/
Author: Крон Р.В. Попова С.В. Долгих Е.В. Смирнова Н.Б. Долгополова А.Ф. Тынянко Н.Н.
Tags: алгебра математика линейная алгебра задачи по математике рабочая тетрадь
Year: 2010
Text
линейная алгебра
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
линейная алгебра
Издание второе, переработанное и дополненное
~ 46
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
студента (-ки) курса, у[, факультета
группы № i
специальности
Ставрополь
«АГРУС»
2010
УДК 512.64
ББК 22.143
Л59
Авторский коллектив:
Нина Борисовна Смирнова',
Светлана Викторовна Попова’,
Екатерина Владимировна Долгих',
Роман Викторович Крон',
Анна Федоровна Долгополова;
Нина Николаевна Тынянко
Линейная алгебра : рабочая тетрадь /
Л59 Н. Б. Смирнова, С. В. Попова, Е. В. Долгих
и др. - 2-е изд., перераб. и доп. - Ставрополь :
АГРУС, 2010.-96 с.
Рабочая тетрадь входит в серию методических разработок,
призванных способствовать овладению студентами теоретиче-
скими основами материала и появлению у них навыков реше-
ния задач по основным разделам курса математики.
УДК 512.64
ББК 22.143
© Авторский коллектив, 2010
© ФГОУ ВПО Ставропольский государственный
аграрный университет, 2010
ГЛАВА 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1. Основные понятия
Матрицей называется прямоугольная таблица вида:
«12 - «1/
_ а21 а22 ... а2п
/i — »
к«т! ат2 •” атп J
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матри-
цы. Элемент матрицы, стоящий в z'-той строке, где / = 1, 2,..., т, и в 7-том
столбце, где j = 1, 2,п, обозначают в общем виде через величину atJ.
Запись / = 1, 2,..., т удобно представить в виде / = 1, т, a j = 1, 2,..., п в
виде 7 = 1, п.
Числа / и у называются индексами элемента и обозначают положение
этого элемента в матрице. Сокращенно матрицу обозначают А = (ау) или
Л = [<^],или А = ||а,7||, где/ = 1, w, 7 = 1, п.
Первый индекс элемента матрицы указывает номер строки, второй - столбца.
Величина тхп называется размерностью матрицы, где т - число строк,
п - число столбцов.
- матрица размерности т х п.
Если число строк и столбцов в матрице совпадают, т. е. т = п, тогда она
называется квадратной матрицей п-го порядка:
«п «12 •.. «1л
Л «21 «22 • • • «2л
А - ...
<«и1 ап2 ... атп >
У квадратной матрицы есть две диагонали: главная, состоящая из элемен-
тов аи, а22, •••, апп, и побочная (дополнительная), состоящая из элементов
а\п’ а2.п-\’ ап1‘
Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, не
принадлежащие главной диагонали, равны нулю:
D = Г«п 0 0 ... «22 • • • 0 л 0
<0 0 ... пп /
Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны
единице, называется единичной и обозначается Е.
з
(1 0 ... (П
10 0 ... 1J
Если в матрице все элементы равны нулю, то матрица называется нуле-
вой, или нуль-матрицей, и обозначается О.
Матрица вида А = а2 ... afi) называется матрицей-строкой.
Матрица вида А =
назы вается матрицей-столбцом.
Если в матрице А одна строка и один столбец, т. е. т - п = 1, тогда она на-
зывается одноэлементной.
Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую
размерность и каждый элемент at матрицы А равен соответствующему элементу
Ь./ матрицы В, т. е. = /г, где i = I, т, j = 1, п.
Обозначение: А = В .
Если в матрице А поменять местами строки и столбцы, то полученная
матрица называется транспонированной и обозначается АТ.
Свойства операции транспонирования
\.(АГ)Г = А. 2. (А +В)г = Аг + Вг.
3. (аА)г = аАг. 4. (АВ)Г = Вг АТ.
Матрица А называется симметрической, если она не меняется при
транспонировании, т. е. А = АТ.
2. Линейные операции над матрицами
К линейным операциям над матрицами относятся: сложение, вычитание
матриц и умножение матрицы на число.
Суммой двух матриц А = [ау) и В = (by) одинаковой размерности называ-
ется третья матрица С - \су) той же размерности, каждый элемент которой ра-
вен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц, т. е. су - atj + Ьу, где
i -1, т, j = 1, п. Обозначение: С = А + В.
Тот факт, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности,
изобразим схематически:
4
т
п
Свойства сложения матриц
1. А + В = В + А (закон коммутативности сложения),
2. (А + В) + С=А + (В + С) (закон ассоциативности сложения).
3. Если О - нулевая матрица той же размерности, что и матрица А, то
А + О= А, 0+ А = А (существование нейтрального элемента относительно
сложения).
Разность О- А обозначается -А, т. е. А + (-А) - О.
Матрица -А называется противоположной матрице А.
Из свойств ассоциативности сложения матриц следует, что существует
конечно-
сумма трех матриц А{ + Д + А3 = (Д + А2) + Д, а также сумма любого
го числа матриц одной размерности:
Д + А2 + ...+ Ап =(А{ +...+ Д_,) + Ап.
.<2-311
0 4-28
Решение. Вычислим элементы матрицы С = А + В,
исходных матриц, стоящие на одинаковых местах:
Пример 1. Найти сумму матриц А =
и
В =
2 -2
0
5 7/
складывая элементы
0 + 2 4 + ( —2) -2 + 5
Следовательно, А + В =
2
Аналогично определяется
с. =а..-bij9 z = l, т, j = l, п.
8 + 7
0"
15/
разность
матриц С = А - В, где
Пример 2. Найти матрицу А - В, если А =
Решение. А - В =
г2-4 -3-3 1-2"
-1 + 3 0-1 -2 + 4,
О
-6
-1
-2
" 4
<-3
3 2 "
1 -4,
2
3
2
2
Произведением матрицы А на число X называется матрица В, которая
получается из матрицы А умножением всех ее элементов я/; на число X, т. е.
Ьу = Хау, i = 1, т, j = 1, п.
'\ап Ха12
Ха^7 ...
, A.6Z 1 \ mi ^ат2 • •. ^атп >
5
При умножении матрицы на число получается матрица той же размерно-
сти, что и данная матрица.
Если X = 0, то получим нуль-матрицу О.
Свойства умножения матрицы на число
1. (Хц)А = Х(рД). 2. (X + у) А = 'Л.А + 1лА.
3. Х(Л + 5) = ХЛ + ХЯ. 4. 1А = А.
5. ОА = О. 6. (-1)-А = -А.
< 3 2 -Р -1 2 Зл
Пример 3. Даны матрицы А = 4 5 6 <-3 2 7) и В = 3-5 4 ч 7 8-6,
Найти их сумму, разность и умножить матрицу А на число X = -3.
Решение.
' 3 2 -Р <-1 2 3 "
А + В- 4 5 6 + 3 -5 4
2 <7 8 ~6>
Л2 4 2 Л
7 0 10
Л ю
^ + (-1) 2 + 2
4 + 3 5 + (-5)
-3 + 7 2 + 8
— 1+3 л
6 + 4
7 + (-6),
<3-(-1) 2-2
-1-3 А
А-В = 4-3 5-(-5) 6-4
-3-7 2-8 7-(-6)J
Г-9 -6 3
' 4 0-4^
1 10 2
ч-10 -6 13,
ХА = -3-А = -12 -15 -18
9 -6 -21J
К элементарным преобразованиям матриц относятся:
4 1) перестановка любых двух строк (столбцов),
2) умножение каждого элемента строки (столбца) на один и тот же мно-
житель, отличный от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элемен-
тов любой другой строки (столбца), умноженной на один и тот же множитель,
отличный от нуля.
Если матрица А получается из матрицы В в результате элементарных
преобразований, то матрицы называются эквивалентными. Обозначение:
А~В.
6
Задания для решения в аудитории
1. Найти С = А + В, если А =
4 -3 И fl -3 4
, В =
2 -4 -5) ^2 -1 3
(Г
2. Найти С = А - В, если А = 3
4 П f1 3
О 2 , В = 3 -1
4
-3
А
4 5J <-4 4
3. Найти матрицу С = 7А +11В, если
"_3 5 Л <2.
7 7 и 11
А = 9 17 , в = 13 £
<14 28> <22 44 >
"7
1 *7^
7
-12
-24
О >
Го -1 О
5. Дана матрица
1 - 4 . Найти матрицу X, удовлетворяющую ус-
ловию ЗЛ-2Х = Е.
г * 5А - Е
8
3. Умножение матриц
Произведением матрицы-строки на матрицу-столбец называется сум-
ма произведений соответствующих элементов:
(а, а2
* о с
В результате получилась одноэлементная матрица.
Замечания. 1. Перемножать можно только строчку на столбец, если они
имеют одно и то же число элементов.
2. Умножение матриц А и В можно производить только в том случае, ес-
ли матрица А имеет число столбцов, равное числу строк матрицы В. Такие
матрицы называют согласованными.
Произведением двух согласованных матриц Ат*п ={ау) и Впхр = (by) на-
зывается матрица С = для которой элемент ctj равен сумме произведе-
ний элементов /-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-го
столбца матрицы В, т. е.
с. = аЛЬч + ai2b2j +... + ainbnj, где z = 1, т, j = 1, р.
Произведение матриц можно изобразить схематически:
ш А • ^ = m АВ
Замечания. 1. Если для двух матриц А и В произведения АВ и ВА опре-
делены и АВ - ВА, то такие матрицы называются перестановочными.
2. Если А, Е и О - квадратные матрицы одной и той же размерности
п х п, то выполняются следующие равенства:
АЕ = ЕА = А и АО = ОА- О.
Отсюда следует, что единичная матрица при умножении играет роль еди-
ничного элемента, а нулевая матрица - роль нулевого элемента.
Свойства операции умножения матриц
1. Операция умножения матриц в общем случае не коммутативна, т. е.
АВ ф ВА, даже если определены оба произведения. Поэтому, учитывая, что при
умножении матриц порядок множителей является существенным, применяются
термины «умножение справа» и «умножение слева».
2. Операция умножения матриц ассоциативна, т. е. если определены
произведения АВ и (АВ)С, то определены произведения ВС и Л(ВС), тогда
выполняется равенство (ЛВ)С = А(ВС).
9
3. Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложе-
нию, т. е., если имеют смысл выражения А(В + С) и (А + В)С, то соответствен-
но выполняются равенства:
А(В + С) = АВ + АС, (А + В)С = АС + ВС.
4. Если операция умножения матриц АВ определена, то для любого числа
а верно соотношение а(АВ) = (аА)В = А(иВ).
5. Если операция умножения матриц АВ определена, то определено и
произведение ВТ А1, причем выполняется равенство (АВУ = В' Аг, где индек-
сом Т обозначается транспонированная матрица.
В =
В =
Пример
1. Найти произведения АВ
и ВА матриц
"3
, 6
5Л
4,
"2 3Л
,5 4,
Решение.
АВ =
А
"3-2 + 5-5
>2 + 4-5
ВА =
Пример
U и
Решение.
'2 3
\5 4>
"2-3 + 3-6 2-5 + 3-4"
>3 + 4-6 5-5 + 4-4,
6-3 + 4-4J
f24 22Л
".39 41,
"31
.32
29^
34,
2. Найти произведение матриц А и В, если А =
Так как матрица А имеет размерность 2x3, а матрица
(Г
5 ’
раз-
6 4
5
4
6 4
А =
4
В
и
мерность 2х 2, то произведение А на В не существует, но (обратите внимание)
существует произведение матрицы В на матрицу А.
Тогда В2х2 • Л2х3 = £>2х3 =
d]] ^12 и13
. t/т! t/22 ^23 >
22
Найдем матрицу D поэлементно. Элемент du - это сумма произведений
элементов первой строки матрицы В на соответствующие элементы первого
столбца матрицы А, т. е. d}] = Z>natl + 6]2д21 = 0 • 1 +1 • 3 = 3.
Аналогично: dn = b}}а]2 + Ь]2а22 = 02 + 1- 4 = 4,
> = />иа|3 + Z>12a-,3 =0-0 +1-5 = 5.
Также находятся элементы второй строки матрицы D:
^21 = ^2\а\\ +^22а2\ = 5-1 + 1 - 3 = 8,
d22 = + ^2^22 = 5- 2 + 1- 4 = 14,
^23 ~ ^21°13 + ^22а->3 = 5 • 0 +1 • 5 = 5 .
Таким образом, D- ВА =
"3
Л
4
14
ю
Пример 3. Проверить, выполняется ли коммутативный закон для матриц
Г1
Решение. Найдем АВ =
O-1 + 3-1 + 5-1 0-2-3-2 + 5-3
9 ’
8
ВА =
-2
П-2 + 2-0
1-2-20
1 -2 + 3-0
1-1 + 2-3
11-2-3
1 -1 +3-3
-1-1 + 2-5>
-11 + 3-5
-5
10
2
3
0 3
5
2
2
7
9 "
-11 .
14,
Как видим, АВ ВА, следовательно, коммутативный закон для матриц не
выполняется.
Если А - квадратная матрица, то определено произведение А - А, которое
называется квадратом матрицы А, обозначается А2, и также является квад-
ратной матрицей той же размерности, что и А. Поэтому определено и произве-
дение АА2.
Вообще, если для квадратной матрицы определена степень Ак (Ае /V), то
по определению Ak+l = AAk.
Для любой квадратной матрицы А и для любого натурального числа п
справедливо равенство ААП = Ап А .
Если произведение матриц коммутативно, то они называются коммути-
рующими или перестановочными. Таким образом, степени одной и той же
квадратной матрицы перестановочны.
Свойства натуральных степеней квадратной матрицы
1. При любых т. «е ;V Ат Ап = Ап Ат = Ат+п.
2. При любых т, п е N (Ат )" = А'пп.
3. Если А Ф 0, то по определению считается, что А0 = Е.
Пример 4. Дана матрица А =
2"
4,
. Найти А3.
1
Решение. А2 = А- А =
Л3 = Л-Л2
7 18
39
4,
78"
86,
7 18
1 4
1
4
1
Многочленом степени п, neN, от квадратной матрицы А называет-
ся выражение вида апАп + ап_хАп~х +... + ахА + а0Л°, где at е R, i = 1, n, an Ф 0.
Так как A0 = E, где E - единичная матрица той же размерности, что и мат-
рица А, то f(A) = аПА" + ап_х Ап~' + ... + а}А + а0Е - многочлен от матрицы А.
и
Пример 5. Найти значение многочлена f\B} от матрицы В-
7 6)’
если f(x)--lx2 +5х-14.
Решение. В соответствии с определением многочлена от матрицы полу-
чим /(£) = -7В2+5Е-14Е.
0^
= -7-
15>
'-154 -105Л Г-5
,-245 -399/1,35
U 135
15Л Г-14
30,
0 -14
Л-173 -90>
/210 -383J
Задания для решения в аудитории
1. Известно, что Лх4 • Втхп - С4х7. Найти величины т и п.
' jA*-r HI А ГI JA /
4 ?
2. Даны матрицы /14х4, Е4х5, С5х4. Существуют ли произведения: АВ, ВА, ВС,
СВ, АС и СА ? Если произведение существует, то указать его размерность.
12
4. Найти £) = (2Л + 5)С, где Л = (4 0 -2 3 1), В-(1 -1 6 8 О),
13
6. Найти D = А2, где А =
Г-1
<4
2"
з>
4
7^
I
7. Найти значение
/(х) = 2х2 -Зх + 8.
2 f 4 - 6' ] [li
'6 -< l(6
если
"74/
4. Определители второго и третьего порядков
Определителем второго порядка называется число, которое обозначает-
а21
<7)2
й22
и равно произведению двух чисел, стоящих на главной диаго-
нали, минус произведение двух чисел, стоящих на другой диагонали, т. е.
Л — б/j •
Пример 1. Вычислить определитель
1 -3
5 8
Решение.
-3
8
= 1 • 8-5-(-3) = 8 +15 = 23.
1
5
14
Определителем третьего
аП «12 «13
а21 а22 «23 ~ 1 а22 а33 + &П а23 а31
порядка называется число вида
+ «21«32«13 ~ «13«22«31 ~ а\2а2\а33 ~ а23а32а\\'
«31 а32 а33
Такой способ вычисления определителя называется правилом Саррюса
(правилом треугольников).
Если элементы определителя представить в
это правило изображается следующим образом:
виде точек, то схематически
Пример 2. Найти значение определителя
Решение. \ =
1 3
О 2
-1 4
1 = 1-2-5 + 3-1-(-1) + 0-4-2-(-1)-2-2-0-3-5-
3 2
2 1
4 5
2
-4-1-1 = 10-3 + 4-4 = 7.
Определителем п-го порядка называется число вида
«и «21 «12 «22 «1у ” ’ «1л «2у '' ’ «2л
А = • • • • • • • • • ... ... ...
«,1 «<2 «у ‘ ' «1Л
...
«л! ап2 ••• «л/ *' ’ «лл
—
Величина а .у., где z = 1 , п, j = l, и, является элементом определителя.
стоящим на пересечении его i -ой строки и j -го столбца. Запись z = 1, п озна-
чает, что индекс i принимает все целые значения от 1 до п.
Вычислять такой определитель по правилу Саррюса сложно, поэтому его
сводят к определителю более низкого порядка с помощью свойств.
Элементы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ, а эле-
менты с равными суммами индексов образуют вторую диагональ, называемую
побочной.
Если в определителе А строки сделать столбцами, а столбцы строками,
то получившийся определитель называется транспонированным по отношению
15
к определителю Д и обозначают его Лг, а сам процесс называется транспони-
рованием:
«21 ... ап\
\г = ап ^22 ... ап2
<2, \п аи ... апп
Свойства определителей
Учитывая, что нижеприводимые свойства справедливы для определите-
лей любого порядка, мы ограничимся примерами, подтверждающими указан-
ные свойства с определителями третьего порядка, опустив доказательства.
Свойство 1. При транспонировании определитель сохраняет свое значение.
«11 «12 «13 а\ 1 «21 «31
Например, «21 ^22 «23 = ^12 «22 «32
«31 «32 «33 «13 «23 «33
Свойство 2. При перестановке местами двух строк (или столбцов) в оп-
ределителе он меняет знак на противоположный знак.
«21 «22 «23 «11 «12 «13
Например, «11 «12 «13 — — «21 «22 «23
«31 «32 «33 ^^31 d ^"33
Свойство 3. Общий множитель элементов какой-либо строки (или столб-
ца) определителя можно выносить за знак определителя.
«12 «13 «11 «12 «13
Например, ка-,} «22 «23 = к «21 «23
Azz3| «32 «33 «31 «32 «33
Свойство 4. Если все элементы какой-нибудь строки (или столбца) равны
нулю, то определитель равен нулю.
«И «12 «13 «II 0 «13
Например, ООО = 0 или «21 0 «23 = 0.
«31 «32 «33 «31 0 «33
Свойство 5. Если элементы каких-нибудь двух строк (или двух столбцов)
равны, то такой определитель равен нулю.
«11 «12 «13
Например, «11 «12 «13 = 0
«31 «32 «33
Следствие. Если в определителе две пропорциональные строки (или два
пропорциональных столбца), то такой определитель равен нулю.
Свойство 6. Если элементы какой-нибудь строки (или столбца) определи-
теля представляют собой суммы двух слагаемых, то данный определитель
16
можно представить в виде суммы двух определителей, где первые слагаемые
образуют элементы той же строки (или столбца) первого слагаемого определи-
теля, а вторые слагаемые - ту же самую строку (или столбец) второго опреде-
лителя.
я,, + а а12 + р Ян + Y «11 «12 «13 а Р Y
Например, «21 а22 а23 = «21 «22 «23 + «21 «22 «23
«з, а32 а33 «31 «32 «33 «31 «32 «33
Свойство 7. Если к элементам какой-нибудь строки (или столбца) опреде-
лителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), ум-
ноженные на любое число к, не равное нулю, то величина определителя не из-
менится.
аи + ка2} а]2 + ка21 «13 + *«23 «11 «12 «13
Например, а2\ «22 = «21 «22 «23
«31 «32 «33 «31 «32 «33
Прежде чем сформулировать следующее свойство, введем два понятия -
минор и алгебраическое дополнение.
Минором любого элемента определителя называется определитель, полу-
чаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересе-
чении которых стоит данный элемент.
Минор элемента а определителя А обозначают А/,,. Он является определи-
телем, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного определителя.
Например, минором элемента определителя А= а2|
«31
«12
а22
«32
«13
«23
являет-
ся М() =
а22
«32
«23
«33
а элемента аг2
- минор Л/22 =
ап
«31
«13
азз
Кроме миноров, элементы определителя имеют и алгебраические допол-
нения, которые обозначают буквами AfJ.
Алгебраическим дополнением любого элемента определителя называется
минор этого элемента, умноженный на знак (-1)' , где z - номер строки, a j -
номер столбца, на пересечении которых находится элемент.
17
Например, алгебраическим дополнением элемента atl определителя
А =
«и ап «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
является число Д, = (-1)|+1Л/н = (-1)2
«22
«32
«23
азз
й22
«32
«23
азз
элемента я23
- число А23 = (-1)2+3М23 = (-1)5
а., а,
«31 «32
«11 «12
а3! «32
а
Таким образом, минор и алгебраическое дополнение одного и того же
элемента могут отличаться только лишь знаком.
Теперь сформулируем следующее свойство.
Свойство 8. Определитель равен сумме произведений всех элементов ка-
кой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
Например, для определителя третьего порядка:
А = । Ау ] + Д|2 А13 — а-, А21 + А-,2 + а-,3А23 — al3Aj3 + а73 А-,3 + а33А33.
Запись определителя в такой форме называют разложением определи-
теля по элементам некоторой строки (или столбца).
Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или
столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих эле-
ментов другой строки или столбца равна нулю.
Например, аиА21 + а12А22 + а13А23 + ... + а]пА2п = 0.
Разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки:
Для произвольного определителя и-го порядка имеем аналогичное раз-
п
ложение по элементам п-й строки &n = ^ajk гДе 4=(-0'+
к=\
i = 1, п.
Аналогично разложение определителя по элементам любого столбца.
Любая квадратная матрица имеет определитель.
л= «н «21 «12 •••' «1л «22 • • • «2л д= «и «21 «12 «22 ’ ’ ‘ «1л «2л •
Пусть элеь <«ы ленты ап2 • • • апп 7 «11 ’ «22’ • ••’ апп квадратно «л! «л2 " й матрицы «лл л = ( яД где
i = 1, п, j = 1, и, образуют главную диагональ.
Нижней (верхней) треугольной матрицей называется матрица, у кото-
рой все элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны ну-
18
лю. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных
элементов.
Если матрица треугольного вида А =
тель Д =
аи
О
й12
а\п
а22
а2п
а11
О
<7|2
а22
а\п
а2п
, то ее определи-
~ а\\' а22' апп-
0
О
^пп >
О
О
^пп
Методы вычисления определителей и-го порядка
1) Разложение по элементам некоторой строки (или столбца).
Метод опирается на свойство 8 определителей.
2) Метод получения нулей.
Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какой-
либо строки (столбца) путем умножения его на соответствующие числа и сложе-
ния с остальными строками (столбцами) становятся равными нулю все элементы
выбранной строки (столбца), кроме одного.
3) Метод приведения к треугольному виду.
Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для после-
довательного сведения к нулю всех элементов первой строки (столбца), кроме
одного, второй строки (столбца) - всех, кроме двух и т. д. В итоге определитель
преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна про-
изведению элементов главной диагонали.
2 3 4
Пример 1. Вычислить определитель А = 5 7 6
9 8 1
Решение. Вычислим данный определитель разложением по элементам пер-
вой строки:
2 3
= 2-(7 - 48)-3-(5 - 54) + 4-(40-63) = 2-(-41)-3-(-49) +4-(-23) =
= -82+ 147-92 = -27.
19
Пример 2. Вычислить
определитель с помощью разложения по строке
2-110
(или столбцу): А =
2 1
2 0
6 3
Решение. Удобнее всего разлагать определитель по строке (или столбцу), в
которой встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае -
это четвертый столбец. Итак, имеем
2 -1 1 2 -1 1 2 -1 1 2 -1 1
+0-(-1)3+4 0 1 2 + 3-(-1)4+4 0 1 2 — 3-12 + 3- 0 1 2 = А, + 3-А,
3 1 6 3-12 3 1 6 3 -1 2
Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же
методом. В определителе А( нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать
для разложения любой из столбцов, например, первый. В Д2 единственный ну-
левой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой.
Для разнообразия будем разлагать Л2 по второй строке:
2 -1 1
= 2-(-6-2)-3-(-6-1) + 3-(-2 + 1) =
= 1-(4-3)-2-(-2 + 3) = 1-2 = -1.
Таким образом, получим А = А! + ЗА, = 2 + 3 • (-1) = -1.
Пример 3. Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элемен-
тов строки (или столбца), вычислить определитель
20
12 3 4
4 1
1 2
2
3
3
4
4 12 3
Решение. Будем обращать в нуль все, кроме первого, элементы первой
строки. С этой целью умножим последовательно каждый элемент первого
столбца на (- 2), (- 3), (- 4) и сложим с соответствующими элементами второго,
третьего и четвертого столбцов. Получим
О
1
= 8-(-1)
= 8
-2 20
2 + 18
1
-2
= 8-(-1)1+1-20 = 160.
I 1 1
= 8-
-2 18'
Результат получен с помощью разложения определителя по элементам
первой строки и применения свойства 3.
Пример 4. Используя метод приведения к треугольному виду, вычислить
определитель
4
3
2
1
3
1
3
2
4
2
1
3
5
3
2|
Г
Решение. Будем получать нули выше главной диагонали.
4 3 4 5 12 3 1 10 0 0 10 0 0
3 12 3 3 12 3 3-5-70 3 5 7 0
СЧ »—« СП Г4 2 3 12 — — 2-1-50 2 15 0
12 3 1 4 3 4 5 4-5-81 4 5 8 1
21
1
2
3
4
0 0 0 1
15 0 2
ООО
О
-18
5 -17 1
= 1 -1 (-18)1 = -18.
5 7 0 3
5
О
О
Преобразования выполнили в следующей последовательности.
1) По свойству 2 поменяем местами первую и четвертую строки опреде-
лителя.
2) Будем обращать в нуль все, кроме первого, элементы первой строки.
С этой целью умножим последовательно каждый элемент первого столбца на
(-2), (-3), (-1) и сложим с соответствующими элементами второго, третьего и
четвертого столбцов.
3) Вынесем общие множители из второго и третьего столбцов.
4) По свойству 2 поменяем местами вторую и третью строки определителя.
5) Во второй строке и третьем столбце вместо элемента 5 получим эле-
мент 0, умножив второй столбец на (-5) и сложив полученные элементы с соот-
ветствующими элементами третьего столбца.
6) Получили определитель верхней треугольной матрицы, который равен
и.
3-1-1 7
2 1-43
3 -4 -1 -2 ’
4 3 2 -1
произведению элементов главной
Пример 5. Вычислить определитель
Решение. К элементам второй строки прибавим элементы первой строки,
2 .. . _
умноженные на число -—. К элементам третьей строки прибавим элементы
первой строки, умноженные на число (-1). К элементам четвертой строки при-
, - 4
оавим элементы первой строки, умноженные на число —.
3-1-1 7
Получим tri | m 1 । о । in I СП — о о
13 10 _31
3 3 3
22
Вынесем общие множители: — - из второй строки, — - из четвертой
3 -1 -1 7
5 1 0 1 -2 -1
строки, (-3) - из третьей строки. Тогда -• - -(-3)- 0 1 0 3
0 13 10 -31
Сведем полученный определитель к определителю третьего порядка.
--•(-1)1+1-3- 3 1 -2 -1 1 0 3 13 10 -31 = -5-2- е» 1 -1 -1 1 0 3 13 5 -31 = -10- 1 -1 -4 1 0 0 13 5 -70 =
= -10• (-1)2+|
-4
-70
= 10-(70+ 20) = 900.
Задания для решения в аудитории
5
4
1. Вычислить определители: а)
-3 a1 a3b sin 2а
,6) , , , в)
6 b~ ab3 cos2a
sin а
cos а
2. Решить уравнение
2
4 -2|
1 ~2|'
1
% -
г
3. Вычислить определитель разложением по элементам строки (столбца)
7 -6 -3
4. Вычислить определитель с помощью правила Саррюса 4 11
8
9
I J ('6)“Э - 6 2) 3 +- Г W 2
I 2 -3
5. Вычислить определитель методом получения нулей 3-7 5
2 I О
о -73 / -
6. Вычислить определитель -12
21
3 -15
30
45
24
5 !, <
2-543 4 Z I г
3-475 .-Z Ъ -V
8. Вычислить определитель 4-985 Л
-3 2-5 3 -5 2
V О ос
- L ъ * 1 ’°’* и -1 р -< _ Z 3,-< < -<?, < V 0 - / I/ с - / 1 У,* I • / f ,“Z/^y'’ О О I г
~ -1 7 Я „ •/ ZJ ' ~ /* 2-
25
5. Обратная матрица
Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель
отличен от нуля.
Квадратная невырожденная матрица А имеет обратную матрицу, кото-
рую обозначают А 1.
Матрица называется обратной для матрицы А, если выполняется ус-
ловие А • А~' = А"' • А - Е, где Е - единичная матрица той же размерности, что
и матрица А.
Обратная матрица вычисляется по формуле
Г4, Л21 ... А Лп\
А’1 = - 4 2 Л22 ... ^п2
А где Д - алгебраические дополнени ^2п ••• я элементов ah А ™пп > мац >ицы А, А - определи-
тель матрицы А = «н а21 а]2 а22 ... аХп ... а2п
^г1\ ап2 апп ;
Правильность составления обратной матрицы можно проверить с помо-
щью равенства А • А~} - А~{ А~ Е.
Первый алгоритм нахождения обратной матрицы
1. Вычисляем определитель матрицы А (если А = 0, то исходная матрица
А обратной не имеет, если Л Ф 0, то переходим к пункту 2).
2. Составить матрицу А, элементами которой являются алгебраические
дополнения элементов матрицы А.
3. Транспонируем матрицу А, получим новую матрицу АТ.
4. Умножим матрицу Ат на величину, обратную определителю, и полу-
чим обратную матрицу А~].
5. Выполнить проверку полученной обратной матрицы с помощью усло-
вия А • А~! = Е.
Второй алгоритм нахождения обратной матрицы
1. Дописать справа единичную матрицу и образовать расширенную (или
(ахх ... аХп 1 ... (Р
блочную) матрицу.
апп 0 ... 1
ПИ /
2. Путем элементарных алгебраических преобразований расширенной
матрицы привести матрицу А к единичной матрице
26
In
3. Матрица А 1 имеет вид А 1 =
bn„ t
пи /
1. Если матрица А
ную, причем /Г1) = А.
2. Если матрица А
Свойства обратных матриц
имеет обратную матрицу, то Л'1 тоже имеет обрат-
имеет обратную матрицу, и а* 0, то матрица аА
также имеет обратную, причем (аЛ) 1 =
А~
3. Если матрица А имеет обратную матрицу, то матрица А1 также имеет
обратную, причем (А')“' = (А~')Т .
4. Если матрицы А и В одного порядка имеют обратные, то имеет обрат-
ную матрицу и их произведение, причем (АВ) ' - В~'А .
Существуют различные виды матричных уравнений, решаемых с помо-
щью обратной матрицы.
Уравнения вида А- X = В, X • А- В и другие называются матричными
уравнениями, если А, В - известные матрицы, А - квадратная невырожденная
матрица.
Матрица X является решением данного матричного уравнения, если вы-
полняется равенство % = А~' • В для первого уравнения и X = В • А~' для второго.
В этом случае применяется умножение матриц на матрицу А~] слева или
справа соответственно.
АХ = В, А 1-А-Х = А~'-В, Е Х = А-'-В, Х = А~'-В.
ХА = В, Х-А А~1 = В А \ Х Е = В А~\ Х = В А~\
Пример 1. Первым способом найти обратную матрицу к матрице
л2 5
А= 6 3
7 "
4
15 -2 -3J
Решение. Найдем определитель матрицы
А =
2
6
5
5
3
-2
7
4
-3
= 2 • 3(-3)-ь 6(-2) • 7 + 5-4-5-7-3-5-4(-2)-2-
-6-5(-3) = -18-84 + 100-105 + 16 + 90 = -1.
Так как А = -1^0, тогда матрица невырожденная и может иметь обрат-
ную матрицу.
Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы:
27
,1+1
A.
2+1
,3+1
3
-2
5
-2
5
3
4
-3
7
-3
1+2
= 1, 422 =(-1)
= -1, л32 = (-1)3+2
'У
4
-3
7
-3
= 38,Л,3=(-1)М
= -41, 423 =(-1)2+3
= 34, 4, =(-l)w
Составим матрицу из алгебраических дополнений: А =
Транспонируем эту матрицу: А =
-1 1 -1
38 -41 34
-27 29 -24
6
5 -2
5
-2
= -27,
= 29,
= -24.
38
-41
34
-27
29
-24
4
Л1
4
6
5
о
5
6
4
6
3
2
5
3
Умножим полученную матрицу на величину, обратную определителю:
"-1 1 -1 " 1 -1 1 "
А = --Ат=- 38 -41 34 — -38 41 -34
д 1
k -27 29 -24 / ч 27 -29 24 ,
Проверка: А А -1 = 4~’-4 = Е.
<2 5 7 > 1 -1 1 А
А- А~' = 6 3 4 • -38 41 -34 —
15 -2 -3, 27 -29 24 ?
' 2-1 + 5-(-38) + 7-27 2-(-1) + 5-4.1+ 7-(-29) 2-1 + 5-(-34) + 7-24 '
6 • 1 + 3 • (—38) + 4 - 27 6(-1) + 3-41 + 4(-29) 6 1 + 3 - (-34) + 4 - 24
,5 1 + (-2) • (-38) + (-3) -27 5 • (-1) + (-2) 41 + (-3) (-29) 5 1 + (-2) (-34) + (-3) • 24,
"2-190 + 189 -2 + 205-203
6-114 + 108 -6 + 123-116
. 5 + 76-81 -5-82 + 87
2-170 + 168Л fl 0
6-102 + 96 = 0 1
5 + 68-72 J [о 0
0 =£.
0
Пример 2. Для данной матрицы 4=2
.5
2 4 найти обратную матрицу
3 2.
вторым способом.
Решение. Найдем определитель данной матрицы:
1 2 3
Обратная матрица существует.
Воспользуемся вторым алгоритмом нахождения обратной матрицы.
28
-ъ,
4 2 3 1
2 2 4 0
4 3 2 0
О
1
О
(
<1 2 3 1 о о А 1 2 з 1 0
0 -2 -2 -2 1 0 0 -2 — 2 -2 1
. 0 0 - 12 4-12 7 0 0 1 _1 2_
к 3 12
г
1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0
-1 4 -13
0 1 1 1 — 0 ) 1 0
2 3 12
1 7 1 1 7
0 0 1 ) 0 1
к 3 12 6; к з 12
( 7 1 2 5
1 2 0 2 1 0 0
4 2 3 12
4 -13 1 4 -13
0 1 0 0 1 0
3 12 6 3 12
1 7 1 1 7
0 0 1 0 0 1
к 3 12 6 3 12
О
1
6,
6
I
6,
_1_ "
6
_1_
6
_1_
6 J
Тогда для данной матрицы обратная будет иметь вид:
( 2 ~3 4 5 12 -13 £ А 6 1
/Г1 = 3 _1 < 3 12 7 12 6 j_ 6;
Пример 3. Найти матрицу
если а)
ЗА <4 -5"
8J Дб Н,
8 О
9
6
~3,
Решение. Данные матричные уравнения решаются с помощью обратной
матрицы, которая может быть получена с помощью любого алгоритма.
а) Пусть А =
4
<5 8
и В =
<4
-5"
1 1 -
. Тогда А • X = В. Отсюда
Х = А~х-В.
Найдем матрицу, обратную матрице А по первому алгоритму.
29
2 -3
Д =
5 8
= 16 + 15 = 31^0, значит, обратная матрица существует.
Матрица из алгебраических дополнений: А =
Алгебраические дополнения: Д1 = 8, А,2 = -5, А21 = 3, А22 = 2.
~ Л8 -53
.3 2 /
Транспонированная матрица: А7 =
г 8
.-5
3Л
о
Обратная матрица: А' = — Ат
Д
31 <-5
, 1 ( 8 3
Искомая матрица: X = А В ~ —
1 <50 -7
ЗЬ-8 47
-5"
11,
31-20+12
Окончательно,
-40 + 33
25 + 22
' 50
3!
8
< 31
31
47
зТ ,
б) Пусть А =
-3
. Тогда X • А = В. Отсюда
8
0
и В -
6
по второму алгоритму.
!-А~1.
Найдем матрицу, обратную матрице А
к 7 31
Д - = 0 - 24 = -24 * 0, значит, обратная матрица существует.
8 0i
Составим расширенную матрицу и преобразуем ее:
Следовательно, обратная матрица А^' =
<3
зо
3
7
24
49
О
8
7
247
1
7
8
49
0 + 2
0
Искомая матрица X = В • А 1 =
0-1
2
Итак, X =
Задания для решения в аудитории
4
э
[4
2. С помощью первого алгоритма найти матрицу, обратную данной 0
2
4'
8
3
45 6
. 2 -3
29'
8
5
8
7
24 )
Ч 2
I. Выяснить, имеет ли обратную матрицу матрица 3 2
5
f 1
г г
15 7^
—I—
8 4
1_Z
4 8 J
31'
2
3. Дана матрица
I . С помощью второго алгоритма найти матрицу, об-
ратную ей.
32
4. При каких значениях 3 существует матрица, обратная данной матрице:
33
6. Базисный минор, ранг матрицы
Если в матрице размерности тхп выделить к строк и к столбцов, где к -
число, меньшее или равное меньшему числу из чисел т и п, то определитель
порядка к, составленный из элементов выделенных к строк и к столбцов, на-
зывается минором, порожденным матрицей А.
Рангом матрицы А (обозначается rang// или г(А\) называется наи-
больший порядок порожденных ею миноров, отличных от нуля.
Свойства ранга матрицы
Ранг матрицы не изменится, если в матрице выполнить элементарные
преобразования:
1) поменять местами любые две строки (столбца);
2) умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же множитель,
отличный от нуля;
3) прибавить к элементам строки (столбца) соответствующие элементы любой
другой строки (столбца), умноженные на один и тот же множитель, отлич-
ный от нуля;
4) отбросить нулевую строку;
5) вычеркнуть пропорциональные (равные) строки, кроме одной.
Базисным минором называется всякий отличный от нуля определитель,
порядок которого равен рангу матрицы.
Методы нахождения ранга матрицы
1. Метод окаймляющих миноров.
Минор Мм порядка к +1, содержащий в себе минор Мк порядка к, на-
зывается окаймляющим минором минора Мк.
Если матрица А имеет минор Мк Ф 0, а все окаймляющие его миноры
Мм = 0, то ранг матрицы равен к, тогда rang А = к.
2. Метод элементарных преобразований.
Путем элементарных преобразований матрица приводится к треугольно-
му виду, когда каждая ее строка (столбец) содержит только нули и одно число,
не равное нулю. Число оставшихся ненулевых строк определяет ранг исходной
матрицы.
"1 -2 5 4Л
Пример 1. Найти ранг матрицы А = 2-443 методом окаймляю-
-6 3 2,
щих миноров.
Решение. Выберем любой минор первого порядка, например,
М} =|-2р0.
Так как минор Л/, 0, то образуем окаймляющий его минор второго по-
рядка, например, М2 =
= -8 + 20 = 12^0.
34
Для минора Л/2 *0 окаймляющими
1 -2 5 -2 5 4
•м3(1) = 2 -4 4 = 0, Л/3<2) = -4 4 3 = 0.
3 -6 3 -6 3 2
минорами будут:
Так как
rang А = 2.
все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то
Пример 2. Найти ранг методом элементарных преобразований и указать
<2 3 5 -3 -2^1
какой-нибудь базисный минор матрицы А = 3 4 3
1,5 6 -1 3 -5 J
Решение. Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем
матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен
единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую
строку поменяем местами с первой:
<2 3 5 -3 -2W2 3
5 -3 -2А <1 1 -2
-2 2 -1-23 5
-1 3 -5J 1,5 6 -1
2 -Г
-3 -2
3 -5>
Теперь вторую и третью строки
сложим с первой строкой, умноженной
соответственно на числа (-2) и (-5):
<1 1 -2 2 -П <1 1
-2 2 -Р
9-7 0
9-70,
Третья строка равна второй, следовательно, ее можно вычеркнуть. Таким
образом, исходная матрица в результате преобразований переходит в эквива-
лентную ей матрицу: А
Ч 1
к0 1
-2 2 -Р
9-70,
В этой матрице имеются миноры второго порядка, отличные от нуля, на-
1
0
1
1
пример, минор
Этот минор можно выбрать в качестве базисного. Следо-
вательно, ранг исходной матрицы равен двум: rang(^) = 2.
'-2 3 1 1 1 0 Л
1 0 2 -1 3 4
Пример 3. Определить ранг матрицы А = -1 3 3 0 4 4
1-3 3 -1 0 -2 -4,
Решение. У матрицы А существуют миноры до четвертого порядка вклю-
чительно, поэтому г(А) < 4. Разумеется, непосредственное вычисление всех
миноров четвертого, третьего порядков потребовало бы слишком много време-
ни. Поэтому, используя элементарные преобразования, приведем матрицу А к
35
треугольному виду. Поменяем местами первую и вторую строки так, чтобы
элемент t был равным 1:
4 0 2 -1 3 4 '
-231 1 1 0
А~
-13 3 0 4 4
ч-3 3-12-2 -4,
Прибавим к третьей строке первую, ко второй - удвоенную первую, к чет-
вертой - первую, умноженную на 3. Тогда все элементы первого столбца, кроме
элемента ал (, окажутся равными нулю:
Л 0 2 -1
5 -1
5 -1
3 4"
7 8
7 8
0 3
0 3
ч0 3 5 -1 7 8J
Вычтем вторую строку полученной матрицы из третьей и четвертой строк:
Л 0 2 -1 3 4^
0 3 5 -17 8
0 0 0 0 0 0
,0 0 0 0 0 0,
и вычеркнем нулевые строки:
Итак, ранг матрицы 44х6 равен
2x6, следовательно, rang 4 = 2.
0 2 -1 3 4Л
3 5 -1 7 8J’
рангу полученной матрицы размерности
Замечание. Если данная матрица эквивалентна треугольной матрице, то
ранг данной матрицы равен числу ненулевых строк треугольной матрицы.
Задания для решения в аудитории
I. Найти ранг матрицы и указать какой-нибудь ее базисный минор.
Л 2 1 2^
36
<1-232
2. 3 -1 5 1
^2-12 8
<-1 О
2 1
3. 1 I
2 4 А
3 -1
5 3
-4 -2 -6 2
V О 1 7 7
II. Найти все значения X, при которых ранг матрицы...
1 Ь - I/
I. С 1
Н 3.-5
Аге
38
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1. Основные понятия
Системой линейных уравнений называется совокупность уравнений вида
аХ\х\ + а12х2 + ...+ а1пхп = Ь{,
a2lXl + «22Х2 + - + а2пХг. ~ ^2 ’
ап,\Х\ +ат2Х2+- + атпХп = Ът>
В ней xt, х2, ..., хп - неизвестные величины, atJ (где z = l, т, jп)-
коэффициенты при неизвестных (первый индекс фиксирует номер уравнения,
второй-номер неизвестной); Ьх, Ь2, ..., Ьп - свободные члены.
Решением системы называется упорядоченный набор чисел
С|, с2, ..., сп, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.
Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что ни од-
ного решения нет.
Система, имеющая решение, называется совместной. Совместная система
называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопреде-
ленной, если она имеет более одного решения.
Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентны-
ми, если они имеют одно и то же множество решений.
В некоторых случаях нет необходимости находить решение системы, дос-
таточно установить, совместна ли она. Вопрос о совместности системы линей-
ных уравнений решается с помощью следующей теоремы.
Теорема Кронекера - Капелли.
Для того чтобы система т линейных алгебраических уравнений с п неиз-
вестными была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной
матрицы А был равен рангу расширенной матрицы В, rang Л = rang В = г, где
а} j «12 • «1/
А = «21 «22 • а2п
k«ml ат2 • атп)
'«11 «12 . <2|и
В = «21 «22 а2п
•.. ...
<«/nl ат2 • &тп
- основная матрица.
- расширенная матрица.
mJ
ь2
Замечания. 1. Если г = п, то система имеет единственное решение.
2. Если г<п, то система имеет бесконечное множество решений, завися-
щее от (и - г) произвольных параметров (свободных неизвестных).
39
Если в системе все свободные члены равны нулю, система называется од-
нородной, в противном случае - неоднородной. Так как для однородной систе-
мы rang А = rang В, она всегда совместна.
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера
Рассмотрим линейную систему, в которой число уравнений равно числу
неизвестных:
+ а,2х2 + ... + а]пх„ =Ь},
a2iXl + а22Х2 + - + а2пХП = Ь2’
ат\хх +а,п2х2 +- + ат„хп = Ът.
Запишем определитель, состоящий из коэффициентов системы при неиз-
вестных:
а\\ ап а\п
д_ а21 а22 а2п
аП\ &п2 ‘ ' апп
Этот определитель называется главным определителем системы. Вспо-
могательными определителями системы по переменной х. называются опре-
делители, полученные из главного определителя системы заменой j -го столбца
коэффициентов на столбец свободных членов уравнений системы. Количество
вспомогательных определителей равно числу неизвестных.
а]2 •.. а\п ... аь, а11 <2)2 ...
А = ч Ь2 а22 . . . а2п Й21 Ь2 - а2п э • • Лп °21 а22 .. .
ьп ап2 ... апп апХ Ьп а.п ап\ ап2 Ьп
Формулы Крамера для нахождения решения системы алгебраических ли-
нейных уравнений имеют вид:
При решении системы методом Крамера возможны случаи:
• если А ф 0, то система совместна и единственное решение системы выра-
жается формулами Крамера;
• если А = 0 и все Ах =0, то система совместна и имеет множество реше-
ний; тогда свободные (и-г) неизвестных (где г - ранг матрицы) выбираются
произвольно, а главные (базисные) г неизвестных определяются единственным
образом через свободные неизвестные;
• если А = 0 и хотя бы один Ах * 0, то система несовместна и решений не
имеет.
40
Пример 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:
Зх, - 4х, + 5х3 = 3,
< 2х, + х2 - Зх3 = 3,
Зх, + 2х, + х, =11.
Решение. Составим и вычислим главный определитель системы А :
5
-3
1
= 70.
Главный определитель отличен от нуля, следовательно, система совместна
и имеет единственное решение. Составим и вычислим вспомогательные опре-
делители Ач (к = 1, 2, 3):
3-4 5 3 3 5 3-4 3
А, = 3 1 -3 = 140; А^ = 2 3-3 = 140; АХ} = 2 1 3 = 70.
112 1 3 11 1 3 2 11
Воспользовавшись формулами Крамера, получим единственное решение:
А, 140 , \ 140 . А 70
1 А 70 2 А 70 А 70
Ответ: (2, 2,1).
2х + 4у + 6z = 2,
Пример 2. Решить систему уравнений методом Крамера: < 4х + 2у- 2z = 5,
Зх + 3у + 2z - 1.
2 4 6
Решение. Главный определитель системы А = 4 2
= 0, но определи-
3 3 2
4 6
2
тель А] = 5
2 - 2 = 50 * 0, а это означает несовместность системы.
1
3 2
Ответ: система несовместна, решений не имеет.
Пример 3. Решить систему уравнений методом Крамера:
X] - Зх, + 2х3 = 1,
2х, + х2 - 4х3 = 5,
5Х] - 8х2 + 2х3 = 8.
Решение. Найдем главный определитель системы:
I1 -3 21
Д=2 1 -4=0.
15 -8 2
41
Вычислим вспомогательные определители:
-3 1|
1 51 = 0.
-8 8|
Так как все определители равны нулю, то система совместна и имеет
множество решений.
Чтобы найти решение системы, определим ранг расширенной матрицы В
системы:
В = — С! ir> -3 1 -8 2 -4 2 —< оо' Г1 -з 2 ж— -8 -8 Г 3 3, <0 -3 2 Г 7 “8 Зу , отсюда г(В) = 2
0 ,0 7 7
А = По аналоги "1-3 2 > 2 1 -4 к5 -8 2 } Тогда г = г\ и с [А] >сновная мат <1-3 2" 0 7-8 <0 7 -8, » = г(£) = 2. ЭИ1 да А "1 - систем! -3 2 > 7 -8; >1 5 примет вид: отсюда г(А) = 2.
Так как уравнений системы л = 3, а ранг системы г = 2, то выберем
и-г=3-2=1 свободную переменную, а две другие - базисные переменные,
которые выразим через свободную переменную.
Запишем данную систему уравнений как систему двух уравнений с двумя
неизвестными. Для этого отбросим одно любое уравнение системы. За свобод-
ную переменную выберем любую неизвестную, например, х3. В оставшихся
двух уравнениях перенесем слагаемые, содержащие х3, в правую часть. Решим
полученную систему методом Крамера.
X] - Зх2 + 2х3 =1, j х. - Зх2 = 1 - 2х3,
2Х[ + х2 - 4х3 = 5, i 2х, + х2 = 5 + 4х3.
11 -3| |1-2х, -3|
А = = 7, А_ = = 1-2х3 + 3(5 + 4х3) = 16 + 10х3,
2 1 Т| 5 + 4х3 Г 3 3 3
1 1-2х3|
А = 3 = 5 + 4х3,-2(1-2х3) = 3 + 8х3.
Х2 2 5 + 4х3| 3 v V з
По формулам Крамера х, =
16 + 10х3
~~7
3 + 8х
х7 =------:
7
Ответ:
Г16 + 10х3
3 + 8х^
7 ’
х3 , где х3 g R.
42
Зх + Их
Х,-Х2-Х3=6,
3. Lv, +4х2 -Зх, = 2
6
у
Сл (У ШибО-
'^<4
3 -3 - Y
1 4 - 3
г 13
'ь
Ъ Мч\
Л1^ '/•_<£
(tv / f 7 9 //^/
47
4. Метод Гаусса
Рассмотренные ранее методы имеют скорее теоретическое значение, так
как они очень трудоемки. На практике для решения задач с большим числом
неизвестных удобно пользоваться методом Гаусса.
Этот метод состоит в приведении данной системы к равносильной ей тре-
угольной или трапециевидной форме путем последовательного исключения пе-
ременных при помощи элементарных преобразований.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений
- Перестановка любых двух уравнений.
- Умножение обеих частей одного уравнения на любое число, отличное от нуля.
- Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей
другого, умноженных на любое число, отличное от нуля.
- Вычеркивание уравнений вида 0 = 0.
При этом:
• если получится система треугольного вида (в каждом последующем
уравнении на одну переменную меньше, и последнее уравнение имеет вид
с • хп = b, где с Ф 0), тогда система совместна и имеет единственное решение;
• если получится система треугольного вида и в ней есть уравнение вида
0 = Ъ, при значении b * 0, то система несовместна и решений не имеет;
• если система трапециевидная (одно или более уравнений имеют вид
0 = 0), то система совместна и имеет множество решений.
Если число т уравнений в системе меньше, чем число п неизвестных, то
система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений. При этом
(и - т) или больше неизвестных выбирают как свободные, а остальные неиз-
вестные (базисные) выражают через свободные неизвестные.
При решении системы удобно совершать преобразования не с самими
уравнениями, а с расширенной матрицей, состоящей из коэффициентов при
41 ап ... аы м
неизвестных и свободных членах: ^21 а22 ... а2п Ь2
ап2 апп
Если получилась трапециевидная система, т. е. число неизвестных п, а
число уравнений т, то выбирают переменные х}, х2, ..., хт за основные (ба-
зисные), коэффициенты, при которых входят в базисный минор системы, ос-
тальные (п-т) неизвестных - свободные. Их переносят в правую сторону
уравнений и решают получившуюся систему методом Гаусса. После этого вы-
ражают базисные неизвестные через свободные неизвестные.
Данный метод применим для систем линейных уравнений с произволь-
ным числом уравнений и неизвестных.
Пример 1. Решить систему двух линейных уравнений и дать геометриче-
скую иллюстрацию решения.
48
|3x + 2j/ = l,
[x-3y = 4.
Решение. Умножив второе уравнение на (-3) и сложив с первым, получим:
1 ly = -11, откуда у = -1.
Из второго уравнения найдем х: х - 4 + Зу; х = 4 - 3 = 1.
Прямая /] отвечает первому уравнению системы, прямая /2 - второму, а
точка их пересечения (1; -1) - найденному решению.
б) <
х + 2у = 5,
2х + 4у = 15.
Решение. Умножив первое уравнение на -2 и сложив со вторым, получим:
0 = 5, откуда заключаем, что система решений не имеет. Построив прямые
х + 2у = 5 и 2х + 4_у = 15, видим, что они параллельны и не имеют общих точек.
х + 2у = 5,
2х + 4у = 10.
Второе уравнение является следствием первого (получено умножением
первого уравнения на 2). Графически - прямые, изображающие первое и второе
уравнения, сливаются друг с другом.
Пример 2. Методом Гаусса решить систему уравнений
49
х, - х2 + 2х3 = 1,
- 5х, - Зх, + 2х3 - 5,
х, + Зх2 + Зх3 = 18.
Решение. Выполним элементарные преобразования расширенной матрицы:
-1 2 1 Л Г1 -1 2 1 Л -1 2 1
-3 2 5 0 2 -8 0 — 0 2 -8 0
3 3 18J 4 1 17> 0 17 17
Запишем полученную систему треугольного вида:
X, - X, + 2х3 = 1, f ATj = 3,
< 2х, - 8х3 = 0, < х, = 4,
17х3 = 17. |х3=1.
Ответ: (3, 4, 1).
Пример 3. Решить систему методом Гаусса:
2х, + х, - х3 - Зх4 = 2,
4Х] + х3 - 7х4 = 3,
2х, - Зх3 + х4 = 1,
2Х] + Зх, - 4х3 - 2х4 = 3.
Решение. Приведем систему к треугольному виду. Для этого в первом
уравнении оставим все переменные, а в каждом последующем уравнении полу-
чим на одну переменную меньше, чем в предыдущем уравнении. Исключим из
второго и четвертого уравнений переменную х), умножив первое уравнение
системы на числа (-2) и (-1) и сложив с этими уравнениями соответственно.
2Х| + х, - х3 - Зх4 - 2,
- 2х, +Зх3 — х4 = —1,
<
2х, -Зх3 +х4 = 1,
2х2 - Зх3 + х4 = 1.
Исключим из третьего и четвертого уравнений переменную х,, сложив их
со вторым уравнением:
2х, + х, - х3 - Зх4 = 2,
- 2х2 +Зх3 -х4 = -1,
0 = 0,
0 = 0.
Отбросив два последних уравнения, получим неопределенную систему из
двух уравнений с четырьмя неизвестными:
12х, + х, - х3 - Зх4 = 2,
- 2х, + Зх3 - х4 = -1.
Пусть х2 и х3 - свободные неизвестные, а х1 и х4 - базисные неизвестные.
Тогда
50
xt = 4-3,5x2 + 5x3,
<
x4. = I - 2x2 + 3x3,
где x2, x3 e R.
Ответ: (4 - 3,5x2 + 5x3; x2; x3; 1 - 2x2 + 3x3), x2, x3 g R.
Пример 4. Решить систему методом Гаусса: <
2xj + 2x, + 4х3 - х4 + Зх5 = 2,
Зх, + Зх2 + 5х3 - 2х4 + Зх5 = 1,
2Х] + 2х2 + 8х3 - Зх4 + 9xs = 2.
Решение. Выполним элементарные преобразования расширенной матрицы
р I 3 -2 3 P p 3-2 3 p p 3 -2 3 1
.24-13 2 2 4-13 2 0 -2 3 -3 0
з 3 5 —23 1 3 5-2 3 1 0 -4 4 -6 -2
Os I 00 СЧ (N 2? <2 8-3 9 0 2 1 3
P 3 -2 3 '\ 3 - -2 3 1 '
0-2 3- 3 0 0 -2 3 3 0
0 0-2 0 — 2 0 0 - -2 0 -2
J) 0 4 0 0 ) k0 0 0 0 -4;
Получили выражение 0 = -4, которое не имеет смысла. Следовательно,
система несовместна, решений не имеет.
Ответ: решений нет.
Задания для решения в аудитории
Решить систему методом Гаусса.
Т ? - -г
51
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:
ахххх + ярх2 +... + = О,
а21хх + а22х2 +... + а2пхп = О,
<
атХхх +ат2х2 +... + атпхп = 0.
Очевидно, что такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое
решение х, = х2 = ... = хп =0, называемое тривиальным.
Матрицей данной системы называется матрица вида
. 4 = ' «и «21 «12 - «22 - а2п А •
Пусть ранг матрицы сисз \ат\ емы ат2 Г <П . атп ) Коэффи [циенты при неизвестных
X], х2, ..., хг, входящие в базисный минор матрицы системы, называются базис-
ными неизвестными, а остальные хг+х,..., хп - свободными неизвестными.
53
Тогда число линейно независимых решений данной системы равно (и-г).
При этом любые (и-г) линейно независимых решений системы называются ее
фундаментальной системой решений. Тогда любое решение однородной сис-
темы линейных уравнений является линейной комбинацией фундаментальной
системы ее решений, т. е. X = С.Х} + С2Х2 + ...+ Сп_гХп_г, где Хх,Х2,...,Хп_г -
фундаментальная система решений.
Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетриви-
альные (ненулевые) решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы
был меньше количества неизвестных. В частности, если в однородной системе
число уравнений равно числу неизвестных, то для существования нетривиаль-
ных решений необходимо и достаточно, чтобы определитель ее матрицы был
равен нулю.
Свойства решений однородной системы линейных уравнений
1. Сумма решений однородной системы также является ее решением.
2. Если решение однородной системы умножить на число, отличное от ну-
ля, то также получится ее решение.
3. При условии г<п во множестве К всех решений однородной систе-
мы линейных уравнений существует линейно независимая система, состоящая
из (и - г) решений, которая является фундаментальной системой решений этой
однородной системы.
Множество всех решений системы линейных уравнений, выраженное че-
рез параметры (свободные неизвестные), называется общим решением систе-
мы линейных уравнений. Каждое решение системы называется ее частным ре-
шением.
Пример 1. Найти все решения однородной системы <
Чтобы получить какое-либо частное решение, следует в общем решении
придать свободным неизвестным какие-то конкретные числовые значения.
Зх, + 4х2 + 2х3 = О,
х, - х2 + 4х3 = О,
5Х| + 2х2 +10х3 = 0.
2
4
10
3
4
-1
2
Решение. Главный определитель системы А =
= 0, поэтому сис-
5
тема имеет ненулевые решения. Для того чтобы получить эти решения, умно-
жим второе уравнение на 2 и прибавим к первому, получим третье уравнение
5х, +2х2 + 10х3 =0. А это означает, что третье уравнение является следствием
первых двух, поэтому данную систему можно свести к системе двух уравнений
Г Зх, + 4х2 + 2х3 ~ 0,
с тремя неизвестными <
[х, - х2 + 4х3 = 0.
54
тальные переменные через величину х3. Система примет вид
Так как число неизвестных больше, чем число уравнений, то одну пере-
менную, например х3, выберем свободной переменной (3 - 2 = 1). Выразим ос-
ЗХ] + 4х2 = -2х3
х, - х2 = -4х3.
г, 18 10
Решая эту систему, получим х, = -—х3; х2 х3.
Полагая в этих равенствах х3, равным любому числовому значению, полу-
Ответ:
, х3 е R.
чим всевозможные решения.
18 10
—х3; х
/ /
Пример 2. Найти фундаментальную систему решений однородной систе-
мы линейных уравнений <
2х, - х2 + Зх3 т 4х4 - х5 = 0,
х, + 5х2 - х3 - х4 - х5 = 0,
X] - 6х2 + 4х3 + 5х4 = 0.
Решение. Составим матрицу системы и найдем ее ранг:
"2 -1 3 4 -Р -1 3 4 -Р "2 -1 3 4 -Р
А = 1 5 -1 -1 -1 ~ 1 -6 4 5 0 ~ 1 -6 4 5 0
J -6 4 5 -6 4 5 0; 0 0 0 0,
"2 -13 4 -О
-6 4 5 о,
Выберем в качестве базисного минора
= 5*0.
0
4
5
Значит, г(/1) = 2. Пусть х4, х5 - базисные неизвестные, х}, х2, х3 - сво-
бодные неизвестные.
Запишем для базисных неизвестных новую систему:
4х4 - х5 = -2х, + х2 - Зх3,
5х. = -х, + 6х, - 4х,.
Отсюда
-х, + 6х2 - 4х3
*4 = Г "
<
бХ] +19х, - х3
х5 = ———— , Где х,, х2, х3 е R.
По определению свободные неизвестные х,, х2, х3 составляют фундамен-
тальную систему решений.
Для определенности рассмотрим три набора значений свободных неиз-
вестных:
1) X] = 1, х2 = 0, х3 = 0, тогда х4 = -0,2, х5 = 1,2;
2) X! = 0, х2 = 1, х3 = 0, тогда х4 = 1,2, х5 = 3,8;
55
3) Xj = 0, х2 = О, х3 = 1, тогда х4 = -0,8, х5 = -0,2.
Каждое из полученных решений запишем в виде матрицы - столбца:
Фундаментальная система решений, построенная при таком выборе сво-
бодных неизвестных, называется нормальной. Поскольку столбцы свободных
неизвестных
линейно независимы, то это гарантирует линейную
независимость решений Х{, Х2, Х3
Тогда любое решение данной системы имеет вид: X = С\Х} + С2Х2 + С3Х3,
где величины Ct, С2, С3 - произвольные постоянные.
Эта формула задает общее решение системы.
Задания для самостоятельного решения
Найти общее решение системы линейных уравнений и ее фундаменталь-
ную систему решений.
2х, + х2 - 4х3 = 0,
1. < ЗХ] + 5х2 - 7х3 = 0,
4xj + 5х2 - 6х3 = 0.
56
2.
л'| - 2x? + 2x3 + 3x4 = 0,
< 2X| - 3x2 + x3 + 4x5 = 0,
3x, + 3x3 + 3x4 + 4x5 = 0.
57
6. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений
Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений
а1}х{ + а)2х2 +... + аХпхп = Ьх,
а21Х1 + а22Х2 + ••• + а2пХп ~ ^2 ’
а.\ХУ + ат2Х2+- + атпХп=Ьт'
По теореме Кронекера - Капелли такая система будет совместной, если ранг
основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Ее общее решение можно получить, выражая базисные неизвестные через
свободные переменные, т. е., решая систему относительно базисных неизвест-
ных (такая система всегда определена, что следует из правила Крамера).
Пример 1. Найти общее решение и одно из частных решений системы
Зх, - х, + 2х3 - х4 + 5х5 = 3,
2х, + х2 - х3 + Зх4 - х5 = -2,
х, - 2х2 + Зх3 - 4х4 4- 6х5 = 5,
8х, - х2 + Зх3 + х4 + 9х5 = 4.
Решение. Найдем ранги основной и расширенной матриц:
В 0 0 <0 <0 '3 -1 2 -1 f 2 1-13- 1 -2 3 -4 ( ,8-11 1 < -2 3-4 6 5 -7 11-13 5 -7 11-13 15 -21 33-39 -2 3 -4 6 5 -7 11-13 I ) 3 > -2 5 5 > -12 -12 -36, 5 -12, Ч -2 3-4 6 3-12-15 2 1-13-1 ,8-11 19 "1 -2 3 -4 6 0 5-7 11-13 0 0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 5 " 3 -2 5 ' -12 0 0 ,
Итак, г = /фЛ) = г(5) = 2, а число неизвестных (п} равно 5. Следовательно,
г < п, и система имеет бесконечное множество решений (совместна, но не опре- делена).
Число базисных неизвестных равно г, т. е. 2. Выберем в качестве базис-
ных неизвестных Xj и х2, ко преобразованной матрицы: эффиц 1 -2 0 5 иенты при которых входят в базисный минор
Соответственно х3, х4, х5 - свободные неизвестные.
Запишем систему, равносильную исходной, коэффициентами в которой
являются элементы полученной матрицы:
58
X] - 2х2 + Зх3 - 4х4 + 6х5 = 5,
5х2 - 7х3 4-11х4 — 1 Зх5 =-12
и выразим базисные неизвестные через свободные:
х, + 2х, + 4х< -1
*1 = -~---------------,
7х3 -11х4 + 13xs -12
х, = —-------—----------, хл, х4, х. € R.
5
Получено общее решение системы. Одно из частных решений можно най-
ти, положив все свободные неизвестные равными нулю: х3 = х4 = х5 = 0. Тогда
1 12
1 5 5
Таким образом, общее решение имеет вид
(1 - х3 - 2х4 - 4х5 7х3 -11х4 +1 Зх5 -12
5
(1 12
----; 0; 0; 0 .
И 5 J
, где х3, х4, х5 е R.
х3; х4;
5
Частное решение имеет вид
Другая возможность получить общее решение неоднородной системы за-
ключается в предварительном нахождении общего решения соответствующей
однородной системы. При этом искомое общее решение представляет собой
сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного ре-
шения неоднородной системы.
Пример 2. Найти общее решение неоднородной линейной системы
Xj + х2 + х3 + х4 + х5 = 2,
< 2х, - х2 + Зх3 - 4х4 + 5х5 = 3,
ЗХ] 4- 4х3 - Зх4 + 6х5 =5 с помощью фундаментальной системы решений
соответствующей однородной системы.
Решение. Убедимся в том, что система совместна:
В =
1
-4
-3
2"
3
5,
1
-3
-3
1 1 2"|
-3 6 5 ~
ООО,
1 2"
6 5,
1 1
3 0
Итак, г = г(4) = г(В) = 2
-3
- система совместна.
1
2
3
0
3
4
5
6
3
3
1
0
0
4
4
6
6
5
3
0
о
о
4
0
1
4
Составим по преобразованной матрице однородную систему
х, + х2 + х3 + х4 + х5 = 0,
Зх. + 4х3 - Зх4 + 6х5 = 0.
Найдем для нее фундаментальную систему решений:
59
Зх = -4х3 + Зх4 - 6х5,
_ -4х3 + Зх4 - 6х5
3
_ х3 - 6х4 + Зх5
Х2 ~ з ’
$
где х3, х4, xs g R.
Фундаментальная система решений может быть выбрана так:
Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы
X] + х2 + х3 + х4 + х5 = 2,
Зх, + 4х3 - Зх4 + 6х5 = 5.
Положим х3 = х4 = х5 = 0, тогда х, = —, х, = —.
3 ' 3
С3 - произвольные посто-
янные.
Задания для самостоятельного решения
Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение сис-
темы линейных алгебраических уравнений.
60
2xf + 7х2 + Зх3 + х4 = 6,
1. < Зх, + 5х2 + 2х3 + 2х4 = 4,
9х, + 4х, + х3 + 7х4 = 2.
61
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1
«МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»
Вариант № 1
8 19 0
4
0
2
1.
Вычислить определитель
2.
f 3
Для матриц А= -2
. 1
6
о
1
4 "
-3
2 ,
-2
-2
1
вычислить матричный
0
2
О
и 0
, 5
3
многочлен А" - В А + 3 А.
3.
Вычислить обратную матрицу для матрицы
-7
з
4
4.
Найти ранг матрицы
л
5
-9
4
-2
8
5
1
5
7
3
5
Вариант № 2
-1 -Т\
'1л /[ /
2.
Вычислить определитель
Для матриц А -
0
-1
1
2
3
4
3
3
3
4
4
4
4'
4
"-7
5
. 0
вычислить матричный
2
2
э
4
1
2
и
В =
1
2
4
многочлен В~ + В А + 2 А.
(8 5 -46А
3.
Вычислить обратную матрицу для матрицы
1 -12
2 25
<2 14
4.
Найти ранг матрицы
0 1
2 4
5Л
2
0,
62
Вариант № 3
1 2 1 4 1 3 1 0
1. Вычислить определитель 3 1 2 1 •
4 1 I 0
1 2" Д 0
2. Для матриц А= -2 0 2 и 1 -2
3-12 к J 1 L) -2
многочлен А2 - 2ВА + А.
3
4 вычислить матричный
-4J
<3 1 6 А
3. Вычислить обратную матрицу для матрицы 2 -3 6 •
4. 1. Найти ранг матрицы Вычислить определиз ( 0 <1 1 1 2 3 1 <0 1 гель 1 2" 1 Р 1 2 3 1 1 Вариант № 4 2 1111 13 111 11411. 1115 1 11116 <13 0л <5 1 27,
2. Для матриц А - 3 I-з многочлен 2А2 + ВА + ЗА. 1 2 3 2? и 5= 2 2 4 Ь 1 -J вычислить "-5 3 14^ матричный
3. Вычислить обратную матрицу для матрицы 4 < 3 2 5 13 26,
<1 1 1 1 р
0 1 1 1 1
4. Найти ранг матрицы 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 Р
63
1.
Вычислить определитель
2.
Для матриц А - -2
. 5
1
Вариант № 5
3
5
О
6
О
-3
2
-1
2
2
-2
и
многочлен В2 - ВА + 4А.
3.
4.
1.
2.
4
О
9
2
1
-3
8
О
В =
3
5
-4
Вычислить обратную матрицу для матрицы
Найти ранг матрицы
7
17
3
Вычислить определитель
( 4
Для матриц -1
. 5
О
3
1
4
-1
-3
-7
-2
10
22
10
Вариант № 6
5
6
5
многочлен А2 + В А + ЗВ.
3.
4.
2
-2
1
4
5
вычислить матричный
4 27'
-1 35
-2 43,
О
О
О
2 Л
-3
2
О
О
О
6
5
1
О
0
О
6
5
О
О
0.
6
5
1
и
5 =
О
5
-5
2 5
-2
О .
вычислить матричный
Вычислить обратную матрицу для матрицы
"2
3
.2
-1 -З5
2 -4
Найти ранг матрицы
2
16
8
1
О
4
10
4
52
6
-1
9
-7
64
Вариант № 7
Вычислить определитель
Для матриц А- -2
. 1
5 4 "
2 -4
I I 1
О 1 1
1 о Г
1 1 о
Г-5
1
3
3
-1
I
вычислить матричный
многочлен А2 - ВА + 4В.
Г2 4
5
12
1
Вычислить обратную матрицу для матрицы
Ч 1 -1 2>
4. Найти ранг матрицы 2 -1 1 5 •
<1 10 -6 ъ
Вариант № 8
2 0 - 1 1 0
1 2 - 1 1 0
1. Вычислить определитель 0 1 0 1
0 1 - 1 2 1
0 1 - 1 0 2
Ч ) 4Л 1 1 Г
2. Для матриц А = 2 2 3 и В = 3 5 - вычислить матричный
Ь - 7 <5 3 d
многочлен В2 - ВА + ЗА.
(2 3 И
Вычислить обратную матрицу для матрицы О
6 6
-2 -1,
Найти ранг матрицы
Го
1 1
1 О
1 О
О 1
ГО 0 1
О О"
О О
1 1
О о
1
1
О
1
65
1.
Вычислить определитель
2.
Для матриц А- 3
Вариант № 9
I
8
-9
3
4
9
-7
4^
О
2,
1
-4
2
О
-4
вычислить матричный
2
О
1
1
э
2
1
и
В =
2
3
многочлен А2 + ЗВА + 2В.
Гз
5
4
1
О
О
Вычислить обратную матрицу для матрицы 2
3.
" 0 1 0 4 3 Г
0 1 3 0 2 1
4. Найти ранг матрицы 2 1 0 0 1 1
<-1 2 -1 -1
Вариант № 10
3 0 3 6 -4 I -3 1
1. Вычислить определитель 5 4 2 1 •
2 3 3 2
Л-1 0 4 > "3 1 2 '
2. Для матриц А = 2 -3 1 и 5 = 0 6 -2 вычислить матричный
U ’ - -ъ <2 з oj
многочлен А2 - ВА + ЗА.
( 3 2 5 А
3. Вычислить обратную матрицу для матрицы -5 4 3.
1 -3 -1,
"24 19 36 72 -38
49 40 73 147 -80
4. Найти ранг матрицы 73 59 98 219 -118 •
ч47 36 71 141 -72
66
1. Вычислить определитель
Д -5
2. Для матриц Л = 2 О
I1 ’
многочлен В2 - В А + 2 А.
Вариант № 11
3 114
О 4 10 1
1 7 17 3’
2 2 4 3
4 1 Г1 1
3 и В = 0 -1
-4j U 3
2 Л
2
-з,
<2
вычислить матричный
4 3"
-1 4
-2 5J
Вычислить обратную матрицу для матрицы
' 2 2 1 5 -Г
1 0 4 -2 1
2 1 5 0 1
Найти ранг матрицы -1 -2 2 -6 1
-3 -1 -8 1 -1
J 2 -3 2 -2>
Вариант № 12
1 3 1. Вычислить определитель ? 2-10 -2 1 2 1 4 1 ‘
0 Г 1 2 2 4 2. Для матриц А= -1 2 -3 1 1 -1 Г-i 1 -з> ИВ= 5 0 2
U -1 2> <-53 1;
многочлен ЗА2 - В А + В.
(3
Вычислить обратную матрицу для матрицы
2
вычислить матричный
3 1 "
-4 -3 .
Найти ранг матрицы
Г1 -1
2
-1
10
-1 2"
-1 5
-6 -1,
67
Вариант № 13
7
Вычислить определитель
3
2
1
2
-1
О
-1 О
1 1
1 -1
1 5
( 3 3 4 (1 1
Для матриц А= -2 -4
-3 и В = 0 1
oj [53
2
4
вычислить матричный
многочлен А~ + АВА + В.
Г 3 2 5Л
Вычислить обратную матрицу для матрицы ~2 1
4.
Найти ранг матрицы
3 3 -4^
-7 -2 1
5 10,
Вариант № 14
1.
Вычислить определитель
2
3
2
1
0
1
0
1
-1
1
0
2.
' 4
Для матриц А = 2
-3
2
2
-3
2"
1
вычислить матричный
0
3
7
2
и 0
. 5
многочлен А~ - ВА + 2В.
3.
Вычислить обратную матрицу для матрицы
Л3
3
Л
-2 -7"
4 -1
-1 -1
/
4.
Найти ранг матрицы
-2
-1
2
-1
1
-1
-2>
1.
2
1
-1
1
Вариант № 15
1
Вычислить определитель
1
2
0
3
-1
1
2
2
5
-2
3
-1
68
2.
Для матриц
(2 О
А = 3
-1
1
многочлен В' - ВА + 5 А .
3. Вычислить обратную матрицу для матрицы 3
4. f 2 1-5 1 -2 0 Найти ранг матрицы -1 2" 2 1 -3 -1 ’ <2
1. 2. J -1-1 Вариант 1 1 -1 0 1 4 Вычислить определитель , ? ? 7 0 5 " 0 3-4^ Для матриц А = -12 2 и В = 1 ’ > №(1б5 2| -1 1 1 ' 1 0 2 -1 Г 7
V 1 2 J многочлен А~ - ВА + ЗА. 3 L (з
Вычислить обратную матрицу для матрицы
Л 4.
Найти ранг матрицы
-11 1 Л
2 5 -20
-2 1 -18,
Вариант № 17
3 2 5
-5
Вычислить определитель }
-2 4
3
2.
Для матриц А - 1
1
0
-1 '
0
1
-2
3
вычислить матричный
5
13
7
-3"
-5
4 ,
вычислить матричный
-2 -5Л
17 4
16 3 ,
вычислить матричный
многочлен А~ - ВА + 2В.
69
<28 3 4 A
3. Вычислить обратную матрицу для матрицы 7 4-1 •
4. Найти ранг матрицы " 2 1 -1 , 1 Е 1 -5-1 2" -2 0 21 3 -1 -3 -1 -1-11 1 , вариант № 18 -5 3 14 0 4 2 13 -1 С 14 5 -2, у . J ± J
1. Вычислить определитель <3 0 Г 3 5 26 1 0 0 1-2 <21 0 - / 7 I ’ ’ 7 ‘
2. Для матриц А= 1 - 1,0 2 многочлен А2-2ВА + ЗВ. 4 3 2 и В= -3 -1 -4 1,2 0 1 вычислить матричный
<2 -1 ЗА
I
Ъ
-5
-7
Вычислить обратную матрицу для матрицы
3.
< 9 3 -9 -24
1 -1 -1 0
4. Найти ранг матрицы 2 2 -2 8
2 1 -2
Вариант № 19
2 3 - -4 5
0 -1 0 -1
1. Вычислить определитель 1 0 - -3 8
1 2 - -4 3
<3 13^ <4 -1
2. Для матриц А = -12 0 и 5 = 0 1
U -12, Л -2
многочлен В2 - В А + 3 А.
2А
вычислить матричный
Г 2 -1 0 5 А
3.
Вычислить обратную матрицу для матрицы
3
-1
2-10
2 4 1
<0-1 1 3J
70
Найти ранг матрицы
-1 -1 -2 -Г
-2 3 1-2
1-2-11
1.
2.
1 -2 -3J
—3
Вариант № 20
1 -1 -1 2 2 -1 -3 4
Вычислить определитель 2 1 _2 5
1 1 1 1
г 3 0 - -2s fl 1
Для матриц А- 3 1 1 и В = 2 -1
t-3 -1 2> Л 0
многочлен В2 - ВА + 4В.
вычислить матричный
2
4
s
10
3.
Вычислить обратную матрицу для матрицы
<1 2 'У —з 1 >
4. Найти ранг матрицы 2 - -1 -1 - -3 •
л 1 -5 -
Вариант № 21
1 0 -3 4
2 1 10 -15
1. Вычислить определитель 0 2 3 -6
3 4 -1 2
г0 1 3 \ "2 0 "
2. Для матриц А - 1 - 2 - 1 и В = 2 1 -3 вычислить матричный
и 3 2 к5 2 1)
многочлен В2 + В А + ЗВ.
fl 2 -2А
3.
Вычислить обратную матрицу для матрицы
(3 4
4.
Найти ранг матрицы
1 2 3Л
1 3 4
2 1 5
-1
3
10
А
5
4
7
5
^7 10 1 6 5 J
71
Вариант № 22
Вычислить определитель
4 1 2
7 1 3
5 2 1
10 1 6
г-1
-1
4
-2
-3 вычислить матричный
3
многочлен В2 - 2ВА + 4 А .
fl 1 0^
3. Вычислить обратную матрицу для матрицы 0 1 1
Д 0 L
<8 -7 10 18 17"
3 4 9 -10 7
4. Найти ранг матрицы 2 -5 7 -10 11
Л 8 4 -7 2,
Вариант № 23
1 -2 2 -1 -1 2 2 1
1. Вычислить определитель -1 1 1 -1 •
1 -1 -1 -1
Л 1 -: 2" » <5 1 -3"
2. Для матриц А= 2 0 и в = 0 -1 2 вычислить матричный
ч 2 3 2 Л — 1 )
многочлен В2 + 2BA + А .
f 1 -1 И
Вычислить обратную матрицу для матрицы
1 -2
"5 7 10 -3"
4. Найти ранг матрицы 1 -2-12 к-2 4 2 -4,
Вариант № 24
12 10 13 -10 -5 7 -11 -3
1. Вычислить определитель 11 -5 10 -5
7 1 -6 2
72
2.
Д
Для матриц А= 5
2
1
-1
3
4"
О и
2J
-э
2 4 вычислить матричный
2 1J
многочлен В2 - 5ВА + 2А.
Г 1 2 -4Л
3. Вычислить обратную матрицу для матрицы -1 ~3 6
h 5 -J
<2 1 -3 0 5
4. Найти ранг матрицы 1 - -1 2 - -2 -4
ч° 2 -1 - -1 3 )
Вариант № 25
1 4 2 0
3 3 1 0
1. Вычислить определитель — 1 2 -1 1
0 -1 1 2
( 1 -1 р f-1 1 -3^
2. Для матриц А - 0 2 ) и & = 3 4 5 вычислить матричный
-2 2, 1-2 2 -ъ
многочлен А2 + В А + 4 Л .
(1 0 03
Вычислить обратную матрицу для матрицы О
^3 5 4 7 1 1 2 3 3> 4
4. Найти ранг матрицы 4 5 2 1 5
10 1 6 5>
Вариант № 26
2 2 0 1
2 1 3 4
1. Вычислить определитель 1 1 0 2 •
5 2 1 0
<1 1 - 1> "1 -1 3"
2. Найти матрицу X, если 2 1 0 — 4 3 2
И -1 1 J -2 \
73
3.
4.
1.
2.
3.
4.
f'4 -1 2 Л
Вычислить обратную матрицу для матрицы 1 1 -2 .
<0 -1
3 2 1 З5
3-112
Найти ранг матрицы 12 4 8 •
ч3 “1 1 2)
Вариант № 27
2 0 3 1
-1 -3 1 0
Вычислить определитель 4 1 '
3 2 2 2
<-3 1 2 1 Г-2 1 2>
Найти матрицу X, если 1 0 ~ 1 Х = 1 -1 3 •
1^-4 3 0 J Ь -1 4>
ч 5 г
Вычислить обратную матрицу для матрицы 3 2 1 .
<6 -2 L
<2 1 1 2>
12 0 3
Найти ранг матрицы 2 3 15
J 1 "2 Ъ
Вариант № 28
1 1 2 3
1 0 0 3
Вычислить определитель -3 ‘
3 3 1 -2
( 2 1 л 0^ ' 2 1 0 "
Найти матрицу X, если -15 ~3 -1 х = 1 -1 1
1 2 -3 1) < -10 -2 -1
<4 3 5>
Вычислить обратную матрицу для матрицы
1 1
4
4
74
4
10
4 8 18 7
4. Найти ранг матрицы 10 18 40 17 •
J 7 17 з,
Вариант № 29
2 3 4 5
1 1 1 1
1. Вычислить определитель 1 2 3 1
4 6 5 1
3 -2 4 W1 2 З5
2. Найти матрицу X, если 7 2 3 =1 1 -1 .
<1 0 -1 8 > Ь 2 2у
' 5 2 5
3. Вычислить обратную матрицу для матрицы 3 5-3
1-2 -4 3J
г2 1 11 ? 4
1 0 4 -1
4. Найти ранг матрицы 11 4 56 5 •
<2 -1 5 -6у
Вариант № 30
1 2 3 4
2 3 4 1
1. Вычислить определитель 3 4 1 2 •
4 1 2 3
/ 1 2 - -3^ "1 -3 0"
2. Найти матрицу X, если 3 2 -4 ¥= 10 2 7 .
2 -1 J0 7 8?
г3 1 3"
3. Вычислить обратную матрицу для матрицы 5-22.
(2 2 3J
1 10 3
2 0 4 -1
4. Найти ранг матрицы 16 4 52 9 •
<8 -1 6 -7 )
Решение расчетно-графической работы № 1
75
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2
«СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Задание 1. Решить аналитически и графически систему уравнений.
Задание 2. Решить систему уравнения матричным методом, методом Кра-
мера, методом Гаусса.
Задание 3. Решить систему уравнения методом Гаусса.
№ варианта Задание 1 Задание 2 Задание 3
1 [х- 2 у = 11, [Зх + 2у = 9. < - 5х2 4- х3 = 23, Зх, + 2х, - х3 = 7, X] + 6х2 - 2х3 = -21. 2х, + Зх2 +11х3 + 5х4 = 2, 2х, + х2 + Зх3 + 2х4 = -3, х, + х2 + Зх3 + 4х4 = -3, х, + х, + 5х3 + 2х4 = 1.
2 f < 2х 4- Зу - 8, х - 2у = -10. 8х, - х2 + Зх3 = 22, 4xt +х2 4-6х3 = -1, 13Х] +х2 +16х3 =5. * х, 4- Зх2 4- 2х3 4- х4 = -1, 2х2 4- х3 4- х4 = 5, X, 4- X, 4- х3 = 3, 2х, -х3 4-х4 =3.
3 < Зх-2у = 12, х + 2у = -4. < к 2х, - х2 + 5х3 = 27, 5Х] 4- 2х2 +1 Зх3 = 70, Зх, -х3 = -2. Зх, + х2 + 2х3 + Зх4 = 16, 9х, + 4х, + 5х3 4- 7х4 = 53, 2х, - 2х3 4- х4 = 15, 5х,+5х, 4-х3 =43.
4 х + 2у - 9, J2x4-3y = 12. 4х, 4-х, -Зх3 = -1, 8х, +3х2 -6х3 = -1, х, 4- х, — х3 = -1. < 26х, 4- х, - 2х3 - 5х4 = -39, 2х, 4- х2 4- 2х4 = 22, 8х, - 2х3 4- 5х4 = 23, 4х, - 2х, - х3 - 6х4 = -64.
5 2х + 3у = 5, 4x4-бу = 8. < х, - 4х2 - 2х3 = 0, Зх, - 5х2 - 6х3 - -21, Зх, 4- х2 + х3 = -4. 2х, 4- х2 4- Зх3 =28, 6х, 4- 2х2 4- 5х3 4- х4 = 64, 5х, 4-18х3 4- 2х4 = 122, 5х, 4- Зх2 4- х3 - х4 = 37.
6 2х + 5 у = 10, 4х + 10у = 15. 4х, - Зх2 + х3 = 43, < х, + х2 - х3 = 3, 2х,+х2 =13. < 1 Ох, 4- 2х4 = 96, 4х, 4- Зх2 4- х3 = 62, 1 Ох, - 9х2 4- 7х3 - 5х4 = -31, 2х, - 4х, 4- 2х3 + х4 = -23.
79
—‘ н—» гм >—к >—к о 40 ОО № варианта
JV _л_ Задание 1
И fM + я гм 1 Ч И II £ Р Зх + у = 0, 2х-5^ = -17. ' Ml Гм' Я Я + + V MJ : ; -xj Ml '2х+Зу = 10, х + 5у = 5. Зх + у = 11, 2х + Зу = 5. 'я " гм' + 1 гм 1 MJ п 4 2- и гм 1 —-к Гх+ 2у = -3, [Зх-у = 5.
Задание 2
М> tM £ * * -*. + + + hF + + + ГМ MJ ' Я Я MJ MJ , II II II — я—* S Р чо * -* я - м 1 я я М w 2< + + + ГМ MJ 2< 2< Я 11 11 "и +3 Р х, + 2х2 + Зх3 = 14, 2х, + 4х2 + Зх3 = 19, х, + 5х2 + 2х3 = 17. 2х, + 2х2 + 4х3 = 15, х, + х2 + 5х3 = 16, Зх, - 2х2 + х3 = 1. 4*. 4Л 1 1 -и ю Н + И и 1 + 1 UJ Ю tM II II II 1 1 04 м 4^ **
х, - 5х2 + Зх3 = 46, х, + 2х2 + х3 = 8, х, - 7х2 - 2х3 = 5. ' ч ьо L>j' -И и 1 - ” 4У» + + и ьо и IJ я “ J м, + ОО 1 (xj И " II К» II 1 UJ \О г“
Задание 3
к 7 , 7 * £-* — + + + О' 1 40 и* Л< ^Я 2< 1 1 + + ГМ £ + Я 2< UJ ГМ 4- + * £ к ч 1 " 1 1 ь £ Л* сь Ml и Mi - X to + . о> + + >i Ml W х 4^ 4- tJ ьГ И 1м + 1 + । । + £ ч *11 * 11 II 1 II 1 1 •— - £ -
\ - 5х, + 5х2 - 2х3 =-1, - 5х, + 6х2 - 4х3 - х4 = -13, - 7х, + 24х2 - х3 + Зх4 = 22, - 4х, +1 4х2 + 2х4 = 16.
х, + х2 - 5, - Зх, + 2х, + 2х3 - х4 = 2, X] + 5х2 + Зх3 + 2х4 = 13, 8х, + 5х, -10х3 - Зх4 = 37. < 1 ~ 3 4 + <-м mj 2< _я _я 2< 1 । + 1 >* 00 и И * 4< £ “ + + । Гх Ml MJ + + 1 mi 2* 2< II II II 1 — II 1 tM Ml — Ml Р W # £• -и 1 । 1 । , 1 00 1 +1 ГМ Я р * '£ + + — + Я MJ О | 2< ГМ + + + >< и Н bJ я я Ч 1 и *11 ГМ -xi y> X 44 - и _и ". -н + + i + м м, * + о 2j 4- + + > К> 1 _ + x.J '-.J *- * * II II 4- ю II II S О 40 7" " у* -
о к—к чО Ch Ml k—• 44 № варианта
j X + у = 1 1, (10х-у = 0. Задание 1
г " > и + 1 +е гм II 1 и Р W 1 '' 1 0° 'mj Я И + 1 44 tM +! Ч II II V 4 II 11 J- Я £ i । Ml II Л и 7й P ^Зх- у = -4, x- 2y = 2.
Задание 2
'и 4^ 1 Ml _?> Ь -* + “h i и гм + + и - м> w И II II । ~ 1 И—к к— Ml Ml i' i , ь!> И i. । + , \ * MJ 1 X р • ч» х, + 4х2 + Зх3 = 1, < - х, - х2 + 2х3 = 2, 2х, + 2х2 + х3 = -4. 1 | mj' _и гм 2< + ~* + MJ + tM и* - 1 + t 2^ +> 2^ и и д л x, + 5x2 + 2x3 = 25, 2x, + 4x2 +3x3 =28, x, + 2x2 + 3x3 = 20. x, + 2x2 + 3x3 = 20, 2x, + 4x2 + 3x3 =28, x, + 5x2 + 2x3 = 26. x, + 5x2 + 2x3 = 17, x, + 2x2 + 3x3 = 14, 2x, + 4x, + 3x3 = 19.
Задание 3
r " л 1 r tM 44 MJ 2< 2^ । + + Я я tM ,u |SJ m4 £ + H + । 2< p я + Я 41 + + -^ M> II И II JL tM и £ 00 _
Ml 44 гм MJ J-i 2< + + + + MJ Ml MJ 4- $4 И И ГМ bJ I'M tM + 1 + 1 I'M 44 Ml IM .4 111 + Ml MJ 44 Ml 2^ 2^ 2^ и ii и и 1 1 1 X — -M tM O • \» ч» ** р > к “+ + + + » » ,? + + + + мГ' 'mJ + + + + +* MJ гм и и * J2 И И '* Il IM 1 Д гм V* । | 44 । -* 44 * £ + 2^ + " MJ + гм + м* и ik 1 *Л 1 | 04 ' ГМ MJ м* £ * 1 1 1 1 + 1 tM ' г, MJ 2^ 2^ "и и '' гЬ о- р 1 ”И _и * + + + + w. + £ Я i я 2^ я +-> _1_ <mJ + MJ + * 4^ я 2< и ii "'ll и O JM -
1 и и -* * * + + + i 2 и 24 + 2 и к + । + + * 2< x Я w w 1 + M 1 1 +i 4^ +> - II 4^‘ II £ II ГМ - J— mj
_и j-t 2< _ь + + + + и и 2^ ru IM .V + + + + 2< 2^ ,и UJ . + + + + м м М> 2^ 2* /: и и и 'll "и tM Ml w __
№ варианта Задание 1 Задание 2 Задание 3
21 4х - Зу = 3, 2х + у = 9. < xt -5х2 + 19х3 = 56, X] - 2х2 + 5х3 - 24, 4х, - 8х2 + 31х3 = 107. < _ 7 г ' V - 1 Y — ? V — — 1 —1 Л-— JL^ 4х, + 2х2 - 2х3 + 4х4 = 0, - 5х, + х2 - 4х3 - 4х4 = 1, - 2х, + Зх2 - 6х3 - х4 = -2.
22 < к х + 2у = 15, 2х-Зу = -12. f < 14х, - 5х2 + 9х3 - 38, 5х, +х7 + 7х3 = 10, 27Х] -5х2 + 21х3 - 62. 2х, +х2 + х4 = 3, х, + 2х3 + х4 = -1, х, + х2 + 2х4 = 3, 2Х]+х2 +2х4=-2.
23 г 4х +у = 5, 2х-у = -2. 4х, - 5х2 + 5х3 = 18, 5Х] + х2 - х3 = 8, 6х, - 4х2 + Зх3 =21. с < ЗХ] + х2 + 4х3 + 5х4 = 12, 7xj - 8х, - 2х3 +10х4 = 24, X] + 2х2 - х3 - х4 =0, 2Xj - х2 + х3 + х4 = 1.
24 'х ч’ 1 + hJ 4^ 41 ч II II IJ <V1 X] - 5х3 = 8, < X] -Зх2 - 2х3 = — 1, 2х, - х2 - 6х3 = 7. < ЗХ] - Зх2 - 4х3 + х4 = 1, 5х2 +14х3 + Зх4 = -46, xt - 8х2 - 7х3 - 2х4 = 45, - 4Xj + 6х2 - Зх3 - 2х4 = 0.
25 '2х-у = -1, Зх-у = 3. < 2х, - х2 + 4х3 = 2, бХ] -Зх2 +5х3 =-15, X] + Зх2 + х3 = 5. ЗХ| + х2 - х3 + 2х4 = 10, - х, + х2 - 2х3 - х4 = -9, < 2xt + х2 - х3 + 2х4 = 9, 5xt + 2х2 - х3 - х4 = 2.
26 х + Зу = 11, [ 2х — у = 8. Z" * 2х, + Зх2 + х3 = 14, 2х, + 5х2 - Зх3 = 8, -Зх, -4х2 + 2х3 = -16. < X, + 2х2 - х3 + 2х4 =-12, X] + Зх2 - 2х3 + Зх4 = -20, 2Х] + х2 + х3 - 2х4 = 12, Зх, + х2 -Зх3 -х4 = -3.
27 < 2х- 5 у = 26, х + 2у = -5. X] + 4х2 - Зх3 = -8, X] -х2 -х3 = 1, 2х2 + х3 = 0. 2х,+Зх2+х3 =-1, х2 + х3 + 2х4 = 5, < X, + 2х2 + х3 - х4 =3, х,+х2 +х4=3.
82
№ варианта Задание 1 Задание 2 Задание 3
28 < Зх + 2у = -4, х-3у = -5. ЗХ] + 2х2 + х3 = 5, %! + х2 - х3 = 0, 4xi -х2 + 5х3 - 3. 2Х| 1 л2 х3 । — 8, X] - 2х2 + х3 + Зх4 = 10, < ЗХ] + х2 - х3 + 5х4 = 22, 2х, - х2 + х3 - х4 =0.
29 1 1 ОО М II II ГЭ < 1 2х, + х-, - х3 - 5, X] - 2х2 + 2х3 - -5, 7х( + х2 -х3 = 10. < х, - х2 + х3 + х4 = -3, 2х, + х2 + х3 - х4 = -4, ЗХ] + 2х, - х3 + 2х4 = -3, X] + х2 + 2х3 - х4 =0.
30 4х + 5 у = 7, [ х-2у = 5. ЗХ] + 2х, + 2х3 = 3, 2xt -х2+х3 =1, 4X1 +3х2 +Зх3 = 5. < 2х, - х2 + Зх3 + Зх4 -1, 4Х] + 2х2 - 23 + 4х4 = 2, 4xt - х2 + 4х3 + 5х4 = -1, X] - Зх2 + 6х3 + 2х4 - 2.
Решение расчетно-графической работы № 2
83
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ........................... ....3
1. Основные понятия............................................3
2. Линейные операции над матрицами.............................4
Задания для решения в аудитории.........................7
3. Умножение матриц............................................9
Задания для решения в аудитории.........................12
4. Определители второго и третьего порядков.................. 14
Свойства определителей..................................16
Методы вычисления определителей «-го порядка............19
Задания для решения в аудитории.........................23
5. Обратная матрица............................................26
Задания для решения в аудитории.........................31
6. Базисный минор, ранг матрицы................................ 34
Задания для решения в аудитории.........................36
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. 39
1. Основные понятия............................................39
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
методом Крамера................................................40
Задания для решения в аудитории........................43
3. Матричный метод решения систем линейных
алгебраических уравнений......................................44
Задания для решения в аудитории........................46
4. Метод Гаусса...............................................48
Задания, для решения в аудитории.......................51
5. Общее решение однородной системы линейных уравнений........53
Задания для самостоятельного решения.................. 56
6. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений ..58
Задания для самостоятельного решения................. 60
Расчетно-графическая работа № 1 «Матрицы и определители»......62
Расчетно-графическая работа № 2 «Системы линейных уравнений». 79
87
Учебное издание
Смирнова Нина Борисовна
Попова Светлана Викторовна
Долгих Екатерина Владимировна и др.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Рабочая тетрадь
Публикуется в авторской редакции
Главный редактор И. А. Погорелова
Заведующий издательским отделом А. В. Андреев
Корректор И. Н. Олейникова
Подписано в печать 2.09.2010. Формат набора 60x84 7g.
УсЛ. печ. л. 10,23. Гарнитура «Таймс».
Бумага офсетная. Печать офсетная. Доп. тираж 1000. Заказ № 266.
Налоговая льгота - Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93-953000
Издательство Ставропольского государственного
аграрного университета «АГРУС»,
355017, г. Ставрополь, пер. Зоотехнический. 12.
Тел./факс (8652) 35-06-94. E-mail: agrus@stgau.ru; agrus2007@mail.ru; http://agrus.stgau.ru
Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательско-полиграфического комплекса
СтГАУ «АГРУС», г. Ставрополь, ул. Мира, 302.