/
Text
интегральное
исчисление функции
одной переменной
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Издание второе, переработанное и дополненное
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
студента(-ки)___курса факультета
%
группы №
специальности
Ставрополь
«АГРУС»
2010
УДК 517.3
ББК 22.161.1
И73
Авторский коллектив'.
Роман Викторович Крон;
Светлана Викторовна Попова;
Екатерина Владимировна Долгих;
Нина Борисова Смирнова;
Анна Федоровна Долгополова',
Нина Николаевна Тынянко
Интегральное исчисление функции одной
И73 переменной : рабочая тетрадь / Р. В. Крон, С. В.
Попова, Е. В. Долгих и др. - 2-е изд., перераб. и
доп. - Ставрополь: АГРУС, 2010. - 72 с.
Рабочая тетрадь входит в серию методических разработок,
способствующих овладению студентами теоретическими
основами материала и появлению у них навыков решения задач
по основным разделам курса математики.
Предназначена для использования во время практических
занятий и в качестве задачника для самостоятельной работы
и контроля знаний студентов.
УДК 517.3
ББК 22.161.1
© Авторский коллектив, 2010
© ФГОУ ВПО Ставропольский государственный
аграрный университет, 2010
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Интегральное исчисление - раздел математического анализа, в котором
изучаются интеграл, его свойства, способы вычисления и приложения.
В разделе «Дифференциальное исчисление» была введена операция
нахождения производной или дифференциала функции. В интегральном
исчислении рассматривается обратная задача: нахождение функции по ее
дифференциалу.
Функция F(x) называется первообразной функцией (или просто
первообразной) для функции /(х) на интервале (а, Ъ), если в любой точке х
интервала (а,Ъ) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F'(x),
равную /(х):
F(x) = /(x).
X3
Например, для функции х2 первообразной будет функция —; для
функции cos х первообразной будет функция sin х.
Рассмотрим следующие теоремы.
Теорема 1. Если F(x) - первообразная функция для функции /(х) на
интервале (а, 6), то F(x) + С, где С - число, тоже первообразная для функции
/(х) на интервале (а, Ь\
Теорема 2. Если функция g(x) постоянна на интервале (а, 5), то
g’W = 0-
Теорема 3. Если g'(x) = 0 при всех значениях хе (a, Z>), то функция
g(x) = C на интервале (а, Ь).
Теорема 4. Если F(x) и б(х) - две различные первообразные функции
/(х) на интервале (а, Ь), то F(x)- G(x) = С, где С - число.
Например, а) Функция F(x) = x6 является первообразной для функции
/(х) = 6х‘ на всей числовой оси, так как (х6) = 6х5.
б) F(x) = cosx есть первообразная для функции /(x) = -sinx на
интервале (-со; +оо), так как (cosx)' = -sinx.
G(x) = cos x + С - также первообразная для функции f (х) = - sin х.
в) F(x) = 1пх на интервале (0, +со) является первообразной для функции
/(х) = —, так как (1пх) =-.
х х
г) Функция F(x) = arcsinx является первообразной функции
/(х) = ~г=7 в интервале (-1, 1), так как (arcsinx) = *
Vl-x2 Vl-x2
3
Множество всех первообразных для функции /(х) на промежутке («, Ь)
называется неопределённым интегралом и обозначается j f (x)dx.
Если F(x) - первообразная функция для функции /(х), то
f f (x)dx = F(x) + С,
где х - переменная интегрирования;
/(х) - подынтегральная функция;
f(x)dx - подынтегральное выражение;
С - произвольное число.
Из определения неопределённого интеграла следует, что каждой формуле
дифференциального исчисления F'(x) = /(х) соответствует формула
J f(x)dx = F(x) + С интегрального исчисления.
Операция нахождения первообразной или неопределённого интеграла
называется интегрированием.
Пример 1. Найти первообразную функции /(х) = 3х2, зная, что её
график проходит через точку Л(1, б).
Решение. Для функции /(х) = 3х2 первообразной будет являться
функция F(x) = х3 + С.
/ \г
Действительно, (х3 + С) = Зх2.
Определим значение величины С, зная что х = 1, у = 6.
Тогда 6 = I3 + С, отсюда С = 5.
Искомой первообразной является функция F(x) = х3 + 5.
Пример 2. Найти интеграл Jх9dx.
Решение. Для функции /(х) = х9 первообразной является функция
х10 г х10
F(x) = —, поэтому J x(>dx = — + С.
Геометрический смысл неопределённого интеграла
С геометрический точки зрения, неопределённый интеграл в системе хОу
представляет собой семейство интегральных кривых вида y = F(x) + C,
смещённых друг относительно друга в направлении, параллельном оси Оу.
Интегральные кривые не пересекаются и не касаются друг друга (кроме особых
точек).
Для выбора конкретной интегральной кривой семейства y = F(x) + C
необходимо задать начальные условия. Чтобы, например, кривая проходила
через некоторую точку Л/(х0;.у0), задаются начальные условия х = х0, у = _у0. С
4
помощью этих условий можно найти значение постоянной величины С:
У о — F(x0) + С ’ С = Уо ~ ^о)
Пример 3. Выделить из семейства интегральных кривых F(x) = х3 + С
линию, проходящую через точку А (-1, 3).
Решение. По условию F(x) = х3 + С, х0 = -1, у0 = 3.
Тогда у0 = х03 + С, 3 = (-1)3 + С, С = 4.
Отсюда F(x) = х3 + 4.
Искомая линия задаётся уравнением у = х3 + 4.
2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА.
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Основные свойства неопределённого интеграла'»
1) Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному
выражению: JU/(x)Jx)= f(x)dx, то есть знаки дифференциала и интеграла,
поставленные рядом, взаимно уничтожаются.
Следствием данного свойства является то, что производная от
неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
([/(x)Jx) =/(х).
2) Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен сумме
самой функции и произвольной постоянной: i dF(x) = F(x) + С.
Как частный случай можно рассматривать равенство fdx = x + C.
3) Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа
функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих
функций:
\(fM±f2(x)±...±fn(x))dx^\f\x)dx±^f2(x)dx±...±\fn(x')dx.
4) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого
интеграла:
j [Af (x)]d5c = A$f (x)dx , где A = const Ф 0.
5) Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид и смысл при
подстановке вместо аргумента х любой дифференцируемой функции от этого
аргумента:
^f(u)du = F(u) + C, где и = и(х).
6) Если F(x) - первообразная функции /(х), то справедливо выражение:
[ f (ах + b)dx = — F(ax + b) + С.
J а
5
Табли 1. 10 • du = С. 2. ^du = и + С. ип^ 3. \undu= —— + С.п*-\ л+ 1 . г du .1 1 _ 4. — = lnw +С J и 5. [audu = — + C. J Ina 6. J eudu = e" + C. 7. jsinwdw = -cosw + C. 8. JcoswtZw = sinw + C. ~ Г 2 7 Г du z- 9. sec и du = 1 = + C J J cos и „ л f 2 J Г du 10. cosec и du = —z— = -ctgi J 3 sin и 11. jtgwdw = -ln|cosw| + C 12. jctgwdw = ln| sinw+C ца основных интегралов j 0 • dx = C. ^dx = x + C. r xn+1 ixndx= hC. 1 J n + 1 1^ = 1п|х| + С . fa'<fc =—+C. (,l , J Ina л у < jexdx = ex+C. : 1 | sin xdx = - cos x + C. j cos xdx = sin x + C. 1 sec2 xdx = [ = tgx + C 3 3 cos X / •+c
/ 1 I V1 v/O “ 1 7 * 3 3 sin x JtgxtZx = — ln| cosx | + C jctgxdx = ln| sinx| + C
13. (secwdw = f = In J 3 cosw tg ^+4 J sec x tic = j—— = ln (X 71^ tg - + — Д2 4 J
f , г du 1 Л 1 рйс ли — 1 — w In tg- + C (cosecxctr= [———- = ln tg— 3 ' sinx 2 +c
5 vUOvvti 1 *“ 3 3 sinw
,. г du 1 r dx 1 tnX^r
1Э. ! , 9 V 3 a +u a г du 1 , 1 r I — 1n a a + u 2 2 J a +x a f = 1 In * a a + x
16‘ J 2 2 о 1П 3 a -u 2a t du 17 — = arc a-u . и sin — 3a2-x2 2a f dx 1 ",— — = arc a-x . x sin
J 2 2 \Ja — u a 4a2-x2 a
1Я <du - In t + \]u2 ±a2 (dx 4-1 1 — m t + \lx2 ±a2 +c.
'/2.2 vw + a 1 J x2± a2
6
21.
fa/w2 ±a2du = a/w2 ±a2 ±
Все формулы таблицы приведены без доказательств, так как легко
проверяются дифференцированием.
3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
3.1. Непосредственное интегрирование
Заключается в непосредственном использовании таблицы основных
интегралов с учётом свойств неопределённого интеграла.
В некоторых случаях сначала необходимо представить произведение или
частное функций в виде алгебраической суммы функций.
Свойство 5 неопределённого интеграла f(u)du = F(u) + C позволяет
расширить таблицу интегралов с помощью приёма подведения функции под
знак дифференциала.
При этом учитывается, что:
1) j/(ах ± b)dx = — (ах + b)d^ах±Ь);
2) d(f(x)) = f'(x)dx.
Замечание. Для
рациональных функций
помощью формул:
т
Г)№ = а\
интегрирования
можно представить
некоторых иррациональных и
их в виде степенных функций с
Л\ „т п „т+п
4) а -а — а
1 ~~
3)_L= = a "
л/o'
п
атп
2)у=а~"’
а
т
г\ & „т-п
5) — = а
а
Пример 1. Найти интеграл j(3x3 - 5sinx + 7а/х)<&.
Решение. Применим свойства неопределённого интеграла:
1
1 4
= 3 jx3dx - 5 Jsin х dx + 7 j x2d!x = 3 •
з
X2
5(-cosx) + 7- — +
2
3 4 c 14 r „
= —x +5cosx + — xyx + C.
4 3
n и - г x5 + 2x3 - Vx + 3 .
Пример 2. Наити интеграл -----------—---dx.
J 3x
7
7
Решение. Представим подынтегральную функцию в виде алгебраической
, w г х5 + 2х3 - Vx 4 3 , г х5 , г 2х3 г Jx г 3
суммы функции: -----------—----ах = —ах + 1----dx-\ —ах + — ах =
J Зх J Зх J Зх J Зх J Зх
1 г 4 z 2 г 2 > 1 г "I j г dx xs 2х3 2д/х , . , ।. р
= - х dx + — х dx — х 2dx 4 — = — +-------------h In x 4 C.
3J 3J 3j J x 15 9 3 11
п a и “ f + 6x)3 H
Пример 3. Наити интеграл ------r?=—ах.
J 5xvx
Решение. Представим подынтегральную функцию в виде алгебраической
суммы функций:
f(V/+6x)3
4
(x7 + 6x)3
12 15 £8
x7 +18x7 +108x7 +216x3
dx =
4
4
НлЛ4
з
у-| 216
7 3 +----х
5
108
3--
3 dx =
—X
5
216
8
21
18 Т\
— X21 4
108 И
----х21
5
216
29
1 x21 18 x
38
21
, . 7 Л XV Л 108
Х 29 + 5 ’ 38 + 5
21
21
47
.21
47
21
8
X3
8
8
•х-х21 +
145
21
189
95
17
•х-х21
2 Б 81
•х -X21 + —
235 5
2268
1
— X
5
2
2268 2 2L
4-------X • д/
21
“145 X 95 ............ 235
Пример 4. Найти интеграл j 2e2xdx .
Решение. Используем приём подведения
дифференциала, учитывая, что с/(/(х)) = f'(x)dx:
j 2e2xdx = j e2xd(2x) = elx + C.
Пример 5. Найти интеграл j cos6xc?x.
функции под знак
Решение, j cos 6xdx = ~f cos 6xd (6x) = sin 6x + C.
Пример 6. Найти интеграл j sin(3x - 5)dx.
Решение. Применим свойство f f(ax ± b)dx = — \f(ax + b)d(ax±b).
Пример 7. Найти интеграл j (4x 4 5)3 dx.
8
Решение. Учитывая свойство j f(ax + b}dx = — F(ax + b) + С и формулу
M"+1 f/л 1 (4x + 5)4 (4x + 5)4
и du =----+ С, получим (4x + 5) dx = —-----— + C = -----— + C.
л + l J 4 4 16
Задания для решения в аудитории
Найти интегралы.
2- ' ' • * - .. . ,v < z , \-
’ г.с ,
4. Jsm2|dr. • . • м'.’Л ' •• • - . Z
9
6. \e~xlxdx.
r dx . .
J sin26*
8' ^3^с'-^^г ' ~U 14 i • ^i-y : C
9. fcos”xsmx<fe.
fir '
2 - 3ctg2 x ,
-----r2—dx.
cos x
> ‘ ч. сл
io
3.2. Замена переменной в неопределённом интеграле
(интегрирование подстановкой)
Если функция /(х) непрерывна, а функция ф(/) имеет непрерывную
производную ф'(/), то имеют место формулы интегрирования подстановкой
(заменой переменной)'.
J /(х) dx = J /(ф(О)ф V) dt или f /(ф(О)ф V) dt = j /(х) dx,
где х = ф(/), dx = ф'(/) dt.
Замечание. Эти формулы показывают, что вид первообразной не
изменяется при замене независимой переменной х на функцию ф(/), поэтому
её называют формулой инвариантности интегрирования.
Пример 1. Найти интеграл f д/(13 + 7х)5dx.
Решение. Пусть 13 + 7х = /, тогда х = —(/-13), dx = —dt.
13
J V(13 + 7х)5 Jx = J (13 + 7х)* f/Х = j/8.|^ = |.^- + C = ^-/V? + C =
8
=—(13 + 7x)V(13 + 7x)5 + С.
Пример 2. Найти интеграл
г dx
’б-17х’
Решение. Пусть 6-17х = /, тогда х = -—(/-6), dx = ~—dt.
г dx 1 rdt 1 , । । 1 , I
------=----— =-------In / +C------In 6-17x +C.
J6-17x 17J t 17 11 17 1 1
Пример 3. Найти интеграл j cos(/3)/2dt.
djc
Решение. Пусть величина t2 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = —.
3
Г f dx 1 f , 1 . _ 1 . 3 _
I = cosx— = — COSXox = -sinx + C = — sin/ + C.
J 3 3J 3 3
TT 4 TT - 7 Г In2 / + Vln7 ,
Пример 4. Наити интеграл I = -----------dt.
J t
Решение. Пусть In / = x, тогда dx = —.
/
з
I = f(x2 +4x)dx= f(x2 + x2)t/x = —+—+C = -x3 +-7? + C =
J J 3 з 3 3
2
и
=-in31+—in/Vin/+c.
3 3
„ r r , г sin/ ,
Пример 5. Найти интеграл I = J tg/а/ = |-at.
COS t
Решение. Пусть x = cos /, тогда dx = - sin tdt, sin tdt = -dx.
T r-dx rdx . I । _ ,| j
I = -----= - — = - In x + C = -Inlcos/j + i
J X J X
f dx
Пример 6. Найти интеграл I = , .. .
J у 1 — x2
Решение. Пусть x = sin /, тогда dx = cos tdt.
r c costdt
= fdt = t + C = arcsinx + C.
Jl-sin2 /
Пример 7. Найти f Л.-.-..-dx.
J Vx2+1
Решение. Наличие в числителе множителя xdx дает возможность
применить подстановку л/х2 +1 = /, откуда х2 +1 = /2. Дифференцируя,
получаем 2xdx = 2tdt, следовательно,
[ = [л = г + с = 7?+1+С.
J t J
/•(arctgx)5
Пример 8. Найти ----------- dx.
J 1 + x2
Решение. Множитель-------5- позволяет применить подстановку arctg х = /.
1 + х
dx ,
Тогда------- = dt, следовательно,
1 + х"
j 1 + х2 j 6 6
fxdx
----у.
Решение.
/ = 3 + х2
-^= dt = 2xdx =-f—= -ln/ + C = -ln(3 + x2) + C.
3 + х2 1 2J / 2 2
xdx -—dt
2
Пример 10. Найти неопределённый интеграл хех dx.
12
Решение.
dt = 2xdx
~\e‘dt=-e' +C = -ex2
2J 2 2
Пример 11. Найти неопределённый интеграл j sin5 xcosxdx.
Решение.
sin5 xcosxc& =
t = sinx
dt = cos xdx
1. |149x-2tZx.
Задания для решения в аудитории
Найти интегралы методом подстановки.
1 rC'
-1 С/-2 с
dx
х(5 + 41п х)
4. Ja/4-8x7xbdx.
у лj d x z.. >. 1 (/'
13
3.3. Интегрирование по частям
Универсальной формулы для интегрирования произведения (частного)
функций не существует, но в ряде случаев уместно использование формулы,
основанной на нахождении дифференциала произведения.
Пусть каждая из функций w(x) и v(x) дифференцируема на множестве
X, и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции
v(x)u'(x). Тогда на множестве X существует первообразная и для функции
u(x)v'(x), причем справедлива формула j u(x)v\x)dx = u(x)v(x) - j v(x)u'(x)<Zx,
или в другой форме
ludv = uv-jvdu.
Эту формулу удобно использовать в тех случаях, когда последний
интеграл проще исходного (или подобен ему). В качестве функции и
необходимо выбирать ту функцию, которая при дифференцировании
упрощается, а в качестве dv - ту часть подынтегрального выражения, интеграл
от которой известен или может быть найден.
Интегралы, «берущиеся» по частям, условно делят на три типа.
Основные типы интегралов, «берущихся» по частям
Тип Интеграл и dv
1 Pn(x)\xixdx Inx PA^dx
Pn(x)arcsinxtZx arcsinx PAx)dx
f P„(x)arctgxdx arctgx PAx)dx
2 Pn(x)smaxdx w sin axdx
• Pn{x) cos bxdx PAX) cosbxdx
'P^dx PA*) eaxdx
14
Тип Интеграл и dv
3 • ax e sin axdx eax sin axdx
sin ax eaxdx
J eax cos bxdx eax cosbxdx
cosbx eaxdx
sin(lnx)dr sin (inx) dx
Pn (x) - многочлен n -й степени
Замечание 1. Под знаком интеграла первого типа могут находиться
функции: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx, Inx, от которых интеграл не
существует.
Замечание 2. Интегралы второго типа берутся п -кратным
интегрированием, если Рп(х) -многочлен п-й степени.
Замечание 3. Интегралы третьего типа берутся по частям дважды, в
результате чего получают исходный интеграл. Интегрирование прекращается, и
из полученного равенства выражают искомый интеграл через все остальные
слагаемые.
Пример 1. Найти интеграл 7 = Дх5 + Vxjlnxdx.
Решение. Исходный интеграл относится к первому типу, значит
lnx = w; х5 +л/х \dx = dv;
— = du;
х
.6
х6 2 |
— + -х2 = v;
6 3
2 x6
х = и;
dx
> x
)
x6 4 |
36 9
,5
xb 2
— + — x
6 3
X 2 7 1
— + — X2 1ПХ--
6 3 J
Пример 2. Найти интеграл I = jx2 • cos xdx.
Решение. Данный интеграл относится ко второму типу.
п х2=и;
Пусть
2xdx = du;
Применим интегрирование по частям второй раз, тогда
sin xdx = dv;
= Inx
¥—Х2 1ПХ-
cos xdx = dv; ,
тогда I = x • sin x
sin x = v,
- j"2xsinxdx.
6
dx = du; - cos x = v.
I = x2 sin x - 2^- x cos x - J (-cos x) dx) = x2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C.
15
Пример 3. Найти интеграл I = j ех sin xdx.
Решение. Исходный интеграл относится к третьему типу. Пусть
и = ех, dv = sinxdx. Тогда du = exdx, v = -cosx.
Следовательно: I = -ex cosx + jex cosxdx.
В результате получили интеграл, подобный данному интегралу, поэтому
применим интегрирование по частям второй раз.
Пусть и = ех, dv- cos xdx, тогда du = exdx, v = sinx. Применив формулу,
получим: j ex sin xdx = -ex cos x + (ex sin x - j ex sin xdx).
Перенесём слагаемые, содержащие исходный интеграл в левую часть
равенства: 2jех sinхdx = -ех cosх + ех sinx + C,.
г • 1
Окончательно, ех sin х dx = — ех (sin х - cos х) + С.
1. I х2 In xdx.
Задания для решения в аудитории
I U. - I и х
I rf V - X X
2. f(7x + ll)e5^x.
16
3. |e’3r sin9xdr
и - $ IЛ 9 У clr I
о £°* 51 п °и ~^'
bi^COb^y 01с< ~ ] _ у
- V< с ! 1 У
Q iп°)ис(. /J
< 5 т'^Л у -
2 ^е З/л/^л + ^г
.</5 л
*
4 75
4. j(5x2-14x + 7)cos6jc6Zx.
17
6. Jlnxtfcf. ^j/Ly - у , .J 4-^(
7. Jsinx-ln(cosx)<&. CM^sylst C6\ - C<S<(M 1 Ф^.
3.4. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной функцией называется функция, равная отношению
многочленов R (х) = ——.
v ’ е«
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя
ниже степени знаменателя.
х2 -3
Например, R (х) = —----------правильная рациональная дробь.
Зх 2х *4" 5
Рациональная дробь называется неправильной, если степень числителя
больше степени знаменателя или равна степени знаменателя.
Например,
х3 + 2х -1
R3(*)=
Зх2-х + 2
х2-1
- неправильные
рациональные дроби.
18
Если дробь неправильная, то ее необходимо представить в виде суммы
многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби.
где Л/(х)- многочлен, - правильная рациональная дробь.
Правильную рациональную дробь далее следует представить в виде
суммы простейших дробей.
Виды простейших дробей
1)—. з) > 4), Л+Д г’
х-а (х-а) х + px + q (х2+рх + 9)
где А, В, а, р, q - постоянные величины; тп еN, т>2 \ многочлен х2 + px + q
не имеет действительных корней, то есть р2 - 4q < 0.
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие
1) Если знаменатель содержит различные линейные множители, то дробь
представляется в виде
Р(х) = Р(х) = А + В С
(2(х) (х-а\х-Ь)(х-с) х-а х-b х-с
2) Если знаменатель содержит повторяющиеся линейные множители, то
дробь представляется в виде
Р(х) = Р(х) = А + _S]_ В2 С}
Q(x) (х-аХх-Ь)2(х-с)3 х-а х-b (х~Ь)2 х-с
। С2 । С3
(х-с)2 (х-с)3
3) Если знаменатель правильной рациональной дроби содержит
квадратные трёхчлены, не разлагаемые на линейные множители, то
дробь представляется в виде
Р(х) =___________Р(х)_____________ Ах + В Сх + Р
Q(x) (х2 + рхх + ^)(х2 + р2х + q2} x2+pxx + qx x2+p2x + q2
Замечание. Могут встречаться рациональные дроби, имеющие
знаменатели разных видов, например:
Р(х) __________Р(х)_________= А + В} + В2 + Сх + Р
0(х) (х-я)(х-6)2(х2 + px + q) х-а x-b (x-Z>)2 x2 + px + q‘
После представления рациональной дроби в виде суммы простейших
дробей необходимо найти неизвестные коэффициенты в числителях этих
дробей методом неопределённых коэффициентов или методом частных
значений.
19
Суть метода неопределённых коэффициентов заключается в том, что
разложение дроби на простейшие не должно менять исходную дробь, а так как
знаменатель исходной дроби равен общему знаменателю разложения, то
должны быть равны и числители. Следовательно, для равенства многочленов в
числителях дробей коэффициенты при одинаковых степенях аргумента должны
совпадать. Такой подход позволяет составить систему линейных уравнений
относительно коэффициентов разложения и, решив ее, найти значения этих
коэффициентов.
Метод неопределённых коэффициентов
1. Простейшие дроби привести к общему знаменателю.
2. Приравнять числители полученной и данной дробей.
3. Получить систему п уравнений с п неизвестными, составляя равенство
коэффициентов при одинаковых степенях неизвестных.
Эта система имеет единственное решение, так как разложение
правильной дроби на простейшие возможно и единственно.
4. Решить систему и подставить найденные значения коэффициентов в
числители простейших дробей.
Далее простейшие дроби необходимо проинтегрировать.
Замечание 1. Если знаменатель рациональной дроби разлагается только
на линейные множители вида (х-я), то целесообразно применять метод '
частных значений. В этом случае величине х даются произвольные числовые
значения (столько, сколько имеется неизвестных коэффициентов). Но удобнее
полагать х = а и т. д., то есть давать величине х те значения, при которых
линейные множители обращаются в ноль.
Замечание 2. Во многих примерах удобно одновременно использовать
метод частных значений и метод неопределённых коэффициентов.
Интегралы от простейших дробей
г А
а) —-—dx = Alnix-al + C;
J х-а
A J А
-------ах =---
(х-а}т
Cx + D
х1 2 + px + q 2
4- С, где
1 - т (х- а)т~х
, С, 2 2D-Ср 2х + р
ах = — In х + px + q + arctg ...
2 \4q~p2 \4q~p
выражение х2 + px + q не имеет действительных корней, то есть р2 - 4q < 0;
. f Cx + D . С 1 2D-Ср Т
г) —------------dx =---------г---------г н------— • J , где интеграл
(х2 + рх + q)n 2(1 - п) (х2 + px + q)n х 2
20
dx
(x2 + px + qY'
x1 + px + q = {x2 + 2—x + ^-) + —--- =
= (x + —)2 + (^^~p )2 = t2 + a1
2 2
f —=— считается для значения n > 2 по рекуррентной формуле
J (г + а )п
п
_ 1 t 2п - 3
" 2(и -1) a2(t2 + а2)”’1 + 2(и - 1)а2 ' п'1
при этом
т с dt 1 t _
71 = J “2-2 = ~arCtS~ + С
+а а
После интегрирования необходимо вернуться к прежней переменной.
Алгоритм интегрирования рациональных дробей
Р(х)
1) Убедиться в том, что рациональная дробь - правильная (степень
Q(X)
числителя строго меньше степени знаменателя). Если это условие не
выполняется (дробь неправильная), ее необходимо представить в виде суммы
многочлена и правильной рациональной дроби.
2) Правильную рациональную дробь представить в виде суммы
простейших дробей.
3) Определить значения коэффициентов в простейших дробях с
помощью метода неопределённых коэффициентов (или метода частных
'значений).
4) Найти интегралы от простейших дробей.
г 7х-4
Пример 1. Найти интеграл I = I —------dx.
л. эх 24
7л:-4
Решение. Рассмотрим данную дробь —,-------------. Она является
х - 5х - 24
правильной.
Разложим знаменатель дроби на простейшие множители.
х2-5х-24 = 0, £ = 25 + 96 = 121 = 112, х, 2=^±, х}=-3, х2=8.
z 7 1, 4 7 * 7
х2 - 5х - 24 = (л: + 3)(х - 8).
7л:-4 7л:-4
Тогда .
х2-5х-24 (х + 3)(х-8)
тт « < - Л Z?
Представим полученную дробь в виде суммы двух дробей:---и------.
х + 3 х-8
Найдём неизвестные параметры А и В.
г 7х-4 А В Л(х-8) + 5(х + 3)
Составим равенство-----------=-----1----= — --------— .
(х + 3)(х-8) х + 3 х-8 (х + 3)(х-8)
21
Отсюда А(х - 8) + В(х + 3) = 7х - 4.
Так как знаменатель дроби содержит только линейные множители, то
удобно применить метод частных значений, полагая х = -3 и х = 8.
х = -3
х = 8
-1Ы = -25,
115 = 52.
А = ”,
11
5 = —.
И
25
7х~4 _ и
(х + 3)(х - 8) х +
Найдём интеграл:
т rf 25 1 52 1
J11 х + 3 11 х —$
Тогда
52
11
х-8
52
11
Пример 2. Найти интеграл |
_ 25
" И
2х3-7х2-5х + 11
(х-2)3(х2+Зх + 4)
Решение. Дробь, находящаяся под знаком интеграла, является
правильной.
Разложим квадратный трёхчлен на линейные множители.
х2 + Зх + 4 = 0, D = 9 -16 = -7 <0, действительных корней нет, поэтому
квадратный трёхчлен не разлагается на линейные множители.
„ л 2х3-7х2-5х + 11
Представим данную дробь ------,—=-------- в виде суммы четырех
(х-2) (х +3x4-4)
_ w 2х3-7х2-5х + 11 А В С Dx + E
дробей:-----г—---------=------+----— +-------- + —------.
(х-2)3(х2+Зх + 4) х-2 (х-2)2 (х-2)3 х2+Зх + 4
Приведём простейшие дроби к общему знаменателю. Тогда получим
равенство числителей:
Л(х - 2)2 (х2 + Зх + 4) + 5(х - 2)(х2 + Зх + 4) + С(х2 + Зх + 4) +
+ (Dx + Е)(х - 2)3 = 2х3 - 7х2 - 5х +11.
Так как знаменатель дроби содержит и линейные и квадратичный
множители, то применим метод неопределённых коэффициентов.
Лх4 - Ах3 + 8Ах2 - 4Ах +16А + Вх3 + Вх2 - 2Вх - 85 + Сх2 + ЗСх + 4С + Dx4 -
-6Dx3 +12Dx2 -8Dx + Ex3 -6£x2 +12Ex-8E = 2x3 -7x2 -5x +11 или
(Л + ^)х4+(-Л + 5-6П + 5)х3 + (8Л + 5 + С + 12^-65)х2 + (-4Л-
-25+ 3C-8D + 12Е)х + (16Л-85+ 4C-8E) = 2x3 -7x2-5x+ 11.
Получим систему пяти уравнений с пятью неизвестными, составляя
равенство коэффициентов при одинаковых степенях неизвестных.
22
X1
А + D = О,
— А + В — 67) + Е = 2,
« 8А + В + С 4-127)- 6£ = -7,
-4А-2В + ЗС- 87)4-12£ = -5,
16А-8В + 4С -8Е- И.
х°
Решим систему методом Гаусса.
" 1 0 0 10 0 ' 1
-1 10-61 2 0
8 1 1 12 -6 -7 0
-4 -2 3 -8 12 -5 0
J6 -8 4 0 -8 11? <0
"10 0 1 0 0 10-5 1 0^ 2 0
О О 1
ООЗ
J) 0 4
9 -7
-14 14
-56 О
-9
-1
27
"1 0 0 1 0 0 '
0 1 0 -5 1 2
0 0 1 9 -7 -9
0 0 0 -41 35 26
<0 0 0 -296 0 211у
О
О
0 0 1 1 0 -5 11 4 - -23-41 -8 4 -16 - 0 0 10 10-5 1 0 1 9-7 0 0 -41 35 0 0 -92 28 0 1 6 2 8 ( ( 1 1 о" 2 9 26 Г 2 7 5 ъ
<0
Вернёмся к системе уравнений
' А+ D = О,
В- 57)4- Е= 2,
С + D- 7£ = -9,
- 417)4- 35£ = 26,
296
-2967) =211.
£ = — 26 + 41- 35< ( 21 191
к 296 }) 2072’
л 211 ( 191 А 661 „ с ( 21П 191 1525
296 V 2072) 74 296 J 2072 1036
296
Подставим найденные коэффициенты в числители простейших дробей:
2?-7х2-5х + 11 211 1___1525 1 661 1 .
(х - 2)3 (х2 4- Зх 4- 4) ~ 296 ’ х - 2 1036 ' (х - 2)2 74 ' (х - 2)3 +
23
_21_1 191
, 296Х 2072
х2 +Зх + 4
Найдём искомый интеграл, используя формулы интегрирования
простейших дробей:
1525
211
296 х-2 1036
(x-2)2
211 191
661 1 | 296
74 (х-2)3 х24
Ж! dx =
211
1 661
296 '
4049
х-2 148
1 211
(х-2)2 592
In х2 + Зх + 4 +
7
х3-Зх2 + 7х-21
5х2 +15х + 2
-2|+*525
1 1036
2х + 3
" 2072^7 аГС 8
_ _ __ „ f5х5-8х3 +19х2-7х + 91 ,
Пример 3. Наити интеграл ----?---х-----———-ах.
J х -Зх +7х-21
Решение. Дробь, находящаяся под знаком интеграла, является
неправильной. Представим её как сумму многочлена и правильной дроби. Для
этого разделим числитель на знаменатель:
5х5 -8х3 + 19х2- 7х + 91
5х5-15х4+З5х3-105х2
15х4 - 43х3 +124х2 - 7х
15х4-45х3+ 105х2-315х
2х3+ 19х2 +308х + 91 •
2х3- 6х2+ 14х-42
25х2+294х + 133
Тогда дробь имеет вид
5х5-8х3+19х2-7х + 91 е 2 лс 25х2+ 294х + 133
х3-Зх2 + 7х-21 х3-Зх2 +7х-21
Разложим знаменатель дроби на простейшие множители:
х3 - Зх2 + 7х - 21 = х2 (х - 3) + 7(х - 3) = (х - 3)(х2 + 7).
Представим полученную дробь в виде суммы простейших дробей:
25х2 + 294х + 133 25х2+ 294х + 133 А Вх + С
x3-3x2 + 7x-21 (x-3)(x2 + 7) x-3
Приведём простейшие дроби к общему знаменателю. Тогда получим
равенство числителей:
Л(х2 + 7) + (Вх + С)(х - 3) = 25х2 + 294х + 133.
Для нахождения коэффициентов применим и метод частных значений, и
метод неопределённых коэффициентов.
24
х = 3, тогда 16Л = 1240 или А = 77,5.
Подставим это значение в равенство
77,5(х2 + 7) + (Вх + С)(х - 3) = 25х2 + 294х + 133,
Вх2 + (-35 + С)х -ЗС = -52,5х2 + 294х - 409,5,
v2
В =-52,5,
<-ЗВ + С = 294,
-ЗС = -409,5,
В = -52,5,
’ С = 136,5.
Подставим найденные коэффициенты в числители простейших дробей:
25х2+ 294х +133 _ 77,5 -52,5х +136,5
(х-3)(х2 + 7) х-3 + х2 + 7
Найдём искомый интеграл, используя формулы интегрирования
простейших дробей:
т fl с 2 1С о 77,5 -52,5х +136,5 ] ,
7= 5х +15х + 2 + —— +-----Ц------—\d:
х-3 х2 + 7 )
+ 77,51п|х-3|-26,251пх2 + 7 +-^arctg4
X3 X2 _
— + 15 — + 2х +
3 2
Задания для решения в аудитории
Найти интеграл
25
3xdx
x2 + 3x + 7
dx
21 + 4x-?’
dx
9x2 + 6x +1
x3+64
dx.
dx.
\
2x2-13x + 18 ,
—-----z----dx.
x - 6x + 9x
26
27
3x4-2
3.5. Интегрирование тригонометрических функций
1. Интегралы вида j J?(sin х, cos x)dx, где R - рациональная функция.
Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных
функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки
tg — = /. В результате подстановки имеем:
It I-/1 2 * о J 2dt \
sm х ----7, cos х - -—-, х = 2 arctg t, dx------r-. I
1-H2 l+z2 & 1 + r2
Главным недостатком универсальной тригонометрической подстановки
является то, что её применение приводит к сложным вычислениям.
„ , „ г cosxz/x
Пример 1. Наити интеграл-----------------.
J 74-3cosx-5sinx
Решение. Подынтегральная функция является рациональной от функций
х 2t
sinx и cosx. Тогда применим подстановку tg—= /, где sinx =------------
2 14-г
1 —/2
cosx =-----
1 ! Л
2dt
, л •
28
I-/2 2dt
cos xdx _ - 1 + /2 1 + r2 _ 2[_________(l-t2)dt___________
7 + 3cosx-5sinx •’ I-/2 2t • (l + /2)(7 + 7/2 + 3-3/2-100
\+t2 1+/2
2Г (l-z2)<fr . r (J-t2)dt lr (\-t2)dt
ZJ(l + r2X4?-10f + 10) J(l + ?)(2f2-5(+5) 2J(1 + ?)(Z2-2,5z + 2,5)
Полученную рациональную дробь представим в виде суммы двух простейших
дробей
I-/2
At + В
1 , л
Ct + D
t2 - 2,5/ + 2,5
. Тогда
At3 -2,5At2 + 2,5At + Bt2 -2,5Bt + 2,5B + Ct + Ct3 + D + Dt2 = \-t2.
t3
t2
tx
t°
A + C = 0,
-2,5A +В + D =-1,
2,5A-2,5B + C = 0,
2,5B + D = 1,
A + C =0,
5 + 2,5C + D=-l,
4,75C + 2,5£> =-2,5,
-6,25C-1,5D = 3,5,
Л+ C =0,
B + 2,5C + D = -1,
-2,55-1,5C =0,
2,55+ 5> = 1,
Л+ C =0,
5 + 2,5C+ D = -1,
4,75C + 2,5£> =-2.5,
-6,25C-1,5D = 3,5,
A + C =0,
5 + 2,5C + D = -1,
4,75C + 2,5D=-2,5,
-17C = 10,
Тогда
10 7 10 2
i~t_____= 17____________17 j 17 17
(1 + t2)(t2 - 2,5/ + 2,5) 1 +12 t2- 2,5/ + 2,5
Применим формулу интегрирования рациональной дроби:
Cx + D , С, 2 2D-Ср 2х + р „
-------ох = — In х + px + q + , arctg , + С.
х +px + q 2 ^q-p2 y^q~P2
1 1 rflOz + 7 n 5/-1 V l(er2tdt dt
-----------5—2‘-5---------- dt = — 5H— + 7H---------
2 17J^1 + /2 /2-2,5/ + 2,5j 34< J/2 + l J/2+l
5/-1
Z2 —2,5/ + 2,5
5
15-> 7 5 ,
dt -—In / +1 +—arctg/-In / -2,5/+ 2,5 -
J 34 17 6 34
34
29
1,4^15
17
arctg ,— + С.
л/15
Возвратимся к прежней переменной, полагая t = tg—. Получим:
cosxdx 5 ,
--------------= — m
7 + 3cosx-5sinx 34
2 х
2
4- С ИЛИ
cosxdx 5
7 + 3cosx-5sinx 34
5 . х 2 X .
= —In tg - + 1
34 2
4- —-—In tg2 —-2,5tg —+ 2,5
34 34 6 2 2
1,4Л5 . 4tgl‘5
---— arctg----—
В некоторых случаях интеграл |7?(sinx, cosx)dx можно привести к
рациональному виду с помощью других подстановок:
а) Если R (sin х, cos х) - нечётная функция относительно sinx, то есть
R(- sin х, cos х) = -7?(sin х, cos х), то интеграл рационализируется подстановкой
cosx = t.
тт -» и ~ rsinx + sin3x
Пример 2. Наити интеграл --------dx.
J cos2x
Решение. Так как подынтегральная функция нечётна относительно
синуса, то полагаем cos х = t. Отсюда sin? х = 1 -12, cos2x = 2cos2 х -1 = 2t2 -1,
dt = -sinxdx. Таким образом,
• з
rsmx + sin x
cos2x
-42J^d
2J 2t2-l
15
(1 + sin2 x) sin xdx
cos2x
2t2-1
dt -
(2-r2)(-dQ
2/2-l
3 f dt 1 _
2
(t2-2)dt _
2?-l
1
-----x
2'~r
V2
4
xln
1
t~—j=
___x/2
1
Z + -F-
2
1 3 ,
— t-------7=rln
tji-1
Возвратимся к прежней переменной, полагая t = cos х:
г sin х + sin3 х ,1 3 ,
-----------dx = — cos x--In
J cos2x 2 4-х/2
2 cosx-1 „
F=------ +C.
2 cosx+ 1
б) Если 7?(sinx, cosx) - нечётная функция относительно cosx, то есть
7?(sinх,-cosx) = -tf(sinx, cosx), то интеграл рационализируется подстановкой
sinx = t.
зо
в) Если 2?(sinx, cosx) - чётная функция относительно sinx, cosx, то
есть 7?(-sinx,-cosx) = /?(sinx, cosx), то интеграл рационализируется
t 1
подстановкой tgх = t, тогда sinх = ..., cosх = .---— , х = arctgt,
yjl + t2 Vl + r2
dt
W
Пример 3. Найти интеграл
dx
1 + cos2 x
Решение. Так как подынтегральная функция чётная относительно cosx, то
„ 2 1 , dt
воспользуемся подстановкой tgx = t, тогда cos х = -—dx = -—-.
dx _ е dt
l + cos2x~J 2 Л 1 >
I i+o
sin'" xcos" xdx, где тип - целые числа.
sin8 xcos3 xdx.
2. Интегралы вида j sin’” xcos" xdx, где тип- целые числа.
а) Один из показателей (т или п) - нечетный положительный, тогда от
функции, показатель которой нечётный, отделяется множитель первой степени,
который подводится под знак дифференциала, то есть cosxdx = d(sinx) или
sin xt/x = -d(cosx).
Пример 4. Найти интеграл I = j
Решение. Так как подынтегральная функция нечётная относительно
косинуса, то I = jsin8 х cos3 xdx = jsin8 x cos2 xcosxdx -
= jsin8x (1 - sin2 x)d(sinx) =j(sin8x -sin,ox)J(sinx) =
• 9 -11
sin x sm x
=------------+ C.
9 11
б) m и n - чётные неотрицательные числа. Тогда для преобразования
подынтегральной функции используются формулы понижения степени:
sin‘x = ^-(l-cos2x), cos2x = i(l+cos2x), sinxcosx = ysin2x.
Пример 5. Найти интеграл j cos4 5xsin2 5xdx.
Решение. Так как подынтегральная функция чётная неотрицательная, то
J cos4 5хsin2 5хdx = j — (1 + coslOx)
•i(l-coslOx)dx = ^ j(l + 2cosl0x +
+ cos21 Ox)(l - cos 1 Ox) dx = । J (1 + cos 1 Ox - cos21 Ox - cos310x)jx =
1 1 •
-xd---sinlOx -
8 80
Xd—
10
sinlOx-jcos2 lOxt/x- [cos3 lOxdx =
31
1
-х +
8
1
I • 1Л I
—sinlOx---x-
80 16
—sinlOx—— sin20x-
16 80 320
1г 1 Г 2
—- (14-cos20x)dx— cos 10xcosl0x<Zx =
16J 8J
sin 20x - j (1 - sin21 Ox) d(sin 1 Ox) =
1 1
320
1 . 1 sin'IOx i i • , i з1А . r'
----sin 10x4-----------——x-----------sin 20x4- sm i^x } .
80 80 3 16 320 240
в) m и n - числа либо оба чётные, либо оба нечётные, причем хотя бы
одно из них отрицательное. В этом случае используется подстановка tgx = ?
z ч гт. 7 2 1 1
(или ctg х = t). Тогда dx =-7, cos х =----z— =---—,
14-Г l + tg2x 14-Г
. 2 sin2x 2 + 2 2 л 1 t1
sin X =---7—-COS X = tg X-COS X = t----7 =----7.
COS2X 14-/2 1 + r2
„ , тт ~ г sin2 x
Пример 6. Наити интеграл I
4
COS X
Решение, j
sin2x ,
---у— dx-
cos x
Л
2 1
sm x = .....7
1 1 Л
2 1
COS X =-------7,
i । Л
j dt
dx =----2
Г
<2 dt
2 "Т7л
1
, Л
з
г) Если одно из чисел т или п равно нулю, то применяются
рекуррентные формулы'.
Г • т . 1 * /и—1 ” 1 Г
sm xdx =-----cosxsin х +-------к
J т т J
т 2 xdx,
Г и , 1 . П — 1 Г „_2 ,
cos xax = —smxcos x4-------cos xdx.
J n n J
Пример 7. Найти интеграл j cos3 6x dx.
Решение, f cos3 6x dx = - sin 6x cos2 6x 4- — f cos 6x dx = - sin 6x cos2 6x 4-
J 3 3J 3
2 1 . r \ 2/; • Г
4----sin6x4-C = -sm6xcos 6x4-—Sin6x4-C.
3 6 3 9
Остальные варианты требуют самостоятельного подхода в каждом случае.
5. Интегралы вида j sin тх cos nxdx, j cos mx cos nxdx, j sin mx sin nxdx.
Для рационализации подобных интегралов используют следующие
формулы тригонометрии:
sin a cos Р = (sin(a 4- р) 4- sin(a - р)),
32
cos a cos P = ^(cos(a + p) + cos(a - P)),
2
sin a sin p =—(cos(a - p) - cos(a + p)).
2
Пример 8. Найти интеграл [ sin 4xcos3xt7x.
Решение. Воспользуемся формулой sin a cos Р = — (sin(a + P) + sin(a - p)),
2
получим sin 4x cos 3x = — (sin(4x + 3x) + sin(4x - Зх)), то есть
r . _ „ , 1 fz . _ • \ , cos7x cosx
sin 4xcos3x<zr = — (sin7x + sinx)ax =-----------+
J 2JV 7 14 2
4. Интегралы вида j R(tgx)dx.
Используется подстановка tgx = t, тогда
tg3 2xdx
tg2x - 8
, dt
x = arctg?, ax -------7.
Пример 9. Найти интеграл j
Решение.
r tg3 2xdx
J tg2x-8
1
x =—arctg/
3 1 dt
f =1 f /3
J /-8 2J (Z-8)(l + Z2)
2 \ + t
Представим подынтегральную функцию
Z3 ____________________
(t— 8)(1 + Z2) t3-St2 + t-8
виде суммы простейших дробей, предварительно выделив целую часть:
Z3-St2 + Z-8
t3-St2+t-S 1
8z2 — t + 8
~ t3 . St2-t + S
Тогда-----------T- = 1 +---------=-,
(Z-8)(l + Z2) (Z-8)(l + Z2)
8/2-/ + 8 = A Bt + C A(t2 +1) + (Bt + C)(Z-8)
(Z-8)(l + /2)” t-S+ 1 + /2 “ (Z-8)(l + Z2)
33
t = 8
t = 0
t = l
65A =512,
< A -8C = 8,
2A-7B-7C = 15.
A^,
65
f 512 6 1
--- — t + —
j ! 65 , 65 65
/-8 1 + Z2
512, । o, 3 r2tdt 1 f dt
+----In r-8 +— -----=-+— ------v
65 1 1 65Jl + r2 65Jl + r2
51? ? 1
= t +--lnk-8| + — In 1 + /2 +—arctgr + C.
65 1 1 65 65
Полагая t = tg2x, получим:
tg 2xJx^ = tg2x-t- j-ij-lnl tg2x-8| + —In l + tg22x +—arctg (tg2x)+C
tg2x-8 65 65 65
или
г tg3 2xdx
tg2x-8
= tg2x + ^-^ln|tg2x-8j +—In l + tg22x + —x + C.
65 65 65
5. Интегралы вида j tgmxdx,j ctgnixdx, где m - целое положительное число.
Учитывается, что tg2x = sec2x-l и sec2xJx = tZ(tgx) или ctg2x = cosec2х-1
и cosec2x<Zx = -d(ctgx).
Пример 10. Найти интеграл jctg6(2x-7)dx.
Решение. [ ctg6 (2х - 7) dx = [ ctg4 (2х - 7) ctg2 (2х - 7) dx =
ctg2(2x-7) = cosec2(2x-7)-l
= , 1
cos ec2 (2x - 7) dx = -—d (ctg(2x - 7))
= j ctg4 (2x - 7) (cos ec2 (2x - 7) -1) dx = j ctg4 (2x - 7) cos ec2 (2x - 7}dx -
- j ctg4 (2x -7) dx = J ctg4 (2x - 7) —d(ctg(2x - 7)) -
- j ctg2 (2x - 7) ctg2 (2x - 7) dx = - i j ctg4 (2x - 7}d (ctg(2x - 7)) -
- | ctg2(2x - 7)(cosec2(2x - 7) -1)dx = - —— +
+ — f ctg2 (2x - 7)d(ctg(2x - 7)) - f ctg2 (2x - 7)dx = —— ctg5 (2x - 7) +
2J J 10
34
+ £ctg_(2£_7)_j(cosec2(2x-7)-1)iZr = -^ctg5(2x-7) + |Ctg3(2x-7)-
- jcosec2(2x - 7)dx + Jdx = - j^ctg5 (2x - 7) + ^ctg3(2x - 7) +
+—j d(ctg(2x - 7)) + x = x -—ctg5 (2x - 7) + —ctg3 (2x - 7) +—ctg(2x - 7)+C.
2J 10 6 2
6. Интегралы вида jtg"’xsec'' xdx или J ctg
положительное чётное число.
Тогда учитывается, что sec2x = l + tg2x и sec2 xdr = d(tgx), или
cosec2x = l + ctg2x и cosec2xdx = -d(ctgr).
Пример 11. Найти интеграл jtgl35xsec2 5xdx.
Решение. jtg135xsec2Sxdx = sec25xdr = -^-d(tg5x) = Jtg135xd(tg5x) =
mxcosec"xdx, где n - целое
= --^-^ + C = —tg145x + C.
5 14 70
7. Интегралы вида fsec2"+!xdx или [cosec2"+1xdx.
Используются рекуррентные формулы'.
> 1 sin x
sec xdx ----------—
J 2n cos2" x
sec2" 1 xdx,
2n+l J 1 COSX 1 2л-1 ,
cos ec xdr =---------X— + (1-------) cos ec xdx.
2n sin2"x 2n J
, rcosx + smx ,
1. ------------dx.
J sin2x
Задания для решения в аудитории
Найти интеграл.
35
2. I sin2 3xdx.
r sin3 x
' cos4 X
dx.
13 2 ,
cos—xcos—xdx.
7 3
5. Jcos7 xdx.
36
6. jtg5xsec6xc?x.
3.6. Интегрирование иррациональных выражений
1. Интегралы вида ^R(x,\lax + b}dx.
Берутся подстановкой ах + b = tn, где х = -(/"- b), dx = —tn~xdt.
а а
Пример 1. Найти интеграл I
J V2x-1
Решение. Воспользуемся подстановкой t = >/2х-1, х = —(?+1),
2
» 3 2 .
dx=—t dt.
2
Получим
= ^Г2(2/3+5) + С= r = V2x-ll = ^V(2x-1)2(4x + 3) + C.
2. Интегралы вида j R(x, xa, xp, xy)dx, где a, P, у -
рациональные дробные числа.
Интеграл находим с помощью подстановки x = tn, где п - наименьший
общий знаменатель дробей а, р,
Пример 2. Найти интеграл | -
x2
x
37
Решение. В данном интеграле перейдём к степенным функциям:
£
г x3dx 1 „ 2 1
-=J-------Г,гдеа = -, ₽ = -, Y = -.
х х’-х2
3
X1
„ ^.121
Наименьший общий знаменатель дробей равен б.
3 3 2
Полагаем п = 6, тогда х = /6, dx = 6t5dt, t = \[x.
1
x3dx
~2 I
X3 -х2
t2 -6t5dt
t4-t3
t*dt
t-l
=/ +j al +eini z -! ।=
. t 1 til /1
= 6j(? + ? + f + l)<fr + 61n|/-l| = 6 —
k4
= l,5/4 + 2?+3/2 + 6z + 61n|z-l| + C= t = ^ =1,5(V^)4 + 2(V^)3+3(V^)2 +
dx
3. Интегралы вида [
dt
+ bx + с
Под корнем выделяется полный квадрат, тогда:
а) при значении а > 0 данный интеграл сводится к интегралу
г Ь . 4ас-Ь2
+ к + С, где t = х + —, к =------;
2а 4а
1 +к da
б) при значении а < 0 данный интеграл сводится к интегралу'
г dt 1 . t ~ b Jb2 -4ас
arcsm— + С, где t = х + —, т =-j——.
т 2а 2 а
2 /2
m — t
Пример 3. Найти интеграл j
-6x + 5
Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:
х2-6х + 5 = х2-2-Зх + 9-4 = (х-3)2-4.
dx
-6х + 5
dx _х - 3 = t
7(х-3)2-4 dx = dt
dt
= In t + yt2
38
Пример 4. Найти интеграл [ —, =
\3 + 6х-9х2
Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:
Mx + N
(х - p)yjax2 +bx + c
Берутся подстановкой х - р = -
Решение. Введем подстановку х-2 = -, тогда, х = - + 2, dx = —-r-dt.
t t t2
dt _ r dt _ [ dt _ г dt
-^ + - + 20 ~ , M + 20? ~~JV20?+8T+r~J Мг + 2 ±
Pt \ t2 \ I 5 20
39
1 , х + 3
--7= 1П--------F
2V5 5(х-2)
20 + 8(x-2) + 20(x-2)2
20(x-2)2
х + 3
1 . х + 3
=----— In---------
2^5 5(х-2)
-18х + 21
^=1п
25х -90х + 105
5(х-2)
7
-x = acost,
При интегрировании некоторых иррациональных выражений
используются тригонометрические подстановки.
5. Интегралы вида ^R(x,\ja2 -х2 )dx.
Берутся подстановкой х = a sin t, тогда t = arcsin х,
dx = acostdt.
Пример 6. Найти интеграл ^y]9-x2dx.
Решение.
x = 3sint
dx = 3 cos tdt
= j^9-(3sint)2 • 3costdt = 3 j\/9-9sin2t
х
х cos tdt = 3| V9cos21 costdt = 9| costcostdt = 9| cos2 tdt = — | (l + cos2t)dt =
9( 1 1
= — t +—sin2t +C = 4,5t + 2,25 sin 2t + C =
2l 2 J
. x
t = arcsin—
3
. . . x
= 4,5 arcsin—+
3
+ 2,25 sin 2 arcsin—
6. Интегралы вида [ /?(х, da2 + x2 )dx.
/ 2 2 w
Берутся подстановкой x = atgt, тогда t = arctgx, da +x =------------,
cost
, adt
dx =----
cos t
Пример 7. Найти интеграл
xdx
л/13 + х2 ’
Решение.
xdx
л/13 + х2
x = VBtg/, dx = ^-
cos t
713+x2 = Ji3+(7i3tgt)2 = +tg2t =—
cost
40
13
V13 t/Z
/_-co- - = -J\3 FS*ntdt = Fcos-21 d(cos f) =
V13 J cos t 1 cost
cost
л
t - arctg
13
= V13sec arctg
х
7. Интегралы вида j R(x,yjx2 - a2 )dx.
_ „a .a rx V я cos t
Берутся подстановкой x =------, тогда t = arcsin —, dx -a =-------,
sin/ x sin/
, -acostdt
dx----------.
sin /
Пример 8. Вычислить интеграл | —
J х
dx
'х2-7 ’
7
, получим
V7 cost ,
-------—dt и
sin /
Решение. Применяя подстановку х-
sin/
= —cos arcsin—
8. Интегралы от дифференциального бинома jхт {а + bxn )pdx. ,
Берутся в трёх случаях:
1) если р - целое число, тогда данный интеграл сводится к интегралу от
рациональной функции с помощью подстановки x = ts, где 5 - наименьшее
общее кратное знаменателей тип;
т + \ , „ с
2) если целое число, то интеграл решается заменой a + bx =t , где
п
s - знаменатель дроби р;
-54 w + 1
3) если -+ р - целое число, то интеграл решается заменой
п
ах~п + b = ts, где 5 - знаменатель дроби р.
41
Пример 9. Найти интеграл
1Y10
Решение. Подынтегральную функцию запишем в виде х * 2 1 + х4 * , где
т = ~—, п~~> Р = -Ю, а = 1, Ь = 1. Так как р = -10 - целое число, то данный
интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью
подстановки х = /4, где 5 = 4 - наименьшее общее кратное чисел т = 2 и п = 4.
Тогда dx = 4t3dt и искомый интеграл примет вид
, Г dt .t.. \-9 j лГ/1 х-Ю J л (1+Z) л (1 + 0 z"’
-4-------m =4 (l + Z) *dt-4 (l + 0 °<Й = 4-~--------4------— + С =
J(l + /)10 J J -8 -9
2(1 + О8 + 9(1 + /)9 + С 1 Х 2(1 +Vx)8 9(14-Vx)9
Пример 10. Найти интеграл -------,
J (6- х2)7б-х2
Решение. Подынтегральную функцию
х3 х3 3Л ,
-----г-г—у =-т-- . . =х-(6-х ) 2, где т = 3
(6-х2)д/б-х2 7(6-х2)3
запишем в
0 3
и = 2, Р = ~~,
виде
а = 6,
Ь = -\. Так как р = —
2
не является целым числом, то вычислим величину
т + 1 Г1 3 + 1
-----. Получим = 2 - целое число, тогда интеграл решается заменой
п----2
6 — х2 = Z2, где 5 = 2- знаменатель дроби р = —.
2
Дифференцируя выражение 6-х2=Г, получим -2xdx = 2tdt, то есть
xdx = -tdt. Учитывая, что х2 = 6 -11, имеем:
гзj , >з з _з
|-------т----= [х3(б-х2) 2t/x = fx2(6-x2) 2xdx~-f(6-Z2)(r2) 21dt =
J(6-x2)V6-x2 } J J
= [(/2-6)Г2Л= [(1-6Г2)Л = Г-6 —+C= < = х/б-х2 =Уб-х2+ , 6 * +
J J -1 л/6-.r2
42
+с=
12-х2 ;
V 6 - х2
Пример 11. Найти интеграл
dx
х4д/1 + х2
Решение. Подынтегральную функцию запишем в виде
1 -- 1 1
---== = х’4(1 + х2) 2, где m = -4, п-2, р- —, а = 1, Ь~]. Так как р = —
/71 + х2 2’ 2
тп + 1 -4 + 1 3 „
и -----=-------= — не являются целыми числами, то найдем значение
п 2 2
-— + р =------= -2. Оно является целым числом, поэтому интеграл
п 2 2
решается заменой х 2 +1 = t2, где 5 = 2- знаменатель дроби /? = -—.
2
Дифференцируя выражение x-2 + l = Z2, получим - 2х-3 dx = 2t dt, то есть
x~dx = -tdt. Тогда:
Задания для решения в аудитории
Найти интеграл.
xdx
>/5-2х‘
43
dx
л/з-бх-х2
+ 10х-15
44
45
xydx
'х2+2
-16 ,
----dx.
x
= t, тогда x = loga t, dx =
Zina
e3xdx
3.7. Интегрирование некоторых показательных функций
I R(ex )dx находится подстановкой ex = t, тогда x = In t, dx = ^-.
^R(ax)dx - подстановкой ax • , . , dt
Пример 1. Найти интеграл [
Решение. Пусть ех = t, тогда х - In Г, dx- — . Получим:
46
Пример 2. Найти интеграл
3х dx
1 + 9х ’
„ ГТ ПХ 1п/ , dt
Решение. Пусть 3 = /.тогда х =----, dx =------
1пЗ МпЗ
г 3х dx _ г 3х dx _ г tdt _ 1 г dt
J1 + 9- ’ J 1 + з2- " J НпЗ(1 + /2) “ йГз-I 7+Т "
— arctg t + С - arctg 3х + С.
1пЗ 1пЗ
Заключительные замечания:
1. Нахождение неопределённых интегралов основывается на сведении
интеграла к табличным интегралам. Чем больше таблица интегралов, тем
проще нахождение интегралов.
2. Если интеграл найден разными методами, то ответы получаются в
разных формах, но можно доказать, что они отличаются друг от друга только
на постоянное слагаемое (см. теорему о двух первообразных).
3. Изложенные методы интегрирования не всегда позволяют найти
интеграл. В ряде случаев интеграл не может быть найден в силу того, что
подынтегральная функция не имеет первообразной, которая выражается через
элементы функции с помощью действий сложения, вычитания и т. д. Такие
интегралы называются неберущимися, их можно находить приближённым
методом (см. разделы «Ряды», «Численные методы»).
К неберущимся интегралам относятся:
- Интеграл Пуассона: je~x dx.
- Интегральный синус:
J х
TZ - rcosx ,
- Интегральный косинус: [cosx
J х
— Интегральный логарифм:
J 1пх
47
5x + 7 ,
-----dx.
x-2
РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
Вариант № 1
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
, г sin2x ,
1. ----5---dx.
J 4cos х + 3
„ r dx
sin2 2x
x2-! ,
----dx.
5 -3cosx
dx
x3 у/2 - x3
l 2x2 я
i -----dx.
47^9
г x + 2
(x - 2)(x2 + 2x + 4)
10. j x2 cos2xdr.
4х + з ,
—-------dx.
х2 +6х-7
14. j arcsin xdx.
x2 - 5x +1 ,
---------------------dx.
(x - l)(x2 + 2x + 4)
18. j sin3xcos2xt7x.
1 + tgx
---— dx.
1-tgx
2O.Jln(3x-89)<Zx.
Вариант № 2
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
l.jx(2x2+5j dx. 2.J-----dx.
A X ~~ 1
5. j x2 cosrcxdx.
_ Г cos5 X ,
7.]-^^.
J sm x
9. j tg8xtZx.
6. sin5xcosxtZr.
10. j (x4 - 2x2 jlnxcfr.
48
11. [ -dx. J (х + 2)(х2 + Зх + 4) p x2 + -x/1 + x . 12. ,—=-—dx. - </l + x
г 63+ctg* 13. ( ——^—dx. J sin х 14. [ * . J sinx+cosx
г dx 15. | . J 3 + 5cosx 16. j cos(lnx)dx.
, _ r 5x + 4 , 17. . dx. J Vx2-8x + 7 f x3 - x + 2 18. ; dx. J x2+l
19.Jln(6x-7)dx. 20. f X - -dx. J 9 + 3x8
Вариант № 3
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
l.J x \Jx2 +2dx. 0 г X4 2. dx. J 1-x
f 5x - 2 3. dx. J 2x +1 4 f 2ln(*~1) x -1
5. [ ———dx. •> 3-2x4 6. j x2 e~x dx.
J 2-cosx г x3 - 3x 8. 1 5 -dx. (x-2) (x-5) ч Л r 3x — 4 ,
9. j ln(sinx)dx. 10. | -dx. J V4x2 + 8x - 5
11. j sin'xcos3 xdx. 12.[2~Sin-*A. J 2 + cosx
13. j sin2x>/l - cos2x dx. 14. j arctg 2xdx.
г V4-x2 15. dx. J X J x (x +3) r dx
17. j xctgxdx. 18.1 . J 3sinx+cosx
19. J X\9-X2 20. | (5x + 41) sin 12x dx.
49
Вариант № 4
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
dx
5 -3cosx
4х - 5
(х-3)(х2 + 4х + 4)
6. j х2 sinaxdx.
dx
4 + sin2 х
10. Г sin2 2xcos2 2xdx.
^yarccosx
13. [ , dx.
15. J cos2xcos3xdx.
17. Г________.
J (1 + 4x2) arctg 2x
19. J x5(l + x3) dx.
r 5x + 4
14. . =dx.
J Vx2-8x + 7
’*• ' J?
16. [ e2x sin—dx.
J 2
18. j ln(cos3x)dx.
20. je5x-3(6x-8)dx.
Вариант № 5
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
1J—e—^dx- 2.^-^-dx.
J (1-ех) 4 J х-2
3. ( arctg 4xdx. _ 4. f--
J <0 J 1 + Vx + l
5. f—^-^dx. 6. [sin5xdx.
J9 + 3x8 J
7. [ x2 cosxdx. 8. f —- .
J J 1 + sin x
10. sin2xcos4xdx.
50
9. | xe Xdx.
dx
1 +cos2 x
x3
------a
x8-16
X3
dx
14. J xarctgxdr.
cosx
1 +COSX
5x
18. j sin4 xdx.
x + 2 ,
—?-----z-----dx.
x3 - 2x2 4- 2x
Вариант № 9
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
x——
COS X
2x + 3 ,
------dx.
3x + 2
2x + 3
a/8 - 2x - x2
sin3x ,
---------dx.
3 - 5cos3x
x2 - 2x + 5
3x2+l J
-------г dr.
8. j e2x sin3xdx.
• 3 3
sin XCOS X
x2 sin2xdr.
15. j sin2xsin5xdx.
(sinx + cosx)2
1 - 10,nx J
-------dx.
x
dx
(x-3)(x2+2)
sinx ,
------— dx.
1+COS X
sin3 xcos2 xdx.
18. j x2 ln(x2 + \}dx.
53
20. j(7-5x)e9v dx.
Вариант № 10
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
г/ , \io „ г 5х-6 ,
dx
e2xdx.
COSX ,
—— dx.
sin х
х4 .
—------dx.
x2-9
dx
'jarccosx
cos4 xdx.
х2 - 2х + 3 ,
----------------------dx.
(х - 1)(х3 - 4х2 + Зх)
Зх - 4 ,
. — dx.
\J4x2 + 8х - 5
11 • J sin x cos 1 Ox dx.
12. J x3 In xdx.
г X8
13. f ———rdx.
J 7-x9
1C f X + 1 J
15. ------------------dx.
J (x-l)(x2 +2x + 2)
r 2-sinx ,
14. --------dx.
J 2+cosx
16. j sinxe10xdx.
18. J tg5 xdx.
2O.jtg23xdx.
Вариант № 11
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
4. Г x2 cosxdx.
„ Г COSX
5. ---------т— dx.
J 25 - sin х
2x + 3
V4x2+12x + 13
54
7. j cos4xsin2xdx.
л r arccosx ,
9. ....-=dx.
J vr?
11.| Inxdx.
13. | ^/l-cos2x sin 2x dx.
15. J cos5 xdx.
17. \-^—dx.
J x6+16
r sin2x
19. -----dx.
J 1-tgx
r 3x +2x + l
(x +1)2 (x -1)
J 3 + 5cosx
x-5 ,
—----------dx.
3x2 - 2x + 5
16. J e* sin xdx.
18. J, $2 —v
J (x - l)(x +4)
20. J (5 - 4x2)sinl2xdx.
Вариант № 12
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
г sin2x
J 4cos2x + 3
5х + 3 .
-----dx.
х-2
Зх2-1
x2
, „6
cos5 X
sin3 х
—-----------dx.
3x2 + 2x +1
10. J tg3 2xdx.
е2х
---—dx.
4 + е4х
х-3
2-sinx .
-------dx.
2 +cosx
x3+l ,
-----dx.
x -1
dx.
16. J sin(lnx)dr.
sinx .
dx.
2x-3 J
, dx.
19. j sin3xsin5xdx.
2O.Jtg3(8x-9)<yx.
Вариант № 13
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
1. J ех \ll-ex dx. 2. j хarctgxdx.
Зх + 5 .
-----dx.
х-1
4. f
5. j cos3 xsinxdr.
3-4x
\Jx2 - 6x +10
2x2 - 5x +1 .
—---------d
x - 2x + x
x-1
—---=dx.
V2x-1
dx
(2 + tgx)cos2x
г 1 + x2 .
-----dx.
I 1 I „3
8. j sin(21nx)dx.
sin2 xcos2 xdx.
12. J cosxcos5xdx.
—j—(^x-
sin x
x4 .
----dx.
x2-l
X7
—d
x“ + 16
sinx
------a
1 - sinx
1 + tgx
16. j xcosxdx.
dx
20. j (7x +11) sin 5x dx.
. Вариант № 14
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
2x-l
x3 - 2x2 + 4
2
56
x dx
cos2 X
2x + 3
2x2 + 4x - 3
7. j sin 2xcos3xdx.
sin 2x
4 +cos2 2x
dx
1 + sinx+cosx
3x2+4 J
—-------ax.
x + 4x - 7
x3 + 3x +1 ,
---------dx.
x -1
3x-2
У =C
a/3-2x-x2
xdx
15. J e 2x cosxdx.
16. J sin5 xdx.
18. J ctg'xdx.
x-2
20. (2 -17x) cos 6x dx.
Вариант № 15
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
3. j arctgxdx:. 4 5-3x J —: dx. 2x2 - 3x +1
5. I .—е -dx. 1 V10-e2' 6j dx
sin2 xcos4 x
7. x3 e~3x dx. 4 Vl + x dx. x
9. J tg8xdx:. 10. f * + 22dx. J X3 - 2x2
11. J cos2xsin3xdx:. 12. f *2~2 , , dx:. } x -x +x-l
J 7 -cos4x 14. f x3 , —: dx. J X2 +4
57
15.[----*----.
J sinx + cosx
17.fetg3x—.
J cos 3x
19. j sin3 xcos6 xdx.
16. j (x2 + 2)lnxcfr.
2x + 5
V8 4- 6x - x2
2O.jsin45xfZx.
i К A
Вариант № 16
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
1.[х2(х3+5) dx. 2. J '-—dx.
) \ f J 2x4-1
3. J х2 cos2xiZx.
5. j eAcoseA dx.
7.1 sin5 xcos3 xdx.
4. sin5xsin2xJx.
arcsinx
•* л/14-х
i2. [ cosx.. dx.
J 14-COSX
13. f —1=^=====dx.
j 79-4x8
15. j x3lnxJx.
г i 3~*4
17.jx3 2 2 dx.
19. ( . X:-.r=dx.
J V3x2-11x + 2
20. j cos5 8xctc^
Вариант № 17
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
4-1. j etgt sec2 xdx.
X 4- 2
2^й
dx.
Ц-2. J х2 e^xdx.
58
5. j ln34x—.
-------dx.
<12x-9x2 -2
7. cos5xsin2x<7x.
19. j sin2 xcos3 xdx.
4
20. j (18-13x)cos2xc/x.
Вариант № 18
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
sin3x ,
----;—ах.
cos х
4. Г х2 + 3x + 5)cos2xt£x.
8. cos5xcos7xtZx.
10. J (x4 -2x2)lnxc&.
12. f — dx.
J x + 1
14. j e5vcos2xdx.
' 3 + 5cosx
17 f 2ln(x-1)
x-1
19. f sin4xtZx.
16.1 ------------------dx.
* (x-l)(x2 - 6x +18)
18. j x3 \lx3 - 2 dx.
20. | cos3 6xsin2 6xdx.
Вариант № 19
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
1. j л/1 + 2х dx.
3. J хarctgЗхdx.
г dx
г I л arcsin х
~ f 2x ~1 л
2. ------dx.
J x-2
4. J sin5xcos2xtZx.
11. j (х3 -Зх^е^3 dx.
dx
3sinx +cosx
13. j xtgx2tZr.
16. J ^x(l - x2) dx.
18. j sin(ln3x)<ir.
2O.|tg3(72x)dx.
15. j cos3xrZr.
17. jcos(9x + 4)€Zr.
19. J ctg4xdx.
Вариант № 20
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
x-1
^sinx
cosxe
-----dx.
x
60
8. .
•* 1 + tgx
10. J cos lx sin 8x dx.
12. J x2 cosnxdx.
14. f ——dx.
J x + 2
16. f e2x sin—dx.
J 2
18. f----*-----.
J sinx+2cosx
20. ^~^dx.
J sin x
Вариант № 21
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
, г cos2x , . сЗх + 5 ,
1. —----------dx. 2. -------dx.
J 4 sin2 2x + 3 x + 2
M dx yjx + y[x 4J xcosfx2 + 4}dx.
M X2 +1 , dx. x + 4 4 xe2x dx.
7f dx 8. J x3x tg3x dx.
2-cosx
M X2 —dx. V16-x2 10. j x2 sin2x<7x.
11. f dx 12. r 5x2 -10x + 4 , — dx. J x - 3x2 + 2x
xcos2 Inx
13. 1 —. 7 =dx. i v5 - x2 - 4x 14. r cos5x , dx. J 1-sinx
15. j cos2xcos3xtZx. 16. ((1- sin2x)2 dx.
61
, _ f 1 + tgx ,
17. ----—dx.
J 1 —tgx
19.1 arccos4xtZx.
18.Jln(13x-5)tZx.
20. J x3 tgx4a?x.
Вариант № 22
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
1. f , Х dx.
J V3 + 4x2
7. f — — dx.
J х + 2
9. f dx.
J x6-9
11. j sin5xcos3xdx.
13. f —-—-dx.
J 3-2x7
15. j cos2 xsin2 xdx.
17. j 5sin2x cos2xdx.
14, J arctg 2xdx.
20. J cos7 4xsin2 4xdr.
19. j tg3xtZx.
Найти интеграл, выбрав самостоятельнСгметод решения:
1. J х2 Vx3 - 2 dx.
х3-3
х-1
3.J(x2 +2x-l)e’4xdx.
4. j sin3 xcos4 xdx.
62
ctg2 3xdx.
3x + 5
\/3 - 2x - x2
cos3x
sin2 Зх
11. j xarcctgx<ir.
. ~ r arccos3 x ,
Vl-x2
5 + x ,
-----dx.
5 -x
dx
^1 + 4x2 j arctg 2x
dx
хл/9-х2
16. ln(sinx)tZx.
18. j sinlOxcosxtZr.
20. j (7x + 53) cos 6x dx.
Вариант № 24
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
1. ( х3 (5 - 7х4) dx. 2. Г ———-----dx.
J v 7 J х2 + Зх + 4
г о л г 4х — 5 ,
3. x~sinBxt/x. 4. ------==dx.
J Р J л/8-4х-х2
. f 4х3 - 3 6. [-----------------dx.
’•’х4-Зх + 5^’ (* + 1) (х2-4х + 3)
7. j —1“^- 8. j х arctg 5х dx.
-----—dx.
25+ 8 lx4
10. J sin2 2xcos2 Zxdx.
12. j tg4xdx.
14. f cos3xcos9xdx.
63
dx
4-3cosx
20. J (8x + 9) sin 14x dx.
Вариант № 25
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
Зх + 8 ,
e5x
----—dx.
1-eSx
dx
x4 ,
-------dx.
16+ x10
J x
9. jx2 SMxaxdx.
,, г x3 - x + 2
J 4 +sin х
10. J sin7xcos3xdx.
12. j InxtZx.
x2
. dx.
4b2 - x2
x3 - 2x + 5 .
——-----— dx
x2(x-l)
dx
x(5 + 21nx)5
x-1
л/Х
Зх-9
2 + 4х -1
l + 2sinx-cosx
20. je5-9x(7x + 32)d!r.
Вариант № 26
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
. г ч —7 , Л гх3-Зх + 2 ,
4 + tgx
64
-- ( 31— dx. ' vx2 6. j sin9xsin3x<7x.
7. |х 1ПХ4&. r 4x-9 , 8. — dx. J 4x - 4x + 5
cos(ln(x-3))A ’ x-3 11 Г X1^2L dx. J(x-2)(x-3) 10. f . J 4sinx-cosx . _ f X + VI-X , 12. —— dx. J ili-x
13. j cosxsin4 xdx. r 3x-l , 14. ........... =dx. J V3 + 2x-x2
f 5x-8 15. dx. J 5x + 8 J V9 + 4x2 J x2 yx2 + 3j 18. [ cos(inx)Vx.
19. j cos7 x dx. 20. [e56x(7-8x)t/x.
Вариант № 27
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
1. jx4 (9 + 2x5) dx. э f x2~5j 2. — dx. J x2+4
3. f -7-“—dx. J x3 + 27 r Vl + 2Vx 4. dx. J X
5. f ——-dx. J 5-3x 6. j (x2 -3)sin(A:x)<ix „ г x2 - x 4-1
7. j sin2xcos5x<&. 8. [ -7 dx. J (x-3)2(x + 5)
г e3x 9.1 dx. J 3-2e3x 10. j xarctg 3xdx.
11. j sin3 xcos3 xdx. 12. [ -7^—dx. J x2 -4
13. [ __lx. , . ctg6xsin2x p 5x + 4 14. . -=dx. V x2 - 8x + 7
15. J ln(tgx)<Zr. 16. [ cos3 8xt/x.
17. j sin(lnx)—. J 6 + 3sinx
65
r 4 + sin2x
19. -------т— dx.
J 4-cos x
20. Jctg3(4-12x)tZx.
Вариант № 28
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
, г sin2x .
1. ----5----dx.
J 4cos x + 3
x-2
•* sin2 2x
5. j x2 cos2xefr.
„ г 4x-5
4x + 5
x2 + 6x - 7
8. j cos5xcos7xcfr.
л/3-lnx
------—с
X
•х2-1 ,
-----dx.
10. j tg3 2xdx.
— —dx.
2-sinx .
------dx.
2+cosx
5x + 4 ,
-dx.
2-8x + 7
dx
1 + sinx+cosx
20. J tg37x dx.
Вариант № 29
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
1. [
J J л/cosx
5x-2 J
—-—dx.
2x + l
dx
sinx + cosx
6. j sin 5x cos xdx.
x5 - X2
--------dx.
A
dx
1 +cos2 x
5x2 -10x + 4 ,
—-----;----dx.
x2 - 3x2 + 2x
13. j cos2 xdx.
15. J sin(ln3x)<ir.
17. j ctg(ex + 4^exdx.
19. j ctg315x cos ec215x dx.
18. j x3y]x2 -2dx.
20. j xcos xdx.
Вариант № 30
Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:
1. [ xVl + 2х2 dx. 2. I ——-dx.
J J x + 2
9. x arctg 5 xdx.
4. | x2 cos(ax}dx.
13. j x2 exdx.
17.j5sin2x cos2xcZx.
6. j ln(tgx)<&.
67
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.........................................3
2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА.
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.................................5
3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ...........................7
3.1. Непосредственное интегрирование.....................7
Задания для решения в аудитории......................9
3.2. Замена переменной в неопределенном интеграле
(интегрирование подстановкой)............................ 11
Задания для решения в аудитории...................... 13
3.3. Интегрирование по частям............................ 14
Задания для решения в аудитории...................... 16
3.4. Интегрирование рациональных дробей.................. 18
Задания для решения в аудитории......................25
3.5. Интегрирование тригонометрических функций........... 28
Задания для решения в аудитории...................... 35
3.6. Интегрирование иррациональных выражений.............37
Задания для решения в аудитории...................... 43
3.7. Интегрирование некоторых показательных функций..... 46
РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА.................................48
71
Учебное издание
Крон Роман Викторович,
Попова Светлана Викторовна,
Долгих Екатерина Владимировна и др.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Рабочая тетрадь
Публикуется в авторской редакции
Главный редактор И. А. Погорелова
Заведующий издательским отделом А. В. Андреев
Корректор И.Н. Олейникова
Подписано в печать 1.10.2010. Формат набора 60x84 V,.
Усл. печ. л. 8,37. Гарнитура «Таймс»
Бумага офсетная. Печать офсетная. Доп. тираж 1000. Заказ № 430.
Налоговая льгота - Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93-953000
Издательство Ставропольского государственного
аграрного университета «АГРУС»,
355017, г. Ставрополь, пер Зоотехнический, 12.
Тел./факс (8652) 35-06-94. E-mail: agrus2007@mail.ru, http://agrus.stgau.ru
Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательско-полиграфического комплекса
СтГАУ «АГРУС», г. Ставрополь, ул. Мира, 302.