/
Author: Фролов К.В.
Tags: общее машиностроение технология машиностроения машиноведение машиностроение теория автоматического управления
ISBN: 5-217-02817-3
Year: 2000
Text
МАШИНОСТРОЕНИЕ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ В СОРОКА ТОМАХ РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ ФРОЛОВ К.В. Председатель редакционного совета Члены совета: Белянин П.Н. (зам. Председателя редсовета и главного редактора), Колесников К.С. (зам. Председателя редсовета и главного редактора), Адамов Е.О., Анфимов Н.А., Асташов В.К., Бессонов А.П., Васильев В.В., Воронин Г.П., Глебов И.А., Долбенко Е.Т., Жесткова И.Н., Кирпичников М.П., Клюев В.В., Ковалевский М.А., Коптев Ю.Н., Ксеневич И.П., Мартынов И.А., Михайлов В.Н., Новожилов Г.В., Носов В.Б., Образцов И.Ф., Огурцов А.П., Панин В.Е., Паничев Н.А., Патон Б.Е., Петриченко В.Н., Платонов В.Ф., Пугин Н.А., Салтыков Б.Г., |Свищев Г.П.1, Силаев И.С., Туполев А.А., Федосов Е.А., Фортов В.Е., Черный Г.Г., Шемякин Е.И. МОСКВА “МАШИНОСТРОЕНИЕ” 2000
Раздел! ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ Том 1-4 АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ. ТЕОРИЯ Редактор-составитель академик РАН Е.А. Федосов Ответственные редакторы: академик РАН К.С. Колесников, доктор техн, наук Г.Г. Себряков Редакторы тома: Ю.М. Астапов (Теория линейных систем автоматического управления), |Е.П. ПопоДсГеооия нелинейных систем автоматического управления), А.В. Семенов (Проблема Н°°-оптимизации в теории автоматического управления); ПД. Крутъко (Обратные задачи динамики в теории автоматического управления), И.Е. Казаков (Исследование систем автоматического управления при случайных воздействиях), АА. Красовский (Методы оптимизации систем автоматического управления), В.В. Володин (Управление процессами в организационно-технических системах автоматизированного проектирования), Г.Г. Себряков (Человеко- машинные системы управления), А.Г. Бутковский (Теория управления системами с распределенными параметрами) МОСКВА “МАШИНОСТРОЕНИЕ” 2000
УДК 621.01/.03 ББК 34.44 М38 pfCpr Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных JJ исследований по проекту № 99-01-14046 Авторы: Е.А. Федосов, А.А. Красовский, | ЕЛ. Попов |, Ю.М. Астапов, И.Н. Белоглазов, В.Н. Буков, А.Г. Бутковский, В.В. Володин, С.В. Емельянов, С.Ю. Желтов, С.Д. Земляков, И.Е. Казаков, С.К. Коровин, М.Н. Красильщиков, П.Д. Крутько, В.В. Малышев, В.С. Медведев, А.А. Огинский, В.Ю. Рутковский, Г.Г. Себряков, А.В. Семенов, А.А. Степанов, Н.В. Фалдин, А.С. Ющенко, И.Б. Ядыкин Рецензенты: | А.А. Воронов!, Н.К. Лисейцев, Н.М. Сотский, Е.Д. Теряев, АЛ. Фрадков, А.П. Чернышев Рабочая группа Редакционного совета: К.С. Колесников, П.Н. Белянин, В.В. Васильев, В.К. Асташов, А.П. Бессонов, Н.Н. Боброва, Е.Т. Долбенко, И.Н. Жесткова, Г.В. Москвитин Машиностроение. Энциклопедия / Ред. совет: К.В. Фролов (пред.) и др. - М.: М38 Машиностроение. Автоматическое управление. Теория. Т. 1-4 / Е.А. Федосов, А.А. Красовский, | Е.П. Попов | и др. Под общ. ред. Е.А. Федосова. 2000. 688 с., ил. Изложены теория линейных и нелинейных систем, систем с переменной структурой, управления и структуры дискретных систем, методы статистической динамики, оптимизации, включая синтез оптимальных управлений при случайных воздействиях, основы теории чувствительности, анализ и синтез человеко-машинных систем и систем с распределенными параметрами. Даны принципы построения, состав, структура и архитектура САПР, техническое обеспечение, методическое обеспечение, автоматизация различных стадий разработки технических объектов; нелинейные методы анализа и синтеза сложных систем управления, ориентированные на использование ЭВМ. Федосов Евгений Александрович, Красовский Александр Аркадьевич, | Попов Евгений Павлович | и др. МАШИНОСТРОЕНИЕ. ЭНЦИКЛОПЕДИЯ Том 1-4 АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ. ТЕОРИЯ Лицензия ЛР № 080003 от 12.09.96 г. Редакторы Т.С. Грачева, С.М. Макеева Художественный редактор Т.Н. Галицына Оформление художника Т.Н. Погореловой Корректор Е.М. Нуждина Инженеры по компьютерному макетированию М.А. Евсейчикова, Т.А. Сынкова Сдано в набор 0 9.11.99 г. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 55,90. Подписано в печать 20.04.00 г. Гарнитура Times ЕТ. Усл. кр.-отт. 55,90. Тираж 1000 экз. Заказ 1023. Формат 70x100/16. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 62,57. Издательство "Машиностроение", 107076, Москва, Б-76, Стромынский пер., 4 Отпечатано в АООТ "Политех-4", 129110, Москва, ул. Б. Переяславская, 46 ISBN 5-217-02817-3 (Т. 1-4) ISBN 5-217-01949-2 © Издательство "Машиностроение", 2000
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение....................... 14 Раздел 1. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕ- СКОГО УПРАВЛЕНИЯ........ 17 Глава 1.1. ВВЕДЕНИЕ» ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ (Ю. М. Астапов) ... 17 1.1.1. Примеры систем автома- тического управления в маши- ностроении .............. 17 1.1.2. Классификация элемен- тов автоматических систем по функциональному признаку. 19 1.1.3. Требования, предъявляе- мые к системам автоматиче- ского управления......... 20 Глава 1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИ- САНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕ- СКОГО УПРАВЛЕНИЯ (Ю. М. Астапов)................. 21 1.2.1. Структурные схемы. Про- хождение сигналов........ 21 1.2.2. Математическое описание элементов и объектов.... 22 1.2.3. Линеаризация характери- стик и уравнений......... 23 1.2.4. Установившееся движе- ние и переходный процесс ....... 24 1.2.5. Передаточные функции линейных систем.......... 27 1.2.6. Классификация элемен- тов автоматических систем по виду передаточных функций .... 29 1.2.7. Математическое описание линейной системы с помощью интеграла свертки........ 33 1.2.8. Передаточные функции двумерных следящих систем. Комплексные координаты.. 34 1.2.9. Математическое описание многомерных систем автомати- ческого управления....... 37 Глава 1.3. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕ- СКИХ СИСТЕМ (Ю. М. Аста- пов) ........................ 38 1.3.1. Логарифмические частот- ные характеристики....... 38 1.3.2. Логарифмические харак- теристики различных соедине- ний элементарных звеньев. 40 1.3.3. Логарифмические харак- теристики звеньев с комплекс- ными коэффициентами...... 42 Глава 1.4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВ- НЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ (Ю. М. Астапов).......... 43 1.4.1. Постановка задачи об ус- тойчивости. Определение ус- тойчивости .............. 43 1.4.2. Линейные системы с по- стоянной матрицей........ 44 1.4.3. Частотные критерии ус- тойчивости .............. 46 1.4.4. Выделение областей ус- тойчивости в пространстве па- раметров ................ 50 1.4.5. Устойчивость линейных систем с почти постоянными параметрами.............. 53 1.4.6. Обобщение частотного метода анализа устойчивости на многомерные системы автома- тического управления..... 59 Глава 1.5. КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УП- РАВЛЕНИЯ (Ю. М. Астапов) 64 1.5.1. Качество воспроизведе- ния при плавных воздействиях 64 1.5.2. Методы вычисления пе- реходных процессов в линей- ных автоматических системах ... 68 1.5.3. Оценка качества переход- ного процесса по распределе- нию корней характеристиче- ского уравнения................ 75 1.5.4. Интегральные оценки ка- чества .................. 78 1.5.5. Общие рекомендации по проектированию многомерных систем автоматического управ- ления ................... 80 Глава 1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТ- НЫЕ СИСТЕМЫ (А. С. Ющен- ко) ........................... 82 1.6.1. Классификация дискрет- ных систем............... 82
6 ОГЛАВЛЕНИЕ 1.6.2. Математические модели дискретных систем с одним импульсным элементом....... 84 1.6.3. Дискретные системы с несколькими импульсными элементами................. 92 1.6.4. Частотные характеристи- ки 94 1.6.5. Точность дискретных систем..................... 99 1.6.6. Условия устойчивости линейных дискретных систем ... 101 Глава 1.7. МЕТОДЫ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ДИС- КРЕТНЫХ СИСТЕМ (А. С. Ющенко)................... 104 1.7.1. Уравнение состояния. 104 1.7.2. Свойства дискретных систем в пространстве состоя- ний 108 1.7.3. Непрерывно-дискретные системы................... 109 1.7.4. Устойчивость дискретных систем в пространстве состоя- ний 112 Глава 1.8. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮ- ЩИХ УСТРОЙСТВ ЛИНЕЙ- НЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ЛОГА- РИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТ- НЫХ ХАРАКТЕРИСТИК (В. С. Медведев)............... 113 1.8.1. Связь вида частотной ха- рактеристики с показателями качества системы........ 113 1.8.2. Типы корректирующих устройств............... 117 1.8.3. Порядок синтеза коррек- тирующих устройств в непре- рывной системе........... 119 1.8.4. Синтез дискретных авто- матических систем с помощью логарифмических частотных характеристик........... 122 Глава 1.9. МЕТОД СИНТЕЗА ЛИНЕЙ- НЫХ СИСТЕМ ПО ЗАДАН- НЫМ СОБСТВЕННЫМ ЗНА- ЧЕНИЯМ МАТРИЦЫ СИС- ТЕМЫ (В. С. Медведев)......... 130 1.9.1. Синтез закона управле- ния ......................... 130 1.9.2. Методы вычисления ко- эффициентов обратных связей в системах со многими входами 132 1.9.3. Управление нулями и ко- эффициентами усиления в замкнутой системе........ 135 1.9.4. Управление при инте- гральных обратных связях.. 139 1.9.5. Управление по заданным значениям матрицы системы для дискретных линейных сис- тем 140 Глава 1.10. УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙ- НЫМ ОБЪЕКТОМ ПО КВАД- РАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ КАЧЕСТВА (В. С. Медведев)...... 142 1.10.1. Вид критерия качества системы................ 142 1.10.2. Синтез закона управле- ния 142 1.10.3. Численные методы ре- шения уравнения Риккати... 143 1.10.4. Управление стационар- ной линейной системой в уста- новившемся режиме...... 144 1.10.5. Методы определения за- кона управления без решения уравнения Риккати...... 146 1.10.6. Управление в неполно- стью наблюдаемой системе.. 146 1.10.7. Управление дискретной линейной системой по квадра- тичному критерию качества. 147 Глава 1.11. ОЦЕНКА НЕИЗМЕРЯЕ- МЫХ КООРДИНАТ ДЕТЕР- МИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙ- НЫХ СИСТЕМ (В. С. Медве- дев) ......................... 149 1.11.1. Принципы построения наблюдающих устройств..... 149 1.11.2. Наблюдающие устройст- ва стационарных непрерывных линейных систем........ 151 1.11.3. Наблюдающие устройст- ва в стационарных дискретных линейных системах...... 152 1.11.4. Понижение порядка на- блюдающих устройств....... 154 1.11.5. Разделение задач управ- ления и наблюдения..... 156 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............. 157 Раздел 2. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙ- НЫХ СИСТЕМ АВТОМА- ТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕ- НИЯ........................... 159 Глава 2.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ (Е. П. Попов)................. 159 2.1.1. Особенности нелинейных систем................. 159
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 2.1.2. Виды нелинейностей. 162 2.1.3. Фазовое пространство. Особые точки и линии...... 167 2.1.4. Метод фазовой плоскости 170 2.1.5. Метод точечного преоб- разования и метод припасовы- вания.................... 173 2.1.6. Фазовое пространство систем высокого порядка... 176 Глава 2.2. АВТОКОЛЕБАНИЯ И УС- ТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙ- НЫХ СИСТЕМ (Е. П. Попов) 178 2.2.1. Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса) и методы малого па- раметра ........................ 179 2.2.2. Автоколебания в системах высокого порядка......... 193 2.2.3. Исследование устойчиво- сти нелинейных систем мето- дом Ляпунова............. 195 2.2.4. Частотный метод иссле- дования устойчивости...... 199 2.2.5. Исследование устойчиво- сти нелинейных систем на ос- нове гармонической линеари- зации ................... 201 Глава 2.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ И СМЕ- ШАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ (Е. П Попов).................... 204 2.3.1. Одночастотные колеба- ния. Явление захватывания. 204 2.3.2. Высшие гармоники вы- нужденных колебаний....... 207 2.3.3. Несимметричные вынуж- денные колебания......... 211 2.3.4. Двухчастотные нелиней- ные колебания............ 212 Глава 2.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОЦЕС- СЫ УПРАВЛЕНИЯ (К П По- пов) ........................... 216 2.4.1. Оценки качества пере- ходных процессов......... 216 2.4.2. Процессы управления при наложении вибраций.... 221 2.4.3. Помехоустойчивость при вибрациях. Сглаживание нели- нейностей ............... 223 2.4.4. Коррекция нелинейных систем................... 227 Глава 2.5. ТОЧНЫЙ МЕТОД ИССЛЕ- ДОВАНИЯ РЕЛЕЙНЫХ СИС- ТЕМ (Я. В. Фалдин).............. 231 2.5.1. Уравнение релейной сис- темы 231 2.5.2. Автоколебания в системах с двухпозиционным релейным элементом............... 232 2.5.3. Автоколебания в системах с трехпозиционным релейным элементом............... 240 2.5.4. Устойчивость автоколеба- ний 244 2.5.5. Вынужденные колебания 249 Глава 2.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТ- НЫЕ СИСТЕМЫ {А. С. Ющен- ко) .......................... 253 2.6.1. Математическое описание 253 2.6.2. Определение периодиче- ских процессов в нелинейных дискретных системах. Точные методы.................. 257 2.6.3. Метод гармонической линеаризации для дискретных систем.................. 260 2.6.4. Устойчивость нелиней- ных дискретных систем.... 267 Глава 2.7. ПРИНЦИП БИНАРНОСТИ И НОВЫЕ ТИПЫ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ (С. В. Емельянов, С. К. Коровин)...................... 272 2.7.1. Структурный синтез не- линейных систем управления ... 272 2.7.2. Нестандартные диффе- ренцирующие системы...... 282 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............. 288 Глава 2.8. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНК- ЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ И РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ (А. С. Ющенко)................ 288 2.8.1. Описание нелинейных систем с помощью рядов Воль- терра 288 2.8.2. Идентификация нели- нейных систем в форме рядов Вольтерра............... 291 2.8.3. Метод Винера.... 296 2.8.4. Анализ нелинейных сис- тем, представленных в форме функциональных рядов..... 302 2.8.5. Синтез нелинейных сис- тем 308 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............. 312 Раздел 3. МЕТОД 1Г-ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ (А. В. Се- менов) ....................... 314 Глава 3.1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ 314
8 ОГЛАВЛЕНИЕ 3.1.1. Предварительные сведе- ния 314 3.1.2. Нормы сигналов и систем 314 3.1.3. Стандартный объект. 315 3.1.4. Проблема ^-оптимиза- ции 316 Глава 3.2. ПОДХОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ К ПРОБЛЕМЕ ЕГ-ОПТИМИЗАЦИИ.......... 316 3.2.1. Операторы сжатия и Риккати................. 316 3.2.2. Свойства оператора Ric ... 317 3.2.3. Проблема полной ин- формации. Принцип алгебраи- ческой дуальности....... 318 3.2.4. Специальные проблемы 318 3.2.5. Решение общей пробле- мы Н*-оптимизации....... 321 Глава 3.3. ПРОБЛЕМА РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ.................. 324 3.3.1. Неструктурированные не- определенности ......... 324 3.3.2. Критерий робастной ус- тойчивости ............. 325 3.3.3. Эквивалентность проблем робастной стабилизации и Ню- оптимизации.............. 325 • 3.3.4. Нормализованная про- блема робастной стабилизации 325 3.3.5. Параметризация множе- ства регуляторов в нормализо- ванной проблеме робастной стабилизации............ 325 Глава 3.4. АЛГОРИТМЫ ЕГ-ОПТИ- МИЗАЦИИ....................... 327 3.4.1. Процедура Гловера-Дойла 327 3.4.2. Безытерационный вари- ант процедуры Гловера-Дойла 328 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............. 329 Раздел 4. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ В ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (Л. Д. Крутъко)...................... 331 Глава 4.1. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ СТАБИЛИЗАЦИИ И УПРАВ- ЛЕНИЯ МЕТОДОМ ОБРАТ- НЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ 331 4.1.1. Симметрия в системах автоматического управления и метод обратных задач динами- ки............................ 331 4.1.2. Схема синтеза управле- ний методом обратных задач динамики................ 332 4.1.3. Алгоритмы стабилизации стационарных состояний... 335 4.1.4. Алгоритмы управления следящих систем......... 340 Глава 4.2. АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕ- НИЯ С ЕСТЕСТВЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ АДАПТИВ- НОСТИ.......................... 344 4.2.1. Алгоритмы управления по ускорению. Задача стабили- зации .................. 344 4.2.2. Адаптивные алгоритмы управления следящих систем .... 351 4.2.3. Исследование динамики управляемой упругой системы 363 Глава 4.3. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ СТАБИЛИЗАЦИИ И УПРАВ- ЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ МНО- ГОМЕРНЫХ СИСТЕМ_________________ 367 4.3.1. Алгоритмы стабилизации стационарных состояний... 367 4.3.2. Алгоритмы управления многомерных следящих систем высокой динамической точно- сти 372 4.3.3. Синтез алгоритмов стаби- лизации и управления с учетом динамики исполнительных элементов............... 374 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....... 376 Раздел 5. ИССЛЕДОВАНИЕ СИС- ТЕМ АВТОМАТИЧЕС- КОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗ- ДЕЙСТВИЯХ.............. 377 Глава 5.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МО- ДЕЛИ СИСТЕМ ПРИ СЛУ- ЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ (Я. Е, Казаков)............... ул 5.1.1. Понятие стохастической модели системы......... 377 5.1.2. Стохастическая непре- рывная модель САУ в про- странстве состояний.... 377 5.1.3. Полная вероятностная характеристика непрерывного стохастического процесса. 379 5.1.4. Стохастическая дискрет- ная модель САУ в пространстве состояний.............. 382
ОГЛАВЛЕНИЕ 9 5.1.5. Одномерные мрдели сто- хастических систем........ 384 Глава 5.2. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА СИСТЕМ (Я. Е. Казаков)..... 386 5.2.1. Постановка задачи анали- за 386 5.2.2. Вероятностные показате- ли устойчивости стохастических систем.................... 386 5.2.3. Вероятностные показате- ли качества............... 387 5.2.4. Общие вероятностные критерии эффективности сис- тем автоматического управле- ния 389 Глава 5.3. УСТОЙЧИВОСТЬ СТОХАС- ТИЧЕСКИХ СИСТЕМ (Я. Е. Ка- заков) ......................... 389 5.3.1. Стохастическая устойчи- вость .................... 389 5.3.2. Оценка устойчивости по функции Ляпунова.......... 390 Глава 5.4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНА- ЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИ- НЕЙНЫХ СИСТЕМ (Я. Е. Ка- заков) ......................... 392 5.4.1. Корреляционная теория стохастических линейных сис- тем 392 5.4.2. Точность линейных авто- матических систем......... 394 5.4.3. Метод канонических представлений случайных про- цессов ................ 398 Глава 5.5. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНА- ЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТ- НЫХ СИСТЕМ (Я. Е. Казаков) 398 5.5.1. Метод дискретных пере- ходных функций состояния...... 398 5.5.2. Рекуррентное уравнение для вероятностных моментов ... 399 5.5.3. Стационарные дискрет- ные системы............ 400 Глава 5.6. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНА- ЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ СТО- ХАСТИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙ- НЫХ СИСТЕМ (Я. Е. Казаков) 403 5.6.1. Линеаризация нелиней- ностей при случайном входном сингале...................... 403 5.6.2. Метод вероятностных моментов............... 404 5.6.3. Точность нелинейных ав- томатических систем.... 407 Глава 5.7. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНА- ЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ НЕЛИ- НЕЙНЫХ СИСТЕМ (Я. Е. Ка- заков) ....................... 413 5.7.1. Корреляционная теория стохастических дискретных не- линейных систем......... 413 5.7.2. Стационарные дискрет- ные системы............. 416 Глава 5.8. АНАЛИЗ ВЕРОЯТНОСТ- НЫХ МОМЕНТОВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ (Я. Е. Казаков) .... 418 5.8.1. Одномерное распределе- ние векторного процесса........ 418 5.8.2. Анализ семиинвариантов фазовых координат САУ.... 419 5.8.3. Метод статистических испытаний............... 421 Глава 5.9. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ (Я. Е. Каза- ков) ......................... 422 5.9.1. Основы метода эквива- лентных возмущений...... 422 5.9.2. Определение математиче- ского ожидания и дисперсии ... 423 5.9.3. Интерполяционный ме- тод .................... 424 Глава 5.10. СИСТЕМЫ АВТОМАТИ- ЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ И СТРУКТУРНОЙ НЕОПРЕДЕ- ЛЕННОСТЯМИ (Я. Е. Каза- ков) ......................... 426 5.10.1. Общее определение 426 5.10.2. Системы со стационар- ной неопределенностью.... 426 5.10.3. Системы с нестационар- ной неопределенностью.... 426 Глава 5.11. СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТО- ДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИС- ТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ (Я. Е. Каза- ков) ........................ 429 5.11.1. Спектральный метод, основанный на параметриче- ских нестационарных спек- тральных передаточных функ- циях .................. 429 5.11.2. Спектральный метод, основанный на интехральном уравнении Фредгольма 2-го ро- да..................... 431
10 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 5.12. АНАЛИЗ СРЫВА УПРАВ- ЛЕНИЯ (СЛЕЖЕНИЯ) В САУ (Я. Е. Казаков)................ 432 5.12.1. Основные определения 432 5.12.2. Применение теории марковских процессов и урав- нения Фоккера - Планка - Кол- могорова ................ 433 5.12.3. Применение теории марковских процессов и урав- нение Понтрягина......... 435 5.12.4. Определение статистиче- ских характеристик времени бессрывного управления.... 435 5.12.5. Применение теории вы- бросов случайных процессов. Стационарные системы...... 436 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.............. 438 Раздел 6. МЕТОДЫ ОПТИМИ- ЗАЦИИ СИСТЕМ АВТО- МАТИЧЕСКОГО УПРАВ- ЛЕНИЯ ................. 439 Глава 6.1. ПОНЯТИЕ ОПТИМАЛЬНО- СТИ. КРИТЕРИИ ОПТИ- МАЛЬНОСТИ САУ (А. А. Кра- совский) .................... 439 6.1.1. Модели оптимизируемых процессов и систем..... 439 6.1.2. Частные, общие и гло- бальные критерии оптимально- сти САУ................ 445 Глава 6.2. МЕТОДЫ ПАРАМЕТРИЧЕ- СКОГО СИНТЕЗА {А. А. Кра- совский) .................... 455 6.2.1. Алгоритмы поиска экс- тремумов функций многих пе- ременных .............. 455 6.2.2. Параметрический синтез САУ.................... 465 Глава 6.3. СИНТЕЗ ДЕТЕРМИНИРО- ВАННЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ {А. А. Красов- ский, В. Н. Буков)........... 471 6.3.1. Математические основы оптимизации процессов управ- ления 471 6.3.2. Решение линейно- квадратичных задач синтеза оп- тимальных управлений.... 481 6.3.3. Оптимальные прогнози- рующие системы управления ... 485 Глава 6.4. МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОЙ И СУБОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В САУ (А. А. Красовский, И. Н. Белоглазов) ... 494 6.4.1. Постановки задач оцени- вания и фильтрации........... 494 6.4.2. Решения линейных задач оценивания............. 499 6.4.3. Оценивание процессов в нелинейных системах..... 507 6.4.4. Оптимальное адаптивное оценивание............. 513 6.4.5. Оптимальные совместные фильтрация и проверка гипотез 516 6.4.6. Совместное оптимальное оценивание, идентификация и проверка гипотез в дискретных динамических системах... 521 Глава 6.5. ОПТИМИЗАЦИЯ СТОХАС- ТИЧЕСКИХ СИСТЕМ (А. А. Красовский, В. Н. Буков). 528 6.5.1. Стохастические задачи оптимизации САУ........... 528 6.5.2. Решение линейно- квадратичных задач при слу- чайных воздействиях....... 531 6.5.3. САУ с прогнозирующими моделями и оптимальными (субоптимальными) фильтрами 533 Глава 6.6. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕС- СОМ НАБЛЮДЕНИЯ В СТО- ХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ (Л£ Н. Красильщиков, В. В. Ма- лышев) ..................... 540 6.6.1. Управление процессом наблюдения как задача плани- рования эксперимента в стохас- тических динамических систе- мах 540 6.6.2. Модель планирования эксперимента в динамических системах (общий случай)..... 541 6.6.3. Конкретизация задач управления процессом наблю- дения 541 6.6.4. Модель эволюции харак- теристик точности эксперимен- та.......................... 542 6.6.5. Критерии оптимальности 543 6.6.6. Задача планирования как задача управления уравнением типа Риккати................ 544 6.6.7. Эквивалентные линейные задачи управления........... 545 6.6.8. Численный алгоритм ре- шения эквивалентных задач... 547
ОГЛАВЛЕНИЕ И 6.6.9. Формирование прохрам- мы оптимального маневра лета- тельного аппарата с целью улучшения условий наблюде- ния за движущимся объектом 549 Глава 6.7. АДАПТИВНЫЕ САУ (А. А. Красовский, В. Ю. Рутковский, С. Д. Земляков, И. Б. Ядыкин) ... 551 6.7.1. Классификация и пре- дельные возможности адаптив- ных САУ........................ 551 6.7.2. Беспоисковые алгоритмы адаптивных САУ.......... 554 6.7.3. Алгоритмы адаптивных оптимальных САУ с идентифи- кацией ................. 563 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............. 568 Раздал 7. УПРАВЛЕНИЕ ПРО- ЦЕССАМИ В ОРГАНИЗА- ЦИОННО-ТЕХНИЧЕС- КИХ СИСТЕМАХ АВТО- МАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ (В. В. Володин).......... 571 Глава 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕХНОЛОГИИ АВ- ТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИ- РОВАНИЯ...................... 571 7.1.1. Структурные и функцио- нальные составляющие САПР 571 7.1.2. Виды проектирования и компоненты КСАЛ........ 573 7.1.3. Содержание процесса создания САПР.......... 575 Глава 7.2. СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ПРОЦЕССА ФУНКЦИОНИ- РОВАНИЯ САПР.......... 575 7.2.1. Описание структуры и схемы функционирования САПР................... 575 7.2.2. Описание процесса про- ектирования ТО......... 577 7.2.3. Типовые функциональ- ные составляющие в алгоритме функционирования САПР... 580 Глава 7.3. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТИ- РОВАНИЕМ В КОМПЛЕКС- НОЙ САПР..................... 582 7.3.1. Основные зависимости организации процесса проекти- рования ТО............. 582 7.3.2. Содержание требований к качеству проектирования.... 583 7.3.3. Учет требований к досто- верности результатов проекти- рования .................. 585 7.3.4. Учет требований завер- шенности результатов проекти- рования .................. 588 7.3.5. Согласование производи- тельности САПР проектных ра- бот в рамках комплексной САПР...................... 590 Глава 7.4. УПРАВЛЕНИЕ ПОИСКОМ РЕШЕНИЙ В РАСЧЕТНЫХ ПРОЦЕССАХ, РЕАЛИЗУЕ- МЫХ В САПР............... 591 7.4.1. Факторы, определяющие характер расчетных процессов проектирования по отраниче- ниям 591 7.4.2. Метод адаптации поиско- вого алгоритма в реализации расчетных процессов проекти- рования по отраничениям.... 594 7.4.3. Метод многошаговой реализации расчетных процес- сов проектирования по отрани- чениям ................... 597 Глава 7.5. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ОРГА- НИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕС- КИХ СИСТЕМ АВТОМАТИ- ЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИ- РОВАНИЯ ............ 600 7.5.1. Система показателей вы- бора рационального варианта САПР................. 600 7.5.2. Проектная оценка произ- водительности САПР... 601 7.5.3. Оценка качественного влияния САПР на характер проектной деятельности чело- века 602 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.......... 603 Раздел 8. ЧЕЛОВЕКО-МАШИН- НЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВ- ЛЕНИЯ .............. 604 Глава 8.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЧМС. РОЛЬ ЧЕЛОВЕКА- ОПЕРАТОРА И ФОРМЫ ОПЕРАТОРСКОЙ ДЕЯТЕЛЬ- НОСТИ (Г. Г. Себряков)........... 604 Глава 8.2. ПСИХОФИЗИОЛОГИЧЕ- СКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧЕЛОВЕКА-ОПЕРАТОРА (Г. Г. Себряков, А. А. Огинский} 605
12 ОГЛАВЛЕНИЕ 8.2.1. Характеристики условий обитания................. 605 8.2.2. Характеристики приема, переработки и выдачи инфор- мации человеком-оператором 606 8.2.3. Влияние эмоциональных состояний ЧО на характеристи- ки приема, переработки и вы- дачи информации.......... 606 8.2.4. Обеспечение условий ра- боты человека-оператора в ЧМС...................... 607 Глава 8.3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ДЕЯ- ТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА (ГРУППЫ ЛЮДЕЙ, ЭКИ- ПАЖА) В "ДИСКРЕТНЫХ" ЧМС УПРАВЛЕНИЯ НА УРОВНЕ СОВОКУПНОСТИ ОПЕРАЦИЙ (Л. А. Огинский) 607 8.3.1. Классификация видов деятельности в "дискретных" ЧМС........................ 607 8.3.2. Алгоритмическое описа- ние деятельности........... 608 8.3.3. Показатели деятельности 612 8.3.4. Исходные характеристики человека-оператора для расчета показателей деятельности.... 612 8.3.5. Рациональные значения показателей деятельности.... 612 8.3.6. Совмещенные операции 613 8.3.7. Основные требования к показателям деятельности в подсистемах ЧМС............ 613 8.3.8. Расчет числа членов эки- пажа 614 Глава 8.4. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЧМС СЛЕЖЕНИЯ (Г. Г Себряков, А. А. Огинский, С. Ю. Желтов) 614 8.4.1. Эрратическая следящая система. Основные понятия и определения........... 614 8.4.2. Математические модели деятельности человека-операто- ра в ЧМС слежения.......... 615 8.4.3. Критерии оптимизации ЧМС слежения............... 620 8.4.4. Оптимизация ЧМС сле- жения по критерию минимума времени адаптации человека- оператора и минимума психо- физиологической напряженно- сти ....................... 620 8.4.5. Оптимизация ЧМС по критериям минимума ошибки слежения и психофизиологиче- ской напряженности....... 627 Глава 8.5. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ЧМС (Г. Г. Себряков, А. А. Огинский, А. А. Степанов)................. 631 8.5.1. Задачи оценки ЧМС управления............... 631 8.5.2. Некоторые инструмен- тальные оценки........... 632 8.5.3. Шкалы экспертных оце- нок 632 8.5.4. Экспертная оценка на- пряженности сенсомоторной деятельности, основанная на понятиях нечетких множеств ... 633 Глава 8.6. ТРЕНАЖЕРЫ И КОМ- ПЛЕКСЫ ПОЛУНАТУРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЧМС ЭРГОНОМИЧЕСКИЕ АС- ПЕКТЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ (Г. Г. Себряков, А. А. Огинский) 637 8.6.1. Назначение тренажеров и комплексов полунатурного мо- делирования ЧМС.......... 637 8.6.2. Классификация воздейст- вий на летчика в полете.. 637 8.6.3. Влияние технического облика тренажера на профес- сиональные навыки будущих летчиков................. 638 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............... 639 Раздел 9. ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ С РАС- ПРЕДЕЛЕННЫМИ ПА- РАМЕТРАМИ (А Г. Бут- ковский)............ 642 Глава 9.1. ВВЕДЕНИЕ. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ СРП......... 642 Глава 9.2. ПРИМЕРЫ СОДЕРЖА- ТЕЛЬНЫХ ПОСТАНОВОК ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ СРП И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛИРОВКИ............ 644 Глава 9.3. СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ИС- СЛЕДОВАНИЯ СРП____________ 656
ОГЛАВЛЕНИЕ 13 9.3.1. Введение 656 9.3.9. Замыкание вырожденной обратной связью 663 9.3.2. Распределенные сигналы 656 9.3.10. Взаимосвязанные систе- 665 9.3.3. Распределенные блоки .... 657 мы 9.3.4. Стационарные распреде- ленные блоки 9.3.5. Суммирование распреде- 658 9.3.11. Стандартная форма краевых задач 9.3.12. Дисперсионные соотно- 666 шения 667 ленных сигналов и параллель- ное соединение блоков 659 Глава 9.4. ПРИНЦИП МАКСИМУМА 9.3.6. Последовательное соеди- ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ЗА- нение распределенных блоков 660 ДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УП- 9.3.7. Частные виды распреде- 660 РАВЛЕНИЯ СРП 670 ленных блоков 9.3.8. Замыкание обратной свя- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 674 зью 662 675
ВВЕДЕНИЕ Автоматизация производственных процессов, инженерного проектирования и многих функций управляющего персонала является одной из главных основ технического прогресса в машиностроении и приборостроении. Именно автоматизация наряду с новыми технологиями способна многократно повысить производительность и качество на предприятиях - в цехах и конструкторских бюро, а также на всех этапах подготовки производства и в планово-эконо- мических мероприятиях. Комплексная автоматизация производства, включая складское и транспортное хозяйство с применением робототехнических систем и многих других средств с широким использованием вычислительной техники, существенно облегчает человеческий труд. Благодаря автоматизации ликвидируется необходимость выполнения человеком однообразных, утомительных операций. Труд становится более интеллектуальным и интересным. Большое значение имеет также автома- тизация с использованием роботов в аварийных ситуациях, при работе в экстремальной .обста- новке, где затруднено или опасно пребывание человека. Однако, чтобы наиболее эффективно проводить автоматизацию, требуются серьезные пред- варительные научно-технические исследования и расчеты. При этом одной из важнейших теоре- тических проблем автоматизации является теория автоматического управления, которой и по- свящается данная книга. Исторически эта теория берет начало от работы А. И. Вышнеградского, который впервые исследовал динамику системы регулирования паровой машины в 1876 году. Он дал математиче- ское объяснение причин появления неустойчивости системы, получил условия устойчивости, построил диаграмму на плоскости параметров системы, показывающую изменение качества про- цессов регулирования, выделил области апериодичности и колебательности процессов. После этого многие годы развивалась теория автоматического регулирования процессов в различных механических машинах. В XX веке начали появляться следящие электромеханические системы, что послужило стимулом к существенному развитию теории автоматического управле- ния. Наиболее интенсивные разработки этой теории начинаются с сороковых годов нашего сто- летия вместе с началом бурного развития техники автоматизации, в том числе в военных приме- нениях, например - различные системы слежения, наведения и самонаведения. При этом, в ча- стности, широко стали использоваться методы А. М. Ляпунова общей теории устойчивости ди- намических систем, созданные им еще в 1892 г. В пятидесятые годы появились учебники по теории автоматического регулирования и управления. Эта теория начала преподаваться в вузах. Постепенно она становится обязательным предметом во всех технических вузах, а затем и в университетах. Теперь эта теория ввиду своей широкой общности, независимо от физической природы и конструкции конкретных технических систем, стала теоретической основой автоматизации во всех областях техники. С появлением вычислительной техники стали доступными многие задачи автоматического управления, практическое решение которых ранее было обусловлено различными допущениями. Прежде всего, это относится к задачам синтеза систем автоматического управления при соблюде- нии противоречивых требований к устойчивости и качеству. Так возникло условное деление тео- рии автоматического управления на теорию линейных систем, теорию нелинейных систем, тео- рию систем с распределенными параметрами, статистическую теорию, теорию дискретных сис- тем.
ВВЕДЕНИЕ 15 Такое деление породило развитие многих самостоятельных ветвей развития общей теории автоматического управления с весьма плодотворными методами исследования. Именно так воз- никли метод малого параметра, метод гармонической линеаризации, статистические расчеты на основе теории марковских случайных процессов и т.п. Сюда же можно отнести и метод фазового пространства, который сам по себе не требует допущений, но в действительности получил рас- пространение лишь для систем второго порядка с кусочно-линейной аппроксимацией нелиней- ных характеристик. Безусловно, потребность решения многих проблем оказало влияние на развитие фундамен- тальных наук и, в частности, на вычислительную математику. Все же решение многих задач, свя- занных с громоздкими вычислениями, долго оставалось на неудовлетворительном уровне. По- пытки облегчить вычислительные трудности привели в свое время к появлению многочисленных таблиц и номограмм, которые в свою очередь требовали значительного труда на их освоение. Примером может служить задача выбора параметров по критерию минимума интегральной оцен- ки качества переходного процесса. Даже в рамках линейной теории она сводится к достаточно сложным расчетам по вычислению вычетов, не говоря о нелинейных задачах такого же класса, где ее решение вообще не поддается аналитическим расчетам в конечной форме. Следует отметить, что на решение сложных задач автоматического управления особенно благоприятно повлияло появление персональных компьютеров. Помимо известных задач конст- руирования практически разрешимыми стали задачи идентификации математических моделей на основе результатов натурного эксперимента. В самих методах аналитического исследования также произошли изменения: здесь стали играть заметную роль новые методы вычислительной матема- тики, появилась теория программирования, теория алгоритмических языков и т.п. Нельзя не отметить, что под влиянием "машинной эйфории” многие аналитические методы в течение опре- деленного периода оказались отодвинутыми на второй план. Но вскоре выяснилось, что целый ряд теоретических и прикладных задач не поддается прямому решению на компьютере, несмотря на гигантские успехи в повышении объема памяти и быстродействия. Среди таких задач, в пер- вую очередь, стоит отметить асимптотические методы, позволившие разбить возможные движе- ния в динамических системах на непересекающиеся классы. При идентификации математических моделей по данным натурного эксперимента возника- ет проблема поиска глобального экстремума в пространстве параметров со сложной топологией. Без рационального аналитического подхода прямое применение известных алгоритмов поиска экстремума также не приводит к положительному результату. Несмотря на успехи применения вычислительной техники, авторы настоящего издания не сочли возможным приведение каких-либо готовых программ решения задач. Это обусловлено рядом обстоятельств, из которых не последнюю роль играет большое разнообразие алгоритмиче- ских языков. Сами языки быстро меняются в форме различных версии. Гораздо более стабильны в этом смысле общие принципы и методы решения задач теории автоматического управления, которые если и подвержены влиянию времени, то лишь в положительном смысле более смелой их постановки. При желании читатель может обратиться к наиболее универсальным программам конца XX столетия - символьным пакетам типа MAPLE V, а также к получившему известное распро- странение пакету Matlab и их версиям. Наиболее плодотворные результаты получаются при со- вместном использовании аналитических и численных методов, причем численному решению обычно предшествует качественный анализ. Общность теории автоматического управления основана на общности дифференциальных и других видов уравнений для многих явлений. Главное ядро теории - исследование динамики систем на базе их описания указанными уравнениями. По способам динамического описания автоматические системы делятся на следующие большие классы: линейные и нелинейные. Каждый из них содержит непрерывные и дискретные системы; обыкновенные и распределенные; детерминированные и стохастические; с постоянны- ми и переменными параметрами. Кроме того, особые виды составляют оптимальные, адаптивные и некоторые другие системы. Здесь нет смысла рассматривать эти термины, так как читатель найдет в данном томе полные описания и характеристики всех этих систем. Принцип построения книги отражает приведенную классификацию. Первый раздел содер- жит теорию детерминированных линейных систем непрерывных и дискретных. Здесь кроме тра- диционных методов исследования устойчивости и качества процессов излагается метод модаль-
ВВЕДЕНИЕ кого управления, оценка неизмеряемых координат и управление по квадратичному критерию качества. Во втором разделе рассматривается теория детерминированных нелинейных систем непре- рывных, релейных и дискретных. Излагаются методы исследования устойчивости, автоколебаний и качества нелинейных процессов управления. При этом из большого арсенала сложных методов исследования нелинейных систем здесь выбраны наиболее подходящие для проведения инженер- ных расчетов таких систем. Н*-теория управления изложена в третьем разделе. Приведены постановка и решение об- щей проблемы Н'°-оптимизации, а также сводящаяся к последней проблема робастной стабили- зации. Четвертый раздел содержит обратные задачи динамики в теории автоматического управле- ния. Дается метод синтеза управления, алгоритмы управления следящих систем, в том числе адаптивные, а также синтез управления многомерными системами. Исследование систем при случайных воздействиях (стохастических) содержится в пятом разделе. Изложены методы для непрерывных и дискретных систем, критерии качества и устойчи- вости. Корреляционный анализ дается как для линейных систем, так и для нелинейных. Изложе- ны анализ вероятностных методов, метод статистических испытаний, интерполяционный и спек- тральный методы. В шестом разделе даны методы оптимизации систем автоматического управления. Рассмот- рены методы оптимальной и субоптимальной фильтрации, оптимизация детерминированных и стохастических систем, управление процессом наблюдения в стохастических системах. Кратко изложена теория адаптивных систем. Седьмой раздел содержит материал об управлении процессами в организационно- технических системах автоматизированного проектирования. Приведены способы описания ав- томатизированного проектирования, примеры управления проектированием, управления поис- ком решений и методы оценки организационно-технических систем автоматизированного проек- тирования. В восьмом разделе приведены материалы по человеко-машинным системам. Рассмотрены психофизиологические свойства человека, работающего в качестве элемента системы управления, приведены методики проектирования дискретных и непрерывных человеко-машинных систем управления. Теория управления д системах с распределенными параметрами изложена в девятом разде- ле. Рассмотрены стационарные системы и относящиеся к ним краевые задачи. Для одного класса таких систем изложено применение принципа максимума. Книга предназначена для специалистов, работающих во всех отраслях машиностроения и приборостроения. Она будет полезна широкому кругу лиц, изучающих и применяющих на прак- тике методы теории автоматического управления, а также студентам, аспирантам и преподавате- лям технических вузов.
Раздел 1 ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Глава 1.1 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ 1.1.1. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В МАШИНОСТРОЕНИИ Классическим примером автоматической системы служит центробежный регулятор Уат- та, поддерживающий в заданных пределах скорость вращения маховика паровой машины (рис. 1.1.1). Если пренебречь силами трения между вертикальным стержнем и муфтой и в шарнирах, то существенными силами, дейст- вующими на детали регулятора, будут силы веса, опускающие муфту вниз, и центробеж- ные силы, действующие в противоположном направлении. Если маховик машины не вра- щается, то дроссель в паропроводе полностью открыт. При вращающемся маховике равнове- сие в системе наблюдается при равенстве при- веденных к муфте центробежных сил и сил веса. Это равновесное положение муфты и, следовательно, дросселя соответствует совер- шенно определенному значению скорости маховика. Настройка регулятора выполнена таким образом, что смещение муфты, вызван- ное превышением центробежных сил над си- лами веса уменьшает открытие дросселя. Та- ким образом, в системе "регулятор-машина" осуществляется отрицательная обратная связь. В связи с инерционностью маховика и грузиков регулятора между угловой скоростью со вращения маховика и углом открытия а дросселя отсутствует однозначная зависимость. Это может привести к незатухающим колеба- ниям угловой скорости относительно некото- рого среднего значения и даже к неустановив- шемуся процессу с возрастанием амплитуды колебания (рис. 1.1.2). Происходит перекачка энергии из двигателя в регулятор и обратно. Если в системе предусмотрено рассеяние энергии (например, вследствие вязкого трения в муфте), процесс перекачки энергии со вре- менем затухает и устанавливается некоторое постоянное значение угловой скорости махо- вика 0£>О- Рис. 1.1.1. Схема центробежного регулятора скорости Рис. 1.1.2. Процессы регулирования скорости: а - незатухающие колебания; б - неустойчивый процесс; в - затухающие колебания
18 Глава 1.1. ВВЕДЕНИЕ ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ Описанный регулятор относится к регу- ляторам прямого действия. Характерной чертой его служит то, что для регулирования откры- тия дросселя используется энергия без какого- либо усиления. Регулятор Уатта, созданный в 1774 - 84 гг., успешно работал и поддерживал величину ©о на постоянном уровне. Позже выяснилось, что его безотказное функционирование, как это ни парадоксально, было связано с невысоким уровнем технологии его изготовления. Именно по этой причине в деталях регулятора проис- ходило рассеяние энергии, необходимое для затухания колебаний. Такое объяснение рабо- ты регулятора пришло позже вместе с появле- нием соответствующего математического аппа- рата, развившегося впоследствии в теорию автоматического регулирования. Естественное желание конструкторов разгрузить чувствительный* элемент привело к созданию гидроусилителя, различные модифи- кации которого применяются достаточно ши- роко: при выпуске шасси самолетов, в систе- мах управления тяжелыми транспортными средствами, в станкостроении, при различных технологических процессах, где требуются значительные усилия (рис. 1.1.3). При сдвиге золотника масло под давлением начинает по- ступать в одну из полостей силового цилинд- ра. При этом силовой поршень следит за пе- ремещением гидрораспределителя, т.е. пере7 мещается вслед за гидрораспределителем, осу- ществляя тем самым отрицательную обратную связь. Сила, действующая на поршень, может достигать десятков тысяч ньютонов, в то время как на перемещение гидрораспределителя за- трачивается лишь сила на преодоление весьма незначительного трения. Это трение невелико, так как поршень подвешен в масляной среде и не имеет сухого контакта со стенками. Гидро- усилитель представляет собой простейшую следящую си'лему, так как перемещение поршня происходит по произвольному закону, который воспроизводится силовым поршнем. Отличие от предыдущего регулятора состоит именно в произвольности управляющего воз- действия u(fi. Такие автоматические системы принято называть системами автоматического управления - в отличие от систем стабилизации Рве. 1.13. Схема пщроусшпггеля (<о = const), поддерживающих регулируемую величину на постоянном уровне. Термин "система автоматического регулирования" яв- ляется менее общим и относится к системам с постоянным управляющим воздействием u(f) = const. Если функция и(0 заранее зада- на, то автоматическую систему называют сис- темой с программным управлением (например, станок с программным числовым управлени- ем). В рассмотренных двух примерах обрат- ная связь реализована непосредственным ме- ханическим воздействием. Рассмотрим систему передачи угла поворота на расстояние. Типич- ным примером такой системы служит дистан- ционное управление антенной радиолокатора (рис. 1.1.4). Пара сельсинов - датчик и прием- ник в трансформаторном режиме - образуют преобразовательное звено угла поворота в электрический сигнал. После некоторого уси- ления этот сигнал поступает на обмотку ис- полнительного двигателя, который разворачи- вает ротор приемника до тех пор, пока он не встанет в положение, согласованное с датчи- ком. При этом одновременно вращается под- вижная часть объекта (нагрузка). Благодаря электрической связи между сельсинами пере- дача угла возможна на расстояниях в несколь- ко сотен метров. На рис. 1.1.4 показаны лишь основные связи и элементы, которые позво- ляют осуществить сам принцип передачи угла. Такая система не обладает достаточной точно- стью, и для ее усовершенствования необходи- мы некоторые дополнительные элементы. Все приведенные здесь примеры отно- сятся к управлению одной величиной - скоро- стью вращения, перемещением или углом поворота. Автоматические системы с одной управляемой или регулируемой величиной (координатой состояния) называют одномерны- ми. Весьма распространенный класс образу- ют системы с управлением по двум каналам - двумерные .следящие системы. Примером могут служить системы пространственного сопрово- ждения, применяемые на станциях слежения Рас. 1.1.4. Схема дпеганцаонного управлеякя углом поворота
КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 19 за спутниками, астрогиды крупных телеско- пов, координаторы управляемых ракет, авто- пилоты летательных аппаратов. В двумерных автоматических системах каналы управления обычно связаны между собой, причем природа этих связей может иметь различное физиче- ское происхождение. В системах сопровождения в качестве элемента, осуществляющего повороты лилии визирования, часто используют гироскоп, имеющий три степени свободы (рис. 1.1.5). Уравнения движения гироскопа имеют вид [2J: + £У1 +НУ2 = (1.1.1) Гу2 +&2-НУ1 = М2, где I - момент инерции ротора относительно осей вращения рамок; Н - собственный кине- тический момент ротора: £, - коэффициент демпфирования; и уз - Углы поворота ра- мок; М\ и М2 - моменты коррекции. Как следует из уравнений (1.1.1), каналы управления связаны между собой благодаря свойствам тела, вращающегося вокруг непод- ( вижной точки, - кинетический момент Н вхо- дит в виде коэффициента при угловой скоро- сти из смежного канала. Обратная связь осуществляется с помо- • щью датчиков, преобразующих угловые откло- нения оптической оси от линии визирования в моменты коррекции М\ и Му- М\ = к(х\ - J1); Л/2 = к(х2 - у2). Пример многомерной системы, в которой происходит управление сразу несколькими координатами, - автоматическая система управления полетом самолета. Предположим, что под влиянием некоторых внешних причин самолет отклонился от курса. На датчиках Рис. 1.1.5. Схема следящего координатора чувствительного элемента - гироскопа - воз- никнет электрический сигнал, пропорцио- нальный этому отклонению. Сигнал поступает после некоторого усиления на рулевую маши- ну, которая перекладывает руль, и самолет должен вернуться на курс. Вследствие инерции самолет переходит через положение равнове- сия, и при неправильно сконструированной системе могут развиться незатухающие колеба- ния. Но в данном случае важными представ- ляются еще несколько побочных явлений. Из- за отклонения руля и бокового скольжения самолета меняется его аэродинамическое со- противление и при постоянной тяге двигателя происходит падение скорости, следовательно, уменьшение подъемной силы с неизбежным падением высоты полета. Сложная форма са- молета и скольжение вызывают неравномерное обтекание плоскостей, вследствие чего возни- кает еще и крен. Для компенсации этих явле- ний необходима по меньшей мере работа еще трех каналов, которые влияют друг на друга. 1.1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ ПРИЗНАКУ В любой автоматической системе можно выделить элементы, выполняющие простей- шие функции. Чувствительные элементы - измеряют значение регулируемой координаты. В приве- денных примерах такую функцию выполнял центробежный маятник в системе регулирова- ния угловой скорости. Гидрораспределитель усилителя реагирует на смещение малого поршня. В системе стабилизации курса само- лета угловую величину воспринимает гиро- скоп. В системе передачи угла на расстояние угол поворота антенны или какой-либо другой Нагрузки воспринимает сельсин-приемник, ротор которого непосредственно связан с на- грузкой. Сельсин-датчик и сельсин-приемник об- разуют вместе элемент, измеряющий разность между углом поворота и его действительным значением. Элемент, измеряющий разность между заданным значением регулируемой ко- ординаты и ее действительным значением, называют сравнивающим элементом, или диф- ференциальным устройством (от латинского differentia - разность). Объект регулирования рассматривается как элемент автоматической системы. Несмотря на то, что объект регулирования или управляе- мый объект сам может представлять собой сложное техническое устройство, в теории автоматического управления обычно рассмат- ривают его как элемент, состояние которого характеризуется набором входных и выходных координат. Так, для самолета входной коорди- натой является отклонение руля, выходной -
20 Глава 1.1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ его отклонение от заданного курса. У самолета как объекта регулирования существуют и дру- гие входные и выходные координаты, таким образом, различные системы управления ока- зываются связанными между собой через объ- ект регулирования. Исполнительные элементы оказывают не- посредственное воздействие на объект регули- рования. Это двигатель, поворачивающий ан- тенну радиолокатора, рулевая машина, откло- няющая рули, силовой цилиндр, развивающий необходимое усилие для перемещения нагруз- ки. Подразделение автоматической системы на элементы по функциональному признаку оказывается иногда условным. Например, гид- роусилитель, в котором мы выделили гидро- распределитель и силовой цилиндр, в сово- купности можно рассматривать как исполни- тельный элемент, входной координатой кото- рого служит смещение штока гидрораспреде- лителя, а выходной - смещение штока сило- вого плунжера. Все без исключения элементы автомати- ческих систем осуществляют преобразование входных координат в выходные. В том случае, когда существенной является именно эта функция, элемент называют преобразователь- ным. Как правило, преобразовательные эле- менты имеют на входе и выходе координаты различной физической природы: давление - перемещение, угол поворота - электрическое напряжение, скорость вращения - угловое отклонение и т.п. Преобразовательные элемен- ты нередко совмещают также и функцию уси- ления по мощности. В таком случае их назы- вают усилительными элементами. При анализе динамических свойств ав- томатических систем нами будут выделены корректирующие элементы. В соответствии с их названием они осуществляют исправление динамических свойств систем с обратной свя- зью. 1.1.3. ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К СИСТЕМАМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Основное назначение системы автомати- ческого управления состоит в обеспечении заданного соответствия между входной и вы- ходной координатами. В случае следящей сис- темы входная координата должна быть равна выходной в любой момент времени. Посколь- ку автоматическая система работает на основе сравнения входной и выходной координат, такое равенство принципиально неосуществи.- мо и можно лишь говорить о достаточно ма- лой разности между входной и выходной ко- ординатами. Эта разность в между входной величиной U и выходной (управляемой) х в дальнейшем называется ошибкой, а соотноше- ние в = и - х - условием замыкания системы. Обычно различает ошибку в установившемся режиме при х = const и ошибку в переходном процессе. Требование в = 0 при х = const ока- зывается принципиально выполнимым для астатических систем. Что касается переход- ного процесса, то обычное требование к его виду состоит в обеспечении его минимальной длительности (рис. 1.1.6). Время переходного процесса Т формально удовлетворяет условию |х(0-х(®)|< ДХ) t>T. Помимо параметра Т форма переходного про- цесса характеризуется перерегулированием ст: _ Хщах ~Х(°°) х(®) В зависимости от назначения системы автома- тического управления считается приемлемым то или иное значение параметра ст. Например, в случае управления движением лифта с пас- , сажирами при остановке его на заданном по программе этаже естественным следует считать ст = 0, т.е. процесс должен быть монотонным (без перерегулирования). Обычно перерегули- рование соответствует колебательным процес- сам с затуханием, более быстро протекающим по сравнению с монотонными. Величина пе- ререгулирования характеризует в этом случае скорость затухания. Очевидно, что при ст = 1 процесс х(/) сведется к незатухающих колеба- ниям. Поэтому выбор параметра ст наряду с Т достигается в результате некоторого компро- миссного решения. В автоматических системах, предназна- ченных для сопровождения движущихся объ- ектов (пример с антенной радиолокатора) мо- жет оказаться, что на первом месте условием оценки качества будет выполнение неравенства
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ 21 |е(/)| < А для произвольного момента време- ни. При этом имеется в виду, что при сопро- вождении перемещающихся в пространстве объектов (самолетов, спутников) приходится воспроизводить с некоторой заданной точно- стью сравнительно плавные входные воздейст- вия «(/), не имеющие разрывов. В таком слу- чае главным показателем качества служит ве- личина Д. Если мы имеем дело с многомерной сис- темой, то в качестве показателя выступает норма вектора ошибки, сформированная по какому-либо из принятых правил: 1) ||е|| = тах|с/| либо 2)Н = | (евклидова норма), ч=1 ) где 8/, / = 1, 2, 3, ..., п - компонент вектора ошибки. Глава 1.2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 1.2.1. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ В теории автоматического управления для пояснения основных принципов работы, последовательности операций, прохождения сигналов и взаимосвязей различных элементов используются структурные схемы, выполняе- мые с помощью условных геометрических фигур, например, прямоугольников в произ- вольном масштабе. При анализе и синтезе систем на определенной стадии целесообразно абстрагироваться от конкретной физической природы протекающих в них процессов. По- этому структурным схемам отдается предпоч- тение перед принципиальными электрически- ми, гидравлическими, кинематическими и другими схемами. На рис. 1.2.1, а, б изображены структур- ные схемы системы стабилизации скорости и системы передачи угла на расстояние. В пря- моугольниках указаны наименования элемен- тов. На рис. 1.2.1, б показано дифференциаль- ное устройство (в виде кружка с перекрести- ем), осуществляющее вычитание угла поворота антенны из задаваемого внешним устройством угла «(/). Рас. 1.2.1. Структурные схемы: а - системы регулирования скорости центробежным регулятором; б - системы передачи угла; в - многомерной системы автоматического регулирования На рис. 1.2.2 показана структурная схема многомерной системы управления летатель- ным аппаратом, на вход гироблока поступают углы рыскания ц/, тангажа 3 и крена у. После преобразования в электрические сигналы и усиления они поступают на вход трех рулевых машин соответственно. Пилот имеет возмож- ность вмешаться в управление угловыми коор- динатами и скоростью полета благодаря диф- ференциальным устройствам. При большом числе переменных для упрощения структурной схемы можно воспользоваться менее подроб- ной схемой, считая координаты состояния компонентами некоторых векторов. При этом связи в структурных схемах обозначаются двойными линиями (см. рис. 1.2.1, в). Струк- турная схема становится более информатив- ной, если внутри прямоугольников записаны математические соотношения между входной и выходной координатами. Стрелками показано направление прохождения сигналов. Под этим понимается причинно-следственная зависи- мость между координатами. Например, в па- ровой машине угловая скорость зависит от величины наклона а дросселя. Обратная зави- симость а от со показана стрелкой в обратной связи. Зачерненный сектор в дифференциаль-
22 Глава 1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Рис. 1.2.2. Структурная схема многомерной системы автоматического управления полетом: $э - угол отклонения элеронов; 5» - угол отклонения руля высоты; - угол отклонения руля направления;* v - скорость полета; ДСН - датчик скоростного напора; СПТ - система подачи топлива; РМ - рулевые машины; УС - усилители; КР - коррекция режима работы двигателя ном устройстве показывает, что связь отрица- тельна, т.е. с = и - х. 1.2.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ И ОБЪЕКТОВ Наиболее общий способ описания эле- мента автоматической системы основан на использовании понятия оператора, устанавли- вающего правило, по которому каждой точке множества входных координат ставится в соот- ветствие точка из множества выходных коор- динат. В случае функциональной зависимости между входной и выходной величинами таким оператором служит эта зависимость. Пример 1.2.1. Напряжение на однофаз- ной обмотке сельсина-приемника (см. рис. 1.1.4) связано с углом поворота сельсина- датчика функциональной зависимостью и = — к sin 8. Множеством входных координат является прямая -оо < е < +оо. Множество выходных координат представляется отрезком (Л *]• Приведенный пример иллюстрирует про- стейшую связь между входной и выходной координатами (входом и выходом). Значи- тельно более распространен случай зависимо- сти, задаваемой дифференциальным уравнени- ем. Для вывода уравнения обычно использу- ются фундаментальные законы физики и ее разделов, развившихся в самостоятельные дис- циплины. Пример 1.2.2. Рассмотрим дифференци- альное уравнение одного из видов исполни- тельных элементов - электрического двигателя постоянного тока. В качестве исходного урав- нения воспользуемся законом механики, со- гласно которому угловое ускорение ротора пропорционально действующему на него мо- менту сил 1^- = Му (1.2.1) dr где I - момент инерции вращающихся масс, приведенный к валу двигателя; (р - угол пово- рота ротора. Момент М, возникающий благодаря взаимодействию электромагнитных полей ро- тора и статора, зависит от приложенного на- пряжения «(/) и угловой скорости вращения ротора со. Таким образом, М = Л/(<р, со) - некоторая, вообще говоря, нелинейная функ- ция двух переменных. На этот раз управляющее напряжение и может принимать значения, принадлежащие эксплуатационной области управлений. Выход- ная же величина <р, как это следует из уравне- ния (1.2.1), не определяет состояния элемента. Для полного описания состояния необходимы две величины; <р и со = . Если считать эти at величины компонентами некоторого вектора, то множество таких векторов при некоторых дополнительных предположениях образует линейное (в данном случае двумерное) про- странство. В классической теории автоматиче- ского управления такое пространство называ- ют фазовым. Дифференциальное уравнение (1.2.1) можно записать в виде двух уравнений пер- вого порядка: (1.2.2) т 1// I —— = и dt v Система (1.2.2) является частным случаем более общей записи вида ^- = //(*i>*2.•••>*»; 1=1, 2.....л, (1.2.3)
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК И УРАВНЕНИЙ 23 которую называют нормальной формой Коши системы дифференциальных уравнений. Как известно [1.7], к такой форме сводится любое уравнение порядка л, разрешенное относи- тельно старшей производной. 1.2.3. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК И УРАВНЕНИЙ Линейные зависимости являются наибо- лее простой формой связи между величинами и обладают весьма важным свойством супер- позиции, сильно облегчающим теоретические исследования. Формально этот принцип запи- сывают в виде следующих соотношений. Если А - линейный оператор, устанавливающий взаимноодназначное соответствие между неко- торыми множествами, то Л(х + у) = Ах + Ау и (1.2.4) А(кх) - кАх, гае х и у - координаты состояния; X - произ- вольное число. Линейная зависимость удовле- творяет этим свойствам. Функциональная зависимость между вхо- дом и выходом какого-либо элемента или сис- темы, полученная в результате эксперимента или теоретических построений, сравнительно редко бывает линейной. Обычно она лишь в той или иной степени приближается по форме к линейной зависимости и задача состоит лишь в том, чтобы аппроксимировать нели- нейную функцию у — fx) линейной формой у = кх + Ь. Если функция f задана своим аналитическим выражением, то, записывая ее разложение в ряд Тейлора f(x) = /<Х0 ) + (х - х0) + о(х - х0), Х=Хо мы получаем искомую аппроксимацию. Такую процедуру называют линеаризацией. Для осу- ществления линеаризации необходимо сущест- вование первой производной функции fix). Процедура линеаризации легко реализуется и для неявных зависимостей вида Дх, у) - 0. Записывая снова разложение Тейлора и удер- живая члены с приращениями х - Хо и у - - Уо, имеем СЛЛ. •*“*0 (х-х0) + У=Уо ду x=xbv 7 У=Уо Если зависимость между координатами пред- ставлена в виде графика, то процедура линеа- ризации в окрестности какой-либо точки эк- вивалентна проведению касательной в этой точке, которая и будет искомой линейной зависимостью (рис. 1.2.3). Наконец, если основанием для построе- ния линейной зависимости служит таблица значений входной координаты {х} и соответ- ствующих значений выходной координаты {у}, то для построения искомой линейной зависи- мости можно воспользоваться методом наи- меньших квадратов, согласно которому Х(х/ -Ф -у) к = —п----------’ £(х/-*)2 /=1 (1.2.5) п п У^х1 - Х^х1У! , ^-лх2 /=1 где средние значения Xi и 1 л у = — \ yt • Формулы (1.2.5) пригодны, если "tl из каких-либо предварительных соображений известно, что искомая модель линейна. В слу- чае нелинейной характеристики необходимо воспользоваться приемами идентификации, а затем линеаризовать полученную нелинейную зависимость с помощью разложения в ряд Тейлора в окрестности предполагаемой рабо- чей точки. Если функции в правой части системы уравнений (1.2.3) принадлежат классу диффе- Рис. 1.2.3. Линеаризация нелинейных характеристик
24 Глава 1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ ренцируемых, то система также может быть линеаризована с помощью указанного разло- жения Л(*1>*2- ! у dfl +у^- i = l, 2,.. *л) = Л(*1О.*2О.-.*ло) + “j=“jO ., п. Вводя обозначения J Xj = XJ0 J Uj=Uj0 линеаризованной системе уравнений (1.2.3) можно придать матричную форму X = AX + BU, (1.2.6) где X = (xj, х2, ...» хл)т - вектор координат со- стояния (для краткости в дальнейшем -вектор состояний); U = (iq, «2, ип)т ~ вектор, управлений, некоторые компоненты которого могут быть, в частности, нулями. Матрица коэффициентов А - квадратная порядка п х п. Матрица коэффициентов В - порядка п х г и г < п. Если элементы матриц А и В не зависят от времени, то линеаризованную систему уравнений (1.2.3) называют стационарной, в противном случае - нестационарной. К матричной форме записи вида (1.2.3) легко приводится линейное уравнение произ- вольного порядка ’ D + ... + а,рс = (12.7) = + b^m ~ О + ... + Ьти. Вводя обозначения: х = хь х(1> = jq = х2, (1.2.8) у(Л 1) — у. _ * — Хл_2, из (1.2.6) получаем хп - — +...+ —и - — хп-...~ aQ aQ aQ *1- (1.2.9) После этих операций соотношения (1.2.8) и (1.2.9) можно записать в форме (1.2.6), где на этот раз векторы состояний и управлений принимают вид X = (хь х2, ..., хл)т; U = (и, iX1), ..., iXw))T. Матрицу коэффициентов 0 1 0-0 0 0 1 ••• 0 ап ап-\ ап-2 _£1_ ао ао называют матрицей Фробениуса, а матрицу В записывают в виде 0 0 0 -0 0 0 0 -0 Ьт Ьт\ .. а0 а0 а0 Дифференциальное уравнение произ- вольного порядка (1.2.7) с постоянными ко- эффициентами можно записать также в опера- торной форме. Если воспользоваться обозна- чением для оператора дифференцирования р = d / dt, х<*> = ркх (к = 0, 1....п), то из (1.2.7) следует N(p) х(/) = М(р) и(/), где полиномы N(p) и М(р) удовлетворяют свойствам (1.2.4) линейных операторов. 1.2.4. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ И ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС Итак, линейное дифференциальное урав- нение (1.2.7) путем некоторых преобразований приводится к виду (1.2.6). Из формул (1.2.8) следует, что и обратно матричная форма запи- си (1.2.6) эквивалентна скалярной форме (1.2.7). В различных случаях полезными ока- зываются обе формы записи. В этом параграфе ограничимся рассмотрением стационарных линейных уравнений. Из теории этих уравнений известно [1.7], что решение представляет собой сумму
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ И ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС 25 х(0 = х(О + Х(0, где х(0 - решение соответствующего одно- родного уравнения (т.е. уравнения с нулевой правой частью), a x(f) - частное решение неоднородного уравнения, зависящего от кон- кретного вида управления u(f). Решение х(0 представляет собой реакцию на начальные условия, его называют переходным процессом ап=ХС/еМ- /=1 Постоянные интегрирования С/ (/ = 1, 2, ..., п) определяются начальными условиями. Чис- ла X/ - это корни характеристического уравне- ния + Л1ХЛ 1 + ... + ал = О, которые можно записать в виде определителя det аи ~ а21 Л31 Л12 @22 ~ а32 - Л1л Л2л •” а3п = 0. ал1 ап2 апп ~ \ (1.2.11) Если переходный процесс обладает свойством lim x(t) = 0, то с течением времени система /->а совершает движение, определяемое функцией u(t). Переходный процесс "в чистом виде" можно наблюдать, если внезапно замкнуть обратную связь при «(0 — 0. Переходный процесс, таким образом, определяется собст- венным движением системы автоматического управления из произвольной точки множества состояний, отличной от нулевой. Из всех тестовых сигналов w(0 наиболее информативен класс гармонических функций вида и = sin(®/ + <р), где без ограничения общности можно поло- жить (р = 0 или (р = у. Тогда в качестве управления можно рассмотреть и = e^r = cos®/ + /sin®/. Такое управление удобно тем, что при диффе- ренцировании оно не меняет своей формы (в отличие от тригонометрических функций). Сами тригонометрические функции описыва- ют некоторое "установившееся" движение, повторяющееся через равные промежутки вре- 2л мени к— (к = 1, 2, ...), наименьший из ® которых называют периодом колебаний Т — 2л / ®. Установившееся движение найдем в виде х(0 = После подстановки х в исходное урав- нение получаем выражение для функции •щ\ : A)O°)W+^1O°)W i+ - +bm *оО)л +ai(j&)n~i+...+an Аф®) ЛГ(/®)’ (1.2.12) Эту функцию называют частотным оператором системы, описываемой уравнением (1.2.7). Частотный оператор полностью определяется коэффициентами уравнения и, следовательно, параметрами элементов. Этим утверждением между частотным оператором и дифференци- альным уравнением устанавливается взаимно- однозначное соответствие. Числитель и знаменатель функции 1К(До) принадлежат к классу целых полиномов пере- менной /®. Следовательно, частотный опера- тор линейной динамической системы с посто- янными коэффициентами является дробно рациональной функцией /ю. Частотный оператор можно записать в виде ИХДо) = Л(й)еА“), а также в виде И^(/®) = Р(ю) +У’0(ю). Здесь Л(ю) и Р(®) - четные, а 0(ю) и Q(w) - нечетные функции частоты ®. Вследствие этого реакция динамической системы на управляющее воздействие и(0 = +е-^°г) = cos®/ отличается от «(0 по фазе на угол 0(ю) и по амплитуде после умножения на функцию Л(ю): х(0 = Л(ю) cos[®Z + 0(®)]. Это свойство действия оператора WV®) на входной сигнал u(t) оказывается весьма удобным при практических расчетах, так как вместо того чтобы каждый раз решать неодно- родное линейное уравнение для вычисления
26 Глава 1.2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ установившегося движения, достаточно один раз найти оператор и, следовательно частотные характеристики Л(ш) и 0(со). Функ- цию Л(со) называют амплитудно-частотной, а 0(со) - фазочастотной характеристиками ли- нейной динамической системы. Удобство ис- пользования этих характеристик становится особенно заметным при вычислении реакции линейной системы на периодическое входное воздействие вида N u{t) - (ov cos vco/ + bv sin vco/) V=1 с коэффициентами разложения в ряд Фурье 1 Т av = — j u(t)co&v<i)tdt (1.2.13) 1 О и т bv = у J u(t) sin vtotdt, Т = 2ти / со. о Благодаря свойству суперпозиции иско- мая реакция записывается сразу в виде N x(t) = У* I Л(у<вдау cos^vco/ + 0(vco)j + • + bv sin(vo)/ + 0(vco))j| Частотный оператор FK(/a)) допускает простую геометрическую интерпретацию, если рассматривать его как вектор с компонентами Р(со) и зависящими от параметра со (рис. 1.2.4). При этом длина вектора И'Х/со) Рис. 1.2.4. Годограф частотного оператора равна Л(со), а угол, образованный вектором с положительным направлением оси Р(со), равен 0(со). Связь между частотными характеристиками такая же, как у декартовых координат с полярными: л(ш) = V/>2(e>)+Q2(«>); Р(со) = /4(co)cos0(co); (1.2.14) 0(со) = arctga((o) / Р(со); С(со) = y4(co)sin0(co). Кривая, которую описывает конец векто- ра при изменении частоты со от -оо до +оо, называется годографом функции FF(/co). Благодаря свойству четности /’(со) и нечетно- сти 2(ю) годограф симметричен относительно оси Р(со), и обычно при его построении при- нято ограничиваться положительными часто- тами 0 < со < +оо. Годограф FF(/oo) наглядно демонстрирует зависимость амплитуды выход- ного сигнала от частоты. С ростом частоты эта амплитуда обычно убывает. Этот факт выража- ет фильтрующие свойства динамической сис- темы - начиная с некоторого значения частоты, амплитуды выходного сигнала стано- вится столь малой, что в некоторых практиче- ских приложениях ею можно пренебречь. Убывание функции Л (со) с ростом частоты может и не был» монотонным. В таком случае частотная характеристика обладает резонансны- ми свойствами или свойствами полосового фильтра. Еще более важное свойство годогра- фа заключается в возможности суждения об устойчивости работы автоматической системы. Ценное качество годографа состоит также в том, что он может был» определен экспери- ментально. Для осуществления такого экспе- римента необходим генератор гармонических функций, работающий в нужном диапазоне частот, и прибор для регистрации входного сигнала и(/) и выходного сигнала x(t) (напри- мер, шлейфовый осциллограф). По записям сигналов определяют характеристики Л (со) и 0(со). Полученные данные можно использо- вать для экспериментального определения неизвестных параметров исследуемой системы, т.е. для идентификации математических моде- лей с реальными устройствами. Работа с генератором гармонического сигнала обычно требует достаточно больших затрат времени. Собственно эксперимент мо- жет был» проведен гораздо быстрее, если огра- ничиться экспериментальным определением переходного процесса с последующей обработ- кой полученных записей.
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 27 Для построения алгоритма обработки следует рассматривать переходный процесс как отрезок установившейся реакции динамиче- ской системы на периодическое ступенчатое воздействие вида (рис. 1.2.5) «(/) = 2«0£ (-1)v 1(/ - VT), (1.2.15) V гае индекс v - пробегает целочисленный ряд значений, а функция 1(/) определяется как единичное ступенчатое воздействие: , [ 1, / О, 10 = (о, ,<а 0216) Согласно принципу суперпозиции реакция системы на сигнал вида (1.2.15) х(0 = 2«о£(- 1)VA(/ - vT), V гае h(f) - переходная функция (реакция системы на единичную ступеньку) (1.2.16). Нетрудно проверить, что разложение u(f) в ряд Фурье имеет вид 4и0 1 . (2у + 1)л ц(,) = V~X^TTxSin Т (,-217) v=0 Формулы (1.2.13) позволяют вычислить коэф- фициенты разложения функции x(f): «V = ^г-(1 - cosjtv)| h(t)co&^-dt О и Т \ - cos>tv)J О Таким образом, как и в разложении (1.2.17), отличными от нуля будут лишь гармоники с нечетными номерами Рис. 1.2.5. Реакция аитоматяческой системы на периодическое ступенчатое мздойепше 4и0 Г ,(Тх\ , 4и0 a2v+i =—- А— cosxdx =—-c2v+i л * \ л / л о , Г j 4и0 *2v+l =— * ----- SinX<fc=—-52v+I Л * \ Л / Л О Относя составляющие амплитудного спектра выходного сигнала x(t) к соответст- вующим гармоникам входного воздействия и и(/), получим дискретную последовательность значений амплитудно-частотной характеристи- ки c2v+l + ^v+l • Как и следовало ожидать, в последнем выра- жении не содержится параметра Uq. Это, од- нако, не означает, что при проведении экспе- римента он может был» любым. Следует пом- нить, что при снятии переходной функции ни один элемент системы не должен выходить на нелинейный режим (например, достигать зоны насыщения). Дискретная последовательность значений фазочастотной характеристики получается в виде e(2v+i)| = arctg-2v+1 s2v+1 Амплитудная и фазовая характеристики линейной системы с частотным оператором НХ/со) в виде дробнорациональной функции j(o определяются одними и теми же коэффи- циентами. Поэтому характеристики оказыва- ются связанными однозначным соответствием. Взаимнооднозначное соответствие между ха- рактеристиками можно увидеть также из соот- ношений (1.2.14). Величина шага по частоте Дсо = л / Т тем меньше, чем более длинный отрезок Т переходного процесса используется в алгорит- ме обработки. Таким образом, ступенчатое воздействие вида (1.2.16) оказывается весьма информатив- ным и, кроме того, позволяет существенно сократить время эксперимента при определе- нии частотных характеристик системы. Поэто- му ступенчатое воздействие часто используется как тестовый сигнал как при эксперименталь- ных, так и при теоретических исследованиях. 1.2.5. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ При изучении частотных характеристик и переходных процессов стационарных линей- ных систем соответствующую роль играли два
28 Глава 1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ типа входных воздействий, названных тесто- выми сигналами - гармонический сигнал вида wosin((o/ + ср) и ступенчатая функция вида Uq- !(/) определяемая соотношениями (1.2.16). Эти две функции позволили сформулировать фундаментальные понятия переходного про- цесса и частотного оператора. Однако они далеко не исчерпывают многообразия внешних воздействий, достаточно привести пример функции u(t) = /. Для расширения возможно- стей исследования линейных систем весьма полезными оказываются методы операционного исчисления, в основании которого находится интегральное преобразование Лапласа* ра Дробно-рациональная функция парамет- W(p) = М(р) N(p) (1.2.20) 00 £{/(')} = F(p) = J /(Пе-"Л, (1.2.18) О для существования которого достаточно, чтобы порядок роста оригинала flj) не превосходил порядка некоторой экспоненциальной функ- ции ес/, где с - вещественная константа. Такое условие охватывает достаточно широкий класс внешних воздействий, встречающихся в при- кладных задачах исследования динамических систем. Методы операционного исчисления удобны также тем, что при обращении к ним наиболее просто учитываются начальные усло- вия, т.е. значения координат состояния в на- чальный момент времени t = 0. Методы клас- сической теории дифференциальных уравне- ний также достаточно хорошо разработаны, и для получения решения уравнения линейной системы можно было бы и не обращаться к операторным методам. Но эти методы образу- ют естественное развитие частотного подхода и дают возможность расширить также понятие частотного оператора. В дальнейшем мы будем пользоваться односторонним преобразованием Лапласа (1.2.18), при котором предполагается, чтоД/) = 0 при t < 0. Сформулируем понятие передаточной функции динамической системы, описываемой уравнением (1.2.7). В отношении управляю- щего воздействия положим, что в начальный момент t = 0 и i/(v) = 0, v = 1, 2, 3, ..., п. Тогда с учетом начальных условий для управ- ляемой координаты, преобразуя по Лапласу обе части уравнения, имеем называется передаточной функцией по отно- шению к управляющему воздействию. Мы используем для ее обозначения символ FF, так как она получается из частотного оператора формальной заменой усо на р. Второе слагаемое в выражении (1.2.19) также является дробно-рациональной функци- ей р с тем же знаменателем и соответствует начальным условиям. В частности, при нуле- вых начальных условиях из (1.2.19) следует «.!.!> т.е. передаточная функция линейной динамиче- ской системы - это отношение преобразований Лапласа выходной и входной координаты при нулевых начальных условиях. Порядок полинома V(p) не выше п - 1, и коэффициенты его суть линейные комбина- ции начальных условий и коэффициентов исходного уравнения (1.2.7). В теории автоматического управления различают также передаточные функции по отношению к ошибке и к возмущающему воз- действию. Для того чтобы дать определение, обратимся к структурной схеме (рис. 1.2.6). К такой схеме сводится большинство автома- тических систем при некоторых обобщениях понятия регулятора с передаточной функцией и объекта регулирования F₽o(p). На выход объекта кроме выходного сигнала регулятора z(/) влияет возмущающее воздейст- вие Д/) (помеха, паразитная генерация, внеш- нее силовое воздействие и др.). Согласно оп- ределению передаточных функций ДО = ^„(р) Е(р); ДО = fF0(P) (ДР) + ДО); дополнив эти равенства уравнением замыка- ния Е(р) — U(p) - Х(р), получаем N(p) Х(р} = М(р) U(p) + V(p) или Х(р) = У(Р) N(P)' (1.2.19) * Операционное исчисление может был» построено и без использования преобразова- ния вида (1.2.18). Рве. 1.2.6. Структурная схема с утфавляхмцим и(0 возмутцаямцямДО мздейстмяма
КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 29 Х(р) = ^(pWP(p) U(p) + w F(pY l^Wp(p)WM w (1.2.22) Здесь выделены передаточная функция по отношению к управлению U(p) и передаточная функция по отношению к возмущению F(p) (множитель при изображении Д/)). Используя снова уравнение замыкания, исключим изображение выходной величины из (1.2.22): ад = Т^№)^) + ^о(Р) l + ^(p)Fr0(p) (1.2.23) Множитель в первом слагаемом называют передаточной функцией по отношению к ошибке. Все три упомянутые передаточные функции имеют одинаковый знаменатель, куда входит произведение Wo(p) ^р(Р) последовательно соединенных звеньев. Нетрудно показать, что любое число последовательно включенных звеньев с передаточными функциями W/(p) (i = 1, 2, 3, ..., п) эквивалентно одному звену с передаточной функцией, равной произведе- нию W\(p) ... Wn(p). Параллельные соединения звеньев с передаточными функ- циями Н/(р) (/ = 1, 2, 3, ..., л) эквивалентно также одному звену, но с передаточной функ- цией, равной сумме ^(р) + + ... + + Wn{p). При нулевых начальных условиях и ра- зомкнутой обратной связи передаточная функ- ция систем становится равной Wp(p) W$(p). 1.2.6. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО ВИДУ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ Согласно основной теореме высшей ал- гебры [10] полиномы М(р) и N(p) в числителе и знаменателе дробно рациональной функции (1.2.20) можно разложить на множители, т.е. М(р) = Ьй(р - Hl) (р - ц2) ... (р - цж); N(p) = <ю(р - Xi) (р - Х2) ... (р - Х„), где и X/ - корни уравнений М(р) = 0 и МР) - 0. В случае вещественных коэффици- ентов л/ (Z = 0, 1, ..., п) и (к = 0, 1, ..., т) корни ц* и X/ представляют собой веществен- ные числа, либо попарно сопряженные ком- плексные. Объединяя скобки с комплексными корнями попарно, можно выделить в качестве элементарных сомножителей квадратные трех- члены вида р2 - 2oifcP +0£ - в числителе и р2-25/р + у2 - в знаменателе. Указанное разложение передаточной функции на элемен- тарные множители и служит основанием для классификации. Всего можно выделить шесть элементов, получивших специальные наиме- нования. При этом стандартным видом этих множителей считают такой, у которого сво- бодный член (не содержащий р) равен едини- це. 1. Апериодическое звено. Передаточная функция где Г - постоянная времени, с; таким образом, произведение 7)? - безразмерная величина. Частотные характеристики выражаются формулами: Л(®) = 1 71+г2©2 - амплитудно-частотные и 0(ю) = arctgT© - фазочастотные. Выделив вещественную «(©) и мнимую v(©) частотные характеристики, можно по- строить годограф апериодического звена, имеющий вид полуокружности, касающейся мнимой оси в точке (0, 0) (рис. 1.2.7, а). Ре- акция звена на ступенчатое входное воздейст- вие (рис. 1.2.7, б) Рис. 1.2.7. Характеристики апериодического звена: а - годограф; б - переходный процесс
30 Глава 1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ МО = 1-е'*. Предельное значение сдвига гармонического сигнала по фазе при ® -> оо равно 90° (выход- ной сигнал запаздывает). Физическими примерами апериодиче- ских звеньев служат электродвигатель (входной сигнал - управляющее напряжение, выходная координата - угловая скорость вращения рото- ра) и RC - цепочка (рис. 1.2.8, а) 2. Колебательное звено. Передаточная функция W(p) = , у- 1-------, Т2р2 +2^7J>+1 где Т - постоянная времени; £ - коэффициент демпфирования. Амплитудно-частотная характеристика Л(в>) = -----------------. ^(1- Т2в>2) +(2^т<о)2 Фазочастотная характеристика 0(<о) = arctg—(1-2.24) 1-Т2ш2 Вычисление фазочастотной характеристики имеет одну особенность. При значениях ® > > 1 / Т сдвиг по фазе становится отрицатель- ным, если пользоваться углами первой четвер- ти в соответствии с определением функции arctg. По этому правилу работают все вычисли- тельные машины. Это приводит к результатам, противоречащим физике прохождения сигнала через колебательное звено, 6) Рис. 1.2.8. RC-цеш, реалжзукмцк: а - апериодическое звено; б - колебательное звено так как с ростом частоты сдвиг по фазе должен монотонно увеличиваться в сторону запазды- вания. Поэтому при ® > 1 / Т алгоритм вы- числения фазового угла следует построить по правилу 0(®) = 180° - 0(ю), где 0(ю) - угол, вычисляемый по формуле (1.2.24). Амплитуд- ная характеристика имеет максимум при 0>=yVl-21j2- При нулевом демфировании (звено в этом случае называют консервативным) резо- нансный пик переходит в разрыв характери- стики. При увеличении £ в интервале 0 £ £ £ <, 1/2 максимум функции Л(ю) становится меньше и смещается влево, пока при £ = 1/2 не займет крайнего положения на частоте ® = = 0. При дальнейшем увеличении £ максимум Л(®) остается в точке ® = 0, но уже не соот- ветствует условию А' (®) = 0, так как произ- водная становится отрицательной. Если демп- фирование £ > 1, то колебательное звено сле- дует рассматривать как два последовательно включенных апериодических с постоянными времени и Годограф подходит к*точке (0, 0), касаясь вещественной оси, т.е. предельное значение сдвига фаз равно 180°. Переходная функция вытекает из выра- жения для W(j>)/p или в форме с фазовые углом Простая физическая реализация колеба- тельного звена представляется цепочкой из индуктивности, активного сопротивления и емкости. Падение напряжения на емкости
КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 31 связано с общим падением напряжения соот- ношением (рис. 1.2.8 б) LC + RC + хг = хь а2 л Рассеяние энергии происходит на сопротивле- нии Я которое связано с коэффициентом демпфирования £ прямой зависимостью. 3. Интегрирующее звено. Некоторые из корней знаменателя пере- даточной функции N(p) могут оказаться нуле- выми. В таком случае это элементарные звенья с передаточной функцией Такие звенья называют интегрирующими, и это наименование непосредственно связано с переходной функцией t Л(/) = / = J 1(г)Л. О Годограф интегрирующего звена пред- ставляет мнимую отрицательную полуось. Фа- зовая характеристика не зависит от частоты и равна 90°. В качестве примера интегрирую- щего звена можно указать на электрический исполнительный двигатель, если за входную координату принять управляющее напряже- ние, а за выходную - угол поворота ротора. При этом нужно пренебречь переходным про- цессом из-за инерционности ротора. Другой пример - электронный усилитель с очень большим коэффициентом усиления с емко- стью в обратной связи. Такая схема интегриру- ет входное напряжение, если выходной сигнал не достигает своего предельного значения (рис. 1.2.9). 4. Дифференцирующее звено первого порядка. Так называют элементарное звено с пе- редаточной функцией W(p) = 1 + Тр, соответствующей вещественному корню поли- нома М(р) в числителе передаточной функции Рас. 1.2.9. Интегратор аналоговой ЭВМ: к - коэффициент усиления Амплитудно-частотная характеристика Л(ю) = V1 + Г2©2 - монотонно возрастающая функция частоты. Это указывает на то, что реализация диффе- ренцирующего звена с помощью пассивных технических устройств, т.е. устройств, не со- держащих источников энергии принципиально невозможна. Фазочастотная характеристика 0(ю) = arctgT© в отличие от апериодического звена сдвигает выходной сигнал по отношению к входному в сторону опережения с предельным значением сдвига 90°. Годограф представляет собой полу- прямую, параллельную мнимой оси для поло- жительных значений. Изобразить переходную функцию в дан- ном случае невозможно из-за формальных трудностей дифференцирования разрывной функции 1(/), производная которой определе- на всюду, кроме точки t = 0. Преодолеть эти трудности можно с помощью предельного перехода, рассматривая последовательность дифференцируемых функций вида lim | — + — arctgcrx ] = 1(/). о->оо к 2 It ) Дифференцируя левую часть этого равенства и затем переходя к пределу, получим одно из выражений для 5-функции, которая, таким образом, является обобщенной производной от функции !(/)> 5(/) = 1од1 о->оо л(1 + (Т2Х2) После этого можно записать выражение для переходной функции дифференцирующего звена первого порядка Л(/) = 75(0 + 1(0. Сигнал производной технически реали- зуется в различных дифференцирующих уст- ройствах (рис. 1.2.10, а). Напряжение на щет- ках тахогенератора пропорционально скорости вращения его ротора, т.е. и = Л^ф. Переда- точная функция ЯС-цепочки (рис. 1.2.10, б) имеет вид %2(Р) _ RCP Х\(р) \ + RCp' При низких частотах, когда можно пре- небречь произведением RCp по сравнению с единицей,
32 Глава 1.2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ в) Рис. 1.2.10. Принципы реализации операции дифференцирования: а - тахогенератор; б - ЛС-цепочка; в - следящий координатор W(p) = Т2р2 4- + 1 соответствует паре комплексных сопряженных корней полинома М(р) (1.2.20). Это звено также нереализуемо с помощью пассивных устройств. Его амплитудно-частотная характе- ристика Фазочастотная характеристика 0(<о) = arctg 2^ 7<о / (1 - 7^со2) в пределе сдвигает сигнал на 180° в сторону опережения. Нетрудно вычислить годограф в виде кривой второго порядка. Переходная функция с помощью обобщенных производ- ных имеет вид А(0 = Г^ +2^75(/) +КО- Сигнал по второй производной, как пра- вило, связан с измерением различных силовых факторов, которые благодаря второму закону Ньютона пропорциональны соответствующим угловым или линейным ускорениям. На рис. 1.2.11 изображен датчик линейных ускорений. Смещение грузика массой /л, который одно- временно служит поршнем демпфирующего устройства, Эти устройства не обладают, разумеется, пере- даточной функцией (1.2.25). Однако, комби- нируя сигнал с его производной, можно полу- чить искомую зависимость Приведем одну из оригинальных схем дифференцирования с помощью интегрирующего элемента (рис. 1.2.10, в). Из схемы следует уравнение ix2 +x2=xi. Очевидно, при достаточно большом коэффи- циенте усиления к выходная координата х2 почти равна входной. В то же время на выходе усилителя сигнал равен производной х2 и приближенно равен производной входного сигнала Xj. Такая схема используется при сопровождении различных перемещающихся в пространстве объектов, в частности, при наве- дении по методу пропорциональной навига- ции [1.3]. 5. Дифференцирующее звено второго по- рядка. Передаточная функция этого звена и при достаточно малом демпфировании f преобразуется в сигнал м, пропорциональный измеряемому ускорению. 6. Пропорциональное звено с передаточ- ной функцией W(p) = к, равной константе, осуществляет безынерционное преобразование, что является идеализацией реальных процес- Рис. 1.2.11. Датчик линейных ускорений
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 33 сов. Примерами пропорциональных звеньев служат электронные усилители, редукторы, механические трансмиссии, всевозможные датчики, чувствительные элементы. Описывая элемент автоматической системы как пропор- циональный, мы делаем определенные допу- щения. Например, в случае редуктора таким допущением является отсутствие зазоров в зубчатом зацеплении. Электронные усилители в действительности обладают некоторым пере- ходным процессом и т.д. Проверка справедли- вости допущений не является, вообще говоря, элементарной задачей и тесно связана с про- блемой идентификации математических моде- лей. 1.2.7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА СВЕРТКИ Как было установлено в предыдущем па- раграфе, 5-функция является обобщенной производной от единичной ступенчатой функ- ции 1(1)* Для соответствующего предельного перехода можно использовать различные кон- структивные построения. В частности, в каче- стве такого весьма простого подхода можно рассмотреть последовательность прямоуголь- ных импульсов вида Очевидно, что при п —> оо предельная функ- ция последовательности 5Л(/) обладает извест- ными формальными свойствами 5-функции: 5(0 = 0 при /#0, оо при t = О и о° J b(t)dt = L -00 Благодаря принципу суперпозиции реак- ция линейной системы на входное воздействие 5Л(/) имеет вид М') = »Л(0-Ф-7 Переходная функция h(f) принадлежит к классу дифференцируемых. Поэтому, переходя к пределу при п -> оо, получаем где £(/) - импульсная переходная, или весовая функция линейной динамической системы. Она равна производной от переходной функ- ции Л(1). Произвольную ограниченную (не обяза- тельно непрерывную) функцию м(1) можно рассматривать как сумму “(<) = / = —СО Обращаясь снова к принципу суперпозиции, найдем реакцию системы на воздействие u(fy. x(t) = J u(x)k(t - x)dt. (1.2.26) -00 Полученное выражение известно в тео- рии линейных цепей как интеграл Дюамеля. Рассматривая значения м(1) отличные от нуля лишь при положительных значениях /, запи- шем (1.2.26) в виде х(Г) = J u(x)k(t - т) А. (1.2.27) О По физическому смыслу функция k(f) равна нулю при / £ 0, т.е. верхний предел в (1.2.26) можно заменить на t t x(t) = J u(x)k(t - т) A. (1.2.28) 0 Мы получили связь между входной u(f) и выходной х(0 координатами, не обращаясь к аппарату преобразования Лапласа. В дейст- вительности между обоими методами сущест- вует простая связь. По определению переход- ной функции !{*(/)} = jw(p). По теореме об изображении производ- ной ЦЩ)} = W(p). (1.2.29) Таким образом, весовая функция - это ориги- нал для передаточной функции. Найдем теперь изображение выходной координаты х(/) из (1.2.28): 00 t Х(р) = | м(т)е_;пА| k(t - x)t~^~^dt О о или, согласно (1.2.29) А(р) = U(p)W(p). 2 Зак 1023
34 Глава 1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ В математике интеграл в формуле (1.2.28) называется сверткой функций u(f) и k(f). Выражение (1.2.29) можно получить и другим путем. Благодаря фильтрующему свой- ству 5-функции ее изображение = 1. -00 Так как k(f) - это реакция на 5-функцию, то ее изображение находят как произведение W(p) • 1, т.е. (1.2.29). Итак, выражения (1.2.29) и (1.2.21) в оп- ределенном смысле равносильны, а весовая функция k(f) так же, как и передаточная, пол- ностью определяет динамические свойства линейной системы. В зависимости от функ- ционального назначения входной и выходной координат различают весовые функции по отношению к управляющему воздействию, по отношению к ошибке, к начальным условиям. Пример 1.2.2. В момент времени / = 0 на управляющую обмотку исполнительного дви- гателя с постоянной времени Т подается на- пряжение u(f) = .dsinco/. Требуется найти за- кон изменения угловой скорости Q(/) враще- ния ротора, пользуясь весовой функцией. Решение. Из выражения для передаточной функ- ции, которое следует из уравнений (1.2.2), 1 + 7J> следует, что весовая функция *(0 = уе'*, ПО. Подставив в (1.2.28) выражение для управляющего сигнала и для весовой функции, имеем Q(/) = sincoTcft, О или после вычисления интеграла Q(0 = sin(<o/ + arctgTco) - Vl + T2co2 AkxoT -I ’1 + T2/ ’ На рис. 1.2.12 показана зависимость Q(/) и ее составляющие, соответствующие устано- вившемуся движению и влиянию начальных условий. Рве. 1.2.12. Переходный процесс н его соспшлякмцне 1.2.8. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ДВУМЕРНЫХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ. КОМПЛЕКСНЫЕ КООРДИНАТЫ Уравнения двумерной системы сопрово- ждения (1.1.1) записаны в скалярной форме. На рис. 1.2.13 изображена структурная схема, соответствующая этим уравнениям. Учитывая условия замыкания, запишем +-4F2 = *(*i -л); 1У2 + - Ну\ = к(х2 - у2). Умножив второе уравнение на j = 7-Т и сложив с первым, найдем Гу + ty - jHy = k(x - у), (1.2.30) ще у = У1 + jyi и х = Xj + jX2 - комплекс- ные координаты двумерной системы. Преобра- зуем (1.2.30) по Лапласу при нулевых началь- ных условиях. Согласно определению переда- точной функции (1.2.20) имеем Г(Р)___________к Х(Р) Ip1 +(E,-jH)p + k' Рис. 1.2.13. Струпурная схема следящей системы с пфоскопяческям нсполшггельиым элементом
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ 35 В данном случае не все коэффициенты знаменателя являются вещественными числа- ми. Поэтому корни знаменателя не обладают свойством взаимной сопряженности. Для квадратного уравнения с комплекс- ными коэффициентами остается справедливой известная формула вычисления корней ±^2-Я2 -4*Г->2^я). Последнее выражение можно привести к виду, когда под знаком радикала будут только вещественные величины. Обозначив для крат- кости а = £2 - - 4kl, Р = -2£17, имеем Таким образом, в общем случае передаточную функцию двумерной системы можно привести к виду Р ^(р)=4 -т-----------х р П(^->+а/) /=1 Q П(Т*Я + 7 + Р*) (1.2.31) П(7’«./’+>+а») т=1 Кроме уже знакомых элементарных со- множителей - пропорционального и интегри- рующего, полученных для одномерных систем, здесь появляются еще четыре разновидности ранее не встречавшихся сомножителей. В со- ответствии с принятой терминологией их на- зывают апериодическими и дифференцирующими элементами передаточной функции с ком- плексными коэффициентами. 1. Апериодические звенья с комплекс- ными коэффициентами - это звенья с переда- точными функциями »Г(р) = 1 7>-/+а и ^(р) = 1 Тр + j + а ’ С этими передаточными функциями со- поставляются структурные схемы (рис. 1.2.14). Они различаются знаками перекрестных свя- зей в скалярном варианте или знаками в об- ратной связи в векторном варианте. Рис. 1.2.14. Структурные схемы, реализующие передаточные функции звеньев с комплексными коэффициеигами [14]: а - апериодического; б - дифференцирующего 4? 2*
36 Глава 1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Для получения частотных характеристик звеньев с комплексными коэффициентами достаточно положить р =jas. Например, И» =-------± v 7 а + у(Т© - 1) Амплитудно-частотная характеристика Л(©) = (а2 + (Т© - 1)2) Фазочастотная характеристика . Тео - 1 0(со) = -arctg—-—. При изменении частоты в пределах -оо < со < +оо конец вектора IF(/©) в коорди- натах U = Re И4, V = Im W опишет годограф. В случае апериодического звена это будет ок- ружность. Действительно, полагая после очевидных преобразований получаем уравнение смещенной окружности. Как и в случае обычного апериодического звена, эта окружность касается мнимой оси, но оциф- ровка по частоте уже несимметрична относи- тельно вещественной оси (рис. 1.2.15, а). Лег- ко проверить, что при замене частоты со на (2 / 7) - со частотный оператор 1К(/со) заме- няется на комплексно-сопряженный / 2 4т (1.2.32) Для того чтобы сформулировать понятие о переходной функции звена с комплексными коэффициентами, необходимо ввести опреде- ление двумерного ступенчатого воздействия х(/) = 1(/) е/₽ = 1(/) (coscp 4- j sinep), где ф - некоторый постоянный угол. Реакцию звена на такое воздействие на- ходят из дифференциального уравнения Г ^-+(>+«)> = l(Z)e*. Изображение выходной координаты име- ет вид 1 Т р Tp + j + a Отсюда непосредственно следует запись для переходной функции *(') = -+- ко-+И = J +«v > лЛР ( al ( t f \А =---- 1(0 “ eT cos— + у sin — , y+al I T TJ) которое при необходимости можно предста- вить в скалярной форме, выделяя веществен- ную и мнимую части. 2. Дифференцирующее звено с ком- плексными коэффициентами. Как и в предыдущем случае, возможны две разновидности передаточных функций из числителя функции НХ/со) (1.2.31): IF(p) = tp +j + Р Рис. 1.2.15. Годографы частотных операторов с комплексными коэффициентами звеньев: а - апериодического; б - дифференцирующего
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ 37 ИЛИ WW = V -j + А Эти две разновидности звеньев также имеют структурные схемы с перекрестными связями, но на этот раз связи не обратные, а прямые (см. рис. 1.2.14). Заменой р в усо по- лучаются две разновидности частотного опера- тора = У(Т0) ± 1) + р, откуда следуют выражения для амплитудной Л(со) = [(по ± I)2 + р2]1/2 и фазовой частотных характеристик 0(со) = arctg(To) ± 1) / р. Годограф представляет собой прямую, параллельную мнимой оси (рис. 1.2.15, б) с тем же нарушением симметрии в оцифровке. Справедливо свойство (1.2.32), установленное для апериодического звена. Для вычисления переходной функции необходимо обратиться к дифференциальному уравнению TJ+(>+₽>=>'> из которого следует искомое решение вида • й(0 = твфе* + (/ + р)1(/)е = = T8(0e-* + 1(071 + Р2 х (. . о х exp^ yep + arctg —J. Здесь комплексный множитель при 8-функции при переходе к скалярной записи распадается на тсо$ф и Tsimp - компоненты интенсивности 6-импульсов. Преобразуя (1.2.33) по Лапласу, можно получить систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений коор- динат. Так как ранг этой системы равен л, то могут быть составлены отношения фл(/,)=^’(/=1’2......"); ф^) = л^’(г=1,2......и) для каждого управляющего и возмущающего воздействия. Эти отношения называют переда- точными функциями. Совокупность переда- точных функций записывается в виде переда- точной матрицы ФцОО Ф12ОО ••• Ф1я0») ф(р) = ^210») Ф22ОО ••• ФгаОО фЛ10>) ФлгО») Фи О’). по управляющим, а также ФйОО Ф1г0») ••• ФкОО' ф'0») = Ф21 О’) Ф22ОО - ФЬ.О’) ФмО») ФлгО») ФмО). - по возмущающим воздействиям. Поскольку все элементы- передаточных матриц линейной системы являются дробно- рациональными и, следовательно, интегрируе- мыми функциями, то Умножая каждый эле- мент на е/* и интегрируя, можно получить матрицу, состоящую из импульсных переход- ных функций, которую называют импульсной переходной или весовой матрицей. Например: 1.2.9. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В скалярной форме уравнение много- мерной замкнутой системы можно записать в виде к=1 к=1 г.1 (/= 1, 2..») (1.2.33) где - управляемые координаты; - управ- ляющие или задающие воздействия; fr - воз- мущающие воздействия; ацАР)у Ь^Цр), c^ip) - полиномы символа />, который в данном слу- чае рассматривается как символ дифференци- рования. с+> |фООе"ф = К(П = c-Jco *н(0 *12(0 - *1л(0" *21(0 *22(0 - *2п(0 А1(0 *„2<0 ••• ^лл(0. Техника вычислений передаточных и ве- совых матриц особенно экономно выглядит в матричной записи уравнений (1.2.33): А(р)х(0 = B(p)g(l) + (1.2.34) Преобразуя по Лапласу (1.2.33), имеем А(р)Х(р) = B(p)G(p) + C(p)F(p), откупа
38 Глава 1.3. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Х(р) = A-l(p)B(p)G(p) + A-l(p)C(p)F(p) или в соответствии с правилами вычисления обратной матрицы X(f) - + det А(р)' + A*(p)C(p)F(p)). Пример 1.2.3. Пусть уравнение (1.2.34) имеет вид "11(f) "12(F)] Г*1 (01 "21(F) "22(F)J [*2 (О J _ [411(F) 412(F)] Г«1(0] + L*21(F) *22 (F) J [«2(0j + ["11(F) "12(F)] 171(0' ["21(F) C22(F)J [/2 (0. ’ Найдем передаточную матрицу Ф(р) и Ф'(р) соответственно для управляющих и воз- мущающих воздействий. Присоединенная матрица "22(F) -"12(F)' .-"21(F) "11(f). A*(f) = и определитель матрицы А(р) detA(p) = ац(р) аиО») - ап(р) a2i(p). Изображение вектора координат состоя- ния выражается через изображение векторов управлений и возмущений после умножения слева на матрицу А-1(р): 7(F) x2(f). = (1/Д)А’(р) Г4ц(/>) L*21(F) + (1/д)а’(/>) "11(F) "21(F) 412 (f) 7(F) 422(F). 7(F). "12(F)' 17 (f)] "22(F)] >2(F)J’ ще Д = вц(р) O22(p) - an(p) "21(f)- Таким образом, передаточная матрица по управляющему воздействию ф(р)=ГФ11(/,) ф,2(р) Р L«21(F) Ф22 (P)j где Фц(р) = ^-("22(f)4ii(f) - ап(р)Ь21(р)); ®12(F) = -^("22(f)4i2(f) - "12(F)422(F)); Фг^Р) = ^-(- "21(F)411(F) + "n(P)421(P)); Ф22<Р) = ^•(-"21(f)4i2(p) + "ii(f)422(p)); Д = "h(f) an(p) - "12(f) "21(p)- Элементы матрицы Ф*(р) получаются из элементов Ф(р) заменой на (i, к = 1, 2, ...). Исследования точности, устойчивости и качества многомерной системы можно прово- дить так же, как и в одномерном случае, раз- бив ее на отдельные каналы. Однако сущест- вуют и работы, обобщающие методы, развитые для одномерных систем. Глава 1.3 ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1.3.1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ * Несмотря на современное развитие мето- дов вычислительной математики и вычисли- тельном техники, графоаналитические методы анализа динамических систем до сих пор имеют определенное распространение. Со временем произошло лишь смещение акцентов использования этих методов. В самом начале становления частотных методов с помощью графиков получали значения параметров при конструировании автоматических систем. В современных условиях графические приемы служат для суждения о принципиальной воз- можности требуемых показателей качества при заданной структурной схеме. Определенная гибкость и простота графических построений позволяет сравнительно быстро выбрать наи- более приемлемый вариант структуры, набора необходимых элементов, а также увидеть целе- сообразный способ коррекции свойств проек- тируемого устройства. В линейной теории систем автоматиче- ского управления в задачах анализа и синтеза часто используют логарифмические частотные характеристики (ЛЯХ). Для их графического изображения по оси частот наносят логариф- мическую шкалу с оцифровкой в обычных единицах (Гц или рад/с). Расстояние между произвольным значением частоты со и ее зна- чением, отличающимся в 10 раз, называют декадой. Двукратное изменение частоты соот-
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 39 ветствует октаве (см. рис. 1.3.1). В логариф- мическом масштабе обычно изображают ам- плитудно-частотную и фазочастотную характе- ристики. При этом значение амплитуды вы- ходной координаты измеряется в единицах амплитуды входа также в логарифмическом масштабе. Десятичный логарифм отношения lg%2 / X} измеряется в белах (Б). Эти единицы измерения заимствованы из физики и вытека- ют из закона Вебера-Фехнера, связывающего громкость и силу звука. Аналогичная зависи- мость существует между звездной величиной и освещенностью, создаваемой светилом. Лога- рифмический масштаб дает возможность охва- та сравнительно больших диапазонов изобра- жаемых величин. В теории автоматического управления обычно используют в качестве основной единицы децибел (дБ). Измеряют отношения величин Х2 и Xj в дБ с помощью коэффициента 20, а не 10, как это принято в физике: (х2 / *1), дБ = 201g(x2 / Х1). (1.3.1) Это объясняется тем, что в теории управления большей частью рассматриваются кинематиче- ские факторы, которые связаны с энергией квадратичным соотношением (например, ки- нетическая энергия тела массой т, движуще- гося со скоростью V, равна mv2 / 2). В даль- нейшем в соотношении вида (1.3.1) предпо- лагается, что Xi = 1. Фазочастотную характеристику принято выражать в градусах с равномерной оцифров- кой (см. рис. 1.3.1). Помимо экономии места при изображе- нии больших интервалов частот и амплитуд использование логарифмического масштаба приводит к выпрямлению характеристик звеньев в области высоких и низких частот. Рис. 1.3.1. Логарифмические характеристики апериодического звена Это весьма удобно при графических построе- ниях, и при определенном навыке характери- стики можно строить "на глазок" даже без линейки, но, разумеется, на предварительно заготовленной логарифмической сетке. Рассмотрим логарифмические характери- стики элементарных звеньев, начиная с апе- риодического (рис. 1.3.1). В соответствии с изложенной методикой выразим в децибелах амплитудно-частотную характеристику 201g А (со ) = -201g 71 + 7'2<о2. Очевидно, при со -> 0 величина 201gH(<o) так- же стремится к нулю (низкочастотная асим- птота). При со -> оо асимптотическое поведе- ние характеристики выражается формулой 201gH(<o) - -201g Тео. Обе асимптоты пересекаются в точке с часто- той со = 1 / Т. При этом 201gH(l / 7) = =-201gV2 = -3 дБ. Такая поправка часто ока- зывается пренебрежимо малой. Частотные* характеристики, не учитывающие поправки называют асимптотическими. У апериодиче- ского звена высокочастотная асимптота имеет наклон - 20 дБ на декаду или -6 дБ на октаву. Частотные характеристики колебатель- ного звена образуют семейство кривых для различных значений параметра %. Высокочас- тотная амплитуда имеет наклон -40 дБ на де- каду (-12 дБ на октаву). Фазочастотная харак- теристика увеличивает крутизну вместе с уменьшением параметра £ (рис. 1.3.2). Все вы- Рис. 1.3.2. Логарифмические характеристики колебательного звена
40 Глава 1.3. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ числения для построений выполняются по формулам (1.2.24). Благодаря свойству логарифмов характе- ристики дифференцирующих звеньев первого и второго порядка отличаются лишь знаком от характеристик соответственно апериодического и колебательного звеньев. Характеристики интегрирующего и пропорционального звеньев строятся еще проще. В частности, амплитудно- частотная характеристика интегрирующего звена - это прямая с постоянным наклоном -20 дБ на декаду, проходящая через точку со = = 1, Л (со) = 0 дБ. 1.3.2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗЛИЧНЫХ СОЕДИНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ Построение логарифмических характери- стик цепочки последовательно соединенных звеньев не вызывает затруднений. Передаточ- ная функция цепочки, состоящей из звеньев с передаточными функциями И%>) (/ = 1, 2, ..., л), равна произведению ИИ» = Ж1(р) и/2(р)... %(р). Записывая частотные операторы в форме ИХ/о>) = 4(<») еЛ'<ш>. получаем Л(со) = Л1(со) Л2(со) ... Лл(со), откуда следует правило суммирования: п 2OlgJ(<o) = 20^21g (<о). /=1 Очевидно, что правило сложения спра- ведливо и для фазовых частотных характери- стик последовательного соединения, т.е. п /=1 Рассмотрим правило получения характе- ристик при параллельном соединении и при замыкании системы отрицательной обратной связью. Связь между частотными операторами разомкнутой и замкнутой систем задается формулой Ф(усо) = । 3 2) V 7 l + FFO) U f Если представить операторы в показа- тельной форме: Ф(/со) = Л(со)е/ф(“); то для расчета амплитудной и фазовой частот- ных характеристик замкнутой системы получа- ем (13.3) ср(©) = arctg[sin0 / (Н+ cos0)]. Если требуется получить Л(©) в децибе- лах, вместо символов Н и А в формулы (1.3.3) следует подставить соответственно 10^/20 и 104/20 Тогда рабочие формулы для получения логарифмических частотных характеристик замкнутой системы имеют вид 2OlgH(co) = - 101g(l + 10-^/Ю + + 2 • 1O-^/2ocos0); ср(©) = (sin0 / 10^/20 4- COS0). Построение номограммы для перехода от ха- рактеристик разомкнутой системы к характе- ристикам замкнутой осуществляется по фор- мулам, получаемым путем обращения соотно- шений (1.3.3): Я (со) = 20 _________(13.4) А £ 1; |о - 180°| < arccos^l- 1 / Л2. Igf - cos0 ± Jcos20- 1+1/Л2j; Полагая в (1.3.3) Л = const, получаем однопараметрическое семейство графиков Н — = Н(а). При Л < 1 угол 0 в (1.3.4) может принимать любое значение, а перед радикалом будет знак "+". Аналогично для линий ф = const из (1.3.3) находим Н = 2Olg(sin0 / tgф - cos0), (1.3.5) |18о° - е| < <р. Из формул (1.3.4) и (1.3.5) следует, что графики H(Q) при Л = const и ф = const суть периодические функции 0, симметричные относительно линии 0 = 180®. Поэтому при построениях достаточно ограничиться интер- валом 0® £ 0 £ 180® (рис. 1.3.3). Кроме того, при малых значениях Н((&) вектором FF(/o)) в знаменателе выражения (1.3.2) можно пренеб- речь по сравнению с единицей. Это означает, что линии Л = const и ф = const практически совпадают соответственно с линиями Н = = const и 0 = const.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ 41 Фаза 6(ы) -Ж°-ЗХГ-2К°-г<Л9 ~180° -120°-д0°-40° 0° Н,0Б 32 28 24 - -to (OfiOD 20 16 НК9Г<11 111ДО Iffirauil Vfth са II 12 8 Ulf-I a III- vr. -л и на л /г -. ги_1~2-° МОИИ1"1 I г в^л" । нял?» тмш и 111ГЛ* ЖЙ III ihtt&^LVIlll fi\v 1ИГАЯК&4Ч1 4 О -4 -8 -12 -16 —20 III»liSfc«' VHL’Z/z II II »|1ЕИНК'Лй’гг'1« а’ммами и we гвжжатлшвд:: ($Ш) ($16) (0,178) и1ии«1й;2'Ч1ии«и2Е1’Е1!!! illlSHaBWeieiieeilBieeB^'.SlII IIIIIBIII IIII1II1IIIIII ши lalllllllllllll ши 1а»мт|Ди11им»» ши (0^079) —24 ^«Г-Й^-Ю^-б^-^гО9 60° 100° Ш)° 180° -160°-120о-80о-40о 40° 80° 120° 160° Избыток (разы Рис. 1.3.3. Номограмма для построения частотных характеристик при замыкании обратной связно При больших значениях Я(со) из той же формулы (1.3.2) следует, что Ф(/Ф) = 1. Это соответствует значениям Л (со) - 0 дБ и ср = 0°. Поэтому при построении номограммы можно ограничиваться интервалом изменения функ- ции Н = ± 30 дБ (или 0,0316 <, Н<, 31,6). Последовательность операций при пре- образовании характеристик сводится к нанесе- нию графика параметрически заданных функ- ций Н((о) и 0(оо) в прямолинейной сетке (см. рис. 1.3.3) и считыванию значений Л(со) и ф(со) с криволинейной сетки. Номограмма допускает некоторое рас- ширение применения. Пусть требуется полу- чить частотные характеристики системы по отношению к ошибке ф-у-’-ГйЙо' Очевидно, что если поделить числитель и зна- менатель (1.3.6) на FFX/b), то полученное выражение по структуре не будет отличаться от формулы (1.3.1). Нанося в прямолинейной сетке характеристики Я(со) и 0(со) с изменен- ными знаками, при считывании с криволи- нейной сетки получим искомые частотные характеристики А(<о)= I 08(со) = argB'X/co). Если изменить знаки при считывании с криволинейной сетки, то вместо функции Ф8(/со) можно получить характеристики, соот- ветствующие обратному выражению —2—=l + IF0w), ФеО<о) т.е. использование номограммы в данном слу- чае эквивалентно операции добавления едини- цы к частотному оператору разомкнутой сис- темы ^(/со). Это дает возможность преобразо- вания структурной схемы с суммированием выходных координат неограниченного числа звеньев с передаточными функциями И^/оо) {k = 1, 2, ..., л) (рис. 1.3.4). Преобразуя фор- мулу для параллельного соединения = и^(Ао) + + .. + и«(Ао) = = ИЪ(М + ИЭДЬ) + ... + (1-3.7) Где ^п(А») - + »Ш») / W'itf»)), найдем характеристики слагаемого И^О’оо) с помощью предварительного вычитания из характеристик характеристик ^(/со) в логарифмическом масштабе. Затем выполняем операцию добавления единицы с последую- щим суммированием результата с характери- стиками Процедура выполняется нужное число раз согласно выражению (1.3.7). Ряс. 13.4. Схема параллельного соединения
42 Глава 1.3. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Рве. 1.3.5. Структурная схема контура с гибкой обратной связью Операция суммирования с единицей ока- зывается полезной в преобразовании схемы с гибкой обратной связью (рис. 1.3.5). В данном случае эквивалентный частотный оператор имеет вид ФО)= , откуда следует, что для получения характери- стик оператора Ф(/’со) достаточно из характе- ристик вычесть результат операции 1 + 1.3.3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ С КОМПЛЕКСНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Без потери общности можно рассмотреть лишь один из четырех типов звеньев с ком- плексными коэффициентами. Рассмотрим, например, апериодическое звено с передаточ- ной функцией Тр + J + ОС Логарифмические характеристики в дан- ном случае также имеют асимптоты. Действи- тельно, логарифмируя выражение для ампли- тудно-частотной характеристики, находим 20lg4(to) = -201g | Та I - 101g| 1 + 2 / (Та) + + (1 + а2) / (TW)). Асимптотическое поведение функции определяется слагаемым 201g | Тео |. Ввиду асимметрии оцифровки имеет смысл вычис- лить эту характеристику на всем диапазоне изменения частоты -оо < со < +оо. Очевидно, в точке со = -1 / Т функция Л (со) имеет макси- мум, равный 1 / а (рис. 1.3.6). Фазовые характеристики изменяются бо- лее круто при уменьшении параметра а. Здесь можно отметить некоторую аналогию с по- строением характеристик колебательных звеньев при различных коэффициентах демп- фирования При положительных значениях частоты наклон асимптоты амплитудной ха- рактеристики равен -20 дБ/дек, при отрица- тельных значениях частоты 4-20 дБ/дек. Построение характеристик остальных звеньев с комплексными коэффициентами в логарифмических координатах сводится к от- ражению их относительно оси частот - в слу- чае дифференцирующего звена - либо относи- тельно линии со = 0 - в случае замены J на - J. Сама линия со =0 в логарифмических коорди- натах, разумеется, отсутствует. Рис. 1.3.6. Логарвфмвческве харакгервставв апериодического звена с комплекснымв коэффвцвеигама
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ 43 Глава 1.4 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1.4.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ При работе различных автоматических устройств возможны нарушения нормального функционирования. Например, вместо стаби- лизации угловой скорости вращения маховика паровой машины (см. рис. 1.1.2) может на- блюдаться процесс незатухающих колебаний, связанный с перекачкой энергии из регулятора в объект регулирования и обратно. Устойчи- вость движения может рассматриваться не только в системах с обратной связью. Из курса баллистики известно, что угловое движение вращающегося снаряда описывается системой дифференциальных уравнений 5] + 2о82 “* 2681 — c8j — е62 = 2о0; (1.4.1) 82 - 2а&1 + 2Ь62 - с82 + e6i = -0 - 4Л0, где 8j и 82 - углы отклонения оси снаряда от вектора скорости; 0 - угол наклона вектора скорости к горизонту. Коэффициенты а, Ь, с и е при заданной траектории полета можно рассматривать как функции времени. Наруше- ние устойчивости полета в данном случае вы- ражается в том, что снаряд переворачивается на траектории и либо летит дном вперед, либо совершает беспорядочные угловые движения. В небесной механике постановка задачи о так называемых вековых возмущениях эле- ментов движения планетных систем также связана с проблемой устойчивости орбит. При переходе с эллиптической орбиты на парабо- лическую или гиперболическую тело навсегда покидает данную планетную систему, и это также будет нарушением устойчивости движе- ния. Со времени появления работы А. М. Ля- пунова* постановка и решение проблемы ус- тойчивости движения получили достаточно общую форму, которая является универсаль- ной для многих прикладных задач из различ- ных областей техники. Для математической постановки задачи об устойчивости вернемся к уравнениям вида (1.2.3), в которых опустим вектор управлений (“1, «2, «тУ- * Ляпунов А. М. Общая задача об устой- чивости движения, Харьков, 1892 (Переиздана Гостехиздатом в 1950 г.). = 0 = 1,2,...,»). (1.4.2) Каждому вектору начальных значений координат состояния / =1, 2, ..., п соответству- ет единственное решение, имеющее смысл при /о < t < оо (бесконечная продолжаемость впра- во). Процессы, установившиеся в динамиче- ской системе (1.4.2), описываются тривиаль- ными решениями У* =(л,У2,--,Ул) 0 = 1,2.........и), (14.3) компоненты которого являются корнями уравнений J/ 01, Уъ •••, у») = о- Физически наблюдаемыми будут устой- чивые тривиальные решения (1.4.3). Придадим приращения X/ координатам состояния и введем обозначения Xi (Х|, хъ .... х„) = Г, 01 + *1, •••, Уп + хп). Тривиальному решению (1.4.3) системы (1.4.2) соответствует тривиальное решение X, =0 0 = 1, 2, ...,») (1.4.4) уравнений = Xt(xi, х2,.... х„) 0 = 1, 2,...,»). (14.5) По терминологии теории устойчивости тривиальное решение системы (1.4.5) называ- ется невозмущенным. Пусть в начальный момент времени t = = /о переменные состояния X/ принимают значения X/q, из которых хотя бы одно не рав- но нулю. Эти начальные значения называют возмущениями. Каждому набору возмущений (х10> *20, •••» *ло) соответствует возмущенное движение X = X (хю, x^J 0, представ- ляющее собой решение системы (1.4.4). Невозмущенное движение (1.4.4) называет- ся устойчивым, если для любого положительного г найдется 8 = 8(c) > О такое, что из неравен- ства шах|х/о| < 8 вытекает неравенство |х(х10, *20, •••> *ло; *)|| < 8 для любого Если существует число с, для которого не- возможно найти 8 = 8(c), о котором говорится в определении устойчивости, то такое движе- ние называют неустойчивым.
44 Глава 1.4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Рис. 1.4.1. К определению устойчивости по Ляпунову Определению устойчивости можно при- дать геометрический смысл, наглядно изобра- женный на рис. 1.4.1. Решение Т(/), начав- шись из круга (сферы) радиуса 8, не покидает полуцилиндра радиуса с с образующими, па- раллельными оси /, которая представляет со- бой также тривиальное устойчивое решение системы (1.4.5). Существование устойчивого решения для уравнений, описывающих систему автоматиче- ского регулирования, означает, что с течением времени в этой автоматической системе уста- новится режим, соответствующий этому ус- тойчивому решению, причем произойдет это без постороннего вмешательства. Дальнейшие термины касаются некото- рых уточнений определения устойчивости движения. Если при достаточно малых возму- щениях Х/о < 8, / =1, 2, ...» л, норма решения И*10’ •••’ х"0; 0| -> 0 при t —>оо, то реше- ние называют асимптотически устойчивым. Если число 8 может быть как угодно большим, то систему называют устойчивой в целом. Условия, при которых уравнения вида (1.4.5) допускают линеаризацию или замену исходной системы (1.4.5) уравнениями пер- вого приближения, установлены в гл. 1.3. Справедливость такой замены заранее не оче- видна. Первый вопрос, который возникает при линеаризации состоит в возможности суждения об устойчивости решения системы (1.4.5) по соответствующим ей уравнениям первого приближения. Ответ на этот принци- пиальный для всей теории автоматического управления вопрос дается двумя теоремами Ляпунова. Все случаи исследования устойчи- вости системы (1.4.5) подразделяются на кри- тические и некритические. Для обнаружения этих случаев необходимо установить знаки корней характеристического уравнения линеа- ризованной системы (1.4.5) в виде (1.2.10) либо в виде (1.2.11). Теорема 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны, то невозмущенное движение системы (1.4.5) устойчиво независимо от вида остаточного члена, отброшенного при линеа- ризации. Теорема 2. Если среди корней характери- стического уравнения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью, то не- возмущенное движение системы (1.4.5) неус- тойчиво независимо от остаточного члена. Эти два случая принадлежат к некрити- ческим. К критическим относят те случаи, когда все корни характеристического уравне- ния имеют отрицательные вещественные час- ти, за исключением хотя бы одного с нулевой вещественной частью. Лишь в этих случаях вопрос об устойчивости невозмущенного дви- жения не может быть решен на основе анализа линеаризованной системы. Таким образом, во всех критических случаях требуется анализ членов разложения порядка выше первого, что целиком относится к разделу нелинейной тео- рии автоматического управления. В этой главе мы ограничимся рассмотрением некритиче- ских случаев. 1.4.2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ После затухания переходного процесса (если он обладает таким свойством) координа- ты состояния изменяются во времени в соот- ветствии с управляющим воздействием (и\, U2, ..., ит). Поэтому вопрос об устойчивости движения сводится к анализу поведения реше- ния однородного уравнения, которое получа- ется из (1.2.6) при и = 0. В свою очередь ус- тойчивость тривиального решения X = 0 ли- нейной системы зависит от знаков корней X/ характеристического уравнения. Вычисление корней уравнения вида (1.2.10) в полных ра- дикалах при п 5 принципиально невозмож- но, хотя численная процедура поиска корней алгебраического уравнения разработана доста- точно хорошо. В данном случае речь идет о более простой задаче - об определении знаков корней характеристического уравнения. Реше- ние этой задачи в общем виде находят с по- мощью вычисления определителя, составлен- ного из коэффициентов уравнения (1.2.11). Критерий Гурвица. Составим определи- тель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали выпишем коэффициенты 02, ..., ап, индексы остальных элементов возрастают на единицу при уменьшении но- мера строки на единицу. Если получается i < < 0 или i > л, то элементы определителя за- меняются нулями. Таким образом, крайний
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ 45 правый столбец содержит лишь один отлич- ный от нуля элемент ап. Левый столбец со- держит два таких элемента а\ и Oq. где коэффициент b указывает на наличие вяз- кого трения. Запишем систему уравнений в форме Коши: *1 *3 а5 л7 ... О' *0 *2 fl4 *6 ... 0 Н = det 0 0 а1 *0 *3 *2 *5 *4 ... 0 ... 0 0 0 0 0 ... ап Для того чтобы корни харакгеристиче- ского уравнения имели отрицательные вещест- венные части,необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица (1.4.6) и все его диаго- нальные миноры имели знак, одинаковый со знаком Oq. Пример 1.4.1. Вернемся к анализу устой- чивости регулятора Уатта, помещенного в са- мом начале главы. Составим математические модели элементов системы. Уравнение объекта регулирования достаточно универсально и было нами записано в виде (1.2.2). Правда, это уравнение относилось к электрическому двига- телю, но с формальной точки зрения это не имеет значения, хотя физические основы дей- ствия электродвигателя и паровой машины принципиально различны. Этим и интересен пример. В отличие от электродвигателя управ- ляющим воздействием служит не напряжение, а открытие дроссельной заслонки, которое пропорционально coscp, как это следует из рис. 1.1.1. Таким образом, 1^- = мЛ.-мн, где Ма - момент, развиваемый паровой маши- ной на валу; - момент нагрузки. Более подробно это уравнение можно записать в виде 7 —• = Ма - Мк - к cos Фо + к совф = = -F + £совф. При некотором открытии дросселя Фо устанав- ливается постоянное значение угловой скоро- сти ©о и сумма моментов на валу машины также становится равной нулю Мдо = М& Уравнение регулятора также записывает- ся на основе второго закона механики </2ф 2 » • , dp m—z- = лг© />/&1ПфСО8ф-т#81Пф- dr а* dp dp 22,- Ь — = wco/sm фсовф - gsm ф - — do к F л=7со5<₽-7- Коэффициент n = top / © - передаточное от- ношение конической пары между валом ма- шины и регулятором. Тривиальное решение находится непо- средственно: ф = 0; совфо = — (14.7) 1 8 ©0 = ~ ------• лу/со$фо В соответствии с классической методикой составим уравнение в приращениях. Полагая Ф = фо + Дф, ф = фо + Дф, © = ©о + Д©, имеем </Дф </Дф 2 2 . 2 2 • « * = Л ©о СОвфоДф + Л ©q Sin 2фоД© - - g cos Фо Дф - ~ Дф; nt d&o к . . — = —у sin Фо Av- Заменяя ©пл2 = -—-— , запишем харакге- / cos фо ристический многочлен этой линеаризованной системы det gsin2<pp /cos Фо b_ 2g sin фр m b0 0 -X В результате вычисления определителя получаем
46 Глава 1.4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Ь .2 £Sin(₽0 л 2к . 2 — V + т----—к + ——SU12 <Ро = °- т /cos ср о Воспользовавшись критерием Гурвица, находим достаточное условие систем "регулятор-машина" JW>2fcc^=2F (14g) Ш ©Q ©Q В правой части неравенства (1.4.8) вторая дробь имеет следующий смысл. Каждый двига- тель (в том числе и паровая машина) обладает внешней характеристикой, т.е. зависимостью скорости вращения вала ©о от нагружающего момента Мп. В случае положительного самовы- равнивания скорость вращения машины падает при увеличении нагружающего момента, т.е. ---— = —— = —V < 0. dMn dF Из тривиального решения (1.4.7) следует, что А) 0 = const; дифференцируя это соотноше- ние по ©о, находим dF 2F 1 duiQ ©о v Отсюда условие устойчивости системы "регулятор-машина" приобретает вид Устойчивость прямо зависит от коэффи- циента демпфирования Ь. 1.4.3. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ О знаках корней характеристического уравнения (1.2.10) можно судить по форме годографа характеристического многочлена при замене р на у©. Согласно теореме Виета характеристический многочлен представляется в виде произведения Dip) = ао(р - h) (Р - >-2) ••• (Р - М. где X/ (/ = 1, 2, ...» л) - корни характеристиче- ского уравнения. Заменив здесь р на у©, получим вектор D(fo) = ао(А° " М (Z® " ^2) — (Z® " М» (14.9) аргумент которого равен сумме аргументов сомножителей arg DO) = £ arg(>o - X,). /=1 Если частота © меняется от -со до +оо, то конец вектора D(j(o) опишет годограф на ком- плексной плоскости. При этом каждый эле- ментарный сомножитель в произведении (рис. 1.4.2) получит приращение аргумента. Это приращение равно л, если корень X/ лежит в левой полуплоскости, и -л, если корень нахо- дится справа от мнимой оси. Таким образом, приращение аргумента вектора Д arg = (п- т)п -тп = -со<(0<+а> = (л - 2т)л, где m - число корней характеристического многочлена В правой полуплоскости (см. рис. 1.4.2, а). Pic. 1.4.2. К доказательству краггеркя усгойчивост1 Михайлова: а - изменение аргументов сомножителей X/ - у'©; б - годограф характеристического полинома
ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 47 Для устойчивости системы должно вы- полняться условие т = 0. Отсюда следует час- тотный критерий Михайлова: система автома- тического управления будет устойчивой, если изменение аргумента вектора Д arg D(J(a) = пп, -СО<(0<+СО где п - порядок характеристического уравне- ния D(p) = 0. Существует и другая формулировка кри- терия Михайлова. Она вытекает из ранее уста- новленного факта симметрии годографа отно- сительно вещественной оси плоскости {Re 7), ImZJ). Если изменять частоту со от 0 до +оо, то изменение аргумента уменьшится вдвое по сравнению с предыдущей формулировкой. Отсюда следует утверждение: система автома- тического управления будет устойчивой, если годограф D(J(a) характеристического много- члена степени п при изменении со от 0 до +оо будет монотонно проходить п квадрантов комплексной плоскости. Пример 1.4.2. Рассмотрим систему стаби- лизации угла крена летательного аппарата (рис. 1.4.3). Угол крена воспринимается чувст- вительным элементом - гироскопом. На об- мотках струйного устройства возникает на- пряжение и, пропорциональное углу отклоне- ния у и = к3у. Силовой цилиндр через трансмиссию от- клоняет элероны на угол 8 78 4- 8 = Постоянная времени Т приблизительно учитывает эффект сжимаемости воздуха в си- ловом цилиндре. Поведение самого объекта регулирования описывается уравнением ff + by = Л18, где I - момент инерции летательного аппарата относительно продольной оси Ox; b - коэффи- циент демпфирования колебаний в атмосфере. Уравнение замкнутой системы стабили- зации крена в операторном виде tUP2 + Ьр)(1 + Тр) + *1*2*31 Y(0 = 0. Годограф D(j(a) строится по формуле D(j(a) = kxkqkb - (/ + + + Jto(d - 77ш2). (1.4.10) Для выполнения конкретных построений положим / = 0,4 кгм2; b = 1,2 кг-м^с*1; Рис. 1.4.3. Функциональная схема канала стабилизации угла крена летательного аппарата kfak^ = 5 Нм; Т= 0,12 с. На рис. 1.4.4. показан годограф ТХ/ш) при этих значениях параметров. Поскольку порядок уравнения системы равен трем, для обеспечения устойчивости годограф должен монотонно пройти три квадранта, что и на- блюдается в данном случае. Пусть в процессе конструирования несу- щие поверхности летательного аппарата уменьшены, так что коэффициент демпфиро- вания b уменьшился до b = 0,8 кг-м^с*1. При Рис. 1.4.4. Годограф системы стабилизации крена
48 Глава 1.4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ понижении давления воздуха в питающей сети увеличилась постоянная времени Т до 0,2 с. При компенсации снижения динамических качеств системы путем поднятия общего ко- эффициента усиления до к = 8 Н м происхо- дит потеря устойчивости. Это следует из го- дографа /)(/©), построенного для этих значе- ний параметров. Он уже не проходит все три квадранта монотонно, а попадает из первого квадранта в четвертый и лишь затем в третий. В этом примере легко решается и такая задача: при каком коэффициенте усиления происходит потеря устойчивости при заданных значениях параметров /, b и Г ? Из выражения (1.4.10) следует, что мни- мая часть D(j(a) обращается в нуль при Подставив это значение частоты в веществен- ную часть />(/©) и приравнивая ее к нулю, находим предельное значение коэффициента усиления . _Ь(/+ЬГ) *max “ jy При значениях параметров второго вари- анта этого примера получаем ктал = 5,6 Н м. Частотный критерий Найквиста. Наиболее просто частотные характеристики строятся в логарифмическом масштабе. Построение час- тотных характеристик разомкнутой системы сводится к операциям сложения и вычитания логарифмических характеристик элементарных звеньев. Годограф разомкнутой системы также позволяет сделать вывод об устойчивости ее в замкнутом состоянии. Для того чтобы убедить- ся в этом, рассмотрим функцию ф(Л>) = 1 + W(Ja>) = 1 + = _ D(j(a) + М(ра) " 9 где VK(jio) - частотный оператор разомкнутой системы. Функция ср(/со) также дробно- рациональная, причем в числителе ее стоит характеристический многочлен замкнутой системы от переменной у©, в знаменателе - характеристический многочлен разомкнутой системы от той же переменной. О корнях зна- менателя можно сделать заключение без ка- ких-либо вычислений, так как он получается при перемножении передаточных функций элементарных звеньев. В частности, для ком- бинации апериодических и колебательных звеньев все корни полинома D(p) отрицательны (дифференцирующие звенья добавляют в качестве сомножителя единицу, а интегрирующее звено мы рассмотрим несколько позже). Полином D(p) + М(р) не обязательно имеет корни только с отрицательными вещест- венными частями. Если корней с положитель- ными частями т, то изменение аргумента при 0 < <о < +оо равно (см. вывод критерия Ми- хайлова) Д arg [Р(у©) + Л/(до)] = (л - 2т)—. О^со^+со 2 Поскольку Д arg D(J(o) = л —, общее приращение аргумента составит Д arg ф(у©) = -лис. 0^со<+« Геометрически это означает, что годограф функции ф(/©) охватит начало координат плоскости {Неф, 1тф} т/2 раз в отрицатель- ном направлении. В частности, при устойчи- вой замкнутой системе т = 0, т.е. годограф ни разу не охватит точки (0, 0). Годограф частот- ного оператора разомкнутой системы FF(/©) отличается от годографа функции ф(/©) лишь постоянным сдвигом вдоль вещественной оси. Поэтому для случая отрицательных корней полинома разомкнутой системы справедлив следующий критерий устойчивости Найквиста: годограф частотного оператора разомкнутой системы не должен охватывать точку с коор- динатами (-!,/• 0). Рассмотрим случай так называемых не- минимально-фазовых звеньев. В качестве примера неминимально-фазового звена можно указать на элемент с передаточной функцией вида Физически такое звено реализуется как двига- тель с отрицательным самовыравниванием (при работе элекгромашинного усилителя эф- фект отрицательного самовыравнивания дос- тигается при перекомпенсации). При замене р на -у© звено переходит по своим свойствам в обычное апериодическое, при построении годографа которого мы отбрасывали верхнюю половину окружности (см. рис. 1.2.7, а). В данном случае при изменении © от 0 до +оо мы обязаны сохранить именно верхнюю поло- вину окружности и фазовая характеристика 0(©) = arctgT© напоминает характеристику
ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 49 дифференцирующего звена первого порядка. Амплитудная же характеристика соответствует обычному апериодическому звену. Таким об- разом, в отличие от классических элементар- ных звеньев с отрицательными корнями зна- менателя передаточной функции здесь уже нельзя по виду амплитудно-частотной характе- ристики написать выражение для фазочастот- ной характеристики и наоборот. Происхожде- ние термина "неминимально-фазовый" стано- вится ясным, если обратить внимание на пе- редаточную функцию звена с отрицательным к. При этом фазочастотная характеристика 0(<») = 180° - arctg Та, т.е. меняется от 180 до 90°, оставаясь по абсо- лютной величине большей, чем соответствую- щая характеристика устойчивого апериодиче- ского звена. Предположим, что характеристическое уравнение D(k) = 0 разомкнутой системы имеет Z корней с положительной вещественной частью. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, найдем, что изменение аргумента функции FK(/od) составит в разомкнутой сис- теме Д arg [1 + FK(»] = л^--(л-2/)^ = Отсюда следует формулировка критерия Найк- виста: система автоматического управления будет устойчивой, если годограф частотного оператора в разомкнутом состоянии охватывает критическую точку (-1, j • 0) / / 2 раз в положительном направлении. Рассмотрим, наконец, весьма часто встречающийся случай нулевых корней в ха- рактеристическом уравнении ZX/oo) = 0. В этом случае изменение аргумента годографа W(j&) при со —> 0 становится неопределен- ным. Для устранения неопределенности поло- жим в малой окрестности точки (0, 0) плоско- сти корней {ReX, ImX}, Л, = re/*, 0 £ у . Тогда при г -> 0 годограф W(j&) будет из- меняться по дуге бесконечно большого радиу- са и 0£ arg W(Ja) £ vy, где v - кратность нулевого корня уравнения D(k) = 0. Такое правило может показаться не- сколько искусственным. Следующий пример иллюстрирует справедливость этого правила. Пример 1.4.3. Требуется установить усло- вия устойчивости системы стабилизации из примера 1.4.2 с помощью критерия Найкви- ста. Запишем выражение частотного операто- ра разомкнутой системы. Очевидно, переда- точная функция последовательного соедине- ния объекта управления, силового исполни- тельного элемента чувствительного элемента* (гироскопа) 1^(п\ - - ^1^2^3 w U(p) (\ + Tp)(IP+b)p' Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет один нулевой корень. При значениях параметров / =0,4 кг-м2; Т = 0,12 с; b = 1,2 кгм^с*1; = 5 Н м годограф FF(/do) имеет вид, изображенный на рис. 1.4.5. Так как он не охватывает точку (-1, j • 0), то при указанных значениях параметров система устойчива. При со = (Ь / /7)1/2 годограф пересекает вещественную ось. Подставляя это значение частоты в выражение для вещественной части оператора FK(/oo) и приравнивая единице, получаем предельное значение коэффициента крена
50 Глава 1.4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Рас. 1.4.6. Логарвфмаческае характеристакв системы стабилизации крема щ+ьт) лтах “ jrp » найденное ранее с помощью критерия Михай- лова. Графические построения в этом примере охватывают довольно узкий интервал частот. Кроме того, трудно проследить поведение годографа вблизи начала координат. Указан- ных недостатков лишены логарифмические характеристики. На рис. 1.4.6 показаны лога- рифмические характеристики, относящиеся к примеру 1.4.3. Для построения амплитудной характеристики наиболее удобно наметить вна- чале частоты изломов 1 / Т = 8,33 с*1 и Ь/1 = = 1,2 / 0,4 = 3 с'1. Затем на частоте со = 1 с'1 отметить точку 20 / Ь) и провести низкочастотную асимптоту с наклоном -20 дБ/дек. На частотах изломов наклон по- следовательно увеличивается до -40 и -60 дБ/дек. В полученную асимптотическую характеристику вводятся поправки. Затем сум- мируются составляющие arctgTco и arctg/co / b фазовой характеристики 0(со). На частоте со = = 5 с'1 0(со) =180°. На этой же частоте Л (со) = -8,7 дБ. Это запас устойчивости по амплитуде - настолько можно поднять ампли- тудную характеристику, чтобы система оказа- лась на границе устойчивости (штриховая ли- ния). При частоте со = 2,855 с"1 амплитудная характеристика Л (со) = 1, что соответствует нулю в децибелах. Фазовая характеристика отстоит от линии 0(со) = 180® на 27,5° - это запас устойчивости по фазе. Такой дополни- тельный сдвиг по фазе также выводит систему на границу устойчивости. Эти запасы можно указать и на рис. 1.4.5. В полярных координа- тах линии нулевых децибел соответствует ок- ружность единичного радиуса. Луч, проходя- щий через точку пересечения годографа с еди- ничной окружностью, также образует угол 27,5° с отрезком вещественной оси 0(со) = « 180°. Значение Л(5) = 0,3676, и для потери устойчивости коэффициент усиления доста- точно увеличить в 2,27 раза, что также соот- ветствует его увеличению на 8,7 дБ. Графические построения наглядно пока- зывают возможности изменения запасов ус- тойчивости путем варьирования параметров. Очевидно, величина запасов устойчивости непосредственно связана с затуханием пере- ходного процесса. Возникает вопрос о выборе значения запасов устойчивости. Различные подходы к решению этого вопроса приведены в гл. 1.5, посвященной качеству процессов управления в линейных системах. 1.4.4. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАМЕТРОВ Критерии устойчивости отвечают на во- прос об устойчивости системы автоматиче- ского управления при заданных значениях параметров. При конструировании систем уместен обратный вопрос: при каких значени- ях параметров система сохраняет свойство устойчивости ? Как мы видели в рассмотрен- ных примерах, критерии устойчивости позво- лили ответить на этот вопрос в смысле выбора коэффициента усиления. Существуют, однако,
ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАМЕТРОВ 51 наиболее общие приемы выделения областей устойчивости в пространстве параметров. Ос- новная идея выделения областей устойчивости состоит в установлении связи между точками пространства параметров и распределением корней характеристического уравнения замк- нутой системы. Рассмотрим для простоты од- носвязную область в пространстве параметров, соответствующую области устойчивости (рис. 1.4.7). Непрерывному изменению совокупно- сти параметров соответствует кривая АА'. При переходе границы области устойчивости Г в пространстве параметров в плоскости корней характеристического уравнения по крайней мере один корень (или пара сопряженных корней) перейдет из левой полуплоскости в правую через мнимую ось. Каждой точке гра- ницы соответствует одна или несколько точек мнимой оси плоскости корней. В этом смысле граница Г является отображением (необяза- тельно взаимнооднозначным) мнимой оси. Некоторые точки границы Г могут иметь своими образами бесконечно удаленные точки оси 1ml. Таким образом, замкнутой кривой Г соответствует замкнутый же контур в плоско- сти корней с учетом бесконечно удаленных точек. При практической реализации идеи ото- бражения оси 1ml в границу Г важным пред- ставляется вопрос об ориентации областей устойчивости и их образов в плоскости кор- ней. Под ориентацией понимается правило обхода областей. В случае, изображенном на рис. 1.4.7, при обходе области устойчивости по границе Г в направлении, указанном стрел- кой, сама область остается слева. В плоскости корней область устойчивости также показана остающейся слева. Формальное правило отображения оси 1ml в границу Г дается характеристическим уравнением при замене 1 на /оо. Тогда D(pi, Ръ — > Рп> 7®) = 0 - параметрически заданное уравнение граничной поверхности. Рис. 1.4.7. Отображение траекторий в пространстве параметров на плоскость корней характеристнческого уравнения Для того чтобы составить представление о возможных случаях построения граничных линий, рассмотрим ряд примеров. Пример 1.4.4. Найти область возможных значении вещественного параметра а, при которых характеристическое уравнение 13 + 12+1 + а= 0 не имеет корней с положительной веществен- ной частью. Положим 1 = /оо. Тогда очевидно, соот- ношение а = со2 + /<о(со2 - 1) и представляет собой уравнение искомой по- верхности. Параметр со в данном случае легко исключить, но этого не следует делать, так как он указывает нам направление обхода (рис. 1.4.8). Условимся штриховать границу слева при движении в сторону возрастания парамет- ра со. Тогда при переходе с заштрихованной стороны на незаштрихованную один корень из левой полуплоскости перейдет в правую. В данном случае единственной областью, пре- тендующей на название устойчивой, будет внутренность петли. Это нетрудно проверить: при а - 1/2 определитель Гурвица имеет вид det 1 1/2 1 1 1 О О О 1/2. причем достаточно вычислить лишь один ми- нор второго порядка, который равен 1/2. По- этому область устойчивости обозначена симво- лом (3), что означает • количество корней с отрицательной вещественной частью. Другие области обозначены символами (2) и (1). По- скольку в условиях задачи требуется найти лишь вещественные значения параметра а, то достаточно взять отрезок а е (0, 1). Ряс. 1.4.8. Гранмцж устойчивости с одной несобственной точкой
52 Глава 1.4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Пример 1.4.5. Рассмотрим аналогичное характеристическое уравнение, но с неизвест- ным параметром а при второй степени 1 I3 + аХ2 + X + 1 =0. Теперь граница области устойчивости задается соотношением Она имеет бесконечно удаленные точки при со = 0 и при со — оо (рис. 1.4.9). Правило штриховки выявляет область устойчивости а > > 1. Пусть теперь характеристическое уравне- ние содержит два неизвестных параметра р\ и Р2- Мы ограничимся случаем, когда оба пара- метра образуют линейную комбинацию вида P\S(P) + Рг&р) + Л(р) = о, которая после подстановки р = усо распадается на два линейных уравнения относительно р\ и Р2- PiSi(w) + />2<21(о>) = Л1(ш); (1.4.11) Р152(<о) + Р2Й(<>>) = Л2(ш). Из линейной алгебры известно, что для суще- ствования единственного решения определи- тель системы не должен обращаться в нуль: Если определитель системы равен нулю, а ранг расширенной матрицы не равен нулю, то система несовместна. Наконец, в случае Рве. 1.4.9. Граница устойчивости с двумя несобственными точками линейной зависимости системы (1.4.11) она обладает бесчисленным множеством решений, которым геометрически соответствует прямая в плоскости параметров {р\, р$. Такую прямую называют особой. В случае положительности определителя системы правило обхода сохра- няется. Если А < 0, то правило меняется на обратное, т.е. при обходе области устойчиво- сти штриховка наносится справа. Такие прави- ла штриховки находятся в соответствии с тео- рией аффинных и функциональных преобра- зований. Пример 1.4.6. Задача Вышнеградского за- ключается в выделении области устойчивости на плоскости параметров ц и 6, линейно вхо- дящих в характеристическое уравнение X3 + цХ2 + 8Х + 1 = 0. Положив здесь X — усо, сразу находим уравнение гиперболы ц = 1/8, которая делит всю плоскость на области устойчивости и не- устойчивости. Однако для правильного нане- сения штриховки приходится записать опреде- литель системы Он обращается в нуль лишь при со = 0, т.е. при ц -> ±оо. Штриховка наносится дважды на одну сторону гиперболы. Непосредственная проверка при ц = б = О подтверждает пра- вильность штриховки. Особых прямых в огра- ниченной области нет (рис. 1.4.10). Пример 1.4.7. Любопытный пример по- строения граничных линий дает уравнение К3 + цХ2 + X + б = 0. Рис. 1.4.10. Построение границы устойчивости в задаче Вышнеградского
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 53 Подстановка X = усо приводит к резуль- тату 5 = ш2ц, ще частота со определяется из соотношения со - со3 = О, т.е. частота может принимать всего лишь три значения со = 0 и со = ±1. Таким образом, в плоскости {щ 5} искомая граница состоит из двух особых прямых (рис. 1.4.11). Поскольку вдоль каждой прямой со не меняется, правило штриховки остается неясным. Подобные задачи часто удается решить с помощью введения малого параметра. Рас- смотрим вместо исходного уравнения (1.4.12) уравнение вида X3 + |лХ2 4- (1 4- £|1)Х 4-5=0, которое переходит в исходное при е -> 0. Но в последнем случае правило нанесения штри- ховки не вызывает сомнений. Действительно, из определителя системы следует сое О т.е. при 0 < со < 4-оо штриховка должна быть правой, а при -оо < со < 0 - левой. Другая особая прямая штрихуется так, чтобы она за- штрихованной стороной была обращена к заштрихованной стороне прямой 5 = р. После нанесения штриховки расстановка обозначе- ний на отдельных областях не вызывает за- труднений. Изложенный метод построения границ области устойчивости наиболее нагляден для случая двух неизвестных параметров. При большем числе параметров трудоемкость мето- да существенно возрастает, например, при вы- Рк. 1.4.11. Особые прямые в качестве границы устойчивости делении области устойчивости в трехмерном пространстве с тремя неизвестными парамет- рами ц, 5 и у. Одному из параметров придает- ся какое-либо постоянное значение, а в плос- кости остальных двух параметров осуществля- ется построение границы области устойчиво- сти. Таким образом, осуществляется построе- ние сечений тела в пространстве трех парамет- ров. Наглядность метода сохраняется для слу- чая трех параметров. При дальнейшем увели- чении числа параметров можно говорить лишь о трехмерных сечениях четырехмерной облас- ти. При решении конкретных задач может оказаться, что вся эта громоздкая процедура не имеет смысла, если можно воспользоваться прямыми методами. Пример 1.4.8. Найдем область устойчиво- сти в пространстве параметров а, 0 и у триви- ального решения системы уравнений dx а — =-yx + ay + fiz; dy -~ = -ах 4-уу+ az; at dz — = -0x-ay-yz. В данном случае характеристическое уравнение -Y-X. -a -р a -r-X - a -Y-X -(la2 +02J(y+X) = O легко решается. Его корни Xj = -у; >-2,3 = "Y ±J^2a2 +p2. Следовательно, для устойчивости доста- точно выполнения условия у > 0. Параметры a и 0 могут был» любыми. 1.4.5. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОЧТИ постоянными ПАРАМЕТРАМИ Многие объекты системы управления описываются математическими моделями, параметры которых медленно меняются по сравнению со скоростью изменения коорди- нат. В особенности это относится к угловому движению летательных аппаратов. Характер- ные частоты угловых колебаний находятся в пределах от единиц герц до нескольких десят-
54 Глава 1.4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ков герц. В то же время скорость изменения аэродинамических коэффициентов, плотности атмосферы, высоты полета и другие параметры таковы, что на протяжении одного периода угловых колебаний их можно считать посто- янными. На этом допущении был основан широко применявшийся метод "замороженных коэффициентов", вытесненный впоследствии вычислительной техникой с реализацией не- доступных ранее методов анализа и синтеза систем автоматического управления. Задачу интегрирования дифференциаль- ных уравнений с переменными параметрами можно считать в большинстве случаев прин- ципиально решенной (имеются в виду числен- ные методы), и главное место в этом разделе отводится проблеме качественной оценки асимптотического поведения систем с пере- менными параметрами на уровне универсаль- ных теоретических выводов. Поскольку боль- шинство систем управления с переменными параметрами являются многомерными, для изложения используется в основном язык ли- нейной алгебры с необходимыми дополнения- ми из теории устойчивости. Норма матрицы. Норма вектора может быть распространена на совокупность элемен- тов, образующих матрицу, если иметь в виду систему аксиом, используемых в дальнейшем при некоторых доказательствах; итак, под нор- мой матрицы понимается неотрицательное число ||А||, удовлетворяющее следующим ус- ловиям: 1) ||А|| = 0 тогда и только тогда, если А = 0; ' 2) для любого числа а ||аА| = НН; 3) ||A + B||s|A|| + |B| - аксиома тре- угольника. К этим трем аксиомам добавляется нера- венство типа Коши-Буняковского*: 4) ||ав| ^а|||14 Всем четырем аксиомам удовлетворяют обычно используемые в качестве норм опреде- ления: |А|| = тах^|ал|, J к либо ||А||=пшх£|а4 1 либо, наконец, евклидова норма Н=ЕЫ2 и* Уг где под обозначением SpA (от немецкого die Spur - след) понимается сумма диагональных элементов. Фундаментальная матрица решений. Рас- смотрим линейную систему ^ = A(Z)y + /(Z), (1.4.13) где элементы матрицы А(/) принадлежат к классу непрерывных функций внутри некото- рого интервала I = [а, оо), т.е. ад(1) е С(7), у(/) и f(/) - векторы-столбцы, причем УХО € « С(Г). Для системы (1.4.13) справедлива теоре- ма о существовании и единственности реше- ний [1.6]. Это означает, что для системы чисел tQ е I и Jo = (У10, •••» Уло)т существует реше- ние у(/), определенное для всех t е I и удов- летворяющее начальному условию у(/) = Уо- Это решение единственное внутри а < t < оо. Пусть далее Х(/) = [JtyjtCOL detX(0 # 0, решение однородной системы ▲ /л л=А(/)х- (1.4.14) записанное в виде квадратной матрицы (п х п). Такая матрица решений называется фундамен- тальной. Нетрудно убедиться, что фундаменталь- ная матрица удовлетворяет матричному диф- ференциальному уравнению ^1 = A(Z)X(Z), (1.4.15) где под производной матрицы Х(/) понимает- ся матрица с элементами dXjk(t) Л Любое решение однородной системы (1.4.14) можно записать в виде х(0 = Х(1)с\ (1.4.16) * Неравенство этого типа иногда связы- вают с именем Г. А. Шварца, в работах кото- рого оно встречается, начиная с 1884 г. В. Я. Буняковский опубликовал его в интегральной форме в 1859 г. Алгебраическое неравенство принадлежит Коши (1821 г.). где с — (q, С2, ...» сл) - вектор столбец, ком- понентами которого служат константы, опре- деляемые из начальных условий. Пусть х(/) - решение, удовлетворяющее начальному усло- вию x(/q). Полагая в (1.4.16) t - ф получим равенство
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 55 х(/Ь) = X(/fo)cT. Следовательно, соотношение (1.4.16) можно записать в виде х(/) = Х(/)Х-1(/Ь)х(/Ь). Произведение Х(/)Х-1(^) = к(/, (q) на- зывают матрицей Коши. Может показаться, что матрица Коши за- висит от выбора фундаментальной матрицы. В действительности это не так. Пусть Х(/) - другая фундаментальная матрица системы (1.4.16). Каждый элемент этой матрицы отличается от элемента матрицы Х(/) постоян- ным множителем, т.е. Х(0 = Х(/)С, где С - некоторая невырожденная матрица с постоянными элементами Согласно из- вестному свойству Х-1(/) = С-,Х’1(/), поэтому соответствующая матрица Коши k(Z,Z0) = X(Z)X'*('o) = Х(')С С 'х-Чо = = к(','о)' не отличается от предыдущей. Аналогично скалярному уравнению лю- бое решение ХО неоднородной системы (1.4.13) можно записать в виде У« =У(О+Х(/)С, (1.4.17) где у(/) - некоторое частное решение. Дейст- вительно, дифференцируя (1.4.17), находим ^- = ^ + ^-С = Ay+f + AXC = dt dt dt J = A(y +XC) + f. Если частное решение обращается в нуль- вектор при t — то, очевидно, с = х-><<ь) у«ь) и, следовательно, y(0=y(0+k(/, /b)y(Zo)- Метод вариации произвольных постоявших. Способ отыскания частных реше- ний линейного неоднородного уравнения, в деталях разработанный Лагранжем, распро- страняется на матричную запись дифференци- ального уравнения (1.4.13). Таким образом, решение ищется в виде У (О = Х(/) □(/), (1.4.18) где Х(0 - фундаментальная матрица соответст- вующей однородной системы (1.4.14), а 11(1) - пока неизвестная функция. Подставляя выра- жение (1.4.18) в (1.4.13), получаем dX Х(Ол+‘л " = AWX(0"+f(')- Используя соотношение (1.4.15), находим выражение для определения неизвестной функции ц(/): X(z)^ = f(z). dt Отсюда и(0 находим интегрированием t (0-e+|x*(t)f(t)A. *0 Возвращаясь к формуле (1.4.18), получа- ем общее решение неоднородной системы t y(Z) = X(Z)c +jk(Z>T)f(t)A. *0 Для определения постоянного вектора с положим t = Iq: С = X->(Zo)y(4>), следовательно, t У(0 = М'ДоМо) + J к(/,т)Г(т)А. (1.4.19) В частности, если фундаментальная матрица Х(0 нормирована при / = /fo, т.е. X(tQ) = Е, из формулы (1.4.19) получаем t y(Z) = X(Z)y(Z0) + jk(Z,t)f(t)A. *0 (1.4.20) Из формулы (1.4.19) вытекает, что неод- нородная система (1.4.13) имеет частное реше- ние t У(0 = J k(Z,t)f(t)</r, zo удовлетворяющее начальному условию У ('о) = О- Случай постоянной матрицы. Как уже бы- ло установлено, фундаментальная матрица Х(/)
56 Глава 1.4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ удовлетворяет однородной системе (1.4.14) или матричному уравнению (1.4.15). Очевидно, этим уравнениям удовлетворяет и произведе- ние Х(/)Х-1(/). Рассмотрим также матрицу Х(/ - т + /fa). Подстановка ее в уравнение (1.4.14) или (1.4.15) при А = const приводит к тождеству, следовательно, матрица Х(/ - т + tQ) также фундаментальна для однородной системы. Кроме того, при t — т и Х(/Ь) = Е Х(/)Х-1(т) = Х(/ - т + /Ь) = Е. Таким образом, матрица Х(/ - т 4- tQ) совпа- дает с фундаментальной матрицей в точке t = = т и по теореме о единственности решений не может отличаться от последней в других точках интервала [а, оо). В частности, при tQ = = 0 вместо (1.4.20) можно записать t y(O = X(Z)y(O) + jX(Z-t)f(t)A. о (1.4.21) Если начальные условия нулевые, то t y(Z) = jx(Z-t)f(t)A. о Мы получили уже известное нам выра- жение (1.2.28) с точностью до обозначения функций. Это позволяет рассматривать фунда- ментальную матрицу А = const с еще одной точки зрения - это совокупность реакций многомерной системы на воздействие в виде многомерной 8-функции. Выражение (1.4.22) получено без обра- щения к понятию 8-функции. Лемма Гронуолла-Веллмана [7]. Пусть на интервале [/Jo, оо) заданы две неотрицательные непрерывные функции и(1) 0 и Г(/) £ 0, и(0, Г(/) е с[/(), оо) и выполняется неравенство t u(0 £ с + Jf(t)ii(T)A, (1.4.23) где с - некоторый постоянный вектор-столбец. Тогда справедлива верхняя оценка t u(0 £ с exp J ffc) dr. zo Доказательство следует непосредственно из условия (1.4.23), которое в результате умноже- ния на f(0 можно записать в виде -----f(z). с + j f(t)u(r)</r zo Числитель дроби в левой части неравен- ства представляет производную знаменателя; интегрируя, находим *0 отсюда t t u(0 £ с + J Г(т)и(т)Л £ cexpj f(0<ft, Z0 *0 что и требовалось. Устойчивость линейной системы с почти постоянной матрицей. Теорема 1. Пусть система (1.4.14) с постоянной матрицей А = const ус- тойчива. Тогда система = [А + B(Z)]y, (1.4.24) где В(0 € с|0, оо) И J||B(n||rfz < оо также О устойчива. Доказательство. Пусть Х(/) - фундаментальная матрица системы (1.4.14) и Х(0) = Е. Рассматривая В(/)у как возмущение в уравнении (1.4.24) и в соответствии с методом вариации постоянных, запишем интегральное соотношение вида (1.4.21) У(О = Х(Г)у(О) + J X(t - t)B(t)y(t)A. О Отсюда, используя аксиоматику нормы, нахо- дим ||у(пКВх(/)||||у(о)||+ + J ||X(Z - т)| ||В(г)|| |у(г)|А. О (1.4.25) По условию теоремы система (1.4.14) устойчи- ва, следовательно, матрица Х(/) ограничена. Пусть, например, ||X(f)|| < к при t е [0, оо).
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 57 Неравенство (1.4.25) только усилится» ес- ли подставить к вместо ||Х(/)||: О Г О’ ||y(Z)|| <. Му(О)| + J ф(т)|| ||y(t)|| А. О Используя лемму Гр онуолла-Веллмана, имеем ||у(')|| £ ф(0)|| ехр Л j |В(г)|| tk 2 L О £ ф(0)|| exp fcj ||В(0)| А < оо. . О В соответствии с определением устойчи- вой системы (см. разд. 1.4.1) деорема доказана. Пример 1.4.9. Рассмотрим уравнение вто- рого порядка (1.4.26) Обозначив — = у dt У и, следовательно, . приведем уравнение (1.4.26) к форме Коши. Сравнение с (1.4.24) показывает, что в данном случае Матрица А соответствует консервативной системе с ограниченным решением вида х(/) = + С2е-/а/. Дальнейшее сравнение с (1.4.24) позво- ляет записать Следовательно, J||B(0|A = |<oo. О Согласно теореме 1, предшествующей примеру, решение уравнения (1.4.26) должно оставаться ограниченным. Уравнение, однако, интегрируется в конечной форме лишь при некоторых значениях параметров а и Ь. На рис. 1.4.12 показан график решения х(/) при х(0) = 0 и X0) = 1; а = 0,01; а = 1; Ь = 3. Этот случай, как нетрудно убедиться, не сводится к интегрируемому. Решение получе- но численно. В начале функция х(/) довольно быстро осциллирует, затем период колебаний возрастает, принимая предельное значение, равное 2л. Амплитуда колебаний также стре- мится к некоторому постоянному пределу, (см. теорему 1). Значение этого предела зави- сит от начальных условий и определяется лишь численной процедурой. Рве. 1.4.12. График решения уравнения с почта постоянной матрицей
58 Глава 1.4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ При достаточно общих предположениях оказывается возможным установить асимпто- тическую устойчивость возмущенной системы. Для этого необходимо ввести понятие экспо- ненциала матрицы. Экспоненциалом квадратной матрицы X называют функцию ехрХ = еХ Очевидно, что в соответствии с опреде- лением нормы Рк£^=е|х|- <1-4-27> v=0 Ввиду абсолютной сходимости числового ряда (1.4.27) определение экспоненциала имеет смысл для любой квадратной матрицы X. Найдем производную экспоненциала по параметру t. Дифференцируя абсолютно сходящийся ряд по 7 получаем = Ае* = е^А. Отсюда следует, что матрица вида Х(/) = = удовлетворяет матричному уравнению = АХ dt при начальном условии Х(0) = Е. Рассмотрим еще одну оценку нормы экспоненциала матрицы А/. Ограничимся вна- чале случаем отсутствия кратных характери- стических чисел матрицы А. При таком усло- вии она приводится к диагональному виду, т.е. существует такая невырожденная матрица S, что А = S-Miag(Xb ..., X„)S, где Xt О .о”Х diagA = = diag(Xb Ал) - диагональная форма матрицы А. Очевидно, еА/= S-MiagCe**',...» Если а = max Re X /, то согласно свой- J J ствам нормы KII4s',llhteliisiisCe<u- При наличии кратных корней матрица А приводится к квазидиагональному виду с клетками Жордана, порядок которых соответ- ствует кратности корней. При этом можно показать [1.7], что справедлива оценка ]еА'| 2 Се(а+б)/, (1.4.28) где е > 0 - произвольно малое число. Асимптотическая устойчивость линейной системы с почти постоянной матрицей. Теоре- ма 2. Если система (1.4.14) асимптотически устойчива, то и возмущенная система (1.4.24), где В(/) е С [ф, оо) и В(/) -> 0, также асим- птотически устойчива. Доказательство. Осуществим замену переменных в уравнении (1.4.24) у = Тогда + Ae^z = [А + B(r)leA/z dt dt L J и, следовательно, = e^BWe^z. Последнее уравнение эквивалентно интеграль- ному t z(Z) = z(Z0) + j e’AtB(t)eAtz(-t)zft. 'o Возвращаясь к переменной у, находим У(0 = eA(,‘/«,y(Z0) +1 еА1'*’)в(т)у(т)Л. 'о Оценим норму решения у(/) при t е е 1<Ь. ®) ||у(')|| 2 ||еА<'*'|>,| |y(z0)| + 4||еА<'-’)||||ВО)|| |УМ А; *0 здесь норма экспоненциала матрицы согласно (1.4.28) также не превышает экспоненты се(а + 8Ч где С > 0. Таким образом, из асимп-
ОБОБЩЕНИЕ ЧАСТОТНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ 59 готической устойчивости системы (1.4.14) сле- дует а < 0 и мы имеем |у(')|| 1С |у(/0)||е<“+е)<''‘ь) + 4«(“+еХ'-х)|1МЫ|л- *0 Согласно лемме Гронуолла- Веллмана 5 с ИМ е"(а+с)<’ exp jc|B(z)| Л, to следовательно, |У(О|| * с |у(/0 )|| + cj |В(т)|| А. (1.4.29) Последнее слагаемое в показателе экспоненты растет не быстрее некоторой линейной функ- ции. Действительно, на основании правила Лопиталя получаем t /->00 t — /q /->00 1 т.е. t JИМ Л <e(t-t0). *0 Неравенство (1.4.29) принимает вид |y(/)|sc|y(/o)|e‘e+2*X,-W, откуда и следует асимптотическая устойчи- вость решения у(/). Свойство асимптотической устойчивости системы (1.4.14) оказалось настолько сильным, что при доказательстве теоремы 2 нам не по- надобилась сходимость интеграла от нормы возмущающей матрицы В(/) и оказалось вполне достаточной сходимость ее к нулевой матрице. 1.4.6. ОБОБЩЕНИЕ ЧАСТОТНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ НА МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Использование вычислительной техники в интерактивном режиме открывает новые возможности для применения частотных мето- дов анализа и синтеза автоматических систем. Частотные методы, имеющие в своей основе строгую и хорошо изученную теорию функций комплексного переменного, допускают также и графическую интерпретацию, что значитель- но облегчает задачу конструирования следя- щих систем. Мы имели возможность убедиться в этом на примере 1.4.3, где использовался критерий Найквиста в логарифмических коор- динатах. Частотные методы обладают весьма цен- ным качеством - малой чувствительностью к ошибкам в определении параметров математи- ческой модели исследуемой системы. Такая нечувствительность к малым изменениям па- раметров получила, наименование робастно- сти. При введении запаса по фазе и амплитуде при использовании критерия Найквиста дос- тигается также робастность проектируемой системы. Напомним некоторые определения из алгебры матриц, которые понадобятся для последующего изложения основных идей час- тотного анализа многомерных линейных сис- тем и введем здесь же необходимую символи- ку. Симметрической называют квадратную матрицу А, если она равна своей транспониро- ванной Ат: А = (a/у); Ат = (од). Комплексносопряженной матрицей для матрицы А = (ау) называют матрицу А = ^ау}. Ее элементами служат числа ад , комплексно сопряженные элементам ау мат- рицы А. Эрмитово-сопряженной или просто со- пряженной называют матрицу А* = Ат. Для нее справедливы соотношения: (А*)* = А, (А + В)* = А* + В*, (АВ)* = В* А*. Если А* = А, то матрицу называют эр- митовой или самосопряженной. Обратную по отношению к А матрицу бу- дем обозначать А*1. По определению А'1 А = АА-» = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и А. Ее главная диагональ заполнена еди- ницами, а остальные элементы - нули. Обратная матрица А*1 единственная для А. Действительно, если допустить существова- ние другой обратной матрицы В, то
60 Глава 1.4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В А = А1 А. Умножая последнее равенство на А'1 справа, получим В = А1. Квадратную матрицу называют невырожденной, если ее определитель detA не равен нулю. Каждая невырожденная матрица имеет обратную. Ортогональной называют матрицу, обла- дающую свойством А-' = Ат Отсюда следует, что для ортогональной матри- цы ААТ = АТА = Е. Нетрудно проверить не- посредственным перемножением, что матрица поворота в плоскости cos a -sin а sin а cos а ортогональна. Если матрица U обладает свойством U-1 = U*, то ее называют унитарной. Легко проверить, что detU = 1. Введем операцию полярной декомпозиции матриц. Подобно тому, как комплексные чис- ла можно представить в полярных координа- тах, комплексная матрица Т также может был» записана в виде т = иня либо Т = н£и, где U - унитарная матрица; Ид и - поло- жительные полуопределенные матрицы Эрми- та. Их можно назвать соответственно правым и левым модулями матрицы Т. Они однознач- но определяются формулами Нл =7??; (1.4.30) н£ =1/ттг, где Т* означает комплексно сопряженную транспонированную матрицу Т. Если Т невы- рожденная, то U определяется однозначно из любого равенства (1.4.30). Представление мат- рицы в виде (1.4.30) называют полярной деком- позицией. Ее легко найти из сингулярной деком- позиции по величине, для которой существуют программы, входящие в современное матема- тическое обеспечение ЭВМ. Если Т может быть разложена однознач- но в виде Т = XEV*, где X, V - унитарны, Е - диагональна, то т = (xv)*(vEv*) = инл и Т = (ХЕХ*) (XV*) = н£и. Будем рассматривать Т как передаточную матрицу. С помощью полярной декомпозиции введем определения: 1) характеристические коэффициенты усиления матрицы Т, которые являются ее соб- ственными значениями; 2) главные коэффициенты усиления Т, ко- торые служат собственными значениями эрми- товой матрицы при ее полярной декомпози- ции*; 3) главные фазы Т, т.е. аргументы собст- венных чисел унитарной матрицы U при по- лярной декомпозиции. Теорема 1. Значения характеристических коэффициентов усиления передаточной мат- рицы Т ограничены сверху и снизу соответст- венно минимальными и максимальными зна- чениями главных коэффициентов. Теорема 2. Если главные фазы комплекс- ной матрицы Т не превышают угла я, то аргу- менты характеристических коэффициентов усиления матрицы Т ограничены сверху и снизу соответственно максимальными и ми- нимальными значениями главных фаз. Для квадратной матрицы G(p) порядка т х т из теорем 1 и 2 с очевидностью следует, что при любом значении частоты со р — /со можно найти криволинейные прямо- угольные области (рис. 1.4.13), содержащие внутри т характеристических коэффициентов усиления. Если главные фазы выходят за пре- делы угла я, то характеристические коэффици- енты лежат внутри кольцевой области, опреде- ляемой минимальным и максимальным значе- ниями главных коэффициентов усиления. Если криволинейные прямоугольники и коль- цевая область построены для всех частот D- контура Найквиста, то на плоскости коэф- фициентов усиления выделяется область, внут- ри которой лежат все характеристические ко- эффициенты усиления. Такую область будем называть главной областью. Рассмотрим случай многомерной систе- мы с одинаковой размерностью векторов входа ♦ Поскольку собственные числа Т*Т и ТТ* совпадают, можно рассматривать любую декомпозицию. Главные коэффициенты часто называют в вычислительной математике сингу- лярными значениями. Термин главный коэффици- ент усиления больше отражает физическую сторону понятия.
ОБОБЩЕНИЕ ЧАСТОТНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ 61 кипения Рис. 1.4.13. выделение главной области на плоскости годографов и выхода. Под коэффициентом усиления мож- но понимать отношение энергии или мощно- сти на выходе к тем же параметрам входного сигнала. Периодический входной сигнал. Запишем входной сигнал в форме и(0 = и sin(co/ 4- 3) : 1(1) = = (iq, 1/2, —, Wm)Tsin(o/ 4- 3) • 1(/). В случае матрицы Т с постоянными ко- эффициентами вектор выходного сигнала можно представить в виде У(О = щ[ТС/®) - ТО)] cos((o/ 4- 3) 4- 4- у [ТО) + ТО) sin(©/ 4- 3)] и/. Найдем среднеквадратическое значение выходного сигнала М2 = J Ут (О У(0 л = i uTS(<o )u. О Здесь матрица S(co) = у|т*О)ТО) +Т*О)ТО)] и, следовательно, действительная и симметри- ческая. Запишем также среднее квадратическое значение входного сигнала 2я/со Н2 = 77 j “т<0 “(ОЛ = 7 «т“ 27С J 2 О и составим отношение ||у||2/|и||2 • Если про- нумеровать главные коэффициенты усиления уХ03) матрицы Т(/со) таким образом, чтобы их значение возрастало вместе с номером, т.е. Yl(<») £ YiC®) ••• Ym(®)> то можно пока- зать, что Г?(И)<;Ыт^т(“)- (1.4.31) Н Отношению (1.4.31) можно придать точ- ный физический смысл, если рассматривать синусоидальный сигнал как напряжение, при- ложенное к сопротивлению в 1 Ом. Тоща ко- эффициент усиления представляет собой от- ношение мощностей, рассеиваемых на этом сопротивлении на входе и выходе системы с передаточной матрицей Т(со). В более общем случае входного сигнала, состоящего из гармоник с различными фаза- ми, т.е. при и//) = U/sin(co/ 4- 3/) • 1(/) границы отношения (1.4.31) остаются теми же. Апериодический входной сигнал. В случае апериодического сигнала вместо ряда Фурье для входного сигнала следует рассмотреть ин- теграл Фурье и/(/ю)= -00 для существования которого необходимо и достаточно условия абсолютной сходимости вида 00 ||ц/(0|Л< 00. — 00 Среднее значение квадрата модуля |U/(/)| называют спектральной плотностью сигнала иХО» и ему также можно придать смысл плотности энергии. Более определенно: энергия, рассеиваемая сигналом на нагрузке в 1 Ом в частотном диапазоне [i/j, 1/3] находит- ся интегрированием “1 N/2 raeU<">(/) = -N/2 Отношение
62 Глава 1.4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ = £р|(НЛ¥,ф(,НЛ¥) = I'W /=1 назовем коэффициентом усиления многомер- ной системы. В работе [1.12] показано, что этот коэффициент ограничен пределами ,;WsCWts,2(„. |UOH2 Соотношение меащу характеристическим и главным коэффициентами усиления и фазой комплексной матрицы. Рассмотрим две теоре- мы, имеющие ключевое значение для форму- лировки критерия устойчивости многомерных систем. Теорема 1. Характеристические коэффи- циенты комплексной матрицы Т ограничены сверху и снизу соответственно максимальным и минимальным значениями главных коэффи- циентов усиления. (Это хорошо известный результат из линейной алгебры, [1.16]). Теорема 2. Если* главная фаза комплекс- ной матрицы Т не превосходит 180е, то аргу- менты характеристических коэффициентов усиления этой матрицы ограничены сверху и снизу максимальным и минимальным значе- ниями главных фаз. Доказательство . Пусть Т мо- жет быть представлена своей полярной деком- позицией Т = ЦНЯ и v - собственный вектор Т, соответствующий собственному числу X, т.е. Tv = Xv. Обозначим также р/ и Zi - набор собственных чисел и соответствующих им собственных век- торов унитарной матрицы U, образующих ортонормированную систему, аргументы кото- рых служат главными фазами матрицы Т. То- гда М(НЛУ)‘, v] = [(Hrv)*, Tv] = = v*H/UHAv или, представив унитарную матрицу U в виде ^=Xp'z'z'’ 1=1 запишем = Sp'lH«v’zl2- /=1 Здесь предполагается, что матрица Т не- вырожденная и, следовательно, Ид также не- вырожденная и эрмитова по определению. Отсюда вытекает, что скалярное произведение (Н/j v, v) вещественно и неотрицательно, а число X находится внутри выпуклого конуса, порожденного множеством {р/}. Выпуклый конус образует замкнутое множество линей- ных комбинаций с неотрицательными коэф- фициентами. Если описать дугу в комплекс- ной плоскости с центром вначале координат, отсчитывая углы против часовой стрелки, то угол пересечения дуги с поверхностью конуса будет минимальной главной фазой, а угол, при котором дуга выходит из внутренности конуса - максимальной главной фазой. Таким обра- зом, доказано, что аргументы характеристиче- ских коэффициентов Т ограничены сверху й снизу максимальной и минимальной главны- ми фазами Т, что и требовалось доказать. Достаточные условия устойчивости. В наиболее общей формулировке критерий Найквиста утверждает следующее: замкнутая система устойчива тогда и только тогда, если годограф характеристического коэффициента усиления охватывает критическую точку в направлении против часовой стрелки столько раз, сколько полюсов с поло- жительной вещественной частью содержит передаточная функция разомкнутой системы. Теперь нужно сформулировать, исполь- зуя теоремы 1 и 2, аналогичные условия ус- тойчивости в терминах главных коэффициен- тов и фаз передаточной матрицы G(/oo). На основании теорем 1 и 2 для передаточной матрицы G(p) разомкнутой системы при про- извольном значении частоты р = j(a можно найти криволинейные прямоугольники (сег- менты кольцевой области) с углом, определяе- мым максимальным и минимальным значе- ниями главных фаз, внутри которых находится т значений характеристических коэффициен- тов усиления годографа (обобщенной диа- граммы Найквиста). Если главные фазы не образуют выпуклого конуса, то характеристи- ческие коэффициенты усиления лежат внутри кольцевой области, определяемой максималь- ным и минимальным значением главных ко- эффициентов усиления. Если эти кольцевые прямоугольники или кольцевые области по-
ОБОБЩЕНИЕ ЧАСТОТНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ 63 строены для значения S вокруг D-контура Найквиста, то на комплексной плоскости можно зачертить область, которую мы будем называть главной; внутри нее будут находиться годографы всех характеристических коэффи- циентов усиления. Построив такую область, можно сформулировать следующий обобщен- ный критерий Найквиста: замкнутая система устойчива, если главная область охватывает критическую точку т раз в на- правлении против часовой стрелки, при этом т - число полюсов передаточной матрицы разомкнутой системы с положительными ве- щественными частями. Можно сформулировать также критерий неустойчивости: замкнутая система неустойчи- ва, если число т охватов точки главной областью не равно числу полюсов с положительной вещественной частью переда- точной матрицы разомкнутой системы. Если критическая точка лежит внутри главной области, то не представляется воз- можным сделать вывод об устойчивости или неустойчивости. Сформулированный критерий Найквиста в обобщенной форме служит для определения устойчивости при наличии одного коэффици- ента усиления, общего для всех контуров. Он не может охарактеризовать робастности устой- чивости при наличии произвольных возмуще- ний. Попытаемся сформулировать достаточные условия робастности многомерной системы при наличии линейных возмещении. Робастная устойчивость. Поставим задачу найти условия, при которых система с обрат- ной связью сохраняет устойчивость, несмотря на аддитивные или мультипликативные воз- мущения (рис. 1.4.14). Покажем, что эти усло- вия выполняются, если ________1_________ |(l+G(/<o)-,)“'|| ||ДС(Л>)||< при V® в мультипликативном случае и IWobir—-п |(I + GO)) *| при V® при аддитивном возмущении. Эти условия выводятся как следствие теоремы о малом коэффициенте усиления при некотором преобразовании структурных схем. Для того чтобы использовать критерий Найквиста в робастном смысле, преобразуем схемы, изо- Рис. 1.4.14. К определению робастной устойчивости при возмущениях: а - мультипликативных; б - аддитивных браженные на рис. 1.4.14 а и 1.4.14, б к виду рис. соответственно 1.4.15, а и 1.4.15, б. Сле- дует обратить внимание на то, что система на рис. 1.4.14, а устойчива тогда и только тогда, когда устойчива система на рис. 1.4.15, а. То же можно сказать в отношении схем на рис. 1.4.14, б и рис. 1.4.15, б. Путь дальнейших рассуждений в основном совпадает для муль- типликативного и аддитивного случаев, и мы для простоты ограничимся в дальнейшем мультипликативным. Построим главную область для переда- точной функции (I 4- GO®)'1)'1 и поставим вопрос: можем ли мы, зная главный коэффи- циент и фазу для AG(/o)), построить главную область, внутри которой находятся собствен- ные (характеристические) годографы AGO®) (I 4- GO®)'1)'1 ? Рис. 1.4.15. Преобразование структурных схем при анализе робастной устойчивости: а - при мультипликативном возмущении; б - при аддитивном возмущении
64 Глава 1.5. КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ При утвердительном ответе мы сможем нало- жить условия на возмущение AG(/<o), при котором возмущенная система остается устой- чивой. Сформулируем этот положительный ответ после введения нескольких обозначений. Обозначим пивные коэффициенты усиления передаточной функции AG(/to) (I + G(j»)-1)_1 через ai(co) £ a2(o) £ ... aw(d)), а фазы через $i(co) < ^(о) £ ... < 3w(co). Пусть для определенности диапазон изменения {ЭХ®)1 не превышает л. Пусть далее главные коэффи- циенты и фазы AG(/(d) будут соответственно 51(ш) < 52(ш) < ... < 5т(ш) и si(co) £ s2(d)) £ < ... £ sm(a). При этом фазы {еХ©)} могут иметь от- рицательный или положительный знак в зави- симости от запаздывающих или опережающих характеристик возмущения. Обозначим также отношения «1(и) 5i(co) и определим величину ( (q(d)) - 1)с2(со) \|/ т (©) = arctd v z —. Vl-(q(d))- l)c2(d))J Теперь сформулируем следующие теоре- мы. Теорема 3 (теорема малого коэффициента усиления). Замкнутая система под мультипли- кативным возмущающим воздействием остает- ся устойчивой, если: a) AG(p) постоянна и б) для всех со 5m(d))aw(d)) < 1. Применение этой теоремы часто приво- дит к незначительным результатам, однако эти результаты могут быть расширены, если рас- сматривать главные фазы, как это сделано в следующей теореме. Теорема 4 (теорема малых фаз). Замкну- тая система под мультипликативным возму- щающим воздействием остается устойчивой, если: a) AG(p) постоянна; б) диапазон изме- нения величины $Х®) + еХ®), A j — 1» • не превышает л для все значений со; в) (ci(co) - - 0 0(“) < •; О Е1(<о) + эки) - ч/т(“) > Д) ет(о>) + Эт(й>) + ч/т(<о) 2 я. Условия г) и д) аналогичны ограничениям на модуль фазы при анализе одномерных систем. Вообще го- воря, теорема 4 чаще важна в низкочастотном диапазоне, когда 3j(co) эквивалентно неболь- шому запаздыванию. В высокочастотной об- ласти di(co) приближается по своему значению к -л, а главная область находится в малой ок- рестности точки -1. В этом случае более по- лезной оказывается теорема 3. В соответствии с этим замечанием для возможности исследо- вания робастности на всем диапазоне частот содержание теорем 3 и 4 объединено в теореме 5. Теорема 5. Замкнутая система под муль- типликативным возмущающим воздействием остается устойчивой при со = сов, если: а) вы- полняются условия теоремы 4 в интервале частот [0, сов]; б) выполняются условия теоре- мы 3 в интервале частот [<ов, оо). Не приводя здесь строгих доказательств теорем 3 и 4, укажем на основные идеи дока- зательства. Теорема 3 ограничивает по модулю годографы главных коэффициентов, и поэтому при любой фазе они не попадают в опасную окрестность точки -1. Содержание теоремы 4 запрещает пересечение отрицательной части вещественной оси путем ограничения на фазу, в результате чего мы снова не попадаем в ок- рестность точки -1, но теперь уже при любой амплитуде. Теорема 5 вобрала в себя ограни- чения предыдущих теорем для разных диапа- зонов частот. Глава 1.5 КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 1.5.1. КАЧЕСТВО ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРИ ПЛАВНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ В рамках линейной теории, которой по- священа настоящая глава, проблема анализа качества процесса автоматического управления сводится к двум аспектам: 1) к анализу точно- сти воспроизведения плавных воздействий и 2) к анализу процесса перенастройки с одного режима слежения на другой, т.е. к исследова- нию переходных процессов. В этом разделе рассматриваются постановка задачи и методы анализа работы автоматических систем при воспроизведении плавных воздействий, кото- рые формально задаются в виде детерминиро- ванных (неслучайных) аналитических выраже- ний. Плавными называют также воздействия, которые принципиально могут быть произве- дены автоматической системой без нарушения энергетических или силовых возможностей исполнительных элементов. С математической точки зрения задача анализа точности эквивалентна решению об- щего уравнения
КАЧЕСТВО ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРИ ПЛАВНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ 65 f = Ау + ви, описывающего автоматическую систему. Прак- тические приемы анализа точности автомати- ческих систем позволяют избежать этой, ино- гда достаточно громоздкой процедуры, и сверх того - связать критерий оценки точности с параметрами исследуемой системы формаль- ными соотношениями. Один из таких практи- ческих приемов основан на описании автома- тической системы с помощью интеграла сверт- ки. Обратимся к наиболее общему выражению (1.2.26), которое можно записать также в виде 00 х(0 = J и(/ - т)£(т)А, (1.5.1) О имея в виду, что к(х) = 0 при т £ О, т.к. реак- ция на воздействие в момент т = 0 не может предшествовать последнему. Плавность функ- ции «(/) предполагает существование доста- точно большого числа производных и по t. Запишем разложение в окрестности точки N V “('-т)= tV+o<tJV>- <t5-2> v=0 Умножая левую и правую части (1.5.2) на к(х) и интегрируя, имеем N оо x(O=XA^(-1)VJt4(t)A- v=0 V' О Величины mv = J tv£(t)A, О как известно, называются в математике мо- ментами функции к(х) v-ro порядка. Момен- ты ту можно вычислить и иным способом. Обращаясь к формуле (1.2.29), перепишем ее в явной форме* 00 Ф(р) = | к(х)е~^(Ь. О Дифференцируя v раз по р и переходя к пределу при р —► 0, находим * В отличие от формулы (1.2.29) здесь использовано обозначение передаточной функции Ф(р) для замкнутых систем. 00 = (-1)фЧ(т)А. р=0 о Вычисляя ошибку замкнутой математической системы как разность между выходной вели- чиной х(1) и управляющим воздействием u(f) 80 =. «0 - *0> находим 80 = «(О - £ 8VA(T)<ft = v=0 ’ о = «(О - X (-X)Vmv —Г2- (L5.3) v=0 Формулами вида (1.5.3) практически можно пользоваться, лишь удерживая ограни- ченное число слагаемых, поэтому при интег- рировании опущен остаточный член. Таким образом, представив ошибку в виде отрезка рада 80 = СО«0 + С, С2 (1.5.4) можно составить представление о том, как влияют производные различных порядков на точность воспроизведения входного воздейст- вия u(f). Коэффициенты Q в формуле (1.5.4) называют коэффициентами ошибок. Они свя- заны с моментами весовой функции оче- видным соотношением Q = 1 - то; Q = (-1)* + хтк. Представление ошибок в виде (1.5.4) Особенно удобно, когда управляющее воздей- ствие задается в виде полинома конечного порядка, который можно также рассматривать как еще один тип тестового воздействия (см. п. 1.2.5). Коэффициенты ошибок могут быть най- дены и непосредственно из выражения для весовой функции к^х) автоматической систе- мы по отношению к ошибке 00 80 = |«(Г-т)А6(т)А. О Аналогично предыдущим выкладкам по- лучена формула для вычисления коэффициен- тов ошибок интегрированием 3 Зак 1023
66 Глава 1.5. КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ 00 Cv=(-l)VpV*eO)A О либо дифференцированием передаточной функции по отношению к ошибке Коэффициенты ошибок могут быть вы- числены и без операций дифференцирования или интегрирования для передаточных функ- ций дробно-рационального типа. Пусть передаточная функция W(p) ра- зомкнутой системы представлена в виде отно- шения двух полиномов pv i + alp + a2p2+...+a„pH ’ здесь v - порядок полюса передаточной функ- ции. Согласно (1.2.23) передаточная функция по отношению к ошибке также представляется в виде отношения двух полиномов Фв(р) ж РЛ1(1+Д1/> + Д2/,2+-+длР") pv(l + aip + а2р2+.. .+a„p”)+ • •• л • +и(1+Ьр+b2pi+...+bmp") Представим передаточную функцию Фк(р) в виде степенного ряда с некоторым радиусом равномерной сходимости, отличным от нуля: Ф«(р) = 4) + АР + АР2 + ••• (1-5.6) Почленное дифференцирование ряда (1.5.6) указывает на связь коэффиц иентов 4 с коэффи- циентами ошибок G. Сами коэффициент 4 можно найш из очевидного тождества [p*(i + щр + ... + ад") + + ц(1 + Ь\р + ... + х х (4) + Ар + —)а ap*(i + <*ip +... + ад"). Пример 1.5.1. Найдем коэффициент ошибок Q), Ci и С2 для следящей системы с передаточной функцией в разомкнутом со- стоянии <,s’> Передаточная функция по отношению к ошибке согласно (1.5.5) принимает вид ф (/>)= (1+У)(1+Тр)р = еУР> (l + tp)(l + Tp)p + (i = A) + l\P + hP2 • Таким образом, получаем соотношение для определения коэффициентов ошибки (1 + 40(1+ Тр)р* 1(1 + V») (1 + Ч»)/> + н!(4> + hp + /jp2)- Отсюда получаем последовательность рекур- рентных соотношений Со =0; Q =^-; CiH + /о = 1; с? = — [т + т-I; НК IV Со (7* + т) +1\ + /2И = Т + т. Коэффициент ошибки при воспроизве- дении постоянной составляющей Q = 0. Этот замечательный результат связан с наличием полюса первого порядка в знаменателе переда- точной функции W(p). Он свидетельствует о том, что статические воздействия вида и =Uq = - const следящая система после затухания переходного процесса воспроизводит без ошибки. Такую систему называют астатине- осой, а показатель v - порядкам астатизма. В связи с этим замечанием получим не- сколько более общий результат. Пусть переда- точная функция разомкнутой автоматической системы имеет вид JT(p) = м^(р) PvD(p)’ соответствующая передаточная функция по отношению к ошибке Фб0»______ pvD(p) + vM(p) Входное воздействие задано в виде поли- нома N u(f) = и0 +и^ + и2/2+...- (1.5.8) Преобразуя по Лапласу (1.5.8), имеем N -I j=0 Р Следовательно, изображение ошибки
КАЧЕСТВО ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРИ ПЛАВНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ 67 Е(} = у pvD(p) + nM(p)faop^1' Найдем предел, к которому стремится ошибка системы после затухания переходного процесса. Согласно теореме о конечном зна- чении lim е(/) = lim рЕ(р) = /-►со р->0 = iim------£(£)-----V/,,»-/. р-»0 pvD(p) + цМ(р) fa. Таким образом, если порядок полинома N, представляющего входное воздействие, мень- ше, чем порядок астатизма системы, то ошиб- ка с течением времени стремится к нулю. Если порядок астатизма равен порядку полинома У то с течением времени ошибка принимает некоторое постоянное значение Mm с(0 = При v < N ошибка растет с течением времени неограниченно. Величина ошибки при условии N = v • тем меньше, чем выше коэффициент усиления р разомкнутой системы W(p). Этот коэффи- циент, определяющий точность воспроизведе- ния входного воздействия, называют добротно- стью следящей системы. Требования к точности системы обычно оказываются в противоречии с условиями ус- тойчивости. Так, например, в случае переда- точной функции вида (1.5.7) требование ус- тойчивости удовлетворяется неравенством 1 1 т Т ограничивающим добротность системы сверху. При входной функции «(/) = uq + U\t уста- новившееся значение ошибки будет Системы с повышенным порядком аста- тизма обладают большей точностью, но, вооб- ще говоря, требуют специальных мер по обес- печению их устойчивости. Противоречивые требования к точности и устойчивости могут быть удовлетворены в ряде случаев с помощью корректирующих уст- ройств. Пример 1.5.2. Рассмотрим вновь канал стабилизации крена из примера 1.4.2. В этом случае учтем возмущающий момент А/в, воз- никающий, например, вследствие явления косого обдува. Требуется найти угол крена, образующийся под действием возмущающего момента. Уравнение стабилизируемого объекта за- пишется в виде Ту + bi = + Мъ. Остальные два уравнения имеют прежний вид: и ~ к$у - Уравнение гиростабилизатора и Т8 + 8 = - уравнение силового привода. В операторной форме после исключения про- межуточных координат и и 8 получаем соот- ношение между у(/) и Л/в: [(//> + *)(7> + 1)р + kikfaWtp)- = (7> + 1)М.(р). Пусть Мъ = А/во = const. Тогда Мъ(р) = = Р Установившееся значение угла крена оп- ределяется предельным переходом Густ. = lim Г(Е) = lim pV(j>) = /-►оо р->0 = Мл / k)k2k3. Если, например, = 1 Н-м и k\kik3 = = 5 Н м, то YyCT. = 0,2 рад = 11,46®. Уменьшение угла крена путем простого увеличения коэффициента усиления (добротности) невозможно, так как согласно примеру 1.4.2 при kfafy - 5,6 Н*м система теряет устойчивость. Таким образом, необхо- дима структурная доработка системы. Введем в схему демпфирующий гироскоп (рис. 1.5.1). При вращении по углу крена вокруг измери- тельной оси ротор стремится прецессировать, преодолевая сопротивление пружин. Угол от- клонения рамки регистрируется потенциомет- рическим датчиком. Возникающие переходные процессы демпфируются поршнем, помещен- ным в цилиндр с регулируемым зазором. До- бавляя сигнал с датчика демпфирующего гиро- скопа к прежнему сигналу к$у, получаем « = к3у+к4у. Уравнение канала стабилизации в результате приобретает вид [ Tip* + (/ + bDp2 + (b + k)hfa)p + + М2*з)Г(р)= СП> + \)Мл/р.
68 Глава 1.5. КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Рис. 1.5.1. Демпфирующий гироскоп Таким образом, введение демпфирующего гироскопа привело к увеличению коэффици- ента при первой производной от угла крена по времени. При достаточно большом коэффици- енте усиления ^4 установившееся значение угла крена может быть снижено. Выбрав, на- пример, = 4, можно обеспечить устой- чивость канала стабилизации при значениях *1*2*3 < (6 + *1*2*4 )[у + у] = = (0,8 + 4)f—+ —1 =33,6 Нм. ' 'к 0,2 0,4 J Задавшись углом ууст = 2,5е, мы видим, что требующееся при этом значение = = 22,5 с*1 не превышает пределов устойчиво- сти. В то же время корни характеристического уравнения Pl = -5,52 с"1; />2,3 = -0,739 ± j 7,16<о соответствуют переходному процессу с часто- той 7,16 с’1 = 1,14 Гц, затухающему через 4 с, т.е. через три колебания. 1.5.2. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ При анализе показателей качества в гл. 1.3 наиболее часто упоминается время пере- ходного процесса Т Идеальной в смысле бы- стродействия могла бы считаться система с нулевым временем переходного процесса. Тех- ническая неосуществимость такого переход- ного процесса связана в первую очередь с ог- раниченностью момента Л/, развиваемого ис- полнительным двигателем. Максимальное угловое ускорение е, которое способен развить двигатель, равно отношению момента М к моменту инерции /. В свою очередь момент инерции зависит от массы управляемого объ- екта и момента инерции собственного ротора двигателя. В связи с этим в автоматических системах широкое распространение нашли двухфазные электродвигатели с полым рото- ром, выполняемым в виде легкого алюминие- вого стакана. Среди мощных приводов, спо- собных быстро отрабатывать входные воздей- ствия в виде ступенчатых функций, следует отметить объемные гидроприводы с большим давлением рабочей жидкости. Быстродействие автоматических систем, т.е. малое время переходного процесса непо- средственно связано с видом частотной харак- теристики. При нулевом времени переходного процесса автоматическая система могла бы воспроизводить разрывный периодический сигнал в виде "меандры" (см. рис. 1.2.5), раз- ложение которой в ряд Фурье (1.2.17) имеет бесконечно широкий спектр. В то же время частотные характеристики реальных (физичес- ки осуществимых) следящих систем монотон- но убывают с ростом частоты. Это особенно наглядно можно видеть на логарифмических частотных характеристиках (см., например, рис. 1.4.6). С формальной точки зрения это связано с тем, что числитель дробно- рациональной передаточной функции имеет порядок, меньший знаменателя. Условно принято считать, что автомати- ческая система воспроизводит без искажения гармоники с частотой, ограничиваемой поло- сой пропускания. Верхней границей полосы является частота среза, т.е. значение частоты <ос, при котором амплитудно-частотная харак- теристика Л(<ос) = 1, что соответствует 0 в логарифмическом масштабе. Если рассматривать переходный процесс как реакцию на единичный скачок 1(0 с изо- бражением 1 / р, то, очевидно, формальная связь между передаточной функцией системы и переходной функцией представится соотно- шением Заменив здесь р на /со и воспользовав- шись соотношениями Ф(/со) = Р(®) + /О((о), еР1 — cosco/ + j sincof, нетрудно получить интегральную зависимость
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 69 х(/) = —f ( ^sincoftfo, (1.5.9) Я«> (О О в которую входит только вещественная пере- менная (о. В период развития теории автоматиче- ского управления в 50-х и даже в начале 60-х годов соотношение (1.5.9) играло основную роль при построении переходных процессов графоаналитическим путем (см., например, [16, 21]). При современном развитии вычисли- тельной техники переходный процесс строится путем интегрирования уравнений. Тем не ме- нее частотные методы получили такое широ- кое распространение благодаря своей нагляд- ности, что вычисление характеристик часто включают в математическое обеспечение ЭВМ. Остановимся здесь лишь на качественной оценке протекания переходного процесса, опираясь на формулу (1.5.9). В частности, если функция Р(<о) монотонно убывающая, то можно указать границы, в которых протекает переходный процесс. Типовая зависимость монотонно убывающей характеристики Р((о) показана на рис. 1.5.2. Если заключить его в границы Р-(®) £ Р(®) £ Р+(®), то можно вычислить переходные функции х +(/) и х ’(/), соответствующие указанным границам. В случае Р(©) = Р+(<о) имеем + /а 2 7 Sin 2 о./ а х+(Г) = — I-------dm = — Si((Dcr). Я j (0 я v ' 0 Функция Si(z) - интегральный синус - хорошо изучена и табулирована. Независимо от существующих таблиц ее вычисляют в виде частичных сумм ряда z3 Z5 Z7 Sl(z) " * "ТЗ!+Г5! " Г7!+'" с любой наперед заданной точностью. Благодаря тому что методы решения дифференциальных уравнений, описывающих линейные автоматические системы с постоян- ными параметрами, хорошо изучены, пред- ставляется возможным существенно сократить затраты времени на вычисления переходных процессов в этих системах при использовании ЭВМ. Наиболее популярными методами интег- рирования дифференциальных уравнений, применяемыми при использовании ЭВМ, являются: простой метод Эйлера, модифици- рованный метод Эйлера-Коши, метод Рунге- Кутта и интерполяционный метод Адамса. Все перечисленные методы достаточно универ- сальны, и мы остановимся здесь на целесооб- разности их использования, начиная с наибо- лее просто реализуемого при программирова- нии - метода Эйлера. При этом достаточно рассмотреть интегрирование дифференциаль- ных уравнений двух элементарных звеньев - апериодического и колебательного. Как уже было показано, автоматическая система произ- вольной сложности может быть рассмотрена как комбинация этих двух типов звеньев. До- бавление дифференцирующих звеньев, как будет показано, не вносит принципиально новых приемов в вычислительную процедуру. Рис. 1.5.2. Нижняя я верхняя оценки переходного процесса при монотонно убывающей вещественной характеристике
70 Глава 1.5. КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Согласно методу Эйлера в дифференци- альном уравнении вида Г^ + х=«(0 (1.5.10) at производная dx / dt заменяется разностным отношением dx x(t + h)~ x(t) x„+i - xn dt h h ' Следовательно, вместо (1.5.10) имеем хл+1 - ” j»}’ (1.5.11) Единственный характеристический ко- рень разностного уравнения (1.5.11) должен удовлетворять неравенству (1.5.12) в противном случае будет нарушена устойчи- вость вычислительной процедуры. Неравенство (1.5.12) при h > 0 эквивалентно условию h < <27! Возможности метода. Эйлера рассмот- рим на примере. Пример 1.5.2. Найти переходный процесс в линейном фильтре, описываемым уравнени- ем 0Дх + х = 0 (1.5.13) при начальном условии х(0) = 1. Согласно условию (1.5.12) устойчивость счета не будет нарушена, если выбрать шаг счета h = 0,05. Подставив это значение в (1.5.11), имеем Хл+1 = 0,5хл. Вычислим несколько значений хп и сравним их с точным решением: t х(1) е-ю» 0,00 1,000 000 1,000 000 0,05 0,500 000 0,606 531 0,10 0,250 000 0,367 879 0,15 0,125 000 0,223 130 Из приведенных результатов счета следу- ет, что хотя устойчивость не нарушена, точ- ность явно неудовлетворительна. Оценим погрешность метода Эйлера и приведенного примера. Для этого воспользу- емся известным выражением -А , h е 7 = 1- —+ Т 3 Погрешность рекуррентной формулы (1.5.11) равна сумме отброшенных членов разложения, которая не превышает величины первого от- брошенного члена Л2 / (2Т2). При желании получить абсолютную погрешность разового счета, не превышающую, например, 10*6, не- обходимо, чтобы шаг счета не превосходил 1,4 • 10'4 с, что, безусловно, приведет к недо- пустимо большим затратам машинного време- ни. Рассмотрим условия устойчивости вы- числений для колебательного звена с диффе- ренциальным уравнением Т2х + 2£73с + х = u(f). (1.5.14) Вводя обозначение у = х, имеем 1 2$ ---- Т2 Т При переходе к дискретной процедуре счета вместо уравнения (1.5.14) запишем хл+1 Ул+1. 1 -h/T2 h 1-2£А Т (1.5.15) Характеристическое уравнение при £ < 1 имеет два корня 11Д = 1-4Л/т±/л/(г71-§2). Условие устойчивости |Х| < 1 в явной форме (1 - ty / 7)2 + А2(1 - £2)/ Т2 < 1, откуда h < 2£7! Условие устойчивости получилось с большим ограничением, чем у апериодиче- ского звена, т.к. £ < 1. Например, для вычис- ления переходных режимов гиропривода с собственной частотой 70 Гц с коэффициентом демпфирования £ = 0,1 предельное значение шага h равно 4,5 * 10'4 с. Учитывая оценку погрешности, полученную в примере 1.5.2, для сохранения точности шаг приходится умень- шить до величины порядка 5 * 10*7 с. Приведенные примеры показывают, что использование метода Эйлера приводит к большим затратам машинного времени. В вычислительной математике разработа- ны методы, позволяющие использовать более
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 71 крупный шаг при сохранении точности. Так, например, процедура Рунге-Кутта четвертого порядка имеет погрешность, пропорциональ- ную А5, но требуется четырехкратное обраще- ние к матрице (1.5.15) при продвижении на один шаг, и поэтому необходимы значитель- ные временные затраты. Оценка точности ме- тода Адамса более затруднена, так как требует- ся решение специального вспомогательного уравнения и итерационная процедура, что также сопряжено со значительными времен- ными затратами. От этих недостатков свобод- ны рекуррентные формулы, получение которых для линейных уравнений не представляет за- труднений. Рассмотрим снова уравнение (1.5.2). Согласно принятому методу представим вход- ное воздействие в u(f) его дискретными зна- чениями = и(^). Следовательно, на интер- вале tk <. t <. tk + i x(f) = u* +Ge’*, tk откуда при t = 4 находим С = (x^ -Ук)* T их(0 = «* + (х* ~.ик)е При t = tk + i получаем рекуррентное соотношение = «* +(** -“*)* ’ <1-5.16) где h = tk _ i - Формула (1.5.16) удобна для программи- рования при постоянном шаге А вычисления входного сигнала u(t). Аналогичным приемом находят рекур- рентное соотношение для колебательного зве- на с уравнением (1.5.14). На интервале tk £ t £ < tk + i решение имеет вид х(/) = ик + С1ех«/ 4- tytfy где X) и А.2 - корни характеристического урав- нения ТЫ 4- 2^ТХ 4-1 = 0. Для вычисления постоянных и С2 за- пишем выражение для производной y(f) = С1МХ|' + СгХгеУ При t = tk получаем систему уравнений относительно и С2, решая которую, полу- чаем рекуррентные соотношения для фильтра второго порядка Хк +1 = 1(>-2ех,А - Xie*»*) / (Х2 - М)1 хк - - 1(ех'* - еМ) / (Х2 - Х1)| Ук + + [1 - (XieM + ХгеМ) / (%] - х2)] ик, Ук +1 = 1(еХ'* - *М) / (>-2 - Xi)) ХАгх* - - |(Xiex.* - ХгеМ) / (Х2 - Х])1 Ук - - (eS* - e^)-^j-uk. Х1 - х2 (1.5.17) Так как при £ < 1 корни Xi и Х2 комплексные и сопряженные, то, обозначая а = / Т, р = Jl-t2 /т , имеем Xi - Х2 =j 20, Х1Х2 = = а2 4- р2 Пользуясь соотношениями е^л 4- = 2cos0A; е^А . е-уРА = у. 2sin0A, находим =«* +(** ni. а • cospA -—sin + sinpA, (1.5.18) Ук+1 = (Хк-^к)^ sin РА + + у^ sin 0А + cos 0А^. В формулах (1.5.11), (1.5.16) и (1.5.18) шаг счета определяется не параметрами Т и £, а точностью дискретного представления вход- ного воздействия и*. В частности, для вычис- ления переходного процесса при u(t) - const формулы являются принципиально точными. Как уже говорилось, добавление диффе- ренцирования (числитель передаточной функ- ции или правая часть дифференциальных уравнений) не вносит в вывод рекуррентных формул принципиально новых изменений. Укажем, например, на применение метода для звена с передаточной функцией = (L519) Из (1.5.19) следует Тх + х = Ти. (1.5.20) Обозначим разность х(0 - u(f) = z(0- Тогда вместо (1.5.20) запишем Tz+Z = u(t) - вы- ражение, не отличающееся от (1.5.10) с точно- стью до обозначений переменных. Рекуррент-
72 Глава 1.5. КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ ное равенство (1.5.16) переписываем в этих обозначениях в виде = -«* +(z* +«*)е'^ = -«* +хке~т или, возвращаясь к старым переменным, по- лучаем окончательно **+1 = £*+!-«*+***’*• Пример 1.5.3. Требуется подготовить ал- горитм расчета переходного процесса в колеба- тельном звене с уравнением 0,5х + х + х = О при начальных условиях х(0) = 1, х(0) = 0 с шагом h = 0,5 с. Находим параметры Т = £ = 1 /1Т— = 7^5- Следовательно, а = / Т — 1; р = =7i^?7r=i. Одноразовым счетом определяем коэф- фициенты рекуррентных соотношений (1.5.18): e^cospA - ^-sinpA^ = 0,823 067 05; |e“* Sinp*= 0,290 786 28; ц2 + P2 саА P SinP* = 0,581 572 56; e«A + COS рл =0,241 494 46. Алгоритм для программы умножения на постоянную матрицу имеет вид Хк + 1 = 0,823 067 05 Хк + 0,290 786 28 у$ Ук+1 = 0,581 572 56 Хк + 0,241 494 46 ук. Кроме переходного процесса х(1) при счете "автоматически” получается и его произ- водная. Как уже отмечалось, величина шага счета h при использовании рекуррентных соотно- шений ограничивается скоростью изменения входного сигнала 1/(1). Более точно соотноше- ние между верхней границей h и свойствами сигнала м(/) определяется теоремой Котельни- кова, согласно которой где f, Гц, - верхняя граница финитного спек- тра сигнала </(/). При построении переходного процесса для цепочки последовательно соединенных звеньев с частотными операторами W/jm) (i e 1, 2..п) выходной сигнал звена с опе- ратором Wf _ 1(до) служит входным для после- дующего звена с оператором W/jat). Поэтому при выборе величины h приходится ориенти- роваться на звено с наименьшей постоянной времени. В качестве верхней оценки величины h можно предложить, например, h = ГДС ^min ~ Пип 7/. Обычно считается, что с уменьшением шага счета точность вычислений возрастает. Однако это утверждение справедливо лишь до некоторого предела, так что шаг счета ограни- чен и снизу. Это связано с погрешностями вычисления коэффициентов рекуррентных соотношений вследствие округлений в цифро- вом процессоре ЭВМ. Как показано в [4], неточность вычисления коэффициентов сказы- вается на последующих ошибках тем сильнее, чем меньше шаг счета. Ошибки округления в меньшей степени проявляются при использо- вании универсальных ЭВМ с большой длиной слова. Оптимальный переходный процесс. В со- ответствии с установленными требованиями к переходному процессу назовем процесс опти- мальным, если он протекает за наименьшее возможное время Поставим задачу пере- хода управляемой координаты х(1) из одного состояния jq = const в другое устойчивое со- стояние Х2 = const при наличии ограничения на величину второй производной x(t) по времени. Как мы видели в самом начале на- стоящего параграфа, такая постановка задачи об оптимальном управлении связана с часто встречающимися техническими ограничения- ми момента, развиваемого исполнительными двигателями следящих систем. При дальней- шем обобщении задачи оптимального управ- ления она становится многомерной задачей вариационного исчисления и решается на ос- нове принципа максимума Понтрягина. Огра- ничимся одномерной трактовкой этой общей задачи оптимального управления, послужив- шей началом фундаментальных исследований, с единственной целью формирования частного подхода к синтезу оптимальных по быстродей- ствию следящих систем. Решение задачи о форме оптимального процесса в такой поста- новке очевидно. Если под величинами Х\ и X}
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 73 Рас. 1.5.3. Опгамалышй переходный процесс п соответствующая ему частотная харахтернсгяха разомкнутой системы понимать углы поворота вала исполнительного двигателя, то для осуществления наиболее быстрого поворота на угол *2 - нужно, что- бы половину этого угла двигатель проходил, разгоняясь с максимальным ускорением ет, а другую половину - тормозясь с заменой вели- чины гт на -ет (рис. 1.5.3). Таким образом, закон изменения ускорения x(t) по времени выражается формулой х(/) = 1(К-2л[/- Т • 1пип I- 2 +^min)8m Интегрируя дважды это выражение и имея в виду свойства единичной ступенчатой функ- ции (1.2.16), получим выражение для опти- мального переходного процесса, справедливое для всех X(/) = 1(0^L?- (1.5.21) Техническая реализация такого процесса возможна, если иметь в распоряжении испол- нительный элемент с передаточной функцией 1 / S2 и переключающее устройство в виде идеального реле, работающего в соответствии с логикой 1 при и = • - 1 при 0 при 0 £ х < Xq / 2 х0 / 2 £ х < Xq Xq ^Х ИЛИ х < 0. Такая реализация вводит нас в круг идей не- линейной теории автоматического управления. Если же попытаться решить проблему, ис- пользуя линейные элементы, то необходимо найти изображение функции (1.5.21) и отнести его к изображению скачка х<) • 1(1). Тогда получим передаточную функцию линейного устройства, осуществляющего оп- тимальный поворот на заданный угол Xq. Пре- образуя по Лапласу (1.5.21), в соответствии с теоремой запаздывания [9.16], имеем или так как 8ш = 4хо/^1Ып mtn L' Г ще Хо = х2 - р-ехр^Тцщр) .
74 Глава 1.5. КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Следовательно, оптимальная передаточная функция ф(/>) = + еч>(-Твипр)]. Наличие [Р в знаменателе не должно создавать впечатления, что передаточная функция Ф(р) обладает полюсом второго по- рядка. Действительно, пользуясь разложением экспоненты в ряд Тейлора в окрестности точ- ки р = 0, находим lim Ф(р) = —lim - » + lZrin 1 + А 2 2 4 ) + ” ^айлР + у “• • •) (1.5.22) Вычислим также передаточную функцию ра- зомкнутой оптимальной системы. Из формулы (1.2.22) следует т.е. она не может быть реализована с помощью линейных элементов с сосредоточенными па- раметрами. Тем не менее представляется инте- ресным график ее амплитудно-частотной ха- рактеристики в логарифмическом масштабе, поскольку его можно сопоставить с характери- стиками, получаемыми с помощью различных комбинаций типовых звеньев при конструиро- вании. Логарифмические характеристики оп- тимальной передаточной функции рассчиты- ваются по формулам \2 sin со I (1.5.24) ^(Р) = Ф(Р) 1-Ф(р) или, учитывая (1.5.22), „ . <о > 2Sin--Sin<0 г— = arctg------------------- •_ J со 1ШП/ 1-2 cos — + cos со 2 1 - 2ехр(- ^5- р) + ехр(- ТщшР) . <0 2 sin — - sin со - arctg—---------------------- СО 2 Q —— + 1 - 2 COS — + COSCO 4 2 (1-523) Пользуясь тем же разложением экспо- ненциальных функций, нетрудно убедиться, что оптимальная передаточная функция ра- зомкнутой системы имеет полюс первого по- рядка в точке р = 0, т.е. она обладает астатиз- мом первого порядка. Это соответствует при- нятому нами оптимальному переходному про- цессу, который обладает свойством lim х(Г) = х0 = const, /-►со Из выражения (1.5.23) следует, что опти- мальная передаточная функция не принадле- жит к классу дробно-рациональных функций, вытекающим из (1.5.23) при замене — = ^rninP- Числитель выражения для подсчета |1К| представляет собой периодическую функ- цию со с периодом 4л, причем точки со = 4Ьс (к = 0, 1, 2, ...) являются корнями и ампли- тудно-частотная характеристика терпит разрыв в этих точках (рис. 1.5.4). При низких частотах справедлива асимптотическая формула iHWh-T’ (1.5.25) из которой следует, что оптимальная переда- точная функция соответствует интегрирующе- му звену, амплитудно-частотная характеристи- ка которого имеет наклон - 20 дБ/дек. Под этим наклоном оптимальная характеристика пересекает линию нулевых децибел (рис. 1.5.3).
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА 75 Рас. 1.5.4. Распределение корней характеристического уравнения Фазовая характеристика в соответствии с асимптотической формулой (1.5.25) монотон- но убывает с ростом частоты, начиная от ли- нии -90°. 1.5.3. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Пусть Ч = nun|ReXv| расстояние до ближайшего корня характеристического урав- нения замкнутой системы от мнимой оси плоскости корней. Так как дробно- рациональная функция может быть представ- лена в виде суммы двух элементарных дробей М(р) f Су D(P)P “jb-by’ (1.5.26) то вещественной величине ч соответствует апериодическая составляющая переходного процесса Она и определяет время зату- хания всего процесса, так как все другие со- ставляющие затухают быстрее. Если исходить из соотношения е-”' = 0,05, то время затухания Т = --1110,05 = -. п п Оценка времени не изменится, если ближайшей к мнимой оси окажется пара ком- плексных сопряженных корней (см. рис. 1.5.4), так как гармоническая функция мажо- рируется экспонентой с показателем чА т.е. х(1) = е’л/(Лсо8рГ + 2?sinp/)» (1.5.27) Величину ч принято называть степенью устойчивости. В выражении (1.5.27) отношение ц = |т| /р| называют колебательностью. Эта величина характеризует при ч > 0 быстроту затухания амплитуды за один период 2л / р. Действительно, из (1.5.27) следует (4cosp/ + Rsinpr) _ 2л = ‘ ’ х(0, т.е. значения переходного процесса, разделен- ные промежутком времени 2я / р, отличаются 2лп постоянным множителем е . В разложении (1.5.26) неопределенные коэффициенты наиболее экономно находим следующим образом. Умножив обе части ра- венства на X - Ху и перейдя к пределу при X —> Xv, получаем = °-5-28) В частности, Со = М(0) / 2X0). Выражению (1.5.28) можно придать не- сколько измененную форму С — lim \ Л/(Х)____1_ Су-ton(X. - Лфу) ^*(^у)^у (L5.29) В случае кратных корней необходимо предварительное дифференцирование. Если при 01 + 02 + • + 0л = » + (Р-Хг)?"-’]а(Р), то оригинал можно найти с помощью общей формулы где
76 Глава 1.5. КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Ф^(р) = rf'-1 ф'-1 Q(p) Из (1.5.28) следует, что если корни зна- менателя Xv мало отличаются от корней поли- нома Л/(Х) (нулей передаточной функции замкнутой системы), то и коэффициенты G будут малы, что приведет к уменьшению ам- плитуд отдельных составляющих переходного процесса. Выражения (1.5.29) и (1.5.30), а также методика оценки качества, как следует из со- держания настоящего параграфа, требуют зна- ния корней полиномов D(p) и М(р). Матема- тическое обеспечение современных ЭВМ, как правило, содержит стандартные программы вычисления корней полиномов. Приведем два простых алгоритма, позволяющих вычислить корни, не обращаясь к помощи "большой" ЭВМ. Для реализации алгоритмов достаточно программируемого калькулятора. Определение вещественного корня. Поли- ном нечетной степени с вещественными ко- эффициентами имеет по крайней мере один вещественный корень. Запишем разложение ДХ) = AXW) + (1 - + + о(Х - Х<*>), где - приближенное значение корня по- рядка к в итеративной процедуре. Полагая D(X(* + D) = О, находим х(*+1) = х(*) _ =х(*) _ Dk/Djc (1.5.31) Пример 1.5.4. Найдем корни полинома X3 + 6Х2 + ИХ + 6. Не прибегая к громоздкой формуле Кардано, запишем формулу для итераций ,«) ^X<*)[ll + xW(6 + xW)] 11 + Х(Л)(12 + ЗХ(А:)| Задавшись = 0, находим последовательно X(D = -0,545 454 54; Х<4> = -0,999 091 51; Х<2) = -0,848 953 21; Х<5> = -0,999 998 64; Х(3) = -0,974 674 12; Х<6) = -1,000 000 00. После к = 6 итерации повторяются, по- этому Xj = -1,000 000 00. Поскольку заранее неизвестно, вещественны ли два других корня, в данном случае можно просто решить квад- ратное уравнение, коэффициенты которого находятся из тождества (X + 1)(Х2 + />Х + q) г X3 + 6Х2 + ИХ + 6. Таким образом, Xj = -2, Х3 = -3. Фактически в этом примере реализован метод касательной Ньютона. Дальнейшее раз- витие этого метода позволяет найти также и комплексные корни. Определение комплексных корней. Разде- лим полином D(p) на трехчлен рР + 1р + т с неизвестными коэффициентами I и т. Обо- значив частное от деления через Pi(p), полу- чим тождество D(p) s (р2 + lp + mi)Di(p) + рР(1, т) + + С(/, т). (1.5.32) Коэффициенты I и т можно определить, решая систему Р(/, т) = 0; Q(Z, т) = 0. Для решения этой системы можно воспользоваться методом касательной плоскости, наклон кото- рой определяется производными Р и Q по аргументам I и т. Для определения производ- ных Хичкоком предложен метод без операции дифференцирования [1.4]. Разделим много- член, входящий в (1.5.32), снова на трехчлен рР + Ip + т. Получим тождество D\(p) = (рР+ Ip + m)Di(p) + pR(l, m) + + 5(Z, m). Продифференцируем no Z и m, и в ре- зультат дифференцирования подставим один из корней трехчлена jP + Ip + т, который обозначим через а/ (/ = 1, 2): a*R(l, т) + а/5(/, т) + azP/(Z, т) + + e/(Z,m) = 0; а, R(l, т) + S(l, m)+aiPb (I, m) + + CmG,w) = 0, или, так как = -fct/ - m, a/[P/(Z, m) + 5(Z,m)] - ZP(Z,m) + + [C/(Z, m) - mP(Z,m)] = 0; (1.5.33) а,[Р;,(/,т) + Я(/,т)] + + [e^(/,m) + 5(/,m)] = 0.
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА 77 Если корни eq и а2 не равны, то из (1.5.33) следует, что равна нулю каждая из скобок. Производные вычисляются в виде линейных комбинаций остатков от деления на трехчлен р2 + 1р 4- т: Pl(l,m) = lR(l,m)~S(l,m)-, = -Я(/,т); (1.5.34) В соответствии с методом Ньютона, ко- торый был использован в примере 1.5.4, запи- сываем условие Р^,т^)^ +Р^,т^)лт^ = где дХ*) = Цк + 1) . X*); д„(*) = „(* + !).„(*). Формулы для программирования полу- чаются в виде »(*+!) _ К*) Qpm - PQ'm . P/Q'm-P^Qi' (1.5.35) m(*+l)=OT(*)+^Z^_. PiQ'm-PkQl Пример 1.5.5. Требуется провести оценку колебательности и степени затухания переход- ного процесса в электрогцдравлическом при- воде со структурной схемой, изображенной на рис. 1.5.5 с передаточными функциями, выра- жаемыми формулами: к W3(p) = k„p, = 1 + Г2р Рве. 1.5.5. Струпуряая схема элекгрогцаравлаческого сапового правода Гидропривод И^(р) представляет собой пару "насос-мотор”; производительность насо- са управляется электрическим двигателем 1К2(р) через редуктор W$(p) . Цепочка уси- литель - двигатель ^(Р) охвачена гибкой обратной связью, состоящей из тахоге- нератора (р) и корректирующего звена w4(p). Значения параметров следующие: кус крр — 5 рад / В-с; кщ — 1520 с"^; 71 = 0,006 с; крг = 15 В-с / рад; Т2 = 0,38 с; т = 0,05 с; ^>=1:2; Т= 0,08 с. Приступим к оценке параметров пере- ходного процесса, для чего запишем выраже- ние передаточной функции системы с разомк- нутой главной обратной связью кускднкркт (1 + /’2[(1 + Ч’Х1 + Г2/>) + ’ + *ус*4т*да(1 + М](1 + V) Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид ТТ2тХ5 + [(Т + Т2)т + ТТ2 + + кускггкдЛ7\х]'к4 + [Т+ Т2 + куСк^лкггТ\+ 4" т(1 4- kyckfinkfr) ] X3 4" (1 4" Хус^дтт^гг) ] X2 4" 4" кускррк^кт Т^К 4" кус.кррк^кгп = 0. В результате подсчета коэффициентов уравнения и после деления на коэффициент при старшей степени находим Л(М = X5 4- 49,925Х4 4- 3118,5Х3 4- 4- 50 000Х2 4- 950 000Х + 2 500 000 = 0. Поскольку уравнение нечетной степени, оно должно иметь по крайней мере один ве- щественный корень. Согласно алгоритму (1.5.31) итерационная формула имеет вид
78 Глава 1.5. КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Xv + 1 = Xv - D(Xv) / D(Xv). Для чтобы алгоритм быстрее сходился к искомому корню, рекомендуется вначале грубо установить границы отрезка, внутри которого он находится. Вывод значений полинома D(X) на печать дает результаты D (-3) = 19 601,4; Р (-4) = -687 827,2, причем внутри отрезка (-3, -4) производная Р(Х) сохраняет знак. Это гарантирует сходимость алгоритма, и в резуль- тате весьма небольшого числа итераций полу- чаем Xi = -3,026 904 4. Округление пока про- изводить нецелесообразно, так как это может привести к большим погрешностям при опре- делении оставшихся четырех корней. После элементарной операции деления D(X) на X - -X] по формулам by — а* + X] by _ 1 (До = 1, ао = 1) находим коэффициенты полинома четвертого порядка X4 + 46,898X3 + 2976,5X2 + 40 990Х + + 825 926 = 0. В результате засылки коэффициентов этого полинома в процедуру (1.5.34) - (1.5.35) нахо- дим оставшиеся корни Х2>3 = -6,501 177 643 ±>18,480 369 84; Х4,5 = -16,947 870 36 ± >43,183 328 34. Как видим, скорость затухания переход- ного процесса определяется степенью устойчи- вости г| =3,03 с'1 и через 1 с процесс войдет в пятипроцентный допуск от установившегося значения. Колебательность р. в данном случае определяется парой корней Х2>з- Отношение амплитуд затухающей гармоники определяется значением Более высокочастотная составляющая почти не сказывается на форме переходного процесса, так как через 0,18 с она полностью затухнет. В этом примере заслуживают внимания сравнительно большие значения частот колеба- тельных составляющих. Первая из них - 18,5 с'1 определяется частотой среза. Вторая - 43,2 с*1 связана с высоким коэффициентом усиления во внутреннем контуре, который равен = 75. Сам управляющий дви- гатель, имеющий постоянную времени Т = = 0,08 с, ослабляет поступающий на его вход сигнал, начиная с частоты 12,5 с*1, что сущест- венно ниже 43,2 с*1. Примененные здесь сред- ства коррекции обусловлены вторым порядком астатизма при сравнительно высокой доброт- ности, равной 50 с'2. 1.5.4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА Метод оценки переходных процессов с помощью несобственных интегралов вида /2=]х2(/)а (1.5.зб) о привлек внимание исследователей тем, что он позволяет получить аналитическое выражение, связывающее величину /2 с параметрами сис- темы автоматического управления. При этом качество системы характеризуется одним чис- лом. Следует иметь в виду, что это число /2 характеризует форму переходного процесса лишь косвенно. Например, графики функций х(/) (рис. 1.5.6, о и б) имеют одну и ту же оценку вида (1.5.36). Обе функции описыва- ются уравнением Рве. 1.5.6. Переходов процессы с одоошмыми квадратичными ингегралышии оценками
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА 79 Нетрудно вычислить интегральную оцен- ку / \ г 11 1 а /2 = -I —+ —-------------- . 4 la a2+p2J На рис. 1.5.6, а а =-1,0 с*1; р = 5,4575 с-1. Кривая, изображенная на рис. 1.5.6, б характе- ризуется параметрами а =-1,5 с1, р = 0,856 23 с1. В обоих случаях = 0»258 12 с. Если для оценки качества автоматической системы важ- на форма переходного процесса, то интеграль- ная оценка не подходит для этой цели. В свя- зи с этим методика использования интеграль- ных оценок предполагает отыскание условий минимума их в пространстве параметров. С физической точки зрения положительным качеством квадратичных интегральных оценок /2 является то, что они характеризуют систему с энергетической точки зрения. Это может ока- заться решающим фактором при проектирова- нии автоматических систем в некоторых слу- чаях. Для вычисления интегральных оценок вида (1.5.36) можно воспользоваться извест- ным соотношением ОО оо Jx2(t)dt = J О -СО вытекающим из интеграла свертки. В результа- те подстановки изображения X(j(a) под инте- гралом оказывается дробно-рациональная функция и для получения конечного результа- та следует воспользоваться теоремой о вычетах [8]. При этом, к сожалению, получаются до- вольно громоздкие выражения. Пример 1.5.6. Найти общую формулу для квадратичной оценки качества системы с пере- даточной функцией в разомкнутом состоянии к. W(p) = ~П~2-------------V р(Т2р2 + 2?7> + 1) Запишем формулу для передаточной функции по отношению к ошибке (1.2.5). В данном случае pil + X,Tp + T2p2) „ „2 2 • p(l + %7> + TV Таким образом, для получения искомого выражения необходимо вычислить интеграл “ , . > Т4р4 +{1Т2 -*2Т2\р2 +1 [е2(/)Л = -^ f j—-------------—*-----vi-----------------------Лр. (1.5.37) 0 (Г P + WP + P + * - T P + 2ЗД2 - p + fc В монографиях [15, 23] приводятся гото- вые выражения для интегралов вида (1.5.37) Z-J-f &»(*> п 2я/ J ЫХ1Ы-Х) ’ — СО hn(x) = OQX« + atx* ’1 + ... + ап; = box2” -2 + М2" -1 + ... + bn. В нашем случае при п = 3 находим 7 т(1-Ч2)-2§/* С повышением порядка п сложность по- добных выражений быстро возрастает и поль- зоваться ими для поиска экстремальных зна- чений параметров становится неудобно: теря- ется главное преимущество - возможность аналитического исследования. В таких случаях следует воспользоваться одной из численных процедур поиска экстремума интегральной оценки в пространстве параметров, например, методом симплекс - поиска. Предельное значение квадратичной оценки равно нулю, что эквивалентно при- ближению переходного процесса к скачкооб- разной функции. Это может оказаться непри- емлемым как по причине физической неосу- ществимости, так и ввиду нежелательности резких изменений координаты x(f). От этого недостатка свободна так называемая улучшен- ная квадратичная оценка вида /2 = J (х2 + T2x2^dt, (1.5.38) О где константа Т выбирается из соображений плавности изменения функции x(f). Нетрудно показать, что при /2 = m^n процесс x(t) ста- нет тождественным экспоненте с постоянной времени Т. Действительно,
80 Глава 1.5. КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ 1г = J (х + Тх)2 Л - J 2Txxdt = о о = |(х + 7Х)2Л + 75с2(О). О Наименьшее значение /2 наступает при х + Тх = 0, т.е. при х(/) = x^-f / т. Дальней- шим развитием оценки вида (1.5.38) служат линейные комбинации производных одной координаты Z = j(x2 + а2х2 + b2x2 ^dt о либо интегралы от квадратичной формы коор- динат многомерной системы Z = J рх? + а2х2+...+а2х2)<Й. о В частном случае монотонного переход- ного процесса может быть использована ли- нейная интегральная оценка 00 Л=/х(0Л. о 1.5.5. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОЕКТИРОВАНИЮ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В перечень наиболее типичных показате- лей качества следует включить: 1) устойчивость, 2) малую чувствительность к погрешно- стям оценки параметров математической мо- дели, 3) малую чувствительность (инвариант- ность) по отношению к внешним возмущени- ям, 4) устойчивость по отношению к частич- ному нарушению местных обратных связей, 5) взаимную независимость каналов управления либо их малую взаимосвязь, 6) быстродействие. Анализ устойчивости многомерных сис- тем автоматического управления на ранних стадиях проектирования можно осуществить с помощью обобщенного критерия Найквиста с последующим уточнением модели при про- верке ее робастности. Если предположить, например, наличие аддитивной помехи в виде добавки AG(p) к основной передаточной мат- рице G(p), то для обеспечения робастной ус- тойчивости достаточно потребовать, чтобы максимальное значение главной амплитудно- частотной характеристики (I + G(/co))-1 было невелико, также невелики должны быть вариа- ции главной фазово-частотной характеристики этой матрицы. По аналогии с выражением (1.3.6) матрица Фе(/<о) = (I + G(/<o))-1 есть передаточная матрица многомерной системы по отношению к ошибке. Она играет заметную роль при проектировании, поэтому для ее оценки целесообразно ввести критерий. В качестве такого критерия часто рассматривает- ся спектральная норма ЦфеО»)||2 = тах^ф’Фе. где X/ - собственное значение матрицы Фе. Удовлетворение требований к инвари- антности по отношению к отклонению пара- метров реальной системы от параметров мате- матической модели зависит от робастности системы. Если предположить, что передаточ- ная матрица G(p) в действительности отлича- ется от идеальной на величину AG(p), то ва- риация AR(p) передаточной матрицы R(p) замкнутой системы подчиняется неравенству |arU<»)RO)-4|2 (agojg-'o)^ которое накладывает ограничение на спек- тральную норму |ф^о«>)|2 в требуемом диапазоне частот [0, од]. Инвариантность по отношению к внеш- ним возмущениям также связана с малой ве- личиной спектральной нормы (рис. 1.5.7), так как при этом уменьшается вклад возмущаю- щего воздействия в выходной сигнал, который можно записать на основании принципа су- перпозиции в виде Частичное нарушение обратной связи в одном из контуров можно рассматривать как мультипликативное возмущение, тогда можно провести анализ робастной устойчивости. При этом главные амплитудно-частотная и фазоча- стотная характеристики определяются из усло- вия, что элементы матрицы AG(p) при нару- шении связи в контуре с номером ц опреде- ляются в соответствии с символикой Кронеке- ра, т.е. [1 при /,у=ц; вц = S _ у |0 при i * J.
УПРАВЛЯЕМОСТЬ, НАБЛЮДАЕМОСТЬ И ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ 81 Y(p) Рис. 1.5.7. Влияние внешнего возмущения на вектор выходных координат многомерной системы Ограничения на спектральную норму ||Ф8|| благоприятно сказываются и на малом взаимном влиянии каналов управления. Дей- ствительно, при этом передаточная матрица ||Фе|| сравнима с ||G(/o)|| и передаточная функция замкнутой системы определяется характеристикой регулятора fe(/co) ~ Im. УПРАВЛЯЕМОСТЬ, НАБЛЮДАЕМОСТЬ И ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ При исследовании систем автоматиче- ского управления существенную роль играют фундаментальные понятия управляемости и наблюдаемости. Управляемость системы. Пусть некоторая динамическая система описывается уравнени- ем ^ = Ах + В«, (1.5.39) at ще х — (Xj, ..., хп) - вектор состояния; и = = (ui, ..., i/m) - вектор управлений; А - квад- ратная матрица размером п х л; В - матрица из п строк и т столбцов. Система называется полностью управляемой, если существует вектор управлений и = u(f), переводящий ее из произ- вольного начального состояния Хо в состояние, определяемое вектором х = (0, 0...0), за ко- нечное время. Теорема Калмана об управляемости. Сис- тема полностью управляема, если ранг матри- цы .... (В:АВ:А2В:...: А«-1В) равен порядку системы п. Пример 1.5.7. Система описывается урав- нением *1 *2 0 1 хг - 1 °J [*2 о 1 вектор. Запишем произведение матриц Блочная матрица из теоремы Калмана 0 1 1 0 [В ! АВ] = имеет ранг 2 и, следовательно, система полно- стью управляема. В этом примере можно найти управление м(1) в явном виде. Обозначим х = xj и запи- шем эквивалентное уравнение системы в ска- лярной форме d2x решение которого при и = const имеет вид х(1)= С^+ С^ + и. Пусть начальное состояние системы ха- рактеризуется значениями х(0) = Xq и х(0) = 0. Тогда после несложных преобразований полу- чаем Х(1) = (Х{) - и) cos t + и. Нетрудно убедиться, что управление [хл / 2, 0 £ f < я; и = < [0 , я £ t < оо переводит систему в состояние xj = х = 0; Xj = х = 0 в течение промежутка времени t = = п. Наблюдаемость системы. Система, опи- сываемая уравнением (1.5.39), называется пол- ностью наблюдаемой, если на основании из- мерения величин У " Сх, (1.5.40) где С - некоторая матрица, можно определить вектор начального состояния системы Хо- Теорема Калмана о наблюдаемости. Сис- тема, описываемая уравнением (1.5.39), при измерениях компонент вектора состояния согласно (1.5.40) полностью наблюдаема, если ранг матрицы (C'iAT<X...‘:(AT)«-1C>') равен порядку системы п. Пример 1.5.8. Пусть, как и в предыдущем примере, система описывается уравнением В данном случае управление и представ- ляет собой скалярную величину, которую можно рассматривать как однокомпонентный *1 *2 0 1]Г*1 .° °1 1*2 0 1 и
82 Глава 1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ причем измеряется координата у = Хр Мат- рица С состоит из двух элементов. Очевидно, С = [1 0], о о 1 о 1 о 1 о Ст АТСТ ’о" 1 Следовательно, матрица из теоремы Калмана ’1 !о 0| 1 имеет ранг 2 и система полностью наблюдае- ма. Заметим, что если бы матрица С имела вид С = [0 1], т.е. измерялась бы производная jq = *2, то система не была бы полностью наблюдаемой, так как по значению производ- ной невозможно определить значение перво- образной Xj. Идентафицируемость. При разработке сложных систем управления на различных стадиях используют разнообразные методы, среди которых можно отметить аналитические расчеты и исследования, моделирование и, наконец, натурный эксперимент. Часто возни- кает задача: по данным натурного эксперимен- та сделать вывод о функционировании систе- мы в соответствии с ее математической моде- лью, т.е. идентифицировать модель с реально существующей системой. В наиболее широкой постановке проблемы идентификации предпо- лагается наличие случайных факторов, при которых точные измерения невозможны. В самой простой постановке идентификацией линейных систем называется определение эле- ментов матрицы А в уравнении (1.5.39) по данным измерений компонент вектора состоя- ния х. Практически даже такая простая поста- новка задачи предполагает использование вы- числительной техники, работающей с дискрет- ными величинами. Поэтому вместо диффе- ренциального уравнения (1.5.39) следует вос- пользоваться эквивалентным рекуррентным соотношением xffc + 1] = Ax[fc], к = 0, 1, ..., п - 1. (1.5.41) Здесь без отраничения общности положено и = 0. Каждое уравнение вида (1.5.41) для фиксированного к равносильно п скалярным равенствам. Таким образом, для определения п2 элементов матрицы А мы имеем столько же уравнений. Записывая систему (1.5.41) в виде равенства строк с векторными компонентами МО. х(2),х(л)| = = А[х(0), Ах(0),А" • Ъг(О)], нетрудно убедиться в том, что для идентифи- цируемости достаточно, чтобы матрица [х(0), Ах(0), ..., Ал - !х(0)] была невырожденной. Глава 1.6 ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ 1.6.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ Понятие дискретной системы управления содержит в себе понятие дискретного сигнала. Условимся считать сигнал дискретным, если он определяется последовательностью значе- ний х(//), заданных в дискретные моменты времени tj, i = 1, 2, ..., tj € [0, оо). Возникно- вение дискретных сигналов в автоматических системах может вызываться различными при- чинами. Первая - это специальная диск- ретизация непрерывного сигнала, осуществ- ляемая с помощью его импульсной модуляции. Ее цель, например, - передать одновременно несколько сигналов по одному каналу или повысить помехозащищенность сигнала, пере- даваемого на большие расстояния. Импульсная модуляция может быть необходима ввиду осо- бенностей устройства объекта управления. Например, в случае управления приводом постоянного тока с широтно-импульсной мо- дуляцией управляющего сигнала. Вторая причина дискретизации, связана со способом измерения сигналов в системе управления. Например, при использовании цифровых датчиков угла поворота или декре- ментных цифровых датчиков скорости сигнал измеряется в дискретные моменты времени. В более сложных случаях, связанных с анализом обстановки с помощью системы технического зрения, информация для управления может быть выработана тоже только в дискретные моменты времени. Третья причина, являющаяся основной в большинстве современных систем управления, - это использование вычислительной, обычно микропроцессорной техники. Использование ЭВМ в контуре управления предполагает пре- образование обрабатываемых сигналов в дис- кретную форму и выполнение необходимых действий с полученными последовательностя- ми чисел. Дискретизация сигнала в цифровых системах есть аналого-цифровое преобразование, т.е. преобразование непрерывного сигнала в
КЛАССИФИКАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 83 последовательность значений, представленных в цифровом коде. Любая система, в замкнутом контуре управления которой используются дискретные сигналы, называется дискретной системой управления. Классификация дискретных систем управления определяется принятым в ней спо- собом дискретного преобразования сигнала. А именно, системы с импульсной модуляцией называются импульсными, а системы с аналого- цифровым преобразованием сигнала - цифро- выми. В свою очередь, импульсные системы классифицируют по способу импульсной мо- дуляции сигнала. Если в процессе модуляции сигнал заменяется последовательностью им- пульсов, амплитуда которых пропорциональна значениям сигнала х(/л), измеренным в рав- ноотстоящие моменты времени tn = пТ, Т = = const, п = 0, 1, ... , то речь идет об ампли- тудно-импульсной модуляции. В этом случае (рис. 1.6.1, а) результат модуляции может быть записан как п y(f) = ^kux(tm)s(t- tm), т=0 ',б1) t е[лТ, (л + 1)Т], п = 0,1,..., где Х0 - функция, описывающая форму им- пульса модулирующей последовательности, А,, = const. При широтно-импульсной модуляции изменяется ширина импульса, а его форма, амплитуда и моменты возникновения остаются неизменными (рис. 1.6.1, б). В этом случае y(t) = m=Q (1.6.2) в частности, для прямоугольных импульсов, показанных на рис. 1.6.1, 4*(бя)> " 6я1 ~ ” 6») ~ * 1R " " т(*(6я))]> где (х)\к1Х ПРИ И^тах; ^7*тах ПРИ И > *тах - модуляционная характеристика преобразова- ния. На рис. 1.6.1, в показана фазо-импульсная модуляция сигнала, смысл которой ясен из ри- сунка и формулы 1.6.1. Способы импульсной модуляции: а - амплитудно-импульсная; б - широтно-импульная: в - фазо-импульсная п У(0 = £М®П*('тЦ'-₽(*('т>)). /я=0 t е[лТ, (п -4-1)7’], л = 0,1,..., (1.6.3) о/ ч _ ПРИ И -^тах» |^рхтах ПРИ И > *тах- Фазо-импульсная модуляция является частным случаем время-импульсной модуляции, к которой относится также частотно-импульс- ная модуляция, когда частота импульсов зави- сит от значений модулируемого сигнала. Пе- речисленные виды модуляции сигнала относят к модуляции первого рода. При модуляции вто- рого рода модулируемый параметр импульсов (амплитуда, ширина и др.) изменяется в тече- ние времени существования импульса [23]. В зависимости от того, какой способ мо- дуляции используется, говорят об импульсных системах с амплитудно-импульсной, широтно-
84 Глава 1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ импульсной или временной импульсной моду- ляцией. Из перечисленных видов модуляции только амплитудно-импульсная определяет линейный способ преобразования непрерыв- ного сигнала в дискретный (1.6.1). Остальные способы нелинейны, что следует из формул (1.6.2), (1.6.3). В соответствии с этим к линей- ным импульсным системам можно отнести сис- темы только с амплитудно-импульсной моду- ляцией и линейной непрерывной частью. Другие виды импульсных систем нелинейны. В цифровых системах значения сигнала, измеренные в равноотстоящие моменты вре- мени tn = пТ, представляются в цифровой форме. Если числа ат, имеющие т разрядов, представляются в системе счисления с основа- нием г цифровыми символами v*, то т ат = к=0 При этом должен быть определен закон, по которому значениям непрерывного сигнала х(/л) присваивается одно из дискретных зна- чений ат. Эту процедуру называют квантова- нием сигнала по уровню в отличие от квантова- ния сигнала по времени при импульсной моду- ляции. Например, этот закон может быть представлен преобразованием, показанным на рис. 1.6.2. По оси абсцисс отложены значения х, а по оси ординат - число а. В данном слу- ( ( Ск чае х = ат, если I т — о <. х < I т +— 1о , т I 2j \2J причем ”шаг квантования” b определяется чис- лом разрядов. Таким образом, аналого-цифровое пре- образование нелинейно. Однако при достаточ- но большом числе разрядов эффектом кванто- вания по уровню можно пренебречь, т.е. при- ближено считать это преобразование линей- ным. В этом случае цифровую систему можно рассматривать как импульсную с амплитудно- импульсной модуляцией. 1.6.2. Интерпретация процедуры квантования сигнала по уровню 1.6.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ОДНИМ ИМПУЛЬСНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ Простейшая дискретная система автома- тического регулирования с амплитудно- импульсной модуляцией сигнала ошибки по- казана на рис. 1.6.3. Импульсный элемент, осуществляющий эту модуляцию, описывается формулой (1.6.1). Переходя в ней к относи- тельному масштабу времени 1 = t / Т и вводя решетчатую функцию е[/и7] = e(/m) = е[/и7]> т = 0, 1, ... получим УТ (') = У *и eTtm]sT (i-m), t е[л, п + 1], п = 0,1,..., где индекс Т соответствует записи соответст- вующих функций в относительном масштабе времени, т.е. Ут(<) = y(iT) и т.д. Пусть непрерывная часть системы опи- сывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Тогда ее вы- ход г i ХТ (О = £ С^т (0 + ТJ kTn(' ” /=1 0 (1.6.5) где - весовая функция системы, а пер- вое слагаемое в правой части зависит от на- чальных условий. Из (1.6.4) и (1.6.5) следует: г п хт (о=Z С/А (0+У *(' '"W М; /=1 т-0 (1.6.6) функцию t - v)sT(x)(K 0 (1.6.7) называют весовой функцией приведенной непре- рывной части. Смысл этого понятия поясняет- 1.6.3. Дискретная система автоматического регулирования
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 85 Приведенная непрерывная часть 1.6.4. Условная схема разомкнутой мпульсной састемы ся на рис. 1.6.4. Приведенная непрерывная часть включает в себя помимо непрерывной части эквивалентный непрерывный элемент с весовой функцией (формирующий элемент). Выделение такого элемента позволя- ет единообразно представить импульсные сис- темы с любой формой импульса. Входом фор- мирующего элемента служит последователь- ность 8-импульсов: п yi(o = Х8 * * *(' от)етН <1б-8> т=0 Условный элемент системы, выполняю- щий преобразование (1.6.8), называют идеаль- ным импульсным элементом и обозначают зна- ком 1. Таким образом, любая линейная дис- кретная система с амплитудно-импульсной модуляцией может быть представлена в виде совокупности идеальных импульсных элемен- тов и непрерывных приведенных частей. При нулевых начальных условиях равен- ство (1.6.6) представляет собой отношение "вход-выход" вида хг(‘)= (L6-9) т=0 Это уравнение разомкнутой дискретной системы, которое удобнее записывать, исполь- зуя понятие решетчатой функции как для вхо- да, так и для выхода системы. Вводя смещен- ные решетчатые функции ММ = хт(0;=я+е, %с] = *('Хл+6’ ще е - переменная, принимающая значения на отрезке [0, 1), будем иметь п ММ" Е*1Л -m,8]e7’[m]. (1.6.10) т=0 В частности, при 8 = 0 получится соот- ношение, связывающее вход и выход разомк- нутой системы только в дискретные моменты времени: п Мл1 = ХФ -mje/’pn]. (1.6.11) т=0 С учетом равенства ег(7) = «г(/) - xT(t) уравнение замкнутой дискретной системы при- обретает вид п k\n - /и, е]^ [m] + ер [л, е] = gp [л>8] • /я=0 (1.6.12) Обратим внимание на то, что это урав- нение записано при нулевых начальных усло- виях. Если начальные условия отличны от нуля, то помимо весовой функции должны быть также заранее определены сла- гаемые (обще* решение одно- i родного дифференциального уравнения не- прерывной части), т.е. собственное движение системы. Тогда вместо (1.6.12) получим ^С/Лт[л,8] + /=1 л + - т,е]ет’[т] + е^р^е] = /я=0 = 87’[л»8]- (L6.13) Для решения уравнений замкнутой дис- кретной системы, т.е. определения зависимо- сти сигнала ej{n, 8] или xj{n, 8] от входа grfn, е] в явной форме, можно воспользовать- ся ^преобразованием, или дискретным преоб- разованием Лапласа. Если решетчатая функция х[л] удовле- творяет условию |х[л]| е-по <оо, ст > О, л=0 то для нее определено ^преобразование: Z{*H} = " = (1-6.14) л=0 Изображение X (z) является при этом аналитической функцией в области абсолют- ной сходимости написанного степенного ряда, т.е. в области
86 Глава 1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ к|>е-°. В табл. 1.6.1 приведены изображения ха- рактерных решетчатых функций, встречаю- щихся при исследовании дискретных систем. Свойства Z-преобразования приведены в [5]. Упоминавшиеся дискретное преобразо- вание Лапласа (D- преобразование) отличается от Z-преобразования только переменной: z>{*W}“S*We ,"ж-¥Ь(9)- (1-6.15) л=0 Таким образом, X*(z)| ,=Хо(9). •Z=e* Одно из свойств Z- преобразования за- ключается в том, что Z-преобразование сверт- ки решетчатых функций является произведе- нием Z-преобразований этих функций, т.е. п /л=0 = X*(z)K*(z). (1.6.16) В частности, применяя Z-преобразование. к обеим частям (1.6.10), получим X*fcs) = Fr*(z,s)£*(z), (1.6.17) гае X’(z,e) = z{x7-[n,€]}; E\z) = z{er[n]}, a W (z,s) = Z|i[n,s]| - передаточная функ- ция разомкнутой дискретной системы. Подвергая Z- преобразованию обе части уравнения (1.6.12), получим E*(z) + E*(Z,c) = G'(z,s), G*(z,f>) = Z{gr[«,s]}. (1.6.18) В частности, при e = 0 (г) = ^«(z)G’(z). (1.6.19) где Фе(г) = [1 + lK*(z)j - передаточная функция системы по ошибке. Подставляя это выражение в (1.6.17), по- лучим А'*(?,е) = Ф*(г,£)(?’(?), (1.6.20) гае Ф*(г,£)=Иг(г>е)[1 + И'’(г)]’ - пере- даточная функция замкнутой дискретной сис- темы. Переходя к оригиналам, можно получить искомое отношение "вход-выход" во времен- ной области. Формула обращения Z- преоб- разования имеет вид x[«l = -lTfx,(z)z"-1rfZ, (1.6.21) 1 1 2л/ J где С - любой замкнутый контур в области |z| > е”° , обходимый один раз в положитель- ном направлении. Применяя свойство (1.6.16), получим из (1.6.19) «/[«] = «три], (1.6.22) /я=0 гае *е[л] = Z'’^e(z)}. Аналогично из (1.6.20) будем иметь п = ХМЛ" т’£1 «тМ. (1.6.23) т=0 где &ф[л,е] = Z 1|ф*(с,с)| - весовая функ- ция замкнутой дискретной системы. Соответст- венно ке[п] - весовая функция той же системы по ошибке. Итак, если известно описание непрерыв- ной части системы в форме (1.6.5), то с по- мощью написанных формул можно найти и описание дискретной системы (1.6.23) типа "вход-выход". Для практического вычисления весовых функций £е[л], кф[п, е] используется метод вычетов, в соответствии с которым I ^'{/’(z)} = £ Restate”-1 1 ’ V=1 Z=ZV (1.6.24) где Zv - полюса функции F*(z)> а вычеты оп- ределяются по известной формуле ResF*(z)z" 1 = Um . 1 . * х z->zv(rv -1)! 4ft'v-l x[(z-Zv)'’vf’(z)z"-1], (16.25) где rv - кратность полюса Zv-
1.6.1. Таблица ^-преобразования F\z) = Дл, e] F(g) = £{/(«)} F Xz, S) - si) -Dz {£(?)} Цл] Z 1|л, e] £ z z-i Я z-l е0^ Z ea(n+e) 1 Zfi™ z-ta Я~<* Z-ea sin юл Z sin co sin со(л + e) co Z 2 sin me +zsinio(l-8) Z - 2z cosco +1 q2 + co2 J z -2Z COSCO +1 COSCO л Z2 - Z COSCO cos co (л + e) Я Z2 CQSC08 - z cos co (1 - e) Z2 - 2z COSCO +1 q2 + co2 z2 -2ZCOSC0 +1 л Z Л + 6 1 Z I g (г - О2 я2 (z-1)2 z-i л2 z(z +1) (z -1)3 (Л + 8)2 2! я3 z(z +1) 2Z8 zc (z-i)3 (Z-1)2 пк zRtiz) (< - 1)*И ( Л + 8 )* k\ qk^\ zJ<(z)e*-v iiW (z -i)v+1 сЬал Z2 -Z cha ch a( л + e) Я Z2chae - z cha(l - e) Z2 - 2z cha +1 q2 - a2 Z2 - 2z cha +1 show zsha sh a( л + e) a Z2shas - z sha(l - e) Z2 - 2z cha +1 q2 - cl2 Z2 - 2z cha +1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
88 Глава 1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Продолжение табл. 1.6.1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 89 Во многих случаях непрерывная часть системы задается не весовой функцией а передаточной ^h(s), т.е. вместо (1.6.5) урав- нение непрерывной части записывается (при нулевых начальных условиях) как Х(5) = Y(s)WH(s). При переходе к относительному времени t = //Т для функций полу- чатся изображения по Лапласу Jrr(9) = £{xr(/)| = ^X(J ’ ’ 1 L=«/r Следовательно, ХТ (?) = YT (Я) «"и (?), ШеЙ>н(9) = 1Гн(9/Т). Из (1.6.4) следует, что Ут(я) - ierMnr^)z-m = m=0 где Иф(д) = ~ передаточная функция эквивалентного'формирующего устрой- ства. Следовательно, XT(q) = E*(z)W(q), (1.6.26) где W(q) = Wa>(q)WH(q) - передаточная функция приведенной непрерывной части. Равен- ство (1.6.26) соответствует (1.6.10), причем W(q) - z{fc(7)|. В форме ^преобразования оно приобретает вид (1.6.17). Связь между W(q) и FF*(z, е) определяется как Dz -пре- образование jr*(Z,s)= Dz{W(q)}. (1.6.27) Справедливы следующие формулы, опреде- ляющие прямое и обратное Dz -преобразова- ния: 00 {»"(?)} = £и,(? + 2л/г)е<«+2’5'г,Е g=lnz (1.6.28) 1 jir*(z,e)z~e<fe. о (1.6.29) Для вычисления Dz -преобразования применяют метод вычетов, в соответствии с которым [10] w\z,z) = v=l Z - , (1.6.30) 9=9» где q» - полюсы изображения W*(q). Dz -изображения для передаточных функций типовых звеньев приведены в табл. 1.6.1. Основные свойства Dz -преобразования даны в [16]. Таким образом, если непрерывная часть системы задана своей передаточной функцией, то описание системы в изображениях (1.6.17), (1.6.20) может быть найдено без перехода во временную область с помощью Dz -преобра- зования. Пример 1.6.1. Найти математическую мо- дель "вход-выход" дискретной системы с ам- плитудно-импульсной модуляцией сигнала ошибки последовательностью прямоугольных импульсов (рис. 1.6.1, а) шириной уТ (у < 1). Передаточная функция непрерывной части А? Передаточную функцию формирующего элемента определим как »г(?)=ь{*т(')}=М’СО "т)}= l-e'7’ и 9 . Передаточная функция приведенной не- прерывной части 1 - ₽ = Т/ТН; * = М*н- Определим передаточную функцию дис- кретной системы с помощью Dz -преобразо- вания: ♦ — к — ( w <Z^ = Dz * Л-DJ-g-------Л [?(₽ + ?)] ]?(₽ + ?)
90 Глава 1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Здесь А к =k_Q fl 1 1 = «(₽ + «)] ₽ ₽+«j _ к Г z _ ze~pe p|_z-i z-e-P Для преобразования второго слагаемого в выражении FF*(z, е) используется равенство [16] _ P{e-1W)} = F (^,е “ т) при у < 1; е~qF (q, 1 + е - у) при 0 е < у. Используя это свойство D -преобразо- вания, получим окончательно = kuk^-^zle^ -1) ---------тт------ при у е < 1; Z-е р = *и*н[г(1-ере) + е-Р(е«1'-е) - 1)] z -е'₽ при 0 е < у. В частности, если ширина импульсов достаточно мала по сравнению с периодом повторения, т.е. у -► 0, приближенно получим р + ? ^и^нРт ZC . Z-e’p 0 е < L Если же у = 1, то Wz*(z, е) определяется по второй формуле: JK’(z,e) = Мн 1-е-Р* Z-1 Z-e’₽ В последнем случае формирующий эле- мент называют экстраполятором нулевого по- рядка; его передаточная функция 1 -е‘^ И'ф(9) = *и-!-^-, следовательно справедлива формула: w'(z,t) = Z>z (1 - = - Z-1H L И'нв)! z ч и я Г Отметим, что наряду с рассмотренным точным методом определения передаточных функций дискретных систем используются приближенные методы. Они основаны на при- менении формул численного дифференцирова- ния. Так, если положил» Ps~r\ x(f) — dt 4" Л = /'[лТ]« ± {/[(л + 1)т] - /[лт]}, то *’(z) = y{(z-i)F’(z)-z40]} и при /[0] = 0 дифференцирование по методу Эйлера первого порядка соответствует замене Z - 1 . оператора р на . Аналогично, при ис- пользовании неявного метода Эйлера первого Z-1 порядка р заменяется на —— , а для метода z(z - 1) Эйлера второго порядка - на —(----г. Вы- Щ +1) полняя такую замену непосредственно в выра- жении передаточной функции непрерывной системы, мы получим ее дискретный аналог FK*(z). Такая дискретная передаточная функ- ция соответствует разностному уравнению, приближенно описывающему непрерывную часть системы. Передаточная функция замкнутой дис- кретной системы может быть найдена в соот- ветствии с (1.6.20). Для системы с кратковре- менными импульсами из примера 1.6.1, в ча- стности, получим * k "У 7с~ре Ф (г,с) =------------z-; о е < l х(1 + Лу)-е-₽ Пример 1.6.2. Найти сигнал ошибки е[п] и выходной сигнал х[л, е] в замкнутой дис- кретной системе из примера 1.6.1, если к ее входу приложено воздействие g(t) = 1(7) . В соответствии с (1.6.19) найдем
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 91 £*te) = o:(z)(7*(z) = =_________z-e'p____________Z (г-е’р+ЛиЛне’р(еру - lj) z " 1 г(г-е~р) (z-lXz-a)’ а = e”₽Aii; kt = 1 - -1). При у <. s < 1, используя выражение FF*(z, е), найденное в примере 1.6.1, получим г 1 GT-1 [*иМ2е’Ре(е’РУ - О х[п, 8] = Z 1 И -------------- - По формуле для вычетов (1.6.25) полу- чим - ^и^не (Z - 1)(Z - а) (й<^ 1-а"*1 1-а z=z, 2 Ф»1 = ]TRes V=1 z"(z-e ₽) (z-l)U-a) Аналогично при 0 8 < у, найдем х(я,е] = 1=1, !-е-Р «"(а-е-Р) 1 - а 1 - а *H*H«[z(,-e’Pe) + e’₽(e₽(l"s) -!)] (z - l)(z - а) = Г1 - *ле_₽<”+1) *‘-1 1-а L 1 1-е‘₽. При любом выражение в квадратной скобке стремится к единице при п —> оо, а е[п] - к установившемуся значению 1 - е-р «(«)-* —;------= «у 1-а у Сигнал на выходе системы можно найти по формуле (1.6.17) р)л,(г’£) Вид этого процесса показан на рис. 1.6.5. При л -> оо, ал = Л”е-рл -s> 0 и возни- кает периодический установившийся процесс 1.6.5. Переходные процессы в дискретной системе
92 Глава 1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ при 0 8 < у, - 1)е-₽е при у е < 1; к'-ч±, 1 -а что является характерной особенностью ли- нейных дискретных систем. 1.6.3. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ Уравнения, связывающие выход и вход, аналогично могут быть получены и для дис- кретных систем с несколькими импульсными элементами, в том числе для многомерных систем. Если периоды повторения всех им- пульсных элементов совпадают, систему назы- вают синхронной-, если к тому же совпадают и моменты возникновения импульсов, то систе- му называют синфазной. Для синхронной, но в общем случае не- синфазной системы, представляющей собой последовательное соединение г импульсных элементов и непрерывных частей (рис. 1.6.6), используя соотношение (1.6.10), можно запи- сать: п */1”>£1= 2л/-1['”>е1-1]Мл-от’е " Е(-1]’ л»=0 / = 1,2..г; 8,-1 £ 8 < 1, гае С/ - относительное смещение моментов возникновения импульсов. При е < 8/ _ J ki [0, 8 < 8/ _ J г 0 и л-1 х/[л,е]= ^х/_1[т,е/ч]А:/[л-т,е-е/_1], т=0 ИЛИ Х/[л + 1,8] = = ^х/-1[«.®/-1Н4"_да’1+6-е'-1]- т=0 В Z-изображениях получим: при 8/ _ J < 8 < 1 (1.6.31) При 0 < 8 < 8/ _ j ^7(z,e) = + е - е^). Если Xq(z) - G*(z) - изображение входного сигнала, то из написанных равенств следует: г-1 П^-«1-е1-1)х /=1 При 8Г_1 8 < 1; г-1 /=1 xW'(z,l+s-sr-i)G,(z), при 0 8 < 8r_j. (1.6.32) Здесь обозначено, как и раньше, ^*(z.£) = 2{^[П,е]} = Dz {^(д,е)}. В частности, если система синхронна и синфазна, то 8/ = 0, / = 1, ...» г - 1 и = n<;(z,8)fjir;(z)G*(z). /=i (1.6.33) Для синхронной, но несинфазной систе- мы, образованной параллельным соединением элементарных дискретных систем (рис. 1.6.7), уравнение в Z-изображениях следует из (1.6.31): при Zj _ J £ 8 < 8у; j — 1, ..., г; ео = 0; 8Г = 1 х *(z,£) = iX(z-e/-i)»7(z,® - 8<-i)+ /=1 + Z'1 52<^*(г,6/_1)И^*(с,1 + 8 -8,,!). /=;+1 (1.6.34) 1.6.6. Последовательное соединение импульсных систем
ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ 93 1.6.7. Параллельное соединение импульсных систем Передаточная функция параллельного соединения существует только для синфазной системы. В этом случае x‘(z>6) = G*(z)Z и'/(г>8)- /=1 (1.6.35) Приведенные формулы применимы и для асинхронных систем, если периоды повто- рения во всех импульсных элементах кратны одному и тому же числу, причем моменты возникновения импульсов (через соответст- вующее число периодов) совпадают. Такие системы называют многократными. Пусть в системе, показанной на рис. 1.6.6, г = 2 и период повторения импульсов в первом эле- менте Ту а во втором Т / N. Тоща второй' элемент можно представить как параллельное соединение систем с одной непрерьшной ча- стью с импульсными элементами с перио- дом Ту но со смещенными на 7} = iT / N, / = 1, 2, ..., N моментами возникновения им- пульсов. Тоща, используя формулы (1.6.32), (1.6.34) можно получить: При 8у _ 1 £ 8 < 8у ; j = 1.ЛГ; 8у = j / N, eq = О N «=;+1 X xG‘(z). (L6.36) 1.6.8. Многомерная дискретная система Рассмотрим многомерную систему, пока- занную на рис. 1.6.8. Непрерывная приведен- ная часть этой системы имеет к выходов и г входов; она описывается передаточной к х г- матрицей W(?) = W0(«)WH(?) = Х(?) = WH (,)¥(<?); W<t>(0) = - г х г-матрица формирующих элементов; W„(9) = [^(«)] - k х г-матрица не- прерывной части системы. Положим, что система синхронна, но несинфазна; обозначим 4л,ё]= к1(л|, ег(л, £|]... еДл, ег. (]|т, E*(z,s) = г{Цл,ё]}; G*(z,e) = Z{gpi,e]}; X*(z,e) = /{х[л, s]}; W#(z,e) = PjlT(9)}. С учетом (1.6.34) будем иметь X*(z,e) = W*(z,8)E*(z,8), (1.6.37) причем вид передаточной матрицы W*(z,e) зависит от 8: при 8у _ j 8 < 8у; j = 1, 2,..., г; 8q = 0; 8Г = 1 W‘(z,e) = - ej)... W'/yfee - e + 8 " 8 + 8 - e,.,) ^21(z,E)K/i(z,e-ei)..H^(z,e-ey_1)z'1^+1(z>l + E-E7)...e"’H/2r(z>l+e-er_1) W/tl(z,e)ITt'2(z,s-s1)...irJfcy(z,s-sy_1)z'1»GG+l(z>1 + e-e7)...e’»H^(z,l + E-Er_1)
94 Глава 1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Поскольку сигнал ошибки выражается найти равенством = в[л,ё] - Сх[л,ё], Е-(г J) = [l + CW‘(z,e)]',G,(z>?)> где С - г х ^-матрица постоянных коэффици- ентов обратной связи, то из (1.6.37) можно где I - единичная матрица. W*(z,8) = H'n(z) z-’W'nCz.l-ej) ... z-^czu-e,.!) . *2i(z) И'и(г) ... z’^CzU+cj-e,..!) ^(z.e,-!-ej) ... ^fa-(z) Таким образом, X'(z,c) = W*(z,e)[l + CW*(z,e)] * x x G*(z,c) = <D*(z,c,c)G*(z,c), (1.6.38) где ф'(г,с,е) = W'(z,c)Jl + CW*(z,e)]1 - передаточная матрица синхронной несинфазной замкнутой дискретной системы. В частности, для синфазной системы W*(z,e) = W(z,e)[w^(z,e)]; (1.6.39) X*(z,e) = W*(z,s)[l + CW*(z,0)]’'g*(z). Соответственно выражение ф*(г,е) = w‘(z,e)[l + CW*(Z,O)]'’ - это передаточная матрица синхронной синфаз- ной замкнутой дискретной системы. 1.6.4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Для решетчатых функций, удовлетво- ряющих условию абсолютной сходимости: оо Я/И1 < оо, определено дискретное преоб- л=0 разование Фурье: = Fd {/[л]} = Y е-^л/[л]; л=0 • (1.6.40) /Н=И=i J (1.6.41) Применяя это преобразование к обеим частям уравнения разомкнутой дискретной системы (1.6.10), найдем: Х*(уш,е) = W* (jtn ,е) Е*(ja), (1.6.42) где Х*(Д,с) = Fd {хг[л,е|}; причем FF*(j©,e) = Fd{^[w,e]| называют амплитудно-фазовой частотной характеристи- кой (АФЧХ) дискретной системы. Эта характе- ристика может быть также найдена по переда- точной функции дискретной системы: или по передаточной функции приведенной непрерывной части W(q) с использованием D -преобразования (1.6.28): 1Г’(л»,с)= £»r[y(S> г--<о (1.6.43) где ^(Я = ^ф(Я^н(Я- Здесь со - относительная частота, связанная с частотой со по формуле „ 2к со = со/ = со —. со0 Используя обычную частоту со, вместо (1.6.43) получим W\jaT,z} = = у + ~o)]e’y(S+re”)6. CL6.44)
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 95 FK(jco) = ^(/со) 1Гн(л>), соо = Амплитудно-частотная (АЧХ) Л(со,е) = = е)| и фазо-частотная (ФЧХ) ср(со) = = aig W (/со) характеристики дискретной системы имеют тот же смысл, что и соответст- вующие характеристики непрерывной систе- мы: если на входе этой системы имеется гар- монический сигнал epi] = a cos сол, то на выходе - установившийся сигнал х[л,е] = а4(со,е) cosjco/i + ср(со )] <1-6.45) Этот сигнал в общем случае, однако, не является гармонической функцией от пере- менной t = л + е , будучи таковой только в дискретные моменты времени. Частотные характеристики дискретной системы являются периодическими функция- ми от частоты со с периодом 2я: IK*[/(co + 2яг)] =’FF*(/(o), г = 0,± 1,±2,... . Это является следствием того факта, что для произвольной частоты со cos(co + 2яг)л = cos сол, т.е. гармонические функции с частотами ©+2яг соответствуют после квантования по времени одной и той же решетчатой функции. Вследствие периодичности частотные ха- рактеристики дискретных систем задаются на конечном интервале изменения со шириной 2л; обычно принимают -я < со я. При увеличении частоты квантования сигнала сод частотная характеристика дискрет- ной системы И'7’* (/со) приближается на интер- вале своего определения к частотной характе- ристике приведенной непрерывной части. Справедлива теорема Котельникова: если |lT(/co)|«O при со £ cocj u cog £ £ 2coci, то на интервале -сод /2^ со cog/ 2 частотные характеристики дискретной систе- мы приближенно совпадают о частотными ха- рактеристиками приведенной непрерывной час- ти: W\j<s>T) « (1.6.46) Или, при тех же условиях » 1Р(/со) при |со| £ я. Это утверждение обычно используется для обоснования распространения методов теории непрерывных систем на дискретные при достаточно большой частоте квантования сигнала. Частотный спектр сигнала на выходе не- прерывной приведенной части может быть найден по формуле (1.6.26) при q где для краткости через Е (/со) обозначено Г(е*). Если |Г(/со)| ® 0 при со сос2 и сод £ ;> 2max(coci, соС2), то спектр сигнала x(f) при- ближенно совпадает со спектром этого же сиг- нала в непрерывной системе, состоящей из при- веденной непрерывной части дискретной сис- темы. Это позволяет говорить об эквивалент- ности непрерывной и дискретной систем. При несоблюдении одного из перечисленных усло- вий спектр сигнала на выходе дискретной сис- темы содержит дополнительные высокочастот- ные составляющие (рис. 1.6.9), характеризую- щие квантование сигнала на ее входе. Для замкнутой дискретной системы час- тотный спектр ошибки определяется по фор- муле (1.6.19): гае = р + - амплитудно- фазовая частотная характеристика системы по ошибке. 1.6.9. К анализу частотного спектра сигнала на выходе дискретной системы
96 ГЛАВА 1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Выражение Ф*(.Яе) = + »'*(>“)] * определяет АФЧХ замкнутой дискретной сис- темы. Пример 1.6.3. Найти АФЧХ дискретной системы из примера 1.6.1 при с = 0. В соответствии с полученным в примере 1.6.1 выражением передаточной функции ра- зомкнутой системы ЛиЛне ₽(еЭт -1) е»-е-₽ ия= Годограф АФЧХ 1Г*(/со), 0 £ со £ я приведен на рис. 1.6.10. При -я со 0 го- дограф не строится, так как W (- /со) = Можно также записать выражения fcHfcHe P(ePY “ 4 Ф Ы =--------1 -e^l-*„fcH(e|5’' -1)] Для вычисления АЧХ и ФЧХ дискретных систем на ЭВМ целесообразно использовать формулу (1.6.44). При е = 0 для со/ — со' + + /Дсо, / = 0, 1, ..., М, вычисляют 1 N Re /Г) « £ Re »ф(<о, + л» о)1; 1 r=-N 1 N hbW'ijatT)*— £1тЖ[Д<о, + лоо)], г=-Х 1.6.10. Годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики выбирая число N из требований к точности расчета частотных характеристик. По этим характеристикам определяют |ил*(/оо/7’)| и ачЖ’(/»(Т). Логарифмические частотные характери- стики дискретных систем получают с помо- щью (модифицированного) ^-преобразования w = 2 Z-1 Т z + Г (1.6.47) Если Z = , то w —/со*, * 2 , со со = — tg —. Т 2 Таким образом, w-преобразование ото- бражает отрезок мнимой оси -jit /со jit, на котором определены частотные характери- стики дискретной системы, в мнимую ось /со* плоскости w. Поскольку передаточные функции W*(z) обычно являются дробно-рациональными, то и АФЧХ z~ 7ТГ также дробно-рациональны. Таким образом, функции lK*(/co*) формально ничем не отли- чаются от АФЧХ непрерывных систем и для них могут быть построены логарифмические амплитудные и фазовые частотные характери- стики (ЛАЧХ и ЛФЧХ): = 2О1^И^(у<о* <pw(>') = argH^(>*). Переменная со* называется псевдочасто- той и имеет свойственную круговой частоте размерность с1; 0 со < оо . Задаваясь видом формирующего устрой- ства, можно найти ЛЧХ для типовых звеньев • Теперь для любой передаточной функции Ww / Для систем с экстраполятором нулевого порядка (см. пример 1.6.1) передаточные функции для типовых звеньев приведены в табл. 1.6.2.
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 97 * i Г ♦ Т 1 + е"р Т = выражения Rk(z) см. с. 88; Т[ = —-----0 = — iz=---2 i-e р /1 bw- т(1-20е~₽ -е~2р) р2 /(_е.₽|2 : *' = 2(ch₽-l); Т Icha + cosS. 2 V cha - cos 8 ’ a = lj₽; 8 = p71-52; t, Sha „ T-foa-aS-^inS) p2sin8 ’ 7ch2a-cos28 ’ 2 cha - cos8 ’ " 28(cha -cos8)' 4 Зак 1023
98 ГЛАВА 1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Пример 1.6.4. Построить ЛАЧХ для дис- кретной разомкнутой системы с прямоуголь- ными импульсами, у = 1, если передаточная функция непрерывной части к FT(s) = J „ v s(l + 7\s) к = 100 с'1, Г = ОД с, 1\ = ОД с, &и = 1- частоты квантования сигнала coq —> °° (Т-> 0) увеличивается полоса частот 0 £ со £ сол, сол —> —> оо, на которой частотные характеристики дискретной системы совпадают с частотными характеристиками соответствующей непрерыв- ной системы. Эту полосу можно оценить, за- давая погрешность е: По табл. 1.6.2 по формуле N J +ло0)]<8 r=-X I г#0 (1.6.48) l-wT/2 т 1 - wT /2 w 1 1 + wT{ (1-wT/2^l + wT2) tv(l + w7j') T2 = T{ -7\= 0,01 c; Т' Г1+е’₽ n p = т I 7\ = L при достаточно большом числе N. При 0 £ со £ сол, 0 со* со*л ше - АФЧХ приведенной непрерывной части. При достаточно большой частоте кванто- вания со о можно приближенно записать: ♦ 2 А соТ “ =7rtg~ss(0’ ЛАЧХ, ЛФЧХ, соответствующие найден- ной передаточной функции, показаны на рис. 1.6.11. Из свойств частотных характеристик дис- кретных систем следует, что при увеличении ||»W<0)| = 1.6.11. Лопцмфмаческве частотные характернстжкн днскретной системы
ТОЧНОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 99 1.6.12. Построеняе ЛАЯХ дискретной сястемы методом обособленного н^преобразованвя и, следовательно, LmH^pco*) » LmfKH(y©), что дает возможность переносить без измене- ния низкочастотную часть ЛАЧХ непрерывной системы на плоскость ЛАЧХ дискретной сис- темы, отображая с помощью формул и таблиц w-преобразования только высокочастотную часть ЛАЧХ непрерывной части. Такой способ называют обособленным ^-преобразованием [10]. Пример 1.6.5. Построить ЛЧХ дискрет- ной системы с прямоугольными импульсами, у = 1 и непрерывной частью w (s) = *(1+М___________ hW s(l + Tis)(l + T2sy к = 45 с"1, 7, = 10 с, Т2 = 0,025 с, Тз = 0,8 с, Т = ОД с. Выберем полосу частот [0, 10 с*1]. Тогда сол = 10 с’1, ш*л « 11 сч, ©о = 62,8 с-1» LmlT [/(©о " ®л)1 = ”34 ДБ; LmlF [/(©о - ©л)] = -39дБ. Значения, соответствующие г £ 2 в (1.6.48), пренебрежимо малы и с « 0,12. Если десятипроцентная точность удовлетворительна, то низкочастотная часть ЛАЧХ И^(/©) в вы- бранной полосе частот сохраняется без изме- нения, а для высокочастотной части ITB(s) = 1,74—- в 5(1 + 0,0255) получим ♦ — (174 Wt(w) = Dw iii- I 5 1,74 - 0,025 1 + 0,025s 1,74(1 - 0,05w)(l + 0,027w) w(l + 0,025w) Результирующая ЛАЧХ приведена на рис. 1.6.12. 1.6.5. ТОЧНОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ Точность при гармонических воздействиях. Если ко входу системы приложено воздействие g(F) = acos©^, то установившаяся ошибка еу[п] может быть найдена по формуле (1.6.45) = e|®;(>“i)|cos[“l" + aig®;(y«0i)], (1.6.49) где Фе(/©1) и argOe(j©i) -амплитудно- и фазочастотные характеристики импульсной системы по сигналу ошибки при частоте вход- ного сигнала ©j. Для их определения могут быть использованы логарифмические частот- ные характеристики дискретных .систем, рас- смотренные в п. 1.6.3. Так, если И^(у©*) = - амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной сис- темы, то с помощью номограмм замыкания [18] можно построить логарифмические час- тотные характеристики LmO^(y© *) = -Lm[l + * а1ВФ«(Л>‘) = —atg|l + и с их помощью найти установившуюся ошибку * (1.6.49). Если при значении ©х, соответст- вующем ©1, выполняется ИО/шJM » 1, то 4
100 Глава 1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ амплитуду установившейся ошибки можно приближенно найти непосредственно по ЛАЧХ ЬтИ'фю*): 2016^ х -LmH^(/oQ + 2Olga, а смещение по фазе сигнала ошибки - из гра- фика ЛФЧХ: arg Ф*(> J) « - arg И'фо J). При условии ©о > 2сос ЛЧХ разомкнутой импульсной системы совпадают с ЛЧХ приве- денной непрерывной части (п. 1.6.2) в низко- частотной области 0 < со £ ©л. Если частота входного сигнала ©j принадлежит этой облас- ти, то справедлива приближенная формула « а|фб(л) i)| cosfco + argOe(j© j)} (1.6.50) Если к тому же |FF(jco j)| » 1, то 201gey « -LmW'p’co j j + 201ga. Таким образом, установившаяся ошибка в импульсной системе совпадает приближенно с установившейся ошибкой в непрерывной системе, полученной путем замыкания приве- денной непрерывной части отрицательной обратной связью. В отличие от непрерывных систем сигнал ошибки (1.6.49) характеризует отклонение выходного сигнала системы x(f) от входного g(t) только в дискретные моменты времени t = п. Для того чтобы исследовать ошибку системы в интервалах между моментами кван- тования, необходимо с использованием полу- ченных характеристик |Og(/o)|, а^Ф*(у©) найти выходной сигнал при заданном входном гармоническом воздействии в любой момент времени. С учетом формулы Ф*(у©,с) = (j©) FF*(j©,e) имеем для установившегося значения хг(0=а|фХ^1)||>г*(^1’е)|сов[“|/'+ +arg !) + аг8 1’Е)]- (1.6.51) Отсюда следует, что установившаяся ошибка в дискретной системе по амплитуде, рассматриваемая как разность входного и вы- ходного сигналов, Ме) = - ^1)||И>М)- Вследствие возможных колебаний внутри периода повторения она может быть больше, чем ошибка, определяемая по формуле (1.6.49). Точность при полиномиальных воздействи- ях. Коэффициенты ошибок. При произвольном воздействии gf/t] ошибка дискретной системы может быть найдена по формуле (1.6.22) е|л| = «Iя-"4 (1.6.52) т=0 Если известны передаточная функция по ошибке Фе(х) и изображение входного сиг- нала G (z) , то значения сигнала ошибки е[п] могут быть найдены по формуле вычетов: е|л] = ^Ке8Ф‘(г)С‘(г)г"и V Z=Z, либо как коэффициенты разложения в ряд Лорана выражения ®e(z)G*(z)= ^C„Z'", л=0 где е[л] = сп. В последнем случае эти значе- ния определяются путем деления числителя правильной дробно-рациональной функции Фб (z) G (z) на ее знаменатель. Как и в непрерывном случае, дискретную систему называют статической, если при по- стоянном воздействии в ней возникает устано- вившаяся ошибка, и астатической - в против- ном случае. При действии на систему полино- миального сигнала порядка к «|л| = Лс|л| = ао + ар» + ... + акпк, имеющего ^-изображение вида (см. табл. 1.6.1) G*(z)- J? g ; C*(z)| ,*о, (z-l)K+1 'z=l ошибка е[п] стремится к нулю, если порядок астатизма системы г > к + 1, к постоянной вели- чине при г= к и к бесконечности при г < к. Признаком астатизма порядка г является наличие нуля функции Og(z) в точке Z = 1 порядка г, т.е.
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 101 = (z - 0Гфео(г); ф«о(г)|г=1 * °- Для определения установившейся ошиб- ки при полиномиальном воздействии для дис- кретных систем может применяться подход, аналогичный методу коэффициентов ошибок. Выразим решетчатую функцию - /л] в (1.6.52) через ее разности различных поряд- ков по формуле *=0 yKJ - биномиальные коэффици- енты, и сгруппируем слагаемые, соответст- вующие разностям Д*Йл - к]: <л] = £ (-1)’сР"1д’сф - <] = т=0 к=0 = (L6.53) к=0 *• Коэффициенты Ск = £(-l)*»l<,%[l»l], (1.6.54) т=к связывающие установившуюся ошибку с раз- ностями входного сигнала, могут быть названы коэффициентами ошибок дискретной систе- мы. Они могут быть также найдены путем дифференцирования передаточной функции по ошибке: C>c = d (1.6.55) т.е. как коэффициенты разложения функции Фе(?) в степенной ряд ф‘<г)=Ё77<1-г’1>*’ <1б-5б> который может быть получен и с помощью ^-преобразования правой части (1.6.53). Пример 1.6.6. Найти установившуюся ошибку в замкнутой дискретной системе если входное воздействие представляет собой фак- ториальный полином второго порядка g[fl] = 1 + л + ^-л(2), а передаточная функция разомкнутой системы ж-fc). MfeiwL. Вначале определяется передаточная функция по ошибке , (z-l)(z-0,4) 0e(z)=(z-l)(Z-0,4)+ 0,5(z+0,6)’ соответствующая системе первого порядка астатизма. Следовательно, со = 0. Учитывая, что Agf//] = 1 + л; ДЭДл] = 1, Д*Йл] = 0, к > 2, достаточно определить два первых ко- эффициента ошибок: С\ и С2- Вводя перемен- ную д = 1 - Z"1 и осуществляя деление числи- теля передаточной функции на знаменатель, получим: Фе (д) = + = о,75<5 + 0,9g2 +...; 0,8 - 0,5g + 0,7g2 Ci = 0,75; C2 = 1,8. Установившаяся ошибка ey[n] = qAgfn -1) + Д2#|л - 2] = = 0,75л + 0,9. 1.6.6. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ Основные теоремы. Условия устойчивости движения дискретной системы определяют характер изменения движения при малом из- менении начальных условий. Рассмотрим дис- кретную систему, описываемую уравнением вида (1.6.20): %*(z) = O*(z)G*(z), (1.6.57) где G (z), X (z) - Z-изображения входного и выходного сигналов, а P‘(Z) ф‘(г) = ^77 = -^------ C(z) у=0 (ms к) - передаточная функция системы. Переходя к оригиналам в (1.6.57), получим разностное уравнение системы:
102 Глава 1.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ к т £ а/4л + = X Мл + 4 (1.6.58) 7=0 /=0 Рассмотренные выше зависимости вида (1.6.23) могут рассматриваться как решения соответствующих разностных уравнений. Если в (1.6.58) ад и ак отличны от нуля, то это раз- ностное уравнение порядка к. Задав при п £ пд входное воздействие #(л] и к начальных усло- вий х[ло), *1ло + 1], —> Мло + к - 1], из (1.6.58) последовательно можно определить все значения решения х[л] при п £ пд + к. В частности, при #(л] = 0 решение одно- родного разностного уравнения к ^e74«+j] = 0 (1.6.59) 7=0 определяется только начальными условиями *ho+ г- 0, ... к - 1. Величину отклонения решений от со- стояния равновесия можно определить евкли- довой нормой ||х[л|| вектора х[л] = {х[л], ..., х[л + к - 1]}т. Состояние равновесия х[л] - 0, т.е. три- виальное решение уравнения (1.6.59) называют устойчивым (по Ляпунову), если для любого ма- лого числа с > 0 найдется такое 8(e) > 0, что при НМ < 8 будет выполняться ||х[л|| < с начиная с некоторого ng. Тривиальное решение уравнения (1.6.59) называют асимптотически устойчивым в ма- лом, если при отклонении начальных условий НМ < d решение асимптотически стремит- ся к нулю: 1нп||х(л|| = а Ввиду линейности системы из устойчи- вости тривиального решения следует устойчи- вость любого решения, а следовательно, и всей системы. Из асимптотической устойчивости в малом следует асимптотическая устойчивость в большом, т.е. для любых решений (1.6.59). Многочлен е'(Х) = аоХ» + -1 + ... + . 1Л + называют характеристическим многочле- ном для рассматриваемой системы, а уравне- ние 0*(Х) = 0 - характеристическим уравнени- ем. Корни характеристического многочлена определяют вид решения (1.6.59) при произ- вольных начальных условиях, а следовательно, условия устойчивости. Действительно, реше- ние х[л] (1-6.59) можно найти с помощью методов п. 1.6.2 в виде х|л)= У Res^^lz"*1 -1 е <«> Z-K К' = (L6.60) V=1 где Pg (z) - полиномы, коэффициенты кото- рых зависят от начальных условий; Xv - корни характеристического многочлена; РДл] многочлены степей rv - 1, соответствующей кратности rv корня Xv, v = 1, ..., к*; к/ к. Из вида (1.6.60) следуют теоремы: теорема об устойчивости линейной дис- кретной системы: линейная дискретная система устойчива, если для всех корней характеристи- ческого многочлена 0*(Х) выполняется усло- вие |Хv| £ 1, причем равенство |XV| = 1 может иметь место только для простых корней; теорема об асимптотической устойчивости: линейная, дискретная система асимптотиче- ски устойчива, если для всех корней ха- рактеристического уравнения выполняется условие |XV| < 1, v = 1,2,...,jc'. Необходимость и достаточность условий этих теорем доказана в [10]. Если условия теоремы об устойчивости не выполняются, т.е. существует корень характеристического урав- нения такой, что |XV|> 1 либо |XV| = 1, но кратность корня выше единицы, то система неустойчива. Геометрическая интерпретация условий устойчивости заключается в том, что корни характеристического многочлена должны ле- жать на плоскости Z внутри круга единичного радиуса |z| = 1 либо на самом круге при усло- вии, оговоренном в первой теореме. Для асимптотически устойчивой дис- кретной системы ее весовая функция может быть представлена с использованием формулы (1.6.24) в виде Мл] = Z’Uo'Cz)) = У Res^^V*1 1 ’ OU) z. Z-Лу С учетом условия |XV| < 1 отсюда следует, что функция Л[л] абсолютно суммируема, т.е.
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 103 00 <оо, ас учетом формулы л=0 (1.6.23) можно получить следующее утвержде- ние: в асимптотически устойчивой систе- ме при ограниченном входном сигнале |g[л] | < L < оо выходной сигнал остается ог- раниченным при любом л < оо: |х(л| £ ML < оо. Для проверки условий устойчивости дис- кретных систем применяют к р и т е р и и ус- тойчивости, позволяющие определить расположение корней характеристического многочлена 0*(Х) относительно окружности единичного радиуса, не определяя сами корни. Некоторые из них приведены ниже. Критерии устойчивости. Критерий Раусса - Шура (Шура - Кона). Пусть 1 0 0 ... 0 «1 1 0 ... 0 А)т “ «2 «1 1 ... 0 ... ... ... «т-1 «т-2 «т-3 ... 1 ак «к-1 «к-2 ... «к-т+1 0 «к «к-1 ... «к-т+2 ^кт ~ 0 0 «к ... «к-т+3 0 0 0 ... ак ^От ^кт Акт Л)т Если все определители Дт положительны, т.е. Дт > О для всех т, то все корни Уц харак- теристического многочлена @ (X) лежат внут- ри единичной окружности, т.е. система асим- птотически устойчива. Если выполнить дробно-линейное пре- образование W = T(1.6.61) Х + 1’ отображающее единичную окружность |Х| = 1 в левую полуплоскость Rew < 0 плоскости w, то можно воспользоваться критерием Гурвица для получившегося характеристического мно- гочлена 2*(w) = b$wK + b\wK l+...+bK_^ + bK. Критерий Гурвица. Все корни характеристического многочлена Q (w) лежат в левой полуплоскости Rewz < 0, / = 1, ...» к?, если Ао > 0 и главные диагональные миноры матрицы Гурвица Н положительны, 0 ... о‘ Ьз *1 ... 0 я = *5 *4 Ьз ... 0 . ... ... 0 0 0 ... Ьк_ Система при этом асимптотически ус- тойчива. Пример 1.6.7. Найти условие асимптоти- ческой устойчивости, если характеристическое уравнение имеет вид 1 + а\к + (12$ = 0. Выполняя замену переменной (1.6.61), получим (1 - w)2 + fli(l - w2) + ЛгО + w)2= 0 или Aow2 + biw + Z>2 = 0; fa = 1 + a2 - «1; b\ = 2(1 - a2)‘, Z>2 = 1 + al + a2- По критерию Гурвица условие устойчи- вости имеет вид Д1 = Ь\ > 0; Д2 = b\b2 > 0; Ао > 0. Аналог критерия Михайлова для дискретных систем. Если число полных оборотов годографа (Z(X) при одно- кратном обходе точкой X окружности единич- ного радиуса в положительном направлении рав- но порядку к полинома (У(Х), то все корни лежат внутри единичной окружности и система асимптотически устойчива. Этот критерий является следствием принципа аргумента. Используя последнее утверждение, не- трудно получить и формулировку критерия Найквиста, определяющего устойчивость замкнутой системы по виду годографа разомк- нутой системы. Критерий Найквиста для дискретных систем. Для того чтобы замкнутая дискретная система была асимп- тотически устойчива, необходимо и достаточ- но, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой систе- мы W (Joi) при изменении переменной т от О до п обходил точку (-1, J0) последовательно в положительном направлениир/2 раз, гдер - число полюсов W*(z) вне единичной окружности.
104 Глава 1.7. МЕТОДЫ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ В частности, если р = 0, то для соблюде- ния условий асимптотической устойчивости замкнутой дискретной системы цадо потребо- вать, чтобы годограф W (/о) не охватывал точку (-1,/)). В случае, когда система обладает аста- тизмом и, следовательно, W*(z) имеет полюс порядка v на самой единичной окружности в точке Z = 1, годограф FK (/о), как и для непрерывных систем, дополняется окружно- стью бесконечного радиуса, обходящей в по- ложительном направлении, начиная от веще- ственной оси, v квадрантов. К полученному годографу применяется критерий Найквиста в предположении, что полюсы |z/1 = 1 лежат внутри контура обхода. Все частотные критерии устойчивости непрерывных систем могут быть без измене- ний применены к дискретным системам после модифицированного w-преобразования: (см. п. 1.6.3). В частности, сохраняется крите- рий устойчивости Найквиста, сформулирован- ный для ЯЧХ. Пример 1.6.8. Проверить устойчивость замкнутой дискретной системы с прямоуголь- ными импульсами (у = 1) и передаточной функцией непрерывной части И'нф = , ** , HV s(l + 7ij) Kj = 100, /Си = 1, период квантования Т = = 0,1 с; 7i = 0,1 с. Для рассматриваемого случая передаточ- ная функция разомкнутой дискретной системы получена в примере 1.6.4: (1 - 0,05w)(l + 0,0 lw) w(l + ОД lw) В соответствии с критерием устойчивости в области частот, для которых > 0, фазовая характеристика не должна пересекать ось ф = -л или пересекать ее четное число раз. В данном случае это усло- вие не выполнено и, следовательно, система неустойчива в замкнутом состоянии. При снижении коэффициента усиления до 26 дБ система становится устойчивой. При к = 10 запасы устойчивости по амплитуде и по фазе составляют Дд = 6 дБ, Дф = 20°. FK,(w) = 100 Глава 1.7 МЕТОДЫ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 1.7.1. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ Рассмотрим дискретную линейную сис- тему, описываемую разностным уравнением порядка к (1.6.58): к m '£aJxtn + j] = '£bi£n + i], т<.к, J=A где g[fl], х|л] - решетчатые функции, описы- вающие входной и выходной сигналы в систе- ме. Введем новую переменную ЯЛ1 в соответ- ствии с уравнениями к у=о (1.7.1) m ^bty[n + i] = 4n]. /=о В эквивалентности уравнений (1.7.1) и (1.6.58) нетрудно убедиться с помощью ^пре- образования. Вектор у[л] = £У1[л] ... ук[л]}т с компонентами уДл] = у[л + Л, / = 1» —> к называют вектором состояния дискретной сис- темы. Перейдем к матричной форме записи уравнений системы. Введем матрицу 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 А = 0 0 0 1 0 _^1_ _^2 _^з_ _ ак-1 _ ^к_ . g0 «0 «0 g0 g0. и векторы - g1^0 [ | _ ^0gm j| ^Ogm+1 Oq J I m До A g0 > d = ^о/до. Тогда уравнения (1.7.1) примут следую- щий вид:
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ 105 у[л + Ц = Ау[л) + Ь^л];1 х|л) = сту[л] + ф[л). J (1.7.2) Первое из этих уравнений является раз- ностным уравнением состояния, а второе выра- жает выход системы х(л] через ее вход g[fl] и вектор состояния Ял1- Полученная форма записи является аналогом соответствующих уравнений непрерывных систем в пространст- ве состояний. Универсальность этой формы позволяет исследовать свойства дискретных систем независимо от их размерности, а также от числа входных и выходных сигналов. Пример 1.7.1. Составить уравнение со- стояния для дискретной системы с передаточ- ной функцией W W (Z-l)(Z-rfJ‘ В данном случае Oq = d, aj = -(1 + d), ai = 1, Ao = 0, b\ = ac(1 - d) и уравнения (1.7.2) имеют вид: Л|л + 1) = лИ; Уг!" + !] = (!+ </-1)У11л) - «НугИ; дс(л] = к(1 - <0У1[л]. Задание начального значения у[ло! век- тора состояния и входа g[fl] при п £ Лд позво- ляет определить из первого уравнения (1.7.2) состояние в любой последующий момент вре- мени, а из второго уравнения (1.7.2) при п £ п$ определяется выход системы. Получим: у|л] = А"-"»Яло1 + £ /=Ло (1.7.3) Матрица У[л,ло ] = Ал-л° - переходная матрица дискретной (стационарной) системы. В частности, при gf л] s 0, л £ ng переходная матрица определяет состояние системы по формуле Ял)=А"-"»у1ло). Переходная матрица состояний обладает следующими свойствами: 4»2,»ll*l»l.»ol = V[«2,«o]. («2 >«1 >«о); Y[»2,»i]= Y ‘[fli.flj], ¥[л0,л0] = Е; Мл + 1,ло)=А¥[л,ло]. В аналитической форме переходная мат- рица состояний может быть получена с помо- щью ^-преобразования. Применяя его к урав- нению состояния (1.7.2) При gfn] s 0, т.е. у[л + 1) = Ау[л] с начальными условиями у[0], будем иметь Y*[z] = (Ez - A)"1 z у[0]. Следовательно, к Y[n,0] = ^Res(Ez-A) *z" (1.7.4) где - полюса функции (Ez - А)-1 г". Пример 1.7.2. Найти переходную матрицу состояний в предыдущем примере 1.7.1. Решение: Y*(z,0) = (Ez-A)’1z = ________z________ z+d 1 Z2 +zd~' -(l + d-1) J***"1 1 z к Y[h,0] = ^ResY^z.OJz"*1 cizr+^z" сз(г"-*") czZi+ciz" 3 , i . ,1 c, =- + </. C2 =- + </, z,=2+ —. ?2 = -^-2. c3 = c4=i(rf + l). * Другой способ вычисления переходной матрицы состояния основан на теореме Кэли - Гамильтона, согласно которой матрица удовле- творяет собственному характеристическому уравнению [10]. Определение переходной матрицы со- стояния существенно упрощается, если урав- нение состояния может быть приведено к диагональному виду. Первое из уравнений (1.7.2) можно при- вести к диагональному виду, если собственные числа матрицы А, т.е. корни X/ характеристи- ческого уравнения det(A - ХЕ) = 0 - простые. Тогда существует невырожденное преобразова- ние у = Ру*, такое, что
106 Глава 1.7. МЕТОДЫ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ Р'АР = diag[XtX2 ... XJ = X; И» + 1) = Х^'|л] + Ь'йл); М") = сту|л] + dg[n]; Ы = Р-Ц», ст' = сП». (1.7.5) Такое представление называют нормаль- ной формой уравнений состояния. Переходная матрица состояний для урав- нения (1.7.5) сразу может быть записана в виде Цл,л0] = Х"-"» = diagfx"'"0 Х"/»... Х"к’"»| При использовании передаточных функ- ций для построения уравнений состояния форма (1.7.5) может быть найдена непосредст- венно, без промежуточного построения систе- мы (1.7.2). Полагая, что полюса передаточной функции IT*(z) простые, получим и'’<г) = £т£/г+</ l=lz~Kl (при т < к выполняется d = 0), где С/= lim W*(z)(z - X/), i = 1,2,...,к. Положим X*(z) = W\z)G\z) = Y crfd) + rfG’(z). /=1 Тоща уравнения состояния примут вид )'/(л + 1] = Х/)'/[л) + ^л], а выходной сигнал определится по формуле к *|л] = ^с/)»/1л) + <%1л], /=1 или в векторных обозначениях у[л +1] = Xy[»J + bg[nj;l xH = cTy|flJ + <feH, J ' • ’ ст = [с,... ск], X = diag[Xi... XJ, Ь = |1... 1Р, что совпадает по виду с системой (1.7.5). Пример 1.7.3. Составить уравнения со- стояния для дискретной системы с прямо- угольными импульсами, у = 1 и передаточной функцией непрерывной части L. ^=(1+м{1+м- Применяя аппарат Dz -преобразования (см. п. 1.6.2), получим передаточную функцию системы в виде *!(*<)+frZ + ^Z2) (г)_ ’ _ ~ Х)р2 . _ *1(^2 ~ QP1 . 1 Р1“Рг 2 Рг”Р1 Р/ = 7/ / Т, Xf= е-р', i = 1, 2. Уравнения состояния имеют вид )'1(л+1) = е*₽у|(л] + «1л); _И2(л + 1| = е*₽2.И2|л) + йл); 4«) = C1J»1W+C2)'2l»|. В более общем случае, когда среди собст- венных чисел X/ матрицы А могут быть и кратные, вместо (1.7.6) получится система уравнений следующего вида Ял + 1| = JypiJ + bgpi];l х[л] = Сту[л] + dgp»], J где J = diag[Ji ... J/] - клеточная матрица Жордана; Элементы системы (1.7.7) также могут быть найдены из передаточной функции сис- темы, которая в рассматриваемом случае мо- жет быть представлена в виде / = 1,2,...,/; т - 1,2,...,Г/,
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ 107 Г/ - кратность полюсов X/; d = lim W (z). Полагая, как и выше x,(z)=j;Jci,r;(z)+rf(?,(z), /=и=1 будем иметь Itf+I(z) = Y?(zXz-X,) при J=1.2.... r;(z)(z-M = G‘(Z). 1 = 1,2.....1, откуда и следует система разностных уравне- ния вида (1.7.7): у^п + 1] = МД"! + Уд + il"J> J = 1.2...г,. ь ^[Я + 1] = Х'7'»/И + «1Л1’ (1-7-8) 4«1 = '£'£сдУ1/1п] + dg[n], Ы>=1 Таким образом, в (1,7.7) Ст = [СцС12 ... Сц , С21С22 ... С2г^ — ••• > сас'2 ••• % 1Т; элементы вектора - столбца Ь равны нулю за исключением элементов С номерами и, п + + — И + + ••• + ГЪ которые равны единице. Уравнения состояния (1.7.2) не обяза- тельно соответствуют дискретной системе, состоящей из импульсного элемента и непре- рывной части. Они могут рассматриваться как уравнения дискретной линейной системы произвольного вида с одним входом и одним выходом. Матрица А в этом случае может быть произвольной. Для многомерных дискретных систем уравнения (1.7.2) можно обобщить, записав их в виде У(л + 1| = Ау[л] + BgpiJ; (1.7.9) х[л] = Су|л] + Dg|n], me g[n] - г х 1-вектор входных сигналов; х[и] - / х 1-вектор выходных сигналов; В, D, С - прямоугольные матрицы соответствующих размеров. Матрица А размера к х к в этом случае может иметь произвольный вид. Если собственные значения матрицы А являются простыми и Р-!АР = X = diag[XiX2 ... XJ, то также, как и выше, выполняя невырожден- ное преобразование у =Ру', можно получить уравнения состояния многомер- ной системы в нормальной форме?. /(л + 1) = Ху'|л] + B'g(n|; (1.7.10) х|л] = С'у-|л] + D'gH, где В' = Р-1В, С' = СР. В случае, когда среди собственных зна- чений матрицы А имеются кратные, диаго- нальная матрица X в уравнении состояния заменяется на матрицу Жордана аналогично (1.7.7). Уравнения (1.7.9) и (1.7.10) могут быть получены аналогично предыдущему, если из- вестна матричная передаточная функция сис- темы. Пример 1.7.4. Составить разностное уравнение в нормальной форме для двухка- нальной синхронной синфазной системы с кратковременными импульсами. Передаточная матрица задана в виде = [^‘(Z)], 1 = 1,2; • Z2 • 1 • z • z2 ^ = 771= ^(z) = ^^. Уравнения системы в форме (1.7.9) могут быть получены аналогично предыдущему. Раз- ложим Wy (z) на простейшие дроби, тогда %2‘(z) = [i-^g1‘(z) + + (—------—1<?2(z)- lz+3 Z + 27 ' Полагая n*(z)=^?Gi*(z); *2(z)=^Gi'(z);
108 Глава 1.7. МЕТОДЫ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 1з*(г)—Ц<Ъ*(г); *4*(z)—'—Girt. £ + 3 Z + 2 будем иметь: yd" + Ч = -yihl + gihl; Уг{п + 1] = -2уг1"] + «1И; уз|л + 1] = -зу3[л] + &И; у4(л + 1] = -2у4[л] + £2|л]; %1|л] = -уйл] - 4у2|л] + у3[л] + &[л]; JC2l«l = -2>2l«l - 2у4[л] + ЗУз1«1 + что соответствует уравнениям состояния в форме (1.7.10) при X = diag[-1 -2 -3 -2]; 1 О' 00 ~ Г-1-41 0 ‘ В' = ; С' = ; 0 1 [0 -2 3 -2J 0 1 Полученные уравнения могут быть реше- ны как рекуррентные соотношения либо най- дена аналогично предыдущему переходная матрица состояний. 1.7.2. СВОЙСТВА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ Уравнения состояния дискретной систе- мы, записанные в форме (1.7.2) или (1.7.9), позволяют определить некоторые свойства систем, используемые при их анализе и синте- зе. Дискретная система удовлетворяет усло- вию (полной) достижимости, если при нулевых начальных условиях у[ло] = 0 найдется такое п> ло и входной сигнал gf/л], т = ло, ло + 1, ..., л, который переводит вектор состояния в любую желаемую точку у[л]. Справедлива следующая теорема о дос- тижимости: система (1.7.2) удовлетворяет условию достижимости тогда и только тогда, когда ранг матрицы Q = [b АЬ Д2Ь ... А« - *Ь] (1.7.11) равен размерности пространства состояний к. Доказательство этой теоремы основано на использовании равенства (1.7.3) при у[ло] = 0 , т.е. соотношений, имеющих при ло = 0 вид т-1 у[т] = £Am"1"/bg[/], m = l,2,...,fc, /=0 (1.7.12) в частности, jW = Qgo> go = {gl*- l]gl* - 2]...g[0]}T. При выполнении условий теоремы суще- ствует обратная матрица Q'1, позволяющая определить последовательность g[0], gfl], ... gt&- 1] непосредственно из уравнения (1.7.12). Если условия теоремы выполняются, то заданное значение вектора состояния может быть достигнуто из произвольного начального состояния у[0]; при этом формула (1.7.12) примет вид yR] = A*MOJ+Qgj, или для произвольного л у|л + Л] = A*yH + QgJ, (1.7.13) gj = {«И - I + »1«1* - 2 + л]...^л|}т. Таким образом, дискретная система, удовлетворяющая условию достижимости, может быть описана векторным разностным уравнением порядка к (1.7.13). Вводя новый вектор состояния z = fZ] Z2 ... Zjt]T размера к2, где zi|«] = у|л], г2[л] = у|л + 1], ... Zk[n] ~ У1л + & - 1], это уравнение можно записать в виде уравнения первого порядка Векторное пространство, в котором оп- ределен вектор Z, может быть названо расши- ренным пространством состояния дискретной системы. Соответственно уравнение (1.7.14) будем называть расширенным уравнением состояния. Вычислив один раз из (1.7.2) последова- тельность у[л], л = ло, Ло + к, исполь- зуемую в качестве вектора начальных условий для уравнения (1.7.14), далее можно решать (1.7.14), определяя за один шаг сразу последо- вательность состояний z|л].
НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ 109 Дискретная система (1.7.2) (полностью) управляема, если существует такое число к и такая последовательность значений входа + 1]> — £|ло + Ч, что для любого начального значения у[ло] будет выполняться у [Л] = 0, т.е. это значение переводится в ноль за конечное число шагов. Из (1.7.13) следует, что в этом случае должно выполняться условие А*у|л0] = -р> АЬ А2Ь ... А*_,ь]8т[ль!- (1.7.15) Теорема об условиях управляемости, ко- торая основана на анализе последнего соотно- шения, формулируется так: дискретная система управляема тогда и только тогда, когда ранг матрицы A'*Q = [а4Ь А'2Ь ... A'*b] равен размерности к пространства состоянии. Здесь предполагается, что detA # 0. Сигнал gT[/io] в управляемой системе может быть найден из равенства Ял0) = -A’*QgT[«o] = = ЧА’*Ь А*+,Ь ... А-,Ьйт(л0|, (1.7.16) следующего из (1.7.15). Однако, если матрица А и, следователь- но, А* - невырождены и система удовлетворя- ет условию достижимости, то она удовлетворя- ет и условию управляемости. Такая система может быть переведена из заданного начального состояния в произволь- ное и возвращена обратно, в связи с чем ее также называют обратимой системой. Состояние системы у [л] наблюдаемо, если оно может быть восстановлено по будущим значениям выходного сигнала х[т] при т — = п + 1, п + 2, ..., п + к, к < оо. Состояние системы у[л] восстанавливае- мо, если оно может быть определено по пред- шествующим значениям выходного сигнала x[m], т = п - 1, л - 2, ..., л - к, к < оо. Из второго уравнения системы (1.7.2) следует: х[я] = Ry[«] + Pg[«], (1.7.17) гае х[л] = {х[«] 4«+11 ••• 4» + *-1]}т, Й«1 = {«(”1 «|» + 1)... g[» + fc-i]}T, Я = [ст с7А стЛ2 стЛ*-*]Т, Р= d О стЬ d стА*“2Ь стА*“3Ь О ... О О о ... о о стА*-4Ь ... стЬ d Следовательно, система (1.7.2) наблюдае- ма тогда и только тогда, когда ранг матрицы R равен размерности к пространства состоя- ний. Аналогично можно установить, что сис- тема (1.7.2) восстанавливаема тогда и только тогда, когда ранг матрицы R = [cTA-* етА-(*-,)...етА-1]1 равен размерности к пространства состояний. Систему (1.7.2) называют идентифици- руемой, если для автономной системы у[л + 1] = Ау[л] можно определить матрицу А по результатам измерений выходных координат х|л| = Сту|л1. Пусть система наблюдаема и вектор с из- вестен. Введем вектор состояния в расширен- ном пространстве состояния (см. 1.7.14): г|л] = {у|л] у|л + 1] ... у[л + к - 1]}т. Тоща можно записать: г[л + 1] = Аг[л]; (1.7.18) х|л] = cTAz[n] = стг(л +1], т.е. (ст) *йл] = А4л]. Следовательно, система идентифицируема тогда и только тогда, когда невырождена мат- рица Z[n] = {у[л] Ау[л] ... А* - ^[л]}. (1.7.19) 1.7.3. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Уравнения состояния. К дискретным сис- темам, строго говоря, относят любые системы, описываемые разностными уравнениями вида (1.7.2) или (1.7.9). Это могут быть и системы, не содержащие непрерывной части, например, цифровые устройства, дискретные автоматы.
ПО Глава 1.7. МЕТОДЫ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ Такие системы полностью описываются дис- кретными уравнениями состояния. Для того чтобы отличить системы, содержащие непре- рывную часть и дискретные элементы, в част- ности, импульсные элементы, от систем не содержащих непрерывной части, их называют дискретно-непрерывными. Эти системы рас- сматривались в гл. 1.6. Для них, как показано в п. 1.7.1, также справедливы дискретные уравнения состояния, однако они недостаточ- ны для полного описания движения системы. Так, компоненты вектора состояния у [л] из уравнения (1.7.2) имеют смысл временной последовательности значений переменной у. Поэтому, в частности, начальные значения у[ло] не могут быть выбраны произвольно, так как они должны удовлетворять уравнениям движения непрерывной части системы. На- помним также, что исходное уравнение (1.6.57) получено в гл. 1.6 при нулевых на- чальных условиях. Таким образом, описание непрерывно-дискретной системы в форме, рассмотренной в гл. 1.6, должно быть допол- нено ее описанием в пространстве состояний непрерывной части системы. Рассмотрим разомкнутую дискретную систему простейшего вида, т.е. непрерывную систему, на вход которой подается модулиро- ванная последовательность S-функций (см. рис. 1.6.4). Пусть дифференциальное уравне- ние непрерывной приведенной части имеет вид (О = X т ~ к- 1=0 J=0 (1.7.20) Введем переменную y(t) так, что ^а/У(/>(0 = /('). /=0 7=0 в эквивалентности этих равенств уравнению (1.7.20) нетрудно убедиться с помощью преоб- разователя Лапласа. Вектор состояния непре- рывной системы определяется как у(0 = Lxi(O >1(0 ••• >>к(0Г; yi = у; dt У2’ dt Ук' Справедливы следующие уравнения со- стояния: ^ = Ау + Ь/; х = сту+3/, (1.7.21) dt гае L ак ак ак 3 = Х ак Для заданных начальных условий у(/о) и функции ДО* * состояние у(/) в любой момент времени t > /о может быть найдено с помощью переходной матрицы состояния t У(') = Y(z,zo)y(/O) + f Y(l,x)b/(r)A; (1.7.22) для t = t / T , где Г, как и выше, - период квантования; при = л, / = л + 1 будем иметь: уг[л +1| = еАГуг|л] + л+1 + Т I п Подставляя сюда /^(т) = gptn] 5(т - л) при п < т < п + 1, получим разностное уравне- ние состояний для непрерывно-дискретной сис- темы УтЧ п +1] = еАГуг|л| + 7eA7,bgr|n|, (1.7.23) к которому нужно добавить уравнение для дискретных значений выхода. Если в уравне- нии непрерывной части (1.7.20) т < ку то это уравнение имеет вид хг|и) = сгут-|и].
НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ 111 В случае, если на вход непрерывной час- ти поступают прямоугольные импульсы, т.е. /гСО = ки«т\"}> л 2 ? < л +1, уравнение (1.7.23) примет вид ут[п +1] = е АГу т [и] + л]; (1.7.24) L=-A“'(E-eA7J ЬА;И. При этом в (1.7.20) можно положить m £ < к и уравнение для выходного сигнала запи- шется в виде + (1.7.25) В отличие от рассмотренного в п. 1.7.1 уравнения (1.7.2) состояния дискретной сис- темы здесь вектор состояния уу{л] имеет иной смысл: если в первом случае компонентами вектора состояния были последовательные (во времени) значения переменной состояния, то теперь вектор состояния - это совокупность измеренных в один и тот же момент компо- нент вектора состояния непрерывной системы. Переходная матрица состояний для раз- ностного уравнения непрерывно-дискретной системы определяется из вида его решения. Так, для уравнения состояний (1.7.23) полу- чим г . Ит(п-па) г , уг[л] = е ' ч'ут[ло] + Л-1 . + т=ъ (1.7.26) Таким образом, переходная матрица со- стояний ¥[л,ло] = еА7’('’'"’). При g[n] = 0 состояние системы опреде- ляется как уН»] = У|л, ло] уИло! • При нулевых начальных условиях Лд = 0, УНло] = 0 выражение ХЧл,м]Ь£г[Л1] (1.7.27) т=0 описывает эволюцию системы при заданном воздействии. Для случая (1.7.24) уравнение (1.7.27) примет вид л-1 Ут1л)= (1.7.28) m=0 Свойства в пространстве состояний. Из (1.7.27) следует: у т-i*)=08о; Ъо = {«[*- П«1*-21-«1°1}Т; (1-7.29) Q=[b еАГЬ e^b ... ^ТЬ . Таким образом, система (1.7.23) удовле- творяет условию достижимости, (см. п. 1.7.2) тогда и только тогда, когда ранг матрицы Q равен размерности пространства состояний.. Соответственно для (1.7.24) Q=[l еАГЬ еЛтЪ ... e(*'1)A7L . (1.7.30) Системы (1.7.23), (1.7.24) удовлетворяют условию управляемости тогда и только тогда, когда аналогичное условие выполняется для мат- рицы e"A7*Q. Однако при условии det А # 0 всегда А7* выполняется и det е # 0 и, следовательно, понятия управляемости и достижимости для разомкнутых непрерывно-дискретных систем совпадают. Для непрерывно-дискретной системы, удовлетворяющей условию достижимости, с учетом (1.7.29), (1.7.30) можно записать век- торное разностное уравнение порядка к, ана- логичное (1.7.13) для случая дискретных сис- тем уг[л + Л] = еАПуг[л] + О8;, (1.7.31) где in ={gl*-i+»i...g[n]}T. Это уравнение соответствует системе ^-разностных векторных уравнений первого порядка (т.е. к2 скалярных разностных урав- нений) по аналогии с (1.7.14): г[л+ 1] = Az(n] + QgJ, (1.7.32) где 0 Е 0 .. . о' ’o' 0 0 Е .. . 0 0 А = ; Q = еАП 0 0 .. .. °. Q,
112 Глава 1.7. МЕТОДЫ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ определяющей описание системы в расширен- ном пространстве состояний z[n) = {у|л] у[л + 1] ... у|л + к - 1]}т. Эту систему можно записать и в форме (1.7.18), т.е. 4 л +1] = еАГг(л] + bgj (1.7.33) (для случая (1.7.27)]. Уравнения (1.7.32), (1.7.33) устанавлива- ют связь между разностным уравнением не- прерывно-дискретной системы в форме (1.7.23), (1.7.24) и ее разностным уравнением состояний как дискретной системы (1.7.2), поскольку расширенный вектор состояния z[h] содержит информацию р компонентах вектора у из (1.7.21) в последовательные мо- менты времени л, п + 1, ..., л + к - 1. Начальные условия в расширенном про- странстве z[ziq] задаются путем определения решений уравнений (1.7.23), (1.7.24) в форме (1.7.26) при л = Ло, Ло + 1, ..., л© + к - 1, после чего может решаться уравнение (1.7.32), обеспечивающее за один шаг определение последовательности векторов у[л], у[л + 1], .... у|л + к - 1]. Рассмотренные уравнения состояния могут быть использованы для определения процессов в непрерывно-дискретных системах не только в дискретные моменты времени t = л, но и в произвольные моменты. Дейст- вительно, полагая в (1.7.22) t = л+е, полу- чим уг[л,е) = еАбГуг[л1 + л+е _ + Т j еА7’<п+Е’’>Ь/г(т)Л = Л xe*‘7’yrW + TeXnbgr['»l, О 2 е < 1. (1.7.34) Аналогично в случае (1.7.24) уг|л,е! = еАеГуг[л] + L(e)gr [л), (1.7.35) где L{e)=-A-1(E-eXn] Ь*и. Таким образом, определив решение в дискретные моменты времени из уравнений состояния (1.7.23), (1.7.24) или (1.7.31) и под- ставив уН«1 в (1.7.34), (1.7.35), можно найти его в произвольный момент времени t = л + е, 0 £ с < 1. Уравнения (1.7.23 - 1.7.25) описывают разомкнутую дискретную систему. При замы- кании системы к этим уравнениям нужно до- бавить уравнение замыкания, например, gl»l = «I»] - = «1«1 - где м[л] - управляющий сигнал. Тогда вместо (1.7.23) и (1.7.24) получим соответственно: уг[л + 1] = е^7’(Е-7Ьст)у7’(л]+ Te^rb4«]; (1.7.36) Ут[« + 1]=(е*7’-1лг)уг[л]+ 1л[л]. (1.7.37) Таким образом, изменяется переходная матрица состояния, а следовательно и условия управляемости и достижимости, которые для замкнутых непрерывно-дискретных систем могут не совпадать. 1.7.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ Введенное в п. 1.7.1 пространство со- стояний позволяет обобщить понятие устойчи- вости и основные теоремы, сформулирован- ные в п. 1.6.5. Пусть линейная дискретная система опи- сывается уравнением состояний у|л + 1] = Ау|л|. (1.7.38) Тривиальное решение у|л| а 0 системы (1.7.38) называют устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого числа с > 0 существует такое малое число 6(e) > О, что любое решение у[л], для которого в на- чальный момент л = 0 выполняется условие |у(0Ц < • удовлетворяет неравенству ||у(л| < с , начиная с некоторого значения л = N < оо. Тривиальное решение у[л] в 0 называют асимптотически устойчивым, если оно устой- чиво и существует такое число d, что для лю- бого решения у[л], такого, что |у[л| £ d, бу- дет выполняться предельное соотношение: Шп|у|л| = а Л->« Тривиальное решение называют неустой- чивым, если существует такое е > 0, что для любого 8 > 0 найдется момент времени N, при котором, несмотря на соблюдение условия |у( 0|| < » будет выполняться неравенство ЫМ >s.
СВЯЗЬ ВИДА ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ С ПОКАЗАТЕЛЯМИ КАЧЕСТВА ИЗ Исследование устойчивости произволь- ного решения £[л] системы (1.7.38) можно свести к исследованию устойчивости триви- ального решения, если ввести переменную, описывающую отклонение возмущенного дви- жения от невозмущенного х[л] = у[п] - £[л]. Из (1.7.38) следует х[л + 1] = Ах[л], т.е. полученная система разностных уравнений имеет тривиальное решение х[л] = 0, соответ- ствующее у [л] = £[л]. Если это решение ус- тойчиво, или асимптотически устойчиво, то устойчиво, или асимптотически устойчиво решение £[л] системы (1.7.38). Устойчивость линейной системы опреде- ляется собственными значениями матрицы X/ уравнения состояний (1.7.38), т.е. корнями характеристического уравнения системы det(A - ХЕ) = 0. (1.7.39) Теорема об устойчивости линейной дискретной системы. Линейная дискретная система, описываемая уравнением состояний (1.7.38) устойчива, если для всех собственных значений X/ матрицы А выполняется условие |Х/| £ 1, причем равенст- во |Х/| = 1 может иметь место только для про- стых собственных значений. Теорема об асимптотической устойчивости. Линейная дискретная система (1.7.38) устойчива асимптотически, если все собственные значения X/ матрицы А расположены внутри единичного круга, т.е. |Х,|<1. Теорема о неустойчивости. Линейная дискретная система неустойчива, если по крайней мере для одного из собствен- ных значений Ху матрицы А выполняется не- равенство |Ху|> 1, либо |Ху| = 1, но в по- следнем случае, кратность /у собственного зна- чения Ху у > 1. Доказательство этих теорем можно найти в [10, 16]. Они служат обобщением теорем об устойчивости, сформулированных в п. 1.6.6, поскольку в общем случае характер изменения выходного сигнала не позволяет судить о ха- рактере изменения состояния. Для непрерыв- но-дискретных систем, рассмотренных в п. 1.6.6, характеристический многочлен det(A - ХЕ) сов- падает со знаменателем передаточной функции системы, что позволяет рассматри- вать полученные в п. 1.6.5 условия устойчиво- сти в качестве частного случая сформулиро- ванных. При этом условия устойчивости могут быть проверены без перехода в пространство состояний. Для анализа расположения корней харак- теристического многочлена det(A - ХЕ) без определения самих корней могут использо- ваться алгебраический критерий Раусса-Шура и аналог критерия Михайлова для дискретных систем (см. п. 1.6.5). Глава 1.8 СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Задачей синтеза автоматических систем является рациональный выбор вспомогатель- ных элементов, параметров и структуры сис- темы при заданном динамическом описании объекта управления в целях обеспечения за- данных показателей качества системы. Этими показателями являются запасы устойчивости по амплитуде Д£ и фазе Д(р, вид переходного процесса при ступенчатом воздействии (время переходного процесса /л, величина nepepeiy- лирования су, время достижения максималь- ного значения переходного процесса число колебаний переходного процесса и др.), точность системы при заданных входных воз- действиях (порядок астатизма г, допустимое значение максимальной ошибки системы, допустимые значения коэффициентов оши- бок). Удобным практическим методом реше- ния этой задачи, особенно на начальных эта- пах синтеза является метод логарифмических частотных характеристик. 1.8.1. СВЯЗЬ ВИДА ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ С ПОКАЗАТЕЛЯМИ КАЧЕСТВА СИСТЕМЫ Одной из основных оценок качества сис- темы являются запасы ее устойчивости. Для определения запасов устойчивости по виду логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы применяют критерий Найквиста. На рис. 1.8.1 приведены логариф- мическая амплитудная (ЛАХ) Lm[fK(/(D)] и фазовая (ФЧХ) (р(ш) частотные характеристи- ки разомкнутой системы. Запас устойчивости по амплитуде AZ определяется на частоте сре- за (точки пересечения ЛАХ линии нулевых децибел) и равен величине превышения фазо- вой характеристикой на этой частоте линии
114 Глава 1.8. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ Рис. 1.8.1. Логарифмические частотные характеристики 180°. Запас устойчивости по фазе Д(р опреде- ляется в точках пересечения ФЧХ линии 180° и равен отклонению в этих точках ЛАХ от линии 0 дБ. Быстродействие системы опреде- ляется значением частоты среза сос и прибли- зительно оценивается величиной л 4л ---<--------> ®с ®с (1.8.1) хде 1ц -время переходного процесса (т.е. вре- мя, за которое реакция системы на единичное ступенчатое воздействие будет отличаться от установившегося состояния не более, чем на 5 %). Переходный процесс в неминимально фазовой системе полностью определяется зна- чением вещественной частотной характеристи- ки Р((&) замкнутой системы. На рис. 1.8.2 приведены зависимости времени переходного процесса /л и величины перерегулирования о от значения Рщах- По этим зависимостям по заданным ст и /п можно определить требуемую частоту среза ЛАХ разомкнутой системы. Для минимально фазовых систем фазовая характе- ристика полностью определяется амплитудной частотной характеристикой. На достаточно протяженном участке наклона асимптотиче- ской частотной характеристики -20 дБ на де- каду (дБ/дек) запаздывание по фазе равно примерно л/2 радиан (или 90°). Отсюда следу- ет, что для получения хороших динамических качеств системы частоте среза должен соответ- ствовать отрезок асимптотической логарифми- ческой амплитудной характеристики, имею- щий наклон 20 дБ/дек, а для обеспечения достаточных запасов устойчивости этот отре- зок должен быть достаточно протяженным в обе стороны от частоты среза. Точность систе- мы определяется ее порядком астатизма, ко- эффициентом усиления и значением ампли- тудной частотной характеристики разомкнутой системы на рабочих частотах, имеющих значе- ние ниже частоты среза. Это объясняется тем, Ряс. 1.8.2. Зависимость времени переходного процесса и перерегулирования от Р—* что передаточная функция замкнутой системы по ошибке определяется выражением а при |Ж(/>)| » 1 (практически Lm[ И^'со)] > > 20 дБ) это равенство можно заменить при- ближенным: (1.8.3) т.е. величина ошибки при подаче на вход сис- темы гармонического сигнала обратно про- порциональна значению амплитудной частот- ной характеристики на рабочей частоте вход- ного сигнала. Логарифмическую амплитудную частотную характеристику условно деляг на три части (рис. 1.8.3). Область низких частот определяет точность системы в установившемся режиме. Область средних частот определяет качество пере- ходного процесса. Область высоких частот прак- тически не влияет на точностные и динамические свойства системы, поэтому логарифмическую амплитудно-частотную характеристику в этой области можно выбирать достаточно произволь- но, руководствуясь требованием простоты реали- зации синтезируемой системы. Желаемые частотные характеристики сис- темы. В минимально фазовых системах фазо- вая частотная характеристика полностью опре- деляется видом амплитудно-частотной харак- теристики. Поэтому в таких системах их син- тез можно восполнять, используя только ам- плитудно-частотные характеристики. Для ре- шения задачи синтеза строится желаемая ам- плитудно-частотная логарифмическая характе- ристика. Желаемой ЛАХ называют такую ам- плитудно-частотную характеристику разомкну- той системы Иж(до), при которой выполня- ются заданные показатели качества замкнутой системы по точности и виду переходного про- цесса.
СВЯЗЬ ВИДА ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ С ПОКАЗАТЕЛЯМИ КАЧЕСТВА 115 Рис. 1.8.3. Области частот логарифмической амплитудной характеристики Требования к точности сис- темы. Требования к точности могут быть заданы по-разному. 1. Заданы частота сор и амплитуда ар за- дающего гармонического воздействия g(f), которое должно быть отработано системой = apSin(o)p/), (1.8.4) и допустимое значение ошибки £доп. Тогда согласно приближенной формуле (1.8.3) зна- чение амплитудной частотной характеристики на частоте сор должно быть |»rOp)| * —• (1.8.5) едоп * 2. Заданы максимальная скорость gmax, максимальное ускорение входного воз- действия и допустимое значение ошибки. В этом случае входное воздействие заменяют эквивалентным гармоническим воздействием вида (1.8.4), где значения' амплитуды ар и частоты сор сигнала рассчитывают по форму- лам: ®р = £ max/8 max > ар ~ &тах/&тах • (1-8.6) При таком выборе обеспечивается дос- тижение максимальных скорости и ускорения входного сигнала, отрабатываемого системой. Значение амплитудной частотной характери- стики на частоте сор определяется неравенст- вом (1.8.5). 3. Задан порядок астатизма системы г и требуется обеспечить слежение за сигналом #(0 ~ &тах^Г • Установившаяся ошибка имеет вид Sycr = c0g(O + qg(O+—+crg(r)(t) = qg^x, (1.8.8) где С/ - коэффициенты ошибок. Так как в сис- теме г-го порядка астатизма коэффициент ошибки cr = 1 / Ку то имеем 8уст = &тах/• (1.8.9) Из формулы (1.8.9) определяется необхо- димый коэффициент усиления системы &гпах/еуст • (1.8.10) По полученным данным строится низко- частотная часть асимптотической желаемой ЛАХ системы. Требования к качеству пе- реходного процесса. По заданным времени переходного процесса /п и величине перерегулирования а (см. рис. 1.8.2) выбира- ется значение частоты среза сос и через точку сос проводится среднечастотная асимптота же- лаемой ЛАХ системы с наклоном -20 дБ/дек, которая продолжается в обе стороны до отклоне- ния AL от линии нулевых децибел на 12 - 16 дБ, значение AL можно выбрать по графику (рис. 1.8.4). Этим обеспечиваются требуемые запасы устойчивости и заданное время переход- ного процесса. Среднечастотная асимптота со- прягается с высокочастотной частью прямой с наклоном 40 или 60 дБ/дек. Высокочастотная часть желаемой ЛАХ не влияет на качество сис- темы и выбирается исходя из вида заданной не- изменяемой части системы, низкочастотная часть ЛАХ которой совпадает с низкочастотной частью желаемой ЛАХ. Таким образом, построение желаемой асимптотической ЛАХ включает следующие этапы: построение низкочастотной части исходя из требований точности; построение среднечастотной части исхо- дя из требований устойчивости и допустимого времени переходного процесса; построение высокочастотной части исхо- дя из вида ЛАХ неизменяемой части; сопряжение низкочастотной и высоко- частотной частей желаемой ЛАХ со среднечас- тотной. Pic. 1.8.4. Замспмосп! значений запасов по амплитуде фазе от величины перерегулирования
116 Глава 1.8. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ Типовые желаемые ЛАХ. Для обеспечения построения желаемой ЛАХ вводят типовые передаточные функции и соответствующие им желаемые ЛАХ. Виды типовых передаточных функций приведены в табл. 1.8.1 [17, 21]. Типовые желаемые ЛАХ для систем с первым порядком астатизма приведены на рис. 1.8.5. Из условия устойчивости желаемые ЛАХ-0 должны иметь первую сопрягающую частоту не ниже частоты среза. ЛАХ-1 - ЛАХ- IV имеют одинаковые значения сопрягающих частот 0)2, ©з и протяженность среднечас- тотного участка h = W3 / (02- Типо вые ЛАХ-1 - ЛАХ- IV для систем со вторым порядком астатизма отличаются тем, что в низкочастотной области имеют асимпто- ту с наклоном только -40 дБ/дек. Запас устой- чивости для ЛАХ систем с астатизмом первого и второго порядков определяется протяженно- стью среднечастотной асимптоты h = W3 / ©2» который, например, можно выбрать из графи- ков, определяющих участки AZj и AL2 (см. рис. 1.8.4). Значение Tj можно выбрать по формуле [21] 1 1 100 + ст ---® с---------------- т, Т, а где Т\ - первая сопрягающая частота желаемой ЛАХ. * ЛАХ-Д, ЛЛХ~2 Pic. 1.8.5. Типовые желаемые ЛАХ
ТИПЫ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ 117 1.8.2. ТИПЫ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ В результате энергетического расчета системы выбирают исполнительный двигатель и проектируют механизм передачи усилия от двигателя к объекту управления (редуктор). Передаточная функция, описывающая дина- мические свойства объекта управления, меха- низма передачи и исполнительного двигателя после энергетического расчета обычно не мо- жет быть изменена проектировщиком системы управления, и поэтому ее называют передаточ- ной функцией неизменяемой части системы, а соответствующую ей ЛАХ - логарифмической частотной характеристикой неизменяемой час- ти. В процессе синтеза в систему вводят до- полнительные динамические звенья, называе- мые корректирующими устройствами, которые должны так деформировать ЛАХ неизменяе- мой части системы, чтобы она приблизилась к желаемой ЛАХ. Этот этап проектирования автоматической системы называют синтезом корректирующих устройств. Различают сле- дующие корректирующие устройства: последо- вательные, параллельные и корректирующие устройства по внешнему воздействию. Последовательные корректирующие уст- ройства. Такие устройства с передаточной функцией Ип(р) включаются в схему последо- вательно неизменяемой части системы (рис. 1.8.6). После введения последовательной кор- рекции передаточная функция разомкнутой системы Ш(р) принимает вид Щр) - WM %(р). (1.8.11) В качестве последовательной коррекции кроме сигнала, пропорционального ошибке, используется производная ошибки (ПД- регулятор), интеграл от ошибки (ПИ-ре- тулятор), производная и интеграл (ПИД- регулятор). Введение производной в цепь ошибки. Этот случай характеризуется передаточной функци- ей последовательного корректирующего уст- ройства вида кг п 1 + "F' k + 1 W„(p) = к + = кv '-----------. п 7р + 1 Тр +1 (1.8.12) Рве. 1.8.6. Схема включения последовательного кор- ректирующего устройства Рис. 1.8.7. Коррекция введением производной по ошибке Как следует из рис. 1.8.7, введение про- изводной расширяет полосу пропускания сис- темы и обеспечивает опережение по фазе в полосе частот ац - ©2» что при правильном подборе параметров корректирующего звена может увеличить запасы устойчивости системы и даже сделать из неустойчивой системы ус- тойчивую. Введение интеграла в цепь ошибки. Опи- сывается передаточной функцией последова- тельного корректирующего устройства вида И'п(Р) = ^±^ = */> + —• (1.8.13) тр тр Из рис. 1.8.8 следует, что при выборе достаточно большого значения т можно с по- мощью интегральной коррекции увеличить наклон низкочастотной части ЛАХ, не изме- няя значение фазы и амплитуды ЛАХ в сред- нечастотной части, т.е. практически не изме- няя запасов устойчивости системы, увеличить порядок астатизма и повысить точность систе- мы. Введение интеграла и производной в цепь ошибки позволяет использовать свойства дифференциальной и интегральной коррекции одновременно. Передаточная функция после-
118 Глава 1.8. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ довательного корректирующего устройства этого типа имеет вид №п(р)=К + Клр+^-. (1.8.14) Возможны и другие более сложные виды последовательных корректирующих устройств. Параллельные корректирующие устройст- ва. Данные корректирующие устройства реали- зуются путем введения в систему дополни- тельных местных обратных связей (рис. 1.8.9). Здесь параллельное корректирующее устройст- во описывается передаточной функцией И^с(р). После введения параллельной коррекции переда- точная функция разомкнутой системы прини- мает вид H'lGO W„(P) i + W'ocGO И'нСр)’ (1.8.15) В случае выполнения неравенств »1 справедлива приближенная формула при |И,ос(»и'нО'»)| « *> ^1(Р) И'ос(Р) При |И'0с(»И,нО)|» L (1.8.16) Практически приближенные формулы считаются верными в полосах частот, где вы- полняются неравенства Lm[ И^У©) И^(/ш)] > > 20 дБ или Lm[ И^с(/й)) И^(/й))] < -20 дБ. В противном случае следует выполнять уточнен- ный расчет на ЭВМ или пользоваться М- но- мограммой. При выполнении неравенства Lm[ И^с(до) И^(до)] > 20 дБ ЛАХ неизменяе- £(t) Рис. 1.8.9. Схема включения параллельного корректирующего устройства Рис. 1.8.10. Пример коррекции ЛАХ путем введения параллельного корректирующего устройства мой части системы практически полностью определяется видом передаточной функции И^с(р) (при неизменной передаточной функ- ции И^(р)). Это позволяет обеспечить требуе- мый вид среднечастотной части логарифмиче- ской амплитудной характеристики разомкну- той системы. На рис. 1.8.10 приведен один из возможных видов передаточной функции па- раллельного корректирующего устройства (при условии выполнения вышеуказанного неравен- ства) при И^(р) = 1. Эта передаточная функ- ция имеет вид И'осО’) = (1-8.17) ар т.е. И'осйО = (1.8.18) Передаточная функция параллельного корректирующего звена типа (1.8.18) может быть реализована путем введения обратных связей от датчиков скорости и ускорения вы- ходного сигнала. Коэффициенты ант выби- рают исходя из вида желаемой ЛАХ системы. При коррекции с передаточной функцией (1.8.18) получаем систему с желаемой ЛАХ нулевого типа. Чтобы перейти к желаемой частотной характеристике второго типа, можно включить последовательно звену с передаточ- ной функцией (1.8.18) звено с передаточной функцией rip / (rip + 1), тогда получим ат1/>2(тр + 1) tiP + 1 (1.8.19) H'oJP) = и в полосе частот, в которой выполняется не- равенство Lm[ И^(/ш) ^^(/w)] > 20 дБ, полу-
ПОРЯДОК СИНТЕЗА КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ 119 чим ЛАХ, соответствующую желаемой ЛАХ третьего типа (рис. 1.8.10). Для параллельной коррекции можно применять звенья и с другими передаточными функциями. Корректирующие устройства по внешнему воздействию. Путем введения компенсирую- щих сигналов по внешнему воздействию уда- ется теоретически, при определенных услови- ях, свести к нулю ошибки от внешних воздей- ствий. Это свойство называют инвариантно- стью системы по отношению к внешнему воз- действию. Пусть на вход системы через звено с передаточной функцией И^(р) дополнительно вводится сигнал задающего воздействия (рис. 1.8.11). Тогда имеем следующую передаточную функцию замкнутой системы <18-20) или, переходя к эквивалентной разомкнутой системе, получаем ее передаточную функцию W(nx ^^(PW(P) ЛР) 1-Ф(р) \-w^(p)W(pY (1.8.21) Из выражения (1.8.20) следует, что ха- рактеристическое уравнение системы 1 + W(p) = 0 (1.8.22) при введении компенсирующей связи не ме- няется, т.е. коррекция данного вида не влияет на устойчивость системы. Передаточная функ- ция замкнутой эквивалентной системы по ошибке Выбирая, например, И^(р) = получаем систему, инвариантную к входному воздействию. Однако передаточная функция FH(p), как правило, нереализуема. Но можно обеспечить приближенное равенство в рабочей полосе частот, обеспечив в результате частич- ную инвариантность системы. На практике, как правило, в качестве компенсирующей свя- зи выбирают сигнал по первой (а иногда и по второй) производной входного сигнала, т.е. Рве. 1.8.11. Схема включения корректирующего устрой- ства по внешнему воздействию Рис. 1.8.12. Схема включения инвариантной компенси- рующей связи по внешнему возмущению и;(р) = К\Р + К^. (1.8.24) Введением подобного корректирующего звена можно повысить порядок астатизма сис- темы. Введением компенсирующей связи мож- но обеспечить и инвариантность по отношению к возмущающему сигналу ftf). Для системы, структурная схема которой приведена на рис. 1.8.12, имеем передаточную функцию по от- ношению к возмущающему воздействию ф/0»=*<£) = Z F(P) ^(рУ^рУ-^рУ^рУ] 1 + ^(рУ^2(рУ (1.8.25) Условием полной инвариантности по от- ношению к возмущающему воздействию будет Ч'М = ^з(РУ / ^(Р)- (1.8.26) Комбинированный метод коррекции. При комбинированном методе коррекции исполь- зуется одновременно последовательная, парал- лельная коррекции и коррекция по внешнему воздействию. Может также использоваться любая их комбинация. 1.8.3. ПОРЯДОК СИНТЕЗА КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ В НЕПРЕРЫВНОЙ СИСТЕМЕ Из предыдущего следует, что синтез кор- ректирующих устройств следует выполнять в следующем порядке. 1. Построить желаемую асимптотическую логарифмическую амплитудно-частотную ха- рактеристику системы Ьт[1Гж(до)] = 2О18[1Гж(ло)]. 2. Построить асимптотическую ЛАХ не- изменяемой части системы Lm[ Иж(до)], та- ким образом изменив ее коэффициент усиле- ния, чтобы низкочастотная часть ее совпала с низкочастотной частью желаемой ЛАХ.
120 Глава 1.8. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ 3. Путем ввода корректирующих уст- ройств так трансформировать ЛАХ неизменяе- мой части, чтобы она совпала с желаемой ЛАХ. 4. Проверить устойчивость внутреннего контура системы. 5. Путем коррекции асимптотических ЛАХ построить точную ЛАХ системы и соот- ветствующую ей ЛЧХ. После этого уточнить полученные запасы устойчивости системы и ее внутреннего контура. 6. Выполнить анализ синтезированной системы аналитическими методами или моде- лированием на ЭВМ и, если потребуется, уточнить параметры корректирующих уст- ройств. Синтез последовательного корректирую- щего устройства. Для последовательного кор- ректирующего устройства желательно выпол- нение равенства »i(P) = %(Р) ^н(Р), (1.8.27) откуда получаем Wn(p)=W,&)/WM. (1.8.28) Для логарифмических частотных харак- теристик имеем Lm[ И'(до)] = - Ьт[И"н(до)]. (1.8.29) Таким образом, ЛАХ последовательного корректирующего устройства определяется вычитанием ЛАХ неизменяемой части из же- лаемой ЛАХ. Синтез параллельного корректирующего устройства. Рассмотрим структурную схему системы, представленную на рис. 1.8.9. При синтезе параллельной коррекции желательно обеспечить выполнение равенства (Р) =------------------ (1.8.30) l + WOc(p)WH(p)’ l откуда следует, что "н(р) "ж(/0 Вычисление выражения (1.8.31) доста- точно сложно, поэтому часто используют при- ближенный метод. Из выражения (1.8.30) сле- дует, что и'нО) И'жО)» при |И'ж(»И'ос(/о>)| «1, при |И,жОш)И/ос(»|» L На рис. 1.8.10 приведен пример такого приближенного расчета. Сплошной линией показана приведенная к требуемому коэффи- циенту усиления ЛАХ неизменяемой части системы. Линией 6-2-3-4-7-8 показана желае- мая ЛАХ системы. Продолжим асимптоты желаемой ЛАХ влево и вправо от частот со 1 и й)4, как это показано на рис. 1.8.10 штрихпункгирной линией. Линию 1-2-3-4-5 примем за обратную асимптотическую ЛАХ параллельного корректирующего устройства (Р) • Логарифмическую частотную харак- теристику, соответствующую передаточной функции ИосОО Ин(р), найдем, вычитая ЛАХ Lm[ И^(до)] из ЛАХ , т.е. Lm[ И^сСдо) И^Сдо)] = Lm[ И^(до)] - -Lm[»'o’cI0e>)| (1.8.33) ЛАХ, соответствующая Woc(P) ^h(p)> показана на рис. 1.8.10 штриховой линией. Тогда со- гласно приближенному равенству после введе- ния корректирующего звена имеем левее час- тоты ©1 |И/Гж(/й))| « |И/н(/й))| (но по условию приведенная ЛАХ неизменяемой части на низ- ких частотах совпадает с желаемой ЛАХ), пра- вее частоты «4 также справедливо это же нера- венство , но в высокочас- тотной области вид желаемой ЛАХ не влияет практически на динамические свойства систе- мы, и поэтому желаемая ЛАХ может быть вы- брана произвольно. Между частотами coj и й)4 справедливо приближенное неравенство |^ж(»| « т.е. в этой полосе час- тот действительно (1.8.34) Приближение будет грубым в районе частот близких к со j и Ш4, где условие |^н(/<»)И,ос(/и)| »1 не выполняется. На этих частотах следует воспользоваться М-номограммой или выполнить расчеты на ЭВМ. Определение устойчивости внутреннего контура. Нами использовался вариант крите- рия Найквиста для случая устойчивой разомк- нутой системы. Поэтому следует проверить, выполняется ли это условие. С этой целью опять воспользуемся критерием Найквиста. Разомкнутому внутреннему контуру системы соответствует передаточная функция
ПОРЯДОК СИНТЕЗА КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ ш Ин(р) Woc(p)' Но ЛАХ для этой передаточной функции (см. рис. 1.8.10) задается формулой WM] = - -Un^O)} Запас устойчивости внутреннего контура по фазе проверяется на частоте со4, соответст- вующей пересечению ЛАХ разомкнутого внут- реннего контура от нулевых децибел. Это можно сделать, построив ЛФХ разомкнутого внутреннего контура в районе частоты <о4. Именно по этой причине разность наклонов ЛАХ Ьт[И^(до)] и в точке их пересечения на частоте <о4 не должна превы- шать -20 дБ/дек (или возможно -40 дБ/дек при условии, что асимптота с разностью на- клонов -20 дБ/дек близка к частоте <о4). Пример 1.8.1. Рассчитать корректирую- щие устройства для автоматической системы по следующим данным: порядок астатизма г = = 1, максимальная скорость слежения gmax = -0,5 рад/с, максимальное ускорение слеже- ния gjnax = 0,2 рад/с2, максимальная ошибка сшах = 0,003 рад, допустимое перерегулирова- ние Яшах = 30 %, допустимое время переход- ного процесса tn < 1,0 с; передаточная функ- ция неизменяемой части системы имеет вид 00 = pfap + ifop^p + l)' где Т\ = 0,33 с; Т2 = 0,010 с; Т3 = 0,001 с. Для расширения полосы пропускания неизменяемой части системы введем последо- вательное корректирующее устройство с пере- даточной функцией ^п(Р) = (74Р+ 1)/(Т5р+ 1), где Т4 = 0,33 с; Т5 = 0,01 с. Логарифмические частотные характери- стики, используемые при синтезе, приведены на рис. 1.8.13. Теперь рассчитаем вид низко- частотной части желаемой ЛАХ исходя из требований точности. Рабочая частота сор = = £max/£max = °»418 с‘*- Модуль передаточной функции разомкнутой системы при со = сор |ифш )1 = -^- = ——-------417 с"1. 1 ' Л «тах^ ОД- 0,003 Рве. 1.8.13. Пример построения ЛАХ и ЛФХ при расчете корректирующих устройств
122 Глава 1.8. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ Построим на рабочей частоте контроль- ную точку Ар = 53 дБ и выше нее, исходя из требования астатизма, проведем низкочастот- ную асимптоту с наклоном -20 дБ/дек. Отсюда получаем коэффициент усиления разомкнутой системы К - 100. Выберем желаемую ЛАХ системы типа I. Исходя из требуемого времени переходного процесса и величины перерегули- рования выберем частоту среза по кривым (см. рис. 1.8.2), получаем <ос = 12 сч. Изломы же- лаемой ЛАХ на частотах ©2 и юз выберем ис- ходя из заданного перерегулирования о = 30 % по кривой, приведенной на рис. 1.8.4, примем AZ2= 8 дБ, «2 = 6 с'1, ALj = 18 дБ, (03 = 100 с1. В высокочастотной области направим желае- мую ЛАХ по ЛАХ соответствующей передаточ- ной функции й^(р)И^(^) (ломанная 1-2-3-4 на рис. 1.8.11). Желаемой ЛАХ соответствует ломаная 1-5-6-7-8. ЛАХ, соответствующую обратной передаточной функции (р) параллельного корректирующего устройства, получим, продолжив среднечастотные асим- птоты желаемой ЛАХ за точки, соответствую- щие частотам Ш] и 003, откуда находим переда- точную функцию параллельного корректи- рующего устройства »;со>) = °.°ip2(^-p+i \(0 з , 0,01р2(0,01р + 1) (о,167 р-н) Для определения устойчивости внутрен- него контура найдем его ЛАХ путем вычита- ния ЛАХ, соответствующей частотной характе- ристике ^^(/и)), из ЛАХ, соответствующей частотной характеристике И^(/(о)^н(А°)- По- лучаем ЛАХ разомкнутого внутреннего конту- ра, которой соответствует штрихпункгирная линия на рис. 1.8.13. После построения ЛФХ для желаемой ЛАХ и ЛАХ разомкнутого внут- реннего контура находим запасы устойчивости системы Д<р = 60° и внутреннего контура Дфв = 45°. ЙК *(z). Для этого выполняется w-преобра- зование по формуле = r*(z)| 1Л* с последующей подстановкой ЙК =/о*, где со* - псевдочастота. По выражению мо- гут быть построены логарифмические ампли- тудою- и фазо-частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ). Напряду с применением Dz - преобразования для получения ЙК *(z) могут был» использованы и приближенные формулы, позволяющие определить переда- точную функцию дискретной системы непо- средственно по выражению передаточной функции ее непрерывной части. Эти же фор- мулы можно применить и для приближенного вычисления ЛАЧХ и ЛФЧХ дискретных сис- тем, заменяя в них переменную z на е-^ . Благодаря тому, что в низкочастотной области ЛЧХ дискретной разомкнутой системы совпадают с ЛЧХ ее непрерывной части, по- строение ЛЧХ дискретной системы обычно проводят только в высокочастотной области. При этом расчеты могут был» значительно упрощены при использовании приведенных ниже формул: XJS (п\___________юв____________ю в В1 р(1 + Тч+1РУ (1 + Т„р)~ Р ,UUS) i=q+i Пъ2(р) = = (1.8.37) p 1.8.4. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Построение логарифмических частотных характеристик. Логарифмическая частотная характеристика дискретной системы может был» получена по ее передаточной функции Wrtip) = __________fflB p[Tj2P2 +2^ + 1) (1.8.38)
СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 123 гае Tq + 1, Tq + 2, ...» Тп - постоянные време- ни, для которых сопрягающие частоты больше 2/Т0. С использованием таблицы Dz - преоб- разования для системы с экстраполятором нулевого порядка (см. табл. 1.6.2) для этих выражений получим: (1.8.39) л л или, учитывая, что и при /=д+1 /=д+1 Т Tt< < То / 2 cth « 1, имеем 2Т0 где 1 + rf2 + 2г/cos f—г\ Т2_______________ZLIZlI. J э - Т I i г l + d2 -2dcos-£'- ' Т\ l + d2 + 2dcos^-- t2=______________ l + d2 - 2d cos Ti -4§^-fl-</2 +2Wsin^0 711 Tjp (1.8.41) т<? = т^+1+...+тя2 +тд+1т^+2+...+ + Tg+2Tg+i+... или приближенно / м2 (1.8.42) Желаемые частотные характеристики дис- кретной системы. Как и для непрерывной сис- темы, точность дискретной системы определя- ется низкочастотной частью желаемой ЛАХ. Поэтому в силу совпадения ЛАХ непрерывной и дискретной систем на низких частотах низ- кочастотная часть желаемой ЛАХ дискретной системы может быть выбрана так же, как и для непрерывной системы. Допустимое значение периода дискретности Tq, обеспечивающее заданную величину ошибки появляющейся между замыканиями ключа, можно определить
124 Глава 1.8. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ по формулам [22]: для системы первого по- рядка астатизма То £ (1.8.45) 1 &max для системы второго порядка астатизма I Зен г° ъ— I б max Запас устойчивости определяет вид час- тотных характеристик в области средних и высоких частот. Как и для непрерывных сис- тем, запасы устойчивости дискретной системы определяет протяженность участка ЛАХ с на- клоном -20 дБ/дек, пересекающего ось нуля децибел. Для дискретных систем заданное пере- регулирование ст может был» обеспечено, если выполнены два условия [22]: 1) сумма сопрягающих частот, меньших частоты среза (ос, удовлетворяет неравенству (1.8.47) 2) сумма постоянных времени, соответст- вующих сопрягающим частотам, большим частоты среза (ос «<ос, удовлетворяет нера- венству (1.8.46) То 1 1004-сг у л -^- + Т£ S — — > С1-8-48) 2 <ос 200 +ст где ст = 100 % (М - 1); 7) и v постоянные времени сомножителей соответственно знаме- нателя и числителя передаточной функции; = £ Tj . 7=^+1 При решении задач синтеза дискретных систем целесообразно использовать типовые желаемые ЛАХ, построенные для псевдочасто- ты <о* [22]. В табл. 1.8.2 приведены типовые передаточные функции и соответствующие им ЛАХ. 1.8.2. Типовые передаточные функции дискретной и непрерывной систем Тнп Передаточная функция ЛАХ дискретной системы непрерывной системы (Г/ < То / 2) II
СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 125 Продолжение табл. 1.8.2 Тип ЛАХ дискретной системы Передаточная функция непрерывной системы (7} < Го/2) *(' + т1/>) р2П(т'*>+1) /=3 Ряс. 1.8.14. Схема введения коррекции в дискретной системе с помощью непрерывного корректирующего устройства Различие между типовыми ЛАХ для дис- кретных систем наблюдается только в низко- частотной области, поэтому переходные про- цессы для одних и тех же значений перерегу- • лирования ст и частоты среза сос будут для всех типов ЛАХ практически одинаковыми, за исключением времени окончания переходного процесса. Поэтому для оценки качества пере- ходного процесса можно воспользоваться нормированными графиками переходных про- цессов, построенными для ЛАХ типа III при постоянном значении Те (например, 0). Дискретная передаточная функция ра- зомкнутой системы может быть получена из ее частотной характеристики заменой (1-8 49) /о Z + 1 гае z = . Например, для желаемой ЛАХ типа III при Те = 0 она имеет вид 2 k IqJ (1.8.50) Синтез корректирующих устройств дис- кретных систем. Возможности дискретной кор- рекции шире, чем в непрерывных системах. Для коррекции дискретных систем можно использовать все способы коррекции непре- рывных систем, а также новые способы. Как и для непрерывных систем, под коррекцией дискретных систем понимают такое изменение структуры и параметров системы, при котором частотная характеристика неизменяемой части системы приближается к желаемой. Непрерывная коррекция заключается во ведении в непрерывную часть системы после- довательного и параллельного корректирую- щих устройств непрерывного типа (рис. 1.8.14) и выполняется аналогично синтезу корректи- рующих устройств непрерывных систем при- ближением ЛАХ непрерывной части системы к желаемой ЛАХ непрерывной части (см. табл. 1.8.2). Дискретная коррекция выполняется с помощью дискретных корректирующих уст- ройств (рис. 1.8.15). Передаточные функции разомкнутой системы для последовательного корректирующего устройства (рис. 1.8.15, а) имеют вид »'*(z) = <(z)»'h’(z); (1.8.51)
126 Глава 1.8. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ f) Рве. 1.8.15. Схема введешя коррекцжж в дискретно* снсгеме с помощью дискретного корректирующего устройства Рис. 1.8.16. Схема введения коррекции в дискретно* сисгеме.путем введения компенсирующего сигнала для параллельного корректирующего устройст- ва (рис. 1.8.15, б) Г*(х) =-----У"'Z) ;----. (1-8.52) I + ^ocCz^hCz) Синтез дискретных корректирующих устройств удобно восполнять с помощью же- лаемых ЛАХ дискретной системы для псевдо- частоты (см. табл. 1.8.2), используя те же методы расчета, что и для непрерывных систем (см. п. 1.8.6). Коррекция с помощью введения кванто- вания по времени основывается на изменении эквивалентных постоянных времени и показа- телей колебательности непрерывной части системы при квантовании сигналов по време- ни, что следует из выражений (1.8.39) - (1.8.44). Путем надлежащего выбора частоты квантования можно повысить запасы устойчи- вости системы. Коррекция с введением компенсирую- щих сигналов также может осуществляться в дискретной системе. Структурная схема систе- мы с такой коррекцией приведена на рис. 1.8.16. Передаточная функция такой системы имеет вид ф«,) = »<n(z)>rH,(z) + )r;(z))rH,(z) l + ^n’Cz^Z) (1.8.53) а передаточная функция по ошибке Фё(г) = 1-ф’(г) = i + ^n’Cz)^)’ (1.8.54) откуда следует условие инвариантности систе- мы ^k(Z) = K~'(Z). (1.8.55) Расчет дискретных систем с комбиниро- ванным управлением можно вести методами, описанными для непрерывных систем. Ис- пользование комбинированного управления позволяет формировать желаемую ЛАХ основ- ного канала системы с меньшим коэффициен- том усиления, следовательно и меньшей часто- той среза, что позволяет снизить требуемую частоту квантования сигнала по времени. Пример 1.8.2. Выполнить синтез непре- рывного корректирующего устройства для
СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 127 дискретной системы по следующим данным: требуемый порядок астатизма г = 1, макси- мальная скорость входного сигнала gmax. = = 0,3 рад/с, максимальное ускорение gmax. = =0,09 рад/с2, максимальная допустимая ошиб- ка &тах = 0,005 рад; допустимая величина перерегулирования о = 30 %; период дискрет- ности сигнала по времени Tq = 0,08 с; время переходного процесса £ 1 с, передаточная функция непрерывной неизменяемой части системы имеет вид ^н0>) = / , , 4-----------г, где 7\ = 0,125 с, £ = 0,5. Левее частоты среза <вс ЛАХ дискретной системы совпадает с ЛАХ ее непрерывной части, а псевдочастота со* с частотой о, поэто- му желаемую ЛАХ в этом диапазоне частот можно выбирать так же, как и для непрерыв- ной системы. Из выражений (1.8.5) и (1.8.6) находим рабочую частоту (йр и модуль частот- ной характеристики разомкнутой части систе- мы при со = (Ор имеем ®р = Ф33*- = 03 рад/с, &тах К(л°р)|* - в™ =200 с-‘. & max Б max По этим данным иа рис. 1.8.17 построена контрольная точка А*. По табл. 1.8.2 выбираем желаемую ЛАХ второго типа. Желаемую ЛАХ проводим выше точки А*. Частоту среза <вс выбираем из требуемого времени переходного процесса Ап*» и величине перерегулирования по графику (см. рис. 1.8.2), получаем <вс = = 10 с*1. Через проводим асимптоту с на- клоном -20 дБ/дек. В низкочастотной области желаемая частотная характеристика системы (линия 1-2-6-7 иа рис. 1.8.17) имеет вид где К — 200 с"1; 1\ = 5 с; tj = 0,3 с. Для получения заданного переретулиро- вания необходимо, чтобы выполнялось нера- венство (1.8.47): 1__1_ (В pg+ 100 П ’ Г/ а 130 т.е. 3-0,02 <10--- 30 требуемое условие выполнено. Необходимое значение общего коэффициента усиления К = = 200 с*1. Для обеспечения заданного показа- теля колебательности в высокочастотной об- ласти должно выполняться неравенство (1.8.48). Отсюда получаем допустимое значе- ние для суммы постоянных времени, имею- щих значение, меньшее 1 / (йс: riS2.M0=±»=0(07 L vc 200 2000 с. Lm Рис. 1.8.17. Пример построения частотных характеристик при синтезе непрерывного корректирующего устройства в дискретной системе
128 Глава 1.8. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ В высокочастотной области при <ос > > 2 / Tq = 25 желаемую ЛАХ направим по ЛАХ неизменяемой части (с приведением к требуемому коэффициенту усиления), получим передаточную функцию желаемой ЛАХ во всем диапазоне частот (см. рис. 1.8.20, лома- ная 1-2-6-7-4) ***mto= 7^ = 7^ = 667 С’' &max v,UU1j примем К = 1000. Построим ЛАХ неизменяе- мой части системы в низкочастотном диапазо- не псевдочастот, совпадающую с ЛАХ для не- прерывной системы: ) И'ннО’) = . ./ . . V----------rr-f уш 1О,5усо + iM 0,06уш +1) ще — = — = 0,025 с . При таком значении ©4 40 -— требование Те = 0,05 с < 0,07 с выполня- сь ется. ЛАХ нескорректированной системы на рис. 1.8.22 соответствует линии 1-2-3-7-4. За обратную передаточную функцию параллель- ного корректирующего устройства (как и для непрерывной системы) примем ломаную 5-2- 6-7-8, которой соответствует передаточная функция ^oc(P) = 21 1 р —р+1 Vй 4 25<т,/> + 1) />2(0,025р + 1) 25(03р + 1) На рис. 1.8.17 приведены также ЛЯХ, со- ответствующие желаемой передаточной функ- ции и передаточной функции разомкнутого внутреннего контура, из которых следует, что запасы устойчивости по фазе соответственно Дер = 50°, Дср1 = 40°. Пример 1.8.3. Рассчитать передаточную функцию дискретного корректирующего уст- ройства для системы, непрерывная неизме- няемая часть которой имеет передаточную функцию вида ^н(Р) = -I------^7-------г, p(0,5P + ty0fl6p + l) скорректированная система должна удовлетво- рять следующим требованиям: ошибка, при линейном входном воздействии с максималь- ной скоростью (Ощах = 1 рад/с не должна пре- вышать 0,0015 рад, время переходного процес- са должно быть меньше = 1 с при пере- регулировании о £ 40 %; запас устойчивости системы по фазе должен быть не менее 40°; период квантования сигналов по времени То = = 0,01 с. Необходимый минимальный коэффици- ент усиления системы согласно выражению (1.8.10) со* £ 2 / То = 200 с-1. Для построения этой ЛАХ в области вы- соких псевдочастот воспользуемся выражением (1.8.43), получаем <о^1- 0,005уш *)(1 + 0,00285уш*) х х(1-О,ОО285у<о*| <о* > 200 с 1. Отсюда следует вид ЛАХ неизменяемой части дискретной системы во всем диапазоне псевдочастот (с требуемым коэффициентом усиления) »Ф>’) = 1000(1 - 0,005уш*)(1 + 0,00285уш*) х у’ш *(о,5 ую * + 1^0,06 yto * +1) х (1 - O,OO285y<o*j Соответствующие логарифмические частот- ные характеристики для дискретной неизменяе- мой части системы приведены на рис. 1.8.18 (ломаная линия 1-2-8-9-10-11-12). Исходя из требуемой точности и времени переходного про- цесса выберем желаемую ЛАХ для непрерывной системы типа I (см. табл. 1.8.2) с частотой среза сос =10 с’1 и сопрягающими частотами 1 / Т\ = = 0,04 с'1; 1/xi = 2 с’1; 1/Т2 = 40с-1; 1/Т3 =
СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 129 Рис. 1.8.18. Пример построения ЛЧХ при синтезе дискретного корректирующего устройства = оо и коэффициентом усиления К = 1000 с1. Этой ЛАХ соответствует передаточная функция w 1000(03р + 1) р(25р + 1)(0,025р +1) Для построения желаемой ЛАХ в области низких псевдочастот со* « со < 2/ Tq = 200 с*1 используем ЛАХ непрерывной части системы w ил__________1OOO(°.S> + 1) ж W - >(25> + ^0 025> + ,) > откуда согласно табл. 1.6.1 и формуле (1.8.42) получаем для дискретной системы ЗД = 4,44958(z - 0,980211)(0,007955 + г) * (z - l)(z - 0,67032)(z - 0,99960) х (z + 0,8810614) После перехода к псевдочастоте по формуле z = (1 +ХТо/2)/(1 -ХТ0/2) имеем ^ж(>’) = 1(Юо(1 - 0,005/о *^1 + 0,00031648/0 *) х > *(25 /со * + 1)(1 + 0,025332/о *) х (1 + 0,5/о*) Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики системы для этой частотной характеристики приведены на рис. 1.8.18 (ломаная 1-2-4-5-6-7). Обратную час- тотную характеристику параллельного коррек- тирующего устройства определим по тому же методу, что и для непрерывной системы, ей соответствует асимптотическая ЛАХ, обозна- ченная ломанной 13-2-3-4-5-7, / (0’025/° * + О v ' 4010,5/о + 1111 + 0,00015/0 I или при коррекции по скорости / ,4 /о *0,025/О *+ 1) w°c(> ) = -1----. . V----------——+Г• ' ’ 40|о,5/о +1М1+ 0,00015/о ) 5 Зак 1023
130 Глава 1.9. МЕТОД СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ После подстановки Jm* = 200(z - l)/(z + 1) получаем передаточную функцию дискретного корректирующего устройства ^ос(2) = 0,2883784г2 - 0,4806306z + 0J922522 Z2 - 3,845048 • 10" 2 z - 0,9230991 Следовательно, разностное уравнение, которое должно быть реализовано на ЭВМ для вычисления сигнала дискретной параллельной коррекции по скорости, имеет вид Цсор1^^Ы ~ 0,038405i/KOp[(£ - 1) 7q] + + 0,923099wKOp[(* - 2) То] + +0,2788378 x[/fTo] - - 0,480361 х[(Х-1)Т0] + - 0,192252 х[(Х -2)Т0]. Глава 1.9 МЕТОД СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПО ЗАДАННЫМ СОБСТВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ Собственные значения матрицы А систе- мы х = Ах + Ви (19.1) определяют ее динамические свойства в пере- ходном режиме, так как вид переходного про- цесса (для простых собственных значений) определяется выражением хп(Г) = + С2еХ2'+...+Сяех< (1.9.2) где X/ - собственные значения матрицы систе- мы (/ = 1, 2, ..., л). 1.9.1. СИНТЕЗ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ Системы с одним входом. Рассмотрим объект управления, описываемый дифферен- циальным уравнением вида x = Ax + bu(/), (19.3) где А - матрица системы размера п х п\ х - вектор переменных состояния размера п х 1; Ь - вектор управления размера п х 1; u(Z) - скалярное управляющее воздействие. Пусть управляющее воздействие является линейной функцией от переменных состоя- ния, т.е. U = -1х, (1.9.4) где I - вектор размера 1 х /. Тоща уравнение (1.9.3) примет вид х = (А-Ы)х. (1.9.5) Собственные числа матрицы А - Ы , яв- ляющиеся корнями характеристического урав- нения системы (1.9.5), находят из алгебраиче- ского уравнения det(XE - А + Ы) = 0. (1.9.6) Если желаемое положение, корней X/ (/’ = 1, ..., п) на комплексной плоскости зада- но, то по формуле Виета можно найти значе- ния коэффициентов а, характеристического уравнения а&п + -1 + ... + ап = 0. (1.9.7) Приравнивая коэффициенты при одина- ковых степенях X в выражениях (1.9.7) и (1.9.6), получим п алгебраических уравнений для определения п неизвестных коэффициен- тов // (/ = 1, 2, ..., п) обратных связей, при которых обеспечивается заданное значение корней характеристического уравнения (1.9.6). Доказано [2], что система из п алгебраических уравнений для определения коэффициентов // всегда имеет единственное решение, если сис- тема (1.9.3) полностью управляема. Пример 1.9.1. Найти закон управления для следящей системы, структурная схема ис- полнительного устройства которой представ- лена на рис. 1.9.1. Здесь и - входное управ- ляющее воздействие; JQ — а - угол поворота исполнительного вала; х2= а - частота вра- щения исполнительного вала; = /я - сила тока в якоре исполнительного двигателя по- стоянного тока; Мъ - возмущающий мо- мент. Желаемые значения собственных значе- ний матрицы замкнутой системы Xj = -2,5 + + >7100-6^5 ; Х2 = -2,5 -J<J100-625 ; Х3 = = -200. Управляющим сигналом является на- пряжение и на якоре исполнительного двига- теля. Приведенной структурной схеме соответ- ствует система дифференциальных уравнений вида Х1 =х2;
СИНТЕЗ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ 131 Ряс. 1.9.1. Структурная схема нсполшггелыюго устройства Х2 = 0Дх3 + 0,005Мв; D(k) = det(XE - А + BL) = х3 = -8ОООХ2 - 204х3 + 204м. Значения матриц А и В для этой системы X -1 = det 0 X 0 -ОД 200/1 8000 + 200/2 X + 204 + 200/3 200 Выясним, управляема ли Для этого вычислим ранг [в » АВ » А2В]. Имеем система, матрицы гапк[в > АВ j А2в] = ' 0 0 20,0 = rank 0 20,0 -4080 = 3, 204 -40800 8123200 так как det[B > АВ ! А2В| # а Рассматриваемая нами система управляема, следовательно, с помощью соответствующего выбора элементов матрицы обратных связей L — [Zi h 'з1 собственные значения матрицы А - BL можно сделать равными любым напе- ред заданным числам. Характеристическое уравнение для заданных собственных значений матрицы А - BL имеет вид D(k) = (X - М) (X - Хз) (X - Х3) = = X3 + 205Х2 + 1100Х + 20 000. Общий вид D(k) ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ /1, /2 и /3 задается выражением = X3 + (204 + 200/3)Х2 + (800 + 20/г)Х + + 20,0/1. Приравнивая значения коэффициентов при одинаковых степенях в выражениях най- денного и желаемого характеристических уравнений имеем /3 = 1 / 200; /2 = 15,0; = 1000,0. Закон управления системой имеет вид и = -(1000,00X1 + 15,00X2 + 0,005х3). Матрица замкнутой системы 0 0 А = -200000 1 0 о ОД -11000 - 205 Структурная схема построенной системы приведена на рис. 1.9.2. Задача синтеза регуля- тора с заданным расположением собственных значений его матрицы А решена. Системы со миогими входами. Объект управления со многими входами описывается уравнением х = Ах + Ви, (1.9.8) где х и А имеют тот же смысл, что и в п. 1.9.2; В - матрица управления размера п х т\ и - вектор управления размера т х 1. Будем считать, что система (1.9.8) явля- ется полностью управляемой. Пусть координа- ты вектора управления являются линейными функциями переменных состояния, т.е. зада- ются выражением 5*
132 Глава 1.9. МЕТОД СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ U = -Lx, (1.9.9) гае L - матрица обратных связей размера т х х п. Поставим задачи синтеза модального управления следующим образом: найти такие значения коэффициентов обратных связей (т.е. элементов матрицы L), чтобы корни характег ристического уравнения замкнутой системы x = (A-BL)x (1.9.10) имели заданные значения Xi, Ха- рактеристическое уравнение для замкнутой системы имеет вид det(XE - А + BL) = аоХл + а\№ ~1 + ... + ап = 0, (1.9.11) гае коэффициенты До, ау ..., ап могут быть найдены из известных значений корней Xj, Х2, ..., Хл по теореме Виета. Приравнивая численные величины ко- эффициентов Oq, ..., ап, вычисленные по за- данным собственным значениям матрицы А - - BL, к их выражениям, зависящим от эле- ментов матрицы L, получим систему уравне- ний, из которых находим требуемые значения коэффициентов обратных связей 1д от у-й пе- ременной состояния к Z-й координате управ- ления. В отличие от скалярного управления, в данном случае число уравнений меньше, чем число неизвестных, и ряд коэффициентов обратных связей можно назначать произволь- но исходя из возможной физической реализа- ции. 1.9.2. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ В СИСТЕМАХ СО МНОГИМИ ВХОДАМИ Если система (1.9.1) имеет нескольких входов, то управление (1.9.4) имеет вид (1.9.9), гае неизвестная матрица обратных связей L имеет т - строк и л - столбцов, т.е. содержит т х п элементов. Из условия равенства коэф- фициентов характеристического многочлена имеем л уравнений. Таким образом, из л уравнений нужно определить т х л неизвест- ных. Лишние (т - 1) х л неизвестных можно назначить произвольно или на значения эле- ментов матрицы L наложить (т - 1) х л до- полнительных условий. Эти условия могут быть различными. Мультипликативное представление матри- цы коэффициентов обратных связей. Напишем матрицу L в виде произведения вектора- столбца г размера т х 1 на вектор-строку q размера 1 х л (т.е. имеем л + т неизвестных) L = rq. (1.9.12) В этом случае уравнение для определе- ния собственных значений А - BL замкнутой системы имеет вид det(XE - А + Brq) = 0, (1.9.13) или det(XE - А + bq) = 0, (1.9.14) где b = Вг - вектор размера л х 1. Уравнение (1.9.14) соответствует разомкнутой системе с одним входом
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ 133 х = Ax+bq. (1.9.15) Значение вектора г произвольно, необхо- димо только обеспечение условия полной управляемости, т.е. rankjb • Ab • An-1bj = п. (1.9.16) Таким образом, для синтеза управления в сис- теме со многими входами необходимо: выбрать вектор г размера т х 1. Этот выбор определяет глубину обратных связей по каждому входу. Если подача сигналов на ка- кой-либо вход системы нежелательна, то соот- ветствующие т координат вектора г можно положить равными нулю (полученная система с вектором управления Ь = Вг должна быть полностью управляемой, т.е. критерий (1.9.16) должен соблюдаться); найти элементы матрицы q так же, как для системы с одним входом (см. п. 1.9.2); вычислить матрицу коэффициентов об- ратных связей. Введение обратных связей по входу, соот- ветствующему одному столбцу матрицы управле- ний. Если выбранный у-й столбец by матрицы управления В соответствует полностью управ- ляемой системе, т.е. rankfb • Ab • An-1b| = л, то, положив обратные связи по остальным входам равными нулю, можно рассчитать мат- рицу коэффициентов обратных связей L. Обеспечение пропорциональности элемен- тов строк матрицы BL.'Если в матрице BL обеспечить линейную зависимость строк, то путем умножения строк этой матрицы на по- стоянные числа и сложения результатов (что не изменяет значения определителя матрицы) матрицу ХЕ - А + BL можно привести к ви- ду, когда элементы 1у матрицы коэффициентов расположены лишь в одной строке. В этом случае в выражение det(XE - А + BL) неиз- вестные 1у входят лишь линейно, т.е. для вы- числения коэффициентов обратных связей получаем систему линейных уравнений. Приведение матрицы системы к диаго- нальному виду. Известно [16}, что всякую мат- рицу А с помощью невырожденного линей- ного преобразования, задаваемого матрицей Т, можно привести к Жордановой форме, т.е. если в уравнении х = Ах+Ви (1.9.17) положим х — Tz, где Т - некоторая невырож- денная матрица, то получим z = T"1A’I^ + T"1Bu. (1.9.18) Можно всегда найти такую матрицу Т, что J = Т-1АТ имеет вид Ji: о ;...; о • ... • ... ' о • о г... • (1.9.19) где J/ - есть клетки Жордана вида II *4* X, 1 ... о‘ 0 X/ ... 0 0 0 ... X/ • Здесь X/ - есть собственное значение матрицы А, причем собственные значения матриц А и Т-1АТ одни и те же. Таким образом, получаем к независимых линейных дифференциальных уравнений вида: Zi = XZi +Z2 +£11^1 + ^2и2+---+^1жиж^ Z2 = kZ2 +Z3 +^1«1 +^2и2+-"+^жиж^ Zr = kZr +ЬпЩ + br2U2 +.. •+Ьтит* (1.9.20) где by - элементы матрицы Т-1В. Для каждого уравнения системы (1.9.20) можно найти такие обратные связи вида = -(/yiZl + IjlZl + ••• + /jrZr), j = 1, 2...m, (1.9.21) что матрица полученного нового линейного дифференциального уравнения будет иметь любые наперед заданные собственные числа. Таким образом, для каждой клетки Жордана задачу можно решать, автономно. В том случае, когда собственное значение X матрицы А простое, то клетке Жордана со- ответствует одно дифференциальное уравнение первого порядка вида Ъ = (1.9.22) Если требуемое значение собственного значения есть X/, то управление по желаемо- му расположению корней характеристического уравнения замкнутой системы имеет вид
134 Глава 1.9. МЕТОД СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ X/ — X* =------~ — Zt. ьи (1.9.23) Следовательно, если требуется изменить только одно собственное значение матрицы А, то (в случае простых собственных значений) уравнение (1.9.17) с помощью невырожден- ного линейного преобразования х = Tz нужно привести к диагональному виду, а затем по выражению (1.9.23) вычислить требуемое управление. Затем с помощью обратного пре- образования х = T-1z найти управление в зависимости от значений переменных состоя- ния Xj — X/ ~ Uj=--,-~-L±Jlkxk. (1.9.24) bij к=\ При управлении (1.9.24) изменится лишь одно собственное значение матрицы замкну- той системы, а остальные останутся неизмен- ными. Аналогичные выражения можно полу- чить и для кратных собственных значений, например, для клетки Жордана второго по- рядка имеем Z/ = Х/г/ +Zt+i + bgUj; (1.9.25)- Z/+i = X/Z/+1 Если желаемые величины собственных значений матрицы системы после замыкания обратных связей равны Xj и Х2 » то’ выбирая управление «/=-(//*/+ //+1^ + 1), (1.9.26) имеем = (Х/ - bylfjzi +(1 - fy6+i)*/+b (1.9.27) Ъ+1 =-^/+ijto +(^/ -bt+ijh+ifa+i- Отсюда получаем выражение для характери- стического уравнения D(X) = X2 +^/+ijZ/+i + btjh - 2Х/)х + + [х2 -Х/^7/ +?/+iZ/+i + Af+1,//)]. (1.9.28) Приравнивая коэффициенты при одина- ковых степенях X/ полученного выражения и выражения для желаемых собственных значе- ний получаем систему уравнений для опреде- ления неизвестных коэффициентов обратных связей byh + bt+ijl^i = 2Х/ - Xi - Х2; (1.9.29) (?/+1 - X/d^k - X/?/+1j//+i = XjX2 - X2. В результате имеем Z1 = [х? - ХУ(Х! - Х2) + ; Z2 = [Цх, + k2)btj - У^Ьу - XjX2/ty + + 2X/?/+ij +Х2)д/+1уУ?/21 у . Последовательно перемещая собственные значения матрицы системы в желаемые поло- жения, можно итерационным путем решить задачу желаемого размещения полюсов систе- мы. Обеспечение минимальной зависимости желаемых значений полюсов системы от возму- щений, вызванных отклонением значений эле- ментов матриц А и В от номинальных. Для за- данных одномерной или многомерной систе- мы (1.9.1) и желаемого расположения полюсов замкнутой системы рассчитывается матрица L коэффициентов обратных связей такая, что система в замкнутом состоянии при u = -Lx имеет желаемые полюса. Другими словами, собственные значения матрицы А - BL замк- нутой системы должны быть равны желаемым полюсам системы (с точностью до порядка следования). Для системы с несколькими вхо- дами применяется алгоритм, описанный в работе Kautsky, J. and N. К. Nichols, "Robust Pole Assignment in Linear State Feedback," Int. J. Control, 41 (1985), pp. 1129 - 1155. Этот алго- ритм использует дополнительные степени сво- боды для того, чтобы найти решение, мини- мизирующее чувствительность значений полю- сов замкнутой системы к возмущениям эле- ментов матриц А и В (т.е. отклонениям их значений от номинальных). Таким образом, применение данного алгоритма обеспечивает малую зависимость решения задачи из-за от- клонения исходных данных от номинальных значений и весьма полезно при численных расчетах. Данный алгоритм рекомендуется применять и для систем с одним входом. При решении задач высокого порядка некоторое желаемое размещение полюсов системы может потребовать очень больших значений коэффи- циентов обратных связей. Проблемы чувстви- тельности, связанные с большими значениями коэффициентов обратных связей, требуют
УПРАВЛЕНИЕ НУЛЯМИ И КОЭФФИЦИЕНТАМИ УСИЛЕНИЯ 135 особого внимания при назначении желаемых значений полюсов системы. В работе Laub, А. J. and М. Wette, Algorithms and Software for Pole Assignment and Observers, UCRL-15646 Rev. 1, EE Dept., Univ, of Calif., Santa Barbara, CA, Sept. 1984 изложены результаты числен- ного тестирования задачи. Этот алгоритм можно использовать также и для расчета коэффициентов обратных связей наблюдателя при оценивании вектора пере- менных состояния многомерной системы по- сле транспонирования матрицы А и замены матрицы В на С1* (см. 1.11). Алгоритм приме- ним как к непрерывным, так и к дискретным системам. Пример 1.9.2. Выбрать коэффициенты обратной связи для системы управления двух- звенным манипулятором с двумя управляю- щими воздействиями, описываемой системой дифференциальных уравнений вида Х1 =х2; Х2 = -4X2 + 4х4 + 200«i - 200M2J *3 = х4; Х4 = 4х2 “ 6х4 - 200Ui + 300l/2- Желаемые величины собственных значе- ний матрицы замкнутой системы: Х^ = Х2 = = -10; Х3 = Х4 = -1ОО. Для заданного примера матрицы А и В имеют вид: Из условия Aj = А — BLj = получаем L1 0 10 0 0 -100 о о 0 0 0 1 0 0 0 -100 0 1,48 0 1 0 1 0 0,98 На втором этапе выбираем матрицу об- ратных связей из условия равенства собствен- ных значений первой подсистемы Xj = -10; Х2 = -100. Синтез первой подсистемы выполняем на втором этапе из условия 0 1 0 0 -1000 -по 0 0 А2 = Ai - BL2 = 0 0 0 1 0 0 0 -100 В результате получаем L2 = 15 0,06 10 0,04 0 О' 0 0 Третий этап заключается в синтезе зако- на управления для подсистемы х3, Хд. Из ус- ловия 0 10 0 0-404 0 0 0 1 0 4 0 -6 0 0 200 - 200 0 0 - 200 300 Характеристическое уравнение для за- данных значений корней замкнутой системы имеет вид А 3 = А2- BL3 0 1 0 0 -1000 - -100 0 0 0 0 0 1 0 0 -1000 -110 получаем L3 = 'о 0 -° 0 10 од' 10 од • Окончательно имеем D(k) = X4 + 0,22Х3 + 0,141X2 + 0,00022Х + + 0,000001. Вычислим требуемые значения элементов матрицы обратных связей L. На первом этапе синтеза вычислим об- ратные связи из условия развязки систем с координатами Xi, х2 и х$, х± Выбираем L = Lj -Ь L2 L3 = 15 10 1,54 10 1Д 1,04 10 1,08 т 61 62 Аз 64 u = -Ljx = - LZ21 *22 *23 *24 J 1.9.3. УПРАВЛЕНИЕ НУЛЯМИ И КОЭФФИЦИЕНТАМИ УСИЛЕНИЯ В ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЕ Корни характеристического уравнения (собственные значения матрицы системы по- люса передаточной функции) определяют вид переходных процессов в системе. Результат приложения к системе внешних воздействий
136 Глава 1.9. МЕТОД СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ определяется не только полюсами, но и нуля- ми соответствующей передаточной функции. Так, для того чтобы внешние воздействия не влияли на систему (система была инвариант- ной к данному внешнему воздействию), нужно обеспечить равенство нулю передаточной функции по этому воздействию. Если внешнее воздействие описывается функцией типа многочлен, то чтобы ошибка системы в уста- новившемся режиме была равна нулю, переда- точная функция по ошибке по отношению к этому воздействию должна иметь нуль в нача- ле координат кратности на единицу выше сте- пени многочлена (система должна обладать свойством астатизма). Таким образом, для обеспечения выполнения системой заданных свойств необходимо управлять размещением не только полюсов, но и нулей передаточной функции. Пусть система описывается векторным линейным дифференциальным уравнением х = Ах+Ви, (1.9.31) а заданное положение собственных значений матрицы А (корней характеристического урав- нения) обеспечивается путем введения обрат- ных связей с матрицей L, кроме того, в закон управления введем слагаемое, пропорциональ- ное входному воздействию g, т.е. U = -Lx + Mg, (1.9.32) ' где М есть матрица размера т х I коэффици- ентов при входном воздействии; g - вектор размера / х 1 скалярных входных воздействий. В этом случае уравнение, описывающее динамику замкнутой системы, принимает вид х = (А - BL)x+ Mg. (1.9.33) Так как матрица М не входит в матрицу А - BL замкнутой системы, то значения ее элементов не влияют на корни ее характери- стического уравнения. Преобразуем уравнение (1.9.33) по Лап- ласу, получим (рис. 1.9.3) Х(р) = (рЕ - А + BL)-1MG(p). (1.9.34) Матрица передаточных функций системы в соответствии с правилом обращения матриц записывается в виде W(p) = (рЕ - А + BL)“1М = М, (1.9.35) где D(p) = det(pE - А + BL), Н(р) - матри- ца размера п х л, составленная из многочле- нов - алгебраических дополнений матрицы рЕ - А + BL. Из выражения (1.9.35) следует, что мат- рица М не влияет на расположение полюсов передаточной функции, но определяет поло- жение ее нулей. Вычислим передаточную функцию от j’-ro входа системы до /-го ее выхода 1 п = -Щр) Е <L9-36> Многочлены можно представить в виде Hik&) = Ьикр* -1 + h^kP^ ’2 + + ... + hnik. (1.9.37) где коэффициенты h\fa kith ^nik опреде- лены после выбора желаемых собственных значений матрицы А - BL. Таким образом, многочлены, располо- женные в числителе выражения (1.9.36), име- ют вид ₽1//РЛ1 +₽2//РЛ~2+-•+₽«// = п п = ^JhikmkjPr'ik +^Ь21кГПуРПа~2+' -+ к=\ *=1 + ^hnlkmkj' (1.9.38) к=\ Рис. 1.93. Структурная схема системы при управлении нулями передаточной функции
УПРАВЛЕНИЕ НУЛЯМИ И КОЭФФИЦИЕНТАМИ УСИЛЕНИЯ 137 Значения коэффициентов ...» можно вычислить по заданным нулям переда- точной функции с помощью формул Виета. Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной р, вели- чины элементов j-ro столбца матрицы М можно вычислить, решая систему из п алгеб- раических линейных уравнений hri\mv + + ... + = pwy, j = 1, 2.../; г = 1, 2..п. (1.9.39) Аналогично можно вычислить и элемен- ты других столбцов матрицы Н. Если матрица = Нг является выро- жденной, то система уравнений (1.9.39) не имеет решения. В этом случае необходимо изменить требуемые значения корней характе- ристического уравнения матрицы А - BL и нулей желаемой передаточной функции так, чтобы обеспечить det(Hr) # 0. Если число входных сигналов равно т размерности вектора управления и, то матрица М является квадратной размера т х т. В том случае, когда матрица М является, кроме того, невырожденной, от разомкнутой системы можно перейти к эквивалентной ей замкнутой системе (рис. 1.9.4) х = Ах + BM^g - M^Lx). (1.9.40) Система может быть сделана замкнутой относительно части компенсирующих сигналов ту если число входных сигналов г больше размерности вектора управляющих сигналов и если в матрице М существует минор порядка ту не равный нулю. Из сказанного следует, что для синтеза замкнутой системы с заданным расположени- ем нулей и полюсов передаточной функции необходимо: рассчитать матрицу обратных связей L, при которой обеспечивается требуемое распо- ложение полюсов замкнутой системы; рассчитать столбцы матрицы М компен- сирующего сигнала по управляющему воздей- ствию; если матрица М квадратная и det(M) # 0 (в случае равенства числа входных и управ- ляющих воздействий), то перейти к эквива- лентной замкнутой системе (1.9.40). Пример 1.9.3. Рассчитать коэффициент усиления в следящей системе, рассмотренной в п. 1.9.2. В системе требуется обеспечить ас- татизм первого порядка по отношению к управляющему воздействию и астатизм вто- рого порядка к возмущению. Выходным сиг- налом является переменная Хр Дифференциальное уравнение объекта управления имеет вид *1 = х2; х2 = ОД%з 4- 0,0005Л/в; ХЗ = -8000х2 - 204хз 4- 2001/р После замыкания обратных связей мето- дом, рассмотренным в примере 1.9.2, получа- ем дифференциальное уравнение замкнутой системы Xi =х2; х2 = OJX3 4- 0,0005g2 4- 0,0005А/в; Хз = -200000X1 ~ 11000х2 - 205Хз 4- 200мр Собственные значения матрицы полу- ченной замкнутой системы А-! = -2,5 + >793,75; Х2 = -2,5->793,75; = -200. Полагая U\ = m\g\ + т^2 и преобразуя уравнение системы по Лапласу, получим рХ1(р) - Х2(р) = 0; рХ2(р) - олХ3(р) = 0,0005 С?г(/>) + + 0,0005Л/в(р); Рис, 1.9.4. Эшмле|гпш1 структурны схем, замкнуто* системы
138 Глава 1.9. МЕТОД СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Рис. 1.9.5. Структурные схемы синтезированных систем: а - по разомкнутой схеме; б - по замкнутой схеме 200 000X10») + 11 000Х2(р) + + (205 + р)Ху(р) = 2QQm\G\(p) + + 200т2Сг2(Р), откуда xt(p) = Так как в передаточной функции по от- ношению к возмущающему воздействию име- ется ноль первого порядка, то система облада- ет астатизмом по отношению к возмущению Л/в. Чтобы обеспечить астатизм второго по- рядка по отношению к возмущающему воз- действию, положим 20т\ t X “з--------2------4------------<?1 (Р) + р5 + 205/Г +11 ОООр + 200000 20ш2 _ . ч “5--------г-------(?) + / +205/Г +11 000Р + 200000 р(205 4-/>)р,0005 м р3 4-205р2 4-11 000/> 4-200000 В Для того чтобы система обладала аста- тизмом по отношению к управляющему воз- действию, необходимо, чтобы в передаточной функции замкнутой системы по отношению к управляющему воздействию коэффициенты многочленов при нулевой степени переменной р были одинаковы, т.е. 20mj = 20 000, откуда т\ = 1000. (?2(р) = - 0,0005 20т2 рМъ(р), тогда получим *1(Р) = 200000 _ . . —з------2----------------^1 + р3 + 205р2 + UOOO/J +200000 0,1025/>2 1Z , ч “Ч--------S~-------------------Л/ в (р) • р3 + 205р2 + ИОООр + 200000 Требуемые показатели качества системы обеспечены. Структурные схемы синтезиро- ванных следящих систем приведены на рис. 1.9.5.
УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЯХ 139 1.9.4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЯХ Астатическое регулирование обеспечива- ют введением в цепь обратной связи, соеди- няющей регулируемую координату с точкой приложения внешнего воздействия интегри- рующего звена. Рассмотрим полностью управляемую сис- тему х = Ах + Ви(0, (1.9.41) где А, В - постоянные размера п х п и п х т матрицы; х - вектор переменных состояния размера л х 1; и(/) - вектор управления раз- мера т х 1. В системе требуется обеспечить астатизм по г переменным состояния. В рабо- тах [1, 5] доказано, что эта задача разрешима в случае, когда г £ т. Введем в рассмотрение вектор z размера г х 1, определяемый уравне- нием Z = Тх, (1.9.42) me Т - постоянная матрица размера г х л, формируемая из строк единичной матрицы Е размера л х л, определяемых переменными состояния О* = 1» 2, ..., г), для которых должно быть обеспечено астатическое регули- рование. Объединим (1.9.41) и (1.9.42) в одно уравнение x = Ax + Bu(f), (1.9.43) где - вектор состояния и соответствующие матри- цы расширенного объекта. Будем искать регу- лятор для расширенного объекта в виде х(0 i(7) u(/) = -[L0C |ЬИ] (1.9.44) Тогда уравнение замкнутой системы бу- дет иметь вид x = (A-B[Loc !Ьи])х = Ах, (1.9.45) где матрица системы А имеет вид А А - BL0C j - BL}| —Y"—1—0— (1.9.46) В работе [13] доказано, что для того что- бы поместить корни характеристического уравнения замкнутой системы в заданные по- ложения, необходимо и достаточно, чтобы расширенная система (1.9.45) была полностью управляемой и матрица Ьи имела бы ранг г. Пусть система с матрицей А имеет собст- венные значения Xi, Тогда, как это следует из выражения (1.9.43), матрица А бу- дет иметь собственные значения X}, Х2, ..., Хл, О, 0, ..., 0. Пусть желаемые значения собствен- ных значений матрицы замкнутой системы (1.9.43) равны Хь Х2, Хл, Хл + ь Хл + г Представим вектор управления в виде суммы u(0 = Ui(0 + и2(0- (1.9.47) С помощью управления U} перемещаем л собственных значений матрицы А, а с помо- щью управления U2 перемещаем собственные значения матрицы А, равные нулю. Вектор Ui(0 будем определять из уравнения Uj = -[L ; о] х(/), (1.9.48) где матрица L имеет размер т х г. Если под- ставить (1.9.47) и (1.9.48) в уравнение (1.9.43), то получим х = AiX + Ви2(0, (1.9.49) где (1.9.50) Характеристическое уравнение для мат- рицы (1.9.50) имеет вид det(XEn - А + BL) det(XEr) = 0, (1.9.51) т.е. управление Щ изменяет только собствен- ные значения матрицы А. Матрицу L, с по- мощью которой решается эта задача, можно найти с помощью описанных выше методов. Управление 112» сдвигающее г нулевых собственных значений матрицы расширенной системы, задается выражением [13] и2(0 = L„T(A - BL)”1 ; L„] х(/). (1.9.52) Объединяя соотношения (1.9.48) и (1.9.52), находим выражение для искомого управления u(/) = -[b - L„T(A - BL)”1 ! L„ ]x(0. (1.9.53) Матрица Ljj коэффициентов интеграль- ных обратных связей определяется по формуле I* = №(H№)-1D, (1.9.54)
140 Глава 1.9. МЕТОД СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Рис. 1.9.6. Структурная схема синтезированной системы гае Н = Т(А - BL) 1В; (1.9.55) D - любая матрица размера г х г, г собствен- ных значений которой равны желаемым собст- венным значениям замкнутой системы. Пример 1.9.4. Найти закон управления для следящей системы, рассмотренной в при- мере 1.9.2, причем требуется обеспечить аста- тизм второго порядка по отношению к управ- ляющему воздействию замкнутой системы.' Желаемые положения корней замкнутой сис- темы Н = -Т(А - BL) *В = = -[1 О 0] 11 200 1,0 0 205 20000 0 - 1 0,1 20000 0 х 0 X о о 200 = +0,001. Pl = -2^+>7w5; Р2 = -2Л - j ^93,75; Из выражения (1.9.54) имеем РЗ = -200; р4 = -5. Введем дополнительную переменную со- стояния Z = Хр Тоща уравнение расширенной системы будет иметь вид *1 = х2; х2 = ОД*з; ХЗ = -8000х2 - 204хз + 200м; х4 =хР Матрица L для изменения собственных значений матрицы А найдена в примере 1.9.2, L = [1000 55 0,0051. Выберем матрицу D = - 5 (в нашем примере это скаляр). Так как астатизм вводит- ся по координате Хр то матрица Т имеет вид Т = (1 0 О]. Тогаа согласно (1.9.55) I* = HT(HHT)-1D = 5000. Окончательно в соответствии с выраже- нием (1.9.53) получаем u(0 = [Ь - LHT(A - BL)’1 ; Ьи х(/) = = -[775 3,75 -0,02 5000] *1 х2 х3 *4. Структурная схема системы приведена на рис. 1.9.6. 1.9.5. УПРАВЛЕНИЕ ПО ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Дискретная линейная стационарная сис- тема описывается векторным уравнением х[£ + 1] = Ах[£] + Ви[£]. (1.9.56)
УПРАВЛЕНИЕ ПО ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ 141 Так же, как и для непрерывной системы, мо- дальное управление здесь заключается в пере- мещении собственных значений матрицы сис- темы А размера л х л в заданные положения путем введения линейных обратных связей вида и[Лг] = -Lx[Ar], (1.9.57) гае элементы матрицы L размера т х л есть коэффициенты обратных связей. Собственные значения матрицы А - BL замкнутой системы х[Аг + 1] = (А - BL)x|Ar] (1.9.58) после выполнения синтеза системы по задан- ному расположению полюсов будут равны желаемым величинам. Методы решения задачи определения управления для дискретной системы абсолют- но идентичны изложенным выше методам для непрерывной системы. Пример 1.9.5. Найти закон управления для дискретной автоматической системы (рис. 1.9.7). Разностные уравнения, описывающие динамику объекта управления, имеют вид: *1[Аг + 1] = Xi[Ar] + 0,0461х2| Аг] + + 2,05 IO 5 х3|Аг] + 9,65 • 10 5 и]Аг]; х2|Аг + 1] = 0,835аг2[Аг] + + 4,18 • 10-4х3[Аг] + 4,11 • IO 31/[Аг]; х3|Аг + 1] = -33,42X2]Аг] - - 166,Зх3]Аг] + 8,35 • Ю1 и[Аг]. Желаемые значения собственных значе- ний матрицы замкнутой системы равны Z1 = = 0,8; Z2 = 0,7; Z3 = 0,6. Значения матриц А и В системы 1 0,0461 0 0,835 0 -33,42 2,05 • 10' 5 4,18 10"4 -166,6 ; в = 9,65 • 10"5 4Д110"3 8,35-10"1 Выясним, управляема ли данная система. Для этого вычислим ранг матрицы управляе- мости rank!В ; АВ ; А2в] = 3, т.е. данная система управляема. Характеристи- ческий многочлен для заданных собственных значений имеет вид D(z) = (z - Zi) (z - Z2) (z - Z3) = = Z3 - 2,lz2 + l,46z - 0,336. Общий вид характеристического много- члена замкнутой системы для произвольных значений матрицы L коэффициентов обратных связей задается выражением Z -1 + 9,65-Ю’5 Zj D(z) = det(zE - А + BL) = det 4,11-10’^ 835-10’1 Zi -0,0461-9,65-10’5 Z2 Z-0,835 + 4,1 l-Ю’3 Z2 33,42 +8,35-Ю"1 Z2 - 2,05-10’5 +9,65-10’5Z3 - 4,18-Ю’4 + 4,1HO"3Z3 Z +166,6 + 835-10-1Z3 = Z3 + (164,75 + 0,000iZi + 0,0041Z2 + 0,835Z3)z2 + (- 0,3048 + 0,0162Zj + 0,681Z2 - l,669Z3)z + + (139,097 + 0,018^ -0,6851Z2 +0,8346Z3). Рис. 1.9.7. Структурная схема исходной системы
142 Глава 1.10. УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ Рис. 1.9.8. Структурная схема синтезированной системы Приравнивая значения коэффициентов при одинаковых степенях переменной z ис- ходном и желаемом в характеристических многочленах находим коэффициенты обрат- ных связей 4 = 0,6968; /2 = -39,66; /3 = - 199,6. Структурная схема синтезированной сис- темы приведена на рис. 1.9.8. Глава 1.10 УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ КАЧЕСТВА 1.10.1. ВИД КРИТЕРИЯ КАЧЕСТВА СИСТЕМЫ За общее выражение критерия качества примем интеграл от квадратичных форм пере- менных состояния и управляющих воздейст- вий вида Т J(T) = |[хт(Г) Ф(Г) х(Г) + ит(Г) Т(Г) ll(f)pf + zo + хт(Т)Фтх(Т), (1.10.1) где х(1) - вектор размера п х 1 переменных со- стояния системы; и(/) - вектор размера m х 1 управляющих сигналов; Ф(/)» Фт - положи- тельно определенные матрицы размера весо- вых коэффициентов при переменных состоя- ния; Т(/) - неотрицательно определенная мат- рица весовых коэффициентов при управляю- щих сигналах. Весовые коэффициенты учитывают вели- чину вклада каждого слагаемого в значение критерия качества. Выбор весовых коэффици- ентов является самостоятельной сложной зада- чей и обычно назначается исходя из физиче- ских соображений и затем уточняется путем последовательного решения задачи оптимиза- ции итерационным путем. Весовые коэффици- енты имеют такие размерности, которые обес- печивают одинаковую размерность каждого слагаемого в критерии качества. Задача синтеза управления заключается в определении управления и = и[х(/)1 в линей- ной системе, описываемой дифференциаль- ным уравнением вида х = А(/)х + B(/)u(0, (1.10.2) где А(0 -матрица системы размера п х п\ В(0 - матрица управлений размера m х п. 1.10.2. СИНТЕЗ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ Пусть объект, описываемый уравнением (1.10.2), является полностью управляемым и требуется найти оптимальное управление, ми- нимизирующее критерий качества (1.10.1). При выполнении ограничений, наложенных выше на матрицы А(/), В(/), Ф(0, Фт и ^(0, существует положительно определенное реше- ние К(/) матричного дифференциального уравнения вида -^ = Ат(/)К + КА(0 + Ф(/)- at - КВ(г)Т -1 (г)Вт (/)К, (1.10.3) для которого выполняется граничное условие К(7) = Фт. (1.10.4) Докажем это положение. Запишем очевидное равенство
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 143 хт(Т) Фтх(Т) = хт(Т) К(Т) х(Т) = = хт(/0)К(/0)х(/0) + Г + /^[хТ(ПК(Ох(о]л = *о = хт(/0)К(/0)х(/0) + + J хт (t) К(г) х(0 + хт (0 х(0 + 'oL + хт(ОК(Ох(о]л. (1.10.5) Подставив в полученное выражение зна- чения х(/) и К(Г) из уравнений (1.10.2) и (1.10.3), получим хт(Т) Фтх(Г) = хт (Г0) К(Г0) х(/0) + т + ||хт(о[ат(Г)К(Г)+ К(/)А(Г) - *о -АТ(Г)К(Г)-К(Г)А(Г)-Ф(Г) + + К(/)В(Г)Ч'"1(Г)Вт(/)К(/)]х(/) + + ит(0Вт(Г)К(Г)х(П + + хт(Г) К(Г) B(/)u(/)|<ft = Г = J|хт(/)[-Ф(П +К(/)В(/)Т-1(/)Вт(/)К(/)] X *0 xx(r) + uT(/)BT(/)K(/)x(r) + + хт(Г) К(Г) В(Г)и(Г)|л. (1.10.6) В результате можем записать /(/) = хт(Т)Фтх(Т)+ Т + J JxT (0 Ф(/)х(/) + ит (0 Т-1 (/)и(Ор/ = h = ХТ(ГО)К(ГО)Х(ГО) + т + J[u(n +т-1(0Вт(0К(г)х(п]ТТ(0 X h X Ju(O + T"1 (r)BT (0 К(Г)х(Г)]л. (1.10.7) Так как матрицы Фт, Т(/) и К(/о) явля- ются положительно определенными, то функ- ционал качества принимает минимальное зна- чение при и(/) = ВЧ/) К(/) х(/) = = -L0) х(/), (1.Ю.8) гае Ц/) = Т-1(/) ВТ(/) К(/). (1.Ю.9) Таким образом, для определения опти- мального управления, минимизирующего кри- терий качества (1.10.1) в системе (1.10.2), не- обходимо: решить матричное дифференциальное уравнение типа Риккати (1.10.3) с граничным условием (1.10.4); найти закон оптимального управления из выражения (1.10.8); вычислить значение критерия качества по формуле /(7) = K(Jq) x(fo). (1.10.10) В результате синтеза получаем линейную оптимальную систему х = |а(/) - B(/)'F-1(0BT(0K(0]x. (1.10.11) 1.10.3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ Решение уравнения Риккати может быть выполнено путем численного интегрирования на ЭВМ. Однако если, например, собственные значения матрицы А в стационарном уравне- нии объекта управления (1.10.2) значительно отличаются, то для этого потребуется большое машинное время. Поэтому обычно для полу- чения решения уравнения (1.10.1) используют различные итерационные методы. Решение уравнения Риккагш методом заме- ны переменных. Если известно одно частное решение К}(/) уравнения (1.10.3), то путем замены переменных уравнение Риккати можно привести к линейному матричному уравне- нию. Введем новую переменную К(0 = Kt(/) + R-*(0- (1.Ю.12) Подставив выражение (1.10.12) в уравне- ние (1.10.3), получим - К, (Г) - R1 = К1(0 А(0 + АТ(Г) К1(0 + + Ф(0 - К1(0 В(0 т-1(/) №(/) К1(/) + + R * А(/) + АТ(Г) R1 - - R-* В(1) Т-1(/) Ki(0 - - К10) В(/) T-Ц/) R-». (1.10.13) Учитывая, что матрица Kj(/) есть решение уравнения (1.10.3) и выражение для производной
144 Глава 1.10. УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ обратной функции R 1 = -R 1RR 1, имеем R = [A(/)-B(/) т-1(/) вт(0 KK0JR + + R [А(0 - В(0 т-ЧО ВТ(О KjMF. (1.10.14) Граничное условие для уравнения (1.10.14) принимает вид R(0 = (К(/> - Решение уравнения (1.10.14) можно вы- числить любым численным методом, а функ- цию К\ можно, например, найти как постоян- ную матрицу путем решения алгебраического уравнения Риккати методом, описанным в п. 1.10.5. Решение уравнения Риккати методом Нью- тона-Рафсона. Запишем линейное дифферен- циальное уравнение, соответствующее диффе- ренциальному уравнению (1.10.3) типа Рикка- ти, К/+1 +К/+1 [А(0 - В(0 т-1(/) В*(/) КАО] + + [А(0 - В(0 т-1(/) №(/) КАОГ К/ +1 + + Ф(/) + к,0) В(/) т-1(/) в*(/) кхо = о, / = 1, 2................ (1.10.16) Если матрица А(/) - В(/)'Г'1(/)Вг(/)К1(0 соответствует однородному линейному асим- птотически устойчивому дифференциальному уравнению х = [А(/)-В(/) Т-1(0 Вг(/) КК/)] х, (1.10.17) то последовательность матриц Кх(/)» Кг(/)» —, К//), ... сходится к решению дифференциаль- ного уравнения (1.10.3) типа Риккати, а по- следовательность управлений, задаваемых формулой u/О = -т-1(0 №(/) КХО х(0, (1.10.18) сходится к оптимальному управлению. В каче- стве начального приближения Кх(/) может быть выбрана, например, постоянная матрица кко = фт. Решение уравнений (1.10.3) или (1.10.16) удобно выполнять в обратном време- ни т, выполнив замену t = Т - т. 1.10.4. УПРАВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ Пусть в уравнении (1.10.2) матрицы А и В постоянны, т.е. х = Ах + Ви(Г). (1.10.19) Положив Г = оо, критерии качества (1.10.1) представим в виде J = |[хт(/)Фх(/) + uT(O'Pu(Op#, о • (1.10.20) где Ф и Т - постоянные, соответственно, по- ложительно и неотрицательно определенные матрицы. Справедливы следующие утверждения [Ц: если система (1.10.19) является полно- стью управляемой, то решение уравнения Риккати (1.10.3) при t -> оо сходится к посто- янной положительно определенной матрице К при любом граничном условии; матрицу К можно найти из решения ал- гебраического уравнения КА + АТК + Ф - КВТ-^К = 0, (1.10.21) называемого матричным алгебраическим урав- нением типа Риккати; оптимальное управление по критерию качества (1.10.20) задается выражением u = -Lx = -T’iBTKx. (1.10.22) Оптимальная система в этом случае явля- ется стационарной и описывается уравнением X = (A-BL)x. (1.10.23) Рассмотрим несколько методов решения алгебраического уравнения Риккати (1.10.21). Сведение алгебраического уравнения к дифференциальному. Поставим в соответствие алгебраическому уравнению (1.10.21) диффе- ренциальное уравнение типа Риккати (1.10.3). Тогда, согласно свойствам стационарного дифференциального уравнения Риккати, его решение при t —> оо будет стремиться к реше- нию алгебраического уравнения (1.10.21). Метод Ньютона-Рафсона. Наряду с урав- нением (1.10.21) рассмотрим разностное урав- нение К(+) (А - ВТ'ПРК/) + (А - ВЧ'-’ВгК/)тК/+1 + + Ф + К/ В т1 Вт К/ = 0. (1.10.24) Если все собственные значения матрицы А - ВТ-ДОК] отрицательны, то последова-
УПРАВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ 145 тельность решений уравнения (1.10.24) Кь К2, К/, ... , (1.10.25) гае Kj - положительно определенная симмет- ричная матрица, стремится к матрице К - ре- шению уравнения (1.10.21) [1]. Начальное приближение Ki может быть получено, на- пример, методом, рассмотренным в гл. 1.9. Вследствие симметрии матричное урав- нение (1.10.24) имеет п(п + 1) / 2 неизвест- ных и его можно свести к векторному линей- ному алгебраическому уравнению вида А,К,+1 = -Ф(. Матрица А размера п(п + 1) / 2 х п(п + + 1) / 2 имеет вид А 1л А 2л А«1 ••• где Ajy есть блочные матрицы размера (п - к + + 1) х (п - / + 1), элементы которых aki(j,m) определяются по формулам: при / = ку к = 1, 2, ..., л-1 ^ак,nt+fc-b т = 1,2,...,я - к + 1, _ \акк +aJ+k-l, J+k-l aJ+k-l, m+k-l при m = j при m j, j = 2, 3...n - к + 1; m = 1, 2...n - к + 1; аллО» 0 = 2^лл» при к = 1, 2,..., п - 1; / = к + 1, к + 2,..., п - I «и(7.'") = 0- J = 1, 2..../ - к; т = 1, 2...п - / + I; аи(/- Л + 1,т) = а*, т = 1, 2, ..., п - / + 1; 0 при т* j - / + к а и при т = j - 1 + ку J = l- k + 2, 1-к + З, ..., п - к + 1; т = 1, 2, ..., п - /+ 1; ejtoU 1) = о, / = 1, 2,.... п - к-, a^n-k + l, \) = акп-, при / = 1, 2,..., п - 1; к = / + 1, / + 2,..., п - 1 SkiU,m)=0, т = 1, 2....к - /; j = 1, 2, ..., п - к + 1; {2О1-/ при j = 1 aj+/i при j#l, J = 1, 2...n - к + 1; я n при у = « + л-/ ' jo при j*m + k-l, m=k-l+2, k-l+3............n - I + 1; j = 1, 2...n - к + 1; а*/(1, m)= 0. m = 1, 2...n - /; n — I + 1) = 2ащ. Каждой симметричной квадратной матрице типа Ф = [Ф>] размера п х п ставится в соответствие вектор Ф = [ф/] размера п(п+ 1)/2 х 1, где / = = (т - 1)(2/1 - т) / 2 + у, К/+1 есть такой вектор, соответствующий матрице K/+j, а Фу - вектор, соответствующий матрице Ф + + К/ В Т-1 В1* К/, матрица А/ соответствует матрице А - В Т-1 Вт К/. Пример 1.10.1. Дифференциальное урав- нение, описывающее динамику системы, име- ет вид jq = 0,005х2; х2 = 10х3 + 64х4; (1.10.26) Хз = -150х2 - 400х3 + 500о; х4 = -0,7x4. Определить закон управления, минимизи- рующий критерий качества J = J J108X^ (Г) + 10x2(0 + 10x2(0 + oL + 10х4(0 + «2(о]л.
146 Глава 1.10. УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ Значение матриц А, В, Ф и ? в уравне- ниях (1.10.19), (1.10.20) для нашего примера будут: *0 0,005 0 0 0 0 10 64 " 0 -150 - 400 0 0 0 0 -0,7 О о 500 О В = ю8 0 0 0 ф= 0 10 0 0 ; Т = 1. 0 0 10 0 0 0 0 10 Решая уравнение Риккати (1.10.21) мето- дом Ньютона-Рафсона на ЭВМ, получаем 1,26 Ю3 3,3 103 20 1,26 3,3 103 2,13 1,25 10-2 6,76 2,0 1,25 10"2 5 -10—3 4Д4 10-2 1,26 10-3 6,76 4,14 10-2 3,09 • 102 Оптимальный закон управления задается выражением (1.10.22), где матрица коэффици- ентов обратных связей L = Т-,ВтК = [1000 6,25 225 20,7]. 1.10.5. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ БЕЗ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ Рассмотрим некоторые методы определе- ния оптимального управления, в которых не требуется решать уравнения Риккати. Метод приравнивания коэффиц иентов ха- рактеристических уравнений. Рассмотрим метод вычисления матрицы L в оптимальном законе управления для стационарной линейной сис- темы (1.10.19) со скалярным управлением Т для критерия качества (1.10.20) при единичной матрице Т. Для этого нужно составить опре- делитель вида Д(Х) = — А + ХЕ Ф ььт Ат +ХЕ (1.10.27) Определитель Z\(X) есть многочлен степени /1, все корни которого лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости X. Определитель матрицы ХЕ - А + bL равен (- 1)Л1>1(Х), т.е. det(XE - А + bL) - Z>i(X) = 0. (1.10.28) Приравнивая коэффициенты при одина- ковых степенях X в выражении (1.10.27) нахо- дим коэффициенты обратных связей // в опти- мальной системе. Метод А И. Лурье. Оптимальное управ- ление для стационарной линейной системы (1.10.19) при скалярном управлении и еди- ничной матрице Т можно найти по следую- щему алгоритму. Пусть d(X) - характеристический много- член системы (1.10.19), a Z)(^, Ь) - характери- стический определитель замкнутой оптималь- ной системы, т.е. d(X) = det(XE - А), (1.10.29) L) = det(XE - A + bL). (1.10.30) Обозначим через d&(X) определитель, получаемый из определителя d(X) заменой в нем к-то столбца на вектор Ь. Тогда уравнение п п d(X)d(-X) + £ £ (Xty (-М = О I=1J=1 (1.10.31) имеет п корней Xi, Х2, ...» Хл с отрицательной вещественной частью и справедливо равенство (X - Х0 (X - Х2) ... (X - Хл) = D(X, L), (1.10.32) из которого можно найти коэффициенты об- ратных связей // в оптимальной системе. 1.10.6. УПРАВЛЕНИЕ В НЕПОЛНОСТЬЮ НАБЛЮДАЕМОЙ СИСТЕМЕ Систему уравнений (1.10.19) путем ли- нейного невырожденного преобразования X = = Tz можно привести к жордановой форме. В случае простых собственных значений мат- рицы А после преобразования уравнение (1.10.19) примет вид
УПРАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ 147 Z1 = XjZi + Mi Z2 = x2z2 +М; zr = ^rzr + bru; (1.10.33) Zr+l - ^r+l^r+b Zn ~ ^nZn' В случае г < n система (1.10.33) [а зна- чит, и система (1.10.19)] является неполностью управляемой. Для г переменных состояния системы (1.10.33) можно найти оптимальное по критерию качества (1.10.20) управление. Остальные переменные состояния неуправляе- мы и вносят конечный вклад в критерий (1.10.20) лишь в случае устойчивых собствен- ных значений Xr + j, Хг + 2. Хя для не- управляемых переменных состояния. Поэтому оптимальное управление в неполностью управляемой системе возможно тогда, когда собственные значения, соответствующие не- управляемым координатам, имеют отрица- тельные вещественные части. 1.10.7. УПРАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ КАЧЕСТВА Нестационарные системы. Задача синтеза оптимального управления для дискретной линейной полностью управляемой системы x[fc + 1] = А[Ч х[Ч + В[Ч u[4 (1.10.34) формируется следующим образом: найти закон управления и[Лг] = и(х[Аг]), минимизирующий значение критерия качества вида VI 4*i]= £(хт[*т*м*1+ к=к$ + ит[Л]Т[*М*]) + хт[ *1 )«1»1Х[Л), (1.10.35) где Ф[Аг], Ф1 - положительно определенные матрицы весовых коэффициентов при пере- менных состояния; *Р[Ч - неотрицательно определенная матрица весовых коэффициентов при управлениях, к = Ар, ..., к\ - 1. Найдем выражение для определения за- кона управления в дискретной системе. Для полностью управляемой системы (1.10.34) при ограничениях, наложенных на матрицы Ф[*ъ Фь *ИЧ критерия качества, существуют по- ложительно определенные матрицы К[Аг], яв- ляющиеся решением разностного уравнения вида К[Ч = АТ[Ч К[* + 1] А[Ч + Ф[Ч - - АЧЧ K[fc + 1] В[Ч С?[Ч + + ВЧЧ K[fc + 1] В(Ч)*1* х В*И Ш + 1] АТИ (110.36) с граничным условием КИ1 = Ф1- (1.10.37) Докажем это утверждение. Запишем оче- видное равенство ХЧЧ1 Ф1 хН1 = хЧЧ] КИ1 х[*1] = = хт[Аь1 К[Ао1 х[Ао1 + + jr(xT[fc + l]K[fc + 1]хт[Дг +1] - к=к$ - xT[fc] К[к]х[fc]). (L10.38) Подставив в выражение (1.10.38) значение х[£ + 1] из уравнения (1.10.34), получим 4*i] = хт[*1]ф1’4*11+ ]£xT[*]®l*M*l + А:=^о + uT[*]T[fc|ul*] = хт[*о]Щ*оМ*Ь1 + fc-i , + £ uffc] + (г[*|Вт[*]К|* + 1JBI*])-1 X X BT[fc)KI* + l]A[fc]x|*l}T X х (вт|Л JKI к +1 |В| к +1| + Т[ Jt]){ul Л] + + ('FIfcJBTIJtJK|Jt + IJBIJt])'1 х х ВТ[*]К(* + 1]А|ЛИ*]}. (110.39) Вследствие положительной определенно- сти матриц КИ и *ИЧ критерий качества, определяемый выражением (1.10.39), прини- мает минимальное значение при линейном управлении вида и[Ч = -СВД ВЧЧ K[fc + 1] х х В[ЧГ^Щ + 1] А[Ч х[Ч = = -1ДЧ х[Ч- (1.10.40)
148 Глава 1.10. УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ Таким образом, для определения опти- мального управления в дискретной линейной системе (1.10.34), минимизирующего критерий качества (1.10.35), необходимо выполнить следующую последовательность действий: решить разностное уравнение (1.10.39) и вычислить матрицы К[Аг], решение уравнения может быть выполнено численным методом на ЭВМ; найти оптимальное управление согласно равенству (1.10.40); вычислить значение критерия качества в оптимальной системе по формуле ЛА] = К[*о1 х[*о)- (1.10.41) Оптимальная дискретная система управ- ления линейным объектом (1.10.33), миними- зирующая критерий качества (1.10.35), являет- ся линейной и описывается разностным урав- нением x[fc+l] = (A[fl-B[fc]L[fc]) хИ, (1.10.42) где L[fc] = (ТИ №U] K[fc + 11 B[fc])-1 X х ВЭД K[fc + 1] A[fc]. (1.10.43) Стационарные системы. Если система (1.10.34) является стационарной, т.е. матрицы. F и G постоянны, матрицы весовых коэффи- циентов ФиТв критерии качества (1.10.35) постоянны, к\ —> оо, т.е. x[fc + 1] = Ах[£) + Bu[fc], (1.10.44) 7 = + ит[*)Ч^Ц*1), k=Q (1.10.45) то справедливы утверждения: решение разностного уравнения (1.10.36) при любых траничных условиях К[^] и к -> оо стремится к постоянной положительно опре- деленной матрице К; оптимальное управление и[Аг] является стационарным и задается выражением u[fc] = - Lx[fc] = = -(Т + Вт К В)"1 Вт К Ах И, (1.10.46) где матрица А определяется как решение ал- гебраического матричного уравнения Ат К А + Ф - - Ат К В СР + Вт К В)"1 ВТ К А = 0. (1.10.47) Уравнение (1.10.47) называют матричным алгебраическим уравнением типа Риккати. Решение алгебраического разностного уравнения тана Риккати. Рассмотрим несколько численных методов решения уравнения (1.10.47) на ЭВМ. Решение алгебраического уравнения сведением его к раз- ностному. Согласно изложенному выше, решение алгебраического уравнения (1.10.47) можно найти как предел решения соответст- вующего ему разностного уравнения вида (1.10.35) при произвольном граничном усло- вии (1.10.37). Решение уравнения итера- ционным методом. Для решения ал- гебраического уравнения (1.10.47) можно вос- пользоваться методом Ньютона-Рафсона. За- пишем уравнение Ат К/+ 1 В (Т + Вт К/ В)-1 ВТК/А + + А* К, В (Т + Вт К, В)-1 х хВтК/+1А=Ф + АтК/А- - Ат К/В (Т + Вт К,В)-1 Вт К/ А. (1.10.48) Если Ki есть положительно определен- ная матрица и собственные числа матрицы Ai = А - (Т + ВТ Ki В)-1 ВТ Ki А имеют отрицательные вещественные части (т.е. сис- тема x[fc + 1] = Ajx[A^] устойчива), то после- довательность решений уравнения (1.10.46) К}, К2, ..., К/, ... стремится к постоянной по- ложительно определенной матрице К, являю- щейся решением уравнения (1.10.47). Для вычисления оптимального управления (1.10.44) можно вычислять не последователь- ность матриц К/, а последовательность матриц Z/ = К/ А (/ = 1, 2, ...). Последовательность вычислений матриц Z/ можно выполнить, например, преобразованием матричного урав- нения (1.10.48) к векторному способом, опи- санным в п. 1.10.5. Если матрица А невырож- денная, то соотношение (1.10.48) можно пере- писать в виде К/+ j В (Т + ВТ К/В)'1 ВТ К/ + + К/В(Т + ШК/В)-1ШК/+1= . = (Ат)-1 ФА-» + К/ - К/ В (Т + + Вт К/ В)1 Вт К/. (1.10.49) Пример 1.10.2. Найти закон управления дискретной системой, описываемой разност- ным уравнением
ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ НАБЛЮДАЮЩИХ УСТРОЙСТВ 149 Xiffc + 1] = xjfc] + 4,94 • 10-5 x2[jt] + + 9,35 • 10-7 x3[Jt] + 1,56 • IO*5 Х4[Л:] + + 1,94 . 10-6 u|£]; X2[fc + 11 = 0,972 X2[*J + 2,41 • IO’2 X3[AJ + + 0,620 X4[£] + 9,35 • 10-2u[fc]; x3[fc + 1] = -0,361 x2[£] + 9,92 • IO 3 х3И - - 0,176 X4[£] + l,2u[&|; X4[fc + 1] = 0,993 X4[£]. Минимизирующий критерий качества J = Е(ю8х^1 + lOxjl* ] + 10*3 [£] + *=(T 4- IOX4 [Jt] + H2[fc]j. Матрицы А, В, Ф и T для рассматри- ваемого примера: 1 4,94 10“ 5 9,35 • 10“7 1,56-10"5 А = 0 0,972 2,41 10“2 О 0,620 0 - 0,361 9,92-10“ 3 -0J76 .° 0 0 0,993 1,94 • 10-6 ю8 0 0 0 В = 9,35 10“2 ; Ф = 0 10 0 0 1,20 0 0 10 0 0 0 0 0 1 Т = L Решение уравнения (1.10.47), полученное на ЭВМ методом Ньютона-Рафсона, есть мат- рица 126 103 3,3 103 20 1,26 3,3 103 2,13 1,25 10“2 6,76 2,0 1,25 • 10“ 3 51O"3 4Ц410-2 1,26 10“3 6,76 4,14-10“2 3,09 • 102 Искомое управление описывается выра- жением (1.10.46), где матрица коэффициентов обратных связей L = (Т + Вт К В)1 В7 К А = = [2308,2 1,278 0,0439 5,267]. Глава 1.11 ОЦЕНКА НЕИЗМЕРЯЕМЫХ КООРДИНАТ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 1.11.1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ НАБЛЮДАЮЩИХ УСТРОЙСТВ Синтез САУ по квадратичному критерию качества или с заданным расположением соб- ственных значений матрицы системы не вызы- вает принципиальных трудностей, если все переменные состояния системы известны. Однако в реальных условиях измерению с помощью физических приборов - датчиков - доступны лишь некоторые переменные со- стояния системы. Это обстоятельство показы- вает необходимость создания способов опреде- ления недоступных для измерения перемен- ных состояния системы на основе измерения лишь измеряемой части переменных состоя- ния. Устройства, с помощью которых опреде- ляются ненаблюдаемые переменные состоя- ния, называют наблюдающими (или наблюдате- лями). Рассмотрим принципы построения на- блюдающих устройств. Пусть управляемая САУ описывается линейным дифференциаль- ным векторным уравнением х = Ах + Ви(/), (1.11.1) где матрицы А и В размера соответственно п х х п и п х т системы и управления (в общем случае зависящие от времени) и вектор управ- ления u(f) размера т х 1 точно известны. Для того чтобы оценить вектор переменных со- стояния х(/) размера п х 1 (при отсутствии измерений и точно известном начальном со- стоянии х(/о))> построим наблюдающее уст- ройство в соответствии с уравнением х* = Ах* +Ви(Г). (1.11.2) В этом случае, подавая управляющее воз- действие и(/) на систему и наблюдающее уст- ройство на выходе наблюдателя (1.11.2), будем иметь точную оценку х*(/) переменных со- стояния х(/) системы (1.11.1) (рис. 1.11.1).
150 Глава 1.11. ОЦЕНКА НЕИЗМЕРЯЕМЫХ КООРДИНАТ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ Рас. 1.11.1. Схема для оценка некзмеряемых координат с разомкнутым наблюдающим устройством Наблюдающее устройство может быть реализо- вано в виде вычислителя на аналоговых или цифровых микросхемах, решающих диффе- ренциальное уравнение (1.11.2). Предлагаемый вычислитель работает по разомкнутому циклу, и в реальных условиях при наличии неучтенных возмущений и не- точном задании и начального условия х*(/) значения оценки и вектора переменных со- стояния будут с течением времени расходить- ся. Для компенсации этого расхождения по- строим наблюдающее устройство по замкнуто-, му принципу, используя результаты измере- ний у(/) части координат вектора состояния х(/) с помощью датчиков, согласно уравнению У(0 = Сх(/), (1.И.З) где матрица С размера / х п (в общем случае нестационарная) считается известной, а систе- ма уравнений (1.11.1) и (1.11.3) описывает наблюдаемую САУ. Разницу между вектором измерения у(/) размера / х 1 и оценкой изме- рения у'(0 = Сх‘(0 используем для усовершенствования наблюда- теля. Для этого в наблюдающее устройство (1.11.2) введем обратную связь с матрицей R размера п х /. Получим замкнутое наблюдаю- щее устройство, описываемое уравнением х* = Ах* +Bu(0 + It[y(0-Cx*]> (1.114) называемым наблюдателем Льюинбергера. Мат- рицу R (в общем случае нестационарную) можно назначать произвольно, например так, чтобы обеспечить устойчивость наблюдателя и затухание переходных процессов в наблюдаю- щем устройстве за требуемое время. Структур- ная схема наблюдающего устройства (1.11.4) Ряс. 1.11.2. Схема для оцени невмеряемых координат с замкнутым наблюдающим устройством приведена на рис. 1.11.2, здесь разность у(/) - - Сх*(/) используется для компенсации неуч- тенных возмущений, всегда имеющих место в реальной системе. Замкнутый наблюдатель имеет два входа: и(/) - по управляющему воз- действию и у(/) - по результатам измерений, получаемых с датчиков, установленных в САУ. Аналогичное наблюдающее устройство может быть построено для дискретной наблю- даемой линейной системы л-го порядка x[fc + 1J = Ax[fc] + Bu[£] (1.11.5) с измерениями вида у(Л) = Cx(fc), (1.11.6) матрицы А, В и С (в общем случае нестацио- нарные) размера соответственно п х п, п х т, I х пн управление и(/) размера / х 1 предпо- лагаются известными. Совершенно так же, как и для непрерывного случая, получаем уравне- ние для дискретного наблюдателя Льюинбергера x*[fc + 1] = Ax*[fc] + + + R(y[fc] - Cx*[fc]). (1.11.7) Матрица обратных связей R размера / х п (в общем случае нестационарная) выби- рается из условия устойчивости наблюдателя и обеспечения требуемого времени затухания переходных процессов. Структурная схема для дискретного наблюдающего устройства приве- дена на рис. 1.11.3. Ранг матрицы С в выражениях (1.11.3) и (1.11.6) меньше, чем размерность вектора со- стояний л, т.е. гапкС < п,
НАБЛЮДАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ 151 Рве. 1.11.3. Структурная схема дискретного наблюдающего устройства так как в противном случае при условии rankC = п матрица С является невырожден- ной квадратной размера п х п и вектор пере- менных состояния на основе измерений y(f) определяется формулой х(0 = С-1 у(/>. (1.11.8) 1.11.2. НАБЛЮДАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть имеется стационарный линейный объект 5*1, описываемый векторным линейным дифференциальным уравнением (1.11.1). Имеющиеся в распоряжении измеряемые дат- чиками переменные состояния этого объекта используются в качестве входов линейной системы 5*2, описываемой дифференциальным уравнением z = Ajz + Нх(Г) + ТВи(Г), (1.11.9) где z - вектор состояния системы 5*2 размера Z х 1 (/ < /1); А}, Н - постоянные матрицы размера / х / и / х п; Т - некоторая постоян- ная матрица соответствующего размера. Пред- положим, что матрица Т удовлетворяет урав- нению ТА-AiT = H. (1.11.10) Уравнение (1.11.10) имеет единственное решение, если у матриц А и Aj нет общих собственных значений [1]. Умножая уравнение (1.11.1) на матрицу Т и вычитая его из уравнения (1.11.9), с уче- том выражения (1.11.10) получаем z-Тх = Aj(z-Tx). (1.11.11) Если обозначить w = z - Тх, то получа- ем w = AjW. (1.11.12) Решением этого уравнения является вы- ражение w(/) = e^w^) или z(/) = Тх(0 + |z(0) - Тх(0)]. (1.11.13) При отрицательных собственных значе- ниях матрицы Af после окончания переход- ного процесса получаем z(/) = Тх(/), т.е. в этом случае система 5*2 будет наблюдающим устройством для линейной комбинации пере- менных системы Sf. Если наблюдающее устройство должно оценивать переменные состояния объекта Si, то матрица Т будет единичной, и в устано- вившемся режиме будет справедливо равенство z(/) = х(/). Наблюдающее устройство $2 имеет тот же порядок, что и управляемый объект. Матрица наблюдающего устройства Ai = А - Н, (1.11.14) т.е. свойства наблюдающего устройства зависят от выбора матрицы Н. В рассматриваемом случае получаем z = (A-H)z + Hx + Bu(/). (1.11.15)
152 Глава 1.11. ОЦЕНКА НЕИЗМЕНЯЕМЫХ КООРДИНАТ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ Сравнивая выражения (1.11.15), (1.11.3) и (1.11.4), имеем Н = RC, у = Сх. При син- тезе наблюдающего устройства для оценки переменных состояния системы (1.11.1), (1.11.3) матрица С фиксирована, а матрица R - произвольна. Следовательно, в рассматри- ваемом случае наблюдающее устройство 5*2 однозначно определяется выбором матрицы R и описывается уравнением х* = (А - RC) х* + Ry(O + Bu(Z). <1.11.16) Собственные значения матрицы А - RC путем выбора матрицы R можно получить равными любым заданным значениям тогда и только тогда, когда система (1.11.1), (1.11.3) является полностью наблюдаемой. Пример 1.11.1. Уравнения, описывающие динамику системы, имеют вид jq = 0,01х2; х2 = 10*з + ; х3 = -150х3 - 400х4 + 500«(Г); х4 = -О,7х4. Измеряются переменные состояния Х\ и х2. Рассчитать наблюдающее устройство для оценки всех переменных состояния системы. Для рассматриваемого случая матрицы А и В в уравнении (1.11.1) будут: 0 0,005 0 0 0 10 0 -150 -400 0 0 0 матрица С в выражении (1.11.3) 1 0 0 0‘ .0 10°. Согласно выражению (1.11.4) уравнение наблюдателя имеет вид х* = (А - RC) х* + Bu(0 + Ry(O- Неизвестную матрицу R найдем из усло- вия равенства собственных значений матрицы наблюдающего устройства Xi = -120 с-1, Х2 = = -120 с’1, Х3 = -120 с"1, Х4 = 100 с-1 методом модального управления. При заданном выборе собственных значений характеристическое уравнение системы должно иметь вид D(X) = (X + 120)3(Х + 100) = = (X + 100) (X3 + 420Х2 + 5880Х + + 2 744 000). В общем виде матрица R имеет вид В этом случае характеристическое урав- нение для матрицы А - RC записывается в форме D(X) = det(XE - А + RC) = ’Х+/-Ц 0,085 + г12 0 0 '21 ^ + г22 - 10 0,64 Ги 150 +/^2 Х+400 0 . Г41 '42 0 Х+0,7 Чтобы исключить лишние неизвестные, поло- жим /*12 = Г21 = Ги = Г41 ~ 0* тогда D(X) = (X + Гц) |Х3 + (400,7 + Г22)Х2 + + (200 + 400,7f22 + 1500 + 10^2 + 64г42)Х + + 280Г£2 + 64-400/*42 + 1050 + 7/*42] = = (X + гп) IX3 + (400,7 + Г22)Х2 + + (1780 + 4OO,7f22 + 10гз2 + 64г42)Х + + Тгп + 1050 + 28ОГ22 + 64-400г42] . Приравнивая коэффициенты при одина- ковых степенях в желаемом характеристиче- ском уравнении и уравнении общего вида, получаем значения элементов в матрице ко- эффициентов обратных связей наблюдателя 100 0 0 0 0 19,3 4251,72 105,77 1.11.3. НАБЛЮДАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА В СТАЦИОНАРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ Аналогично, как и для непрерывной сис- темы, построим наблюдающее устройство для дискретной системы (1.11.5) с измерениями вида (1.11.6). В качестве наблюдающего уст- ройства для оценки линейной комбинации фазовых координат Тх|£| системы рассмотрим стационарную дискретную систему, описывае- мую разностным уравнением
НАБЛЮДАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА В СТАЦИОНАРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ 153 i\k + 1] = Aiz[it| + TGu[ £] + Нх[£|, (1.11.17) где Н - некоторая постоянная матрица, мат- рица Т определяется из уравнения ТА - AiT = Н. (1.11.18) Вычитая из уравнения (1.11.19) уравне- ние (1.11.17), умноженное на матрицу Т, с учетом соотношения (1.11.18) получаем z[* + i| - Tx[fc + 1] = Ai(z[Ar] - Тх[А|), (1.11.19) или, обозначив z[A] - Тх[А] = w[А), получим однородное разностное линейное уравнение w[& + 1] = A]W|£|, (1.11.20) решение которого имеет вид w[A| = A"w[0|, (1.11.21) или z[A] = Тх(А| + A" (z[0) - Тх|0|). (1.11.22) В установившемся режиме для случая, когда все собственные значения матрицы Fi имеют модуль меньше единицы [т.е. для ус- тойчивой системы (1.11.17)], имеем после затухания переходного процесса z[A] = Тх[ *], т.е. z[А] действительно является оценкой ли- нейной комбинации переменных состояния Тх[А]. Если матрица Т - единичная, т.е. оце- ниваются переменные состояния системы (1.11.5), то матрица H = A-Aj. (1.11.23) 1 4,95 • 10"5 9,35 • 10"7 А = 0 9,75-10"1 1 2,40 10"2 0 -3.6110"1 9,90-10" 3 0 0 0 1,55 • 10"5 6,20-10"1 - 1,75 • 10"1 9,90-10"1 При измерении (1.11.6) уравнение (1.11.17), описывающее наблюдающее устрой- ство, принимает в этом случае вид z[* + 1| = Atz| А] + Ви[А] + Нх[£] = = (А - H)z[fc| + Bu[fc| + Нх [fc|. (1.11.24) Сравнивая выражения (1.11.24) и (1.11.7), получаем Н = RC. Для системы (1.11.5), (1.11.6) матрица С известна, поэтому матрица Н полностью определяется выбором элементов матрицы R, которая для полностью наблюдаемой системы всегда может быть вы- брана так, что собственные значения матрицы А - RC равны наперед заданным числам. Пример 1.11.2. Дискретная автоматиче- ская система описывается разностными урав- нениями вида: + 1| = А] + 4,95 • 10-5 X2[fc| + + 9,35 • 10-7 JC3| А] + 1,55 • IO-5 Х4(А] + + 1,96 • 10 6 Х2[* + 1] = 9.75- 10-Ьг21*1 + 2,40 • 10*2 хзИ + + 6,20- 101 лг4[А] + 9,35 • 10-2w[A); *з[£ + 1] = -3.61- 101 jc2|A] 4-9,90 - 1О-3х3И - - 1,75- 10-» х4[А] + 1,20ц|А|; Х4И + 1] = 9,90- 10-1 Х4(А]. Измеряются переменные состояния Х\ и х2. Найти уравнения наблюдающего устройст- ва для оценки всех переменных состояния. Для рассматриваемого случая матрицы А и В в уравнении (1.11.5): 1,95 • 10"6 9,35 10"2 120 0 Матрица С в выражении (1.11.6) Г! ° ° 0 "0100 Матрица RC в выражении (1.11.7) в общем случае имеет вид >11 гп >11 '12 0 о‘ RC = г2\ '22 '1 0 0 0' '21 '22 0 0 '31 '32 0100 '31 '32 0 0 ’ /41 '42. /41 '42 0 0
154 Глава 1.11. ОЦЕНКА НЕИЗМЕРЯЕМЫХ КООРДИНАТ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ Матрице А - RC соответствует характеристический многочлен D(z) = det(zE - F + RC) = det Z-1 + гц ^1 r3\ l\2 -4,95 10"5 Z + Ггг -9,75 10"1 r32 +3,61 10"1 -935 10"7 -2,40 10"2 Z +9,90 10"3 . Г41 ^2 0 -1,55 • 10"5 -6,20-10"1 1,75 • 10-1 Z-9,90 10"1 Для исключения неоднозначности примем = п2 = >31 = r4i = 0, тоща получим Z-1 + Гц -4,95 10"5 -9,35-Ю-7 -135 10"5 0 Z + Гй - 9,75 • 10"1 — 2,40-10” 7 -6Д0 10-1 0 г^2 + 3,61 • 10"1 9,90 • 10"3 1,75 • 10"1 0 г42 0 -9,90-10"1 = (z - 1 + *ii)[z3 + (Гй “ 1,955l)z2 + (- 0,9801^ + 0,024^2 + 0,62r42 + 0,9545)z + (- 0,0098^ - 0,0238^2 + 2,376 • 10" 4Г42 + 9,7862 • 10" 4 Зададимся следующими значениями кор- ней характеристического уравнения наблюда- теля: Z1 = 0,25; Z2 = Z3 = Z4 = 0,2. Тогда же- лаемый вид характеристического уравнения наблюдателя ОД = (Z - 0,25) (Z3 - O,6Z2 + O,12Z - 0,008). Приравнивая коэффициенты при одина- ковых степенях переменной Z, находим мат- рицу коэффициентов обратных связей дис- кретного наблюдающего устройства 0,75 0 0 0 1Д551 -ОД731 0,8029 1.11.4. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА НАБЛЮДАЮЩИХ УСТРОЙСТВ Описанные выше наблюдающие устрой- ства оценивают весь вектор состояния систе- мы. Однако на основе полученных результатов измерения часть переменных состояния может был» найдена непосредственно, поэтому на- блюдающее устройство следует использовать лишь для оценки остальных переменных со- стояния, его порядок может быть существенно понижен. Рассмотрим порядок построения такого наблюдателя. Пусть система и измерения описываются уравнениями х = Ах + Ви(0; (1.11.25) у(0 = Сх(/); (1.11.26) здесь А, В и С - матрицы размера соответст- венно лхл, лхти/хл;х- вектор пере- менных состояния размера п х 1; и(1) - вектор управления размера т х 1; у - вектор измере- ний размера / х 1 (/ < л). Предположим, что ранг матрицы С равен /. Это соответствует тому случаю, когда система датчиков органи- зована так, что отсутствуют линейно-зависи- мые измерения. Тогда матрицу С можно пред- ставить в блочном виде С = [Сi ! С2], где невырожденная квадратная матрица Cj имеет размер / х /. Выражение (1.11.26) принимает вид у0) = С1Х10) + С2Х20), (1.11.27) где Хт = Jxf • х2 j - блочный вектор пере- менных состояния с размером составляющих Z х 1 и (п - Z) х 1. В результате можно запи- сать *1(0 = СГ1 |у(/) - С2Х2(/)1. (1.11.28) Вводя блочные матрицы А=[Л1-1-1-А-121 и в = [®1- |а21 I Аа] [в2]’ уравнение (1.11.25) можно переписать в виде *1 = А11х1 + А12х2 +B1U(O; (1.11.30) Х2 = А21Х] + А22х2+B2u(Z). (1.11.31) Подставляя значение Х\ из соотношения (1.11.28) в уравнение (1.11.31), получаем Х2 =(А22 - А21С[!С2)х2 +B2u(0 + + А21С,*у(0, (1.1132)
ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА НАБЛЮДАЮЩИХ УСТРОЙСТВ 155 или, обозначив А = А 22 — AjiCj ^2, имеем х2=Ах2+и(/). (1.11.33) Дифференцируя выражение (1.11.27) по времени и подставляя значение Xj и Х2 из (1.11.30) в (1.11.27), получаем У(0 -(С1АП + CjAa)Cf‘y(l) + + [С1А12+CjAjjfCjAi 1 + С2А21) Cf1 Сг]х2+ + (CiBi + СгВгМО. (1.11.34) Введем переменную У(О=У(О - (С1Ац + С2А21) СГ1 у(0 - - (CjBi + C2B2)u(l) и матрицу С « С4А12+ С2А22 ‘ (С1Ац + С2А21) Cf1 С2. Тогда выражение (1.11.32) можно пере- писать в виде у(0=Сх2(П. (1.11.35) Таким образом, получим новую систему (1.11.33) с измерениями (1.11.35) более низ- кого порядка п - /, чем в системе (1.11.25). Для этой системы можно построить на- блюдающее устройство описанным выше ме- тодом, тогда оценка Х2 координат вектора Х2 определяется дифференциальным уравнением х2 = Ах2+u +R^y - Сх2), (1.11.36) где R выбирается из условия устойчивости наблюдателя и требуемого времени затухания переходных процессов в нем. Значения оценок координат вектора Xj определяются из выражения (1.11.28) *i= Cf* [у(0 - С2Х2 (/))• (1.И.37) Структурная схема наблюдающего уст- ройства приведена на рис. 1.11.4. Рве. 1.11.4. Структурная схема непрерывного наблюдающего устройства пониженного порядка
156 Глава 1.11. ОЦЕНКА НЕИЗМЕНЯЕМЫХ КООРДИНАТ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ Если ввести замену переменной w=X2-Ry, (1.11.38) то, учитывая значения А, у, С, получаем w = (а - RCjw + и - -(A-RcjRy-R^Aj, +C2A2i)C[,y- -R^CjBj + CjBj) ~ = (а - RCjw + u + ^А - RcJr - -R(ciAn +C2A2i)C]'jy- -R^B, +C2B2) u(Z). (1.1 L39) В этом выражении не требуется выпол- нения дифференцирования функции у(/)> По- сле вычисления w(l), путем решения диффе- ренциального уравнения (1.11.39), находим оценку Х20 части вектора переменных со- стояния х(/) по формуле х2(0 = W2(z) - Ry(Z), (1.11.40) затем по выражению (1.11.37) находим оценку *i(0- Совершенно аналогично можно найти устройство оценки пониженного порядка для дискретной системы, описываемой уравне- ниями: х[& + 1] = Ах[£] + Ви[Лг]; (1.11.41) у[£] = Сх[Лг], (1.11.42) где можно представить у[Л1 = С1Х1И1 + Сгх2|А:| (1.11.43) при условии, что квадратная матрица Cj раз- мера 1*1 является невырожденной. Тогда можно записать: Х1И + 1] = Anxjfc] + А12х2И + Biu[Ar]; (1.11.44) хгИ + 1] = A2iXi[*] + А22Х2И + ВгцИ]. (1.11.45) Не выполняя промежуточных выкладок, при- ведем лишь окончательный результат х2[А: +1] = Ах2[fc] + ад + R(y|к 1 - Сх2[fc]), (1.11.46) где ад = в2ад + А21сг'ад; = У1* + И - (С,А12 + С2А21)С[,МЛ| - -(с^в, +с2в2)ад; С = CjAj2 + С2А22 ~ -(С1Ац + C2A2i)Cj’1C2; А = А22 - и для оценки вектора х>[Аг] имеем хГ[Л] = СГ1(у1^1-С2Х2[Л|), (1.11.47) или для того чтобы не выполнять измерение у|* + П. введем новую переменную w|*l = х2 И - Ry[fc|. Тогда из выражения (1.11.45) получаем w[* + 1] = (а - Rc)w|fc] + [f - RC- - R(C|B| + CjBjJCj'JjUI - -r^b, + с2в2)ад + ад. (1.11.4$) Решая уравнение (1.11.48), находим зна- чение w[Ar] и затем из выражений (1.11.47) и (1.11.34) находим оценки х^ [fc] и Х*(Лг]. В этом случае не требуется измерения функции y|fc + И Структурная схема наблюдающего уст- ройства пониженного порядка приведена на рис. 1.11.5. 1.11.5. РАЗДЕЛЕНИЕ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ Собственные значения системы синтези- рованной по какому-либо критерию качества при полном измерении переменных состояния и собственные значения матрицы наблюдаю- щего устройства разбиваются на две независи- мые друг от друга группы. Имеем управляемую и наблюдаемую сис- тему, описываемую векторным дифференци- альным уравнением вида х = Ах + Ви; (1.11.49) у = Сх (1.11.50) и наблюдающее устройство, описываемое дифференциальным уравнением
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 157 Рас. 1.11.5. Структурная схема дискретного наблюдающего устройства пониженного порядка х* = (А - RC)x* + Ry(f) + Bu(0. (1.11.51) Пусть линейное управление, найденное для системы (1.11.49), при полном измерении вектора переменных состояния имеет вид и = -Lx(0- (1.11.52) Воспользуемся этим же законом управления для случая неполного измерения, замыкая систему уже не по вектору переменных со- стояния, а по его оценке х*(1), т.е. введем закон управления вида и = -Lx*(0- (1.11.53) Введем новую переменную х = х* — х. (1.11.54) Тогда из уравнений (1.11.49) - (1.11.51) и (1.11.53) получаем х= (A- BL)x - BLx; (1.11.55) i=(A-RC)x. (1.11.56) Характеристическое уравнение получен- ной системы имеет вид ГГА-BL -BL 1 ГХЕ|оТ| ХЁ_Р ‘ = det(A - BL- IE) det(A - RC - IE). (1.11.57) Отсюда следует, что характеристический многочлен системы, замкнутой по оценкам переменных состояния, равен произведению характеристических многочленов замкнутой системы "объект + регулятор" и характеристи- ческого уравнения оценочного устройства. Сказанное позволяет сделать вывод о том, что синтез линейного регулятора можно выполнять сначала в предположении, что все переменные состояния измеряются, а затем построить линейное устройство оценивания и замкнуть систему по оценкам переменных состояния. Если расположение полюсов замк- нутой системы и наблюдателя в отдельности нас удовлетворяет, то полученная в результате система будет соответствовать предъявляемым к ней требованиям. Все сделанные в этом параграфе выводы относительно непрерывных линейных систем с линейными наблюдающими устройствами полностью распространяются и на дискретные линейные системы. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Андреев Ю. Н. Управление конечно- мерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с. 2. Астапов Ю. М., Васильев Д. В.', Залож- нев Ю. И. Теория оптико-электронных следя- щих систем. М.: Наука. 1987. 326 с. 3. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструи- рования систем управления. М.: Высшая шко- ла, 1989. 447 с. 4. Березин Е. С., Жвдков Н. П. Методы вычислений. М.: Физматтиз. 1962. Т. 1, 464 с. Т. 2, 620 с. 5. Бесекерский В. А Динамический син- тез систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1970. 576 с.
158 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 6. Бесекерский В. А. Цифровые автома- тические системы. М.: Наука, 1976. 575 с. 7. Девщдович Б. П. Лекции по математи- ческой теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с. 8. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования: Пер. с нем. М.: Наука, 1971. 288 с. 9. Динамика цифровых следящих систем / Ю. А Николаев, В. П. Петухов, Г. И. Фек- листов и др. М.: Энергия, 1970. 496 с. 10. Иванов В.А, Ющенко А С Теория дискретных систем автоматического управле- ния. М.: Наука, 1983. 335 с. 11. Казамаров А А, Палатаик А М., Родняккий Л. О. Динамика двумерных систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1967. 308 с. 12. Кузовков Н. Е., Карабанов С В., Са- лычев О. С. Непрерывные и дискретные сис- темы управления и методы идентификации. М.: Машиностроение, 1978. 222 с. 13. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машино- строение, 1976. 184 с. 14. Куо Б. Теория и проектирование цифровых следящих систем. М.: Машино- строение, 1986. 448 с. 15. Макаров И. М., Менский Б. М. Таб- лица обратных преобразований Лапласа и об- ратных Z-преобразований. М.: Высшая школа, 1978. 247 с. 16. Матемаггаческие основы теории авто- матического регулирования / В. А. Иванов, В. С. Медведев, Б. К. Чемоданов, А С. Ющенко. М.: Высшая школа, 1997. Т. 1, 367 с. Т. 2, 454 с. 17. Основы проектирования следящих систем / Под ред. Н. А. Лакоты. М.: Машино- строение, 1978. 391 с. 18. Понов Е. П. Теория линейных систем автоматического управления и регулирования. М.: Наука, 1989. 304 с. 19. Справочник по теории автоматиче- ского управления / Под ред. А. А. Красовско- го. М.: Наука, 1987. 712 с. 20. Сгрейц В. Метод пространства со- стояний в теории дискретных линейных сис- тем управления. М.: Наука, 1985. 296 с. 21. Техническая кибернетика / Под ред. И. И. Солодовникова. Кн. 1. М.: Машино- строение, 1967, 712 с. 22. Федоров С. М., Литвинов А П. Авто- матические системы с цифровыми вычисли- тельными машинами (теория и проектирова- ние). М.: Энергия, 1965. 224 с. 23. Цыпкин Я. 3. Теория линейных им- пульсных систем. М.: Физматтиз, 1973. 416 с.
Раздел 2 ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Глава 2.1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 2.1.1. ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Расчет и проектирование автоматических систем управления и регулирования и других систем с обратной связью (имеющих замкну- тые контуры) очень важно проводить с учетом влияния содержащихся в них нелинейностей или же специально вводимой нелинейной коррекции. Наличие нелинейностей часто влияет не только количественно, но может и принципиально изменять вид и качество ди- намических процессов в системе. Особенно это важно в автоматических системах, содер- жащих замкнутые контуры управления. Любое отклонение статической характе- ристики от прямой линии у = кх и любое отклонение в уравнении динамики от линей- ности хотя бы одного элемента делает систему в целом нелинейной. Поэтому существует не- обозримое число разновидностей нелинейных систем. Для нелинейных систем не существует единых универсальных методов. Каждый их класс и даже характер исследуемого процесса в этом классе требует своего подхода при расче- тах и проектировании системы. Часто строгое исследование нелинейной системы представ- ляет большие трудности и практически стано- вится нереальным. Поэтому часто приходится прибегать к принципиально приближенным методам. Инженерные методы исследования и расчета нелинейных систем изложены в рабо- тах [6, 29, 30, 35, 43]. Кроме того полезные материалы по этим вопросам содержатся в общих руководствах [8, 34, 37]. Другая литера- тура, рассматривающая более специализиро- ванные задачи по нелинейным системам, будет прокомментирована по ходу изложения. Обычно часть системы, включающая большинство ее звеньев, описывается линей- ными уравнениями (передаточными функция- ми или частотными характеристиками) и вы- деляется одна или несколько нелинейностей. В зависимости от того, как входят переменные в выражения нелинейностей, различают два класса нелинейных систем. Нелинейные сястемы первого класса. Эго системы, уравнения которых могут быть при- ведены к такому виду» когда в нелинейную функцию входит одна переменная (возможно, со своей производной по времени). При нали- чии одной нелинейности уравнение динамики системы записывается в виде Q(p)x +R(j>)y = р = ±-, (2.1.1) где Q(p)t R(p), S(p) - операторные многочле- ны, причем у = F(x) или у = F(x,px). (2.1.2) Эго соответствует объединению всех ли- нейных звеньев системы в одну линейную часть с выделением нелинейного звена (рис. 2.1.1, а). Передаточные функции линейной части системы (собственная и по внешнему воздействию): W'<^WY (2.1.3) К такого же типа нелинейным системам первого класса могут быть в большинстве слу- чаев приведены и системы с двумя последова- тельно соединенными нелинейными звеньями (рис. 2.1.1, б), так как в результате двух нели- нейных операций можно получить нелинейное уравнение (2.1.2), непосредственно связываю- щее переменные у и х. Могут быть системы первого класса с двумя или более нелинейностями и другого вида, например, если в схеме нелинейные звенья I и II имеют одну и ту же входную переменную х (рис. 2.1.1, а). Нелинейные сястемы второго класса. Эго системы, в которых нелинейные функции содержат две или несколько переменных. К системам второго класса относят большинство систем с двумя и несколькими нелинейностями (рис. 2.1.2, а, б). Однако и система с одной нелинейностью может отно- ситься к системе второго класса, если нели- нейная функция зависит от двух переменных.
160 Глава 2.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ а) 6) «) Рис. 2.1.1. Структура нелинеОных систем первого класса <0 Рис. 2.1.2. Структура нелинеОных систем второго класса
ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 161 Особенности нелинейных процессов. Про- цессы в нелинейных системах имеют весьма существенное отличие от линейных, что необ- ходимо учитывать при проектировании авто- матических систем. Если в линейных системах при отсутст- вии внешнего воздействия изменение масшта- ба начальных условий влияет лишь на масштаб переходного процесса, форма же его сохраня- ется, то в нелинейных системах с изменением величины начального отклонения (при отсут- ствии внешнего воздействия) может сущест- венно измениться не только форма переходного процесса, но и его принципиальные свойства. Например, если при малых начальных откло- нениях собственные колебания нелинейной системы являются затухающими, то при боль- ших начальных отклонениях они могут ока- заться расходящимися (рис. 2.1.3, а), и наобо- рот (рис. 2.1.3, б). В первом случае система при больших отклонениях оказывается неустойчивой, в то время как при малых отклонениях она устой- чива, причем величина аТ служит границей устойчивости системы по амплитуде начального отклонения. Во втором случае нулевое состоя- ние системы неустойчиво, а колебания со всех сторон сходятся к автоколебательному режиму с амплитудой ас. В результате нелинейная система, в от- личие от линейной, может иметь три области в пространстве параметров: устойчивости, неустойчивости и особой области, соответст- вующей двум описанным явлениям. Это пока- зано, например, на рис. 2. L4 для первого слу- чая и рис. 2.1.5 - для второго, где к - параметр системы (например, общий коэффициент уси- ления разомкнутой цепи). Pic. 2.1.3. Графит переходных процессов В отличие от линейной системы, период собственных колебаний нелинейной системы может заметно меняться с изменением ам- плитуды колебаний в переходном процессе. Иногда в одной и той же системе воз- можны два или несколько устойчивых состояний в зависимости от начальных условий процесса. Тогда говорят об области притяжения каждого из них по начальным условиям. Например, область притяжения для равновесного состоя- ния определяется начальными амплитудами, лежащими ниже кривой СВ (рис. 2.1.6), а для автоколебательного режима область притяже- ния лежит выше этой линии. Рис. 2.1.4. Плоскость "амплитуда-параметр" с неустойчивым периодическим режимом Рис. 2.1.5. Плоскость "амплитуда-параметр" с устойчивым периодическим режимом Рис. 2.1.6. Плоскость "амплитуда-параметр" с двумя периодическими режимами 6 Зак 1023
162 Глава 2.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Особенность, связанная с несимметричной нелинейностью, показана на рис. 2.1.7. На вы- ходе нелинейности у возникает постоянная составляющая (при симметричном входе х). Если в цепи данной системы нет интегрирую- щего звена, то зга составляющая проходит по всему контуру и на входе нелинейности тоже появится постоянная составляющая х°, кото- рая определится уравнением замкнутого кон- тура системы. Следовательно, появляется ста- тическая ошибка в системе помимо внешнего воздействия (что необычно) вследствие собст- венной несимметрии (даже при отсутствии внешнего воздействия). Важной особенностью нелинейных про- цессов управления является несправедливость принципа суперпозиции решений при сложении отдельных составляющих процесса. Разнообразные особенности поведения нелинейных систем при наличии внешних воздействий (управляющих и возмущающих) будут показаны в последующих главах. За счет величины внешнего воздействия может даже нарушаться устойчивость нелинейной систе- мы, чего нет в линейных системах. Своеобраз- ный скачкообразный характер имеют и резо- нансные явления (рис. 2.1.8). Важно иметь в виду, что в нелинейных системах при наличии автоколебаний или внешних вибраций статическая характеристика нелинейного звена для основного сигнала управления будет отличаться от заданной его нелинейной характеристики. Известно, на- пример, что даже в релейной системе при наличии автоколебательных вибраций статиче- ская характеристика для основного сигнала получает вид плавной кривой (эффект вибра- ционного сглаживания нелинейности). 2.1.2. ВИДЫ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ Статические нелинейности. Они опреде- ляются статическими характеристиками у = F(x) отличающимися тем или иным обра- зом от прямолинейной у = кх. Так, нелиней- ность релейного типа в общем случае (рис. 2.1.9, а) имеет зону нечувствительности и петлю гистерезисного типа, выражающую не- линейное (координатное) запаздывание в сра- батывании реле. На рис. 2.1.9 представлены и частные случаи. Характеристики релейного типа могут быть и несимметричными, например, если реле или просто контактная пара работает в режиме включения и выключения напряжения одной полярности (рис. 2.1.10, а, б). Следующей разновидностью являются непрерывные статические нелинейности. Они могут задаваться аналитически в виде степен- ных и других функций или же графически (рис. 2.1.11, а - е, где к - крутизна характери- стики - тангенс угла наклона). В третьем из этих случаев показано изменение уровня ха- рактеристики от внешних условий, например от нагрузки на выходе. Такие нелинейности могут иметь гистерезисные петли (рис. 2.1.12, а, 6), в том числе с изменением гистерезисной характеристики при разных амплитудах (а\ и 02) колебаний входной величины х. Встреча- ются и несимметричные нелинейные характе- ристики (рис. 2.1.13, а - в). Особый вид имеет характеристика зазора (рис. 2.1.14), когда при перемене направления движения ведомая деталь остается неподвиж- ной, пока не будет выбран зазор (горизон- тальные стрелки на рис. 2.1.14 при разных амплитудахдолебаний входной величины а). Некоторые системы включают звенья с периодическими нелинейностями (рис. 2.1.15), которые отличаются наличием участ- ков с отрицательным наклоном. Например, Дх) = fcsinx.
ВИДЫ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ ИЗ г) Э) Рис. 2.1.9. Симметрвчиые релейные нелинейности «) О Рис. XI.10. Несимметрпше релейные нелинейности
164 Глава 2.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ л) О Рис. 2.1.12. Гистерезисные нелинейности и) 6) •) Рис. 2.1.13. Несимметричные непрерывные нелинейности Рис. 2.1.14. Нелинейность типа "зазор” Рис. 2.1.15. Нелинейности с падающими участками
ВИДЫ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ 165 Искусственно вводимые нелинейности. Применяются, например, характеристики с опережением переключений (рис. 2.1.16, а, 6). Такое "координатное” (нелинейное) опереже- ние улучшает процесс управления наподобие опережения по фазе в линейных дифференци- рующих устройствах. 0 Рве. 2.1.16. Нелинейности с опережающей петлей Динамические нелинейности. Они описы- ваются нелинейными дифференциальными зависимостями. Примером служит нелинейное введение производной наряду с самой величи- ной (2.1.2). Другой пример - изменение "постоянной времени” в зависимости от вход- ной величины: F(x)py + у = кх. К динамическим нелинейностям отно- сится также звено с нелинейным трением, причем различается квадратичное трение fi(py) = kipy + c(j>y)2 sign у и сухое трение (рис. 2.1.17, а), имеющее важ- ную особенность: при ру = 0 сила трения 7*1 может принимать любое значение в пределах -с £ F\ £ +с (этим она принципиально отли- чается от релейной). Когда ру = 0 и сумма всех других сил окажется по модулю меньше с, система остановится до тех пор, пока изме- нение сил не приведет к значению 1I = с. На рис. 2.1.17, б показан другой реальный случай сухого трения. При наличии линейного и сухого трения и линейной восстанавливаю- щей силы уравнение колебательного звена имеет вид тр2у + кгру + с sign ру + к\у - кх. (2.1.4) Рве. 2.1.17. Двнамическве велввейноств
166 Глава 2.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ В случае, когда массой т из-за ее мало- сти можно пренебречь и восстанавливающей силы к^у нет, это уравнение вырождается в нелинейную функцию (рис. 2.1.17, в), что эквивалентно наличию зоны нечувствительно- сти. Это наблюдается обычно в приводных устройствах. Если же значением массы т пренебрега- ется при наличии сухого трения и линейной восстанавливающей силы, уравнение звена (2.1.4) вырождается в нелинейную функцию вида рис. 2.1.17, г. Тут влияние сухого трения эквивалентно зазору в механической передаче (см. рис. 2.1.14). Эго бывает в чувствительных и управляющих элементах с легкими подвиж- ными частями. Динамическая нелинейность имеет место в электродвигателе (рис. 2.1.18) при разных значениях управляющего напряжения и и уг- ловой скорости х = ©да, что апроксимируется выражением М = _^«-(с2+С4|х|)ж Нелинейность логического тана. Логиче- ское устройство может иметь два или несколь- ко входов и выдавать ступенчатый сигнал в зависимости от определенных логических комбинаций свойств входных величин. Про- стой пример: на вход логического устройства подаются отклонение управляемой величины х и скорость отклонения у = рх. На выходе его формируется управляющая функция Ф(х, у), причем Ф = +1; -1; 0 в зависимости от соче- тания значений х и рх. Логику формирования выхода можно закладывать самую разнообраз- ную. Простейшая логика следующая. Подают- ся сигналы управления (Ф = +1 или -1) тогда, когда знаки х и рх одинаковы, т.е. система уходит от требуемого режима (х = у = 0). При противоположных знаках х и рх управляющих сигналов не подается (Ф = 0), так как система сама приближается к требуемому состоянию. Эго изображено графически на плоскости х, у = рх (рис. 2.1.20) с учетом зон нечувстви- тельности Xi, У\. Пример динамической нелинейности с неразделяющимися переменными представляет уравнение двухфазного индукционного двига-> теля, которое можно представить в виде (см. [29]) (Tip + 1)х + Ьи2х = кхи, где х - угловая скорость вала двигателя; u(f) - амплитуда управляющего переменного напря- жения. Эго приводит к системе второго класса с нелинейностью F= и2х. Нелинейность неременной структуры. Она является особым типом динамической нели- нейности, так как связана с изменением струк- туры передаточных функций илй дифференци- альных уравнений системы (рис. 2.1.19). Рас. 2.1.19. Система с персмеыюй структурой Рис. 2.1.18. Нелинейная характеристика электродвипггеля Рис. 2.1.20. Логическая нелинейность
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ 167 2.1.3. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ В общем случае нелинейные дифферен- циальные уравнения динамической системы п-го порядка (без внешнего воздействия) име- ют вцц = 4>i(xi,x2,...,xi,'), i = 1,2,...,л, (2.1.5) me Xt - координаты состояния системы, или в векторной форме л = ф<*>- (2.1.6) где х есть вектор в л-мерном пространстве с координатами X/. Такое л-мерное пространст- во (рис. 2.1.21), координатами которого явля- ются координаты состояния системы X/, назы- вают фазовым. Здесь начальное состояние x(/q) изобразится определенной точкой Mq, а про- цесс во времени, т.е. решение уравнений (2.1.5) - в виде некоторой кривой (см. рис. 2.1.21), которую называют фазовой траектори- ей данной системы. Текущую точку на ней Му соответствующую состоянию системы в произ- вольный момент времени /, называют изобра- жающей точкой. Значения нелинейных функ- ций Ф/ = —- определяют проекции скорости at v изображающей точки М. Практически используют фазовую плос- кость (л = 2) (рис. 2.1.22). Рас. 2.1.21. Фазовая плоскость Уравнения (2.1.5) при п =2 принимают вид ^-=Ф1(Х,,Х2), ^- = Ф2(ХЬХ2). (2.1.7) Дифференциальное уравнение фазовой траектории: <&2 = Ф2<Х1,Х2) Ф1(Х1,х2) ’ Координаты точек равновесного состоя- ния системы определяются нулевыми значе- ниями скорости: Ф1(Х1,х2) = 0, ф2(хьх2) = а (2.1.9) Ввиду неопределенности правой части уравне- ния (2.1.8) точки равновесного состояния сис- темы являются особыми точками фазовой плос- кости. Типы особых точек. Они определяются исследованием линейных уравнений dXi = anX! + а12х2; dx2 -^- = а21Х1 +022X2. (2.1.10) Уравнения, определяющие координаты равно- весного состояния: ЯцХ1 + а12х2 = 0, а21х, + а22х2 = 0. (2.1.11) Здесь существует единственная особая точка Х1 = 0, х2 = 0, Характеристическое уравнение линейной системы (2.1.10) имеет два корня A.j, Х2, кото- рые могут быть вещественными, комплексны- ми, мнимыми или же нулевыми. В случае, когда корни Х>, Х2 веществен- ны, различны и имеют отрицательные знаки, получается апериодический переходный про- цесс. Фазовые траектории вливаются в начало координат (рис. 2.1.23, а). Такую особую точку О называют устойчивым узлом. В случае же, когда корни Xj, Х2 вещест- венны, различны и имеют положительные знаки, получается тоже апериодический пере- ходной процесс, но расходящийся (рис. 2.1.23, б). Особая точка О в этом случае - неустойчи- вый узел. В случае разных знаков вещественных корней Xi, Х2 система неустойчива. Картина фазовых траекторий показана на рис. 2.1.24 с кривыми типа гипербол, имеющих асимптоты ki, k2. Эта особая точка О - седло.
168 Глава 21. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Рис. 2.1.24. Особая точка типа "седло** Во всех случаях конкретное очертание траекторий на фазовой плоскости можно уточнить методом изоклин. Изоклиной назы- вают линию, соединяющую точки фазовых траекторий с одинаковым наклоном касатель- ной dxi / dxi = с. Уравнение изоклины с наклоном кц (см. рис. 2.1.24): с _ g21 + °22^и а11 +а12^н (2.1.12) Задаваясь разными величинами кц, вы- числяют каждый раз наклон касательных с, чем и определяется ,очертание фазовых траек- торий. Наконец, в случае равных вещественных корней (Xj = А.2) получается вырожденный узел (рис. 2.1.25), устойчивый при Xj^ < 0 и неус- тойчивый при Х12 > 0. При комплексных корнях Xj, Х2 характе- ристического уравнения (2.1.10) переходный процесс является колебательным. Фазовые тра- ектории имеют вид спиралевидных кривых. Если в комплексных корнях Х^2 = а ± jp вещественная часть а < 0, то изображающая точка на фазовой траектории приближается к началу координат (рис. 2.1.26, а). Особую точ- ку О называют устойчивым фокусом. Если ве- щественная часть комплексных корней а > 0, то спиралевидные траектории расходятся от начала координат. Особая точка О - неустой- чивый фокус (рис. 2.1.26, 6). При чисто мнимых корнях характеристи- ческого уравнения (2.1.10) Х^2 = ± jp полу- чаются эллипсовидные замкнутые кривые (рис. 2.1.27). В этом случае особую точку О называют точкой типа "центр". Это соответст- вует периодическим во времени колебаниям. Ряс. 2.1.25. Вырожденный "узел”: а - устойчивый; б - неустойчивый -) 0 Рис. 2.1.26. Особые точки тип» "фокус**: а - устойчивый; б - неустойчивый
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ 169 Описанное понятие типов особых точек используют при исследовании нелинейных систем. Особые точки и линии нелинейных сис- тем. Для нелинейных систем второго порядка (2.1.7) особые точки, отвечающие равновес- ным состояниям, определяются из условий (2.1.9). Для выяснения типа каждой особой точ- ки уравнения (2.1.7) линеаризуются при малых отклонениях координат в окрестности особой точки. Затем определяются корни характери- стического уравнения линеаризованной систе- мы, по которым согласно изложенному выше и устанавливается тип особой точки. Пример 2.1.1. Заданы уравнения нели- нейной системы: dx о dv — = -х(1+х2)-2к ~- = х + у. (2.1.13). х+у Уравнение фазовых траекторий будет ф =___________________________ А - х(1 + х2) - 2у Отсюда для особых точек имеем х(1 + х2) +2у = 0, х+у = 0, (2.1.14) откуда получаем три возможные равновесные состояния: Корни характеристического уравнения вещественны, разных знаков. Это особая точка типа седло. Линеаризованная система в окрестности точки х = -1, у = 1 имеет тот же вид. Это тоже особая точка типа седло. Для асимптот Т] = фазовых траекто- рий в седловых точках из уравнения фазовых траекторий _ 5 + п -4^-2т] получаются два значения . -5-V17 , -5 + V17 кх -----------; к2 =-----------. 1 4 2 4 На рис. 2.1.28 эти асимптоты показаны в окрестностях особых точек А и В. Точка же О типа центр должна был» окружена замкнутыми кривыми. Исходя из этого, на рис. 2.1.28 изо- бражен примерный ход фазовых траекторий на всей плоскости. Для определения направления движения изображающей точки по фазовым траекториям достаточно исследовать какую-либо одну точ- ку. Например, в точке х = 0, у = 1 согласно уравнениям (2.1.13) имеем dx / dt = -2; dy / dt = L Это обозначено стрелкой на дан- ной фазовой траектории, а вследствие непре- рывности системы - и на всех остальных (см. рис. 2.1.28). На рис. 2.1.28 жирно обозначенные кри- вые разделяют области с разными типами фа- зовых траекторий. Это пример особых линий, называемых сепаратрисами. В соответствии с этим и процессы в системе будут иметь со- вершенно различную форму в соответствую- щих областях начальных условий. 1) х = у = 0; 2) х = 1, у = -1; 3) х = -1, у = 1. В окрестности точки х = у = 0 линеари- зованные уравнения имеют вид dx dy Ц-Х~2у’ Tt Корни характеристического уравнения ~ чисто мнимые. Это особая точка типа центр. В окрестности точки х = 1, у = -1, вводя малые отклонения координат £ = х - 1, Т] = у + 1, получаем линеаризованную систе- му: -Ч-2Г); = £ + П- Л Л Рис. 2.1.28. Фазовые траекторш с сепаратрасама
170 Глава 21. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Важным типом других особых линий яв- ляются предельные циклы - замкнутые кривые, соответствующие периодическим процессам, в окрестности которых имеют место колебатель- ные переходные процессы. Если фазовые тра- ектории изнутри и снаружи сходятся к данно- му предельному циклу (рис. 2.1.29, д), то будет устойчивый предельный цикл, отвечающий ав- токолебаниям. Если же они удаляются в обе стороны (рис. 2.1.29, б) - неустойчивый пре- дельный цикл, представляющий границу облас- тей начальных условий, когда равновесное со- стояние О устойчиво при небольших началь- ных отклонениях, а при больших - система неустойчива (устойчивость в малом, и неус- тойчивость в большом). 2.1.4. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ Изображение процессов на фазовой плоскости ограничивается вторым порядком уравнения динамики системы. Однако обычно автоматические системы описываются уравне- ниями высокого порядка. Несмотря на это метод фазовой плоскости имеет большое зна- чение для выявления ряда характерных осо- бенностей процессов в нелинейных системах в весьма наглядной форме. Переходные процессы н автоколебания в релейных системах. Пусть, например, уравне- ния объекта и регулятора (рис. 2.1.30) имеют вид: (r1p + l) = -fc1x1, pxl=F(x), (2.1.15) где Дх) - релейная характеристика общего вида (см. рис. 2.1.9, а). Рис. 2.130. Пример системы регуировааяя Уравнение (2.1.15) представляем в виде at at li ii l Отсюда дифференциальное уравнение фазовых траекторий _ 1 *1 F(x) Ti Ti у (2.1.17) На фазовой плоскости (x, у) выделим три области: (2) Дх) = -с, (2) Дх) = 0; (3) Дх) = +с. Эти три области разделены пря- мыми, которые называют линиями переключения. Такую фазовую плоскость называют многолистной. На каждом листе (1, 2, 3) полу- чится свой вид фазовых траекторий. По лини- ям переключения эти листы "сшиваются". Фа- зовые траектории непрерывно переходят с одного листа на другой (за исключением неко- торых особых случаев, где они могут встре- чаться). В области (2) интегрирование уравнения (2.1.17) дает: х = -kicTi ln|y - Ajcj - 1\у + Ср (2.1.18) Фазовые траектории имеют асимптоту у = к\С, к которой они стремятся при неогра- ниченном увеличении х (рис. 2.1.31). В области (2) фазовые траектории - пря- jp молинейные отрезки у = - — + Сг • Наконец, в области (3) уравнение (2.1.17) дает х.= k^Ti 1п|у + Ахс| - Т\у + С3. (2.1.19) Фазовые траектории стремятся к асимптоте у = -kic при уменьшении х. Рас. 2.131. Фазовые траекторяя релейпой сястемы общего вада
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 171 В целом фазовые траектории принимают спиралевидную форму. Эго соответствует зату- хающим колебательным процессам. Они зату- хают не до нуля, а до некоторого значения (рис. 2.1.31, 2.1.32) в интервале -Ь\ < х < , у = 0 внутри зоны нечувствительности реле (см. рис. 2.1.9, а). Вместо особой точки полу- чается особый отрезок равновесных состояний. В случае петлевой гистерезисной харак- теристики (см. рис. 2.1.9, в) будет отсутство- вать область (2) (см. рис. 2.1.31). В этом случае слева от линии переключения (рис. 2.1.33) строим фазовые траектории по уравнению (2.1.18), а справа - по уравнению (2.1.19). Снаружи фазовые траектории образуют схо- дящиеся спирали, а изнутри расходящиеся, стремящиеся к предельному циклу, который выделен утолщенной замкнутой линией. Это устойчивый предельный цикл, отвечающий автоколебаниям. Установившийся режим работы такой сис- темы является автоколебательным. Так рабо- тают, например, вибрационные регуляторы напряжения сети постоянного тока. Парамет- ры системы должны быть выбраны так, чтобы амплитуда и частота автоколебаний находи- лись в допустимых пределах. Рас. 2.1.33. Фазовые траектории релейной системы с гистерезисом Система со скользящим процессом. Задана система автоматического регулирования (рис. 2.1.34) с нелинейностью Д*]) (см. рис. 2.1.9, д) уравнениями р2х = kxx2; х2 = F(xi) = csignxb xi = -х - хос = -(1 + kocp)x. Представляем их в виде = У, = ~kiC Sign(x + Лос>). (2.1.20) Дифференциальное уравнение фазовых траекторий: = -y-sign(x + fcocy). (2.1.21) Линия переключения на фазовой плос- кости (рис. 2.1.35) у = --^—х. (2.1.22) ^ос Справа от этой линии х + к^у > 0. По- этому из уравнения (2.1.21) у2 = -2кхсх + Сх. Фазовые траектории - параболы, ветви которых направлены в отрицательную сторону оси х. Положение вершины параболы опреде- ляется произвольной постоянной Cj, т.е. на- чальными условиями переходного процесса Ряс. 2.1.34. Схема сястемы с простейшей релейной характеристикой Рис. 2.1.35. Фазовые траектории при скользящем процессе
172 Глава 2.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Слева от линии переключения х + < 0, и уравнение фазовых траекторий (2.1.21) дает параболы у2 = 2кхсх + С2. На отрезке АВ линии переключения фа- зовые траектории встречаются. Начнутся быст- рые переключения реле около нулевого значе- ния Х\ (см. рис. 2.1.9, д) с +с на -с, причем изображающая точка М (см. рис. 2.1.35) будет двигаться к началу координат. Это и именует- ся скользящим процессом в системе. Закон движения в скользящем процессе оп- ределяется уравнением линии переключения: ^• + -!-Х = 0, (2.1.23) Л *Ос откуда х - xQe~t/koc. В результате нелинейная система второго порядка (2.1.20) на участке скользящего про- цесса вырождается, в линейную систему первого порядка (2.1.23). При этом закон движения в скользящем процессе не зависит от параметров прямой цепи системы и определяется только коэффициентом обратной связи. Система с логическим управлением. Урав- • пение вращения космического объекта вокруг своей оси имеет вид = Л/1Ф(ср,со), (2.1.24) где J - момент инерции; со - угловая скорость; М\ - постоянный вращающий момент со сто- роны системы управления, реализуемый газо- выми движками; Ф - логическая функция управления (Ф = -1, 0, +1). Уравнение системы преобразуется к виду •37 = сф(ф>“)> с=т- at at J Физический смысл величины с - постоянное угловое ускорение вращения объекта под дей- ствием момента М\. Дифференциальное урав- нение фазовых траекторий: = — Ф(ср,со). (2.1.25) Оср со В области, где Ф = -1, это уравнение приводит к фазовым траекториям в виде пара- бол: со2 =-2сф+С\. (2.1.26) В области, где Ф = +1, имеем фазовые траектории со2 = +2ар + С2. (2.1.27) Наконец, в области, где Ф = 0, получаем прямые линии со=С3. (2.1.28) Откладывая на фазовой плоскости (рис. 2.1.36, а) значения угла поворота ср тела вокруг оси, мы фактически получаем цилинд- рическую фазовую поверхность, которая здесь развернута на плоскость в пределах -тс < ср < +тс. По сравнению с идеальной картиной логического управления (см. рис. 2.1.36, о) учтем здесь влияние временного запаздывания в системе управления. Пусть Ti - запаздывание при включении газовых движков, а т2 - при их выключении. Подходя к линии включения движков ср = Ь\ (рис. 2.1.36, 6) по закону (2.1.28), за счет запаздывания Tj перейдет за эту линию на величину Дер = cirq. Вся линия включения наклонится вправо. б) Рис. 2.1.36. Фазовые траектории при логической нелинейности: а - идеальный; б - с запаздыванием
МЕТОД ТОЧЕЧНОГО ПРОБРАЗОВАНИЯ И МЕТОД ПРИПАСОВЫВАНИЯ 173 К линии же выключения движков со = -bi объект подходит по закону (2.1.26) с постоянным ускорением -с и засчет запазды- вания Т2 он перейдет за эту линию на величи- ну Дсо = -СТ2- Линия выключения w = -bi теперь сместится вниз (см. рис. 2.1.36, б). Фазовые траектории сходятся к предель- ному циклу, т.е. установившийся процесс ста- билизации космического объекта будет автоко- лебательным. Система с переменной структурой. Часто в системах, склонных к колебаниям, при помо- щи переменной структуры стремятся органи- зовать скользящий апериодический процесс. Пусть измерительное и исполнительное уст- ройства вместе с регулируемым объектом (рис. 2.1.37, а) описываются передаточной функцией ^>=4- Звено 1 имеет коэффициент усиления к\, зве- но 2 - коэффициент усиления - к\ (перемена знака сигнала). В переключающем устройстве формируется величина dx хх=у + сх\ у = — , (2.1.29)- причем уравнения системы J2x . , + к\кх = 0 при х^х > 0; J2x . —у- - к\кх - 0 при х^х < 0. dt1 (2.1.30) (2.1.31) Линиями переключения будут: ось у, где х = 0, и прямая у =-сх, х{ = 0. (2.1.32) Тогда (рис. 2.1.37, 6) в правой полуплос- кости - над линией переключения, а в левой - под ней, где ХХ\ > 0, фазовые траектории бу- дут эллипсами. В остальных областях, где xxi < 0, - гиперболами. Все фазовые траекто- рии встречаются на линии переключения у ~ - сх. Это и означает наличие скользящего процесса. Но в отличие от случая, описанного выше, здесь линия скользящего процесса не ограничена. Поэтому при любых начальных условиях система входит в режим скользящего процесса без предварительных колебаний. Рис. 2.1.37. Система с переменной структурой: а - схема системы; б - фазовые траектории системы 2.1.5. МЕТОД ТОЧЕЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МЕТОД ПРИПАСОВЫВАНИЯ Метод точечного преобразования базиру- ется так же на использовании фазового про- странства. Возьмем некоторую линию АВ (рис. 2.1.38 ). Ее пересекает фазовая траектория в точке Q. С увеличением времени t эта фазовая траектория снова пересечет линию АВ в дру- гой точке Q'. Обозначим координаты точек Q и С по дуге АВ через 5 и s'. Точку Q' назы- вают последующей по отношению к исходной точке Q. Зависимость •s’ = называют точечным преобразованием линии АВ самой в себя. Рис. 2.1.38. К принципу точечного преобразования
174 Глава 11. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Рис. 2.1.39. Точечное преобразование: а - функция последования; б - диаграмма точечного пробразования В случае, когда последующая точка Q' совпадает с исходной Q (рис. 2.1.39, а) J(s) = s = s*, получится замкнутая фазовая траектория (см. рис. 2.1.38). Это называют точечным преобразо- ванием точки самой в себя. В большинстве случаев бывает легче на- ходить функцию преобразования в параметри- ческой форме. В качестве параметра берется время т прохождения изображающей точки по фазовой траектории от исходной Q (см. рис. 2.1.38) до ее последующей Q': S = ^=/2«. (2.1.33) Строятся графики этих функций (рис. 2.1.39), что именуется диаграммой точечного преобразо- вания. Точка пересечения их дает координату s' = s = 5 ♦ замкнутой фазовой траектории (предельного цикла), причем абсцисса этой точки определяет период Т соответствующих колебаний системы. Ход точечного преобразования: берем некоторую исходную точку на кривой s (см. рис. 2.1.39). Перемещаемся по вертикали до кривой s', находя тем самым последующую точку при том же значении параметра Tj (это будет время движения изображающей точки по фазовой траектории от Q до Q' на рис. 2.1.38). Затем найденную последующую точку принимаем за новую исходную, для чего по горизонтали (см. рис. 2.1.39) переносим ее на кривую s. После этого переходим снова на кривую 5* уже при новом значении т = Т2 и т.д. Весь ход точечного преобразования пока- зан на рис. 2.1.39, б стрелками. В данном слу- чае получен устойчивый предельный цикл (автоколебания с периодом 7). Отсюда условие устойчивости предельного цикла'. На рис. 2.1.40 иллюстрируется вид диа- грамм точечного преобразования для других четырех случаев: а - неустойчивый предельный цикл; б - наличие двух предельных циклов, из которых один неустойчивый, а второй устой- чивый; в - расходящиеся колебания, г - зату- хающие колебания.
МЕТОД ТОЧЕЧНОГО ПРОБРАЗОВАНИЯ И МЕТОД ПРИПАСОВЫВАНИЯ 175 Рис. 2.1.41. Фазовая траектория релейной системы Пример 2.1.2. Заданы уравнения объекта и регулятора: (TiP +1) = ; PXi = F(X), ще Дх) - гистерезисная релейная характери- стика (рис. 2.1.9, в). Представляем уравнения в форме ^ = у; Т1% + У = ~к№- <21-34) На фазовой плоскости (х, у) нанесем ли- нии переключения: х = b при у > 0; х = -Ь при у < 0. Это будут полупрямые По и ГЦ (рис. 2.1.41). Ввиду нечетной симметрии характери- стики Дх) можно рассматривать только один участок фазовой траектории QQ\ идущий от полупрямой По до П1, так как закон возвра- щения этой траектории к линии По аналоги- чен. Это является точечным преобразованием полупрямой По в полупрямую Пр Пусть в точке Q будет t = 0, а в точке Q\ обозначим t = т. На участке фазовой траекто- рии QQi имеем Дх) = с. Интегрирование уравнений (2.1.34) дает у = С1е"//7’1 -^с; (2.1.35) х = - кга + С2. (2.1.36) Обозначим ординаты точек Q и Qi соот- ветственно через у и Ур Закон точечного пре- образования будем искать в виде функций Уо(т), У1(т). Из первого уравнения при началь- ных условиях: t = 0, х = Ьу у = уо определяем J'l = Оо + кхс)^/т' - кхс, (2.1.37) а из второго уравнения Уо = kiCt - kic. (2.1.38) 71(1-е /Г1) Тогда из (2.1.37) с учетом (2.1.38) полу- чим У1 = к{П~^т Ъ~х/Т'-к\С. (2.1.39) 7i(i-e /Г1) Эти формулы и являются искомыми за- конами точечного преобразования в парамет- рической форме. Построим диаграмму (рис. 2.1.42) точеч- ного преобразования в виде кривых Уо(т) и >*1(т). (Переменная У\ берется по модулю). Тут в переходном процессе определены все значе- ния ординат уо и yi и время т движения на каждом участке, а также амплитуда у* и полу- период Т автоколебаний. Это позволяет по- строить переходный процесс для переменной у (рис. 2.1.43), а затем и для переменной х (рйс. 2.1.44, где х* - амплитуда автоколебаний). Полнее о методе точечного преобразова- ния см. [10, 23, 27]. Рис. 2.1.42. Диаграмма точечного преобразования релейной системы У Рис. 2.1.43. График скорости процесса
176 Глава 2.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Рис. 2.1.45. Седловые особые точки: а - седло-узел; б - седло-фокус Рис. 2.1.44. Переходный процесс установления автоколебаний Существует еще так называемый "метод припасовывания”. Он применяется в основном к нелинейным системам типа кусочно- линейных, т.е. таких, у которых динамика процессов описывается различными линейны- ми дифференциальными уравнениями по уча- сткам. Решения, найденные для отдельных участков, сшиваются аналитически (или чис- ленно на ЭВМ). При этом произвольные по- стоянные интегрирования вычисляют каждый раз, полагая, что начальные условия для /1-го участка определяются значениями переменных в конце (л - 1)-го участка. Пример см. в рабо- те [30]. 2.1.6. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО СИСТЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА Выше рассмотрены типичные для нели- нейных автоматических систем собственные динамические процессы на примерах систем второго порядка. Поведение же систем более высокого порядка, начиная с третьего, облада- ет особенностями. Известно, что и в линейных системах третий порядок тоже имеет принци- пиальные отличия от второго, например, воз- можность появления неустойчивости при всех положительных коэффициентах уравнения. В нелинейных системах высокого поряд- ка кроме особых (стационарных) точек и пре- дельных циклов, рассмотренных ранее (см. п. 2.1.3), встречаются и более сложные типы особых точек, например, типа седло-узел (рис. 2.1.45, а) и седло-фокус (рис. 2.1.45, 6). Возможен также седловой предельный цикл (рис. 2.1.46), где имеется устойчивая траекто- рия на цилиндрической поверхности А и неус- тойчивая - на плоскости В. Что касается простого предельного цикла (периодического движения), то при его устой- чивости в системе, как известно, имеют место автоколебания. Устойчивость предельного цикла в нелинейных системах высокого по- рядка может был» определена так называемы- ми показателями Флокё следующим образом. В уравнении системы Рис. 2.1.46. Седловой предельный цикл: А - устойчивый; В - неустойчивый х = /(х); х = {хь...,хл}; / = {/ь. (2.1.40) вводится малое отклонение от предельного цикла х = хп + £ . Это выражение подставля- ется в (2.1.40), и функция /раскладывается в ряд по степеням £ с отбрасыванием всех чле- нов степени выше первой. Получаются урав- нения первого приближения с периодически- ми коэффициентами: п ii = k=l а1*т = а-г dXf (2.1.41) Общее решение этой линеаризованной системы п 7=1 где /у - периодические функции. Комплексные числа ау называют показателями Флокё. Один из них при наличии периодического решения обязательно равен нулю. Исследуемое перио- дическое движение будет устойчиво, если все
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО СИСТЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 177 вещественные части остальных Оу отрицатель- ны. Если какие-нибудь из них положитель- ны - периодическое движение неустойчиво. Случаи седловых пространственных тра- екторий, как например, на рис. 2.1.45, имеют место, когда вещественные части показателей Флоке ау имеют разные знаки. В системе высокого порядка (в отличие от второго) устойчивым состоянием кроме положения равновесия (устойчивая особая точка) и периодического режима автоколеба- ний (устойчивый предельный цикл) может был» еще квазипериодическое движение с двумя или более рационально независимыми часто- тами. Например, в системе третьего порядка оно изображается в фазовом пространстве в виде инвариантного тора, т.е. устойчивой тра- ектории на поверхности двумерного тора, и имеет две рационально независимые частоты. Это представляется в фазовом пространстве как сумма двух движений изображающей точ- ки М: вращение aj(/) вектора Jj, т.е. враще- ние поперечного сечения тора вокруг центра #1 (рис. 2.1.47) и одновременно вращение <Х2(0 вектора /г» т е- точки на поверхности тора вокруг точки 0%. На рис. 2.1.48 показано рождение инвариантного двумерного тора из теряющего устойчивость предельного цикла (перерождение периодического движения в квазипериодическое) в нелинейной системе третьего порядка. В системах же высокого порядка возможны и более сложные картины движения. Рис. 2.1.47. Тороидальное фазовое пространство Рис. 2.1.48. Рождение двумерного тора из теряющего устойчивость предельного цикла В теории нелинейных систем различные виды установившихся режимов (устойчивая стационарная точка, устойчивый предельный цикл, инвариантный тор) имеют общее на- именование аттракторов. Указанные типы установившихся режимов называют простыми аттракторами. Кроме того возможны хаоти- ческие режимы колебаний системы (в сплош- ных средах это турбулентность). Если эти ре- жимы таковы, что фазовые траектории заклю- чены в ограниченной области фазового про- странства, то такие хаотические режимы назы- вают странными аттракторами. Следователь- но, странный аттрактор представляет собой один из важных видов установившихся со- стояний нелинейной системы высокого по- рядка с паутинообразным комплексом неза- мыкающихся фазовых траекторий, к которым притягивают все окрестные траектории пере- ходных процессов (как ранее притягивались к стационарным состояниям). Это есть устано- вившееся состояние динамического хаоса не- линейной системы. Процессы возникновения хаотических движений со странными аттракторами в дина- мических системах различны. Отметим три таких процесса. Процесс первый. С изменением некото- рого основного параметра в нелинейном ди- намическом уравнении системы высокого по- рядка могут происходить бифуркации, вызы- вающие перестройку фазовых траекторий. В результате система от первоначального рав- новесного состояния, переходя через периоди- ческий режим, может получить трехчастотное квазипериодическое движение, как правило, неустойчивое. Оно разрушается, и возникает хаотический режим в ограниченной области. Это и есть странный аттрактор. Процесс второй. С изменением парамет- ров системы могут наблюдаться бифуркации последовательного удвоения периода предель- ного цикла (рис. 2.1.49). Когда при опреде- ленном значении параметров системы пре- дельный цикл достигает бесконечно большого периода, т.е. превращается в незамыкающуюся фазовую траекторию в ограниченной области, то тем самым формируется хаотический уста- новившийся режим - странный аттрактор, притягивающий, как это было в предельных циклах, окружающие фазовые траектории (не показанные на рис. 2.1.49). О 20 40 <л>,Гц Рве. 2.1.49. Переход в странному аттрактору через последовательность бифуркаций
178 Глава 22 АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Рве. 2.1.50. Точечное преобразование режима с перемежаемостью Рве. 2.1.51. Двукратный устойчавый цикл Процесс третий. В некоторых динамиче- ских системах переход к хаотическому режиму при определенном сочетании параметров про- исходит через так называемую перемежае- мость, когда участки (во времени) почти пе- риодических колебаний начинают чередовать- ся с всплесками хаотических режимов, после чего устанавливается странный аттрактор. Ил- люстрация режима колебаний с перемежаемо- стью представлена специфической диаграммой точечного преобразования (рис. 2.1.50). Там, начиная с точки Л, идет определенная после- довательность хода точечного преобразования, соответствующая колебательному процессу. Видно, что этот процесс неизбежно попадает в окрестность максимума кривой, после чего, совершив несколько нерегулярных колебаний, процесс снова отбрасывается в область малых значений координат. Отсюда все снова повто- ряется аналогичным образом по близкому, но несовпадающему с прежним, маршруту. В результате движение в целом не будет иметь никакого конечного периода (в духе странного аттрактора). Возможность возникновения описанных явлений в нелинейных динамических системах надо учитывать, имея в виду, однако, что в системах автоматического управления они, как правило, недопустимы. Наконец, отметим еще одну особенность колебательных процессов, не фигурировавшую ранее в примерах п.п. 2.1.4 и 2.1.5. Там рас- сматривались простые колебательные процес- сы, когда каждый предельный цикл (устойчивый или неустойчивый) определялся на диаграмме точечного преобразования одной точкой пересечения кривой fts) с биссектри- сой координатного угла (например 5*, см. рис. 2.1.39, а). Однако в нелинейных системах могут существовать более сложные колебатель- ные процессы, характеризующиеся не точка- ми, а циклами на диаграммах. На рис. 2.1.51 показан, например, двукратный устойчивый цикл диаграммы точечного преобразования. Здесь кроме одной точки пересечения S* (в данном случае неустойчивой) появляются еще двукратные точки , изображающие сложный установившийся режим колебаний системы. В общем случае могут существовать и т- кратные точки. Более подробно с изложенным в данном параграфе материалом можно познакомиться в работе [17, гл. 2]. Различные методы исследования фазо- вого пространства систем высокого порядка см. (27, 39]. О более сложных нелинейных колебани- ях и о хаотических колебаниях, которые явля- ются детерминированными беспорядочными (непериодическими) Нелинейными колеба- ниями без наличия случайных процессов, см. книгу Ф. Мун, Хаотические колебания, М. "МИР", 1990. Они изображаются в фазовом пространстве в виде странного аттрактора, когда отдельная фазовая траектория с течени- ем времени может заполнять целую область. Глава 2.2 АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Автоколебания - это устойчивые незату- хающие собственные колебания, возникающие в системе без каких-либо внешних колебатель- ных воздействий, но при наличии какого-либо источника энергии, поддерживающего колеба- ния. Они являются следствием собственных внутренних свойств системы. При этом ампли- туда и частота автоколебаний не зависит от начальных условий процесса. Конечно, не в любой нелинейной системе будут обязательно автоколебания, но существенно то, что возни- кают они только при наличии нелинейности.
МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ И МЕТОДЫ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 179 2.11. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ (ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА) И МЕТОДЫ МАЛОГО ПАРАМЕТРА Исследование и расчет нелинейных сис- тем высокого порядка методом гармонической линеаризации (гармонического баланса) про- водят при любых видах нелинейностей, в том числе и релейных. Но для релейных систем существует и точный метод, который изложен в гл. 2.5. Осамы метода. В уравнениях динамики нелинейной системы, относящейся к первому классу (см. п. 2.1.1), какую бы сложную струк- туру она ни имела, выделяется нелинейность (см. рис. 2.1.1, а) в ваде (2.1.2), а вся линей- ная часть системы описывается передаточной функцией (2.1.3) или дифференциальным уравнением (2.1.1). Амплитудная частотная характеристика линейной части имеет обычно вид, представ- ленный на рис. 2.2.1, где 7 - при наличии нулевого полюса, 2 - при его отсутствии. Подадим на вход нелинейности сигнал x^asinco/. (2.2.1) На выходе нелинейности возникнут высшие гармоники, которые нельзя считать малыми. Но, проходя через линейную часть системы в соответствии с ее частотной харак- теристикой (см. рис. 2.2.1), они сильно уменьшают свои амплитуды по сравнению с первой гармоникой. Свойство линейной части автоматиче- ской системы подавлять высшие гармоники, генерируемые нелинейностью, называют свой- ством фильтра. Это свойство, как правило, хорошо выполняется в автоматических систе- мах высокого порядка (начиная с третьего). На этом основании не .будем принимать в расчет высшие гармоники на выходе нели- нейности (при необходимости их можно учесть [29]). ятейвой часта Выходная переменная нелинейности по первой гармонике записывается в виде У = F(x) = 9(e)+^-^plx (I) (2.2.2) (для статической нелинейности F(x) при от- сутствии flj) на рис. 2.1.1, а); 2я q = — J F(a sin ф) sin цяАр, о ц/ = со/; (2.2.3) 2л q* = — J F(a sin ф) cos У динамических нелинейностей F(x, рх) поя- вится еще зависимость q и q’ от о [29], так как под интегралами будет функция /(asiny, a® cosц/). Это и называют гармонической линеариза- цией нелинейности, а величины q(a) и q\a) - коэффициентами гармонической линеаризации. Гармонически линеаризованная переда- точная функция статической нелинейности: И'н («, *) = угг = ?(«) + <2.2.4) Л (5) (О Амплитудно-фазовая ее характеристика (при s = /со) И'н (") = ?(«) + /?'(«)• (2.2.5) зависит только от амплитуды и не зависит от частоты, в противоположность характеристи- кам линейных звеньев. В динамических нели- нейностях появляется зависимость от ампли- туды и от частоты. Для нелинейных систем второго класса, когда имеется две или несколько нелинейно- стей, разделенных линейными частями (см. рис. 2.1.2), требуется выполнение свойст- ва фильтра для каждой из линейных частей системы. В случае несимметричной нелинейности несимметричными окажутся и колебания. Для систем первого класса будем иметь х = х° + asincof, где х° - постоянная составляющая. При этом для статических нелинейностей у = F(x) = F°(x°,a) + [f(a,x°) + + Ч (а'Х ) р х*, (2.2.6) со
180 Глава 22 АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ где F® - постоянная составляющая, х* = a sin со/, причем С(Х) + Л(Х) q(a,to) + Ч'(а,ю} СО X =0. 2л Г° = — J Г(х° + a sin v|/)*fy; о 2л q = — Г F(x° + a sin ц/) sin ЯД J о 2л q* = — f F(x° + a sin ц/) cos\|/(fy. яд J о (2.2.12) (2.2.7) (2.2.8) Для динамических нелинейностей фор- мулы усложняются [29]. Вычисленные для ряда типовых нелинейностей коэффициенты гармонической линеаризации и их графики для симметричных колебаний представлены в табл. 2.2.1, а для несимметричных колебаний - в табл. 2.2.2, которыми и следует пользоваться при определении колебаний в конкретных нелинейных системах. Существуют два основных способа опре- деления автоколебаний на этой основе: алгеб- раический и частотный. Алгебраический способ определения авто- колебаний и их устойчивости. Для определения симметричных автоколебаний в системах первого класса согласно (2.1.1) и (2.1.2) запишем уравнение замкнутой системы (при ЛО - 0): Q(p)x + R(p)F(x, рх) = 0. (2.2.9) Периодическое решение уравнения (2.2.11) соответствует паре чисто мнимых Х^ = характеристического уравнения, т.е. равенству: Q(je>) + А(/о )[«(«>«>) + /?'(«.“)] = Л Выделив вещественную и мнимую части: Х(д, со) + jY(a, со) = 0, получим два алгебраических уравнения Х(*,ю) = 0; Г(д,со) = О, (2.2.13) корней из которых и определяются искомые амплиту- да и частота а, со периодического решения. Надо исследовать его устойчивость. Вы- вод критерия устойчивости периодического решения см. [30]. Критерий имеет вид дХ dY\* (dY дХV Л --------------------------> °: . да дсо ) \ да да J (2.2.14) где звездочка означает, что после дифферен- цирования выражений (2.2.13) надо подставить значения а и со периодического решения. В дополнение нужно потребовать, чтобы многочлен Решение ищется приближенно в форме х = о sin со/ с двумя неизвестными д и со. После гармонической линеаризации при ста- тических нелинейностях Дх) уравнение при- обретает вид е(Х)+л(Х)[?+^-х \ со > X2 + со2 (2.2.15) Q(P) + R{p) 9(a) + Р к = 0, (2.2.10) со а при динамических Дх, рх) - Q(p) + R(p) q(a,m) q(a,to) 1 + L p Ух = 0. co JJ (2.2.11) Поскольку в искомом решении а = const и со = const, то это уравнение можно рассматривать как обыкновенное ли- нейное уравнение, но с неизвестными посто- янными коэффициентами, зависящими от искомого решения, что характерно для нели- нейных систем. Характеристическое уравнение гармони- чески линеаризованной системы в общем случае: удовлетворял критерию Гурвица (или Михай- лова). В случае систем третьего и четвертого порядка для этого достаточно потребовать лишь положительности коэффициентов урав- нения. Применение алгебраического способа к системам второго класса см. в книге [29]. Частотный способ определения автоколе- баний. Для систем первого класса записывают- ся амплитудно-фазовые частотные характери- стики линейной части и статической нелиней- ности в виде = «<в>+ (2.2.16) Пара чисто мнимых корней характери- стического уравнения замкнутой системы по- является, когда -ВГЙ- <1!л”
МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ И МЕТОДЫ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 181 Рис. 2.2.2. К определению автоколебаний Это комплексное уравнение определяет амплитуду а и частоту со. Графическое реше- ние находится пересечением В двух кривых (рис. 2.2.2), на одной из которых имеются отметки значений со, на другой а. Критерий устойчивости периодического решения (см. (30]): положительный отсчет амплитуды а вдоль кривой - 1/И^в) (см. рис. 2.2.2) должен быть направлен изнут- ри вовне через кривую И^(/со). Несимметричные автоколебания. Для их определения воспользуемся алгебраическим способом. Уравнение нелинейной системы с внеш- ним воздействием ДО (см. рис. 2.1.1, а): Q(p)x +R(p)F(x) = S(p)f(t). Положим правую часть здесь постоянной: = cf. Это может был» в двух случаях: а) /(0 = const = /°, Су = 5(0)/°; б) /(0 = /° + ct при S(p) = pSx (р), Cf=cSt(fS). Второй из них - для систем с нулевым полю- сом в передаточной функции линейной части. Решение уравнения системы Q(p)x + R(p)F(x) = Cf (2.2.18) ищется в виде колебаний с постоянной состав- ляющей: х = х° + х*; х* - a sin со/. (2.2.19) Однако несимметричные колебания мо- гут иметь место и в системе без внешнего воз- действия = 0), если F(x) - несимметрич- ная нелинейность (см. рис. 2.1.7). В результате гармонической линеариза- ции нелинейности (2.2.6. - 2.2.8) получим = Су. Вьщелим отсюда уравнение для постоянных составляющих: Q(0)x° + R(0)F°(x°,a) = Су (2.2.20) и уравнение для периодических составляющих: + я(/>)[?(а,х°) + q'(a,x°)p / = 0. (2.2.21) Постоянная составляющая Х° и колеба- тельная х*, т.е. в и со, определяются не в от- дельности, а только путем совместного реше- ния этих уравнений. Сначала из алгебраиче- ского уравнения (2.2.20) определяется зависи- мость Х° = Х°(а). (2.2.22) Затем подстановка ее в выражения q(a, Х°) и q’(a, х°) для заданной нелинейности дает но- вые выражения и графики для q(a) и q'(a). Тогда уравнение приводится к виду (2.2.10) и прежним путем решается, после чего по (2.2.22) определяется и Х°. Методы малого параметра Рассматрива- ются колебания, близкие к синусоидальным, на основе предположения о малости отклоне- ния нелинейности от линейной характеристи- ки. Так, выражения для нелинейностей вида у — F(x) заменяются на у = йх + цГ(х), где ц - малый параметр. Такой метод малого параметра разрабо- тан Б. В. Булгаковым, в том числе и для авто- матических систем. Для уравнения второго порядка р2х + со о* = ц/Х*, рх) Ван-дер-Полем был предложен приближенный метод медленно меняющихся коэффициентов. В отличие от некоторых других методов ма- лого параметра он не дает возможности по- строения высших приближений, но зато по- зволяет определить не только само периодиче- ское решение, но и процесс его установления во времени вблизи этого периодического ре- шения. Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов [3] разработали асимптотический метод, позво- ляющий строить высшие приближения не
182 Глава 2.2. АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 2.2.1. Коэффициенты тарном илю! лииеарпащн Л х) «<0) ?'(a) 1 9 = 0 при а* 1т, С 5Г 2с . « = -т«о. в**. по 9' = 0 -С § II 1 ft 1» 2 с ~о л § -I ч $1 К II И S ft< 9' = 0 F JC 2С t | С оъгъзь х а л£т£л + 1, л = 1,2,...; о 4с , Q = ~tQo, по «' = o п 0О-= V=1 —/1 - Г— ay 1а )2 F 4С . q=Tbqb' с Ч ТЧ$> а ПО 7 1 Т сч 53 1 •ft 1 ft II § 96 = --4 40 a2 Fa С - X 9- 4С = к + — па q' = 0 F С fl 2с . « = -7«0> ebfr. ПО о |< Ci 1 к II ftt __ 7п ф Л ь q^- । ft |» 1 to + T 1 (N . О « ! П •ft II f mb}2 \ a J
МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ И МЕТОДЫ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 183 для симметричных колебаний Графики Числовые значения a/b 1 1,1 1,2 1,3 72 1,7 Яо 0 0,76 0,92 0,98 1 0,96 а/Ь 2 2,5 3 4 6 10 Яо 0,86 0,71 0,63 0,48 0,33 0,20 9i 0 а a 0 0,2 0,5 1 1,5 2 5 10 9s oo 5 2 1 0,67 0,5 0,2 0,1 0,6 ол 0,2 : ffCi J 1 ! ।—► a/b 0 1 1,2 1,7 2 2,2 Я0 0 0 0,46 0,5 0,48 0,43 0,6 a/b 2,5 2,7 3 3,2 3,5 3,7 4 и 1 £ э * о 9b 0,61 0,59 0,56 0,64 0,65 0,64 0,6 0,5 0 —ЛК II \ -0,6 1 2 За/Ь ' Г 1 г 3 afb —I— - I - I / I / " I/ - !/ a/b 1 1,1 1,2 Л 2 3 6 9s 0 0,38 0,46 0,5 0,43 0,31 0,16 -90 1 0,83 0,69 0,5 0,25 0,11 0,03 О 1 г за/ь о 1 2 з а/ь a/b 1 для m - 0,5 3 6 1,1 1,2 4i 2 9o 0,87 1,19 1,22 1,16 0,92 0,64 0,32 -9o 0,5 0,41 0,35 0,25 0,12 0,04 0,01
184 Глава 2.2. АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ q = к, при а £ Ь\ q = kq^ при а £ Ь\ b 00 = хР, Р = - q = к, при а £ Ь> q = kqn, при az к b 00 = 1 - ХР, Р = - а <7' = 0 q = kq$, при a z mb\ 00 = 1 “ Хр> mb < а <>Ь\ 90 = Х₽2 " Х₽1, » _mb Ь ₽1=-Г’ ₽2 = а ?' = 0
МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ И МЕТОДЫ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 185 Продолжение табл. 2.2.1 Графики Числовые значения а/Ь 1 1,2 1,5 2 2,5 3 5 Яо 0 0,11 0,29 0,5 0,63 0,71 0,86 -90 0 0,18 0,28 0,32 0,30 0,28 0,20 для кусочно-линейных характеристик Х(Р) = -^(arcsin р + P-J1 - Р2] р 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 X 1,000 0,963 0,896 0,811 0,716 ₽ 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 X 0,609 0,495 0,376 0,253 0,127 1 0,5 0 к - • 1 1 1 1 1 1 ► 1 2 5 Я 5 а/Ь а/Ь 0 1 1,5 2 3 4 5 7 10 Яо 1 1 0,78 0,61 0,42 0,31 0,25 0,18 0,13 ч 0,5 0 \ ж 1 г 3 4-50/5 а/Ь 1 1,5 2 3 4 5 7 10 СО Яо 0 0,22 0,39 0,58 0,69 0,75 0,82 0,87 1 1 0.5 0 L т~0,5 LJ । » । ж 0,5 1 1,5 2 2,5 а/Ь а/Ь 0,5 0,6 Д 0,8 та т 1 = 0,5 1,5 2 3 5 10 Яо 0 0,23 0,66 1 0,91 0,75 0,53 0,33 0,17
186 Глава 2.2. АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Дх) F-ksinx X J F*KXl X F’Xxltifnx F*x", п-нечетме Fsxnnqnxfl-4emHoe 9=Mt>; go = 1 при a £ b\ *2 (*2 . ’°-IT "U 1 o b $=—\a^b a хР; 2k r . . 9 = —^l(a). a J\ - функция Бесселя первого рода q = —ко1 = 0,75faz2 g q = —ka = 0,85faz Зя 3-5...n . л-1 q -------------kan 1 * 4-6...(Л + 0 .4 2-4...П . л-i q =--------------kan 1 * яЗ-5...(л + 1) « = у[х₽2 + ХР1] Р1=-^, ₽2=^- a>bi к 9 = у [хРз - Xp2 - XP1 + XP<] ₽i 4’ ₽*4> P’4 n th + th-lb . P 4 = ' ; , a>- *3 a ? = у[хРз -хРг-xPi] Pl =-y. P2 =-y-> e^*2 a a Рз=1-^- д' = 0 < = 0 < = 0 4b[C ^ =“• 2 jut С=Ц*2-*1) ._ 2c(bi - bj) ’ ~ 2 с = к(Ьз-Ь2) , 2k 4' =---fX ЯЛ X (h - a)№ -
МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ И МЕТОДЫ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 187 Продолжение табл. 2.2.1
2.2.2. Гармоническая линеаризация при несимметричных колебаниях Дх) Г°(лР, а) «и А с 4 1 Л® X 2с . х° —arcsin— л а — 11 - (— 2 ла v a J 0 Г 0 ? с с xQ — +— arcsin— 2 п а — 11 f *0>|2 ла u к а J 0 С с с . х° -Ь — + —arcsin 2 п а 2< 4Р1 0 1 1 f х° ~ ГТ 11 1 ZT .2 0 b X U у «4 с ( . b + xQ — arcsin 2л а . b-xQ -arcsin + а . mb + х° + arcsin а . mb-x^\ -arcsin а ) 1- 2сд . . —j-O-»1) aL К с 0 i 1 » < С ла 1 _ Гд + х0> 1| 1 а ) 2 _1! л'» + 1 + J км1. II 1 а ) Г/лд + х0> 1 J 2 Ч < А °х 1 а 1 2 Глава 2.2. АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ И МЕТОДЫ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 189 Продолжение табл. 2.2.2
190 Глава 2.2. АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Продолжение табл. 2.2.2
МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ И МЕТОДЫ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 191 Продолжение табл. 2.2.2
Дх) F°(xP, a) q(a, х°) #o(a)sinx°, /О - функция Бессе- ля первого рода нулевого порядка 2л о —/i(e)cosxu, J1 - функция Бесселя первого рода (см. табл. 2.2.1) к (х0)3 + -^х°а2 Зк Г /121 (х°)2+^- 4 г° Ла2 2—х(Р) + а + |х(Р), х° ₽=т 4Лв{) Зя 7 § " '"ПТ' 1 NJ К_> ! * Р F-Q при х< о; F~x* при х>0 / а + 2х(₽) - + х(Р)+|х(Р) 4 з4 _ а2 ft 4ft2
Продолжение таби. 2.2.2 8 q\a) Графики Глава 2.2. АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 193 только для периодического решения, но и для процесса его установления во времени вблизи периодического решения в виде х = asin\|/ + ei/i(a,\|/) + 82i/2(fl,4/)+--- Кроме того, Н. М. Крылов и Н. Н. Бого- любов показали, что к тем же результатам первого приближения приводит энергетический баланс, т.е. сведение нелинейной задачи к ли- нейной с эквивалентными энергетическими соотношениями. На использовании введения малого па- раметра основывается также метод разделения движений [11]. Существует еще приближенный квазигармонический метод [46]. 2.2.2. АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА На примерах выявляются наиболее ха- рактерные особенности, свойственные автоко- лебаниям систем высокого порядка. Пример 2.2.1. Следящая система (рис. 2.2.3) описывается уравнениями: Рис. 2.2.4. График коэффициента гармонической линеаризации х = а-0; и = Г(х); (1\Р +1)/ = k\ и; (Т2р +1 )рР = k2i, где Дх) - нелинейная характеристика усили- теля с насыщением. Характеристическое уравнение гармони- чески линеаризованной системы: + (7| + 7*2 )А,2 + А, + knq(a) = О, *л = *1*2- После подстановки А, = усо получаем два уравнения Рис. 2.2.5. Кривые амплитуды и частоты на плоскости параметров Для характеристики с насыщением используем готовый график q(a) (см. табл. 2.2.1). С его помощью находим амплиту- ду а периодического решения, как показано на рис. 2.2.4. Имеют место автоколебания, так как критерий (2.2.14) удовлетворяется. Поскольку q(a) £ к, то условие сущест- вования автоколебаний: Х(а,ш) = 0, knq(a) - (TJ + Т^)®2 = 0; К(а,со) = 0, со - 7172®3 = 0. Из второго уравнения 1 а из первого (2.2.23) (2.2.24) (2.2.25) Рис. 2.2.3. Схема следящей системы где К = кЛк - общий коэффициент усиления разомкнутой цепи данной системы в линей- ном плане. На рис. 2.2.5 показана область автоколебаний, где изображены согласно (2.2.24) и (2.2.25) линии равных значений ши а. Пример 2.2.2. В следящей системе усили- тель имеет релейную характеристику (см. рис. 2.1.9, б). Решения (2.2.4) и (2.2.5) сохраняют свой вид. Меняется только график q(a) (рис. 2.2.6). Уравнение (2.2.25) имеет в результате два ре- шения ах и По критерию (2.2.14) оказыва- ется, что в точке а\ решение неустойчиво, а в точке а2 - устойчиво. В соответствии с этим на рис. 2.2.7 изображена зависимость амплитуды автоколебаний и неустойчивой амплитуды а\ от коэффициента усиления линейной части системы кц. При этом граничное значение коэффициента усиления 7 Зак 1023
194 Глава 2.2. АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Рис. 2.2.6. График коэффициента гармонической Рас. 2.2.8. Амплитуда (а) частота (б) автоколебаний Рис. 2.2.7. Кривые амплитуды периодического процесса Аналогично алгебраический способ при- меняется и к нелинейным системам с динами- ческими нелинейностями, а также системам второго класса [29]. Пример 2.2.4. Для следящей системы с релейным усилителем (см. рис. 2.1.9, б), ис- пользуя выражение q(a) из табл. 2.2.1, запи- шем 1 яд2 4cVa2 - Ь2 Графически эта функция изображена на рис. 2.2.9. Передаточная функция линейной части sCTjs + lXTzs + l)’ При < ^гр равновесное состояние ус- тойчиво при любых начальных условиях. Если bn < то равновесное состояние устойчиво лишь при малых начальных отклонениях (ниже линии tJi), а при больших начальных отклонениях устанавливаются автоколебания с амплитудой ^2- “ Пример 2.2.3. В той же следящей системе реле имеет петлевую характеристику (см. рис. 2.1.9, tf). Тут характеристическое уравне- ние получает вид TjT^ +(Ti+T2))? + Х+*Л 4fa)+—А- =0, СО Решение с учетом выражений q(a) и q '(а) (см. табл. 2.2.1) определяет зависимости а и со от параметра (рис. 2.2.8). Зависи- мость со(&л) отличает эту систему от предыду- щих, где частота со не зависела от В отличие от случаев, показанных на рис. 2.2.4 и 2.2.8 с мягким возбуждением авто- колебаний (от нулевых значений начальных условий), на рис. 2.2.7 для релейной системы с зоной нечувствительности имеем жесткое возбуждение автоколебаний, требующее заброса начального состояния системы за линию Амплитудно-фазовая частотная характе- ристика для нее приведена на рис. 2.2.10. Функция - 1/И^(д) в данном случае уклады- вается вся на отрицательной части веществен- ной оси, причем на участке b £ а £ bjl ам- плитуда отсчитывается слева извне внутрь кри- вой а на участке а > Ь^2 - в обрат- ную сторону. Следовательно, первая точка пересечения а\ дает неустойчивое периодиче- ское решение, а вторая а2 - устойчивое (автоколебания), что согласуется с прежним решением (см. пример 2.2.2). Рис. 2.2.9. Обратная амплитудная т враги рмг тага иг вииг Йип г та
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА 195 Рас. 2X12. Амплпуда смепщае несимметричных автоколебаний Пример 2.2.5. В следящей системе (рис. 2.2.11) заданы Дх) в виде рис. 2.1.9» б и передаточные функции 1\S +1 S(12s + V (2.2.26) Для решения алгебраическим способом запишем уравнение замкнутой системы (Г1Р + 1)(Г2р + 1)рх + ktk2F(х) = = *1(Т2/> + 1)/«(1). (2.2.27) Определим несимметричные автоколеба- ния при задающем воздействии g — g^t. В соответствии с (2.2.20)» (2.2.27) и табл. 2.2.2 получаем уравнение для постоянных состав- ляющих 2с х^ kfa —arcsin— = ktgi9 л а откуда находим зависимость x°=asin-^-. (2.2.28) 2с&2 Подстановка ее в выражение для q (см. табл. 2.2.2) дает Для определения частоты © и амплитуды а несимметричных автоколебаний используем уравнения (2.2.21) и (2.2.27) с данным значе- нием 9» откуда Рас. 2X11. Схема следящей системы 4ckik2T\T2 ng! Со __ . vvo - • Jc(7j + 7^) 2c^2 Тоща согласно (2.2.28) постоянная со- ставляющая (смещение) 0 = 2скхк2Т\Т2 . *g\ л(1\+Т2) ск^ Результаты представлены графически (рис. 2.2.12). Решения других конкретных задач опре- деления автоколебаний» в том числе и для нелинейных систем второго класса с двумя нелинейностями» приведены в работе [29]» ще также изложен метод и примеры вычисления высших гармоник автоколебаний как симмет- ричных» так и несимметричных. При этом вносится поправка и в первую гармонику ав- токолебаний. Для практики обычно бывает достаточно первого приближения. 2.2.3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА В отличие от линейных систем здесь ус- тойчивость системы может зависеть не только от структуры и параметров самой системы» но также и от исследуемого положения равнове- сия или процесса движения» и от размера на- чального отклонения» и даже от характера внешних воздействий. Поэтому при расчете нелинейных систем всегда должно оговари- ваться» какое ее состояние исследуется. Понятие устойчивости по Ляпунову. За- пишем уравнения динамики нелинейной сис- темы л-го порядка при отсутствии возмущаю- щих воздействий ^- = Ф/(х1,х2....х„), / = 1,2,...,л. (2.2.29) 7*
196 Глава 12. АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ При этом состояние системы, устойчивость которого исследуется, или как говорят, невоз- мущенное движение будет X/ = 0. Невозмущенное движение системы назы- вают устойчивым, если, задав "трубку” сколь угодно малого /1-мерного сечения с (рис. 2.2.13), можно подобрать в начальный момент t$ такую область начальных условий 8, зависящую от е, что с увеличением t возму- щенное движение х/1) не выйдет из заданной трубки е. Аналитическое определение понятия ус- тойчивости по Ляпунову формулируется сле- дующим образом. Невозмущенное движение системы X/ = 0 называют устойчивым, если при заданном е > 0, сколь бы оно мало ни было, существует такое 5 > 0, зависящее от е, что при началь- ных условиях |^/(A))|<S, / = 1, 2,...,/! (2.2.30) в дальнейшем движении (t < t < со) выполня- ется условие |х,(0|<е, / = 1, 2, (2.2.31) Если условия указанного выше опреде- ления выполнены и имеем х/1) -> 0 при t -+ со, то невозмущенное движение X/ = 0 называют асимптотически устойчивым. Если же х/1) -> 0 при t -+ со после любых началь- ных отклонений, то систему называют устой- чивой в целом. Существует еще понятие абсо- лютной устойчивости, означающее асимптоти- ческую устойчивость системы в целом при любом характере нелинейности (внутри опре- деленного класса нелинейных систем). В последующем придется иметь дело с непрерывными функциями координат состоя- ния системы V(x\, Х2, ...» хл), обладающими свойствами V= 0 при Х\ = Х2 = — = хп = 0. Рис. 2.2.13. К определении» понятия устойчивости по Ляпунову Функцию V называют знакоопределенной (положительной или отрицательной), если во всей рассматриваемой области, содержащей начало координат, она сохраняет один и тот же знак и обращается в нуль только в начале координат, как, например, при п = 3 функция V = а2х2 + Ь2х2 + с2х2. Если же функция V сохраняет один и тот же знак, но обращается в нуль не только в начале координат, то такая функция - знакопо- стоянная (положительная или отрицательная). Например, при п = 3 функция V - (xj + х2)2 + с2х2 обращается в нуль на прямой х2 — - Xj при х3 = 0. Наконец, функцию V называют знакопе- ременной, если она в рассматриваемой области не сохраняет одного и того же знака. Например, V = Xj +х2 + х3. Описанные функции V от координат со- стояния системы, обращающиеся в нуль в начале координат, играют важную роль в тео- ремах об устойчивости и неустойчивости не- линейных систем, их называют функциями Ляпунова. Пусть имеется нелинейная система, опи- сываемая уравнениями динамики (2.2.29). Составим производную функции Ляпунова по времени: dV dV dxx dV dx2 dV dxn dt Sxj dt dx2 dt dxn dt Используя (2.2.29), в силу уравнений системы можно записать dV dV dV dV —— = —Ф1 + т—Ф2 +--- + -Т—ФЛ- dt дхх дх2 дхп (2.2.32) В результате получается некоторая функ- ция координат состояния системы dV ~^‘^(хх,хг.......х„). (2.2.33) Теорема Ляпунова об устойчивости. Если для системы уравнений (2.2.29) существует знакоопределенная функция К(х), производ- ная которой dV/dt - И^х) является знакопо- стоянной противоположного знака, то реше- ние системы х = 0 устойчиво.
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА 197 Pic. 2.2.14. К теореме Ляпунова об устойчивости На рис. 2.2.14 представлена геометриче- ская иллюстрация этой теоремы при условии И(х) > 0. Если И^(х) < 0, то фазовая траекто- рия пересекает поверхности V = С извне внутрь, а в случае W = 0 - может остаться на такой поверхности. Поэтому в теореме гово- рится просто об устойчивости, но не об асим- птотической устойчивости. Из формулировки теоремы следует, что теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости решения х = 0 нелинейной сис- темы. Значит, если условие теоремы удовле- творяется, то система устойчива. Но это не означает, что система не может быть устойчива и за пределами этих условий. Насколько пол- но условия теоремы охватят действительную область устойчивости системы, зависит от вы- бора функции Ляпунова К(х). Теорема Ляпунова об асимптотической ус- тойчивости. Если для системы уравнений (2.2.29) существует знакоопределенная функ- ция К(х), производная которой dVjdt - W(x) является тоже знакоопределенной, но проти- воположного знака, то решение системы х = 0 будет устойчивым асимптотически. Геометрическая иллюстрация теоремы может быть представлена тем же рис. 2.2.14, но только с той разницей, что при К(х) > 0 имеем всюду W(x) < 0. При этом фазовая траектория, пересекая поверхности V = const извне внутрь, не может оставаться на них, а пойдет внутрь вплоть до начала координат, где х = 0 и К(х) =0. Теорема Ляпунова о неустойчивости. Если для системы уравнений (2.2.29) существует какая-нибудь функция К(х), производная ко- торой dV/dt - И^(х) является знакоопреде- ленной функцией, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала координат, имеется область, в которой знак И(х) совпада- ет со знаком FK(x), то решение системы х = 0 неустойчиво. ,1г Рис. 2.2.15. К теореме Ляпунова о неустойчивости Геометрическая иллюстрация теоремы для случая п = 2 показана на рис. 2.2.15. А. И. Лурье разработал алгоритмы полу- чения необходимых и достаточных условий абсолютной устойчивости некоторых классов нелинейных систем методом Ляпунова. Не излагая методики в общем воде, приведем примеры ее использования. Пример 2.2.6. Уравнения нелинейной системы (рис. 2.2.16) заданы в воде (Тхр + 1)х2 = -^ixj; х = х2 - fcOc*3 J (2.2.34) (Т2р + 1)рх! = fc2x3; х3 = Г(х). В обозначениях А. И. Лурье* П1 =х2; яг = *i; пз =/>хь /(«) = F(x), вследствие чего система (2.2.34) принимает вод: 1 к\ П1 ="т[П1--угпг; иг = пз; (2.2.35) ПЗ = --^-Пз * = П1 - *осП2- У2 >2 Рис. 2.2.16. Схема нелинейной системы к примеру 2.2.6 * См. А И. Лурье. Некоторые нелинейные за- дачи теории автоматизированного управления. М.: Гостехиздат, 1951. *
198 Глава 2.2. АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Корни определителя системы ^2 = °; ^з=“у"- 71 72 Далее вычисляем Я, = -^-; Н2 + 1 Т\Т2 1 Т2 \.Ti ) п = ; 1г =-Ы*1 +*»с); Рис. 2.2.17. Области абсолютной устойчивости иа плоскости параметров: а-(къ кос).б-(к2, М тз 72-71 &1&2 .о л. r *1*2 *ос*2 Р1 = 7Г7Г ₽2 °’ ₽3 тГТг'^7 Поэтому r2=|L+Yi = *2(*i+*2); *1 A3 9 Ф1 -Рз)(Х1 -Х3) _ 4X1X3 Рис. 2.2.18. Схема нелинейной системы к примеру 2.2.7 Условия устойчивости Г2 > 0; -4» <Г2 имеют вид: *oc>-*l! *2><>; (2.2.36) (2.2.37) *2 что показано на рис. 2.2.17. Пример 2.2.7. Система (рис. 2.2.18) опи- сывается уравнениями (Tip + l)pci = -^х3; х2 = (к2 + к3р)ху (2.2.38) pc3=F(x); x = x2-fcOcx3- Введем обозначения: П1 - *1! П2 = W Ч = х3; /(р) = F(x); система (2.2.38) принимаем вид: 1 *1 »11=П2; П2 = -=г’12--57?; л -ч i = /(а); с = *2П1 + Мз - *оЛ Кории определителя Х.| “ 0; У.2 = - 1/Tj. Далее вычисляем: М = ^-,n2 = А = X; А = -1; 71 71 71 02 = -*1*2; ₽2 = *1*2 л
ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ 199 Рве. 2.2.19. Область абсолютной устойчивости на плоскости параметров Вопрос об устойчивости решается нали- чием вещественного решения квадратного уравнения для 2a2.jk^ + alTi + кхк2 -= 0. Это будет при 0<^2 < *»с +*1*3 , (2.2.39) ед что и является условием абсолютной устойчи- вости (рис. 2.2.19). Применение метода Ляпунова к задачам теории нелинейных автоматических систем см. также [16]. 2.2.4. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ Частотный критерий В. М. Попова опре- деления устойчивости нелинейных систем, как и метод Ляпунова, дает достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейной систе- мы, хотя во многих случаях эти условия тоже оказываются необходимыми и достаточными. Пусть в системе имеется одна однознач- ная нелинейность: у = Дх) (рис. 2.2.20). Рас- смотрим два случая расположения характери- стики: первый - нелинейная характеристика расположена в секторе [0, £да]; второй - в сек- торе [Ао, к^. Линейная часть системы описы- вается уравнением Q(p)x = -R(p)y. Рис. 2.2.20. Характеристик* нелинейности Теорема В. М. Попова (доказательство см. [43]). Состояние равновесия нелинейной системы будет абсолютно устойчивым, если нелинейная характеристика находится в секто- ре [0, кт] (рис. 2.2.20) и существует такое дей- ствительное число Л, что при всех со 0 вы- полняется неравенство Re[(l - j®)] + у- > 0, (2.2.40) где W(j<a) - амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы. Вводится модифицированная частотная характеристика линейной части где (со) = £7(<о); Км (со) = со У (со). (2.2.41) Выражения (2.2.40), (2.2.41) преобразу- ются к виду: (<*>) - ЛКм(со) + у- > 0. (2.2.42) Это есть уравнение прямой на плоскости координат VM. Прямая проходит через точку -1/кт на оси UM и имеет крутизну на- клона 1/Л. Критерий устойчивости: состояние рав- новесия нелинейной системы абсолютно ус- тойчиво, если нелинейная характеристика F\x) находится внутри сектора [0, £т] и можно провести через точку -1/&т прямую так, что она не пересечет модифицированную частот- ную характеристику (последняя лежит справа). На рис. 2.2.21 показаны случаи (д, б), когда критерий абсолютной устойчивости вы- полняется, а на рис. 2.2.22 (а, б) - когда не выполняется. Для случая, когда нелинейная характери- стика Дх) расположена в секторе [Aq, £да] (рис. 2.2.23), неравенство (2.2.40) в теореме В. М. Попова принимает вид Re (1 + jah) . + - 1 — > 0. [ 1 + kaW(j<o) J km-k0 (2.2.43) Введя в рассмотрение модифицированную частотную характеристику (2.2.41), получаем, что уравнение [эквивалентное (2.2.43)] + ^м + 1 = 0
200 Глава 2.2. АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ б) Рис. 2.2.21. Частотные годографы для устойчивой системы, если Дх) - в секторе [0, Дгт] Рис. 2.2.22. Частотные годографы для неустойчивой системы Рис. 2.2.23. Нелинейная характеристика с ограничениями на плоскости координат модифицированной частотной характеристики (UM, VM) дает пара- болу, проходящую через точки - 1/ко и - 1/кт и имеющую в этих точках крутизну наклона касательных соответственно - 1/А и 1/Л. По- строение параболы ясно из рис. 2.2.24. Формулировка критерия’, состояние равно- весия нелинейной системы будет абсолютно устойчиво, если нелинейная характеристика находится внутри сектора [Aq, £да] и можно провести через точки -l/Ао и -l/km такую па- раболу с вертикальной осью, чтобы модифи- цированная частотная характеристика линей- ной части лежала вне этой параболы (рис. 2.2.25). На рис. 2.2.25 нельзя провести прямую через точку -\/кт так, чтобы она не пересека- ла модифицированную частотную характери- стику Я^(/(о), т.е. при более широком секторе (см. рис. 2.2.20) система была бы неустойчива. Частотный метод В. М. Попова, изло- женный выше применительно к определению устойчивости равновесного состояния систе- мы, распространен был также и на исследова- ние устойчивости процессов в нелинейных системах [22, 43]. Ряс. 2.2.24. Годограф В. М. Попом для характеристик с ограничениями Ряс. 2.2.25. Частотный годограф для устойчивой системы, если Дх) - в сегторе [ip,
ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 291 Пример 2.2.8. Задана система (см. рис. 2.2.16), описываемая уравнениями (2.2.34). Структурное выделение линейной части системы показано на рис. 2.2.26. Для нее получаем FT(s) = Ж3(41Г1(») + *ОС]- _ ^2(^1 + ^ос) + (71<У + 1)(72<5 + 1)<У Заменив s = j(ot получаем частотную характе- ристику линейной части, где -*2 ад+t2)+t2*O(.(i+t1V -----1----5^5----------ГТ" (7i + Т2)2<о2 + (1 - Т1Т2<о2)2 - ад*»2 - ЫЪ +*ос)| a>[(7j +Т2)2и2 +(1 - TiT2<o2)2] Образуя далее модифицированную час- тотную характеристику по формуле (2.2.41), строим ее на комплексной плоскости U, V и применяем критерий В. М. Попова в форме рис. 2.2.21, если характеристика Дх) нели- нейности лежит в секторе [О, Лм] (см. рис. 2.2.20). Если же Дх) лежит в секторе [Ао, &ж] (см. рис. 2.2.23), то критерий приме- няем в форме рис. 2.2.25. Видим, что построение будет довольно громоздким и не носит общего характера, а проводится отдельно для каждого варианта численно заданных всех параметров системы. Применение метода В. М. Попова к ав- томатическим системам см. также [8, 22, 43]. Рас. 2.2.26. Структурная схема млпмйвой свстемы с выделенной линейной частью 2.2.5. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ Ниже как и в п.п. 2.2.3 и 2.2.4 рассмат- риваются системы с одной нечетной симмет- ричной нелинейностью F(x). Для всех нели- нейных систем такого типа, обладающих свой- ством фильтра (см. п.2.2.1), исследование аб- солютной устойчивости (т.е. независящей от формы нелинейности) на основе метода гармо- нической линеаризации [29] дает результаты, точно совпадающие с результатами исследова- ния строгим методом Ляпунова. Но для каж- дой конкретно заданной формы нелинейности здесь можно получить более широкую область устойчивости нелинейной системы. Определение абсолютной устойчивости. Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы имеет вид 0(Х) + Л(1)«(а) = а (2.2.44) Условием наличия периодического ре- шения является равенство нулю предпослед- него определителя Гурвица Нп_\ = 0. При этом все остальные фигурирующие в критерии определители должны быть положительными. В системах третьего и четвертого порядков для этого необходимо и достаточно, чтобы коэф- фициенты уравнения были положительными. Условием Нп.\ = 0 при изменении в реальных пределах значений q определяется область существования периодического решения в данной системе. Тогда условие абсолютной устойчивости для систем порядка п £ 4 будет ЯЛ-1(?) s 0 (2.2.45) при любых возможных значениях коэффици- ента гармонической линеаризации 0 £ q £ «>. Следовательно, граница области абсолютной устойчивости определится как такая совокуп- ность параметров линейной части системы, при которой обращается в нуль наименьшее значение определителя всех возмож- ных, т.е. (-®я-1(^)1наим. в 0- (2.2.46) Это наименьшее значение может иметь характер минимума функции или краевого наименьшего значения. В этих двух случаях имеем соответственно: 1) =0; 2) q - 0 или q = «о. (2.2.47) Тогда, исключив из уравнений (2.2.45) и (2.2.47) величину q> найдем границу области абсолютной устойчивости системы, выражен-
202 Глава 22 АВТОКОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ную через параметры линейной части системы. Если условие (2.2.47) дает не минимум, а мак- симум Hn.\(q), то это будет границей области абсолютной неустойчивости системы, внутри которой < 0 при всех возможных зна- чениях 0 £ ф £ оо. При исследовании систем выше четвер- того порядка целесообразно вместо критерия Гурвица использовать критерий Михайлова, когда берется левая часть характеристического уравнения (2.2.44) при X = /со, т.е. D(Jn) = Q(jn) + R(Jn)q = ЛГ(ю Л) + jY(p,q). Периодическое решение определяется’ уравнениями Х(<о,$) = 0, Г(<о,$) = а (2.2.48) Граница области абсолютной устойчиво- сти системы будет та, за которой не существует вещественных положительных решений этих уравнений для а и со ни при каких значениях О £ q £ оо. Пример 2.2.9. Исследуем систему, схема которой дана на рис. 2.2.16, описываемую уравнением (2.2.34). Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы: Т1Т2Х3 + (Tj + Т2)Х2 + (1 + 7i*2*0C$)X + +(*1+*ос)*2?- (2.2.49) Предпоследний определитель Гурвица Нп-1 =Тг+Т2+ Tlk2(TlkoC ~ = °- (2.2.50) Формула (2.2.47) принимает здесь вид ^± = Т1*2(Т1*ОС-Т2*1) = а (2.2.51) oq Величина q не вошла в последнее выра- жение. Поэтому в данном простом примере нет необходимости исключать q из двух урав- нений, как указывалось в общем методе. Тут само выражение (2.2.51) представляет собой уравнение границы устойчивости, т.е. *ос=^- (2.2.52) 72 Проверяя положительность коэффициентов характеристического уравнения, получаем не- равенства ki + кы > 0 и &2 > 0, которые в сочетании с (2.2.52) определяют области абсолютной устойчивости, показанные на рис. 2.2.17. Полученный таким очень простым путем результат полностью совпадает с тем, который более сложными выкладками был выведен методом Ляпунова (см. п. 2.2.3) и представлял также сложности расчета частотным методом (см. п. 2.2.4). Пример 2.2.10. Рассмотрим систему (см. рис. 2.2.18), описываемую уравнениями (2.2.38). Характеристическое уравнение гармо- нически линеаризованной системы TJX3 +(1+А^сТ^)Х2 +(*Ьс +Мз)^+М20 = а (2.2.53) Предпоследний определитель Гурвица Ип-1 = *<x7i (*<>.+*1*3 )?2 + +(км + *1*3 - Txkvk2)q = 0, (2.2.54) а уравнение (2.2.47) " = ^oc^lC^oc + Мз)? + ^ос + oq + (2.2.55) Оба эти уравнения удовлетворяются при q = 0, если ^2= (2.2.56) *171 Это совпадает с полученным по методу Ляпунова условием абсолютной устойчивости (2.2.39), что изображено на рис. 2.2.19. Если же q # 0, то уравнение (2.2.54) можно разде- лить на -q и вместо (2.2.55) написать: + *1*3) = °’ dq\ q ) снкуж получаем вторую границу устойчивости = ° (см. Рис. 2.2.19). Расширение области устойчивости. Ис- пользование метода гармонической линеари- зации позволяет найти и более широкую об- ласть устойчивости при задании конкретной формы нелинейности, когда берется ограни- ченный интервал изменения коэффициента гармонической линеаризации: 4ншм. * Я * quart).* причем для каждого случая величины и Фнаиб. имеют свое определенное выражение через параметры формы нелинейности, в частных случаях может быть = 0 или Зналб. = оо. Рекомендуется следующий порядок исследования.
ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 203 Первый шаг: исключение q из уравнений я„_1(«) = 0, ^^- = 0, oq что дает границу области абсолютной устойчи- вости при 0 £ £ £ «о. Это достаточные условия устойчивости при любой форме однозначной нечетной нелинейности. Второй шаг: расширение области устойчивости применительно к заданной не- линейности (т.е. получение дополнительной области устойчивости). Это делается путем подстановки в уравнение = О значений £наим. и 0наиб.> каждое из которых имеет конкретное выражение через параметры формы нелинейности. Получаются уже доста- точные и необходимые условия устойчивости нелинейной системы при конкретно заданной форме нелинейности, так как они являются уже границей области появления периодических решений. Пример 2.2.11. Для примера 2.2.6 область абсолютной устойчивости при 0 £ q £ » имеет вцц, показанный на рис. 2.2.17. Теперь найдем дополнительные области для конкретных не- линейностей. Если в качестве нелинейного звена 2 в згой системе (см. рис. 2.2.16) будет стоять звено с зоной нечувствительности или ограни- ченно-линейное звено с насыщением или бо- лее сложного вида нелинейности, то для всех них величина q будет иметь ограниченную сверху область изменения О £ £ 9наиб. (2.2.57) Поэтому во всех случаях для определения границы устойчивости равновесия нужно вме- сто получавшегося ранее значения q = » взять Оювб. Тогда согласно (2.2.50) граница устой- чивости будет (2Х58) n Tj АВДнаиб. Рис. 2.2.27. Расширенные области устойчивости на плоскости параметров Пример 2.2.12. Для примера 2.2.7 была получена область абсолютной устойчивости (см. рис. 2.2.19), не зависящая от вида нели- нейности. Это соответствует достаточному условию устойчивости (2.2.56). В данной сис- теме оно будет и необходимым для всех случа- ев, когда значение q = 0 является возможным. Это имеет место, в частности, для всех нели- нейностей предыдущего примера. Для нелиней- ности же на рис. 2.2.28, а имеем ^наим. = к. Это значение и надо подставить в уравнение (2.2.54) вместо q = 0 для получения новой границы устойчивости (рис. 2.2.29, а): На рис. 2.2.27, а, б показаны линии 1, опреде- ляемые этим уравнением. Из сравнения с рис. 2.2.17 следует, что ограничение возмож- ных значений q сверху в данной задаче рас- ширяет область устойчивости системы по раз- ному в зависимости от конкретного выраже- ния величины ^наиб- *7наим. = В данном случае область устойчивости равно- весия расширяется.
204 Глава 2.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ И СМЕШАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Рис. 2.2.28. График коэффициента гармонической линеаризации (б) дм ломаной характеристики (а) ' Ограничение же величины q сверху при- ведет в данном примере к появлению области неустойчивости системы. Так, если q изменя- ется в пределах 0 < фнаиб. 117111 9наим. Q - 9наиб.> то условие наличия периодического решения при всех положительных параметрах может выполняться лишь при *2<-Ц^-(1 + Т1Лосднаи6.). 11*1 В противном случае будет Нп-\ < 0 при любом возможном значении q, т.е. имеется область неустойчивости (рис. 2.2.29, б или в). Другие примеры исследования устойчи- вости нелинейной системы на основе гармо- нической линеаризации см. [29]. Совпадение результатов исследования ус- тойчивости по методу Ляпунова и более про- стым путем по гармонической линеаризации имеет место для всех нелинейных систем с однозначной нечетно симметричной нелиней- ностью, обладающих свойством фильтра ли- нейной части системы. при конечном qMM 0 *ос в) Рис. 2.2.29. Области устойчивости периодического решения и неустойчивости ня плоскости параметров Глава 2.3 ВЫНУЖДЕННЫЕ И СМЕШАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 2.3.1. ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ЯВЛЕНИЕ ЗАХВАТЫВАНИЯ В нелинейных системах вынужденные колебания могут иметь сложную форму по причине отсутствия у них свойства суперпози- ции решений. Это зависит от наличия одно- временно собственных колебаний системы, а также от влияния еще внешних факторов. Одночастотные вынужденные колебания, имеющие частоту внешнего периодического воздействия, существуют как установившиеся при отсутствии собственных колебаний. В частности, в автоколебательных системах это возможно при условии так называемого захва- тывания или синхронизации. Вообще говоря,
ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ЯВЛЕНИЕ ЗАХВАТЫВАНИЯ 205 в нелинейных системах возможны нерассмат- риваемые здесь субгармонические колебания и другие сложные особенности вынужденных колебаний, а также возникновение скачкооб- разного резонанса [25, 36], показанного на рис. 2.1.8. Для нелинейной системы (см. рис. 2.1.1, а) с внешним воздействием = B Sin со/. (2.3.1) уравнение динамики имеет вид Q(p)x + R(p)F(x) = S(p)f(t). (2.3.2) Решение для определения амплитуды а и фазы Ф вынужденных колебаний (со -задано) ищется приближенно в форме х = a sin(co/ + ср) (2.3.3) (строго говоря, нелинейные колебания не бу- дут синусоидальными, но здесь снова действу- ет свойство фильтра линейной части системы). Произведя гармоническую линеаризацию нелинейности (2.2.2), где в формулах (2.2.3) теперь \р = со/ + ср, приводят (2.3.2) к виду Q(j>) + R(pjq(a) + ^-^-p СО >а sin(co/ + <p) = = S(p)2?sinco/. (2.3.4) Для конкретных нелинейностей исполь- зуется табл. 2.2.1. Применяя символический метод, опреде- ления периодического решения [30], получим комплексное уравнение Z(a) = JSe"/(₽, (2.3.5) где Z(a} = а Q№) + R(J^){q(a) + Jqf(a)] S(Ja)) (2.3.6) графическим решением которого (рис. 2.3.1) определяются две неизвестные а и ср. Правая часть (2.3.5) изображается окружностью радиу- са В, а левая часть Z(a) строится как кривая по точкам с переменным параметром а. Точка пересечения окружности с кривой Да) дает решение. При решении задачи на ЭВМ целесооб- разно (2.3.5) разбить на два вещественных уравнения (модуль и аргумент). Тогда для оп- ределения амплитуды вынужденных колебаний а имеем ?[х2(а,о>) + Г2(а,а>)| = Я2[л?(а>) + }%)], где X, Y - вещественная и мнимая части чис- лителя дроби, стоящей в формуле (2.3.6), а Х& Ys - то же для Д/со). Фаза же будет Y Y ср = arctg-^- - arctg—. Из картины пересечений кривых (рис. 2.3.1) вытекает, что в данном случае од- ночастотные вынужденные колебания (2.3.3) возможны только при достаточно большой амплитуде внешнего воздействия В > Вдор» а при меньшей амплитуде В будет иметь место сложное движение, включающее в себя и соб- ственную частоту системы. Такая картина на- блюдается в автоколебательных системах. Построив серию кривых Да) по форму- ле (2.3.6) для разных значений частоты внеш- него воздействия (рис. 2.3.2), получим график зависимости порогового значения 2^Ор от часто- ты со, например, в виде, изображенном на рис. 2.3.3, где сов - частота автоколебаний дан- ной системы. Выше кривой Д]ор лежит об- ласть значений Б и со, в которой существуют одночастотные вынужденные колебания. Эту область называют областью захватывания. Рис. 2.3.1. Графическое определение вынужденных колебаний Рис. 2.3.2. К определении» вынужденных колебаний при разных частотах
206 Глава 2.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ И СМЕШАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Область захОатыбания Сложный процесс Сложный процесс О ofa Рве. 2.3.3. К определению обдаств захвагшваввв ва плоскости амплитуды в частоты ввевлкго воздействия Рве. 2.3.4. Серия амплитудно-частотных харажтервствк при разных воздействиях Явление захватывания состоит в том, что при > Д]Ор собственные колебания (автоко- лебания) срываются и система переходит це- ликом на одночастотные вынужденные коле- бания с частотой внешнего воздействия. На основании рис. 2.3.2 можно постро- ить зависимости а (со) и ср (со), т.е. частотные характеристики замкнутой нелинейной системы по первой гармонике (2.3.3). В отличие от линейных систем здесь характер частотных характеристик Л(со) = а(<ь)/В и ср (со) может существенно зависеть от размера внешней амплитуды В. Поэтому для разных значений В получается серия частотных характеристик (рис. 2.3.4). Расчет частотных характеристик нели- нейных автоматических систем см. [25]. Пример 2.3.1. Уравнение системы (Т1Р + 1)(Т2/> + l)px + kF(x) = = (Ti/> + ОС?!/» + 1)/У(0 при гистерезисной нелинейности (см. рис. 2.1.9, е) и Д|) = В sin со/. Тоща в урав- нении (2.3.5) согласно (2.3.6) будет Z(a) = а 1 - 4g(a) + Jg'(a)] (T1+T2)<02 -Xl-T^o2) Рве. 2.3.5. Првмер определения mibj hjbbbih niirffinl 00^5 Ю IS 20 25 30 Рве. 2.3.6. График амплитуды в фазы выиуждеяных колебаний Для заданной частоты со = 10 с*1 и за- данных параметров системы к = 10, с = 10, b = 4, Т\ = 0,01 с, Tj = 0,02 с кривая Z{a) изображена на рис. 2.3.5, где отмечены значе- ния а. Проведя окружности разных радиусов В, по точкам пересечения определим зависи- мости а(В) и <р(В) (рис. 2.3.6) для вынужден- ных колебаний при данной частоте. Пример 2.3.2. Аналитически определим условия захватывания в системе с идеальном реле (рис. 2.3.7): (Tip + iyx2=k1xi;xl =«(0-х4;х = х2-хос; (Т2р + 1)рх4 = *2х3; Хос = *осХ4; х3 = F(x). Периодическое внешнее воздействие g— В sin со/. Здесь q = Ьс/ка. Поэтому об- щее уравнение системы: (Т1Р + 1)(Т2Р + 1)рх + (fcocTjp + *! + +*«)*гЛх) = *i (Т2/> +1)/«(0,
ВЫСШИЕ ГАРМОНИКИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 207 Рве. 2.3.7. Схема нелинейной системы с идеальным реле а уравнение (2.3.5) - (2.3.6) принимает вид 7ta(TiJ(o + 1)(Т2/о + 1)усо + ^(^осТ^усо + к± + + *ос)*2 = + ОУ®- Вещественная и мнимая части этого ра- венства: 4c(ki + fcoc)^ “ *»(Л + Л)®2 = = (Т^со coscp - sintp), (ла ч-^Л^ос)® “ я»ЛЛ®3 = = 7^1 Ао(?2со sin <р + coscp). Решением этих двух уравнений находим амплитуду вынужденных колебаний G + ЯТцо ± ^(G + ЯГ1Ш)2 - (1 + Г/ш2)^2 + Я2 - я^В2) л(1 + Л2(О2) (2.3.7) и фазу <р = -arctg 1 , G - тш где Р _ 46^2(7*2^1 + Л^ос ~ Л^ос) . 7’2<о2+1 s Ьск^к^ + к0С+Т1Т2к0Са>2) <л(Т2ш2 +1) Амплитуда а по своему смыслу есть ве- щественная положительная величина. Поэтому искомое решение для вынужденных колебаний существует (т.е. явление захватывания имеет место) в том случае, если формула (2.3.7) дает вещественный положительный ответ для а. На основании этого, учитывая, что G + ЯДсо > 0> ПРИ положительных парамет- рах системы получаем условие захватывания _2> 2о2 > (# “ G?i®)2 п Л Ki Л £--------=—=—. (2.3.8) 1 4- Т2 (О 2 Данная нелинейная система переходит на одночастотные вынужденные колебания с за- данной извне частотой со только в том случае, когда амплитуда В внешнего периодического воздействия превосходит некоторое пороговое значение, определяемое формулой (2.3.8). Этот порог захватывания зависит от соотно- шения параметров системы и от величины задаваемой извне частоты со, так как через них вычисляются фигурирующие здесь величины (?иЯ. 2.3.2. ВЫСШИЕ ГАРМОНИКИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ Учитывая высшие гармоники одночас- тотных колебаний, можно рассчитывать выну- жденные колебания нелинейной системы, происходящие не только от синусоидального воздействия, но и от более сложных периоди- ческих внешних воздействий, например, пи- лообразного с треугольным профилем, прямо- угольного и других, в которых первая гармо- ника разложения и ряд Фурье является основ- ной. Теорию этих задач см. [29]. Решение задачи ищется в форме (ограни- чиваясь конечным числом гармоник) п x-xi + ^xk, jq = a sin(cof 4-гр), (2.3.9) к=2 где Х{ - первая гармоника, а хк - высшие: х* = 5ла81п(А<оГ4-фЛ), к = 2,3,...,л, (2.3.10) где Ьк - относительная амплитуда к-й гармони- ки. Полагается, что величина 8* мала по срав- нению с единицей (по свойству фильтра). В уравнении динамики нелинейной сис- темы (2.3.2) внешнее воздействие в разложен- ной в ряд Фурье форме будет (так же ограни- чиваясь конечным числом п гармоник) п f(t) - BY sinсоГ4- ^Вк sin(fao/4- В*). *=2 (2.3.11) Высшие гармоники на выходе нелиней- ности Дх)
208 Глава 2.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ И СМЕШАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ п FT = a^(rk sin + sk cos fop), (2.3.12) к=2 где \р = (at + <р, причем 2л гк = — i F(a sin \|/) sin kydy; na J о 2л sk = — f F(a sin \|/) cos kydy. na j о (2.3.13) Для определения высших гармоник ис- комого решения (2.3.10) имеем ряд уравнений Q(p)xk + R(P)a(rk sin fop + sk cos fop) = = S(p)Bk sin(foo/ + &*), к = 2,3,..., л, (2.3.14) Представляя sin(foo/+ В*) = sin(fop - fop + B^) и используя символическую запись синусои- дальных колебаний, из уравнений (2.3.14) получаем формулы для вычисления относи- тельной амплитуды Ьк и фазы ($к каждой к-й гармоники: 8* = Q(Jlaa) Кк J к) S(jkto) Вк . CO'foo) а (2.3.15) vk=++ , sk cJ£b CO'foo) a j , к = 2,3,...,л. Если внешнее периодическое воздейст- вие синусоидальное (Вк = 0), то формулы для высших гармоник вынужденных колебаний упрощаются: 5* = R(№ I 2 2 0(yfoo)|* к к ’ к = 2,3,...,л, ф£ = arg -R(Jkto) Q(jha) (2.3.16) Sk + arctg—+ fop. rk Первая же гармоника вынужденных ко- лебаний (2.3.9) определяется обычно по пер- вому приближению (см. п. 2.3.1). Но ее можно уточнить за счет учета найденных высших гармоник нелинейных колебаний [29]. Обычно бывает достаточным учет третьей гармоники. В табл. 2.3.1 даны выражения ко- эффициентов третьей гармоники для типовых нелинейностей. Пример 2.3.3. Определим высшие гармо- ники вынужденных колебаний при несину- соидальном периодическом внешнем воздей- ствии в системе автоматического регулирова- ния третьего порядка (рис. 2.3.8, а) с релейной характеристикой общего вида, описываемой уравнениями: (Т22р2 +Tlp + l)px2 =fcrb Xi=F(x), x = f(t)-x2. Эти уравнения приводим к виду (Т2р2 +T\p + \)px + kF(x)~ = (T2p2+TiP + l)pf(t). Внешнее воздействие Д7) имеет форму пилы (рис. 2.3.8, б), которая представляется рядом Фурье: 8Л f . 1 . , "j 2п fit) = Sin со/—Sin3co/+... , со = ——, I а Р Т ’ П 4 > 7 2в где Тъ - период fit). Согласно (2.3.11) имеем: Рис. 2.3.8. К определении» высотах гармоник: а - схема системы; б - внешнее воздействие
2.3.1. Таблица коэффициевтов кя и Г3 Дх) Нелинейный коэффициент кн Коэффициенты третьей гармоники F[ С И т к» = — 4С а = ; S3 = 0 3 Зла ’ 3 Ft С 0 b X fc = 2с nja2 - b2 и а * s р Сч 1 II о р О 1 р NJ Fk к - , 2С н <4 р | Q 1 еч les' *-4- з|я еч |ечА ' Д *18 4—11 *11 II с 0~Ь X q С 0 mb Ь X ки = — . 1 + . 1-- -»2 fc-w) 2с С А L ( ^}2 (1 Am2^2^li (т^\2 1-4-Т11- — +1-4— Зла 'а' 1 и J] \ о J 2сЬ Г 4b2 ( 4m2d2>) J] ВЫСШИЕ ГАРМОНИКИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Продолжение таб. 2.3.1 © Коэффициенты третьей гармоники ка2 7^ = -—; $3=0 I N и» $3=о 5
НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 211 Найдем сначала первое приближение для а и <р первой гармоники согласно (2.3.5) и (2.3.6): аГ + Л>(1-Т22«>2)-71<о2 где q и q' для нелинейности рис. 2.1.9, а см. в табл. 2.2.1, где b\ = mb, bi = b. Для определения амплитуды §з и фазы ФЗ третьей гармоники следует предварительно найти коэффициенты rj и S3. По формулам табл. 2.3.1 их легко получить в числовом виде, так как все входящие сюда величины уже из- вестны. Тогда относительная амплитуда §з и фаза ФЗ для третьей гармоники вынужденных коле- баний (с учетом третьей гармоники внешнего воздействия): ^Оз+^з) с/Зф ! М j’3co(l - 9Т22со 2) - 97\<й 2 9л2а Рис. 2.3.9. Схема нелинейно* системы с двумя воздействиями Решение ищется в форме х = х° + х*, х* = a sin(co/ + ф), (2.3.18) где искомыми величинами являются Х°, а и ф, а частота со задана внешним периодическим воздействием. При гармонической линеаризации нели- нейности здесь можно использовать все гото- вые выражения: F°(x°,a), q(q,x°), q’{a,x°) (2.3.19) для типовых нелинейностей (см. табл. 2.2.2). Итак, уравнение системы (2.3.17) будет 2(/0(*° + **) + Я(/0 F0 + ($ + — /мх \ со / + JS3) ФЗ = агб ------------п п---------¥ ^У3®(1 - 9Т22со2) - 97\со2 е/3ф = S(p)l?sincof + Cf. 8h 9х2а. Разделим это уравнение на два: для постоян- ных и колебательных составляющих 0(0)х° + R(fi)F° (x°,a) = Cf; (2.3.20) Получим результат: х- o(sin(cof+ ф) + 53 8т(3<вГ + фз)], соответствующий пилообразному внешнему воздействию на нелинейную систему. 2.3.3. НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Если в системе имеется несимметричная нелинейность или же при симметричной не- линейности к системе наряду с периодическим внешним воздействием Д1) приложено еще и другое внешнее воздействие /(/) (рис. 2.3.9), то будут иметь место несимметричные вынуж- денные колебания. Уравнение динамики не- линейной системы Q(p)x + R(p)F(x) = + Cf, (2.3.17) где//) - периодическое воздействие (2.3.1), а Cf расшифровывается так же, как в п. 2.2.1 по воздействию Q(p) + R(j>)\q(a,x°) + СО X ха sin(co/ + ф) = S(p)B sin со/. (2.3.21) Несмотря на то что формально уравне- ния разделены, решать их можно только со- вместно, так как в оба уравнения входят неиз- вестные х° и а, что отражает специфику нели- нейных систем. Из первого уравнения находится зависи- мость Х°(а). Второе уравнение путем подста- новок р = Jo и sin со/ = преобразуется, как и выше (см. п. 2.3.1), к виду Z(a) = ее’-*, (2.3.22) Уравнение это решается графически (см. рис. 2.3.2). Определив таким образом величины а и Ф при различных параметрах В и со внешнего воздействия, по найденной выше зависимости х°(а) можно определить и величину смещения х°.
212 Глава 2.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ И СМЕШАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ При решении задачи на ЭВМ удобнее взять модули левой и правой частей ком- плексного уравнения (2.3.22 ) и, используя (2.3.20), решать два уравнения с двумя неиз- вестными а и Х°: 2(0)х° + Я(0)Г°(х°,а) = С/; (2.3.23) a2[jf2(<o,a,x°) + y2(<o,a,x°)j = = В2[х*(о>) + уЛ<4 где Ху Y - вещественная и мнимая части чис- лителя дроби в написанном выше выражении Z(a), a X» Ys - то же для знаменателя 5(/<о). Фаза же <р определится как аргумент выраже- ния (2.3.22) Y Y Ф = arctg—г- - arctg—. (2.3.24) A j Л Пример 2.3.4. К системе (см. рис. 2.3.9) приложено кроме периодического flj) еще внешнее воздействие f\(f) = c^t. Уравнение линейной части задано в виде (Т\р + 1)(Т^р + + l)pxi = - ку, а Нелинейность - рис. 2.1.9, в. Общее уравнение системы: (Г1Р + 1)(Т2 р + 1)рх + kF(x) = = <ТхР + 1)(Т2р + !)/>/(/) + q. После подстановки гармонически линеа- ризованного выражения Дх) из табл. 2.2.2 уравнение системы разбивается на два: kF\x\a) = q; а 1 + *|g(a,x°)+_/?(<»,х°)1 -JTfT^ta3 - (Tj + Г2)в>2 +je> Подставив в первое уравнение выраже- ние Р, получим . b + xQ . b-xQ пс} arcsin--------arcsin---------= —7-, (2.3.25) а а ск откуда определяется Х°(а). Записав квадрат модуля левой и правой частей второго уравнения в виде а2 (Г, +T2)o>2]2 + + ^'(в,х0) + и-Г1Т2<о3] |= (2.3.26) = 52[(7i +Т2)2и2 +<о2(1-Т1Т2о>2)2] и подставив сюда найденное уже выражение х°(а), определим амплитуду вынужденных колебаний а при заданных В, <о и q. Для построения зависимости Х° и а от параметров внешних воздействий q, В> со при проектировании следящей системы поступают следующим образом. Задаваясь разными а и х°, вычисляют по (2.3.25) величину q, а из (2.3.26) - величину В при заданной частоте со. По полученным данным строится зависимость а(В) при разных q = const и заданной со. Затем вычисления по формуле (2.3.26) повто- ряются при других значениях частоты со. 2.3.4. ДВУХЧАСТОТНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ При исследовании вынужденных колеба- ний в нелинейных автоколебательных системах предполагалось выполнение условий захваты- вания. При этом автоколебания "срывались" и в системе устанавливалась частота внешнего воздействия. Однако бывает необходимость расчета двухчастотных колебаний - собствен- ных с наложением вынужденных (при невы- полнении условий захватывания). Кроме того, возможны и двух- или многочастотные собст- венные или вынужденные колебания. Колебания с большой разницей частот. В этом случае можно применить метод гармо- нической линеаризации в прежней форме. Исследуем двухчастотный процесс авто- колебаний в системе Q(p)x + R(p)F(x) = 0, обозначив верхнюю частоту cq, а нижнюю <о2- Приближенное решение ищется в виде х = х°+х*, x* = asin<oiZ; (2.3.27) х° = a0 sin(co2Z + ф). Согласно (2.2.21) и (2.2.20) записываются уравнения для определения х* и Х°: (?(/>) + £(/>) 9(а,х°) + ►х* = 0; ~^ГР (2.3.28) Q(p)x° + R(p)F° (х°, а) = 0 (2.3.29) с той разницей, что теперь Х° не постоянна, а медленно меняющаяся (2.3.27), но коэффици- енты гармонической линеаризации q и q' вы- числяем по тем же формулам табл. 2.2.2. Характеристическое уравнение для (2.3.28):
ДВУХЧАСТОТНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 213 С(Х) + Л(Х) q(a, х°) + р = о. (О С подстановкой X = у со выделяются ве- щественная и мнимая части: Х(а,<о,х°) = 0; Г(а,<о,х°) = 0. Отсюда находятся зависимости а(х°) и <о(х°). Полученную а(х°) подставляют в имеющееся для заданной нелинейности выра- жение /°(х°,а) (см. табл. 2.2.2), результате чего получают новую функцию Г° = #(х°,а(х0)) = Ф(х°), называемую функцией смещения. Тоща уравнение (2.3.29) для медленной составляющей х°(/) будет Q(p)x° + Я(р)Ф(х°) = 0, где функция Ф(х°) играет роль новой нели- нейности, заменяющей Дх) при прохождении в системе медленного сигнала Х°(/)- Функция смещения Ф(х°) вблизи начала отсчета получает обычно вид плавной одно- значной кривой (рис. 2.3.10) даже для разрыв- ных релейных характеристик, в том числе гисг терезисных и с зоной нечувствительности. Можно провести обычную линеаризацию функции смещения в виде Ф = £нх°, (доказательство последнего равенства см. [29]). Величину кн (см. рис. 2.3.10) называют нели- нейным коэффициентом усиления медленной составляющей. Тоща уравнение (2.3.29) при- мет вид [<2(/>) + kHR(p)]x0 = о. (2.3.31) Значения кц для типовых нелинейностей приведены в табл. 2.3.1, где ас обозначает вы- ражение для амплитуды симметричных (при Х° = 0, п. 2.2.2) автоколебаний в исследуемой системе через ее параметры. Поэтому для по- лучения уравнения (2.3.31) достаточно решить (2.3.28) не в полном виде, а только при Х° = 0). Несмотря на обычный способ линеа- ризации (2.3.30) тут сохраняются нелинейные свойства системы, так как в выражении кц присутствует величина ас. Итак, решением уравнения (2.3.31) определяются медленные колебания х° = a0 sin(to2^ + ф) > после чего найденная выше из (2.3.28) зависимость а(х°) позволяет определить амплитуду, а затем и частоту быст- рых колебаний х* = a sin со . При двухчастотных вынужденных и сме- шанных колебаниях нелинейной системы воз- можны три варианта: а) обе частоты со i и со 2 относятся к вынужденным колебаниям; б) частота coj - вынужденная, а частота со 2 - собственная; в) наоборот, верхняя частота coj - собственная, а нижняя со2 - вынужденная. Последние два случая имеют место в автоколе- бательных нелинейных системах с внешним периодическим воздействием при отсутствии захватывания (см. рис. 2.3.3). Уравнения ди- намики нелинейной системы в указанных трех случаях: a) Q(j>)x+ R(j>)F(x) = Sx(p)M)+S2(p)f2(t)-, (2.3.32) б) Q(p)x + Л(/>)/(х) = 5, (p)fi (0; (2.3.33) В) Q(p)x + R(p)F(x) = S2(j>)f2(t), (2.3.34) где /1(0 = B\ Sinead; fl(0 = sin(co 2* + 3), co! » co 2- В первом случае, когда обе частоты coi и со 2 соответствуют вынужденным колебаниям, решение ищется в форме х = х°+х*; х* = sinfajZ + cpj); (2.3.35) х° = a0 sin(co + Ф2 )• (2.3.36) Гармоническая линеаризация нелиней- ности проводится по формулам табл. 2.2.2. Уравнение системы (2.3.32) после гармо- нической линеаризации разбивается на два:
214 Глава 23. ВЫНУЖДЕННЫЕ И СМЕШАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 0(р)Х° +Л(р)Г0(х°,а1) = S2(p)f2(J)- Q(p) + R(j>) + (2.3.37) gj(gl.XB) ®1 X xai sin((o j/ + cpi) = 5*1 (p)Bi sin co Из последнего определяются амплитуда ai (х°) и фаза <pi(x°) вынужденных колебаний верхней частоты «1 способом, изложенным в п. 2.3.3. Затем в полученном выражении полагается = О, что дает значение а*., необ- ходимое для нахождения коэффициента к„ (см. табл. 2.3.1). Первое уравнение (2.3.37) примет вцд [0(Р) + *нЯ(/>)]о° sin(<o2r +ф2) = = *5*2 00-^2 Sin(o 2/ + 3), (2.3.38) откуда е(ло2)+м*(>2)г (2.3.39) (р2 = 9 .—г- е(л>2)+^нЛ(/о2) Во втором случае (2.3.33) решение ищет- ся в той же форме (2.3.35) и (2.3.36), но с неизвестной частотой (о2. При этом сохраняет- ся первый этап решения для получения 0i(x°) и Ф1(*°)« Но первое уравнение (2.3.37) будет иметь справа нуль, а уравнение (2.3.38) [<?(/>)+*нЯ(/>)]х° =0. Наконец, в третьем случае (2.3.34) реше- ние ищется в форме х = х°+х*; х* = ai sin<01/; а° = В2 х° = а2 sin(o> 2t + <p) (2.3.40) с неизвестной частотой (ор В этом случае пер- вое уравнение (2.3.37) сохраняется прежним, а второе уравнение принимает вид сй>)+яа>)91(а1,х0) (0 •х* = О, откуда амплитуда и частота ©i автоколеба- ний определяются в виде ai(x°) и ®1(х°) (см. гл. 2.2). После этого второй этап решения будет таким же, как в первом случае. Колебания без ограничения близости час- тот*. Решение для двухчастотных автоколеба- ний ищется в виде х = х1 + х2 = «1 sinw 1/ + а2 sin((o 2t + (р) (2.3.41) с неизвестными ар сор а2, со2. Предположим наличие в линейной части системы такого свойства фильтра, что линей- ная часть системы подавляет все гармоники, кроме двух: с частотой <oi и с частотой <о2. В соответствии с этим напишем гармонически линеаризованное выражение нелинейности F(x) (вывод формул см. [29]) Л*) = 91х! + q2x2, (2.3.42) где q\ и qi - коэффициенты гармонической линеаризации: <h где 1 т 1 ’ ^2=—^— 2л ai 2л а2 (2.3.43)- 2л 2л Л = f sin ц/ + а2 sin(v|/ + (р)) х о о х sin ц/Лр, (2.3.44) 2л 2л у2 = F(ai sin ц/ + а2 sin(v|/ + (р)) х о о х sin(\|/ + (р)Лр. При определении двухчастотных автоко- лебаний в системе (?(/>)х + Я(р)£(х) = 0 с подстановкой (2.3.42) получим два уравне- ния: [Q(p) + Л(р)?1(аь «2)1^1 = 0; [<2О) + R(p)q2(a2,ai)\x2 = 0, которые должны решаться совместно. Харак- теристические уравнения с подстановками X = jcoi и X =/»2 после выделения веществен- ных и мнимых частей дают четыре уравнения: .¥1(01,02,(01) « 0; У1(01,02,<О1) = 0; ^202»^1»^2) = ^2 02» ® 2 ) = 0 для определения четырех неизвестных ар (Ор 02, w2> в искомом решении (2.3.41).
ДВУХЧАСТОТНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 215 Пример 2.3.5. В характеристике (см. рис. 2.1.9, д), где с = 1, переключения реле с 77=1на77=-1и обратно будут происходить при 01 Sin у + «2 sin(xp + (р) - 0 . Следова- тельно, . 01 Sin ч/ , 1, при О£\|/ + Ф^л + arcsin----------- (02 > а\); «2 . 0i sin у л . 0i sin ч/ -1, при л + arcsin —-------£ ц/ + (р <, 2 л - arcsin —---; ^2 а2 . 0i sin ч/ 1, при 2л - arcsin —1ц/ + (р 2л. а2 В результате интегрирования (2.3.44) по- сле преобразований получаем 91 = 8(Р -1) К(к} + 8 Е(к), л 02Л л^01& к = — < 1, 02 где */2 л «*>- J, у., ; о ^1-кzsinz\|/ */2 _____________ £(&) = J - к2 sin2 \ptfy о представляют собой полные эллиптические ин- тегралы соответственно первого и второго рода, числовые значения которых имеются в математических таблицах. Вычисления по этой формуле дают величину коэффициента гармо- нической, линеаризации 91(01) при разных значениях 02 (рис. 2.3.11, а). Для коэффици- ента 92 можно пользоваться тем же графиком с заменой соответственно q\ на эд а1 на а2> 02 на 0р Для характеристики с насыщением зави- симость 91(01) при разных 02 представлена на рис. 2.3.11, б. Аналогично определяется и эд Пример 2.3.6. Определение двухчастот- ных вынужденных колебаний (без ограниче- ния близости частот). Система (рис. 2.3.12) содержит реле F(x) (см. рис. 2.1.9, ф, где с = 1. Приложены два внешних периодиче- ских воздействия с разными частотами: /1 = l?i sin со i/; /2 = ^2 sin(<o + &)• Уравнения системы заданы: (71/> + 1)(Т2Р + 1)г = *у; > = F(x); х =+ f2(t) - z. в) Рис. 2.3.11. Графики коэффициентов двухчастотных автоколебаний два системы: а - релейной; б - с насыщением Рис. 2.3.12. Схема системы с двухчастотным внеаним воздействием
216 Глава 2.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ Решение для вынужденных колебаний ищется в виде х = Xi + х2 = ai sin(<o 1Z + ср 1) + + а2 sin(<o2Z +(р2). Гармоническая линеаризация F(x) = ?|(ab a2)xj + q2(a2,al)x2. Зависимости <71(#1,Я2) и ^2(а2>а1) даны на рис. 2.3.11, а. В результате уравнение всей системы: С(р)(Х1 + х2) + Я(/»)(91*1 +42*1) = = S(p)(fl+f2); Q(p) = S(p) = (TlP + l)(T2p + l), R(p) = k. Уравнение распадается на два взаимосвя- занные относительно Х{ и х2. К каждому из них применяются формулы (см. п. 2.3.1): *У1(Д1.Дг) а1 1+ ; т l + (Tj+T2)/#i = Я1е-л’1, Д2 1 + ______^2<д2,О1) 1 + (Т1 + Т2)У<о2 - Т\Т2(И2 = Я2е-У(ф2"д). Применяя графический способ решения (см. п. 2.3.1, но с учетом взаимосвязи коэф- фициентов q\ и <?2) находим четыре неизвест- ные ay а2, (pi, Ф2- Числовые расчеты проведены для сле- дующих данных: 71 = 0,02; Т2 = 0,1; к = 10; 3 = 0; = 1,372; с»! = 2; В2 = 1,372; <о2 = 5. Результаты расчета: ах - 0,4; а2 = 0,9; ф1 = 1,52; ф2 = 1,695; qx = 0,72; Я2 ~ 1,32. По этим данным на рис 2.3.13, построе- на кривая полученных двухчастотных вынуж- денных колебаний (штриховая линия). Для сравнения сплошной линией показана точная кривая колебаний данной нелинейной систе- мы. Другой подход к определению двухчас- тотных колебаний см. [36]. Рис. 2.3.13. Двухчастотные колебания Глава 2.4 НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ 2.4.1. ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В системе, обладающей свойством фильтра, e(p)x + *(p)F(x) = 0 (2.4.1) переходный процесс определяется в виде х = a(t) sin ф(0; (2.4.2) da d\u — = ^(e); -^ = о>(а), (2.4.3) причем затухающему процессу соответствуют отрицательные значения Коэффициент зату- хания £ может быть большим, но медленно меняющимся, как и частота <о (в линейных системах они постоянны). Гармоническая линеаризация нелиней- ности (вывод см. [29]): 7(a) + q'(a) Р-1 (2.4.4) где коэффициенты гармонической линеариза- ции q(a) и q\a) для статических нелинейно- стей сохраняют прежние выражения (табл. 2.2.1). Характеристическое уравнение для гар- монически линеаризованной системы (2.4.1) будет С(Х) + Я(Х) 7(а) + 9-(а)— (0 = а Искомый колебательный переходный процесс (рис. 2.4.1, а, б) соответствует нали- чию пары комплексных корней X = £ ±у<о, т.е. 2(5 +» + Я(5 + у®)[?(а) + ??'(«)] = 0- (2.4.5)
ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 217 Рис. 2.4.1. Переходные процессы: а - сходящийся; б - расходящийся Подстановку значения X = £ + в лю- бой многочлен удобно выполнять путем раз- ложения его в ряд по степеням Jo: О£+Л>) = ОЮ+(^) /«> + \ ак; - 1 f d2Q\ 2lldX.2 J (>)2+- + ^И где индекс £ означает, что в выражения произ- водных надо подставить £ вместо X. В комплексном уравнении (2.4.5) содер- жатся три неизвестные £, со, а, что позволяет найти две переменные как функции третьей: £ = £(а); со = со (а). (2.4.6) Когда эти функции найдены, можно, пользуясь двумя дифференциальными уравне- ниями первого порядка (2.4.3), найти a(f) и \|/(/). Однако операция интегрирования этих уравнений для оценки качества переходных процессов в автоматических системах не тре- буется. В большинстве случаев вполне доста- точно ограничиться нахождением функций (2.4.6) из комплексного алгебраического урав- нения (2.4.5), так как качество колебательного переходного процесса (см. рис. 2.4.1) вполне может быть охарактеризовано величинами £ и со в зависимости от амплитуды колебаний а и от параметров системы. Рис. 2.4.2. Диграммы запухшая нелинейных процессов Оценка качества по диаграммам качества затухании нелинейных колебаний. Диаграмма эта представляет собой семейство линий £ = const (рис. 2.4.2, а) и со = const (рис. 2.4.2, 6) на плоскости с координатами к, а, причем к - подлежащий выбору параметр системы (коэффициент усиления или др.). Для линейной системы линии £ = const и со = const в тех же координатах имели бы вид вертикальных прямых, а в нелинейной системе они искривляются или наклоняются в зависимости от формы нелинейности и от общей структуры системы. Значение £ = О соответствует отсутствию затухания, как, например, в точке С (см. рис. 2.4.2, а). Поэтому линия £ = 0 на диаграмме качества затухания представляет собой зависи- мость амплитуды автоколебаний ас от пара- метра системы к. Протеканию переходного процесса во времени соответствует движение изображаю- щей точки М (см. рис. 2.4.2) по вертикали (к = const). Так, значению к в точке L соот- ветствует вертикальная прямая MqL, Пересе-
218 Глава 2.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ кающая линии только с отрицательными зна- чениями £. При этом изменение частоты со (а) определяется по соответствующей вертикали на рис. 2.4.2, б. В том случае, коща параметр к иссле- дуемой системы имеет значение, соответст- вующее точке Еу получается два варианта про- текания переходного процесса. Если начальное положение изображающей точки будет ниже точки С(ао < ас), то £ > 0 - колебания расхо- дятся. Если же Oq < ас, то £ < 0 - изображаю- щая точка пойдет по прямой НС вниз (см. рис. 2.4.2), что соответствует затухающему переходному процессу, асимптотически при- ближающемуся к автоколебаниям с амплиту- дой ас. Такие диаграммы могут служить мате- риалом для выбора наилучших параметров системы при ее проектировании. Введем в рассмотрение текущую "постоянную времени" для огибающей колеба- тельного переходного процесса в.«> В линейной системе величина Т была бы по- стоянной во времени. Здесь же эта "постоянная времени" медленно меняется с изменением амплитуды в соответствии с най- денным законом изменения £(а). Беря из диаграммы (см. рис. 2.4.2, а) для заданного к значения £ при разных а, начиная со значения Од при t = 0, и откладывая каждый раз вели- чину Т(а) на оси времени (рис. 2.4.3), получа- ем отрезки касательных, очерчивающих оги- бающую a(f) переходного процесса. Пример 2.4.1. Система (см. рис. 2.2.16) описывается уравнениями: (Tip +1)*2 = х3 - ^(х) - с sign х; (Т2р + l)pxi = *2*з; X =х2 - кжхь Заменяем F(x) = q(a)x, q(a) = —. па Характеристическое уравнение 7,72А? + (7, +72)Х2 + + [1 + Tlk2kocq(a)]X + (fc, + кж)к^(а) = 0. Подстановка X = £ + /со дает X(qM+JY(q^,e>) = 0 или в развернутом виде + (7,+72)^2 + +(1 + TfakocqK + (*, + kx)k2q - -(37,7^4-7,+72)<о2 =0; Y s 37,72Е,2 + 2(7, + 72)!j +1 + + 7,£2£oc£ - 7,72<»2 = а Из второго уравнения с учетом значения q(a) находим 2 v2 1 4cfc2*oc Т\Т2 4 7,72 пТ2а (2.4.8) а из первого 1де 4ск2 /(О = 4^Д + 2 1 + + 8(7, + 72)£2 + 87,72£3. (2.4.10) г,Г, Диаграммы качества нелинейных пере- ходных процессов в виде линий £ = const и со = const в зависимости от параметра ki по- строены по этим уравнениям (рис. 2.4.4, а, 6), где выявляются область устойчивости системы OG и область автоколебаний Gk\. Линия со = 0 характеризует границу колебательных (правее) и монотонных (левее) переходных процессов. а = + , (2.4.9) U2 J -L
ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 219 Для оценки качества переходного про- цесса при одном заданном значении со- гласно вертикали DB (см. рис. 2.4.4, а) строят (с изменением амплитуды колебаний от на- чального значения ад до конечного а^) графи- ки £(а) и со (а) - рис. 2.4.5. Аналогично и на рис. 2.4.6 - для значения согласно верти- кали EF (см. рис. 2.4.4, а) с определением амплитуды автоколебаний 'ас. Процесс уста- новления автоколебаний (вблизи точки £ = 0) по малости £ может быть определен аналити- чески. При этом из (2.4.9) (Т\+Т2)(а-ас) * 2Т1Т2(Яа + Р) ’ где _ ^^2^1 (^2^1 ~ ^*ос) . с" я(Т1+Т2) Я = 1+; Р = —JtjJtoJi. ЛЪ * Это позволяет проинтегрировать уравне- ние (2.4.3) и найти огибающую колебаний 0(4- Рас. 2.4.6. Измеяеяае коэффвцкота затухшая частоты ори штмшмбшвмх IlfSiep 2.4.2. Система управления давле- нием р имеет зазор в механической передаче (рис. 2.4.7). Гармоническая линеаризация дан- ной нелинейности (зазор) для переходного процесса с сильным затуханием согласно (2.4.4): Р1 = ?(°)+^—-я'(а) р. (О где q и q' см. в табл. 2.2.1, а их графическое изображение - на рис. 2.4.8.
220 Глава 2.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ Рве. 2.4.7. Схема следящей системы при наличии зазора Рис. 2.4.8. Графики коэффициентов гармонической линеаризации элемента с зазором Передаточные функции звеньев системы: ^1 = *. , *2 ; W3=k3; S(1 + 1) Записав уравнение = получим: системы в виде ф(а) + ;?'(«)] = -[<; + (7i + Т2)^2 - - (7i + Т2)о>2 + Ttr^3 - 2rtr2^ - rt4] - — ypo + 2(7j + + 37|72§2e> — TjT^oi^j- Положим 7i = 0,2» ?2 = ОД. Годографы левой части этого уравнения построены (рис. 2.4.9) по параметру b/а (Ь - половина ширины зазо- ра) для разных значений к. Там же представ- лены годографы правой части этого уравнения по параметру со для разных значений £. Точки пересечения обеих кривых дают решение, причем в них определяются все числовые зна- чения: к, а/Ьу со. Полученные результаты и позволяют построить искомую диаграмму качества в виде линий £ = const и со = const на плоскости с координатами а/b и к (рис. 2.4.10). Кривая £ = 0 (автоколебания) расположена в интервале (к^, к'^). Здесь имеются три области: 0 < к < к'^ - система ус