Московская олимпиада по физике, 2008г., 2 тур, 11 кл., №3
3. В вершинах правильного TV-угольника расположены последова
тельно электрические заряды, величины которых образуют арифметическую прогрессию с разностью q и равны q. 2q, ..Nq. Расстояние от
центра многоугольника до любой из его вершин равно R. Найдите вели
чину напряжённости Е электрического поля в центре многоугольника.
Решение. Пронумеруем вершины многоугольника как Ai, А2, ..., А^ (см. рисунок); тогда в вершине А/,. находится заряд kq. Проведём с исходной системой зарядов 1 следующие преобразования: повернём её
2л
на угол — так, чтобы точка Ад, перешла в точку A,..+j, и изменим знаки
зарядов — получим систему зарядов 2 (см. рисунок).
система 1
система 2
Рассмотрим также систему зарядов 3, состоящую из N одинаковых
зарядов —q, размещённых в вершинах данного многоугольника.
Напряжённость электрического поля в центре многоугольника, создаваемую системой 1, обозначим как ~Ei, системой 2 — как Е2- Век-2л
тор Е2 получается из Е^ поворотом на угол — и изменением направления на противоположное. Система зарядов 3 создаёт в центре много
угольника нулевую напряжённость электрического поля.
Наложим теперь системы зарядов 1, 2 и 3 друг на друга, получив систему зарядов «l-f-2+З». В ней все заряды, кроме расположенных в точке Aj, будут скомпенсированы, поэтому система «1+2-|-3» состоит из одного заряда величиной —Nq в точке Ai. Система «1+2-|-3» создаёт в центре многоугольника электрическое поле напряжённостью
TVg
|£?1+2+з| = I-E1+2I —--о- С другой стороны, вектор напряжённости
4лед/С
Ei+2 можно получить, складывая векторы Е^ и /'А по правилу параллелограмма (см. рисунок). Используя теорему косинусов, находим:
|Д+2|2 = |Д |2 + |/А|2 - 2|А|  \Е2\ • cos — =
= Е2 + Е2 - 2Е2 cos 5 = 2Е2 (1 - cos = 4Е2 sin2 N \ N J	N
г.	•	71	N(1 г	N(1
Следовательно, zissin — = ------—к, и Е =-------------.