СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Редакционный совет:
А. В. Болейнов
А. В. Борисов
И. С. Мамаев
И. А. Тайманов
Д. В. Трещев
Вышли в свет:
П. И. Голод, А. У. Климык. Математические основы теории симметрии
М. Громов. Гиперболические группы
М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны
Дж. Д. Мур. Лекции об инвариантах Зайберга-Виттена
Дж. Милнор. Голоморфная динамика
И. Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры
И. Добеши. Десять лекций по вейвлетам
Э. Столниц, Т. ДеРоуз, Д. Салезин. Вейвлеты в компьютерной
графике
К. Кассель, М. Россо, В. Тураев. Квантовые группы и инварианты
узлов
Ж. П. Рамис. Расходящиеся ряды и асимптотические теории
О. В. Богополъский. Введение в теорию групп
Готовятся к печати:
А. Д. Морозов. Введение в теорию фракталов
С. П. Новиков. Топология
Я. Лесин. Теория размерности
А. И. Шафаревич. Введение в теорию квазиклассического квантования
изотропных многообразий

О.В.Богопольский
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ ГРУПП
Москва ♦ Ижевск
2002
УДК 517
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
•	физика
•	математика
•	биология
•	техника
Богопольский О. В.
Введение в теорию групп. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2002, 148 стр.
Целью книги является быстрое и глубокое введение в теорию групп.
В первой части излагаются основы теории, строится спорадическая группа
Матье, объясняется ее связь с теорией кодирования и системами Штейнера.
Во второй части рассматривается теория Басса—Серра групп, действующих
на деревьях. Особенность книги — геометрический подход к теории конечных
и бесконечных групп. Имеется большое количество примеров, упражнений и
рисунков.
Для научных работников, аспирантов и студентов университетов.
ISBN 5-93972-165-6
© О. В. Богопольский, 2002
© Институт компьютерных исследований, 2002
http: //rcd.ru
Оглавление
Предисловие.................................................. 7
Глава 1. Введение в теорию конечных групп ................... 8
§ 1.	Основные определения................................. 8
§ 2.	Теорема Лагранжа. Нормальная подгруппа и фактор-груп-
па ................................................. 12
§ 3.	Теоремы о гомоморфизмах............................. 14
§ 4.	Теорема Кэли ....................................... 15
§ 5.	Двойные смежные классы.............................. 16
§ 6.	Действие группы на множестве........................ 17
§ 7.	Нормализатор и централизатор. Центр конечной р-груп-
пы неединичен....................................... 20
§ 8.	Теорема Силова...................................... 21
§ 9.	Прямые произведения групп........................... 23
§ 10.	Простые конечные группы............................ 25
§ 11.	Группа Ап проста при п > 5......................... 26
§ 12.	Д5 как группа вращений икосаэдра................... 27
§ 13.	Лэ как первая нециклическая простая группа......... 28
§ 14.	Д5 как проективная специальная	линейная группа ....	30
§ 15.	Теорема Жордана - Диксона.......................... 32
§ 16.	Группа Матье ЛЦг .................................. 34
§ 17.	Группы Матье, системы Штейнера и теория кодирования 42
§ 18.	Теория расширений.................................. 45
§ 19.	Теорема Шура....................................... 47
§20.	Группа Хигмэна-Симса............................... 48
Глава 2. Введение в комбинаторную теорию групп ...	54
§ 1.	Графы и графы Кэли групп............................ 54
§ 2.	Автоморфизмы деревьев............................... 60
§ 3.	Свободные группы ................................... 62
§4.	Фундаментальная группа	графа........................ 67
§ 5.	Задание группы порождающими и определяющими соот-
ношениями .......................................... 68
§ 6.	Преобразования Титце................................ 71
6
Оглавление
§ 7.	Представление группы Sn......................... 74
§ 8.	Деревья и свободные группы ..................... 75
§9.	Переписывающий процесс Райдемайстера-Шрайера . .	81
§ 10.	Свободное произведение......................... 83
§ 11.	Свободное произведение с объединением.......... 85
§ 12.	Деревья и свободные произведения с объединением ...	87
§ 13.	Действие группы SL2(Z) на гиперболической плоскости .	89
§ 14.	HNN-расширения................................. 95
§ 15.	Деревья и HNN-расширения....................... 98
§ 16.	Граф групп и его фундаментальная группа........ 98
§ 17.	Связь свободных произведений с объединением и HNN-pac-
ширений ............................................ 101
§ 18.	Структура группы, действующей на дереве....... 102
§ 19.	Теорема Куроша................................ 106
§ 20.	Накрытия графов............................... 107
§21.	S-графы и перечисление подгрупп свободных групп ... 111
§22.	Фолдинги...................................... 113
§23.	Пересечение двух подгрупп свободной группы.....117
§24.	Комплексы..................................... 119
§ 25.	Накрытия комплексов .......................... 122
§ 26.	Поверхности................................... 126
§27.	Теорема Зайферта-ван Кампена.................. 132
§28.	Теорема Грушко................................ 133
§ 29.	Хопфовы и финитно аппроксимируемые группы.....135
Историческая справка....................................140
Список литературы.......................................144
Предисловие
Эта книга — расширенная запись спецкурса по теории групп,
читавшегося мной в Новосибирском государственном университете в
1996-2001 годах. Ее цель — не только изложить основы теории групп,
но и описать некоторые нетривиальные конструкции и технику, исполь-
зуемые работающими специалистами. Основы даются в §1-9 главы 1,
а далее можно читать главы 1 и 2 независимо.
В первой главе мы стремимся быстро ввести начинающих в об-
ласть классификации конечных простых групп. Показано, что такие
сложные комбинаторные объекты, как группа Матье М22 и группа Хиг-
мэна-Симса HS, имеют естественное геометрическое описание. В § 17
объясняется связь групп Матье и систем Штейнера с теорией кодиро-
вания.
Во второй главе излагается теория Басса-Серра групп, действу-
ющих на деревьях. Эта теория содержит прозрачное и естественное
объяснение многих результатов о свободных группах и свободных кон-
струкциях. Объясняется также теория накрытий; внимательный чи-
татель сможет увидеть мост от одной теории к другой. Надеюсь, что
многочисленные примеры, упражнения и рисунки помогут читателю
лучше разобраться в предмете.
Для понимания книги достаточно знать курс алгебры в объеме
первого семестра университета (подстановки, поля, матрицы, вектор-
ные пространства, см. [13]). Дополнительно основы теории групп мож-
но изучить по книге М. И. Каргаполова и Ю. И. Мерзлякова [10].
Я благодарю В. Г. Бардакова, А. В. Васильева, Е.П. Вдовина,
А. В. Заварницына, В. Д. Мазурова, Д. О. Ревина, О. С. Тишкину и осо-
бенно В. А. Чуркина за чтение отдельных частей рукописи и мно-
гие ценные замечания. Я благодарю также М.-Т. Бохниг за помощь в
оформлении книги.
г. Новосибирск,
11 мая 2002 г.
О. В. Богопольский
Глава 1
Введение в теорию конечных групп
§ 1.	Основные определения
Говорят, что на множестве G определена бинарная операция •, если
для любых двух элементов а и b из G определен элемент а • b из G. Би-
нарная операция может обозначаться не только •, но и любым другим
символом, например +. Обычно пишут ab вместо а • Ь.
Непустое множество G с определенной на нем бинарной операцией
называется группой, если
1)	(аЬ)с = а(Ьс) для любых элементов а, Ь,с из G (операция ассо-
циативна)',
2)	существует такой элемент е из G (он называется единицей), что
ае = еа = а для любого а из G;
3)	для любого а из G существует такой элемент b из G (он назы-
вается обратным к а), что ab = Ьа = е.
Для обозначения единичного элемента используют также символ 1,
если операция обозначается точкой, и символ 0, если операция обозна-
чается плюсом.
1.	1. Упражнение. 1) Докажите, что единица в любой группе G
единственна и для любого а из G существует только один обратный
к а элемент (он обозначается а-1).
2) Докажите, что для любого элемента а из группы, G отобра-
жение ра: G -э G, заданное правилом ра(у) = ад (д G G), является,
биекцией.
Группа G называется абелевой, или коммутативной, если ab = Ьа
для любых а, b из G. Множество Z целых чисел с обычной операцией
сложения является абелевой группой. Примеры 1.3 показывают, что
существуют и неабелевы группы.
Группы G и Gi называют изоморфными и пишут G = Gi, если
существует изоморфизм </? : G —> Gi, то есть такое взаимно однозначное
отображение р из группы G на всю группу Gi, что p(ab) = р(а)р(Ь)
для любых а, b из G.
§1. Основные определения
9
Благодаря ассоциативности в группе, произведение любых ее эле-
ментов ai, аг, . .., <2П в заданном порядке не зависит от расстановки ско-
бок и поэтому может быть записано как <2i<22 • • • ап. Произведение п эле-
ментов, равных а, обозначается ап. Полагают а0 = е и а" = (// 1 j "
для п < 0.
Если ап = е при некотором п > 0, то наименьшее такое п называют
порядком элемента а и обозначают а|. Если ап е при любом п > 0,
то говорят, что а — элемент бесконечного порядка и пишут |а| = сю.
Мощность |G| группы G называют порядком группы G. Если эта мощ-
ность конечна, то группа называется конечной, в противном случае —
бесконечной. Конечная группа G называется р-группой, если \G\ = pk
для некоторого простого числа р и натурального k 1.
1.2.	Упражнение.
1)	Если ап = е, то п делится на а|.
2)	Если а и b — перестановочные элементы, т. е. ab = Ъа, и их
порядки взаимно просты, то \ab\ = |а| • \Ь\.
Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой груп-
пы G (пишут Н G), если для любых а, Ь из Н элементы ab и а так-
же лежат в Н. Подгруппа группы сама является группой относительно
сужения на нее операции объемлющей группы. Если Н G и Н 7^ G,
то пишут Н < G. Если {1} < /Г < G, то Н называется собственной
подгруппой группы G.
Следуя обозначениям учебника [13], далее мы используем следую-
щее правило композиции двух отображений: (/р)(ж) = /(д(а;)). Таким
образом, подстановки перемножаются справа налево.
1.3.	Примеры.
1)	Движением евклидовой плоскости называется любое отображе-
ние этой плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками.
Пусть F — произвольная фигура на евклидовой плоскости. Мно-
жество всех движений евклидовой плоскости, переводящих F на себя, с
операцией «композиция двух движений», является группой. Эта груп-
па называется группой симметрий фигуры F.
В группе симметрий правильного n-угольника имеется ровно
2п элементов: п вращений по часовой стрелке на углы (fc =
= 0,1, ..., /г — 1) вокруг его центра и п отражений относительно пря-
мых, проходящих через центр и одну из его вершин или середину одной
из его сторон. Все вращения в группе симметрий правильного п-уголь-
ника образуют подгруппу, которая называется группой вращений дан-
ного п-угольника.
10
Глава 1
2)	Множество всех подстановок на множестве {1,2, ... ,п} отно-
сительно умножения подстановок является группой. Она называется
симметрической группой степени п и обозначается Sn. Все четные
подстановки в Sn образуют подгруппу, которая обозначается Ап и на-
зывается знакопеременной группой степени п. Порядок группы Sn ра-
вен п!, а порядок группы Ап равен п!/2 при п > 2.
3)	Множество GLn(KT) всех невырожденных матриц размера п х п
над полем К является группой относительно умножения матриц. Она
называется общей линейной группой. Ее подгруппа SLn(KT), состоящая
из всех матриц с определителем 1, называется специальной линейной
группой. Группа SLn(KT) содержит подгруппу UTn(KT), состоящую из
всех матриц с единицами на главной диагонали и нулями под ней.
Известно (см, например, [13]), что конечное поле из q элементов
единственно с точностью до изоморфизма и q может быть только сте-
пенью простого числа. Поэтому, если поле К состоит из q элементов,
то вместо GLn(K) пишут GL„(q) и т. д.
1.4.	Упражнение. Группа симметрий правильного треугольни-
ка изоморфна группе S3.
Если М — непустое подмножество группы G, то множество
К1 • • •	\ щ 6 М, с, = ±1, т = 1, 2, ... }
называется подгруппой, порожденной множеством М, и обозначает-
ся {М}. Очевидно, {М} — наименьшая подгруппа группы G, содержа-
щая множество М.
Для сокращения записи вместо ({а, &, ..., с}) пишут (а, Ь, . .., с) и
говорят, что эта подгруппа порождается элементами а,Ь, ...,с. Допу-
стимы и другие вольности в обозначениях. Например, если А и В —
подмножества группы G, с — ее элемент, то вместо (Д U В U {с}) пишут
(Д, В, с).
Группа называется конечно порожденной, если она может быть
порождена конечным множеством элементов.
Группа G называется циклической, если в ней существует такой
элемент а, что G = (а). В этом случае G = {an | п G Z}. Не исключено,
что ап совпадет с ат при п т. Примером бесконечной циклической
группы является группа Z всех целых чисел относительно обычной
операции сложения (в качестве а можно взять 1 или —1).
Пусть п 1 — натуральное число. Каждому целому числу i соот-
ветствует остаток от деления i на п, то есть такое целое число г, что
— 1и(г — г) делится на п. Легко проверить, что множество
Zn = {0,1, . .., п — 1} с операцией Ф, определенной правилом i Ф j =
= i Ф j, является циклической группой, порожденной элементом 1.
§1. Основные определения
11
1.5.	Упражнение. Группа вращений правильного п-уголъника
изоморфна группе Zn.
1.6.	Теорема. Любая бесконечная циклическая группа изоморфна
группе Z, а любая конечная циклическая группа порядка п изоморфна
группе Zn.
Доказательство. Если (а) — бесконечная циклическая группа, то
отображение у : Z - {а}, заданное правилом <д(г) = аг, является изо-
морфизмом. Если (а) — циклическая группа порядка п, то отображение
у : Z„ - (Д, заданное тем же правилом <д(г) = а1, является изоморфиз-
мом. Проверим, например, взаимную однозначность этого отображе-
ния. Предположим противное: аг = а3 при некоторых 0 Д < j Го — 1.
Тогда а3~г = е и в группе (а) были бы только элементы е, а, ..., Д-1-1.
Но этих элементов меньше п — противоречие.
1.7.	Теорема. Любая подгруппа циклической группы — цикличе-
ская.
Доказательство. Очевидно, единичная подгруппа — циклическая.
Пусть Н — неединичная подгруппа циклической группы (а), и пусть
т — наименьшее положительное целое число с условием ат G Н. Оче-
видно, {ат) Н. Докажем, что = Н. Возьмем в Н произвольный
элемент, он имеет вид ак. Поделим к на т с остатком: к = rnq + г,
О г < т. Тогда ar = cikUi"!) 3 е Н. В силу минимальности т отсюда
следует, что г = 0. Тогда ак = (a"1)11 G
1.8.	Упражнение. 1) В циклической группе порядка п порядок
любой подгруппы делит п и для любого делителя d числа п существу-
ет ровно одна подгруппа порядка d.
2) Число решений уравнения хк = е в циклической группе поряд-
ка п равно нод(п, к) — наибольшему общему делителю чисел пик.
Центром группы G называется подмножество
Z(G) = {z 6 G | zg = gz для любого g 6 G}.
Очевидно, Z(G) — подгруппа группы G, и группа G абелева тогда и
только тогда, когда Z(G) = G.
Коммутатором элементов а и & называется элемент rz/w 16 1. Он
обозначается [а, Ь]. Коммутантом группы G называется ее подгруппа
G' = ([а,&] | a,b G G}.
Говорят, что элемент а группы G сопряжен с элементом b посред-
ством элемента д, если а = gbg-1. Подгруппа А группы G сопряжена
с подгруппой В посредством элемента д, если А = {gbg-1 | b 6 В}.
12
Глава 1
Последнее множество обозначают дВд^1. Легко понять, что порядки
сопряженных элементов (подгрупп) равны.
Класс сопряженности элемента b — это множество всех элемен-
тов в G, сопряженных с Ь. Группа G разбивается на непересекающиеся
классы сопряженности, один из которых равен {е}.
Любой изоморфизм группы G на себя называется автоморфиз-
мом. Множество всех автоморфизмов группы G относительно их ком-
позиции является группой и обозначается Aut(G).
1.9. Упражнение. 1) Докажите, что Aut(Z) = Z2.
2)	Найдите центр, коммутант и группу автоморфизмов груп-
пы S3. Перечислите классы сопряженных элементов группы S3.
3)	Докажите, что Sn = ((12), (13), ..., (1тг)).
4)	Докажите, что группа Q рациональных чисел относительно
сложения не является конечно порожденной.
§ 2.	Теорема Лагранжа. Нормальная подгруппа
и фактор-группа
Пусть Н — подгруппа группы G. Множества gH = {gh h 6 Н},
где д Е G, называются левыми смежными классами группы G по под-
группе Н. Аналогично определяются правые смежные классы Нд. Лег-
ко видеть, что
91Н = д2Н Ф=> pf 1д2 6 Н.
2.1.	Пример. Список всех левых смежных классов группы S3 по
подгруппе {е, (12)}:
{е,(12)}, {(13), (123)}, {(23), (132)}.
Список всех правых смежных классов группы S3 по подгруппе {е, (12)}:
{е,(12)}, {(13), (132)}, {(23), (123)}.
Так как соответствие хН <-> НхД взаимно однозначно, то мощ-
ность множества левых смежных классов совпадает с мощностью мно-
жества правых смежных классов. Она называется индексом подгруп-
пы Н в группе G и обозначается |G : Н\.
2.2.	Теорема (Лагранж). Если Н — подгруппа конечной груп-
пы G, то
\G\ = \Н\  \G : Н\.
Доказательство. Так как g G gH, то G есть объединение левых
смежных классов G по Н. Различные левые смежные классы не пересе-
каются: если д^Н О д2Н 0, то дДг = g2h2 для некоторых Д, h2 G Н,
§2. Теорема Лагранжа. Нормальная подгруппа. . .	13
и тогда д-^Н = д2К2бДН = д2Н. Осталось заметить, что эти классы
равномощны. Биекция Н дН устанавливается правилом h >—> gh,
heH.
2.3.	Следствие. 1) Порядок элемента конечной группы делит
порядок этой группы.
2)	Всякая группа простого порядка р изоморфна группе Zp.
Доказательство. Если G — конечная группа и g G G, то |р| = \(Д)\
и | делит |G|. Если G =р — простое число и g Д е, то \{g)\ = G|,
и, значит, G = (g) = Zp.
Для непустых подмножеств А и В группы G определим их про-
изведение: АВ = {ab | а Е A,b Е В}. Пусть Н G, д Е G. Тогда
произведение {д}Н совпадает с левым смежным классом дН. Кроме
того, имеем НН = н.
Говорят, что подгруппа Н нормальна в G и пишут Н G, если
дН = Нд для любого д 6 G. Пусть Н G. Тогда произведение любых
двух смежных классов G по Н снова будет смежным классом:
91Н  д2Н = дДНд2)Н = gi(g2H)H = gig2H.
Множество всех смежных классов G по Н относительно такого
произведения образует группу. Ее единицей является класс Н, а обрат-
ным к классу хН — класс х~гН. Эта группа называется фактор-груп-
пой группы G по нормальной подгруппе Н и обозначается G/Н. По
теореме Лагранжа, если G конечна, то |G| = \Н\  \G/H\.
2.4.	Пример. Подгруппа К = {е, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} в Si
нормальна и Si/К = {К, (12)Я, (13)7Г, (23)К, (123)К, (132)К} = S3.
2.5.	Упражнение. 1) Докажите, что Z(G) 53 G, G' 53 G и
G/G' — абелева группа.
2)	Если Нх 53 Н < G, то \G : Ях| = |G : Н\ • \Н : НД
3)	Если Н — подгруппа индекса 2 в группе G, то Н G.
4)	Произведение двух подмножеств Hi,H2 группы G может не
быть подгруппой даже в случае, когда Н -, и Н2 подгруппы. Если Н\
и Н2 — подгруппы и одна из них нормальна в G, то HiH2 — подгруппа
в G. Если обе подгруппы П\ и Н2 нормальны в G, то подгруппа HiH2
тоже нормальна в G.
5)	Если А, В — конечные подгруппы группы G, то
\АВ\ =
\A\-\B\
|Д П В ’
14
Глава 1
§ 3.	Теоремы о гомоморфизмах
Отображение р из группы G в группу Gi называется гомоморфиз-
мом, если p(ab) = р(а)р(Ь) для любых a, b Е G. Ядром гомоморфизма р
называется множество Kery = {д Е G <r(fl) = е}. Образом гомомор-
физма р называется множество 1шу = {</?(</) | д Е G}.
3.1.	Упражнение. Пусть р : G- Gi — гомоморфизм. Тогда
справедливы следующие утверждения.
1)	р(е) = е, р^сд1) = (<r(fl))-1 для, g EG.
2)	Если g Е G — элемент конечного порядка, то |<р(д)| делит \д\.
3)	Kertp G, Im 99 G±.
4)	Для непустых подмножеств А, В группы G выполняется1
= р(ЕТ) - > А  Кег р = В • Кег р.
3.2.	Примеры. 1) Пусть К* — мультипликативная группа по-
ля К, то есть группа всех ненулевых элементов поля К относительно
умножения. Отображение р : GLn(KT) К*, сопоставляющее матрице
ее определитель, является гомоморфизмом с ядром SLn(/f).
2)	Пусть Н G. Отображение р : G G/Н, заданное правилом
<^(g) = уН, является гомоморфизмом с ядром Н.
3.3.	Теорема. Пусть р : G - Gi — гомоморфизм на всю груп-
пу Gi- Тогда
1)	отображение из множества подгрупп группы G, содержа-
щих Кегр, в множество всех подгрупп группы Gi, сопоставляющее
подгруппам их образ относительно р, является биекцией,
2)	эта биекция сохраняет индексы:
если Ker р !Т, /Д то \Н% : Ui| = ^(-Нг) :
3)	эта биекция сохраняет нормальность:
если Кегр Д Д, то Д Д Ф=> р(Н\) рДбф).
Доказательство. 1) Это отображение на, так как полный прооб-
раз подгруппы группы Gi является подгруппой в G, содержащей Кег р.
Взаимная однозначность вытекает из пункта 4 упражнения 3.1 с учетом
того, что Н  Ker р = Н для любой подгруппы Н группы G, содержа-
щей Кег р.
1По определению полагают ДА) = {<р(а) | а Е А}.
§4. Теорема Кэли
15
2)	Отображение из множества левых смежных классов Н? по Н\
в множество левых смежных классов р^Н^) по заданное прави-
лом хН\ ьэ <у?(х)</?(771), является отображением на. Это отображение
взаимно однозначно, так как из <y?(a;77i) = <Ду.Н1) следует хН\ -Кегу =
= уН\  Кег^, то есть хН\ = уНх-
3)	Так как //,  Ker р = Hi и х  Ker р = Ker р  х для х 6 G, то
равенство х! б = Н^х равносильно равенству х! б  Ker р = Н^х  Кег р,
которое равносильно равенству p(x)p(Hi) = p(Hi)p(x) ввиду пункта 4
упражнения 3.1.
3.4.	Теорема. Если р : G - G\ гомоморфизм, то G/Ker 9? = Im р.
Указание. Изоморфизм задается правилом уКег</? ьэ р(д), д G G.
3.5.	Теорема. Пусть A si В si G, А G, В G. Тогда
В/A s? G/А и (G/A)/(B/A) G/B.
Указание. Применить теорему 3.4 к гомоморфизму р : G/A G/В,
заданному правилом дА ь-> дВ.
3.6.	Теорема. Пусть Н G, В G. Тогда ВН/Н = В/В П Н.
Указание. Гомоморфизм р : ВН -э В/В П Н, заданный правилом
bh ьэ Ь(В П Н), b G В, h G Н, имеет ядро Н.
В заключение приведем общепринятую терминологию. Гомомор-
физм у : G — G, называется эпиморфизмом, если его образ равен G±.
Гомоморфизм называется мономорфизмом (или вложением), если его
ядро единично. Группа G вкладывается в группу Gi, если существует
вложение G в Gi. Очевидно, изоморфизм является эпиморфизмом и
мономорфизмом одновременно.
§ 4.	Теорема Кэли
Далее S(M) обозначает группу всех взаимно однозначных отобра-
жений — подстановок — множества М на себя. Если мощность мно-
жества М конечна и равна т, то группу S(M) можно отождествить с
группой Sm.
4.1.	Теорема (Кэли). Пусть G — группа, Н — ее подгруппа и
М — множество всех левых смежных классов G по Н. Зададим отоб-
ражение р : G - S(M) так, что для g G G подстановка р(д) перево-
дит любой смежный класс хН в смежный класс дхН.
Тогда р — гомоморфизм (не обязательно на) с ядром
Кегр= хНх-1.
16
Глава 1
Доказательство. Ясно, что ДдхРг) = ДдДДдг), так как
д1д2(хН) = gi(g2xH) для любого х Е G. Далее,
д е Кег</? <==> (хН = дхН для всех хН) Ф=> (д G	для всех х).
В случае Н = {1} гомоморфизм из теоремы Кэли называется
(левым) регулярным представлением группы G.
4.2.	Следствие. 1) Регулярное представление группы G является
вложением группы G в группу 3(G). Образ любого неединичного эле-
мента из G относительно этого вложения является подстановкой,
сдвигающей все символы.
Любая конечная группа G вкладывается в группу Sm, где т = |G|.
2)	Любая конечная группа G вкладывается в группу GLm(F), где
F — поле, т = \G\.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из теоремы Кэли,
а второе — из первого с учетом вложения Sm в GLm(F), заданного
правилом ст ь-» Аа, где (Aa)jj = 1 при a(j) = i и (Аа)у = 0 при a(j) i.
4.3.	Упражнение. Любая группа порядка 4 изоморфна группе Z4
или группе К = {е, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.
Решение. Пусть G — группа порядка 4. Отождествим G с ее обра-
зом относительно регулярного представления в S4. Тогда любой нееди-
ничный элемент группы G является либо циклом длины 4, либо произ-
ведением двух независимых транспозиций (иначе появится неподвиж-
ный символ). Если в G есть цикл длины 4, то G = Z4, а если нет,
то G = К.
4.4.	Следствие. Всякая подгруппа Н конечного индекса т груп-
пы G содержит подгруппу N, нормальную в G и индекса, делящегося
на т и делящего ml.
Доказательство. В качестве N можно взять подгруппу Кег где
из теоремы Кэли. Ее индекс в G равен порядку подгруппы Im груп-
пы Sm и, следовательно, делит ml. Делимость на т выводится из вклю-
чений Ker <у? Н G с помощью пункта 2 упражнения 2.5.
§ 5.	Двойные смежные классы
Пусть К и Н — произвольные подгруппы группы G. Любое мно-
жество KgH = {kgh k Е К, h Е Н} , где д Е G, называется двойным
смежным классом группы G по подгруппам К и Н. Множество всех
таких классов будем обозначать через К \ G/H.
§6. Действие группы на множестве
17
5.1.	Предложение. Пусть К и Н — подгруппы группы G. Тогда
1)	для произвольного g G G существует единственный двойной
смежный класс группы G по подгруппам К и Н, содержащий д,
2)	G разбивается в объединение двойных смежных классов по К
и Н,
3)	любой двойной смежный класс КдН есть объединение
\К : К П gHg~^\ различных левых смежных классов G по Н.
Доказательство. 1) Очевидно, g = еде G КдН. Если д принад-
лежит еще одному двойному смежному классу КхН, то д = kxh для
некоторых k G К, h G Н, и, значит, КдН = K(kxh)H = КхН.
Пункт 2) следует из пункта 1).
3)	Двойной смежный класс КдН есть объединение левых смежных
классов кдН, когда к пробегает К. Пусть А — множество всех таких
левых смежных классов, а В — множество всех левых смежных клас-
сов К по К ГдП д 1. Достаточно доказать, что отображение <у? : А —> В,
определенное правилом кдН к(К П gllд ' ), где к G К, является
биекцией. Покажем, что это определение корректно и отображение р
взаимно однозначно. Пусть fci, &2 £ К. Тогда
к-^дН = к%дН <=^ д 1fc1 rk2g G Н Ф=> fc1 xfc2 G К ПдНд 1 <==>
кДКОдНд-^ЩКОдНд-1).
То, что р — отображение на, очевидно.
5.2.	Теорема. Пусть К и Н — подгруппы группы G. Пусть X —
полная система представителей двойных смежных классов G по К
и Н (по одному из каждого класса). Тогда
|С? : Н\ = ^2 \К '.КГ\хНх^\.
(1)
хЕХ
Доказательство. Группа G разбивается на двойные смежные
классы КхН с представителями х G X. Каждый из них разбивается
на \К : К И хНх~1\ левых смежных классов G по Н.
§ 6.	Действие группы на множестве
Говорят, что группа G действует (слева) на множестве X, если для
любых элементов g G G и х G X определен элемент gx G X, причем
fl2(fli^) = и ех = х для всех х G X, gi,g2 G G. Множество
Gx = {gx \ д G G}
18
Глава 1
называется орбитой элемента х. Очевидно, орбиты любых двух эле-
ментов из X либо совпадают, либо не пересекаются, так что множе-
ство X разбивается на непересекающиеся орбиты. Если орбита одна —
все множество X, то говорят, что G действует транзитивно на X. Ина-
че говоря, группа G действует транзитивно на множестве X, если для
любых двух элементов х, х' из X найдется элемент д из G такой, что
дх = х'.
Стабилизатором элемента х из X называется подгруппа
Stc(^) = {д £ G | дх = х}.
Множеством неподвижных точек элемента д из G называется
множество
Fix(g) = {х е X | дх = х}.
6.1.	Упражнение. Стабилизаторы элементов из одной орбиты
сопряжены.
6.2.	Предложение. Мощность2 орбиты Gx равна индексу ста-
билизатора Stc(^) в группе G.
Доказательство. Отображение из Gx в множество левых смеж-
ных классов G по Sts (ж), заданное правилом gx i— д'ДаД), является
биекцией.
6.3.	Примеры.
1)	Любая группа G действует на множестве левых смежных клас-
сов по данной подгруппе Н: смежный класс хН переходит под дей-
ствием элемента д в смежный класс дхН. Это действие транзитивно.
По сути дела, оно встречалось в теореме Кэли.
2)	Пусть К — фиксированный куб в трехмерном евклидовом про-
странстве, G — группа всех движений этого пространства, сохраня-
ющих ориентацию и переводящих КГ в К. В группе G имеется тож-
дественное движение, вращения на 120° и 240° вокруг четырех осей,
проходящих через противоположные вершины куба, вращения на 180°
вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер, и
вращения на 90°, 180° и 270° вокруг осей, проходящих через центры
противоположных граней. Итак, мы нашли 24 элемента в группе G. По-
кажем, что других элементов в G нет. Группа G действует транзитивно
на множестве К° вершин куба К, так как любые две вершины из К
можно «соединить цепочкой соседних», а соседние можно перевести
2 В случае конечных групп мы будем употреблять другой термин — длина орби-
ты.
§6. Действие группы на множестве
19
друг в друга подходящим вращением. Стабилизатор вершины х дол-
жен оставлять на месте также наиболее удаленную от нее вершину х'.
Поэтому он состоит из тождественного движения и вращений вокруг
оси хх' на 120° и 240°. Следовательно, |С?| = |№| • |Stc(^) = 8 • 3 = 24
и, значит, все указанные выше вращения составляют группу G.
Группа G называется группой вращений куба. Докажем, что G = S4.
Вращения из G переставляют четыре самых длинных диагонали ку-
ба. Возникает гомоморфизм : С — S4. Ядро этого гомоморфизма
равно {е}, так как только тождественное движение оставляет каждую
диагональ куба на месте. Поэтому G изоморфна подгруппе группы S4.
Сравнивая порядки этих групп, получаем, что G = S4.
6.4.	Теорема (Бернсайд). Мощность множества орбит, полу-
чающихся при действии конечной группы G на множестве X, равна
Ф £ irix(9)i.
1	1 9GG
Доказательство. Подсчитывая мощность множества {(р,х) | дх =
= х} двумя разными способами, получаем
52 iFix(s)i = 1218Мд) = 12 й-
gCG	х&Х	х&Х 1
Так как элементы из одной и той же орбиты дают одинаковый вклад
в последнюю сумму, то эта сумма равна мощности множества орбит,
умноженной на |G|.
6.5.	Упражнение. Каждая грань куба раскрашивается одной из
трех данных красок. Раскраски считаются одинаковыми, если они
совмещаются некоторым вращением куба. Доказать, что существу-
ет ровно 57 различных раскрасок куба.
Говорят, что группа G действует к- транзитивно на множестве X.
если для любых двух наборов (яд, ..., яд) и (Д, ... ,х'к) элементов из X
таких, что Xi 7^ Xj и х\ x'j при i j найдется элемент g из G с
условием gxi = х\, i = 1, ... ,к. Говорят, что G действует точно на X,
если для всякого неединичного g G G существует х G X такой, что
дх х.
6.6.	Пример. Группа Sn всех подстановок множества {1,2, .. ., п}
действует на нем n-транзитивно, а ее подгруппа Ап четных подстано-
вок действует на нем (п — 2)-транзитивно при п 3. Первое очевид-
но. Второе следует из того, что если подстановка s переводит симво-
лы й, ... ,гп-2 в символы,?!, .. . ,jn-2, то подстановка s- (Jn-ijn) тоже
такова. Одна из этих подстановок четна.
20
Глава 1
В середине 80-х годов XX столетия была доказана гипотеза
К. Жордана: если группа действует точно на множестве из п элементов
и это действие fc-транзитивно при некотором к > 5, то она изоморфна
группе Sn или Ап. Исследования Э. Матье 4- и 5-транзитивных групп
привели к открытию им первых пяти простых (см. § 10) спорадических
групп. Мы займемся геометрическим построением одной из них — груп-
пы М22 — в § 16. Следующие два предложения понадобятся нам в § 16
и §20.
6.7.	Предложение. Если группа G действует на множестве X
точно и 2-транзитивно, то любая ее неединичная нормальная под-
группа N действует на X транзитивно.
Доказательство. Предположим, что N действует на X не тран-
зитивно. Тогда X есть объединение не менее двух непересекающихся
Х-орбнт: Nxi, Nx2,    Ввиду точности действия группы G, в одной
из них более одного элемента. Допустим, что пх-^ для некото-
рого п 6 N. Так как G действует на X 2-транзитивно, то существует
g 6 G такое, что gx\ = Х2 и g(nxi) = х±. Тогда Nx2 Э дпд~1Х2 =
= gnxi =	6 Nxi — противоречие.
Если группа G действует на множестве X, то любая ее подгруп-
па N тоже действует на X. Множества Nx = {пх \ п G X}, х G X, назы-
ваются Х-орбитами. Если N < G, то можно задать действие группы G
на множестве всех Х-орбит формулой д Nx = Ngx, х G X, д е G.
6.8.	Предложение. Если группа G действует транзитивно на
множестве X и N G, то G действует транзитивно на множе-
стве всех N-орбит и мощности N-орбит равны.
Доказательство. Пусть Nx и Nx' — две Х-орбиты. Ввиду тран-
зитивности существует такой элемент g 6 G, что дх = х'. Тогда д Nx =
= Nx'. Отображение Nx -л Nx', заданное правилом пх  дпд^1х',
п G X, является биекцией.
§ 7.	Нормализатор и централизатор. Центр
конечной р-группы неединичен
Нормализатором подгруппы Н группы G называется подгруппа
NG(H) = {gGG\gHg-1=H}.
Централизатором элемента a G G называется подгруппа
СДа) ={д е G дад~г = а}.
Очевидно, Н Ng(H) и (а) < ^(Сс(а)).
§8. Теорема Силова
21
7.1.	Теорема. 1) Мощность множества подгрупп группы G, со-
пряженных с данной подгруппой Н, равна |С? :
2)	Мощность множества элементов группы G, сопряженных с
данным элементом а, равна |б?: Со(а)|.
Доказательство. 1) Группа G действует на множестве М =
= {хНх-1 (х 6 G} сопряжениями: подгруппа хНх-1 переходит под
действием элемента g 6 G в подгруппу gxHx~1g~1. Легко понять, что
это действие транзитивно и Stc(if) = Ng(H). Тогда \М\ = |б? : Ng(H)\
по предложению 6.2.
2)	Группа G действует на себе сопряжениями: элемент х перехо-
дит под действием элемента g в элемент gxg [. Очевидно, орбиты этого
действия — это классы сопряженных элементов. Мощность орбиты эле-
мента а равна \G : Stc(a)| = |G : Cg(<i)\-
7.2.	Теорема. Центр конечной р-группы неединичен.
Доказательство. Пусть G — конечная р-группа. Группа G разби-
вается в объединение классов сопряженных элементов, один из кото-
рых равен {е}. Так как мощности этих классов являются степенями
числа р (по теореме 7.1) и сумма этих мощностей — степень р, то кро-
ме {е} имеется еще несколько одноэлементных классов. Объединение
всех одноэлементных классов совпадает с Z(G).
§ 8.	Теорема Силова
Пусть |б?| = ркт, где р — простое число, fc > 1 и нод(р, т) =
= 1. Подгруппа Н группы G называется силовской р-подгруппой, если
\Н\ = рк.
8.1.	Предложение. Пусть q — степень простого числа р. Тогда
UTn(q) является силовской р-подгруппой группы GLn(<j).
Доказательство. Первой строкой матрицы из GLn(<j) может быть
любая ненулевая строка длины п. Таких строк (qn — 1) штук. Если
мы уже выбрали i первых линейно независимых строк, то (г + 1)-я не
должна попадать в их линейную оболочку и, следовательно, вариантов
для ее выбора имеется qn — ql. Поэтому
п — 1	п(п—1)
|СЫ<7)|= П(<7”-<Л = гп,	(2)
г=0
п(п— 1)
где нод(р, т) = 1. Осталось заметить, что |UTn(g)| = q 2
22
Глава 1
8.2.	Лемма. Пусть Н — силовская р-подгруппа конечной груп-
пы Gi, К — подгруппа группы Gi, порядок которой делится на р. То-
гда существует такой элемент х G G\, что К П1 — силовская
р-подгруппа группы К.
Доказательство. Так как |Gi : Н\ не делится на р, то одно из
слагаемых \К : К П ж_Нж-1| в правой части формулы (1) тоже не де-
лится на р. Кроме того, К П хНх-1 — р-группа как подгруппа р-груп-
пы хНх^1. Поэтому КПхНх^1 является силовской р-подгруппой груп-
пы К.
8.3.	Теорема (Силов). Пусть G — группа порядка ркт, где р —
простое число, /Д 1 и нод(р, т) = 1. Тогда
1)	в группе G существует силовская р-подгруппа,
2)	любая р-подгруппа группы G содержится в некоторой силов-
ской р-подгруппе,
3)	любые две силовские р-подгруппы группы G сопряжены,
4)	число силовских р-подгрупп делит т и сравнимо с 1 по моду-
лю р.
Доказательство. По следствию 4.2 можно считать, что G — под-
группа группы GLn(p) при п = |С?|. Первое утверждение следует из
леммы 8.2 при Gi = GLn(p), Н = UTn(p), К = G, второе (третье) —
при Gi = G и К равном (силовской) р-подгруппе группы G±.
Докажем четвертое утверждение. Пусть Н — некоторая силовская
р-подгруппа группы G. В силу 3) число силовских р-подгрупп груп-
пы G равно мощности множества М = {gНд-1 ( д 6 G}. По теореме 7.1
эта мощность равна |G : Ng(H)\ и, значит, делит т. Рассмотрим дей-
ствие Н сопряжением на М: группа дНд переходит под действием
элемента h G Н в группу ЬдПд '! 1/Д. По предложению 6.2 длины всех
орбит являются степенями р. Докажем, что только одна орбита {Л}
имеет длину 1. Действительно, если бы {дПд '!} была другой орбитой
длины 1, то Н • цНс/ 1 была бы группой (докажите!) порядка р1 при
I > к по пункту 5 упражнения 2.5. Противоречие. Осталось заметить,
что мощность множества М равна сумме длин всех орбит.
8.4.	Пример. Группа S3 содержит три силовских 2-подгруппы:
{е, (12)}, {е, (13)} и {е, (23)}. Их полные прообразы относительно гомо-
морфизма ср : S4 —> S3 с ядром К (см. 2.4) равны
К U (12)К, КГи(13)КГ, К U (23)К
и являются силовскими 2-подгруппами в S]. По теореме Силова число
силовских 2-подгрупп в S4 не может быть больше трех.
§9. Прямые произведения групп
23
Рассмотрим S \ как группу вращений куба (см. пример 2 в п. 6.3).
Эти вращения переставляют три квадратных сечения куба, проходя-
щих через его центр. Возникает гомоморфизм из S\ в S3 с ядром, состо-
ящим из тождественного отображения и трех вращений на 180° вокруг
осей, проходящих через центры противоположных граней. Геометриче-
ски, каждая силовская 2-подгруппа группы S4 состоит из всех враще-
ний куба, оставляющих на месте одно из этих сечений, и изоморфна
группе симметрий квадрата.
8.5.	Упражнение. Если р — простой делитель G|, то в G су-
ществует элемент порядка р.
8.6.	Теорема. Мультипликативная группа конечного поля —
циклическая.
Доказательство. Пусть К* — мультипликативная группа конеч-
ного поля К и Р — ее произвольная силовская р-подгруппа, \Р\ = рк. По
следствию из теоремы Лагранжа порядки элементов из Р являются де-
лителями числа рк. Если бы в Р не существовало элемента порядка рк,
то для всех g G Р выполнялось бы др =1. Однако, в поле К урав-
нение хр =1 имеет не более /Z1 корней. Поэтому в Р существует
элемент порядка рк.
Пусть \К* | = рк1   -ркз — разложение на простые числа. По дока-
занному в К* существуют элементы порядков /Д, .. ., ркч. Ввиду пунк-
та 2 упражнения 1.2 их произведение имеет порядок \К*\ и, значит,
порождает группу К*.
§ 9.	Прямые произведения групп
Из нескольких групп Gx, . .., Gn можно построить группу G =
= Gi х ... х Gn, состоящую из всех последовательностей вида
(51, ••,5п), где 9i е Gj, с умножением (рх, ...,5„) • (р(, ...,5„) =
= (515), ... ,дп9п)- Эту группу называют прямым произведением групп
Gi, . . ., Gn. Ее единицей является элемент (ех, . .., еп), где et — едини-
ца группы Gi-
Положим Ui = {(ei, ..., ei_x,5, ег+х, . . ., е„) | д G GJ. Тогда Ut —
подгруппа группы G, изоморфная группе Gi, и выполняются формулы
п
g={\JuG),	(з)
г=1
иг S? G,	(4)
[7i П ([J Uj,) = {1} для всех i.	(5)
24
Глава 1
9.1.	Теорема. Пусть G — группа, Ui, . . . ,Un — ее подгруппы та-
кие, что выполнены формулы (3)-(5). Тогда G = Ui х ... х Un.
Доказательство. Пусть a G Ui, b G Uj, г Д j. Тогда а(Ьа х) =
=	G UiGUj = {1}, и, значит, ab = Ьа. Ввиду (3) и доказанной
перестановочности, каждый элемент g G G можно записать в виде g =
= ui. . ,ип, где Ui G Ui. Эта запись однозначна: если g = Д.. .и' где
Д G Ui, то снова, пользуясь перестановочностью, получаем j =
= «2 1'u2 • • • ип1и'п- Ввиду (5), отсюда следует, что Д = и-^. Аналогично
получаем, что щ = и\ для всех i = 1, ..., п. Это позволяет определить
отображение р : G Ui х ... х Un по правилу: <Дд) = (ui, . .. ,ип),
если g = ui... ип, щ G Ui. Легко проверить, что р — изоморфизм.
Если выполняются условия этой теоремы, то будем говорить,
что группа G разлагается в прямое произведение своих подгрупп
G, ...,ип.
9.2.	Упражнение. Любая группа порядка 6 изоморфна группе Zt.
или S3.
Решение. Пусть G — группа порядка 6, Н — ее силовская 2-под-
группа, F — ее силовская 3-подгруппа. Очевидно, F $3 G. Если Н < G,
то G = Н х F = Z2 х Z3 = Z6. Если Н G, то р| хНх-1 = {1}, и по
x^G
теореме Кэли G = S3.
9.3.	Упражнение. Если п,т — взаимно простые натуральные
числа, то Znm = Zn х Zm.
Конечная циклическая группа называется примарной цикличе-
ской, если ее порядок есть степень некоторого простого числа. Из
упражнения 9.3 следует, что всякая конечная циклическая группа раз-
лагается в прямое произведение примарных циклических групп. Сле-
дующая теорема обобщает это утверждение.
9.4.	Теорема. Всякая конечно порожденная абелева группа разла-
гается в прямое произведение конечного числа бесконечных цикличе-
ских и примарных циклических групп. Количество бесконечных цик-
лических и набор порядков примарных циклических групп в любом та-
ком разложении одни и те же.
Доказательство этой теоремы, а также сведения о нильпотентных
и разрешимых группах, обобщающих абелевы, имеются, например, в
книге [10]. Мы не касаемся этих важных тем, поскольку наша цель —
познакомиться с некоторыми нетривиальными примерами простых ко-
нечных групп.
§ 10. Простые конечные группы	25
§ 10.	Простые конечные группы
Группа G называется простой, если она неединична и в ней нет
собственных нормальных подгрупп. Примером простой группы явля-
ется циклическая группа простого порядка.
Подобно тому, как для любого натурального числа п существует
цепочка
1 = По < П1 < ... < пк = п,
где щ \ и nt-i-i/ni — простые числа, для любой конечной группы G
существует цепочка
{1} = Go < Gr < ... < Gk = G,
где Gt S? С4+1 и Gi+\/Gi — простые группы. При {1} < G ее можно
получить последовательными уплотнениями цепочки {1} < G. Опе-
рация уплотнения заключается в следующем: если имеется цепочка
{1} = Но < .Hi < ... < Hs = G и Hi+i/Hi — не простая группа, то
взяв в ней собственную нормальную подгруппу H/Hi, можно заменить
фрагмент Д < Hi+i фрагментом Hi < Н < Н^.
Аналогия между числами и группами нарушается тем, что груп-
па G восстанавливается не всегда однозначно по фактор-группам
Gi+i/Gi. Простой пример дают две цепочки
{1} < Z2 < Z4 и {е} < {е, (12)(34)} < К,
где К — группа Клейна из примера 2.4.
Таким образом, для того, чтобы понять строение конечных групп,
необходимо изучить не только простые группы, но и способы сборки
групп из меньших групп. Следующая теорема полезна тем, что позво-
ляет вести индуктивные рассуждения.
10.1.	Теорема. Пусть Н — минимальная по включению нееди-
ничная нормальная подгруппа конечной группы G. Тогда Н = Ui х
... х Uk, где все Ui изоморфны одной и той же простой группе.
Доказательство проведем индукцией по порядку группы G. Ес-
ли группа G проста, то доказывать нечего. Пусть G не проста. Тогда
\Н\ < |б?|. Пусть V — некоторая минимальная неединичная нормальная
подгруппа группы Н. По индуктивному предположению V разлагается
в прямое произведение изоморфных простых групп. Достаточно дока-
зать с помощью теоремы 9.1, что Н разлагается в прямое произведение
групп, изоморфных V.
Для любого g 6 G имеем gV g-1 '6J дНд-1 = Н. Группа, порожден-
ная всеми подгруппами д\ 'д~ !. нормальна в G и лежит в Н. Поэтому
26
Глава 1
она должна совпадать с Н. Пусть X — минимальное по включению под-
множество в G такое, что Н = (жИж-1 |ж 6 X). Для каждого xq 6 X
пересечение жоЮД1 П (хУх-1 х 6 X \ {До}) нормально в Н и стро-
го меньше, чем жоЮД (ввиду минимальности X). Так как xqVxq —
минимальная неединичная нормальная подгруппа в Н, то это пересе-
чение равно {1}. Поэтому Н разлагается в прямое произведение групп
хУх~3 по всем х 6 X.
10.2.	К 1985 году у некоторых известных специалистов по ко-
нечным группам возникла уверенность в справедливости следующего
утверждения.
Всякая конечная простая группа изоморфна либо циклической
группе простого порядка, либо знакопеременной группе Ап при п 5,
либо простой группе лиева типа, либо одной из 26 спорадических групп
(см. табл. 1).
По группам лиева типа мы рекомендуем книгу [36], по спорадиче-
ским группам — книгу [24], описание упомянутых групп имеется в [39].
Доказательство этого утверждения все еще не опубликовано (2002 год).
История вопроса освещена в книге [49].
Далее мы докажем, что группа Ап проста при п 3? 5, приведем при-
меры простых групп двух последних типов и затронем проблему вос-
становления группы G по ее нормальной подгруппе Н и фактор-груп-
пе G/H.
§ 11.	Группа Ап проста при п г 5
11.1.	Лемма. 1) При п > 3 группа Ап порождается всеми своими
тройными циклами.
2)	При п > 5 группа Ап порождается всеми своими подстановка-
ми3 вида (ij)(kl).
Доказательство. Группа Ап состоит из тех подстановок из Sn,
которые разлагаются в произведение четного числа транспозиций (воз-
можно, зависимых). Осталось заметить, что (ij)(ik) = (ikj) = (ij)(ab) 
(ab)(ik) и (v)(A:Z) = (ijk)(jkl~).
11.2.	Упражнение. Пусть а и (3 — произвольные подстановки
из Sn. Запись подстановки а(За~3 в виде произведения независимых
циклов получается из записи для (3 заменой в ней каждого символа i
на символ а(г). В частности, количество и длины независимых цик-
лов в записях подстановок (3 и а/ЗоГ3 совпадают.
З3десь и далее разные буквы в подстановке обозначают разные числа.
§12. АВ КАК ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ИКОСАЭДРА
27
11.3.	Теорема (Галуа). Пусть п 5. Тогда
1)	Ап — единственная собственная нормальная подгруппа груп-
пы Sn,
2)	Ап — простая группа.
Доказательство. 1) Пусть N — собственная нормальная подгруп-
па группы Sn и пусть а — некоторая неединичная подстановка из N.
Тогда существует i такое, что <т(г) ф i. Выберем j г,<т(г). Тогда для
т = (ij) подстановка р = ага1 т'! неединична и принадлежит N. Да-
лее, р есть произведение транспозиций 1 и т и, поэтому, является
либо тройным циклом, либо подстановкой вида (a&)(cd) (см. доказа-
тельство леммы 11.1). Так как подгруппа N нормальна, то по упражне-
нию 11.2 она содержит либо все тройные циклы, либо все подстановки
вида (a&)(cd), и, значит, N = Ап.
2)	По теореме 10.1, Ап = Дх ... х1Д, где все Д изоморфны одной
и той же простой группе U. Тогда n!/2 = \U\k и из теоремы Чебышева4
следует, что k = 1.
Однако, можно завершить доказательство и без теоремы Чебы-
шева. Так как п 5, то \U\ четно, и по упражнению 8.5 группа 1Д
содержит элемент р порядка 2. Такой р всегда раскладывается в про-
изведение независимых транспозиций: р = т\т-> • • • ть- Тогда р = т^рД1,
и, значит, р &1Д	Так как группы Д и	просты, нор-
мальны в Ап = пАпД1 и их пересечение неединично, то Д = тАДД .
Тогда С71 нормальна в группе (Ап,Т1) = Sn, и из 1) следует, что 1Д =
= Ап.
§ 12.	Л.5 как группа вращений икосаэдра
Пусть I — фиксированный икосаэдр в трехмерном евклидовом про-
странстве (рис. 1), G — группа всех движений этого пространства,
сохраняющих ориентацию и переводящих I в I. В группе G имеется
тождественное движение, вращения на к  72° (к = 1,2, 3,4) вокруг
шести осей, проходящих через противоположные вершины икосаэдра,
вращения на 180° вокруг осей, проходящих через середины противо-
положных ребер, и вращения на 120° и 240° вокруг осей, проходящих
через центры противоположных граней. Итак, мы нашли 60 движений
в группе G. Покажем, что других движений в G нет.
Группа G действует транзитивно на множестве 1° вершин I, так
как любые две вершины из I можно «соединить цепочкой соседних», а
соседние можно перевести друг в друга подходящим вращением. Стаби-
лизатор вершины N оставляет на месте также вершину S как наиболее
4При ш 2 между m и 2m содержится хотя бы одно простое число. Элементар-
ное доказательство этой теоремы приведено в послесловии к [21]).
28
Глава 1
Рис. 1
удаленную от У. Поэтому он состоит из пяти вращений вокруг оси NS,
включая тождественное. Следовательно, |С?| = Д°| • IStG'(TV)| = 12 • 5 =
= 60, и, значит, все указанные выше вращения составляют группу G.
Группа G называется группой вращений икосаэдра. Докажем, что
G = А$. Для этого разобьем 30 ребер икосаэдра на пять шестерок.
Каждая шестерка состоит из ребер, параллельных или перпендикуляр-
ных друг другу. Например, {АС4,5Ai, CD, CjDi, ВЕ±, В^Е} — одна из
таких шестерок. Другие полностью определяются своими начальными
ребрами NB, NG, ND и NE и мы их не будем выписывать. Зану-
меруем эти шестерки числами от 1 до 5 в соответствии с указанным
порядком.
Вращения из G переставляют эти шестерки как множества, так как
они переводят ребра икосаэдра в ребра и сохраняют отношения парал-
лельности и перпендикулярности. Возникает гомоморфизм ip : G S5.
Вращению вокруг оси NS на 72° в подходящем направлении соответ-
ствует подстановка (12345). Вращению вокруг оси, проходящей через
центры граней (BE-lD-l) и (B±ED), на 120° в подходящем направле-
нии, соответствует подстановка (123). Поэтому Imp содержит подгруп-
пу Н = ((12345), (123)). Докажем, что Н = Д5. Очевидно, Н < Д5 и \Н\
делится на 15, так как Н содержит элементы порядков 3 и 5. По след-
ствию 4.4 в Н существует подгруппа Н\ нормальная в Aj и индекса не
большего 4!. Поскольку А5 — простая группа, то H.L = Н = А5. Так
как G/Kerp = Imp > Н = А5 и G = |Д5|, то G = Д5.
§ 13.	Л.5 как первая нециклическая простая группа
13.1.	Упражнение. Если G — нециклическая группа порядка
меньшего 60, то G не проста.
Решение. Ввиду теоремы Силова и неединичности центра конечной
р-группы, можно исключить те группы, у которых существует един-
ственная силовская р-подгруппа для некоторого р (такая подгруппа
§ 13. А5 как первая нециклическая простая группа
29
нормальна). С помощью теоремы Силова и следствия 4.4 исключаются
также группы порядков 12, 24, 36 и 48. Остаются группы порядков 30
и 56.
Разберем случай, когда |б?| = 56. Предположим, что в G не одна,
а восемь силовских 7-подгрупп. Так как они попарно пересекаются по
единице, то общее число элементов в них равно 1 + 8(7 — 1) = 49. Оста-
ются еще 7 элементов, которые вместе с единичным образуют един-
ственную силовскую 2-подгруппу.
Случай, когда |С?| = 30 разбирается аналогично, но мы приведем
другое доказательство. Отождествим группу G с образом ее регуляр-
ного представления в S30. Гомоморфизм из G в группу {±1}, сопостав-
ляющий четным подстановкам 1, а нечетным —1, является эпиморфиз-
мом, так как имеющийся в G элемент порядка 2 является произведе-
нием 15 независимых транспозиций (по утверждению 1 следствия 4.2)
и, значит, нечетен. Поэтому ядро этого гомоморфизма имеет индекс 2
в G и G не проста.
13.2.	Теорема. Если G — простая группа порядка 60, то G = А5.
Доказательство. Из теоремы Силова следует, что G имеет ров-
но шесть силовских 5-подгрупп. Обозначим их через Hi, i = 1, ... ,6.
Индекс Nc(Hi) в G равен числу сопряженных с Д подгрупп, то есть
шести, и, значит, |ЛД(7/г)| = 10. Пусть Д = (а), и пусть (&) — некото-
рая силовская 3-подгруппа в G. Порядок группы (а, &) делится на 15 и,
следовательно, она совпадает с G (иначе по следствию 4.4 в G нашлась
бы собственная нормальная подгруппа).
Рассмотрим действие группы G сопряжениями на множестве ее си-
ловских 5-подгрупп. Элемент b не стабилизирует ни одну из Hi, так как
в ИДД) нет элементов порядка 3. Поэтому b переставляет по циклу
некоторые три силовские 5-подгруппы и переставляет по циклу остав-
шиеся три. Действие b изображается подстановкой b = (123)(***). Эле-
мент а стабилизирует Д и (докажите!) переставляет по циклу осталь-
ные пять подгрупп. В частности, а оставляет символ 1 на месте и неко-
торая степень а переводит 2 в 3. Поэтому, заменяя порождающий а
на его степень, можно считать, что а = (23ijk'). Переобозначая, можно
считать также, что i = 4, j = 5, k = 6. Для второго цикла в b имеются
всего две возможности: (***) = (456) и (***) = (465). Первая приводит
к тому, что а-16 = (163). В частности, элемент а~1Ь оставляет при со-
пряжении группу Н2 на месте. Но в ИДД) нет элементов порядка 3.
Поэтому реализуется только вторая возможность.
Итак, возникает гомоморфизм из G в Sq, заданный на порождаю-
щих правилом: а ь-> (23456), b ь-> (123)(465). Так как G проста, то яд-
ро этого гомоморфизма единично, и, значит, G = ((23456), (123)(465)).
30
Глава 1
В частности. G единственна с точностью до изоморфизма. С другой
стороны, | А5 = 60 и А5 проста. Поэтому G = Л5.
13.3.	Упражнение. Занумеруйте диаметры икосаэдра числа-
ми от 1 до 6 и найдите его вращения а и Ь, переставляющие
диаметры, как в доказательстве теоремы. Выведите отсюда, что
((23456), (123)(465)) = А5.
Поучительно и другое доказательство. Пусть Р — силовская 2-под-
группа группы G. Ее порядок равен 4, а порядок ее нормализато-
ра Ng(P) равен 4 или 12 (если |Ус(Р)| = 20, то G была бы не проста
по следствию 4.4). Докажем, что в G во всяком случае есть подгруппа
порядка 12.
Предположим, что _Ag(P)| = 4. Тогда в группе G имеется 15 си-
ловских 2-подгрупп. Если эти подгруппы попарно пересекаются по еди-
нице, то общее число элементов в них равно 1 + (4 — 1) • 15 = 46. Так как
силовских 5-подгрупп в G имеется ровно 6, то общее число элементов
в них равно 1 + (5 — 1) • 6 = 25. Получаем противоречие с тем, что
|б?| = 60. Поэтому найдутся две силовские 2-подгруппы Pi и Pj с пере-
сечением порядка 2. Ввиду пункта 3 упражнения 2.5, Д ПРу S? (Pi, Pj),
и, следовательно, (Pi, Pj) — собственная подгруппа группы G. По след-
ствию 4.4 она имеет индекс больший 4 и строго содержит Рд Поэтому
Итак, в группе G во всяком случае найдется подгруппа порядка 12.
Ввиду простоты G, из теоремы Кэли следует, что G вкладывается в Sr,.
Поэтому можно считать, что G — подгруппа индекса 2 в S$. Тогда
G S? S- и G = А5 по теореме Галуа.
§ 14.	Л.5 как проективная специальная линейная
группа
Проективной специальной линейной группой PSLn(_ftT) над по-
лем К называется фактор-группа группы SLn(_ftT) по ее центру. Ана-
логично определяется группа PGLn(Jf). Напомним, что если поле К
конечно и состоит из q элементов, то вместо SLn(JC) мы пишем SLn(<j)
и т. д.
Поскольку центр группы SLn(<j) состоит из всех скалярных мат-
риц с определителем 1 (докажите!), то его порядок d равен числу эле-
ментов а из мультипликативной группы поля таких, что а" = 1. По
теореме 8.6 мультипликативная группа конечного поля - циклическая.
Поэтому d = нод(<7 — 1, п) ввиду пункта 2 упражнения 1.8. Из форму-
лы (2) с учетом первого примера из пункта 3.2 следует формула
п— 1
___1_
d(q ~
' г=0
§ 14. А5 как проективная специальная линейная группа 31
14.1.	Теорема. PSL2(5) = PSL2(4) = А5.
Доказательство. 1) Пусть V — векторное пространство столбцов
высоты 2 над F5 — полем вычетов по модулю 5. Каждый ненулевой
вектор из V пропорционален одному из следующих векторов:
О А с 1 \ С 1 \ ( 1 \ с 1 \ с 1 \
1 / ’ \ 0 ) ’ \ 1 / ’ \2/ ’ \ 3 / ’ \ 4 / ’
а сами эти вектора попарно не пропорциональны. Поэтому V содержит
ровно шесть прямых, проходящих через нулевой вектор. Группа SL2(5)
действует на множестве этих прямых по следующему правилу: прямая
{kv | k 6 F5}, где 0 v 6 V, переводится матрицей А 6 SL2(5) в прямую
{кAv | к 6 F5}. Скалярные матрицы и только они оставляют каждую
прямую на месте. Поэтому группа PSL2(5) действует на множестве этих
прямых точно. В группе PSL2(5) имеются элементы А и В, являющие-
ся образами матриц А = ( * °) и В = (J у1) . Легко проверить, что при
подходящей нумерации прямых А действует на них, как подстановка
(23456), а В — как подстановка (123) (465). Возникает гомоморфизм из
подгруппы {А, В} группы PSL2(5) на группу ((23456), (123)(465)) = А5
(см. упражнение 13.3). Так как |PSL<2(5)| = 60 = |As|, то этот гомомор-
физм является изоморфизмом и (А, В) = PSL2(5) = А5.
2)	Пусть V — векторное пространство столбцов высоты 2 над по-
лем F4 = {0,1, ж, у}.5 Пространство V содержит ровно пять прямых,
проходящих через нулевой вектор. Они имеют направляющие вектора
0 \ ( 1 \ ( 1 \ ( 1 \ / 1 \
1 у ’ у 0 у ’ у 1 у ’ у х у ’ у у ’
Как и выше, группа PSL2(4) действует точно на множестве этих пря-
мых. В группе PSL2(4) имеются элементы А и В, являющиеся об-
разами матриц А = (^) и В = ( “) . Легко проверить, что при
подходящей нумерации прямых А действует на них как подстановка
(12345), а В — как подстановка (123). Осталось вспомнить (см. §12),
что ((12345), (123)) = А5 и завершить доказательство, как в 1).
14.2.	Упражнение. PSL2(2) = S3, PSL2(3) = А4.
5 Докажите, что в F4 выполняются следующие равенства: 1 + 1 = х + х = у + у = 0,
х + 1 = у, х-х = у, у  у = х, х  у = 1.
32
Глава 1
§15.	Теорема Жордана-Диксона
15.1.	Критерий простоты. Пусть группа G точно и 2-транзи-
тивно действует на множестве X. Тогда G проста, если выполнены
следующие условия:
1)	G совпадает со своим коммутантом G',
2)	в стабилизаторе St(or) некоторого элемента х G X содержит-
ся такая подгруппа А, что
а)	А — абелева,
б)	А GJ St(a?),
в)	G=(gAg-1\geG).
Доказательство. Пусть N — неединичная нормальная подгруппа
группы G. По предложению 6.8 группа N действует транзитивно на X,
и, следовательно, G = N St (ж). Докажем, что G = N А. В силу в) каж-
дыи элемент g из G записывается в виде g = gid-\_g1 .. .gkQkdk , где
cii G A, gi G G. По доказанному каждый элемент gi записывается в виде
gi = HiSi, где щ G TV, Si G St (я:). Тогда образ элемента g при факто-
ризации по N совпадает с образом элемента а = sitzis^1...
В силу б) имеем a G А, и, значит, g G Na С ДГА. Наконец, G = G =
= (N А)' < N, так как при факторизации по N образ любого коммута-
тора [niai, 7120,2], где щ G N, щ G А, равен образу коммутатора [ах, я2],
то есть 1 в силу абелевости А.
15.2.	Теорема (Жордан-Диксон). Пусть К — поле, п > 2.
Группа PSLn(.ftr) прост,а за исключением двух случаев: PSL2(2) и
PSL2(3).
Доказательство. Пусть V — векторное пространство столбцов
высоты п над полем К со стандартным базисом ех, ...,еп- Пусть
X — множество всех прямых пространства V, проходящих через 0.
Для 0 7^ v G V обозначим через v прямую из АГ с направляющим век-
тором у. Через М обозначим образ матрицы М G SLn(K) в группе
G = PSLn(K). Определим действие группы G на множестве X прави-
лом М v = Mv и докажем, что это действие удовлетворяет условиям
критерия простоты. ___
Предположим, что М стабилизирует каждую прямую из X. Тогда
Mei = XiCi и M(ei + ... + en) = A(ei + ... + e„) для некоторых Аг
и А из К. Пользуясь линейностью, получаем отсюда, что Ах = ... =
= Ап = А. Поэтому М — скалярная матрица и М = 1. Итак, действие G
на X точно. Это действие 2-транзитивно, так как прямые ёх и ё2 можно
перевести в любые две прямые г?х и г2 элементом М, где М — такая
матрица из SLn(K), у которой первый и второй столбец пропорцио-
нальны щ и V2-
§15. Теорема Жордана-Диксона	33
Докажем, что (PSL„(K))/ = PSL„(K). Так как из N GJ Н и Н = Н'
следует, что (Н/N)' = Н/N, то достаточно доказать, что (SLn(K))' =
= SLn(Jf). При п 3 это вытекает из пунктов 1) и 2) упражнения 15.3,
а при п = 2 из пунктов 1) и 3) с учетом того, что при \К\ > 3 в SL2(.f0
существует нескалярная диагональная матрица.
Пусть х — прямая с направляющим вектором еп. Её стабилизатор
St (ж) в группе G состоит из всех В таких, что столбец Веп пропор-
ционален столбцу еп, то есть St(a?) = {В ] />'|„ = ... =	= 0}.
Пусть А — подгруппа группы St(rr), состоящая из всех В таких, что
В отличается от единичной матрицы только элементами, стоящими на
местах (n, 1), .. ., (n,n — 1). Легко проверить, что А — абелева группа
и A St(ru). Равенство PSLn(/f) = (дАд-1 | д 6 PSLn(/C)) следует из
того, что в А лежат образы трансвекций вида t„i(a) и из пунктов 1)
и 4) упражнения 15.3.
15.3.	Упражнение. 1) Группа SLn(K) порождается всеми свои-
ми трансеекциями
2)	tkj(j3)] =tij(a[T) при различных i, j, k,
3)	[tij(a),d] =	— ч2-)), где d — диагональная матрица
dj
из GLn(/f) с элементами di, . . ,,dn на главной диагонали.
4)	где a G Sn и Ma — матрица, у
которой на местах (<т(1),1), ..., (<т(п), п) стоят 1, а на остальных
местах — 0.
Как изменится эта формула, если в Ма заменить одну 1 на — 1?
15.4.	Замечания. 1) Группы Р8Ьп(ц) при п 2, q — простом
и (n,q) Д (2,2), (2,3) входят в серию конечных простых групп лиева
типа (см. [36, 39]). Все они, кроме конечного числа, не изоморфны зна-
копеременным группам. Это вытекает из сравнения их порядков. На-
пример, PSL2(7)| = 168 Д |Ат| ни при каком т. Отметим следующие
неожиданные изоморфизмы8:
PSL2(4) PSL2(5) Д5, PSL2(7) PSL3(2),
PSL2(9) = А6> PSL4(2) = Д8.
Простые группы Л8 и PSL3(4) имеют одинаковые порядки, но не
изоморфны. Это следует из того, что в Д8 есть элемент порядка 15
(например, (12345)(678), а в PSL3(4) такого элемента нет. Действи-
/ 1 ° ° \
тельно, пусть А = (^ о о 1 J, где х — порождающий мультипликативной
®Их можно разглядеть в группах Матье.
34
Глава 1
группы поля из четырех элементов. Достаточно доказать, что элемент
А 6 Р8Ьз(4) имеет порядок 5 и его централизатор совпадает с (А).
Последнее сводится к проверке того, что из равенства BA = ABZ,
где В G 8Ьз(4), Z — скалярная матрица из 8Ьз(4), следует включение
В G (А).
Можно доказать, что Р8Ьз(4) — группа наибольшего порядка из
серии групп PSLn(<j), порядок которой совпадает с порядком группы
из серии групп Ат.
2)	Оказывается, все нециклические простые группы порядка, не
превосходящего 1000, имеют порядки 60, 168, 360, 504 и 660 и изо-
морфны PSL2(q) при q = 4 и 5 (это доказано в § 13 и § 14), 7, 9, 8 и 11
соответственно.
В следующем параграфе мы определим одну из 26 спорадических
групп — группу Матье М22 и докажем ее простоту. Эта группа не изо-
морфна Ап и Р8Ьп(ц) ни при каких п и q, однако в ее конструкции
активно участвует группа РЭЬз(4).
§ 16.	Группа Матье М22
Пусть FQ — поле из q элементов, V — векторное пространство
размерности 3 над FQ, xi, х2, Х3 — его база. Проективная плос-
кость 1?2(<?) — это множество всех одномерных подпространств про-
странства V. Его элементы называются точками, а подмножества, со-
ответствующие двумерными подпространствам пространства V — про-
ективными прямыми. Для краткости мы будем называть их прямыми:
из контекста будет ясно, когда идет речь о прямых V, и когда о пря-
мых I?2(<7)-
Обозначим через v точку соответствующую прямой в V с
направляющим вектором и. Через /(гдДг) обозначим прямую РгСД,
соответствующую плоскости в V, натянутой на вектора щ, Так как
в V ровно (ц3 — 1) ненулевых векторов и на каждой прямой в V ле-
/	, X	,•	<73 - 1
жит ровно (g — 1) ненулевых векторов, то в V имеется ровно ——=
= q2 + q + 1 прямых. Поэтому в P2(q) имеется ровно q2 + q+1 точек. Их
можно записать в виде Xi + 02X2 + 0.3X3, ж2 + 03X3 и хз, где 02,03 6 FQ.
Существует биективное соответствие между множеством плоскостей
и множеством прямых в V: каждой плоскости соответствует «орто-
гональная» ей прямая. Поэтому плоскостей в V, а значит и прямых
в Р2(д), имеется тоже q2 + q + 1.
16.1	Упражнение. На каждой прямой в Р2(д) лежит ровно
q + 1 точка.
§ 16. Группа Матье М22
35
Обозначим образ матрицы A G СЬз(д) в группе РОЬз(<7) че-
рез А. Группа РОЬз(ц) естественно действует на множестве точек Р2 (<?):
для + 02X2 + 0-3X3 из Р2(д) и А из РОЬз(<7) положим
А  ai^i + а2ж2 + а3х3 = b^xi + Ь2х2 + Ь3х3,
где
Cai \	/ &1 \
02	=	.
Оз / \Ьз /
16.2.	Упражнение. Докажите, что это действие корректно
определено, точно, дважды транзитивно и переводит прямые в пря-
мые.
16.3.	Определение. Автоморфизмом проективной плоскос-
ти Р2(д) называется любая перестановка точек Р2(д), переводящая пря-
мые в прямые.
Через Aut(P2(g)) обозначим группу всех автоморфизмов плоско-
сти Р2(д). В силу упражнения 16.2 можно считать, что РОГз(д)
< Aut(P2(q)).
Определим теперь систему М, состоящую из точек и блоков (стан-
дартных и нестандартных).
Точки М — это точки Р2(4) и еще одна точка, обозначаемая сим-
волом сю.
Стандартные блоки — это прямые Р2(4), пополненные точкой сю.
Нестандартные блоки (овалы) — это образы овала
О = {я?1, Х2, Х3, X1 + Х2 + Хз, X1 + 0X2 + '''1-/'3- ЯГ1 + С1.74 + ЯХз}
под действием элементов группы Р8Ьз(4). Мы рассматриваем группу
PSLs(4) как подгруппу группы РОЬз(4).
Множество всех точек системы М обозначим через М°, а множе-
ство всех ее блоков — через М1.
16.4.	Упражнение. Проверьте, что любые три точки овала О
не лежат на одной прямой.
Отсюда следует, что любые три точки произвольного овала не ле-
жат на одной прямой.
16.5.	Определение. Автоморфизмом системы М назовем лю-
бую перестановку точек М, переводящую блоки в блоки (возможно,
стандартные в нестандартные и наоборот).
Обозначим через Aut(Af) группу всех автоморфизмов М, а через
М22 — группу всех четных автоморфизмов М.
36
Глава 1
16.6.	Теорема. Группа Матье М22 проста.
Мы докажем эту теорему с помощью семи лемм.
Пусть F4 = {0,1, а, а-1} — поле из 4 элементов. Напомним, что
1 + 1 = а + а = а-1 + а-1 = 0, 1 + а = а-1 и а3 = 1. Пусть / —
автоморфизм поля F4, переставляющий а и а-1. Он задает биекцию
из V в V, переводящую произвольную точку a±xi + 0.2X2 + 0,3X3 в точку
f(ai)xi + f (о2)х2 + /(аз)жз- Поскольку эта биекция переводит прямые
в прямые и плоскости в плоскости, то она индуцирует автоморфизм /*
проективной плоскости Рг(4), который задается формулой
+ а2х2 + а3х3) = Да^Х! + f(a2)x2 + /(а3)я:3.
Группа G называется расщепляемым расширением группы Н по-
средством группы F, если Н < G и в G существует подгруппа Fl=F
такая, что Н П F± = {1} и HFy = G. В этом случае пишут G = Н X F.
16.7.	Лемма. Aut(₽2(4)) = PGL3(4) X (/*).
Доказательство. Пусть a 6 Aut(P2(4)). Умножая а на элементы
группы PGL3(4) и на /*, приведем а к 1. Так как PGL3(4) действует
транзитивно на множестве точек Рг(4), то можно считать, что
1)	а фиксирует хД
Пусть Д — множество из пяти прямых, проходящих через ай
Рис. 2
Стабилизатор х± в PGL3(4) действует на Д 2-транзитивно7, а /*
переставляет прямые 1(хД а+х + ахз) и Z(a?i, 0x2 + я-1ж3), оставляя
остальные три прямые из Д на месте. Пусть 1\ и I2 — любые две пря-
7Указание. Посмотрите, куда переходят прямые	и Z(xi,xs) под действи-
ем элемента (аД из РСТ.з(4), где ац = 1, Я21 = «31 = 0.
§ 16. Группа Матье М22
37
мые из А, д — элемент группы РСЬз(4), стабилизирующий и пере-
водящий /1 и 1-2 в прямые а-1Ж2 + ажз) и /(Д.с.'/д рЧд соот-
ветственно. Тогда преобразование g~rf*g переставляет прямые 1\ и I2 и
оставляет остальные три прямые из Д на месте. Так как группа переста-
новок множества Д порождается транспозициями, то можно считать,
что
2)	а оставляет на месте каждую прямую из Д.
/ 1 с \	_
Пусть Qbc = (010). Группа {Qbc \b,c G F4} фиксирует х± и остав-
ляет каждую прямую из Д на месте. Кроме того, она действует тран-
зитивно на множестве остальных 16 прямых Рг(4). Это следует из того,
что каждая такая прямая пересекает прямые /(яДхз) и Z(a?i, л?з) по точ-
кам вида bxi + Х2 и cxi + хз, и, следовательно, является Q^-образом
прямой к = 1(х2,хз). Поэтому можно считать, что
3)	а оставляет прямую к на месте.
Ввиду 2) а фиксирует к поточечно. Элемент А, где А = diag(a, 1,1),
тоже фиксирует к поточечно и еще фиксирует Xi. Кроме того, А пе-
реставляет по циклу три точки прямой т = КАДаД), отличные от Xi
и Х2- Поэтому, умножив а на подходящую степень элемента А, можно
считать, что
4)	а фиксирует прямые кит поточечно.
Любая прямая, не проходящая через точку к П т, а-инвариантна,
так как пересекает к U т в двух точках. Через любую точку, отлич-
ную от точки к П т, можно провести две такие прямые. Поэтому все
точки Рг(4) фиксируются а, и, значит, а = 1.
Подгруппа РСЬз(4) нормальна в группе Aut(I?2(4)), так как для
любого элемента А Е РСЬз(4) выполняется /*А(/*)-1 = А*, где А* —
матрица, получающаяся из А применением к ее элементам автомор-
физма /.
16.8.	Лемма.
1)	StpSL3(4)(O) = StpGL3(4)(O) = А6.
2)	StAut(F2(4)) (О) = Se.
Доказательство. Докажем, что StpsL3(4)(O) = Де- Заметим сна-
чала, что группа G = StpsL3(4)(O) действует точно на шести точках
овала О: если элемент А Е G фиксирует точки Xi, Х2, Х3 и xi + Х2 + Х3,
то матрица А Е БЬз(4) скалярна, значит, А = 1.
Рассмотрим матрицы
/ 1 0 1 X	/10 а-1 \	/ 0 0 1 \
А= 0 0 1	, В =	0 0 1	, С =	1 0 0	.
\0 1 1 )	\0 1 a J	\ 0 1 0 /
38
Глава 1
Легкие вычисления показывают, что А, В, С G G. Более того, А и В ста-
билизируют xi и действуют на множестве О \ {жх} как тройной цикл и
как цикл длины пять. Обозначим через Gx, стабилизатор х± в G. Так
как тройной цикл и цикл длины пять в группе S& порождают подгруп-
пу Д5, то GS1 > Д5-
Элемент С сдвигает х± в область действия цикла длины 5. Поэто-
му G действует транзитивно на О, и, значит, |б?| =	| • О 360.
Отсюда G изоморфна либо Sq, либо подгруппе индекса 2 в Sq. В пер-
вом случае в G существовал бы элемент, фиксирующий точки х±, Х2, Тз
и Xi + X2 + хз, и переставляющий х\ + ах2 + аДхз и xi + «Го + <1x3.
Однако, это невозможно ввиду начала доказательства. Во втором слу-
чае G = Ае ввиду пункта 3 упражнения 2.5 и теоремы Галуа.
Аналогично доказывается, что StpQL3(4)(O) = Ад, и, значит,
StpsL3(4)(O) = StpGL3(4)(O). Второе утверждение леммы вытекает из
первого с учетом леммы 16.7 и того, что /* действует на О как транс-
позиция, переставляющая последние две точки О.
Доопределим действие /* и РСБз(4) на М, положив /*оо = оо
и А оо = оо для любого элемента А 6 РСБз(4). Сразу отметим, что
элементы из РББз(4) и /* переводят блоки в блоки. Для элементов
из РББз(4) это очевидно. Также очевидно, что /* переводит стандарт-
ные блоки в стандартные. То, что /* переводит нестандартные блоки
в нестандартные следует из того, что для любого А 6 Р8Бз(4) выпол-
няется равенство f*AO = /*А(/*)-1  /* О = /*А(/*)-1 О = А* О и
A* G PSL3(4).
16.9.	Лемма. Через любые три точки в ЗРгД), не лежащие на
одной прямой, проходит единственный овал.
Доказательство. Пусть щ = axi^i + ci2iX2 + азг^з, * = 1,2,3, — три
точки, не лежащие на одной прямой. Разделив элементы_последнего
столбца матрицы А = (а.Д на det(A), можно считать, что A G Р8Бз(4)
и щ = Axi, i = 1,2,3. Поэтому достаточно доказать, что точки х±, Х2,
хз принадлежат единственному овалу О. Предположим, что эти точки
принадлежат еще овалу ВО. Так как StpsL3(4)(O) = фи группа А,,
действует на О 4-транзитивно (см. п. 6.6), то существует такой эле-
мент S G StpgL3(4) (О), что S • В Xi = хщ i = 1,2, 3. Тогда матрица SB
равна некоторой степени матрицы D = diag(l, а, а-1) с точностью до
скалярного множителя. Так как D О = S О = О, то и В О = О.
16.10.	Лемма. 81л/22(°0) = Р8Ьз(4).
§ 16. Группа Матье М22
39
Доказательство. Группа St д/^2 (ос.) состоит из тех четных биекций
множества точек плоскости Р2(4) на себя, которые
1)	сохраняют блоки М, лежащие в Р2(4) (это Р8Ь3(4)-образы ова-
ла О),
2)	сохраняют блоки М, проходящие через оо, то есть сохраняют
прямые Р2(4).
Отсюда и из леммы 16.7 вытекает, что
SU/22(oo) < Aut(P2(4)) = PGL3(4) X (/*) = PSL3(4) X ((A) X (/*)),
где A = diag(a, 1,1). Легко доказать, что {A) X (/*) = S3.
Чтобы вычислить StM22(oo) точно, надо выделить в группе
PSL3(4) X ((А) X (/*)) только те четные биекции, которые удовлетво-
ряют условию 1).
Ясно, что PSL3(4) подходит, так как, если какой-то элемент
из PSL3(4) осуществлял бы нечетную перестановку точек Р2(4), то
в PSL3(4) существовала бы подгруппа индекса 2 (пересечение PSL3(4)
и группы четных подстановок), что противоречит простоте PSL3(4).
Элемент А не подходит, так как |АО П О| = 3 и из леммы 16.9
следует, что АО — не овал. Аналогично доказывается, что элемент
(А)2 не подходит.
Элемент /* стабилизирует 7 точек Р2(4) (это точки яд, х2, х3,
Ж1 + ж2, жх + ж3, ж2 + х3 и жх + ж2 + х3 )8, а остальные 14 точек разбива-
ет на 7 пар, переставляя точки в каждой паре. Поэтому /* — нечетная
биекция и не входит в М22. Остальные два элемента порядка 2 группы
(А) X (/*) сопряжены с /* и, значит, тоже нечетны и не входят в Az722.
16.11.	Лемма. Существует элемент д 6 М22, переставляющий
Xi и оо.
Доказательство. Всякую точку z = a±xi + а2ж2 + а3х3 из Р2(4)
можно представить единственным образом в каноническом виде:
z = яд, если а2 = а3 = О,
z = uxi + ж2, если а2 у^ 0, а3 = О,
z = uxi + хз, если а2 = 0, а3 у^ О,
z = uxi + vx-2 + и-1ж3, если а2 ^0 и в3 у^О.
Определим биекцию : М° —> М° по правилу:
(Дяд) = оо, 9?(оо) = яд,
Д UX1 + Х2 ) = UX1 + ЯД,
8Эти 7 точек образуют проективную подплоскость Р2(2) плоскости Р2(4).
40
Глава 1
</?( UXl + Хз ) = 14Ж1 + Хз,
ip( UX1 + VX2 + V~ ХЖз ) = (и + 1)жх + VX2 + 1,'-1Жз
при и 6 F4, v е F4 \ {0}.
Ясно, что у2 — тождественное преобразование. Стандартные бло-
ки, проходящие через Xi (см. рис. 2), инвариантны относительно ср,
стандартный блок, проходящий через х2 и Х3, переходит в овал О. По-
этому ip можно рассматривать как инверсию в М по аналогии с ин-
версией в евклидовой плоскости, пополненной бесконечно удаленной
точкой.
Докажем, что ср G Aut(M), то есть ср переводит блоки в блоки.
Сначала проверим, что стандартные блоки, не проходящие через х±,
переходят в нестандартные. Таких блоков 16 штук — ровно столько,
сколько прямых в Рг(4), не проходящих через х±. Каждый такой блок
является <2Ьс-образом блока I = 1(х2, я?з)и{сю} при подходящих b, с Е F4
(см. доказательство леммы 16.7). Непосредственные вычисления пока-
зывают, что преобразования Qbc и ср перестановочны. Тогда для любого
стандартного блока I', не проходящего через яд, получаем, что ср(1') =
= cp(Qbc Z) = Qbccp(l) = QbcO является нестандартным блоком.
Осталось проверить, что произвольный овал Р под действием ср
переходит в некоторый блок. Ввиду перестановочности преобразова-
ний Qbc и ср достаточно проверить это для подходящего овала QbcP-
Через пары точек овала Р проходят 15 прямых. Выберем одну из_них,
не проходящую через точку х±. Заменяя Р подходящим овалом QbcP,
можно считать, что это прямая к = 1(х2,Хз). Пусть Н = (Н-^,Н2), где
/100	\	/ 1 0 0 \
Я1 =	0 а 0	, Н2 =	0 0 1	.
\ 0 0 а-1 )	\ 0 1 0 /
Группа Н оставляет к на месте и любая пара точек из к переводит-
ся подходящим элементом из Н в одну из пар {х2, Х3}, {х2,х2 + жз},
{х2 + хз, ах2 + а~1хз}. Так как ср поэлементно перестановочно с Н, то
можно считать, что Р пересекается с к по одной из этих пар. Из упраж-
нения 16.12 следует, что ср переводит овал Р в некоторый блок.
Итак, ср G Aut(M). Однако, ср М22, так как ср осуществляет
нечетную перестановку точек М: ср — элемент порядка 2, оставляющий
на месте 8 точек из 22. Автоморфизм /*, как отмечалось выше, тоже
нечетен. Поэтому f*cp G М22 и, кроме того, f*cp(x±) = сю и /*</?(оо) =
16.12.	Упражнение. Докажите с помощью леммы 16.9, что
через каждую пару точек Рг(4) проходит ровно 4 овала. Выпиши-
те все овалы, проходящие через пары точек {я?2,хз}, {х2, х2 + хз},
§ 16. Группа Матье М22
41
{я?2 + я?з, ах2 +а ^з}, и проверьте, что они переходят в блоки под
действием ср.
16.13.	Лемма. Группа М22 действует 3-транзитивно на мно-
жестве М° точек системы М.
Доказательство. Легко понять, что если группа G действует тран-
зитивно на множестве X и стабилизатор Gx некоторого элемента х G X
действует (к — 1)-транзитивно на множестве X \ {х}, то G действует
fc-транзитивно на X. Поэтому, ввиду леммы 16.10, достаточно доказать,
что М22 действует транзитивно на множестве М°. Последнее очевид-
но, так как точку оо можно перевести в точку х± элементом f*cp, а х±
можно перевести в любую точку Рг(4) элементом из Р8Ьз(4).
16.14.	Упражнение. Группа М22 действует транзитивно на
множестве М1 блоков системы М.
Указание. Подгруппа Р8Ьз(4) группы М22 действует транзитив-
но на множестве стандартных блоков и на множестве нестандартных
блоков (по лемме 16.9), а преобразование f*cp е М22 переводит нестан-
дартный блок О в стандартный блок 1(х2,хз) U {оо}.
16.15.	Определение. Группа N действует регулярно на множе-
стве X, если N действует транзитивно на X и стабилизатор в N любого
элемента из X единичен.
16.16.	Лемма. Пусть группа G действует 2-транзитивно на
множестве X и N — неединичная конечная нормальная подгруппа
в G. Если N действует регулярно на X, то |Х| =рк, где р — простое
число.
Доказательство. Пусть х — произвольный элемент из X, Gx —
стабилизатор х в G. Так как G действует 2-транзитивно на X, то Gx
действует транзитивно на X \ {я;}. Поэтому для любых неединичных
элементов П\,П2 G N существует такой элемент g G Gx, что g(n± х) =
= П2 х, и, значит, дсъд * х = П2Х. Так как N действует на X регулярно,
то дгцд [ = П2- В частности, все неединичные элементы из N имеют
одинаковый порядок и, следовательно, N — р-группа. Из регулярности
также следует, что |Х| = |У|, и доказательство закончено.
Доказательство теоремы 16.6. Пусть N — неединичная нор-
мальная подгруппа в М22. Ввиду предложения 6.7 и леммы 16.13,
N действует транзитивно на М°. Поэтому М22 = N• 81м22 (°°)- Так как
|М°| = 22 не является степенью простого числа, то по лемме 16.16 груп-
па N действует не регулярно на М°, то есть Stм22 (оо) ' ;V / {1}. Оста-
лось заметить, что 81м22(оо)ПУ < StM22(oo), и что группа Stjv/22(oo) =
= Р8Ьз(4) проста. Тогда StM22(oo) < N, и, следовательно, М22 = N.
42
Глава 1
16.17.	Упражнение. IM22I = |Р8Ьз(4)| -22 = 27 • З2 • 5 • 7 • 11.
Группа М22 не изоморфна Ап и PSL„(q) ни при каких п и q.
§ 17.	Группы Матье, системы Штейнера и теория
кодирования
Системой Штейнера S(y,k,t) называется множество X из v эле-
ментов {точек) с таким набором его fc-элементных подмножеств {бло-
ков), что каждое 4-элементное подмножество множества X содержится
в единственном блоке.
Системы Штейнера естественно обобщают проективные плоско-
сти F>2(q)j блоками которых являются проективные прямые.
Автоморфизмом системы Штейнера называется такая переста-
новка ее точек, которая индуцирует перестановку ее блоков.
Систему Штейнера S{v, k,t), t 2, можно преобразовать в систе-
му Штейнера S{v — l,k — 1,4— 1), удалив из множества X некоторую
точку х и взяв в качестве блоков только те {к — 1)-элементные под-
множества, которые получаются удалением точки х из блоков систе-
мы S(v,k,t). Если система Штейнера S получается из системы Штей-
нера S таким образом, то S называется расширением 5. В § 16 мы,
фактически, построили расширение М = 5(22,6,3) системы Штейне-
ра Рг(4) = 5(21,5,2). Оказывается, можно расширять эти системы и
дальше:
5(21,5,2) 5(22,6,3) 5(23, 7,4) 5(24,8,5),
причем эти системы Штейнера определены с точностью до изомор-
физма, а система 5(24,8,5) далее не расширяется. Группы Матье Mv
являются группами четных автоморфизмов этих систем при v = 22, 23
и 24 (при v = 23 и 24 все автоморфизмы будут четными).
В конструкции системы 5(24,8,5) участвуют овалы, подплоско-
сти Р2(2) и симметрические разности пар прямых проективной плоско-
сти 1Р2(4). Ниже мы опишем другую конструкцию системы 5(24,8,5),
использующую теорию кодирования.
Пусть Fn — векторное пространство размерности п над полем F =
= {0,1}. Вектора из Fn будем называть словами и записывать в виде
последовательностей длины п, состоящих из букв 0 и 1. Через 0 обо-
значим слово, состоящее из п нулей, а через 1 — слово, состоящее из п
единиц.
Для и и v из Fn через d{u, и) обозначим число мест, где буквы
слов и и v не совпадают. Функция d определяет расстояние между сло-
вами и и v и называется метрикой Хэмминга, а число <4(0, и) — весом
§17. Группы Матье, системы Штейнера и теория кодирования 43
слова и. Носителем слова и Е Fn называется множество номеров его
единичных букв.
17.1. Определение. Бинарным s-кодом, исправляющим ошибки,
называется любое непустое подмножество С С Fn такое, что
d(u, v) > 2s + 1 при и, v G С, и и.
Для г Е N и и Е Fn положим В(и, г) = {v Е Fn ] d(u, v) < г}. Тогда
условие этого определения можно переписать в виде
B(w,s) П B(v, з) = 0 при и, v Е С, и и.
Бинарный s-код С называется совершенным, если
0uECB(u,s) = Fn.
Представим, что мы передаем (скажем, по Internet) сообщение, за-
кодированное словами из С. Помехи или неисправности на линии мо-
гут привести к ошибкам: в некоторых словах какие-то 0 заменятся на 1,
al — на 0. В результате могут получиться слова вовсе не из С. Одна-
ко, если в каждом слове сделано не более s ошибок, то абонент, зная
код С, может исправить все ошибки и полностью восстановить сооб-
щение. Для этого он должен каждое полученное слово й заменить на
ближайшее к нему в смысле метрики Хэмминга слово и из С.
Задача теории кодирования состоит в том, чтобы найти наиболее
эффективные коды, исправляющие как можно больше ошибок.
17.2 Примеры. 1) Любое подпространство С пространства Fn
является бинарным s-кодом при s = [( min^d(0, и) — 1)/2^.
Такой код называется линейным или (п, т)-кодом, где т = dim С.
Группой автоморфизмов линейного кода С С Fn называется груп-
па всех линейных преобразований пространства Fn, которые перестав-
ляют стандартные9 базисные вектора е», i = 1, .. . ,п, и оставляют под-
пространство С на месте.
Расширением линейного кода С С Fn называется код
п
С = {(со, С1, . . ., cn) I (ci, ...,сп) Е С, ^2Ci= °},
7=0
лежащий в Fn+1.
9 г-я координата вектора равна 1, остальные — нули.
44
Глава 1
2)	Пусть к 1, п = 2к — 1. Бинарным кодом Хэмминга называется
(п, п—/с)-код С = {и Е Fn\ иН = 0}, где Н — матрица размера пхк, чьи
строки — все ненулевые вектора пространства Fk в некотором порядке.
Отсюда следует, что вес ненулевых слов из С не меньше 3, и, значит,
С является 1-кодом. Код Хэмминга является совершенным 1-кодом, так
как
\В(и, 1)| = 1 + п = 2к, |С| = 2п~к и | Uu6C В(и, 1)| = 2п = \Fn\.
17.3	. Упражнение. Докажите, что подпространство С С F7,
порожденное строками матрицы
/11010004
0 110 10 0
0 0 110 10’
\0001 101/
является (7,4)-кодом Хэмминга.
Этот код циклический, так как вместе с каждым словом (сцсг,   . ,су)
содержит его циклический сдвиг (сг, ..., С7, ci). Множество {1,2, .. ., 7}
и носители слов веса 3 кода С образуют систему Штейнера 5(7, 3,2),
которую можно отождествить с проективной плоскостью Рг(2). Отсюда
следует (докажите!), что группы автоморфизмов (7,4)-кода Хэмминга,
системы Штейнера 5(7, 3,2) и проективной плоскости Рг(2) изоморф-
ны одной и той же простой группе Р8Ьз(2) порядка 168.
17.4	. Теорема. Множество X = {1, 2, . . ., 8} и носители слов ве-
са 4 в расширенном (8,4)-коде Хэмминга С образуют систему Штей-
нера 5(8,4,3).
Доказательство. Выписав все 16 слов этого кода, можно убедить-
ся, что он содержит слова 0, 1 и 14 слов веса 4. Носители различных
слов и и v из С веса 4 не имеют общего подмножества мощности 3,
иначе в С было бы слово с т веса 2. Так как носители всех слов веса 4
из С содержат 4 • 14 = 56 трехэлементных подмножеств множества X,
и всего в X имеется Cg = 56 трехэлементных подмножеств, то каждое
из них содержится в единственном носителе.
Пусть С' — код, полученный из кода С (см. и. 17.3) обращени-
ем порядка следования букв, С — его расширение. Построим теперь
бинарный линейный код GTi Q F2i, беря в качестве кодовых слов ли-
нейные комбинации векторов (а, а, 0), (0, Ь, Ь), (х, х, х), где а Е С, b Е С,
х Е С'. Набросок доказательства следующей теоремы имеется в [34].
§ 18. Теория расширений
45
17.5	. Теорема. Минимальный вес ненулевых слов кода G24 ра-
вен 8. Множество {1, . . ., 24} и носители слов веса 8 кода G24 обра-
зуют систему Штейнера 5(24,8,5).
Отбрасывая последние символы в словах кода G24, можно полу-
чить бинарный код Голея (открыт в 1949 году). Бинарный код Го-
лея является совершенным (23,12)-кодом, исправляющим 3 ошибки
(см. [34], [24]). Минимальный вес его ненулевых слов равен 7. Мно-
жество {1, ...,23} и носители этих слов образуют систему Штейне-
ра 5(23,7,4). Отсюда можно вывести, что группа автоморфизмов би-
нарного кода Голея изоморфна группе Матье М23 
§ 18.	Теория расширений
18.1.	Определение. Группа G называется расширением груп-
пы Н посредством группы F, если Н < G и G/H = F.
Задача теории расширений состоит в восстановлении группы G по
группам Н, F и еще некоторым данным.
Мы будем отождествлять группы G/H п F с помощью фикси-
рованного изоморфизма. В каждом смежном классе а £ F выберем
представитель i (ст). Далее всегда в единичном классе выбирается еди-
ничный представитель, т. е. 4(1) = 1. Так как элемент 4(ст)4(т) лежит в
смежном классе стт, то существует элемент ф(сг,т) £ Н такой, что
4(ст)4(т) =/(ст,т)4(стт).	(6)
С каждым р £ F можно связать автоморфизм Т(р) : Н Н такой, что
T(p)(/l)=4(/9)h4(/9)-1, МН.	(7)
Очевидно, выполняются условия
Т(1) = 1 и /(ст,1) = /(1,т) = 1.	(8)
Из (6) и (7) следует формула
W(t)=/MTH,	(9)
где /(ст, т) — автоморфизм группы Н, переводящий любой элемент h^H
в элемент f (<7, г) h f (ст, т) ~1.
18.2.	Упражнение. Применив закон ассоциативности к произ-
ведению 1(a) t(r) t(p), выведите формулу
= TtaXftr, р)) • ф(а,тр) • ф(ат,р')~1.	(10)
46
Глава 1
18.3.	Определение. Пара функций / : F х F -э Н и
Т : F — Aut(.H’) называется системой факторов и автоморфизмов
для групп Н и F, если выполняются формулы (8), (9) и (10).
18.4.	Теорема. Пусть (Д,Т) — система факторов и автоморфиз-
мов для групп Н и F. Тогда существует группа G такая, что Н < G,
G/H = F, и существует система представителей {f(cr)}o-eF смеж-
ных классов G по Н такая, что система факторов и автоморфизмов,
построенная по ней, совпадает с (f,T).
Доказательство. На множестве Н х F определим умножение по
правилу (яг, ст) • (у, г) = (х -Т(а)(у)  ф(а,т), ат). Можно проверить, что
получилась группа. Обозначим эту группу через G и рассмотрим го-
моморфизм р : G -т F, заданный правилом Дх, а) = а. Его образ
совпадает с F, а ядро — с подгруппой {(h, 1) | h Е Н}. Отождествляя
эту подгруппу с Н, получаем G/Н = F. Мы оставляем читателю прове-
рить, что система факторов и автоморфизмов, построенная по системе
представителей {(1, а)}аер, совпадает с (/, Т).
18.5.	Определение. Группа G называется расщепляемым расши-
рением группы Н посредством группы F, если Н < G и в G существует
подгруппа F3 = F такая, что Н П Г) = {1} и НЕ = G. Говорят также,
что G — полупрямое произведение групп Н и F, и пишут G = Н X F.
Очевидно, F G/H.
18.6.	Примеры. 1) Sn = Ап X Z> при п > 2.
2)	S4 = KXS3 (см. 2.4).
18.7.	Упражнение. По теореме 14.1 имеем SL2(5)/{±E?} = А$,
где Е — единичная матрица. Покажите, что SL2(5) не является рас-
щепляемым расширением посредством Ад.
Указание. Если это не так, то SL2(5) = Z± х Ад и тогда в SL2(5) не
существовало бы элемента порядка 4, однако он там есть.
18.8.	Предложение. Пусть G — расширение группы Н посред-
ством группы F, (J,T) — система факторов и автоморфизмов этого
расширения, построенная по системе представителей {t(a)}aEF- Это
расширение расщепляемо тогда и только тогда, когда существует
функция h : F -т Н такая, что h(l) = 1 и
фД,т)=ТД)ДД)-1)-Ца)-1-Дат).	(11)
Доказательство. Предположим, что данное расширение расщеп-
ляемо. Тогда существует система представителей Д'(сг)}о-ет?, образую-
щая группу. Так как произведение 4/(cr)i/(r) лежит в смежном клас-
се ст и в этой группе, то оно равно Дат). В частности, Х(1) = 1.
§ 19. Теорема Шура	47
Определим функцию h с помощью равенств t'(a') = h(a)t(a), a G F.
Тогда
Л.(<тт) t(ar) = h(a) t(a)  h(r) t(r) = h(a)  Т(а)(ЫтУ)  f(a, r) t(ar),
откуда и следует формула (11). Так как f(l) = f'(l) = 1, то h(l) = 1.
Наоборот, если существует функция h : F -т Н такая, что /i(l) = 1
и выполняется формула (11), то система представителей {h(a) t(a)}a^p
образует группу, и, значит, данное расширение расщепляемо.
§ 19.	Теорема Шура
19.1.	Лемма (Фраттини). Пусть G — конечная группа, Н < G
и Р — силовская р-подгруппа группы Н. Тогда G = Н • Nq(P).
Доказательство. Для произвольного g G G подгруппа gPg1 ле-
жит в группе Н и является в ней силовской р-иодгрушюй. По теореме
Силова gPg1 = hPhr1 для некоторого h G Н. Отсюда h~1 g G NG(P)
ngQH- Ng(P).
19.2.	Лемма. Пусть Н — конечная абелева группа, F — произ-
вольная конечная группа и нод(|Л|, |F|) = 1. Тогда любое расширение
группы Н посредством группы F расщепляемо.
Доказательство. Пусть G — расширение группы Н посредством
группы F, и пусть (/, Т) — некоторая система факторов и автомор-
физмов этого расширения. Согласно п. 18.8 достаточно доказать, что
существует функция h : F -т Н с условием /i(l) = 1, для которой вы-
полняется формула (11). Так как Н — абелева группа, то мы будем ис-
пользовать аддитивную форму записи. Определим функцию J : F - Н
правилом
Ж) = ЕЖ4
t£F
Суммируя равенства (10)
Ж г) = Ж)(Ж, РУ) + тр) - Дат, р)
по всем р G F, получим
\F\ • Да,т) = Ж)(/(т)) + Ж) - Ж).
Умножая это равенство на целое п такое, что n\F\ = 1 (mod |H|), по-
лучаем равенство
f (о-, т) = Т(о-)(п/(т)) + пДа) - пДат).
Теперь ясно, что в качестве h можно взять функцию (—nf).
48
Глава 1
19.3.	Теорема (Шур). Пусть Н и F — конечные группы и
нод(|7Г|, F|) = 1. Тогда любое расширение группы Н посредством груп-
пы F расщепляемо.
Доказательство. Положим п = \F\, т = \Н\. Пусть G — про-
извольное расширение группы Н посредством группы F. Достаточно
доказать, что G содержит подгруппу порядка п. Сделаем это индукци-
ей по т. При т = 1 утверждение тривиально. Пусть т > 1. Можно
считать, что Н — собственная подгруппа группы G.
Рассмотрим сначала случай, когда Н содержит собственную под-
группу .Hi, нормальную в G. Тогда (G/Hi)/(Н/Н\ ) = F, и по индукции
в G / П\ содержится подгруппа N/Н\ порядка п. Снова по индукции в N
содержится подгруппа порядка п.
Теперь рассмотрим противоположный случай: Н — минимальная
собственная нормальная подгруппа в G. Пусть Р — некоторая силов-
ская р-подгруппа группы Н. Тогда
F G/H = Ng(P)H/H NG(P)/NG(P) П Н = WG(F)/WH(F).
Если |АД(В) < \Н\, то по индукции в NG(P) найдется подгруппа
порядка п. Если же |АД(В) = \Н\, то \NG(P)| = \F\  \Н\ = |G|, то есть
NG(P) = G. Тогда подгруппа F, а значит и ее центр Z(P) нормальны
в G. Так как центр конечной р-группы всегда неединичен, то Z(P) = Н
ввиду минимальности Н, и, значит, Н — абелева группа. По лемме 19.2
расширение G расщепляемо.
§ 20.	Группа Хигмэна—Симса
Напомним, что группа Матье М22 определялась нами как группа
четных автоморфизмов системы Штейнера М = 5(22, 6, 3). Множество
точек М° этой системы состоит из 21 точки, входящей в 1Рз(4), и до-
полнительной точки оо; |М°| =22. Множество ее блоков М1 состоит из
21 стандартного блока и 56 = |Р8Ьз(4)| / |StpsL3(4)(O)| нестандартных
блоков (овалов); ЛГ1 = 77.
Построим граф Г, имеющий 100 = 1 + 22 + 77 вершин: Г° = {*}U
UM° U Л/1, вершина * соединена с каждой вершиной т Е М°, вершина
т Е М° соединяется с вершиной В Е М1, если и только если т — точка
блока В, вершина В Е М1 соединяется с вершиной Bi G Л/1, если и
только если блоки В и Bi не пересекаются. Других соединений нет.
Группа Хигмэна-Симса HS определяется как группа всех авто-
морфизмов этого графа, осуществляющих четные перестановки его
вершин: HS = Aut+(r). Любой автоморфизм системы М индуцирует
автоморфизм графа Г, переводящий вершину * в себя. Поэтому можно
§20. Группа Хигмэна- Симса
49
считать, что группа М22 и автоморфизмы ip, f* системы М, опреде-
ленные в § 16, лежат в Aut(T). Более того, М22 С Aut+(T), т. к. группа
М22 проста и Aut(T) : Аи1+(Г)| < 2.
Мы докажем сейчас теорему о простоте группы HS, опираясь на
леммы 20.8 и 20.9, которые будут доказаны позже.
20.1.	Теорема. Группа Хигмэна - Симса HS проста. Ее порядок
равен IM22I ' ЮО.
Доказательство. Пусть {1} Д N < Aut+(T). По лемме 20.9 имеем
StAut+(r)(*) = И-^22- Так как M22N = IVAZ22, то М22^Х *) = NM22 * =
= (N *), и, значит, орбита (IV*) есть объединение орбит группы М22-
Так как длины орбит группы М22 равны 1, 22 и 77, а длины ЛГ-ор-
бит равны и делят 100 (см. пункты 16.13, 16.14 и 6.8, 20.8), то длина
орбиты (N *) равна 1 или 100. Длина каждой V-орбиты не может рав-
няться 1, так как N действует на Г° точно. Поэтому N действует тран-
зитивно и Aut+(T) = NStAut+(r)(*) = NM22- Так как N П М22	М22
и М22 проста, то либо N П М22 = М22, либо N П М22 = {!}• В первом
случае Aut+(T) = N, во втором |7\7| = 100. Но в группе порядка 100 име-
ется единственная силовская подгруппа порядка 25. Ее можно взять в
качестве N и получить противоречие. Итак, группа HS проста. Утвер-
ждение о ее порядке следует из лемм 20.8 и 20.9.
Прежде, чем доказывать основные леммы 20.8 и 20.9, докажем
несколько вспомогательных лемм.
20.2.	Лемма. Число точек пересечения в Рг(4) произвольной пря-
мой I с произвольным овалом (Д равно 0 или 2.
Доказательство. Пусть х Е I Г\(Д. Так как пять прямых, прохо-
дящих через точку х, содержат все точки Р2(4) и на каждой из них
не более двух точек овала Од то каждая из этих прямых содержит
кроме х еще ровно одну точку из Од
Множество всех прямых I таких, что ОД1 = 0, обозначим через
20.3.	Лемма. Никакие три прямые из Li не пересекаются в одной
точке.
Доказательство. Если бы эти прямые пересекались в одной точке,
то две другие прямые, проходящие через эту точку, содержали бы овал,
что невозможно.
Определим на V (см. начало § 16) скалярное произведение по пра-
вилу:
(одад + 02X2 + 03X3, 61X1 + Ъ2Х2 + ЬзХз) = аДз + а2&2 + а3Ь3.
50
Глава 1
Преобразование множества всех подпространств пространства V, за-
ключающееся в переходе к ортогональному дополнению, индуцирует
преобразование а проективной плоскости Рг(4), переводящее ее точ-
ки в прямые, а прямые в точки. Более точно, если v — точка, а I —
прямая Рг(4), то
о?(Г) = I <=^ (V w G I (v, w) = 0) <=^ ce(Z) = v.
20.4.	Упражнение. 1) a2(v) = v, a2(l) =1.
2)	v G I <=^ a(v) Э ce(Z),
3)	aBar1 = (B^j 1 для любой матрицы В G SLs(4).
Последнее вытекает из формулы (v,w) = ((ВТ j 1 v, Bw).
Расширяя прямую I до стандартного блока Ю{оо}, можно считать,
что а определено на множестве точек Рз(4) и стандартных блоков си-
стемы М.
Определим теперь а-образ произвольного овала Oi формулой
a(Oi) = F2(4) \ |J a(v).
vEOi
Положим еще о?(*) = оо и сфоо) = *. Наша ближайшая цель - доказать,
что а — автоморфизм графа Г.
20.5.	Лемма. Для любых овалов Од Oj и прямой I справедливы
следующие утверждения:
1)	a(Oj) — овал,
2)	а2(О,;) = Oi,
3)	OiOl = 0 а(Г) е сфОД
4)	Oi nOj = 0 a(Oi) П a(Oj) = 0.
Доказательство. Нетрудно вычислить, что
ДО) = {	+ Х-2 + Я?з, С1.?'! + Х-2 + Я?з, Х1 + аХ2 + Хз,
Xi + а Д2+Х3, Xi + Х2 + ахз, Xi + Х2 + а 1хз} = А-О,
где
(а 1 а
1 а а
1 1 а-1
§20. Группа Хигмэна-Симса	51
Поэтому 1) выполнено: если Oi = В • О, где В G Р8Ьз(4), то
а(Ог) = Р2(4) \ J a(Bv) = F2(4) \ |J (BT)-i • а(й) =
veo	veo
=	• ДО) =	 O.
2)	Имеем <Д(СД = B(4T) 1A-O = B-0 = Oi, так как (4T)1 АО =
= О, что проверяется непосредственно.
3)	ОД1 = 0 <5=^ (V v G Oi Д1) <=^ (V v G Oi a(l) a(v)) <=^
a(7) G a(Oi).
4)	Предположим, что Oi П Oj = 0, но v G a(Qi) П a(Oj). Ввиду 3),
a(v) ПOi = 0 и a(v) П Oj = 0. Так как овалы Oi, Oj и прямая I = a(v)
попарно не пересекаются, то вне них в Р2(4) имеются еще 4 точки,
которые мы обозначим ух, у2, уз, ут. По упражнению 20.6 существует
такая точка х G I, что прямых, соединяющих х с точками уд,, не менее 3.
Обозначим некоторые три такие прямые через l±, I2, 1з- Так как
I G Li, то, ввиду леммы 20.3, максимум только одна из них может
лежать в Li. Аналогично максимум только одна из них может лежать
в Lj. Поэтому одна из этих прямых, скажем 1\ = 1(х,уз), не лежит
в U Lj, и, значит, пересекает Oi и Oj. Тогда на I лежат 6 точек: х, ух
и точки из !х П О; и (х П Oj — противоречие. Обратная импликация
следует из 2).
20.6.	Упражнение. Для любой прямой I в Р2(4) и четырех точек
Уъ У2, Уз, У4, не лежащих на I, существует такая точка х Е I, что
прямых, соединяющих х с точками уь, не менее 3.
20.7.	Следствие, а — автоморфизм графа Г порядка 2.
Теперь в нашем распоряжении имеются три автоморфизма поряд-
ка 2: а, р, f*, и мы легко докажем лемму 20.8. Эта лемма имеет обще-
математическое значение: она уничтожает разницу между множеством
(вершину * можно отождествить с множеством М°), его подмноже-
ствами (блоками) и элементами (точками).
20.8.	Лемма. Группа Aut+(T) действует транзитивно на мно-
жестве Г°.
Доказательство. По лемме 16.13 и упражнению 16.14 группа М22
имеет три орбиты при действии на Г°: {*}, М° и М1. Группа Ан1+(Г)
действует транзитивно на Г°, так как ЛГ22 Ан1+(Г) и автомор-
физм (/*9?а)2 переводит точку * в овал О, а автоморфизм (аф*р)'2
переводит точку оо в овал <а(О). Эти автоморфизмы четные, так как
квадрат любой подстановки четен.
52
Глава 1
20.9.	Лемма. StAut+ (Г)(*) = М.22-
Доказательство. Легко понять, что группу StAut(r) (*) можно
отождествить с группой Aut(M). В группе Aut(M) имеется подгруп-
па М22 индекса 2. Так как М22 проста, то М22 С Aut+(T). Во втором
смежном классе группы Aut(M) по подгруппе М22 есть элемент ср (см.
конец п. 16.11). По лемме 20.10, ср Aut+(T). Поэтому StAut+(rj(*) =
= М22-
20.10.	Лемма. Автоморфизм ср осуществляет нечетную пере-
становку вершин графа Г.
Доказательство. Пусть Ф — множество ^-инвариантных овалов.
Докажем сначала10, что |Ф| делится на 4. Так как ср поэлементно пе-
рестановочно с группой Q = {Qbc\b,c G F4} (см. §16), то группа Q
действует на множестве Ф. Достаточного казать, что длина каждой
Q-орбиты в Ф делится на 4. Так как |Q| = 16, то достаточно дока-
зать, что стабилизатор любого овала в группе Q имеет порядок 1, 2
или 4. Согласно лемме 16.8 стабилизатор овала в группе PSLs(4) изо-
морфен группе Аб, в которой 2-силовские подгруппы изоморфны груп-
пе ((12)(34), (1234)(56)) порядка 8. Так как в Q нет элементов поряд-
ка 4, то стабилизатор овала в группе Q не может иметь порядок 8 (и
тем более 16).
Пусть |Ф| = 4п. Учитывая, что ср оставляет на месте ровно 5 стан-
дартных блоков (они проходят через дц, так как Доо) = жД, 8 точек
из М° и вершину *, получаем, что общее число неподвижных отно-
сительно ср вершин графа Г равно (14 + 4п). Так как ср2 = id, то
на остальных его (86 — 4п) вершинах ср действует как произведение
(43 — 2п) транспозиций. Поэтому ср — нечетный автоморфизм графа Г.
10В [3] доказано, что |Ф| = 16.
§20. Группа Хигмэна- Симса
53
Таблица 1. Спорадические группы
Группа	Порядок	Первые исследователи
Л/ц Л/12 Л^22 Л/гз Л/24 J2 Suz HS McL Соз СО2 Со! Не Fl22 Fi23 Fl24 HN Th В M Ji O’N h Ly Ru Ji	24  32 • 5 • 11 26  З3 • 5 • 11 27  32 • 5 • 7  11 27  32 • 5 • 7  11 • 23 210 • З3  5  7  11 • 23 27  З3 • 52  7 213 • 37  52  7 • 11 • 13 29  32 • 53  7  11 27  36 • 53  7  11 210 •	37  53		7 •	11 • 23 218 •	36  53		7 •	11 • 23 221 •	39  54		72	• 11  13 • 23 210 •	З3  52		73	• 17 217 •	39  52		7 •	11 • 13 218 •	З13	 52 • 7 -	11 	13 • 17 •	23 221 •	316	 52 • 73		11		13  17	•	23 	29 214 • 36  56  7 • 11 • 19 215 •	310	 53 • 72		13		19  31 241 •	З13	 56 • 72		11		13  17	•	19 	23 • 31 • 47 246 • 320  59 • 76  ll2 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29- 31 • 41  47  59 • 71 23  3 • 5 • 7 • 11 • 19 29  34 • 5 • 73 	11 • 19 	31 27  3B • 5 • 17 •	19 28  37 • 56  7 	11 • 31 	37 	67 214 • З3  53  7	• 13 • 29 221 • З3  5  7 	ll3 • 23	• 29		31  37  43	Mathieu Mathieu Mathieu Mathieu Mathieu Hall, Janko Suzuki Higman, Sims McLaughlin Conway Conway Conway, Leech Held/Higman, McKay Fischer Fischer Fischer Harada, Norton/Smith Thompson /Smith Fischer/Sims, Leon Fischer, Griess Janko O’Nan/Sims Janko/Higman, McKay Lyons/Sims Rudvalis/Conway, Wales Janko/Norton, Parker, Benson, Conway, Thackray
Глава 2
Введение в комбинаторную теорию
групп
§ 1.	Графы и графы Кэли групп
Для понимания строения группы полезно изучить ее действие на
подходящем геометрическом объекте. Эта идея будет развиваться в
следующих параграфах. В данном параграфе мы напомним некоторые
определения из главы 1 и введем новые понятия, связанные с графами
и действиями групп на них. Далее разность множеств X и Y обозна-
чается X — Y.
1.1.	Определение. Говорят, что группа G действует на множе-
стве М слева, если для любых элементов g £ G и т £ М определен
элемент gm G М, причем g^gprn) = (g-2gi)m и 1т = гп для всех rn G М,
91  92 G G.
Действие транзитивно, если для любых двух элементов т, т'
из М найдется элемент д из G с условием дт = т'. Действие точно,
если для любого неединичного элемента д из G существует элемент т
из М такой, что дт А гп. Ядром действия называется подгруппа
{g Е G | дт = гп для всех rn Е М}.
Очевидно, действие точно, если его ядро единично. Орбитой элемен-
та гп из М называется множество O(rn) = {дт\д Е G}. Два элемен-
та т, гп' из М называются G-эквивалентными, если они лежат в од-
ной орбите. Стабилизатором элемента т из М называется подгруппа
Stc(m) = {д £ G дт = гп}.
Иногда мы будем использовать и правые действия.
1.2.	Определение. Говорят, что группа G действует на множе-
стве М справа, если для любых элементов д G G и т £ М определен
элемент гпд £ М, причем	= пфдадг) и nil = тп для всех гп £ М,
91,92 6 G.
§1. Графы и графы Кэли групп
55
1.3.	Замечание. Имея левое действие группы G на множе-
стве М, можно построить правое (и наоборот), положив mg =
= g'!m.
1.4.	Определение. Граф X состоит из непустого множества вер-
шин Х°, множества ребер X1 и трех отображений а : X1 —> Х°,
х : Х'!	- Х° и : X1 —> Х° (взятие начала ребра, конца ребра и взя-
тие обратного ребра), удовлетворяющих условию: для любого е G X1
имеем ё = е, ё^еи а(е) = ш(ё).
Граф X называется конечным, если множества его вершин и ре-
бер конечны. Естественным образом определяется понятие подграфа
графа. Прямым произведением графов X и У (обозначается X х У)
называется граф с множеством вершин Х° х У0, множеством ребер
X1 х У1 и условием <а((е, е’)) = (<а(е), сфе')), сь>((е,е')) = (сэ(е), сДе')),
(е, е') = (е, е') при (е, е') е X1 х У1.
Морфизмом из графа X в граф У называется отображение р из
множества вершин и ребер графа X в множество вершин и ребер гра-
фа У, которое переводит вершины в вершины, ребра в ребра и удо-
влетворяет условиям р(<а(е)) = <Др(е)), р(сэ(е)) = сДр(е)), р(е) = р(е).
Сокращенно пишут р : X У. Биективный морфизм называется
изоморфизмом. Изоморфизм графа на себя называется автоморфиз-
мом. Если в графе X выделяется вершина х, то пишут (X,ж). Запись
р : (X, х) —> (У, у) означает, что р : X Y — морфизм и р(х) = у.
Звездой вершины х графа X называется множество ребер графа X
с началом в х. Валентность вершины х — это мощность ее звезды.
Морфизм р из графа X в граф У называется локально инъективным,
если ограничение р на звезду любой вершины графа X инъективно.
Граф X называется ориентированным, если в каждой паре {е,ё}
его взаимно обратных ребер выбрано одно из них и названо положи-
тельно ориентированным, а другое названо отрицательно ориенти-
рованным. Множество всех положительно (отрицательно) ориентиро-
ванных ребер обозначается через Х1 (через Х1). Множество Х1 на-
зывается ориентацией графа X.
Графы изображаются в виде объектов, состоящих из точек и ли-
ний, соответствующих парам взаимно обратных ребер. Для выделения
положительно ориентированных ребер на линиях ставят стрелки.
Введем два вида графов: Сп (n G Z, п 1) и С^. Вершина-
ми графа Сп являются числа 0,1, ... ,п — 1, ребрами — символы едё?
(О < i < п — 1), причем а(еД = ?, сДе^) = г +1 (сложение по модулю п).
Вершинами графа Сж являются все целые числа, ребрами — символы
ец щ (г G Z), причем сфе^) = г, сДе») = i + 1 (рис. 3).
56
Глава 2
Рис. 3
Последовательность I =	  .еп ребер графа X называется пу-
тем длины п в графе X, если cj(ej) = a(ej+i), i = 1, ..., п — 1. Говорят,
что I — путь из вершины ct(ei) в вершину о?(еп), и что a(ei) и w(en) —
его начало и конец. Любую вершину графа X считаем тоже путем (вы-
рожденным) длины 0 с началом и концом в этой вершине. Для пути
I = 6162 .. . еп обозначим через Z-1 путь ДД . . ёгёТ- Для вырожденного
пути I положим / 1 = I. Говорят, что I — путь без возвращений, если
он либо вырожден, либо I = е^е? ... еп и e^+i щ, г = 1, ..., п — 1.
Путь I замкнут, если его начало и конец совпадают.
Если конец пути I = е±... щ, совпадает с началом пути I' = еД .. е'п
то произведение этих путей определяется как путь И' = е±...	  .е'п.
Граф X связен, если для любых двух его вершин и и v существует
путь из и в и. Циклом в графе называется любой подграф, изоморфный
графу Сп. Дерево — это связный граф без циклов. Очевидно, для любых
двух вершин и и v произвольного дерева Т существует единственный
путь без возвращений из и в и.
1.5.	Упражнение. Пусть р : X - Т локально инъективный
морфизм из связного графа X в дерево Т. Тогда р инъективен и X —
дерево.
1.6.	Предложение. Пусть Т — максимальное по включению под-
дерево связного графа X. Тогда Т содержит все вершины X.
Доказательство. Если это не так, то в силу связности графа X
существует ребро у с началом в Т и концом вне Т. Присоединяя к Т
ребра у, у н вершину Ду), получим большее поддерево, что противо-
речит максимальности Т.
Следующее упражнение сложное, но его легко можно решить, про-
читав § 3 и § 4.
1.7.	Упражнение. Мощность множества ребер связного гра-
фа X, не входящих в его максимальное поддерево Т, не зависит от
выбора Т. Если X — конечный связный граф с ориентацией ХД то
§1. Графы и графы Кэли групп
57
число положительно ориентированных ребер графа X, не входящих
вТ, равно |Xi| - |Х°| + 1.
1.8.	Определение. Говорят, что группа G действует слева на
графе X, если определены левые действия группы G на множествах
Х° и X1 так, что да(е) = а(де) и дё = дё для всех д G G и е G X1.
Это действие без инверсий ребер, если де Д ё для всяких е G X1
и д G G.
Действие называется свободным, если ди Д и для всяких и G Х° и
неединичных д G G.
В теории Басса-Серра, излагаемой далее, требуется, чтобы группа
действовала без инверсий ребер на некотором графе. Покажем, что
это не является серьезным ограничением: если группа G действует на
графе X, то G действует без инверсий ребер на его барицентрическом
разбиении В(Х) и это действие хорошо связано с исходным.
Определим неформально барицентрическое разбиение графа X
как граф В(Х), получающийся из X «разбиением» каждого ребра е
на два ребра ен и ек и добавлением вершины ие, соответствующей «се-
редине» ребра е. При этом мы считаем, что (ё)к = ёД (ё)н = ёД ие = u-g
(рис. 4).
Определим действие группы G на графе В(Х), полагая ден = (де~)н,
дек = (де)к, дие = иде и сохраняя действие G на вершинах графа В(Х),
являющихся вершинами графа X.
Рис. 4
1.9.	Упражнение. Действие группы G на графе В(Х) — без ин-
версий ребер.
Пусть группа G действует на графе X без инверсий ребер. Для
х G Х° U X1 обозначим через (?(ж) орбиту х относительно действия
группы G: О(х) = {gx | д G G}. Определим фактор-граф G\X как
граф с вершинами О(и), где и G Х°, и ребрами О(е), где е G X1,
причем считаем, что
1)	О(и) — начало если существует д G G такое, что ди —
начало е,
2)	обратным к ребру О(е) является ребро <?(ё).
58
Глава 2
Ребра 0(e) и 0(ё) не совпадают, так как G действует без инверсий
ребер на X. Отображение р : X —> G \ X, заданное правилом р(х) =
= О(х), х G Х° U X1, является морфизмом графов. Назовем этот мор-
физм проекцией.
1.10.	Пример. На рис. 5 справа изображен фактор-граф графа,
изображенного слева, по действию группы Z3 его вращений на углы,
кратные 120°.
Z3
Рис. 5
1.11.	Упражнение. Для любого ребра е! фактор-графа G \ X и
произвольной вершины v графа X, проецирующейся в начало е', суще-
ствует ребро е графа X с началом в и, проецирующееся на е'.
1.12.	Предложение. Пусть X — связный граф, на котором без
инверсий ребер действует группа G. Для любого поддерева Т' фак-
тор-графа G\X существует поддерево Т вХ такое, чтор\т- Т —>Т' —
изоморфизм.
Доказательство. Множество поддеревьев в X, проецирующихся
инъективно в Т', индуктивно по включению (это означает, что объ-
единение любой возрастающей цепи таких поддеревьев лежит в этом
множестве). Пусть Т — некоторый его максимальный элемент1. Доста-
точно доказать, что р(Т) = Т'. Если это не так, то существует ребро е'
с началом в р(Т) и концом в разности Т' — р(Т). Воспользовавшись
упражнением 1.11, можно увеличить Т и прийти к противоречию.
Поддерево Т из предложения 1.12 называется поднятием в X под-
дерева Т'.
1.13.	Определение. Пусть G — группа, S — подмножество G.
Обозначим через Г(С, S) ориентированный граф с множеством вер-
шин G, множеством положительно ориентированных ребер G х S и
функциями а и со, заданными правилами a((g,s)) = g и co((g,s)) = gs,
где (g, s) G G x S. Обратным к ребру (g, s) считаем ребро (gs, s^1), вто-
рую компоненту которого в таком окружении воспринимаем как фор-
мальный знак, а не как элемент группы G. Тогда (gs, s-1) Ох S даже
Он существует по лемме Цорна.
§1. Графы и графы Кэли групп
59
в случае, когда элемент .s 1 лежит в S. Меткой ребра (<?, 4) называется
элемент 4.
Группа G действует левым умножением на Г(С, S). Более точно,
если д G G, то вершина д' переходит под действием д в вершину дд',
ребро (д', 4) — в ребро (дд', 4). Очевидно, что это действие без инверсий
ребер и свободно.
1.14.	Упражнение. Граф V(G,S) связен <=^ (S) = G.
1.15.	Определение. Если (S') = G, то граф Г(С, S), построенный
выше, называется графом Кэли группы G относительно порождающего
множества S.
1.16.	Примеры. Графы Сп и Соо изоморфны графам Кэли цикли-
ческих групп Znn Z относительно порождающих множеств, состоящих
из одного элемента.
На рис. 6 изображен граф Кэли группы Zq = (х) относительно по-
рождающего множества {ж2, я;3} и граф Кэли группы S3 относительно
порождающего множества {(12), (123)}.
Рис. 6
Пусть п 1 — произвольное целое число или п = оо. Диэдральная
группа Dn — это группа автоморфизмов графа Сп. Любой такой авто-
морфизм полностью определяется образом ребра Cq. Пусть а и b такие
автоморфизмы, что а(во) = e~i, 6(во) = ei (при конечном п индексы
берутся по модулю п). Тогда группа Dn состоит из автоморфизмов bk
и bka, где О С k С п — 1 при п конечном и к G Z при п = оо. Ав-
томорфизмы Ък можно мыслить как вращения (при п конечном) или
переносы (при п = оо), автоморфизмы Ька — как отражения.
1.17.	Упражнение. Докажите, что D3 = S3. Как выглядит
граф Кэли группы Dn относительно порождающего множества {а, Ь}
при конечном п?
На рис. 7 изображены графы Кэли группы D-,_ относительно по-
рождающих множеств {а, Ь} и {а, с}, где с = ab, а также граф Кэли
группы Z х Z относительно произвольного порождающего ее множе-
ства {х, у}.
60
Глава 2
Рис. 7
1.18.	Упражнение. Группа автоморфизмов графа Кэли груп-
пы G, сохраняющих метки его ребер, изоморфна группе G.
1.19.	Упражнение. Проверьте, что граф, изображенный на об-
ложке книги, является графом Кэли знакопеременной группы Ад.
§ 2.	Автоморфизмы деревьев
Во многих важных случаях группы действуют на деревьях. Поэто-
му необходимо изучить автоморфизмы деревьев.
Пусть X — дерево. Геодезическая в X — это любой путь без воз-
вращений в X. Очевидно, для любых двух непересекающихся поддере-
вьев Xi и Х2 дерева X существует единственная геодезическая, начало
которой лежит в Xi, конец в Х2, а ее ребра не лежат ни в Xi, ни в Х>.
Геодезическую с началом в вершине и и концом в вершине v обозначим
через и — и, а ее длину через l(u, и).
Пусть т — автоморфизм дерева X. Для любой вершины (ребра) и
дерева X обозначим через vT образ v относительно т. Заметим, что
Z(u,r>) = l(uT,vT). Положим
It I = min l(v, vT).
vex0
Минимальное поддерево дерева X, содержащее все вершины и та-
кие, что 1(и,ит) = |т|, обозначим через т при |т| = 0 и через т при
|т| > 0. Следующая теорема иллюстрируется рис. 9.
2.1.	Теорема. Пусть т — автоморфизм дерева X. Справедливы
следующие утверждения.
1)	Если |т| = 0, то любая вершина и любое ребро дерева т непо-
движны относительно т. Пусть Р — произвольная вершина из X
§2. Автоморфизмы деревьев
61
и Q — вершина из т, ближайшая к Р. Тогда P — Q и Q — Рт — геодези-
ческие равной длины, произведение которых является геодезической,
соединяющей Р и РТ.
2)	Если |т| > 0 и т действует без инверсий ребер, то дерево f
изоморфно дереву Соо- Автоморфизм т действует на т переносом на
длину |т|. Пусть Р — произвольная вершина дерева X, Q — вершина
из т, ближайшая к Р. Тогда геодезическая Р — Рт пересекает дерево т
по геодезической Q — QT и 1(Р, Рт) = |т| + 2l(P, Q).
Доказательство. Мы докажем лишь утверждение 2, оставив до-
казательство утверждения 1 читателю. Пусть А — произвольная вер-
шина такая, что Z(A, Ат) = |т|. Тогда последнее ребро геодезической
А — АТ не является обратным к первому ребру геодезической Ат — Ат .
В противном случае (см. рис. 8) при |т| = 1 была бы инверсия ребра,
а при |т| > 1 для вершины В геодезической А — Ат с Z(A, В) = 1 было
бы 1(В,ВТ) = 1(А,АТ) — 2 < |т|, что противоречит определению |т|.
/Г2
Рис. 9
Теперь ясно, что бесконечный путь Т = ... — Ат — А — Ат — ...,
составленный из геодезических Ат — Ат (n е Z), изоморфен дере-
ву Соо и т действует на нем переносом на длину |т|. Если Р — произ-
вольная вершина вне Т и Q — вершина из Т, ближайшая к Р (см. рис. 9
справа), то Z(P,PT) = /(P,Q) + Z(Q,QT) + /(QT,PT) = |т| +2Z(P, Q) > |т|.
Отсюда т = Т и утверждение 2 доказано.
Ввиду этой теоремы оправдана следующая терминология.
62
Глава 2
2.2.	Определение. Автоморфизм т дерева X, действующий без
инверсий ребер, называется поворотом, если |т| = 0 и переносом, если
|т| > 0. При |т| > 0 поддерево т называется магистралью для т.
2.3.	Упражнение. Пусть и и т — автоморфизмы дерева X,
п G Z. Тогда
1)	КМ = |т|,
2)	\тп | = п| |т|, если т действует без инверсий ребер.
2.4.	Упражнение. Пусть Т±, . . . ,Тп — конечный набор поддере-
п
вьев дерева X и ТгГ\Д 0 для всех г и j. Тогда A Д 0.
г=1
2.5.	Предложение. Пусть т±, ...,тп — конечный набор авто-
морфизмов дерева X. Если Tj и TjTi — повороты для всех i и j, то
п о
П П 0.
г=1
о о
Доказательство. Докажем, что любые два поддерева и Tj имеют
непустое пересечение. Тогда утверждение будет следовать из упражне-
ния 2.4. Напомним, что согласно определению композиции отображе-
ний РТ’Т!- = Tjlrttpy).
Предположим, найдутся два непересекающихся поддерева щ и Tj.
Пусть Р — Q — геодезическая, соединяющая их. Так как PTJTi = рг;
то геодезические Р — PT'Ti и Р — Рт’ совпадают. По теореме 2.1 сере-
дина Q этой геодезической лежит в и Tj. Отсюда Q = QT> = QT,Ti,
следовательно Q = QTi и Q Е д П Tj — противоречие.
2.6.	Следствие. Для любой конечной группы автоморфизмов де-
рева, действующей без инверсий ребер, существует вершина, непо-
движная относительно всех элементов этой группы.
§ 3.	Свободные группы
Ключевую роль в комбинаторной теории групп играют свободные
группы. Достаточно сказать, что произвольная группа является фак-
тор-группой подходящей свободной группы (теорема 3.14). В этом па-
раграфе будет доказано существование свободных групп с произволь-
ным базисом. В дальнейшем будет доказано, что свободные группы и
только они действуют свободно и без инверсий ребер на деревьях.
Для произвольного подмножества X группы обозначим через X-1
ее подмножество {я;-1 ж Е X}.
3.1.	Определение. Пусть F — группа, X — ее линейно упоря-
доченное подмножество такое, что X П X-1 = 0. Группа F называ-
§3. Свободные группы
63
ется свободной группой с базисом X, если любой ее неединичный эле-
мент / представляется единственным способом в виде произведения
/ = Х1Х2 • • • хп, где Xi е X U X и XiXi+i Д 1 для всех i. Такая запись
называется приведенной относительно X. При этом мы договариваем-
ся, что единичному элементу соответствует пустая приведенная запись.
Из этого определения, в частности, следует, что X порождает F.
Очевидно, бесконечная циклическая группа Z свободна. Она имеет ба-
зис, состоящий из одного элемента.
3.2.	Теорема. Для всякого множества X существует свободная
группа с базисом X.
Доказательство. Пусть X — произвольное множество. Положим
А' 1 = {.'/ 1 | я: Е X}, где х^1 обозначает новый символ, соответству-
ющий элементу х. Можно считать, что X П X = 0. Считаем также,
что запись (я;-1)-1 обозначает элемент х. Множество Х± = X U X-1
назовем алфавитом, а его элементы — буквами. Слово — это конеч-
ная последовательность букв, записанных одна за другой: яця^ .. .хп,
п 0, Xi Е Х±. При п = 0 имеем пустое слово. Подсловом слова
называется любая подпоследовательность его подряд идущих букв.
Пусть W — множество всех слов в алфавите Х±. Обозначим дли-
ну слова f (т. е. число букв, из которого оно состоит) через |/|. Для
слов / и g из W определим их произведение как слово fg, получающее-
ся приписыванием слова g справа к слову /. Очевидно, W — не группа
при X 0.
Далее мы введем отношение эквивалентности на W и определим
произведение классов эквивалентности так, что получится группа с
нужным свойством. Скажем, что слово и эквивалентно слову и, если
существует конечная последовательность слов и = fi, /2, • • •, fk = v
такая, что каждое Д+1 получается из Д вставкой или вычеркиванием
подслова вида хх^1, где х Е Х±. Назовем такую последовательность
связывающей для слов и и и. Пусть [Е] обозначает множество классов
эквивалентности слов из W. Класс, содержащий слово Д обозначим че-
рез [/]. Слово g называется приведенным, если оно не содержит подслов
вида хх^1, где х Е Х±.
3.3.	Предложение. Каждый класс [/] содержит единственное
приведенное слово.
Доказательство. Существование приведенного слова в классе [/]
очевидно. Единственность докажем с помощью метода, который назы-
вается «редукция пиков». Предположим, что существуют два различ-
ных приведенных слова и и v в классе [/]. Из всех последовательностей,
64
Глава 2
связывающих и и и, выберем последовательность и = Д, Д-   , fk = V,
г=к
для которой сумма 52 IА минимальна. Так как слова и и и приведены
г=1
и различны, то |Д| < |Д| и |Д_11 > \fk\- Поэтому существует такое г,
что 1 < i < к и \fi-1| < \fi\ и \fi\ > |Л+1|. Предположим, что fi полу-
чается из fi-i вставкой подслова хх^1, a Д+i получается из fi вычер-
киванием подслова уу 1  Если подслова хх и уу 1 не пересекаются,
то можно сначала в Д_1 вычеркнуть подслово уу 1. а затем вставить
подслово я'.'/' 1. В результате тройка fi~i, fi, fi+i заменится на тройку
Л-i, fij fi+i с меньшей суммой длин слов — противоречие. Если же
подслова хх-1 и уу-1 пересекаются, то Д~х = Д_щ и мы можем уб-
рать два члена последовательности. Снова получили противоречие с
минимальностью.
Зададим на множестве [F] всех классов умножение, полагая
[/][у] = Ifв\- Докажем, что [F] — свободная группа с базисом [X] =
= { [я;] | х G X}. Ассоциативность умножения очевидна, единичным
элементом является класс [0]. Обратным к классу [/] = [яд • • -хп], где
Xi Е X UX-1, является класс [я;”1 • • • xfх]. Далее, [/] = [яд] • • • [хп\ и эта
запись приведена относительно [X] тогда и только тогда, когда слово
я?1 . .. хп приведено. Так как в каждом классе имеется ровно одно при-
веденное слово, то единственность приведенной записи элементов [F]
относительно [X] доказана. Осталось заметить, что мощность [X] равна
мощности X.
3.4.	Упражнение. Произвольная свободная группа с базисом X
изоморфна построенной выше свободной группе [F] с базисом [X].
Далее свободную группу с базисом X будем обозначать че-
рез Р(Х). На практике удобно обращаться с элементами группы Р(Х)
как со словами в алфавите X U X-1, считая два слова равными, если
соответствующие им приведенные слова совпадают.
Дадим другое, категорное, определение свободной группы.
3.5.	Определение. Пусть F — группа и X — подмножество в F.
Тогда F — свободная группа с базисом X, если для любой группы G
любое отображение у : A' - G' имеет единственное продолжение
ср* : F -э G, являющееся гомоморфизмом.
3.6.	Теорема. Определения 3.1 и 3.5 свободной группы эквива-
лентны.
Доказательство. Пусть F — свободная группа с базисом X в
смысле определения 3.1, и пусть ср — отображение из X в некоторую
§3. Свободные группы
65
группу G. Продолжим до гомоморфизма из группы F в группу G
по следующему правилу. Для х 6 X положим	= (<д(х))-1.
Пусть теперь / — произвольный элемент из F. Возьмем его произволь-
ную запись / = х\---хп, где Xi, ...,хп е Х±, и положим cp*(f) =
=	• • -ср*(хп). Это определение корректно, так как от одной за-
писи элемента / к другой можно перейти конечным числом вставок и
вычеркиваний подслов вида хх-1, где х Е Х±. Очевидно, отображение
ср* : F G является гомоморфизмом, причем единственным, продол-
жающим ср.
Пусть теперь F — свободная группа с базисом X в смысле опреде-
ления 3.5. Тогда тождественное вложение X (X) можно продолжить
до гомоморфизма F -л (X), и, значит, до гомоморфизма Г Г с об-
разом (X). Так как имеется еще тождественный гомоморфизм F - F.
то, в силу единственности продолжения, имеем F = (X).
Единственность приведенной записи элементов группы F относи-
тельно X следует из рассмотрения гомоморфизма F -л [F], продолжа-
ющего отображение х i - [х], х Е X.
3.7.	Упражнение. Свободная группа с базисом {а, Ь} имеет так-
же базис {ab, bob}.
3.8.	Теорема. Любые два базиса свободной группы F равномощны.
Доказательство. Пусть X — некоторый базис свободной груп-
пы F. Пусть Z? = {0,1} — группа вычетов по модулю 2 и Н — группа
относительно сложения, состоящая из всех функций / : X Z^, при-
нимающих значение 1 только для конечного числа элементов х Е X.
Складываются такие функции покомпонентно: (/ + <?)(я?) = f(x)+g(x),
х Е X.
Сопоставим каждому х Е X функцию fx, принимающую значе-
ние 1 на я; и 0 на остальных элементах из X. Возникающее отображение
продолжается до эпиморфизма ср : F -л Н. Подгруппа Кег<д состоит из
всех слов, в которых для каждого х Е X общее число вхождений х и х1
четно. Докажем, что Кег ср = (/2| f Е F). Включение правой части в ле-
вую очевидно. Обратное включение следует индукцией по длине слова
из Кег<д ввиду формул хихи = (хи)2 и~1и и х~1ихи = х~2(хи)2  u-1v.
Итак, Н = F/(f2\f Е F), откуда следует, что мощность Н не зави-
сит от выбора X. С другой стороны, из определения Н следует, что
\Н\ = если X конечно и \Н\ = |Х|, если X бесконечно. Поэтому
мощность базиса — инвариант группы F.
3.9.	Определение. Ранг свободной группы — это мощность лю-
бого ее базиса.
Обозначим ранг свободной группы F через rk(F).
66
Глава 2
3.10.	Следствие. Две свободные группы изоморфны тогда и
только тогда, когда их ранги равны,.
3.11.	Следствие. Если ф : F(Y) —> F(X) — эпиморфизм, то
|У|>|Х|.
Доказательство. Пусть : F(X) -э Н — эпиморфизм из доказа-
тельства теоремы 3.8. Группу Н можно рассматривать как векторное
пространство над полем из двух элементов. Базисом этого векторно-
го пространства является множество {fx я; G X}. Так как множество
ДфДД) порождает Н, то У > |Х|.
3.12.	Упражнение. В свободной группе ранга п > 2 существуют
свободные подгруппы всех конечных рангов.
Указание. В группе F(a, Ь) подмножество {a, b~1ab, ..., b~rabr} по-
рождает свободную подгруппу ранга г + 1.
3.13.	Упражнение. Пусть у : G — F(X) — эпиморфизм из
группы G на свободную группу F(X). Для каждого элемента х G X
выберем элемент х' в полном прообразе	Положим X' =
= { х' | х G X}. Докажите, что {X'} — свободная группа, изоморфная
группе F(X).
Следующая теорема позволяет изучать произвольные группы с по-
мощью свободных групп и их подгрупп. Мы разовьем этот подход в § 5.
3.14.	Теорема. Произвольная группа G является фактор-группой
подходящей свободной группы.
Доказательство. Пусть У — произвольное множество, порождаю-
щее группу G. По теореме 3.6 существует гомоморфизм из свободной
группы F(Y) в группу G, продолжающий тождественное отображе-
ние У У. Очевидно, этот гомоморфизм является эпиморфизмом.
3.15.	Определение. Ранг произвольной группы G — это минимум
из мощностей базисов свободных групп F таких, что G — гомоморфный
образ F, или, что то же самое, минимум из мощностей порождающих
группу G множеств2.
Докажем, что этот минимум достигается на некотором порождаю-
щем множестве. Если хотя бы одно порождающее множество конечно,
то это очевидно. Если же все порождающие множества бесконечны, то
их мощности совпадают с мощностью группы G и минимум равен \G\.
Действительно, пусть X — некоторое бесконечное порождающее груп-
пу G множество. Тогда каждый элемент из G есть произведение конеч-
ного числа элементов из X LLY 1. Поскольку мощность множества всех
2Ввиду следствия 3.11, это определение обобщает определение 3.9.
§4. Фундаментальная группа графа	67
конечных подмножеств бесконечного множества равна его мощности,
имеем \G\ = |Х|.
Ранг группы G обозначим через rk(G).
§ 4.	Фундаментальная группа графа
Пусть X — связный граф с выделенной вершиной х. Рассмотрим
множество Р(Х, х) всех путей в X с началом и концом в х. Для любых
двух путей р = ex... е& и q = е'х... е'п из Р(Х, х) определено их про-
изведение pq = 6i... 6*61... е'п, лежащее снова в Р(Х, х). Вырожден-
ный путь х можно рассматривать как единичный элемент и считать,
что он имеет пустую запись. Однако, так мы не получим группу при
X1 Д 0 ввиду отсутствия обратных путей к невырожденным. Ситуа-
цию можно исправить, если рассматривать пути е±... ejeeej+i.. . ет и
61... ещг+i .. . егп как одинаковые.
Более точно, скажем, что пути pi и Р2 из Р(Х, х) гомотопны, если
от pi к р2 можно перейти с помощью конечного числа вставок и вычер-
киваний подпутей вида её. Множество Р(Х, х) разбивается на классы
гомотопных путей. Обозначим через [р] гомотопический класс пути р
и для любых двух классов [р] и [д] положим [р] • [g] = [pq],
4.1.	Упражнение. Докажите, что
1)	произведение гомотопических классов определено корректно,
то есть не зависит от выбора представителей в классах,
2)	в каждом классе имеется ровно один путь без возвращений.
Теперь легко проверить, что множество гомотопических классов
путей из Р(Х,х) относительно такого произведения образует группу.
Эта группа называется фундаментальной группой графа X относи-
тельно вершины х и обозначается tvi(X,x).
4.2.	Замечание.
1)	Аналогично можно определить гомотопический класс [р] произ-
вольного (не обязательно замкнутого) пути р в X, произведение путей р
и g в X при условии, что конец р совпадает с началом д, и произведение
их гомотопических классов. Множество гомотопических классов всех
путей в X относительно такого частичного произведения называется
фундаментальным группоидом графа X.
2)	Если Xi — другая вершина графа X, то тгДАГ,яд) = тгх(ДС,х).
Изоморфизм задается правилом [р] i— [gpg-1], где g — фиксированный
путь из х в Xl.
Докажем, что фундаментальная группа связного графа свободна.
Выберем максимальное поддерево Т в X. Для каждой вершины и 6 А'0
68
Глава 2
существует единственный путь без возвращений из х в v, проходящий
в Т. Обозначим этот путь через pv. Тогда для любого ребра е 6 X1
определен путь ре = Ра(еДР~(еу Заметим, что [р^\ = щ '•
4.3.	Теорема. Пусть X — связный граф, х G Х°, Т — его мак-
симальное поддерево. Ориентируем X произвольным образом. Тогда
7Ti(X, х) — свободная группа с базисом S = {[ре] | е 6 Х^_ — Т1}.
Доказательство. Если р = ei62...efc — замкнутый путь в X с
началом в х, то [р] = [ре1 ] [ре2 ] • • • [рек ]. Так как [ре] = 1 для е G Г1, то
группа 7Г1 (X, х) порождается множеством S. Докажем единственность
приведенной записи элементов группы 7Г1(Х, х) относительно S.
Пусть [р] = [ре1 ] [ре2 ] • • • [рек ] — приведенная запись элемента [р] от-
носительно множества S. Это означает, что щ G X1 — Т1 и Д щ
для всех i. Поэтому сокращения подпутей в пути рЕ1Ре2 "'Рек могут
происходить только на стыках путей ре,, pei+1 и не затрагивают ре-
бер Ci. Следовательно, путь р гомотопен пути без возвращений вида
^161^262 • • • efeife+i, где все пути ti проходят в дереве Т. Так как в каждом
гомотопическом классе существует только один путь без возвращений,
то приведенная запись единственна.
Если f : X ~ Y морфизм графов и р = е±... еп — путь в X, то
определен путь f (р) = /(еД ... f (еп) в У.
4.4.	Упражнение. Пусть X и Y — связные графы, f : (X, х) —>
—> (Y,y) — морфизм. Тогда отображение f* : тгДХ, х) —> 7Г1(У, у), за-
данное правилом /*([р]) = [/(р)], является гомоморфизмом.
В § 20 мы определим накрытия графов — специальные морфиз-
мы /, для которых гомоморфизм является вложением.
§ 5.	Задание группы порождающими
и определяющими соотношениями
В этом параграфе мы обсудим способ задания групп порождаю-
щими и определяющими соотношениями. Он позволяет не только ком-
пактно задавать группы, но и изучать многие их свойства, а также
строить группы с заранее заданными свойствами. Такие задания групп
возникают естественно во многих областях теории групп и топологии.
5.1.	Определение. Пусть F — группа и R — ее подмножество.
Нормальным замыканием множества R в группе F называется наи-
меньшая нормальная подгруппа группы F, содержащая R.
§ 5. Задание группы порождающими . . .
69
Обозначим это нормальное замыкание через RF. Очевидно, при
непустом R имеем
к
RF =	I Л G F, гг G R, £г = ±1, к > О}.
г=1
Следующее простое замечание облегчает запись многих доказа-
тельств.
5.2.	Замечание. Если г G RF, то
urv Q Rf > uv Q RF.
5.3.	Пусть группа G порождается системой А =	и пусть
F — свободная группа с базисом X =	Отображение А' - И,
Xi  ai (г G I) продолжается до эпиморфизма ip : F G. Тогда
G = F/N, где N = Кег р. Если R — такое подмножество F, что N = RF,
то запись (X | R) определяет группу G с точностью до изоморфизма и
называется ее представлением. Такая запись удобна, так как часто,
даже в случаях, когда N не конечно порождена3 * *, удается отыскать
конечное множество R со свойством N = RF. Представление (X\R)
называется конечным, если множества X и R конечны. Существуют
конечно порожденные группы, не имеющие конечного представления
[57, 25].
5.4.	Пример. Группа S3 имеет представление
{х,у\ Х2,у2, (ху)3').
Действительно, зададим гомоморфизм р : F(x,y) S3 правилом
р(х) = (12), <д(у) = (23). Тогда р является эпиморфизмом и в его ядре
лежат элементы х2, у2, (ху)3. Докажем, что Кег<р совпадает с нормаль-
ным замыканием множества этих элементов, используя замечание 5.2.
Пусть хкгу11 ... xksyl,,xk’'+l G Кег<р, где все показатели не равны нулю,
кроме, может быть, первого и последнего. Вычеркивая подслова ви-
да xF2 и у±2, можно считать, что все ненулевые показатели равны 1.
Далее, вычеркивая подслова вида хухуху и ухухух, можно прийти к
словам длины не более 5 с показателями при буквах х и у равными 1.
Из них только пустое слово (оно равно 1) лежит в Кег<д. Утверждение
доказано.
3По теореме 22.5, если F(X) — свободная группа конечного ранга, то любая ее
неединичная нормальная подгруппа N, имеющая бесконечный индекс в F(X), не
является конечно порожденной.
70
Глава 2
В § 7 мы выведем представление группы Sn для любого п с помо-
щью индукции по п и теорем 5.7 и 5.8.
Иногда вместо слов г из R в записи представления пишут равен-
ства г = 1 или даже и = и, если г имеет вид ш ’ 1. Часто систему
порождающих А группы G отождествляют с множеством X ее пред-
ставления4 *. Тогда множество {г = 1 г 6 R} называют множеством
определяющих соотношений группы G, а задание группы G представ-
лением (X [ R) называют заданием порождающими и определяющими
соотношениями. При этом пишут G = {X | R) и слова в алфавите Х±
отождествляют с элементами группы G.
Если и, и — два слова в алфавите Х±, задающие одинаковые эле-
менты группы G, то говорят, что и = и — соотношениев группе G. Про-
извольное соотношение и = и в группе G является следствием опре-
деляющих (выводится из них) в том смысле, что слово не 1 в F(X)
является произведением некоторых слов, сопряженных к словам из R±.
Доказать или опровергнуть, что два данных слова в алфавите А’= за-
дают одинаковые элементы группы G иногда весьма непросто. В общем
случае эта проблема, называемая проблемой равенства слов, алгорит-
мически неразрешима даже в классе конечно представленных групп
[17, 31]. Однако, если группа конечно представлена и финитно аппрок-
симируема, то проблема равенства слов в ней разрешима (см. § 29).
5.5.	Упражнение. Пусть п — целое число, по модулю большее 1.
Группа G, порожденная в GL2(Q) матрицами
имеет представление (а, Ь | а 1Ьа = Ьп).
Решение. Значением слова ак1Ь11 ... ак"Ь1" на матрицах А, В назо-
вем его образ в G при отображении о > А, b , /Г Говоря о соотноше-
ниях в G, будем использовать алфавит {Л, В}111.
Прежде всего заметим, что соотношение А-1 В А = Вп справедли-
во. Теперь докажем, что любое соотношение между матрицами Л и В
выводится из этого соотношения. Пусть ш = ак1Ь11 .. .aFb1, — произ-
вольное слово такое, что его значение на матрицах Л и В равно единич-
ной матрице Е. Перепишем это слово в виде (аР1 Ь11 аГР1)(аР2bl2аГР2')...
... (ap‘bl‘a~p“)ap“, гдерг = к1 + к? +    +ki- Воспользовавшись тем, что
при к > I соотношение a kb<ik = (arlbal')n является следствием со-
отношения а~1Ьа = Ьп, можно привести слово ш к виду wi = a~lbtal-aPl'.
При этом значение слова wi на матрицах Л и В по-прежнему равно Е.
4 Если элементы в А повторяются, то один и тот же порождающий может одно-
временно обозначаться различными буквами из X.
§6. Преобразования Титце
71
Простые матричные вычисления показывают, что t = ps = 0, то есть
W1 = 1.
5.6.	Упражнение. 1) Конечная диэдральная группа Dn имеет
представление (a, b | а2 = 1, bn = 1, a^ba = 6 Д
2)	Бесконечная диэдральная группа Д имеет представление
(а, b | а2 = 1, а-1&а = &-1).
Пусть р : X G' — отображение из множества X в группу G'.
Для произвольного слова г = х\... хп в алфавите Х± положим <^(г) =
=	• • • <д(хп), считая, что (Дх-1) = (<р(х))-1 при х G X.
5.7.	Теорема. Пусть группа G задана порождающими и опреде-
ляющими соотношениями	и пусть G' — другая группа. Если
отображение р : X ~ G' таково, что <р(г) = 1 для всех г 6 R, то р
продолжается до гомоморфизма G -э G'.
Доказательство. Произвольный элемент g 6 G записывается (воз-
можно неоднозначно) в виде g = Xi • • • Xk, где все Xi из ХД Поэтому
искомое продолжение естественно задать правилом g ь-> р(хД • • • р(хД).
Для проверки корректности этого определения достаточно заметить,
что если Xi • • • хк = 1 в G, то Дяд) • • • р(хД) = 1 в G'. Это вытекает из
того, что все слова из RF^X^ отображаются под действием р в 1.
Придадим другую форму этой теореме.
5.8.	Теорема. Пусть группы G и G' заданы порождающими и
определяющими соотношениями (Х| R) и (Х'| R'). Если отображение
р : X - X' таково, что все слова <p(r) (г G R) лежат в нормальном
замыкании множества R' в F(Xr), то р продолжается до гомомор-
физма G —> G'.
§ 6.	Преобразования Титце
В этом параграфе мы докажем, что если группа G имеет два конеч-
ных представления, то от одного к другому можно перейти с помощью
конечной последовательности преобразований Титце.
Согласно пункту 5.3 будем говорить, что представление (X | R)
группы G происходит из эпиморфизма р : F(X) —> G, если Кег<д =
= RFtx). Эпиморфизм р и множество R не определяют друг друга
однозначно. Например, представление (х | х3) группы = {0,1, 2} вы-
четов по модулю 3 происходит из двух эпиморфизмов р^ и р-> из F(x)
в Яз, заданных правилами <Д1(ж) = 1 и рДх) = 2 соответственно.
72
Глава 2
6.1.	Упражнение. Покажите, что представление
(х,у | х~5у2,х6у~3) тоже задает группу Z$.
Пусть (X | R) — некоторое представление группы G. Предполо-
жим, что оно происходит из эпиморфизма <р. Определим преобразо-
вания Титце вида I, II, Г и IF.
I.	Пусть г — произвольный элемент из RF(X\ Тогда (X| R U {г})
тоже является представлением группы G и происходит из </?. Переход
от первого представления ко второму запишем в виде
{X\R)^{X\RL){r}).
II.	Пусть у Х'! — новая буква, w — произвольный элемент
из F(X). Тогда имеется переход
(X\R) ^{XL){y}\RU{y-1w}').
Последнее представление тоже является представлением груп-
пы G. Докажем, что оно происходит из эпиморфизма Д: F(XU{y})^ G,
заданного правилами Д(х) = Дх) для х е X и <Д(у) = Дл-). Обозна-
чим через N нормальное замыкание множества R U {y-1w} в груп-
пе F(X U {у}). Ясно, что N С Кег Д. Докажем обратное включение.
Пусть у — произвольное слово из КегД. По замечанию 5.2 имеем
uyF1v Е N -<=> uwF1v Е N. Поэтому можно считать, что у не со-
держит букв у и у-1. Тогда у Е К (ту С N.
Преобразования I, II и обратные к ним преобразования F, IF назы-
ваются преобразованиями Титце. Будем писать (Хх| ЯД (АД-Кг),
если от (АД Л1) к (X2I R2} можно перейти конечной последовательно-
стью преобразований Титце. Для произвольного множества слов W и
пары букв х и у обозначим через Wx^y множество, полученное из W
заменой букв х и х * на буквы у и у 1 в каждом слове w Е W.
6.2.	Упражнение.
1)	Если Д и R2 конечны и R^x^ = R^X\ то (Х| Д) —> (А Д).
2)	Пусть R конечно, х Е X и у Х± — новая, буква. Тогда
(х \ (Хх^у | Rx^y).
Докажем только второе утверждение, опираясь на первое. Име-
ем {X | R) —> (A U {у} | R U {у^х}) {X U {у} | Rx,y U {ж-1у})
(Хх^у | lix—y). Второй переход возможен ввиду утверждения 1. Ра-
венство соответствующих нормальных замыканий следует из того, что
любое слово ихи можно переписать в виде иуи  v~1(y~1x)v.
§6. Преобразования Титце
73
6.3.	Теорема (Титце). Два конечных представления (X|J?i)
и (У| R-2) задают одну и ту же группу G тогда и только тогда, когда
от одного к другому можно перейти конечным числом преобразований
Титце.
Доказательство. Пусть представления (Х| R±) и (У| R2) задают
группу G и происходят из эпиморфизмов рц и </?2- В силу упражне-
ния 6.2 можно считать, что X П У = 0. Для каждого у G У выбе-
рем wy G F(X) такое, что p\(wy) = ръД)- Для каждого х G X выбе-
рем wx 6 F(Y) такое, что = рДшД). Имеем
(X I ЯД ... {X и У I и {у-^у I у G У}) 4 ... 4
i {X U У | Hi U i?2 U {y~1wy | у 6 У} U {x-1wa, | х 6 X}).
Среднее представление в этой цепочке происходит из эпиморфизма
</?i U р2- Переход к последнему представлению возможен ввиду вклю-
чений R2 С Ker</?2 С Ker (<pi U <£>2) и x^1wx G Ker (<pi U <£>2)- Вследствие
симметрии, представление (У R2) приводится к тому же виду. Поэтому
(X Ri) (У| Яг)- Обратное утверждение теоремы очевидно.
Отметим, что не существует алгоритма, позволяющего узнавать,
задают ли два разных представления одну и ту же группу [1, 58]. Тем
самым поиск (или доказательство отсутствия) соответствующей цепоч-
ки преобразований Титце становится своего рода искусством. Чтобы
овладеть этим искусством, необходимо научиться выводить нужные
следствия из данного множества соотношений. В следующих приме-
рах мы будем возводить соотношения в степень, перемножать различ-
ные соотношения и подставлять одни соотношения в другие. Последнее
означает, что если имеются соотношения w = upv и р = q, то можно
подставить q вместо р и получить соотношение w = uqv.
6.4.	Примеры.
1)	Фундаментальная группа5 6 узла «трилистник» (рис. 10) имеет
представление (х, у ] хух = уху). Покажем, что эта группа представима
в виде нетривиального свободного произведения с объединением8.
(х, у | хух = уху) (х, у,а,Ь\ хух = уху, а = ху, b = хух)
(х, у,а,Ь\ хух = уху, а3 = Ь2, а = ху, Ъ = хух, х = а~3Ь, у = 5-1а2)
)х, у, а, b | а3 = Ь2, х = отД, у = Ь^3а2)	(а,Ь\а3 = Ъ2).
5 Определение фундаментальной группы (узла) можно посмотреть, например, в
книгах [42, 56].
6Эта конструкция возникнет в § 11.
74
Глава 2
Рис. 10
2)	Покажем, что представление
(а, b | а62а-1 = b3, Ьа2Ь~3 = а3)
задает единичную группу.
Введем новые порождающие и соотношения:
6,	= aba~\ b2 = аЬза~3, Ьз = ab2a~3.
Выводим следствия:
МД1 = а, Ь3 = bb?1  Ь2  bib-1 = ЪЪ2Ъ~\
b3 = b2, bl = bl, b3 = bl,
b8 = b32 = b38 = b27,
bl = b32 = b38.
Так как Ьз = bb2b~3, то отсюда следует, что Ь27 = Ь38. Далее, 1 = Ь9 =
= Ь8 = 64. Так как b2 = а2Ьа~2, то /11 = 1. Из b9 = 1 = /11 следует 6 = 1.
Тогда и а = 1.
6.5.	Упражнение. Выведите из упражнения 5.6, что
1)	конечная диэдральная группа Dn имеет представление
(а, с |а2 = 1, с2 = 1, (ас)п = 1},
2)	бесконечная диэдральная группа /Г имеет представление
(а,с\а2 = 1, с2 = 1).
§ 7.	Представление группы Sn
7.1.	Теорема. Группа Sn имеет представление
{ti, ..., tn—i 1= 1, ГГ+зГ = Г+зГГ+з, tptj = tjti Qi j\ > 1)}.
§8. Деревья и свободные группы
75
Доказательство проведем индукцией по п. При п = 1,2 теорема
очевидна. Сделаем индукционный переход от п— 1 к п. Пусть G — груп-
па с данным представлением. По теореме 5.7 отображение Г i- (г, i + 1)
задает эпиморфизм у : О’ - 6',, . Достаточно доказать, что \G\	|>Sn|.
Рассмотрим подгруппу Н = (Д, ..., tn-i) группы G. По индукции >Sn_i
имеет представление
(si, . . . , Sn-2 Si = 1, SiSi+^Si =	Si-Sj = SjSi (|г — j\ > 1))
и, следовательно (по теореме 5.8), существует гомоморфизм Sn-i —> H,
заданный правилом Si ь-> ii+i, 1 Sj i Sj n — 2.
Поэтому \H\	|S*n_i|. Мы докажем, что |G|	>Sn|, если до-
кажем, что |G : H\ Sj n. Положим Hg = H, Hi =
(lsjisjn — 1). В силу того, что 7z 1 = 7j, достаточно доказать, что
множество Нд U Н± U . . . U 7/,,_| замкнуто относительно умножений
справа на ti, .. . , 7n~i. Имеем НД = Hi_\, H{ti+\ = Н+±. Положим
Ui = 7172 • • -ti. При J Д г + 2 выполняются равенства НД = Hiiitj =
= HtjUi = Нщ = Hi. При j i — 1 имеем щ = Uj-itjtj+iv, где
v перестановочно c tj. Следовательно, НД = Huj-^tjtj^v  tj =
= Huj-^(tjtj+^tj)v = Huj-i (7j^i7j7j^i )f = Htj^-yUj—itjtj^-yv = Hi.
7.2.	Упражнение. Группа An имеет представление
(зз, ..., sn \§i =1, (sjSj) = 1 (3 С- i Д j ^))•
Это представление происходит из эпиморфизма F(s3, ..., sn) —> Ап
заданного правилом Sj н- (12г), где 3 i п.
§ 8.	Деревья и свободные группы
В этом параграфе мы докажем теорему Нильсена-Шрайера о том,
что подгруппа свободной группы свободна. Это позволит нам находить
представления подгрупп групп по представлениям самих групп. Метод
доказательства использует деревья, что неудивительно, если взглянуть
на рис. 11, где изображена часть графа Кэли группы F(x,y) относи-
тельно порождающего множества {х,у}. Развитие этого метода при-
водит к теории Басса-Серра групп, действующих на деревьях. Она
позволяет единообразно рассматривать конструкции свободного произ-
ведения с объединением и HNN-расширения, играющие важную роль
в теории групп и топологии.
Для понимания дальнейшего следует вспомнить определения из § 1.
Условимся, что все действия в этом параграфе левые.
76
Глава 2
Рис. 11
8.1.	Предложение. Пусть T(G,S) — граф, определенный груп-
пой G и подмножеством S С G. Тогда r(G,S) — дерево -<=> G —
свободная группа с базисом S.
Доказательство. Для ребра е = где t G S U S' '. определим
его метку s(e) = t. Тогда ш(е) = a(e)s(e) и для любого пути ei... еп
имеем са(еп) = a(ei)s(ei) • • • s(en).
Пусть G — свободная группа с базисом S. В силу упражнения 1.14
граф Г(С, S) связен. Предположим, что в Г(С?, S) существует замкну-
тый путь без возвращений щ. .. еп. Тогда ш(ега) = a(ei) и, следова-
тельно, s(ei) • • • s(en) = 1. Так как S — базис группы G, то существует
такое к, что s(e&) = (s(ek+i))-1. Тогда ребра ед, и e^+i противополож-
ны — противоречие. Итак, граф T(G, S) является деревом. Доказатель-
ство обратного утверждения оставляем читателю.
8.2.	Следствие. Свободная группа G действует свободно и без
инверсий ребер на некотором дереве (а именно, левыми умножениями
на своем графе Кэли T(G,S), где S — базис G).
Справедливо и обратное утверждение.
8.3.	Теорема. Пусть G — группа, действующая свободно и без
инверсий ребер на дереве X. Тогда G свободна и ее ранг равен мощно-
§8. Деревья и свободные группы
77
сти множества положительно ориентированных ребер фактор-гра-
фа G\X {при любом выборе ориентации), лежащих вне некоторого
(любого выбранного) его максимального поддерева.
В частности, если фактор-граф G\X конечен, то
rk(G) = \(G\X)\\-\(G\X)°\ + l.
Доказательство. Пусть р : X —> X' — каноническая проекция де-
рева X на фактор-граф X' = G\X. Выберем в X' максимальное подде-
рево Т' и поднимем его до некоторого поддерева Т в X. Отметим, что
разные вершины дерева Т не эквивалентны относительно действия G
и каждая вершина из X эквивалентна некоторой (единственной) вер-
шине из Т. Ориентируем X' произвольным образом и поднимем эту
ориентацию в X, то есть считаем, что ребро из X положительно ори-
ентировано тогда и только тогда, когда его образ в X' положительно
ориентирован.
Пусть Е' — множество положительно ориентированных ребер X',
не входящих в Т'. По упражнению 1.11 для каждого ребра е' G Е' суще-
ствует его поднятие с началом в некоторой вершине из Т. Такое подня-
тие единственно, иначе из этой вершины и выходят два эквивалентных
ребра и тогда элемент, переводящий одно ребро в другое, фиксирует и,
что противоречит свободе действия G на X. Обозначим это поднятие
через е и заметим, что конец е лежит вне Т (иначе е лежит в Т и тогда
е! лежит в Т'). Пусть Е — множество всех положительно ориентиро-
ванных ребер в X с началом в Т и концом вне Т. Легко понять, что р
отображает Е на Е' биективно.
Конец каждого ребра е £ Е эквивалентен единственной вер-
шине v(e) £ Т. Элемент из G, переводящий v(e) в конец ребра е, тоже
единствен в силу свободы действия G на X. Обозначим его через де.
Докажем, что G — свободная группа с базисом S = {де ] е £ Е).
Поддеревья дТ (д £ G) попарно не пересекаются, множество их вер-
шин совпадает с множеством вершин дерева X. Поэтому любое поло-
жительно ориентированное ребро / из X, не входящее в объединение
этих поддеревьев, соединяет некоторые два из них, скажем дД и дэТ.
Стянем каждое поддерево дТ в одну вершину и обозначим эту вершину
через (дТ). Получится дерево Хт, в котором ребро / соединяет вер-
шины (дД) и (дД). В силу предложения 8.1 достаточно доказать, что
Хт = T(G, S). Изоморфизм задается отображением вершин (дД) щ,
{дД) еэ <72 и ребер / i— (<7i,s), где s = g^gz- Элемент з лежит в S,
т. к. ребро <?)“ / соединяет поддеревья Т и gf1 дг?1.
Последнее утверждение теоремы следует из упражнения 1.7.
78
Глава 2
8.4.	Следствие (Теорема Нильсена Шрайера). Любая под-
группа свободной группы свободна.
Доказательство. Пусть G — свободная группа с базисом S. По
следствию 8.2 группа G действует свободно и без инверсий ребер на
дереве Г(С, S). Если Н G, то Н тоже действует свободно и без ин-
версий ребер на том же дереве. По теореме 8.3 группа Н свободна.
8.5.	Следствие (Формула Шрайера). Если G — свободная
группа конечного ранга и Н — ее подгруппа конечного индекса п, то
rk(H) — 1 = n(rfe(G) — 1).
Доказательство. Пусть S — некоторый базис группы G, Н \G —
множество правых смежных классов группы G по подгруппе Н. Груп-
па Н действует на вершинах и положительно ориентированных ребрах
дерева Г(б, S) по следующим правилам: g Д hg, (g,s) Д (hg,s). Здесь
h G Н, д G G, s G S. Поэтому фактор-граф Y = Н \ Y(G,S) задается
формулами У0 = H\G, Уд1 = (H\G) х S, причем ребро (Hg, s) соеди-
няет вершины Нд и Hgs. По теореме 8.3 имеем гк(Н) = n-rk(G)—Ti+l.
Изучим более подробно фактор-граф У = Н \ T(G, S). Используя
этот граф и понятие фундаментальной группы, мы получим другое до-
казательство следствия 8.4. Меткой ребра е = (Hg,t), где t G S U S 1,
назовем элемент s(e) = t. Меткой пути I = ei. .. ед, назовем произведе-
ние s(Z) = s(ei) • • • s(efe). Меткой вырожденного пути считаем единицу.
Если произведение путей 1± и /2 определено, то, очевидно, з(Д1Д =
=
8.6.	Замечание. В звезде каждой вершины графа У метки раз-
личных ребер различны и пробегают множество S U S ].
8.7.	Предложение. Группа Н состоит из меток всех путей в
графе У с началом и концом в вершине Н.
Доказательство. Пусть I = e±... в). — путь в У с началом и кон-
цом в вершине Н. Как и раньше имеем cj(cj) = a(ej)s(ej) и офе^) =
= o(ei)s(ei) • • • s(efe) = a(ei)s(Z). Так как cj(ek) = a(ei) = H, to
s(l) G H.
Наоборот, пусть h = si • • • G H, где Si G S± для всех i. Положим
ei = (77, si) и Ci = (Hsi    Si-i, Si) при 2 i k. Тогда I = e±...	—
путь с началом и концом в Н такой, что s(l) = h.
Наша ближайшая цель — показать, что Н порождается метками
некоторых «простейших» путей в У.
§8. Деревья и свободные группы
79
Выберем максимальное поддерево А в У и выделим вершину у,
равную смежному классу Н. Для каждой вершины и G У0 существует
единственный путь без возвращений из у в v, проходящий в А. Обо-
значим этот путь через pv. Тогда для любого ребра е G У1 определен
путь ре =ра(е)ер^еу
8.8.	Теорема. В предыдущих обозначениях Н — свободная группа
с базисом {s(Pe) | е G УД — А1}.
Доказательство. Зададим отображение з : яд (У, у) —> G прави-
лом [р] | - s(p). Так как метки гомотопных путей равны, то отобра-
жение s корректно определено. По предложению 8.7 это отображение
является гомоморфизмом на Н. Взаимная однозначность s вытекает из
того, что неединичный гомотопический класс содержит невырожден-
ный путь без возвращений и метка такого пути неединична (по заме-
чанию 8.6). Теперь утверждение теоремы следует из теоремы 4.3.
8.9.	Определение. Пусть G — свободная группа с базисом S
и Н — ее подгруппа. Система представителей Т правых смежных клас-
сов G по Н называется шрайеровой, если из того, что t G Т имеет при-
веденную форму S1S2 • • • sn (si G S U S-1) следует, что з±    si Е Т для
каждого 0 i п. Такую систему будем называть коротко шрайеровой
трансверсалью для Н в G.
В частности, 1 G Т. Для g G G обозначим через g такой элемент
из Т, что Нд = Н~д.
8.10.	Теорема. 1) Для любой подгруппы Н свободной группы G
с базисом S существует шрайерова трансверсаль в G. Более точно,
пусть А — произвольное максимальное поддерево в фактор-графе У =
= Н \ T(G,S). Тогда множество
Т(Д) = {фДД G У0}
является шрайеровой трансверсалью для Н в G.
2) Соответствие А Т(А) задает биекцию из множества мак-
симальных поддеревьев в У в множество шрайеровых трансверсалей
для Н в G.
3) Пусть Т — произвольная шрайерова трансверсаль для Н в G.
Тогда Н имеет базис
{7s(is)-111 G Т, s G S и is(is)-1 1}.
Доказательство. 1) Так как и пробегает множество правых смеж-
ных классов группы G по подгруппе Н и v = Hs(pv), то Д(А) — си-
стема представителей этих классов. Осталось заметить, что для пути
80
Глава 2
pv = ei62 ... еп в дереве А его метка s(pv) = s(ei)s(e2)  •  s(en) является
приведенным словом и любое начальное подслово этого слова является
меткой соответствующего начального подпути пути pv.
2)	Пусть Т — произвольная шрайерова трансверсаль для Н в G.
Пусть t = si • • • Sk — произвольный элемент из Т, записанный в при-
веденной форме. Сопоставим ему путь lt = ei. . . ед, в У такой, что
a(ei) = Н, s(ei) = Si. Пусть Д(Т) — подграф в У, образованный всеми
ребрами, входящими в пути It (t G Т), обратными к ним ребрами, а
также их началами и концами. Легко понять, что Д(Т) — максималь-
ное поддерево в У, и что соответствия A i— Т(Д) и Т ь-> Д(Т) задают
взаимно обратные отображения.
3)	Третье утверждение следует из теоремы 8.8. В самом деле, пусть
А — максимальное поддерево в У, соответствующее системе Т. Для
любого пути ре = Ра^ер~^ имеем s(pe) = tsif1, где t = s(pa^),
s = s(e), ii = з(рш(е)). По первому утверждению t,ti eT, апо пред-
ложению 8.7 имеем tst^1 G Н, т. е. Д = ts. Осталось заметить, что
(е G yj -<=> s(e) G S) и (е G A1 -<=> s(pe) = 1) и сослаться на
теорему 8.8.
8.11.	Примеры.
1)	Множество {anbm\n,m G Я} является шрайеровой трансвер-
салью для коммутанта свободной группы F(a,b). Имеем anbm • а =
= an+1bm, anbm  b = anbm+1. Поэтому этот коммутант имеет базис
{anbmab-ma-(-n+1')	0}.
2)	Пусть Н — подгруппа свободной группы F(a,b), состоящая из
всех слов с четной суммой показателей при а и при Ь. Легко понять,
что {1, а, Ь, ab} — шрайерова трансверсаль для Н в группе F(a, b). Обо-
значим через Г граф Кэли группы F(a, &) относительно базиса {а, Ь}.
Размеченный фактор-граф Л\Г изображен на рис. 12 слева (например,
вершины НаЪ и НЪ соединены ребром с меткой а, поскольку НаЪа =
= НЪ). Выберем в нем максимальное поддерево А, состоящее из жир-
ных ребер и их концов. Тогда Н имеет базис
a2, Ъ2. ab2a~1,abab~1,bab~1a~1.
Заметим, что Н является ядром гомоморфизма р : F(a, b)  Z-) х Z2,
отображающего а в порождающий первого множителя и b — в поро-
ждающий второго.
3)	Пусть Н — ядро гомоморфизма р : F(a, b) —> S3, заданного
правилом а — (12), b (13). Множество {1, a, b, ab, ba, aba} является
§9. Переписывающий процесс Райдемайстера- Шрайера 81
Рис. 12
шрайеровой трансверсалью для Н в F(a, b). Группа Н имеет базис
{а2,а&2а-1, а&а2&-1а-1, ababa~1b~1, &2,&а2&-1, baba~1b~1a~1}.
8.12.	Замечание. Группа автоморфизмов графа Н \ Г, сохраня-
ющих метки ребер, изоморфна группе 7-± х 7-± в первом примере и
группе S3 во втором.
Следующее упражнение обобщает последние два примера.
8.13.	Упражнение.
1)	Представим диэдралъную группу Dn как фактор-группу груп-
пы F(a,c) по нормальному замыканию множества {а2, с2, (ас)п}.
Пусть Н — ядро канонического гомоморфизма ср : F(a,c) —> Dn. До-
кажите, что при п = 2k в качестве шрайеровой трансверсали для Н
в группе F(a,c) можно взять множество всех начальных подслое
слов (ас)к и (с(Г)к } с. при п = 2к + 1 — множество всех начальных
подслое слов (ас)ка и (са)к. Найдите базис группы Н.
2)	Представим бесконечную диэдралъную группу как фактор-
группу группы F(a, с) по нормальному замыканию множества {а2, с2}.
Найдите базис ядра канонического гомоморфизма F(a,c)->DX.
§ 9.	Переписывающий процесс Райдемайстера—
Шрайера
Пусть F — свободная группа с базисом X, Н F, Т — шрайерова
система представителей правых смежных классов F по Н. Для t Е Т
и лёХиХ-1 положим y(t,x) = ta(fcc)-1. Неединичные элемен-
ты y(t,x), где t Е Т, х Е X, образуют базис свободной группы Н.
82
Глава 2
Обозначим этот базис через Y, и пусть Н* — свободная группа с ба-
зисом Y* = {у*\ у G Y}. Отображение у ь-> у* определяет изоморфизм
т:Н -И'.
Для и GH элемент т(х>) можно вычислить, пользуясь следующим
замечанием. Пусть х = ад • • • хп G Н, Xi G X U X 1. Тогда
= у(1, Ж1)  7<ХГ, х2)  •   • 7(Щ1 • "Xi-!, Xi)  .	 ^(х-у   -Жп-1, хп).
Учитывая, что 7(i,ar-1) = 7(£аг-1, ж)-1, можно записать са через ба-
зис Y и, значит, т(ш) через базис У*. Этот процесс переписывания са
через базис У называется переписывающим процессом Райдемайстера-
Шрайера.
9.1.	Теорема. Пусть группа G имеет представление (Х|Я) и
ср : F(X)  G связанный с этим представлением эпиморфизм.
Пусть Gi — подгруппа группы G и Н — ее полный прообраз. Тогда
в обозначениях выше Gi имеет представление (Y*\R*), где R* =
= {тДг/1) t G Т, г G R}.
Доказательство. Пусть N — нормальное замыкание R в F(X).
Тогда Gi = H/N = H*/t(N). Подгруппа N состоит из всех конеч-
ных произведений элементов вида	где / G F, г G R, е = ±1.
Пусть / = Zii, где t G Т, h G Н. Тогда r(frE./’ 1 j = rilif rG, 11/Д) =
= т(б)(т(ЬгП1))£т(Д3), что и доказывает теорему.
9.2.	Следствие. Подгруппа конечного индекса в конечно пред-
ставленной (конечно порожденной) группе конечно представлена (ко-
нечно порождена).
9.3.	Пример. Пусть ср — гомоморфизм из группы трилистника
G = (а, b | а2 = Ъ3) в группу S3, заданный правилом а ь-> (12), b на (123).
Найдем конечное представление его ядра Н.
В качестве шрайеровых представителей правых смежных клас-
сов G по Н выберем 1, Ь, b2, a, ab, ab2. Порождающими группы Н
будут элементы
1 • а  (а)-1 = 1,
х = Ь • а • (Ьа)~3 = bab~2a~r,
у = Ь2 • а - (62</( 1 = Ircili 'а '.
z = а - а - (а2)-1 = а2,
и = ab • а • (аЬа)~3 = cibcib2.
v = ab2  а  (а&2а)-1 = а&2а&-1,
1-	&Д&)-1 =1,
Ь- Ь- ДД ' = 1,
w = Ь2 • b • (63 ) 1 = Ь3,
а  Ь - (а&)-1 = 1,
ab-b- (аД)-3 = 1,
s = ab2  b  (ab3)~3 = ab3a~3.
§ 10. Свободное произведение
83
Для нахождения определяющих соотношений нам нужно перепи-
сать соотношения вида iri-1, где t 6 {l,b,b2,a,ab,ab2}, г = b3a~2 как
слова в порождающих х, у, z, и, v, w, s. Имеем
г = т.'Г1. brb-1 = wv~1x~1, b2rb~2 = wu~1y~1,
ara~3 = sz-1,	(a&)r(a&)-1 = sy-1u-1,	(ab2)r(ab2')~1 = sx~1v~1.
Используя преобразования Титце, можно исключить порождаю-
щие w, v, и, s, подставив во все соотношения вместо них слова z,
x~3z, у'' z. z. В итоге мы получим следующее представление группы
Н: (х,у, z\yz = zy, xz = zx). Отсюда следует, что Н = F(z) х F(x, у).
9.4.	Упражнение. Докажите, что ядро гомоморфизма
ср : (s, 11 s3, t3, (si)3) Z3 = (a a3),
переводящего s и t в а, изоморфно Z x Z.
Рассматривая граф Кэли (рис. 13), построенный по представлению
(s,i | s3,i3, (si)3), можно убедиться в этом непосредственно.
Рис. 13
9.5.	Упражнение. Вычислите представление группы Ап, поль-
зуясь представлением группы Sn в теореме 7.1.
§ 10.	Свободное произведение
В этом параграфе мы определим свободное произведение групп А
и В. Взяв изоморфные копии этих групп, можно считать, что АпВ =
= {1}. Нормальной формой называется выражение вида  •  gn- где
84
Глава 2
n 0, ft £ (AUB) - {1} (1 г п) и соседние элементы не принад-
лежат одновременно А или В. Число п называется длиной этой нор-
мальной формы. Нормальная форма нулевой длины отождествляется
с единицей. Зададим на множестве всех нормальных форм умножение
индукцией по сумме длин перемножаемых форм: для любой нормаль-
ной формы х положим 1 • х = х  1 = ж; для нормальных форм х =
= pi . . . дп и у = Bi . . . hm при n > 1, m > 1 положим
			51 •	•	. hm)	
			51 •	.gn-izh2  •	h-m:
X	У =				
			51 •	•5n-i-h2 ..	hm-
если дп G A, hi G В
или дп G В, hi G А,
если дп, hi Е А или дп, hi Е В
и z = gnhi 1,
если дп, hi Е А или дп, hi Е В
и gnhi = 1.
10.1.	Упражнение. Докажите, что множество всех нормаль-
ных форм с операцией умножения, заданной выше, является группой.
Эта группа называется свободным произведением групп А и В и
обозначается А * В. Группы А и В естественно вкладываются в груп-
пу А * В. Это приводит нас к следующему предложению.
10.2.	Предложение. Пусть А и В — подгруппы группы G
такие, что любой неединичный элемент g G G представляется
единственным способом в виде произведения g = gig2...gn, где
gi G (AU В) — {1} (1 i n) и соседние элементы не принадлежат
одновременно А или В. Тогда G = А * В.
10.3.	Теорема. Пусть А = (X R), В = (У| S) и X Г\У = 0. Тогда
А* В = (X LJY\RU S).
Доказательство. Обозначим через \R~], и	нормальные
замыкания множеств R, S и R U S в группах F(X), F(Y) и F(X U У).
Пусть ср : F(X) —> А и ф : F(Y) —> В — гомоморфизмы с ядрами |’/?"|
и (S"| соответственно. Пусть 9 : F(X U У) —> А * В — гомоморфизм,
совпадающий с ср на X и с ф на У. Достаточно доказать, что КегВ =
= (.RUS]. Включение правой части в левую очевидно. Докажем обрат-
ное включение. Пусть g = gig2 • • • gn G Ker В, gi G (B(X) U У(У)) — {1}
и соседние множители не лежат одновременно в В(Х) или в У(У). Так
как 9{gi)9{g-2)    9{gn) = 1 в А * В, то существует такое г, что 9(jpt) = 1
и, значит, д{ G \R~] или gi G (S"|. Кроме того, 9(сц   • gi-igi+i  •  gn) = 1,
откуда индукцией по п заключаем, что gi •  • fji.—с \  •  gn G [R U S"|.
Следовательно, g G [R U S"|.
§11. Свободное произведение с объединением
85
10.4.	Пример. Dqo = Z2* Z2.
Хотя это следует из упражнения 6.5, мы приведем другое дока-
зательство. Положим с = Ьа, где а и b — автоморфизмы графа Соо,
определенные в и. 1.16. Тогда а и с можно мыслить как отражения гра-
фа Соо относительно начала и середины ребра во- В частности, а и с име-
ют порядок 2. При п > О автоморфизмы (са)п, (са)"с, а(са)пс, а(са)п
переводят ребро ео в ребра еп, e_(n+1), e_(n+i), соответственно. По-
скольку любой автоморфизм графа Соо полностью определяется обра-
зом ребра ео, все выписанные выше элементы различны и составляют
группу Doo- По предложению 10.2 имеем Doo — Ф) * (с).
§ 11.	Свободное произведение с объединением
Пусть даны группы G и Н с выделенными в них изоморфными
подгруппами А и В. Фиксируем изоморфизм ср : А -а- В. Группа F,
равная фактор-группе группы G * Н по нормальному замыканию мно-
жества {<д(а)а-1 | а 6 А), называется свободным произведением G и Н
с объединением по А и В. Для обозначения F используют записи
(G * Н\ а = ср(а)(ае Д)), G а*в Н, G *Н,
указывая в двух последних случаях изоморфизм ср.
Можно интерпретировать F как результат склейки А и В в сво-
бодном произведении G * Н. Ниже мы определим Д-нормальную фор-
му и покажем, что произвольному элементу группы F соответствует
единственная Д-нормальная форма. Отсюда будет следовать, что G
и Н естественно вкладываются в F. Пусть i : G * Н —> F — кано-
нический гомоморфизм. Любой элемент / G F записывается в виде
/ = г(а:о)г(ж1) • • • г(хп), где Xi G G U Н. Условимся вместо этой записи
использовать запись / = xqx± •  • хп.
Выберем систему представителей 7д правых смежных классов G
по Д и систему представителей Тд правых смежных классов Н по В.
Считаем, что представители подгрупп Д и В равны 1. Любой х 6 G
единственным образом записывается в виде х = хх, где х Е А, х 6 Та-
11.1.	Определение. А-нормалъной формой называется последо-
вательность (xq, xi, ..., хп) такая, что
1)	Xq G Д,
2)	Xi 6 Та — {1} или Xi Е Тв — {1} при г > 1, причем Xi и a;j+i
лежат в разных системах представителей.
В-нормальная форма определяется аналогично, для нее xq 6 В.
86
Глава 2
11.2.	Пример. Пусть G = (а | а12 = 1), Н =	| b15 = 1), А и В —
подгруппы порядка 3 в G и Н, изоморфизм ср : А —> В переводит а4 в Ьг>.
Тогда свободное произведение G и Н с объединением по А и В имеет
представление {а, Ь | а12 = 1,&15 = 1,а4 = Ь5). Пусть 7д = {1,а,а2,а3},
Тв = {1, Ь, Ь2, Ь3, Ь4}. Запишем элемент / = а3Ьа5 в виде произведения
множителей, составляющих A-нормальную форму. Для этого будем
выделять представители справа налево и заменять элементы из А со-
ответствующими элементами из В, и наоборот: / = а3Ьа4  а = а3Ь6  а =
= а3Ь3  Ьа = а3а4  Ьа = а4а3Ьа.
11.3.	Теорема. Любой элемент f 6 F = G * Н представля-
ется единственным способом в виде произведения f = т'о./'i • • • хп, где
(xq,xi, ... ,хп) — A-нормальная форма.
Доказательство. Существование такого представления доказыва-
ется индукцией с помощью постепенного выделения представителей
справа налево.
Докажем единственность. Пусть Wa — множество всех А-нор-
мальных форм, Wb — множество всех В-нормальных форм. Пусть
ср* : Wa —> Wb — биекция, сопоставляющая набору (xg,xi, .. . ,хп) на-
бор (ср(хф),Х1, ...,хп). Зададим действие группы G на множестве Wa-
Пусть g G G, т = До, xi, .. ., хп) G Wa- Положим
	' {gxo/x^, .. .,Хп),	если g G А,
	(Дх0,дх^,х1, .. .,хп),	если g А, х± 6 Н
д-т= <	{gx0xi,x2, - - -,xn~), (gx0x1,gx0x1,x2,   - ,хп)	если g А, х\ G G, gxoxi е А, если g А, х± 6 G, gxoxi А.
11.4.	Упражнение. Покажите, что эти формулы действи-
тельно задают действие группы G на множестве Wa-
Аналогично зададим действие группы Н на множестве Wb- Би-
екция ср* позволяет перенести это действие на множество Wa'- h • т =
=	Т е Wa, h G Н. Действия групп G и Н на множе-
стве Wa продолжаются до действия свободного произведения G * Н
на Wa- Так как элементы <Да)а-1, где a 6 А, лежат в ядре этого дей-
ствия, то имеется естественное действие группы F на множестве Wa-
§ 12. Деревья и свободные произведения с объединением 87
Пусть / G F и / = Жож1 ' •' хп, где (жо,Ж1, ..., хп) — А-нормаль-
ная форма. Вычислим образ формы (1) 6 Wa под действием эле-
мента /. Обозначим fi = XqXi    Xi. Тогда / • (1) = fn-i • (1,жп) =
j'r> 2 ’ (1, l'/i 1  Xn) = • • • =/o ’ (1,	• • • , Xn- 1, Xn) = (x0 > Xl, • • • , :l'/i 1, хД
Таким образом, элементу / соответствует единственная А-нор-
мальная форма. Иногда саму запись •  • хп называют нормальной
формой элемента /.
11.5.	Следствие. Пусть F = G ^*^Н. Канонический гомомор-
физм i : G * Н F индуцирует вложение групп G и Н в груп-
пу F. Подгруппы 1(G) и i(H) порождают группу F, их пересечение
равно г(А), что совпадает с i(B).
Далее мы будем обозначать образы групп G, Н, А и В в группе F
теми же буквами.
11.6.	Следствие. Пусть G = G^*G2- Если g е G и g = O1O2 • • • дп,
А
где п 1, gi Е Gi — А или g, Г 662 Л в зависимости от четности г,
то g 1.
§ 12.	Деревья и свободные произведения
с объединением
Сегментом называется связный граф, состоящий из двух вершин
и двух противоположных ребер: а_____9 .
12.1.	Теорема. Пусть G = Gi * G2. Тогда существует дерево X,
на котором G действует без инверсий ребер так, что G \ X — сег-
мент. При этом в X существует сегмент Т, являющийся подняти-
ем сегмента G\X, стабилизаторы двух вершин и ребра которого в
группе G равны G\, G2 и А соответственно.
Доказательство. Положим Х° = G/Gi U G/G2, -Д = G/А (здесь
все смежные классы левые). Положим а(рА) = gGi, (ДдА) = gG2, и
пусть Т — сегмент с вершинами Gi, G2 и положительно ориентиро-
ванным ребром А. Определим действие группы G на X левым умно-
жением. Докажем, что граф X связен. Без ограничения общности до-
статочно доказать, что его вершина вида gG\ связана путем с верши-
ной Gi. Запишем элемент д в виде <7i<?2  • -9т где gi 6 Gi или gi 6 G2
в зависимости от четности i. Тогда вершины д\... gt-iGi и д\... g,G\
при gi G Gi совпадают, а при gi G G2 соединены ребрами с вершиной
<71. .  gi-iG2 (= <71.. .5^2). Теперь связность легко следует индукцией
по п.
88
Глава 2
Докажем отсутствие циклов в графе X. Предположим, что в X су-
ществует замкнутый путь без возвращений е±. .. еп. Сдвигая его на эле-
мент из G, можно считать без ограничения общности, что ct(ei) = G±.
Так как соседние вершины являются смежными классами по разным
подгруппам, то п четно, и существуют такие элементы Xi G Gi — А,
Уг ё G2-А, что о(е2) =Ж1С2, а?(е3) = ацухбч, ... ,а(еп) = х1у1 • xn/2G2,
ш(еп) = xiyi    xn/2yn/2Gi. Так как w(en) = а(ех) = Gx, то мы полу-
чаем противоречие с единственностью нормальной формы элемента в
группе Gx * G2.
А
12.2.	Замечание. В графе X, построенном выше, все ребра с на-
чалом в вершине gGx имеют вид ggiA, где д\ пробегает множество
представителей левых смежных классов группы Gx по подгруппе А.
Валентность вершины gG\ равна индексу Gx : Д|. Стабилизатор вер-
шины gG\ равен gG^g-1. Аналогичные утверждения справедливы для
вершины вида gG2.
12.3.	Теорема. Пусть группа G действует без инверсий ребер на
дереве X и фактор-граф G\X — сегмент. Пусть Т — любое его под-
нятие, Gp, Gq и Ge — стабилизаторы вершин Р, Q и ребра е этого
поднятия. Тогда гомоморфизм ср : Gp * Gq -л G, тождественный на
Ge
Gp и Gq, является изоморфизмом.
Доказательство. 1) Докажем, что G = {Gp,Gq). Обозначим G' =
= {Gp, Gq) и предположим, что G' < G. Графы G' • Т и (G — G')  Т
не пересекаются. Действительно, равенство g'P = gQ, где д' G G',
д G G — G', невозможно, так как вершины Р и Q не эквивалентны от-
носительно действия G. Аналогично невозможно равенство g'Q = дР.
Равенство g'R = gR, где R е {Р, Q}, тоже невозможно, так как из него
следовало бы, что д G g'Gpt С G'. Осталось заметить, что X = G • Т —
связный граф, и поэтому его нельзя представить в виде объединения
двух непересекающихся непустых подграфов. Противоречие.
2)	Докажем, что гомоморфизм ср инъективен. Обозначим G =
= Gp * Gq, и пусть X — дерево, построенное по G как в доказательстве
теоремы 12.1. Зададим морфизм i: : X - X правилом gGr ь-» ср{д)  г,
где г G {Р, Q, е}, д G G. Этот морфизм является изоморфизмом: сюръ-
ективность вытекает из того, что X = G • Т и G = {Gp,Gq}, инъек-
тивность следует из упражнения 1.5, замечания 12.2 и инъективности
ограничений ср\аР, cp\aQ.
§13. Действие группы SL2(Z) на гиперболической плоскости 89
Пусть д G G — Gp. Тогда вершины Gp и gGp дерева X различны.
Поэтому вершины Р и ср(д') Р дерева X тоже различны. Следовательно
Яр) 1 и инъективность ср доказана.
Приведем другое доказательство инъективности ср. Достаточно
доказать, что gn . . .gzgi Д 1 в G при п > 2, где gi 6 Gp — Ge или
gi 6 Gq — Ge в зависимости от четности i. Без ограничения общности
считаем, что д\ G Gp — Ge. Тогда д\ фиксирует Р и не фиксирует Q.
Имеем d(P, giQ) = d(g±P, giQ) = d(P,Q) = 1, в частности, d(Q,g±Q) =
= 2. Поэтому можно представить себе, что д-\ действует на дереве X
как поворот вокруг вершины Р. При этом любой путь без возвращений,
проходящий через вершины Р и Q, переходит в путь без возвращений,
проходящий через вершины Р и g±Q. Аналогично д2 действует на де-
реве X как поворот вокруг вершины Q. Опираясь на эти замечания,
можно доказать по индукции, что d(Q, gi... gzgiQ) равно i при i четном
и i + 1 при г нечетном. Поэтому дп . .  g2gi 1.
12.4.	Пример. Группа действует без инверсий ребер на бари-
центрическом разбиении графа Coo (см. § 1 и рис. 14).
а	с
   —о----о------о------о------о-----о---- • • •
-1	-1/2	о	1/2	1	3/2
Рис. 14
Фактор-граф изоморфен сегменту. В качестве поднятия этого сег-
мента можно взять сегмент с вершинами 0 и 1/2. Стабилизаторы этих
вершин равны (а) и (с), где с = Ьа. Стабилизатор ребра поднятия ра-
вен {1}. Поэтому Doo = (а) * (с).
12.5.	Упражнение. Пусть pc G - Н — эпиморфизм и пусть
Н = Hi * Н2. Тогда G = Gi * G2, где G, = у '('Яд.
§ 13.	Действие группы SL2(Z) на гиперболической
плоскости
Далее С обозначает поле комплексных чисел. Каждое комплексное
число z однозначно записывается в виде z = х + iy, где х, у G R, i2 =
= —1. Числа х, у и у/^2 + У2 обозначаются через Re(z), Im(z) и |z| и
называются вещественной частью, мнимой частью и модулем числа z
соответственно.
90
Глава 2
Гиперболической плоскостью И2 называется множество {z G С
Im(z) >0}, которое иногда удобно отождествлять с открытой верхней
полуплоскостью евклидовой плоскости. Его элементы будем называть
точками.
Гиперболическими прямыми называются открытые полуокружно-
сти и полупрямые (в евклидовом смысле) в И2, замыкания которых
пересекают вещественную ось под прямым углом (рис. 15).
Рис. 15
13.1.	Упражнение. 1) Через любые две точки в И2 проходит
единственная гиперболическая прямая.
2)	Для любой гиперболической прямой I и любой точки z Е И2 вне
этой прямой существует бесконечно много гиперболических прямых,
проходящих через z и не пересекающих I.
Дробно-линейным преобразованием плоскости И2 называется отоб-
ражение Н2 И2 вида z az + Ь ||е а с rf ас[ _	Сле-
cz + а
дующее упражнение показывает, что образ И2 при таком отображении
действительно лежит в И2.
13.2.	Упражнение. Если a, b, с, d G R, ad — be = 1 и Im(z) > 0, то
число Im ( az	) превосходит число Im(z) в l/|cz + d|2 раз. В част-
Группа SL2(R) действует на И2 по правилу
a b \	az + Ь
с d J	cz + d'
Ядро этого действия равно {±1?}. Поэтому группу PSL2(R) =
= SL2(R)/{±-E} можно отождествить с группой всех дробно-линейных
§13. Действие группы SL2(Z) на гиперболической плоскости 91
преобразований плоскости И2. Группу PSL2(Z) можно рассматривать
как подгруппу группы PSL2(R).
13.3.	Упражнение. Образ луча {z + it\t 0}, где z G И2, под
действием матрицы (“ ^) из SL2(R) является либо лучом (при с = 0),
либо дугой окружности (при с 0), замыкание которой содержит
вещественную точку а/с.
13.4.	Упражнение. 1) Группа PSL2(R) действует транзитивно
и точно на множестве всех гиперболических прямых.
2)	Группа PSL2(R) порождается преобразованиями z ь-» z + Ь
(b G R), z i-а az (a G R, а > 0), z i-a — 1.
3)	Группа PSIj2(Z) порождается преобразованиями : z i— z + 1
и <р : z ьа
Пусть Mt обозначает объединение внутренности бесконечного ги-
перболического треугольника XYco с частью своей границы, выделен-
ной на рис. 16 жирной линией. Более точно,
Mt = {z 11 < |z|, —1/2 < Re(z) < 1/2} {ela | тг/З < а < тг/2}.
Рис. 16
13.5.	Теорема. Множество Mt является фундаментальной об-
ластью для действия группы PSL2(Z) на И2, то есть относительно
этого действия любая точка из И2 эквивалентна некоторой точке
из Mt и различные точки из Mt не эквивалентны.
92
Глава 2
Доказательство. 1) Докажем сначала, что любую точку z из Н2
можно перевести в некоторую точку из М подходящим элементом
из PSL2(Z).
Для данной точки z Е Н2 среди всех ее образов под действием
группы PSL2(Z) выберем тот образ z', у которого мнимая часть макси-
мальна. Это возможно, так как при С SL2(Z) число Im(az
превосходит число Im(z) в 1/|сд + d|2 раз, а неравенство \cz + d\ 1
выполняется лишь для конечного множества пар (с, <£) целых чисел.
Так как преобразование -ф не изменяет мнимой части, можно счи-
тать, что —1/2 < Re(z/) 1/2. Из условия Тп/Д)	сле-
дует, что \z'\ 1. Итак, точка z' лежит в множестве М или на дуге
{ег“| тг/2 < а < 2тг/3). В последнем случае можно применить преобра-
зование z ь-» — | и перевести z' в Л4.
2) Докажем, что различные точки из М не эквивалентны. Пред-
положим, что z' = az + где z,z' G М., G SL2(Z). Если с = 0, то
-|- d	\ с а /
а = d = ±1, и, значит, b = 0, z = z'. Пусть с / 0. Имеем
(cz' — a)(cz + d) = cz'(cz + d) — a(cz + d) =
= c(az + b) — a(cz + d) = cb — ad = —1.
Отсюда \z'—a/c\ • \z+d/c\ = 1/c2. Числа a/c и d/c вещественны, поэтому
\z' — a/c\ 1т(Д — a/c) = Im(z') > a/3/2. Аналогично \z + d/c\ у/ЗД.
Отсюда |c|	2/-/3. Так как с — ненулевое целое число, то с = ±1 и
\z' a • \z ± d\ = 1. При любых w G Al и n G Z имеем \w + n\ 1,
причем равенство возможно только при п = —1,0. Это дает конечное
число вариантов для а, Ь, с и d. Все они приводят к противоречию, если
предположить, что z^z'.
13.6.	Упражнение. Если матрица д G SL2(Z) — {±Е} стабили-
зирует точку z Е М, то выполняется один из следующих случаев
{матрицы —Е, А и В определены в теореме 13.7):
1)	z = ег7Г/2, g — степень матрицы А,
2)	z = с'"/3, g — степень матрицы В.
13.7.	Теорема. Объединение образов дуги Т = {ег“| тг/З а Д
тг/2} под действием группы SL2(Z) является деревом1. Группа SL2(Z)
действует на этом дереве без инверсий ребер так, что различные
7 Точнее, геометрической реализацией дерева, так как наше определение дерева —
комбинаторное.
§13.	Действие группы SL2(Z) на гиперболической плоскости 93
точки дуги Т не эквивалентны, ее стабилизатор и стабилизаторы
ее концов еп!’2 и ег7Г/3 порождаются матрицами —Е = (	_°х ) , А =
= (_°1(Q и В = ( _°х * ) порядков 2, 4 и 6 соответственно. В частно-
сти,
SL2(Z) Z4 * Z6.
z2
Доказательство. Докажем, что множество X = SL2(Z) • Т явля-
ется деревом. Связность X вытекает из того8, что SL2(Z) = (А, В} и
матрицы А и В стабилизируют концы дуги Т (аналогично доказыва-
ется связность X в теореме 12.1). Отсутствие пересечений различных
образов Т по внутренним точкам следует из теоремы 13.5 и упражне-
ния 13.6. Предположим теперь, что некоторые образы Т, рассмотрен-
ные как ребра графа, образуют цикл. Тогда эти образы ограничивают
некоторую компактную область D в И2. Так как образы Л4 покрыва-
ют И2, то во внутренности D существует точка w, лежащая во вну-
тренности некоторого сдвига дМ.. По упражнению 13.3 из точки w во
внутренности области дМ идет либо луч, либо дуга, стремящаяся к
точке на вещественной оси. И луч, и дуга должны пересечь границу
области D. Получили противоречие с тем, что внутренние точки из М
не эквивалентны граничным. Итак, X — дерево. Остальные утвержде-
ния теоремы проверяются легко, последнее следует из теоремы 12.3.
13.8	. Упражнение. Пусть С =	(JJ). Докажите, что
(—Е, С) = D2, (А, С) = D4, (В, С) = Dq. Выведите отсюда, что
GL2(Z) = Л 4 * Dq.
D?
Следующие четыре теоремы мы приводим без доказательств.
Свободное произведение с объединением Gi * G2 называется
G3
нетривиальным, если G3 Д Gi и G3 Д G2.
13.9	. Теорема (Серр [61]). При п 3 группы SLn(Z) и GLn(Z)
не представимы в виде нетривиального свободного произведения с объ-
единением.
Пусть Fn — свободная группа с базисом X = {я?1,я?2, ...,хп},
Aut(Fn) — группа ее автоморфизмов. Группа Aut(Fn) является таким
же классическим объектом в теории групп, что и группа GLn(Z). Из-
вестно (см. [53]), что существует эпиморфизм Aut(Fn) GLn(Z), за-
данный следующим правилом: элементу а 6 Aut(Fn) сопоставляется
8Известно, что SL2(Z) порождается трансвекциями fi2 (1) и t2i (1) равными В-1 А
и ВА-1.
94
Глава 2
матрица а, такая, что ее элемент од, равен сумме показателей при бук-
ве Xi в слове a(xj). Обозначим через SAut(Fn) полный прообраз группы
SLn(Z) при этом эпиморфизме.
13.10	. Теорема (Богопольский [5]).
1)	При п^З группы Aut(Fn) и SAut(Fn) не представимы в виде
нетривиального свободного произведения с объединением.
2)	Группа Aut(F2) разлагается единственным способом, с точно-
стью до сопряжения сомножителей, в нетривиальное свободное про-
изведение с объединением.
Заметим, что теорема 13.9 следует из первого утверждения теоре-
мы 13.10 в силу упражнения 12.5
Доказательства следующих теорем Ихары и Нагао содержатся
в [61].
Пусть р — простое число. Через Z[l/p] обозначим подкольцо коль-
ца Q рациональных чисел, состоящее из всех чисел вида n/pk, где п Е Z,
к Е {0,1, ... }. Кольцо Z[l/p] называется кольцом р-ичных дробей.
13.11	. Теорема (Ихара).
SL2(Z[1/p]) ^SL2(Z) * SL2(Z),
Го(р)
где Го(р) — подгруппа группы SL2(Z), состоящая из всех матриц ви-
да в которых с = 0 (mod р).
Пусть К — произвольное коммутативное ассоциативное кольцо с
единицей. Обозначим через В(К) подгруппу группы GL2(F), состоя-
щую из всех матриц вида ( “ d ).
13.12	. Теорема (Нагао). Пусть k[t] — кольцо многочленов от
переменной t над полем к. Тогда
GL2(k[t\) = GL2(fc) B(k[t\).
13.13	. Теорема (Санов). Для любого целого m > 2 матрицы
, / ч ( 1 т \ МН = 1 о 1 )	. / Ч ( 1	0 \ , r2i(m) =	. ’ v	\ т 1 J
порождают в SL2(Z) свободную группу ранга 2.
§ 14. HNN-расширения
95
Доказательство. В обозначениях теоремы 13.7 имеем ii2(w) =
= (В-1Д)т и t2i(m) = (ВА~1')гп. Остается заметить, что любое непу-
стое приведенное слово от слов (Д1 А)т и (’ВЛ 1 j"' имеет неединич-
ную нормальную форму в свободном произведении с объединением из
теоремы 13.7.
Другое доказательство этой теоремы, использующее прямые мат-
ричные вычисления, изложено в [10].
§ 14.	HNN-расширения
Пусть G — группа, А и В — ее изоморфные подгруппы и
у : Л - В — фиксированный изоморфизм. Пусть (t) — бесконечная
циклическая группа, порожденная элементом t, не входящим в G. Груп-
па G*, равная фактор-группе группы G * (б) по нормальному замыка-
нию множества {/ Л/Л До))1 | a G А), называется HNN-paciuitpewweAt
группы G относительно А, В и р. Группа G называется базой HNN-рас-
ширения G*, t — проходной буквой, Л и В — ассоциированными под-
группами. Для обозначения группы G* используют записи
(G, 11 H1at = <Да) (a G Д){ и G* ,
указывая в последнем случае изоморфизм р.
Ниже мы покажем, что произвольный элемент в группе G* имеет
единственную нормальную форму. Отсюда будет следовать, что груп-
пы G и (б) канонически вкладываются в G*. Если отождествить эти
группы с их образами в G*, то окажется, что подгруппы Д и В сопря-
жены элементом t, причем ограничение на А автоморфизма, индуци-
рованного сопряжением элементом t, совпадает с изоморфизмом р.
Пусть i : G * (б) -a- G* — канонический гомоморфизм. Любой эле-
мент х G G* записывается в виде х = i(go)i(t)£1 i(gi)    i(t)£r‘i{gn), где
gi G G, Sj = ±1. Условимся вместо этой записи использовать запись
х = goteigi  G"g,i .
Выберем систему представителей Та правых смежных классов G
по Д и систему представителей Тв правых смежных классов G по В.
Считаем, что представители классов А и В равны 1. Если g G G, то
через g обозначим представитель смежного класса Ад, лежащий в Та,
а через д — представитель смежного класса Вд, лежащий в Тв-
Буква д с индексом будет обозначать элемент группы G. Буква е
с индексом или без будет обозначать 1 или —1.
14.1.	Определение. Нормальной формой называется последова-
тельность (ро, t£1, pi, ..., t£" , дп) в которой
96
Глава 2
1)	go — произвольный элемент из G,
2)	если Si = —1, то gi G Та,
3)	если Si = 1, то gi G Тв,
4)	нет последовательных вхождений iE, 1, i".
Пользуясь соотношениями i-1a = <д(а)£-1 ntb =	где a G A,
b G В, можно каждый элемент из G* привести к виду got£19i   -t£'‘gn,
где последовательность (c/Q,t£1,91, ... ,t£n,gn) — нормальная форма.
14.2.	Пример. Рассмотрим HNN-расширение G* =
= (a, b, t\ t~1a2t = b3) с базой G = F(a,b) и ассоциированными под-
группами А = {а2} и В = (Ь3). Пусть Та — множество всех приве-
денных слов в F(a, b) вида и, аи, где и не начинается с а±х. Пусть
Тв — множество всех приведенных слов в F(a, b) вида v, vb, vb2, где
v не начинается с b4 Вычислим нормальную форму, соответствую-
щую элементу х = Ь2Г ~1a~4b3abt~1a4b3a, двигаясь справа налево. По-
скольку представитель класса Аа4Ь3а равен Ь3а и £~ха4 =	1. имеем
х = b2t~3 a~4b3 ab71~43 а. Поскольку представитель класса Bb5ab7 ра-
вен b2ab7 и tb3 = a2t, то ж = /г/'о	= bab7t~43a, где
(bab7, t~r, &3а) — уже нормальная форма.
14.3.	Теорема. Пусть G* = (G,t\t~1at = Да) (a G А)} —
HNN-расширение группы G с ассоциированными подгруппами А и В.
Тогда выполняются следующие утверждения.
1)	Каждый элемент х группы G* имеет единственное представле-
ние x=got£1 g\-  -Чпдп, где последовательность {go,t£1,gi,    ,t£'l,gn) —
нормальная форма8.
2)	Группа G вкладывается в группу G* посредством отображе-
ния g g. Если в записи х = дЧ£191 •  • G"дп. где n > 1, нет вхожде-
ний t~3gA, где gi G А и нет вхождений tgjt~3, где gj G В, то х Д 1
в G*.
Утверждение о вложении G в G* доказали Хигман, X. Нейман и
Б. Нейман. В их честь эта конструкция называется HNN-расширением.
Остальную часть утверждения 2 доказал Бриттон и эта часть называ-
ется леммой Бриттона.
Доказательство первого утверждения идейно повторяет доказа-
тельство теоремы 11.3. Существование нужного представления дока-
зывается с помощью постепенного выделения представителей справа
налево и замен t~3a = <д(аД-х при a G А и tb =	при b G В. Для
доказательства единственности определим действие группы G* на мно-
жестве W всех нормальных форм так, чтобы образ формы (1), содер-
®Поэтому саму запись goE1 gi /-" дп также называют нормальной формой эле-
мента х.
§ 14. HNN-расширения
97
жащей только единицу, под действием элемента х был равен искомой
нормальной форме для х.
Пусть т = (до, t£1,gi, .. ., t£", дп) G W. Для элементов д G G, t и t 1
определим их действия на т следующими формулами:
д-т = (ggo,t£1-.gi, ...,t£”,gn),
t.T= I(<y’-1(fi'o)5i,iE2,52, • • • ,t£“,gn), если = -1, g0 G B,
i, go,t£1, g\, ...,t£,L,gn) в противном случае,
где b — такой элемент из В, что до = Ьдо,
т = Г(<7>(5о)51ДЕ2,52, • •  АДд-п), если ei =1, д0 G А,
[(^>(a),i-1,go,i£1,pi, ...,t£”,gn) в противном случае,
где а — такой элемент из А, что до = ago.
Первая формула задает действие группы G на множестве W. Вто-
рая и третья формулы задают действие группы (t) на W (упражне-
ние 14.4). Поэтому мы имеем действие группы G* (t) на W. Ее подгруп-
па N, равная нормальному замыканию множества {t~1at<p(a)~1 ( a G А),
действует на W тождественно (упражнение 14.5). Поэтому СПУ = {1},
и, значит, G вкладывается в G* = (G * (i))/JV. Тождественность дей-
ствия N позволяет определить также действие группы G* на W. То,
что любому элементу х G G* соответствует единственная нормальная
форма, следует из упражнения 14.6. Второе утверждение теоремы вы-
текает из первого и процесса приведения элемента из G* к нормальной
форме.
14.4.	Упражнение. Докажите, что композиция действий эле-
ментов t и Д на W тождественна.
14.5.	Упражнение. Докажите, что действия элементов Д-at
и Да) на W совпадают для любых а из А.
14.6.	Упражнение. Пусть х G G* и х = дД1 gi. . .t£ngn,
где (go,t£1,gi, ... ,t£”, gn) — нормальная форма. Докажите, что об-
раз нормальной формы (1) под действием элемента х равен форме
(go,t£1,gi,   ДДдп)-
14.7.	Следствие. Пусть G* = (G,t | До! = Да) (a G А)) —
HNN-расширение группы G с ассоциированными подгруппами А и В.
Тогда канонический гомоморфизм i : G * (i) G* индуцирует вло-
жение групп G и (i) в группу G*. Отождествим эти группы с их
образами в G*. Тогда подгруппы А и В сопряжены в G* элементом t,
причем ограничение на А автоморфизма, индуцированного сопряже-
нием элементом t, совпадает с изоморфизмом ср.
98
Глава 2
§ 15.	Деревья и HNN-расширения
Петлей называется граф, состоящий из одной вершины и двух
противоположных ребер, имеющих начало и конец в этой вершине:
15.1.	Теорема. Пусть G = (Н, t \	= </?(а) (а 6 А)) — HNN-pac-
ширение группы Н с ассоциированными подгруппами А и ДА). Тогда
существует дерево X, на котором G действует без инверсий ребер
так, что G \ X — петля. При этом в X существует сегмент Y,
отображающийся на эту петлю, стабилизаторы двух вершин и ре-
бра которого в группе G равны Н, tHt-1 и А соответственно.
Доказательство. Положим Х° = G/Н, = GfA (здесь все
смежные классы — левые), а(рА) = дП, си(дА) = gtH и пусть Y — сег-
мент с вершинами Н, tH и положительно ориентированным ребром А.
Определим действие группы G на графе X левым умножением. Даль-
нейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 12.1 и мы
оставляем его читателю.
15.2.	Теорема. Пусть группа G действует без инверсий ребер
на дереве X и фактор-граф Y = G \ X — петля. Пусть Y — любой
сегмент в X, отображающийся на эту петлю, Gp, Gq и Ge — ста-
билизаторы вершин Р, Q и ребра е этого сегмента. Пусть х G G —
произвольный элемент такой, что Q = хР. Положим G'e = x~lGex
и пусть р : G,, < G{ — изоморфизм, индуцированный сопряжением
элементом х. Тогда G'e Gp и гомоморфизм
{Gp, 11 t~1at = <p(a) (a G Ge)) G,
тождественный на Gp и переводящий tex, является изоморфизмом.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 12.3.
§ 16.	Граф групп и его фундаментальная группа
В этом параграфе мы дадим определение фундаментальной груп-
пы графа групп, обобщающее понятия свободного произведения с объ-
единением и HNN-расширения.
16.1.	Определение. Граф групп (G, У) состоит из связного гра-
фа У, наборов групп {Gv | v G У0}, {Ge | е G У1} и вложений
{ае : Ge —> Ga(e) | е G У1} с условием Ge = Ge-
§ 16. Граф групп и его фундаментальная группа	99
Группы Gv при v G Y° называются вершинными, группы Ge
при е G У1 — реберными. Иногда удобно использовать вложение
сщ : Ge	заданное равенством = ар.
Обозначим через F(G, У) фактор-группу свободного произведения
всех групп Gv (v G У0) и свободной группы с базисом {fe| е G У1} по
нормальному замыканию множества элементов t~r ae(g)te  (аДд))-1
и Me (е G У1, д G Ge).
Далее мы определим фундаментальную группу графа групп (G, У)
относительно вершины и относительно максимального поддерева гра-
фа У. Будет доказано, что эти определения дают изоморфные группы.
16.2.	Определение. Пусть Р — произвольная вершина графа У.
Фундаментальной группой тгДК, У, Р) графа групп (G, У) относитель-
но вершины Р называется подгруппа группы F(G, У), состоящая из
всех элементов вида goteigite2 .. Лепдп, где eiC2...en — замкнутый
путь в У с началом в Р, д$ G Gp, gi G С?ш(ед, 1 Sj i Sj n.
16.3.	Определение. Фундаментальной группой ?ri(G, У, T) графа
групп (G, У) относительно максимального поддерева Т графа У на-
зывается фактор-группа группы F(G, У) по нормальному замыканию
множества элементов te (е G 71).
16.4.	Примеры.
1)	Если Gv = {1} для всех v G У0, то 7Ti(G,y,F) = тгДУ, F),
где 7Г1 (У, Р) — фундаментальная группа графа У относительно вер-
шины Р, определенная в § 4.
2)	Если У =	(	— сегмент, то группа tti(G, У, У) изоморф-
на свободному произведению групп Gp и Gq с объединением по ае(С?е)
и ад(С?е).	х* v
3)	Если У = Рл j е — петля, то группа 7Ti(G, У, Р) изоморф-
на HNN-расширению с базой Gp и ассоциированными подгруппами
oe(Ge) и otp^G.
4)	Для произвольного графа групп (G, У) его фундаменталь-
ная группа 7Ti(G, У, Т) получается многократным применением10 кон-
струкции HNN-расширения к фундаментальной группе дерева групп
7Ti(G, Т, Т), которая сама строится из фундаментальной группы сег-
мента групп (при | Т°\ > 1) с помощью конструкции свободного произ-
ведения с объединением.
10Количество применений равно числу пар противоположных ребер графа Y, не
входящих в дерево Т.
100
Глава 2
16.5.	Теорема. Пусть (G, У) — граф групп, Р — вершина, Т —
максимальное поддерево графа Y. Ограничение р канонического гомо-
морфизма F(G, У) —> tti(G, У, Т) на подгруппу tti(G, У, Р) является
изоморфизмом на ?ri(G, У, Т).
Доказательство. Для любой вершины и графа У, отличной от Р,
существует единственный путь без возвращений	в дереве Т
из Р в и. Соответствующий ему элемент teite2 •••tek группы F(G, У)
обозначим через ^yv. Положим др = 1. Определим отображение q' из
множества порождающих группы tti(G, У, Т) в группу tti(G, У, F) пра-
вилами g 7^5771 ПРИ 9 ё Gv, и е У0 и te i— ya(e)tey~^ при е е У1.
Теорема вытекает из следующего упражнения.
16.6.	Упражнение. 1) Отображение q' продолжается до гомо-
морфизма q : tti(G, У, Т) 7Г1(Д,У, Р).
2) Гомоморфизмы q о р и ро q тождественны.
16.7.	Следствие. Фундаментальные группы tti(G, У, F) и
tti(G, У, Т) изоморфны при всех возможных выборах вершины Р и мак-
симального поддерева Т в графе У.
Класс изоморфности этих групп обозначается через tti(G, У).
16.8.	Приведенная запись. Пусть (G, У) — граф групп с выде-
ленным максимальным поддеревом Т в У. Пусть g G Gv, д' G Gu, где
и, v G У0. Скажем, что элементы д и д' эквивалентны (относительно Т),
если д' =	а~*   • сае1о?“1((?), где ei... е& — путь без возвращений в
дереве Т из v в и. Считаем также, что д эквивалентно д.
Фиксируем некоторую ориентацию У^ графа У. Тогда любой эле-
мент х 6 tti(G, У, Т) можно записать в виде 5152 9m гДе каж-
дый gi принадлежит некоторой вершинной группе или равен
при ебУ^-Г1. Такая запись называется приведенной, если в ней
1)	соседние элементы не эквивалентны элементам одной и той же
вершинной группы (в частности, соседние элементы не лежат в одной
и той же вершинной группе),
2)	нет вхождений вида tet^ и
3)	нет вхождений вида t^1gte, где д — элемент некоторой вершин-
ной группы, эквивалентный элементу из а?е(С?е),
4)	нет вхождений вида 1ед1~\ где д — элемент некоторой вершин-
ной группы, эквивалентный элементу из ше(С?е).
Заметим, что если исходная запись д^д-2 •  • дп не приведена, то ее
можно укоротить, воспользовавшись соотношениями группы 7Г1(й,У,Т).
Это обеспечивает существование приведенной записи для любого эле-
мента х G tti(G, У, Т). Как показывает следующий пример, элемент мо-
жет иметь несколько приведенных записей.
§ 17. Связь свободных произведений с объединением . . .	101
16.9. Пример. Пусть Y — граф с вершинами и, v и ребрами ei,
ёГ, в2, ед такими, что a(ei) = «(ег) = и, сДеД = ш(ег) = и. Положим
Gu = (а \ а12 = 1), Gv = (b\ b18 = 1), Gei = (с | с2 = 1), Ge2 = Д | d3 = 1);
oei(c) = a6, wei(c) = b9, ae2(d) = a4, a>e2(d) = b6. Пусть T — макси-
мальное поддерево графа У, содержащее вершины и, v и ребра е±, Д).
Тогда
7Г1(С, У, Т) = (a, b, t \ а12 = 1, 518 = 1, а6 = 69,	= b6).
Элемент б/ 'о'Эо6//3! 1 имеет приведенные записи bt 'Ai и 6	Д ’1.
16.10. Теорема. Если элемент д фундаментальной группы
У, Т) имеет приведенную запись, отличную от 1, то g Д 1.
В частности, группы Gv (у G У°) канонически вкладываются в группу
тгДС, Y,T).
Доказательство ведется индукцией по числу ребер графа У с уче-
том утверждений 16.4. База индукции имеется ввиду следствий 11.5,
11.6 и теоремы 14.3.
§ 17. Связь свободных произведений
с объединением и HNN-расширений
Пусть G = (H,t | t~3at = Да) (а 6 Л)} — HNN-расширение. Дока-
жем, что ядро эпиморфизма д : G — Д), заданного правилом t i— t,
h ел 1 (h G H), является свободным произведением с объединением.
Пусть Соо — граф, введенный в § 1. Напомним, что вершинами гра-
фа Соо являются все целые числа, ребрами — символы еп, сД (п G Z),
причем а(еп) = п, Деп) = п + 1. Вершине п сопоставим группу Нп =
= {hn \ h G Н}, являющуюся n-й копией группы Н, каждому ребру
сопоставим группу А. Вложения группы А, соответствующей ребру е„,
в вершинные группы Нп и Нп+^ зададим правилами а ел (Да))„ и
Я-2	А Н-i	А Но	А Нз_	А Н2
   о-----о-------о-------о-------о	• • •
Рис. 17
Фундаментальная группа F построенного графа групп (рис. 17)
имеет представление
( .* Hi | ап+1 = (Да))п (a G Л,п G Z)).
102
Глава 2
Пусть (t) — бесконечная циклическая группа, порожденная элемен-
том t. Образуем полупрямое произведение F X (t), задав действие t
на F правилом НЧД = hi+^ {hi G Hi, i G Z).
17.1.	Теорема. F X (t) = G.
Доказательство следует из того, что группа F X (t) порождает-
ся подгруппой Hq и элементом t и все ее соотношения выводятся из
соотношений группы Но и соотношений t~1aot = (<р(а))о (а € А).
17.2.	Упражнение. Пусть A^C,B^Duip: А ~ Р> изомор-
физм. Гомоморфизм из свободного произведения с объединением G =
= (С * D | а = Да) (a G А)} в HNN-расширение F = (С * D,t\ t-1at =
= Да) (a G А)), заданный правилом с ь-> t'Ld (с G С), d i—> d (d G D),
является вложением.
Указание. Этот гомоморфизм переводит неединичную приведен-
ную запись из G в неединичную приведенную запись из F.
17.3.	Упражнение. Выведите следствие 11.6 из теоремы 14.3 и
упражнения 17.2.
§ 18.	Структура группы, действующей на дереве
18.1.	Определение. Пусть р : X Y — морфизм из дерева в
связный граф и пусть Т — максимальное поддерево в Y. Пару (Т, У)
поддеревьев дерева X назовем поднятием пары графов (Т, У), если
ТСУи
1)	любое ребро из У1 — Т1 имеет начало или конец в Т,
2)	р отображает Т изоморфно на Т и р отображает У1 — Т1 биек-
тивно на У1 — Т1.
Для вершины v G У0 (= Т°) обозначим через v ее прообраз в Т°,
а для ребра е е У1 обозначим через е его прообраз в У1 (см. рис. 18).
Ввиду теоремы 16.10 мы отождествляем вершинные группы графа
групп (С,У) с их каноническими образами в фундаментальной группе
У, Т).
18.2.	Теорема. Пусть G = тгДСцУ,Т) — фундаментальная груп-
па графа групп (<В,У) относительно максимального поддерева Т. То-
гда группа G действует без инверсий ребер на некотором дереве X
так, что фактор-граф G \ X изоморфен графу У и стабилизаторы
вершин и ребер дерева X сопряжены с каноническими образами в G
групп вида Gv (v G У0) и ae(Ge) (е G У1) соответственно.
§ 18. Структура группы, действующей на дереве
103
Рис. 18
Более того, для проекции р : X	У, связанной с этим действи-
ем, существует такое поднятие (T,Y) пары (T,Y), что
1)	стабилизатор любой вершины v Е Т° (ребра е 6 Y1 с началом
в Т°) в группе G равен группе Gv (группе ae(Ge)),
2)	если конец ребра е 6 Y1 не лежит в Т°, то элемент t~x пере-
водит этот конец в Т°.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 12.1. Поэто-
му мы лишь определим графы X, Т, Y и действие группы G на X.
Выберем произвольную ориентацию графа Y. Для каждой верши-
ны v G У0 отождествим группу Gv с ее каноническим образом в груп-
пе G. Для каждого ребра е С У} отождествим группу Ge с канониче-
ским образом подгруппы ae(Ge) в группе G. Напомним, что te = 1 в
группе G тогда и только тогда, когда е С Т1.
Граф X определяется следующим образом (все объединения раз-
дельные, все смежные классы левые):
Х° = U G/Gv, К = (J G/Ge,
veY°	eeY)
a(,gGe) = gGa(ep <Y>(gGe) = gteGu(e) (g^G,eeY^).
Группа G действует на графе X левым умножением.
Валентность вершины gGv равна I Gv : ae(Ge)|, где сумма бе-
рется по всем ребрам е 6 У1 с началом и.
Поднятие Т дерева Т определяется естественным образом:
Т° = U {^}, Ti = U {Ge}.
v&T°	есД
104
Глава 2
^e(s) =
В граф У кроме вершин и ребер графа Т входят еще вершины teG^^
и ребра Ge (е G — Т|), а также обратные к ним ребра.
18.3.	Следствие. Любая конечная подгруппа фундаментальной
группы tti(G, У, Т) сопряжена с подгруппой некоторой ее вершинной
группы.
Доказательство вытекает из теоремы 18.2 и следствия 2.6.
18.4.	Пусть G — произвольная группа, X — дерево, и пусть G
действует на X без инверсий ребер. Пусть У = G \ X — фактор-граф,
Т — некоторое его максимальное поддерево, р : X У — каноническая
проекция и (T,Y) — любое поднятие пары (Т, У).
Определим граф групп (С,У) следующим образом. Для каждой
вершины или ребра у графа У положим Gy равным стабилизатору
Sts (у) соответствующего поднятия у. Для каждого ребра е 6 У1 — Т1
такого, что ш(ё) Т°, выберем произвольный элемент te G G такой,
что Де) = 1еДе) (напомним, что w(e) G Т°). Положим Д = бД.
Для каждого е G У1 зададим вложение ше : Ge —> следующим
образом:
g , если Де) е Т°,
бДдД если Де) еУ°- Т°.
18.5.	Теорема. Пусть группа G действует без инверсий ребер на
дереве X. Тогда существует естественный изоморфизм из группы G
на группу tvi(G,Y, Т), определенную в пункте 18.4. Этот изоморфизм
продолжает тождественные изоморфизмы Ste(v) —> Gv (v G У0) и
переводит te в te (е 6 У1 — Т1).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 12.3 (см.
также теорему 15.2).
18.6.	Замечание. Пусть (G, У) — граф групп и X — дерево, по-
строенное по нему в доказательстве теоремы 18.2. Любая подгруппа Н
фундаментальной группы тгДСцУ, Т) действует на X и по теореме 18.5
сама является фундаментальной группой некоторого графа групп. Мы
не будем уточнять строение Н в общем случае. Разберем лишь при-
мер 18.7 и докажем теорему Куроша, относящуюся к частному случаю
графов групп.
18.7.	Пример. Пусть ср — гомоморфизм из группы трилистника
G = (а, Ь | а2 = Ь3) в группу S3, заданный правилом а (12), Ь на (123).
Найдем представление его ядра Н в виде фундаментальной группы
некоторого графа групп.
§ 18. Структура группы, действующей на дереве
105
Сама группа G является фундаментальной группой сегмента групп
о_________________о . Часть соответствующего дерева X изобра-
жена на рис. 19 слева. Вершинами этого дерева являются левые смеж-
ные классы группы G по подгруппам {а) и (Ь), положительно ориенти-
рованными ребрами — левые смежные классы группы G по подгруппе
(а2) (= (Ь3У). Вершины д(Ь) и д(а) соединяются положительно ори-
ентированным ребром д(а2'). Группа Н действует на дереве X левыми
умножениями и соответствующий фактор-граф У изображен на рис. 19
справа.
Действительно, так как {1, Ь, Ь2, а, Ьа, Ь2а} — система представите-
лей смежных классов G по Н, то любая вершина вида д{а) Л-экви-
валентна вершине (а), Ъ{а) или &2(а), а сами эти вершины не Н-эк-
вивалентны. Аналогично, так как {1, b, Ь2. a, ab, ab2} — тоже система
представителей смежных классов G по Н, то любая вершина вида д(1э)
Л-эквивалентна вершине (0 или а{Ь), а сами эти вершины не Н-экви-
валентны. Поэтому мы имеем 5 классов эквивалентности A, D, Е, В,
С вершин дерева X. Их представителями являются вершины (а), Ь(а),
Ь2(а), (Ь), а(Ь).
Рис. 19
Легко понять также, что имеется ровно 6 классов эквивалентности
положительно ориентированных ребер дерева X. Их представителя-
ми являются положительно ориентированные ребра, входящие в мини-
мальное поддерево У, содержащее вершины Ь(а), &2(а), ab(a), аЬ2(а).
106
Глава 2
Вершины Ь{а) и ab2(a) if-эквивалентны, так как ab2a 1Ь 1  Ь(а) =
= а&2(а) и ab2a~1b~1 6 Н. Поэтому они проецируются в одну вер-
шину D. Аналогично вершины Ь2{а) и аЬ(а) проецируются в одну вер-
шину Е.
Пусть Т — максимальное поддерево графа Y, в которое входят все
его вершины и ребра, кроме ребер CD, СЕ и обратных к ним. В ка-
честве его поднятия Т в дереве X выберем минимальное поддерево,
содержащее вершины Ь(а), &2(а) и а(Ь). Тогда (Т,У) — поднятие па-
ры (Т, У). Легко подсчитать, что стабилизаторы всех вершин дерева Т
и всех ребер дерева У в группе Н равны (а2). Поэтому каждой вершине
и ребру графа У надо сопоставить группу {а2). Все вложения реберных
групп в соответствующие вершинные группы тождественные, так как
(а2) — центр группы G.
Итак, мы построили граф групп (И, У), фундаментальная груп-
па которого относительно максимального поддерева Т изоморфна Н.
Отсюда выводим, что Н имеет представление
(х, ti,t? \ t^1xt1 = X, t/ = х),
в котором элементы х, Н, О соответствуют элементам a2, ab2a~1b~1,
aba Ч> 2. Элементы </62</ 16 1 и aba Ч) 2 переводят, соответственно,
вершины Ь{а) и &2(а) дерева Т в вершины ab2(a) и ab(a) дерева У.
§ 19.	Теорема Куроша
Теорема Куроша является частным случаем следующей теоремы
при А = {1}.
19.1.	Теорема. Пусть Н - свободное произведение групп Нг
(г 6 1), амальгамированных по общей подгруппе11 А. Пусть G - такая
подгруппа группы Н, что G П хАх-1 = {1} для любого х 6 Н. Тогда
существует свободная группа F и системы представителей X, двой-
ных смежных классов G \ H/Hi такие, что G является свободным
произведением группы F и групп G П :iH,:f '! по всем ieI,xtXi.
Доказательство. Пусть X — дерево, на котором действует фунда-
ментальная группа Н, построенное как в доказательстве теоремы 18.2.
Имеем Х° = Н/А U ( U Н/Н/), АД = О (Н/А х {г}). Началом ре-
"Г”
бра (/ъ4,г) является вершина ЬА, концом — вершина hHi. Группа G
действует на этом дереве левыми умножениями. Для того, чтобы по-
нять строение группы G, воспользуемся пунктами 18.4 и 18.5.
11 Иными словами, Н — фундаментальная группа графа групп, изображенного на
рис. 20. Вложения реберных групп А в вершинную группу А тождественные.
§20. Накрытия графов
107
Рис. 20
Пусть Y = G\X — фактор-граф, Т — некоторое его максимальное
поддерево, р : X —> Y — каноническая проекция и (Т, У) — любое
поднятие пары (Т, У) в дерево X.
Множество вершин дерева Т является максимальным множеством
левых смежных классов хА и хРЦ (г 6 7), не эквивалентных относи-
тельно действия группы G. Таким образом, существуют системы пред-
ставителей Az | и Xi двойных смежных классов G \ Н/А и G\H/Hi
такие, что Т° = {хА | х е Ха} U U {xHi | х е Х^}.
iei
Стабилизатор в G вершины вида хА равен G П хАх-1 = {1}. Ста-
билизатор в G вершины вида хРЦ равен GDxHiX-1. Стабилизатор в G
любого ребра графа X единичен, так как ребра имеют вид хА. Теперь
утверждение теоремы следует из пунктов 18.4 и 18.5.
Для каждого ребра е G У1 с концом вне Т° выберем эле-
мент t~r G G, переводящий этот конец в Т°. Тогда F имеет базис, со-
стоящий из всех таких элементов te.
19.2.	Упражнение. Рассмотрим гомоморфизм SL2(Z) =
* Z,- Zi2, заданный естественными вложениями множите-
z2
лей в группу Z^. Докажите, что его ядро является свободной груп-
пой ранга 2.
19.3.	Замечание. С помощью теории концов гр угги Столлингс до-
казал следующую теорему: группа G является фундаментальной груп-
пой конечного графа конечных групп12 тогда и только тогда, когда
в ней есть свободная подгруппа конечного индекса и конечного ранга
(см. [56, 62]).
§ 20.	Накрытия графов
20.1.	Определение. Морфизм графов / : X —> У называется
накрытием, если / отображает множество вершин и множество ребер
графа X на множество вершин и множество ребер графа У так, что
12Это означает, что граф конечен и вершинные группы тоже конечны.
108
Глава 2
звезда любой вершины v G Х° отображается биективно на звезду вер-
шины /(f).
Слоем в X называется полный прообраз любой вершины или ребра
из У.
20.2.	Примеры. 1) Для каждого целого п 1 существует накры-
тие из графа Соо в граф Сп (эти графы определены в § 1).
2)	Существуют накрытия из графов, изображенных на рис. 12, 22
и 38, на граф, изображенный на рис. 21.
а Ъ
Рис. 21
3)	Пусть r(G, S) — граф Кэли группы G относительно порожда-
ющего множества S. Любая подгруппа Н группы G действует левым
умножением на T(G, S). Фактор-отображение T(G, S) H\T(G, S) яв-
ляется накрытием. Граф {1}\T(G, S) совпадает с T(G, S), граф 1Z(S) =
= G \ T(G, S) имеет одну вершину и |S| пар взаимно обратных ребер.
Пусть / : X -э У — накрытие графов и р — путь в У. Поднятием
пути р называется любой путь I в X такой, что /(/) = р.
20.3.	Упражнение. Пусть f : X —> У — накрытие. Тогда выпол-
няются следующие утверждения.
1)	Для любого путир в графе У и любой вершины v графа X, отоб-
ражающейся в начало р, существует единственное поднятие пути р,
имеющее начало в и.
2)	Если пути 1\ и 1% в X гомотопны, то их проекции f(li) и /(/2)
гомотопны. Наоборот, если пути р± и р-2 в У гомотопны, то их под-
нятия в X, имеющие общее начало, гомотопны. В частности, эти
поднятия имеют общий конец.
Напомним некоторые обозначения из § 4. Пусть У — связный граф
с выделенной вершиной у, Т — максимальное поддерево в У. Для каж-
дой вершины v графа У существует единственный путь без возвраще-
ний из у в v, проходящий в Т. Обозначим этот путь через pv. Тогда для
любого ребра е G У1 определен путь ре =	В §4 доказано,
что 7Г1(У, у) — свободная группа с базисом {[ре] | е G У^—Т1}, где У^ —
некоторая (произвольная) ориентация графа У.
Пусть X и У — связные графы, / : (X, х) —> (У, у) — морфизм. Со-
гласно упражнению 4.4 отображение /* : тгДХ, х) тгДУ, у), заданное
правилом /*([/]) = [/(/)]> является гомоморфизмом.
§20. Накрытия графов
109
20.4.	Упражнение. Пусть X и Y — связные графы,
f : (X, х) —> (У, у) — накрытие. Если р — путь в Y, гомотопический
класс которого лежит в /*(тгх(Х, х)), то его поднятие I с началом в х
замкнуто.
Мы говорим, что накрытие / : (X, х) —> (Y,y) соответствует
подгруппе Н группы 7Г1(У,у), если /*(тгх(Х, я;)) = Н.
20.5.	Теорема. В следующих утверждениях мы предполагаем,
что все графы связны.
1)	Если f : (X, х) -э (У, у) — накрытие, то гомоморфизм
f* : 7Г1(Х, х) -a 7ri(Y,y) является вложением.
2)	Для каждой подгруппы Н тгДУ, у) существует накрытие
f : (Х,х) -a (Y,y) такое, что f*(7ri(X,x)) =Н.
3)	Пусть fi : (Х1,Яд) —>• (У, у) и /2  (Х2,я?2) —> (У, у) — накрытия
такие, что /i*(tti(Xi,яд)) = /2*(Дх(Х2, я?2)) = И. Тогда существует
изоморфизм р : (Xi, яд) (Х2, я:2) такой, что /х = /гР-
3') Пусть fi : (Хх,яд) —> (У, у) и /2 : (Хг,^)	(У, у) — накры-
тия такие, что /i*(tti(Xi,яд)) С /2*(ти(-Хд, я^))- Тогда существует
накрытие р : (Хх,яд) (Хг,^) такое, что fi = fpp.
4)	Пусть f : (X, х) -а (У, у) — накрытие. Граф X является дере-
вом тогда и только тогда, когда /*(тгх(Х, я;)) = {1}. Если X — дерево,
то группа тгх(У, у) действует на нем свободно и фактор-граф изомор-
фен графу У.
5)	Пусть Н — нормальная подгруппа группы тгх(У, у) и
f : (X, х) -э (У, у) — накрытие, соответствующее Н. Тогда фак-
тор-группа тгх(У, у)/Н действует на X свободно, орбиты этого дей-
ствия — слои, и фактор-граф по этому действию изоморфен У.
Доказательство. 1) Обозначим через 1Х и 1у вырожденные пути
в X и У с началами в х и у. Пусть [1] G тгх(Х, х) и предположим, что
/*([/]) = [1у]- Тогда пути /(/) и lj, гомотопны. По упражнению 20.3 их
поднятия I и 1Х гомотопны, следовательно [Z] = 1.
2)	Пусть {ti | i G 1} — система представителей правых смежных
классов группы тгДУ, у) по подгруппе Н, причем представитель Н ра-
вен ti, где ti = 1. Положим Х° = {(«,«) | v G У0, i G I}, X1 =
= {(е,г) | е G У1, i G I}, а((е,г)) = (а(е),г), са((е,г)) = (Де),Д, где
индекс j такой, что Htj = Hti[pe], и положим (е, i) = (ё,Д. Выделим
в графе X вершину х = {у, 1) и определим отображение f : X -э У
по правилу /((«,?)) = v, f(fe,if) = e,vE Х°, е G X1. Очевидно, / —
накрытие.
Докажем, что граф X связен. Выберем в У максимальное поддере-
во Т. Пусть (Д)хе/ — система подграфов графа X, каждый Д состоит
110
Глава 2
из вершин и ребер, первая компонента которых лежит в Т, вторая рав-
на i. Легко понять, что каждый граф 7) изоморфен Т и, значит, связен.
Ясно также, что U Т® = Х°. Поэтому достаточно доказать, что для лю-
iEl
бых г, j Е I графы 7) и Tj соединены путем в X. Пусть д = ei... е3 —
путь в У с началом и концом у такой, что Hti[g] = Htj. Тогда [р] =
= [Pei ] • • • [Ре, ] • Определим последовательность (Н Л2, • • •, *s+i) прави-
лами И = i. Htik+1 = Htik[pek], 1 < к < s. Тогда is+i = j и путь
. (e3,i3) соединяет вершины (у,г) £ Т, и (y,f) G Tj. Итак, граф
X связен и / : X Y — накрытие.
Заметим, что произвольный путь (ei, 1)(б2,?2) • • • (es,zs) в X с на-
чалом в вершине х = (у, 1) замкнут тогда и только тогда, когда путь
У = 6162 ... е3 в У с началом у замкнут и Н • 1 • [ре1] •  • [peJ = Н  1, то
есть [у] £ Н. Поэтому /*(tti (X- я;)) = Н.
3)	Определим отображение р : Х± Х2 следующим образом.
Пусть х — произвольная вершина (ребро) графа Х±. Выберем произ-
вольный путь !i в Xi с начальной вершиной х± и конечной вершиной
(ребром) х. По упражнению 20.3.1) существует единственный путь 12
в Х2 с началом х2 такой, что /i(Zi) = /2(^2)- Положим р(х) равным
конечной вершине (ребру) пути /2-
Докажем, что это определение не зависит от выбора пути 1\. До-
статочно разобрать случай, когда х — вершина. Пусть 1[ — другой путь
в Ад с начальной вершиной xi и конечной вершиной х. Пусть 1'2 — путь
в Х2 с началом х2 такой, что /1(^1) = /2(^2)-
Скажем, что пути а и b отличаются на путь с, если путь са гомо-
топен пути Ь. Так как 1\ и отличаются на замкнутый путь, то /1(^1)
и /1(^) отличаются на путь, гомотопический класс которого лежит
в Н. По упражнению 20.4 поднятия 12 и 12 этих путей в Х2 тоже отли-
чаются на замкнутый путь. В частности, конечные вершины путей 12
и 12 совпадают.
Из определения следует, что р : Х± Х2 — морфизм и /1 = f2p.
Аналогично можно определить морфизм q : Х2 Х^. Так как qp =
= id\xk и pq = ?d|x2, то р — изоморфизм.
Утверждение 3') доказывается аналогично.
4)	Так как /* — вложение, то условие /ДтгДА”, х)) = {1} равносиль-
но условию тгДА, х) = {1}. Последнее означает, что в X нет циклов.
Оставшееся утверждение вытекает из утверждения 5.
5)	Ввиду утверждения 3 считаем, что граф X определен как в
доказательстве утверждения 2. Тогда левое действие группы tti (У, у)/Н
на X можно задать следующим образом. Пусть (w, г) — вершина или
ребро графа X, Нд — смежный класс Н в тгДУ, у). Скажем, что Нд
переводит (и, г) в (и,у), если Htj = НдН Доказательство того, что это
§21. S-ГРАФЫ И ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ПОДГРУПП СВОБОДНЫХ ГРУПП 111
действие обладает нужными свойствами несложно и мы оставляем его
читателю.
20.6.	Следствие. Пусть X uY- связные графы и f : X Y’ — на-
крытие. Тогда мощность прообраза любой вершины или ребра из Y
равна индексу подгруппы /*(?Г1(Х, х)) в группе 7Г1(У,/(х)).
Эта мощность называется кратностью накрытия f.
Доказательство следует из конструкции накрытия в доказатель-
стве утверждения 2 с учетом утверждений 1 и 3 теоремы 20.5.
С помощью накрытий легко доказывается теорема Нильсена-
Шрайера о подгруппах свободных групп.
20.7.	Теорема. Любая подгруппа свободной группы свободна. Если
G — свободная группа конечного ранга и Н — ее подгруппа конечного
индекса п, то
rk(EF) — 1 = n(rk(G) — 1).
Доказательство. Пусть G — свободная группа, Н — ее подгруппа.
Отождествим G с группой яд (У, у), где У — граф с единственной вер-
шиной у и rfe(G) положительно ориентированными ребрами. По теоре-
ме 20.5 существует накрытие / : (X, х) —> (У, у) такое, что вложение /*
отождествляет группу tti(X, х) с группой Н. По теореме 4.3 группа
Tri (X, х) свободна.
Если |G : Н\ = п, то кратность накрытия / равна п и, следова-
тельно, |Х°| = п, |Х^_| = п  rk(G). Из теоремы 4.3 и упражнения 1.7
(при условии конечности rk(G) и п) вытекает, что tti(X, х) — свободная
группа ранга п  rk(G) — п + 1.
§ 21.	S-графы и перечисление подгрупп свободных
групп
Пусть S — фиксированное множество и F(S) — свободная группа
с базисом S.
Разметкой ребер произвольного графа X назовем любое отобра-
жение s : X1 — .S LJ S-1 такое, что з(ё) = (з(е))-1 при е 6 X1. Меткой
пути I = ex... ед, в графе X назовем произведение s(/) = s(ei) •  • s(ej;)
в F(S~). Меткой вырожденного пути считаем единицу. Заметим, что ес-
ли произведение путей 1± и 1% определено, то зДД) = s(/i)s(?2)- Так
как метки гомотопных путей совпадают, то (для связного X) отобра-
жение s : 7Ti(X,х) —> F(S), заданное правилом [р] н-> s(p), корректно
определено и является гомоморфизмом. Здесь р — произвольный путь
в X с началом и концом в х, [р] — его гомотопический класс. Группу
s(tti(X, х)) назовем s-фундаментальной группой графа X.
112
Глава 2
Наша ближайшая цель — определить такой класс размеченных
графов, для которых гомоморфизм s будет взаимно однозначен.
21.1.	Определение. Связный граф X с выделенной вершиной
х назовем S-графом, если задана разметка его ребер —
отображающая звезду любой его вершины биективно на S U S 1.
Простейшим примером S-графа является граф TZ(S'), состоящий из
одной вершины v и |S| пар взаимно обратных ребер, с фиксированной
биективной разметкой T^(S)1 — S1, S-1. Очевидно, его s-фундамен-
тальная группа совпадает с F(S'). Другие примеры S-графов получа-
ются из накрытий / : (X, х) (7?.(S),n), где X — связный граф, если
пометить каждое ребро е графа X той буквой, которой помечено ре-
бро /(е). Легко понять, что всякий S-граф получается таким образом.
21.2.	Предложение. Пусть X — S-граф с выделенной верши-
ной х и разметкой s. Тогда гомомофизм s : тгДХ, х) F(S), заданный
правилом [р] ь-> з(р), взаимно однозначен.
Доказательство. Любой неединичный гомотопический класс
из 7Г1(Х, х) содержит невырожденный путь без возвращений, а метка
такого пути неединична.
Таким образом, s-фундаментальная группа S-графа (X, х) свобод-
на и имеет базис {s(pe) | е G Х^]_ — Т1} по теореме 4.3.
Скажем, что два S-графа S-изоморфны, если существует изомор-
физм из одного графа в другой, переводящий выделенную вершину
в выделенную и сохраняющий метки ребер. Из теоремы 20.5 и след-
ствия 20.6 вытекает следующее предложение.
21.3.	Предложение. 1) Для каждой подгруппы Н группы F(S}
существует единственный с точностью до S-изоморфизма S-граф13
с з-фундаментальной группой, равной Н.
2)	Индекс Н в F(S) равен числу вершин S-графа, соответствую-
щего Н.
21.4.	Теорема (М. Холл). Число подгрупп данного конечного ин-
декса п в конечно порожденной группе G конечно.
Доказательство. Так как группа G конечно порождена, то су-
ществует свободная группа F(S) конечного ранга и эпиморфизм
в : F(S) —> G. Прообразы разных подгрупп индекса п в G относитель-
но в различны и имеют индекс п в F(S). Количество же подгрупп ин-
декса п в группе F(S) равно числу классов S-изоморфности S-графов
с п вершинами и потому конечно.
13Такой S-граф назовем соответствующим подгруппе Н.
§22. Фолдинги
113
21.5.	Пример. В группе F(a,b) имеются ровно три подгруппы
индекса 2:
{ba-1, a2, ab}, {a,b2 ,bab-1}, {b,a2 ,aba-1}.
Они соответствуют S-графам, изображенным на рис. 22.
21.6.	Упражнение. Найдите базисы всех 13 подгрупп индекса 3
в группе F{a, b).
§ 22.	Фолдинги
Пусть F(S} — свободная группа с базисом S и пусть Н — ее под-
группа, порожденная словами hi, ... ,hn в алфавите S U S '. Объ-
ясним, как построить S-граф, соответствующий Н (см. предложе-
ние 21.3).
Пусть Го — граф с одной вершиной х и п петлями. Разделим i-ю
петлю на столько сегментов, какова длина слова hi (г = 1, ..., п). Каж-
дый сегмент ориентируем и пометим буквой из S U S 1 так, чтобы
вдоль г-й петли читалось слово hi. Таким образом, получится граф Г1
с разметкой, «-фундаментальная группа которого относительно х рав-
на Н. Однако, граф Гх может не быть S-графом, в частности, по той
причине, что из некоторой его вершины могут выходить два ребра с
одинаковыми метками. Если это случится для некоторой пары ребер,
то мы отождествим их в одно ребро с той же меткой. Такая опера-
ция называется фолдингом. Фолдинг не изменяет «-фундаментальную
группу, но уменьшает число ребер в графе. Пусть Г2 — граф, полу-
ченный из графа Г1 последовательным применением фолдингов пока
это возможно. Граф Гу все еще может не быть S-графом по той при-
чине, что из некоторой его вершины не выходит ребро с меткой з для
некоторого s Е S U S-1. В таком случае приклеим к этой вершине под-
ходящее бесконечное поддерево из графа Кэли T(S) (см. пример 22.1).
Такая подклейка тоже не изменяет «-фундаментальную группу. Осу-
ществляя все такие подклейки (их число конечно, если множество S
конечно), получим искомый S-граф, соответствующий подгруппе Н.
114
Глава 2
22.1.	Пример. На рис. 23 изображена процедура построения
S-графа, соответствующего подгруппе {a2,aba~x} группы F(а, Ь).
Рис. 23
22.2.	Лемма. Пусть N — нормальная подгруппа свободной груп-
пы F(S) и (X, х) — соответствующий ей S-граф. Тогда группа ав-
томорфизмов графа X, сохраняющих метки ребер, действует тран-
зитивно на множестве его вершин. Эта группа изоморфна груп-
пе F(S)/N.
Доказательство. Пусть / : (Х,х)	(TZ(S),v) — накрытие, со-
ответствующее подгруппе N группы F(S) и сохраняющее метки ре-
бер. По утверждению 5 теоремы 20.5 фактор-группа F(S)/N действует
на X свободно, орбиты этого действия — слои, и фактор-граф по это-
му действию изоморфен 7£(S). Так как граф 1l(S) имеет только одну
вершину, то это действие транзитивно на Х°. Метки ребер при этом
действии сохраняются, так как орбиты этого действия — слои. Послед-
нее утверждение леммы следует из того, что автоморфизм S-графа X,
сохраняющий метки его ребер и фиксирующий некоторую его вершину,
тождествен.
Приведем еще одно доказательство транзитивности, не опираю-
щееся на теорему 20.5. Пусть v — произвольная вершина графа X и I —
некоторый путь из х в и. Построим автоморфизм графа X, сохраня-
ющий метки его ребер и переводящий х в и.
Пусть w — произвольная вершина графа X. Выберем произволь-
ный путь g из х в w. Так как X — S-граф, то существует единственный
путь д' с началом в и и меткой, равной метке пути д. Положим </?(w)
равным концевой вершине пути д'.
Докажем, что это определение не зависит от выбора пути д. Пусть
<71 — другой путь из х в w. Через д[ обозначим путь с началом в v и
меткой, равной метке пути д±. Тогда
= з(7)з(р) = з(7) • s(gg^х) • з(/)-1 • з^зДД
§22. Фолдинги
115
<д(то)	W
V	I X
Рис. 24
Так как з(дд^х)	то s(T)-s(gg}} 1)-s(Z)-1 = s(n) для неко-
торого замкнутого пути п с началом в х. Тогда з(1д') = s(rz)s(Z)s(^) =
= s(nZg^). Так как метки путей 1д' и nig} и их начала совпадают, то и
концы этих путей совпадают. Поэтому концы путей д' и д} тоже совпа-
дают.
Если е — ребро графа X, то положим <д(е) равным ребру с началом
в <д(а(е)) и с меткой, равной метке ребра е. Нетрудно понять, что р
является автоморфизмом графа X и р(х) = и.
22.3.	Определение. Ядром связного графа X относительно его
вершины х называется наименьший подграф, содержащий все пути без
возвращений из х в х.
Обозначим это ядро через С(Х,х}. Очевидно, тождественное
вложение С(Х,х) в X индуцирует изоморфизм групп 7Г1(С'(Х, х), х)
и 7Г1 (X, х). Следующее упражнение показывает, что для получения
ядра графа надо выкинуть из него «лишние» поддеревья.
22.4.	Упражнение. Ядро С(Х,х) совпадает с наименьшим под-
графом С графа X, содержащим х, для которого существует такое
множество {Д | i el} попарно непересекающихся поддеревьев, что
X = С U ( U Ti) и С Г\Д — вершина, зависящая от i.
iei
22.5.	Теорема. Если F(S} — свободная группа конечного ранга и
N — ее неединичная подгруппа, то индекс N в F(S) конечен тогда и
только тогда, когда группа N конечно порождена.
Доказательство. В одну сторону утверждение вытекает из след-
ствия 9.2.
Предположим, что {1} N F(S} и группа N конечно порожде-
на. Пусть (X, х) — S-граф, соответствующий группе N. Так как N ко-
нечно порождена и неединична, то ядро С(X, х) этого графа конечно
и содержит цикл. По лемме 22.2 деревья, фигурирующие в упражне-
нии 22.4, отсутствуют, и, значит, X = С(Х,х). Индекс подгруппы N в
группе F(S) равен числу вершин графа X.
116
Глава 2
Будем говорить, что подгруппа Н группы L выделяется в L свобод-
ным множителем, если существует такая подгруппа М в L. что Н*М =
= L.
22.6.	Определение. Говорят, что группа G обладает свойством
М. Холла, если любая ее конечно порожденная подгруппа Н выделяет-
ся свободным множителем в некоторой подгруппе L конечного индекса
в G.
22.7.	Теорема. Свободная группа конечного ранга обладает свой-
ством М. Холла.
Доказательство. Пусть F — свободная группа с конечным бази-
сом S, Н — ее конечно порожденная подгруппа и (X, х) — S-граф, соот-
ветствующий подгруппе Н. Ядро С = С(Х, х) этого графа конечно, так
как группа Н конечно порождена. Покажем, что граф С вкладывается
с сохранением меток ребер в некоторый конечный S-граф (Ci,x).
Любое ребро с меткой s назовем s-ребром. Для каждого s-ребра ед
с началом вне С и концом в С существует единственный путь 6162 ... ед
такой, что 62, .. •, ед_д G О'1, конец ребра ед лежит вне С и метки всех е^
равны з. Действительно, войдя в некоторую вершину графа С, можно
только по одному s-ребру выйти из нее. Зацикливаний не происходит
(т.е. вершины а(ед), «(ез), ... не повторяются), поскольку в каждую
вершину входит только одно s-ребро. Так как С конечен, то за конечное
число шагов мы выйдем из С. Аналогично можно понять, что пути,
соответствующие разным начальным ребрам, не имеют общих ребер, и
что ребру (Д соответствует путь ёдёДД.. . ёр Теперь замкнем начало
и конец построенных путей (см. рис. 25). Формально заменим каждую
пару соответствующих ребер ед, ед одним ребром е таким, что о(е) =
= а(ед), ш(е) = ш(ед), и пометим это ребро меткой з. При этом считаем,
что пара ёд, ёд заменяется ребром ё.
Рис. 25
§ 23.	Пересечение двух подгрупп свободной группы 117
В результате получим конечный S-граф (СД х), содержащий яд-
ро (С,х). Тогда в качестве L можно взять группу Д-ттДСх, х)). Дей-
ствительно, любое максимальное поддерево графа С является макси-
мальным поддеревом графа Сд. Согласно теореме 4.3 это означает, что
некоторый базис группы Н = s(tti(C', х)) включается в подходящий
базис группы s(7Ti(C'i, х)). Группа ДтгДСДх)) имеет конечный индекс
в F(S) по предложению 21.3.
22.8.	Упражнение. Найдите базис некоторой подгруппы ко-
нечного индекса свободной группы F(a,b), содержащей подгруппу
{a2, aba-1) в качестве свободного множителя.
22.9.	Упражнение. Выведите теорему 22.5 из теоремы 22.7.
Следующая теорема характеризует конечно порожденные группы
со свойством М. Холла. Ее первая часть вытекает из статьи Данву-
ди [44], вторая часть доказана Богопольским в [6].
22.10.	Теорема.
1)	Конечно порожденная группа со свойством М. Холла изоморф-
на фундаментальной группе конечного графа конечных групп.
2)	Фундаментальная группа G конечного графа конечных групп
обладает свойством М. Холла тогда и только тогда, когда каждая
подгруппа любой ее вершинной группы выделяется свободным множи-
телем в некоторой подгруппе конечного индекса группы G. Последнее
можно проверить алгоритмически.
§ 23.	Пересечение двух подгрупп свободной группы
В этом параграфе мы научимся находить базис пересечения двух
подгрупп свободной группы по базисам этих подгрупп.
23.1.	Теорема. Пусть G и Н — две подгруппы свободной группы
F(S) и пусть (X, х) и (Y,y) — S-графы с з-фундаментальными груп-
пами G и Н соответственно. Определим новый размеченный граф
(Z, z) правилами: Z0 = Х° х У0, z = (х, у),
Z1 = Де,е') | (е,е') G X1 х У1, з(е) = Де')},
а((е,е')) = (а(е), а(е')), w((e,e')) = (сДе), сДе')), (е, е') = (е,еД
Д(е, е')) = Де) при (е, е') G Z1.
Пусть Z — компонента связности графа Z, содержащая верши-
ну z. Тогда (Z, z) — S-граф с з-фундаментальной группой G П Н.
118
Глава 2
Доказательство. Очевидно, (Z, г) является S-графом. Пусть р =
= (ei, Ci)(e2, е'2). . . (е&, е'к) — произвольный замкнутый путь в графе Z
с началом в вершине z. Тогда ехег ... ед, и е\е'2 .. ,е'к — замкнутые пу-
ти в графах X и У с началами хну соответственно. Их метки рав-
ны s(p). Поэтому s(p) G G П Н. Наоборот, если д — произвольный эле-
мент из G П Н, то существует замкнутый путь р в графе Z с началом
в вершине z, метка которого равна д. Теорема доказана.
23.2.	Пример. Пересечение подгрупп G = {ba~l, а2, аЬ) и
Н = (а, &2,&а&-1) свободной группы F(a, b) имеет базис {а2, Ь2, аЬ2а-1,
abab, baba}. В качестве S-графов, соответствующих группам G и Н,
можно взять первые два графа на рис. 22. Обозначим их вершины сле-
ва направо буквами х, х', у, у'. S-граф, соответствующий группе GnH,
изображен на рис. 26.
Рис. 26
23.3.	Упражнение. Найдите базисы подгрупп индексов 2 и 3 в
группе F(a,b), пересекающихся по ядру гомоморфизма ср: F\ci. b)—S:>,.
заданного правилом а ь-> (12), b ь-> (123).
Говорят, что группа G обладает свойством Хаусона, если пересече-
ние любых двух ее конечно порожденных подгрупп конечно порождено.
23.4.	Теорема. Любая свободная группа обладает свойством
Хаусона.
Доказательство. Пусть F — свободная группа с базисом S, и пусть
G, Н — две ее конечно порожденные подгруппы. Можно считать, что
базис S конечен, взяв вместо F группу (G,H). Заметим, что подгруп-
па группы F конечно порождена тогда и только тогда, когда ядро
соответствующего ей S-графа конечно. Поэтому в обозначениях тео-
ремы 23.1 достаточно доказать, что C(Z, z) является подграфом гра-
фа С(Х, х) х С(У, у). Последнее вытекает из следующего рассуждения.
Пусть (ei,e(). .. (е^,е^) — путь без возвращений в графе Z из z в z.
§ 24. Комплексы
119
Тогда з((ег,е'))	з((ег+1,е'+1)) для i = 1, ...,к - 1. Отсюда з(е^)
7^з(ёТ+Т) и з(е')	з(е'+1), и, значит, е±.. . ес и е'х...е'к — пути без
возвращений изжвжиизувув графах X и Y соответственно.
Хана Нойман доказала следующую теорему.
23.5.	Теорема. Пусть G и И — две конечно порожденные под-
группы свободной группы. Тогда
rk(G ОН)-}. A, 2(rk(G) - l)(rk(H) - 1).
До сих пор (2002 год) не решена проблема Ханы Нойман', можно
ли убрать 2 в предыдущем неравенстве? Эта и многие другие проблемы
комбинаторной и геометрической теории групп обсуждаются в [66].
Не все конечно порожденные группы обладают свойством Хаусона.
Например, этим свойством не обладает группа
А * В, где А и В —
А'=В'
свободные группы рангов 2, А! и В' — их коммутанты. Оказывается,
даже в классе групп с одним определяющим соотношением имеются
группы, не обладающие свойством Хаусона.
23.6.	Предложение. Группа G = (а,Ь\а 1Ь2а = Ь2) не обладает
свойством Хаусона.
Доказательство. Положим Н = (а,	Из нормальной формы
элементов группы G, рассмотренной как HNN-расширение с базой (&),
следует, что любое непустое приведенное слово от элементов a, ЬАЬ и
обратных к ним неединично. Поэтому Н — свободная группа ранга 2.
Кроме того, Н G, так как bab-1 = &-1(&2а&-2)& = Аналогично
L = (ba, ab) — свободная группа ранга 2 и L G. Поэтому подгруппа
Н П L нормальна в Н, неединична (так как 16 1 g Н П L) и имеет
бесконечный индекс в Н (так как при эпиморфизме G - Z, заданном
правилом а н> 1, 6 н» —1, образ Н равен Z, образ L равен {0}). По
теореме 22.5 группа Н П L не конечно порождена.
23.7.	Упражнение. Докажите, что группа HOL является нор-
мальным замыканием в Н элемента a~1b~1ab и совпадает с комму-
тантом группы G.
23.8.	Упражнение. Обладает ли свойством Хаусона группа G =
= (а, b | а~1Ь2а = Ь3)?
§ 24.	Комплексы
Термины граф и одномерный комплекс — синонимы. Циклическим
путем в графе называется любая циклически упорядоченная последо-
вательность его ребер 6162 . . . еп такая, что са(щ) = <т(щ+1) (1 Z Z //	1)
и w(en) = a(ei). Согласно этому определению циклические пути
120
Глава 2
ei62 ... еп и 6263 ... en6i равны. Скажем, что вершина v лежит на этом
циклическом пути, если v является началом некоторого его ребра. Чис-
ло таких ребер назовем числом вхождений v в данный путь. Обрат-
ным к циклическому пути 6162...е„ называется циклический путь
еД en-i... ё1. Из контекста будет ясно, когда речь идет об обычном
пути, и когда о циклическом.
24.1.	Определение. Двумерный комплекс К состоит из одномер-
ного комплекса К^\ множества К2 двумерных клеток, или граней, и
двух отображений д и ~, определенных на К2. Отображение д сопо-
ставляет двумерной клетке D некоторый циклический путь dD в ,
называемый _границей клетки D. Отображение “ сопоставляет клет-
ке D клетку D с условием, что циклический путь d(P>) является обрат-
ным к циклическому пути dD. При этом D = D и D D.
Клетка D называется обратной к клетке D. Через К°, К1, К2
обозначим множество вершин, ребер и граней комплекса К. Естествен-
ным образом вводится понятие подкомплекса комплекса и морфизма
из комплекса в комплекс. Путем в К называется любой путь в .
Комплекс К связен, если его подкомплекс связен.
Путь р в К называется контурным путем для клетки D, если
его ребра, рассмотренные в циклическом порядке, образуют границу
клетки D.
Пути р и q в К называются элементарно гомотопными, если для
некоторого ребра е и путей s, t имеем р = sect, q = st или р = st,
q = sect, или p = sr-pt, q = srpt, где гД1 является контурным путем
некоторой клетки.
Пути р и q в К называются гомотопными в К, если существу-
ет конечная последовательность путей pi,p2,    ,ps, в которой р = р±,
q = ps и соседние пути элементарно гомотопны. Класс путей, гомо-
топных пути р в К, обозначим через . Напомним, что класс путей,
гомотопных пути р в графе К^\ мы обозначаем через [р]. Очевидно,
[р] [р] •
Пусть теперь К — связный комплекс их — его фиксированная
вершина. Обозначим через Р(К,х) множество всех замкнутых путей
в К с началом в х. Определим произведение классов путей из Р(К, х~)
формулой [р| • |ц] = |рц|.
24.2.	Упражнение. Докажите, что это произведение опреде-
лено корректно, то есть не зависит от выбора представителей в
классах.
§ 24. Комплексы
121
Легко проверить, что множество классов путей из Р(К, х) относи-
тельно такого произведения образует группу. Эта группа называется
фундаментальной группой комплекса К относительно вершины х и
обозначается 7Г1 {К, х).
24.3.	Замечание. Фундаментальная группа подкомплекса не обя-
зательно вкладывается в фундаментальную группу комплекса. Приме-
ром служит комплекс L, состоящий из одной вершины х, двух ребер
е, ё и двух клеток D, D таких, что dD = е. Очевидно, 7Fi(L^1\ х) = Z,
7Г1(Ь, X) = {1}.
Имеется естественный эпиморфизм р : tti, л?)	за-
данный правилом [р] ь->• |р]. Группа тед , я;) свободна (по теоре-
ме 4.3), поэтому достаточно изучить Кегр.
Выберем максимальное поддерево Т и ориентацию 1Д в . Для
каждой вершины v комплекса К существует единственный путь без
возвращений из х в и, проходящий в Т. Обозначим этот путь через pv.
Тогда для любого ребра е G К1 определен путь ре = РщеД]Дщеу За-
метим, что [р^] = [ре]-1. Пусть теперь D — произвольная двумерная
клетка. Выберем некоторую вершину v на границе этой клетки и вы-
берем14 контурный путь ду(1У) для клетки D с началом в и. Положим
[рр] = [pvdv(D)p~1]. Можно считать, что [pqy] = [рр]-1- Напомним, что
группа 7Г1 х) свободна и элементы [ре] (е G К\ — Т1) образуют ее
базис. Поэтому класс [рр] можно выразить в виде слова от этих эле-
ментов и обратным к ним: [рр] = [рС1] •  • [рс,], где щ, ..., cs — те ребра,
которые останутся в dv(D) после вычеркивания ребер, входящих в Т1.
Обозначим это слово через гр.
24.4.	Теорема. Пусть К — связный комплекс, х — его верши-
на, Т — максимальное поддерево в и К\ — некоторая ориента-
ция графа . Тогда группа тДК,х) имеет представление с множе-
ством порождающих {[ре] | е 6 К\ — Т1} и множеством определяю-
щих соотношений {гр | D G К2}.
Доказательство. Достаточно доказать, что Кегр совпадает с
нормальным замыканием N множества {[pp]|Z> G К2} в группе
тгД/Д1) , х). Включение N С Кег р очевидно. Для доказательства обрат-
ного включения достаточно проверить, что если пути р и q из Р(К,х)
элементарно гомотопны в К, то [р] отличается от [</] на элемент из N.
Если р = seet, q = st, то [р] = [<?]. Пусть р = sr±t, q = sryt, где
14Таких путей может быть несколько, если dD «проходит через» v несколько раз.
122
Глава 2
rxr2 1 — контурный путь клетки D. Предположим, что на границе
этой клетки выбиралась вершина ц, ЭДЛ) = eie2-..era и г}гД =
= ek...enei...ek-i. Положим / = eie2...efe_i. Тогда	=
= [sr1r^1s-1] = [sf^1p^1  pvdv(D)p^1  pvfs^], т.е. элемент [p][q]-1
сопряжен с [pd] и, значит, лежит в N.
24.5.	Теорема. Для всякой группы G существует двумерный
комплекс К, фундаментальная группа которого изоморфна G.
Доказательство. Построим комплекс К по некоторому представ-
лению (S | R) группы G. Комплекс К имеет единственную вершину х,
ребра es (s G S U S'-1) и грани Dr и Dr (г G R). При этом счита-
ем, что ej = es-i. Если г =	   sn, где st G S U S'-1, то положим
dDr = eS1eS2 .. .eSn. Из теоремы 24.4 (или прямо из определения фун-
даментальной группы комплекса) следует, что 7Г1 (К, х) = G.
Комплекс, построенный по представлению Q как в этом доказа-
тельстве, будет обозначаться K(Q).
§ 25.	Накрытия комплексов
Звездой вершины v двумерного комплекса К называется система,
состоящая из всех его ребер с началом в v и клеток, на границе которых
лежит v, причем каждая клетка учитывается с кратностью, равной
числу вхождений v в ее границу.
25.1.	Определение. Морфизм двумерных комплексов f : X Y
называется накрытием, если / отображает множество вершин, ребер и
клеток комплекса X на множество вершин, ребер и клеток комплекса Y
так, что звезда любой вершины v G А'0 отображается биективно на
звезду вершины f(v).
25.2.	Замечание. Утверждения 1, 2, 3, 3' и 5 теоремы 20.5 остают-
ся справедливыми, если в них заменить слово граф словом комплекс.
Их доказательства проходят с небольшими изменениями и дополнени-
ями. Например, в доказательстве утверждения 2 надо положить X2 =
= {(D,i)\D G Y2, i G I}. Для каждой клетки D G Y2 выберем ее кон-
турный путь l]j. Тогда контурным путем клетки (D, i) объявим подня-
тие пути 1и с началом в вершине (а(/р), г). Необходимо также заменить
символы [,] на символы [, ].
Справедливо также следующее обобщение следствия 20.6.
§ 25. Накрытия комплексов
123
25.3.	Следствие. Пусть X и Y — связные комплексы и
f : (X, х) —> (Y, у) — накрытие. Тогда мощность прообраза любой вер-
шины, ребра или клетки из Y равна индексу подгруппы /*(7ri(X, ж)) в
группе 7Г1 (У, у).
Эта мощность называется кратностью накрытия f.
В примерах, приведенных ниже, говоря о том, что комплекс состо-
ит из некоторых ребер и клеток, мы подразумеваем, что в него входят
и обратные к описанным ребра и клетки. Мы отождествляем также
группу с ее представлением.
25.4.	Примеры. 1) Пусть А = (а | а2 = 1) и В = (Ъ | Ь3 = 1) —
циклические группы порядков 2 и 3. На рис. 27 изображены накрытия
/ : К ( А) -л- К (А) и g : К (В) К (В), соответствующие единичным
подгруппам этих групп. Эти накрытия имеют кратности 2 и 3 соот-
ветственно. Комплекс К (А) имеет две пары взаимно обратных клеток,
изображенных верхней и нижней полусферами. В комплексе К (В) име-
ется еще одна пара, изображенная средним сечением.
Рис. 27
2) Рассмотрим свободное произведение А * В = (a, b | а2 = 1, Ь3 = 1).
Пусть Y — комплекс, получающийся соединением вершин комплексов
К (А) и .К (В) ориентированным ребром t. Очевидно, тгп (У, у) = А * В.
На рис. 28 изображен комплекс X из накрытия h : X Y, соответству-
ющего единичной подгруппе группы яд (У, у). Комплекс X состоит из
подкомплексов, изоморфных комплексам К (А) и К (В), соединенных
поднятиями ребра t, и имеет в целом древесную структуру.
3) Рассмотрим свободное произведение с объединением G =
= (а, Ь | а2 = Ъ3\ Пусть Y — комплекс, получающийся «приклеиванием
124
Глава 2
Рис. 28
клетки» D, изображенной на рис. 29 слева, к графу Г, изображенному
справа. Это означает, что граница клетки D отождествляется в соответ-
ствии с метками ребер с некоторым циклическим путем в Г. Очевидно,
яд (У, у) = G. Обозначим через Н ядро гомоморфизма : G —> S3,
заданного правилом а <—> (12), b <—> (123). На рис. 30 изображен ком-
плекс X из накрытия / : (Х,х)	(У, у), соответствующего подгруп-
пе Н. Это накрытие имеет кратность 6. Комплекс X состоит из трех
копий двукратного (т. к. а2 Е Кег<у? и а Кег<у?) накрытия а-петли
графа Г и из двух копий трехкратного (т. к. Ь3 6 Кег и 6 Кег </?)
накрытия 6-петли графа Г, соединенных шестью поднятиями ребра t,
а также из шести копий клетки D, приклеенных к тем циклическим пу-
тям, вдоль которых читается циклическое слово 37 |. Ориентиро-
ванные ребра комплекса X помечены символами а, b и t в зависимости
от того, поднятиями каких ребер они являются.
Мы рекомендуем читателю формально построить комплекс X ме-
тодом из доказательства утверждения 2 теоремы 20.5 с учетом замеча-
ния 25.2.
Рис. 29
§ 25. Накрытия комплексов
125
Рис. 30
Вычислим представление фундаментальной группы комплекса X
с выделенной вершиной х. На рис. 30 жирной линией выделено мак-
симальное поддерево Т в X. Обозначим ориентированные а-ребра, не
входящие в Т, через ai, а2, аз- Обозначим ориентированные &-ребра, не
входящие в Т, через bi, 62, Ьз, 64. Для краткости записи будем отожде-
ствлять ребро е с элементом фундаментальной группы [ре]. Тогда груп-
па 7Г1 (X, х) порождается элементами ai, «2, аз, ф, 62, Ьз, 64. Определяю-
щими соотношениями являются слова, которые получаются из контур-
ных путей клеток вычеркиванием всех ребер, входящих в Т. Например,
если контурный путь клетки начинается в вершине х и вдоль него чи-
тается слово a2i6-3i-1, то возникает соотношение а^Ь^1. Рассматривая
шесть контурных путей, вдоль которых читается слово a2tb~3t~1, по-
лучаем следующие определяющие соотношения:
а^_Ь-^	,	a±b2	64	,
П264	,	$2^4	Д	’
«3&1	,	«363	^2	^4	*
Применяя преобразования Титце, выводим следующее представле-
ние группы 7Г1 (X, х):
{Ь^Ьз, b4 I Ч3 ЧДз = 1, 6Г VM4 = 1)-
Группа Н имеет такое же представление и порождается словами, по-
лучающимися из меток путей р^, рь3, р^ вычеркиванием букв t и t-1.
Итак, группа Н порождается элементами Ь3, a~1bab~2, b2a~1bab~1.
126
Глава 2
25.5.	Упражнение. Выразите эти порождающие группы Н через
порождающие, найденные в пункте 18.7.
25.6.	С помощью накрытий легко вывести теорему 19.1. Для про-
стоты изложения ограничимся случаем, когда G — подгруппа груп-
пы Н, где Н — свободное произведение групп Hi (г G I). Построим
комплексы (Ki, Xi) по представлениям групп Hi. Пусть К — комплекс,
состоящий из комплексов Ki, выделенной вершины х и ориентирован-
ных ребер ti, соединяющих х с Xi. Очевидно, тг±(К, х) = Н. Пусть
/ : (К, х) —> (К, х) — накрытие, соответствующее подгруппе G. Ком-
плекс К состоит из разнообразных накрытий комплексов Ki, соединен-
ных поднятиями ребер ti с поднятиями вершины х. Выбрав максималь-
ные поддеревья в этих накрытиях и дополнив их всеми поднятиями
ребер ti, t~l и вершины х, получим подграф Т в К.
Если Т — дерево, то G — свободное произведение подгрупп, сопря-
женных с подгруппами групп Hi. Сопрягающие элементы соответству-
ют путям в Т из х в фиксированные вершины накрытий комплексов Ki.
Если же Т — не дерево, то возникает дополнительный свободный мно-
житель F. Мы оставляем читателю разобраться в деталях этого дока-
зательства.
§ 26.	Поверхности
В этом параграфе мы дадим комбинаторное определение поверх-
ности, в отличие от геометрического, принятого в дифференциальной
геометрии. Поэтому мы используем термин конечность, а не компакт-
ность.
26.1.	Определение. Двумерный комплекс, состоящий из конеч-
ного числа вершин, ребер и клеток называется конечным. Характери-
стикой Эйлера конечного двумерного комплекса К называется число
х(Я = 1^°|-Й11 + 1^2Ь
где |№| — число вершин, l-K1) — число пар взаимно обратных ребер и
|КГ2| — число пар взаимно обратных клеток комплекса К.
Элементарными преобразованиями комплекса К называются сле-
дующие преобразования.
(1)	«Разбиение ребра».
Пусть ребро е идет из вершины v± в вершину v%. Удалим из ком-
плекса К ребра е, ё и добавим новые ребра е±, и ёГ, ёг, а также
§ 26. Поверхности
127
добавим новую вершину v так, что ei идет из гц в г>, а 62 — из v в гд.
В границах клеток ребро е заменим на произведение 6162, а ребро ё на
произведение ё? ё\.
е	ei 62
«1 •--------V2 -----------► V1 •------► •---V2
V
Рис. 31
(2)	«Разбиение клетки».
Пусть D — клетка с контурным путем Р1Р2, где Pi, Р2 — некоторые
пути. Удалим из комплекса К клетки D, D и добавим новое ребро е,
идущее из начала пути р2 в начало пути р±, обратное ему ребро ё, а
также клетки D±, D2 с контурными путями р-^е, ёр2 и обратные к ним
клетки.
Pi	pi
Рис. 32
(3)	«Слияние ребер» и «слияние клеток» — преобразования, обрат-
ные преобразованиям (1) и (2).
Комплексы К\ и К> называются эквивалентными, если от Л, к ТХ
можно перейти с помощью конечного числа элементарных преобразо-
ваний.
26.2.	Упражнение. Фундаментальные группы эквивалентных
связных комплексов изоморфны. Характеристики Эйлера эквивалент-
ных конечных комплексов равны.
Ребра ei и 62, выходящие из одной вершины комплекса, называ-
ются соседними, если ег следует за ёГ в границе некоторой клетки.
26.3.	Определение. Поверхность — это двумерный комплекс К
с непустым множеством клеток, обладающий следующими свойствами.
(1)	К связен.
(2)	Каждое ребро входит в границу некоторой клетки.
128
Глава 2
(3)	Общее число вхождений каждого ребра в границы всех клеток
не более двух15.
(4)	Звезда любой вершины v конечна и для некоторой нумера-
ции ее ребер 61,62, ..., еп ребра и e^+i оказываются соседними,
1 i п — 1.
Ребро называется краевым, если оно входит в границу только од-
ной клетки, и притом один раз. Вершины краевых ребер называются
краевыми, остальные — внутренними. Край поверхности — это ее под-
комплекс, состоящий из краевых ребер и вершин.
26.4.	Упражнение. 1) Вершина v на поверхности краевая тогда
и только тогда, когда в обозначениях из (4) ребра е± и еп краевые.
Если эти ребра не краевые, то они соседние.
2)	Каждая компонента связности края конечной поверхности яв-
ляется циклом, т. е. изоморфна некоторому графу Сп из пункта 1.4.
Компонентами края бесконечной поверхности могут быть еще графы
вида Соо-
26.5.	Определение. Поверхность называется ориентируемой, ес-
ли из каждой пары D, D ее клеток можно выбрать по представителю
так, чтобы каждое ребро, не лежащее на крае, входило ровно один раз
в границу некоторого представителя и не входило в границу других
представителей.
26.6.	Упражнение. Элементарные преобразования переводят
конечную поверхность в конечную поверхность, сохраняют характе-
ристику Эйлера, число компонент края и ориентируемость.
26.7.	Примеры. 1) Пусть S — поверхность, состоящая из двух
вершин «1, г>2, двух пар ребер е±, щ и ег, ёг, а также двух пар клеток
Di, Di и D-2, D-2 таких, что a(ei) = щ, w(ei) = е>. а(ег) = «2, сДег) =
= Vi, d(Di) = ei62, 9(Рг) = ёТёг- Любая поверхность, эквивалентная
поверхности S, называется сферой (см. рис. 33, слева).
Пусть Р — поверхность, состоящая из одной вершины и, одной
пары ребер е, ё и одной пары клеток D, D таких, что dD = ее. Любая
поверхность, эквивалентная поверхности Р, называется проективной
плоскостью.
Очевидно, существует накрытие f : S - Р кратности 2, поверх-
ность S ориентируема, поверхность Р неориентируема.
2)	Пусть М — поверхность, состоящая из одной внутренней вер-
шины и, одной краевой вершины и, трех пар ребер а, а, р, р, у, у и
18 Если границы некоторых двух клеток совпадают, то мы считаем вхождения в
каждую из них. Ребро может входить дважды в границу одной клетки, но тогда
оно не должно входить в границы других клеток.
§ 26. Поверхности
129
Р
Рис. 33
одной пары клеток D, D таких, что а идет из v в и, р — из и в и, —
из v в v и 8D = сгрсгд2.
Поверхность М неориентируема. Любая поверхность, эквивалент-
ная поверхности М, называется листом Мебиуса (см. рис. 33, справа).
Опишем неформально один из способов построения конечных по-
верхностей. Пусть А — некоторый конечный алфавит. Возьмем много-
угольник О на плоскости, зададим ориентацию его ребер и пометим эти
ориентированные ребра буквами из А так, чтобы каждая буква возни-
кала не более двух раз. Тогда поверхность получается «склеиванием»
ребер, помеченных одинаковыми буквами (см. рис. 34).
Рис. 34
Следующая теорема показывает, что с точностью до элементар-
ных преобразований любая конечная поверхность может быть получе-
на этим способом.
26.8.	Теорема. Любую конечную поверхность, не являющуюся
сферой, можно привести при помощи элементарных преобразований
к поверхности К такой, что К имеет только одну внутреннюю вер-
шину, на каждой компоненте ее края имеется ровно одна вершина
и одна пара противоположных ребер, в каждую краевую вершину из
внутренней идет ровно одно ребро; все остальные ребра начинаются
130
Глава 2
и заканчиваются во внутренней вершине, К имеет только одну пару
взаимно обратных клеток D, D.
Обозначим через pi,~pi,	все краевые ребра, через
<71, ... ,аг — ребра, ведущие из внутренней вершины в начала ребер
р\, . . ., рг. Тогда клетка D имеет контур
Г	g
П^^Пъ2’ 5 > 0,	(-)
г=1	j=l
или
г	g
П^дПИД-], (r’S) (о,о),	(+)
i=i	j=i
где 7i, ...,yg, соответственно, а±,/3±, ... ,ад,вд — ребра с началом и
концом во внутренней вершине и [aj,(3j] = ад(3да~(3^.
Доказательство этой теоремы имеется, например, в книгах [56]
и [65]. Заметим, что в случае (—) поверхность неориентируема и х(К) =
= (1+r)—(г+г+д) + 1 = 2—r—д. В случае (+) поверхность ориентируема
и Х(Ю = (1 + г) — (г + г + 2д) + 1 = 2 — г — 2д.
Число д называется родом поверхности в обоих случаях. Сфера
имеет род 0. Отсюда и из упражнения 26.6 вытекает следующая теоре-
ма.
26.9.	Теорема. Ориентируемость, число компонент края и род
образуют полный набор инвариантов конечных поверхностей. Фун-
даментальная группа конечной неориентируемой поверхности рода g
с г компонентами края имеет представление
г g
(si, ..., sr, Cl, ..., Cg П П 9 > 0.
2=1	J=1
Фундаментальная группа конечной ориентируемой поверхности ро-
да g с г компонентами края имеет представление16
г g
^Sl, ...,S^,1Z1,51, . . . , Og , Ьд 1ЫМ-
2 — 1 j=l
16 Здесь [a,b] = aba 4 x.
§ 26. Поверхности
131
26.10.	Теорема. Если f : К —> S — накрытие из связного ком-
плекса в поверхность, то К тоже является поверхностью. При этом
К — поверхность без края тогда и только тогда, когда S — поверх-
ность без края. Если поверхности К и S конечны и п — кратность
накрытия f, то х(К) = п  х(8)-
Доказательство следует непосредственно из определений и мы
оставляем его читателю.
Далее Тд обозначает конечную ориентируемую поверхность рода д
без края. Следующая теорема вытекает из теоремы 26.10 и аналогична
теореме 20.7.
26.11.	Теорема. Любая подгруппа фундаментальной группы по-
верхности изоморфна фундаментальной группе некоторой поверхно-
сти. Если Н — подгруппа конечного индекса п в группе -кДТд,х'), то
Н = 7Fi(Tgi,a;i), где <?i — 1 = n(g — 1).
В заключение приведем нетривиальные примеры накрытий по-
верхностей. На рис. 35 изображены два различных накрытия -э Д
кратности 2.
Рис. 35
Эти накрытия получены путем «утолщения» накрытий из графов
на рис. 22 в граф на рис. 21.
132
Глава 2
26.12.	Упражнение. Перечислите все подгруппы индекса 2 в
группе 7Г1(Т2,я;) = (ai,&i,a2,&2 | [«i, Ф] [а2, 62])-
Фундаментальные группы поверхностей наследуют многие свой-
ства свободных групп. Это неудивительно, так как свободная группа
ранга п изоморфна фундаментальной группе сферы с п + 1 дырой;
более того, фундаментальная группа любой поверхности с краем изо-
морфна свободной группе. Техника расслоений и ламинаций, развитая
при исследовании гомеоморфизмов поверхностей (см. [37]), может быть
успешно применена к исследованию групп автоморфизмов этих групп
(см. [29, 30], где вводятся трейн-треки).
Отметим еще одну параллель. Свободные группы действуют сво-
бодно на деревьях, группы 7Г1(ТЭ, х) — на плоскости. Это следует из
того, что единичной подгруппе группы 7Г1(ТЭ, х) соответствует накры-
тие f : Р Тд, где Р — плоскость, разбитая на клетки (см. [65]). Уди-
вительно, что группы 7Г1 (Тд, х) действуют свободно на R-деревьях —
естественных обобщениях симплициальных деревьев, введенных в § 1
(см. [47]).
§ 27.	Теорема Зайферта—ван Кампена
27.1.	Теорема. Пусть К — комплекс, являющийся объединением
связных подкомплексов Ki, i 6 I, таких, что выполняются следующие
условия.
(1)	К, ' Kt = П Ki для любых s y^t.
i&I
(2)	Пересечение П Ki является связным подкомплексом.
iGl
(3)	Тождественное вложение П Ki в Kj индуцирует вложение
iEl
фундаментальных групп для каждого j е I.
Пусть х — произвольная вершина комплекса П Ki. Тогда группа
iEl
тДК,х') изоморфна свободному произведению групп лДК^х) с объеди-
нением по подгруппе 7Гх( П Ki, х).
i&I
Доказательство выведем из теоремы 24.4. Обозначим Kq = П Ki,
iei
считая, что 0^1. Выберем ориентацию Aq+ в Tlq1) и продолжим ее до
ориентации Kj+ в каждом К^. Выберем также максимальное под-
дерево ТЬ в .Kq1) и продолжим его до максимального поддерева 7) в
каждом К^\ Объединение этих поддеревьев — максимальное подде-
рево в К^. Соответственно, объединение базисов {[ре] I е G — ТД
§28. Теорема Грушко
133
всех свободных групп 7Г1 (К^, х) является базисом свободной группы
яд(А(х\ж) (см. теорему 4.3). Положим
Хг = {[ре] I е G К) - Т1}, Кг = {rD \ D G А2}.
По теореме 24.4 имеем яд (Ki, х) = (Xi Ki) и яд (К, х) = ( U Xi | U К.,).
г€/	г€/
Осталось заметить, что Xi П Xj = А'о при i Д j (в силу (1)) и под-
группа, порожденная множеством А'о в каждом яд (Ki, х), канонически
изоморфна (в силу (3)) группе яд(Ао,ж).
27.2.	Упражнение. С помощью рис. 35 докажите, что
тцДДх) = А* В, где каждая группа А, В, С изоморфна свободной
группе ранга 3.
§ 28.	Теорема Грушко
28.1.	Теорема. Пусть ф : F -э * Gi — эпиморфизм из конечно
iei
порожденной17 свободной группы F на свободное произведение групп
Gi, i G I. Тогда существует такое разложение группы F в свободное
произведение * Fi, что ф(Рф) = Gi для каждого г.
i&I
Доказательство. Пусть S — базис F, К — граф с единственной
вершиной х и положительно ориентированными ребрами, находящими-
ся во взаимно однозначном соответствии с элементами из S. Для каждо-
го s G S запишем элемент ф(з) в нормальной форме в G = * Gi- Если
iei
ф(з) = 919^---gt — такая запись, то мы разобьем соответствующее s
ребро е на t ребер: е =	 • - ер, при этом пометим каждое ребро е»
элементом gi. Возникает новый граф К. Определим метку Др) любого
пути р в К как произведение меток ребер, из которых он состоит. Эта
разметка индуцирует гомоморфизм Д : яд (А, ж) G.
В дальнейшем к комплексу А будут добавляться новые ребра с
метками 1 и двумерные клетки. После каждого шага новый комплекс
обозначаем снова через А. Для каждого i G I определим подком-
плекс Ki в К следующим образом: А° = А0, К1 = {е G А1 | Де) G ОД,
А2 = {D G А2 | dD С К1}.
Для исходного комплекса К выполняются следующие свойства.
(1)	Группы яд (А, ж) и F можно отождествить так, что Д отожде-
ствится с ф.
17Эта теорема справедлива и без предположения о конечной порожденности груп-
пы F.
134
Глава 2
(2)	U Кг = К.
itl
(3)	Ks П Kt = П Ki при s Д t.
iei
(4)	П Ki есть объединение попарно непересекающихся деревьев.
iei
Мы будем производить изменения так, чтобы и новые комплек-
сы К обладали этими свойствами. Свойство (2) является аналогом
равенства (UGi) = G. Будем добиваться стягиваемости пересече-
iEl
ния П Ki в точку, что является аналогом равенства П Gi = {1}.
iEl	iEl
Предположим, что пересечение П Ki несвязно. Связкой назовем
гё/
путь р в некотором Ki, начало и конец которого лежат в разных ком-
понентах связности пересечения П Ki, и такой, что р(р) = 1. По лем-
iEl
ме 28.2 (см. далее) существует связка р. Добавим к К ребро е с тем же
началом и концом, что и у связки р, и добавим клетку с границей ре.
Доопределим р, полагая р(е) = 1. Новый комплекс К обладает свой-
ствами (1)-(4) и новое пересечение П Ki имеет на одну компоненту
iEl
связности меньше, чем старое.
Поэтому за конечное число шагов мы построим комплекс К, для
которого пересечение П Ki связно, и, значит, по свойству (4) является
iEl
деревом. Так как К° С П Ki, то комплекс Ki связен для каждого iEl.
iEl
По теореме Зайферта-ван Кампена имеем 7Г1 {К, х) = * тгДА), х). По-
iEl
ложим Fi = -K\{Ki,x). Тогда F = * Fi и ?ДД) <= Gi. Поскольку ф
iEl
отображает F на G, то ^(Fi) = Gi.
28.2.	Лемма. Если П Ki несвязно, то существует связка.
iEl
Доказательство. Пусть v — вершина, не лежащая в той компо-
ненте связности пересечения П Ki, в которой лежит х. Выберем в К
iEl
путь р из х в v. Так как — эпиморфизм, то существует замкнутый
путь q с началом в х такой, что р(р) = рД). Тогда путь г = q~^p идет
из х в v и p(r) = 1. Так как U Ki = К, то г можно представить в виде
iEl
г = Г1Г2 •  • rk, где каждый путь rj лежит в некотором Кц^р и сосед-
ние Tj не лежат в одном Ki. Так как р(х) = 1 и p(xj) Е G^p, то из
нормальной формы элемента в свободном произведении следует, что
p(xs) = 1 для некоторого rs. Если a(rs) и x>(rs) лежат в разных компо-
нентах связности пересечения П Ki, то rs — связка. Предположим, что
iEl
a(rs) и Дхе) лежат в одной компоненте связности. Выберем путь r's в
§ 29. Хопфовы и финитно аппроксимируемые группы 135
этой компоненте, идущий из a(rs) в a>(rs). Так как £ П Gj = {1},
iei
то можно заменить rs на r's в г, сохранив свойство </?(r) = 1. Так как
г'8 — путь в П Ki, то можно уменьшить к, присоединив г'а к соседне-
го/
му множителю. Таким образом, за конечное число шагов мы найдем
связку.
п	п
28.3.	Следствие. Если G = * Gi, то rk(G) = Е rk(Gi).
i=1	i=i
Доказательство. Пусть F — свободная группа, ранг которой равен
рангу группы G, и пусть ip : F G — эпиморфизм. По теореме Грушко
существует разложение F = Д * ... * Fn такое, что 1рДД) = Gi для
п
всех г. Тогда утверждение следует из неравенств rk(Gi) rk(G) =
г=1
п	п
= rk(F) = rk(Fi') > Е»Ж).
г=1	г=1
§ 29.	Хопфовы и финитно аппроксимируемые
группы
Группа G называется хопфовой, если любой эпиморфизм в : G —> G
имеет единичное ядро. Проблема существования конечно представлен-
ных нехопфовых групп возникла в топологии (Хопф, 1931). Простей-
шие примеры таких групп даются в следущей теореме Баумслага-Со-
литэра [26].
29.1.	Теорема. Пусть т, п — пара целых взаимно простых чи-
сел, не равных 0, 1, —1. Тогда группа G = (b,t\ t~1 bmt = Ьп) нехопфова.
Доказательство. Определим гомоморфизм в : G —> G, полагая
0(t) = t, 0(b) = bm. Так как применение 0 к определяющему соотноше-
нию Z1 /Г"/ = Ьп равносильно возведению обеих его частей в степень гп,
то 0 определен корректно. Поскольку t и Ьт лежат в образе 0, Ьп тоже
лежит в образе 0. Так как пл т взаимно просты, то b лежит в образе 0,
и, значит, 0 — эпиморфизм. Имеем
0([t~1bt,b]) = [ДЬДЬ”1] = [bn,bm] = 1
и
[t~1bt, b] = t~1btbt~1b~1tb~1 1
по лемме Бриттона. Поэтому ядро эпиморфизма 0 неединично.
136
Глава 2
Далее мы докажем, что группа G = t t1 ht = Ьп) хопфова при
любом целом п. Часть графа Кэли этой группы при п = 2 изображена
на рис. 36. Видно, что с «фасада» этот граф выглядит как плоскость,
а с «торца» — как дерево, валентность каждой вершины которого рав-
на 3.
Рис. 36
29.2.	Определение. Группа G называется финитно аппрокси-
мируемой, если для каждого неединичного элемента д из G существует
конечная группа К и гомоморфизм р : G К такой, что р(Д) Д 1.
29.3.	Упражнение. 1) Группа G финитно аппроксимируема то-
гда и только тогда, когда пересечение всех ее нормальных подгрупп
конечного индекса равно {1}.
2)	Любая подгруппа финитно аппроксимируемой группы финитно
аппроксимируема.
Свойство финитной аппроксимируемости применяется при реше-
нии некоторых алгоритмических проблем.
29.4.	Теорема. Проблема равенства слов в конечно представлен-
ной финитно аппроксимируемой группе G разрешима.
Доказательство. Пусть {X | R) — конечное представление груп-
пы G, g — произвольное слово в алфавите X , А' 1 и g — его образ при
естественном гомоморфизме из F(X) в G. Мы хотим узнать, равен ли
элемент g единичному элементу в G. Для этого одновременно устраи-
ваем два процесса. Первый процесс перечисляет все слова, равные 1 в
§ 29. Хопфовы и финитно аппроксимируемые группы
137
группе G (для этого надо перечислять слова из нормального замыка-
ния множества R в F(X)), второй перечисляет образы данного д при
всех гомоморфизмах из G во все конечные группы (почему это возмож-
но?). Если д = 1, то мы поймем это за конечное число шагов в первом
процессе, если д Д 1, то это станет ясно из второго процесса.
29.5.	Теорема. Группа GLn(Z) финитно аппроксимируема.
Доказательство. Для любого натурального числа т существует
гомоморфизм рт : GLn(Z) GLn(Zm), при котором элементы мат-
рицы заменяются на соответствующие им вычеты по модулю т. Для
неединичной матрицы A G GLn(Z) ее образ относительно tpm неедини-
чен при т > max | Д^-1.
Следующая более общая теорема доказана А. И. Мальцевым [15].
29.6.	Теорема. Всякая конечно порожденная группа матриц над
полем финитно аппроксимируема.
29.7.	Теорема. Любая свободная группа финитно аппроксимиру-
ема.
Доказательство. Пусть F(JC) — свободная группа с базисом X и
g — произвольный неединичный элемент из F(X). В его записи участ-
вует только конечное число элементов из X. Пусть Х\ — множество
этих элементов. Рассмотрим гомоморфизм р : F(X) F(A”i) такой,
что </Дж) = х при х 6 Xi и ср(х) = 1 при х 6 X — Х^. Тогда </?(<?) Д 1.
Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда базис X конечен. По
упражнению 3.12 свободные группы всех конечных рангов вкладыва-
ются в свободную группу F(a, Ь). Поэтому достаточно доказать финит-
ную аппроксимируемость группы F(a,b)- Но эта группа финитно ап-
проксимируема, так как она вкладывается в группу SL2(Z), что следует
из теоремы Санова 13.13 или упражнения 19.2.
Приведем исходное доказательство Шрайера, иллюстрирующее те-
зис, что все гениальное просто. Пусть g = яцжг . . . хп — непустое
приведенное слово в алфавите X U Х'!. Определим гомоморфизм
р : F(X) Sni. для которого <у?(<?) Д 1. Порождающие из X, не вхо-
дящие в g и g [, отобразим в тождественную подстановку. Остальные
порождающие из X отобразим в подстановки так, чтобы Xi переводил
символ i + 1 в г, независимо от того, порождающий это или обрат-
ный к нему. Это условие определяет подстановки неоднозначно, но оно
непротиворечиво, поскольку элементы xt и х^ не взаимно обратны.
Независимо от того, как мы доопределим подстановки для всех Xi, про-
изведение х±Х2    хп будет переводить символ п + 1 в символ 1.
138
Глава 2
Похожее доказательство вытекает из того, что размеченный граф
на рис. 37 всегда можно дополнить ребрами до Х-графа (см. пример
на рис. 38 при X = {а, Ь} и д = а&2а-16-2).

Рис. 37
Тогда соответствующая ему подгруппа Н группы F(X) имеет ин-
декс п + 1 и д Н, т. к. путь с началом в вершине и, соответствующий
слову у. не замкнут.
29.8.	Проблема (см. [14]). Пусть F — свободная группа с ко-
нечным базисом X. Верно ли, что существует такая константа С
(зависящая только от |4С|), что любое слово из F длины к 2 от-
носительно X лежит вне некоторой подгруппы в F индекса не бо-
лее С In к?
29.9.	Теорема. Конечно порожденная финитно аппроксимируе-
мая группа G хопфова.
Мы докажем эту теорему с помощью следующей теоремы М. Холла.
29.10.	Теорема. Число подгрупп данного конечного индекса п в
конечно порожденной группе G конечно.
Доказательство18. Пусть Н — подгруппа индекса п в G. Зануме-
руем ее левые смежные классы числами от 1 до п так, чтобы класс Н
имел номер 1. Из действия группы G на этом множестве умножени-
ем слева возникает гомоморфизм 0 и : G -л Sn. При этом подстанов-
ка 0н(К) оставляет 1 на месте только при h G Н. Поэтому разным
подгруппам индекса п соответствуют разные гомоморфизмы. Осталось
заметить, что число различных гомоморфизмов из конечно порожден-
ной группы в конечную группу конечно.
Доказательство теоремы 29.9. Пусть в : G G — эпимомор-
физм с ядром Кип — произвольное натуральное число. Так как груп-
па G конечно порождена, то в ней существует конечное число подгрупп
Mi, . .., Мд.(га) индекса п. Пусть Li = в-1 (Mi). Все подгруппы Li раз-
личны и имеют индекс п в G. Поэтому набор подгрупп Li совпадает с
набором подгрупп Mj. Таким образом, К содержится во всех Mj. Ввиду
18Другое по форме доказательство дано в пункте 21.4.
§ 29.	Хопфовы и финитно аппроксимируемые группы 139
произвольности п, К содержится в пересечении всех подгрупп конеч-
ного индекса группы G. Так как G финитно аппроксимируема, то это
пересечение равно {1}, следовательно К = {1}.
29.11.	Следствие (см. [15]). Всякая конечно порожденная группа
матриц над полем хопфова.
Доказательство непосредственно вытекает из теорем 29.6 и 29.9.
29.12.	Следствие. Для каждого целого п группа (а,Ь \ агДа —
= Ьп) хопфова.
Доказательство вытекает из упражнения 5.5 и следствия 29.11.
Историческая справка
I.	Первый значительный вклад в теорию групп внес Эварист Галуа
(1811-1832) при исследовании вопроса о разрешимости в радикалах ал-
гебраических уравнений (см. [8] и [13, 20]). Именно Галуа впервые ввел
понятие группы и попытался понять как они устроены. До него груп-
пы в виде подстановок корней уравнения возникали также в работах
Лагранжа (1771), Руффини (1799) и Абеля (1825).
В 1830-1832 годах Галуа пришел к понятиям нормальной подгруп-
пы, разрешимой группы, простой группы и сформулировал19 теоремы
о простоте знакопеременной группы Ап степени п 5 и о простоте про-
ективной специальной линейной группы PSL2(q) при простом q 4.
Исключительная роль конечных простых групп объясняется тем,
что из них может быть построена любая конечная группа. Долгое вре-
мя исследования групп велись в терминах групп подстановок. В част-
ности, изучался вопрос о кратно транзитивных группах подстановок.
Именно на этом пути Эмиль Матье открыл в 1861 году две простые
группы М±2 и М^4. Из них легко получаются простые группы Мц,
М22 и ЛДз- Эти пять групп Матье являются спорадическими (исклю-
чительными) группами, так как они не входят в три бесконечные серии
простых конечных групп: циклические группы простого порядка, зна-
копеременные группы степени 5 и простые группы лиева типа (о них
можно прочитать в книге [36]). Удивительно, что шестая спорадическая
группа Ji была открыта Звонимиром Янко только в 1965 году.
Всплеск активности в этой области произошел благодаря трем вы-
дающимся событиям.
В 1954 году Ричард Брауэр предложил исследовать группы по цен-
трализаторам инволюций. Одной из важных теорем в этом направле-
нии является теорема Брауэра-Фаулера о том, что существует только
конечное число конечных простых групп с данным централизатором
инволюции.
В 1955 году появилась работа Клода Шевалле о конечных группах
лиева типа.
19В имеющихся бумагах Галуа не все утверждения строго доказаны. Некоторые
утверждения неверны, но даже они подчеркивают силу его мысли. Так лемма 1 из
дополнения N к его «Мемуару о решении уравнений» при некоторых необходимых
ограничениях превращается в теорему Силова о количестве силовских р-подгрупп.
Историческая справка
141
В 1962 году Джон Томпсон и Уолтер Фейт доказали свою знамени-
тую теорему, согласно которой любая группа нечетного порядка разре-
шима.
Открытие группы Янко послужило сигналом к настоящей охоте
на спорадические группы. Их открывали примерно по одной штуке в
год в течение 16 лет. Изумительные по красоте конструкции предложил
Джон Конвей. Он построил простые группы Соз, Со-2 и Со^ из группы
автоморфизмов замечательной 24-мерной решетки Лича, которая по-
явилась при исследовании плотных упаковок сфер. В 1981 году Роберт
Грисс построил 26-ю спорадическую группу — группу Грисса-Фише-
ра Ух, которую он назвал сначала Монстром, а затем Дружественным
гигантом (ее порядок равен примерно 1054).
В середине 80-х годов XX века у специалистов по конечным груп-
пам возникла уверенность, что спорадических групп существует ров-
но 26 и классификационная теорема (см. пункт 10.2 в главе 1) может
быть доказана. Однако, до сих пор (2002 год) полное доказательство все
еще не опубликовано. Более подробно с историей этого вопроса можно
ознакомиться по книгам [49], [40] и [24].
II.	Принято считать, что комбинаторная теория групп — это те-
ория, изучающая группы, заданные порождающими и определяющих
соотношениями. Её истоки находятся в работах Шварца, Клейна, Фук-
са, Пуанкаре и Шоттки, в которых группы возникали как дискретные
группы геометрических преобразований. И все же решающим пунктом
в становлении комбинаторной теории групп является статья Вальте-
ра фон Дика 1882 года, где доказано существование свободной группы
(термин введен позднее Дэном) и показано, что произвольная группа
получается из подходящей свободной группы наложением некоторых
определяющих соотношений. Следующим важным этапом является ра-
бота Титце 1908 года, где исследуется вопрос об изоморфизме групп,
заданных различными системами порождающих и определяющих со-
отношений. Эта работа была вдохновлена открытием Пуанкаре в 1895
году понятия фундаментальной группы топологического пространства
и работами Виртингера по теории узлов. Четыре работы Дэна 1910,
1911, 1912 и 1914 годов углубляют и продолжают работу Титце. В этих
работах он формулирует проблемы равенства слов, сопряженности слов
и изоморфизма групп, заданных множествами порождающих и опреде-
ляющих соотношений. Используя геометрические методы, Дэн находит
чисто алгебраическое решение проблемы равенства слов для фунда-
ментальной группы ориентируемой поверхности, заданной следующим
представлением:
фх, ф, ..., ад, Ьд	. .. a~1bg1agbg = 1).
142
Историческая справка
Найденный им алгоритм (сейчас он называется алгоритмом Дэна) при-
меним к очень широкому классу групп — так называемым гиперболиче-
ским группам, интенсивное исследование которых началось после появ-
ления в 1987 году работы М. Громова [50]. Макс Дэн предложил также
конструкцию графа, называемого теперь графом Кэли группы. Истоки
этой идеи имеются уже в работе Кэли 1878 года. Разница в подходах
Кэли и Дэна состоит в том, что Кэли, исходя из «цветных» графов
строит группы, Дэн же строит графы по представлениям групп. Эти
графы адекватно отражают строение группы и применяются, напри-
мер, в теории Басса-Серра групп, действующих на деревьях. Этапом
бури и натиска можно назвать статьи Нильсена 1917-1924 годов (две из
них были написаны и опубликованы во время его службы в германском
флоте). В статье 1921 года Нильсен приводит некоторый метод (сейчас
он называется методом Нильсена), из которого следует, что конечно
порожденная подгруппа свободной группы также свободна. В полной
общности результат о свободе произвольных подгрупп свободных групп
был получен Шрайером в 1927 году. Исключительно сложной по ком-
бинаторному доказательству является работа Нильсена 1924 года, где
он находит конечное представление группы автоморфизмов свободной
группы конечного ранга. Более прозрачное доказательство было полу-
чено Маккулом только в 1975 году. Следующей важной вехой в раз-
витии комбинаторной теории групп являются статьи Райдемайстера
1926 года и Шрайера 1927 года, где развивается метод нахождения
представлений подгрупп в группе, заданной порождающими и опре-
деляющими соотношениями. Райдемайстер проинтерпретировал этот
метод через накрытия топологических пространств, Шрайер — через
граф смежных классов группы по ее подгруппе, что, в принципе, одно
и то же. Исследование фундаментальных групп топологических про-
странств привело к кристаллизации понятий свободного произведения
групп (Артин, 1926, Шрайер, 1927), свободного произведения с объ-
единением (Шрайер, 1927) и HNN-расширения (Хигман, Б. Нейман и
X. Нейман, 1949). Чисто алгебраическим путем А. Г. Курош получает
теорему о строении подгрупп свободных произведений групп (1934), а
И. А. Грушко (1940) и Б. Нейман (1943) развивают метод Нильсена для
свободных произведений групп.
В 1968-69 годах Ж.-П. Серр прочитал курс лекций в Коллеж
де Франс, посвященный исследованию групп, действующих на дере-
вьях. Записки этих лекций были подготовлены им в сотрудничестве с
X. Бассом. Развитая ими теория, называемая теперь теорией Басса-
Серра, содержит прозрачное и естественное объяснение многих резуль-
татов о свободных группах и свободных конструкциях с геометриче-
ской точки зрения. Для специалистов по комбинаторной теории групп
Историческая справка
143
французский вариант этой книги [60] и более поздний английский [61]
стали своего рода Библией, в которой объяснено, как группы, деревья
и действие порождают мир комбинаторной теории групп.
Многие классические результаты комбинаторной теории групп (но
не теория Басса-Серра) содержатся в переводных книгах Магнуса,
Карраса, Солитера [55] и Линдона, Шуппа [53]. С историей комбина-
торной теории групп до 1980 года можно ознакомится по книге Чанд-
лера, Магнуса [38]. Успехи в решении алгоритмических проблем теории
групп до 1984 года отражены в обзоре С. И. Адяна и Г. С. Маканина [2].
Полезная и разнообразная информация содержится также в обзо-
рах А. Ю. Ольшанского и А. Л. Шмелькина [19], Р. И. Григорчука и
П. Ф. Курчанова [9], Д. Коллинза и X. Цишанга [11].
В последние 15 лет на небосклоне комбинаторной теории групп
наблюдаются вспышки новых идей и теорий, источником которых яв-
ляется геометрия и топология. Вот некоторые из них20:
★	трейн-треки (М. Бествина, М.Хэндель [29, 30]),
★	R-деревъя (И. Риис (не опубликовано); М. Бествина, М. Фейн [28];
Д. Габорэ, Г. Левитт, Ф. Полей [47]),
★	теория концов групп (истоки у Дж. Столлингса [62]; М. Данвуди
[43]; М. Бествина, М. Фейн [27]; И. Риис, 3. Села [59]; Б.Бовдич [32];
М. Данвуди, М. Сагеев [45]; М. Данвуди, Э. Свенсон [46]),
★	гиперболические группы (М. Громов [50], см. также книги [48,
33]),
★	автоматные группы (Дж. Кэннон, С. Леви, М. Паттерсон, У. Тер-
стон, Д. Хольт, Д. Эпстейн [35]).
Н	ерешенные проблемы теории групп фиксируются в книге [14] и
на сайте [66].
20Мы упоминаем только ключевые работы.
Список литературы
[1]	Адян С. И. Неразрешимость некоторых алгоритмических про-
блем теории групп. Труды Моск, матем. о-ва, 1957, т. 6, 231-298.
[2]	Адян С. И., Маканин Г. С. Исследования по алгоритмическим во-
просам алгебры. Труды МИАН СССР, 1984, т. 168, 197-217.
[3]	Богопольский О. В. Введение в теорию конечных групп. Учеб, по-
собие. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1997.
[4]	Богопольский О. В. Комбинаторная теория групп. Часть I. Учеб,
пособие. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2000.
[5]	Богопольский О. В. О древесной разложимости групп автомор-
физмов свободных групп. Алгебра и логика, 1987, т. 26, К5 2,
131-149.
[6]	Богопольский О. В. Конечно порожденные группы со свойством
М. Холла. Алгебра и логика, 1992, т. 31, К2 3, 227-275.
[7]	Борисов В. В. Простые примеры групп с неразрешимой проблемой
тождества. Мат. заметки, 1969, т. 6, №5, 521-532.
[8]	Галуа Эварист. Сочинения. М.-Л.: НКТП, 1936.
[9]	Григорчук Р. И., Курчанов П. Ф. Некоторые вопросы теории
групп, связанные с геометрией. В кн.: Итоги науки и техн. Со-
врем. пробл. матем. Фундам. направления, т. 58, М.: ВИНИТИ,
1990 (стр. 191-256).
[10]	Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. 3-е
изд. М.: Наука, 1982.
[11]	Коллинз Д., Цишанг X. Комбинаторная теория групп и фунда-
ментальные группы. В кн.: Итоги науки и техн. Соврем, пробл. ма-
тем. Фундам. направления, т. 58, М.: ВИНИТИ, 1990 (стр. 5-190).
[12]	Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. М.: Наука, 1986.
[13]	Кострикин А. И. Введение в алгебру. (В трех частях.) М.: Физмат-
лит, 2000.
[14]	Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. 15-е изд.
Новосибирск, 2002.
[15]	Мальцев А. И. Об изоморфном представлении бесконечных групп
матрицами. Мат. сб., 1940, т. 8, К2 3, 405-422.
Список ЛИТЕРАТУРЫ
145
[16]	Марков А. А. Невозможность некоторых алгорифмов в теории
ассоциативных систем. Докл. АН СССР, 1947, т. 55, К2 7, 587-590.
[17]	Новиков П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы
тождества слов в теории групп. Труды МИАН СССР, 1955, т. 44,
3-143.
[18]	Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений. М.:
Наука, 1989.
[19]	Ольшанский А. Ю., Шмелькин А. Л. Бесконечные группы. В кн.:
Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления,
т. 37, М.: ВИНИТИ, 1989 (стр. 5-113).
[20]	Постников М. М. Теория Галуа. М.: Физматлит, 1963.
[21]	Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. М.: Про-
свещение, 1968.
[22]	Чуркин В. А. А теории групп, действующих на деревьях. Алгебра
и логика, 1983, т. 22, А2 2, 218-225.
[23]	Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. Ижевск: Регуляр-
ная и хаотическая динамика, 1999.
[24]	Aschbacher М. Sporadic groups. Cambridge tracts in mathematics,
104, Cambridge, Univ. Press, 1994.
[25]	Baumslag G. Multiplicators and metabelian groups. J. London Math.
Soc. Series A, 1976, V. 22, N 3, 305-312.
[26]	Baumslag G., SolitarD. Some two-generator, one-relator non-Hopfian
groups. Bull. Amer. Math. Soc., 1962, V. 68, N 3, 199-201.
[27]	Bestvina M., Feighn M. Bounding the complexity of simplicial group
actions. Invent. Math., 1991, V. 103, 449-469.
[28]	Bestvina M., Feighn M. Stable actions of groups on real trees. Invent.
Math., 1995, V. 121, 287-321.
[29]	Bestvina M., Handel M. Train tracks and automorphisms of free
groups. Annals of Math., 1992, V. 135, N 2, 1-53.
[30]	Bestvina M., Handel M. Train tracks for surface homeomorphisms.
Topology, 1995, V. 34, N 1, 109-140.
[31]	Boone W. W. The word problem. Ann. of Math., 1959, V. 70, N 2,
207-265.
[32]	Bowditch В. H. Cut points and canonical splittings of hyperbolic
groups. Acta Math., 1998, V. 180, N 2, 145-186.
[33]	Bridson M., Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature.
Boston-Heidelberg: Springer-Verlag, 1999.
146
Список ЛИТЕРАТУРЫ
[34]	Cameron Р. J., van Lint J. H. Graph theory, coding theory and block
designs. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 19, Cambridge Univ.
Press, 1975. (Пер. на рус. яз.: Камерон П., Дж. ван Линт. Теория
графов, теория кодирования и блок-схемы. М.: Наука, 1980.)
[35]	Cannon J., Epstein D., Holt D., Levy S., Paterson M., Thurston W.
Word processing in groups. Boston: Jones and Barlett, 1992.
[36]	Carter R. W. Simple groups of Lie type. New York: Wiley, 1989.
(Reprint of the 1972 original.)
[37]	Casson A., Bleiler S. Automorphisms of surfaces after Nielsen and
Thurston. Cambridge-New York: Cambridge Univ. Press, 1988. (Име-
ется перевод: Кассон Э., Блейлер С. Теория автоморфизмов по-
верхностей по Нильсену и Терстону. М.: ФАЗИС, 1998.)
[38]	Chandler В., Magnus W. The history of combinatorial group theory.
Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1982. (Пер. на рус.
яз.: Чандлер Б., Магнус В. Развитие комбинаторной теории
групп. М.: Мир, 1985.)
[39]	Conway J. Н., Curtis R. Т., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A.
Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985.
[40]	Conway J. H., Sloane N. J. A. Sphere packing, lattices and groups.
Grundlagen der math. Wissenschaften 290, A Series of Comprehensive
Studies in Math., New York: Springer-Verlag, 1988. (Пер. на рус. яз.:
Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. М.:
Мир, 1990.)
[41]	Coxeter Н. S. М., Moser W. О. J. Generators and relations for discrete
groups. 3-rd ed., Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1972.
(Пер. на рус. яз.: Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождаю-
щие элементы и определяющие соотношения дискретных групп.
М.: Наука, 1980.)
[42]	Crowell R. Н., Fox R. Н. Introduction to knot theory. Boston-New
York-Toronto: GINN and Co., 1963. (Пер. на рус. яз.: Кроуэлл Р.,
Фокс Р. Введение в теорию узлов. М.: Мир, 1967.)
[43]	Dunwoody М. J. The accessibility of finitely presented groups. Invent.
Math., 1985, V. 81, 449-457.
[44]	Dunwoody M. J. Folding sequences. In: The Epstein birthday shrift,
Geometry and topology monographs, International Press, 1998, V. 1,
139-158.
[45]	Dunwoody M. J., Sageev M. E. JSJ-decompositions for finitely
presented groups over slender subgroups. Invent. Math., 1999, V. 135,
25-44.
Список ЛИТЕРАТУРЫ
147
[46]	Dunwoody М. J., Swenson Е. L. The algebraic torus theorem. Invent.
Math., 2000, V. 140, 605-637.
[47]	Gaboriau D., Levitt G., Paulin F. Pseudogroups of isometries of R
and Rips’ theorem on free actions on R-trees. Israel J. of Math.,
1994, V. 87, 403-428.
[48]	Ghys E., de la Harpe P. (editors). Sur les Groupes Hyperboliques
d’apres Mikhael Gromov. Progr. Math., V. 83, Boston-Basel-Berlin:
Birkhauser, 1990. (Пер. на рус. яз.: Гиперболические группы по Ми-
хаилу Громову. М.: Мир, 1992.)
[49]	Gorenstein D. Finite simple groups. An introduction to their
classification. New York: Plenum Publ. Corp., 1982. (Пер. на рус.
яз.: Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их клас-
сификацию. М.: Мир, 1985.)
[50]	Gromov М. Hyperbolic groups. In: Essays in group theory.
(S. M. Gersten ed.) MSRI Publ. 8, Springer-Verlag, 1987, 75-263.
(Пер. на рус. яз.: Громов М. Гиперболические группы. Москва-
Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.)
[51]	Huppert В., Blackburn N. Finite groups III. (A series of
Comprehensive Studies in Math., 243) Berlin-Heidelberg-New York:
Springer-Verlag, 1982.
[52]	Lang S. Algebra. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1965. (Пер. на рус.
яз.: Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.)
[53]	Lyndon R. С., Schupp Р. Е. Combinatorial group theory. Ergebnisse
der Mathematik, 89, Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag,
1977. (Пер. на рус. яз.: Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная тео-
рия групп. М.: Мир, 1980.)
[54]	Magnus W. Das Identitats Problem fur Gruppen mit einer
definierenden Relation. Math. Ann., 1932, Bd. 106, 295-307.
[55]	Magnus W., Karrass A., Solitar D. Combinatorial group theory. New
York: Wiley, 2-nd ed. New York: Dover, 1976. (Пер. на рус. яз.: Маг-
нус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.:
Наука, 1974.)
[56]	Massey W. S. Algebraic topology: An Introduction. New York:
Harcourt, Brace and World, 1967. (Пер. на рус. яз. в кн.: Мас-
си У., Столлингс Дж. Алгебраическая топология. Введение. М.:
Мир, 1977.)
[57]	Neumann В. Н. Some remarks on infinite groups. J. London Math.
Soc., 1937, V. 12, 120-127.
[58]	Rabin M. O. Recursive unsolvability of group theoretic problems.
Annals of Math., 1958, V. 67, N 1, 172-194.
148
Список ЛИТЕРАТУРЫ
[59]	Rips Е., Sela Z. Cyclic splitting of finitely presented groups and the
canonical JSJ decomposition. Annals of Math., 1997, V. 146, N 1,
53-109.
[60]	Serre J.-P. Arbres, amalgames et SL2. Notes College de France,
1968/69. (Пер. на рус. яз.: Серр Ж.-П. Деревья, амальгамы и
SL2. Математика, 1974, т. 18, К2 1, 3-51.)
[61]	Serre J.-P. Trees. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag,
1980.
[62]	Stallings J. R. Group theory and three dimensional manifolds. Yale
Math, monographs, N 4, New Heaven: Yale Univ. Press, 1971.
[63]	Stallings J. R.Topology of finite graphs. Invent. Math., 1983, V. 71,
551-565.
[64]	Suzuki M. Group theory I. Berlin-Heidelberg-Tokyo: Springer-Verlag,
1986.
[65]	Zieschang H., Vogt E., Coldewey H.-D. Surfaces and planar
discontinuous groups. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag,
1980. (Пер. на рус. яз.: Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. По-
верхности и разрывные группы. М.: Наука, 1988.)
[66]	http://www.grouptheory.org
Богопольский Олег Владимирович
Введение в теорию групп
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Корректор М. А. Ложкина
Подписано в печать 19.08.02. Формат 60 X 84У16.
Печать офсетная. Усл.печ.л. 8,6. Уч. изд. л. 8,75.
Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Заказ №40.
АНО «Институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru