Московская олимпиада по физике, 2008г., 2 тур, Юкл., №4
4. В вершинах правильного TV-угольника расположены последовательно электрические заряды, величины которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2 и равны </, 2</, ... , 2N~1q. Расстояние от центра многоугольника до любой из его вершин равно R. Найдите величину Е напряжённости электрического поля в центре многоугольника.
Решение. Пронумеруем вершины многоугольника как Л(Ь Ai, ..
тогда в вершине А/; находится заряд 2l:q. Проведём с исходной системой зарядов 1 следующие преобразования: повернём её на угол 2тг	..
— так, чтобы заряд из точки А/. перешел в точку увеличим величины зарядов в два раза и изменим их знаки получим систему зарядов 2 (см. рисунок):
система 1
система 2
Напряжённость электрического поля в центре многоугольника, создаваемую системой 1, обозначим как Я, системой 2 - как Е2. Век-->	2тт
тор Е2 получается из Е^ поворотом на угол —, растяжением в два раза и изменением направления на противоположное.
Наложим теперь системы зарядов 1 и 2 друг на друга, получив систему зарядов «1+2». Все заряды, кроме расположенных в точке Л о, будут компенсированы, поэтому система «1+2» состоит из одного заряда величиной — q (2N — 1). Следовательно, система «1+2» создаёт в центре многоугольника электрическое поле с величиной напряжён-q (2W - 1) —---------------------+^-. С другой стороны, вектор напряжённости
47Г£о-К2
Ei+2 можно получить, складывая векторы Ei и Е2 по правилу параллелограмма, как показано на рисунке. Используя теорему косинусов, находим:
ности
|Е1+2|2 = |Ej|2 + |Е2|2 - 21^1. |Е2|. cos - =
= Е2 + 4Е2 - 4Е2 cos = Е2 Гб - 4cos
Следовательно,
В д / 5 — 4 cos — = —7--г2-,
V N 47геой2 ’
g(2"-i)
/	2тг
4tt£o-R2 л/б—4 cos —