬ за, если на груз начнет действовать вниз по¬ стоянная сила F. б) Определите амплитуду колебаний гру¬ за, спустя время т, если сила F при каждой остановке груза меняла свое направление. 2.14.11. а) На полу лежат два связанных нитью бруска, между которыми находится сжатая ими на х(1 пружина жесткости к (см. рисунок). Масса каждого бруска т . Нить пережигают, и бруски начинают т 1'7ЯЯЛЛДТ!Г4 т двигаться. Коэффициент трения между бру- сками и полом р. Через какое время бруски потеряют контакт с пружиной? „F К задаче 2.14.10 к g К задаче 2.14.11 б)* Решите задачу а) в случае, когда масса второго бруска М9 М > \ т х0 > 2]л(М + m)g. 2.14.12. Со стороны пружины на тело массы т действует сила F(j sin со/. Определите амплитуду колебаний тела. Изменится ли амплитуда колебаний тела, если эта сила вызывается не пружиной? 2.14.13. а) Тело массы т связано с двух сторон пружинами со стенками (см. рисунок, а). Жесткость левой пружины к . Определите амплитуду коле¬ бания тела, если известно, что со стороны правой пружины на тело действует сила F0 sin он, со > *Jk/m . б) Тело массы т с левой стороны связано со стенкой пружиной жесткости к , ас правой стороны жестко связано с другим телом (см. рисунок, б). Опреде-
Физика в задачах 141 лите амплитуду колебаний тел, если известно, что второе тело действует на пер¬ вое с силой F0 sin Ш, со < у]к/т . К задаче 2.14.13 в) Определите амплитуду колебания первого тела в задаче а) и б), если в момент времени т сила, действующая на тело справа, исчезнет. 2.14.14.* Если на груз массы т, висящий неподвижно на пружине жест¬ кости к , начнет действовать вдоль пружины сила F0sinotf (см. рисунок), то последующее движение тела может складываться из движения с частотой ш, на которое накладываются сво¬ бодные колебания тела. Докажите это утверждение и, используя его, решите следующие задачи. а) Сила F0 sin о/ действует на груз с нулевого момента времени. Определите максимальную скорость и макси¬ мальное отклонение груза от положения равновесия. б) Решите задачу а), если сила F0sincctf начинает дей¬ ствовать с момента времени т. К задаче 2.14.14 в) Как меняется во времени амплитуда колебаний груза во времени в случае а) и б) при резонансе, когда со отличается от собственной частоты ш0 > ^к/т на очень малую величину? Чем ограничивается в реальных условиях раскачка колебаний при резонансе? 2.14.15. а) Маятник с шариком массы т совершает в вакууме незатухающие колебания с частотой со и амплитудой xQ: jc = x0sinco/ (см. рисунок). При напус¬ ке воздуха шарик стал тормозиться силой FT, пропор¬ g циональной скорости шарика v: FT =-bv. С какой си- К задаче 2.14.15 лой нужно действовать на шарик маятника, чтобы дви¬ жение маятника оставалось таким же, как и в вакууме. б) До какой амплитуды резонансно раскачивается в воздухе маятник в за¬ даче а) синусоидальной силой с небольшой амплитудой F0.
142 Глава 2. Динамика 2.14.16.* а) Тело неподвижно висит на одной из двух одинаковых пружин, подсоединенных (см. рисунок) к телу с разных сторон. Свободный конец нижней пружины начи¬ нают двигать с постоянной скоростью v0. До какой макси¬ мальной скорости разгонится тело? б) Решите задачу а), когда жесткость верхней пружины в п раз больше нижней. в) Решите задачу б), когда свободный конец двигают, начиная с t = 0 , со скоростью cos соt. Чему равна максимальная сила, действующая на свобод¬ ный конец нижней пружины, если масса тела т , жесткость нижней пружины к , а верхней пк ? К задаче 2.14.16 § 15. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ В контрольном задании предлагаются задачи, связанные с законами Нью¬ тона и законами сохранения импульса и энергии. Темы задач расположены в той же последовательности, как расположены соответствующие темы пред¬ шествующих параграфов. Задачи каждой темы обычно расположены в поряд¬ ке возрастания трудности их решения. Задачи и упражнения 2.15.1. На рисунке изображен график зави¬ симости силы, действующей на тело массы 3 кг, от времени. В начальный момент тело покоилось. Чему равна скорость тела после действия силы? 2.15.2. а) На частицу, летящую со скоростью Vo в некоторый момент времени начинает дей¬ ствовать сила F, направленная против скоро¬ сти частицы. В данном масштабе график за¬ висимости модуля силы F от времени пред¬ ставляет собой верхнюю полуокружность (см. рисунок). После действия силы частица остановилась. Определите массу частицы. б) Какая будет скорость частицы задачи а), если график зависимости мо¬ дуля силы F от времени представляет собой нижнюю левую часть четверти окружности (см. рисунок)?
Физика в задачах 14- 2.15.3. а) Ракета массы М стартует вер¬ тикально с ускорением а . С каким старто¬ вым ускорением она будет двигаться, если массу нагрузки ракеты увеличить на т ? Режим работы двигателей не меняется. Ус¬ корение свободного падения g. б) Ракета массы М стартует с ускоре¬ нием а под углом а к горизонту (см. ри¬ сунок). Определите тягу двигателей стар¬ тующей ракеты. 2.15.4. При проведении эксперимента ученик исследовал зависимость модуляси- лы упругости пружины от длины пружины. График полученной зависимости приведен на рисунке. Чему равна длина пружины в недеформированном состоянии и ее жест¬ кость? 2.15.5. а) Балка лежит на трех одинако¬ вых пружинах, как это показано на рисун¬ ке. Среднюю пружину быстро убирают. С каким ускорением начнет двигаться балка? б) Решите задачу а), когда жесткость средней пружины в п раз больше жестко¬ сти каждой крайней пружины. 2.15.6. а) Два незакрепленных шарика одинаковой массы связаны пружиной дли¬ ны L. После того, как к правому шарику приложили силу F, длина пружины уста¬ новилась и стала Lx (см. рисунок). Опреде¬ лите жесткость пружины. б) Когда два связанные пружиной бру¬ ска 1 и 2 скользят по наклонной плоскости, установившаяся длина пружины /,, если бруски 1 и 2 переставить, эта длина стано¬ вится /2. Определите жесткость пружины. Угол плоскости с горизонтом а, масса и коэффициент трения бруска 1 тх и р,, а бруска 2 - т2 и р2. 2.15.7. Имеются два одинаковых свя¬ занных нитью бруска, которые скользят по боковым поверхностям призмы с сечением К задаче 2.15.3,а g L К задаче 2.15.6,а
144 Глава 2. Динамика в виде правильного треугольника (см. ри¬ сунок). Левая сторона призмы гладкая, а правая шероховатая. Коэффициент трения между правой стороной и скользящим по ней бруском р, масса каждого бруска т. Определите силу натяжения нити. 2.15.8. а) С какой горизонтальной силой нужно действовать на клин массы М, ко¬ торый находится на гладком полу, чтобы брусок массы т, лежащий на гладкой по¬ верхности клина с углом наклона а, не пе¬ ремещался по поверхности клина? б) Решите задачу а), когда горизонтальная сила действует на брусок (см. рисунок). в) * Решите задачи а) и б), когда коэффи¬ циент трения между клином и полом равен pt, а между клином и бруском равен р2. 2.15.9. Время движения бруска вверх по плоскости с углом наклона а в п раз меньше времени его возвращения. Чему равен коэффициент трения между бруском и плоскостью? 2.15.10. Чтобы сдвинуть вниз шайбу, лежащую на плоскости с углом наклона а, нужно приложить минимальную силу Fx, а чтобы сдвинуть вверх по плоскости - силу F2. Какую минимальную силу нужно при¬ ложить к шайбе, чтобы она начала дви¬ гаться по плоскости горизонтально? 2.15.11. На горке с углом наклона к горизонту а удерживают в покое клин и брусок (см. рису¬ нок). Поверхность клина, на которой находится брусок, составляет с поверхностью горки угол |3. Масса бруска т, коэффициент трения скольжения между бруском и клином р. Клин и брусок одно¬ временно опускают. При какой массе клина он ос¬ танется в покое при любом значении коэффициента трения скольжения между клином и горкой? 2.15.12. Длинный грузовик массой М перевозит в кузове незакрепленный ящик массы т, двигаясь по горизонтальной дороге со скоростью V (см. ри- К задаче 2.15.12
Физика в задачах 145 сунок). Водитель замечает препятствие и резко тормозит, блокируя все колеса. Сместится ли при этом груз относительно кузова? Если да, то, на какое расстоя¬ ние? Коэффициент трения между ящиком и кузовом равен р, между колесами гру¬ зовика и дорогой - 2р. Креном грузовика при торможении пренебречь. 2.5.13. Лыжник массы т спускается по лыжне с короткого склона, расположенно- го под углом а к горизонту. Первый раз он спустился при отсутствии ветра, вто¬ рой- попал в сильный порыв ветра и спустился в п раз быстрее. Скорость вет¬ ра была много больше скорости лыжника, к задаче 2.15.13 и он был направлен поперек склона (см. рисунок). Начальная скорость лыжника равна нулю, коэффициент трения между склоном и лыжами равен р. С какой силой ветер действовал на лыжника? 2.5.14. На гладком полу лежит доска массы М и длины /. На доску вспрыгивает кошка массы т, которая отталкиваясь от доски, двигается с ус¬ корением а . Как долго длится бег кошки по доске? На какое расстояние пе¬ реместилась кошка при таком беге? 2.15.15. а) Ядро, движущееся со скоростью V, распадается на два одина¬ ковых осколка, которые движутся под углом 60° к направлению движения ядра. Определите скорости этих осколков. б) Решите задачу а), когда осколки движутся под углами а и р к направле¬ нию движения ядра. 2.15.16. Тележка катится по ровной горизонтальной дороге по инерции с не¬ которой скоростью vQ. Вдруг начинает идти снег. Относительно дороги сне¬ жинки падают вертикально (см. рисунок, а). Снег, падающий на тележку, остает¬ ся на ней и не тает, в результате чего скорость v тележки изменяется. График зависимости vQ/v от времени, начиная с момента t = 0 , когда пошел снег, изо¬ бражен на рисунке, б. Пренебрегая трением качения и считая, что снег, упавший на дорогу, не оказывает сопротивления движению тележки, докажите, что масса р снега, падающего на тележку в единицу времени, постоянна. Какая масса М снега окажется на тележке через время т? Масса тележки без снега равна т -1,2 кг . Сопротивление движению тележки со стороны воздуха не учитывать. 1 1- (Г и \ vv • Чл ж \ а К задаче 2.15.16
146 Глава 2. Динамика 2.15.17. На рисунке изображен з, К Н график зависимости силы, дейст- Ъ вующей на тело массы 1 кг, от коор¬ динаты. Сила направлена вдоль оси х. 1, О -1 X, м В начале координат скорость тела *2 3 4 5 6 равна нулю. Чему равна скорость те¬ ла после действия сил? К задаче 2.15.17 2.15.18. а) На частицу, летящую со скоростью v, начинает действовать сила, направленная против скорости частицы. В данном масштабе график зависимости модуля этой силы от координаты х представляет собой верхнюю полуокружность (см. рисунок). После действия этой силы частица останови¬ лась. Определите массу частицы. б) Какая будет скорость частицы задачи а), если график зависимости мо¬ дуля тормозящей силы от координаты х представляет собой нижнюю левую часть четверти окружности (см. рисунок). 2.15.19. Тело массы т поднимают по плоско¬ сти, расположенной под углом а, на высоту h горизонтальной силой F (см. рисунок). Коэф¬ фициент трения между наклонной плоскостью и телом р. Определите работу силы F, работу си¬ лы трения, работу силы тяжести и скорость тела на высоте h ? 2.15.20. а) Двумя телами, лежащими на гори¬ зонтальной плоскости, сжали пружину жестко¬ сти к на х0, а затем отпустили (см. рисунок). Масса каждого тела т, коэффициент трения между плоскостью и каждым телом р. До какой максимальной скорости разгонятся тела? б) На бруске массы т находится тело такой же массы т, связанной сжатой на х0 пружиной жесткости к с бруском (см. рисунок). Нить, удерживающую в сжатом состоянии пружину, пережигают. Определить максимальное переме¬ ти Г* ШШ т К задаче 2.15.20,а \g К задаче 2.15.20,6
Физика в задачах 147 к <- Ш т L г —{_. Ц- g L К задаче 2.15.21 т О К задаче 2.15.22 щение бруска, если коэффициент трения между телом и бруском равен д. Трением между бру¬ ском и полом пренебречь. 2.15.21. Брусок находится на краю ступени лестницы. Между ним и предыдущей ступенью вставлена недеформированная пружина жестко¬ сти к . Брусок, сжимая пружину, сместили влево на расстояние L и отпустили - он пришел в движение, достиг края ступени и упал на сле¬ дующую ступень на расстоянии L от предыду¬ щей (см. рисунок). Определите коэффициент трения между бруском и лестницей, если высота ступеней И . 2.15.22. Пружину жесткости к , один конец ко¬ торой закреплен на полу, сжали шариком массы т на х0 и, затем, отпустили. На какую высоту (от места старта) поднимется шарик? Сколько времени будет длиться его подъем? 2.15.23. Какую минимальную скорость в невесомо¬ сти нужно сообщить бусинке, нанизанной на закреп¬ ленный гладкий обруч радиуса R, чтобы она совер¬ шила полный круг? Бусинка находится в точке А и присоединена к закрепленной в точке В пружине же¬ сткости к и длины R . Отрезок ВА лежит на касатель¬ ной к обручу. 2.15.24. Какая должна быть жесткость пружины, чтобы перемещенный из точки А в нижнюю точку В полусферической гладкой чаши радиуса R шарик массы т выскочил из нее, после того как его отпус¬ тят? Пружина закреплена в точке С и вначале не де¬ формирована. 2.15.25. а) Брусок массы М находится на горизонтальном столе и через К задаче 2.15.23 К задаче 2.15.24 пружину жесткости к прикреплен к неподвижной опо¬ ре. Пружина находится в недеформированном состоя¬ нии, коэффициент трения между бруском и столом ц. Горизонтально летящая со скоростью и пуля массы т попадает в брусок и застревает в нем. Определите мак¬ симальную деформацию пружины. б) Система состоит из тел масс т и М = 100т, со¬ единенных недеформированной упругой пружиной. Ес¬ ли третье тело массы т с некоторой скоростью налетит на систему слева (см. рисунок), то после абсолютно не¬ упругого удара максимальное сжатие пружины равно т О м м т т т —О К задаче 2.15.25,6 К задаче 2.15.26
148 Глава 2. Динамика ;с}. Каким будет максимальное сжатие пружины х2 после абсолютно неупру¬ гого удара, если тело налетает на систему справа с той же скоростью? 2.15.26. В системе, изображенной на рисунке, тело касается правой стенки, когда пружина не деформирована. В начальный момент пружину сжали на х0 и отпустили. При ударе тела о правую стенку теряется 50 % кинетической энергии тела. Най¬ дите, на каком максимальном расстоянии от правой стенки окажется тело после удара. Тре¬ ния нет. 2.15.27. Шарик массы т, летящий со скоро¬ стью V перпендикулярно стенке, ударяет о нее. Какой импульс получает стенка при ударе, если при этом половина кинетической энергии шари¬ ка превращается в тепло? 2.15.28. а) Шарик массы т лежит на дне по¬ лусферической лунки радиуса R. Другой ша¬ рик, массы 9т, соскальзывает с верхней кромки лунки и упруго ударяется о первый шарик. На какую высоту первый шарик выпрыгивает из лунки после удара? б) Два небольших тела расположили симмет¬ рично на краю гладкой полусферической лунки и одновременно отпустили (см. рисунок). После упругого взаимного удара одно из тел вылетает из лунки и поднимается на высоту, в 3 раза пре¬ вышающую радиус лунки. Во сколько раз масса этого тела меньше массы второго тела? 2.15.29. а) На нерастянутую пружину с жест¬ костью к подвесили груз массы М (см. рису¬ нок) и отпустили. Груз начал колебаться, но по¬ степенно колебания затихли. Определить коли¬ чество энергии, перешедшее в тепло. б)* К середине горизонтально расположенно¬ го нерастянутого резинового жгута, концы ко¬ торого закреплены на стенках, подвесили груз массы т, а затем отпустили. Груз начал коле¬ баться, но постепенно колебания затихли, а груз ^ задаче 2.15.29,6 опустился на h (см. рисунок). Длина нерастянутого жгута 21. Определите количество энергии, перешедшее в тепло. 2.15.30. В метеорит, летящий со скоростью м, попала пуля, летящая со скоро¬ стью v под углом а к траектории метеорита, и застряла в нем. Масса пули т много меньше массы метеорита. Какое количество тепла выделится при этой встрече? 1 8 М К задаче 2.15.29,а
ТВЕРДАЯ СРЕДА глава В твердой среде связанные друг с другом молекулы, находясь в положе¬ нии равновесия в строго определенных местах, образуют кристаллическую структуру. В этой главе рассматривается поведение твердой среды при малых отклонениях от положения равновесия, когда сила, возвращающая молекулы, пропорциональна отклонению. § 1. УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ПРУЖИНА Изменение размера тела или его формы называют деформацией. При де¬ формации тела возникают силы, стремящиеся возвратить тело к его первона¬ чальному состоянию, и, следовательно, они направлены в сторону, противо¬ положную смещению частиц тела. Это - упругие силы. При растяжении тела длины / на А/ в любом сечении стержня возникает упругая сила, пропорциональная площади сечения стержня S и относительному удлинению стержня е = А/// (рис. 1.1) F = ESs, (1) Е - модуль Юнга материала, из которого изготовлен стержень. Формула (1) часто записывается в виде а = Ее , (2) где а = F/S - упругое напряжение в сечении. Пример 1.1. Стержень длины / и сечения S растягивается с силой F. Мо¬ дуль Юнга равен Е. Насколько удалится от концов стержня метка, которая находилась на расстоянии //10 от ближайшего конца стержня? Решение. Из формулы (1) следует, что метка удалится от ближайшего конца на а А/ Еш Рис. 1.1
150 Глава 3. Твердая среда А/ = F I A/i = 1хг j J F = кх К ■ЫЛ 2х ES 10 а расстояние между меткой и дальним концом, который находился на рас¬ стоянии 9//10 увеличится на 9А/. Пример 1.2. Груз массы 1 т подвесили на стальном стержне, состоящем из двух участков. Каждый участок имеет длину 1 м, сечение первого участка 1 см2, второго - 2 см2. Модуль Юнга стержня стали 2-10” Н/м2. Определите удлинение стержня. Решение. Сила, растягивающая стержень, F = Mg = ] 000 кг • 9,8 м/с2 = 9800 Н . Растяжение первого участка определится формулой = 1 м-9800Н/2-1011 Н/м2 -10^ м2 =4,9-10“4 м, ESX второго - формулой А/, = = 1 м-9800 Н/2-1011 Н/м2 -Ю"4 м2 = 2,45-10~4 м, 2 2 2 es2 а полное удлинение - формулой А/ = A/t + Л/2 = 7,35 ■ КГ4 м . Рассмотрим, как перемещаются молекулы стержня, левый конец ко¬ торого закреплен, а на правый конец действует продольная сила F (рис. 1.1). На рис. 1.2 изображены молекулы трех кристаллических плоскостей 1, 2 и 3, которые сначала находятся на расстоянии х0 друг от друга. На молекулы, расположенные на плоскости 3 действует сила F, ко¬ торая смещает молекулы, на этой плоскости до тех пор, пока упругая сила - кх, действующая со стороны мо¬ лекул плоскости 2, не уравновесит силу F: кх- F. Поэтому расстояние меж¬ ду плоскостями 2 и 3 увеличится на F/k. На молекулы плоскости 2 будет действовать такая же сила F, которая действовала на молекулы плоскости 3, и плоскость 2 отойдет от плоскости 1 тоже на расстояние F/k. Таким образом, сила F, действующая на молекулы крайней правой плоскости "передается" на молекулы всех других плоскостей увеличивая расстояние между ними на F/k. Молекулы на крайней плоскости слева останутся на месте, так как стенка, действуя на них с силой (-/*), компенсирует действие на них молекул с соседней плоскости с силой F. Величину к0 = к/N , где N - количество мо¬ лекул на каждой плоскости, часто называют жесткостью молекулярной связи. г" тшш I Г-ч I ф! Е, I I Гт г г Рис. 1.2
Физика в задачах 151 Если молекулы заменить шариками той же массы и соединить их недеформи- рованными молекулярными пружинами с жесткостью молекулярной связи, то поведение такой конструкции будет повторять поведение молекул при малых отклонениях от положения равновесия. Пример 1.3. Определите жесткость молекулярной связи в стержне с моду¬ лем Юнга Е. Кристаллическая решетка - кубическая, ближайшее расстояние между частицами х0 (рис. 1.3). Сила, растягивающая стержень, перпендику¬ лярна грани куба, изображенного на рис. 1.3. Решение. Растяжение х силой F (рис. 1.3), со- | 2 гласно формуле (1), определяется следующим ра¬ венством 1 х = хл * s = х, Поэтому к определяется следующей формулой (см. рис. 1.2) м ' F ' ,SE; а к0 следующей II * | ^ II IS к-к - к SE/x( (s/x20) s/4 Рис. 1.3 о _ Ex, В приведенных формулах S - сечение стержня. Задачи и упражнения 3.1.1. Стержень длины L, сечения S под действием силы F растягивается на длину А7. Определите модуль Юнга материала, из которого изготовлен стержень. 3.1.2. На стальном стержне длины 1 м и сечения 1 см2 под¬ весили на расстоянии 25 см друг от друга 4 тонких диска ве¬ сом 2 т каждый. Последний диск висит на конце стержня (см. рисунок). Насколько увеличилась длина стержня? Модуль Юнга стали 2 • 1011 Н/м2. 3.1.3. На стержне длины / и сечения S находятся две метки: одна на расстоянии //4 от ближайшего конца стержня, другая на середине стержня. Модуль Юнга Е. Насколько они удалятся друг от друга, если стержень растянуть с силой F1 3.1.4. Рельсы для трамвая при укладке сваривают в стыках. Какие напря¬ жения появляются в рельсах при изменении температуры от -30 °С зимой до i г: g с .' "li К задаче 3 1 В этой и последующих задачах учитываются только силы, действующие между ближайшими молекулами.
152 Глава 3. Твердая среда +30 °С летом, если укладка производилась при +10 °С ? Температурный ко¬ эффициент линейного расширения стали 1,25 -КГ5 град'1. 3.1.5.* Между двумя неподвижными стенками поставили стержень сечения 10 см2 и длины 20 см, состоящий наполо¬ \\т\\Л^ \Ч\Ч вину из материала с модулем Юнга 2-10" Н/м2, наполовину из материала с модулем Юнга 3-10" Н/м2. Торцы стержня плотно прилегают к стенкам. С какой силой будет давить стержень на стенки, если его нагреть на 100°С? Коэффици¬ ент температурного расширения первого участка стержня равен 1(Г5 град’1, второго - 3 ■ 10-5 град1. к задаче 3.1.5 3.1.6. Каменный метеорит влетает в атмосферу Земли. Сила, действующая на метеорит близка к рSv1, где р - плотность воздуха, равная 1,3 кг/м3, S - поперечное сечение метеорита, v - его скорость. Модуль Юнга метеорита около 1011 Па. Метеорит разрушается при относительной деформации близ¬ кой к КГ4. Оцените, при каких скоростях он будет разрушаться. 3.1.7. Груз массы М, подвешенный к центру го¬ ризонтально натянутой проволоки длины / и сече¬ ния S находится в равновесии в точке, которая на h ниже ненагруженного провода. Натяжение прово¬ локи, когда груз еще не был подвешен, было нуле¬ вым, h «: /. Определите модуль Юнга проволоки. 3.1.8. Два одинаковых груза связаны между со¬ бой гибкой проволокой, перекинутой через блок (см. рисунок). Плоскости, на которых находятся грузы, составляют с горизонтом углы 30° и 60°. Масса каждого груза М, длина проволоки L, ради¬ ус г, модуль Юнга Е. Трения нет. Определите рас¬ тяжение проволоки. 3.1.9. На горизонтальной плите имеется канавка ширины h с цилиндрической поверхностью радиу¬ са Л. В ней находится цилиндрическое тело массы М и радиуса R, которое лежит на двух тонких про¬ водах, расположенных симметрично относительно центра тела (см. рисунок). Один конец каждой проволоки закреплен на краю канавки с одной ее стороны, а свободный конец находится на плите с другой стороны канавки. Проволоки начинают тя- К задаче 3.1.9 нуть за свободные концы с одинаковыми по величине все возрастающими силами, направленными горизонтально. Силы перпендикулярны оси тела (см. рисунок). Длина каждой проволоки /, / >nR , радиус г, r<zR, модуль Юнга
Физика в задачах 153 проволоки Е. Трения нет. Определите растяжение проволоки в момент, когда тело начнет подниматься. 3.1.10. а) Насколько удлинится стальная проволока длины L, если ее под¬ весить за один конец? Модуль Юнга материала проволоки Е, плотность р. б) На сколько удлинится стальной трос диаметра 5 см, удерживающий батискаф на глубине 5 км? Вес батискафа 5 т, выталкивающая сила 3*104Н. Плотность стали 7800 кг/м3, модуль Юнга 2НО11 Н/м2. 3.1.1 L Тяжелая гладкая веревка, закреплена одним кон¬ цом на горизонтально расположенной балки радиуса R на уровне оси балки. После N витков она свешивается так, что свободный конец ее находится на h ниже оси балки (см. ри¬ сунок). Плотность веревки р, модуль Юнга Е. Определите растяжение веревки. 3.1.12. * а) Упругий стержень длины 1 раскрутили до угловой скорости оз вокруг оси, проходящей через середину стержня. Модуль Юнга стержня £, плотность р. Насколько увеличилась длина стержня? Влиянием поля тяжести пренебречь. б) Проволочное кольцо радиуса R раскрутили до угловой скорости ш во¬ круг его оси. Плотность проволоки р, модуль Юнга Е. На сколько увеличился радиус кольца? 3.1.13. Оцените, насколько уменьшилась высота пирамиды Хеопса из-за действия силы тяжести? Высота пирамиды 150 м, плотность материала 2,7 • 103 кг/м3, модуль упругости материала 10" Па. 3.1.14. * а) Один конец гладкого тяжелого шнура длины L закрепляют в нижней точке горизонтально расположенной балки радиуса R, другой конец, переброшенный через балку, свободно висит, так как L > 2kR (см. рисунок). Плотность шнура р, модуль Юнга Е. Определите растяжение шнура. К задаче 3.1.14,а К задаче 3.1.14,6 б) На горизонтальной плите имеется полусферическая лунка радиуса R. В лунке лежит тяжелая гладкая веревка длины /, / < яД/2, один конец кото¬ рой закреплен на краю лунки (см. рисунок). Плотность веревки р, модуль Юнга Е. Определите растяжение веревки.
154 Глава 3. Твердая среда хош 3.1.15. а) В кубической кристаллической решетке расстояние между ближайшими атомами /0 (см. рису¬ нок). Продольная жесткость молекулярных связей, соединяющих ближайшие атомы, к. Угловая жест¬ кость ближайших молекулярных связей равна к0 (см. рисунок). Определите модуль Юнга, если ребро куба кристаллической ячейки направленно вдоль стержня. б) * Решите задачу а) в случае, если в кристалличе¬ ской ячейке, изображенной на рисунке, прямая, со¬ единяющая атомы 1 и 3, параллельна стержню. в) При продольном растяжении стержня относительное уменьшение его поперечных размеров (-е,) пропорционально относительному удлинению стержня в. Отношение (—)/s = v называется коэффициентом Пуассона. Определите v в задачах а) и б). К задаче 3.1.15 3.1.16.* Атомы углерода расположены на кристаллической плоскости в вершинах пра¬ вильных шестиугольников (см. рисунок). Продольная и угловая жесткости связей рав¬ ны к и к0. Определите коэффициент Пуассо¬ на длинной и прямой полосы, если в ней 1/3 часть сторон шестиугольников: а) ориентированы перпендикулярно поло¬ се (см. рисунок); б) ориентированы вдоль полосы (см. ри¬ сунок). 4 К задаче 3.1.16
Физика в задачах 155 § 2. ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ Волновые движения широко распространены в природе и часто использу¬ ются в технике. В этом параграфе рассматриваются некоторые закономерно¬ сти, присущие волновым процессам, подразумевая при этом, что это могут быть волны не только в твердом теле, но и в газах, в жидкостях, на поверхно¬ сти жидкости, электромагнитные волны. Пусть часть стержня растянута. Плотность, напряжение, удлинение растянутой части стержня не меняются во времени, а скорость частиц на этом участке и на остальной части стержня равна нулю (рис. 2.1). Совсем другая картина возникает, когда растягивающие силы быстро убирают. В этом случае оставшиеся в стержне упругие силы уже не уравновешива¬ ются внешними силами. Поэтому под действи¬ ем упругих сил частицы стержня начинают приобретать скорость вдоль его оси, и растяну¬ тый участок рождает две волны, которые дви¬ жутся в разных направлениях со скоростью с = л]Е/р, где Е- модуль Юнга, ар - плот¬ ность материала стержня (рис. 2.2). Скорости частиц в этих волнах равны по величине и про¬ тивоположно направлены. На рис. 2.3 в волне, уходящей влево, эта скорость положительна и равна v(i, в волне, уходящей вправо отрица¬ тельна и равна -v0. Как видно из рис. 2.3, ско¬ рость распространения волны противоположна скорости среды (скорости частиц стержня). Пример 2.1. Используя закон сохранения энергии, найдите скорость частиц в волнах, изображенных на рис. 2.2, которые возникают при распаде деформации, изображенном на рис. 2.1. Решение. На рис. 2.4 изображены две волны, которые возникли из растянутого участка стержня. Относительная деформация этого уча¬ стка изображена на рисунке сплошной линией, относительная деформация в волнах - штриховой линией. Упругая энергия сжатого участка стержня равна SEz20x0, а упругая энергия каждой волны рав- Рис. 2.2 С Vг 'Vr Рис. 2.3
156 Глава 3. Твердая среда на 5£(е0/2)2 л;0. Значит, кинетическая энергия каждой волны Spv% х0/2 тоже равна Ж(в0/2)2х0, так как только в этом случае полная энергия двух волн будет равна энергии деформированного участка. Из равенства Spvl х0/2 = SE(е0/2)2 х0 следует, что v0 = (1 /2)^Е/р • е0 = сг0/2 . В волне сле¬ ва скорость среды отрицательна, в правой волне — положительна. Любое продольное движение среды стержня всегда можно рассматривать как наложение волн, бегущих по стержню в противоположных направлениях. Скорость среды V в любом месте Рис. 2.5 бегущей волны по величине в |е| раз меньше скорости волны с, если |е| <к 1, где s - относительная деформация среды в этом месте. Эта скорость опреде¬ ляется формулой: V = +ес. Если волна бежит слева направо в этой формуле нужно брать отрицательный знак, если справа налево - положительный. Бе¬ гущая по однородному стержню волна не меняет своего вида до тех пор, пока эта однородность не нарушается. Неоднородность приводит к появлению волны, бегущей в другом направлении. Новая волна, складываясь с началь¬ ной волной должна обеспечивать определенные условия в области наруше¬ ния однородности. Например, сумма этих двух волн должна давать нулевую скорость на торце стержня, если торец прикреплен к абсолютно твердой стенке, а если торец свободен, сумма двух этих волн должна давать на торце нулевую деформацию, так как на свободном конце сила, действующая на среду, равна нулю. Пример 2.2. Относительная деформация среды в волне, бегущей по стержню слева направо, равна е0 (рис. 2.5). Определите относительную де¬ формацию и скорость среды в волне после ее отражения от свободного пра¬ вого конца. Решение. На рис. 2.6,а-г изображены деформации стержня в разные мо¬ менты времени, а на рис. 3.2.7,а-г изображены распределения скорости сре¬ ды стержня в эти же моменты времени. Начало координат участков стержня выбрано на его торце. На рис. 2.6 и 2.7 справа от начала координат штрихо¬ выми линиями изображена фиктивная волна, которая переходя начало коор¬ динат в области расположения стержня, становится реальной. Наложение этой волны на начальную волну дает на торце стержня нулевую деформацию. Значит, движение среды вблизи торца - наложение двух волн: начальной волны, находящейся в области стержня, и фиктивной волны, которая стано¬ вится реальной в области стержня. Результат наложения этих волн в момент, когда в стержне остается 2/3 начальной волны, а в стержень «входит» 1/3 фиктивной волны изображен на рис. 2.6,6 и рис. 2.7,6, а когда в стержне оста¬ ется 1/3 начальной волны, а в стержень «входит» 2/3 фиктивной волны изо¬ бражен на рис. 2.6,в и рис. 2.7,в. На рис. 2.6,г и рис. 2.7,г изображена волна,
Физика в задачах 157 а Т х -£ о 1 1 г X 1 с Рис. 2.6 отраженная от торца. Скорость среды в волне равна (-cs0), относительная деформация (~в0). Это означает, что скорость среды при отражении волны от торца не меняется, а относительная деформация меняет знак. В рассмотрен¬ ном случае на торец стержня падает волна растяжения, а отражается - волна сжатия. Бегущая в стержне волна, имеющая ограниченную продольную протяжен¬ ность а (рис. 2.8), при увеличении диаметра стержня переходит в плоскую волну. В неограниченной упругой среде такие волны распространяются со скоростью sjE/p , где Е - модуль упругости, ар- плотность среды. Относи¬ тельная деформация и скорость среды в бегущей плоской волне при ее рас¬ пространении не меняются. Скорость среды v и относительная деформация среды связаны такой же формулой друг с другом, как и в стержне: v = ±ес.
158 Глава 3. Твердая среда в iv “7J . _ I -се0 -2 се„ V X СЕ0 щ с Рис. 2.8 V, Рис. 2.7 Знак «-» в этой формуле берется в случае, если волна движется в положительном направлении, знак «+» - в случае, когда волна движется в от¬ рицательном направлении. Пример 2.3. Плотность среды р, скорость волн в среде с. Среда ограничена жесткой стен¬ кой, на которую падает плоская волна, распре¬ деление скорости в которой имеет вид равно¬ бедренного треугольника (рис. 2.9). Макси¬ мальная скорость среды в волне равна v0. Оп¬ ределите максимальное давление, которое вол¬ на оказывает на стенку. Решение. Вблизи стенки падающая волна, складываясь с волной, идущей от стенки, должна Рис. 2.9 давать нулевую скорость среды. На рис. 2.10,а изображены скорости среды в волне, которая еще не достигла стенки. На рис. 2.10,6-д изображены скорости
Физика в задачах 159 й А А iV vo X -Уо б ' ...As V™ 11 + .77 ,v Vo V 2 > -Уо 4 b V ^ i \ N -«о i А -.c / t/ \ , ч \ -щ * и У, c / / / V V f Рис. 2. £./ -u0 10 Рис. 2.11 в среде, когда в ней остается соответственно 7/8, 3/4, 1/2, 3/8 часть падающей бегущей волны, которая складывается соответственно с 1/8, 1/4, 1/2 и 5/8 ча¬ стью фиктивной бегущей волны (на рис. 2.10 она изображена штриховой ли-
160 Глава 3. Твердая среда нией). Скорость среды в фиктивной волне антисимметрична скорости среды в падающей волне, так как только в этом случае наложение этих волн дает нулевую скорость среды, вблизи стенки. В падающей и фиктивной волне от¬ носительная деформация s равна (-v/c), а давление Р равно ^(-е) = -с2ре = pcv9 где Е = рс2 - модуль упругости среды, v - скорость в падающей волне, которая равна по величине и противоположно направлена соответствующей скорости в фиктивной волне (рис. 2.10,а). На рис. 2.11,а изображены давления среды в волнах, когда падающая волна еще не достигла стенки. На рис. 2.11 ,б-д изображены давления в среде, когда в ней остается соответственно 7/8, 3/4, 1/2 и 3/8 часть падающей волны, на которую накла¬ дывается 1/8, 1/4, 1/2 и 5/8 часть фиктивной волны. Из рис. 2.11,б-г и д вид¬ но, что максимальное давление, равное 2pcv0, возникает в случае г. Пример 2.4. Угол падения плоской волны, бегу¬ щей в жидкой среде, на жесткую стенку равен а. (рис. 2.12). Напряжение в волне равно а. Определите давление волны на стенку. Решение. В отличие от твердого тела в жидкой (и газовой) среде существуют только продольные вол¬ ны. Вблизи стенки составляющая скорости среды, перпендикулярная стенке, должна равняться нулю2. Такое движение среды реализуется наложением на падающую волну 1 фиктивной волны 2. Обе волны симметрично расположены по отношению к плоско¬ сти стенки. Скорости среды и напряжения в этих волнах изображены на рис. 2.13. Входя в жидкость, фиктивная волна 2, накладываясь на падающую, да¬ ет нулевую перпендикулярную составляющую ско¬ рости для среды вблизи стенки. Векторная сумма напряженности падающей и фиктивной волны вбли¬ зи стенки перпендикулярна стенке и равна 2crcosa. Чем дальше находится очаг землетрясения от города, тем слабее толчок на поверхности земли, вызывающий разрушения домов (рис. 2.14). Амплитуда3 радиальной волны, идущей от очага, обратно пропорциональна расстоянию от очага: если на расстоянии г амплитуда волны была равна А, то на расстоя¬ нии R амплитуда радиальной сферической волны уменьшится в г//? и будет Рис. 2.13 2 В твердой среде вблизи жесткой стенки все составляющие скорости равны нулю. Поэтому в твердой среде в отраженной волне будут не только продольная волна, но и поперечные волны, скорость среды в которых перпендикулярна скорости распро¬ странения волны. 3 Скорость среды, относительная деформация, напряжение.
Физика в задачах 161 равна (r/R)A (рис. 2.14). Но радиальную волну можно рассматривать как наложение плоских волн, амплитуда которых не меняется. Почему же тогда меняется амплитуда радиальной волны и она радиально перемещается со скоростью с, равной скорости плоской волны? Изменение с течением времени характера наложения этих волн приводит и к ослаблению амплитуды радиальной волны и к ее радиальному перемещению со скоростью с, равной скорости плоской волны. На рис. 2.14 сплошной Рис. 2.14 линией изображена волна радиуса г, а штрихованной линией эта же волна через время (/?-г)/с. ' ar Задачи и упражнения 3.2.1. а) Участку упругого стерж¬ ня длины / вдоль стержня сообщили скорость v (см. рисунок). Плотность стержня р, скорость продольных волн с, длина участка /. Какие вол¬ ны возникнут в стержне? Чему рав¬ на относительная деформация среды и напряженность (давление) в этих волнах? б) Изобразите распределение скоростей в стержне спустя время //(8с) 1/(4с), 31/(8с), 1/с + х после создания участка со скоростью v. 3.2.2. а) Из трех участков упруго¬ го стержня два, - в плоскости 1 и 3, - удерживают на месте, а в плоско¬ сти 2, который находится между плоскостями 1 и 3 на расстоянии / от них, действует внешняя сила F (см. рисунок). Сечение стержня S, плот¬ ность р, модуль Юнга Е. Система на¬ ходится в равновесии. Какие волны побегут по стержню после мгновенного исчезновения внешних сил? Чему равна скорость среда в этих бегущих волнах, чему равна полная энергия каждой волны? б) Изобразите на рисунке распределение скоростей и деформаций в стержне через время //(8с), //(4с), //(2с), с-yjE/р, после исчезновения внешних сил.
162 Глава 3. Твердая среда в)* В стержне задачи а) все нечет¬ ные участки на месте, а на все чет¬ ные действуют осевые силы F. Коли¬ чество таких участков бесконечно, расстояние между ними / (см. рису¬ нок). Изобразите на рисунках рас¬ пределение скоростей и деформаций К задаче 3.2.2,в через время //(8с), //(4с), 3//(8с), //(2с), 5//(8с) и Inl/c (п - целое чис¬ ло), после исчезновения всех внешних сил и определите в эти моменты вре¬ мени долю кинетической и потенциальной энергии. 3.2.3. а) На свободный торец длинного стержня в течение времени т действует давление Р0 (см. рисунок). Плотность стержня р, модуль Юнга Е. Определите скорость среды в волне, которая побе¬ жит по стержню, и ее длину. б) Решите задачу а) в случае, когда зависи¬ мость давления от времени имеет вид равнобед¬ ренного треугольника высоты Р0 с основанием 2т (см. рисунок). в) * Определите максимальную скорость и максимальное отклонение частиц среды от прежнего положения, если зависимость давле¬ ния, действующего на торец стержня задачи а), от времени имеет вид полуокружности (см. ри¬ сунок). Максимальное давление на торец равно Р0, длительность действия равно 2т. 3.2.4. * На левый торец упругого стержня в течение времени т действовала сила F, а правый торец в это время был в контакте с жесткой стенкой (см. ри¬ сунок). Через какое время стержень отлетит от стенки? С какой скоростью будет перемещаться его центр масс после этого? Длина стержня /, масса М, скорость волн в стержне с, т <1/с. К задачам 3.2.3,а, 3.2.6,а К задаче 3.2.4
Физика в задачах 163 3.2.5. * Концевому участку стержня сообщили про¬ дольную скорость v (см. рисунок). Длина этого участ¬ ка /. Скорость распространения волн в стержне с. Оп¬ ределите распределение скорости среды стержня че¬ рез время //(8с), //(4с), 3//(8с), //(2с), 1/с + т по¬ сле этого события. Определите долю кинетической в полной энергии в эти моменты времени. 3.2.6. а) Керамический стержень не разрушается при положительных на¬ пряжениях (давлениях), но раскалывается, если в нем возникает отрицатель¬ ное напряжение по абсолютной величине больше а. На левый торец длинно¬ го стержня из такой керамики действует в течение времени т давление Р{)9 Р0 > а, р и Е - плотность и модуль Юнга стержня. Определите длину куска стержня, который отколется с правой стороны стержня. С какой скоростью будет двигаться этот кусок? б) Решите задачу а) в случае, когда зависимость давления от времени имеет вид равнобедренного треугольника высоты Р0 с основанием 2т (см. рисунок). в) Решите задачу а) в случае, когда зависимость давления от времени име¬ ет вид полуокружности (см. рисунок). Максимальное давление на левый то¬ рец равно Р09 время воздействия давления равно 2т. 3.2.7. * Докажите, что в плоской волне, бегущей в среде плотности рис модулем упругости Е со скоростью с = ^Е/р , движение частиц твердого тела происходит в соответствии с законами Ньютона при обязательном выполне¬ нии следующих двух условий: протяженность волны должна быть много больше расстояния между частицами и относительная деформация в области волны должна быть много меньше единицы. 3.2.8. а) Плоские волны, бегущие в упругой среде со скоростью с, пересекаются под углом а (см. рису¬ нок). Относительная деформация среды в волнах (вне их пересечения) равна в. Определите относительную деформацию и скорость среды в области пересечения волн. С какой скоростью перемещается область пере¬ сечения? б) Чему будет равна относительная деформация и скорость среды в области пересечения волн задачи а), если относительные деформации в волнах (вне пересечения) равны е и -в, равны 8, и е2? в) Определите отношение упругой и кинетической энергии в области пе¬ ресечения волн в задачах а) и б). 3.2.9. а) Докажите, что полная энергия упругой среды при движении трех одинаковых по толщине плоских волн, изображенных на рисунках, не меня¬
164 Глава 3. Твердая среда ется, ОО' - плоскость симметрии. Относительная деформация среды вне об¬ ласти наложения волн - одинакова. К задаче 3.2.9 б) Решите задачу а) в случае, когда относительная деформация в волнах 1, 2 и 3, изображенных на рисунках соответственно равна ^, г2 и в3. 3.2.10. Угол падения плоской волны на границу среды равен а (см. рису¬ нок). Скорость среды в падающей волне равна V. Определите скорость среды на ее границе во время действия на границу падающей волны. 3.2.11. а) При отражении плоской волны от дна океана ее амплитуда уменьшилась в к раз. Плотность воды р, модуль упругости (сжимаемость) воды Е, плотность дна р0. Определите модуль упругости породы дна. 7а К задаче 3.2.10 К задаче 3.2.11,6 б)* Скорость распространения волн в морской воде с, в грунте морского дна со- Плотность воды р, грунта р0. Определите, во сколько раз уменьшится скорость в плоской волне, отраженной от морского дна, если она падает под углом а к плоскости дна (см. рисунок). 3.2.12. Два прибора, расположенные на поверхно¬ сти земли на расстоянии / друг от друга (см. рисунок), зафиксировали толчок землетрясения. Первый при¬ бор, который зафиксировал толчок на время т раньше, чем второй, получил для амплитуды волны значение в к раз больше, чем второй. Скорость распространения волны с. На каком расстоянии от первого прибора, и на какой глубине находится очаг землетрясения? Раз¬ мер области генерации волны существенно меньше расстояния до приборов. К задаче 3.2.12
Физика в задачах 165 3.2.13. Очаг землетрясения, который находится на глубине Я, дает в эпи- центре скорость перемещения грунта, равную v. Определите скорость сме¬ щения грунта на поверхности земли на расстоянии R ( R > Я) от очага земле¬ трясения (см. рисунок). Чему была равна скорость грунта в бегущей радиаль¬ ной волне на расстоянии г ( г < Я ) от очага землетрясения? 3.2.14. В скальном грунте имеется сферическая полость радиуса г0 (см. рисунок). В течение времени т внутри этой полости создается давление Р0. Скорость волны в грунте с. Определите максимальное и минимальное давле¬ ние в упругой волне, которое создается этим давлением, через время 2т после начала действия давления. К задаче 3.2,13 К задаче 3.2.14 3.2.15. а) В упругой среде в нулевой момент времени, в слое, который ог¬ раничен концентрическими окружностями радиусов г0 и R^, всем участкам среды сообщили скорость v9 направленную к цен¬ тру (см. рисунок). Модуль упругости среды Е, плотность р. В центральной области расположена полость радиуса а. Как будет зависеть от времени скорость и давление в среде на расстоянии R от центра (R > R^)? На расстоянии г от центра (а < г < г0) и (г - а > R0 - г)? б) Решите задачу а) в случае, когда на месте полости находится жесткий шар. в) Решите задачи а) и б) в случае, когда участ¬ кам среды между сфер сообщили скорости, кото¬ рые обратно пропорциональны расстоянию х от центра: vx = г;0г0/х, где - скорость среды вблизи поверхности внутренней сферы. г) Определите в задаче в) отношение кинетической и потенциальной энер¬ гии среды к полной волновой энергии в моменты времени: о. К-го)/(8с)> К->ь)/(4с)> 3(Ro~ro)/(^)> (Л-ОДзс) и (/го -r0)jс, где с = л/Е/р - скорость распространения волн.
166 Глава 3. Твердая среда 3.2.16.* С внешней стороны иллюминатора космического корабля часто наблюдаются следы ударов микрометеоритов в виде замкнутой полу¬ сферы (см. рисунок). Если радиус этой полусферы больше г, напротив микрометеорного следа появ¬ ляется область разрушения иллюминатора с его внутренней стороны. Толщина иллюминатора Я, Я »г. Оцените, во сколько раз величина пре¬ дельного напряжения разрушения при сжатии больше величины предельного напряжения раз¬ рушения при растяжении. § з. ЗВУК В волновом движении окружающей нас среды царствует звук - бегущие синусоидальные волны (рис. 3.1). На расстоянии X, которое называется дли¬ ной волны, состояние среды в звуковой волне повторяется. Поэтому в любом выбранном месте (например, в точке 1 на рис. 3.1) в течение 1 с любое со¬ стояние среды (например, относительная деформация s, на рис. 3.1) повторится с/Х раз, где с - скорость распространения волны. Величина с/Х называется ее частотой. Но почему именно звуковые волны возбуждаются в окружающей нас среде? И маятник часов, и гитарная струна, и стенки коло¬ кола, и пол, по которому мы идем, все неподвижные тела вокруг нас при ма¬ лом возмущении начинают двигаться синусоидально и возбуждать в среде синусоидальные волны - звук. Пример 3.1. Какие продольные волны возбуждаются плоской и жесткой пластиной, которая движется перпендикулярно своей плоскости в среде плотности р и модулем упругости Е со скоростью v = v0 sin со/, vQ ~ постоян¬ ная величина (рис. 3.2)? Определите частоту, длину волны и максимальную скорость среды в этих волнах.
Физика в задачах 167 Решение. В бегущей в направлении х волне, скорость среды в которой в нулевой момент времени определялась формулой /(*), скорость в момент времени t будет оп¬ ределяться формулой f(x — ci), а в волне, бегущей в противоположном направлении - формулой f{x + ci) (рис. 3.3). При синусоидальном движении жесткой стенки среда вблизи пластины движется вместе с ней со скоростью v0s\ncot. Такое движение ранее неподвижной среды реализуется в виде двух синусоидаль¬ ных волн с амплитудой v0, частотой у = ф/2п и длиной волны А, = с/у = 2лс/а>, бегущих от пластины, расположенной на рис. 3.3 в начале координат, со скоростью с = р . На рис. 3.4 сплошной линией изображены эти волны в нулевой момент времени. Фиктивные волны, позволяющие опре¬ делить реальные волны в среде в последующие моменты времени, изображены на этом рисунке штриховой линией. Согласно рис. 3.4 в момент времени t в среде справа от пластины скорость среды в волне определяется формулой х Рис. 3.4 vn = -&0sin(coJc)(x~ct), а в среде слева - формулой vx - -v0 sin(co/c)(x + ct). E E v m * P P Рис. 3.2
168 Глава 3. Твердая среда Только в таких волнах, бегущих от пластины, скорость среды вблизи пла¬ стины всегда равна скорости пластины t>0sinco/. Из вышеприведенных фор¬ мул следует, что максимальная скорость среды в этих волнах равна \v0 \. В ветреную погоду часто гудит вытяжная труба камина; иногда дребезжат сдвоенные оконные рамы, когда мимо проезжает автомобиль; чуть слышно шумит большая морская раковина, будто сохраняя в себе шум моря. Во всех этих случаях в воздухе, окруженном стенками, возбуждается стоячая волна. Звуковое общение живых существ, звучание музыкальных инструментов то¬ же связано с возбуждением стоячих волн в резонаторах. Например, в смыч¬ ковых музыкальных инструментах таким резонатором является их корпус. Стоячие волны - это результата наложения двух звуковых волн с одинаковой амплитудой и частотой, бегущих в противоположных направлениях. Напри¬ мер, стоячую волну образуют две плоские волны, одна из которых бежит в направлении х, другая в противоположном направлении. Скорости и относи¬ тельные деформации среды в этих бегущих волнах могут определяться сле¬ дующими формулами: скорости a0sin—(х-с/) и z;0sin—(x + ct), а относи¬ сь с тельные деформации sin—(х-с/) и —sin—(х+ <;/). Наложение этих с с с с волн дает стоячую волну, скорость среды в которой определяется формулой: v = v0 sin—(х-с/) + a0sin—(х-с/) = 2v0sm—x-cos2tiv/ , с с А а относительная деформация среды - формулой: va . со / v v0 . со / ч - ел, 2я . . s = — sin—(х - ct) +—sin—(х + ct)- 2—cos—x * sm 2nvt, c cv ' c cv J c A где A = 2тсс/ш - длина, a v = со/(2я) - частота бегущих волн, которые обра¬ зуют стоячую волну. Из первой формулы следует, что при t = 0 скорости среды во встречных волнах накладываются в фазе друг на друга и при этом скорости среды в суммарной волне будут в 2 раза больше, чем в каждой из бегущих встречных волн. В последующие моменты времени волны будут расходиться и суммарная скорость среды в любом месте изменится в cos2rcv/ раз, но распределение амплитуды колебаний в среде 2r0sin—х А останется неизменным. В стоячей волне стоит на месте и распределение ам¬ плитуды колебаний относительной деформации 2—cos—х . Есть места, где с А амплитуда этих колебаний максимальна. Эти участки называются пучностя¬ ми. Но есть участки, которые всегда неподвижны. Это узлы стоячей волны. Узлы и пучности чередуются, и расстояние между ними равно А/4. Пучно¬ сти относительных деформаций в стоячей волне расположены на месте узлов
Физика в задачах 169 скоростей, а узлы относительных деформаций — на месте пучностей скоро¬ стей. На рис. 3.5,а изображены распределения скоростей в стоячей волне в разные моменты времени: при / = 0 - кривая 1, при t - l/(8v) - кривая 2, при t = 1/(4v) - кривая 3, при / = 3/(8v) - кривая 4, при t = l/(2v) - кривая 5, при / = 5/(8v) - кривая 4, при / = 3/(4v) - кривая 3, при / = 7/(8v) - кривая 4, при t = 1/v - опять кривая 1. На рис. 3.5,6 изображено распределение относи¬ тельных деформаций: при / = 0 - кривая 1, при r = l/(8v) - кривая 2, при t = l/(4v) - кривая 3, при t = 3/(8v) - кривая 2, при t = l/(2v) - кривая 1, при t - 5/(8v) - кривая 4, при t = 3/(4v) - кривая 5, при t - 7/(8v) - кривая 4 и, наконец, при t - 1/v - опять кривая 1, и колебательный процесс далее повто¬ ряется. На рис. 3.5,а значком обозначены узлы в стоячей волне, где среда неподвижна. Поэтому между двумя параллельными стенками движение уп¬ ругой среды - стоячие волны (рис. 3.5,а, узлы которых находятся на этих стенках. Среда вблизи стенок не движется, работа над средой не совершает¬ ся, поэтому амплитуда стоячей волны не меняется. Две такие стенки с упру¬ гой средой внутри них являются резонатором - хранителем стоячей волны. Но резонаторы используют не для хранения стоячей волны, а для увеличе¬ ния ее амплитуды. Для раскачки стоячей волны одна из стенок резонатора перемещается в такт колебаниям стоячей волны. Подобным образом живые существа раскачивают в своих заполненных воздухом полостях стоячие волны, энергия которых частично переходит в звук, используемый для об¬ мена информацией. Аналогично создается звук и в музыкальных инстру¬ ментах. Пример 3.2. Скорость звука в стержне с, его длина /. Какие продольные стоячие волны возбуждаются в этом стержне? Определите частоту этих воли. Влиянием воздуха пренебречь. Решение. На торцы стержня не действуют никакие силы. Поэтому стоячие волны в стержне должны всегда иметь нулевую относительную деформацию на его торцах. Распределения относительных деформаций и скоростей в пер¬ вых трех таких стоячих волнах изображены на рис. 3.6 для моментов времени равных, 0, 1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8 и 1 периода колебания стоячей волны. Для относительных деформаций этим момента времени отвечали на рис. 3.6 соответственно кривые 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2 и 1. Для скоростей этим временам соответствовали кривые 1, 2, 3, 2, 1, 4, 5, 4 и 1. Распределение относительных деформаций в первой стоячей волне имеет вид полусинусоиды, распределе¬ ние скоростей имеет вид полу косинусоиды. Амплитуды этих волн возвращаются к прежнему значению через время Тх = Х/с = 21/с . Поэтому частота колебаний этой стоячей волны, которая на¬ зывается основной, определяется формулой: v} =с/2/, где с - скорость звука в стержне, а / - длина стержня. Частота п-й стоячей волны будет в п раз
170 Глава 3. Твердая среда больше. В частности, частоты второй и третьей стоячих волн определяются формулами: v2 = 2vx - с/1, v3 = 3v, - Зс/2/. a Рис. 3.5
Физика в задачах 171 Если ударить палочкой по торцу стержня, то в нем возникает волновое движение среды, которое можно разложить на стоячие волны с разной часто¬ той. Каждая из таких волн порождает звук, частота (тон) которого совпадает с частотой стоячей волны. Самый низкий звук - это основной тон стержня, остальные тоны, частоты которых в п раз больше частоты основного тона, называются обертонами. Амплитуда колебаний каждой стоячей волны падает со временем экспоненциально, вместе с ней падает и амплитуда звуковой волны. Промежуток времени хп, за который амплитуда я-го обертона уменьшается в е~ 2,71828... раз, носит название "время релаксации". Обыч¬ но, это время у основного тона значительно больше, чем у обертонов. Поэто¬ му, через некоторое время звучит, практически, только основной тон стерж¬ ня. Это справедливо не только для стержня, но и для упругих тел другой формы.
172 Глава 3. Твердая среда Задачи и упражнения 3.3.1. Диапазон звуковых волн, который слышит человек, простирается от 20 до 10000 Гц. Скорость звука 330 м/с. В каком диапазоне лежат длины этих волн? 3.3.2. а) Определите амплитуду скорости и относительной деформации звука на частоте v = 1 кГц в области болевых ощущений (средняя интенсив- ность волны w = 1 Вт/м ) и вблизи порога слышимости (средняя интенсив¬ ность волны ~ 10 12 Вт/м2). Плотность воздуха равна р= 1,3 кг/м3, ско¬ рость звука в воздухе с = 330 м/с. б) Чему равно максимальное смещение частиц воздуха в таких волнах и максимальное давление? 3.3.3. а) На прямом участке шоссе распо¬ ложен источник звука. При приближении к нему со скоростью v приемник автомобиля регистрирует частоту колебаний давления при удалении - V2, v2 < Vj (см. рисунок). Ветра нет. Чему равна частота звука, испус¬ каемого источником? Чему равна скорость звуковой волны? б) Решите задачу а) для случая, когда ис¬ точник вместе с ветром движется, со скоро¬ стью и в направлении движения автомоби¬ ля, и < v. в) * Какую частоту колебаний давления регистрирует приемник, установленный на автомобиле в задаче а), от того же источни¬ ка, но расположенного на Н выше, в мо¬ мент, когда автомобиль находился на рас¬ стоянии х от прежнего положения источни¬ ка (см. рисунок). 3.3.4. Распределение скоростей в плоской звуковой волне, бегущей со ско¬ ростью с вдоль оси х в нулевой момент времени - косинусоида с амплитудой К задаче 3.3.3,а К задаче 3.3.3,в К задаче 3.3.4
Физика в задачах 173 v0 и периодом X: v = ^0cos(2tu:/A,) (см. рисунок). Определите распределение скоростей и относительных деформаций в этой волне в момент времени /. Какими будут эти распределения в случае, когда волна бежит в противопо¬ ложную сторону? 3.3.5. а) Прибор для демонстрации интенсивности звука имеет сначала два одинаковые - верхний и нижний - воздушные звукопроводы. На какое мини¬ мальное расстояние нужно опустить нижний звукопровод, чтобы максималь¬ но ослабить звучание рупора В на частоте v = 200 Гц (см. рисунок)? Скорость звука равна 330 м/с. б) На сколько нужно увеличить частоту звука в задаче а), чтобы при той же входящей мощности максимально усилить звучание рупора В при опу¬ щенном нижнем звукопроводе. 3.3.6. Параметры среды в звуковой волне, генерируемой "точечным" ис¬ точником, определяется, обычно, формулой А = ^cos[2rc(x-c/)/^ + (p0], где 4) - амплитуда волны, которая обратно- пропорциональна х - расстоянию до источника, X - длина волны, ф0 начальная фаза источника. Какова должна быть разность фаз двух источ¬ ников звука с одинаковой начальной амплиту¬ дой, расположенных на расстоянии, равном по¬ ловине длины волны, чтобы излучение под уг¬ лом 30° было минимальным (см. рисунок)? 3.3.7. а) Два одинаковых излучателя находят¬ ся на расстоянии Х/4 друг от друга, где X - дли¬ на излучаемых волн. Во сколько раз отличаются т/. ~ . J г К задаче 3.3.6 мощности, излучаемые в направлениях, указан-
174 Глава 3. Твердая среда ных на рисунке стрелками на большом расстоя¬ нии, если каждый излучатель в отсутствии дру¬ гого излучает во все стороны равномерно? б) Решите задачу а), когда излучатели нахо¬ дятся на расстоянии / друг от друга. 3.3.8. Интенсивность волн частоты v, про¬ шедших через две тонкие параллельные пла¬ стины (см. рисунок), достигает максимума при расстояниях между пластинами, кратных /. Объясните это явление и определите скорость волн в среде, в которую помещены пластины. 3.3.9. а) Упругая среда ограничена плоской неподвижной стенкой, от которой отражается плоская звуковая волна, перпендикулярно па¬ дающая на стенку. Длина волны X. На каких расстояниях от стенки наблюдается макси¬ мальная скорость среды? Максимальная отно¬ сительная деформация? б) Амплитуда скорости среды в плоской зву¬ ковой волне, перпендикулярно падающей на плоскую границу раздела двух сред, равна г>, амплитуда отраженной в к раз меньше. Длина волны X. Определите максимальную скорость в среде. На ка¬ ком расстоянии находятся плоскости, на которых скорость среды достигала максимальной величины? в) * Решите задачу а) и б) в случае, когда плоская волна падает на границу среды под углом а (см. рисунок). 3.3.10. а) На плоскую границу раздела двух жидких сред перпендикулярно падает плоская звуковая волна. Амплитуда скорости среды в плоской волне равна V. Скорость распространения волн и плотность первой и второй сред соответственно равны cv, pt и с2, р2. Определите амплитуды скорости в от¬ К задаче 3.3.8 раженной волне и в волне, прошедшей во вторую среду. б) Решите задачу а) в случае, когда плоская звуковая волна падает на границу раздела под углом а (см. рисунок). 3.3.11.* а) Среда плотности р с модулем уп¬ ругости Е, разделена слоем толщины h на две части. Плотность слоя р0, модуль упругости Е0 (см. рисунок). Во сколько раз ослабится звук с длиной волны X, перпендикулярно па¬ дающий на этот слой, после него? б) Во сколько раз в задаче а) максимальная скорость среды в слое больше амплитуды ско-
Физика в задачах 175 роста среды в падающей волне? Во сколько раз относительная деформация среды в слое боль¬ ше амплитуды относительной деформации сре¬ ды в падающей на стенку волне? 3.3.12. а) Определите первую резонансную частоту (основную гармонику) воздуха между оконными рамами. Расстояние между стеклами рам 12 см, скорость звука в воздухе 330 м/с, плотность воздуха 1,3 кг/м3. б) На какой частоте иногда гудит четырехметровая вытяжная труба камина? в) Какой длины нужно сделать органную трубу, закрытую только с одной стороны, чтобы она звучала на частоте 30 Гц? 3.3.13. На какой частоте обычно звучит стальной стержень длины 1 м при ударе по его торцу? Плотность стали 7,8 г/см3, модуль Юнга - 2 • 10й Па . 3.3.14. а) Если дотронуться пальцем до стерж¬ ня, звучащего на основной гармонике, звук исче¬ зает. До какого места стержня нужно дотронуться, чтобы этот эффект проявился наиболее сильно, слабее всего? б) Металлический стержень длины / подвесили на двух нитях так, как изображено на рисунке. На каком расстоянии от ближайшего торца должна находиться нить на стержне, чтобы минимальным было затухание второй гармоники стержня, треть¬ ей гармоники, четвертой? 3.3.15. Частота основной гармоники стержня длины / равна v. Определите скорость звука в этом стержне. 3.3.16. * а) Определите основную гармонику куба (см. рисунок). Длина ребра куба /, скорость звука с. б) Первая резонансная частота воздуха кубической полости, которая отра¬ зилась в жесткой породе, равна 100 Гц. Определите объем этой полости. g ▼ К задаче 3.3.14,6 h Ро Е К задаче 3.3.11,а К задаче 3.3.16 К задаче 3.3.17
176 Глава 3. Твердая среда 3.3.17. * Определите резонансные частоты прямоугольного параллелепи¬ педа с ребрами а, b и с (см. рисунок). Плотность материала, из которого он изготовлен равна р, модуль упругости Е. 3.3.18. а) Определите радиальные резонансные частоты стеклянного шарика радиуса R со стенкой толщины h (см. рисунок). Скорость звука в стекле с. б) Первая резонансная частота радиальных колебаний воздуха в полости, жесткие стенки которой концентрические сферические поверхности (см. ри¬ сунок), равна 20 Гц. Радиус внутренней сферы 1 м. Чему равен радиус внеш¬ ней сферы?
жидкость 4 глава Жидкость - конденсированное состояние вещества. Основная особенность жидкости - текучесть: медленное изменение формы и движение одного слоя жидкости относительно другого (рис. 1). Для несжимаемой жидкости это происходит без изменения объема. Песочные < D Рис. 1 Сверхтекучий жидкий гелий является идеальной жидкостью, так как в нем текучесть наблюдается при создании сколь угодно малой силы, сдвигающей один слой относительно другого. Вода в капиллярах начинает течь только ко¬ гда сдвигающая сила вдоль поверхности капилляра в расчете на единицу пло¬ щади внутренней поверхности капилляра становится равной 10 3 Н/м2 (Па). Этот порог называется пределом текучести. Для глицерина предел текучести равен 1 Н/м2. В отличие от газов жидкость слабо сжимаема. В покое на границе с твер¬ дым телом жидкость (так как предел текучести очень низкий по сравнению с силами, перпендикулярными границе) создает силу давления перпендикуляр¬ ную поверхности. Для описания этого воздействия удобно ввести понятие давления. Под давлением понимается отношение силы, перпендикулярной площадке к величине этой площадки Единица измерения давления - Н/м2. Она имеет «персональное» имя - паскаль (Па), в честь знаменитого французского ученого Блэза Паскаля (1623-1662).
178 Глава 4. Жидкость Пример. В жидкость с давлением Р поместили стакан сечения S, перекрытый поршнем сечения S, р который связан с дном стакана пружиной жестко¬ сти к (рис. 2). На сколько сдвинется поршень? S Деформация пружины х = PS/k, так как на поршень будет действовать сила F = PS . Как вид- но, такое несложное устройство может служить датчиком давления в жидкости или газе. Напомним, что величина атмосферного давления близка к 105 Па. Она значительно выше, чем упомянутые выше пределы текучести. Как можно создавать сдвигающую силу? Это не праздный вопрос для идеальной жидко¬ сти, так как в ней не возникают сдвигающие силы между слоями. Для воз¬ никновения течения жидкости в капилляре необходимо создать перепад дав¬ ления на концах капилляра. Расчеты показывают, что для начала течения во¬ ды в капилляре радиусом КГ4 м и длиной 0,1 м перепад давлений на капилля¬ ре должен быть 2 Па, а для глицерина - 2*103 Па . Силы вдоль поверхности слоев жидкости при отсутствии течения существенно ниже, чем силы пер¬ пендикулярно поверхности, а в идеальной жидкости течение возникнет при бесконечно малом перепаде давления. штшт Рис. 2 § 1. ЗАКОН ПАСКАЛЯ Рассмотрим жидкость в отсутствие поля тяжести, находящуюся под дав¬ лением. Давление в жидкости может создаваться гидравлическим прессом - устройством, в котором подвижным поршнем в цилиндре, соединенным с объемом с жидкостью, можно изменять давление в жидкости. На любую площадку dS 1 в жидкости, в которой гидравлический пресс создает давление Р, действует перпендикулярно площадке сила dF = PdS. С такой же силой действуют на границе раздела dS два объема жидкости друг на друга. Почему же под действием этих сил не происходит движение жидко¬ сти? Это объясняется законом Паскаля, согласно которому давление в жид¬ кости (если не учитывать силу тяжести) одинаково во всем объеме. В этом случае сумма сил, действующих на любой выделенный объем жидкости и сумма моментов сил, всегда равны нулю, и поэтому любой объем жидкости остается неподвижным. Рассмотрим иллюстрирующие примеры. Пример 1.1. Докажите, что сумма сил, действующих на прямоугольную призму, изображенную на рис. 1.1 равна нулю. 1 Обозначение dS подразумевает малую плоскую площадку, на размерах которой давление в жидкости можно считать неизменным.
Физика в задачах Рис. 1.1 Для доказательства утверждения, что в покое давление в жидкости не за¬ висит от направления, рассмотрим равновесие малой треугольной призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с углом а. (рис. 1.1). Грани призмы имеют площади S{, S2 и S3. Исходя из обозначений на рисун¬ ке, запишем условия равновесия призмы: Но Fx = PXSj, F2 = P2S2, F3 = P3S3, а из соотношения сторон треугольника видно, что S}-S3 cos а и S2= S3sina. После подстановки этих равенств в уравнение сил получаем, что Пример 1.2. Докажите, что момент сил на прямоугольную равнобедрен¬ ную призму относительно оси, проходящей через вершину с прямым углом, равен нулю (рис. 1.2). В случае постоянного давления во всем объеме жидкости момент сил, возникающий в результате давления жидкости на грани равен моменту сум¬ марной силы давления, приложенной к середине грани (попробуйте это пока¬ зать сами). Моменты сил на перпендикулярные боковые грани компенсируют друг друга в силу симметрии приложения сил, а момент силы на третью F2 = F3 sin а, Fx - F3 cos а. 0-D (1-2) (1.3) О a a Рис. 1.2
180 Глава 4. Жидкость грань равен нулю в силу того, что суммарная сила давления на эту грань про¬ ходит точно через ось, и плечо силы равно нулю. Задачи и упражнения 4.1.1. а) Три взаимно перпендикулярные грани тетраэдра образуют ребра длины а, Ьис (см. рисунок). Тетраэдр находится в жидкости, давление которой равно Р. С какой силой жидкость действует на четвертую грань тетраэдра? б) С какой силой действует жидкость, которая находится под давлением Р, на боковую поверхность усеченного конуса, помещенного в эту жидкость (см. рисунок) Радиус нижнего сечения конуса R, верхнего - г. К задаче 4.1 Л,а К задаче 4.1.1,6 4.1.2. а) Определите момент силы, которую создает жидкость с давлением Р, действуя на прямоугольные взаимно перпендикулярные грани призмы (см. рисунок). Высота призмы А, длины катетов боковых граней а и А, ось 00\ относительно которой находится момент сил, проходит через вершину пря¬ мого двугранного угла. Чему равен момент всех сил, действующих на грани? б) * Внутри тетраэдрического со¬ суда находится жидкость под дав¬ лением. Докажите, что сумма сил и моментов сил, действующих со сто¬ роны жидкости на стенки, равны нулю. в) Одна из граней тетраэдра - правильный треугольник со сторо¬ ной а. Определите сумму моментов сил, действующих на три другие грани, если давление жидкости внутри сосуда равно Р, и ось прохо¬ дит через одну из сторон правиль¬ ного треугольника (см. рисунок). 4.1.3. а) Шар перекрывает отверстие в стенке (см. рисунок), которая разде¬ ляет две жидкости, находящиеся под давлениями Р{ и Р2; Р}> Р2. Радиус от¬
Физика в задачах 181 верстия г. Какую минимальную силу нужно прило¬ жить к шару, чтобы открыть это отверстие? б) Две половинки батискафа радиуса R на дне мо¬ ря прижимаются друг к другу с силой F (см. рису¬ нок). Давление воздуха внутри батискафа Р0. Чему равно давление воды на дне моря? 4.1.4. Гидравлический пресс имеет поршни сече¬ ния 1000 и 10 см2 (см. рисунок). С какой силой нужно подействовать на поршень с меньшим сечением, чтобы приподнять автомобиль весом 2 Т? На сколько нужно опустить этот поршень, чтобы приподнять этот автомобиль на 3 мм? К задаче 4Л.2,в К задаче 4.1.3,а К задаче 4.1.3,6 4.1.5. Два сообщающихся сосуда с водой прикрыты поршнями (см. рисунок). К порш¬ ням шарнирно прикреплена на вертикальных стержнях горизонтальная палка. В каком месте нужно приложить к палке силу F, чтобы она осталась горизонтальной? Диаметры сосудов и расстояния между ними указаны на рисунке. 4.1.6. а) Цилиндрическая труба сечения S пе¬ рекрыта с обоих концов двумя поршнями. Меж¬ ду ними находится жидкость. Давления в жид¬ кости и внешнего давления нет. Сила трения между стенками трубы и каждым поршнем F. С какой минимальной силой нужно надавить на один из поршней, чтобы он сдвинулся? Какое давление в жидкости возникает при этом? б) В цилиндрической трубе сечения S на¬ ходится п поршней, между которыми нахо¬ дится жидкость. Давления в жидкости и внешнего давления нет. Сила трения между стенками трубы и каждым поршнем F. С ка¬ \8 F JdUJ *<— К задаче 4.1.5
182 Глава 4. Жидкость кой минимальной силой нужно надавить на один из внешних поршней, чтобы он сдвинул¬ ся? Какое давление возникает между поршнями? 4.1.7. Два поршня перекрывают участок тру¬ бы, состоящей из двух сваренных труб сечения S и 2S (см. рисунок). Объем между поршнями заполнен жидкостью, поршни соединены друг с другом натянутой нитью. Трения между поршнями и стенками трубы нет. С какой си¬ лой нужно надавить на поршень сечения 2S, чтобы нить, выдерживающая натяжение не больше Г, порвалась? 4.1.8. Коническая пробка перекрывает сра¬ зу два отверстия в двух параллельных стенках, разделяющих жидкости с давлением Рх, Р2 и Р3 (см. рисунок). Радиус отверстий R и г. Оп¬ ределите силу, действующую на пробку со стороны этих жидкостей. 4.1.9. В трубе находится поршень, продоль¬ ное сечение которого показано на рисунке. Се¬ чение трубы S. Одна плоскость поршня пер¬ пендикулярна оси трубы, другая - образует с ней угол а. Давление жидкости с обеих сторон Р. С какой силой жидкость действует на пор¬ шень? С какой силой поршень действует на стенки трубы? Будет ли двигаться поршень? 4.1.10. Тело, находящееся в жидкости с давлением Р, начинает скользить по плоско¬ сти, если сила, действующая на тело равна F, и направлена вдоль плоскости (см. рисунок). Жидкость не подтекает в место контакта тела с плоскостью, площадь контакта S. Определи¬ те коэффициент трения между телом и плос¬ костью. 4.1.11. а) Когда давление в жидкости внут¬ ри тонкостенной трубы достигает Р, она раз¬ рывается. При каком давлении разорвется ша¬ рообразный сосуд, сделанный из такого же материала, как и труба, если радиус сосуда совпадает с радиусом трубы. б) Тонкостенная сферическая колба радиу¬ са R разрывается по шву, проходящему по диаметру колбы, при давлении Р. При каком S 2 S К задаче 4.1.7 I К задаче 4.1.8 К задаче 4.1.9 К задаче 4.1.11,6
Физика в задачах 183 г давлении разрушится шов такой же колбы, если его радиус уменьшить до г (см. рисунок)? 4.1.12. а) Пробка радиуса г и длины / вылетает Ч под действием давления жидкости через отверстие такого же радиуса в стенке, отделяющей жидкость от области, где давления нет (см. рисунок). Масса пробки т, скорость на вылете из отверстия v. Оп¬ ределите давление в жидкости. б) Решите задачу а) в случае, когда из жидкости со скоростью Vo вылетает шарик массы т и радиу¬ са г. Отверстие, через которое шарик вылетает, меняет свой размер так, что на шарик стенка не действует, но жидкость через отверстие не вытека¬ ет (радиус отверстия всегда равен радиусу сечения шарика по плоскости стенки, см. рисунок). К задаче 4.1.12,6 К задаче 4.1.12,а § 2. ЖИДКОСТЬ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ На выделенный в жидкости объем массы М в поле тяжести действует сила тяжести Mg, на¬ правленная вниз. Давление жидкости на поверх¬ ности объема выталкивает его вверх с силой Mg (рис. 2.1). Поэтому результирующая сила равна нулю и этот объем не движется. Но как должно меняться давление с глубиной, чтобы всегда сила тяжести, действующая на любой выделенный объем жидкости, компенсировалась выталки¬ вающей силой? Оказывается, это будет происхо¬ дить, когда давление жидкости пропорционально глубине И: Р = Р0 + pgh, (2.1) где р - плотность жидкости, g - ускорение сво¬ бодного падения (рис. 2.2). В этом случае не только сила, но и момент сил, действующий на любой выделенный объем, равен нулю. Поэтому любой объем жидкости остается неподвижным. Рис. 2.2 Пример 2.1. Рассмотрите условие равновесия выделенного в жидкости вертикального цилиндра. Решение. На рис. 2.3 изображена часть объема жидкости в виде цилиндра сечения S и высоты h. Плотность жидкости р. Давление на верхнем торце Рь,
184 Глава 4. Жидкость на нижнем - Рн .Силы, действующие на боковую поверхность цилиндра, компенсируют друг друга в силу симметрии. По вертикали разность сил давле¬ ния на нижнюю и верхнюю площадки компенсирует силу тяжести жидкости в выделенном цилиндре: P»S - PBS = pShg . (2.2) Отсюда следует, что разность давлений определяет¬ ся высотой h и равно: Рис. 2.3 AP = PH-P,=pAg. (2.3) Из-за симметрии момент силы, действующий на выделенный объем, тоже равен нулю. Поэтому выделенный объем остается неподвижным. ё Так как давление в жидкости, находящейся в поле тяжести зависит только от внешнего давления и глубины, то в сообщающихся сосудах уровень жид¬ кости одной плотности должен быть одинаков. Если же сообщаются сосуды с разными жидкостями, то устанавливаются уровни, обеспечивающие одина¬ ковое давление на границе между жидкостями. Пример 2.2. В тонкой U-образной вертикальной трубке, перекрытой снизу краном, находится слева жидкость плотности р{, справа — плотности р2 (рис. 2.4). Кран открыли. Определите возникшую раз¬ ность уровней жидкостей. Начальный уровень жидко¬ стей над краном h. Жидкости не смешиваются. Решение. Для определенности предположим, что р{ > р2. Тогда давление около крана в левом колене будет больше, чем в правом. После открытия крана жидкость из левого колена будет перетекать в пра¬ вое, пока давление по разные стороны крана не вы¬ ровняется. Пусть h - начальный уровень жидкости, а х - понижение уровня в левом колене. Тогда условие равенства давлений по разные стороны крана - Р0 +pl(h~x) = Pti + рxgx + р2gh . Поэтому разность уровней 2x = (p1-p2)VPi • Задачи и упражнения 4.2.1. Во сколько раз давление в океанской впадине на глубине 10 км больше атмосферного давления (1 атм = 105 Па)?
Физика в задачах 4.2.2. На легкий поршень площадью S, касаю¬ щийся поверхности воды, поставили гирю массой т (см. рисунок). Высота слоя воды в сосуде с вер¬ тикальными стенками Н. Определите давление в жидкости вблизи дна. Плотность воды р, атмо¬ сферное давление . 4.2.3. В сосуде сечения S налита жидкость плотности р. К дну нитью привязан воздушный шарик объема V, который находится в жидкости (см. рисунок). На сколько уменьшится давление жидкости на дно, если шарик лопнет? 4.2.4. В водоем опущена труба сечения S, пе¬ рекрытая легким поршнем, лежащим на воде. Груз массы т с помощью нити, перекинутой че¬ рез блок, поднимает поршень вверх (см. рисунок). На какой высоте по отношению к уровню воды остановится поршень? Внешнее давление Р0, плотность воды р. 4.2.5. а) В водоем опущены две трубы сече¬ ниями S{ и S2> перекрытые легкими поршнями, лежащими на воде. Поршни связаны друг с дру¬ гом нитью, перекинутой через блок (см. рисунок), которая чуть натянута. Плотность воды р. Чему будет равно натяже¬ ние нити, если блок поднять на hi б)* Два цилиндра, с сечениями S{ и S2, соеди¬ нены нерастяжимой нитью, перекинутой через удерживаемый блок, и частично погружены в вертикальном положении в жидкость плотности р. Натяжение нити равно Г. На какое минималь¬ ное расстояние надо опустить блок, чтобы натя¬ жение нити стало нулевым? 4.2.6. Сосуд с жидкостью плотности р закрыт двумя ПОДВИЖНЫМИ поршнями С площадями Sx и S2, как изображено на рисунке. Поршни находят¬ ся в состоянии равновесия. Высота первого поршня h. Какую работу надо совершить, чтобы вдавить поршень 2 внутрь жидкости? Трения нет. 4.2.7. В вертикальном цилиндре сечения S0 под поршнем массы М находится жидкость плот¬ ности р. Тонкая горизонтальная трубка сечения 5, К задаче 4.2.3 К задаче 4.2.4 К задаче 4.2.5,а
186 Глава 4. Жидкость отходящая от цилиндра на глубине #, перекрыта гладкой пробкой, которая тонкой невесомой ни¬ тью соединена с поршнем (см. рисунок). Опреде¬ лите натяжение этой нити, если описанная систе¬ ма находится в равновесии. 4.2.8. * В кастрюлю радиуса 5 см и высотой 8 см, наполовину заполненную водой, опустили стакан, в результате чего уровень воды поднялся до края сосуда (см. рисунок). Определите массу стакана. 4.2.9. * а) В вертикальном сосуде, с площадью сечения S, плавает мяч. Когда на него стали да¬ вить сверху, уровень воды поднялся на h. С какой силой давят на мяч? Плотность воды р, ускорение свободного падения g. Мяч не касается стенок и дна сосуда. К задаче 4.2.8 б) Когда в задаче а) из сосуда вытащили мяч, уровень воды понизился на /. Определите массу мяча. 4.2.10. а) Две жидкости разделены стенкой, которая может скользить по горизонтальному дну на подставке. Плотность жидкости слева р,, ее глубина \ . Глубина жидкости справа h2. Определите плотность жидкости справа. б)* Две жидкости разделены стенкой, которая может вращаться вокруг оси О, расположенной на дне сосуда (см. рисунок). Плотность жидкости слева р}, ее глубина hx. Глубина жидкости справа h2. Определите плотность жидкости справа. rjx; t даждайдай&й К задаче 4.2.10,6 4.2.11. В один из сообщающихся сосудов, изображенных на рисунке, на¬ лита вода, в другой - масло с плотностью р = 0,85 г/см3. На какое расстояние сместится граница раздела жидкостей по горизонтальной трубке, если на по¬ верхности воды налить слой того же масла толщиной / = 0,5 см . Отношение площади поперечного сечения сосудов к площади поперечного сечения гори¬ зонтальной трубки равно h = 10.
Физика в задачах 187 4.2.12. а) Два цилиндра сечения S{ и S2 соединены трубкой и заполнены жидкостью плотности р до вы¬ соты h. Определите уровень жидкости в каждом ци¬ линдре, после того как их закрыли подвижными поршнями массы тх и т2 (см. рисунок). б) Какую работу нужно совершить поршнем массы тх в задаче а), чтобы опустить его вниз на /? 4.2.13. Жидкость плотности р налита в сообщаю¬ щиеся сосуды площадью сечения Sl и S2 до одинако¬ вого уровня (см. рисунок). При этом жидкость в сосуде сечения S{ сверху закрыта невесомым поршнем, кото¬ рый связан с дном сосуда невесомой нитью. Какой станет сила натяжения нити, если в сосуд сечения S2 долить объем Vжидкости плотностью р{, р, < р . К задаче 4.2.13 4.2.14. а) Куб с ребром а находится в водоеме на вертикальной стенке, при этом центр куба погружен на глубину h (см. рисунок). С какой силой куб прижимается к плоскости давлением воды? Плотность воды р. Вода под куб не подтекает. При каком значении коэффициента трения куб начнет сколь¬ зить вдоль стенки, если его масса ml б) Рассмотрите задачу а) для случая, когда куб находится на наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом (см. рисунок). 4.2.15. * а) Брусок треугольного сечения закрывает щель в дне сосуда как показано на рисунке. Щель в два раза уже верхней стороны сечения. Брусок начинает всплывать, когда уровень наливаемой жидкости становится равным 1/3 его высоты. Во сколько раз плотность бруска меньше плотности жидкости? Pi nh S2 m2 | g P К задаче 4.2.12,а К задаче 4.2.14,а б) В перевернутую воронку, лежащую на столе, имеющую коническую часть высотой Н и радиусом R, наливают жидкость плотности р. Найдите массу воронки, если из-под нее начала вытекать вода, когда ее уровень дос¬ тиг половины высоты воронки (см. рисунок). в) В полусферический колокол радиуса R наливают через отверстие сверху
188 Глава 4. Жидкость жидкость плотности р. Края колокола плотно прилегают к поверхности стола (см. рисунок). Когда уровень жидкости поднялся до R/2, она приподняла колокол и стала из-под него вытекать. Определите массу колокола. 4.2.16. а) Сосуд с квадратным сечением а х а заполнен до высоты А жидкостью плот¬ ности р (см. рисунок). С какой силой жид¬ кость давит на боковые стенки сосуда? б) Как изменится эта сила, если сосуд на¬ клонить, опираясь на ребро, на угол а (см. рисунок)? 4.2.17. * Сосуд, имеющий форму перевер¬ нутой пирамиды, высота которой А, а основа¬ ние - квадрат со стороной а, до краев запол¬ нен жидкостью плотности р (см. рисунок). С какой силой жидкость действует на каждую треугольную стенку такого сосуда? 4.2.18. В вертикально расположенном трубчатом кольце, перекрытом снизу краном, с каждой стороны половину объема занимают несмешивающиеся жидкости (см. рисунок). После того, как кран открыли, уровень жид¬ кости слева опустился на R/2. Определите отношение плотностей этих жидкостей. 4.2.19. * Тонкая вертикальная U-образная трубка заполнена жидкостью. Высота жидкости в правом и левом коленах А, длина горизон¬ тального участка / (см. рисунок). Определите разность уровней жидкостей в коленах, если трубку раскрутили до угловой скорости со во¬ круг оси, проходящей через левое колено. 4.2.20. а) Цилиндрическая бутыль сечения S и высоты Н с цилиндрическим горлышком К задаче 4.2.16,6 К задаче 4.2.18
Физика в задачах 189 сечения s заполнена на высоту й, жидкостью плотности . Над ней сверху находится жидкость плотности р2, уровень которой, на й2 выше уровня нижней жидкости (см. рисунок). Насколько изменится давление на дно буты¬ ли, если жидкости перемешать? б) Решите задачу а), когда граница раздела жидкостей находилась в гор¬ лышке. § 3. ЗАКОН АРХИМЕДА Результат действия контактных сил со стороны жидкости на тело, погруженное в жидкость, приводит к появлению результирующей подъемной силы, назы¬ ваемой силой Архимеда. Покажем это на примере те¬ ла, имеющего форму вертикального цилиндра (рис. 3.1). В силу равенства давления на каждом гори¬ зонтальном уровне силы давления на боковые пло¬ щадки, расположенные на одном диаметре, будут компенсировать друг друга. Давление на нижнее осно¬ вание будет превосходить давление на верхнее основа¬ ние на величину избыточного давления на высоте тела: АР = р gh . Поэтому выталкивающая сила равна: Fa = PghS = pVg. Здесь V - объем вытесненной жидкости. Сила Архимеда равна весу вытес¬ ненной жидкости. Этот же результат можно получить, рассматривая условие равновесия выделенного объема жидкости. Так как этот объем находится в равновесии, то значит, сила тяжести, приложенная к этому объему жидкости, уравновешивается выталкивающей силой Архимеда. Когда тело покоится относительно земли, сила тяжести равняется весу тела. Поэтому мы говорим, Рис. 3.1
190 Глава 4. Жидкость что сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости. Если часть поверхности тела, находящаяся под уровнем жидкости не кон¬ тактирует с ней, то результат действия поверхностных сил не будет равен силе Архимеда. В этом случае необходимо вычислять результирующую силу напрямую. Пример 3.1. Прямоугольный параллелепипед стоит на гране площади S на дне водоема так, что вода под не¬ го не подтекает (рис. 3.2). Высота уровня воды над верхней гранью h. Над водой давление атмосферное РА . Найдите результирующую силу давления воды на параллелепипед. Решение. Силы давления воды на противоположные боковые грани равны и противоположно направлены, значит, сумма горизонтальных сил равна нулю. Снизу жидкость не оказывает давления, а есть только реакция опоры со стороны грунта. На верхнюю грань действует давление равное сум¬ ме внешнего давления и давления столба жидкости: РА +pgh . Тогда суммар¬ Рис. 3.2 ная сила равна Fz=(PA+PSh)S. Подобным образом воздух прижимает резиновую присоску к гладкой по¬ верхности. Такие присоски есть в некоторых мыльницах или на стрелах для детских игрушечных луков и пистолетов. При ее "прилипании” воздух между присоской и поверхностью отсутствует, внешним воздухом создается при¬ жимающая сила, удерживающая присоску у поверхности. Пример 3.2. Куб со стороной а располагается у верти¬ кальной стенки бассейна так, что вода не подтекает в про¬ странство между кубом и стенкой, а основание куба гори¬ зонтально (рис. 3.3). Найти прижимающую силу воды и суммарную векторную силу по вертикали. Высота уровня воды над верхней гранью h. Над водой давление атмосфер- ное Рл. п о о А Рис. 3.3 g Решение. Прижимающую силу создает только давление воды на грань па¬ раллельную стенке. Среднее давление на ней РА + pg(h + a/2). Прижимаю¬ щая сила равна ^={PA+pg{h + a/2))a2. По вертикали суммарная сила равна разности сил давления на нижнюю и верхнюю грани. Сила давления на верхнюю грань Facpx = {Рл + pgh)a2, а на нижнюю - FHWK = (РА + pg(h+ajja2. Их разность дает следующий результат: Ft=pga\
Физика в задачах 191 Это выражение совпадает с величиной Архимедовой силы, однако надо по¬ нимать, что это только часть полной силы действующей со стороны жидко¬ сти на тело. Рассмотрим условия плавания тел. В предыдущем рассмотрении сила Ар¬ химеда действовала на тело, полностью погруженное в жидкость. Если сила Архимеда больше веса тела, то оно будет всплывать: р Vg > mg . Если тело однородное, то это условие выполняется, когда плотность тела меньше плот¬ ности жидкости. Рассмотрим тело, плавающее на поверхности жидкости. При погружении тела в жидкость оно начнет плавать с момента, когда вес вытес¬ ненной жидкости (сила Архимеда) будет равен весу тела. Так плавает метал¬ лическая лодка на поверхности воды. Если в лодку начнет набираться вода, лодка будет погружаться, оставаясь на плаву, если вытесненный объем воды создает необходимую силу Архимеда. Как только, по мере погружения, вы¬ тесненный объем воды, создающий силу Архимеда, станет меньше необхо¬ димого, лодка начнет тонуть. Разберемся на примере, как происходит плавание на границе легкой и тя¬ желой жидкости. Пример 33. Тело произвольной формы объема V плавает на границе раздела двух жидкостей (рис. 3.4). Плотность тела - р, плотности нижней жидкости - рх, верхней - р2. Предположим, что р2 < р < рх. Найти объемы вытесненных жидкостей. Решение. Мысленно выделим объем, занимаемый те¬ лом, и заполним его соответствующими жидкостями по их горизонтальной границе раздела. Они будут находиться в равновесии, так как это будет слу¬ чай контакта двух жидкостей по горизонтальной поверхности. Вес выделен¬ ного объема будет равен выталкивающей силе Архимеда. Пусть Fj и V2 - объемы вытесненной нижней и верхней жидкостей. Тогда условия равновесия запишутся следующим образом: pVg = plV]g + p2V2g, v = vx+v2. Для объемов Vx и V2 получаем следующий результат: Vi=PzP2_V' y2=PiZP_F. Pi P2 Pi _ P2 На границе двух жидкостей тело плавает так, что вес вытесненных жидкостей равен весу тела. Так как воздух имеет ненулевую плотность, то в нем, как и в жидкости, возникает сила Архимеда. Сила Архимеда удерживает дирижабли и воздуш-
192 Глава 4. Жидкость ные шары в воздухе. Теплый воздух выталкивается силой Архимеда вверх, а холодный опускается вниз, что создает вертикальные воздушные течения в атмосфере. Задачи и упражнения 4.3.1. а) Попробуйте дать подробный анализ причин возникновения Архи¬ медовой выталкивающей силы в воздухе и в воде. б) Возникает ли выталкивающая сила в атмосфере кабины космического корабля, свободно летящего в орбите спутника вокруг Земли? 4.3.2. Сжимая и расширяя свой плава¬ тельный пузырь, рыба может опускаться и подниматься в воде. Объяснить это. 4.3.3. Шар до половины погружен в воду и давит на дно с силой, равной трети своего веса. Найти плотность шара. 4.3.4. При погружении бруска на 1/3 в жид¬ кость плотности р, натяжение нити, на которой брусок подвешен, уменьшается в 2 раза (см. рисунок). Определите плотность бруска. 4.3.5. На плавающий в воде, наполовину погруженный брусок, положили такой же по величине и форме брусок, но сделанный из другого материала (см. рисунок). Определить плотность материала, из которого сделан брусок, если оказалось, что он также наполо¬ вину погружен. 4.3.6. К цилиндрическому поплавку сече¬ ния S привязана стальная цепь массы т и длины L. Исходно одна четверть цепи лежит на дне (см. рисунок). На сколько должен подняться уровень воды в водоеме, чтобы цепь оторвалась от дна? Плотность воды р0, а стали р. ^ задаче 4.3.6 4.3.7. В бассейне плавает лодка, в которой находится авоська со стеклян¬ ными бутылками, заполненными напитками. Авоську опускают за борт в во¬ ду и удерживают, не давая утонуть. Изменится ли (а если изменится, то как) глубина погружения лодки в воду (осадка лодки) и уровень воды в бассейне? Что произойдет с этими величинами, если авоську отпустить, чтобы она ушла ко дну? 4.3.8. В бассейне плавает лодка. Как изменится уровень воды в бассейне, если из лодки в бассейн опустить камень? Что произойдет с уровнем воды в бассейне, если в днище лодки проделать отверстие, и лодка начнет погру- К задаче 4.3.4
Физика в задачах 193 жаться? Если уровень воды в бассейне при этом изменится, то в какой мо¬ мент начнется изменение? 4.3.9.* Цилиндрический сосуд сечения S содержит жидкость плотности р. Когда в ней затонула ранее плававшая толстостенная коробка из материала плотности р0, уровень жидкости понизился на h. Определите объем материа¬ ла, из которого изготовлена коробка. 4.3.10. Тело в виде «грибка», изготовлен¬ ного из однородного материала, размеры которого показаны на рисунке, плавает так, что в воду полностью погружена только его «ножка». «Грибок» оказывается полностью в воде вровень с ее поверхностью, когда на него ставят массу т. Найти массу «грибка». 4.3.11. Пустая коробка плавает в воде, погруженная на 1/3 своей высоты (см. ри¬ сунок). Чтобы она погрузилась на полови¬ ну, в нее нужно налить 10 см3 воды. Опре¬ делите массу коробки. 4.3.12. В жидкости плавает, погрузив¬ шись на 2/3 своей длины, цилиндрическая пробирка. Когда в нее бросили дробинку массы т, она погрузилась на 3/4 своей дли¬ ны. Определите массу пробирки. 4.3.13. Деревянный куб с длиной ребра а плавает в резервуаре с водой плотности р (см. рисунок). Сечение основания резервуа¬ ра 2а2. Расстояние от нижней грани куба до дна резервуара равно а!2. К кубу приклады¬ вают силу F, направленную вниз. Как зави¬ сит зазор И между дном и нижней гранью куба от приложенной силы? Известно, что плотность материала куба в два раза мень¬ ше плотности воды. Найдите решение в аналитическом виде и постройте график зависимости h(F). 4.3.14. Цилиндр высоты h и сечения S, поддерживаемый легкой пружиной жестко¬ сти к, плавает наполовину погруженный в жидкость плотности р (см. рисунок). Уро¬ вень жидкости начинают медленно повы¬ шать до полного погружения цилиндра в жидкость. На какую высоту необходимо поднять уровень жидкости? *. с*? UJ К задаче 4.3.10 К задаче 4.3.11 К задаче 4.3.13 К задаче 4.3.14
194 Глава 4. Жидкость К задаче 4.3.16 4.3.15. Шарик радиуса 1 см подвешен на пру¬ жине. Какова масса шарика, если при полном по¬ гружении его в воду плотности р растяжение пру¬ жины уменьшилось вдвое? 4.3.16. * В цилиндрическом стакане с жидко¬ стью плотности р0 на нити привязан воздушный шар радиуса R (см. рисунок). Найти натяжение ни¬ ти в зависимости от угла наклона стакана а. Нить параллельна стенке и трения нет, массой оболочки пренебречь. 4.3.17. В сосуде с водой плавает кусок льда, внутри которого находится кусок свинца. Изменит¬ ся ли уровень воды в стакане, когда лед растает? Что будет, если внутри льда будет не свинец, а пу¬ зырьки воздуха? 4.3.18. В цилиндрическом стакане заморозили воду. Боковые стенки стакана начали нагревать, и радиус ледяного цилиндра начал уменьшаться. Бу¬ дет ли всплывать лед. 4.3.19. На горизонтальном дне бассейна под слоем жидкости лежит невесомый шарик радиуса R с тонкой тяжелой ручкой длины / (см. рисунок). Плотность жидкости р. Определить минимальную массу ручки. 4.3.20. * Палочка в стакане, частично заполнен¬ ного жидкостью, опираясь своими концами о глад¬ кую стенку стакана, плавает в жидкости, на 2/3 по¬ грузившись в нее, образуя угол а с горизонтом (см. рисунок). Масса палочки М. С какой силой она действует на стенки стакана? 4.3.21. * Два шарика, легкий и тяжелый, закреп¬ лены на тонком невесомом стержне. Легкий - на конце, тяжелый - в середине стержня. При погружении в воду шарики распо¬ ложились так, как показано на рисунке. Радиусы шариков много меньше длины стержня. Найти силу, с которой нижний конец стержня давит на дно, если верхний шарик объема 1 см3 погрузился в воду наполовину. Массой легкого шарика можно пренебречь. 4.3.22. * Тонкая палочка длины L сделана из материала плотности р. Один ее конец легкой нитью прикреплен к потолку, другой касается жидкости плотности рж > р (см. рисунок). Уровень жидкости начинают медленно под¬ нимать. На какую высоту х надо поднять уровень жидкости, чтобы палочка К задаче 4.3.21
Физика в задачах 195 вышла из вертикального положения? Определите натяжение нити в этот мо¬ мент времени, если площадь сечения палочки равна S. Рж К задаче 4.3.22 К задаче 4.3.23 К задаче 4.3.24 К задаче 4.3.25 4.3.23. Определить натяжение вертикального троса, медленно вытягиваю¬ щего бревно массой 240 кг из воды, если оно при вытягивании все время за¬ топлено лишь наполовину (см. рисунок). 4.3.24. Три одинаковых бревна массой 100 кг расположены так, как показано на рисунке. Линии, соединяющие центры бревен, образуют прямоугольный тре¬ угольник. Два верхних бревна, наполо¬ вину погруженные в воду, соединены тросом. Какова сила натяжения троса? 4.3.25. * Определите минимальное на¬ тяжение двух канатов, связывающих три одинаковых бревна массы М так, как изображено на рисунке. Верхний слой бревен погружен в жидкость наполовину. 4.3.26. Два тела одинаковой массы уравновешены на рычажных весах (см. рисунок). Тела полностью погружаются в жидкости с плотностями р!ж и р2ж, причем равновесие не нарушается. Оп¬ ределить объем второго тела, если объ¬ ем первого равен Fj. 4.3.27. Насколько поднимется уро¬ вень жидкости в сосуде радиуса Л, в ко¬ тором плавает стакан радиуса г, после того, как эмульсия распадется на два слоя жидкости плотности р и 2р (см. рисунок). Объем слоев одинаков. Пер¬ воначально стакан был погружен в эмульсию на 3/4 ее уровня h в сосуде. i л g => h 2р rR К задаче 4.3.27
196 Глава 4. Жидкость 4.3.28. На границе раздела двух жидкостей плавает стакан с толстыми боковыми стенками. Г дубина погружения стакана Я, толщина боковых стенок /, внешний радиус /?, дно стакана тонкое (см. рисунок). На сколько опустится стакан при возникновении в дне стакана отверстия, если пер¬ воначально внутреннюю часть стакана заполняла верхняя жидкость. 4.3.29. Поплавки, один с воткнутым сверху тонким стержнем, второй - с толстым, плавают в солевом растворе, как показано на рисунке. Если их опустить в пресную воду, то первый погружа¬ ется почти на всю длину стержня, а второй - ос¬ тается почти на прежнем уровне погружения. Объясните наблюдаемое явление. 4.3.30. * В закрытой пробирке груз закреплен на ее дне. Она находится на дне другой пробирки, в положении, когда груз расположен внизу (см. рисунок, а). При заливании жидкости в большую пробирку маленькая пробирка всплывает. Если же маленькую пробирку расположить грузом вверх ( см. рисунок, б), то при заливании воды она не всплывает. Почему? 4.3.31. * На каком расстоянии от оси располо¬ жатся во вращающейся с угловой скоростью со жидкости шары, связанные нитью длины / (см. рисунок). Сила, действующая на шар, вращаю¬ щийся вокруг оси, не зависит от его радиуса, а зависит только от расстояния между центром ша¬ ра и осью вращения. Найти натяжение нити. Сила тяжести отсутствует. Плотность жидкости р0, плотность шарика радиуса Я, равна р,, плотность шарика радиуса R2 равна р2, р} < р0 < р2. 1* Р 2 Pi К задаче 4.3.28 К задаче 4.3.30 К задаче 4.3.31 4.3.32. Под каким углом к вертикали расположится шарик массы т и ра¬ диуса г во вращающейся с угловой скоростью со жидкости? Нить имеет дли¬ ну / и закреплена на оси (см. рисунок). 4.3.33. Почему в скатывающемся полом цилиндре с жидкостью пузырек воздуха в воде остается наверху, а в вязком глицерине перемещается к оси (см. рисунок)?
Физика в задачах 197 К задаче 4.3.32 § 4. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ Бегущий по камням и искрящийся в солнечных лучах ручей представляет великолепное зрелище. В этом случае скорость жидкости непрерывно изме¬ няется во времени в каждой точке. Однако на начальном этапе изучения дви¬ жения жидкости удобнее рассматривать наиболее понятный вид течения, ко¬ гда жидкость течет «спокойно». Поэтому рассмотрим течения, в которых ско¬ рость жидкости в данной точке пространства не меняется со временем. Такие течения называются стационарными. В этом случае частицы жидкости двигаются по одним и тем же траектори¬ ям, которые называются линиями тока. Вектор скорости является касатель¬ ным к линии тока в каждой ее точке. Если в жидкость добавлять мелкие час¬ тички с плотностью материала очень близкой к плотности жидкости, то мож¬ но наблюдать линии тока. Течение может быть стационарным в одних систе¬ мах отсчета и нестационарным в других. Так при медленном обтекании тела жидкостью, картина течения будет стационарной, если же перейти в систему отсчета, где тело движется, то течение станет нестационарным. Если в потоке выбрать замкнутый контур, то проходящие через него ли¬ нии тока образуют поверхность трубки, называемой трубкой тока (рис. 4.1). Жидкость не пересекает эту поверхность, так как вектор скорости касателен к линии тока: нет составляющей скорости поперек этой линии, а значит и через границу трубки тока. Жидкость, текущую в трубке тока называют стацио¬ нарной струей. Проанализируем течение в трубке тока. Для этого рассмотрим трубку то¬ ка, которая меняет свое сечение (рис. 4.1). Под сечение будем понимать по¬ верхность, которая перпендикулярна к линиям тока в каждой своей точке. Если характерный поперечный размер трубки тока выбрать малым, то сече¬ ние будет практически плоским, а скорости частиц жидкости, проходящих через это сечение можно считать параллельными между собой. Сначала вы-
198 Глава 4. Жидкость ведем уравнение, описывающее сохранение массы жидкости в трубке тока. vxdt Уравнение неразрывности. Если скорость потока в некотором перпенди¬ кулярном сечении трубки тока площадью S равна v9 то за время dt через это сечение пройдет объем жидкости dV = Svdt. Масса этой жидкости dm = рSvdt. Так как в стационарном потоке между двумя сечениями трубки тока масса не должна изменяться, то масса входящей за время dt в трубку жидкости dmx = pSxvxdt равна массе жидкости выходящей из трубки тока dm2 = рS2v2dt. Тогда рSxvxdt - рS2v2dt или — S2t)2 * Это соотношение - уравнение неразрывности струи для несжимаемой жид¬ кости в стационарных течениях. Теперь рассмотрим энергетические соотношения для трубки тока. Уравнение Бернулли. Применим к потоку идеальной несжимаемой жид¬ кости закон сохранения энергии. Будем анализировать механическую энер¬ гию жидкости, заключенной между сечениями Sx и S2 (рис. 4.2). Около се¬ чения Sx за время dt исчезнет масса dm и такая же масса появится около сечения S2. В сечении Sx исчезнувшая масса обладает кинетической энерги¬ ей Kx=(dm)vf /2 и потенциальной энергией Ul=(dm)ghl в сечении S2 поя¬ вившаяся масса имеет соответственно K2=(dm)v\/2 и U2 - (dm)gh2. На ли¬ ниях тока, образующих трубку тока внешняя сила давления перпендикулярна скорости жидкости и работу не совершает. Жидкость между сечениями 5, (см. рис. 4.2) и S2 в каждой точке имеет постоянное значение скорости, зна¬ чит, ее механическая энергия не меняется. За время dt перемещение жидко¬ сти dl-vdt. На поверхности Sx работа внешних сил Ах -рxSxvxdt, а на по¬ верхности S2 работа внешних сил А2 = -p2S2v2dt. Энергетический баланс дает АК + dU ~ Ах + А2
Физика в задачах 199 {dm)v 2 (dm)v? ±(dm)gh2 ~(dm)ghl = pxSxvxdt - p2S2v2dt. 2 2 Разделив обе части равенства на dm = рSxvxdt = рS2v2dt и собрав выражения с одинаковыми индексами в разных частях равенства, получим Pi v\ i Р? — + -T + ghx= — р 2 р VI +t+A' dm=pS{v]c/t Это уравнение является уравнением энергии для потока идеальной не- сжимаемой жидкости, или уравнение Бернулли. Если нет вращений и движе¬ ние стационарно, то это уравнение справедливо для всей жидкости, то есть можно переходить от одной трубки тока к другой. Пример 4.1. Жидкость вытекает струей малого посто¬ янного сечения через патрубок в емкости, находящийся ниже уровня жидкости на расстоянии h (рис. 4.3). Найдите скорость вытекающей струи. Решение. Все линии тока должны начинаться на сво¬ бодной поверхности и проходить через патрубок. На сво¬ бодной поверхности давление атмосферное р0, скорость можно считать малой и ей пренебречь, если жидкость вы¬ текает медленно. На выходе из патрубка давление также атмосферное р0, а скорость обозначим v. Тогда уравне¬ ние Бернулли запишется следующим образом: ^ + gh Р Р 2 Отсюда получаем
200 Глава 4. Жидкость Пример 4.2. Из широкого сосуда через узкую ци¬ линдрическую трубку вытекает жидкость плотности р (рис. 4.4). Как распределены скорость и давление на оси сосуда и трубки? Давление воздуха р0, трением в жидкости пренебречь. Решение. Выберем линию тока, проходящую по оси сосуда и трубки. В широком сосуде скорость жидкости можно считать близкой к нулю. Будем считать, что в узкой трубке скорость течения быстро становится рав¬ номерной по сечению. В силу уравнения неразрывно¬ сти в любом сечении трубки скорость будет одинако¬ вой. Запишем уравнение Бернулли для самой верхней и самой нижней точек оси: Рис. 4.4 ^ + g{H + h) = р ^+—. Р 2 ' Для скорости вытекания жидкости получаем v = yl2g(H + h). Если записать уравнение Бернулли для линии тока внутри трубки, отсчи¬ тывая расстояние х от нижнего конца, то р v р0 v — + + £* = — + , р 2 р 2 P = Po-PSx- Около верхнего края трубочки Р\ = Ро ~pgh • Если же рассматривать, как будет изменяться давление с глубиной от верхнего уровня жидкости, то увидим, что оно будет увеличиваться линейно как давление столба жидкости и достигнет максимальной величины около входа в трубку Р2 = Ро+Р8н- Значит, в небольшой зоне входа в трубку давление изменяется скачком Ьр = Рг~Р\ = Рё{Н + h). что приводит к набору скорости жидкостью на малом расстоянии. Зависи¬ мость давления на оси изображена на рис. 4.5. Координата х отсчитывается от нижнего края трубки.
Физика в задачах 201 Рассмотрим устройство, обеспечивающее вытекание из сосуда жидкости с посто¬ янной скоростью. Оно назы¬ вается сифоном. Устройство сифона двух разных типов показано на рис. 4.6. В сосуд с жидкостью входят две трубки. По одной поступает воздух, и на уровне ее среза давление в жидкости равно давлению в атмосфере. По другой трубке жидкость вы¬ текает из сосуда. Так как давление в жидкости оста¬ ется постоянным на уровне среза трубки для поступле¬ ния воздуха, то разница дав¬ лений между этим уровнем и выходом жидкости из другой Рис. 4.6 трубки остается постоянной. Значит, жидкость будет вытекать с постоянной скоростью. Эта скорость будет определяться так же, как в примере 4.4.1: v = ^2gh, где h - разность высот, изображенная на рис. 4.6. Задачи и упражнения 4.4.1. а) Из сифона, состоящего из широкого сосуда через узкую цилинд¬ рическую трубку вытекает жидкость плотности р (см. рисунок, а). Как рас¬ пределены скорость и давление на оси сосуда и трубки? За какое время уро¬ вень жидкости упадет с уровня Н до уровня й, если сечение сосуда So, Сечение трубки, через которую вытекает жидкость S, а сечением верхней трубки можно К задаче 4.4.1
202 Глава 4. Жидкость пренебречь? Давление воздуха р0, трением и поверхностным натяжением в жидкости пренебречь (как в этой задаче, так и в остальных задачах § 4-6). б) Решите задачу для сифона, изображенного на рисунке, б. 4.4.2. Невесомый сосуд сечения bxb находит¬ ся на гладкой горизонтальной поверхности. Из его основания через патрубок малого сечения S выте¬ кает жидкость (см. рисунок). Найдите ускорение сосуда в начальный момент. 4.4.3. * а) Определите относительную скорость жидкости, вытекающей из двух малых отверстий в центрах противолежащих граней куба, закрыто¬ го сверху подвижным поршнем, при движении куба по полу с ускорением а по прямой, проходя¬ щей через отверстия (см. рисунок). Длина ребра куба/, ускорение свободного падения g>а . б) Решить задачу а) для случая поршня массы m и жидкости плотности р. 4.4.4. а) Горизонтальная струя попадает в прорезанный в бруске плавно изгибающийся канал, разделяющийся на два симметричных канала, лежащих в горизонтальной плоскости и выходящих под прямыми углами через боко¬ вые грани бруска, и ускоряет его (см. рисунок). Коэффициент трения между бруском и землей р масса бруска М, плотность жидкости р, сечение струи S, скорость струи v. Найти максимальную скорость бруска. I* 0.9 К задаче 4.4.2 б) Горизонтальная струя попадает в прорезанный в бруске плавно изги¬ бающийся канал, выходящий под прямым углом через верхнюю грань бру¬ ска, и ускоряет его. Коэффициент трения между бруском и землей ц, масса бруска М9 плотность жидкости р, сечение струи 5, скорость струи v. Вход в канал ниже верхнего края бруска на Я. Найти максимальную скорость бру¬ ска, когда жидкость вытекает через верхнее отверстие. Под каким углом к горизонту вылетает струя? 4.4.5. Если к отверстию, через которое вытекает жидкость приставить рас¬ ширяющийся патрубок, то расход воды увеличивается. Объясните явление. 4.4.6. а) За какое время жидкость вытечет из цилиндрического сосуда се¬ чения S0 через короткий патрубок у основания? Сечение патрубка S, началь¬ ная высота уровня жидкости Я.
Физика в задачах 203 б) Два цилиндрических сосуда сечения S0 соединены снизу тонкой трубкой сечения S с краном. В правой части высота уровня жидкости Я, в левой жидко¬ сти нет. Кран открывают. За какое время уровни жидкости выровняются? 4.4.7. Во сколько раз сила давления струи воды из патрубка в сосуде на приставляемую пластину больше, чем сила давления воды на прижатую пла¬ стину? 4.4.8. а) Жидкость в невесомости течет между плоскостями, образующими малый угол а. Насколько изменится давление в жидкости при прохождении расстояния L, если расстояние между плоскостями увеличивается при этом в 2 раза? Расход жидкости на единицу ширины q, плотность жидкости р. б) В горизонтальной трубе радиус линейно увеличивается с расстоянием. Угол раствора конуса мал. Насколько в невесомости изменится давление в жидкости между двумя сечениями радиуса г, и г2? Расход жидкости через трубу q, плотность жидкости р. 4.4.9. а) Почему мячик «пляшет» на вершине фонтана? б) Почему «пляшет» пузырек внизу заглубленной вертикальной струи? 4.4.10. а) Прямоугольная коробка плавает на поверхности воды, погружа¬ ясь под действием собственного веса на глубину h. Площадь дна коробки 5, высота - Я. Через какое время коробка утонет, если в центре дна ее проделать тонкий канал сечения а. Толщина стенок много меньше размеров коробки. б)* Решите задачи а) для открытой бутылки высоты Я с горлышком длины /. Сечение бутылки S, сечение горлышка S',, h < Я -1, бутылка плавает гор¬ лышком вверх. 4.4.11. С какой скоростью будет вытекать жидкость плотности р из тонко¬ го патрубка в цилиндрическом сосуде, если на поверхность воды положить плавающее тело массы т. Начальная высота уровня жидкости над патрубком Я, площадь дна сосуда 5. 4.4.12. * а) В начальный момент вертикальное колено длины Я тонкой длинной закрепленной трубки заполнено идеальной жидкостью (см. рисунок, а). Возле изгиба сверху в трубке сделано маленькое (по сравнению с радиу¬ сом трубки) отверстие. Жидкость отпускают. Во время ее движения из отвер¬ стия начинает бить фонтан. Рассчитайте максимальную высоту фонтана h. б)К задаче 4.4.12 б) Трубка, представляющая собой половину кольца, располагается в вер¬ тикальной плоскости (см. рисунок, б). Левое колено трубки в начальный мо-
204 Глава 4. Жидкость мент заполнено идеальной жидкостью. В правом колене, рядом с границей жидкости, сверху в трубке сделано маленькое (по сравнению с радиусом трубки) отверстие. Жидкость отпускают. Во время ее движения из отверстия начинает бить фонтан. Рассчитайте максимальную высоту фонтана. 4.4.13.* Из отверстия в дне сосуда вытекает жидкость плотности р. Сече¬ ние сосуда S0, сечение струи S. На поверхности жидкости лежит поршень массы М> сила трения между поршнем и стенками сосуда F < Mg . Уровень воды в сосуде перемещается с постоянным уско¬ рением. Найдите это ускорение. Как зависит в этом случае скорость поршня от h - расстояния поршня от дна сосуда? 4.4.14. Из сифона жидкость вытекает через тонкую горизонтальную трубку у основания ши¬ рокого сосуда (см. рисунок). Трубка соединена другой тонкой трубкой с верхней частью сосуда. Найдите уровень жидкости в вертикальной труб¬ ке. Необходимые данные возьмите из рисунка. § 5. СТОЛКНОВЕНИЕ СТРУЙ Рассмотрим стационарную задачу столкно¬ вения плоской струи с преградой. Не будем учитывать влияние поля тяжести. Пусть струя падает на плоскую преграду со скоростью v9 как показано на рис. 5.1. Угол между плоскостью и падающей струей на большом расстоянии от плоскости обозначим а. На свободной поверх¬ ности струи, в силу уравнения Бернулли, скорость жидкости должна быть постоянной. На больших расстояниях от точки столк¬ новения скорость в струе выравнивается по всему сечению и толщина струи стабилизируется. Это означает, что сечения струи на больших расстояниях до столкновения и после столкновения должны быть одинаковыми. Если струя на поверхности просто повернется, и будет бежать вдоль плоскости по ходу падающей струи, это приведет к увеличению импульса вдоль поверхности, значит должна появиться струя, бегущая вдоль плоскости в обратном направ¬ лении как изображено на рисунке. Если нарисовать линию тока, граничную для расходящихся струй, то в точке соприкосновения этой линии с плоскостью (точка О на рис. 5.1) ско¬ рость жидкости должна равняться нулю, так как не должно быть составляю¬ щей скорости перпендикулярно плоскости. Из уравнения Бернулли следует, что в этой точке давление максимальное
Физика в задачах 205 Пример 5.1. Толщина плоской струи, падающей на плоскую преграду под углом а на большом расстоянии от места столкновения равна й0 (рис. 5.1). Найти толщины образующихся струй вдали от места столкновения. Решение. Обозначим толщины струй после столкновения, как hx и h2. То¬ гда уравнение неразрывности и закон сохранения импульса вдоль поверхно¬ сти для единичной ширины струи и промежутка времени dt запишутся сле¬ дующим образом: vh0 - vh{ + vh2, ph0v(dt)vcosa = phlv(dt)v~ph2v(dt)v. Решение этой системы уравнений для толщин образующихся струй: К -К / + COSCX = К cos2 —, h, = К / + cosa - h0 sin2 a J' Кумулятивные струи. При определенных условиях падения плоской струи на преграду скорость образующихся струй может значительно превос¬ ходить начальную скорость элементов струи, а плотность кинетической энер¬ гии одних элементов может существенно увеличиваться за счет передачи энергии от других элементов. Такие струи называются кумулятивными, а процесс перераспределения энергии в веществе и концентрации ее в малых объемах - кумуляцией энергии. Рассмотрим падающую на плоскую поверхность плоскую струю, у кото¬ рой скорость жидкости направлена не вдоль струи, а перпендикулярно ее по¬ верхности, как показано на рис. 5.2,я, и равна и. Переходом в новую систему отсчета, где струя будет двигаться вдоль своей поверхности, мы сведем зада¬ чу к задаче, рассмотренной ранее (рис. 5.2,6). При этом скорость струи в но¬ вой системе отсчета и v = > tga скорость новой системы отсчета относительно начальной и —. sin a Рис. 5.2
206 Глава 4. Жидкость Тогда в первичной системе отсчета скорость струи, двигающейся вправо, будет и и l-fcosa 2cos2(a/2) a vc = W + V = + = U = 4V —•—tU — Ctg — U , sma tga sma 2sm(a/2)cos(a/2) 2 а для струи, двигающейся влево и и 1-cosa 2sin2(a/2) a Vn =w-v = = ; U- / . ' j——~u - tg — U . sina tga sma 2sin(a/2)cos(a/2) 2 Пример 5.2. Определите, какую долю энергии уносят получившиеся струи для случая, изображенного на рис. 5.2,а. Решение. Запишем энергии струй для единичной ширины за время At. Энергия падающей струи Е0 = phQv(dt)u2/2. Для струи, двигающейся вправо Ес = ph2v(dt)v;/2, доля от энергии падающей струи Ес _ h2v2c _ h() sin2 (а/2) ctg2(a/2)и2 2 а — — — COS . Е0 h0u Л0 и 2 А для другой струи En=ph^(dt)v;/2, доля от энергии падающей струи Еп hsv] h{) cos2 (a/2) tg2 (a/2)и2 _2 a -J — ry ~ S1H . E0 hdu hQ и 2 Как видим, при малых углах большая часть энергии падающей струи перехо¬ дит, т. е., кумулируется в более тонкой, с меньшей массой струе, идущей вправо. Эта струю называется кумулятивной струей. Струя, идущая влево имеет большую массу, меньшую скорость и уносит меньшую часть энергии. Она называется пестом. Полученный результат можно применять для описания соударения пло¬ ских металлических пластин при высоких скоростях. В этом случае при со¬ ударении возникают высокие давления и создаются силы, сдвигающие слои материала относительно друг друга, значительно превосходящие предел те¬ кучести материала. Поэтому прочностными свойствами материала можно пренебречь и рассматривать его как идеальную жидкость. В реальных металлических струях наибольшая скорость получается при углах 17-18°, при меньших углах из-за сжимаемости материалов при высоких давлениях кумулятивная струя не образуется.
Физика в задачах 207 Задачи и упражнения 4.5.1. а) Найдите скорости образующихся струй при падении плоской струи на плос¬ кость, для случая, изображенного на рисунке. Струя движется как плоский слой жидкости, скорость которого направлена под углом к собственной поверхности. Угол между плос¬ костью и струей 60°. Скорость жидкости в падающей струе на большом расстоянии от плоскости направлена под углом 60° к по¬ верхности падающей струи и равна v. К задаче 4.5.1 б) Решите задачу, когда угол между падающей струей и плоскостью a, a скорость жидкости в падающей струе на большом расстоянии от плоскости направлена под углом (3 к поверхности струи. 4.5.2. Под каким углом разлетаются струи жидкости после столкновения двух плоских струй с толщиной hx и h2, налетающих друг на друга с одина¬ ковыми скоростями (см. рисунок). / 4.5.3. а) Две одинаковых плоских струи с плотностями Pj и р2 налетают друг на друга с одинаковыми скоростями (см. рисунок). Какой угол образует на фотографии падающая и разлетающаяся струя? б) Решите задачу в случае, когда тол¬ щины струй равны hx и h2. 4.5.4. На покоящийся цилиндр жидко¬ сти налетает такой же цилиндр жидкости (см. рисунок). Найдите угол при вершине образующегося конуса. 4.5.5. На покоящийся жидкий цилиндр радиуса R налетает со скоростью v жид¬ кий цилиндр радиуса R (см. рисунок). Плотности цилиндров одинаковые, оси совпадают. Движение происходит вдоль
208 Глава 4. Жидкость di v оси. С какой скоростью перемещается область контакта на оси системы? Какой угол образует на фотографии разлетаю¬ щаяся струя с осью цилиндров? 4.5.6. * Найдите скорость внедрения цилиндрической кумулятивной струи плотности в преграду плотности р2 (см. рисунок). Скорость струи V. 4.5.7. На покоящуюся пластину нале¬ тает вторая такая же пластина с большой скоростью и, направленной под углом а/2 к нормали налетающей пластины (см. рисунок). Угол между пластинами равен а. а) Найти скорость образовавшихся струй. в) Найдите, какая доля энергии ока¬ жется в каждой из струй. 4.5.8. Определите скорость кумулятив¬ ной струи при схлопывании кавитацион¬ ной полости, имеющей вид пересечения двух цилиндрических поверхностей с ра¬ диусами R. Толщина полости h (см. рису¬ нок). Скорость движения поверхности перпендикулярна поверхности и равна V. 4.5.9. Если легкую пластиковую бу¬ тылку формы, изображенной на рисунке погрузить в воду на половину высоты К задаче 4.5.7 вниз дном, то после освобождения она практически не выпрыгивает из воды. Если эту же закрытую бутылку погрузить конусообразным горлышком вниз, то она подпрыгивает на высоту существенно больше своей высоты. Объясни¬ те явление. Попробуйте оценить максимальную высоту подъема бутылки. v=0 Р2 К задаче 4.5.6 К задаче 4.5.8 К задаче 4.5.9
Физика в задачах 209 § 6. НАЛОЖЕНИЕ ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ Если существуют несколько стационарных потоков жидкости, то сущест¬ вует и поток, который является суммой этих потоков. Скорости в суммарном потоке складываются векторно. Пример 6.1. Два точечных источника потока жидкости находятся на расстоя¬ нии / друг от друга. Объемный расход жидкости каждого источника в секунду равен Q . Определите скорости жидкости в точках, которые находятся на расстоя¬ нии / от каждого источника (рис. 6.1.) Решение. Скорость v0 на расстоянии / от каждого источника, если поток созда¬ ется только этим источником, определя¬ ется формулами: Q = 4nl2v0, v0 =Q/4nl2, так как поток жидкости через сферу, окружающую этот источник равен Q. Второй источник на расстоянии / создает такую же скорость. Угол между этими скоростями равен 60° (рис. 6.1). Поэтому результирующая скорость v в точке, которая находится на расстоянии / как от первого, так и от второго источника, определяется равенством: v = 2a0cos30° = t;0V3 =Qyj3/4nl2. Рассмотрим аналогию между гравитационным полем и течением несжи¬ маемой жидкости. Гравитационное поле подчиняется закону всемирного тя¬ готения. Течение жидкости описывается вектором скорости. Для точечного тела и точечного источника жидкости в объеме безграничной жидкости эти поля будут иметь идентичную зависимость от радиуса. Покажем это. Сила взаимодействия между точечными телами массы Mwm (рис. 6.2,а) F = -C^', Г г или для модуля силы F - —9 а --GMm. г Точечный источник жидкости в безграничной жидкости можно представить как сферу малого размера с равномерно распределенными по поверхности отверстиями, из которых жидкость вытекает симметрично во все стороны, а внутрь сферы жидкость подается по тонкому шлангу (рис. 6.2,6). Для скоро-
210 Глава 4. Жидкость сти жидкости от точечного источника из уравнения неразрывности зависи¬ мость от расстояния будет выглядеть следующим образом 0 = 72-> 4тгг г где Q - количество жидкости, вытекающей из источника в единицу времени. Как и модуль гравитационной силы, модуль скорости спадает обратно квад¬ ратично радиусу Q а D=7' а - 4 п Соответственно, свойства этих векторных полей будут идентичны. Как же будет выглядеть сумма сил на рассматриваемое тело от нескольких точечных масс? Для гравитационного поля это будет векторная сумма гравитационных сил от каждой точечной массы на рассматриваемое тело. Оказывается, и для источников идеальной жидкости будет выполняться такое же правило: сум¬ марная скорость жидкости будет векторной суммой скоростей жидкости по¬ лучаемых от каждого источника отдельно. Проиллюстрируем плодотворность такой аналогии в другую сторону. Легко представить линейный ис¬ точник жидкости как набор расположенных в линию один за другим точечных источников. Поток жидко¬ сти от такого набора источников эквивалентен потоку из тонкой трубы с множеством равномерно располо¬ женных одинаковых отверстий в оболочке. Только важно создать условия, чтобы жидкость вытекала с одинаковой скоростью из всех отверстий. В такой геометрии существует осевая симметрия. Легко записать скорость потока жидкости от такого источ¬ ника через цилиндрическую поверхность радиуса R и высоты L через уравнение неразрывности (рис. 6.3): v = Q,L г 4 nr2 Q, г 2nrL г 2пг 4тсг~ г = 2 г Q, Апг
Физика в задачах 211 т, е. скорость обратно пропорциональна радиусу. Здесь Q( - количество жид¬ кости, вытекающее с единицы длины линейного источника в единицу време¬ ни. В цилиндрической геометрии жидкость вытекает только по радиусам че¬ рез боковую поверхность цилиндра, площадь которой линейно увеличивается с радиусом. Так как количество жидкости, протекающей через любую боко¬ вую поверхность в единицу времени должно быть одинаковым, это обуслав¬ ливает уменьшение скорости обратно пропорционально увеличению площа¬ ди, которая линейно зависит от радиуса. Пример 6.2. Какой величины будет гравитационная сила между телом массы т и бесконечным стержнем с массой на единицу длины ? Решение. Следуя аналогии с линейным источником жидкости, можем за¬ писать F = 2г -G М,т г 20^-- Г Г J Такой же результат получается при прямом интегрировании гравитацион¬ ных сил от элементов тонкого стержня, действующих на точечную массу т. В поле тяжести работа по замкнутому контуру равна нулю. В таких полях, называемых потенциальными, вводится понятие потенциальной энергии. Ра¬ бота при перемещении тела силой F вдоль заданной кривой между точками А и В определяется как интеграл от произведения линейного элемента dl кри¬ вой на составляющую силы в направлении dl: в в А = JFdl cosa = JV • dl, A A где a есть угол между векторами F и dl, а F dl ~ Fdl cosa - скалярное про¬ изведение векторов F и dl. Для описания установившихся течений жидкости также полезно ввести такой же интеграл, в котором вместо силы используется вектор скорости: в в A- Jt^/cosa = Ja-dZ, А А где а есть угол между векторами V и dl, а v dl - vdl cos a - скалярное произ¬ ведение векторов V и dl. Такой интеграл называется криволинейным интегра¬ лом скорости. Введение криволинейного интеграла скорости аналогично введению поня¬ тия работы, только вместо вектора силы используется вектор скорости. Если криволинейный интеграл скорости по замкнутому контуру равен нулю, то такие течения, по аналогии с полями, где работа по замкнутому контуру рав¬ на нулю, называют потенциальными течениями. Свойства таких течений бу¬ дут аналогичны свойствам потенциальных полей. Для потенциальных полей в механике существуют поверхности равной потенциальной энергии (эквипо¬
212 Глава 4. Жидкость тенциальные поверхности), на которых вектор силы перпендикулярен этой поверхности. Для идеальной жидкости в гидромеханике вводится понятие потенциала скорости, аналогичное понятию потенциальной энергии. Поверх¬ ности равного потенциала скорости будут перпендикулярны линиям тока, так как скорость является касательной к линии тока и будет перпендикулярна к поверхности равного потенциала. Криволинейный интеграл скорости между любыми двумя точками этой поверхности равен нулю, так как cosa = 0. Криволинейный интеграл скорости между поверхностями равного потенциа¬ ла не зависит от пути интегрирования, ведь этот интеграл по любому замкну¬ тому контуру должен быть равным нулю. Рассмотрим пример однородного гравитацион¬ ного поля (рис. 6.4). Силовые линии такого поля параллельны. Поверхности равной потенциальной энергии будут плоскостями, перпендикулярными силовым линиям. Работа по замкнутому контуру, проведенному по силовым линиям и эквипотенци¬ альным поверхностям, равна нулю. Это легко уви¬ деть, вычисляя работу, так как на участках вдоль силовых линий работа в одну сторону точно ком¬ пенсируется работой в другую сторону. В однородном поле две точки можно соединить ломаной, проходящей по силовой линии эквипотенциальной плоскости, а можно соединить напрямую (рис. 6.4). Получится треугольник. Работа по гипотенузе равняется работе по катетам. Вдоль силовой линии работа Ax-F-a, а вдоль эквипотенциальной плоскости она равна нулю, так как косинус угла между силой и перемещени¬ ем равен нулю. Вдоль гипотенузы работа равна а = Fccosa = F cosa = Fa, cos a т. e. они равны. Это справедливо для лю¬ бой формы линии пути, соединяющей две точки. Аналогичным является пример одно¬ родного течения жидкости (рис. 6.5). Ли¬ нии тока такого течения будут параллель¬ ны. Поверхности равного потенциала ско¬ рости будут плоскостями, перпендикуляр¬ ными этим линиям тока. Криволинейный интеграл скорости по замкнутому контуру также будет равен нулю, а его значение между любыми двумя точками не будет зависеть от формы пути. Рис. 6.5
Физика в задачах 213 Задачи и упражнения / \ / \ / L / / / / / \ \ \ \ \ / / 2 6 К задаче 4.6.3,а 4.6.1. Скорость жидкости на расстоянии г0 от точечного источника равна V. Определите скорость на расстоянии г. 4.6.2. а) Два одинаковых источника находятся на расстоянии L друг от друга. Найти плоскость, где скорости параллельны ей. б) Точечный источник находится на расстоянии b от плоскости. Опреде¬ лите скорость жидкости на этой плоскости в зависимости от расстояния до источника, если объемный расход жидкости источника в секунду равен Q . 4.6.3. Два точечных источника находятся на расстоянии / друг от друга. Ежесекунд¬ ный объемный расход жидкости каждого ис¬ точника равен Q . Определите скорость жид¬ кости в точке, которая находится: а) на расстоянии L от каждого источника (см. рисунок); б) на расстоянии L{ и L2 соответственно от первого и второго источника; в) решите задачу б) при увеличении пото¬ ка жидкости второго источника в п раз. 4.6.4. а) Три одинаковых источника нахо¬ дятся в вершинах правильного тетраэдра (см. рисунок). Скорость жидкости в точке, кото¬ рая находится в вершине тетраэдра, где нет источника, равна v. Определите скорости жидкости в точках, которые находятся на се¬ редине ребер (в точках 1 и 4), в центрах гра¬ ней (в точках 2 и 3) и в центре тетраэдра (в точке 5) (см. рисунок). б) В вершинах куба с ребрам