Я.И.Ханин
ОСНОВЫ
ДИНАМИКИ
ЛАЗЕРОВ

Глава 1
Общие сведения о квантовых генераторах
Настоящая глава не претендует на детальное изложение основ
квантовой электроники. При необходимости читатель может найти
его в таких, например, книгах, как [1-9]. Ниже приводятся,
главным образом, лишь те сведения, которые имеют непосредственное
отношение к динамическому поведению лазера.
1.1. Принцип действия и его реальные воплощения
Можно указать на три проблемы, которые привели к
появлению квантовой электроники: необходимость снижения шумового
порога усилителей, необходимость повышения стабильности
генераторов и потребность в освоении миллиметрового и более
коротковолнового диапазона электромагнитных волн. При разрешении
этих проблем классическая электроника столкнулась с
принципиальными трудностями, многие из которых удалось преодолеть,
воспользовавшись явлением индуцированного испускания света
системами связанных зарядов.
1.1.1. Индуцированные и спонтанные переходы. Возможность
усиления электромагнитного поля квантовыми системами
основана на явлении индуцированного (стимулированного,
вынужденного) испускания. Под влиянием падающего извне излучения
квантовая система (атом, молекула, кристалл) способна перейти в
более низкое энергетическое состояние, испустив при этом фотон.
По всем своим характеристикам индуцированное излучение
идентично падающему. Процессом, обратным индуцированному
испусканию, является поглощение фотона с переходом квантовой
системы в состояние с большей энергией.
В квантовой электронике, как правило, приходится иметь дело
не с изолированной молекулой, а со средой, состоящей из большого
числа молекул. В случае термодинамического равновесия
населенность молекулярных уровней в соответствии с распределением
Больцмана тем меньше, чем больше их энергия. Поскольку
вероятности прямого и обратного вынужденных переходов в расчете на
одну молекулу одинаковы, равновесные среды являются
поглощающими. Преобладание переходов с испусканием над переходами с
поглощением достигается только в неравновесных системах. Так
обстоит дело в случае инверсии населенностей какой-либо пары
уровней при условии неэквидистантности энергетического спек-

тра. Последнее условие необходимо, для того чтобы
монохроматическое поле, резонансное инвертированному переходу, не было
резонансным по отношению к другим переходам с преобладающим
поглощением.
С неэквидистантностью энергетического спектра связана
возможность упрощенного описания квантовой системы, при котором
во внимание принимается минимальное число уровней.
Двухуровневая идеализация очень часто используется в квантовой
электронике.
Квантовый усилитель в простейшем варианте — это слой
среды, в котором тем или иным способом осуществлена инверсия
населенно стей на выбранном переходе. Электромагнитная волна при
распространении в такой среде усиливается. Повышение
эффективности использования активной среды обеспечивается
замедлением волны или многократным ее пропусканием через активный
элемент. Последнее может быть достигнуто, в частности,
помещением активного элемента в резонатор. Таким образом, резонатор
в квантовой электронике выполняет функцию элемента обратной
связи.
Процесс индуцированного испускания приводит к увеличению
плотности энергии поля внутри активной среды. Различные дис-
сипативные процессы и излучение в окружающее пространство
действуют в обратном направлении. Когда эти процессы
сбалансированы, или индуцированное испускание преобладает над
диссипацией, рассматриваемое устройство функционирует как генератор.
В отличие от фотонов, испущенных вынужденно, спонтанные
фотоны не коррелированы по своим характеристикам с полем в
объеме активной среды. Поэтому спонтанные процессы играют
роль естественного источника шума, которым ограничивается
чувствительность квантовых усилителей и стабильность генераторов,
а также роль спускового механизма при возникновении
автоколебаний. Эффектом спонтанного испускания определяется конечное
время жизни изолированной молекулы на возбужденном уровне
и связанная с этим обстоятельством естественная ширина
спектральных линий.
Активная среда (лазерная среда, рабочее вещество) квантового
усилителя или генератора должна обеспечивать необходимый
коэффициент усиления при допустимом расходе энергии на
создание инверсии населенностей. Выражается коэффициент усиления
формулой
Again = <rtr{Na - Nb), (1.1)
в которой atT — характеризующая активную молекулу величина,
именуемая сечением квантового перехода, Na — iVj, — разность
населенностей рабочих уровней, определяемая как свойствами
рабочего вещества, так и возможностями системы накачки. В
дальнейшем будет полезна формула [3]
__8тго;оН2
^--йсХГ' (1'2)

выражающая сечение перехода через другие константы среды: ди-
польный момент перехода d, частоту перехода wq и ширину
спектральной линии 8uq.
Большое сечение перехода предопределяет малое время жизни
верхнего уровня, что отнюдь не способствует накоплению на нем
молекул. На практике используются обе альтернативные
возможности достижения нужного усиления: как создание большой
перенаселенности на метастабильном верхнем уровне, когда
сечение перехода мало, так и ставка на большое сечение при
относительно слабой населенности лабильного верхнего уровня.
Примерами сред первого типа служат слаболегированные кристаллы и
стекла, такие как рубин, алюмоиттриевый гранат и стекла с
примесью неодима. К активным средам второго типа относятся
растворы органических красителей. Однако в любом случае важна
эффективность использования энергии накачки, характеризуемая
долей возбуждаемых молекул, которые забрасываются, в конечном
счете, на нужный энергетический уровень. Отсюда вытекает
общее требование к рабочим веществам — наличие высокого
квантового выхода.
Поскольку усиление определяется разностью населенностей, а
не населенностью верхнего уровня, преимуществом обладают
активные среды с быстро очищающимся нижним уровнем. Подобное
возможно, если этот уровень приподнят над основным не менее,
чем на к#Т. Именно так обстоит дело в кристаллах и стеклах,
активированных неодимом. Примером противоположного свойства
являются среды с само ограниченными переходами,
заканчивающимися на метастабильных уровнях. К их числу принадлежат
пары металлов, кристаллы с примесью эрбия. Вообще говоря, к
этому классу следовало бы отнести и рубин, нижний лазерный
уровень которого является основным, но его очистка совмещается
с процессом накачки. Самоограниченность перехода препятствует
функционированию устройства в непрерывном режиме.
1.1.2. Методы создания инверсного распределения
населенностей. Начало квантовой электронике положили пучковые
молекулярные генераторы сантиметрового диапазона [10, 11]. Термин
«мазер», предложенный в [11], закрепился за всеми квантовыми
приборами микроволнового диапазона, использующими принцип
усиления за счет индуцированного испускания. Попытка ввести
в обращение термин «оптический мазер», предпринятая в
сыгравшей принципиальную роль теоретической работе [12],
долговременного успеха не имела. После практического прорыва в
оптический диапазон [13, 14] утвердилась новая аббревиатура «лазер».
Она оказалась столь устойчивой, что сегодня мы уже слышим и
читаем о рентгеновских лазерах, гамма-лазерах и даже лазерах
субмиллиметрового диапазона! Привычка возобладала над
смысловой нагрузкой, что не так уж и редко случается с
терминологией. Тем не менее, принадлежность к определенному
диапазону длин волн остается одним из классификационных признаков

в квантовой электронике. Другим признаком служит агрегатное
состояние рабочего вещества, а третьим — способ создания в нем
инверсии населенностей.
Короткого комментария заслуживают особенности лазеров на
конденсированных и газообразных активных средах. Отличия
обусловлены тем, что с повышением плотности частиц
усиливается взаимодействие между ними. Это приводит к увеличению
однородного уширения спектральных линий, которые в условиях
конденсированной среды значительно шире, чем в газе. Высокая
же подвижность молекул газа проявляется в доплеровском ушире-
нии линий.
В более пространном комментарии нуждается классификация
по третьему из указанных признаков. Отталкиваясь от вида
потребляемой энергии, можно выделить лазеры с оптической,
электрической, тепловой и химической накачкой. Но для полной
характеристики системы необходимо указать и тип процесса в среде,
приводящего к инверсии. Таким процессом может быть
поглощение фотона, соударение молекулы с электроном или молекулой
другого сорта, химическая реакция, динамический процесс типа
перемещения молекул между областями с различными физическими
условиями.
Оптическая накачка несомненно является наиболее
универсальным способом получения инверсии. В том случае, когда
фотон поглощается непосредственно активной молекулой,
оказывающейся в итоге на верхнем рабочем уровне, можно говорить о
лазере с оптической накачкой. В таком устройстве происходит
преобразование света накачки в лазерное излучение. В частности,
источником накачки может служить другой лазер.
Непосредственное превращение электрической энергии в
энергию электромагнитного излучения осуществляется в инжекцион-
ном полупроводниковом лазере. Это пример устройства с
электрической накачкой.
Весьма распространенной является ситуация, когда
потребляемая энергия трансформируется в лазерное излучение более
сложным образом. Предположим, что энергия, необходимая для
ункционирования лазера, обеспечивается химической реакцией,
ажио, чтобы один из продуктов реакции образовывался в
возбужденном состоянии, но вовсе не обязательно, чтобы он и был
активной компонентой рабочего вещества. Возбужденный продукт
может выполнять функцию вспомогательного газа, передающего
энергию молекулам рабочего газа в результате соударений. Такой
лазер естественно называть столкновительным лазером с
химической накачкой.
Следуя тому же принципу, газоразрядные лазеры нужно
отнести к категории столкновительных с электрической накачкой.
Электроны разряда, ускорившись в приложенном статическом или
высокочастотном электрическом поле, передают затем
приобретенную энергию молекулам, с которыми они соударяются. Это могут
быть молекулы рабочего газа, но часто более выгодной оказыва-

ется передача энергии через промежуточную стадию возбуждения
вспомогательного газа. Так, например, возбуждение атомов неона
в разряде более эффективно осуществляется через гелий, а
углекислого газа — через азот.
Несовпадение времен релаксации для различных состояний
молекулы открывает возможность получения инверсии в процессе
установления термодинамического равновесия после резкого
изменения температуры среды. Проблему быстрого охлаждения газа
удается решить методами газовой динамики, используя процесс
адиабатического расширения. В углекислом газе медленнее
других «остывают» антисимметричные колебания и при
благоприятном стечении обстоятельств населенность колебательных уровней,
относящихся к этому типу, в течение какого-то времени может
превышать населенность других колебательных уровней.
Для получения необходимой величины инверсии при
газодинамическом разлете достаточно большое число молекул должно быть
изначально переведено в возбужденные состояния. В
газодинамическом лазере с тепловой накачкой это достигается
предварительным нагревом газа. Аналогичный результат удается
обеспечить и другими средствами, например, оптической накачкой или
возбуждением в газовом разряде. Тогда следует говорить о
газодинамическом лазере с оптической или электрической накачкой
соответственно.
В рамках подобной классификации рядом с только что
упомянутыми лазерами располагаются пучковые молекулярные
генераторы. Инверсия в таких устройствах достигается за счет
пространственного разделения молекул, находящихся на разных
энергетических уровнях, при пропускании молекулярного пучка
через область с неоднородным электрическим или магнитным
полем. Степень инверсии определяется параметрами сортирующей
системы и температурой, до которой газ разогрет в источнике
пучка.
Составляя другие комбинации из вида потребляемой энергии
и характера процесса возбуждения активных молекул, можно
получить полный перечень возможных способов создания инверсии
населенностей.
Хотелось бы обратить внимание на возможно самое
существенное с точки зрения динамики лазеров обстоятельство. Все
процессы получения инверсии являются некогерентными.
Единственное исключение составляет оптическая накачка, осуществляемая
с помощью лазерного источника. Специфика состоит в том, что
действие когерентной накачки может приводить не только к
изменению распределения населенностей, но и к более сложным
нелинейным (многофотонным) процессам в активной среде с участием
как накачки, так и генерируемого поля.
1.1.3. Усиление в квантовых системах без инверсии
населенностей. Выше было сказано, что усиление может быть достигнуто
только в неравновесных средах. Однако набор переменных, харак-

теризующих состояние среды, не ограничивается населенностями
энергетических уровней, а инверсия населенностей не является
единственным типом неравновесности, делающим среду
усиливающей.
Проще всего проиллюстрировать сказанное на примере
парамагнетика — среды, атомы которой являются микромагнитами.
Энергетические уровни элементарного магнитного диполя,
помещенного в постоянное магнитное поле, соответствуют двум ори-
ентациям диполя: по направлению вектора напряженности поля
(нижний уровень) и против него (верхний уровень). В
состоянии теплового равновесия большинство диполей ориентируется
вдоль поля, занимая, тем самым, нижний энергетический
уровень. Другими словами, результирующий вектор
намагниченности среды направлен по магнитному полю. Инверсия
населенностей эквивалентна переориентации вектора намагниченности. Но,
вообще говоря, угол между векторами намагниченности среды и
магнитного поля может принимать любые значения, а не только О
и 7г. Будучи принудительно отклоненным на произвольный угол,
вектор намагниченности начинает прецессировать относительно
магнитного поля с частотой парамагнитного резонанса,
пропорциональной разности энергий противоположно ориентированных
магнитных диполей. Но поставить в соответствие прецессирую-
щему диполю какой-то один энергетический уровень невозможно.
Здесь явно присутствует новая степень свободы, представленная
поперечной компонентой намагниченности. Ясно и то, что
наличие прецессии уже само по себе означает неравновесность среды,
но совсем другого рода, нежели инверсия населенностей. Создать
ее можно, наложив на парамагнетик переменное магнитное поле,
имеющее частоту квантового перехода, перпендикулярно к
постоянному полю.
К произвольной квантовой системе применимо все сказанное
о парамагнетике, кроме образа вектора намагниченности в
реальном трехмерном пространстве. Будучи помещенной в резонансное
электромагнитное поле, квантовая система может быть переведена
в состояние, аналогичное прецессии намагниченности, не
характеризующееся полностью населенностями энергетических уровней.
В таком случае говорят о когерентной суперпозиции состояний
с ненулевыми значениями недиагональных элементов матрицы
плотности. Пребывая в суперпозиционном состоянии,
двухуровневая система способна излучать на частоте перехода после того,
как выключено возбуждающее поле. Проку от такого генератора
немного: энергия извлекается в том же виде, что и затрачивается,
но в заведомо меньшем количестве. Усложним ситуацию,
обратившись к трехуровневой системе, которая получится из
двухуровневой, если, например, расщепить нижний уровень на два близких
подуровня (рис. 1.1). Когерентная суперпозиция может быть
создана между этими подуровнямии, 1 и 2. Поскольку u>2i •< W32 и
u>2i <С u>3i, говорят о низкочастотной когерентности. Такого типа
неравновесность кардинально меняет свойства всей трехуровне-

вой системы, включая вероятности переходов между нижними и
верхним уровнями. Атомы, находящиеся в определенном
суперпозиционном состоянии подуровней теряют способность переходить
на верхний уровень. Так же как
при дифракции света на двух
щелях, когда некоторые области
пространства благодаря
интерференции остаются не
освещенными, так и при наличии двух
путей перехода на верхний уровень
(1—> 3 и 2-> 3), последний
остается пустым, невзирая на
наличие резонансного поля! Это
означает, что поглощение на
частотах оптических переходов 1 —> 3
и 2-л 3 в трехуровневой Л-схеме
(рис. 1.1) отсутствует. Но если
находящиеся на нижних
уровнях атомы не поглощают, то даже
совсем небольшой населенности
верхнего уровня должно быть достаточно для того, чтобы
трехуровневая среда стала усиливающей. Достоинство метода в том и
заключается, что возбуждение низкочастотной когерентности
приводит к ослаблению требований населенности верхнего уровня,
благодаря специальному способу внесения неравновесности в
атомную систему.
Именно эта идея была высказана и обоснована в работе [15].
Аналогичные предложения были независимо сделаны и чуть позже
опубликованы в [16,17]. Хотя у этого направления были
предвестники, к числу которых можно отнести работы [18, 19], настоящий
прогресс в области безынверсного усиления начался с трех
основополагающих публикаций 1988 и 1989 гг. [15-17].
Вряд ли можно рассчитывать на то, что лазеры без инверсии
населенностей, хотя они и реализованы практически [20, 21],
составят в прикладной сфере конкуренцию лазерам, использующим
метод инверсии населенностей. Но в некоторых случаях усиление
без инверсии может представлять практический интерес. И это
именно те ситуации, в которых осуществление инверсии
наталкивается на принципиальные трудности. В первую очередь сказанное
касается проблемы создания генераторов и усилителей в
диапазонах очень коротких длин волн: вакуумного ультрафиолетового
излучения, рентгеновского и даже гамма-излучения [22].
1.2. Нестационарные процессы в квантовых генераторах
Помимо трех линий классификации лазеров, обсуждавшихся
выше, существует еще одна и она имеет наиболее прямое
отношение к предмету данной книги.
Рис. 1.1. Трехуровневая Л-схема:
монохроматические поля Е\з и Еаг
создают когерентную суперпозицию
состояний 1 и 2, переходы из
которой на уровень S под действием
этих полей оказываются полностью
подавленными. Это создает
предпосылки для лазерного действия без
инверсии населенностей

1.2.1. Динамические свойства лазера и их связь с
релаксационными параметрами. Вынужденный переход под действием
электромагнитного поля не является единственной причиной
изменения состояния квантовой системы. Время жизни возбужденного
состояния имеет естественный предел, определяемый спонтанным
излучательным переходом в какое-либо состояние с меньшей
энергией. Но существуют и безызлучательные переходы, вызываемые
соударениями молекул, взаимодействием атома с колебаниями
решетки и т.п. Безызлучательные процессы и спонтанное
излучение можно рассматривать как результат взаимодействия
ограниченного числа выделенных степеней свободы (динамической
системы) со всеми остальными (диссипативной системой или
термостатом). Такие процессы обычно называют релаксационными,
поскольку они способствуют установлению состояния равновесия
в динамической системе.
Релаксационные процессы решающим образом сказываются на
динамических свойствах лазера, так как от них зависит
способность той или иной степени свободы этой сложной динамической
системы реагировать на изменившуюся ситуацию. Двухуровневая
среда характеризуется двумя релаксационными параметрами:
скоростью релаксации разности населенностей 7ц и скоростью
релаксации поляризации у±, которая совпадает с Sljo/2 — полушириной
однородной спектральной линии. Часто используются и
обратные величины — времена продольной (Ti = 1/тц) и поперечной
(Тг = 1/т±) релаксации х).
Если двухуровневая идеализация среды недостаточна, в
описание вовлекаются также релаксационные параметры других
переходов. Для полной характеристики лазера в целом к ним следует
присоединить определяемое добротностью резонатора Q время
жизни фотона в нем, Тс = Q/ljc- Можно, по аналогии со
скоростями релаксации среды, пользоваться параметром >с = 1/(2Гс),
который совпадает с полушириной энергетической полосы
пропускания резонатора 8шс/2.
Когда речь идет о многомодовом лазере, набор временных
параметров следует пополнить характерным периодом межмодовых
биений То = 1/Аи, который применительно к системе продольных
мод равен времени полного обхода резонатора световой волной.
Будем называть процессы в лазере медленными или быстрыми
и, соответственно, динамику низкочастотной или высокочастотной
в зависимости от того, укладывается или не укладывается спектр
процесса в полосу резонатора. Быстрые процессы могут быть,
разумеется, обусловлены только интерференцией мод. Характер
медленных процессов зависит от соотношения между
релаксационными параметрами 7ц i Тх и *■ Чтобы сделать последующее из-
') Терминология и символика пришли из магнитного резонанса, где
аналогами разности населенностей и поляризации являются продольная и поперечная
по отношению к статическому магнитному полю компоненты намагниченности.

ложение более наглядным, обратимся, забегая вперед, к одной из
основных моделей динамической теории лазера — системе
уравнений Лоренца-Хакена:
«7х(пЯ-Р), (1.3)
- = Т||(Д-п-РЯ).
Переменными этой системы уравнений служат: амплитуда
электрического поля волны Е, амплитуда поляризации активной
среды Р и разность населенностей рабочих уровней (инверсия) п.
С целью упрощения записи все эти переменные нормированы.
Набор коэффициентов системы включает, помимо трех
релаксационных констант, также и параметр накачки А. Модель
Лоренца-Хакена соответствует одномодовому лазеру бегущей волны с
двухуровневой однородно уширенной активной средой.
Мыслимы четыре варианта соотношений между
релаксационными коэффициентами модели Лоренца-Хакена, которым
отвечают четыре динамических класса лазеров [23, 24].
Класс А: >с<£. -уц, j±. (1.4)
Активная среда безынерционно следует за всеми изменениями
поля. Материальные переменные — инверсию и поляризацию —
удается адиабатически исключить из системы уравнений лазера2).
Фазовое пространство одномерно и особенности в нем могут
быть представлены только точками. Переходные процессы в
лазере апериодичны.
Класс В: j±_ » н ^> Т||- (1-5)
Безынерционно за «полем» следит только поляризация, которая
единственно и исключается из числа переменных. Фазовое
пространство двумерно и допускает существование особых траекторий
наряду с особыми точками. Переходные процессы имеют
преимущественно колебательный характер.
Класс С: х&Ц_> Т||- (1-6)
) Идеология и процедура адиабатического исключения переменных будет
обсуждена в л. 3.1.2. Но, забегая вперед, сразу отметим, что соотношения между
релаксационными константами дают лишь необходимые условия адиабатического
исключения тех или иных переменных. Вообще же говоря, следует принимать
во внимание также скорость индуцированных переходов,которан не должна
превышать самую большую из релаксационных констант. Последнее условие
ограничивает сверху интенсивность поля взаимодействующего с активной средой, а
значит и параметр накачки А.

Здесь все переменные равноправны, а наличие более двух
измерений означает, что фазовое пространство может содержать
любые притягивающие образования, включая странные аттракторы
[25, 26].
Системы, удовлетворяющие условию (1.4), иногда называют
адиабатическими, а удовлетворяющие условию (1.6) —
неадиабатическими. Однако, следуя Арекки, часто говорят о лазерах
класса Л, класса В и класса С. Но, для полноты картины, эту
группу следует пополнить еще одним классом.
Класс D: >f^>7ij 711 • О-*?)
В этом случае безынерционным является поле. Оно следит за
состоянием активной среды и по этой причине может быть
исключено из числа переменных.
Основные данные, характеризующие указанные четыре класса
лазеров, приведены ниже.
Динамический
класс
А
В
С
D
Соотношения
между
скоростями
релаксации
7i,7||>*
71 > * > 7||
7i ~ х
*»71.7||
Адиабатически
исключаемые
переменные
Р, п
Р
-
Е
Размерность
модели
1
2
3
2
Когда речь идет о многомодовых лазерах на первый план
выходит и межмодовый частотный интервал Ли. Достаточно большая
величина Ли по сравнению с 7ц и >с означает, что населенности
рабочих уровней не успевают реагировать на биения и это
оправдывает использование простых балансных моделей. Бели же частоты
мод близки, приходится принимать во внимание осцилляции
населенно стей с частотами биений, что приводит к более сложным
моделям лазеров с фазочувствительным взаимодействием.
1.2.2. Распространенные типы лазеров. Наименее
населенным из указанных классов является класс D. В него попадают
лишь пучковые мазеры, среди которых более других известны
аммиачный и водородный. Рабочая длина волны 1,25 см
соответствует самой сильной линии инверсионного спектра аммиака,
относящейся к состоянию с квантовыми числами вращательного
момента J = 3 и его проекции на ось симметрии молекулы К = 3.
Сортировка молекул по состояниям осуществляется при
пропускании их через неоднородное электрическое поле. Сортирующая
система располагается в пространстве между источником
молекулярного пучка и резонатором мазера.

Вероятность спонтанного перехода, пропорциональная Л-3, в
сантиметровом диапазоне волн ничтожно мала. Столкновения
молекул пучка, движущегося в вакууме, также весьма редки.
Поэтому инерционные свойства активной среды определяются в
данном случае временем пролета молекул через область
взаимодействия с полем излучения, т.е. -через резонатор мазера. Оно
составляет по порядку величины Ю-4 с, что заметно больше времени
жизни фотона в микроволновом резонаторе, которое не
превышает Ю-6 с [27]. Тем самым обеспечивается выполнение
неравенства (1.7).
В последнее время обсуждается вопрос о возможности
создания лазеров, работающих в режиме сверхизлучения [28, 29]. Здесь
необходимо выполнение условия з< ^ *у±, что означает
формальную принадлежность к классу D. Однако принципиальна и
экстремально высокая вероятность радиационных переходов,
которая должна превышать скорости всех диссипативных процессов,
включая х.
Подразумеваемое соотношением (1.6) примерное равенство
полосы резонатора и однородной ширины линии усиления не
реализуется в подавляющем большинстве существующих лазеров.
Используя формулу
LJ IIloss
** = Q = СТ-'
получаем полосу 6ис/2п = 5 МГц для типичных значений
параметров резонатора: длина L = 100 см и потери за проход H\oss = 0,1.
На столь малую однородную ширину спектральных линий можно
рассчитывать только в разреженных газах. Но для обеспечения
лазерного действия усиление в этих линиях должно быть
достаточно большим. Таковы причины, по которым класс С долгое
время числился пустым. Первыми к нему были отнесены
некоторые атомарные газоразрядные лазеры.
Выдающейся с точки зрения достижимого усиления является
линия 3,51 мкм ксенона. Ее естественная ширина составляет
4,6 МГц, что соответствует временам жизни лазерных уровней
ta = 1,2 • Ю-6 с и Ц = 3,3 • 10_6 с. Спонтанный распад верхнего
лазерного уровня идет преимущественно с переходом на нижний
лазерный уровень. Дополнительное уширение вследствие
столкновений атомов ксенона между собой (11,5 МГц/Top) при
парциальном давлении в десятки миллиторр пренебрежимо мало. С
целью контролируемого воздействия на однородную ширину
линии в разрядную трубку вводят гелий, обеспечивающий
уширение 18,5 МГц/Top. Выдержать соотношение (1.6) в конечном
диапазоне давлений удается, жертвуя добротностью резонатора, что
требует определенного запаса по усилению.
Ситуация с лазерными переходами сходна для разных
благородных газов [30]. Отметим, что оба лазерных уровня
расположены достаточно высоко над основным уровнем. Вследствие того,

3=^
что процесс возбуждения в газовом разряде не является
селективным, на верхние уровни попадают атомы, обладающие
различными скоростями движения. Этим определяется неоднородный
характер уширения линий усиления. Доплеровская ширина
линии Хе 3,51 мкм составляет 110 МГц.
Столкновения атомов имеют следствием не только дефазировку
их взаимодействия с полем излучения, но также и изменение
скорости движения. Если первый фактор проявляется через
однородное уширение, то второй — через спектральную кросс-релаксацию.
Скорость кросс-релаксационного процесса оценивается в Ю-6 с-1.
Эта цифра взята из работы [31], а остальные данные о ксеноновых
лазерах — из [31, 32].
Соотношение (1.6) удается реализовать в гелий-неоновом
лазере на длине волны 3,39 мкм, хотя в силу меньшего, чем в ли-
нии Хе 3,51 мкм, усиления, это
дается труднее [33].
В класс С попадают также
молекулярные газовые лазеры
далекого ИК-диапазона,
получившие название FIR-лазеров
(FIR — аббревиатура от Far
Infrared). Список активных сред
таких лазеров включает НСООН
[34], CH3F [35], CH3OD [36],
CH2F2 [37], но на первое место в
нем претендует аммиак [38-41].
Оптическая накачка
аммиачного FIR-лазера осуществляется
по колебательному переходу.
Усиление достигается при этом на
вращательных переходах. Если
не обращать внимания на
сверхтонкую структуру, то налицо
трехуровневая схема (рис. 1.2).
Длина генерируемой FIR-ла-
зером волны намного
превосходит длину волны накачки. Например, генерационному
вращательному переходу аД(7,7) в молекуле 14NH3 отвечает Л к 81 мкм, а
для накачки используется колебательный переход aQ{8,7) с Л =
= 10,8 мкм, согласованный с излучением N20-na3epa3).
В 151ЧНз-лазере различие еще больше: генерационные
переходы имеют длины волн 374 (линия аЩ2,0)) и 153 мкм (линия
аД(4,4)), а для накачки используются СОг-лазеры.
) Здесь Q означает принадлежность перехода Q-ветви (Л J = 0), а —
антисимметричность волновой функции, в скобках даны вращательные квантовые
числа J и К нижнего уровня.
Рис. 1.2. Диаграмма энергетических
уровней молекулы аммиака (а) и
трехуровневая схема, поясняющая
принцип действия молекулярного
FIR-лазера с лазерной накачкой (б)

Применение монохроматической накачки в виде бегущей волны
позволяет осуществить селективное возбуждение молекул с
определенным значением проекции скорости на волновой вектор. Это
избавляет линию усиления от доплеровского уширения.
Однородное же уширение на столь длинных волнах целиком определяется
соударениями молекул. Ширина линии в 1 МГц, реализующаяся
в условиях эксперимента, позволяет выдержать соотношение (1.6)
даже в относительно добротном резонаторе.
Способность обеспечивать очень большое усиление в узких
однородных линиях при лазерной накачке присуща не только
вращательным переходам в избранных молекулах. Подобный эффект
может быть достигнут также на колебательных и электронных
переходах, а общее число таких переходов в различных газах
оценивается в 106 [42].
Класс В представляют твердотельные лазеры на
слаболегированных кристаллах и стеклах (рубин, материалы с
добавлением неодима, эрбия и других редкоземельных элементов),
волоконные, полупроводниковые и некоторые молекулярные газовые
лазеры низкого давления. Среди последних наиболее известен
лазер на углекислом газе.
Рубин (А120з:Сг3+) не менее знаменит в квантовой
электронике, чем аммиак. На переходах между спиновыми уровнями
ионов хрома работают парамагнитные мазеры. На рубине загенери-
ровал первый в истории лазер. Система энергетических уровней
примесных ионов Сг3+ в корунде изображена на рис. 1.3. Если
w, ю3 см-1
25
20
15
10
5
0
-^ЩШ
Рис. 1.3. Диаграмма энергетических уровней иона Сг3+ в рубине (а) и схема,
поясняющая принцип действия трехуровневого твердотельного лазера с оптической
накачкой (б)
абстрагироваться от второстепенных подробностей, дело сводится
к трехуровневой схеме.

В спектре люминесценции рубина выделяются две узкие
интенсивные линии, сопоставляемые переходам из метастабильного
2.Е-состояния в основное. При температуре 300 К максимум Дх-ли-
нии приходится на Ах = 0,6943 мкм, а максимум Д2-линии —
на Аг = 0,6927 мкм. Охлаждение кристалла сдвигает Л-линии в
коротковолновую сторону. Возбуждение метастабильных
^-уровней осуществляется через широкие зоны 4i<x и 4i<2, связанные
с 2Е безызлучательными переходами. Электроны из зоны 4F2
через время t32 = 5 • Ю-8 с переходят на уровни 2Е или через
<3i = 2 ■ Ю-7 с спонтанно излучают, возвращаясь в основное
состояние. Спонтанный распад состояния 2Е характеризуется
постоянной времени *21 = 3 ■ Ю-3 с.
Населенности подуровней Е и 2А устанавливаются в
соответствии с законом Больцмана. Поскольку расстояние между
подуровнями равно 29 см-1, разница в их населенностях составляет 15 %
при 300 К. Время релаксации между Е и 2А не превышает Ю-7 с.
По этой причине генерация на длине волны иг-линий обычно
отсутствует: процесс генерации на Дх-линии делает населенность
2£'-уровня ниже пороговой.
Ширина Дх-линии зависит от степени легирования рубина. В
розовом рубине с концентрацией Сг3+ порядка 1019 см-3 при 300 К
ширина близка к 10 см-1 или 3 • 1011 Гц. При охлаждении
кристалла линия сужается. Как известно, кристаллическое поле
корунда расщепляет основное состояние Сг3+ на две компоненты
с расстоянием 0,38 см-1 между ними. Это приводит к
раздвоению Дх-линии уже при 77 К, когда ширина отдельной компоненты
равна 0,3 см-1.
Основной вклад в ширину линии при высоких температурах
дают тепловые колебания решетки и линию в этом случае можно
считать однородно уширенной. Сечение перехода, отвечающего
Дх-линии, составляет Ю-20 см2.
Очевидным недостатком трехуровневой схемы рубина
является то, что лазерный переход опирается на основное состояние.
Половина всех ионов хрома должна быть заброшена наверх только
для того, чтобы уравнять населенности. Лишь избыток
возбужденных ионов создает генерационный эффект. От подобного
недостатка свободны активные среды, работающие по
четырехуровневой схеме. К их числу принадлежат кристаллы и стекла,
активированные неодимом.
Оптические спектры ионов редкоземельных элементов
обусловлены переходами в пределах незаполненных внутренних
оболочек, которые экранированы от внешних воздействий электронами
наружных оболочек. Поэтому окружение редкоземельного иона
относительно слабо сказывается на этих спектрах. При внедрении
одного и того же иона в разные матрицы тонкая структура линий

может варьироваться, но положение линий заметных изменений
не претерпевает.'
Энергетическая диаграмма иона Nd3+ представлена на рис. 1.4.
Уровень 4-F3/2 является метастабильным. Спонтанные переходы с
этого уровня на уровни 4/ проявляются как четыре линии
люминесценции. Наиболее интенсивная из них, 4F3/2 — 4^ii/2j имеет
w, Ю'см"1
24
16
гЗ/2
1 ^ -45/2
Рис. 1.4. Диаграмма энергетических уровней иона Nd (а) и схема,
поясняющая принцип действия четырехуровневого твердотельного лазера с оптической
накачкой (б)
максимум вблизи Л = 1,06 мкм. Уровень 4/ц/2 приподнят над
основным примерно на 2000 см-1, что значительно больше квТ4).
Эта линия наиболее благоприятна для лазерного действия. Она,
как впрочем и другие линии, обладает структурой, обязанной
расщеплению начального и конечного состояний электрическим
полем ионов, окружающих матрицы. Метастабильный уровень 4F3i2
расщепляется на два, а 4/ц/2 — на шесть штарковских
подуровней. Если не использовать технику перестраиваемых резонаторов,
в генерацию вовлекается только наиболее интенсивная из
компонент этой структуры. В случае алюмоиттриевого граната с
неодимом при 300 К эта компонента характеризуется следующими
данными: 8v0 = 6 см-1, Ti = 2 ■ Ю-4 с, atT ss Ю-18 см2.
Фактически линия усиления 1,06 мкм состоит из двух близких компонент,
сопоставляемых разным парам штарковских подуровней [43].
Поэтому, строго говоря, ее нельзя считать спектрально однородной и
в некоторых ситуациях это свойство проявляется.
В стекле упорядоченная структура отсутствует и внедренные
в него ионы испытывают неодинаковое воздействие со стороны
) Температуре 300 К отвечает квТ/И порядка 200 см 1.

окружения. Благодаря этому частоты штарковских компонент от
иона к иону несколько варьируются и линия люминесценции
оказывается неоднородно уширенной. Это утверждение справедливо
и для оптических волоконных световодов, матрицей которых
служит стекло. В распространенном лазерном материале —
силикатном стекле переход 4F3/2 — 4Ai/2 характеризуется сечением crtT fa
яз Ю-20 см2, временем жизни метастабильного уровня Т\ =
= 7 • Ю-4 с и шириной неоднородной линии люминесценции
Sujnh = 300 см-1. Вклад однородных механизмов уширения на
порядок меньше.
Следующий представитель класса В — лазер на углекислом
газе. Линейная симметричная молекула СОг имеет три
нормальных типа колебаний: продольное симметричное, деформационное
и продольное антисимметричное с расстояниями между уровнями
*Ъ = 1388,17 см-1, i/2 = 667,4 см-1 и v3 = 2349,16 см-1
соответственно. Состояние молекулы принято характеризовать
полным набором квантовых чисел, относящихся к нормальным
колебаниям: V1V2V3. Квантовое число I отражает факт двукратного
вырождения деформационных колебаний.
Основную роль в распределении населенностей по
колебательным и вращательным уровням молекулы СОг играют
столкновения. Вероятность излучательных переходов мала и может не
приниматься в расчет. Возможность получения избыточной
населенности состояния 00° 1 обусловлена тем, что оно разрушается
медленнее, чем 10°0 и 02°0. Все дело в меньшей скорости
передачи энергии из одной колебательной степени свободы в другую
по сравнению со скоростью установления квазиравновесия внутри
каждой колебательной и вращательной степени свободы. В этих
условиях решающей становится скорость распада уровня 01°0. С
целью ее увеличения в разряд вводится гелий.
Накачка верхнего лазерного уровня 00°1 заметно
интенсифицируется при наличии молекул азота. Первый колебательный
уровень молекулы N2 имеет энергию, близкую к энергии уровня 00°1
молекулы СОг- Указанный уровень азота метастабилен, сильно
заселен в условиях газового разряда и при соударении молекула
Nj с большой вероятностью передает возбуждение молекуле СОг-
Молекулярные газовые лазеры непрерывного действия
работают при давлении порядка 1 — 10 Тор. Время жизни верхнего
лазерного уровня составляет Ю-3 — Ю-4 с. Больцмановское
распределение по вращательным уровням устанавливается за время
порядка Ю-7 —10~8 с, которое одновременно определяет значение
однородного уширения линии колебательно-вращательного
спектра молекулы (8v0 и Ю-3 см-1). Поскольку ширина линии
меньше расстояния между линиями (около 2 см-1), и меньше
частотного интервала между продольными модами (обычное значение

Av та Ю-2 см-1), в СОг-лазере без труда осуществляется од-
ночастотная генерация. Максимум распределения населенностей
приходится на уровни с вращательным квантовым числом J =
= 20—30. Поэтому и генерация легче возбуждается на колебательно-
вращательных переходах между уровнями такого порядка.
Преимущество имеют линии, принадлежащие Р-ветви (ЛJ = —1)
перехода 00°1-10°0, которым отвечает диапазон длин волн вблизи
10,6 мкм. Для перестройки внутри него, равно как и для
переключения на область 9,6 мкм, принадлежащую Д-ветви (Л J = 1),
необходимо использовать дисперсионный резонатор.
Классу В принадлежат и полупроводниковые лазеры.
Основное их отличие от лазеров других типов состоит в том, что
вместо узких энергетических уровней отдельных атомов приходится
иметь дело с широкими энергетическими зонами кристалла. Но
и в этих условиях оказывается возможной инверсия
населенностей, достаточная для лазерного действия. Этого весьма сложно
добиться внутри одной зоны, поскольку велика скорость внутри-
зонной релаксации, и обычно игра идет на межзонных переходах.
Рабочий диапазон частот лазера регламентируется шириной
запрещенной зоны.
Оптические свойства полупроводников определяются
взаимным расположением и населенностью двух верхних
энергетических зон. Электроны подчиняются статистике Ферми-Дирака,
согласно которой вероятность заполнения уровня с энергией W
дается выражением
l + exp[(W-WFCjFv)/kBT\'
Если кристалл находится в состоянии термодинамического
равновесия, то Wpc = Щ?ь = Wf и имеется лишь один
энергетический уровень W = Wp, вероятность заполнения которого равна
0,5. Он называется уровнем Ферми. В неравновесных состояниях
Wpc и Wfv не совпадают и в этом случае говорят о двух
квазиуровнях Ферми. Они полностью характеризуют квазиравновесные
функции распределения в соответствующих зонах. Возможность
столь простого описания неравновесных состояний объясняется
быстрым установлением квазиравновесия в пределах зоны.
Если накачка отсутствует или она слаба, полупроводник очень
сильно поглощает излучение на частотах, превышающих ширину
запрещенной зоны. Условие инверсии населенностей в
полупроводнике выглядит как WFc — Wfv > Wg, где Wg — ширина
запрещенной зоны. Оно означает, что квазиуровни Ферми
располагаются внутри соответствующих зон и, следовательно, состояния
вблизи дна зоны проводимости заполнены электронами, а вблизи
потолка валентной зоны — свободны.
Известен целый ряд способов достижения инверсии в
полупроводниках: оптическая накачка, возбуждение пучком быстрых
электронов, лавинный пробой под влиянием приложенного электриче-

ского поля и инжекция носителей через р — n-переход.
Наибольшее распространение в силу простоты и эффективности получил
последний способ.
В собственном полупроводнике, находящемся в тепловом
равновесии, уровень Ферми располагается точно посередине
запрещенной зоны (рис. 1.5 а). При наличии донорной примеси
(полупроводник n-типа) уровень Ферми лежит ближе к зоне
проводимости, а в случае вырождения — внутри этой зоны.
Аналогичный сдвиг, но уже в сторону валентной зоны, дает акцепторная
wt
TTTZm ZSZZZ2/—^777/77/^ ^^^Щ?
WF*
Рис. 1.5. Энергетическая диаграмма и положение уровня Ферми собственного
полупроводника (а), кристалла с р — п-первходом в отсутствие напряжения (б) и
при наличии напряжения, приложенного в прямом направлении (в). В
заштрихованных частях зон электронные уровни заполнены
примесь (полупроводник р-типа). Можно легировать
неодинаковым образом разные участки одного кристалла и сделать границу
между областями п- и р-типов весьма резкой. Пограничный слой
носит название р — n-перехода.
Положение уровня Ферми одинаково в разных частях
неоднородно легированного кристалла пока к нему не приложено
электрическое поле. Энергетическая диаграмма, отвечающая этому
случаю, представлена на рис. 1.5 б. Проникновению носителей
через р — n-переход препятствует потенциальный барьер.
Напряжение, приложенное к переходу в прямом направлении (от
электронной части к дырочной), уменьшает барьер (рис. 1.5 в), благодаря
чему электроны получают возможность проникать в р-область, а
дырки— в n-область. По обе стороны перехода образуются слои
с повышенной концентрацией неосновных носителей. Толщина
этих активных слоев не превышает нескольких микрометров.
Диффузия носителей на большие расстояния от границы невозможна
вследствие рекомбинационных процессов.
В лазерах на арсениде галлия основную роль играет инжекция
электронов в р-область. Здесь, около границы р — n-перехода и
создается инверсная населенность. Зеркала резонатора
располагаются перпендикулярно плоскости р — n-перехода. Часто ими
служат две противоположные грани лазерного кристалла. В силу
большого показателя преломления полупроводника френелевское
отражение составляет десятки процентов, так что добротность
резонатора достаточно велика и без отражающих покрытий. К этому

следует добавить, что вследствие высокой плотности состояний в
зонах коэффициент усиления при инверсии может достигать
чрезвычайно больших величин.
Важное значение для работы инжекционного лазера в
обсуждаемой простейшей конфигурации имеет то обстоятельство, что в
области р — n-перехода показатель преломления несколько выше,
чем в остальной части кристалла. Такой профиль способствует
локализации поля излучения вблизи плоскости р — п-перехода.
Только здесь и имеется усиление, тогда как вне активной области
поглощение на рабочей длине волны очень велико.
В описанном полупроводниковом лазере с гомоструктурой все
свойства по обе стороны р — n-перехода одинаковы и поэтому вол-
новодные свойства выражены слабо, что означает большие потери
за счет сильного поглощения света в соседних с активным слоем
областях полупроводника. Помимо этого имеется и другой
недостаток: часть носителей вследствие пространственной диффузии
уходит за пределы активной области, что понижает коэффициент
усиления. Указанных недостатков можно избежать, перейдя от
гомоструктуры к гетероструктуре. В этом случае слои,
примыкающие к р — n-переходу, отличаются по своему составу, а
значит по электрическим и оптическим свойствам, от активной
области. Помимо того, что скачок диэлектрической проницаемости на
границах активного слоя способствует локализации поля,
образующийся потенциальный барьер препятствует выходу
инжектированных электронов за пределы этого слоя. Кроме того,
уменьшаются потери вне активного слоя, если ширина запрещенной зоны
там больше, чем внутри него.
Активный слой лазерного диода, к которому с обеих сторон
примыкают слои другого химического состава, представляет
собой потенциальную яму. При ширине ямы, сопоставимой с
длиной волны де Бройля электрона, расстояния между
энергетическими уровнями (уровнями пространственного квантования)
превышают ширину самих уровней, что, разумеется, сказывается на
оптических свойствах системы, а, значит, и на параметрах лазера.
Устройства такого типа получили название квантово-размерных
лазеров или полупроводниковых лазеров с квантовыми ямами. В
чем же заключаются их преимущества перед традиционными
лазерными диодами? Одно из них даже не связано с эффектами
пространственного квантования. Простое уменьшение толщины
активного слоя приводит к пропорциональному уменьшению тока
инжекции, соответствующего просветлению полупроводника, а
значит и порогового тока лазера. Дальнейшее снижение требуемого
тока является следствием качественного изменения функции
распределения плотности энергетических состояний, которая
приобретает ступенчатую форму. Вблизи дна потенциальной ямы
уровней попросту нет, и это избавляет от необходимости забрасывать
в зону проводимости большое количество электронов только для
того, чтобы достигнуть нужной локализации квазиуровня Ферми.

Очень важным фактором, влияющим на пороговые
характеристики и энергетические возможности лазера, является
добротность резонатора. Снижение добротности при уменьшении длины
резонатора можно скомпенсировать, увеличивая коэффициент
отражения зеркал. Но этого трудно достигнуть в рамках
традиционной геометрии, предполагающей распространение генерируемого
излучения в плоскости активного слоя с выходом через
перпендикулярные к этой плоскости торцы кристалла. Качественный
скачок произошел с переходом к конфигурации, в которой
направление генерации перпендикулярно активному слою. Это
позволяет резко уменьшить боковые размеры резонатора и
наращивать многослойные диэлектрические зеркала, используя единую
для всей структуры лазера технологию послойного эпитаксиаль-
ного роста. Приборы последнего типа получили название
поверхностно излучающих лазеров с вертикальным резонатором
(Vertical Cavity Surface Emitting Lasers, что послужило основой для
аббревиатуры VCSELs). Наглядное представление о структуре
лазеров последнего типа дает рис. 1.6. Очень важной особенностью
Рис. 1.6. Конструкция квантово-размерного полупроводникового поверхности
излучающего лазера с вертикальным резонатором ([44]). В этой конструкции
малый объем резонатора сочетается с высоким коэффициентом отражения
зеркал, что обеспечивает очень низкий порог генерации: 1 — верхний контакт, &—
область с неупорядоченной структурой, 3 — распределенный брэгговский
отражатель р-типа, 4 — нитрид кремния, 5 — многослойная активная область, 6 —
распределенный брегговский отражатель п-типа, 7 — подложка из GaAs, 8 —
нижний контакт, 9 — выходное излучение
такого лазера является отсутствие выделенного направления
поляризации генерируемого излучения.
Очень малая длина резонатора, не превышающая сотых долей
сантиметра отличает полупроводниковые лазеры от квантовых ге-

нераторов других типов. По этой причине межмодовый интервал
Что
1012 с"1.
42)-
Аи> > 10 с-1, а скорость затухания поля х
касается скорости установления квазиравновесного распределения
носителей внутри зон, то оно существенно превышает скорость
межзонной релаксации. Характерное время первого из
указанных процессов составляет по порядку величины Ю-13 с. Это и
есть время поперечной релаксации Гг- Внутризонная релаксация
вызывается соударениями между электронами. Механизмом
межзонной релаксации является электронно-дырочная спонтанная
рекомбинация. Постоянная времени этого процесса зависит от
концентрации носителей, но обычно она не бывает меньше Ю-9 с.
Постоянная времени совпадает со временем жизни Т\.
Лазеры на растворах органических красителей относятся к
классу А. Характерная зоноподобная структура энергетического
спектра органических молекул изобра-
жена на рис. 1.7. Благодаря четному
числу электронов основное состояние
молекулы является синглетным
(спины попарно антипараллельны).
Основной синглет S(0) и первый
возбужденный синглет S(i) играют главную роль
в работе лазера. Существенное
влияние на свойства среды, однако,
оказывают и триплетные состояния,
соответствующие параллельной
ориентации спинов оптических электронов.
Интеркомбинационные переходы
между уровнями разной мультиплет-
ности правилами отбора запрещены.
Поэтому оптическая накачка может
перевести молекулу из S(0) только в 5(i)-
Будь эти состояния чисто
электронными, усиление в среде органических
молекул было бы невозможно. Однако
каждый из электронных уровней
обладает сложной структурой, обусловленной колебаниями молекулы и
ее вращением. Благодаря этому реализуется один из вариантов
четырехуровневой схемы [45].
Расстояния между колебательными подуровнями
энергетического спектра органических молекул варьируются в пределах
нескольких тысяч обратных сантиметров. Вращательная структура
имеет шаг дискретности порядка 100 см-1. При температуре 300 К
населен лишь основной уровень S(oo)- Под действием света
накачки молекула переходит на один из колебательных подуровней
£(1„) возбужденного синглета. После этого через время, малое по
сравнению с временем жизни состояния S(ij, молекула оказывает-
Рис. 1.7. Диаграмма
энергетических уровней лазера на
органическом красителе.
Короткими линиями изображена
колебательно-вращательная
структура

ся на нижнем колебательном подуровне S(10), совершив безызлуча-
тельный переход £(i,/) —> S(10). Здесь молекула остается в течение
Ю-8—10~9 с, а затем возвращается на нижний синглет по прямому
пути или через триплетное состояние. Линию поглощения
формируют переходы 5(0о) —* S(iv) j тогДа как линию люминесценции—
переходы £(ю) —У £(oi/)- Последняя сдвинута в длинноволновую
сторону относительно первой и частично перекрывается с ней (стоксов
сдвиг).
Время жизни состояния S^ мало, а значит относительно
невелика и его населенность в присутствии накачки. Она, тем не
менее, больше населенности возбужденных колебательных
подуровней основного состояния. Таким образом, на целом ряде
электронно-колебательных пререходов создается инверсия, которой
сопутствует усиление.
Часть молекул из состояния S(n безызлучательным путем
попадает на триплетный уровень Т^). Переход Тщ —> 5(о) с
излучением в дипольном приближении запрещен, и в отсутствие других
возможностей состояние Тщ является метастабильным. Его
существование мешает работе лазера во многих аспектах. В
частности, индуцированные переходы Тт —>■ Т/2\ вносят дополнительное
поглощение на рабочей длине волны лазера (так называемое
триплетное поглощение). Скорость накопления молекул в триплетном
состянии определяется вероятностью интеркомбинационного
перехода S(i) —> Г(!), которая составляет 107—109 с-1.
При накачке гигантским импульсом излучения твердотельного
лазера триплетное поглощение не ощущается. Но применение в
качестве источника накачки импульсных газоразрядных ламп
возможно лишь при условии эффективного очищения нижнего
триплета, которое может быть достигнуто подбором специальной
примеси.
Бели проблема триплетного поглощения решена, на первый
план выходят потери, обусловленные пространственно
неоднородным нагревом среды в процессе накачки. Возникающих в кювете
с раствором красителя градиентов показателя преломления вполне
достаточно, чтобы заметно исказить геометрию резонатора и даже
сделать его конфигурацию неустойчивой. Этот вид наведенных
потерь служит основным препятствием в осуществлении
непрерывной генерации в лазерах на растворах красителей. Непрерывный
режим реализован в случае активной среды (раствора родамина
6G), имеющей вид свободно падающей струи при накачке
излучением аргонового ионного лазера.
Зоноподобный энергетический спектр роднит органические
молекулы с полупроводниками. Времена релаксации для этих двух
случаев также очень близки: Т± = Ю-8 —Ю-9 с и Т2 = 10-12-
10-13 с. Однако резонаторы этих двух типов лазеров не имеют ни

малейшего сходства. Для жидкостных лазеров Гс и 10~7 с, что и
обеспечивает им принадлежность классу А.
Популярность лазеров на красителях объясняется, главным
образом, возможностью плавной перестройки рабочей частоты в
пределах широкой линии усиления активной среды. Набором
относительно небольшого числа красителей удается перекрыть весь
видимый диапазон. Продвинуться же в инфракрасную область
вплоть до длин волн 3,5 мкм позволяют активные среды
другого типа — ионные кристаллы с собственными центрами окраски
(F-центрами). Простейшим примером F-центра является
электрон, локализованный на анионной вакансии в кристалле.
Сильная связь -F-центра с кристаллической решеткой не позволяет
рассматривать его как изолированное образование типа атома
водорода. Электронные уровни энергии благодаря действию
ближайшего окружения приобретают колебательную зоноподобную
структуру, напоминающую структуру уровней сложных молекул.
Времена релаксации (Ю-12 с в пределах одного электронного
состояния и 10~8 с — между электронными состояниями) имеют
тот же порядок величины, что и в растворах красителей.
Подобная же спектроскопическая ситуация реализуется в
некоторых примесных лазерных кристаллах, к числу которых
принадлежат александрит (хромовый хризоберилл) Сг3+:ВеА1г04 [46] и
сапфир с титаном ТкСггОз [47]. И здесь причиной появления
широких полос в спектре выступает сильное влияние
кристаллической решетки на примесные ионы. В отличие от
редкоземельных ионов типа Nd3+, ионы переходных металлов группы железа
имеют незаполненные оболочки, не экранированные внешними по
отношению к ним электронами. Соответствующие состояния
подвержены возмущающему влиянию окружения, а значит ощущают
наличие фононов решетки. Как следствие, спектры обнаруживают
колебательную структуру, соответствующую переходам с
одновременным изменением электронного состояния примесного иона и
колебательного состояния кристаллической матрицы.
Конкретный вид спектра и времена жизни состояний зависят от того, в
какую именно матрицу внедрен ион. Время жизни верхнего
лазерного уровня александрита составляет 6 мкс, что обеспечивает
принадлежность этого лазера классу В.
В класс А попадает большинство атомарных газовых
лазеров. Правда, как уже было сказано выше, для переходов с очень
большим усилением можно реализовать условия, характерные для
класса С.
Наиболее распространенным из атомарных газовых лазеров
является гелий-неоновый лазер. Генерирующей компонентой
смеси служит неон. Наиболее интенсивная генерация в непрерывном
режиме имеет место на длинах волн 0,6328; 1,1523 и 3,39 мкм.
Основному состоянию атома неона отвечает пр6-конфигурация
внешней электронной оболочки. В символике Пашена первое воз-

бужденное состояние с конфигурацией пр5(п+ l)s обозначается
как Is, а его четыре подуровня перенумерованы в порядке
убывания энергии от 1в2 до ls^. Следующее возбужденное состояние
пр5(п + 1)р, обозначаемое 2р, состоит из 10 подуровней от 2pi
до 2рю- Электронные s-конфигурации обладают большим
временем жизни, нежели р-конфигурации. Благодаря этому, а также
вследствие преимущественного заселения 2s- и Зв-уровней неона
при соударениях с метастабильными атомами гелия
обеспечивается усиление среды на переходах s —> р.
Уширение спектральных линий газа обусловлено спонтанным
излучением, соударениями и эффектом Доплера. В зависимости от
температуры и давления газа, массы излучающего атома,
характера перехода и длины волны основным может оказаться вклад
любого из указанных механизмов. В характерных для гелий-
неонового лазера условиях линия Звг — 2р4 (А = 0,63 мкм) неона
имеет доплеровскую ширину биц = 1700 МГц, а линия Звг — Зр4
(Л = 3,39 мкм) ширину Suq = 320 МГц. Для учета однородного
вклада в ширину линии Звг — Зр4 пользуются эмпирической
формулой [48]
7х/27г = 200 [МГц] + 42 [МГц/Тор] (0,32 МГц/Па),
справедливей для оптимального соотношения парциальных
давлений гелия и неона 5:1. Для перехода Звг — 2р4 аналогичная
зависимость выглядит как [49]
7J./27T = 8,5 [МГц] + 59,5 [МГц/Тор] (0,45 МГц/Па).
Вероятности распада Звг и 2р4 уровней даются эмпирическими
формулами
7„/2тг = 8,35 [МГц] +4,3 [МГц/Тор] (0,032 МГц/Па),
7ь/2тг = 9,75 [МГц] + 14,9 [МГц/Тор] (0,11 МГц/Па).
1.2.3. Некоторые экспериментальные факты. По динамике
лазеров накоплен обширный экспериментальный материал.
Остановимся на основных экспериментальных фактах, касающихся
режима свободной генерации, без знания которых трудно
ориентироваться в теоретических проблемах.
Одномодовые лазеры класса А отличаются наиболее простым
поведением. Малой инерционностью активной среды
предопределяется апериодический характер переходных процессов. Время
выхода на устойчивый стационарный режим зависит от
добротности резонатора и превышения порога генерации. Для гелий-
неонового лазера это время находится в пределах Ю-6 —Ю-4 с
[50-52]. Для того чтобы в пределы доплеровской линии попала
только одна продольная мода, длина резонатора не должна
превышать 10 см при Л = 0,63 мкм. В более длинных резонаторах
осуществление одномодовой генерации требует применения
селектирующих элементов. Одномодовый режим лазеров на красителях,

пинии усиления которых чрезвычайно широки, вообще
недостижим без селекции.
Зависимость выходной мощности газового лазера от частоты
генерации обладает характерной особенностью: при точной
настройке моды на центр линии усиления наблюдается локальный
минимум [53]. Эта особенность, получившая название лэмбов-
ского провала, специфична для активных сред с доплеровским
уширением линий.
Наличие эффекта затягивания частоты генерации было
установлено при исследовании спектра биений [54]. Ввиду того что
генерируемые частоты сдвинуты от собственных частот
резонатора в сторону центра линии, биения между продольными модами
оказываются меньше qc/2L (L — длина резонатора, q — целое
число). При возбуждении более двух продольных мод в спектре
биений часто просматривается тонкая структура, свидетельствующая
о неэквидистантности генерируемого спектра. Воздействовать на
нее можно, меняя накачку и длину резонатора.
В работе [55] установлено, что пока в генерации участвует не
более трех продольных мод, режим Не-—Ne-лазера регулярен. На
степень неэквидистантности спектра трехмодовой генерации
влияет величина отстройки наиболее сильной из мод от центра линии.
Вхождение в режим со строго эквидистантным расположением
частот происходит плавно при сближении частот ыс и wq со стороны
и>с > u»o и скачком — со стороны шс <ы0.
Хаотизация огибающей излучения возможна лишь при
вовлечении в генерацию четвертой моды. Исследовавшийся в [55] лазер
с А — 0,63 мкм обнаружил все три возможных сценария перехода
от регулярной автомодуляции излучения к хаотической при
изменении управляющего параметра: через последовательность
бифуркаций удвоения периода (в данном случае — периода вторичных
биений), через появление в спектре огибающей несоизмеримых
частот и через перемежаемость [25, 26].
Иные утверждения относительно поведения многомодовых
гелий-неоновых лазеров можно найти в работах [56-581: для
реализации хаотического режима достаточно и трех мод. Однако речь
здесь идет о переходе с длиной волны 3,39 мкм, который
отличается большим усилением. В условиях эксперимента, описанного в
[56-58], лазер может быть отнесен к классу С с большим
основанием, чем к классу А.
Другого типа явления обнаруживают лазеры на красителях.
На рис. 1.8 приведена схема лазера, использовавшегося в
работах [59-61]. Кольцевой резонатор лазера дополнен внешним
возвратным зеркалом, призванным обеспечить однонаправленную
генерацию. Активная среда в виде свободно падающей струи
раствора родамина 6G накачивается излучением ионного аргонового
лазера. Дисперсионная призма предназначена для грубой
перестройки резонатора. Непосредственно над порогом генерации ла-

зер, как видно из рис. 1.9, излучает в узкой одиночной линии. С
повышением накачки, но весьма близко к пороговому значению,
достигается бифуркационная точка, в которой спектр расщепля-
Рис. 1.8. Схема кольцевого лазера на красителе [60]: 1~4 — зеркала, образующие
кольцевой резонатор (J и 2— фокусирующие, Зи 4 — плоские); 5— возвратное
зеркало; 6 — дисперсионная призма; 7 — струя красителя; штриховой линией
указан луч накачки от аргонового лазера
Рис. 1.9. Спектры генерации кольцевого лазера на красителе при разных
мощностях накачки [60]: а — двунаправленная генерация на центре линии усиления;
б — однонаправленная генерация на центре линии усиления; в —
однонаправленная генерация на частоте, сдвинутой на 20 А в красную сторону
ется на две линии с расстоянием между ними, обратно
пропорциональным корню квадратному из мощности генерации. Отстройка
резонатора позволяет наблюдать бифуркации, ведущие к
дальнейшему усложнению линейчатого спектра. На положение
бифуркационных точек влияет также и то, работает лазер в режиме бегущей
или стоячей волны.

В [59-61] не был изучен вопрос о модовом составе излучения
лазера на красителе непрерывного действия. Однако
исследования, проводившиеся в связи с проблемой реальной
чувствительности методов внутрирезонаторной лазерной спектроскопии,
свидетельствуют о том, что в установившемся режиме лазера с
неселективным резонатором принимают участие сотни продольных
мод. Развертка спектра генерации во времени, осуществляемая с
высоким разрешением по частоте, показала, что в случае бегущей
волны реализуется близкий к периодическому процесс автосвипи-
рования спектра лазера [62]. Мгновенная ширина спектра меньше
интегральной, но центр тяжести пакета мод медленно дрейфует в
красную сторону (рис. 1.10). Завершается дрейф скачкообразным
Рис. 1.10. Режим квазирегулярного автосвилирования спектра однонаправленной:
генерации кольцевого лазера на красителе [62]: А =1,9 (а); 1,3 (б); 1,15 (в)
возвращением спектра к исходному положению, после чего
начинается новый цикл. Период автосвипирования обратно
пропорционален мощности генерации. В данном эксперименте режим бе-

гущей волны достигался с помощью невзаимного фарадеевского
элемента.
Регулярное автосвипирование спектра удается наблюдать и в
лазере стоячей волны с коротким резонатором концентрической
конфигурации, если струя красителя слегка сдвинута относительно
перетяжки каустики [63]. В работе [63] показано также, что период
пульсаций амплитуд мод может быть значительно увеличен за счет
компенсации дисперсии резонатора. Как правило же, в струйном
лазере стоячей волны устанавливается режим нерегулярной
амплитудной автомодуляции мод (рис. 1.11), при постоянстве
интегральной по спектру интенсивности излучения [64, 65].
t 1 _■ 1 =*.
о 1 2 t,m
Рис. 1.11. Режим нерегулярных скомпенсированных пульсаций мод лазера на
красителе: А — 1,02 (а); 1,13 (<5); 1,30 (в) [64, 65]
Различия в поведении интегральной интенсивности и
спектральной плотности излучения лазера на красителе проявляются
также на стадии установления сразу после включения накачки.
Первая выходит на стационарный уровень очень быстро, за время
порядка Тс ~ Т\ ~ Ю-8 с, тогда как характерное время
сужения спектра не менее 10~3 с [64]. Поэтому лазеры на красителях
с импульсной накачкой работают в условиях неустановившегося
спектра.

В кольцевом лазере на красителе с двумя возвратными
зеркалами возможна периодическая противофазная автомодуляция
амплитуд встречных волн [66]. В сходных условиях в
гелий-неоновом лазере наблюдалась и периодическая, и хаотическая
автомодуляция [67, 68].
Лазеры класса В демонстрируют большое разнообразие
вариантов поведения. Характерным является феномен пичковой
генерации, когда излучение представляет собой последовательность
изолированных всплесков. Впервые он был обнаружен еще в
экспериментах с парамагнитными мазерами [69, 70], но энергичное
его изучение началось с появлением твердотельных лазеров,
накачиваемых импульсными газоразрядными лампами.
Процесс свободной генерации твердотельных лазеров
протекает по разному в зависимости от конкретных
спектроскопических свойств рабочего вещества, типа резонатора и параметров
накачки. Существенное влияние на него могут оказывать
механические вибрации и непостоянство температуры элементов лазера.
Основой конструкции лазеров первого поколения является
осветитель с помещенными внутрь него активным элементом и
лампами накачки. Иногда этот блок называют квантроном. Резонатор
лазера чаще всего образуется зеркалами, устанавливаемыми вне
квантрона. В необходимых случаях предусматривается система
принудительного охлаждения активного элемента и ламп.
Очень много экспериментальных работ посвящено свободной
генерации рубинового лазера с импульсной накачкой.
Индуцированное излучение рубина при комнатной температуре в
резонаторе, образованном параллельными плоскими зеркалами,
представляет собой последовательность пичков. Изменения
амплитуды пичков и интервала между ними не обнаруживают
регулярной закономерности, а колебания в целом — тенденции к
затуханию. Начало генерации запаздывает по отношению к моменту
поджига ламп на доли миллисекунды, необходимые для
достижения пороговой инверсии населенностей. Средняя длительность
пичка близка к 5 • 10~7 с, а пиковая мощность излучения
достигает 103-104 Вт.
При малом превышении порога в генерацию вовлекается
небольшая часть кристалла, в которой благодаря фокусировке
накачки накапливается максимальная инверсия [71]. По мере
увеличения энергии накачки границы области генерации несколько
расширяются. В пределах этой области плотность излучения
распределяется неравномерно. При длительной экспозиции простые
структуры, отождествляемые с модами оптического резонатора,
регистрируются на фотопленке только при небольших
превышениях порога генерации [72]. Однако проблемам динамики более
адекватны методы исследования, позволяющие проследить
эволюцию структуры генерируемого светового пучка во времени.
Для изучения процессов длительностью до Ю-7 с пригоден
скоростной фоторегистратор (СФР), работающий по принципу меха-

нической развертки изображения вдоль неподвижной фотопленки
[73]. Затвор камеры открывается в определенные моменты
времени, либо остается открытым на все время съемки. Хронограмма
пучка, снятая вторым способом, показана на рис. 1.12.
Экспонировалось не все изображение выходного зеркала^ а лишь
вертикальная полоска, ограниченная входной щелью СФР.
Дискретность картины в горизонтальном направлении свидетельствует о
пичковом характере генерации, а в вертикальном — о возбуждении
отдельных поперечных мод. От пичка к пичку структура меняется,
что означает смену генерирующихся поперечных мод.
Рис. 1.12. Хронограмма пучка в ближней зоне рубинового лазера с
плоскопараллельным резонатором
Тот факт, что в отдельном пичке с наибольшей вероятностью
возбуждается какая-то одна поперечная мода, отмечается многими
авторами [73-78]. Исследуя природу высокой угловой
расходимости излучения и малого диаметра возбуждающихся мод,
авторы работы [78] пришли к выводу, что эти характеристики
соответствуют не плоскопараллельному, а сферическому резонатору.
Оптические неоднородности, связанные с несовершенством
кристалла и возникающие при неравномерном прогреве его светом
накачки, обладают линзовыми свойствами. При наличии линзы
между плоскими зеркалами резонатор эквивалентен
сферическому. Лишь при очень большом (F > 105 см) фокусном расстоянии
сферичность несущественна. Требуемая высокая степень
оптической однородности активных элементов достигается редко, и
поэтому термин "плоскопараллельный резонатор" применительно к
лазерам на твердом теле имеет чисто номинальный смысл. В тех
случаях, когда удается скомпенсировать линзовость активного
элемента, поперечник моды приближается к диаметру кристалла, а
расходимость излучения уменьшается до дифракционного
предела [79].
Исследование пространственной структуры излучения
рубинового лазера с плоскопараллельным резонатором убеждает в
нестабильности картины поперечных мод. Изучение спектра приводит
к аналогичному выводу относительно продольных мод. Общая
ширина спектра ограничена долями ангстрема и для
наблюдения его структуры используются интерферометры Фабри-Перо с
большим разрешением. Световой пучок, прошедший через
интерферометр, образует в дальней зоне (в фокальной плоскости линзы,

специально установленной для этого на выходе интерферометра)
кольцевую картину. Число колец в пределах каждого порядка
интерференции совпадает с числом продольных мод, участвующих
в генерации. Обычно возбуждаются десятки продольных мод за
вспышку.
Селекция продольных мод проявляется во всех случаях,
когда в резонаторе имеется несколько параллельных отражающих
поверхностей, не слишком сильно наклоненных по отношению к
зеркалам. Такими поверхностями являются торцы активного
элемента, поверхности подложек зеркал и т.п. Паразитная селекция
отсутствует, когда зеркала нанесены непосредственно на торцы
активного элемента. Для ее предотвращения в случае использования
выносных зеркал торцы ориентируются под углом Брюстера, а
зеркала напыляются на клиновидные подложки.
Помимо селективных свойств резонатора, на спектре лазера
сказывается местоположение активного элемента и распределение
накачки по его длине [80].
С помощью СФР интерферограмму можно развернуть во
времени [73, 81-84]. Собственно, развертывается не вся интерферо-
грамма, а только узкая полоска, вырезанная по диаметру
кольцевой картины входной щелью СФР. Из анализа спектрохронограмм
типа рис. 1.13 выяснилось, что спектр отдельного пичка сформи-
W мкс
Рис. 1.13. Спектрохронограмма излучения рубинового лазера с
плоскопараллельным резонатором
рован значительно меньшим числом мод, чем их наблюдается за
всю вспышку, но набор мод от пичка к пичку меняется.
Вариация мощности накачки не сказывается на характере
процесса, меняя лишь пиковую мощность и число пичков за вспышку.
К более существенным последствиям приводит удлинение
резонатора. Когда длина превышает 10 м, пичковая генерация
упорядочивается [85] и остается регулярной вплоть до 400 м —
максимальной из достигнутых длин [86]. Такую базу получают,
помещая оптическую линию задержки внутрь резонатора.
Пропорционально длине резонатора увеличивается длительность пичка. На
предельных размерах успевает излучиться всего один пичок, оги-

бающая которого промодулирована с частотой биений между
продольными модами.
Характер генерации рубинового лазера претерпевает заметные
изменения при разъюстировке резонатора. По мере увеличения
угла между зеркалами повышается порог генерации [87, 88],
увеличивается интервал между пичками и растет их амплитуда [89-
91]. По сравнению с пичковой генерацией в плоскопараллельном
резонаторе процесс выглядит менее хаотичным.
Упорядоченные режимы генерации могут быть реализованы
в рубиновом лазере со сферическим резонатором. Регулярные
затухающие пульсации, переходящие в излучение с постоянной
мощностью, наблюдаются в конфокальном, концентрическом и
близких к ним резонаторах [83, 92-96]. Отсутствие видимой
структуры пичка в ближней зоне свидетельствует о возбуждении
большого числа поперечных мод. От долей ангстрема в первом
пичке спектр сужается до некоторой сохраняющейся затем
величины, но центр тяжести этого спектра непрерывно смещается.
Несмотря на постоянство интегральной по спектру интенсивности,
режим генерации не является в строгом смысле слова
стационарным, так как модовый состав испытывает хаотические изменения
[96], что напоминает динамику спектра на красителях.
На скорость затухания регулярных пульсаций влияют
мощность накачки [85, 97] и геометрия резонатора [95, 98].
Максимальная при концентрическом расположении зеркал скорость
затухания убывает по мере уменьшения отношения длины
резонатора к радиусу кривизны зеркал.
Многочисленные эксперименты свидетельствуют о
существовании режима незатухающих регулярных пульсаций [85, 97, 99-
104]. Они характеризуются широким (десятые доли ангстрема)
спектром излучения, не меняющимся в процессе генерации.
Любые нарушения регулярности пульсаций сопровождаются сужением
полосы генерируемых частот [105]. Регулярному во времени
процессу отвечает равномерное, воспроизводящееся от пичка к пич-
ку распределение интенсивности по сечению пучка [93, 97, 102,
105].
Корреляция между регулярностью пульсаций и числом мод,
участвующих в генерации, не случайна. Это доказывают
эксперименты с селектирующими элементами внутри резонатора.
Уменьшение числа возбуждающихся мод однозначно нарушает
регулярность процесса вне зависимости от того, идет ли речь о поперечных
[106] или о продольных [107] модах. Однако при очень сильной
дискриминации динамика вновь упорядочивается как, например,
в одномодовом лазере [108, 109].
Весьма регулярно протекает процесс в тех случаях, когда
приняты меры к устранению паразитной селекции продольных мод,
но в генерации участвует единственная поперечная мода [97, 102,
105].

О разнообразии возможностей рубинового лазера
свидетельствует и пример режима, возникающего в разъюстированном на
несколько угловых минут концентрическом резонаторе [110, 111].
Процесс имеет вид пичков, следующих через примерно
одинаковые промежутки времени, но с хаотически меняющейся
амплитудой. Структура поля в ближней зоне указывает на возбуждение
небольшого числа поперечных мод с индексом порядка 100.
Частота излучения весьма стабильна при узком спектре.
Процесс свободной генерации несет на себе отпечаток влияния
многих физических факторов. Для выявления роли каждого из
них необходимо идти на изменение условий эксперимента. В
первую очередь, полезно устранить влияние технических флуктуации
параметров. В импульсных лазерах механические колебания
активного элемента вызываются ударом в момент поджига ламп
накачки. Вибрации других узлов конструкции могут вызываться
внешними источниками. Определенную роль играет характер
обтекания активного элемента потоком охлаждающей жидкости.
Последствия изгибных колебаний стержня, проявляющиеся в виде
амплитудной модуляции излучения с частотой порядка 10 кГц,
можно существенно ослабить тщательным подбором диаметра и
положения диафрагм, размещаемых по обе стороны активного
элемента [112, 114, 115]. Эта мера избавляет также и от влияния
непостоянства тепловой линзы в активном элементе. Борьба с
вибрациями зеркал и других оптических элементов заключается в
механической развязке узлов при повышении жесткости их
конструкции. Важную роль играет тщательная юстировка зеркал и
устранение отражающих поверхностей внутри резонатора, парал-
Рис. 1.14. Временные характеристики излучения рубинового лазера,
работающего на основной (ТЕМоо9) поперечной моде плоскопараллельного резонатора в
условиях пассивной стабилизации устройства [114]: а — осциллограмма; б —
хронограмма дальней зоны лазера; в, г — спектрохронограммы в отсутствие и
при наличии селекции продольных мод

лельных зеркалам. Поэтому торцы активного элемента
ориентируются под углом Брюстера, либо, при малом угле наклона,
просветляются.
О результате, достигаемом после принятия всех этих мер
пассивной стабилизации лазера, можно судить по рис. 1.14. Пичковый
характер генерации сохраняется, но степень его упорядоченности
заметно возрастает. Широкий вначале спектр излучения быстро
сужается и в дальнейшем на пичок приходится одна продольная
мода. Смена мод от пичка к пичку соответствует перестройке
лазера с шагом дискретности, зависящим от коэффициента
заполнения резонатора и положения ативного элемента [112,113]. Следует
подчеркнуть, что скорость перестройки способна в несколько раз
превосходить тепловой дрейф линии усиления рубина.
На характере генерации сказывается пространственная
модуляция инверсии, обусловленная насыщением активной среды
собственным полем излучения. С этим эффектом связано усиление
различий в коэффициентах усиления мод, а значит и степень
дискриминации некоторых из них. Для продольных мод подобный
эффект устраняется в лазере бегущей волны. Если же модами
являются стоячие волны, их равноправие можно утвердить, лишь
непрерывно меняя локализацию узлов и пучностей в процессе
генерации.
Одна из возможностей сглаживания наведенных
пространственных неоднородностей инверсии заключается в поступательном
перемещении активного элемента. Опыты с «бегущей средой» [116-
123] показали, что беспичковая генерация рубина может быть
достигнута при скорости его движения, превышающей 20 см/с.
Выше 50 см/с обеспечивается одночастотность излучения.
Побочным же эффектом оказывается так называемая кинематическая
модуляция с частотой, пропорциональной скорости. Дело в том,
что параллельный зеркалам торец стержня при движении вдоль
оси резонатора занимает эквивалентные положения через
интервалы, равные А/2. Добротность составного резонатора при этом
модулируется с доплеровской частотой 2uU/c. Это проявляется в
виде модуляции излучения, особенно заметной в беспичковом
режиме.
Перемещать картину стоячих волн вдоль активной среды
можно движением одного из зеркал резонатора [124, 125]. Но и здесь
есть побочный эффект — сканирование собственных частот
резонатора.
От указанных недостатков свободен метод компенсируемой
фазовой модуляции [114, 126-134]. Изменение оптической длины
зазора между активным элементом и зеркалом осуществляется с
помощью электрооптического фазового модулятора. Когда
идентичные модуляторы располагаются по обе стороны кристалла и
управляющее напряжение к ним прикладывается в противофазе,
общая длина резонатора сохраняется все время неизменной. Этот

метод, в противоположность «бегущей среде» допускает брюстеров-
скую ориентацию всех границ раздела внутри резонатора.
Использование методов сглаживания продольной
неоднородности вкупе с пассивными методами стабилизации резонатора
переводит рубиновый лазер в режим регулярных затухающих
пульсаций (рис. 1.15). На стадии переходного процесса спектр сужается
до одной продольной моды, а в дальнейшем происходит их
чередование со скоростью теплового дрейфа, не сопровождающееся
пульсациями.
Иной результат был получен в эксперименте с Nd:YAG-na3epoM
[114, 135, 136]. Для достижения беспичковой генерации
достаточно упомянутых мер борьбы с механической и тепловой
нестабильностью. После переходного процесса устанавливается стацио-
ННЯЙЯЯЯИ
100 мне
Рис. 1.15. То же, что и на рис. 1.14, но при включенном устройстве
компенсируемой фазовой модуляции [112]
Рис. 1.16. Временные характеристики лазера на силикатном неодимовом стекле,
работающего в условиях отсечки коротковолновой компоненты света накачки на
ТЕМоо9-моде плоскопараллельного резонатора

нарная многомодовая генерация. Сглаживание пространственной
неоднородности инверсии не вносит принципиальных изменений.
Пассивных методов защиты от технических флуктуации
достаточно для устранения пульсаций интенсивности и в лазерах на
неодимовых стеклах (рис. 1.16). Однако структура спектра
генерации оказывается иной, нежели у лазеров на кристаллических
активных элементах. Объясняется это неоднородным уширением
спектральных линий примесных ионов в стекле. Характерной
деталью эволюции спектра является его расщепление на дискретные
полосы. Впервые это было установлено в работах [138, 139].
Аналогичная особенность уже упоминалась выше в связи с лазерами
на красителях.
Следует отметить еще одну особенность динамики лазера на
силикатном неодимовом стекле — ее зависимость от
спектрального состава накачки [140 -144]. Процесс, отраженный на рис. 1.16,
реализуется при отсечке с помощью светофильтров
коротковолновой (Л < 420 нм) компоненты спектра накачки. Если же в
активный элемент проникает весь спектр излучения ксеноновой
импульсной лампы, включая ультрафиолетовое крыло, то генерация
протекает в форме незатухающих пульсаций (рис. 1.17).
5Птс
l 1
Рис. 1.17. Зависимость динамики излучения лазера на силикатном неодимовом
стекле со сферическим резонатором от спектрального состава накачки.
Плотность фильтра, поглощающего коротковолновую часть спектра накачки,
нарастает от а к в [137]

Для полупроводниковых лазеров пичковое излучение
характерно почти в той же мере, что и для твердотельных. И если пички
были обнаружены лишь спустя несколько лет после появления ин-
жекционных лазеров [145], то это объясняется большой частотой
пульсаций. Основные закономерности пичковой генерации инжек-
ционных гомолазёров на арсениде галлия установлены в работах
[145 -152]5). Амплитудные пульсации имеют место при
импульсной и непрерывной накачках. Глубина модуляции, степень ее
упорядоченности, частота пульсаций — все это зависит от
температуры и превышения порогового уровня накачки. Непосредственно
вблизи порога модуляция неглубока или отсутствует вовсе.
Наиболее регулярные пульсации соответствуют превышению порога в
1,1-5-1,4 раза [148]. Увеличение тока инжекции влечет за собой
ухудшение регулярности.
Степень упорядоченности пульсаций коррелирует со
структурой поля в ближней зоне. Вследствие неоднородности кристалла
активная область инжекционного лазера может быть разделена на
отдельные нити. Пульсации интенсивности излучения
изолированных нитей, которые фактически являются независимыми
лазерами, не синхронизованы [145]. Экспериментальные данные,
касающиеся связи формы спентра излучения с динамическим
режимом лазера, резко расходятся в работах разных авторов. Это
свидетельствует о существовании нескольких механизмов
пульсаций.
Режим незатухающих пульсаций отмечается и в гетеролазерах
[147]. Требующиеся токи инжекции превышают пороговое
значение в полтора-два раза. Затухающие пульсации наблюдаются
при более низких уровнях накачки. Период пульсаций является
убывающей функцией плотности тока инжекции и температуры и
растущей функцией длины резонатора. Типичные значения
длительности пичка лежат в пределах (1 -=- 5) • Ю-10 с. Отношение
длительности пичков к периоду следования составляет 0,2 -г- 0,4
[148].
Лазеры на углекислом газе, которые также принадлежат
классу В, не обнаруживают, тем не менее, склонности к пичковой
генерации. О наблюдении неустойчивости стационарного режима
стоячей волны сообщается лишь в работах [155, 156].
Специфическими особенностями отличается поведение лазеров
класса В с кольцевым резонатором. Нестационарные процессы
двух видов можно наблюдать в Nd:YAG-na3epe непрерывного
действия, если принять меры по устранению пичков. Процесс первого
рода заключается в противофазной гармонической автомодуляции
встречных волн с частотой порядка релаксационной [157-161].
Более медленный процесс второго рода (рис. 1.18) представляет
собой последовательное переключение направлений генерации [157,
) Существенно более полная библиография приведена в [152, 153].

158, 161]. Обоим автомодуляционным процессам соответствует од-
ночастотный спектр излучения. Появление же в спектре
нескольких частот коррелирует с пичковой генерацией. Переход от одного
режима к другому достигается переюстировкой резонатора.
/ /1С
Рис. 1.18. Осциллограмма интенсивности одной из волн, генерируемых
кольцевым лазером на Nd:YAG в автомодуляционном режиме второго рода
Автомодуляционный режим второго рода был зарегистрирован
также в экспериментах с кольцевым СОг-лазером [162, 163]. Для
его достижения необходимо отстроить собственную частоту
резонатора от центра линии усиления. Однако в зависимости от
давления газа, тока разряда и расстройки в СОг-лазере могут
наблюдаться и другие нестационарные режимы, среди которых
синхронные пульсации интенсивностей обеих волн, имеющие форму
коротких импульсов.
Твердотельные лазеры нового поколения отличаются от своих
предшественников, главным образом, устройством накачки. Для
б
I
Y1
и
Рис. 1.19. Схема лазера на гранате с неодимом, накачиваемого излучением
полупроводникового лазера вдоль оси резонатора Фабри-Перо [164]: 1 — лазерный
диод, 2 — согласующая оптика, S — излучение накачки, 4 — зеркало, 5 —
активный элемент, 6 — зеркало, 7 — выходное излучение
этой цели используются не газоразрядные лампы, а лазерные
источники света: полупроводниковые [164] или, как в некоторых
экспериментах, ионные газовые лазеры [165]. Схема твердотельного
лазера с продольной накачкой излучением диодного лазера
представлена на рис. 1.19. Достоинством лазерной накачки является

узкий спектр, который удается совместить с линией поглощения
активной среды, благодаря чему достигается высокая
эффективность использования накачки при
относительно слабом нагреве активного
элемента. Другая особенность современных
твердотельных лазеров заключается в
том, что часто используется
моноблочная конструкция излучателя с зеркалами
резонатора, нанесенными
непосредственно на торцы активного элемента.
Миниатюризация лазера имеет следствием
небольшое число генерирующихся
продольных мод, что очень удобно с точки
зрения исследования динамики.
Значительно богаче стал и ассортимент
лазерных кристаллов.
Диодная накачка по сравнению с
ламповой обеспечивает намного более
стабильный режим генерации даже без
применения специальных мер.
Непрерывная беспичковая генерация
характеризуется близким к естественному
пределу уровнем флуктуации. Проявлением
динамических особенностей лазера
являются резонансные пики в спектрах
мощности (флуктуации интенсивности
излучения). На рис. 1.20 представлены
спектры флуктаций как полной
интенсивности, так и отдельных мод лазера
с очень коротким резонатором. Спектр
генерации лазера включает три
продольные моды. Три резонансных пика
присутствуют и в спектрах мощности
отдельных мод, между тем как в спектре
интегральной интенсивности виден
лишь один пик на самой высокой из
резонансных частот. Эти
экспериментальные данные, подтверждающиеся и в
других работах [166, 167],
свидетельствуют о наличии релаксационных
колебаний, число которых совпадает с
числом генерирующихся оптических мод,
по крайней мере, когда их число
невелико. Кроме того, ясно что все
релаксационные.колебания, за исключением
самого высокочастотного из них,
принадлежат противофазной динамике,
благодаря чему они и не проявляются в
Рис. 1.20. Спектры
флуктуации полной интенсивности
(а) и отдельных мод в
порядке убывающей
интенсивности (6, в, г) LNP-лааера с
накачкой от аргонового
ионного лазера [165]

спектре флуктуации интегральной интенсивности. Различные
типы релаксационных колебаний можно наблюдать и в прямом
эксперименте, регистрируя временной ход генерации.
Волоконные лазеры с точки зрения спектра генерации
являются антиподами только что обсуждавшихся твердотельных
моноблочных лазеров. Большая длина резонатора вкупе с
неоднородными широкими линиями усиления способствует генерации очень
большого числа продольных мод. Но наиболее яркая особенность
волоконных лазеров связана с
хаотической ориентацией активных
центров в матрице волокна и
всегда присутствующим в нем дву-
лучепреломлением. Она
проявляется в поляризационной
динамике лазера. Выделив на выходе
лазера компоненту с одной из
собственных поляризаций и
проанализировав спектр ее
низкочастотных флуктуации интенсивности,
можно обнаружить в нем два
резонансных пика, тогда как в
полной интенсивности присутствует
лишь один пик. Ситуация
аналогична той, что имеет место в
двухмодовом лазере, что
позволяет говорить о "поляризационных
модах", невзирая на то, что под
каждой из составляющих поля с
определенной поляризацией
скрывается огромное число
продольных мод [168-170].
Динамические эффекты с переключением
состояния поляризации
генерируемого излучения наблюдаются и
в полупроводниковых лазерах, в
частности, в лазерах с
вертикальными резонаторами [171, 172].
Сопоставляя
экспериментальные результаты, касающиеся
лазеров с кольцевыми и двухзер-
кальными резонаторами, можно
отметить одну существенную
особенность: если число резонансных пиков в спектрах мощности
последних не превышает, за редким исключением, числа
генерирующихся оптических мод, то в первых наблюдается три
различных релаксационных колебания при наличии двух оптических
мод [173, 174]. В лазерах с резонаторами типа Фабри-Перо такое
возможно только в тех случаях, когда имеются моды с достаточно
Время
Рис. 1.21. Зависимость от времени
интенсивности и фазы одной из волн
кольцевого аммиачного лазера (Л =
= 153 мкм) в автомодуляционном
режиме второго рода (цена деления
фазовой шкалы равна тг; сдвиг
частоты на участках роста и спада
интенсивности по отношению к
частоте в максимуме составляет +28 и
—38 кГц соответственно [175]

близко расположенными собственными частотами, как, например,
в волоконных лазерах при небольшом двулучепреломлении [169,
170].
Переходя к лазерам класса С, заметим, что в кольцевом
варианте они допускают те же режимы конкуренции встречных волн,
что и лазеры класса В. Это было продемонстрировано на
примере 151ЧНз-лазера с накачкой излучением СОг-лазера [175]. Но,
помимо амплитудных, в [175] представлены и фазовые
измерения.
Результат, относящийся к автомодуляционному режиму
второго рода, приведен на рис. 1.21. Изменение угла наклона
фазового графика свидетельствует о переключении частоты генерации
между тремя дискретными значениями на участках роста, спада
и поддержания максимального значения интенсивности моды.
Схема экспериментальной установки представлена на рис. 1.22.
Кольцевой резонатор лазера образован тремя отражателями раз-
Л Д Л
Пучок
накачки
NH,
ш
Рис. 1.22. Схема экспериментальной установки с аммиачным кольцевым лазером
[175]: 3— зеркало; Л— линза; Д— диафрагма; Г— ячейка Голея; Ш— диод
Шоттки; К—клистронный генератор; С—смеситель; ОГ—генератор опорной
частоты 80 МГц, близкой к разности частот лазера и 27-й гармоники клистрона;
Ц— насос для откачки камеры; И— контроль интенсивности излучения; сов и
sin обозначают квадратурную и синфазную компоненты принимаемого сигнала
ных типов. Вогнутое глухое зеркало Зз смонтировано на пьезоке-
рамике, позволяющей в небольших пределах регулировать
периметр резонатора. Решетка с шагом 10 мкм, играющая роль зер-

кала Зг, непрозрачна для генерируемого излучения, но позволяет
беспрепятственно вводить в продольном направлении накачку.
Сетчатый отражатель 3\ служит выходным зеркалом лазера.
Предусмотрена возможность регистрации излучения, генерируемого
как в направлении волны накачки, так и в противоположном
направлении. Резонатор помещен в вакуумную камеру, в которой
поддерживается нужное давление аммиака.
Принципиальной деталью эксперимента является
гетеродинный прием сигнала, осуществляемый посредством смешивания его
с высокой гармоникой частоты клистрона. Это позволяет
получать информацию о динамике амплитуды и фазы поля, тогда как
гомодинный прием обеспечивает данные только об интенсивности
излучения.
Лазеры класса С, в отличие от лазеров других типов,
способны демонстрировать неустойчивое поведение, обусловленное
когерентным взаимодействием генерируемого поля с активной
средой и не связанное с взаимодействием мод. В идеале одномодовый
лазер бегущей волны, как показал Хакен [176], адекватен
знаменитой модели Лоренца [177], которая положила начало эре авто-
стохастичности в нелинейной динамике. Многолетние попытки
достижения этого идеала венчают эксперименты с аммиачными
лазерами далекого ИК-диапазона, осуществлявшиеся на
экспериментальных установках, подобных только что описанной [23, 37-
39, 178-186]. Уникальность лазеров данного типа заключается
в том, что многократное превышение порога генерации
достигается в условиях, когда ширина линии усиления активной среды
меньше полосы пропускания резонатора. Спектральная
однородность линии усиления обеспечивается благодаря селективному
возбуждению молекул газа в поле монохроматической бегущей волны
накачки [187]. Отстройка накачки по частоте от центра линии
поглощения приводит к тому, что на частоте рабочего перехода
активная среда способна взаимодействовать только с одной из двух
встречных волн6).
Поскольку в субмиллиметровом диапазоне вероятность
спонтанного излучения мала, основной вклад в однородную ширину
линии дает давление газа. Существует компромиссная область
давлений (Ю-1 —Ю-2 Тор), в которой ширина линии порядка
мегагерца сочетается с возможностью получения большого усиления.
Помимо доказательства существования порога динамической
неустойчивости, эксперименты с 151ЧНз-лазером показали также,
что порог этот достаточно высок, что после его преодоления
устанавливается режим регулярных пульсаций конечной амплитуды,
что хаотизация пульсаций достигается через последовательность
бифуркаций удвоения периода при увеличении интенсивности
накачки и что спектр, регистрируемый при гетеродинном приеме
6) Поэтому результат не зависит от того, какой резонатор используется:
кольцевой или Фабри-Перо [180].

излучения лазера, может в зависимости от сочетания параметров
(давления газа, интенсивности и частоты накачки) иметь или не
иметь несущей, т.е. процесс может иметь характер амплитудной
модуляции или биений.
Несколько по иному ведет себя 141ЧНз-лазер, работающий на
А = 81,5 мкм при накачке от ^О-лазера. Когда резонатор
настроен точно на центр линии усиления, превышение второго
порога выводит лазер в режим хаотических пульсаций. При
наличии расстройки пульсации могут быть регулярными, а сценарий
перехода к хаосу по мере сближения частот резонатора и
активной среды зависит от давления газа. Каскад удвоений периода
(рис. 1.23) наблюдается в диапазоне давлений 5,5-S-9 Па [182, 183,
Рис. 1.23. Переход к хаосу через последовательность удвоений периода.
Расстройка 14Ш1з-лазера, генерирующего на длине волны 81,5 мкм убывает от а к
е [178]
186], тогда как перемежаемость может иметь место при меньших
давлениях [184, 185].
Обсуждение экспериментов с аммиачными FIR-лазерами будет
продолжено в п. 3.5.4.
Неустойчивость стационарной генерации отмечалась и в
других газовых молекулярных FIR-лазерах с оптической накачкой,
таких как лазер на CH2F2 с А = 117 мкм [35], лазер на CH3F с
А = 496 мкм [188], лазер на НСООН с А = 742 мкм [189].
Автомодуляционные режимы, включая хаотические, получены и в
импульсном аммиачном лазере с А яз 12 мкм, накачиваемом
излучением TEA С02-лазера [181,190 -193]. В отличие от FIR-лазеров,
давление в ячейке с аммиаком поддерживалось на более высоком
уровне 1 -т-10 Тор.

Неоднородное уширение, снижая порог неустойчивости [194],
облегчает задачу реализации режима незатухающих пульсаций
в свободно генерирующем лазере. Такие пульсации вначале
были обнаружены в излучении ксенонового лазера на длине волны
3,51 мкм [1, 195, 196]. Однако большую свободу действий
экспериментатору предоставляет гелий-ксеноновый лазер благодаря
возможности регулирования соотношения между однородным и
неоднородным уширением Хе, о чем упоминалось выше. На переходе
3,51 мкм в Не—Хе-лазере неустойчивость и другие бифуркации
были получены в работах [197, 198]. Порог динамической
неустойчивости достигнут и на А = 3,39 мкм в Не—Хе-лазере [31].
Ряд закономерностей был выявлен при исследовании
кольцевого Не—Хе-лазера, в котором режим бегущей волны
обеспечивался применением фарадеевского невзаимного элемента [30, 199].
Результаты эксперимента обобщены на рис. 1.24. Обращают на
себя внимание низкий порог неустойчивости и аналогии в
поведении лазера при изменении накачки и при перестройке резонатора.
н 2
v 2F гт
гту Л
т/ V
1
Расстройка, отн. ед.
б
Рис. 1.24. Зависимость выходной мощности кольцевого гелий-неонового
лазера от превышения порога при настройке резонатора на центр линии (а) и от
расстройки (б) [30]. Наполнение разрядной трубки соответствует парциальным
давлениям 70 мТор Хе и 380 мТор Не. На графиках отмечены участки
стационарной генерации (СГ), пульсаций с фундаментальным (Т) и удвоенным (2Т)
периодами, квазипериодических (2F) и хаотических (X) пульсаций
На пути к хаосу в спектре пульсаций сначала появляется
субгармоническая составляющая, свидетельствующая об удвоении периода,
а затем и компонента с несоизмеримой частотой. В [30]
установлено также, что увеличение парциального давления гелия, а
следовательно и однородной ширины линии усиления в смеси, ведет
к возрастанию всех бифуркационных значений разрядного тока,
выступающего в роли управляющего параметра. Методом
оптического гетеродинирования удалось установить, что пульсациям
может сопутствовать спектр поля с ярко выраженной центральной
компонентой, но возможна и ситуация, когда доминируют боковые
компоненты.

Значительное внимание экспериментаторы уделили
исследованию динамики гелий-ксеноновых лазеров стоячей волны [197,198,
200-202]. Здесь наблюдается более сложная картина бифуркаций,
особенно вблизи центра доплеровской линии — в области
перекрытия провалов, выжигаемых на ее контуре волнами, бегущими
во встречных направлениях. Основные тенденции, выявленные в
этих экспериментах, сводятся к следующему:
— порог неустойчивости стационарной генерации зависит от
степени спектральной неоднородности линии;
— наблюдаются два типа нестационарных процессов,
структурными элементами которых являются либо гладкие импульсы,
либо цуги с затуханием;
— возможны самые разные сценарии перехода к хаосу;
— закономерен переход от одного регулярного режима к
другому через промежуточную полосу хаоса.
Приведенные экспериментальные факты касаются только
свободно генерирующих лазеров. В общих чертах они дают
представление о характере каждого динамического класса, а
недостающие детали будут добавляться ниже по мере надобности. Знание
общей картины позволяет судить о целесообразности применения
в каждом конкретном случае тех или иных методов управления
процессом излучения и предвидеть результат. Создается
определенное представление и об адекватных теоретических подходах к
описанию различных лазеров.

Глава 2
Базовые уравнения динамической теории лазеров
Самосогласованная система уравнений лазера включает в себя
уравнения электромагнитного поля плюс уравнения,
описывающие состояние среды, которая с этим полем взаимодействует. Имея
в виду две составляющие, всю систему часто называют системой
уравнений Максвелла-Блоха. Примерно в том же виде, в котором
полуклассическая система используется сейчас в динамике
лазеров, она была впервые предложена в работах [203, 204]. В общем
виде эта система слишком сложна и при рассмотрении конкретных
ситуаций приходится прибегать к радикальным упрощениям,
которые, к счастью, возможны.
Существует много разновидностей уравнений лазера и
некоторые из них будут фигурировать в последующих главах. Данная
же глава призвана дать представление о наиболее общих приемах
упрощения уравнений электромагнитного поля и материальных
уравнений, позволяющих прийти к динамическим моделям
конкретных лазеров.
2.1. Уравнения электромагнитного поля
Хорошо известно, что применительно к проблемам динамики
лазеров классическое описание электромагнитного поля вполне
оправдано. Будем поэтому исходить из уравнений Максвелла:
хо\Е = — (a), iotH=-^- +—— (б),
с dt v " с с dt v " (2.1)
div D = 0 (в), div В = 0 (г).
Материальные уравнения запишем пока в традиционной форме
j = сЕ (а), В = Н + 4тгМ (б), D = Е + 4тгР (в). (2.2)
Проводимость а отражает наличие объемных потерь в среде.
Намагниченность М и поляризация Р распадаются в общем
случае на две составляющие каждая. Первая составляющая
учитывает нерезонансный вклад всех молекул среды (матрицы) и может
быть представлена в виде
Р1 = £-^±Е, Мг = ^^Н. (2.3)
47Г 47Г
В дальнейшем будут рассматриваться только немагнитные
матрицы, для которых ц = 1. Диэлектрическая проницаемость ере-

ды, вообще говоря, может зависеть от напряженности поля, но
подобная нелинейность пока в расчет приниматься не будет.
Вторая составляющая поляризации обусловлена исключительно
резонансным взаимодействием поля с активными молекулами. Она
представляет наибольший интерес; определяющие ее уравнения
обсуждаются ниже, в § 2.2.
2.1.1. Волновое уравнение. Рассмотрим электромагнитное
поле в слабопоглощающем диэлектрике с внедренными в него
активными молекулами, переходы между энергетическими уровнями
которых считаем электродипольными.
Продифференцировав уравнение (2.16) по времени, подставим
в него значения dH/dt из (2.1а) и j из (2.2а). Имея в виду, что
В = Н, приходим к уравнению
j j. ^ ^2 ^ 4тга дЕ 1 d2D
rot rotE = graddiv£ - V2E = - — - -^-^-. (2.4)
c2 at c2 at2
Индукцию D с помощью (2.2в) можно записать как
D = Е + 4тг(Р! + Р) = е( Е + — J
и затем преобразовать (2.4) к виду
^2^ jj. „ 4ггадЕ е д2 („ 4тгР\ 1п г.
V',E-gr.dd.v£:=lrir + ?^(E+—). (2.5)
Если среда пространственно однородна, то graddiv£ = 0
вследствие (2.1в). Эффект насыщения активных молекул несколько
осложняет дело, поскольку вызываемая им неоднородность поля
приводит к неоднородности среды. Однако квантовая электроника
оперирует с квазиоптическими пучками вида
E{r, t) = E0(r, t) ехр [ - i{ut - kz)l
(2.6)
P(r, t) = P0{r, t) exp [ - z(wt - kz)].
Комплексная амплитуда является медленной функцией координат
и времени, так что формулы (2.6) описывают
квазимонохроматический волновой пучок ограниченного, но большого по сравнению
с длиной волны сечения, распространяющийся в направлении оси
z. Медленность здесь понимается в том смысле, что характерное
время изменения амплитуды и фазы существенно превышает
период колебаний, а характерный масштаб пространственной
структуры пучка намного больше длины волны. Из последнего
обстоятельства и из поперечности волны следует неравенство
graddiv.E< S72E.
Возможность пренебрежения членом graxidivi? в волновом
уравнении, описывающем распостранение квазиоптического пучка в

слабо нелинейной среде, была показана в работах [205, 206].
Предположенная выше медленность изменения амплитуды и фазы
волны.
1 дЕ0
Е0 dt
<ш,
1 дЕ0
Е0 dii
<к,
дает возможность, производя дифференцирование, пренебречь
рядом членов:
V2E
к2Е0 + 2ik
ехр[ — i(cjt — kz)],
д2Е
dt2
falEo-
BE
-щ- и —iuEo exp [ — i(ut — kz)],
i - (cj2E0 + 2iu^-\ exp [ - i{ut - kz)],
d2P
-j-p x, -w2F0exp [ - i(ut - kz)].
(2.7)
Подставляя (2.7) в волновое уравнение (2.5), приходим к
укороченному уравнению, известному под названием параболического:
Наиболее простой вид оно приобретает в одномерном случае, когда
среду и поле можно считать однородными в плоскости,
перпендикулярной к направлению распространения волны, и справедлив
закон дисперсии и = dk:
дЕ0 1 дЕ0 2тга „ п . и п
dz d dt de de
(2.9)
Здесь d — скорость света в среде.
Довольно часто в теории лазеров отличие е от единицы не
принимается во внимание. Из уравнения (2.9) видно, что обобщение
на случай е ф 1 осуществляется заменами
->• а/е, Р0 ->• Р0/е.
(2.10)
Вид волнового уравнения сохраняется и в том случае, если
активные молекулы обладают магнитодипольным переходом. В (2.5)
следует лишь заменить ЕнаЯиРнаМи помнить, что
намагниченность не зависит от е.

2.1.2. Модовый подход. Разложение поля по собственным
функциям (модам) резонатора (см., например, [207, 208]) преследует
цель свести (2.1) к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений. Порядок получающейся системы, строго говоря,
бесконечен. Однако практически всегда можно ограничиться конечным
числом уравнений, поскольку конечен набор возбуждающихся мод.
Если собственные значения частот и собственные функции
резонатора известны, задача не вызывает принципиальных
затруднений. Но обычно задачу на собственные значения удается
решить не для реального, а для некоторого близкого к нему
идеального резонатора. В случае замкнутой полости идеализация
состоит в полном пренебрежении потерями. Это выражается в
замене реальных граничных условий на металлизированных (S\) и
открытых (5г) участках поверхности стенок идеальными:
(п х E)Sl = 0, (п х Н)8г = 0. (2.11)
Здесь п — единичный вектор нормали к поверхности.
Проводимость помещенной в резонатор среды, а значит потери в ней
считаются отсутствующими.
Произвольное поле в резонаторе представляется суперпозицией
собственных функций
E(r,t) = J2^(t)Ex(r), H(r,t) = J2hx{t)Hx(r). (2.12)
Системы функций Е\(г) и Н\(г) ортогональны и удовлетворяют
условиям нормировки:
fExEfldV = Vc5Xll, j HxH^dV = Vc8Xfl. (2.13)
Сами же функции идеального резонатора удовлетворяют
уравнениям
V2Ex + k2xEx = 0, V2Hy + klHx = 0, (2.14)
а зависящие от времени коэффициенты разложения —
уравнениям
■jjT + wcXe* = °' ~^Г + <А^ = 0- (2-15)
Последние колеблются по гармоническому закону с частотами
wcA = fc>c Воспользовавшись этим, нетрудно получить из (2.1)
еще пару соотношений, связывающих собственные функции:
rotEA = ifaHx, rot Яд = -ifoEx. (2.16)
Перейдем к рассмотрению свободных колебаний в реальном
резонаторе. В отсутствие значительных объемных (омических)
потерь поле в нем можно аппроксимировать рядами (2.12) по
функциям идеального резонатора. Специфика, обусловленная отличием

граничных условий от (2.11), проявится при разложении других
функций. Чтобы найти разложение rot Е, воспользуемся
векторным тождеством
div(ExiotEx) = mtE iotEx-ETotTotEx = ik\H\ iot E-klEE\.
Его интегрирование по объему с последующим применением
теоремы Гаусса приводит к равенству
f п(Е х Нх) dS = f HxdV + iVckxex.
s v
Учтя, что вклад в поверхностный интеграл вносят лишь
металлизированные участки границы, получаем
rotЕ = -^^Н* [Н*rotEdV =
•с J
= J2Hx\-ikxex + yJ(nxE)Hxds\. (2.17)
Аналогичным образом убеждаемся в справедливости формулы
rot Н = ^ Е* \ik\h\ + ^- [{п х Н)ЕХ dS . (2.18)
При переходе к идеальному резонатору поверхностные интегралы
в (2.17) и (2.18) обращаются в нуль, поскольку справедливы
граничные условия (2.11).
Подставив (2.12), (2.17) и (2.18) в уравнения (2.1) и прибегнув
к условиям (2.13), получаем систему уравнений:
dc\ с Г
— + 4тгстел - ickxhx = — 1[пхН)Ех dS,
°s2
dhx с Г (2-19>
— - гскхех = -— (пх Е)НХ dS.
Далее, дифференцируя первое из них по времени, исключаем с
помощью второго функцию dh\/dt и приходим к уравнению
d е\ de\ 2»2
__ + 4^— + с*ЛеЛ =
= -i ^ J(n х Е)Нл dS + у jt J(n х Н)ЕХ dS. (2.20)
С St. s2

Преобразуем интеграл по поверхности S\, на которой выполняются
импедансные граничные условия типа условий Леонтовича [209]:
п х Е = ZH, (2.21)
Через Z обозначен поверхностный импеданс, равный для
металла (ц/е)1!2. Записав поле Н в виде ряда (2.12), подставим
(2.21) в (2.20). С точностью до несущественных в данном случае
малых членов из (2.19) следует h\ = —(i/ck\) re\/dt и в
результате
Og-flnxB)HxU-%S£(i£/iyws). (2.22)
Слагаемое правой части (2.22) с ц = А дает затухание свободных
колебаний А-й моды, обусловленное поглощением в стенках
резонатора. Остальные слагаемые имеют смысл вынуждающих сил,
действующих на моду со стороны всех других мод. Подобная связь
мод через поглощающие границы явилась следствием
использования системы собственных функций идеального резонатора для
разложения поля в реальном резонаторе.
Линейная связь между модами реального резонатора
отсутствует, если базисные функции обладают свойством
ортогональности на стенках:
fHMHxdS = I6Xll. (2.23)
St.
Условию (2.23) удовлетворяют, например, моды прямоугольного
резонатора. В отсутствие ортогональности развязыванию
уравнений (2.20) способствует несовпадение собственных частот. Если
частотный интервал между модами превышает ширину
резонансной кривой, взаимодействие можно не принимать во внимание.
Указанные обстоятельства позволяют оставить в (2.22) только одно
слагаемое с /х = А. Когда связь между модами значительна, это
означает неадекватность базисной системы функций
рассматриваемому резонатору. Величина
= Ъкх
Ws Zf\Hx\2dS
Si
представляет собой добротность резонатора, обусловленную
поглощением в его стенках. С ее помощью преобразуем правую часть
соотношения (2.22) в (<jJc\/Qs\) de\/dt.
Совершенно аналогично удается распорядиться интегралом по
поверхности 5г, входящим в уравнение (2.20), и записать
с d ft mr, .с wcA dex
-vcdtJ(nxH)E>dS=o;-dT-
S2

Величина Qe — добротность связи — характеризует потери
резонатора, обусловленные излучением через отверстия в его стенках.
Остается ввести понятие добротности, соответствующей
объемным потерям в заполняющей среде,
47Г<Т
а также нагруженной добротности
Q = i —л т (2-24)
Q71+Q71 + QZ1 ^ ;
и переписать уравнение (2.20) в форме
Его решения — это колебания, затухающие со скоростью
"-55- (2-26)
Чтобы получить уравнение, описывающее вынужденные
колебания, возбуждаемые в резонаторе активной средой, следует также
действовать по изложенной схеме. С помощью разложений (2.12),
(2.17) и (2.18) уравнения (2.1) приводятся к виду
d2e> WcA dex 2 _ 4тг Г d?P
-dF+o:ir+u^--vj -d*Exdv- (2-27)
Задача о возбуждении открытых резонаторов ставится
несколько иначе [210]. Специфика проявляется в граничных условиях,
которые задаются не на замкнутой поверхности, а только на
отражающих участках, т. е. зеркалах. К ним добавляются условия
излучения, регламентирующие поле на бесконечности.
Допустимой идеализацией при нахождении собственных функций
является пренебрежение потерями на зеркалах. Излучением из
пространства между зеркалами пренебречь нельзя принципиально,
поскольку с ним связано разрежение спектра мод. По этой причине
все собственные типы колебаний оказываются затухающими и по
затуханию подразделяются на две группы. Относительно
малочисленную группу образуют слабозатухающие моды,
локализованные между зеркалами. Они представляют наибольший интерес и
в разложении поля должны быть выделены:
я = Х>>(0я>И + я«*
атр-
ЧлеН .Edamp представляет группу сильно затухающих мод, и в
дальнейшем этот континуум может быть опущен.
Действуя в основном так же, как и в случае объемного
резонатора, но помня, что интегрирование распространяется только на

поверхность Si, а радиационное затухание (дифракционные
потери) учитывается комплексностью собственных частот, приходим
снова к уравнению (2.27). Через ис\ обозначена действительная
часть собственной частоты, тогда как ее мнимая часть включена
в дифракционную добротность Qa\Kt- Нагруженная добротность
открытого резонатора складывается из трех частей,
характеризующих дифракционные потери, объемные потери и потери на
зеркалах. Последние, помимо поглощения в материале зеркала,
включают также вывод излучения для его полезного
использования. Развязывание уравнений возможно потому, что моды
открытых резонаторов, имеющие разную поперечную структуру
(поперечные моды), удовлетворяют условию ортогональности на
зеркалах, а моды, отличающиеся числом полуволн между зеркалами
(продольные или аксиальные моды), удалены друг от друга по
частоте.
При выводе уравнения (2.27) были приняты во внимание
поправки к собственным значениям частоты идеального резонатора.
Поправок к собственным функциям в этом приближении нет.
Поскольку потери в резонаторе малы, а возбуждающие
источники не слишком интенсивны, в уравнении (2.27) удается
выделить малый параметр у, = u/Q и представить уравнение в виде
Его решениями являются близкие к гармоническим колебания с
медленно меняющимися амплитудой и фазой [211, 212]:
ел = \[Fx{t) exp(-zu;t) + FA* (t) exp(zurt)]- (2.29)
Подставляя (2.29) в (2.27), пренебрегая малыми членами порядка
\i и проводя далее усреднение по периоду колебаний Г = 2п/ш,
приходим к укороченным уравнениям
dF\
~^ + [к + гЫ ~ u)]F\ = 4*гыРх. (2.30)
Комплексная амплитуда m-й компоненты поляризации введена
посредством равенства
— J РЕХdV = Px(t)exp(-zwt) + Px(t)exp(iwt). (2.31)
Опорная частота или, как ее иногда называют, "частота
вращающейся волны" и>, пока остается неопределенной. При ее выборе
следует исходить из специфики конкретной задачи. Необходимо
лишь иметь в виду обязательное требование
|w - wc>| «С и.

2.1.3. Уравнения поля в кольцевом резонаторе. В
предыдущем разделе речь шла о резонаторах, модами которых являются
стоячие волны. К их числу относятся объемные резонаторы и
открытые двухзеркальные резонаторы типа Фабри-Перо. Но
кольцевые резонаторы, используемые на практике не менее часто, имеют
своими модами бегущие волны с противоположными
направлениями распространения. Это обстоятельство привносит свою
специфику, связанную с вырождением мод (встречных волн) по частоте.
Благодаря этому становится существенным слабое перерассеяние
волн друг в друга на микронеоднородностях оптических
элементов резонатора или же на предметах, расположенных на пути луча
вне резонатора. Ясно, что здесь требуется более деликатный учет
связи между встречными волнами, чем в случае, когда модами
являются стоячие волны.
Вернемся к (2.5) и, проведя усреднение по времени, получим в
одномерном случае укороченное уравнение:
Q2p / dF\
'YY = -4я-»и;о-Р - el u2F + 2iw-^— J - 4ttcj2P. (2.32)
Теперь представим переменные в виде суперпозиции волн,
бегущих во встречных направлениях:
F = Fieikz + F_!e-,fcz, Р = iV'fcz + P^e-ikz. (2.33)
При подстановке (2.33) в (2.32) примем во внимание малость
изменения амплитуды поля на периметре высокодобротного
резонатора и, осуществив усреднение по пространственной координате,
получим
с2'
dt \ 2iu
vSudz\
n /
L
= 2niwP±1 + F^^-lJ[e + i^f\ e**k* dz. (2.34)
о
Эффективная длина резонатора определяется формулой
L' = L + LB(e-l), (2.35)
в которой L — длина резонатора, LB — длина активного
элемента. Волновое число А; принадлежит дискретному ряду
собственных значений, определяемых условием цикличности F(z+L,t) =
= F(z, t). Таким образом, ckL/L' = ис — собственное значение
частоты резонатора. Заметим далее, что величины
L L
УС
= |/<^, & = !jLf(e + it£)e»*-d, (2.36)

имеют смысл коэффициента потерь и коэффициентов связи мод.
Теперь можно переписать (2.34) в более компактном виде:
dF+i i
-^ + [х - i(w - Wc)]F±i = 2жгиР±1 + ^TFTi• (2-37)
Основной вклад в £± обусловлен пространственными неоднород-
ностями с размерами порядка длины волны. Неоднородности
диэлектрической проницаемости и проводимости вносят в
рассеянные на них волны фазовые сдвиги, отличающиеся на тг/2.
Разность фаз самих коэффициентов связи £+ и £_ равна нулю в
первом случае и 7г во втором. Имея в виду эти два случая, иногда
говорят о комплексно-сопряженной и антикомплексно-сопряжен-
ной связи [160, 213-215].
Очевидное обобщение уравнений (2.37) расширяет область
применимости на случай, когда условия для встречных направлений
не одинаковы. Скажем, внесение внутрь резонатора ячейки Фа-
радея в комбинации с поляризаторами приводит к снятию
вырождения по потерям (амплитудная невзаимность) и по фазовым
скоростям (фазовая невзаимость) волн. К невзаимности
приводит и вращение резонатора относительно оси, перпендикулярной
его плоскости. Поэтому в уравнениях появляются два
коэффициента потерь, х+ и х_, а также две собственные частоты, и>+, и~,
и вместо (2.37) имеем
^ + [х± - (ы - w*)]F±1 = 2шшР±1 + ^FT1. (2.38)
2.2. Материальные уравнения
Естественное упрощение описания среды, взаимодейстующей
с полем, основывается на возможности выделения динамической
системы с конечным числом степеней свободы. Ее образуют лишь
те молекулы, взаимодействие которых с полем носит резонансный
характер (активные молекулы), а из энергетического спектра этих
молекул выделены только те уровни, между которыми
индуцируются переходы. Воздействие на динамическую систему со стороны
оставшегося окружения (термостата) рассматривается, как
возмущение, стремящееся установить в ней равновесное состояние.
С точки зрения квантовой механики взаимодействующая с
термостатом динамическая система находится в смешанном
состоянии. Наиболее адекватен задаче ее описания формализм матрицы
плотности. Поляризация среды выражается через матрицу
плотности соотношением
Суммирование распространяется на все молекулы в пределах
физически бесконечно малого объема AV. Суммирование можно

трактовать как усреднение Sp(djPj) по такому объему и,
рассматривая матрицу плотности (статистический оператор) p(t,r) как
непрерывную функцию координат, записать
P = NaBp{dp). (2.39)
Здесь через Na обозначено число молекул в единице объема.
Произведение pN3 имеет смысл объемной плотности статистического
оператора.
2.2.1. Квантовые кинетические уравнения. Уравнения для
элементов матрицы плотности, в которых, как следствие
усреднения по состояниям термостата, присутствуют релаксационные
члены, иногда называют квантовыми кинетическими
уравнениями. Они имеют вид (см., например, [3, 5, 6]):
dP™ , , . . .ттп _ _ i
dt
+ (Ттп + иО™п)ршп = -Е ^^(^mqPqn — ^gnPmg))
9
Г"1 + /Д^тпдРтптп ~ WqmPqq) = тЕ ^JAmqPqjn ~ dqmPmq)-
9 Я
(2.40)
Следует иметь в виду также условия нормировки и эрмитовости
матрицы плотности
X) Рттп = 1, Ршп = Рпт • (2-41)
Использованные обозначения имеют следующий смысл: ртп —
элемент матрицы плотности, dmn — элемент матрицы дипольных
моментов, 7mn — скорость релаксации недиагонального элемента
матрицы плотности, гитп — вероятность релаксационного
перехода между энергетическими уровнями, и™п — частота перехода,
Е — напряженность электрической компоненты поля излучения
(полагая переход электродипольным, рассматриваем
взаимодействие молекул только с этой компонентой).
Представим поле суммой квазимонохроматических
составляющих, частоты которых ыш близки к частотам переходов и)™п:
Е& r) = \Y1 [F™(*' г> ™P(-«-W) + F^n{t, г) exp(iawt)].
(2.42)
Элементы матрицы плотности молекулы, находящейся в таком
поле, можно представить как
Pmn{t) = <rmn{t) exp(-iwmnt), (2.43)
если только выполнены неравенства
-1Г- < ы, Tmn < ы. (2.44)

Комплексная амплитуда матричного элемента <ттп является
медленной функцией времени. Подставляя (2.42) и (2.43) в (2.40) и
произведя затем усреднение по периоду колебаний, приходим к
укороченным уравнениям:
тП = -[Ттп - «Кп - Ы™П)]<Гтп +
dt
Ч^тт
in-
ч
Wmq^mm ~ Wqm<?qq +
' пъ / Л тЯ rnq^qn ~ "gn-** qn^mqji
» 1
+^z(dmqFmqaqm — dqmFqmumq) . (2.45)
Переменные и коэффициенты системы (2.45) зависят от двух
индексов и они, вообще говоря, чувствительны к тому, в какой
последовательности эти индексы записаны: итп = <r*m1 dmn = d^m,
Fmn = F*m, ытп = -ыпт, wmn = -шптехр(?ш>тп/квТ) и лишь
Ттп = Тпт-
2.2.2. Двухуровневая среда. Последующее упрощение
материальных уравнений (2.45) основывается на том, что реально
приходится учитывать не все уровни в энергетическом спектре
молекулы. В самом простом случае в расчет принимаются переходы
только между двумя энергетическими уровнями. Система
уравнений (2.45) трансформируется при этом в систему:
-^- = ~[Т21 ~ *(w - w0)]a2i - ^d21F21(a22 - <гц),
00*11 i
-£- = -W12O11 + w21a22 + ^z(d12F12a21 - d21F21a12), (2.46)
d(r22 i
—-— = wi2aii — w2\o22 — -rz;{di2F12<T2i — d21F2i<Ti2).
Вместо двух параметров wmn можно оперировать одним временем
релаксации Т± = c™m/wmn [6], где CTq1"1 — равновесная матрица.
Несколько изменив обозначения: D = 022—оц, 721 = 7х> 021 = о,
учтя (2.41) и опустив излишние в данном случае индексы перехода,
вместо (2.46) получаем систему второго порядка:
Л + ha -»(« - wb)]o- = ~2hdFD'
an • <2'47)
^p+ T^{D - D^) = -kd*F*a - dFc*).
где D'0' — ненасыщенное значение D, соответствующее F = 0.

2.2.3. Трехуровневая среда — когерентная накачка.
Добавление третьего уровня требует специализации уравнений. Поэтому
необходима специализация уравнений применительно к
конкретной ситуации. Обратимся к схеме, изображенной на рис. 1.2 б, для
которой (2.45) сводится к уравнениям:
^а32 . г .,. 32м
—£- + [732 ~ 4^32 - и0 )]а32 =
2
= Гг[^31^31<Т12 — ^32-^32(033 — O22)],
^аз1 i Г •/ 31м
-£- + LT31 - 4^31 - w0 )]сг31 =
2
= ^z[t'31-F,3l(o'll — ^Зз) + d32-f320"2l]»
^°21 . г ./ 21м
—£- + [721 ~ *(W31 ~ W32 - W0 )]°21 =
2
= тгг №3-^23031 — d31F31a23), . .
—fa— + (™31 + ^32)^33 - W23022 - ^13^11 =
i
= ^r(d3i-f,3i<''i3 — di3Fi3<T3i+
+d32iP32023 — d23-f23032)>
-fa— + {W23 + W2l)<T22 - ^32^33 - ^12011 =
i
— ^г^гз-Р'гз^зг — «'зг-Р'зг^гз)»
Oil + 022 + 033 = 1-
Специфика лазеров далекого ИК-диапазона, которые работают
именно по этой схеме, заключается в том, что fiu>3i ^ к^Т,
тогда как fiu>32 -С ЛвГ и, следовательно, wm\ > wim, «'зг и ™з-
Учтя это, воспользовавшись условием нормировки и выразив
диагональные матричные элементы через D = стзз — °22j перепишем
систему (2.48) в несколько более простой форме:
+ [732 - «(^32 - ЦР)]а32 - ^(^31-^31012 - ^32^32^>),
+ [731 ~ i(^3i - Цр)]а31 =
<^31 , r_ _.Л 31
dt
2
= ^r[d3lF3i(l - 2D - З022)] + ^32^32<Г21,

"021 г •/ 21\т
—Г- + [721 - 4^31 - ^32 - W0 )]<721 =
at
I
= ^(^23-^23^31 — *feiF3i<T23)>
-j- + (™31 + 2^32)i> + (™31 - W2l)<T-n = ,~ 4_v
2
= ^r(d3iF3i<Ti3 — di3-F'i3<T3i+
+2d32F32^23 — 2d23-^23^32)i
do'22 ^
— 1032-D + W21<T22 = ^Z (d23-F23<732 ~ d32F32<723).
Вывод уравнений мазера, когда все Нштп -С к&Т, и лазера,
когда hu>mn ^ квТ, можно предложить читателю в качестве
упражнения.
Если коэффициенты системы дифференциальных уравнений
типа (2.49) различаются по порядку величины, появляется
возможность упрощения этих уравнений [211]. На эту возможность
было обращено внимание в работе [216], посвященной проблеме
устойчивости молекулярного генератора. Отсюда и термин
"метод Хохлова", встречающийся в отечественной научной литературе
[217]. На Западе историю вопроса ведут от Хакена [218,219] и
говорят о методе адиабатического исключения переменных [220-222].
Подробнее об условиях применимости метода будет сказано в § 3.1
в связи с одномодовыми моделями лазера. Суть же дела состоит в
следующем.
Когда некоторые из коэффициентов много больше остальных,
то переменные также неравноценны. Быстро релаксирующие
переменные способны безынерционно реагировать на изменения в
состоянии системы, тогда как медленные такой способностью не
обладают. Процедура адиабатического исключения быстрых
переменных состоит в том, что производные от них полагаются
равными нулю и часть системы, превратившаяся в алгебраическую,
разрешается относительно этих переменных.
В рассматриваемой задаче быстрыми переменными могут быть
только недиагональные элементы матрицы плотности, поскольку
Tmn > wmn [223]. Предположим, что узь 721 > 732j fmn, т.е.
быстро разрушается когерентность на переходах 3—^1 и 2—^1. Но,
вообще говоря, 7mi должны превышать скорости любых движений
в системе, в том числе и раби-осцилляций с частотами ujr = dF/h
[224]. При выполнении всего набора неравенств
731, 721 > 732, Wmn, "В. (2.50)
можно считать da^i/dt = Aa^yjAt = 0 и, адиабатически исключив

031 и Ст21 из системы (2.49), получить систему третьего порядка:
da.
32
dt
\d3iF3i|2 ., з2Ч1 * j г т-i
732 + —TZ2 Hw32 - W0 И CT32 - -^Z«32* 32^»,
—тг~ — W32D — w-ixo-ii + гг^гз^гзОзг — d32Fz2^23), (2.51)
dD ( , Idai^ih^ ,'|«faF3i|2,
,( Z\d3iF3i\*\ .•',.«, . v ч
+1 w2\ — WZ\ ^2 / °22 "■" Г1°32* 32°23 — «23-Г 23^32,) ■
Если наложить дополнительно более жесткое условие отсутствия
насыщения по переходу накачки
Из1^31/^|2 < 731^31, (2.52)
первые два уравнения еще больше упрощаются:
^°32 г ./ 32м * . п г>
-"Г- = -L732 - Hw32 - W0 JJff32 - ^к"32* 32^»,
^ = -{W31 + 2w32)D + («* - w31)a22 + ^^+ (2-53)
i
+ г(°32^32023 — ^23^23^32)-
Равенство скоростей релаксации населенностей (v)2i = ^31)1
означает, что система (2.53) не содержит огг» т-е. становится
замкнутой.
2.2.4. Трех- и четырехуровневые среды; переход н
эквивалентному двухуровневому описанию. Все известные способы
создания инверсии населенностей, кроме лазерной накачки,
базируются на некогерентных процессах, что позволяет прибегнуть к
вероятностному их описанию. Так обстоит дело в трехуровневой
среде типа рубина при накачке светом газоразрядной лампы (см.
рис. 1.3). Большие, по сравнению с к^Т, расстояния между
уровнями позволяют пренебречь релаксационными переходами снизу
вверх. Поскольку лазерными уровнями в эхом случае служат 1 и
2, то вместо (2.48) имеем
-^ + [721 ~ *(w - Ц^)]ст21 = 2^^21^21(^11 - ст22),
= WpUmp(CTii - стзз) - (W31 + ^32)^33, (2-54)
da33
dt
d&22 i
—— = — W21O22 + U>32<?33 + -^ZA&ixF 2\°\2 — ^12^12021))

—ii = W21<722 + ^31^33 - WpUmp(oii - <г3з) +
at
i
+-zr{d\2F\2<J2\ ~ ^2lF2l<Ti2),
где Wpump = 1^31^3112/(2Я2731) — вероятность перехода между
уровнями 1 и 3, индуцируемого накачкой.
Данная модель сведется к эквивалентной двухуровневой, если
возможно адиабатическое исключение озз- Необходимым
условием в данном случае является высокая скорость безызлучатель-
ного распада третьего уровня. Бели ориентироваться на рубин,
которому свойственен также высокий квантовый выход люмини-
сценции, то
W32 > Wml, Wpump.
Это позволяет считать d<r^/dt = 0 и получить
W
<гзз « ^^<Г11 < <щ, (2.55)
™32
что означает слабую населенность уровня 3. Подставив (2.55)
в другие уравнения и пользуясь нормировочным соотношением
аи + 022 ^ 1, сводим (2.54) к следующему:
-^ + Ь± - г(и - ug1)]^ = —^d2xF2iD,
— +Т||(£> - 1>(0)) = -^(d12Fi2a21 - d2iF2i<t12).
Скорость релаксации инверсии
(2.56)
определяется не только распадом верхнего уровня, но и накачкой.
Инверсия в отсутствие насыщения дается формулой
^(О) = ТУршнрГ1-1 (2 58)
Обратимся теперь к четырехуровневой схеме, свойственной нео-
димовым лазерам (см. рис. 1.4). Прибегнув к той же
аргументации, что и выше, запишем
W
* ''pump,
044 ~ оц.
™43
Изменения населенностей верхнего и нижнего лазерных уровней

(2.59)
происходят в соответствии с уравнениями:
-^ = WpumpOii - {W32 + ^31)0-33+
+^г(^32-'?,32ст23 — С^З-Р^З0^))
&0-2.2 H^pump«J42 .
—— = (7ц + И)32033 — ^21<Т22—
<Й Ш4З
—^(«'зг-^'зг^гз — ^гз-Р'гзО'зг),
при условии нормировки
011 + °22 + ^33 = 1-
Если скорость распада нижнего лазерного уровня намного
превышает скорости всех процессов, ведущих к его заселению, можно
считать Ст22 •С о\\\ озз и D32 = D ш стзз- Это упрощает дело и в
целом система уравнений лазера запишется в виде
^2 = _[tl _ .(w _ w32)]ff32 _ JLd^J^D,
"jT = -7||(-D - £>(0)) - rr(d23jF,230'32 - <*32 F32CT23).
В данном случае эффективная скорость релаксации
(2.60)
T|| = ^(l + WpumpTi), (2.61)
а инверсия в отсутствие генерации равна
в,0)=ттет (2-62)
В трехуровневой среде, как это видно из (2.58), инверсия населен-
ностей достигается при условии WpUmp > Т^1, которому
соответствует более чем двукратное превышение 7|| над \/Т\. В
четырехуровневой среде для инверсии достаточно WpUmp > 0 и лазерная
генерация возможна при условиях WpumpTi -С 1 и 7ц w 1/Ti.
Сопоставление систем (2.47), (2.56) и (2.60) показывает, что
отличие между ними выражается лишь в коэффициенте при
последнем члене уравнения для разности диагональных элементов.
В трехуровневой среде, когда нижний лазерный уровень
является основным, испускание фотона сопровождается, как и в
двухуровневой среде, изменением инверсии на две единицы. В
четырехуровневой среде, где этот уровень приподнят над основным и

лабилен, излучению фотона отвечает изменение инверсии на
единицу. Введя коэффициент /За, равный единице для
четырехуровневой среды и двум для трехуровневой, запишем уравнения
в форме, объединяющей все рассмотренные случаи:
— = -[Тх - i(u - и0)]а - T^dFD,
АП (263)
— = -7,|(Г> - Г>(°>) - ^2M(FV - Fo*).
Предполагается, что матрица дипольных моментов действительна,
т. е. dmn = dnm = d.
Система (2.63) может рассматриваться как обобщение
известных уравнений, полученных Блохом в теории парамагнитного
резонанса [225], на случай двухуровневой системы произвольной
природы. Разность населенностей и поляризация имеют в этой
интерпретации смысл продольной и поперечной компонент
некоторого вектора (энергетического спина, обобщенного вектора Блоха
[223-226]) в конфигурационном пространстве.
2.2.5. Материальные уравнения ансамбля движущихся
атомов. Движение сказывается на форме материальных уравнений
при условии, что атомы, не меняя состояния, пробегают
расстояния, сравнимые с длиной волны. Это условие не выполняется в
конденсированных средах. Однако длина свободного пробега
атомов газа способна превышать длину волны и тогда необходим учет
пространственной дисперсии.
Матрица плотности движущегося атома является функцией
времени, координат и скорости. Если считать, что взаимодействие с
электромагнитным полем не меняет скорости, то
где U — скорость движения атома. Это операторное уравнение
трансформируется в систему укороченных уравнений для
элементов матрицы плотности [227]:
-^ + UVa = -frj. - г(и - Wo)']ff - 2^ F(aa - <ть),
^ + UVaa = -waaa - £_ [F*o - Fa*) + Wa, (2.65)
dot, id
-^ + UVob = -wb<Tb + wab(Ta + i^{F*<j - Fa*) + Wb.
Здесь a, b — индексы верхнего и нижнего лазерных уровней,
wa,b — вероятности распада состояний, wab — вероятность
спонтанного перехода с верхнего на нижний лазерный уровень.

В рассматриваемой модели активной среды оба лазерных
уровня предполагаются возбужденными. Процесс накачки,
переводящий атомы из основного в эти состояния, представлен членами
Watb, имеющими смысл вероятности возбуждения. Относительная
населенность основного состояния остается близкой к единице.
Если считать, что акт возбуждения не меняет функции
распределения атомов по скоростям h(U), то
Wj = WjAj{t, r)h{U). (2.66)
Параметр Aj{t, г), характеризующий темп накачки на j-й уровень,
может обладать медленной зависимостью от координат и времени.
При написании уравнений (2.65) использовано предположение
об отсутствии выделенного направления в среде. Это означает, что
взаимодействие с излучением в силу слабого насыщения среды
или быстрой ориентационной реалаксации не деформирует
функцию распределения атомов по ориентациям дипольного момента.
Поэтому средняя энергия взамодействия представима в форме dF,
причем d2 = |d|2/3.
Пространственная неоднородность элементов матрицы
плотности, во всяком случае ее мелкомасштабная компонента,
обусловлена взаимодействием газа с полем в форме волнового пучка.
Некоторое упрощение уравнений (2.65) достигается за счет того, что
поперечная структура пучка крупнее продольной: к±_ ~Э> kz.
При характерном масштабе неоднородности, равном 1/fc,
UV<tj/wj<tj и Uk/wj.
Заменяя U его наиболее вероятным значением Uq, получаем
критерий малости члена UVaj в виде к -С Wj/Uq- Задавшись
типичными для атомарных газов значениями: Wj и 108 с-1; Uq и
и 105 см/с, приходим к выводу, что градиентные члены
уравнений (2.65) имеет смысл удерживать при к > 103 см-1. Волновые
числа, соответствующие инфракрасному и, тем более, оптическому
диапазонам, этому критерию удовлетворяют. Поперечные
волновые числа вне области фокусировки пучков обычно не превышают
102 см-1, благодаря чему UVaj « Udaj/dz.
Введя вместо аа и <т\, новые переменные D = <та — аъ и 5 =
= <та + (ть, запишем систему (2.65) в виде
% + Ud£ = -b±-i(u-u0)]*-£hFD, (2.67а)
dD rTdD 1,
-5r + U-^ = --(Wa + Wb + wab)D-
-Uwa-Wb + Wab)S - J d(F* a - Fa*) + Wa-Wb, (2.676)
2 n

dS „0S 1
--(tDa-IBb-tDobJD + W. + Wi. (2.67b)
В случае wi = wa+wab переменная S выпадает из (2.676) и первые
два уравнения образуют замкнутую систему:
да г,д<т г ./ .. t ,„„
-dl + U- = -b±-i(u-uo)]e--dFD,
+ и-д- = -Т||£> ~ U{F*o - Fa*) + Wa- Wb,
(2.68)
dt dz '" ft"
представляющую двухуровневую модель активной среды. В
данном случае 7|| = Wb = wa + wab. Поскольку у± > (wa + гиь)/2 [228]
(знак равенства отвечает естественной ширине линии), то
7 = 7||/7± < 2щ/(™а + Wb) < 2.
Если разложение проводить по базису бегущих волн
оо оо
F^^Fx ехр(г"А Akz), oj = ^ oj\ ехр(г'Л Ahz), (2.69)
то уравнения (2.67), после выделения членов с одинаковой
координатной зависимостью, сводятся к обыкновенным
дифференциальным уравнениям:
1 "1
°Х f [г(А АШ - и + и0) + у±]ах = -\rz J] FVDX-V,
d£x
dt
dt
+
iXAkU+- (wa + Wb + wab)
Dx =
= -g (ш« -Щ + Wab)S\-
id
-T E (F>"+* " F"<->) + W** ~ ^ьл,
(2.70)
Й5л
dt
iX AkU + -(wa + Wb - wab) 5a =
= -T{Wa-Wb- Wab)Dx + Wa\ + Wb\.
Здесь Ak — шаг дискретности в спектре волновых чисел,
равный ж/L для резонатора Фабри-Перо и 2i:/L — для кольцевого
резонатора.

В предшествующем рассмотрении игнорировалось то
обстоятельство, что соударения между атомами газа меняют не только
внутреннее состояние, но также и скорости движения
соударяющихся частиц.
Соударения, таким образом, осуществляют процесс
спектральной кросс-релаксации, стремящейся устранить отклонения формы
неоднородной линии от равновесной. Для его описания в
уравнения динамики населенностей, должны быть введены члены,
имеющие вид интеграла столкновений (см. [31] и указанную там
литературу) :
/
[Гл-{U', U)<tj{U, z, t) - Г,(U, U')<tj{U\ z, t)] dU'. (2.71)
Здесь rj(U',U)dU' — вероятность того, что из интервала
скоростей U, U+dU атом в результате столкновения перейдет в интервал
U\ U' + dU', не изменив при этом своего состояния.
Ограничившись моделью сильных соударений, когда конечная
скорость атома после столкновения принимает любые значения
с вероятностью, определяемой доплеровским профилем, мы
сводим дело к двум кросс-релаксационным параметрам Га<ъ{и\ U) =
= rajbh(U), а интеграл столкновений (2.71) — к выражению
2Га'Ь
Ta,b(U)-h(U)J<Tajb(U')dU'
Наконец, пренебрегая отличием Га от Гь, остаемся с одним
параметром Г — Га = Л, и взамен системы (2.67) записываем
следующую систему уравнений:
да гт да г .. чл i ж__
-dl + U^ = -bL-i(u-u0)]a--dFD,
dS rdS 1, ч« 1,
-qT + U 0- = --{wa + wb - wab)S - -{wa -wb- wab)D -
-Г
S(U)-h{U)JS{U')dU'
dD rTdD 1, хтл 1,
¥ + ^ = 1к + Ш1 + Wab)D ~ 2 K
+ Wa + Wb. (2.72)
- Wb + Wab)S -
-r\D(U)-h(U)fD(U')dU'
--d{Fma-Fa') + Wa-Wb,
Уравнения, содержащие кросс-релаксационные члены,
применяются в силу их сложности, главным образом, при численном
моделировании процессов в лазерах [31].

2.3. Самосогласованная полуклассическая
система уравнений лазера
В предыдущих параграфах были по отдельности приведены
уравнения, описывающие поляризацию среды в заданном
электромагнитном поле и излучение, обеспечиваемое заданной
поляризацией среды. Объединяя уравнения, т.е. полагая, что поляризация,
являющаяся источником поля, в свою очередь, определяется этим
же полем, приходим к самосогласованной системе уравнений,
описывающих квантовый генератор. В общем виде указанная система
записывается как
4тг<г dE 1 д2 ,„ . „.
rotroti^-— ----(Е + 4«Р),
P = Na(Sp(dp)), (2.73)
Ее часто называют полуклассической или квазиклассической [229,
230], подчеркивая классический характер уравнений поля и
квантовый характер материальных уравнений.
Сузим задачу, полагая среду двухуровневой, спектрально
однородной и ориентационно упорядоченной. Последнее дает
возможность считать поле линейно поляризованным в направлении
ориентации дипольного момента перехода. Чтобы описать
распространение плоской волны в такой среде, обратимся к уравнению
(2.8). Если речь идет о неограниченной среде, то справедлив
закон дисперсии и = ск. В случае же кольцевого резонатора условие
цикличности
E(t,z) = E{t,z + L) (2.74)
определяет спектр собственных значений постоянной
распространения к\, которым отвечают собственные частоты резонатора исд =
= ск\. Под L в (2.74) понимается периметр резонатора.
Объединяя (2.9) с (2.63), и считая d || F, приходим к
скалярной модели лазера бегущей волны:
dF 8F
с-г- + —- + [к - i(u - b)c)]F = 2niwdNs<T, (2.75а)
oz ot
-Qj + Ы- *(w - u°)]° = ~indFD' (2-756)
^ + T||(D - ДМ) = -^diF-v - Fa*). (2.75b)

Самосогласованная система, полученная посредством
разложения поля по модам идеального многомодового резонатора, включает
в себя уравнения (2.30) и (2.63):
^ + [х - i(u - ucX)]Fx = 4mduNa±r f <тЕу(г) dV,
^ + [Tx - i(u-uo)]<r = -l^.DY,Ey(r)Fy, (2.76)
d-§ + T„(D - D™) = -^ E W° ~ МВД.
Эта система будет широко использоваться ниже при формулировке
конкретных моделей лазеров.

Глава 3
Одномодовые лазеры
Простейшие одномодовые модели играют особую роль в
динамической теории лазеров. Они обладают предельно низкой
размерностью и включают в рассмотрение лишь самую
фундаментальную и неустранимую нелинейность, сопутствующую процессу
взаимодействия поля и активной среды, проявление которой не
завуалировано взаимодействием мод, наличием дополнительных
нелинейных элементов или внешних управляющих сигналов.
Поведение одномодовых лазеров зависит от их принадлежности к
одному из динамических классов, определенных в п. 1.2.1.
3.1. Динамические модели
однородно уширенных лазеров
В дальнейшем будут часто использоваться уравнения,
записанные в безразмерной форме. Оправданием служит то, что с
переходом к этой форме удается "спрятать" практически все
коэффициенты, не определяемые на опыте. В то же время, нормировка
наблюдаемых имеет очень ясный физический смысл: амплитуда
поля нормируется на насыщающее значение, а инверсия — на
величину, соответствующую порогу генерации лазера.
3.1.1. Уравнения для квадратичных величин. Обратимся к
модели лазера, выражающейся уравнениями (2.75). Если потери
на отдельных элементах резонатора (зеркалах) малы и,
следовательно, на периметре нет участков с резким нарастанием поля,
можно считать dF/dz = 0. Введем безразмерные обозначения:
* т F &F(1 \"1/2 ™<*2л^
2ж1и<Р ( 2 \~1/2„ „ ™d2 А ,0ч ,„,.
>c=xi, 7« = 7i*\ А) = (w - изо)Ни Лс=(и-ис)/х.
Нормирующий множитель i удобнее всего выбирать соизмеримым
с характерным временным масштабом реализующегося в лазере
нестационарного процесса, и жесткая унификация здесь
нецелесообразна. Разнообразие вариантов требует индивидуального
подхода в каждом конкретном случае. Ниже в качестве нормирующих

множителей будут использоваться времена релаксации Ti, Тъ и Тс.
В обозначениях (3.1) уравнения принимают вид
— ~ikAcf = k{p-f),
•£ - гухЛор = Тх Ы - р), (3.2)
^ = ф-п-1(Гр+/р-)].
Комплексная форма уравнений наиболее компактна, но не
всегда удобна. Во многих случаях резонно обращаться к
действительным переменным, каковыми являются, например, реальные
и мнимые части /, р, либо их модули и аргументы. В качестве
действительных переменных могут фигурировать и квадратичные
величины:
m=\f\2, г = |р|2, *=^(/р- + Гр), ?=^(/pWp).
(3.3)
Эти переменные связаны между собой и с инверсией п пятью
уравнениями:
-^- = 2x(s - m), (3.4а)
ат
dlfl
— = %{А -n-s), (3.46)
dr
— = 2yx(ns - г), (3.4в)
ds
■j- = -(7J- + &)* + 7x A)c9 + Tf±.mn + kr, (3.4r)
•£ = -(Tx + *)q - Tx^ocS, (3.4д)
которые нетрудно получить из (3.2). Здесь Лос = (<*to — wc)/tx-
Уравнения (3.4) удобны, в частности, для исследования условий
перехода к скоростным уравнениям второго порядка.
3.1.2. Адиабатическое исключение поляризации; балансные
уравнения одноыодового лазера. Уравнения баланса инверсии N
и числа фотонов М можно написать, исходя из простых
соображений, основываясь на понятии вероятности перехода в единицу
времени:
^ = BMN - 2*М, ^ = т|| (iV(0) -N)- paBMN. (3.5)

Они отражают тот факт, что число фотонов в резонаторе
возрастает в результате индуцированных переходов со скоростью BMN
(В— коэффициент Эйнштейна, определенный по отношению к
полному числу фотонов в резонаторе) и убывает со скоростью 2хМ
из-за наличия потерь. На инверсию оказывают влияние
индуцированное испускание, уменьшающее N, а также релаксационные
процессы и накачка, под влиянием которых инверсия стремится
достигнуть равновесного значения N^°\ Уравнения (3.5) были
впервые опубликованы Статцем и Демарсом [231] и иногда
упоминаются в литературе под их именем.
Вероятностный способ написания уравнений баланса прост и
нагляден, однако он не дает информации о границе их
применимости. Ее можно получить, рассмотрев более общую систему (3.2)
или (3.4), откуда (3.5) следует как один из предельных случаев
[232-234].
Система (3.5) имеет в качестве переменных (с точностью до
обозначений) те же та и п, которые входят в число переменных
системы (3.4). Следовательно, переход к уравнениям баланса от
(3.4) заключается в пренебрежении производными dr/dr, ds/dr,
dq/dr с последующим исключением г, s, q из оставшихся двух
дифференциальных уравнений.
В общем случае возможность уменьшения числа
дифференциальных уравнений посредством адиабатического исключения
части переменных наступает, когда в фазовом пространстве системы
выделяется подпространство, в котором отсутствуют быстрые
движения [211]. Стартуя с произвольной начальной позиции,
изображающая точка быстро оказывается в этом подпространстве, а
затем движется по траектории, локализованной в его пределах. По
терминологии, использованной Оппо и Полити [235], это
подпространство именуется центральным множеством.
Движения в системе, описываемые уравнениями
/хж,- = Fi (г, у), у,- = Gj (г, у),
где ц — малый параметр, мало отличаются от движений в
предельной системе
Fi(x,y) = 0, ilj=Gj{z,y).
Таким образом, для адиабатического исключения переменных
требуется, прежде всего, наличие малого параметра перед
некоторыми производными. Это означает, что коэффициенты в
уравнениях резко различны по величине, а переменные делятся на
«быстрые» и «медленные». Быстрые переменные способны за
короткое время достигать квазистационарных значений,
определяемых мгновенными значениями медленных переменных,
отслеживая в дальнейшей эволюции изменения последних.
Применительно к уравнениям (3.4), в которых
адиабатическому исключению подлежат переменные г, s и д, можно считать, что

роль малого параметра играет величина, пропорциональная 1/у±,
и первая группа условий, обеспечивающих переход к балансным
уравнениям, выглядит как
7-L > 7||. 7-L > х- (3-6)
Эти неравенства выполняются в случае лазеров класса В. Так
для твердотельных лазеров типичны значения параметров 7|| =
= 103 - 104 с"1; 7± = Ю12 с"1; х = 108 с"1.
Локализация фазовых траекторий в пределах центрального
множества обеспечивается, согласно [211], отрицательностью
действительной части корней характеристического уравнения
dFi
dxi
dF3
-А
8X2
дх2
дхв
dFs
дхв
-А
= 0.
(3.7)
Применительно к подсистеме (3.4е)-(3.4д) характеристическое
уравнение (3.7) приобретает вид
А3 + 4А2 +(5 + Л1с- 2пх)А + 2(1 + Л2С) - Inlk = 0.
Заметим, что последнее уравнение содержит величину Тк = х/т/±,
которая, согласно (3.6), может претендовать на роль малого
параметра. Воспользовавшись критерием Рауса-Гурвица [236],
находим условие отрицательности Re А:
П<\(9
Ч-АЦ/х для^с>3. (3>8)
Будем считать, что критерии (3.6) и (3.8) выполнены. Поэтому
воспользуемся стандартной процедурой адиабатического
исключения переменных г, s и q из (3.4), полагая dr/dr = ds/dr =
= dq/dr = 0 и выражая эти переменные через т и п:
q = - AocS, г = ns,
тп (3-9)
S 1 + х(1-п) + ^(1 + х)-1-
Далее, подставляя эти соотношения в уравнения (3.4а), (3.46),
находим
dm
~d7
— 2km
\1 + й(
>c{l-n) + AUl +
dn /
- = 7||^-n-T
+ x(l-n) + 4gc(l + x)-ij'
mn
(3.10)

Ограничиваясь нулевым приближением по малому параметру х,
приходим к уравнениям баланса в их традиционной форме:
^Мттк"1)' (ЗЛ1а)
£=ЧА-"(ттж+1)]- (зш)
Временной масштаб процессов в этой системе определяется
параметрами: 7|| и **• Логично было бы выбрать i = (тн^)-1^2»
*f = (^/уц)1'2 и 7|| = (Тн/^)1^2- Наиболее часто, однако,
используются две другие возможности: i = х~х и i = уй1- Ниже
будем придерживаться последней, обозначив единственный
фундаментальный параметр х/7ц = G/2.
Неравенства (3.6) и (3.8) представляют собой необходимые
условия применимости уравнений баланса. Достаточными их
признать нельзя, поскольку малость параметра 1/tj. пока только
декларирована. Для того чтобы установить критерий малости,
продифференцируем первое из соотношений (3.11) по времени, а
затем подставим в него вместо dm/dr и dn/dr их значения
согласно (3.4) и учтем (3.6). Искомые условия эквивалентны
малости полученного выражения по сравнению с правой частью
уравнения (3.4). Почленное сравнение показывает, что к неравенствам
(3.6) добавляются еще два: \п\ ^. 1/й, т ^ 1/у.
Выполнение системы неравенств
7J. > 7||i 7± > *, 7J. > 7|р. Н < 71./* (3-12)
обеспечивает существование области медленных движений
системы (3.4), а более мягкое неравенство (3.8) — устойчивость этих
движений. Заметим, что согласно (3.1) неравенство т ^ 7х/7||
эквивалентно W ^. у±, причем W = (dF)2/h2y± имеет смысл
вероятности индуцированного перехода. Это же неравенство можно
трактовать и как wr ^. у±, где ur = dF/h — частота раби-
осцилляций.
Уравнения баланса можно получить непосредственно из (3.2),
полагая dp/dr = 0 и F = mlf2e*v. Адиабатическое исключение
поляризации с последующим переходом к действительным
переменным дает
^=Ст[п{1 + Л1Г1-1],
^ = А- n[m(l + Л2)"1 + 1], (3.13)
^ = |м0(1 + л2г1 + лс].

Отличие первых двух уравнений от (3.11) состоит в том, что место
Лдс занимает А%. В условиях j± ~Э> х такое различие лежит за
пределами точности приближения.
3.2. Лазер бегущей волны класса В
с однородным рабочим веществом
Рассматриваемая ниже модель опирается на предположения о
возбуждении единственного типа колебаний резонатора и об
однородности (спектральной и пространственной) рабочего вещества.
В наибольшей мере этим предположениям удовлетворяет
однонаправленный кольцевой лазер. Однако пространственная
однородность инверсии обеспечивается и в том случае, когда в генерацию
вовлекается большое число мод типа стоячей волны, находящихся
примерно в равных условиях. Уравнения баланса для
суммарной интенсивности излучения и разности населенностей в таком
многомодовом лазере формально не отличаются от уравнений од-
номодового лазера (3.11), к рассмотрению которых мы переходим.
3.2.1. Стационарные состояния и релаксационные колебания.
При нормировке времени на у^1 и точном совмещении частот
резонатора и рабочего перехода уравнения (3.11) принимают вид
^ = Gro(n-l), (3.14а)
ат
dix
— = A-n(m+l). (3.146)
ат
Вопрос о стационарных состояниях системы уравнений баланса
(3.14) и характере решений в их окрестности рассматривался
многими авторами [231, 232, 237-243]. Стационарные состояния
Ша = О, па = А,
Шь = А — 1, щ = 1 v • /
без труда находятся из (3.14) при условии d/dr = 0. Для
выяснения типа особых точек следует линеаризовать (3.14) в окрестности
каждой из них по малым отклонениям 6т = тп — Ш, 6п = п — п.
Вблизи точки (а) справедливы линеаризованные уравнения
d d
— (6m) = G(A — l)Sm, — (Sri) = —ASm — 6n,
dr dr
подстановка в которые решений {бтп, Sri) — {6m', 6п'}еХт
приводит к характеристическому уравнению
(Л + 1)[Л - G(A - 1)] = 0. (3.16)

Один из корней (3.16), а именно Ai = —1, отрицателен всегда,
тогда как знак второго, А2 = G(A — 1), зависит от величины А.
При А < 1 этот корень также отрицателен и особая точка
оказывается устойчивым узлом. При А > 1 знак Аг положителен и особая
точка оказывается седлом, т.е. стационарное состояние перестает
быть устойчивым. Неравенство
А > 1, (3.17)
выражает условие самовозбуждения лазера.
Движение системы в окрестности особой точки Ь происходит в
соответствии с линеаризованными уравнениями
— {8т) = G(A - 1)8п, — (Sn) = -Вт - А 8п. (3.18)
аТ аТ
Соответствующее характеристическое уравнение
А2 + АХ + G(A - 1) = 0 (3.19)
обладает корнями
1/2
А ГА2
K2 = --±\-r-G(A-l)
Особая точка может быть либо устойчивым узлом, если
А2 - 4G{A - 1) > О,
либо устойчивым фокусом, если выполняется обратное
неравенство. Для лазеров класса В имеет место G = 2^/7ц ^> 1.
Поэтому исследуемая особая точка практически всегда будет фокусом
и уравнения (3.18) описывают затухающие колебания
интенсивности излучения около стационарного состояния ть с частотой
ni = v/G(A-l) (i* №1 = ^711*^-1)) (3.20)
и декрементом
01 = -А/2. (3.21)
Именно их чаще всего имеют в виду, употребляя термин
«релаксационные колебания».
Формулы вида (3.20) и (3.21) остаются в силе и в том случае,
когда резонатор не настроен на центр линии. Достаточно лишь
заменить А на А/{1 + ^ос)-
Частота релаксационных колебаний согласно (3.20) находится
как среднегеометрическое от скоростей релаксации инверсии и
поля. Поскольку для большинства диэлектрических лазерных
кристаллов 7ц ~ 103 —104 с-1, а превышение порога генерации
варьируется для твердотельных лазеров в пределах от десятков до тысяч
процентов, частота релаксационных колебаний попадает в
диапазон десятков килогерц. Что же касается полупроводниковых
лазеров, которым свойственны значения 7|| ~ Ю9 с-1 и х ~ 1012 с-1,
то vi перемещается в гигагерцовый диапазон.

3.2.2. Фазовый портрет лазера; характеристики пичнов.
Довольно полную информацию о переходных процессах в
рассматриваемой модели лазера удается получить, прибегнув к
приближенным аналитическим методам.
Уравнении фазовых траекторий получим, осуществив деление
(3.14а) на (3.146):
dra _ (п — 1)т
dn А— (т+ 1)л'
(3.22)
Линейное приближение, определяя характер движений в
близкой окрестности особых точек, дает представление о структуре
всей фазовой плоскости. Это представление можно уточнить,
исходя из общих свойств уравнения (3.22). Поскольку G ^> 1,
наклон фазовых траекторий велик на всей плоскости, за
исключением областей, примыкающих к прямым
п = 1, та = 0, (3.23)
которые являются изоклинами (линиями одинакового наклона
фазовых траекторий) с горизонтальным расположением
касательных. Изоклина с вертикальным расположением касательных
задается уравнением
та = - - 1. (3.24)
п
Структура фазовой плоскости лазера, находящегося как выше, так
и ниже порога генерации, показана на рис. 3.1.
1 А п
а б
Рис. 3.1. Фазовый портрет балансной модели лазера, представленной системой
уравнений (3.14), при значениях параметра накачки ниже (а) и выше (б)
порогового: жирной линией выделена сепаратрисса седла, штриховыми — изоклины
Точное решение уравнений (3.14) в аналитическом виде не
представляется возможным. Поэтому рядом авторов было
предпринято численное решение [244, 245]. Однако основные параметры

нелинейного процесса могут быть найдены и путем
приближенного анализа [242, 246]. Приближенный метод основан на
большом значении параметра G, благодаря чему фазовые траектории
удается разбить на участки с быстрым и медленным движением.
Подобное разбиение не удается вблизи особых точек, но там
реализуется линейное приближение. Изображающая точка медленно
проходит нижние, близкие к оси абсцисс отрезки траекторий.
Вероятность индуцированного испускания здесь мала, и скорость
движения определяется исключительно темпом накачки. Участок
траектории, на котором процесс индуцированного высвечивания
доминирует над накачкой (интервал излучения), изображающая
точка проходит с высокой скоростью. Для каждого из
указанных интервалов уравнения (3.14) допускают упрощения,
связанные с пренебрежением теми или иными членами, благодаря чему
их удается проинтегрировать. «Сшивание» решений облегчается
благодаря тому, что на переходных участках накачка
сбалансирована с индуцированным высвечиванием и разность населенностей
меняется слабо.
Фазовые траектории на рис. ЗЛб имеют вид спиралей,
медленно накручивающихся на особую точку Ь. Один оборот
спирали соответствует пичку в излучении (рис. 3.2). Характерно,
что минимуму и максимуму интенсивности излучения отвечает
я
^-^ t0 хр х
Рис. 3.2. Характер нестационарных решений балансных уравнений в
консервативном приближении
одна и та же разность населенностей п = 1. Медленность
затухания пичков позволяет разбить решение задачи на два этапа.
Вначале, пренебрегая изменением амплитуды пичков
(консервативное приближение), найдем такие параметры как амплитуда и
длительность пичка, интервал между пичками. Затем, учитывая
затухание в качестве возмущения, определим закон убывания
амплитуды пичков.
Для нахождения амплитуды и длительности пичка
воспользуемся тем, что в условиях свободной генерации изменения разности
населенностей ограничены небольшими пределами \п — 1| ^ 1.
Справедливость этого утверждения можно подтвердить
непосредственной оценкой. Обратимся к уравнению (3.146), которое при

условии та ^.1 упрощается:
— = А - п. (3.25)
ат
Решение (3.25) очевидно:
п = А+ [тг(0) - А]е~т. (3.26)
Время г, за которое п изменяется от п(0) = 1 до nmax, мало по
сравнению с единицей, и поэтому (3.26) сводится к
п - 1 = {А - \)т. (3.27)
Подстановка (3.27) в (3.14 а) дает закон нарастания поля на
интервале накачки
In -^— = \G{A - 1)г2. (3.28)
"*min 2
Исключая время из (3.27) и (3.28), получаем в явном виде связь
между п и та:
Г2 m 11/2
77 = 71-1= -М-1) In . (3.29)
[G "IminJ
Максимального значения разность населенностей достигает, как
это видно из (3.24), при та < Шь. При таких интенсивностях поля
формула (3.29), вообще говоря, неприменима. Однако, учтя, что
вблизи та = Шь разность населенностей практически неизменна и
что та входит в (3.29) под знаком логарифма, можно без заметной
погрешности принять
-(A-l)ln
G m„
(3.30)
Изображающая точка проникает тем дальше в область п > 1, чем
ниже она перед этим пересечет прямую п = 1. Следовательно,
величина тутах должна быть наибольшей для первого пичка
после включения накачки, когда mmin определяется только
интенсивностью флуктуационного поля в резонаторе. В п. 3.2.3 будет
показано, что 1п(Шь/гат\п) w 25 для всех твердотельных лазеров,
откуда 77тах » 0,1.
Уравнения консервативного приближения получаем,
пренебрегая малой величиной 7) в уравнении (3.146):
-^ = Gra-n, (3.31а)
ат
—— = Шь — та. (3.316)
ат

Система (3.31) имеет интеграл
-G{r? -■п1) = тъ\л — -т + тп0, (3.32)
I то
которому отвечает семейство замкнутых траекторий на фазовой
плоскости.
Для нахождения амплитуды пичка следует зафиксировать
траекторию, задав в (3.32) ?7о = »7maxi mo = ™Ь- Предположив, что
пиковое значение тг^ах ^> Ш\, и, зная, что оно достигается при
т) = 0, находим
"W = \gtJL* = (А - 1) In -^-. (3.33)
Вычислим длительность пичка, определив ее как время
движения изображающей точки по верхней части траектории между
значенями m = Шь- На участке m ^ Шь удобно пользоваться
уравнением (3.316). Поскольку логарифмический член здесь мал,
равенство (3.32) разрешается относительно тп и время движения
по фазовой траектории между точками с одинаковыми ординатами
m = mi составляет
-41
р J гпь-
Т'= I '* 2^. *Й
'р J Шь-тп(т}) Gtj! (7jJ + 2G-1mi-77i)1/2"
Если mi <; mmax, то тд и ?7тах и, ограничившись в
разложении знаменателя логарифмического множителя линейным
членом, имеем
. 2 2Ст£ах
GJ7max mi
Время, за которое интенсивность поля нарастает от тп = т& до
m — тп1 > нетрудно найти из (3.31 а), полагая т\ = Т7тах:
ГР = 7^ 1п ="•
Слотах т&
Искомая длительность пичка определяется формулой
Интервал времени между пичками т0 находится из формулы (3.27)
и равен
г0 = . (3.35)

Пример 3.1
Рубиновый лазер
Т|| = Ю3 с"1;
>r=5-107c-1; G=105;
Amax = Ю; А = 5;
In (mb/mmin) = 25;
Пример 3.2
Nd:YAG-A03ep
Т|| = 5 -103 с"1;
>r=5-107c-1; G = 2-104;
"max = 1U ; A = z;
In (mb/mmin) = 25;
I Wx = 4,5 • 10-2; mmax = 100;
I tp = 2-10-3; ro = 2,25-10-2;
j tp = 2 мкс; t0 = 22,5 мкс;
j rp/ro = 0,08.
= 5-10
-2.
m„
= 25;
| tp = 9,2-10-3; r0 = 0,1;
| tp = 1,8 мкс; to = 20 мкс;
j rp/ro = 0,09.
Скорость затухания пичков в нелинейном режиме можно
вычислить, отказавшись от консервативного приближения. Прежде
всего найдем изменение величины
TWx за один оборот по спирали
(рис. 3.3).
На интервале излучения (тп >> тпъ)
движение изображающей точки
подчиняется приближенному уравнению
dm Gtj
It ~ -^+1' (3-36)
решение которого, если пределы
интегрирования по тп однаковы, имеет вид
1 + *?2
Щ-"П\ = In
(3.37)
Рис. 3.3. Виток спиральной
фазовой траектории в
неконсервативной балансной модели
1 + Ш
На интервале накачки (тп •С 1)
справедливы уравнения
dm
— = Gr,m;
Л = 1Пь-ц. (3.38)
ат
Интегрируя (3.38) по нижней части
витка в пределах щ < т) < 771, соответствующих одинаковым
значениям тп, приходим к равенству
. _ , тпь - т/з _
V3 - Щ + тпь In = = 0.
(3.39)
"*Ь — V2
Выше уже неоднократно говорилось, что наиболее медленно
разность населенностей меняется вблизи точек tj = Tjmax. Теперь
необходимо оценить, какова же здесь в действительности скорость
изменения. С этой целью разложим функцию tj (тп) в степенной

ряд в окрестности точки т\ = т)тлх. Поскольку первая производная
в экстремальной точке обращается в нуль,
Предполагая, что изменение г\ на один виток спирали составляет
малую величину порядка rj2, попытаемся «сшить» решения (3.37)
и (3.39). Это можно сделать, если значения на «сшиваемых»
концах отличаются менее, чем на rj2. Критерий законности такой
операции получим из (3.40):
(т - тпь)2 < 2G(A - 1)т£ах- (3-41)
Приведенные соображения позволяют в формуле (3.37)
положить 7?1 = 77max, 7J2 = tynin- Ограничив точность вычисления
величины A77i = I772I — 7?i членами порядка rj2, мы тем самым задаем
число членов в разложении логарифма и получаем
Afh = -lr£- (3-42)
С той же точностью из (3.39) получаем следующее выражение для
Дт = ,пз-Ш--
Ащ = -Ц. (3.43)
Малость изменения амплитуды соседних пичков позволяет
объединить формулы (3.42) и (3.43) в одну:
2 А
Формулы (3.33) и (3.44) дают возможность установить закон
убывания амплитуды пичков во времени. Из (3.33) следует, что
каждый последующий пичок меньше предыдущего на величину
Am = Grjtn^Arjjn^.
Подставляя сюда значение Ar)max из (3.44), находим
4 А
Am = -- _ tynax"Wx- (3.45)
Разделив это выражение на интервал времени между пичками
(3.35), определяем производную от огибающей пичков
dmmax Am _ 1Am
—* ^ —- « ■
dr т0 3
Сама огибающая, представляющая закон убывания амплитуды
пичков, дается выражением
"W = т°тлх ехр(-2Лт/3). (3.46)

Скорости затухания интенсивных пичков и малых
релаксационных колебаний оказались весьма близкими.
Основной физический результат проведенного рассмотрения
состоит в том, что система возвращается к положению равновесия
при любом отклонении от него. Режимы незатухающих
пульсаций лежат за пределами рассмотренной модели и не описываются
простейшими уравнениями баланса (3.14).
3.2.3. Линейный этап разития генерации. После того как
накачка включена, должно пройти определенное время, прежде чем
разность населенностей достигнет порогового значения. Для
нахождения времени задержки воспользуемся уравнением (3.25),
считая в общем случае А = А(т). Решение этого уравнения имеет
вид
n= е
т
—т
п(0) + /А(т')
r'dr'
(3.47)
Искомое время для создания пороговой инверсии (п = 1) наиболее
просто выражается в случае А = const:
Td = in ±ZlMm (3.48)
А — 1
В начальный момент все частицы активной среды находятся
на основном уровне. Для веществ типа рубина, работающих по
трехуровневой схеме, основной уровень является и нижним
лазерным уровнем, благодаря чему п(0) = — п3. Чтобы достигнуть
пороговой инверсии за время та = 1 (ta = ^i), необходима
мощность накачки, обеспечивающая
2,7-п(0)
Amin- 17 .
Типичным для рубинового лазера является значение п3 = Лтах =
= 10 и, следовательно, Amjn = 7,5. Но здесь следует сделать
оговорку.
В экспериментальных условиях форма импульса накачки часто
не прямоугольна. Порогового значения инверсия достигает после
того, как мощность накачки пройдет через максимум, и генерация
Ж отекает при значениях А, меньших, чем было получено выше.
[я оценок мы будем придерживаться значения А = 5.
Бели мы имеем дело с четырехуровневым рабочим веществом,
то п(0) = 0, и порог за время та = 1 достигается при А = 1,5.
Найденное время та не явлется полным временем
запаздывания генерации, которое проявляется на опыте. Дело в том, что в
момент достижения порога самовозбуждения индуцированное
излучение отсутствует, и только с этого момента начинается его рост.

Следует сказать, что в системе без флуктуации изображающая
точка, пройдя значение п = 1, будет продолжать двигаться по оси
абсцисс, поскольку последняя на всем протяжении является
фазовой траекторией. Присутствующее в резонаторе флуктуационное
поле (в первую очередь спонтанное излучение) сталкивает
изображающую точку на одну из траекторий, уходящих вверх. Таким
образом, наличие флуктуации принципиально, ибо качественно
меняет характер движения в системе. Выполнив роль спускового
механизма при переходе системой границы устойчивости
флуктуационное поле фактически выходит из игры до того момента,
когда изображающая точка вновь подойдет достаточно близко к оси
абсцисс.
Поскольку индуцированное излучение нарастает с флуктуаци-
онного уровня, для нахождения времени линейного развития
первого пичка мы должны ввести в уравнение член, учитывающий
(в среднем) спонтанное испускание. Запишем вероятность такого
процесса в форме
Wap = BN2 = ±B(N + Ns).
Эту величину нужно добавить к правой части уравнения баланса
для полного числа фотонов в резонаторе (3.5), в результате чего
уравнение превращается в
-^- = BMN - 2хМ + ^-B(N + Na). (3.49)
dt 2
Переход к безразмерным переменным осуществляется по
правилам
т = 7Ц*. го = 0aBM/j\\, n = BN/(2x),
присовокупив к которым
_Р*В_ 2n0aud? _ 0ac<rtl
перепишем уравнение (3.49) в виде
G(n-l)m = GeBp(n + ns). (3.51)
ат
На этапе линейного развития генерации при А = const
изменение инверсии происходит по закону (3.27). Подставим (3.27) в
(3.51) и проинтегрируем полученное уравнение. В правой части
можно положить п = 1, ибо изменение этой величины в малых
пределах не приводит к заметным последствиям. Решение линей-

ного уравнения (3.51) имеет вид
m = exp -G(A-l)r2 х
х j m0 + GeBp (ns + 1) J exp | - ^G(A - l)r'2 dr' +
*• •- о
+(A- l^r'exp [- \G(A- l)r'2]dr'l 1,
о *'
(через toq обозначена интенсивность поля в момент достижения
порога генерации).
В дальнейшем убедимся, что Gt%(A — 1) >> 1, а пока
предположим справедливость этого неравенства. Оно дает основание для
пренебрежения первым и третьим слагаемыми в фигурной скобке
по сравнению со вторым, ибо они соотносятся как G-1'2. В
результате такого упрощения последняя формула сводится к
ткевр(п3 + 1)
ttG
,1/2
3j] ехР[1с(Л-1)г2]. (3.52)
Сопоставляя формулы (3.52) и (3.28), можно утверждать, что
фигурирующая в (3.28) величина mmjn есть не что иное, как
[С "I1/2
2(^_ 1) • (3.53)
Пример 3.3
Рубиновый лазер
7|| = Ю3 с"1; att = КГ20 см2; | евр = 1(Г13; mmin = 2 • 10"10;
G = 105; А = 5; ns = 10; | GrJ(A - 1)/2 =
Vc = 3 см3; | = ln(mb/mmin) = 23.
Пример 3.4
Nd.-YAG-лазер
7ц = 5 • 103 с"1; atr = 10"18 см2; | евр = 10~12; mmin = 3 • 10"10;
G = 2 • 104; А = 2; ns = 1; | Grj(A - 1)/2 =
Vc = 3 см3; | = ln(m6/mmin) = 22.

3.3. Одномодовый лазер стоячей волны класса В
Модель такого лазера получим, стартуя с системы уравнений
(2.76). Поскольку речь идет о лазере класса В, осуществим
адиабатическое исключение поляризации, что в случае строгой настройки
резонатора на центр линии приводит к уравнениям баланса
^р- = Gm( I пф2 dv - 1V (3.54а)
^- = А-п(тф2 + 1), (3.546)
от
в которых
n=2*f"N-D, A=2**"N-I*°\ ш. **
т = т||*, v = V/Vct фх = Ех(г). (3"55)
3.3.1. Модель с распределенной инверсией. Одно из
стационарных состояний системы (3.54), а именно Ша = О, па = А,
находится без труда. Другие состояния определяются равенствами
йь = ^ТТ' (3-56)
А^ dv = 1. (3.57)
J тщ
тпъф2 + 1
Количество нетривиальных стационарных состояний равняется
числу действительных положительных корней уравнения (3.57).
Наиболее просто обстоит дело, когда населенности инвертированы
по всему объему активного элемента, что мы и предполагаем в
данном случае. При А > 0 левая часть (3.57) явлется монотонно
убывающей функцией тпь и поэтому уравнение имеет единственный
корень.
Нулевое положение равновесия становится неустойчивым, если
выполнено условие самовозбуждения
/
Аф2 dv > 1. (3.58)
Для решения вопроса об устойчивости стационарной генерации
линеаризуем (3.54) в окрестности состояний тп = mj,, п = щ(С):
d{5m)
dr
= Gmb I ф2 Sn dv,
J ф2 Sn dv, (3.59a)
<&) = _ A.Sn - фЧъ 6m. (3.596)
ОТ ТПъ

Предположив возмущение вида {8т, 8п} = {Sttiq, 8по)еХт,
разрешив (3.596) относительно 8no(Q и подставив полученное
выражение в (3.59а), приходим к характеристическому уравнению
А = -Grub I ттъ тттг—Г5 тт dv- (3.60)
Дальнейшие рассуждения основываются на большом значении
параметра G. Исходя из этого, можно сделать вывод, что корни
уравнения (3.60) делятся на две группы. К первой относятся
отрицательные корни порядка единицы по модулю. Корни другой
группы имеют порядок величины G1'2. Их всего два и они
комплексно сопряжены, причем ImA ^ ReA. Если воспользоваться
большой величиной ImA = ft и разложить подынтегральное
выражение в (3.60) в ряд по степеням П-1, то весьма просто
отыскиваются приближенные значения:
^={GmbI^ridv)1/^ (3-61а)
1 jAij>4dv
01 ~ "2 jA^(mbiP + l)-idv- (3-61б)
Существенно, что ReA = 0i < 0, и, следовательно,
неоднородность поля не нарушает устойчивости стационарной генерации.
Интересно сравнить величины fii и в\ для случаев
однородного и неоднородного насыщения активной среды при
сопоставимых значениях параметров. Такое сравнение можно провести,
конкретизовав вид функций ф(С) и А (С). Рассмотрим моду типа
плоской стоячей волны, а накачку будем считать пространственно
однородной. Аппроксимация аксиальных мод оптических
резонаторов плоскими волнами часто применяется в оценочных расчетах.
Собственная функция резонатора с учетом условия нормировки
записывается как
<фч = у/2 ып(я-дС). (3.62)
В качестве безразмерной координаты удобно выбрать С = z/LB,
где LB — длина активного элемента.
Прежде всего определим интенсивность излучения в
стационарном режиме. Подставляя (3.62) в (3.57) и выполнив
интегрирование при условии постоянства А, получаем равенство
= 1, (3.63)
в котором через Ci и £г обозначены координаты границ активного
элемента (£г — Ci = !)■ Сместив пределы интегрирования с гра-
# - ^^WMct6(v/r+^tg(,r,c))

ниц активного элемента на ближайшие к ним точки, в которых
tg(7rgCi 2) = 0, приходим к соотношению
arctg (у/Т+2Щ tg(7r?C) J = qit. (3.64)
Поскольку LB ~Э> А, такая замена пределов интегрирования не
скажется сколько-нибудь заметно на результате. После этого уже
несложно перейти к формуле
тпь = i(4А - 1 - y/SA+1). (3.65)
В том же приближении из (3.61) находится частота малых
колебаний
Qi = y/G{A - 1) (3.66)
и их декремент
3.3.2. Модель с синусоидальной решеткой инверсии. В только
что проведенном рассмотрении не делалось каких-либо
ограничивающих предположений относительно пространственного
распределения насыщенной стационарной инверсии. Считалось лишь,
что накачка в объеме активной среды распределена однородно, т.е.
параметр накачки А = const. Ясно, однако, что реальная
структура поля моды имеет следствием неравномерность насыщения
активной среды или, как часто говорят, выжигание
пространственных провалов инверсии. Так, поле стоячей волны
выжигает решетку инверсии с периодом А/2. Если пренебречь всеми
высшими пространственными гармониками инверсии, то задача
сводится к достаточно простой системе обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Подставим выражение для поля моды (3.62) в (3.54а) и введем
обозначения
По
= I ndQ, щ = - / ncos(27T9C) <*С- (3-68)
Это означает, что инверсия в поле плоской стоячей волны
представлена в виде суммы ее среднего значения и первой
пространственной гармоники:
п = п0 + 1п\ cos(27rg£). (3.69)
Высшие гармоники инверсии в расчет не принимаются.
Подстановка (3.69) в уравнения (3.54) позволяет свести последние к сие-

теме трех обыкновенных дифференциальных уравнений:
dm .
Gm(n0 + п\ — \),
dr
dno
~dT
= А — «o(l + тп) — щт, (3.70)
—— = -ni (1 + Щ - -п0т.
ат I
Интенсивность излучения в стационарном режиме дается
формулой
mb = ^{A-A+y/A2 + S), (3.71)
а остальные переменные выражаются через интенсивность как
поъ = А — тпь, щь = 1 - А + тпъ. (3.72)
Линеаризация системы (3.70) около найденного стационарного
состояния приводит к кубичному характеристическому уравнению
А3 + aiA2 + a2A + a3 = 0
с коэффициентами
oi = 2(1 + ть),
о2 = (1 + ШЬ)2 - Gmb(2 - -йоь) - -ml и Gmb(2 - -паъ), (3 73)
а3 = х<2"4 + Gfnb(2 — ~ "<">)•
Приближенное значение коэффициента а2 справедливо в силу
большой величины параметра G для лазеров класса В.
Корни кубического уравнения можно найти строго, однако
процедура сильно упрощается, если априори известно, что среди них
есть пара комплексно-сопряженных и, к тому же, |ReA/ImA| <[ 1.
Воспользовавшись этим, находим
ImA = Q\ Ki а2 ,
ал ат. — ал (3-74)
ReA = g!»- i2n 3.
2о2
Поскольку мы игнорировали наличие высших пространственных
гармоник инверсии, полученные результаты, равно как и
используемая модель, справедливы лишь при слабом насыщении
активной среды, т.е. при относительно небольшом превышении порога
генерации лазера. Бели ограничить параметр накачки условием
А — 1 <[ 1, то (3.71) переходит в
ть = |(А-1). (3.75)

В этом пределе выражения (3.74) принимают вид
/?i = y/G(A - 1), в! = -1/2. (3.76)
Формулы (3.75), (3.76) совпадают с тем, что дают (3.65)-(3.67) в
том же предельном случае малого превышения порога генерации.
Сравним теперь (3.65)-(3.67) с аналогичными формулами (3.15),
(3.20) и (3.21), полученными ранее в модели с однородным
полем. Выражения для Q\ полностью совпадают. Стационарные
интенсивности mj, совпадают при больших превышениях порога
генерации. В области накачек A w 1 формула (3.65) приводит к
несколько меньшим величинам год, нежели (3.15). Физический
смысл этого результата весьма прост: в однородном поле
высвечивание активных молекул происходит равномерно по всему
объему, тогда как активные центры, расположенные в узлах стоячей
волны, вообще не взаимодействуют с полем. Что касается
декремента, то при А —у 1 формулы (3.67) и (3.21) совпадают, а при
Л > 1 неоднородность поля в полтора раза увеличивает скорость
затухания малых колебаний.
Судя по полученным результатам, одномодовые лазеры с
однородным и неоднородным полем в объеме активной среды мало
отличаются по своим динамическим характеристикам. Не
следует однако забывать, что был рассмотрен лишь случай
пространственно однородной накачки активного элемента. Далеко не так
может обстоять дело, когда накачка неоднородна. Особенно
чувствительна к этому скорость затухания релаксационных
колебаний. Бели А(£) знакопеременна, то стационарный режим может
потерять устойчивость (см. §7.2).
3.3.3. Энергетические характеристики. В п. 3.2.2.
проводились оценки длительности пичков и частоты их следования.
Согласие с экспериментальными данными следует признать
удовлетворительным. К оценке же энергетических характеристик лазера
можно подойти следующим образом. Энергия поля в резонаторе
выражается через амплитуду и объем: W = |-F|2V^/8jt.
Воспользовавшись связью F с безразмерной интенсивностью т, которая
извлекается из соотношений (3.1), получаем
Во многих случаях более удобной представляется формула,
содержащая не матричный элемент дипольного момента перехода d,
а сечение перехода Otr. Связаны эти величины между собой
посредством соотношения (1.2). С учетом сказанного запишем энергию
поля в числах фотонов:
M=^ = ^Lm. (3.78)

Излучаемая лазером мощность при условии, что вывод энергии
наружу служит основным источником потерь, находится
элементарно:
Р^ВД^^Е^.КГ'. (3.79)
Желая вычислить мощность стационарной генерации, мы должны
подставить в (3.79) значение т = А — 1. Для нахождения
максимальной мощности в пичке свободной генерации следует
воспользоваться выражением (3.33).
Пример 3.5:
Nd:YAG-лазер
atr = КГ18 см2; w = 1015 с"1; | Р£& = 0,3 Вт;
7ц = 5 • 103 см-1; и = 108 см-1; | Mcw = 2 • Ю10 фотонов;
А = 1,2; 1п(ть/тт1п) = 25; | Р^х = 8 Вт.
Ус = 1 см3; |
Для рубинового лазера с o-tr = Ю-20 см2, -уц = 103 с-1, А = 5
мощность возрастает до Р^х = 3 кВт.
Эти примеры показывают, что простейшая теория верно
отражает закономерности, которыми определяются энергетические
характеристики свободной генерации.
Одномодовые балансные модели занимают особое место в
теории лазера. Дело не только в том, что при всей упрощенности они
дают верную качественную и даже количественную информацию о
ряде практически важных характеристик излучения. Более
существен вывод о грубости таких характеристик как частота
следования и длительность пичков, о малой чувствительности их, равно
как энергии и мощности к небольшим возмущениям модели. Это
избавляет от необходимости возвращаться к соответствующим
вопросам при анализе более сложных моделей.
К числу негрубых характеристик лазера относится скорость
затухания пульсаций.
3.4. Неустойчивости и хаос
в одномодовых лазерах бегущей волны
Речь пойдет о лазерах класса С, динамические свойства
которых определяются только взаимоотношениями между
генерируемым полем и активной средой. Бифуркации в системе и сложные
режимы генерации не связаны ни с внешним воздействием на нее,
ни с присутствием дополнительных нелинейных элементов, ни,
вообще говоря, с взаимодействием мод. Каждый из
перечисленных факторов способен повлиять на конкретные реализации,
обогатить общую картину, но изначальная причина неустойчивости
стационарной генерации более фундаментальна.

3.4.1. Немного истории. К небезынтересной истории вопроса
уже обращались многие авторы и некоторые сведения можно
найти, например, в обзорах [200, 247]. Эти источники, однако,
доступны не всем читателям. К тому же, каждый автор имеет право
на свою версию. Поэтому есть смысл бегло пройтись по основным
вехам.
Размышления об устойчивости квантового генератора как
автоколебательной системы начались еще в долазерную эпоху [203,
204, 216, 248]. В 1958 г. Гуртовником [248] было показано, что
стационарные решения мазерных уравнений могут быть, в
принципе, неустойчивыми. Вначале эти размышления были навеяны
заботами о стабильности пучкового молекулярного генератора, но
вскоре источником беспокойства стали парамагнитные мазеры,
пульсации излучения которых при стабильной накачке были
обнаружены экспериментально [69, 70] Однако в полной мере
серьезность проблемы была осознана, когда выяснилось, что пичковый
режим работы присущ практически всем твердотельным лазерам
[249-251].
Попытка связать пичковую генерацию с динамической
неустойчивостью была предпринята Коробкиным и Успенским [252, 253],
исследовавшими пороговые условия неустойчивости лазера.
Тогда же, в начале 60-х годов были выполнены и первые численные
исследования нестационарных процессов в квантовых
генераторах [254-256]. Грасюк и Ораевский, а также Бьюли и Камингс
получили даже непериодические решения уравнений
неадиабатической теории лазера. К сожалению, эти результаты не были
оценены по достоинству. Дело в том, что неустойчивость достигается
при таком сочетании параметров (полоса резонатора шире
однородной линии усиления, многократно превышен порог генерации),
которое в те годы казалось экзотическим. Что же касается новых
представлений теории нелинейных колебаний, то они только
начинали складываться и широкого распространения еще не
получили (основополагающая работа Лоренца [177] была опубликована
в 1963 г.).
Ситуацию резко изменила статья Хакена [176],
опубликованная в 1975 г. Хакен обнаружил, что та самая полуклассическая
модель лазера, которая изучалась в работах [252 - 256], во всех
деталях совпадает с системой Лоренца. На фоне повального
увлечения динамическим хаосом в системах с относительно небольшим
числом степеней свободы такое открытие поставило на повестку
дня вопрос об экспериментальной реализации лазерного варианта
странного аттрактора.
Поскольку репутация нестабильных прочно утвердилась за
твердотельными лазерами, внимание экспериментаторов было
приковано вначале, главным образом, к этим устройствам. Между
тем, Касперсон и Ярив [195] пополнили перечень лазером совсем
другого типа, обнаружив незатухающие пульсации в излучении га-

зоразрядного ксенонового лазера. О полном соответствии модели
Лоренца-Хакена тут речи идти не может, поскольку линия
усиления 3,51 мкм уширена неоднородно. Но еще раньше Якубович
[257] обратил внимание на специфику сред с неоднородным уши-
рением. Затем Идиатулин и Успенский [258] на простом примере
активной среды с двумя близко расположенными линиями
теоретически продемонстрировали эффект снижения порога
неустойчивости одномодового лазера за счет спектральной неоднородности.
Чуть позже возможность проявления того же эффекта в несколько
иных условиях (гладкий профиль неоднородного уширения, мно-
гомодовый резонатор) обсудил Фрадкин [215, 259]. Большое
влияние на дальнейший ход событий оказали работы Касперсона [194,
196, 200, 260], теоретический анализ которого был ориентирован,
в отличие от упомянутых работ, на объяснение результатов
конкретного эксперимента с ксеноновым лазером.
Поворотный пункт в экспериментальных исследованиях
лазерной турбулентности ознаменовали достижения начала 80-х г .г. К
их числу относятся работы Абрахама с соавторами, которые
осуществили и исследовали нестационарную генерацию на 3,51 мкм
в гелий-ксеноновом [197, 198, 201, 202] а затем и на 3,39 мкм в
гелий-неоновом [33] лазерах.
Неоднородное уширение линии усиления серьезно облегчает
задачу экспериментатора, преследующего цель осуществления и
изучения нестационарных динамических процессов в лазерах.
Однако это же обстоятельство в не меньшей степени осложняет жизнь
теоретика, которому приходится иметь дело с моделями очень
высокой размерности, зависящими от большого числа параметров. И
хотя некоторые результаты удалось получить аналитическим
путем [261-270], значительно дальше позволяют продвинуться
численные методы [270-276]. И все же детальное изучение всех
нюансов динамики лазеров с неоднородным уширением авторы
обзора [247] относят к категории «геркулесовых задач».
Из сказанного ясно, почему соблазн обстоятельной проверни
предсказательной способности современной теории нелинейных
колебаний не позволил экспериментаторам уйти от проблемы
реализации лоренцева хаоса. Вайс и Клише [38] показали, что
наиболее перспективными в этом плане являются молекулярные газовые
лазеры далекого инфракрасного диапазона с лазерной накачкой.
Эксперименты, проведенные вскоре с аммиачными лазерами [39,
40, 42, 178-180], подтвердили справедливость многих
предсказаний: неустойчивость достигнута при значительном превышении
порога генерации, наблюдены бифуркации высших порядков,
осуществлен режим динамического хаоса. Однако эксперименты
выявили и определенное несоответствие сценариев поведения тому,
что предсказывает модель Лоренца-Хакена. Причину наиболее
естественно искать в когерентности используемой накачки.
Нелинейное взаимодействие накачки и генерируемого поля может быть

последовательно учтено лишь при отказе от двухуровневой
идеализации активной среды.
Трехуровневая модель значительно расширяет возможности
интерпретации экспериментальных фактов [277-287] Однако
экспериментальная реализация аттрактора Лоренца в таких лазерах
диктует необходимость поиска методов разрушения
когерентности взаимодействия генерируемого поля и монохроматической
накачки. В этом направлении и развивались события далее, хотя
точка в этом вопросе так и не была поставлена.
3.4.2. Модель Лоренца-Ханена. Обратимся к одномодовой
двухуровневой модели лазера бегущей волны с некогерентной
накачкой, которая в наиболее простой своей модификации изоморфна
модели Лоренца. Рассматриваемая модель представлена системой
уравнений (3.2). Поскольку в данном случае удобно представление
времени в единицах jj1, эти уравнения приобретают вид
^ - iZAJ = 5<(р - /), (3.80а)
^--iAoP = nf-p, (3.806)
ат
^ = 7 [а - \n{fp~ + Гр)] • (3.80в)
Здесь используется следующая нормировка: г = f±t, х = x/"f±,
7 = 7||/7х, т.е. i = 1/7±.
Уравнения можно записать в действительной форме, причем
разными способами. Переход от комплексных амплитуд к модулям
и аргументам ([/ = € exp(i<pe),p = V ехр(*у>р)]) преобразует (3.80)
в систему четырех уравнений:
AF
— = х (V cos Ф-€), (3.81а)
ат
dV
-j- = пЕ cos Ф - V, (3.816)
ОТ
An
-1 = у(А-п-£Р cos Ф), (3.81в)
ат
— = Лос + (-р - *- J sin Ф, (3.81г)
где Ф = <ре — (рр и Д)с = (<*>о ~~ wc)/Tx- К преимуществам этой
формы записи можно отнести отсутствие в явном виде
неизвестной частоты генерации, к недостаткам — возможность обращения
в бесконечность членов правой части уравнения (3.81г). Последнее

неприятно при численном интегрировании системы. Поэтому
часто в качестве переменных используются действительные и
мнимые части комплексных амплитуд: / = /'+*/", р = р'+гр". Этот
выбор приводит к системе уравнений:
4£ + ZAcf" = х{р' - /'), (3.82а)
¥l-3iAcf' = 3i(p"-f"), (3.826)
¥- + Aop" = nf'-p', (3.82в)
ат
Р£- - Лор' = nf" - р", (3.82г)
ат
^ = 7(А-п-/У-/"Л- (3.82д)
Кажущийся парадокс состоит в том, что порядок системы (3.82)
на единицу выше порядка системы (3.81). Противоречие
устраняется, если учесть, что одна из двух фаз, составляющих Ф,
выбирается произвольно и соответствующую амплитуду можно считать
действительной. Полагая /" = 0, получим из (3.82) систему
четвертого порядка:
g-w-л,
^ + Др" = п/'-р',
— -Аор=-р,
^ = 7(А-«-/У).
Пятое уравнение стало алгебраическим,
Acf' = -p", (3.84)
и фактически оно определяет неизвестную частоту генерации ы,
ибо Д. = (и — шс)/х.
Выделяется своей простотой случай точной настройки лазера,
когда Ло = Лс = Лос = 0. Если ввести, следуя [288], переменную
Z = СР&аФ, то с помощью (3.81) нетрудно убедиться в
справедливости уравнения dZ/dr = — (x + l)Z. Отсюда ясно, что
в процессе генерации Z —> 0. Для разности фаз остаются две
(3.83)

возможности Ф = 0 и Ф = 7Г, реализация которых преобразует
уравнения (3.81) в систему Лоренца-Хакена:
AF
— = ЩР-£)} (3.85а)
ОТ
dV
— = п£--р, (3.856)
ат
^ = у{А-п- ZV). (3.85в)
ат
которая с точностью до нормировки времени совпадает с (1-3).
Чтобы получить (3.85) из (3.83), достаточно положить Ло = 0.
3.4.3. Бифуркационные характеристики и сценарии поведения.
Помимо тривиального положения равновесия
£а = Ра = О, па = А, (3.86)
система (3.85) может иметь и нетривиальные особые точки
£ь = рь = ±у/А^\, щ = 1. (3.87)
Стационарное состояние (3.86) становится неустойчивым при
выполнении уже встречавшегося в § 3.2 условия самовозбуждения
лазера
А > 1, (3.88)
которое одновременно является и условием существования
состояний равновесия (3.87), координаты которого не могут быть
комплексными числами.
Устойчивость стационарной генерации исследуется посредством
линеаризации системы (3.85) в окрестности особой точки 6 [27,
204, 237, 248, 252, 253, 255]. Полагая £ = £ь + 8£, V = Рь + SP,
п = Щ + 8п, и оставляя в уравнениях только линейные по малым
отклонениям члены, приходим к линеаризованной системе:
4-W) = *{8Р-6£),
ат
A (SV) = пь8£ + £ь 8п-8Р, (3.89)
ат
4- (&п) = -т( Sn + £Ь8Р + РЬ8£).
ат
Предполагая ее решения в виде {8£, 8Р, 8п} = {8£0,8Р0,8по}еХт,
сводим эту однородную систему к алгебраической. Равенство нулю
Детерминанта означает существование нетривиальных решений.

Так мы приходим к характеристическому уравнению третьей
степени
$>А3-' = 0
i=i
с коэффициентами
а0 = 1, ai = x+7+l, а2 = 7/{А+х), а3 = 2ух(А-1). (3.90)
Наличие корней с положительной реальной частью означает
неустойчивость исследуемого положения равновесия.
Чтобы получить условие неустойчивости в аналитическом виде,
можно воспользоваться критерием Рауса-Гурвица. Однако,
предположив наличие корней, удовлетворяющих условию |ReA/ImA| <
<С 1, можно достичь большего — найти, как и в п. 3.3.2,
приближенные значения корней, линеаризуя характеристическое
уравнение по Re А [289]. Действуя подобным образом, находим
a3-aia2 /а3\ ' . , .
,2~—2а? \а~) ' Лз~_а1- (3>91)
Условие неустойчивости аз > а\а2 приводит к двум неравенствам:
х>7+1, (3-92)
A>i4cr = x(x + 7 + 3)/(x-7-l). (3.93)
Первое из них требует, чтобы полоса резонатора превышала
однородную ширину линии. Неравенство (3.93) задает высоту так
называемого второго порога (первым считается порог генерации
лазера А = 1). Величина Асг минимальна при ус = Лт = 7+
+1 + [(7 + 1)(27 + 4)]1/2. В свою очередь, *rm убывает вместе, с %
достигая при 7<1 наименьшего значения *ст — 3. Ему, согласно
(3.93), соответствует Лсг = 9.
Каковы же реальные возможности выполнения обоих условий
неустойчивости? Неравенству (3.92) способны удовлетворить
только газообразные среды, поскольку решающим обстоятельством
является узкая линия усиления, а не широкая полоса резонатора (с
этой точки зрения распространенный термин bad cavity condition
не вполне удачен). Для оценки предельно достижимого параметра
накачки обратимся к соотношению
A=^NaD^ = AmaxD^\
п*су±
входящему в (3.1). Задавшись значениями параметров ы =
= 2-Ю13 с"1, 7л. = Ю7 с-1, х = 107 с"1, d к 1 Дб, Na = 1014 см"3,
получим Amax ps 104. Следовательно, превышение порога
генерации, требуемое неравенством (3.93), вполне достижимо в случае
газовых лазеров.

Зависимость (3.93) изображена на рис. 3.4 в виде сплошной
линии. Остальные сведения об этой бифуркационной диаграмме
получены путем численного интегрирования уравнений (3.85) [285,
290, 291]. В области, расположенной над кривой 2, устойчивы
Рис. 3.4. Фазовая диаграмма одномодовой двухуровневой модели в плоскости
управляющих параметров Ау при И — 4 [290, 291]: кривая 1 — граница области
неустойчивости ненулевых стационарных решении; 2 — граница области, в
которой ненулевые стационарные решения системы (3.85) являются единственно
устойчивыми; S — граница между зонами с хаотическим и регулярным
поведением; на диаграмме показаны типы аттракторов, соответствующих различным
ее областям
только стационарные решения (3.87). В области под кривой 1
стационарные решения неустойчивы. Между указанными линиями
располагается зона бистабильности, в пределах которой как
стационарные, так и автомодуляционные решения устойчивы в малом.
Бистабильности сопутствует явление гистерезиса с характерным
скачкообразным переходом с одной устойчивой ветви на другую
на границах зоны. Бели квазистатически менять управляющие
параметры таким образом, чтобы рабочая точка на
бифуркационной диаграмме перемешалась вдоль траектории s, которая
пересекает обе границы, то реализующаяся последовательность
состояний, соответствует петле на рис. 3.5. Вдоль оси ординат здесь
отложен эффективный диаметр аттрактора в фазовом
пространстве системы. Стационарному состоянию соответствует точечный

аттрактор с£) = 0. Конечному значению D отвечает предельный
цикл или странный аттрактор1).
Существование аттрактора конечного размера сразу по
пересечении границы А = Асг говорит о том, что на этой границе
происходит субкритическая
бифуркация Андронова — Хопфа.
Переходный процесс от
неустойчивого стационарного
состояния к режиму развитых
пульсаций показан на рис. 3.6.
Вначале это — амплитудная моду-'
ляция поля с постепенно
нарастающей глубиной, и на этом
этапе ни одна из переменных
не меняет знака. Но в какой-
то момент амплитудная
модуляция уступает место
качественно новому режиму
колебаний со сменами знака
переменных £ и V. Примечательной
особенностью спектра таких колебаний (спектра огибающей поля
излучения) является преобладание нечетных гармоник (рис. 3.7).
Щ
Рис. 3.5. Диаграмма,
иллюстрирующая сосуществование аттракторов в
фазовом пространстве системы (биста-
бильность и гистерезис)
а х б п
Рис. 3.6. Процесс перехода от неустойчивого состояния равновесия в регулярным
незатухающим пульсациям в модели Лоренца-Хакена (а) и проекция фазовой
траектории на плоскость п£ его фазовой траектории (б): х = 4,0; у = 0,10;
А =12,0
') При численном моделировании процесса процедура квазистатического
изменения параметра имитируется следующим образом. Исходная реализация
вычисляется при некотором произвольном выборе начальных значений. Далее
управляющий параметр изменяется в соответствии с выбранным шагом
дискретности и новая реализация начинает рассчитываться из той совокупности
значений переменных, на которой была прервана предыдущая реализация. Такое
задание начальных условий избавляет от переходного процесса и от возможности
попадания в зону притяжения альтернативного аттрактора в полосе бистабиль-
ности системы. Близкие к нулю начальные условия для поля и поляризации
задаются лишь в том случае, когда цель численного эксперимента заключается в
определении местоположения границы жесткого возбуждения пульсаций (линия
S на рис. 3.4).

Рис. 3.7. Последовательность решений системы (3.85), реализующихся при
переходе из зоны регулярных в зону хаотических пульсаций через границу S (см.
рис. 3.4) по мере увеличения параметра у: А — форма огибающей
напряженности электрического поля в генерируемой волне; Б — проекция фазовой
траектории на плоскость п£; В — спектр огибающей; ус = 4,0; А = 12,0; у = 0,10 (а),
0,17 (б), 0,19 (в), 0,196 (г), 0,22 (д), 0,40 (е)

Симметричные пульсации имеет смысл называть биениями,
поскольку отвечающий им спектр излучения лазера не имеет
центральной компоненты [290]. В простейшем варианте биения
представлены двумя спектральными компонентами. Как известно, в
спектре амплитудно-модулированного колебания присутствие
центральной компоненты (несушей) обязательно и, более того, эта
компонента доминирует.
Частота малых колебаний около положения равновесия (3.87)
дается формулой
которая соответствует выражению (3.91) с последующей
подстановкой в него значений коэффициентов из (3.90). Здесь {2r =
= [у{А — I)]1/2 — частота Раби в поле стационарной генерации
(3.87). Для рассматриваемого класса лазеров коэффициент при
Or в (3.94) лишь слегка отличается от 1, а в предельном случае
х ^> 1 + у формула (3.94) сводится к 17i = \Z2J2r.
Частоту установившихся пульсаций типа биений можно
оценить, полагая решения уравнений (3.85) в виде {€,V,n} =
= {^jT^i, ni}e(,nT)+KX-, т.е. пренебрегая всеми высшими
гармониками биений. Опуская вычисления, приведем результат:
предельному случаю х ^> 1 + 7 отвечает частота биений 1Q = /5r.
В размерных обозначениях wr, = [7||7-l(-A — l)]1^2! что ПРИ Тх =
= 107 с-1, 7|| = Ю6 с-1, А = 11 дает wr/27t и 2 МГц.
Эксперименты с молекулярными лазерами далекого ИК-диапазона [247]
подтверждают попадание частот динамических пульсаций в
мегагерцевый диапазон.
Незатухающие пульсации излучения выше второго порога
лазера могут быть как регулярными, так и хаотическими. На рис. 3.4
области регулярного и хаотического поведения разделены
пунктирной линией 5. Переход от одного к другому не является резким,
а включает сложную иерархическую последовательность
бифуркаций, представление о которой позволяет составить рис. 3.7. В
последовательности бифуркаций, сопровождающих увеличение
параметра у, прежде всего, следует выделить цепочку удвоений
периода. В свою очередь, каждое из звеньев этой цепочки имеет тонкую
структуру, поясняемую ниже на примере первого звена. По мере
увеличения у строго симметричный (рис. 3.7а) режим регулярных
пульсаций (РП) становится слегка асимметричным (рис. 3.76),
после чего период удваивается (рис. 3.7е). В результате
последующих бифуркаций удвоения достигается промежуточное состояние
хаоса (рис. 3.7г). Далее проходит обратная последовательность
бифуркаций удвоения, которая возвращает пульсациям
симметричную форму, но с удвоенным по отношению к исходному периодом

(рис. 3.7 д). Аналогично устроены и последующие звенья,
осуществляющие переход в системе симметричных пульсаций от периода
2Г к периоду 4Г и т.д. В конце этой цепочки достигается режим
динамического хаоса (ХП), показанный на рис. 3.7е).
В рассмотренном выше примере роль управляющего
параметра отдана у. На практике, однако, удобнее менять мощность
накачки, нежели пытаться воздействовать на скорости релаксации
активной среды. В этой связи необходимо подчеркнуть, что
изображенная на^рис. 3.4 фазовая диаграмма допускает в зависимости
от значения у три варианта сценариев смены режимов при
увеличении параметра накачки А: (1) СГ (стационарная генерация) —
ХП, (2) СГ — РП, (3) СГ — ХП — РП. Нужно, правда, заметить,
что в море хаоса могут встречаться островки регулярного
поведения [292].
Переход из одной области фазовой диаграммы в другую
отражает топологические изменения фазового пространства системы
Лоренца-Хакена, которые прослежены в работе [293].
3.4.4. Параметрический характер неустойчивости
стационарной генерации; аффект расщепления моды. Динамическую
неустойчивость рассматриваемого типа можно трактовать как
параметрическое возбуждение боковых компонент спектра — процесс,
в котором центральная компонента выступает в роли накачки.
С квантовой точки зрения это четырехфотонное взаимодействие,
удовлетворяющее условию синхронизма 2u»o = wi + u_i. Исходя
из таких представлений, очень несложно найти критерий
неустойчивости [289]. Для этого предположим, что лазер генерирует три-
гармоническое поле
£ = eb + £1eiS}T + £-1e-iSlT. (3.95)
Пока амплитуды боковых компонент малы (|£±i/£b| ^ 1) можно
не думать о наличии гармоник и представить материальные
переменные в аналогичной форме
п = пь + п1е,Ят + п_1е-'Ят. 1 ' '
Предполагаемая малость боковых компонент позволяет не
учитывать реакцию величин £(,, Рь, Щ на возмущение и воспользоваться
формулами (3.87).
Подставляя (3.95) и (3.96) в (3.85), выделяя группы членов с
одинаковой частотной зависимостью и пренебрегая членами,
квадратичными по малым величинам, получаем в стационарном
случае систему уравнений:
(х + iQ)£x - xPi = 0, (3.97а)
nb£i - (1 + iQ)Vi + £ьпх = 0, (3.976)
у£ь£х + т№ + (т + *'Я)и1 = 0- (3.97в)

Комплексное характеристическое уравнение, соответствующее
равенству нулю детерминанта системы, распадается на пару
действительных уравнений:
П2 = 27*^/(5 + 7 + 1),
П2 = yffl + 1 + х).
(3.98)
(3.99)
Соотношение (3.98) совпадает с (3.94), а совместной система двух
равенств оказывается при условии €2 = А^т — 1, где Аст
определяется (3.93).
К ранним работам [294, 295] восходит другая разновидность
метода слабых боковых, которая получила значительное
распространение [194, 260, 267-269, 296]. Дело сводится к вычислению
восприимчивости активной среды на частоте пробного поля в
присутствии сильной центральной компоненты, т.е. к решению двух
последних уравнений из (3.97):
Характер деформации профилей усиления (Rex(^)) и дисперсии
(Imx(J2)) иллюстрирует рис. 3.8. Штриховой пинией даны не-
-4 -2
^
•"
*
Ьп*
1.0
0,5
A** 1
i
-/\
Г-Л
i ч
-
*г
KLJ-J-J-^a
2 4
Рис. 3.8. Графики, иллюстрирующие эффект индуцированного расщепления
моды: а — усиление, б — дисперсия
возмущенные лоренцевы профили в отсутствие параметрической
связи между пробным и насыщающим полями.
Автомодуляционный режим генерации существует, если
уравнение (3.100) совместимо с (3.97а). Последнее удобно
преобразовать к виду
Тг/Ег = 1 + Ш/ж (3.101)

Графики Rex = 1 и Imx = £2/к предсталенны на рис. 3.8
штриховыми пиниями. Точками пересечения графиков определяются
частоты компонент, вырожденных по волновому вектору.
Наличие нескольких таких частот позволяет говорить об «эффекте
расщепления моды», следуя терминологии работы [297]. Физическое
истолкование условий неустойчивости заключается в том, что
частоты, на которых выполнено условие резонанса (точки
пересечения), попадают в область достаточно большого усиления.
Применительно к двухуровневому лазеру с однородным уши-
рением графический способ не является самым удобным. Выше
было показано несколько способов аналитического решения
задачи на устойчивость. К этому можно добавить, что сопоставление
(3.100) и (3.101) также приводит к равенствам (3.98) и (3.99).
Однако в более сложных ситуациях, например, при неоднородном
уширении активной среды, графический способ может оказаться
предпочтительным.
3.4.5. Влияние расстройки на динамические свойства лазера.
Расстройка между резонатором и активной средой увеличивает
число степеней свободы, что, казалось бы, должно способствовать
усложнению поведения лазера. В действительности же тенденция
противоположна: порог неустойчивости повышается, а
хаотические режимы в неустойчивой области уступают место регулярным.
Специфическое усложнение задачи при введении расстройки
обусловлено тем, что помимо переменных /, р, п в (3.2)
присутствует еще одна неизвестная величина — частота генерации,
скрытая в Ло и Лс. Это обстоятельство приводит к затруднениям
даже при исследовании тривиального положения равновесия на
устойчивость. Выйти из положения удается, обратившись вместо
(3.2) к уравнениям для квадратичных величин (3.4), которые не
содержат частоты генерации. Линеаризация системы (3.4) вблизи
нулевой особой точки приводит к характеристическому уравнению
5>а4-' = о
с коэффициентами:
а0 = 1, ai = 4(£+l),
а2 = 5(* + I)2 - ЩА - 1) + Л?.,
а3 = 2(£ + I)3 - 8£(х + 1) (А - 1) + 2(£ + 1)Л20с,
а4 = ~ЩЪ + \)2{А - 1) + 4ЪА%С.
Пользуясь критерием Payca-Гурвица, находим условие
самовозбуждения лазера а4 < 0 или в развернутом виде

Решение системы (3.4), соответствующее стационарной
генерации, имеет вид
Однако устойчивость этого решения удобнее анализировать,
обратившись к уравнениям (3.83), (3.84), как это сделано в [247, 292,
298]. Бели находить стационарное состояние непосредственно из
(3.83), (3.84), то окажется, что
пь = 1+А2с, ть=А-1-А2с, Лс = -Л0, Р'= /, P"=-AJ.
(3.105)
Если А\ = Лос/(>Н-1)2, соотношения (3.105) согласуются с (3.104).
В справедливости последнего нетрудно убедиться,
воспользовавшись равенством Ас = —Д> Линеаризация уравнений (3.83),
(3.84) вблизи особой точки (3.105) приводит к
характеристическому уравнению четвертой степени с коэффициентами
оо = 1, (ц = 1Тк + 2 + 7,
a2 = 2y(Z+l) + (Z+l)2 + ymb + Al(Z-l)2, ш)
аз = 7(£ + I)2 + Т(3£ + 1)2ть + А\у{н - I)2,
С4 = 2уЛ(% + 1)ть.
Предположение о наличии комплексных корней Л = iQ+в с малой
действительной частью позволяет записать вместо
характеристического уравнения систему равенств:
(ах + 40)Q2 = а3 + 2а20, J24 - axQ2 + а4 = (3oi - а3)в.
Первое из них определяет частоту малых осцилляции
П и (аз/а!)1/2, (3.107)
а второе — декремент
в0 = Д1 + °1^-°1°2°3 j
a({Zax - а3)
В общем случае процедура нахождения бифуркационного
значения интенсивности генерации тсг из уравнения во = 0 сопряжена
с громоздкими вычислениями, но в пределе я ^> \ (необходимое
условие неустойчивости 1к > 1 + у сохраняется и при наличии
расстройки) все сводится к решению квадратного уравнения
Зтт2г + 25^(1 - ЗЛ2)тсг - 2£3(1 + Л2)2 = 0. (3.109)
При А\ = 1/3 один из коэффициентов уравнения (3.109)
обращается в нуль. По разные стороны от этой расстройки различно и
поведение лазера [298].

Бели известны зависимость тсг(Ас) и соотношения (3.105),
несложно найти Д;Г(ЛС). Вид последней иллюстрирует рис. 3.9,
на котором эта зависимость изображена сплошной линией. Выше
нее стационарная генерация неустойчива. Бистабильной
исследуемая система является, когда рабочая точка попадает между
сплошной и штриховой линиями. Заметим, что эти линии
пересекаются. Ниже точки пересечения сосуществуют режимы
стационарной генерации и пульсаций конечной амплитуды (устойчивая
особая точка и предельный цикл не малого диаметра). Выше точки
Рис. 3.9. Фазовая диаграмма одномодовой двухуровневой модели лазера в
плоскости управляющих параметров АЛС; смысл границ хот же, что и на рис. 3.4
[292]
пересечения альтернативой предельного цикла большого диаметра
является цикл малого диаметра. Соответственно меняется и
характер бифуркации на втором пороге лазера: из субкритической
при малых расстройках бифуркация переходит в
суперкритическую при больших. Положение упомянутой точки пересечения
границ на плоскости управляющих параметров А, Лс зависит от
конкретных значений коэффициентов системы. В пределе х"Э> 1 она
расположена вблизи А% = 1/3, а по мере уменьшения Л смещается
в сторону больших Ас.
О возможных сценариях чередования режимов лазера в
зависимости от вариации управляющих параметров позволяет судить
8ис. 3.10. Дополнительная информация относительно системы
оренца-Хакена по сравнению с рис. 3.4 относится к очень
большим (А > 60) превышениям порога генерации. Именно здесь в
области хаоса появляются окна регулярного поведения.
Увеличение расстройки ведет к ограничению области хаоса по накачке:
при Лс = 0,1 видно ограничение сверху, а при Лс = 0,2 также
и снизу. Начиная с Лс = 0,3 исчезают хаотические режимы, а
с Д. = 0,5 — все высшие бифуркации. На рис. 3.10 обозначены
три маршрута вхождения в область хаотической автомодуляции:
повышение и понижение накачки, уменьшение расстройки. Ха-

рактерно, что во всех случаях реализуется переход к хаосу через
последовательность удвоений периода (сценарий Фейгенбаума).
20 40 60 80 100
I I I I I I I ■ ' I а.
Рис. 3.10. Сценарии смены режимов в двухуровневой модели лазера прн
различных расстройках [292]: области стационарных решений представлены
штриховыми линиями, области периодических пульсаций — сплошными линиями,
области нерегулярных пульсаций — пунктирными линиями (Л = 3, у = 1)
Увеличение размерности системы с трех до пяти вызывает
вопрос: сопровождается ли введение расстройки скачкообразной
перестройкой структуры фазового пространства лазера?
Отрицательный ответ на него был дан в работе [299]. Специальное
исследование здесь потребовалось потому, что на фазовый портрет
системы, нарисованный по результатам численного
интегрирования системы (3.80), большое влияние оказывает конкретный
выбор опорной частоты и, которая остается неопределенной в
процессе перехода к укороченным уравнениям. Лишь при некотором
значении опорной частоты, способ определения которой предложен
в [299], аттрактор имеет такой же двусторонний характер, как и
на рис. 3.4 и рис. 3.7. Меняя и, легко утратить не только данную,
но и вообще всякую симметрию аттрактора.
3.4.6. Фазовая динамика одномодового лазера. Говоря о
нестационарных процессах, мы до сих пор имели в виду лишь
изменение во времени амплитуд поля и материальных переменных.
В конце п. 3.4.2. было сделано единственное пока утверждение
относительно разности фаз между полем и поляризацией среды,
заключающееся в том, что Ф может принимать в условиях точного
резонанса только два значения: 0 и 7Г. Смена одного значения
другим осуществляется скачком, физический смысл которого —
переход от излучения поля средой к поглощению и обратно [288].
Подавляющую часть времени лазер проводит в состоянии
излучения.

Разность фаз между полем и поляризацией легко определяется
в численном эксперименте, но этого невозможно сделать в
реальном эксперименте. Извлекать из эксперимента удается лишь фазу
поля, используя для этого технику оптического гетеродинирова-
ния [175]. Численное же интегрирование системы (3.85)
показывает, что фаза поля изменяется на 7Г в момент прохождения
амплитудой поля нулевого значения. В фазовом пространстве этой
системы скачок фазы ассоциируется с переходом траектории из
окрестности особой точки V = С — (А — I)1/2 к окрестности точки
V = £ = -(А - I)1/2 и обратно.
Все отмеченные закономерности фазовой динамики имеют
место не только в регулярном, как на рис. 3.11, но и в хаотическом,
как на рис. 3.12, режимах.
Фг
Ф
Рис. 3.11. Пример регулярного
решения системы (3.80) для амплитуды и
фаз: а—огибающая амплитуды
электрического поля, б— фаза
электрического поля (fie, о — разность фаз поля
и поляризации Ф; Те = 4,0; А = 12,0;
7 = 0,1
Рис. 3.12. Пример хаотического
решения системы (3.80). Все обозначения
и значения параметров те же, что на
рис. 3.11, кроме 7 = 0| 4
Наличие расстройки меняет характер фазовой динамики,
вырисовывающийся на основании численного исследования, в том
смысле, что наряду со ступенчатыми изменениями фаза поля
(рис. 3.13а) претерпевает также монотонный дрейф [41, 300]. Этот
дрейф имеет чисто кинематическую природу. Его скорость можно
менять вариацией опорной частоты. В частности, когда и задается
равной средней частоте генерации, дрейф полностью устраняется

и картина колебаний фазы становиться такой, как она показана
на рис. 3.135.
*
—я
■/ЩЩ¥/
25
50
Рис. 3.13. Динамика фазы поля излучения двухуровневого одномодового лазера,
выявленная в результате численного решения (3.80) при случайном (а) и
специально подобранном (б) значениях опорной частоты ш (расстройки Лс) [300]
Объяснение феномена скачков фазы остается тем же: переход
фазовой траектории из окрестности одного неустойчивого
стационарного состояния в окрестность другого. Отличие скачка от ж
объясняется иным взаимным расположением особых точек в
отсутствие и при наличии расстройки.
Отмеченную зависимость картины фазовой динамики лазера
от расстройки следует иметь в виду при интерпретации
результатов эксперимента, в котором осуществляется гетеродинный прием
лазерного излучения. Аналогом смены опорной частоты в процессе
численного интегрирования является перестройка гетеродина.
3.5. Динамика трехуровневого лазера
с когерентной оптической накачкой
Бели накачка лазера осуществляется монохроматическим
излучением другого лазера, причем, вспомогательный и рабочий
переходы имеют общий верхний уровень (см. рис. 1.2),
двухуровневая идеализация активной среды может оказаться
недостаточной. В такой системе способны проявляться эффекты,
обусловленные когерентным взаимодействием накачки с генерируемым
полем, а также расщеплением линии усиления вследствие раби-
осицилляций в поле накачки [6, 227, 301-303].
Здесь, впрочем, различают две ситуации, соответствующие
противоположным предельным случаям по расстройке. В первой,
которая рассматривается ниже, как накачка, так и генерируемое
лазером поле считаются строго резонасными соответствующим
переходам. Во второй ситуации оба поля отстроены от центров
переходов на величину, значительно превышающую ширины
спектральных линий активной среды. Этот второй случай соответ-

ствует раман-лазеру, поскольку усиление и генерация
осуществляются благодаря двухфотонному взаимодействию полей с неинвер-
тированным переходом между уровнями 1 и 2. Динамика раман-
лазера ниже не рассматривается, но ее обсуждение можно найти в
работах [304-306]. В резонансном же случае на первый план
выходят однофотонные переходы между уровнями 3 и 2, хотя
отмеченные выше двухфотонные взаимодействия также вносят вклад в
процесс генерации и не могут игнорироваться, если только не
выполнены определенные условия, гарантирующие их подавление. В
этом смысле можно было бы говорить о резонансном раман-лазере,
но подобная терминология не стала общепринятой.
С математической точки зрения переход от двухуровневой
модели лазера к трехуровневой означает заметное увеличение числа
степеней свободы и параметров системы. К новым чертам
динамического поведения системы относится появление второй области
неустойчивости тривиальной ветви стационарных решений.
Более богатым оказывается набор стационарных режимов, а также
сценариев их смены при вариации управляющих параметров.
3.5.1. Самосогласованная модель и возможности ее упрощения.
Эта модель складывается из материальных уравнений (2.49) и
уравнения для генерируемого поля (2.75 а). Поле накачки
считается заданным и пространственно однородным. Игнорируются
эффекты, связанные с ориентационной неупорядоченностью
активной среды, наличием сверхтонкой структуры, а также различным
характером поляризации полей. Эти предположения позволяют
работать со скалярной моделью, понимая под dmn некоторое
усредненное значение дипольного момента перехода. Будем также
считать, что частоты обоих полей в точности совпадают с центрами
соответствующих переходов. Напомним также, что уравнения (2.49)
специализированы для активных сред FIR-лазеров.
В безразмерных обозначениях
т = *732, £ = х/732, Wmn = Wmn/j32, 7ml = Tmi/тзг,
7 = (™3i + 2ш32)/тз2, R = (тгшзг^зг/^Тзг)^,
С = (^п/%32Т1/2)^п, Рзп = 2гД7-1/2"3„, (3"И0)
P2i = 2Лст21, пт = Rcmm, п = п3-п2
система уравнений трехуровневого лазера запишется следующим
образом:
о*£з2
dr
= *(7>32 - £32), (3.111а)
^ = п€32 - Р32 - ^31^31, (3.1116)
^Г = -721^21 + |т(Яц£зЗ + £з17>32), (3.111в)

^Г = -731^31 - £»i(Д - 2п - Зп2) - ^21^32, (ЗЛИг)
-£ = -7С" + £з27>32 + ^31^31 J + (#21 - w3i)n2, (З.Шд)
— = йз2П - w2\n2 + -7^32^*32- (З.Ше)
Выполнение условий
{731,72i} > {1,7, *, О (З-112)
дает возможность адиабатически исключить переменные 'Рзъ 7*21
и перейти от шести уравнений (3.111) к четырем
<*£з2 ~
dr
dV32
= Х(Р32-£32),
= п£з2 - ^32i
dT
— = 7(Л - n - ЕггРгг) + (#2i - #31 - 3rfA/R)n2,
(3.113)
dr
dn2 „ _ 1__
= W327l - 10217l2 + -7t"32>732-
dr "" """' ' 2
При дополнительных условиях
#31 = #2i, (3.114)
7Л/Л < w21 (3.115)
из (3.113) выделяется замкнутая система трех уравнений.
Буквальное ее совпадение с лоренцевой системой (3.85) достигается
введением параметра накачки А = Л53г1/(27з1)-
Число параметров системы (3.111) можно несколько сократить,
не обедняя физической картины. В частности можно положить
731 = 721 = 71. #31 = #21 = #1-
3.5.2. Условия самовозбуждения. В отсутствие генерации
стационарное состояние лазера описывается следующим решением
системы (3.111):
4? = ^2 = ?£ = 0, П2а) = (#32/#l)n(°>,
.,_ (3.116)
ia) _ А -tjW Д/71 г
Для компактности записи введен параметр 6 = 1 + 3#32/2#i-

Примем в качестве новых переменных отклонения от
стационарных решений (3.116):
6£32 = £з2, #Р32 = ^321 ^21 = ^21)
8Гз1 = Гз1-г£>, 8п = п-пМ 8п2 = п2-п2а).
Линеаризованная по этим переменным система уравнений
распадается на два изолированных блока:
^Г(^32) = *(«>32 - ^32),
^г№2) = п{а) ^32 - SPsi - \^х SV2U (3.117)
^V21) = -71 SV21 +-|т(^Й) ^32 + fcl «Р32),
И
—(SV3i) = -7i «>3i + ^31 (2 6п - 3 Дп2),
^Г(^) = -т(*п + \ €гг W3i), (3.118)
—(£п2) = г«з2 *n - w\ 8п2.
ат
Система (3.118) не имеет нарастающих решений. Системе (3.117)
отвечает кубичное характеристическое уравнение с
коэффициентами
о0 = 1, аг = 71 + £ + 1,
а2 = й + 7х(й + 1) + -7^1 - >™(а). (3.119)
а3 = Х7(1 - сп^) + -7Й£зц
где с = 1 + 7/271-
Критерий Payca-Гурвица обнаруживает две возможности
перехода характеристических корней в правую полуплоскость: аз < О
и а^а2 — аз < 0. Бифуркация на границе аз = 0 означает, как и
в двухуровневом лазере, превращение устойчивого узла в седло с
появлением одновременно двух нетривиальных стационарных
решений типа (3.87). На границе же а\а2 = аз происходит хоп-
фовская бифуркация, в результате которой малые колебания с
частотой П = у/аз/ai из затухающих становятся незатухающими.
Поскольку такие колебания невозможны при аз < 0, перекрытие
Двух областей генерации исключается. Выполнение неравенства
aia2 < аз при аз > 0 означает, что самовозбуждение лазера
реализуется в виде нестационарной генерации.

Условие а3 = 0 приводит к квадратному уравнению
ЩА/R)2 - М(А/В) + 1 = 0 (3.120)
(М = cR — 26 — 7/2), определяющему границы по накачке для
первой области генерации:
Совершенно аналогично уравнение
bKi(A/R)2 - (К2 - 2ЬК3 - KX/2)[A/R) + К3 = 0 (3.122)
с корнями
А2 К2 - 2ЪК3 - Кг/2
i/i±fi 2** l1'2}
\ L (#2 - 2Ь#з - #i/2)2J J
Л 26^
(3.123)
получаем из условия а\а2 = аз. Посредством Jif,- обозначены
следующие комбинации коэффициентов исходной системы:
Ki = 77i (Ti + 1), К2 = ХД(Х + 1 - 7/2),
К3 = (71 + й)(х + 1) + 71 (* + I)2.
Параметр накачки А реален и положителен. Это обстоятельство
ставит, как видно из (3.121), существование первой области
генерации в зависимость от выполнения двух неравенств: М2 > 4fry
и М > 0. Отсюда ограничение снизу на концентрацию молекул
(предельное усиление) активной среды
R > i?! и 26/с < 26. (3.124)
Подобные же рассуждения с (3.123) приводят к условиям
существования второй области генерации:
(к2-2ЬК3-^кЛ >4ЬК1К3, К2>2ЬК3 + ±К!
и далее к условиям
R > R2 » Ь[тг + к + 7i (* + 1)]/* > 26. (3.125)
Отсюда видно, что R2 = 2Ь(Л + 1)/£ при 71 = 1 и быстро
увеличивается с ростом 7i- В пределе Д>1 справедлива асимптотика
.(_) R 1 .(+) RM R2c
А1 ~ М ~ с' Al ~ щ ~ £у '

Нетрудно убедиться в том, что А\ < А^ , а это означает в
данном случае полное поглощение второй области первой и — в силу
оз < 0 — ее исчезновение.
Более тщательное рассмотрение неравенств М2 > 467 и (К2—
-2ЬК^—К\/2)2 > 46.К1.К3 приводит к выводу о существовании
таких интервалов значений параметра Ь, в которых отсутствуют
действительные решения уравнений (3.120) и (3.122) соответственно.
Численные оценки для R = 5, 7i = 1 приводят к интервалам
подавления первой области генерации 1,8 < b < 5,2(7 = 0,8) и 2,01 <
< Ь < 3,49 (7 = 0,2) и второй области генерации 1,01 < 6 < 1,2
(7 = 0,8) и 1,1 < 6 < 1,16 (7 = 0,2). Напомним, что Ь = 1
соответствует W32 <£. w\.
На рис. 3.14 представлены диаграммы, иллюстрирующие
влияние на пороговые условия генерации параметра у. В качестве
V
0,50
0,25
-0.25
-0,50
0,50
0,25
-0,25
-0.50
0,50
0,25
-0.25
-0.50
0 12 3 аЮ1
Рис. 3.14. Диаграммы, иллюстрирующие влияние управляющих параметров у и
J?R3i иа пороговые условия трехуровневого лазера с когерентной накачкой [303].
По оси ординат отложена раби-частота в генерируемом поле; штриховой линией
обозначена ветвь неустойчивых стационарных решений: х = 10; R = 5; у = 1,0
(°); 0,7 (б); 0,2 (в)

второго управляющего параметра здесь принята нормированная
частота Раби в поле накачки
^т=т =
«fei-Fbi
2/>7з2
В данном случае такая замена оправдана тем, что величина Qr
остается конечной при у —> 0, тогда как А\ ' и А\ отодвигаются
в бесконечность. Обращает на себя внимание отсутствие второй
области генерации при больших 7 и пересечение границ
бифуркаций. Разумеется непосредственный физический смысл имеет
лишь -та часть второй области, которая находится вне первой.
Однако численное интегрирование системы (3.111) показывает [281],
что влияние второй области может проявиться в виде
неустойчивости стационарного режима в первой (перейти на генерационную
ветвь стационарных решений, как сформулировано в [281]). При
Д>1 такое влияние не ощущается.
3.5.3. Генерационные режимы. Генерационная ветвь
стационарных решений (3.111) описывается системой равенств:
V32 = £32, V21 = 2( W&l) & ~ 1), ^31 = "2(П + £l2)/£31,
WXn-i = й32П + -7^32. 271^21 = 7^32(^31 + ^3l),
^32 +
71^21 + £31 (Д - 2й - Зй2) + -^21^32 = О,
которую удается свести к биквадратному уравнению
^32+ [^(l^-/-2*- l) +2Ti(r-l) + l
+6^ + [R7- Щ7- 1) - 7i]^32i + 271 (г - 1) = 0, (3.126)
где г = 1 + 27i/7- Поскольку коэффициент при Е\2 больше О,
условие наличия положительного корня (3.126) сводится к
отрицательности свободного коэффициента этого уравнения. В целом
же задача свелась к отысканию корней квадратного уравнения
Ь£341 ~ [Rr- Щ7- 1) - 7i]£32i + 27i(r - 1) = 0, (3.127)
между которыми и располагается область стационарной генерации
трехуровневого лазера. Заметим, впрочем, что (3.127) идентично
(3.120). Как и следовало ожидать, область существования
нетривиальных стационарных решений исходной системы совпала с
областью неустойчивости тривиальных решений. Стоит упомянуть
также, что при выполнении критериев (3.112) и (3.115) уравнение

(3.126) приводится к такому же выражению для мощности
стационарной генерации £$2 = -А — 1, которое было найдено выше в
модели Лоренца (см. (3.87)).
Сведения о нестационарных режимах получены численным
интегрированием системы (3.111) в двух предельных ситуациях. В
первой из них не выполнены неравенства (3.115) и не соблюдены
ограничения на малость параметра A/R [281, 303]. Это означает,
что сказывается и раби-расщепление линии усиления в поле
накачки и нелинейное взаимодействие накачки с генерируемым
полем.
Это четко проявляется при слиянии двух областей генерации,
показанных на рис. 3.14. Именно здесь среди численных решений
(3.111) присутствуют нерегулярные.
В другой предельной ситуации, когда А -С Л, активная среда
далека от насыщения по переходу накачки, благодаря чему линия
усиления исходно не деформирована. На рис. 3.15 представлена
фазовая диаграмма такого лазера в плоскости управляющих па-
_j ■> i а •
10 15 А
Рис. 3.15. Фазовая диаграмма одномодовой трехуровневой модели лазера в
плоскости управляющих параметров А, 71 при у = 0,15; ж = 4,0; tui = 0,015;
Д=103

раметров A, 7ii которая позволяет составить представление о том,
как влияет на динамику генерации скорость разрушения
когерентности переходов 1 —> 3 и 1 —> 2. Как и на рис. 3.4, сплошной
линией обозначена граница неустойчивости стационарной
генерации, штриховой — граница жесткого возбуждения пульсаций.
Пунктирными и штрих-пунктирными линиями выделены
переходные зоны между областями с регулярным и хаотическим
поведением.
Как и следовало ожидать, при больших 7i ситуация качественно
не отличается от лоренцевой. Но по мере уменьшения 7i
картина меняется. Здесь имеется область асимметричных пульсаций
типа амплитудной модуляции, отсутствующая в модели Лоренца-
Хакена.
Сценарий перехода от РП(Б) к РП(А) через полосу
хаотической автомодуляции вырисовывается из рис. 3.16, кадры которого
следуют разрезу по 71 при фиксированном параметре А.
Последовательность бифуркаций между рис. 3.16а и 3.166 повторяет ту,
что изображена на рис. 3.7 а-д, и потому здесь не приводится.
Далее через цепочку последовательных усложнений
симметричных пульсаций достигается режим динамического хаоса
(рис. 3.16е) подобный показанному на рис. 3.7е. Все указанные
бифуркации проходят в полосе, между пунктирными линиями 3
и 5" на рис. 3.15.
Дальнейшее уменьшение 7i имеет следствием качественную
перестройку хаотического процесса. Из «двухпетлевого»,
характеризующегося нерегулярными переходами фазовой траектории из
окрестности одной особой точки типа седло-фокус в окрестность
альтернативной точки (при этом фаза огибающей поля
испытывает скачок на 7г), аттрактор превращается в «однопетлевой».
Соответствующие «однопетлевому» аттрактору колебания
амплитуды поля не обнаруживают скачков фазы на 7Г, а в спектре
этого процесса четные и нечетные гармоники представлены
равноправно.
Выход из зоны «однопетлевого» хаоса в область регулярных
несимметричных пульсаций осуществляется через обратную
последовательность удвоений периода (на рис. 3.16г показаны
пульсации с периодом 8Т, а на рис. 3.16<? — с периодом 2Т),
завершающуюся простым периодическим режимом типа амплитудной
модуляции (рис. 3.16е).
Численное моделирование позволило установить, что картина,
изображенная на рис^З.15, мало чувствительна к конкретным
значениям параметров w\ и R до тех пор, пока выполняется
неравенство (3.115).
Заметное количественное влияние на всю картину оказывает
параметр у: по мере роста у границы 1 и 2 смещаются вправо, а
область хаотических пульсаций расширяется.

Рис. 3.16. Последовательность решений системы (3.111), реализующихся при
переходе из зоны регулярных «двухпетлевых» в зону регулярных «однопетлевых»
пульсации через границы S и 4 (см. рис. 3.15): у = 0,15; х = 4,0; А = 12;
R = 103; 5i = 0,015; Ti = 2,60 (о), 2,45 (б), 2,44 (в), 2,42 (г), 2,40 (д), 2,30 (е).
А. — форма огибающей напряженности электрического поля в генерируемой
волне; Б— проекция фазовой траектории на плоскость п£; В — спектр
огибающей

3.5.4. Экспериментальные исследования аммиачных лазеров с
оптической накачкой. Схема экспериментальной установки была
представлена на рис. 1.22. Однородности линии усиления
активной среды способствует монохроматичность накачки. Частота
накачки специально смещается в сторону от центра доплеровской
линии поглощения аммиака с целью селективного возбуждения
группы молекул с определенным, но не равным нулю, значением
проекции скорости движения на волновой вектор накачки. Тем
самым обеспечивается возможность генерации волны, бегущей
навстречу волне накачки, так как в этом случае нелинейное
искажение формы линии усиления полем накачки минимально [305].
Принципиальной деталью является гетеродинный прием
сигнала. Этот метод позволяет получать информацию о динамике
амплитуды и фазы поля, тогда как гомодинный прием выявляет
характеристики только интенсивности излучения. Однако
регистрируя лишь интенсивность, невозможно выяснить меняет ли в
процессе пульсаций огибающая поля знак или же колебания
происходят по одну сторону от нулевой линии амплитуды поля.
Результаты экспериментальных исследований динамики
аммиачных лазеров, генерирующих на длинах волн 81,5, 153 и
376 мкм, изложены в [39-41,178-180,182-186,308]. Из этих
работ следует, что существенными управляющими параметрами
являются: давление газа, интенсивность накачки, добротность
резонатора и его относительная отстройка от центра линии усиления.
Давление аммиака очень сильно влияет на поведение лазера. В
области давлений, превышающих 6 Па, динамическое поведение
в общих чертах следует предсказаниям модели Лоренца-Хакена:
— Граница неустойчивости режима стационарной генерации
достижима лишь в том случае, если давление газа меньше
некоторого предельного значения порядка 10 Па (или 0,05 Тор). В
противном случае ударное уширение однородной линии приводит к
нарушению необходимого условия динамической неустойчивости
(3.92). Повышение порога неустойчивости при увеличении
давления газа может быть компенсировано, в определенных пределах,
увеличением потерь резонатора (например, внесением ирисовой
диафрагмы).
— В случае точной настройки лазера преодолению порога
неустойчивости соответствует хопфовская субкритическая
бифуркация. Возникающие пульсации большой амплитуды могут быть как
регулярными (15ГШз лазер с Л = 376 мкм), так и хаотическими
(15NH3 лазер с Л = 153 мкм и 14ГШз лазер с Л = 81,5 мкм).
— При центральной настройке хаотический процесс имеет вид
нарастающих последовательностей импульсов, прерывающихся в
случайные моменты времени («спиральный хаос»). Переход от
одного цуга к другому сопровождается скачком фазы поля на ж
(рис. 3.17). Это указывает на то, что аттрактор имеет форму
двусторонней спирали, характерную для лоренцевой модели. В

пределах каждого цуга обнаруживается линейная эволюция фазы.
Средний наклон фазовой зависимости в пределах цуга зависит от
опорной (гетеродинной) частоты и отстройки резонатора. Однако
линейная эволюция искажается фазовой модуляцией, синхронной
с пульсациями интенсивности. Глубина модуляции аномально
велика с точки зрения модели Лоренца.
Рис. 3.17. Двусторонний хаос в излучении аммиачного FIR-лазера на длине
волны 153 мкм при давлении 9 Па [41]: а — интенсивность, б — фаза
генерируемого поля (одно деление по вертикальной оси соответствует тг)
— При отстройке моды резонатора от центра линии поведение
лазера подобно предсказываемому комплексной моделью Лоренца.
По крайней мере это относится к области относительно высоких
давлений газа между 6 и 10 Па. При перестройке лазера в
направлении от крыла к центру линии динамика меняется, начиная
с непрерывного режима, который затем переходит в регулярные
пульсации. Последние через каскад удвоений периода приходят в
область промежуточного хаоса, включающего окна с высокого
порядка периодичностью. Через область с периодом ЗТ вся эта
последовательность превращений заканчивается лоренцеподобным
спиральным хаосом на центре линии 2).
) Эти результаты получены в экспериментах с лазером, работающим на
Длине волны 81 мкм.

- Корреляционная размерность d2, рассчитанная по
экспериментальным данным, слегка превышает двойку. Примерно такая
же величина получается из расчетов спирального хаоса,
осуществляемых в рамках лоренцевой модели при задании лазерных
параметров.
Расхождение между поведением лазера и предсказаниями
лоренцевой модели увеличивается по мере снижения давления и
увеличения мощности накачки, поскольку оба этих фактора
повышают значимость нелинейных эффектов, обусловленных
когерентностью накачки. Так, уже для давлений ниже 8 Па порог
неустойчивости стационарной генерации ниже, чем это дает ло-
ренцева модель. При низких давлениях вместо двустороннего
аттрактора может наблюдаться односторонний, когда фазовые
траектории локализованы вблизи одной из особых точек без перескоков
в окрестность другой особой точки (рис. 3.18).
II
Время
Рис. 3.18. Односторонний хаос, наблюдающийся в излучении аммиачного
FIR-лазера на длине волны 153 мкм при давлении 9 Па [41]: а —
интенсивность, б — фаза генерируемого поля
При более низких давлениях и более высоких накачках
лазер может обозначать пути к хаосу, отличные от сценария Фей-
генбаума. Например, различные типы перемежаемости
наблюдались на Л = 81 мкм, когда давление газа выбиралось в диапазоне
3,5 — 6 Па и мощность накачки превышала 3 Вт/см2.
Какая же модель лазера лучше согласуется с
экспериментальными данными: трехуровневая, лоренцева или какая-то еще?
Сопоставив экспериментальные данные с результатами расчетов,
авторы работ [183, 186] склонны думать, что в оптимальной области

рабочих давлений предпочтительна модель Лоренца-Хакена,
тогда как трехуровневая модель (при использованных в расчетах
значениях параметров) менее удачна. Такой вывод объясняется
тем, что решения очень чувствительны к выбору такого
управляющего параметра как 71 = Тш/тзг» а этот параметр известен
весьма приблизительно. Поэтому представляется более
правильным утверждать, что для значений параметров, использованных
в численных расчетах (они были даны выше), лучшее согласие с
экспериментом обнаруживает модель Лоренца-Хакена. Это можно
перефразировать следующим образом: поскольку модель Лоренца-
Хакена является частным случаем трехуровневой модели, не
исключено, что отличие использованных значений параметров от
истинных их значений чересчур велико.
Из общих соображений ясно, что лоренцева ситуация
реализуется в пределе достаточно высоких давлений газа, когда
соударения эффективно разрушают когерентность на частотах переходов
8 -Ь 1 vl 2 -Ь 1, а значит устраняют нелинейное взаимодействие
между генерируемым полем и накачкой. При более низких
давлениях когерентное взаимодействие между полями оказывается
существенным.
Обсуждая проблему поиска адекватной модели лазера с
когерентной накачкой, следует иметь в виду, что существуют еще, по
крайней мере, два фактора, способствующие ослаблению
когерентного взаимодействия полей. Первый из них — сверхтонкая
структура (вырождение) энергетических уровней, задействованных в
схеме лазера. В работе [309] показано, что учет расщепления
общего для переходов накачки и генерации верхнего уровня делает
поведение лазера зависящим от поляризации полей. Наиболее
близким к лоренцеву поведение оказывается в случае линейной
поляризации полей и их ортогональности.
Второй из упомянутых факторов — неоднородное (доплеров-
ское) уширение линии, следы которого остаются, невзирая на
монохроматичность накачки. Дело в том, что верхний лазерный
уровень может расщепляться под действием как накачки, так и
генерируемого поля (высокочастотный эффект Штарка).
Соответственно, искажается линия поглощения, что усиливает
взаимодействие накачки с разными группами молекул. В работе [310]
численно исследована трехуровневая модель лазера, представленная
217 уравнениями, что означает разбиение молекул активной среды
на 24 моноскоростные группы. Подгонкой параметров удается
приблизить поведение такой модели к характерному для лоренцевой
модели в численном эксперименте.
И, тем не менее, проблема пока не закрыта. Еще предстоит
показать математически, что резко усложненная вследствие
увеличения числа степеней свободы трехуровневая система может быть
сведена к эквивалентной двухуровневой, и сформулировать
конкретные условия, при которых это возможно.

3.6. Влияние неоднородного уширения
на динамические характеристики лазера
Как уже отмечалось выше, объяснение феномена динамической
неустойчивости в лазерах можно основывать на нелинейной
деформации спектрального профиля усиления активной среды. В
среде с однородным уширением единственный механизм,
создающий благоприятные условия для роста боковых компонент
спектра излучения, это раби-осциллншш. Второй механизм —
выжигание провала вследствие селективного насыщения части линии
монохроматическим полем — специфичен для сред с
неоднородным уширением. Снижение порога неустойчивости во втором
случае объясняется тем, что насыщающая мощность заметно меньше
той, при которой в системе развиваются раби-осицилляции.
3.6.1. Адиабатические модели газовых лазеров. Большинство
атомарных газовых лазеров относится к классу А. Поскольку
7х.7||>ж,ыа, (3-128)
то в категорию быстрых зачисляются все материальные
переменные. Они адиабатически исключаются из уравнений, причем
условие 7х ^" 7|| = 2waWb/(wa + Wb) в данном случае не является
обязательным. Следуя [289], рассмотрим ниже предельный
случай слабой кросс-релаксации, которому посвящено подавляющее
большинство теоретических работ.
Для одномодового лазера стоячей волны взаимодействующее
со средой поле излучения представлено единственной продольной
модой с волновым числом к = 1Лк. В разложении матрицы
плотности могут присутствовать также гармоники qk. Осложняющим
обстоятельством является то, что встречные волны, имеющие
общую частоту и одинаковые амплитуды Fj = F-i — F,
взаимодействуют с разными группами атомов. Полагая условия (3.128), а
также уаъ ^L 7Ь выполненными, будем считать daq/dt = dDq/dt =
= dSq/dt = 0 и, исключив затем Sq, переходим от (2.70) к системе
зацепляющихся уравнений:
idF 1
а« ~ "Й" ъ-Цы-ыо-qkO) {Dq+1 + Dq-l]'
D =-Ш (^1 + I ^ х (3-129>
* 2h \iqkU-\-wa iqkU + Wf,/
x(<re+1 + ae_! - <r*,_! - alq+1) + D°qh(U).
Здесь использованы обозначения
L./2
0 waAaq WbAbq 1 / . ,
Щ = Г-ТТ7 Г-ТТ7, A;a = — / Ai exp(-tqkz) dz,
9 wa + iqkU wi + iqkU' 3q L J 3 vy ч '
-L./2
(3.130)

где L — длина резонатора, Ls — длина ячейки с газом, i.e.
активного элемента.
Для того чтобы вычислить поляризацию среды, необходимо
найти решения системы (3.129) в явном виде. В работах [311-
314], посвященных проблеме резонансного взаимодействия газа с
сильным полем, установлено, что приближенное решение может
быть получено для поля произвольной амплитуды. Такая
возможность базируется на сходимости пространственных рядов Фурье,
аппроксимирующих матрицу плотности. В [314] показано, что
при условии ur, <; 7х поляризация определяется только
пространственно однородной составляющей инверсии. Поправка высшего
порядка пропорциональна (wr/yj.)2- Поскольку указанное выше
неравенство совпадает с одним из критериев (3.128), отличными от
нуля будем считать только Do и a±i. Решение уравнений (3.129)
не представляет теперь принципиальных трудностей:
D0 = D°h(U){l + &x—\— 1——-— +
I I /И 7||7-LLl-(w-wo-fctf)2/7i
-1
, + wyhi\) '
l + (w-wo + fcl7)2/T
_ idF 1 (3.131)
ff±1 ~ ~ 2h1± 1 + t (wb - w ± kU)hL °"
Искомые уравнения лазера получаются из (2.30) после
подстановки в правую часть выражения для поляризации среды:
~ + [х-х{ы- wc)]F = ^^ N. f[ trEi{r) dVdU. (3.132)
Заметив, что
а = aieikz + o-ie-ikz, E^r) = (eikz + e~ikz)/y/2,
перепишем (3.132) в виде
dF г- Г
— + [х- i(w -bjc)]F = 2\f2iriwNad I {аг + o-j) dU. (3.133)
Распределение атомов по скоростям будем считать максвеллов-
ским,
h(U) = -7±—exp(-U2/U0i),
где Uq = (2квТ/та)1^2 — наиболее вероятная скорость, Т —
температура газа, та — масса атома. Используя соотношения (3.131),

преобразуем (3.133) к
-■Цх-^-цЛУ- * • °Fx
Г Г L_
У-оо U + i(wo-u; +
+
ibtOTl1 ' 1 + i(uo - ы - kU)y[
exp(-t^/Dg) dtf
?]
^ I 7II7J_ I L 7. J L 7. J J
1 +
7||7J-
71
П
(3.134)
В форме
dm
At
= 1m x
/A 7 (1 + Л2 + Ц2)ехр(-Ц2/ц2)с*ц '
X1 7Г 7 [1 + (Д, + u)2][l + (A, - u)2] + 2m(l + Л2 + u2)
(3.135)
-J— = — A)c —
ат ус
-Ы
(1 + Л2 + и2) ехр(-ц2/ц2) dц
[1 + (Д, + и)2][1 + (Д, - «)*] + 2то(1 + Л2 + и2)'
—оо
(3.136)
уравнения одномодового лазера [315] запишутся, если разделить
в (3.134) действительную и мнимую части F = \F\ etv и ввести
безразмерные обозначения:
2,3/2^2
А- hhUo* """" (3.137)
и = kU/ju А0=(и- u0)/jl-
Интегралы, стоящие в правых частях (3.135) и (3.136), в
элементарных функциях не выражаются. Интегрирование удается
лишь в двух предельных случаях: щ <^ 1 и щ ^> 1. В первом из
них движение атомов не существенно и экспонента может быть
заменена <5-функцией. Во втором случае, который именуется допле-
ровским пределом, неоднородное уширение спектральной линии
т = tx, m =
1
27||7х
dF
h

доминирует. Экспоненту можно считать слабо меняющейся
функцией и вынести за знак интеграла при значении и = Л0. После
этого интеграл берется и уравнение (3.135) переходит в уравнение
dm Л
— = 2т
ат
{ 1[2(1 + т-Л1 + 1)]Ф "'J' (ЗЛ38)
в котором / = [(1 + Л2)(1 + Л2 + 2т)]1/2. При Л0 = 0, уравнение
(3.138) резко упрощается:
dm
= 2m(-==-l). (3.139)
VvT+2^ J V '
Уравнение (3.138) удается упростить и в случае т<1, т.е.
когда попе излучения слабо насыщает активную среду. Разложением
правой части в ряд уравнение преобразуется в
dm
— =2го
ат
;4-&4М-ЗН
(3.140)
Впервые такое уравнение было получено Лэмбом [316] в рамках
теории возмущений.
3.6.2. Элементы адиабатической (ламбовской) теории лазера.
Если в генерации участвует одна мода, то поведение газового
лазера подчиняется уравнениям (3.140). Нетривиальное
стационарное состояние
ж .,1±$[1.-*У'*)] ("«I
существует в случае выполнения условия самовозбуждения
А>ехр(А20/и2). (3.142)
Когда резонатор настроен на центр линии (А, = 0) условие
самовозбуждения переходит в А > 1, а соотношение (3.141) — в
т={А-1)/А. (3.143)
Найденное стационарное состояние устойчиво. Линеаризуя
уравнение (3.140), можно найти, что отклонения от положения
равновесия (3.141) экспоненциально затухают со скоростью
|4,| = Am !±^§ ехр ( - А2/и*). (3.144)
Постоянная времени процесса установления titaas = 1/(*г|0о|).

Энергию поля (число фотонов) в резонаторе и излучаемую
лазером мощность можно оценить по формулам
совпадающим с (3.77) и (3.79).
Пример 3.6
711 = 1,5-10е с"1; с*=1Дб; | М = 10е;
7± = 10е с"1; Ус = 2 см3; j Fout = 5 • 10~4 Вт;
х=2-106с-1; А = 1,1; | ttranB = 2,5 • Ю"6 с.
Частота стационарной генерации определяется из уравнения
(3.140):
х ж тг V «о/\ «о 2 1 + 4g/ V /
Поскольку рассмотрение проводится в предположении m <С 1,
последнее соотношение удается преобразовать к виду
А> 6ujinh\ 2 2 + Al)' к '
Здесь 6wc/6winh = 2и/у/жкХ1о — отношение полосы резонатора к
ширине неоднородной линии активной среды.
Формула (3.146) описывает два эффекта. Первое слагаемое в
правой части дает линейный сдвиг (притягивание) частоты к
центру спектральной линии, обусловленный дисперсией системы. В
рассматриваемых лазерах 6шс <^ 6и>-,пь и с учетом только
линейного затягивания частота генерации
ш = шс — -—— (и>с — ш0). (3.147)
Второе слагаемое в правой части (3.146) пропорционально
интенсивности излучения. Увеличение накачки имеет те же
последствия, что и уменьшение параметра 6шс/6ш-1Пь: сдвиг частоты
генерации к центру атомной линии уменьшается. В этом смысле
эффект иногда называют нелинейным отталкиванием частоты
генерации от центра линии.
Нелинейное отталкивание частоты специфично для активной
среды с доплеровской формой линий. Оно обусловлено
деформацией функции распределения по скоростям под влиянием
излучаемого поля. Из выражения (3.131) видно, что на контуре D(V)
имеются провалы, локализованные вблизи значений
U = ±{u>- ыо)/к.

Число провалов потому равно двум, что каждая из встречных волн,
составляющих рассматриваемую моду, взаимодействует со своей
группой атомов, отличающейся знаком проекции скорости
движения на ось волнового пучка.
Контур усиления активной среды под действием насыщающего
поля также меняет форму. Подобная деформация характерна для
любой спектрально неоднородной среды. Но только в случае допле-
ровской природы неоднородного ушире-
ния стоячая волна создает два провала
на контуре усиления. Наличие
зеркального провала изменяет значение
показателя преломления на частоте генерации
и проявляется через нелинейное
отталкивание частоты от центра линии.
Следствием того, что стоячая волна,
отстроенная по частоте от центра
линии, насыщает две группы атомов, а при
резонансе — лишь одну, является
своеобразная зависимость интенсивности
генерации одномодового газового лазера
от частоты. Эта зависимость
представлена формулой (3.141). Пока
превышение порога невелико (А— 1 < 2/«о)
кривая тп(Ао) имеет максимум при Aq — 0.
Увеличение накачки до значений А — 1 > 2/uq качественно меняет
картину (рис. 3.19), причем в точке Aq — 0 теперь располагается
минимум (пэмбовский провал), а в точках
Рис. 3.19. Зависимость
интенсивности излучения
одномодового газового лазера
от расстройки при наличии
лэмбовского провала
(график построен в соответствии
с формулой (3.141) при uo =
= 4,0иЛ=1,5)
Aq = ±yj-2 + у/2 + иЦА-1).
максимумы.
3.6.3. Снижение порога неустойчивости стационарной
генерации. Очевидное обобщение системы (2.75) на случай активной
среды с неоднородным уширением приводит к следующим
уравнениям лазера бегущей волны:
dF 8F .
dt
(ш — wc)]F = 2-KiwN„d I ff(t,w0) du0,
dFD, (3.148)
dz
do , .. 4, i
^ + [7±-•(«-«*)]» =-2fc
^ + тиф - D<°>) = -^Ta - Fa*).
Ограничившись случаем точной настройки одной из мод на центр
неоднородной линии иоо, будем придерживаться равенства и =
= шс = woo» которое заведомо справедливо для симметричной

линии усиления. Преобразование (3.148) к безразмерной форме
проведем в соответствии с (3.1), считая i = jj1 и добавив и =
= (о»о — ^oo)/tJ-i С = z7l/c- Если неоднородное уширение имеет
доплеровскую природу, то и = kU/yx, как в (3.137). Указанным
способом система (3.148) преобразуется к виду
(£+£)'=</"-'>
—оо
-£-iup = nf-p, (3.149)
дп „,
Л(и)-п--(Гр + Р*
\(Гр + р*л].
Прежде всего найдем стационарные решения (3.149). Если
потери и усиление равномерно распределены по периметру
резонатора, то / не зависит от пространственной координаты. Полагая
в (3.149) все производные равными нулю, находим
р = A(u)f—^ 7, п = Л(и) —^ 5", (3.150)
г _ v ,J\ + m + u2' v 'l + m + u2' v '
где m = \f\2 определяется из уравнения
J A{u)du =
J 1 + m + u2 v '
—oo
Основываясь на соотношении (3.151), определим параметр накачки.
Для этого заметим, что на пороге генерации (3.151) переходит в
Adu „.
= 1. (3.152)
/
1 + u2
Полагая теперь Л(и) = A(0)h(u) и разделив (3.151) на (3.152),
запишем результат в виде
оо оо ,
Л(0) , „., ,- , , ./.л ,- Ч -1
А =
Athr
_ Г h(u) duf f h(u) du \
- J T+tfKJ i + m+u2) • (3-153)
В предельном случае однородного уширения, h(u) = 8(0),
соотношение (3.153) сводится к А = 1 + т, что идентично (3.87).
Из всех функций распределения, способных аппроксимировать
реальную ситуацию в лазерных средах с неоднородным ушире-
нием, предпочтительной с математической точки зрения является
лорентцева функция
Ци) = ГГ~2»

поскольку она позволяет осуществить интегрирование в
квадратурах. Так соотношение (3.151) сводится к соотношению
у/1 + Ш(у/1 + Ш + «о) = Л. (3.154)
Исследуем теперь устойчивость стационарно генерирующей
резонансной моды по отношению к ее собственному возмущению,
следуя работам [262 - 264]. В общих чертах анализ повторяет схему,
изложенную в § 3.4. Поскольку за кадром остаются все моды,
кроме резонансной, нет нужды удерживать производную д/д£.
Поэтому, считая / действительной величиной, а р = jf + ip", можно
переписать систему (3.149) в форме
df Г .
— + xf = х I р du,
"■Р . i _ и . ,
-т- + Р = -up + п/,
*'„ , (ЗЛ55)
— + р =иР,
— = j(A-n-fp').
Линеаризуем далее уравнения, подставив в (3.155) выражения
{/>Р,п} = {/>Р|й} + {Sf,Sp,6n}eXr и отбросив нелинейные по
малым отклонениям Sf, 8р, 8п члены. Это приводит к системе:
(\ + Z)6f = 3if8p'du,
(А + 1) Spf = -uSp" + nSf+ fSn,
(A+l)*p" = u^,
(Л + у) Sn = -y(fSp' + pSf).
(3.156)
Три последних уравнения из системы (3.156) сводятся к
соотношению
Л/ = ГА + П (А + 7)п-7/Р и
Р У ^(A + l)2(A + 7) + 7m(* + l) + u2(* + 7) У'
подстановка которого в первое из уравнений (3.156) с учетом (3.150)
ведет к характеристическому уравнению
a,~vA + 7 ~ 7 ,А + 7-т7 + Ц2(А + 7) j to л^\
(А + *>ITT = х ] А (B + ui)(i + m+u>) du' (ЗЛ57>

2 . ~_Л+1
в котором
В = (А+1)2 + 7т, , —
А + 7
Преобразуем соотношение (3.157) в
А+£
(А + 7)
А+1
х-
+ y)(l-B)-ym f /_1 1 \ .
1+т-В У V-B + u2 l + m + v?) ^
—оо
оо
—оо
а затем, воспользовавшись равенством (3.151), в соотношение
—оо
Выполнив интегрирование для лоренцевой функции
распределения и приняв во внимание (3.154), получим из (3.158) уравнение
= х[(А+7)(1-В)-ЭД ^ + «о + лДТ^
у/В(ио + \/В)(уТ+М + v/B)'
(3.159)
Последняя трудность на пути к аналитическому решению
проблемы устойчивости заключается в иррациональности уравнения
(3.159). Обойти эту трудность можно, умножив (3.159) на
уравнение
и приобретя на этой операции лишние корни. В общем виде такой
путь сопряжен с громоздкими алгебраическими преобразованиями.

Заметно дело упрощается в двух предельных случаях:
«о = 0 — чисто однородное уширение,
и0 —> оо — предельно неоднородное уширение.
Первый из них был рассмотрен выше, а во втором уравнение
(3.159) трансформируется в
А т 1
= Ц(\ + Щ1-В)-ут]-В{Х + ^-*)Х. (3.160)
Возведение в квадрат обеих частей (3.160) дает уравнение 8-й
степени. Понижение степени до 6-й достигается в частном случае
7=1, когда (3.160) переходит в соотношение
\{к-1)у/Т+ту/В = Щ\ + 1)(В-1) + т\-В\(к-1), (3.161)
где В = (А + 1)2 + т. Нетрудно убедиться в том, что среди корней
характеристического полинома, получающегося в результате
возведения в квадрат (3.161), имеется Л = —2. Таким образом, дело
сводится к анализу корней уравнения
5
^спЛ5-" = 0 (3.162)
п=0
с коэффициентами
о0 = 1, ai = 2(5^+1), a2 = — тм? + 2(2 + m)*r + 1 + m,
о3 = 2(1 + 3m)5f, a4 = m(2 — m)x2 + 2m(l + m)5r, as = 2m2Sr.
(3.163)
Предполагая, как мы уже неоднократно поступали выше,
наличие хопфовской бифуркации, подставим в (3.162) бифуркационное
значение корней Л = ±Ш и получим пару действительных урав-
П* - а^П2 + а4 = 0, (3.164а)
ai/24 - azQ2 + a5 = 0, (3.1646)
которые определяют частоту пульсаций и критическое значение
интенсивности генерации тсг. От уравнений (3.164) несложно
перейти к равенству
П2 ~ тС1{3?-2)-2(х+1)
Q = ""-rnuv-v-v-pz+ir (ЗЛ65)
подстановка которого в (3.164а) приводит к кубичному уравнению
э
Y,bnm3cr = 0
п=0

с коэффициентами
Ьо = (х - l)5, h = -7х4 + Ux? -45^-4,
Ь2 = 6£4 + 12*3 - 10553 - 15* - 5, Ь3 = -(2х +1)2(£ + 1).
(3.166)
Видно, что в пределе £ —> 1 все Ьп кроме Ьо отрицательны.
Поэтому положительно определенное решение кубичного уравнения
может существовать только в случае >с > 1. Напомним, что для
лазера с однородным уширением соответствующее неравенство
выглядело как ж- > 1/у или *с > 2 при 7=1. Из (3.166) можно
убедиться в справедливости асимптотики тпст —>■(><• — I)-5 при
у< —> 1. В пределе Л ^> 1 бифуркационное значение
тсг = 4/(3£) (3.167)
можно найти, применив к уравнению (3.162) с коэффициентами
(3.163) критерий Рауса-Гурвица. Что касается частоты малых
колебаний на пороге неустойчивости, то
Я={1' i/2 ~^1' (3.168)
I ХТПст , X —> 1.
3.6.4. Нестационарные режимы генерации. При численном
моделировании нестационарных процессов в газовых лазерах нет
нужды отказываться от максвелловской функции распределения
молекул по скоростям. Такие исследования подтверждают, что и в
случае неоднородного уширения имеются интервалы параметров,
в которых лазер проявляет свойства бистабильности [317-319].
Представленные на рис. 3.20 фазовые диаграммы обнаруживают
Рис. 3.20. Фазовые диаграммы одномодовой двухуровневой модели лазера с
неоднородным уширением в плоскости управляющих параметров А, 1/ж при у = 0,1
(а) и 0,2 (б) для трех значений параметра неоднородного уширения ио = 0,5;
1,0; 2,0. Смысл границ тот же, что на рис. 3.4 [318]

лишь количественные отличия в положении границ устойчивости
стационарной и нестационарной генерации при разных значениях
параметра спектральной неоднородности среды. Тенденция такова,
что при увеличения параметра неоднородного уширения «о порог
неустойчивости понижается, а полоса бистабильности сужается.
При исследовании нестационарных процессов в лазерах с
неоднородным уширением возникает вопрос об адекватной модели.
Строго говоря, необходимо учитывать ряд особенностей,
присущих реальным газовым лазерам, таких как спектральная кросс-
релаксация, конечное время жизни нижнего лазерного уровня.
Влияние каждого из этих факторов было изучено в работах [31,
274]. Численное интегрирование системы (2.72) и ее упрощенных
вариантов осуществлялось для совокупности параметров,
отвечающих ксеноновому газовому лазеру. Не удивительно, что более
общая модель обеспечивает и более детальное согласие с
экспериментом. Поэтапное исключение кросс-релаксации и сведение
системы к двухуровневой влияет на количественную сторону дела,
не приводя, однако, к качественным изменениям. Не имеет
драматических последствий для характера процесса даже
адиабатическое исключение амплитуды поля [df/dr = 0). И лишь в
балансном приближении (dp/dr = 0) для всех, задававшихся в [274]
значений параметров, стационарное решение не теряло
устойчивости. Последнее не должно удивлять, поскольку среди условий
адиабатического исключения поляризации (3.12) имеется 5f<l,
что противоречит необходимому условию неустойчивости Л > 1.
Эти результаты убеждают в дееспособности двухуровневой модели
(2.70), которая принимается в большинстве теоретических работ.
Численное моделирование показывает, что существуют две
разновидности нестационарных решений для интенсивности
излучения, различающиеся формой структурного элемента процесса:
либо это импульс гладкой формы, либо всплеск с осцилляторным
затуханием [31, 199, 271, 274, 275]. Обе разновидности
наблюдаются в излучении ксеноновых лазеров. Генерации
осциллирующих всплесков способствует снижение параметра *}, а также
увеличение накачки. При -у = 2 (предельно допустимая величина)
непосредственно над порогом неустойчивости осцилляции
огибающей близки к гармоническим, но по мере повышения накачки
регулярность процесса разрушается [271]. Переход к хаосу в этом
случае осуществляется по сценарию Фейгенбаума. К числу общих
закономерностей можно отнести то, что разные области
регулярных пульсаций разделены в пространстве параметров зонами
хаотического поведения. Это иллюстрирует рис. 3.21, совмещающий
результаты расчета и эксперимента.
Решения для амплитуды поля, как и в модели лазера с
однородным уширением, могут быть симметричными и
несимметричными относительно нулевого значения [199]. Первым отвечают
спектры поля без несущей, а последним — спектры с четко вы-

v. МГц
4
i
x
раженной центральной компонентой. Области регулярных
симметричных и регулярных несимметричных пульсаций разделены в
пространстве параметров полосами
хаотического поведения.
Вопрос о влиянии отстройки
резонатора на динамику генерации до
конца не изучен. Ясно, что
определяющую роль должен играть фак-
/ *■ тор снижения усиления по мере
удаления от центра линии. Поэтому
картина смены режимов при смеще-
. _ . нии на крыло неоднородной линии
р т усиления задается тем конкретным
Г»ис^осЛс™Спау"сР^ Режимом, который получен для иде-
излучения ксенонового газораз- альной настройки. Общая тенден-
рядного лазера от параметра на- ция заключается в упрощении ха-
вачки [31]: штрихами выделены рактера процесса с увеличением
5SS^"3EEEL"DE52 Ра-тройки [199]. Но сводить роль
ментальные значения перестройки только к изменению
эффективного усиления было бы, по-
видимому, неправильно, поскольку численный эксперимент
обнаруживает разнообразие путей перехода к хаосу. Хаотизация по
сценарию Рюэля-Таккенса с возникновением несоизмеримых частот
в спектре пульсаций отмечается в [276]. Там же выявлена
возможность жесткого возникновения хаоса из стационарной генерации
при уменьшении добротности резонатора.
Поскольку преобладающее число теоретических работ
посвящено режиму бегущей волны, первостепенный интерес
представляют экспериментальные исследования кольцевых
однонаправленных лазеров. Их результаты частично были упомянуты в конце
п. 1.2.3. Данные, полученные путем гетеродинного приема сигнала
выявили существование режимов как резко асимметричных
пульсаций, в спектре которых доминирует центральная компонента,
так и симметричных пульсаций с преобладанием боковых
компонент [199]. Экспериментальные результаты находятся в хорошем
согласии с тем, что дали численные исследования двухуровневой
модели.
Тщательное экспериментальное изучение поведения
спектральных компонент поля, генерируемых в нестационарных
регулярных режимах одномодовым лазером стоячей волны (Не — Хе-
лазер с Л = 3,51 мкм и Не — Ne-лазер с А = 3,39 мкм) было также
осуществлено методом оптического гетеродинирования [320].
Результат может быть интерпретирован как проявление эффекта лэм-
бовского провала на каждой из спектральных компонент при ее
перестройке через область центра линии. Наличие нескольких
компонент, каждая из которых взаимодействует с двумя группами
атомов, проливает в какой-то мере свет на природу сложного
поведения лазера стоячей волны.

Глава 4
Многомодовые лазеры
с невырожденным спектром мод
В предыдущей главе был рассмотрен фундаментальный
механизм динамики лазеров, заключающийся в когерентном
взаимодействии генерируемого излучения с активной средой. Этот
механизм, разумеется, действует и в многомодовых лазерах, что
приводит к неустойчивости стационарной генерации Ризкена-Нум-
медала-Грэхема-Хакена, аналогичной лоренцевой неустойчивости
в одномодовых лазерах. Однако в многомодовых лазерах чаще
всего определяющим фактором динамического поведения
выступает нелинейное взаимодействие мод.
4.1. Балансная модель с пространственной
конкуренцией мод и ее стационарные решения
Существует несколько разновидностей балансных моделей
многомодовых лазеров. В данном параграфе рассматривается
простейшая из них, учитывающая только аддитивное насыщение
активной среды генерирующимися оптическими модами резонатора.
Нестационарные процессы в таких лазерах ограничены
релаксационными колебаниями, которые образуют систему собственных
низкочастотных колебаний модели.
4.1.1. Комбинационное взаимодействие мод и приближение
уравнений баланса. Уравнения баланса можно обобщить на мно-
гомодовый лазер так, как это сделано в работе [321]. Но тогда
остается открытым вопрос об условиях их применимости.
Неравенства (3.11) не дают теперь полной гарантии, поскольку при
одновременном возбуждении многих невырожденных мод в
спектре огибающей поля содержатся частоты межмодовых биений. В
нелинейной системе, каковой является лазер, биения приводят к
комбинационной связи между модами, отсутствующей в балансной
модели. Поэтому целесообразно пройти весь путь к балансному
приближению от общей неадиабатической системы [289, 322, 323].
Прежде всего, добавив к соотношениям (3.1) новые
безразмерные величины
v = V/Vc, фк = Ек(г),
(4.1)
Дк = (wfc - wo)/7±. А* = (шск ~ ио)/х,

и обозначив амплитуду моды через фк, запишем уравнения (2.76)
в безразмерной форме, не конкретизируя вида собственных
функций:
—г± + %>сАскфк = М ?Фк dv ~ Фк ) 1 (4-2а)
§£ = Tx(nX>fctf*-*), (4.26)
£ = 7||[А - п- \"£фк(Ф1р + фкР*)]• (4.2в)
В данном случае удобно выбрать опорную частоту w равной u»0i
благодаря чему Aq = О и эта величина отсутствует в (4.26).
Представим решения системы (4.2) в виде
Фк = fk ехр ( - 1у±Акт), р = Y^Pk ехр (- 1у±Акт),
/л п\
n = nb + J2ntiVexp[-iy_L{Ali-Av)T].
Зависимость от времени переменных fk, рк, щ, пЦ1/
предполагается медленной в масштабе межмодовых биений. Осуществим
подстановку (4.3) в (4.26) и, руководствуясь принципом
гармонического баланса, выделим в получившемся соотношении члены с
одинаковой частотной зависимостью. Считая условие (3.12)
выполненным, пренебрежем dpk/dr и получим выражение
Рк = ?к ( тФк/к + ^2 n^i>P!P^kPiLV J • (4.4)
Здесь Тк = (1 — t'^fc)-1. Символическая запись
hPiLv = ехр [iyj_(Ak -Ар-Ац + А„)т]
означает, что в (4.4) удерживаются лишь слагаемые с Ар + Ац -
-А„ « Ак.
Следующий шаг заключается в преобразовании уравнения
(4.2в) с помощью (4.3) и (4.4). К выражению
*"" 2[1 + i{Av - AJ/y]
fltu/ —
{ъ+юик, (4-5)
имеющему достаточно простой вид, он приводит, если
предположить малость комбинационной суммы в (4.4) и выполнение
неравенства
1 йПцу
Пщ, йт
< т±1А-АЛ-

Остается вернуться к (4.4), заменив в этом равенстве пЦ1/ его
выражением (4.5):
(4.6)
С помощью (4.3) и (4.6) преобразуем (4.2а) к виду
-г- ~ i{l±Ak - *Ack)fk = *fk\ ?к \пкк -
"2 Ъ l + i(A,-4,)/=? -JT Н - Ч' <4'7'
Здесь
«Jtfc = / пьф1 dv, nkfll/p = / щфкф^ф,, dv. (4.8)
Первое слагаемое в фигурных скобках характеризует насыщенный
коэффициент усиления «-Й моды. Второе слагаемое обязано своим
происхождением комбинационному рассеянию мод на колебаниях
инверсии: каждая пара мод вызывает колебания населенностей с
частотой своих биений; на этих колебаниях рассеивается третья
мода, создавая комбинационный тон вблизи четвертой. В
частности, комбинационная сумма содержит слагаемые с v = р, fi = к,
которые учитывают перерассеяние пары мод друг в друга на
возбуждаемых ими же самими колебаниях инверсии. Эти слагаемые
выделяются среди других тем, что не содержат фазовых
множителей. Добавив уравнение, определяющее динамику медленной
компоненты инверсии, получаем замкнутую систему:
dfk
-^ - i{j±Ak - хД*)Д =
-C/J-fL 1у^ (Гк + ?;)пккРР ,,,2
1Г (Ъ + Ъ)пк^р Ufthr 1 Л
д£ = щ[А-щ(1 + ЕифШ)], (49)
Здесь Ск = Re^jt = (1 + А*)-1 — лорентцева функция формы
линии.

Бели пренебречь членами, ответственными за комбинационное
взаимодействие, эта система перейдет в уравнения баланса:
dmk
~d7 . ,
о X, (4Л0)
дщ
дт
= 2з<тк I Ск I щф1 dv - 1 J,
= 7|| U - m ( 1 + *Y^Ck$lmA .
Допущения, которые были сделаны в процессе преобразования
уравнений от (4.2) до (4.10), требуют комментариев.
1. Принцип гармонического баланса, вообще говоря,
справедлив, если межмодовые биения обладают более высокими частотами
в сравнении с другими колебательными процессами
(релаксационными колебаниями).
2. Условие |пм1//пь| <& 1 с помощью (4.5) можно преобразовать
к виду
ФеМГр + Ъ) t г>
JfiJu
2[i + i(A,-4,)/Tr]
< 1. (4.11)
Оно не означает автоматически малости комбинационной суммы
в (4.6). Когда спектр генерации не эквидистантен и
межмодовые биения некогерентны, сумма может быть малой даже в
случае невыполнения (4.11). В случае же эквидистантного спектра
(Av — Ац = I А, где А — частотный интервал между соседними
модами, I — целое число), малость комбинационной суммы может
гарантировать более жесткое условие
mr< ii+«4/ti -{f* Гял11; <4-12>
которое получено посредством оценки (4.11) сверху. Здесь N —
число мод, /i — наиболее сильная из них.
3. Выражение (4.6) напоминает разложение поляризации в ряд
по степеням поля, широко практикуемое в нелинейной оптике [3,
6, 324]. Высшим членам ряда в том и другом случаях
сопоставляются многофотонные процессы. Отличие состоит в выборе
невозмущенного состояния. В развиваемом подходе за невозмущенную
принята насыщенная инверсия щ. В традиционном же для
нелинейной оптики разложении поляризации невозмущенным
считается состояние среды в отсутствие поля излучения и насыщение
не отделяется от других нелинейных эффектов *). В связи с этим
следует напомнить, что локальная во времени связь между
поляризацией и полем в виде (4.6) (с- описание по терминологии
авторов работы [325]) обязана специфике сред с -ум «С J±- Для таких
) На такой основе построена теория Лэмба [316].

сред насыщающее поле F^t ~ (тнТх)1^2 значительно меньше, чем
FCoh ~ Т-Li ПРИ котором взаимодействие поля со средой становится
когерентным, а восприимчивость перестает быть адекватной
характеристикой среды в нестационарных условиях.
Проведенное выше рассмотрение ограничено кубичными по
полю членами разложения поляризации, которые соответствуют
четырехмодовому комбинационному взаимодействию (четырехвол-
новому смешению) в активной среде. Таким образом, можно
сказать, что уравнения баланса (4.10) учитывают только однофо-
тонные, тогда как (4.9) — также и четырехфотонные процессы,
удовлетворяющие условию синхронизма шк +шц = шр + ш„.
К сожалению, процедура вывода уравнений не дает четкого
ответа на вопрос о том, в каких случаях доминирующий в динамике
лазеров балансный подход полностью оправдан, а когда
пренебрежение комбинационными членами уравнений (4.9) некорректно.
Необходимым условием перехода к балансному описанию
является малость комбинационной суммы в (4.9). Если А/у ^> 1,
то эта сумма входит в уравнения с малым параметром у/А. Так
обстоит дело в твердотельных и других лазерах класса В. Но
мы пока не знаем какой порядок малости параметра достаточен
для уверенного отбрасывания комбинационной суммы. Бели же
обратиться, например к лазерам на красителях, то у/А ^ 1и
балансный подход вообще оказывается проблематичным.
Обсуждение этих вопросов будет продолжено в данной главе ниже. Пока же
ограничимся очевидным утверждением, что балансный подход по
сути своей не применим в ситуациях, в которых принципиальны
фазовые соотношения между модами.
4.1.2. Спектр стационарной генерации лазера с резонатором
типа Фабри-Перо. Остановимся, в первую очередь, на простом
случае твердотельного лазера с плоскопараллельным резонатором
[326-328]. При d/dr=0 система (4.10) преобразуется в
следующую систему алгебраических уравнений:
п = А11 + 53 Ь$Щ ) , (4.13а)
Cklnip2kdv=l + f3k, (4.136)
определяющую стационарный режим генерации. Здесь /3* —
избыточные потери к-й моды резонатора, нормированные на потери
эталонной моды. Найти решения системы (4.13), не
конкретизируя вида собственных функций резонатора, удается лишь при
условии малого превышения порога. Правую часть (4.13а) можно
разложить в ряд по степеням £} Li^fmi и, ограничившись линей-

ным членом разложения, свести затем (4.136) к выражению
АСк (l - Z) £'™'5*') = 1 + Рк, (4.14)
где Ski = J Ф1"Ф?<1ь.
Для системы аксиальных мод могут быть получены и более
общие результаты. Подставив в (4.13) собственные функции -01 =
= y/2sin(nqiQ и осуществив разложение в ряд по степеням
величины
J^ Cimi cos(27rg/C)/ f 1 + $^ ЬЩ ) i
как это было предложено в работе [326], получаем
1
П ~ 1 + ЕА"Ч[1 - соб(2тг<йС)] "
1 t y^ £fm/ cos(27r?jC)
~ л ^„— + > ' V- (4-15)
Применимость разложения не ограничивается малыми
амплитудами мод и оно тем более точно, чем большее число мод участвует
в генерации. Подставив (4.15) в (4.13), выполнив интегрирование
и учтя, что число д = 2L/X очень велико, получаем
АСк ( 1 ,C2^5L. - „„ ■ Л„-^2 fА5Я*(6 " G) +
2(1 + ££,т,Г
f С2-С1
\l + J2Cirni
+У стГ[2*{41 ~ Чк)пС2} ~ ™[?{gi ~ ЧЩ ] = 1 + д. (4.16)
^ 2тг(9/ - qk) J J
Из (4.16) следует, что конкретный вид спектра генерации
зависит, помимо всего прочего, также и от размера активного
элемента и от его расположения внутри резонатора. Неравномерность
заполнения разонатора активной средой влечет за собой
дискриминацию отдельных мод даже при просветленных торцах активного
элемента.
Наиболее просто спектр вычисляется, когда активная среда
равномерно заполняет резонатор. В этом случае £i = О, С2 = 1
и sin[27r(<7j — gjk)Ci,2] = 0> что переводит (4.16) в
l + 2^£jm/L 2(l + 2^£jmj)J
Последнее соотношение удобно переписать в виде квадратного
уравнения относительно 1 + $^£jmj:
2^г(1+^£'™') -2(i+Z)£'M')+£*^=0- (4
18)

Полагая, что резонатор не селективен, т.е. /3jt = 0, а частота одной
из мод совпадает с центром линии, просуммируем обе части (4.18)
по всем модам. Поскольку С^1 = 1 + (<д — qo)2A2 и, следовательно,
Y, А"1 = 2j + 1 + ^A2j{j + l)(2j + 1),
суммирование переводит уравнение (4.18) в
|(2i + l)[l + ^j(j + l)](l + ££,m,) -
-(4i + 1)(l + ^Cmi) -1 = 0.
Положительным решением последнего является
1 +J^£/m/ =
_ Аз + 1 + у/(4]+1)^ + 8А-Ц2] + 1)[1+ЛУи+1)М
4(2i + l)[l + 42i(i + l)/3] • 14 У)
Чтобы найти 2j + 1 — полное число мод, стационарно
возбуждающихся при заданном уровне накачки, нужно потребовать в
(4.17) равенства нулю амплитуд мод с индексами I = ±(j + 1):
l=> А
1 + Y, Ctmt = АС±и+1) = . (4.20)
l=-j ~*~ las
Прежде всего полезно определить верхнюю границу числа
генерирующихся мод, для чего надо подставить в (4.20) выражение (4.19)
и перейти к пределу А -+ оо. Получающееся уравнение
l+j(j + l)a2/3^4j + l
l + (j + l)2A* 4j + 2'
удовлетворяется при значении jmax, заключенном в интервале
1 ^ imax -С А~Х; Приближенно
/ 3 \1/3
*-=(e^j • (4-21)
Максимально возможная ширина спектра генерации
2Д[£* » 2jmaxA = (ЗЛ)1/3 (4.22)
убывает по мере уменьшения межмодового интервала. Общее же
число мод при этом растет. К примеру, для типичного лазера с

А = 10 3 относительная ширина спектра генерации не превышает
2^2^=1,5-Ю-1.
Зная, что Ау^* <С 1, из уравнения (4.20) нетрудно найти
зависимость числа генерирующихся мод от параметра накачки:
3 =
ЦА-1)
8А2А
V3 rZAtA-1\-\V*
(4.23)
\ ^=\Ш=И
L 8А
Строго говоря, при выводе формул (4.23) предполагалась, что
число з велико. Однако характер зависимости j(A) таков, что
формулами можно пользоваться практически при любых А.
Действительно, число мод, равное jmax/2, соответствует А = 8/7, т.е.
уровню накачки, близкому к пороговому.
Равенство (4.17) позволяет найти и вид спектра генерации.
Если j > 1 и j2A2 <С 1, интенсивность излучения спадает при
удалении от центра линии по квадратичному закону и с помощью
соотношения (4.23) можно получить простую формулу:
го, = 2AA2\j2 - {д, - g0)2] = 2А{А2аа - А2). (4.24)
Физическими причинами многомодовой генерации в данном
случае выступают: неравномерность высвечивания активных
молекул и несовпадение пространственных структур мод. Чем больше
число мод, вступивших в генерацию, тем более однородной
оказывается результирующая инверсия. Но с повышением
однородности условия возбуждения каждой отдельной моды ухудшаются
и, начиная с некоторого удаления от центра линии, оказываются
невыполненными. В этом состоит механизм ограничения числа
генерирующихся мод. При уменьшении межмодового интервала
дискриминация ослабевает, что приводит к увеличению числа мод,
но, одновременно, и к сужению охватываемого ими спектра.
В сгущении спектра собственных частот резонатора заключена
возможность сужения линии генерации лазера. Можно идти
путем удлинения резонатора, но более приемлемым с практической
точки зрения представляется использование резонаторов со
сферическими зеркалами, спектр которых при надлежащем выборе
кривизны приближается к вырожденному [98, 329].
Сказанное выше относится к идеальным резонаторам, модами
которых предполагаются чисто стоячие волны. Конечная бегу-
честь в реальных условиях несколько сглаживает
пространственную структуру, что приводит к сужению спектра генерации [330].
Бегущая волна равномерно высвечивает активную среду по всей
длине. Поэтому многомодовая стационарная генерация в лазере
бегущей волны невозможна. Аналогичные условия в резонаторе со
стоячими модами создаются, если достаточно быстро перемещать
активный элемент вдоль его оси или осуществить сканирование
стоячих волн относительно неподвижного активного элемента, о
чем уже упоминалось в гл. 1.

Механизмом сглаживания пространственной неоднородности
инверсии является также диффузия возбуждений в результате их
передачи от одного активного центра к другому, расположенному
рядом. В люминесцирующих кристаллах и стеклах с умеренной
концентрацией активных центров диффузия происходит слишком
медленно и заметного влияния на процесс генерации не
оказывает [321]. Однако в начинающих входить в обиход материалах с
повышенной плотностью легирующей примеси, к числу которых
относится упоминавшийся в п. 1.2.3 кристалл LNP, с
пространственной диффузией возбуждений приходится считаться.
Существенную роль играет диффузия носителей в полупроводниках.
Выше упоминалось, что на вид спектра генерации влияют как
размер активного элемента, так и его положение внутри
резонатора. Объясняется это весьма просто. Граничные условия на
зеркалах для всех мод одинаковы. По мере же удаления от зеркала
расстояние между узлами любой пары мод увеличивается,
достигая в некоторой точке максимума, равного А/4, затем убывает до
нуля и т.д. Число точек с максимальным расстоянием между
узлами равно разности индексов рассматриваемой пары аксиальных
мод.
Сказанное поясняет рис. 4.1, на основании которого можно
судить о характере спектра генерации в том или ином конкретном
случае. Короткий (LB/L <С ^/Лдтах) активный элемент^ вблизи
Рис. 4.1. Зависимость расстояния между узлами продольных мод (стоячих волн)
от координаты вдоль оси резонатора
зеркала должен генерировать на одной частоте, так как в
пределах его объема структуры всех мод можно считать идентичными
и поэтому конкуренция максимальна. Этот результат нетрудно
получить также из равенства (4.16). Если в заполняющей весь
резонатор активной среде остается неинвертированным тонкий слой
в центре, то доминируют моды с четной разницей в индексах [80].
Перейдем к вопросу о спектре поперечных мод лазера с
плоскопараллельным резонатором. Однородно накачиваемую среду
будем считать заполняющей все сечения резонатора. Будем
исходить из уравнения (4.10) и для простоты ограничимся
рассмотрением двумерной задачи, считая зеркала бесконечно
протяженными в одном из направлений. Поперечная часть собственных
функций довольно хорошо аппроксимируется синусоидами -0/ =

= y/2s\n[n(q + 1)Cj_] [331] и для расчета можно использовать
методику, развитую выше [332, 333]. В приведенной формуле Сх =
= x/(2b) — безразмерная координата в плоскости поперечного
сечения резонатора, Ь — радиус зеркала.
Получаемое условие выхода в генерацию (q + 1)-й поперечной
моды выглядит следующим образом:
Л> (1 + ^)2 Г425)
A>i-/3g(V-i)/6' (4-25)
Величина/Зд, характеризующая избыточную (дискриминационную)
часть потерь g-й моды для плоскопараллельного резонатора,
подчиняется зависимости @q = /3g2, причем
7Г2 /LA\3/2
где i?it2 — энергетические коэффициенты отражения зеркал. Из
(4.25) следует, что наивысшей при А-*оо является мода с
индексом
?тах = 0,9/3о1/3. (4.27)
Пример 4-1
А = 7 • Ю-5 см; L = 100 см; | /30 = Ю-3;
RxR2 = 0,9; Ь = 0,5 см; | дтах = 9.
Направления максимальной интенсивности излучения для
моды с индексом q образуют с осью резонатора углы -dq = ±дА/(4Ь).
Отсюда угол расходимости излучения лазера
Ati = q\/{2b), (4.28)
и при выбранных значениях параметров Л-дтах = 2,5. Из
соотношений (4.27), (4.28) и Р ~ Ь~3 вытекает независимость
предельного угла расходимости от апертуры резонатора. Зависимость
расходимости от длины резонатора соответствует закону:
Ад ~ 2Г1/2.
Формула (4.27) позволяет довольно точно оценить условия,
требуемые для обеспечения устойчивой одномодовой генерации: надо
положить в (4.27) gmax = 1 и, подставив найденное значение (3 в
(4.26), разрешить последнее равенство относительно Ь.
Воспользовавшись теми же значениями параметров, что и в приведенном
выше численном примере, получаем необходимый для
дискриминации мод высшего порядка диаметр диафрагмы 2Ь < 1,5 мм.

4.1.3. Единственность устойчивого стационарного решения.
Обратимся к вопросу об устойчивости стационарного решения мно-
гомодовых уравнений баланса. На этот счет существует
утверждение, принадлежащее новосибирским физикам [115, 133, 334]:
система уравнений баланса2):
—р£ = Gmk [ Ск / пф1 dv - 1),
dT \ J ) (4.29)
^ = A-n[l + Y,^m^)
обладает глобально устойчивым стационарным решением с т& ф
ф 0, и это состояние единственно вне зависимости от числа
возбуждающихся мод лазера, по крайней мере в том случае, если
разность населенностей не меняет знак внутри резонатора.
Доказывается это утверждение следующим образом. Обозначив
чистое усиление
Gk = £k пф1 dv - 1,
перепишем первое из балансных уравнений (4.29) в виде
—— = Gm,kGk-
Соответственно, для стационарного состояния имеем
тпкОк = О,
Для произвольного отклонения от выбранного стационарного
решения (6п = п — п), уравнения лазера записываются следующим
образом:
^* = Стк\Ск 16пф2кdv + Gkj, (4.30а)
^ = А - (n + 6п) (l + J2 А^Ч) • (4-306)
Займемся преобразованием (4.306) к более удобному виду:
d^. = -Sn{l + ^Cq^qmq)+A-
= Still +^2СдфдТПд) -П^Сдф^ТПд-ТПд).
2) Ох (4.10) система (4.29) отличается тем, что т = 7||*( т.е. t = 1/тц-

Умножим обе части последнего равенства на бп/п и
проинтегрируем затем по объему резонатора:
2л1 J ~п dv+5Z£«(m9"шв)у 8n^ldv=
Теперь обратимся к уравнению (4.30а) и перепишем его в
несколько иной форме:
£grog / 6nipqdv= — -jp- - Gqmq,
a затем, после умножения на rog/rog, имеем
1 d(lnrog)
.g„tg , «»Vg«i/ = —го,—^-
/
£qmq / 6mp*dv = — mq—~—— - Qqmq
Такие действия дают возможность видоизменить предыдущее
уравнение:
d Г1 Г (6п)2 _, 1 ^, _ , .1
= - J ^- U + ^С^тд} dv + Qqmq. (4.31)
К функции же, стоящей под знаком производной, мы вольны
добавить любую константу и потому заменим mq — rog In mq на rog —
—rog — rogln(rog/rog). Теперь можно утверждать, что
произвольное отклонение от стационарного значения переменных со
временем будет убывать до нуля. Это утверждение основано на том, что
правая часть равенства (4.31) отрицательна (Qg < 0) и,
следовательно, функция, стоящая слева под знаком производной должна
монотонно убывать до тех пор, пока обратившаяся в нуль правая
часть не прекратит этот процесс. Но это произойдет лишь, когда
8П — 0 И ГОд = ГОд .
Из произвольности начального отклонения от стационарного
решения следует вывод о его глобальной устойчивости и
единственном способе выбора.
Доказанная теорема о глобальной устойчивости стационарного
решения уравнений баланса подвела черту под определенным
этапом в динамике лазеров. Фактически ею был положен конец мифу
о том, что многомодовость является универсальной причиной
нестационарности генерации твердотельных лазеров, ее пичкового
характера. Отсутствие неустойчивости балансной системы делает
такую версию несостоятельной и заставляет искать причины
незатухающих пульсаций излучения лазеров класса В вне природы
взаимодействия поля излучения с активной средой.

Следует заметить, что существует обобщение теоремы
единственности и устойчивости стационарного решения уравнений
баланса на случай среды с неоднородным уширением линии. Не
меняет сути дела и то обстоятельство, что непостоянство
насыщения активной среды приводит, вообще говоря, к некоторой
динамической деформации мод лазера. И лишь наличие участков
среды с обратным знаком разности населенностей, работающих в
режиме насыщающегося поглощения, может привести к
неустойчивости стационарной генерации. Разумеется выход за пределы
балансного приближения способен принципиально изменить
характер поведения системы. Так обстоит дело в случае лазеров
класса С. Но иногда бывает достаточен и более слабый отход от
балансной схемы: к незатухающим пульсациям может приводить
также комбинационное взаимодействие мод.
4.2. Релаксационные колебания как низкочастотные
нормальные моды лазера
В многомодовом лазере число стационарных состояний велико.
Только что было показано, что лишь одно из этих состояний
устойчиво, причем устойчиво глобально. Нормальные же колебания
системы, число которых не превышает числа генерирующихся мод,
все без исключения являются затухающими, т.е. в полном смысле
слова релаксационными. Исследование вопроса о спектре и
характере релаксационных колебаний было начато в ранних работах
[335-339]. Формированию современной концепции
низкочастотной динамики лазеров посвящены работы [340-356].
4.2.1. Модель с распределенной активной средой. Как и в
теории одномодового лазера, мы не станем вначале прибегать к
представлению инверсии в виде набора решеток. Чтобы не
завязнуть в алгебраических преобразованиях, будем считать число
возбуждающихся мод очень большим, а сами моды — стоячими
плоскими волнами [335]. В таком подходе таится много
опасностей, но он позволяет просто и наглядно выяснить весьма
интересные свойства реласационных колебаний. Полагая стационарное
состояние известным (подробности нам здесь не понадобятся),
линеаризуем вблизи него систему (4.29). Подстановкой {6тк, 6п} =
= {8т'к, 6п'} ехр(Ат) сведем линеаризованную систему:
^р± = сткск[бпфис,
dT J (4.32)
-LH± = —Sn- n^ipfCitfmi),
ОТ n *—'
к алгебраической, и получим характеристическое уравнение
А6т'к + GmkCk ^£, 8т\ j ^ffi- <fC = 0. (4.33)

Последнее удается существенно упростить, воспользовавшись тем,
что в случае большого числа мод:
а) активная среда пространственно однородна, благодаря чему
можно считать п = 1;
б) спектр генерирующихся мод столь узок, что £к « 1;
в) моды ортогональны, вследствие чего
1
/
Ф№<1С = 1 + -61,к.
(4.34)
С учетом указанных обстоятельств уравнения (4.33)
преобразуются в однородную линейную систему:
&т'к А(А + А) + -Gmk + Gmk J^ tfm{ = 0. (4.35)
Приравнивая нулю ее детерминант
Pi (A) Gm2
Gmt Р2(Х)
Gm\ Gm-i
Gmjsf
Gmjsf
JV(A)
= 0,
где Pi(X) = A(A + A) + §Gm; (I = 1,2.. .AT), приходим к
характеристическому уравнению
N
i+E
Gmi
^\{\ + A)+Gm,/2
N
П
\{X + A) + -Gmi
= 0. (4.36)
Поскольку левая часть факторизована, уравнение (4.36)
распадается на два:
Л/-
1 + Е
Gmhr^ = 0,
/=1 -Р + Gmi/2
-р + -Gmk = 0,
(4.37)
(4.38)
гдер = — А(А+А). Из структуры этих уравнений нетрудно сделать
вывод о том, что р — действительная положительная величина.
Обратимся вначале к уравнению (4.37), считая все
интенсивности мод различными. Границы локализации его корней
удается установить из наглядных соображений. Перепишем для этого
(4.37) в виде J2fj(p) = h гДе fj{p) = Gmj(p - Gm,/2)_1, и
изобразим семейство функций fj(p) на рис. 4.2. Видно, что
наибольший корень ограничен снизу условием р\ > Gmi/2, а каждый из

оставшихся N — 1 корней располагается в определенных
границах: GfHj/2 > pj > Gm,j+\/2. Характеристические корни
удовлетворяют уравнениям Xj(Xj + A) + pj = 0 и, следовательно, имеют
вид
Отсюда при условии G ^> 1 следует, что релаксационные частоты
fij т y/pj. Наибольшая из них располагается поодаль от основ-
Рис. 4.2. Графический способ оценки частот релаксационных колебаний мыого-
модового лазера [335]
ной группы. Скорости затухания одинаковы для всех колебаний
и равны А/2.
Если го,- -¥ nij+i, то pj -t Gfn.j/2. Предельные случаи pj =
= Grrij/2 не охватываются уравнением (4.37), но они содержатся
в (4.38).
Степень же уравнения (4.37) снижается соответственно
кратности вырождения системы по интенсивностям мод. При полном
вырождении системы уравнение (4.37) имеет единственный
корень pi = GNm. Основные различия между релаксационными
колебаниями заключаются в том, что те из них, которые
характеризуются корнями уравнения (4.38), являются
скомпенсированными и не проявляются в суммарной интенсивности излучения.
Это видно из уравнения (4.35), которое переходит в (4.38), если

^2Sm'j = 0. Корням уравнения (4.37) отвечают нескомпенсиро-
ванные колебания.
Наивысшая частота релаксационных колебаний именуется
иногда основной, поскольку она совпадает с той единственной
частотой, которая присуща релаксационным колебаниям опномодового
лазера. С этой частотой осуществляются синфазные колебания
амплитуд всех мод. Информацию о структуре остальных
релаксационных колебаний из упрощенного подхода получить не удается.
Для этого необходимо найти собственные векторы системы, и это
будет сделано в следующем пункте.
4.2.2. Приближение пространственных решеток инверсии.
Анализ распределенной модели при всей ограниченности такого
подхода приводит к трем важным выводам. Прежде всего
отсутствие характеристических корней с положительной реальной
частью подтверждает факт устойчивости стационарного решения.
Далее, число релаксационных колебаний не может преышать
числа мод, поскольку степень характеристического полинома равна
2ЛЛ Наконец, установлено, что вся совокупность релаксационных
колебаний распадается на два типа: скомпенсированные и неском-
пенсированные. Это соответствует экспериментальным данным,
приведенным в § 1.2. Однако многие вопросы при таком подходе
остаются без ответа, что заставляет вернуться к проблеме
релаксационных колебаний, используя менее грубую модель.
Будем действовать по сценарию, уже знакомому по § 3.2, и
представим инверсию в виде набора периодических пространственных
решеток, число которых совпадает с числом генерирующихся мод.
Если речь идет о продольных модах резонатора Фабри-Перо, то
амплитуды решеток инверсии определяются выражениями
1 1
п0 = / ndC, n;t = — / n cos(27rg;tO dC> (4.39)
о о
и в пренебрежении высшими пространственными гармониками
уравнения (4.29) преобразуются в систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
= Gmk[£k(n0 + пк) - 1 - /9jt],
dr
driQ
— = А0 - п0 11 + 2Сзтз ] ~ 53CJm3nh (4.40)
dnk
17
= —Щ I 1 + 2J £зтз I - 2^fcmfcn°-
Эта система справедлива при условии, что активная среда
равномерно заполняет весь объем резонатора. Порядок системы ра-

вен 2М + 1, где N — число возбуждающихся мод. Таков же
порядок системы, линеаризованной в окрестности нетривиального
стационарного решения, а это значит, что число пар комплексно-
сопряженных корней характеристического уравнения и,
следовательно, число релаксационных колебаний лазера не может быть
больше Af, что согласуется с выводами предыдущего пункта.
Дальнейшее исследование системы заключается в нахождении
собственных значений (характеристических корней) и
собственных векторов. Символически эта задача на собственные значения
записывается как
\\amn\\SVn = XmSVm,
где ||amn|| — матрица коэффициентов системы, линеаризованной
вблизи стационарного состояния, SVn — столбец, составленный
из компонент собственных векторов (5тj, Snj, бпо). Решить эту
задачу удается только численными методами. Для стационарных
значений переменных могут быть найдены приближенные
аналитические выражения [167].
Представление о структуре собственных векторов дает рис. 4.3,
отражающий результаты численного исследования. Частоты пяти
возбуждающихся мод лазера расположены симметрично
относительно центра линии усиления, а все потери мод приняты
одинаковыми. Число релаксационных колебаний равно также пяти, т.е.
соответствует максимально возможному. Длина стрелки
характеризует глубину модуляции амплитуды соответствующей моды,
тогда как направление — ее относительную фазу.
Полный набор собственных векторов, изображенных на рис. 4.3,
свидетельствует о наличии двух групп релаксационных
колебаний. Единственным представителем группы с синфазными осцил-
ляциями интенсивностей всех генерирующихся мод является
релаксационное колебание с наивысшей частотой, которое присуще
любым моделям лазеров класса В независимо от конфигурации
резонатора и числа генерирующихся мод. Оставшиеся
релаксационные колебания в количестве Af—1 принадлежат противофазной
динамике.
Наиболее очевидным, но не самым удобным способом
исследования релаксационных колебаний является прямое осциппогра-
фирование переходных процессов. Более практичен
альтернативный временному спектральный подход. Еще в 1965 г. Маккамбер
[357] показал на примере одномодового лазера, что
релаксационные колебания проявляются в виде резонансных пиков в спектре
низкочастотных флуктуации интенсивности, или, как часто
говорят, в спектре мощности излучения лазера. Природа этого
явления достаточно проста: спонтанное излучение (квантовый шум)
и флуктуации параметров систематически возмущают
стационарное состояние. Спектр таких процессов близок к белому шуму,
и отклик лазера наиболее выражен на частотах нормальных мод,
каковыми являются релаксационное колебания.

Резонансный характер спектров мощности проявляется и в мно-
гомодовых лазерах, однако картина здесь, как видно из рис. 1.20,
гораздо богаче, поскольку можно изучать поведение не только
полной интенсивности, но и отдельных мод. Надо сказать, что
природа синфазных и противофазных релаксационных колебаний
pasty-48,9
ill
Ог-19,3
it
О4-10,1
ill
2 3 щ- о,2987
л \ < т2- 0,2381
-I—I—I—I—i- т3- 0.2381
т4- 0,0564
т5- 0,0564
0,22330
1,00000
1,28570
1,00000
0.22330
0,04402
1.00000
-1,99357
1,00000
0,04402
-1,62577
1,00000
0,88206
1,00000
-1,62577
Пз-17,8
Os-8,4
0,00000
1,00000
. 0,00000
-1,00000
0,00000
-1,00000
t 0,00000
-L 0,00000
0,00000
-1,00000
Некомпенсированные колебания Скомпенсированные колебания
Рис. 4.3. Геометрическое представление собственных векторов балансной модели
лазера в режиме непрерывной генерации пяти мод [355]
лична. За первыми стоит конкуренция процессов накачки и
стимулированного излучения, за вторыми — конкуренция мод.
Проявляются противофазные колебания, главным образом, в спектрах
мощности отдельных мод и практически не видны в спектре
флуктуации полной интенсивности, где доминирует высокочастотный
пик, обязанный синфазным колебаниям амплитуд мод.
Очень интересной особенностью является соответствие
каждого из противофазных релаксационных колебаний вполне
определенной генерирующейся оптической моде лазера. Если моды
перенумерованы в порядке убывания их стационарных интенсив-

носхей, а релаксационные колебания — в порядке убывания их
частот, то в спектре мощности моды с индексом к наиболее
выражен пик на частоте Qj,. Это хорошо видно на рис. 1.20.
Факт привязки данного релаксационного колебания к
определенной оптической моде находит убедительное подтверждение в
лазере с селективной дополнительной обратной связью по
огибающей, о котором речь пойдет в § 7.1. Оптоэлектронная цепь
обратной связи используется для контроля мощности диодного лазера,
осуществляющего накачку твердотельного лазера. Управляющий
сигнал на входе этой цепи может быть пропорционален
интенсивности отдельной моды или производной от этой
интенсивности. Экспериментальный факт, подтверждаемый численными
расчетами, заключается в том, что при положительной обратной связи
увеличивается амплитуда соответствующего резонансного пика в
спектрах мощности, включая спектр флуктуации полной
интенсивности лазера.
Смена управляющей оптической молы приводит к смене
подчеркиваемого релаксационного колебания.
Обратим внимание также на следующее обстоятельство. Число
релаксационных колебаний совпадает с числом генерирующихся
оптических мод лазера только при относительно небольшом числе
последних. Начиная с некоторой величины Л/"сг, дальнейший рост
числа мод сопровождается не ростом, а падением числа
релаксационных колебаний. Объясняется это явление тем, что частоты
релаксационных колебаний растут с увеличением накачки
медленнее, чем скорости затухания. Это имеет следствием
преобразование комплексных характеристических корней в действительные.
4.2.3. Зависимость динамических характеристик лазера от
распределения ненасыщенного усиления по периметру резонатора.
Расчеты, проведенные с использованием уравнений типа (4.40)
часто не находят количественного подтверждения в экспериментах.
Одной из основных причин этого представляется наличие тех или
иных нарушений симметрии в реальных лазерах. Прежде всего,
это может быть неравномерное распределение ненасыщенной
инверсии по периметру резонатора в силу ли несовпадения длин
резонатора и активной среды или заметного затухания накачки по
мере проникновения вглубь активного элемента. Благодаря этому
к мелкомасштабным решеткам с шагом А//2 добавляются
крупномасштабные решетки инверсии с шагом L/(2p), и разложение
инверсии представляется рядом
n(r,C) = n0(r)-
-2 Y^ Dp(t) соз(2тгК) - 2 J2 ni(т) соз(2тгд/С), (4.41)
p=i /=1

что приводит к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений [354]:
^ = Gmk[Ck(n0 + пк) - 1 - &], (4.42а)
йт
dnk
~d7 = -nk
dD,
~dV
dn0 .
~dT = A
= Ar-
/ N \ N
(1 + 53 Cimi)- 9 £ £im'Dk-h (4.426)
\ /=i / J=i
1 + 53jC/m') ~ 53 £iminh (4.42b)
/=i / J=i
f-Dr l + j£,m, -
- 2 53 £imiDi+r - -^2,CimiDi-.r. (4.42r)
[=1 /=r
Здесь использовано разложение коэффициента накачки
п
A{Q = А0 + ^ К cos(27rrC), (4.43)
г=1
в котором TZ = Af, а коэффициенты
д. = sin(27rrC2) - sin(27rrCi) .
27ГГ
зависят только от положения границ активного элемента, если
внутри него накачка распределена равномерно. Поскольку
проигнорированы все высшие пространственные гармоники
инверсии, система (4.42) включает Af уравнений (а) для интенсивностей
мод и столько же уравнений (б) для амплитуд мелкомасштабных
решеток плюс одно уравнение (в) для средней по пространству
инверсии. Число же уравнений (г) для амплитуд
крупномасштабных решеток определяется как профилем ненасыщенной инверсии
(его характеризует число TZ), так и числом возбуждающихся мод
резонатора N.
Ситуация здесь не очень проста, поскольку N нельзя считать
величиной независимой от TZ. При относительно плавном
распределении ненасыщенного усиления по периметру резонатора
основным фактором формирования крупномасштабных решеток
выступают пространственные биения генерирующихся мод и тогда
число уравнений равно N — 1. Таким образом, порядок системы

(4.42) составляет, как минимум, ЗЛ/\ что заметно больше того,
что дают другие модели. Однако это обстоятельство не сказывается
на предельном количестве релаксационных колебаний, которое
составляет N, как и в рассмотренных выше случаях. Дело в том,
что крупномасштабные решетки, повышая порядок системы, не
добавляют новых комплексных корней характеристического
уравнения.
Техника исследования модели (4.42) не отличается от
описанной выше применительно к уравнениям (4.40). Численные
методы позволяют найти стационарные решения, собственные
значения и собственные векторы системы, а также проследить их
зависимость от управляющих параметров, таких как накачка и
коэффициент заполнения резонатора [355].
Рис. 4.4. Интенсивности (а) и частоты (б) релаксационных колебаний как
функции параметра накачки: G = 2500; Л = 0,132; £ = 0,4 [355]

Рассмотрим наиболее простой случай равномерной прокачки
активного элемента при £i = 0 и LB < L, когда вся ситуация
характеризуется коэффициентом заполнения £ = LB/L. В
противном случае необходимо знать конкретную функцию распределения
МО-
На рис. 4.4 представлены зависимости интенсивностей
стационарной генерации пяти мод, расположенных симметрично
относительно центра линии усиления и суммарной интенсивности,
а также частот релаксационных колебаний лазера от параметра
накачки при £ = 0,4. Потери всех мод предполагаются
одинаковыми.
Этому случаю отвечает следующее распределение
коэффициентов усиления по модам gits < 52,4 < <7з = 1- Однако в промежутке
1,3 < А < 1,9 интенсивность центральной моды, обладающей
наибольшим ненасыщенным усилением, ниже интенсивностей
~~mtoui
5 мод
1,0 L,/L
1,0 LJL
Рис. 4.5. Интенсивности (а) и частоты (б) релаксационных колебаний как
функции коэффициента заполнения: резонатора: G = 2500; Л = 0,132; А = 2 [355]

ближайших к ней боковых мод. Такой результат конкуренции мод
возможен лишь при £ < 1. Эффект экспериментально наблюдался
в работах [167, 356]. Число генерирующихся мод также зависит
от уровня накачки. Идеальная симметрия в распределении
исходного усиления по модам обеспечивает попарное вступление новых
мод в генерацию. Каждое такое событие сопровождается
рождением дополнительной пары релаксационных колебаний, одно из
которых относится к числу скомпенсированных, а другое — к
числу нескомпенсированных. Частоты этих колебаний различны.
Влияние коэффициента заполнения £ на интенсивности
генерирующихся мод и частоты релаксационных колебаний при
фиксированной мощности накачки демонстрирует рис. 4.5. В
интервале 0,1 < £ < 0,4 центральная мода полностью подавлена, и
число мод, участвующих в генерации, равно четырем. Подавление
моды находит отражение в числе и чередовании частот
релаксационных колебаний.
Указанные особенности в поведении многомодовых лазеров
несомненно следует учитывать при сопоставлении теоретических и
экспериментальных исследований. Вместе с тем чувствительность
динамических характеристик к нарушению симметрии можно
использовать для выявления и оценки самого факта такого
нарушения. Но это уже относится к области обратных задач динамики
лазеров.
Суммируем свойства рассмотренной балансной модели много-
модового лазера класса В.
1. Среди стационарных решений только одно является
устойчивым.
2. Нестационарные процессы при отклонении системы от
состояния равновесия реализуются в форме релаксационных
колебаний.
3. Синфазные колебания интенсивностей всех мод обладают
наибольшей частотой и наличие колебаний этого типа не зависит
от геометрии резонатора и значений управляющих параметров.
4. Число противофазных колебаний составляет Л/" — 1 при
относительно небольшом N и убывает до нуля в пределе очень
большого числа мод.
5. Релаксационные колебания образуют систему
низкочастотных нормальных мод лазера класса В, существующую наряду с
оптическими модами.
6. Между оптическими и релаксационными модами имеется
определенное соответствие.
4.3. Нестационарные процессы
4.3.1. Особенности пичковой генерации многомодовых
лазеров. Итак, пространственная конкуренция мод не объясняет
феномена незатухающих пульсаций. Тем не менее, на протекании

свободной генерации она сказывается весьма заметно. Из
рассмотрения одномодовой модели известно, что излучению пичка
предшествует период линейного развития генерации, начинающийся
в момент достижеия порога. Продолжительность этого периода
значительно превышает длительность пичка и существенно
зависит от свойств моды. Эта ситуация сохраняется и в многомодовом
лазере. Но поскольку моды различаются величинами потерь и
усиления, они достигают порога в различные моменты времени.
На этапе линейного развития генерации различия в их интенсив-
ностях возрастают [358, 359]. Лишь те моды, которые почти
одновременно достигают порога, сохраняют близкие амплитуды к
началу нелинейного этапа. Эта группа и определяет модовый состав
пичка. Здесь можно выделить ряд случаев.
1. Выделенная группа состоит из очень большого числа мод,
которое обеспечивает однородное по всему объему высвечивание
активной среды. Это значит, что в дальнейшем наиболее
благоприятные условия сохраняются для тех же мод и спектральный
состав излучения от пичка к пичку меняться не будет. Данному
случаю соответствует регулярная кинетика генерации.
2. Моды столь сильно дискриминированы,' что для одной из
них условия генерации успевают восстановиться после окончания
пичка прежде, чем к порогу генерации подойдут другие моды. Как
и в предыдущем случае, кинетика генерации будет регулярной, но
в отличие от него генерация будет одномодовой.
3. Одна из мод опережает в своем развитии другие настолько,
что пичок успевает излучиться раньше, чем другие моды достигнут
достаточной интенсивности. Дискриминация при этом не
слишком значительна и в последующий отрезок времени впереди
оказывается другая мода и т.д. Поскольку излучение каждого пичка
приводит к изменению пространственной структуры
распределения активных молекул, последняя становится нерегулярной. Пич-
ки во времени образуют хаотическую последовательность, которая
постепенно затухает к стационарному значению.
Чтобы довести теорию до конкретных результатов, необходимо
задать распределение активных молекул, т.е. фактически
ограничить рассмотрение интервалом времени, предшествующим пичку.
Для примера рассмотрим модель с равномерным распределением
накачки по сечению активной среды. Предположение о
равномерности позволяет найти усиление J пф\ dv<^= £п. Коэффициет
заполнения £ с точностью до X/L одинаков для всех мод и равен
LB/L. Поскольку мы намереваемся исследовать процесс
формирования первого пичка после включения источника накачки, в
уравнение следует ввести член, учитывающий спонтанное излучение.
Исходная система приобретает, таким образом, вид
drrik
~dT
Gmk [ttW -(1+H = ir2*(n+n&)' (4-45a)

£+"-*=-£i?5ij- (4-456>
В период времени, предшествующий первому пичку,
индуцированное излучение не сказывается на инверсии. Следовательно,
моды между собой не взаимодействуют и могут рассматриваться
как независимые. Этап линейного развития генерации
начинается в момент достижения порога (п = 1) для «эталонной» моды
с Лк = Рк = 0. Данный момент мы примем за г = 0. На
линейном этапе изменение инверсии описывается формулой (4.14),
подстановка которой в (4.45а) дает линейное уравнение для тк.
Его приближенное решение, если удерживать малые величины Л\
и Рк только в экспоненциальных членах, выражается следующей
формулой:
mjt(r) = тп0(т) ехр [ - G(A - 1)Лткт]. (4.46)
Интенсивность «эталонной» моды то(т) дается формулой (3.52).
Величина
представляет собой запаздывание k-ft моды по отношению к
эталонной.
Плоскопараллельный резонатор характеризуется очень слабой
зависимостью собственных частот от поперечной структуры моды
и можно считать, что
Л2ктп = (nc/L7l_)2(qk - go)2- (4.48)
Разница в потерях, наоборот, определяется только структурой моды
и не зависит от аксиального индекса. Для квадратных зеркал
Рктп = Ро(т2 + п2), (4.49)
где коэффициент /Э0 дается формулой (4.26). Запаздывание между
аксиальными модами составляет поэтому
а запаздывание поперечной моды по отношению к аксиальной —
777 -4- Tl
Лттп = р0^г. (4.51)
Чтобы оценить число эффективно возбуждающихся мод,
запаздывание нужно приравнять к тр/2 — половине длительности
пичка, вычисляемой по формуле (3.34). Из этого равенства
находятся границы спектра аксиальных мод и предельный индекс

поперечной моды:
1),
(4.52)
1)гр.
^9las = 60;
(т2 + п2)^ = 2.
Общее число возбуждающихся аксиальных мод порядка 100, а
поперечных мод — порядка единицы. Последний результат означает,
что пичковая генерация в рассматриваемом резонаторе протекает
нерегулярным образом.
Модель лазера с плоскопараллельным резонатором и однородно
накачиваемым активным элементом была выбрана нами ввиду
простоты и наглядности расчета, а отнюдь не в силу ее
практической значимости. На практике указанные условия выдержива-
юися редко. В наиболее часто используемых активных элементах
цилиндрической формы однородная инверсия недостижима.
Прогреваются такие элементы также неоднородно и вследствие этого
приобретают линзовые свойства, меняя тем самым конфигурацию
резонатора. Задача о модовом составе первого пичка свободной
генерации при учете указанных обстоятельств рассмотрена в работе
. Ее решение облегчается следующими обстоятельствами.
. Структуру светового пучка во всех параллельных сечениях
активного элемента можно считать идентичной, если LB/L <g 1.
Это дает возможность заменить в расчете активный элемент
бесконечно тонким слоем с конечным усилением.
2. В линеаризованных задачах играет роль только разность
значений усиления и потерь. Поэтому вместо исходной можно
рассмотреть эквивалентную модель лазера с однородным по сечению
резонатора усилением и неоднородными потерями.
3. Реально инверсия населенностей в сечении активного
элемента распределяется по закону, близкому к квадратичному [361].
Следовательно, для распределения усиления справедлив закон
Гаусса и задача сводится к рассмотрению резонатора с гауссовой
диафрагмой. Неравномерность усиления (потерь) увеличивает
дискриминацию поперечных мод. Этот фактор тем более существен,
чем резче усиление убывает по мере удаления от оси резонатора.
Поэтому он должен сильнее сказываться в активном элементе
малого диаметра. В этом случае даже использование сферических
зеркал не всегда приводит к многомодовой в пределах одного пичка
генерации. Лишь вблизи концентрической конфигурации, когда
перетяжка каустики предельно узка, а активный элемент помещен
7ГС
WA-
(т2 + п2)1ав=^-(А-
zpo
Пример 4-2
L = 102 см; 7± = Ю12 с"1; |
А = 5; р0 = 2 • 10-3;гр = 2 • 10~3; |
[360]

в центр резонатора, дискриминация ослабевает настолько, что в
генерацию одновременно выходит много поперечных мод. Оценки
числа мод, приведенные в работе [360], подтверждаются
результатами эксперимента.
Все сказанное выше относится, строго говоря, лишь к первому
пичку генерации. После его окончания распределение активных
молекул меняется и для его нахождения необходимо решить
сложную задачу. С каждым новым пичком вид распределения, а
значит и задача в целом, усложняются. Решить ее удается только
численными методами [362].
4.3.2. Процесс установления спектра генерации. Многомодо-
вому лазеру наряду с периодом межмодовых биений, периодом
и временем затухания релаксационных колебаний присущ еще
один временной масштаб, характеризующий скорость
установления спектра генерации. Для многих лазеров спектральная
динамика являет собой наиболее медленный из всех происходящих
процессов. Это обусловлено малостью частотного интервала между
модами по сравнению с шириной линии усиления, благодаря чему
различия в дискриминации соседних аксиальных мод ничтожны.
Значительный разброс временных констант лазера по порядку
величины приводит к тому, что процесс установления генерации
удается разбить на несколько стадий. После момента перехода
порога прежде всего устанавливается суммарная по всем модам
интенсивность излучения. По завершении этой стадии через время
порядка Ti постоянной оказывается также и инверсия. Поэтому
на всех последующих стадиях мы вправе считать dn/dr = 0 и
пользоваться взамен (4.29) уравнением
drrik
~dT
«Ч^Ьвасг1-*)- (4'63)
Коль скоро речь идет о продольных модах, примем разложение
(4.15) и перейдем от (4.53) к более простому уравнению
drrik
~dV
На последней стадии переходного процесса и в режиме
стационарной генерации правая часть (4.54) должна быть сохранена
полностью. Однако на промежуточной стадии, когда, в основном, и
происходит сужение спектра генерации, можно опустить второе
слагаемое в квадратных скобках ввиду его малости и пользоваться
уравнением (/3jt = 0)
~dT
=G™<rfe-1)- ("5)

Уравнение (4.55) связывает эволюцию А-й моды со всеми
остальными модами и в этом заключается основная сложность при
его использовании. Однако, взяв уравнения для двух мод (А-й и
71-й), удается исключить сумму и получить уравнение,
связывающее интенсивности только этих двух мод: ' \
d(lnmk) d(lnmn)
£п —^— - Ск —^— = G{Ck - £,).
Проинтегрировав его, получаем
Исходя из предположения об относительной узости спектра
генерации, будем в дальнейшем пренебрегать отличием Ск от £п в
показателе степени. Оставив индекс «к» для* обозначения
текущей моды, присвоим индекс «тг» эталонной моде, в качестве
которой выберем резонансную. Поэтому ниже будем считать С = 1, а
\ — Скк А\. В итоге уравнение (4.56) приобретает вид
тк(т) тпп(т) , /-,Л2 \ /л с-7\
"liif = ZTTU ехР (- GAzkr). (4.57)
тпк(0) * mn(0)
Последнее соотношение позволяет выразить амплитуды всех мод
через эталонную и записать
£-^ гпп{0) *—'
сведя, таким образом, задачу к эволюции эталонной моды [363].
Далее можно воспользоваться адиабатической медленностью
процесса установления спектра и вместо уравнения (4.55) для
эталонной моды взять его квазистационарный вариант
l + ]T£/m,(r) = A,
или, с учетом (4.58),
^| У>т,(0) ехр ( - GAfr) = А - 1. (4.59)
Заменим теперь суммирование интегрированием, для чего вместо
дискретных введем в рассмотрение непрерывные величины
тп(1, т) = тгц(т)/А, С{1) = С,, dl = А.
Отметив плавность функций тп(1), £(/) по сравнению с ехр(—G А^т),

осуществим приближенное интегрирование:
т(/, 0)С(1) ехр ( - GA]t) dl к
I
оо
ттг(0,0)£(0) I ехр (- G42r) dl =
Соотношение (4.60) позволяет получить из (4.59) формулу
тп{т) = {А- l)Ay/G^,
подстановка которой в (4.57) приводит к окончательному
результату
Ыт)=^){А~ 1)2*Vvехр (-сл1т) (4-61)
[364, 365]. Обобщение данного рассмотрения на лазер с
селективными и меняющимися во времени потерями мод можно найти в
работе [364].
Из (4.61) видно, что в каждый момент времени форма спектра
близка к гауссовой с полушириной по полувысоте
AasM
= V^- <4-62)
Та же формула (4.61) дает постоянную времени изменения
амплитуды моды
П = -^щ- (4.63)
По исходным предположениям rjt ^> 1, а потому рассмотрение
пригодно лишь в тех случаях, когда Ai^r) >С G-1'2.
На очень больших временах, когда форма спектра генерации
приближается к стационарной, т.е. при г > l/^GAf^),
развиваемый подход неприемлем потому, что нельзя пользоваться
уравнением (4.55). Таким образом, стадия установления спектра
генерации протекает во временных границах
1<r<dk* (4-64)
Для твердотельных лазеров с типичными значениями параметров
Л = Ю-3, Л1ая = Ю-1 - Ю-2, G = 103 - 10* условие GA^ <
< 1 либо выполняется на пределе, либо не выполняется вовсе. Но
лазерам на красителях, обладающим более широкими линиями

усиления и большей скоростью релаксации населенностей (Л к
т Ю-6, Aiaa т Ю-2 — 10~3, G < 1), оно вполне адекватно.
4.3.3. Альтернативные механизмы многомодовости лазеров.
Мы рассмотрели лишь один из механизмов многомодовой
генерации — пространственную конкуренцию мод. Оставаясь в
рамках активных сред с однородным уширением, мы не касаемся
вопроса о спектральной конкуренции. В качестве же возможной
альтернативы пространственно неоднородному насыщению
активной среды отдельными модами выступает спонтанное излучение
[363, 366].
Чтобы понять эту ситуацию, воспользуемся системой
уравнений (4.29), добавив в первое из них член, учитывающий средний
вклад спонтанного излучения для каждой из мод:
— Gmk (ck [n-ipldv~l\= GeBpCk f mpl dv, (4.65a)
j± = A - n(l + ££,#nA (4.656)
Правая часть (4.65a) записана наподобие того, как это сделано в
уравнениях (3.51) и (4.45), а параметр е определен посредством
(3.50). Априори будем считать число генерирующихся мод
большим, а инверсию — равномерно распределенной по всей толще
активной среды (одномерная модель в приближении плоских волн).
В этих предположениях
ni>ldv = n ф1 dv = n{ipl)v3 = (п), A{^l)va = (A),
где (ij>f) — среднее по объему активного элемента. Преобразуем
уравнение (4.656), умножив обе части его на il>kvB и
проинтегрировав их затем по объему:
^ = <A)-<n)(l + £WV?>).
Если все {ipf) одинаковы, что имеет место лишь с точностью до
X/LB, не лишено смысла введение взамен т новой переменной
(771/) = m(ij)f), ведущее от системы (4.65) к системе:
^- - G(mk)(Ck(n) - 1) = G(eBp)£k(n),
d(n)
dr
где <£8p) = евр(ф1).
= (A) -<n)(l + 5><пч>),
(4.66)

Ниже представляется удобным введение нового малого
параметра 7} = irEsp/Л. С его участием запишем стационарный вариант
уравнений (угловые скобки везде опускаем):
тк{\ - Скп) = (г}А/п)Скп, (4.67а)
п = А (1 + ^2 С1ШП ■ (4.676)
Поскольку п мало отличается от 1, находим из (4.67), что
5^£,т, = (А/п) - 1 = А - 1 + Oft)
(0(77) — член порядка 77) и, соответственно,
1_1 + Е£,ж, = 1 + ом. (4.в8)
лпЩ-1
(4.69)
п А
Подставив (4.68) в (4.67а), получаем
_ СкпЛ СкЛ Л
7Г(1 — СкП) 7Г(П * — Ск) 7Г
Заменив суммирование (4.68) по модам интегрированием по
частоте, находим
^mfc = 7}у/А/0(т}).
Приравнивая J^m/ к А — 1, приобретаем равенство, из которого
0(т7) = 772Л/(Л-1)2, (4.70)
а значит
Шк*1 Al + vy(A-ir (4-П)
Таким образом, мы получили для спектра генерации лорентцеву
форму с полушириной по полувысоте:
*-=щ*1г (4J2)
Оценка числа возбуждающихся мод по формуле (4.72) дает
2A\as 2п£ер 1
Л Л2(А-1) ~ 100(А-1)'
если задаться евр = Ю-13 и Л = Ю-5, что соответствует лазеру на
красителе типа родамина 6G. Число мод будет заметно большим
единицы только в условиях А — 1 >С Ю-2. Требующаяся
прецизионная близость к порогу самовозбуждения ставит под
сомнение дееспособность рассматриваемого механизма многомодовости

применительно к лазерам упомянутого типа. Актуальность этот
механизм приобретает в случае полупроводникового лазера [367],
для которого параметр е благодаря малому объему резонатора
оказывается на много порядков выше, чем в случае лазеров других
типов.
Возникает вопрос: чем же можно объяснить тот факт, что
спектр непрерывно генерирующего лазера струйного типа на
красителе реально содержит сотни продольных мод? Возможный
вариант ответа заключается в том, что, невзирая на стабильность
интегральной мощности, распределение ее по спектру к
стационарному не приходит. Элементарная оценка по формуле (4.72),
которую удобно переписать в виде
^T-Tsb1 (4-73)
показывает, что при Л = Ю-5, х = 108 с-1 и tjt = Ю-2 с число
мод N = 200. Как уже отмечалось в п. 1.2.3, время жизни
отдельной моды непрерывно генерирующего струйного лазера составляет
Ю-2 — Ю-3 с при числе мод в несколько сотен.
Таким образом, центр тяжести проблемы многомодовости
спектра генерации лазера на красителе переносится на причины
нестационарности этого спектра.
4.4. Еомбинациониое взаимодействие мод
и его влияние на динамику генерации
При переходе в балансным уравнениям, который был
осуществлен в §4.1, потребовалось пренебречь в полуклассической
системе некоторыми членами, а значит, исключить из рассмотрения
определенные физические факторы. Один из них —
комбинационное взаимодействие мод, которое также называют четырехволно-
вым смешением в активной среде. Эффекты, обусловленные
комбинационным взаимодействием, проявляются в тех случаях, когда
частоты мод достаточно близки к эквидистантному расположению.
При сильном взаимодействии наступает синхронизация
(комбинационный захват) мод. Спектр генерации становится строго
эквидистантным, а поскольку частоты межмодовых биений велики,
влияние этих биений на устойчивость стационарной генерации
ничтожно мало. Иное положение складывается в том случае,
когда дисперсия преобладает над нелинейностью и спектр
генерации остается неэквидистантным. Возникающие вторичные
биения могут попасть в этом случае в окрестность релаксационных
частот лазера и тогда влияние комбинационного взаимодействия мод
на устойчивость должно быть принято во внимание. Этот
эффект, предсказанный в [24, 289], был затем подтвержден работами
[368-371].

В лазерах с быстрорелаксирующими активными средами, в
которых релаксационные колебания не имеют места, роль
комбинационного взаимодействия мод может быть даже более заметной.
Комбинационные тоны, сформированные совместным действием
большого числа мод с неэквидистантными частотами,
обеспечивают подобно внешним силам, модуляцию отдельных мод по
сложным законам [372, 373]. В этом состоит механизм спектральной
нестационарности, присущий многомодовым лазерам.
4.4.1. Конкуренция дисперсии и нелинейности активной среды.
Ограничим рассмотрение системой продольных мод лазера, что
позволит воспользоваться уравнениями (П. 10).
Приняв нормированное время т = *y\\t и введя сокращенные
обозначения
Gfcal = -^fcK + nfc), (4.74)
ГсотЬ _ ' -г \^ ?ЛП0 + Пи) + •7ГЛ"0 + nv) Uftfa-H+v (. _.ч
^ ~~ЛТкЪ Л±г(Л.-ЛЛК К ' (4-75)
*»i"
1 + i(A, - АО/7 fk
перепишем систему уравнений (П. 10) (дополнив их, согласно (4.9),
дисперсионными членами) в более компактной форме (mj = |/j|2):
^7 +{(т " ^) fk = \ Gfk[2i(^ + ^°тЬ)" 1]' (4'76а)
j / AT ч Л"
dr
(JV \ JV
1 + yj£jmj J — yj£jmj7ij, (4.766)
= -nk I 1 + ]P Cjmj J - ~Ck™hnk. (4.76в)
dr
A/
Условие синхронизма взаимодействующих мод позволяет
несколько по иному перенумеровать моды, v = fi+l, k — fi+v = k+l,
и переписать (4.75) в более компактной форме:
СсотЬ _ £ т v^ ^("о + %) + •^+<(по + n»+i) f^fl+ifk+l
* "4'*2-, 1 + Й4/7 Л "
(4.77)
Подставив Д = £j. exp(t'v?k) в (4.76а), выделим фазовое уравнение
^ = 1СЛС* - 4 Лк + GRe(^ + 0Г*). (4-78)

Поскольку в рассматриваемом процессе комбинируются четыре
моды и выражение (4.77) зависит не от отдельных фаз, а от их
комбинаций Фмц = (pk+l — fk — WH + fin резонно перейти от (4.78)
к уравнениям для этих последних величин:
^ = G(*U + FS?) - щ (Ак+1 -Ак- А,+1 + А,). (4.79)
Функция
*Й. = ^е(^+ТЬ - ^°тЬ - ^+?Ь + 0ТтЪ) (4-80)
характеризует нелинейность системы, а
^'"Р = Ъ( ^cfc+' ~ Шск ~ а,с"+'+"с^ +
+ Re(0ffi - Gt* - G% + Gjal) (4.81)
ее дисперсию. Поскольку у± ^> х, второе слагаемое в правой части
(4.81) не играет существенной роли и мерой дисперсии выступает
неэквидистантность (разность частот биений) в спектре
собственных частот резонатора
РкЦР = ^ (w<*+' _ <** ~ и^+1 + шч>)-
Взаимоотношения между дисперсией и нелинейностью могут
сложиться по разному. При сильной дисперсии допустимо
игнорировать нелинейность и тогда неэквидистантность собственных
частот резонатора приводит к такой же примерно
неэквидистантности генерируемых частот.
При доминирующей нелинейности способны возникать
различные динамические режимы лазера. В частности, может быть
полностью нейтрализовано действие дисперсии и спектр генерации
окажется эквидистантным. Такой режим часто называют
синхронизацией мод, но следует иметь в виду, что эквидистантность
частот сама по себе не предполагает наличия простого закона
распределения фаз.
Чтобы найти критерий синхронизации мод в упомянутом
широком смысле этого понятия, необходимо оценить F"1 и
сопоставить его с Fd,sP. Оценка эта затруднена вследствие
неопределенной ситуации с фазами мод. Если предположить достаточно
равномерное их распределение, то задача аналогична сложению
N колебаний со случайными фазами и сумма членов с
фиксированным значением I составит для инерционной активной среды с
Л/у = Аи/уц » 1, lAw/yL < 1
! _ yn€2y/N _ л_ Л-J.
IA ~ I Aw y/tf'

С целью упрощения оценок полагаем интенсивности мод
одинаковыми, €\ = £2 = (А — 1)/Л/", а также По + n* т 1. Считая,
что основной вклад в комбинационную сумму вносят слагаемые с
/ = 1, получаем
Fnl 711* А-1 ,
75=- ~ —^Ч Т=Г- (4-82)
Если перейти к нормированной неэквидистантности /2£j =и}^1^/Ли
и к уже неоднократно встречавшейся величине &i = y/G(A — 1)/2
(релаксационной частоте при G ^> 1), то (4.82) запишется как
' "А * * (4.83)
Управляющий параметр
Л = А/у, (4.84)
характеризует инерционность активной среды в масштабе времени,
задаваемом периодом межмодовых биений. Согласно (4.83) область
сильной нелинейности соответствует малым значениям
неэквидистантности, удовлетворяющим неравенству
Яы„ < *2?/(^VA0. (4.85)
Пример 4-3
NdtYAG-лаэер
7|| = 5 • Ю3 с"1; G = 104;
x = 5-107c_1; J2i = 50;
Ло> = 109с-1; Л = 2-105;
ЛГ=9; Л = 1,5;
Пример 4-4
Лазер на красителе
Т^г-НРс"1; G = 0,5;
х=5-107с-1; fix = 0,35;
Aj = 109c~1; Л = 5;
Af=104; Л = 1,5;
I
1^<2-Ю-8;
|wfc//J/27r<3r4.
1
1
1^<5-Ю-5;
I о>ым/2тг<8кГц.
1
4.4.2. Нестационарность генерации, обусловленная
нелинейным взаимодействием мод. Выявим условия, при которых можно
ожидать заметного влияния комбинационного взаимодействия мод
на нестационарные процессы в лазере. Для этого перейдем к
действительной форме (4.76а) и рассмотрим амплитудную часть этих
уравнений:
^ = -I G£fc[2Im(C#al + Gtomb) + 1]. (4.86)

Член д™>тЬ играет здесь роль возмущающей добавки к балансной
системе и для начала полезно оценить его величину. С этой целью
перепишем (4.77), полагая все Ck = 1, а также считая
выполненными неравенства
7 « |А, - AJ « 1 (7Ц<К-^|<Тх)- (4-87)
Поскольку речь идет о конденсированных средах, то tj_ > Ю12 с-1,
а 7|| варьируется от 5 • 103 с-1 для Nd:YAG до 108 с-1 для
растворов красителей. Интервал между соседними продольными модами
порядка 109 с-1 соответствует резонатору длиной 100 см. В
случае твердотельных лазеров неравенства (4.87) выполнены и для
спектра поперечных мод. Приведенные обстоятельства позволяют
перейти от (4.87) к более простому выражению
Im6Г* « -I ЕС** + п, + »^ ^^ ^п(^г + Фы,)
4 ~f £к Д»+1 - Дц
(4.88)
Если считать, что 2п0 + п^ + Пц+i яа 2, €2 рх (Л — 1)/Л/", то
амплитуда отдельного слагаемого суммы (4.88) оценивается как
/?! = у{А - 1)/(ЛГА). (4.89)
Заметного влияния на динамику генерации следует ожидать,
в первую очередь, когда моды не синхронизованы, т.е. Qklp Т
ф 0. Но это означает, что в уравнения (4.86) явно входит время
и задача оказывается вне компетенции автономной теории.
Поэтому, забегая вперед, воспользуемся результатами, изложенными
в гл. 6. Сопоставление (4.86) с (6.18а) обнаруживает, что слагаемое
21m (7£отЬ занимает в уравнениях лазера то же место, что и член,
ответственный за модуляцию потерь. Это позволяет прибегнуть
при оценке эффективности комбинационного взаимодействия мод
к соотношениям (6.26) и (6.29). Вопрос лишь в том, что
надлежит поставить в соответствие частоте модуляции Q и ее глубине
/5. Ответ на этот вопрос не однозначен. Выделим среди прочих
два частных случая.
1. Отклонения генерируемых частот от эквидистантного
расположения кратны некоторой величине Q\, и спектр
комбинационного тона (вторичных биений) составлен из ее гармоник. Проводя
оценки, за амплитуду низшей гармоники с некоторой долей
осторожности можно брать (4.89).
2. Отклонения от эквидистантного расположения носят
случайный характер, а спектр вторичных биений представляет собой
полоску белого шума с центром на частоте О*. Оценка амплитуды
комбинационного тона осуществляется по правилам сложения
колебаний со случайными (в данном случае — дрейфующими)
фазами и приводит к
^Ш- (4'ш)

Реакция твердотельного лазера на присутствие
осциллирующих комбинационных членов может быть нелинейной, если
согласно (6.26) и (4.90) имеет место равенство
А Ли Ау/77 К '
Из (4.91) видно, что роль комбинационного взаимодействия
в раскачке колебаний интенсивностей тем более выражена, чем
меньшее число мод участвует в генерации и чем ближе по частоте
моды примыкают друг к другу.
Показав, что нерегулярное поведение способны
демонстрировать относительно простые системы с небольшим {М > 3) числом
степеней свободы, нелинейная динамика сосредоточила внимание
именно на таких системах. К их числу относятся
рассмотренные выше модели лазеров. Но сложные периодические процессы
наблюдаются, как уже отмечалось в п. 1.2.3, также и в многомо-
довых лазерах. По совокупности внешних признаков они близки
к объектам, изучаемым методами статистической физики, и
велик соблазн приписать нерегулярность поведения таких систем
действию случайных факторов. Например, возложить
ответственность за глубокие незатухающие флуктуации интенсивности
отдельных мод лазера на присутствие шумовых источников,
представляющих спонтанное испускание активной среды [374-376].
Если исходить из балансной модели и не усложнять ее учетом
других нелинейных эффектов сверх неизбежного насыщения
активной среды, то такое объяснение представляется довольно
естественным. Но если принять во внимание связь мод вследствие
нелинейного рассеяния (к механизмам этого типа относится и
комбинационное взаимодействие), то появляется возможность
динамической интерпретации нестационарных процессов в многомодовом
лазере. В отличие от случайного процесса, вызываемого действием
шума, речь идет о детерминированном хаосе. Таким образом,
вопрос о природе нестационарного поведения многомодовых лазеров
имеет принципиальный характер. Теоретические усилия,
направленные на его решение, были предприняты в работах [368-373,
375, 377], а экспериментальным исследованиям спектральной
динамики лазеров на красителях посвящены работы [65, 377 - 379].
Численное интегрирование подтвердило возможность
существования решений системы (4.76), обладающих чертами хаотического
поведения. Об этом свидетельствует не только непериодичность
рассчитанного процесса в отсутствие случайных сил, но и
убывающая зависимость времени корреляции моды от скорости накачки
[378]. Последняя закономерность вытекает из того, что влияние
нелинейных членов уравнения, а значит и степень
нерегулярности ими обусловленная, возрастают по мере увеличения
интенсивности поля излучения.
Ниже приводятся результаты численного исследования пяти-
модовой модели лазера бегущей волны на красителе. Хотя выбор

модели обусловлен, главным образом, ее предельной для данного
класса систем простотой, результаты представляют более
широкий интерес, чем это можно было предположить заранее.
Упрощения системы (4.76) связаны, во-первых, с тем, что
модами являются бегущие в одном направлении волны. Поэтому
продольная неоднородность инверсии отсутствует. Во-вторых,
высокая скорость релаксации инверсии позволяет адиабатически
исключить п из уравнений, положив dno/dr = dnk/dr = 0.
На рис. 4.6 представлена фазовая диаграмма, обобщающая
результаты численного решения уравнений (4.76) при сделанных
предположениях. Диаграмма построена в плоскости управляющих
А/у'
60
40
20
10~5 10"4 10"3 во
Рис. 4.6. Фазовая диаграмма пятимодовой модели лазера бегущей волны на
красителе в плоскости управляющих параметров 6П, А/у при у = 2 • Ю-4; А=1,5;
*/Т|| = 0.1
параметров S Г2, Л/у. Отклонения частот мод от эквидистантного
расположения задавались регулярными, так что величины О'^
были кратны некоторой величине 8Q = 6(Ли)/Лш, которая
принята за меру неэквидистантности.
Замкнутая линия на диаграмме ограничивает область
неустойчивой генерации. Вхождение в эту область слева сопровождается
резким возбуждением хаотических скомпенсированных пульсаций
отдельных мод. К правой же границе изнутри примыкает полоса
регулярных пульсаций, сценарий перехода от которых к хаосу по
мере углубления в зону неустойчивости обнаруживает элементы
удвоения периода и квазипериодичности.
Примеры регулярных и хаотических решений приведены на
рис. 4.7. Вне зоны неустойчивости после завершения переходных
процессов устанавливаются стационарные одномодовые решения.
Этот результат не должен вызывать удивления, поскольку ни
спектральной, ни пространственной неоднородности активной среды в
модель не заложено. Следует, однако, отметить, что при малых не-
эквидистантностях, когда нелинейность преобладает над дис-
J I L

Персией, переходным является состояние с синхронизованными
модами, которое не способно поддерживать себя длительное время.
0,2
150
тк
0,2
ш
115 135 ynt, 10*
Рис. 4.7. Примеры численных решений уравнений (4.76) для dn/ dr = 0 и Л/- = 5
в области неустойчивости, указанной на рис. 4.6, при А = 1,5; у = 2 • Ю-4;
*/7|| = 0,1; Д/у = 40; 8П = 2,5 - Ю-5 (а) и 6П = 2,3 ■ 10~5 (б)

Этот результат подкрепляет высказывавшуюся выше мысль о том,
что нестационарность может выступать в качестве эффективного
механизма многомодовости генерации.
Необходимо отметить и наличие оптической бистабильности,
которая обнаруживается вблизи правой границы зоны
неустойчивости. Здесь в зависимости от начальных условий можно выйти
как на режим стационарной одномодовой генерации, так и на
режим незатухающих пульсаций.
Обращает на себя внимание очень резкая зависимость
положения интервала неустойчивости по параметру
неэквидистантности от относительного значения межмодового интервала. Зона
неустойчивости не может оставаться столь же узкой при большом
числе генерирующихся мод, поскольку в игру вступают биения
между модами все более и более удаленными друг от друга по
частоте. В этом, по-видимому, и состоит причина нестабильности
лазеров непрерывного действия на красителях, число мод которого
исчисляется сотнями.
Оценочный расчет эффективности комбинационного
взаимодействия мод как механизма автомодуляции спектра излучения
лазера на красителе может быть осуществлен наподобие того, как это
было сделано выше. И здесь возникает вопрос о том, какую
величину следует сопоставить глубине модуляции потерь. Объединяя
формулы (4.89) и (4.90), запишем
GP__{Jh№ (492)
где 0,5 < а < 1. Глубина модуляции моды будет предельно
большой, если GP/2Q > 1, или согласно (4.92)
Q2
8Q < ^г±-. (4.93)
AWa
Для а = 0,5 это совпадает с условием преобладания нелинейности
над дисперсией (4.85). Штриховая линия на рис. 4.6
воспроизводит зависимость 5Г2 — £21/(А2№). Тот факт, что она проходит
через узкую зону неустойчивости, свидетельствует о том, что
аналогия с модуляционной моделью имеет под собой веские основания.
Объектом экспериментального исследования в [65, 377-379]
служил струйный лазер на красителе. Одним из фактов,
свидетельствующих в пользу динамической природы нестационарности
процесса (см. рис. 1.10 и 1.11), является существование
бифуркационных точек на зависимости генерационных характеристик
от спектральной плотности излучаемой мощности. Как видно из
рис. 4.8, при определенных значениях указанного управляющего
параметра наблюдаются скачкообразные изменения времени
корреляции моды. В тех же точках и также скачком меняется
фрактальная размерность аттрактора. Низкая, на уровне нескольких

единиц, к тому же не целочисленная размерность также говорит о
динамическом происхождении спектрального хаоса.
В работах [378, 379] размерность аттрактора, равно как и кол-
могоровская энтропия, определялись из экспериментальных
реализаций по методу Грассбергера и Прокаччиа [380-382]. Для
претворения в жизнь их процедуры достаточно располагать
временным ходом какой-либо одной переменной (интенсивность
одной из мод). Такой подход вполне понятен, ибо систему N диффе-
* cor t МКС
«■ (jj
300
200
%
Ы*
ю
20
р/ДХ, мВт/А
30
40
Рис. 4.8. Измеренная зависимость времени корреляции моды струйного лазера
на красителе от спектральной плотности излучаемой мощности; скачкообразные
изменения видны при V/ЛХ = 14,5 мВт/А; и 36 мВт/А [378]
ренциальных уравнений 1-го порядка можно свести, в принципе, к
одному эквивалентному ей уравнению Af-то порядка. Фазовое
пространство такого уравнения имеет в качестве координат значения
самой искомой функции тп^[т) и ее производных д.пт^/д.тп.
Результат обработки экспериментальной реализации по методу
Грассбергера и Прокаччиа представлен на рис. 4.9. Видны два скачка в
зависимости фрактальной размерности di от плотности
генерируемой мощности с тенденцией к увеличению размерности по мере
удаления от порога генерации.
Приведенные экспериментальные факты требуют некоторых
комментариев. В работе [378], из которой заимствован рис. 4.9,
спектральное разрешение аппаратуры было недостаточным для
выделения одной моды. Поэтому обработке подвергалась
реализация, представляющая собой временной ход суммарной
интенсивности группы из нескольких десятков мод (в данном конкретном
случае их было 35). Это, тем не менее, не помешало получить
результат, предсказываемый теорией при наличии исходного
материала, относящегося к одной степени свободы системы. Вкупе с

малой размерностью аттрактора этот факт можно объяснить
разбиением всего ансамбля генерирующихся мод на небольшое число
групп, внутри которых имеется более жесткая корреляция, чем
между модами из разных групп. Пакет мод, а не отдельную моду
следует, по-видимому, отождествлять в этом случае со степенью
свободы. Выделение одной моды не должно в такой ситуации
менять результат, что и нашло подтверждение в более позднем
эксперименте [65].
Второй комментарий касается роли квантовых флуктуации в
описываемом круге явлений.
На рисунках 4.8 и 4.9 не отражена область накачек, тесно
примыкающая к порогу генерации. Между тем, здесь наблюдается
возрастание размерности аттрактора и спадание времени
корреляции моды при снижении накачки, т.е. тенденция противоположна
б-
+—г-
2-
ol I У7777Х | Р777Я | »
120 140 160 180 200
р/ДХ, мВт/А
Рис. 4.9. Измеренная зависимость размерности аттрактора многомодового
струйного лазера на красителе от спектральной плотности излучения; на оси абсцисс
отмечены участки, в которых скачком меняется время корреляции моды [378]
той, что отмечена при больших накачках. Противоречие легко
разрешается, если предположить, что в припороговой области, где
относительная доля спонтанного излучения в общем балансе
возрастает, доминирует механизм нестационарности, связанный с
квантовыми флуктуациями.
4.5. Лазеры на конденсированных активных средах
с неоднородным уширением
Многие динамические свойства лазера нечувствительны к тому,
каков характер уширения линий активной среды. Однако это
утверждение не распространяется на спектральные
характеристики генерации. Предположение о том, что частоты переходов всех
активных молекул в точности совпадают, т.е. спектральные
линии однородно уширены не всегда оправдано даже для конденси-

рованных сред. Так будет, например, если примесные атомы
занимают неэквивалентные положения в кристаллической решетке
или подвергаются действию неоднородного электрического поля
внутри аморфных матриц.
4.5.1. Математическая модель. Сложение вкладов от
идентичных молекул приводит к выражению для поляризации среды с
однородным уширением
Ртп = Na {Pmndnm + Pnmdmn ). (4.94)
В случае неоднородного уширения так можно записать лишь часть
поляризации и необходимо дополнительное суммирование по всем
группам частиц, отличающимся значением частоты перехода.
Вычисление поляризации требует знания функции распределения
молекул по частотам h(uo) с таким, например, условием
нормировки:
оо
/ h(uo) du0 = 1.
о
Вид выражения для поляризации зависит от того, как
нормирована матрица плотности. Если считать
Pii(w0) + P22(wb) = h(u0), (4-95)
то
оо
Pmn = N* {Pmndnm + Pnmdmn) du0. (4.96)
О
В случае же
Pii(w0) + Р22И)) = 1, (4.97)
имеем
оо
Pmn = Na I {pmndnm + Pnmdmn) Ци0) d.Uo- (4.98)
О
Неоднородное уширение вносит двоякого рода коррективы в
Уравнения лазера.
Во-первых, неоднородность среды предполагает сложение
вкладов в поляризацию от всех групп атомов с разными частотами
переходов.
Во-вторых, необходим учет процесса спектральной
кросс-релаксации. Вид уравнений зависит от того, какая нормировка
принята для матрицы плотности: (4.95) или (4.97). Остановившись
на (4.95), получаем следующую систему уравнений многомодового

лазера, являющуюся обобщением (2.76):
dFx
dt
+ [х- i(u - ucx)]Fx = 4niudNa / / фха du0 dV, (4.99a)
Л "A
-^r + b^-i{u-u0)]a = -l—DY,^Fv, " (4.996)
oo
^ + 7,,(D - D<°>) + Г [я - fc(wb) У D duQ =
2h
YtMKo-W)- (4.99b)
Если выбрать нормировку (4.97), то интеграл в правой части
(4.99а) заменится на JJil}vah(iJo)duodV1 а кросс-релаксационный
член в (4.99в) — на Г[Г> - / Dh(uo)du>o].
Формальная схема получения уравнений баланса, изложенная
в § 4.1, остается в силе. Следуя ей, нужно перейти к новым
переменным согласно (4.3), адиабатически исключить амплитуды
фурье-компонент поляризации и пренебречь всеми перекрестными
по разным модам членами в получающихся уравнениях. В
безразмерной форме
dr
GmX[J J l+fr-W-
L« о
(4.100a)
дп
тхф\
% = МЫ-п1+Ет-^
(W> - Со)2
-Г
п — h(uo) I п duo
о
(4.1006)
балансные уравнения лазеров класса В запишутся, если принять
подобные (3.1) формулы перехода
тп\ =
2nd2pa, 2 2жы#Яя „ л 2жи(РЫв
W, п =
D, А =
т = 7||f, v = V/Ve, ы = w/тх, G = 2лг/7ц, Г = Г/тц
(4.101)

4.5.2. Стационарный режим в приближении
пространственной однородности поля; порог расщепления спектра генерации. В
случае пространственно однородного поля инверсия населенностей
одинакова во всем объеме активного элемента и это дает
возможность переписать уравнения (4.100) в более простом виде:
°°
dmk
dr
=<Ч/тдаИ> <"■»■>
£^)-»[1+£rneid-
—Г п — h{uo
оо
) / ndu0 .
(4.1026)
В отсутствие генерации спектральная плотность инверсии
повторяет функцию распределения:
п = АЛ(и0). (4-ЮЗ)
Подставив (4.103) в (4.102а) и потребовав выполнения неравенства
dm(uoo)/dT > 0, находим условие самовозбуждения:
h{u0) dujp
"оо)'
/fe(S0) dcjj
1 + (шо - и.
>1
(4.104)
где через и>оо обозначена частота центра линии усиления.
Если неоднородное уширение велико, то значение h(uo) может
быть вынесено из-под знака интеграла, и приближенное условие
самовозбуждения выглядит как
nAhpoo) > 1. (4.105)
Для точного вычисления интеграла необходимо задать
конкретный вид функции распределения. Здесь и ниже будем оперировать
одной из двух функций —
лорентцевой:
MWo) =
гауссовой:
/*g(w0) = -( —
2у/2
Я2 + (И) - woo)2'
(£0-£5оо)21п2
ехр
(4.106)
(4.107)
Удовлетворительно аппроксимируя реальную форму неоднородных
спектральных линий, эти функции позволяют получать
результаты в относительно простом виде.

Величина q имеет смысл полуширины нормированной на 7±
функции распределения по уровню 0,5 и носит название
параметра неоднородного уширения. Ширина неоднородной линии
относится к ширине элементарной однородной линии отдельного атома
как 9+1.
Для лорентцевой линии (4.106) условие самовозбуждения
(4.105) сводится к неравенству
А(д + 1)_1>1, (4.108)
а для гауссовой линии (4.107) — к неравенству
Ад-1 (тг1п 2)1/2 exp (In 2/д2)[1 - Ф(л/йГ2/д)] > 1. (4.109)
Здесь Ф{х) — интеграл вероятности. Если неоднородное ушире-
ние велико, вместо последних двух неравенств имеем
А (1 — лорентцева линия, . .
q у (тг1п2)-1/2 —гауссова линия. * ' '
Уравнения, описывающие стационарные режимы генерации,
получим, полагая в (4.102) d/dr = 0:
о
оо
^-*[i+E щйЫ+f [л/й dCo"й]=0- (4Л11б)
к О
Входящая в (4.1116) неизвестная величина J ii duo находится
интегрированием обеих частей этого уравнения по частоте:
оо
I п duo = А - ^2 тк. (4.112)
о
Наиболее прост для анализа случай одномодовой генерации.
Воспользовавшись соотношением (4.112), находим из (4.1116)
частотную зависимость инверсии
-,~, [(f+l)A-fm] L,, , ,
п(ш0) = — - h(u0). (4.113)
' r+l + mtl + ^o-Coo)2]"1
Подстановка ее в (4.111a) дает уравнение для определения
интенсивности излучения
оо
[А(Г +l)-rm]f -= ^ 1 = 0. (4.114)
Ч (Г + 1)[1 + (50-£оо)2] + т

Когда неоднородное уширение велико и можно, следовательно,
считать h = /i(Coo), уравнение (4.114) сводится к уравнению
s2 + — s 5г- = 0. (4.115)
тгГЦйоо) Г
Для компактности записи взамен т введена величина
5 = yJl + m/(T + \). (4.116)
В случае лорентцевой функции распределения уравнение (4.114)
независимо от значения параметра неоднородного уширения q,
входящего в уравнение через h, преобразуется в
52 + ,Д-5-£±^ = 0. (4.117)
Г+1 Г+1
Лишь одно из двух его решений имеет физический смысл и из
него следует
*2 Г g2 f + Al1/2
Ш = А-1+-^ q \^? + ^— . (4.118)
2(Г+1) Ч4(Г+1)2 Г+1 J
В предельных случаях сильной (Г ^ А) и слабой (Г <С 1) кросс-
релаксации выражение для интенсивности стационарной
генерации упрощается:
т = А - q - 1 для Г > А, (4.119а)
т = {A/q)2 - 1 для Г < 1. (4.1196)
Формулу (4.1196) можно получить непосредственно из (4.114),
если с самого начала пренебречь кросс-релаксацией. Выражение
(4.119а) означает, что среда при наличии сильной
кросс-релаксации ведет себя как однородная с той же шириной линии.
Найденный режим одночастотной генерации устойчив, когда
на всех частотах, за исключением центра линии, усиление не
достигает уровня потерь. При условии же
/ndun
1 + (ик - ш0)2
о
генерация будет многочастотной. Подставив сюда п согласно
(4.113) и считая функцию распределения лорентцевой, произведем
интегрирование и получим неравенство
А-Г(з2-1) Г (g + l)2(g-l) (*+.„- ., ■
" о -О Л г л") . I . 1\<>1 _г л">. . I - | 1\<П I — у
?2-*2 \q[Al+(q+l)*] s[Al
(4.120)
-1)а(Д-1) 1
:+(*+l)2]J -

Величина s удовлетворяет уравнению (4.117) и с его помощью
(4.120) преобразуется к более простой форме:
Al^Al - (g - 1) [s2 + (q + 2)s - <?±У!] } < 0. (4.121)
Значение Ak — u^—u>oo способно удовлетворять неравенству только
в случае
(? + 1)2'
(д-!)[> + («
+ 2)s-
9-1
>0.
Стоящий в квадратных скобках бином имеет положительный
корень
g + 2 Г(д+2)2 (g+iy
1/2
при условии
q> 1.
(4.122)
(4.123)
Меньше единицы величина 5 по определению (4.116) быть не
может3).
Если первое условие многочастотности генерации (4.123)
требует определенной неоднородности спектральной линии, то второе,
s > si, (4.124)
означает необходимость конечного превышения порога генерации.
Характеризующий критическую величину накачки параметр si
велик лишь при q ps 1, а по мере роста q он довольно быстро спадает.
Это видно из формулы (4.122) и иллюстрируется таблицей
значений, удовлетворяющих этой формуле:
1,1 2,0 10
si
6,5 1,6 1,04
Приравняв друг другу значения s, определяемые формулами (4.122)
и (4.117), можно найти величину параметра накачки А на пороге
спектрального расщепления. При g ^ 1 [98]
4 ~8
q q*
(4.125)
Вернемся к неравенству (4.121). Из него следует, что
реализация условий (4.123), (4.124) делает одночастотную генерацию
неустойчивой по отношению к возбуждению мод в конечной полосе,
3) Если функция распределения гауссова, то взамен (4.123) появляется
неравенство о > (1п2)1/2 [383].

примыкающей к центру линии. Функция Q имеет вид,
показанный на рис. 4.106'.
От рис. 4.10а, относящегося к случаю устойчивой одночастот-
ной генерации, рис. 4.106 отличается характером центрального
экстремума.
Значит, на границе области устойчивости не только 8Q(lj =
= ыоо)/ди> = 0, но и d2G{u = u>oo)/du>2 = 0. Некоторые общие
сведения о характере спектра
стационарной генерации можно извлечь
из свойств функции Q{y>) [384].
Функция эта аналитична и на
ограниченном интервале может
обращаться в нуль лишь в конечном
числе точек.
Отсюда следует вывод о
дискретности спектра. Пока накачка
меньше критической, генерация
происходит на одной центральной
частоте.
Непосредственно выше
критического значения будет две
частоты, и в случае симметричной
линии усиления они расположатся
симметрично относительно ее
центра. Генерация на центральной
частоте должна прекратиться в
силу того, что при критической
накачке д20(й = йоо)/0ш2 = 0 и
выше нее на центральной частоте
имеет место не максимум, а
минимум коэффициента усиления
(рис. 4.10в).
В области двухчастотной
генерации функция 0(ш) хотя и
меняет свой вид при дальнейшем
увеличении накачки, но остается
симметричной относительно
центра линии. Поэтому вторая производная может обратиться в нуль
только в точке и = ит. Это означает,что,когда накачка
достигнет следующего критического значения, размножение спектра
произойдет путем возникновения новой линии, а не расщепления уже
существующих, как это было на первом этапе. Точнее — вновь
возбудится центральная мода, а расстояние между боковыми
модами будет при этом порядка полуширины элементарной полосы
люминесценции. В деталях эта картина обсуждается в книге [385].
Полосатая структура, обязанная своим происхождением
спектральной конкуренции мод в неоднородно уширенной активной
среде, наблюдалась в спектре излучения лазеров на неодимовом
Рис. 4.10. Форма неоднородно
уширенного контура усиления активной
среды при устойчивой (а) и
неустойчивой (б) одночастной генерации
и при устойчивой двухчастотной
генерации (е)

стекле (см. п. 1.2.3). Эволюция спектра с ростом накачки,
которую можно проследить на рис. 1.16, находится в качественном
согласии с теорией. Аналогичную зависимость структуры спектра
генерации от параметра накачки обнаруживают лазеры на
красителях (см. рис. 1.9). По-видимому, расщепление спектра
генерации при малом превышении порога, описанное в работах [59-61],
свидетельствует о том, что растворам красителей присущи черты
активных сред с неоднородным уширением.
4.5.3. Влияние пространственной неоднородности полей мод
на структуру спектра генерации. Пространственная
неоднородность мод в активном элементе приводит к одновременному
выходу в генерацию целой группы близких по частоте мод. Для
однородно уширенного лазера это было показано в § 4.1.
Неоднородное уширение не устраняет пространственной конкуренции.
Можно ожидать, что благодаря этому каждая из компонент
крупномасштабной структуры спектра, о которой говорилось в п. 4.5.2,
уширится в полосу. Если же ширина отдельной полосы окажется
сравнимой с расстоянием между полосами, то дискретная
структура спектра, обусловленная спектральной конкуренцией, на опыте
не проявится.
Для самой грубой заниженной оценки ширины полосы,
связанной с пространственной конкуренцией мод, игнорируем
спектральную неоднородность среды и воспользуемся формулой (4.23).
При этом не следует забывать об отличии в определениях
параметра накачки в § 4.1 и здесь: заменить в (4.23) А на A(q + I)-1.
Никаких других изменений вносить не придется, если считать
А = Аы/&ш-тъ. где <tainh — полуширина неоднородной линии
усиления по уровню 0,5. Таким образом, место (4.23) занимает
выражение
Aas = [ЗА 8Ча j . (4.126)
Если подставить в (4.126) значение накачки (4.125), которому
в модели с однородным полем отвечает расщепление спектра
генерации, то нижняя граница ширины этого спектра в критической
точке составит
2^Гав - q-^UAiq + 2Г )]1/3_. (4.127)
Формула (4.127) справедлива при { > 1 и Г < j3. Не имеет
смысла рассматривать случай Г- > д3, так как порог
спектрального расщепления расположится много выше достижимых
значений параметра накачки.
Полосы в спектре генерации заведомо перекроются, если Л*ш >
> 1/(2д), а значит, интервал между генерирующимися модами
удовлетворяет условию
А > А* = ?-^. (4.128)
12(д + 2Г)

В оценках будем исходить из того, что длина резонатора
превышает 10 см и, следовательно, интервал между соседними
продольными модами Ли> < 1010 с-1. Задав <5u>inh = 2 ■ 1013 с-1 (ширина
линии люминесценции неодимового стекла), получим Л < 5-Ю-4.
Подставив эту цифру в левую часть (4.128), устанавливаем, что
бесструктурным спектр генерации неодимового стекла может быть в
случае q > 100 (при Г <С д) .Такую степень неоднородного уши-
рения можно представить себе лишь при глубоком охлаждении
стекла [386].
В тех случаях, когда интервал между соседними модами не
удовлетворяет неравенству (4.128), как, например, в лазере на
неодимовом стекле при комнатной температуре, спектр генерации
должен обладать структурой. Существуют две возможности,
обсуждаемые ниже.
1. Условие (4.128) не выполнено. Спектр состоит из отдельных
полос с периодом структуры порядка полуширины элементарной
полосы активного центра.
2. Условие (4.128) выполнено. Это возможно, когда в
генерацию выходят не все смежные моды. Спектр состоит из отдельных
узких линий, причем период структуры больше межмодового
интервала и меньше однородной части уширения линии.
Обе возможности удовлетворяют стационарным уравнениям
лазера. Задача, следовательно, сводится к анализу их на
устойчивость. Задача эта не решена и поэтому невозможно указать более
определенно условия, необходимые для реализации того или иного
спектра. Из общих соображений можно предположить, что
полосатые спектры первого типа с большей вероятностью должны
наблюдаться для лазеров со сферическим, а линейчатые спектры
второго типа — для лазеров с плоскопараллельным резонатором.
Возникновению линейчатой мелкомасштабной структуры
способствуют любые источники частотно-селективных потерь в резонаторе 4).
Такая структура спектров стационарной генерации чаще всего
и наблюдается на опыте.
Большое число генерирующихся мод и сравнительно малый
частотный интервал между ними облегчают задачу вычисления
общей ширины спектра генерации линейчатого типа [387].
Благодаря отмеченным особенностям оказывается применимым тот же
приближенный метод вычисления пространственного интеграла,
который описан в п. 4.1.2, а суммирование по модам заменяется
интегрированием по частоте.
Наиболее просто дело обстоит в отсутствие кросс-релаксации.
В этом случае спектр генерации по форме совпадает с контуром
усиления активной среды. Границы спектра определяются
условием равенства ненасыщенного усиления и потерь.
) На высокой чувствительности спектра генерации к наличию селективных
потерь основан метод внутриреаонаторной лазерной спектроскопии [388-391].

При наличии кросс-релаксации вычисление ширины спектра
стационарной генерации формально осложняется наличием в
уравнении (4.100а) члена J nduj. Если положить d/dr = 0,
проинтегрировать уравнение (4.1006) по объему резонатора и
воспользоваться затем (4.100а), то результатом является равенство
11 п du0 dv = А-^2,тк. (4.129)
Здесь уместно вспомнить, что многомодовой генерации сопутствует
равномерное распределение инверсии по всему объему активного
элемента. Это соображение дает возможность вынести п из-под
знака интеграла по объему и свести (4.129) к
/ пdu0 = А — 2_\
тк.
Избавившись от лишней неизвестной, разрешаем уравнение
(4.1006) относительно п:
A(f + l)-rJ2mk
п = п(ш0) — ,
' Г + 1 + ^£кф1тк
и подставляем полученное выражение в (4.100а). Неравенство
^2Скф1тк<^Т+1
тождественно малому превышению порога лишь в случае слабой
кросс-релаксации. В обратном случае в качестве малого параметра
можно использовать (Г + I)-1 и прибегнуть к разложению
1 1 52СкФ1тпк
Г + 1 + ^:скф1тк~ Г + 1 (Г + 1)2 '
Выполнив затем несложное интегрирование, приходим к
равенству
z j Л _ E£qmq+|£fcmfc\ £^(„о) d^ = ^ (4лзо)
в котором
Z = A-r(r + l)-1^2mk.
Дальнейшие преобразования основываются на предположении
о большом значении параметра неоднородного уширения (q ~Э> 1)
и широком спектре генерации (А^ ^> 1). Эти преобразования
приводят к равенству
z\l-^±-]=*. (4.131)
L (г + 1)л\ Щь>к)

Поскольку на границе спектра генерации mk = 0, из (4.131)
вытекают уравнения Z~x = Trh(u0±Aias) для нахождения его ширины.
Величину Z можно найти суммированием обеих частей (4.131) по
всем генерирующимся модам. В случае лорентцевой формы линии
задача сводится к уравнению (У = Л^/д)
у4 + ^у3-(7-2)у2-(т-1)=0- (4Ш)
Его решения при некоторых значениях Г приведены на рис. 4.11.
г-о
2,4 Alq
Рис. 4.11. Графики зависимости ширины спектра генерации лазера с
неоднородным уширением от уровня накачки при разных значениях скорости
кросс-релаксации Г
Из графиков видно, как с ростом кросс-релаксации ширина
спектра генерации убывает.
Функция ДаДА) имеет простой вид лишь в случае Г ^ 1 при
4as < д:
■^--'йСт-ОГ (4ш)
Кривые, рассчитанные по формуле (4.133), даны на рис. 4.11
штриховыми линиями. В пределе Г—>оо формула (4.133) неверна, как,
впрочем, и весь расчет, поскольку нарушается условие Д^ ^ 1.
Для очень больших Г линию можно считать однородно уширенной
и для оценки ширины спектра генерации пользоваться формулой
(4.126).

4.5.4. Переходный процесс при наличии кросс-релансации.
Механизм кросс-релаксации, обеспечивая миграцию возбуждений по
контуру неоднородно уширенной линии, стремится устранить
любое отклонение в спектральном распределении активных центров
от квазиравновесного. Уменьшение благодаря индуцированному
высвечиванию числа активных центров в каком-то локальном
участке линии вызывает направленный приток возбуждений именно
к этому участку. В указанном смысле кросс-релаксация действует
подобно дополнительному источнику накачки. И на характере
переходного процесса кросс-релаксация сказывается соответственно:
она приводит к более быстрому выходу на стационарный режим.
Наиболее эффективно этот механизм действует в случае
узкополосной генерации, когда значительная часть активных центров
непосредственного участия в генерации не принимает,
ограничиваясь ролью энергетического резервуара. Ниже будет рассмотрена
одночастотная нестационарная генерация.
Линеаризуем уравнения (4.102) около положения равновесия п,
то, определяемого равенствами (4.113) и (4.118), для чего вводим
переменные
<£то(7~) = то — то,
8п{т, Ш0) =71 — 71.
Предположив далее решения в виде
приходим к системе уравнений:
О
8по Х + Г + 1+ Ш „
[ 1 + (ш0 -шоо) .
оо
+ Th I Snoduo. (4.1346)
п
1 + (И) - Шоо)2
о
Проинтегрировав (4.1346) по а>о и воспользовавшись (4.134а),
находим ^
бпо dZJ0 = -6m0(G + A)/G(A + 1).
/■
о
Это соотношение позволяет определить из (4.1346) связь бщ с бтпо,
а ее подстановка в (4.134а) приводит к искомому характеристичес-

кому уравнению:
оо
fi[l + (S0 - Sqq)2]-1 du>a
X=-Gm
U».
Г + 1 + m[l + (ыо - woo)2]"1
ю+Щ J у + (50-эд2]-^0 i
G(A + 1) J A + Г + 1 + то[1 + (2ь - Soo)2]-1 J
Из общих соображений ясно, что затухание переходных
осцилляции будет ускоряться при увеличении Г лишь в области
относительно слабой кросс-релаксации.
При очень больших Г активная среда должна вести себя как
спектрально однородная и в этом качестве подчиняться законам,
установленным в § 3.2. Выделенные предельные случаи имеет
смысл рассмотреть порознь.
1. Относительно слабая кросс-релаксация
&1 > № |, Г, т. (4.136)
Неравенства (4.136) позволяют разложить подынтегральное
выражение по степеням малой величины 1/По> а затем найти
приближенные значения частоты и скорости затухания малых
колебаний.
Для лорентцевой функции распределения (4.106) в частном
случае q > 1, Г > 1
П\ к, Gm(A - m)/(2g), (4.137)
01 = -Г/2. (4.138)
Входящая в эти формулы величина т определена соотношением
(4.118). Итак, затухание переходных пульсаций возрастает
пропорционально скорости кросс-релаксации, пока последняя не
слишком велика [392].
Располагая формулами (4.137), (4.138), можем записать
неравенства (4.136) в более наглядном виде. В силу того, что G >► 1,
для выполнения неравенства i?i ^ то достаточно ненамного
превысить порог генерации. Два других неравенства из (4.136)
совпадают и с помощью соотношений (4.137) и (4.118) могут быть
сведены к
r2<±G(A-q). (4.139)
2. Сильная кросс-релаксация
Г » Пи |0i|, то. (4.140)

Теперь малым параметром, по степеням которого разлагается
подынтегральное выражение в (4.135), служит 1/Г.
Характеристическое уравнение (4.135) при условии q ^ 1 приводится к весьма
простому виду:
2qf А2 + [Gmq + if (q + т)]Х + 2GTm = 0.
Решая это квадратное уравнение, находим
П\ и G{Aq-x - 1), (4.141)
= _Одт + 2Пд + т)
4Tq '
В противоположность случаю слабой кросс-релаксации
декремент |0i| с ростом Г убывает и при Г—>■ оо он равен A/2q. Это
означает, что в указанном пределе среда ведет себя как спектрально
однородная.
Подставив (4.142) и (4.118) в (4.140), убеждаемся, что все три
неравенства выполняются, когда
f2»iG(A-g). (4.143)
Из установленного общего характера зависимости 0i(.T) можно
сделать вывод, что в промежуточной области, определяемой
неравенствами G(A — g)/4 < Г2 < G(A — q)/2 затухание
релаксационных колебаний максимально, причем |0i| и Г.
4.6. Динамическая неустойчивость стационарной
генерации многомодового лазера бегущей волны
(теория Ризкена-Нуммедала-Грэхема-Хакена)
Найденные в § 3.4 условия неустойчивости стационарной
генерации по отношению к возмущению самой генерирующей моды
имеют простой физический смысл. Во-первых, нелинейная
деформация контура линии усиления должна обеспечить эффект
расщепления моды. Во-вторых, получившие благодаря этому право
на существование боковые компоненты, не должны
дискриминироваться резонатором, для чего требуется широкая полоса моды
(5* > 1). Это последнее условие перестает быть обязательным,
если вести речь о неустойчивости одномодовой генерации по
отношению к возбуждению других мод. Та из мод, которая настроена
на центр линии (так называемая резонансная мода), обеспечивает
в этом случае самовозбуждение лазера на несущей частоте, а
нерезонансные моды обслуживают боковые компоненты спектра
модулированного излучения. В такой постановке задача о
динамической неустойчивости лазера, который теперь не обязан относиться

к классу С, была впервые рассмотрена Ризкеном и Нуммедалом
[393, 394], Грэхемом и Хакеном [395], а впоследствии обсуждалась
многими авторами [215, 289, 396-402].
Основные черты явления удается выявить, обратившись к
одномерной модели лазера бегущей волны с равномерно
распределенными по периметру источниками потерь и усиления:
д€ д€ __ „
^- = n€-V, (4-144)
ОТ
^=j{A-n-V€).
Данную систему уравнений дополним условием цикличности
€Ы) = £(т,С+1). (4.145)
Помимо обозначений, уже использовавшихся выше, здесь
фигурируют: С = z7±/c ~~ безразмерная координата вдоль оси
резонатора и безразмерный периметр I = Lj±/c. Запись в форме (4.144)
предполагает, что одна из мод является строго резонансной.
В отсутствие пространственных вариаций переменных система
(4.144) идентична (3.85), благодаря чему ее стационарные
решения совпадают с (3.86) и (3.87). Нет нужды возвращаться к
условию самовозбуждения лазера, которое и здесь выглядит как А > 1.
Анализ же устойчивости стационарного решения в этой модели
имеет свою специфику.
Полагая, что малые отклонения всех переменных от
стационарных значений Z\ = V2 = А — 1, iVj, = 1 меняются по закону
ехр(Ат — ifiQ, и линеаризуя систему (4.144) по этим отклонениям,
приходим к характеристическому уравнению:
А3 + (£ + 7 + 1-*»А2 +
+[у(А + 3к)- 1ц{\ + у)]Х + 2ух(А - 1) - гцуА = 0, (4.146)
Величину ц можно считать действительной, а А = if} + в, что
соответствует хопфовскому характеру предполагаемой бифуркации
на втором пороге лазера. Далее ипользуется уже знакомый прием:
в (4.146) удерживаются только линейные по в члены. Уравнение
(4.146) расщепляется на два действительных, которые после
исключения из них /х, сводятся к зависимости:
О = -Ъ{& - 7[3(А - 1) - y\f}2 + 2у2А{А - 1)} х
x{f}4 + [Щ2у + 1) + (т + I)2 - 2jA]f}2 +
+27^(7 + 1)(А - 1) + 72А(А + £)}-1. (4.147)

Границу между областями устойчивых и неустойчивых
решений системы (4.144) нетрудно найти, полагая в = 0. Корни
получающегося квадратного уравнения приведем для случая 7 <^ 1:
2П2/у = 3(А - 1) ± у/9(А-1)2-8А(А-1). (4.148)
Действительными они будут при А > А^т = 9. Таким образом,
критическое превышение порога многомодового лазера бегущей
волны совпало с тем, что было получено для одномодового лазера
в самых благоприятных с точки зре-
02/~* / ния неустойчивости условиях у «С 1,
1к = 3.
Выражаемая формулой (4.148)
зависимость представлена на рис. 4.12.
Ее асимптомами при А » 1 служат
прямые
^Lx/T=2A, П^п/у = А.
(4.149)
Область потенциальной
неустойчивости на рис. 4.12 заштрихована. Но
следует иметь в виду, что
неустойчивость способна развиться только в
Рис. 4.12. Фазовая диаграмма том случае, если в эту область попа-
многомодового лазера бегущей дет хотя бы одна из частот межмодо-
волны в плоское™ управляю- вых биений (условие цикличности).
щих параметров А, П, посгро- q пппппнитрлкнпр к углтипп А Ъ
енная по формуле (4.148) Z \ Д°ПОЛ™тельное к УСЛОВИЮ А >
v ' > Асг, требование является платой
за отказ от ограничения на добротность резонатора. Для его
выполнения необходимо, грубо говоря, чтобы нормированный меж-
модовый интервал Л = 2nc/Lj± не превышал частоты f2max =
= (2А7)1'2. Тем самым накладывается ограничение на периметр
резонатора
L>LCI = 2тгс(7||7±А)-1/2. (4.150)
Численнная оценка для лазера с Nd:YAG в качестве
активного элемента (7ц = 104 с-1, 71 = Ю12 с_1) ПРИ А = 10 дает
ытм = 7-L^max = 4 ■ 108 с-1 и LCI и 100 м. Оптические линии
задержки позволяют, в принципе, создавать резонаторы с
периметром в сотни метров [86], но на практике они встречаются крайне
редко. Однако для волоконных лазеров указанные ограничения
на длину резонатора вполне преодолимы, и вопрос о практической
реализации неустойчивости Ризкена-Нуммедала-Грэхема-Хакена
рассматривается в литературе [403, 404]. Если же задаться
значениями релаксационных параметров, характерными для
красителей (7ц = Ю8 с-1, 7± = Ю12 с-1), то при А = 10 получаем из
(4.148) wmax « 4 ■ Ю10 с-1, а из (4.150) LCT к 1 м.

Переход от одной моды к большому числу мод не привел в
модели с однородным уширением к снижению второго порога
лазера. В предположении о равномерности распределения усиления
и потерь вдоль периметра резонатора сохраняется все то же
минимальное значение Аст = 9. Если же учесть реально существующую
пространственную неоднородность вследствие, например,
локализации потерь на зеркалах, то второй порог окажется еще выше
[401, 402].
Весьма заметно специфика многомодового лазера сказывается
на характере пульсаций, развивающихся выше второго порога.
Поскольку спектр разрешенных частот пульсаций жестко
регламентирован дискретным спектром мод резонатора, переходный
процесс от амплитудной модуляции к биениям, показанный на
рис. 3.6, весьма проблематичен. Тем не менее, бифуркации
высших порядков, как показало численное исследование уравнений
(4.144), могут иметь место. Огибающая последовательности
импульсов в области неустойчивости может быть как регулярной, так
и хаотической [396, 400].
Убедительного экспериментального подтверждения теория Риз-
кена-Нуммедала-Грэхема-Хакена пока не получила. В работе [403]
сообщается о наблюдении в эрбиевом кольцевом волоконном лазере
незатухающих пульсаций с периодом, равным времени обхода
резонатора. По всем параметрам наблюдавшийся режим
соответствует предсказаниям теории. Только лишь порог
неустойчивости оказался заметно ниже ожидаемого. Это заставляет думать
либо о модификации модели [404], либо о наличии в эксперименте
неучтенной нелинейности, например слабого насыщающегося
поглощения, если, конечно, справедливо утверждение об однородном
характере уширения линии усиления.

Глава 5
Многомодовые лазеры
с квазивырожденным спектром мод
С физической точки зрения принципиальное различие между
большим и малым межмодовыми частотными интервалами
определяется их соотношениями с частотами динамических процессов
в лазере.
В гл. 4 обсуждались модели, в которых
Ли ~Э> 8шс.
Частоты межмодовых биений намного превышали также частоты
релаксационных колебаний лазеров класса В и располагались
существенно выше частот, характерных для спектральной динамики
лазеров на красителях. Поэтому в рассмотренных балансных
моделях биения мод вообще не принимаются во внимание. Учет же
комбинационного взаимодействия мод, которое осуществляется на
пульсирующих решетках инверсии, не требует наличия амплитуд
этих решеток среди переменных модели.
Подобный подход некорректен, когда моды близки по частоте.
В этом случае требуется скрупулезный учет межмодовых биений
и амплитуды пульсирующих решеток присутствуют среди
переменных, повышая размерность системы и меняя ее физические
свойства.
В отличие от простых балансных моделей важную роль играют
не только амплитуды, но и фазы физических величин,
характеризующих состояние поля и среды, что послужило основанием
для введения термина «модели с фазочувствительным
взаимодействием».
Фазочувствительное взаимодействие происходит между парой
мод и поэтому его имеет смысл изучать на моделях двухмодовых
лазеров. Здесь важен тип резонатора. Модами резонатора Фабри-
Перо являются стоячие волны и фазовое взаимодействие
выступает как дополнение к более простому взаимодействию, которое
осуществляется через насыщение и кросс-насыщение активной
среды. Модели этих лазеров плавно, без бифуркаций, переходя!
в балансные при изменении управляющего параметра, каковым
является, например, межмодовый интервал. В лазере же с
кольцевым резонатором, модами которого служат бегущие во встречных
направлениях волны, фазочувствительное взаимодействие
является основным и соответствующая модель не сводится к балансной
ни при каких обстоятельствах.

5.1. Двухмодовый лазер класса В с резонатором Фабри-Перо
Первые работы, посвященные теории двухмодовых лазеров,
были опубликованы в середине шестидесятых годов [405-410].
Современное состояние теории отражают более поздние публикации
[411, 412], которые и положены в основу изложения.
5.1.1. Уравнения двухмодового лазера класса В. Будем
исходить из уравнений (П. 11), несколько обобщив их:
^ = f {- /, + К + ia")[/i(no + Щ) + /2(пГ2 + п&)]},
^ = |{-(1 + /? + ^с)/2 +
dno
~d7
+(<*' + ioi")[f2(nQ + п2) + h(rq2 + n+)]},
= A-n0-a'MI/i|2 + |/2|2) +
+m|/i|2 + n2|/2|2 + (/Г/г + ЛЯ )K2 + *&)].
^ = -n1-a'[n1(l/i|2 + l/2|2)+ (5.1)
+\no|/i|2 + \ (ЯЛ + ЛЯ)K2 + nb)L
^ = -n2-a'M|/1|2 + |/2|2) +
+\ no|/2|2 + \ (ЯЛ + ЛЯЖг + "J)l.
^i = -n+-aK2(l/i|2 + l/2|2) +
efr
+^ »r2(l/i!2 + I/2I2) + 5 (ЯЛ + ЛЯ)("о + ni + n2)],
^^ = -п--а'[пГ2(|/1|2 + |/2|2) +
efr
+5 n+(1Л12 + I/2I2) + \ (ЯЛ + ЛЯЖ +111 + na)].
Асимметрия первых двух уравнений, обусловлена неравенством
потерь, которое выражается наличием коэффициента /3, а также
тем, что опорная частота выбрана равной частоте первой моды и
Лс2 совпадает с частотой межмодовых биений Лс.
Уравнения (П. 11) получены для конкретной двухуровневой
модели активной среды, для которой а' = С = 1/(1 + Aq); а" =
= — AqC Однако двухуровневая идеализация в ее простейшей

форме не всегда оправдана. Даже примесные диэлектрики
зачастую не удовлетворяют требованию а" = 0 на центре линии
усиления, поскольку поляризуемости атомов, находящихся на разных
энергетических уровнях, не совпадают [413-415]. Тем более это
касается полупроводников, которые вообще не относятся к
двухуровневым средам. Однако многие качественные особенности
поведения полупроводниковых лазеров могут быть описаны в рамках
упрощенного подхода при небольшом видоизменении и
дополнении уравнений (5.1). Необходимо принять во внимание диффузию
носителей, скорость которой в полупроводниках может быть
значительной. Очень сильная диффузия приводит к полному
сглаживанию мелкомасштабных решеток с шагом порядка длины волны,
7ii, п2 и п+2, не сказываясь практически на крупномасштабной
решетке nj~2- Такая ситуация была рассмотрена в [411]. В работе
[412] рассмотрен случай произвольной диффузии, интересный с
методической точки зрения, поскольку скорость диффузии
представляется единственным управляющим параметром, способным
реально влиять на амплитуды решеток.
Пространственная диффузия носителей описывается членом
—DV2n, который должен быть введен в материальные уравнения.
В уравнениях (5.1) появляются члены щб^м, T^ddif и n^ddif-
Использовать один и тот же нормированный коэффициент диффузии
^dif = ^Т||-1(7Г/'^) удается потому, что собственные длины волн
взаимодействующих мод очень близки по величине.
Необходимость еше одной коррекции уравнений,
учитывающей специфику полупроводников, вытекает из того факта, что
линия усиления далека от лорентцевской. Это не сказывается на
величине а/, которая близка к единице, поскольку генерация
возникает на частотах близких к максимуму линии усиления. Однако,
в отличие от чисто двухуровневой среды, величина а" может
заметно отличаться от межмодового частотного интервала, достигая
значений в несколько единиц [416, 417]. Поскольку а" определяет
степень влияния флуктуации амплитуды на флуктуации частоты,
этот параметр чаще всего называют фактором уширения линии
генерации (фактором Генри). Но есть еще один термин,
отражающий факт зависимости частоты колебаний в нелинейной системе
от их амплитуды, это неизохронность.
В свете сделанных замечаний уравнения (5.1) могут быть
переписаны в несколько ином виде (а = —а"):
-£ = 2"{- Л + (1 + «о)[Л(по + Щ) + /2(п~ + 71+)]},
^ = |{-(1 + 0 + «'А»)/2+
+(1 + ia)[f2{n0 + п2) + /1К2 + «и)]}.

^ = A-n0(l + |/i|2 + |/2|2)-
-П!|Л|2 - П2|/2|2 - (Я/2 + Л/2Ж2 + <2),
= _7>, П 4-
^ = -^(1 + ^+1/^ + 1/^-
-\ no|/i|2 - I (Я/я + ЛЯ)(»Га + "Ь).
^ = -n2(l + ^ + |A|2 + |/2|2) - (5.2)
-\no\h? - \ (Я/2 + /1ЯЖ2 + "12).
^ = -n+(l + ddif+|/1|2 + |/2|2)-
At
-\ «r2(l/il2 +1/2|2) - \ (/Г/2 + ЛЯЖ + n1 + n2),
^ = -nr2(i + l/il2 + l/2|2)-
-5 <2(l/il2 + Ш2) - 5 (Я/2 + ЛЯЖ + n! + n2).
5.1.2. Стационарные решения и релаксационные колебания.
Рассматриваемая двухмодовая модель с фазочувствительным
взаимодействием обладает двумя одномодовыми стационарными
состояниями:
Л = mj/2exp ( - - iGctTJ, /2 = О,
п0 = A — mi, Й1 = 1 + mi — А, п2 = О, ni2 = 0, (5.3)
mi = 1{л - 2(2 + ад + v/A2 + 4[(1 + Ми) + (1 + ddif)2]},
и
Л = 0, /2 = mj/2ехр | - 1 i G[A: + (1 + Р)а]т\,
no = A-(l+0)rn2, ni = 0, п2 = (1 +/?)(! +m2)-Л, ni2=0, (5.4)
т2 = 1{Л - 2(2 + ddif) + /а2 + 4[(1 + Ми) + (1 + rfdif)2]},
где А = А/(1+(3). В пределе dm = 0 выражение для стационарной
интенсивности в (5.3) совпадает с (3.71).
Наличие осциллирующих множителей в приведенных
выражениях для стационарных полей мод означает лишь несовпадение

их частот с опорной частотой, которая, напомним, выбрана
равной одной из собственных частот резонатора. Очевидно также,
что переход от первой ко второй моде сопровождается изменением
частоты генерации на величину, близкую к межмодовому
частотному интервалу.
Линеаризация уравнений (5.2) около любого из одномодовых
стационарных решений приводит к характеристическому
уравнению вида
А2Р3(А)Р4(А) = 0, (5.5)
в котором Pj(A) — полином порядка j. Кубический полином Рз(А)
обладает одним действительным корнем Ai и парой комплексно
сопряженных корней Аг,з = #i ± i&i- Не следует удивляться тому,
что эта пара соответствует основному релаксационному колебанию,
присутствующему и в одномодовом лазере, поскольку тот же
кубический характеристический полином может быть получен при
полном пренебрежении второй модой.
Полином четвертой степени Р4(А) имеет пару комплексно
сопряженных корней А4,5 = @а ± »Цд, тогда как оставшиеся два
корня, Аб и А7, действительны. Таким образом, существует второй
тип релаксационных колебаний, демонстрирующий иные свойства
по сравнению с первым. Это иллюстрируют рисунки 5.1 и 5.2, на
которых изображена зависимость характеристических корней от
накачки для разных значений коэффициента диффузии.
Зависимости Q\ ~ (А — I)1'2 и 01 ~ А неоднократно встречались выше.
Новое же в поведении Qa и в а заключается в сильной
зависимости от того, какому из стационарных состояний эти частоты и
декременты принадлежат и каково значение ddif •
Очень важная особенность состоит в том, что ReA4)s меняет
знак по достижении управляющим параметром бифуркационного
значения (НВ). Это соответствует бифуркации Хопфа,
сопровождающейся потерей устойчивости одномодовым решением с
переходом в двухмодовое решение. Менять знак способен и один из
действительных корней, Аб (соответствующая точка отмечена, как
ВР), и это также отражается на устойчивости одномодового
состояния равновесия. Мультистабильность и неустойчивость
стационарных состояний относятся к числу особенностей модели с фазо-
чувствительным взаимодействием, отсутствующих у простейшей
балансной модели.
На рис. 5.3 представлена фазовая диаграмма двухмодового
лазера в плоскости управляющих параметров A, ddif- Видны две
зоны устойчивых одномодовых решений (SMi и БМг) и области
двухмодовых решений (ТМ и TMS). Существованием
устойчивых решений для моды с большими потерями (БМг) система
обязана фазочувствительному взаимодействию мод, главным образом,
посредством крупномасштабной решетки п^~2. Такого состояния
нет среди решений простейшей балансной модели. Область его

существования определяется условием ddif > d\, которое
свидетельствует о необходимости диффузионного сглаживания
мелкомасштабных решеток. При меньших efdif конкуренция между
модами сильно ослабевает и здесь доминирует двухмодовая
генерация. Точка dan = d\ не является бифуркационной. Она отделяет
область относительно слабой диффузии, в которой влияние мел-
-0,2
-0,4
О
2,0
1,0
Па
-0,4-
Рис. 5.1. Частоты релаксационных колебаний (а, в), их декременты и
действительные корни (б, д) характеристического уравнения (5.5), соответствующего
стационарному состоянию (5.3) как функции параметра накачки при а = 4,0;
4c = 2,0;G = 20;/3 = 0,05;d = 0 (а, б), d = 50 (в, г) [412]

комасштабных решеток на динамику лазера является
определяющей, от области сильной диффузии, в которой взаимодействие мод
а
3,0
2.0
1,0
3,0
2,0
1,0
Па
е
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
1
-
-
нв.
^^1
1,5>
><с
* Jy
1^^**"^ 1 -
<10 2,5 А
Рис. 5.2. То же, что на рис. 5.1, но для стационарного состояния (5.4) [412]
на крупномасштабной решетке преобладает. Величина di
варьируется в небольших пределах при изменении управляющих
параметров Лс и а.
Зона TMS на рис. 5.3а соответствует стационарным двухмо-
довым решениям с преобладанием моды, имеющей более значи-

тельные потери. Двухмодовые решения в зоне ТМ не являются
стационарными. Представление о глубине автомодуляции
излучения в этой зоне можно составить по рис. 5.4. Кривые построены
на основании результатов численного интегрирования уравнений
4 10
Рис. 5.3. Фазовые диаграммы модели лазера, описываемой уравнениями (5.2),
в плоскости управляющих параметров A, dm при а = 4,0; Лс = 2,0; G = 20;
Р = 0,05 (а) и Р = 0,09 (б) [412]
(5.2) при разных значениях управляющих параметров. Значение
параметра накачки А = 3 соответствует области, расположенной
на рис. 5.3 выше границы ВР, где т?, > mi. Характерен резкий
скачок глубины модуляции при переходе коэффициентом
диффузии значения d\.
Частота автомодуляции меньше межмодового интервала, но
стремится к нему по мере увеличения Лс. Этот факт позволяет
пренебречь фазочувствительным взаимодействием мод и
пользоваться балансным приближением при Лс > тах(1,а).
Нестационарный процесс в этом случае представлен двумя
релаксационными колебаниями: затухающими синфазными и
противофазными колебаниями интенсивностей мод, обсуждавшимися в гл. 4.
Суммируем свойства рассмотренной модели двухмодового
лазера класса В с фазочувствительным взаимодействием.

1. Система, вообще говоря, бистабильна: имеются области
значений параметров, в которых два стационарных решения
устойчивы.
т
miotal
1,5
1.0
0,5
I
10
20 30 40
m2
<*dif
Мода 1
Рис. 5.4. Зависимости интенсивностей отдельных мод и полной интенсивности
(а) и глубины автомодуляции (б) от коэффициента диффузии при А = 3,0;
а = 4,0; Д: = 2,0; G = 20; /? = 0,05 [412]
2. Стационарные состояния могут быть неустойчивыми.
3. Число релаксационных колебаний может превышать число
мод.
5.2. Двунаправленный кольцевой лазер класса В
Специфика кольцевого лазера с динамической точки зрения
обусловлена тем, что его модами являются вырожденные по
частоте бегущие навстречу друг другу волны. Следствием этого явля-

ется отсутствие решеток инверсии, отвечающих отдельным модам,
при наличии фазочувствительного взаимодействия мод на
единственной решетке, записываемой в активной среде их совместным
действием.
Кольцевой лазер является весьма привлекательным с точки
зрения нелинейной динамики объектом. Размерность даже од-
ночастотного лазера класса А равна трем, а этого уже достаточно
для сложного динамического поведения. Повышаясь вдвое при
переходе в класс В, размерность, тем не менее, остается приемлемо
низкой с точки зрения возможностей современной
вычислительной техники. Достижение на практике сложных режимов не
сопряжено с выходом за рамки обычных сочетаний параметров.
В прикладном аспекте на первом месте стоит чувствительность
кольцевого лазера к вращению или, более общо, к фазовой
невзаимности резонатора. В качестве датчиков скорости вращения
предпочтение имеют атомарные газовые лазеры класса А.
Гироскопические возможности кольцевого лазера класса В пока трудно
оценить по достоинству. Но интересно уже то, что информация
о фазовой невзаимности содержится непосредственно в
динамическом поведении лазера и это хорошая агитация в пользу обратных
задач динамики лазеров.
Список цитируемой ниже литературы по предмету хотя и
обширен, но заведомо-не может считаться исчерпывающим. Для
восполнения этого пробела читателю может быть рекомендован обзор
[418], авторы которого внесли значительный вклад в исследование
двунаправленных кольцевых лазеров.
5.2.1. Математическая модель одночастотного кольцевого
лазера класса В. В качестве материальных уравнений используем
(2.63). Приняв поле в виде (2.33), аппроксимируем материальные
переменные рядами
а = ^ oreirkz, D = ^2 Dr eirkz.
Включение в рассмотрение элементов Dr с г ф 0 диктуется
необходимостью учета взаимодействия встречных волн на
самонаведенной решетке инверсии. Для этой цели вполне достаточно
ограничиться гармониками D±2, поскольку более скрупулезное описание
формы решетки инверсии не добавляет ничего принципиально
нового к динамическим характеристикам системы [419-421].
Обрыв ряда после члена D±2 влечет за собой ограничение
разложения поляризации членами <т±з- Полагая da/dt = 0, находим
из (2.63)
idjFuDo + F^D^) idF±lD±2
0±1 2Й[7± - i(w - ыь)] ' а±3 2%j.-i(w-wb)]*
(5.6)

Поскольку инверсия в данном случае относится к числу медленных
переменных, для Dr получаем уравнения
^+7||(д, - д(0)) = --^ОД*"1 - *W + *V-i - F-ia
(5'7)
^ + T||D2 = -!EjLd{FZltTl - Fl£r*! + Ffv3 - F-юи).
Остается подставить компоненты <т± из (5.6) в (5.7) и (2.38), имея
в виду, что P±i = Nsdo±i, и получить полную систему уравнений:
^ + [xt-f(«-c^)]F±1 =
dt
- —-5—- (F±1D0 + FTlD±2) + - t±FfU
ЩУ-L - Hw - wo)] 2
(|Fi|2 + |F_x|2) Д, + ^F.xDa + i^D.J,
d^2 n /3gd2T±
rft + 7||^a 2Л2[7±2 + »(w - и,)2] X
x (IFx^ + lF.ip^ + FxF^Do].
Воспользовавшись введенными выше безразмерными
обозначениями и добавив к ним
7 = (1 - г А,)-1 = £(1 + гД), />± = £±/2*ь,
запишем эту систему в безразмерной форме:
^Г " »'| ^7± = f [(^ио - 1Т /3)/± + (^n±2 + ipT)/T],
^ = А- [1 -ЬС(|/+|2 + |/-|2)]п0 -£(/;/_п2 + /+/:п_2), (5.9)
^ = -[1 + £(|/+|2 + |/_|2)]п2 - LUflno.
5.2.2. Стационарные состояния в отсутствие обратного
рассеяния и их устойчивость. Выясним вначале роль наведенной брэг-
говской решетки инверсии, представленной в уравнениях (5.9)
переменной и2. Опуская линейную связь между волнами и не-

взаимность резонатора, сводим первые из уравнений (5.9) к
уравнениям:
■% = g-K-Fno " !)/± + ^«±а/т1- (5Л0)
Наиболее последовательно этот частный случай рассмотрен в [422,
423]. Помимо тривиального положения равновесия, кольцевой
лазер в отсутствие линейной связи волн обладает еще тремя.
Применительно к системе (5.9) они выражаются формулами
|/+|2 = А--, /_ = 0, по=£, й2 = 0,
\f-\2 = A-±, /+ = 0, n0 = j, тг2 = 0, (5.11)
|/+|2 = |/_|V0, п2^0.
В работах [424-426] было показано, что решение, отвечающее
режиму стоячей волны, неустойчиво. Это характерная черта
лазеров, с активными средами без доплеровского уширения.
Линеаризуя систему (5.9) около любого из состояний с бегущей
волной, нетрудно получить характеристическое уравнение,
которое распадается на два. Первое из них,
Л2 + АСХ + G{AC - 1) = 0, (5.12)
соответствует внесению возмущения в генерируемую волну (для
конкретности — в /+) и в однородную компоненту инверсии.
Благодаря условию G >> 1, корни (5.12) имеют вид
Л г
Айу± i[G(AC - 1)]1/2 = вг + t'tfi. (5.13)
Частота малых релаксационных колебаний в точности совпадает
с таковой для лазера бегущей волны (3.20).
Реакцию системы на возмущение другой пары переменных, /_
и П2, которые в исследуемом стационарном состоянии равны нулю,
отражает другой блок характеристического уравнения,
Л2 + АСХ + ^G(l + iД)(АС - 1) = 0. (5.14)
Это уравнение определяет специфические для двунаправленного
лазера частоты фазочувствительных релаксационных колебаний
ПА>В = Im Л = [G(AC - 1)/2]1/2 = Пг/л/2. (5.15)
Вырождением по частоте эти колебания обязаны отсутствию
фазовой невзаимности. Именно они оказывают решающее влияние на
динамику кольцевого лазера.
При условии Re А > 0, что эквивалентно
*>*~=Ь& (5ле)

колебания с частотой J2i/v2 оказываются незатухающими. Если
принять за управляющий параметр превышение порога генерации
АС, то (5.16) дает критическую расстройку в явном виде. Если же
оперировать параметром накачки А, то (5.16) следует
рассматривать как уравнение, разрешив которое относительно .А, находим
Л112 = |^Г(1 + ЛС2Г)
ы-
GA*
(5.17)
Из (5.17) следует необходимое условие неустойчивости Л^. > 8/G
и видна асимптотика при А%т ~^> 8/G, а именно: А\ = GA\T{\. +
+Л„)/2 и Аг = 1 + А%т (граница самовозбуждения лазера).
Неустойчивая область на рис. 5.5 располагается между двумя ветвями
кривой (5.17).
А>>
2-
8
12
16
CAS
Рис. 5.5. Фазовая диаграмма двунаправленного кольцевого лазера класса В в
плоскости параметров GA%, А; I— устойчивая, //— неустойчивая области
Неустойчивость однонаправленной генерации при расстройке
лазера была предсказана в работе [426]. Установившиеся
нестационарные процессы численными методами исследовались в [422,
427, 428]. Типичные реализации представлены на рис. 5.6. При
малых Ао, превышающих тем не менее критическое значение,
в системе устанавливается процесс чередования направлений
генерации с характерным интервалом между переключениями,
намного превышающим периоды релаксационных колебаний. Это!
интервал может нерегулярным образом флуктуировать в
значительных пределах.
Принципиально то, что в рассматриваемом процессе
представлены колебания с релаксационными частотами и по мере
увеличения расстройки их присутствие становится все более заметным.

;
3.0
2,0
1.0
! !
-
m
i 1
1 :,.
П
1
i
1
i
/ л
^
*~
а
1
1
1 .
10
20
30
Рис. 5.6 а, б, в. Примеры численных решений системы уравнений (5.9) при
следующих значениях параметров: G = 104, /?± = г± = Д£ = 0, А = 4,0;
Ло = 0,05 (а); 0,2 (б); 0,4 (в); 0,6 (г); 0,9 (д); 1,1 (е) [422]

Рис. 5.6 г, д, е. Примеры численных решения системы уравнений (5.9) при
следующих значениях параметров: G = 104, /3± = г± = Л* = О, А = 4,0;
Л0 = 0,05 (а); 0,2 (б); 0,4 (в); 0,6 (г); 0,9 (д); 1,1 (е) [422]

Во-первых, сам факт возникновения автомодуляционного режима
второго рода, как этот процесс назван в работе [427], связан со
сменой знака декремента специфических релаксационных колебаний
при хопфовской бифуркации. Во-вторых, в сосуществовании
нескольких колебательных процессов с несоизмеримыми частотами
заложены предпосылки динамического хаоса. С увеличением
расстройки возрастает частота переключений, по мере приближения
которой к fi\ нерегулярность процесса усиливается.
Об экспериментальном исследовании нестационарных
процессов в кольцевом СОг-лазере при отстройке резонатора сообщается
в работах [155, 156]. Результаты сводятся к тому, что в плоскости
параметров: давление газа — разрядный ток (т.е. скорость
релаксации активной среды — накачка) намечены границы областей с
различным характером нестационарных процессов. Помимо
предсказываемого теорией автомодуляционного режима второго рода,
выявлен режим регулярных синхронных пульсаций. Между ними
располагается зона с ярко выраженной нерегулярной динамикой.
Согласно [418] необходимым условием существования режима
регулярных синхронных пульсаций является наличие
несимметричной линейной связи между встречными волнами.
5.2.3. Влияние реальной структуры энергетического спектра
активной среды на динамику кольцевого лазера. Первопричиной
неустойчивости, ведущей к автомодуляционному процессу второго
рода является брэгговское рассеяние волн на индуцированной ими
решетке инверсии. С точки зрения динамики важную роль играет
фазовый сдвиг рассеянной компоненты. Именно поэтому
необходимым условием неустойчивости выступает асимметрия линии
усиления относительно частоты генерации. Другими словами,
действительная часть восприимчивости атомной системы на частоте
генерации не должна быть равной нулю. В двухуровневом лазере с
однородным уширением это условие обеспечивается только
принудительной отстройкой лазерной моды от центра рабочего перехода
среды. Эффект легко достигается в газовых лазерах низкого
давления, благодаря тому, что линия узка и межмодовый интервал
может быть большим по сравнению с шириной линии.
Твердотельным лазерам, напротив, свойственны широкие линии
усиления и перестройка в необходимых для неустойчивости пределах
осуществима только с использованием специальных
дисперсионных резонаторов, содержащих управляемые селектирующие
элементы [429]. Именно в таких экспериментальных условиях была
показана зависимость характера генерации Nd:YAG-fla3epa от
частоты излучения [430].
Феномен, однако, заключается в том, что лазеры на алюмоит-
триевом гранате с неодимом демонстрируют нестационарное
поведение при работе с неселективным резонатором [113,157,158].
Необходимая спектральная асимметрия здесь присутствует потому,
что активная среда, строго говоря, не является двухуровневой.

Прежде всего, вблизи Л = 1,064 мкм расположена не одна, а
две линии люминесценции ионов неодима, внедренных в матрицу
алюмоиттриевого граната, [43, 431]. Идея, связывающая
автомодуляционный режим второго рода с тонкой структурой линии
усиления, была высказана в работе [432], а затем развита в [427,
433]. При комнатной температуре расстояние между ними порядка
полуширины каждой из компонент, а интенсивности отличаются
примерно в три раза. Вносимая более слабой компонентой
асимметрия играет с точки зрения устойчивости ту же роль, что и
отстройка резонатора. При этом частота генерации не совпадает ни с
центром сильной, ни с центром дополнительной компоненты.
Последнее обстоятельство препятствует примитивному разделению
функции двух компонент в том смысле, что сильная компонента
ответственна только за усиление, а слабая влияет только на
устойчивость. Хотя преобладающий вклад в усиление действительно
вносит сильная линия, взаимодействие волн осуществляется
через обе решетки инверсии, что несколько усложняет анализ.
Обобщение уравнений твердотельного кольцевого лазера на
случай двухкомпонентной среды достаточно очевидно:
^ " ф± = f {(^о + ^п'0 - 1)/±+
+[?п±2 + Яп'±2 + гг ехр(т#т)]/т},
^ = А - по - £Ы|/+|2 + |/_|2) + п2/;/_ + п2/+/:],
dn2
= -п2 - £[п2(|/+|2 + |/_|2) + nof+fll (5.18)
dr
Art'
-£ = а' - n'Q - £'К(|/+|2 +1/_|2) + п'2/;/_ + п'_2игл
dni,
= -п'2 - £'Ы1/+|2 + |/_|2) + </+/*].
dT
Штрихами помечены величины, имеющие отношение к более
слабой компоненте линии усиления. Помимо переменных это A!q =
= {и — ш'0)/у± — отстройка частоты генерации от центра слабой
компоненты, Т' — (1 — t^)-1 — функция формы слабой линии,
Л' = (и0 — ш'0)/у±, £' = Re.?7. Кроме того, здесь введено
обозначение г = |р|.
Аналогично однокомпонентной модели, система (5.18) имеет
два стационарных решения, соответствующих встречным
направлениям генерации. В приближении г = 0 справедлива следующая
асимптотика:
/+ = т1/2 ехр(- 1ф+т), /_ = О,
(5.19)
G (л+, прЛо п'дА'д \

/+ = 0, /_ = m1/2 ехр(-»у>_г),
• G(a-s. й°Л° , n'0A'0\ (5-20)
Выражения
m=^{(A+A')CC-C-C +
+J[(A + A')CC - С - С]2 + ACC'{AC + AC - 1)}, (5.21)
n0 = A(l + Cm)-1, n'0 = A^l + C'm)-1, n2 = n'2 = 0
не зависят от заданного направления стационарно генерируемой
волны. Линеаризация (5.18) вблизи такого стационарного
решения приводит к системе уравнений, распадающейся на две
замкнутые подсистемы. Лишь та из них, которая соответствует
возмущению переменных с нулевыми стационарными значениями,
содержит потенциальную неустойчивость. Взяв для определенности
в качестве исходного состояния (5.20), приходим к линейной
подсистеме:
^ = -п2(1 + Cm) - Cn0flf+, (5.22)
^ =-п2(1 +Cm)-C'n'JlU.
Подсистеме (5.22) при А* = 0 отвечает кубичное
характеристическое уравнение a,j\3~i = 0 с коэффициентами
аг =2 + Ш(С + С),
а2 = i Gm{TCnQ + T'Cn'Q), (5.23)
а3 = | Gm[7'£4(l + Cm) + TCn0{\ + Cm)].
Исходя из предположения, что комплексные корни
характеристического уравнения удовлетворяют условию |ReA/ImA| -С 1,
удается вычислить приближенные значения частот релаксационных
колебаний
QA,B = Im Ali2 = у ^ Gm{C2n0 + Спп'0) (5.24)

и найти условие неустойчивости режима бегущей волны
Од в Re oi + Qa,b Im °2 — Re 03 > 0. (5.25)
При Л' = 0 выражения (5.24) и (5.25) совпадают с (5.16).
Границы областей неустойчивости стационарной генерации на
плоскости ЛоЛ', рассчитанные по формулам (5.24) и (5.25),
приведены на рис. 5.7. Здесь же показано положение максимума
результирующей линии усиления. Оно практически не отличимо от
частоты стационарной генерации, поскольку генерируется
ближайшая к максимуму продольная мода.
В ситуации, изображенной на рис. 5.7а, неустойчивость
отсутствует. Однако относительно небольшой вариацией параметров
можно получить и противоположный результат. При этом следует
иметь в виду, что параметр G определяется из эксперимента с
Рис. 5.7. Диаграммы устойчивости для модели кольцевого лазера с двухкомпо-
нентной линией усиления G = 5000; А = 1,2; А' = 0,4; xl/tj/ = 1 (а) я
1,3 (б) [433]
точностью до 30 % [434], а отношение А'/А оценивается как 1/3 с
еще большей точностью [43, 431]. С меньшей точностью известны
ширины спектральных линий. Экспериментальные данные,
приведенные в работе [431], позволяют оценить Y-l/tj/ как 1,06-1,14,
а в [435] для этого отношения получено значение 1,24.
На рис. 5.76 представлены результаты расчета областей
неустойчивости при несовпадающих у± и у±'. Остальные
параметры выбраны такими же, как на рис. 5.7а. В диапазоне значений
Л' = 0,4 — 0,8 стационарная генерация неустойчива. Именно
в этот интервал попадает измеренное значение Л' = 0,6 [431].
Таким образом, предлагаемое объяснение автомодуляционного
режима второго рода как результата взаимодействия встречных волн

на решетке, записанной ими в двух спектральных компонентах
активной среды, представляется применительно к Nd:YAG вполне
реалистичным.
Это подтверждает и характер решения (рис. 5.8), подобный
полученному при наличии отстройки в среде с однородным ушире-
нием (см. рис. 5.6).
T-vn*
Рис. 5.8. Автомодуляционный режим второго рода в области неустойчивости
лазера с двухвомпонентной линией усиления, найденный путем численного
решения уравнений (5.18): G = 5 • 103; А = 1,2; А' = 0,4; Л' = 1,0; г = 10~3;
t? = 0
Существует и другой, более универсальный механизм,
эквивалентный отстройке рабочей частоты от центра линии. Имеется
в виду отличие показателя преломления на центре линии от
единицы вследствие различия в поляризуемостях примесных ионов,
находящихся на разных энергетических уровнях, о чем уже
говорилось в § 5.1. Этот эффект тоже является следствием наличия в
активной среде переходов, отстоящих по частоте от лазерного
перехода значительно дальше, чем на ширину линии. Поэтому они
влияют на показатель преломления, и не сказываются на
усилении.
В полупроводниках это обстоятельство проявляется наиболее
ярко, но и в кристаллах типа Nd:YAG его нельзя сбрасывать со
счетов.
В модели кольцевого лазера а-фактор учитывается подобно
тому, как это делается в теории лазера со стоячими модами и соот-

ветствующая модель имеет вид [436]:
Ц^ = |g[(1 + w)(/+"o + f-n2) ~ \щ
df~ = Ig[(1 + ia)(f-no + f+n*2) - i/_],
dr
dr 2 LV /w~ '"•" " 2J
л - (i +1/+|2 + i/_i2)n0 - /;/_n2 - д/:^,
^А-(1 + |/+'2""2
dn
(5.26)
42 _ h , It |2 i I/ |2
= -(1 + \f+\z + |/_|>2 - f+flm - dditn2.
dr
В последнее уравнение из (5.26) добавлен член, ответственный за
диффузию активных центров, что дает возможность
воздействовать (по крайней мере теоретически) на амплитуду решетки
инверсии.
Помимо двух нетривиальных стационарных состояний типа
бегущей волны,
/+ = т1/2 ехр( - 1фт), /_ = О,
/+ = 0, /_ = Ш^2ехр{-1фт), (5.27)
(p=-Ga, по = 1, п2 = 0, Ш=А — 1,
следует записать еще одно, соответствующее одновременной
генерации встречных волн:
/+ = т1/2, /_ = т1/2 ехр(-г>г), п2 = \п2\ ехр(-г-ф),
п0 = А — 2т, |п2| = по — 1| <р—-ф = 1Г1 (5.28)
Ш=-[А- 2ddif - 4 + у/'А2 + AAdAit + 4rf2.f + Sddit + 8].
При нулевых значениях коэффициентов диффузии и
неизохронности стационарное решение, отвечающее режиму генерации стоячей
волны, как уже отмечалось выше, неустойчиво [424, 425].
Анализ устойчивости стационарного состояния,
соответствующего однонаправленной генерации, приводит к результатам,
обобщающим то, что было получено в п. 5.2.1. Помимо основного
релаксационного колебания существует пара фазочувствительных
колебаний с частотами и декрементами, выражающимися
следующими формулами:
k{fr-b
^4в = 5<5^-7(А + *и)а +
1„о 1.. . .2
-fi2--(A+ddif)2
(5.29)
0A* = -\{A + dM)±j£. (5.30)

Оба фазочувствительных релаксационных колебания вырождены
по частоте. Они теряют устойчивость при выполнении
неравенства
а > аа = 2(А + ddif)[2G(^ - 1)]"1/2.
(5.31)
При rfdif = 0 эти формулы переходят, соответственно, в (5.15) и
(5.16).
Зависимости, выражаемые формулами (5.29) и (5.30)
представлены на рис. 5.9 для двух значений параметра неизохронности.
При о = 0 фазочувствительные релаксационные колебания
полностью вырождены во всей области их существования. Превышение
е|
-100
-200
-300
1
\ 1
>. 42 100 42 200
300
<*dif
Рис. 5.9. Зависимость частот и декрементов релаксационных колебаний вблизи
стационарного решения (5.27) от коэффициента диффузии при G = 5000, А = 4.
Сплошные линии соответствуют а = О, штриховые линии — а = 0,2 [436]

коэффициентом диффузии некоторого критического значения d\c'v
имеет следствием исчезновение этих колебаний с превращением
комплексных характеристических корней в действительные.
Отличие коэффициента неизохронности от нуля качественно меняет
картину: релаксационные колебания сохраняются, а вырождение
по скорости их затухания снимается при любых значениях
коэффициента диффузии, хотя вырождение по частоте остается. В
критической точке
d^r=\acry/G(A-l)-A (5.32)
декремент Од меняет знак, и при 6ац < d^JT режим стационарной
однонаправленной генерации оказывается неустойчивым, уступая
место либо режиму незатухающих пульсаций, либо
двунаправленной генерации.
Анализ устойчивости стационарного состояния (5.28)
приводит к характеристическому уравнению седьмого порядка, которое
поддается только численному исследованию. Примеры
рассчитанных зависимостей частот и скоростей затухания релаксационных
колебаний приведены на рис. 5.10. Режиму двунаправленной
генерации присущи только два релаксационных колебания. Частота
Рис. 5.10. Зависимость частот и декрементов релаксационных колебаний вблизи
стационарного решения (5.28) от коэффициента диффузии при G = 5000, А = 4,
а = 2 [436]

основного колебания близка к П\, слегка меняясь в зависимости от
ddif и а. Фазочувствительное релаксационное колебание
принадлежит к противофазной динамике. Его частота, П, спадает с
увеличением коэффициента диффузии, обращаясь в нуль при некото-
j(o)
ром значении а^, при котором комплексные характеристические
корни преобразуются в действительные. Декремент в обращается
в нуль при rfdif = <4сг- Ниже этой точки он положителен, что
соответствует незатухающим противофазным пульсациям интен-
сивностей встречных волн. В интервале djci < ^dif < <4сг Режим
двунаправленной генерации сохраняет устойчивость, но обладает
здесь только одним релаксационным колебанием.
На рис. 5.11 дано разбиение плоскости параметров a, ddif на
области с различным поведением лазера. Ниже сплошной прямой
линии (5.31) располагается область устойчивой генерации бегущей
волны. Область двухволновой генерации располагается в остром
Рис. 5.1L Фазовая диаграмма системы (5.26) в плоскости управляющих
параметров ddjf, а при G = 5000, А = 4; 1 — область устойчивой генерации бегущей
волны; 2 — область устойчивой генерации стоячей волны; S — область
нестационарных режимов; штриховкой выделены зоны бистабнльности [436]
угле между двумя штриховыми линиями. Близкая к
вертикальной ориентация левой границы позволяет говорить о практической
независимости rfjcr от а- Неустойчивость режима при
пересечении этой границы осуществляется через хопфовскую бифуркацию.
Штриховкой на фазовой диаграмме выделены зоны
бистабнльности: правее <4Сг в зависимости от начальных условий реализуется
одноволнован либо двухволновая генерация, а левее от этой точки

сосуществуют устойчивая однонаправленная и неустойчивая
двунаправленная генерация.
Из проведенного в данном пункте рассмотрения следует, что
параметры решетки инверсии, выжигаемой в активной среде
кольцевого лазера взаимодействующими модами, оказывает
определяющее влияние на динамическое поведение этого лазера.
Теоретически на амплитуду решетки можно влиять через коэффициент
диффузии, хотя о возможности практической реализации этого
способа пока судить трудно. Проще обстоит дело с параметром
неизохронности, поскольку он зависит от расстройки.
5.2.4. Стационарные состояния при наличии обратного
рассеяния и их устойчивость. В данном случае более подходящей
оказывается действительная форма уравнений для амплитуд и фаз,
переход к которой от (5.9) осуществляется посредством
соотношений
/± = £± exp(i>±), п2 = п2г exp(t<p2), A«JR = А+-А~,
Фх = (р+ — (р- + #+, Ф2 = у>+ - (f- — <р2, ■& = #+ - #_.
Выглядят получающиеся уравнения следующим образом:
^ = f[(£«o-l-/J+)£f+
+Сп2г£-(са&Ф2 + A)Sin£2) + r_£_ sin(#i - #)],
%- = | [0С"о - 1 - Р-)£-+ (5.33а)
-bCn2r£f (соэФг — Л08тФ2) — r+£+sin#i],
^° - л _ „_ _ rue* ■ «*
dr
= А — по — £[(£+ + £l)no + 2п2г£+£- cos#2];
6Ф,
(5.336)
—j-L — -п2г - Ц№\ + £-)п2г + П0£+£- СОбФ2],
17 = -Цлш-Сп2г^-^.уосо5Ф2+
+\Т + fl) sinH + г[|^С05(ф1 - *) - §7cos*i) }•
6Ф2 йФх п0
—т— = -z 1 £+£- 8ШФ2.
ат ат п2г
Упростим рассмотрение, ограничив его частным случаем
отсутствия расстройки и невзаимности [158-160, 213, 214, 437, 438].
Наличие линейной связи делает невозможным существование
стационарных состояний в виде чисто бегущих и чисто стоячих воля.

Однако отклонения от идеала при г<1 невелики и стационарные
решения удается представить в виде разложений по степеням
указанного малого параметра. Наличие слабой связи не меняет
вывода о неустойчивости режимов с равноправным
представительством обеих волн. Стационарные состояния с существенно
неравными амплитудами мод (для определенности £+ 3> £_) при
^nr = До = 0, /3+ = Р- = 0, г+ = г_ = г характеризуются
выражениями
£1 = £$-г*А[т}+(1-£0>)/%],
£- = гА/£о, по = 1 + т]г2, П2г = г, (5.34)
ссвФ2 = —1| sin(^i — -в) = —1,
Здесь £"1 = А — 1 ,?7 = А(1 + cos#)/£q.
Линеаризация уравнений (5.33) вблизи стационарного
состояния (5.34) приводит к характеристическому уравнению
tf2(A)[V2(A)Hb(A) + r2A-1G£iZ2{X)] = О, (5.35)
в котором посредством U2(X), ^(А), И^(А), Z2(X) обозначены
квадратичные полиномы:
U2(X) = А2 + (а - |т7г2) А + |f2 + ^£(3 + cos*),
V2(A) = A2+(A-f^)A+f^-f2A,, (53б)
W2(X) = А2 + (а - |т7г2) А + G£l - ^г*Ат,,
Z2(X) = (5А - 4)А2 + (А2 - 6А + 6)А - 4А^(А2 - ЗА+ 1).
Характеристическое уравнение (5.35) распадается на два, причем,
первое из них имеет корни
Уравнение четвертой степени
V2{X)W2{X)+r2A-1G£^Z2{\) = О
добавляет еще две пары комплексных корней
^ = -^1-^)±{% (5-38)
» = -2{
1 + (А + 1)У±Ш1. (5.39)

Фигурирующий здесь параметр
гс2г =
-f2
(5.40)
G(A+l)(l + cosi
минимален при -д = 0 и обращается в оо при -д — ±7г.
Из (5.37) - (5.39) видно, что колебания с частотой fi\
затухают при любых обстоятельствах, тогда как колебания с частотой
при г > гсг оказываются незатухающими. Развивающаяся
в условиях г > гсг неустойчивость приводит к режиму
противофазной модуляции интенсивностей встречных волн (рис. 5.12),
названному нами автомодуляционным режимом первого рода. Ёбли-
1Д1
I/-I
№
0,24
т
(Y
0,28
№
0,32
V
0,36
/У
Л
Y.
0,24 0,28 0,32 0.36 x-ynt
Рис. 5.12. Пример автомодуляционного процесса первого рода, полученного в
результате численного решения уравнений (5.33): G = 5000; А = 1,2; г = 0,05;
i9 = 0; Аяв. = Ло = 0
зи границы неустойчивости частота осцилляции Q w Di/\/2, а
при г !Э> гсг она растет пропорционально г. Такой режим всегда
регулярен [439]. Экспериментально он наблюдается в лазерах на
алюмоиттриевом гранате с неодимом (см. п. 1.2.3).
В кольцевом лазере класса В устойчивыми при условии г < гсг
являются оба симметричных стационарных состояния,
отвечающих однонаправленной генерации. Процесс установления любого
из них протекает колебательным образом. Таким образом,
релаксационные колебания принадлежат определенному стационарному
состоянию. Однако при г > гсг в лазере устанавливается
автомодуляционный режим первого рода, который также устойчив. Его
образом в фазовом пространстве является устойчивый предельный
цикл. В [440] рассмотрен переходный процесс в окрестности этой
особой траектории, и показано, что он также имеет колебательный
характер. Это также дает основание говорить о релаксационных
колебаниях.
5.2.5. Конкуренция двух механизмов неустойчивости. Выше
были по отдельности затронуты две идеальные ситуации. В одной
отсутствует расстройка и поведение лазера определяется
исключительно связью волн через спонтанное рассеяние на микронеодно-

родностях. В другой рассеяния нет, но благодаря расстройке
эффективным динамическим фактором становится нелинейная связь
волн через наведенную ими решетку инверсии, т.е.
индуцированное рассеяние. В общем случае действуют оба фактора и должна
проявляться конкуренция двух механизмов неустойчивости [439,
441]. Отражающая этот общий
случай фазовая диаграмма
построена на рис. 5.13 в
плоскости управляющих параметров
Д), г. Отметим, в первую
очередь, сплошную линию,
сверху от которой располагается
область нестационарной
генерации. Далее, обратим
внимание на штрих-пунктирную
линию, справа от которой
лежит область
автомодуляционного режима первого рода с
регулярным поведением
решений. Весьма условный смысл
имеет штрихован линия,
намечающая границу между
областями второго рода и
хаотического поведения, поскольку
резкого перехода от одного к
другому не существует.
Усложняют общую картину
выделенные штриховкой области бистабильного поведения лазера.
Устойчивые стационарные решения и автомодуляционные
процессы первого рода сосуществуют в области srorcr, хаотические и
регулярные пульсации уживаются в узкой вертикальной полоске, хаос
и стационарная генерация — в зоне левее линии sro. Что касается
режима второго рода, то он довольно плавно переходит в
однонаправленную генерацию, поскольку частота переключений
направления генерации непрерывно и неограниченно убывает по мере
приближения Л0 к Лст и растет, стремясь к fi\, по мере г —► го.
Обращает на себя внимание небольшая зона тристабильности, в
которой в зависимости от начальных условий могут возникать
хаотические пульсации, регулярные пульсации первого рода, либо
устанавливаться стационарная генерация.
Основанием для нанесения различных границ на
бифуркационную диаграмму (см. рис. 5.13) послужил характер реализаций,
полученных в результате численного интегрирования уравнений
кольцевого лазера. Правильность интерпретации того или иного
режима подтверждается вычислением ляпуновских
коэффициентов и определением размерности аттрактора.
5.2.6. Роль фазовой невзаимности в динамике кольцевого
лазера класса В. Одновременный учет всех трех факторов, опре-
Рис. 5.13. Фазовая диаграмма кольцевого
лазера, построенная в плоскости
управляющих параметров Л о, г: G = 5000;
А = 1,2; i9 = 0; AVB. = О (X — хаос,
РШ(2) — регулярные пульсации первого
(второго) рода, СГ — стационарная
однонаправленная генерация)

делающих динамику кольцевых лазеров — расстройки, обратного
рассеяния и фазовой невзаимности — делает аналитическое
исследование системы уравнений нереальным. Откажемся поэтому
от рассмотрения одного из них, в данном случае — расстройки.
Включение в анализ фазовой невзаимности приводит к
усложнению стационарных решений, которые из (5.34) превращаются в
выражения
е+~е° rA(4+e,ei+je^)' *—'ю+ач&н)*'
sin (Фх - 1?) = ^ -J- X (5.41)
(^-bAM^)1'2
2 А3ЛШ
1 — г
-j-jf^osinf?-A^NRCOS^J ,
' = Г4ХЛ2Л2 Ео (1 + СОВ Л) - A4NR Sin tf].
_ С0 -\- A ZiNR
Обобщенное же характеристическое уравнение (5.35) принимает
вид
U2(X) |v2(A)W2(A) + r2^Z2(A) + ^|^{(А + A)2W2(A)+
Рз(А)+ (costi--J2— SinЛ|74(А)1 I =0. (5.42)
GA2
2 Я+АМ&ц
Здесь £/з(А) и IZi(A) — некоторые полиномы третьей и четвертой
степени. В пределе г —> 0 уравнение (5.42) опять-таки распадается
на два. Корни квадратного уравнения W2 = 0 уже известны:
А5,б= -—±tQl.
Остающемуся уравнению четвертой степени
(а2 + АА+|£2) + [|дш(А + А)] =0 (5.43)
удовлетворяют две пары комплексно-сопряженных корней
Ai,2 = 0А ± ША, А3,4 = вв± Шв- (5.44)

В пренебрежении слабым затуханием релаксационных колебаний
их частоты даются формулой
2-| 1/2
(5.45)
&А,В =
!«+(?*»)]'
4
Наличие фазовой невзаимности снимает, таким образом,
двукратное вырождение со спектра релаксационных колебаний. Влияет
она и на скорости затухания этих колебаний:
*Лв = -| {lT§ ^nr[|^2+ (j^nr)2]"172}. (5.46)
Характер получающихся зависимостей иллюстрирует рис. 5.14.
а
40
20
^°А
^^ "1
■ i i i i
а
10 20 30 40 50 Ganr/2
et
10 20 30 40 50 Ganr/2
Рис. 5.14. Общий вид зависимости частот (а) н декрементов (б) релаксационных
колебаний от фазовой невзаимности: G = 5000; А = 1,2; г = 0 = 0
В формуле (5.45) заключены новые возможности, которые
открывают перед гироскопией лазеры класса В. Оказывается,
информация о фазовой невзаимности резонатора и, в частности, о его
вращении содержится не только в спектре биений генерируемых
лазером волн, но и в спектре релаксационных колебаний. Тем
самым, снимается требование обязательной организации режима с

равным представительством обеих волн. Однако возникает новая
проблема: как извлечь эту информацию из выходного излучения
лазера?
К сожалению, простого ответа на поставленный вопрос не
существует. Наиболее естественно было бы воспользоваться
амплитудно-частотной характеристикой лазера, т.е. его откликом на
модуляцию одного из параметров. На релаксационных частотах
такая характеристика должна иметь резонансные особенности
(подробнее об этом см. в гл.6). Резонансные пики должны
наблюдаться также в спектре флуктуации интенсивности излучения.
Наличие резонансного эффекта на частоте fi\ теоретически
предсказано в работе [357] и получило экспериментальное
подтверждение в работах с твердотельными лазерами [434, 442]. В спектре
флуктуации интенсивности излучения кольцевого лазера наряду с
пиком на частоте Q\ удается
наблюдать пики и на частотах
специфических релаксационных
колебаний. Однако для этого
требуется выполнение
дополнительных условий [173, 174, 443].
о
28
27-
26
25
24
23
Q
^'1 — ' Ui
10 12 14 16 GAnr£
14 16 GAnr/2
G&NR
Рис. 5.15. Зависимость частот (а)
и декрементов (б) релаксационных
колебаний от фазовой
невзаимности в окрестности точки
пересечения ветвей J?i и Да: G = 5000;
А = 1,2; г = 0,02
Рис. 5.16. Фазовая диаграмма
кольцевого лазера в плоскости
4nr,/?nr: G = 5000; А = 1,2;
А' = 0,4; г = 0,005; До = 0;
Д' = 0,6; П./П.' = 1,3; i9 = 0;
До = 0,173
Дело в том, что передаточная функция, хотя и имеет
резонансные особенности на частотах (5.45), но представлены они с весом,
пропорциональным малому коэффициенту г2. Это обстоятельство

существенно осложняет задачу практического обнаружения таких
пиков. В лазере, работающем вдали от порога неустойчивости
решить ее вообще не удается. Вблизи порога неустойчивости начи-
Рис. 5.17. Экспериментальные спектры флуктуации интенсивности кольцевого
Nd:YAG лазера ниже (а) и выше (б) порога неустойчивости стационарной
генерации [174, 441]

нает проявляться эффект регенеративного усиления колебаний на
собственных частотах системы, что приводит, как известно к
неограниченному росту резонансных пиков при одновременном их
неограниченном сужении. Именно эффект регенеративного
усиления шума делает возможным наблюдение специфических
резонансных особенностей в спектре флуктуации интенсивности
твердотельных лазеров с кольцевым резонатором. Однако в силу
сужения линии этот эффект не облегчает задачу выявления
резонансных пиков на амплитудно-частотной характеристике, поскольку
резко повышаются требования к стабильности как самого лазера,
так и модулирующего сигнала.
Корни характеристического уравнения (5.42) не удается найти
в аналитическом виде, когда /Anr ф 0 и г ф 0. Но как раз в
этом случае динамика лазера обнаруживает интересные
особенности [174, 439, 441]. В окрестности точки G/^nr = (2i, где
пересекаются ветви релаксационных колебаний fi\ и Qa, скорости их
затухания испытывают резкие изменения. Как видно из графиков
рис. 5.15, полученных численными методами, смена знака
декремента, а значит и потерн
устойчивости стационарным решением
может произойти при г < гсг.
Численное интегрирование уравнений (5.9)
показывает, что в этом случае
возникает автомодуляционный процесс
первого рода. Однако введение
слабой, в пределах Ю-4 — Ю-3,
амплитудной независимости превращает
регулярный процесс в хаотический.
Общую ситуацию поясняет фазовая
диаграмма в плоскости
управляющих параметров ^nr/?nr»
изображенная на рис. 5.16.
Поведение Nd:YAG-лазера в
описываемых условиях иллюстрируют
полученные экспериментально
спектры флуктуации интенсивности.
Режиму стабильной однонаправленной
генерации отвечает рис. 5.17а.
Наличие пика на частоте Да означает
близость системы к границе неустойчивости, так как в глубине
устойчивой зоны удается наблюдать единственный пик на частоте
i?i *). Переход в неустойчивую область сопровождается, как это
видно из рис. 5.176, уширением резонансного пика, оставшегося
единственным в результате слияния £1\ и £2д. Такое уширение
характерно для хаотических пульсаций.
О G&NR
Рис. 5.18. График
зависимости частоты релаксационных
колебаний от фазовой
невзаимности, иллюстрирующий
плавность перехода с ветви Па на
ветвь (2в в точке Anr = 0;
впадина на графике соответствует
точке пересечения ветвей Па и
Пу [444]
) Частота /, выраженная в герцах, и безразмерная частота ft связаны между
собой соотношением / = 1?7ц/27г.

Здесь уместно сказать о том, что сильная и слабая волны несут
несовпадающую информацию о протекающих в лазере процессах.
Бели в спектре флуктуации интенсивности сильной волны
доминирует пик на частоте Q\, а пики на частотах Дд и Дв подавлены
вследствие малости параметра г2 и поэтому обнаруживаются лишь
по мере приближения к границе неустойчивости, то в спектре
слабой волны пик Q\ отсутствует. Условия же проявления двух
других пиков не отличаются от описанных выше.
Кольцевой лазер чувствителен не только к абсолютной
величине, но и к знаку фазовой невзаимности. Это свойство
проявляется только при условии асимметрии линии усиления
относительно частоты генерации, как, например, это имеет место в
случае двухкомпонентной линии усиления. Если обратиться к
фазовой диаграмме на рис. 5.16 и двигаться вдоль границы
области устойчивости, то это приведет к графику, представленному на
рис. 5.18 [444]. Основная особенность этой зависимости
заключается в плавном переходе с одной ветви релаксационных колебаний
(Да) на другую (Qb) в точке /^nr = 0.
5.2.7. Частотная динамика двунаправленного кольцевого
лазера. Согласно (5.11), кольцевой лазер при г = 0 обладает двумя
равноправными стационарными состояниями, имеющими
характер бегущих волн. Фазы стационарных решений даются
выражениями
6* = §(4, + Д±),
определяющими их частоты
.411 ■
УС
В отсутствие фазовой невзаимности эти формулы содержат
одинаковый для обоих направлений генерации сдвиг частоты от ис к loq
вследствие эффекта линейного затягивания.
Поведение частот в автомодуляционном режиме второго рода,
возникающем при Ло > Л^, может быть исследовано численным
интегрированием системы (5.9) [445]. На рис. 5.19 показано
поведение интенсивностей и частот волн в отсутствие невзаимности
и рассеяния (/^nr = г = 0). Видно, что при смене
направления частота генерации сохраняет свое положение,
соответствующее стационарному одномодовому решению. В тот момент, когда
волна становится сильной, она вытесняет конкурирующую
встречную волну на позицию, расположенную дальше от центра линии.
Разность частот равна Qa{Qb) ДО тех пор, пока слабая волна не
достигает минимума по интенсивности. В этот момент частота
последней меняется на Да + Qb и слабая волна оказывается ближе
к центру линии, чем сильная.
Только что упомянутые частоты Да и Qb — суть частоты фа-
зочувствительных релаксационных колебаний кольцевого лазера.

В отсутствие фазовой невзаимности они совпадают.
Рассматриваемый случай выделен также тем, что обе волны полностью
равноправны и каждая из них остается на положении сильной ровно
половину периода автомодуляции.
1/±1
2,,
400
*-y»t
<t>±
40
-40
О*
ь-
ч
400
*~Уп*
Рис. 5.19. Временной ход интенсивностей ( а) и частот ( 6) встречных волн
кольцевого лазера, работающего в автомодуляционном режиме второго рода в отсутствие
фазовой невзаимности: G = 5000; А = 4,0; г = 0; До = 0,1; Anr = 0 [445]
Появление фазовой невзаимности, согласно [445], влечет за
собой выделение доминирующей волны, время пребывания которой
на положении сильной превышает половину периода
автомодуляции (рис. 5.20). Одновременно пропадает симметрия и в частотной
динамике. Из рис. 5.206 видно, что частота генерации дальше от
центра линии в те отрезки времени, когда доминирующая волна
является сильной (сплошная линия). Кроме того, Дд^ Дв>
причем Да — Дв = G2\nr-
Переключение частоты слабой волны на величину Да + Qb
осуществляется немонотонно. Ему предшествует нарастание
осцилляции около исходной частоты, а заканчивается процесс
переключения затухающими осциллнцинми около нового значения.
Найденные посредством численного интегрирования частоты
переходных осцилляции совпадают с Да + Дд. Следует сказать, что
конкретная комбинация знаков ^nR и Aq не сказывается на ха-

рактере описанных динамических процессов, но определяет, какая
из волн будет доминирующей.
1/±1
2
<М
1000 т-7ц^
' \ уу'—
1000
*-vn'
Рис. 5.20. Временной ход ннтенсивностей (а) и частот (б) встречных волн
кольцевого лазера, работающего в автомодуляционном режиме второго рода при наличии
фазовой невзаимности: G = 5000; А = 4,0; г = 0; Ло = 0,1; Akr = 30 [445]
Подводя итоги рассмотрения двунаправленного кольцевого
лазера класса В, перечислим его наиболее характерные свойства:
— наличие двух типов фазочувствительных релаксационных
колебаний в дополнение к одному фундаментальному;
— наличие двух механизмов неустойчивости стационарной
однонаправленной генерации и, соответственно, двух видов
автомодуляционных процессов, реализующихся через фазочувствитель-
ные релаксационные колебания;
— сильное влияние амплитудной и фазовой невзаимности на
динамику лазера и характеристики излучения как в устойчивой,
так и в неустойчивой областях генерации.
Нужно подчеркнуть, что все выводы теории нашли
экспериментальное подтверждение, равно как и то, что почти все
экспериментальные факты получили теоретическую интерпретацию.
Качественное согласие между теорией и экспериментом означает,
что принятая модель лазера адекватна реальности и возможные ее
уточнения не должны привести к кардинальным изменениям
теории. Таким образом, кольцевой лазер класса В имеет все
основания претендовать на приоритет при выборе системы, перспектив-

ной с точки зрения достижения количественного согласия между
теорией и экспериментом. Это важно как для проверки
фундаментальных теоретических положений нелинейной динамики,
так и в плане поисков и обоснования новых методов извлечения
информации о параметрах лазера по характеру динамических
процессов.
5.3. Векторная модель волоконного лазера
Пока поляризация является фиксированной характеристикой
поля, скалярная модель вполне адекватна фактическому
состоянию дел. Однако когда состояние поляризации начинает играть
роль самостоятельной степени свободы, требуется усложнение
теории. Векторная модель предполагает наличие двух собственных
состояний поля, которые поляризованы ортогонально друг другу,
в общем случае — эллиптически. Таким образом, все
генерирующиеся моды делятся на два ансамбля в соответствии со своей
поляризацией. В свою очередь, каждый такой ансамбль проявляет
некоторые динамические свойства, характерные для обычной моды,
что позволяет говорить о нем как о поляризационной моде.
Поляризационных мод всего две; они конкурируют подобно обычным
продольным или поперечным модам через кросс-насыщение
активной среды. Правда, выжигание провалов означает
деформацию профиля углового распределения инверсии, а не
формирование пространственных решеток, и это возможно, если
распределение дипольных моментов активных центров по их ориентации
отлично от ^-функции. Равномерное угловое распределение
характерно для стекол и волокон на их основе. Нечто подобное имеет
место в полупроводниковых лазерах с вертикальными
резонаторами. В кристаллах примесные ионы могут занимать места в
разных узлах решетки, что приводит к неодинаковой ориентации
дипольных моментов переходов.
Таким образом, основные черты поляризационной динамики
могут быть получены из векторной модели лазера, во многих
отношениях аналогичной двухмодовой модели. Поляризационные
моды были бы вырождены по частоте, если бы не присутствие
относительно слабого двулучепреломления, которое приводит к
снятию вырождения. Тем не менее, теоретическая модель должна
принимать во внимание фазочувствительное взаимодействие
поляризационных мод.
Поляризационной динамике лазеров посвящена обширная
литература, включающая, в части лазеров класса В, работы [446-
454]. Привести претендующий на полноту список имеющихся
публикаций не представляется возможным и мы сошлемся лишь
на посвященный поляризационной динамике лазеров
специальный выпуск журнала Quantum and Semiclassical Optics (V.10, N1,
1998).

Конструируя векторную модель, адекватно отражающую
основные особенности поляризационной динамики волоконного лазера,
будем исходить из наличия двух ортогональных состояний
эллиптической поляризации поля, однако пренебрежем возможностью
вариации этих состояний вдоль оси волокна. Векторное поле
внутри резонатора может быть представлено в виде суперпозиции двух
ортогонально-поляризованных компонент
Е = (fiUi + f2U2) exp(tu>t). (5.47)
I7i,a = V2<2 emOrfci.aC) (5.48)
— собственные функции резонатора, a
n0 = Х° + 7тУ° (5 49)
m Vi+ Ы2
— единичные векторы, определяемые через декартовы компоненты
ж0, у0 и комплексные параметры 7i,2» которые удовлетворяют
соотношению 7i72 = —1 и определяют эллиптичность собственных
функций
^1,2 =
. 2Im7i,2
tgarcsin-
1+|Т1,2|2
(5.50)
Дипольные моменты переходов активных центров предполагаются
линейно поляризованными и равномерно распределенными по
азимутальному углу ф в плоскости, перпендикулярной оси волокна.
Взаимодействие эллиптически поляризованного поля с ансамблем
произвольно ориентированных диполей приводит к выжиганию
провалов в азимутальном распределении инверсии, которое можно
представить в виде
n = n° + 2nc cos(20) + 2n" sin(20) + ... (5.51)
Каждая угловая компонента инверсии п,- (г = 0, с, s), в свою
очередь, состоит из пространственно однородной вдоль оси
резонатора компоненты и пространственных гармоник:
п* = n0 + 2п[2 cos[7r(fci - k2)Q<K. (5.52)
В (5.52) удержаны только крупномасштабные компоненты
пространственного разложения поля, поскольку в волоконных лазерах
число продольных мод чрезвычайно велико, следствием чего
является сглаживание мелкомасштабных структур в распределении и
отсутствие противофазных релаксационных колебаний, о чем уже
говорилось выше. Несовпадение волновых чисел fci и к2 для
поляризационных мод может быть обусловлено такими факторами,
как слабое двулучепреломление в волокне, вызванное локальными
механическими напряжениями.

Развитые представления приводят к следующей модели
волоконного лазера [451]:
^Г " *'f ^ = f[/iK + ci»o + <*i"o " 1) + f2(Pnc12 + inB12)].
^7 + {%A = I [/г(тг°+ C27l°+ d27l°"1} + /l(PnCl2 + x*n'12)1,
^ = A°~ ng(l + |Д|» + |/2|2) - п5(С1|Л|2 + c2|/2|2) -
-<(di|/i|2+d2 | /2|2bnS2^(yr/2+/i^)-ni2№Viyj+^/a),
^ = Ас-п5(1 + |Л|2 + |/2|2)-
-|«S(dl/ila + C2I/2I2) - ^?2Р(/Г/2 + ЛЯ),
-^ = Ав-^(1 + |Л|2+|/2|2)- (5.53)
-yiSWii/ii8+d2i/2i2) - ^;2(i*/i/2*+i/iV2),
^ = -•&(! + l/il2 + I/2I2) " «52(ci|/i|2 + c2|/2|2) -
-«В12(^1|/1|2 + ^|/2|2)-^5Р(/1*/2 + /1/2*Цп0(Х*/1Я + Ь/1Ф/2),
^ = -n52(i + l/il2 + l/2|2)-
-^;2(cii/ii2+c2i/2i2) - \п°р{пь+лл),
^=-«b(l+l/ll8+l/3l8)-
-^?2(<Wil2 + <*2|/2|2) - inS(XVii? + Lfif2),
Для сокращения записи формул здесь использованы следующие
обозначения:
_ 1-Ы2. . _ 2ReTm
С711 — 1.1 19 J ™П1 —
1 + Ы2' m 1 + Ы2'
Р = 2 _. £ _ Ji+Jlp. (5 54)
V(l + lTil2)(l + lT2|2)' 2 '
7Г 7Г 7Г
А0 = -1Айф; Ас = - [acos(20) <ty; Ав = - /лsin(20)#.

Последняя строчка составлена из величин, характеризующих в
совокупности поляризацию накачки, осуществляемой излучением
полупроводникового лазера, фокусируемым через торец вглубь
волокна.
Система уравнений (5.53) описывает основные особенности
динамического поведения лазера, активным элементом которого
служит волокно, легированное неодимом: зависимость характеристик
выходного излучения от поляризации накачки, наличие
резонансных пиков, соответствующих противофазным релаксационным
колебаниям, в спектрах мощности поляризационных мод и их
отсутствие в спетре флуктуации полной интенсивности. Измеренное
отношение частот релаксационных колебаний в теории удается
воспроизвести подбором степени эллиптичности поляризации.

Глава 6
Лазеры с меняющимися
во времени параметрами
Модуляция параметров является эффективным средством
воздействия на характер протекающих в лазере процессов.
Относительно слабая периодическая модуляция способна вызвать
существенно более сильный ответ в излучении лазера, причем, ответ
этот благодаря нелинейности системы может быть не только
регулярным, но и хаотическим.
Высокая чувствительность к внешней модуляции приводит к
тому, что неконтролируемые изменения параметров в процессе
генерации могут стать причиной пичковой генерации.
Таким образом, интерес к неавтономным моделям лазеров
обусловлен как задачами управления характеристиками излучения,
так и проблемой самопроизвольно возникающих нестационарных
режимов.
6.1. Лазер с периодической модуляцией параметров
Речь идет об отклике лазеров класса В на слабую
периодическую модуляцию параметров [96, 455-462]. Всего таких
параметров в рассматриваемой модели четыре: х, A, atT и 7||- Однако
последний слабо реагирует на изменение внешних условий и
поэтому представляет интерес лишь сопоставление поведения лазера
при модуляции каждого из остальных трех параметров.
6.1.1. Линейный отклик одномодового лазера на
низкочастотную модуляцию. Будем исходить из уравнений баланса (3.11):
^P- = Gm(Cn-l), (6.1а)
ат
— = A-n(Cm+l). (6.16)
ат
1. Предположим вначале, что по гармоническому закону
модулируются потери резонатора и, следовательно, уравнения (6.1)
заменяются на
— = Gm[Cn - 1 - 0loBa cos(flr)], (6.2а)
flTh
— = A-n(Cm + l), (6.26)
ат
где Piobb — глубина модуляции потерь резонатора.

Поскольку уравнение (6.2а) содержит в явном виде время,
система не имеет стационарных решений. Лишь в пределе при
Аовв->0 решения стремятся к решениям невозмущенной системы:
А-1
m =
1
(6.3)
Рассматривая модуляцию потерь как возмущение, будем искать
решение системы (6.2) в виде
77i = т + mexp(t"J2r) + к.с, п = п + пехр(М2т) + к.с. (6.4)
Подставив (6.4) в (6.2), и пренебрегая всеми нелинейными
комбинациями величин Aossi *Ь ?n> находим передаточные функции
m = GAOS8 (П + АС
та
п
п
2 Q2-Ql-iACQ'
G(3\oaa ШС
2 Q^-Q\-iACQ'
(6.5а)
(6.56)
Введем величину
Ао
= G
Ш + АС
№-П\- iACQ
(6.6)
представляющую собой отношение глубины модуляции выходного
излучения лазера к глубине модуляции потерь. Будем называть
ее коэффициентом усиления модуляции. В сущности, это модуль
передаточной функции лазера на малой глубине модуляции.
Возмущение можно считать слабым, а найденное линейное
приближение справедливым, если |т/?7Т| -С 1, \п/п\ «С 1, что
эквивалентно
Ш + АС
GAo
О* - П\ - iACQ
«1.
(6.7)
Соотношения (6.5) и (6.6) имеют резонансный характер.
Максимального значения коэффициент усиления модуляции достигает
при П = Пг = y/G(A£ - 1), т.е. в случае совпадения частоты
модуляции с частотой релаксационных колебаний. При условии
О ^> АС соотношения (6.6) и (6.7) в резонансе переходят,
соответственно, в
-Kloss(42l) — -Тр,
АС
Aose < А" =-рг =
G tfioe^i)
(6.8)
(6.9)
Для твердотельных лазеров типичны значения G w 104 и АС
порядка единицы. Это значит, что по порядку величины .KiOBB

составляет 104, так что /3^м т 10~4 достаточно для выхода лазера
на режим нелинейных пульсаций большой амплитуды.
2. Если по гармоническому закону модулируется накачка, то
уравнения (6.1) уступают место следующим уравнениям:
dm
-J- = Gm{Cn — 1),
dm <6Л0)
— = A[l + /3pUmp cos(£?r)] - n(Cm + 1),
где /3pump — глубина модуляции накачки.
Установившееся решение снова ищется в виде (6.4). Его
подстановка в (6.10) в линейном приближении приводит к
выражениям:
т _ GPpump АС
т 2 Q^-Ql-iACQ'
w _ G(3pump iQAC
п ~ 2 Q2 - Q\ - iACQ'
(6.11а)
(6.116)
Коэффициент усиления модуляции в данном случае дается
формулой
-**ршпр —
= G
AC
Ppump
При точном резонансе
т _ tG/3pump
Q2-Q\- г ACQ
(6.12)
(6.13)
Ш 1QX
Критр(П0) = G/ih. (6.14)
Условие малости амплитуды отклика теперь выражается
неравенством
/W « /Зритр = Пх/G = y/(A£-l)/G. (6.15)
Значениям G = 104, АС = 2 отвечает /Зрцтр = Ю-2.
3. Сечение перехода atr представлено в уравнениях (6.1) и
далее функцией формы линии С. Модуляции сечения эквивалентна,
таким образом, модуляция расстройки. Заменив в (6.1) С на
£[1 + /Зс_в cos(£?r)], приходим к уравнениям:
— = Gm{nC[l +/?c_Bcos(flr)] - 1},
L (6Л6)
— = А - п{тС[1 + /?с-в cos(tfr)] + 1}.

Повторяя процедуру нахождения линейного отклика на слабую
гармоническую модуляцию параметра (в данном случае £), приходим
к выражениям
т _ G0C-B 1 + Ш
т~ 2 №-Q\-iAL& { '
п _ £(3С-Вт %Q + G
й " 2 СР-ПХ-хАСП' (6Л?б)
В пределе Q >• АС соотношение (6.17а) совпадает с точностью до
знака с соотношением (6.5а), откуда /3£1в = /3^.
Из всех рассмотренных способов резонансного возбуждения
пульсаций излучения твердотельных лазеров модуляция накачки
наименее эффективна. Резонансный коэффициент усиления
модуляции накачки, согласно (6.14), пропорционален G1/2, тогда как в
остальных двух случаях фигурирует величина G. Объясняется это
тем, что скорости релаксации населенностей и накачки в лазерах
класса В намного уступают частоте релаксационных колебаний и
поэтому модуляция накачки преобразуется в колебания инверсии
с заметным ослаблением^,
Хочется обратить внимание еще на одно обстоятельство. В
стационарном режиме инверсия стабилизируется на уровне,
задаваемом потерями резонатора. Низкочастотные флуктуации накачки
не способны вывести ее из такого состояния. Это видно из
формулы (6.116), согласно которой п->0 при /2—>0.
6.1.2. Линейный отнлнн многомодового лазера на
низкочастотную модуляцию потерь. Предположим, что можно модулировать
потери отдельных мод независимо друг от друга. Если
осуществлять синхронную модуляцию всех мод, то результат не будет
отличаться от полученного в п. 6.1.1 для одномодовой модели.
Отклик интенсивностей различных мод на модуляцию потерь только
одной из них описывается системой уравнений:
j Г Г
-j-£ = Gmk Ск / пф\ dv-1- Sk,pPk cos(tfr)
(6.18)
являющихся непосредственным обобщением (4.10). Если
предположить решения в виде
тк = тйк + fhk exp(tJ2r) + т£ ехр(—гПт),
п = п + п exp(t'42r) + п* ехр(—iQr),
то подстановка их в (6.18) приведет к уравнениям линейного откли-

ка:
iHrhk - GCkmk I n-ty\ dv — - GmkPk&k,p = 0, (6.19a)
(Ш + A/n)n + n^2 Сдф*тд = 0. (6.196)
Далее действуем ло схеме, изложенной в п. 4.2.1. Определив из
(6.196)
п = — п
-ЕЗДд"^
iQ + А/п '
подставим это выражение в (6.19а) и осуществим
интегрирование. Считая п к 1 и С к, 1, получаем для системы продольных
мод, число которых велико (N 3> 1), следующую систему
уравнений:
о I 1
iQ(iQ+A)+-Gm,k rhk+GmkУ]тд = --Gmk{iQ+A)Pkh,P-
1 J &k l
(6.20)
Бе решение выражается правилом Крамера т& = D^/D.
Детерминант системы D и замещенные определители D& даются, согласно
[335], выражениями:
Dk = -
(1+2£f>-2^
q*k
(6.21)
(6.22)
где
Нд = П1 - Q2 + iAQ, ПЫ- Gmqy
Zg = -Gmg(i(2 + A)Pg6gtP.
(6.23)
Поскольку модулируются потери только одной из мод, имеет
смысл привести отклики этой и остальных (немодулируемых) мод
по отдельности:
тр _ GPPSP in + А
~ 2
яг„
Шк
G2Ppmp
n*-n2 + iAn'
in + A
(6.24)
тк 2 1 + 2 £(^/Я,) (Q\ -Q2 + iAQ) (П% - П2 + iAi2)'
(6.25)

где
_1+2£(Я«/Я,)-2Я«/Д^
1 + 2Е(Ч2/я9)
— величина, мало отличающаяся от единицы при большом числе
возбуждающихся мод.
Конкретизируем соотношения (6.24) и (6.25) для двух наиболее
интересных типов лазеров: твердотельного и лазера на красителе.
Для первого из них характерно большое значение параметра G
и не очень большое число возбуждающихся мод, так что П\ =
= Gmjfc/2 « GmjlN >• 1. В условиях резонансной модуляции
[ft — £2р) имеем для модулируемой моды
тъ
т„
Gfip
2А
(6.26)
Критерий пригодности линейного приближения выражается
неравенством
А
&</?" =
G'
(6.27)
формально не отличающимся от (6.9). Для немодулируемой моды
в тех же предположениях получаем в JV раз меньший отклик:
ТПк
ТПк
G/3P
2 AN'
(6.28)
В случае лазера на красителе дело обстоит совершенно по иному,
поскольку G < 1, а N 3> 1 и, следовательно, Q\ = Gmjt/2 -С 1.
Задав частоту модуляции в интервале ft < 1? < 1, находим
Я, m iAQ и 52(&%/Hq) « Gm/(2iA(2), что приводит к
соотношениям
ТОг
тпт
GPP
2Q
TOfc
ТПк
G(3P
2MQ'
(6.29)
Коэффициент усиления модуляции выделенной моды К\оеа w G/Q
и здесь может достигать больших значений, но обусловлено это
не большим G, а малым Q. Условие применимости линейного
подхода теперь выглядит следующим образом:
А, < р? « %
(6.30)
Экспериментальные исследования NdrYAG-лазера с небольшим
числом возбуждающихся продольных мод показали, что
передаточная функция полной интенсивности содержит заметные
резонансные особенности на частотах противофазных
релаксационных колебаний [463]. Между тем, как было сказано в п. 4.2.2,

никаких особенностей на этих частотах не обнаруживается в
спектре флуктуации полной интенсивности.
Интересная закономерность прослеживается в распределении
знаков фаз колебаний интенсивностей отдельных мод [463, 464].
Будем придерживаться принятого в гл. 4 принципа нумерации ге- ■
нерирующихся мод по убывающей стационарной интенсивности
и релаксационных колебаний — по убывающей стационарной
частоте. Если частота модуляции £2 = £2Р, то моды собираются в сле-
0 П5П4 °3 П2 30
Рис. 6.1. Передаточные функции лазера при симметричном расположении мод
резонатора относительно центра линии усиления и равных потерях (а), б —
при наличии дополнительных потерь в одной из мод [355]
дующие две группы: амплитуды мод с А; = 1,... ,р — 1 колеблются
синфазно, равно как и амплитуды мод с к = р,..., N. Однако по
отношению друг к другу эти группы колеблются в противофазе.
Таковы результаты численного расчета модулей и фаз передаточ-

ных функций в рамках модели (6.10). Эксперимент, подтверждая
наличие подобной кластеризации, дает, однако, иное
распределение мод по двум группам [463]. Причиной может быть
несовпадение длин активного элемента и резонатора, которое не
учитывается в модели, но способно очень сильно повлиять, как было
показано в гл. 4, на динамику лазера.
Расхождение между результатами теоретического расчета и
эксперимента имеется и в расположениии пиков с максимальной
интенсивностью на передаточных функциях отдельных мод. Если
расчет дает монотонное смещение доминирующего пика в сторону
высоких частот по мере перехода от более слабых мод к более
интенсивным [167, 463], то эксперимент не подтверждает наличия
такой закономерности [463].
Можно привести еще один пример того, что передаточные
функции очень чувствительны к нарушению симметрии в лазере.
Когда моды расположены симметрично относительно центра линии
усиления, а потери одинаковы, то передаточные функции для
симметричных пар мод резонатора двукратно вырождены (рис. 6.1а).
Внесение дополнительных потерь в одну из боковых мод (в данном
случае — в моду к = 2) снимает вырождение, расщепляя
передаточные функции для мод cfc = 2nfc = 4. (рис. 6.16). Это
обстоятельство может быть использовано для индикации селективного
поглощения в среде, помещенной внутрь резонатора лазера.
6.1.3. Нелинейный отклик одномодового лазера на
периодическую модуляцию потерь. Весьма слабая модуляция потерь может
оказаться достаточной, для того чтобы вывести отклик лазера за
рамки линейности. Такой вывод следует из предыдущего
рассмотрения. Чтобы составить представление о характере нелинейных
отклонений отклика при увеличении амплитуды модуляции, имеет
смысл преобразовать уравнения (6.2) к другому виду.
Вначале, исключив переменную п, перейдем от системы (6.2)
к одному уравнению второго порядка:
d2m 1 / dm\2 . .dm „ , .
ЛТ-тЫ +{rn + l)— + Gm{m-m) =
= Gm(3ioBs[n sin(fir) — (m + 1) cos(fir)].
Затем, осуществив замену переменной т на т = Шех, где Ш =
= А — 1, приходим к искомой форме [465]:
■— + (те1 + 1)^ + Яо[ех(1 + /?,OS8cosfir) - 1] =
= СДом[Яып(Яг)-сов(Яг)]. (6.31)
В отсутствие модуляции потерь уравнение (6.31) сводится к
уравнению нелинейного осциллятора:
0 + (Ше* + 1)^ + Я?(е* - 1) = 0, (6.32)

в котором £2\ = G(A — 1) — частота релаксационных колебаний.
Это уравнение описывает ангармоничные колебания частицы в
поле с потенциалом Тода V(x) = ех — х при наличии
нелинейного затухания [466, 467].
Модуляция потерь меняет ситуацию в двух отношениях. Во-
первых, в правой части появляется член, представляющий
вынуждающую силу. Во-вторых, последний член левой части содержит
теперь дополнительное слагаемое /3\0ааЮ2ех cos(fir), ответственное
за параметрическое возбуждение нелинейного осциллятора.
. Некоторое представление о свойствах нелинейного осциллятора
можно получить, определив форму так называемой скелетной
кривой. Эта кривая является геометрическим местом точек
экстремумов резонансных кривых и дает зависимость частоты
собственных колебаний соответствующей консервативной системы от их
амплитуды [468]. С этой целью подставим в (6.32) решение х =
= a + bi cos(fir) и пренебрегая затуханием, получим
П2
- —j bi cos(fir) + ехр [о + 6i cos(fir)] = 1. (6.33)
Представляя exp[bi cos(flr)] степенным рядом, перепишем (6.33)
в виде
Г, я2
bi cos(fir)
= 1 + У^
bf cos* (fir)
fc=i
Приравнивая постоянные составляющие в правой и левой частях
этого равенства, находим
°° h2k
Проделав то же самое с коэффициентом при bicos(fir),
получаем соотношение
гк-г
Подстановка (6.34) в (6.35) приводит к равенству
А2 _ 1 + Е£2 bf~2[22k~2[k - I)!*;!]"1
Ql~ l + EfciWflb!)2]-1
неявно определяющему скелетную кривую bi(fi).
В пределе при bi —Юо имеем £2—^0. Это значит, что при данном
типе нелинейности скелетная кривая и соответственно
резонансные кривые осциллятора наклонены в сторону низких частот, как
показано на рис. 6.2. Форма резонансной кривой свидетельствует о
(6.35)
(6.36)

наличии двух устойчивых решений (бистабильности) и о гистере-
зисном характере поведения системы при изменениях частоты и
глубины модуляции. Две ветви устойчивых решений существуют
в области Q < Q\. Эти ветви резко отличаются контрастностью
решений, т.е. отношением максимального и минимального
значений интенсивности излучения на периоде модуляции или, что то
же, величиной разности 5х = хтах — жтт.
Вследствие того что уравнение (6.31) существенно нелинейно,
в системе помимо основного возможны и высшие резонансы на
обертонах и унтертонах вынуждающей силы [212]. Каждому из
них отвечает резонансная кривая типа представленной на рис. 6.2.
Для того чтобы получить общую амплитудно-частотную характе-
Рис. 6.2. Нелинейная резонансная зависимость амплитуды первой гармоники Ъ\
отклика лазера на гармоническую модуляцию потерь от частоты модуляции П
(штриховой линией выделена неустойчивая ветвь; штрих-пунктиром —
скелетная кривая; границы области гистерезиса отмечены стрелками) [465]
Рис. 6.3. Амплитудно-частотная характеристика системы, описываемой
уравнением (6.31) (примерный вид) [465]

ристику (передаточную функцию) лазера, следует предположить
решения уравнения (6.31) в виде 5^btcos[(m/A;),J2r + &L где т,
к — взаимно простые числа, и воспользоваться условием
гармонического баланса. Реализация этой программы сопряжена, однако,
с громоздкими выкладками даже при нахождении скелетных
кривых. Относительно просто удается установить лишь, что все они
наклонены в сторону низких частот.
Ожидаемый вид амплитудно-частотной характеристики
иллюстрирует рис. 6.3. Число ветвей устойчивых решений превышает
два, а значит в областях перекрытия нескольких ветвей лазер
должен проявлять свойства мулмистабильности. Следствием этого
является, в частности, сложная гистерезисная картина,
включающая не одну, как на рис. 6.2, а несколько петель. Следует
подчеркнуть, что причиной мультистабильности в данном случае не
может быть сложный профиль потенциала, поскольку потенциал
Тода обладает единственным экстремумом.
6.1.4. Бифуркации и хаос. Выше было показано, что в
динамическом отношении одномодовый лазер класса В эквивалентен
нелинейному осциллятору с потенциалом Тода. Рассмотрение
общих свойств таких систем выходит за рамки данной книги и мы
кратко остановимся лишь на тех данных, которые получены
непосредственно при работе с лазерами.
Прежде всего заметим, что хотя одномодовый лазер класса В
описывается системой уравнений второго порядка, модуляция
параметра делает возможным не просто нестационарное, но даже
хаотическое его поведение. Причина в том, что неавтономность
эквивалентна наличию у системы дополнительной степени
свободы. Действительно, обозначив fir через Ф, перепишем (6.2) в
форме автономной системы уравнений третьего порядка:
dm . .
-j— = Gm[nC - 1 - /Jioegcosg»),
— = A-7i(£m + l), (6.37)
ат
В трехмерном же фазовом пространстве есть место странному
аттрактору.
Конкретные сведения о режимах лазера с модуляцией
параметров (потерь, накачки, расстройки), полученные из численного
интегрирования и из эксперимента, хорошо согласуются между собой
[23, 465, 469-476]. В этом легко убедиться на примере кольцевого
Nd:YAG-na3epa, сопоставляя расчетные (рис. 6.4) и
экспериментальные (рис. 6.5) реализации.
Согласно расчетам, линейный отклик на самую слабую
модуляцию потерь (рис. 6.4а) при увеличении ее глубины сверх /?iose =

= 0,003 переходит в более сложный, содержащий гармоники
частоты Q. В интервале 0,003 < /3iOBS < 0,018 модуляция остается
относительно неглубокой (рис. 6.46, в). При /?iOBS = 0,021
отмечается скачкообразный переход к режиму генерации коротких
импульсов с частотой повторения П (рис. 6.4г). Дальнейшее
увеличение Р\овв дает последовательность бифуркаций удвоения периода
(на рис. 6 Ад показана генерация с периодом 2Г), приводящую при
Aoss = 0,027 к области хаоса (рис. 6.4е). При /3iOBS = 0,035 отклик
t_V|f
Рис. 6.4. Примеры численных решений системы (6.37): А = 1,2; G = 5000;
Я = 0,4^1; /3i„„ = 0,003 (а); 0,01 (б); 0,015 (в); 0,018 (г); 0,021 (д); 0,027 (е);
0,035 (ж) [476]

лазера вновь становится периодическим, но период теперь равен
4Г. Следует особо отметить резкий, без каких-либо
промежуточных состояний переход от хаотических к регулярным пульсациям
при увеличении Дом,. СуШественно различны для этих областей
минимальные значения интенсивности в промежутках между
импульсами.
Результаты экспериментального исследования динамики
кольцевого лазера на гранате с неодимом представлены на рис. 6.5.
Совокупность параметров здесь примерно та же, что была принята
Рис. 6.5. Осциллограммы интенсивности излучения кольцевого лазера бегушей
волны на NAYAG-nasepe при различной глубине модуляции потерь (Дои
возрастает сверху вниз) [476]

в расчетах. Однонаправленность лазера обеспечивалась
применением фарадеевского вентиля на основе стекла с большой
постоянной Верде. Превышение порога генерации в этих экспериментах
было порядка 20 %, чему соответствовала релаксационная частота
v\ = 27 кГц. Частота модуляции устанавливалась в интервале
8-15 кГц, где выбор конкретного значения частоты не оказывал
существенного влияния на характер реализаций. В качестве
модулятора потерь использовался монокристалл ниобата лития
(z-срез), к которому прикладывалось переменное электрическое
поле перпендикулярно направлению распространения излучения.
При сравнении рисунков 6.4 и 6.5 обращает на себя внимание
почти буквальное совпадение сценариев, что свидетельствует о
высоком качестве принятой математической модели.
Выявленные закономерности хорошо укладываются в рамки
представлений, развитых в п. 6.1.3 и основывающихся на картине
нелинейных резонансов. Поскольку и эксперимент и расчеты
проводились для фиксированной частоты модуляции при меняющейся
ее глубине, полезной оказывается картина семейства резонансных
кривых, зависящих от (3\овв как от параметра. Она представлена
на рис. 6.6. Увеличение /?ioes соответствует на этом рисунке пере-
Plou
Рис. 6.6. Семейство резонансных кривых нелинейного осциллятора, зависящее
от Aoes как от параметра [476]
ходу от одной резонансной кривой к другой. При самых малых
Aoss нелинейность осциллятора не проявляется, благодаря чему
отклик на гармоническую модуляцию потерь оказывается тоже
гармоническим. Нелинейные искажения отклика плавно нарастают
до тех пор, пока рабочая точка остается на нижней ветви
резонансной кривой. По достижении /?iOSs = Рь система перескакивает
в состояние на верхней ветви, что выражается в резком переходе
к импульсному характеру излучения. При обратном изменении

/?ioss перескок на нижнюю ветвь происходит при /?iose = /?з < Рв
(гистерезис). Наличие еще одного резкого перехода — от
хаотических пульсаций к регулярным с периодом 4Т при /?iose = 0,0335 —
свидетельствует о том, что наряду с основным резонансом,
изображенным на рис. 6.6, проявляется также и какой-то из высших
резонансов. Воспроизведение всей сложной структуры
нелинейных резонансов методом численного интегрирования уравнений
типа (6.2) или (6.31) составляет весьма трудоемкую задачу.
Однако отдельные фрагменты, подтверждающие справедливость всей
концепции, таким путем были найдены [465].
Примеры численных решений в сочетании с
экспериментальными результатами, касающиеся других лазеров, можно было бы
продолжить. Обстоятельные исследования поведения СОг-лазера
в условиях периодической модуляции потерь и частоты описаны
в последовавших за первым экспериментальным исследованием
[470] работах [473-475]. Последовательность смены режимов при
увеличении глубины модуляции параметра отличается от рис. 6.4 в
деталях, однако не вызывает сомнений общность проявляющихся
там и тут закономерностей. В СОг-лазере обнаруживается биста-
бильность и гистерезис, причем бистабильность может быть
обобщенной, когда один или оба сосуществующих режима являются
хаотическими, а отвечающие им аттракторы в фазовом
пространстве — странными. Выяснено, что вхождение в хаос
осуществляется через цепочку бифуркаций удвоения периода, а выход из
хаоса — через обратную последовательность удвоений.
В область хаотического поведения могут вклиниваться окна
регулярности с фундаментальным периодом ЗТ вместо Г.
Возникающую ситуацию поясняет рис. 6.7. На приведенной диаграмме
Амплитуда модулирующего напряжения
Рис. 6.7. Бифуркационная диаграмма СОг-лазера с периодической
комбинированной модуляцией частоты и добротности резонатора [473]. На экран монитора
выведены значения интенсивности через интервалы времени, равные периоду
модуляции. При значении модулирующего напряжения Vi осуществляется
бифуркация Т—2Т, при Vt, — бифуркация 2Т—4Т, при Vs — переход к хаосу, при
Vs возникают пульсации с периодом ЗТ, которые далее, через 6Т, переходят в
новую область хаоса

присутствуют две ветви резонансной структуры. На нижней ветви
хаос возникает в результате цепочки бифуркаций Г—2Г—4Г—X,
тогда как на верхней ветви имеет место последовательность ЗТ—
-6Т—Х. Таким образом, окно регулярного отклика с периодом ЗТ
располагается не внутри некой области хаоса, а между разными
областями, принадлежащими разным ветвям. Рисунок 6.7
подтверждает тот факт, что смена режимов может происходить либо
«мягким» образом — в пределах одной ветви резонансной
структуры, либо «жестким» образом — как результат переброса с одной
ветви на другую.
Обратим внимание на еще один режим, присутствующий на
рис. 6.7, именуемый кризисом аттрактора. Не вдаваясь в
тонкости, отметим, что кризис — это результат слияния двух
аттракторов или аттрактора и неустойчивой особой точки (предельного
цикла). Кризис проявляется во внезапном растяжении, сжатии
или исчезновении аттрактора при изменении управляющего
параметра. О том как выглядит кризис в эксперименте (как натурном,
так и в численном), позволяет судить рис. 6.8. По горизонтальной
оси здесь отложена амплитуда напряжения, управляющего моду-
Амплитуда модулирующего напряжения
Рис. 6.8. Явление кризиса аттрактора в отклике (Юг-лазера на периодическую
модуляцию параметров [473]. Использован тот же способ построения бифуркаци-
оной диаграммы, что и на рис. 6.7
лятором потерь, а по вертикальной — последовательность
дискретных значений выходной интенсивности, стробируемых в
заданной фазе через каждый период модуляции. Расщепление кривой
соответствует бифуркации удвоения периода, ее размытие — хао-
тизации процесса. Слабое размытие означает, что хотя
регулярность утрачена, разброс значений амплитуды пичков и интервалов
между пичками относительно невелик. В кризисе же
протяженность странного аттрактора, а с ней и дисперсия характеристик
пульсаций увеличиваются настолько, что ветви перекрываются.
Не претендуя на объяснение причин кризиса в данном
конкретном случае, вспомним все же о двух механизмах возбуждения

осциллятора Тода, заложенных в уравнении (6.31): через
внешнюю силу и посредством модуляции параметра. Второй из них
может быть эффективен для частот модуляции, превышающих
частоту релаксационных колебаний. Там, где оба механизма
способны конкурировать, вероятны явления типа кризиса.
Сложная динамика лазера, подвергнутого периодической
модуляции параметра, выражает взаимоотношения собственного
колебания системы и вынужденных колебаний. Изменения
управляющих параметров, сказываясь на эффективности взаимодействия,
ни в коей мере не затрагивают свойств самих собственных
колебаний. Поэтому такие факторы как расстройка и неоднородное
уширение не могут оказать столь резкого влияния на устойчивость
режимов лазера, которое присуще автономным моделям [477].
Важным обстоятельством для отклика лазера на внешнюю
периодическую модуляцию является спектр генерирующихся мод,
поскольку им определяется спектр релаксационных колебаний [478,
479]. Собственно, говорить о том, что число степеней свободы
возрастает соответственно числу мод, можно лишь в отсутствие
их синхронизации. По этой причине различаются фазовые
диаграммы периодически модулируемых лазеров с
синхронизованными и несинхронизованными модами (рис. 6.9). В последнем
случае построенная на основе эксперимента фазовая диаграмма
Чшх|.В"
100 %0<1,кГц
100 ^офКГц
Рис. 6.9. Экспериментальные фазовые диаграммы периодически модулируемого
многомодового Nd:YAG-naaepa в плоскости управляющих параметров (частота
модуляции i/mod, амплитуда управляющего напряжения на модуляторе Umod)
при наличии (а) и в отсутствие (б) синхронизации мод [479]
отличается существованием нескольких минимумов на границе
областей хаотического и регулярного поведения. Положения этих
минимумов идентифицируются с основной релаксационной
частотой (70 кГц), ее субгармоникой (35 кГц) и высшей из неосновных
релаксационных частот (22 кГц). Более низкие релаксационные
частоты тесно сгруппированы и на диаграмме не проявляются.

Еще один минимум локализован вблизи частоты, вдвое большей
основного релаксационного колебания, что естественно для
параметрического механизма возбуждения пульсаций. На диаграмме
рис. 6.9а видна гладкая граница области хаоса, не
обнаруживающая присутствия низких релаксационных частот, принадлежащих
противофазной динамике, и даже не заходящая в область их
локализации.
Обе фазовые диаграммы, представленные на рис. 6.9,
получены в эксперименте с Nd:YAG-na3epoM, низкочастотная
модуляция потерь в котором производилась с помощью
электрооптического модулятора. В первом случае осуществлялась также
активная синхронизация мод. Число мод, возбуждавшихся в условиях
эксперимента, оценивается в 10—15.
Размерности аттракторов, найденные в результате обработки
как экспериментальных реализаций [23, 474, 475], так и
численных решений [479, 480], невелики. Лишь в одном случае,
относящемся к пятимодовой модели, получено значение фрактальной
размерности, несколько большее трех, когда отклик на модуляцию
хаотичен. Для всех режимов одномодового лазера целочисленная
часть размерности аттрактора не превышает двух.
6.2. Монотонное адиабатическое
изменение параметра
Представления, развиваемые в данном параграфе, имеют
непосредственное отношение к теории свип-лазеров, дают ключ к
объяснению самопроизвольно возникающих пульсаций излучения
твердотельных лазеров и оказываются полезными при анализе
условий формирования гигантских импульсов. Основой для
изложения послужили работы [24, 481, 482].
6.2.1. Свипирование потерь. Не конкретизируя пока способа
изменения потерь и закона, по которому это изменение
осуществляется, запишем систему уравнений:
^ = Gm[n - 1 - /Э(т)], (6.38а)
ат
dft
— = А-п(тп + 1). (6.386)
ат
Нас будет интересовать случай убывающих во времени потерь,
df3/dr = /3 < 0, поскольку только ему отвечает интересная
динамика генерации.
Для нахождения характеристик квазистационарного режима,
при котором амплитуда адиабатически следит за изменяющимися
потерями, будем считать в первом приближении m = 0. Отсюда
следует, что величина
п = 1 + /9 (6.39)

меняется в процессе генерации со скоростью
%*%-». ,6.4.)
Подстановка (6.40) в (6.386) приводит к выражению для
интенсивности генерации
~ А-1-Р-Р .....
ш= — . (6.41)
Поправка следующего приближения к инверсии (п— 1—/3 = fh/Gfh)
мала по сравнению с и, если
| = ё(А-й—
m (i+/j)(A-l-/J-/J) k^ * '
Здесь уместно ввести понятие областей медленного и быстрого
свипирования, на границе между которыми
A,-f = А - 1 - /3. (6.43)
В области медленного свипирования (|/3| <СС А — 1) динамика
излучения целиком определяется скоростью накачки. В области
быстрого свипирования (|/?| ^ А — 1) на первый план выходит
скорость уменьшения потерь. Соответственно
l-/J/(l + /J) ДляА«|/3|. (6>44)
Линеаризуем теперь уравнения (6.38) в окрестности
квазистационарных значений in, п и получим обобщение
характеристического уравнения (3.16) на случай адиабатически меняющихся
потерь. Корни этого уравнения в случае G > 1 имеют вид
А = "2(1 + 0) ± »VG(A-1-^-A- (6-45)
Выражения для частоты и затухания релаксационных колебаний
при медленном свипировании выглядят так же, как и в
стационарной модели:
1*=^G(A-1-/S), *1 = -Щ^Щ. (6.46а)
тогда как при быстром свипировании
Ox = yfG\Hl вг = ^-щ. (6.466)
Наиболее простым для описания является случай снижения
потерь по линейному закону /3 = /30 — *Wj когда /3 = —«8W = const.

График зависимости т(т), выражаемой формулой (6.41), при
линейном законе свипирования представлен на рис. 6.10 кривой 2.
Важным является то обстоятельство, что кривая тп{т) начинается
при uew > 0 в точке с координатами
ПЬг = (А) + 1 - А)/ивщ, mthr = Uew/A.
Поэтому начальное (флуктуационное) значение интенсивности в
момент пересечения системой порога генерации отличается от
квазиравновесного значения m = uaw/A. Это означает, что даже
при медленном свипировании в системе непременно возбудятся
переходные пульсации. Колебательный процесс, рассчитанный
0.5
0 5 10 x-ynt
Рис. 6.10. Временные зависимости стационарного (1), квааистационарного (2) и
реализующегося при численном интегрировании уравнений (6.38) (S) значений
интенсивности генерации в процессе равномерного снижения потерь резонатора
лазера
по уравнениям (6.38) при начальных условиях /3(0) > А — 1,
лг(0) <g. «ew/A, также присутствует на рис. 6.10 (кривая 5).
Хотелось бы обратить внимание еще на одну особенность
процесса генерации, отображаемого кривой 3. Запаздывание его
начала по отношению к моменту пересечения границы
самовозбуждения в точности равно Tthr — времени от начала свипирования
до момента пересечения порога генерации. Такая закономерность
была установлена в работе [481] для лазеров класса А с
апериодическим переходным процессом. Она, однако, сохраняется и для
Других классов лазеров.
Сведения о первом пичке после перехода порога генерации можно
получить, действуя по аналогии с п. 3.2.2. Пренебрегая на
линейной стадии процесса сбросом инверсии, имеем в силу А—1—/Зо = 0
т, отн. ед.

уравнение
ЛТП
(6.47)
ат
Его решение
In
позволяет оценить величину
dm
~dV =
m
^■min
GmuawT.
G 2
«sw-Hin = \ hp; uBW In , (6.48)
V <* mmin
где Tiin — время достижения интенсивностью квазистационарного
значения та. Поскольку u8WT)jn играет роль 77тах, имеем по
аналогии с (3.33)
771
mmax = ивщ In -. (6.49)
Согласно (6.41) величина m зависит от скорости свипирования,
однако это не приводит к существенным отклонениям от
пропорциональности между mmax и ивщ в (6.49).
Обратимся теперь к критерию адиабатичности, который
согласно [483], выражается неравенством
^ <! + /?. (6.50)
то
dT
Под т0 подразумевается период самого медленного из собственных
колебаний системы, в данном случае — релаксационных
колебаний. Таким образом, неравенство (6.50) может быть переписано
как
uBw<^i(l + /3). (6.51)
Задавшись значением Q\ из (6.466), находим окончательную форму
критерия адиабатичности
u8W<G(l + /3)2. (6.52)
Вернувшись к неравенству (6.42) и полагая в нем иащ = —$ > А,
убеждаемся в его идентичности (6.52).
В условиях свободной генерации весьма вероятен процесс
свипирования моды через полосу селекции дисперсионного
резонатора. В этом случае потери меняются по закону
(3(т) = (30[1-д(т)1 (6.53)
где д = 1/(1 + Л^), и зависимость от времени связана с тем, что
Ael = д Ве = Дш* - ubwt. (6.54)

Все формулы с (6.40) по (6.46) остаются справедливыми и нужно
лишь иметь в виду, что
Р = -Род = /W^ew,
где д' = dg/dABe\. Это означает, что
и в области быстрого свипирования
A)ff'«8W
тп =
l + /3o(l-ff)' (6.56)
&i = V-GPog'uaw.
Вхождение моды в генерацию при свипировании через полосу
селектора сопровождается в силу указанных выше причин
возбуждением осцилляторного переходного процесса. Предельная
амплитуда колебаний разности населенностей ограничена глубиной
селекции: т)тлх < Д). Она будет достигнута, если за время
линейного развития генерации мода перестроится на полуширину
полосы селектора. Чтобы оценить амплитуду первого пичка,
воспользуемся разложением
д{т) = fl(0) + №Л т = fl(0) + д'иа„т. (6.
57)
Его подстановка в (6.38а) с учетом А—1—/?о[1—ff(0)] = 0, приводит
к уравнению
dm . . .
-г- = Gmp0g ив„т, (6.58)
ат
и по аналогии с (6.47) -(6.49) можно записать
тп
"Wx = -Род «sw In ——. (6.60)
Для того чтобы первый пичок переходного процесса успел
развиться, длительность линейного этапа не должна превышать
времени пребывания моды в полосе селектора: uBW < 1/тцп или, со-
гласно (6.59), G/W|
«8W <
21n(m/mmjn)
Однако, с другой стороны, интенсивность пульсаций будет больше,
чем в неперестраивающемся лазере при включении накачки, лишь
при достаточно высокой скорости свипирования
Usw>^H°(1)'

где
0цч _ ln[(A - l)/mmin]
ln(m/mmin)
— величина порядка единицы. Данное неравенство вытекает из
сопоставления (6.60) с (4.20). Из требования совместимости двух
последних неравенств следует необходимое условие реализуемости
интенсивных пульсаций
*>/
2(A-l)ln(m/mmin)
^ 0(1). (6.61)
Задав А = 10, G = 105 и считая д' = 0,5, Inffh/rrimin) = 25,
находим, что необходимое условие (6.62) выполняется при /Зо > 0,1.
Найденное ограничение на скорость свипирования в
размерных обозначениях перепишется как
А — 1
Osw > 7|| 8v^-qTT\ °(1) • (6-62)
Подстановка только что приведенных значений, а также 711 =
= 103 с-1, Su^\ = 0,1 см-1, дает 178W > 2 • 10~2 (см-мкс)-1.
6.2.2. Свипирование расстройки. Исходной теперь является
непосредственно система уравнений (6.1), но специфика задачи
состоит в том, что Д) = Д)(т)- Дальнейшая последовательность
действий во многом повторяет ту, что была осуществлена в п. 6.2.1
и потому не требует особых комментариев.
Считая в первом приближении dm/dr = 0, находим
квазистационарное значение инверсии
п = —. (6.63)
В процессе генерации оно меняется со скоростью
fr = ~£2Ul"" (6-64)
где uBW = dAo/dT — безразмерная скорость свипирования.
Подстановка (6.64) в (6.16) приводит к выражению для
интенсивности
т = А-£-1+ £'£-2u8W. (6.65).
Поправки следующего приближения, как и в предыдущем пункте,
малы, если скорость свипирования не выходит за пределы,
разрешенные условием адиабатичности процесса перестройки.
Выражение (6.65) позволяет выделить на плоскости uswAq
области быстрого и медленного свипирования, разделенные кривой
<? = £{А£-1). (6.66)

В области медленного свипирования динамика излучения
определяется накачкой, а в области быстрого свипирования —
перемещением частоты моды по контуру линии усиления по направлению
к ее центру (рассматривается только этот случай). Областям
медленного и быстрого свипирования отвечают различные значения
интенсивности генерации:
™=(й£Г2?)/£ ДЛЯИ-«<У (6-67)
Линеаризуя уравнения (6.1) в окрестности значение т,п,
приходим к квадратному характеристическому уравнению с корнями
Л и --(1 + fhC) ± iy/GmL. (6.68)
Для области быстрого свипирования (6.68) преобразуется в
Qi = G—u8W, в1 = --\1 + —«eW J. (6.69)
Критерий адиабатичности в данном случае записывается как
dC
т0—- < С. (6.70)
ОТ
Помня, что dL/dr = C'uaw, перепишем (6.70) в виде
«ew < иЦ = ^Пх. (6.71)
Для области быстрого свипирования
<l = j;,G- (6.72)
Сопоставляя (6.72) с (6.66), нетрудно убедиться в том, что «JJj ^
> «g~f, при G ^ 1. Таким образом, по отношению к
твердотельным лазерам адиабатическая теория применима, по крайней мере,
во всей области медленного свипирования. В размерных
обозначениях соотношение (6.72) приобретает вид
Вхождение моды в генерацию при динамической перестройке
ее частоты обязательно будет сопровождаться возбуждением
пульсаций. Это связано с тем, что на пороге генерации АС = 1 и,
согласно (6.66), пороговая точка лежит на границе области быстрого
свипирования. Как и в случае свипирования потерь,
квазистационарное значение интенсивности в момент пересечения порога
генерации имеет конечную величину, определяемую соотношением
(6.67), тогда как m(^thr) "С т.

Полагая, что период возбуждаемых пульсаций много меньше
длительности прохождения полосы генерации, воспользуемся
разложением
£(г) = £(0) + С'ив„т. (6.74)
На этапе линейного развития пичка уравнение (6.1а) с учетом
(6.74) запишется как
dm С
= OrTTlUaw—T.
I
dr ~ BW£
Действуя по аналогии с п. 6.2.1, находим максимальное
превышение порога, реализуемое в процессе свипирования:
»7тах = АС - 1 = W^ti«wIn -=——. (6.75)
у GL L'mmin
Для определения амплитуды пичка нужно воспользоваться
уравнениями консервативного приближения, которые отличаются от
(3.31) лишь тем, что место тп в них занимает гпС. Для
амплитуды пичка имеем аналогично (3.33) и (6.62)
mmax - -^- = -p- In ^—-. (6.76)
Сопоставление этой величины с амплитудой первого пичка,
генерируемого в неперестраиваемом лазере при включении накачки
(см. (3.33)), показывает, что последняя меньше при
ttew > С2{А~ 1} 0(1), (6.77)
где 0(1) — фактор порядка единицы. В размерном представлении
неравенство (6.77) имеет вид
СТ„> 7||Л*^0(1). (6.78)
Задав 7|| = Ю-3 мкс-1, 8vq = 6 см-1, А = 10, |Д)| = 0,5, получаем
^ew > 0,1 (см-мкс)-1.
6.3. Механизмы незатухающих пульсаций
излучения твердотельных лазеров
в режиме свободной генерации
В предыдущих параграфах настоящей главы были рассмотрены
два типа процессов, способных дестабилизировать режим работы
лазера: слабая периодическая модуляция параметров и
монотонное их изменение, благодаря которому мода достигает порога и

вступает в генерацию. Эффективность обоих методов имеет
убедительные экспериментальные подтвержения. Динамика лазера
при периодической модуляции потерь исследовалась еще в ранних
работах, например, [484-487]. Однако в режиме свободной
генерации контролируемые изменения параметров лазера отсутствуют
и возникает вопрос о механизмах паразитной модуляции.
Впервые гипотеза нестационарности параметров была
привлечена для объяснения пичкового характера излучения
двухуровневых парамагнитных мазеров [234, 289]. Мысль о том, что
пульсации в твердотельных лазерах обусловлены техническими
флуктуациями параметров, была высказана в [488]. Но
предположение о доминирующей роли флуктуации инверсии, создаваемых
накачкой, не подтвердились на опыте. Реалистичным оказался
другой подход, связывающий модуляцию потерь резонатора со
случайными перемещениями зеркал и с изменением температуры.
6.3.1. Природа пульсаций излучения двухуровневого
парамагнитного мазера. Особенностью такого мазера является
несовпадение во времени процессов накачки и излучения. Тем самым
предопределяется ограниченная длительность процесса излучения.
Анализ экспериментальных данных, имеющихся в работах
[489-493], позволяет выделить следующие характерные черты
процесса:
— амплитуда излучаемого сигнала осциллирует во времени,
— длительность излучения заметно превышает времена
релаксации Гг и Гс,
— по завершении процесса генерации активная среда остается
в инвертированном состоянии и может быть использована для
усиления.
Попытки объяснения пичкового характера излучения на основе
автономной теории мазера оказались безуспешными. При таком
подходе пульсации приписываются нутациям магнитного момента
активной среды [494-497] и остается непонятным, почему
длительность импульса намного превышает времена релаксации
намагниченности и поля, а также, каким образом среда по
завершении излучения остается в состоянии инверсии.
Все отмеченные особенности получают естественное
объяснение, если учесть в модели неавтономность мазера, вытекающую,
из применяемого для создания инверсии метода адиабатического
быстрого прохождения резонанса [498]. Начинается процесс с того,
что на парамагнетик накладывается магнитное поле,
соответствующее большой расстройке между частотами парамагнитного
резонанса и источника накачки. Далее магнитное поле монотонно
меняется таким образом, что частоты сближаются до совпадения
и вновь расходятся на расстояние, превышающее ширину линии
парамагнитного резонанса. Если процесс проведен за время,
меньшее времен релаксации, но адиабатически, то после прохождения
резонанса достигается инверсия населенностей (перемагничива-
ние).

По завершении адиабатического быстрого прохождения
источник накачки выключается. Магнитное же поле приходится
менять в обратном направлении, поскольку необходимо совместить
частоты Ц) и ис. По этой причине генерация идет в условиях
меняющейся расстройки, причем, как показал эксперимент [499],
скорость свипирования магнитного поля влияет на форму
излучаемого сигнала.
При выборе модели нужно принимать во внимание, что в
мазерах использовались парамагнетики с большими временами
релаксации и соотношение у± ^> *е зачастую не выполнялось. Поэтому,
строго говоря, использовать надо уравнения (3.81). Тот факт,
что весь процесс генерации занимает время, значительно
меньшее Т\, позволяет пренебречь релаксацией населенностей рабочих
уровней. По этой же причине представляется удобным
перенормировать переменные поля и поляризации следующим образом:
£т = у1/2£, Vm = 71/2V. Все это преобразует (3.81) в
d£m = Z(VmcosФ - £т), (6.79а)
dr
dVrn
dr
= п£т cos Ф - Vm, (6.796)
-£ = -Гт£тСозФ, (6.79в)
dФ £ V
^ = Лос(г) - (п|р. + ЗЦН) sin Ф. (6.79г)
от Ит 1т
На рис. 6.11 приведены результаты численного
интегрирования системы (6.79) при линейном законе свипирования Aqc =
= Л(0) — ubwt, где uBW = f^dua/dT. Решение для поля имеет
вид последовательности изолированных пичков. Каждый из них
сопровождается относительно большим сбросом инверсии. Однако
высокая скорость свипирования приводит к тому, что каждый
новый пичок излучается в условиях заметного превышения порога.
Принятые в расчетах и соответствующие экспериментальным
значения скорости свипирования не намного уступают критической
скорости адиабатической перестройки и™ = ТкС/С, которая в
данном случае порядка единицы.
В эксперименте генерация изолированных пичков
парамагнитными мазерами наблюдалась лишь однажды [492]. В остальных
случаях сигнал имел форму моноимпульса с модулированной
вершиной. Такая форма объясняется неоднородным уширением
линии парамагнитного резонанса в реальных условиях эксперимента.
В генерации одномоментно участвуют лишь те парамагнитные
ионы, которые имеют в этот момент времени близкие к шс
собственные частоты. В процессе свипирования они уступают место

другим ионам. Аналогия между свипированием и накачкой в эхом
аспекте очевидна.
В условиях неоднородного уширения разность населенностей
является функцией переменных т тл Ло, благодаря чему
dn дп дп
(6.80)
Подставив (6.80) в (6.79), замечаем, что член иВЧ1дп/дАъ
аналогичен члену А —та в уравнении (6.16). В самом грубом приближении
дп/дЛо ss по—та, где по — начальное значение та, благодаря этому
имеем взамен (6.79в)
дп
= -Teff(ra - "о) - ^т^тСОвФ.
Дополнительный член учитывает эффект "накачки" вследствие
свипирования, причем 7eff = f^duQ/dt = uBW.
О 100 200 300 400 500 z-yj 0 8 16 24 32
а б
Рис. 6.11. Примеры численных решений уравнений двухуровневого
парамагнитного мааера (6.79): начальная инверсии п(0) = 10; скорости свипирования
и.„ = Ю-2 (о) и 0,25 (б)

Задача свелась, как и в случае монотонно изменяющегося
параметра, к анализу переходных процессов в эквивалентном
генераторе с непрерывной накачкой. Для случая у± ~Э> х такой анализ
был сделан в § 6.2. Выводы относительно характера процесса
излучения качественно согласуются с экспериментальными
результатами. Находят естественное объяснение все особенности
парамагнитных мазеров, о которых шла речь выше. Скорость затухания
и частота пульсаций определяются скоростью свипирования.
Двухуровневые парамагнитные мазеры сегодня представляют
лишь исторический интерес. Тем не менее, осмысление природы
их пульсаций имело последствия и для динамики лазеров.
Принципиально то, что пульсации оказались технического, а не
естественного происхождения.
6.3.2. Колебания параметров лазера в условиях свободной
генерации. Выше было установлено, что периодическая модуляция
потерь резонатора является эффективным способом возбуждения
пульсаций излучения лазера, особенно вблизи частоты
релаксационных колебаний. Покажем теперь, что такая модуляция
может быть следствием монотонного изменения геометрии
резонатора или температуры активного элемента, которые сопровождают
неконтролируемым образом свободную генерацию.
Рассмотрим вначале лазер, торцы
активного элемента которого
параллельны внешним зеркалам
резонатора. Систему, имеющую несколько
паралельных частично отражающих
поверхностей, можно трактовать как
Рис. 6.12 Схема составного ре- совокупность связанных резонаторов,
зонатора лазера с движущейся Перемещение одних границ относи-
границей раздела сред теЛЬНО Других (рис. 6.12) ВИДОИЗМв-
няет систему и сказывается, в
частости, на ее потерях. Положение границ активного элемента влияет
на то, как распределяется энергия электромагнитного поля между
участками резонатора, занятыми активной средой и свободными
от нее [500]. Поскольку все положения границ, отличающиеся на
целое число полуволн, эквивалентны, при равномерном
поступательном движении их вдоль оси резонатора должны происходить
периодические колебания добротности и коэффициента
заполнения резонатора с периодом Г = A/2V^.fl, где VJ.efl — скорость
перемещения отражающей границы.
Модуляцию потерь при поступательном движении одной из
границ в составном резонаторе можно трактовать и как результат до-
плеровского сдвига частоты при отражении от этой границы. Бели
движется активный элемент, а зеркала неподвижны, то
собственные частоты можно считать постоянными. Отраженная от торца
активного элемента волна приобретает относительно прошедшей
доплеровский сдвиг частоты Лиц = 2u;V^fl/c. Благодаря этому в
резонаторе наряду с волной, имеющей частоту ш, присутствуют
Y w
СО
со + Дсор

также волны со сдвинутыми частотами и ± Alj^. Амплитуды
доплеровских компонент определяются коэффициентами
отражения от внутренних границ, а когда таких границ несколько, то и
условиями интерференции отраженных волн. С учетом
доплеровских компонент уравнения лазера приводятся к виду (6.2), причем
Q — ZWd/7||i а Aos8 может превышать френелевский коэффициент
отражения.
Доплеровская модуляция имеет место и в том случае, когда
активный элемент неподвижен, но движется зеркало резонатора.
Специфика этого варианта заключается в непостоянстве
собственных частот, которые следят за движением зеркала.
Частота модуляции потерь (доплеровский сдвиг) при
поступательном движении одной из отражающих границ становится
резонансной Ajd/тц = ^ii ПРИ условии
Vrefl = Vi = (А/4тг)^2Тцх(А - 1). (6.81)
Пример 6.1
Рубиновый лазер
А = 7 • Ю-5 см; А = 10; | Vi = 0,5 см/с.
7ц = Ю3 с"1; х = 107 с"1; |
Пример 6.2
Nd-.YAG-лазер
А = 10~4 см; А = 2; | V\ = 1 см/с.
71^2-ЮЗс-1; х=107с-1; |
В обычных условиях работы лазера движение отражающих
поверхностей вызывается случайными причинами. Под влиянием
внешних толчков в узлах установки возникают микровибрации.
Скорость движения поверхности вибрирующего элемента, конечно,
не остается постоянной, но достаточно ей на короткое время
оказаться близкой к резонансной скорости, как произойдет раскачка
интенсивных пульсаций.
Согласно результатам измерений, приведенным в [501],
мгновенная скорость движения вибрирующего зеркала лазера
достигает 0,2 см/с. Эта цифра несколько уступает оценочным значениям
резонансных скоростей, для достижения которых требуются
вибрации большей амплитуды. Эксперимент с Nd:YAG-na3epoM
показал, что увеличение амплитуды вибраций в несколько раз
приводит к резкому усилению пульсаций излучения.
Эффект периодической модуляции добротности резонатора
достигается также и в процессе монотонного изменения температуры
активного элемента, поскольку меняется показатель преломления
»?, а вместе с ним и оптическая длина Leff = Lbtj. Приравнивая

эффективную скорость удлинения резонатора Vrff = dLcg/dt =
= LBdr]/dt введенной выше величине Vi, находим скорость
нагрева, которая вызывает резонансную модуляцию потерь:
Подставляя в (6.82) значения LB = 10 см, V\ = 1 см/с, а также
drj/dT = 1,5 ■ Ю-5 К-1, что соответствует рубину [502], получаем
(dT/dt)i = 104 К/с. Такая скорость разогрева вполне реальна в
условиях импульсной накачки рубинового лазера.
Для того чтобы под влиянием резонансного возмущения
раскачались пульсации большой амплитуды, глубина модуляции потерь
должна удовлетворять неравенству /3\овв > /3^ш, обратному (6.9).
В отсутствие просветляющего покрытия коэффициент отражения
торца активного элемента составляет несколько процентов. Тот
же порядок величины имеет глубина кинематической или
температурной модуляции потерь, которая, следовательно, с большим
запасом превышает /3^.
Наиболее простым и действенным способом ослабления
паразитной модуляции добротности резонатора является наклон
торцов активного элемента в сочетании с их просветлением. При угле
наклона, превышающем угол расходимости пучка, отраженная от
торца волна полностью выводится из резонатора, а значение
теряемой при этом мощности не зависит от расположения активного
элемента. Если лазером генерируется гауссов пучок радиуса со, то
указанный критерий запишется в виде [1]
Unci > 01 = 2^-- (6-83)
6.3.3. Механизмы нестабильности, связанные со свипирова-
нием собственных частот лазерной системы. Наклоненный
активный элемент может выполнять функцию интерферометриче-
ского селектора продольных мод, свойства которого зависят от
^incl и Left- Изменение показателя преломления при нагреве
приводит к перемещению максимумов его пропускания относительно
собственных частот резонатора. Вибрация зеркал сопровождается
свипированием спектра мод относительно полос пропускания
селектора. Активный элемент перестает работать как
интерферометр при
Unci > #2 = у-. (6.84)
Как правило, а%/\Ьв ^ 1, благодаря чему #2 ^ "&\.
При выполнении неравенства (6.84) ни механические
вибрации, ни разогрев элементов лазера не приводят к модуляции
добротности его резонатора. Отсутствует она и в лазере с зеркалами

на торцах активного элемента. В этих случаях продолжают
действовать лишь механизмы, связанные со свипированием спектра
мод относительно линии усиления. Сделаем оценку, исходя из
выражения для частоты продольной моды vq = q/(2Left), в котором
Leff = L + Lb(t] — 1), a g = 2Lca/X — целое число. Для скорости
перестройки резонатора имеем
Vwm - -ж - -щглг- { ]
Бели перестройка осуществляется в результате движения зеркала,
то dLes/dt = Kefl и (6.85) переписывается как
Vrefl = ^XeffC^wi ieff ~> L'. (6.86)
Условие возбуждения интенсивных пульсаций представлено
неравенством (6.78). Для рубинового лазера (А = 7 • Ю-5 см, Leff =
= 100 см, UBW > Ю-2 (см-мке)-1 формула (6.86) дает V^efl >
> 100 см/с. Эта цифра намного превышает найденную выше
резонансную скорость V\ и заведомо не достигается при свободной
генерации.
Оценим темп разогрева активного элемента, соответствующий
критической скорости перестройки лазера. Обратившись к
соотношению (6.82), связывающему темп нагрева со скоростью
перестройки частоты,
dT = V =A£eff V™ Г687^
dt LBdrj/dT U drj/dT' { '
и к неравенству (6.78), приходим к условию возбуждения
интенсивных пульсаций для рубинового лазера dT/dt > 105 К/с, если
считать Leff = LBT] = 10 см. Полученная цифра несколько
превышает скорость разогрева рубина в условиях импульсной накачки
лазера.
Температура кристалла влияет не только на показатель
преломления его матрицы, но также и на положение спектральных
линий примесных ионов. Скорость температурного дрейфа линии
dv0 dT/dt
"а = ~drJdV0 (6-88)
зависит от параметра dT/dvo, который для рубина при комнатной
температуре равен 8 К/см-1 [502]. Критической скорости дрейфа,
согласно (6.78), отвечает скорость нагрева dT/dt w 105 К/с.
Отсюда можно сделать вывод, что температурный дрейф не должен
приводить к интенсивным пульсациям излучения лазера. Однако
пульсации умеренной амплитуды таким путем возбуждаться
могут. Этот вывод согласуется с результатами численного
исследования модели с монотонным изменением усиления одной из мод,

приведенными в работе [503], в которой был предложен дрейфовый
механизм пичковой генерации.
В многомодовом лазере смена одних мод другими может
проходить на фоне непрекращающейся генерации. Поэтому
переходные процессы, возрождающиеся каждый раз, когда очередная мода
вступает в генерацию, накладываются друг на друга.
Нестационарный процесс в целом воспринимается как незатухающий, хотя
он состоит из серий затухающих переходных пульсаций.
Численные расчеты, подтверждающие сказанное, были выполнены в
работах [501, 504] на основе многомодовых уравнений баланса (4.10).
6.3.4. Роль пространственных эффектов. В п. 4.1.3
приведено доказательство теоремы, согласно которой система
уравнений баланса независимо от числа мод имеет единственное
стационарное решение, которое глобально устойчиво. Это означает,
что пространственная неоднородность инверсии сама по себе не
может рассматриваться как причина незатухающих пульсаций в
лазере. Однако мелкомасштабная порядка длины волны
структура, возникающая в результате неоднородного высвечивания
активной среды генерируемым полем, способна повысить
чувствительность лазера к возмущениям. На внушительном
экспериментальном материале, отчасти приведенном в п. 1.2.3, показано,
что пичковые режимы, особенно нерегулярные, ассоциируются,
как правило, с малым числом одновременно генерирующихся мод.
Любые мероприятия, предотвращающие неоднородность
динамического насыщения активной среды, способствуют стабилизации
режима излучения. Эти соображения позволяют утверждать, что
критерии типа (6.78), учитывающие дискриминацию мод только
по их отстройке от центра линии, дают лишь верхнюю границу
критических скоростей перестройки лазера. В реальных условиях
пространственная неоднородность может заметно снизить
значение критической скорости.
Изложенные представления о природе пичковой генерации
полностью соответствуют Nd:YAG-na3epy. Такие меры, как
повышение жесткости конструкции, стабилизация теплового режима,
наклон торцов активного элемента и их просветление, позволяют
полностью избавиться от пичков в излучении. В рубиновом
лазере к этому необходимо присоединить мероприятия по
сглаживанию продольной неоднородности инверсии. Экспериментальные
факты, лежащие в основе данных утверждений, были приведены
в п. 1.2.3.
Однако причины пульсаций излучения твердотельных лазеров
не исчерпываются только нестабильностью параметров. На второе
место после них следует поставить нелинейность матрицы
активного элемента, о чем речь пойдет в следующей главе. Здесь же
кроются причины пичковой генерации полупроводниковых
лазеров.
Следует, сказать, что острота проблемы пичковой генерации
ушла в историю вместе с лазерами первого поколения. Совре-

менные источники оптической накачки твердотельных лазеров, в
отличие от газоразрядных ламп, обладают узким спектром,
согласованным с линиями поглощения активных элементов. Поэтому
они не создают тех избыточных тепловых и механических
нагрузок на элементах конструкции, которыми грешили
газоразрядные лампы. Тем самым, были устранены причины
возникновения интенсивных технических флуктуации параметров, которые,
собственно, и приводят к пичковой генерации. К тому же, отпала
необходимость в спектральной фильтрации света накачки для
профилактики наведенного насыщающегося поглощения в матрице
активного элемента. Однако приобретенный в борьбе с
самопроизвольным возникновением пичков опыт следует учитывать в тех
случаях, когда речь идет о достижений естественного уровня
флуктуации интенсивности излучения твердотельных лазеров.
Раздел динамики, посвященный лазерам с модуляцией
параметров, весьма обширен и освещен в данной главе не всеобъемлюще.
Остались за кадром, в частности, вопросы активной
синхронизации мод и формирования ультракоротких импульсов, равно как
и примыкающие проблемы отклика лазера на периодическую
модуляцию параметров с частотами порядка межмодовых биений.
Между тем, здесь также имеют место сложные режимы, включая
хаотические, разнообразные сценарии бифуркационной смены
режимов при изменении управляющих параметров, мультистабиль-
ность и гистерезис.

Глава 7
Лазеры с нелинейными параметрами
Помимо активной модуляции параметров существует еще один
эффективный способ воздействия на динамику лазера. Он основан
на применении элементов, оптические свойства которых меняются
под действием излучения. Такие элементы создают зависимость
потерь резонатора или усиления активной среды от генерируемой
мощности или, как иногда говорят, осуществляют пассивную
модуляцию параметра. Уменьшение потерь или увеличение усиления
с ростом мощности приводит к снижению порога устойчивости
лазера и усилению пульсаций. В противном случае процесс
генерации стабилизируется. Например, колебательный переходный
процесс можно превратить в апериодический.
Нелинейность сред, заполняющих резонатор лазера, в ряде
случаев оказывает более существенное влияние на динамику, чем
нестационарность параметров. Действием этого механизма
объясняется, например, режим незатухающих пульсаций излучения
лазера на неодимовом стекле, зависящий от спектрального состава
накачки. В полупроводниковых лазерах тепловые и механические
нестабильности вообще не оказывают влияния на динамику, и
нелинейность остается единственной мыслимой причиной
наблюдаемых быстрых пульсаций.
7.1. Лазер с олтоэлектронной обратной связью
Впервые автоматическое управление потерями резонатора было
применено для устранения пичков в излучении рубинового
лазера [505-508]. В качестве управляющего элемента
использовалась электрооптическая ячейка Керра в комбинации с
поляризатором. Управляющее напряжение на электроды ячейки поступает
через усилитель с фотоэлемента, перехватывающего часть
излучаемой лазером мощности. Оно складывается с постоянным
напряжением, задающим положение рабочей точки на характеристике
модулятора.
Цепочка: фотоэлемент-усилитель-устройство, регулирующее
добротность резонатора или мощность источника накачки,
получила название олтоэлектронной обратной связи (ранее
использовался термин «внешняя дополнительная обратная связь»). В
зависимости от знака управляющего напряжения дополнительная
обратная связь может быть положительной (потери в резонаторе
уменьшаются с ростом излучаемой мощности) или отрицатель-

ной. При наличии отрицательной обратной связи без
запаздывания мощность излучения стабилизируется. Наличие
запаздывания может привести к усилению пульсаций. Режим
незатухающих пульсаций присущ лазеру с положительной обратной связью
[507].
Оптоэлектронная обратная связь как средство воздействия на
поведение (через электрическую цепь накачки) применяется в
полупроводниковых лазерах [509].
7.1.1. Одномодовый лазер с автоматически регулируемыми
потерями резонатора. Зависимость потерь резонатора от
мощности излучения удобно записать в виде к = *ь[1 + /?(т)], считая
/3(т) > 0. Обобщение уравнений баланса (4.1) на
рассматриваемый случай [456, 507] приводит к системе:
^ = Gm[n - 1 - /3(m)], (7.1а)
и 71
— = А-п(т+1). (7.16)
ат
Общее число положений равновесия системы (7.1) зависит от
вида функций Р(т). Одно из них (та = А, тп = 0) тривиально.
Его неустойчивость наступает при выполнении условия
самовозбуждения
А>1 + /?(0). (7.2)
Координаты остальных положений равновесия (тп, та)
отыскиваются путем решения системы алгебраических уравнений:
та = 1 + /3(т), та = А/(т + 1). (7.3)
Уравнения (7.1), будучи линеаризованными в окрестности
нетривиальной особой точки, приобретают вид
^^ = Gm(8n - Р' 8т), Щ^- = -та 8т(т + 1) 8п, (7.4)
ат ат
где 8т = т — Ш, 8п = п — п, Р' = dp/dm, причем производная
берется в точке т = т. Системе (7.4) отвечают характеристические
корни:
\2 = -\{GmP' + m+\)±
(I п 11/2
±l-(GmP' + m+l)2-Gm[(m + l)P' + nU . (7.5)
Апериодический переходный процесс реализуется в том
случае, если особая точка является устойчивым узлом, т.е.
характеристические корни (7.5) действительны и отрицательны. Условие

действительности корней вследствие G ^> 1 можно свести к
неравенству (Gmfi')2 > 4Gmn. Отрицательными корни будут при
/3' > 0. Оба неравенства объединяются в одно,
\Gm)
(7.6)
выполнение которого означает, что исследуемая особая точка
является устойчивым узлом.
В лазере, удовлетворяющем условию (7.6), с увеличением
мощности потери растут, т.е. дополнительная обратная связь
отрицательна. О структуре
фазовой плоскости позволяет судить
рис. 7.1.
Для нахождения
стационарных значений интенсивности
излучения и инверсии необходимо
знать вид функции /3(т). Но если
не выходить за пределы
неравенства |/3'| <С 1, которое не
противоречит (7.6), то отличие от (3.15)
выражается малым членом
порядка /3'. В этом случае
тк А— 1, пй1
и условие отсутствия пульсаций
(7.6) переходит в
/3'>I3'CI = 2[G(A-1)]-1'2. (7.7)
В лазерах с положительной
внешней обратной связью
варианты поведения более разнообразны. Безынерционное снижение
потерь резонатора с ростом интенсивности излучения уменьшает
устойчивость положений равновесия. Общее число последних в
таких системах зависит от вида кривой п = 1 + /3(т), играюшей
роль изоклины с горизонтальными касательными.
Генерация невозможна, если изоклины (7.3) не пересекаются.
При наличии одного пересечения нетривиальное стационарное
решение единственно. Если оно устойчиво, ему отвечает особая
точка типа фокуса. Для того чтобы фокус стал неустойчивым,
необходимо усилить обратную связь, потребовав выполнения не-
Ап
Рис. 7.1. Фазовый портрет лазера
с отрицательной обратной связью:
штриховыми линиями изображены
изоклины п = 1 + Р(гп) с
горизонтальными и m = А/п — 1 с
вертикальными касательными
равенства
GmP' + m + l <0.
(7.8)
Отсюда вытекает необходимое условие /3' < 0. Неустойчивый
фокус охватывается устойчивым предельным циклом, показанным
на рис. 1.1а. Это значит, что мощность излучения лазера
испытывает периодические колебания.

Необходимо отметить, что при наличии в верхней
полуплоскости одной особой точки или любого нечетного числа таких точек,
выполняется условие самовозбуждения (7.2). По-иному обстоит
дело, когда число особых точек в верхней полуплоскости четно.
Неравенство (7.2) остается невыполненным и генерация может быть
возбуждена только жестким образом, например при инжекции сиг-
1 an 1 an
в i
Рис. 7.2. Варианты фазовой плоскости лазера с дополнительной положительной
обратной связью. Жирными линиями выделены особые траектории:
штриховыми — предельные циклы, сплошными — сепаратриссы; а — система с мягким
возбуждением, б— система с жестким возбуждением и устойчивой особой точкой
Ь, в — система, не имеющая устойчивых нетривиальных положений равновесия,
но обладающая устойчивым предельным циклом, г — система, не имеющая ии
устойчивых нетривиальных положений равновесия, ни устойчивых циклов
нала извне. Ниже ограничимся обсуждением свойств системы с
двумя нетривиальными положениями равновесия.
Тип каждой из особых точек установить нетрудно. Точка о
является устойчивым узлом. В точке с характеристические корни
(7.5) действительны и противоположны по знаку, что является
признаком седла. Все сказанное о характере особенности в точке

b и ее устойчивости остается в силе. Фазовый портрет системы
для случая, когда Ь является устойчивым фокусом, представлен на
рис. 7.25. Одна из сепаратрисе, выходящих из седла, стремится
к точке ft, а другая — ко. Когда точка ft неустойчива, система
обладает предельным циклом. Устойчивость цикла определяется
по знаку выражения
°о = Кг (™с, йс) + Q'm (mc, пс), (7.9)
в котором через Pm(jnc, пс) и Qm(Tfic, пс) обозначены правые части
уравнений (7.1). Штрих означает дифференцирование по той из
переменных, которая указана внизу. Согласно [211] предельный
цикл устойчив, если gq < 0.
Подставляя в (7.9) правые части уравнений (7.1), находим
<?о = -[Gmc/3'(mc) + тс + 1].
В зависимости от того, какие значения принимают величины тпс
и /З'(тпс), реализуется та или иная возможность. Бесспорным
фактом является лишь то, что малым тпс отвечает устойчивый цикл.
Фазовый портрет лазера с жестким возбуждением и устойчивым
предельным циклом, представлен на рис. 7.2в. Та из сепаратрисе,
которая на рис. 7.2бстремится к точке ft, здесь имеет своим
пределом цикл. Фазовый портрет системы, не обладающей устойчивым
предельным циклом и устойчивым положением равновесия в
верхней полуплоскости, показан на рис. 7.2г. Все неособые фазовые
траектории заканчиваются в точке о. Из этого следует
невозможность длительной генерации: будучи инициированным с помощью
внешнего сигнала, лазер излучит мощный импульс и вернется в
состояние покоя.
7.1.2. Многомодовый лазер с селективной и комбинированной
обратной связью по производной. Метод оптоэлектронной
обратной связи получил свое дальнейшее развитие в системах
селективной и комбинированной обратной связи по производной. То
что регулирование параметра лазера осуществляется не по
интенсивности выходного сигнала, а по его производной, облегчает
колебательный анализ, поскольку, меняя топологию фазового
пространства в окрестности особых точек, обратная связь по
производной не сказывается на положении этих точек. Но более всего
интересна возможность селективного воздействия на поведение
лазера через выбранную моду, интенсивность которой используется
в цепи обратной связи. Селективную обратную связь можно
комбинировать со связью по полной интенсивности излучения лазера.
Достоинства такой системы иллюстрирует пример сочетания
отрицательной обратной связи по полной интенсивности с
положительной обратной связью по одной из мод, рассматриваемый ниже
редставление об устройстве лазера с комбинированной
обратной связью дает его упрощенная схема на рис. 7.3. Кристалл
реп

Nd:YAG накачивается в направлении оси излучением лазерного
диода. Выходное излучение делится на два пучка, каждый из
которых направляется на свой фотодиод. Но один из пучков
предварительно пропускается через интерферометр Фабри-Перо с целью
выделения выбранной продольной моды. В электрической части
3 4 5 67 8
10
pdKrzoaV^
sr
Иг>
10
12
13
Рис. 7.3. Схема многомодового лазера с комбинированной обратной связью: 1 —
лазерный диод; 2 — оптика, формирующая пучок накачки; S — поляризатор
!брюстеровскан пластинка); 4 — диафрагма; 5 — коллимируюшая линза; 6 —
>илмр на длину волны 1,06 мкм; 7 — полуволновая пластинка; 8 — делитель
пучка; 9 — интерферометр Фабри-Перо; 10 — фотодиод; 11 —
дифференциальный усилитель; 12 — источник питания лазерного диода; IS — спевтроанали-
автор [167]
цепи обратной связи производится вычитание выходных сигналов
фотодиодов, взятых с определенным весом, дифференцирование и
усиление разностного сигнала, который контролирует работу блока
питания лазерного диода, а значит и мощность накачки
твердотельного лазера.
Уравнения рассматриваемого лазера с комбинированной
обратной связью,
дтпк .
-g— = Gm-k Ск{п0 + пк)-1-Рк
7F = A°[
1 + /JpumpCOS {Пт)
N
+ ^total / v
drrij t drrtj
i=i
dr
dr
ЛГ \ x (7-10)
-n0 ( 1 + Y^,£jmj I - ^2^iminii
dnk
dr
= ~Пк
- -СкТПкПо,

отличаются от (4.36) тем, что параметр накачки А0 заменяется на
выражение
г п /*-> \i «v< v~* dm; атПх
COS(fiT)J + Tiotal 2^ -jf + Ti-foT
i=i
где Ttotai — коэффициент обратной связи по полной
интенсивности, Ti — коэффициент обратной связи по интенсивности г-й моды.
Слабая синусоидальная модуляция накачки вводится в последнее
выражение для нахождения передаточных функций.
Система уравнений (7.10) исследовалась численными
методами. Приведенные ниже результаты получены в пренебрежении
дисперсией усиления (£,• = 1), и вся дискриминация мод
перенесена на потери, причем предполагается, что избыточные потери j3j
линейно нарастают с номером моды:
Pi = №-!)•
При слабой дискриминации мод эти упрощения не сказываются
качественно на результатах анализа.
Характер зависимости декрементов релаксационных
колебаний лазера от одного из коэффициентов обратной связи (в данном
случае это Т4) при фиксированном отрицательном значении Ttotal
иллюстрирует рис. 7.4. Ось абсцисс делится на три области двумя
бифуркационными точками. В области I стационарное решение
Рис. 7.4 Бифуркационная диаграмма лазера с комбинированной обратной связью
по производной: G = 7 ■ 103; А = 2; /3 = 0,03; rtotai = -0,005 [167]
устойчиво. Однако по мере приближения к правой границе области
резонансный пик на релаксационной частоте Q± становится уже,
что видно на рис. 7.5а. Рост этого пика, хотя он и имеет место, на
рисунке не отражен, поскольку передаточные функции отнорми-
рованы на их максимальные значения. Следует особо
подчеркнуть, что введение положительной селективной обратной связи
делает низкочастотные релаксационные колебания нескомпенси-
рованными и их наиболее удобно наблюдать в передаточной
функции полной интенсивности, т.е. там, где без селективной обратной

связи резонансные особенности отсутствуют. Эффект сужения и
роста амплитуды резонансного пика при включении селективной
обратной связи наблюдается и в спектре флуктуации полной
интенсивности моды, и это обнаружено в эксперименте с Nd:YAG-
лазером [167].
±
,-к.
20 30 О j 20 | 30 | О
Рис. 7.5. Передаточная функция Килг!^) при G = 7-10 ; А = 2; /3 = 0,003 для
разных значений параметров обратной связи Ttot&i иТ,: а — Ttotai = —0,015;
7i = Г2 = Г3 = 0, ТА = 0,010 (1); 0,030 (2); 0,060 (3); 0,075 {4); б— rt„tii = 0,
Г, = 0 (1); rtotii = -0,015; TV = Г3 = Г4 = 0, Г2 = 0,039 (2); Г1о1л1 = -0,015;
П = Г2 = Г, = 0, Гз = 0,041 (5); Г1ош = -0,015; TV = Г2 = Г3 = 0,
Г4= 0,075 (4) [167]
Переход в область II знаменуется сменой знака декремента в4,
означающей потерю устойчивости и возникновение режима
периодических пульсаций интенсивности на частоте, близкой к П±.
Глубина модуляции растет по мере увеличения Т^} достигая 100%
вблизи правой границы области II.
В области III незатухающими оказываются и синфазные
релаксационные колебания с частотой Qi, причем в глубине этой
области пульсации становятся хаотическими. Тем самым, по мере
увеличения коэффициента селективной обратной связи Tj в
системе реализуется следующий сценарий: субкритическая хопфов-
ская бифуркация — регулярные пульсации — переход к хаосу
через квазипериодичность.
Положения бифуркационных точек зависят от выбранного
значения параметра обратной связи Ttotai- Если Ttotai = 0, то
области II не существует; подъем и сужение резонансного пика имеет
место только при малых значениях Т^. Дальнейшее увеличение
этого параметра приводит к одновременному возбуждению
незатухающих пульсаций на частотах Q± и £1\. В этом случае
реализуется другой сценарий, согласно которому хаотические
пульсации вблизи наивысшей релаксационной частоты устанавливаются
непосредственно после перехода порога хопфовской бифуркации,
которая теперь является суперкритической.
Для осуществления положительной обратной связи в
рассмотренном примере была выбрана слабейшая из четырех
возбуждающихся мод лазера, интенсивность которой мы обозначили как т4.
При этом наибольшим изменениям подвергается релаксационное

колебание с самой низкой частотой £1\. Бели переключить вход
цепи обратной связи на любую другую моду, кроме mi, то
выделенным окажется релаксационное колебание с частотой fij (рис.7.5б).
Тем самым, подтверждается наличие определенной связи между
выбранной модой резонатора и конкретным релаксационным
колебанием.
7.2. Лазер с нелинейным поглотителем
Более широкое распространение, нежели оптоэлектронная
обратная связь, получили другие способы воздействия на динамику
генерации автономной лазерной системы — способы, основанные
на использовании нелинейных свойств материальных сред. Для
этих целей пригодны нелинейности разных типов, но много чаще
других в этой роли выступают насыщающиеся поглотители.
Схема лазера с дополнительным нелинейным элементом
довольно проста. Такой элемент (нелинейный фильтр) помещается
внутри резонатора соосно с активным элементом. Это приводит
к снижению устойчивости стационарной генерации, а при
достаточно высокой плотности молекул поглотителя — к установлению
незатухающих пульсаций. Подобный эффект имеет место в
твердотельных лазерах с нелинейными фильтрами на основе
органических красителей [510], а также в молекулярных газовых
лазерах с нелинейно поглощающими газовыми ячейками [511 - 514]. В
последних гораздо проще поддерживать режим непрерывной
генерации и поэтому практически все экспериментальные
исследования сложных динамических процессов были выполнены на СОг-
лазерах с различными нелинейными фильтрами [515-526].
Для стабилизации мощности излучения лазера необходим
нелинейный элемент, потери в котором растут с увеличением
генерируемой мощности [510, 527, 528]. Примером такой среды служит
раствор фталоцианина цинка, нелинейность которого обусловлена
поглощением из возбужденных состояний молекул фталоцианина.
Внесение кюветы с раствором в резонатор рубинового лазера
приводит к заметному сглаживанию пульсаций. Одновременно
уменьшается общая расходимость излучения, а распределение его по
сечению пучка делается более равномерным. Нелинейный рост
потерь в среде обеспечивают также процессы вынужденного
рассеяния и преобразования излучения во вторую гармонику.
7.2.1. Балансная двухуровневая модель лазера с нелинейный
фильтром; стационарные состояния и их устойчивость.
Обратимся к наиболее простой модели лазера с нелинейным фильтром
[529, 530]. Будем считать, что поле излучения пространственно
однородно и в активном элементе и в нелинейном фильтре, хотя его
интенсивность в этих двух объемах может не совпадать.
Поглощающая среда по своему химическому составу может быть такой же,
как активная, или отличаться от нее — важно лишь, что частоты

рабочих переходов в обеих средах совмещены, и эти среды можно
считать двухуровневыми. Быстрая релаксация поляризации
позволяет прибегнуть к адиабатическому исключению
соответствующих переменных и оперировать с системой уравнений баланса:
-Р- = Gm[n + па - 1), (7.11а)
ат
пп
— = А-п(тп + 1), (7.116)
ат
—т^- = 8АЛ - пл(ртп + 8). (7.11в)
ат
Величины, так или иначе имеющие отношение к нелинейному
фильтру, отмечены индексом а. Уравнения (7.11) являются
обобщением системы (4.9). Безразмерные обозначения введены
следующим образом:
r_7|,t, m 7(| M, n-x7V, 6-^, Р-Вд(г)|а.
(7.12)
Будем ниже считать А величиной положительной, тогда как Ал
может иметь, в принципе, любой знак.
Уравнения (7.11) справедливы как для сред с простой, так
и сложной, включающей множество подуровней, энергетической
структурой, если только скорость установления квазиравновесия
в пределах энергетического уровня велика. Последнее означает
возможность использования балансных уравнений типа (7.11) для
анализа процессов в молекулярных газовых лазерах с
газообразными же нелинейными фильтрами.
Система (7.11) обладает тремя положениями равновесия:
тривиальным
т0 = 0, по = А, идо = Ал (7.13)
и генерационными
Ш± = ^\А-1 + -р{Ай-1)
-ft
А - 1 + -(Ла - 1)1 +4-(Л + Л>-1)|. (7-14)
П~1 + т' П*~1 + тпр/8-
Физический смысл имеют те из них, которым отвечают
действительные неотрицательные значения тп. Бели условие
самовозбуждения
А + Ла - 1 > 0 (7.15)

выполнено, т.е. лазер возбуждается мягко, то имеется два
положения равновесия: tuq и тп+. Первое из них неустойчиво, тогда
как устойчивость второго предстоит исследовать. При выполнении
неравенства, обратного (7.15), лазер может возбуждаться только
жестким образом. Число положений равновесия в этом случае
равно трем.
Область жесткого возбуждения на плоскости параметров А, Ал
отделена от области, в которой генерация вообще невозможна,
граничной кривой
V-
6 Л2 8
1 + -(Л»-1) + А-(А + Ал-1) = 0,
(7.16)
Р J Р
а от области мягкого возбуждения — пороговой прямой
А + А& - 1 = 0. (7.17)
Обе эти линии показаны на рис. 7.6а. Точка их касания имеет
координаты
1 - Чр
Ал =
1 - 6/р1
Ап = -
1 - 6/р
(7.18)
Поскольку А > 1, из (7.18) вытекает следующее необходимое
условие существования области с жестким возбуждением генерации:
р > 6. (7.19)
Иногда в качестве параметров задачи удобнее использовать не Л и
мв
жв
iu-a/рг1 я
Рис. 7.6. Диаграмма стационарных состояний лазера с насыщающимся поглоти-
телем: а — на плоскости параметров А, А* и б — на плоскости парамтров n, m
(1 — граничная кривая, 2 — пороговая кривая, разделяющая области с мягким
(М) и жестким (Ж) возбуждением (В) генерации)
А&1 а стационарные значения тп и п. В плоскости тп п пороговая
прямая (7.17) выглядит как

а граничная кривая (7.16) — как
т = пц = й(1 - 6/р) - 1. (7.21)
Разбиение плоскости пт на области с разным характером
возбуждения генерации показано на рис. 7.65. Стационарные решения
т+ располагаются над прямой (7.21), решения т_ — под ней.
При п < 1 генерация невозможна.
Линеаризация уравнений (7.11) вблизи любого из
нетривиальных положений равновесия приводит к кубичному
характеристическому уравнению А3 + аг\2 + а2Х + оз = 0 с коэффициентами
аг = Ci+C2, о2 = CiCj+GfA+JDa), о3 = G{C1D2+C2D1),
(7.22)
где
Ci = ro + 1, C2 = pm + S, Di = mn, D2 = рт&па. (7.23)
По критерию Рауса-Гурвица неустойчивость положения
равновесия наступает при выполнении любого из двух неравенств:
оз < 0, Oia2 - a3 < 0.
Переписав их в виде
CiD2 + C2JDi<0> (7.24)
СгС2 (Ci + С2) + G(CiA + C2D2) < 0 (7.25)
и помня, что С\ > 0, С2 > 0, .Di > 0, находим необходимое
условие неустойчивости
Аа < 0. (7.26)
Оно означает, что только поглощающая среда может сделать
стационарную генерацию неустойчивой.
Неравенство (7.24) с помощью соотношений (7.23) и
п + п& = 1 (7.27)
преобразуется к виду
т < mi. (7.28)
Последнее означает абсолютную неустойчивость стационарных
решений т_.
Обратимся теперь к неравенству (7.25). Одно из необходимых
условий его выполнения — это условие (7.27). Другое условие
следует из требования отрицательности суммы C\D\ + C2D2. В
развернутом виде оно выглядит как
m[n(l - р2) + р2] + тг(1 - рб) + р6<0. (7.29)
Кривая
— _ п{р6-\)-р8
7i(l - р2) + р2

выделяет из плоскости тп область абсолютно устойчивой
генерации. В случае р < S, когда возможно только мягкое
возбуждение, эта область расположена над кривой (7.30). Бели к тому же
рб < 1, то стационарная генерация устойчива при любых
значениях параметров. В обратном случае р > 8, область абсолютной
устойчивости располагается под кривой (7.30), но над т = т,\.
Достаточное условие неустойчивости (7.25) в развернутом виде
выглядит следующим образом:
(т+ 1)(рШ+ 8)(Ш+ 1 + ртп + S) +
+Gm[n(m + 1) + р{\ - п)(ртп + 5)] < 0. (7.31)
Ограничивающая неустойчивую область кривая
_ _ Gpm(pm + S) + (m + 1){рШ+ 6)(тп+ 1 + pm + S)
П ~ Gm[m(p* -1) + р5-1] (<6)
довольно сложна. Однако асимптотическое поведение при п —> оо
выяснить нетрудно. Асимптотами являются прямые:
Ш = 0, Ш = Gp_1(p — 1)п, при р > 1, (7.33а)
m = 0, тп=(р8- 1)/(1 - р2), при р < 1. (7.336)
При отображении плоскости тп на плоскость ААЛ кривая
(7.30) переходит в прямую
А + Р8АЛ = 0. (7.34)
Различные варианты диаграмм устойчивости как в одном, так
и в другом представлении, приведены на рис. 7.7.
В конкретных предельных случаях, представляющих
практический интерес, общие критерии устойчивости удается заметно
упростить.
1. р/5 ^> 1. Для стационарного состояния справедливы
приближенные формулы
S А
т = А — 1, п = 1, па = - а , (7.35)
О JT. л.
которые следуют непосредственно из (7.14). Неравенство (7.31)
при дополнительном условии я<5|Аа| >> А приобретает вид
\Аа\>-^А{А-1). (7.36)
Если обратиться к примеру лазера на рубине с раствором фта-
лоцианина ванадила в метаноле в качестве нелинейного фильтра,
то цифры здесь таковы [531, 532]: 5 = 103 (7ц и Ю3 с-1, 7|| ~
и 106 с-1), р и 104, т.е. р/6 » 10. Задавшись G = 105 и А = 10,
получаем из (7.36) условие неустойчивости |Аа| > Ю-2.

2. p/S <C 1. Стационарный режим характеризуется
соотношениями
_ А - 1-К| _
т= 1 + щ ' П=1 + "А*Ь
п,
-АЧ * 1 + |Аа| у
(7.37)
(l-l/pZ)"1 (1_6/р)-1
Рис. 7.7. Диаграммы устойчивости стационарных решений системы (7.10):
а, г— 1 < р < 8; б, д— р < 1, рб > 1; в, е— р> S (1 — граничная кривая; 2 —
пороговая кривая; S — граница области абсолютной устойчивости (наклонная
штриховка); 4 — граница неустойчивой области (вертикальная штриховка))

Его неустойчивость наступает при условии
W>£a4t (7'38)
Подставляя сюда значения G = 105, р = 104, 8 = 105, что
соответствует 7|| = Ю8 с-1 [533, 534], находим плотность
нелинейного фильтра, при которой стационарная генерация становится
неустойчивой (|Аа| > Ю-4).
3. р/8 и 1. Здесь
т = л-1-К|, ■ = :г^у, *. = sqtp (™9>
и, поскольку в (7.31) можно пренебречь вторым слагаемым,
критерий неустойчивости записывается как
Р8\Аа\ > А. (7.40)
Приближенные значения корней характеристического
уравнения легко находятся, если два из них — комплексные с
преобладающей мнимой частью. В этом случае
^i,2~ —{o,ia2 -а3)/(2а2)± iy/a?, А3 «-а3/а2. (7.41)
Переход границы <zi<Z2 = а3 означает, следовательно, хопфовскую
бифуркацию (суперкритического типа).
7.2.2. Нелинейные пульсации в лазере с насыщающимся
поглотителем. В случае однокомпонентного рабочего вещества
характер особых точек однозначно определяет глобальную структуру
фазового пространства лазера. При наличии нелинейного
фильтра дело не всегда обстоит столь просто. Убедиться в этом можно
на примере системы с р/8 ^> 1. Наличие малых параметров 8/р
и 1/G позволяет разбить решение уравнений (7.11) на ряд этапов
[289,535].
Этап накачки характеризуется столь малой интенсивностью
излучения (т < 8/р), что индуцированные переходы не
оказывают влияния на скорости изменения населенностей ни в
активной среде, ни в нелинейном фильтре. Здесь справедливы
уравнения , ,
^ = А-щ ^ = 8{Ай-пй), (7.42)
которые следуют из (7.11) при т—0.
Отвечающие этапу накачки участки фазовых траекторий
располагаются в плоскости п па. Их аналитическим выражением
является общий интеграл системы (7.41):
Ал-пл (А-п\Ь
где 7ii, ftai — начальные значения.

Выше границы самовозбуждения (прямая п + па = 1)
движение по траекториям (7.43) неустойчиво. Поэтому участки кривых,
располагающиеся в этой области, даны на рис. 7.8 штриховыми
линиями.
За границей самовозбуждения флуктуации переводят
изображающую точку на одну из траекторий, удаляющихся от плоскости
ппл. Уравнения (7.42), а следовательно и (7.43) остаются, однако,
справедливыми до тех пор, пока интенсивность не достигнет зна-
Ив
Па
X
V
ч
Рис. 7.8. Ход фазовых траектории на этапе накачки при <5<1(а);<5>1(б);
* » 1 (в)
чения m-i к, 5/р. За это время инверсия успевает вырасти до
величины 7i2, оценить которую можно с помощью формулы (3.29):
т/ = п2 — 1 — па
>
l-|4J)ln
7712
ТП„
1/2
(7.44)
Насыщение нелинейного фильтра происходит при интенсив-
ностях 5/р < 7П < А — 1. Индуцированное высвечивание активной
среды по-прежнему мало и в силу непродолжительности этапа
насыщения фильтра можно считать п = Пг. Этот этап описывается
уравнениями
dm
= G77l(n2 + гга — 1),
dn„
—рПцТП.
dr v"' * "" '" dT
Интегрируя их в пределах
5/р <m<A — l, па2 < na < па,
получаем
, пЛ пй (А - 1)р
In = 1 + — ,
Па2 П&2 СхПа2
(7.45)
с учетом того что р/5 > 1 и иг - 1 = — п^. Насыщение фильтра
будет полным (па/п^ -С l)i если (А — l)p/G >• |Ла|. Это условие
следует из (7.45) и далее будет считаться выполненным.

Этап излучения характеризуется высокой (т > А — 1)
интенсивностью поля и полным насыщением нелинейного фильтра. Он
описывается системой уравнений:
dm
-г— = Gm(n - 1),
ат
обладающей общим интегралом
dn
1^
—тпп,
ТП — 7712
= G ( 712 — П — In ).
(7.46)
К окончанию этого этапа инверсия спадает до величины п3,
которую можно найти, положив в (7.46) тз = т^'
п2 — пз = In —. (7.47)
Значение п = п^ является начальным для следующего этапа
накачки. Сшивая найденные отрезки фазовой траектории, находим
ее целиком. Проекция фазовых траекторий на плоскость ппл
приведена на рис. 7.9.
Теперь выясним условия
существования траекторий, не
стремящихся к стационарным решениям.
Для упрощения задачи будем
считать, что движение изображающей
точки по кривой (7.43) происходит
только до пересечения границы
самовозбуждения. Воспользовавшись
Тем, ЧТО 71а2 = 1 — 7l2, ttal = О, И
введя обозначения
ц = 1 - Til, J/2 = П2 — 1,
запишем (7.43) в форме
(7.48)
Это уравнение осуществляет преобразование точек множества х\
в множество т/2-
Учтем далее, что точки пз и ni принадлежат одному множеству,
и запишем (7.47) в виде
ln(l-a;i) + ii = ln(l + i/2)-i/2. (7.49)
Последнее уравнение осуществляет преобразование множества уг
в множество х\.
Уравнению (7.49) удовлетворяет функция х\ = Ф(т/2)- Вблизи
Уг = 0 она сводится к
Рис. 7.9. Проекция фазовых
траекторий на плоскость ппл: жирная
линия — предельный цикл
Х1&У2- д!/2.

а в пределе при j/2 —> °° имеет место Ф(г/г) —*■ 1. На рис. 7.10
функцию ii = Ф(у2) представляет кривая 1.
Функция ii = Ffa), удовлетворяющая уравнению (7.48),
располагается в области 0 < j/2 < |-Аа|, причем F(j/2) —> оо при
г/2 —> |AJ- Выражения для первой и второй производных
позволяют сделать вывод, что функция F(j/2) монотонна при условии
8\Аа\ < А — 1 и имеет вид кривой 2 на рис. 7.10. Обратное
неравенство свидетельствует о наличии у
функции F(j/2) минимума. При
выполнении более жесткого неравенства
ё\Аа\ < (А - 1)(1 + 5)/2 между
началом координат и минимумом имеется
точка перегиба. Именно этому
случаю соответствует кривая 3 на этом
рисунке.
Кривые 1 и 2 пересекутся, если
их производные в начале координат
удовлетворяют неравенству дФ/ду2 >
> dF/dvi, которое Эквивалентно Рис- 71°- Диаграмма, поясня-
' ющая условия существования
2(S|.Aa| > А — 1. (7.50) предельного цикла и его
нахождение методом точечных пре-
Неравенство (7.50) представляет со- образований
бой искомый критерий существования
траекторий, не стремящихся к стационарным состояниям
системы. Пересечению кривых соответствует замкнутая траектория —
предельный цикл. Из того факта, что последовательность точек
множества х\ сходится к точке пересечения функций последова-
ния, следует устойчивость цикла. Этот вывод иллюстрируется
штриховой ломаной линией на рис. 7.10, которая отражает
процесс точечных преобразований.
Один из важных результатов рассмотрения заключается в
несовпадении неравенств (7.50) и (7.36). При 2рА > G более
сильным оказывается неравенство (7.36). В области
^А{А-\)>8\Ай\>\{А-\) (7.51)
устойчивый предельный цикл существует, невзирая на то, что
стационарное состояние устойчиво. В зависимости от начальных
условий возможна, следовательно, либо стационарная генерация,
либо излучение изолированных импульсов.
Для того чтобы найти энергетические и временные
характеристики генерируемых импульсов, необходимо решить систему
уравнений (7.48), (7.49). Если равновесная населенность в
нелинейном фильтре успевает полностью восстановиться за время
между импульсами, приближенное решение очевидно: j/2 = |А»|-
Ограничение \АЛ\ <С 1 позволяет воспользоваться для расчетов
формулами (3.33)-(3.35).

Из того что предельный цикл пересекает границу
самовозбуждения, следует вывод о невозможности режима мощных
незатухающих пульсаций при жестком возбуждении генерации. По
окончании первого же импульса система окажется ниже порога и
вернется к тривиальному положению равновесия. Таким образом,
неустойчивость стационарной генерации при жестком
возбуждении (бистабильности) означает, как правило, невозможность
длительной генерации вообще.
Перейдем к рассмотрению другой ситуации. Будем считать,
что нелинейный фильтр безынерционен в том смысле, что 7|| ^>
^> >г, 7||- Это позволяет адиабатически исключить переменную
па из уравнений, считая дпа/дт = 0. Уравнения (7.11) наиболее
существенно упрощаются, если в процессе генерации не
достигаются поля, заметно насыщающие фильтр. Максимальная
интенсивность излучения составляет mmax ss G(|Aa| + Щ2/2. Малость
этой величины в сравнении с величиной 6/р гарантирует
отсутствие насыщения фильтра. Необходимым условием является
выполнение неравенства 9г
V2 « §-р, (7.52)
или при учете соотношения (3.29):
8 » {А _ ! _ ,Л|)In A"1~|Aal. (7.53)
Р "limn
В численном выражении (7.53) означает 5/р > 25, если обратиться
к примерам твердотельных лазеров. Плотность нелинейного
фильтра ограничена сверху условием
1Тр) ' {7М)
аналогичным условию (7.52).
Малость производной и предположение о слабом насыщении
фильтра позволяют свести систему уравнений (7.11) к системе:
-j^ = Gm n-l + Aa(l-£m) , (7.55а)
— = А-п(тп+1). (7.556)
ат
Уравнения (7.55) представляют собой частный случай (7.1),
причем /3(т) = 1 — Аа(1 — тпр/8). Критерий неустойчивости
стационарного решения совпадает как с (7.38), так и с (7.8).
Разбиение фазовых траекторий на участки с быстрым и
медленным движением производится так же, как и в случае свободной
генерации. На этапе накачки полагаем т = 0и получаем
соотношение
2 т,2
712 = ~Щ ~ 3 А^Т'

совпадающее с (3.43). Здесь: т/ = п — 1 + Аа, т/i и V2 — начальное
и конечное значения т/ на этапе накачки.
На этапе излучения пренебрегаем в (7.556) членами, не
содержащими 7П, и разделив на него уравнение (7.55а), приходим к
линейному уравнению
dm
dn
= & = +0(1±Ш_Л (7.56)
О 71 \ 71 /
Оно имеет общий интеграл
m2n2 ~~ тпп = ^
5
lT(n5+1-nf+1)-l^i(n5-nf)], (7.57)
где S = (Gp/S)\Ад\. Начальными на этапе излучения являются
значения пг и таг = тпь, достигаемые к концу этапа накачки.
Найдем инверсию таз в конце этапа излучения, когда тпз = тп,г.
С этой целью разложим ns в степенной ряд:
ns = (1 + |Аа|)5 + 5(1 + Ш)5-^ + ±S{S - 1)(1 + |Л|)5-У +
+\s{S - 1)(5 - 2)(1 + Иа|)5-37/3. (7.58)
Пренебрежение высшими членами возможно в силу условия
5т7=^|Аат7|<1,
обеспечиваемого неравенствами (7.52) и (7.54). Подставив (7.58) в
(7.57), находим, что с точностью до членов порядка т/3 имеет место
соотношение
Необходимое условие (|?7з ~ Vi\ ^ 1) существования предельного
цикла имеет вид
s А
что в точности совпадает с (7.38).
7.2.3. Эксперименты с СОг-лазер ом; балансная модель
трехуровневого лазера с двухуровневым нелинейным фильтром.
Наиболее систематические экспериментальные исследования влияния
насыщающегося поглотителя на динамику генерации проводились
с СОг-лазерами [515-526]. Помимо самого факта неустойчивости
стационарной генерации эти эксперименты выявили также
особенности поведения, которые не находят объяснения в рамках
описанной выше простейшей двухуровневой модели. Главная из этих

особенностей состоит в том, что наблюдаются две формы
нестационарных процессов. Первая форма — это последовательность
гладких импульсов, переходящая в синусоидальную модуляцию
вблизи порога неустойчивости лазера (рис. 7.11а, б). Процесс
другого типа составлен из импульсов сложной формы, когда за
лидирующим интенсивным пиком следует хвост с нарастающими
осцилляциями интенсивности, и лишь затем наступает срыв
генерации (рис. 7.Не, г). При этом пауза может быть короче самих
импульсов.
200 мкс
200 мкс
WWIM/WW
AMMMMA/
200 мкс
200 мкс
500 мкс
500 мкс
200 мкс
200 мкс
Рис. 7.11. Экспериментальные (а-г) и расчетные (d-э) формы процессов
излучения СОг-лааера с поглощающей ячейкой [518]: а — давление СН3ОН 325 мТор,
разрядный ток 6 мА; б—- давление СНзОН 325 мТор, разрядный ток 8 мА; в—
давление НСООН 77 мТор; г — 23 мТор

Различными могут быть и сценарии смены режимов при
изменении управляющих параметров, к числу которых относятся:
уровень накачки, настройка резонатора относительно частот
переходов в обеих средах, плотность нелинейного фильтра и его
релаксационные параметры. Экспериментально установлено
существование хаотических режимов [524, 525]. Переход к хаосу может
включать в себя каскад удвоений периода. Так обстоит дело в
случае генерации гладких импульсов. Во втором случае к этому
присоединяется процесс изменения числа осцилляции в замыкающей
части импульса.
Обилие управляющих параметров и разнохарактерность
экспериментальных исследований разных авторов сильно затрудняют
задачу последовательного и систематического описания
существующих возможностей. Ограничимся поэтому лишь
экспериментальной бифуркационной диаграммой в плоскости параметров
(отстройка резонатора — давление в поглощающей ячейке), взятой
из работ [524, 525]. Эта диаграмма, приведенная на рис. 7.12,
наглядно иллюстрирует динамические возможности системы.
i i I
-25 -12,5 О
Отстройка резонатора, МГц
Рис. 7.12. Бифуркационная диаграмма С02-лазера с поглотителем СНз1 на
плоскости управляющих параметров. Буквами Рп отмечены области существования
режимов с п осцилляцинми на хвосте импульса; X — область с хаотическим
поведением [524]
Наличие режимов, характеризующихся излучением импульсов
сложной формы, связывается с топологической ситуацией в
фазовом пространстве, которая была описана Шильниковым [536].
Согласно этому нетривиальное положение равновесия системы
представляет собой комбинацию устойчивого фокуса и седла. В этом
случае, вырвавшись из окрестности положения равновесия вдоль

сепаратриссы, изображающая точка возвращается к нему по
спиральной траектории. Поэтому за первым интенсивным всплеском
генерации должен следовать цуг затухающих осцилляции.
Однако в СОг-лазерах реализуется обратная последовательность в
том смысле, что осцилляции на хвосте импульса нарастают, а не
затухают. Ей сопоставляется особая точка типа неустойчивый
фокус — устойчивый узел. Пауза между импульсами означает, что
система проводит какое-то время вблизи другого, тривиального
положения равновесия.
Численные исследования показали, что решения двух
упомянутых типов удается получить в модели лазера, предполагающей
трехуровневую идеализацию активной среды [537, 538]. Приняв
энергетическую диаграмму, изображенную на рис. 7.13, запишем
систему уравнений в безразмерной форме, согласующейся с (7.11):
dm . .
— = Gmiji+Пъ - 1),
— = А - п{т+ 1) + ( w2i - w3i Б" )те2,
iT *, . \ 1 п) (7-и)
—— = -W2in2 + Ь>32П + 77 7ПП,
ат 2
dna . .
—7— = оАл - na(pm + о),
ат
Эта система, исключая последнее уравнение, получена из
(3.113) в результате адиабатического исключения поляризации 7*32
и перенормировки времени с т = 732* на г = (wai + 2гизг)*- На
величину W3i + 2W32 нормированы также отмеченные черточкой
1=
m
Рис. 7.13. Энергетическая диаграмма трехуровневого лазера с двухуровневым
поглотителем
сверху параметры. В качестве дополнительной по отношению к
(7.11) переменной выбрана, как и в § 3.5, населенность нижнего
лазерного уровня п2.
Примеры численных решений системы балансных уравнений,
подобной (7.59), приведены на рис. 7.11<?-з. Подобие этих
решений и осциллограмм реальных процессов в СОг-лазере
прослеживается почти во всех деталях. Существенное влияние на характер
процесса оказывает параметр насыщения поглотителя р/6. Для

двух верхних рисунков (7.11Д е) он меньше, а для двух нижних
(7А1ж, з) больше единицы. По мере уменьшения величины р/6
пауза между импульсами уменьшается и после ее исчезновения
режим второго типа уступает место первому.
Сходство экспериментальных осциллограмм и численных
решений на рис. 7.11, разумеется, очень впечатляет. Однако это
не дает еще оснований считать проблему интерпретации
эксперимента полностью исчерпанной. По-видимому, внешнего сходства
решений с экспериментальными данными можно добиться
подгонкой параметров и в модели лазера с двухуровневой активной
средой, если не проводить процедуры адиабатического
исключения поляризаций обеих (усиливающей и поглощающей) сред [539].
Неадиабатические модели лазера с нелинейным фильтром
интенсивно изучаются, и им посвящена обширная литература. Однако
в данной книге они не рассматриваются.
7.3. Лазер с нелинейным диэлектриком
Выше была продемонстрирована связь между нелинейностью
потерь в среде, заполняющей резонатор, и динамикой лазера. Но
помимо объемных потерь резонатор лазера обладает и другими
видами потерь, которые также могут меняться под действием
генерируемого излучения. Скажем, могут изменяться коэффициенты
отражения от поверхности раздела двух сред. Так, например,
отражательная способность полупроводников зависит от концентрации
электронов и дырок в приповерхностном слое. Концентрация
носителей возрастает с интенсивностью света, падающего на
поверхность полупроводника, благодаря чему увеличивается
коэффициент отражения. Поэтому добротность резонатора, одним из зеркал
которого является полупроводниковый кристалл, оказывается
растущей функцией мощности излучения и лазер с таким
резонатором способен генерировать гигантские импульсы [540-542].
Сейчас речь пойдет о возможности пассивной модуляции
дифракционных потерь. Для этого требуется среда, показатель
преломления которой является функцией напряженности поля. Слой
такой среды действует на пересекающий его волновой пучок
подобно линзе с автоматически регулируемым фокусным
расстоянием. Нелинейные свойства в оптическом диапазоне проявляют
многие диэлектрики. Наиболее сильно они выражены в
органических растворителях [543], слабее — в матрицах активных
элементов [544, 545].
Наличие нелинейного диэлектрика в резонаторе приводит к
динамической деформации мод, что вызывает зависимость как
дифракционных потерь, так и эффективного коэффициента
заполнения резонатора активной средой от интенсивности излучения
лазера.

7.3.1. Примеры влияния нелинейности показателя
преломления среды на динамику лазера. Влияние нелинейного
диэлектрика на динамику твердотельных лазеров было установлено
экспериментально. Помещение органического растворителя внутрь
плоскопараллельного резонатора влечет за собой укорочение пич-
ков, увеличение их амплитуды и периода следования [546].
Изменения в динамике заметно усиливаются при наклоне одного из
зеркал резонатора [547-549].
Следующая группа фактов не допускает столь однозначного
истолкования, хотя внешняя аналогия их с предыдущими налицо.
В рубиновом лазере с разъюстированным или с другим
резонатором неустойчивой конфигурации интенсивные пички возникают
без каких-либо дополнительных нелинейных элементов [89-91,
103, 550]. Возможно в этот список следует внести и результат
работы [551], касающийся рубинового лазера с продольной накачкой
узким лучом аргонового лазера. Резкое усиление пульсаций в этом
случае обеспечивал небольшой наклон луча накачки по отношению
к оси резонатора.
Бели нелинейный диэлектрик в твердотельном и большинстве
других типов лазеров моделируется линзой, то применительно к
полупроводниковым приборам правильнее говорить о нелинейном
диэлектрическом волноводе [552], поскольку активная область
имеет форму слоя толщиной в несколько микрометров. Локализация
поля в окрестности активного слоя обусловлена градиентом
диэлектрической проницаемости, связанным с наличием р—п-перехода
(инжекционный лазер с гомоструктурой) или с повышенной
плотностью электронов (полупроводниковый лазер с возбуждением
электронным пучком). Благодаря сильному поглощению волны вне
активного слоя (большие дифракционные потери) режим лазера
весьма чувствителен к степени локализации. Нелинейность
показателя преломления активного слоя должна оказывать тем
большее влияние на динамику генерации, чем менее выражены волно-
водные свойства. Это предположение находит экспериментальное
подтверждение: легирование приповерхностного слоя кристалла
GaAs цинком, создающее диэлектрический волновод, способствует
ослаблению пульсаций в лазере с электронным возбуждением [553].
7.3.2. Пассивная модуляция дифракционных потерь
диэлектриком с кубичной нелинейностью (керровская среда в резонаторе,
ограниченном по апертуре). Цель рассмотрения заключается в том,
чтобы продемонстрировать принципиальную возможность
неустойчивости стационарного режима вследствие нелинейности
показателя преломления среды, помещенной внутрь резонатора.
Обратимся к лазеру, работающему на основном типе колебаний, и
оценим зависимость дифракционных потерь от интенсивности
излучения на оси генерируемого пучка [554].
Предположим,что за каждый обход резонатора теряется
энергия той части светового пучка, которая оказывается вне апертуры.

Влияние ограниченности зеркал на структуру поперечного
распределения поля предполагается незначительным. Такая
аппроксимация указывает на сферический резонатор, который будем считать
далеким от концентрического, чтобы не учитывать зависимости
поперечного сечения пучка от продольной координаты. Из
сказанного вытекает следующее определение коэффициента
дифракционных потерь:
п _л кФ2^
Я<Шг- * " JpdV
Интеграл в знаменателе распространен на все пространство, и
его можно подсчитать, задав гауссову функцию формы поперечного
распределения интенсивности ф = ехр(—г2/а2), где а —
эффективный радиус светового пучка. Интеграл в числителе берется по
объему, ограниченному апертурой резонатора; по условию
нормировки он равен Vc = тгЬ2Ь, где Ь — радиус зеркала. Нетрудно
убедиться, что
#diffr = expf-^J. (7.60)
Скорость затухания поля в резонаторе и коэффициенты потерь
связаны соотношением
х = ^(Лювв + Щшг), (7.61)
в котором iTdiffr <S i7]ossi поскольку конфигурация резонатора
предполагается устойчивой.
В безаберрационном приближении слой диэлектрика с
нелинейным показателем преломления при наличии ограниченного
светового пучка должен рассматриваться как линза с переменным
фокусным расстоянием Fn\. Если учесть, что активный элемент
вследствие неравномерного прогрева также приобретает линзовые
свойства, то для эквивалентной линзы внутри резонатора имеем
*=-k+h (7-е2)
Плоскопараллельный резонатор с помещенной в центре линзой
при условии F 3> L эквивалентен сферическому той же длины
с фокусным расстоянием зеркал, равным F [555]. В этом случае
C=(l^)l/4- (7"63)
Предположим, что показатель преломления среды зависит от
плотности фотонов

по закону
V = 7]0 + 41ГТ)2М. (7.65)
Нелинейная часть восприимчивости пропорциональна квадрату, а
поляризация — кубу напряженности поля, благодаря чему
нелинейность и называется кубичной. Гауссов пучок с плоским
фазовым фронтом,
Дп = Я0ехр(-^),
пройдя через слой диэлектрика трансформируется в
Eout = Eq exp
г2
2fl2 + »«Р (-J)]' <7-66>
где
9 = AkLnm М.
Через Ln\ обозначена толщина слоя нелинейной среды, М —
полное число фотонов в пучке внутри резонатора.
В безаберрационном приближении заменяем (7.66) на
£„ut = Е0 exp I - — + №-^ 1 . (7.67)
Эта процедура представляет собой разложение (7.66) по функциям
Эрмита, первой из которых является (7.67). Величина 9
подбирается так, чтобы коэффициент при первом члене разложения, т.е.
J E*utEoutdS, был максимально близок к J\Eout\2dS. При этом
условии пренебрежение высшими членами разложения наиболее
корректно. Ему отвечает 9 = — 9/4 и фокусное расстояние
безаберрационной линзы дается формулой
Fnl = -^Ц-. (7.68)
Соотношения (7.62), (7.63) и (7.68) позволяют определить
радиус гауссова пучка. При Fni 3> Fo
■ЧЗТ('-^) *«
и, согласно (7.60),
Подставляя (7.70) в (7.61), приходим к соотношению
х=хь(1-дМ), (7.71)

в котором
Г4Р01Л1/2 cllu,ss b2k2Lnm ехр(-Ь2/^)
«о
_ (4F0Ly/2 _ c#iOS8 _ b2k2Lnim ехр(-Ь2/
"V к2 ) ' *°- 2L ' 9~ afoL2 П1ош
(7.72)
Динамическое изменение радиуса пучка сказывается не только на
дифракционных потерях, но и на коэффициенте усиления fNip2dV.
Роль последнего эффекта усиливается в том случае, если радиус
светового пучка превышает радиус области, заполненной активной
средой. Такой вариант задачи будет рассмотрен чуть ниже. Пока
же остановимся на обратной ситуации и модуляцией коэффициента
усиления пренебрежем. Это позволяет считать активную среду
сосредоточенной и воспользоваться выводами § 7.1. Фигурирующая
в (7.8) производная /?' связана с коэффициентом д, определенным
формулой (7.72), соотношением
/Г = -^а,. (7.73)
COtr
Подставляя (7.73), а также т = А— 1 в (7.8), приходим к условию
неустойчивости стационарной генерации лазера с нелинейным
диэлектриком:
(^^bfuV^^l)^. (7.74)
Vetoes CTJoL J\<Ttr А )
Величины, входящие в левую часть (7.74) сгруппированы в два
множителя. Интересно сравнить (7.74) с условием
неустойчивости для лазера с быстрорелаксирующим насыщающимся
поглотителем (7.38), которое можно переписать в аналогичной форме
Вторые скобки обоих неравенств полностью совпадают. Первые
скобки различны по форме, но имеют одинаковый физический
смысл: каждая из них характеризует эффективность
соответствующей нелинейной среды в качестве пассивного модулятора потерь.
Оба неравенства, (7.74) и (7.75), можно объединить в одно,
Кп1— ^ > 1, (7.76)
используя обобщенный коэффициент
of.
Knl =
Аа^- для насыщающегося поглотителя,
Т||а
ПЛЯти21гк21'ЛТ}2
о — для керровской среды.
(7.77)

р >.^1л_М?1п1т,2(А-Ц
4Г[1П
Для того чтобы оценить возможность достижения порога
неустойчивости в лазере со сферическим резонатором, преобразуем
неравенство (7.74) с помощью соотношений (7.72) в
-2
Г2 А • (7-78)
Приравняв выражение, стоящее под знаком логарифма единице,
находим минимальное значение Ln\T]2, при котором
принципиально возможна неустойчивость:
(Lnm)min = -^ -^рр-. (7-79)
Задав значения atT = Ю-20 см2, А; = 9 • 104 см-1, L = 102 см,
Ь = 0,5 см, А 3> 1, получаем (-£n№)min = 4 • Ю-26 см4.
Внесение в резонатор рубинового лазера нелинейной среды,
эквивалентной сантиметровому слою сероуглерода (772 = 2 • Ю-23 см3 [556])
дестабилизирует режим генерации при F0 > 105 см.*)
Ориентируясь на нелинейность матрицы рубина, которая, согласно [557],
характеризуется 772 = 3,8 • Ю-25 см3, обнаруживаем, что
критерий неустойчивости (7.75) также может быть удовлетворен,
поскольку Ьп\т)2 « 4 • Ю-24 см4 > (Lni^min при длине кристалла
La = Ln\ = 10 см.
Все вышесказанное относилось к строго параллельному
расположению зеркал резонатора. Между тем, даже небольшой угол
между ними, сравнимый с достижимой точностью юстировки,
способен существенно повлиять на результат. Наклон зеркала на
угол -в вызывает смещение пучка к краю зеркала на расстояние
Ах = Ffl. Роль разъюстировки становится определяющей, когда
смещение Ах сравнимо с радиусом зеркал (апертурой резонатора).
Это простое соображение позволяет достаточно надежно оценить
критическое значение фокусного расстояния при разъюстировке:
Fg » Ъ/й.
Задав 'д = 10" и Ь = 0,5 см, получаем F" « 104 см.
Экспериментальное наблюдение влияния нелинейного
диэлектрика на кинетику генерации затруднено оптической
неоднородностью активного элемента. Вследствие неравномерного прогрева
он ведет себя как чересчур сильная (в свете приведенных оценок)
положительная линза с Fo < 103 см. Для приближения к порогу
неустойчивости требуется либо разъюстировка резонатора, либо
компенсация положительной линзы, что и проявлялось в
цитировавшихся выше работах [546-550].
') Пересчет ox CGSE к системе единиц, в которой энергия измеряется числом
фотонов, осуществляется умножением на Йог.

7.3.3. Пассивная модуляция коэффициента заполнения моды
при наличии керровской среды в резонаторе лазера, не
ограниченном по апертуре. Строго равномерное распределение инверсии по
сечению резонатора практически не реализуемо. Это означает, что
динамическая деформация профиля волнового пучка должна
сопровождаться модуляцией коэффициента заполнения резонатора,
или, другими словами, пассивной модуляцией усиления. Изучая
этот эффект, принципиально невозможно пренебречь
зависимостью переменной N от поперечной координаты. Зависимость же
от продольной координаты в определенных пределах по-прежнему
не существенна. Последнее позволяет, исключив адиабатически
поляризацию (недиагональный элемент матрицы плотности),
преобразовать уравнения (2.76) к виду
d\F\2 , О .ЕЧЗ <Р"1>
dt
+ 2*|F|2 = ^|F|2y^2dS,
¥ + #"^^lW
(7.80)
Нетривиальный вопрос заключается в том, что же надо
понимать под объемом резонатора Vc1 Поскольку профиль поля задан
собственной функцией ф = ехр(—г2/2а2), объем вычисляется как
Vc = fif>2dV = ira2L. Благодаря присутствию а2, зависимость от
мощности излучения содержится и в этом факторе.
Введя безразмерные обозначения
г расР |Г1|2 2nwd2Ls ЛГ
г = Т||*, р=-, m = -__|J?|, n = ^—^
а2 = — ) = 1 - д*т, д* = ^,
\а0/ cLT]0<TtT
перепишем в них уравнения (7.80):
£~Цо-*/»р(-£)*(л-1.
*• . г, ° ( Л1 (782)
Под рв здесь понимается радиус активного элемента, а радиус пучка
определен соотношением (7.69). Величина а во всем интервале
изменения т мало отличается от единицы, что позволяет
считать а = 1. Линеаризуя систему (7.82) и полагая ее решения

в виде ехр Аг, находим стандартным образом приближенное
значение скорости затухания малых колебаний:
Ръ
в, = \вшу - У J Лехр ( - 2p2)d(p2)+
О ра
+Kni j п{\ - р2) ехр ( - р2)d(j>2) .
о
Частота этих колебаний дается формулой
Рз
n2 = Gm А п ехр( - 2p2)d{p2). (7.83)
о
Неустойчивым (в\ > 0) исследуемое стационарное состояние
становится при выполнении двух условий:
Р«
п(1 - р2) ехр ( - р2) d(p2) > 0, (7.84)
/'
р.
fAexp(-2p2)d(p2)/n2
9* > -£ • (7-85)
/n(l-p2)exp(-p2)d(P2)
о
Фактор 1— р2 отражает наличие двух противоположных
тенденций. Уменьшение радиуса моды при конечном поперечнике
активной среды улучшает условия генерации. С одной стороны, это путь
к развитию неустойчивости благодаря увеличению коэффициента
заполнения моды, но, с другой стороны, это же и стремление к
стабильности через увеличение превышения порога.
Последние неравенства существенно упрощаются в том случае,
когда зависимостью пот рв пределах активной области можно
пренебречь. Такая идеализация оправдана либо при условии, что
мал радиус активной зоны, либо порог генерации превышен
незначительно. В этом можно убедиться, обратившись к соотношению
А
1 + техр(—р2)'
Считая п = const, преобразуем (7.84) к виду
пр82ехр(-р82)>0 (7.86)
и убедимся в его выполнении в рамках тех приближений, в
которых это неравенство получено.
Стационарное состояние системы (7.82) дается соотношениями
п т 1/р2, т к Ар2 - 1. (7.87)

Осуществив интегрирование в (7.85) и воспользовавшись затем
формулами (7.81), (7.83) и (7.87), приходим к неравенству
являющемуся условием неустойчивости стационарного решения
для лазера с керровской средой внутри апертурно ограниченного
резонатора. Неравенство (7.88) аналогично (7.74) с тем лишь
исключением, что место апертурного параметра Ь2П^т/П\оаа
занимает параметр пучка а2,. Таким образом, мы пришли к критерию
неустойчивости типа (7.76), но с параметром нелинейности
2irk2Ln\T)2 .
Бели нелинейным диэлектриком служит матрица активного
элемента, то наибольшее влияние самофокусировки на динамику
генерации достигается в резонаторе с зеркалами на торцах (Ln\ =
= L). Из (7.88) в этом случае следует независимость порога
неустойчивости от длины резонатора. Подстановка характерных
для рубинового лазера значений параметров (<rtT = Ю-20 см2,
А; = 105 см-1, (За = 2, чо = 1,5, ж = 108 с-1) при Aps > 1 и
а0 = 0,05 см приводит к необходимому условию неустойчивости
j]i > 0,5 ■ Ю-25 см3. Для рубина т)2 = 3,8 • Ю-25 см3 и
приведенная оценка свидетельствует о реальности обсуждаемого эффекта
неустойчивости.
Неустойчивость рассмотренного типа с наибольшей
вероятностью должна проявиться в лазере с очень тонким активным
элементом, погруженным в иммерсионную среду. Роль последней
может играть, например, сапфировая оболочка, окружающая
рубиновый стержень. Иммерсионное окружение необходимо для
предотвращения отражений от боковых границ активной зоны, которые
способны локализовать излучение внутри нее. Бели активный
элемент лазера работает по четырехуровневой схеме, тот же результат
достигается при накачке узким световым пучком,
распространяющимся вдоль оси резонатора. В трехуровневой среде вне зоны
инверсии поглощение велико и более резонно думать о пассивной
модуляции потерь.
В настоящем параграфе рассмотрены две, по существу,
эталонные задачи. Итог рассмотрения сводится к тому, что показана
принципиальная возможность возникновения неустойчивости за
счет самофокусировки в нелинейной среде, помещаемой внутрь
резонатора лазера класса В. Такое рассмотрение дает ключ к
пониманию некоторых экспериментальных результатов, приведенных
в п. 7.3.1 и ранее — в п. 1.2.3. Не следует, однако, воспринимать
это как количественную теорию, пригодную для детального
сопоставления с экспериментом.

7.4. Пассивная синхронизация мод в лазерах
Вопросы многомодовой генерации неоднократно затрагивались
в предыдущих главах. Там речь шла об относительно медленных
процессах с временным масштабом, существенно большим То —
времени обхода резонатора электромагнитной волной. Наличие
многих мод и их взаимодействие оказывает существенное влияние
на протекание таких процессов. Но более очевидным следствием
многомодовости является наличие быстрых колебаний
интенсивности излучения в результате интерференции мод. Эти быстрые
колебания могут иметь различный характер в зависимости от
амплитуд, частот и фаз генерирующихся мод. Среди указанных
параметров на первое место следует поставить частоты. Если они
образуют эквидистантный спектр, процесс излучения периодичен.
В противном случае излучение имеет вид нерегулярных
осцилляции.
Эквидистантность спектра генерирующихся мод является
необходимым условием реализации практически очень важного
режима синхронизации мод лазера. Если говорить о синхронизации
колебаний в широком смысле, то условие эквидистантности их
спектра оказывается и достаточным. Однако в квантовой
электронике в термин «синхронизация мод» вкладывается обычно более
узкий смысл: процесс должен быть не просто периодическим, а
импульсно-периодическим, причем длительность импульса —
минимально возможной при реализующейся ширине спектра
генерации. Последним требованием диктуются ограничения на форму
огибающей спектра, которая, грубо говоря, должна быть гладкой,
и на фазы мод, зависимость которых от частоты должна быть
линейной. Имея в виду режим, удовлетворяющий всем указанным
требованиям, говорят о фазовой синхронизации мод лазера.
Нелинейное взаимодействие мод в средах, находящихся
внутри резонатора лазера, является очень серьезным фактором в
аспекте проблемы синхронизации мод. На нелинейном
взаимодействии мод в поглощающих средах основан метод пассивной
синхронизации [558-563]. Что касается взаимодействия в активной
среде, то оно способно обеспечить эквидистантность спектра
генерации [564-568], о чем уже говорилось в п. 4.5.1, и
установление определенных фазовых соотношений между ними. Выяснение
характера этих соотношений является исходным пунктом теории
пассивной синхронизации мод.
7.4.1. Роль нелинейности активной среды при синхронизации
мод лазера. Априори ясно, что активная среда, поскольку она
обладает нелинейными свойствами, должна оказывать
определенное влияние на процесс синхронизации мод в лазерах. Первая
попытка исследования характера этого влияния была предпринята в
работах [564-568]. Основываясь на постулированном ими
«принципе максимума излучаемой мощности» авторы цитированных
работ делают вывод, что комбинационное взаимодействие мод в

активной среде способно привести к их фазовой синхронизации.
Оказалось, однако, что «принцип максимума» не согласуется с тем,
что дают непосредственно уравнения лазера, и найденные таким
путем фазовые соотношения между модами ошибочны [569].
Для выяснения вопроса о фазовых соотношениях, диктуемых
комбинационным взаимодействием мод, обратимся к уравнениям
(4.79). Полагая неравенство (4.85) выполненным, будем считать
спектр эквидистантным и пренебрежем влиянием дисперсии на
частоты возбуждающихся мод. Это позволяет воспользоваться для
определения стационарных фаз системой уравнений:
Re (Gk+q -Gk- G»+q + eM)C°mb = 0, (7.90)
в которых, согласно (4.77),
-comb _ 1 т V -М^О + Пм) + FH+gJnO + WM+g) UfUqfk+q
* * "ft 1 + iqA/j Д ■
(7.91)
Считая среду достаточно инерционной (Л/у = Au/ji\ S> 1) и
перейдя к действительным амплитудам и фазам (Д = £к exp (tVfc))»
запишем вместо (7.91) выражение
Ро rcomb ^ 7 V^ 2П° + WM + WM+q £k+q£»£»+q - ,- Ql).
к АЛ 2-" о £ СО£5ф*«м> (7-92)
в котором
Ф*ВД = <Pk+q ~<Рк- Vm+B + W (7-93)
Если исходить из предположения о том, что фазовая
самосинхронизация мод имеет место, т.е. Ф*дм = 0, спектр генерации имеет
прямоугольную форму (£к = £) и к тому же пм -С П) для всех fi,
то
ReC7* * 2Л \ЫТТШ + Я)- (7'94)
Нумерация мод здесь такова, что границам спектра генерации
отвечают индексы к = ±(Л/" — 1)/2. Заключенная в скобки
функция F(k/M) отличается от линейной и это значит, что выражения
(7.91) не удовлетворяют фазовым уравнениям (7.90). Мы
приходим, таким образом, к выводу о невозможности
самосинхронизации мод лазера за счет комбинационного взаимодействия в
инерционной активной среде.
Сделанное выше предположение о малости всех элементов п^
оправдывается лишь в случае равномерного насыщения активной
среды. Оно безоговорочно справедливо для однонаправленной
генерации в кольцевом лазере. В резонаторе Фабри-Перо близкая к
этой ситуация достигается при возбуждении большого числа мод,

либо при малом превышении порога генерации. Кроме того,
активная среда должна равномерно заполнять весь резонатор.
Невыполнение указанных условий меняет ситуацию с пм, но это
обстоятельство не оказывает влияния на вывод о невозможности фазовой
самосинхронизации мод.
Что касается формы спектра, то в режиме стационарной
генерации она параболическая, а не прямоугольная. Но и это не имеет
принципиального значения для рассматриваемого круга вопросов.
Существенна лишь ограниченность спектра. Если бы полоса
генерируемых частот была бесконечной, то условие Ф*вм = 0 привело
бы к Re (7«Fomb = 0 и самосинхронизация мод (в данном случае —
самопроизвольное формирование ^-импульсов) оказалась бы
возможной.
Если предположить, что активная среда безынерционна, т.е.
Л/у -С 1, то соотношение (7.91) перейдет в равенство
ЯГЬ = ^* £ (2"о + »м + nM+e) //J;+/*+q. (7.95)
ил Jk
В пренебрежении неэквидистантностью спектра резонатора
уравнения (4.78) перепишутся теперь в виде
^- = \GJ2(2"о + п. + n^q) £k^Y^q «n*W (7.96)
Этим уравнениям удовлетворяют соответствующие фазовой
синхронизации стационарные значения sin#fcg/i = 0, и задача
сводится к выяснению устойчивости такого решения.
Полный анализ устойчивости сопряжен с трудоемкими
вычислениями. Достаточно просто удается исследовать устойчивость
по отношению к частному виду возмущений, затрагивающих
только фазы мод. Зададим малое отклонение фазы k-ft моды, 8<рк =
= Щ — фк, и линеаризуем уравнения (7.96) около Ф*вд = 0.
Линеаризованные уравнения, будучи записанными в виде
1^к~ТГ ~lG2-. Тк (2ио + "„ + "м+9), (7-97)
имеют положительную правую часть. Это говорит о
неустойчивости исследуемого стационарного решения.
Полученный результат означает, что комбинационное
взаимодействие мод в безынерционной активной среде также не
приводит к фазовой синхронизации. Вместе с тем, из (7.97) видно,
что смена знака разности населенностей меняет дело. Мы, таким
образом, пришли к идее пассивной синхронизации мод в лазере с
насыщающимся поглотителем.

7.4.2. Пороговые условия пассивной синхронизации мод. При
наличии насыщающегося поглотителя фазовые уравнения (4.78)
переходят в
diou 1 1
-£■ = - GЛск - - Лк + G(Re Gk + Re G*k) • (7.98)
Рассмотрим вначале наиболее актуальный с точки зрения
существующей практики случай, когда частоты переходов в
активной и поглощающей средах совпадают (cjo = иа) и поглотитель
'/7|_
мают полосу частот NAu -С 7|| » то справедлива формула
безынерционен (Лш/fu -С 1). Если генерирующиеся моды зани-
[ают полосу частот J\Au -С 7|| » то справедлива формула
Re я-Ь = ^ £ (2no + nM + n,+g)a^±iMf±i 6in Фк^ (7.99)
являющаяся аналогом (7.92) для насыщающегося поглотителя.
Как и выше, р — отношение сечений переходов в поглощающей
и усиливающей средах, S = 7ц /j\\.
Фазовой синхронизации мод отвечает равенство Re^^mb = 0.
Как было показано выше, условие &'тФкдм = 0 не удовлетворяет
уравнениям лазера без нелинейного фильтра даже при
эквидистантном спектре генерации. Однако присутствие
насыщающегося поглотителя позволяет сколь угодно близко подойти к нему.
Для этого необходимо, чтобы параметр нелинейности поглотителя
(р/8)па был больше параметра нелинейности активной среды
(7ц/А*>)п. При р/8 -С 1 справедливы формулы (7.37), которые
дают
пй1 + А&, па и Аа
и позволяют записать сформулированный критерий в виде
неравенства
Аа > 4оск = (Р— - l) . (7.100)
V Ж )
Отсюда следует необходимое условие
^ > 1. (7.101)
Подстановка в (7.100) типичных значений р = 104, Ли = 109 с-1,
7ц = Ю11 с-1, с большим запасом удовлетворяющих неравенству
(7.101), дает
^Ьск _ 10-2 Значит для достижения режима
синхронизации мод при стационарной генерации лазера начальные
потери в нелинейном фильтре должны превышать 1% от общих
потерь резонатора.

При заданных параметрах нелинейного фильтра неравенство
(7.101) можно трактовать как условие, ограничивающее сверху
длину резонатора
L < Ш. (7.102)
Т||а
Последний вывод имеет экспериментальное подтверждение. В
работе [570] установлено, что в лазере на неодимовом стекле
пассивная синхронизация мод достигалась только при L < 60 м.
Этот факт количественно согласуется с неравенством (7.102), если
7||а = 2.1011с-1.
Пороговое условие пассивной синхронизации мод слабее
критерия низкочастотной неустойчивости лазера класса В, если
Ли А > х(А- 1),
т.е. резонансные кривые отдельных мод не перекрываются. Тем
самым показана принципиальная возможность пассивной
синхронизации мод твердотельного лазера, работающего в беспичковом
режиме.
Пороговое условие, совпадающее с (7.100) может быть
получено не только при модовом подходе, изложенном выше, но и при
пространственно-временном подходе, использовавшемся в работе
[571]. Общим моментом является необходимость учитывать
колебания разности населенностей в активной среде, и это
является свидетельством правильности представлений о десинхрони-
зующем действии нелинейности активной среды.
В предыдущем пункте была отмечена аналогия между
влиянием на устойчивость лазерной генерации нелинейностей
поглощения и преломления. Критерии неустойчивости удалось
записать в обобщенной форме, введя параметр К„\, который определен
равенством (7.77). Этой аналогией можно воспользоваться и при
анализе условий пассивной синхронизации мод.
Запишем неравенство (7.100) в той же обобщенной форме:
Ли
Кп1 > 1.
Его выражением в случае лазера с нелинейным (керровским)
диэлектриком является неравенство
(^^hB!)(^)>lt рлоз)
\ Льве vtrVoL ) \ <rtI)
которое и представляет собой критерий пассивной синхронизации
мод посредством самофокусировки в резонаторе с ограниченной
апертурой.
Для рубинового лазера (Lni = 15 см, L = 100 см, Ь = 0,1 см,
т]0 = 1,76, 772 = 3,8 • Ю-25 см3, ott = Ю-20 см2) синхронизация

мод возможна при Па\ят/П\овв > 10 3. Чуть более жесткими
оказываются требования в случае Nd:YAG-лазера (т]0 = 1,82, щ =
= 7 • Ю-25 см3, atT = 4,5 • Ю-19 см2). Эти оценки дают
основание предположить, что самофокусировка в матрице активного
элемента могла быть причиной экспериментально наблюдавшейся
самосинхронизации мод в рубиновом [572] и гранатовом [573]
лазерах.
В последнее время появилось много экспериментальных
публикаций, посвященных самосинхронизации мод в лазерах на
Tirsapphire и других активных элементах с широкой линией
усиления. Генерация фемтосекундных импульсов достигалась как в
диафрагмированных резонаторах [574-576], так и в условиях,
когда апертурные явления не могли играть заметной роли [577]. В
последнем случае разумно предположить проявление механизма
синхронизации мод, основанного на пассивной модуляции
коэффициента заполнения. Пороговое условие
может быть получено заменой в (7.103) «диффракционного»
параметра Ь2П^т/П\овв на параметр пучка а2, по аналогии с
соотношениями (7.77) и (7.89).
7.5. Процессы в лазере бегущей волны
с насыщающимся поглотителем
Осуществление режима синхронизации мод (генерации
ультракоротких импульсов) зависит от двух обстоятельств.
Во-первых, требуется одновременное возбуждение большого числа
продольных мод. Во-вторых, должны быть выдержаны определенные
соотношения между частотами и фазами этих мод. Оба этих
условия имеют пороговый характер и пороги могут соотноситься по
разному, создавая различные физические ситуации. Когда порог
многочастотности лежит выше порога синхронизации мод, имеют
место бистабильность и гистерезис, а режим синхронизации мод
достигается жестким образом.
Для исследования возникающих здесь возможностей
необходимо рассмотреть вопрос о пороге многомодовой генерации
лазера, т.е. исследовать устойчивость одномодового режима в
присутствии насыщающегося поглотителя. Бели модами являются
стоячие волны и длина активного элемента сравнима с длиной
резонатора, многомодовый режим устанавливается при
незначительном превышении накачки над порогом генерации благодаря
слабой конкуренции мод (см. п. 4.1.2).
Задача об устойчивости одночастотной генерации лазера
бегущей волны была обсуждена в § 4.6. Когерентное взаимодействие

лазерного излучения с активной средой способно
дестабилизировать одночастотный режим, но для этого требуется значительное
превышение порога генерации. Это требование смягчается при
наличии в резонаторе лазера насыщающегося поглотителя.
Разумеется, весьма соблазнительно использовать в теоретическом
описании балансный подход. Но следует иметь в виду, что
адиабатическое исключение поляризации существенно меняет
дисперсионные свойства модели, неизбежно влияя на результат.
Внимание к этому факту было привлечено в связи с пространственно-
временными структурами лазерных пучков [578]. А много раньше
эта проблема была рассмотрена Гуревичем [579], и ниже будет
использован развитый им подход.
7.5.1. Балансная модель лазера бегущей волны без объемных
потерь. В отличие от постановки задачи в § 4.6, мы теперь
предположим, что линейные потери сконцентрированы на одном из
зеркал, а активная среда заполняет лишь часть периметра
резонатора (рис. 7.14). Распространение волны в активной среде
описывается уравнением
дм дм D„rA7
+ -^— = BMN,
dt
dz
dN
f 7||(W - ЛГ(0)) = -BMN,
Рис. 7.14. Схема кольцевого
лазера с нелинейным фильтром
и селективным элементом,
моделирующим дисперсионные
свойства активной среды: 1
— выходное зеркало; 2,3 —
полностью отражающие
зеркала; 4 — активный элемент;
5 — нелинейно-поглощающая
ячейка; 6 — линейный
полосовой фильтр
dt
(7.105)
которое является очевидным
обобщением (3.5) на случай
распространения без потерь. Данные уравнения
используются для нахождения связи
между входной и выходной интенсив-
ностями. С этой целью следует
перейти в сопровождающую систему
координат, -в = t — z/c, z = z, в которой
уравнения (7.105) выглядят как
с-^- = BMN, (7.106а)
dz
8N
д# +7\\(N-NM) = -BMN.
(7.1066)
Переменная N, выраженная через М из равенства (7.106а),
подставляется в (7.1066), а получившееся уравнение интегрируется
по z. Такое преобразование корректно, если М ф 0. В
лабораторной системе координат полученное уравнение имеет вид
(T,l + ^)lnM(t,z)+£Mfoz) = T|1^ Z + /(*~^)' (7Л07)

Произвольная функция f[t — z/c) может быть исключена из
рассмотрения, уели записать уравнение (7.107) для некоторого
сечения z = L\ в момент времени t и для входного сечения z = 0
в предшествующий момент t — L\/c. Вычитая одно уравнение из
другого, получаем
(7|, + |)[bM1W-liUMb(t-^)] +
+В Afi(i) -M0(t-^\\= BN cT||Ll. (7.108)
где Mx(t) = Mi(*, Li), M0{t) = M0(t, L0).
Для прохождения пустого участка резонатора волне требуется
время (L — L{)/c. Коэффициент передачи для этого участка равен
R, благодаря чему
М011 - — J = RMx(t--\ (7.109)
Уравнения (7.108) и (7.109) могут быть объединены в одно.
Используя безразмерные переменные
т = т||*, т = В1-1М, A = BN^L1/{clnR-1), Со = Ьу\\/с,
(7.110)
запишем получившееся уравнение:
7711 7* 1 1
К) +m(T)-Rm(T-Co) = A\n-. (7.111)
к>
Rm(T- Со) R
Нелинейное дифференциально-разностное уравнение (7.111)
имеет единственное стационарное решение
Ж=Т^¥(А_1)- (7Л12)
Если потери малы, 1 — R <С 1, уравнение (7.111) слегка
упрощается:
т = А — 1.
Заметим, что уравнение (7.111) не имеет тривиального решения,
поскольку при его выводе было предположено, что М ф 0.
В окрестности стационарного состояния уравнение (7.111)
может быть линеаризовано по отношению к переменной 6т = т—т.
Решения линеаризованного уравнения имеют вид бто ехр(Ат), где
А — корень характеристического уравнения
A + 1 + .Rm tJ. .. /„--.„ч
——-—г = ехРСоА). (7.113)
А + 1 + 771

Вначале найдем корни, удовлетворяющие неравенству Со\Ц -С
■С 1, осуществив разложение ехр(Со^) = 1+Со^. Уравнение (7.113)
преобразуется в
\2 + (т + 1)\+{1-ЩСа1т = 0. (7.114)
Заметим, что
Ц^ = -^-(1-Л)« — = G, (7.115)
Со Lyn 7||
благодаря чему при R — 1 << 1 уравнение (7.114) совпадает с
(3.19).
Обратимся теперь к корням уравнения (7.113), которые
удовлетворяют условию |А| ^> 1. Будучи подставленным в (7.113),
такой корень приближает левую часть равенства к единице. Это
означает, что
А = Ш + в = 2iriqC,QX + iA + в,
где |гЛ + 0| -С Со"1- Умножая (7.113) на комплексно-сопряженное
равенство, находим
откуда
2С°в * (1 + т)' + Д2 * (?Л16)
Для q = 1,2,... первым слагаемым в знаменателе можно
пренебречь, так что
° ~ 2CoW^(1 ~R)[2 + Ш(1 " Д)]' (7Л17)
и в случае R и 1, находим, имея в виду (7.115),
в = -GQ~2A{A - 1). (7.118)
Формула (7.118) описывает монотонный спад скорости
затухания возмущения по мере роста его частоты. Этот результат
справедлив там, где можно пользоваться уравнениями баланса,
которые игнорируют реальную форму линии усиления активной
среды. Учет дисперсии становится критичным в области
высокочастотных возмущений. Дисперсию можно смоделировать, как
это предложено в [579], посредством гипотетического частотного
фильтра с полосой 7_Li помещаемого в резонатор лазера наряду с
активной средой. Прохождение через фильтр преобразует
излучение по закону
('+ тТ^)Mout(f) = Min(*" ¥)■ (7Л19)

Используя это уравнение взамен (7.109), приходим к
замкнутой системе уравнений:
' ,, + n»i(r + Ci) - т0(т) = A In -,
ТПо(Т) К
(7.120)
т0(т + Со) = Rmi(T + Ci)
ю-
Ы)
вместо (7.111). Здесь, Q = f\\{Li — Lo) — безразмерные
координаты сечений, обозначенных на рис. 7.14, а т,- — интенсивности
поля в тех же сечениях. Линеаризация (7.120) приводит к
характеристическому уравнению
Умножая (7.121) на комплексно-сопряженное уравнение и
пренебрегая малыми членами, находим скорость затухания
возмущения как функцию его частоты:
Эта зависимость имеет экстремум на частоте
Ятах = Т"1/2[(2 + п»! + т0) (mi - т0)]1/4. (7.123)
В широком диапазоне частот, включая Q = fimbX, уравнение (7.122)
аппроксимируется выражением
в- У 2А(Л-1)(1-Д) + (т/22)2 .
Параметр т/2Со = c/(2Lj±) имеет примерно одинаковое значение
для разных типов лазеров. Зададимся для оценки значениями
7х = Ю12 с-1 и L = 1,5 м, что соответствует "у/2Со = Ю-4.
График функции (7.124) представлен на рис. 7.15. Частота
возмущения принимает дискретный ряд значений
Пя = 2тгд/Со (q = 1,2,3,...). (7.125)
Частота ДшП, которая соответствует минимуму скорости
затухания возмущения, попадает в этот ряд, если 0\ < ДшП, что
эквивалентно
L > Lmin ю 2тгс(ТцТх)-1/2[2Л(А - 1)(1 - R)]~1/4. (7.126)
Приняв численные значения 7ц = 5-Ю3 с-1, -ух = 1012 с-1, А = 2,
R = 0,9 в (7.126), получаем £mjn и 30 м.

Для твердотельных лазеров с длиной резонатора порядка 1 м
все возможные частоты возмущений располагаются выше £2„
1в«Ь>/Т>
з fc^)
Таким образом, для приведенных
значений параметров и L =
= 1,5 м имеем j1/2^! и 20 и
Т^Дшп ~ 0,65. Для лазера на
красителе с 7|| = 2 • 108 с-1, из
(7.126) следует Lmin = 17 см, а из
(7.125) — т1^! = 0.1-
На рис. 7.15 штриховой линией
представлена функция в(£2),
найденная в балансном приближении,
игнорирующем дисперсию
усиления. Нетрудно видеть, что это
приближение непригодно в области
частот возмущений J?i > £2т\п.
Следовательно, оно совершенно
неприменимо в случае
твердотельных лазеров, поскольку весь
спектр разрешенных частот
возмущений располагается выше
Дшп- Однако это приближение
вполне приемлемо для лазеров на
красителях, и не вызывает уди-
Рис 7.15. Скорость затухания
возмущения как функция его частоты.
Левая вертикальная линия
отмечает низкочастотную границу
спектра возмущений, соответствующую
минимальному межмодовому
интервалу для лазера на красителе;
правая вертикальная линия имеет
тот же смысл для твердотельного
лазера: А = 2; 2Со/т = 10*; Д =
= 0,9
вления то, что балансный подход [580] приводит к тем же
результатам, что и более общая полуклассическая модель [581].
7.5.2. Порог неустойчивости одночастотной генерации лазера
бегущей волиы с нелинейным фильтром. Вернемся к схеме
лазера, показанной на рис. 7.14. Изменение интенсивности световой
волны при прохождении через усиливающую среду описывается
уравнением (7.108). Подобное уравнение применимо и для
описания взаимодействия с насыщающимся поглотителем. Дополняя
систему уравнением (7.119), которое адекватно учитывает
дисперсию лазерной системы, мы приходим к нужной нам модели лазера
rniij + Ci)
V от) тпо(т)
NIKs(r+C3)
f tui(t + Ci) - гп0(т) = А\л
m^T + d)
+^["г3(г + Сз)
R'
(7.127)
т1(т + С1)] = -АаЫ—,
(l + д^)Ыг + Со) = Rm3{T + Сз)-
Все обозначения уже были пояснены выше.

В указанных точках на периметре уравнениям (7.127)
удовлетворяют следующие соотношения между стационарными интен-
сивностями:
_ _ {А - Аа - 1) In R-1 - (p/6)m>(R - 1)
mi_mo = ГГф '
(7.128)
_ _ (А - ^-1) la Br1-mo{R-l)
тщ - тп3 = 77 ■
1-р/д
Величины m,- могут быть получены в явном виде только в случае
1-Д<1иЛа<1,и если оставить только два низших члена
разложения ln(m"i/m"o) в ряд Тейлора, то выражение для т"о совпадет
с (7.14). Полагая ниже р/5 <С 1 и используя (7.37)
_ А - Аа - 1
то= А> + 1 '
которое справедливо в указанном пределе, находим из (7.128):
mi - m0 и (А - 1) In R'1, ^-тзйЛ^Л- 1) In Л-1 (7.129)
Линеаризация (7.127) вблизи стационарного состояния (7.128)
приводит к характеристическому уравнению
(A + J + ff)(A+l+W.) (<оЛ)| (7.ш)
(А-И+ рт3)(А+ 1 +mi)(ТА+1) ^и " i >
которое трансформируется при условии \в\ -С i7 в
(J?2 + Dp(& + Cg) - (J?2 + Dg)(J?2 + С?)(Т^2 + 1)
^° (№ + Dl)(fP + C%)tffP + l)
(7.131)
Для компактности записи здесь использованы обозначения
С0 = 1 + тп0, Ci = l + m"i, Di = 6 + prfii, D3 = S + pm3.
Условие неустойчивости одночастотного режима лазера бегущей
волны может быть записано в виде неравенства
Dl ~ Dl > Ч^ГГТШ^^ + Ci) + Cl - Со2]. (7-132)
которое следует непосредственно из (7.131). Во всех реальных
ситуациях £22 ^> Cq, Су, что позволяет слегка упростить неравенство
(7.132):
_ __ П2 + (6 + ртзу
7711 Шз> рП2[2б + р(т1+т3)]Х
X fiW + (2 + то + mi) (mi - т0)]. (7.133)

Для быстро релаксирующих нелинейных фильтров 8 ~Э> р, £2, н
условие неустойчивости еще более упрощается, сведясь к
тх - т3 > YTp®1^ + (2 + "*° + ™i)(™i -™о)]. (7.134)
Рассмотрим несколько важных частных случаев:
1) fti ~3> ^min- Такое соотношение характерно для
твердотельных лазеров с L -С Lm\n. Это означает, что первый член
правой части (7.134) доминирует. Подставляя стационарное значение
(7.129) в (7.134), находим пороговое условие неустойчивости
А->А-=щх?$^- <7-135>
Пример 7.1
Nd:YAG лазер с быстрым нелинейным фильтром
р = 104; fli = 4 • 105; |
6 = 2-106; А = 2; | А? и 4 - Ю-3-
7 = 5- Ю-9; R = 0,9; |
2) i2\ -С ^min- Такое соотношение типично для всех лазеров
ci> I/mini включая лазеры на красителях. Неравенство (7.134)
переходит в
™*~™3 > ——(2 + 7710 + 771!). (7.136)
mi — то 2рПг
Дальнейшее упрощение возможно при условии что А™ -С 1 и
справедливы соотношения (7.129). Подставляя последние в (7.136),
находим критерий неустойчивости
SA
A*>/Z=W <7Л37)
Пример 7.2
Лазер на красителе с быстрым нелинейным фильтром
7|| = 2-10ес"1; р = 5]
7ца = 2 • 1010 с"1; 6 = 100; А? = 0,4.
L = 100 см; Я = 10;
А = 2;
Последний пример показывает, что в кольцевом лазере на
красителе одночастотный режим бегущей волны может потерять
устойчивость только при наличии внутри резонатора оптически
плотного нелинейного фильтра, начальное пропускание которого
сопоставимо с коэффициентом отражения зеркал. Поэтому
соотношение (7.137) может рассматриваться как весьма приблизительное.

Следует также помнить об эффекте комбинационного
взаимодействия мод, который обсуждался в гл. 4, но не учтен в данной
модели, хотя в лазерах на красителях он может играть заметную
роль.
Приведем для полноты еше один случай, который соответствует
твердотельному лазеру со сверхдлинным резонатором.
3) П\ к J3min- Члены в правой части (7.134) одного порядка
величины, так что приближенный критерий неустойчивости
выглядит как
ТП\ — ТПо р
Пример 7.3
Nd:YAG лазер с быстрым нелинейным фильтром
7|| = 5-103c~1; р = 104;
Тца = Ю10с-1; <5 = 2 -106;
7j*=1012c-1; т = 5-Ю-9;
А = 2;
Заслуживает внимания малость Асг. Столь малые нелинейные
потери, как в данном примере, могут создаваться примесями,
попадающими в активный элемент неконтролируемым образом при
его изготовлении или содержащимися в атмосферном воздухе.
Однако время установления многочастотного режима в присутствии
столь слабого нелинейного фильтра измеряется секундами.
Следовательно, такое явление может наблюдаться только в непрерывно
генерирующем лазере.
7.5.3. Мягкий и жесткий режимы формирования
ультракоротких импульсов в лазерах с нелинейными фильтрами. В
предыдущих разделах данной главы были установлены два важных факта:
а) условия как многомодовой генерации, так и пассивной
синхронизации мод лазера имеют пороговый характер; б) пороговые
значения таких управляющих параметров как оптическая плотность
нелинейного фильтра, вообще говоря, различны. Дело обстоит
довольно просто, если порог многомодовой генерации ниже порога
синхронизации мод. В этом случае реализуется мягкая
синхронизация. В обратном случае, когда порог фазовой синхронизации
превзойден, а порог многомодовой генерации с гладким спектром
без пропусков мод не достигнут, возможна жесткая
синхронизация. В этом случае одновременно существуют два устойчивых
режима: непрерывная генерация и периодическая
последовательность импульсов. Какой из этих режимов установится, зависит от
начальных условий. Так, устойчивая генерация
последовательности импульсов будет достигнута, если в резонатор лазера
инжектировать инициирующий импульс, но она не установится
самопроизвольно при включении лазера.
I
| А|г = 6 - КГ6.

Проиллюстрируем сказанное на примере твердотельного
кольцевого лазера. Для такого лазера условия фазовой
синхронизации мод выражаются неравенством (7.100), а условия многомо-
довой генерации однонаправленного лазера описываются
неравенством (7.135). Бистабильность, а значит и жесткая
синхронизация мод, имеют место в области исходных нелинейных потерь
^lock < j4a < j4^r Полагая рЛш ~Э> 7||» упрощаем неравенство
(7.116) и сводим необходимое условие жесткой синхронизации мод
^Ьск < ^сг к неравенству
IV3 „.„ Г 9~2
J- 4т2 ]1/3 —г °~2 11/3
Со < тг I тп;—,"ч, п-1 I ,T.e.L<— Т
7ц L^-lJbi?-1,
"(7.139)
Для Nd:YAG-na3epa (7ц = 5 ■ 103 с-1, у = 5 • Ю-9, А = 2, Д =
= 0,9) оценка на основе (7.139) дает L < 150 см. Следовательно,
твердотельный кольцевой лазер стандартных размеров допускает
жесткую синхронизацию мод.
В лазерах на красителях дела обстоят несколько по иному.
Здесь, в отличие от твердотельного лазера, скорость затухания
возмущений убывает с ростом частоты (рис. 7.5). Это означает,
что при 6{i2{) < 0 мы можем иметь в[П9) > 0 для д > 1, и
бифуркация сопровождается возбуждением продольных мод, удаленных
от центральной, а не ближайших к ней по частоте. Процесс будет
развиваться подобным образом, если удовлетворяется неравенство
mi — то 1р1г{
противоположное (7.136). Левая часть (7.140) меньше единицы,
благодаря чему 2 + thq + mi > 2. Поэтому неравенство
5>5С1 = рП\ = 4тг2р/С£ (7.141)
гарантирует выполнение неравенства (7.140). В предельном случае
.Ав -С 1 и 1 — Д<1 можно исходить из стационарных
соотношений (7.129) и получить более простой критерий
{>^Га (ъ>тъгт> (7Л42)
В сочетании с условием пассивной синхронизации мод (7.100),
неравенство (7.141) или (7.142) выражают необходимые условия
жесткой синхронизации мод лазера на красителе
Пример 7.4
р = 5; А = 2;
Со = 0,4; Аа = 0,4;
6„ = 250.

Разумеется, этот анализ не является исчерпывающим,
поскольку использована балансная модель, а в гл. 4 было показано, что
комбинационное взаимодействие мод заметно меняет динамику
многомодового лазера. Поэтому была исследована также модель
лазера бегущей волны с насыщающимся поглотителем без
адиабатического исключения поляризации обоих сред [582]. Чтобы
обеспечить устойчивую генерацию с одним импульсом в резонаторе,
параметры лазера задавались в соответствии с рекомендациями
работы [583]. Если время релаксации населенностей в
насыщающемся поглотителе выбиралось достаточно большим (6 <С <5Сг),
режим мягкой синхронизации мод с одним импульсом
устанавливался при любых начальных условиях.
Снижение времени релаксации до значений, удовлетворяющих
неравенству 8 > 8СТ, приводит к существенным изменениям в
поведении лазера. Так, при 8/8С1 = 2,5 начальный равномерный
профиль поля преобразуется в профиль с четырьмя или пятью
максимумами на периметре резонатора с неглубокой модуляцией.
На этом достаточно продолжительном этапе переходного процесса
поглотитель насыщается слабо. Следующий этап значительно
короче. Благодаря снижению минимумов профиля поля, глубина
модуляции начинает нарастать и только один импульс выживает
в результате конкуренции импульсов.
Следует сказать, что тенденция к удлинению переходного
процесса и его изменению при уменьшении времени релаксации
поглотителя отмечена также в работе [584]. По мере усиления
неравенства 5 > 8СГ, этап с неглубокой случайной модуляцией
становится более продолжительным. При 8 = 208С1 этот этап не
завершался к моменту окончания счета.
Между тем, совершенно иной процесс развивается после инжек-
ции в лазер одиночного импульса. Переходный процесс довольно
быстро завершается, если импульс вводится на начальном этапе и
он заметно возвышается над шумами.
Численные расчеты динамических процессов в кольцевом
лазере на красителе с насыщающимся поглотителем подтвердили
выводы, вытекающие из теоретического анализа. Пассивная
синхронизация мод затруднена, если время релаксации
населенностей в поглотителе мало. Этот режим может быть достигнут в
импульсном лазере только посредством жесткого инициирования,
поскольку очень затянут переходный процесс. В силу
ограниченности времени счета численное моделирование не дает ответа
на вопрос осуществима ли мягкая синхронизация мод в
лазере непрерывного действия с быстрым насыщающимся
поглотителем.
Численное решение уравнений типа Максвелла-Блоха
подтверждает наличие бистабильности, которая была обнаружена в
балансной модели лазера бегущей волны на красителе с
насыщающимся поглотителем. Однако альтернативным синхронизации
мод является, по-видимому, не одномодован генерация, а режим

с небольшим числом мод и непериодическими изменениями
профиля поля.
В заключение этой главы следует сказать, что в ней затронуты
отнюдь не все вопросы динамики лазеров с внутрирезонаторными
нелинейными элементами. Их список включает влияние
самофокусировки на процессы в лазере. В частности, отсутствует
систематический анализ устойчивости одномодовых лазеров при
наличии самофокусировки, обусловленной неоднородным насыщением
активной среды генерируемым полем.
Также за рамками этой главы остались многие аспекты
неадиабатической теории лазеров с насыщающимися поглотителями.
Причина в том, что эта теория многовариантна, и всесторонее
обсуждение требует чересчур много места. К тому же, этот
раздел теории не очень убедительно подтвержден экспериментами и
математические тонкости здесь пока явно превалируют над
физическими результатами.
Задачи динамики многомодовых лазеров с
частотно-селективными нелинейными элементами, которые несомненно
представляют интерес для внутрирезонаторной лазерной спектроскопии,
требуют дальнейшего рассмотрения. Прочное место в динамике
многомодовых лазеров должны занять такие нелинейные эффекты,
как вынужденное комбинационное рассеяние с малым стоксовым
сдвигом, когерентный захват населенностей в резонансных
средах с расщепленными уровнями и т.п. Эти эффекты имеют
значение как для пассивной синхронизации мод, так и для
низкочастотной динамики лазеров.
Не включены в книгу вопросы влияния случайного шума на
процессы в лазерах.

ПРИЛОЖЕНИЕ
Концепция индуцированных решеток в активной среде лазера
наиболее просто реализуется в базовых моделях многомодовых лазеров, если
ограничиться рассмотрением системы продольных мод
фк = у/2вт(щкС)<1С.
Здесь следует различать случаи большого (Ас 3> х) и малого (Ас < х)
межмодового частотного интервала.
Исходной для дальнейших преобразований служит система
уравнений (4.2), которую перепишем, используя нормировку времени г = 7||''-
У± + «f Дс*Л = § [jrtkdC - Л), (П.1а)
^=A-n-\T/Mf;p+fiP*)- (П1в)
В случае большого межмодового интервала и большого числа мод удобно
выбрать опорную частоту ы равной ыо, благодаря чему До = 0. Вводим
величину
1 1
Pi= I p4>idC = V2 /psm{irqiQdC,
о о
представляющую собой амплитуду решетки поляризации среды. Теперь
уравнение (Л.1а) перепишется как
^-.§Дс,Л = §(*>,-/,)• (П.2)
Перейдем к (П.16), обе части которого умножим на ipj и проинтегрируем
по периметру резонатора, что приводит к уравнению
Поскольку амплитуды поля и поляризации имеют временную
зависимость ехр(—»Д*т), процедура адиабатического исключения амплитуд
поляризации приводит к соотношению
Р' = 1^д7££(п7<+4)> (П.4)
з

где
i
nf, = Т Jп coe[7r(9i ± qi)C)dC (П.5)
о
Заметим, что nj^fc = по и njj"fc = п*. Это позволяет переписать (П.4) в
виде
Рк = Y^r^ [("о + nfc) Д + £ fj(njk + n/j] • (П.6)
Далее, используем полученные соотношения для преобразования (П.1в)
в уравнения для амплитуд решеток инверсии:
^ = -»;,"^Е J(fjP+fjPlsin(^C)cos[n(qti-qi/)C]dC. (П.7)
J о
Как и в п. 4.1.1, отбрасываем в (П.6) комбинационные суммы при
подстановке pj в (П.7), а таже пространственные гармоники, выходящие
за пределы спектра генерирующихся мод, и используем условие
гармонического баланса, полагая зависимость от времени п~„ ~ ехр[— »(А^—
—Д„)/т]. Это приводит к выражению
- _ 1 J>("o + п„) + J? (no + п„) ,
п*»—\ 1 + ,(А,-А^)/7 hh' (1L8j
Точно такое же выражение получается для п+. Подстановка в (П.6)
приводит к окончательной формуле для усиления, учитывающей четы-
рехволновое (комбинационное) взаимодействие мод:
J» - П [(no + nk)fk - - ^ l + iiAv_A(i)n UUh-^\ ■
(П-9)
Подставив (П.9) в (П.2), мы приходим к уравнению
§4Ы(п°+п*)д-
?,»
Вместе с материальными уравнениями из системы (4.40), которые мы
воспроизведем ниже,
-^ = А0- п0(1 + Y^CJmJ) ~ Z)£J'mJni' (П.106)
3=1 ' j=l

л/-
-£ = -nfc f 1 + ^2,CjTTij J - -Ckmkn0, (П.Юв)
i=i
уравнение (П. 10a) образует замкнутую систему. Она переходит в (4.40),
если пренебречь комбинационной суммой в (Л.10а). Эта система
уравнений является частным случаем (4.9), но следует иметь в виду, что rifcfc в
(4.9) соответствует no + nfc в (П. 10).
Уравнения модели лазера с двумя близкими по частоте продольными
модами получим из той же базовой системы (П. 1). Здесь, однако, удобнее
взять в качестве опорной частоту одной из мод, ы\. Поэтому вместо (П.4)
имеем
= T^W?/j(n^ + n^- (П11)
Рк
Малая величина межмодового интервала принципиально исключает
возможность выразить явно п~и и п+, через остальные переменные подобно
(П.8) и остается лишь записать для этих переменных
дифференциальные уравнения. Это несложная процедура приводит к системе уравнений
двухмодовой модели с фазочувствительным взаимодействием:
^ = f {- Л + 1_\АоШп° + "О + Л("Га + "12)]}.
^ = 1{~(1 + /?+ ,Лс)/2 + ГЗТд [/2(П0 + П2) + /l(ni"2 + п*2)1}'
^ = А - По - ГЗд|[По(|/112 + |/2|3)+
+ni|/i|2 + п2|/2|2 + (/Г/2 + ЛЛЖг + п+)],
^ = -ш - тзд2 К(1Л12 + 1М2)+ (П12)
+^п0|Л|2 + \{Tih + /1/2)(»« + »Ь)] •
^2- = -П2-Т^д2[п2(|/1|2+|/2|2) +
+^п0|/3|2 + |(/Г/2 + л Л )(»й + »Ь)].
^Г = ~п*2 - ГГд2 ^2(|Л|2 +1/2|2)+
+ ^f2(l/l|2 + 1Л12) + |(ЯЛ + ЛЛ)(«0 + П1 + П2)].

ОБОЗНАЧЕНИЙ
а — радиус пучка
ао — невозмущенное значение радиуса пучка
aj — коэффициент характеристического уравнения
А — параметр накачки (отношение ненасыщенной инверсии к
ее пороговому значению)
АС1 — критическое значение параметра накачки,
соответствующее порогу неустойчивости лазера
Ав. — нормированная исходная плотность насыщающегося
поглотителя
А" — критическое значение Ав, соответствующее порогу
неустойчивости лазера
Ах°сУ — плотность насыщающегося поглотителя,
соответствующая порогу синхронизации мод
— радиус зеркала
— вектор магнитной индукции
— коэффициент Эйнштейна
— скорость света в вакууме
— скорость света в среде
— вектор дипольного момента
— модуль дипольного момента
— матричный момент дипольного оператора
— нормированный коэффициент диффузии
— вектор электрической индукции
— инверсия (разность населенностей)
— ненасыщенное значение инверсии
— пространственная гармоника инверсии
— коэффициент разложения электрического поля по модам
— вектор напряженности электрического поля
— быстрозатухающая составляющая поля в открытом
резонаторе
Ео — амплитуда электрического поля
Е\(г) — собственная функция резонатора
£ — модуль амплитуды электрического поля
£± — амплитуды встречных волн
£±\ — боковые компоненты спектра модулированного поля
/ — нормированная комплексная амплитуда поля
Д — нормированная комплексная амплитуда моды
/± — нормированные амплитуды встречных волн
F — фокусное расстояние
6
В
В
с
d
d
d
dmn
dd\f
D
D
£>(°)
Dx
E
-C'damp

.Fb — невозмущенное значение эффективного фокусного
расстояния
Fn\ — фокусное расстояние нелинейной линзы
F — комплексная амплитуда моды
F\ — амплитуда моды
■Feat — насыщающее значение амплитуды поля
Fcoh — амплитуда поля, соответствующая когерентному
взаимодействию поля и вещества
— функция, характеризующая дисперсию системы
— функция, характеризующая нелинейность системы
— комплексная функция лорентцевой формы линии
плотность состояний в энергетической зоне
— большой параметр в теории лазеров класса В
— чистое усиление (разность усиления и потерь)
— балансная часть усиления моды
— вклад в усиление моды, обусловленный комбинационным
взаимодействием мод (четырехволновым смешением)
— функция распределения
— коэффициент разложения магнитного поля по модам
— вектор напряженности магнитного поля
— собственная функция резонатора
— гамильтониан
— вектор плотности тока
— волновое число
— поперечная компонента волнового вектора
— постоянная Больцмана
— коэффициент усиления
— коэффициент усиления модуляции потерь (передаточная
функция)
•Kpump — коэффициент усиления модуляции накачки
-Ktotai — передаточная функция многомодового лазера по полной
интенсивности
Kj — передаточная функция многомодового лазера по
интенсивности отдельной моды
/ — нормированная длина резонатора
L — длина резонатора в сантиметрах
LB — длина активного элемента
LCI — критическое значение длины резонатора
Ln\ — толщина слоя нелинейной среды
V — эффективная длина резонатора
С — лорентцева функция формы линии
т — нормированное число фотонов; нормированная интесив-
ность поля излучения
т — стационарное значение m
pnl
g{W)
G
Q
£bal
comb
Q
h
H
Hx(r)
7i
3
к
k±
*в
''gain
■Kloes

m — амплитуда отклика интенсивности на модуляцию
параметра (§6.1); квазистационарное значение
интенсивности в модели лазера с монотонным изменением
параметра (§6.2)
то, т± — стационарные состояния (§ 7.2)
М — вектор намагниченности
М — число фотонов
п — единичный вектор нормали к поверхности
п —- нормированная разность населенностей (инверсия)
п — стационарное значение инверсии
п — амплитуда отклика инверсии на модуляцию параметра
(§ 6.1); квазистационарное значение инверсии в модели
лазера с монотонным изменением параметра (§ 6.2)
г»2 — нормированная населенность одного из лазерных
уровней (§ 3.5)
г»2г — модуль амплитуды решетки инверсии (гл. 5)
r»s — нормированная плотность молекул
пт — разность населенностей в модели парамагнитного
мазера
пв — нормированная разность населенностей в поглотителе
r»d — инверсия, достигаемая к концу линейного этапа
формирования импульса
nt — амплитуды мелкомасштабных пространственных
решеток инверсии
njt — амплитуды крупномасштабных пространственных
гармоник инверсии
N — разность населенностей в единице объема
Ns — полное число молекул в единице объема
iVeff — эффективное значение разности населенностей
N(°) — ненасыщенная разность населенностей
р — нормированная комплексная амплитуда поляризации
атомной системы
Р — вектор поляризации среды
Р — комплексная амплитуда поляризации атомной системы
P±i — комплексные амплитуды встречных волн поляризации
Pout — мощность на выходе лазера
V — модуль амплитуды поляризации атомной системы
q — параметр неоднородного уширения; квадратичная
переменная
Q — добротность резонатора
Qe —- добротность резонатора, обусловленная связью с
окружающей средой
Q, — добротность резонатора, обусловленная потерями в
стенках
Qv — добротность резонатора, обусловленная объемными
потерями

г — радиус-вектор
г — квадратичная переменная
г, г± — модули коэффициентов связи встречных волн
гсг — критическое значение коэффициента связи мод
R — энергетический коэффициент отражения зеркала;
параметр, пропорциональный полному числу молекул
активной среды в теории трехуровневого лазера (§ 3.5)
s — квадратичная переменная; параметр в теории лазеров с
неоднородным уширением (§ 4.5)
. S — поверхность; сумма населенностей
t — время в секундах
tа — время жизни молекулы на энергетическом уровне
tcor — время корреляции
tа — время задержки
tmn — время спонтанного перехода с уровня m на уровень п
ttrane — постоянная времени апериодического процесса
установления в газовом лазере
Г — температура; период колебаний
Т\ — время релаксации разности населенностей
(«продольное» время релаксации атомной системы)
Тг — время релаксации поляризации («поперечнное» время
релаксации атомной системы)
Тс — время жизни фотона в резонаторе
Тр — длительность импульса
То — время полного обхода резонатора световой волной
и — нормированная скорость
usw — нормированная скорость свипирования параметра
usw — критическая скорость свипирования параметра, выше
которой не выполняется критерий адиабатичности
U — скорость в сантиметрах в секунду
С/о — наиболее вероятное значение скорости молекул
v — объем (нормированный)
v, — объем активной среды (нормированный)
V — объем в кубических сантиметрах
K-efl — скорость движущегося отражателя
Vi — резонансное значение скорости движущегося
отражателя
Veft — эффективная скорость удлинения резонатора
wmn — вероятность релаксационного перехода между
энергетическими уровнями тип
Wj — вероятность распада j-то энергетического уровня
Wep — вероятность спонтанного испускания в моду резонатора
Wpump — вероятность квантового перехода, индуцированного
накачкой
Wj — вероятность накачки на j-й энергетический уровень
W — энергия

Wo — энергия запрещенной зоны
x,y,z — декартовы координаты
Z — импеданс
а — фактор неизохронности (избыточного уширения
линии генерации) лазера; фактор Генри
/3 — глубина модуляции параметра
Ра — эффективное изменение разности населенностей
на один акт излучения фотона
/?с_„ — глубина модуляции сечения квантового перехода
/3е1 — значение глубины модуляции параметра,
превышение которого делает отклик лазера нелинейным
(5k — доля избыточных потерь fe-й моды по отношению
к эталонной моде; глубина модуляции потерь fc-й
моды
Аовв — глубина модуляции потерь
/?pump — глубина модуляции накачки
/?nr — амплитудная невзаимность кольцевого резонатора
/3± — отклонения величин потерь встречных волн в
кольцевом лазере от среднего значения
7ц — скорость релаксации инверсии
7± — скорость релаксации атомной поляризации
7 — безразмерная скорость релаксации
7 — отношение продольной и поперечной констант
релаксации среды
7i,2 — комплексные параметры (§ 5.3)
Г — скорость кросс-релаксации
Г — нормированная скорость кросс-релаксации
S — параметр в теории лазера с насыщающимся
поглотителем (гл. 7)
5ц,, — символ Еронекера
6х — отклонение текущего значения переменной от ее
среднего значения
6шс — полуширина полосы резонатора
&jd — полуширина доплеровской линии
(<£ИпЬ.) — полуширина неоднородной линии
о (<^о) — полуширина однородной спектральной линии
£"sel — полуширина полосы селектора
А — нормированный частотный интервал между
продольными модами
Дш — межмодовый частотный интервал
Де — относительная отстройка частоты поля от частоты
резонатора
А* — относительная отстройка частоты генерации от
собственных частот встречных мод кольцевого
резонатора

Дск — относительная отстройка к-й моды резонатора от центра
спектральной линии
Асг — критическая расстройка, соответствующая порогу
неустойчивости кольцевого лазера
Afc — относительная отстройка к-й компонеты генерируемого
поля от центра линии усиления
Alas — полуширина спектра генерации
A„ei — относительная отстройка частоты генерации от центра
полосы селектора
Anr — фазовая невзаимность кольцевого резонатора
До — относительная отстройка частоты поля от центра линии
А' — относительный интервал между частотами двух
компонент линии усиления
До — ' относительная отстройка частоты генерации от частоты
более слабой компоненты линии усиления
Arf — угловая расходимость лазерного излучения
Атк — запаздывание к-й моды по отношению к эталонной
Acjd — доплеровский сдвиг частоты
е — диэлектрическая постоянная
евр — вероятность спонтанного испускания в моду резонатора
Е\р — параметры эллиптичности собственных функций (§ 5.3)
С — безразмерная декартова координата
г] — показатель преломления; относительное отклонение
инверсии от порогового значения
7?о, т?2 — коэффициенты разложения показателя преломления в
ряд по степеням поля
#А> #в — декременты фазочувствительных релаксационных
колебаний
во — скорость апериодического переходного процесса в газовом
лазере
01 — декремент фундаментального релаксационного колебания
0fc>i — декременты низкочастотных релаксационных колебаний
i9 — угол
rf± — фазы коэффициентов обратного рассеяния встречных
волн в кольцевом резонаторе
к — скорость затухания поля в резонаторе
х± — скорости затухания встречных волн в кольцевом
резонаторе
>с — нормированная скорость затухания поля в резонаторе
ж — отношение констант релаксации поля и поляризации
атомной системы
Л — длина волны; корень характеристического уравнения
Aj — параметр, характеризующий скорость перехода молекулы
на j-ft уровень под действием накачки
Л(и) — дифференциальный параметр накачки среды с
неоднородным (доплеровским) уширением

Athr — пороговое значение дифференциального параметра
накачки
ft — магнитная восприимчивость
v — частота
fc'eei — частота селектора
{ — коэффициент заполнения
£± — коэффициент связи встречных волн в кольцевом
резонаторе
ITdiffr — относительные дифракционные потери резонатора за
обход
Ilioee — относительные потери резонатора за обход
р — матрица плотности; безразмерная радиальная
координата; параметр в теории лазера с насыщающимся
поглотителем (гл.7);
р± — нормированный комплексный коэффициент связи
встречных волн
о — проводимость
"■| °mn — амплитуда матрицы плотности
(т™п — матрица плотности в состоянии термодинамического
равновесия
<rtr — сечение квантового перехода
г — нормированное время
Td — время задержки
гр — длительность импульса
го — временной интервал между импульсами
(р, ф, Ф — фаза
у>е — фаза электрического поля
у>р — фаза атомной поляризации
X — восприимчивость
Т — коэффициент оптоэлектронной обратной связи
фк — собственные функции (моды) резонатора
и — частота в обратных секундах
ш, П — безразмерная частота
^с ^с* — собственная частота резонатора
ы* — собственные частоты кольцевого резонатора
ын. — частота Раби
ш0 — центр спектральной линии
Qa.b — частоты фазочувствительных релаксационных
колебаний в кольцевом лазере
fii — частота фундаментального релаксационного колебания
fifc>i — частоты противофазных релаксационных колебаний

СЛОВАРИК
Аттрактор (Attractor) — множество в фазовом
пространстве, к которому стягиваются все траектории из некоторой зоны,
именуемой областью притяжения или бассейном аттрактора.
Адиабатическое быстрое прохождение (Adiabatic rapid
passage) — процесс достижения инверсии населенностей в
результате свипирования расстройки между частотой излучения накачки
и частотой квантового перехода с прохождением через резонанс.
Скорость перестройки ограничена снизу константами релаксации
атомной системы, а сверху — условием адиабатичности, что
обеспечивает сохранение квазиравновесия между состоянием атомной
системы и полем излучения в течение всего процесса.
Бистабилъностъ (Bistability) — наличие в фазовом
пространстве динамической системы двух аттракторов одновременно.
Бифуркация (Bifurcation) — переход от одного топологически
устойчивого фазового портрета к другому через топологически
неустойчивое состояние при изменении управляющего параметра.
Бифуркация Андронова-Хопфа (Andronov-Hopf Bifurcation) -
переход порога неустойчивости системы, при котором происходит
смена знака действительной части комплексного
характеристического корня и выше которого устанавливается режим
незатухающей автомодуляции излучения. Различают субкритическую
бифуркацию, когда конечная амплитуда колебаний скачком
устанавливается сразу же за точкой бифуркации, и суперкритическую
бифуркацию, когда на пороге неустойчивости амплитуда
колебаний интенсивности излучения бесконечно мала, но она растет по
мере удаления управляющего параметра от порогового значения.
Вектор Блоха (Block's vector) — обобщение вектора
намагниченности парамагнетика на случай двухуровневой системы
произвольной природы. Компонентами вектора Блоха для среды из
атомов с электродипольным переходом служат разность
населенностей рассматриваемых уровней и поляризация.
Внутрирезонаторная лазерная спектроскопия (Intracavity
laser spectroscopy) — высокочувствительный метод абсорбционной
спектроскопии, заключающийся в том, что исследуемая среда с
узкими спектральными линиями помещается внутрь резонатора
многомодового лазера с широким спектром генерации.
Исследуемый спектр поглощения находит свое отражение в спектральном
профиле генерации лазера.

Вторичные биения (Secondary beats) — разность частот
биений (биения биений) спектральных компонент излучения.
Проявляются в многомодовых лазерах с неэквидистантным спектром
генерации.
Второй порог лазера (Second laser threshold) —
бифуркационное значение управляющего параметра, соответствующее порогу
неустойчивости стационарной генерации.
Гигантский импульс (Giant pulse) — мощный короткий
импульс, излучаемый лазером после резкого выключения
избыточных потерь, которые специально вводятся в резонатор для
предотвращения генерации до момента достижения нужной
населенности верхнего лазерного уровня.
Динамический или детерминированный хаос (Dynamical or
deterministic chaos) — непериодический процесс в системе с
конечным числом степеней свободы без флуктуации,
характеризующийся высокой чувствительностью отдельной реализации к
начальным условиям.
Естественные флуктуации (Natural fluctuations) —
флуктуации в системе, обусловленные такими принципиально
неустранимыми источниками как спонтанные переходы в активной среде и
тепловое излучение в резонаторе.
Жесткое возбуждение генерации (Hard excitation) имеет
место в случае оптической бистабильности, когда одному из
устойчивых положений равновесия соответствует отсутствие генерации.
При этом инициировать работу лазера можно только инжекцией
внутрь резонатора достаточно мощного затравочного излучения.
Жесткая синхронизация мод (Hard mode locking) имеет
место в том случае, когда порог многомодовой генерации выше порога
синхронизации мод. Для выхода такого лазера на режим
устойчивой генерации ультракоротких импульсов в его резонатор должен
быть инжектирован инициирующий импульс.
Исследование на устойчивость (Linear stability analysis) —
метод определения устойчивости особых точек или особых
траекторий (предельныхциклов), предполагающий линеаризацию
уравнений вблизи рассматриваемого решения с последующим
определением того, является ли наложенное возмущение затухающим
или же оно нарастает во времени.
Квазипериодичность (Quasiperiodisity) — колебательный
процесс, спектр которого содержит компоненты с несоизмеримыми
частотами.
Кинематическая модуляция (Kinematic modulation) —
модуляция излучения лазера на частоте доплеровского сдвига, которая
является результатом появления внутри резонатора компоненты,
отраженной от какой-либо движущейся поверхности.

Когерентное взаимодействие поля и вещества (Coherent
interaction) — взаимодействие поля с атомной системой,
находящейся в когерентном состоянии.
Когерентное состояние (Coherent state) —
термодинамически неравновесное состояние атомной системы,
характеризующееся наличием отличного от нуля недиагонального элемента
матрицы плотности (когерентности), что эквивалентно
существованию поперечной компоненты вектора Блоха или, другими словами,
поляризации среды, осциллирующей с чатотой квантового
перехода.
Комбинационное взаимодействие мод (Combination tone
mode-mode coupling) — явление, заключающееся в том, что каждая
пара мод, генерируемых лазером, инициирует колебания населен-
ностей лазерных уровней на частоте биений, и результатом
рассеяния поля третьей моды на этих колебаниях является
возникновение сдвинутой по частоте компоненты — комбинационного тона.
Попадая в окрестность четвертой моды, комбинационный тон
действует на нее подобно вынуждающей силе, в результате чего вся
четверка мод оказывается связанной.
Комбинационный захват мод (Combination mode locking) —
явление, обусловленное комбинационным взаимодействием мод и
заключающееся в нелинейном сдвиге частот, благодаря которому
достигается эквидистантный спектр генерации несмотря на
исходно неэквидистантный спектр собственных частот
резонатора.
Кризис аттрактора (Attractor crisis) — явление внезапного
расширения, сжатия или исчезновения аттрактора при
изменении управляющего параметра. Причиной кризиса может явиться
столкновение (слияние) двух аттракторов или столкновение
аттрактора с неустойчивым множеством.
Ляпуновские показатели (Lyapunov exponents) являются
мерой скорости разбегания двух близких фазовых траекторий.
Величины и знаки ляпуновских показателей позволяют различать
периодические, квазипериодические и хаотические аттракторы. В
первых двух случаях экспоненциальное разбегание первоначально
близких траекторий отсутствует и все ляпуновские показатели
отрицательны или равны нулю. Наличие по крайней мере одного
положительного показателя является признаком странного
(хаотического) аттрактора.
Мулътистабилъностъ (Multistability) — наличие в фазовом
пространстве динамической системы нескольких аттракторов
одновременно.
Невзаимность резонатора (Nonreciprocity) — отличие
условий распространения для встречных волн в кольцевом резона-

торе. При аплитудной невзаимности неодинаковы потери
встречных волн, а при фазовой невзаимности различны их фазовые
скорости. К фазовой невзаимности приводит, например, эффект
Саньяка во вращающемся кольцевом резонаторе или
интерферометре. Создать аплитудную невзаимность можно внесением в
резонатор вентиля с ячейкой Фарадея.
Неизохронность (Nonisochronity) — зависимость частоты
колебаний в нелинейной системе от амплитуды колебаний.
Нелинейная линза (Nonlinear lens) — неоднородный профиль
показателя преломления, наведенный в прозрачной нелинейной
среде.
Низкочастотная когерентность (Low-frequency coherence) -
недиагональный элемент матрицы плотности, характеризующий
суперпозицию близко расположенных уровней квантовой системы.
Обобщенная мулътистабилъностъ (Generalized multistabili-
ty) — наличие в фазовом пространстве динамической системы
нескольких аттракторов, причем, хотя бы один из них не является
особой точкой.
Обратные задачи динамики лазеров (Inverse problems of laser
dynamics) — способы определения параметров лазера по
особенностям его динамического поведения.
Основное состояние (Ground state) — состояние молекулы
(атома), обладающее наименьшей энергией.
Особая точка (Fixed point) — точка в фазовом пространстве
динамической системы, соответствующая стационарному
состоянию.
Пассивная модуляция добротности (Passive Q-modulation) -
изменение добротности благодаря насыщению поглощения в среде,
находящейся внутри резонатора лазера, генерируемым
излучением.
Перемежаемость (Intermittency) — сценарий перехода от
периодического к хаотическому решению, характеризующийся тем,
что при превышении управляющим параметром некоторого
критического значения регулярные колебания в динамической системе
прерываются всплесками нерегулярного поведения. Длительность
хаотических этапов достаточно регулярна и слабо зависит от
управляющего параметра. Средняя длительность регулярных этапов
уменьшается по мере роста управляющего параметра над
критическим значением, и, в конце концов, вообще обращается в
нуль.
Предельный цикл (Limit cycle) — замкнутая траектория в
фазовом пространстве, соответствующая периодическим колебаниям
в динамической системе.

Раби-осцилляции (Rabi oscillations) — нутационные
колебания вектора Блоха, возбуждающиеся при помещении атомной
системы в достаточно сильное резонансное поле излучения. Частота
раби-осцилляций пропорциональна амплитуде поля и дилольному
моменту квантового перехода. Проявляются эти осцилляции в том
случае, если частота Раби превышает скорости всех
релаксационных процессов в среде.
Размерность аттрактора (Attractor dimension) — понятие,
которое лучше всего пояснить на конкретных примерах.
Бесконечное множество обобщенных размерностей <£& (к = 0,1,2,...)
определяется как
здесь / — длина границы каждой из гиперкубических ячеек, на
которые разбито рассматриваемое фазовое пространство, р; —
вероятность попадания изображающей точки в ячейку под номером
t. Величина do называется хаусдорфовой размерностью:
do = Km . , »
где N(l) — минимальное число ячеек, необходимое для того, чтобы
покрыть весь объект. Для таких объектов, как точка, сегмент
линия, поверхность или тело в обычном пространстве, величина do
дается целым числом 0,1,2,3, т.е. хаусдорфова размерность
совпадает с геометрической или топологической размерностью.
Аттрактор, обладающий дробной размерностью, называется
странным аттрактором.
Размерность первого порядка
igi
включает величину Y2Pi IgKi подобную энтропии. Поэтому d\
называется информационной размерностью.
Размерность второго порядка определяется как
Для больших значений N, сумма YIpI представляет собой
вероятность того, что произвольная пара точек, принадлежащая данному
множеству, находится в одной и той же ячейке. Это
приблизительно совпадает с корреляционным интегралом, который дает
вероятность того, что в любой произвольно выбранной паре точки
отстоят друг от друга на расстояние меньшее /. Поэтому d-i
называется корреляционной размерностью. Практический алгоритм

вычисления а\ был разработан Грассбергером и Прокаччиа [376,
377].
Резонансная модуляция параметров лазера (Resonance
modulation of laser parameters) — модуляция параметров с частотой,
совпадающей с какой-либо из собственных частот системы,
например, с частотой релаксационных колебаний, частотой межмодовых
биений и т.п.
Релаксационные колебания (Relaxation oscillations) —
затухающие колебания интенсивности излучения и инверсии, при
установлении режима стационарной генерации в лазерах класса В.
Релаксационные колебания образуют систему собственных
низкочастотных колебаний лазера, существующую выше порога
генерации в дополнение к системе оптических мод.
Сверхизлучение (Superradiance) — излучение
электромагнитного поля квантовой системой, находящейся в когерентном
состоянии. Интенсивность сверхизлучения пропорциональна квадрату
числа активных молекул.
Свободная генерация (Free running mode of operation) —
режим генерации, реализующийся в отсутствие внешних
воздействий на лазер.
Странный аттрактор (Strange attractor) — притягивающее
множество, в котором отсутствуют устойчивые фазовые
траектории. Это означает, что расстояние между любой парой
траекторий, начинающихся в близко расположенных точках фазового
пространства, экспоненциально увеличивается во времени. Поскольку
обычные траектории не могут пересекаться, странные аттракторы
существуют только в фазовом пространстве с размерностью не
менее трех, хотя размерность странного аттрактора может быть и
меньшей (но большей двух). Странный аттрактор соответствует
непериодическому процессу нелинейной динамической системы.
Сценарий Рюеля-Такенса (Roelle-Takens scenario) — переход
к хаосу, характеризующийся наличием стадии
квазипериодических колебаний на пути от регулярного к хаотическому
поведению.
Сценарий Фейгенбаума или последовательность удвоений
периода (Feigenbaum scenario) представляет собой
последовательность бифуркаций с удвоением периода при изменении
управляющего параметра.
Технические флуктуации (Technical fluctuations) —
стохастические изменения характеристик излучения, вызванные флуктуа-
циями параметров лазера, механизмом которых могут быть
механические вибрации узлов, случайные изменения температуры и
т.п.

Укороченные уравнения (Abbreviated equations) — уравнения
для медленно меняющихся амплитуд и фаз колебательной системы,
которые получаются в результате усреднения исходной системы
уравнений по периоду высокой опорной частоты, имеющей тот же
масштаб, что и частота собственных колебаний системы.
Условие низкой добротности резонатора (Bad cavity
condition) заключается в том, что ширина полосы пропускания
резонатора одного порядка или больше ширины линии усиления атомной
системы.
Фрактал (Fractal) — геометрический объект, размерность
которого не является целым числом.
Фазовая диаграмма (Phase diagram) — разбиение
пространства параметров динамической системы на области с качественно
разным поведением.
Фазовая траектория (Phase space trajectory) — кривая,
отражающая движение изображающей точки в фазовом пространстве
в процессе эволюции динамической системы.
Фазовый портрет (Phase portrait) — семейство
интегральных кривых в фазовом пространстве динамической системы.
Четырехволновое смешение (Four-wave mixing), см.
Комбинационное взаимодействие мод

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ярив А. Квантовая электроника: Пер. с англ. /Под ред. Я.И. Ха-
нина. — М.: Сов. радио, 1980.
2. Карлов Н.В. Лекции по квантовой электронике. — М.: Наука, 1986.
3. Клым1ко Д.Н. Физические основы квантовой электроники. — М.:
Наука, 1986.
4. Зеелтпо О. Принципы лазеров: Пер. с англ. / Под ред. Т.А. Шмао-
нова. — М.: Мир, 1984.
5. Пантпел Р., Путхоф Г. Основы квантовой электроники: Пер. с
англ. /Под ред. Ю.А. Ильинского. — М.: Мир, 1972.
6. Файн В.М., Ханин Я.И. Квантовая радиофизика. — М.: Сов. радио,
1965.
7. Страховский Г.М., Успенский А.В. Основы квантовой
электроники. — М.: Высшая школа, 1979.
8. Siegman A. Lasers. — Mill Valley: Univ. Sci. Books, 1986.
9. Milloni P., Eberly J. Lasers. — N.Y.: John Wiley a. Sons, 1988.
10. Басов Н.Г., Прохоров A.M. //ЖЭТФ. 1954. Т. 27. С. 431.
11. Gordon J.P., Zeiger H.J., Townes C.H. //Phys. Rev. 1954. V. 95.
P. 282.
12. Schawlow A.L., Townes C.H. //Phys. Rev. 1958. V. 112. P. 1940.
13. Maiman Т.Н. // Nature. 1960. V. 187. P. 493.
14. Javan A., Bennett W.R., HerriottD.R. //Phys. Rev. Lett. 1961. V. 6.
P. 106.
15. Кочаровская O.A., Ханин Я.И. //Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 48.
С. 581.
16. Harris S. //Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 1033.
17. Scully M., Zhu S.Y., Gavrielides A. //Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62.
P. 2813.
18. Попов А.К. Введение в нелинейную спектроскопию. —
Новосибирск: Наука, 1983.
19. Arkhipkin V.G., Heller Yu.L //Phys. Lett. 1983. V. A-98. P. 12.
20. Nottelmann A., Peters C, Lange W. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70.
P. 1783.
21. Zibrov A.S., Lukin M.D., Nikonov D.E. et al. // Phys. Rev. Lett. 1995.
V. 72. P. 1499.
22. Baldwin G.C, Solem J. //Rev. Mod. Phys. 1998. V. 69. P. 1085.
23. Arecchi F.T., Harrison R.G. — N.Y. etc.: Springer-Verlag, 1987. P. 9.
24. Ханин Я.И. Динамика нестационарных режимов твердотельных
лазеров: Докт. дис. — Горький, Институт прикладной физики АН
СССР, 1981.
25. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая
динамика: Пер. с англ./ Под ред. Б.В. Чирикова — М.: Мир, 1984.

26. Шустер Г. Детерминированный хаос: Пер.с англ. /Под ред.
А.В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича. — М.: Мир, 1988.
27. Ораеоский А.Н. Молекулярные генераторы. — М.: Наука, 1964.
28. Белянин А.А., Кочаровский В.В., Кочаровский Вл.В. //Изв. РАН:
Физ. 1998. Т. 62. С. 372.
29. Белянин А.А., Калугин Н.Г., Кочаровский В.В.,
Кочаровский Вл.В. //Изв. РАН: Физ. 1999. Т. 63. С. 369.
30. Уиллетт К.С. //Справочник по лазерам /Под ред. A.M.
Прохорова.—М.: Сов. радио, 1978. Т. 1. С. 11.
31. Casperson L. W. //J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 62.
32. Hoffer L.M., Chyba Т.Н., Abraham N.B. //J. Opt. Soc. Am. 1985.
V. B-2. P. 102.
33. Gioggia R.S., Abraham N.B. // Opt. Commun. 1983. V. 47. P. 278.
34. Lefebvre V., Dangoisse D., Glorieux P. //Phys. Rev. 1984. V. A-29.
P. 2758.
35. Lawandy N.M., Koepf G.A. //IEEE J. Quant. Electron. 1980. V. QE-
16. P. 701.
36. Vass A., Wood R.A., Davis B.M., Pigeon C.R. II Appl. Phye. 1982.
V. B-27. P. 187.
37. Weiss CO., Klische W. //Opt. Commun. 1984. V. 50. P. 413.
38. Weiss CO., Klische W. //Opt. Commun. 1984. V. 51. P. 47.
39. Weiss CO., Klische W., Ering P.S., Cooper M. //Opt. Commun.
1985. V. 52. P. 405.
40. Klische W., Weiss CO. //Phys. Rev. 1985. V. A-31. P. 4049.
41. Weiss CO., Abraham N.B., Hubner U. //Phye. Rev. Lett. 1988.
V. 61. P. 1587.
42. Weiss CO. //Instabilities and Chaos in Quantum Optics II/ Eds
N.B. Abraham, F.T. Arecchi, L.A. Lugiato. — N.Y.: Plenum Press,
1988. P. 41.
43. Watts R.K. //J. Opt. Soc. Am. 1971. V. 61. P. 123.
44. Lau K.Y. //Opt. a. Photon. Newe. 1997. V. 8,№ 4. P. 27.
45. Броуде B.JI., Машкееич B.C., Прихотько А.Ф. и др. //ФТТ. 1962.
Т. 4. С. 2976.
46. Powel R.C., Xi Lin, Gang Xu, Quarles G.J. //Phys. Rev. 1985. V. B-
32. P. 2788.
47. Moulton P.F. //J. Opt. Soc. Am. 1986. V. B-3. P. 125.
48. Губин M.A., Попов А.И., Проценко Е.Д. //Оптика и
спектроскопия, 1968. Т. 25. С. 736.
49. Ahn T.D., Dietel W. //Opto-Electronics. 1973. V. 5. P. 243.
50. Кривощеков Г.В., Телегин Г.Г., Фолин К.Г. //Изв. вузов: Рвдио-
физ. 1967. Т. 10. С. 1656.
51. Епифанов В.П., Мазанько И.П., Ярошенко Н.Г. //Радиотехн. и
электрон. 1967. Т. 12. С. 1517.
52. Bambini A., Burlamacchi P. //Appl. Phye. Lett. 1963. V. 10. P. 189.
53. McFarlane R.A., Bennett W.R.,Jr., Lamb W.E.,Jr. //Appl. Phye.
Lett. 1963. V. 2. P. 189.

54. Беннет В. /I Лазеры: Пер. с англ. / Под ред. М.Е. Жаботинского и
Т.А. Шмаонова. — М.: ИЛ, 1963. С. 207.
55. Четвериков В.И. //Письма в ЖТФ. 1985. Т. 11. С. 460.
56. Halas N.J, Liu S.-N, Abraham N.B. //Phye. Rev. 1983. V. A-28.
P. 2915.
57. Weiss CO., King H. //Opt. Commun. 1982. V. 44. P. 59.
58. Weiss CO., Godone A., Olafsson A. //Phye. Rev. 1983. V. A-28.
P. 892.
59. HUlman L.W., Krasinski J., Boyd R.W., Stroud СR., Jr. //Phys.
Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 1605.
60. Stroud CR.,Jr., Koch K, Chakmakjian S. //Opt. Instabilities/ Eds
R.W. Boyd, M.G. Raymer, L.M. Narducci. — Cambridge etc:
Cambridge Univ. Press, 1986. P. 274.
61. Hillman L.W., Krasinski J., Koch K., Stroud CR.,Jr. /13. Opt. Soc.
Am. 1985. V. B-2. P. 211.
62. Айвазян Ю.М., Баев B.M., Кочанов А.А., Коваленко C.A.
//Квант, электрон. 1986. Т. 13. С. 1723.
63. Виноградов С.Е., Кочанов А.А., Коваленко С.А., Свириден-
ков Е.А. //Письма в ЖЭТФ. 1992. Т. 55. С. 581.
64. Баев В.М., Беликова Т.П., Коваленко СА. и др. //Квант,
электрон. 1980. Т. 7. С. 903.
65. Aivasjan Yu.M., Ivanov V.V., Kovalenko S.A. et al. //Appl. Phye.
1988. V. B-2. P. 175.
66. Kuhlke D. //Acta Phye. Polon. 1982. V. B-61. P. 547.
67. Лисицын B.H., Трошин Б.И. // Опт. и спектроск. 1967. Т. 22. С. 666.
68. Данилейко М.В., Кравчук А.А., Нечипоренко В.Н. и др. //Квант,
электрон. 1986. Т. 13. С. 2147.
69. Kikuchi С, Lambe J., Makhov G., Terhune R.W. //J. Appl. Phys.
1959. V. 30. P. 1061.
70. Makhov G., Cross L.G., Terhune R.W., Lambe J. 111. Appl. Phys.
1960. V. 31. P. 936.
71. Li Т., Sims S.D. //Proc. IRE. 1962. V. 50. P. 464.
72. Evtuhov E., Neeland J.K //Appl. Optics. 1962. V. 1. P. 517.
73. Коробкин B.B., Леонтович A.M. //ЖЭТФ. 1963. Т. 44. С. 1847.
74. McMurtry В.J., Siegman A.E. //Appl. Optics. 1962. V. 1. P. 51.
75. Birnbaum M., Stocker T.L. //Appl. Phys. Lett. 1963. V. 3. P. 164.
76. Коробкин B.B., Леонтович A.M. //ЖЭТФ. 1965. Т. 49. С. 10.
77. Huges Т.Р., Young KM. //Nature. 1962. V. 196. P. 332.
78. Леонтович A.M., Be дута АЛ. //ЖЭТФ. 1964. Т. 46. С. 71.
79. Stickley СМ. //IEEE J. Quant. Electron. 1966. V. QE-2. P. 511.
80. Evtuhov E. //Appl. Phys. Lett. 1965. V. 6. P. 141.
81. Ridgway S.L., Clark G.L., York CM. //J. Opt. Soc. Am. 1963. V. 53.
P. 700.
82. Adamson M.C, Huges T.P., Young KM. //Electron, quant. 3 Conf.
internat. Paris 2. — N.Y.: Columbia Univ. Press, 1964. P.1459.

83. Кубарев A.M., Пискорев В.И. //ЖЭТФ. 1964. Т. 46. С. 508.
84. Кубарев A.M., Пискорев В.И. //ЖЭТФ. 1965. Т. 48. С. 1233.
85. Гюрс К //Оптические квантовые генераторы: Пер. с англ./Под
ред. Ф.В. Бункина. — М.: Мир, 1966. С. 33.
86. Корниенко Л.С., Кравцов Н.В., Ларионцев Е.Г., Наум-
кии НИ. //Письма в ЖЭТФ. 1970. Т. 11. С. 585.
87. Кравченко В.И., Соскин М.С. //Квант, электрон.—Киев: Наукова
думка, 1969. Вып. 4. С. 42.
88. Ready J.F., Hardwick D.L. //Ргос. IRE. 1962. V. 50. P. 2483.
89. Броуде В.Л., Заика В.В., Кравченко В.И., Соскин М.С. //Ж.
прикл. спектр. 1965. Т. 3. С. 225.
90. Freund I. //Appl. Phye. Lett. 1968. V. 12. P. 388.
91. Collins R.W., Braun L.O., Dean D.R. //Appl. Phys. Lett. 1968.
V. 12. P. 392.
92. Соколов A.K, Зубарев Т.Н. //ФТТ. 1964. Т. 6. С. 2590.
93. Sacchi C.A., Svelto О. //IEEE J. Quant. Electron. 1965. V. QE-1.
P. 398.
94. Daneu V., Polloni R., Sacchi C.A., Svelto O. //Nuovo Chimento.
1965. V. B-40. P. 446.
95. Глобус M.E., Набойкин Ю.В., Ратнер A.M. и др. //ЖЭТФ. 1967.
Т. 52. С. 857.
96. ВинокуровГ.Н.,ГалактионоваН.М.,Егорова В.Ф.идр. //ЖЭТФ.
1971. Т. 60. С. 489.
97. Strozyk J.W. //IEEE J. Quant. Electron. 1967. V. QE-3. P. 343.
98. Ратнер A.M. Квантовые генераторы света с большим угловым
расхождением. — Киев: Наукова думка, 1970.
99. Pole Р. V., WiederH. //Appl. Opt. 1964. V. 3 P. 1086.
100. Wieder H. //J. Appl. Phys. 1966. V. 37. P. 615.
101.Evtuhov V., Neeland J.K //IEEE J. Quant. Electron. 1965. V. QE-1.
P. 7.
l02.Laig-H6rsterbn>ck K, Weber H. //Z. Angew. Phye. 1967. V. B-23.
P. 1.
103. Greenhow R.C., Schmidt A. T. //Appl. Phys. Lett. 1968. V. 12. P. 390.
lOA.Davis B.I., KellerD.V. //Appl. Phys. Lett. 1964. V. 5. P. 80.
ЮБ.Коробкин B.B., Леонтоеич A.M., Смирнова M.H. //ЖЭТФ. 1965.
Т. 48. С. 78.
Ш-Katzman М., Strozyk J. W. //J. Appl. Phye. 1964. V. 35. P. 80.
107.Леонтоеич A.M., Попова M.H. //Ж. прикл. спектр. 1967. Т. 6.
С. 735.
108.Roess D. //Appl. Phys. Lett. 1966. V. 8. P. 109.
109. Terns C.L., Statz H, DeMars G. //Appl. Phye. Lett. 1963. V. 2.
P. 222.
HO.Afaie A.A., Седов Б.М. //ЖТФ. 1968. Т. 38. С. 2119.
111.Анциферов B.B., Гайнер А.В., Комаров К.И и др. //Ж. прикл.
спектр. 1976. Т. 24. С. 18.

112.Анциферов В.В., Пивцов B.C., Угожаев В.Д., Фолин К.Г.
//Квант, электрон. /Под ред. Н.Г. Басова. — М.:Сов. радио, 1973.
Вып. 3. С. 57.
ПЪ.Малышев В.И., Маркин А.С.. Сычев А.А. //ЖТФ. 1969. Т. 39.
С. 334.
114.Анциферов В.В., Кравченко В.И. Управление излучением
рубинового лазера в режиме свободной генерации. Препринт. Институт
физики АН УССР. — Киев, 1988, № 4.
115. Фолин К.Г., Гайнер А.В. Динамика свободной генерации
твердотельных лазеров. — Новосибирск: Наука, 1979.
lW.Free J., Korpel А. //Ргос. IEEE. 1964. V. 52. P. 90.
117. Лившиц Б.Л., Цикунов В.Н. //Докл. АН СССР. 1965. Т. 163. С. 870.
118. Лившиц Б.Л., Назаров В.П., Сидоренко Л.К., Цикунов В.Н.
//Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 1. С. 23.
119.Лившиц Б.Л., Назаров В.П., Сидоренко Л.К. и др. //Письма в
ЖЭТФ. 1966. Т. 3. С. 279.
120.Лившиц Б.Л., Турсунов А.Т. //ЖЭТФ. 1970. Т. 58. С. 1518.
121. Лившиц Б.Л. //УФН. 1969. Т. 98. С. 393.
122.Danielmeyer НС, Nilsen W.G. //Appl. Phys. Lett. 1970. V. 16.
P. 124.
123.Malota F. // Opto-Electronics. 1970. V. 2. P. 99.
124.Gerber E.A., Afdstrom E.R. //J. Appl. Phye. 1964. V. 35. P. 2546.
125. Gerber E.A., Ahlstrom E.R. II IEEE J. Quant. Electron. 1969. V. QE-
5. P. 403.
126.Фолин К.Г., Анциферов B.B. //ЖЭТФ. 1968. Т. 55. С. 122.
121. Анциферов В.В., Кривощекое Г.В., Фолин К.Г. //ЖЭТФ. 1969.
Т. 56. С. 526.
128. Фолин К.Г., Анциферов В.В., Аникеев Б.В., Угожаев В.Д.
//ЖЭТФ. 1970. Т. 58. С. 1156.
129.Danielmeyer H.G., Turner Е.Н. //Appl. Phys. Lett. 1970. V. 17.
P. 519.
130.Анциферов B.B., Пивцов B.C., Угожаев В.Д., Фолин К.Г. //Опт.
и спектроск. 1972. Т. 32. С. 1159.
131..Анциферов В.В., Пивцов B.C., Угожаев В.Д., Фолин К.Г.
//Автометрия. 1972. № 5. С.98.
132.Анциферов В.В., Кучьянов А.С., Пивцов B.C. //Опт. и спектроск.
1975. Т. 38. С. 599.
133.Анциферов В.В., Гайнер А.В., Комаров К.П., Фолин К.Г.
//Квант, электрон. 1975. Т. 2. С. 591.
134:. Анциферов В.В. Динамика генерации рубинового лазера и
некоторые методы управления ею в различных режимах: Канд. дис. —
Новосибирск, Институт автоматики и электрометрии СО АН СССР,
1973.
135.Гулев B.C., Пивцов B.C., Фолин К.Г. //Радиотехн. и электрон.
1980. Т. 25. С. 573.
Ш.Анциферов В.В., Голяев Ю.Д. //Опт. и спектроск. 1982. Т. 25.
С. 706.

137. Потапов СЕ. Динамика генерации ОКГ на стекле, активированном
неодимом: Канд.дис. — Ленинград, ГОИ, 1972.
136. Keen W.H., Weiss J.А. // Appl. Optics. 1963. V. 3. P. 545.
139.Машкееич B.C., Соскин M.C //Письма ЖЭТФ. 1967. Т. 5. С. 456.
14Q.Snitzer Е., Woodcock R. //IEEE J. Quant. Electron. 1966. V. 2.
P. 627.
141.Shiner W., SnitzerE., Woodcock R. //Phye. Lett. 1966. V. 21. P. 412.
142.Коцубанов В.Д., Набойкин Ю.В., Ратнер A.M., Ром-Кричев-
ская И.А. II Опт. и спектроск. 1967. Т. 23. С. 986.
ЫЗ.Бонч-Бруевич A.M., Потапов С.Е., Ханин Я.И. //Опт. и
спектроск. 1970. Т. 28. С. 203.
144.Landry R.J., SnitzerE., Bartram R.H. //J. Appl. Phys. 1971. V. 42.
P. 3827.
145.Курносое В.Д., Магаляс В.И., Плешкое A.A. u др. //Письма в
ЖЭТФ. 1966. Т. 4. С. 449.
U6.D'Asaro L.A., Cherlow J.M., Paoli T.L. //IEEE J. Quant. Electron.
1968. V. QE-4. P. 164.
147.Никитин B.B., Семенов A.C., Страхов В.П. //Письма в ЖЭТФ.
1969. Т. 9. С. 516.
148. Захаров Ю.П., Компанеец И.Н., Никитин В.В., Семенов А.С.
//ФТП. 1969. Т. 3. С. 864.
149.Paoli T.L., Ripper J.E. //Appl. Phys. Lett. 1969. V. 15. P. 105.
150.Pao/i T.L., Ripper J.E. //Phys. Rev. Lett. 1969. V. 22. P. 1085.
151.Басов Н.Г., Никитин B.B., Семенов A.C //УФН. 1969. Т. 97.
С. 561.
152.Ривлин JI.A. Динамика излучения полупроводниковых квантовых
генераторов. — М.: Сов. радио, 1976.
153.Ривяин Л.А., Семенов А.Т., Якубович С.Д. Динамика и спектры
излучения полупроводниковых лазеров. — М.: Радио и связь, 1983.
154.Курбатов Л.Н., Молочев В.И., Никитин В.В., Шарин А.И.
/J Квант, электрон./ Под ред. Н.Г. Басова. — М.: Сов. радио, 1971.
Вып. 6. С. 110.
155.Lippi G.L., Abraham КВ., Puccioni G.P. et al. //Phys. Rev. 1987.
V. A-35. P. 3978.
156.Lippi G.L., Abraham N.B., Puccioni G.P. et al. //Proc. SPIE Int.
Soc. Opt. Eng. 1985. V. 667. P. 41.
157.Корниенко Л.С., Кравцов H.B., Шелаев A.H. //Опт. и спектроск.
1973. Т. 35. С. 775.
1Ъ6.Клочан Е.Л., Корниенко Л.С, Кравцов Н.В. и др. //ЖЭТФ. 1973.
Т. 65. С. 1344.
159.Клочан Е.Л., Корниенко Л.С, Кравцов Н.В. и др. //Радиотехн. и
электрон. 1974. Т. 19. С. 2096.
160. Клочан Е.Л., Корниенко Л.С, Кравцов Н.В. и др. //Письма в
ЖЭТФ. 1973. Т. 17. С. 405.
161.Мак А.А., Устюгов В.И. //Письма в ЖЭТФ. 1973. Т. 18. С. 253.
W2.Lippi G.L., Tredicce J.R., Abraham N.B., Arecchi F.T. //Opt. Com-
mun. 1985. V. 53. P. 129.

163. Tredicce J.R., Lippi G.L., Arecchi F.T., Abraham N.B. //Phil. Trans.
R. Soc. Lond. 1984. V. A-313. P. 411.
164.Mo/co/m G.P.A., Ferguson A.I. // Contemp. Phys. 1991. V. 32. P. 305.
165. Otsuka K, Georgiou M., MandelP. //Jap. J. Appl. Phys. 1992. V. 31.
P. L1250
im.Mandel P., Georgiou M., Otsuka К //Opt. Commun. 1993. V. 106.
P. 341.
167.Khandokhin P., Khanin Ya., Celet J.-C. etal. //Opt. Commun. 1996.
V. 123, P. 372
168.Bielawski S., Derozier D., Glorieux P. //Phys. Rev. 1992. V. A-46,
P. 2811.
169.Lehers R., FroncoisP.L., Stephan G. //Opt. Lett. 1993. V. 19, P. 275.
170.Khandokhin P., Khanin Ya., Mamaev Yu. et al. //Quant. Semiclass.
Opt. 1998. V. 10, P. 97.
171.Martin-Regalado J., Balle S., San MiguelM. et al. //Quantum Semi-
class. Opt. 1997. V. 9. P. 713.
172.Martin-Regalado J., San Miguel M., Abraham N.B. // Opt. Lett. 1996.
V. 21. P. 351.
ПЪ.Хандохин П.А., Ханин Я.И. // Письма в ЖТФ. 1979. Т.5. С.35.
1И.Парфенов В.А. Хандохин П.А., Ханин Я.И. ЦЯвкат. электрон.
1988. Т. 15. С. 1985.
175.Abraham N.B., Weiss CO. //Opt. Commun. 1988. V. 68. P. 437.
176-tfdfcen H. //Phys. Lett. 1975. V. A-53. P. 77.
m.Lorenz E. /I J. Atm. Sci. 1963. V. 20. P. 130.
178.Klische W., Weiss CO., Al-Soufi W., Huttmann G. //Opt.
Instabilities / Eds R.W.Boyd, M.G.Raimer, L.M.Naiducci. — Cambridge etc:
Cambridge Univei.Press, 1986. P. 274.
179. Weiss CO., Brock J. //Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 2804.
Ш.НодепЪоот E.H.M., Klische W., Weiss CO., Godone A. //Phys.
Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 2571.
181.Biswas D.J., Harrison R.G., Weiss CO. et al. //Instabilities and
Chaos in Quantum Optics/ Eds F.T. Arecchi, R.G .Harrison. — N.Y.
etc.: Springer-Verlag, 1987. P. 9.
182. Weiss CO., Klische W., Abraham N.B., Hubner U. //Appl. Phys.
1989. V. B-49. P. 241.
183. Tang D. Y, Li M. Y, Weiss С О. // Phys. Rev. 1991. V. A-44. P. 7597.
184. Tang D.Y., Pujol J., Weiss CO. //Phys. Rev. 1991. V. A-44. P. R35.
185. Tang D. Y, Li M. Y, Weiss С О. Ц Phys. Rev. 1992. V. A-46. P. 676.
186. Weiss CO., Vilaseca R., Abraham N.B. et al. //Appl. Phys. 1995.
V. B-61. P. 223.
187.JTemoxoe B.C., Чеботаев В.П. Принципы нелинейной лазерной
спектроскопии. — Наука, 1975.
188.Lawandy NM. //J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 108.
189.Abraham N.B., Dangoisse D., Glorieux P., Mandel P. //J. Opt. Soc.
Am. 1985. V. B-2. P. 23.
190.Harrison R.G., Al-Saidi LA. //Opt. Commun. 1985. V. 54. P. 107.

191.Biswas D.J., Harrison R.G. //Opt. Commun. 1985. V. 54. P. 112.
l92.Biswas D.J., Harrison R.G. //Optical Instabilities / Eds R.W. Boyd,
M.G. Raimer, L.M. Narducci. — Cambridge etc: Cambridge Univer.
Ргевв, 1986. P. 227.
19Z.Biswas D.J., Harrison R.G., Al-Saidi LA. //Ibid. P. 231.
194. Casperson L. W. // Phys. Rev. 1980. V.A-21. P.911.
195. Casperson L. W., Yariv A. //IEEE J. Quant. Electron. 1972. V. QE-8.
P. 69.
196.Casperson L.W. //IEEE J. Quant. Electron. 1978. V .QE-14. P. 756.
197.Bentfey J., Abraham N.B. //Opt. Commun. 1982. V. 41. P. 52.
198.Maeda M., Abraham N.B. //Phys. Rev. 1982. V. A-26. P. 3395.
199. Tarroja M.F.H., Abraham N.B., Bandy D.K., Narducci L.M. II Phys.
Rev. 1986. V. A-34. P. 3148.
200.Casperson L.W. /ILaser Physics /Eds J.DJHaTvey and D.F.Walls:
Springer Lecture Notes in Physics. V. 182. — Berlin etc: Springer
Verlag, 1983. P. 88.
201.Abraham N.B., Chyba Т., Colemann T. et al. //Ibid. P. 107.
202. Gioggia R.S., Abraham N.B. //Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. P. 650.
203.Файн B.M. //ЖЭТФ. 1957. T. 33. С 945.
204. Ораевский A.H. //Радиотехн. и электрон. 1959. Т. 4. С. 718.
205. Таланов В.И. //Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 2. С. 218.
206.Сухорукое А.П., Хохлов Р.В. //Вестник Московск. ун-та: Физ. и
астрон. 1966. Т. 7, № 1. С. 95.
207. Слэтер Док. Электроника сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио,
1948.
208.Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. — М: Радио и связь,
1988.
209. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. —
М: Наука, 1982.
210.Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. —
М: Сов. радио, 1966.
211. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М:
Наука, 1981.
212. Боголюбов Н.Н., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы
в теории нелинейных колебаний. — М: Наука, 1974.
213..Ефаноеа И.П., Ларионцев Е.Г. //ЖЭТФ. 1967. Т. 55. С. 1532.
214.Клочан Е.Л., Корниенко Л.С., Кравцов Н.В. и др. II ДАН СССР.
1974. Т. 215. С. 313.
215.Волновые и флуктуационные процессы в лазерах. /Под ред.
Ю.Л. Климонтовича. — М.: Наука, 1974.
216.Халдре Х.Ю., Хохлов Р.В. //Изв. вузов: Радиофиз. 1958. Т. 1. № 5-
6. С. 60.
217.Ахманов С.А. //УФН. 1986. Т. 149. С. 361.
218.Яо*еп Н. //Z. Phys. 1975. V. В-21. Р. 505; Z. Phys. 1975. V. В-22.
Р. 69.

219.-Хакен Г. Синергетика: Пер. с англ. /Под ред. Ю.Л. Климентовича
и СМ. Осовца. — М: Мир, 1980.
220.Накеп Н. //Optical Instabilities /Eds R.W. Boyd, M.G. Raimer,
L.M. Narducci. — Cambridge ete: Cambridge Univer. Press, 1986.
P.227.
221.Lugiato L.A., Mandel P., Narducci L.M. //Phys.Rev. 1984. V. A-29.
P. 1438.
222. Van Kampen N.G. //Phys.Reports. 1985. V. 124. P. 69.
222.Макомбер Дж. Динамика спектроскопических переходов: Пер с
англ. /Под ред. М.А. Елъяшевича. — М.: Мир, 1979.
224.. Аллеи Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые
атомы: Пер. с англ. /Под ред. В.Л. Стрижевского. — М.: Мир, 1978.
225. Block F. I/ Phys. Rev. 1946. V. 70. P. 460.
226.Feynman R.P., Vernon F.L.Jr., Hellwarth R.W. //J.Appl. Phys.
1957. V. 28. P. 49.
227.Файн B.M., Ханин Я.И., Ящин Э.Г. //Изв. вузов: Радиофиз. 1962.
Т. 5. С. 697.
228. Shimoda К. Introduction to Laser Phyeics. — Berlin etc: Springer-
Verlag, 1986.
229.Микаэлян А.Л., Тер-Микаелян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические
генераторы на твердом теле. — М.: Сов. радио, 1967.
230.Davis L.W. //Ргос. IRE. 1963. V. 51. Р. 76.
231.State C.L., DeMars G. //Quantum Electronics. — N.Y.: Columbia
Univ.Press, I960, P.530.
232.Генк«н B.H., Ханин Я.И. //Изв.вузов: Радиофиз. 1962. Т. 5. С. 423.
233-Гапд C.L. //J. Appl. Phys. 1963. V. 34. P. 2935.
234.Ханин Я.И. //Изв. вузов: Радиофиз. 1966. Т. 9. С. 697.
235. Oppo G.L., Politi А. // Instabilities and Chaos in Quantum Optics.
V. 2/Eds N.B. Abraham, F.T. Arecchi, L.A. Lugiato. — N.Y.:
Plenum, 1987. P. 363.
236.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных
работников: Пер. с англ. /Под ред. И.Г. Арамановича. — М.: Наука, 1984.
237.Ораевский АЛ., Успенский А.В. //Тр. ФИАН. 1965. Т. 31. С. 96.
238.Кайзер В., Гаррет К., Вуд Д. //Лазеры: Пер с англ. /Под ред.
М.Е. Жаботинского и Т.А. Шмаонова. — М.: ИЛ, 1963. С. 75.
239.Makhov G. //J. Appl. Phys. 1962. V. 33. P. 202.
240.Sinnet D.M. //J. Appl. Phys. 1962. V. 33. P. 1578.
241.Post E.J. //Appl. Opt. 1962. V. 1. P. 165.
242.Беспалое В.И., Гапонов А.В. //Изв. вузов: Радиофиз. 1965. Т. 8.
С. 70.
243.Меппе T.J. //IEEE J. Quant. Electron. 1966. V. QE-2. P. 38.
2AA.Dunsmuir R. //J. Electron, a. Control. 1961. V. 10. P. 453.
245.C7endenin W.W. //J. Appl. Phys. 1964. V. 35. P. 2277.
246.Ратнер A.M. Спектральные, пространственные и временные
характеристики лазеров. — Киев: Наукова думка, 1968.

247. Abraham N.B., MandelP., NarducciL.M. Dynamical Instabilities and
Pulsations in Lasers. // Progress in Optics / Ed E.Wolf. — Amsterdam
etc: North-Holland. 1988. V. 25. P. 1.
24&.Гуртовник A.C. //Изв. вузов: Радиофиз. 1958. Т. 1. № 5-6. С. 83.
249. Collins R.J., Nelson D.F., Schawlow A.L. et al. //Phys. Rev. Lett.
1960. V. 5. P. 303.
250.Snitzer E. //Phys. Rev. Lett. 1961. V. 7. P. 444.
251. Gun K. //Zb. angew. Math. Phys. 1965. V. 16. P. 49.
252.Коробкин B.B., Успенский A.B. //ЖЭТФ. 1963. Т. 45. С. 1003.
253. Успенский A.B. //Радиотехн. и электрон. 1964. Т. 9. С. 747.
254.Граск>к А.З., Ораевский А.Н. //Тр. 4-го Межд. конгресса по
лампам СВЧ. — Шевинген, Нидерланды, 1962.
255..Граскж А.З., Ораевский А.Н. //Радиотехн. и электрон. 1964. Т. 9.
С. 524.
256.Bu/ey E.R., Cummings F.W. //Phys. Rev. 1964. V. 134. P. A1455.
257.Якубович Е.И. //ЖЭТФ. 1968. Т. 55. С. 304.
2Ь%.Идиатулин B.C., Успенский А.В. //Радиотехн. и электрон. 1973.
Т. 18. С. 580.
259. Фрадкин Э.Е. //Лазеры с перестраиваемой частотой. — Киев:
Институт физики АН УССР. 1973. С. 324.
260.Casperson L. W. //Phys. Rev. 1981. V. А-23. P. 248.
261.Minden M., Casperson L.W. //IEEE J. Quant. Electron. 1982.
V. QE-18. P. 1952.
262.MandeZ P. //Opt. Commun. 1983. V. 44. P. 400.
263.AfandeZ P. //Opt. Commun. 1983. V. 45. P. 269.
264.Mandel P. //Coherence and Quantum Optics V. /Eds L. Mandel,
E. Wolf. — N.Y.: Plenum Publ.Corp. 1984. P. 579.
265.Mandel P. //J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 112.
266.Abraham N.B., Lugiato L.A., Mandel P. et al. //J. Opt. Soc. Am.
1985. V. B-2. P. 35.
267.Hendow S., Sargent M. //Opt. Commun. 1982. V. 40. P. 385.
268.Hendow S., Sargent M. //Opt. Commun. 1982. V. 43. P. 59.
269.Hendow S., Sargent M. //J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 84.
270.Zhang J., Haken H., Ohno H. //J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 141.
271.Bandy D.K., Narducci L.M., Lugiato L.A., Abraham N.B. //J. Opt.
Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 56.
272.Lugiato L.A., Narducci L.M., Bandy D.K., Abraham N.B. //Opt.
Commun. 1983. V. 46. P. 115.
273.JVarrfucci L.M., Bandy D.K.,Lugiato L.A., Abraham N.B.
II Coherence and Quantum Optics. V. / Eds L. Mandel, E. Wolf.—
N.Y.: Plenum Publ. Corp. 1984. P. 217.
274.Casperson L.W. //J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 73.
275.Casperson L.W. //J. Opt. Soc. Am. 1988. V. B-5. P. 958.
276.Shin M.L., Milloni P.W., Ackerhalt J.R. //J. Opt. Soc. Am. 1985.
V. B-2. P. 130.

277.Dupertuis M.A., Salomaa R.R.E., Siegrist M.R. //Opt. Commun.
1986. V. 57. P. 410.
278.Mehendale S.C., Harrison R.G. //Opt. Commun. 1986. V. 60. P. 257.
279.Mehendale S.C, Harrison R.G. //Phys. Rev. 1986. V. A-34. P. 1613.
280.Moloney J.V., Uppal J.S., Harrison R.G. //Phys. Rev. Lett. 1987.
V. 59. P. 2868.
28l.Forysiak F., Harrison R.G., Moloney J.V. //Phys. Rev. 1989. V. A-
39. P. 421.
282.Lawandy KM., Ryan J.C. //Opt. Commun. 1987. V. 63. P. 53.
283..Ryan J.C., Lawandy N.M. //Opt. Commun. 1987. V. 64. P. 54.
284.Khandokhin P.A., Khanin Ya.L, Koryukin I.V.//Opt. Commun.
1988. V. 65. P. 367.
28Ъ.Корюкин И.В., Хандохин П.А., Ханин Я.И. //Изв. АН СССР: Физ.
1988. Т. 52. С. 1081.
286.Pujol J., Laguarta F., Vilaseca R., Corbalan R. //J. Opt. Soc. Am.
1988. V. B-5. P. 1004.
287. Corbolan R., Laguarta F., Pujol J., Vilaseca R. J J Opt. Commun.
1989. V. 71. P. 290.
288.Ораевский A.H., Торонов В.Ю. //Квант, электрон. 1989. Т. 16.
С. 2063.
289.Ханин Я.И. Динамика квантовых генераторов. — М.: Сов. радио,
1975.
290.Narducci L.M., Sadiky Н, Lugiato L.A., Abraham N.B. //Opt.
Commun. 1985. V. 55. P. 370.
291.Корюкин И.В., Хандохин П.А., Ханин Я.И. Периодические и
хаотические пульсации в одномодовом однородно уширенном лазере:
Препринт /ИИФ АН СССР. — Горький, 1987. № 161.
292. Zeghlache Н, Mandel Р. //J. Opt. Soc. Am. 1985. V. В-2. P. 18.
293. Ораевский А.Н //Тр. ФИАН. 1986. Т. 171. С. 3.
294..Кузнецова Т.Н. //Тр. ФИАН. 1968. Т. 43. С. 116.
295. Карлов Н.В., Кузнецова Т.И. II Рвдиотехн. и электрон. 1964. Т. 9.
С. 524.
296.Harrison R.G., Biswas D.J. //Progi. Quant. Electron. 1985. V. 127.
P. 147.
297. Casperson L.W., Yariv A. // Appl. Phys. Lett. 1970. V. 17. P. 259.
298.Mand*e/ P., Zeghlache H. // Opt. Commun. 1983. V.47. P.146.
299. Vilaseca R., De Valcarcel G.J., Roldan E. //Phys. Rev. 1990. V. A-41.
P. 2569.
300. Zeaft/асйе H, Mandel P., Abraham KB., Weiss CO. //Phys. Rev.
1988. V. A-38. P. 3128.
301.Конторович B.M., Прохоров A.M. //ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 1428.
302. Javan A. //Phys. Rev. 1957. V. 107. P. 1579.
303.Moloney J. V., Forysiak W., Uppal J.S., Harrison R.G. //Phys. Rev.
1989. V. A-39. P. 1277.
304. Яаггйоп R.G., Lu W., Gupta P.K. //Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63.
P. 1372.

305.Lu W., Harrison R.G. //J. Mod. Opt. 1990. V. 37. P. 585.
306.Lu W., Harrison R.G. //Phye. Rev. 1990. V. A-41. P. 6563.
307.Heppner J., Weiss CO., Hubner U., Shinn G. //IEEE J. Quant.
Electron. 1980. V. QE-16. P. 392.
ЗОв.Яи'Ьпег U., Abraham N.B., Weiss CO. //Phye. Rev. 1989. V. A-40.
P. 6355.
309. Arijona M., Corbalan R., Laguarta F. et al. //Phys. Rev. 1990. V. A-
41. P. 6559.
310.Corbalan R., Laguarta F., Pujol J., Vilaseca R. //Opt. Commun.
1989. V. 71. P. 290.
ill.Stenholm S., Lamb W.E.,Jr. //Phys.Rev. 1969. V. 181. P. 618.
m.Feldman B.J., Feld M.S. //Phys.Rev. 1970. V. A-l. P. 1375.
m.Holt H.K. //Phys. Rev. 1970. V. A-l. P. 233.
314.Бакланов E.B., Чеботаев В.П. //ЖЭТФ. 1972. Т. 62. С. 541.
315.Greenstein Н. //Phys. Rev. 1968. V. 175. P. 438.
316.Лэл6' У. Теория оптических мазеров. //Квантовая оптика и
квантовая радиофизика: Пер.с англ. /Под ред. О.В. Богданкевича и
О.Н. Крохина. — М.: Мир, 1966. С. 281.
317. Casperson L.W. //J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 993.
318.Casperson L.W. //Opt. Quant. Electron. 1987. V. 19. P. 29.
319.Casperson L.W. //Optical Instabilities./Ede R.W. Boyd, M.G. Ray-
mer, L.M. Naiducci. — Cambridge etc: Cambridge Univ.Press, 1986.
P. 58.
320.Gioggia R.S., Abraham N.B., Lange W. et al. //J. Opt. Soc. Am.
1988. V. B-5. P. 992.
321. Tang C.L., StatzH., DeMars G. //J. Appl. Phys. 1963. V. 34. P. 2289.
Ъ22.Ханин Я.И. //ЖЭТФ. 1971. Т. 60. С. 1282.
323.Хакен Г. Лазерная светодинамика: Пер. с англ. / Под ред. Н.Г.
Преображенского. — М.: Мир, 1988.
Ъ24..Ахманое С.А.. Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. — М.:
Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1964.
325.Ратнер A.M., Фишер A.M. //Изв. вузов: Радиофиз. 1962. Т. 16.
С. 1510.
326.Ананьев Ю.А., Седов Б.М. //ЖЭТФ. 1965. Т. 48. С. 782.
327.State Н., Tang C.L. //J. Appl. Phye. 1964. V. 35. P. 1377.
328. Ливший Б.Л., Цикунов В.Н. //ЖЭТФ. 1965. Т. 49. С. 1843.
329. Ахманов С.А., Голяев Ю.Д., Дмитриев В.Г. //ЖЭТФ. 1972. Т. 62.
С. 133.
ЗЗО.Допс/ii L. //Nuovo Chimento. 1966. V. В-44. Р. 372.
331. Tang C.L. //Appl. Opt. 1962. V. 1. P. 768.
332.Ананьев Ю.А. //ЖТФ. 1967. Т. 37. С. 139.
333.Ананьев Ю.А., Мак А.А., Седое Б.М. //ЖЭТФ. 1967. Т. 52. С. 12.
334.Сйшег A.V., Komarov К.Р., Folin K.G. //Opt. Commun. 1975.
V. 19. P. 350.

335.Меллер А.С, Хандохин П.А., Ханин Я.И. //Квант, электрон. 1986.
Т. 13. С. 2278.
336.Коваленко Е.С., Пуговкин А.В. //Изв. вузов: Радиофиз. 1968.
Т. 11. С. 232.
337.Голяее Ю.Д., Лантратов СВ. //Квант, электрон. 1979. Т. 6.
С. 2361.
338.Азарова В.В., Галактионова Н.М., Мак А.А. и др. //Квант,
электрон. 1979. Т. 6. С. 2339.
339.Евдокимова O.K., Капцов Л.Н. //Квант, электрон. 1989. Т. 16.
С. 1557.
340. Otsuka К., Mandel P., Bielawski S. et al. // Phye. Rev. 1992. V. A-46.
P. 1692.
341.Pieroux D., Mandel P. //Opt. Commun. 1994. V. 107. P. 245.
342.Erneux Т., Mandel P. //Phys. Rev. 1995. V. A-52. P. 4137.
343.Mand*e/ P., Wang Jing-Yi //Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 1923.
344.Afand*eZ P., Otsuka K., Wang Jing-Yi, Pieroux D. //Phys. Rev. Lett.
1996. V. 76. P. 2694.
Mb.Nguyen B.A., Mandel P. //Phys. Rev. 1996. V. A-54. P. 1638.
346.Khandokhin P.A., Mandel P., Koryukin I. V. et al. II Phys. Lett. 1997,
V. A-235. P. 248.
Ml.Lacot E., Stoeckel F. //J. Opt. Soc. Am. 1996. V. B-13. P. 2034.
348.Mand*e/ P., Nguyen B.A., Otsuka K. //Quant. Semiclass. Opt. 1997.
V. 9. P. 1.
349.JV$uyen B.A., Mandel P. //Phys. Rev. 1998. V. A-57. P. 1444.
350.Khanin Ya. //Chaos. 1996. V. 6. P. 373.
351.Жислина В.Г., Хандохин П.А., Ханин Я.И. //Изв. вузов:
Радиофиз. 1996. Т. 39. С. 771.
352. Abraham N.B., Khanin Ya.I. //SPIE Proceed. 1996. V. 2792. P. 2.
353.Хандохин П.А., Ханин Я.И., Корюкин И.В., Модель П. //Изв.
вузов: Радиофиз. 1997. Т. 40. С. 161.
354.P(ieroux D., Mandel P. //Quant. Semiclass. Opt. 1997. V. 9. P. L17.
355.Abraham N.B., Sekaric L., Carson L.L. et al. //Phye. Rev. 1999 (in
press).
356.Abraham N.B., Everett L.L., Iwata C, Janicki M.B. //SPIE Proc.
1993. V. 2095. P. 16.
ЪЫ.МсСитЪег D.B. //Phys. Rev. 1966. V. 141. P. 306.
358.Сущик M.M., Фрейдман Г.Ц. //Изв. вузов: Радиофиз. 1966. Т. 9.
С. 919.
359. Sooy W.R. //Appl. Phys. Lett. 1965. V. 7. P. 36.
360. Леонтович A.M., Чуркин В.Л. //ЖЭТФ. 1970. Т. 59. С. 7.
361..Бон<Эаренк:о Н.Г., Еремина И.В. II Ж. прикл. спектр. 1968. Т. 8.
С. 599.
362. Сучков А.Ф. //ЖЭТФ. 1965. Т. 49. С. 1495; Тр. ФИАН. 1968. Т. 43.
С. 161.
363.Баев В.М., Беликова Т.П., Свириденков Э.А., Сучков А.Ф.
//ЖЭТФ. 1978. Т. 74. С. 43.

364.Гитлин М.С., Ханин Я.И. // Изв. вузов: Радиофиз. 1985. Т. 28.
С. 978.
Ш.Мироненко В.Р., Юдсон В.И. // ЖЭТФ. 1980. Т. 79. С. 1174.
366.Каган А.Г., Ханин Я.И. //Квант, электрон. 1983. Т. 10. С. 149.
367.Ривдин Л.А.J/Квант.электрон. /Под ред. Н.Г. Басова. — М.: Сов.
радио, 1972. Вып. 5. С. 94.
Ш.НоШпдег F., Jung Chr. //J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 218.
Ш.НоПтдег F., Jung Chr., Weber H. //Optical Instabilities./Eds
R.W. Boyd, M.G. Raymer, L.M. Narducci. — Cambridge etc:
Cambridge Univ. Press, 1966. P. 20.
Ш.НоШпдег F., Jung Chr., Weber H. //Opt. Commun. 1990. V. 75.
P. 84.
"ill.Викторов E.A., Соколов B.A., Ткаченко E.B., Устпю-
гов В.И. II Опт. и спектроск. 1990. Т. 68. С. 920.
372.McMacfrin J., Radzewicz С, Beck М., Raymer M.G. //Phys. Rev.
1987. V. A-38. P. 820.
373.Bedfc M., McMackin I., Raymer M.G. //Phys. Rev. 1989. V. A-40.
P. 2410.
374.Mironento V.R., Yudson V.I. // Opt. Commun. 1980. V. 34. P. 397.
375.Коваленко C.A. //Квант, электрон. 1981. Т. 8. С. 1271.
376.Baet V.M., Gaida G., Schroder H., Toschek P.E. // Opt. Commun.
1981. V. 38. P. 309.
377.Atmanspatcher H., Scheingraber H., Baev KM.//Phys. Rev. 1987.
V. A-35. P. 142.
378.Atmanspatcher H., Scheingraber H., Vidal C.R. //Phys. Rev. 1986
V. A-32. P. 1052. /
379.Atmanspatcher H., Scheingraber H. //Phys. Rev. 1986. V. A-34.
P. 253.
380. Grassberger P., Procaccia I. // Phye. Rev. Lett. 1983. V. 50. P. 346.
381.Procaccia I. //Phye. Scr. 1985. V. T-9. P. 40.
382.Ben Mizrachi A., Procaccia I., Grassberger P. //Phys. Rev. 1984.
V. A-29. P. 975.
ЗвЗ.Машкееич B.C. //Укр. фнз. ж. 1967. Т. 12. С. 1731.
384.Машкееич B.C. //ЖЭТФ. 1967. Т. 53. С. 1003.
ШБ.Машкевич B.C. Кинетическая теория лазеров. — М.: Наука, 1971.
386.Толстой М.Н., Шаповалов В.Н. //Опт. и спектроск. 1967. Т. 23.
С. 648.
Ш.Моторин И.И., Ханин Я.И. //Изв. вузов: Радиофиз. 1973. Т. 16.
С. 386.
388.Пахомычева Л.А., Свириденков Э.А., Сучков А.Ф. и др. //Письма
в ЖЭТФ. 1970. Т. 12. С. 60.
389.Беликова Т.П., Свириденков Э.А., Сучков А.Ф. и др. //ЖЭТФ.
1972. Т. 62. С. 2060.
390.tfarwch T.W., Schawlow A.L., Toschek P.E. //IEEE J. Quant.
Electron. 1972. V. QE-8. P. 802.
391.Harris S.J. // Appl. Opt. 1984. V. 23. P. 1311.

392.Ратнер A.M. //ЖТФ. 1968. Т. 38. С. 1377.
393.Д«*еп Н., Nummedal К. //Phys. Lett. 1968. V. А-26. Р. 275.
394.Дм*еп Н.,Nummedal К. //J. Appl. Phys. 1968. V. 39. P. 4662.
395. Graham R., Haken H. //Z. Phys. 1968. V. 213. P. 420.
396.iusifcen H. /I Optical Instabilities^ Eds R.W. Boyd, M.G. Raymer,
L.M. Narducci. — Cambridge etc: Cambridge Univ. Press, 1986. P. 20.
m.Lugiato L.A., Narducci L.M. //Phys. Rev. 1985. V. A-32. P. 1563.
Ш-Mandel P. //Opt. Commun. 1985. V. 53. P. 249.
399. GerfcerP.i?., Butticker M. //Z. Phys. 1979. V. 53. P. 219.
400.Afayr M., Risken H., Vollmer H.D. //Opt. Commun. 1981. V. 36.
P. 480.
401. Milovsky N.D. //Phys. Lett. 1970. V. A-33. P. 492.
Ш.Миловский Н.Д. //Изв. вузов: Радиофиз. 1971. Т. 14. Р. 93.
403.Pessina Е.М., Bonfrate G., Fontane F., Lugiato L.A. //Phys. Rev.
1997. V. A-56. P. 4086.
404. Roldan E. // Opt. Commun. 1997. V. 143. P. 235.
405. Островский Л.А. //ЖЭТФ, 1965. Т. 48. С. 1087.
406. Островский Л.А. //ЖЭТФ, 1965. Т. 49. С. 1535.
407. Fleck J.A., Jr., Kidder R.E. //J. Appl. Phys. 1964. V. 35. P. 2825.
408-F/ecJfc J.A., Jr., Kidder R.E. //J. Appl. Phys. 1965. V. 36. P. 2327.
409.Басов Н.Г., Морозов B.H., Ораевский A.H. //ДАН СССР. 1965.
Т. 162. С. 781.
4Ю.Басов Н.Г., Морозов В.Н., Ораевский А.Н. //ЖЭТФ. 1965. Т. 49.
С. 895.
lll.Mandel P., Etrich С, Otsuka К. //IEEE J. Quant. Electron. 1993.
V. QE-29. P. 836.
112. Khandorhin P.A., Khanin Ya.L, Koryukin I.V., Mandel P. //IEEE
J. Quant. Electron. 1995. V. QE-31. P. 647.
413.ifcede/ E.P., Baldwin G.D. //J. Appl. Phys. 1967. V. 38. P. 2720.
414.Бутылкин B.C., Каплан A.E., Хронопуло Ю.Г., Якубович Е.И.
Резонансные взаимодействия света с веществом. — М.: Наука, 1977.
4\Ь.Антипов О.Л., Кужелев А.С, Лукьянов А.Ю., Зиновьев А.П.
//Квант, электрон. 1998. Т. 25. С. 891.
416.Яепгу С.Н. /I Semiconductor Injection Lasers. V. 1 /Ed. W.T. Tsang
iSemiconductors and Semimetals, v.22) —- Orlando: Academic Press.
985.
417.Henry C.H. //IEEE J. Quant. Electron. 1982. V. QE-18. P. 259.
418.Кравцов H.B., Ларионцев Е.Г. //Квант, электрон. 1994. Т. 21.
С. 903.
419.Климонтович Ю.Д., Ланда П.С., Ларионцев Е.Г. //ЖЭТФ. 1967.
Т. 52. С. 1616.
420. Мурина Т. А. Теоретический анализ метопов управления излучением
одномодового лазера: Канд. дисс. — Ленинград, 1982.
421.Mandel P., Abraham NB. //Opt. Commun. 1984. V. 51. P. 87.

422. Zeghlache H., Mandel P., Abraham N.B. et al. //Phys. Rev. 1988.
V. A-37. P. 470.
423. Vladimirov A.G. //Opt. Commun. 1998. V. 149. P. 67.
Ш.Мап<1е1 P., Agraval G.P. //Opt. Commun. 1982. V. 42. P. 269.
425.Желнов Б.А., Смирнов B.C., Фадеев Ф.П. //Опт. и спектроск.
1970. Т. 28. С. 744.
426. Кривощеков Г.В., Макуха В.К., Семибаламут В.М.,
Смирнов B.C. //Квант, электрон. 1976. Т. 3. С. 1782.
427.Khandokhin P.A., Khanin Ya.I. //J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2.
P. 226.
428.Hoffer L.M., Lippi G.L., Abraham N.B., Mandel P. //Opt. Commun.
1988. V. 66. P. 219.
429.Анохов СИ, Марусий Т.Я., Соскин М.С. Перестраиваемые
лазеры. — М.: Радио и связь, 1982.
430.Голяев Ю.Д., Евтюхов К.Н., Капцов Л.Н., Смышляев СП.
//Квант, электрон. 1981. Т. 8. С. 2330.
431.Sekita М., Kimura S. //J. Appl. Phys. 1983. V. 54. P. 3415.
4"&2.Полушкин Н.И., Хандохин П.А., Ханин Я.И. //Квант, электрон.
1983. Т. 10. С. 1461.
4ЪЪ.Корюкин И.В., Хандохин П.А., Ханин Я.И. //Квант, электрон.
1990. Т. 17. С. 978.
4Ъ4.Хандохин ПА. //Изв. вузов: Радиофиз. 1979. Т. 7. С. 813.
435.Kushima Т., Marcos Н.М., Geusic I.E. //Phys. Rev. 1968. V. 167.
P. 289.
436..Коряжин И.В., Хандохин П.А., Ханин Я.И., Манделъ П. //Квант,
электрон. 1995. Т. 22. С. 1081.
4Ы .Переведениева Г.В., Хандохин П.А., Ханин Я.И. //Квант,
электрон. 1980. Т. 7. С. 128.
438.Мурина Т.А., Розанов Н.Н. //Тез. 1-Й Всес. конф. Оптика
лазеров.— Ленинград: ГОИ, 1977. С. 154.
439.Хандохин П.А., Ханин Я.И. //Квант, электрон. 1989. Т. 15. С. 1993.
440.Zolotoverkh l.l„ Kravtsov N.V., Lariontsev E.G. et al. //Opt.
Commun. 1994. V. 113. P. 249.
441.Khanin Ya.I. //J. Opt. Soc. Am. 1988. V. B-5. P. 889.
442. Азарова B.B. Шумы интенсивности излучения непрерывных
гранатовых лазеров: Банд.дис. — Л., ГОИ им. СИ. Вавилова, 1980.
443.Хандохин П.А. Низкочастотные процессы в твердотельном
кольцевом лазере: Канд.дис. — Горький, Институт прикладной физики АН
СССР. 1985.
444.Хандохин П.А., Ханин Я.И. //Квант, электрон. 1996. Т. 23. С. 29.
445.Khandokhin P.A., Khanin Ya.I., Koryukin I.V. //Opt. Commun.
1991. V. 81. P. 297.
446.Lacot E., Stoeckel F. //J. Opt. Soc. Am. 1996. V. B-13. P. 2034
447.Leners R., Stephan G. // Quantum Semiclass. Opt. 1995. V. 7. P. 757.
448.Bielawski S., Derozier В., Glorieux P. //Phys. Rev. 1992. V. A-46.
P. 284.

449. Paddon P., Sjerve E., May A.D., Baurouis M., Stephen G. //J. Opt.
Soc. Am. 1992. V. B-9. P. 574.
ibO.Zeghlache H, Boulnois A. //Phys. Rev. 1995. V. A-52. P. 4229.
Hbl.Khandokhin P., Khanin Ya., Mamaev Yu. et al. //Quant. Semiclass.
Opt. 1998. V. 10. P. 97.
452.Хандохин П.А., Хамим Я.И., Мамаев Ю.А. и др. //Квант,
электрон. 1998. Т. 25. С. 517.
453. San Miguel М., Feng О., Moloney J. II Phys. Rev. 1995. V. A-52.
P. 1728.
454.Martin-Regalado J., Prati F., San Miguel M., Abraham N.B. //IEEE
J. Quant. Electron. 1997. V. QE-33. P. 765.
455. Беленое Э.М., Маркин Е.П., Морозов B.H., Ораев-
ский А.Н. //Письма в ЖЭТФ. 1966. Т. 3. С. 54.
456.Беленое Э.М., Морозов В.Н., Ораевский А.Н. //Тр. ФИАН. 1970.
Т. 52. С. 237.
457.Бауег Е., Hellwege К.Н., Schaack G. II Zs.Naturforsch. 1965. V. 20A.
P. 1181.
458.Морозов B.H., Ораевский А.Н. //Изв.вузов: Радиофиз. 1966. Т. 9.
С. 710.
459.IfuKj/Hoe В.Н. //ЖЭТФ. 1970. Т. 58. С. 1646.
460.Лившиц Б.Л. //ЖЭТФ. 1970. Т. 59. С. 516.
461. .Винокуров Г.Н. //Опт. испектроск. 1971. Т. 31. С. 5399.
462.7УеА'ссе J.P., Abraham N.B., Puccioni G.P., Arecchi F.T. //Opt.
Commun. 1985. V. 55. P. 131.
463.Stamatescu L., Hamilton M.W. //Phys. Rev. 1997. V. E-55. P. 2115.
464.Pieroux D., Mandel P., Otsuka K. IIOpt. Commun. 1993. V. 108.
P. 273.
465.Маторин И.И., Пиковский A.C., Хамим Я.И. //Квант, электрон.
1984. Т. 11. С. 2096.
466. Toda М. //Phys.Rep. 1975. V. 18. Р. 1.
467. Oppo G.L., Politi A. //Z. Phys. 1985. V. В-2. Р. 111.
468.Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгим В.Н.
Основы теории колебаний. — М.: Наука, 1978.
469.Iwmor D.V., Khanin Ya.L, Matorin I.I., Pikovsky A.S. //Phys. Lett.
1982. V. A-89. P. 229.
470. Arrecchi F.T., Meucci R., Puccioni G.P., Tredicce J.R. //Phys. Rev.
Lett. 1982. V. 49. P. 1271.
471.Puccioni G.P., Poggi A., Gadomski W. et al. //Phys. Rev. Lett. 1985.
V. 55. P. 339.
472.7VeA'cce J.R., Arecchi F.T., Puccioni G.P. et al. //Phys. Rev. 1986.
V. A-34. P. 2073.
473.Dangoisse D., GlorieuxP., Hennequin D. //Phys. Rev. 1987. V. A-36.
P. 4775.
474.Midavaine Т., Dangoisse D., GlorieuxP. //Phys. Rev. Lett. 1985.
V. 55. P. 1989.
475.Dangoisse D., Glorieux P., Hennequin D. //Phys. Rev. Lett. 1986.
V. 57. P. 2657.

Ш.Хандохин Л.А., Ханин Я.И. //Квант, электрон. 1984. Т. 11. С. 1483.
477. Mandel P., Nardone P., Erneux Т. //J. Opt. Soc. Am. 1988.
478-2>езаееа Л.Г., Капцов Л.Н., Шариков И.З. //Квант, электрон.
1985. Т. 12. С. 1743.
479.Евдокимова О.Н., Капцов Л.Н. //Квант, электрон. 1990. Т. 17.
С. 901.
480. Самсон A.M., Туровец СИ. //Ж. прикл. спектр. 1988. Т. 48. С. 384.
481.Erneux Т., Mandel P. //Phys. Rev. 1989. V. А-40. Р. 286.
482.Arecchi F.T., Gadomski W., Mencci R., Roversi J.A. //Opt. Com-
mun. 1988. V. 65. P. 47.
483. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Механика. — М.:Наука, 1988.
484. Jfimura Т., Otsuka К. //J. Appl. Phys. 1969. V. 40. P. 5399.
485.Kimura Т., Otsuka K. //IEEE J. Quant. Electron. 1970. V. QE-6.
P. 764.
486. De Maria A. J., Gagosz R. //Proc. IRE. 1962. V. 50. P. 1522.
487. Козлова B.K., Мустель E.P., Парыгин B.H. //Радиотехн. и
электрон. 1969. Т. 14. С. 875.
488.Лившиц Б.Л. //ДАН СССР. 1970. Т. 191. С. 1298.
489..РеЛег G., Gordon J.P., ВиесЫет Е. et al. //Phys. Rev. 1958. V. 109.
P. 221.
490.Chester P.F., Wagner P.E., Castle J.P. //Phys. Rev. 1958. V. 110.
P. 281.
491. Thorp J.S. //Advances in Quantum Electronics. — N.Y.: Columbia.
Univ. Press, 1960. P. 602.
492.Firth I.M., Bijl D. //Nature. 1961. V. 192. P. 860.
493.Шамфаров Я.Л., Смирнова T.A. //Радиотехн. и электрон. 1963.
Т. 8. С. 1567.
494.#етр J.C //J. Appl. Phys. 1959. V. 30. P. 1451.
495. Yariv A. //J. Appl. Phys. 1960. V. 31. P. 740.
496. Wang S., Singer J.R. //J. Appl. Phys. 1961. V. 32. P. 1371.
497. Firth I.M. //Physica. 1963. V. 29. P. 857.
498.Зингер Дж. Мазеры: Пер с англ. /Под ред. Ф.В. Бункина. — М.:
ИЛ, 1961.
499.#етр J.C. //Phys. Rev. Lett. 1961. V. 7. P. 21.
ЬОО.Мухтпаров Ч.К. //ДАН СССР. 1966. Т. 171. С. 1301.
501. Голяев Ю.Д. Динамика колебаний квазинепрерывных лазеров на
алюмоиттриевом гранате с неодимом: Канд.дис. — М., МГУ, 1973.
502. Jeppesen М.А. //J. Opt. Soc. Am. 1958. V. 48. P. 629.
503.Кирсанов Б.П., Леонтович A.M., Можаровский A.M. //Квант.
электрон. 1974. Т. 1. С. 2211.
504.Г"оАяев Ю.Д., Лантратов СВ. //Квант, электрон. 1974. Т. 1.
С. 2197.
505.МагесЛаН F.R., Roberts O.L. //Proc. IRE. 1962. V. 50. Р. 2108.
506.Collins R.J., Kisliuk P. //J. Appl. Phys. 1962. V. 33. P. 2009.

507.Statz H., DeMars G.A., Wilson D.T., Tang C.L. //J. Appl. Phys.
1965. V. 36. P. 1510.
bm.Keller D.V., Davis B.I. //IEEE J. Quant. Electron. 1966. V. QE-2.
P. 179.
509.Paoli Т., Ripper J.E. //Appl.Phys.Lett. 1970. V. 16. P. 96.
Ы0. Берзинг Э.Г., Набойкин Ю.В., Ром-Кричевская И.А.,
Тиунов Ю.А. If Опт. и спектроск. 1967. Т. 22. С. 503.
Ы1. Бржазовский Ю.В., Василенко Л.С., Раутиан С.Г. и др.
//ЖЭТФ. 1971. Т. 61. С. 500.
512. Wood D.R., Schwarz S.E. //Appl.Phys.Lett. 1967. V. И. P. 88.
513. Карлов H.B., Кузьмин Г.П., Петров Ю.М.,
Прохоров A.M. //Письма в ЖЭТФ. 1968. Т. 7. С. 174.
bU.Powell Н.Т., Wolga G.J. //IEEE J. Quant. Electron. 1971. V. QE-7.
P. 213.
515. Jacques A., Glorieux P. //Opt. Commun. 1982. V. 40. P. 455.
516.Arimondo E., Casagrande F., Glorieux P., Lugiato L.A. //Appl.
Phys. 1983. V. B-30. P. 57.
517.Arimondo E., Dinelli B.M. //Opt. Commun. 1983. V. 44. P. 277.
518. Arimondo E., Menchi E. //Appl.Phys. 1985. V. B-37. P. 55.
519. Arimondo E., Bootz P., Glorieux P., Menchi E. //J. Opt. Soc. Am.
1985. V. B-2. P. 193.
520. Glorieux P., Dangoisse D. //IEEE J. Quant. Electron. 1985. V. QE-
21. P. 1486.
521. Arimondo E., Gabbanini C, Menchi E., Zambon B. //Proc. SPIE.
1986. V. 667. P. 234.
522.Arimondo E., Dangoisse D., Gabbanini C. et al. //J. Opt. Soc. Am.
1987. V. B-4. P. 892.
523.Arimondo E. //Instabilities and Chaos in Quantum Optics. II/Eds
N.B. Abraham, F.T. Arecci, L.A. Lugiato. — N.Y.;L.: Plenum Press,
1988. P. 69.
524.Dangoisse D., Bekkali A., Papoff F., Glorieux P. //Europhys. Lett.
1988. V. 6., P. 335.
Ъ2Ъ. Bekkali A., Papoff F., Dangoisse D., Glorieux P. //J. de Phys. 1988.
V. 49. P. C2-349.
526.Hennequin D., Lefranc M., Bekkali A. et al. //Measures of
Complexity and Chaos / Ed. N.B. Abraham. — N.Y.; L.: Plenum Press, 1989.
P. 299.
527.Грязное Ю.М., Частое А.А. //Ж. прикл. спектроск. 1972. Т. 16.
С. 658.
528.берзинг Э.Г., Набойкин Ю.В., Тиунов Ю.А., Чернов B.C. //Ж.
прикл. спектр. 1972. Т. 13. С. 404.
529.Беспалое В.И., Якубович Е.И. //Изв. вузов: Радиофиз. 1965. Т. 8.
С. 909.
ЪЗО.Рощин Н.В. //Изв.вузов: Радиофиз. 1973. Т. 16. С. 1006.
531.&>#ег В.Н. //J. Appl. Phys. 1964. V. 35. P. 2551.
532.5Ле C.V., Ang-Tick Tan //Appl. Phys. Lett. 1966. V. 9. P. 198.

ЪЪЪ.Довгер Л.С., Ермаков Б.А., Лукин А.В., Шкловер Л.П. //Опт. и
спектроск. 1966. Т. 20. С. 903.
bM.Erickson L.E., Szabo A. //J. Appl. Phys. 1966. V. 37. P. 4953.
ЬЗЪ.Егпеих Т. //J. Opt. Soc. Am. 1988. V. B-5. P. 1063.
ЬЖШильников Л.П. //ДАН СССР. 1965. Т. 160. С. 558.
537. Tachikawa М., Tanii К., Kajita М., Shimizu Т. //Appl. Phys. 1986.
V. В-39. Р. 83.
538. Tachikawa М., Tanii К, Shimizu Т. //J. Opt. Soc. Am. 1988. V. B-5.
P. 1077.
539. Татаркова С.А., Тучин B.B. //Квант.электрон. 1992. Т. 19. С. 757.
540. Carmichael С.Н., Simpson G.N. // Nature. 1964. V. 202. P. 4934.
541. Birnbaum M., Stocker T.L. II IEEE J. Quant. Electron. 1966. V. QE-
2. P. 184.
542. Елисеев П.Г., Манъко M.A. //Ж.прикл.спектр. 1966. Т. 36. С. 2215.
543.Жен И. //Действие лазерного излучения: Пер с англ. /Под ред.
Ф.В. Бункина. — М.: Мир, 1968. С. 210.
544.Duguay М.А., Hansen J. W., Shapiro S.L. //IEEE J. Quant. Electron.
1970. V. QE-6. P. 725.
545. Giuliano C.R., Marburger J.H. I I Phys. Rev. Lett. 1971. V. 27. P. 905.
M&.Katzenstein J., Magyar G., Selden A.C. //Opto-Electronics. 1969.
V. 1, P. 13.
547.Гапонов C.B., Гончаров А.Г., Крафтмахер Г.А., Ханин Я.И.
//Письма в ЖЭТФ. 1970. Т. 11. С. 370.
Ш.Дробник А., Вольф Л. //Квант, электрон. 1978. Т. 5. С. 482.
549.Гапонов С.В., Парамонов Л.В., Салащенко Н.Н. и др. //Квант.
электрон. 1980. Т. 7. С. 2432.
ЬЬО.Микаэлян А.Л., Купришов В.Ф., Турков Ю.Г. и др. //Письма в
ЖЭТФ. 1970. Т. 11. С. 244; Квант, электрон. /Под ред. Н.Г. Басова.
— М.: Сов. радио, 1971. Вып 1. С. 102.
551.Birnbaum М., Fincher C.L. //Ргос. IEEE. 1969. V. 57. Р. 804.
ЪЪ2.Аллахвердян Р.Г., Морозов В.Н., Ораевский А.Н.,
Сучков А.Ф. //Квант, электрон. /Под ред. Н.Г. Басова. — М.: Сов.
радио, 1971. Вып. 6. С. 53.
ЪЪЪ.Богданкевич О.В., Коваленко А.Н. и др. //ЖЭТФ. 1971. Т. 60.
С. 132.
554:.Гуревич Г.Л., Ингель Л.Х., Ханин Я.И. //Квант, электрон. /Под
ред. Н.Г. Басова. — М.: Сов. радио, 1972. Вып. 3. С. 45.
555. Таланов В.И. //Изв. вузов: Радиофиз. 1965. Т. 8. С. 260.
556.Kelley P.L. //Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. P. 1005.
ЬЫ.Каминский A.A., Мак А.А., Пашинин П.П., Попов Ю.М.
//Справочник по лазерам /Под ред. A.M. Прохорова. — М.: Сов.
радио, 1978. Т. 1. С. 237.
558.Modfcer Н. W., Collins R.J. //Appl. Phys. Lett. 1965. V. 7. P. 210.
559. Малышев В.И., Маркин A.C, Сычев A.A. // Письма в ЖЭТФ. 1967.
Т. 6. С. 503.
560.Schmackhfeffer A., Weber Y. //Phys. Lett. 1967. V. А-24. Р. 190.

561.Be Maria A.J., Stetser D.A., Heunau H. //Appl. Phys. Lett. 1966.
V. 8. P. 174.
562.-De Maria A. J., Glenn W.H., BrienzaM.J., MackM.E. //Proc.IEEE.
1969. V. 57. P. 2.
563.^еш G.H.C. //Rep. Progr. Phys. 1983. V. 46. P. 877.
564.State H, Tang C.L. //J. Appl. Phys. 1965. V. 36. P. 3923.
565.Statz H., Be Mars G.A., Tang C.L. //J. Appl. Phys. 1967. V. 38.
P. 2212.
566. State H. //J. Appl. Phys. 1967. V. 38. P. 4648.
567. Tang C.L., Statz H. //J. Appl. Phys. 1967. V. 38. P. 2963.
568.Statz H., Bass M. //J. Appl. Phys. 1968. V. 40. P. 377.
569.Schwarz S.E., Gordon P.L. //J.Appl.Phys. 1969. V. 40. P. 4441.
570.Кравцов H.B., Яценко ЮЛ. //ЖТФ. 1978. Т. 47. С. 2433.
571.tfaus Н.А. //J. Appl. Phys. 1975. V. 46. P. 3049.
Ы2.Бондаренко A.H., Кривощеков Г.В. и др. //Изв. вузов: Радиофиз.
1971. Т. 14. С. 1615.
573. Гусев А. А, Кружалов С.В., Пахомов Л.Н., Петрунь-
кын В.Ю. //Письмав ЖТФ. 1978. Т. 4. С. 1250.
574.Spence В.Е., Kean P.N., Sibbert W. //Opt. Lett. 1991. V. 16. P. 43.
575. Liu L.Y., Huxley J.M., Ippen E.P., Haus H.A. //Opt. Lett. 1990.
V. 15. P. 553.
576.MaZco/m G.P.A., Fergusson A.J. //Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 877.
577.Piche M., Salin F. //Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 1041.
578.Ru P., Jakobsen P.K., Moloney J.V. //Technical Digest "Nonlinear
Dynamics in Optical Systems", Alpbach, Austria (Optical Society of
America, Washington D.C., 1992) p. 48.
579.Гырееич Г.Л. //Изв. вузов: Радиофиз. 1979. Т. 13. С. 1019.
580.New G.H.C., Rea Т.Н. //J. Appl. Phys. 1976. V. 47. P. 3107.
581.Garside B.K., Lim Т.К. //J. Appl. Phys. 1973. V. 44. P. 2335.
582.Khanin Ya.L, Matorin Ц Opt. and Quant. Electron. 1981. P. 13
P. 439.
583..ЛГеш G.C.H. //IEEE J. Quant. Electron. 1974. V. 10. P. 115.
584.j4rt/iurs E.G., Bradley B.J., Puntambeckar P.N. et al. //Opt. Com-
mun. 1974. V. 12. P. 360.