Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров - Фарлоу С.

Лекция 3. Граничные условия в задачах диффузионного типа
Лекция 4. Вывод уравнения теплопроводности
Лекция 6. Преобразование неоднородных граничных условии в однородные
Лекция 7. Решение более сложных задач методом разделения переменных
Лекция 8. Преобразование сложных уравнений к простому виду
Лекция 9. Решение неоднородных УЧП методом разложения по собственным функциям
Лекция 12. Преобразование Фурье и его применение к решению уравнений с частными производными
Лекция 15. Конвективный член в диффузионной задаче
Лекция 19. Волновое уравнение и граничные условия
Лекция 20. Колебания ограниченной струны (стоячие волны;
Лекция 22. Переход к безразмерным переменным
Лекция 26. Принцип суперпозиции — основа теории линейных систем
Лекция 29. Системы уравнений с частными производными
Часть 5. Численные и приближенные методы
Лекция 40. Сравнение аналитических решений с численными
Лекция 43. Решение уравнений с частными производными методом Монте-Карло
Лекция 45. Вариационные методы решения уравнений с частными производными
Лекция 46. Решение уравнении с частными производными методами теории возмущений
Лекция 47. Решение уравнении с частными производными методом конформных отображений
Author: Фарлоу С.
Tags: анализ математический анализ функциональный анализ математика инженерия уравнения дифференциальные уравнения инженерное дело учебное пособие
Year: 1985
Similar
Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных
Дифференциальные уравнения в частных производных
Сборник задач по уравнениям с частными производными
Дифференциальные уравнения в частных производных.
Text
                    PARTIAL
DIFFERENTIAL
EQUATIONS
for
Scientists and
Engineers
Stanley J. Fariow
Professor of Mathematics
the University of Maine
John Wiley & Sons, Inc.
1982

СФарлоу
УРАВНЕНИЯ
С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
для научных
работников
и инженеров
Перевод с английского
Д. И. Плиса
под редакцией
С. И, Похожаеза
Москва «Мир» 1985

ББК 22.161.6
Ф24
УДК 517.2
Фарлоу С.
Ф24 Уравнения с частными производными для научных работ-
работников и инженеров: Пер. с англ.— М.: Мир, 1985.— 384 с.
Книга американского математика, представляющая собой учебное пособие по
теории дифференциальных уравнений с частными производными Она отличается
компактностью, четкостью и наглядностью изложения и неформальным подходом
в подаче материала. В ней много иллюстраций, графиков и диаграмм; вместо стро-
строгих доказательств часто приводятся соображения, основанные на интуиции или на
аналогии.
Для инженеров и специалистов-нематематиков — биологов, химиков, а также
студентов вузов.
„_ю, ч.,
Редакция литературы по математическим наукам
© by John Wiley & Sons, Inc. 1982. All Rights
Reserved. Authorized translation from English
language edition published by John Wiley &
Sons, Inc.
© перевод на русский язык, «Мир», 1985

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемую вниманию читателей книгу следует рассматри-
рассматривать как учебное пособие по курсам: «Уравнения с частными
производными» и «Уравнения математической физики» для сту-
студентов технических вузов. Она будет полезной также инженерам
самых различных специальностей. В книге представлены тради-
традиционные методы решения уравнений с частными производными,
включая и некоторые численные методы. При этом особое вни-
внимание уделено методу разделения переменных и методу интеграль-
интегральных преобразований и эта часть книги может быть использована
на практических занятиях в университетах.
Ориентация книги на широкую «нематематическую» аудито-
аудиторию определила стиль изложения рассматриваемых в ней вопро-
вопросов: интуитивный подход и большое внимание к физическому
смыслу не только самих уравнений, но и краевых и начальных
условий для различных задач. Предполагается, что читатели
знакомы лишь с основами дифференциального и интегрального
исчисления и с элементами теории обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Специалистов может не удовлетворить принятое автором ин-
интуитивное описание некоторых понятий и отдельных методов,
однако более строгое изложение неизбежно привело бы к усложне-
усложнению книги и сузило круг ее читателей, что по-видимому не
входило в намерение автора.
Большее возражение может вызвать отсутствие общих резуль-
результатов о задачах для уравнений с частными производными с пе-
переменными коэффициентами, включая уравнения высших поряд-
порядков. Читатель, однако, должен четко осознавать, что предлагаемая
книга является начальным курсом теории уравнений с частными
производными. Вопросы линейной теории уравнений с частными
производными, не включенные автором, можно найти в литературе,
которая приводится в конце книги.
Материал книги изложен автором с большим методическим
мастерством. Не все, однако, одинаково удалось ему, и внима-
внимательный читатель обнаружит это, например, при изучении прин-
принципа Дюамеля, сферических волн и некоторых других мест книги.
Нет сомнения, что предлагаемая книга С. Фарлоу найдет
читателя не только среди студентов и инженеров, но и среди
преподавателей, которые могут многое почерпнуть в конкретной
методике изложения и оформления специальных математических
курсов.
С. И. Похожаев

ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние несколько лет существенно увеличилось число
студентов, начинающих изучать уравнения с частными производ-
производными на младших курсах. К тому же многие из них специали-
специализируются в таких областях, где интуиция важнее математической
строгости. Поэтому при написании этой книги я стремился соз-
создать текст, стимулирующий интуитивное мышление читателей без
большой, однако, потери математической строгости. Можно было
бы, впадая в одну крайность, излагать предмет на высоком
«эпсилон—дельта» уровне, но тогда, как это обычно бывает,
студенты не будут знать, что делать с полученными сведениями.
Другая крайность состоит в полном пренебрежении математичес-
математическими тонкостями, но тогда ни студенты, ни преподаватели не бу-
будут знать, как надо действовать. Я старался найти разумный
компромисс между этими крайностями.
Предлагаемая книга возникла на основе курса лекций, который
я читал в течение последних пяти лет. Компоновка материала
не является общепринятой—это 47 почти независимых л руг от
друга лекций.
Основное внимание уделено двум наиболее важным аналити-
аналитическим методам: разделению переменных и интегральным пре-
преобразованиям. Излагаются и некоторые нестандартные разделы,
такие, как метод Монте-Карло, вариационное исчисление, теория
управления, теория потенциала, интегральные уравнения. Это
связано с тем, что большинству студентов придется столкнуться
с этими вопросами в процессе учебы, и если они не познакомятся
с ними сейчас, то вряд ли когда-нибудь займутся их системати-
систематическим изучением.
Эту книгу можно использовать в качестве учебного пособия
для одно- или двухсеместрового курса как для начинающих сту-
студентов, так и для студентов старших курсов. От читателей тре-
требуется знание только дифференциального и интегрального исчисле-
исчисления и обыкновенных дифференциальных уравнений. Материал
большинства лекций излагается за одно — два занятия. Типичный
односеместровый курс может включать лекции 1 —13, 15—17,
19 — 20, 22 — 23, 25 — 27, 30 — 32, 37 — 39. Все 47 лекций можно
легко прочитать в течение двух семестров. При этом останется
достаточно времени для решения задач.
Автор благодарен издательству Wiley за предложение написать
книгу, а также рецензентам: профессорам Крису Рорресу и
М. Куршиду Али, сделавшим ряд полезных замечаний по тексту
книги. Любые предложения по дальнейшему улучшению этого
учебника будут с благодарностью приняты, как от студентов,
так и от преподавателей. Я признателен также Дороти, Сюзане,
Александру и Дези Фарлоу.
Стенли Дж. Фарлоу

Часть I. ВВЕДЕНИЕ
Лекция I
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, что такое уравнения с частными
производными, где и как они возникают и как решаются.
Кратко обсудить способы классификации уравнений и при-
привести перечень основных понятий, которые будут подробно
изучаться в последующих лекциях.
Большинство физических явлений в таких областях, как ди-
динамика жидкости, электричество и магнетизм, механика, оптика,
теплопередача, могут, вообще говоря, быть описаны с помощью
уравнений с частными производными (УЧП). Большинство уравне-
уравнений математической физики — это уравнения с частными произ-
производными. Правда, при некоторых упрощающих предположениях
эти уравнения сводятся к обыкновенным дифференциальным урав-
уравнениям, однако полное описание таких систем неминуемо приво-
приводит к использованию уравнений с частными производными.
Что такое уравнения с частными производными?
Уравнение с частными производными — это уравнение, содер-
содержащее частные производные. В отличие от обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная функция
зависит только от одной переменной, в уравнениях с частными
производными неизвестная функция зависит от нескольких пере-
переменных (например, температура и (х, t) зависит от координаты х
и времени t).
Приведем теперь некоторые наиболее важные уравнения с част-
частными производными. Для упрощения записи будем использовать
следующие обозначения
и =-ди и =д- и — дЧ

Часть 1. Введение
Некоторые уравнения с частными производными
ut~uxx (одномерное уравнение теплопроводности),
ut*=uxx + u (двумерное уравнение теплопроводности),
4--L« + — и s=0 (уравнение Лапласа в полярных коорди-
rt *т г г "г Г2 оо натах),
"li^^ + ^v + ^i (трехмерное волновое уравнение),
Uit = uxx + ziu1^^u (телеграфное уравнение).
Замечания к приведенным- примерам
Во всех приведенных примерах неизвестная функция и зависит
более чем от одной переменной. Переменная и (которую мы диф-
дифференцируем) называется зависимой переменной. Переменные, по
которым происходит дифференцирование, называются независимыми
переменными. Например, в уравнении,
Ut = пхх
зависимая переменная и(х9 t) является функцией двух независи-
независимых переменных х и t\ а в уравнении
1л ременная и (г, 6, i) зависит от г, 0, /.
Оочему необходимо изучать уравнения
с частными производными?
Большинство физических законов природы можно сформули-
сформулировать на языке уравнений с частными производными. В качестве
примеров можно привести уравнения Максвелла, закон теплооб-
теплообмена Ньютона, уравнения Навье — Стокса, уравнения движения
Ньютона, уравнение Шрёдингера в квантовой механике. Во всех
этих уравнениях физические явления описываются на языке про-
пространственных и временных производных. Производные появляются
в уравнениях потому, что они описывают важнейшие физические
величины (такие, как скорость, ускорение, сила, трение, поток,
ток и т. д.). Таким образом, возникают уравнения с, частными
производными, содержащие неизвестную функцию, которую не-
необходимо определить.
Цель этой книги состоит в том, чтобы показать читателю:
1. Как физическую задачу сформулировать в виде уравнения
с частными производными (построение математической модели).

Лекция 1. Введение в теорию УЧП
2. Как решить уравнение с частными производными (с учетом
начальных и граничных условий).
Прежде чем приступить к построению математических моделей,
остановимся вкратце на методах решения уравнений с частными
производными.
Как решать уравнения с частными производными?
Это — хороший вопрос. Оказывается, существует целый арсенал
методов, пригодных для практического использования. Наиболее
важны те, в которых уравнения с частными производными сво-
сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Перечи-
Перечислим десять методов решения уравнений с частными производ-
производными:
1. Метод разделения переменных. Уравнение с частными про-
производными с п независимыми переменными сводится к п обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнениям1).
2. Метод интегральных преобразований. Уравнение с частными
производными с п независимыми переменными сводится к урав-
уравнению с частными производными с (п—1) независимыми перемен-
переменными; следовательно, уравнение с частными производными с двумя
независимыми переменными можно свести к обыкновенному диф-
дифференциальному уравнению2).
3. Метод преобразования координат. Исходное уравнение
с частными производными сводится к обыкновенному дифференци-
дифференциальному уравнению или к другому, более простому уравнению
с частными производными с помощью соответствующего преобра-
преобразования координат (например, поворота координатных осей и т. п.)
4. Преобразование зависимой переменной. Исходное уравнение
с частными производными преобразуется к такому уравнению
с частными производными для другой неизвестной функции, ко-
которое решается легче, чем исходное3).
5. Численные методы. Исходное уравнение с частными произ-
производными сводится к системе разностных уравнений, которая ре-
решается методом итераций на ЭВМ. Во многих случаях—это един-
единственный способ решить уравнение с частными производными.
Кроме разностных методов решения уравнений с частными про-
*) Это в случае полного разделения переменных. При частичном разделе-
разделении переменных одно уравнение с частными производными сводится
к нескольким уравнениям с частными производными с меньшим числом
независимых переменных. — Прим. ред.
*) Это в случае одномерного интегрального преобразования. В случае
^-мерного интегрального преобразования УЧП с п независимыми пере-
переменными сводится к уравнению с частными производными с п—k неза-
независимыми переменными. — Прим. ред.
s) Эффективнее применять общие преобразования независимых и зависи-
зависимых переменных, включая производные.—Прим. ред.

ТО Часть 1. Введение
изводными существуют и другие численные методы, в том числе
и основанные на аппроксимации решения полиномиальными по-
поверхностями (аппроксимация сплайнами).
6. Метод теории возмущений. Исходная нелинейная задача
сводится к последовательности линейных задач, аппроксимирую-
аппроксимирующих нелинейную задачу1).
7. Метод функций Грина. Начальные и граничные условия
заменяются системой простейших источников, и задача решается
для каждого простейшего источника. Полное решение исходной
задачи получается в результате суммирования решений для эле-
элементарных источников.
8. Метод интегральных уравнений. Уравнение с частными
производными сводится к интегральному уравнению (уравнение,
в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла).
Существует много различных методов решения интегральных урав-
уравнений.
9. Вариационные методы. Вместо уравнения с частными гро-
изводными решается некоторая задача минимизации. Оказывается,
что функция, доставляющая минимум некоторому выражению
(типа полной энергии системы), является в то же время решением
исходного уравнения с частными производными2).
10. Метод разложения по собственным функциям. Решение
уравнения с частными производными ищется з виде ряда по соб-
собственным функциям. Эти собственные функции находятся как
решения так называемой задачи на собственные значения, соот-
соответствующей исходной задаче для уравнения с частными производ-
производными.
Типы уравнений с частными производными
Уравнения с частными производными можно классифицировать
по многим признакам. Классификация уравнений важна потому,
что, как оказалось, для каждого класса существует своя общая
теория и методы решения уравнений.
Мы приведем здесь шесть основных методов классификации
уравнений.
1. Порядок уравнения. Порядком уравнения называется наи-
наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение. На-
Например,
1) Точнее, это метод линеаризации нелинейных задач. Общая теория воч-
мущений содержит линейную и нелинейную теории возмущений, ка/к-
дая из которых в свою очередь бывает регулярной и сингулярной. —
Прим. ред.
2) Эти методы применимы к специальным задачам, что обусловлено сущест-
существованием соответствующих выражений — функционалов для этих задач.—
Прим. ред.

Лекция 1. Введение в теорию УЧП
Щ = ихх (уравнение второго порядка),
tit = ux (уравнение первого порядка),
иг = ииххх + sin к (уравнение третьего порядка).
2. Число переменных. Числом переменных называется число
независимых переменных. Например,
ut==uxx (уравнение с двумя переменными х и /),
щ = и„+± Ur + -L Щт уравнение с тремя переменными г,
3. Линейность. Уравнения с частными производными бывают
линейными и нелинейными. В линейные уравнения зависимая
переменная и все ее частные производные входят линейным обра-
образом, в частности они не умножаются друг на друга, не возво-
возводятся в квадрат и т. д.). Более точно, линейным уравнением
второго порядка с двумя независимыми переменными называется
уравнение вида
A.1)
Аихх + Виху + Сиуу + Dux + Eu
где Л, Ву С, D, ?, F и G — константы или заданные функции
независимых переменных х и у. Например,
uu=e~1uxx + s\nt (линейное уравнение),
uuxx + tti = O (нелинейное уравнение),
ихх + Уиич = 0 (линейное уравнение),
хих -J- уиу + и2 = 0 (нелинейное уравнение).
4. Однородность. Уравнение A.1) называется однородным,
если правая часть G(xy у) тождественно равна нулю для всех к
и //. Если G (х, у) не равна тождественно нулю, то уравнение
называется неоднородным.
5. Виды коэффициентов. Если коэффициенты Л, В, С, D, Е и F
уравнения A.1) постоянны, то уравнение называется уравнением
с постоянными коэффициентами (в противном случае уравнением
с переменными коэффициентами).
6. Три основных типа линейных уравнений. Все линейные
уравнения с частными производными второго порядка вида A.1)
относятся к одному из трех типов: а) параболический, б) гипер-
гиперболический, в) эллиптический.
Параболический тип. Уравнения параболического типа описы-
описывают процессы теплопроводности и диффузии и определяются
условием В2 — 4ЛС = 0.
Гиперболический тип. Уравнения гиперболического типа описы-

12 Часть 1. Введение
вают колебательные системы и волновые движения и определяются
условием В2 — 4ЛС>0.
Эллиптический тип. Уравнения эллиптического типа описывают
установившиеся процессы и определяются условием В2 — \АС < 0.
Примеры
а) ut = uXXf В2-
б) ии = их„ В2-
^0. В2 — 4ЛС=1
в)
г)
Д)
(параболическое),
(гиперболическое),
(гиперболическое),
(эллиптическое),
эллиптическое при у > 0,
параболическое при// = 0,
гиперболическое при у <0.
(В случае переменных коэффициентов тип уравнения может
изменяться от точки к точке.)
ЗАМЕЧАНИЯ
1. В общем случае величина Б2— 4АС является функцией неза-
независимых переменных. Следовательно, основной тип уравнения
может изменяться в области определения уравнения, хотя это
и не обязательно.
2. В уравнении A.1) независимыми переменными являются х и у.
Во многих задачах одной из двух независимых переменных
является время и уравнение A.1) можно записать через xut.
Линейность
Линейное
1
2
3
4
Постоянные
Однородные
1
2
3
Гиперболический
А
Нелинейное
5
•«*
т
Переменные
Неоднородные
5
• • •
п
Параболический Эллиптический
Вид коэффициентов
(для линейных ура&нений)
Однородность
(для линейных уравнений)
Число переменных
Тип
РИС. 1.1. /Диаграмма классификации уравнений с частными производными.

Лекция 1. Введение в теорию УЧП 13
3. На рис. 1.1. представлена классификационная диаграмма для
уравнений с частными производными.
ЗАДАЧИ
1. Проведите классификацию следующих уравнений по всем
признакам, указанным в диаграмме на рис. 1.1:
2
х
б) ut^=uxx
в) uxx + 3
г) ии = ииххх +
2. Сколько существует решений уравнения ut = uxx? Попытайтесь
найти решения вида и (х, t)~eax+bt.
3. Если функции иг(х, t) и и2(х, t) удовлетворяют уравнению
A.1), то удовлетворяет ли ему сумма этих функций? Докажите.
4. Вероятно, самое простое уравнение с частными производными
имеет вид
ди{х, y)==Q
дх
Можете ли вы решить это уравнение? (Найдите все функции,
которые удовлетворяют этому уравнению.)
5. Что вы можете сказать об уравнении
&и(х9 у)
дхду =0?
Можете ли вы найти все решения этого уравнения? Сколько
их? Сравните с числом решений обыкновенного дифференци-
дифференциального уравнения

Часть 2. ДИФФУЗИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Лекция 2
ЗАДАЧИ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
(ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, как используются парабо-
параболические уравнения при решении задач теплопроводности
и диффузии. Приводится несколько примеров параболических
уравнений и разъясняется физический смысл различных
членов (ии их, ихх и и), входящих в эти уравнения.
На конкретном примере рассматривается основная идея
смешанной задачи для параболического уравнения. Одна из
главных целей данной лекции — дать читателю интуитивное
понимание параболических задач.
Начнем с рассмотрения простой физической задачи и пока-
покажем, как она может быть описана посредством математическ >й
модели, содержащей уравнение с частными производными.
Затем мы усложним задачу и покажем, как новые физические
условия приводят к новым дифференциальным уравнениям с част-
частными производными. Уравнения с частными производными
в этой лекции не выводятся и не решаются. Мы займемся этим
позже.
Простой эксперимент по теплопроводности
Предположим, что мы проводили простой эксперимент, кото-
который разбили на следующие шаги:
ШАГ 1. Берем достаточно длинный (скажем, L==2 м) стержень
(скажем, медный) 2 см в диаметре, у которого боковая поверх-
поверхность (но не концы) теплоизолирована. Вместо стержня можно
было бы использовать медную трубку, покрытую снаружи и из-
изнутри какой-нибудь теплоизоляцией.
Другими словами, тепло может протекать только через торцы
стержня и не может протекать через его боковую поверхность.
ШАГ 2. Поместим теперь этот стержень в устройство с неко-
некоторой фиксированной температурой То (градусов С) на доста-
достаточно долгое время, так что температура внутри стержня станет

Лекция 2. Задачи диффузионного типа 15
такой же, как и температура устройства. Для простоты будем
считать, что температура устройства Т0=10°С.
ШАГ 3. Вытащим стержень из нашего устройства^ некото-
некоторый момент времени, который удобно взять за нулевой / = 0, и
присоединим к нему с концов два термоэлемента Задача этих
элементов — поддерживать на концах фиксированные температуры
Г, и Т2 (пусть, например, Т,=-0°С, и Т2 = 50°С). Другими сло-
словами, два термостата постоянно контролируют температуру на
концах стержня, и, если температура отклоняется от предписан-
предписанных значений ТЛ и Т2, мощные нагревающие или охлаждающие
элементы (устройства) приходят в действие для соответствующей
коррекции температуры. Наш эксперимент иллюстрирует рис. 2 i.
Термода№щи:(дпя.узмереш температуры
i) О Г » \) OOP
Стационарное ^^/к
состояние^^ /J
Температурные профили 6 раз-
различные моменты бремени
РИС. 2.1. Схема эксперимента: а — термоэлемент, который поддерживает задан-
заданную температуру Т\ на левом конце стержня; б—термоэлемент, который под-
поддерживает заданную температуру Т2 на правом конце стержня.
ШАГ 4. Теперь мы проследим за профилем температуры
в стержне с помощью некоторого устройства визуализации. По-
Почему мы хотим осуществить именно такой эксперимент? Это уже
другой вопрос и мы поговорим об этом позже.
На этом можно закончить описание нашего эксперимента.
Главная цель этой лекции — показать, как эта физическая
задача и ее модификации могут быть смоделированы на языке
параболических уравнений.

J6 Часть 2. Диффузионные задачи
Математическая модель теплопроводности
Описание нашей физической задачи требует трех типов соот-
соотношений.
1. Уравнения с частными производными, описывающего физи-
физическое явление теплопроводности.
2. Граничных условий, описывающих процессы теплообмена на
границах.
3. Начальных условий, описывающих состояние системы в на-
начале процесса.
Уравнение теплопроводности
Основное одномерное уравнение теплопроводности записывается
в виде
B.1)
0<x<L, 0</<oo.
Это уравнение связывает между собой величину
tit—скорость изменения температуры во времени (измеряется
в град/с)
и величину
ахх—вогнутость температурного профиля u(x,t) (которая слу-
служит мерой отличия температуры в данной точке от темпе-
температуры в соседних точках).
v
Профиль температуры
6 момент времени t
и(х -&хт t) + u(x + at, t) _ средняя температура
2 ~ двчк соседних точек
-л?
РИС. 2.2. Стрелками показано изменение температуры в соответствии с урав-
уравнением щ~а2ихх
Это уравнение будет получено из основного уравнения сохра-
сохранения количества тепла в следующих лекциях, а сейчас будем
считать его заданным. Это уравнение говорит о том, что темпе-
температура и (х, t) (в некоторый момент времени t в некоторой точке х

Лекция 2. Задачи диффузионного типа 17
стержня) увеличивается (ut > 0) или уменьшается (ut < 0) в соот-
соответствии с тем, положительна или отрицательна вторая произ-
производная ихх* Рис. 2.2 иллюстрирует изменение температуры в раз-
различных точках стержня.
Посмотрим, как можно интерпретировать величину ихх на
языке теплопроводности. Предположим, что мы аппроксимируем
величину ихх конечными разностями
ихх(х, /) = дрИ* + А*> t) — 2u(x9 t) + u(x—Axt t)].
Это соотношение можно переписать в виде
ихх (х, t) ^ ^ [-^= Ч|р *-и (х, 0J .
Теперь можно дать следующую интерпретацию величине ихх.
1. Если температура u(x,t) меньше среднего значения тем-
температуры в двух соседних точках, то ихх > 0 (здесь полный поток
тепла вдоль оси х положителен).
2. Если температура и (х% t) равна среднему значению темпе-
температур в двух соседних точках, то ихх~0 (здесь полный поток
тепла вдоль оси х равен нулю).
3. Если температура и (х, t) больше среднего значения темпе-
температуры в двух соседних точках, то ихх < 0 (здесь полный поток
тепла вдоль оси х отрицателен).
Это все иллюстрируется рис. 2.2. Другими словами, если тем-
температура в точке х больше, чем средняя температура в двух
соседних точках х—Ах и х + Ах, то температура в точке х будет
уменьшаться. Следовательно, точная скорость уменьшения темпе-
температуры, а именно величина ии пропорциональна этой разности.
Коэффициент пропорциональности а2 определяется свойствами
материала. Мы займемся этой константой более подробно на сле-
следующих лекциях.
Граничные условия (ГУ)
Для всех физических задач характерно присутствие некоторых
границ. Значит, чтобы двигаться дальше, мы должны включить
границы в математическую модель для адекватного описания
физической задачи. В нашем эксперименте граничные условия (ГУ)
очень просты. Поскольку температура на концах х = 0 и x = Z>
все время поддерживается постоянной и равной соответственно
Тх и Т2, можно записать

18 Часть 2. Диффузионные задачи
Начальные условия (НУ)
Все физические процессы должны начинаться в некоторый
момент времени (обычно принимаемый за нулевой / = 0), так что
мы должны задать физические условия в этот момент. Поскольку
мы стали следить за температурой с того момента, когда стер-
стержень обладал постоянной температурой То, то имеем
B.3)
(НУ) и (х, 0) = Т0, 0 < х < L
Теперь мы построили математическую модель эксперимента.
Система соотношений B.1), B.2) и B.3) называется смешанной
задачей для уравнения теплопроводности и обычно записывается
в виде
(УЧП) щ = я*ихх, Q<x<L, 0</<oo,
(НУ) и(*,0) = Г0, 0
Интересно здесь то, что совсем не очевидно: существует ли
единственная функция и(х, t), которая удовлетворяет условиям
B.4), и будет ли эта функция описывать температуру в стержне?
Таким образом, наша ближайшая задача — найти эту единствен-
единственную функцию и(х, t) из B.4).
Прежде чем закончить эту лекцию, обсудим некоторые вариа-
вариации основной задачи. Начнем с небольших модификаций уравне-
уравнения теплопроводности.
Некоторые уравнения диффузионного типа
Теплообмен через боковую поверхность
пропорционален разности температур
Уравнение
щ = а*ихх —Р(и — и0)
описывает теплопроводность в стержне с учетом не только диф-
диффузии тепла ос2ихх вдоль стержня, но и теплообмена через боко-
боковую поверхность стержня. Отток тепла ф > 0) или его приток
ф < 0) пропорционален разности между температурой и стержня
и температурой окружающей среды и0 ф—постоянный коэффи-
коэффициент пропорциональности). Если коэффициент р велик по срав-
сравнению с а2, то поток тепла вдоль стержня будет мал по сравне-

Лекция 2. 3d/а-я диффузионного типа
нию с потоком черэз боковую поверхность и, следовательно, тепло
будет течь через боковую поверхность по закону ut = —j3(a — и0).
В химии, где величина и играет роль концентрации, уравнение
"/=«*«**—Р(« —"о)
означает, что скорость изменения и{ количества субстанции за-
зависит как от диффузии а2ихх (в направлении оси х), так и от
возникновения (Р < 0) или распада (Р > 0) субстанции в химиче-
химической реакции и пропорциональна разности между двумя концент-
концентрациями и и м0.
Внутренний источник тепла
Неоднородное уравнение
ut=a*uxx + f(x, t)
соответствует случаю, когда внутри стержня есть тепловой источ-
источник (расположенный вдоль всего стержня и действующий во все
моменты времени t). Например, может быть, через стержень про-
проходит проволока с электрическим током и сопротивление является
постоянным источником тепла f(xt t) — K.
Уравнение конвективной диффузии
Предположим, что примесь распространяется вдоль потока,
движущегося со скоростью v. Очевидно, что концентрация и(х, t)
примеси изменяется как функция х (положительное направление
оси х выбрано вдоль потока) и времени t. Скорость изменения
концентрации ut определяется i/равнением конвективной диффузии
Слагаемое а2ихх описывает вклад диффузии, a vux — конвектив-
конвективная компонента. Что важнее, диффузия или конвекция, зависит
от отношения величин а2 и v. Вы, вероятно, наблюдали за ды-
дымом, поднимающимся из дымовой трубы. Частицы дыма конвек-
конвективно поднимаются за счет движения горячего воздуха и в то же
время диффундируют за счет вихревых движений воздуха. В до-
дополнение к этим модификациям уравнения теплопроводности можно
изменить граничные условия на концах стержня в соответствии
с физической ситуацией. Мы обсудим некоторые из этих модифи-
модификаций в третьей лекции.
11

20 Честь 2. Диффузионные задачи
ЗАМЕЧАНИЯ
Уравнение теплопроводности ut^a2(x)uxx с переменным коэф-
коэффициентом а (х) соответствует задаче, в которой диффузия зави-
зависит от х (т. е. материал неоднороден). Например, медная и сталь-
Медь
/О
L/Z
-х (одномерный поток
тепла)
РИС. 2.3.
ная пластины приведены в соприкосновение, как показано на
рис. 2.3. Пусть с левой стороны в меди поддерживается темпера-
температура м@, *) = 0°С, а справа в стали—температура u{L, /) = 20°C,
тогда уравнение, описывающее теплопроводность в этой системе,
имеет вид
ui = а2 (х) ихх1 0 < х < L,
( ах (коэффициент диффузии в меди), 0 < х < 1/2,
I ав (коэффициент диффузии в стали), L/2 < х < L.
ЗАДАЧИ
1. Если начальная температура в стержне
м (х, 0) = sin ях, 0 ^ х ^ 1,
и граничные условия таковьп
и@, 0-0,
иA, 0-0,
то как поведет себя температура в стержне и(х, t) при / > 0?
2. Предположим, что в стержне есть постоянный внутренний
источник тепла, так что уравнение теплопроводности в стержне
записывается в виде
щ — а*ихх+19 0 <х< 1.

Предположим, чго мы зафиксировали температуру на границе
значениями и (О, /) = 0 и иA,/)=П. Какова будет стационар-
стационарная температура в «лгржне? Другими словами, к какому рас-
распределению температуры U (х), не зависящему от t, стремится
и(х, /)?
3. Предположим, что металлический стержень теряет тепло через
боковую поверхность в соответствии с уравнением
и{^я2ихх—pw, 0 <х< 1,
и предположим, что мы поддерживаем концы стержня при
температурах и @, /) = 1, и A, I) = 1. 11айдите стационарное
распределение температуры по стержню. Постройте график
этого распределения. В каких точках есть тепловой поток?
4. Предположим, что теплоизолированный металлический стержень
длины L=] имеет начальную температуру sin (Зля), а слева
и справа на концах фиксированные температуры 0 и 10 °С.
Как сформулировать смешанную задачу для уравнения тепло-
теплопроводности в этом случае?
Лекция 3
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В ЗАДАЧАХ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, как в задачах теплопровод-
теплопроводности и диффузии возникают разнообразные граничные усло-
условия, и ввести важное понятие потока тепла.
Обсуждаются три важнейших типа граничных условий:
1. u = g(t) (на границе задана температура),
2. у + ^ = g (t) (задана температура окружающей
среды,
п — вектор внешней нормали к границе),
3. y = g(t) (задан тепловой поток через границу).
В задачах теплопроводности обычно используют граничные
условия трех основных типов. В настоящей лекции приводятся
примеры того, как различные физические условия эксперимента
приводят к граничным условиям различных типов.
Лекция 3. Граничные условия в задачах диффузионного типа 21

Граничные условия первого рода
(на границе задана температура)
Рассмотрим тепловой поток в одномерном стержне, изобра-
изображенном на рис. 3.1, и предположим, что температура концов
изменяется по законам gl(t) и g2(t).
Боковая поверхность теплоизолирована
РИС. 3.1. Температура задала на границе.
Как уже упоминалось в предыдущей лекции, каждое из уст-
устройств, которые поддерживают на концах заданную температуру,
состоит из термостата и нагревательного элемента для поддер-
поддержания соответствующего теплового режима. Задачи с граничными
условиями первого рода встречаются очень часто. В некоторых
случаях задача состоит в том, чтобы найти управления гранич-
граничными условиями, т. е. такие граничные температуры gA (t) и
g2 (/), которые заставят температуру внутри стержня изменяться
заданным образом. Например, в металлургии часто необходимо
выбрать управления граничными условиями так, чтобы при изме-
изменении со временем температуры металла внутри печи градиент
температуры был невелик.
u(R,&,t)=co$tsinO
РИС. 3.2. Колебания температуры на границе.
Граничные условия первого рода возникают и в многомерных
задачах теплопроводности. В качестве примера можно привести
интересную задачу определения температурного поля внутри
круглого диска радиусом R (см. рис. 3.2), когда граничная тем-
22 Честь 2. Диффузионные задачи

Граничные условия второго рода
(задана температура окружающей среды)
Предположим, что мы опять рассматриваем теплоизолирован-
теплоизолированный медный стержень, но теперь откажемся от заданного темпе-
ратурною режима на концах стержня. Вместо этого приведем
концы стержня в соприкосновения с двумя средами. Пусть тем-
температура одной из них ?,(/), а другой — g2(t)- Другими словами,
предположим, что левый конец стержня заключен в контейнер
с жидкостью, температура которой меняется по закону g1, (t).
А правый конец помещен в другую жидкость с температурой
gjj) (рис. 3.3).
Изоляь
:{Г
'////////////////////////////А
'^У//Уу/ууУ7777аА////////////// -_-__-_::-"-
РИС. 3.3. Конвективный теплообмен через границы: а — жидкость при темпера-
тУРе ?i @; б — жидкость при температуре g2 @-
Задавая граничные условия этого типа, мы не можем считать
граничные температуры стержня такими же, как у жидкости.
Но мы знаем закон Ньютона: если температура одного из концов
стержня меньше, чем температура соответствующей жидкости,
тепло будет втекать в стержень со скоростью, пропорциональной
разности температур. Другими словами, для одномерного стержня
с границами л; = 0 и х=1, ньютоновский закон теплообмена
формулируется следующим образом:
(вытекающий поток тепла при х^О равен Л[м@, t) — gl(t)]9
(вытекающий поток тепла при х —L равен h[u(L> t) — g*2@]»
где h — коэффициент теплообмена, который показывает, сколько
калорий протекает через границу за одну секунду при разности
температур в один градус. Вытекающий поток равен числу кало-
пература задана в полярных координатах формулой
u(R, 0, /) = cos Jsin9.
Конечно, для решения задачи необходимо знать начальную
температуру, но в данном случае начальные условия перестают
влиять на решение через очень небольшой промежуток времени
и результирующая температура внутри диска будет определяться
только значениями температуры на границе.
Лекция 3. Граничные услсвил з задачах диффузионного типа 23

24 Часть 2. Диффузионные задачи
рнй, проходящих через конец стержня в одну секунду. Отметим,
что вытекающий поток тепла будет положителен на том конце
стержня, где температура стержня выше температуры окружаю-
окружающей среды. Уравнения C.1) вместе с известным законом тепло-
теплопроводности Фурье можно теперь использовать для получения
(Горячая зона) I в
(Горячая
зона)
РИС. 3.4. Иллюстрация закона Фурье: -^— > 0 означает, что тепло втекает
в область; -^—• < 0 означает, что тепло вытекает из области; п — направ-
ди
лелие внешней нормали; ~ изменение температуры в направлении п\
ди ди
~дп:==:'~~д(—п)
—производная в направлении внутренней нормали есть взятая
с противоположным знаком производная по внешней нормали.
граничных условий. Закон Фурье дает второе представление
(первое содержится в C.1)) для выходящего потока тепла. При-
Приравнивая эти два выражения для потока, получим искомые гра-
граничные условия. Сформулируем закон Фурье (установленный
экспериментально):
C.2)
Поток тепла, проходящий через границу области,
пропорционален нормальной производной температуры
в направлении внутренней нормали.
Этот закон утверждает, что если температура быстро возрас-
возрастает в направлении внешней нормали к границе D (рис. 3.4),
то поток будет течь из окружающей среды в область D.

Лекция 3 Граничиь}е условия в задачах диффузионного типа 25
В нашей одномерной задаче закон Фурье принимает вид:
ди
C.3)
вытекающий поток тепла при # = U равен #g^,
I » 1 и
j вытекающий поток тепла при х=, равен —^
где k — теплопроводность материала, которая служит мерой того,
как хорошо материал проводит тепло. Плохо проводящие мате-
материалы имеют коэффициент, близкий к нулю в единицах СГС,
тогда как медь и алюминий имеют значения, значительно пре-
превосходящие нулевое значение.
ГоряШ зона
Холодная зона
РИС. 3.5. Еще бдна иллюстрация закона Фурье.
Закон Фурье C.3) в действительности описывает теплопровод-
теплопроводность всюду внутри стержня, а не только на его границе; напри-
например, (см. рис. 3.5).
C.4)
ди
Поток, протекающий через точку х слева направо=—k~
Закон Фурье C.4) гласит: если их < 0, то в точке х0 тепло
течет слева направо, если их > 0, то в точке х0 тепло течет справа
налево. (Тепло всегда течет от более высоких температур к более
низким.)
Наконец, если мы воспользуемся выражениями C.1) и C.3)
для теплового потока, то получим искомые граничные условия
для задачи, изображенной на рис. 3.3, в чисто математическом
виде
(ГУ)
0<t<oc,

26 Часть 2. Диффузионные задачи
Очень часто константу h/k обозначают к и пишут граничные
условия для теплового потока на границе в виде
M<U) = 4"@. 0-а@].
( } ux(Lyt) = -X[u(Lt 0-ft@].
Для случая более высокой размерности получаются аналогич-
аналогичные граничные условия. Например, если граница круглого диска
омывается движущейся жидкостью, температура которой g(Q,t)f
то граничные условия запишутся в виде
^(RQt) [u(Rdt)
Здесь -у(/?,9, t) представляет внешнюю нормальную произ-
производную (в положительном направлении оси г) от величины и,
вычисленную в точке (R, 0) границы. Такие граничные условия
мы будем называть линейными (поскольку они линейны по и
и иг), но неоднородными, потому что в правой части стоит функ-
функция g(Q, t).
Граничные условия третьего рода
(задан поток; в частности,
включается случай теплоизолированных границ)
Через теплоизолированные границы не проходит никакой поток,
и, следовательно, нормальная производная (внешняя или внут-
внутренняя) должна обращаться в нуль на границе, поскольку поток
пропорционален нормальной производной. В случае одномерного
стержня с изолированными концами х = 0 и x = L граничные
условия имеют вид
их@, 0 = 0,
В двумерной области изолированность границы означает, что
нормальная производная от температуры на границе обращается
в нуль. Пусть, например, круглый диск теплоизолирован вдоль
границы. Тогда граничное условие должно записываться следую-
щ.ш образом: ur(R, Э, *) = 0 для всех 0<6 < 2я и всех 0 < t < оо.
С другой стороны, если мы задаем количество тепла, прохо-
проходящего через границу нашего диска, то граничные условия при-
принимают вид

Лекция 3. Трагичные условия в задачах диффузионного типа 27
где /(О, /) — количество тепла, проходящего внутрь круглого диска
от внешнего источника.
Проиллюстрируем теперь различные типы граничных условий.
Типичные граничные условия для одномерной задачи
теплопроводности
Предположим, что у нас есть медный стержень длиной 200 см,
боковая поверхность которого теплоизолирована и начальная
температура которого 0°С. Предположим далее, что верхний
конец стержня х = 0 теплоизолирован, тогда как нижний конец
х = 200 омывается движущейся водой, которая имеет постоянную
температуру g2(t) = 20°С (см. рис. 3.6).
(Теплоизолированный конец )
'///////////А
\
I
Теплоизолированная
г
2
0 <f < оо
их
(ГУпри ее = 200)
РИС. 3.6. Смешанная задача.
Математическая модель этой задачи описывается следующими
четырьмя соотношениями:
(УЧП) щ = а2ихх, 0<х< 200, 0 < / < оо,
C.6) (ГУ) |ttjrB00,/) =-4[a B00f/)-20]f °<*<°°'
(НУ) и (х, 0) = 0 °С, 0 < х < 200,
где а2 = 1,16 см2/с — температуропроводность меди;

28 Часть 2. Диффузионные задачи
? = 0,93 кал/см-с-°С — теплопроводность меди;
h — коэффициент теплообмена. Определение этого коэффи-
коэффициента— большая проблема. Его измеряют по скорости оттока
тепла от второго конца стержня к воде. Он является функцией
скорости течения воды, состояния смываемой поверхности и т. д.
Читатель может попытаться провести эксперимент по опре-
определению величины этого коэффициента.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Типичная внутренняя задача теплопроводности для квадрата
показана на рис. 3.7.
В этой задаче начальная температура u(x9y,t) при /=0
задается внутри квадрата, а уравнение с частными произвол-
а
РИС. 3.7. Типичные граничные условия для диффузионной задачи в квадрате:
а — количество тепла f\ (/), проходящего через границу; б—теплоизолирован-
б—теплоизолированная граница; в—температура окружающей среды равна 10°С; г—температура
поддерживается равной 10°С.
ными и граничные условия будут выполняться при 0 < t < оо
и определять температуру во все моменты времени. Какой бы
эта температура ни была, она должна удовлетворять тем гра-
граничным условиям, которые указаны на рис. 3.7.
2. Отметим, что граничное условие
и(Я6 i) [u(RQt)
на окружности не означает, что граничная температура равна
g(9, t), но если коэффициент теплообмена h велик, то эти
условия фактически эквивалентны требованию, что граничная
температура равна g(8, /).

Лекция 3. Граничные условия в задачах диффузионного типа 29
ЗАДАЧИ
1. Нарисуйте в общих чертах графики решения смешанной
задачи C.6) для различных моментов времени. Удовлетворяют
ли ваши графики заданным граничным условиям? Какова ста-
стационарная температура стержня? Очевидно, ваш ответ основан
на интуиции?
2. Как вы проинтерпретируете следующую смешанную задачу?
(УЧП) ut = *2uxx, 0 < л: < 1, 0</<<х>,
(НУ) и (х, 0) = sin (яд:), 0<х<1.
Можете ли вы изобразить графически решение этой задачи
в различные моменты времени? Будет ли это решение стре-
стремиться к стационарному решению? Это очевидно?
3. Какую физическую интерпретацию вы можете дать задаче
(УЧП) ut = a*uxx, 0<х<1, 0</<оо,
<гу>
(НУ) и (х, 0) = sin (яд:), 0 < х < 1?
Можете ли вы изобразить графически решение этой задачи
в различные моменты времени?
Что можно сказать о стационарной температуре?
4. Предположим, что боковая поверхность металлического стержня
не изолирована и имеет начальную температуру 20°С, но
мгновенно температура одного конца становится равной 50 °С.
В дальнейшем стержень омывается жидкостью с температу-
температурой 30 °С. Как выглядит смешанная задача, которая соответ-
соответствует этому случаю?

30 Часть 2. Диффузионные задачи
Лекция 4
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, как можно вывести одно-
одномерное уравнение теплопроводности
опираясь только на фундаментальный закон сохранения коли-
количества тепла. Рассматривается зависимость скорости тепло-
теплообмена от основных теплофнзических параметров: теплопро-
теплопроводности, теплоемкости и плотности материала. Обсужда-
Обсуждаются различные модификации основного уравнения тепло-
теплопроводности.
В каждой области знаний существует набор основных прин-
принципов, правильность которых очевидна. Все остальные утвержде-
утверждения должны выводиться из этих основных принципов. Конечно,
то, что очевидно для одного человека, может казаться весьма
сомнительным для другого. История всякой науки состоит в по-
постоянном поиске более фундаментальных принципов, лежащих
в основе этой науки. Основные принципы должны быть настолько
универсальны, чтобы ни у кого не вызывать сомнении.
- Предположение А -*- Предположение В—^Предположение С-^-Предположение D-^ ?
РИС. 4.1. Аксиоматический метод.
Например, один человек может полагать, что все факты дан-
данной науки можно вывести из одного основного предположения,
которое мы обозначим В. Исходя из предположения В, он (или
она) может доказать теорему С, которая приведет к теореме D,
которая в свою очередь приведет к доказательству многих других
теорем (см. рис. 4.1). Именно так выглядит прогресс в науке —
исследователь может получать новые и новые результаты. Наи-
Наиболее выдающиеся физики, химики и биологи шли именно по этому
пути.
С другой стороны, вместо доказательства новых теорем можно
попытаться наши, если это возможно, новый принцип (обозначим
его Л), являющийся более фундаментальным, чем В. Предполо-
Предположение А естественно считать более фундаментальным, чем В,

Лемция 4. Вывод уравнения теплопроводности 31
если В можно получить из А. Таким образом, если удается найти
новый принцип Л, то граница наших знаний сдвигается в область
более фундаментальных представлений о данной науке. В теории
теплопроводности основным принципом является закон сохранения
энергии (тепловой энергии). Все остальные утверждения выво-
выводятся из этого основного принципа (рис, 4.2).
Закон, сохранения энергии 2 Другие сбойстба
{предположение} > у/~я ^r#+ гсз?, U ¦ ^-~ теплопроводности
РИС. 4.2. Сохранение энергии: краеугольный камень теплопроводности.
Мы могли бы, конечно, забыть эту лекцию и пользоваться
уравнением теплопроводности, как некоторым фундаментальным
понятием (некоторые люди могу г так и считать, если для них
это очевидно), но тогда мы обманули бы более серьезных студен-
студентов, поскольку закон сохранения считается наиболее фундамен-
фундаментальным принципом в науке. Научные работники, моделируя
свои задачи, часто пишут соотношения, выражающие законы
сохранения, и затем переписывают их в виде уравнений с част-
частными производными.
Вернемся теперь к основной цели нашей лекции — вывести
уравнение теплопроводности из уравнения сохранения энергии.
Вывод уравнения теплопроводности
Рассмотрим однородный стержень длины L, относительно кото-
которого сделаем следующие предположения:
1. Стержень сделан из одного однородного проводящего мате-
материала.
РИС. 4.3. Тонкий теплопроводящий стержень.
2. Боковая поверхность стержня теплоизолирована (тепло
может распространятся только вдоль оси х).
3 Стержень тонкий, это значит, что температура всех точек
в каждом поперечном сечении стержня постоянна. Если рас-
рассмотреть часть стержня на отрезке [х, х + Ах] и воспользоваться

32 Часть 2. Диффузионные
законом сохранения количества тепла, то можно нагшсагь:
Общее изменение количества тепла на отрезке [х, х-\- Sx\ ~
= Полное количество тепла, прошедшего через границы+
D.1) 4-Полное количестро тепла, образовавшегося внутри
отрезка [х> х-{-Ах].
Теперь, ввиду того что общее количество тепла (в калориях)
внутри отрезка [х, x-{-/Sx] в любой момент времени / вычисля-
вычисляется по формуле:
Общее количество тепла внутри отрезка [х, х-\- Ах]= j cpAu (s, /) ds,
X
где с—удельная теплоемкость материала (показывает способность
материала запасать тепло),
р — плотность материала,
Л —площадь поперечного сечения стержня,
закону сохранения энергии D.1) можно придать следующую мате-
математическую форму:
л+Дл. л' + Длг
-7т \ cpAu (s, t) ds = срА \ ui (s, t) ds —
Axl t)-ux(x9 t)] + A f /E,
где k — теплопроводность материала (показывает способность
материала проводить тепло), f(x9 t) — объемная мощность внешне-
внешнего источника тепла (калорий/см-с).
Задача состоит в том, чтобы записать уравнение D.2) в форме,
не содержащей интегралов. Для решения этой задачи напомним
читателю теорему о среднем значении из курса интегрального
исчисления.
Теорема о среднем значении
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6], то сущест-
существует по крайней мере одна точка ?€[я» Ь\ такая, что
ъ
Применяя этот результат к уравнению D.2), приходим к сле-
следующему уравнению:
cpAut(t, t)bx = kA[ux(x + bx, t) — ux(x, t)\

Лекция 4. Выаод уравнения теплопроводности 33
ИЛИ
±{и<х+Лх?и<х*}±г& о.
ut(x, ()~а*ихх(х, () + F(x, t)9
Устремляя Ах к 0, получаем искомое уравнение
D.3)
где
к
а2 = — — коэффициент температуропроводности,
С9
F (х, t) = — /(*, /) —плотность источников тепла.
ф
На этом можно было бы остановиться. Однако мы дополни-
дополнительно рассмотрим случай, когда боковая поверхность стержня
не является теплоизолированной. Предположим, что величина
теплового потока через боковую поверхность стержня в этом слу-
случае пропорциональна разности между температурой стержня и (х, /)
и температурой окружающей среды, которая поддерживается посто-
постоянной и равной нулю. В этом случае закон сохранения количе-
количества тепла приводит к уравнению
где р—коэффициент пропорциональности для потока через боко-
боковую поверхность.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Как уже отмечалось выше, константа k называется теплопро-
теплопроводностью вещества и численно равна количеству тепла (в ка-
калориях), протекающего в секунду через пластину толщиной
1 см и площадью поперечного сечения 1 см2 при разности
температур на противоположных гранях пластинки, равной 1°С.
Численные значения теплопроводности для различных мате-
материалов можно найти в справочниках по физике или химии.
Типичные значения теплопроводности лежат в диапазоне от 1
(для меди) до величин, близких к нулю, для хороших тепло-
изоляторов. Если стержень выполнен из однородного матери-
материала, то величина k не зависит от х. Для некоторых материа-
материалов величина k зависит от температуры и и, следовательно,
уравнение теплопроводности в этом случае становится нели-
нелинейным:
601

34 Часть 2. Диффузионные задачи
Чаще всего, однако, теплопроводность k очень слабо зависит
от температуры «, и этой нелинейностью можно пренебречь.
2. Величину с принято называть удельной теплоемкостью веще-
вещества. Она характеризует способность вещества запасать тепло-
тепловую энергию. Например, печеный картофель обладает большой
теплоемкостью, поскольку он может запасти большое количе-
количество тепла на единицу массы (вот почему он так долго сохра-
сохраняет высокую температуру). Численно удельная теплоемкость
равна количеству калорий тепла, которое нужно сообщить
1 грамму вещества, чтобы поднять его температуру на ГС.
Для большинства рассматриваемых нами задач величину с
можно считать постоянной, не зависящей ни от х, ни от м.
Значения удельной теплоемкости для конкретных материалов
можно найти в справочниках по физике.
3. Единицы измерения основных величин, входящих в уравнение
теплопроводности (в системе СГС) таковы:
и—температура (градусы Цельсия),
щ—скорость изменения температуры (°С/с),
их— наклон температурной кривой (°С/см),
ихх— выпуклость температурной кривой (°С/см2),
с — удельная теплоемкость (кал/г «°С),
k—теплопроводность (кал/см-с-°С),
р —плотность (г/см3),
а2—температуропроводность (см2/с).
4. Отметим, что температуропроводность материала а2 = — пря-
прямо пропорциональна теплопроводности материала и обратно
пропорциональна плотности р и удельной теплоемкости с\ мы
надеемся, что эта зависимость соответствует интуитивным пред-
представлениям читателя.
ЗАДАЧИ
1. Подставьте размерность каждой из величин и, иь ... в урав-
уравнение
и убедитесь в том, что все слагаемые имеют одинаковую раз-
размерность °С/с.
2. Подставьте размерность каждой из величин в уравнение
ut = a2uxx — vux,
где v измеряется в единицах скорости, и убедитесь в том,
что все слагаемые имеют одинаковую размерность.

Лекция 5. Разделение переменных 35
3. Выведите уравнение теплопроводности
^Й-О
для случая» когда теплопроводность k(x) зависит от коорди-
координаты х.
4. Предположим, что и(хч t) — величина концентрации некоторой
субстанции в потоке, движущемся со скоростью v. Предполо-
Предположим, что концентрация изменяется за счет процессов диффу-
диффузии и конвекции. Выведите уравнение
ut = a*uxx—vux,
исходя из того, что в любой момент времени на отрезке [л;,
вещество не возникает и не исчезает.
УКАЗАНИЕ. Закон сохранения вещества имеет вид:
Изменения массы вещества на отрезке [л;, л: -f- Длг] =
= Изменение за счет диффузии через границы +
-f- Изменение за счет переноса через границы.
Лекция 5
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Познакомить читателя с мощным мето-
методом разделения переменных и показать, как можно восполь-
воспользоваться этим методом для решения хорошо известной диф-
диффузионной задачи. Поскольку этот метод вызывает труд-
трудности у некоторой части студентов (в основном из-за гро-
громоздких алгебраических преобразований), мы сопровождаем
изложение некоторыми интуитивными соображениями.
Основная идея метода состоит в разложении начального
условия на простейшие компоненты, нахождении отклика
системы на каждую простейшую компоненту и последую-
последующего суммирования всех откликов. Так можно найти отклик
на произвольное начальное условие.
Существующая методика разделения переменных в неко-
некоторой степени уменьшает возможность такой интерпретации
метода, но тем не менее не исключает ее.
2*

.3.6 Часть 2. Диффузионные задачи
Метод разделения переменных—один из наиболее почтенных
по возрасту методов решения смешанных задач и применяется,
когда:
1. Уравнение является линейным и однородным (не обязательно
с постоянными коэффициентами).
2. Граничные условия заданы в виде
аия@,
yux(l,
где а, Р, у и б—константы (граничные условия, заданные в таком
виде, называются линейными однородными граничными условиями).
Метод был создан во времена Фурье (обычно он называется
методом Фурье) и, по-видимому, в настоящее время является
наиболее популярным (в тех случаях, когда он применим).
и(х, 0) «* (р(х) - начальная температура
j Стационарная температура,
^очевидно,равна нулю)
(Тепловой [ i mut~aL2uxx 1 итепловой
тон) V- )U сток)
РИС. 5.1. Схематическое изображение диффузионной задачи.
Вместо изучения метода в общем случае давайте разберем
сначала частную задачу (позже мы обсудим и общий случай).
Рассмотрим смешанную задачу диффузионного типа: найти решение
(УЧП) ut = a2uxx, 0<*<l, 0<*<оо,
удовлетворяющее граничным условиям
(ГУ) i«<°.')=o. 0<t<OOi
и начальному условию
(НУ) и(х, 0) = ф(х)э 0<х<1.
Прежде чем приступить к разделению переменных, дадим
физическую интерпретацию нашей задачи. Итак, имеется стержень
конечной длины, концы которого поддерживаются при постоян-
постоянной, равной нулю температуре (на самом деле концы могут под-
поддерживаться при гораздо более высокой температуре, значение
которой принимается за начало отсчета). Дополнительные данные
о задаче представлены в виде начального условия. Наша цель—
найти распределение температуры и (х, f) в последующие моменты
времени..

Лекция " 5. Разделение переменных
Общие принципы метода разделения переменных
Для простейшего уравнения с частными производными разде-
разделение переменных—это поиски решений вида
и(х9 t)^X(x)T(t)y
где Х(х) — функция, зависящая только от переменной х, аТ(/)—
зависящая только от /. Такое решение является в каком-то смы-
смысле простейшим, поскольку температура и (х, /), представленная
в таком виде, будет сохранять «форму» профиля в различные
моменты времени /(см. рис. 5.2).
и(х,0)*ТШ(х>
(
О 1
РИС. 5.2. График функции X (х) Т (t) в различные моменты времени t.
Общая идея заключается в том, чтобы найти бесконечное
число таких решений уравнения с частными производными (кото-
(которые удовлетворяют граничным условиям). Эти простейшие функ-
функции ип (х, t) = Хп (х) Тп (t) (называемые фундаментальными реше*
ниями) являются как бы элементарными кирпичиками, из которых
строится решение нашей задачи. Решение нашей задачи и(х, t)
находится в виде такой линейной комбинации фундаментальных
решений Xn(x)Tn(t), что результирующая сумма
S AnXa(x)Tn(t)
п= 1
удовлетворяет начальным условиям. Поскольку эта сумма удов-
удовлетворяет уравнению и граничным условиям, она является реше-
решением исходной задачи. Нам осталось проделать все эти выкладки
достаточно подробно.
Разделение переменных
ШАГ 1. (Нахождение элементарных решений уравнения о част-
частными производными.)
Мы хотим найти функцию и(х, /), которая является решением

38 Честь 2. Диффузионные задачи
следующей задачи:
(УЧП) щ = а*ихх, 0<*<1, 0</<оо,
Будем искать решения, представимые в виде и (х, f) = X (x) T (/).
Для этого подставим выражение X (х) Т (/) в уравнение. В ре-
результате подстановки получаем
Теперь выполним операцию, присущую данному методу:
разделим обе части последнего уравнения на а3Х (х)Т (/), в ре-
результате чего получаем
Г@ __х*(х)
~ Х(х)'
Про это выражение говорят, что в нем переменные разделены,
т. е. левая часть уравнения зависит только от /, а правая
часть—только от я. Так как х и t не зависят один от другого, то
каждая часть этого уравнения должна быть константой. Обозна-
Обозначим эту константу &, тогда
X
ИЛИ
Г —*а*Г
Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. Произведение соответствующих решений
будет удовлетворять исходному уравнению с частными производ-
производными. (Заметим, что мы существенно упростили исходное урав-
уравнение с частными производными второго порядка, превратив его
в два обыкновенных дифференциальных уравнения.)
Обратим теперь внимание на следующее важное обстоятель-
обстоятельство: константа разделения k должна быть отрицательной1)
(другими словами, функции Т (t) должны стремиться к нулю
при /—> оо). Имея это в виду, введем обозначение k — — X2, где
Я не равно нулю (в этом случае выражение — А,2 будет всегда
отрицательным). С учетом нового обозначения для константы
разделения два обыкновенных дифференциальных уравнения за-
г) В противном случае уравнение X"—kX = 0 с граничными условиями
X @) = X A) = 0 имеет только тривиальное решение X (х) = 0.— Прим. ред.

Лекция 5, Разделение переменных 39
пишутся в виде
Решим эти уравнения. Они являются уравнениями стандарт-
стандартного типа. Их общие решения записываются в виде
Т @ = Ае*1*0-4 (А — произвольная постоянная),
X (х) = A sin (кх) + В cos (кх) (Л, В—произвольные постоянные).
Следовательно, функции вида
и (х, t) = e-k2a2t[A sin (кх) + В cos (kx)]
(где Л, В и к—произвольные постоянные) удовлетворяют УЧП
ut=a2uxx (проверить это предлагается в задаче 1, помещенной
в конце данной лекции). Итак, у нас есть теперь бесконечный
набор функций, удовлетворяющих исходному уравнению с част-
частными производными.
ШАГ 2. (Нахождение решений, удовлетворяющих граничным
условиям.)
Положение сейчас таково: у нас есть бесконечное множество
решений исходного уравнения, но не все они удовлетворяют
граничным или начальным условиям. Следующий шаг состоит
в выборе такого подмножества решений вида
E.1) е-**** [A sin (кх) + В cos (kx)]f
которые удовлетворяют граничным условиям
н@, /) = 0,
и(\, /) = 0.
Чтобы сделать это, подставим решения E.1) в эти граничные
условия. В результате получаем
и @, 0 = Be-***1' = 0 => В = 0,
и A, 0 = Ae-Wt sin i = о -> sin к = 0.
Второе граничное условие накладывает ограничение на воз-
возможные значения константы разделения к: она должна быть
корнем уравнения sin Л, = 0. Другими словами, чтобы удовлетво-
удовлетворить условию u(l, t) = 0, необходимо потребовать выполнения
соотношений
Ь = ±я, ±2я, ...
или
кп = ±пп9 я=1, 2, ... .

40 Часть 2. Диффузионные задачи
Отметим, что можно удовлетворить второму граничному усло-
условию, если положить /4=0, но в таком случае решение E.1)
будет тождественно равно нулю.
и
0
и
¦Г' »v
, *) М2 е "<2™)%[п Birx)
из (Xt t) =д3 s ^3/7»()?f s;n Cях)
sw (Атгх)
^х
РИС. 5.3. Фундаментальные решения ип{х, t)~Ana""{7iriayfsm(znx).
Итак, мы закончили выполнение второго шага и располагаем
бесконечным набором функций
E.2)
ип (х, () = Ane-(n™)tf sin (nnx)t n = 1, 2 ...
каждая из которых удовлетворяет уравнению с частными произ-
производными и граничным условиям х). Полученные функции являются
теми кирпичиками, из которых мы построим решение нашей
задачи. Это решение будет представлять собой некоторую сумму
*) Отметим-, что функции ип и и~п отличаются только знаком.

Лекция 5. Разделение переменных 44
из этих простейших функций. Конкретный вид суммы будет за-
зависеть от начального условия. На рис. 5.3 изображены графики
нескольких таких фундаментальных функций
ШАГ 3. (Нахождение решения, удовлетворявшего уравнению,
граничным и начальным условиям.)
Последний (и, вероятно, наиболее интересный с математи-
математической точки зрения) шаг заключается в нахождении такой суммы
фундаментальных решений
и(х, 0=2 Апе~ {пяа)Чsm(tmx)9
т. е. в подборе таких коэффициентов АпУ что функция будет
удовлетворять начальному условию
и(х, 0) = ф(х).
Подстановка суммы в начальное условие дает
ао
E.3) ц(х)= 2 Ans\n(nnx).
Это уравнение приводит нас к интересному вопросу* можно ли
начальную температуру ф (х) разложить в ряд по элементарным
функциям вида
Л, s\n(nx) + A2s\nBnx) + Ass\nCnx)+ ...?
Положительный ответ на этот вопрос дал французский математик
Жозеф Фурье. Оказалось, что для достаточно хороших функций
такое разложение возможно1). Тогда возникает новый вопрос;
как найти коэффициенты разложения Ап?
На самом деле сделать это очень легко. Для этого восполь-
воспользуемся свойством системы функций
{sin {ппх)\ л= 1, 2, ...},
известным, как ортогональность.
В нашем случае (см. задачу 2), эти функции удовлетворяют ус-
условиям
С / (°> тфщ
\ sin (mnx) sin (ппх) ах = <
J A/2, т^п.
Условия разложимости функций в ряд Фурье приведены в лекции П.
Для более глубокого знакомства с этим вопросом можно обратиться к
многочисленной учебной литературе (см., например: Г. П. Толстое.
Ряды Фурье.— М.: Наука, 1980).— Прим» ред.

42 Часть 2. Диффузионные задачи
Это свойство наглядно иллюстрируется на рис. 5.4, где изо-
изображены графики некоторых функций из этой системы.
Итак, мы хотим найти коэффициенты в разложении
Л, sin (nx)+ A-t sin Bnx) + Ап sin (Зпх) + ... .
sinBrrx)
РИС. 5.4. Последовательность ортогональных функций
Умножим обе части этого соотношения на sin (тля) (т — про-
произвольное целое число) и проинтегрируем от нуля до единицы.
В результате получаем
1 1
С ф (х) sin (mnx) dx = Am \ sin2 (mnx) dx = ——•
и о
(все остальные слагаемые обратились в нуль, благодаря ортого-
ортогональности). Решая уравнение относительно Ат, получаем
1
Ат = 2 J ф (х) sin (mnx) dx.
Таким образом, мы получили, что решение записывается в виде
E.4)
и(х, () =
э-(ШТОС)*/ ci
sin (nnx)%
где коэффициенты Ап определяются по формулам
Ап = 2 J ф (х) sin (япл:) dx.

Лекция 5. Разделение переменных 43
Можно убедиться в там, что полученнное нами решение удов-
удовлетворяет всем условиям исходной задачи. На этом заканчивается
шаг 3.
Многих студентов постигает разочарование, когда они видят,
как сложно выглядит полученное решение, и они едва ли удо-
удосужатся взглянуть на него еще раз (настолько оно скверно
выглядит). Однако это решение не будет казаться таким слож-
сложным, если потратить некоторое время на его анализ. И в самом
деле, более сложная форма решения означает его большую инфор-
информативность. Ниже приводится несколько замечаний, которые
помогут вам интерпретировать это решение.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Обратим внимание на следующее обстоятельство: единственная
разница между разложением ч функции <р(х) в ряд Фурье по
синусам в E.3) и решением E.4) состоит в наличии временного
множителя е-<пяа)Ч в каждом члене ряда. Следовательно, если
начальное условие имеет простое разложение, например, вида
Ф (х) = sin (nx) + у sin (Зля),
то решение можно записать сразу
и (х, t) = е-<™)Ч sin (nx) +у е-ола)* / sin (Зля).
В этом случае очевидно, что если мы разложим <р(х) в ряд
Фурье по синусам, то получим
И, = 1/2,
А, = АЪ=...=О.
2. Можно интерпретировать решение E.4) следующим образом:
мы представляем начальную температуру у(х) в виде суммы
простейших функций вида Ап sin (nnx)\ каждая такая функция
порождает отклик Апе~(лпа)ч s\n(nnx). Складывая все такие
отклики, мы получаем решение, соответствующее начальному
условию и(х, 0) = ф(х).
3. Каждое слагаемое в разложении
и (х9 t) = Af-w*4 sin (nx) + А2е-^па)г > sin Bл*) + ...
является функцией от х и /. Отметим, что вклад слагаемых
с большими номерами при t > 0 очень мал благодаря множи-
множителю е~(ппа)Ч. Следовательно, по истечении достаточно боль-

44 Часть 2. Диффузионные задачи
РИС. 5.5. В диффузионных задачах члены высокого порядка быстро затухают;
Ф (х) — начальная температура. Отметим, что в первую очередь в решении
пропадают высокие частоты — сначала исчезли самые мелкие осцилляции.
шого промежутка времени полное решение приближенно
совпадает с первым слагаемым, которое представляет собой
затухающую со временем полуволну синусоиды (рис. 5.5.)
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что функции вида
и (xt t) = е~к*а*' [A sin (кх) + В cos (Хх)]
удовлетворяют уравнению ut~a2uxx при произвольных зна-
значениях Л, В и А,.
2. Покажите, что
Г / ( 0, т Ф п,
\ sin (rnnx) sin (ппх) ах = <
J I 1/2, т = п.
УКАЗАНИЕ. Использовать тождество
sin(mA:) sin (nx) = -2-[cos(m — п)х—cos(m + n) x\
3. Найдите разложение в ряд Фурье по синусам функции ф (лг> = 1
на отрезке [0, 1]. Постройте график первых трех-четырех чле-
членов разложения.
4. Используя результаты задачи 3, найдите решение следующей
смешанной задачи:
(УЧП) ut = uxx 0<*<l,
(НУ) ы(лг,О) = 1,

Лекция 6. Преобразование неоднородных граничных условии 4S
(Отметим, что эта задача физически бессмысленна, поскольку
подразумевается, что температура на концах стержня мгно-
мгновенно уменьшается от единицы до нуля. В большинстве задач,
если заданы нулевые граничные условия, то и начальная тем-
температура ц)(х) должна обращаться в нуль при л; = 0 и х=1.)
5. Найдите решение задачи 4, если начальное условие задано
в виде
и (дс, 0) = sin Bпх) +у sin Dялг) -f-g- sin (блх).
6. Решите задачу 4, если начальное условие имеет вид
и(х, 0) = х—х2, 0 < л: < 1.
Лекция 6
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В ОДНОРОДНЫЕ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, каким образом смешанную
задачу
(УЧП) ut-a*uxx = f(x, t)
( > \a2uJL,
(НУ) и(х, О) =
можно свести к задаче вида
a%Ux(L,
U (x, 0) =
с нулевыми граничными условиями.
Эта новая задача может быть решена
1. Методом разделения переменных (если новая задача ока-
оказалась однородной, т.е. F(x, t) = 0).
2. Методом интегральных преобразований и разложения по
собственным функциям, если F (x, t) Ф 0.

46 Часть 2. Диффузионные задачи1
Рассмотренный на предыдущей лекции метод разделения пере-
переменных является достаточно мощным, а получаемы э с его помощью
решения представляются в удобной форме. Тем не менее читатель
должен понимать, что этот метод применим не ко всем задачам.
Для применимости метода разделения переменных граничные
условия должны быть линейными однородными, т. е. представ-
представляться в виде
о^мо,.о+М @, /) = о,
(ЬЛ) a2ux(L, t)+?2u(Lft)=0.
Цель этой лекции — показать, каким образом задача с неод-
неоднородными граничными условиями вида
(УЧП) щ = а*ихх,
/rV4 /««M0,0+Pi"(<U) ei<0 , rV4
(ГУ) \а2их <?, t) +M (L, t) = g2 @ (неоднородные ГУ),
(НУ) и(х,0) = ф(х)
может быть решена путем сведения ее к задаче с однородными
граничными условиями.
Новая задача может быть решена какими-то другими методами
(например, разложением по собственным функциям).
Мы начнем изложение с исключительно простого примера
преобразования неоднородных граничных условий к однородным.
Преобразование неоднородных граничных
условий к однородным
Рассмотрим задачу о распространении тепла в теплоизолиро-
теплоизолированном стержне, концы которого поддерживаются при постоян-
постоянных температурах kx и k2, т. е.
(УЧП) ut^a2uxxt 0<x<L, 0 < * < оо,
(НУ)
Трудность этой задачи в том, что, поскольку граничные усло-
условия в ней неоднородны, мы не можем решать ее методом разде-
разделения переменных. Однако очевидно, что при / -+ оо решение
нашей аадачи стремится к стационарному решению, которое
линейно изменяется (вдоль х) от температуры kx до темпера-
температуры k2 (рис. 6.1). Другими словами, разумно предположить, что
температуру в нашей задаче можно представить в виде суммы

Лекция 6. Преобразование неоднородных граничных условий 47
двух слагаемых
и (а:, /) = стационарная + переходная =
t t
Предельное решение Часть решения,
для больших времен которая зависит
от НУ и стре-
стремится к нулю с
ростом времени
В данном случае наша задача — найти переходную темпера-
температуру U (x, t). Подставляя
j\f t)
и(х9 i)=[k1+jr(kt-
в исходную задачу F.3), мы приходим к новой задаче относи-
относительно неизвестной функции U(x9 t). Можно решить задачу
РИС. 6.1. Решения задачи F.3) в различные моменты времени: а—начальная
температура и(х, 0) = <p(*); б—стационарная температура и (х, со) = A?i+
-|_^_(^2 — ki); в—переходная температура.
относительно новой неизвестной функции V (х, /) и добавить ее
к стационарному решению, в результате чего получится искомая
функция и(х, 0- Проделав эти простые преобразования с F.3),

48 Часть 2. Диффузионные задачи
получим
(УЧП) Ut = a*Uxx О < х < L,
( U (О, /) = О,
F.4) (ГУ) {„(M;eO 0</<ое,
(НУ) U(x, О)=3ф(х)-[й1+г<*«-*1)]=гЧ (*)•
где ф(лг) — новое, но известное начальное условие.
Эта задача не только с однородным уравнением, но, к счастью,
и с однородными граничными условиями, что позволяет решать
ее методом разделения переменных. В самом деле, читатель,
вероятно, помнит решение:
со
F.5) U (xf 0=2 яяе-(/2яа)в t s}n (nnx/L),
где
Это все, что касается стержней с фиксированными температу-
температурами на концах. Что же можно сказать о более реалистических
ГУ с зависящими от времени правыми частями? Основные идеи
здесь такие же, как и в предыдущей задаче, но несколько более
сложны.
Преобразование зависящих от времени
граничных условий в нулевые
Рассмотрим типичную задачу
(УЧП) ut = a2uxx9 0 < х < /,, 0 < / < оо,
@> O^ffi @> о < / < оо,
F.6) (ГУ)
(НУ) и(х, 0) =
Для того чтобы преобразовать эти граничные условия в нуле-
нулевые, мы (после некоторых проб и ошибок) остановились на сле-
следующей форме решения:
F.7) и(х, t) = A(t)[\-x/L] + B(t)[x/L] + U(x, 0,
где функции A(t) и B(t) выбираются так, чтобы «квазистацио-
«квазистационарная» часть решения F.7)
F.8) S(x, t)~A(t) [1-JC/LJ + В (I) [x/L]

Лекция 6. Преобразование неоднородных граничных условий 4?
удовлетворяла граничным условиям исходной задачи. В этом слут,
чае функция U (x, t) будет удовлетворять однородным граничным
условиям.
Подстановка функции S(x, t) в граничные условия
S@, /) = *,(/),
SX(L, /) + AS(L, /) «ft @
приводит к двум уравнениям, из которых можно определить Л (О
и 5@* В результате получаем
Следовательно,
Если подставить эти выражения для г/ (х, /) в исходную задачу
(читателю предлагается сделать это), мы получим новую задачу
для неизвестной функции U (х> /):
(УЧП) Ut=*a*Uxx—St (неоднородное УЧП),
(G.10) (ГУ) j^ t)'JQ (однородные ГУ),
(НУ) U (х, 0) = ф(а?) — 5 (а-, 0) (повое НУ с известной
функцией).
Теперь перед нами новая задача с однородными граничными
условиями (к сожалению, уравнение стало неоднородным). Мы
не можем решить эту задачу методом разделения переменных, но
если читатель согласен подождать, то через несколько лекций
он познакомится с решением этой задачи методом интегральных
преобразований и разложения по собственным функциям.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Как уже отмечалось ранее, цель этой лекции —научить чита-
читателя преобразовывать задачи с неоднородными граничными
условиями в задачи с нулевыми граничными условиями.
После того как это сделано, может случиться, что новое уравне-
уравнение с частными производными станет однородным. Если это
произойдет, можно считать, что нам повезло, так как в этом слу-
случае задачу можно решать методом разделения переменных (см.
первый пример из настоящей лекции). Если же преобразован-
преобразованное уравнение оказалось неоднородным, то новую задачу нужно
решать каким-то другим методом.

50 Часть 2. Диффузионные задачи
2. Линейные неоднородные граничные условия наиболее общего
вида
<х,М0, 0 + М@, 0 = 2,@.
«а(^, /)+^(^ 0 = 2.@
также можно преобразовать к нулевым граничным условиям,
если воспользоваться методом, описанным во втором примере.
Конечно, новое уравнение, вероятнее всего, будет неоднородным.
3. Некоторые методы решения не содержат никаких требований
однородности граничных условий и, значит, не требуют никаких
предварительных преобразований. Позднее, когда мы позна-
познакомимся с преобразованием Лапласа, мы убедимся в том, что
нулевые граничные условия необязательны (в случае нулевых
граничных условий решение находится несколько проще, чем
в других случаях).
4. Для граничных условий вида
"@, 0 = 2i@.
«(**. 0 = 22@
изложенный во втором примере метод приводит к следующей
форме решения задачи:
{tt}. 0-
ЗАДАЧИ
1. Найдите решение следующей смешанной задачи:
(УЧП) ut = a*uxx
<ry>
(НУ) и(х, 0) = sin(nx),
предварительно преобразовав ее к задаче с нулевыми гранич-
граничными условиями. Соответствует ли полученное решение вашим
интуитивным представлениям об этой задаче?
2. Задачу
(УЧП) ut = uxx, 0<*<l,
(НУ) и(х, 0) = х\ 0<*<1,
преобразуйте к задаче с нулевыми граничными условиями
и решите ее. На что будет похоже решение в различные

Лекция 7. Решение задач методом разделения переменных 51
моменты времени? Соответствует ли оно вашим интуитивным
представлениям? Что является стационарным решением? Как
выглядит переходное решение?
3. Задачу
(УЧП) щ=;ихх, 0<*<1,
<ГУ>
(НУ) и (jc, 0) = sin (we), 0 < х < 1,
преобразуйте в задачу с нулевыми граничными условиями.
Будет ли новое уравнение однородным?
Лекция 7
РЕШЕНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать каким образом методом раз-
разделения переменных можно решать более сложные задачи
теплопроводности. В этой лекции рассматриваются в основ-
основном такие задачи, решение которых позволит читателю
гораздо глубже ознакомиться с методом разделения пере-
переменных. Можно надеяться, что читатель или читательница
смогут экстраполировать изложенные здесь идеи на свои
задачи.
В этой же лекции читатель познакомится с задачей на
собственные функции, или, как ее еще называют, зада-
задачей Штурма—Лиувилля. Обсуждаются некоторые свойства
задачи Штурма—Лиувилля.
Как уже говорилось выше, цель этой лекции состоит в реше-
решении смешанной задачи методом разделения переменных. Возможно,
именно этим методом читатель будет решать свою задачу. При
этом мы надеемся, что он сможет перенести методику, рассмотрен-
рассмотренную в данной лекции, на свои задачи.
Мы начнем с одномерной задачи теплопроводности, в которой
одно из граничных условий содержит производную.

$2 Часть 2. Диффузионные задачи
Задача теплопроводности с производной
в граничном условии
Рассмотрим устройство, изображенное на рис. 7.1. Пусть верх-
верхний конец стержня поддерживается при нулевой температуре,
т. е. w@, t) = 0, а нижний конец погружен в воду, температура
которой тоже постоянна и равна нулю (в данном случае нуль
(Теплоизолированный конец)'
Теплоизолпробднцая
боковая поберхщбть
Тепло бытекает от горячего^
к холодному ^
b>0
РИС. 7.1. Схематическое изображе- РИС. 7.2. Характер кривых, удовлетво-
ние смешанной задачи. ряющих
(ГУ)
) = -hu(l, t).
соответствует некоторой температуре отсчета). Между стержнем
Й водой происходит теплообмен по закону Ньютона, который
записывается при х=^1 в виде следующего граничного условия:
ML t) = — hu(\9 t).
Предположим теперь, что начальная температура стержня
и(ху 0) = х, но сразу при />0 мы включаем наши граничные
условия. Для того чтобы найти температуру в стержне, необхо-
необходимо решить смешанную задачу
(УЧП) ut^ahixx, 0<*<l, 0</<оо,
<7Л> (ГУ)
(НУ)
0.0=0
и{х, 0) =
Чтобы воспользоваться методом разделения переменных, разо-
разобьем процесс решения на несколько шагов.
ШАГ 1. (Преобразование уравнения с частными производными
в два обыкновенных дифференциальных уравнения)

Лекция 7. Решение задач методом разделения переменных 53
Подстановка и(х, t)=^X(x)T(t) в уравнение G.1) дает
ХГ'=а2Х'Т.
После деления обеих частей этого уравнения на а%ХТ полу-
полум
чаем
у х
Поскольку левая часть последнего уравнения зависит только
от времени, а правая часть зависит только от х (и так как х и t
независимы), обе части уравнения должны быть константами.
Приравнивая обе части одной и той же константе ц, получаем
Процесс разделения переменных завершен.
ШАГ 2. (Определение константы разделения)
Во-первых, константа \х не должна быть положительной, в про-
противном случае1) функция Т (t) будет экспоненциально расти,:что
повлечет бесконечный рост температуры и~ХТ. Понятно, что
такое решение не имеет физического смысла.
Во-вторых, предположим, что \а, = 0. Тогда
Х" = 0
и, значит,
X (х) = А±Вх.
Но, поскольку граничные условия требуют, чтобы выполнялись
соотношения
мы немедленно приходим к выводу, что
Х@)=-0\
Это означает, что и(х, t) = 0. Другими словами, нулевой кон-
константе разделения соответствует только нулевое решение. Мы
его отбросим, поскольку нас интересуют ненулевые решения.
Если, наконец, |la < 0, можно положить [i = — X2 и переписать
уравнения G.2) в виде
1) Решение X (х) соответствующей краевой задачи будет только тривиаль-
тривиальным, X (х) гз= 0. — Прим. ред.

54 Часть 2. Диффузионные задачи
Общие решения этих уравнений легко находятся:
T(t) = Ae~№,
Х(х) = В sin (},x) + С cos (кх).
Следовательно, любая функция вида
G.3) и (х, 0 = е-№* t [д sin (хХ) + в cos (Jut)]
при любых значениях X, А и В удовлетворяет уравнению (чита-
(читатель может убедиться в этом самостоятельно с помощью простой
подстановки).
Теперь нужно выяснить, какие из этих функций удовлетво-
удовлетворяют граничным условиям
G 4)
их(\,
Подстановка решений вида G.3) в граничные условия G.4)
позволяет найти соотношения, которым должны удовлетворять
величины X, А и В:
№>ч cos
После несложных алгебраических преобразований последнее
уравнение приводится к виду
Другими словами, для того чтобы определить X, мы должны
найти точки пересечения графиков функций tg \ и —Я/А (рис. 7.3).
Численные значения величин Х19 Я2, ... можно найти при
помощи ЭВМ, если задана величина А. Эти величины принято
РИС. 7.3. Пересечение графиков функций tg (k) и — Я/Zi.

Лекция 7. Решение задач методом разделения переменных 55
называть собственными значениями краевой задачи
G.5)
Х(О)-О
Другими словами, при этих значениях параметра К сущест-
существуют нетривиальные решения задачи G.5). Собственные значения
задачи G.5) определяются как корни уравнения tg X = — %/h.
Их численные значения были найдены на ЭВМ для случая h =*1.
В таблице 7.1 приведены результаты расчетов нескольких пер-
первых собственных значений.
п
1
2
3
Корни уравнения tg
К
2,02
4,91
7,98
п
4
5
— X
Таблица
К
11,08
14,20
7.1.
Решения задачи G.5), соответствующие собственным значе-
значениям кп, называются собственными функциями Хп(х). Для рас-
рассматриваемой задачи собственные функции имеют вид
и изображены на рис. 7.4.
РИС. 7.4. Собственные функции Хп(х) задачи G.5) при Л=1; все собственные
функции удовлетворяют граничным условиям.

56 Часть 2. Диффузионные задачи
ШАГ 3. (Нахождение фундаментальных решений)
Теперь в нашем распоряжении имеется бесконечный набор
функций (фундаментальных решений)
ип (*, /)« Хп (х) Тп (t) = e-*nv> t sin (Knx),
каждая из которых удовлетворяет уравнению и граничным усло-
условиям. Осталось сделать последний шаг — в сумме
ОС
— 2 апе~{1пГхЧ) s\nCknx)
подобрать коэффициенты ап так, чтобы функция и(х, I) удовле-
удовлетворяла начальному условию и (х, 0) = х (при этом функция и(х, t)
будет удовлетворять уравнению и граничным условиям, поскольку,
во-первых, каждое слагаемое в- сумме им удовлетворяет, а во-вто-
во-вторых, и уравнение и граничные условия являются линейными
и однородными).
Таким образом, коэффициенты ап должны определяться из
условия
ос
G,6) и(х, 0)?=х~ 2 ans\n(%nx).
Нам осталось совершить последний шаг.
ШАГ 4. (Разложение начального условия в ряд по собствен-
собственным функциям)
Для нахождения коэффициентов ап в разложении G.6) по
собственным функциям умножим обе части этого соотношения
на $т(Хтх) и проинтегрируем от 0 до 1. В результате получаем
I sin
ос ^
= ая§ sin
Разрешая последнее соотношение относительно лм и заменяя m
на п, получаем искомый результат:

Лекция 7. Решение задач методом разделения -переменных 57
Таблица 7,2.
Коэффициенты ап в формуле G.8)
п
1
2
3
0п
0,24
0,22
—0,03
п
4
5
-0,11
—0,09
Итак, решение задачи G.1) записывается в виде
G.8) и (х, /) ~ S апе~«п*)' t sin (Knx),
где коэффициенты ап даются формулами G.7). Пять первых коэф-;
фициентов ап нашей задачи были найдены численно. Их значения
приведены в табл. 7.2.
Стационарное состояние * 0 1
РИС. 7.5. Графическое представление функции G.8); граничное условие
удовлетворяется во все моменты времени.
Следовательно, первые три члена в решении смешанной задачи
(УЧП) ut = uxx, 0<*<1, 0</<оо,
= 0, 0<*<оо,
<ГУ>
(НУ) и(дс, 0) = х, 0<*<1.
имеют вид
и(дг, 0 =
=0,246-*' sin B,02x)-f0,22<гг41 sin D,9л;)—0,03e-«?-:"sinG,98*)+... .

58 Часть 2. Диффузионные задачи
На рис. 7.5 представлены графики этого решения для несколь-
нескольких моментов времени. Читателю мы рекомендуем ответить на
вопросы: согласуется ли вид полученного решения с вашими
интуитивными представлениями? Удовлетворяются ли при этом
граничные условия?
ЗАМЕЧАНИЯ
Задача на собственные значения G.5) является частным слу-
случаем более общей задачи, которую принято называть задачей
Штурма — Лиувилля:
(ОДУ)
G 10) (ГУ)
GЛ0) (ГУ)
Если мы решаем задачу с однородными граничными условиями
методом разделения переменных, то функции X (х) всегда нахо-
находятся как решения некоторой задачи Штурма—Лиувилля. Оче-
Очевидно, задача на собственные значения G.5) является частным
случаем задачи G.10).
Перечислим основные свойства задачи G.10), которые устано-
установили Штурм и Лиувилль при некоторых естественных ограни-
ограничениях на функции р(х), q(x) и г(х).1)
1. Существует бесконечная последовательность собственных
значений, удовлетворяющих неравенствам
К < К < К < • • • < К < • • • — °°-
2. Каждому собственному значению Кп соответствует единст-
единственная (с точностью до постоянного множителя) ненулевая
собственная функция уп(х).
3. Если уп(х) и ут(х) — две различные собственные функции-,
соответствующие различным собственным значениям %п
и %т, то они ортогональны с весом г (х) на отрезке [0, 1],
т. е. они удовлетворяют соотношению
[r(x)yn(x)ym(x)dx = 0.
о
Более подробно с задачей Штурма—Лиувилля можно позна-
познакомиться по литературе, приведенной в конце книги.
См., например, Тихонов А. Н„ Самарский А. А. Уравнения математи-
математической физики.—М.: Наука, 1972.— Прим. ред.

Лекция 7. Решение задач методом разделения переменных 59
ЗАДАЧИ
1. Методом разделения переменных решите следующую задачу
для уравнения теплопроводности
(УЧП) ut = uxx, 0<х<1, 0</<оо,
(НУ) и(х% 0) = хщ 0
Согласуется ли найденное вами решение с интуитивными пред-
представлениями? Что представляет собой стационарное решение?
2. Найдите собственные значения и собственные функции задачи
Штурма — Лиувилля
(ОДУ) Х" + ХХ = 0, 0<*<1,
|Х@) = 0,
Укажите конкретные выражения для функций р(х), q(x) и г (х)
из общей задачи Штурма — Лиувилля для этого случая.
3. Решите задачу теплопроводности для стержня с теплоизолиро-
теплоизолированными границами
(УЧП) щ = ихх, 0<*<1, 0<?<оо,
К @, /) = 0,
(НУ) и (х, 0) - х, 0 < х < 1.
Согласуется ли полученное решение с вашей интерпретацией
этой задачи? Что представляет собой стационарное решение?
Каков его физический смысл?
4. Найдите собственные значения и собственные функции задачи
(ОДУ) Х" + ^ = 0, 0<*<1,

60 Часть 2. Диффузионные задачи
Лэкция 8
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УРАВНЕНИЙ
К ПРОСТОМУ ВИДУ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, каким образом УЧП для
функции и(х, t) можно преобразовать в более простоеУЧП
для новой функции ф{х, t). Выбор подходящего преобразо-
преобразования обычно основан на интуиции. В нашей лекции УЧП
и ui=a2uxx — vux> (v = const)
переходят в простейшее уравнение теплопроводности
Щ = a*Wxx
в результате соответствующих преобразований
и (х, t) = e-$rw(xy t)
и и(х, t) = evix-vt'2V***w(xt t).
Решив простое уравнение теплопроводности относительно
функции w (x, t), мы можем найти решения исходных урав-
уравнений, преобразовав функцию w(x, t) по этим формулам
(конечно, указанные преобразования следует также приме-
применить к начальным и граничным условиям).
В результате знакомства с двумя последними лекциями у чи-
читателя может возникнуть впечатление, что метод разделения
переменных применим только к уравнению
На самом деле уравнение теплопроводности является простей-
простейшим, но не единственным параболическим уравнением, которое
решается методом разделения переменных. Как уже упоминалось
ранее, если уравнение линейное и однородное, его можно решать
методом разделения переменных. Например, двумерная задача
теплопроводности в круге описывается уравнением
,1 ,1 I
.г + — иг + ^ «ее »
и, хотя это уравнение с переменными коэффициентами, оно
может быть сведено к трем обыкновенным дифференциальным
уравнениям.

Лекция 8. Преобразование сложных уравнений к простому виду &1
В этой лекции мы покажем читателю, что иногда вместо того,
чтобы решать уравнение с частными производными «в лоб», лучше
преобразовать его к более простому уравнению, которое можно
решить методом разделения переменных или каким-то другим
методом. Предлагаемый ниже пример иллюстрирует такой
подход.
Преобразование задачи с теплообменом
через боковую поверхность к задаче
с теплоизолированной боковой поверхностью
Рассмотрим следующую задачу:
(УЧП) ut = a%uxx—$u, 0<х<\, 0</<оо,
f и (О, Л = 0,
U
(НУ) и(х, О) = ф(лс), 0
в которой слагаемое —ри описывает поток тепла через боковую
поверхность стержня (рис. 8.1).
I t I t M t I
РИС. 8.1. Задача теплопроводности, описываемая уравнением Uf- а.*и.хх— $ui
а — потери тепла через боковую поверхность; б — диффузия вдоль стержня.
Наша цель — вместо и(х, /) ввести новую температуру w(x, t)
так, чтобы уравнение для w(x, t) стало проще исходного урав-
уравнения
Эго достаточно общий метод решения уравнений с частными
производными, но выбор подходящего преобразования основы-
основывается на интуитивных представлениях о поведении решений
исходного уравнения. Например, в задаче (8.1) температура и(х, ()
в каждой точке х0 изменяется в результате действия двух фак-
факторов:
1) диффузии тепла вдоль стержня (за счет слагаемого а2ихх),
2) переноса тепла через боковую поверхность стержня (за счет
слагаемого —рм).
Важнейшим элементом нашего рассуждения является следую-
следующий: если бы диффузия вдоль стержня отсутствовала @

62 Часть 2. Диффузионные задачи
то температура в каждой точке стержня экспоненциально спа-
спадала к нулю по закону
Опираясь на это наблюдение, зададимся вопросом: нельзя ли
представить решение задачи (8.1) в виде произведения двух мно-
множителей
(8.2) u(xt t) = e~Vw(x, t)
или:
/Температура стержня с\ /Температура стержня с\
( неизолированной бок о- ) = е~^ •( изолированной боковой ],
й ^ /
поверхностью / ^поверхностью /
где w(x, t) описывает распределение температуры, обусловленное
только диффузией. Давайте посмотрим, что получится, если под-
подставить это выражение для температуры в задачу (8.1). После
выполнения соответствующих выкладок (читатель может проде-
проделать их самостоятельно) мы получим
(УЧП) wi=--a2wxx, 0<х<1, 0<*<oo,
<8-3> <гу> { „о/Uo 0<t<00'
(НУ) w (х, 0) = ф (х), 0 < х < 1.
Новая задача почти точно созпадает с первоначальной, но
в ней уже нет слагаемого —,8м. Таким образом, вместо того
чтобы решать задачу (8.1), мы решим преобразованную задачу (8.3),
а затем умножим полученное решение w(xt t) на е~&. В нашем
случае решение задачи (8.3) уже было получено ранее методом
разделения переменных, так что можно сразу написать
(8.4)
"='
О
и, следовательно, решение исходной задачи (8.1) имеет вид
u(x, t)=e~Vw(x, t).
Ниже, в разделе «Замечания» приводится еще один пример
задачи, решаемой этим методом.

Лекция 8. Преобразование сложных уравнений к простому виду 63
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Для решения задачи
ut = uxx— и, 0<дг<1, 0 < / < сю,
и (О, 0 = 0,
нA, 0 = 0.
и (х, 0) = sin (nx) + 0,5 sin (Зпх)
описанным выше методом мы
а) временно отбросим конвективный член —и в исходном
уравнении,
б) выпишем решение смешанной задачи без конвективного члена
и (*, 0 = е~пН sin (пх) + 0,5e-CJlJ1 sjn (Зял:),
в) умножим это решение на конвективный фактор е-&=е~~* и
получим окончательное решение исходной задачи
и(х, Г) = е-*[е-*4 s\
2. Уравнение конвективной диффузии
(коэффициент v является константой) также можно преобразо-
преобразовать к виду
Соответствующее преобразование имеет вид
ц (у А — gV(X-vt/2)/2Ct2{jy (% Л
Это преобразование выделяет экспоненциальный множитель,
который целиком обусловлен движением среды. Отметим, что
этот множитель описывает бегущую волну, распространяю-
распространяющуюся слева направо со скоростью v/2. Читателю еще предо-
предоставится случай воспользоваться этим преобразованием.
ЗАДАЧИ
1. Решите задачу конвективной диффузии
(УЧП) Щ = ихх — их9 0<х<1, 0</<оо,
и @, 0 = 0,
(НУ) и(х, 0)=

Часть 2. Диффузионные задачи
методом преобразования к более простому уравнению. На что
похоже решение? Можно дать следующую интерпретацию этой
задачи: и (х> /)—-концентрация некоторого вещества в движу-
движущейся среде (среда движется слева направо со скоростью у= 1),
начальное распределение концентрации задается функцией ех/99
на границах концентрация поддерживается нулевой (можно счи-
считать, что там стоят фильтры). Соответствует ли ваше решение
такой интерпретации?
2. Решите задачу
(УЧП) щ = ихх — и + х, 0<*<1, 0</<оо,
<гу> { „A.0-1. 0</<00'
(НУ) и(х, 0) = 0, 0<*<1,
а) преобразовав неоднородные граничные условия к однород-
однородным;
б) преобразовав исходное уравнение к новому уравнению, не
содержащему члена —и;
в) решив получившуюся в результате этчх преобразований
задачу.
3. Решите задачу
(УЧП) ut = uxx—u, 0<Jt<l, 0<*<oo,
( н@, /)-0,
(НУ) и (х, 0) = sin (ял;), 0 < х < 1,
применяя метод разделения переменных непосредственно
к исходному уравнению и не проводя никаких предваритель-
предварительных преобразований. Совпадает ли полученное вами решение
с решением, полученным ранее после преобразования

Лекция 9. Решение УЧП методом разложения по совете, функциям 65
Лекция 9
РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ УЧП
МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ
ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ! Научиться решать смешанные задачи
вида
(УЧП) ut = a*uxx + f(x, t), 0<х<1, 0<*<оо,
,rv.
(ГУ>
(НУ) и (х, 0) = ф (х), 0 < х < 1.
Решение неоднородного УЧП можно найти в виде ряда
где Хп(х) — собственные функции соответствующей одно-
однородной задачи
(УЧП) щ = а2ихх, 0 < л; < 1, 0< / < оо,
(НУ) и(х, 0) = ф(х),
а функции Tn(t) определяются как решения некоторых обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений.
В лекции 6 мы познакомились с тем, как неоднородные гра-
граничные условия преобразовать в однородные. К сожалению, урав-
уравнение остается при этом неоднородным и перед нами встает
задача
(УЧП) ut = **uxx + f(x9t)f 0<*<l, 0<*<oo,
O.I) (ГУ) | a;WxA;0+;vo;0==0; o</<oo,
(НУ) и(**О) = ф(*), 0<*<l.
Цель нашей лекции — освоить метод решения таких задач.
Этот метод аналогичен методу вариации произвольных постоян-
3 м 601

Часть 2. Диффузионные задачи
ных из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и
называется методом разложения по собственным функциям.
Идея метода исключительно проста. Известно, что решение
задачи (9.1) при f(x, t)~0 (так называемой соответствующей
однородной задачи) записывается в виде ряда
где Хп(х) — собственные функции задачи Штурма — Лиувилля,
(9.2) с
Зададимся вопросом: нельзя ли решение неоднородной задачи (9.1)
также искать в виде ряда по собственным функциям, но более
общего вида
Для такого предположения есть определенные физические осно-
основания. В самом деле, слагаемые f(x, t) описывают источник
тепла, расположенный внутри стержня. Значит, зависимость
решения от времени будет выражаться не экспонентами
как это было в случае однородной задачи, а какими-то другими
функциями.
Для того чтобы показать этот метод в действии и не услож-
усложнять изложение деталями, мы применим его к решению одной
очень простой задачи.
Построение решения методом разложения
по собственным функциям
Рассмотрим неоднородную задачу
(УЧП) ut = a*uxx + f(xt /), 0<л'<1, 0</<оо,
<9-3) <гу> { lu.vZl] °
(НУ) и(х,0)=*<р(х)9
Процесс решения задачи представим в виде последователь-
последовательности следующих шагов.

Лекция 9. Решение УЧП методом разложения по совета, функциям 6*
ШАР 1. Основная идея метода сострит в разложении плот-
плотности источника f(x, t) в ряд по собственным функциям
и определении откликов системы ип (х, t) на воздействие каждой
компоненты fn(f)Xn(x). Если все отклики будут найдены, то
решение задачи будет иметь вид
Основная трудность в этом методе—разложение плотности
источника на компоненты fn(t)Xn(x). Оказывается, что множи-
множители Хп(х) в данной задаче являются собственными векторами
системы штурма—Лиувилля, которая возникает при решении
методом разделения переменных соответствующей однородной за-
задачи, а именно
ut = a2uxx (отметим, что f(xt 0 = 0),
/q4> «@,0 = 0,
и (х, 0) = ф (л:).
Задача Штурма—Лиувилля в этом случае имеет вид
Х" + Х*Х^0,
Х@) = 0,
ХA) = 0,
а ее решениями являются функции
Хп (х) = sin (ппх)у п =¦ 1, 2, 3 ... .
Следовательно, разложение плотности источника представимо
в виде ряда
(9.5) /(A:,0=fi@si
И наконец, для того чтобы найти функции /„(/)» умножим
обе части последнего соотношения на s\n(mnx) и проинтегрируем
от 0 до 1 по координате х.
В результате получаем
5 / (х, t) sin (mnx) dx=% fn (t) J sin (mnx) sin (nnx) dx =
о n=sl о
Ш

68 Часть 2. Диффузионные задачи
или (после замены т на п)
1
(9.6) fn @ = 25/ (х, 0 sin (ял*)d*.
о
Последнее соотношение устанавливает связь между коэффи-
коэффициентами fn(t) и плотностью теплового источника f(x, /).
ШАГ 2. (Нахождение отклика ип(х9 t) — Xn(x)Tn(t) на вход-
входное, воздействие fn(t)Xn(x).)
Заменим плотность источника его разложением в ряд
/( 0M)
tl-\
и попытаемся найти индивидуальные отклики, т. е. функции
00
и(х, t)—JjTn (t) sin(nnx).
Поскольку решение задачи имеет вид
то подставим это выражение в исходную задачу
ut = а*ихх + 2 /„ @ sin
и @, /) = 0,
и A,0^0.
и(х9 О) =
в результате чего получим
00 00
2 Г; @ sin (nnx) = — а2 2 (ллJ 7"и @ sin (пял:) +
00
+ S /и@ sin (лядг),
00
(9.7) 2 Т„ @ sin0 = 0 (удовлетворяется тождественно),
со
^ = 0 (удовлетворяется тождественно),

Лекция 9. Решение УЧП методом разложения по собств. функциям 6?
Переписывая уравнение и начальное условие
(УЧП) S [T'n + {nnayTn-fn (/)]sin(/ww)«0,
(НУ) %Tn(O)sm(nnx) = <p(x),
мы можем заметить, что функции Tn(t) являются решениям»
задачи Коши
(9.8) Т
Все эти ОДУ легко решаются и их решения записываются в
виде
t
(9.9) Тп (t) = апе-^>4 + $ e-i
откуда нетрудно получить полное решение задачи (9.3):
(9.10) и (х, 0=2 г„ @ sin (nnx)=
1
00 Г г
S sin (mix) \
п=\ I о
Г г
= S ^~<пла)г/ sin (ял*)] + S sin (mix) \ e~(njl^Ht^fn (x)dx
п=\ \ I
t t
Переходная часть (обуслов- Стационарная часть (обусловлена
лена начальным условием) правой частью f(xt t)).
Из решения (9.10) видно, что температурный отклик состоит
из двух частей: первая часть возникает благодаря начальным
условиям, а вторая часть — благодаря плотности источника f(x> t).
Отметим, что термин «стационарная часть» не лучшим образом
подходит для описания второй части температурного отклика,
поскольку здесь не подразумевается, что эта часть не зависит
от времени (стационарный режим может оказаться периодическим,
если f(x, t) — периодическая функция времени /).
Задача полностью решена. Прежде чем перейти к следующей
теме, покажем, как, используя описанный выше метод, решить
конкретную задачу.

70 Часть 2. Диффузионные задачи
Решение конкретной задачи методом разложения
по собственным функциям
Рассмотрим простую задачу
(УЧП) щ == а*ихх + sin (Зла:), 0 < х < 1,
<911> <гу> {«A,0-0, °««~>
(НУ) и (х, 0) = sin (их), 0<*<1.
Наша цель—вычислить коэффициенты Tn(t) в разложении
(собственные функции этой задачи Хп(х) совпадают с собствен-
собственными функциями предыдущей). Если подставить это разложение
в исходную задачу, мы получим следующую задачу Коши лля
определения функций ТпA):
Т'п4-(илаJТ — fn(i) = 2\ sin(Злх)sin(плх)dx = {
j/ \0 пфЗ,
Tn @) = 2 \ sin (л?) sin (плс) rfj = J
J w \0 пф\.
Перепишем эти уравнения последовательно для /г = 1, 2... .
аJГ3 - П
Т3@) = 0
Следовательно, решение задачи можно записать в виде
¦(9.12) f f
Переходный Стационарный процесс (обус-
процесс (обус- ловлен правой частью УЧП)
ловлен НУ)

Лекция 9. Решение УЧП методом разложения по совета, функциям 71
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Метод разложения по собственным функциям является одним
из наиболее мощных методов решения неоднородных уравне-
уравнений с частными производными. Позже, когда мы познакомим-
познакомимся с интегральными преобразованиями, мы увидим, что суще-
существуют и другие методы решения задач этого типа.
2. Собственные функции Хп(х), по которым проводится разложе-
разложение, зависят от решаемой задачи, точнее от уравнений и гра-
граничных условий. Читателю предлагается решить задачу 4,-
помещенную в конце лекции, чтобы проверить, действительно
ли он научился находить собственные функции Хп(х).
3. Если читатель помнит основные факты из теории обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений, то он знает, что решения,
соответствующие неоднородным слагаемым вида
fsinflfc),
п *еа i cos да*),
можно найти методом неопределенных коэффициентов. То же
самое и здесь. Задача (9.11) может быть решена таким же спо-
способом.
ЗАДАЧИ
1. Решение задачи
(УЧП) ut = uxx +sin (Злх),
( и @, /) = О,
<гу> {
(НУ) и (?, 0) = sin (пх)9 0 < х < 1
дается формулой (9.12). Соответствует ли это решение вашим
интуитивным представлениям? Что представляет собой полу-
полученное решение?
2. Решите задачу
(УЧП) ^ = a^ + sin(ji*) + sinBji*)f 0<*<1, 0</<оо,
и @, t) = 0,
0<
(НУ) ц(х,0) = 0,

72 Часть 2. Диффузионные задачи
3. Решите задачу
(УЧП) иг-=ихх +sin (nx), 0<*<l, 0</<oo,
f и @, t) = О,
<гу> {
(НУ) и(х, 0)=1, 0<*<1,
методом разложения по собственным функциям.
4. Найдите решение задачи
(УЧП) ut = uxx +sin fax), 0<*<l, 0</<оо,
<ГУ>
(НУ)
методом разложения по собственным функциям, если лх — пер-
первый корень уравнения tg?i = — X. Каковы собственные функ-
функции этой задачи?
5. Решите задачу
(УЧП) ut = uxx 0<*<1, 0</<оо,
( и@, 0-0,
(НУ) w(jt,O), 0<^<l,
преобразовав сначала граничные условия к нулевым. Получив-
Получившуюся при этом задачу решите методом разложения по соб-
собственным функциям.

Лекция 10. Интегральные преобразования 73
Лекция Ю
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
(СИНУС- И КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ] Ввести понятие интегрального преоб-
преобразования и показать, каким образом применение интеграль-
интегральных преобразований позволяет от УЧП с п переменными
перейти к новому уравнению с п—1 переменными.
В лекции показано, что интегральные преобразования
можно интерпретировать как разложение входного воздей-
воздействия на элементарные (разложение по частотам), нахожде-
нахождение реакции системы на элементарные воздействия и после-
последующее суммирование всех полученных результатов.
При интегральных преобразованиях операция дифферен-
дифференцирования переходит в операцию умножения и, следователь-
следовательно, некоторые частные производные перейдут в алгебраи-
алгебраические выражения.
Синус- и косинус-преобразования вводятся для решения
диффузионных задач на неограниченных промежутках. По-
Полученное при этом решение интересно тем, что содержит
функцию, дополнительную интегралу вероятности.
Интегральным преобразованием обычно называют преобразова-
преобразование, которое каждой функции f(t) ставит в соответствие новую
функцию F (s) по формуле
п
Заметим, что исходная функция зависит от t, а результирующая—
от s. Функция K(s,t) называется ядром преобразования. Это
основной элемент, отличающий одно преобразование от другого.
Обычно ядро выбирают так, чтобы преобразование обладало неко-
рыми заданными свойствами. Пределы интегрирования также за-
зависят от вида преобразования.
Главное, что кроется за интегральными преобразованиями, это
возможность избавиться от частных производных по одной из не-
независимых переменных. Значит, в преобразованном уравнении
будет на одну переменную меньше, чем в исходном. Например,
если применить интегральное преобразование к уравнению

74 Часть 2. Диффузионные задачи
чтобы избавиться от производной по времени, мы получим обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение с независимой перемен-
переменной х. С другой стороны, если к уравнению
применить преобразование Фурье по переменной х, то производ-
производная ихх будет исключена, а в новом уравнении останется только
две независимых переменных у и г. Можно, конечно, применить
преобразование Фурье еще один раз, чтобы исключить еще одну
переменную. Тогда получится обыкновенное дифференциальное
уравнение с одной оставшейся независимой переменной. Другими
словами, интегральные преобразования упрощают исходную зада-
задачу. Затем преобразованная задача решается и, применяя к ее
решению обратное преобразование, получают решение исходной
з|адачи. Схема изложенного алгоритма изображена на рис. 10.1
Простая
задача
Решение простой задачи
(Шаг 2)
1
Интегральное
преобразование
г (Шаг X)
Решение
простои
задачи
Сложная
задача
Обратное преобразование
(ЩагЗ)
Решение
сложной
задачи
РИС. 10.1. Общая схема применения интегральных преобразований.
На рис. 10.1 видно, что с каждым прямым интегральным пре-
преобразованием связано обратное преобразование, которое восста-
восстанавливает первоначальную функцию из преобразованной.
Прямое и обратное преобразования принято называть парой
преобразований. В табл. 10.1 приведены некоторые пары преоб-
преобразований, которые будут использоваться нами при решении
уравнений с частными производными.
Отметим, что в этих преобразованиях используются два вида
обозначений. Например, в случае преобразования Лапласа обо-
обозначение <2?[f] указывает, что преобразуется функция /, в то же
время обозначение F(s) указывает, что в результате преобразова-
преобразования получена функция, зависящая от s.
В настоящей лекции мы не ставим задачу изучить все пары
преобразований. Мы остановимся только на синус- и косинус-
преобразбваниях Фурье (пары 1 и 2). Несколько позже мы изу-
изучим и другие из этих пар. По мере знакомства с преобразова-
преобразованиями мы выясним их преимущества и недостатки, узнаем как

Лекция 10. Интегральные преобразования 75
Таблица 10.1
Некоторые пары интегральных преобразований
3.
-F («>)*=— [ f(t)sin (G>t)dt Синус-преобразование
я J Фурье.
Косинус-преобразование
^j/] = JF(o)) = Aj/(OcosM)rf/ 5??м
о
? Обратное косинус-прёоб-
^-i [/?] = /(/) = \ f (ш) cos («/) ^0 разование
о
+ О0
$r[f] = F (со) = —¦==¦ \ f(x)e-iioxdx Преобразование Фурье
V 2л J
1 f
У —
Обратное преобразование
[/] = Cn =4- f / W cos innxlL) dx
ndal
о
Обратное конечное синус-
преобразование
Конечноэ косинус-преоб,
разование
Обратное конечное коси-
нус-преобразование
Преобразование Лапласа
Обратное преобразование
Лаоласа
C-IOD

76 Часть 2. Диффузионные задачи
Продолжение
7.
' CD
H [f] «= Fn A) = \ rJn (lr) f (r) d
0
" [^nJ==/(O== \ <r>Jп\ъч Fn
0
г Преобразование Ханкеля
Обратное преобразование
(b)«S Ханкеля
они связаны между собой, когда применяются и т. д. Однако,
прежде чем приступить к изучению интегральных преобразова-
преобразований, полезно будет разобраться в том, что принято называть
спектром функции (или спектральным разложением функции).
Спектр функции
Интегральные преобразования и спектр функции тесно свя-
связаны. И в самом деле, интегральное преобразование можно трак-
трактовать как разложение функции в некоторый спектр компонент.
Этот спектр зависит от выбранного преобразования, но каждая
функция обладает определенным спектром относительно данного
преобразования.
WVWVWSAJ
Wwvwvv
J
РИС. 10.2. Разложение периодической функции в ряд по синусам и косинусам;
последовательность прямоугольных импульсов аппроксимируется синусами и
косинусами.
Например, рассмотрим разложение периодической функции в
ряд по синусам и косинусам (ряд ФурьеI:
со
/ (х) = 2 [ Ап cos (пх) + Вп sin (яде)]
гс = 0
(см. рис. 10.2).
Здесь коэффициенты Ап и Вп представляют вклад cos(au) и
sin (пл:) в функцию /(*), в то же время величина
г) Более подробно ряды Фурье рассматриваются в лекции 11.

Лекция 10. Интегральные преобразовании 77
(называемая спектром функции) показывает ту долю амплитуды
функции /(#), которая приходится на частоту п.
Например, если функция f{x) представляет собой просто сумму
синусов и косинусов
/ (х) = 1 + sin х + -g- sin (Зх) -f cos х+ у cos Bx) + -j- cos Dл:),
то ее спектр (дискретный) будет выглядеть так, как показано на
рис. 10.3.
Считывая с графика значение величины ]/~А2п-\-В%, мы можем
определить величину амплитуды той компоненты функции /(*),
которая имеет частоту п.
У/ЗГ
И/2
1/4
О 12 34567"
РИС.. 10.3. Дискретный спектр функции f (х).
Периодические функции разлагаются в бесконечные ряды (они
имеют дискретный спектр), в то время как непериодические функ-
функции должны обладать непрерывным спектром. Если функция
определена только на конечном промежутке% то ее можно перио-
периодически продолжить на всю ось и разложить в ряд Фурье, ко-
который будет представлять нашу функцию внутри области опре-
определения.
И хотя непериодическую функцию нельзя разложить в беско-
бесконечный ряд по синусам и косинусам, мы можем попытаться на-
написать непрерывный аналог ряда Фурье:
00
где функции S((o) и С (со) служат мерой спектральной плотности
синуса и косинуса в функции /(*), а величина

79 Чисть 2. Диффузионные задачи
служит мерой полного вклада частоты о> в функцию f(x) и на-
называется спектром (непрерывным) функции /(*). Опираясь теперь
на приведенное выше интуитивное определение спектра функций,
разберем «по винтикам» интегральные преобразования. Сначала
выпишем те несколько свойств этих преобразований, которые
будем широко использовать.
Синус- и косинус-преобразования производных
1. Ws [/'] = — (&?с [/] (доказывается интегриро1-
о ванием по частям).
* О. (У
4. 9
Некоторые другие свойства прямых и обратных синус- и ко-
косинус-преобразований приведены в таблице в конце книги. Пока-
Покажем теперь, как с помощью синус-преобразования можно решить
одну важную смешанную задачу.
Решение диффузионной задачи на полупрямой
методом синус-преобразования
Задача, которую мы хотим решить, формулируется следующим
образом:
(УЧП) ut = a2uxx, 0<*<oo, 0</<oo,
(ГУ) и @,0= Л, 0</<оо,
(НУ) м(*,0)=0,
(см. рис. 10.4)
РИС. 10.4. Диффузионная
задача в полубесконечной области; и @, t)
= Л, u(xf 0)=0.
ШАГ 1. Решение задачи разобьем на три достаточно простых
шага. Будем действовать согласно следующему плану. На пер-
первом шаге выполним синуе-преобразование Фурье по переменной х,

Лекция 10. Интегральные преобразования 79
тогда мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение
по переменной /. Для реализации этого плана применим синус-
преобразование к обеим частям уравнения с частными производ-
производными. В результате получаем
Рассмотрим каждую часть этого соотношения.
^s[ut\: частную производную ut в этой задаче можно назвать
щешней производной, поскольку мы применяем преобразование по х.
В этом случае можно написать
* IйJ=ilut (** 0sin (g)a:) dx=
О
•?Jh(*. 0 sin (ewe) dx =
Здесь мы вынесли операцию дифференцирования за знак ин-
интеграла, воспользовавшись соответствующей теоремой интеграль-
интегрального исчисления. Заметим* что исходная функция и зависит от
переменных х и t, а ее образ
зависит от переменных ,<о и. /. Новая переменная со будет играть
роль параметра в новой задаче и, следовательно, можно считать,
что образы функций зависят только от одной переменной t\
Srs[uxx]: Для этого члена справедливы следующие равенства:
~
Отметим, что при выводе соотношений A0.1) мы считали
функцию / функцией одной переменной х. Здесь же несколько
иной случай, поскольку и(х, t) зависит и от х% и от t. Однако
можно пользоваться теми же формулами, если преобразование
проводить по одной переменной, а остальные считать константами.

80 Часть 2. Диффузионные задачи
В нашем случае преобразование ведется по переменной х%
а значит, переменную / можно считать константой. Обратим вни-
внимание и на то, что уже на этом этапе решения задачи исполь-
используется граничное условие а (О, /) = Л. Подставляя найденные
выражения в уравнение ut = a2uxx, мы получим обыкновенное
дифференциальное уравнение
?-«¦[—
Единственное, чего там нет, это начального условия для функ-
функции U (/). Мы получим его, применив преобразование к началь-
начальному условию и (х, 0) = 0:
Этим завершается первый шаг построения решения методом ин-
интегрального преобразования — вместо исходной смешанной задачи
мы получили задачу Коши для обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения:
A0 2) {0ДУ) -7F + ***4/s=-F--.
(НУ) ?/@) = 0.
ШАГ 2. Для решения получившейся задачи Коши можно
воспользоваться любым из элементарных методов решения обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений. В результате получаем
U(t) Aе-<***')
Итак, перед нами — результат применения синус-преобразо-
синус-преобразования к искомой функции и (х, t). Осталось совершить послед-
последний шаг — применить обратное преобразование к функции U (t)
я получить искомое решение и (х, t)i
u(xt t) = F?
ШАГ 3. Для того чтобы получить решение, можно либо не-
непосредственно вычислить интеграл, входящий в обратное прео-
преобразование, либо воспользоваться таблицами преобразований.
Воспользовавшись таблицами, находим
и(х, t) = A erfc(x/2aj/),
где erf с (л;) — функция, дополнительная к интегралу вероятности
и определяемая соотношением

Лекция 10. Интегральные преобразования 81
График этой функции изображен на рис. 10.5.
Интеграл вероятности и дополнительная к нему функция че-
через элементарные функции не выражаются. Они хорошо прота-
булированы, и соответствующие таблицы можно найти в спра-
справочниках по физике и химии.
erf (х)-Интеграл вероятности
РИС. 10.5. Графики функций erf (x) и erfc(.v).
Интерпретация решения
Решение _
и(х, 0 = ^erfcf^/2aI/]
дает обильную пищу для размышлений. На рисунке 10.6 приве-
приведены графики функции дополнительной к интегралу вероятности
при различных значениях времени /.
-а?
РИС. 10.6. Распределение температуры в полубесконечном стержне, на конце
которого поддерживается постоянная температура.
Они отличаются друг от друга только характерным масшта-
масштабом по оси х. С ростом времени этот масштаб растет и график
интеграла вероятности «расплывается».
ЗАДАЧИ
1. Докажите тождества A0.1).
2. Решите задачу Кош и A0.2).
3. С помощью синус- или косинус-преобразования
решите

•2 Части 2. Диффузионные задачи
задачу
(УЧП) щ = а*ихх, 0<*<оо,
(ГУ) и,@, 0 = 0- 0<*<оо,
(НУ) и(х, 0) = НA—х), 0<*<оо,
где Н (х)—функция Хевисайда
Входящая в начальное условие функция изображена на
рисунке.
Как будет выглядеть график решения в различные моменты
времени?
5. Найдите прообраз константы при синус-преобразовании,
т. е. найдите f(x)f если F (со) = с = const.

Лекция Н. Ряды и преобразование Фурье
Лекция II
РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Ввести понятие ряда Фурье и пока-
показать, каким образом периодическую функцию f(x). можно
представить в Еиде ряда по синусам и косинусам:
00
/ (х) ==-у + Z К cos (ппх) + bn sin (ляс)].
п= 1
Если же функция f(x) непериодическая и определена на
(—оо, +оо), то показать, как ряд Фурье переходит в пре-
преобразование Фурье и как функцию f (х) можно разложить
в непрерывную совокупность простейших функций. Это раз-
разложение (интеграл Фурье) можно записать в комплексной
форме:
откуда получаются прямое и обратное преобразования Фурье
4- с»
Л7] =/4f) =-4= f f(x)e-**dx (прямое преобразова-
L'J ' \Г2л J ' ' ние Фурье),
— ао
= _L=- f F(l)e^dl (кратное преобразо-
/2л J v ; ъ вание Фурье).
Важная роль рядов Фурье в теории уравнений с частными
производными обусловлена тем, что периодические функции, опре-
определенные на (— оо, +°°)» пли функции, определенные на конеч-
конечном интервале, можно разложить в ряд по синусам и косинусам.
Эго позволяет упростить исходную задачу. Например, пилообразная
функция
*, —L<x<L,
f(x-\- 2L) = /{х) (условие периодичности),

64 Чадть 2. Диффузионные задачи
/ (*) = -f- + 2 К cos (nnx/L) + bnsm (nnx/L)]t
изображенная на рис. 11.1, может быть представлена в виде
ряда Фурье
(П.1)
в котором коэффициенты Фурье ап и Ьп находятся по формулам
Эйлера
ап~-? [ f (x) cos (nnx/L) dx = 0, n = 0, 1, 2, ...,
A1.2)
Ь
^ г
Эти интегралы легко вычисляются. Чтобы вывести формулы Эй-
Эйлера для коэффициентов ап и Ъп> умножим обе части разложения
A1.1) на 5>т(/шл;/?) или cos(nnx/L) и проинтегрируем получив-
Пх)
Приближение частичной суммой
ряда Фурье высокого порядка
РИС. 11.1. Разложение пилообразной функции в ряд Фурье.
шееся соотношение от —L до L. Ортогональность функций
{sin (nnx/L)} и {cos (nnx/L)\ позволяет сразу получить формулы
для коэффициентов ап и Ъп (см. задачу 6 в конце лекции). Для
пилообразной функции разложение в ряд Фурье принимает вид
A1.3) /(*)=-^
— ± s\nBnx/L) + j s\nCnx/L)— ...].
Каждое слагаемое ряда принято называть гармоникой, частота
каждой следующей гармоники выше предыдущей. Частоты всех
гармоник кратны основной частоте, период которой совпадает

Лекция 11. Ряды и преобразование Фурье в5
с периодом функции f(x). Один из недостатков рядов Фурье
состоит в том, что в ряд Фурье можно разложить только перио-
периодическую функцию. Конечно, если функция определена на ко-
конечном интервале (например, f(x)~x при 0^х<1), ее можно
периодически продолжить на всю числовую ось и затем использо-
использовать разложение A1.1).
Тот факт, что сумма ряда Фурье определена и периодична
вне интервала [0, 1], ничему не противоречит, поскольку мы
интересуемся доведением функции только внутри интервала.
На самом деле для функции, определенной внутри интервала,
можно указать много различных разложений в ряд Фурье, по-
поскольку функцию можно продолжить за пределы интервала раз-
различными способами. Сразу же отметим, что полученные ряды
будут сходиться к исходной функции с различными скоростями.
Читатель не должен думать, что всякую периодическую функ-
функцию можно разложить в ряд Фурье. Пока мы знаем только, что
если функцию f(x) можно разложить в ряд Фурье A1 Л), то
коэффициенты ап и Ъп находятся по формулам Эйлера A1.2).
Более того, даже если функция разложима в ряд Фурье, мы
не знаем, можно ли ряд почленно дифференцировать. И в самом
деле, легко видеть, что производную функции f(x)~x (пилообраз-
(пилообразной функции) нельзя найти почленным дифференцированием
ряда Фурье A1.3).
В литературе, перечисленной в конце книги, можно найти
точные условия разложимости функции / (х) в ряд Фу:рье, а также
условия почленной дифференцируемости получающегося ряда.
Нам будет достаточно ознакомиться с известной теоремой Дирихле.
Теорема Дирихле (достаточные условия разложимости
функции в ряд Фурье):
Если f(x) — ограниченная периодическая функция, имею-
имеющая на каждом периоде конечное число максимумов, мини-
минимумов и точек разрыва, то ряд Фурье функции f (х) сходится
к f(x) в каждой точке непрерывности функции я к среднему
значению пределов функции слева и справа в каждой точке
разрыва функции f(x).
Например, на рис. 11.1 ряд Фурье сходится к функции f{x)
во всех точках, за исключением точек x=+L, zb 3L, ... (точки
разрыва). В каждой точке разрыва ряд сходится к нулю (среднее
арифметическое значение функции в точках +L и —L).
Теперь мы подготовлены для знакомства с преобразованием
Фурье. Однако целесообразно будет познакомиться сначала с по-
понятием частотного спектра периодической функции.

86 Часть 2. Диффузионные задачи
Дискретный частотный спектр периодической функции.
Если f(x) — периодическая функция, то разложение в ряд
Фурье можно интерпретировать как представление функции f(x)
последовательностью чисел \сп) вида
n л = 0, 1, 2, ...,
где коэффициенты сп служат мерой вклада соответствующих час-
частотных компонент в функцию f(x). Например, пилообразная
функция f(x) разлагается в ряд Фурье
f(x) = ^[sin (nx/L)~ sin Bwc/L) +± sin (Злх/L)—...
и, следовательно, частотный спектр \сп\ записывается в виде
2L для л=1, 2, ... и с$ = \ао\=О (см. рис. 11.2).
f(x)t
VV V V *
I 4S (Частотный спетр)
РИС. П.2. Дискретный частотный спектр пилообразной функции: а — основная
частота (период 2L); 6—п-ая гармоника (период 2Цп).
Последовательность \сп\ напоминает спектральное разложение
белого света по цветам в спектроскопе.
Введем теперь понятие преобразования Фурье.
Преобразование Фурье
Как уже отмечалось ранее, непериодические функции, задан-
заданные на (—со, +оо), не разлагаются в ряды Фурье. Однако для
некоторых таких функций можно построить аналог ряда Фурье.
Не вдаваясь в детали доказательства, можно утверждать, что
для непериодических функций, определенных на (— оо, оо), ряд
ФурЬе
00
/ (х) = ^ + X К cos (nnx/L) + Ьп sin (nnx/Lj]

Лекция 11. Ряды и преобразование Фурье 97
переходит в интеграл Фурье (разложение по непрерывному спектру
частот)
где
A1.5)
Из A1.4) видно, что интеграл Фурье осуществляет разложе-
разложение функции f{x) в спектр по всем частотам 0<?<оо (а не
Нх)
\J \J
+-Х
«»-vS№4
РИС. 11.3. Частотные спектры некоторых функций.
только по частотам, кратным основной частоте, как это было
у периодических функций). По аналогии с рядами Фурье опре-
определим частотный спектр по формуле

Честь 2. Диффузионные задачи
-Частотный спектр служит мерой вклада частоты ? в функ-
функцию /(#).
На рис. 11.3 изображены некоторые функции f(x) и их спектры.
Из рис. 11.3 видно, что функции, графики которых имеют угло-
угловые точки, обладают широким частотным спектром. Объясняется
это тем, что для передачи излома графика требуются высокоча-
высокочастотные спектральные компоненты. С другой стороны, если
/ (л:) = sin lQx—простая периодическая функция, то ее частотный
спектр обращается в нуль всюду, за исключением точки ? = Е0.
Теперь мы готовы к тому, чтобы познакомиться с экспонен-
экспоненциальной формой преобразования Фурье (формулы 11.5 известны
как синус- и косинус-преобразования Фурье). Воспользуемся фор-
формулой Эйлера
и после несложных преобразований приведем A1.4) к виду
которое принято называть интегральным представлением Фурье.
Отсюда получаем пару интегральных преобразований
*F[f] = F (I) - ^U- f / (x) e~ '** dx (прямое преобра-
1 J ; \f2n _J зоваиие Фурье),
(H.7)
(обратное преоб-
преобразование Фурье).
В следующей лекции мы остановимся на изучении свойств этих
преобразований.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Фурье-образ F (Н) функции f (х) может оказаться комплексно-
значной функцией. Например, для функции
Фурье-образом является

Лекция 11. Ряды и преобразование Фурье 89
2. Абсолютная величина фурье-образа | F (?) | называется час-
частотным спектром функции f(x). Например, частотный спектр
функции f (х) из предыдущего замечания определяется
формулой
(читатель должен уметь находить модуль комплексного
числа).
3. Не все функции можно подвергать преобразованию Фурье
(интеграл A1.7) может и не существовать). Например,
функции /(x) = c, sin*, е*, х2 фурье-образа не имеют. Его
имеют только те функции, которые достаточно быстро
стремятся к нулю при \х\—*оог). В прикладных задачах
мы применяем преобразование Фурье к температурным,
волновым и другим физическим полям, которые стремятся
к нулю при |#|—>оо.
ЗАДАЧИ
1. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию
f(x-\-2) = f(x) (условие периодичности).
Постройте графики суммы первых 2, 3 и 4 слагаемых, чтобы
проследить за сходимостью ряда к f(x). Постройте график
частотного спектра функции f (х).
2. Покажите, что если почленно продифференцировать ряд
Фурье A1.3) пилообразной функции, то получится ряд,
который не сходится к производной пилообразной функции.
3. Постройте графики частотного спектра следующих перио-
периодических функций:
а) f(x) = s\nxy
б) f(x)=^s\nx+cos2xt
с) /(^) = sinx + cosx + 0f5sin3;t:.
4. Найдите фурье-образ F(I) и частотный спектр C(l) = \F(l)\
функции
!( П. -K*<i.
(О в остальных точках.
*) Здесь речь идет только о классическом преобразовании Фурье.—
Прим. ред.

Часть 2. Диффузионные задачи
5. Покажите, что абсолютная величина функции
равна
УКАЗАНИЕ. Сначала умножьте числитель и знаменатель на
1—f|, а затем освободитесь от комплексной единицы i
в знаменателе.*)
6. Проверьте ортогональность функций {sin (nnx/L)} и
{cos (nnx/L)} на отрезке [—L, Ц:
? (О, тфп,
\ sin (mnx/L) sin (nnx/L) dx~\ f ___
L @, m=^fi,
cos (mnx/L) cos (nnx/L) dx—{ ,
\L, m = rtf
sin (mnx/L) cos (nnx/L) dx = 0 при всех m, n=l, 2, ... .
Лекция 12
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Проиллюстрировать некоторые важные
свойства преобразования Фурье и показать, как можно исполь-
использовать эти свойства при решении УЧП. В частности, пока-
показать, как под действием преобразования Фурье операция диф-
дифференцирования заменяется умножением и дифференциальные
уравнения превращаются в алгебраические. В этой лекции
вводится понятие свертки.
») Проще |F(|)|_Tr:F7|]—7T_.-

Лекция 12. Преобразование Фурье и его применение к решению УЧП
Если функция f(x) определена при — оо<#<оо, то ее фурье-
образ определяется, формулой.
A2.1)
Значит, если у нас есть функция / (х), определенная на вещест-
вещественной оси, подставляем ее в формулу A2.1) и получаем новую
функцию F (?), определенную для —оо < ? < оо. При этом нельзя
забывать об условиях существования преобразования Фурье (в дан-
данном случае—классического.)
В табл. 12.1 приведены некоторые функции и их фурье^-обра-
зы. Более обширная таблица функций и их фурье-образов Приве-
Приведена в приложении. Из приведенной таблицы видно, что фурье-
образ функции может оказаться комплекснозначной функцией ар-
аргумента I. В первом примере из этой таблицы функция F (Q со-
содержит в качестве множителя мнимую единицу /, и, таким обра-
образом, является комплекснозначной функцией вещественного аргу-
аргумента (I изменяется от —оо до +оо). Другими словами, аргу-
аргумент Е — вещественный, а значения функции — комплексные.
Преобразование Фурье (как и большинство других интеграль-
интегральных преобразований) оказалось очень полезным потому, что оно
заменяет операцию дифференцирования операцией умножении и,
таким образом, превращает дифференциальные уравнения в алгеб-
алгебраические. Существует множество и других свойств, которые де-
делают преобразование Фурье удобным инструментом решения задач.
Мы перечислим здесь только важнейшие из них.
Таблица
Преобразования Фурье некоторых функций
2.1.
Функция / (х)
/1, -1 < х < 1,
3. /(х)-«-**.
Преобразование Фурье F (%)
(комплексная функция).
(вещественная функция),
(вещестсенная функция).

92 Часть 2. Диффузионные задачи
Свойства преобразования Фурье
Свойство 1 (Пара преобразований Фурье)
После применения преобразования Фурье к функции f(x), оп-
определенной для —оо<х<оо, мы получаем новую функцию F(l)
по формуле
+ 00
Если применить к функции F (?), определенной для —оо<?<оо,
обратное преобразование Фурье
то получим исходную функцию f(x).
fix)
РИС. 12.1. Графики функции и ее фурье-образа.
Например, (см. рис. 12.1)
2" 1
Свойство 2 (Линейность преобразования)
Преобразование Фурье является линейным преобразованием,
т. е.
В этом легко убедиться. Читатель может потратить несколько
минут, чтобы проверить это свойство, которое используется «на
каждом шагу». Например, преобразование Фурье выражения
имеет вид
<Г [<

Лекция 12. Преобразование Фурье и его применение к решению УЧП 93
Свойство 3 (Преобразование частных производных)
Если нас интересует, как преобразование Фурье действует
на производные, то в первую очередь следует обратить внимание
на переменные, по которым дифференцируется функция. Напри-
Например, если преобразование Фурье выполняется по переменной х
(т. е. по переменной х проводится интегрирование в преобразова-
преобразовании) и если преобразованию подвергается частная производная
функции и (л:, /) по этой же переменной х, то справедливы при-
приведенные ниже формулы преобразования производных
+ 00
?[и,] = -р^=- J ux(x, t
— 00
С другой стороны, если подвергнуть преобразованию частную
производную ut(x, t) (а переменная интегрирования в преобразо-
преобразовании, как и прежде, будет х), получаем следующие формулы:
— 00
+ со
\uix\^-^= \ uit(x%
Свойство 4 (Свойство свертки)
Каждое интегральное преобразование обладает так называемым
свойством свертки. Дело в том, что фурье-образ произведения двух
функций, вообще говоря, не равен произведению фурье-образов этих
функций, т. е.
Однако в теории преобразований есть операция, называемая
сверткой функций / и g (обозначается /*g"), которая в некотором
смысле играет роль произведения, а именно справедливо соотно-
соотношение
A2.2)

94 Часть 2. Диффузионные задачи
Что же это за таинственная операция f#gt называемая сверт-
сверткой? Она определяется формулой
A2.3) (
Нетрудно показать, что соотношение A2.2) действительно выпол
няется. Из определения видно, что свертка двух функций /(
и g(x)—это некоторая новая функция (f*g)(x) аргумента х.
Пример вычисления свертки двух функций
Пусть даны две функции
Тогда их свертка равна
со
(/*?)(*) = ,pL=- J (*-?)e-6'dg = *
Здесь мы воспользовались известной формулой
Важность понятия свертки A2.3) состоит в том, что очень
часто при решении уравнений с частными производными мы при-
приходим к необходимости применить обратное преобразование Фурье
к выражению, которое является произведением двух фурье-обра-
зов, т. е. мы должны найти
A2.4) г-Чги^Ш-
Применяя обратное преобразование к обеим частям A2.2), полу-
получим
A2.5) frg-F-^rinrigll
Следовательно, для определения A2.4) мы должны найти прооб-
прообразы каждого из сомножителей, т. е. функции f и g, а затем вы-
вычислить их свертку. Теперь мы готовы приступить к решению
одной важной задачи теории уравнений с частными производными.

Лекция 12. Преобразование Фурье и его применение к решению УЧП 95
Решение задачи Коши
Рассмотрим задачу о распространении тепла в бесконечном
стержне, если задана начальная температура и(х, 0) = ф(л;).
Эту задачу принято называть задачей Коши для уравнения
теплопроводности или задачей с начальными условиями
(УЧП) ut = a*uxxi -oo<*<oo, 0</<oo,
A2.6) (НУ) H(*,O) = <p(*), — оо<*<оо.
Решение задачи можно разбить на три основных шага.
ШАГ 1 (Преобразование задачи).
Поскольку пространственная переменная х изхменяется в пре-
пределах от —оо до +°о» мы подвергнем уравнение и начальное
условие A2.6) преобразованию Фурье по переменной х 1] (х—пе-
(х—переменная интегрирования в преобразовании). Сделав это, получим
Воспользуемся свойствами преобразования Фурье, Тогда
= -aVU(t),
* ' U @) = ФA) (здесь Ф —фурье-образ функции ср),
где U (/) = ? [и (х, /)]. Читатель должен обратить внимание на
то, что функция U (t) на самом л?ле зависит не только от t9 но
и от Н, но, поскольку в дифференциальном уравнении A2.7) вели-
величина.! играет роль константы, мы не будем записывать ее в чис-
число аргументов, т. е. будем считать, что U = U (t).
ШАГ 2 (Решение преобразованной задачи).
Поскольку новая переменная играет роль константы в задаче
A2.7), ее решение легко находится:
A2.8) f/(/) = O(gN-af«f/.
ШАГ 3 (Нахождение обратного преобразования).
Искомое решение и (х, t) находится по формуле
и(х9 t) = ?F
2) Предполагается, что преобразование Фурье этих функций существует. -т
Прим. ред.

96 Часть 2. Диффузионные задачи
Вот здесь нас выручит теорема о свертке A2.5). Используя
эту теорему, получаем
A2.9) и (*, t) = Г-1 [Ф (|) е-*Щ «
ср(л:)*Г —-_-е-**/4а»/1 (нашли в таблице) =;
Дело сделано! Формула A2.9) дает решение нашей задачи.
Прежде чем поставить точку, давайте проанализируем получен-
полученный результат. Отметим, что подынтегральная функция состоит
из двух сомножителей:
1. Начальной температуры ф(х),
2. Функции G(x, t)=±-—*_,?-(*-?J
у ш
которая называется
у
функцией Грина или функцией источника.
Можно показать, что функция источника G (x% t) описывает
отклик системы на начальный температурный единичный импульс
*
РИС. 12.2. Отклик G (x, t) на температурный импульс в точке *=|, график
G (x, t) похож на график нормального распределения, при этом время играет
роль среднеквадратического уклонения: а — функция G (х, t) при небольших
значениях t\ б—функция G (x, t) существенно уменьшилась.
в точке # = ?. Другими словами, функция G(xf t) описывает рас-
распределение температуры в стержне в момент времени t% если на
точку дс = ? подействовал единичный тепловой импульс (см.
рис. 12.2).
Теперь формуле A2.9) можно дать следующую интерпретацию:
начальную температуру и(х, О) = ср(х) можно представлять как
континуальное множество точечных импульсов каждой величины

Лекция 12. Преобразование Фурье и его применение к решению УЧП ' 97
ф(|) (в точке я = Б). Каждый точечный импульс дает распределе-
распределение температуры ф (?) G (х, t). Результирующее распределение на-
находится суммированием (интегрированием) температур точечных
источников по формуле A2.9). Позже мы увидим, что это одно
из проявлений общего принципа суперпозиции.
ЗАМЕЧАНИЕ
Главный недостаток преобразования Фурье в том, что его
можно применять не ко всем функциям. Например, функции вида
= const,
f (x) = sinjc
не имеют фурье-образа, так как интеграл
+ 00
Г [Л = -7=^ Г l(x)e-&dx
У 2л J
расходится. Фурье-образ имеют только те функции, которые доста-
достаточно быстро стремятся к нулю при \х\—> оо. Кроме того, нель-
нельзя применять преобразование Фурье по времени для решения
задач с начальными условиями, так как 0</<оо (если не рас-
рассматривать продолжения функций на полуось в соответствующем
классе функций).
ЗА ДА ЧИ
1. Найдите фурье-образ функции
/О, х<0,
t{x)ss\e-*, 0<*,
используя таблицы, приведенные в приложении.
2. Убедитесь в том, что прямое и обратное преобразования
Фурье являются линейными преобразованиями.
3. Используя преобразование Фурье, решите задачу Кошй
(УЧП) ut=a2uxx, —оо<л;<оо,
(НУ) m(jc, 0) = e-A\ — оо<
4. Проверьте справедливость соотношений
601

98 Часть 2. Диффузионные задачи
УКАЗАНИЕ. Воспользуйтесь интегрированием по частям.
5. Проверьте, что свертку двух функций / и g можно записать
в двух эквивалентных формах
или
-J=.
Лекция 13
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Ввести понятие преобразования Лапласа
00
S [/] = F (s) = [ f (t) e~stdt (преобразование Лапласа),
о
познакомиться с формулой обращения преобразования Лапласа
С+ iac
?~* [F] = f(t)— у-г \ F (s) est is (обратное преобразование
С— too
Лапласа)
и проиллюстрировать их свойства.
Преобразование Лапласа имеет важное преимущество пе-
перед преобразованием Фурье, так как в подынтегральное вы-
выражение входит быстро затухающий множитель e~st, и по-
поэтому преобразование Лапласа применимо к более широкому
классу функций по сравнению с преобразованием Фурье.
Кроме того, преобразование Лапласа имеет дело с функция-
функциями, определенными на промежутке [0, оо), а значит, особен-
особенно удобно проводить его по переменной t.
После знакомства с основными свойствами преобразова-
преобразования Лапласа мы решим несколько важных задач для урав-
уравнений с частными производными.

Лекция 13 Преобразование Лапласа 99
Из всех интегральных преобразований, рассматриваемых в
этой книге, преобразование Лапласа
A3.1) 3?[f]
по-видимому, является единственным, с которым читатель уже
встречался ранее, поскольку это один из мощных методов преоб-
преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений в алгебра-
алгебраические. Более того, преобразование Лапласа позволяет преобра-
преобразовывать уравнение с частными производными в обыкновенное
дифференциальное уравнение и его можно проводить по любой
из тех переменных х, у, г, t . . ., которые изменяются от 0 до оо
(чаще всего преобразование Лапласа проводят по переменной /).
Если при применении преобразования Лапласа к обыкновен-
обыкновенному дифференциальному уравнению получаются алгебраические
уравнения, то в случае уравнений с частными производными пре-
преобразование Лапласа приводит либо к новому уравнению с част-
частными производными с меньшим числом переменных, либо к обык-
обыкновенному дифференциальному уравнению. После этого возникает
вопрос о выборе метода решения преобразованной задачи (может
быть, следует применить другое преобразование, или решать ее
методом разделения переменных и т. д.). Прежде чем приступить
к решению очень интересных задач, перечислим некоторые свой-
свойства преобразования Лапласа.
Свойства преобразования Лапласа
Свойство 1 (Прямое и обратное преобразования)
Преобразование Лапласа и формула его обращения имеют вид
00
S[/] = F (s) = ^ / Ц) e~st dt (преобразование Лапласа),
A3.2) °
&-1[F] = f(t)=1^ J F(s)estds (формула обращения).
С—/оо
Преобразование Лапласа обладает важным преимуществом по
сравнению с преобразованием Фурье. Это преимущество обуслов-
обусловлено наличием затухающего множителя e~st в подынтегральном
выражении, что обеспечивает возможность применения преобра-
преобразования Лапласа к более широкому классу функций (множитель
е& в преобразовании Фурье не является затухающим, поскольку
модуль этого множителя равен единице). Более точное представ-
представление об этом классе функций дает следующая теорема:
4*

100 Часть 2. Диффузионные задачи
Достаточные условия существования
преобразования Лапласа
Если:
1) для любого положительного числа А функция /(/) кусонно-
непрерывна на интервале 0^/^Л;
2) существуют такие константы М, а и 7\ что
для всех / > 71, то преобразование Лапласа
О
существует при всех s > a.
Приведем примеры некоторых функций и их преобразований
Лапласа.
В определении преобразования Лапласа подразумевается, что
s—действительная переменная, принадлежащая промежутку @, оо).
Однако можно (а зачастую желательно) распространить это опре-
определение на комплексные значения s. Это позволяет написать фор-
формулу обращения преобразований Лапласа
c + icc
F{s)e«ds.
Использование этой формулы подразумевает знакомство с тех-
техникой интегрирования по контурам в комплексной плоскости и
теорией вычетов. Мы не станем отвлекаться на изучение здесь
этих вопросов, а при обращении преобразования Лапласа будем
пользоваться таблицей, приведенной в приложении.
Свойство 2 (Преобразования частных производных)
Пусть и (ху t) — функция переменных, и мы хотим найти ре-
результаты применения преобразования Лапласа к различным част-
частным производным ии ихь иХУ ихх Поскольку преобразование
Лапласа проводится по переменной t (t — переменная интегриро-
интегрирования), правила преобразования имеют вид
[ut] = J ut (x, t) e'st dt = sU (x, s) — u (x, 0),
о
t)e-stdt = s*U(x, s)—su(x, 0)—ut(x, 0),
* (x, i) e-« dt = ^ (x, s),
0
oo
[uxx] = J uxx (x, s)e-"dt—, (x, s),

Лекция 13. Преобразование Лапласа 101
f(t)
F(s)
0<t< oo
2)
S>
. f(t) = sin(cot)
«t)
4, Л*) = e*2 (#e имеет преобразования Лапласа)
РИС. 13.1. Графики некоторых функций и их изображений по Лапласу.

102 Часть 2. Диффузионные задачи
где U (x, s) = J? [и(х, /)]. Правила преобразования производных
их и ихх вытекают из теоремы о дифференцировании интеграла
по параметру
* ь
а формулы для преобразования производных ut и uit можно по-
получить интегрированием по частям.
Свойство 3 (Теорема о свертке)
Свертка играет здесь ту же роль, что и в теории преобразо-
преобразования Фурье, но вводится несколько иначе.
Определение конечной свертки
Конечная свертка двух функций fug определяется формулами
S/('-T)g(T)dx
(можно доказать, что эти интегралы равны). Здесь интегрирова-
интегрирование ведется по конечному промежутку от 0 до /, а не по беско-
бесконечному (—оо, +оо), как это было ранее при определении бес-
бесконечной свертки.
Приведем пример конечной свертки двух функций. Пусть
1
тогда (/ * g) (t) = ^ т (/ — т) йт = /3/6.
о
Как и в случае бесконечной свертки, ее важнейшее свойство
определяется формулой
A3.4) *\J*g
или эквивалентной формулой
A3.5) ^~
Эти формулы позволяют обращать преобразование Лапласа
в тех случаях, когда изображение можно представить в виде
произведения У[/] и У [g] таких сомножителей, для которых

Лекция 13 Преобразование Лапласа 10S
функции / и j легко находятся. После того как функции / и
найдены, можно найти их свертку. Например,
3?~ 1 [ — • &2 , 11 = С sin т rfx = 1 — cos t,
Теперь мы подготовлены для решения важной смешанной задачи.
Теплопроводность в полубесконечной среде
Рассмотрим глубокий резервуар с жидкостью, и пусть боко-
боковая поверхность резервуара теплоизолирована. Пусть и0—началь-
и0—начальная температура жидкости и пусть температура воздуха над жид-
i
I
РИС. 13.2. Схематическое изображение задачи теплопроводности: а—тепло
течет внутрь, если «@, t) < 0, и наружу, если «@, /) > 0; б—резервуар
настолько глубок, что граничное условие на дне не влияет на решение при
интересующих нас значениях х.
костью равна нулю (начало отсчета для температур) (см. рис. 13.2).
Наша задача — найти температурное поле в жидкости на различ-
различных глубинах и в различные моменты времени. Другими словами,
нам необходимо решить задачу
(УЧП) ut = uxx, 0<*<oo, 0</<оо,
A3.6) (ГУ) их@, 0 —«@, 0 = 0, 0</<оо,
(НУ) и(х9 0) = и010<х<оо.
Для решения этой задачи мы применим преобразование Лап-
Лапласа по переменной t. Обратите внимание: мы могли бы приме-
применить преобразование Лапласа и по переменной х, поскольку
она изменяется от 0 до со. После применения преобразования

104 Часть 2. Диффузионные задачи
приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению по пе-
переменной х.
(ОДУ) sU(x)-u0 = %j9 0<*<оо,
A3.7)
(ГУ)
dU
dx
(мы преобразовали только уравнение и граничное условие, но не
начальное условие). У нас получилось обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение второго порядка, но только с одним гранич-
граничным условием в точке л==0. На самом деле второе граничное
условие тоже есть. Оно определяется физическими соображениями
и записывается в виде U(x)—+0 при я—¦ + «>. Отметим, что
для упрощения записи мы везде опустили параметр s из числа
аргументов функции U (т. е. вместо U (х, s) пишем U (х), так
как уравнение A3.7) является дифференциальным уравнением
только по х).
Для решения задачи A3.7) выпишем общее решение (общее
решение однородного + частное решение неоднородного) ОДУ*
U (x) = clevlx + c2e~v™ + ujs.
Подстановка этого выражения в граничное условие A3,7) по-
позволяет определить константы г, и с2 (сразу же ясно, что ^ = 0,
РИС. 13.3. График интеграла вероятности (erf) и дополнительной к нему функ-
функции (erfc).
иначе температура будет неограниченно расти с ростом коорди-
координаты дс). Определив константу с2 из граничного условия в точке
л; = 0, получаем окончательное выражение для U (х)
A3.8)
\
Осталось совершить последний шаг. Для определения темпера-
температурного поля и (л:, t) необходимо вычислить
и(х9 t) =
, s)]

Лекция .13. Преобразование Лапласа 105
(мы вернулись к записи всех аргументов функции U (x, s)). Для
обращения преобразования Лапласа воспользуемся таблицами,
которые приведены в приложении. В результате получаем
A3.9) и (х9 t) = ив—ao[erfc (х/2 VI) + erfc fl/+*/2 VI) ex+1],
где
Yn
— функция, дополнительная к интегралу вероятности. График
этой функции приведен на рис. 13.3. Анализ этого решения по-
РИС. 13.4. Температура внутри полубесконечной среды в различные моменты
времени.
требует совсем немного усилий. На рис. A3.4) приводятся ре-
результаты численного анализа, полученные на ЭВМ, оборудованной
графопостроителем.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Преобразование Лапласа можно применять и к неоднородному
уравнению с частными производными (для применения метбда
разделения переменных уравнение должно быть однородным1),
но его нельзя, вообще говоря, применять к уравнениям с пе-
переменными коэффициентами (метод разделения переменных
можно применять и в случае переменных коэффициентов).
В табл. 13.2 указаны области применимости каждого из двух
методов.
2. При решении смешанных и краевых задач используют также
преобразования Ханкеля и Меллина, которые, однако, отли-
отличаются от преобразования Лапласа в одном отношении. Пре-
Преобразование Лапласа заменяет производную операцией умно-
умножения по формуле

106 Часть 2. Диффузионные задачи
Таблица 13.2
Сравнение методов преобразования Лапласа
и разделения переменных
Неоднородные УЧП
Неоднородные ГУ
Переменные коэффициенты
Нелинейные уравнения
Метод
Преобразование
Лапласа
да
да
нет
нет
Разделение
переменных
нет
нет
да
нет
а преобразования Ханкеля и Меллина заменяют множителем
некоторый дифференциальный оператор. Например, для преобра-
преобразования Ханкеля, определяемого формулой
справедливо соотношение
Таким образом можно решить специальное дифференциальное
уравнение с переменными коэффициентами (уравнение Бесселя).
3. Преобразование Лапласа по переменной / можно интерпрети-
ровать как проектирование ^/-плоскости на ось х, в резуль-
i
и

Лекция 14. Принцип Дюамеля 107
тате которого исходные уравнения, граничные и начальные
условия преобразуются в новое дифференциальное уравнение
и новые граничные условия (см. приведенную выше схему).
ЗАДАЧИ
1. Убедитесь в справедливости следующей формулы для преобра-
преобразования частной производной ut:
S[ut(x, t)] = sU(x, s) — u(x, 0).
2. С помощью преобразования Лапласа решите задачу Коши
(УЧП) ut = a2uxx, — оо<*<оо, 0</<оо,
(НУ) и (х, 0) = sin xf — оо < х < оо.
3. С помощью преобразования Лапласа по переменной / решите
задачу
(УЧП) ut = uxx9 0<*<oo, 0</<oo,
(ГУ) и@, /) = sin/, 0</<oo,
(НУ) и (х, 0) = 0, 0 < х < оо.
Дайте физическую интерпретацию этой задачи.
4. Решите краевую задачу
Лекция 14
ПРИНЦИП ДЮАМЕЛЯ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ! Показать, как с помощью преобразо-
преобразования Лапласа можно выявить интересные особенности ре-
решений дифференциальных уравнений. В частности, путем
алгебраических преобразований изображения по Лапласу
некоторого решения уравнения с частными производными
можно получить хорошо известный принцип Дюамеля. Из-
Известна интерпретация этого принципа в теории обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений, но мы покажем, как им
пользоваться при решении некоторых смешанных задач
для УЧП.

108 Часть 2. Диффузионные задачи
Помимо того что преобразование Лапласа — это мощный метод
решения уравнений с частными производными, оно позволяет
вскрыть физическую сущность полученных решений. С помощью
преобразования Лапласа мы проиллюстрируем очень важный и
интересный принцип Дюамеля. Прежде чем обратиться к принципу
Дюамеля, рассмотрим задачу, которая очень часто возникает в
технике.
Теплопроводность в стержне,
концы которого поддерживаются
при заданной температуре
Очень часто необходимо найти температуру внутри области,
если известно, что на границе области она изменяется во времени
по заданному закону (зависящие от времени граничные условия).
Начальная температура = О
РИС. 14.1. Граничные условия, зависящие от времени.
Например, рассмотрим теплоизолированный стержень, правый
конец которого поддерживается при температуре/ (/) (см, рис. 14.1).
Необходимо решить задачу
(УЧП) щ = их„ 0<*<1, 0</<оо,
<m> <ry>
(НУ) и(х, 0) = 0, 0<х<1.
Можно надеяться, что решить эту задачу A4.1) будет легко,
поскольку мы знаем решение более простой задачи, когда темпе-
температура на конце постоянна:
(УЧП) wt = wxx, 0<х<1, 0</<оо,
(НУ) w(x,0) = 0f 0
И в самом деле, если одновременно решать обе задачи (A4.1)
и A4.2)) с помощью преобразования Лапласа, то мы установим
замечательный результат — решение задачи A4.1) выражается через
решение задачи A4.2).
Итак, решая одновременно обе задачи, получаем

Лекция 14. Принцип Дюамеля 109
Легкая задача A4.2)
(Постоянные ГУ)
Применяем преобразование
Лапласа к задаче A4.2)
Решение ОДУ
I
W(x, s) = |
']¦
Находим обратное преобразо-
преобразование
w(x, 0 =
П=\
X sin (nnx)
(решение задачи с постоянным
ГУ).
Трудная задача A4.1)
(Зависящие от времени ГУ)
Применяем преобразование
Лапласа к задаче A4.1)
1/@)= 0,
Решение ОДУ
I
U (x, s) = i
Делим и умножаем на s
Используя
получаем
соотношение
W/ ( C\\
U (x, s) = F(s)
Следовательно,
и(х, f) =
(после интегрирования по ча-
частям)

110 Часть 2. Диффузионные задачи
w(x, t-x)f'(x)dx +
0
+ f(O)w(x, t).
(Решение задачи с зависящими
от времени ГУ выражено через
решенле задачи с постоянными
ГУ.)
Итак, мы выразили решение задачи с изменяющимися во вре-
времени граничными условиями через решение задачи с постоянными
граничными условиями. Соответствующие формулы имеют вид
t
A4.3) и(х, l)=[wt(x, t — x)f(x)dx=*
x, t — x)f'{x)dx + f(O)w(x, t)
о
и являются математической формой принципа Дюамеля. Теперь
для получения решения задачи A4.1) осталось подставить реше-
решение задачи с постоянными граничными условиями в формулу
A4.3). Следует отметить, что в данном случае мы должны вос-
воспользоваться второй формулой в A4.3), поскольку ряд для w(xf f)
нельзя почленно дифференцировать по переменной t (почленное
дифференцирование приводит к расходящемуся ряду).
Принцип Дюамеля обладает и другими полезными свойствами.
Важность принципа Дюамеля
В рассмотренном примере мы решили сначала простую задачу
с постоянными граничными условиями, а затем воспользовались
принципом Дюамеля A4.3) и получили решение задачи с пере-
переменными граничными условиями. Очень часто, однако, даже про-
простую задачу с постоянными граничными условиями нельзя решить
аналитически. В этом случае решение задачи с постоянными
граничными условиями можно найти экспериментально, т. е. осна-
оснастить установку соответствующими приборами и измерить отклик
системы. Затем, используя принцип Дюамеля, можно находить
решение задачи при произвольных изменяющихся во времени
граничных условиях. В самом деле, если в результате наблюде-
наблюдений функция w(xt t), соответствующая постоянным граничным
условиям, нам известна, то решение задачи с произвольными гра-
граничными условиями, содержащими функцию /(/), находится по
формуле A4.3).

Лекция 14. Принцип Дюамеля 111
ЗАМЕЧАНИЯ
Существует и другая форма принципа Дюамеля. Она позволяет
выразить решение задачи
(УЧП) ut = uxx9 0<*<1, 0</<оо,
(НУ) и(х, 0) = 0, 0<*<1,
через решение до (я, /) другой простой задачи
(УЧП) wt = wxx, 0 < л: < 1, 0</<оо,
i w@, t) = 0
A4.5) (ГУ) < я температурный импульс при/ = 0,
\ w A, г) = о (t)
(НУ) w(x, O) = Ot
В этом случае соответствующая формула имеет вид
t
и(х, t)=^w (х, t — x) / (т) dx
о
и позволяет найти температуру и(х, f) при произвольной гранич-
граничной температуре /(/), если известен отклик системы w(x, t) на
температурный импульс.
ЗАДАЧИ
1. Докажите принцип Дюамеля A4.6), применяя преобразование
Лапласа к задачам A4.4) и A4.5) и используя те же сообра-
соображения, что и при выводе A4.3).
УКАЗАНИЕ. Изображение по Лапласу импульсной функции
6(/) находится по формуле JZ?[6(<)] = 1.
2. Покажите, что частную производную w(t) функции
W(X, t) - X + \ Y* tzl)le-№)* t sj
нельзя вычислять почленным дифференцированием ряда, по-
поскольку продифференцированный ряд расходится при любом х.
3. Предположим, что левый конец теплоизолированного стержня
поддерживается при нулевой температуре, а правый подвер-
подвергается импульсному тепловому воздействию. Предположим,
что начальная температура стержня равна нулю (некоторая
начальная температура отсчета), а после воздействия теплового

112 Часть 2. Диффузионные задачи
импульса производится измерение температуры в точке с коор-
координатой х = 0,5 в последовательные "моменты времени. В ре-
результате получена таблица
Время Температура
w9
tn^ntt wn
Используя эти данные, найдите приближенно температурный
отклик и @, 5; t) при ГУ вида
а) иA, /) = sin t9
б) и(\9 0 = /@ (/@ — произвольная функция).
4. Используя принцип Дюамеля, решите смешанную задачу
(УЧП) uf^a2uxx, 0<А'<1, 0</<сх>,
и @, () = О,
(ГУ>
(НУ) и (х, 0) == 0, 0 < х < 1.

Лекция 15. Конвективный член ил в диффузионной задаче 113
Лекция 15
КОНВЕКТИВНЫЙ ЧЛЕН U,
В ДИФФУЗИОННОЙ ЗАДАЧЕ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, каким образом слагаемое их
в диффузионной задаче
У \
Диффузионный член Конвективный член
описывает явление конвекции. Приведенное выше уравнение
конвективной диффузии возникает во многих задачах и описы-
описывает как диффузию, так и конвекцию. Роль каждого из этих
механизмов определяется отношением коэффициентов D и V.
Поскольку конвекция вещества обусловлена его движе-
движением вместе с окружающей средой, то естественно перейти
в систему координат, которая движется вместе со средой.
В результате такого преобразования конвективный член
будет исключен и получившееся уравнение можно решить
одним из известных методов. Преобразовав полученное реше-
решение к неподвижной системе отсчета, получим решение исход-
исходной задачи.
До сих пор мы имели дело с теплопроводностью (или неко-
некоторым видом диффузии) в одномерных системах. Рассмотрим теперь
задачу о распределении концентрации некоторого вещества, выхо-
выходящего из земли и попадающего в восходящие потоки воздуха.
Будем учитывать как диффузию вещества, так и конвективный
перенос воздухом, который движется со скоростью V. Ясно, что
в данном случае конвективный механизм переноса вещества играет
более важную роль, чем диффузионный (роль каждого механизма
определяется отношением коэффициентов диффузии и скорости
воздуха.) Диффузия — это проникновение вещества через воздух,
а конвекция — это перемещение вещества вместе с движущимся
воздухом. Наша задача — вывести уравнение конвективной диф-
диффузии
ut = Duxx — Vux
l ЛЛ X
и научиться его решать.

114 Часть 2. Диффузионные задачи
Чтобы убедиться в правильности уравнения конвективной диф-
диффузии, мы воспользуемся двумя основными фактами.
1. Поток, обусловленный конвекцией.
Конвективный поток вещества слева направо через поперечное
сечение в данной точке равен Vu(x, /), где V — скорость движения
среды (см/с), а и (х> /) — концентрация вещества (г/см) (рис. 15.1).
t
(Уравнение переноса
первого порядка)
РИС. 15.1. Количество вещества, пе-
переносимого в одну секунду через по-
поперечное сечение в точке х за счет
конвекции, равно Vu (х, t).
u(z,0)=0
РИС. 15.2. Задача чисто конвектив-
конвективного переноса.
2. Поток, обусловленный диффузией.
Диффузионный поток вещества слева направо через попереч-
поперечное сечение в данной точке равен —Dux(xy t), где D — коэффи-
коэффициент диффузии.
Если подставить эти два выражения в закон сохранения из
лекции 3, то получим основное уравнение с частными производ-
производными
Чтобы разобраться в том, как влияет конвективный член на
характер решения, рассмотрим сначала только конвективный
механизм переноса. Типичный пример — задача о сбросе некото-
некоторого вещества в реку (скорость течения реки V). Пусть х—рас-
х—расстояние вниз по течению от места сброса. Если вещество не диф-
диффундирует в воде, то концентрация и (ху t) вещества является
решением следующей задачи (рис. 15.2):
A5.1)
(УЧП) ut = — Vux,
(ГУ) а@, t) = p
сброса,
(НУ) и(ху 0) = 0
0<x<oo, 0</<оо,
Постоянная концентрация в месте
Чистая река в начальный момент.
Прежде чем решать задачу, следует задуматься над тем, каким
должно получиться решение. Очевидно, что загрязнение реки

Лекция 15. Конвективный член мх в диффузионной задаче 115
(количество вещества в воде) будет сначала равно нулю, а затем,
поддерживаемое постоянным в точке х = 0, будет смещаться вниз
по течению со скоростью V. Чтобы убедиться в этом, давайте
решим задачу A5.1). Поскольку уравнение A5.1) линейное и гра-
граничное условие тоже линейное, можно надеяться на решение
этой задачи методом разделения переменных или методом инте-
интегральных преобразований. Однако поскольку координата х здесь
не ограничена, то метод разделения переменных неприменим.
Используем преобразование Лапласа по времени t.
Решение уравнения переноса методом
преобразования Лапласа
С помощью преобразования Лапласа
U(x) = lu(xy t)e-5tdt
о
задачу конвективного переноса A5.1) можно свести к виду
sU (х) = — V -г-, 0 <# < оо,
Ц @) = Pfs.
Решая эту очень простую задачу Коши, получаем
По таблицам обратного преобразования находим решение задачи
и(х9 t) = S~1[U\ = PH(t-x/V),
где Н (?)— ступенчатая функция Хевисайда
Следовательно, решению нашей задачи можно придать такую
форму:
@, t< xlV,
\ t > x/V.
Конечно, все это очень просто! Не сложнее, чем сбрасывать
что-нибудь на ленту транспортера, а затем наблюдать за его
движением. Однако все становится очень интересным, если при-
примесь диффундирует в среде. Чтобы разобраться в том, что про-
происходит с движущейся волной при наличии диффузии, решим

следующую задачу:
(УЧП) ut = Duxx — Vux, — оо < х < сю,
(НУ) а (*, 0) - 1 —Я (х), — сю < х < оо,
A5.2)
где, как обычно, Н (х) — функция Хевисайда. Начальное распре-
распределение концентрации изображено на рис. 15.4.
=Наклон=
1
г, 0) =0
РИС. 15.3. Конвективная волна: а — передний фронт примеси; б—на одну
единицу вперед волнового фронта.
Обратим внимание на то, что в задаче A5.2) мы отодвинули
границу в —оо (теперь решается задача Коши), так что она не
оказывает теперь влияние на оценку решение. Чтобы решить за-
задачу A5.2), можно воспользоваться преобразованием Лапласа
х<0
РИС. 15.4. Начальные условия в задаче конвективной диффу
зии.
по переменной t или преобразованием Фурье по переменной
х. Однако в этом случае гораздо интереснее поступить совсем
по-другому. Введем новую систему координат, которая дви-
движется вдоль старой со скоростью V. Другими словами, вместо
системы координат, привязанной к берегу реки, мы рассмотрим
систему координат, которая движется со скоростью фронта
примеси (конечно, при наличии диффузии фронт будет «смазан»),
С точки зрения математики это означает, что мы заменяем
пространственную координату х на новую \ — x—Vt.
ti6 Чисть 2. Диффузионные задачи

Лекция 15. Конвективный член их в диффузионной задаче 117
Теперь ясно, что
мы находимся на фронте распространяющейся
когда 1 = 0,
когда I= 1,
когда ? = —
примеси,
мы находимся на одну единицу длины впереди
фронта,
мы находимся на одну единицу длины позади
фронта.
Наша задача — преобразовать исходную задачу с НУ
(УЧП) ut = Duxx—Vux, — оо<х<оо,
(НУ) и (х9 0) = 1 —Н (х), — оо < х < оо,
в новую задачу в движущейся системе координат, решить новую
задачу, а затем полученное решение преобразовать к старым
координатам (х9 t). Проведем сначала замену переменных (замену
независимых переменных). Вместо старых координат (х, t) вводим
новые (?, т) по формулам
Е __ Y 1//
Надо заметить, что буквами т и t обозначена одна и та же
величина. Такие обозначения введены для того, чтобы избежать
путаницы в последующих формулах.
Чтобы записать уравнение с частными
производными в новых координатах
(?, т), мы воспользуемся следующими
формулами перехода;
их = Ч \х = Чу
сг 4
РИС. 15.5 Диаграмма, ил-
иллюстрирующая функциональ-
функциональную зависимость перемен-
переменных.
Функциональная диаграмма на рис.
15.5 делает эти формулы совсем оче-
очевидными. Эта диаграмма особенно по-
полезна при вычислении частных произ-
производных функций и и щ по переменным
? и t, поскольку I зависит и от л;, и от /. Переменная т зави-
зависит только от t. Это все, что касается преобразований. Теперь
подставим найденные выражения ии их и ихх в уравнение A5.2)
и получим
откуда
их =

118 Часть 2. Диффузионные задачи
Следовательно, новая задача с начальным условием в пере-
переменных ? и т имеет вид
(УЧП) ux =
(НУ) и(?, 0) = 1—//(?), -оо<?<оо.
Так как ? = л; при t = 0, то новые граничные условия совпа-
совпадают со старыми. Эта задача была решена в лекции 12 с помощью
интегрального преобразования Фурье, и ее решение записывается
в виде
и F, т)= jyL=
где фф) — начальное условие. Следовательно, в нашем случае
После подстановки
получаем окончательный результат
A5.3)
00
Графики этого решения для различных моментов времени
изображены на рис. 15.6. Осталось сделать последний шаг —
записать решение нашей задачи в координатах х и t. Подставляя
в формулы A5.3), получаем
A5.4)
и (дг, /) =

Лекция 15. Конвективный член их в диффузионной задаче 119
Перед нами решение задачи конвективной диффузии A5.2).
Его очень легко интерпретировать, если представить, что мы
движемся относительно графика, изображенного на рис 15.6.
и
РИС. 15.6. Диффузия из области высокой концентрации в область низкой
концентрации. Чем больше коэффициент диффузии, тем быстрее установится
стационарное значение.
Другими словами, в зависимости от относительной величины D
(коэффициента диффузии) и V (скорости потока) решение дви-
движется слева направо со скоростью V и в то же самое время
передний фронт расплывается со скоростью, определяемой вели-
величиной D.
и
РИС. 15.7. Решение задачи конвективной диффузии. Вещество одновременно
движется и диффундирует.
(На рис. 15.7 показано, как расплывается передний фронт
концентрации.)
ЗАМЕЧАНИЯ
Преобразование координат является важным методом решения
уравнений с частными производными. Выбрав подходящую
систему координат, можно существенно упростить уравнение.
ЗАДАЧИ
1. Решите задачу Коши:
Щ^ихх—2их
и (х, 0) = sin х,
— со<#<оо, 0 < t < оо,
— со < х < оо.

120 Часть 2. Диффузионные задачи
2. Найдите решение задачи Коши для уравнения конвективной
диффузий:
ut = uxx— 2иХУ —оо<х<оо, 0 < / < оо,
и {ху 0) = ех sin х, — оо < х < оо.
Воспользуйтесь преобразованием из лекции 8.
3. Найдите решение задачи переноса:
(УЧП) ut = — 2ux, —оо<л;<оо, 0</<оо,
(НУ) и(х9 0) = <Г*\
Проверьте ваш ответ.
4. Решите задачу
ut^Duxx—Vux, —оо<л:<оо, 0</<оо,
и(ху 0)^е~х\ — оо<л;<оо.
Проверьте ваше решение. Как выглядит решение в различные
моменты времени?
УКАЗАНИЕ. Переход к движущейся системе отсчета позволяет
сразу отбросить слагаемое Vux в уравнении конвективной диф-
диффузии. После решения новой задачи
(УЧП) ux^Dulb — оо<?<оо, 0<т<оо,
(НУ) u(lt 0) = <г*\ -оо<?<оо,
сделайте замену переменных 1-х—Vtt т = /.
В нашем случае можно в явном виде вычислить интеграл
Такой интеграл уже встречался в лекции 12. Может быть, чита-
читателю будет удобнее обратиться к таблицам преобразования Фурье.

Часть 3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Лекция 16
ОДНОМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
(ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, что колебания струны
описываются уравнением
ии=*а*ихх
и что это уравнение — следствие законов Ньютона. Рас-
Рассматриваются и некоторые другие виды волнового уравнения:
t),
До сих пор мы занимались физическими процессами»
которые описываются одномерными параболическими урав-
уравнениями (диффузионные задачи). Теперь мы приступим
к изучению еще одного класса уравнений с частными про-
производными— гиперболических уравнений. Начнем с одномер-
одномерного волнового уравнения, которое описывает, в частности,
поперечные колебания струны.
Колебания струны
Рассмотрим малые колебания струны с закрепленными кон:
цами. Предположим, что струна туго натянута, сделана из одно-
однородного материала и колеблется в одной плоскости (рис. 16.1).
а
I
О —-^^ ^- L
РИС. 16.1. Поперечные колебания струны; а — смещение струны от положения
равновесия.
Действием сил тяжести на струну будем пренебрегать. Для по-
построения математической модели колебаний струны рассмотрим
все силы, действующие на небольшой участок струны (рис. 16.2).
Оказывается, что волновое уравнение—это не что иное, как закон

122 Часть 3. Гиперболические задачи
движения Ньютона (изменение импульса равно сумме действующих
сил), примененный к струне. Глядя на рис. 16.1, мы можем пред-
представить те силы, которые действуют на струну в направлении,
перпендикулярном оси х.
РИС. 16.2. Малый участок [х,
колеблющейся струны.
1. Сила, обусловленная натяжением струны (а2ихх). Величина
поперечной компоненты силы натяжения находится по формуле
Сила s= T sin 9^—Т
-ux(x, 0].
2. Внешняя сила F (x, t).
Внешняя сила F (x, t), приложенная к струне, может произволь-
произвольным образом зависеть от х и t. Некоторые примеры внешних сил
приводятся ниже-
а) гравитационная сила F (x, t) = — mg\
б) импульсы, распределенные вдоль струны и действующие
на нее в различные моменты времени-
в) силы, возникающие при действии звуковой волны на кожу
барабана (позже мы подробно изучим колебания мембраны, кото-
которые описываются волновым уравнением).
3. Силы трения, действующие на струну (—$ut). Если струна
колеблется в среде, то возникает сила сопротивления, которая
пропорциональна скорости ut.
4. Возвращающая сила (—уи).
Эта сила направлена противоположно смещению струны. Если
смещение и положительно, то сила отрицательна.
Если применить теперь уравнения движения Ньютона к не-
небольшому участку струны, то получим
, t) —
(xt t) — ^xyu(x, /),

Лекция 16. Одномерное волновое уравнение 123
где р — линейная плотность струны. Разделим обе части этого
соотношения на Ах и устремим Ал:—*0. В результате получим
хорошо известное телеграфное уравнение
A6.1) uit = a*uxx—§ut— yu + F(x, t).
В этом уравнении следовало бы разделить а, Р, у и F (x, t)
на р, но мы ради простоты сохраним для этих величин прежние
обозначения. Искомое уравнение получено. Приведем интерпре-
интерпретацию простейшего волнового уравнения
A6.2) «« = «»«„.
основанную на интуитивных соображениях.
Интуитивная интерпретация волнового
уравнения
У читателя может возникнуть вопрос: почему уравнение вида
A6.2) должно описывать нечто такое, что похоже на колебания
скрипичной струны? Чтобы разобраться в этом, необходимо понять,
(Ускорение струны направлено 5низ)
К v
\[ 1 \У(Ускорени
vLJ^ направлен
Точна перегиба -
у(Ускорение струны
направлено вдерх)
РИС. 16.3. Интерпретация волнового уравнения ип — о.2ихх.
что величина ии является вертикальным ускорением струны
в точке х. Следовательно, уравнение A6.2) можно интерпрети-
интерпретировать следующим образом- ускорение струны, обусловленное
натяжением, в каждой точке тем больше, чем больше вогнутость
струны ихх в данной точке (коэффициентом пропорциональности
служит константа а2 = Т/р) (см. рис. 18.3).
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Волновое уравнение ии = а2ихх описывает также продольные
и крутильные колебания стержня. В продольных колебаниях
смещения параллельны стержню, а через и(х, t) обозначается
величина продольного смещения относительно равновесного
положения. Такие колебания возникают, например, при ударе
молотком по торцу стержня. Аналогично описываются крутиль-

124 Часть 3. Гиперболические задачи
ные колебания
Здесь k — модуль Юнга, характеризующий упругость матери-
материала. Материалы, обладающие большим модулем Юнга, колеб-
колеблются на более высоких частотах. Звуковые волны представляют
собой продольные волны.
2. Если линейная плотность струны р (л;) зависит от координаты,
то волновое уравнение записывается в виде
т. е. получается УЧП с переменными коэффициентами.
3. Поскольку волновое уравнение utt = a2uxx содержит производ-
производную по времени второго порядка, для получения единствен-
единственного решения при t > 0 необходимо задать два начальных
условия:
и(х, 0) = f(x) (начальное смещение струны),
ut {х, 0) = g (x) (начальная скорость струны).
Этим волновое уравнение отличается от уравнения теплопро-
теплопроводности, для которого необходимо задать только одно началь-
начальное условие.
4. С помощью волнового уравнения можно описать распределе-
распределение электрического тока в проводе. Из законов Кирхгофа
получается следующая система двух уравнений с частными
производными первого порядка:
A6.3)
vx + Lit + Ri = 0t
где
х —координата вдоль провода,
/ —время,
i(x, t) — распределение тока вдоль провода,
v(x, t) — распределение потенциала вдоль провода,
С —емкость провода на единицу длины,
G —утечка на единицу длины,
R —сопротивление на единицу длины,
L — индуктивность провода на единицу длины.
Уравнения A6.3) принято называть системой телеграфных
уравнений. В такой форме они обычно не используются. Для
преобразования этой системы продифференцируем первое урав-
уравнение по х, второе продифференцируем по t, умножим обе
части на С и вычтем из первого. В результате получаем
ixx + Gvx-CLiit-CRit = 0.

Лекция 16. Одномерное волновое уравнение 125
Воспользуемся теперь вторым уравнением из A6.3)
vx = — Lit — Ri,
окончательно получаем
A6.4) 1ХХ *= CLiu + (CR + GL) it + GRi.
Это уравнение для тока, известное под названием телеграф-
телеграфного уравнения, является гиперболическим уравнением второго
порядка (если конечно ни С, ни L не равны нулю, в противном
случае уравнение становится параболическим).
Напряжение описывается точно таким же уравнением:
A6.5) vxx - CLvit + (CR + GL) vt + GRv.
Если G = /? = 0, то уравнения A6.4) — A6.5) упрощаются:
A6.6)
ЗАДАЧИ
1. Получите уравнение A6.5) для v из системы двух уравнений
первого порядка A6.3)
2. Зная физический смысл каждого члена волнового уравнения, что
вы можете сказать о поведении во времени решения следующей
задачи:
(УЧП) uit = uXi—ut, 0<х<1, 0<*<оо,
(ГУ) /«<°.<> = 0,
(НУ)
щ(х, 0) = 0.
3. Как выглядит в различные моменты времени решение следую-
следующей задачи
(УЧП) и„ = ихх, 0<х<1,
(ГУ) i« @.0 = 0,
\«A 0 sin/
(НУ) И*' °) = 0' 0<ж<1,
\и,(х, 0) = 0?
Дайте физическую интерпретацию этой задачи.
4. Для уравнения ин = ихх найдите все решения вида
«(л-, 0 =
Будет ли решением сумма двух решений такого вида?

126 Часть 3. Гиперболические задачи
Лекция 17
ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Построить решение задачи Коши для
волнового уравнения
(УЧП) utt = c2uxx, — oo<x<oo, 0</<оо,
I и(х9 0) = /(*),
(НУ) < , ' , ч — оо <х<оо.
Эта задача описывает движение бесконечной струны с за-
заданными начальными условиями Она была решена в 1 /50 году
французским математиком Даламбером Формула Даламбера
A +Ct
u(x, t) = ±[ftx-ct) + f(x + c<)]+±
Х-С(
позволяет легко найти решение, если известны начальные
условия. Кроме того, она позволяет дать интересную физи-
физическую интерпретацию решения на языке бегущих волн.
Как, наверное, помнит читатель, в параболическом случае мы
сначала решали диффузионные задачи на конечном отрезке (мето-
(методом разделения переменных), а уже затем перешли к неограничен-
неограниченным промежуткам (—оо <х< оо), где применяли преобразование
Фурье. В гиперболическом случае мы поступим наоборот. Начнем
с решения одномерного волнового уравнения на всей действитель-
действительной оси, т. е. с задачи Коши
(УЧП) Uti=<*Uxx% — оо<А'<оо, 0</<оо,
A7.1) j u(x, 0) = ,'(*),
(НУ) \ nf(*.<» = *W. -"><*«»'
содержащей только начальные условия. Эту задачу можно было бы
решить либо с помощью преобразования Фурье (по переменной х),
либо с помощью преобразования Лапласа (по переменной t). Однако
мы воспользуемся другим методом (методом канонических коорди-
координат), который, как мы надеемся, заинтересует читателя. Этот метод
базируется на тех же идеях, что и метод перехода к движущейся
системе отсчета, с которым мы познакомились в лекции 15. Итак,
приступим к решению задачи A7.1).

Лекция 17. Формула Даламбера 127
Решение одномерного волнового уравнения.
Формула Даламбера
Решение задачи A7.1) разобьем на несколько шагов:
ШАГ 1 (Замена координат (х, t) новыми каноническими коор-
координатами (g, Т])).
Для решения задачи A7.1) воспользуемся тем, что если заме-
заменить две независимые переменные х и / новыми пространственно-
временными координатами
r\ = x—ct,
то уравнение
преобразуется в уравнение
В этом легко убедиться, если воспользоваться формулами пре-
преобразования координат:
их = иг + нл,
(]72 ut = c(ul — u1l)
' ' и = и1 + 2и
Подставляя эти выражения для производных в волновое урав-
уравнение, получим
Первый шаг сделан.
ШАГ 2 (Решение преобразованного уравнения).
Преобразованное уравнение легко решить двумя последователь-
последовательными интегрированиями (сначала по переменной* ?, а затем по у\).
После интегрирования по ? получаем
"ли. Т1) = Ф1(Т1) — произвольная функция от т|.
Интегрирование последнего соотношения по ч\ приводит к общему
решению
и (Б. Ч) =
где ф(л) — первообразная функция ^(ц), a i|)(|) — произвольная
функция. Итак, общее решение уравнения

записывается в виде
A7.3) и(Ъ, 11) = Ф(т]) + ФE).
где ср(т]) и г|э(?)— произвольные функции своих аргументов. Напри-
Например, читатель может проверить, что функции ,
являются решениями уравнения иГ)-: = 0. Второй шаг сделан.
ШАГ 3 (Возвращение к старым координатам х и /).
Для нахождения общего решения, т. е. всех решений уравнения
uti = c*uxx, подставим
в решение
Y| = Л" +С(
"E. л) = Ф(П)+
В результате получаем
A7.4) w (х, t) = q>(x—ct)+
Это общее решение волнового уравнения. С физической точки зре-
зрения оно интересно тем, что представляет сумму двух бегущих волн
i*Q
Скорость = с
U2/q
РИС. 17.1. Волна и(х, ^)=е
1 2
движется слева направо
"X
произвольной формы, движущихся в противоположных направле-
направлениях со скоростью с. Например, функции
и(х, /) = sin(*—ct) (волна, движущаяся слева направо),
и(х, t)~(x + ulJ (волна, движущаяся справа налево),
u(xt t) = s\n(x—ct)-\-ix + ctJ (две волны, движущиеся в проти-
противоположных направлениях)
являются типичными решениями волнового уравнения. На рисунке
17.1 изображена простейшая бегущая волна.
128 Часть 3 Гиперболические задачи

Лекция 17. Формула Даламбера 129
ШАГ 4 (Учет начальных условий).
Напомним читателю общий метод решения задачи Коши в теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. Сначала находят
общее решение уравнения, а затем оно подставляется в начальные
условия для того, чтобы найти конкретные значения произвольных
постоянных. У нас ситуация аналогична. Для решения задачи
Коши для волнового уравнения мы подставим общее решение
и(х, t) = 4>(x—
(содержащее две произвольные функции) в начальные условия
и(х, 0) = /(*),
чтобы найти конкретные выражения для произвольных функций
и \|). После подстановки получаем
Если теперь проинтегрировать второе уравнение A7.5), то полу-
получится алгебраическая система двух уравнений относительно неиз-
неизвестных функций ц)(х) и ty(x). В самом деле, после интегрирования
в пределах от х0 до х получаем
A7.6) —яр (*) +
Решаем теперь уравнение A7.6) совместно с первым уравнением
A7.5) и получаем следующие выражения для функций у(х) и ф(я)з
A7.7)
Следовательно, общее решение задачи A7.1) дается формулой
x+ct
A7.8) и(х, 0 = -^[/(х—ct) + f(x + ct)] + ±; f g(l)dh
x-ct
Цель достигнута. Мы получили общее решение задачи A7.1).
Решение вида A7.8) принято называть формулой Даламбера. Чита-
Читателю предлагается самостоятельно проследить за расстановкой пре-
пределов интегрирования, чтобы убедиться в том, что они меняются
от х—ct до x + ct. Задача полностью решена.

130 Часть 3. Гиперболические задачи
Прежде чем завершить лекцию, приведем несколько примеров,
показывающих, как применять формулу Даламбера в конкретных
задачах.
Примеры применения формулы Даламбера
1. Движение синусоидальной волны
Рассмотрим начальные условия вида
и (ху 0) = sin^,
ut(x, 0) = 0.
По формуле Даламбера получаем решение
и(ху /) = y[sin(A;—ct) + $\п (х + ct)}.
Его можно интерпретировать следующим образом. Начальное
смещение струны и (х> 0) = sin x делится на две одинаковые части
sin* sin л:
— и — •
Каждая из частей распространяется со скоростью с в виде бегу-
бегущих волн. Одна из волн перемещается слева направо, а вторая —
в противоположном направлении. Читателю предлагается подумать
над тем, как выглядит в этом случае результирующая волна.
2. Распространение простейшего
прямоугольного импульса
В этом случае начальные условия задаются следующим образом:
ut (x, 0) = 0 (в остальных точках).
Поскольку начальное смещение расщепляется на две полу-
полуволны, движущиеся в противоположных направлениях, результи-
результирующее движение будет таким, как показано на рис. 17.2.

Лекция 17. Формула Даяамбера 131
1
I i г 1
-i
1 I f
JL
_L
РИС. 17.2. Начальное возмущение распадается на две бегущие волны.
3. Задана начальная скорость
Предположим теперь, что в начальный момент струна находится
в положении равновесия. Придадим струне начальную скорость
(как в фортепиано) вида sin а:, т. е.
и(х, 0) = 0,
ut(x, 0) = sin*.
Решение находим по формуле Даламбера
x+ct
и(х, 0 = s"
-cos(x—с/)].
x-ct
Оно представляет сумму двух бегущих косинусоидальных волк.
Читатель должен спросить себя, кажется ли ему это решение
разумным.
На этом лекция 17 заканчивается. В следующей лекции мы
покажем, как формула Даламбера помогает дать интерпретаций
в плоскости переменных х и t.

132 Часть 3. Гиперболические задачи
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Общее решение уравнения с частными производными второго
порядка содержит две произвольные функции, а общее решение
обыкновенного дифференциального уравнения содержит две про-
произвольные постоянные. Значит, у уравнения с частными произ-
производными больше решений, чем у обыкновенного дифферен-
дифференциального уравнения.
2. Замена переменных для приведения уравнения с частными
производными к более простому виду является одним из общих
методов теории. Новые координаты (?, ц) принято называть
каноническими координатами. Мы будем обращаться к ним
и в дальнейшем, особенно при изучении гиперболических урав-
уравнений.
3. Метод нахождения общего решения уравнения с частными произ-
производными и подстановки этого решения в начальные условия
не является общим методом решения уравнений с частными
производными. Решение, которое рассматривается в данной
лекции,—единственный пример использования этого метода.
Обычно невозможно найти общее решение уравнения с частными
производными, но даже если удается это сделать, оказывается
очень сложным подставить это решение в краевые условия.
ЗАДАЧИ
1. Проверьте, что решение Даламбера A7.8) удовлетворяет началь-
начальным условиям задачи A7.1).
2. Подставьте A7.7) в общее решение и (х, t) = q(x—ct) + $(x + ct)
и получите формулу Даламбера.
3. Найдите решение задачи Коши:
(УЧП) titt = uxxt --oo<x<oo, 0</<оо,
Как выглядит это решение в различные моменты времени?
4. Найдите решение задачи Коши:
(УЧП) ии = ихх, — оо<х<оо, 0</<оо,
/UV4
(НУ)
Постройте график решения в различные моменты времени.
5. Решая совместно уравнения A7.6) и первое уравнение из A7.5),
получите формулы A7.7).

Лекция 18. Формула Даламбера (продолжение) 133
Лекция 18
ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ! Показать, как с помощью формулы
Даламбера можно найти решение волнового уравнения на
полуограниченной прямой
(УЧП) ии = с2ихх, 0<л;<оо, 0</<оо,
(ГУ) и (О, /) = 0, 0</<оо,
(НУ)
<
\ и,(*. 0) = g(*).
оо,
Дополнительно дается интерпретация формулы Даламбера
в координатной плоскости xt t.
На прошлой лекции было показано, что если заданы начальное
смещение струны и(х, 0) = / (х) и начальная скорость ut(x, 0) = g"(x),
то выражение
x+ct
A8.1) и(х, t) = ±[f(x-ct)+f(x + ct)]+±; j g(E)dg
л:-с/
описывает смещение струны в произвольный момент времени. В этой
лекции мы познакомим читателя с одной интересной интерпрета-
интерпретацией этой формулы в плоскости переменных х и / (пространственно-
временная или фазовая плоскость) и покажем, как изменить фор-
формулу Даламбера, чтобы получить решение задачи о колебаниях
полубесконечной струны.
Начнем с интерпретации формулы A8.1) в плоскости перемен-
переменных х и /.
Пространственно-временная интерпретация
формулы Даламбера
На предыдущей лекции мы показали, что решение задачи Коши
(УЧП) ии = с*ихх, -оо<*<сх>, 0<*<оо
( '

134 Часть 3. Гиперболические задачи
дается формулой Даламбера
и(х9 t) = \{f (x-c
x+ct
±
x-ct
Дадим интерпретацию этой формулы для двух частных случаев.
СЛУЧАЙ 1 (Начальное смещение отлично от нуля, начальная
скорость равна нулю).
Пусть начальные условия имеют вид
и(х, 0) = /(*),
Тогда по формуле Даламбера получаем
( t) [f(x
Обратимся к рис. 18.1. Решение и в точке (х%> t0) можно
интерпретировать как среднее значение смещений f(x) в точках
i
«i
/
u(xq> to
л
) зависит от начального
смещения S дбух точках
РИС. 18.1. Интерпретация решения и (xt t) = -<r [/ (x — ct)-\-f (x+c()] в ^/-пло-
^/-плоскости.
(хЛ—ctQ4 0) и
ния прямых
, 0). Эти точки являются точками пересече-
пересечес осью х. Указанные прямые называются характеристиками вол-
волнового уравнения.

Лекция 18. Формула Даламбера (продолжение) 135
Используя такую интерпретацию формулы Даламбера, решим
задачу
A8.3)
(УЧП) utt = c2uxx, — оо<л:<оо, 0</<оо,
(НУ) [ ' '~\ 0 в остальных точках,
{ ut(x, 0) = 0.
На рис. 18.2 решение изображено в плоскости переменных х, t,
а не м, х, как в предыдущей лекции.
-1 0 1
РИС. 18.2. Решение задачи Коши A8.2) в х*-плоские™ а —передний фронт
волны, движущейся налево; б —задний фронт волны; в—передний фронт вол-
волны, движущейся направо.
Теперь займемся интерпретацией формулы Даламбера, когда
начальное смещение равно нулю, а начальная скорость произ-
произвольна.
СЛУЧАЙ 2 (Начальное смещение равно нулю, начальная скорость
произвольна).
Рассмотрим начальные условия вида
и{х9 0) = 0,
Щ(х, 0)=g(x).
Решение в этом случае имеет вид
x+ct
и(х, 0 =
x-ct

136 Часть 3. Гиперболические задачи
Значение величины и в точке (х0, t0) можно интерпретировать
как интеграл от начальной скорости в пределах от xQ—ctQ до
(xo-cto,O)
РИС. 18.3. Интерпретация задачи с начальной скоростью в xi- плоек ости.
(рис. 18.3). В качестве примера на рис. 18.4 приводится
графическая интерпретация решения задачи
(УЧП) ии = сгихх, — оо< *< + <*>, 0</<оо,
Й84)
(НУ)
в координатах (х, f).
1, — 1<х<1,
О, в остальных случаях.
ОбластьЛ
ОбпостЫ \06ластьЪ / Область 4
-1 0 1
РИС. 18.4. Решение задачи A8.4) в л:/-плоскости.
Задача A8.4) описывает поведение струны, которой сообщается
начальная единичная скорость на отрезке — 1 <*< 1. Смещение

Лекция 18. Формула Даламбера (продолжение) 137
описывается формулой Даламбера
x+ct
X -Ct
x+ct
1 Г*
~2c \
~
x-ct
x+ct
A8.5)
j
+ 1
1
^x> ^ области 1,
(x, /)€ области 2,
(xf t) g области 3,
(x, /)€ области 4,
1 С г
— -Х- \ Qdl, (x, /)? области 5,
1С J
= -о" \ d?» (^ 0 6 области 6.
x-ct
Это решение в различные моменты времени изображено на
рис. 18.5.
и
РИС. 18.5. Решение задачи A8.4) в различные моменты времени.
Этим завершается наша интерпретация формулы Даламбера
в плоскости переменных х и /. В оставшейся части лекции мы
займемся решением смешанной задачи для полубесконечной
струны:
(УЧП) ип^с2иХХУ 0<*<oo, 0</<oo,
(ГУ) «(О, /) = 0, 0</<оо,
A8.6)
(НУ)
и{х, 0) = /(*),

138 Часть 3. Гиперболические задачи
Решение задачи для полубесконечной струны
с помощью формулы Даламбера
Наша задача — найти волновые движения полу бесконечной
струны, левый конец которой закреплен, при заданных начальных
условиях. Для решения задачи A8.6) мы воспользуемся тем же
приемом, что и при отыскании общего решения волнового урав-
уравнения на всей прямой. Подставляя общее решение
и(х, /) = ф(л:—ct) + \|? (х + ct)
в начальные условия, находим (как в предыдущей лекции)
x-ct
xx:ct
Теперь перед нами проблема, которой не было в задаче о бес-
бесконечной струне. Решение и (xf t) должно быть определено всюду
только внутри первого квадранта (#>0, t > 0) плоскости пере-
переменных х и /. Значит, мы должны уметь вычислить функции
ц>(х—ct) при всех —оо < х—ct < оо,
при всех
К сожалению, первая из формул A8.7) позволяет вычислять
(р(х—ct) только при х—ct^O, поскольку в начальных данных
функции f(x) и g(x) определены только для положительных зна-
значений аргумента.
Если х—ct^O, то после подстановки A8.7) в общее решение
и(х, t) — ф(#—с
получаем
и(х, t) = y(x—ct
x+ct
1
x-ct
Что же делать, если х < ей Пришла пора воспользоваться гра-
граничным условием и @, /) = 0. С помощью этого граничного усло-
условия мы доопределяем функцию ф(я—ct) при x<ct. Для этого
подставим общее решение и (х, t) = q>(x—ct)+ty(x + ct) в гранич-'
ное условие u(Ott)^=O. В результате получим ф(— ct) = —^(ct)9

Лекция 18. Формула Даламбера (продолжение) 139
откуда
d-x
-ct)^-^f{ct_x)_^ J
Подстановка этого выражения для ср в общее решение дает
x+ct
1 1 С
ct-x
Комбинируя решения для х < ct и х > ctt окончательно получаем
(см. рис. 18.6)
A8.8) и(х, /) =
x+ct
, x<ct.
d-x
Этим завершается наша лекция. Интерпретация решения A8.8)
будет приведена в замечаниях.
z<ct
(Модифицированная
формула Даламбера)
х
l x>ct
(формула Даламбера)
= zo + ct0
РИС. 18.6. Интерпретация задачи Коши для полуограниченной струны в
xt- плоек ости: а — возмущение отражается от границы; б—возмущение распрост-
распространяется вдоль характеристики из точки (+^ 0)

140 Часть 3. Типерболические задачи
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Решение A8.8) полностью соответствует нашим представлениям
о полубесконечной струне с граничным условием и @, /) = 0.
При xT^ct оно совпадает с формулой Даламбера для беско-
бесконечной струны. Если х < ct, то формула модифицируется та-
таким образом, что в нее включается волна, отраженная от гра-
границы (при отражении знак волны меняется на противоположный).
2. Если граничное условие и @, /) = 0 изменить на другое, то и
решение A8.8), естественно, изменится. Можно получить в
явном виде решения для граничных условий
и Ф, о-=/(О.
или
МО. 0=0.
Дополнительную информацию по этим вопросам читатель мо-
может найти в литературе, указанной в конце книги.
3. Прямые линии
х + ct — const,
х—с/ = const
называются характеристиками. Возмущение распространяется
вдоль характеристик. Понятие характеристики тесно связано
с уравнениями гиперболического типа.
ЗАДАЧИ
1. Решите смешанную задачу для полубесконечной струны
(УЧП) ии = ихх% 0<х<оо, 0</<оо,
(ГУ) и @,0 = 0,
<ну> {„,(,, о,=о.
Постройте графики решения для разл чных моментов времени.
2. Для решения предыдущей задачи можно воспользоваться сле-
следующим алгоритмом:
а) продолжить начальные условия на всю действительную ось
по формулам
и (х, 0) = хе~х\ — оо < х < 0,
ut(x9 0) = 0, — оо < л:< 0.
б) усреднить две волны, движущиеся налево и направо (как
это было в предыдущей лекция);
в) рассмотреть полученное решение при

Лекция 18. Формула Даламбера (продолжение) 141
Используя этот алгоритм, постройте графики решения для
различных моментов времени /, если начальное условие задано
графически.
3. Решите смешанную задачу для полубесконечной струны
(УЧП) utt = c*uxx, 0<*<oo, 0<*<oo,
(ГУ) ux(O,t) = O, 0</<oo,
(НУ)
I и (xt 0) s= / (x)f
\ ut (x, 0) s= 0.
Воспользуйтесь методом, аналогичным рассмотренному в лек-
лекции. Дайте физическую интерпретацию этой задачи.
Предположим, что колебания струны описываются уравнением
ии*=иХХУ начальное смещение изображено на рисунке, а на-
начальная скорость равна нулю. Изобразите решение этой за-
задачи в ^-плоскости. Обратите внимание на то, что началь-
начальные условия в этой задаче разрывны..
—п п
п.
0 1 % 3 4

142 Часть 3. Гиперболические задачи
Лекция 19
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ* Познакомить читателя с основными
типами граничных условий для волнового уравнения
utt = c2uxx> 0<x<L, 0</<oo,
на конечном отрезке.
В дальнейшем будут рассматриваться три основных типа
граничных условий.
1. Заданный режим (граничные условия 1-го рода)
и @, t) = gt(t),
2. Заданные силы (граничные условия 2-го рода)
МО,/) = & @.
ММ) = Ы0-
3. Упругое закрепление (граничные условия 3-го рода)
МО, 0-Yi" @, 0 = &(').
Могут встречаться и произвольные комбинации этих трех
типов граничных условий. В лекции будет показан физи-
физический смысл этих граничных условий.
Итак, пока что мы рассмотрели единственный вид волнового
движения — поперечные колебания струны. Читатель должен по-
понимать, что это только один из видов волновых движений.
Ниже приведен перечень основных типов волн;
1. Звуковые волны (продольные волны).
2. Электромагнитные волны, в том числе световые.
3. Колебания твердых тел (продольные, поперечные и кру-
крутильные).
4. Волны вероятности в квантовой механике.
5. Волны на воде (поперечные волны).
6. Колебания струны (поперечные волны).

Лекция 19. Волновое уравнение и граничные условия 143
Цель нашей лекции — обсудить различные типы граничных
условий, которые возникают при решении физических задач вол-
волнового характера. Мы остановимся только на одномерных задачах
и линейных граничных условиях. Обычно различают граничные
условия трех типов.
1. Заданные режимы в граничных точках (граничные условия
1-го рода)
и (О, 0 = 8г (О»
2. Заданные силы в граничных точках (граничные условия 2-го
рода)
3. Упругое закрепление в граничных точках (граничные усло-
условия 3-го рода)
ux(O,t)-yiu @,0 = Л @.
М^. О—ViM*-. 0
Мы начнем с граничных условий 1-го рода.
1. Заданные режимы в граничных точках.
Нам предстоит решить задачу вида
(УЧП) ии = с*ихх% 0<*<1, 0</<оо,
| «(О, 0 = Ы0,
A9.1) * ; \ u(\tt) = g2(t),
, « (х, 0) =,
(НУ) ' ;
0</<оо, .
в которых концевые точки совершают заданные движения (рис.
19.1).
и
РИС. 19.1. Концы колеблющейся струмы соъершают заданные движения.

f 44 Часть 3. Гиперболические задачи
Характерная задача этого типа — крутильные колебания
стержня, левый конец которого закреплен, а правый поворачи-
поворачивается на некоторый угол (рис. 19.2),
)МП
0<t<\
РИС. 19.2, Крутильные колебания стержня.
Одна из важных задач математической теории управления
состоит в определении такой функции g2(t), чтобы за минималь-
минимальное время погасить колебан.я в струне.
2. Заданные силы в граничных точках
Вертикальные силы, действующие на левый и правый конец
струны, определяются выражениями Tux@,t) и Tux(L,t). Если
Втулка без
/прения
РИС. 19.3. Струна со свободными концами.
конец перемещается вдоль вертикальных направляющих без тре-
трения (см. рис. 19.3), то граничные условия принимают вид
МО, 0 = 0, ux(L, 0 = 0.
Граничные условия этого типа возникают в следующих двух при-
примерах:
а) Продольные колебания пружины со свободным концом.
Рассмотрите колебания пружины, изображенной на рис. 19.4.
б) Колебания пружины под действием силы, приложенной к
одному концу.

Лекция 19. Волновое уравнение и граничные условия 145
Если сила величины v(t) дин приложена к концу пружины
х=^1 (направленная вниз сила считается положительной), то
граничное условие записывается в виде
модуль Юнга).
\Cакрепленныи конец)
х
(СШодныи
конец)
РИС. 19.4. Пружина со сво-
свободным концом.
В случае граничных условий 2-го
рода концы струны (или пружины) не
обязаны находиться в заданном поло-
положении. Под действием сил концевые
точки участвуют в движении. Подоб-
Подобные задачи возникают в физике, напри-
например при изучении колебаний электронов в электрическом поле.
3. Упругое закрепление концов.
Рассмотрим, наконец, скрипичную струну, концы которой
упруго закреплены. Схема упругого закрепления изображена на
л > $
РИС. 19.5. Схема упругого закрепления: h—коэффициент упругости пружины
(растянутая пружина).
рис. 19.5. Пружинки, закрепленные к концам струны, создают
вертикальные силы, пропорциональные смещениям концов;
Смещение левого конца = и (О, t)t
Смещение правого конца = и (L, t).
Усилия, которые создаются пружинками на концах струны:
Вертикальное усилие на левом конце = Тих @, /),
Вертикальное усилие на правом конце = —Tux(L, t)t
(Т — натяжение струны)
с точностью до множителя h(h — коэффициент упругости пру-
пружинки) равны перемещениям. Отсюда получаем искомые гранич-

146 Часть 3. Гиперболические задачи
ные условия
A9.2)
и* @, 0 = т "@, 0.
Отметим, что если величина и @, /) положительна, то величина
их @, t) также положительна, если и (L, /) положительна, то их (L, /)
подвижный конец
пружины
РИС. 19.6. Возникновение неоднородных граничных условий упругого закреп-
закрепления: h—коэффициент упругости пружины.
отрицательна. Однородные граничные условия A9.2) можно запи-
записать в виде
A9.3)
MO, t)—±u(O, 0 = 0,
ux(L, t) + yu(L, /) = 0.
Если обе прикрепленные пружинки совершают заданные движе-
движения 0j (/) и 82@ (см. рис. 19.6), то приходим к неоднородным
граничным условиям
МО, Л = 7 И0' 0-9,@].
Этим мы завершаем обсуждение наиболее важных граничных
условий, связанных с гиперболическими задачами. Следующие
несколько лекций мы посвятим решению задач, содержащих по-
подобные граничные условия.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. В лекции не рассматривалось граничное условие еще одного
типа, когда струна подвергается действию силы, пропорцио-
пропорциональной скорости и направленной в противоположном направ-

Лекция 19. Волновое уравнение и граничные условия 147
лении. Граничное условие такого типа (на левом конце) запи-
записывается в виде
Тих@, 0 = -РМ0, О-
2. Нелинейное упругое закрепление левого конца приводит к
граничному условию вида
где у (и)— произвольная функция величины и.
Например, граничное условие
Тих (О, t) = —/ш3 (О, t)
говорит о том, что возвращающая сила на левом конце про-
пропорциональна кубу смещения (а не первой степени и, как это
будет согласно закону Гука в линейном случае).
3. Если к нижнему концу пружины, совершающей продольные
колебания, прикрепить массу т, то граничное условие следует
задавать в виде
muit (L, t) = —kux (L, t) + mg.
ЗАДАЧИ
1. Опираясь на интуитивные представления о граничных усло-
условиях различных типов, изобразить в общих чертах решение
задачи
(УЧП) uti = c2uxx, 0<*<1, 0<г<оо,
(ГУ)
в различные моменты времени.
2. Изобразить в общих чертах решения задачи
(УЧП) utt = uxx, 0<л:<1, 0<
| «@, /) = 0,
(ГУ) < * 0 < t < оо,
, и (л:, 0) = sin (ях/2),
(НУ) ' '
в различные моменты времени. Могли бы вы угадать решение
этой задачи?

148 Часть 3. Гиперболические задачи
3. Во что перейдет граничное условие
М0,0~тИМ)--е,(/)]
при
а) h —> оо,
б) /i — O.
Согласуется ли результат с вашей интуицией?
4. Изобразить в общих чертах решение задачи
(УЧП) ии = иХХ9 0<х<1, 0</<оо,
<гу> 1 ММ> —0.0.
f и (х, 0) = х,
Лекция 20
КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
(СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ! Показать, что решение смешанной за-
задачи для поперечных колебаний струны
(УЧП) uti = a2uxx, 0<x<L, 0<t<oo,
(гу, ("@'')-0'
(НУ)
можно найти стандартным методом разделения переменных.
При этом оказывается, что решение и(х, t), представленное
в виде ряда
00
и (х, t) = 2 Хп (х) Тп (t)9
является суперпозицией простейших колебаний. Простран-
Пространственная часть Хп(х) каждого элементарного колебания
является решением (собственной функцией) некоторой крае-
краевой задачи Штурма—Лиувилля.

Лекция 20. Колебания ограниченной струны 149
Итак, мы научились решать волновое уравнение utt = c2uxx
на всей прямой — oo<x<oo. Формула Даламбера представ-
представляет решение в виде суммы двух бегущих волн, распространяю-
распространяющихся в противоположные стороны. Если же рассматривать это
же уравнение на ограниченном промежутке 0 < х < L, то бегу-
бегущих волн уже не станет, так как они будут взаимодействовать
с границами. Вместо них возникают другие волны, которые на-
называют стоячими волнами. Посмотрим, например, что случится,
если гитарную струну, закрепленную в точках х = 0, х = L, привести
в движение. Для ответа на этот вопрос нам необходимо решить
следующую смешанную задачу гиперболического типа:
(УЧП)
(ГУ)
(НУ)
0<x<L, 0</<oo,
а@, /) =
Оказывается, в этом случае бегущие волны отражаются от
границ таким образом, что результирующие колебания становятся
не бегущими, а сохраняющими форму в одном положении, т. е.
(t) = основная гармоника
третья гармоника
РИС. 20.1. Три типичных стоячих волны X (х) Т (/).
превращаются в стоячие волны. Несколько примеров стоячих
волн показано на рис. 20.1. Если известны профили этих стоя-
стоячих волн Хп(х) и характер колебаний каждой волны Tn(t)9 то
решение задачи о колебаниях гитарной струны представляет
собой суперпозицию простейших колебаний Xn(x)Tn(t) и запи-

150 Часть 3. Гиперболические задачи
сывается в виде
Единственное, что остается сделать нам,— это подобрать коэф-
коэффициенты сп так, чтобы при t = 0 удовлетворялись начальные
условия и(х, O) = f(x) и ut(xy 0) — g(x).
Задачу о колебаниях гитарной струны мы решим методом
разделения переменных.
Решение задачи
о колебаниях ограниченной струны
методом разделения переменных
Чтобы решить смешанную задачу
(УЧП) utt = a*uXX9 0<x<L, 0 < / < оо,
B0.D
J
\ut(x, Q) =
найдем сначала стоячке волны, т. е. решения вида
и(х9 t) = X(x)T(t).
Подставив это выражение в уравнение B0.1) и разделив пе-
переменные, получим два обыкновенных дифференциальных урав-
уравнения
где константа X — пока что любое действительное число
— оо < К < оо.
Результаты исследования решений этих двух уравнений при
различных значениях К приведены на рис 20.2.
Теперь мы должны отбросить те решения, которые либо
неограничены при / —* оо, либо становятся тождественно равными
нулю, если потребовать выполнения граничных условий и @, t) =
= u(L> /)=0.
В качестве упражнения читателю предлагается проверить, что
нетривиальные и ограниченные решения можно получить только
при отрицательных значениях параметра X. Таким образом, наша
задача — найти такие значения констант А, В, С, D и отрица-

Лекция 20. Колебания ограниченной струны 151
тельной константы % = — Р2, чтобы выражение
B0.2) и(х9 t) = [С sin фх) + D cos фх)] [A sin (ф) + В cos (ф)]
удовлетворяло граничным условиям. Если это удастся, то мы
будем располагать множеством простейших колебаний струны,
каждое из которых удовлетворяет уравнению с частными произ-
T(t)
X(x)
h>0
Положительные значения К
л = о
t
= A sin (oc/3?)+5cos(a/tt)
= С sin (/5x) + D cos С J3 j?)
1
Tit) = At ^ В
РИС. 20.2. Построение стоячих волн при различных значениях параметра X.
водными и граничным условиям. Затем останется только найти
такую линейную комбинацию этих колебаний, чтобы сумма
удовлетворяла начальным условиям при / = 0.
Подстановка B0.2) в граничные условия и @, t)=u (L, f)=0 дает
и @, /) - X @) Г (/) = D [A sin {ф) + В cos {ф)] = 0=$>D=0,
B0.3) u(L9 t) = X(L)T(t) =
Другими словами, константа разделения р (мы можем вместо
к искать константу Р) должна удовлетворять уравнению sin ф!)=0,
откуда
&• = ?• п===0> !' 2
Заметим, что если во втором уравнении B0.3) положить
С = 0, то получится тривиальное решение Х(х)Т(t)^0. Таким
образом, мы нашли последовательность элементарных колебаний
струны (будем помечать их индексом п)
ип (xt t) = Хп (х) Тп (/) = sin (пях/L) [ап sin (nnat/L) + bn cos (nnat/L)]9
B0.4)

152 Часть 3. Гиперболические задачи
ИЛИ
un (x, t) = Rn sin (nnx/L) cos (nna (t—8n)/L],
где an, bn> Rn и 8n — произвольные постоянные. Заметим, что
элементарные колебания удовлетворяют граничным условиям.
Читателю должно быть ясно, что каждое элементарное колебание
представляет собой стоячую волну. В стоячей волне все точки
колеблются с одной и той же частотой, а форма волны подобна
волнам, изображенным на рис. 20.3.
РИС. 20.3. Стоячие волны ип(х, t) = Xn(x) Tn(t).
В нашей задаче уравнение и граничные условия линейны и
однородны, поэтому произвольная сумма элементарных стоячих
волн также является решением волнового уравнения и удовле-
удовлетворяет граничным условиям. Мы должны теперь найти такую
суперпозицию стоячих волн, чтобы она удовлетворяла также
и начальным условиям, тогда получим решение нашей задачи.
Подстановка суммы
и (х9 t) = 2 sin (nnx/L) [an sin (nnat/L) + bn cos (nnat/L)]
л1
в начальные условия
и(х, 0) =
приводит к двум уравнениям
00
2 bnsin(nnx/L) =
1
л=1
ап (nna/L) sin (nnx/L) =^

Лекция 20. Колебания ограниченной струны 153
Воспользовавшись соотношениями ортогональности
I sin (tnnx/L) sin (nnx/L) dx = l '
J |L/2, m = n,
находим коэффициенты ап и bn
B0.5)
2 P
n = -j- V / (x) sin (nnx/L) dx.
Итак, задача решена. Ее решение записывается в виде
и (х, t) = ^] sin (nnx/L) [an sin (nnat/L) + ftrt cos
B0.6)
а коэффициенты а„ и &п находятся по формулам B0.5). Прежде
чем закончить лекцию, сделаем несколько замечаний.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Если начальная скорость струны равна нулю, то решение
B0.6) принимает вид
00
и (х, t) = 2 &w sin (nnx/L) cos (nnat/L)
n= 1
и его можно интерпретировать следующим образом. Пред-
Предположим, что мы разложили начальное смещение струны
в ряд по синусам
— 2 Ьп sin (nnx/L),
i
Тогда каждый член такого разложения должен совершать
колебания
wn (л:, /) = Ьп sin (nnx/L) cos (nnat/L).
Если теперь просуммировать все эти колебания, то полу-
получится решение нашей задачи. Например, предположим, что

154 Часть 3. Гиперболические задачи
начальное смещение струны задается функцией
/ (х) = sin (nx/L) + 0,5 sin (Зпх/L) + 0,25 sin (Ъпх/L).
Полный отклик системы на начальное условие такого
вида равен сумме откликов на каждое слагаемое, т. е.
и (х, t) = sin (nx/L) cos (nat/L) + 0,5 sin (Зпх/L) cos Cnat/L) +
+ 0,25 sin (bnx/L) cos Enat/L).
2. Слагаемое с номером п в разложении B0.6) называется
#-й модой колебаний или п-и гармоникой. Используя тригоно-
тригонометрические формулы, можно записать эти гармоники в виде
Rn sin (nnx/L) cos [nna (t — 6n)/L],
где Rn и 8n — новые произвольные постоянные (амплитуда
и фазовый угол). Эта новая форма представления /г-й моды
оказывается более полезной при анализе колебаний. Час-
Частота колебаний со/2 (рад/с) м-й моды находится по формуле
ппос _ пи
где Т — натяжение струны, р — линейная плотность струны.
Отметим, также, что частота я-й гармоники в п раз
больше основной частоты (п = 1). Это свойство частоты
характерно не для всех типов колебаний. Приятный звук
скрипичной или гитарной струны обусловлен кратностью
частоты обертонов основной частоте. В барабане частоты
гармоник высокого порядка не кратны основной частоте
колебаний.
ЗАДАЧИ
1. Найдите решение задачи B0.1), если начальные условия
задаются формулами
u(x, 0) = sin (nx/L)+ 0,5 sin Cnx/L)9
ut(x, 0) = 0.
Постройте графики решения для различных моментов вре-
времени. Является ли это решение периодическим по времени?
Каков его период?
2. Найдите решение задачи о колебаниях струны B0.1) при
начальных условиях вида
u(xf 0) = 0,
ut(x, 0) = sin (Зпх/L).

Лекция 20. Колебания ограниченной струны 155
Как выглядит график решения в различные моменты времени?
3. Покажите, что если на рис. 20.2 величина Я>0, то ре-
решения X (х) Т (/) будут либо не ограничены, либо тождест-
тождественно равны нулю.
4. Найдите решение задачи о колебаниях струны при началь-
начальных условиях вида
и (х, 0) = sin (Зпх/L),
ui (х, 0) = (Зла/L) sin {Зпх/L),
5. Гитарная струна длины L=l оттягивается за среднюю
точку на величину h (см. рис.) Начальное положение
струны можно задать в виде
О 1
Начальное положение струны
Какие движения будет совершать струна, если ее отпустить?
6. Решите задачу о затухающих колебаниях струны
(УЧП) ии = а*ихх—Рии 0 < лг < 1, 0< / < оо,
(ГУ) \и(\ 0 = 0* 0</<о°'
\и(х, 0) = /(*), п^ ^л
<ну>
Представляется ли вам разумным полученное решение?
Удовлетворяет ли оно уравнению с частными производными,
граничным и начальным условиям?
7. Как вы будете решать неоднородное уравнение с заданными
начальными и граничными условиям ?
(УЧП) ии = а*ихх + Кх, 0<х< 1, 0< / < оо,
<гу>
(и(х, O) = f(x),
<ну) W

156 Часть 3. Гиперболические задачи
Лекция 21
КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ (УРАВНЕНИЕ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, каким образом задача о ко-
колебании балки приводит к уравнению четвертого порядка
и как эта задача решается в случае свободно опирающихся
концов. Проводится сравнение колебаний балки с колеба-
колебаниями скрипичной струны.
0 (Уравнение балки)
Свободно опертая балка
Главное отличие поперечных колебаний тонкой балки от по-
поперечных колебаний струны в том, что балка оказывает сопро-
сопротивление изгибу. Не вдаваясь в механику тонких балок, мы
примем, что учет сопротивления изгиба приводит (вместо волно-
волнового уравнения) к уравнению четвертого порядка
B1.1) "« = — «'"****.
где а2 = /С/р,
К—модуль сдвига (чем больше К, тем жестче балка, тем выше
частота колебаний),
р — линейная плотность балки (масса/ед. длины).
Поскольку читатель впервые встречается в нашей книге с
уравнением выше чем второго порядка, будет полезно решить
типовую задачу о колебаниях балки. Позже мы познакомимся
и с другими задачами теории балок.
Свободно опирающаяся балка
Рассмотрим малые колебания тонкой балки, концы которой
свободно опираются на две опоры. Говоря «свободно опираются»,
мы подразумеваем, что концы балки не перемещаются, но на-

Лекция 21. Колебания балки (УЧП четвертого порядка) 157
клоны балки в концевых точках могут изменяться (концы балки
закреплены с помощью штифтовых устройств, рис. 21.1).
Совершенно ясно, что на концах балки должны выполняться
граничные условия
и @, /)-0,
ii(lf 0-0,
но совсем не очевидно, что на концах балки должны удовлетво-
удовлетворяться еще два граничных условия:
«**@, 0 = 0,
иххA9 0 = 0.
Используя теорию тонких балок, можно показать, что изги-
изгибающий момент в балке пропорционален величине ихх, а изги-
изгибающий момент в свободно опирающемся конце должен быть ра-
РИС.21.1. Свободно опирающаяся балка.
вен нулю. Следовательно, изображенная на рис. 21.1 колеблю-
колеблющаяся балка описывается следующей смешанной задачей (для
простоты величина а принята равной единице):
(УЧП) ип = -ихххх, 0 < лг < 1, 0</<оо,
(«(О, 0 = 0.
(ГУ) "гЛЛ0'
(НУ) f<f°>=^
1 [ut(x, 0) = ?•(%).
Для решения этой задачи воспользуемся методом разделения
переменных. Будем искать только периодические решения, т. е.
колебания вида
B1.3) и (х, 1) = Х (х) [A sin (со/) + В cos (со/)].
Отметим, что выбор решения вида B1.3) на самом деле озна-
означает, что константу разделения в методе разделения переменных
мы взяли отрицательной.

158 Часть 3. Гиперболические задачи
Подставим теперь B1.3) в уравнение колебаний балки и по-
получим уравнение для X (х)
общее решение которого записывается в виде
X (х) = С cos Уш + D sin Кш; + E ch Vux + F s
Для определения коэффициентов С, Д Е и F подставим об-
общее решение в граничные условия
и (О, 0 =
Откуда получаем два уравнения
FshKco-O,
DsinKw = 0.
Решая их, находим
F = 0L
sin Kco = 0 => со = (ля)*, я = 1, 2,
Другими словами, собственные частоты свободно опирающейся
балки равны
а фундаментальные решения ип (удовлетворяют уравнению и гра-
граничным условиям B1.2)) записываются в виде
ип (х, t) = Хп (х) Тп (t) = [ап sin (пяJ / + Ьп cos (пяJ /] sin {nnx).
А теперь, поскольку уравнение и граничные условия линейны
и однородны, можно утверждать, что сумма
B1.4)
также удовлетворяет уравнению и граничным условиям. Един-
Единственное, что нам осталось—это выбрать коэффициенты ап и Ьп
так, чтобы удовлетворить начальным условиям. Подставляя B1.4)

Лекция 21. Колебания балки (УЧП четвертого порядка) 159
в начальные условия, получаем
B1.5)
и (х, 0) = / (х) = 2 Ьп sin (nnx),
п=1
ut(x, O) =
(плJа„ sin (nnx).
Воспользовавшись ортогональностью семейства функции {sin (trnx)}
на отрезке [0, 1], находим формулы для коэффициентов
B1.6)
Таким образом, решение задачи имеет вид B1.4), а коэффициенты
ап и Ь„ вычисляются по формулам B1.6).
Чтобы помочь читателю разобраться в этой задаче, приведем
простой пример.
Модель колеблющейся балки
Рассмотрим свободно опирающуюся балку, изображенную на
рис. 21.2. Пусть начальные условия таковы:
и (х, 0) = sin (лх) +0,5 sin (Зля),
ut(x, 0) = 0,
Мы могли бы найти решение, подставив функции f(x) и g(x)
в формулы B1.6), однако легко видеть, что
ап = 0 для всех п =1,2, ...,
Ьв = 0, /1 = 4, 5, ... .
Следовательно, решение имеет вид
и (а:, /) = cos (л2/) sin (тис) + 0,5 cos (9л2/) sin (Зля).
Интересно сравнить это решение с решением для струны при
тех же начальных условиях. Если заглянуть в лекцию 20, там
можно найти решение соответствующей задачи для струны:
и (х, t) =z cos (л/) sin (nx) -f- 0,5 cos (Зл/) sin (Злх).

160 Часть 3. Гиперболические задачи
РИС. 21.2. Простые колебания свободно опирающейся балки.
Другими словами, балка колеблется на более высоких частотах,
чем струна. Отметим, что в том и другом случаях высшие час-
частоты кратны основным частотам колебаний.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Вообще говоря, балку можно закрепить тремя способами:
а) оставить свободной (незакрепленной),
б) свободно опереть,
в) жестко закрепить.
Схематически эти способы закрепления изображены на рис. 21.3.
2. Еще одна важная задача — колебания балки с заделанным кон-
цом (см. рис. 21.3). Благодаря нестандартным граничным
условиям
«@,0 -0,
МО. 0 =о»
и** U.0 =0,
решение уже не будет выражаться в виде ряда из произве-
произведений синусов и косинусов. Оно будет иметь более сложную
структуру
и (х, t) = 2 Хп (х) [ап sin (©„/) + Ь„ cos (©„*)],
ГС1
где собственные функции Хп(х) являются линейными комби-
комбинациями синусов, косинусов, гиперболических синусов и гипер-
гиперболических косинусов. Решение этой задачи можно найтя
в руководствах по теории упругости.

Лекция 21. Колебания балки (УЧП четвертого порядка) 16(
о,о*о -
x
(Жесткая
заделка)
U ххх d >*)*<
(Сдободный
конец)
tf ff,«=0-
i
1
РИС. 21.3. Типичные задачи для балки: а—защемленная балка; б—балка,
жестко заделанная с обоих концов; в—левый конец жестко заделан, правый
свободно опирается.
ЗАДАЧИ
1. Решите задачу для балки с закрепленным концом.
(УЧП) uit + uxxxx = 0, 0<*<l, 0<*<oo,
j- ы@, 0 =0,
(ГУ) 1 «'Vo-o °<'<ов»
I ихх V1» Ч —v.
I и^жA, 0 = 0,
(НУ) < ' Л 7
I «^U, O) = g(jc).
6 № 601

162 Часть 3. Гиперболические задачи
УКАЗАНИЕ. Хотя собственные функции Хп (х) в этой задаче
уже не обычные синусы, согласно общей теории Штурма —
Ли вилля они будут ортогональны на отрезке [0, 1].
2. Найдите решение для свободно опирающейся на оба конца
балки при начальных условиях
и (лг, 0) = sin (я*),
/ лч • / ч 0 < # < 1,
ut(x, 0) = sm(nx).
3. Решите задачу 2 с начальными условиями
и(х,0) = 1—х\
щ(х,0) = 0.
4. Пусть левый конец (х = 0) балки жестко закреплен в стену,
а правый конец (х=1) свободно опирается, как показано на
рис. 21.3. Решите задачу для балки с такими граничными
условиями и объясните, как найти собственные частоты коле-
колебаний в этом случае. Знать собственные частоты балок очень
важно, чтобы избежать резонанса с внешними воздействиями.
Лекция 22
ПЕРЕХОД К БЕЗРАЗМЕРНЫМ
ПЕРЕМЕННЫМ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ; Показать, каким образом краевые,
начальные и другие виды физических задач можно записать
в безразмерном виде. В конкретных областях знания (фи-
(физике, химии, биологии или экономике) уравнения записы-
записываются по-разному.
Переход к безразмерным переменным позволяет привести
уравнения к одному и тому же виду. Именно по этой при-
причине при изучении уравнений с частными производными
в математике стараются отвлекаться от физического смысла
входящих в них параметров. Вот почему химик, физик или
биолог должен преобразовать свое уравнение к той форме,
которая принята в нашей книге.
Основная идея введения новых (безразмерных) переменных
состоит в том, что после перехода к безразмерным переменным
задача становится чисто математической и уже не содержит

Лекция 22. Переход к безразмерным переменным 163
характерных физических констант. Именно таким способом мно-
многие различные, уравнения физики, биологии и химии, сддержащие
всякие нФан&ы, связанные с физическими параметрами, приво-
приводятся к одной и той же простой форме (см. рис. 22.1).
Познакомимся с этим преобразованием на простом примере.
Задачи
физики
I Задачи техники
Основная математическая задача
i
1 Задачи химии
Задачи
биологии
РИС. 22.1. Некоторые задачи, приводящиеся к одной и той же безразмерной
форме.
Приведение диффузионной задачи
к безразмерному виду
Начнем со смешанной задачи для отрезка с начальным усло-
условием на температуру и (х9 0) = sin (nx/L) и граничными темпера-
температурами на концах 7\ и Г2. Другими словами, мы решаем задачу
(УЧП)
B2.1) (ГУ)
(НУ)
(см. рис. 22.2).
0<x<L, 0<t<oo,
и (х, 0) = sin (ядг/L), 0 < х < L,
РИС; 22.2. Задача теплопроводности в плоскости переменных (*, t).
6 *

*f 64 Часть 3. Гиперболические задачи
Наша цель—дать новую эквивалентную B2.1) постановку
задачи таким образом, чтобы
1) в новой задаче не было никаких физических параметров
(вроде а);
2) начальные и граничные условия стали проще.
Для осуществления этой цели, мы введем три новых безраз-
безразмерных переменных У, 5 и т, чтобы заменить прежние и, х и t
по схеме
U—+U (безразмерная температура),
х—+% (безразмерная длина),
t—*т (безразмерное время).
Мы проведем все три преобразования одновременно.
Преобразование зависимой переменной u-+U
Определим функцию U (x, t) по формуле
Ясно, что новая температура U (xy t) безразмерна, поскольку мы
делим градусы Цельсия на градусы Цельсия. Новые граничные
условия для U (х, t) при # = 0 и x = L примут вид [/@, 0 = 0 и
U (L, /) = 1. Давайте поставим задачу для новой функции 0 (х, t).
После несложных преобразований задача B2.1) переходит в новую
задачу
(УЧП) Ut = **Uxx9 0<x<L, 0</<oo,
( U @, t) = 0,
B2.2) (ГУ) { U{L/t)^ 0<t<oo,
(НУ) U(xt0) = **{™'V-Ti9 0<^<L.
Если угодно, то здесь можно остановиться, решить задачу
для U (x, t) и затем найти и (х, t) по формуле
Однако мы пойдем дальше и займемся преобразованием незави-
независимых переменных х и /.
Преобразование пространственной координаты х-+%
Представляется совершенно очевидным, как следует выбрать
безразмерную переменную ?. Поскольку O^x^L, полагаем

Лекция 22. Переход к безразмерным переменном t65
После вычисления производных
становится очевидной постановка следующей задачи (в переменных
U, I, ty.
(УЧП) Ut = (*lL)*VK, 0<?<1, 0</<оо,
(/@, /)==0,
0</<
(НУ)
Мы проделали уже две трети пути. Последний шаг связан
с введением безразмерного времени т так, чтобы исключить коэф-
коэффициент [a/L]2 из дифференциального уравнения.
Преобразование времени t-+x
Как выбрать безразмерное время? Это не так очевидно, как
в случае первых двух переменных. Однако, поскольку наша цель —
исключить константу [a/L]2 из уравнения B2.3), мы поступим
следующим образом.
1. Попытаемся провести замену вида % = ct, где с—неизвест-
с—неизвестная пока константа.
2. Вычислим щ~ихтг = сих.
3. Подставим эту производную в уравнение B2.3) и получим
сих = [a/L]2 иг1.
Следовательно, нужно выбрать c = [a/L]2, а значит, новое время
должно вводиться по формуле
Применяя это преобразование к предыдущей задаче B2.3), можно
полностью перейти к безразмерным переменным U, % и tj
(УЧП) Ux = Ul%, 0<|<1; 0<т<оо,
B2.4) (ГУ) < [/(/!"/ 0<т<оо,
(НУ) U(l'o):
Новая безразмерная система обладает следующими свойствами!

Н6 Часть 3, Гиперболические задачи
1. Уравнение не содержит параметров.
2. Граничные условия имеют простой вид.
3. Начальное условие изменилось несущественно (т. е. оно
содержит только известные функции).
4. Задача стала проще и компактнее по сравнению с исходной.
Решение этой задачи можно построить раз и навсегда, поэтому
если читатель преобразует свою исходную задачу B2.1) к без-
безразмерному виду B2.4) и найдет ее решение U (?, т) в учебнике
или научном журнале, то он может найти решение исходной
задачи B2.1) простым пересчетом
u(xt V^Ti + iT.-TjUix/L, *ЧЦ*).
Этим завершается наше обсуждение проблемы преобразования
задач к безразмерному виду. Не существует универсальных пра-
правил, по которым следует вводить новые переменные, здесь сле-
следует опираться на физическую интуицию и пробовать различные
возможности.
Мы закончим эту лекцию простым примером преобразования
задачи к безразмерному виду, решения новой задачи и затем воз-
возвращения к исходным переменным.
Пример преобразования гиперболической задачи
к безразмерному виду
Рассмотрим колеблющуюся струну
(УЧП) utt = a2uxx, 0<x<L, 0 < / < оо,
>
и (х, 0) = sin (лх/L) + @,5) sin (Зпх/L),
ut(x,0) = 0.
(НУ) {
С помощью преобразования независимых переменных к безраз-
безразмерному виду (преобразовывать и нет необходимости)
получаем новую задачу
(УЧП) и„ = ии, 0<?<1, 0<т<оо,
(НУ) \ М1,о)=о,

Лекция 22. Переход к безразмерным переменным 167
решением которой является функция
«(?» т) = cos (ят) sin (я?) + 0,5 cos (Зят) sin (Зя?).
Если вернуться обратно к координатам х и /, то решение зада-
задачи B2.5) принимает вид
и (xt t) = cos (nat/L) sin (ях/L) + 0,5 cos Cnat/L) sin Cnx/L).
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Анализ размерности особенно важен в численных методах,
поскольку большинство программ написаны для решения общих
математических задач и не подразумевают использование боль-
большого числа физических параметров. Желающие воспользоваться
этими программами должны преобразовать свою задачу к соот-
соответствующему виду, решить задачу на ЭВМ, а затем привести
численные результаты к нужной размерности.
2. Анализ размерностей позволяет математикам работать с урав-
уравнением в частных производных, исключив из него множество
параметров и констант, которые не затрагивают математичес-
математического существа задачи.
3. Не всегда обязательно преобразовывать все переменные к без-
безразмерному виду, иногда достаточно преобразовать одну или
две переменных.
ЗАДАЧИ
1. С помощью замены переменных
преобразуйте задачу B2.5) к безразмерному виду B2.6).
2. Найдите безразмерную форму для задачи
(УЧП) щ = а2ихх, 0 < х < L,
<ГУ>
(НУ)
3. С помощью замены
U(x, t)-———
преобразуйте задачу B2.1) в задачу B2.2).
4. Почему замена переменной т = а/ приводит к исключению
параметра а из волнового уравнения utt = a*uxx? В чем физи-
физический смысл этой замены? Напоминаем вам, что а — скорость

Н8 Часть 3. Гиперболические задачи
распространения волн. При поиске новых координат в боль-
большинстве случаев главную роль играет интуиция.
5. Как выбрать новую пространственную координату ?, чтобы
исключить v из уравнения
щ -f vux = 0?
Лекция 23
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
(КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ1 Показать, что линейное уравнение
второго порядка с двумя независимыми переменными
[Аихх + Виху + Сиуу + Dux + Еиу + Fu = G
(Л, Bt Ct D, Е, F и G являются функциями х и у или
могут быть константами) относится к одному из следую-
следующих типов:
1) гиперболическому (если В2 —4ЛС>0),
2) параболическому (если В2—4ЛС = 0),
3) эллиптическому (если В2 — 4ЛС<0).
Показать, какие новые переменные I = ? (х, у) и r\ s== rj (x, у)
можно ввести вместо х и у, чтобы упростить исходное урав-
уравнение. В новых переменных ? и ц уравнение с частными
производными приводится к одному из следующих видов (в
вависимости от того, будет ли величина В2—4АС положи-
положительна, равна нулю или отрицательна)!
^(L Л» w> иъ>иц) (Две канонические фор-
ьи.Иб.и,.) мы для гиперболического
ч б» л/ уравнения),
2. и^ — ФЦ, у), и, w-, «л) (каноническая форма параболи-
параболического уравнения),
3. щ% + ит = Ф (g, т|, «, «|, иц) (каноническая форма эллип-
эллиптического уравнения),
где Ф и Y—функции от частных производных первого по-
порядка, зависимой переменной и и новых независимых пере-
переменных I и т|. Конкретный вид функций Ф и W зависит от
исходного уравнения.
, р
1. J и1г—

Лекция 23. Классификация уравнений с частными производными 169
У читателя может возникнуть мысль, что глава, посвященная
классификации уравнений, должна размещаться в самом начале
книги. Вероятно, это правильно, и многие книги действительно
начинаются с этого материала. Однако правда и то, что многие
студенты не могут с энтузиазмом изучать нечто такое, о чем
у них нет никакого представления. Именно по этой причине мы
отложили изучение темы, посвященной классификации уравнений
с частными производными, до настоящего момента.
Наша задача—классифицировать все уравнения вида
B3.1) Аихх + Виху + Сиуу + Dux + Euy + Fu = G,
где Л, В, С, D, Я, F и G—вообще говоря, функции [х и у. Со-
Согласно предлагаемой схеме классификации уравнение называется
1) гиперболическим в точке (х0, у0), если В2(х0>у0)—4А (х09у0)х
хС(х0, */0)>0,
2) параболическим в точке (х09 у0), если B2(xQi yo) — 4A (xQ,y0)X
С( ) 0
@ #0
3) эллиптическим в точке (х0, у0), если В2(х01у0)—4А(хо,уо)х
хС(хо,уо)<О
и в зависимости от типа его можно привести к одной из кано-
канонических форм. Для того чтобы было легче разобраться в клас-
классификационной схеме, мы приведем четыре примера гиперболи-
гиперболических, параболических и эллиптических уравнений.
Примеры гиперболических, параболических
и эллиптических уравнений1*
1. Уравнение теплопроводности ut^uxx—линейное уравнение
второго порядка вида B3.1) с коэффициентами
Л = 1, В==0, С = 0, D = 0, E^ — l, F = 0, G = 0,
так что В2 — 4ЛС = 0 при всех х к t. Следовательно, это урав-
уравнение будет параболическим при всех х и /. В общем уравне-
уравнении B3.1) переменная у играет роль времени t. Результат не
изменится, если в общем уравнении поменять местами х и у.
2. Волновое уравнение ии = ихх также принадлежит классу
уравнений вида B3.1) с коэффициентами
Л==1, В = 0, С = — 1, D = ? = F^G = 0.
Так как В2—4ЛС = 4 для всех х и /, то это уравнение является
гиперболическим при всех х и t.
1) Следует указать, что приведенные в примерах уравнения являются
частными случаями более общих параболических, гиперболических и эл-
эллиптических уравнений, а основные их свойства характерны и для обще-
общего случая.

170 Часть 3. Гиперболические задачи
3. Уравнение Лапласа ихх-\~и„у=*О является эллиптическим
при всех х и у, так как В2—4ЛС~—4<0.
4. Линейное уравнение xuxx + uyy^sinx с переменными коэф-
коэффициентами также принадлежит классу уравнений вида B3.1),
но для него В2—4ЛС = —4х и, следовательно, уравнение будет
эллиптическим при х > О,
параболическим при х = 0,
гиперболическим при х < 0.
Этот пример иллюстрирует тот факт, что тип уравнения о
переменными коэффициентами может изменяться от точки к точке.
Читатель должен обратить внимание на следующее: тип уравг
нения B3.1) определяется только коэффициентами при вторых
производных и никак не зависит ни от коэффициентов при пер-
первых производных и самой функции, ни от свободного члена.
Обратимся теперь к главной теме нашей лекции — приведению
гиперболических уравнений к каноническому виду. Известно, что
если в данной области пространства уравнение является гипер-
гиперболическим, то вместо х и у можно ввести координаты g и rj
(характеристические переменные) таким образом, что уравнение
примет простейшую форму
B3.2) %) = Ф(?, гь и, ul9 иц).
Это уравнение содержит только одну производную второго
порядка wgn, а функция Ф (? , ц, и , щ , иц) зависит только от
новых независимых переменных g и т], зависимой переменной и
и первых производных щ и иц. Конкретный вид функции Ф зави-
зависит, конечно, от исходного уравнения и формул перехода к новым
координатам Е- и г). Научимся отыскивать эти функции.
Каноническая форма гиперболического
уравнения
Рассмотрим уравнение общего вида
B3.3) Аихх + Виху + Сиуу + Dux + Еиц + Fu^G
и пусть в интересующей нас области В2 — 4ЛС > 0. Нам нужно
ввести новые координаты1)
1 = 1 (х, у),
*> У)
так, чтобы в уравнении B3.3) осталась только одна частная про-
производная второго порядка щц (не следует пытаться искать такую
замену переменных, с помощью которой гиперболическое ураене-
^•Необходимо, чтобы это преобразование координат было локально обра-
обратимо и дважды дифференцируемо.—Прим. ред.

Лекция 23. Классификация уравнений с частными производными 171
Hue можно было бы привести к параболической или эллиптической
канонической форме, это невозможно сделать).
Вычислим сначала частные производные
B3.4) ихх = uu? + 2ulnlxi\x + umvec + щ1хх + ипх\хх,
иуу =
Подставляя эти соотношения в исходное уравнение B3.3), после
простых, но громоздких вычислений получаем
B3.5)
где иу
В = 2,4!^ + В {
B3.6) D = Al y yy
Е = Av\xx + Вцху + Cr\yy
Читателю предоставится возможность проделать эти выкладки
при решении задач.
Наш следующий шаг—выбрать функции J = ?_(#, у) и т) =
= т] (х, у) таким образом, чтобы коэффициенты А и С обратились
в нуль. Это позволит нам привести исходное уравнение к кано-
канонической форме. Итак, необходимо потребовать, чтобы
Эти уравнения можно представить в виде
Разрешив их относительно [2^/gJ и [i)x/r\y], получаем
r
B3 7^ Lbjf/Sj/J 2A (характеристические
г / 1 — В— У*в*—аас уравнения).
v\xl% J — 2А

172 Часть 3. Гиперболические задачи
Каждое из квадратных уравнений для [E*/?y] и [ti^/nj имеет
два корня, но мы оставляем только по одному, но так чтобы они
были различны.
S *¦- % 'const
РИС. 23.1. Характеристики l(x, y)=c и r\(x, y) = c.
Задача свелась к нахождению двух функций I (х> у) и г\ (х, у),
таких, чтобы отношения [Е*/!^] и [т|х/т|у] удовлетворяли уравне-
уравнению B3.7). Найти такие функции очень просто1), если обратить
внимание на рис. 23.1. Чтобы понять, каким образом можно это
сделать, рассмотрим простое уравнение
Его характеристики определяются из уравнений
dy rE
dx L-
dy \y\
dx W
B—VB*—4AC
*'*vl 2Л
-, В*+У В*—4ЛС
х'%\ " 2Л
9
о
Решая эти уравнения относительно у, получаем
Чтобы найти I и г], разрешим полученные уравнения относи-
относительно констант q и с2, оставляя их в правой части и перенося
остальные слагаемые в левую.
Выражения, стоящие в левых частях, примем за искомые
функции | и r\i
1) См., например, Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математи-
математической физики.—М.: Наука, 1972 и др. издания.—Прим. ред.

Лекция 23. Классификация уравнений с частными производными 173
Очевидно, введенные таким образом функции ^ и т) удовлет-
удовлетворяют уравнениям характеристик. Эти новые координаты изо-
изображены на рис. 23.2. На этом мы заканчиваем обсуждение воп-
вопроса о том, как найти новые координаты. Осталось последнее —
определить новый вид исходного уравнения.
У
- const
РИС. 23.2. Характеристические координаты для уравнения ихх—4iiyy-]-ux=0.i
Это совсем просто: чтобы найти каноническую форму уравне-
уравнения с частными производными, подставим новые координаты
| (л:, у) и г\ (ху у) в уравнение
Auu + Bulr] + Cum + Du% + Еиц
где Л, В9 С, D, Ey F и G определены формулами B3.6).
Прежде чем закончить лекцию, давайте на конкретном при-
примере посмотрим, как «работает» общий метод приведения к кано-
каноническому виду.
Приведение гиперболического уравнения
— х2пуу = 0 к канонической форме
Рассмотрим уравнение
У2ихх
которое является гиперболическим в первом квадранте. Найдем
новые координаты таким образом, чтобы привести исходное урав-
уравнение к канонической форме.
ШАГ 1. Решаем уравнения характеристик
2A
х
у
Тх = '
dy_B—VB2-~4AC_ x
dx~~ 2A ~~ у'
(напомним, что этот шаг
обеспечивает A s= С г= 0),

174 Часть 3. Гиперболические задачи
РИС. 23.3. Новые характеристические координаты.
Проинтегрировав эти обыкновенные дифференциальные уравнения
методом разделения переменных, получаем два неявных соотно-
соотношения (при желании можно было бы явно выразить у через х)
у2—х2 = const,
у* -f х2 = const.
Следовательно, новые координаты следует вводить по формулам
Эти новые координаты изображены на рис. 23.3. Теперь следует
получить новое уравнение. Вычислим все коэффициенты
Л = 0 (так и должно быть; мы специально выбирали I и g
так, чтобы этот коэффициент обращался в нуль),
В - 2А%хцх + В ах% + lvif\x) + 2dy\ = - 16*yf
С s= 0 (по той же причине, что и Д = 0),
D - АЪхх + В\ху + Clyy + Dlx + ЕЪу = - 2 (х* + у*),
E
подставим их в уравнение
и получим
ШАГ 2. Выражая, наконец, х и у через i и д, окончательно
получаем

Лекция 23. Классификация уравнений с частными производными 175
Задача решена. Теперь, мы знаем, что нужно сделать, чтобы
найти новые координаты и привести уравнение к канонической
форме.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. На самом деле для гиперболических уравнений существует
две канонические формы. Вторую можно получить из первой
заменой переменных вида
Э = Э<6. п)=6—л-
Воспользуемся этой заменой для преобразования уравнения
B3.8). Так как
то
B3.9)
2сф
При желании можно выразить а и Р через исходные коорди-
координаты х и у. В результате получаем
2, Читатель может спросить, зачем нужно классифицировать и
приводить к канонической форме уравнения с частными про-
производными.
а) Разбиение уравнений на классы гиперболических, параболи-
параболических и эллиптических соответствует разбиению физических
процессов на три основных класса: волновых, диффузионных
и стационарных. Математические особенности решений урав-
уравнений этих трех типов совершенно различны.
б) В большинстве работ, посвященных решению гиперболичес-
гиперболических задач, предполагается, что исходное уравнение записано
в канонической форме, т. е. в виде
ull—ит = ^(^ Л. Ч> "'S)-
Если у нас есть уравнение и мы хотим получить его решение,
мы должны преобразовать его к канонической форме и восполь-
воспользоваться известными результатами.
в) Для численного решения канонического гиперболического
уравнения создано много различных программ для ЭВМ.

176 Часть 3. Гиперболические задачи
Функция Ф(?, г], w, иь ип) вводится в ЭВМ в виде подпро-
подпрограммы, так что сначала необходимо привести уравнение к
канонической форме. После того как решение в новых коорди-
координатах найдено, его всегда можно преобразовать обратно к
исходным координатам.
ЗАДАЧИ
1. Выясните, являются ли приведенные ниже уравнения гипербо-
гиперболическими, параболическими или эллиптическими:
а) uxx—uxv = 0,
б) uu = uxx +
в) uxx + 3ulfl
г) uxx-\-ul[u^f(x>y),
д) urr + Tur + -^uQ^=^f(rt 9).
2. Получите соотношения B3.4), B3.5) и B3.6).
3. Убедитесь в том, что уравнение
гиперболического типа при всех х и у и найдите характерис-
характеристические координаты.
4. Приведите уравнение из предыдущей задачи к каноническому
виду
и^ = Ф(?, г], и, и:, иц),
5. Продолжите задачу 4 и приведите уравнение ко второй кано-
канонической форме
и** — «^ = ^(а, р, «, иа9 и3).
6. Найдите характеристики уравнения
Преобразуйте уравнение к новым координатам, решите и,
вернувшись к координатам х и у, получите решение исходной
задачи.

Лекция 24 Волновое уравнение в свободном пространстве 177
Лекция 24
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
(ДВУМЕРНЫЕ И ТРЕХМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Решить задачу с начальными условиями
(УЧП) Utt = c*luxx + Uvv + Uzzh {—^<У<°°9
V-— оо < z < оо,
( и (л-, //, г, 0) = ф (х, и, г),
(НУ) { л
1 ' i wt(x, ^, г, 0) = -ф (jc, //, г)
в трехмерном пространстве и показать, что полученное реше-
решение удовлетворяет принципу Гюйгенса. Для решения соот-
соответствующей двумерной задачи
(УЧП) «„_«•(„, ¦ ' (-"<*<-¦
oof
используется метод спуска и демонстрируется, что двумер-
двумерные решения не удовлетворяют принципу Гюйгенса. И на-
наконец, с помощью метода спуска показано, что решение
одномерного уравнения выражается формулой Даламбера,
с которой мы познакомились ранее.
В предыдущих лекциях мы рассматривали задачу с началь-
начальными условиями для бесконечной колеблющейся струны и пока-
показали, что ее решение дается формулой Даламбера. Читателю
должно быть ясно, что в трехмерном пространстве одномерное
волновое уравнение описывает плоские волны. Например, збуко-
вые или электромагнитные волны на достаточно больших рассто-
расстояниях от источников можно считать плоскими волнами и, следо-
следовательно, описывать одномерным уравнением. Существует следу*
ющая терминология:
1) одномерные волны называются плоскими волнами,
2) двумерные волны называются цилиндрическими волнами,

f78 Часть 3. Гиперболические задачи
3) трехмерные волны называются сферическими волнами.
Другими словами, одномерное волновое уравнение может опи-
описывать либо плоские волны в пространствах большего числа изме-
измерений, либо колебания струны. Задача лекции—обобщить формулу
Даламбера на случай двух и трех измерений.
Волны в трехмерном пространстве
Рассмотрим сферические волны в трехмерном пространстве при
еаданных начальных условиях, т. е. решим задачу с начальными
условиями
( — оо <Х< оо,
(УЧП) ии = с* [ихх + иуу + игг\ \-оо<у<ооу
B4.1) I—оо<г<оо,
(НУ) (и (*'у*Zi 0) ^ ф (*' у*г)>
\ щ(х,у,г,0) = \р(х,у9 г).
Для решения этой задачи мы сначала упростим ее, положив <р^=0,
(УЧП) ип = с*Аи,
B4.2) {и(х9у,г90) = 09
\ Щ(х,У, г, 0) = \|)(л:,^, г),
где знаком Д обозначен дифференциальный оператор
дх2 ^ду^дг2'
Эту задачу можно решить методом Фурье1), и оказывается, что
решение представимо в виде
B4.3) u(x,y92,t) = ty,
где \р—среднее значение начального распределения \р по сфере
радиуса ct с центром в точке (х, у, г), т. е.
Л 2Л
)9 у+ ct si
о о
+ ct cos ф) (ctJ sin
Аргументы функции if) пробегают по поверхности сферы, если
величины 6 и ф изменяются в пределах [0, 2я] и [0, я] соответ-
соответственно (рис. 24.1). Эту формулу можно интерпретировать сле-
*) См.: Владимиров В. С. Уравнения математической физики.—М.: Наука,
1971 и др. издания.—Прим. ред.

__ Лекция 24. Волновое уравнение е свободном пространство 179
дующим образом* каждая точка пространства излучдет расходя-
расходящуюся (со скоростью с) сферическую волну, через t секунд точка
с координатами (х, у, г) окажется под воздействием начального
и(,х,у, г Л)- решение
в центре сферы
->- х
x~r sin cp cos в
РИС. 24.1. Решение является средним значением начального распределения на
сфере.
возмущения, сосредоточенного на сфере радиуса ct с центром
в заданной точке (см. рис. 24.2).
Формула B4.3) позволяет рассчитать на ЭВМ решение задачи
для большинства начальных условий. Может быть, читателю бу-
будет интересно найти решение для некоторых простых функций ф.
Начальное
распределение
распрострет-
ется бо дев
, устрот
I
РИС. 24.2. Начальное возмущение t|> распространяется из каждой точки во все
стороны.
Чтобы получить полное решение, рассмотрим вторую подоэину
задачи!
(УЧП) и„ = ЛЧ (х,
B4.4)
<ну>

180 Часть 3. Гиперболические задачи
Сделать это легко, если воспользоваться известной теоремой
Спгокса, утверждающей, что решение задачи B4.4) можно найти,
продифференцировав по времени решение задачи B4.2) с началь-
начальным условием ?/ = 0, wt = cp.
Другими словами, мы решаем задачу
(УЧП) ии = с2Аи,
B4.5)
(НУ)
полагаем w^ftp, а затем дифференцируем это выражение по вре-
времени. В результате получаем решение задачи B4.4)
Можно проследить за тем, как этот прием позволяет получить
решение одномерной задачи. В самом деле, решение одномерной
задачи B4.5) Дается формулой Даламбера
x+ct
«(*. *) = i J <f(s)ds.
x-ct
Если теперь продифференцировать последнее соотношение по пра-
правилу Лейбница (см. задачу 7), то получим решение задачи B4.4):
Теперь ясно, что решение общей трехмерной задачи
(УЧП) ии=с*ки9 (ху у, z)?R*,
(НУ)
записывается в виде
и(х, у,
где ф и i|)—средние значения функций ф и г|э на сфере радиусом
ct с-центром в точке (х, у, г).
Это решение принято называть формулой Пуассона для вол-
волнового уравнения в трехмерном пространстве. Она является
естественным обобщением формулы Даламбера на трехмерный
случай. Наиболее важным в формуле Пуассона является то,.что
оба* интеграла в ф и я|э берутся по поверхности сферы. Этот факт
позволяет дать следующую важную интерпретацию решения.

Лекция 24. Волновое уравнение в свободном пространстве
В момент времени t = tt решение и в точке (х, у> г) зависит только
от начальных распределений на сфере радиусом ctt с центром
в точке (х, у, z) (рис. 24.3). Предположим теперь, что началь-
начальные распределения ср и if) равны нулю всюду, за исключением
небольшой сферы (см. рис. 24.3). С течением времени радиус
Область начального
возмущения
РИС. 24.3. Схема поясняет, как начальное возмущение влияет на точку (х, у, z)t
сферы, окружающей точку (х, у, z), растет со скоростью с, так
что через t$ секунд эта сфера начинает пересекать область на-
начального возмущения и, следовательно, решение и(х, уу z, t)
становится ненулевым. При t2 < t < t3 решение и в точке (л;, у, г)
остается ненулевым, поскольку сфера продолжает пересекать
область начального возмущения, но при t = t3 решение снова
становится нулевым. Другими словами, решение, распространяю-
распространяющееся из области начального возмущения, имеет резко очерчен-
очерченный задний фронт. Этот общий принцип известен под названием
принципа Гюйгенса для трехмерного пространства. Благодаря
ему звуковое воздействие на уши мгновенно прекращается сразу
же после того, как волна прошла. Оказывается, что передний
фронт волны всегда резко очерчен, но задний фронт резко очер-
очерчен только в пространствах размерности 3, 5, 7 Мы уже
знаем из формулы Даламбера, что начальные условия
и(х9 0) = <p(x),
приводят, вообще говоря, к нерезкому заднему фронту (поскольку
формула Даламбера подразумевает интегрирование функции \|; (л:)
в пределах от х—ct до x-\-ct).
Покажем теперь, что принцип Гюйгенса неприменим к ци-
цилиндрическим волнам. Такого рода решения описывают волны на
воде от точечного источника, когда задний фронт волны не рез-
резкий, а постепенно затухает до нуля.

182 Часть 3. Гиперболические задачи
Двумерное волновое уравнение
Чтобы решить двумерную волновую задачу
(УЧП) ип = с*\ихх + иуу1
щ(х, у, 0) = ^(х, у),
мы рассмотрим решение трехмерной задачи при начальных усло-
условиях, зависящих только от двух переменных х и у.
Сделав это, получим, что трехмерная формула
для решения и будет описывать цилиндрические волны и, следо-
следовательно, даст решение двумерной задачи. Этот метод называется
методом спуска. После всех вычислений *) (отнюдь не тривиаль-
тривиальных) получаем
2л ct
р
*[ ' Г Г
dt \ 2пс J J
L О О
О О
Перед нами решение двумерного волнового уравнения, и хотя,
вероятнее всего, его практическое применение подразумевает
использование ЭВМ, интересно проанализировать его с точки
зрения принципа Гюйгенса. В этом решении оба интеграла от
начальных возмущений берутся по внутренности (слово «внут-
«внутренность» играет здесь решающую роль) круга радиусом ct с
центром в точке (х, у). Другими словами, если проанализировать
это решение так же, как мы анализировали решение в трехмер-
трехмерном случае, мы увидим, что начальное возмущение распростра-
распространяется с резко очерченным передним фронтом и размытым зад-
задним фронтом. Таким образом, принцип Гюйгенса не выполняется
в пространстве двух измерений.
И наконец, предположим, что начальные возмущения ср и ф
зависят только от одной переменной. В этом случае возникают
плоские волны, и после применения метода спуска получаем
См., например, Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математи-
математической физики. — М.: Наука, 1972 и др. издания.—Прим. ред.

Лекция 24. Волновое уравнение а свободном пространстве 18Э
хорошо известную формулу Даламбера
x+ct
x-ct
Отметим, что и в этом случае применение метода спуска требует
проведения нетривиальных вычислений. В формуле Даламбера
начальное смещение ср приводит к образованию резкого заднего
фронта, а начальная скорость "ф его размывает. Другими словами,
одномерный случай необычен тем, что принцип Гюйгенса выпол-
выполняется для начальных смещений и не выполняется для началь-
начальных скоростей. Можно утверждать, что в целом принцип Гюй-
Гюйгенса в одномерном случае не выполняется.
ЗАМЕЧАНИЯ
Мы не стали подробно излагать метод спуска, поскольку не
хотели останавливаться на вопросе о том, как можно понизить
размерность входящих в формулы интегралов. Все эти вычисле-
вычисления можно найти в учебной литературе, список которой при-
приведен в конце книги. Общая идея заключается в том, что при
решении задач в пространстве невысокой размерности можно
воспользоваться известным решением аналогичной задачи в про-
пространстве более высокой размерности, а затем упростить его,
считая, что начальные и граничные условия не зависят от части
переменных. Читателю должно быть ясно, что метод спуска
можно применять не только к рассмотренной задаче.
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что в одномерном случае решение задачи
(УЧП) ии = с*ихх, — oo*<oo,
(НУ) ... /. ft>_0
можно найти, продифференцировав по времени решение задачи
(УЧП) ии = <*икх,
(НУ) j"(*'°) = 0'
v ; \ut(x, 0) =

1&4 Часть 3. Гиперболические задачи
2. Результаты задачи 1 используйте для решения следующей
задачи!
(УЧП) uit = uxxf — оо<х<оо,
(НУ)
Г и(х, 0) = *,
\щ(х, 0) = 0.
3. Проиллюстрируйте и прокомментируйте решение трехмерной
задачи
(УЧП) ии
(НУ) I П, х*+у*
[ ' ~~ \ 0 в оста.
остальных точках.
4. Решите аналогичную (см. задачу 3) задачу для двумерного
уравнения
(УЧП) uti = d*Auxxt (х, y)<tR\
(НУ) \ /
t/f(x, 0) = < Л
r v 7 ^ 0 остальных точках.
/1, ^2
, 0) = < Л
7 ^ 0 в
5. Решите аналогичную (см. задачу 3) задачу для одномерных
плоских волн
(УЧП) ип =* с?ихх, — оо < х < оо,
/а(^,0) = 0,
(НУ) J /1, |дг/ <Ь
\щ(х, 0) = < Л
^ l v 7 @ в остальных точках.
6. Какова физическая природа того факта, что принцип Гюйгенса
не справедлив в двумерном случае?
7. Воспользуйтесь формулой Лейбница
й продифференцируйте интеграл
x+ct
¦5- I <P<s)ds
Jf-C/
по времени /.

Лекция 25. Конечные преобразования Фурье
Лекция 25
КОНЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
(СИНУС- И КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Ввести два новых интегральных пре-
преобразования (конечные синус- и косинус-преобразования):
L
2 Г*
Sn ^ ^ [/] = 77 \ f (х) sm (ппх/Ц dx (конечное синус-преобра-
о зование),
L
2 С
Сп = С [/] = -ц- V / (х) cos (nnxfL) dx (конечное косинус-преоб-1
о разование),
со
/(*) = 2 Sn sin (nnx/L) (обратное синус-преобра-
n==1 зование),
со
/(x) = y+ XI ^«cos(nnx/L) (обратное косинус-преоб-
«=i разование),
и показать, как с помощью этих преобразований решать,
краевые задачи (в частности, неоднородные). Ранее мы по-
познакомились с регулярными преобразованиями Фурье и
Лапласа и увидели, как применение этих преобразований
к уравнению с частными производными сводит задачу к ре-
решению обыкновенного дифференциального уравнения. Обыч-
Обычное преобразование Фурье подразумевает, что преобразуемая
переменная изменяется от —оо до +°°> и, следовательно,
оно применяется для решения задач в свободном простран-
пространстве (без границ). В этой лекции мы покажем, как решать
краевые задачи (с границами), преобразуя ограниченные
переменные (с таким преобразованием мы встречаемся впер-
впервые).
Давайте на время забудем о наших задачах, а займемся са-
самими преобразованиями. Дадим определение преобразований, при-
приведем формулы обращения и основные свойства. Для чего нужны
преобразования и как ими пользоваться, мы узнаем несколько
позже. Впрочем, если говорить кратко, то суть интегральных
преобразований в разложении входящих в задачу функций- ло

186 Часть 3. Гиперболические задачи
частотам, решении семейства задач для каждой частоты и после-
последующем суммировании всех полученных результатов.
Начнем с функции f(x), определенной на интервале [О, L].
Конечные синус- и косинус-преобразования этой функции опреде-
определяются формулами
Конечное синус-преобразо-
синус-преобразование
Конечное косинус-преобра-
косинус-преобразование
2 Г*
= Sn = -j- \ f {x) sin (nnx/L) dx
/i = l. 2, ...
C[f] = Cn = ^^f (x) cos (nnx/L) dx
n = 0, 1, ...
Читатель, наверное, заметил, что эти преобразования не отли-
отличаются от формул для определения коэффициентов Фурье при
разложении их в ряд по синусам или косинусам. Формулы обра-
обращения для этих преобразований — это обычные ряды Фурье по
синусам и косинусам.
Обратное синус-преобразование
Обратное косинус-преобразова-
косинус-преобразование
Отметим, что в обратном косинус-преобразовании суммирова-
суммирование начинается с п = 0, а в синус-преобразовании — с я=1.
Примеры синус-преобразования
Пусть
тогда
f (х) = 2 Sn sin (nnx/L)
/О, если п—четное
• —< 4
— , если п — нечетное.
График функции f{x) и ее преобразования изображены на рис. 25.1.
Обратное преобразование записывается в виде
/(*)=! = ?
sin (nnx).

Лекция 25. Конечные преобразования Фурье 197
Знаете ли вы, как выглядит график этой функции вне отрезка
[О, 1]? Подумайте над этим. Отметим также, что синус-преобра^
зование функции f(x) определено только для положительных це-
целых п. Другими словами, конечные синус- и косинус-преобразо-
косинус-преобразования преобразуют функции в числовые последовательности.
f<x)
f 0 , п-четное
п " \ A/itn, n- нечетное
Hi 1—# ,! — »,¦ t—j. > n
РИС. 25.1. Графики функции f(x) — \ и ее преобразования.
Свойства преобразований
Прежде чем приступить к решению задач, мы должны полу-
получить некоторые свойства этих преобразований.
Если и(ху t)—функция двух переменных и мы проводим пре-
преобразование по переменной х, то
5 М = sn @ = х J " (х, 0 sin (nnx/L) dx9
о
L
С [и] = Сп (t) = ~ f и (х9 t) cos (nnx)/L) dx.
(Заметим, что преобразование проводилось по переменной х, и
полученная последовательность зависит только от времени /.)
А как быть с производными? Ниже приводятся несколько
полезных формул

t88 Часть 3. Гиперболические задачи
Решение задач с помощью конечных
преобразований
Решение неоднородной краевой задачи
с помощью синус-преобразования
Рассмотрим неоднородное волновое уравнение
(УЧП) uti = uxx +sin (пх), 0<*<1, 0 < / < оо,
"(Х> 0)==1>
ut(x, 0) = 0t
Решение задачи выполним за три следующих шага:
ШАГ 1 (Определение подходящего преобразования.)
Поскольку переменная х меняется от 0 до 1, мы восполь-
воспользуемся конечным преобразованием, а именно синус-преобразова-
синус-преобразованием; позже станет ясно почему. Мы могли бы решить эту задачу
с помощью преобразования Лапласа по переменной / (по трудо-
трудоемкости этот метод не отличается от конечного синус-преобра-
синус-преобразования).
ШАГ 2 (Выполнение преобразования).
Для удобства будем использовать обозначение Sn(t)=S[u],
Применим синус-преобразование к исходному уравнению
и воспользуемся тождеством для синус-преобразования, получим
где
M, n = 1 (это коэффициенты разложения
Dn(t)~S[s\n(nx)]= < в ряд Фурье по синусам)
(О, дг = 2, 3, ... .
Если теперь преобразовать начальные условия краевой задачи,
то получим начальные условия для обыкновенного дифференци-
дифференциального уравнения
S[u(x, 0)] = Sn@)J

Лекция 25. Конечные преобразования Фурье 1 в9
Итак, решим теперь.новое семейство задач Кошш
(оду, §+(и.в.
(НУ)
В результате получаем
J "W"\0, n-2, 4
I dSn @) п
где
с m / 0, л«2, 4, ...,
я* ' \ D/пл) cos (tint), л = 3, 5, 7, ... .
Следовательно, решение нашей задачи можно представить
в виде
и (х9 t) = [Л cos (nt) + A/яJ] sin (ял:) +
J" H 2^TI cos [B/г + 1) ^] sin [B/г + 1) зхх].
л = 1
1. Для решения задачи методом конечного синус- или косинус-
преобразования краевые условия при л; = 0 и x = L должны
иметь вид
< ,' л— /л (используется синус-преобразование),
\ (т t\— ( \ (используется косинус-преобразование).
Другими словами, если заданы граничные условия и @, /) =
= /@ и ux(L, 0 = ?@» то эти преобразования неприменимы.
Неприменимы они и при граничных условиях вида их @, 0 +
+ /ш@, 0 = 0- В этих случаях используются другие преобра-
преобразования. С обобщенными синус- и косинус-преобразованиями
можно познакомиться по литературе, указанной в конце книги.
2. Для того чтобы можно было применять конечные синус- или
косинус-преобразования, исходные уравнения не должны со-
содержать первых производных по х (поскольку синус-преобра-

f90 Часть 3. Гиперболические задачи
зование первой производной сводится к косинус-преобразова-
косинус-преобразованию второй и наоборот).
3. В методах конечных синус- и косинус-преобразований сущест-
существенно то, что все функции задачи, включая utu ихх% началь-
начальные условия, граничные условия, разлагаются в ряд Фурье
по синусам или косинусам, решается последовательность ОДУ
для коэффициентов Фурье, а затем все результаты суммируются.
ЗАДАЧИ
1. Решите диффузионную задачу с изолированными границами,
т. е.
(УЧП) ut = uxxt 0<х<1, 0</<оо,
(НУ) и(х, 0) = 1 + cos (пх) + 0,5 cos (Зля), 0 < х < 1.
2. Решите в общем виде задачу
(УЧП) ut = a2uxx + bu + f(x, 0. 0 < л:< 1, 0 < t < оо,
{
(НУ) и(х, 0) = 0,
3. Выведите основное правила вычисления S[uxx] и С[ихх], ко-
которые были приведены в замечаниях. Понимаете ли вы, почему
трудно решить дифференциальное уравнение, содержащее пер-
первую производную?
4. Чему равно конечное синус-преобразование функции f(x)=^
= sin(ttA;) + 0,5CttA;)? Постройте график преобразования при
11
11.
б. Найдите косинус-преобразование функции f(x) = x, O^jc^l.
Изобразите график обратного преобразования при всех значе-
значениях х. (Конечно, внутри отрезка 0^дс^1 восстановится
функция f(x) = x, а что будет вне отрезка [0f 1]?)
6. Решите задачу
(УЧП) щ = ихх + sin (Зпх), 0 < х < 1, 0 < / < оо,
( и@, 0 = 0,
<гу> {„а,,)-.; о<(<->'
(НУ) и(х, 0) = si

Лекция 26. Принцип суперпозиции — основа линейных систем 191
Лекция 26
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ-
ОСНОВА ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Познакомить читателя с принци-
принципом суперпозиции и показать, как с его помощью ис-
исходную задачу можно разложить на подзадачи, затем
решить сразу все подзадачи и, сложив полученные ре-
результаты, найти решение исходной задачи. Мы хотим
также показать, что два основных метода решения ли-
линейных уравнений—метод разделения переменных и
метод интегральных преобразований — используют прин-
принцип суперпозиции.
Предположим, что инженеру нужно найти отклик линейной
системы и на входное воздействие /. Общий подход к решению
задачи таков:
1) разложить / на элементарные воздействия / =
2) найти отклик системы ик на воздействие fh\
3) сложить отклики u = ^uk.
Если система линейная, то полученная сумма и является
откликом системы на входное воздействие f. В этом состоит
принцип суперпозиции (см. рис. 26.1).
Линейная система
Может быть линейным
уравнением
L f
РИС. 26.1. Основная идея принципа суперпозиции; L—дифференциальный
оператор; /—вход; и—выход.
Эту основную идею можно использовать при решении слож-
сложных смешанных задач, разбивая их на простые подзадачи, ре-

192 Часть 3. Гиперболические задачи
шая каждую из них и затем суммируя полученные результаты
(конечно, дифференциальное уравнение и граничные условия
должны быть линейны).
Разложение смешанной задачи
на две более простые
Предположим, нам необходимо решить линейную задачу
(обозначим ее Р)
(УЧП) ut = uxx +sin (пх), 0 < л: < 1, 0 < / < оо,
(Р) (ГУ) <^ и t 0</<oo,
(НУ) и(х, 0) = sin Bлх), 0<х<1.
Перед нами неоднородное уравнение теплопроводности, так
что метод разделения переменных неприменим. Можно, конечно,
воспользоваться конечным синус-преобразованием по переменной х
или преобразованием Лапласа по переменной /, но вместо этого
мы рассмотрим две подзадачи
(УЧП) ut = uxx + sin (jijc),
f ы@, 0 = 0,
<*¦> (ГУ> \«(i,/)=o,
(НУ) и(х, 0) = 0
и
(УЧП) ut = uxx,
{Рг) (ГУ)
(НУ) и(х, 0) = sinBnjc).
Каждая из этих задач легко решается и в то же время ясно,
что сумма решений задач Рг и Р2 является решением исходной
вадачи, т. е.
и {х> 0 = Л 0 — е~пЧ)sin (пх) + ^""BЯJ' sin Bnx).
Решение задачи Pt Решение задачи Р§
Можно показать, что в общем случае решение задачи
ut=*uxx + f(x, t),
и@9 t) = Q,
иA, 0 = 0»
и(х, 0) = <

Лекция 26. Принцип суперпозиции—основа линейных систем 193
является суммой решений более простых задач
, t),
и @, 0 = 0,
иA, 0 = 0,
и(х, 0) = 0
Разделение переменных
и интегральные преобразования
как проявления принципа суперпозиции
Мы могли не думать о суперпозиции, когда применяли ме-
методы разделения переменных и интегральных преобразований, но
на самом деле мы использовали идею суперпозиции бесконечного
числа элементарных слагаемых. В методе разделения переменных
мы обычно разлагаем начальные условия на бесконечное число
простейших элементов и находим отклик на каждый такой эле-
элемент. Просуммировав затем все эти отклики, мы находим реше-
решение задачи.
С другой стороны, в интегральных преобразованиях также
используется принцип суперпозиции. Например, давайте посмот-
посмотрим, как используется этот принцип в конечном синус-преобра-
синус-преобразовании. Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности!
(УЧП) ut = uxx + f(x, t), 0<х<1, 0</<оо,
( и@, 0 = 0,
<гу> {,A,0 = 0, 0</<о°'
(НУ) и{х9 0) = 0, 0<*<1,
проследим, как оно решается методом конечного синус-преобра-
синус-преобразования. Вот что мы должны сделать: разложить входное воздей-
воздействие f(x, 0 на компоненты, найти отклик Vп на каждую ком-
компоненту, а затем сложить эти отклики. Математически это может
быть и не совсем очевидно, но давайте внимательно проследим
за ходом решения. Разложим входящие в уравнение с частными
7 № 601

194 Часть 3. Гиперболические задачи
производными
B6.1) Д Л„
где
члены в ряды
Щ « ихх
\ \
со
sin (ппх) = 2 &
^@ = 2 $ и
0
1
В„@ = 2$иЛ
0
1
Фурье по
+
in sin (лял:)
синусам!
fix, 0
4
со
+ 2 ^ sin (пялг),
^(л:, 0 sin (лях) йа:,
«(*. Osin
(ляя) d^,
sin
Отметим, во-первых, что коэффициенты Лп, Вй, Fn действи-
действительно являются функциями времени t, поскольку мы применяли
синус-преобразование к функции двух переменных х, t, и, во-
вторых, что мы разложили входное воздействие /(*, /) на про-
простые компоненты Fn (t). Найдем теперь отклики Un (/) на каждую
компоненту Fn (t)9 a затем сложим все отклики Vп (t) и получим
решение и{х, /),
Чтобы найти отклики Vп (t), необходимо проделать небольшие
выкладки с коэффициентами Ап (/) и Вп (/), чтобы в подынтеграль-
подынтегральные выражения входила только функция и, а не ее производные
щ и ихх. Интегрируя по частям, получаем
An(t) = 2 \ utsm(nnx) dx = -^ 2 {и(х, t) sin (ппх) dx = ЩР~,
о L о J
1
Вп @ = 2$ ихх sin (ппх) dx=— (rrnf Un (t) +
о
+2ля[и@,0+(—1)и+1иA, t)]y
где 1/д@—синус-преобразование функции и(х, t). Подставляя
граничные условия
«@, о=о,
мA, 0 = 0
в последнее соотношение, получаем

Лекция 26. Принцип суперпозиции—основа линейных систем
и, следовательно, B6.1) принимает вид
2
1
2
л=1
Поскольку это разложение является тождеством по х, его коэффи-
коэффициенты должны быть равны нулю, т. е.
Таким образом, мы получили связь между входом и выходом
системы, между коэффициентами Fn и ?/л. Прежде чем решать
уравнения для Un(t), обратимся к начальному условию
и(х, 0) = 0.
Если разложить и(х, 0) в ряд Фурье по синусам и приравнять
его нулю:
00
2 Un(Q)sin(nnx)=O,
то определяются начальные условия для функции Un(t)t т. е.
1/л@)=0, /i = lf 2, ... .
Мы получили разложение нашей смешанной задачи на ряд
простых задач об отклике системы на элементарные входные
воздействия:
(ОДУ) U'n(t) + (nn)*Un(t) = Fn(t),
(НУ) 1/я@) = 0, /i=lf 2, ... .
Каждое из этих уравнений легко решается методом интегри-
интегрирующего множителя (или с помощью преобразования Лапласа).
В любом случае получаем
t
Un (t) = е- №' $ е^)г х Fn (т) dx.
о
Таким образом, мы получили отклики Un(t) на простейшие вход-
входные воздействия Fn(t). Для получения решения исходной задачи
осталось совершить последний шаг—сложить все отклики
00
и (х, t) = 2 ?/я @ sin (лях).
Читатель, должно быть, заметил, что каждый отклик Un(t)
умножается на весовой множитель sin (лях). Конечно, в разло-
разложении функции /(xf t) на компоненты Fn(t) присутствуют те же
весовые множители.

196 Часть 3. Гиперболические задачи
ЗАМЕЧАНИЕ
Применение конечного синус-преобразования позволяет запи-
записывать решение в виде ряда, но для большинства других инте-
интегральных преобразований решения представляются в виде инте-
интегралов (непрерывное разложение). Читателю можно предложить
дать интерпретацию задачи
(УЧП) Uf = Uxx, — CX)<X<OO> 0</<ОО,
(НУ) и(х, 0) = <p(*)f — oo<x<oo,
на языке принципа суперпозиции, если она решается методом
преобразования Фурье. По существу, это было сделано еще
в лекции 12, когда эта же задача решалась методом функции
Грина.
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что если иг и и2—решения задач Рг и Р2 из этой
лекции, то («! + «2) — решение задачи Р.
2. Используя принцип суперпозиции, решите смешанную задачу
(УЧП) ии = ихх + sin (Зях), 0 < л: < 1, 0 < / < оо,
( w@, 0 = 0,
<гу> {«A,0=0, 0<t<00'
(НУ) Г
Для каждой из подзадач выберите метод решения по своему
вкусу.
3. Предположим, что иг и и2 — решения следующих уравнений:
а) ut = uxx;
б) щ = их
в) иг = е-
Для каких уравнений функция их~\-иг также будет решением?
Какие выводы вы сможете сделать, исходя из ваших ответов?
4. Найдите четыре смешанные задачи, сумма решений которых
дает решение следующей задачи:
"* = "** + /(*. t), 0<*<l, 0</<оо,
МО, 0 = ^(9.
и(х9 О) =

Лекция 27. Уравнения первого порядка (метод характеристик) 197
5. Решите задачу Коши
(ОДУ) U'n{t) + (nnyUn(t) = FJt)f
(НУ) С/я@) = 0.
Можете ли вы проверить полученное решение?
6. Предположим, что функции иг и щ удовлетворяют линейным
однородным граничным условиям
МО, 0+М@, О==о,
uAU t)+h2u(it o=o.
Будет ли функция ut-{-u^ удовлетворять этим условиям?
Лекция 27
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
(МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ* Ввести понятие уравнения с частными
производными первого порядка (до сих пор мы рассматри-
рассматривали уравнения второго порядка) и познакомиться с важ-
важным методом решения задач с начальными условиями — ме-
методом характеристик. Задача, которой мы теперь займемся,
имеет вид
(УЧП) а {х, t)ux + b (х, t)ut + c (xt t) и = 0, — оо <#< оо,
0<*<оо,
(НУ) и (х, 0) = ф (х), — оо<л;<оо.
Сразу же отметим, что впервые мы будем решать зада-
задачу с переменными коэффициентами. Оказывается, если от
координат (х, t) перейти к новым, характеристическим ко-
координатам (s, т), то наше УЧП превратится в обыкновен-
обыкновенное дифференциальное уравнение. Затем можно решить обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение, т. е. найти и (s, т), а
на последнем шаге выразить s и т через х и t и получить
и(х9 t).
Напомним читателю, что, когда мы решали уравнение диф-
диффузии
ut = a2uxx—vuxi — oo<#<oof 0<*<oo,

198 Часть 3- Гилербодические задачи
константа а2 играла роль коэффициента диффузии, a v—была
скоростью среды. Очевидно» что если а = 0 (т. е. диффузии нет),
то решение будет смещаться как целое вдоль оси х со скоростью
v (у нас осталась только конвекция). Другими словами, если
начальное условие и (х, 0) = ф (х), то соответствующее решение
уравнения
uf= — vux
будет иметь вид и(х, <) = cp(jt—vt).
Это дает нам основания думать, что решение уравнения пер-
первого порядка
переносится вдоль потока со скоростью
v= — a{x, t)/b(x. t).
Конечно, если а и Ъ—константы, то решение представляет собой
бегущую с постоянной скоростью волну. Если же а (х, t) и Ь (xf t)
Характеристики щ
(Энергия распространяется вдоль
этих, литий)
s - consi
на этой линии
РИС. 27.1. Начальное значение в точке х оказывает влияние на решение только
вдоль характеристики в плоскости переменных (х, t). Параметр s изменяется
вдоль характеристик от нуля до бесконечности, начиная с линии начального
условия; т постоянна вдоль каждой характеристики; т изменяется вдоль линии
начального условия.
зависят от х и /, то скорость потока изменяется как вдоль по-
потока, так и во времени (читатель сможет увидеть, что начальная
кривая сильно искажается). Здесь так много аналогий с конвек-
конвекцией!
Вернемся к нашей основной задаче:
(УЧП)
(НУ)
а(х,
, t)ut + c(x, t)u = 0,—
<*<оо.

Лекция 27. Уравнения первого порядка {метод характеристик) 199
Решение этого линейного уравнения первого порядка основыва-
основывается на следующем физическом факте: начальное условие в неко-
некоторой точке х переносится в ^-плоскости вдоль линии, которая
называется характеристи- ч ,,ЯЙ
кпи (см пиг 27 1\ \ /(Двехаракт-
кои (см. рис. z/л) \ / ристини)
Этим наше уразнение
отличается от других урав-
уравнений (таких, как уравне-
уравнение теплопроводности «t =
= ихх), для которых на- х
чальное значение в точке
шение ьи blca iu4KdA при возмущение струны согласно волновому урав-
странства И ВО все момен- нению распространяется вдоль двух характе-
ты времени. Если читатель ристик.
помнит, то начальное сме-
смещение скрипичной струны в точке х оказывает влияние на реше-
решение вдоль двух линий в /х-плоскости (соответствующих двум бе-
бегущим волнам) (см. рис. 27.2).
Естественно, напрашивается идея ввести две новые координаты
s и т (вместо х и t) так, чтобы
s изменялась вдоль характеристических кривых,
т изменялась вдоль начальной кривой (желательно вдоль линии
t = 0).
Рассмотрим сначала новую координату s. Если s выбрать так,
что она удовлетворяет приведенному выше условию, то уравнение
а (х, t)ux + b (x, t)ut + c (x, t)u = O
превратится в обыкновенное дифференциальное уравнение
Конечно, остается открытым вопрос, как найти эти характе-
характеристики. Ответ прост: мы выберем характеристики {[x(s)t t(s)]i
0<s<oo} так, чтобы они удовлетворяли системе
dx
Ясно, что в этом случае
, t)ut.

200 Часть 3. Гиперболические задачи
Другими словами, на характеристиках {[x(s), t(s)]: 0<s<oo}
уравнение с частными производными становится обыкновенным
дифференциальным уравнением. Поясним эти идеи на конкретном
примере.
ПРИМЕР
Предположим, что нам нужно решить следующую задачу Коши
с постоянными коэффициентами:
(УЧП) ux + ut + 2u = 0, — oo<#<oo, 0</<oo
(НУ) u(xt 0) = sinx, —оо<л;<оо.
ШАГ 1. Находим характеристики (вдоль которых распростра-
распространяются начальные данные)
dx , dt , n ,
1 l °<
Так как s—независимая переменная, то решения этих уравнений
легко находятся.-
Для определения константу и с$ положим s=0 и обратимся к
рис. 27.1. Пусть
тогда сг~% и ?2 = 0. Следовательно, характеристики нашей за-
задачи имеют вид
Чтобы построить характеристики в /л;-плоскости, исключим s
из предыдущих соотношений. В результате получаем
х—t = -t, —оо<т<оо.
Каждому значению т соответствует прямая линия; например,
если т = 0, то уравнение прямой будет t = x (см. рис. 27.3).
ШАГ 2. Используя новые координаты, сведем исходное урав-
уравнение к обыкновенному дифференциальному уравнению
(ОДУ) g+2a = 0, 0<s<oo,
(НУ) t/(O) = sinr.
Решение этой задачи записывается в виде
и (s, т) = sin xes
(решение является функцией переменных s и т).

Лекция 27. Уравнения первого порядка (метод характеристик) 201
Итак, решение получено, но осталась одна проблема: это ре-
решение записано не в исходной системе координат. Было бы луч-
лучше, если бы мы нашли и как функцию координат х и t. Это мы
сделаем на следующем шаге.
t
/
A-t/
= const
Г7/
X
РИС. 27.3. Новая система координат (s, т). Характеристики—прямые линии;
т меняется вдоль начального условия.
ШАГ 3. Из соотношений
вы-разим s и т через х и U
Значит, решение нашей задачи имеет вид
a (a:, t) = sin (x—/) e~2t (проверьте это).
Из решения видно, что начальная волна u(x, O) = sinA; дви-
движется вправо без искажений формы, но ее амплитуда затухает и
стремится к нулю (рис. 27.4).
Подведем теперь некоторые итоги.
РИС. 27.4. Решение перемещается слева направо с постоянной скоростью и
затухает до нуля.

202 Часть 3. Гиперболические задачи
Общая стратегия решения уравнения
первого порядка
Пусть нам дана задача с начальным условием
(УЧП) а(х, t)ux + b(x, t)ut + c(xt t)u = O, _оо<л;<оо,
(НУ) и (*,<)) = /(*), —оо<*<оо.
ШАГ 1. Решаем систему двух обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений (уравнения характеристик)
Подстановкой л;@) = т и /@) = 0 находим постоянные интегриро-
интегрирования. Теперь у нас есть формулы перехода от переменных (xt t)
к переменным (s, т)
x = x(st т),
t=t(S,T).
ШАГ 2. Решаем задачу Коши для обыкновенного дифферен-
дифференциального уравнения
(ОДУ) %+c[x(s, т), t(stT)]u = Of 0<s<oot
(НУ) u@) = F(t).
Отметим, что в коэффициент с(х, t) подставляются х и t, вы-
выраженные через s и т.
ШАГ 3. После решения задачи Коши на шаге 2 получаем
функцию и (s, т) и должны выразить s и т через х и t (из фор-
формул шага 1). Когда это сделано, следует подставить выражения
для s и т в u(s, т).
Применим эту методику к решению следующей задачи с пере-
переменными коэффициентами.
ДРУГОЙ ПРИМЕР
(УЧП) xux + ut + tu = 0, — оо<лг<оо, 0< /<оо,
(НУ) и (л;, 0) = F (х) (произвольная начальная волна).
ШАГ 1.
^ = #, решение этого уравнения
~ = 1 f решение этого уравнения t (s) == s+с*

Лекция 27. Уравнения первого порядка (метод характеристик) 203
Полагая л;@) = т и /@) = 0, получаем постоянные интегрирова-
интегрирования сг=^х и ^ = 0- Следовательно, переход к ношам координатам
осуществляется по формулам
х = %es,
t = s.
ШАГ 2. Решаем задачу
•j~-fsa = O, 0<s<oo,
Ее решение записывается в виде
u(s9 x)=*F{%)e~s i\
ШАГ 3. Выражаем s и т
и получаем решение исходной задачи
и(х, t) =
Если бы начальное условие было и (х9 0) = sin x9 то решение имело
бы вид
и (х, t) = sin (хе-*) e~i%i*.
ЗАМЕЧАНИЕ
Читатель может удивиться: почему в книге сначала рассмат-
рассматриваются уравнения с частными производными второго порядка,
а затем уже первого? G математической точки зрения эти темы
можно было легко переставить. Однако, поскольку методы реше-
решения уравнений второго порядка не переносятся на уравнения
первого порядка и поскольку уравнения второго порядка более
важны в приложениях, мы решили начать с уравнений второго
порядка.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений ситуа-
ситуация совсем другая. Методы решения, общая теория и т. д. есте-
естественно переносятся с уравнений первого порядка на уравнения
второго порядка, так что учебники по обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнениям всегда начинаются с уравнений первого
порядка.

204 Часть 3. Гиперболические задачи
ЗАДАЧИ
1. Решите простую задачу переноса
(УЧП) ux + ut = 0, — оо<*<оо, 0<
(НУ) и (х, 0) == cos х, —оо<х<оо.
Как выглядит ее решение? Удовлетворяет ли оно уравнению
и начальному условию?
2. Решите задачу
(УЧП) xux+tut + 2u = 09 — oo<*<oo,
(НУ) и(х, 1) ===== sin л:, —oo<#<oo.
Отметим, что процесс начинается при t = 1. Как выглядят
характеристики этой задачи? Постройте график решения для
различных моментов времени. И конечно, проверьте ответ.
3. Решите многомерную задачу (поверхностные волны)
(УЧП) aux + buy + cut + du = 0, —
0<t<OOy
(НУ) и (х, у, 0) =*-<*¦+*¦>, —оо< х <оо, —оо<у <оо,
где а, Ь, с и d—заданные константы. Ответ проверьте.
4. Решите задачу
ux + ut + tu = Ot —оо<л;<оо, 0</<оо
^(л:, 0) = /7(х), —оо<л:<оо,
и проверьте ответ.
5. Можно задавать решение и не только на линии / = 0, но и на
других кривых. И в самом деле, дифференциальное уравнение
может не содержать времени в числе переменных (может зави-
зависеть только от пространственных переменных). Попытайтесь
решить более общую задачу-
(УЧП) их + 2иу + 2и = Ъ, —оо<х<оо, — оо<#<оо.
Начальное условие задается в виде: и(х, y) = F (x9 у) на кривой
С\ у = х (подразумевается, что функция F (х9 у) задана).

Лекция 28. Нелинейные уравнения первого порядка 20$
Лекция 2$
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
(ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ; Ввести понятие нелинейных
уравнений первого порядка и показать, как некоторые из
них (так называемые законы сохранения) можно использо*
вать для описания физических явлений. Например, закон
сохранения
с начальным условием
и (х, 0) = ф (х)
используется для описания потока автомобилей на авто-
автостраде. Этот пример показывает, что уравнения с частными
производными применимы не только в физике, биологии или
технике. Более того, это нелинейное уравнение имеет разрыв-
разрывные решения, которые описывают ударные волны, распро-
распространяющиеся в потоке автомобилей вдоль дороги.
Одно из наиболее важных уравнений в частных производных
это закон сохранения
Этот закон утверждает, что увеличение некоторой физической
величины ut равно изменению потока — fx этой величины через
поперечное сечение (поток, направленный слева направо, счита-
считается положительным). В динамике жидкости величина и(х, t)
может обозначать плотность жидкости в точке х, а величина
f(x,t)— поток жидкости (т. е. количество жидкости, протекаю-
протекающей через поперечное сечение в точке х в момент времени t).
Мы не станем в этой лекции рассматривать динамику невязкой
несжимаемой жидкости. Вместо этого мы покажем, как закон
сохранения можно использовать для прогноза динамики дорож-
дорожного движения (нас будет интересовать поток автомобилей, а не
поток молекул воды).
Сначала займемся выводом закона сохранения.

206 Часть 3. Гиперболические задачи
Вывод закона сохранения
Предположим, что автомобили движутся слева направо по
скоростной автостраде, у которой нет боковых съездов и въездов.
Обозначим
u(x,t)—плотность автомобилей в точке х (число автомобилей
на единицу длины),
f(x, t)—поток автомобилей в точке х (число автомобилей, про-
проходящих через точку х в одну минуту).
Совершенно очевидно, что на участке дороги [а, Ь] изменение
числа автомобилей (за единицу времени) дается следующими
двумя выражениями!
ь
Изменение числа автомобилей на [at b] = -rr \ и (xt t) dx
a
И
Изменение числа автомобилей на [a, b] =& f (a, t)—f(b, t) =?
ь
a
Последнее соотношение—следствие основной теоремы интеграль-
интегрального исчисления. Приравнивая эти два интеграла, получаем
ь ь
Поскольку промежуток [а, Ь] произволен, делаем вывод, что под-
подынтегральные функции равны, т. е. выполняется закон сохранения
Применение закона сохранения
к задаче о дорожном движении
Уравнение ut-\-fx = O по форме очень простое. Правда, в нем
две неизвестные функции! Вопрос в том, как воспользоваться
этим уравнением и что это нам даст?
В задачах дорожного движения пользуются экспериментально
найденной зависимостью потока автомобилей f(u) от плотности
автомобилей в данной точке и. Представляется очевидным, что
если плотность и растет, то растет и поток f (по крайней мере
в точке). Типичная модель дорожного движения задается форму-
формулой (см. рис. 28.1)
f Au(l— и).

Лекция 28. Нелинейные уравнения первого порядна 207
Используются и другие модели;
1) f(u) = ku (линейный рост потока),
2) f(u) = u2 (квадратичный рост потока).
f(u)=AuA-u)
1 —максимальная
плотность
и - плотность автомобилей
РИС. 28.1. Типичная зависимость потока от плотности.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы применить уравнение
Jf:=^ к задаче дорожного движения. По правилу дифферен-
дифференцирования сложной функции /х = -^- их\ значит, закон сохранения
можно переписать в .виде
Пусть, например, зависимость потока от плотности квадратич-
квадратичная, т. е. f(u) = u2, тогда закон сохранения принимает следую-
следующую форму:
Если начальная плотность распределения автомобилей была
и(х, О) = ф(л:), то, чтобы найти плотность распределения в про-
произвольный момент времени, необходимо решить задачу с началь-
начальным условием (задачу Коши):
(УЧП) ut + 2uux = 0, — оо<*<оо, 0</<оо,
(НУ) и(х, 0) = <р(х), —оо<*<со.
Займемся теперь решением нелинейной задачи Коши.
Нелинейная задача с начальным условием
(задача Коши)
Рассмотрим задачу
(УЧП) ut + g(u)ux = 0, — оо<х<оо, 0</<оо,
(НУ) и(х, 0) = ф(х), —оо<х<оо.

208 Часть 3. Гиперболические задачи
Вспомним предыдущую лекцию, где мы изучали уравнение
конвективного переноса:
В этом уравнении и(х, t) — это концентрация вещества
в потоке, который движется со скоростью v. Можно провести
аналогию между нелинейным уравнением
и уравнением переноса. Будем считать, что частица воды в точ-
точке х0 движется со скоростью g(u) (вдоль по течению или против
него). Тогда через t секунд координата частицы будет
х = хо + g(u) t (уравнение характеристик).
Вспомним, что концентрация и (х, t) не меняется вдоль характе-
характеристики. Если нам известна начальная концентрация и (х^ 0),
t
у
х-1+Zt
О
B,0)
Рис. 28.2. Характеристики уравнения Uf-\-g (и) их — 0; а—-общий вид характе-
характеристики, выходящей из т. (х0, 0), вдоль характеристики решение остается
постоянным и равным величине и(х0, 0); 6—пример характеристики, начи-
начинающейся из т. B, 0), уравнения щ + Зиих = 0 с //B, 0)=1.
то уравнение характеристик принимает вид
х = х0 + g [и (xOi 0)]t (уравнение характеристики, начинающейся
в точке (х0, 0)).
Пусть, например, мы решаем задачу
(УЧП)
(«у,

Лекция 28. Нелинейные уравнения первого порядка 209
Чтобы найти характеристику, выходящую из точки, напри-
например B, 0), мы должны написать
Можно утверждать, что решение нашей задачи и (х, /) равно еди-
единице на линии х = 2 + 3/, т. е. и B + 3/, /) = 1 при всех t > 0.
На рис. 28.2 изображены характеристики для общего случая
и для этой конкретной задачи.
Теперь ясно, что, зная характеристики в каждой точке и зная,
что решение вдоль характеристик не меняется, можно получить
решение и (ху t) в любой момент времени /. Мы не получили
в явном виде выражение для и {х, t) через переменные х и /, но
знание характеристик уравнения позволяет решить некоторые
интересные задачи.
Задача дорожного движения
Займемся моделью дорожного движения, в которой- поток
вычисляется по формуле / (и) = и2щ а начальная плотность изо-
и
Лоток- иг
О 1 о;
РИС. 28.3. Начальная плотность автомобилей, движущихся слева направо.
бражена на рис. 28.3. Другими словами, нам нужно решить задачу
(УЧП) ut + 2uux = 0t —oo<jc<oo, 0</<oo,
A,
(НУ) и(х, 0) = |l—х,
(о,
Начнем с определения характеристик, выходящих из точек вида
(х0У 0). Для х0 < 0 получаем
u(xot 0)]/ =

210 Честь 3. Гиперболические задачи
Разрешая относительно /, находим уравнение характеристик
Эти прямые линии изображены на рис. 28.4. Теперь рассмотрим
точки 0 < xQ < 1. Здесь характеристики определяются следую-
следующими соотношениями:
I-*.)'.
Разрешая последнее соотношение относительно /, получаем
/= 2A—дг0) '
При 1 < х„ < оо характеристики
С*. 0)] t =
приводят к вертикальным линиям, выходящим из точек х0. Все
характеристики задачи изображены на рис. 28.4.
г
Решете постоянно
Ъдоль характеристик"
-За ударной Волной = /Ударная волна
х0 0 х0
РИС. 28.4. Характеристики уравнения щ-\-2иих = 0.
Совершенно ясна обстановка на дороге при 0</<1/2.
На рис. 28.5 изображено решение нашей задачи в различные
моменты времени. Отметим, что характеристики сходятся в одну
точку при /=1/2. Значит, для решения задачи при t > 1/2 нужно
применять другой метод. Когда характеристики сходятся в одной
точке, мы говорим об ударной волне (разрыве решения)^ Теперь
надо ответить на вопрос: с какой скоростью передний фронт

Лекция 28. Нелинейные уравнения первого порядка 211
ударной волны будет перемещаться вдоль'автострады? Хотя это
и не очевидно* но оказывается, что скорость распространения
разрыва находится по формуле
g_/(tt*)-/fr?)
где uR и uL—значения решения справа и слева от волнового
фронта, а /(%> и f(uL)—значения потока при этих плотностях.
и
О
и
О
и
t =0,33
\
= 0,50
О 1
РИС. 28.5. Плотность дорожного движения в различные моменты времени.
В нашем примере скорость распространения разрыва оказывается
равной единице. В самом деле, если вспомнить, что /(//) = «2, то
сразу получаем
Это означает, что при /> 1/2 фронт волны будет перемещаться
слева направо со скоростью единица.
Полное решение задачи
(УЧП) ut + 2uux = 0f — оо<лг<оо,
1,
(НУ) и{х, 0) =
изображено на рис. 28.5.
-х, 0<х<1,
[О, 1<х,

212 Часть 3. Гиперболические задачи
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Ударная волна в нашем примере возникает благодаря тому,
что поток быстро растет с ростом плотности и. Если бы поток
задавался формулой f(u) = u, то уравнение имело бы вид
щ-\-их = 0, а решение этого уравнения представляет волну, дви-
движущуюся вправо без искажений. Если на мгновение задуматься
над смыслом формулы f(u) = u, то становится очевидным, что
решение будет двигаться именно таким образом.
2. Прямой подстановкой решения в виде
можно убедиться в том, что эта формула неявно определяет
решение задачи
и* + ?(и)и* = 01 — °°<*<°°, 0</<оо,
и (х% 0) = ф (х)9 — оо < х < оо.
Например, решение задачи Коши
(УЧП) щ + иих = 0,
(НУ) и{х, 0) = х
неявно задается соотношением
и^ц>[х—g(u)t] =
t=X — g(u) t = X — Ut.
В нашем частном случае можно получить решение в явном виде
(во многих других случаях это сделать не удается)
Проверьте, что эта функция действительно является решением
нашей задачи.
ЗАДАЧИ
1. Решите задачу Коши
(УЧП) ut + uux = 09 —оо<л:<оо, 0</<оо,
(НУ) «м

Лекция 28. Нелинейные уравнения первого порядка 213
Постройте график решения для различных моментов времени.
Как вы интерпретируете это решение? Как выглядит соотно-
соотношение между потоком и плотностью в этой задаче?
2. Решите задачу
(УЧП) щ + и2их = 0, — оо<л;<оо, 0<*<oo,
Какова здесь связь между потоком и плотностью? Совпадает
ли поведение полученного решения с тем, что вы ожидали?
Сравните решения задачи 1 и задачи 2.
3. Предположим, что невязкая жидкость течет по трубе и при
этом просачивается через стенки по закону F(и) = ku (г/см-с).
Закон сохранения (скорее закон изменения) в этом случае
записывается в виде
Найдите решение этого уравнения, если / (и) = и и ф (л;) = и (х, 0)
(начальное распределение задано, в общем виде). Дайте интер-
интерпретацию полученного решения. '
4. Найдите решение предыдущего уравнения, если потери опре-
определяются функцией F (x, t) = l/x. Проверьте полученное реше-
решение. Ясен ли вам его физический смысл?
5. Проверьте, что функция и, неявно заданная соотношением
u = q>[x—g(u)t],
является решением нелинейной задачи
(УЧП) ut
(НУ) и(х, 0) =

214 Часть 3. Гиперболические задачи
Лекция 29
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Познакомить читателя с тем фактом,
что многие физические системы (особенно в динамике жидко-
жидкости) нельзя описать одним уравнением. Для описания таких
систем требуются системы связанных уравнений. В эти
системы входят некоторые неизвестные функции, такие, как
давление р{х, у, г, t)t плотность р(дс, у> г, /), температура
Т (х, у, г, /) и их частные производные. Связи между этими
функциями определяются физическими законами и наша
задача — найти все эти функции одновременно.
В лекции будет показано, как можно решить линейную
систему уравнений
если преобразовать ее в новую систему независимых урав-
уравнений
а затем независимо решить каждое уравнение этой системы.
Во многих областях науки встречаются системы величин, кото-
которые связаны между собой не одним, а сразу несколькими соот-
соотношениями. Например, в динамике жидкостей—это четыре урав-
уравнения
ut + иих + vuy -)— рх = О (сохранение импульса
вдоль оси х),
B9 I) vtJruvxJrvvy"\—Ру~® (сохранение импульса
вдоль оси у),
9t + (Ри)х + (Pv)y — 0 (сохранение массы),
(-От) +и("~?у) +v(^f) ==0 (сохранение энергии),
где \ 9 Jt \ Р /х \ р /у
р(х, у, z, t) —давление в жидкости,
и (х, у, г, f) — ^-компонента скорости,
и (я, у, г, t) —^-компонента скорости,
*> У% *> t) —плотность жидкости.

Лекция 29. Системы уравнений с частными производными 215
Приведенная нелинейная система уравнений называется урав-
уравнениями Эйлера движения жидкости. Задача состоит в одновре*
менном отыскании всех неизвестных функций /7, и, v и р, кото-
которые удовлетворяли бы всем четырем уравнениям (вместе с началь-
начальными и граничными условиями).
Есть и другие причины для изучения систем уравнений. В тео-
теории обыкновенных дифференциальных уравнений (если читатель
помнит) показано, что одно уравнение второго порядка можно
представить в виде системы двух уравнений первого порядка.
И хотя в теории уравнений с частными производными все не так
просто, очень часто одно уравнение с частными производными
высокого порядка можно свести к системе уравнений с частными
производными первого порядка. Например, телеграфное уравнение
путем введения трех новых переменных
можно свести к системе уравнений первого порядка
B9.2) dUl —
Для того чтобы решать системы типа B9.2), необходимо
хорошо знать такие понятия, как собственные значения и собст-
собственные векторы матрицы. По этой причине мы предлагаем вни-
вниманию читателя краткий обзор линейной алгебры.
Обзор линейной алгебры
Общий случай Частный случай
Определение. Если А —квадрат- Пример.
ная матрица порядка п, то соб-
ственными значениями матрицы Пусть А =П I .
называются п корней характе- [4 1J *

216 Часть 3. Гиперболические задачи
ристического уравнения
где det (А—hi) —- определитель
матрицы А—%1.
Некоторые собственные значения
могут совпадать.
Тогда собственные значения яв-
являются корнями уравнения
4 1-
= Л,в —2Х—3 = 0.
Откуда Ях = —1, Я2 = 3.
Определение. Если Я—собствен-
Я—собственное значение матрицы Л, то
соответствующим ему собствен-
собственным вектором называется такой
ненулевой вектор, который удо-
удовлетворяет соотношению
Ах = кх.
Пример. Вектор X
-[J]
яв-
является собственным вектором,
соответствующим собственному
значению 12 = 3, так как
Определение. Матрица А назы-
называется обратной к матрице Л,
если
Пример. Обратной к
Г2 —21
Ч. .]
является матрица
Г 0,25 0,5 1
- [_0,25 0,5 J •
где /—единичная матрица.
поскольку
1J-
Диагонализация матрицы
Пусть Л — квадратная матрица порядка п и пусть все ее собст-
собственные значения Kv А,§ ... %п различны. Составим матрицу Р так,
чтобы у нее столбцами были координаты собственных векторов
(в k-u столбце стоит собственный вектор Хк, соответствующий
собственному значению %k)> т. е.
•^11 Л19 • • • Hti -'
Ге!
#21 ^22

Лекция 29. Системы уравнений с частными производными 217
Тогда матрица Л, определяемая соотношением
где Р~1 — обратная к матрице Р, будет диагональной матрицей вида
Л =
Например, у матрицы
\ J
А =
п
Oj
собственные числа равны \ = 4 и ^2 = —4, а собственные век-
векторы соответственно
Г2
*,
=¦[
и Х2 =
Значит, произведение
2 —21-40 81 Г2 —21
J ML J
0 81 Г2 —21
ML .J-
_ Г 1/4 1/21 ГО 81 Г2 -2]
~ [-1/4 1/2J [2 oj [I lj
равно диагональной матрице
(Читатель может проверить это самостоятельно.)
Теперь можно решить простую систему двух уравнений с част-
частными производными (с соответствующими начальными условиями).
Решение линейной системы ut + Aux = 0.
Рассмотрим задачу Коши для системы, содержащей два урав-
уравнения и два начальных условия:
(УЧП 1) % + 8^ = 0,
'01 их
(УЧП2) ^4-2— = 0 _оо<л;<оо 0<^<оо
\/и»о) dt ох ' *
(НУ 1) щ(х, 0) =/(*),
(НУ 2) иг(х, 0) = g(x), -°°<^<00-

218 Часть 3. Гиперболические задачи
Эта задача может соответствовать определению давления
ut (x, t) и плотности и2 (х, t) как функции пространственной коор-
координаты х и времени t по известным распределениям этих вели-
величин в начальный момент.
Запишем систему уравнений в матричной форме
п г диг 1
ди2
L dt j
ГО 8] дх Го]
L2 oj Ы Ы
или
B9.4)
где
° 8
dt
L dt j
Введем
неизвестные функции
-и
с помощью преобразования
где Р — матрица, по столбцам которой стоят собственные векторы
матрицы А (матрица Р нам уже известна). Оказывается, что после
такого преобразования для определения v получится очень про-
простая система (два уравнения относительно новых неизвестных vt
и v2 оказываются независимыми). Значит, vx и v2 легко находят-
находятся. После того как vt и v2 найдены, по формуле
находятся искомые функции их и и2.
Сначала, однако, выясним, как выглядит система для опреде-
определения v. Чтобы разобраться в этом, читатель должен обратиться
к матричному исчислению. Продифференцировав обе части соотно-
соотношения u = Pv, получаем
ди р dv
B9.5) 7" f
х 7 ди п dv
(Чтобы лучше понять дальнейшее изложение, читателю рекомен-
рекомендуется записать эти уравнен я в развернутой форме.)

Лекция 29. Системы уравнений с частными производными 21|
Теперь подставим соотношения B9.5) в систему
и получим
Если умножить теперь обе части последнего уравнения на Р~\
то получим
или
B9.6) \
Раньше мы уже видели, что для нашей матрицы
Запишем B9.6) в развернутой форме
B9.7)
ди2
dt
4?-
дх
дх
Получилась система из двух несвязанных уравнений, которые можно
решать независимо. Читателю должно быть известно, что реше-
решениями этих уравнений являются бегущие волны
vt(x, 0 = ф(х—4/),
где ф и 'ф—произвольные дифференцируемые функции.
Таким образом, мы нашли функции vt и v^ Для получения об-
общего решения и нужно вычислить
 —2"
1 1
2 —2
1 1
.»iJ
2ф (ж—4/)
Другими словами,

220 Часть 3. Гиперболические задачи
Следовательно, мы нашли общее решение системы двух уравне-
уравнений B9.3).
Типичным решением (а их бесконечное число) могут быть,
например, функции
2!/|ч!1|а (Две произвольные функции)
и, следовательно,
иг(х, /) = 2sin (л:— 4/)—2{x+4tJ,
и2{х, t) = sm(x—4t) + (x+4t)\
Подставим теперь общее решение B9.8) в начальные условия
М*. 0) = /(*),
u2(x, 0) = g(x),
в результате получаем
2cp(*) —
откуда функци i ф и \р легко находятся:
Теперь можно написать решение задачи B9.3) в окончательном
виде
ut(xf *) = 2<р(*—4/) —
B9.9)
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Многие численные методы ориентированы на решение систем
уравнений и, значит, многие программы для ЭВМ написаны
так, чтобы решать системы уравнений первого порядка. По
этой причине, прежде чем воспользоваться программой, при-
приходится преобразовать свое уравнение высокого порядка
в систему уравнений первого порядка.

Лекция 29. Системы уравнений с частными производными 221
2. Линейную систему
ut + A(x9 t)ux + B(x9 t)u = 0
можно решать тем же методом, что и систему щ + Аих~О.
Разница в том, что в этом случае матрица Р из собствен-
собственных векторов матрицы А (х, t) будет функцией х и /.
ЗАДАЧИ
1. Запишите систему уравнений B9.2) в матричной форме
где А, В и С—матрицы третьего порядка.
2. Найдите собственные векторы и собственные значения мат-
матрицы
-И!]-
3. Воспользовавшись результатами задачи 2, решите систему
dtil -и dUl -1- dU2 — о
dt "* дх ^ дх "~ '
du2
УКАЗАНИЕ. Запишите сначала систему в матричной форме.
4. Проверьте формулы B9.5), записав их в скалярной форме.
5. Проверьте, что функции иг и ы2 из B9.8) удовлетворяют
обоим уравнениям B9.3).

222 Часть 3. Гиперболические задачи
Лекция 30
КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ
(ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ» Показать, что колебания мембраны
можно описать волновым уравнением
.1 .1
Если искать решение этого уравнения в виде стоячих волн:
и (г, 0, t) = R(r)S(B)T(t)t
то оно распадается на три обыкновенных дифференциальных
уравнения:
Т" + №с2Т = 0 (уравнение гармонических
колебаний),
r*R" + rR' + (X2r2 — n2)R=0 (уравнение Бесселя),
в" + я2® = 0 (уравнение гармонических
колебаний).
Все произведения R (г) 0 (9) Т (t) решений этих трех обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений описывают основные
колебания мембраны, а функции R (г) в @) описывают форму
мембраны. Чтобы найти колебания мембраны при произ-
произвольных начальных условиях, мы составим такую комбина-
комбинацию фундаментальных решений, чтобы начальные условия
удовлетворялись.
Цель этой лекции ясна—найти колебания круглой мембраны
с заданными начальными и граничными условиями. Для просто-
простоты будем считать, что радиус мембраны равен единице, а смеще-
смещение по границе равно нулю. Пусть и (г, 0, t) обозначает возвышение
точек мембраны под плоскостью равновесия. Нам необходимо ре-
решить задачу (см. рис. 30.1)
(УЧП) ип = с* ( +
(ГУ) и = 0 при г=1, 0<*<оо,

Лекция 30. Колебания мембраны 223
Чтобы решить эту задачу, вспомним задачу о колебаниях
скрипичной струны из лекции 20, которая решалась суперпози-
суперпозицией бесконечного числа простых колебаний. Если воспользовать-
воспользоваться этим же подходом, то решения
следует искать в виде
и (г, в, t) = U(r9 6)T(t).
Форма этих колебаний определяется
функцией U (/•, б), а характер осцил-
осцилляции—множителем Т (t).
Подставив это представление в
волновое уравнение (см. задачу 1),
получим два уравнения
0 (уравнение Гельм-
гольца),
= 0 (уравнение гармони-
гармонических колебаний),
и-0
РИС. 30.1. Колеблющаяся мемб-
мембрана (гиперболическая смешан-
смешанная задача).
где
Отметим, что здесь мы требуем, чтобы константа разделения
была положительна (поэтому мы обозначим ее X2 *)). Только в
этом случае функции Т (t) будут периодическими.
На следующем шаге мы решим уравнение Гельмгольца, но
сначала разберемся с граничным условием для него. Чтобы найти
его, подставим и (г, 6, t) = U (г, 6) Т (/) в граничное условие для
мембраны
«A, в, /) =
= 0, 0</<оо,
или
?/A, 9) = 0.
Следовательно, для того чтобы найти форму фундаментальных
колебаний мембраны, необходимо решить задачу
l, в) = 0.
) Поскольку краевая задача
f&U-\-iiu = 0 в круге,
[U — Q на границе круга
при р^О имеет только тривиальное решение 1/аМ). — Прим. ред.

224 Часть 3. Гиперболические задачи
Это хорошо известная эллиптическая задача на собственные зна-
значения, и нам надо найти все Я, при которых она имеет ненуле-
ненулевые решения. Решения U (г, 9) описывают форму фундаменталь-
фундаментальных колебаний мембраны, а собственные числа К являются нуля-
нулями некоторых функций Бесселя и пропорциональны частотам
этих колебаний.
Итак, нам предстоит теперь решить задачу на собственные
значения для уравнения Гельмгольца (эта задача очень важна и
сама по себе). Будем решать ее тем же методом, что и другие
линейные однородные уравнения с нулевыми граничными усло-
условиями, а именно методом разделения переменных.
Решение задачи на собственные значения
для уравнения Гельмгольца
Чтобы решить задачу
(УЧП) &U + k2U = 0,
(ГУ) U A, 8) = О,
подставим
U (г, 9) = /?(/-) в (9)
в задачу Гельмгольца. Сделав это, получаем
r2R" + rR' + (k2r2 — n2)R=0 (уравнение Бесселя),
(проделайте все это сами). Отметим, что мы выбрали константу
разделения в виде /г2, л = 0, 1, 2, ..., так как хотим, чтобы
функции 0 (9) были периодическими с периодом 2я. Очевидно,
что форма мембраны является периодической функцией по 0.
Итак, для того чтобы решить задачу Гельмгольца, мы должны
решить два обыкновенных дифференциальных уравнения
r*R" + rR' + (X2r2—n2) R = 0, О < г < 1,
R @) < оо (физическое ограничение),
Уравнение Бесселя
Уравнение
r*R
хорошо известно в теории обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений. Это так называемое уравнение Бесселя. Оно имеет два

Лекция 30. Колебания мембраны 225
линейно-независимых решения
R1(r)^AJn(kr) функция Бесселя первого рода /г-го
порядка,
R2(r) = BYn(kr) функция Бесселя второго рода п-го
порядка,
и, следовательно, общее решение этого уравнения представимо
в виде
Отметим, что решения зависят от параметров пик, входящих
в уравнение. Некоторые графики функции Бесселя приведены
на рис. 30.2. Для определения функций Jп (кг) и Yn (кг) можно
N
.Jo (г)
Jt(r)
Рис. 30.2. Функции Бесселя: а — функции Бесселя первого рода; б—функции
Бесселя второго рода.
воспользоваться методом Фробениуса, который позволяет найти
R (г) в виде степенных рядов. Этим методом находятся два
линейно-независимых степенных ряда Jn(kr) и Yn(kr). Поскольку
функция Yn(kr) не ограничена при /- = 0, мы выбираем решение
в виде
Последний шаг в определении R (г) связан с использованием
граничного условия /? A) == 0 для определения всех к (в данный
601

226 Часть 3. Гиперболические задачи
т
Корни уравнений Jn(r) =
Таблица 30.1
1
2
3
4
5
п
0
2,40
5,52
8,65
11,79
14,93
1
3,83
7,02
10,17
13,32
16,47
2
5,13
8,42
11,62
14,80
17,96
3
6,38
9,76
13,02
16,22
19,41
4
7,59
11,06
14,37
17,62
20,83
момент наё не интересует коэффициент А). Подставляя #A) = 0,
в R (r) = Jn(kr)t получаем Jn(k) = O. Другими словами, для того
чтобы функция R (г) обращалась в нуль на границе круга, мы
должны выбрать константу разделения так, чтобы она была корнем
уравнения Jп (г) = 0, т. е.
где knm— m-й корень уравнения Jn(r) = 0.
Хорошо известны таблицы этих корней, но их можно вычис-
вычислять на ЭВМ. Значения нескольких первых корней представле-
представлены в табл. 30.1. Зная эти корни, мы сразу можем построить
решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца. Если собст-
собственные значения X = knmi то собственные функции Unm(r) опре-
определяются формулой
('. в) = Jn (knmr) [A sin Щ + В cos Щ].
На рис. 30.3 изображены некоторые из этих функций для раз-
различных значений пит. Общая форма функции V пт (г, 9) не зави-
зависит от значений констант А и В. Эти константы влияют только
на амплитуду колебаний и расположение линии узлов относитель-
относительно 6 = 0.
Каждая функция представляет собой фундаментальное коле-
колебание круглой мембраны с частотой
Эти частоты мы нашли из решений
Тпт @ = A sin (knmct) + В cos (knmct)

Лекция 30. Колебания мембраны 227
уравнения
Интересно отметить, что отношение частоты колебания Unm(r, 0)
к частоте основного колебания U0l(rt 6), т.е.
fnm Rnm
foi &01 '
в отличие от одномерного случая не является целым числом.
Другими словами, высшие колебания мембраны не являются чис-
чистыми обертонами основной частоты. Отметим также, что число т
совпадает с числом круговых узловых линий у функции Vпт (г, Э)
77 = 0
77 =
77*2
77= 3
777=1
777=2
777= 3
777-4
РИС. 30.3. Линии узлов для основных гармоник круглой мембраны.
(амплитуда колебаний в точках узловых линий равна нулю). Ра-
Радиусы этих узловых линий определяются отношениями
ftpl #02 fep3 .
к0т к0т к0т
Теперь, когда найдены собственные функции задачи Гельм-
гольца, их следует умножить на временной множитель
Тпт (t) = A sin (knmct) + В cos (knmct)
8*

228 Часть 3. Гиперболические задачи
и найти такую линейную комбинацию получившихся функций,
которая бы удовлетворяла начальным условиям. Это значит, что
решение исходной задачи мы будем представлять в виде
и (г, 8
» t)
=
00
= 0
00
1
т-
Jn (knmr) cos (я9) \А sin (knmct)+B cos (knmct)].
l
Отметим, что, заменив величину Л sin (n9) + В cos (пв) величи-
величиной cos (м8), мы только по-другому выбрали начало отсчета угла 9.
Константы Апт и Впт тоже можно было объединить в одну, но
это уже несущественно.
Вместо того чтобы строить сложную процедуру отыскания
коэффициентов Апт и Впт в общем случае, мы рассмотрим слу-
случай, когда и не зависит от 9 (тоже довольно общий). Другими
словами, предположим, что начальное смещение мембраны зависит
только от г\ т. е.
и (г, 9, 0) = /(г),
Щ(г9 9, 0) = 0.
(Так же легко можно рассмотреть случай игФ0.) При сделанных
предположениях решение следует искать в виде
C0.1)
Наша задача — подобрать коэффициенты Ат таким образом, чтобы
выполнялось начальное условие
<30-2) /И= 2 KhiKmr)
(условие ut = 0 выполняется при этом автоматически). Для опре-
определения коэффициентов Ат воспользуемся ортогональностью функ-
функций Бесселя {JQ(kOmr): m=l, 2, ... }
(метод вычисления этого интеграла можно найти в книгах по
функциям Бесселя). Умножим обе части уравнения C0.2) на
rje(kojr) и проинтегрируем от 0 до 1:
Aj I гД (kvr)dr =^rf (r) J.Q (kOJr) dr.
о о

Из
C0
последнего
.3)
соотношения
1
0
Лекция 30. Колебания мембраны
определяем коэффициенты
229
Итак, не зависящие от 0 колебания мембраны описываются
функцией вида C0.1), коэффициенты которой вычисляются по
формулам C0.3). Это решение не так сложно, как могло бы пока-
показаться читателю. Его можно интерпретировать следующим обра-
образом. Разложим начальное условие f(r) в сумму
/ (г) - AXJO (kolr) + A2JQ (kQ2r) + A3J0 (kQ3r) + ... ,
а затем умножим каждое слагаемое на соответствующий осцил-
ляторный множитель cos (kQmct), т. е.
и (г, t) = A±J o(kolr) cos (k01ct) + A2J0(k02r) cos (k02ct)+ ... .
В результате получили решение исходной задачи. Например, ре-
решение задачи о колебаниях мембраны с начальными условиями
и(г9 9, 0) = /0B,4 г)+ 0,5 УО(8,65 г),
щ(г9 9, 0) = 0
имеет вид
и(г9 0 = ^B,4 г) cos B,4 ct) + 0,5 У0(8,65 г) cos (8,65 ct).
(Поскольку kol = 2,4048 ... =2,40, kQS = 8,6537 ... =^=8,65, то это
решение не является точным.)
Графики функций Jo(kolr), Jo(kO2r), . . .
Читателю будет полезно иметь наглядное представление о гра-
графиках функций JQ{kQ1r), «/о(^о2г) ••• » так как Решение выражает-
выражается через эти функции. На рис. 30.4 изображен график J0(r).
РИС. 30.4. Функция Бесселя нулевого порядка Jo (r).

230 Часть 3. Гиперболические задачи
Теперь, для того чтобы построить графики функций Jo(kolr)>
Л(*о2г)> ••• » Jo(Kmr)> сожмем графики вдоль оси х так, чтобы
т-й нуль попал в точку г=1 (рис. 30.5).
РИС. 30.5. Графики функций Jo(kOmr) (основные гармоники колебаний
мембраны).
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Предположим, что начальное смещение мембраны, у которой
с=1, задается формулами
[и (г, 9, 0) = /вB,4 г)+ 0,Ю /в E,52 г),
(НУ)
ut (г, 6, 0) = 0 (нулевая начальная скорость).
В соответствии с общим методом мы должны разложить
начальное смещение мембраны в сумму функций вида «/0-(*оя/)»
найти колебания каждого слагаемого, а затем все колеба-
колебания сложить. Основная особенность колебаний мембраны
0,10J0E,52r)
*b(r,6,t) j % B,4 г) cosB,41)
РИС. 30.6. Начальные условия разлагаются по основным гармоникам.
в том, что каждое из смещений вида Jo B,4 /-), Jo E,52 г), ...
..., У 0 (?От г) совершает простое гармоническое движение (т. е.
все точки мембраны колеблются с одной и той же частотой).
В нашем случае начальное смещение является суммой двух
простейших и, значит, мембрана будет участвовать в двух

Лекция 30. Колебания мембраны 23jt
гармонических колебаниях (см. рис. 30.6)
и (г, 0 = ^о B,4 г) cos B,4 0 + 0,10 /ОE,52 г) cos E,52 t).
В результате сложения этих простейших колебаний полу-
получается результирующее сложное движение мембраны. Отме-
Отметим еще, что частота высокочастотного колебания не крат-
кратна частоте низкочастотного.
2. Если начальные условия заданы в виде u = f(r)t ut = 0, то
мы можем разложить начальное смещение / (г) в сумму эле-
элементарных «кирпичиков» AmJo(kOmr), каждый из которых
совершает колебания вида cos(&0flJ ct) на своей собственной
частоте. Сложив фундаментальные колебания
мы получим результирующие колебания, вызванные начала
ным смещением f(r).
ЗАДАЧИ
1. Подставьте и (г, 8, t) = U(r, Q)T(t) в волновое уравнение
чтобы разделить его на два уравнения
2. Подстановкой U (г, 9) = /?(г)в(е) приведите задачу Гельм-
гольца
к виду
Константу разделения мы обозначили п2. Почему п может
принимать только значения 0, 1, 2, ...?

232 Часть 3. Гиперболические задачи
3. Решите задачу
(УЧП) и„ = Ды, 0 < г < 1, 0<*<оо,
(ГУ) иA, в, 0 = 0, 0<<<оо,
4. Решите задачу
(УЧП) ип = Аи, 0<г<1, 0</<оо,
(ГУ) иA, в, 0 = 0, 0<*<оо,
(Hvv / и (г, 0, 0) = Уо B,4 г), 0 .
(НУ) \Ut(r, e,o) = o. о^^1-
5. Решите задачу 4, если начальное смещение мембраны задано
в видеы(г, Э, 0) = У0B,4г) — 0,5 Ув(8,65г) + 0,25УвA4,93г).
Какова наивысшая частота колебаний мембраны в этом
случае?
6. Постройте графики следующих функций на отрезке
а) У0E,52 г),
б) Уо( 14,93 г).

Часть 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Лекция 31
ЛАПЛАСИАН
(ИНТУИТИВНОЕ ОПИСАНИЕ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Дать интуитивное описание лапласи-
лапласиана и привести его выражения в различных системах ко-
координат. В наиболее важных системах координат двух-и
трехмерного пространства лапласиан записывается в виде
Аи = ихх + и.п. Прямоугольная . „
хх ' уу t tj (два измере-
^ = ^ + 7^ + 7 Uqq Полярная ния)
Au = uxx-\-uini-\-uzz Прямоугольная .^
Аи = игг + -у иг + -^ иев + u2Z Цилиндрическая ния)
Сферическая
Поскольку преобразования координат вызывают затруд-
затруднения у некоторых студентов, мы обсудим правила, кото-
которыми надлежит пользоваться при выполнении таких преоб-
преобразований.
Оператор Лапласа
/Q1 П А д2 Л- °2 ' ^
вероятно, самый важный оператор математической физики. Каков
смысл этого оператора и какое отношение имеет сумма трех
частных производных второго порядка к законам природы? Ответы
на эти вопросы связаны с тем фактом, что лапласиан функции
позволяет оценить значение функции в точке через значения
функции в соседних точках. Кроме того, лапласиан можно счи-
считать обобщением второй производной функции одной переменной
на многомерный случай.
Теперь мы переходим к основному свойству лапласиана, бла-
благодаря которому он широко используется.

234 Часть 4. Эллиптические задачи
Основное свойство двумерного оператора А
Если
1. Дм>0 в точке (х, у), то и(х, у) меньше «среднего значения
функции в соседних точках» 1) (например, на окружности с
центром в точке (х, у));
2. Аи==0 в точке (лс, у), то и(х, у) равна «среднему значению
функции в соседних точках»;
3. Аи < 0 в точке (х, у), то и (xf у) больше «среднего значения
функции в соседних точках».
Используя этот факт2), дадим интерпретацию основных урав-
уравнений математической физики.
Интуитивный смысл некоторых законов физики
Согласно уравнению теплопроводности ut = a2Au для темпе-
температуры (или концентрации) uf скорость изменения температуры
ut пропорциональна величине Аи. Значит, если температура в
точке меньше, чем средняя температура на окружности, окру-
окружающей данную точку, то температура в данной точке будет
возрастать.
Q,
в
РИС. 31.1. Интуитивное описание лапласиана Аи: а — среднее значение функ-
функции и на окружности с центром в точке р равно и (р), Аи(р) = 0\ б—среднее
значение функции и на окружности с центром в точке р больше, чем u(p)t
Аи (р) > 0; е-—среднее значение функции и на окружности с центром в точке
р меньше, чем и (р), Аи (р) < 0.
Согласно волновому уравнению uti = a2Au для смещения мемб-
мембраны, ускорение точки мембраны ип (или сила, действующая
на точку) пропорционально величине Аи. Значит, точка мембраны
1) Под «средним значением функции в соседних точках» понимается сред-
среднее значение функции либо по окружности, либо по кругу с центром
в точке (х, у). —Прим. ред.
2) Этот факт (теорема о среднем) не зависит от размерности простран-
пространства.—Прим. ред.

Лекция 31. Лапласиан (интуитивное описание) 235
ускоряется вверх (сила.направлена вверх), если ее смещение (по
высоте) меньше, чем среднее смещение соседних точек.
Если функция удовлетворяет уравнению Лапласа Аи = 0, то ее
значение всегда совпадает со средним значением. Например, на-
натянутая неподвижная резиновая мембрана удовлетворяет урав-
уравнению Лапласа, следовательно, смещение мембраны в любой точке
равно среднему смещению мембраны на окружности с центром в
этой точке. Рис. 31.1 иллюстрирует это свойство лапласиана.
Уравнение Пуассона Au~f, где /—функция, зависящая от
пространственных переменных (может быть и константой), опи-
описывает значительное число различных явлений.
1. Аи = — р описывает потенциал электростатического поля, если
р—плотность4 статических зарядов. Зная основное свойство
лапласиана, что бы вы могли сказать о свойствах потенциаль-
потенциального поля?
2. Аи =— g(x, у) описывает стационарное распределение темпе-
температуры от теплового источника g(x, у). Если g(x, у) положи-
положительна в точке, значит, в этой точке тепло выделяется, если
же ё(х> У) отрицательна, то тепло в этой точке поглощается.
3. Au + iu = 0 — это уравнение Гельмгольца (приведенное волно-
волновое уравнение), которое описывает (помимо многого другого)
пространственную часть собственных колебаний мембраны.
Это уравнение возникает при разделении пространственных и
временной переменных в волновом уравнении и уравнении теп-
теплопроводности.
Пока что мы говорили о физическом смысле лапласиана.
&и = ихх + иуу (двумерный случай),
Аи = ихх + иуу + uzz (трехмерный случай).
Однако во многих задачах возникает необходимость знать выра-
выражение для лапласиана в других координатах. Если, например,
граница области — окружность, то естественно перейти к поляр-
полярным координатам (г, 6), а если область трехмерна, а ее граница —
сфера, то следует перейти к сферическим координатам (г, 6, <р).
Итак, нам предстоит ответить на вопрос: как выглядит лапласиан
в различных системах координат?
Прежде чем приступить к ответу на этот вопрос, напомним
кратко о пяти основных системах координат в двумерном и трех-
трехмерном пространствах:
декартова прямоугольная система в двумерном пространстве,
декартова прямоугольная система в трехмерном пространстве,
полярные координаты в двумерном пространстве,
. цилиндрические координаты в трехмерном пространстве,
сферические координаты в трехмерном пространстве.

236 Часть 4. Эллиптические задачи
Полярные координаты определяются соотношениями
г2 = х2 + у2, х = г cos 9,
, или . D
y/X, у — Г Sin 9.
Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следую-
следующими соотношениями:
Сферические координаты определяются следующим образом:
COS ф = Z/Г,
x~r sinфcos9,
или y = r sm(psinef
г = r cos ф.

Лекция 31. Лапласиан (интуитивное описание) 237
Преобразование координат
Теперь мы подготовлены к преобразованию координат. В ка-
качестве примера посмотрим, как преобразуется лапласиан при пе-
переходе к полярным координатам. Если мы разберемся в этом, то
РИС. 31.2. Функциональная завися-
мость функции и от переменных (г, 0)
и (х, у).
РИС. 31.3. Функциональная зависи-
зависимость производной их от переменных
(г, G) и (*, у).
сможем легко переходить от одной системы координат к другой.
Итак, у нас есть лапласиан
Чтобы найти лапласиан в новой системе координат, обра-
обратимся к диаграмме, изображенной на рис. 31.2. Цель диаграммы —
точно показать, что от чего зависит. Например, из этой диаг-
диаграммы видно, что функция и зависит от новых переменных гиб.

238 Часть 4. Эллиптические задачи
Каждая из этих переменных в свою очередь зависит от х и у
(соединяющие линии указывают на эту зависимость).
Мы могли бы нарисовать диаграмму, в основании которой
находились бы г и 9, но поскольку нам предстоит вычислять ихх
и и , то больше подходит именно эта диаграмма. Как же теперь
выразить ихх и иуу через г и 9?
На самом деле сделать это очень легко. Сначала найдем их
и иу. Мы найдем их> складывая пути на диаграмме, ведущие
от и к х. В данном случае существуют только два таких пути,
так что
их = urrx + иввх = ur (cos 9) — uQ (sin 0/r).
По правилам дифференцирования сложных функций следует пе-
перемножить производные, написанные у ребер каждого пути, а
затем сложить их. Аналогично
иу == иггу + UQ% = ursin е + ае (cos в/г).
Обратимся теперь ко вторым производным. Найдем ихх (в ка-
качестве упражнения предоставим читателю возможность найти
УУ'
Сначала, однако, построим другую диаграмму (см. рис. 31.3).
Читателю, вероятно, ясно, что если и зависит от г и 9 (кото-
(которые в свою очередь зависят от а: и у), то их так же (вообще
говоря) зависит от тех же переменных. Таким образом,
= ^x)rrx + {ux)QQx^
= (ur cos 9 — Uq sin 6/r)r cos 9 + (ur cos 9 — uQ sin d/r)Q (sin в/г)
= (urr cos 9 — urQ sin в/г + uQ sin в/г2) cos 9 +
+ (e cos 9 — ur sin 9 — uQQ sin в/г — uQ cos в/г) (— sin в/г).
Аналогично
иуу = (urr sin 9 + urQ cos 9/r — cos 9/r2) sin 9 4-
4- (urQ sin 9 + ur cos 9 + uQQ cos 9/r—uQ sin 9/r) (cos 9/r).
Складывая ихх и uyy9 получаем окончательный результат
т. е. выражение для лапласиана в полярных координатах. Его
смысл такой же, как и у лапласиана в декартовых координатах,
но форма записи другая. К сожалению, теперь это оператор
с переменными коэффициентами, так что уравнение, содержащее
лапласианы в полярных координатах, решать труднее.

Лекция 31. Лапласиан (интуитивное описание) 239
Аналогично можно преобразовать и трехмерный лапласиан
В результате получаем в цилиндрических координатах
М +
в сферических координатах
Ы = и„ + ±и, + ±и„ + ^и9 + 1^
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Только в декартовой системе координат лапласиан обладает
постоянными коэффициентами. Этим объясняется, почему за-
задачи в других системах координат решать труднее. Тем не ме-
менее к этим уравнениям с переменными коэффициентами все
еще применим метод разделения переменных, правда, получа-
получающиеся при этом обыкновенные дифференциальные уравнения
тоже будут с переменными коэффициентами. Так получаются
уравнение Бесселя, уравнение Лежандра и другие, так назы-
называемые классические уравнения математической физики. Такие
уравнения решаются обычно методом разложения в степенные
ряды.
2. Кроме упомянутых здесь, существует много др^ гих коорди-
координатных систем1). Например, задача о колебаниях эллиптичес-
эллиптической мембраны требует представления лапласиана в эллипти-
эллиптической системе координат. Чтобы сделать это, требуется не-
несколько иной подход: преобразовать эллипс в круг, решить
получившуюся задачу в новых (полярных) координатах, и за-
затем полученное решение преобразовать к исходным координа-
координатам 2).
*)См. Тихонов А. Н.5 Самарский А. А. Уравнения математической фи-
физики.— М.: Наука, 1972 и др. издания. — Прим. ред.
*) Целесообразнее непосредственно перейти к эллиптическим координатам. —
Прим. ред.

240 Часть 4. Эллиптические задачи
ЗАДАЧИ
1. Как записать волновое уравнение utt = a2Au в сферических
координатах, если вам известно, что решение зависит только
от г и /?
2. Как записать волновое уравнение utt = a2Au в полярных ко-
координатах, если известно, что решение зависит только от г
и Г>
3. Как записать уравнение Лапласа Аи = 0 в полярных коорди-
координатах, если известно, что и зависит только от г? Каково ре-
решение этого уравнения? Эти функции называются потенциа-
потенциалами с круговой симметрией.
4. Как записать уравнение Лапласа в сферических координатах,
если решение и зависит только от г? Можете ли вы найти
решения этого уравнения? Эти функции называются сфери-
сферически-симметричными потенциалами.
5. Что вы можете сказать о поверхности и(ху у) = ху?
6. Преобразуйте трехмерный лапласиан &и = ихх + иуу + игг к сфе-
сферическим координатам.
Лекция 32
ОБЩИЕ СВОЙСТВА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Объяснить, как возникают уравнения
с частными производными, не содержащие производных по
времени. В отличие от гиперболического волнового уравне-
уравнения или параболического уравнения теплопроводности эти
уравнения не требуют начальных условий. Для них нужны
только граничные условия. По этой причине задачи для
таких уравнений называются краевыми задачами.
Укажем три наиболее важных типа граничных условий.
1. Граничное условие первого рода (условие Дирихле).
2. Граничное условие второго рода (условие Неймана).
3. Граничное условие третьего рода (условие Робена).
В лекции проводятся примеры и пояснения этих гра-
граничных условий.
До сих пор мы изучали явления, которые развивались в прост-
пространстве и во времени. Существует, однако, много явлений, кото-
которые не изменяются с течением времени. Эти явления в большинстве

Лекция 32. Общие свойства краевых задач 241
случаев описываются краевыми эллиптическими задачами, и цель
нашей лекции — познакомить читателя с такого типа задачами.
Можно указать два случая, когда в уравнениях математи-
математической физики не содержится время:
1. Стационарные задачи.
2. Задачи, в которых зависимость от времени входит в виде
временного множителя.
Сначала давайте рассмотрим стационарные задачи.
Стационарные задачи
Предположим, что нас интересует стационарное (при t —> оо)
решение уравнения теплопроводности
Очевидно, если решение не изменяется во времени, то ut = 0 и
\ равнение теплопроводности переходит в уравнение Лапласа
Проиллюстрируем подробно идею стационарности на примере.
Рассмотрим задачу
(УЧП) ut^uxx + sm(nx), 0 < а: < 1, 0< / < оо,
<321>
(НУ) и (х, 0) = sin (Злх), 0 < х < 1.
Чтобы найти стационарное решение и (х, оо) (если оно сущест-
существует), положим ut = 0 и решим краевую задачу
ы@)=0,
мA)=0.
Решение этой задачи имеет вид
и (х, оо) = ~2 sin (ял;).
Если решить задачу C2.1), то ее решение в начальный момент
будет совпадать с sinCjtA:), а затем все в большей и большей
степени походить на
Si

242 Часть 4. Эллиптические задачи
Для некоторых задач может не существовать стационарное ре-
решение (не зависящее от времени), а для других стационарным
решением может оказаться временная синусоида. Следовательно,
не всегда справедливо, что производные иь utt ... равны нулю.
Поэтому мы, как правило, должны иметь некоторую информацию
о физическом смысле задачи.
Выделение временной компоненты
в гиперболических и параболических задачах
В задаче о колебаниях мембраны
(УЧП) ии=*Аи, 0<г<1,
(ГУ) и = 0, , на окружности,
и (г, 6,0) = /(г, 6),
(НУ) \ щ(г, 0,0) = е (г,
мы искали решение в виде и (г, 9, t) = U (/*, 6) Т (/). При этом
функция U (гу 9) должна быть решением краевой задачи для
уравнения Гельмгольца
(УЧП) AU + K*U = 0,
(НУ) {/A, в) = 0.
Такая ситуация характерна для теории уравнений с частными
производными, где решение зачастую представляет собой произ-
произведение пространственной части U (г, 6) на временную часть Т (t).
Фактически мы получим то же самое уравнение Гельмгольца, если
попытаемся выделить временную компоненту в уравнении тепло-
теплопроводности
их — Аи.
При решении краевых задач чаще всего используются три
типа граничных условий. На них мы сейчас остановимся.
Три основных типа граничных условий
в краевых задачах
Краевая задача с граничными условиями
первого рода (задача Дирихле)
Требуется найти решение уравнения в некоторой области
пространства, которое принимает на границе области заданные
значения. В качестве примера можно привести задачу о нахож-
нахождении стационарного распределения температуры внутри области,

Лекция 32. Общие свойства краевых задач 243
если задана температура на границе этой области. Другой при-
пример: найти распределение потенциала внутри области, если
известен потенциал на границе. Ниже приведен еще ряд примеров.
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ
Рассмотрим уравнение Лапласа внутри круга с заданными
значениями решения на границе (см. рис. 32.1):
(УЧП) urr +yur +±uQQ=0, О < г < 1,
(ГУ) иA, 6)=-sin9, О<0<2я.
В качестве еще одного примера можно указать внешнюю за-
задачу Дирихле, для которой решение уравнения Лапласа пишется
вне круга, а граничные значения заданы по окружности (см.
рис. 32.2).
sin в на границе
РИС. 32.1. Внутренняя
задача Дирихле.
РИС. 32.2. Внешняя задача Дирихле.
Краевые задачи с граничным условием
второго рода (задача Неймана)
Требуется найти решение уравнения в некоторой области
пространства, на границе которой задана внешняя нормальная
производная ди/дп (которая пропорциональна втекающему потоку).
Это общая задача и для стационарной теплопроводности, и для
электростатики, если на границе задан поток (тепла, электронов
и т. д.).
Например, предположим, что тепловой поток на границе круга

244 Часть 4. Эллиптические задачи
изменяется по закону
-5- = sin 9.
Тогда стационарное распределение температуры внутри круга
является решением краевой задачи
( Ди = 0, 0<г< 1,
i|i=rSinef г=1, 0<6<2л.
В этой задаче поток тепла (кал/см-с) через границу направлен
внутрь при 0<6<я и наружу при я"
Однако, поскольку полный поток
2 л 2 л
(условие, которое всегда должно выполняться в задаче Неймана),
можно утверждать, что температура каждой точки внутри круга
не изменяется во времени.
Лоток энергии
РИС. 32.3. Поток тепла в задаче Неймана. Температура в каждой точке
постоянна, поскольку полное количество тепла, втекающего в точку и выте-
вытекающего из него, равно нулю.
Другими словами, задача Неймана (для уравнения Лапласа)
имеет смысл только в том случае, когда полный поток тепла
через границу равен нулю. Математически это значит, что на

Лекция 32. Общие свойства краевых задач 245
границе должно выполняться соотношение
с
иначе задача не будет иметь решения.
Например, внутренняя задача Неймана
1 l^1'9^1' г==1' о<е<2я,
не имеет физического смысла, поскольку постоянный единичный
поток внутрь области не может обеспечить стационарность ре-
решения.
Еще одна особенность задачи Неймана, которая отличает ее
от других граничных задач, это неединственность решения. Дру-
Другими словами, задача Неймана
| |^A, 0) = cosB0), г=1, 0<9<2я,
имеет бесконечное множество решений и (г, 0) (заметим, что общий
поток через границу равен нулю). Если у нас есть одно реше-
решение, то, добавляя к нему константы, можно найти и все другие
решения. Например, одно из решений нашей задачи Неймана
имеет вид
и (г, 6) = г2 cos B6).
Если прибавить к нему произвольную константу, то получится
другое решение. По этой причине для выделения единственного
решения нужно иметь дополнительную информацию (например,
знать значение решения в одной точке).
Краевые задачи с граничным условием
третьего рода
Требуется найти такое решение уравнения в некоторой об-
области пространства, которое удовлетворяет на границе условию
вида
где h — заданная константа, a g—заданная функция, которая,
вообще говоря, меняется вдоль границы. Обратим внимание на
то, что новое граничное условие является как бы смесью гра-
граничных условий первых двух типов. Более привычная форма

246 Часть 4. Эллиптические задачи
этого условия имеет вид
Согласно этому граничному условию, поток, втекающий в об-
область через границу, пропорционален разности между темпера-
температурой и и некоторой заданной температурой g. Это означает,
что (при h > 0)
1) если температура и на границе выше температуры окру-
окружающей среды на границе g, то тепло вытекает из области;
2) если и меньше температуры g, то тепло втекает в область.
Конечно, это не что иное, как закон теплообмена Ньютона,
а граничные условия всех трех типов совершенно естественны
для стационарных задач теплопроводности.
ПРИМЕР
Предположим, что вне единичного круга температура распре-
распределена по закону g(Q) = sinG. В этом случае поток тепла через
границу должен задаваться в виде
|^. = — h(u — sin 6), г=\, 0<6<2я.
Следовательно, стационарное распределение температуры
внутри круга является решением краевой задачи
(УЧП) Аи = 0, 0</-<1,
C2.2) (гу) |^ + A(a_sin6)_Oj 0<е<2я.
Константа h является физическим параметром и численно
равна количеству тепла, протекающему через границу при раз-
разности температур в один градус. Если h велика, то при разности
температур в один градус тепловой поток велик и решение ста-
становится похожим на решение задачи Дирихле с граничным ус-
условием g=:sin0. С другой стороны, если Л = 0, то граничное ус-
условие переходит в условие теплоизолированной границы
дг
Читатель может представить, как изменяются решения задачи
C2.2), когда параметр h пробегает диапазон от 0 до +оо. Если
Л = 0, то граница теплоизолирована и, следовательно, решение
v (/-, в) является константой (решение в данном случае не един-
единственное, так что любая константа является решением). Если Л
становится все больше и больше, то решение становится все
больше и больше похожим на решение задачи Дирихле с гранич-

Лекция 32. Общие свойства краевых задач 247
ным условием u = smQ. Если h > 0 и стремится к нулю, то. и
решение также будет стремиться к тождественному нулю (по-
(поскольку нуль—это среднее значение sin0 на границе).
ЗАДАЧИ
1. Можете ли вы из интуитивных соображений решить задачу
Дирихле?
(УЧП) Ди = 0, 0<г<1,
(ГУ) a(l,0) = sin9, 0<6<2я.
2. Имеет ли задача Неймана
(УЧП) Дм = 0, 0<г<1,
ди
дг
(ГУ) 4*=sin«e
решение внутри круга?
3. Попытайтесь представить, как выглядит решение задачи
(УЧП) Дн = 0, 0 < г < 1,
(ГУ) -?- + h(u—sin в) = О
от
при различных значениях параметра h.
4. Какую краевую задачу нужно решить, чтобы найти стационар-
стационарные решения следующей задачи:
[ и (О, 0 = 0,
<гу> {«A.0-0. "<'<-•
, и (х, 0) = sir
(НУ) '
5. Исходя из физической интерпретации лапласиана, что вы
можете сказать об общих свойствах решений краевой задачи
для уравнения Гельмгольца
(УЧП) Аи = — 12и, 0 < г < 1,
(ГУ) ыA, е)=о, о<е<2я?
6. Дайте физическую интерпретацию краевой задачи с граничными

248 Часть 4. Эллиптические задачи
условиями смешанного типа внутри квадрата
(УЧП) «„ + «„„ = 0, 0<х<1, 0<у<1,
0<х<1,
(ГУ) " l'[v't'
хУ '^=о,
Лекция 33
ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
ДЛЯ КРУГА
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, как методом разделения
переменных решить внутреннюю задачу Дирихле для круга
(УЧП) и„+±иг+±-ит=0, 0<г<1,
(ГУ) u(i,e)=giQ), о<е<2я.
Сначала граничное условие разлагается в ряд
е(е) = 2 [«„cos(пв) + 6„sin(нв)],
а затем ищется решение каждой из задач
Аи - 0, Аи - 0,
Решения этих задач записываются в виде
и (/-, 6) = rn sin (пд), и (г, 9) = rn cos (пв),
откуда получается решение задачи Дирихле
ос
и (/-, 6) = 2 rn [an cos (/г0) + few sin (пв)].
После того как решение в виде ряда получено, путем ал-
алгебраических преобразований решению можно придать дру-
другую, интегральную форму, которая называется интегральной
формулой Пуассона.

Лекция 33. Внутренняя задача Дирихле 249
В этой лекции предлагается множество новых идей, как решить
задачу Дирихле
C3.1)
(УЧП)
(ГУ)
о<е<2л.
Сначала мы будем решать эту задачу методом разделения
переменных, а затем, когда решение в виде ряда будет найдено,
мы преобразуем его к другому виду (интегральная формула
Пуассона).
л =
(.уравнение Эйлера)
t t
+ Ып(г)
Л>
ч
R(r)~arb Oi
\
Rn(r)-anr"
0 л
)
тбрасыбаем
"л, \п(г)
о
~с cos (\в) + flfsin (Д0)
0 (в) = сп cos (п9) + dn sin {пв)
Л * 0,),2,... (в - пераооичггкая)
ип (г, 9) * rn[an co$(ne)+bns\n(n0).
Все решения Ша R(r)®{9)
РИС. 33.1. Схема решения внутренней задачи Дирихле.
Задача C3.1) очень важна в физических приложениях. Ее
можно интерпретировать как задачу нахождения электростати-
электростатического потенциала внутри круга по известному распределению
потенциала на границе. Другая интерпретация — модель мыльной
пленки. Если сделать из проволоки кольцо и изогнуть его так,
чтобы изгиб задавался функцией g(8), а затем погрузить в мыль-
мыльный раствор, то мыльная пленка натянется в соответствии с фор-
формой проволоки. Возвышения точек пленки описываются решением
задачи C3.1), если смещения g(Q) малы.

250 Часть 4, Эллиптические задачи
Читатель должен хорошо разобраться в методе разделения
переменных, в общих чертах изображенном на рис. 33.1, и тща-
тщательно проработать его.
Дадим несколько пояснений к рис. 33.1.
1. Читатель должен проверить, что константа разделения должна
быть неотрицательной (вот почему она обозначена А,2). Если бы
константа разделения была отрицательной, то функции 6@) не
были бы периодическими. Если же константа разделения нуле-
нулевая, то в решение необходимо ввести логарифмический член,
т. е. R(r) = a + lnr.
2. Читатель должен знать, как получить константы ап и Ьп.
Итак, решение внутренней задачи Дирихле записывается в виде
C3.2)
и (г, 9) = 2j j
л=0
Прежде чем перейти к другой форме представления решения,
проведем анализ формулы C3.2).
Анализ решения задачи Дирихле
1. Остановимся сначала на структуре решения C3.2). Согласно
этому решению, мы в первую очередь должны разложить гранич-
граничную функцию в ряд Фурье
00
g (9) = 2 К cos И) + К sin (лв)],
а затем решить задачу для каждого синуса и косинуса, входя-
входящих в ряд. Каждое из этих слагаемых порождает решения вида
rnsm(nb) и rncos(tiQ)y так что по принцицу суперпозиции
00
и (г, 0) = 2 гП Кcos (п9)+bnsin
п = 0
2. Решение, например, задачи
(УЧП) Aw-О, О</-<1,
(ГУ) мA, 8) = l+sin9 + ysi
должно иметь вид
и (/-, 6) = 1 + г sin 0 + ^ sin C9) + г* cos D9),
поскольку g(Q) в данном случае уже разложена в ряд Фурье
с коэффициентами ао=1, а4 = 1, &х=1, Ь3 = 0,5, все остальные
значения ап и Ъп равны нулю, поэтому для их вычисления нет
необходимости пользоваться формулами.

Лекция 33. Внутренняя задача Дирихле 251
3. Если радиус круга произволен (скажем, /?), то решение
запишется в виде
и (г, 6)= 2 (r/R)"[ancos(n6) + bnsm(nB)l
4. Заметим, что константа а0 в решении C3.2) представляет
собой среднее значение функции g(Q)
2л
Этим завершается решение задачи методом разделения перемен-
переменных. Перейдем теперь к весьма интересной интегральной формуле
Пуассона.
Интегральная формула Пуассона
Возьмем решение задачи Дирихле, полученное методом раз-
разделения переменных
00
и (г, в) = S (r/R)" [а„ cos (n0) + Ъп sin (пв)],
л = 0
(мы взяли случай произвольного радиуса круга) и подставим
в него формулы для вычисления коэффициентов ап и Ьп. После
ряда выкладок с применением алгебры, интегрального исчисления
и тригонометрии получаем
2л да 2л
н<г' 6) = гН S(Q)dQ + ^ (r/R)»§ g(a)x
и n=i о
X [cos (па) cos (пВ) + sin (па) sin (пв)] da =
2л
о
2Л
/ оо ч
] 1 + 2 ? (г//?)» cos [л (9-а)]} g (а) da =
2Л / оо \
== i f 11 +Е W/?)- [^<e-«) + «-<»№-«>] g(a)da =
2л
«
Последнее выражение и называется интегральной формулой Пуас-
Пуассона. Итак, мы получили еще одну форму представления реше*

252 Часть 4. Эллиптические задачи
ния внутренней задачи Дирихле
C3.3)
Анализ интегральной формы решения
1. Можно считать, что по формуле Пуассона C3.3) потен-
потенциал и в точке (г, 9) является взвешенным средним граничного
потенциала. Весовая функция называется ядром Пуассона и имеет
вид
Ядро Пуассона = R,_2rRZ7(e-a)+* ¦
Это говорит нам кое-что о физике системы, а именно: потенциал
в точке является взвешенным средним потенциалов соседних точек.
Ядро Пуассона показывает толь-
только, каков вклад каждой точки
в общий потенциал (рис, 33,2).
Для граничных значений (R,
а), близких к (г, 9), ядро Пуас-
Пуассона становится большим, так
как знаменатель ядра равен квад-
квадрату расстояния между точка-
точками (г, 9) и (/?, а) и, значит, мал
(рис. 33.2). Благодаря этому
больший вклад в интеграл дают
значения g(a), для которых(R,
а) близки к (г, 9). К сожалению,
если точка (г, 9) как угодно
близко подходит к границе г = R,
РИС. 33.2. Решение и (г, 8) —взвешен-
—взвешенная сумма граничных потенциалов.
а — Квадрат этой длины является зна-
знаменателем ядра Пуассона.
то ядро Пуассона также неогра-
неограниченно возрастает. Поэтому
численные значения решения вблизи границы удобнее вычислять
с помощью рядов.
2. Если вычислить потенциал в центре круга по формуле
Пуассона, то получим
«(О, 0) = -^$ g(*)da.
Другими словами, потенциал в центре равен среднему значению
потенциала на окружности.

Лекция 33, Внутренняя задача Дирихле 253
Этим мы завершаем обсуждение задачи Дирихле. Читателю
может показаться, что на самом деле эта залача и не так уж
важна, поскольку область, в которой она решается, так проста.
Действительно, уравнение Лапласа упрощается, если область,
в которой ищется решение, представляет собой круг, квадрат,
полуплоскость и т. д. Однако здесь существенны два момента.
1. Во многих случаях экспериментатор, разрабатывая свою физи-
физическую аппаратуру, может выбирать форму границы по своему
усмотрению (в том числе и в виде окружности).
2. Далее мы будем изучать конформные отображения, которые
позволяют преобразовывать сложные области в области простой
формы (например, круга). Следовательно, чтобы решить задачу
Дирихле в произвольной области, можно конформно отобра-
отобразить ее на круг, воспользоваться решением, полученным в этой
лекции, и преобразовать затем его к исходным координатам.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Краевую задачу для неоднородного уравнения
(УЧП) Ди = Д внутри Д
(ГУ) м = 0, на границе/),
всегда можно решить следующим приемом.
Найдем частное решение V уравнения AV = f и решим крае-
краевую задачу
AW = 0, внутри Df
W = V, на границе D.
Тогда решение исходной задачи находится по формуле ы=У—¦W.
Другими словами, неоднородность уравнения можно перенести
в граничное условие.
2. Краевую задачу с неоднородными граничными условиями
(УЧП) Дм = 0, внутри ?>,
(ГУ) м = /, на границе D,
можно решить следующим способом:
а) найти любую функцию V, которая удовлетворяет на грани-
границе D условию V = f;
б) решить новую краевую задачу
AV, внутри D,
W = 0, на границе D;
в) найти решение исходной задачи по формуле u = V—W.
Другими словами, неоднородность из граничного условия
можно перенести в уравнение.

254 Часть 4. Эллиптические задачи
ЗАДАЧИ
1. Тщательно разберитесь во всех деталях применения метода
разделения переменных при решении задачи Дирихле C3.1).
Это важно потому, что, когда вы будете решать следующие
задачи, возникнут интересные отличия. Вы должны особенно
хорошо понимать, почему константа разделения не может быть
отрицательной, и при ^ = 0 отбрасывается очень важное реше-
решение. Почему? Посмотрите внимательно на рис. 33.1.
2. Найдите решение внутренней задачи Дирихле
(УЧП) urr + yUr+y2uQQ^0t 0<г<1,
при следующих граничных условиях:
а) мA, 9)=l+sin9+ycos9,
б) иA, 9) = 2,
в) мA, 9) = sin 9,
г) иA, 9;-sin39.
Как выглядят ваши решения? Удовлетворяют ли они уравне-
уравнению Лапласа?
3. Найдите решение внутренней задачи Дирихле в круге радиусом
Я = 2.
(УЧП) Aw-0, 0<г<2,
(ГУ) и B, 9) - sin 9, 0 < 9 < 2л.
Как выглядит график этого решения?
4. Как изменится решение задачи 3, если граничное условие за-
заменить на и B, 9) = sin B9)? Как выглядит график этого ре-
решения?
5. Решите задачу
(УЧП) Aw-0, 0<г<1,
(sin 9, 0<9<я,
ЫA'е> = \ 0, я<9<2я.
Прикиньте, как выглядит график решения?
6. Пусть в ядре Пуассона г = 3/?/4, 9 = я/2. Постройте график
зависимости ядра Пуассона от угла а в диапазоне О^а < 2л.
7. Убедитесь в справедливости замечания 1 из этой лекции.
8. Убедитесь в справедливости замечания 2 из этой лекции.

Лекция 34. Задача Дирихле в кольце 255
Лекция 34
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В КОЛЬЦЕ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Решить задачу Дирихле в кольце
(УЧП) и„ +!«,+-! ит = О, /?, < г < /?2,
Здесь мы опять воспользуемся методом разделения перемен-
переменных, но в отличие от внутренней зодачи Дирихле мы не ста-
станем отбрасывать решения вида
— sin(we), ^cos(n6), In л
Следовательно, решение должно записываться в виде
и (г, Q) = ao
+ 2 [(<V" + Ь„г-") cos (nB) + (car» + dar-n) sin (пв)].
Мы также кратко обсудим решение внешней задачи Дирихле.
В этом случае нам придется отбросить слагаемые, неогра-
неограниченные при г = оо. Следовательно, решение внешней за-
задачи Дирихле
(УЧП) Ды = 0, 1<г<оо,
(ГУ) n(i, e) = g1@), о<е<2л,
следует искать в виде
ее
и (г, в)= 2 r-»[ancos(ne) + bns\n(nQ)].
п=0
Существует множество разнообразных по форме областей, для
которых можно в явном виде выписать решение задачи Дирихле.
Мы перечислим только некоторые из них:
а) в круге (лекция 33),
б) в кольце (данная лекция),
в) вне круга (данная лекция),
г) в шаре (в последующих лекциях),
д) в сферическом слое (в последующих лекциях),
е) в полосе (двумерный случай),
ж) в слое между плоскостями (трехмерный случай).

256 Часть 4. Эллиптические задачи
Этот список можно продолжать до бесконечности. Мы хотим
решить простую, но достаточно типичную задачу Дирихле, так
чтобы читатель освоил общие принципы и мог при необходимости
решить свою задачу.
РИС. 34.1. Уравнение Лапласа в кольце.
Здесь наша цель — найти форму мыльной пленки, натянутой
между двумя проволочными ободками. Вероятно, в этой задаче
интуиция уже не играет такой роли, как во внутренней задаче
Дирихле. Математическую модель задачи запишем следующим
образом:
(УЧП) urr + ytir + ± uQe -О, Rt < г < Я2,
Общая схема этой задачи изображена на рис. 34.1.
Задача состоит в том, чтобы найти решение и (г, 0) между
окружностями г = /?! и г = /?2, совпадающее на окружностях с gx(Q)
и соответственно с g2{§). Будем искать решения вида
и (г, 0) = Я (г) 0(9).
Подставляя их в уравнение Лапласа, приходим к двум обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнениям для функций R (г) и в (9)
/-*?» -J. г#' — №R = 0 (уравнение Эйлера),
в" + ?12в = 0.
Отметим, что константа разделения в этих уравнениях должна
быть больше или равна нулю (мы обозначили ее №), иначе реше-

Лекция 34. Задача Дирихле в кольце 257
ние для 6(9) не будет периодическим. Далее мы решим оба этих
уравнения, а затем перемножим эти решения, в результате полу-
получим все решения уравнения Лапласа, которые представимы в виде
Я (г) 6F).
Из этих двух уравнений наибольший интерес представляет
уравнение Эйлера. К счастью, это одно из немногих обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами,
которые решаются сравнительно легко.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
СЛУЧАЙ 1 (А, = 0). В этом случае уравнение Эйлера
принимает вид
общее решение которого легко находится!
R(r) = а + Ь In г.
В самом деле, сделав подстановку V (г) = R' (г), получаем
для V уравнение g разделяющимися переменными
Решив это уравнение, находим V {r)~cxlr, откуда
R (г) = с1\пг + сй.
СЛУЧАЙ 2. (к > 0). В этом случае уравнение Эйлера
имеет вид
Будем искать решение этого уравнения в виде /?(г)==га.
Наша цель — найти два значения а (скажем, ах и а2), таких,
чтобы функция
являлась общим решением уравнения. Подстановка R^ — r**1
в уравнение Эйлера приводит ка = 1и а = —%. Следова-
Следовательно,
Итак, используя решение уравнения Эйлера, мы получили
#(r)
\ в (9) = с cos (Щ + d sin (Щ.
601

258 Часть 4. Эллиптические задачи
Функция 0F) должна быть периодической с периодом 2л. Значит,
величина А, должна принимать значения 0, 1, 2, 3, .... Теперь
мы можем с помощью произведения составить следующие ре-
решения.
Решения уравнения Лапласа
с-*-константа,
с In г,
crn cos (пв) (я=1, 2, ...),
crnsin(пв) (л= 1, 2, ..),
(л=1, 2, ..),
(л=1, 2, ..).
Поскольку сумма этих решений также является решением,
то делаем вывод, что общее решение уравнения Лапласа в нашем
случае должно иметь вид
C4.2)
Осталось только найти все коэффициенты в сумме C4.2) так,
чтобы удовлетворить граничным условиям
l(anr«+bnr-n)cos(nB) +
"(Я* в)=ft (в).
Подстановка C4.2) в граничные условия приводит к следую-
щим уравнениям:
2л
(решаются относительно g0 и b0),
2л
<34.3)
U
2л
(решаются относи-
! с тельно ан и Ьп)%
1 = ^ \ ft («) cos (ns) ds
о

Лекция 34. Задача Дирихле в кольце 259
2л
cnRl + dnRT» = 1 Г gl (s) sin (ns) ds
о (решаются относительно сп
2л И d ).
cnR1 + dnR;n = IJ ft (s) sin (ns) ds
0
Тем самым из этих уравнений находятся все неизвестные коэф-
коэффициенты а0, fe0, ая, Ьп> сп и dtt. Теперь задача C4.1) полностью
решена. Решение дается выражением C4.2), коэффициенты кото-
которого определяются по формулам C4.3).
Чтобы лучше понять полученные результаты, рассмотрим
несколько примеров.
Некоторые варианты задачи Дирихле в кольце
ПРИМЕР 1.
Предположим, что потенциал на внутренней окружности равен
нулю, а потенциал на внешней равен sin 9. Тогда
(УЧП) Аа = 0, 1<г<2,
Первое, что мы должны сделать — это вычислить все интегралы
в C4.3) и решить соответствующие уравнения для а0, Ьо, ап, Ъп%
сп и dn. Целесообразно сначала попытаться подобрать такие
частные решения (из выписанных выше), линейная комбинация
которых удовлетворяет граничным условиям (здесь и = ArsmQ+
+Br"sin0). Затем из граничных условий найти коэффициенты
(здесь А = 2/3, В = —2/3). В результате этих простых вычисле-
вычислений получаем
ао = О, 60 = 0, а„ = 0, Ьп = 0 (п=1,2, ...),
_ f 2/3, л=1,
п~~\ 0 для всех остальных п,
_ ? —2/3, л=1,
"~~\ 0 для всех остальных п.
Зная все коэффициенты, выпишем решение задачи
и(г, 9) = ! (r-i)sin9.
Легко проверить, что эта функция удовлетворяет обоим гранич-
граничным условиям. Очевидно и то, что она удовлетворяет уравнению
Лапласа, так как принадлежит классу функций вида C4.2).

260 Часть 4. Эллиптические задачи
ПРИМЕР 2.
Рассмотрим задачу с постоянными потенциалами на грани-
границах кольца
(УЧП) Ди = 0, 1 < г < 2.
(ГУ)
В этом случае можно сэкономить массу времени, поскольку оче-
очевидно, что решение не зависит от в (так как граничные условия
не зависят от в). Другими словами, наше решение следует искать
среди функций вида ao + bo\nr. Подставляя эту функцию в гра-
граничные условия, получаем
,lnl=3,
откуда #0 = о, Ъц-—,„. ,~.
Следовательно, решением будет функция
и (г, 6) = 3 + 2,9 In г.
Ее график изображен на рис. 34.2.
О 1 г *-г
РИС. 34.2. Зависимость потенциала от радиуса внутри кольца.
ПРИМЕР 3
Решим еще одну интересную задачу
(УЧП) Дм:=0, 1<г<2

Лекция 34, .Задача Дирихле в кольце
Можно быстро проверить, что все коэффициенты я0, 60, anik bnt
сп и dn равны нулю, а коэффициенты сг и dx определяются из
системы уравнений
2л
~J sin29d9=l,
о
2л
= 1^ sin2 9 d9 = 1.
Решая эту систему, получаем q=l/3 и ^ = 2/3. Следовательно,
решением задачи является функция
Форма кривых при различных значениях 0 показана на рис. 34.3.
РИС. 34.3. Мыльная пленка между «A, 0) = sin9 и и B, 0) = sin0.
Наша лекция завершается кратким обсуждением внешней за>-
дачи Дирихле для круга.
Внешняя задача Дирихле
Внешняя задача Дирихле
(УЧП) urr + yUr+-LuQQ -0, 1 <г<оо,
(ГУ) иA, в) = ?(в), 0<9<2я,

262 Часть 4. Эллиптические задачи
решается точно так же, как решалась внутренняя задача в лек-
лекции 33. За исключением того, что теперь необходимо отбросить
те решения, которые не ограничены при стремлении г к бесконеч-
бесконечности, т. е.
In г, rn cos (пв) и rn sin (пб).
Следовательно, в качестве решения остается взять функцию
C4.4)
где коэффициенты ап и Ъп вычисляются по тем же формулам, что
и раньше:
2л
и (г, в)= 2 /-n[flncos(ne)+&nsin(ne)],
2л 2л
1
аа = I Г g (в) cos (пв) d9, bn = -i f g (в) sin (пв) dd.
0 0
Другими словами, мы просто разлагаем функцию u(ly 6)=g(e)
в ряд Фурье
со
U @) = 2 [в„ cos (пв) + &и sin (пв)],
а затем каждый член этого ряда домножаем на коэффициент г~п.
Чтобы теснее познакомиться с этим решением, приведем два
примера.
Примеры внешней задачи Дирихле
ПРИМЕР 1
Внешняя задача
(УЧП) Aw = 0, I <r< оо,
(ГУ) w(l, 6)= I-fsinG + cc
имеет решение
и (г, 0) = 1 -j— sin в 4- —
ПРИМЕР 2
Внешняя задача
(УЧП) Аи = 0, 1 < г < оо,
(ГУ) и (г, 0) = cos D0), 0 < в < 2я,

Лекция 34. Задача Дирихле в кольце 263
имеет решение
"('. 0) = -^-cos D9).
Читатель должен попытаться представить, как выглядит это ре-
решение.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Решение внешней задачи Дирихле при произвольном радиусе R
(УЧП) Aw = 0, R<r<ooy
(ГУ) u(R9Q) = g (9), 0 < 9 < 2л,
имеет вид
00
и (г, в)= S (r/tf)-"[awcos(n9LAsin(/i9)].
п = 0
2. Существует только два решения двумерного уравнения Лап-
Лапласа, которые не зависят от 9, а зависят только от г. Это
константа с и In г. Потенциал In r играет большую роль в тео-
теории и называется логарифмическим потенциалом. Ниже мы
подробнее остановимся на его свойствах.
ЗАДАЧИ
1. Решите задачу Дирихле
(УЧП) Аи = 0, 1<г<2,
(и A,0) = cos 6,
1 ' \ iiBf 9) = sin9.
2. Найдите решение внешней задачи Дирихле
(УЧП) Au = 0t 1<г<оо,
при следующих граничных условиях:
а) аA, 9)=1,
б) u(l, 9) = l+cosC9),
в) аA, 9) = sin (9) + cos C9),
f 1, 0<9<я,
г) иA в) |
3. Решение внешней задачи Неймана
(УЧП) Ди = 0, 1<г<оо,
(ГУ) |?A,е) = $ (в), 0<9<2я,

264 Часть 4. Эллиптические задачи
имеет тот же вид, что и решение задачи Дирихле, т. е.
00
«(г, в) = 2 г~п [а„ cos (яв) + &и sin (пв)],
п = 0
но теперь коэффициенты ап и Ьи должны удовлетворять новым
граничным условиям. Подставьте это решение в граничное
условие
и получите решение задачи
( Да = 0, 1 <г< оо,
Проверьте ваше решение. Конечно, если вы прибавите к сво-
своему решению какую-нибудь константу, то снова получите ре-
решение.
4. Подставьте общее решение C4.2) в граничные условия
и получите уравнения C4.3).
Лекция 35
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
(СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Найти такие частные решения урав-
уравнения Лапласа в сферических координатах, чтобы из них
можно было строить решения различных задач (типа задач
Дирихле, Неймана). Кроме того, мы решим внутреннюю за-
задачу Дирихле
(УЧП) (гЧ), + jL- [sin Фиф]ф + ^ а09 = 0 *),
(ГУ) иA, е, Ф) =
для одного частного случая, когда потенциал на границе
зависит только от ф.
х) Здесь левая часть уравнения есть г2 Аи в сферических координатах.
Прим. pedt

Лекция 35. Уравнение Лапласа в сферических координатах 265
Для решения задачи нам придется разложить потенциал
на границе g"(<p) в ряд по сферическим гармоникам
00
2 апРп (cosy),
0
где частные решения уравнения Лапласа, так называемые
сферические гармоники Pw(cosq)), являются полиномами Ле-
жандра от cos ср. После того как разложение произведено,
решение находится сразу!
и (г, Ч>)=%апгпРп (cos у).
/г=0
Аналогично находится решение внешней задачи Дирихле:
/г=0
Одной из важных задач физики является задача определения
потенциала внутри или вне сферы, если задан потенциал на по-
поверхности сферы. Для внутренней задачи мы должны найти функ-
функцию, которая является решением задачи
C5.1)
Обратим внимание на то, что сферический лапласиан записан не
так, как раньше. Эта форма записи более компактна и более
удобна для использования. Другая типичная интерпретация этой
задачи такова: найти распределение температуры внутри сферы,
если температура на границе сферы задана. Очень часто функ-
функция g(Q, ф) имеет специальный вид, так что нет необходимости
решать задачу в самом общем виде.
В этой лекции мы остановимся на двух важных частных слу-
случаях. В одном случае функция g(Q, ф) будет константой, а
в другом—будет зависеть только от угла ф (этот угол отсчиты-
вается от северного полюса сферы).

266 Часть 4. Эллиптические задачи
Частные случаи задачи Дирихле
Частный случай 1 (g(9, ф) = const)
Ясно, что в этом случае решение не зависит от углов <р и О
и уравнение Лапласа переходит в обыкновенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение
Это очень простое уравнение, и читатель может легко решить
его. Общее решение этого уравнения имеет вид
C5.2) u(r) = -j + b.
Другими словами, среди всех потенциалов существует только два
таких, которые не зависят от углов, а зависят только от г. Эти
потенциалы — константа и с/г. Потенциал 1/г играет очень важ-
важную роль в физике и называется ньютоновским потенциалом.
РИС. 35.1. Задача Дирихле в шаре.
Теперь мы решим две задачи, в каждой из которых потенциал
зависит только от г.
ЗАДАЧА 1 (Потенциал внутри сферы)
(УЧП) Да = 0, 0<г<1,
(ГУ) иA,е|ф) = з.
Согласно C5.2), получаем ограниченное решение и (г, 9, q>) = 3.
ЗАДАЧА 2 (Потенциал между двумя сферами, каждая из ко-
которых обладает постоянным потенциалом)

Лекция 35. Уравнение Лапласа в сферических координатах 267
Предположим, что мы хотим найти стационарное распределе-
распределение температуры между двумя сферами, которые поддерживаются
при различных температурах:
(УЧП) Ди = 0, Rt<r<Rt9
Поскольку мы знаем, что общая форма потенциала, не завися-
зависящего от 0 и ф,
то подставим его в граничное условие и решим получившуюся
систему относительно а и Ь. В результате получаем
^ (A— B)RXR2 ь ^ RtB—RiA
/?2 — Rl R2 — Rl
Графики этого потенциала при различных значениях потенциа-
потенциалов А и В изображены на рис. 35.2.
V (Г)
А —
I
1
1
1
1
I
]
1
1
1
1
\
\
!
1
v(r)
РИС. 35.2. Потенциал между двумя концентрическими сферами, одна из кото-
которых обладает потенциалом Л, а другая — потенциалом В.
Частный случай 2 (g(e, ф) зависит только от Ф)
(УЧП)
(ГУ)
В этом случае задача Дирихле записывается в виде
Ч)+
= 0, 0
1, в, ф) =
Воспользуемся методом разделения переменных и найдем реше-
решения вида
и (г, ф) = #(/-)Ф(ф).
В результате приходим к двум обыкновенным дифференциальным

268 Часть 4. Эллиптические задачи
уравнениям:
r*R"-\-2rRr—n(n+l)R^O (уравнение Эйлера),
[sin фФ']' + n (n + 1) sin фФ = 0 (уравнение Лежандра).
Немного позже читатель увидит, почему константа разделения
выбрана в виде п{п+\).
Уравнение Эйлера мы решим, подставив в него /?(г) = га и
определив возможные значения а. Сделав это, получим
п
-(п+1).
Следовательно, общее решение уравнения Эйлера имеет вид
Уравнение Лежандра решить не так легко. Общий метод ре-
решения основан на подстановке
Проделав эту замену переменной, получаем новую форму урав-
уравнения Лежандра
Теперь нужно решить это уравнение и подставить в решение
л; = cos ср. Уравнение Лежандра является линейным уравнением
второго порядка с переменными коэффициентами. Одна из осо-
особенностей этого уравнения в том, что коэффициент A—х2) при
d2<$>/dx2 обращается в нуль на концах отрезка —1 <л:< 1. Урав-
Уравнения этого типа называются сингулярными дифференциальными
уравнениями и очень часто решаются методом Фробениуса. Не,
вдаваясь в подробности этого метода, мы приведем только наи-
наиболее важный результат. Ограниченные решения уравнения Ле-
Лежандра могут существовать, только если я —0, 1, 2, .... При
этом оказывается, что они являются полиномами Рп(х) (полино-
(полиномами Лежандра)
п =
= ~Eх' — Зх), —
dn г/ 2 |ч„т /формула \
dxn ^ > * \Родрига /

Лекция 35. Уравнение Лапласа в сферических координатах 26Э
Графики нескольких полиномов Лежандра изображены на рис. 35.3.
Теперь ясно, что ограниченные решения уравнений
r*R" + 2rR' — n(n+l)R^0, 0 < г < 1,
[sin <рФ']' + п (п + 1) sin фФ = 0, 0 < ф < я,
имеют вид
Функция Р„(со5ф)—это полином Лежандра п-го порядка,
в котором х заменен на соэф. И наконец, ищем решение исход-
исходной задачи в виде ряда
C5.3)
и (г, <Р)=2 anrnPn(cosy),
0
коэффициенты которого выбираем так, чтобы удовлетворить гра-
граничному условию мA,ф) = ?(ф). Подстановка решения C5.3)
A.1)
(-1,-0
РИС. 35.3. Полиномы Лежандра Рп (х).
в граничные условия дает
Если умножить обе части этого соотношения на Рт (cos ф) sin
и проинтегрировать по ф от 0 до я, то получим
\ g (ф) Рт (C0S Ф) Sin Ф ^Ф = 2 а« ^« (C0S Ф) Р» (COS ф) Sin ф^ф =
о п=° о
2
пфт,

270
Часть 4. Эллиптические задачи
Можно убедиться в
на отрезке [—1, 1].
C5
4)
2т+1
пт~ 2
ТОМ, ЧТО ПОЛИНОМЫ
Следовательно,
л
\ g(ф)Р (cosф)sine
0
Лежандра
р йф (т —
ортогональны
0, 1, 2, ..,)•
Итак, решение задачи Дирихле C5.1) дается выражением
C5.5)
"('. Ф)= %anrnP„(cosy),
где коэффициенты ап вычисляются по формулам C5.4).
Приведем теперь пример цилиндрически-симметричного потен-
потенциала.
Цилиндрически-симметричный потенциал
(не зависящий от в)
Предположим, что температура поверхности сферы определяется
формулой
g (Ф) == 1 _ cos Bф), 0 < ф < л,
и предположим, что мы хотим найти температуру внутри сферы.
В нашей задаче температура постоянная на линиях постоянной
широты (например, температура равна 2 на экваторе: ф = л/2, и
0 тг/2 к *
РИС. 35.4. Зависимость температуры от широты в радианах (начало отсчета
на северном полюсе).
нулю—на яолюсах: ф = 0, ф < л). Чтобы найти а, нужно решить
задачу
(УЧП) Да = 0, 0<г<1,
(ГУ) мA, 9, ф)=1— соэBф), 0<ф<я.
График температуры на поверхности изображен на рис. 35.4. Нам
необходимо найти коэффициенты ап для решения C5.5). Чтобы
сделать это, мы должны

Лекция 35. Уравнение Лапласа в сферических координатах 271
а) либо воспользоваться формулой C5.4),
б) либо воспользоваться программой, существующей на вашем
вычислительном центре и предназначенной для вычисления
коэффициентов разложения по полиномам Лежандра,
в) либо проявить немного здравого смысла.
«00
РИС. 35.5. Зависимость температуры от расстояния до центра шара.
Попытаемся воспользоваться последним рецептом. Рассмотрим
тригонометрическое тождество
eosB(p) = 2cos2(p— 1,
которое позволяет переписать температуру на границе в виде
1 —cos Bф) = 1 —[2 cos2 ф— 1] =
= j Яо (COS ф) — у Р2 (COS ф).
Мы получили разложение функции g((p) в ряд по полиномам
Лежандра. Теперь решение задачи легко находится
и(г )
Графики этого решения на различных широтах приведены на
рис. 35.5.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Обратим внимание на то, что после разложения функции
в ряд
= 2] ааРп (cos ф)
нужно только умножить я-й член ряда на гп9 чтобы получить

272 Nacfb 4, Эллиптические задачи
решение
и (г, Ф)=2яЛ<
ll=iQ
2. Решением внешней задачи Дирихле
(УЧП) Да-0, 1</-<оо,
(ГУ) мA, О, ф) = ?(ф)
является функция
ао
И (/-, ф) = ^ -^fj- Ря (COS ф),
где
о
Например, если граничное условие g (ф) = 3, то решение и (г, ф)=
= 3/л Отметим, что в этой задаче решение стремится к нулю
при г—^ оо, а в случае двух переменных решение внешней за-
задачи с постоянным граничным условием само будет постоянным.
ЗАДАЧИ
1. Подставьте R (г) = га в уравнение Эйлера
г2/?" + 2rR' -^i (л + 1) R = 0
и получите <х — п и а = — (п-\-Х).
2. Сделайте замену переменной # = соэф в уравнении Лежандра
[sin фФ']' + п (п + 1) sin фФ = 0, 0 < ф < я,
и приведите его к виду
A-*2)^-2х|^-
3. Проверьте формулу Родрига
для полиномов Лежандра.
4. Решите внутреннюю задачу Дирихле в шаре
(УЧП) Aw = 0, 0 < г < 1, 0<ф<я, 0<0<2я,
(ГУ) иA, ф) = с
Используя тригонометрию, попытайтесь выразить cos (Зф) через
, соэ2ф, соз3ф, а затем скомбинируйте их так, чтобы по-

Лекция 36. Неоднородная задача Дирихле (функция Грина) 273
лучилось разложение
cos (Зф) = а0Р0 (cos ф) + агРг (cos Ф) + • • • •
5. Решите задачу Дирихле в шаре
Ди = 0, 0 < г < 1, 0<ф<л, <
1, 0<ф<я/2,
В этой задаче верхняя полусфера нагрета (+1), а нижняя
охлаждена (—1).
6. Найдите решение задачи Дирихле в шаре
(УЧП) Дм = 0, 1<г<оо, 0<ф<я, 0<0<2д,
(ГУ) иA, ф)=
Проверьте ответ.
Лекция 36
НЕОДНОРОДНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
(ФУНКЦИЯ ГРИНА)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, как с помощью функции Грина
(функции источника) можно решить неоднородную задачу
Дирихле. В этом важном методе правая часть уравнения
рассматривается как некоторое входное воздействие и раз-
разлагается в непрерывную совокупность дельтаобразных источ-
источников, распределенных по некоторой заданной области. За-
Затем находится отклик системы на каждый такой источник
(функция Грина) и все отклики суммируются (интегриру-
(интегрируются). В результате получаем полное решение задачи.
Достаточно общей задачей прикладной математики является
определение потенциала в некоторой области пространства, если
задано распределение источников f(x, у) внутри этой области,
В электростатике потенциал (в вольтах) в области D обусловлен
распределением зарядов с плотностью f(x, у) по этой области.
Типичная задача—определение потенциала в круге в двумерном
случае.
В такой задаче потенциал должен удовлетворять уравнению

274 Часть 4. Эллиптические задачи
Пуассона (например, с нулевыми граничными условиями)
C6.1)
(УЧП) и„ + у и,+^ иве ==/(/-. в), 0<г<1, 0<6<2я,
(ГУ) иA, в) = 0, 0<6<2я.
Мы выбрали нулевые условия не случайно. Если бы мы хо-
хотели решить задачу в общем случае, с ненулевыми граничными
условиями и неоднородным уравнением, то вклад неоднородных
граничных условий можно было бы найти по интегральной фор-
формуле Пуассона из лекции 33.
Чтобы получить хоть какое-то представление о неоднородных
дифференциальных уравнениях, давайте рассмотрим графически
решение следующей задачи для уравнения Пуассона:
(УЧП) Аи=—q, 0</-<l, 0^6^ 2я (д—положительная
константа),
(НУ) мA, б) = 0, 0<6<2я.
На границе потенциал (или температура, если вам это больше
нравится) поддерживается равным нулю, а лапласиан равен — q
во всех точках области. Поскольку Аи (р) служит мерой разности
между функцией и (р) и ее средним значением, уравнение Пуас-
Пуассона утверждает, что поверхность и {г, 0) всегда выпукла вниз.
Другими словами, она будет похожа на тонкую мембрану с за-
закрепленным краем, которую сверху вниз обдувает поток воздуха.
Если правая часть уравнения f(x9 у) изменяется от точки
к точке, то и выпуклость также будет переменной функцией точки
области.
Перейдем теперь к главной части нашей лекции: определению
функции Грина и решению уравнения C6.1).
Сначала, однако, мы должны ввести понятие потенциала то-
точечных источников и стоков.
Потенциалы точечных источников и стоков
Для решения неоднородного линейного уравнения достаточно
решить это уравнение с точечным источником, поскольку реше-
решение задачи в общем случае можно найти, суммируя вклады от
точечных источников. Наша задача — определить потенциал, кото-
который создает в заданной области точечный источник (или сток).
Этим источникам можно дать различную интерпретацию. В тео-
теории теплопроводности мы можем рассматривать источник как
точку, в которой возникает тепло, а сток—как точку, где тепло
поглощается. В электростатике источник может рассматриваться
как отдельный положительный заряд (протон), а сток—как
отдельный отрицательный заряд (электрон). В любом случае не-
независимо от интерпретации мы найдем двумерный потенциал и,

Лекция 36. Неоднородная задача Дирихле (функция Грина) 27S
создаваемый единичным точечным источником (поиск трехмерного
потенциала мы оставляем читателю в качестве упражнения).
Предположим, что отдельный точечный источник величины + q
помещен в начало координат. Ясно, что тепло (или что-то другое)
будет вытекать из области вдоль ради-
радиальных линий, и, следовательно, для
величины полного потока, протекающего
через окружность радиуса г можно за-
записать
Полный поток, вытекающий через окруж-
2л
ность = — \ ur (r) rdd = —2nrur (r).
о
Но полный поток должен совпадать
с количеством тепла, созданного внутри
круга (закон сохранения), Т. е. РИС. 36.1. Радиальный поток
. 2пги (г) = а. тепла от точечного источника:
г а — тепло выделяется в на-
Решая это дифференциальное уравне- чале координат,
ние относительно функции и (г), по-
получаем
(Решение изображено на рис. 36.2.)
В электростатике разность потенциалов и (В) — и (А) равна
работе, которую необходимо совершить, чтобы переместить еди-
единичный положительный заряд из точки А в точку В (рис. 36.2).
-г-«(В)
1
и (г)
К
\
В
\
¦¦*
А
1
1
РИС. 36.2. Потенциал точечного заряда в двумерном случае: а—работа, необ-
необходимая для перемещения единичного заряда из А в В.
Сток можно интерпретировать как отрицательный источник, так
что сток величины — q создает потенциал

276 Часть 4. Эллиптические задачи
Этим завершается обсуждение потенциалов точечных зарядов. Те^-
перь мы готовы к решению неоднородного уравнения методом
функции Грина.
Уравнение Пуассона в круге
Займемся решением очень важной задачи
C6 2) (УЧП) и" + 7|/'+^И(* = /('. Э)' 0<г<1' 0<6<2я,
(ГУ) 11A, в) = 0, 0<0<2я.
Метод функции Грина (метод функции источника) состоит из двух
шагов.
1. Помещаем в точку (р, ср) точечный единичный заряд и на-
находим потенциал G(r, 0, р, ф), который создается этим зарядом
и обращается в нуль на границе.
2. Суммируем индивидуальные отклики G (г, 6, р, ср), взвешен-
ньге правой частью (плотностью зарядов)/(г, 6), по всему кругу.
В результате получаем искомое решение
2л 1
u{r, 6) = J ^G(r, Э, р, ф)/(р, ф)рфйф.
о и
Найдем теперь функцию источника для нашей задачи.
Определение функции источника G(r, в, р, <р)
Заменим правую часть /(г, Э) нашего уравнения точечным
источником величины 1, помещенным в некоторую произвольно
выбранную точку (р, ф). Математически точечный источник пред-
представляется дельта-функцией б (г — р, 8—фI). Мы считаем, что
дельта-функция равна нулю всюду, кроме точки (р, ф), в кото-
которой находится единичный заряд. На языке сил дельта-функцию
можно интерпретировать как точечную единичную силу, прило-
приложенную к точке (р, ф). Наша задача — найти потенциал точеч-
точечного заряда, если известно, что на границе он равен нулю.
Функция, удовлетворяющая этим условиям, называется функцией
Грина или функцией источника. Она равна отклику системы
в точке (г, Э) на источник, помещенный в точке (р, ф). Трудность
решения этой задачи в том, что искомый потенциал должен
обращаться в нуль на границе. Если бы не это условие, то по-
потенциал можно было бы легко найти, так как мы уже знаем, что
См.: Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике.—
М.: Наука, 1976.— Прим. ред.

Лекция 36. Неоднородная задача Дирихле (функция Грина) 277
потенциал точечного заряда равен
где г — расстояние от заряда до точки наблюдения.
Искомый потенциал может иметь следующий физический смысл:
1. В теории теплопроводности—это равновесная температура
внутри, круга, если тепловой источник размещается в точке (р, ср),
а на границе поддерживается ну-
нулевая температура.
2. Он описывает отклонение
мембраны от положения равнове-
равновесия, если отклонения на границе
равны нулю, а в точке (р, ф) мем-
мембрана оттянута на очень большую
высоту.
3. В электростатике это рас-
распределение потенциала внутри кру-
круга, если точечный положительный
заряд помещен в точку (р, ф), а
круг заземлен и его потенциал
поддерживается равным нулю.
Теперь найдем функцию Гри-
Грина; она будет похожа на функцию, изображенную на рис. 36.3.
Построение решения
ШАГ 1. Поскольку функция
Единичная окружность
РИС. 36.3. Функция Грина О (г, 8,
р, ф) точечного источника, располо-
расположенного в точке (р, ф).
является потенциалом поля в точке Р==(г, 0), которое создано
единичным точечным зарядом, помещенным в точку Q = (p, ф),
(R—расстояние между точками Р и Q) единственное, что нам
осталось сделать — так изменить эту функцию, чтобы она обра-
обратилась в нуль на границе.
ШАГ 2. Из эксперимента известно, что эквипотенциальные
линии точечных зарядов (положительных или отрицательных)
представляют собой окружности (рис. 36.4).
Основная идея построения функции Грина состоит в следую-
следующем: нужно снаружи круга разместить другой (отрицательный)
заряд таким образом, чтобы полный потенциал на окружности
г=1 был константой. Затем можно вычесть из потенциала эту
константу и получить нулевой потенциал на границе. Очевидно,
найденный таким образом потенциал будет обладать всеми свой-

278 Часть 4. Эллиптические задачи
ствами функции G(r, 0, р, ф). Остается неясным, в какой точке
вне круга нужно разместить отрицательный заряд, чтобы потен-
потенциал на окружности стал постоянным. Можно сравнительно
Электрон
. (Отрицательный
Нулебой потенциал
РИС. 36.4. Потенциал поля, образованного двумя противоположно заряженными
частицами; а, б — линии (окружности) постоянного потенциала.
р, ф
С Отрицательный
заряд)
pq
( положительный
заряд)
РИС. 36.5. Заряды Q и Q дают постоянный потенциал на окружности г = \.
легко убедиться в том, что если отрицательный заряд поместить
в точку Q = (p, ф) = A/р, ф), то полный потенциал
и (г, 6) = -±-ln\/R—±-
2л
2л
будет постоянным на окружности г=1. Здесь через R и R обо-
обозначены расстояния от зарядов до точки (г, 6) (см. рис. 36.5).
Можно показать, что величина потенциала на окружности г = 1
определяется выражением
— Y~ lnp (положительная константа).

Лекция 36. Неоднородная задача Дирихле (функция Грина) 27?
С учетом этого результата строим функцию Грина
C6.3) G(r, 9, р, ф)= -^l i? ^
t
Потенциал по-
положительного
заряда, распо-
расположенного в
точке Q
Г
Потенциал от-
отрицательного
заряда, распо-
расположенного в
точке О
Г
Вычитание по-
постоянного по-
потенциала гра-
границы
где
R = У г2 — 2pr cos (9 — ф) + р2,
R= у г2— 2 — cos (9 — ф)+1/р2
— формулы, выражающие расстояние между двумя точками в
полярных координатах. Чтобы найти решение исходной задачи,
осталось провести наложение всех импульсных откликов системы.
Итак, мы переходим к последнему шагу.
2л
ШАГ 3. Суперпозиция импульсных откликов
Этот шаг совсем прост. Из соотношения
2л 1
G(r, 9, р,
и
получаем
C6.4)
Формула C6.4) выражает решение задачи Дирихле для уравне-
уравнения Пуассона внутри круга через функцию Грина этой задачи.
Если плотность зарядов f(r, 9) известна, то интеграл можно
вычислить, например численно.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Задачу
(УЧП) Ди=0, 0 < г < 1, 0<9<2я,
(ГУ) u(l, Q)
тоже можно решить методом функции Грина. В этом случае
решение записывается в виде
2л
H(/.,e) = J?(r,e, 1, ,
О

280 Часть 4. Эллиптические задачи
Последнему соотношению можно придать форму более удоб-
удобную для вычислений, если раскрыть в явном виде выражение
для dG/dr. В результате получим интегральную формулу Пуас-
Пуассона, найденную нами ранее в лекции 33.
C6.5) и (г, 9) = -4
1ф)+,2] g(Ф)*р.
2. Решение общей задачи Дирихле
(УЧП) Ди = /(г, 0), 0 < г < 1, 0<6<2л,
(ГУ) иA, в) = ?(9), 0<0<2л,
находится как сумма решений C6.4) и C6.5).
3. Метод функций Грина позволяет получить решение многил
задач в областях различной формы. Однако для каждой обла-
области и (точнее, для каждого оператора, стоящего в левой части
граничного условия) для каждого уравнения нужно находить
свою функцию Грина, а это не всегда легко сделать.
4. Чтобы реально найти решение по формуле C6.4), в большин-
большинстве случаев необходимо вычислять интегралы на ЭВМ.
ЗАДАЧИ
1. Найти потенциал точечного источника в трехмерном прост-
пространстве.
2. Найти функцию Грина G (х, у, ?, г\) для уравнения Лапласа
в верхней полуплоскости у > 0. Другими словами, найти по-
потенциал в точке (х, у) в верхней полуплоскости, если заряд
расположен в точке A, ц), а потенциал на границе у = 0 равен
нулю (см. рис.).
У

т Лекция 36. Неоднородная задача Дирихле (функция Грина) 281
УКАЗАНИЕ. Если отрицательный заряд поместить в точку
Q = (St —Ц)> то ясно, что полный потенциал на линии # = 0
будет равен нулю. Следовательно, функция Грина будет сов-
совпадать с потенциалом этих двух зарядов.
3. Используя результаты задачи 2, найдите решение уравнения
Пуассона Аи==—k в верхней полуплоскости с нулевым гра-
граничным условием.
4. Как бы вы строили функцию Грина для первого квадранта
х > 0, у > 0?
5. Другой подход к решению уравнения Пуассона состоит в сле-
следующем. Предположим, что вы хотите решить задачу
(УЧП) Ди=1, 0<г<1, 0<9<2я,
(ГУ) иA, в) = sin в, 0<6<2я.
Сначала попытайтесь найти частное решение уравнения с по-
помощью подстановки
и,-(г, в) = Аг\
Затем подставьте это выражение в уравнение Пуассона и
определите константу А.
После того как частное решение ир найдено, надо искать
полное решение в виде u = w + up. Какому граничному усло-
условию должна удовлетворять функция w? Найдите w(r, 6). Что
является решением исходной задачи и (г, 0)? Проверьте это.
Тщательно проанализируйте ответ. Дайте интерпретацию каж-
каждого члена.

Часть 5.
ЧИСЛЕННЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ
МЕТОДЫ
Лекция 37
ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
(ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, как уравнения в частных
производных можно свести к системам алгебраических урав-
уравнений, если частные производные заменить их конечно-раз-
конечно-разностными аппроксимациями. Решение этой системы алгеб-
алгебраических уравнений итерационным методом позволяет по-
получить приближенное решение
Дается информация о пакете прикладных программ
ELLPACK, предназначенном для решения эллиптических
задач общего вида на ЭВМ.
К настоящему моменту мы познакомились с несколькими ме-
методами решения линейных уравнений с частными производными.
Однако большинство уравнений, с которыми мы имели дело,
были очень простыми. Так же просты были и формы областей,,
в которых решались задачи. Тем не менее многие задачи нельзя
упростить до такой степени, чтобы они свелись к заданному
набору шаблонных задач. Такие задачи следует решать прибли-
приближенно численными методами. Прогресс в области высокопроиз-
высокопроизводительных ЭВМ привел к созданию новых численных методов.
Сегодня уже решены такие нелинейные задачи динамики жидко-
жидкости, теории упругости и теории потенциала, о решении кото-
которых десять лет назад никто даже не задумывался.
Под общим названием «численные методы» объединены не-
несколько различных подходов к решению задач. Подробное опи-
описание всех этих подходов можно найти в книге [4] из рекомен-
рекомендованного списка литературы. В этой и двух последующих лек-
лекциях будет показано, как решать эллиптические, гиперболиче-
гиперболические и параболические уравнения методом конечных разностей.
Сначала познакомимся с понятием конечных разностей, а за-
затем покажем, как с их помощью решить задачу Дирихле в квад-
квадрате.

Лекция 37. Численные решения (эллиптические задачи) 283
Конечно-разностные аппроксимации
Вспомним ряд Тейлора для функции f(x):
Если оборвать этот ряд на втором члене, то получим
Откуда
C7.1)
Выражение, стоящее в правой части, называется правой разност-
разностной производной. Она аппроксимирует первую производную /' (х)
в точке х.
В разложении Тейлора функции f(x) можно заменить h на
— Ли получить левую разностную производную
C7.2) /' (х) ^ m
Вычитая f(x—h) ~ /(*) — /' (x)h
из f(
получаем центральную разностную производную
C7.3) /' (х) -1 [/ (x + h)-f(x-h)l
Если в ряде Тейлора оставить на одно слагаемое больше, то
совершенно аналогично можно получить центральную разностную
производную для аппроксимации /"(*)
C7.4) f»(x)g±*-2[f{x + h)-2f(x) + f(x-h)l
Теперь можно распространить понятие конечно-разност-
конечно-разностной аппроксимации на частные производные. Если исходить из
разложения Тейлора функции двух переменных
их(х, хху)^
u(x—h, y)=*u(x9y)—ux(x, y)h + uxx(x, y)^—...9

294 Часть. 5. Численные и приближенные методы
можно получить следующие аппроксимации частных производных;
t ч и(х-\-Н, у)— и (х, у)
— 2и(х, у) + и(х—ht y)]9
ихх{х, у) g*j2[u
, ч и (х, y-\-k) — u (х, у)
иу (х, у) о* k —^->
иуу(х, у) д±-^[и(х, y + k)—2u(x, y) + u(x, у—Щ\.
В этих формулах частные производные аппроксимируются пра-
правыми, центральными и левыми разностными производными, но в
данной лекции мы будем пользоваться только центральными
аппроксимациями.
Изменение i Щ-
D - известные граничные услодия
• -бнутренние узлы сетки
Изменение] —>-
РИС. 37.1. Сетка для задачи Дирихле внутри квадрата.
Чтобы познакомиться с основными правилами использования
конечно-разностных аппроксимаций, рассмотрим простую задачу
Дирихле.
Решение задачи Дирихле методом
конечных разностей
Пусть необходимо решить задачу Дирихле
(УЧП) uxx + uljy = Ot 0<х<1, 0<у<1,
C7.5) I u = 0, на верхней и боковых сторонах квадрату,
и(х, 0) — sm(xn), O^jc^I, y = 0.
(ГУ)
Построим в плоскости (х, у) сетку, как показано на рис. 37.1.
Удобно (особенно, если мы собираемся применять ЭВМ)

Лекция 37. Численные решения (эллиптические задачи) 285
использовать следующие обозначения:
j
u(x—h, y) = ui%j_lf
) = ui%f+lt
2S(W/,/+l
Основная идея решения задачи Дирихле основана на замене
частных производных в уравнении Лапласа
их конечно-разностными аппроксимациями. Проделав это и восполь-
воспользовавшись компактными обозначениями, получаем следующее раз-
разностное уравнение:
В случае когда Л = *, уравнение Лапласа приводится к виду
C7.6) (и*+1,/ + м*-1./ + и/./ + а 4м) = 0
Разрешив его относительно w//f получим
"/У = Т ("*+w + ^-ь/ + "
Отметим, что в этом соотношении все значения и,ц берутся для
внутренних узлов сетки. Согласно последнему соотношению, реше-
решение tiij аппроксимируется средним значением решения по четы-
четырем соседним точкам. Следовательно, мы можем разработать не-
некоторый численный метод решения этой задачи.
Алгоритм численного решения задачи Дирихле
(метод Либманна)
ШАГ 1. Присвоим величинам uif во внутренних узлах численное
значение, равное среднему всех значений граничных условий.

286 Часть 5. Численные и приближенные методы
ШАГ 2. Будем пересчитывать значения во всех внутренних точках
сетки путем замены старого значения средним по четырем сосед-
соседним точкам. Не очень важно, как будет организован процесс
счета, но обычно его проводят по строчкам (либо по столбцам).
После нескольких операций процесс сойдется к приближенному
решению задачи. Скорость сходимости этого алгоритма невелика,
но ее можно увеличить несколькими способами. Заинтересован-
Заинтересованному читателю мы рекомендуем обратиться к книге [4] из списка
рекомендованной литературы.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Если взять сетку с четырьмя внутренними точками
то система C7.6) запишется в виде
— 4г/22 + 0 + sin (п/3) + и23 + и32 = О,
— 4и23 + и22 + sin Bя/3) + 0 + и33 = О,
— 4м82 + 0 + и22 + и
Ее необходимо решить относительно u22J u23, и32 и и33. Реше-
Решение такой системы можно найти итерационным методом.
Метод Либманна также является одним из итерационных
методов.
2. Если уменьшить шаги сетки h и k (число узлов сетки при
этом будет возрастать), то мы получим систему уравнений типа
C7.7), но больших размеров. В общем случае число уравнений
всегда совпадает с числом внутренних узлов сетки.
3. Систему уравнений C7.7) можно переписать в матричной форме
'32
-4 1 1
1—4 0 1
10—41
0 1 1 —4JL«33_
— sin (л/3)"
—sinBji/3)
0
0
i
—0,86
—0,86
0
0
С ростом числа уравнений (например, до 1000) матрица коэф-
коэффициентов становится разреженной, т. е. содержит много нулей.
Системы с разреженными матрицами решаются специальными
методами. Обычно используются итерационные методы, такие,
как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя или метод последова-
последовательной верхней релаксации.
4. При решении задачи Неймана те производные, которые входят
в граничное условие, также следует заменить их разностными
аппроксимациями.

Лекция 37. Численные решения (эллиптические задачи) 287
б. Подобным образом можно решать задачи
а) uxx + uini = f(x,y) (неоднородные уравнения),
б) хи
уу
ихх + иуу + *и — sin (х у)
в) sin хихх + иху + Зи = О
(неоднородные уравнения с
переМенными коэффициентами),
(уравнения с переменными
коэффициентами).
6. Если область, в которой решается задача, имеет неправильную
форму, можно покрыть ее сеткой и аппроксимировать решение
в ближайших к границе точках интерполяцией граничных
условий. После того как это сделано, задача решается обычным
образом (см. рис. 37.2).
А
Г "II
\
с
их ¦ —
1 Г
J L
1 Г
1 Г
J L
1 Г
J L
j
A
/
J
1 L
J
Г
L
7
/
m L
1 Г
J L
Л Г
J L
г
L
г
L
1 Г
LJ ±t
1
I
\
J 1
a
ГУ заданы на кривой
новые ГУ находятся интерпо-
интерполяцией ГУ на кривой
РИС. 37.2.
7. В некоторых журналах публикуются тексты программ для ре-
решения уравнений с частными производными на ЭВМ. Ниже
приведен краткий перечень этих журналов:
а) ACM Transactions on Mathematical Software,
б) Computer Journal,
в) Numerische Mathematik,
r) BIT.
Кроме того, недавно был разработан пакет прикладных про-
программ ELLPACK, предназначенный для решения достаточно
широкого класса краевых эллиптических задач. Этот пакет
позволит решать разнообразные двух- и трехмерные задачи в

28В Часть 5. Численные и приближенные методы
различных системах координат для произвольных границ и
общих граничных условий. Пользователю представляется боль-
большой ассортимент различных методов решения1).
ЗАДАЧИ
1. Получите аппроксимацию C9.4) для второй производной /"(х)
2. Проделайте две итерации для задачи Дирихле C7.5), используя
итерационный метод Либманна.
3. К какой алгебраической системе сведется задача Дирихле для
уравнений Пуассона в квадрате
(УЧП) uxx + uyy = f(x,y), 0<х<1, 0<*/<1,
(ГУ) и (х, у) = g (x, у) на границе, если ее решать ме-
методом конечных разностей?
4. Решите задачу 3, если
(УЧП) ихх + иуу + 2и = 0, 0<х<1, 0<у<19
(ГУ) и (х, y) = g (х, у) на границе.
'5. Как бы вы решали задачу Неймана внутри квадрата
(УЧП) ихх + иуу=0, 0<*<1, 0<*/<1,
( _0 на верхней, нижней и левой стороне
(ГУ) \п~ квадрата,
|g(ll
методом конечных разностей?
6. Постройте блок-схему алгоритма решения задачи Дирихле в
квадрате
(УЧП) uxx + uyy = f(x%y), 0<х<1, 0<</<1,
(ГУ) и (х, у) = g (x9 у) на границе,
с произвольным числом узлов сетки. Если вы знаете какой-
нибудь язык программирования, то напишите программу для
выполнения этих вычислений.
На русском языке работы по численным методам решения уравнений с
частными производными публикуются в многочисленных журналах и сбор-
сборниках. Например: «Журнал вычислительной математики и математической
физики», изд-во «Наука», «Инженерно-физический журнал», Изд-во
АН БССР, Сборники серии «Вычислительные методы и программирование»,
Изд-во МГУ. Пакетам прикладных задач посвящено много публикаций, в
основном статьи. В качестве примера можно указать: Горбунов-Поса-
Горбунов-Посадов М. М., Карпов В. Я., Корягин и др. Пакет САФРА. Программное обес-
обеспечение вычислительного эксперимента. — В кн.: Пакеты прикладных про-
программ. Вычислительный эксперимент.— М.: Наука, 1983. — Прим, перев.

Лекция 38. Явные разностные схемы 289
Лекция 38
ЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Ввести понятие явной разностной
схемы и показать, как с ее помощью можно решать гипер-
гиперболические и параболические задачи. Основная идея сос-
состоит в том, что после замены уравнения типа
его конечно-разностной аппроксимацией получаются фор-
формулы, явно выражающие значения решения для одного
момента времени через значения решения в предыдущий
момент времени. Таким образом, смешанную задачу для
параболического или гиперболического уравнения можно
решать, последовательно вычисляя решения для всех после-
последующих моментов времени.
Явная схема не свободна от недостатков. Если необхо-
необходимо увеличить точность аппроксимации производных, то
при изменении сетки растет не только объем вычислений,
но и ошибки округления.
Предыдущая лекция была посвящена решению краевых эллип-
эллиптических (стационарных задач). В таких задачах необходимо
найти решение уравнения с частными производными в данной
области пространства, если на границе области решение или его
производная заданы. Приближенное решение эллиптических задач
сводится к решению системы алгебраических уравнений для зна-
значений функции во внутренних узлах сетки. Другими словами,
значения решения во всех внутренних узлах определяются одно-
одновременно.
В этой лекции мы займемся разностными методами решения
задач, зависящих от времени. Основная идея состоит в том, что
если известно решение в начальный момент времени, то можно
по схеме бегущего счета найти решение при / = Д/, 2Д/, ЗА/,... .
Заменяя частные производные по времени и по пространственной
переменной конечно-разностными производными, можно получить
явные выражения для ии через значения функции и в преды-
предыдущие моменты времени. Такой процесс называется явной схе-
схемой бегущего счета.
Чтобы показать этот метод в действии, рассмотрим типичную
задачу теплопроводности.
Ю я» во*

290 Часть 5. Численные и приближенные методы
Явная схема для уравнения теплопроводности
Рассмотрим задачу теплопроводности в стержне, начальная
температура которого равна нулю. Пусть температура левого
конца фиксирована, а на правом конце происходит теплообмен с
окружающей средой, так что тепловой поток пропорционален
Типичный вычислительный'
шаблон
и
Ни
4и У\г и\ъ ищ
РИС. 3S.1. Сетка для уравнения теплопроводности.
разности температур конца стержня и среды. Пусть температура
среды определяется функцией g(t). Другими словами, мы решаем
задачу
(УЧП) Щ=*ихх, 0<*<1, 0</<оо,
(НУ)
ы(дг,О) = О, 0<л:<1.
0</<ОО,
Для решения этой задачи методом конечных разностей построим
прямоугольную сетку, узлы которой определяются формулами
(см. рис. 38.1)
Xj=jh, / = 0, 1, 2, ..., п,
yi = ik, f = 0, I, 2, ..., m.
Отметим, что значения и,ц на левой и нижней сторонах сетки
на рис. 38.1 известны из граничных и начальных условий и наша
задача состоит в отыскании остальных значений и{/. Для реше-
решения этой задачи заменим частные производные в уравнении тепло-
теплопроводности их конечно-разностными аппроксимациями
±[и(х t + k) (x t)] [uul

Лекция 38. Явные разностные схемы 291
Подставим эти выражения в уравнение ut = uxx и разрешим полу-
получившееся уравнение относительно значений функции на верхнем
временном слЬё. В результате получаем
C8.2)
Это и есть искомая формула, поскольку она выражает решение
в данный момент времени через решение в предыдущий момент
времени (индекс i относится к временной переменной). На рис.
38.1 выделены те значения, которые входят в данную формулу.
Теперь можно приступить к вычислениям. Однако сначала
нужно аппроксимировать производную в граничном условии на
правом конце
В результате аппроксимации получаем
C8.3) ъ1и^-и***-А = -1и**п-2*1
где значения gi = g(ik) известны. Здесь мы заменили ux(ltt)
левой разностной производной, поскольку правая разностная „про-
„производная потребовала бы значений функции за пределами сетки.
Из C8.3) находим
C8.4) и. =M'."-i-*g/
Формулы C8.2) и C8.4) позволяют начать вычисления.
Алгоритм вычислений по явной схеме
ШАГ 1. Находим решение на сеточном слое / — А/, используя
явную формулу (см. рис. 38.2)
«2,y = «i.y + ^["i.y+i —2mw + mi,/-i1 /" = 2,3, ..., /i—1.
ШАГ 2. Величину и2х11 находим по формуле C8.4)
"*»*— Г+h
Совершив шаги 1 и 2, получаем решение для t = At. Для полу-
получения решения при / = 2А? (вторая строка снизу на рис. 38.2)
повторяем шаги 1 и 2, поднявшись на одну строку вверх, т. е.
увеличив i на 1 и используя ии1 с предыдущей строки. Анало-
Аналогично вычисляется решение в последующие моменты времени
t3M 4Д*
Ю*

292 Часть 5. Численные и приближенные методы
Для того чтобы помочь читателю в проведении расчетов по
этому методу, на рис. 38.3 приведена достаточно подробная блок-
схема алгоритма. Те, кто не очень хорошо знаком с блок-схемами,
*****
гЛя-i)
r/fm-1)
Чп
ttM
«31
«21
t/ц J/j2 #J3 ^14 W^ W^n
РИС. 38.2. Иллюстрация явной разностной схемы: п — число узлов сетки вдоль
оси х\ т—число узлов сетки вдоль оси у\ Н = \/(п—1), k — T/(m—1).
могут считать их промежуточным звеном между вычислительными
алгоритмами и подробными программами для ЭВМ. Блок-схемы
дают строгое описание процесса вычислений.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. У явной схемы есть серьезный недостаток. Если шаг по вре-
времени оказывается достаточно большим по сравнению с шагом по
х, погрешности округления могут стать настолько большими,
что полученное решение потеряет смысл. Отношение шагов по /
и х зависит от уравнения и граничных условий, но в общем слу-
случае шаг по времени должен быть много меньше шага по коорди-
координате. В книге [4] доказано, что для применимости явной схемы
должно выполняться условие й/А2^0,5.
2. Справедливо следующее эмпирическое правило: если умень-
уменьшать шаги Л? и Дх, то погрешность аппроксимации частных
производных конечными разностями тоже будет уменьшаться,
однако чем мельче сетка, тем больше вычислений необходимо
совершить и, следовательно, тем больше будут погрешности
округления. Это явление иллюстрируется на рис. 38.5.
3. Для гиперболической задачи
(УЧП) ии=*ихх% 0<*<1, 0</<оо,

Лекция 38. Явные разностные схемы
1,
также можно построить явную разностную схему. Для этого
аппроксимируем ии и ихх центральными разностными произ-
Вход: N - число у злоб сетки вдоль оси х
М - число узлов сетки вдоль оси у
Т - максимальное значение t
Вычисление шагов сетки: // = 1/(М-1)
{Вычисление отношения:
Заполнение НУ и(х, 0) =0 первой строки
массива M*N. См. рис. 38.А
Заполнение ГУ и @,t) = 1 первого столб-
столбца массива V.
I
присваиваем счетчику строк значение I-1
Вычисляем:
I
Вычисляем:
для J
Ш 1
\HemU-
Теперь у нас есть приближенное- решение задачи
в узлах сетки, пользователю осталось решить,
S каком биде выдать это решение
РИС. 38.3. Алгоритм решения задачи по явной схеме.
ВОДНЫМИ
fJ /^ JLf/y (y t 4- b\ 9u(y
Ip ' ¦ ',/)-2«(др,
ы(лс, f—k)],
u(x—h,t)].

294 Часть 5. Численные и приближенные методы
а начальное условие — по схеме
ut(x, 0)^ ~[и(х, k) — u(x, 0)] = y [u(x, k) — ф(х)].
В результате для вычисления величины ^(л:, t-\-k) получаем
следующую явную схему:
C8.5) и(х, t + k)=^2u(x, t) — u(x,t
+ (k/hJ[u(x + h, t) — 2u(x, t) + u(x—h, t)].
Из C8.5) видно, что для вычисления решения на данном вре-
временном слое необходимо знать решение на двух предыдущих
слоях. Значит, для начала счета необходимо воспользоваться
1
*2
СМ
К
Af
1
i/C, t)
7,D1)
2
W(f,2)
ft С О ОЛ
U С ^' 5^*^
?
j
3
^B,3)
,C,3)
иш.ъу
.AT)
Ы
ии,ю
исз,т
}
и(м,ю
г
раиичнь
условия
GC1)
GB)
аш
РИС. 38.4. Использование массивов при реализации явной схемы.
начальным условием на скорость
из которого получаем и(х, k) = q>(x) + k$(x)f т. е. значение
решения при t~&t. Решение в последующие моменты времени
можно находить по явной формуле C8.5).

Лекция 38. Явные разностные схемы 295
ЗАДАЧИ
1. Постройте явную конечно-разностную схему для задачи
(УЧП) щ = ихх, 0<*<1, 0<*<оо,
(НУ) и (х, 0) = sin (пх)9 0 < х < 1.
Полагая А=*Д# = 0,1# найдите решение при ^=0,005, /2 =
^= 0,010, ^3 = 0,015. Постройте график полученного решения на
сетке х = 0; 0,1; 0.2; 0,3: ...; 0,9; 1 при * =0,015.
РИС. 38.5. Зависимость полной ошибки от шага сетки.
2. Решите задачу 1 аналитически (методом разделения перемен-
переменных). Найдите значение решения в узлах сетки х = 0; 0,1; 0,2;
0,3; ...; 0,9; 1 при / =0,015. Сравните эти результаты с ре-
результатами численного решения задачи 1. (Для табулирования
аналитического решения можно воспользоваться калькулятором
или написать маленькую программу для ЭВМ.)
3. В соответствии с замечанием 3 постройте блок-схему решения
гиперболической задачи.
4. Решите задачу 1 с новым граничным условием при х=1
Ml./) = -[a(lf 0-1].

2 96 Часть 5. Численные и приближенные методы
Лекция 39
НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(СХЕМА КРАНКА-НИКОЛЬСОНА)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, как можно решать задачи,
содержащие функции, зависящие от времени, с помощью
неявной разностной схемы. В этой схеме, как и раньше, част-
частные производные заменяются конечно-разностными аппрокси-
аппроксимациями, но Mj+li f уже не выражаются в явном виде через
значения на предыдущих слоях. Теперь для определения
величин wi+li у необходимо решить систему уравнений. Дру-
Другими словами, для определения решения на каждом времен-
временном шаге необходимо решать систему уравнений.
Преимущество неявных схем перед явными в том, что
в неявных схемах шаг сетки можно сделать достаточно
большим, не опасаясь, что ошибки округления „разрушат"
решение.
Для решения параболической задачи мы воспользуемся
широко известной схемой Кранка — Никольсона.
Как уже говорилось в предыдущей лекции, для надежной работы
явной схемы необходимо, чтобы временной шаг сетки был мал.
В частности, если простая задача для уравнения теплопроводности
(УЧП) Щ = ихх, 0<*<1, 0</<оо,
Г и @, t) = gl(t),
(НУ) и(х, 0) = /(*), 0<*<1
решается по явной схеме, то шаги сетки Ы и А* должны удовлет-
удовлетворять условию
В противном случае метод будет численно неустойчив (и ошибки
округления будут расти неограниченно). (Вопросы численной
устойчивости обсуждаются в работе [53].) Другими словами, если
шаг сетки по оси х выбрать А* = 0,1, то шаг по времени А/ не
может быть больше, чем 0,5Дг* = 0,005. Это значит, что от / = 0
до/=1 можно дойти, совершив 200 шагов.
Существуют, однако, такие схемы (неявные схемы), которые
позволяют вести вычисления с гораздо большим шагом, при этом,

Лекция 39. Неявные разностные схемы 297
правда, растет объем вычислений, совершаемых на одном шаге.
По таким схемам можно вести вычисления с достаточно большим
шагом, но на каждом шаге приходится решать систему алгебраи-
алгебраических уравнений. Для иллюстрации этого метода решим сле-
следующую задачу теплопроводности.
Неявная схема для уравнения теплопроводности
Рассмотрим задачу
(УЧП) Щ = ихх% 0 < л: < 1, 0</<оо,
/ и @, /) = 0,
{a(l,<U. 0</<°°'
(НУ) и(х, 0)=1, 0<х<1.
Воспользуемся следующими конечно-разностными аппроксима-
аппроксимациями для частных производных ut и ихх:
М*. 0=il>(*. t + k)—u(x% t)],
( t) [
9 t + k)—2u(x,
^ t) — 2u(x, t) + u(x-h,
где X выбирается из отрезка [0, 1]. Отметим, что ихх аппрокси-
аппроксимируется взвешенным средним центральных разностных производ-
производных в момент t к t-\~k. При Х = 0,5 получается обычное среднее
этих двух центральных производных, а при Х = 0,75 — одна из
разностных производных берется с весом 0,75, а вторая — свесом
0,25. При X —0 получается обычная явная схема, о которой шла
речь в предыдущей лекции.
После замены частных производных ut и ихх в задаче C9.2)
мы получаем разностную задачу (см. рис. 39.1).
Разностное уравнение
1 К
ft * '*
C9.3)
(ГУ)
(НУ)

29ff Часть 5. Численные и приближенные методы
Перенесем все неизвестные значения и с верхнего временного слоя
(с индексом i+l) в левую часть уравнения C9.3) и получим
C9.4)
— %rui+lt /
где введено обозначение г = */Л2. Отметим, что если i фиксирован,
а / изменяется от 2 до я—1, соотношения C9.4) определяют
систему п—2 уравнений с п — 2 неизвестными u{+U2, ui+lt99
Вычислительные
'/, шаблон //
«23
РИС. 39.1. Сетка для неявной разностной схемы.
г
РИС. 39.24 Шаблон для неявной схемы.
/7 =°
«Зп = {
-?-ж

Лекция 39. Неявные разностные схемы 299
И/+ь 4» • • •» И/+1» n-i» которые являются решением задачи во внут-
внутренних узлах сетки на временном слое / = (i-f 1)Д/.
Рис. 39.2 дает наглядное представление о структуре каж-
каждого уравнения системы C9.4). Перейдем, теперь к решению
системы C9.4).
Алгоритм решения задачи C9.2)
ШАГ 1. Выбираем некоторое значение к (О ^ к ^ 1). Если
к = 0> то уравнения C9.4), переходят в явные формулы из лек-
лекции 38.
ШАГ 2. Пусть, например, /i = Ax = 0,2 и Л? = Д/ = 0,О8 (при
этом r = k/h2 = 2). В данном случае сетка содержит 6 узлов вдоль
оси х D внутренних узла) (см. рис. 39.1). Возьмем весовой пара-
параметр к = 0,5 (получающаяся при этом схема называется схемой
Кранка—Никольсона). В соответствии с вычислительной схемой
(ее принято называть шаблоном), изображенной на рис. 39.2,
двигаясь слева направо (/ = 2, 3, 4, 5) по первым двум слоям
О'=1), получаем следующие четыре уравнения:
— м21 + Зи22—и23 = ип — и12 + и13 = 1,
— и23 + Зи24 — и2Ь = ul
— ии + 3u2S — и2в = и
Перепишем их в матричной форме
C9.5)
Матрица этой системы называется трехдиагональной. Для того
чтобы решить трехдиагональную систему
3
J
0
0
—1
3
—1
0
0
—1
3
J
0
0
—1
3.
«22
«is
«24
1
1
1
_1_
\ сг 0 0 . . ¦ . 0 1
flj dj Cj 0 • • • • 0
0 ai bt c$ . . . • 0
_0 0 0 . • . .. an.j
d,

300 Часть 5. Численные и приближенные методы
преобразуем ее в эквивалентную систему вида
где
и
 с{ О О ... О
0 1 с\ 0 ... О
0 0 1 с\ ... О
?/2-1
,_0 0 . .. . 1
"dp
d\
C. , /=1, 2, ..., я-
П. /=1,2 п-\
В этом преобразовании нет ничего таинственного, поскольку
вторая система полностью эквивалентна первой. Матрица новой
системы устроена так, что эта система очень легко решается.
Решая уравнения последовательно снизу вверх, получаем
хп = (Гп, xJ = di} — c*jXJ+1, / = лг— 1, п — 2, ..., 2, 1.
Применяя этот метод к системе четырех уравнений C9.5), нахо-
находим решение м22 = 0,60; н28 = 0,80; м24 = 0,80; а25 = 0,60. Мы полу-
получили приближенные значения решения во внутренних точках
сетки при t = kt. Теперь можно сделать следующий шаг по вре-
времени, но для этого придется решить новую систему уравнений.
В неявной схеме объем вычислений на каждом шаге больше,
чем в явной, но хорошую точность можно получить даже при
гораздо большем шаге.
ЗАДАЧИ
1. Из дифференциального уравнения C9.3) получите уравне-
уравнение C9.4).
2. Постройте неявную конечно-разностную схему для задачи
(УЧП) Щ = ихх% 0<*<1, 0</<оо,
(НУ) м(лг, 0) = 0,

Лекция 40. Сравнение аналитических решений с численными 301
3. Как с помощью неявной схемы решить задачу
(УЧП) ut = uxx + u, 0<*<1,
( м@, 0 = 0,
(НУ) и(х% 0)=1, 0<х<1?
4. Как выглядит шаблон для уравнения C9.4), когда Х=1?
5. Постройте блок-схему решения уравнения теплопроводности
C9.2). Если есть возможность, то напишите программу для
ЭВМ. Было бы очень полезно решить эту задачу численно
при различных значениях X с начальным условием и (х, 0) =
= sin (тис). Сравните полученные при различных К численные
результаты с аналитическим решением, которое в данном
случае имеет вид
и(х% t)~e~nH sm(rix).
6 Воспользовавшись формулами, приведенными в тексте, ре-
решите систему алгебраических уравнений C9.5).
Лекция 40
СРАВНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
С ЧИСЛЕННЫМИ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Сравнить достоинства и недостатки
аналитических и численных методов решения уравнений
с частными производными. Приведена важная математическая
задача об идентификации физических величин (параметриче-
(параметрическая идентификация). В связи с этой задачей рассматри-
рассматривается один важный пример из биологии.
Вероятно, пришло время обсудить достоинства и недостатки
аналитических и численных решений уравнений с частными про-
производными. Сначала выясним, что мы подразумеваем под этими
двумя типами решений.
Аналитические решения
Под аналитическими решениями мы подразумеваем такие реше-
решения, в которых неизвестная функция и выражена через независи-
независимые переменные и параметры системы в виде формул, бесконечных
рядов и интегралов.

302 Часть 5* Численные и приближенные методы
Численные решения
Под численными мы будем понимать решения, полученные
численно после приближенной замены исходного уравнения дру-
другим, более простым уравнением. Например, в конечно-разностном
методе частные производные выражаются через конечные разности
и решение уравнения с частными производными аппроксимируется
решением разностного уравнения. Результатом такой процедуры
обычно является табличка значений решения и при некоторых
значениях независимых переменных.
Таблица 40.1
0
0,01
0,02
0,03
X
0
1
0
0
0
0,1
1
0,2
0,15
•
0,2
1
0,34
•
0 3
1
•
0 4
1
•
0 5
1
•
0 6
1
•
0 7
1
•
0,8
1
0,34
0,9
1
0,2
0,15
«
1
1
0
0
0
Теперь, когда мы знаем, что подразумевается под решением
каждого из этих типов, давайте сравним их между собой.
Сравнительный анализ численного
и аналитического решений
Рассмотрим простейшую смешанную параболическую задачу
(УЧП) ut = a*uxx, 0<х<1, 0<*<oo,
{«A,0=0, °<'<~-
(НУ) и(х9 0) = I,
решение которой изображено на рис. 40.1.
Что же лучше, иметь аналитическое решение этой задачи
D0.2)
и (х, f) = |- Ге-№>2' sin (пх) + 1 е-(зяа)*/ sin (Зя*) + .«А
или численное, представленное при ос = I в табл. 40.1?
Вопрос хороший, а ответ на него зависит от того, что мы
хотим делать с этим решением дальше. Однако каждому из типов
решений присущи очевидные преимущества.

Лекция 40. Сравнение аналитических решений с численными 303
Преимущества аналитического решения
1. Очевидно, решение D0.2) более информативно, чем таблица
чисел. Если мы хотим вычислить решение в любой конкретной
точке (х, /), мы можем сделать это как угодно точно, просто уве-
увеличивая число учитываемых членов ряда. При этом без труда
получается оценка сверху на величину допускаемой ошибки.
РИС. 40Л. Решение уравнения теплопроводности D0.1) в различные моменты
времени.
2. Аналитическое решение всегда позволяет вычислить значения
решения в одной точке (a:, t), не прибегая к вычислению значений
решений в других точках, как это бывает при решении задач
явными или неявными разностными схемами.
3. Аналитическое решение позволяет определить решение
в любой точке, а не только в узлах сетки.
4. Наиболее важным для нас преимуществом аналитического
решения является возможность проследить влияние физических
параметров, начальных и граничных условий на характер решения.
Численные методы не выявляют этих закономерностей,
поскольку они позволяют находить решение только при заданных
параметрах, начальных и граничных условиях. Иногда важно знать
соотношения между параметрами модели и решением, особенно
если речь идет об оценке физических параметров по виду решения.
Например, предположим, что решение и определено эксперимен-
экспериментально и нам известно аналитическое решение
и = функция от параметров.
Тогда можно поставить вопрос об определении параметров как
функции входных данных по схеме

304 Часть 5. Численные и приближенные методы
Параметры = функция от и = функция исходных данных.
Такая задача называется параметрической идентификацией.
Для параметрической идентификации необходимо уметь решать
уравнение с частными производными. Несколько позже в этой
лекции мы приведем пример параметрической идентификации
в биологии, но сначала посмотрим, чем же хороши численные
решения.
Преимущества численных решений
Главное преимущество численных решений состоит в том, что
их можно получить даже в том случае, когда аналитическое
решение получить невозможно* Практически все нелинейные урав-
уравнения с частными производными необходимо решать численными
методами, а большинство реально существующих моделей физики,
химии, биологии и т. д. являются по своей природе нелинейными.
Как правило, линейные модели лишь приближенно аппроксими-
аппроксимируют нелинейные, если в них отбросить нелинейные члены. В ка-
качестве примера приведем некоторые нелинейные уравнения!
1) нелинейное волновое уравнение utt = uxx + f(u);
2) уравнение реакции с нелинейной диффузией ut~uxx
\ + f( )
) ур р ффу t
\ ut~uKX + f(u, v),
3) система Ходжкина—Хаксли \ '.
I vt = g(u9 v).
Аналитические решения для этих уравнений не известны ни
при каких нелинейных функциях f и gv. Поэтому общий подход
к решению нелинейных (а в ряде случаев и линейных) задач
обычно базируется на численных решениях.
Теперь мы рассмотрим пример, как с помощью аналитического
решения можно определять физические параметры. Более подроб-
подробное изложение этих задач можно найти в рекомендованной лите-
литературе.
Параметрическая идентификация (в биологии)
Предположим, что биолог пытается определить, g какой ско-
скоростью ионы поташа (К+) диффундируют в растворе экзоплазмы.
Если знать этот коэффициент диффузии, можно много сказать о
том, как нервные импульсы передаются вдоль аксонов. Проблема
заключается в том, что этот коэффициент практически невозможно
найти прямым измерением. Можно, однако, найти математическую
*> Это не так. В качестве примера можно привести уравнение иц = их:9-~
— sin «,— Прим, ред.

Лекция 40. Сравнение аналитических решений с численными 305
связь между концентрацией поташа и (х, t) и коэффициентом диф-
диффузий D, а затем по измерениям величины и (лс, t) определить
величину D.
Биологи Ходжкин и Кейс обнаружили, что после помещения
гигантского аксона в специальный солевой раствор в начальный
момент концентрация радиоактивного поташа D2/С) вдоль аксона
приближенно описывается кривой
и (х, 0) = Ае~х2/а.
Значит, параметры А и а следует подобрать так, чтобы кривая
соответствовала экспериментальным данным (например, в смысле
метода наименьших квадратов). Было также обнаружено, что
-х (Вдоль
и аксона)
РИС. 40.2. Начальная концентрация ионов D2/С): а—теоретическая кривая;
б—экспериментальные точки.
с течением времени ионы поташа под действием диффузии и
конвекции растекаются вдоль аксона. Ходжкин и Кейс предполо-
предположили, что концентрация и является решением следующей задачи
с начальными данными для уравнения диффузии:
(УЧП) uf = Duxx—Vux, — oo<#<oo,
Эта задача была решена в лекции 15 путем перехода в дви-
движущуюся систему координат. Если читатель помнит, то общая
схема метода выглядит следующим образом. Сначала отбрасываем
конвективный член и получаем решение чисто диффузионной
задачи (при V = 0)
и(х, 0 = 2
АУ"а
а затем в этом решении заменяем х на х—Vt и получаем решение
задачи D0.3)! __
D0.4) и(х, f)=g /^ a=e-Hx-v

306 Честь 5. Численные и приближенные методы
В опыте Ходжкина и Кейса проводилось прямое измерение ско-
скорости, а формула D0.4) устанавливала связь между концентрацией
ионов D2/С) и коэффициентом диффузии D (величины Л, а и V
были известны). Экспериментальная установка позволяла измерять
t (Время)
РИС. 40.3. Кривая и {х, t) соответствует экспериментальным точкам: а—кри-
а—кривая, наилучшим образом соответствующая экспериментальным данным; б —
экспериментально найденная концентрация в точке.
концентрацию поташа и (х, /) в одной точке х0 аксона, но в раз-
различные моменты времени. Оставалось найти коэффициент D таким
образом, чтобы теоретическая кривая D0.4) наилучшим образом
соответствовала экспериментальным данным (рис. 40.3).
Другими словами, для различных коэффициентов D мы получим
различные кривые и(х0, /), и поэтому величину D нужно выбрать
так, чтобы решение уравнения соответствовало опыту. В своем
эксперименте Ходжкин и Кейс установили, что коэффициент
диффузии ионов (К+) в экзоплазме равен D=l,5xlO" см2/с
ЗАДАЧИ
1. Какой эксперимент могли бы вы предложить для оценки
параметра а в задаче D0.1), если в вашем распоряжении
есть аналитическое решение вида D0.2)?
2. В методе наименьших квадратов минимизируется сумма
квадратов уклонений кривой от экспериментальных точек.
Например, согласно методу наименьших квадратов, прямая
у(х) = а~\-Ьх минимизирует (см. рис. 40.4) функцию
Выразите константы а и Ь через начальные данные из усло-
условия минимума функции SS.

Лекция 40. Сравнение аналитических решений с численными 307
3. Одной из важных задач в биохимии является определение
молекулярного веса макромолекул миоглобина. В одном из
способов кровь помещают в ультрацентрифугу и вращают
в течение заданного промежутка времени. Концентрация
жидкости в центрифуге описывается уравнением Ламма
0<r<
где
г—расстояние от центра центрифуги,
D—коэффициент диффузии (зависит от молекулярного веса
миоглобина),
s — коэффициент седиментации (определяется эксперимен-
экспериментально),
Ошибка
РИС. 40.4. Аппроксимация экспериментальных данных по методу наименьших
квадратов.
со — угловая скорость вращения центрифуги (известна),
и (г, t) — концентрация вещества в центрифуге.
Молекулярный вес миоглобина определяется с помощью
стационарного (ut = 0) решения и (г, оо) уравнения Ламма.
Для определения и (г, оо) получается обыкновенное диффе-
дифференциальное уравнение. Вопрос ставится следующим обра-
образом: как по экспериментально найденному стационарному
состоянию оценить молекулярный вес миоглобина?

Часть 5. Численные и приближенные методы
Лекция 41
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
(ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Для линейного дифференциального
уравнения второго порядка
А ихх + Виху + Сиуу + Dux + Euy + Fu = G
найти координатную систему (|, ц), в которой уравнение
приводится к одной из двух канонических форм
1/лл = ф (gt т|э и, и%, ич) (параболическая канониче-
каноническая форма),
tt?t + ^п ~ Ф (?» гь и, Щ* Щ)) (эллиптическая каноническая
форма)
в зависимости от значения величины
В2— 4АС —0 — параболический случай,
В2 —4ЛС<0 —эллиптический случай.
В лекции 23 мы провели разбиение линейных уравнений вто-
второго порядка с двумя переменными вида
D1.1) Auxx + Buxy + Cuyj + Dux + Euv + Fu^G
на три основных класса и нашли две канонические формы урав-
уравнений гиперболического типа.
В этой лекции мы покажем, как приводить к канонической
форме параболические и эллиптические уравнения.
Приведение параболических уравнений
к канонической форме
Рассмотрим уравнение вида D1.1) с Б2 —4ЛС = 0 и введем
новые координаты (Е, ц) так, чтобы привести уравнение к виду
При формальной замене переменных ? = ?(*•#) и rj = г\ (х, у) урав-

Лекция 41. Классификация уравнений 3Q9
нение D1.1) приводится к такому же виду
D1.2) Aux + Buto + Cuw + Dut + Eun + F
где
А = АЦ + В1Ла + С11,
В = 2А1хцх + В AХ% + 1уцх) + 2С1у%,
D1 3) ?_= Лг]* + Вг]хГ]у + Ст|*'
D = Alxx + ВЕ„ + Clyy + Dlx + ??,,
lxx + ВЕ„ + Clyy + Dlx + ??,,
Е = Ацхх + Вцху + Сцуу + Dx\x + Е%,
F = F, G = G.
Наша цель — сделать так, чтобы коэффициенты А и В (или
С и В) обратились в нуль (можно быстро убедиться в том, что
для реализации нашего плана величина В2 — 4ЛС должна быть
равна нулю). Для определенности будем считать, что А = 0 и
В = 0, и решим получившиеся уравнения. Во-первых, решим
уравнение Л = 0 относительно величины [ь*/У-
Мы удовлетворим этому уравнению, если выберем новую коор-
координату 1 = 1(х, у) как общий интеграл
дифференциального уравнения
j?^L ==__[? ii 1 — B/2A
Например, если dy/dx = В/2 А = 3, то у — Зх = с, и следовательно,
%(х,у) = у—Зх. Эта функция удовлетворяет условию [^/^]~—3
и, значит, обращает коэффициент А в нуль.
Итак, половина дела сделана: мы нашли новую координату
! = | (я, у), которая обеспечила равенство Л=0. Осталось найти
г\(х, у) так, чтобы обратить в нуль коэффициент В.
Здесь как раз пора остановиться. Оказывается, что если
В2 — 4ЛС = 0 и I выбрана так, что Л = 0, то коэффициент В тоже
автоматически обратится в нуль х). Сейчас мы в этом убедимся.
Коэффициент В задается выражением
В = 2 А1ХУ]Х + В AХ% + 1уЦх) + 2О-у%,
1) В силу равенства
В» - 4АС=(б* - 4ЛС) Aхцу - Ъуг\х)\- Прим. ред.

310 Часть 5. Численные * приближенные методы
а поскольку В2—4АС==0у то
С учетом того что lxlly = — В/2А = —2 V АС\2А
последнее выражение для В запишется в виде
А так как А равно нулю, то и В, конечно, тоже равно нулю.
Так как при нашем выборе ? оба коэффициента А и В обра-
обращаются в нуль, в качестве г} можно взять любую функцию (лишь
бы она не была пропорциональна координате ?). В примере можно
выбрать т] = у.
Осталось найти каноническую форму уравнения в новых коор-
координатах. Чтобы сделать это, мы должны просто подставить ? и ц
в формулы D1.3) и найти все коэффициенты Л, В, С, ?>, Е, F и G.
На этом завершается изучение параболического случая, но прежде,
чем перейти к другой теме, рассмотрим простой пример.
Преобразование параболического уравнения
пхх + 2пху + иуу = 0 к канонической форме
Рассмотрим уравнение
Его коэффициенты принимают следующие значения: Л = 1, В = 2,
С=1, D = E = F = G ==0. Следовательно, В2 — 4ЛС = 0 при всех
значениях х и у. Чтобы найти новые координаты I и ц и кано-
каноническую форму уравнения, мы поступим следующим образом.
ШАГ 1. Запишем характеристическое уравнение (теперь только
одно, а не два)
Решая это уравнение относительно у, получаем
откуда определяется характеристика %> = у—х. Использование
этой характеристики обеспечивает выполнение равенства А = 0.
Координату т] можно выбрать произвольно (лишь бы она была
независима от I). Мы выберем ее следующим образом:
Новые координаты
D1.4) Ъ = У—х>

Лекция 41. Классификация уравнений ЗП
изображены на рис. 41.1.
РИС. 41.1. Новая система координат 1 — у—х, ц = у.
ШАГ 2. Осталось найти каноническую форму уравнения.
Подставляя I и ц в формулы для коэффициентов А, В9 С, D,
Е, F и G, получаем
Л = 0 (так и должно быть; мы находили 5 из условия
равенства нулю этого коэффициента),
g=0 (мы уже раньше показали, что этот коэффициент
также обращается в нуль),
D1.5)
D = AIXX + BICII +
*УУ
-Dtx + Et=O,
+ Cr)yy + Dx\x + Ецу = О,
Следовательно, новое уравнение
~А иц + Виы + Сит + Ъщ + ?«„ + Fu = G
превращается в ипп = 0.
Этим завершается наш пример, но прежде чем идти дальше,
давайте обратим внимание на одно обстоятельство в записи
канонической формы. Это уравнение настолько просто, что можно
найти его общее решение (т. е. все решения). Проинтегрировав
ит = 0 по г], получаем

312 Часть 5. Численные и приближенные методы
где /(?)— произвольная функция. Повторное интегрирование при-
приводит к общему решению
где g(l)—еще одна произвольная функция.
Читатель легко может убедиться в том, что любая функция
такого вида удовлетворяет уравнению ит = 0.
Осталось сделать последний шаг и подставить в общее ре-
решение исходные координаты х и у.
В результате подстановки получаем, что функция
и(х, y) =
является общим решением уравнения
Например, если выбрать / (л:) = sin л: и g(x) = x2, то функция
и(х, у) = у sin (у—х) + {у — хJ
будет одним из бесконечного множества решений (конечно, то
решение, которое моделирует конкретную физическую задачу,
зависит от начального и граничного условий).
Приведение эллиптических уравнений
к канонической форме
Рассмотрим общее уравнение
Аихх + Виху + Сиуу + Dux + Еиу + Fu = G,
p«o , теперь при В2 — 4ЛС<0. Путем перехода к новым незави-
независимым переменным мы хотим преобразовать его к новой форме
Чтобы найти эти новые переменные, мы проделаем все те же
выкладки, что и в двух предыдущих случаях, получим преобра-
преобразованное уравнение
Ъиг + Ш1хх + Сит " "Ё
и потребуем, чтобы ? и г| удовлетворяли уравнениям А = С и
В = 0. К сожалению, эти уравнения не позволяют нам сразу
найти ? и г], как это было в предыдущих случаях, и поэтому
мы поступим несколько иначе.
Будем искать необходимое преобразование как композицию
двух преобразований.

Лекция 41. Классификация уравнений 313
Преобразование 1
Первым преобразованием к новым координатам ? и j] мы
придадим нашему уравнению следующий вид
Это можно сделать, но только вводя комплексные координаты.
Чтобы найти эти комплексные координаты ? и г), мы, так же
как и в гиперболическом случае, решим характеристические
уравнения:
(напоминаем, что В2 — 4ЛС<0),
? {ху у) = const, >i (х, у) = const.
Например, характеристические уравнения
dy B-\
dx
dy B-\-\
dx
и получим
f В2 — 4AC
2A
f B2 — 4AC
2A
dx
dx "
приводят к комплексно-сопряженным координатам
Преобразование 2
Следующее преобразование от (?, 1}) к (а, Р) осуществляется
по формулам
В результате применения второго преобразования уравнение
принимает окончательную форму
^aa + «рр = ф («, Р, М, Ма, Мр),
где через <р и i|) обозначены правые части уравнений в общем,
виде. Вместо доказательства того, что эти два преобразования
действительно приводят к нужному результату, давайте рассмот-
рассмотрим простой пример.

314 Часть 5. Численные и приближенные методы
Приведение уравнения у2ихх + х2иуу = О
к канонической форме
Рассмотрим уравнение
в котором А=у2, В = 0, С = х2, D = E = F = G = 0. Дискриминант
В2—4ЛС равен —4%2#2, и мы будем приводить это уравнение
к канонической форме в первом квадранте х > О, у > 0.
ШАГ 1 (Первое преобразование)
Выпишем характеристические уравнения
dy В
dx
dy В
dx
__j/ в*—4АС
2А
+ V В2 — 4АС
2А
у —4а:2?/2
2у*
У —4jcV . х
2ф и
. X
1 у1
с разделяющимися переменными. Решая их, получаем первые
интегралы
у2 -|- ix* = const,
у2 — ix* = const,
откуда
(Не имеет никакого значения, какую из двух функций назвать gf
а какую—т); при желании можно поменять их местами.) После
этого преобразования исходное уравнение примет вид
Мы не станем обращать внимание на это уравнение (которое
является комплексным гиперболическим уравнением), а сразу же
приступим ко второму преобразованию.
ШАГ 2. (Второе преобразование)
Совершая второе преобразование, мы имеем
а= ^Ц ~Уг (действительная часть \ и г\),
ft= ^~^ =х2 (мнимая часть 5 и г\).
Чтобы не усложнять обозначения, лучше всего переобозначити
(а,р) через (g, т|) и записать результирующее преобразование
в виде
1(х> У) = У*> Л (*></) = *а-

Лекция 41. Классификация уравнений 315
ШАГ 3 (Получение нового уравнения)
Новую каноническую форму можно получить, если вычислить
все коэффициенты А, В, С, D, E, F и G в уравнении
по формулам D1.5) при 1 = у2 и ч\ = х2. Проделав это, получим
каноническую форму эллиптического уравнения
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Аналогичным образом можно классифицировать линейные
уравнения второго порядка от трех и большего числа пере-
переменных, но для этого потребуется использовать матричное
исчисление. Например, уравнение второго порядка от трех
переменных
согласно этой классификации, будет параболическим, а урав-
уравнение
Utt:=Ux\' + Uyy
— гиперболическим.
2. Наш интерес к вопросам классификации уравнений с част-
частными производными обусловлен тем, что три основных типа
уравнений описывают три разных вида физических явлений
и нам хотелось бы получить математическую классификацию
этих трех классов физических явлений.
ЗАДАЧИ
1. Какие из этих параболических и эллиптических уравнений
записаны в канонической форме:
а) ut=-uxx—huy
б) uxy 3\
в) ихх
г) uxx =
2. Преобразуйте параболическое уравнение ихх-\-2иху-\-иуу +
+ и=2 к канонической форме.
3. Преобразуйте эллиптическое уравнение uxx+2uyy+x2ux^e~xi/*
к канонической форме.

jH 6 Часть 5. Численные и приближенные методы
Лекция 42
МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО (ВВЕДЕНИЕ)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Разъяснить основные идеи, лежащие
в основе метода Монте-Карло, и показать, как можно
использовать этот метод для решения различных задач.
Оказывается, что с помощью азартных игр можно модели-
моделировать (в общем случае на ЭВМ) приближенные решения
реальных задач. В качестве простого примера можно ука-
указать вычисление интеграла
1
с помощью метания дротика в единичный квадрат \(х, у):
О < х < 1, 0 < # < !}. После 100 или около этого бросков в
качестве приближенного значения интеграла берется относи-
относительная часть дротиков, попавших ниже кривой у~х2. Обоб-
Обобщение такой игры (со случайным метанием дротика) всегда
содержит процедуру генерации последовательности случайных
чисел. В лекции приводится описание такой процедуры.
При решении широкого класса задач можно использовать
интересный метод (методы), который принято называть методом
(методами) Монте-Карло. Эту лекцию мы посвятим краткому
описанию метода Монте-Карло, а в следующей покажем, как
использовать его при решении уравнений с частными производ-
производными.
Методами Монте-Карло принято называть группу методов
решения детерминированных задач (т. е. задач без случайности),
в которых существенно используются элементы случайности.
Общая философия этих методов показана на рис. 42.1.
Вероятностная игра Детерминированная задача
р—исход игры р —решение задачи
(Например, число выпадений (Например, вычисление интеграла,
решетки при бросании монеты, решение УЧП и т. п.)
число попаданий дротика и т. п.)
~ Приближение _.
Исход ~р > Решение — р
РИС. 42.1, Общая теория метода Монте-Карло.

Лекция 42. Метод Монте-Карло (введение) 3.17
Вычисление интеграла
Предположим, что мы хотим вычислить интеграл
(детерминированная задача). Чтобы воспользоваться методом
Монте-Карло, нужно придумать такую азартную игру, результа-
результатом которой явилось бы значение (приближенное) этого интеграла.
Конечно, можно придумать много разных игр. Окончательный
вариант зависит от точности вычислений, простоты игры и т. д.
Очевидный вариант игры для вычисления интеграла—это мета-
метание дротика в прямоугольник /? = {(*, у)\ i^b 0<^
<тах/(*)} (см. рис. 42.2).
— дротики, попавшие быше кривой
- дротики, попавшие ниже кривой
РИС. 42.2. Вычисление интеграла методом Монте-Карло.
Совершенно очевидно, что если случайным образом бросить
100 или около этого дротиков в прямоугольник R, содержащий
график функции, то оценку величины интеграла можно получить,
если умножить площадь прямоугольника R на относительное
число дротиков, попавших ниже графика функции. Следовательно,
результатом нашей игры
- [относительное число дротиков! .__ _
1 = [ниже графика f(x) Jx(Площадь области R)
является оценка интеграла /.

3fS Часть 5. Численные и приближенные методы
Чтобы выполнить эти вычисления на ЭВМ, мы должны каким-
то образом получить последовательность случайных точек (потом
мы посмотрим, как это делается), т. е. поручить компьютеру
«метать дротики». Блок-схема на рис. 42.3 показывает, как
компьютер будет решать эту задачу.
Начало
Полагаем]
\ Undergo ]
Генерируем дда случайных
Вычисляем
х = а + (Ь -а) Г!
С подучаем случайную
точку (х,у) б прямо-
прямоугольнике R)
\ Integral =[Under/W]M{b -a)
РИС. 42.3. Блок-схема вычисления интеграла \f{x)dx методом Монте-Карло
A00 бросков); M = max f (x).

Лекция 42. Метод Монте-Карло (введение) 319
Случайные числа
Прежде чем переходить к решению уравнения с частными
производными методом Монте-Карло, остановимся на важном
вопросе о случайных числах. Только что при вычислении интег-
интеграла нам нужно было строить последовательность случайных
точек Pi=^(xi, i/i), лежащих внутри прямоугольника R. Другими
словами, х-координата точки Р должна быть случайным числом
из промежутка [а> &], а у{ — из промежутка [О, М]. Чтобы найти
случайные числа из указанных промежутков, мы обратимся
к последовательности случайных чисел г,-, равномерно распреде-
распределенных на отрезке [0, 1]. Тогда числа, равномерно распределен-
распределенные на отрезке [я, Ь], можно вычислять по формуле
Теперь, конечно, возникает вопрос, а как получить последова-
последовательность случайных чисел \г(: /=1,2,...}, равномерно рас-
распределенных на [0, 1]? Наиболее распространенным на сегодняш-
сегодняшний день является метод вычетов (метод сравнений). С помощью
этого метода получается последовательность случайных целых
чисел (типа 2120, 1401, 177, 3013,,.), затем слева от каждого
числа ставится десятичная запятая, так что все числа оказыва-
оказываются лежащими между нулем и единицей @,212; 0,1401; 0,0177;
0,3013; ...).
Итак, для получения последовательности случайных целых
чисел (лежащих между 0 и Р) мы воспользуемся методом вычетов.
Получение случайных чисел методом вычетов.
1. В качестве первого целого случайного числа выбираем
любое число, лежащее между 0 и Р (число Р выбирается заранее).
2. Умножаем это случайное число на некоторый фиксирован-
фиксированный выбранный заранее множитель М.
3. Прибавляем к произведению некоторое фиксированное целое
число /С, выбранное заранее.
4. Получившуюся сумму делим на Р и получившийся остаток
выбираем в качестве нового случайного числа.
Метод вычетов можно записать в виде формулы /";+! =
= (Мг{ + К) mod P9 которая и означает, что для получения сле-
следующего г{+1 нужно взять предыдущее rh умножить его на М,
сложить результат с К, разделить сумму на Р и взять остаток
от деления. Например, если Р=100, М = 37, /С=16, го=15, то
получается следующая последовательность случайных чисел:

Так как Pi=100, то все случайные числа лежат между нулем
и 100 (так называемый класс вычетов по модулю 100). Помещая
десятичную запятую перед каждым из этих чисел, получаем
последовательность случайных чисел, лежащих между нулем и
единицей: г0 = 0,15; г, = 0,71; г2 = 0,43; г3 —0,07. (Эти числа мы
обозначили также rt.)
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Поскольку в нашем генераторе случайных чисел Р=100, то
вычеты могут принимать только значения 0, 1,2, . .., 99. Сле-
Следовательно, случайные числа в нашем процессе очень скоро
начнут повторяться. В самом деле, если продолжить приве-
приведенный выше пример, то получаем
15, 71, 43, 7, 43, 7, 43, 7... (период из двух чисел).
Значит, наш метод не очень хорош. В идеале алгоритм дол-
должен случайным образом выдать весь класс вычетов {0, 1,
2, ...,99}, прежде чем начнутся повторы. Можно доказать
математически, что если числа УИ, К и Р выбраны в соответ-
соответствии с некоторыми правилами, то независимо от выбора пер-
первого случайного числа г0 алгоритм будет вырабатывать весь
класс вычетов. Так что, если выбрать Р очень большим (на-
(например 240), можно быть уверенным, что (с практической точки
зрения) процесс никогда не повторится.
2. Обычные численные методы (вроде метода Симпсона), вообще
говоря, превосходят по качеству метод Монте-Карло. Но если
речь идет о вычислении многомерных интегралов типа
liii
/==$ И \е~{хг+уг+гг+юг) dxdydzdw,
0 0 0 0
то метод Монте-Карло оказывается предпочтительнее.
3. Можно получать случайные числа, имеющие различные законы
распределения (а не только равномерное на отрезке [0, 1]).
Программы для ЭВМ могут генерировать случайные числа
с биномиальным, нормальным, гамма-распределением и мно-
320 Часть 5. Численные и приближенные методы

Лекция 42. Метод Монте-Карло (введение) 321
гими другими распределениями. Эти распределения встречаются
в различных областях естествознания и становятся необходи-
необходимыми при моделировании реального мира.
ЗАДАЧИ
1. Напишите программу для оценки интеграла
i
e*ltt x dx.
Какова точность вашего ответа? Постройте график зависимости
точности от числа бросаний. Сходится \ли этот процесс?
2. Получите последовательность случайных чисел по алгоритму
3. Напишите программу (или хотя бы блок-схему) для оценки
интеграла
/= J J \e-{xi+y*+zt)dxdijdz.
0 0 0
Что вы можете сказать о точности?
4. Как вы будете получать последовательность случайных точек,
лежащих внутри треугольника Tt
5. Как вы будете получать последовательность случайных чисел,
имеющих распределение, изображенное на рисунке?
-л? ?
0 1 2
Другими словами, как вы получите последовательность чисел
{0, 1, 2}, если вероятность появления 0 и 2 равна 0,25, а ве-
вероятность появления 1 равна 0,5?
11 Нч 601

322 Часть 5. Численные и приближенные методы
6. В задаче об игле Бюффона говорится, что если бросить иглу
единичной длины на американский флаг, у которого ширина
белых и красных полос также равна единице, то игла пере-
пересечет одн/ из границ между полосами с вероятностью 2я.
Исходя из этого, придумайте игру (и программу для ЭВМ)
для вычисления числа я.
Лекция 43
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ; Показать, каким образом можно скон-
сконструировать такую игру, результатом которой является
приближенное решение дифференциального уравнения. Одна
из таких игр (модель случайных блужданий) приводит к ко-
конечно-разностной аппроксимации задачи Дирихле в квадрате.
Эту модель можно обобщить для получения решений дру-
других задач.
В предыдущей лекции говорилось, что можно придумать та-
такие азартные игры, результатом которых являются решения
(возможно, приближенные) задач для уравнений с частными про-
производными. В этой лекции мы покажем, как сконструировать
одну такую игру для приближенного решения задачи Дирихле
(УЧП) ихх + иуу = 0, 0<х<1, 0<*/<1,
rl, на верхней стороне квадрата,
(ГУ) и (#, y) = g {x, у) = }09 на боковых и нижней сторонах квад-
v рата.
После того как эта частная задача будет решена методом
Монте-Карло, мы обсудим, как решать этим методом более об-
общие задачи.
Для иллюстрации метода Монте-Карло рассмотрим игру, ко-
которая называется «Блуждающий пьяница». Чтобы играть в эту
игру, необходим стол с нанесенной на нем сеткой из линий, как
показано на рис. 43.1.
Перейдем к описанию правил игры.

Лекция 43. Решение УЧП методом Монте-Карло 323
Как играть в «Блуждающего пьяницу»?
ШАГ К Блуждания пьяницы начинаются из произвольной
точки сетки (в нашем случае это точка А).
Рч 11
Р»И
Рг
Рг
-Э
Р?
Е1/>5
а j
А ~ начпдьнап т&чка • - внутренние точки сетш
U -конечная точка р? gL - вознаграждение 3 mt pi
РИС. 43.1. Игровое поле для игры «Блуждающий пьяница».
ШАГ 2. На каждом ходе игры пьяница случайным образом
перебирается в одну из четырех соседних точек сетки (в нашем
случае соседними для А являются точки В, С, D и Е и веро-
вероятность попадания в каждую из этих точек равна 0,25).
Таблица 43.1
Вероятность окончания случайного блуждания в
граничной точке pi и величина вознаграждения g{
Граничная точка pi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
?А (Pi) — относительная
доля блужданий,
закончившихся в точке /?,-
0,04
0,15
0,03
0,06
0,17
0,05
0,06
0,15
0,03
0,06
0,16
0,04
gl—величина возна-
вознаграждения при дости-
достижении ТОЧКИ pi
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11*

324 Часть 5. Численные и приближенные методы
ШАГ 3. После перехода в соседнюю точку процесс блужда-
блуждания возобновляется. Так пьяница идет от точки к точке до тех
пор, пока случайным образом не окажется в граничной точке р(.
Здесь он останавливается, а мы записываем номер точки pt.
На этом заканчивается одна случайная прогулка.
ШАГ 4. Повторим шаги 1—3 достаточно много раз и найдем
относительное число прибытий пьяницы в каждую из граничных
точек /?/. В табл. 43.1 приведены типичные результаты, получен-
полученные в результате 100 случайных прогулок.
ШАГ б. Предположим, что пьяница получает вознаграждение
gi~g(pi) (величина граничного условия в точке /?/э если он до-
достиг точки pt) и предположим, что цель игры — вычислить сред-
среднее вознаграждение R (А) для всех случайных прогулок, начина-
начинающихся из точки Л. Этот средний выигрыш определяется по фор-
формуле
R (А) = gx PA (Pl) + gi Рл (р2) +...+guPA (Pit)-
Игра завершается, когда величина R (А) найдена. В соответствии
с данными табл. 43.1 для R(A) получаем
К D)= 1 .@,04)+ 1 .@,15)+ 1 .@,03)+ 0.@,06)+ ... +0.@,04).
Теперь объясним, зачем нам понадобилось играть в такую
игру.
Для чего играть в «Блуждающего пьяницу»?
Оказывается, что среднее вознаграждение, о котором только
что шла речь, является приближенным решением задачи Дирихле
в точке А. Это интересное наблюдение основано на двух фактах.
1. Предположим, что пьяница начал свою прогулку из точки,
лежащей на границе. Каждая такая прогулка немедленно закан-
заканчивается в той же точке, и пьяница получает вознаграждение
gj. Таким образом, среднее вознаграждение для каждой гранич-
граничной точки равно g";.
2. Теперь предположим, что прогулка начинается из внут-
внутренней точки. Тогда ясно, что среднее вознаграждение для точки
R (А) будет средним арифметическим от средних вознаграждений
для четырех соседних точек
R(A)[
Зададимся еще раз вопросом: почему же среднее значение воз-
вознаграждения R {А) аппроксимирует решение задачи Дирихле ё
точке А? Мы ввдели, что величина R (А) удовлетворяет двум

^ Лекция 43. Решение УЧП методом Монте-Карло 325
уравнениям
R (А) = С7?(В) + R{Q + R{D) + R (E)] (во внутренних точках),
R(A) = gi (в граничных точках).
Если gi—это значения функции g{x, у) из граничного условия
в граничных точках pi% то два наших уравнения точно совпадают
с двумя уравнениями, которые были получены при решении за-
задачи Дирихле методом конечных разностей. То есть величина R (А)
соответствует величине uixj в разностных уравнениях
ии / = т[и1-и / + Щ+и / + "/. /-1 + И/. y+i]. (*. /) —внутренняя
точка,
Я// = S7/> ft/—значение ре-
решения в гра»'
ничной точ-
точке (t, /).
Следовательно, величина R (А) действительно аппроксимирует
решение уравнения с частными производными в точке А.
Теперь можно считать, что игра в «Блуждающего пьяницу»
состоит из трех шагов.
Решение уравнения Лапласа методом Монте-Карло
Приведенные ниже правила позволяют получить решение в
одной внутренней точке квадрата.
ШАГ 1. Совершим некоторое число случайных прогулок, на»
чинающихся в точке А и заканчивающихся в одной из гранич-
граничных точек. Проследим за тем, сколько раз прогулки заканчива-
заканчивались в каждой граничной точке.
ШАГ 2. После того как все прогулки завершены, для каждой
граничной точки вычисляем относительное число прогулок, завер-
завершившихся в этой точке. Обозначим эти величины РА (/?,).
ШАГ 3. Вычисляем приближенное решение и {А) по формуле
и (А) - gxPA (ft) + g%PA (ft) + ... + gNPA {pN),
где gi—значение функции g в точке р(, а N—число граничных
точек.
Игру «Блуждающий пьяница» можно модернизировать, чтобы
решить более сложную задачу. Ниже приводится пример такой
модернизации.

326 Часть 5. Численные и приближенные методы
Решение задачи Дирихле
С переменными коэффициентами.
Рассмотрим эллиптическую краевую задачу в квадрате
(УЧП) uxx + (sinx)uvy*=09 0<*<я, 0<у<л,
(ГУ) u (х9 y) = g (x, у) на границе квадрата.
Чтобы решить эту задачу, заменим uxx> uyy и sin* следующим
образом:
УУ
(центральные разностные производ-
производные),
и подставим их в уравнение с частными производными. Соответ-
Соответствующая сетка показана на рис. 43.2. Разрешив получившееся
уравнение относительно wif у, получаем
и — Ui> J+J + Ui> J~i+Sin XJ (ui+i* J+Ut-U j)
Посмотрим внимательно на это уравнение. Коэффициенты при
ui+u /f ui> /+i» ui* /-1 и w/-i. i положительны, и их сумма равна
единице. Другими словами, решение uu j является взвешенным сред-
средним решений в четырех соседних точках. Следовательно, можно
'VH
и
J
/j+t
У
РИС. 43.2. Узлы сетки для случайного маршрута.
модифицировать «Блуждающего пьяницу» так, чтобы вероятности
перехода в соседние точки были не 0,25, а равнялись бы коэф-
коэффициенту в соответствующем члене. Другими словами, если пья-
пьяница находится в точке (i, /), то он переходит в точку

Лекция 43. Решение УЧП методом Монте-Карло 327
(i91+1) с вероятностью 2 A+!в|п ,у),
(t9 /—1) с вероятностью 2(L+\inxj) •
(*+1,/) с вероятностью 2
(i—ltl) о вероятностью sin*y
2(i+sinjcy)"
В остальном игра не меняется. Модификация для других задач
может оказаться более хитроумной, но основная идея остается
той же. Читатель может заняться разработкой своих игр для
решения других задач. Параболический случай рассмотрен в раз-
разделе «Задачи».
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Отметим, что если относительные частоты попадания Pa(Pi)
известны, то можно легко найти величину и (А) при других
граничных условиях gt. Для этого достаточно подставить gt
в формулу
и (Л) = glPA (рг) + g2PA {p2)+...+ gNPA У,
а не разыгрывать вновь случайные прогулки.
2. Во многих случаях исследователя интересует решение урав-
уравнения с частными производными в одной точке. Если граница
области сложна и уравнение зависит от трех или четырех не-
независимых переменных, метод Монте-Карло может оказаться
удобным. Методы Монте-Карло возникли при решении очень
трудных задач диффузии нейтронов. Эти задачи невозможно
решать аналитически.
ЗАДАЧИ
1. Построить блок-схему игры «Блуждающий пьяница» для ре-
решения задачи
(УЧП) ихх + иуу = 0, 0<х<1, 0<*/<1,
(ГУ) и (х, y) = g (х, у) на границе,
во внутренних узлах сетки, если число узлов сетки произвольно,
2. Напишите программу для решения задачи по блок-схеме из
задачи 1.
3. Как модифицировать игру, чтобы решить задачу
(УЧП) ихх + х\у==0, . 0<*<1, 0<у<1,
(ГУ) и (х9 y)~g (x, у) на границе?

328 Часть 5. Численные и приближенные методы
Как выглядит в этой игре случайная прогулка?
4. Можете ли вы так модифицировать игру, чтобы решить задачу
(УЧП)
(ГУ)
и(х, 1) = 0,
и(х, 0) = 0,
«@, у) = 1,
б. Разработайте схему метода Монте-Карло для решения смешан-
смешанной параболической задачи
(УЧП)
0</<оо
и (О, 0 =
(НУ)
1 = ?@,
0<*<оо,
0:
1.
УКАЗАНИЕ. Замените это уравнение конечно-разностной схемой
Кранка — Никольсона, выразите ui+li j через пять значений м|+,1у^1>
+i> ui,j-i> ui.j* ui,/+i B соседних точках.

Лекция 44. Вариационное исчисление 329
Лекция 44
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ЛАГРАНЖА)
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ! Ввести понятие функционала (функции
от функции) и объяснить, как функционалы естественно воз-
возникают в физике. Типичным функционалом является интеграл
а
J[y\=\F(x,yiy')dx,
ь
который является функцией от функции у (при этом под-
подразумевается, что подынтегральная функция F (х, у% у') за-
задана). Пример функционала:
Мы покажем, как найти функцию у(х), которая минимизи-
минимизирует функционал J [у]. Оказывается, что минимизирующая
функция # должна удовлетворять так называемому уравне-
уравнению Эйлера—Лагранжа. Это уравнение играет ту же роль,
что и необходимое условие минимума
dx
функции f (x) в точке х в дифференциальном исчислении.
Вариационное исчисление тесно связано с дифференциальными
уравнениями, но, к сожалению, не изучается большинством сту-
студентов. В этой лекции (и следующей) дается введение в вариа-
вариационное исчисление и показано, как можно решать уравнения с
частными производными на основе вариационных принципов.
Вариационное исчисление возникло в то же самое время, что
и математический анализ, в связи с решением задач максимиза-
максимизации и минимизации функций от функций (называемых функци-
функционалами). Первой задачей вариационного исчисления была задача
о брахистохроне, сформулированная Иоганном Бернулли в 1696 г.
В этой задаче необходимо было найти кривую у(х) таким обра-
образом, чтобы минимизировать время спуска по этой кривой без
трения из одной точки в другую (рис, 44.1).

330 Часть 5. Численные и приближенные методы
Бернулли показал, что время спуска записывается в виде
Т L L L
J J«s J v \bng J V i/ у 2mg
и, следовательно, является функцией Г [у] от функции. Поскольку
многие функционалы устроены подобным образом, мы остановимся
на изучении функционала общего вида
D4.1) ]
Сформулируем теперь главную цель нашей лекцииз найти функ-
функцию, которая доставляет минимум (или максимум) функционалу
D4.1). Стратегия поиска будет такой же, как и при поиске ми-
минимума функции в дифференциальном исчислении. Там мы нахо-
находили критические точки функции из условия f (х) = 0. В вариа-
вариационном исчислении все будет несколько сложнее, поскольку
аргументом теперь является не числовая переменная, а функция.
Однако общий подход остается прежним: мы вычислим так назы-
называемую функциональную производную по функции у(х) и прирав-
приравняем ее нулю. Это новое уравнение будет аналогично уравнению
df(x)__a
из дифференциального исчисления, но теперь это будет обыкно-
обыкновенное дифференциальное уравнение, известное как уравнение
Эйлера — Лагранжа. Нам осталось найти это уравнение и решить
с его помощью некоторые задачи.
ь
Минимизация функционала J\y\~ \ F(x, у, y')dx
а
Рассмотрим задачу нахождения функции у(х)у которая мини-
минимизирует функционал
ь
(x* У* У'
в классе гладких функций, довлетворяющих граничным условиям
(см. рис. 44.2).
Пусть искомая функция у~у(х) существует, и рассмотрим
малую вариацию функции у, то есть функцию у+гц{х),
где е — малое число, а г\(х)—гладкая функция, удовлетворяющая

Лекция 44. Вариационное исчисление 331
граничным условиям ц (а) *=* г\ ф) *= 0 (см. рис. 44.2), Ясно, что
если вычислить интеграл J от близкой функции у + щ, то функ-
функционал возрастет, т. е.
как функ-
функдля всех с. Другими словами, график <р(е)^= J[y
ции е будет выглядеть, как на рис. 44.3.
у(х) - траекторий спуска
за минимальное бремя
. за
Гравитация
\
РИС. 44.1. Задача о брахистохроне (с этой задачи началось вариационное
исчисление).
(Ь,В)
РИС. 44.2. Вариация функции: а—вариация функции у = у(х)-\-щ(х)\ б—
минимизирующая функция у (х).
Из рис. 44.3 ясно, что в этом случае нужно вычислить про-
производную от

332 Часть 5. Численные и приближенные методы
по е, положить е = 0 и приравнять получившееся выражение
нулю, т. е.
ds1
d
(Читатель должен проделать это самостоятельно.) Интегрируя
по частям, получаем
de
Поскольку этот интеграл обращается в нуль при любой функции
г| (лг), удовлетворяющей граничным условиям ц (а) = r\ (b) — 0, мы
=J[y+en]
РИС. 44.3. График функции Jy+ец] в окрестности е = 0.
приходим к выводу, что вторая часть подынтегрального выраже-
выражения должна равняться нулю, т. е.
D4.2) -=•—~г I -=- =0 (уравнение Эйлера—Лагранжа).
ду ах [_ ду J
Уравнение D4.2) называется уравнением Эйлера—Лагранжа и,
хотя в общем виде оно кажется сложным, при подстановке в него
конкретной функции F {х, у, у') оно превращается в обыкновен-
обыкновенное дифференциальное^уравнение второго порядка относительно
неизвестной функции у(х). Таким образом, для определения мини-
минимизирующей функции у необходимо решить уравнение Эйлера- —
Лагранжа.

Лекция 44. Вариационное исчисление
Итак, мы показали, что
если функция у (х) минимизирует функционал J [у]
ь
= \ F (х, у, у') Ах (в классе гладких функций с граничными
а
условиями у(а)~А\ */(?>) = В, то она должна удовлетворять
уравнению
(с граничным условием).
(Для упрощения обозначений мы убрали черту над у.)
Для иллюстрации теории приведем пример.
1
Нахождение минимума функционала j [y]^l[y*+y'2]dx.
о
Попробуем найти функцию у(х), которая проходит через точки
@,0) и A,1) и минимизирует функционал
1
Из контекста ясно, что искомая функция должна быть диф-
дифференцируемой, так как подынтегральное выражение зависит от у'.
Для определения у (х) запишем уравнение Эйлера —Лагранжа
(вместе с граничным условием г/ @) = 0 и #A) = 1).
уф) -0,
Но F(x, у, у') = у2 + у'2 и, следовательно,
F = 2(/,
v , (Продифференцировали F по у и у'.)
Уравнение Эйлера — Лагранжа принимает вид
откуда

Часть 5, Численные и приближенные методы
Решая это простое дифференциальное уравнение с граничными
условиями */@) = 0 и #A)=1, получаем
—0,42<г*.
График этой функции изображен на рис. 44.4. Ясно, что лю-
любая другая гладкая функция, удовлетворяющая тем же гранич-
граничным условиям, даст большее значение функционала / (у).
РИС. 44.4. Все допустимые гладкие кривые удовлетворяют граничным усло-
условиям у@) = О и у(\) = \: а—допустимая кривая; б—минимизирующая функ-
функция ~у (х) = 0,42е* — 0,42е~*.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Уравнение Эйлера—Лагранжа аналогично равенству нулю
производной в дифференциальном исчислении. Если читатель
помнит, то на самом деле равенство нулю производной не яв-
является достаточным условием экстремума. Например, произ-
производная функции f(x) = x3 при х = 0 равна нулю, но эта точка
не является ни точкой минимума, ни точкой максимума. Так
же и с уравнением Эйлера—Лагранжа: оно является только
необходимым условием экстремума, но не достаточным. Значит,
экстремум может достигаться на других функциях. Очень
часто, однако, решение уравнения Эйлера—Лагранжа по су-
существу задачи дает локальный или даже глобальный минимум.
2. Если у (х) минимизирует функционал
то площадь поверхности, образованной вращением кривой у (х)
вокруг оси xt будет минимальной (рис. 44.5).
Решением уравнения Эйлера—Лагранжа в этом случае будет
цепная линия
у(х)=асЬ[(х—$)/а],

Лекция 44. Вариационное исчисление 33$
где константы а и Р определяются из условий у(а)=*А и
y(h) — B (т. е. цепная линия должна проходить через заданные
точки). Решить уравнение Эйлера—Лагранжа в данном слу-
случае достаточно трудно, поэтому мы рекомендуем читателю
только проверить, что цепная линия ему удовлетворяет.
3. В этой лекции мы нашли, что функция
—0,42<г*
доставляет минимум функционалу
При этом оказывается, что J[y]=O946. Если подставить в
функционал любую другую гладкую функцию, график которой
проходит через точки @, 0) и A, 1), то значение функционала
J [у] станет больше.
/jv^/" минимизирующая
\\
\ i Поверхность бращения
I 1 (Мыльная пленка между
* ' Дйул^я кольцами)
РИС. 44.5. Минимальная поверхность вращения.
4. Основные законы физики чаще всего формулируются на языке
вариационных принципов, а не дифференциальных уравнений.
В качестве примеров можно привести принцип Ферма (свет
при распространении из одной точки в другую выбирает путь,
которому соответствует наименьшее время распространения)
или принцип Гамильтона (в консервативном поле частица
движется так, что интеграл действия
(кинетическая энергия — потенциальная энергия) dt
и
будет минимальным). Таким образом, физические явления раз-
развиваются только так, что эти функционалы принимают мини-
минимальные значения.

316 Часть 5. Численные и приближенные методы
б. Основные идеи вариационного исчисления можно распростра*
нить на функционалы, зависящие от функции нескольких не-
независимых переменных, вида
У* и> и*> uv)dxdy-
Соответствующее уравнение Эйлера—Лагранжа для такого
функционала будет уже уравнением с частными производными
Такого рода функционалы мы рассмотрим в следующей лекции.
Однако общая философия метода будет иной. Некоторым но-
новым способом мы найдем функцию и (х, у), которая миними-
минимизирует функционал, а поскольку она является решением урав-
уравнения Эйлера—Лагранжа, то тем самым мы найдем решение
уравнения с частными производными. Другими словами, мы
будем искать решение уравнения с частными производными
методом минимизации функционала. В этой лекции все было
наоборот! задачу минимизации функционала, зависящего от
функции одной переменной, мы сводили к решению уравнения
Эйлера—Лагранжа. Методы решения дифференциальных урав-
уравнений путем минимизации соответствующих функционалов при-
принято называть прямыми методами вариационного исчисления.
Методы минимизации функционалов путем решения соответ-
соответствующих уравнений Эйлера—Лагранжа называются непря-
непрямыми методами вариационного исчисления. Следующая лек-
лекция посвящена хорошо известному прямому методу Ритца.
ЗАДАЧИ
1. Среди всех кривых, удовлетворяющих условиям //@) =
y(l) = lf найдите ту, которая минимизирует функционал
Как вы интерпретируете полученный результат? Чему равна
величина J [у]? Каков смысл величины J [у]?
2. Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки оп-
определяется выражением KE^-^mif, где y = dyldt9 а потенци-
потенциальная равна PE = -z-ky%.

Лекция 44. Вариационное исчисление
137
т
y(t)
Колеблющаяся масса на
№>нце пружины
Принцип Гамильтона утверждает, что материальная точка бу-
будет двигаться так, что интеграл
= i Г/m/" —Л»*1Л
будет минимален. Если этот закон справедлив, то получите
дифференциальное уравнение движения материальной точки.
3. Покажите, что в классе гладких функций, удовлетворяющих
граничным условиям г/@)~0 и*/(л/2)=1, минимум функ-
функционала
Я/2
достигается на функции у(х) — $тх. Вычислите J(smx).
4. Исходя из функционала
1 м ^ И F [*' У'Цу и*} иу^dx dij>
D
получите уравнение Эйлера — Лагранжа
—— F —F — С)

338 Часть 5. Численные и приближенные методы
Лекция 45
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, как можно решать диффе-
дифференциальное уравнение, рассматривая его как уравнение
Эйлера—Лагранжа для некоторого функционала и находя
некоторым новым методом функцию, минимизирующую этот
функционал. Тогда минимизирующая функция будет реше-
решением уравнения с частными производными. Задача, конечно,
состоит в том, чтобы найти такой функционал, для которого
исходное уравнение является уравнением Эйлера—Лагранжа.
Хорошо известен результат {теорема о минимуме энергии),
который гласит, что нахождение решения и некоторой эл-
эллиптической краевой задачи
ихх + иуу = /, в области D,
« = 0, на границе Z),
эквивалентно нахождению такой функции и (тоже обращаю-
обращающейся в нуль на границе области D), которая минимизи-
минимизирует функционал потенциальной энергии
То есть, Au = f — уравнение Эйлера — Лагранжа для J[u].
Функция, приближенно минимизирующая функционал J [и],
ищется методом Ритца\ тем самым мы получаем решение
(приближенное) уравнения с частными производными. В этой
лекции мы познакомимся с методом Ритца и посмотрим, как
с помощью этого метода можно минимизировать функционалы.
Очень хорошо решать граничные задачи (как, например, за-
задачу о закрепленной мембране) путем отыскания гладкой поверх-
поверхности, которая минимизирует потенциальную энергию мембраны.
То есть, если мы рассматриваем исходное уравнение как урав-
уравнение Эйлера—Лагранжа для некоторого функционала J[u]> то
решение дифференциального уравнения можно получить путем
минимизации функционала (поскольку минимизирующая функция
функционала является решением соответствующего уравнения

Лекция 45. Вариационные методы р&шения УЧП 339
Эйлера—Лагранжа). В лекции 44 мы рассматривали такие функ-
функционалы, у которых уравнение Эйлера—Лагранжа было обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением. В этой лекции рассмат-
рассматриваются функционалы, для которых уравнение Эйлера—Ла-
Эйлера—Лагранжа относится к классу уравнений с частными производными*
Например для функционала
о о
уравнение Эйлера—Лагранжа (подобно случаю обыкновенного
дифференциального уравнения в последней лекции) имеет вид
и, следовательно, для решения задачи Дирихле в единичном
квадрате
(УЧП) ихх + иуу = 0, 0<*<1, 0<*/<1,
(ГУ) u = g, на границе квадрата,
можно, наоборот, найти такую функцию и (х, у)у которая мини-
минимизирует J[u] и равна g на границе. Вероятно, не стоит удив-
удивляться тому, что функционал
о 6
представляет собой потенциальную энергию мембраны и факти-
фактически мы находим поверхность с минимальной потенциальной
энергией. Вопрос, конечно, состоит в следующем: если дано диф-
дифференциальное уравнение, как мы находим функционал, выра-
выражающий потенциальную энергию решения? Ответ на этот вопрос
дает хорошо известная теорема (теорема о минимуме энергии),
которая утверждает:
Решение и задачи Дирихле
(УЧП) Au = f в области D
(ГУ) « = 0 на границе D
является той же функцией, которая минимизирует (среди функ-
функций, удовлетворяющих граничному условию и=^0) энергетический
функционал
Подобные теоремы справедливы и для других типов граничных
условий. Чтобы помочь читателю понять теорему, рассмотрим
пример.

340 Часть 5. Численные и приближенные методы
Замена уравнения Пуассона
функционалом потенциальной энергии
Рассмотрим задачу Дирихле
(УЧП) uxx + uyy = f, 0<*<l, 0
(ГУ) и = 0, на границе квадрата,
(см. рис. 45.1).
РИС. 45.1. Уравнение Пуассона внутри квадрата.
Для этой задачи функционал энергии J[u] записывается в виде
1 1
D5.2)
о о
и, следовательно, для решения задачи D5.1) достаточно найти
функцию и (среди функций, обращающихся в нуль на границе),
минимизирующую J[u]. Этим замечанием завершается первая
часть лекции. В оставшейся части мы покажем, как находить
минимизирующую функцию и для J[u], используя метод Ритца.
Метод Ритца минимизации функционалов
Этот метод—один из многих вариационных методов, описан-
описанных в литературе по вариационному исчислению. Идея, предло-
предложенная математиком В. Ритцем, очень проста. Метод состоит из
следующих шагов.
ШАГ 1. Выбираем п и функцию и, минимизирующую функ-
функционал
1 1
о о

Лекция 45. Вариационные методы решения УЧП 341
ищем в виде
"п (*. У) = <VPi (*. #) + Я.фа (*, #) + • • • + Я„фя <*» У).
где функции Фх, Ф2, Фз, ...,фя принадлежат к классу достаточно
хороших функций и все обращаются в нуль на границе, так что
из них можно построить разумное приближение для решения
задачи. Эти функции принято называть пробными функциями.
Типичный набор пробных функций для задачи Дирихле в еди-
единичном квадрате приведен ниже:
фД*» У)==хуA—х)A—у) +— обращаются в нуль на границе,
(х, у),
(*> у),
ъ у)*
Иными словами, первые четыре приближения имеют вид
«iU, y) = alxy(\—x)(\—y),
ut(x, y) = xy(l—x)(l—y)\
u9(x, y) = xy(l—x)(l—i
ШАГ 2. Функционал
о о
является теперь функцией коэффициентов а1а2...ап. Следова-
Следовательно, для того чтобы найти минимум функционала У, прирав-
приравняем нулю частные производные

342 Часть 5. Численные и приближенные методы
Все это представляется изрядно сложным, но если переписать
все эти уравнения в матричной форме, то получится система
линейных уравнений
Аа = Ь,
где А = (Аи) матрица размером пхп, элементы которой вычис-
вычисляются по формулам
о о
= (Ьг) — вектор с компонентами
> y)dxdy,
о о
а а = (а;) — неизвестный вектор, компоненты которого являются
коэффициентами в приближенном решении ип(х, y) = a1{fi(xt у) +
+ я2ф2 (х> У) + • • • + яяфя (*. У)-
ШАГ 3. Решаем линейную систему Аа = Ь относительно коэф-
коэффициентов alf a2, ..., ап и получаем приближенную минимизи-
минимизирующую функцию
ип (х, у) = а^х (х9 у) + «2ф2 (х9 у) + ... + аясря (х9 у),
а значит, и приближенное решение задачи Дирихле.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. В этой лекции методом Ритца минимизировался функционал,
зависящий от функции двух переменных. Точно так же можно
минимизировать функционалы вида
Единственное отличие в том, что аппроксимирующие функции
4*1» Фг» Фз1 • • •» 4>п должны удовлетворять граничным условиям:
2. В этой лекции не было доказано, что уравнением Эйлера —
Лагранжа для функционала, зависящего от функции двух
переменных
1 1
$5
о о

Лекция 45. Вариационные методы решения УЧП 341
является уравнение Лапласа, но это доказательство проводится
аналогично тому, как это делалось в лекции 44 для функ-
функционала, зависящего от функции одной переменной.
3. В книгах по вариационному исчислению показано, как строить
энергетический функционал не только для уравнения Пуассона
с граничным условием Дирихле и^=0, но и для многих дру-
других дифференциальных уравнений и многих других типов гра-
граничных условий. Следовательно, большое число краевых задач
можно решить, минимизируя соответствующие энергетические
функционалы.
4. Чем большее значение п мы выбираем, тем меньшее значение
J[un] получается. Значит, с увеличением п растет точность
приближенного решения дифференциального уравнения. Один
из методов определения ип основан на последовательном вы-
вычислении функционала J[un] для возрастающих значений п.
Вычисления прекращаются, если с ростом п функционал пере-
перестает практически уменьшаться.
5. Если п велико, то проведение вычислений по методу Ритца
требует привлечения ЭВМ. На рис. 45.2 (с. 345) приведена блок-
схема решения краевой задачи методом Ритца.
Пользователь должен позаботиться о подпрограмме, которая
должна вычислять значения пробных функций. Такая подпро-
подпрограмма может иметь вид:
SUBROUTINE ВС (X.Y.PHI)
С SUBROUTINE PROVIDED BY THE USER TO
С EVALUATE THE
С FUNCTIONS PHI(l), PHIB), ..., PHI(N)
DIMENSION PHIB0)
PHIA) = X'Y»A — X)*(l — Y)
PHIB) = X*PHIA) (используемые функции)
PHIC) = Y*PHIA)
PHI(N) = Dto получится)
RETURN
END
ЗАДАЧИ
1. Найдите энергетический функционал для задачи
/yum и Л-и —1 0 <r* r «^ 1 0^
(ГУ) w = 0 на границе.

344 Часть 5. Численные и приближенные методы
2. Как минимизировать функционал
методом Ритца?
УКАЗАНИЕ. Если ввести новую функцию г(х)\
то можно заметить, что она удовлетворяет граничным усло-
условиям г@) = 0-и 2A)-О.1)
3. Напишите программу для проведения вычислений по блок-
схеме, изображенной на рис. 45.2.
4. Покажите, что уравнение
является уравнением Эйлера—Лагранжа для функционала
1 1
о о
б. Задачу Дирихле
yy
н = 0, на границе квадрата,
можно решить методом конечного синус-преобразования (по пе-
переменной х). В результате получим
и(х, у)=
где А = 0,06 и В = 0,04. Как найти потенциальную энергию
этого решения? Мы рекомендуем читателю вспомнить синус-
преобразование и самостоятельно получить решение и (я, у).
При такой замене возникает особенность в т. х=\. Лучше ввести функ-
функцию z(x) no формуле 2 (х) = у (х) = х.— Прим. ред.

Лекция 45. Вариационные методы решения УЧП 345
Читаем п-число членов б и(х,у) (При удачном выборе
Пробных функций это число заключено между пятью и десятью)
I
Вычисляем A(IJ) и BCD no формулам D5.3) и D5.4),
Интегралы, вероятно, придется находить числен-
численно, а ГУ должны вычисляться В подпрограмме.
Частные производные можно вычислить непоеред
ственно В тех случаях, когда функции (pi явдт
ся полиномами, В остальных случаях их можноё
например, вычислить по формулам конечны*
разностей ^
I
Решаем систему линейных уравнений А а ~Ь относительно век-
вектора а-(аО {можно использовать существующую про-
грамму из библиотеки вычислительного центра)
Дрлее. Приближенное решение ип (х,у) =» #j<pf + пгцг +
В это время можно численно найти значение срунщио-
нала J[un]. Если необходимо найти значение решения
Un (x> Ю в некоторой точке, можно написать неболь
шую программу для выполнения шой операции.
При необходимости можно повторить вычисления
по этой программе с другими значениями л
РИС 45.2. Блок-схема метода Ритца.

346 Часть 5. Численные и приближенные методы
Лекция 46
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, как различные сложные за-
задачи (нелинейные уравнения с переменными коэффициентами,
области неправильной формы и т. д.) можно решить методом
возмущения более простых задач. Иными словами, мы хотим
показать, как следует изменить решение простой задачи,
чтобы оно давало приближенное решение трудной задачи.
Например, мы покажем, как нелинейную задачу
(УЧП) Аи + и2 = 0у 0 < г < 1, 0<9<2л,
(ГУ) w(l, e) = cos9, 0<9<2л,
можно приближенно решить методом возмущения решения
линейной задачи Дирихле1)
(УЧП) Аи = 0, 0 < л- < 1,
(ГУ) иA, 0)
Очень часто задачу, решение которой не известно, можно
путем непрерывного изменения каких-то параметров свести к близ-
близкой, но легко решаемой задаче. Тогда и решение исходной задачи
будет близко решению модифицирующей задачи.
Например, уравнение Лапласа
о помощью семейства уравнений
Краевая задача
Aw + w2 = 0, 0 < г < 1, 0<6<2л,
иA, в) =g(9), 0<9 < 2л,
при одних граничных условиях (например, g F) = cos 6) имеет два различ-
различных вещественных решения, а при других (например, g (9) = Л cos 6 с | А\ >
> 20,65) эта задача не имеет ни одного вещественного решения.— Прим, ред.

Лекция 46. Решение УЧП методами теории возмущений 347
можно непрерывно модифицировать в нелинейное уравнение
На рис. 46.1 изображена схема решения нелинейной задачи
путем сведения ее к решению уравнения Лапласа2)
(8 = 0)
Решение
«о -*
Аи + еи2 = 0
@ < е < 1)
Решение
оо
~^Aw + w2 = 0
(е=1)
Решение
00
РИС. 46.1. Схема метода возмущений.
Чтобы найти решение возмущенного уравнения Лапласа
мы добавим возмущение к решению ц0 невозмущенного уравнения
Лапласа. Представляется естественным, что решение возмущен-
возмущенного уравнения
следует искать в виде
D6.1) и =
Заметим, что степенной ряд по е D6.1) переходит в решение
уравнения Лапласа и0 при 8 = 0 ив решение нелинейного урав-
уравнения
при е=1. Другими словами, разложение D6.1) действует как
ракета, которая переносит нас от уравнения Лапласа к нели-
нелинейному уравнению3). Задача состоит в том, чтобы найти функ-
*) В целом это не так, хотя бы потому, что задача
Ди + и2 = 0, 0 < г < 1, 0<6<2л,
и(\, 0) = 0, 0^0 < 2я,
имеет два решения (одно —нулевое, другое—нетривиальное), в то время
как задача
Аи = 0, 0 < г < 1, 0 < G < 2л,
иA, 0) = 0, 0<9< 2л,
имеет только нулевое решение.— Прим. ред.
2) Здесь и ниже речь идет об отыскании одного из решений (второе таким ме-
методом не находится).— Прим. ред.
3) Эта «ракета», во-первых, не при всех граничных условиях долетает до
8=1 (где при определенных вещественных граничных условиях открывает-
открывается мир комплексных решений) и, во-вторых, ни при каких 8 не долетает
до второго вещественного решения, когда оно существует.— Прим. ред.

348 Часть 5. Численные и приближенные методы
ции и0У ult u2f ..., входящие в степенной ряд D6.1). В остав-
оставшейся части лекции мы покажем, как этим методом можно ре-
решить различные краевые задачи.
Решение нелинейного уравнения ш + и2 =s О
методом возмущений
Предположим, что нам нужно решить следующую нелинейную
задачу Дирихле:
(УЧП) &и + и> = 0, 0<г<1,
Будем рассматривать эту нелинейную задачу как возмущенную
линейную задачу:
(УЧП) Ди = 0, 0<г<1,
D6.3) (гу) wA) e)==cose> 0<
решение которой мо(г, 9) = rcos9 известно. Как же нужно изме-
изменить ио(г, 9), чтобы получить решение задачи D6.2)? Как уже
упоминалось ранее, рассмотрим класс задач Да + ем2 = 0 с гра-
граничными условиями и будем искать решение каждой задачи из
этого класса в виде
D6.4) и (г, 0) = «0(г
Затем мы найдем решение задачи D6.2), положив e^l1).
Выражение D6.4), претендующее на роль решения, подставим
в возмущенную задачу
(УЧП)
(ГУ) мA
В результате получаем
2+...) + е
, 0) + 82w2(l, 9)+...=cose.
Проделав несложные алгебраические преобразования и приравняв
коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем последова-
последовательность задач Ро, Р1У Р21 ... решив которые, мы найдем не-
неизвестные функции и0У и1У ... (все эти задачи являются линей-
Этот ряд заведомо сходится при |е| < 1.443.— Прим. ред.

^ Лекция 46. Решение УЧП методами теории возмущений
ными и неоднородными):
p>{ ^(T.T0'
Начнем с определения функции ы, (г, 6) из задачи Рх (функ-
(функция щ нам уже известна):
р | Attl - —г» cos*e= -у [1 + cos B6)] = — y —т cos BG),
\ «хA, 6) = 0.
Чтобы решить неоднородное уравнение, мы обратимся к методу,
который применялся еще в теории обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений и который состоит в следующем:
1) находим общее решение yh однородного уравнения;
2) находим частное решение ур неоднородного уравнения;
3) подставляем Ун~\~Ур в начальное условие и определяем
константы.
Этим методом мы воспользуемся и при решении нашей за-
задачи. В нашей задаче Р1 общее решение однородного уравнения
Да = 0 возьмем в форме с разделенными переменными
00
«л (г, е) = ^г» К cos (nQ) + bn sin (лв)].
Частное (только одно) решение неоднородного уравнения
Ди = — ^—^ cos B6)
ищем в виде
Up(r, 6)-.4/-4 + Br4cosB6).
Правые части вида г", rwcos(n6), r" sin (пд) приводят соответ-
соответственно к решениям Arn+2, Brn+2cos(nQ)y Cr"+2sin(n6).
Подстановка функции и (г, 6) в неоднородное уравнение дает
Л = —1/32, В = —1/24.
Таким образом,
и,(г, в)=—^—?cosB6).

350 Насть 5. Численные и приближенные методы
Для решения задачи Pt осталось совершить последний uiaF—под-
uiaF—подставить общее решение и (г, в) = ин(г, Q)+up(r> 9) в граничные
условия иA, 9) = Q и найти коэффициенты ап и Ьп.
Сделав это, получаем
со
2 [а« cos (nQ) + bn sin (пв)] —~щ cos Bв) = 0.
/issO
Следовательно, ао= 1/32, a2 — 1/24, а все остальные ап и &„ равны
нулю. Итак, решение задачи Р} найдено:
~ 32 ~ 24
Функцию «t (r, 9) называют возмущением первого порядка
к uQ(rf 9). Складывая и0 и а1э получаем новое приближение
к решению задачи D6.2):
D6.5) w = ao + W](^(^^
Чтобы найти возмущение следующего порядка u2(rf 9), мы
должны решить задачу
( Ди2=— 2иои1У
2\ u2(lf 6) = 0,
где wo(r, 9) и ил (г, 9) — уже известные, ранее найденные функ-
функции. Нет необходимости говорить, что проделать все эти алгеб-
алгебраические преобразования без помощи ЭВМ чрезвычайно трудно.
К счастью, выражение D6.5) является почти точным решением
нашей задачи. В самом деле, если подставить это выражение в
левую часть Аи-{-и2 нашего нелинейного уравнения, то полу-
получится выражение, мало отличающееся от нуля почти всюду внутри
круга 0 < г < 1.
Кроме решения нелинейных задач, теорию возмущений можно
применять для решения задач в областях с нерегулярными гра-
границами (конечно, если нерегулярность не очень велика). Рас-
Рассмотрим простой пример.
Пример задачи с возмущенной границей
Возмущать можно не только уравнение с частными производ-
производными. Можно найти решение уравнения Лапласа внутри дефор-
деформированного круга, возмущая решение уравнения Лапласа внутри
круговой области. Например, предположим, что мы хотим найти
потенциал внутри области, ограниченной кривой г = 1+-^ sin 9

Лекция 46. Решение УЧП методами теории возмущений 351
(в полярных координатах). Пусть потенциал и на границе задан;
То есть нам необходимо решить задачу
=0, 0<r< 1+J sin0,
+jsinO, e)=cos9, 0<6<2л.
D6.6)
Мы можем рассматривать эту задачу, как задачу об отыска-
отыскании формы мыльной пленки, натянутой на деформированную
окружность, высота которой над этой границей равна cos в (см.
рис. 46.2).
ч
г-14
Ли
'v..
= 0
—^
/!
РИС. 46.2. Уравнение Лапласа внутри деформированного круга*
Поскольку общая идея теории возмущений заключается в све-
сведении сложной задачи к простой, мы будем считать, что наше
граничное условие на деформированной окружности
и (l+jsinG, ej=
достигается в концевой точке семейства граничных условий вида
(см. рис. 46.3)
, G) = cos6, 0<е<1/4.
Эта идея приводит нас к рядам Тейлора. Используя ряд Тейлора
разложим трудное граничное условие в ряд по простым гранич-

352 Часть 5. Численные и приближенные методы
^ (Слтное ГЮ
Тсемейстбо граничных условий,
созывающее простые ГУ со
ГУ на окружности г=1
? Простое ГУ)
РИС. 46.3. Схематическое изображение метода возмущений.
иым условиям, т. е.
«A+в sin в, в) = «A, ^
Подстановка этого разложения в исходную задачу приводит
к новой эквивалентной задаче
Ди = 0, 0<г < 1 +esin9,
D6J) 1/A
Когда все выкладки будут сделаны, мы положим в окончатель-
окончательных результатах е = 1/4. Конечно, не похоже, что эту задачу
удастся легко решить, но ее можно свести к последовательности
задач, в каждой из которых определяется одна из функций «0,
ul9 w2, ..., входящих в разложение
D6.8) и = ио + ги1 + е*и%+... .
После подстановки рядов в D6.7), получаем следующую по-
последовательность задач для определения функций и0, и19 ...*
\ио = О9 0 < г < 1 (внутри круга),
Iw1 = Of 0<г<1 (внутри круга),
Mi(lf 6)=—sine^1>e) = — sin9cos9
Следовательно, решая каждую из задач Дирихле внутри кругам
для функций и0, uv u2, мы получим решение
D6.9)

Лекция 46. Решение УЧП методами теории возмущений 353
задачи Дирихле в деформированной области (отметим, что здесь
мы уже взяли 8= 1/4).
В качестве упражнения читателю предлагается найти возму-
возмущение первого порядка «, и проверить, насколько хороню при-
приближенное решение
удовлетворяет уравнению D6.6).
ЗАМЕЧАНИЯ
Методами теории возмущений можно решать не только не-
нелинейные уравнения с частными производными. Например, можно
решить задачу Коши
Uf = ( +#) ,v)
D6.10) \ ' ,; -оо<х<оо,
; и(х, 0) = ф(х), ^
если рассмотреть уравнение с параметром
D6.11) Щ = A+ех)ихх
и искать его решение в виде
и — du _|- гих -f г2и2 -\- . ...
Подстановка этого разложения в D6.11) приводит к следующей
последовательности задач:
ди0 dhij
~&Г~~ дх2 '
и0 (х, 0) = ф (х),
( ди* dhli - у д2и»
р dt дх* ~Х дх*'
[ их(х9 0)==0
Отметим, что в первых двух задачах коэффициенты постоянны.
Читатель должен понимать, что параметр е должен быть доста-
достаточно мал, иначе бесконечный ряд может оказаться расходя-
расходящимся.
12 к« 601

354 Часть 5. Численные и приближенные методы
ЗАДАЧИ
1. Подставьте разложение D6.8) в задачу D6.7) и получите по-
последовательность задач PQ, Р1У Я§, ....
2. Покажите, что нелинейную задачу
1, 0<6<2я,
иA, е) = cose, о<е<2я,
можно свести к последовательности линейных задач Ро, Pi9 Р%.
3. Подставьте приближенное решение D6.5) в нелинейную за-
задачу 2 и оцените его точность.
4. Решите задачу Рг из примера с возмущенной границей и про-
проверьте, насколько хорошо приближенное решение
удовлетворяет соотношениям
и (\ +^-sin6, в) = cos в.

Лекция 47. Решение УЧП методом конформных отображений 355
Лекция 47
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
МЕТОДОМ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИз Показать, как некоторые двумерные
краевые задачи с помощью конформного отображения можно
преобразовать в другие, более простые задачи. Предполо-
Предположим, например, что мы хотим решить уравнение Лапласа
с каким-то граничным условием в области сложной формы
(плоскость переменных х и у). Эту задачу можно преобра-
преобразовать в новую задачу, в которой требуется найти решение
уравнения Лапласа
в более простои обллстп (плоскость переменных и и v).
Старое ГУ
Облаешь
сложной
срормы
Конформное
^отображение
¦ х
Область прос-
простой срормы
При конформном отображении уравнение Лапласа
Ф** + Фад ^ ° в координатной плоскости (х, у) переходит
снова в уравнение Лапласа срдя + <pw = 0 в координатной
плоскости (и, v). Другие уравнения, например ухх + 2(рХц +
-j-cp^ = O, этим свойством не обладают. После того как
решение уравнения Лапласа <р(и, V) в простой области (на-
12*

356 Часть 5. Численные и приближенные методы
пример, в круге, полуплоскости, квадрате) найдено, доста-
достаточно подставить в это решение выражения и~и(х, у),
v~v(xt у) и мы получим решение нашей задачи <p[w(x, у),
v{x> yj], выраженное через исходные переменные.
В этой лекции мы расскажем:
1) о свойствах конформных отображений,
2) о том, как их строить (для некоторых областей),
3) о том, как решать задачи методом конформных отоб-
отображений.
Одна из главных трудностей, возникающих при решении
краевых задач, обусловлена сложной формой [границ. Даже гра-
границы сравнительно простой формы зачастую делают задачу очень
трудной для решения. Можно, конечно, попытаться решить за-
задачу методами теории возмущений, но теория возмущений хо-
хорошо работает только в тех случаях, когда граница близка
к простой.
Существует, однако, способ решения двумерного уравнения
Лапласа в областях со сложной границей. Этот способ основан
на конформных отображениях.
Прежде чем приступить к решению задач этим методом, да-
давайте потратим некоторое время, чтобы познакомиться с поня-
понятием конформного отображения и вообще с комплексными пере-
переменными.
Комплексные функции и конформные отображения
В этой лекции мы познакомимся только с теми понятиями
из теории функций комплексного переменного, которые понадо-
понадобятся нам позже. Представим комплексное число z = x-\-iy как
точку в комплексной лгу-плоскости (рис. 47.1).
Чтобы ввести понятие конформного отображения, познако-
познакомимся сначала с понятием функции комплексного переменного
w = f(z).
Здесь z —комплексное переменное (из некоторой области в пло-
плоскости г), a w—новое комплексное переменное, которое будет
получать значения в соответствии с формулой ш = /(г) в новой
комплексной плоскости w.
Например, комплексная функция ш = г2, определенная в пер-
первом квадранте комплексной плоскости г, будет отображать эту
область на всю полуплоскость v > 0 в комплексной плоскости w.

Лекция 47. Решение УЧЛ методом конформных отображений 357
Таблица 47.2
Плоскость г
Плоскость w
О
i
i+t
ОСЬ X
Первый квадрант
-* О
-> —1
-* 12 i
-> Положительная действительная полуось
-> Верхняя полуплоскость
В таблице 47.2 показано соответствие, которое устанавливается
отображением w = г2 между некоторыми точками плоскостей
г и w.
у ( Мнимая ось)
Комплексная
2- плоскость
x (Действи-
(Действительная ось)
РИС. 47.1. Плоскость комплексного переменного г и некоторые полез-
полезные формулы.
1
г
з г
РИС. 47,2. Отображение первого квадранта плоскости z в верхнюю
полуплоскость w.
Иными словами, если мы говорим о функциях комплексного
переменного w = f(z), то, значит, можем рассмотреть вопрос
о том, как кривые в плоскости г переходят в кривые в плоско-

353 Часть 5. Численные и приближенные методы
сти w (такой вопрос не ставится в теории функций действитель-
действительного переменного, с которой читатель уже хорошо знаком).
Прежде чем идти дальше, остановимся на том, как комплекс-
комплексное отображение типа w = z2 записать в эквивалентной действи-
действительной форме. Действительная форма показывает нам, каким
образом исходные координаты (х9 у) в плоскости z преобразу-
преобразуются в новые координаты (иу v) в плоскости w. Чтобы найти
действительную форму отображения, мы просто запишем w = z2
в виде
и + iv = (х + iyJ = х2— у2 + 2ixy
и приравняем отдельно действительные и мнимые части в этом
соотношении. В результате получаем
( и = х2—у2,
\ _9 (действительная форма отображения w = z2).
Эта форма понадобится нам позже. В этом примере она инте-
интересна тем, что показывает, как гиперболы в плоскости z пере-
переходят в координатные линии и = const и v = const в плоскости до.
Теперь мы перейдем к изучению одного частного вида функ-
функций комплексного переменного, которые осуществляют конформ-
конформные отображения.
Определение конформного отображения
Отображение w = f(z) комплексной плоскости z на комплекс-
комплексную плоскость w называется конформным в точке z0 плоскости г,
если производная /' (г0) Ф 0. Отображение / (z) называется конформ-
конформным в области D, если /' (г) Ф 0 в каждой точке области D.
Например, отображение f(z) = z2 конформно всюду, за исклю-
исключением точки г = 0, поскольку z'(z) = 2zфO для всех гфО.
С другой стороны, отображение е2 конформно во всей плоскости г,
так как всюду /' (z) = ez Ф0. Какая же польза от конформных
отображений? Ответ состоит в том, что, решая уравнение Лапласа
cpVJf + Ф^ = 0 внутри какой-то области плоскости переменных х и //,
мы можем рассматривать эту плоскость как плоскость комплексного
переменного г. Рассмотрим комплексное отображение w = f(z) пло-
плоскости г на плоскость w, в которой введены координаты (и, v).
При отображении w = f(z) уравнение Лапласа ф** + Ф^ = 0
преобразуется в некоторое новое уравнение с частными произ-
производными, зависящее от новых координат и и v. Замечательным
является следующее: если отображение w = f(z) является кон-
конформным в области, где задано уравнение ухх + Ууу = 0, то новое
уравнение также будет уравнением Лапласа в координатах и и v.
То есть уравнение <pXJf + <pyv = O перейдет снова в уравнение
Ц)ии + 4>vv = 0. Так мы приходим к идее найти такое конформное

Лекция 47. Решение УЧП методом конформных отображений 359
отображение, которое переводит область со сложной границей
в область с простой границей (напомним, что отображение до = 2*
переводит границу первого квадранта плоскости z в действи-
действительную ось плоскости w).
Приведем несколько примеров, в которых будет показано, как
можно решать уравнения с частными производными с помощью
конформных отображений.
Уравнение Лапласа в верхней полуплоскости.
Предположим, что нам необходимо решить следующую задачу
Дирихле в верхней полуплоскости (рис. 47.3):
(УЧП) ч>хх + %у = 0, — оо<х<оо, 0<у<оо,
D7.1) I 0, |х| > 1,
V ; (ГУ) Ф(х, 0) = | j х <1
Один из способов решить эту задачу— применить преобразо-
преобразование Фурье по переменной х, но гораздо лучше — конформно
отобразить верхнюю полуплоскость на плоскость (и, v). Читателю
не составит особого труда убедиться в том, что конформное
отображение
w =.
обладает следующими свойствами (см. рис. 47.4).
1. Оно отображает верхнюю полуплоскость плоскости г на
полосу —оо < м < оо, 0 < и < л, в плоскости w.
У
k
Фхх +
РИС. 47.3. Краевая задача в верхней полуплоскости.
2. Отрезок прямой у = 0, —1<х<1, в плоскости г (где
потенциал равен 1) переходит в прямую у = я, —оо < и < оо,
в плоскости w.
3. Два луча х>1, у = 0, и х< — 1, у = 0, в плоскости г
переходят соответственно в положительную и отрицательную

360 Часть 5. Численные и приближенные методы
яолуоси в плоскости w. Читатель должен быть уверен, что он
в состоянии проверить эти утверждения.
f
у
'фРзвх+ЧиигЯ
У/
+ <Pvt>
v-n
РИС. 47.4. Преобразование трудной задачи в легкую с помощью конформного
отображения.
Важность этих свойств в том, что благодаря им исходная
задача D7.1) преобразуется в очень простую задачу
(УЧП) <P
D7.2) ( Ф(и, 0)^0,
(ГУ) \ Ф(« я)=1
решение которой очевидно: ф(«, v) = — v.
Теперь, чтобы найти решение исходной задачи, мы должны
выразить v через х и у и подставить это выражение в ц (иу v)=-v'n.
Проделав это, получаем
-,„[
г+1
и, следовательно,
(согласно общему правилу arg(x+ iy) = axdg (у/х)). Таким обра-
образом, решение задачи D7.1) имеет вид

Лекция 47. Решение УЧП методом конформных отображений 361
Чтобы получить наглядное представление о том, как устроена
эта функция, мы советуем читателю построить ее графики вдоль
нескольких линий у = с.
Во втором примере мы преобразуем область между двумя
неконцентрическими окружностями в кольцо.
Задача Дирихле в области
между двумя неконцентрическими окружностями
Предположим, что нужно
окружностями
найти потенциал между двумя
если потенциал на внутренней окружности равен единице, а на
внешней — двум (рис. 47.5). Другими словами, нам необходимо
решить задачу
(УЧП) Ф** + Ф^-0, внутри D,
1 '
на
на (*-
Задача сводится к нахождению конформного отображения, кото-
которое переводит эту область в какую-то более простую, где наша
задача легко решается. В данном случае очевидно, что эта
простая область должна быть кольцом. Подходящее отображение
РИС. 47.5, Конформное отображение на кольцо.
уже не так очевидно, но существуют справочники, в которых
можно найти отображение с заданными свойствами. Один из
наиболее обширных—«Справочник по конформным отображениям»

362 Часть 5. Численные и приближенные методы
Г. Коберах), в котором содержатся сотни конформных отображе-
отображений между различными областями. Если читатель потратит не-
некоторое время и поближе познакомится с таблицами конформных
отображений, то он найдет подходящее конформное отображение
для задачи D7.3). В нашем частном случае это будет отображе-
отображением вида
D7.4) и, = 2
где s = —0,146 и / = —6,85. В эквивалентной действительной
форме это будет
D75)
где
Под действием этого конформного отображения область между
неконцентрическими окружностями перейдет в кольцо, границы
которого задаются уравнениями u2 + v2=\ и u2j\-v2 = 6,86 (чита-
(читатель может проверить это самостоятельно).
Если применить это конформное отображение к задаче D7.3),
то получим задачу Дирихле внутри кольца
(УЧП) фйД + if.vv = 0, в, кольце,
D7.6) т | ф(«, р) = 1, на м2 + 1»2=1,
(ГЬ} \ ф(м, и) = 2, на и2 + и* = 6,68.
Решить эту задачу совсем легко, поскольку решение должно
быть радиально-симметричным, а радиально-симметричное решение
уравнения Лапласа, как известно, имеет вид
Ф (г) = a In г -г Ь% г == и2 -\- v2.
Подставляя это уравнение в граничное условие D7.6), получаем
Ф(м, v)=-Q,57\n(u2-]-v2)-i- 1.
Если теперь вернуться к исходным координатам х и у в соот-
соответствии с отображением D7.5), то получим решение задачиD7.3)
Ф (х, у) = 0,57 In (и2 + v2) + 1,
где w и v определяются из уравнений D7.5).
См. также Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отобра-
отображений,—М., ИЛ, 1963.— Прим ред.

Лекция 47. Решение УЧП методом конформных отображений 363
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Для построения конформного отображения области достаточно
общего вида в плоскости г на верхнюю плоскость w приме-
применяют отображение Кристоффеля—Шварца (когда область
отображена на верхнюю полуплоскость, то эту полуплоскость
можно отобразить на другую область). С интегралом Кристоф-
Кристоффеля— Шварца можно познакомиться по книге [28] из реко-
рекомендуемой литературы.
2. Метод конформных отображений имеет ограниченные возмож-
возможности, поскольку он применим только к двумерному уравнению
Лапласа (а с небольшими изменениями — и к уравнению
Пуассона).
ЗАДАЧИ
1. Определите область конформности отображения
Убедитесь в том, что это отображение переводит верхнюю
полуплоскость переменного г в полосу —оо<и<оо, 0<1><я,
плоскости w.
2. Что является образом первого квадранта при отображении
w = г3? Для решения задачи полезно перейти к показательной
форме комплексного числа
z = reiQ.
3. С помощью конформного отображения w = z2 решите задачу
Дирихле в первом квадранте
(УЧП) Ф^-гФ^ = 0, 0<х<оо, 0<г/<со,
( 1, 0<*< 1,
(ГУ) , , ,
Обратите внимание на рисунок.

364 Часть 5. Численные и приближенные методы
4. Решите смешанную задачу Дирихле—Неймана внутри угла
с раствором 45°
(УЧП) <Р„ + т Фг + ^гФее-О, 0 < г < 1, 0 < 6 < я/4,
( Ф(г, 0) = 0,
(ГУ) j Ф(г, я/4)=1,
УКАЗАНИЕ. Комплексная функция ш = In г = In | г | -j-1 arg (г)
отображает луч 0 — сг в плоскости г в прямую и = с1, а окруж-
окружность г = с2 — в прямую и = \пс2 в плоскости ш (см. рисунки).
ш = lg(z)

Приложение I
ТАБЛИЦЫ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Таблица Ai Показательное преобразование Фурье.
Таблица Bj Синус-преобразование Фурье.
Таблица О Косинус-преобразование Фурье.
Таблица Di Конечное синус-преобразование Фурье.
Таблица Ei Конечное косинус-преобразование Фурье.
Таблица Fi Преобразование Лапласа.
Принятые обозначения
дельта-функция,
\ 0, х < а,
Н (х-—а) = \ . функция Хевисайда,
\ * > ^ ^ ^
\ 1, х<а,
Н (а—#) = \ п зеркально отраженная функция Хевисайда.
У \)f X ^> €if
ТАБЛИЦА А. Экспоненциальное преобразование Фурье
¦+•00 -Г 0
у 2л J У 2я J
1. Р (х) i(oF(a>)
2. /"W — w2F({0)
3. /« (л:), (л-я производная) (/со)" F (со)
4. f(ax),a>0 ITF (т
5. /(х—а) г
6 е-
7 «Г
«V 2
т/Т fl
У Л «2 + аJ

366 Приложение 1
I 0, | x I > a
2 sin асо
я со
9' \o. \x\>l V l?[nsm»)
10. 6(x—a)
П. /(*)**(*)
12. A+Л-2)-!
13. xe'aU\ a > 0
14. // (x -\-a) — H (x—a)
15. ^
16. 2ax
I
/I
-2 у
X я
1// л
Z7 (о) G (со)
, е — 1 оз 1
/г~2~ шсо
7Г (со2-|-а2J
sin (flw)
0)
. р-а|<о|
J cos (лх), I л-1 < я/2о
1?' 10, I a-I > n/2a
18* { 0, ' |a|>1 _
19. cos (аА') у -j- [6 (о) -{-а)-\-Ь (со — a)]
20. sin (a A') /'I/ -j- [o(G) + tf) — 6 vco—a)]
ТАБЛИЦА В. Синус-преобразование Фурье
2 "
f(x) =_ f f (со) sin (coa:) dco / (co) = — I / (a-) sin (coa:) dx
о о
0 < x < oo 0 < со < a-
1. /" @) — co2f (со) + — со/ (О)
2. /(ax) ~F f-^4
з. e-« - 2c°a

Приложение Т 367
4.
5,
6.
7.
е
о»
9.
10.
х-1'*
Н(а-х)
х-*
X
х2-}-а2
X
arctg —
-x*f(x)
[2/лсо]1/2
А [1-cos (соя)]
1
Y е-'° sin со
со
ТАБЛИЦА С. Косинус-преобразование Фурье
00
j(x)=[ F (со) cos (соа:) day
о
о о
О < д- < со 0<со<оо
1. 1"(х) -g>V(©)-™/'@)
2. Пах) -I
2а
е
—адг
я (а2 + со2)
4. б(л-) 2/я
к v —1/2
6. Я д-л-)
7 ^""ri:t*
8. Sto^ Я(а-«)
10. — xa/W ~^w(«)

368 Приложение 1
ТАБЛИЦА D. Конечное синус-преобразование Фурье
При конечном синус-преобразовании Фурье функция f{x),
определенная на промежутке 0<х^я преобразуется в последо-
последовательность Sn, п = 1, 2 ... по формуле
Когда речь идет о таблицах, удобно считать, что переменная х
принадлежит промежутку [0, п]. Любой другой числовой проме-
промежуток [а, Ь] можно преобразовать в [0, л], если воспользоваться
формулой
В конечном синус-преобразовании нет ничего таинственного: эле-
элементы последовательности Sn совпадают с коэффициентами при
sm(nx) в разложении функции f (х) в ряд Фурье по синусам т. е.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
0
f(x)
sin (mx), m
QO
/2=1
= 1,
00
2 ап sin (лх)
п — х
X
1
\ Я— X, Л
| (я—а) х,
\ (л-х)а,
;<?
:>с
X
, а:
5„ sin (лл;)
2, 3, ...
г
г
<а
>а
Sn sin (лл:)
—
{
2
2
п
2
яг
2
2
1, п=-
0, п#
(-1)" +
cos (л«)
sin (ла)
я
2 Г
I
, о<
, о<
/ (ж) sin (nx) dx
1, 2, ...
а < я
а < я

Приложение 1 369
9.
10.
ТАБЛИЦА Е. Конечное косинус-преобразование Фурье
При конечном косинус-преобразовании Фурье функция f(x),
определенная на промежутке О^лг^я, преобразуется в после-
последовательность CnJ п = 0, 1, 2, ..., по формуле
Когда речь идет о таблицах, удобно считать, что переменная х
принадлежит промежутку [0, я]. Любой другой числовой проме-
промежуток [а, Ь] можно преобразовать в [0, я], если воспользоваться
формулой
В конечном косинус-преобразовании нет ничего таинственного:
элементы последовательности Сп совпадают с коэффициентами
при со$(пх) в разложении функции f (х) в ряд Фурье по коси-
косинусам, т. е.
г ~2
Сп cos (пх) и«— л
о
-л л = 0, 1, 2, ...
1. Г(х) -п2С„—||/'@)-(-!)"/'(я)]
|
3. Цп-х)
4 1 I2' " = °
5. cos(mx), m = l, 2, ... | |

370 Приложение 1
я, п =
6. * i 2
М)"-1]. п=\,2,
8. — log B sin д;/2) } ' П °
9. Ie-
Л I /22 + fl2 J
( 4B« — 31), /2==(
10' ¦-'¦ *<*<" I^T^^ «='.2.
ТАБЛИЦА F. Преобразование Лапласа
1. 1 1/s, s >0
2. eat , s > a
s — a
3. s'wat iqb*' s>0
4. cosai ТГ^г- s>0'
6. sh o< s* — a2 ' s > ' °
6. ch a/ s*—a* ' s > 'a
7. ^slnM ft-^+f S
8. «-«coeW (s-V+fca' S
9. tn, /i-положительное целое -^i * > 0
11. //(/—a) ^, s >0
12. H(i—a)f(t—a) e-°*F (s)
13. efl</(/) ^(s-a)
14. f(t)*g(t) F(s)G(s)

Приложение f i37f
15. /(/l) @» (л-производная) snF (s) —s"-*/ @)—...— /<*-i> @)
16. /И) ^
17.
б
18. erf (//2a) i- e<*2*2 erfc (as)
19. erfc (а/2
20. J0(at)
21. б (/ — а)
22. -4=-e>
23. -4=~
Приложение 2
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛАПЛАСИАНА
В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
и = ихх-]-и1!/ В двумерной декартовой системе
координат
I _LW + —н В двумерной полярной системе
- — гг « г г "г Г2 оо координат
и = mxjc + wyy + w22 В трехмерной декартовой системе
координат
и В трехмерной цилиндрической си-
2,1 , ctgO , 1 о „ -
Аи = и 4—иг~г -» Uqq-\ %— Uq + -д . Q ^фф В трехмерной сфе-
рической системе координат

372 Приложение 2
Декартова система
координат
-оо<х< + оо
— оо <^ у <С ~\~ оо
— оо < г < -+* оо
Цилиндрическая
система координат
г>0, 0<6<2л,
— а ^ г ^а,
# s= Г COS 0,
0 = г sine,
Сферическая
система координат
г^О, 0<6<2л,
О^ф^я,
л: s=! r sin ф cos в,
y~r sin ф sin 6,
г s= r cos ©.
Уравнения эллиптического типа
) Уравнение Лапласа
= 0 Уравнение Гельмгольца
Ли = Л Уравнение Пуассона
Au + k(E—1/)м = 0 Уравнение Шредингера
utt~
с2 Аи—hu*
Уравнения гиперболического типа
Уравнение колебаний струны
Уравнение колебаний с трением
— ku Телеграфное уравнение
Уравнение колебаний под действием внеш-
внешней силы
Многомерное волновое уравнение
Волновое уравнение с трением
Щ
Щ
Уравнения параболического типа
f Уравнение одномерной диффузии
е—hux Уравнение конвективной диффузии
;—ku Уравнение теплопроводности с поглощением
: + /(*> 0 Уравнение теплопроводности с источником

Приложение 3
КРОССВОРД
По горизонтали
1. Характеристика векторного поля. 3. Наложение. 8. Протя-
Протяженность. 9. Оператор Лапласа. 12. Распространяющееся возму-
возмущение. 13. Длина вектора. 14. Операция над функциями. 15. Мно-
жество точек, на котором строится разностная схема. 16.
Задача . 18. Перенос вещества.
(
р щ
21. В асимптотическом разложении f (x) — g (х)-\-о (I) остаточный
член записан в форме 22. Движение жидкости
описывается уравнениями — Стокса. 24. Функ-
Функция f (х) — , если f(x) = f(—x). 25. Французский
математик, автор метода разделения переменных. 26. Тонкая
натянутая проволока. 27. Всякое нетривиальное решение за-

374 Приложение 3
дачи Штурма—Лиувиля называется функцией.
28. Французский математик, именем которого названа задача
с начальным условием. 29. Основной принцип геометрической
оптики называется принципом 30. Прежнее на-
название студенческой зачетной книжки. 32. Математик, предло-
предложивший прямой метод решения вариационных задач. 33. Функцию
источника называют еще функцией 34. Гармоника.
36. Область на плоскости D = \r: Rt^r ^R2\. 38. Английский
математик и механик. 40. Основная характеристика периодической
функции. 42. Волны в среде распространяются в соответствии
с принципом 43. Спектральный параметр. 44. Обоб-
Обобщение понятия функции. 45. Набор частот при разложении
функции.
По вертикали
2. Теплофизическая характеристика вещества. 3. Советский мате-
математик, академик, автор наиболее известного учебника по уравне-
уравнениям математической физики. 4. Задача с граничными условиями
третьего рода называется задачей . 5. Уравне-
Уравнение Щ = ихх + /— , если /=^0. 6. Функция
ь
К (х> s) в интегральном преобразовании F (s) = j К (ху s) f (s) ds
a
7. Величина, не изменяющаяся при преобразованиях. 10. Харак-
Характеристика векторного поля. 11. Французский математик. 12. Сту-
( 0, i < 0
пенчатая функция H(t) = ^ /\n называется функцией
. 39. Отображение комплексной плоскости,
сохраняющее углы между кривыми, называется .
20. Линия в фазовом пространстве, вдоль которой решение не
изменяется. 21. Отображение 23. Изменение функции. 29. Функ-
Функция от функции. 31. ЭВМ. 33. Наука о пространственных формах.
35. Французский математик, именем которого назван один из
принципов решения неоднородных дифференциальных уравнений.
37. Немецкий астроном, именем которого назван класс цилиндри-
цилиндрических функций. 39. Великий английский математик, физик, ме-
механик и астроном. 41. Интегральная характеристика векторного
поля.

ЛитератураL)
Основная
1. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1971.
3. Кошляков Н. С, Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных про-
производных математической физики.— М.: Высшая школа, 1970.
4. Самарский А. А. Введение в численные методы.— М.: Наука, 1982.
5. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т 2.— М.: Наука, 1967.
6. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.—М.:
Наука, 1972.
Дополнительная
7. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производ-
производными гиперболического типа.— М.: Наука, 1978.
8. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции.— М.:
Наука, 1974.
9. Арфкен Г. Математические методы в физике.— М.: Атомиздат, 1970.
10. Берс Л., Джон Ф., Шехтер Б. Уравнения с частными производными.— М.:
Мир, 1966.
11. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго
порядка.— М.: Наука, 1966.
12. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных.— М.;
Наука, 1981.
13. Бицадзе А. В , Калиниченко Д. К. Сборник задач по уравнениям мате-
математической физики.— М.: Наука, 1977.
14. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по мате-
математической физике.— М.: Наука, 1972.
15. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных.— М.: ИЛ, 1963
16. Векуа И Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.— М.— Л.;
Гостехиздат, 1948.
17. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции.— М.: Физматгиз, 1959.
18. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике — М.:
Наука, 1976.
19. Владимиров В. С. и др. Сборник задач по уравнениям математической
физики.— М.: Наука, 1974.
20 Годунов С. К. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1971.
21. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы.—М.: Наука, 1977*
22 Гордиш Л. Задача Коши для гиперболических уравнений.— М.:ИЛ,196Г„
23 Джеффрнс Г , Свирлс Б. Методы математической физики, т. 1—3,— М.: Мир,
1970
24 Зоммерфельд А. Уравнения в частных производных математической
физики.— М.: ИЛ, 1950.
25 Калиткин Н. Н. Численные методы.— ДА.: Наука, 1978.
26. Курант Р , Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1—2,— М.:
Гостехиздат, 1951.
27. Курант Р. Уравнения с частными производными.— М.: Мир, 1964.
28 Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного пере-
переменного.—М.: Наука, 1965.
29. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.— М.: Наука,
1973.
30 Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболических уравне-
уравнений.—М.-: Физматгиз, 1953.
Список составлен редактором перевода.

376 Литература
31. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и*
квазилинейные уравнения параболического типа.— М.: Наука, 1967.
32. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные урав-
уравнения эллиптического типа.— М.: Наука, 1964, 1973.
33. Лебедев Н. Н., Скальская М. П., Уфлянд Я. С. Сборник задач по мате-
математической физике.— М.: Гостехиздат, 1965.
34. Лионе Ж.— Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.— М.5
Мир, 1972.
35. Лионе Ж.— Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их при-
приложения.— М.: Мир, 1971.
36. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.—М.: Наука, 1980.
37. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.— М.: Мир, 1977*
38. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического
типа.—М.: ИЛ, 1957.
39. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производ-
производных.—М.: Наука, 1976.
40. Михлин С. Г. Курс математической физики.— М.: Наука, 1968.
41. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных.— М.; Выс-
Высшая школа, 1977.
42. Морс П. М., Фешбах X. Методы теоретической физики, т. 1—2.— М.:
ИЛ, 1958.
43. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики.—М.: Атомиздат.
1972.
44. Нагумо М. Лекции по современной теории уравнений в частных производ-
производных.—М.: Мир, 1967.
45. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.— М.;
Мир, 1977.
46. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными.— М.:
Физматгиз, 1961.
47. Положий Г. Н, Уравнения математической физики.— М.: Высшая школа,
1967.
48. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.— М.: Мир,
т.1 1—1977, т. 2—1978, т. 3, 4—1982.
49. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики.— М.: Мир,
1982.
Б0. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.— М.:
Мир, 1972.
61. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их
приложения к газовой динамике.— М.: Наука, 1978.
52. Самарский А. А. Теория разностных схем.— М.: Наука, 1977.
53. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических урав-
уравнений.—М.: Наука, 1976.
Б4. Смирнов В. И. Курс высшей математики.— М.: Наука, 1974.
55. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравне-
уравнения.— М.: Наука, 1966.
56. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго
порядка.— Минск: изд-во БГУ, 1974.
57. Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики.— М.: Наука,
1965.
58. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математиче-
математической физике.— Л.: изд-во ЛГУ, 1950; Новосибирск: изд-во СО АН СССР,
1962.
59. Соболев С. Л. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1966.
60. Траптер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике.—
М.: Гостехиздат, 1957.
61. Трев Ф. Лекции по теории уравнений в частных производных.—М.: Мир,
1965,

Литературе 377
62. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957.
63. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического
типа.—М.: Мир, 1968.
64. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными про-
производными.— М.: Мир, 1965.
65. Шварц Л. Математические методы для физических наук.— М.: Мир, 1965.
66. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс.— М.: Физмат-
гиз, 1960.
67. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс.— M.s
Наука, 1965.
68. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач мате-
математической физики.— Новосибирск: Наука, 1967.

Бернулли (Bernoulli) 329
Бессель (Bessel) 106
Бюффон (Buffon) 322
Никольсон (Nicolson) 296
Ньютон (Newton) 296
Гамильтон (Hamilton) 335, 336
Гаусс (Gauss) 286
Гельмгольц (Helmholtz) 223
Грин (Green) 10
Гук (Hook) 147
Гюйгенс (Huygen's) 177, 181
Пуассон (Poisson) 180, 235
Ритц (Ritz) 338, 340
Робен (Robin) 240
Родрнг (Rodrigues) 268
Даламбер (D'Alembert) 126—129
Дирихле (Dirichlet) 85, 240
Дюамель (Duhamel) 107, 108, 110—112
Снмпсон (Simpson) 320
Стоке (Stokes) 8, 180
Зейдель (Seidel) 286
Кейс (Keyes) 305, 306
Кирхгоф (Kichhoff) 124
Кранк (Crank) 296
Кристофель (Christoffel) 363
Лагранж (Lagrange) 329
Ламм (Lamm) 307
Лаплас (Laplace) 8, 50, 98—107
Лежачдр (Legendre) 239
Лейбниц (Leibnitz) 180
Либманн (Liebmann) 285
Лиувилль (Liouville) 51, 58, 66, 148
Максвелл (Maxwell) 8
Меллин (Mellin) 105, 106
Навье (Navier) 8
Нейман (Neumann) 240, 286
Ферма (Fermat) 335
Фурье (Fourier) 24, 25, 36, 41, 74,84, 91
Хаксли (Huxley) 304
Ханкель (Hankcl) 105, 106
Хевисайд (Heaviside) 82? 115, 116
Ходжкин (Hodgkim 301—306
III пар ц (Schvarz) 363
Шрёдингер (Schrodingcr) 8
Штурм (Sturm) 51, 58, (,6, М
Эйлер (Euler) 84, 215, 329
Юнг (Young) 124
Якоби (Jacobi) 286
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра матриц 215, 216
Аналитическое решение 301
Аппроксимация сплайнами 10
Безразмерное время 165
Вариационное исчисление 329
Вариационные методы 10
Внешняя производная 79
Волны бегущие 149
— плоские 177
— стоячие 222
— сферические 178
— ударные 210
— цилиндрические 177, 182
Гармоника 84, 154
— сферическая 265
Градиен 22
Граничные условия 17, 22, 23, 26
линейные 26
— — однородные 36, 46
неоднородные 26, 49, 50
Изгибающий момент 157
Интеграл Фурье 87
Интегральные преобразования 9, 73,76,
191
— уравнения 10
Классификация УЧП 308
Колебания крутильные 123
— продольные 123
Конвективная волна 116
Конвективный перенос 113
— член 113
Конвекция 113
Конечные разности 282
Координаты канонические 127, 132
—- полярные 233, 235—238
— сферические 233, 235, 236, 239, 266
— цилиндрические 233, 235, 236, 239
-- эллиптические 239
Континуальное множество 96
Косинус-преобразование 73
— конечное 185, 186
— обратное 75, 185, 186
Коэффициент диффузии 119
— теплообмена 23
Краевая задача 240, 241
эллиптическая 241
Дельта-функция 276
Диагонализация матрицы 216
Диффузионная задача 113, 163
Диффузионный поток 114
— член 113
Диффузия 113
Задача Гука 147
— Дирихле 242, 243, 246
— Дирихле — Неймана 364
— Кирхгофа 124
— Коти 69, 95, 116, 126, 207
— минимизации 10
— Неймана 243—245
— Ньютона 52, 121
— о брахистохроне 329
— Штурма — Лиувилля 51, 58, 59, 66,
67, 148
Закон сохранения энергии 31, 114, 205
— теплообмена Ньютона 8, 246
— Фурье 24, 25
Звуковые волны 124
Лапласиан 233
Линейность 11
Метод вычетов 319
— Либманна 285, 286
— Монте-Карло 316
— Ритца 338, 340
— Симпсона 320
— спуска 182
— Фурье 36
Мода колебаний 154
Модуль Юнга 124, 145
Начальное смещение 231
Начальные условия 18
Оператор Лапласа 233
Ортогональность 41, 84, 90

386 Предметный указатель
Отклик 96
Отображение конформное 253, 356
— Кристоффеля — Шварца 363
Параметрическая идентификация 304
Переменная зависимая 8
— независимая 8
Плотность материала 30
Полином Лежандра 265
Порядок уравнения 10
Потенциал ньютоновский 266
— с круговой симметрией 240
— сферически-симметричный 240
— цилиндрически-симметричный 270
Правило Лейбница 180
Преобразование зависимой переменной
9
— интегральное 9, 73, 76
— координат 9
— Лапласа 50, 75, 98—107, 115, 116,
126
— — обратное 75
— Меллина 105, 106
— Ханкеля 76, 105, 106
— — обратное 76
— Фурье 74, 75, 83, 85, 89, 91
— — конечное 185
прямое 88, 116, 126
обратное 88, 74, 75
Принцип Гамильтона 335, 336
— Гюйгенса 177, 181
— Дюамеля 107, 108, ПО, 112
— суперпозиции 191, 196, 250
— Ферма 335
Разделение переменных 9, 191
Разложение по собственным функциям
10, 66
Свертка 90, 93
— конечная 102
Сила гравитационная 122
— трения 122
Синус-преобразование 75
— конечное 185, 186, 193
— обратное 75, 185, 186
Система телеграфные \равнений 124
— Ходжкина — Хаксли 304
Случайные числа 319
Смешанная задача 19
Собственные всктсры 67, 215, 217
— значения 54, 215, 216
— функции 10, 65
— частоты 162
Спектр функции 76, 77
непрерывный 77
частотный 85
Сток 274
Стоячие волны 148, 149
Суперпозиция 97, 193, 223
Схема бегущего счета 289
явная 289
— Кранка — Николъсона 296, 299, 328
Температурный отклик 69
Теорема Дирихле 85
— Стокса 180
Теория возмущений 10
Тепловой импульс 96
Теплоемкость 30
Теплопроводность 25, 30, 33
Точечный источник 274
Удельная теплоемкость 34
Уравнение Бесселя 106, 224, 239
~- волновое 8, 142, 169, 234
нелинейное 304
— гармонических колебаний 223
— Гельмгольца 223, 224, 235
— движения Ньютона 8
— диффузии 18, 197
конвективной 19, 63, 113, 119*
120
— Ламма 307
— Лапласа 8, 170, 235, 258, 285, 363
— Лежандра 239, 268
— линейное 11
гиперболическое 1\, 12, 121, 169
параболическое 11, 12, 14, 169
эллиптическое 11, 12, 169
— Максвелла 8
— Навье — Стокса 8 -
— нелинейное 11
— неоднородное 11, 19, 65
— однородное 11
- Пуассона 235, 276
— разностное 285
— реакции с нелинейной диффузией
304
— с переменными коэффициентами 60,
170
— с частными производными 7
— сохранения количества тепла 16
— телеграфное 8, 123, 125, 215

Предметный указатель 381.
— теплопроводности 8, 16, 30, 169,
192, 234, 241
— характеристик 202, 208
— Шрёдингера 8
— Эйлера 215, 256, 268
— Эйлера — Лагранжа 329, 330, 332
Условие Дирихле 240
— Неймана 240
— Робена 240
— сингулярное дифференциальное 268
— Грина 10, 96, 196, 273, 276
— Даламбера 126—132
— дополнительная к интегралу веро-
вероятности 80
— источника 96, 276
— непериодическая 77
— периодическая 77
— Хевисайда 82, 115, 116, 365
Фурье-образ 88, 89, 91, 93
Формула Даламбера 180, 183
— Лейбница 184
— обращения 99, 100
— Пуассона 180
интегральная 248, 249, 251
— Родрига 268
— Эйлера 84, 85
Фундаментальное решение 37
Функционал 329
Функция Бесселя 224, 225
Численные методы 9
Число переменных 11
Эквипотенциальные линии 277
Ядро преобразования 73
— Пуассона 252

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие , , 6
Часть 1. Введение . . # 7
Лекция 1. Введение в теорию уравнений с частными производными 7
Часть 2. Диффузионные задачи , » е 14
Лекция 2, Задачи диффузионного типа (параболические уравнения) 14
Лекция 3. Граничные условия в задачах диффузионного типа . , , 21
Лекция 4. Вывод уравнения теплопроводности 30
Лекция 5. Разделение переменных 35
Лекция 6. Преобразование неоднородных граничных условий в одно-
однородные 45
Лекция 7. Решение более ело лен ых задач методом разделения перемен-
переменных 51
Лекция 8. Преобразование сложных уравнений к простому виду ... 60
Лекция 9. Решение неоднородных УЧП методом разложения по
собственным функциям 65
Лекция 10. Интегральные преобразования (синус- и коеппус-преобразо-
вания) 73
Лекция 11. Ряды и преобразование Фурье . . 83
Лекция 12. Преобразование Фурье н его применение к решению
уравнений с частными производными 90
Лекция 13. Преобразование Лапласа 98
Лекция 14. Принцип Дюамсля 107
Лекция 15. Конвективный член их в диффузионной задаче 113
Часть 3. Гиперболические задачи 121
Лекция 16. Одномерное волновое уравнение (гиперболические уравне-
уравнения) ". . 121
Лекция 17. Формула Даламбера 126
Лекция 18. Формула Даламбера (продолжение) 133
Лекция 19. Волновое уравнение и граничные условия . . . . 142
Лекция 20. Колебания ограниченной струны (стоячие волны; . . 148
Лекция 21. Колебания балки (уравнение с частными производными
четвертого порядка) . . . . , 156
Лекция 22. Переход к безразмерным переменным 162
Лекция 23. Классификация уравнений с частными производными
(каноническая форма гиперболического уравнения) . . . 168
Лекция 24. Волновое уравнение в свободном пространстве (двумерные
и 1рехмерные задачи) 177
Лекция 25. Конечные преобразования Фурье (синус- и косинус-пре-
косинус-преобразования) 185
Лекция 26. Принцип суперпозиции—основа теории линейных систем 191
Лекция 27. Уравнения первого порядка (метод характеристик) . . . 197
Лекция 28. Нелинейные уравнения первого порядка (законы сохране-
сохранения) 205
Лекция 29. Системы уравнений с частными производными 214
Лекция 30, Колебания мембраны (волновое урат'м^ние п полярных
координатах) 222

383
Часть 4. Эллиптические задачи ¦ . , • 233
Лекция 31. Лапласиан (интуитивное описание) 233
Лекция 32. Общие свойства краевых задач 240
Лекция 33. Внутренняя задача Дирихле 248
Лекция 34. Задача Дирихле в кольце 255
Лекция 35. Уравнение Лапласа в сферических координатах (сферичес-
(сферические гармоники) 264
Лекция 36. Неоднородная задача Дирихле (функция Грина) .... 273
Часть 5. Численные и приближенные методы 282
Лекция 37. Численные решения (эллиптические задачи) 282
Лекция 38. Явные разностные схемы 289
Лекция 39. Неявные разностные схемы (схема К ранка — Нико-
льсона) 296
Лекция 40. Сравнение аналитических решений с численными .... 301
Лекция 41. Классификация уравнений (параболические и эллипти-
эллиптические уравнения) 308
Лекция 42. Метод Монте-Карло (введение) 316
Лекция 43. Решение уравнений с частными производными методом
Монте-Карло 322
Лекция 44. Вариационное исчисление (уравнения Эйлера — Лаг-
ранжа) 329
Лекция 45. Вариационные методы решения уравнений с частными
производными , 338
Лекция 46. Решение уравнений с частными производными методами
теории возмущений 346
Лекция 47. Решение уравнений с частными производными методом
конформных отображений 355
Приложение 1 365
Приложение 2 . . . 371
Приложение 3 373
Литература 375
Именной указатель 378
Предметный указатель 379

Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги» ее оформлении,
качестве перевода и другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2, изда-
издательство «Мир».
Стенли Фарлоу
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДИВШИ
ДЛЯ НАУЧНЫХ РАБОТНИКОВ И ИНЖЕНЕРОВ
Научный редактор М. В. Хатунцева
Мл научный редактор Э. И. Качулина
Художник В. Е. Карпов
Художественный редактор В И Шаповалов
Технический редактор Т. А. Максимова
Корректор Т. И. Стифеева
ИБ jVs 52S9
Сдано в набор 27.12.84. Подписано к печати 01.07 85. Формат 60x90Vie- Бу-
Бумага кн. журнальная. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 12
бум. л. Усл. печ. л. 24. Усл. кр.-отт. 24. Уч.-изд. л. 19,69. Изд. № 1/3807.
Тираж 15 000 экз Заказ № 241. Цена 1 р 70 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, ГСП. Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2
Отпечатано в Ленинградской типографии № 6 ордена Трудовою Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им Евг Соко-
Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли, 193144, г Ленинград, ул
Моисеенко, 10, с матриц ордена Октябрьской Реголюции и ордена Трудо-
Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» им
А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торювли, 113054, Москва,
Валовая, 2 8