Author: Нечаев Ю.Б. Николаев В.И. Андреев Р.Н. Винокурова Н.Н.
Tags: электротехника общая радиотехника электроника
ISBN: 978-5-900777-16-0
Year: 2008
Text
АНТЕННЫ,
СВЧ-УСТРОЙСТВА
И ИХ ТЕХНОЛОГИИ
СОДЕРЖАНИЕ
ББК 32.845
УДК 621.396.67
А 72
Антенны, СВЧ-устройства и их технологии: учеб, пособие /
Ю.Б. Нечаев, В.И. Николаев, Р.Н. Андреев, Н.Н. Винокурова;
под общ. ред. Ю.Б. Нечаева, В.И. Николаева. - 2-е издание
Воронеж : ОАО Концерн «Созвездие», 2008. - 629 с.
ISBN 978-5-900777-16-0
Учебное пособие написано коллективом авторов и предназначено
для аспирантов и соискателей при подготовке и сдаче вступительных эк-
заменов в аспирантуру и кандидатского экзамена по специальности
05.12.07 «Антенны, СВЧ-устройства и их технологии» и соответствует
требованиям краткого паспорта специальности 05.12.07.
Учебное пособие базируется на следующих вузовских дисциплинах:
«Электродинамика и распространение радиоволн», «Устройства СВЧ и
антенны», «Радиотехнические цепи и сигналы», «Устройства генерирова-
ния и формирования сигналов», «Устройства приема и преобразования
сигналов», «Электроника», «Радиотехнические системы», «Схемотехника
аналоговых электронных устройств».
Авторы ставили цель - достичь полноты излагаемых материалов для
успешной сдачи вступительного экзамена в аспирантуру и кандидатского
экзамена по специальности 05.12.07 без использования дополнительных
источников.
Табл. 3. Ил. 343. Библиогр.: 69 назв.
Рецензенты: кафедра электроники физического факультета Воро-
нежского государственного университета (зав. кафед-
рой, доктор физ.-мат. наук, профессор А.М. Бобрешов);
заслуженный деятель науки и техники РФ,
доктор техн, наук, профессор А.П. Ярыгин
ISBN 978-5-900777-16-0
© Ю.Б. Нечаев, В.И. Николаев
Р.Н. Андреев, Н.Н. Винокурова, 2008
© Оформление.
ОАО «Концерн «Созвездие», 2008
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое учебное пособие написано коллективом авто-
ров, и предназначено для аспирантов и соискателей при подготовке
и сдаче вступительных экзаменов в аспирантуру и кандидатского
экзамена по специальности 05.12.07 «Антенны, СВЧ устройства и
их технологии» и соответствует требованиям краткого паспорта
специальности 05.12.07.
Учебное пособие базируется на следующих вузовских дисци-
плинах: «Электродинамика и распространение радиоволн», «Уст-
ройства СВЧ и антенны», «Радиотехнические цепи и сигналы»,
«Устройства генерирования и формирования сигналов», «Устрой-
ства приема и преобразования сигналов», «Электроника», «Радио-;
технические системы», «Схемотехника аналоговых электронных
устройств».
Структурно учебное пособие состоит из 4-х частей, основные
рассмотренные вопросы в которых представлены в содержании.
Для более подробного изучения изложенного материала каждая из
частей разделена на главы, которые соответствуют тематике пред-
лагаемой программы. Исключение составляет часть 3 «Антенны»,
в которой авторы позволили себе отойти от традиционного изло-
жения теоретических вопросов и классического разграничения ан-
тенн на различные классы, такие как: «Антенны длинных волн»,
«Антенны коротких волн», «УКВ-антенны» и т.д. Это связано с
особенностью современных тенденций к классификации антенн и
антенных систем. Однако, несмотря на это, в учебном пособии рас-
смотрены многочисленные типы и разновидности антенн, при опи-
сании которых обязательно указывался диапазон длин волн или
частотные диапазоны, в которых наиболее эффективно использо-
вать данный тип антенн.
Учебное пособие, в основном, базируется на общепризнанной
классической научной и учебно-методической литературе отечест-
венных и зарубежных авторов. Однако в ряде глав использованы
материалы оригинальных работ специалистов ОАО Концерна «Со-
звездие», которые были опубликованы как в периодической печа-
ти, так и в ведомственной литературе, в связи с чем доступ к ним
был ограничен.
3
В целом же авторы старались достичь полноты излагаемых
материалов для успешной сдачи вступительного экзамена в аспи-
рантуру и кандидатского экзамена по специальности 05.12.07 без
использования дополнительных источников.
Авторы выражают глубокую признательность рецензентам,
замечания и пожелания которых были учтены при написании ру-
кописи.
Замечания, которые будут поступать по учебному пособию,
авторы рассмотрят и учтут при дальнейшей работе по расширению
области применения пособия.
4
ВВЕДЕНИЕ
Радиосвязь — вид электросвязи, осуществляемый с помощью
радиоволн. Под радиоволнами принято понимать электромагнит-
ные волны, частота которых выше 30 кГц и ниже 3000 ГГц, рас-
пространяющиеся в среде без искусственных направляющих сред
(линий). С понятием радиоволны тесно связано понятие радиочас-
тоты, т.е. частоты радиоволн.
Скорость распространения электромагнитных волн в какой-
либо среде равна
с
где с - скорость распространения света в вакууме; £ — диэлектриче-
ская, р. — магнитная проницаемость среды. Для воздуха £~ц~ 1, а
скорость распространения электромагнитных волн близка к скорости
света в вакууме, т.е. v ~ 3 • 108 м/с.
Электромагнитные волны создаются источником периодиче-
ски изменяющейся ЭДС с периодом Т. Если в некоторый момент
электромагнитное поле (ЭМП) имело максимальное значение, то
такое же значение оно будет иметь спустя время Т. За это время
ЭМП переместится на расстояние
X = vT.
Минимальное расстояние между двумя точками пространства,
поле в котором имеет одинаковое значение, называется длиной
волны. Длина волны зависит от скорости ее распространения и пе-
риода Т ЭДС, передающей это поле. Так как частота тока равна
/= 1/Т, то длина волны
Длина волны 1 связана с частотой колебания/соотношением
_3108
Л — — •
Радиочастотный спектр — область частот, занимаемая радио-
волнами. Полоса частот — область частот, ограниченная нижним и
верхним пределами. Диапазон частот — полоса частот, которой
присвоено условное наименование.
5
В соответствии с Регламентом радиосвязи [1] весь радиочас-
тотный спектр разделен на 12 диапазонов, которые определены как
области радиочастот, равные (0,3...3)-10^ Гц, где N — номер
диапазона. Для целей радиосвязи используется девять диапазонов
(# = 4... 12).
Диапазон радиоволн — определенный непрерывный участок
длин радиоволн, которому присвоено условное метрическое на-
именование. Каждому диапазону радиоволн соответствует опреде-
ленный диапазон радиочастот.
Классификация диапазонов радиочастот или радиоволн приве-
дена в табл.В1 [2]. Такая классификация в первую очередь связана с
особенностями распространения радиоволн и их использования.
Кроме того, в технике радиосвязи широкое применение нахо-
дят следующие понятия: диапазон рабочих радиочастот - полоса
частот, в пределах которой обеспечивается работа радиостанции;
сетка рабочих радиочастот (сетка частот) — множество сле-
дующих через заданные интервалы рабочих радиочастот; шаг сет-
ки рабочих радиочастот (шаг сетки частот) — разность между
соседними дискретными значениями рабочих частот, входящих в
их сетку; радиостанция — один или несколько передатчиков и при-
емников или их комбинация, включая вспомогательное оборудова-
ние, необходимые для. осуществления радиосвязи; присвоенная по-
лоса радиочастот — полоса частот, в пределах которой радиостан-
ции разрешено излучение; рабочий канал - полоса частот, которая
используется для передачи информации (сообщения); присвоенная
радиочастота - частота, соответствующая середине присвоенной
радиостанции полосы частот; рабочая радиочастота - частота,
предназначенная для ведения радиосвязи радиостанцией.
Для введения других понятий и определений следует рассмот-
реть обобщенную структурную схему радиосистемы передачи
(РСП). Под радиосистемой передачи понимается совокупность тех-
нических средств, обеспечивающих образование типовых каналов и
трактов, а также линейных трактов, по которым сигналы элек-
тросвязи передаются посредством радиоволн в открытом простран-
стве. Поскольку подавляющее большинство РСП являются много-
канальными, то приведем обобщенную структурную схему много-
канальной РСП (рис.В.1), где приняты следующие обозначения:
6
Таблица В1
Номер диапа- зона Диапазон длин волн Диапазон частот
Наименование Границы Наименование Границы
4 Мириаметровые, или сверхдлинные волны (СДВ) Ю...100км Очень низкие частоты (ОНЧ) З...ЗОкГц
5 Километровые, или длинные волны (ДВ) 1...10км Низкие частоты (НЧ) ЗОЛЮ кГц
6 Гектометровые, или средние волны (СВ) 100...1000М Средние частоты (СЧ) ЗОО...ЗОООкГц
7 Декаметровые, или короткие волны (КВ) 10.J00M Высокие частоты (ВЧ) З-.ЗОМГц
8 Метровые, или ультракороткие волны (УКВ) 1„.10м Очень высокие частоты (ОВЧ) ЗО...ЗООМГц
9 Дециметровые волны (ДМВ) 10... 100 см Ультравысокие частоты (УВЧ) ЗОО...ЗОООМГЦ
10 Сантиметровые волны 1...10мм Сверхвысокие частоты (СВЧ) З...ЗОГТц
П Миллиметровые волны 1...10мм Крайне высокие частоты (КВЧ) ЗО-.-ЗООПц
12 Децимиллиметровые волны 0,1...! мм Гипервысокие частоты (ГВЧ) ЗОО...ЗОООГГЦ
КТО — каналообразующее и групповое оборудование, обеспе-
чивающее формирование сигналов типовых каналов и трактов из
множества подлежащих передаче первичных сигналов электросвя-
зи на передающем конце и обратное преобразование сигналов ти-
повых каналов и трактов в множество первичных сигналов на при-
емном конце.
СЛ - проводные соединительные линии, обеспечивающие под-
ключение каналообразующего и группового оборудования к РСП в
случае их территориальной удаленности.
Рис.В.1. Обобщенная структурная схема многоканальной
радиосистемы связи
Для формирования радиосигнала и передачи его на расстоя-
ния посредством радиоволн используются различные радиосис-
темы связи. Радиосистема связи представляет собой комплекс
радиотехнического оборудования и других технических средств,
предназначенных для организации радиосвязи в заданном диа-
пазоне частот с использованием определенного механизма рас-
пространения радиоволн. Вместе со средой (трактом) распро-
странения радиоволн радиосистема связи образует линейный
тракт или ствол, состоящий из оконечного оборудования ство-
ла (ООС) и радиоствола.
ООСпер — оконечное оборудование ствола передающего конца,
где формируется линейный сигнал, состоящий из информационного
группового сигнала и вспомогательных сигналов (сигналов служеб-
ной связи, сигналов контроля работоспособности оборудования РСП
и др.), которыми модулируются высокочастотные колебания.
РСТ — радиоствол, назначением которого является передача мо-
дулированных радиосигналов на расстояния с помощью радиоволн.
Радиоствол называется простым, если в его состав входят лишь две
оконечные станции и один тракт распространения радиоволн, или
составным, если палимо двух оконечных радиостанции он содер-
жит одну или несколько ретрансляционных станций, обеспечиваю-
8
щих прием, преобразование, усиление или регенерацию и повтор-
ную передачу радиосигналов. Необходимость использования со-
ставных радиостволов обусловлена рядом факторов, основными из
которых являются протяженность радиолинии, ее пропускная спо-
собность и механизм распространения радиоволн.
ООСПр - оконечное оборудование ствола приемного конца, где
проводятся обратные преобразования: демодуляция высокочастот-
ного радиосигнала, выделение группового (многоканального) сиг-
нала и вспомогательных служебных сигналов.
Совокупность технических средств и среды распространения
радиоволн, обеспечивающих передачу сигналов от источника к
приемнику информации, называется радиоканалом (каналом ра-
диосвязи). Радиоканал, обеспечивающий радиосвязь в одном ази-
мутальном направлении, называется радиолинией.
Упрощенная структурная схема одноканальной радиолинии
приведена на рис.В.2.
А А
Рис.В.2. Структурная схема радиолинии
Функционирование радиолинии осуществляется следующим
образом. Передаваемое сообщение поступает в преобразователь
(микрофон, телевизионная передающая камера, телеграфный или
факсимильный аппарат и др.), который преобразует его в первичный
электрический сигнал. Последний поступает на радиопередающее
устройство радиостанции, которое состоит из модулятора (М), син-
тезатора несущих частот (СЧ) и усилителя модулированных колеба-
ний (УМК). С помощью модулятора один из параметров несущей
частоты (высокочастотного колебания) изменяется по закону пер-
вичного сигнала. С помощью антенны (А) энергия радиочастот пе-
редатчика излучается в тракт распространения радиоволн.
9
На приемном конце радиоволны наводят ЭДС в приемной ан-
тенне (А). Радиоприемное устройство радиостанции с помощью се-
лективных (избирательных) цепей (СЦ) отфильтровывает сигналы от
помех и других радиостанций. В детекторе (Д) происходит процесс,
обратный модуляции, - выделение из модулированных колебаний
исходного электрического сигнала. Далее в преобразователе этот
сигнал преобразуется в сообщение, которое и поступает к абоненту.
Рассмотренная схема радиолинии обеспечивает односторон-
нюю радиосвязь, при которой одна из радиостанций осуществляет
передачу сообщений, а другая или другие только прием. Для орга-
низации двусторонней радиосвязи, при которой радиостанции
осуществляют прием и передачу, в каждом пункте необходимо
иметь и передатчик (Пер), и приемник (Пр). Если при этом переда-
ча и прием на каждой радиостанции осуществляются поочередно,
то такая радиосвязь называется симплексной (рис.В.За). Симплекс-
ная радиосвязь используется, как правило, при наличии относи-
тельно небольших информационных потоков. Такая радиосвязь
может быть одночастотной (прием и передача на одной частоте) и
двухчастотной (прием и передача на разных частотах).
Двусторонняя радиосвязь, при которой связь между радио-
станциями реализуется одновременно, называется дуплексной
(рис.В.Зб).
а) б)
Рис.В.З. Структурная схема организации радиосвязи:
а - симплексной; б - дуплексной
При дуплексной радиосвязи передача в одном и другом на-
правлениях ведется обычно на разных несущих частотах. Это дела-
ется для того, чтобы радиоприемник принимал сигналы только от
радиопередатчика противоположного пункта и не принимал сигна-
лы собственного радиопередатчика.
10
Если необходима радиосвязь с большим числом пунктов, то ор-
ганизуется радиосеть, представляющая совокупность радиолиний,
работающих на одной общей для всех абонентов частоте или группе
частот. Структурные схемы радиосетей различной сложности для
симплексной радиосвязи приведены на рис.В.4 и для дуплексной ра-
диосвязи на рис.В.5.
ГР
ПРЗ
Рис.В.4. Радиосеть на основе сложной симплексной радиосвязи
ГР
Рис.В.5. Радиосеть на основе сложной дуплексной радиосвязи
Суть функционирования радиосети заключается в следующем..
Одна радиостанция, называемая главной (ГР), может передавать со-
общения как для одной, так и для нескольких подчиненных радио-
станций. Радист-оператор ГР ведет наблюдение за радиосетью и ус-
танавливает очередность работы на передачу подчиненным радио-
11
станциям (ПР). Последние при соответствующем разрешении могут
обмениваться сообщениями (информацией) не только с ГР, но и ме-
жду собой. Такая организация связи может быть реализована на ос-
нове как . сложного симплекса (рис.В.4), так и сложного дуплекса
(рис.)3.5). В первом случае возможно использование совмещенных
приемопередающих радиоустройств и общей рабочей радиоволны
(частоты). Во втором случае ГР ведет передачу на одной частоте, а
принимает на нескольких (по числу подчиненных радиостанций).
Отметим, что радиосеть может быть организована на основе полуду-
плексной радиосвязи, при которой на одной радиостанции (как пра-
вило, главной) передача и прием осуществляются одновременно, а
на других радиостанциях - попеременно.
Центры крупных промышленных регионов соединяются ли-
ниями радиосвязи со многими пунктами, для чего радиопередатчи-
ки и передающие антенны располагают в так называемом пере-
дающем радиоцентре, а радиоприемник и приемные антенны - в
приемном радиоцентре. Для соединения источников сообщения с
радиопередатчиками и радиоприемниками и контроля качества
радиосвязи в городах оборудуют радиобюро.
На радиосетях большой протяженности для увеличения дально-
сти связи включаются ретрансляционные станции (ретрансляторы).
Обобщенная структурная схема ретранслятора приведена на рис.В.6.
Рис.В.6. Обобщенная структурная схема ретранслятора
К уже известным обозначениям и понятиям здесь добавляется
новое - фидерный тракт. Он включает в себя совокупность уст-
ройств передачи электромагнитной энергии от антенны к прием-
нику (Пр) и от передатчика (Пер) к антенне, содержащий фидер и
ряд вспомогательных элементов.
12
К фидерному тракту предъявляются следующие требования:
передача энергии должна осуществляться с малыми потерями; пе-
редающий фидер не должен излучать, а приемный - принимать по-
сторонние электромагнитные колебания; отражения в трактах, соз-
дающие попутные потоки, должны быть минимальными; не долж-
ны распространяться волны других (высших) типов.
В современных радиосистемах передачи разница уровней из-
лучаемых и принимаемых антеннами радиосигналов весьма велика
(150 дБ и более).
Для исключения возможности возникновения паразитных свя-
зей между передающими и приемными трактами ретранслятора не-
обходимо использовать две несущие частоты для каждого направле-
ния передачи. При этом для передачи радиосигналов в противопо-
ложных направлениях может быть использована либо одна и та же
пара частот (fufi), либо две разные пары (fi,fi и Уз,Л)- В зависимости
от этого различают два способа (плана) распределения частот прие-
ма и передачи в дуплексном режиме: двухчастотный и четы-
рехчастотный (4, fi и Уз, Д) планы. Двухчастотный план эконо-
мичнее с точки зрения использования занимаемой полосы частот,
однако требует специальных мер для защиты от сигналов противо-
положного направления. Четырехчастотный план не требует ука-
занных мер защиты, однако он неэкономичен с точки зрения исполь-
зования полосы частот. Число радиоканалов (радиостволов), которое
может быть организовано в выделенном диапазоне частот, при че-
тырехчастотном плане вдвое меньше, чем при двухчастотном.
Схема комплекса средств радиосвязи, обслуживающего адми-
нистративный или хозяйственный центр, изображена на рис.В.7.
1
Рис.В.7. Схема комплекса средств радиосвязи
13
Здесь 1 - передающий радиоцентр с радиопередатчиками Пер 1,
Пер 2, Пер 7V; 2 - приемный радиоцентр с радиоприемниками
Пр I, Пр 2,..., ПрА; 3 - город, который связан с радиоцентрами
соединительными (проводными) линиями связи 4 и 5. По линиям 4
на радиоцентр 1 поступают передаваемые сигналы, а по линиям 5 в
город передаются сигналы, принятые радиоцентром 2, по этим же
линиям передаются сигналы дистанционного контроля работы ра-
диоцентров и сигналы дистанционного контроля работы радиоцен-
тров сигналы дистанционного управления оборудованием. Радио-
бюро 6 соединено линиями связи с телеграфной и фототелеграфной
(факсимильной) аппаратными центрального телеграфа 7 и 8, между-
городной телефонной станцией 9, а также радиовещательной аппа-
ратной 10. Радиовещательная аппаратная служит для обмена радио-
вещательными программами с другими городами или странами. Ап-
паратные связаны с источниками передаваемых сообщений, такими
как сети абонентского телеграфа, телефонные и др.
Существует множество различных классификаций радиосистем
передачи (РСП) в зависимости от признаков, положенных в их осно-
ву. Приведем классификацию РСП по наиболее важным признакам:
по принадлежности к различным службам в соответствии с
Регламентом радиосвязи различают РСП фиксированной службы
(радиосвязь между фиксированными пунктами), радиовещатель-
ной службы (передача сигналов для непосредственного приема
населением), РСП подвижной службы (радиосвязь между движу-
щимися друг относительно друга объектами);
по назначению различают международные, магистральные,
внутризонные, местные РСП, военные РСП, технологические РСП
(для обслуживания объектов железнодорожного транспорта, линий
электропередачи, нефте- и газопроводов и т.д.), космические РСП
(обеспечивающие радиосвязь между космическими аппаратами
или между земными пунктами и космическими аппаратами);
по диапазону используемых радиочастот или радиоволн (см.
табл.В!);
по виду передаваемых сигналов различают РСП аналоговых сиг-
налов (телефонных, радиовещательных, факсимильных, телеви-
зионных, сигналов телеметрии и телеуправления), РСП цифровых
сигналов (телеграфных, сигналов от ЭВМ) и комбинированные РСП;
по способу разделения каналов (канальных сигналов) различают
многоканальные РСП с частотным разделением, временным, фазо-
14
вым и комбинированным разделением каналов; существуют также
специальные РСП с разделением канальных сигналов по форме (на-
пример, асинхронно-адресные системы с кодово-адресным разделе-
нием сигналов);
по виду линейного сигнала различают аналоговые, цифровые и
смешанные (гибридные) РСП. В аналоговых РСП на вход радиоканала
(ствола) поступает аналоговый сигнал, соответственно аналоговым
является и радиосигнал; к аналоговым РСП относятся и импульсные
РСП, т.е. системы с импульсной модуляцией (и временным разделе-
нием каналов); в цифровых РСП на вход радиоствола и тракт распро-
странения (см. рис.В.1) поступает цифровой сигнал; в смешанных
РСП линейный сигнал состоит из аналогового линейного сигнала и
поднесущей, модулированной цифровым сигналом;
по виду модуляции несущей аналоговые РСП подразделяются
на системы с частотной, однополосной и амплитудной модуля-
циями, а цифровые РСП - на системы с амплитудной, частотной,
фазовой и амплитудно-фазовой манипуляциями;
по пропускной способности различают РСП с малой, средней и
высокой пропускной способностью^ наиболее часто употребляемые
границы пропускной способности различных аналоговых и цифро-
вых РСП приведены в табл.В2.
Таблица В2
Характеристика пропускной способности Значения пропускной способности для РСП
аналоговых, число каналов тональной частоты цифровых, Мбит/с
Малая Менее 24 Менее 10
Средняя 60...300 10...100
Высокая Более 300* Более 100*
Или канал передачи изображения телевидения с одним или не-
сколькими каналами передачи звуковых сигналов телевидения и звуково-
го вещания.
По характеру используемого физического процесса в тракте
распространения радиоволн различают: системы радиосвязи и ра-
диовещания на длинных, средних и коротких радиоволнах без
ретрансляторов; радиорелейные системы передачи прямой видимо-
сти (РРСП), где происходит распространение радиоволн в пределах
прямой видимости; тропосферные радиорелейные системы пере-
15
дачи (ТРСП), где используется дальнее тропосферное распростране-
ние радиоволн за счет их рассеяния и отражения в нижней области
тропосферы при взаимном расположении радиорелейных станций за
пределами прямой видимости; спутниковые системы передачи
(ССЙ), использующие прямолинейное распространение радиоволн с
ретрансляцией их бортовым ретранслятором искусственного спут-
ника Земли (ИСЗ), находящимся в пределах радиовидимости земных
станций, между которыми осуществляется радиосвязь; ионосферные
РСП на декаметровых волнах (дальнее распространение декаметро-
вых волн за счет отражения от слоев ионосферы); космические РСП
(прямолинейное распространение радиоволн в космическом про-
странстве и атмосфере Земли); ионосферные РСП на метровых вол-
нах (дальнее распространение метровых волн благодаря рассеянию
их на неоднородностях ионосферы) и др.
Для построения многоканальных телекоммуникационных систем
самое широкое распространение получили радиорелейные и спут-
никовые системы передачи, использующие дециметровый, санти-
метровый и миллиметровый диапазоны радиоволн. В этом же диапа-
зоне строятся и современные системы подвижной (мобильной) ра-
диосвязи самого различного назначения. Более ранние системы под-
вижной радиосвязи использовали отдельные участки метровых волн.
Из сказанного выше следует важный вывод: при использова-
нии любой из рассмотренных радиосетей одними из составных
элементов, без которых передача информации была бы невозмож-
на, являются устройства СВЧ и антенны.
ЛИТЕРАТУРА К ВВЕДЕНИЮ
1. Reports of the CCIR. Annex to volume IX-part 1. Fixed service using
radio-relay systems. - Geneva, 1990.
2. Основы построения телекоммуникационных систем и сетей:
учебник для вузов / В.В. Крухмалёв, Н.В. Гордиенко, А.Д. Моченов и др.;
под. ред. В.Н. Гордиенко и В.В. Крухмалёва. - М.: Горячая линия - Теле-
ком, 2004.-510 с.: ил.
16
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АНТЕНН
И УСТРОЙСТВ СВЧ
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
1.1. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Основные опытные законы электричества и магнетизма, кроме
закона электромагнитной индукции Фарадея, были получены при
наблюдении не зависящих от времени полей. Заслуга Максвелла
состоит в том, что он обобщил полученные до него эксперимен-
тальные закономерности на случай произвольных электромагнит-
ных полей в произвольной среде, введя лишь одно дополнительное
слагаемое в закон полного тока, открытый Ампером. Система
уравнений электромагнитного поля была постулирована, т.е. вве-
дена в теорию без доказательства, Максвеллом. Макроскопическая
теория электромагнетизма основывается на уравнениях Максвелла,
справедливость которых следует из совпадения с эксперименталь-
ными данными. В качестве источников электромагнитного поля в
уравнения Максвелла входят объемная плотность токов проводи-
мости j и объемная плотность зарядов р. Полная система урав-
нений Максвелла имеет следующий вид:
vxw=^+;, (i.i)
dt
(1.2)
dt
V Ь = р, (1.3)
VJB = 0, (1.4)
где V —это оператор Гамильтона, который записывается как
V7 д - д ъ
V =—i и--j и--к.
дх ду dz
Этот символический вектор называется «набла» и обретает опре-
деленный смысл лишь в комбинации со скалярными или вектор-
ными функциями. Символическое «умножение» вектора V на ска-
ляр U или вектор а производится по обычным правилам вектор-
17
д д д
нои алгебры, а символы —, —, — означают взятие соответст-
дх ду dz
вующей частной производной.
Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные
операции первого порядка:
1) Vt7 = gradt7;
2) Va = diva;
3) V ха = rota.
На основании использования оператора Гамильтона система
уравнений Максвелла может быть записана следующим образом:
- дб
ГОШ =-----+ 7,
dt
- дв
rotE =----,
dt
dvvD~p,
divB = 0.
(1.1-1.4)
(1-5)
Дадим определение величин, входящих в уравнения Максвел-
ла. Под объемной плотностью заряда понимается предел отноше-
ния величины заряда др к объему ДИ, в котором он распределен,
при ДИ -> 0, т.е.
р= lim Кл/м3.
дг->0ДИ
Если объемный заряд движется со скоростью v , то в каждой
точке можно определить вектор плотности электрического тока
7=pv, (1.6)
равный по величине пределу отношения заряда Др, проходящего
за время Д/ через площадку AS, перпендикулярную направлению
движения заряда, к произведению ASAZ при AS > 0 и At > 0:
- .. AQ _ . . 2
1 = lim ——ev, А/м ,
Д5->0Д5Д/ V
Д/->0
(1.7)
18
где ev — орт, направление которого совпадает с направлением дви-
жения зарядов.
Напряженность электрического поля Ё в какой-либо точке
определяется как сила, действующая на единичный положитель-
ный заряд, помещенный в данную точку. Между вектором Ё и
силой F, действующей на точечный заряд q , существует связь
E = F/q.
Вектор D называется вектором электрического смещения или
вектором электрической индукции. Векторы связаны материаль-
ным уравнением среды:
Ь = г^Ё, (1.8)
где £0 = 10“9/36л Ф/м - электрическая постоянная, £ - относи-
тельная диэлектрическая проницаемость среды, которая характери-
зует способность среды к поляризации. Относительная диэлектри-
ческая проницаемость - величина безразмерная и в зависимости от
свойств среды может быть комплексным (вещественным) числом
или тензором.
Вектор В — вектор магнитной индукции. Он определяет сило-
вое действие магнитного поля. Как известно, на заряд q, движу-
щийся со скоростью v в магнитном поле, действует сила Лоренца
Рл = д(ухВ). (1.9)
Отсюда видно, что магнитная индукция численно равна силе, с
которой магнитное поле действует на единичный точечный поло-
жительный заряд, движущийся с единичной скоростью в направ-
лении, перпендикулярном линиям вектора В. Магнитная индукция
измеряется в теслах (Тл).
Вектор Н называется вектором напряженности магнитного
поля. Он связан с вектором В материальным уравнением:
В = цоцЯ, (1.10)
где ц0 = 4тс 10-7 Гн/м — магнитная постоянная, р - относительная
магнитная проницаемость среды. Величина р зависит от свойств
среды и характеризует способность последней к намагничиванию.
19
Как и относительная диэлектрическая проницаемость, р может
быть комплексной величиной или тензором. Напряженность маг-
нитного поля измеряется в А/м.
Уравнения (!.!.)-(1.4) называются уравнениями Максвелла в
дифференциальной форме, так как они относятся к любой точке
пространства, в окрестности которой физические свойства среда
непрерывны; это обеспечивает конечность входящих в уравнения
пространственных производных.
Следует отметить, что к материальным уравнениям (1.8) и
(1.10) обычно добавляют еще одно, связывающее напряженность
электрического поля в среде с плотностью тока:
У=у£, (1.11)
где у - удельная проводимость среды.
Из уравнений Максвелла видно, что меняющиеся во времени
электрические и магнитные поля не существуют независимо друг
от друга, они непрерывно переходят одно в другое.
1.2. Уравнение непрерывности
Из уравнений (1.1) и (1.3) следует уравнение непрерывности,
которое является дифференциальной формой закона сохранения
заряда.
Действительно, возьмем дивергенцию от обеих частей уравне-
ния (1.1). Тогда
V-(Vx#) = — (V Ь) + У J,
dt
и учитывая, что дивергенция ротора любого вектора равна нулю, а
согласно уравнению (1.3) V • D = р, получаем соотношение
Vj+^=o, (1.12)
ot
которое и называется уравнением непрерывности. Из этого урав-
нения вытекает принцип локального сохранения заряда, т.е. если в
какой-либо точке заряд убывает (возрастает), то из этой точки вы-
текает (втекает в нее) электрический ток.
1.3. Интегральная форма уравнений Максвелла
Вычислим поток вектора Vx# из уравнения (1.1) через неко-
торую поверхность S', опирающуюся на контур L (рис.1.1):
20
5
r5D -j г-t ,
= ]--nds + Jy nds.
s s
Применяя теорему Стокса
к левой части равенства, полу-
чаем математическую форму-
лировку обобщенного закона
Ампера (закона полного тока):
($Н dl = — (b nds + I, (1.13)
1 dtJ
L S
где f^H-di - циркуляция векго-
L
n (нормаль к площадке dS)
Рис. 1.1. К пояснению интегральной
формы уравнений Максвелла
pa Н по контуру L, ^jbnds
— скорость изменения потока
электрического смещения, названная Максвеллом током смеще-
ния, jj • fids - электрический ток, обусловленный движением за-
s’
рядов в проводниках (ток проводимости) либо переносом заряжен-
ных частиц или тел неэлектрическими силами, а также их движе-
нием по инерции (конвекционный ток).
Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнитного
поля по любому замкнутому контуру равна сумме электрического
тока и тока смещения, протекающих сквозь поверхность, опираю-
щуюся на этот контур. Применение аналогичной процедуры к урав-
нению (1.2) приводит к соотношению, являющемуся математиче-
ской формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея:
(1.14)
где Ф — магнитный поток, пронизывающий поверхность S, т.е.
циркуляция вектора напряженности электрического поля Е (элек-
тродвижущая сила) по любому замкнутому контуру равна скорости
изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур, с об-
ратным знаком (при использовании правой системы координат).
21
Проинтегрируем уравнение (1.3) по некоторому объему V:
fVDdP = JpJT,
V V
или с учетом теоремы Остроградского-Гаусса:
fybnds = Q, (1.15)
5
Рис. 1.2. Распределение
поля заряда Q
где S — поверхность, ограничивающая объем V; Q — полный за-
ряд, находящийся внутри объема.
Соотношение (1.15) известно в
электростатике как теорема Гаусса. Эта
теорема удобна для нахождения полей с
центральной Симметрией.
Поле заряда Q. Пусть, например,
заряд Q — точечный либо распределен
равномерно по поверхности сферы или
по объему шара радиуса а (рис. 1.2).
Окружим мысленно заряд сферой ра-
диуса г > а. Из симметрии системы
следует, что во всех точках этой сферы
вектор Ь одинаков по модулю и на-
правлен по радиусу.
В соответствии с формулой (1.15) при D n-D -^= const
(fQ — единичный вектор, совпадающий по направлению с радиу-
сом) имеем
(^D nds = 4тсг2Ь-гц -Q,
s
- Q
или D rQ =Dr =—. Напряженность электрического поля, соз-
4лг
даваемого зарядом Q, равна
(116)
z Q - Qr
Е . 2Л 3 *
4ле0ег 4тсЕ0ег
Сила взаимодействия двух зарядов (Закон Кулона). Используя
соотношение (1.16), можно определить силу, действующую на то-
чечный заряд qi со стороны точечного заряда q\ (рис. 1.3).
22
Яг F
г - >
Рис. 1.3. Взаимодействие
двух зарядов
Ч\Ч2 ~ /1 п
Сила, действующая на заряд
q2, равна F = q2 Д, где Д - на-
пряженность электрического по-
ля, создаваемого зарядом q\ в
точке расположения заряда qi. В
соответствии с (1.16)
Д= 3.. V-/
4Л£О£Г 4Я£оЕГ
Соотношение (1.17) выражает известный закон Кулона.
Уравнение (1.4), записанное в интегральной форме, имеет вид
(р.йЖ = 0, (1.18)
т.е. поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую
поверхность равен нулю. Линии вектора замкнуты или уходят в
бесконечность, что подтверждает известный факт отсутствия в
природе магнитных зарядов.
Уравнения (1.3) и (1.4) не являются независимыми, они легко
получаются из уравнений (1.1) и (1.2) соответственно. Действи-
тельно, применив операцию дивергенции к уравнению (1.1), и учи-
тывая, что дивергенция ротора любого вектора равна нулю, полу-
QD до
чим V —- + V y=0, но согласно (1.12) Vy+-^- = 0, поэтому
V-D = p, что совпадает с (1.3). Аналогично можно показать, что
уравнение (1.4) следует из (1.2).
1.4. Классификация сред
На электромагнитные процессы, описываемые уравнениями
Максвелла, существенное влияние оказывают параметры среды £,
р и у. В зависимости от этих параметров среды подразделяются на
линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, изотропные
и анизотропные.
Линейными средами называются среды, параметры которых не
зависят от величины электрического и магнитного полей. Если хо-
тя бы один из перечисленных параметров зависит от величины по-
ля, то среда называется нелинейной.
23
Однородными называют среды, параметры которых не зависят от
координат. В противном случае среды называются неоднородными.
Свойства изотропных сред одинаковы во всех направлениях, и
параметры 8, р и у являются вещественными или комплексными
скалярными величинами. Среды, свойства которых различны по
разным направлениям, называются анизотропными. В анизотроп-
ных средах по крайней мере один из параметров является тензо-
ром. Примером анизотропных сред являются кристаллические ди-
электрики, намагниченная плазма и намагниченный феррит. В кри-
сталлическом диэлектрике и намагниченной плазме тензором яв-
ляется диэлектрическая проницаемость 8. В декартовой системе
координат тензор диэлектрической проницаемости записывается в
общем случае в виде матрицы
(1.19)
Величины 8хс, 8ху,... называются компонентами тензора |ё||. В
частных случаях некоторые из' них могут равняться нулю. Матери-
альное уравнение (1.8) в этом случае имеет вид
б=|ЕМ- (1.20)
Проекции вектора D на оси декартовой системы координат
записываются в следующей форме:
Рх ~ £хх^х + ^ху^у + Ех=Р;’
DJ=8JX£x+8w,£>,+8>c£r, (1.21)
D„ = е„хЕх + e_,£v + е„£_.
Из (1.21) видно, что в анизотропных средах вектора D и Е не
параллельны друг другу.
В намагниченном феррите тензором является магнитная про-
ницаемость. В общем случае в декартовой системе координат тен-
зор магнитной проницаемости имеет вид, аналогичный (1.19), а
материальное уравнение (1.10) записывается в форме
В=]р||ЦоЯ. (1.22)
24
Удельная проводимость у также может быть величиной тен-
зорной. Для таких сред закон Ома в дифференциальной форме
принимает вид
7=М*- о-23)
Вообще говоря, даже изотропные среды могут быть доста-
точно сложными с электродинамической точки зрения. Например,
материальные уравнения так называемой би-изотропной среды
имеют вид
Ь = е0ЕЁ + (х - /k)^80p0 И, (1.24)
В = (Х +• (1-25)
Безразмерные коэффициенты % и к (комплексные или веще-
ственные) в (1.24), (1.25) называются параметром Теллегена и па-
раметром киральности соответственно.
Как правило, би-изотропные среды, применяемые в радио-
диапазоне, представляют собой специально изготовленные ком-
позиты. В зависимости от значений параметров к и у различают
киральные среды и среды Теллегена. Киральная среда может быть
создана, например, путем включения в какой-либо однородный
диэлектрик мелких по сравнению с длиной волны частиц в виде
металлических пружинок. Среду Теллегена можно создать, ис-
пользуя частицы, представляющие собой пары проволочных ра-
мок и коротких прямолинейных проводников, перпендикулярных
плоскостям этих рамок.
Сложные композиционные среды используются в качестве
конструкционного материала при изготовлении некоторых элемен-
тов радиотехнических систем с целью получения требуемых ха-
рактеристик.
1.5. Стационарное электромагнитное поле
Стационарными называются поля, не меняющиеся во времени.
В этом случае уравнения Максвелла упрощаются, т.к. 0/^ = 0:
= VxE = 0,V-B = 0,V-D = p. (1.26)
Уравнения для электрического и магнитного полей, входящие
в (1.26), связаны между собой материальным уравнением для то-
ка, которое имеет вид
25
J = c(E+E„). (1.27)
Система уравнений (1.26), материальное уравнение (1.27) со-
вместно с заданными граничными условиями полностью опреде-
ляют краевую задачу для стационарного электромагнитного поля.
В отличие от общего случая, описываемого уравнениями
(1.1)-(1.4), где существует взаимная связь между электрическим и
магнитным полями через соответствующие производные по вре-
мени, стационарное магнитное поле не влияет на электрическое.
Однако электрическое поле создает в проводящей среде в соответ-
ствии с законом Ома токи (j =уЕ ), которые порождают магнитное
поле. Если же токи отсутствуют (например, при у = 0 ), то система
уравнений (1.26) распадается на две независимые группы уравне-
ний: уравнения магнитостатики для магнитных полей и уравнения
электростатики для электрических полей.
1.6. Электростатическое поле
Электростатическое поле — это поле, создаваемое неподвиж-
ными электрическими зарядами. В интегральной форме система
уравнений (1-26) для электростатического поля может быть запи-
сана в следующим виде:
^Edl =0, ^DdS = Q, (1.28)
L S
где Q - полный заряд в объеме, ограниченном поверхностью S.
Из уравнения rotE = 0 следует, что электростатическое поле
является потенциальным. Из уравнения divD-р следует утвер-
ждение о том, что у электростатического поля всегда существуют
области стока и истока. В качестве стока и истока выступают поло-
жительные и отрицательные электрические заряды ( р ф 0 ). Если в
некоторой точке пространства divD < 0, это означает наличие стока
поля в данную точку; если div D > 0 — поле вытекает из точки.
Так как поле Е является потенциальным, его всегда можно
описать в виде градиента некоторой скалярной функции Ф, назы-
ваемой электростатическим потенциалом:
£ = -^а4Ф. (1.29)
26
Введение электростатического потенциала значительно упро-
щает задачу нахождения вектора Ё, так как при этом необходимо
определять только одну скалярную функцию.
Подставляя (1.29) в четвертое уравнение системы (1.26) и учи-
тывая материальное уравнение, получаем
-div(8grad<I>) = p.
Для однородных сред диэлектрическая проницаемость не за-
висит от координат. В результате для электростатического потен-
циала Ф получаем дифференциальное уравнение второго порядка
\72Ф = ——, (1.30)
8
называемое уравнением Пуассона, где V2 - оператор Лапласа. Его
решение описывает распределение электростатического потенциа-
ла Ф в области нахождения объемного заряда. Там, где заряд от-
сутствует (р = 0), уравнение (1.30) переходит в однородное диф-
ференциальное уравнение
\72Ф = 0, (1.31)
называемое уравнением Лапласа.
Для вектора напряженности электростатического поля Ё из
(1.26) можно также записать векторные уравнении Пуассона и
Лапласа:
V2E = 8-1gradp,
V2E = 0 (р = 0). (1.32)
Решение уравнения Пуассона (1.30) имеет вид [1]
Ф(г) = -!-М^г/Г, (1.33)
4Я8О ‘\г~г\
где г - радиус-вектор точки наблюдения, г' — радиус-вектор точ-
ки источника поля, то есть точки, в которой задана объемная плот-
ность заряда р(г') . Интегрирование в (1.33) проводится по точкам
источника.
27
Решение уравнения Пуассона относительно вектора Ё для
однородной среды легко находится из (1.33) с учетом (1.32):
£(г) =---— (1.34)
4ле0^ |г-Н
1.7. Стационарное магнитное поле
Магнитное поле называется стационарным, если оно не зави-
сит от времени и создается постоянным током. В этом случае
уравнения Максвелла в интегральной форме записываются сле-
дующим образом:
^Hdl = /, (p?d£ = O, (1.35)
L S
где I — ток проводимости, создающий магнитное поле в объеме,
ограниченном замкнутой поверхностью S.
Магнитное поле не является потенциальным, так как rotH ф 0.
Из второго уравнения системы (1.35) вытекает факт отсутствия в
природе реально существующих магнитных зарядов. Поэтому для
магнитного поля не может существовать областей стока и истока
его силовых линий. Силовые линии вектора В, внутри которых
существуют электрические токи проводимости, всегда являются
замкнутыми.
В силу уравнения div2? = 0 и материального уравнения для
вектора В, последний можно представить в виде
В = цН = го1Л, (1.36)
где векторная функция А называется векторным потенциалом,
который выбирается неоднозначно, поскольку любая другая век-
торная функция вида
А^А + фАЧ
будет определять вектор В в виде (1.36). В выражении (1.37) \|/ -
произвольная скалярная функция, имеющая непрерывные первые
производные по пространственным координатам.
Из второго уравнения системы (1.35) с использованием теоре-
мы Стокса можно записать
28
^BdS = (f rot AdS = (JAdi,
S S L
т.е. поток вектора магнитной индукции через поверхность S равен
циркуляции векторного потенциала А по замкнутому контуру L,
ограничивающему эту поверхность.
Из первого уравнения системы (135) с учетом (1.36) в случае
однородной среды получаем дифференциальное уравнение относи-
тельно векторного потенциала А:
graddiv^-¥2Л = |д/. * (1.38)
Ввиду неоднозначности выбора векторного потенциала в
уравнении (1.38) можно потребовать, чтобы
divj4 = 0. (1.39)
Равенство (1.39) получило название калибровки Кулона. С уче-
том его для векторного потенциала получаем уравнение Пуассона:
?2Л = -И/. (1.40)
Решение уравнения (1.40) имеет стандартный вид (сравните с
(133)):
2(г) = — (1-41)
4tc^|f-f'|
где f — радиус-вектор точки наблюдения; г' - радиус-вектор точ-
ки, в которой расположен элемент тока. Из выражения (1.41) сле-
дует, что по заданному распределению плотности тока ,/(f') в
объеме V всегда можно вычислить векторный потенциал.
Из (135) для однородной среды с учетом divB = 0 несложно
получить уравнение Пуассона для вектора напряженности магнит-
ного поля:
V2H = -rotJ. (1.42)
Для безграничного пространства решение этого уравнения имеет вид
H(f) = — • (1.43)
4ти^ |f-f|
29
1.8. Магнитостатика
При у=0 система уравнений (1.26) принимает вид
rot Н = 0, div В = 0, В = рЛ (1 .44)
и называется системой уравнений магнитостатики.
Так как в природе отсутствуют магнитные заряды, то линии
вектора В не могут обрываться. Как и в электростатике, можно
ввести магнитостатический потенциал у :
tf = -grad*P.
Магнитостатический потенциал удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
div(p.grad4') = 0, (1.45)
которое для однородной среды ( р.о = const) переходит в уравнение
Лапласа
V2T = 0.
Уравнение (1.45) описывает распространение медленных волн
очень малой (по сравнению с обычными электромагнитными волна-
ми) длины. Малость длины волны (или размеров тела) по сравнению с
длиной обычной электромагнитной волны дает возможность при ис-
следовании медленных волн или низкочастотных колебаний прене-
бречь запаздывающими членами (членами, содержащими производ-
ные) в уравнениях Максвелла, то есть использовать уравнения магни-
тостатики (1.44). Это дает основание называть подобные волны и ко-
лебания магнитостатическими. Такие волны и колебания имеют
место в ферромагнетиках. Для постоянной распространения у магни-
тостатической волны должно выполняться следующее условие:
у»Аг0^Й,
к0 — волновое число плоской волны в вакууме, виц- относи-
тельные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.
К классу магнитостатических задач необходимо отнести и за-
дачу определения магнитного поля постоянных магнитов. В этом
случае материальное уравнение В = цН нужно переписать в сле-
дующей форме:
30
В = цН + М0,
где Мо — намагниченность магнитов, не зависящая от вектора Н.
Тогда вместо (1.45) получим уравнение
div(p grad = divM0,
которое при ц = const переходит в уравнение Пуассона
V2'P = —divM0. (1.46)
Ho
Решение уравнения (1.46) записывается в виде
Т(г) =----— (1.47)
1.9. Волновые уравнения и уравнения Гельмгольца
Волновые уравнения. В теории электромагнитных волн фун-
даментальное значение имеют линейные уравнения в частных про-
изводных второго порядка гиперболического типа
V2£—L^ = °, V2#—!-^ = 0, (1.48)
v2 dt2 v2 a2
записанные относительно напряженностей электрического или маг-
нитного полей. Уравнения (1.48) называются однородными волно-
выми уравнениями. Посредством V2 обозначен оператор Лапласа,
постоянная v характеризует свойства среды. Волновые уравнения
(1.48) справедливы для линейной однородной изотропной среды.
Усложним модель электромагнитного поля так же, как это
осуществляется для гармонического осциллятора, описываемого в
теории колебаний уравнением
^4+ш2х = 0, (1.49)
dt
где х — смещение какой-либо величины, совершающей колебатель-
ные движения от некоторого положения равновесия.
В присутствии источников процесс возбуждения и распро-
странения электромагнитных волн описывается неоднородными
волновыми уравнениями
31
V2E—^ = 7i(r,<), = (1.50)
v2 dr V1 dr
где /i и /2 — некоторые функции, характеризующие распределен-
ные внешние воздействия.
В линейной диспергирующей и диссипативной средах могут
происходить необратимые процессы передачи энергии волн части-
цам среды. При этом скорость распространения волны становится
функцией частоты. Эти процессы должны учитываться введением
в волновые уравнения (1.48) дополнительных линейных членов
V2j?_JJL|-^(£) = 0, V2H-^-^-Z1(ff)=0, (1.51)
v2 a/2 v2 а?
где ь, (я) - линейные операторы (в общем случае интегро-
дифференциальные), описывающие дисперсию и диссипацию среды.
Диссипативность среды может быть также учтена введением в
v комплексных значений £ и ц.
Решения волновых уравнений (1.48), (1.50), (1.51) должны на-
ходиться с учетом начальных и граничных условий, отвечающих
физической постановке задачи.
Если среда является анизотропной, то процесс распространения
электромагнитных волн описывается волновыми уравнениями не вто-
рого, а более высокого порядка. Такого типа задачи встречаются при
исследовании распространения электромагнитных волн в плазме или
феррите, находящихся во внешних постоянных магнитных полях.
Если среда неоднородная, то есть ее параметры зависят от ко-
ординат, уравнение, описывающее волновой процесс, имеет, срав-
нительно с (1.48), (1.50), (1.51), более сложный вид. При этом пара-
метр v2 не является постоянной величиной, а становится функци-
ей координат: v = v(r).
Волновые уравнения для однородной изотропной среды.
Процесс распространения электромагнитных волн в однородной
изотропной среде описывается системой уравнений Максвелла
rotH = ^^+j, rot£ = -— (1-52)
dt J dt
и материальными уравнениями
32
Ь = ъЁ, В^рН, j=uE + j„.
Из системы векторных уравнений (1.52) можно получить век-
торные дифференциальные уравнения второго порядка относи-
тельно напряженностей электрического Е и магнитного Н полей.
Опуская математические преобразования, приведем конечные ма-
тематические выражения [2] для напряженности магнитного и
электрического полей:
У2Я-ец^—= -rotj , (1.53)
дГ
У2Е-ец^-^ = —gradp + p^-. (1.54)
дг е0 dt
Уравнения (1.53) и (1.54) получили названия векторных неод-
нородных волновых уравнений (уравнений д'Аламбера). В них перед
второй производной по времени присутствует параметр £ц,
2 2
имеющий размерность [сек /м ]. Этот множитель определяет ско-
рость распространения фазового фронта волны. Поэтому можно
ввести следующее определение фазовой скорости:
у = 1Д/ец. (1.55)
Очевидно, что фазовая скорость определяется свойствами сре-
ды, в которой происходит распространение волны, и равна скоро-
сти света в этой среде.
Уравнения Гельмгольца. Запишем волновые уравнения
(1.53) и (1.54) относительно комплексных амплитуд векторов Н и
Е для среды с электрическими потерями (ц = 0). С учетом ком-
плексной диэлектрической проницаемости среды, равной
Е^=Е —, (1.56)
(ОЕ0
волновые уравнения (1.53), (1.54) переходят в неоднородные урав-
нения Гелъмголъца
V2H + klH = -rotL_,
_ 7ст (1.57)
V2E + ^E = e 1 gradpCT +гшцУст,
33
где кк = со-^ее^ц - волновое число для среды с потерями относи-
тельно комплексных амплитуд поля.
Волновое число для проводящей среды (о ф0 ) является комп-
лексным. Вещественная часть волнового числа называется фазовой
постоянной и определяет изменение фазы волны на единице длины;
мнимая часть кк, называемая коэффициентом затухания, показыва-
ет уменьшение амплитуды волны на единице длины.
Если в среде отсутствуют токи проводимости (у =0), что со-
ответствует случаю о = 0, и можно пренебречь диэлектрическим
гистерезисом, то волновое число является действительным.
При отсутствии внешних сторонних источников уст, рст неодно-
родные уравнения Гельмгольца (1.57) переходят в однородные:
V2H + J^#=0, V2E + ^E = 0. (1.58)
Уравнения (1.58) описывают процессы распространения элек-
тромагнитных волн в области вне источников.
По аналогии с комплексными амплитудами векторов электро-
магнитного поля можно ввести комплексные амплитуды для элек-
тродинамических потенциалов. Они обычно определяются из не-
однородных уравнений Гельмгольца:
V2A + ккА = -ц у' ,
* _ (1.59)
V2<p + ^<p = -£ 1рст.
1.10. Граничные условия
Как уже отмечалось, решение системы уравнении Максвелла в
граничной области не является определенным, пока не заданы некото-
рые дополнительные условия. Часто границы этой области совпадают
с границами различных материальных сред, которые отличаются друг
от друга физическими свойствами (в частности, материальными пара-
метрами е, ц, о). Поэтому встает вопрос: как изменяются векторы
электромагнитного поля E,H,D,B при переходе через границу раз-
дела между различными материальными средами?
Граница раздела - это поверхность, на которой хотя бы один
из материальных параметров 8, р или о терпит разрыв как функция
нормали, то есть является кусочно-непрерывной функцией коорди-
нат. В связи с этим решение уравнений Максвелла можно получить
34
лишь в отдельных областях, где параметры е, ц, и непрерывны.
При этом решение системы дифференциальных уравнений будет
содержать некоторое число произвольных (неизвестных) постоян-
ных. Для определения этих неизвестных необходимо наложить
граничные условия, или, как говорят, «сшить» решения на границах
раздела материальных сред.
Граничные условия — это векторные функциональные зависи-
мости, связывающие между собой составляющие векторов элек-
тромагнитного поля E,H,D,B в двух соседних областях на грани-
це их раздела. Так как в точках разрыва функций уравнения Мак-
свелла в дифференциальной форме применять нельзя, то для полу-
чения граничных условий необходимо использовать интегральную
форму записи уравнений Максвелла.
Введем плотность свободного поверхностного электрическо-
го заряда £, как
Д5->о AS dS
где Aq - величина заряда, находящегося на элементарной площад-
ке AS.
Аналогично введем плотность поверхностного тока fj:
_ .. _ AI
и = пт п0 —,
д/->о 10 AZ
где f]0 - единичный вектор, показывающий направление протека-
ния тока по поверхности раздела; AI - величина тока проводимо-
сти, протекающего по бесконечно малому участку поверхности А1
(А1 -размер участка вдоль границы раздела). Следует обратить
внимание, что единица измерения плотности поверхностного тока
[А/м]. Это связано с тем, что при вычислении i]0 выбирается контур,
по которому протекает ток по поверхности, а не сама поверхность.
Граничные условия для нормальных компонент векторов
поля. Рассмотрим вывод граничных условий для нормальных ком-
понент векторов поля. Пусть поверхность S включает в себя гра-
ницу раздела двух материальных сред с различными параметрами
0^.(7 =1,2). Будем считать, что поверхность S огра-
ничивает малый цилиндр объемом V с основанием AS и высотой
35
АЛ таким образом, чтобы верхний торец цилиндра лежал в облас-
ти 1, а нижний — в области 2 (рис. 1.4). Вектор внешней нормали л0
направлен из области 2 в область 1. В общем случае поверхность
раздела двух сред может нести поверхностный электрический за-
ряд с плотностью .
«о
Рис. 1 А. Условия на границе двух сред
Для получения граничных условий для нормальных компонент
и будем использовать третье уравнение Максвелла в ин-
тегральной форме, записанное применительно к объему V (рис. 1.4).
Применив к нему теорему Остроградского-Гаусса, получим
<j£>dS = Aq, (1.60)
5
где Aq — полный заряд на поверхности AS.
Ввиду малости цилиндра поле на его основаниях можно счи-
тать однородным: D = const. Внешняя нормаль к верхнему осно-
ванию цилиндра направлена по , а к нижнему — противополож-
но. Обозначив через Ь® значение вектора электрической ицдук-
ции в области 1, а через D — в области 2, уравнение (1.60) мож-
но переписать следующим образом:
36
Л(% Д£ - П(2)Я0 Д5 + Фбок = Д^, (1-61)
где Фбок — поток вектора D через боковую поверхность цилиндра.
Устремим высоту цилиндра ДА к нулю так, чтобы основания
цилиндра оставались в разных средах и в пределе при ДА —> О сов-
падали с элементом граничной поверхности AS. Очевидно, при
этом исчезает боковая поверхность цилиндра, поэтому Фбок = 0, и
из (1.61) следует граничное условие для вектора электрической
индукции D:
(й0;О(1))-(й0,О<2)) = §. (1.62)
Появление в правой части поверхностной плотности заряда
связано с тем, что даже при ДА —> 0 на границе раздела двух сред
могут существовать большие скопления заряда.
Таким образом, нормальная составляющая вектора D при
переходе через границу раздела материальных сред испытывает
скачок на величину, численно равную поверхностной плотности
свободного заряда на этой границе.
Вычислим теперь поток вектора магнитной индукции В через
цилиндр, показанный на рис. 1.4. В этом случае воспользуемся чет-
вертым уравнением Максвелла в интегральной форме, которое по-
сле применения к нему теоремы Остроградского-Гаусса записыва-
ется следующим образом:
Срб75 = 0. (1.63)
5
Из соотношения (1.63) по аналогии с предыдущим случаем не-
сложно получить граничное условие для вектора В:
(йо,В<О)-(й0,В<2>) = О. (1.64)
Таким образом, нормальная составляющая вектора В на гра-
нице раздела сред всегда является непрерывной функцией вследст-
вие отсутствия в природе магнитных зарядов.
Граничные условия для тангенциальных компонент век-
торов поля. Получим теперь граничные условия для тангенциаль-
ных компонент векторов поля. С этой целью проведем к границе
двух сред плоскость Р так, чтобы она была перпендикулярна не-
37
которой малой площадке AS, принадлежащей поверхности S
(рис. 1.5). В плоскости Р выберем малый прямоугольный замкну-
тый контур L = ABCD, у которого часть контура АВ лежит в об-
ласти 1, a CD — в области 2. Обозначим через й0 единичную нор-
маль к поверхности AS, а через v0 — единичную нормаль в точке
М к плоскости Р. Тогда единичный вектор т0 = [v0,w0] будет
направлен по касательной к поверхности AS в точке Л/.
Рассмотрим уравнение Максвелла для циркуляции вектора
Ё в интегральной форме:
cfE dl=-— $BdS.
L dt Д5
(165)
Применяя уравнение (1.65) к контуру L (рис. 1.5), можно за-
писать:
£°Ч0Д/-Ёе)т0Д/+С<ж=-^у0Д/ДЙ, (1.66)
ot
где - значения вектора напряженности электрического
поля в областях 1 и 2 соответственно; С^к — циркуляция вектора
Ё вдоль прямых ВС и DA; AZ — длина контура L.
Рис. 1.5. К нахождению граничных условии
для тангенциальных компонент поля
38
Производя предельный переход при АА—>0 в соотношении
(1.66) и учитывая, что в этом случае с£ок —> 0, получаем следую-
щее граничное условие:
(^1,Ло)-(£(2)Ло)=О. (1.67)
Так как т0 =[vo>”o]’ то граничное условие (1.67) можно запи-
сать в другом виде:
[/7о,(£<2) - Ё(|))] = 0. (1.68)
Векторное произведение е] представляет собой танген-
циальную (касательную) к границе раздела областей компоненту
Ег вектора Е. Поэтому
^1} = Ет(2). (1.69)
Таким образом, тангенциальная составляющая вектора Е на
границе раздела всегда является непрерывной функцией.
Из уравнения Максвелла в интегральной форме аналогичным
образом несложно получить граничное условие для тангенциальных
составляющих вектора Н:
[«О,(Я<2)-Я(,))] = 11, (1.70)
где fj - плотность поверхностного тока на границе раздела сред.
Граничное условие (1.70) можно записать в другом виде:
Я®-Я^2)=П. (1.71)
Таким образом, тангенциальная составляющая вектора Н на
границе раздела сред претерпевает скачок при начичии на ней по-
верхностного тока проводимости.
Из граничного условия (1.71) следует, что тангенциальные со-
ставляющие вектора напряженности магнитного поля могут быть
непрерывны только тогда, когда по границе раздела не протекает
ток проводимости.
Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред с
различными физическими параметрами имеют вид
39
(z?(1) - Z)(2)) Яо (в(1) -5(2))я0 -О,
(1.72)
[л0,(£(П -Ё(2))] = 0, [л0,(я(П -Я(2))] = л’
где nQ — вектор единичной внешней нормали, направленный из
первой среды во вторую.
Благодаря граничным условиям мы располагаем некоторой
информацией о структуре электромагнитного поля на той или иной
границе раздела сред еще до определения поля в самих областях.
1.11. Энергия электромагнитного поля.
Теорема Умова—Пойнтинга
Запишем уравнения Максвелла с учетом сторонних электриче-
ских токов и зарядов:
- дБ Гт дЬ ,
dt dt Уст (1.73)
divJD = p + pCT, div 5 = 0.
Умножим первое уравнение системы (1.73) на вектор Н, вто-
рое — на вектор Е, затем вычтем из первого уравнения второе:
Нго1Ё-Ёго1Н = &у[ЁхН] = -Н—-Ё— -£(7 + 7ст). (1.74)
dt dt v 7
Выражение (1.74) проинтегрируем по некоторому объему V, ог-
раниченному поверхностью 5, а затем его левую часть преобразуем
на основании теоремы Остроградского-Гаусса. В результате имеем
-p7CTtZK= J| E— + H—\dV+ \Ё](1У+ ^[Ё,ЁЁ\и0(15 . (1.75)
г у\ St dt J у s
Равенство (1.75) есть уравнение баланса энергии поля в объеме
V. Левая часть этого уравнения представляет собой мощность, от-
даваемую сторонними электрическими токами, расположенными в
объеме V. Первое слагаемое в правой части уравнения (1.75) есть
мощность, накапливаемая в объеме V, второе слагаемое — мощ-
ность, расходуемая на нагрев среды в области V (с учетом матери-
ального уравнения j =<зЁ\ третье слагаемое — мгновенная мощ-
40
ность, излучаемая из объема V через поверхность S (в частности,
поглощаемая в оболочке).
Произведение
/7(1.76)
представляет собой вектор плотности потока мощности, переноси-
мой через единичную площадку поверхности. Вектор П называет-
ся вектором Умова-Пойнтинга.
Вектором Пойнтинга П называется вектор, указывающий на-
правление распространения электромагнитной волны и равный по
величине плотности потока мощности этой волны.
Направление вектора Пойнтинга П определяется по такому
правилу: если вращать правый винт по кратчайшему пути от век-
тора электрического поля Е к вектору магнитного поля Н, то по-
ступательное движение винта укажет направление электромагнит-
ной волны. Если один из векторов Е или Н изменяет свое на-
правление на обратное, то и
вектор Пойнтинга П полу-
чает обратное направление;
если же оба вектора Е и Н
получают противоположное
направление, то это не из-
меняет направления вектора
Пойнтинга П.
Для определения ве-
личины вектора Пойнтин-
га выделим в пространстве
элементарный параллеле-
пипед, стороны которого
dx, dy, dz соответствен-
Рис. 1.6. Элементарный параллелепипед,
пересекаемый потоком
электромагнитной энергии
но параллельны координатным осям X, У, Z (рис. 1.6).
Так как в единице объема содержится энергия электрического
и магнитного полей
^дЕ2 , ^аН2
2 2 ’
то в объеме элементарного параллелепипеда заключена энергия
41
гаЕ2 t цЛ2>
2 2 )
dxdydz.
Если электромагнитная волна движется в направлении х со скоро-
стью v, то через данный элементарный объем электромагнитная
волна проходит за время dt = dx/v. Следовательно, в единицу вре-
мени через площадку dxdz, перпендикулярную направлению рас-
пространения волны, проходит энергия
dxdydz
мН j j
+ —I v dydz
tgE2
2
Разделив последнее выражение на dydz и учитывая приведен-
ные выше соотношения, получим, что мощность потока электро-
магнитной волны, приходящейся на единичную площадку, и будет
определяться выражением (1.76).
Вектор Пойнтинга может быть выражен и через волновое со-
противление среды ZB = у1ца/^а , если учесть, что Е = HZB :
П = ЕН = Е1!?^ = #2ZB . (1.77)
Для свободного пространства ZB = Z0 = 120л = 377 Ом , и по-
этому
П = 120 л#2 = £2/120л . (1.78)
Итак, движущееся электромагнитное поле переносит энергию
с плотностью потока мощности, равной произведению дейст-
вующих значений напряженности электрического и магнитного
полей. Эта же плотность потока мощности пропорциональна квад-
рату напряженности электрического и магнитного поля.
42
ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
2.1. Внутренние и внешние задачи электродинамики
Электромагнитные поля находятся из уравнений Максвелла
(1.1—1.4), однако не всякое решение этой системы дает электромаг-
нитное поле рассматриваемой задачи. Поэтому при постановке за-
дач электродинамики вводятся еще некоторые дополнительные
условия, сообщающие им физическую определенность. Таковы
начальные и граничные условия, а также задание сторонних сил.
Под начальными условиями понимают задание поля в некоторый
момент времени. Для периодических (монохроматических) про-
цессов вопрос о постановке начальных условий отпадает. Под гра-
ничными условиями подразумевают не только изученные ранее
соотношения между нормальными и тангенциальными компонен-
тами векторов электромагнитного поля на границах раздела сред,
но и задание полей на внешних границах рассматриваемых облас-
тей, а также поведение поля вблизи металлических и диэлектриче-
ских ребер, если таковые имеются, в рассматриваемой области. В
такой постановке задачи электродинамики называют граничными
(краевыми) задачами электродинамики.
Любая краевая задача линейной макроскопической электроди-
намики в принципе сводится к определению векторных функций
E,JI, удовлетворяющих уравнениям Максвелла, материальным
уравнениям, граничным и нача;
Различают два вида крае-
вых задач: внутреннюю и
внешнюю. Во внутренней зада-
че электродинамики требуется
определить электромагнитное
поле Ё,Н, возбуждаемое сто-
ронними источниками уст
внутри области Р, ограничен-
ной поверхностью S (рис. 1.7а).
При наличии внутри объема V
бесконечно тонких идеально проводящих полосок или диэлектриче-
ских клиньев формулировка краевой задачи на основе уравнений
Максвелла, материальных уравнений, граничных и начальных усло-
вий является неоднозначной. В этом случае необходимо вводить до-
условиям.
а) б)
Рис. 1.7. Внешняя и внутренняя
задачи электродинамики
43
полнительное физическое условие, называемое условием на ребре.
Обычно оно формулируется следующим образом:
J (ЁЬ + НВ)с1У->0 (1.79)
при стремлении к нулю объема V в окрестности ребра. Из этого усло-
вия следует, что в окрестности ребра ни одна составляющая элек-
тромагнитного поля не может возрастать быстрее, чем 0-l+a(O < а < 1),
где 0 - расстояние до ребра. Точнее, компоненты электрического поля
Ё, параллельные ребру, всегда ограничены или равны нулю. Пер-
пендикулярные компоненты имеют особенность: предельное соотно-
шение (1.79) является следствием условия ограниченности энергии,
запасенной вблизи ребра.
При решении внешней задачи электродинамики требуется
найти электромагнитное поле вне области V, ограниченной по-
верхностью S, в бесконечном пространстве (рис. 1.76). В этом слу-
чае для однозначности решения задачи вводится дополнительное
условие на бесконечности (условие излучения Зоммерфелъда)'.
lim < г
. dri JI
(1-80)
где \|/j- — любая составляющая электромагнитного поля, к — вол-
новое число в среде. Условие (1.80) обеспечивает существование
решения на бесконечности лишь в виде уходящих, рассеянных
волн; отраженные от бесконечности волны не допускаются.
2.2. Теорема единственности
Вначале рассмотрим внутреннюю задачу: электромагнитное
поле в области пространства V, ограниченной замкнутой поверх-
ностью S (рис. 1.7а). Пусть в этой области распределены сторон-
ние электрические токи уст, а на ограничивающей поверхности S
задано граничное условие (в самом общем виде)
[n0,E~\ = ZH, (1.81)
^12
^21 Z22
свойства границы
44
где Z =
— аффинор «импедансов», характеризующий
S. В частном случае для идеально проводящей
поверхности Z = Q. Дня того, чтобы векторы Ё и Н электромаг-
нитного поля были определены единственным образом, необходи-
мо следующее: в том случае, когда его источники ( jCT ) при t < tG
отсутствуют, поля удовлетворяют начальному условию (принцип
причинности):
Ё = Ь = 0, ооч
при ?<?0 (1.82)
Н = В = 0.
Покажем, что решение уравнений Максвелла
rot Я = , rotE = -— (1.83)
dt dt
в области, ограниченной поверхностью S (рис. 1.7а), будет единст-
венным, если оно удовлетворяет граничным условиям (1.81) и на-
чальным условиям (1.82).
Доказательство теоремы единственности проведем «методом
от противного», предполагая, что существует два решения постав-
ленной задачи: E^H^D^By и E2,H2,D2,B2. Найдём разность этих
решений:
ЁР = Ё,-Ё2, Нр=Нх-Н2,
J _ _ / _ . (1.84)
Dp = — D2, Bp = By- /?2 •
Очевидно, что разностное решение удовлетворяет однород-
ным уравнениям Максвелла (jCT ~ 0) в силу их линейности
- dDP - dBP z,
rot Яр =——, rot£p =---— (1.85)
Р dt Р Qt ' '
при нулевом граничном условии на поверхности = 0.
Применим к решению ЁР,НР уравнение общего баланса энер-
гии поля в объеме V:
-\Ёр]^У= ^Ер^ + Яр|[ер,Яр]^. (1.86)
Левая часть этого уравнения равна нулю, поскольку для раз-
ностного поля сторонние токи отсутствуют ( jCT =0). Так как в по-
следнем слагаемом правой части (1.86) можно сделать перестанов-
45-
ку [£р,/?Р=[и0,£р]-Нр, в силу нулевого граничного условия
на поверхности S получаем
][ЁР,Яр]я0бй, = 0. (1.87)
В результате из уравнения (1.86) с учетом (1.87) вытекает, что
<.«>
Предположим, что среда, заполняющая объем V, является ани-
зотропной. Тогда для нее справедливы материальные уравнения
Dp = еоеЕр, Вр ~ ЦорТТр. (1.89)
Равенство (1.87) означает, что энергия разностного поля через
поверхность £, ограничивающую объем V, не проходит; отсут-
ствие сторонних токов внутри этого объема говорит о том, что для
разностного поля энергия не генерируется. Следовательно, изме-
нение энергии разностного поля внутри рассматриваемой области
должно быть равно нулю.
Следовательно, единственность решений уравнений Максвел-
ла в объеме V при наличии потерь обеспечивается заданием гра-
ничных условий на поверхности S и начальных условий при t = tG.
При рассмотрении однородной системы уравнений Максвелла
(усг=0) (однородная задача) начальные условия (1-82) использо-
вать нельзя. В этом случае разностное поле Ёр,Нр может отли-
чаться от нуля. Тогда полная средняя энергия электрического поля
равна полной средней энергии магнитного поля. Это значит, что
энергия разностного поля в ограниченном пространстве находится
в колебательном состоянии.
Таким образом, при отсутствии сторонних токов и потерь в
среде единственность решений внутренних задач электродинамики
имеет место только на частотах, отличных от резонансных.
Теорема единственности остается справедливой и для внеш-
ней задачи электродинамики. Пусть рассматриваемая область V
ограничена изнутри поверхностью S, на которой заданы гранич-
ные условия в виде (1.81), а начальное условие (1.82) сохраняется.
46
Для доказательства теоремы при этом необходимо сделать
следующие предположения:
1. В объеме V существуют электрические и (или) магнитные
потери.
2. Сторонние токи jCT в объеме V находятся на конечном рас-
стоянии от внутренней поверхности, ограничивающей объем V.
Для доказательства теоремы единственности внешней задачи
электродинамики ограничим рассматриваемую область V снаружи
сферической поверхностью Sj радиуса R (рис. 1.8). Используя дока-
зательство от противного, применим опять к разностному решению
(1.84) уравнение баланса энергии в объеме V. В результате получим
уравнение (1.86) с дополнительным слагаемым в правой части.
Устремив радиус R поверхности 5^ к бесконечности, с уче-
том конечной скорости распространения поля имеем
|[£Р,Яр]я0б/5,-^0 при R-+Q. (1.90)
•Si
Если выполняется условие излучения, то это гарантирует выпол
нение условия (1.90).
Дальнейшее доказательство
теоремы единственности реше-
ния внешней задачи электроди-
намики проводится точно так
же, как и внутренней. Таким об-
разом, единственность решения
внешней краевой задачи выпол-
няется при заданных граничном
(1.81), начальном (1.82) услови-
ях и условии излучения.
Решение внешней задачи при
отсутствии сторонних источни-
ков и потерь также теряет свою
единственность. Так, для без-
Рис.1.8. Теорема единственности
для внешней задачи
электродинамики
граничного пространства электромагнитное поле не определяет-
ся однозначно: помимо запаздывающего решения, полное реше-
ние неоднородной задачи содержит опережающее решение, а
также решение однородной задачи, например, сумму плоских
волн. Вводя поглощение в пространстве, мы исключаем как опе-
47
режающее решение (имеющее вид волн, сходящихся из беско-
нечности к источнику поля), так и решение однородных уравне-
ний в виде плоских волн. Таким образом, решение внешней за-
дачи электродинамики ищется в виде запаздывающих решений,
имеющих вид расходящихся от источников сферических волн.
Опережающие же решения при R —> оо экспоненциально возрас-
тают, поскольку направление их распространения — из беско-
нечности к области источников.
48
ГЛАВА 3. СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
3.1. Плоские электромагнитные волны
в однородной изотропной среде
В однородном пространстве электромагнитные волны имеют по-
стоянные сир, кроме того, в них отсутствуют сторонние токи и
заряды. В этом случае система уравнений Максвелла будет иметь вид
Гт дЬ - дБ
rotH =—, rotE =-----,
dt dt
divb = 0, divE = 0,
(1.91)
где Ь = еоеЕ, В - .
Произведя операцию дифференцирования по времени и учи-
тывая связь уравнений (1.91) друг с другом, получим
- 1 с1 2Ё „ - 1 d2H л
ДЕ—у—г = 0, ДЯ—-—— = 0,
v2 dt2 v2 dt2
(1-92)
и Н подчи-
(193)
где г = сД/ёр.
Отсюда следует, что все компоненты векторов Е
няются скалярному волновому уравнению
1 52т
Д*Р —=
v2 а2
где под понимается любая из компонент векторов Е и Н .
Простейшими решениями волнового уравнения (1.93) являются
решения, описывающие плоские волны. Плоской электромагнитной
волной называется волна со следующими характеристиками:
1. Поперечная волна (ТЕМ) — векторы поля лежат в плоскости,
перпендикулярной направлению распространения.
2. Фронт волны - плоскость.
3. Волна распространяется со скоростью света в данной среде.
4. Векторы поля связаны через волновое сопротивление среды
=zB.
Таким образом, если выбрать ось OZ перпендикулярной
фронту волны, в монохроматической плоской волне комплексные
амплитуды полей Е и Н будут зависеть только от координаты z.
49 '
Рис. 1.9. Плоская
электромагнитная волна
Рассмотрим структуру поля
плоской электромагнитной волны
(рис. 1.9). Направление распростра-
нения волны определяется волно-
вым вектором к. Так как плоская
волна является поперечной, векто-
ры напряженности Ё и Н ftyjxyr
колебаться в плоскости, перпенди-
кулярной направлению распро-
странения волны, определяемому
вектором к . На рис. 1.9 изображено
расположение векторов плоской волны’, при котором вектор Ё со-
вершает колебания вдоль оси ОХ, а вектор Н — вдоль оси OY.
Так как направление переноса волной энергии электромагнит-
ного поля определяется вектором Умова—Пойнтинга, то очевидно,
что для однородной изотропной среды направление вектора П
будет совпадать с направлением вектора к.
3.2. Плоские электромагнитные волны
в изотропной среде с потерями
Рассмотрим распространение плоской гармонической элек-
тромагнитной волны в среде с потерями (диссипацией энергии). В
этом случае потери в материальной среде нужно учитывать введе-
нием в относительные диэлектрическую и магнитную проницаемо-
сти мнимых частей, поэтому волновое число тоже будет комплекс-
ным. В среде с потерями однородное уравнение Гельмгольца для
комплексной амплитуды Ё электромагнитной волны, распростра-
няющейся в среде с потерями, имеет вид
J2F 7 -
—+{к' - ik'T Е = 0. (1.94)
dz
Решением уравнения (1.94) является суперпозиция двух пло-
ских электромагнитных волн, распространяющихся в противопо-
ложных направлениях [3].
Таким образом, в материальной среде с диссипацией энергии
плоские электромагнитные волны всегда являются затухающими.
50
Рассмотрим характеристики плоской электромагнитной волны
в среде с потерями.
1. Длина волны 1 представляет собой расстояние, на котором
происходит изменение фазы волны на 2 л, однако пространствен-
ным периодом поля она уже не является, как это имело место для
волн в однородных средах без потерь.
2. Фазовая постоянная плоской волны — вещественная часть
комплексного волнового числа, показывающая изменение фазы
волны при прохождении ее фронтом расстояния z = 1 м (в системе
СИ). Фазовая постоянная является аналогом волнового числа для
среды без потерь и определяется следующим образом:
£'= co/v = 2ти/Х. (1-95)
В литературе часто фазовая постоянная называется постоян-
ной распространения и обозначается буквами 0 или у.
3. Фазовая скорость плоской волны в среде с потерями опре-
деляется как
(1.96)
Коэффициент затухания а — мнимая часть комплексного
волнового числа (а = к”'). Он показывает уменьшение амплитуды
волны при прохождении ее фронтом расстояния z = 1 м в среде с
потерями. Физический смысл коэффициента затухания: величина,
обратная а, определяет расстояние, на котором амплитуда плоской
волны уменьшается в е раз.
На рис. 1.10 приведены распределения мгновенных значений
напряженностей электрического и магнитного полей плоской зату-
хающей электромагнитной волны вдоль оси z в некоторый фикси-
рованный момент времени.
Рис. 1.10. Затухающая электромагнитная волна
51 ’
3.3. Поляризация электромагнитных волн
Поляризация — это направление колебаний вектора Е элек-
тромагнитного поля волны в пространстве. Электромагнитное по-
ле, у которого в точке наблюдения Р пространства в любой мо-
мент времени можно установить направление вектора Е, называ-
ется поляризованным. Электромагнитное поле, у которого направ-
ление вектора Е в точке Р меняется случайным образом, называ-
ется неполяризованным. Плоскость, проходящую через направле-
ние распространения поля и вектор Е, называют плоскостью по-
ляризации. Если положение плоскости поляризации в точке Р не
меняется во времени, поле имеет линейную поляризацию. Если же
плоскость поляризации в точке Р с течением времени вращается,
то поляризация называется вращающейся.
Линейная поляризация. Для описания распространения пло-
ской гармонической электромагнитной волны выберем декартову
систему координат таким образом, чтобы ось OZ совпадала с на-
правлением распространения волны. В этом случае векторы Е и
Н колеблются в плоскости {XOY} . Вектор Е лежит в плоскости
{XOY} , и поэтому говорят, что электромагнитная волна поляризо-
вана в плоскости {ХОУ}. Вектор к на рис. 1.11 характеризует на-
правление распространения волны. Так как плоскость поляризации
в любой точке пространства во времени не изменяется, такой тип
поляризации электромагнитной волны называется линейным.
S’]
X*
а)
Рис. 1.11. Линейная поляризация
52
Рис. 1.12. Поворот плоскости
поляризации
У другой плоской волны, поляризованной в плоскости {YOZ}
и распространяющейся также вдоль оси OZ (рис. 1.116), векторы
напряженности электрического и магнитного поля образуют пра-
вую тройку.
Рассмотрим суперпозицию двух плоских электромагнитных
волн с линейными поляризациями.
Пусть начальные фазы обеих волн совпадают. Тогда мгно-
венные значения напряженности электрического поля суммар-
ной волны могут быть определены геометрической суммой от-
дельных волн.
В результате суммарная
волна будет поляризована в
плоскости {A"OZ}, располо-
женной под углом 0 к плоско-
сти {A'OZ} — плоскости поля-
ризации первой волны
(рис. 1.12). Задавая различные
амплитуды волн, можно полу-
чать различные наклоны плос-
кости поляризации {X'OZ}.
Таким образом, в результате
сложения двух плоских волн,
линейно-поляризованных в перпендикулярных плоскостях, обладаю-
щих одинаковыми фазами и различными амплитудами, получается
также линейно-поляризованная волна с плоскостью поляризации, по-
вернутой на некоторый угол относительно плоскостей поляризации
исходных плоских волн.
Круговая и эллиптическая поляризация волн. Рассмотрим
теперь суперпозицию двух плоских волн, линейно-поляризованных
в перпендикулярных плоскостях, обладающих одинаковыми ам-
плитудами и разностью начальных фаз, равной ти/2. Пусть вектор
Е второй волны отстает по начальной фазе от вектора Е первой
волны на л/2.
В этом случае суперпозиция этих векторов даст вектор Ё, ко-
торый будет вращаться с частотой со вокруг направления распро-
странения волны, а его конец будет двигаться по поверхности кру-
гового цилиндра, ось которого совпадает с осью OZ (рис. 1.13).
53 ’
Рис. 1.13. Круговая поляризация
Вращение вектора Е осуществляется по часовой стрелке отно-
сительно наблюдателя, смотрящего в направлении распространения
волны. В моменты времени Z = const конец вектора Е движется по
левовинтовой круговой спирали. На рис. 1.1 За показана траектория
движения вектора Е в плоскости z = const, на рис. 1.136 представ-
лено пространственное распределение вектора напряженности элек-
трического поля при / = const. Волна, у которой вектор Е вращает-
ся по окружности по часовой стрелке относительно наблюдателя,
смотрящего в направлении распространения волны, называется вол-
ной круговой поляризации с левым направлением вращения.
Если вектор Е второй линейно-поляризованной волны опе-
режает по начальной фазе вектор Е первой волны на л/2, то у
такой волны конец вектора Е вращается по поверхности круго-
вого цилиндра против часовой стрелки относительно наблюда-
теля, смотрящего в направлении распространения волны. Такая
волна называется волной круговой поляризации с правым направ-
лением вращения.
В электродинамике доказана теорема, согласно которой любая
линейно-поляризованная волна может быть разложена на сумму
двух волн круговых поляризаций с противоположными направле-
ниями вращения [4].
При сложении двух линейно-поляризованных в перпендику-
лярных плоскостях плоских волн с различными амплитудами и
начальными фазами получается волна эллиптической поляризации,
конец вектора напряженности электрического поля которой дви-
54
жется по эллипсу. При этом изменя-
ется не только направление вектора
Ё в пространстве, но и его величина
(рис. 1.14). Направление вращения
вектора Ё может быть как по часовой
стрелке (левое направление враще-
ния), так и против часовой стрелки
(правое направление вращения) отно-
сительно наблюдателя, смотрящего в
Рис. 1.14. Круговая поляризация
направлении распространения волны.
Вертикальная и горизонтальная поляризация. Приведем
еще два общепринятых определения типа линейной поляризации
электромагнитных волн. Если вектор Ё изменяется в плоскости,
параллельной земной поверхности, такая поляризация называется
горизонтальной. Если же вектор напряженности электрического
поля изменяется в плоскости, перпендикулярной земной поверхно-
сти, то в этом случае волна обладает вертикальной поляризацией.
3.4. Электромагнитные процессы на границе раздела сред
Рассмотрим задачу о падении плоской электромагнитной волны
линейной поляризации на границу раздела двух однородных сред,
обладающих материальными параметрами £,, , о, (/ = 1,2). Сле-
дует отметить, что электромагнитное поле в виде одной плоской
однородной волны не будет представлять собой решение данной
задачи, так как напряженности электрического и магнитного полей,
удовлетворяющие уравнениям Максвелла в каждом из двух полу-
пространств, должны также удовлетворять граничным условиям на
границе раздела сред.
Законы отражения и преломления. Если на границу двух од-
нородных сред с разными физическими свойствами падает плоская
гармоническая волна, она разделяется на две волны: проходящую
во вторую среду (преломленную) и отраженную. Существование
двух волн вытекает из граничных условий, так как легко видеть,
что их невозможно удовлетворить, если не постулировать наличия
как проходящей, так и отраженной волн.
Пусть граница раздела между двумя полубесконечными одно-
родными средами совпадает с плоскостью z = 0 декартовой систе-
мы координат. Среды, расположенные снизу (z < 0) и сверху
55
( z > 0 ) от границы z = 0, характеризуются, соответственно, мате-
риальными параметрами Ер щ, Uj и е2 , ц2» а2 • Пусть на эту
границу из первой среды падает под углом в0 к оси OZ плоская
монохроматическая волна (рис. 1.15) с круговой частотой со и вол-
новым вектором к. Плоскость падения, содержащую вектор к и
ось OZ, совместим с плоскостью XOZ.
Рис. 1.15. Падение волны на границу раздела двух сред
Каждая из сред характеризуется коэффициентом преломления щ
и п2. В случае, когда «] < л2, следует закон отражения электромаг-
нитной волны от границы раздела сред:
sine2 _ _ у2, (197)
sin60 к2 V]
где Vi 2 — фазовые скорости волн в 1 и 2 средах.
Выражение (1.97) представляет собой закон Снеллиуса, фор-
мулировка которого звучит так: при падении плоской электромаг-
нитной волны на плоскую границу раздела двух однородных изо-
тропных сред синусы углов падения и преломления относятся как
фазовые скорости плоских волн в соответствующих средах.
Преломление волн при наличии поглощения в среде. В
случае, когда вторая среда является поглощающей, закон Снеллиу-
са приобретает комплексный вид
к
sin62 = 1 sin60 (1 98)
^2 -,^2
56
Очевидно, что в этом случае плоскости равных фаз и амплитуд
не совпадают между собой, а ориентированы друг относительно
друга под углом 62 (рис. 1.16). Поверхности равных фаз представ-
ляют собой фронт волны. Следовательно, в различных точках вол-
нового фронта волна будет иметь различные амплитуды. Плоские
электромагнитные волны, для которых поверхности равных фаз и
амплитуд не совпадают, называются неоднородными.
Рис. 1.16. Преломление в поглощающей среде
Угол 62 между плоскостями равных фаз и амплитуд в данном
случае определяется из выражения
Л £isin6n
tg 2=Г=~Гп-'Г'.!- Г (1">
- Re|-J/c2 - kf sin2 60 J
Очевидно, что угол 62 является истинным углом преломления.
3.5. Преломление на границе с гиротропной средой
В случае, когда одна из сред является намагниченной, про-
дольная составляющая вектора Н в этой среде не вызовет пере-
менной намагниченности. Поперечное же переменное поле вызы-
вает не только переменную намагниченность, параллельную полю,
но и перпендикулярную ему намагниченность. Такое свойство сре-
ды называют гиротропией, а саму среду — гиротропной.
Основной особенностью гиротропной среды является то, что
на границе преломления с ней электромагнитные волны испыты-
вают двойное лучепреломление, показанное на рис. 1.17.
57 •
Рис. 1.17. Преломление на границе с гиротропной средой
Явление двойного лучепреломления в гиротропной среде ино-
гда называют кросс-поляризацией.
58
ГЛАВА 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
Интерес к проблеме распространения радиоволн возник с самых
первых дней изобретения радио и становления радиотехники (тогда -
техники электросвязи) как самостоятельной науки. Эти вопросы воз-
никли сразу же после первых опытов Попова и Маркони. Почему в
1897г. у Попова дальность связи между крейсерами «Европа» и
«Африка» составляла 15 км, двумя месяцами раньше между берегом
и кораблем, стоящим на рейде, - 600 м, а у Маркони между корабля-
ми - 26 км, тогда как первые теоретические работы (излучатель Герца
в свободном пространстве) давали значение в сотни километров?
Сразу было сделано пра-
вильное предположение, что на
условия распространения радио-
волн влияет Земля. Одна из пер-
вых теоретических работ по уче-
ту влияния Земли, известная се-
годня как «Задача Зоммерфель-
да», появилась в 1909г. Решалась
излучателя (диполь Герца) над плоской Землей (рис. 1.18) с пара-
Г
|—5? * е0^0а0
/УУ/Уу'у'УУХУх’УУУУУ/
е ji а
Рис. 1.18. Диполь Герца
над плоской Землей
задача по изучению точечного
метрами £, ц, а. Математическая трудность в решении такой зада-
чи состоит в выборе системы координат: Земля плоская — удобна
прямоугольная система, источник же излучает сферические волны.
Возможный путь решения задачи состоит в разложении сфериче-
ской волны на плоские, при этом решение будет представлено в
виде бесконечного ряда. Несколько раньше, чем у Зоммерфельда, в
1907г. были опубликованы результаты исследований Ценнека, ко-
торый нашел решение аналогичной задачи, но для больших рас-
стояний, когда сферическую волну можно считать плоской. На ос-
нове этой гипотезы ему удалось получить строгое (без допущений)
решение уравнений Максвелла и показать, что убывание поля с
расстоянием происходит по экспоненциальному закону. При этом
было сделано два неожиданных вывода: первый — скорость распро-
странения волны зависит от свойств подстилающей поверхности,
второй — волна обладает «памятью», т.е. если на трассе произошло
дополнительное затухание электромагнитной волны, то оно будет
чувствоваться и на последующих участках трассы. В части экспо-
ненциального закона затухания волны решение, полученное Зом-
мерфельдом, подтверждало исследование Ценнека.
59
Такое положение существовало до 1919г., когда Вейлем были
опубликованы исследования по «плоской Земле». Решение, полу-
ченное Вейлем, в корне отличалось от решения Зоммерфельда:
вместо экспоненциальной имела место степенная зависимость от
расстояния. Однако отсутствие строгих экспериментальных дан-
ных не позволило в то время дать объективную оценку работам
Вейля и Зоммерфельда. Предпочтение еще долгое время отдава-
лось работам Зоммерфельда по двум причинам: всемирная извест-
ность ученого и утверждение, что будто бы на больших расстояни-
ях (но при этом Землю нельзя было считать плоской!) большее
приближение к эксперименту давали расчеты по Зоммерфельду.
В 1923г. советским ученым Шулейкиным и независимо от него
голландцем Ван-дер-Полем была решена в упрощенном виде задача
по определению поля над плоской однородной Землей. Полученные
ими решения позволяли проводить расчеты напряженности поля в
инженерном аспекте. Сегодня эта зависимость известна как «фор-
мула Шулейкина-Ван-дер-Поля». Парадоксальность ее была в том,
что на близких расстояниях она полностью подтверждала исследо-
вания Вейля, а на дальних она просто не работала, поскольку реаль-
ная Земля — сферическая. К этому времени были проведены строгие
эксперименты, в том числе академиком Введенским, которые также
подтверждали исследования Шулейкина, Ван-дер-Поля, а следова-
тельно, и Вейля, но не Зоммерфельда.
И такое положение просуществовало до 1945г., когда впервые
были опубликованы результаты исследований, выполненных со-
ветским ученым Владимиром Александровичем Фоком. Они ока-
зались столь фундаментальными, что воплотили в себе все преды-
дущие теоретические работы. За эти исследования В.А. Фок в
1946г. получил Сталинскую премию.
Зона полутени
Освещенная зона
Рис. 1.19. Диполь Герца над сферической Землей
Точечный излуча-
тель (диполь Герца)
расположен над сфери-
ческой Землей на неко-
торой высоте Н > О
(рис. 1.19). Фок к реше-
нию задачи приступил
не первым. Еще в 1909г.
ее решал Дебай («Ди-
60
фракция плоской волны на сферической поверхности»). Сложность
задачи по сравнению с плоской Землей возрастала десятикратно.
Лобовое решение Дебая, полученное путем разложения сфериче-
ской волны по сферическим координатам Земли, также состояло из
бесконечного ряда членов, но сходимость ряда начиналась с члена,
равного отношению длины экватора Земли к длине волны, т.е. при
Х~1м надо было просуммировать 4-Ю7 членов ряда. Конечно,
практическое применение этих исследований для Земли было не-
приемлемо, за исключением СНЧ диапазона (менее 1 кГц), т.е. при
X > 3-105 м, когда необходимо учесть 100 членов ряда. Правда, в
дальнейшем исследования Дебая оказались востребованными при
изучении поглощения радиоволн в условиях дождя («Задача о ди-
фракции волны на дождевой капле»).
Еще одна попытка была сделана в 1919г. Ватсоном, но ему
удалось получить решение только для области глубокой тени пу-
тем сведения рядов Дебая к контурному интегралу.
Решение Фока было получено как для освещенной области
(Шулейкин, Ван-дер-Поль, Малюжинец, Введенский, Вейль, Зом-
мерфельд), так и для глубокой тени (Ватсон, Дебай). Также впервые
было получено решение для области полутени. В частности, была
поставлена точка в споре Вейля и Зоммерфельда. В конечной части
выкладок Зоммерфельда Фоком была обнаружена арифметическая
ошибка, в корне меняющая выводы исследований Зоммерфельда.
Вообще следует заметить, что, начиная с 40-х годов, широкое
признание получила советская школа в области распространения
радиоволн: Шулейкин, Разин, Введенский, Щукин, Фок, Леонтович,
Гринберг, а в послевоенные годы — Гинзбург, Фейнберг, Альперт,
Долуханов, Макаров и др.
4.1. Поле источника, расположенного на Земле
(задача Зоммерфельда).
Формула Шулейкина-Ван-дер-Поля
Рассмотрим задачу по определению поля источника, располо-
женного на поверхности Земли (рис. 1.18). Прежде чем ее решать,
определимся с параметрами земной поверхности. Для этого рас-
пишем первое уравнение Максвелла для полей, гармонически из-
меняющихся во времени (е = Е^е,ш). Вычислив производную
dE/dt = Е' = imE^e1^ - icnE, получаем
61
rotH = <зЁ + /сое£ = ko(e - ia/Gb)E = йьъ'Е ,
где e' = e - из /со - комплексная диэлектрическая проницаемость.
Полученная формула указывает на соотношение токов прово-
димости и токов смещения в среде: если а / со > е, т.е. со < а / е, то
среда — проводник, если а / со < е, т.е. со > а / е, среда - диэлектрик.
Таким образом, зависящая от свойств материала (среды) граничная
частота согр = а / е определяет, в какой части частотного диапазона
тот или иной материал является проводником, а в какой - диэлек-
триком. Один и тот же материал может быть как проводником, так
и диэлектриком, в зависимости от частотного диапазона.
Рассмотрим это утверждение на примере меди, которая тради-
ционно считается хорошим проводником. Ее характеристики:
<^меди ~ 6-107 См/м, Емеди »1Оео = 8, 85 • 10’11 Ф/м.
Тогда Л, = согр / 2л = а / 2ле = 1017 Гц, т.е. на частотах, не пре-
F 17
вышающих 10 Гц (фактически во всем диапазоне радиочастот),
медь действительно является проводником.
Проведем аналогичную оценку для земной поверхности, на
которой параметры е и су имеют следующие значения:
е = е/лео = 3eq; а = 10"4 См/м — сухая почва.
__2
£ = = Юео; а = 10 См/м — влажная почва.
Тогда 1) сухая почва: /гр = 600 кГц,
2) влажная почва: /гр = 20 МГц;
аналогично 3) пресная вода: /гр = 200 кГц,
4) морская вода: frp = 3000 МГц.
Вывод: вся реальная подстилающая поверхность (кроме мор-
ской воды) в диапазоне частот, используемом в наземных линиях
подвижной связи (30 ^2000 МГц), является диэлектриком.
Этот вывод будет использоваться при объяснении вносимых
потерь при распространении радиоволн.
Введем еще два понятия, которые существенно упростят реше-
ние уравнений Максвелла применительно к задаче Зоммерфельда:
1) трасса электромагнитной волны и область, существенная
при распространении радиоволн;
2) приближенные граничные условия Леонтовича.
Трасса электромагнитной волны. Отметим еще раз, что все
точки пространства являются «виртуальными» источниками и вно-
сят вклад в электромагнитное поле в точке приема (рис. 1.20).
62
Равнозначен ли вклад вир-
туальных источников в уровень
поля в точке приема? Вопрос
существует давно. Влияют ли
источники, расположенные толь-
ко на линии соединения, или на-
до учитывать все окружающее
пространство?
В соответствии с принципом
Гюйгенса для учета полного
влияния надо учесть все точки,
интегрируя по сфере (рис. 1.21),
поскольку, являясь вторичны-
ми (виртуальными) источни-
ками, токи смещения сущест-
вуют везде, внося свой вклад.
На практике вопрос несколь-
ко упрощается. Оказывается, если
учитывать фазовые соотношения,
то значительная часть виртуаль-
ных источников просто компен-
сируют друг друга, и реальный
вклад в поле в месте приема
оказывают виртуальные источ-
ники, расположенные в 1-й зоне
Френеля (рис. 1.22). Что это та-
кое? Есть точки приема и пере-
дачи. Соединим их линией связи
с дальностью Rq. Если разность
двух путей (7?i + Ri и 7?о) не пре-
вышает половину длины волны,
т.е. (7?1 + Ri) — Rq < X / 2, то можно
считать, что сигналы приходят в
фазе. Для доказательства рас-
смотрим электромагнитную вол-
ну длиной X (рис. 1.23).
Сдвиг по фазе +л имеет ме-
сто при Х/2, а такие точки на
плоскости будут лежать на эл-
йрд-
ПРМ:
Рис. 1.20. Виртуальные источники
Рис. 1.21. Принцип Гюйгенса
R2
Рис. 1.22. Первая зона Френеля
Рис. 1.23. К обоснованию основного
вклада 1-й зоны Френеля
Рис. 1.24. К учету ослабления волны
в городских условиях
63
липсе или, если в пространстве, — на эллипсоиде вращения. Это —
первая зона Френеля. Сигналы с таким сдвигом складываются. Далее
можно показать, что вклад 2-й (-л), 3-й (+л)... и т.д. зон Френеля бу-
дет весьма мал, поскольку сигналы источников 3-й зоны, находясь в
противофазе со 2-й зоной, будут компенсировать друг друга, т.к. их
амплитуды примерно равны, и т.д. Таким образом, делаем вывод:
существенной зоной для распространения радиоволн является 1-я
зона Френеля, представляющая собой эллипсоид вращения с коорди-
натами точек приема и передачи и ограниченная поверхностью (эл-
липсоидом вращения), отвечающая условию (/^ + R2) — Rq <1/2. В
дальнейшем мы будем этим часто пользоваться. Например, надо ли
учитывать дома, стоящие на трассе, как показано на рис. 1.24. Соеди-
ним точки приема и передачи и проведем эллипсоид (эллипс) враще-
ния, отвечающий 1-й зоне Френеля. При этом оказывается, что 1-й
дом не влияет на уровень поля, влияние 2-го дома ничтожно, а 3-й
дом перекрывает полностью первую зону Френеля. Каковы реальные
размеры зоны Френеля? Например, в УКВ диапазоне (f= 300 МГц) в
зависимости от удаленности (0,1; 1,0 и 10 км) максимальное попе-
речное сечение зоны Френеля будет соответственно 30, 90 и 300 м. В
то же время протяженность зоны Френеля (по ее определению) будет
превышать дальность линии связи всего на 2хХ/2=1 м. Если препят-
ствие (на рис. 1.24—третий дом) полностью перекрывает первую зону
Френеля, то прием электромагнитного поля будет обеспечиваться за
счет виртуальных источников второй зоны Френеля, но меньшей ин-
тенсивности и т.д. В этом физическая сущность объяснения явления
дифракции (огибания) радиоволн. Аналогично, зоной, существенной
при отражении луча при поднятых точках приема и передачи, будет
не вся земная поверхность, а только пересечение эллипсоида враще-
ния с земной поверхностью (рис. 1.25а), и точно так же при проник-
новении в Землю (рис. 1.256).
Рис. 1.25. Зоны, существенные при отражении (а) и преломлении (б)
64
Рис. 1.26. Зона, существенная при
распространении в задаче
Зоммерфельда
Этот момент принципиально важен в теории распространения
радиоволн, и о нем постоянно нужно помнить на практике.
В общем случае для оцен-
ки поля в точке приема надо
учитывать все вторичные ис-
точники, находящиеся внутри
эллипсоида вращения, образо-
ванного первой зоной Френеля
(рис. 1.26), что и делал Зоммер-
фельд, решая эту задачу. Но такое решение достаточно трудоемко
математически, поскольку поле в земле претерпевает значительные
изменения, и, главное, после сложных математических выкладок
Зоммерфельд все равно проводил в окончательном решении опреде-
ленные упрощения, суть которых сводилась к исключению (в силу
малости вкладов) вторичных источников в нижней части зоны Фре-
неля. Поэтому, исходя из физических соображений, возникло пред-
ложение проводить такие упрощения уже на первоначальных этапах
решения задачи Зоммерфельда.
Эти исследования в 1944г. были выполнены советским уче-
ным Леонтовичем и сегодня известны как приближенные гранич-
ные условия Леонтовича. Рассмотрим их.
Известны строгие граничные условия, в соответствии с кото-
рыми на границе раздела двух сред
(рис. 1.27) тангенциальные (параллель-
ные плоскости раздела, т.е. плоскости
АТ) составляющие напряженности
электрического поля непрерывны
а нормальные (по оси Z) составляющие
испытывают скачок (т.е. не равны)
Е\п Е1 L=o = Е2п • е2 .
Последнее условие связано со скачком комплексной диэлек-
трической проницаемости на границе раздела сред (по оси Z):
El£l--L-.0=E2£2.--
Выведем также граничное условие для скорости изменения
напряженности электрического поля вблизи границы раздела. Для
Z
1 (£1; МО
2fep2) — I
Рис. 1.27. Тангенциальные
(£т) и нормальные (£„)
компоненты поля
65
этого рассмотрим третье уравнение Максвелла divD = 0 (при от-
сутствии заряда). Раскрывая операцию div, имеем
8Elx dEiy дЕ'. п 8Е2 8Е2), дЕ2. .
dx ду dz dx dy dz
Вычитая второе выражение из первого и учитывая, что тан-
генциальные составляющие непрерывны, т.е.
= ^2х и “ ^2>”
получаем
dEl: _ 5Е2.
dz -=о dz
Мы получили, что производная непрерывна, т.е. скорость из-
менения электрического поля вдоль оси Z постоянна.
Для случая скользящего падения электромагнитной волны Ле-
онтовичем в 1944г. были получены приближенные граничные ус-
ловия, которые имеют вид
ЗД. ikEi- , Г 1 Y
—— =—1+ —
dz r=o VE«+1 Vе/nJ
Здесь е'т = е'/е0 — относительная комплексная диэлектриче-
ская проницаемость.
Учитывая, что для всех реальных видов почв (1/е'л)2 «1 и
что скорость изменения поля вдоль оси Z постоянна, эти условия
можно записать в виде
адг
3£2-
dz --0
Qz _-=о
= -ik6El:
или проще
где к - 2л/Х - волновое число, 5 = 1Д/е'„ +1.
Преобразуем относительную комплексную диэлектрическую
проницаемость к виду
= Б7Ео ~ ЕЕо /Ео _ ^/ЮЕо = Е ~ г6бХа.
66
о
Здесь учтено, что со = 271/ = 2лс/Х, где с = 3*10 м/с — скорость
—9
света, и что Ео = Ю /36л Ф/м.
Модуль е'л равен |е^| = ^е2+(60Ха)2 .
Вернемся к сформулированным выше «приближенным» гра-
ничным условиям, которые выполняются, когда имеет место пере-
ход из оптически менее плотной среды в оптически более плотную
среду, или в математическом решении — |б^| = \е2 + (60Хсг)2 »1.
Для границы раздела воздуха и реальных видов почв земной по-
верхности это условие выполняется.
Отметим также, что при переходе радиоволны из оптически
менее плотной среды (воздух) в оптически более плотную среду
(земля) длина волны сокращается в п раз: Хзем = Хвозд/и; п = л/е^ —
показатель преломления.
Какие физические предпосылки заложены в приближенные
граничные условия?
1. Прежде всего, это переход волны из оптически менее плот-
ной среды в среду оптически значительно более плотную. Реаль-
ная Земля соответствует этому, поскольку е2®100, су2~ 10-4 и, сле-
довательно, | £' | ~ 10.
2. Фактически это означает, что в создании поля в месте прие-
ма участвует верхнее полупространство и тонкий приграничный
слой Земли (рис. 1.28), и не требуется находить поле в глубине Зем-
ли. В противном случае необходимо было бы определять электро-
магнитное поле от вторичных (виртуальных) источников на глуби-
не до 150 м при разносе точек приема и передачи до 10 км.
3. Условия можно трак-
товать так: изменение нор-
мальной составляющей поля £ ц. Р - , . Ал
У «К Ж Ж ж. ж. Ж ж ж Ж ж ж Ж Ж Ж Ж Ж ж Ж Ж
oEJdz вдоль поверхности п
-' Рис. 1.28. Область, охватываемая
Земли имеет характер невоз-
условиями Леонтовича
мущенной волны Е-, умно-
женной на медленно изменяющийся фактор ikb.
4. Из этой концепции также вытекает, что влияние Земли вы-
зывает двоякое действие. С одной стороны, электромагнитное
поле возбуждает токи в Земле, которые расходуются на джоулево
тепло, и поэтому по мере прохождения над Землей поле будет
67
ослабевать. С другой стороны, земная поверхность экранирует
проникновение поля вглубь, и это увеличивает суммарное поле. И
если бы мы решали задачу на металлической поверхности, то по-
ле было бы в 2 раза больше.
5. С введением понятия «приближенные граничные условия»
появилась возможность физической интерпретации всех странных
особенностей при распространении радиоволн: возрастание поля с
увеличением расстояния, навигационные ошибки на границе раз-
дела двух сред, изгиб фронта волны вблизи Земли и др.
Обращаясь к задаче Зоммерфельда, следует отметить, что пу-
тем введения приближенных граничных условий ее решение зна-
чительно упрощается, ибо при решении уравнений Максвелла за-
мена SE. /дг на Е- х позволяет сразу упростить интегральное
уравнение относительно векторов электромагнитного поля.
Раскрытие самого решения достаточно рутинно и объемно,
поэтому ограничимся анализом конечных выкладок.
В соответствии с концепцией приближенных граничных усло-
вий, решение ищется в виде
Л. = £-0 (D),
где £-q — поле свободного пространства; функция W (£>) получи-
ла наименование «функция ослабления»; D — расстояние.
После подстановки Е: = E:G W (£)) в уравнения Максвелла
решение для W (£)) имеет вид
/0° 2
W{D) = \ + 14SDe'SD J е~и du.
4sd
1 2
Здесь S =—ikS — «численное расстояние» (в нем содержатся
параметры Земли), по размерности обратно пропорциональное рас-
стоянию;
'°0 _ 2
J е~и du — функция Крампа, она табулирована.
JSD
Это формула Зоммерфельда, ибо в таком виде она была впер-
вые получена им.
68
Решение для W(D) рассмотрим раздельно для SD«1 (ма-
лые расстояния) и SD » 0 (большие расстояния).
В первом случае (SD « 1) имеем J е~и du = i——.
JSD 2
Тогда W (D) = 1 + iy[riSDe~SD.
В предельном случае, при D—>0 имеем W(D) 1 и
Е. = Ez0, как и должно быть.
В практически важном втором случае, когда SD » 0 (большие
расстояния), имеем решение в виде бесконечного, но быстросходяще-
гося ряда, причем для случаев разных знаков мнимой части SD:
W(D) =
Q-1/2SD,
2i4nSDe~sr> ,
при Im (SD) > О,
при Im (SD) < 0.
У Зоммерфельда верхнее решение (W(D) = ~\(2SD) получено
для Im (SD) < 0 из-за арифметической ошибки.
Отметим, что условие Im (SD) > 0 физически означает пере-
ход из среды менее плотной в более плотную и наоборот.
Графически зависимость W(D) от SD отражена на рис. 1.29.
Здесь в качестве параметра заложены характеристики почвы
е'„ = е - /бОХсг. При этом радиоволны более высоких частот (ма-
лые X) при распространении над более сухими почвами ( е ~ Зе0 и
а «10"4 См/м) затухают сильнее.
Таким образом, при больших расстояниях
W(D) =---— и Е. =Е.0|----—
2SD ~ 'Ч 2SD
Член W(D) = 2i4nSDe~SD дает так называемую «волну Ценне-
ка», характеризующуюся экспоненциальным затуханием. Для нас это
решение не представляет интереса. Но, к примеру, когда рассматри-
вается случай распространения радиоволн в полупроводящих средах
(например, подземное распространение радиоволн), то имеет место
экспоненциальное затухание, что подтверждает и практика.
69
Рис. 1.29. Зависимость функции
ослабления от дальности над
плоской Землей
Рассмотрим источник,
расположенный на поверх-
ности (рис. 1.30). Предпо-
ложим, что проводимость
весьма велика (ст—>оо). В
этом случае источник соз-
дает сферическую волну.
Поскольку поглощение от-
сутствует, поверхность не
оказывает влияния на зату-
хание, и поле оказывается в
2 раза больше, так как вся
мощность концентрируется в верхнем полупространстве. В этом
случае фронт волны на любой дальности ортогонален земной
поверхности.
Рис. 1.30. Фронт волны над
поверхностью с о -> <ю
777M/777//77M77M777S7//77/W7M
Рис. 1.31. Фронт волны над
полупроводящей поверхностью
Теперь рассмотрим слу-
чай конечного а, т.е. полупро-
водящую среду (рис. 1.31). За
счет активных потерь в Земле
с конечной проводимостью
фронт волны искривляется
(имеет место составляющая
вектора Пойтинга в Землю).
И если бы не было воспол-
нения этих потерь из верх-
него полупространства, то
имел бы место экспоненци-
альный закон затухания
волны. В действительности
имеет место отток энергии
из верхнего полупростран-
ства, загиб фронта волны
стабилизируется, и в конеч-
ном итоге имеем закон убывания поля, известный как формула
«Шулейкина—Ван-дер-Поля»:
3-10 5y/PKB-r-D f -1 A f мкВ А
^км V257?J I м J
(1.100)
70
4.2. Поле источника, поднятого над землей.
Интерференционные формулы.
Квадратичная формула Введенского
Впервые задача определения поля источника, поднятого над
землей, при определенных ограничениях, указанных ниже, была
решена академиком Б.А.Введенским. В 1944г. без каких-либо ог-
раничений решение было найдено советским ученым Малюжи-
ницем. Оно ищется методом зеркального источника (рис. 1.32)
U(R) = U0(R) + Ui(R),
где С/0(й) — поле свободного пространства, (й) — поле зеркаль-
но отраженного источника.
Рис. 1.32. Определение поля методом зеркального источника
Считается также, что функция U(R) удовлетворяет прибли-
женным граничным условиям:
где 8= ,
Vе»+ 1
Оказывается, что путем введения новой переменной
V = ^- + ik§U, такой что F(/?)|.=fi = 0, данную задачу формально
dz “ и
удается свести к предыдущей (задача Зоммерфельда). При этом
71
получается, что F(R) = F0(R)-F0(i^)-F. F имеет смысл коэф-
фициента отражения.
Опуская промежуточные вычисления и пользуясь обозначе-
ниями рис. 1.32, зависимость поля от дальности Е. (R) можно пред-
ставить в виде следующей суммы:
1 eikR 1 eikR}
E.{R) = -— + -----------------F,
2 R 2 R{
(1.101)
siny+ 5
5 cos у
-|2
- МОДИ-
4Js*R, e/? iae v*
где F = l+-*----f e~v dV, S =S-
cosy r-%—
Js Ry
фицированное численное расстояние.
Фактически в формуле (1.101) первое слагаемое характеризу-
ет волну свободного пространства на расстоянии R, второе сла-
гаемое - волну свободного пространства на расстоянии Rx с мно-
жителем F, являющимся коэффициентом отражения от области,
существенной при отражении (рис. 1.33а). То есть мы имеем дело
не с отраженным источником из одной точки, а с распределенными
источниками из области, существенной при отражении (рис. 1.336).
Формула для F напоминает формулу Зоммерфельда, и ее
справедливость подтверждается в случае предельного перехода,
когда у = 0.
Рис. 1.33. К определению поля методом зеркального источника
При этом R = Ri,S* = S и формула для Fтрансформируется в фор-
мулу Зоммерфельда. F имеет смысл обобщенного коэффициента
Френеля на случай сферической волны.
72
После вычисления интеграла (а это известная функция Крам-
па) в формуле для F при » 0 выражение для F может быть
преобразовано к виду
sin\y-5
sin у + 5
Коэффициент Френеля
для плоской волны
5 1
5 +sin у
Добавка за счет зоны,
существенной при распространении
(1.102)
После подстановки выражения для F в формулу (1.101) мы
получаем наиболее полную зависимость для отыскания поля для
поднятых источников без каких-либо ограничений на ее примене-
ние. На рис. 1.34 представлен график зависимости напряженности
поля от дальности при поднятых источниках — формула (1.101).
Осциллирующий характер поля при R <
4й1й2
X
обусловлен ин-
терференцией прямой и отраженной волн в формуле (1.101), полу-
чившей наименование интерференционной формулы.
Для всех практически важных наземных радиолиний \|/~0°
(кроме линии самолетной связи), поэтому в формуле для F
sin я 0, R ~ , и с той же точностью
S*R
Областц1 применения
квадратичной формулы
Г*
Рис. 1.34. Интерференционный характер поля при поднятом источнике
73
Тогда
(1.103)
! еМ ] ечц / !
Е- =---------------1 +----
z 2 R 2 R
В экспоненциальных сомножителях приравнивание R и 7?i не-
допустимо. По этой формуле может быть рассчитано поле вне зоны
интерференции (свыше - рис. 1.34). В предельном случае при
Л,
sin\y = 0 (источники на земле: S*R = SR; Rx = R) имеем зависи-
мость Шулейкина-Ван-дер-Поля
Е е™ 1
R 2SR
И наконец, на больших расстояниях, считая волну плоской и
пренебрегая добавкой —-—«1, а также используя разложение
S* R
ех ~ 1 + х + ...(при х—> 0 ), из (1.103) получаем
1 elkR
Е:а ik(Ri_R)
Z к
Выразим R^—R через высоты hx и h2 (рис. 1.32). Поскольку
R2 = (^1 + ^2 )2 + и Я2 = (fy - Л2 )2 + , то после вычитания R2
из R2, с учётом того, что R{ 4- Л » 27?, имеем
Я я ~ 2Л1А2
и, так как к = 2л/Л,, окончательная зависимость поля поднятого ис-
точника (диполя Герца) от расстояния, высот антенн и длины волны
имеет вид
r 1 eikR 4nhlh
Е.=---------.
' 2 R XR
В практических единицах для произвольной передающей ан-
тенны с коэффициентом усиления G имеем
245^/ Рквт-G мВ
Е =-----------\мЛ2,м ----
1 М
Л МЛ км
(1.104)
74
Эта зависимость получила название квадратичной формулы
Введенского.
Учет сферичности Земли. До сих пор рассматривался случай
«плоской Земли». Но такое рассмотрение справедливо на относи-
тельно небольших расстояниях (дальностях). Оценить критерии
применимости формул «плоской Земли» можно на основании не-
сложных геометрических построений по определению зон видимо-
сти (рис. 1.3 5).
Для наблюдателя А
L\ — зона прямой видимо-
сти, L2 — зона полутени,
£з — зона тени (но только
в случае, если точка В
лежит ниже уровня гори-
зонта Bi). Принимая ра-
диус Земли равным
6370 км, из несложных
геометрических построе-
ний находим зону прямой
видимости: RKM=3,57jh^l.
Рис.1.35. К определению зон
видимости на сферической Земле
При двух поднятых излучателях
=3,57-(^+J^“). Иногда
в
отрицательная рефракция
без рефракции
положительная
Рис. 1.36. Явление рефракции за счет
преломления волн в атмосфере
литературе встречается RK^ =4,12 +д/^2,м )• Коэффици-
ент 4,12 обусловлен рефракцией в атмосфере. Поскольку плотность
атмосферы неодинакова (как правило, у Земли плотность выше —
положительная рефракция), имеет место эффект преломления
волны (рис. 1.36).
В технике подвижной связи
обычно ограничиваются зонами
прямой видимости, поскольку в
используемом диапазоне частот
(100ч-1 000 МГц) дифракционная
компонента уровня поля мала.
Обычно высота антенны на БС
составляет 3 Он-100 м, высота ан-
тенны на ПО не превышает 2 м,
тогда зона прямой видимости не превышает 20 : 45 км. Но в практи-
ке подвижной связи приходится рассчитывать также электромаг-
75
нитную совместимость, например, при назначениях частот в сосед-
них кластерах (или ячейках). В этом случае приходится учитывать и
дифракционную компоненту, и даже тропосферное рассеяние.
Строгая теория по определению поля над сферической Зем-
лей была создана в 1945г. академиком Фоком (известные дифрак-
ционные формулы). С завершением работ Фока можно было ре-
шать любые задачи. В частности, в зоне прямой видимости полу-
ченное им решение сходилось с интерференционными формула-
ми с последующим переходом в квадратичную формулу Введен-
ского, в зоне «полутени» решение описывалось функциями Эйле-
ра, в зоне глубокой тени решение совпадало с одночленной фор-
мулой Введенского. В УКВ диапазоне решение для функции ос-
лабления W имело вид
0,023
•yJR.
(1.105)
Рис. 1.37. К обоснованию поправок
в уровне поля за счет расходимости
Рис. 1.38. К обоснованию
«приведенных» высот
молетной связи.
Но, строго говоря, сфе-
ричность Земли необходимо
учитывать уже в зоне прямой
видимости. Наиболее суще-
ственны две поправки:
первая учитывает, что
за счет сферичности Земли
отраженный луч имеет рас-
ходимость (рис. 1.37), выра-
жаемую углом Ла = - а2,
и уровень «отраженного по-
ля» снижается;
вторая обусловлена тем,
что в интерференционных
формулах надо учитывать не
истинные высоты над Землей,
а приведенные h^-h-^h
(рис. 1.38). Но практическое
влияние поправок сказыва-
ется на больших высотах и дистанциях связи, например, при са-
76
4.3. Критерий гладкой поверхности Рэлея. Основные методы
расчета поля на пересеченной местности
Однородные трассы на всем протяжении линии распространения
радиоволн - случай достаточно редкий. При большой протяженности
трассы, как правило, неоднородны: меняются как электрические па-
раметры (е и с) подстилающей поверхности, так и геометрические
(холмы, овраги, леса, строения и др.). Это видно из простейшего опы-
та: уровень сигнала при объезде точки излучения по окружности
(R = const) далеко не постоянен даже на гладкой земной поверхности.
В этом случае возникает вопрос о методиках вычисления поля (или
функции ослабления). Рассмотрим эти вопросы раздельно для элек-
трически и геометрически неоднородных трасс.
Электрически неоднородные трассы. Одна из первых теорети-
ческих работ в этом направлении - исследование Эккерслея по расче-
ту поля на кусочно-неоднородных трассах. Но, поскольку он базиро-
вался на экспоненциальном затухании (работы Зоммерфельда), его
выводы сводились к тому, что затухание на трассе имеет аналогию с
затуханием в длинной линии, что на практике не подтвердилось.
В 1949г. Миллингтон выдвинул упрощенную трактовку. Он
предложил определять функцию ослабления как средневзвешенную
по ряду непересекаемых участков земной поверхности, т.е.
FF = . Такая методика давала на практике неплохое при-
ближение с экспериментом, но только на равновеликих участках, и
не объясняла поведения поля на границе раздела участков.
Особенно остро по-
следний вопрос встал в
отношении радиотехни-
ческих систем навига-
ции у мореплавателей
при подходе корабля к
берегу во время 2-й ми-
ровой войны. Ошибки
пеленга достигали очень
значительных величин,
что приводило даже к
Рис. 1.39. Иллюстрация ошибки пеленга
за счет береговой рефракции
кораблекрушениям (рис. 1.39). В тумане или ночью приближающий-
ся к берегу корабль (1) поворачивал влево на угол Да и сталкивался
со стоящим на рейде другим кораблем (2).
77
В строгой постановке задача впервые была решена советским
ученым Фейнбергом только в конце 40-х годов для общего случая
неоднородной трассы на «л» участках.
Проиллюстрируем ее решение на примере соседства двух уча-
стков, сильно различающихся по проводимости (<j2»<j1). Обычно
говорят о границе «суша-море» (рис. 1.40).
На этом рисунке изображены:
I кривая - так вела бы себя функция ослабления, если бы на
всю длину трассы распространялась .
II кривая - так вела бы себя функция ослабления, если бы на
всю длину трассы распространялась Ж(е2 , о2).
В соответствии с решением, полученным Фейнбергом:
1. До границы раздела (начало кривой I, рис. 1.40) имеем функ-
цию ослабления на почве с параметрами Ebai, т.е.
^(£,,0,)=----!—.
1 1 2SlDl
2. За границей раздела функция ослабления имеет вид
W(D) = W(el,ст,) 1—.
п
3. По мере удаления от границы раздела функция ослабления
приближается к положению кривой II (рис. 1.40).
78
На границе раздела участков наблюдаем увеличение функции
ослабления, а следовательно, и поля с увеличением расстояния.
Этот удивительный факт подтверждается и экспериментом.
Физическое объяснение этому явлению: за счет излучения
первичного источника на границе раздела наводятся токи (более
сильные — на кратчайшем расстоянии от источника), создающие
вторичное излучение в виде цилиндрической волны (рис. 1.41), в
которой изменяется (скачком) амплитуда и фаза первичной волны.
Скачок фазы приводит к ошибке в пеленге.
Рис. 1.41. К объяснению явления береговой рефракции
Аналогично решается задача на трассах из трех и более участков.
Особенности распространения радиоволн на пересеченной
местности и в городе. При анализе распространения радиоволн в
системах связи с подвижными объектами особый интерес пред-
ставляет определение потерь затухания на трассах распростране-
ния. Последние в силу условий эксплуатации могут проходить как
по открытой местности, так и на пересеченной местности, а также
в городских условиях.
Мерой затухания радиоволн является разность между излу-
чаемой мощностью и мощностью сигнала в месте приема Рпр:
Отвлекаясь пока от быстрых замираний сигнала, обусловлен-
ных многолучевым характером распространения, будем интересо-
ваться только усредненными значениями поля.
В первую очередь рассмотрим, из каких компонент складывает-
ся поле в месте приема в условиях любой пересеченной местности.
Обычно высоты антенн базовых станций (БС) составляют не-
сколько десятков метров, поэтому в зависимости от расстояния до
подвижной станции (ПС) и степени пересеченности местности
можно рассмотреть несколько вариантов.
Вблизи БС поле будет определяться законами свободного про-
странства Е-Ur (или для мощности Р~1/г2). Зона, в которой выпол-
няется эта закономерность, может быть вычислена из соотношения
79
т.е. при h\ = 30 м, h2 = 2 м и X = 1 м радиус зоны сво-
бодного пространства Ясв = 720 м.
Однако это справедливо, если ПС не закрыта окружающим
рельефом или зданиями, что выполняется достаточно редко.
Если расстояние между БС и ПС превышает RCK, то расчет пря-
мой волны надо вести по квадратичной формуле Введенского.
В общем же случае наряду с прямым лучом на антенну ПС
будут поступать и волны, отраженные от Земли и окружающей
обстановки (рис. 1.42).
Однако при использо-
вании отражательных фор-
мул приходится учитывать
тот факт, что во многих
практически важных случа-
ях отражение происходит не
от гладкой поверхности, а
от рельефа с неровностями,
и законы Френеля в чистом
виде не выполняются. Для
Рис. 1.42. Образование многолучевости
оценки «степени шерохова-
тости» обычно используется критерий Рэлея, который позволяет
оценивать возможность применения формулы Введенского.
Критерий Рэлея. Рассмотрим два луча 1 и 2, падающих на
шероховатую поверхность с высотой неровности h. Угол падения и
отражения каждого луча называют углом скольжения 6, а разность
хода лучей в месте приема At/ составляет At7= 2h • sin6 (рис. 1.43).
Ей соответствует разность фаз Лер = (2л/Х)Л<7 = (47i/z/X)sin6. Если
разность фаз мала (Лер << л/2), то согласно критерию Рэлея счита-
ют, что поверхность гладкая. Для шероховатой поверхности при-
нимается Лер > л/2. Тогда критическая высота h = h^- X/8sin6. Так
как во всех практически важных случаях угол 6 мал, то sin6 ~ 0 и
критерий гладкости h=hk= Х/86.
Рис. 1.43. К обоснованию критерия «гладкости» Рэлея
80
Для большинства практически важных случаев подвижной
связи (X = 0,3... 1 м; 0 ~ 0,5... 1°) hk = 2... 10 м, что соизмеримо с
неровностями рельефа. Поэтому на практике будут встречаться как
зеркальная (френелевская) компонента (рис. 1.44а), так и рассеян-
ная (рис. 1.446 и 1.44в).
Геометрически зона активного рассеяния определяется пере-
сечением 1-й зоны Френеля с поверхностью земли.
Рис. 1.44. Отраженная волна при различной степени шероховатости
Основные методы расчета затухания на трассах. При ста-
тистическом анализе потерь распространения важнейшую роль
играет процедура выбора отрезков пути на трассе распространения
радиосигнала для определения усредненных значений напряжен-
ности поля принимаемых сигналов, т.е. локального среднего.
Мы уже говорили, что за счет перемещения ПС в структуре
принимаемого сигнала присутствуют как компонента с быстрыми
замираниями, обусловленная многолучевостью, г0 (у), так и ком-
понента с медленными замираниями, обусловленная изменяющей-
ся макроструктурой на трассе распространения, ш(у). Поскольку
сейчас нас интересует только макроскопическая (вторая) компо-
нента, то полезно установить, какой интервал измерения нужно
выбрать, чтобы при локальном усреднении не сказывались бы бы-
стрые замирания.
81
Процесс быстрых замираний проиллюстрирован на рис. 1.45.
Локальное среднее может быть определено на основе анализа
рэлеевских замираний огибающей сигнала r(y) = w(y)r0(y), при-
нимаемого в области точки у (например, уо — рис. 1.45) на трассе.
Распределение амплитуды при быстрых замираниях описыва-
ется законом Рэлея:
2о2
2ло2
РГ0
Уо~ь Уо y0+L У
Рис. 1.45. К вычислению локального среднего при быстрых замираниях
Его среднее значение имеет вид (г$ (у)) = у] я/2 а .
Локальное среднее определятся путем усреднения на интерва-
ле наблюдения 2L (рис. 1.45). Очевидно, если длина 2L недостаточ-
но велика, в самом локальном среднем будет частично заключена
информация о быстрых замираниях. С другой стороны, излишне
большой интервал наблюдения может сгладить медленные изме-
нения локального среднего, обусловленные изменением дальности
и замираниями из-за макроскопических препятствий на трассе.
Величину отличия можно характеризовать как рассеяние <зт от-
носительно (г0 (у)). Расчеты и эксперимент показывают, что рассея-
ние <зт не превышает 1 дБ при 2L > 40Х. Любой интервал, имеющий
длину больше 40Х, может быть использован для получения локально-
го среднего. Верхняя граница интервала наблюдения была установле-
на на уровне 200Х, поэтому величина интервала 40Х < 2L < 200Х явля-
ется оптимальной для определения локального среднего. В абсолют-
ных значениях величина 40 м < 2L < 200 м приемлема для определе-
ния локального среднего в диапазоне 300... 1000 МГц.
82
Основной целью любого расчета радиотрасс является опреде-
ление зоны обслуживания связью. На сегодня разработано с деся-
ток методик, позволяющих проводить такие расчеты. Наиболее
известные из них:
1) модель для предсказания затуханий в диапазоне СВЧ (модель
Келли);
2) эмпирико-аналитическая модель Окамуры;
3) модель кусочно-неоднородных трасс.
' Первая методика базируется на большом объеме статисти-
ческого материала по изучению распространения радиоволн в
городских условиях и в пригороде на частоте 700 МГц при высо-
те 7/бс = 30 м, Р= 10 Вт(40 дБ м) и G = 4(6 дБ). В результате ус-
тановлено:
- значения локальных средних распределены по логарифмиче-
ски нормальному закону со стандартным отклонением о = 8 дБ;
- уровень мощности сигнала на удалении одной мили (1,6 км)
составляет 6,8-1011 Вт (-61,7 дБ м);
- наклон кривой, описывающей изменение средней мощности
с расстоянием на удалении свыше одной мили, пропорционален
I//?3’84 (38,4 дБ/декада для логарифмической шкалы), т.е. у = 3,84.
Для других значений мощности передатчика БС, усиления и
высоты подъема его антенны предлагается осуществлять пересчет
в соответствии с формулой Введенского, заменяя зависимость
Е ~ 1/R2 на Е ~ 1/7?1,92 и учитывая, что Р ~ Е2.
Вторая методика — эмпирико-аналитическая модель Окамуры
также базируется на многочисленных экспериментальных данных.
Окамура ввел классификацию трасс:
- загородная местность с сельхозугодьями,
— сельская местность с индивидуальной застройкой,
- пригородная зона,
- средние города,
- крупные города.
Все они характеризуются разной степенью пересеченности
профиля трассы, описываемой перепадом высот ЛА между уровнями
10 % и 90 % превышения (рис. 1.46).
Имеются графики затухания для квазигладкой поверхности в
зависимости от частоты и дальности и поправочные коэффициенты
в зависимости от ЛА.
83
Профиль
трассы
Рис. 1.46. Иллюстрация уровней процентного превышения
Третья методика находит применение на кусочно-неодно-
родных трассах и фактически позволяет находить наклоны кривой
затухания на каждом участке (рис. 1.47).
Рис. 1.47. Иллюстрация подхода к кусочно-ломаной аппроксимации
Здесь более подробно рассмотрим методику, рекомендованную
ЦБТИ при Минсвязи РФ. Она базируется как на аналитических, так
и на эмпирических данных.
Требуемые исходные данные:
1. Параметры аппаратуры (мощность, чувствительность, вид
модуляции, полосы рабочих частот).
2. Параметры АФУ: затухание в фидерах, неравномерность ДН,
КУпрд и КНДпрм, высота установки антенн.
3. Уровень помех в точке приема.
4. Рельеф местности: ДЛ.
5. Закономерности распространения (необходимое превышение
по месту и времени), т.е. медленные и быстрые замирания.
Расчет сводится к определению двух величин: А — необходимой
напряженности поля в месте приема, Б — уровня поля для квази-
гладкой поверхности (по формулам или графикам МККР) с учетом
реальных РиН
84
Для удобства все величины выражаются в дБ/мкВ-м.
Е необх — Ш (*МХ & мест **" зам ° неравном »
где Лш - уровень шума для заданной полосы; S/N - необходимое
соотношение сигнал-шум на входе; Вмест — поправка по местности
(при логарифмически нормальном законе); Бзам — поправка по вре-
мени (при рэлеевском законе); Вдд - поправка на рельеф; (^неравном -
поправка на неравномерность ДНпр.
Енеобх определяется через 30° — через 100...500 м.
Напряженность поля вычисляется для квазигладкой поверхности
по формуле
_3105л/Р П 4лЛ1Л2
Д Д*/
свободное высотный
пространство множитель
Зона обслуживания находится там, где £пр Рнеобх- Оче-
видно, зона обслуживания как функция вероятности по местно-
сти и времени будет изменяться (рис. 1.48). Для особо важных
систем выбираются значения 0,9; 0,9, для оценки ЭМС — 0,1; 0,1.
Рис. 1.48. Расчетные зоны обслуживания на местности
4.4. Особенности распространения радиоволн на трассах
при подвижной связи. Разнесенный прием
Статистические характеристики принимаемого сигнала при
подвижной связи. Основной отличительной особенностью сигналов,
принимаемых ПС в движении, является наличие замираний, связан-
ных с ее перемещением. Причем скорость замираний (частота следо-
вания локальных экстремумов) будет прямо пропорциональна скоро-
85
сти перемещения ПС. Глубина замирании является многокритериаль-
ной функцией, но в основном будет определяться характером окру-
жающей местности: город, село, лесной массив, холмистость и пр.
Замирающий сигнал может быть представлен в общем
случае в виде
5(0 = г(0’^Ф(°,
где r(t) — огибающая сигнала, ф(/) — фаза сигнала.
Огибающая г(0 может быть разбита на два сомножителя:
где m(f) представляет собой медленные замирания, обусловлен-
ные макроскопическими изменениями в окружающей обстановке,
а го(О - быстрые замирания сигнала, обусловленные наличием
картины интерференции при многолучевом распространении.
Если т(у) соответствует некоторой точке местности у, в кото-
рой в момент t проводится измерение сигнала, то т(у) представляет
собой локальное среднее. Поскольку огибающая является произве-
дением двух независимых функций, то и ее локальное среднее также
будет равняться произведению среднего по медленным замираниям
и среднего по быстрым замираниям (рис. 1.49): г(у) = т(у) го (у)-
—L >о +L у
Рис. 1.49. К вычислению локального среднего при наличии
медленных и быстрых замираний
Замирающий сигнал s(t), принимаемый на местности, содер-
жит информацию как об огибающей r(f), так и о фазе ф(0- Хотя
последняя и не связана с затуханием сигнала, она сильно влияет на
качество передачи сообщения и разборчивость речи.
Рассмотренные выше методики определения потерь при распро-
странении сигнала связаны с локальным средним ш(у). Если отсутст-
вуют быстрые замирания (т.е. замирания, связанные с многолучевым
86
распространением), то потери сигнала на трассе распространения яв-
ляются единственным определяющим фактором, который необходи-
мо учитывать. Если же имеют место существенные замирания из-за
многолучевого распространения, величину го(у) нельзя рассматривать
как константу и для определения локального среднего длительность
участка измерений 2L должна быть ограничена как снизу (чтобы ис-
ключить влияние быстрых замираний), так и сверху (чтобы измене-
ния по го еЩе не сказывались в локальном среднем).
Как было показано выше, обычно принимают: 401 < 2L < 2001.
Член г0(у) определяет собой текущий сигнал, свободный от
изменения локальных средних, и его можно получить, распрямив
(пронормировав) кривую локальных средних (рис. 1.50).
Го (уУ {
У
Рис. 1.50. Вид быстрых замираний при пронормированных
локальных средних
И еще одно замечание.
Процесс быстрых замираний
должен быть нормализован от-
носительно скорости движения
ПО, в противном случае оценка
длительности замираний может
оказаться неверной.
В свою очередь, много-
численные результаты измере-
ний уровня поля в городах и на
пересеченной местности пока-
зали, что медленные изменения т(у) подчиняются логарифмически
нормальному закону (рис. 1.51)
f(tn)> <
т, дБ
Рис. 1.51. Логарифмически
нормальное распределение
при медленных замираниях
f(m) =
1
~7==—е
\12тмзт
(lnm-a)2
2°2 , т > 0.
87
Анализ быстрых замираний. Плотность распределения/(го)
амплитуды сигнала при быстрых замираниях подчиняется рэлеев-
скому закону (рис. 1.52а)
$
f(ro) = ^e 2ст2,го>0.
При наличии в сигнале регулярной составляющей (обычно в
сельской местности или крупных городах при высоком расположе-
нии антенны базовой станции) амплитуда распределяется по обоб-
щенному рэлеевскому закону (иначе, закону Райса) (рис. 1.526)
2 2
/('о)=4е 2°2 4
где /0(z) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента.
Рис. 1.52. Рэлеевское (а) и райсовское (б) распределения
амплитуды при быстрых замираниях
Исходя из модели стоячей волны, чередование min(max) быст-
рых замираний следует через ~0,5Х. Тогда частота замираний (v),
являясь функцией скорости автомобиля V, определяется как
v ( И
v = —— — .
К/2{ с J
Разнесенный прием. Замирания сигнала в подвижной связи
эквивалентны воздействию помехи и приводят к снижению качества
приема как цифровой, так и аналоговой информации.
В случае цифровой информации при определенных скоростях
передачи может пропадать целый символ, если его длительность
соизмерима с периодом замираний.
88
В случае аналоговой информации ухудшается качество и раз-
борчивость речи.
Во всех современных системах радиосвязи в целях обеспече-
ния качественного приема сигналов на фоне помех используются
оптимальные приемники, построенные в соответствии с вывода-
ми статистической теории связи. В этих условиях ухудшение ха-
рактеристик принимаемого сигнала, обусловленное глубокими
замираниями, может быть скомпенсировано увеличением мощно-
сти передатчика, увеличением размеров антенн, их высоты и т.д.
Однако эти решения оказываются довольно дорогостоящими и
зачастую неприемлемыми. Альтернативным решением является
использование передачи по нескольким независимым каналам с
разнесением и суммированием сигналов. Это уменьшает вероят-
ность возникновения излишне глубоких замираний сигнала на
приемном конце, поскольку такие замирания редко наблюдаются
одновременно в течение одного интервала времени для двух или
более путей распространения.
Рассмотрим рис. 1.53, на котором показаны два сигнала, сдвину-
тые во времени. Можно видеть, что из-за несовпадения минимумов
(глубоких замираний) в обоих сигналах суммарный сигнал будет
более гладким и, следовательно, более надежным при выделении.
Рис. 1.53. Реализации сигнала по двум независимым каналам
Временное разнесение. Если имеются два сигнала с времен-
ной задержкой Ат:
=5, ,r2=St (де-^'+й,),
то корреляционная функция огибающих
89
1?(т)= \\rxr2P(rxr2}drxdr2 ,
о о
где P(rir?) — совместная плотность вероятности и и Г2-
Интегралы такого вида (в общем случае) аналитически вычис-
лить достаточно трудно. Но для случая рэлеевских замираний с ис-
пользованием методов аппроксимации удается показать, что норми-
рованная корреляционная функция огибающих рг (т) = R2 (t)/R2 (О)
равна рг (т) = Jq (кГт).
Рис. 1.54. Нормированная
V корреляционная функция
огибающих при временном
разнесении
Здесь J^kVx) - функция
Бесселя нулевого порядка,
Х=2л/Х, V — скорость, т-
временной сдвиг. График этой
функции - на рис. 1.54.
Условие некоррелиро-
ванности
рг(т)=^агт)=о
выполняется при Гт/Х = 0,4.
После первого нуля значения
корреляционной функции вновь начинают возрастать, но остаются
весьма малыми. В связи с этим принято, что задержка на
т = 0,5 kJV достаточна для получения на ПС двух слабо коррелиро-
ванных сигналов.
Временное разнесение применяется довольно редко, посколь-
ку разнесение зависит от скорости движения. Так, при Г—> 0 вре-
менное разнесение т —> со.
Пространственное разнесение на ПС. Рассматривается про-
странственное разнесение приема d, обусловленное движением
ПС. Здесь очевидна полная аналогия с временным разнесением,
поскольку разнесение d = Гт. Таким образом,
Pr|r2(rf)=j02(faz).
Условие некоррелированности
4(h/)=o
выполняется при разнесении d= 0,4Х.
90
Графическая зависимость Jq(^J) от J/X,показана на рис. 1.55
(сплошная кривая). Пунктирная кривая — экспериментальные данные
для города малой этажности или пригородной зоны. Здесь некоррели-
рованность достигается при d~ 0,8Х. Отличие объясняется тем, что
распределение углов прихода волн отличается от равномерного.
Рис. 1.55. Нормированная корреляционная функция огибающих
при пространственном разнесении на ПС
Напротив, измерения, проведенные в крупных городах, пока-
зывают, что реальное критическое разнесение Jo оказывается
меньше расчетного (0,4Х). Строгой теории пока нет, но основные
предпосылки для объяснения такого расхождения состоят в том,
что при распространении волн в городах с большой этажностью
распределение амплитуды описывается обобщенным рэлеевским
законом (законом Райса), а реальная картина формирования отра-
женных сигналов формируется объемным эллипсоидом вращения.
Пространственное разнесение на БС. Пространственное разне-
сение на БС осуществляется за счет применения нескольких разне-
сенных приемных антенн. Аналитические зависимости, описываю-
щие корреляционную функцию, в случае пространственного разнесе-
ния на БС достаточно громоздки. Физическая интерпретация разли-
чий пространственного разнесения на БС и ПС состоит в следующем.
В электродинамике существует теорема взаимности, суть кото-
рой состоит в том, что условие передачи энергии между излучателями
не зависит от направления передачи. В нашем случае БС <-> ПС. В
случае стационарных каналов это справедливо, в случае подвижной
связи при наличии быстрых замираний — нет (рис. 1.56). Это обуслов-
лено следующим. Наиболее существенный вклад вносят близко рас-
положенные переотражатели. Это можно увидеть из анализа зоны
91
Рис. 1.56. Иллюстрация различия
углов прихода сигналов на БС и ПС
Френеля (рис. 1.57). Вклад точек, находящихся на эллипсоиде враще-
ния, на уровень перестриженного сигнала неодинаков, и в этом смыс-
ле может быть введено понятие эффективного радиуса рассеяния для
сигнала на ПС. Действительно, поскольку уровень переотраженного
сигнала U ~ Ж-^) (при квадратичном законе), то своего макси-
мального значения U достигает, когда (или R2) минимально (при
условии, что Aj + R2 = const). Но из-за отсутствия (как правило) пе-
реотражателей вблизи антенны БС основной вклад на БС и ПС будут
вносить переотражатели, расположенные вблизи ПС.
Однако принципиальное
отличие условий приема на
БС и ПС будет состоять в
различии плотности рас-
пределения углов прихода
переотраженных сигналов
на БС и ПС: на ПС это рав-
номерная плотность (т.е.
У(<р) = 1 / 2л), а на БС сигналы
приходят в малом угловом
секторе 0 (рис. 1.56). Для та-
кой идеализированной моде-
ли эффективный радиус рас-
сеяния г на ПС может быть
определен из соотношения
г = Д0/2.
Например, если 0 = 0,5°,
R ~ 4,8 км, то г = 1200 м. По-
этому из-за различной плотно-
сти распределения углов при-
хода на ПС и БС нормирован-
ные корреляционные функции
огибающих сигнала для ПС и
БС будут различными.
На рис. 1.5 8а,б в качестве примера представлены зависимости
нормированных корреляционных функций огибающих сигнала от
разноса двух антенн БС (J/Х) для различных углов а прихода сигна-
лов и при ширине луча 0 = 0,4° (а) и 0 = 3,0° (б).
Рис. 1.57. К обоснованию малости
углового сектора прихода
сигналов на БС
92
Сопоставление с аналогичными зависимостями на ПО (рис. 1.55)
подтверждает существенную разницу в характере поведения функ-
ции корреляции на ПС и БС.
Чем больше углы а и 0, тем менее коррелированны каналы и
тем меньше требуется разнос антенн на БС. Экспериментальные
данные также это подтверждают.
В ходе экспериментальных исследований была выявлена зави-
симость pr(J) от высоты подъема антенн на БС (рис. 1.59).
Рг(4)М
О ю 20 30 40 50 60 70 80 90 J/A
б)
Рис. 1.58. Зависимость нормированной корреляционной функции
от разноса двух антенн БС при 0 = 0,4° (а) и 0 = 3,0° (б)
93
Рис. 1.59. Зависимость нормированной корреляционной
функции огибающих от высоты подъема антенн на БС
Частотное разнесение. Два достаточно разнесенных радио-
сигнала, передаваемые на двух несущих частотах, могут быть не-
зависимыми. Поскольку частотное разнесение статистически зави-
сит от разноса несущих частот, имеет важное значение формули-
ровка критерия частотного разнесения.
При изменении несущей частоты фаза каждой волны изменяется
в зависимости от своего значения временной задержки 7}, поэтому
корреляционная функция аргумента f = fx - f2 определяется харак-
теристиками распределения задержки р(Т). В соответствии с преоб-
разованием Фурье частотная корреляционная функция имеет вид
As(A/j = J p(T)eant;frdT.
Для описания распределения временных задержек Т использу-
ется несколько моделей, из которых наиболее простой и часто
употребляемой является модель экспоненциального распределе-
ния, описываемая формулой
С ( Т\
, . — ехр ,
р(т)=<а aJ
7>0;
О, Т < 0.
Здесь С — полная мощность, принимаемая антенной; Т— задерж-
ка, измеренная относительно прямого пути между БС и ПС; А — стан-
дартное отклонение временных задержек ( А - у1<Т2>-<Т>2 ).
94
В этом случае нормированная корреляционная функция равна
р(Д/) = 1Д/1 + (2яД/Д)2
и ее график представлен на рис. 1.60.
2пД лД 2лД
Рис. 1.60. Нормированная корреляционная функция
огибающих при частотном разнесении
Так, необходимая для обеспечения независимости замира-
ний двух сигналов их некоррелированность (р < 0,2) достигается
при частотном разнесении более 1 МГц.
Вообще говоря, в радиосвязи частотное разнесение практиче-
ски не применяется из-за ограниченности частотного ресурса, так
как изначально требуется удвоение числа рабочих частот.
В технике подвижной связи представляет интерес полоса час-
тотной когерентности. Под этим понимается максимальная полоса
частот, в пределах которой статистические свойства коэффициентов
передачи двух гармонических сигналов являются коррелированны-
ми: р(Л/) > 0,5. Это важно в связи с широким использованием в тех-
нике подвижной связи сигналов с расширением спектра и появлени-
ем вопроса о предельной полосе сигнала (или о минимальной его
длительности). Задаваясь значением р(Л/) > 0,5, получаем, что поло-
са частотной когерентности составляет менее 0,5 +1 МГц.
Угловое разнесение. Такой способ разнесения достаточно
эффективен — используются две направленные антенны, разме-
щаемые под разными азимутальными направлениями на ПС. Реа-
лизация углового разнесения также возможна при использовании
двухлучевой фазированной антенной решетки с автовыбором мак-
симума сигнал-шум из декоррелированных каналов.
95
Рис. 1.61. Реализация
компонентного разнесения
Компонентное разнесение. Учи-
тывая, что в дальней зоне присутствуют
электрическая и магнитная компоненты
(jEo и Др) и они являются линейно-
поляризованными, из-за разных условий
переотражения они поступают на при-
емную антенну статистически независи-
мыми, т.е. некоррелированными. В про-
стейшем исполнении могут использо-
ваться две рамки с квадратурным питанием и диполь (или штыре-
вая антенна) (рис. 1.61).
4.5. Особенности распространения коротких
радиоимпульсов при подвижной связи
До сих пор мы вели разговор о прохождении по радиоканалам
СПР монохроматических сигналов, и все результаты, строго гово-
ря, будут справедливы для систем СПР с частотным разделением
каналов (FDMA).
В последние годы широкое распространение получают циф-
ровые системы связи с временным и кодовым разделением кана-
лов (TDMA, CDMA). И в тех, и в других предполагается исполь-
зование сигналов, отличающихся большой широкополосностью, в
том числе коротких импульсных сигналов. В каналах связи при
распространении радиоволн встречаются некоторые особенности,
характерные только для таких сигналов. Одной из особенностей
является, например, уменьшение замираний при распростране-
нии. Это нетрудно выявить из рассмотренного ранее материала.
Действительно, короткий импульсный сигнал занимает полосу
частот А/ «1/т . При длительности т ® 1 мкс полоса «1 МГц, т.е.
крайние составляющие частотного спектра, выходя за полосу ко-
герентности, будут некоррелированны и в результате замирания
будут меньше, как при частотном разнесении.
Но для таких сигналов будет наблюдаться и специфическое
свойство, получившее в литературе название «расширение задержки».
Что это такое и как проявляется? Явление расширения задержки
возникает, когда БС передает на ПС импульсный сигнал вида
50G) = o08(r)e“',
96
где 5(f) — единичная функция:
5(f) = (*
' ’ О
ч
при 0<f<T0;
при / > т0.
а)
б)
Рис. 1.62. Физическая модель
запаздывающего сигнала
Если длительность то
соизмерима с запаздыва-
нием сигналов от переот-
ражателя (рис. 1.62а,б) Af,
Af = c[(r1+r2)-r0],
где с - скорость света, то
из-за эффекта многолуче-
вости принимаемый сигнал
растягивается во времени.
Принимаемый сигнал:
Это выражение представляет собой последовательность дис-
кретных импульсов на частоте со, поступающих на приемник ПС
(рис. 1.63).
Рис. 1.63. К расчету временных задержек при многолучевом
распространении импульсных сигналов
97
По мере увеличения числа рассеивателей вокруг ПС количество
принимаемых отраженных импульсов увеличивается, они сливаются
в один непрерывный импульс с длительностью Ато (рис. 1.64).
Рис. 1.64. Эффект «расширения задержки»
Величину Ато называют расширением задержки.
Расширение задержки определяет время ожидания, соответст-
вующее времени, через которое может быть передан последующий
импульс в радиоканале. В конечном счете время задержки накла-
дывает ограничение на возможность повышения скорости переда-
чи до значений, меньших 1/(то + Ато).
Другим негативным последствием может быть трансформация
кодовых последовательностей в системах с кодовым разделением
(CDMA) и возникновением ретрансляционной помехи (рис. 1.65).
Рис. 1.65. Иллюстрация возникновения ретрансляционной помехи
Реальные картины задержки расширения будут значительно
сложнее, ибо, как говорилось ранее, в составе отраженных компо-
нент могут быть как френелевская составляющая, так и рассеянная.
Первая в простейшем случае ~ F
, вторая ~F
2 2
4 4
1 Г2
98
Реальная картина принимаемого сигнала отражена на рис. 1.66.
Первый пик - не обязательно прямой сигнал и не обязательно
максимальный.
Рис. 1.66. Реальная картина принимаемого импульсного сигнала
При учете многообразия факторов, определяющих характер
изменения расширения задержки, первоначальные результаты ис-
следования получены путем эксперимента.
Сегодня наиболее известны результаты экспериментальных
исследований на частотах:
80 МГц — российские,
450 МГц - российские и зарубежные,
750 МГц — зарубежные.
Основные выводы по экспериментальным результатам.
Максимальные значения Дт0 достигают:
в городе 10... 15 мкс,
в пригороде 1...5 мкс.
Стандартное отклонение:
в городе 1,5...2 мкс,
в пригороде 0,8 мкс.
Теоретические разработки,
базирующиеся на учете всех
«переотражений» путем интег-
рирования по поверхности, ок-
ружающей точки приема и пе-
Рис. 1.67. Иллюстрация эффекта
расширения задержки
в зависимости от расстояния
(rm) между БС и ПС
редачи, дают зависимость рас-
ширения задержки Дто в виде
сложной степенной функции с
переменным показателем от 3,5
до 2,5. Примерный вид этой
зависимости (в логарифмическом масштабе) отражен на рис. 1.67.
99
Основные выводы, которые могут быть сделаны по теоре-
тическим разработкам:
— с увеличением расстояния между точками приема и пере-
дачи нормированное расширение задержки увеличивается;
— с увеличением частоты расширение задержки уменьшается;
— с увеличением длительности излучаемого импульса расши-
рение задержки увеличивается;
- стандартное отклонение расширения задержки составляет:
в городе - 1,5...2,5 мкс (в зависимости от застройки); на пересе-
ченной местности ~1 мкс.
4.6. Особенности распространения радиоволн сантиметрового,
миллиметрового и оптического диапазонов
Радиоволны сантиметрового (см), миллиметрового (мм) и опти-
ческого диапазонов в основном распространяются по законам гео-
метрической оптики в пределах прямой видимости либо за счет рас-
сеяния на неоднородностях тропосферы на большие расстояния. Ра-
диоволны этих диапазонов практически не преломляются в ионизи-
рованных слоях и легко проникают через ионосферу, поэтому нахо-
дят широкое применение в космической связи. Поглощение в гид-
рометеорах начинает сказываться на распространении радиоволн с
длиной менее 3-5 см. Молекулярное поглощение становится замет-
ным в нижней части сантиметрового диапазона (~1 см), в основном
проявляется в мм диапазоне и влияет на распространение волн в оп-
тическом диапазоне, где наибольшее поглощение создают запылен-
ность, снеговые заряды, задымление и пр.
Особенности распространения радиоволн см н мм диапа-
зонов. На распространение радиоволн указанных диапазонов наи-
большее влияние, проявляющееся в виде дополнительного погло-
щения, оказывают следующие факторы: поглощение в гидрометео-
рах (дождь, туман, снег, град); молекулярное поглощение; погло-
щение на твердых частицах, находящихся во взвешенном состоя-
нии в воздухе (дым, пыль и др.); рассеяние на молекулярных обра-
зованиях в воздухе. Причем основной вклад в дополнительное по-
глощение вносят гидрометеоры.
Поглощение в гидрометеорах. Расчет поля с учетом погло-
щения в гидрометеорах осуществляется по формуле
^ = 31°5УРкВтОе-6,ю,ГмкВу (1106)
R км V м )
100
Здесь множитель е-б/ км — степень поглощения радиоволны,
прошедшей путь I км при коэффициенте поглощения на пути
1 км — 8. Различают две физические причины поглощения радио-
волны в гидрометеорах.
Прежде всего, так как гидрометеоры являются полупроводящей
средой, то распространяющаяся волна наводит в них токи смещения,
плотность которых прямо пропорциональна частоте, и часть энергии
затрачивается на потери в гидрометеорах в виде джоулева тепла, и,
следовательно, с повышением частоты такие потери растут.
Кроме того, так как гидрометеоры являются источниками рас-
сеянного излучения, то часть энергии также не достигает точки
приема. Наиболее изученными являются вопросы дополнительного
поглощения на капельках воды.
Размеры капелек воды, находящихся во взвешенном состоя-
нии в атмосфере (туман, облака), колеблются в пределах от 2 до
60 мк (по радиусу). Более крупные капельки являются столь тя-
желыми, что теряют способность «плавать» в атмосфере и выпа-
дают на землю в виде дождя. Число капель в 1 см3 колеблется от
5-г-ЮО (слабый туман) до 5004-600 (плотный туман). Важной ха-
рактеристикой тумана и дождя является водность, т.е. количест-
во сконденсированной влаги в г/м . Водность туманов характе-
3 3
ризуется величиной 0,034-2,5 г/м , дождя — от 0,1 г/м (моросящий
дождь) до 5 г/м (ливень).
Наиболее полные (первые) экспериментальные данные по по-
глощению радиоволн имеются для длины волны Х= 1,25 см. Экс-
периментально установлено существование близкой к линейной
зависимости между коэффициентом поглощения 8 и интенсивно-
стью дождя (количество осадков в мм/час). Абсолютное значение
—2
коэффициента 8 составило 8 - 2,64-10 1/км (или 0,25 дБ/км на каж-
дый миллиметр осадков в час (1 мм/час)).
На рис. 1.68 показана зависимость коэффициента поглощения
(в дБ/км) от длины волны в сантиметровом и миллиметровом
диапазонах волн в условиях тумана (пунктирные кривые) и дождя
(сплошные кривые) и водности (г/м3) в качестве параметра.
График на рис. 1.68 показывает, что как при сильном дожде
(водность ~1 г/м3), так и при сильном тумане (водность «2 г/м3)
поглощение волны X = 1 мм столь сильно (8—10 дБ/км), что уже
на расстоянии 10 км связь практически неосуществима. И напро-
101
тив, радиоволны с X > 5 см практически не поглощаются в дождях
и туманах (8 < 0,05 дБ/км).
Рис. 1.68. Зависимость коэффициента поглощения
от длины волны в гидрометеорах
Общий вывод, который может быть сделан из этих исследова-
ний, заключается в том, что при сильном дожде и ливнях волны
миллиметрового диапазона испытывают значительное поглощение
(более 1 дБ/км). При этом нет никаких оснований ожидать сущест-
вования в таких условиях «окон прозрачности».
Напротив, для случая молекулярного поглощения в кислороде
воздуха (О2) и в парах воды (Н2О) в миллиметровом диапазоне отме-
чены два «окна прозрачности»: на частоте «38 ГГц (X « 7,9 мм) — по-
глощение менее 0,06 дБ/км и на частоте «85 ГГц (Х«3,5 мм) — по-
глощение менее 0,2 дБ/км. Тогда как молекулярное поглощение в ки-
слороде воздуха на частотах «65 ГГц (X « 4,6 мм) достигает 10 дБ/км.
В частности, этот факт послужил причиной выбора такой частоты для
организации защищенных от радиоразведки каналов ближней связи.
Поглощение сантиметровых радиоволн в кислороде воздуха и
в парах воды в целом не превышает 0,2-Ю,3 дБ/км и может не учи-
тываться при проектировании в этом диапазоне линий радиосвязи.
102
Точно так же ничтожно и может не учитываться дополнительное
ослабление в см и мм диапазонах волн за счет молекулярного рассея-
ния и за счет поглощения на попадающих в атмосферу твердых час-
тицах (пыль, дым, пепел и т.д.). Данное утверждение справедливо,
если указанные твердые частицы не являются ядрами конденсации,
вокруг которых формируются капли воды. В этом случае поглощение
происходит примерно так же, как и в гидрометеорах.
Дополнительное ослабление за счет засасывания и выброса в
атмосферу более крупных частиц (например, при торнадо или
ядерном взрыве) изучалось в специальных исследованиях, в ходе
которых был сделан вывод об их существенном влиянии даже в
сантиметровом диапазоне частот.
Особенности распространения радиоволн оптического диа-
пазона. Квантовые генераторы радиоволн оптического диапазона
(лазеры), в отличие от оптических источников видимого и инфра-
красного света, обеспечивают когерентное излучение высокой мо-
нохроматичности. Вместе с тем радиоволны оптического диапазона,
являясь по своей сути электромагнитными волнами, подчиняются
общим закономерностям.
Основное преимущество применения волн оптического диа-
пазона состоит в возможности формирования чрезвычайно узких
диаграмм направленности (ДН), исчисляемых минутами и даже
секундами.
Раскрыв ДН можно посчитать, используя известное выражение
для определения а по половинной мощности: сх= 1,22 — (рад) =
d
70Х , ч , , 1Л
=---- (град), где d — диаметр антенны; имеем при я = 10 см и
d
а = 1 мк ширину ДН X » 2,5".
Для сравнения: для получения такой же ширины ДН на волне
3 см необходимо иметь антенну диаметром 3 км!
При столь узких ДН влияние Земли (при наличии прямой ви-
димости) полностью исключается. Радиоволны оптического диапа-
зона при распространении в атмосфере претерпевают искривление
из-за атмосферной рефракции и также испытывают поглощение.
Радиус кривизны вследствие меньшего влияния полярных молекул
водяного пара при нормальной атмосферной рефракции достигает
значений R » 50000 км против значения R = 25000 км для УКВ.
103
Радиоволны оптического диапазона также сильно подвержены
молекулярному поглощению, особенно в парах воды, в которых
резонансные линии поглощения так тесно примыкают одна к дру-
гой, что образуют практически сплошные области поглощения.
Вместе с тем и в этом диапазоне волн существуют «окна про-
зрачности», прежде всего, — «окно» в диапазоне 0,4-е-0,85 мк. На-
помним, что спектр видимого света — 0,44-0,75 мк. Существует
«окно прозрачности» в диапазоне 0,95-е-1,05 мк и еще ряд «окон» в
поддиапазонах от 1 мк до 13,5 мк. Для волн длиннее X = 14 мк до
X = 1,5 мм нижняя часть атмосферы практически непрозрачна из-за
многочисленных и интенсивных полос поглощения паров воды.
«Окна прозрачности» в области видимого света и инфракрас-
ного диапазона чередуются с соответствующими полосами погло-
щения, находящимися на волнах с Х = 0,93; 1,13; 1,40; 1,87; 2,74;
6,3; 17 мк на парах воды; на волнах с X = 2,7; 4,26; 15 мк - погло-
щению в СО2; на волне с X = 9,5 мк — поглощению в озоне.
Возможность обеспечения связи на оптических частотах пре-
жде всего объясняется наличием «окон прозрачности». При этом
предполагается отсутствие в атмосфере гидрометеоров и твердых
частиц в виде пыли, дыма, пепла и др., которые создают столь зна-
чительное поглощение, что практически делают связь в оптиче-
ском диапазоне невозможной, особенно при наличии загрязнения
атмосферы твердыми частицами.
Из-за высокой концентрации энергии в оптическом диапазоне
приемная антенна ограниченного диаметра получает возможность
извлекать практически всю заключенную в пучке энергию.
Высокие абсолютные значения несущих частот в оптическом
диапазоне волн дают возможность обеспечения передачи сигнала в
широкой полосе частот и открывают колоссальные возможности
передачи огромных объемов информации. В этом отношении оп-
тическая связь превосходит все другие виды связи.
Другой особенностью излучения радиоволн в оптическом диа-
пазоне частот является возможность фокусировки монохроматиче-
ского излучения в пределах площадки, соизмеримой с длиной излу-
чаемой волны. При этом удается достигнуть плотности концентра-
ции энергии, в миллионы раз превышающей плотность излучения у
поверхности Солнца. Такой концентрации лучистой энергии можно
найти самое неожиданное применение, например, мгновенно испа-
рить самый тугоплавкий металл, сделать реальной передачу энергии
104
без проводов, а в связи — получить безграничные возможности пере-
дачи информации на большие расстояния.
4.7. Особенности распространения радиоволн
в тропосферных, ионосферных и метеорных радиолиниях
В предыдущих разделах рассматривались вопросы распро-
странения радиоволн вдоль земной поверхности. Показано, что за
пределами радиогоризонта присутствует только дифракционная
компонента электромагнитной волны, которая на высоких частотах
(УКВ и выше) крайне мала и может не учитываться при расчетах
дальности связи.
Вместе с тем существуют некоторые физические предпосыл-
ки для загоризонтного распространения радиоволн, такие как рас-
сеяние радиоволн на неоднородностях тропосферы, отражение
радиоволн от ионизированных слоев верхней части атмосферы,
отражения от ионизированных следов, образующихся от сгораний
метеоритов в плотных слоях атмосферы. Ниже рассматриваются
все три аспекта.
Особенности распространения радиоволн в тропосферных
радиолиниях. Тропосферой называется нижняя часть атмосферы,
расположенная на высоте 10-s-16 км над Землей. Важнейшим свой-
ством тропосферы является убывание температуры с высотой, гра-
диент температуры «6 град/км. Вследствие турбулентности от
восходящих потоков теплого воздуха имеет место перемешивание
воздушных масс.
Давление атмосферы Р быстро спадает от 1013 мбар у Земли до
100 мбар на высоте 16 км. Также быстро уменьшается с высотой со-
держание водяного пара. В 1925г. было введено понятие «нормальной
тропосферы»: у поверхности Земли Р= 1013 мбар, Т= 15°С; относи-
тельная влажность S =60%. По мере подъема на каждые 100 м
ДР = 12 мбар, АГ= 0,55°С, S = const.
Являясь смесью двух газов - воздуха и водяного пара, тропосфе-
ра может рассматриваться как неоднородная диэлектрическая среда,
коэффициент преломления в которой меняется с высотой. Распро-
страняющаяся в такой среде радиоволна будет испытывать атмосфер-
ную рефракцию, распространяясь не прямолинейно, а по некоторой
дуге радиусом «в нормальной тропосфере» R = 25000 км — I (в УКВ) и
R = 50000 км — II (в оптическом диапазоне) (рис. 1.69).
105
II Объясняется расхож-
- т______________________дение тем, что обладающие
дипольным моментом мо-
лекулы воды вследствие
г, , „ . , , конечной массы не успе-
Рис. 1.69. Атмосферная рефракция ~ J
в УКВ (I) и оптическом (II) диапазонах вают П°Д действием элек-
тромагнитного поля очень
высоких частот (~ 1014 Гц), свойственных видимому свету, ме-
нять свою ориентировку.
В 1933г. Берроуз предложил упрощенную трактовку влияния реф-
ракции, заключающуюся в том, что волна по-прежнему распростра-
няется прямолинейно, но раднус Земли меняется на 7?э = 8500 км вме-
сто 7?з = 6370 км. Тогда в формулу для определения дальности прямой
видимости вместо коэффициента 3,57 входит коэффициент 4,12:
дпр=4-12(А7+ч/^7) <км)-
Все другие формулы, в том числе дифракционные формулы
Фока остаются справедливыми при замене 7?з на — 8500 км.
В реальных условиях наблюдаются микропульсации и флук-
туации коэффициента преломления, вплоть до образования на пути
радиолуча локальных неоднородностей, поэтому имеют место от-
клонения от «нормальной атмосферы», особенно в регионах с
большими перепадами суточных температур. На рис. 1.70 пред-
ставлено три таких предельных случая: отрицательная, критиче-
ская и сверхрефракция.
Любопытен случай
I 1 явления сверхрефракции,
/ при котором эквивалент-
/ ______________2 ный радиус является отри-
73 цательной величиной (т.е.
Земля является как бы во-
гнутой). В южных широ-
тах’ ос°бенно в пригра-
~ ничных областях суши с
Рис. 1.70. Варианты атмосферной рефракции: морской акваторией явле-
1 - отрицательная рефракция (7?э<6370 км); ние сверхрефракции дос-
2 — критическая рефракция (/?э = °0); таточно часто проявляется.
3 — сверхрефракция (7?э<0) В области видимого света
это известные миражи.
106
Значение явления сверхрефракции в качестве способа осуще-
ствления дальней радиосвязи в целом невелико, поскольку условия
для ее возникновения очень специфичны и случайны, хотя в от-
дельных регионах они закономерны.
Более закономерным физическим явлением, обеспечивающим
загоризонтное распространение радиоволн, является их рассеяние
в тропосфере. Уже первые проведенные эксперименты по проверке
выполнения дифракционных формул показали, что фактически на-
блюдаемые поля на расстояниях от 600 до 1 000 км значительно
превышали уровень, предсказанный дифракционной теорией. Так,
на расстоянии 500 км разница достигала -100 дБ на частоте
30 МГц и —260 дБ на частоте 300 МГц. Отличительной особенно-
стью наблюдаемых на больших расстояниях полей является их
флуктуационный характер. Большой уровень сигнала указывал на
наличие нового механизма распространения, обусловленного про-
цессами в тропосфере. Флуктуационный характер поля позволил
выдвинуть гипотезу, что в основе этого механизма лежит турбу-
лентное (вихревое) движение воздушных масс, обеспечивающее
флуктуационный характер диэлектрической проницаемости, а сле-
довательно, и коэффициента преломления относительно некоторо-
го усредненного раднус-вектора. В результате этого каждый эле-
ментарный объем тропосферы при воздействии на него электро-
магнитного поля эквивалентен источнику, создающему рассеянное
поле с приоритетным направлением излучения. Рис. 1.71 отражает
механизм загоризонтного распространения радиоволн за счет рас-
сеянного поля. Здесь в точке А расположена передающая антенна с
коэффициентом направленного действия (КНД) Di, в точке В -
приемная антенна с КНД Область тропосферы, образованная
пересечением телесных углов диаграмм направленности (ДН) пе-
редающей и приемной антенн, называется объемом рассеяния. Она
одновременно видна из точек приема-передачи. Все источники
тропосферы, расположенные в пределах общего объема рассеяния
и облучаемые передающей антенной, являясь источниками рассе-
янного излучения, имеют в том числе и компоненту в направлении
на приемную антенну. Множество источников рассеянного излу-
чения из всего общего объема рассеяния создает конечное резуль-
тирующее поле в месте расположения приемной антенны. Интер-
ференционный характер рассеянного поля приводит к флуктуаци-
ям (замираниям) принятого сигнала.
107
о
Рис. 1.71. Механизм загоризонтного тропосферного распространения
Значение мощности в приемной антенне Рг определяется фор-
мулой
2
w^(BT),
(4лг)2
(1.107)
2 ____
где F « —у/а • V - множитель ослабления, о — эффективная пло-
Г\1Т1
щадь рассеяния, V — общий объем рассеяния.
Быстрые флуктуации принимаемого сигнала подчиняются
обобщенному закону Рэлея (закон Райса).
Графическая зависимость медианных значений (для зимнего
периода) множителей ослабления от расстояния представлена на
рис. 1.72. Зимний период для инженерных расчетов выбран как худ-
шее время года для тропосферного распространения.
Явление тропосфер-
ного рассеяния наиболее
ярко выражено в облас-
ти высоких частот (УКВ
и выше). Его открытие
заставило пересмотреть
взгляды на высокочас-
тотный диапазон как на
волны, пригодные для
связи только в пределах
прямой видимости. Про-
Рис. 1.72. Множитель ослабления
при тропосферном распространении
108
веденные исследования по тропосферной связи показали, что, исполь-
зуя передатчики 204-50 кВт и высоконаправленные приемные и пере-
дающие антенны, можно обеспечить надежную связь в диапазоне
0,34-10 ГГц на расстояния до 100 км. Передаваемая без искажений
полоса частот при тропосферной связи достигает 54-10 МГц.
Особенности распространения ионосферных радиоволн.
Ионосферой называют область атмосферы на высотах от 60 км,
ионизированную в основном ультрафиолетовым и рентгеновским
излучениями Солнца. Теоретически область ионизации может про-
стираться на 2—3 земных радиуса, а в годы геомагнитных возмуще-
ний даже на 10 земных радиусов, но для практической связи ис-
пользуются ионизированные слои до 3504-400 км.
Процесс ионизации заключается в отрыве одного или несколь-
ких электронов из наружной оболочки нейтральных атомов газов,
находящихся в атмосфере, главным образом, азота и кислорода. Под
действием солнечного излучения происходят процессы фотоиониза-
ции и ударной ионизации, в результате электрическое равновесие в
атомах нарушается. Появляются свободные электроны, а атомы ста-
новятся положительно заряженными (ионы). Кроме электромагнит-
ного излучения Солнца, достаточно мощным источником иониза-
ции, особенно во время геомагнитных возмущений при хромосфер-
ных вспышках на Солнце, являются корпускулярные потоки. Дли-
тельность хромосферных солнечных вспышек обычно составляет от
5 минут до одного часа. Следует также иметь в виду, что жесткое
солнечное излучение (волны короче 2000 А ) повышается не только
во время спорадических вспышек на Солнце, но и изменяется в со-
ответствии с 11-летним периодом солнечной активности, характери-
зуемым среднегодовым числом солнечных пятен.
В атмосфере наряду с процессами ионизации постоянно идет
обратный процесс исчезновения свободных электронов в процессе
воссоединения (рекомбинации) с положительными ионами. В ре-
зультате наступает динамическое равновесие, когда количество
ионизируемых частиц в единицу времени сравнивается с количест-
вом рекомбинированных частиц. Самые общие рассуждения пока-
зывают, что максимум ионизированных частиц должен приходить-
ся на средние слои атмосферы, поскольку ионизирующее излуче-
ние Солнца частично поглощается по мере приближения к нижним
слоям, а в силу разреженности атмосферы в верхних слоях количе-
109
ство частиц, способных к ионизации, там резко сокращается. Такая
структура ионизации для однородной по своему составу атмосфе-
ры, постоянной температуры и монохроматического излучения по-
лучила наименование простого ионизированного слоя.
Условия ионизации в реальной атмосфере отличаются от идеа-
лизированных по крайней мере в трех аспектах. Во-первых, реаль-
ная атмосфера однородна по своему составу только до высот
« 90 км. На больших высотах имеет место ее расслоение. Во-вторых,
температура в атмосфере также меняется с высотой. При общей тен-
денции к ее повышению примерно на 4,0°К на каждый 1 км подъема
имеется также один температурный максимум на высоте «60 км,
вызванный процессами образования озонового слоя с выделением
тепла. Постепенное повышение температуры на высотах свыше
100 км вызвано поглощением солнечной радиации при образовании
ионизированного слоя. Повышение температуры разреженного газа
следует понимать как повышение кинетической энергии газов, т.е.
хаотическую скорость теплового движения молекул, атомов, элек-
тронов. В-третьих, ионизация атмосферы создается не только жест-
кими излучениями, но и корпускулярными потоками, плотность ко-
торых крайне нерегулярна. Все три аспекта приводят к тому, что
действительное распределение ионно-электронной концентрации по
высоте существенно отличается от «простого слоя». Отличие прояв-
ляется в двух направлениях. Во-первых, это значительная высотная
асимметрия конфигурации слоя: при максимуме ионизации на высо-
те «350 км электронная концентрация полностью спадает на высо-
тах «604-100 км и наблюдается медленный ее спад по мере подъема
выше 350 км вплоть до высот «60 000 км (радиационные пояса Зем-
ли). Во-вторых, в конфигурации слоя до 350 км отмечались четыре
выраженных ионизированных подслоя, получивших наименования
слоев D, Е, F[ и 7*2 (рис. 1.73).
Здесь уместно отметить, что понятия о наличии ярко выра-
женных слоев в ионосфере претерпело изменения с появлением
возможности прямых измерений электронной концентрации с по-
мощью дисперсионных интерферометров, установленных на гео-
физических ракетах и ИСЗ. В частности, было показано, что ярко
выраженные ионосферные слои, отмечаемые ионосферными стан-
циями вертикального зондирования ионосферы по измерениям
критических частот отсутствуют*.
110
Рис. 1.73. Конфигурации ионосферных слоев
Под «критической частотой» понимается наибольшая частота,
при которой радиоволны отражаются от ионизированного слоя при
вертикально направленном луче. Высота слоя определяется по вре-
мени задержки отраженного от слоя сигнала. Можно говорить толь-
ко об одном явно выраженном максимуме на высотах «350 км (слой
F2) и о трех других слабо выраженных небольших выступах на кри-
вой распределения электронной концентрации (см. рис. 1.73). Имеет-
ся также существенное различие в структуре электронной плотности
дневного и ночного времени. С наступлением темноты из-за быст-
рой рекомбинации область D (на высотах 60 — 90 км) и выступ F\
(на высотах «200 км) исчезают. В целом с наступлением ночи абсо-
лютная электронная концентрация всех областей уменьшается.
Абсолютные значения электронной концентрации также
претерпевают значительные изменения: от 102 эл/см3 для облас-
ти D, 1034-105 эл/см3 для области Е, до 2Ю5-н2Ю6 эл/см3 для об-
ласти F] и F2.
Электронная концентрация N связана с критическими часто-
тами в МГц соотношением ЛГ = 1,24-104, эл/см3. Суточный ход
электронной концентрации, а следовательно и критические часто-
ты, зависят от геомагнитной широты, что указывает на значитель-
ную роль корпускулярных потоков в создании ионизации. Типовой
усредненный суточный ход критических частот и действующих
высот для слоев Е и F2 в зимние месяцы отражен на рис. 1.74.
111
Рис. 1.74. Типовой суточный ход
критических частот
Эпизодически на высотах
области Е образуется сильно
ионизированный слой, полу-
чивший наименование «спора-
дического слоя £s», электрон-
ная концентрация в котором
может на порядок превышать
стандартную концентрацию
слоя Е. В южных широтах
слой Е$ появляется спонтанно
в любое время года, в средних
широтах - преимущественно
в дневное летнее время. Ос-
новной гипотезой возникно-
вения слоя Е$ является проса-
чивание заряженных частиц
из слоя Fi в результате турбу-
лентного перемещения воз-
душных масс.
Условия отражения от ионизированного слоя. Реальная ат-
мосфера представляет собой неоднородный ионизированный газ. Ра-
диоволны в такой среде распространяются не по прямолинейным тра-
екториям, а по криволинейным, и при определенных условиях радио-
волны, испытывая полное внутреннее отражение от ионосферы, воз-
вращаются на Землю. Для простоты рассмотрим случай плоско-
слоистой ионосферы (рис. 1.75), состоящий из слоев малой толщины,
в пределах каждого из которых электронная концентрация 7V= const.
Причем считаем, что 0<M<^...<2V„<2V„+1....
Рис. 1.75. Иллюстрация отражения луча в ионосфере
112
Далее считаем, что на самый нижний слой из неионизирован-
ной среды падает радиолуч частоты f под углом фо- Основываясь
на известном выражении для коэффициента преломления п
n = ^l-^Nlf2
и учитывая, что для воздуха п = 1, можно записать следующее:
1>и1>и2>...>и„>и„+1....
Применяя к каждой границе закон синусов, получим
1 -sin<p0 = Hj sin<p = sin <р„.
При достаточно большом числе преломлений у и-го слоя угол
падения приблизится к 90° (sin<p„ = 1), поэтому, сохраняя в равен-
стве крайние члены, условие, что у и-го слоя луч будет пологим
(точка поворота), запишем в виде
sin ф0 =пп
или, подставляя значение п,
sincpo^1-80’8^//2 •
Для вертикального падающего луча фо = 0, поэтому условие
для его поворота
/кр - ^80,8Л'. (1.108)
Из последних двух соотношений получаем условие отражения
наклонно падающего луча частоты f под углом ф0:
f “ Ap‘sec(Po (закон секанса).
Таким образом, при нормальном падении радиоволны на ионо-
сферу от нее будут отражаться только те волны, частота которых
менее Ткр- Из соотношения sincpo ~ и вытекает, что условие поворота
вертикально падающего луча фо = 0 - это показатель преломления
и = 0, или, что то же самое, диэлектрическая проницаемость
= 0 в точке поворота. Таким образом, вертикально направленный
луч отражается от той части ионосферы, в которой диэлектриче-
ская проницаемость для заданной частоты обращается в нуль. Но,
поскольку на еще больших высотах электронная концентрация
113
Рис. 1.76. Сферический волновод,
в котором распространяются
сверхдлинные и длинные радиоволны
продолжает возрастать, приходим к выводу, что на этих высотах
диэлектрическая проницаемость делается отрицательной, а показа-
тель преломления — мнимым.
Дальнейшие детали, касающиеся отражения радиоволн от ио-
носферы, рассматриваются в разделах, посвященных распростра-
нению ионосферных радиоволн конкретных диапазонов частот.
Ионосферное распространение сверхдлинных и длинных
радиоволн (СДВ и ДВ) — З-ьЗОО кГц. Радиоволны данных диапа-
зонов распространяются в своеобразном «сферическом волново-
де», внутренняя стенка которого образована полупроводящей Зем-
лей, а внешняя — нижней границей ионосферы (рис. 1.76), также
обладающей свойствами полупроводящей среды.
Принимая в первом
приближении стенки вол-
новода идеально прово-
дящими, получим совер-
шенно необычную зави-
симость поля от расстоя-
ния (рис. 1.77, пунктирная
линия). При увеличении
расстояния от 0 до 104км
(изменения центрального
угла от 0 до л/2) напря-
женность поля уменьша-
ется до своего минималь-
ного значения, а затем на-
чинает опять симметрично
возрастать, достигая при
г = 2 -104 км (точка антипода) тех же значений, что и вблизи излу-
чателя. В свете сделанных предположений такой ход поля теоре-
тически вполне естественен, т.к. лучи, огибающие Землю по все-
возможным направлениям, у антипода сходятся как бы в фокусе
оптической системы. В действительности с учетом потерь при
отражении и ассиметрии в высоте отражающих слоев (половина
поверхности Земли находится в дневной области — слой D, поло-
вина — в ночной, слой Е), поле спадает по сплошной линии, но
определенный рост поля в точке антипода имеется, и он был за-
фиксирован в экспериментах.
114
По строгой теории поле в месте приема представляется в виде
суммы волн различных порядков, поэтому имеет интерференционный
характер на фоне постепенного спада (сплошные линии на рис. 1.77).
Рис. 1.77. Зависимость напряженности поля волны
от расстояния при отсутствии поглощения (пунктирная линия)
и при учете поглощения (сплошная линия)
Некоторые особенности распространения СДВ и ДВ. В си-
лу достаточно кратковременной устойчивости слоев Dv\E быстрые
флуктуации СДВ и ДВ отсутствуют.
С наступлением темноты поле, как правило, возрастает. При-
чины — в снижении потерь в слое D.
Влияние смены времени года и 11-летнего периода солнечной
активности также незначительно.
Стабильные характеристики распространения СДВ и ДВ, обу-
словленные постоянством условия распространения, позволяют
успешно создавать на их основе навигационные фазовые системы
(«Лоран», «Тропик»).
Расчет напряженности поля в СДВ и ДВ диапазонах обычно
производится по эмпирическим формулам. Наиболее известна из
них формула Остина
„ ,----- ,_____ 0,0014
ЗЛО2 JrZd о —7о^Гкм
Ед =-------v -Вт --------е Хкм (мВ/м).
rKM VsinG
(1.109)
Пределы применимости формулы Остина - от 2000 до 18000 км.
Ионосферное распространение средних волн (СВ) —
03^-3 МГц. Важнейшая особенность распространения средних волн
заключается в том, что в дневные часы они распространяются как
115
земные, в связи со значительным поглощением ионосферных волн в
слоях D и Е, а в ночные часы — и как земные, и как ионосферные.
Поскольку в месте приема в ночные часы присутствует земная и
ионосферные волны, то суммарное поле будет иметь интерференци-
онную картину, определяемую разностью фаз приходящих сигналов.
Вследствие колебаний высоты отражающего слоя под действием воз-
душных течений изменяется и длина траектории пространственной
волны, а следовательно, фазовый набег также непостоянен, поскольку
Л(р = —Дг.
X
И чем короче длина волны, тем значительнее изменения фазы.
Под действием замираний напряженность поля может меняться в
десятки раз. Другим источником замираний на средних волнах яв-
ляется интерференция пространственных волн, претерпевших раз-
ное число отражений от ионосферы. По тем же причинам суточные
колебания уровня поля на средних волнах также значительны.
Как и в длинноволновом диапазоне, расчет напряженности по-
ля ионосферной волны на средних волнах ведется по эмпириче-
ской формуле, полученной в результате обработки большого числа
измерений по радиовещательным станциям:
10 о gi л~41-0,26
Ед =------е 8-910 Хкм ™ (мВ/м).
(1.110)
Формула определяет среднее за год медианное значение поля,
когда середине трассы соответствует местная полночь.
Ионосферное распространение коротких волн (КВ) —
З-т-ЗО МГц. Дальность распространения коротких волн земной вол-
ной при умеренной мощности передатчика (~ 100 Вт) обычно не
превышает нескольких десятков километров. В качестве ионосфер-
ных волн при многократном отражении от ионосферы радиоволны в
КВ диапазоне могут распространяться на сколь угодно большие рас-
стояния, вплоть до антипода. В случае «нормальной» ионосферы
отражение коротких волн в основном происходит в слое F2, а слои
D и Е являются поглощающими. Степень поглощения характеризу-
ется экспоненциальным сомножителем е~51, где 5 — коэффициент
поглощения, а I — путь, пройденный волной в ионосферном слое.
116
В первом приближении коэффициент поглощения может быть
определен в виде
7 Nv
8^1,35-10~7— (1/м).
Здесь v — число столкновений электронов с нейтральными мо-
лекулами в 1 с, т.е. в отличие от проводящих сред в ионизирован-
ном газе коэффициент поглощения уменьшается с частотой!
Для осуществления радиосвязи в КВ диапазоне необходимо,
чтобы, во-первых, рабочая частота была меньше максимального
значения, определенного для заданной дальности и ионизации от-
ражающего слоя; во-вторых, она не должна быть слишком низкой,
чтобы поглощение радиоволны в слоях D и Е не было очень боль-
шим. Первое условие является пороговым и ограничивает выбор
максимально применимой частотой (МПЧ) сверху, второе условие
ограничивает выбор частот снизу, но может быть скомпенсировано
повышением энергопотенциала в радиоканале.
В условиях повышенной солнечной активности 11-летнего
цикла ионизация области Е может также достигнуть значений, дос-
таточных для отражения радиоволн КВ диапазона, при этом по-
глощение в дневное время будет происходить только в слое D. Ус-
ловия «нормальной» ионосферы также нарушаются при эпизоди-
ческом образовании спорадического слоя Е$, электронная концен-
трация в котором может достигать концентрации слоя 1*2. При этом
возникают идеальные условия для связи на коротких волнах, по-
скольку на высоких частотах поглощением в слое D можно пре-
небречь. Выше отмечалось, что верхние слои ионосферы наиболее
подвержены геомагнитным возмущениям, поэтому слой 1*2 отлича-
ется непостоянством своей структуры в части электронной концен-
трации. Это может приводить как к суточным и сезонным колеба-
ниям среднего уровня поля, так и к быстрым замираниям сигнала.
Амплитуда сигнала при быстрых замираниях может меняться в
сотни раз, а период замираний меняется от десятых долей секунды
до десятков секунд.
Основной причиной быстрых замираний следует считать ин-
терференцию нескольких приходящих в точку приема ионосфер-
ных лучей, фазы которых из-за непостоянства ионизированных
слоев непрерывно меняются. Поскольку длина радиоволн в КВ
диапазоне составляет 10-е-100 м, то для выполнения условия приема
117
двух противофазных волн (сдвинуты на Х/2) разность хода лучей
должна составлять 5-=-50 м. Несложно представить, что даже в слу-
чае вертикального падения фаза в ограниченном луче, проходящем
путь в 500>700 км, в случае нестационарной ионосферы может
быть произвольной.
Кроме многомодовой трактовки образования интерферирую-
щих лучей, по аналогии с СВ диапазоном, в КВ диапазоне опреде-
ляющим фактором возникновения интерферирующих лучей следу-
ет считать диффузный характер процесса отражения лучей в ионо-
сфере. Действительно, неизбежные неоднородности в ионосфере
приводят к тому, что вместо зеркального отражения мы имеем де-
ло с диффузным отражением. При этом падающий в ионосферу
луч по выходе из ионосферы представляется в виде пучка, содер-
жащего множество элементарных лучей.
Экспериментально было установлено, что угловой раствор
пучка достигает пяти градусов, поэтому в каждую точку приема
может приходить несколько лучей с разным фазовым сдвигом,
интерференция которых и приводит к замираниям результирую-
щего сигнала. Два луча могут попасть в место приема также в ре-
зультате магнитоионного расщепления, поскольку под действием
магнитного поля Земли ионосфера приобретает свойство двояко
преломляющей среды. При этом попадающий в ионосферу луч
расщепляется на два в общем случае эллиптически поляризован-
ных луча с ортогональным расположением главных осей и проти-
воположным направлением вращения и получивших название
«обыкновенный» и «необыкновенный» лучи. Так как условия для
отражения «обыкновенного» и «необыкновенного» лучей различ-
ны, то в каждую точку приема могут попадать как тот, так и дру-
гой, что также приводит к интерференции лучей и к замираниям
результирующего сигнала. В целом процесс быстрых замираний,
распределенных по рэлеевскому закону, накладывается на мед-
ленные изменения уровня сигнала, подчиняющиеся логарифми-
чески-нормальному закону со стандартной девиацией «8 дБ. Ос-
новным методом борьбы с быстрыми замираниями в КВ диапазо-
не является пространственно-разнесенный прием.
Методика расчета коротковолновых линий связи существенно
отличается от таковой для других диапазонов частот. Причем на
первый план выдвигается задача определения максимально приме-
нимых частот (МПЧ) и оптимальных рабочих частот (ОРЧ) связи.
118
В зависимости от времени суток, времени года и фазы 11-летнего
периода солнечной ак-
тивности составляется
соответствующий гра-
фик рекомендуемых
частот для различных
дистанций связи и толь-
ко затем для выбранных
частот рассчитывается
уровень напряженности
поля и, соответственно,
необходимая мощность
передатчика с учетом
уровня помех в месте
приема и заданной на-
дежности связи.
Определение МПЧ
графика рекомендуемых
частот для заданной
трассы и в дальнейшем
чаще всего выполняется
Рис. 1.78. Семейство суточных
графиков МПЧ для линий
радиосвязи различной длины
на основе прогнозных
(ежемесячных) ионо-
сферных карт, хотя воз-
можно и на основе ме-
тода возвратно-наклонного зондирования ионосферы ЛЧМ сигна-
лом. Располагая суточным графиком МПЧ (рис. 1.78), можно ут-
верждать, что при работе на частотах, близких к ОРЧ (рисЛ .79),
достигаются оптимальные условия, при которых, с одной стороны,
радиоволны отражаются от ионосферы, а с другой - испытывают
наименьшее поглощение в более низких слоях ионосферы. В при-
веденном на рис. 1.79 примере суточный набор ОРЧ состоит из
трех частот, которых обычно достаточно для простейших одно-
скачковых радиотрасс. Предельная длина скачка, определенная по
геометрическим построениям, при высоте слоя 7*2, равной 350 км,
составляет -4000 км. В случае многоскачковых п радиотрасс при
и = гкМ/4000, а также при пересечении радиотрассы линии термина-
тора (границы перехода дня и ночи) количество ОРЧ увеличивает-
ся, а их выбор усложняется.
119
ОРЧ
0 4 8 12 16 20
Время суток
Рис. 1.79. К составлению расписания смены волн
по кривой суточного хода ОРЧ
Расчет напряженности поля осуществляется по классической
формуле
E = (мВ/м) (1.111)
г
гкм
и фактически весь сводится к определению множителя ослабления,
для чего необходимо учесть положение сигнала в ионосферных
слоях, потери при отражении от поверхности Земли и ионосферы и
добавить запас на быстрые и медленные замирания. Сегодня наи-
более разработанным методом расчета множителя ослабления (и
соответствующих номограмм расчета) считается методика, создан-
ная А.Н. Казанцевым в 1956 году. Для практического применения
методики Казанцева необходимо располагать суточным ходом кри-
тических частот и суточным ходом действующих высот отражаю-
щей области.
Особенности распространения радиоволн в метеорных ра-
диолиниях. При испытаниях с радиоволнами метрового диапазона,
распространяющимися за счет рассеяния от слоя D, было обнаруже-
но, что на фоне равномерно флуктуирующего сигнала эпизодически
возникают более сильные всплески, число которых определяется
энергетикой радиолинии и чувствительностью приемного устройст-
ва. Более детальное изучение показало, что такие всплески создают-
ся рассеянием от ионизированных следов воздуха, возникающих
при сгорании в земной атмосфере метеоритов.
Достигшие плотных слоев атмосферы фрагменты твердого
вещества при трении о воздух сначала раскаляются, а потом за ко-
нечное время сгорают. Испускаемые раскаленным телом электро-
120
ны ионизируют окружающий воздух, оставляя за пролетающим
метеоритом след в виде столба ионизированного воздуха. Началь-
ный диаметр столба соизмерим с размерами метеорита, но вслед-
ствие молекулярной диффузии диаметр следа быстро возрастает.
Под влиянием вихревой диффузии, воздушных течений и ветров
происходит интенсивное расширение и деформация следа.
Ионизированные следы создаются в интервале высот 80-420 км
со средней протяженностью до 25 км. За сутки в атмосферу Земли
попадают сотни миллиардов таких метеоров. По одной из гипотез
ясно различимые ионизированные следы создают частицы с массой
не менее 10-5 г, диаметром более 10-2 см. А космическая пыль создает
на общем фоне ионизации слоя D дополнительный уровень иониза-
ции. Важной особенностью такого рассеянного отражения является
то, что рассеяние имеет ярко выраженный направленный характер,
определяемый по законам геометрической оптики: угол падения ра-
вен углу отражения. Поэтому среди множества метеоров, попадаю-
щих в земную атмосферу, интерес представляют только те, которые
надлежащим образом ориентированы относительно конечных точек
радиотрассы. С увеличением поперечных размеров и деформации
ионизированного столба рассеянное излучение теряет свои направ-
ленные свойства, а интенсивность отраженного сигнала спадает.
Поскольку длительность следов ограничена во временных рам-
ках в пределах 0,14-100 с, а количество надлежащим образом ориен-
тированных следов вообще мало, то использование отдельных
вспышек ионизации для целей радиосвязи потребовало разработки
специальных методов передачи информации на основе «старт-
стопной прерывистой свя-
зи». Принцип ее действия
основан на ускоренной пе-
редаче предварительно на-
копленной информации в
периоды возникновения ме-
теорных вспышек.
Схема радиосвязи за
счет рассеяния на метеор-
ных следах показана на
Рис. 1.80. К возникновению рассеянного Рис-1 • 80. Толстой линией
излучения от метеорного следа
показан метеорный след.
121
Точки А и В - конечные пункты связи, 8 - углы падения и отра-
жения. Сумма расстояний (q + г2) до точки Q минимальна. Пунк-
тирной линией показана проекция метеорного следа на плоскость
AQB. Угол Р - угол наклона метеорного следа относительно этой
плоскости, поэтому при Р = 0 след находится в плоскости AQB, при
Р = 90° — перпендикулярно плоскости. При прочих равных услови-
ях длительность сеанса связи при метеорном распространении наи-
большая при Р = 0. Метеорные следы могут быть недоуплогненны-
ми и переуплотненными. В недоуплотненных ионизированных сле-
дах плазменная частота То, определяемая уровнем электронной кон-
центрации N, fQ = ^/80,8Af (Гц) меньше рабочей частоты сигнала,
поэтому коэффициент преломления п = л/Ё7 = ^/1-8О,87У//2 не об-
ращается в нуль, и отражения от недоуплотненного метеорного следа
не происходит, а может иметь место только рассеянная компонента.
В переуплотненных следах концентрация центральной части
столь высока, что уже на некоторой глубине выполняется условие
7b >f коэффициент преломления становится мнимым, что является
условием отражения радиоволны как от металлической цилиндри-
ческой поверхности.
Теоретический анализ по определению множителя ослабления
при метеорном распространении, проведенный Долухановым, по-
казал, в частности, что зависимость принимаемой мощности Рг(0
от времени t выражается формулами:
для недоуплотненных следов -
t
P2(z) = P2(O)e~ (Вт), (1.112)
2 2 2
где т = X sec 0 / 32л d - постоянная времени, характеризующаяся
снижением мощности в е раз; d= 1^-10 м2/с - коэффициент диффу-
зии в метеорном следе;
для переуплотненных следов —
P2(t) = A tdln^- (Вт). (1.113)
v d
Графические зависимости принимаемой мощности от времени
для недоуплотненных и переуплотнённых следов отражены соот-
ветственно на рис. 1.81 и 1.82.
122
Из рисунков следует,
что процессы отражения
сильно различаются. В ча-
стности, в случае переуп-
лотненных следов прини-
маемая мощность достигает
своего максимума в момент
времени t0 = т'/е.
Интенсивность отраже-
ний и их длительность про-
порциональны массе части-
цы. Поскольку вероятность
вторжения в атмосферу
крупных метеоров понижа-
ется, то наиболее вероятны-
ми являются следы малой
интенсивности и длительно-
сти. Это проиллюстрирова-
но на рис. 1.83 и рис. 1.84.
Число метеоров, попа-
дающих в атмосферу, непо-
стоянно и зависит от вре-
мени года и суток, вследст-
вие изменения условий
вторжения в атмосферу
Земли при ее вращении во-
круг своей оси и траектории
движения вокруг Солнца.
Кроме того, эпизодически в
атмосферу Земли входят
Рис. 1.81. Зависимость принимаемой
мощности от времени при отражении
от недоуплотненных метеорных
следов
Рис. 1.82. Зависимость принимаемой
мощности от времени при отражении
от переуплотненных метеорных следов
метеорные потоки, называемые по имени созвездий, на которые
они проецируются (Лиры, Дракона, Персея и др.). Некоторые из
таких потоков пересекают орбиту Земли в определенные месяцы:
известны, например, майские метеорные потоки.
С точки зрения организации метеорной связи важно относи-
тельное время использования (коэффициент использования) мете-
орных следов в линиях связи. Оно, конечно, зависит от энергопо-
тенциала радиолинии и чувствительности приемных устройств.
123
Рис. 1.83. График, характеризующий Рис. 1.84. График, характеризующий
относительное число отражений, относительное число отражений,
интенсивность которых превышает длительность которых превышает
заданное значение заданное значение
Метеорные вспышки используют для организации связи на час-
тотах 30ч-50 МГц. В частности, этот же диапазон частот использует-
ся для организации непрерывной связи за счет ионосферного рас-
сеяния в слое D. Однако использование метеорного рассеяния по-
зволяет организовать радиосвязь на гораздо меньших мощностях (до
500 Вт) и более простых антеннах. Подобные системы позволяют
организовать радиосвязь на расстояния до 2000 км при полосе про-
пускания 3 кГц.
124
ГЛАВА 5. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
5.1. Уравнения Максвелла. Перестановочная
инвариантность уравнений Максвелла
Вся теория излучения и, в частности, теория антенн основыва-
ется на уравнениях Максвелла.
Система основных уравнений электродинамики для комплекс-
ных амплитуд полей в случае изотропной среды имеет вид
rot# = 5^т + ;
го1Ё - -i(ap,aH.
(1.114)
(1.115)
Здесь
Н — комплексная амплитуда вектора напряженности магнит-
ного поля, А/м;
Ё - комплексная амплитуда вектора напряженности электри-
ческого поля, В/м;
f. . о
ео=ео 1 —1--- — комплексная диэлектрическая проницае-
“EOJ
мость среды;
ео — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, Ф/м;
10’9 л/
для вакуума ео - е0 =---Ф/м;
36л
о — удельная проводимость среды, См/м;
то -угловаячастота,с-1;
— абсолютная магнитная проницаемость среды, Г/м; для
вакуума ео = е0 = 4л - 10“7 Г/м;
8^т - комплексная амплитуда вектора объемной плотности
возбуждающего (стороннего) электрического тока, AJm.
Источниками электромагнитного поля являются изменяющие-
ся во времени или движущиеся в пространстве электрические токи
и заряды. Однако в некоторых случаях решение электродинамиче-
ских задач упрощается введением понятия стороннего магнитного
тока. Это понятие является формальным, так как в природе нет
магнитных зарядов и, следовательно, нет магнитного тока, пони-
маемого как движение этих зарядов [6].
125
Система уравнений Максвелла при отсутствии стороннего элек-
трического тока и при наличии стороннего магнитного тока имеет вид
кЛН = ш)гаЁ; (1.116)
г(ЛЁ = -^-^11аН. (11.17)
Здесь _ комплексная амплитуда вектора плотности объем-
ного магнитного тока.
Плотность объемного магнитного тока измеряется в вольтах
на квадратный метр (В/м2), так как напряженность электрического
поля измеряется в В/м, и в результате операции ротора оба слагае-
мых в правой части уравнения (1.117) должны измеряться в В/м2.
По сути дела системы уравнений (1.114), (1.115) и (1.116), (1.117)
отличаются друг от друга только местом векторов Ё и Н . Очевидно,
что переход от системы уравнений (1.114), (1.115) к системе уравне-
ний (1.116), (1.117) и обратно может быть осуществлен путем замен:
Н на Ё, Н на -Ё, гп на ll„,
’ а г~а ’ ,. j 1
АЭ еМ еМ сЭ V * /
Мд на , 8СТ на 6СТ, SCT на 6СТ.
Идентичность систем уравнений (1.114), (1.115) и (1.116),
(1.117) позволяет найти (в неограниченной среде) векторы Ё и
Н, возбуждаемые сторонними магнитными токами, если извест-
ны аналогичные векторы, возбуждаемые соответствующими сто-
ронними электрическими токами, и наоборот. В этом состоит пе-
рестановочная инвариантность уравнений Максвелла.
Заметим также, что по аналогии с идеальным электрическим
проводником может быть введено понятие идеального электромаг-
нитного проводника. Если на поверхности идеального электромаг-
нитного проводника выполняются граничные условия
Е,=0, Н„=0, j3 =[лЯ], (1.119)
где
Et — тангенциальная к поверхности проводника составляющая
вектора напряженности электрического поля;
Н„ - нормальная к поверхности проводника составляющая
вектора напряженности магнитного поля;
j3 - вектор плотности поверхности электрического тока, А/м;
126
п — единичная нормаль, внешняя по отношению к поверхности
проводника, то на поверхности идеального магнитного проводника
выполняются граничные условия
Я, =0, Е„=0, 7м=[лЯ], (1.120)
jM — вектор плотности поверхности магнитного тока, В/м.
Величину /м =JlAp = -EJp, где р — периметр поперечного
сечения идеального магнитного проводника, называют поверхно-
стным магнитным током. Он имеет размерность напряжения.
Как видно из выражения (1.120), плотность поверхностного
магнитного тока численно равна тангенциальной к поверхности
идеального магнитного проводника составляющей вектора элек-
трического поля, взятой с обратным знаком, т.е.
(1.121)
Таким образом, поверхностный магнитный ток является ана-
логом реально существующего на данной поверхности тангенци-
ального электрического поля.
5.2. Основная задача теории антенн.
Принцип эквивалентности
Источниками излучаемого антенной электромагнитного поля
являются токи и заряды, определенным образом распределенные по
антенне. Основная задача теории антенн — определение векторов Е
и Н создаваемого антенной электромагнитного поля в любой точке
окружающего антенну пространства. Решение этой задачи матема-
тически крайне трудно, так как, за исключением самых простых
случаев, распределение источников поля неизвестно. При определе-
нии создаваемого антенной электромагнитного поля обычно задана
сторонняя ЭДС, возбуждающая антенну. Искомое поле должно
удовлетворять уравнениям Максвелла, граничным условиям на по-
верхностях раздела при переходе из одной среды в другую (воз-
дух-металл, воздух—диэлектрик и т.д.) и условию излучения. По-
следнее условие означает, что на большом расстоянии от антенны
поле должно представлять собой бегущую волну, амплитуда кото-
рой с увеличением расстояния г убывает быстрее, чем 1/г.
В настоящее время строгое решение основной задачи теории
антенн получено только для некоторых частных случаев. В ряде
127
случаев задача отыскания создаваемого антенной поля решается
лишь приближенно. При этом либо на основании некоторых физи-
ческих соображений задают законы распределения амплитуды и
фазы тока на антенне, либо находят распределение амплитуд и фаз
тангенциальных составляющих напряженности электрического и
магнитного полей на некоторой замкнутой поверхности 5, охваты-
вающей антенну (рис. 1.85). В последнем случае определение поля
антенны основывается на известном из электродинамики принципе
Гюйгенса-Кирхгофа. В соответствии с этим принципом каждый
элемент волнового фронта можно рассматривать как излучатель.
Поэтому поле, создаваемое действительным излучателем в точке
наблюдения, можно рассматривать как результат интерференции
полей вторичных элементарных излучателей (источников Гюйген-
са), расположенных на произвольной замкнутой поверхности, ок-
ружающей действительный излучатель. Применение принципа
Гюйгенса—Кирхгофа к анализу антенн в ряде случаев весьма упро-
щает задачу, так как позволяет находить излученное антенной поле
при неизвестном распределении в пространстве источников этого
поля, т.е. законов распределения токов и зарядов по антенне.
Рис. 1.85. К решению основной задачи антенн
Существующие на замкнутой поверхности S тангенциальные
составляющие векторов Е и Н формально на основании выраже-
ний (1.119) и (1.120) могут быть заменены эквивалентными им (в
смысле создания электромагнитного поля во внешней области) по-
верхностными электрическими и магнитными токами. При этом
единичная нормаль должна быть направлена на поверхность S во
внешнюю область (рис. 1.85а), т.е. являться внутренней нормалью
по отношению к этой области.
128
Возможность замены тангенциальных составляющих векторов
Е и Н поверхностными токами основывается на принципе экви-
валентности, который можно сформулировать так: поле в свобод-
ной от источников (внешней) области, ограниченной замкнутой
поверхностью S, может быть создано электрическими и магнитны-
ми токами, распределенными по этой поверхности. В этом смысле
действительные источники, находящиеся во внутренней области,
можно заменить «эквивалентными» поверхностными электриче-
скими и магнитными токами.
Принцип эквивалентности позволяет применить при опре-
делении поля антенны метод запаздывающих электродинамиче-
ских потенциалов, что в ряде случаев облегчает решение по-
ставленной задачи.
Как известно из теории электромагнитного поля, запаздываю-
щий электродинамический потенциал электрического тока А3 вво-
дится при помощи выражения
Я = гойэ.
Запаздывающий электродинамический потенциал магнитного
.м
тока А вводится при помощи выражения
E = -rot4M.
Если распределение электрических и магнитных токов по
замкнутой поверхности S известно, то запаздывающие электроди-
намические потенциалы можно найти из выражений
А3 =— [j3------dS; (1.122)
4л J г
Лм= — [jM------dS, (1.123)
4л j, г
где
г — расстояние от точки наблюдения, в которой определяется
А3 или ЛМ, до точки источника, т.е. до элемента поверхности dS,
по которому течет поверхностный ток (рис. 1.856);
к = (о/с = 2л/Х - коэффициент фазы (волновое число);
ё~гкг — множитель, определяющий запаздывание по фазе
функции ЛЭ или Лм относительно поверхностного тока J3 или JM;
129
кг — фаза, на которую запаздывает вектор-потенциал относи-
тельно вызывающего его поверхностного тока.
Интегрирование производится по замкнутой поверхности S, по
которой распределены эквивалентные поверхностные электриче-
ские и магнитные токи.
Найдя запаздывающие электродинамические потенциалы, мож-
но определить векторы Е и Н :
Ё = -rot4M - А3-------— graddivj3; (1.124)
(0Efl
Н = ЮХА3 - кое0Ам----— graddiv/fм . (1.125)
5.3. Излучение элементарного электрического вибратора
Прежде чем изучать применение на практике антенны, целесо-
образно вспомнить известные из курса теории электромагнитного
поля свойства элементарных излучателей, так как реальную антенну
можно рассматривать как сумму бесконечного числа элементарных
вибраторов. Кроме того, существующие антенны по своим свойст-
вам весьма близки к элементарным излучателям.
Элементарным электрическим вибратором называется очень
короткий по сравнению с длиной волны провод, обтекаемый элек-
трическим током, амплитуда и фаза которого одинаковы в любой
точке провода. Практической моделью элементарного электриче-
ского вибратора является диполь Герца. Поле элементарного элек-
трического вибратора в сферической системе координат в общем
случае имеет три составляющих: радиальную составляющую век-
тора Е(ЕГ\ меридиональную составляющую вектора H(HQ) и
азимутальную составляющую вектора Н ).
В обычно интересующей нас дальней или волновой зоне
(эту зону иногда называют зоной излучения), определяемой не-
равенствами г » X или кг »1, существуют только две состав-
ляющие поля элементарного вибратора - Еэ и (рис. 1.86),
определяемые по формулам
; (1.126)
130
H=i—sin&T^,
ф 2rX
(1.127)
где
7° — амплитуда тока в вибраторе (буква «э» в дальнейшем
опускается);
I — длина вибратора;
г — расстояние от вибратора до точки наблюдения;
$ — угол между осью вибратора и направлением на точку
наблюдения;
— волновое сопротивление среды; для сво-
бодного пространства Wc
Ео =120д Ом.
\Ео
Как видно из этих формул,
векторы Е и Н колеблются в фа-
зе. Таким образом, соответствую-
щая им электромагнитная энергия
является активной энергией излу-
ченной волны. Средняя плотность
потока излученной мощности за
период высокочастотного колеба-
ния (среднее значение вектора
Пойнтинга) равна
ЛЧ,=|[ЁН*], (1.128)
где
Ё — комплексная амплитуда на-
пряженности электрического поля;
Рис. 1.86. Элементарный
электрический излучатель
в сферической системе координат
Н* - комплексно-сопряженная амплитуда напряженности
магнитного поля.
Векторы П, Е и Н образуют правовинтовую систему
(рис. 1.86). Вектор П направлен по радиусу.
Величина напряженности поля, создаваемого элементарным
вибратором в точке наблюдения, находящейся в дальней зоне, в
соответствии с формулами (1.126) и (1.127) зависит от направления
131
на эту точку (множитель sin9). Следовательно, элементарный виб-
ратор — это простейшая антенна, обладающая направленными
свойствами. Вдоль оси (3 = 0) вибратор не излучает; по мере уве-
личения угла & излучение увеличивается и достигает максимума в
направлении, перпендикулярном оси (3 = 90°).
Направленные свойства любой антенны принято определять
амплитудной характеристикой направленности, т.е. зависимостью
величины напряженности создаваемого антенной поля в точке на-
блюдения от направления на эту точку, характеризуемого в сфери-
ческой системе координат углами 9 и ф при постоянном расстоя-
нии точки наблюдения от антенны (г = const). В данном случае ха-
рактеристика направленности определяется множителем |sin9|.
Выражение, определяющее напряженность поля вибратора, со-
стоит из трех множителей: постоянного, не зависящего от направле-
л WCIl\
А = —-— ; множителя, зависящего от
2Хг )
ния на точку наблюдения
направления на точку наблюдения (/(9) = sin 9), и фазового мно-
жителя ie~lkr. Формула для расчета напряженности поля любой
антенны имеет аналогичную структуру. Множитель, зависящий
от направления на точку наблюдения, может иметь сложный ха-
рактер и являться функцией углов ф и 9. Фаза напряженности по-
ля также может зависеть от направления на точку наблюдения,
т.е. ф = ф(ф,9). Таким образом, в общем случае формула для рас-
чета напряженности поля антенны имеет вид
Ё=М/(ф,Э)/Р(ф-8)е-/<
(1.129)
Множитель f (ф,9) определяет не только величину, но и фа-
зу напряженности поля, так как при переходе функции /(ф,9)
через нуль меняется ее знак, что соответствует скачку фазы на-
пряженности поля на 180°. Поэтому в соответствии с данным
здесь определением амплитудной характеристикой направленно-
сти называется модуль функции /(ф,9). Величина напряженно-
сти поля, излучаемого антенной в произвольном направлении,
связана с амплитудной характеристикой направленности соотно-
шением Е = A\f (ф,9)|.
132
Мощность электромагнитного поля, излучаемого элементар-
ным электрическим вибратором, можно определить интегрирова-
тл тл Е1
нием среднего значения вектора Пойнтинга Пср = по по-
верхности воображаемой сферы радиуса (г » X), в центре кото-
рой помещен вибратор. Окончательная формула для расчета из-
лучаемой мощности имеет вид
'-МУ'
(1.130)
Если вибратор находится в свободном пространстве, то
(1.131)
По аналогии с мощностью, выделяемой в любой электриче-
ской цепи, выражение для мощности, излучаемой вибратором,
можно записать в виде
2
(1.132)
Коэффициент Ry, связывающий мощность, излучаемую эле-
ментарным вибратором, с половиной квадрата амплитуды тока в
вибраторе, называется сопротивлением излучения электромагнит-
ного вибратора.
Приравнивая правые части выражений (1.132) и (1.130) и ре-
шая это равенство относительно R^, получаем
«-ха2
Отсюда видно, что сопротивление излучения зависит от пара-
метров окружающей вибратор среды и от отношения Z/X.
Из формул (1.131) и (1.132) получается следующее выражение
для сопротивления излучения элементарного электрического виб-
ратора, находящегося в свободном пространстве:
/ /\2
R% = 80л2
(1.133)
133
5.4. Излучение элементарного магнитного вибратора
Малый по сравнению с длиной волны элемент линейного
магнитного тока называется элементарным магнитным вибрато-
ром, если в любой точке элемента магнитный ток одинаков по
амплитуде и по фазе.
На основании перестановочной инвариантности уравнений
Максвелла можно утверждать, что элементарный магнитный виб-
ратор отличается по структуре поля от элементарного электриче-
ского вибратора только местами векторов Е и Н .
Выражения для составляющих поля элементарного магнитно-
го вибратора в дальней зоне, которые могут быть получены из вы-
ражений (1.126) и (1.127) при помощи замен (1.128), имеют вид:
гМ»
Ё. =-/----sin &е“'ь; (1.134)
tMi
Н3 =i-------sinSe~ikr. (1-135)
'IWf-'kr
Здесь /м — амплитуда магнитного тока.
Таким образом, поле элементарного магнитного вибратора в
зоне излучения состоит из двух составляющих (£ф и Н$). Линии
вектора коаксиальны с осью вибратора и лежат в азимутальных
плоскостях; линии вектора лежат в меридиональных плоскостях,
т.е. в плоскостях, проходящих через ось вибратора (рис. 1.87). Дан-
ный рисунок поясняет также смысл минуса в формуле (1.134). Век-
торы Е и Н и вектор Пойнтинга П образуют правовинтовую
систему. Минус в выражении (1.134) говорит об отрицательном
направлении вектора Е (в сторону уменьшения координатного
угла ф). Только при таком направлении составляющей £ф вектор
Пойнтинга направлен от вибратора, т.е. проходит излучение. Ли-
нии азимутальной составляющей электрического поля Еф танген-
циальны к поверхности вибратора (рис. 1.88), и в соответствии с
формулой (1.121) напряженность электрического поля на поверх-
ности магнитного вибратора равна плотности поверхностного маг-
нитного тока с обратным знаком Еф/ = —7м.
Направления линии £ф/ и линий вектора взаимно перпенди-
кулярны и определяются правилом левого винта.
134
Рис. 1.87. Элементарный магнитный Рис. 1.88. Распределение поля
излучатель в сферической в магнитном вибраторе
системе координат
Входящий в формулы (1.134) и (1.135) магнитный ток (7м)
равен произведению модуля плотности поверхностного магнитно-
го тока на периметр поперечного сечения вибратора. Если вибра-
тор представляет собой прямоугольную пластину шириной Ь, тол-
щиной которой можно пренебречь по сравнению с шириной, то
/м = j^2b = -2E^tb. (1.136)
Он, по сути дела, представляет собой напряжение, равное про-
изведению тангенциальной составляющей напряженности элек-
трического поля на периметр поперечного сечения вибратора.
Из формул (1.126) и (1.134) видно, что, для того чтобы на-
пряженности электрического поля, создаваемого элементарным
магнитным и элементарным электрическим вибратором одина-
ковой длины, были одинаковыми ( ), магнитному току,
текущему по магнитному вибратору, необходимо быть численно
в Wc раз больше электрического тока, текущего по электриче-
скому вибратору.
Таким образом, с точки зрения создания электрического поля
один ампер электрического тока эквивалентен магнитному току,
численно равному Wc, В. В случае свободного пространства
Wc = 120л Ом, и поэтому один ампер электрического тока экви-
валентен магнитному току в 120 л В.
135
Характеристики направленности элементарных магнитного и
электрического вибраторов совершенно одинаковы, однако при
этом плоскости Е и //меняются местами.
Мощность, излучаемая элементарным магнитным вибратором,
равна интегралу среднего значения вектора Пойнтинга по поверх-
ности сферы большого радиуса, окружающей вибратор. Среднее
значение вектора Пойнтинга равно Пср = Ё^ /2WC .
Напряженность электрического поля элементарного магнитно-
го вибратора меньше напряженности электрического поля элемен-
тарного электрического вибратора, обладающего численно таким
же моментом тока в Wc раз. Поэтому можно записать формулу для
мощности, излучаемой элементарным магнитным вибратором, по
аналогии с выражением для мощности, излучаемой элементарным
электрическим вибратором.
Очевидно, что РЕМ = ——1 Iм . Выражение РЕМ =
з Wq \А/
ментарного электрического вибратора, поэтому
Так как магнитный ток имеет размерность напряжения, то вы-
ражение для можно записать в виде
рм=1 g£Vm2
х 2
(1.138)
где G^1 - проводимость излучения элементарного магнитного
вибратора.
Сравнив формулы (1.137) и (1.138), получим
рЭ
G^1-—(1.139)
Элементарный магнитный вибратор, как элемент магнитного
тока, не может быть практически реализован, поскольку в природе
136
нет магнитного тока. Тем не менее введение этого понятия весьма
важно, т.к. ряд реальных излучателей создает поля, аналогичные
по структуре полю элементарного магнитного вибратора. Рассмот-
рим примеры излучателей, реализующих свойства элементарного
магнитного вибратора: элементарную электрическую рамку и эле-
ментарную излучающую щель.
5.5. Элементарная электрическая рамка
Рассмотрим виток, по которому течет переменный электриче-
ский ток (рис. 1.89). Размеры витка весьма малы по сравнению с
длиной волны, так что выполняются условия: ка «с 1; а «: X;
п л 2 , 2л
S «с X , где к = —; а - радиус витка; S - площадь витка.
Считаем, что амплитуда и
фаза тока во всех точках витка
одинаковы. Такой виток назы-
вается элементарной электри-
ческой рамкой. Вокруг рамки
создается электромагнитное
поле. При этом линии магнит-
ного поля охватывают теку-
щий по витку ток, они перпен-
дикулярны плоскости витка.
Электрическое поле имеет со-
леноидальный (вихревой) ха-
Рис.1.89. Виток рамки с током
рактер. Как показывает сравнение, поля элементарной электриче-
ской рамки и элементарного магнитного вибратора, ось которого
перпендикулярна плоскости рамки и проходит через ее центр, со-
вершенно идентичны. Точнее говоря, поля обоих излучателей ста-
новятся одинаковыми, если радиусы рамки и магнитного вибрато-
ра стремятся к нулю. Из сказанного следует важный вывод: на-
правленные свойства элементарной электрической рамки и экви-
валентного ей элементарного магнитного вибратора одинаковы.
Поэтому диаграмма направленности рамки в плоскости, перпенди-
кулярной плоскости рамки и проходящей через ее центр, такая же,
как диаграмма направленности элементарного магнитного вибра-
тора в его меридиональной плоскости, т.е. представляет собой пра-
вильную «восьмерку». В плоскости, совпадающей с плоскостью
137
рамки, рамка не обладает направленными свойствами; ее диаграм-
ма направленности — окружность. Данная плоскость соответствует
экваториальной плоскости магнитного вибратора. Рамка не излу-
чает в направлении, перпендикулярном ее плоскости; излучение
максимально в плоскости рамки.
Таким образом, исходя из аналогии с элементарным магнит-
ным вибратором, можно без математического анализа установить
направленные свойства более сложного излучателя - рамки.
Все сказанное относится к рамке любой формы, так как в слу-
чае очень малых размеров рамки ( S'«: X2 ) форма витка не влияет
на структуру поля за пределами области, охватываемой рамкой.
5.6. Излучение элементарного щелевого вибратора
(элементарная излучающая щель)
Рис. 1.90. Элементарный щелевой
вибратор
Совместим плоскость эле-
ментарного магнитного вибра-
тора, представляющего собой
узкую тонкую ленту длиной Z,
шириной b и толщиной т с иде-
ально проводящей бесконечно
тонкой металлической поверх-
ностью безграничных размеров
(плоскость S' на рис. 1.90). При
этом структура поля вибратора
не нарушается, так как гранич-
ные условия на металлической
поверхности (Et = 0 ) (рис. 1.91)
автоматически выполняются (ли-
нии электрического поля вибратора перпендикулярны плоскости
5). Плоскость S' делит все пространство на два независимых друг
от друга полупространства (I и П) и как бы разрезает диполь на
две части. На рис. 1.91 изображены экваториальная плоскость
вибратора XOY, разрезанного металлической поверхностью S',
структура электромагнитного поля вблизи вибратора и на его по-
верхности, а также показаны поверхностные электрические заря-
ды и токи, возникающие на металлическом экране. Направление
линий вектора Н определяется из соотношения J = [п/7], где п —
внешняя нормаль к поверхности экрана.
138
Рис. 1.91. К пояснению принципа действия щелевого вибратора
Удалим магнитный вибратор и образовавшуюся на его месте
щель возбудим при помощи генератора высокой частоты. В ней
возникает электрическое поле, линии которого перпендикулярны
краям щели. При этом предполагается, что величина электрическо-
го поля в ней остается такой же, как и величина тангенциальной
составляющей напряженности электрического поля E^t, действо-
вавшей на поверхности магнитного вибратора. Предполагается
также, что напряженность электрического поля вдоль щели не из-
меняется ни по амплитуде, ни по фазе. Токи смещения, возникаю-
щие в щели, продолжаются в виде токов проводимости на метал-
лическом экране. В пространстве, окружающем щель, возникает
электромагнитное поле. Узкая щель, длина которой значительно
меньше длины волны (I«: X) и напряженность электрического по-
ля вдоль которой не изменяется ни по амплитуде, ни по фазе, на-
зывается элементарной излучающей щелью. Из рис. 1.91 видно, что
у возбужденной щели, в отличие от магнитного вибратора, линии
электрического поля в полупространстве I направлены навстречу
линиям Е в полупространстве II. Указанное различие, однако, не-
существенно, так как оба полупространства независимы. Поэтому
если речь идет об одном полупространстве, то можно утверждать,
что поле, окружающее возбужденную элементарную щель в без-
граничном идеально проводящем экране, не отличается от элек-
тромагнитного поля, создаваемого элементарным магнитным виб-
ратором, находящимся в свободном пространстве.
Таким образом, элементарную щель можно рассматривать как
реальный излучатель, создающий такое же электромагнитное поле,
как фиктивный элементарный магнитный вибратор.
139
Так как элементарный магнитный вибратор аналогичен эле-
ментарному электрическому вибратору, то такая же аналогия су-
ществует между элементарной щелью, прорезанной в идеально
проводящей безграничной плоскости, и элементарным электриче-
ским вибратором, находящимся в свободном пространстве. Данная
аналогия распространяется и на более сложные антенны, что было
установлено А.А. Пистолькорсом.
А.А. Пистолькорс, используя перестановочную инвариантность
уравнений Максвелла, сформулировал принцип двойственности,
устанавливающий непосредственную аналогию между щелевым
излучателем в бесконечно тонком идеально проводящем безгра-
ничном плоском экране и электрическим излучателем в виде метал-
лической ленты, находящейся в свободном пространстве, размеры
которой равны соответствующим размерам щели (такую ленту на-
зывают металлическим аналогом щели) [7].
Аналогия между щелью и магнитным вибратором позволяет
использовать для расчета поля излучения щели формулы (1.134) и
(1.135), полученные для элементарного магнитного вибратора. Од-
нако при этом надо иметь в виду следующее. Плотность поверхно-
стного магнитного тока щели равна , где ~ напря-
женность поля в щели. Отсюда магнитный ток щели, представляю-
щий собой напряжение между краями щели, равен 1щ=и-ЬЕ^,
где b — ширина щели. В то же время поверхностный магнитный ток,
текущий по магнитному вибратору (если т Ь\ равен /м = —2ЬЕ^{,
т.е. в два раза больше магнитного тока щели при условии E^t = .
Следовательно,
/м =21щ=2и.
При таком соотношении магнитных токов элементарного маг-
нитного вибратора и элементарной излучающей щели создаваемые
ими поля будут одинаковы.
Заменяя в формулах (1-134) и (1.135) 7м на 2U, получаем:
sin= ,_W_sin
ф Ar 9 Wckr
где U — напряжение между краями щели; I - длина щели; S — угол
между осью щели и направлением в точку наблюдения. Диаграмма
140
направленности элементарной щели в ее меридиональной плоско-
сти (плоскость вектора Н ) представляет собой правильную «вось-
мерку», а в экваториальной плоскости (плоскость вектора Е) —
окружность. Щель излучает с максимальной интенсивностью пер-
пендикулярно своей оси и не излучает вдоль оси.
Мощность, излучаемая щелью, может быть определена из
формулы (1.137), если вместо Iм подставить 27щ, тогда
рщ = 2^рщ2 (1.140)
С другой стороны, эту мощность можно определить, исходя из
проводимости излучения щели:
(1-141)
Приравнивая правые части выражений (1.140) и (1.141) и решая
полученное равенство относительно (7^, получаем
ещ = 4^ (1.142)
Wc
Для свободного пространства
G^ = (1.143)
(IZOit)2
Подставляя в формулу (1.143) вместо выражение (1.133),
получаем (7^ = •
Таким образом, проводимость излучения щели, прорезанной в
безграничном плоском идеально проводящем экране, весьма про-
сто определяется через сопротивление излучения металлического
аналога этой щели.
5.7. Излучение источника Гюйгенса
В диапазоне сантиметровых волн широко применяют антенны,
которые в соответствии с принципом Гюйгенса—Кирхгофа можно
рассматривать как излучающие поверхности (рупорные, линзовые,
141
зеркальные и другие антенны). При анализе работы таких антенн
излучающую поверхность рассматривают как часть поверхности
плоского волнового фронта, представляющую собой совокупность
элементарных излучателей - источников Гюйгенса.
Рис. 1.92. Источник Гюйгенса
Выясним основные свойства элемента волнового фронта - ис-
точника Гюйгенса. Пусть плоская поверхность 5 (рис. 1.92а) пред-
ставляет собой часть волнового фронта, движущегося в положи-
тельном направлении оси Z Тогда на этой поверхности существуют
тангенциальные к ней составляющие напряженности поля — Еу и Нх.
Рассмотрим бесконечно малый элемент поверхности волнового
фронта dS = dxdy, находящийся в начале прямоугольной системы
координат (рис. 1.926). Можно считать, что в пределах этого элемен-
та Еу и Нх не изменяются ни по амплитуде, ни по фазе. При опреде-
лении поля излучающей поверхности составляющие Еу и Нх можно
согласно принципу эквивалентности заменить эквивалентными по-
верхностными токами в соответствии с формулами (1.119) и (1.120).
142
Так как направление нормали п совпадает с положительным
„ ’ -3 -м
направлением оси Z, то векторы J и J направлены так, как по-
казано на рис.1.92в. Таким образом, элемент плоского волнового
фронта (источник Гюйгенса) представляет собой совокупность
двух наложенных друг на друга элементарных вибраторов - элек-
трического, длиной dy и шириной dx, и магнитного, длиной dx,
шириной dy, оси которых взаимно перпендикулярны. Оба элемен-
тарных вибратора колеблются в фазе. Эквивалентные токи, теку-
щие по этим вибраторам, определяются выражениями:
/Э (1.144)
IM=-Eydy. (1.145)
Рассмотрим плоскость YOZ (плоскость электрического векто-
ра). Пусть расстояние от начала координат до точки наблюдения,
находящейся в этой плоскости, будет го, а направление на точку
наблюдения определяется углом 3£. Определим напряженность
электрического поля, создаваемого в точке наблюдения элементар-
ным электрическим вибратором длиной dy, обтекаемым током Г,
ось которого параллельна оси Y.
В соответствии с формулами (1.126) и (1.144), учитывая, что
- угол между нормалью к оси вибратора и направлением в точ-
ку наблюдения, получаем
dkl = i WCH>dxdy cos 9ge-*t>, (1.146)
2Xr0
Найдем поле, создаваемое в той же точке наблюдения магнит-
ным вибратором, ось которого параллельна оси X. Для этого вос-
пользуемся формулой (1.134), подставив в нее вместо 7м выражение
(1.145) и заменив dl на dx. Следует иметь в виду, что в плоскости
YOZ магнитный вибратор имеет составляющую напряженности
электрического поля Ед . Учтем также, что угол между осью вибра-
тора и направлением в данную точку равен 90°, так как плоскость
вектора Е перпендикулярна оси магнитного вибратора. Поэтому
(1.147)
2Xr0
143
Элементарный магнитный вибратор не обладает направлен-
ными свойствами в экваториальной по отношению к нему плоско-
сти Е . Чтобы найти поле, создаваемое в точке наблюдения источ-
ником Гюйгенса, сложим поля, создаваемые его составными час-
тями: элементарным электрическим и элементарным магнитным
вибраторами.
Напряженности полей dE& и dE™ складываются алгебраиче-
ски потому, что векторы dE$ и dE™ в точке наблюдения М лежат
на одной прямой. Таким образом, dE =dEf + dt™.
Подставляя вместо dE§ и dE™ выражения (1.146) и (1.147) и
вынося за скобки общие множители, получим
dE
Eydxdy
2Xr0
( Н р
1 + PF xcos^
F
k
(1.148)
v Hx 1
Учитывая, что —- =----, получаем
Ey Wc
dt = + cos 3£ ) .
2Xr0
(1.149)
Следует помнить, что в данных формулах dE представляет со-
бой напряженность электрического поля, создаваемого элементом
волнового фронта в зоне излучения; Еу — тангенциальная состав-
ляющая напряженности электрического поля на поверхности вол-
нового фронта, т.е. это стороннее возбуждающее поле.
Нормированная характеристика направленности элемента вол-
нового фронта в плоскости Е определяется формулой
F(s£) = i^|^. (1.150)
Данное выражение является уравнением кардиоиды в поляр-
ной системе координат (рис. 1.93 а).
Как видим, источник Гюйгенса обладает однонаправленными
свойствами: максимум излучения перпендикулярен поверхности
элемента и направлен в сторону движения волны; в обратном на-
правлении излучения нет.
144
Формула для расчета напряженности поля, создаваемого ис-
точником Гюйгенса в плоскости XOZ (плоскость магнитного век-
тора), выводится аналогично. При этом учитывается, что элемен-
тарный электрический вибратор не обладает направленными свой-
ствами в этой плоскости, так как она меридиональна по отноше-
нию к магнитному вибратору и экваториальна по отношению к
электрическому вибратору. В результате получается формула, сов-
падающая с формулой (1.149), только угол 3£ заменяется углом
3я между нормалью к излучающей поверхности и направлением
на точку наблюдения в плоскости Н. Диаграмма направленности в
Рис. 1.93. Диаграмма направленности источника Гюйгенса:
а - плоскость Е; б - плоскость Н
Пространственная диаграмма направленности f(se ,3я) пред-
ставляет собой тело вращения вокруг оси Z (диаграммы рис. 1.93). В
плоскости XOY, являющейся меридиональной по отношению к обо-
им вибраторам, — электрическому и магнитному, элемент волнового
фронта не обладает направленными свойствами.
145
ГЛАВА 6. ПРИНЦИПЫ И ТЕОРЕМЫ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
6.1. Теоремы взаимности
Рассмотрим два электромагнитных поля Е^\ Я(1) и
(2)
Н , возбуждаемых в объеме V, ограниченном поверхностью S, и
сторонними электрическими и магнитными токами. В обоих случаях
свойства среды описываются зависящими от пространственных ко-
ординат тензорами диэлектрической и магнитной проницаемости.
Пусть оба электромагнитных процесса имеют общую частоту
со . Тогда каждое из полей удовлетворяет уравнениям Максвелла
rot — »7лр р^ гМ
rot/1 -K080£ E +JCT ,
F0t£ --/COgoP H
rr(2) _ - -(2) c(2) 7e(2)
ГОТ/! - K080£ E +7CT ,
и 4 v (1.152)
• „ «(2) £7(2) 7^(2)
rOtxS --ZCOPoP H -Jcv
Из выражений (1.151) и (1.152) с использованием выраже-
ний векторного анализа вида div[E^\ Я^] = Я(2\о1Е^ -
и теоремы Остроградского-Гаусса получим матема-
тическую запись теоремы взаимности'.
{[е™, 7У<2)] [£<2>,7/(1)1} Vs +
+/<о/{Ио(я(2’н0)Я,,,-Я(0й(2)7/(я)-Е()(£(,’ё(2,£<2)-ЕМё(|,Е(,,)> =
V
= £н(1);”<2) +£<2)j„1) -Я(2,Уст° -£(1>7ст2’] dV (1-153)
V
Таким образом, выполнение условий (1.151) и (1.152) обеспе-
чивает выполнение теоремы взаимности. В общем случае теорема
взаимности связывает поля для граничных условий на поверхности
•S' и соотношения для параметров среды в одном и том же объеме V.
Кроме того, теорема взаимности показывает взаимозаменяемость
электрических и магнитных полей, а так же электрических и маг-
нитных токов.
146
5
йо
Ъ/
V
Рис. 1.94. К определению
электромагнитного поля
Теорема взаимности применима и к полям в одной и той же
среде, если только среда является изотропной, или когда анизотро-
пия среды является симметричной. В этом случае теорема взаим-
ности сопоставляет результат двух опытов в одном объеме V для
одной и той же среды.
6.2. Теорема эквивалентности
Требуется определить элек-
тромагнитное поле в области К,
ограниченной замкнутой поверх-
ностью 5 (рис. 1.94). Пусть в об-
ласти К, содержащей изотропную
среду, задано распределение элек-
трических и магнитных токов и
также известны тангенциальные
составляющие напряженности ис-
комых электрического и магнит-
ного полей на поверхности 5. Эти
условия оказываются достаточ-
ными по теореме единственности для однозначного определения
поля в области V.
Возьмем в качестве вспомогательного источника электриче-
ский диполь в точке rQ с единичным электрическим моментом то-
ка и направлением, совпадающим с единичным вектором а0, тогда
(1.154)
Если в точке г0 расположить магнитный диполь с единичным
моментом тока, совпадающий по направлению с единичным век-
тором а0, то
УЙ2)=О, ^(2,=«b5(F-F0). (1.155)
Исходя из этих выражений, на основании леммы Лоренца
можно отметить особенность выражений (1.154) и (1.155): одни и
те же поля ЕтлН получаются путем умножения на сторонние токи
или путем интегрирования тангенциальных составляющих. По-
этому поле в любой точке г0 будет одинаковым сразу в двух за-
дачах — в одной, в которой на границе S касательные составляю-
147
щие полей равны заданным значениям тангенциальных полей Е и
Н, и в другой, в которой на границе 5 задаются распределенные
поверхностные электрические и магнитные токи.
Таким образом, для определения поля в области V необходимо
знать распределение возбуждающих объемных токов в этой области
и распределение тангенциальных составляющих напряженности
электрического и магнитного полей на ограниченной поверхности У
Поскольку поверхность У может быть выбрана произвольно,
очевидно, что фактически поле в области V определяется сторон-
ними электрическими и магнитными токами, распределенными вне
области V. В этом смысле поверхностные электрические и магнит-
ные токи при расчете поля в области V являются эквивалентными
объемному распределению истинных возбуждающих токов вне
области V. Последнее утверждение и составляет содержание тео-
ремы эквивалентности, которая гласит, что поле в свободной от
источников области V, ограниченной поверхностью S, может быть
вычислено через электрические и магнитные токи, распределенные
по этой поверхности, то есть действительные источники поля
можно заменить «эквивалентными» поверхностными токами.
6.3. Принцип двойственности
Рассматривая уравнения Максвелла для изотропной непрово-
дящей среды, свободной от сторонних источников, легко заметить,
что замена
ее0->-ц|И0, Ё<^>Н, Ь&В (1.156)
сохраняет систему уравнений Максвелла.
Действительно, первое уравнение Максвелла при отсутствии
сторонних источников переходит во второе и наоборот второе
уравнение - в первое; уравнения div D = Re и div В = Rm при от-
сутствии свободных зарядов взаимно переходят одно в другое.
Отсюда можно сделать вывод, что если известно решение одно-
родной краевой задачи Д, с граничным условием для электри-
ческого поля, например, =0 (S - поверхность, ограничиваю-
щая рассматриваемый объем), то решение однородной краевой за-
дачи Е2, Н2 с аналогичным (двойственным) граничным условием
для магнитного поля /?т | ^ = 0 согласно (1.156) получается заменой:
148
Ё^Н2, ££о <=> -цц0. (1.157)
В первой задаче в данном конкретном случае поверхность 5
называется электрической стенкой, во второй — магнитной. Такой
принцип получения решений задачи с двойственными граничными
условиями называется принципом двойственности.
Принцип двойственности можно распространить и на неодно-
родные краевые задачи, то есть задачи с источниками, если сим-
метрировать уравнения Максвелла, введя магнитные токи и обра-
зующие эти токи магнитные заряды.
Таким образом, принцип двойственности позволяет находить
решения однородных краевых задач с двойственными граничными
условиями и неоднородных, если известно решение задачи с ис-
точниками электрического типа, и наоборот.
6.4. Метод эквивалентных электрических
и магнитных токов поляризации
В некоторых случаях, особенно при нахождении электромаг-
нитных полей в неоднородных средах, полезно вводить электриче-
ские и магнитные токи поляризации. Это связано с тем, что токи
поляризации при нахождении полей могут рассматриваться как сто-
ронние токи, но уже расположенные в однородном пространстве.
Рассмотрим так называемый метод эквивалентных токов по-
ляризации, позволяющий сводить электродинамические задачи для
неоднородных сред к задачам для однородного пространства.
Запишем уравнения Максвелла для электромагнитного поля в
неоднородной среде с диэлектрической и магнитной проницаемостя-
ми £^, ц(1), возбуждаемого сторонними источниками j™ :
rot/7 = zcoe(1)£o£ + jceT, rotE = -ко|и(1)|иоЯ - 7ст (1-158)
Прибавляя к правым частям уравнений (1.158) и отнимая от
них величины ico£ г0Е и кор ц077, где £ , ц - произволь-
но выбранные постоянные диэлектрическая и магнитная прони-
цаемости, уравнения Максвелла (1.158) для неоднородной среды
можно записать в виде
Г01Я = JCO£(2)£oE + + >пеол, ,
rot# =-коц(2)ц0Я -/с? -7"л, (1.159)
149
где
йол =/СО£0(е(1) -£(2))Д Й£л =1С0р0(ц(1) -Ц(2))л (1.160)
- соответственно электрический и магнитный токи поляризации.
Таким образом, формальное введение токов поляризации по
формулам (1.160) неоднородную среду приводит к однородной. К
решению уравнения (1.159) теперь можно применять все методы,
справедливые для решения задач о возбуждении электромагнит-
ных волн в однородных средах.
6.5. Принцип электродинамического подобия
Принцип подобия определяет условия, при которых процессы
в двух различных электродинамических системах будут прохо-
дить одинаково. Приведем вывод уравнений подобия для изо-
тропной среды.
Запишем однородные уравнения Максвелла для изотропной
безграничной среды с учетом тока проводимости:
- дН - dE - I,-.'
ГО1Е = -Ц„----, rotZ7 = £,.—+ <зЕ. (1.161)
а dt а dt
Введем безразмерные величины £, Н, L,s,T с помощью соот-
ношений:
Ё = еЁ, H = hH, g = gos, l = l0L, t = t0T, (1.162)
где е, h, ио. А), to — единичные величины, имеющие размерность.
Подставляя (1.162) в (1.161), для введенных безразмерных величин
получаем уравнения:
~ дН ~ дЕ ~
rot£--ap---, rot Н = Ре— + ysE, (1.163)
dt dt
n £0^0 e i e cz
где a = ———, , y = /0 — - безразмерные величины. Из
e h h
(1.162) и (1.163) следует, что для подобия двух электромагнитных
систем необходимо и достаточно, чтобы величины ap, Ре, ys
были постоянными, тогда
Г/ Y I2
£Ц — I = const, цу—= const. (1.164)
VO J f0
150
Эти выражения и представляют собой условия подобия для
изотропных сред, которые нашли самое широкое применение при
экспериментальной обработке и проектировании различных уст-
ройств СВЧ.
Физический смысл уравнений подобия (1.164) заключается в
следующем. Пусть имеется некоторая реальная электродинамиче-
ская система, д ля которой по каким-то причинам затруднены расчет
и экспериментальное исследование (например, необходимо иссле-
довать поле в достаточно широкой области на больших временных
интервалах). Уравнения подобия позволяют создать достаточно ма-
лую электродинамическую систему, для которой можно произвести
измерения характеристик электромагнитного поля на малых вре-
менных интервалах, а затем по формулам (1.164) перенести полу-
ченные результаты на реальную электродинамическую систему.
151
ГЛАВА 7. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ
Основу направляющих систем составляют линии передачи,
рассмотрению которых значительное внимание уделено во второй
части учебника. Однако для перехода к изучению непосредственно
устройств СВЧ необходимо ввести основные типы волн, которые
существуют в линиях передачи и рассмотреть физические процес-
сы, протекающие при передачи энергии по прямоугольному и
круглому волноводам.
При выборе линии передачи решающее значение имеет тип
волны, которому соответствует определенная структура электро-
магнитного поля и критическая частота — частота, на которой
прекращается перенос энергии. Эти характеристики определяются
из решения соответствующей краевой задачи о собственных вол-
нах линии передачи. Как правило, линии передачи используются в
режиме основной волны, имеющей наименьшую критическую час-
тоту /кр. Однако в некоторых случаях предпочтение отдается вол-
нам высших типов с критической частотой, превышающей частоту
основной волны.
Различают следующие классы волн:
а) Т-волны (поперечные электромагнитные волны; обозначе-
ние идет от англ, «transverse» - поперечный), не содержащие при
отсутствии диссипации энергии продольных в направлении пере-
носа энергии составляющих электромагнитного поля. Они сущест-
вуют только в линиях передачи, имеющих не менее двух изолиро-
ванных проводников, причем для них критическая частота/кр = 0;
б) Е(ТМ)~волны (электрические волны), не имеющие про-
дольной составляющей магнитного поля. У них присутствует про-
дольная составляющая электрического поля. Эти волны называют
поперечно-магнитными',
в) Н(ТЕ)~волны (магнитные волны), не имеющие продольной
составляющей электрического поля. Эти волны называют попереч-
но-электрическими,
г) LE-волны (продольно-электрические волны), у которых в
поперечном сечении линии передачи присутствует только одна
координатная составляющая электрического поля;
д) LM-волны (продольно-магнитные волны), у которых в по-
перечном сечении линии передачи присутствует только одна коор-
динатная составляющая магнитного поля;
152
е) гибридные волны типа НЕ или ЕН, у которых присутст-
вуют все шесть составляющих электромагнитного поля.
Н- и Е-волны существуют в волноводах с однородным ди-
электрическим заполнением. Критические частоты этих волн от-
личны от нуля и зависят от формы и размеров поперечного сечения
волновода, а также от параметров среды, заполняющей его.
LE- и LM-волны характерны для продольно-регулярных пря-
моугольных волноводов с плоско-параллельными координатными
слоями.
7.1. Общий метод исследования собственных волн
регулярных линий передачи
Задача исследования поля в линии передачи состоит в опреде-
лении его структуры, установлении условий распространения раз-
личных типов направляемых волн и нахождении их характеристик
На рис. 1.95 изображена
регулярная линия передачи с
произвольным поперечным
сечением в декартовой систе-
ме координат {ATZ}, причем
ось OZ совпадает с направле-
нием распространения волны.
Ввиду поперечной неоднород-
ности структуры поле не мо-
жет быть неизменным в плос-
Рис. 1.95. Линия передачи
произвольного поперечного сечения
кости z = const, поэтому в
уравнениях Максвелла следует
полагать д/дх Ф 0, д/ду Ф 0.
Постоянная распространения волны в линии передачи (обозначим ее
через у) в общем случае будет отличаться от волнового числа
к = ы^Еау\.а . Комплексные амплитуды векторов напряженности
электрического и магнитного полей волны, распространяющейся
вдоль оси OZ, в этом случае можно представить в виде
£(x,y,z) = e(x,y)e ,у=,
H(x,y,z) = h(x,y) е~,у=,
(1.165)
где функции е(х,у), h(x,y) описывают распределение электромаг-
нитного поля в поперечном сечении линии. Выражения (1.165) со-
153
ответствуют полю плоской неоднородной волны. Параметр у назы-
вается продольным волновым числом, или постоянной распростра-
нения волны.
Векторы Е и Н поля волны, распространяющейся в линии
передачи, подчиняются однородным уравнениям Гельмгольца:
V2£ + £2£ = 0, У2Я + £2Я = 0. (1.166)
Применяя оператор Лапласа, например, к вектору Е , получаем:
V2£ =
^дх2* ду2* dz2 }
Ё = V2e-у2е ,
(1-167)
С учетом (1.165) и (1.167) уравнения Гельмгольца (1.166) пе-
реходят в следующие двумерные уравнения:
V2e(x,y) + y2e(x,y) = 0, У2Л(х,у) + у2Л(х,у) = 0, (1.168)
2 > 2 2
где у± = к - у — поперечное волновое число.
Векторные уравнения (1.168) можно представить в виде сис-
темы шести скалярных уравнений. Обычно решают уравнения от-
носительно продольных составляющих векторов поля:
V2 г + yfe = 0, + у = 0, (1.169)
а поперечные составляющие определяют через продольные с по-
мощью соотношений связи, вытекающих из уравнений Максвелла
в дифференциальной форме.
Уравнения (1.169), записанные в одной из ортогональных сис-
тем координат, решаются методом разделения переменных, со-
гласно которому искомое решение представляется в виде произве-
дения функций, зависящих только от одной координаты.
7.2. Характеристики волн в линии передачи
Постоянная распространения (коэффициент распростра-
нения). Коэффициент распространения у собственной бегущей
волны линии передачи характеризует изменения ее амплитуды и
фазы. Под бегущей волной вдоль оси OZ будем понимать электро-
154
магнитную волну, зависимость поля которой от координаты z и
времени t имеет вид ехр{/(со/- yz)}. Коэффициент распространения
волны в общем случае является комплексной величиной:
у = у' — iy". (1.170)
Коэффициент фазы (фазовая постоянная). Коэффициент
фазы р определяет изменение фазы волны при прохождении еди-
ницы длины линии передачи. Коэффициент фазы измеряется в ра-
дианах на метр ([р] = рад/м) и равен действительной части посто-
янной распространения: 0 = у'.
Коэффициент затухания. Коэффициент затухания у'опре-
деляет уменьшение амплитуды электромагнитной волны при про-
хождении единицы длины линии передачи. Обычно он измеряется
в децибелах на метр ([а] - дБ/м):
а = 8,68 у". (1.171)
Критическая длина волны - это длина волны, на которой
прекращается распространение электромагнитного поля. Она раз-
деляет частотные области распространяющихся и реактивно зату-
хающих волн и определяется по формуле
Ч=2’/п- <1172)
Ей соответствует критическая частота = yj_/\2nyj£aiia )
Значения УкР, Хкр определяются формой и размерами поперечного
сечения линии передачи, типом собственной волны, а также пара-
метрами среды, заполняющей линию.
Фазовая скорость. Скорость распространения волнового
фронта гармонической волны называется фазовой скоростью. По-
ле гармонической волны, распространяясь вдоль оси OZ в линии
без потерь, описывается следующим образом:
Ё (х, у, z; t) = е (х, у) exp {i (со/ - pz)}.
Волновой фронт этой волны, как плоскость постоянной фазы,
не меняющийся при движении, должен удовлетворять уравнению
со/ - 0z = const. Пользуясь обычным определением скорости, най-
дем, что фазовая скорость волны выражается как
dz со
V<b ~dt~~^>
(1.173)
155
Фазовая скорость волны связана с критической длиной волны
следующим соотношением:
Уф=~, — (1-174)
vi_(V^4>)
где v, X — соответственно фазовая скорость и длина плоской волны
в среде, заполняющей линию.
Длина волны в волноводе. Длина волны есть расстояние,
пройденное волной за время, равное периоду колебания Т. Так как
Т = 2 л/со , то длина волны в волноводе вычисляется как
УфТ = — = —=====
р ^-(w)2
(1.175)
Дисперсионная характеристика. Дисперсией называется за-
висимость фазовой скорости от частоты, а дисперсионная харак-
теристика представляет собой конкретный вид зависимости, зада-
ваемой формулой или графиком.
Линии передачи с Т-вопнами не имеют дисперсии. Фазовая
скорость 7-волн на любой частоте равна скорости распространения
плоской электромагнитной волны в среде, заполняющей линию
передачи: уф = с/д/Ёц, где с - скорость света в вакууме.
Линии передачи, работающие на других типах волн, обладают
дисперсией. В общем случае дисперсионная зависимость для ли-
нии передачи в виде формул отсутствует (кроме Н- и Е-волн); она
определяется численно из решения дисперсионного уравнения.
Групповая скорость. Групповая скорость - скорость распро-
странения огибающей электромагнитного сигнала. Понятие группо-
вой скорости вводится в случае дисперсной линии передачи и слож-
ных сигналов, которым соответствует определенный спектр частот.
Групповая скорость и при отсутствии диссипации (потерь)
энергии вычисляется из выражения
Jco
и —---
Jp
Соотношения (1.173-1.176) определяют основные характери-
стики волны.
(1.176)
156
7.3. Особенности некоторых направляемых волн
Т-волны. Как уже отмечалось, в некоторых линиях передачи
может распространяться волна, у которой отсутствуют продольные
составляющие векторов электромагнитного поля (Е- = Hz = 0). Та-
кая волна получила название поперечной электромагнитной, или
Т-волны.
Из выражений (1.169) следует, что если Е- = 77- = 0, то при
Ух ф 0 обращаются в нуль все составляющие поля, а это означает, что
существование 7-волн невозможно. Однако этот запрет снимается
при условии У1 = 0, так как в этом случае в выражениях (1.169) для
поперечных компонент поля возникает неопределенность типа 0/0.
Поэтому условие ух = 0 является общим признаком всех 7-волн.
К классу 7-волн относится изученная ранее плоская однород-
ная электромагнитная волна, распространяющаяся в неограничен-
ной однородной изотропной среде.
Из условия yi =0 следует, что постоянная распространения
7-волны равна постоянной распространения плоской волны в одно-
родной среде с параметрами £а, ца: у = k = o^£a|Lia .
Следовательно, в случае 7-волны выражения для фазовой ско-
рости и длины волны в линии передачи имеют вид: гф = i/у/^а\ла ,
А = X, т.е. значения фазовой скорости и длины 7-волны в линии
передачи оказываются такими же, как у плоской однородной вол-
ны в безграничной однородной среде. Фазовая скорость 7-волны в
продольно-регулярной линии определяется только значениями
проницаемостей среды (заполнителя линии передачи) и не зависит
от геометрической конфигурации поперечного сечения линии.
Из условия ух =0 с учетом (1.172) нетрудно определить кри-
тические длину волны и частоту для 7-волны:/кр = 0, Хкр —> оо.
Таким образом, распространение Т-волны возможно на любой
частоте: режим отсечки отсутствует.
Характеристики Т-волны при отсутствии диссипации энергии
не зависят от частоты, и поэтому дисперсия в линиях передачи с
таким типом волны отсутствует. Заметим, что условие у^ = 0 яв-
ляется фактически необходимым условием отсутствия дисперсии в
линии передачи.
1 С*7
Е- и //-волны. Для Е- и //-волн выполняются условия:
у' < к, Гф > , то есть фазовые скорости Е- и //-волн всегда
больше фазовой скорости плоской волны в однородной среде с па-
раметрами ео, . Волны, распространяющиеся в некоторой одно-
родной среде с фазовой скоростью, превышающей фазовую ско-
рость плоской волны в этой же среде, называются быстрыми. Бы-
стрыми являются Е- и //-волны в полностью экранированных иде-
ально проводящей оболочкой волноводах (например, в прямо-
угольном и круглом волноводах).
Рис. 1.96. Произвольная
волноведущая структура
Рассмотрим волноведущую
структуру, поперечное сечение
которой показано на рис. 1.96.
Через Ll обозначен контур эк-
рана в поперечном сечении
волновода, через — попереч-
ное сечение волновода, п$ —
вектор нормали к экрану волно-
вода. Удельная проводимость
экрана оЭКр полагается беско-
нечной, а сам экран, соответст-
венно, — идеально проводящим.
При рассмотрении Е-волн волновода воспользуемся первым
уравнением из системы (1.169), записанным относительно про-
дольной составляющей е-. Это уравнение должно решаться при
следующих граничных условиях: на идеально проводящих стен-
ках экрана касательные составляющие электрического поля рав-
ны нулю. Поэтому формулировка краевой задачи для Е-волн
имеет вид
е_ 4- уе_ _ Q в
е. = 0 на L
(1.177)
и называется краевой задачей первого типа на уравнении Гельм-
гольца (задача Дирихле).
Для конкретной линии передачи задачу (1.177) необходимо
решать в удобной системе координат, в которой легче всего удов-
летворить заданным граничным условиям. Поскольку рассматри-
ваемая краевая задача является однородной, в результате ее реше-
158
ния определяются собственные значения и собственные функ-
ции е.. Собственные значения задают волновые числа и дисперси-
онные характеристики Е -волн волноведущей структуры, а собст-
венные функции — распределения составляющей ez в поперечном
сечении линии передачи.
При рассмотрении Н -волн на уравнении Гельмгольца форму-
лируется краевая задача второго типа — задача Неймана:
V^_+y2/7, =0
k=0
в SL,
на Е±,
(1.178)
где п — нормаль к внутренней поверхности идеально-проводящего
экрана. Граничное условие в (1.178) вытекает из следующих со-
ображений. На поверхности проводника касательная составляю-
щая электрического поля ет и нормальная составляющая вектора
магнитной индукции равны нулю. Из уравнения Максвелла сле-
dh- . , п „
дует: —- + iyn„ = , откуда с учетом того, что ех ~ 0 и пп = 0,
дп
получаем
(1.179)
on 1 х
Решение краевой задачи (1.178) для 77-волн производится так
же, как и краевой задачи (1.177) для Е-волн.
7.4. Прямоугольный волновод
Из полых волноводов самым распространенным является вол-
новод прямоугольного поперечного сечения. Исследование про-
цесса распространения волн в волноведущей структуре будем про-
водить при следующих ограничениях: 1) стенки волновода пола-
гаем идеально-проводящими ( стэкр = со); 2) волновод заполнен од-
нородной диэлектрической средой без потерь с параметрами е и
ц. В таком волноводе не может существовать 7-волна и спектр
собственных волн составляют волны Е- и /7-типа. Размеры попе-
речного сечения выбираются так, чтобы выполнялось условие
а>Ь (анЬ — широкая и узкая стенки волновода соответственно).
159
Е-волны. Краевая задача Дирихле в данном случае может
быть поставлена следующим образом:
vler+YiA=0 ПРИ 0<х<а, 0<у<Ь;
е= = 0 при х = 0, х = а, у = Ь, е = 0.
Собственные функции краевой задачи (1.180) имеют вид
тп . плис . пяу
е„=е- = Eq sin---sin——
a b
(1.181)
где Eq — амплитуда, определяемая из условий возбуждения; т и
и = 1,2... Собственные значения краевой задачи определяются по
формуле
Г \2 Z \2
2 2 I 1 | ИЛ 1
Y±=Y±OTn =---- + Т
v а ) \Ь )
(1.182)
Подставляя соотношения (1.182), которые получаются пря-
мой подстановкой собственных функций (1.181) в уравнение
(1.180), постоянные распространения у^л f-волн прямоугольного
волновода находим как
Утп
(1.183)
Формула (1.183) фактически является дисперсионным уравне-
нием собственных волн Е-типа прямоугольного волновода.
Из (1.183) следует, что спектр собственных волн Е-типа пред-
ставляет собой бесконечный набор волн с собственными функциями
е™п и постоянными распространения у,^. Такие волны будем в
дальнейшем называть волнами типа Етп . На рис. 1.97 представлено
распределение составляющей ez полей Еп, Е21, Е31, Е32 в попе-
речном сечении структуры (эпюры). Из (1.181) понятен физический
смысл индексов т и и. Индекс т определяет число вариаций поля е.
вдоль широкой стенки волновода, а индекс п — вдоль узкой стенки.
Составляющая Е_ образуется домножением (1.181) на фазо-
выи множитель exp (-/yz): E_=Eosm----sm----e ! .
a b
160
Рис. 1.97. Распределение составляющей е2 в прямоугольном волноводе
На рис. 1.98 показаны структуры полей различных типов £-волн
прямоугольного волновода. Сплошными линиями изображены си-
ловые линии электрического поля, штриховыми — силовые линии
магнитного поля. Силовые линии магнитного поля целиком лежат в
плоскости поперечного сечения волновода, так как у Е-волн отсут-
ствует продольная составляющая магнитного поля Hz. Направле-
ние электрических и магнитных силовых линий в любой точке вол-
новода должно быть таким, чтобы вектор Умова-Пойнтинга был
направлен вдоль оси OZ. Кроме того, магнитные и электрические
силовые линии должны быть всегда взаимно ортогональны.
Самой простой структурой поля обладает волна Ех j. При от-
сутствии поглощения поле периодично в направлении оси OZ с
периодом Л. Для построения структур полей Е-волн высших по-
рядков (п > 1, т > 1) можно воспользоваться картиной поля волны
Ец в поперечном сечении волновода, повторив ее изображение
вдоль оси ОХ т раз, а вдоль оси OY - п раз с учетом фаз соседних
максимумов поля. Именно в соответствии с этими принципами на
рис. 1.98 построены структуры полей для волн Е21 (б) и Е23 (в).
Критические длины волн Епт определяются по формуле
лкр — Л’кр
(1.184)
161
Рис. 1.98. Структура полей различных типов Е-волн
в прямоугольном волноводе
Из (1.184) следует, что максимальной критической длиной
волны обладает волна Еп. Для нее
(1185)
у] а +Ь
Из (1.185) следует, что частоты отсечки собственных волн по-
лого прямоугольного волновода определяются его геометрически-
ми размерами а, b и параметрами среды-заполнителя 8 и ц.
ЕГ-волны. В этом случае краевая задача ставится на основании
задачи Неймана. Математические выражения для //-волн очень
похожи на выражения для Е-волн. Это является следствием теоре-
162
мы двойственности. Поэтому и собственные значения краевых за-
дач для Е- и /f-волн совпадают.
На рис. 1.99 представлены эпюры составляющей hz волн Н\$,
ЯОь Яп, Яго-
Рис. 1.99. Распределение составляющей hz в прямоугольном волноводе
На рис. 1.100 изображены структуры полей нескольких Я-волн.
Так как Я-волны не имеют продольных составляющих электриче-
ского поля, электрические силовые линии целиком лежат в плоско-
стях поперечных сечений, в то время как магнитные силовые ли-
нии образуют замкнутые контура в продольных плоскостях. Я-
волны, имеющие один нулевой индекс, не содержат вариаций поля
вдоль осей OY и ОХ соответственно. Индексы т и п имеют тот же
смысл, что и для Е-волн.
Критические длины волн Я/;л1 определяются по формуле
2
(1.186)
Лкр — ЛКр
Из последнего выражения видно, что критические длины волн
Я1 о и Яш больше, чем у волны Ец и соответственно равны 2а и 2Ь.
Так как b < а, то наибольшую критическую длину имеет волна Яю,
т.е. она обладает наименьшей частотой отсечки. Поэтому волна Яю
является основной волной прямоугольного волновода и имеет наи-
большее практическое значение.
163
Яю
Рис. 1.100. Структура полей различных типов Я-волн
в прямоугольном волноводе
Так как волна Ню имеет наибольшую критическую длину, раз-
меры поперечного сечения волновода, при которых возможна пе-
редача энергии на заданной частоте, для этой волны наименьшие.
Работа на волне Ню позволяет уменьшить габариты и массу волно-
вода, а, следовательно, и его стоимость. Прямоугольные волново-
ды на основной волне широко используются в качестве фидерных
линий в радиорелейных, радиолокационных и других системах
сантиметрового диапазона длин волн.
164
7.5. Круглый волновод
Другим распространенным в технике СВЧ полым волноводом
является экранированный волновод круглого поперечного сечения.
Рассмотрение волн в этой направляющей структуре будем прово-
дить с использованием двух ограничений: 1) стенки волновода (эк-
ран) полагаются идеально-проводящими (оэкр = оо); 2) волновод
заполнен однородным диэлектриком без потерь с параметрами о и
р.. В таком волноводе не может существовать 7-волна и спектр соб-
ственных волн составляют волны Е- и /7-типов. В силу геометрии
структуры краевые задачи для собственных волн поставим в ци-
линдрической системе координат.
Е-волны. Краевая задача для Е-волн круглого волновода фор-
мулируется следующим образом:
1 д ( де. 1 с2е. 2 n n D п о
р-- + ——-+у±е_=0 при 0<р<Е, 0<ср<2л;
pdpV dpj pz дер (1.187)
е. = 0 при р = R,
2 2 2
где у± =со 8аца — у -
Для решения краевой задачи (1.187) используется метод разде-
ления переменных, по которому
*:(Р,ф) = Я(р)Ф((р).
(1.188)
Подставляя решение (1.188) в уравнение Гельмгольца, из
(1.187), с учетом периодичности поля по угловой координате,
приходим к двум дифференциальным уравнениям относительно
функций Фи/?:
d2R 1 dR
--у Н----
dp р dp
+ е=о,
I Р J
d2(& ?
—у + л2Ф = 0, (1.189)
Jcp2
где л = 1,2....... — постоянная разделения.
Первое уравнение из (1.189) называется уравнением Бесселя, и
его решение хорошо известно и приводится в справочной литературе.
Составляющие поля Е для круглого волновода находятся также
на основании корней уравнения Бесселя. Критические длины волн
для Е-волны определяются как
X™ = 2яй/ц„т , (1.190)
где рпт ~ т~й корень решения уравнения Бесселя.
165
Наибольшей критической длиной волны обладает волна Еоь
По аналогии производится анализ и для /7-волн круглого вол-
новода. В этом случае критические длины /7-волн можно найти как
1 тп _ 2llR
^кр —
Хтяп
(1.191)
где %пт — т-й корень решения уравнения Бесселя.
На рис.1.101 показаны структуры полей Е и //для нескольких
типов волн.
Рис. 1.101. Структура полей в круглом волноводе
166
Сравнивая рис. 1.101 и рис. 1.100, можно сделать вывод о том,
что по своей структуре поля волна Н\ i круглого волновода похожа
на волну T/ю прямоугольного волновода. Поэтому при создании
волноводных переходов между круглым и прямоугольным волно-
водами, в которых указанные волны являются основными, это об-
стоятельство учитывается.
Применение круглых волноводов с волной Н\ i в качестве лро-
тяженных фидерных трактов ограничивается ее поляризационной
неустойчивостью. Эта особенность волны Н\\ проявляется в воз-
никновении поля с паразитной ортогональной поляризацией, вы-
званной неточностью изготовления, деформацией и изгибами вол-
новода. Однако короткие отрезки круглого волновода с волной Н\ i
могут служить основой для создания различных устройств СВЧ
трактов. Отрезки круглых волноводов с волной £оь обладающей
осесимметричной структурой поля, используются во вращающихся
сочленениях волноводов.
167
ГЛАВА 8. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
8.1. Формулировка задач и этапы их решения
Ранее внутренняя краевая задача электродинамики была сфор-
мулирована как задача отыскания решений уравнений Максвелла в
замкнутой области V, на границе которой S' электромагнитное
поле удовлетворяет заданным условиям. К решению этой задачи
сводится расчет электромагнитного поля в закрытых и открытых
объемных резонаторах и линиях передачи, а также в различных
нерегулярных системах.
В зависимости от формы области V и свойств заполняющей
ее среды для решения уравнений Максвелла используются раз-
личные методы. Для областей простой правильной формы с од-
нородным изотропным заполнением существуют аналитические
решения, выражающие напряженности электрического и маг-
нитного полей через известные математические функции коор-
динат и времени. Примеры таких решений содержатся в пре-
дыдущих главах. Они являются точными в том смысле, что ука-
занные математические функции можно вычислить с любой за-
данной точностью.
Для более сложных областей аналитическое решение задачи
найти не удается, и приходится решать ее приближенно. Неза-
висимо от метода и используемых технических средств процесс
приближенного решения содержит следующие основные этапы:
1) постановка задачи - уточнение целей расчета и типов рас-
считываемых объектов, их математическое описание, определение
необходимого объема и требуемой точности получаемой в резуль-
тате решения информации;
2) аналитическая обработка — построение математической мо-
дели объекта, преобразование исходных уравнений к наиболее про-
стому и удобному для решения данной задачи виду, исследование
свойств полученных уравнений и их решений, степени их адекват-
ности исходному физическому объекту;
3) дискретизация - переход от непрерывных функций к диск-
ретным и от функциональных уравнений к алгебраическим, в оп-
ределенном смысле приближающимся к исходным функциям и
уравнениям;
168
4) решение полученной в процессе дискретизации системы ал-
гебраических уравнений (матричной задачи);
5) обработка результатов — расчет требуемых параметров и ха-
рактеристик электродинамической системы по данным, найденным
в результате выполнения предыдущих этапов.
Одной из наиболее существенных характеристик приближенного
метода решения является погрешность получаемых с его помощью
результатов, которая складывается из погрешностей, вносимых на
каждом этапе. К составляющим общей погрешности относятся:
— неустранимая погрешность, возникающая на первом этапе
решения за счет неточности исходных данных. Действительно, раз-
меры и форма реальной системы всегда отличаются от номиналь-
ных, а электрофизические параметры входящих в ее состав тел не
могут быть определены абсолютно точно;
— погрешность модели, возникающая на втором этапе вслед-
ствие неполной адекватности математического описания реаль-
ному физическому объекту;
— погрешность численного метода, возникающая при диск-
ретизации задачи;
— вычислительная погрешность, возникающая на четвертом и
пятом этапах в связи с конечной точностью представления чисел и
конечным числом операций над ними.
До появления ЭВМ основная погрешность вносилась за счет
описания реальной системы сравнительно простой математической
моделью. Значение этой погрешности оценить заранее не пред-
ставляется возможным. В то же время простая модель позволяет
применять на последующих этапах несложные и достаточно точ-
ные алгоритмы.
По мере развития вычислительной математики и совершен-
ствования ЭВМ появляется возможность использовать все более
сложные математические модели, достаточно полно и точно отра-
жающие свойства реальной системы. При этом основная погреш-
ность возникает при численном решении уравнений модели (этапы
третий и четвертый). Средства вычислительной математики позво-
ляют заранее оценить погрешность многих алгоритмов. Тем самым
в современных методах решения влияние неконтролируемой по-
грешности математической модели существенно уменьшается.
Любой метод расчета электродинамических систем на опре-
деленных этапах предполагает выполнение операций над числами.
169
В связи с этим под «численными методами расчета», которые рас-
сматриваются в настоящей главе, понимаются методы, позволяющие
получить решение задачи в результате выполнения заданной ко-
нечной последовательности арифметических действий (алгоритма),
которая не может быть выражена с помощью математической
формулы. Алгоритм численного решения должен предусматривать
полностью формализованные методы получения всех промежуточ-
ных и конечных результатов из строго определенного набора ис-
ходных данных. Для задач электродинамики таким набором явля-
ются конфигурация системы, электрофизические параметры обра-
зующих ее тел, сторонние токи и поля.
8.2. Классы внутренних задач электродинамики
и их математическая формулировка
С математической точки зрения уравнения Максвелла (1.1)-(1.4)
представляют собой систему дифференциальных уравнений в ча-
стных производных первого порядка, неизвестные функции кото-
рых зависят от четырех независимых переменных - трех простран-
ственных координат и времени. В качестве коэффициентов при
неизвестных функциях в эти уравнения входят электрофизические
параметры тел, образующих электродинамическую систему.
Сложность решения системы уравнений в частных производ-
ных зависит от свойств их коэффициентов, числа неизвестных
функций и их размерности (числа независимых переменных), а так-
же от типа граничных и начальных условий. По степени сложности
внутренние задачи электродинамики разделяют на различные типы
и классы. К наиболее сложным относятся нелинейные задачи, кото-
рые возникают, когда электрофизические параметры среды, запол-
няющей систему, зависят от напряженности электрического и (или)
магнитного полей. Методы решения таких задач разработаны только
для некоторых достаточно простых частных случаев. Во многих за-
дачах, однако, нелинейностью среды можно пренебречь.
Решения линейных задач удовлетворяют принципу суперпо-
зиции. Это позволяет, используя интегралы и ряды Фурье, ограни-
читься анализом процессов, гармонически зависящих от времени, и
исключить эту переменную из уравнений Максвелла. В результате
решение упрощается.
Возможность дальнейшего упрощения системы уравнений
Максвелла зависит от формы области V, свойств заполняющей ее
среды, распределения сторонних токов и полей.
170
Следует отметить, что электромагнитное поле в линии переда-
чи или резонаторе при наличии возбуждения может быть пред-
ставлено в виде суперпозиции полей свободных волн (колебаний).
Задача о вынужденных колебаниях сводится, таким образом, к за-
даче о свободных колебаниях (волнах).
Выделим, в порядке возрастания их сложности, три основных
класса линейных внутренних краевых задач электродинамики о
свободных колебаниях (волнах).
1. Двумерная скалярная задача возникает в том случае, когда
уравнения Максвелла удается свести к одному уравнению относи-
тельно скалярной двумерной функции. К этой задаче сводится рас-
чет электромагнитного поля свободных волн (колебаний) в регу-
лярных линиях передачи и волноводных резонаторах с однород-
ным изотропным заполнением и граничными условиями типа элек-
трической ( = 0 ) или магнитной ( Нх = 0 ) стенок. При этом элек-
тромагнитное поле описывается мембранной функцией удовле-
творяющей уравнению Гельмгольца. Такая же задача возникает
при расчете поля азимутально-однородных видов колебаний в ак-
сиально-симметричных резонаторах с однородным изотропным
заполнением. К двумерной скалярной задаче сводится расчет и в
некоторых других случаях, представляющих ограниченный прак-
тический интерес. В обобщенном виде эту задачу можно сформу-
лировать как решение уравнения
= (1.192)
в двумерной области D с граничным условием
35у = 0 (1.193)
на ее границе L. В этих уравнениях 3 и — некоторые диффе-
ренциальные выражения; Q — двумерная положительная весовая
функция, Л =к2 или К = к2.
2. Если регулярная линия передачи имеет неоднородное и
(или) анизотропное заполнение, то Е- и //-волны в ней не разделя-
ются. Для описания электромагнитного поля в таких линиях необ-
ходимы две скалярные двумерные функции \|/е и , связанные
через граничные условия и характеристическое уравнение. Приме-
ром может служить диэлектрический волновод. Другой задачей,
требующей введения двух функций, является расчет электромаг-
171
нитного поля азимутально-неоднородных видов колебаний в акси-
ально-симметричных резонаторах.
В обобщенном виде рассматриваемая задача сводится к ре-
шению векторного уравнения
(1.194)
в двумерной области D с граничными условиями
на ее границе L. Здесь
3^ = 0
(1.195)
— искомая векторная функция-столбец;
Qu Qu
_&1 Qn
- матричные дифференциальные операторы и весовая функция.
Задачу решения уравнения (1.194) с граничными условиями (1.195)
называют векторной двумерной задачей.
3. Если в электродинамической системе не удается выделить
направление, вдоль которого ее свойства неизменны, то понижение
размерности искомых функций невозможно. Использование век-
торов Герца для описания электромагнитного поля в этом случае
не дает преимуществ, и в качестве рабочих обычно используются
уравнения второго порядка относительно электрического или маг-
нитного поля с граничными условиями Ех =0 или (rot//)T =0 на
идеально проводящей поверхности. Задачи такого типа называют
векторными трехмерными задачами.
Следует отметить, что первые алгоритмы и программы чис-
ленного решения внутренних краевых задач электродинамики поя-
вились в середине 60-х годов. За последующие годы созданы эф-
фективные универсальные (пригодные для анализа областей про-
извольной формы) программы решения двумерных скалярных и
векторных задач. В середине 80-х годов были разработаны первые
универсальные алгоритмы и программы решения трехмерных за-
дач электродинамики о свободных колебаниях. Некоторые из них
будут подробно рассмотрены в 4-й части учебного пособия.
172
8.3. Программы численного решения
внутренних задач электродинамики
Для расчета электромагнитного поля и параметров свободных
колебаний (волн) в электродинамических системах применяются
комплексы программных модулей, каждый из которых выполняет
определенные функции. Особенно сложную структуру имеют про-
граммы (пакеты прикладных программ) решения трехмерных задач
электродинамики, насчитывающие десятки тысяч операторов.
Обобщенная структурная схема пакета прикладных программ
(ППП) показана на рис. 1.102. Управляющая программа (УН), рабо-
тающая в вычислительной среде операционной системы общего
пользования, осуществляет обращение к отдельным группам про-
граммных модулей, обеспечивает взаимодействие между ними,
выделение необходимых ресурсов, запись и хранение промежуточ-
ных результатов.
После начала работы управ-
ляющий модуль обращается к груп-
пе программных модулей ввода и
анализа задания 1. Форма области
обычно описывается набором отрез-
ков прямых и дуг окружностей, со-
единенных между собой. Каждый
элемент границы определяется ко-
ординатами начальной и конечной
точек. Для дуги окружности необ-
ходимо дополнительно задать коор-
динаты любой ее промежуточной
точки. Так как начало одного эле-
Рис. 1.102. Структурная
схема ППП
мента совпадает с концом другого,
для описания границы необходимо задать Мп + 2М$ + 1 пар коорди-
нат, где Мп — число отрезков прямых; — число дуг окружностей.
После ввода производится анализ правильности исходной ин-
формации (число координат должно быть четным, граница - замкну-
той и т.п.) и построение уравнений отрезков и дуг, образующих гра-
ницу. Коэффициенты этих уравнений рассчитываются по координа-
там принадлежащих элементам границы точек и записываются в па-
мять ЭВМ. Расчетная область затем может быть выведена на экран
графического дисплея и при необходимости скорректирована.
173
Группа программных модулей 2 осуществляет подготовку ин-
формации для вычисления коэффициентов конечно-разностных
уравнений. Исходя из заданного числа узлов, выбирается шаг сетки
h. Часто, с целью сокращения времени решения, вычисления про-
изводят на последовательности сеток, причем шаг каждой сле-
дующей сетки в два раза меньше, чем предыдущий. В этом случае
начальный шаг и число сеток выбираются так, чтобы первая сетка
содержала не менее 150-200 узлов и была связной, а последняя
обеспечивала заданное число узлов (5—15 тыс.). Эта процедура мо-
жет выполняться автоматически или вручную.
После выбора шага определяются координаты точек пересече-
ния элементов границы со всеми линиями сетки. С помощью этих
данных анализируется тип каждого узла сетки. Если он внешний,
то в соответствующий элемент массива узловых значений функции
записывается 0, если внутренний, то 1. Если данная сетка не
первая, вместо этого производится интерполяция сеточной функ-
ции, полученной на старой сетке, в новые узлы. Кроме того, для
каждого нерегулярного узла в отдельный массив заносятся его но-
мер, длина нерегулярных плеч и их положение, тип условий на
участке границы, прилегающей к узлу.
Полученная информация передается группе программных
модулей 3, осуществляющих решение матричной задачи. Эта
группа включает модули решения разностных уравнений, вы-
числения собственного числа, ортогонализации, выбора коэф-
фициента релаксации, проверки выполнения условий сходимо-
сти. В результате ее работы получаются массивы значений
функции \|/ в узлах и собственные числа для заданных видов
колебаний. Эта информация может передаваться в группу моду-
лей 2 для организации вычислений на следующей сетке либо в
группу модулей обработки результатов 4, осуществляющих рас-
чет составляющих электромагнитного поля и параметров элек-
тродинамической системы, а также вывод этих данных в виде
таблиц, графиков и эпюр силовых линий.
В качестве примера на рис. 1.103 показаны эпюры силовых ли-
ний электрического поля азимутально-однородных //-колебаний в
волноводном сумматоре. Расчет производился в программе HESS
на основе метода конечных элементов.
174
Рис.1.103. Объемное распределение силовых линий
//-поля в волноводном сумматоре
ЛИТЕРАТУРА К ЧАСТИ I
1. Бредов М.М. Классическая электродинамика : учеб, пособие /
М.М. Бредов, В.В. Румянцев, И.Н. Топлыгин ; под ред. И.Н. Топлыгина. —
С.-Пб.: Изд-во «Лань», 2003. — 400 с.: ил.
2. Неганов В.А. Электродинамика и распространение радиоволн :
учеб, пособие, для вузов / В.А. Неганов, О.В. Осипов, С.Б. Раевский, Г.П.
Яровой ; под ред. В.А. Неганова, С.Б. Раевского. - М. : Радио и связь,
2005.-648 с.: 217 ил.
3. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны / Л.А. Вайнштейн. — М.
: Сов. радио, 1957. — 581 с.
4. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн /
В.В. Никольский, Т.И. Никольская. - М.: Наука, 1989. - 544 с.
5. Пономарев Г.А. Распространение УКВ в городе / Г.А. Пономарев,
А.Н. Куликов, Е.Д. Тельпуховский.—Томск: МП «Раско», 1991.—222 с.
6. Марков Г.Т. Возбуждение электромагнитных волн / Г.Т. Марков,
А.Ф. Чаплин. — М.: Энергия, 1967.
7. Пистолькорс А.А. Антенны / А.А. Пистолькорс. - М.: Связьиздат,
1947.
175
ЧАСТЬ 2. УСТРОЙСТВА СВЧ
ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ СВЧ
1.1. Классификация линий передачи СВЧ
В соответствии с ГОСТ линией передачи СВЧ называется уст-
ройство, ограничивающее область распространения электромаг-
нитных колебаний и направляющее поток электромагнитной энер-
гии в заданном направлении. Направление распространения опре-
деляется взаимным расположением источника электромагнитных
колебаний и нагрузки в линии передачи. Источником электромаг-
нитных колебаний может служить, например, генератор, подклю-
ченный к линии передачи, приемная антенна или устройство воз-
буждения линии передачи, отбирающее часть электромагнитной
энергии от другой линии передачи или какого-либо устройства
СВЧ. Нагрузкой линии передачи может служить устройство, пре-
образующее электромагнитную энергию (например, в тепло), из-
лучающая (передающая) антенна, входные цепи приемника и т.п.
К устройствам СВЧ относятся линии передачи и преобразо-
ватели энергии СВЧ, ответвители, фильтры, вентили и т.д. Сово-
купность устройств СВЧ, сочлененных определенным образом,
образует тракт СВЧ.
Различают регулярные и нерегулярные линии передачи. У регу-
лярной линии передачи в продольном направлении неизменны попе-
речное сечение и электромагнитные свойства заполняющих сред.
Если одно из условий регулярности отсутствует, то такая линия яв-
ляется нерегулярной. Линия передачи, заполненная однородной сре-
дой, называется однородной. В противном случае - неоднородной
Линии передачи классифицируются по диапазонам частот.
Принята и закреплена ГОСТами терминология, определяющая дли-
ны волн и частоты электромагнитных колебаний. Приведенная тер-
минология ограничена диапазоном частот от 3 кГц до 3000 ГГц. Та-
кая классификация обусловлена особенностями распространения
радиоволн в различных диапазонах частот. Диапазон СВЧ соответ-
ствует сантиметровым волнам. Однако на практике этим термином
определяют диапазон с более широкими границами, который вклю-
чает в себя волны от метровых до миллиметровых.
Линии передачи по типам используемых волн классифици-
руются на линии передачи с поперечной электромагнитной вол-
176
ной (Г-во л ной), с магнитной волной (//-волной), с электриче-
ской волной (£-волной) и с гибридной волной.
Направив ось Z прямоугольной системы координат вдоль ли-
нии передачи, каждый тип волны можно определить условиями,
представленными в табл.2.1 и накладываемыми на продольные £_
и Н. составляющие векторов электрического и магнитного полей
соответственно.
Из табл.2.1 следует, что в Г-волне векторы напряженности
электрического и магнитного полей лежат в плоскости, перпенди-
кулярной направлению распространения; в //-волне вектор напря-
женности магнитного поля имеет продольную и поперечную со-
ставляющие, а вектор напряженности электрического поля имеет
только поперечную составляющую; в £-волне вектор напряженно-
сти электрического поля имеет продольную и поперечную состав-
ляющие, а вектор напряженности магнитного поля лежит в плоско-
сти поперечного сечения линии передачи; в гибридной волне век-
торы напряженности электрического и магнитного полей имеют и
продольные, и поперечные составляющие.
Таблица 2.1
Типы волн Условия на продольные составляющие полей
Т-волны Е= = 0, Hz = 0
Я-волны Е. = 0, Н. Ф 0
£-волны Е. + 0, Н= = 0
Гибридные волны (типа ЕН и НЕ) Е. + 0, Н= ф 0
Распространение электромагнитной волны показано на рис.2.1.
177
Классификация линий передачи по видам весьма разнообразна.
Линия передачи, конструкция которой не допускает упругого или
пластичного изгиба, называется жесткой} в противном случае —
гибкой. Волноводом называется линия передачи, имеющая одну или
несколько проводящих поверхностей, с поперечным сечением в ви-
де замкнутого проводящего контура, охватывающего область рас-
пространения электромагнитной энергии. Если такой проводящий
контур отсутствует, то линия передачи называется открытой.
К проволочным линиям передачи относятся воздушные двух-
проводные и четырехпроводные линии передачи. На рис.2.2 пред-
ставлены поперечные сечения таких линий передачи. Проводники
линии могут быть покрыты диэлектриком. Основным типом волны в
них является Г-волна. В четырехпроводных линиях возбуждаются
попарно соединенные проводники, например вертикальные, гори-
зонтальные или диагональные. Такие линии передачи используются
в диапазонах гектометровых, декаметровых и метровых волн.
Волновое сопротивление воздушной двухпроводной линии
(Ом) зависит от диаметра ее проводников d и расстояния между
ними D и определяется по выражению
ZB=2761g D/d + ^ + ^D/d)1 .
На практике волновое сопротивление обычно лежит в преде-
лах 200...600 Ом.
Рис.2.2. Поперечные сечения
проволочных линий:
а) двухпроводная;
б) четырехпроводная
Воздушные двухпро-
водные линии выполняют
из неизолированных мед-
ных или биметаллических
проводов, подвешенных
на опорах с помощью ке-
рамических изоляторов на
высоте не менее 3-х мет-
ров над землей.
Четырехпроводные
линии передачи отлича-
ются от двухпроводных
меньшим паразитным из-
лучением, более низким
волновым сопротивлени-
178
ем и повышенной электрической плотностью. В четырехпроводных
линиях возможны два способа образования синфазных пар: парал-
лельно-вертикальный и «крест-накрест». При этом в первом случае
волновое сопротивление равно
ZB1 =1381g[(2D2/d)71 + (Pl/B2)2],
а в случае способа «крест-накрест» — ZB2 = 1381g—j— 1 =.
d^D^D^1
К полосковым линиям передачи относятся несимметричная и
симметричная полосковые линии, щелевая и копланарная линии.
На рис.2.3 представлены поперечные сечения и структуры полей в
таких линиях.
а)
Рис.2.3. Поперечные сечения полосковых линий передач:
а - несимметричной; б - симметричной; в - щелевой; г — копланарной
Они применяются в диапазонах дециметровых, сантиметро-
вых и длинноволновой части миллиметровых волн. Основной
волной несимметричной и симметричной полосковых линий яв-
ляется Г-волна. В щелевой и копланарной линиях основной яв-
ляется 77-волна.
Широкие металлические пластины полосковых линий являют-
ся экранами и могут рассматриваться как бесконечные плоскости с
нулевым потенциалом. Различают три разновидности полосковых
линий: жесткие воздушные, линии на основе фольгированных ди-
электрических пластин, линии на основе диэлектрических пластин
из керамики.
179
Жесткие линии применяют при повышенных мощностях и
выполняют чаще всего симметричными. Для обеспечения жестко-
сти проводники этих линий имеют значительную толщину.
Полосковые линии второго типа изготовляют методами фото-
литографии из заготовок в виде диэлектрических пластин.
Полосковые линии передачи третьего типа на подложках с высо-
кой диэлектрической проницаемостью (г = 10...15, tg 5 = (1 ...5) - Ю-4,
толщина пластины 0,5... 1,0 мм) отличаются уменьшенными приблизи-
тельно в л/ё раз размерами конструкции по сравнению с воздушными
линиями, и поэтому их называют микрополосковыми. В качестве ди-
электрической подложки микрополосковых линий используются поли-
кор, ситалл, кремний, сапфир и др.
В несимметричных полосковых линиях с диэлектриком низ-
ший тип волны имеет квази-Г-структуру. Фазовая скорость этой
волны принимает среднее значение между скоростями света в воз-
духе и в диэлектрике. Волновое сопротивление полосковых линий
лежит в пределах 20... 100 Ом и подлежит регулировке за счет под-
бора ширины проводников.
Щелевая линия передачи представляет собой узкую щель в про-
водящем слое, расположенном на одной стороне диэлектрического
листа с высокой проницаемостью. В щелевой линии распространя-
ется замедленная //-волна, электромагнитное поле которой концент-
рируется вблизи щели. Критическая частота этой основной волны
равна нулю, однако имеет место значительная дисперсия. Щелевые
линии передачи могут помещаться в прямоугольные экраны. Такие
волноводно-щелевые линии удобно сочетаются с трактами на пря-
моугольных волноводах и, кроме того, часто применяются в конст-
рукциях волноводно-полосковых излучателей.
Копланарная линия передачи представляет собой трехпровод-
ную полосковую линию передачи, образованную двумя параллель-
ными, близко расположенными узкими щелями в металлическом
слое на одной стороне диэлектрической пластины. Как и в щелевой
линии, используются пластины с высокой диэлектрической прони-
цаемостью (8>10), что приводит к существенному укорочению
длины волны в линии и к концентрации полей вблизи центральной
полоски. Основным типом волны в копланарной линии является
замедленная //-волна. Эта волна обладает дисперсией, однако ее
критическая частота равна нулю.
180
Диэлектрические линии передачи классифицируются в зависи-
мости от формы поперечного сечения. Некоторые из них представ-
лены на рис.2.4. Такие линии используются в диапазоне миллимет-
ровых волн. Основным типом волны является гибридная /Ж-волна.
Рис.2.4. Поперечные сечения диэлектрических линий передач:
а — круглая; б — прямоугольная; в — трубчатая;
г—звездообразная; д, е, ж - зеркальные
Одним из путей снижения потерь в линиях передачи является
использование замедленных поверхностных волн, т.к. значитель-
ная часть мощности таких волн движется в свободном пространст-
ве над замедляющей структурой, и это способствует уменьшению
коэффициента затухания. Общим свойством замедленных поверх-
ностных волн является быстрое уменьшение амплитуд полей при
удалении от замедляющих структур. Степень концентрации по-
верхностной волны вблизи замедляющей структуры оценивается
радиусом поля, показывающим круговое сечение, в котором сосре-
доточено 99% мощности волны.
Наиболее распространенная диэлектрическая линия передачи
представляет собой сплошной или полый диэлектрический стер-
жень, вдоль которого распространяется аксиально-несимметричная
гибридная волна, возбуждаемая путем постепенной деформации
волны Ни круглого волновода. В диэлектрических линиях пере-
дачи возможно существование двух таких типов волн, различаю-
щихся ориентацией вектора напряженности электрического поля.
181
Диэлектрические стержни круглого сечения используются редко,
так как волны ортогональных поляризаций имеют в них одинако-
вые фазовые скорости и поэтому сильно взаимодействуют на нере-
гулярностях (переходят одна в другую). Предпочтительными яв-
ляются стержни прямоугольного или эллиптического сечения.
Критическая частота гибридной волны основного типа в ди-
электрической линии в строгом смысле равна нулю. Однако при
уменьшении частоты ниже некоторого значения, называемого ре-
альной критической частотой, коэффициент замедления волны
настолько уменьшается, а радиус поля настолько увеличивается,
что волна становится неустойчивой и затухающей из-за сильного
излучения. Реальной критической частоте условно соотносят при-
веденный коэффициент замедления ипр =с/уф —1« 10"3 и радиус
поля, примерно равный 101о.
При приведенных коэффициентах замедления ипр = 10-3 4-10-2
коэффициент затухания поверхностной волны соответственно в
100-10 раз меньше, чем для безграничной диэлектрической среды.
Диэлектрические линии часто располагают на поверхности
металлических экранов (рис.2.4д,е,ж). Это так называемые зер-
кальные диэлектрические волноводы. Структура полей в этих ли-
ниях с учетом зеркального изображения в экране соответствует
обычным диэлектрическим линиям, однако экран обеспечивает
устойчивую поляризацию поля. На частотах около 70 ГГц зер-
кальные диэлектрические линии обладают коэффициентами зату-
хания 0,02... 0,2 дБ/м.
Волоконно-оптические линии передачи используются в деци-
миллиметровом (субмиллиметровом) и оптическом диапазонах.
Они представляют диэлектрическую линию круглого поперечного
сечения, выполненную из кварца, с несколькими одновременно
распространяющимися типами волн. Такая конструкция носит на-
звание оптического волокна. Линия передачи, в которой на данной
частоте могут распространяться одновременно несколько типов
волн (мод), называется многомодовой. Диаметр круглого волокна
составляет несколько длин волн электромагнитных колебаний.
Распространение волн в волоконно-оптических линиях передачи
основано на эффекте полного внутреннего отражения от границы
раздела двух сред: сердцевины и оболочки (рис.2.5).
182
Рис.2.5. Прохождение лучей света в многомодовом оптическом волокне
Для уменьшения потерь в таких линиях передачи оптическое во-
локно изготовляют с изменяющимся в поперечном сечении коэффи-
циентом преломления. Подобное волокно называется градиентным.
Квазиоптические (лучевые) линии передачи представляют со-
бой нерегулярные линии, принцип работы которых основан на ис-
пользовании оптических свойств радиоволн. Они используются в
диапазонах миллиметровых и субмиллиметровых волн (рис.2.6).
Рис.2.6. Лучевая линия передачи линзового типа
Коаксиальные волноводы
представляют собой жесткие
или гибкие коаксиальные ка-
бели, основной волной в кото-
рых является 7-волна. Область
применения таких линий охва-
тывает волны длиной от
3...5 см до 10 м. Коаксиальные
волноводы представляют со-
бой жесткие конструкции из
Рис.2.7. Коаксиальные волноводы:
а - круглого сечения;
б - прямоугольного сечения
183
металлических трубок, закрепленных одна в другой с помощью ди-
электрических шайб или металлических изоляторов, либо имеют
вид гибких коаксиальных кабелей (рис.2.7).
Волновое сопротивление для Т-волны в коаксиальной линии
передачи (Ом) определяется по формуле
ZB =138^7^1g(P/d),
где Dud—диаметры внешней и внутренней жил соответственно.
Коэффициент затухания в коаксиальной линии (дБ/м) в общем
случае обусловлен потерями в проводниках и в диэлектрике:
а = ам + ад • Для каждого слагаемого имеют место формулы [1]:
2,зл,(1+д/</) /Г 2730^tgSj
“м~ Dln(D/d) V,’ ад_ Ч
где Rs =O,O45A^|1M/Xo - удельное сопротивление квадрата по-
верхности проводника (Ом); диаметр D и длину волны Хо следует
брать в сантиметрах.
Коэффициент затухания ад не зависит от размеров и формы по-
перечного сечения линии, а определяется только параметрами диэлек-
трика и рабочей длиной волны, что справедливо для любых линий
передачи с 7-волной. Коэффициент затухания ам, напротив, зависит
от размеров проводников, и поэтому необходимо выяснить, при ка-
ком соотношении D/d потери в проводниках минимальны. Анализ
показывает, что ам минимален при D/d = 3,6, что соответствует
волновому сопротивлению 77 Ом при воздушном заполнении линии.
Критическая мощность коаксиального волновода, соответству-
ющая началу пробоя при чисто бегущей Г-волне, определяется вы-
ражением
р _ Е$р пР2 21n(D/d)
кр 240л 4 (D/d)2
где Е2р /(240л) = 1,2 МВт/см2 - модуль вектора Пойнтинга при на-
чале пробоя воздуха однородной плоской волной; лВ2/4 — пло-
щадь поперечного сечения коаксиального волновода. Из выраже-
ний, определяющих коэффициент затухания и критическую мощ-
184
ность при электрическом пробое, следует, что для снижения коэф-
фициента затухания ам и увеличения электропрочности необхо-
димо увеличивать диаметр волновода D (точнее, площадь попе-
речного сечения). Однако это сопряжено с опасностью появления
волны высшего типа Яи, для которой критическая длина волны
Хкр « tt(Z>/J)/2,02 .
Кроме жестких коаксиальных волноводов, широкое примене-
ние находят гибкие коаксиальные кабели. Они состоят из одно-
жильного или многожильного внутреннего проводника, окружен-
ного слоем эластичного диэлектрика (полиэтилен, фторопласт и
др.), поверх которого располагается внешний проводник в виде
металлической оплетки. Для защиты от внешних воздействий по-
верх оплетки располагается еще одна диэлектрическая оболочка.
Волноводы прямоугольного, круглого и более сложного попе-
речных сечений представляют собой металлические трубы соответ-
ствующих поперечных сечений (рис.2.8). Основной волной в таких
линиях передачи является низшая //-волна.
г) Д)
Рис.2.8. Металлические волноводы: а - прямоугольный; б - круглый;
в - П-образный; г - //-образный; д—эллиптический
Металлические волноводы используются в диапазонах от ко-
ротковолновой части дециметровых до миллиметровых волн для
185
передачи мощности СВЧ на основной волне типа HiG. Размеры
поперечного сечения волноводов axb выбирают исходя из необ-
ходимости удовлетворить противоречивым требованиям макси-
мальной передаваемой мощности, минимального затухания и мак-
симальной рабочей полосы частот. При приближении рабочей
длины волны 10 к критической длине волны \р = 2а происходит
быстрое снижение электропрочности волновода, прямо пропор-
циональное множителю [l-(X0/2a)2J , и наблюдается довольно
резкое возрастание затухания, обратно пропорциональное этому
же множителю. Поэтому принимают, что длинноволновая граница
использования прямоугольного волновода 1тах должна быть на
10% ниже критической длины основной волны типа Н10.
Коротковолновая граница для прямоугольного волновода обус-
ловлена требованием отсутствия распространяющихся волн высших
типов. Наиболее низкими критическими частотами обладают волны
Я20’ и #1Г- ^кр ~а Д'™ волны H2q, \р = 2ab/yja2 +Ь2 для
волн Еп и Нц. Для полной уверенности в отсутствии распростра-
няющихся волн высших типов минимальная рабочая длина волны
Xmin хотя бы на 1% должна превышать критическую длину волны
первого высшего типа колебаний.
Размеры сечения прямоугольных волноводов стандартизова-
ны. Поперечные размеры прямоугольных волноводов могут быть
уменьшены, если придать сечению Н- или П-образную форму.
Критические длины волн для основных Н-типов колебаний в Н- и
П-образных волноводах могут неограниченно увеличиваться при
уменьшении зазоров g, в которых сосредоточено поперечное элек-
трическое поле. Критические длины волн высших типов колебаний
в Я- и П-волноводах увеличиваются незначительно, и поэтому та-
кие волноводы имеют расширенную полосу пропускания, доходя-
щую до нескольких октав. Однако увеличение полосы частот в
этих волноводах сопровождается снижением электропрочности и
заметным возрастанием коэффициента затухания.
Круглые металлические волноводы используют главным обра-
зом для создания различных элементов тракта и реже — для пере-
дачи мощности на значительные расстояния.
186
Наиболее широко используются три типа волн: магнитные
волны HYl и Я01 и электрическая волна . Структуры полей Е и
Н в поперечном сечении волновода для волн этих типов показаны
на рис.2.9.
Рис.2.9. Структура полей в сечении круглого волновода
Основная волна Нп по своей структуре и свойствам является
аналогом волны Н10 в прямоугольном волноводе. Однако в круг-
лом волноводе могут существовать две вырожденные, т.е. имею-
щие одинаковые критические частоты, волны с ортогональной
поляризацией поля, например горизонтальной и вертикальной. В
идеальном круглом волноводе эти волны теоретически независи-
мы, однако любые нерегулярности реального волновода приводят
к переходу энергии от волны одной поляризации к волне ортого-
нальной поляризации, т.е. к изменению поляризации при движении
волны вдоль волновода. Для повышения устойчивости линейной
поляризации волны Нп можно использовать волноводы овального
или эллиптического сечения. Чтобы такие волноводы можно было
изгибать при прокладке протяженных трактов, металлические
стенки труб выполняются в виде гофра из металлической фольги,
защищенной снаружи диэлектрической оболочкой.
Осесимметричная волна Е01 круглого волновода применяется
во вращающихся сочленениях, однако при этом для предупрежде-
ния возникновения волны j, имеющей большую длину Хкр, сле-
дует принимать специальные меры.
Осесимметричная волна в круглом волноводе имеет отно-
сительно малую критическую длину волны, и поэтому одновре-
менно с этой волной могут распространяться, по крайней мере, еще
187
четыре типа волн. Примечательной особенностью волны Hoi в
круглом волноводе является полное отсутствие продольных со-
ставляющих электрических токов на его стенках и быстрое умень-
шение амплитуд поперечных составляющих тока на стенках при
увеличении диаметра волновода или укорочении рабочей длины
волны. Поэтому коэффициент затухания волны Hoi в круглом вол-
новоде асимптотически стремится к нулю при увеличении отноше-
ния радиуса волновода к длине волны и круглый волновод с вол-
ной Hoi может применяться для образования высокодобротных
объемных резонаторов, а также для канализации миллиметровых
волн на значительные расстояния.
Линии передачи могут быть классифицированы по порядку
связности их поперечного сечения. Порядок связности является
геометрической характеристикой поперечного сечения линии и оп-
ределяется числом проводящих поверхностей. В зависимости от ко-
личества проводящих поверхностей линии передачи разделяют на
односвязные, двухсвязные, трехсвязные, многосвязные и нулевой
связности при отсутствии проводящих поверхностей. Например,
металлические волноводы являются односвязными линиями переда-
чи, коаксиальные волноводы — двухсвязными, а диэлектрические
линии передачи имеют нулевую связность поперечного сечения.
1.2. Теория регулярных линий передачи
На практике наибольшее распространение получили отрезки
регулярных линий передачи той или иной длины. Если длина регу-
лярной линии передачи существенно превышает длину волны в
линии Хд, то такая линия называется длинной. Характерной осо-
бенностью длинных линий является возможность существования в
них двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Одна из
этих волн образуется подключенным к линии генератором элек-
тромагнитных колебаний и называется падающей. Другая волна
образуется из-за отражения падающей волны от нагрузки, подклю-
ченной к противоположному концу линии, и называется отражен-
ной. Отраженная волна распространяется в направлении, обратном
падающей волне. Все разнообразие процессов, происходящих в
длинной линии, определяется амплитудно-фазовыми соотноше-
ниями между падающей и отраженной волнами.
Рассмотрим двухпроводную длинную линию, представленную
на рис.2.10, где ZH = ЯН + ^н — комплексное сопротивление на-
188
грузки; z - продольная координата линии, отсчитываемая от места
подключения нагрузки.
Рис.2.10. Двухпроводная длинная линия
Рис.2.11. Эквивалентная схема участка длинной линии dz
Из электродинамики известно [2], что линия передачи может
быть охарактеризована ее погонными параметрами: R\ - погонное
сопротивление, Ом/м; Gi - погонная проводимость, —!—; L\ — по-
Ом-м
гонная индуктивность, Гн/м; Q — погонная емкость, Ф/м. Погонные
сопротивление R\ и проводимость G\ зависят от проводимости ма-
териала проводов и качества диэлектрика, окружающего эти прово-
да, соответственно. Чем меньше тепловые потери в металле прово-
дов и в диэлектрике, тем меньше, соответственно, /?1 и Gi. Погонные
индуктивность Zi и емкость Ci определяются формой и размерами
поперечного сечения проводов, а также расстоянием между ними.
Выделим из линии элементарный участок бесконечно малой длины
dz и рассмотрим его эквивалентную схему (рис.2.11).
Значение параметров схемы можно определить из отношений
dR-R,dz\ dG = Gxdz‘,
(2.1)
dC = Cidz,dL = Lldz.
189
На основе эквивалентной схемы запишем выражения для при-
ращений тока и напряжения:
dI = U(dG + iadC),
dU = l(dR + i&dL).
Подставив сюда значения параметров схемы из (2.1), получим
dU = IZxdz, dI = UYxdz,
(2.2)
где Zj -Rv + i&Ly, Yy=Gy +i&Cy - погонные комплексные сопро-
тивление и проводимость линии. В этом случае
— = IZy, — = UYV
dz dz
Выражения (2.2) получили название телеграфных уравнений
длинной линии, и именно они определяют связь между током и
напряжением в любом сечении линии.
Решить телеграфные уравнения можно относительно напря-
жения и тока, если продифференцировать их по z\
d^U_=dI_7_ d2I dU
dz2 dz ’’ dz2 dz 1
Также следует учесть, что
^L=0;^=0.
dz dz
Полученные выражения являются математическим определе-
нием регулярности длинной линии. Физический смысл (2.4) в том,
что погонные параметры линии не изменяются вдоль нее.
Подставив в (2.3) значения производных напряжения и тока из
(2.2) и произведя ряд преобразований, получим
^-Y2t/ = 0; ^-у2/ = 0,
dz2 dz2
(2.3)
(2.4)
(2-5)
где у — коэффициент распространения волны в линии,
Выражения (2.5) называются однородными волновыми уравне-
ниями длинной линии. Их решения хорошо известны и могут быть
записаны в следующем виде [3]:
190
U = Aueyz + Вие~уг; I = Ajeyz + Bje~yz, (2.6)
где Au, Bu, Aj, Bj — некоторые коэффициенты, имеющие размер-
ность напряжения и тока соответственно. Их физический смысл
будет пояснен позже.
Решение волновых уравнений в виде (2.6) имеют характерный
вид: первое слагаемое — это падающая волна напряжения или тока,
которая распространяется от генератора к нагрузке; второе слагае-
мое — отраженная волна, которая распространяется от нагрузки к
генератору. Таким образом, коэффициенты А и, А/ представляют
собой комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока
соответственно, а коэффициенты Ви и В/- комплексные амплиту-
ды отраженных волн напряжения и тока. В связи с тем, что часть
мощности, которая передается по линии, может поглотиться в на-
грузке, амплитуды отраженных волн не могут превышать ампли-
туды падающих:
|^t/|-Ы; РМ-ИЛ
В (2.6) направление распространения волны определяется зна-
ком в показатели степени экспоненты: «плюс» — волна распростра-
няется в отрицательном направлении оси z, «минус» - в положи-
тельном. В этом случае можно записать следующее:
Un=Aue'r=-,In = A,e^. (2.7)
Коэффициент распространения у в общем случае является
комплексной величиной и представляется в виде
у = + icoZj )(G] + /mCj) = a + ф, (2.8)
где a - коэффициент затухания волны в линии, р - коэффициент
фазы.
Тогда, учитывая (2.8), выражение (2.7) примет вид
(7П = 4,е“-'е'Р;; 7П = А^'е®-. (2.9)
Коэффициент затухания а определяет скорость уменьшения
амплитуды волны при распространении вдоль линии. Коэффициент
фазы Р определяет скорость изменения фазы волны вдоль линии.
Коэффициент р связан с длиной волны X отношением
р = 2л/Х. (2.10)
191
Фазовая скорость волны в линии Рф определяется через коэф-
фициент фазы:
Гф=(о/Р. (2.11)
Определить решение однородных волновых уравнений мож-
но и через значения напряжений и токов линии в нагрузке. В
этом случае вводится понятие волнового сопротивления линии:
W = у/Zy/Yy . Тогда волновым сопротивлением линии передачи на-
зывается отношение напряжения к току в бегущей волне.
В этом случае выражения (2.6) примут вид
U = Auey- +Bve~yz-, I - Bve~y:)/w. (2.12)
Для нахождения коэффициентов Ан В используем условие на
конце линии z = 0: U(z = 0) = Cfo; I(z = 0) = /н- Тогда из (2.12) при
z = 0 получим
Ац = 0,5(С/н + /Н1Г); fy=0,5(UH-/HlK)- (2.13)
Подставим полученные значения коэффициентов из (2.13) в
(2.12) и после преобразований получим
{7 = {7нсй(уд) + /нИЪй(уд); I = Inch(yz) + {Un/W)sh(yz), (2.14)
где chush — гиперболические синус и косинус.
С учетом проведенного решения телеграфных уравнений оценим
закономерности изменения напряжения и тока вдоль линии передачи.
Вначале рассмотрим простейший случай, когда напряжение и
ток в линии определяются только падающей волной, а отражен-
ная волна отсутствует. Тогда Ви~ 0, В;- 0, и из (2.6) получим
а) 6)
Рис.2.12. Эпюры напряжения падающей волны
в линии: а — амплитуда; б — фаза
192
На рис.2.12 представлены эпюры изменения амплитуды на-
пряжения и фазы напряжения вдоль линии. Эпюры изменения ам-
плитуды и фазы тока имеют такой же вид. Из рассмотрения эпюр
следует, что при отсутствии в линии потерь (а = 0) амплитуда на-
пряжения в любом сечении линии остается одной и той же. При
наличии потерь в линии (а > 0) часть переносимой мощности пре-
образуется в тепло (нагревание проводов линии и окружающего их
диэлектрика). По этой причине амплитуда напряжения падающей
волны экспоненциально убывает в направлении распространения.
Фаза напряжения падающей волны изменяется по линейному
закону и уменьшается по мере удаления от генератора.
Рассмотрим изменение амплитуды и фазы, например, напря-
жения при наличии падающей и отраженной волн. Для упрощения
положим, что потери в линии отсутствуют, т.е. а = 0. Тогда на-
пряжение в линии можно представить в виде
U = Аие^ + Bve~®z = Аи (е'₽“ + Ге",р:), (2.15)
где Г = BjjIAlj — комплексный коэффициент отражения по напря-
жению. Он характеризует степень согласования линии передачи с
нагрузкой. Модуль коэффициента отражения изменяется в преде-
лах 0<|Г|<1. При этом |Г| = 0, если отражения от нагрузки отсутст-
вуют и Ви = 0; |Г| = 1, если волна полностью отражается от нагруз-
ки, т.е. |ВсЛ = ИН-
Соотношение (2.15) пред-
ставляет собой сумму падающей и
отраженной волн. Отобразим на-
пряжение на комплексной плоско-
сти в виде векторной диаграммы,
каждый из векторов которой опре-
деляет падающую, отраженную
волны и результирующее напря-
жение. Из диаграммы (рис.2.13)
видно, что имеются такие попе-
речные сечения линии, где па-
Рис.2.13. Векторная диаграмма
напряжений в линии
с отраженной волной
дающая и отраженная волны складываются в фазе. Напряжение в
этих сечениях достигает максимума, величина которого равна
сумме амплитуд падающей и отраженной волн: Цпах +
Кроме того, существуют такие поперечные сечения линии, где па-
193
дающая и отраженная волны складываются в противофазе. При
этом напряжение достигает минимума.
Если линия нагружена на сопротивление, для которого |Г| = 1,
т.е. амплитуда падающей и отраженной волн равны, то в этом слу-
чае С7тах = 2|^|, a {7min = 0 . Напряжение в такой линии изменяет-
ся от нуля до удвоенной амплитуды падающей волны. По этому
напряжению судят о степени согласования линии с нагрузкой. Для
этого вводятся понятия коэффициента бегущей волны ЛБв (КБВ) и
коэффициента стоячей волны Лев (КСВ):
*бв = UmJUmax =(|4/|-|Bi/|)/H|+|^|) = (l-lrl)/(l+lr|);(2.16)
*CB=V*SB- (2-17)
Эти коэффициенты изменяются в пределах
О - ^БВ — 1» . 1 - ^СВ < 00
На практике более часто используют понятие КСВ, т.к. совре-
менные измерительные приборы на индикаторных устройствах
отображают измерение именно этой величины в определенной по-
лосе частот.
Важной характеристикой длинной линии является входное со-
противление ZBX = RBX + iYBX, которое определяется в каждом се-
чении линии как отношение напряжения к току в этом сечении:
ZBX(z) = t/(z)//(z). (2.18)
Режимы работы длинной линии без потерь. Различают три
режима работы линии: режим бегущей волны, режим стоячей вол-
ны, режим смешанных волн.
Режим бегущей волны характеризуется наличием только па-
дающей волны, распространяющейся от генератора к нагрузке. От-
раженная волна отсутствует. Мощность, переносимая падающей
волной, полностью выделяется в нагрузке. В этом режиме Ви= О,
|Г| — О, ЛБВ = Асв = 1.
Режим стоячей волны характеризуется тем, что амплитуда от-
раженной волны равна амплитуде падающей |В^| = |^|, т.е. энергия
падающей волны полностью отражается от нагрузки и возвращается
обратно в генератор. В этом режиме |Г| = 1, Лсв = со, ЛБВ = 0.
194
В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны
удовлетворяет условию 0<|Bt/|<|J4t7|, т.е. часть мощности па-
дающей волны теряется в нагрузке, а остальная часть в виде отра-
женной волны возвращается обратно в генератор. При этом
О < |Г| < I, 1 < Лев < оо, 0 < Абв < I Следует отметить,, что режимы
бегущей и стоячей волн не реализуемы на практике и являются
математической абстракцией. Возможно приближение к указан-
ным режимам в той или иной степени. Это объясняется наличием
в реальных линиях передачи тепловых потерь, различных нерегу-
лярностей и неоднородностей, обусловленных конечной точно-
стью изготовления линии, наличием элементов крепления и т.п.,
вызывающих появление отраженной волны.
Свойства линии без потерь. В линии без потерь погонные
параметры Ri = 0 и Gj = 0. Поэтому для коэффициента распростра-
нения у и волнового сопротивления W получим
У = « = °; Р = <»7аЦ; .(2.19)
С учетом этого выражения напряжения и ток примут вид
C/ = <7Hcos(pz) + i/HH'sin(Pz);
I = ZH cos (Pz) + r(t/H/nr)sin(Pz).
Рассмотрим примеры работы линии без потерь на простые
нагрузки.
Разомкнутая линия. В
этом случае ток, протекаю-
щий в нагрузке, равен нулю,
поэтому выражения для на-
пряжения, тока и входного
сопротивления в линии при-
мут следующий вид;
U = UH cos(p2);
/ = i(t/H/»F)sin(pZ);
ZK=lA// = arK; Р=2яД.
(2.21)
На рис.2.14 изображе-
ны эти зависимости.
Г
Рис.2.14. Эпюры напряжения, тока
и входного сопротивления
в разомкнутой на конце линии
195
Из выражения (2.21) и графиков (рис.2.14) можно сделать сле-
дующие выводы:
- в линии, разомкнутой на конце, устанавливается режим стоя-
чей волны; напряжение, ток и входное сопротивление вдоль линии
изменяются по периодическому закону с периодом W2;
- входное сопротивление разомкнутой линии является чисто
мнимым, за исключением точек с координатами z = пл/4, п = 0,1,2...;
- если длина разомкнутой линии меньше Xq/4, то такая линия
эквивалентна емкости;
- разомкнутая на конце линия длиной Xq/4 эквивалентна по-
следовательному колебательному контуру на рассматриваемой
частоте и имеет нулевое входное сопротивление;
— линия, длина которой лежит в интервале от Xq/4 до Xq/2, эк-
вивалентна индуктивности;
— разомкнутая на конце линия длиной Xq/2 эквивалентна па-
раллельному колебательному контуру на рассматриваемой частоте
и имеет бесконечно большое входное сопротивление.
Замкнутая линия. В этом случае напряжение в нагрузке рав-
но нулю, поэтому напряжение, ток и входное сопротивление в ли-
нии равны:
U = I7HW'sin(pZ); / = /Hcos(ffe);Z1K=U// = iriK. (2.22)
На рис.2.15 эти зависимости проиллюстрированы графически.
Рис.2.15. Эпюры напряжения, тока
и входного сопротивления
в короткозамкнутой линии
На основе предыдущих
выводов нетрудно самостоя-
тельно оценить трансформи-
рующие свойства короткозамк-
нутой линии. Стоит пояснить,
что в замкнутой линии уста-
навливается режим стоячей
волны. Отрезок короткозамкну-
той линии, длиной меньше Xq/4,
имеет индуктивный характер
входного сопротивления, а при
длине Xq/4 линия имеет беско-
нечно большое входное сопро-
тивление на рабочей частоте.
Это свойство четвертьволново-
196
го отрезка позволяет использовать его во многих практических кон-
струкциях, например в «металлическом изоляторе».
1.3. Принципы согласования линий передач с нагрузкой
На практике чаще всего длинные линии используются для пе-
редачи мощности от генератора к нагрузке. Для этого предпочти-
тельным является режим бегущей волны. С целью обеспечения
указанного режима необходимо, чтобы сопротивление нагрузки
ZH = Rh + iXH удовлетворяло двум условиям: активная часть на-
грузки Rh должна равняться волновому сопротивлению линии:
RH=W,
а реактивная часть нагрузки %н должна равняться нулю:
%н = 0.
Если сопротивление нагрузки удовлетворяет вышеназванным
условиям, то говорят, что линия согласована с нагрузкой.
Цели согласования. Общий принцип согласования комплекс-
ных сопротивлений состоит в том, что в линию дополнительно
включается согласующий элемент, отражение от которого компен-
сирует отражение от нагрузки. При этом стремятся, чтобы согла-
сующий элемент был расположен как можно ближе к нагрузке. Это
делается для уменьшения длины несогласованного участка линии
от нагрузки до согласующего элемента. Включение в линию согла-
сующего элемента преследует следующие цели:
• увеличение мощности, передаваемой в нагрузку;
• увеличение электрической прочности линии;
• увеличение КПД линии;
• устранение вредного влияния отраженной волны на генератор.
В режиме смешанных волн в линии происходит чередование
максимумов и минимумов напряжения. В местах максимумов на-
пряжения облегчаются условия для электрического пробоя. Устра-
нение отраженной волны приводит к уменьшению напряжения в
максимуме. Поэтому по такой линии можно передать большую
мощность или увеличить ее электрическую прочность.
Отраженная от нагрузки волна направляется в генератор и
может существенно повлиять на режим его работы. Например, не-
достаточное согласование генератора с линией передачи может
привести к изменению частоты генерируемых колебаний, умень-
197
активных элементов.
Рис.2.16. Зависимость КСВ тракта
от частоты
шению выходной мощности генератора или к полному срыву про-
цесса генерации. Требования к Лев на выходе генератора в значи-
тельной степени определяются типом этого генератора.
Для согласования комплексных нагрузок используются раз-
личные согласующие устройства, которые по соображениям со-
хранения высокого КПД тракта выполняются чаще всего из ре-
Способы узкополосного со-
гласования. Узкой принято счи-
тать полосу частот 2Д4 состав-
ляющую единицы процентов от
средней частоты Jo- В этой поло-
се должен быть обеспечен до-
пустимый уровень согласования
^св^Лсвдоп- Типичный график
зависимости Лев тракта от часто-
ты представлен на рис.2.16.
Конкретное значение Лев доп определяется назначением и типом трак-
та, условиями его эксплуатации и лежит в пределах 1,02...2.
В узкой полосе частот в качестве согласующих элементов ис-
пользуются следующие устройства: четвертьволновый трансфор-
матор, последовательный шлейф, параллельный шлейф, два и три
последовательных или параллельных шлейфа.
Такие согласующие устройства используются в линиях пере-
дачи различных типов (двухпроводных, коаксиальных, полоско-
вых, волноводных и т.п.). Тип линии передачи определяет кон-
кретную конструкторскую реализацию этих устройств.
Четвертьволновой трансформатор. Это устройство представ-
ляет собой четвертьволновый отрезок линии с волновым сопротивле-
нием Wfp = W, включенным в разрыв основной линии передачи. Най-
дем место подключения трансформатора в линию и его волновое со-
противление. Принцип работы такого согласующего устройства ос-
нован на трансформирующем свойстве четвертьволнового отрезка
линии, которое в рассматриваемом случае примет вид
Zbx(zo)^bx(zo+X/4) = ^,
где Zbx(zq) - входное сопротивление линии, нагруженной сопротив-
лением нагрузки Zh, в месте подключения трансформатора zq
(рис.2.17); ZBX(zo+X/4) — входное сопротивление четвертьволнового
198
трансформатора в сечении (zo+X/4) с подключенным к нему отрезком
линии длиной zo, натруженной сопротивлением нагрузки Zh.
__________I______! j О
z zo+X/4 zo
Рис.2.17. Согласование линии с нагрузкой
с помощью четвертьволнового трансформатора
Условия согласования требуют, чтобы ZBX(zo+X/4) = W, т.е.
ZK(z0X=ȣ.
Отсюда следует, что ZBX(zo) должно быть действительной ве-
личиной ZBX(z0) = tfBX(zo).
Таким образом, четвертьволновый трансформатор для согла-
сования может включаться в таких сечениях линии zo, в которых
входное сопротивление линии активное. Входное сопротивление
линии чисто активное в сечениях линии, где напряжение достигает
максимума или минимума. Поэтому четвертьволновый трансфор-
матор включается в максимумах или минимумах напряжения и его
волновое сопротивление определяется соотношением
^=>М2о)- (2.23)
В максимумах напряжения Лвх = И%св, поэтому при включе-
нии трансформатора в максимум напряжения его волновое сопро-
тивление Wrp > W. В минимумах напряжения Лвх = И7Асв, поэтому
при включении трансформатора в минимум напряжения W-ц, < W.
Таким образом, выбор места включения трансформатора (макси-
мум или минимум напряжения) определяет соотношение его вол-
нового сопротивления с волновым сопротивлением линии, а это, в
свою очередь, определяет соотношение геометрических размеров
поперечного сечения трансформатора и линии.
199
На рис.2.18 изображены варианты исполнения четвертьволно-
вого трансформатора на основе двухпроводной и коаксиальной
линий для двух рассмотренных случаев. Из рисунка следует, что в
конструкторском отношении предпочтительнее вариант < FK
Рис.2.18. Четвертьволновые трансформаторы:
а—на основе двухпроводной линии, б—на основе коаксиального волновода
Рис.2.19. Последовательный
короткозамкнутый согласующий
шлейф
Последовательный шлейф.
Такое согласующее устройство
представляет собой отрезок обыч-
ной короткозамкнутой линии дли-
ной 7щ, с волновым сопротивле-
нием W, который включен в раз-
рыв одного из проводов линии
(рис.2.19). Согласование достига-
ется за счет подбора места вклю-
чения шлейфа и его длины.
Вычислим гш и /ш из усло-
вия согласования линии в сече-
нии Zin- В этом сечении входное реактивное сопротивление шлей-
фа включено последовательно с выходным сопротивлением линии.
Общая сумма этих сопротивлений должна быть равна волновому
сопротивлению линии, а именно:
^вх (zni) + (4и) = ^вх (2ш) + ^вх (2ш) + ^шGw. (2.24)
200
Тогда Лвх (гш ) - W, Хш (7Ш ) - -Хвх (гш ).
Можно также показать, что
zib = 0/P)arctg(W^^)> 4ii = — 1)/лАсв] > (2-25)
где Р = 2л/Х.
Из (2.25) следует, что последовательный шлейф нужно вклю-
чать в таком сечении линии, где активная часть ее входного сопро-
тивления равна волновому сопротивлению линии. Длину шлейфа
подбирают из условия равенства по величине и противоположно-
сти по знаку реактивного сопротивления реактивной части входно-
го сопротивления линии в месте включения шлейфа.
Основной недостаток подобного согласования в том, что при из-
менении нагрузки изменяется не только длина шлейфа, но и место его
включения в линию. Понятно, что конструктивно это очень неудобно.
Параллельный шлейф. Такое устройство имеет вид, показан-
ный на рис.2.20. Как и для последовательного шлейфа, согласова-
ние достигается подбором места включения шлейфа в линию и его
длиной. В этом случае условие согласования имеет вид
^вх (2ш ) + (4и ) = >
где Твх(гш) — входная проводимость линии в месте подключения
шлейфа, _ реактивная проводимость шлейфа длиной 7Ш.
Тогда можно найти, что
Gbx(^) = >/^, Вш(/ш) = -Ви(гш). (2.26)
Расчетные соотношения для и 7щ будут равны:
~ Zmzx. ~ (1/P)arctg(l/7*CB );
4и s(V0)arctg[j\McB /(^св Р = 2тс/Х,
где zmax - расстояние от нагрузки до первого максимума напряжения.
Таким образом, параллельный шлейф нужно включать в таком
сечении линии, в котором активная часть входной проводимости
линии равна волновой проводимости, а длину шлейфа следует вы-
бирать так, чтобы его реактивная проводимость компенсировала
реактивную часть входной проводимости линии.
201
Рис.2.20. Согласующий
короткозамкнутый
параллельный шлейф
Недостатки параллельного шлей-
фа: при изменении нагрузки изменяют-
ся длина шлейфа и место его включения
в линию. Поэтому в экранируемых ли-
ниях менять место включения шлейфа
весьма неудобно. Ввиду этого в качест-
ве согласующего устройства нашли
применение два и три последователь-
ных или параллельных шлейфа.
Способы широкополосного согла-
сования. На практике применяются со-
членения и элементы тракта, предназна-
ченные для работы в полосе частот 10%
и более. Такую полосу частот принято называть широкой, а устройст-
ва, работающие в такой полосе, - широкополосными. В технических
требованиях к этим устройствам указывается полоса частот и допус-
тимое рассогласование в этой полосе. Задача широкополосного согла-
сования возникает, например, при необходимости стыковки линий
передачи с различными размерами или формами поперечных сече-
ний, а также при работе тракта с широкополосными сигналами, на-
пример с линейно-частотномодулированными или шумоподобными.
Основными широкополосными согласующими устройствами
являются:
• широкополосные частотные компенсаторы;
• ступенчатые трансформаторы;
• плавные переходы или неоднородные линии.
Рассмотрим принцип работы каждого из этих устройств.
Рис.2.21. Согласование
в полосе частот с помощью
одного шлейфа
Принцип частотной компенса-
ции состоит во взаимной компенса-
ции частотных изменений сопротив-
ления нагрузки и согласующих эле-
ментов. Его можно осуществить за
счет подбора необходимого закона
частотного изменения сопротивления
согласующих элементов. Рассмотрим
широкополосное согласование ком-
плексных сопротивлений с помощью
одного шлейфа (рис.2.21).
202
В соответствии с (2.22) входное сопротивление короткозамк-
нутого шлейфа определяется выражением
?вх ш = = (Р4п ) •
В этом случае входная проводимость шлейфа равна
т.е. подбором величины волнового сопротивления и длины шлейфа
можно менять полосу частот, в которой реактивная проводимость
изменяется в допустимых пределах.
Активная составляющая про-
водимости нагрузки может быть
согласована с помощью четверть-
волнового трансформатора.
Ступенчатые трансформато-
ры. Они используются для согласо-
вания линии передачи с активной
нагрузкой или нагрузкой, имеющей
небольшую реактивную состав-
ляющую. Ступенчатые трансфор-
маторы представляют собой кас-
кадное включение отрезков линии
W2 Wx
Рис.2.22. Ступенчатый
трансформатор
передачи с разным волновым со-
противлением, но имеющими одинаковую длину I (рис.2.22).
Волновые сопротивления соседних ступенек отличаются не-
значительно, и поэтому отражения от них невелики. Принцип ра-
боты заключается в том, что всегда имеется пара ступенек, отра-
жение от которых компенсируется. Чем больше ступенек, тем
лучше согласование и шире полоса пропускания. Структура
трансформатора определяется числом ступенек п, длиной ступень-
ки Z и отношением волновых сопротивлений соседних ступенек.
Свойства трансформатора описываются его частотной характери-
стикой - зависимостью рабочего затухания от частоты.
Под рабочим затуханием понимают величину
£ = рвх/рвых> или £ = 101g(PBX/PBbIX) [дБ],
где Рвх, Рвых - мощность на входе и выходе трансформатора. Зату-
хание в трансформаторе определяется отражениями от его входа в
полосе частот.
203
Определение структуры трансформатора по заданным полосе
частот и допустимому рассогласованию является задачей синтеза со-
гласующего устройства. Решение подобной задачи рассмотрено в [4].
Плавные переходы. Они используются также для согласования
активных нагрузок и могут рассматриваться как предельный случай
ступенчатого перехода при увеличении числа ступенек п до беско-
нечности и неизменной длине перехода. Частотные характеристики
плавных переходов непериодические.
Плавный переход, по существу,
является нерегулярной двухпро-
водной линией передачи, в которой
погонные параметры и волновое со-
противление - функции продольной
<-------------------1 о координаты. При этом эквивалентная
схема элементарного участка такой
^и******^ линии длиной dz имеет вид, как и для
S регулярной линии (см. рис.2.11). По-
Рис.2.23. Плавный переход этому остаются справедливыми теле-
в виде экспоненциальной линии графные уравнения (2.2). Все входя-
щие в эти уравнения величины зави-
сят от z. В частности, для двухпроводной экспоненциальной линии
(рис.2.23) при увеличении z растет |Zi|, а |У]| уменьшается.
Это обусловлено увеличением погонной индуктивности Ц и
уменьшением погонной емкости Cj, вызванными увеличением рас-
стояния между проводами. Можно подобрать геометрию линии так,
чтобы оставалась постоянной вдоль линии величина у = .
Можно показать, что волновое сопротивление в такой линии изме-
няется по экспоненциальному закону:
W = WQeb=, b*0
где Wq — волновое сопротивление в начале линии; b — коэффициент,
определяющий скорость изменения волнового сопротивления вдоль
линии. Подбирая значения Wo и Ь, можно обеспечить широкополосное
согласование. Эффективность согласования зависит от скорости изме-
нения волнового сопротивления вдоль линии. Чем медленнее изменя-
ется W, тем шире полоса согласования и больше длина перехода.
Недостатком плавных экспоненциальных переходов является
их большая длина при значительных перепадах волнового сопро-
204
тивления. Например, при W(z = Z) / Wo = ebl = 7,4 и допуске на рас-
согласование |Гтах| < 0,05 длина перехода I > ЗА..
Сравнение ступенчатых и плавных переходов показывает, что при
одинаковых параметрах длина ступенчатого перехода заметно мень-
ше, чем плавного. Однако при этом полоса пропускания плавного пе-
рехода гораздо шире. При повышенных требованиях к электрической
точности плавный переход предпочтительнее ступенчатого. Снижение
электрической прочности последнего объясняется концентрацией
электромагнитного поля в местах стыков отдельных ступенек. Следу-
ет отметить, что существует теоретическое ограничение на ширину
полосы согласования, которое устанавливается теоремой Фано:
2v//o=-V(e|nin),
где Q — добротность нагрузки, определяемая как отношение реак-
тивной мощности, накапливаемой в нагрузке на средней частоте То,
к мощности тепловых потерь. Согласование невозможно также на
частотах, соответствующих бесконечно большим реактивным со-
противлениям или проводимостям нагрузки.
1.4. Устройства согласования в линиях передачи СВЧ
Рассмотрим согласующие устройства в линиях передачи СВЧ,
наиболее распространенные на практике.
В волноводных, коаксиальных и полосковых трактах СВЧ
применяются следующие типы согласующих устройств:
• четвертьволновые трансформаторы;
• последовательные и параллельные шлейфы;
• ступенчатые и плавные переходы.
Кроме того, в волноводных трактах в качестве согласующих
устройств используются диафрагмы и реактивные штыри. На
рис.2.24 представлены варианты волноводного исполнения чет-
вертьволновых трансформаторов. При переходе от волновода, за-
полненного диэлектриком с относительной диэлектрической прони-
цаемостью ег, к пустому волноводу может быть использован транс-
форматор, показанный на рис.2.24а. Трансформатор длиной А.в/4
частично заполнен диэлектриком и имеет волновое сопротивление,
равное среднему геометрическому волновых сопротивлений соеди-
няемых волноводов:
^=7»^, W=WHv>nb/(.2a).
205 .
На рис.2.24б,в представлены четвертьволновые трансформато-
ры, предназначенные для согласования перехода прямоугольных
волноводов с различными волновыми сопротивлениями. В частно-
сти, для волноводов с различными размерами узких стенок размер
Ьтр определяется из условия , а для волноводов с раз-
личными размерами широких стенок согласование обеспечивается
При Хв/0^ - у/^В1^В2/(а1а2) •
б) в)
Рис.2.24. Четвертьволновые трансформаторы
в волноводном исполнении
Варианты коаксиального выполнения четвертьволновых
трансформаторов показаны на рис.2.18. Диаметры проводов коак-
сиала-трансформатора определяются из условия согласования
206
На рис.2.25 показана
топология четвертьволно-
вого трансформатора в ко-
лосковом исполнении.
Для целей согласова-
ния в трактах СВЧ исполь-
зуются короткозамкнутые
реактивные шлейфы. Вари-
анты исполнения шлейфов
представлены на рис.2.26.
^2
W4
Рис.2.25. Полосковый четвертьволновой
согласующий трансформатор
Рис.2.26. Различные шлейфы: а - параллельный волноводный;
б - последовательный волноводный; в — параллельный коаксиальный;
г — параллельный полосковый разомкнутый;
д - параллельный полосковый короткозамкнутый;
е - эквивалентная схема последовательного полоскового шлейфа
207
С использованием таких шлейфов могут быть построены слож-
ные многошлейфовые согласующие устройства.
Четвертьволновые трансформаторы и шлейфы являются узкопо-
лосными согласующими устройствами. К широкополосным согла-
сующим устройствам относятся ступенчатые и плавные переходы, вы-
полненные на основе волноводе®, коаксиальных и полосковых линии.
Нередко на практике для согласования в узкой полосе частот
используются диафрагмы и реактивные штыри.
Диафрагмой называется тонкая металлическая перегородка,
частично перекрывающая поперечное сечение волновода. Диафраг-
мы бывают емкостные, индуктивные и резонансные. Их вид и экви-
валентные схемы изображены на рис.2.27.
0]
в)
Рис.2.27. Диафрагмы: а - симметричная емкостная;
б - симметричная индуктивная; в - резонансная
Кроме симметричных диафрагм, показанных на рисунке, часто
находят применение и несимметричные емкостные и индуктивные
диафрагмы.
Нормированные значения проводимости емкостной и индук-
тивной диафрагм определяются из выражений:
Вс=(4ЛД)1п(cos ес ( л J/2Z>) cos ес ( лу0 /6));
BL =-(^/tf)ctg2(7cJ/2a)(l + sec (itd/2a) etg2 (лх0 /а)].
208
Резонансная диафрагма образуется наложением емкостной и
индуктивной диафрагм. Резонансная частота такой диафрагмы равна
/р - (с/2)у/(^2 ~ )/(ф2 “ ’
где с — скорость света в вакууме.
Недостаток емкостной и
резонансной диафрагм в том,
что они существенно снижа-
ют электрическую прочность
тракта передачи.
На практике находят при-
менение сложные многощеле-
вые диафрагмы. Одна из них Рис.2.28. Трехщелевая диафрагма
представлена на рис.2.28.
Реактивный штырь представляет собой металлический ци-
линдр небольшого диаметра, который размещен в поперечном
сечении волновода параллельно или перпендикулярно силовым
линиям электрического поля. В зависимости от расположения
штыря в поперечном сечении волновода и его размеров на экви-
валентной схеме он может быть представлен индуктивностью
или емкостью.
На рис.2.29 представлены реактивные штыри в волноводе и их
эквивалентные схемы. Значения номиналов элементов эквивалент-
ных схем определяется обычно из справочной литературы. При
неглубоком погружении штыря в волновод параллельно силовым
линиям электрического поля он эквивалентен емкости. Такие шты-
ри используются в перестраиваемом согласующем устройстве, ко-
гда их число - два, три и более (рис.2.30).
Рис.2.29. Реактивные штыри в волноводе и их эквивалентные схемы:
а - индуктивный штырь; б - емкостной штырь
209
Рис .2.30. Перестраиваемое согласующее устройство
в виде трех штырей в волноводе
Недостаток емкостных штырей заключается в том, что они
снижают электрическую прочность тракта.
210
ГЛАВА 2. МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ УСТРОЙСТВ СВЧ
2.1. Основные матрицы для описания устройств СВЧ
Для того чтобы описать устройство СВЧ, ему ставят в соот-
ветствие некоторый многополюсник. В этом случае каждой рас-
пространяющейся волне во входных линиях передачи устройства
СВЧ ставится в соответствие пара клемм его эквивалентного мно-
гополюсника. В случае, когда во входных линиях передачи распро-
страняются только волны основных типов, число пар клемм мно-
гополюсника совпадает с числом входных линий передачи устрой-
ства СВЧ. Входы устройства СВЧ представляют собой поперечные
сечения входных линий передачи.
На каждой паре клемм эквивалентного многополюсника
(рис.2.31) можно определить комплексные напряжения и токи.
Способы задания эквивалентных напряжений и токов могут быть
различными. Чаще всего напряжения и токи определяют как ам-
плитуды поперечных составляющих электрического и магнитного
полей на соответствующем входе устройства СВЧ:
Ехп = ипеп, НхП = Ж’ п = 1,2,..JV, (2.28)
где еи, hn — собственные электрические и магнитные поперечные
функции основной волны и-й входной линии передачи, N — число
входов устройства СВЧ.
«1 |
«2 |
Рис.2.31. Эквивалентный устройству СВЧ многополюсник
Функции еп, hn зависят от координат поперечного сечения и-й
линии передачи и определяют распределение поперечных состав-
ляющих полей в этом сечении. В выражение (2.28) эквивалентные
напряжения и токи входят в нормированном виде. В теории СВЧ
211
принято нормированные значения тока и напряжения in и ип связы-
вать с ненормированными значениями 1п и (Уи:
«„ = n=\,2-N, (2.29)
где Wn — характеристическое сопротивление основной волны в и-й
линии передачи.
Поперечные составляющие полей (2.28) в поперечном сечении
п-й линии передачи складываются из поперечных составляющих
полей падающей и отраженной волны в устройстве СВЧ. Тогда из
(2.28) получим:
и„ =а„ + Ь’
п п п , (2.30)
~ап~ Ьп
где ап, Ьп — амплитуды падающей и отраженной волн соответст-
венно, которые имеют нормированный вид
а = fP ь = /Р /рлотр (2 31)
ип \]гппздс ’ vn -у/лотре •
Здесь Рп пад, Риотр - мощности падающей и отраженной волн,
<ри пад ’ Фи отр ~ фазы соответствующих волн.
Представим множество значений in, ип, ап, Ьп в виде матриц,
состоящих из одного столбца. Таким образом определены столбцы
напряжений, токов, амплитуд падающей и отраженной волн:
и~ М1 w2 , i = h h , a = a\ a2 , b = V Z>2 (2.32)
Jn. _aN _ bN_
К основным внешним характеристикам устройств СВЧ отно-
сятся: матрица сопротивлений Z, матрица проводимостей У,
матрица рассеяния S, классическая матрица передачи Т, волновая
матрица передачи Q. Каждая из этих матриц связывает линейной
зависимостью входные и выходные воздействия и реакцию на них
устройства СВЧ.
Матрицы сопротивлений и проводимостей. Эти матрицы
связывают линейными соотношениями напряжения и токи в
клеммных плоскостях эквивалентного многополюсника:
и = Z z, i — Yи. (2.33)
212
В развернутом виде это можно записать так:
w2
UN
2н
z2i
_zNl
^11
^21
212
z22
ZN2
ZIN *1
Z2N h. >
ZNN J|V
У12
У22
yN2
y\N Щ
y2N u2 >
W1 ~hzll +z2212 + — + iNzlN>
u2 =4z21 +i2z22 +••• + iNz2N->
UN = hzNl + hzN2 + — + *NZNN’
h = W1J11 + w2^12 + - + unYiN’
h ~ W1J21 +W2J22 + —+ wArJ2Ar>
In = и1Ут + u2YN2 + — + unYnN-
Щ
h
Отсюда следует, что матрицы Z и Y — квадратные и имеют по-
рядок Л, равный числу пар клемм эквивалентного многополюсника.
Так как в (2.33) эквивалентные напряжения и токи имеют оди-
наковую размерность, то элементы матриц Z и У безразмерны, т.е.
они определенным образом нормированы к характеристическим
сопротивлениям входных линий передачи. Найдем связь между
нормированными и ненормированными матрицами сопротивлений
и проводимостей. Для этого запишем (2.29) в матричном виде:
u = W~xl2U', i = Wx/2I, (2.34)
где W — диагональная матрица порядка N, составленная из характе-
ристических сопротивлений входных линий передачи:
Wi 0 ... О
О W2 ... О
О 0 ... WN
(2.35)
U, I-столбцы ненормированных напряжений и токов на клеммах эк-
вивалентного многополюсника. Подставив (2.34) в (2.33), получим
W~x,1U = ZWil2I, Wl/2I = YW~l,2U.
Определяя из первого выражения столбец Ut а из второго — 7,
получим
и = Wxl2ZWxl2l, I = W~y2YW~XI2U. (2.36)
213
С учетом того, что ненормированные напряжения и токи свя-
заны ДрУг с другом через ненормированные матрицы сопротивле-
нии Z и проводимостей У ,
(7 = ZH7, I = YHU. (2.37)
После сравнения с (2.36) получается, что
ZH = Wl,2ZWl/2, Ун = W~l/2YW~lf2. (2.38)
Тогда, на основании (2.33) и с учетом того, что
, (239)
связь между матрицами Z и Y имеет вид
Z = Y~l,Y = Z~l (2.40)
Однако выражения (2.40) справедливы лишь тогда, когда оп-
ределители матриц Z и Y отличны от нуля. Поэтому выражения
(2.33) представляют собой матричные аналоги закона Ома.
Для определения физического смысла элементов матрицы Z к
л-й паре клемм эквивалентного многополюсника подключим гене-
ратор тока с амплитудой а остальные клеммы останутся разомк-
нутыми. В этом случае столбец токов будет выглядеть так:
/ = [0,0,0,...,0]',
где t — символ транспонирования. Из (2.33) получим, что
— zmnin, zmn~umlin, /и —1,2,..JV\
Таким образом, zmn (при т # л) есть сопротивление между л-й и
/и-й парами клемм эквивалентного многополюсника при холостом
ходе на всех парах клемм, кроме л-й. При т = п- zmn — это входное
сопротивление эквивалентного многополюсника на л-й паре клемм.
Применив аналогичные рассуждения к матрице Y (при этом
подключив генератор напряжения), можно показать, что
~ Утп^п’ Утп ~ ~ L2,...TV ,
т.е. утп есть проводимость между соответствующими парами клемм
при коротком замыкании на всех остальных парах клемм. При
т = п • утп — это входная проводимость многополюсника на л-й
паре клемм.
214
Следует отметить, что не для всех устройств СВЧ определены
матрицы сопротивлений и проводимостей, так как входные сопро-
тивления или проводимости некоторых устройств могут прини-
мать бесконечные значения. Примером таких устройств могут
служить короткозамкнутые четвертьволновый и полуволновый
отрезки линий передачи. В технике СВЧ не всегда удобно пользо-
ваться матрицами Z и Y, поскольку в раде случаев непосредствен-
ное измерение напряжений ип и токов in на входах некоторых уст-
ройств СВЧ сделать весьма затруднительно.
Кроме того, для применения на СВЧ отсутствуют приборы, эк-
вивалентные генератору тока или генератору напряжения. Именно
эти приборы необходимы для экспериментального определения эле-
ментов матриц Z и К
Матрица рассеяния. Ранее было определено, что характери-
стика режимов работы линии передачи определялась соотношени-
ем амплитуд падающей и отраженной волн. Эти амплитуды могут
быть измерены с использованием типовой измерительной аппара-
туры. Поэтому матрица рассеяния является одной из важнейших.
Она связывает линейной зависимостью амплитуды падающих и
отраженных волн на входах многополюсника:
b = Sa. (2.41)
В последнем выражении а и b — столбцы падающих и отра-
женных волн, определяемых из (2.32). В развернутом виде (2.41)
запишется как
+ Я2512 + — + aNslN>
t>2 = als2l + a2s22 + •• + °NS2N'
bN - + a2sN2 + — + axsNN-
Из последней записи видно, что матрица рассеяния S — квад-
ратная и имеет тот же порядок N, равный числу входов устройства
215
СВЧ, что и матрицы Z и Y. В (2.41) амплитуды падающих и отра-
женных волн имеют одинаковую размерность, поэтому элементы
матрицы рассеяния безразмерны.
Для пояснения физического смысла элементов матрицы S под-
ключим к и-му входу устройства СВЧ генератор с амплитудой ап, а
к остальным входам - согласованные нагрузки. Тогда столбец ам-
плитуд примет вид
я = [0,0,...0,яи,0,...0].
Подставляя этот столбец в (2.42), получим
“ smnan> smn ~ ^т!ап > т ~ 1>2,..-Л^ •
Таким образом, smn (при п # т) - это коэффициент передачи
по амплитуде с и-го входа устройства СВЧ на m-й. При п = т
smn ~^п!ап ~ это коэффициент отражения от и-го входа. Следова-
тельно, диагональные элементы матрицы рассеяния являются коэф-
фициентами отражения от соответствующих входов устройства СВЧ.
Найдем связь между матрицами S, Z и Y. Для этого подставим
матричный вид выражений (2.30) в (2.33) и получим
(a + b) = Z(a — b), (a—b) = Y(a + b).
В каждом из этих уравнений раскроем скобки и найдем стол-
бец отраженных волн Ь:
a + b = Za — Zb
Zb + b = Za-a
{Z + E)b = {Z — E}a
b = (Z + E)~l(Z-E)a
а - b = Ya + Yb
Yb + b = a — Ya
(Y + E)b = (E-Y}a
b = (Y + E)~l(E-Y)a.
(2.43)
В этих уравнениях Е — единичная матрица порядка N. На глав-
ной диагонали такой матрицы стоят единицы, а все остальные эле-
менты равны нулю. Сравнив последнюю строку (2.43) с определе-
нием матрицы S (2.41), нетрудно заметить, что
S = (Z + Е)~1 (Z-E\ S = (Y + EYl (E-YY (2.44)
С помощью (2.44) можно найти матрицу рассеяния устройства
СВЧ, если известны его матрицы Z или Y.
216
Довольно просто получить и обратные преобразования, позво-
ляющие находить матрицы Z и У, если известна матрица S. Для
этого из (2.30) выразим вектора а и b через и и i:
a = (u + i)/2, b = (u — i)/2. (2.45)
Подставив (2.45) в (2.41) и выполнив ряд математических опе-
раций, аналогичных ранее проведенным в (2.43), найдем, что
Z = (Е - S)"1 (E + S), Y = (E + S)~' (E — S). (2.46)
Важным достоинством матрицы S является тот факт, что она
определяется для любого линейного пассивного устройства СВЧ.
Классическая и волновая матрицы передачи. Встречаются
случаи, когда геометрические структуры устройств СВЧ таковы,
что можно выделить две группы входных линий передачи, одна из
которых является непосредственно входной, а другая — выходной.
При этом эквивалентный многополюсник также имеет две группы
клемм. Причем вторую группу принято считать входными, а пер-
вую — выходными клеммами. Число пар клемм в каждой из этих
групп может быть различно. Такая ситуация возникает при соеди-
нении нескольких устройств СВЧ.
Классическая матрица передачи Т связывает линейной зави-
симостью эквивалентные напряжения и токи на выделенных груп-
пах клемм эквивалентного многополюсника:
Г1=П2, (2.47)
где - столбец, составленный из напряжений и токов на первой
группе входов, а (2 — на второй группе входов.
Физический смысл элементов матрицы Т выясним, переписав
(2.47) в виде
h
АВ w2
С D
(2.48)
где wi, й, «2, h — столбцы напряжений и токов на соответствующих
группах клемм; A, B,C,D — блоки классической матрицы передачи.
Записав (2.48) в развернутом виде, получим
Wj = Аи2 — Bi2, 4 = Си2 —Di2. (2.49)
Отсюда следует, что блок А есть матрица коэффициентов пере-
дачи по напряжению между входными и выходными клеммами экви-
217
валентного многополюсника при /2 = 0. Эта матрица в общем случае
прямоугольная и состоит из М столбцов, по числу входных пар клемм
многополюсника, и N строк, по числу выходных пар клемм многопо-
люсника. Блок В — матрица взаимных сопротивлений между входны-
ми и выходными клеммами многополюсника при «2 = 0 и также имеет
размерность Блок С — матрица размерностью N*M взаимных
проводимостей между входными и выходными клеммами многопо-
люсника при /2 — 0. Блок D — матрица размерностью N*M коэффици-
ентов передачи по току между входными и выходными клеммами
многополюсника при «2 = 0. Таким образом, классическая матрица
передачи Т в общем случае является прямоугольной, и число ее
столбцов равно удвоенному числу входных пар клемм многополюс-
ника 2Л/, а число строк—удвоенному числу выходных пар клемм 2N.
Основным достоинством матрицы Т является то, что при кас-
кадном соединении нескольких многополюсников результи-
рующая классическая матрица передачи этих многополюсников
определяется как произведение матриц передачи отдельных мно-
гополюсников, причем порядок следования многополюсников оп-
ределяет порядок перемножения матриц:
Г = ГгГ2. (2.50)
Следует, однако, отметить, что матрица Г, как и матрицы Z и
У, определена не для всех устройств СВЧ, а лишь для тех из них,
для которых при выделенных группах входных и выходных клемм
определены матрицы взаимных сопротивлений и проводимостей,
т.е. определены блоки В и С.
Волновая матрица передачи устройства СВЧ применительно к
их каскадному соединению также обладает мультипликативным
свойством (2.50), т.е. при каскадном соединении многополюсников
их результирующая волновая матрица передачи определяется про-
изведением волновых матриц каждого из многополюсников в по-
рядке их следования.
Волновая матрица передачи Q связывает линейной зависимо-
стью амплитуды падающих и отраженных волн на выходных
клеммах эквивалентного многополюсника с амплитудами падаю-
щих и отраженных волн на входных клеммах многополюсника:
4i =Q-4z,
где q\ — столбец, составленный из амплитуд падающих aj и отра-
женных Ь\ волн на первой группе входов, Ц2 - столбец, составлен-
218
ный из амплитуд отраженных Ьг и падающих aj волн на второй
группе входов.
Последнее равенство может быть представлено в развернутом
виде:
Qc 0D_ia2
Отсюда следует, что, как и матрица Т, волновая матрица в об-
щем случае — прямоугольная и имеет размерность 2N*2M.
Следует отметить, что элементы блоков волновой матрицы
передачи не имеют четкого физического смысла, а сама матрица Q
определена не для всех устройств СВЧ и на практике применяется
ограниченно.
2.2. Принцип взаимности устройств СВЧ
В технике СВЧ большой класс устройств составляют взаим-
ные устройства. Взаимность электродинамической структуры при
отсутствии сторонних источников поля формулируется в виде
леммы Лоренца, которая в интегральной форме имеет вид
4([£1>W2]-[£2,H1])dS = 0,
So
(2-51)
где применительно к произ-
вольному устройству СВЧ 11
(рис.2.32) 5о - замкнутая по-
верхность, ограничивающая \
объем V устройства СВЧ; Е\, Y
Hi, Е2, Н2 — электрические и । | \ V 1 ,
магнитные поля внутри СВЧ к \ /
структуры, соответствующие ХА.
двум независимым возбуж- 5Ь
дениям этого устройства; Р -|
dS = ndS — векторный элемент Рис.2.32. Обобщенное СВЧ устройство
поверхности; п — внешняя по
отношению к объему V нормаль к поверхности 5о- Поверхность А'о,
ограничивающая устройство СВЧ, состоит из идеально проводящей
поверхности S'Q и клеммной поверхности = + ^e2+...+ Se№
представляющей собой совокупность поперечных сечений S^n вход-
ных линий передачи устройства СВЧ.
219
Вычислив поверхностный интеграл в (2.51) с учетом того, что
значение этого интеграла по Sq равно нулю, а по равно сумме
интегралов по каждому из поперечных сечений входных волново-
дов, получим
12гЩ-^2ГЧ =0’ (2-52)
где z'i, «j, i2r, u2r - столбцы токов и напряжений на клеммах эквива-
лентного многополюсника, соответствующие каждому из двух не-
зависимых возбуждений входов устройства СВЧ.
Подставив в (2.52) значения щ = Zi\ HU2 = Zi2, получим
/2r(Z-Zr)/1 = 0.
Так как в последнем выражении токи ц и /2 взяты независимы-
ми и произвольными, то
Z = Zr. (2.53)
В теории матриц данное равенство определяет матрицу Z как
симметрическую, т.е. элементы этой матрицы, стоящие симметрич-
но относительно ее главной диагонали, равны друг другу. Zmn = Znm.
Проведя аналогичные рассуждения, можно показать, что
Y = Yr. (2.54)
Представим условие взаимности устройства СВЧ (2.52) через
его матрицу рассеяния. Для этого подставим значения токов и на-
пряжений в (2.52), выраженные через амплитуды падающих и от-
раженных волн из (2.30). Учитывая определение матрицы рассея-
ния (2.41), получим
S = Sr. (2.55)
Таким образом, взаимные устройства СВЧ имеют симметри-
ческие матрицы Z, Y и S.
2.3. Анализ устройств СВЧ методом декомпозиции
Универсальным методом расчета устройств СВЧ является раз-
биение - декомпозиция сложного устройства на ряд более простых
устройств, характеризуемых соответствующими матрицами пара-
метров, что допускает их независимый анализ. Эти простые устрой-
ства называют базовыми элементами. Если характеристики базовых
элементов предварительно изучены и установлены номиналы пара-
метров, определяющих матрицу каждого базового элемента, то ана-
220
лиз электрических характеристик сложной системы СВЧ сводится к
проводимому по специальным алгоритмам расчету матриц парамет-
ров для объединения двух базовых элементов и более.
Для расчета низкочастотных электрических цепей достаточен
набор базовых элементов из резистора (поглотителя мощности),
конденсатора (накопителя энергии электрического поля), индук-
тивной катушки (накопителя энергии магнитного поля). На сверх-
высоких частотах свойства накопления и поглощения электромаг-
нитной энергии присущи любому элементу объема анализируе-
мого устройства, и выделение базовых элементов становится не
столь однозначным.
Традиционный подход к декомпозиции устройств СВЧ преду-
сматривает замену каждого выделенного базового элемента неко-
торой схемой замещения, состоящей из сосредоточенных элемен-
тов L, С и R и из отрезков линии передачи. Электродинамические
расчеты базовых элементов проводят заблаговременно, а резуль-
таты представляют в виде приближенных формул и таблиц, опре-
деляющих связь номиналов в схеме замещения с геометрическими
размерами базового элемента, длиной волны и параметрами магни-
тодиэлектриков. Преимуществами такого подхода являются уни-
версальность, схожесть с теорией низкочастотных цепей, а также
наглядность представлений о функционировании сложных уст-
ройств СВЧ, достигаемая за счет разумной идеализации схем за-
мещения. Недостатками традиционного подхода являются потеря
точности при использовании упрощенных схем замещения и труд-
ности в количественной оценке погрешностей расчета.
Эти недостатки успешно преодолеваются при формальном элек-
тродинамическом подходе, ориентированном на применение мощных
ЭВМ. Здесь осуществляется декомпозиция устройства СВЧ на ряд
базовых элементов в виде геометрических конфигураций, допускаю-
щих аналитическое или численное определение матрицы параметров
путем решения уравнений Максвелла при заданных граничных усло-
виях. Последующее нахождение матрицы параметров сложного уст-
ройства осуществляется по точно таким же алгоритмам объединения
многополюсников, как и при традиционном подходе на основе схем
замещения. Электродинамический подход в принципе позволяет вы-
полнять расчеты с любой требуемой точностью, однако при этом те-
ряется наглядность анализа и происходит сужение класса устройств,
рассчитываемых по конкретной вычислительной программе.
221
Рис.2.33. Эквивалентный
четырехполюсник
Для описания базовых
элементов часто использует-
ся классическая матрица пе-
редачи.
Тогда для изображен-
ного на рис.2.33 четырех-
полюсника входное сопротивление на втором входе равно
Ащ+В\
в Cux+DiT
Так как сопротивление нагрузки (сопротивление на первом входе)
7 _ «1 7 _ ^нс+ Б
zhi -—, то ZBx2 - — —
h CZHC+D
(2.56)
Разделим в (2.56) числитель и знаменатель на D, тогда
_ aZH1 + р
Авх2 I , 'У *
1 + Tzhi
(2.57)
А п В С
где а = —, р = —, у =—.
D D D
Преобразование (2.57) является дробно-линейным и описывает
резистивный четырехполюсник.
Реактивные четырехполюсники описываются дробно-линейными
преобразованиями следующего вида:
_ aZH1 + j'P
1 + Л^Н!
(2.58)
А _ jB С
где а =—, р = -—, у =—.
D D D
Аналогичным способом можно определить входное сопротив-
ление на первом входе.
Свойство дробно-линейных преобразований, используемое в
машинных алгоритмах для синтеза сложных устройств СВЧ состо-
ит в возможности отыскания значений коэффициентов а, р, у, оп-
ределяемых параметрами элементов, входящих в четырехполюс-
ник, из решения уравнений, вытекающих из предъявляемых требо-
ваний к коэффициенту передачи.
222
С помощью коэффициентов а, 0, у элементы Sn, Згь S22
определяются для резистивных четырехполюсников так:
_а + 0-у-1 _ 2(а-0у)
1 Э 9 9
а+р+у+1 а+р+у+1
I X.D V )
9 2 - с J+P-g-Y
*^9 1 5 0^0 9
а+р+у+1 а+р+у+1
а для реактивных
а+ур-уу-1 2(а-0у)
1 9 *^19 9
« + 70+77 + 1 а+уР+уу + 1
с _ 2 .с _ 1 + 7*0“а-Л
O91 —----------, Ооэ —----------•
« + 70+77 + 1 а + /р+/у + 1
2.4. Анализ устройств СВЧ проекционным методом
Для анализа сложных устройств СВЧ на основе принципа де-
композиции необходимо уметь вычислять матрицы внешних характе-
ристик базовых элементов. Вычисление этих матриц проводится с
помощью соотношений, получающихся в результате решения урав-
нений Максвелла применительно к конкретным граничным условиям,
задаваемым геометрической структурой конкретного базового эле-
мента. При этом в результате решения уравнений электродинамики
должна быть составлена математическая модель базового элемента,
позволяющая определять его матрицы внешних характеристик. Для
составления математической модели могут быть использованы раз-
личные методы, однако наибольшее практическое применение полу-
чили проекционные методы. Суть этих методов состоит в том, что
неизвестные поля, являющиеся элементами функционального про-
странства, проецируются с помощью полной ортонормированной
системы функций в числовое пространство. При этом неизвестным
становится множество чисел, являющихся коэффициентами базисных
функций, совокупность которых определяет неизвестные поля. Роль
базисных функций во внутренних задачах электродинамики обычно
играют поля различных типов волн волноводов или резонаторов. К
проекционным методам относятся: метод Галеркина, метод момен-
тов, метод частичных областей, метод коллокаций и т.п.
В качестве примера рассмотрим подробнее основную идею
метода Галеркина. Предположим, что решается краевая задача для
223
области И, ограниченной замкнутой поверхностью Sb, сформулиро-
ванная в виде операторного уравнения
Au =f, (2.61)
где А — электродинамический оператор; и — подлежащая определе-
нию векторная функция; f — известная векторная функция, опреде-
ляющая внешнее возбуждение в рассматриваемой задаче. Функция
f обычно задается в виде касательных составляющих полей на час-
ти поверхности So, являющейся поверхностью клеммных плоско-
стей устройства СВЧ (поперечными сечениями входных линий пе-
редачи). Функция и представляет собой неизвестное электрическое
или магнитное поле внутри устройства СВЧ. При решении внут-
ренних задач обычно находится полная ортонормированная в об-
ласти V система функций {««}, которая может служить базисом для
представления неизвестной функции рядом Фурье:
00
<2-62)
Л=1
Полнота системы функций {ип} означает, что при любом
внешнем воздействии/неизвестная функция и представима в виде
ряда (2.62). Ортонормированность функции ип означает удовлетво-
рение условию
.°’ПрИт*"’ (2.63)
1, при т-п.
Тогда, с учетом (2.62), получим
ап = fyiu*ndv.
V
Из (2.61) следует, что Аи - / есть нулевой элемент функцио-
нального пространства, поэтому он ортогонален к любой функции
базиса:
J(t4w-/)uz* dv = O, т = 1,2,... (2.64)
v
В методе Галеркина искомое приближенное решение пред-
ставляется в виде линейной комбинации первых N базисных функ-
ций с неопределенными коэффициентами:
<2-65)
И=1
224
Это приближенное решение подчиняется условию ортого-
нальности, аналогичному (2.64). Поэтому, подставляя в (264) вы-
ражение (2.65) и учитывая (2.63), получаем систему N линейных
уравнений относительно коэффициентов ап, которая может быть
записана в виде
Ла =f,
где А — квадратная матрица порядка N, а - столбец неизвестных
коэффициентов,/- столбец свободных членов. Таким образом, ме-
тод Галеркина, как и другие проекционные методы, сводит неод-
нородную краевую задачу к неоднородной системе линейных
уравнений, решение которой определяет коэффициенты раз-
ложения искомой функции. При этом чем выше порядок системы,
т.е. чем больше N, тем точнее определяется неизвестная функция и.
Определив с помощью этого метода поля внутри базового элемен-
та, а следовательно, и в поперечных сечениях его входных линий
передачи, можно найти численные значения напряжений и токов
на клеммах эквивалентного многополюсника. По токам и напря-
жениям на клеммах многополюсника могут быть найдены любые
матрицы внешних характеристик базового элемента. Объединив
матрицы рассеяния базовых элементов в общую схему, можно най-
ти матрицу рассеяния сложного устройства СВЧ и вычислить лю-
бые его характеристики. Эти вычисления проводятся с примене-
нием высокопроизводительных ЭВМ.
225
ГЛАВА 3. КОНСТРУКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧ И ТРАКТОВ СВЧ
3.1. Соединение линии передачи СВЧ
Для сборки и разборки элементов тракта СВЧ используются
специальные разъемы или соединительные устройства. Такие разъе-
мы должны обеспечивать надежный электрический контакт между
соединяемыми устройствами. Они не должны снижать электриче-
скую прочность тракта и вносить значительные отражения в тракт.
Кроме того, разъемы должны обеспечивать необходимый уровень
электрогерметичности тракта, т.е. минимальный уровень излучения
электромагнитных волн из места соединения линий передачи.
В волноводных трактах применяют два типа соединений: кон-
тактное и дроссельно-фланцевое.
Контактное соединение может быть неразборным и разбор-
ным. Неразборное соединение волноводов осуществляется с по-
мощью внешних муфт, надеваемых на место соединения с после-
дующей сваркой или про-
пайкой (рис.2.34). Разбор-
ное соединение выполня-
ется в виде гладких флан-
цев, припаиваемых к кон-
цам волновода. Направ-
ляющие штифты обеспе-
чивают необходимую точ-
ность установки волново-
дов. Фланцы имеют отвер-
стия, через которые с по-
мощью болтов осуществляется стягивание соединения. Для улуч-
шения контакта и обеспечения электрогерметичности между со-
единяемыми волноводами помещают тонкую контактную про-
кладку, выполняемую из бериллиевой бронзы. Края этой проклад-
ки, примыкающие к стенкам волновода, рассечены и отогнуты в
разные стороны. При необходимости герметизации тракта исполь-
зуют также резиновые прокладки.
Дроссельно-фланцевое соединение обеспечивает надежный
контакт между соединяемыми волноводами электрическим путем.
В коаксиальных трактах в качестве соединений используют
высокочастотные разъемы штепсельного типа. При этом с одной
226
Рис.2.34. Неразъемное контактное
соединение волноводов
стороны соединяемых коаксиалов размещается штыревой контакт,
а с другой стороны — гнездовой. На практике находят применение
различные типы коаксиальных высокочастотных разъемов.
3.2. Изгибы и скрутки линий передачи СВЧ
При компоновке тракта СВЧ любой радиотехнической систе-
мы возникает необходимость применения изгибов и скруток. Эти
элементы нарушают регулярность тракта и могут быть источником
недопустимых отражений. В волноводных трактах используют из-
гибы (рис.2.35).
Рис.2.35. Волноводные изгибы: а - в плоскости Е; б - в плоскости Н
Размеры отражателей Хе и Хн в изгибах, показанных на
рис.2.35, выбираются из условия обеспечения минимального зна-
чения коэффициента отражения. В изгибе с двойным изломом
улучшение согласования достигается за счет уменьшения отраже-
ний от каждого из изломов и взаимной компенсации отраженных
волн от каждого из них. Для этого расстояние между изломами вы-
бирается примерно равным X/ 4. Кроме изображенных на рис.2.35,
используются и плавные изгибы, которые характеризуются радиу-
сом изгиба или углом поворота. Для улучшения согласования дли-
ну плавного изгиба выбирают кратной X / 2.
В волноводных трактах нашли широ-
кое применение волноводные скрутки
(рис.2.36). Скрутка предназначена для из-
менения плоскости поляризации распро-
страняющейся по волноводу волны на тре-
буемый угол. Различают Е- и 27-скрутки.
Для улучшения согласования длину скрут-
ки выбирают кратной X / 2.
Рис.2.36. Волноводная в жестких коаксиальных трактах ис-
скрутка пользуются уголковые и плавные изгибы
227
(рис.2.37). Для улучшения согласования простого уголкового изги-
ба уменьшают диаметр центрального проводника: 5 = 0,52гь длина
же плавных изгибов по этой же причине должна быть кратной 1/2.
Рис.2.37. Коаксиальные изгибы:
а — простой с согласующей протечкой; б — плавный
На рис.2.38 изображены некоторые варианты построения изгибов
полосковых линий передачи. Простой уголковый изгиб не обеспечи-
вает хорошего согласования. Изгиб полосковой линии на небольшой
угол (а <30°) не вызывает сильных искажений. Часто на практике
используют скругленный или подрезанные изгибы. Самое лучшее
согласование дают плавные изгибы. Однако плавный изгиб требует
больших размеров по сравнению с подрезанным уголковым изгибом.
Рис.2.38. Полосковые изгибы: а, б - простой уголковый;
в - скругленный; г - с согласующим срезом; д - плавный
3.3. Переходы между линиями передачи СВЧ
В трактах СВЧ часто возникает необходимость перехода от од-
ного типа линии передачи к другому, например от коаксиала к пря-
моугольному или круглому волноводу, от коаксиала к полосковой
линии, от прямоугольного волновода к круглому и т.п. Для этих це-
228
лей предназначены специальные устройства, называемые перехода-
ми. Переходы нарушают регулярность тракта и поэтому должны
быть хорошо согласованы по каждому из входов и не должны сни-
жать электрическую прочность тракта. Наиболее важным в переходе
является элемент связи, предназначенный для извлечения энергии из
одной линии передачи и возбуждения электромагнитных колебаний
в другой. В зависимости от типа соединяемых линий элемент связи
может иметь различные конструкторские реализации. В электроди-
намическом смысле он представляет собой систему электрических и
магнитных сторонних токов, определенным образом размещенных в
линии передачи. Эти токи стремятся расположить так, чтобы с мак-
симальной интенсивностью в линии передачи возбуждался требуе-
мый тип волны и не возбуждались волны нежелательных типов.
Амплитуда возбуждаемого типа волны будет максимальна, если при
расположении элемента связи в линии передачи выполняются сле-
дующие условия:
- сторонний электрический ток на элементе связи протекает
параллельно электрическому полю возбуждаемой волны;
- сторонний магнитный ток на элементе связи протекает па-
раллельно силовым линиям магнитного поля;
— элемент связи располагается в максимуме соответствующей
компоненты поля.
Различают элементы связи электрического и магнитного ти-
пов. Например, штырь является электрическим элементом связи, а
петля — магнитным. Для возбуждения линий передачи СВЧ могут
быть использованы элементы связи в виде отверстий определенной
формы или узких щелей.
На рис.2.39 представлен коаксиально-волноводный переход. Он
предназначен для перехода от коаксиала с волной типа 7 к прямо-
угольному волноводу с волной Яю- Обычно штырь, являющийся
продолжением внутреннего провода коаксиала, располагают по-
среди широкой стенки волновода, а расстояние до короткозамы-
кающей стенки z\ берут равным четверти длины волны в волново-
де. Для обеспечения хорошего согласования необходимо также
правильно выбрать высоту штыря I и его диаметр. Обычно берут
/ = 1/4. Форма штыря и его диаметр существенно сказываются на
полосовых свойствах перехода: чем толще штырь, тем шире поло-
са. При работе перехода вблизи штыря образуются все типы волн в
прямоугольном волноводе. Кроме основной волны Яю, они нахо-
229
дятся в закритическом режиме, и их амплитуды экспоненциально
убывают при удалении от штыря. Скорость убывания определяется
индексами т и и, характеризующими каждый тип волны в вол-
новоде. Расстояние от штыря до контактного фланца выбирается
из условия уменьшения амплитуды высшей волны, ближайшей к
основной волне Ню, до требуемой величины. Ближайшей к основ-
ной высшей волной в таком переходе является волна Для
уменьшения ее амплитуды в N раз величину Z2 следует выбрать из
а х
Рис.2.39. Коаксиально-волноводный переход
Для возбуждения основной волны в прямоугольном волноводе
с помощью полосковой линии используется волноводно-полосковый
переход. Широкополосный переход между полосковой линией и
прямоугольным волноводом может быть реализован применением
П-образного волновода. При этом П-образный волновод получается
из обычного прямоугольного волновода путем установки продоль-
ного металлического клина длиной (2...3)Х.
На практике часто возникает задача передачи мощности СВЧ
от неподвижного генератора к вращающейся антенне. Эта техни-
ческая задача решается с помощью перехода, называемого вра-
щающимся сочленением. Для вращающихся сочленений использу-
ют линии передачи, имеющие осевую симметрию поперечного се-
чения, и выбирают тип волны, у которой силовые линии поля об-
230
ладают азимутальной симметрией. Перечисленным условиям
удовлетворяют коаксиальный волновод с волной типа Т и круглый
волновод с волной £оь
Основным элементом вращающегося сочленения коаксиального
типа являются дроссельные канавки, обеспечивающие надежный
электрический контакт между вращающимися коаксиалами. На-
значение и принцип работы дроссельных канавок во вращающемся
сочленении такие же, как и в дроссельно-фланцевом соединении.
Трущиеся контакты располагаются в нулях продольных токов, что
достигается выбором глубины дроссельных канавок порядка чет-
верти длины волны. При этом дроссельные канавки располагаются
как во внешнем, так и во внутреннем проводниках коаксиала.
3.4. СВЧ нагрузки
Нагрузки СВЧ на эквивалентной схеме представляются в виде
двухполюсника, который характеризуется величиной коэффициен-
та отражения Г. Матрица рассеяния нагрузки вырождается в число
5ц = Г. В трактах СВЧ находят применение согласованные и реак-
тивные нагрузки.
Идеальная согласованная нагрузка имеет Г = 0. Характеристи-
ками реальных согласованных нагрузок являются зависимость |Г|
от частоты и величина допустимой поглощаемой мощности. На
практике используются нагрузки с |Г| < 0,01 в полосе частот не ме-
нее 20%. Часто нагрузку характеризуют величиной Лев на входе.
Требований к фазе отраженной волны не предъявляется. По вели-
чине допустимой поглощаемой мощности различают нагрузки на
низкий (<1 Вт) и высокий уровни мощности. В последнем случае
нагрузка обычно содержит радиатор, который рассеивает тепло в
свободное пространство.
На рис.2.40 показаны согласованные нагрузки в волноводном,
коаксиальном и полосковом исполнении. Они выполняются объ-
емными из радиопоглощающего материала, например, ферроэпок-
сида, или имеют тонкие поглощающие пленки. Качество нагрузки
существенно зависит от длины Z и профиля нагрузки. Для клино-
видных нагрузок I берется порядка 1. В случае экспоненциального
профиля длина нагрузки может быть существенно уменьшена. В
дециметровом диапазоне на высокий уровень мощности использу-
ют водяные нагрузки. В этом диапазоне вода интенсивно поглоща-
ет электромагнитную энергию, преобразуя ее в тепло. Такая на-
231
грузка представляет собой систему радиопрозрачных трубок, по-
мещенных в область, содержащую электромагнитное поле. По
этим трубкам циркулирует вода.
Рис.2.40. Поглощающие нагрузки: а — волноводная;
б — коаксиальная; в — полосковая
в)
Согласованные нагрузки используются в измерительной ап-
паратуре СВЧ диапазона в качестве эквивалента антенны при на-
стройке ее тракта СВЧ, в промышленных установках СВЧ нагрева
различных влагосодержащих материалов. Идеальная реактивная
нагрузка имеет ]Г| = 1 и характеризуется только фазой коэффици-
ента отражения. Реальная реактивная нагрузка имеет ]Г|, близкий
к единице, и характеризуется коэффициентом Лев» который может
достигать значений порядка 100 и более. На практике реактивная
нагрузка реализуется в виде неподвижного (запаянного) или под-
вижного поршня. Основное требование, предъявляемое к порш-
ню, состоит в обеспечении хорошего электрического контакта со
стенками линии передачи. На рис.2.41 показаны волноводные
а) б)
Рис.2.41. Волноводные короткозамыкающие поршни:
а — контактный; б — дроссельный
232
короткозамыкающие поршни — контактный и дроссельный. В
дроссельном поршне качество контакта обеспечивается электри-
ческим путем. Дроссель представляет собой свернутую коротко-
замкнутую полуволновую линию, трансформирующую нулевое
сопротивление в поперечное сечение волновода, примыкающего к
поршню. Механический контакт располагается на расстоянии Х/4
от короткого замыкания (точка 1 на рис.2.40б). Поэтому в сечении
механического контакта продольные токи отсутствуют, и качество
этого контакта не влияет на качество работы поршня в цепом. Ана-
логично выполняются поршни в коаксиальном исполнении. Они
находят применение в измерительных трактах СВЧ, а также как
элементы настройки согласующих устройств.
3.5. Делители мощности СВЧ
В трактах СВЧ широко используются делители мощности
СВЧ, предназначенные для распределения в требуемом соотноше-
нии мощности источников СВЧ колебаний на несколько каналов.
Различают следующие типы делителей мощности СВЧ: тройники;
направленные ответвители; мостовые устройства; многоканачъ-
ные делители мощности СВЧ.
Тройники. Тройником называется сочленение трех линий пе-
редачи. На эквивалентной схеме тройники отображаются в виде
шестиполюсника. На рис.2.42а,б показаны волноводные симмет-
ричные Y-тройники в плоскостях Ни Е соответственно и их экви-
валентные схемы. Определим матрицы рассеяния этих устройств.
Рис.2.42. Волноводные симметричные У-тройники и их эквивалентные
схемы: а - в плоскости Я; б - в плоскости Е
233
Матрица рассеяния шестиполюсника имеет третий порядок
(по числу пар клемм многополюсника или входов устройства
СВЧ). Коэффициент отражения Sn определяется при подключении
к входу 1 генератора, а к остальным — согласованных нагрузок. В
этом случае нагрузкой эквивалентной линии, соответствующей
входу 1, является параллельное соединение двух линий с волновым
сопротивлением W, эквивалентных входам 2 и 3, т.е. Zh=WI2.
Поэтому 5ц = (Zh~ Ю / (2я+ И7) = -1 / 3. Так как сочленение сим-
метрично, то ^22 = 5зз = -1 / 3. По этой же причине коэффициенты
передачи из входа 1 на входы 2 и 3 равны, т.е. 521 = -$31- Поскольку
рассматривается идеальный У-тройник без потерь, то его матрица
рассеяния унитарна. Поэтому сумма квадратов модулей элементов
любой строки или столбца этой матрицы равна единице, т.е.
kn|2 + kill + $3i|2 1 • Учитывая сказанное, находим |52i|= кз1|= 2 /3.
Клеммные плоскости данного устройства могут быть расположены
так, чтобы все элементы первого столбца матрицы рассеяния стали
действительными. Учитывая, что У-тройник является взаимным уст-
ройством и его матрица рассеяния симметрическая, получаем
(2.66)
Рассуждая аналогично по отношению к симметричному У-
тройнику в плоскости Е, получим
(2.67)
Знак «минус» в коэффициентах передачи этой матрицы объяс-
няется тем, что при возбуждении, например, входа 1 У-тройника на
оставшихся входах ориентация вектора Е изменяется на противо-
положную (см. рис.2.42б). У-тройники можно проанализировать с
учетом их геометрической симметрии относительно оси и плоско-
сти, проходящей через середину каждого из волноводов. Восполь-
зовавшись методикой влияния геометрической симметрии уст-
ройств СВЧ на его внешние характеристики, можно получить мат-
рицы рассеяния таких устройств, совпадающие с (2.66) и (2.67).
234
На рис.2.43а и б показаны волноводные Т-образные тройники
в Н- и ^-плоскостях соответственно. Обычно их выполняют таким
образом, чтобы они были согласованы по входам 1. Поэтому при
возбуждении этих входов мощность делится поровну между пле-
чами 2 и 3 (входы устройства СВЧ иногда называют плечами). По-
этому 1^211 = 1^3! | - 1/V2 . В Я-тройнике при этом плечи 2 и 3 возбу-
ждаются в фазе, а в ^-тройнике — в противофазе. Учитывая сказан-
ное и свойство унитарности матрицы (5 5 = Е ), получаем следую-
щие матрицы рассеяния Т-образных тройников:
а) б)
Рис.2.43. Волноводные Т-образные тройники: а — в плоскости Н;
б - в плоскости Е
На рис.2.44а,б представлены тройники в коаксиальном и по-
лосковом исполнениях соответственно.
Рис.2.45. Балансный
полосковый делитель
мощности
а) б)
Рис.2.44. Тройники: а-коаксиальный;
б — полосковый
235
Они имеют матрицы рассеяния такие же, как у волноводного Н-
тройника. На практике часто возникает задача сложения мощно-
стей двух источников в общей нагрузке. Рассмотрим возможность
применения для этой цели Т-образного //-тройника. Подключим
первый источник с амплитудой а\ к плечу 2 тройника, второй ис-
точник с амплитудой аг - к плечу 3, а согласованную нагрузку — к
плечу 1. Найдем амплитуды волн bn (п = 1,2, 3), отраженных от
тройника, с помощью определения матрицы рассеяния:
0] 2
"2J i
“^2)-
Отсюда следует, что мощность источников складывается в плече
1 тройника только тогда, когда ai = аг. В противном случае в плечах 2
и 3 тройника появляются нежелательные отраженные волны. Для
устранения этих волн при любых амплитудах источников необходи-
мо, чтобы матрица рассеяния шестиполюсного устройства сложения
мощности имела вид
Так как эта матрица симметрическая, то она соответствует вза-
имному устройству. Определим наличие тепловых потерь в данном
устройстве. Для этого найдем собственные числа матрицы рассеяния
как корни характеристического многочлена det(S —Х^Е) = 0. Под-
ставив сюда матрицу 5, получим Х^(1 —Х|) = 0, откуда Х51-0,
Xs2 “ 1Х53 = —I. Таким образом, при возбуждении устройства СВЧ
первым собственным вектором матрицы 5 он должен полностью
поглощаться этим устройством, а второй и третий собственные век-
торы должны полностью отражаться от устройства СВЧ. Этими
свойствами обладает согласованный тройник (или балансный дели-
тель мощности), полосковый вариант которого показан на рис.2.45.
236
В его состав входит поглощающий элемент в виде резистора R, ве-
личина сопротивления, а также волновые сопротивления плеч кото-
рого подбираются из условия обеспечения максимальной рабочей
полосы частот устройства.
Направленные ответвители. Направленные ответвители пред-
ставляют собой взаимные устройства СВЧ, имеющие четыре плеча.
При возбуждении одного из плеч мощность делится в требуемом от-
ношении между какими-либо двумя плечами, а четвертое плечо оста-
ется невозбужденным. На эквивалентной схеме направленный ответ-
витель отображается в виде восьмиполюсника. В зависимости от рас-
положения входов направленных ответвителей, между которыми де-
Рис.2.46. Восьмиполюсники, эквивалентные направленным ответвителям
Из рис.2.46 следует, что перенумерацией входов направлен-
ных ответвителей (НО) 2 и 3 типов они могут быть сведены к типу
1. Поэтому проведем анализ НО 1-го типа. Идеальные НО имеют
матрицу рассеяния следующего вида:
1 0 0 71 -с1 ~iC
2 5 = 0 0 —iC yh-c2 (2.69)
3 4 Vi-c2 -iC 0 0
-/с Vi-c2 0 0
где С — коэффициент связи, показывающий часть ответвляемой
мощности. Из вида матрицы 5 следует, что все входы НО согласо-
ваны (5 п = 522 = $зз = $44 = 0), входы 1 и 2, а также 3 и 4 взаимно
развязаны, т.е. 521 = 5п = 0 и 543 = 534 = 0-
237
При возбуждении плеча 1 фаза колебаний в плече 4 отстает на
90° от фазы колебания в плече 3. На это указывает отрицательная
мнимая единица при коэффициенте С. Реальные НО характеризу-
ются следующими параметрами, определяемыми в режиме воз-
буждения плеча 1: переходным ослаблением с41 = 101g(P1/P4) =
= -20IgC; направленностью <?24 = 1 ); рабочим затухани-
ем <?3i =101g(7i/73); КСВ на входе, равным + .
Данные параметры определяются в некоторой полосе частот НО,
и их численные значения лежат в пределах [5]: 0<С4<60дБ,
^24 > 20 дБ, <?3i > 0 дБ, Лев ~ 1,1 •
Рис.2.47. Двухдырочный НО
Самым простым НО является
волноводный двухдырочный ответ-
витель (рис.2.47). Он представляет
собой два прямоугольных волновода,
в общей узкой стенке которых на
расстоянии X / 4 друг от друга проре-
заны два отверстия связи. При воз-
буждении плеча 1 мощность СВЧ в
основном проходит в плечо 3, а не-
большая ее часть ответвляется в пле-
чо 4. Плечо 2 при этом остается раз-
вязанным, т.к. волны, ответвившиеся через отверстия, расстояние
между которыми X / 4, оказываются в этом плече в противофазе и
гасят друг друга. Недостаток устройства - его узкополосность. Для
устранения этого недостатка НО делают многодырочным. За счет
этого удается также подобрать требуемую частотную характери-
стику переходного ослабления едь
В волноводных трактах СВЧ широкое применение нашел
НО, представляющий собой два пересекающихся под прямым уг-
лом волновода, в общей широкой стенке которых на расстоянии
а! 4 от узких стенок прорезано отверстие связи определенной
формы (рис.2.48). Форма и размеры отверстий сильно влияют на
величину переходного ослабления. В НО с элементами резонанс-
ного типа (щели, крестообразные отверстия) удается достигнуть
малых значений переходного ослабления. Принцип работы такого
ответвителя основан на том, что точка прореза отверстия связи
является точкой круговой поляризации вектора магнитного поля
238
волны Hiq. Направление вращения вектора Н однозначно опре-
деляет направление распространения волны Hiq в волноводе. На-
правленное ответвление мощности объясняется сохранением на-
правления вращения вектора Н в верхнем и нижнем волноводах.
Для уменьшения переходного ослабления в таких НО делают два
диагонально расположенных крестообразных отверстия связи.
На рис.2.49 показаны по-
лосковые направленные ответ-
вители. Двухшлейфовый ответ-
витель (рис.2.49а) является ана-
логом двухдырочного волно-
водного ответвителя. Шлейфы
длиной Х/4 выполняют роль
отверстий и расположены на
расстоянии X / 4 друг от друга.
Требуемое переходное ослаб-
ление и согласование входов
обеспечивается подбором вол-
новых сопротивлений шлейфов
и соединяющих их линий.
а) б)
Рис.2.49. Полосковые направленные ответвители:
а - двухшлейфовые; б — на связанных линиях
Принцип работы полоскового ответвителя на связанных лини-
ях (рис.2.49б) заключается в том, что направленный переход из
основной линии (1—3) во вторичную (2—4) осуществляется за счет
ее расположения в поле линии (1—3). Для этого расстояние d между
линиями делается достаточно малым. Величина переходного зату-
хания в таком ответвителе зависит от зазора между линиями d и
длины связанного участка I. В таком НО обеспечивается распреде-
ленная по длине связь между линиями.
239
Мостовые устройства СВЧ. Мостами СВЧ называются на-
правленные ответвители с переходным ослаблением 3 дБ. Таким
образом, мост делит мощность поровну между плечами 3 и 4
(рис.2.50). Различают следующие мостовые устройства СВЧ: вол-
новодно-щелевой мост в Н-и ^-плоскостях, кольцевой мост, двой-
ной Т-мост. СВЧ мосты, являясь частным случаем НО, на эквива-
лентных схемах изображаются в виде восьмиполюсников.
Рис.2.50. Волноводно-щелевые мосты: а - в плоскости Я; б — в плоскости Е
Волноводно-щелевой мост в 77-плоскости (рис.2.50а) пред-
ставляет собой два прямоугольных волновода, часть общей стенки
которых I вырезается.
В результате получается широкий прямоугольный волновод с
размерами поперечного сечения А*Ь. Размер А этого волновода
выбирается таким образом, чтобы в нем распространялись волны
Я10 и Л2о, т.е. X < А < ЗХ / 2. При возбуждении плеча 1 волной Ню в
широком волноводе возбуждаются волны Ню и Я2о- Эпюры попе-
речных составляющих электрического поля этих волн в месте воз-
буждения показаны на рис.2.51. Из рис.2.51 следует, что в области
входа 2 моста а <х <2а волны Ню и Я2о широкого волновода на-
ходятся в противофазе, поэтому плечо 2 является развязанным.
Волны Ню и Я20 в широком волноводе имеют разные фазовые ско-
рости, потому в месте расположения плеч 3 и 4 они приобретают
разность фаз ср = фню - Ф//20, гДе Фню = ^яю'4 Ф//20 - kzHitfl- Здесь
k=Hw =(2п/Х)у/1-(к/2А)2 , k=f/20 =(2тсД)^1-(Х/Л)2 - продоль-
ные постоянные распространения волн Ню и Я2о в широком вол-
новоде. Чтобы мощность разделилась пополам между плечами 3 и
4, нужно так выбрать длину I, чтобы ф = я/ 2 + ил, п = 0,1,2.... Та-
ким образом, наименьшая длина моста определяется условием
I = (7t / 2) / (Х-/Л0 - kZH2&
240
Рис.2.51. Эпюры электрического поля
волн //io и Н20 в плоскости входов 1
и 2 волноводно-щелевого моста
Рис.2.52. Полосковый
кольцевой мост
Аналогично работает волноводно-щелевой мост в плоскости Е
(рис.2.50б). Он имеет вид двух прямоугольных волноводов, в об-
щей широкой стенке которых прорезано два отверстия, примы-
кающих к узким стенкам. То есть на участке длиной I образуется
прямоугольный коаксиал. В области отверстия связи возбуждаются
волны Т и Hiq. Длина моста выбирается из условия обеспечения
разности фаз между указанными волнами л/2:
/ = (Я/2)/(Л-Л.Я10),
где к = 2л/Х.
Волноводно-щелевые мосты в Е- и //-плоскостях имеют оди-
наковые матрицы рассеяния, а именно
’0 0 1 —i
„ 1 0 0 —i 1
S = —j=
\12 1 —i 0 0
—i 1 0 0
Кольцевой мост представляет собой свернутую в кольцо ли-
нию передачи длиной ЗХ / 2, в которую с интервалом X / 4 включе-
ны четыре входные линии передачи - в качестве них могут быть
использованы прямоугольные волноводы в Е- и //-плоскостях, ко-
аксиальный кабель, полосковая линия и т.д. Для примера на
рис.2.52 изображен полосковый кольцевой мост.
При возбуждении плеча 1 в обе стороны по кольцу распростра-
няются волны, которые в плечах 2 и 4 оказываются синфазными, а в
плече 3 - противофазными. По этой причине мощность делится по-
ровну между плечами 2 и 4, а плечо 3 оказывается развязанным. При
этом плечи 2 и 4 возбуждаются противофазно, т.к. расстояние между
241
ними по кольцу составляет X / 2. Согласование входов моста обеспе-
чивается подбором волновых сопротивлений входных линий и ли-
нии кольца. При последовательном возбуждении всех плеч кольце-
вого моста его матрица рассеяния будет иметь вид
0 -1 0 1
i -1 0 -1 0
S=-F-
V2 0 -1 0 -1
1 0 -1 0
Двойной Т-мост является еще од-
ним представителем волноводных мос-
товых устройств (рис.2.53). Он пред-
ставляет собой гибрид волноводных Е-
и 77-тройников. При возбуждении плеча
1 мощность делится поровну между
плечами 3 и 4, возбуждая их синфазно.
Плечо 2 оказывается развязанным, так
Рис.2.53. Двойной 7-мост как вектор электрического поля волны
77]о плеча 1 оказывается ориентирован-
ным вдоль волновода плеча 2 и в нем возбуждаются волны типа Е,
которые находятся в закритическом режиме. При возбуждении
плеча 2 мощность также делится поровну между плечами 3 и 4,
возбуждая их, однако, в противофазе. Плечо 1 оказывается развя-
занным, так как вектор электрического поля волны 77ю плеча 2
ориентирован параллельно широким стенкам волновода плеча 1 и
в нем возбуждаются волны типа 77о„ (и = 1,2,...), которые находятся
в закритическом режиме. Учитывая взаимность данного устройст-
ва, можно составить его матрицу рассеяния:
Отличительная особенность двойного Г-моста в том, что он
складывает мощности синфазных равноамплитудных источников,
подключенных к плечам 3 и 4, в плече 1, а противофазных - в пле-
че 2. Поэтому на практике подобные устройства нашли применение
242
2
в антеннах моноимпульсных радиолокационных станций (РЛС) для
формирования суммарно-разностных диаграмм направленности.
Свернутый двойной Т-мост (рис.2.54)
- разновидность двойного Г-моста, имею-
щая такую же матрицу рассеяния.
Многоканальные делители мощности
СВЧ. Такие делители мощности находят
применение в трактах многоэлементных
антенных решеток (АР). Они предназна-
чены для деления мощности источника Рис.2.54. Свернутый
в требуемом соотношении между боль- двойной Т-мост
шим числом выходных каналов, возбу-
ждающих излучающие элементы АР. Эквивалентный многопо-
люсник такого делителя показан на рис.2.55.
Мощность источника, подклю-
чаемого к первой паре клемм (входу),
должна быть распределена между N
выходными парами клемм. Элемента-
ми для построения таких делителей
могут служить тройники, балансные
д