И. С. РЕБРОВ

РАБОТА СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
СТАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ,
УСИЛЕННЫХ ПОД НАГРУЗКОЙ
И. С. РЕБРОВ

РАБОТА СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
СТАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ,
УСИЛЕННЫХ ПОД НАГРУЗКОЙ

Сканировал и обрабатывал

Лукин А.О.

ЛЕНИНГРАД

СТРОЙИЗДАТ. ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ. 1976
УДК 624.071.3.014.2

Печатается по решению секции редакционного совета Ленинградского
отделения Стройиздата от 18 ноября 1971 г.

Научный редактор — проф. д-р техн, наук М. Н. Лащенко

Ребров И. С. Работа сжатых элементов стальных конструкций, усилен-
ных под нагрузкой. Л., Стройиздат, Ленингр. отд-ние, 1976, 176 с.

В книге излагаются особенности работы сжатых элементов стальных
конструкций, усиленных под нагрузкой. Приводятся результаты теоретиче-
ских и экспериментальных исследований прочности н устойчивости усилен-
ных элементов, предлагаются практические методы их расчета.

Книга предназначена для инженеров-проектировщиков н научных ра-
ботников, занимающихся вопросами усиления конструкций.

Табл. 15, рис. 53, список лит.: 29 назв.

30205—184

047 (01)—76

114—76

© Стройиздат,
Ленинградское отделение, 1976

Игорь Сергеевич Ребров

РАБОТА СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СТАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ,
УСИЛЕННЫХ ПОД НАГРУЗКОЙ

Редактор Н. Г. Семина

Оформление обложки художника С. И. Широкова
Технический редактор Г. С. Слауцитайс

Корректор И. Г. Баранова

Сдано в набор 19/XI 1975 г. Подписано к печати 27/11 1976 г. М-23911. Формат бумаги 60X90V16.
Бумага типографская № 6. Усл. печ. л. 11. Уч.-изд. л. 11,05. Изд. № 1597Л. Тираж 4000 экз. За-
каз № 2339. Цена 1 р. 10 к.

Стройиздат. Ленинградское отделение. 190011, Ленинград, пл. Островского, 6.

Ленинградская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Ми-
нистров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 196126, Ленинград, Ф-126,
Социалистическая ул., 14.
ПРЕДИСЛОВИЕ

Задачи усиления стальных конструкций достаточно часто встречаются
в инженерной практике. Широко проводимая реконструкция и модерниза-
ция оборудования промышленных предприятий обусловливают возрастание
эксплуатационных нагрузок на сооружения и необходимость их усиления.
Ошибки в проектировании, изготовлении и монтаже конструкций или де-
фекты, возникшие в процессе их эксплуатации, также могут служить при-
чиной усиления конструкций.

Подробная классификация методов усиления стальных конструкций
приведена в монографиях М. Н. Лащенко [13, 14]. В основном эти методы
предусматривают изменение конструктивной схемы сооружения в целом или
отдельных его частей или непосредственное усиление отдельных элементов
путем увеличения их сечения. Последний метод является одним из самых рас-
пространенных и применяется как самостоятельно, так и в сочетании с дру-
гими методами.

Усиление элементов конструкций может быть выполнено двояким спо-
собом: после их предварительной разгрузки или под нагрузкой в. напряжен-
ном состоянии. Второй способ является экономически более выгодным и тех-
нически целесообразным, так как предварительная разгрузка вызывает не-
обходимость частичного или полного приостановления производственных
процессов, дополнительных затрат на разгрузку, удлинение сроков произ-
водства работ и т. д. Усиление под нагрузкой тем более эффективно, что
обычно усиления требует не вся конструкция в целом, а лишь отдельные,
наиболее напряженные (или дефектные) ее элементы.

Разработке приемов и методов усиления посвящено сравнительно много
работ. Среди них можно отметить исследования Е. О. Патона, В. А. Гастева,
Н. Б. Лялина, Т. М. Богданова, Е. О. Осипова, Г. К. Евграфова, выпол-
ненные применительно к мостам; работы М. Н. Лащенко, Г. А. Шапиро,
М. Б. Солодаря, Я. А. Ильяшевского, посвященные усилению металличе-
ских конструкций промышленных зданий; работы А. М. Петрова, И. Л. Хаю-
тина, О. Н. Суслова, рассматривающие вопросы усиления соединений, и т. д.
Значительно меньше разрабатывались методы оценки несущей способности
и деформативности элементов, усиленных под нагрузкой. Между тем, эти
вопросы представляют определенные трудности при проектировании уси-
ления.

Одно из первых предложений по расчету усиленных под нагрузкой эле-
ментов было сделано в 1939 г. Б. Г. Шварцбургом и Я. Л. Куценком [26].
Предельную нагрузку по прочности для растянутых, сжатых и изгибаемых
элементов предлагалось определять исходя из появления текучести в наи-
более напряженном волокне сечения. Этой предпосылкой отводилось в запас
прочности неисчерпанное сопротивление стальных волокон, способных
воспринимать нагрузку вплоть до появления в иих текучести. Вопросы
устойчивости сжатых стержней не рассматривались; проверку устойчивости
предлагалось производить обычным методом, ие учитывая начальных на-
пряжений.
Методика расчета по предельным состояниям позволила учитывать ра-
боту материала не только в упругой, но и в упругопластической стадии.
Используя эту методику, Е. И. Белеия [2], И. Я. Донник [9], М. Я. Ше-
пельский [28] разработали методы расчета изгибаемых элементов, усилен-
ных под нагрузкой. Они теоретически и экспериментально доказали, что не-
сущая способность балок по прочности не зависит от величины начальных
нагрузок и определяется развитием полного шарнира пластичности в наибо-
лее напряженном сечении элемента. В то же время было отмечено суще-
ственное влияние усиления под нагрузкой иа развитие прогибов. Для уси-
ленных элементов характерно более интенсивное развитие прогибов в первой
фазе их работы (до усиления) и более раннее вступление в упругопластиче-
скую стадию работы. По мере развития пластических деформаций рост про-
гибов сдерживается упруго работающими элементами усиления, и в предель-
ном состоянии, при полном исчерпании несущей способности, кривые про-
гибов для балок с различными величинами начальных нагрузок совпадают.

Вопросы прочности и устойчивости сжатых элементов, усиленных под
нагрузкой, впервые рассматривались в работах В. М. Колесникова. Основ-
ным выводом работы [12] было отрицание влияния начальных нагрузок
иа несущую способность сжатых стержней. Теоретическое рассмотрение во-
проса устойчивости проводилось только в пределах упругости. Сделав спра-
ведливый вывод о том, что в упругой стадии начальные нагрузки не сказы-
ваются на устойчивости, В. М. Колесников распространял его и на область
неупругой работы стержня. Такой подход заслуживает критического отно-
шения. Как было отмечено выше, усиление под нагрузкой обусловливает
повышенную деформативность и более раннее вступление усиленных элемен-
тов в упругопластическую стадию работы. Для центрально сжатого стержня
это приводит к снижению величины приведенного Модуля упругости, для
внецентренно сжатого — к уменьшению размеров упругого ядра сечения.
И в том и в другом случаях начальные нагрузки должны, следовательно,
существенно сказываться иа устойчивости. Поскольку практически все уси-
ленные стержни в принятом в строительстве диапазоне гибкостей теряют
устойчивость в упругопластической стадии, использование предложений
В. М. Колесникова приводило к неверной оценке критических нагрузок и,
как правило, к значительному их завышению.

Исследование работы сжатых элементов, усиленных под нагрузкой,
было продолжено в работах автора, опубликованных в 1966—1972 гг. Теоре-
тическое решение задач устойчивости центрально и внецентренно сжатых
стержней в упругопластической стадии выявило значительное влияние на-
чального напряженно-деформированного состояния на устойчивость усилен-
ных элементов. В работе [18] был предложен приближенный метод расчета
устойчивости. Недостатком метода было отсутствие учета сварочных дефор-
маций элементов при их усилении с помощью сварки.

Предложение об уточнении указанного метода и его распростраиеиии
иа случай усиления с помощью сварки было сделано в работах А. Г. Иммер-
мана и Б. И. Десятова [10, 8].

Р. Кизиигером [11] рассматривались вопросы усиления под нагрузкой
растянутых элементов; выводы этой работы подтвердили положение о неза-
висимости предельной по прочности нагрузки для центрально растянутого
стержня от величины начальных напряжений.

Отсутствие единых нормативных материалов По проектированию и рас-
чету усиления стальных конструкций и настоятельная потребность в них
привели к появлению ведомственных инструкций, затрагивающих отдельные
вопросы усиления. Эти инструкции содержат различные рекомендации по ме-
тодам расчета усиливаемых под нагрузкой элементов, базирующиеся на тех
или иных из перечисленных исследований. Особенно противоречиво изла-
гаются вопросы расчета устойчивости усиленных элементов. Так, рекомен-
дации ЦНИИпроектсталькоиструкции [20] при расчете устойчивости сжа-
тых стержней предлагают не учитывать влияние начальных нагрузок,
рекомендации ВНИИмонтажспецстроя [19] — проверять устойчивость уси-
ленных стержней методом, основанным на работах [8, 10], и т. д.
Обобщая результаты упомянутых исследований, можно отметить, что
вопросы прочности изгибаемых и растянутых элементов, усиленных под на-
грузкой, рассмотрены достаточно полно. Решение этих вопросов облегчается
тем, что деформации при растяжении и изгибе не приводят к возрастанию
усилий в сечениях, и потому повышенная деформативиость усиленных эле-
ментов не сказывается иа их предельной несущей способности по прочности.

Иначе обстоит дело со сжатыми элементами. В силу нелинейности их
работы деформации элементов оказывают существенное влияние иа величину
напряжений в сечениях, и расчет по недеформированной схеме недопустим.
Поэтому вопросы прочности и устойчивости сжатых элементов, усиленных
под нагрузкой, являются наиболее сложными и дискуссионными. Исследо-
ванию этих вопросов и посвящена настоящая книга.

В зависимости от характера работы до усиления сжатые элементы можно
разделить иа две группы: центрально сжатые и виецентренно сжатые (сжато-
изогИутые). К первой группе могут быть отнесены, в частности, элементы
стержневых конструкций при узловой передаче на иих нагрузки. Поскольку
для таких элементов точка приложения и линия действия продольной силы
фиксированы, характер их работы после усиления зависит от схемы уси-
ления. После симметричного усиления относительно обеих главных осей се-
чения элемент работает в условиях центрального сжатия, при несимметрич-
ном усилении хотя бы относительно одной из осей — в условиях внецентреи-
ного сжатия. Ко второй группе можно отнести, например, колонны про-
мышленных зданий, элементы стержневых конструкций, имеющие неточности
центрации, начальные искривления, подвергающиеся действию поперечных
нагрузок, и т. д. В общем случае такие элементы после усиления работают
в условиях внецентреииого сжатия.

» Таким образом, по характеру работы после усиления все элементы могут
быть разделены на два типа: работающие в условиях центрального сжатия
(центрально сжатые симметрично усиленные стержни) и виецентренного сжа-
тия (прочие стержни). Разделение иа указанные типы диктуется различием
методов, используемых для решения задач устойчивости равновесия цен-
трально сжатых стержней (потеря устойчивости первого рода) и внецентреино
сжатых стержней (потеря устойчивости второго рода). Случай центрального
сжатия до усиления элемента второго типа может рассматриваться как част-
ный случай внецеитренного сжатия.

В соответствии с изложенным в книге рассмотрены вопросы работы
центрально сжатых стержней, симметрично усиленных под нагрузкой, и
внецентреино сжатых стержней, симметрично и несимметрично усиленных
под нагрузкой. Предложены приближенные методы расчета прочности и
устойчивости усиленных стержней, рассмотрен метод учета деформаций эле-
ментов, возникающих при усилении с помощью сварки. Сравнение получен-
ных решений с результатами экспериментальных исследований позволило
оценить точность расчетных методов и дать практические рекомендации по
проектированию и расчету усиления сжатых элементов.
ГЛАВА 1

РАБОТА ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТОГО СТЕРЖНЯ,
СИММЕТРИЧНО УСИЛЕННОГО ПОД НАГРУЗКОЙ

§ 1.1. Развитие пластических деформаций в усиленном стержне

Рассмотрим призматический стержень произвольного попереч-
ного сечения, нагруженный центрально приложенной продольной
силой. Пусть стержень усилен симметрично относительно главных
осей сечения (рис. 1.1, а) при заданной величине продольной силы
Р = Рн.

Все характеристики, относящиеся к основному (усиливаемому)
стержню, будем обозначать буквами с индексом «ос» (аос, РОс,
А,ос и т. д.), относящиеся к элементам усиления — буквами с ин-
дексом «ус» (аус, Рус и т. д.); относящиеся к усиленному стержню—
буквами без указанных индексов (ст, F, X и т. д.).

Соотношение площадей поперечного сечения стержня до и по-
сле усиления будем называть коэффициентом усиления |3:

рос	рос

рос _j_ рус р

(Г.1)

Теоретически значения |3 могут лежать в пределах 0<р sgl. Од-
нако практически площадь стержня не может возрастать беско-
нечно.

Характеристики начального напряженно-деформированного со-
стояния стержня в момент усиления будем обозначать буквами
с индексом «н» (о°с, Рп и т. д.). Начальной нагрузке Рн отвечает
среднее по сечению основного стержня напряжение

СТОС = -Г»-

Н рос 1

(1-2)

область задания которого определим неравенством

О === а£с от.

Положительными будем считать деформации и напряжения
сжатия. Очевидно, величина ст”,с не может превосходить эйлерово
напряжение для основного стержня, т. е.

аос стос
и э

л2£°с

(ХОС)2

(1.3)
Отсюда предельная начальная гибкость основного стержня огра-
ничена значением

д2£ОС

(1-4)

При рассмотрении усиленного под нагрузкой стержня естест-
венно проводить сравнение его работы с работой обычного стержня,
имеющего одинаковые с усиленным гибкость, форму, площадь по-
перечного сечения и эксцентриситет продольной силы. Обычный
стержень может рассматриваться (при ОнС = 0 или 0 = 1) как част-
ный случай усиленного под нагрузкой. Все формулы и уравнения,
справедливые для обычного стержня, будем называть обычными.

Рис. 1.1. Обобщенная схема симметричного усиления стержня
и эпюры напряжений и деформаций в сечениях

Кроме того, введем понятие «эквивалентного стержня». Если
после усиления стержень разгрузить, то в общем случае ему будут
присущи остаточные деформации и напряжения. В практике уси-
ления процесс разгрузки едва ли имеет место, так как иначе не
было бы необходимости производить усиление под нагрузкой. Од-
нако рассмотрение этого процесса представляет теоретический ин-
терес. Разгрузку будем предполагать совершившейся сразу после
усиления стержня. Поскольку кривые нагрузка—деформация при
разгрузке и последующем нагружении стержня (по тому же закону)
идентичны, разгрузка не сказывается на работе усиленного стержня
в диапазоне нагрузок Р Таким образом, рассмотрение работы
усиленного под нагрузкой стержня может быть сведено к рассмот-
рению работы стержня, имеющего в ненагруженном состоянии на-
пряжения и деформации, равные остаточным. Такой стержень и
будем именовать эквивалентным.

Начальное напряженно-деформированное состояние стержня
в момент усиления характеризуется следующими значениями на-
пряжений и относительных деформаций (рис. 1.1, б, в): аос = ОнС;
еос = е„с; оус = 0; еус = 0. Будем считать, что стержень закреп-
лен от потери устойчивости; в этом случае нижеследующее рассмот-
рение справедливо равным образом для растянутых и сжатых
стержней. Пусть после усиления нагрузка на стержень получила
приращение ДР, причем точка приложения, линия действия и на-
правление продольной силы остались неизменными. Этому прираще-
нию нагрузки отвечает приращение относительных деформаций
основного стержня и элементов усиления. Принимая гипотезу пло-
ских сечений, получим из условия совместности деформаций Деос =
= Деус = Де.

Полные относительные деформации основного стержня и эле-
ментов усиления составят (рис. 1.1, д)

еос = 8°с -|- Ае = 8°с + 8ус; 8ус = Дб = 80С—8°с.	(1.5)

Зная величины относительных удлинений, можно определить
соответствующие им величины напряжений

ООС еос£ос . ОУС _ /еос__еос\ £ус
сек’	\	н ) сек’

где Есек — секущие модули с диаграмм работы материалов.

Эпюра напряжений в сечениях усиленного стержня после до-
грузки показана на рис. 1.1, г. Из условия равновесия внутренних
и внешних сил имеем

Р = j odF= <jocFoc -ф a^F^c

F

или, разделив обе части равенства на F,

Оср = ООС₽ + <уУС(1-₽)-	(1-6)

Подставляя в (1.6) выражение напряжений через деформации, п$-
лучим

оср = 80СЕс°еСк₽ + 8УС£сУеСк (1 ~ ₽)•	(1-7)

При заданных диаграммах работы материалов уравнения (1.5) и
(1.7) позволяют проследить процесс развития пластических дефор-
маций в усиленном стержне и построить диаграммы его работы.

Стержень из идеальных упругопластических материалов. Рас-
смотрим стержень, диаграмма работы материалов которого описы-
вается идеализированной диаграммой Прандтля. В этом случае
при о < от £сек = Е, а при о = от £Сек = -^- • Значение модуля
упругости для всех марок стали, применяемых в строительстве,
практически можно принять постоянным: Е°с = Еус = Е.

Будем считать, что предел текучести материала усиления не
ниже предела текучести основного стержня: щ от .

Диаграмму работы усиленного стержня можно разбить на че-
тыре участка.

I участок — область работы стержня до усиления:

аос = еос£.
Поскольку диаграмма работы будет рассматриваться в коорди-
натах оср — еос (еус, еср), то и в области работы стержня до усиле-
ния перейдем к условным средним напряжениям, отнесенным к
суммарному сечению усиленного стержня:

оср = аоср = еосБр.

Границы области определяются неравенством

О аос о°с,
или

О < о < о°ср.

ср н 1

II участок — область упругой работы стержня после усиления:
рос _ рус _ р.
‘'сек — •‘-'сек —

% = 6°С£ -	(1 - Р) = °0С-°и (1 — Р)•

Границы области определяются неравенством

<J°C sS аос<<т;с,
или

о°сР < о <а°с—а°с—а°с(1— В).
Н 1 ср Т т н х

[II участок — область упругопластической работы:
оос

£сеск =	оср = а?ср-а°нс(1-р) + еосБ(1-р).

Границы области
т и	т*

ИЛИ

С-с (1 - Р)	(1 -- ₽)•

IV участок — область пластической работы:
оос	оус

рос	Т . рус т

•Ссек — ““ , -Ссек — —•
80С	8ус

В этой области приращению деформаций отвечает постоянное зна-
чение оср:

% = °?С₽ + °Г U-P)-

На рис. 1.2, а приведены диаграммы работы усиленных стерж-
ней в координатах оср—еос, построенные при р = 0,5 для раз-
личных значений начального напряжения а„с. Принято,* что,
о?с = ОтС = 24 кгс/мм2; Е = 2,1 • 104 кгс/мм2. Используя (1.5),
эти диаграммы можно построить и в координатах аср — еуо
(рис. 1.2, б). Прямые 0А условно характеризуют работу стержней

* В приложении приведены соотношения между единицами измерения,
принятыми в книге, и Международной системы СИ.
до усиления; средние напряжения для этих участков диаграммы
определяются приведенными к общему сечению F. Пунктирными
линиями АВ показаны кривые разгрузки стержней после их усиле-
ния; остаточные относительные деформации основного стержня и
элементов усиления характеризуются отрезками ОВ.

В результате разгрузки мы получим предварительно-напряжен-
ный стержень, имеющий в ненагруженном состоянии внутренне

уравновешенную эпюру
собственных остаточных
напряжений (рис. 1.1, е).
Ординаты этой эпюры
определим из условия
равновесия, приравни-
вая оср по (1.6) нулю:

«ср = о°с₽ +

+ оус(1— ₽) = 0. (1.8)

При упругой работе
стержня до усиления и
разгрузки получим из
(1.8) и (1.5)

ст“т = ст°с(1 —р);

^сТ=-стнС₽- (!-9)

Таким образом, уси-
ленный под нагрузкой
стержень по характеру
своей работы эквивален-
тен стержню, имеющему
внутренне уравновешен-
ную эпюру собственных
напряжений, определяе-
мую (1.9) и рис. 1.1, е.
Ординаты соответствую-
щей эпюры остаточных
относительных деформа-
ций (рис. 1.1, ж) соста-
вят

^ст =е°нс (1- ₽);

е£т= ~е°нс₽-

Рис. 1.2. Диаграммы рабо-
ты усиленных стержней из
идеального упругопласти-
ческого материала
В ненагруженном состоянии (при оср = 0) для такого эквивалент-
ного стержня естественно принять еср = 0, и, учитывая зависи-
мость между относительными деформациями

еос = е +е°с =е -|-е°с(1— В); еус = е -|-8У' =8 —е°сР, (1-10)
построить диаграммы его работы при различных значениях а^с (е°с)
в координатах оср — еср.

В результате получим диаграммы работ, приведенные к общему
началу координат, которые дают возможность наглядно просле-
дить влияние начальных напряжений (рис. 1.2, в). Кривые а£с =
= 0 на рис. 1.2 характеризуют работу стержня, усиленного без
нагрузки, т. е. обычного. Они идентичны диаграмме работы мате-
риала. Особенностью усиленных под нагрузкой стержней является
более раннее вступление их в упрутопластическую стадию работы.
Предел упругой работы усиленного стержня определяется значе-
нием оср = а°с—а°с (1 — |3), и чем выше начальное напряжение
а„с и меньше |3, тем раньше появляется текучесть в стержне.

Предельная нагрузка на стержень определяется той величиной
продольной силы, при достижении которой рост деформаций
стержня происходит без ее увеличения. Как видно из приведенных
диаграмм, величина предельной нагрузки не зависит от величины
начальных напряжений и отвечает одному и тому же значению сред-
него по сечению напряжения оср = от. Таким образом, начальная
нагрузка не сказывается на статической прочности симметрично
усиленных центрально сжатых стержней.

Стержень из стали с криволинейной диаграммой работы. Для ма-
лоуглеродистых сталей, применяемых в строительстве, характерно
криволинейное очертание диаграммы работы на участке между пре-
делом пропорциональности и пределом текучести. Примем в каче-
стве типичных для строительной стали Ст. 3 зависимости между
напряжением о и относительной деформацией е, секущим модулем
£сек, касательным модулем Е' и относительным касательным мо-
» Е'
дулем 0 = ---- за пределом пропорциональности по данным

Е

А. С. Вольмира [5] (табл. 1.1).

Таблица 1.1

а, кгс/мм3	е-103	£сек> кгс/м“а	Е', кгс/мм2	о II  гч
сгПц = 20,0	0,95	2,1-10*	2,1-10*	1
21,0	1,0	2,1-10*	1,42-10*	0,68
22,0	1,1	2,0-10*	0,99-10*	0,47
22,8	1,2	1,9-10*	0,67-10*	0,32
23,4	1,3	1,8-10*	0,46-10*	0,22
23,8	1,4	1,7-10*	0,26-10*	0,12
23,9	1,5	1,59-10*	0,13-10*	0,06
24,0	1,6	1,5-10*	0,06-10*	0,03
щ = 24,0	1,8—4,0	(1,33—0,6)-10*	0	0
На основании заданной диаграммы работы стали по (1.5) и (1.7)
можно рассчитать диаграммы работы усиленных под нагрузкой
стержней. В стадии упругой работы связь между напряжениями и
деформациями определяется зависимостями

стос = ст 4~ст°с(1 — Р); стус = ст — ст°с0;

ср н '	1 /т	ср Н г’

ст =стос—стос(1 — В); е = — .
ср	И '	£

Предел упругой работы стержня записывается в виде стос = стпц
ИЛИ СТср = СТПЦ— СТ°С (1—0).

В стадии упругопластической работы расчет диаграмм удобно
производить в табличной форме. В качестве примера в табл. 1.2
приведен расчет диаграммы работы усиленного стержня при о„с =
— 0,5 стт = 12 кгс/мм2 (e„c = 0,57-10~3) и р = 0,6. Порядок рас-
чета может быть различен; например: задаемся стос; определяем

Таблица 1.2

оос, кгс/мма	еос-103	8ус.1О3	аус, кгс/мм’	8ср-1№	°ср’ кгс/мм’	0ОС	0УС	Примечание
1	2	3	4	5	6	7	8	9
(4,80) »	(0,23)	(-0,34)	(-7,2)	(0)	(0)	1	1	Разгрузка *
12,00	0,57	0	0	0,34	7,20			Усиление
20,00	0,95	0,38	8,0	0,72	15,20			Предел упругой работы основ- ного стержня
21,00  22,00  22,80  23,40  23,80  23,90	1,0  1,1  1,2  1,3  1,4  1,5	0,43 0,53 0,63 0,73 0,83 0,93	9,0  11,1  13,2  15,3  17,4  19,5	0,77 0,87 0,97 1,07 1,17 1,27	16,20  17,64  18,96  20,18  21,24  22,14	0,68 0,47 0,32 0,22 0,12 0,06	1	Упругопласти- ческая работа основного стержня и упругая работа элемен- тов усиления
23,92	1,52	0,95	20,0	1,29	22,40	0,05	1	Предел упругой работы элемен- тов усиления
23,97  24,00  24,00  24,00  24,00  24,00  24,00  24,00	1,57 1,67 1,77 1,87 1,97  2,07 2,17 2,37	1,0  1,1  1,2  1,3  1,4  1,5  1,6  1.8	21,0 22,0 22,8 23,4 23,8  23,9 24,0 24,0	1,34 1,44 1,54 1,64 1,74 1,84  1,94 2,14	22,80 23,20 23,52 23,76 23,92 23,96  24,00 24,00	0,04 0,02 0  0	0,68 0,47 0,32 0,22 0,12 0,06 0,03 0	Упругопластн- ческая работа всего стержня

* Численные значения, приведенные в скобках, отвечают разгрузке стержня после
усиления.
Рис. 1.3. Диаграммы работы усиленных стержней из Ст. 3
по табл. 1.1 соответствующее значение еос, подсчитываем еус =
= еос—8нС; находим стус и по (1.6) определяем среднее напряжение
оср. В графе 5 табл. 1.2 приведены значения условных средних от-
носительных деформаций, соответствующих работе эквивалентного
стержня (при стср = 0 принято еср = 0). В графах 7 и 8 даны зна-
чения относительных касательных модулей 0ОС и 0ус, отвечающих
соответствующим значениям оос и стус. Таблица подобного типа
позволяет полностью проследить процесс упругопластической ра-
боты усиленного стержня.

На рис. 1.3, а, б в координатах стср—еос и стср — еср приведены
диаграммы работы стержней, усиленных при различных значениях
ОнС (Р = 0,6). Кривая ОнС = 0 идентична принятой диаграмме
работы стали. Крестиком на кривых помечены точки, отвечающие
вступлению стержня в упругопластическую стадию работы. Как
видно из графиков, снижение предела упругой работы может быть
весьма значительным.

§ 1.2. Устойчивость центрально сжатого
симметрично усиленного стержня

При рассмотрении устойчивости усиленного стержня примем
концепцию Шенли [27], т. е. будем считать, что в момент перехода
от прямолинейной формы равновесия стержня к смежной деформи-
рованной приращения напряжений по всему сечению определяются
касательными модулями Е' с диаграмм сжатия материалов.

Пусть в общем случае напряжения в основном сечении усилен-
ного стержня стос и в элементах усиления стус перешли за предел
пропорциональности. При дальнейшем возрастании продольной
силы приращение напряжений в основном стержне будет пропор-
ционально касательному модулю Е'°с, соответствующему напряже-
нию стос, а в элементах усиления — касательному модулю Е'ус,
соответствующему стус. В этом случае дифференциальное уравне-
ние изогнутой оси стержня можно записать в следующем виде:

(е;рив/)ш+^=о,	(1-Ц)

где

^рив/ = £'ос/ос + £'ус/ус;	(1.12)

/; /ос, /ус — главные центральные моменты инерции усиленного
стержня, основного стержня и элементов усиления; w — прогиб
в поперечных сечениях стержня.

Уравнение (1.11) является обобщенным дифференциальным урав-
нением Эйлера, и его решение для стержня с шарнирно-закреплен-
ными концами дает выражение критической сжимающей силы в
виде

л2е' I

Ркр=—(1-13)

где I — длина стержня.
/ос	/ус

Вводя обозначения —— = со; —

-Z°c 1	. П E'

------= 1 — CO 0 =----------

I	E

и подставляя (1.12) в (1.13), получим при Еж = Еус = Е

Л<Р=^[0ос® + 0ус(1-®)]-	(1-14)

Разделив обе части (1.14) на F, найдем выражение среднего кри-
тического напряжения по сечению усиленного стержня

<?кр =[0°ссо + 0ус(1—со)].	(1.15)

Л*5

Решая (1.15) относительно гибкости X, получим

Х=1/ — [0°ссо+0Ус(1 — со)].	(1.16)

V *?кр

Формула (1.16) позволяет рассчитать кривые критических напря-
жений в координатах окр—X при заданной зависимости 0ОС и 0ус
ОТ СТср.

Стержень из идеальных упругопластических материалов. Для
стержня из материалов, подчиняющихся идеализированной диа-
грамме Прандтля, кривая критических напряжений может быть
рйзбита на четыре участка.

I участок:

о°сВ о <о°с —о°с(1 — В).

Здесь 0ОС = 0ус = 1, и, следовательно,

Границы участка определяются неравенством
л2£	< X < 1 /" л2£

а°с —а°с(1—Р) "" V а°сР ’

II участок:

окр = о?с-о°нс(1-Р) = const.	(1-18)

Здесь 0ус = 1; 0ОС скачкообразно меняется от 1 до 0 (при о0с =
= о°с), и границы участка определяются неравенством

л2£ (1 - со) < х < I/~	я2£

ст°с—о°с(1—Р)	V а°с —а°с(1 —Р) ‘

III участок:

о°тс-о°с О ~Р) окр<ст?сР + оус (1 - Р).

Здесь 0ОС = 0; 0ус = 1, и, следовательно,

Х=1/—(1Л9)

V <*кр
® F,C У

\ I

Рис. 1.4. Схемы симметричного усиления
центрально сжатых стержней

Границы участка

1 /—я2£...Р ~ ю)— <Х
V ст°ср + аУс (1 — Р)

<1/

V <-о°с(1-Р) '

IV участок:

°кр = ст?сР + стГ(1-₽)-=

= const. (1.20)
Здесь 0ОС = 0; 0ус скачко-
образно меняется от 1 до 0,
и границы участка опре-
деляются неравенством

0=сХ=с

/л2£(1 —ю)

стоср + стУС(1-Р) '

Таким образом, при
фиксированных значениях
ст„с и р кривая критиче-
ских напряжений состоит
из двух гипербол Эйлера,
определяемых (Г 17) и
(1.19), и двух горизон-
тальных прямых (1.18)‘и
(1.20) на уровнях, отве-
чающих появлению теку-
чести в основном стержне
и в элементах усиления.
До появления текучести
в основном сечении крити-
ческие напряжения для
усиленного стержня равны
критическим напряжениям
для обычного стержня.

На рис. 1.5, а приве-
дены кривые критических

Рис. 1.5. Кривые критических
напряжений для стержней из
идеального упругопластиче-
ского материала, усиленных
по схеме рис. 1.4, а
напряжений для стержней прямоугольного сечения, усиленных по
схеме рис. 1.4, а, при продольном изгибе в плоскости z—х* При
построении кривых приняты значения: £'ос=£,ус=2,1 • 10* кгс/мм2;
о?с = 24 кгс/мм2; ст?с = 34 кгс/мм2; 0 = 0,5. Кривая ct„c = 0 ха-
рактеризует устойчивость обычного стержня из двух материалов,
имеющих разные пределы текучести.

Кривые критических напряжений для той же схемы усиления
при равенстве пределов текучести материалов (ст?с = о?с =
= 24 кгс/мм2) приведены на рис. 1.5, б. Здесь 0 = 0,6; ct„c = 0;
0,3 стт, 0,5 стт; 0,8 стт.

Как видно из рисунка 1.5, усиление под нагрузкой приводит
к существенному снижению критических напряжений в диапазоне
средних гибкостей.

Стержень из стали с криволинейной диаграммой работы. В упру-
гой стадии работы стержней из стали Ст. 3 0ОС = 0ус = 1 и крити-
ческие напряжения для усиленных стержней определяются обыч-
ной формулой Эйлера (1.17). В области упругопластической работы
стержня зависимость 0ус и О00 от стср может быть рассчитана таб-
личным способом для различных значений ст^с и 0 (подобно
табл. 1.2). Используя эти таблицы, можно по (1.16) рассчитать кри-
вые критических напряжений для усиленных под нагрузкой стерж-
ней.

Как видно из (1.16), критические напряжения существенно
зависят от соотношения со моментов инерции стержня до и после
усиления. Так, для стержня прямоугольного сечения, изображен-
ного на рис. 1.4, а, при одном и том же коэффициенте усиления 0
имеем:

при продольном изгибе в плоскости z—х

^=4- = ^ 4=1/ — [0ос0 + 0ус(1-0)];

'у	V сткр

при продольном изгибе В ПЛОСКОСТИ Z—у

со,= ^ = 03; ^=1/ 2!!£[0ОС03 + 0УС(1_03)].

‘х	V сткр

Диаграммы критических напряжений для такого стержня при
продольном изгибе в плоскостях z—х и z—у показаны на рис. 1.6.
Материал основного стержня и усиления Ст. 3; 0 = 0,6; ОнС = 0;
0,3 стт; 0,5 стт.

Предельные гибкости стержней определяются из (1.4) выраже-
ниями

~г=Чтах; хх=%°с0<уЛл^0=^тах.

* Здесь и далее ось,? считается направленной по длине стержня.
Кривые критических напряжений на рис. 1.5 и 1.6 в диапазоне
Х>Хтах показаны пунктиром условно и отвечают случаям, когда
стержень до усиления был закреплен от потери устойчивости.

Рис. 1.6. Кривые критических напряжений для стержней из
Ст. 3, усиленных по схемам рис. 1.4, а, б

Аналогично можно рассчитать кривые критических напряже-
ний и для других типов сечений стержней. В качестве примера
на рис. 1.6 штрихпунктирными линиями приведены диаграммы кри-
тических напряжений при изгибе в плоскостях z—х и z—у стержня
двутаврового поперечного сечения, усиленного по схеме рис. 1.4, б
при Стнс = 0,3 от.
Кривые о„с = 0 на рис. 1.6 характеризуют устойчивость обыч-
ного центрально сжатого стержня; при принятой теории продель-
ного изгиба ее очертания не зависят от формы поперечного сече-
ния стержня. Критические напряжения для обычного стержня оп-
ределяются формулой (1.16) при ОиС = 0 (в этом случае 0ОС =
= 0ус = 0) или р = 1 (тогда со = 1):

Х = 1 /0.

V окр

(1-21)

Как видно из рис. 1.6, наличие начальной нагрузки существенно
сказывается на устойчивости усиленных стержней. Используем

Рис. 1.7. Кривые зави-
симости ф (X) для стерж-
ней из Ст. 3, усиленных
по схеме рис. 1.4, а

---ЧЫ
---*(М

при оценке этого влияния понятие коэффициента снижения крити-
ческих напряжений ф:

ОРп

Ф(*) = -^-	(1.22)

°кр

Рн О

где оКр, сткр — соответственно критические напряжения стержня,
усиленного под нагрузкой, и обычного стержня той же гибкости.

Подставляя в (1.22) выражение окр из (1.15) и о°р из (1.21),
получим

__60С<и 4~ 6ус (1 — <*>) __ 9прив	С । 23»
0	0	1	'

Из (1.23) видно, что коэффициент ф зависит в конечном счете
от коэффициента усиления Р и начального напряжения о„с
(поскольку они определяют зависимость 0ОС и 0ус от сткр), от со-
отношения моментов инерции со (т. е. от схемы усиления) и от гиб-
кости X (связанной с сткр и 0). Коэффициент ф может быть как
больше, так и меньше единицы, причем наименьших значений он
достигает в диапазоне средних гибкостей и имеет минимум при
гибкости, отвечающей пределу упругой работы обычного стержня:
А. =- п Е «102. Чем больше о°,с, тем меньше ф в этом диапазоне.

Ппц
Чем больше со, тем ближе к нейтральной оси расположены упру-
го работающие элементы усиления и тем ниже критические на-
пряжения для усиленного стержня.

С уменьшением X значения модуля 0прив оказываются выше
соответствующего значения 0 для обычного стержня, и в некотором
диапазоне гибкостей критические напряжения усиленного под на-
грузкой стержня превосходят критические напряжения обычного
(рис. 1.6).

На рис. 1.7 для стержня прямоугольного сечения, усиленного
пр схеме рис. 1.4, а, приведены кривые ф (Ай) (сплошными линиями)
и кривые ф (Ах) (пунктирными). Как видно из графика, в диапазоне
больших гибкостей (в области упругой работы усиленного стержня)
и малых гибкостей (при сткр = стт) ф = I и начальные напряжения
не сказываются на устойчивости усиленных стержней.

Этот вывод справедлив лишь при идеализированной постановке
задачи устойчивости центрально сжатого стержня. Практически
все применяемые в конструкциях элементы имеют неизбежное от-
клонение от прямолинейности, а сжимающая сила всегда имеет
эксцентриситет. Поэтому значения коэффициента продольного из-
гиба ф = -^2-, приведенные в СНиП П-В.З—72, не отвечают тео-
(Т-р

ретическим значениям ср ни по теории Энгессера—Ясинского, ни
по теории Энгессера—Шенли, а оказываются несколько меньшими.
Фактически нормативные величины коэффициента равняются [15]
ствн

Ф = —— , где о®р — критическое напряжение стержня, внецен-
тренно сжатого с некоторым небольшим эксцентриситетом, зави-
сящим от случайных обстоятельств.

Такой подход к устойчивости центрально сжатого стержня,
симметрично усиленного под нагрузкой, рассматривается в § 2.3.
ГЛАВА 2

РАБОТА ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ,
УСИЛЕННЫХ ПОД НАГРУЗКОЙ

§ 2.1.	Основные гипотезы и допущения.
Рассматриваемые схемы усиления

При рассмотрении работы внецентреино сжатых стержней бу-
дем считать, что стержни имеют хотя бы одну плоскость симмет-
рии, совпадающую с плоскостью действия моментов, и что усиление
всегда симметрично относительно этой плоскости. Относительно
второй главной плоскости, перпендикулярной плоскости действия
моментов, усиление может быть как симметричным, так и несим-
метричным.

На рис. 2.1 приведены некоторые из возможных схем усиления
селений (элементы усиления заштрихованы). Различие между сим-
метричной и несимметричной схемами заключается в том, что при
несимметричном усилении происходит смещение центра тяжести
сечения и продольная сила получает дополнительный эксцентри-
ситет.

Усиление всегда будем предполагать совершившимся в упру-
гой стадии работы стержней. При рассмотрении работы усиленных
стержней введем следующие допущения:

1)	материалы основного стержня и элементов усиления сле-
дуют идеализированной диаграмме Прандтля и имеют одинаковые
модули упругости и пределы текучести. Пределы текучести при
растяжении и сжатии равны (в нижеследующих примерах стт =
= 24 кгс/мм2);

2)	изогнутая ось стержня с шарнирно-опертыми концами яв-
ляется полуволной синусоиды;

3)	кривизна стержня определяется приближенной формулой
Х= — w", где р — радиус кривизны стержня.

В применении к обычному внецентреино сжатому стержню эти
допущения были введены К. Ежеком [29 ] и являются общеприня-
тыми при приближенном решении задач устойчивости. Приближен-
ное решение К. Ежека было положено в основу расчета коэффици-
ентов <рвн, приведенных в СНиП П-В.3—62.* В новой редакции
СНиП П-В.3—72 при вычислении $вн учтены криволинейность
очертания диаграмм работы стали на участке между стпц и стт и ли-
нейное упрочнение за пределом текучести [15]. При не очень ма-
лых эксцентриситетах влияние криволинейности диаграммы ра-
боты и линейного упрочнения стали незначительно сказывается
на очертаниях кривых критических напряжений [22]. Поэтому
значения <рвн по старой и новой редакциям СНиПа расходятся ме-
жду собой весьма мало и только в диапазоне малых гибкостей.

Критические напряжения для внецентренно сжатого стержня
зависят от формы его поперечного сечения. Обычно при рассмотре-
нии задач устойчивости оперируют со стержнями простейшей пря-
моугольной формы поперечного сечения, для которые и получают
основные зависимости. Такой подход использован, в частности,
в нормах расчета стальных конструкций, где коэффициенты <рвн

Рис. 2.1. Схемы симметричного (а, б, в) и несиммет-
ричного (г, д, ё) усиления сечений

приведены для стержней прямоугольного сечения, а влияние формы
сечения учитывается введением поправочных коэффициентов на
относительный эксцентриситет.

Устойчивость усиленных под нагрузкой стержней зависит не
только от начальной формы поперечного сечения, но и от схемы
усиления, что делает практически невозможным рассмотрение всех
случаев. Поэтому исследование особенностей их работы рацио-
нально провести на наиболее простых примерах усиления стержней
прямоугольного поперечного сечения.

Начальное сечение основного стержня примем по рис. 2.2, а.
Изгибающие моменты будем предполагать действующими в пло-
скости z—у. Направление начального эксцентриситета продольной
силы и отвечающее ему направление прогибов стержня принимаем
положительными. Эксцентриситет от смещения центра тяжести
сечения при усилении есм будем считать положительным, если он
совпадает с направлением начального эксцентриситета. В случае
несимметричного усиления и неизменности линии действия про-
дольной силы до и после усиления ее эксцентриситет относительно
центра тяжести усиленного сечения будет определяться
(рис. 2.2, г, д) выражением

е = е°нс- ес«-	(2Л)

Рассматривая возможные схемы симметричного и несимметрич-
ного усиления стержня прямоугольного сечения, можно наметить
четыре основные схемы усиления:

I схема — стержень усилен симметрично, плоскости пластин
усиления параллельны плоскости действия моментов (рис. 2.2, б);

г)

У

Рис. 2.2. Рассма-
триваемые схемы
усиления стержня
прямоугольного
поперечного сече-
ния

II	схема — стержень усилен симметрично, пластины усиления
наложены с выпуклой и вогнутой сторон стержня (рис. 2.2, в);

III	схема — стержень усилен несимметрично, пластина усиле-
ния наложена с выпуклой стороны стержня (рис. 2.2, г);

IV	схема — стержень усилен несимметрично, пластина усиле-
ния наложена с вогнутой стороны стержня (рис. 2.2, д).

Очевидно, что схема III, вообще говоря, нерациональна, ибо
такое усиление приводит к возрастанию эксцентриситета продоль-
ной силы. Однако она может диктоваться соображениями техноло-
гии усиления или возможна в тех случаях, когда направление на-
чального эксцентриситета неизвестно (например, случайного экс-
центриситета центрально сжатого стержня).

Схемы I и II моделируют приведенные на рис. 2.1, а—в схемы
симметричного усиления при действии изгибающих моментов
в плоскостях z—х и z—у соответственно; схемы III и IV модели-
руют схемы рис. 2.1, г—е при действии изгибающих моментов
в плоскости z—у и различном направлении начального эксцентри-
ситета.

Для рассмотренных схем усиления прямоугольного сечения
коэффициент Р полностью определяет соотношение между характе-
ристиками стержня до и после усиления. Например, для I схемы
усиления

/ОС__ Г О. ос___ t А ос л.	ОС _	.

*х ——Гх, Лх —Л,х, СГэх — аЭЛ.,

/ос 7 оз. *-ос - ft. I00	_ос _ д2.

‘У — М3 > ГУ — G/Р, Лу--------— , ^эу — СГЭуР >

для схем II—IV

/ос 7 Я3. -ос , Я. 1°с Кс . „ос „ £>2.

Гх =GP- К =—; Оэх=аЭхР;

р

/ос / О.	ос	л ос л . „ос „

‘У — •*г/Р> Гу —Гу, Лу —Лу, <5зу— (УЭу,

для схем III и IV коэффициент |3 определяет и эксцентриситет от
смещения центра тяжести усиленного сечения есм= ± -у (1 — ₽)•

Рассмотрение всех схем усиления ввиду общности используе-
мых методов будем проводить параллельно.

§ 2.2. Развитие пластических деформаций.

Прогибы стержней в упругой и упругопластической
стадиях работы

Рассмотрим стержень прямоугольного поперечного сечения,
внецентренно сжатый продольной силой Рн с эксцентриситетом ^с.
Принимая форму изогнутой оси шарнирно-опертого стержня в
виде синусоиды, определим начальный прогиб, напряжения и де-
формации в среднем сечении основного стержня в момент усиления:

Р еос аосеос

!0С _ Г НСНХ _______ Н СНХ

нх —	—	»

рос __ р оОС — оОС
1 ЭХ 1 И	ЭХ Н



аос
цэх

ОС _ ОС
иэх н

/	о°с

ст00 = о°с = о°с 1 — т°с----------------—

min 2 н 1	нх др ос

\	п  п

\	иэх	ин

(2.2)

(2-3)

где /ил — начальный прогиб основного стержня в плоскости
z—у,. бнг — начальный эксцентриситет продольной силы относи-
те/00

РОС _0С уОС _ X

_	эх = ОгэхЕ —  ---------

эйлерова продольная сила при потере устойчивости основного
рос

стержня в плоскости z — у\ m°cv — e°c--------------

ИХ пХ |^7ОС

6С
~h°^

— относи-

тельный эксцентриситет продольной силы относительно оси х°с;

Отах = о°с; Отт = <Тгс — максимальные и минимальные крае-
вые напряжения в основном сечении; е°с и е!>с — соответствующие
краевые деформации.

В дальнейшем в § 2.2 и 2.3 условимся для упрощения записей

индекс «х» у величин, определяющих жесткость стержня и его про-
гибы в плоскости действия моментов, опускать, полагая эквива-
лентными записи Х°с =Х0С; Хх =Х; о°х = о°с; = и т. д.

Прогиб в среднем сечении может быть выражен и через деформа-

ции

foc=2Lyoc==JL . е°с - е2С 	. °?с - °2С

я я2 Лн л2 h°c я2Е h°c

(2-4)

где х°с — начальная кривизна основного стержня в среднем се-
чении.

Учитывая эйлерово напряжение для стержня прямоугольного
поперечного сечения,

а0С = (2.5)

э	12/2

выражение (2.4) можно записать в виде

Рассмотрим работу стержня при различных схемах его усиле-
ния.

Схема усиления I. При усилении внецентренно сжатого стержня
по схеме 1 пластины усиления присоединяются к плоским поверх-
ностям основного стержня (рис. 2.3, а), и предварительный их
изгиб не является обязательным. В результате оси пластин будут
непараллельны изогнутой оси основного стержня, и сечение уси-
ленного стержня будет переменно по его длине. Полагая прогиб
стержня в упругой стадии его работы малым, переменностью се-
чения и его момента инерции пренебрегаем.

В зависимости от величины эксцентриситета енС и, следова-
тельно, знака О2С (егс), эпюра начальных деформаций в среднем
сечении основного стержня будет иметь вид, показанный на
рис. 2.3, б или 2.3, б'. При возрастании продольной силы после
усиления стержень получит дополнительные деформации, эпюры
которых приведены на рис. 2.3, в, в'. Поскольку начальные дефор-
мации элементов усиления равны нулю, их суммарные деформации
будут равны дополнительным, а суммарные деформации основного
стержня будут складываться из начальных и дополнительных де-
формаций (рис. 2.3, г, г'). В дальнейшем деформации и напряже-
ния основного стержня и элементов усиления будем совмещать на
одной эпюре, показывая деформации и напряжения пластин усиле-
ния пунктирной линией (рис. 2.3, д, д'). Характерным для эпюр
деформаций является наличие скачков на границах основного се-
чения и элементов усиления, причем абсолютная величина скачков

Рис. 2.3. I схема усиления стержня прямоугольного поперечного сечения
(а) и эпюры деформаций и напряжений в среднем сечении стержня (б—е')

равна абсолютной величине начальных деформаций основного
стержня. Разница в кривизне -основного стержня и элементов уси-
ления в процессе нагружения будет оставаться величиной постоян-
ной, численно равной начальной кривизне основного стержня:

(еД + еос)_(еД_еос)	ед ед е?с-е°с

уОс = V 1 1	1 /	\ 2	2 / —	1	2	_|_ 1	2	 yjc _|_ л,ос_

h	h	h	н
В упругой стадии работы усиленного стержня суммарным эпю'
рам деформаций 2.3, д, д' будут отвечать эпюры напряжений, пред-
ставленные на рис. 2.3, е, е'. Абсолютные величины скачков в эпюре
напряжений по краям сечений отвечают абсолютным величинам
начальных напряжений ст°с и и однозначно определяют вели-
чину и эксцентриситет продольной силы в момент усиления и на-
чальный прогиб основного стержня. Таким образом, эти величины
полностью характеризуют напряженно-деформированное состояние
стержня в момент усиления и вместе с коэффициентом р определяют
особенности работы усиленного под нагрузкой стержня по срав-
нению с обычным внецентреино сжатым.

Для напряженно-деформированного состояния стержня, харак-
теризуемого распределением напряжений в среднем сечении по
эпюрам 2.3, е, е', из условия равновесия внутренних и внешних
сил имеем

P — ^adF; M — ^oydF.
F	F

Раскрывая первое уравнение, получим

<5zvbh = aabh—dybh—a°cbh (1 — P) +

+ y	(!-₽),	(2-7)

откуда

Г	_oc , „ос	1

„	a i 4- Оо

от=2[оа-оср------1_2_(1_р) =

= 2[оа-оср-о°нс(1-р)] = 2А1,	(2.8)

где для краткости

Д1==аа_аср_а°с(1_р).	(2.9)

Момент внутренних сил с учетом (2.8) определяется выражением

Мо = V ~ Ь1г2------------Г --------Т a°cbfl2 (1 ~ ₽) +

+ 2_(СТОС_СТОС) ^(1_р) =

6ft2

6

(2.10)

Момент внешней силы в среднем поперечном сечении стержня
равен

Мвн = Р(е + /) = асрЬ/г(е + /).	(2.11)
Выражение полного прогиба в среднем сечении стержня с уче-
том (2.5) можно записать в виде

f =	уос = -J——	— 2Aj/2 h&i	?2 12)

' л2 А л2 Eh n*Eh 6оэ	' ’ '

Подставляя (2.12) в (2.11), получим

л/г bh2 I бе , Л, \ Ь№ !	. А, \ ,п

Л4ВН =--------orD-------к—— =-----------orn [т  -------М. (2.13)

Вп	Л ср I . I _ I	Л ср I 1 ГТ 1	'	'

6	\ h оэ/ 6	\	°э/

Приравнивая (2.10) и (2.13), найдем



°ср Л

с пос________пос

бе . °i — а2

(1—₽) : (^э-’аср)-

(2-14)

2

Подставляя теперь (2.14) и (2.6) в (2.12) и учитывая, что для рас-
сматриваемой схемы усиления h = hoc и аэ = ОэС, получим

f =	,	(2.15)

Оэ — 0ср

Уравнение (2.15) определяет прогибы усиленного стержня в уп-
ругой стадии его работы. Значения оср = ОнС₽ и е = е„с отвечают
моменту усиления стержня (/ = /£с); аср>ОнС ₽ — работе стержня
после усиления и догрузки; аср <о°с 0 — разгрузке стержня по-
сле усиления. Подставляя оср = 0 в (2.15), получим выражение
остаточного прогиба после разгрузки

/ост = £С(1-₽),	(2.16)

откуда видно, что направление остаточного прогиба совпадает с
направлением начального прогиба.

Ординаты эпюры остаточных напряжений после разгрузки в
среднем сечении стержня могут быть найдены из (2.7) й (2.10) при
Р = 0 и М = 0:

cra = croc(l —Р); av = (aoc_(Toc)(1_p).	(2.17)

Таким образом, усиленный под нагрузкой стержень по харак-
теру работы эквивалентен стержню, имеющему в ненагруженном
состоянии эпюру собственных напряжений, определяемую
рис. 2.3, е, е' и (2.17), и прогиб, определяемый (2.16).

С учетом (2.16) уравнение (2.15) можно переписать в виде

°сре ~Ь °э/ост	(2 18)

Оэ (УСр

В частном случае (при Рн = 0) формула (2.18) описывает прогибы
обычного стержня

f = _.°сре .	(2.19)

°Э — °ср
Из (2.18) и (2.19) видно, что для стержня, усиленного под нагруз-
кой, по сравнению с обычным характерно более интенсивное разви-
тие прогибов.

Предел применимости уравнения (2.16) определяется пределом
упругой работы усиленного стержня и отвечает значению od = от
(рис. 2.3, е, е') или

Д1 = от-оср-о°нс(1-0).	(2.20)

Подставляя (2.20) в (2.14), получим после преобразований урав-
нение

Сер—CiQcp + c2 = 0,	(2.21)

где сх = от—а„с (1—0) + аэ (1 + т); с2 = аэ [ат—а?с (1—₽)]; т=

F	бе

— е — = —.

W	h

Из (2.21) находим значение оср, отвечающее пределу упругой
работы:

При возрастании продольной силы сверх предела, определяе-
мого (2.22), в крайнем сжатом волокне основного сечения стержня
появится текучесть. В предположении, что усиленный стержень
закреплен от потери устойчивости, рассмотрим последовательность
развития пластических деформаций в среднем поперечном сечении
усиленного стержня. Эта последовательность определяется поряд-
ком появления текучести в растянутых и сжатых зонах основного
сечения стержня и элементов усиления. На рис. 2.4 представлены
схемы развития пластических деформаций для случаев а™ < 0 и
О2С > 0. Остановимся более подробно на первом случае. Для эпюры
I из условия равновесия имеем

Р = ocpbh = oTbh —Gybhy—<j°r'bh(l — 0) - -

+	(о- - о-) bh (1 - 0) + -L uabh (1 - 0) (1 - у).	(2.23)

Вводя обозначение

Д = = от - оср - о°с (1 - 0)	(2.24)

и учитывая, что из подобия треугольников

<т«=-^-(1-Т),	(2.25)

получим из (2.23)
Рис. 2.4. Схемы развития пластических деформаций в среднем сечении
стержня (I схема усиления): а — при с£с < 0; б — при > 0
Момент внутренних сил с учетом (2.25) и (2.26) можно записать
в виде

”	ОС ОС

Д(1-р + зРт«-2РУ)	. (2.27)

°	6 L V«_(|_Y)«(1 — P)	2	J

Выражая прогиб в среднем сечении через деформации

t  12 рт 	(2 28)

л® Ehy 6аэ[у2-(1-у)2(1-Р)]

и подставляя в (2.11), найдем

Мвн = — оср [т +-----------------— ] .	(2.29)

в 6 ср( 4 оэ[т2 —(1 — т)2(1 — (3)] J

Приравнивая (2.29) и (2.27), получим после преобразований

Оср — CiOtp + c2 =0,	(2.30)

где сх = ат—аГ (1 — Р) + оэт [у2— (1 — у)2 (1 — ₽)] + оэ (1 — ₽ +
+ Зру2- 2Ру3); с2 = аэ [от-<т°с (1 - ₽)] (1 - 0 + Зру2 - 20?)-
_ J_ аэ (а?с-аГ) (1 — Р) [?-(1 - У)2 (1 — Р)1

Из (2.30) находим

’•r=T-l/(f	<2-31>

Формулы (2.31) и (2.28) позволяют рассчитывать прогибы уси-
ленного стержня при распределении напряжений в среднем его
сечении по эпюре I.

Порядок расчета: задаваясь значениями параметра у, по (2.31)
находим соответствующее значение аср и по (2.28) — величину
прогиба f. Нижний предел применимости полученных формул (пре-
дел упругой работы) определяется значением у = 1 [при этом (2.30)
сводится к (2.21) 1. Верхние пределы применимости получим из рас-
смотрения условий перехода от эпюры I к эпюрам На и Пь. Пере-
ход от эпюры / к Па отвечает значению

оа=а?с.	(2.32)

Подставляя (2.25) и (2.26) в (2.32) и решая относительно у, по-
лучим

где С1 = <т?с0; с2 = 2 [о?с (1-0) + А]; с3 = 2А + о?с (1-0).
При этом должно выполняться условие

а? < 2ат,	(2.34)

так как в противном случае эпюра / перейдет в IIb.
Решая совместно (2.32) и (2.34), найдем

2от

2от + а°с

Тл,

и, подставляя (2.35) в (2.33), получим

(1 —₽) = Од.

(2.35)

(2.36)

*^ср <

пта?сР

2от + <

2

Подставляя теперь (2.36) и (2.35) в (2.30) и решая относительно
т, найдем, что переход от эпюры / к Па отвечает значениям
т ss тА, где

/пл =

2от (2от + а?с)2 + а°с (2ат + а?с)2 (1 - 0) + 2стт< (2ат - <) 0
2ата°с (2ат + <) 0 - а°с (2ат + <)2 (1 - 0)

ч+°°с

2аэ

(2.37)

Рассматривая условия перехода от эпюры / к Пь, можно по-
казать, что этот переход отвечает значениям т ~^тА и

_ — с2 +У^г + ^з

2cj

(2.38)



где Сх = ат0; с2 = 2ат (1—0) — А; с3 = ат (1—0).

Таким образом, при tn <jnA развитие пластического шарнира
идет от эпюры / к Па и предел применимости формул (2.31) и (2.28)
отвечает значениям у ^у“, а при т > тА эпюра I переходит в II
и предел применимости записывается в виде у ^>у?.  Значения
т = тА отвечают тем частным значениям эксцентриситета про-
дольной силы, при которых текучесть одновременно появляется
в растянутой и сжатой зонах и эпюра / переходит в 1Па.

Зафиксируем величины а°с, а2с и 0, и дальнейшее исследова-
ние условий и областей существования эпюр будем проводить в ко-
ординатах аср —у. В этом случае уравнения (2.33) и (2.38) описы-
вают уравнения переходных кривых, разграничивающих области

существования эпюр, а точка с координатами ал и ул отвечает
точке пересечения этих кривых и ограничивает область их опреде-
ления. Аналогично можно получить уравнения прогибов и для
других типов эпюр, приведенных на рис. 2.4, и определить области
существования этих эпюр (а следовательно, и пределы применимо-
сти соответствующих уравнений). Уравнения переходных кривых
и области их определения приведены в табл. 2.1. Они определяют,
в свою очередь, условия существования того или иного типа эпюр
(табл. 2.2). Для каждого отдельно взятого стержня табл. 2.2 одно-
значно определяет последовательность развития пластических де-
формаций в среднем его сечении.
Заказ Ns 2339

Т а б л и ц а!2.1

Обозначение кривой	Разграничи- ваемые эпюры (по рис. 2.4)	Уравнение кривой и коэффициенты			Знак радикала	Область определения при <тср > <Г°СР; т > 0		
		е2 ±	— ^1сз  V“ 2q						
		Cl	с3	С3		-ОС а2	°ср	V
т?	1—Л1а	G°C₽	- 2 [а°с (1 - ₽) + А]	— 2Д — ст°с (1 — Р)	+			
						>0	—	—
V?	1 — Пь	aTP	д_2от(1— Р)	-ат(1-Р)	+	<0		
?2	Па — П1а	2пт(п°с-п°с)р	(2qt + q°c)2(1-P) + + 4°?Р + 2(от-оср) X Х(о?с-0	4от (<ут оср)	—	<0	>ОЛ	
V2	11а — Н1с	(2a.f-a°c) X x(<M)P	2 ((Ут — ОСр) X х(а?с-а2ос) + + (а°с)2р + 4атХ  X (ат-а°ср)	2(2ат-а2ос)(ат-аср)	—	>0		—
Продолжение табл. 2.1

Обозначение кривой	Разграничи- ваемые эпюры (по рис. 2.4)	Уравнение кривой и коэффициенты			Знак радикала	Область определения при аср> а°с₽; т>0		
		с2 ± V с2 - 4с1с3						
		Ct	с3	Сз		«ОС а2	аср	V
?2	Пь — 1Па	(°т+°?с)р	2атР-А-а“(1-Р)	— От (1 — Р)	+	<0	<ол	<Тл
	IIIa — IV	(°т - <) X X (о°с —о£с) Р	2°? — 2ат°2СР + + (от — оср) X  Х(о?с-о2°с)	2(?т (®т аср)	—	<0	—	—
Тз	IIIе —IV	от(о?с-о°с)р	to  х Л> , "Г + + "й V N3 1 ч Л 1 1 Q Q 1 ГЭ О	О	Q  О О о “СО — *0  + V	2от (<ут — <^ср)	—	>0	—	—
Таблица 2.2

Тип эпюры по рис. 2.4	Условия существования при аср > а°с₽		
	„ос °2	tn	V
1		0 т тд	У? -с у -с 1
		т > т.д	
	о£с > 0	т :> 0	=^У -С 1
на	О°с=^0		У2=5У=5У?
	о°с>0	т > 0	Уг^У^У?
пь	о^с £ 0	т > тд	Уг=5У^У1
IIIй	Q ю о о  /Л	0 : т тА	v“^V^V2
		т > тд	
IIIе	02С > 0	т > 0	Уз^У^Уг
IV	а^С^0	т > 0	OsSysSyf
	а°с > 0	т > 0	0=5У=5Уз

Условия существования того или иного типа эпюр можно ис-
следовать и графически, определив в координатах оср—у области
существования этих эпюр по уравнениям переходных кривых,
(рис. 2.5). Эти области охватывают все множество значений оср
и у, которые принадлежат данному типу эпюры. При |3 = 1 или
< = Огс = 0 (т. е. в случае обычного стержня) переходные кри-
вые либо стягиваются в одну, разграничивающую области сущест-
вования эпюр односторонней и двусторонней текучести, либо от-
вечают значениям у>1 и не имеют физического смысла.

Характер развития пластических деформаций и прогибов уси-
ленного род нагрузкой стержня рассмотрим на примере.

6е°с

Пример 2.1. Внецентренно сжатый с эксцентриситетом m°c =	~ 1

стержень гибкостью Хос = 80 усилен при а°с = 0,35от (что отвечает о°с =

= 0,823oT;	= — 0,123ат) по схеме рис. 2.3, а. Коэффициент усиления

0 = о,6; эксцентриситет продольной силы в процессе нагружения стержня
остается неизменным (т — /п°с 1).

Осо

Диаграмма прогибов усиленного стержня в координатах —£-------------

от h

представлена на рис. 2.6 кривой ОАБВЕ. Отрезок ОА кривой характеризует

прогибы основного стержня до
усиления; напряжения условно
вычисляются приведенными к пло-
щади усиленного сечения (оСр =
= <тоср). Отрезок А Б отвечает
упругой работе стержня после
усиления, отрезок БВ— упруго-
пластической работе при распре-
делении напряжений в среднем
сечении по эпюре I. Так как
т = 1 < тА = 4,2, то предел
этой стадии отвечает значению
у = у“ и при у < у“ распреде-
ление напряжений соответствует
эпюре IIй (отрезок BE кривой).
Кривая АЖ отвечает разгрузке
стержня после усиления, отре-
зой О Ж характеризует остаточ-
ный прогиб после разгрузки. Кри-
вая О BiEi описывает прогибы
обычного внецентреино сжатого
стержня той же гибкости.

Сопоставление диаграмм про-
гибов показывает, что для уси-
ленного под нагрузкой стержня
характерно снижение предела
упругой работы и более интен-
сивное развитие прогибов в упру-
гой и упругопластической ста-
диях. Это объясняется тем, что
некоторую долю общей нагрузки
усиливаемый стержень восприни-
мает, работая малым сечением, и
при нагрузке, отвечающей мо-
менту усиления, имеет уже зна-
чительный прогиб, предопреде-
ляющий дальнейшее интенсивное
нарастание деформаций.

Схема усиления II. Для

Рис. 2.6. Диаграммы прогибов стерж-
ней (схема усиления I)

осуществления усиления по

схемам II—IV (см. рис. 2.2) элементы усиления должны быть пред-

варительно прижаты к изогнутому основному стержню с помощью
струбцин, хомутов, стяжек и т. п. Внутренне уравновешенная
система добавочных сил, создаваемая стяжными устройствами,
вызовет изгиб основного стержня и элементов усиления, в резуль-
тате чего кривизна их в любом сечении совпадет и прогиб стержня
будет характеризоваться новой величиной fa<,fnC (рис. 2.7, а).
После присоединения элементов с помощью сварки, болтов и т. д.
Рис. 2.7. II схема усиления стержня (а) и эпюры деформаций и напряжений
в среднем сечении при усилении (б—ж')
стяжные устройства могут быть сняты. На величину изгибных де-
формаций при усилении существенное влияние будет оказывать не
только технологическая последовательность операций (одновре-
менное или последовательное прижатие элементов усиления), но
и характер тех временных связей, которые создаются стяжными
устройствами между основным стержнем и элементами усиления.

При рассмотрении этих деформаций будем исходить из одновре-
менного присоединения элементов усиления (как более техноло-
гичного) и наметим две расчетные модели.

Первую модель построим на предположении, что стяжные уст-
ройства не создают связей между основным стержнем и элемен-
тами усиления, обеспечивающих восприятие сдвигающих усилий.
Эпюры деформаций и напряжений для этого случая при усилении
по схеме II представлены на рис. 2.7, б—ж; рис. 2.7, б характери-
зует начальные деформации и напряжения в среднем сечении ос-
новного стержня в момент усиления, рис. 2.7, в, г — деформации
и напряжения основного стержня (е°с и о°с) и элементов усиления
(еГ и °*с) ПРИ их изгибе под действием стягивающих усилий,
рис. 2.7, е — результирующую эпюру деформаций после присое-
динения элементов. Результирующей эпюре деформаций отвечает
эпюра напряжений, представленная на рис. 2.7, ж.

При построении второй расчетной модели будем считать, что
закрепления, создаваемые стяжными устройствами, обусловливают
вовлечение основного стержня и элементов усиления в совместную
работу. В этом случае на изгибные деформации основного стержня
и элементов усиления под действием стягивающих усилий
(рис. 2.7, в', г') наложатся общие изгибные деформации стержня
в целом (рис. 2.7, д'), вызванные уменьшением момента продоль-
ной силы вследствие уменьшения прогиба стержня. Результирую-
щие эпюры деформаций и напряжений представлены на
рис. 2.7, е', ж'.

Характерным для этих эпюр являются скачки в деформациях
и напряжениях на границах основного сечения. Для обеих моделей
эти скачки определяются выражениями

е1 = е°с—е°с + еУс, е2 = е°с + еос—еУс;	(2.39)

о1 = аос— аос_|_ауС>	(2.40)

Из (2.40) и (2.3) найдем, что

Oj + о2 = о°с + о°с =2о°с.	(2.41)

Соотношение между изгибными напряжениями о°с и сЛс опре-
делим из условия равенства кривизн основного стержня и элемен-
тов усиления после их присоединения:

а°с-а°с	2а^ср

2	1 —₽ '
Для определения а°с и о^с составим уравнение равновесия,
выражающее равенство моментов внутренних и внешних сил при
нагрузке, соответствующей моменту усиления.

Для результирующей эпюры, отвечающей первой модели
(рис. 2.7, ж), выражение момента внутренних сил можно записать
в виде

+ » -

Подставляя в Мо значение о°с из (2.42) и учитывая, что из рис. 2.7, ж

4оус

<га = ох + а^с = а°с — о°с + 2сг^с и сг? = ——, получим

1 — р

М, = -^аГ('~|1>, + 4Р''.	(2.43)

12	I — Р	х

Момент внешних сил будет определяться выражением

MBH = PH(e + fH) = oSW + •	(2-44)

Выражая прогиб fn в среднем сечении стержня через деформации,
величину его можно записать в виде

/н

/2

Л2

/2	/

х = — I°ус: Eh
л2 \ ♦

1 — Р \ _ ayc/t

4 / Заэ(1-Р)

Подставляя (2.45) в (2.44), получим

А4ВН

&/i2
6

2ауса°ср ’

оэ(1 —Р) .

(2.45)

(2.46)

а°с₽т-)

Приравнивая (2.43) и (2.46) и учитывая, что для рассматриваемой
бе 6еос

схемы усиления т ==	p = mBc Р и °®С ~ аэР2, найдем

после упрощений

2аэа°ср2(1- Р)т°с	/п

о?' =-------*	----—--------.	(2.47)

*	аэ[(1 -р)3 + 4р3]- 4а°сР

Подставляя теперь (2.47) и (2.42) в (2.40), определим величины
скачков в эпюре напряжений

осГ14_ 2а>°с(1+Р)	1

Qj 2 — CFH 1 i	"

|_	аэ(1-Р)3 + 4<тэр3-4о°ср _

Прогиб fH с учетом (2.47) можно записать в виде

f _ 2 о°иСР2<^

Н 3	аэ[(1 _ р)з + 4рЗ]_4а°ср •

(2.48)
Разница между начальным прогибом основного стержня /^с и про-
гибом fH после присоединения элементов усиления отвечает обрат-
ному выгибу стержня fo. в при усилении. Для рассматриваемой мо-
дели величина в равна прогибу основного стержня под действием
стяжных устройств:

„	/а 2аос

f =------—

'°’в	л2 Б/ф

= . 2>50

6 (аэр2 - а°с) [оэ (1 - ₽)3 + 4аэр3 - 4о°с₽]

Легко убедиться, что

+	=	(2.51)

Для второй модели (рис. 2.7, ж') прогиб стержня после при-
соединения элементов усиления будет определяться выражением

h 2аус — <т°бщ(1 — Р)

Моменты внутренних и внешних сил после упрощений можно запи-
сать в виде

7И0 = AL ГстУс .(^P)3 + 4fL _ 2аобщ1.	(2.53)

°	12 L * *	1-₽	• J



2огГ—а°б1Ц (1 — Р)
(1 - Р)

(2.54)

Для определения оус и о°бщ в рассматриваемом случае необходимо
использовать дополнительное условие, связывающее деформации
элементов. Будем считать, что прогибы основного стержня и эле-
ментов усиления под действием стягивающих усилий обратно про-

^ОС
порциональны их собственным моментам инерции, т. е. что —

s/y°	*

. Выражая прогибы через деформации и подставляя ве-

личины моментов инерции, получим уравнение

JL2g°C Eh О~Р) = 2 (1-Р Y. из
л2 Р 4аус \ 2 / ’Р
откуда

<тус(1-₽)
(JOC _ _*_2-— ,

*	2₽2

Решая совместно (2.55) и (2.42), найдем

^..(g?C-°2C)P2(l-P)

•	(1-р)3 + 4₽з

(2.55)
Приравнивая теперь (2.53) и (2.54) и подставляя (2.56), определим

аобщ _

а°ис(а?с-С)(1-₽)3

2(аэ- <т°ср) [(1 - Р)8 + 4р8]

(2.57)

Скачки в эпюре напряжений (рис. 2.7, ж') будут определяться
выражением

2а°ср2 (1 + ₽) т°с

(аэ0С-О [(1 - Р)3 + 4Р3]

(2.58)

Прогиб /н из (2.52) с учетом (2.56) и (2.57) можно записать в виде

«Ч2 Г1р2 <С(1-Р)3

6 (стэР2 — а°с) [(1 - Р)3 + 4Р3] [Р аэ-О

Обратный выгиб при усилении для рассматриваемой модели
является следствием изгибных деформаций как основного стержня,
так и стержня в целом и определяется выражением

:	хос . гобщ

Q. В / • "Г /«	““

= __Л_____________^Ч<Р(1-Р)3_______________(260)

6 (аэр2-а°с) (аэ_а°ср)[(1_р)3 + 4р3]

Величины f0. в, fH и f„c связаны зависимостью (2.51).

Различие двух расчетных моделей обусловливается нелинейной
зависимостью прогибов сжатого стержня под действием поперечных
сил от величины продольной силы. В первом случае эта нелиней-
ность распространяется на деформации основного стержня, во вто-
ром — на деформации стержня в целом.

Иногда разница в величинах дополнительных напряжений и
прогибов при стягивании элементов, определяемая рассмотренными
моделями, может быть существенна. Она возрастает с увеличением
моментов инерции элементов усиления, увеличением гибкости
стержня, возрастанием начальной нагрузки и приближением ее
к эйлеровой силе Р™.

Так, например, при Хос = 150, т°с = 0,5, а°с = 0,Зат и Р = 0,5 на-
чальное напряженно-деформированное состояние основного стержня в сред-
нем сечении определяется Ьеличинами а°с = 0,985<гт, а™ = — 0,385<гт,
дос	h.

f°c = 1,786 — = 0,898 — .

н	6	6

Изменение напряженно-деформированного состояния при присоедине-
нии элементов усиления будет характеризоваться следующими величинами
(см. рис. 2.7):

для первой модели:

(Ас = 0,16ат; а^ = 0,36ат;

02 = 0,78504.; а2 =—0,185ат;

/н = 0,41бА; /о.в = -0,477 -у;

для второй модели:

<Лс = 0,274ат; а°° = 0,137ат; а°бщ = 0,03ат;

Gj = 1,122от; а2 = — 0,522ат;

/„ = 0,695 — , /о.в = — 0,198 — .
6	6

Первая модель определяет в 2,4 раза большую величину /0. в- С умень-
шением Vе, а„с-и увеличением р разница резко уменьшается.

Фактически стяжные устройства вследствие сил трения в местах
контакта обеспечивают податливую связь между основным стерж-
нем и элементами усиления. В этих условиях указанные модели
дают соответственно верхнюю и нижнюю границы обратного выгиба
стержня, а действительные его деформации отвечают некоторому
промежуточному случаю. Учитывая это обстоятельство, а также
то, что для большинства случаев усиления обратный выгиб является
разгружающим фактором (за исключением случаев изменения знака
эксцентриситета продольной силы после усиления), в дальнейшем
при рассмотрении всех схем усиления будем принимать в качестве
основной вторую расчетную модель.

Переменные а1; а2 и ₽ при фиксированной гибкости полностью
определяют параметры напряженно-деформированного состояния
основного стержня до усиления (о„с, т„с, /£с) и особенности его
дальнейшей работы по сравнению с обычным внецентреино сжатым
стержнем. В качестве примера на рис. 2.8 приведены схемы разви-
тия пластических деформаций в среднем поперечном сечении стержня
для случая а2 < 0.

Метод получения уравнений прогибов для каждого типа эпюры
и исследования пределов их применимости аналогичен изложен-
ному для схемы усиления I.

Так, из рассмотрения эпюры, отвечающей упругой работе
стержня после усиления (рис. 2.8), уравнение его прогибов можно
получить в виде

f = [асРе + “Г (ai —аг) (1 ~ ₽2)] : <аэ~ <7СР)-	(2-61)

При аср = 0 формула (2.61) определяет величину остаточного
прогиба после разгрузки стержня:

:	Л(а1-дг)(1-р«)

ост	8аэ
Как и для схемы усиления I, знак f0CT всегда положителен,
т. е. совпадает со знаком начального прогиба. С учетом (2.62) урав-
нение (2.61) можно привести к общему виду (2.18).

Характер развития прогибов стержня в упругой и упругопла-
стической стадиях при его усилении под нагрузкой по схеме II
проиллюстрируем примером.

6еос

Пример 2.2. Внецентренно сжатый с эксцентриситетом т°с = —2- = 2

Дос

стержень гибкостью Хос = 90 усилен при а°с = 0,2ат по схеме рис. 2.7, а

Диаграмма прогибов стержня представлена на рис. 2.9 кривой
ОАА' БВГЕ. Участок ОА отвечает работе стержня до усиления, горизонталь-
ный участок АА' характеризует обратный выгиб стержня при усилении,
участок А'Б — упругую работу после усиления. Упругопластической ра-
боте отвечает распределение напряжений в среднем сечеиии стержня по эпю-
рам /° (участок 5В кривой), //“(участок ВГ) и II 1а (участок ГЕ).

Для сравнения иа рис. 2.9 приведена кривая OBjEj прогибов обычного
внецентренно сжатого с эксцентриситетом т = 1,4 стержня гибкостью
X = 63.

Как и при схеме I, для усиленного под нагрузкой стержня характерно
значительное снижение предела упругой работы (точки Б и Бг кривых).
Однако, если деформации обычного стержня после появления текучести
развиваются весьма иитеисивио, то рост деформаций усилеииого под на-
грузкой стержня сдерживается упругоработающими элементами усиления,
и кривые их прогибов сближаются.

Для стержней весьма малой гибкости по мере проникновения пластиче-
ских деформаций в глубь сечения возможна реализация скачков в эпюрах
напряжений. В этом случае эпюры принимают обычный вид (например,
эпюры Vе и VI на рис. 2.8), и кривые прогибов обычного и усиленного под
нагрузкой стержней в конечной фазе их работы перед потерей устойчивости
совпадают.

Схема усиления III. Вследствие несимметричности усиление
связано со смещением центра тяжести поперечного сечения стержня
на величину (рис. 2.10, а) есм =---^-(1 — 0).

Рис. 2.10. III схема
усиления стержня (а)
и эпюры напряжений
в среднем сечении
при усилении (б—е)

Эксцентриситет продольной силы относительно центра тяжести
усиленного сечения будет определяться из (2.1) выражениями
е =е°с—е =е°с + -^-(1 —0); т = -^- = т°с^ — т =
н СМ Н 2	Д н 1 СМ

=т°с0+ 3(1 — 0),	(2.63)

где тсм = —3 (1 — 0).

Эпюры напряжений от изгиба при присоединении пластины уси-
ления, отвечающие второй расчетной модели, представлены на
рис. 2.10,6—3. Из рассмотрения условий равновесия стержня
при нагрузке, соответствующей моменту усиления, можно опреде-
лить скачки ст2 в эпюрах напряжений (рис. 2.10, е) и прогиб fa
стержня в среднем сечении после присоединения пластины уси-
ления:

ос ( ,	аэ₽4Чс	1 .

ст» = стн ( 1---------------------->,

|	И2-о°с)[(1-₽)3+₽31 j

= A g0HCP2”ff г

6 (стэ-О) (стэ₽2-о°с) L(l-₽)3+₽3 н

(2.64)

(2.65)

Уравнение прогибов стержня в упругой стадии работы можно
получить в виде

f = [стсре-ст2₽(1 -₽) А]: (Яэ-аер) =	,	(2.66)

L	2	Оэ —Оср

В отличие от схем усиления I и II, где направление остаточного
прогиба всегда совпадало с направлением начального прогиба
стержня, при схеме III знак f0„ определяется знаком ст2. Прирав-
нивая ст2 по выражению (2.64) нулю, получим, что нулевой оста-
точный прогиб отвечает либо СТнС = 0, либо

стос = 0ОС 1

<р2	1

(1 - ₽)3 + ₽3 J

(2.67)

где из условия ст„с > 0

т°в'<

(1-Р)3 + рз _

-----------— ПЦ.

При > 0 и т„с > т0 знак /ост всегда положителен.

Как видно из (2.66), в зависимости от знака /ост прогибы уси-
ленного под нагрузкой стержня могут развиваться более интен-
сивно (при /ост > 0) и менее интенсивно (при /ост < 0), чем про-
гибы обычного внецентренно сжатого стержня. В частном случае
несимметричного усиления центрально сжатого стержня ст2 =
= ст°с > 0 и знак /ост всегда отрицателен.

Вывод уравнений прогибов стержня в упругопластической ста-
дии работы и определение пределов их применимости аналогичны
изложенным выше. Влияние знака /ост на развитие прогибов про-
иллюстрируем примерами.

Пример 2.3. Внецентренно сжатый с эксцентриситетом т°с = 0,35 стер-
жень гибкостью Хос = 100 усилен по схеме рис. 2.10, а. Коэффициент уси-
ления Р = 0,7; дополнительный эксцентриситет продольной силы от сме-
щения центра тяжести сечения тсм = —0,9, суммарный эксцентриситет
т = 0,35-0,7 + 0,9 = 1,145. Поскольку m°c = 0,35<jm0 = 0,755, знак
/ост будет зависеть от величины а°с. Рассмотрим различные случаи.
Рис. 2.11. Диаграммы прогибов стержней (схема
усиления III)
1.	Нулевому остаточному прогибу после разгрузки отвечают значения
а°с = 0 или из (2.67) а°с = 0,462ат. Диаграмма прогибов стержня при
а°с = 0 представлена на рис. 2.11, а кривой ОБЕ; участок ОБ отвечает упру-
гой работе, участок БЕ — стадии односторонней текучести.

При а°с — 0,462ат диаграмма прогибов стержня характеризуется кри-
вой ОА^АА'БЕ; участок ОАгА отвечает прогибам стержня до усиления,
горизонтальный отрезок АА' — обратному выгибу стержня при усилении,
участки А'Б и БЕ — работе стержня в упругой и упругопластической ста-
диях. Кривая ОА’ здесь характеризует разгрузку стержня после усиления.

2.	Отрицательный остаточный прогиб после разгрузки стержня отве-
чает значениям 0 < а°с < 0,462от. При а°с = 0,Зат, например, диаграмма
прогибов будет представлена кривой ОА^ БхЕх; пунктирная линия A ]Ж1
характеризует разгрузку стержня после усиления. Из рис. 2.11, а видно,
что кривая прогибов на всем протяжении проходит выше кривой прогибов
обычного стержня.

3.	При а°с > 0,462ат стержень после разгрузки получит положитель-
ный остаточный прогиб, совпадающий по направлению с прогибами от вне-
центренного приложения нагрузки. Так, при а°с = 0,52ат диаграмма про-
гибов будет характеризоваться кривой ОА1АА2А2Б2Е2. В этом случае про-
гибы усиленного под нагрузкой стержня во всех стадиях его работы разви-
ваются более интенсивно, чем прогибы обычного стержня.

Пример 2.4. Хос = 100; т°с = 1,0; Р = 0,7; т = 0,7 + 0,9 = 1,6.

Так как т°с > т0, при любом значении о°с стержень после разгрузки
получит положительный остаточный прогиб и для него будет характерна
повышенная деформативность по сравнению с обычным внецеитреиио сжа-
тым. Диаграммы прогибов стержня при о°с = 0 и о°с = 0,35от представ-
лены на рис. 2.11, б.

Схема усиления IV. Схема усиления стержня и эпюры напряже-
ний от изгиба при присоединении пластины усиления приведены
на рис. 2.12. Прогиб fH в среднем сечении стержня после усиления
будет определяться выражением (2.65), а величина Ох, характери-
зующая скачок в эпюре напряжений, — выражением

~ -ОС

<71 — <7н

оэ₽4т°с

(аэ₽2-а°с) [(1 - ₽)3+ ₽3]

(2.68)

1 +

Направление смещения центра тяжести сечения стержня при
его усилении по схеме IV совпадает с направлением начального
эксцентриситета. Результирующий эксцентриситет продольной силы,
определяемый выражениями

е = е°с—е =eZe——(1 — ₽); т — т°?$—т —

я см н 2 v r/	н г см

= т°с₽ —3(1 —₽),

(2.69)

может иметь как положительный, так и отрицательный знак.

Уравнение прогибов стержня в упругой стадии его работы
можно записать в виде

f = kpe + OiP (1 -₽) 41 = (<7э-<7ср) = gcpe + gs^-, (2.70)

L	аэ — GCp
где

ост ~~

h <W-P)

2 ав

(2.71)

В соответствии с положительным знаком Oj остаточный прогиб
после усиления и разгрузки всегда положителен.

После усиления стержня в зависимости от величины и знака
эксцентриситета е развитие его прогибов может идти как в направ-

I-I

Рис. 2.12. IV схема уси-
ления стержня (а) и
эпюры напряжений в
среднем сечении при
усилении (б—е)

лении, совпадающем с направлением начальных прогибов, так и
в противоположном направлении. Рассматривая прогиб как функ-
цию от величины среднего по сечению напряжения аср, о направ-
лении развития прогибов можно судить по знаку производной f':

df 	. Оэ (е + /ост)

d^cp	(стэ стср)2

При 0 (енС>есм) прогиб стержня всегда является возрастаю-
щей функцией от аср. При е < 0 (е„с < есм) производная f' обра-
щается в нуль при — е =[f0CT. Случаю —е > fOCT отвечает возра-
стание прогибов стержня после усиления, случаю —е < f0CT —
убывание прогибов, т. е. развитие их в направлении, противопо-
ложном начальному прогибу. Значение —е = f0CT характеризует
тот частный случай, когда остаточный прогиб и эксцентриситет
взаимно уравновешивают друг друга и прогиб стержня в упругой
стадии его работы остается неизменным: f = f0CT.

Отметим, что в этом случае f0CT — fn.

Соотношение между е и f0CT определяет последовательность
развития пластических деформаций в среднем сечении стержня.
Характер развития прогибов усиленных стержней в упругой и
упруго пластической стадиях проиллюстрируем примерами.

Пример 2.5. Внецентренно сжатый с эксцентриситетом т°с = 0,7 стер-
жень гибкостью Хос = 120 усилен по схеме рис. 2.12, а при 0 = 0,7. След-
ствием усиления является изменение знака эксцентриситета продольной силы:

/1

т = 0,7-0,7 — 3 (1 — 0,7) = —0,41; е = — 0,41 — .

6

Рассмотрим случаи усиления стержня при различных величинах на-
чального напряжения а°с.

1.	Случаю —е = (ост из (2.68) и (2.71) отвечает начальное напряже-
ние а°с = 0,288ат. Соответствующая диаграмма прогибов стержня пред-
ставлена на рис. 2.13, а кривой ОАА' БВЕ. Участок ОА кривой отвечает
работе стержня до усиления, отрезок АА' характеризует обратный выгиб
при усилении. В пределах упругой стадии работы стержня после усиления
(участок А'Б) прогиб остается постоянным. По мере развития пластических
деформаций центр тяжести упругого ядра в среднем поперечном сечении
смещается, продольная сила получает дополнительный эксцентриситет и
прогибы стержня развиваются в направлении, совпадающем с направлением
начальных прогибов.

2.	Случаю —е < f0CT отвечают величины начального напряжения
а°с > 0,288ат. При а°с = 0,35ат, например, f0CT = 0,58 — > —е, и про-
6

гибы усиленного стержня несмотря на изменение знака эксцентриситета раз-
виваются в направлении, совпадающем с направлением начального прогиба
(кривая (MjAj fiiSjEj).

3.	Случаю — е > /0Ст отвечают значения а°с < 0,288ат. При а°с =
h

= 0,2а , например, /Ост — 0,246 — < — е, и прогибы стержня развиваются
т	6

в направлении, противоположном направлению прогибов до усиления (кри.
вая ОА2А2 Б2Е2). Кривая ОБ3Е3 характеризует прогибы обычного стержня
^а°с = О), внецентренно сжатого с эксцентриситетом т = —0,41.

Пример 2.6. Хос = 136; т°с = 2,714; а°с = 0,18ат; 0 = 0,7; т =
= 2,714-0,7 — 3 (1 — 0,3) = 1,0.

Эксцентриситет продольной силы после усиления не меняет своего знака,
и прогибы стержня вне зависимости от величины начального напряжения
развиваются в направлении, совпадающем с направлением начальных про-
гибов.

Диаграмма прогибов усиленного под нагрузкой стержня представлена
на рис. 2.13, 6 кривой ОАА' БВГЕ. Кривая ОБ1Е1 характеризует работу
обычного стержня той же гибкости.

§ 2.3. Устойчивость стержней в плоскости действия моментов

Проникновение пластических деформаций в глубь сечений стер-
жня приводит к уменьшению его сопротивления изгибу, и при не-
которой нагрузке происходит нарушение равновесия стержня.

Решение задачи об устойчивости равновесия усиленных стержней
в плоскости их симметрии, совпадающей с плоскостью действия
моментов от внецентренного приложения нагрузок, проведем с ис-
пользованием метода, разработанного А. В. Геммерлингом. Как по-
казано в [7], критическая сжимающая сила для внецентреино
сжатого стержня, работающего в упругопластической стадии, по
своей величине равна критической силе для упругого центрально
сжатого стержня переменного момента инерции, закон изменения
которого по длине отвечает закону изменения момента инерции
второго расчетного сечения внецентреино сжатого стержня. При ма-
териале, подчиняющемся диаграмме Прандтля, второе расчетное
сечение совпадает с упругим ядром сечения. Поскольку критическое
напряжение зависит в основном от характеристик наиболее ослаб-
ленного сечения, момент инерции без большой погрешности можно
принять постоянным и равным моменту инерции упругого ядра
в среднем сечении внецентреино сжатого стержня. В этом случае
критическая сжимающая сила для внецентреино сжатого стержня
будет определяться обобщенной формулой Эйлера:

P -^lL=J^Lll3==p3	(2.72)

где /я — момент инерции упругого ядра среднего сечения относи-
тельно его собственной центральной оси; / — момент инерции всего

3 Г fa

сечения стержня; Н=1/ —--------приведенная относительная вы-

сота упругого ядра сечения.

Разделив обе части (2.72) на площадь стержня F, будем иметь
уравнение критического напряжения в виде

°кр = оэР3-	(2-73)

Выражение р, может быть получено для каждой схемы усиления
стержня. Так, для схемы усиления I наиболее общий вид это выра-
жение имеет при распределении напряжений по эпюре IV
(рис. 2.14, а), которой отвечает форма упругого ядра, показанная
на рис. 2.14, б (зона, захваченная пластическими деформациями,
заштрихована). Момент инерции упругого ядра относительно его
собственной центральной оси для этого случая может быть запи-
сан в виде

7Я = —(fp + ез(1_р)_|_3тер (1 —р) ~ V — 2 (б — Р)121

12 I/ к т v	r н v	тр + е(1_р)	/’

откуда

И3 = ~~~ = Т3Р + е3 (1 — Р) + ЗуеР (1 — Р)	~		(2.74)

1	ТР + е(1—р)
Уравнение (2.74) определяет приведенную высоту ph прямо-
угольного сечения, эквивалентного по своему моменту инерции
упругому ядру сечения стержня, усиленного по схеме I, во всех
стадиях его работы. Так, в упругой стадии у = е = 1, 6 = р = О,
р,3 = 1, рЛ = h; в стадии упругопластической работы при распре-
делении напряжений по эпюре /: е = 1, 6 = р = О,

^=v3p + (1_p) + 3Vp(i_p)lL^<	(2 75)

и т. д. Уравнения такого типа в дальнейшем будем именовать «урав-
нениями упругого ядра». Переменные е, 6, р, у являются зави-
симыми и для каждого типа
эпюры при фиксированных ве-
личинах о?с, Огс и р определя-
ются значениями оср. Эти зави-
симости для схемы усиления I
приведены в табл. 2.3.

На каждом этапе загр ужения
стержня каждому значению сред-
него по сечению напряжения стср
отвечает свое значение р, и, сле-
довательно, свое значение кри-
тического напряжения по урав-
нению (2.73). Отношение п =
= -?кр . дает величину коэффи-
Пср
циента запаса устойчивости для

Рис. 2.14. Эпюра IV (а) и отвечаю-
щая ей форма упругого ядра сече-
ния (б) (схема усиления I)

данного состояния стержня. Критическому состоянию отвечает
равенство оср = окр = аэрА

В § 2.2 был рассмотрен метод построения диаграмм прогибов
усиленных стержней, т. е. кривых зависимостей f от оср. Для стер-
жня определенной гибкости при каждом типе эпюры распределения
напряжений в его среднем сечении приведенная относительная
высота упругого ядра р, однозначно связана с величиной оср, а сле-
довательно, и с прогибом стержня f. Таким образом, критическое
состояние стержня можно определить графически, найдя точку
пересечения кривой критических напряжений по уравнению (2.73)
с кривой прогибов.

На рис. 2.6 кривые критических напряжений для обычного и
усиленного под нагрузкой стержней представлены кривыми KLP.
Таблица 2.3

Тип эпюры по рис. 2.4	Уравнения критического равновесия (схема усиления I)
I	_ А (1 — р + ЗРт2 — 2Рт3 — ц3)	(g°C g2C) (1 Р)  Сткр IV2 — (! — V)2 (1 — Р)1	2сткр  8 = 1; 6 = р = 0
па	„	3 (СТт - %) — gy (s2 — V2) <1 — Р) — ст2Се2 (1 — Р) ~ V2  ^кр  2<ткрТ  с9 + ]/ с? —4с,с, 2С1	; C!-V=  с2 = 2 [СТт ~ акр - СТ2СТ (! - Р)] + Y2 (а°С - °2С) Р:  сз =2 (стт - %) (ст°с - СТ2С) y + (°2С)2 т (1 — Р);  е	^ + ^)У—. в_р=10  СТУ - Р?С - СТ2С) Y

IIь

_ 3 (<тт — gKp) — 2<ттРу (Y + 36) — 6<гтр33 —
JYl —	X

^Kp

-3(g°c-ga) (i-p)-(gv + ga-g°c4-g°c)(i-p) Ртц3

сткр	°крТ

_ Ду +<Тт (1 — p + Рт2) . „ _2<ТТ —<TVY .

т (1 — р + Рт)	v

$ _ (СТУ — 2стт)

2<гт

р =0; 8=1

3(gT — %) — 2(гтРт (у	36) — бсттР52—(g? + g°c) s2 (! — Р)

Ша

сткр
Продолжение табл. 2.3

Тип
эпюры
по
рис. 2.4

Уравнения критического равновесия (схема усиления I)

ша

ci — Y (1 — Р); с2 = ?р [2от — (о°с — ст£с) y] + 0°CY (1 — Р);

сз =2 (стт - °кр + CTTvP) |Х - « - О y] - (а2с)2 v (1 - Р);

с_. (Ру + О? . е==
2ат_(а5>с_аос)? ’

(оу —2ot)y .	0.

2от

т  3 (от — <тКр) — ovy2P — 2оте (е + Зр) (1 — Р) — 6отр2 (1 — Р)

сткр
qvP3 
2ffKpY ’

IIIе

с2

Оу — —•

^2 + 4с1сз
2Ci

«1 = yP; с2 = у2₽ (о?с

сз = И (<ГТ - о°с) Y (1 - Р) - 2(<ГТ - 0кр) (о°с - о2с) у;

е =

2<TtY	р (<Ту + <т,2С-2Оу . е==0.

o°c-o°c)y’ 0у-К-^с)? ‘

IV

 3 (от—gKp) —2oty (y + 3^) Р~6отР^2—2стте (s+3p)X
<?кр

X(l—P) —6oTp2(l—P)	aTp3

oKp	aKPY

= [oT (1 + Y)-pkp] [2°t-(p?c-ct2C)y] -pty(1 -P) X

2oTV — Y2P (CT°C ~ CT2C)

X [2o°c-у (o?c-o2°c)]
2oty-y2P (a?C-°2Cj

f =________2OtY________.	= (ay + a2C —2ot)v .

2ot-(o?c-02°c)y ' P 2ot-(o?c-0°c)y

fl  (°v ~ 2(Tt) Y
2oT
В упругой стадии работы критическое напряжение равно эйлеро-
вому (р, = 1) и кривые критических напряжений параллельны оси
абсцисс. По мере развития пластических деформаций и уменьше-
ния р, кривые критических напряжений снижаются, и точки Д их
пересечения с кривыми прогибов отвечают критическому состоянию
стержней. Как показано в [7], эти точки соответствуют максимуму
диаграмм прогибов и, следовательно, метод упругого ядра дает
одинаковые результаты с приближенным методом Ежека. Измене-
ние плавности кривых в точках L и М связано с изменением типа
эпюры распределения напряжений в среднем сечении стержня и
обусловленным этим изменением формы и размеров упругого ядра
сечения.

Аналогично можно определить критическое состояние стержней
и при остальных схемах усиления (рис. 2.9; 2.11; 2.13).

Для практических расчетов диаграмм критических напряжений
более удобен аналитический метод, позволяющий обойтись без
построения диаграмм прогибов. Рассмотрим такой метод.

Момент внешней силы в среднем поперечном сечении внецен-
тренно сжатого стержня можно записать в виде

A<BH=P(e + /:)==orCpE^m-y- + -^- %) ,

или, учитывая эйлерово напряжение, в виде

=	+	(2-76)

Из (2.73) имеем в критическом состоянии

Мвкнр = окртГ + Д7хн3.	(2-77)

Для стержня прямоугольного поперечного сечения (2.77) может
быть приведено к виду

М*нр = (окрщ + рУ) .	(2.78)

Приравнивая моменты внешних и внутренних сил, получим урав-
нение критического равновесия

М0 = ЖР.	(2.79)

Проще всего (2.79) решается относительно т. В этом случае
уравнение критического равновесия запишется в виде

Выражение момента внутренних сил Мо и кривизна стержня х
в его среднем сечении могут быть найдены из рассмотрения каждого
типа эпюры распределения напряжений, а величина р, определена
из соответствующего уравнения упругого ядра.
Так, для схемы усиления I при распределении напряжений
по эпюре I (см. рис. 2.4) кривизна стержня в его среднем сечении
с учетом значения ov из (2.26) определяется выражением

_ у ОС _	_ __________2Л________

Л Ehy £7i[Y2 —(1—Y)2(l —Р)1’

(2.81)

Выражения момента внутренних сил (2.27) и относительной высоты
упругого ядра сечения (2.75) были получены ранее. Подставляя
(2.81) и (2.27) в (2.80), найдем

= д(1 р + 3рт2-2ртз из) о°с-ст°с
окр (У2-(1 - Т)2(1 - 0)1 2<тКр

(2.82)

Аналогично можно получить уравнения критического равно-
весия и для других типов эпюр. В качестве примера в табл. 2.3 эти
уравнения приведены для схемы усиления I.

Пределы применимости уравнений критического равновесия
определяются условиями существования каждого типа эпюры (см.
табл. 2.2). Подставляя в (2.74) выражения у = у°; у*; у“ и т. д.
из табл. 2.1, получим уравнения р°; р*; р“ и т. д., определяющие
области существования эпюр в координатах оср—р (рис. 2.15, а).

Зависимость между р и гибкостью стержня X в критическом
состоянии из (2.73) можно получить в виде (учитывая, что оэ =
я2£ \

“ К» )

Х=1/ ^Lp3.	(2.83)

г Окр

Подставляя в (2.83) выражения р“; р|; pf и т. добудем иметь урав-
нения кривых X,; Xj! Xf и т. д., определяющих области существо-
вания эпюр в координатах окр—X (рис. 2.15, б) и, следовательно,
пределы применимости соответствующих уравнений критического
равновесия.

При а°с = о°с = о°с = 0 и 0=1 уравнения критического
равновесия, приведенные в табл. 2.3, характеризуют устойчивость
обычного внецентренно сжатого стержня. В этом случае р3 = у3,
и для эпюр /, /Г и /77е имеем т = ?/(Тт~~(Ткр^1 ~-Н); откуда р =

Окр

— 1------, или, учитывая (2.83),

3 (От — Окр)

/п2Е ’1 оКр'» '3

Окр .	3 (<Тт — окр)

(2.84)

т. е. пришли к обычной формуле Ежека для односторонней теку-
чести.
Уравнения критического равновесия для эпюр Нь, Ша и IV
сводятся при р,3 = у3 к формуле Ежека для двусторонней текуче-

сти:

(2.85)

Рис. 2.15. Области су-
ществования эпюр
при фиксированных
значениях о°с = от;
а20С= — 0,5 от; Р=
= 0,6 (схема усиле-
ния I)

а — в координатах

—— ц; б—в координа-
°т

тах _ х

Таким образом, в частном случае обычного стержня предла-
гаемый расчетный метод определяет значения фвн — Сткр , соот-
от
ветствующие приведенным в СНиП И-В.З—62 * и незначительно
отличающиеся от значений <рви по СНиП II-B.3—72. Этот метод
позволяет рассчитать кривые критических напряжений для уси-
ленных под нагрузкой стержней при различных значениях а°с)
о°с, 0, т или, учитывая (2.3), при значениях а°с, т°с, 0, т. При
неизменности линии действия продольной силы величина т для
всех схем усиления однозначно связана с величиной т°с. Однако
в процессе нагружения стержня после усиления результирующий
эксцентриситет может измениться, например, при приложении до-
полнительных продольных или поперечных сил. Поэтому в общем
случае величины т и т°с будем полагать независимыми.

Порядок расчетов кривых критических напряжений при фик-
сированных значениях параметров а°с, а°с, 0 (или о°с, т°с, 0)
может быть различен. Задавшись, например, величинами акр и у,
принадлежащими данному типу эпюры (см. табл. 2.2), по формулам
табл. 2.3 и (2.75) можно найти отвечающее им значение р, а затем
по (2.83) и уравнению критического равновесия — соответствую-
щие значения Хит. Задаваясь последовательно рядом значений
акр при каждом значении у, рассчитывают кривые критических
напряжений при т = const.

Можно также задаться величинами акр и Л, определить тип
эпюры критического равновесия, найти по (2.73) р® и, решая
методом подбора уравнение (2.74), определить у. Подставляя затем
найденные величины в уравнение критического равновесия, можно
найти отвечающее им значение т.

В качестве примера на рис. 2.16, а приведены сплошными линиями кри-
вые критических напряжений для усиленных по схеме I внецентреино сжа-
тых стержней прямоугольного поперечного сечеиия. Эти кривые рассчитаны
для трех значений относительного эксцентриситета (т = 0,5; 1,5; 4,5) при
постоянных значениях коэффициента усиления (0 = 0,6) и краевых началь-
ных напряжений в момент усиления (о°с = от; <т£с = 0,5от). Величина о°с
выбрана максимальной (стержень в момент усиления находится иа пределе
упругой работы), что позволяет ярко показать влияние начальных нагрузок
во всем диапазоне гибкостей.

Постоянным значениям краевых начальных напряжений из (2.3) отве-
<т?с + <т°с
чает постоянное значение начального напряжения = -------------- =

= 0,25от и переменное (в зависимости от гибкости) значение начального
ос (^С-^С)«-^НС)
относительного эксцентриситета тн =—--------—---------— , изменяю-

2о°со°с

щееся в примере от т°с = 1,75 (при 1 = Хос = 120) до т°с= 3 (при 1 =
= Хос-> 0). Кривые критических напряжений при постоянном эксцентри-
ситете продольной силы (т = т°с) и переменных (в зависимости от гибкости)
значениях краевых напряжений приведены на рис. 2.16, б. Величина на-
чального напряжения о°с при расчете этих кривых выбиралась таким обра-
зом, что для стержней максимальной гибкости (X = Хос = 120) она была
близка к пределу упругой работы (<т°с и от).
Метод получения уравнений критического равновесия и иссле-
дования пределов их применимости для схем усиления II—IV ана-
логичен изложенному выше для схемы I.

о)

бт

0,6

0,6

0,4

0,2

4 °

Рис. 2.16. Кривые критических напряжений (схема усиления I)

В качестве примера на рис. 2.17, я показаны в координатах1
СГ<Р
области существования различных типов эпюр распределения напряжений
в среднем сечении стержня при схеме II его усиления, рассчитанные для
значений стг = стт; о2 = —0,5стт; Р = 0,5, а на рис. 2.17, б — соответствую-
щие этим значениям кривые критических напряжений при т — 1,5; 3.
Из условия (1.4) предельная гибкость стержней ограничивается значением
X =	₽ < Хтах = 1/ — ₽ « 93.

У <с

Рис. 2.17. Области существования эпюр (а) и кривые критических
напряжений (б) (схема усиления II)

Для сравнения на рис. 2.16 и 2.17, б приведены пунктирными линиями
соответствующие кривые критических напряжений для обычных (<т°с = 0)
внецентренно сжатых стержней, которые во всем диапазоне гибкостей н экс-
центриситетов проходят выше кривых критических напряжений усиленных
под нагрузкой стержней.
Кривые критических напряжений для стержней, усиленных под нагруз-
кой по схеме III, показаны на рис. 2.18, а. Они построены для случая, когда
линия действия продольной силы остается в процессе нагружения стержня
неизменной и относительный эксцентриситет после усиления связан с началь-
ным эксцентриситетом зависимостью (2.63). Кривая т = 2 отвечает случаю
достаточно больших начальных эксцентриситетов (т°с = 1,57>иг0 = 0,755),
когда для усиленных под нагрузкой стержней всегда характерны положитель-

ные остаточные прогибы и, соответственно, снижение критических нагрузок
по сравнению с обычными стержнями во всем диапазоне гибкостей.

При т = 1,25 (m°c = O,5<mo) и а°с = 0,32 от нулевому остаточному
прогибу отвечает из (2.67) о°с = 0,948 от, что соответствует гибкости X =
= ХОСР = 66,8. В диапазоне X >66,8 критические напряжения для усилен-
ных под нагрузкой стержней ниже, а в диапазоне X <66,8 (в соответствии
с отрицательным знаком £Ост) — выше, чем для обычных стержней. Гибко-
сти X = 66,8 отвечает точка пересечения кривых критических напряжений.
Диаграммы критических напряжений для стержней, усиленных под на-
грузкой и без нагрузки по схеме IV, приведены на рис. 2.18, б. Кривые т = 1
(т°с = 2,72) и т = 3 (т°с = 5,57) характеризуют случаи достаточно боль-
ших начальных эксцентриситетов, когда после усиления эксцентриситет про-
дольной силы, определяемый выражением (2.69), не меняет своего знака.
Для усиленных под нагрузкой стержней этн кривые во всем диапазоне гиб-
костей проходят ниже кривых критических напряжений обычного стержня.

Кривая т = — 0,5 (т°с = 0,571) соответствует случаям изменения
знака эксцентриситета. Максимум этой кривой имеет место прн гибкости
% = Х0СР = 89,1, отвечающей условию — е = f0CT. В диапазоне X >89,1
превалирует остаточный прогиб (f0CT Е> — е), и развитие прогибов после
усиления идет в направлении, совпадающем с направлением начальных про-
гибов. Значениям 1 <89,1 соответствует изменение направления прогибов
стержней после усиления. Вследствие взаимной компенсации е и £0СТ крити-
ческие напряжения для усиленных под нагрузкой стержней во всем диапа-
зоне гибкостей повышают критические напряжения для обычных стержней,
с самого начала работающих в условиях внецентренного сжатия с эксцен-
триситетом т = — 0,5.

Проведенное сравнение диаграмм прогибов и критических на-
пряжений позволяет сделать некоторые общие выводы о влиянии
начальной нагрузки на работу усиленных стержней. Характер
этого влияния во всех случаях усиления определяется знаком оста-
точного прогиба стержня, который может рассматриваться как до-
полнительный эксцентриситет.

При совпадении знака Д>ст со знаком эксцентриситета продоль-
ной силы для стержней, которые усилены под нагрузкой (по сравне-
нию с обычными стержнями), характерны повышенная деформа-
тивность, снижение предела упругой работы и критических напря-
жений (рис. 2.6; 2.9; 2.11; 2.13, б). Чем больше начальная нагрузка
на основной стержень, его гибкость и начальный эксцентриситет,
тем больше f0CT и тем значительнее снижение критических напря-
жений. С уменьшением гибкости стержня, возрастанием относи-
т

тельного эксцентриситета и отношения------- влияние усиления под

шн

нагрузкой становится менее существенным, Это объясняется умень-
шением абсолютной величины foct при Л -> 0, малостью foct
по сравнению с эксцентриситетом и приближением эпюры распре-
деления напряжений в критическом состоянии стержня при умень-
шении Л и возрастании т к эпюре пластического шарнира. Интен-
сивное развитие пластических деформаций приводит к сглажива-
нию неравномерностей в распределении напряжений в сечениях
стержня, формы и размеры упругих ядер для усиленных под на-
грузкой и обычных стержней сближаются, и в диапазоне малых
гибкостей и больших эксцентриситетов происходит выравнивание
критических напряжений (рис. 2.16—2.18).

Несовпадение знаков f0CT и е (f0CT < 0 при е > 0 или f0CT > 0
при е<0) возможно либо при несимметричных схемах усиления
стержней и малых начальных эксцентриситетах, либо при прило-
жении к стержням после усиления с другим эксцентриситетом боль-
64
ших добавочных продольных (или поперечных) сил. В обоих слу-
чаях для усиленных под нагрузкой стержней по сравнению с обыч-
ными характерно повышение пределов упругой работы и критиче-
ских напряжений (рис. 2.11, а; 2.13, а; 2.18), особенно существен-
ное при изменении знака эксцентриситета. В целом эти случаи
мало типичны.

Указанные особенности работы характерны для любых форм попереч-
ного сечения стержней и любых схем усиления. Рассмотрим в качестве при-
мера симметричную схему усиления стержня шнрокополочного двутавро-
вого сечення (рис. 2.19, а). При изгибе в плоскости, параллельной плоскости
полок, кривые критических напряжений для такого стержня будут подобны
кривым критических напряжений для схемы I усиления стержня прямо-

Рнс. 2.19. Схема усиления стержня двутаврового поперечного сечення (а)
н кривые критических напряжений при изгибе в плоскости стенки (б)

угольного поперечного сечения. Ввиду концентрации материала в полках
более существенно форма сечення должна сказываться прн изгибе в плоско-
сти стенки. Соответствующие кривые критических напряжений oKpjc для уси-
ленных под нагрузкой (о°с = 0,8 от; о£с = — 0,4 от; о°с = 0,2 nJ н обыч-
ных стержней приведены на рис. 2.19, б. Расчет этих кривых производился
методом, аналогичным изложенному выше, с использованием уравнений
(2.77) и (2.79). Как и для стержней прямоугольного сечения, снижение кри-
тических напряжений для усиленных стержней наиболее значительно в диа-
пазоне больших гибкостей н малых эксцентриситетов; по мере возрастания
т и уменьшения X влияние начальных нагрузок сказывается менее сущест-
венно.

Особый интерес представляет рассмотрение случаев усиления
внецентреино сжатых стержней при малых начальных эксцентриси-
тетах. К таким стержням относятся практически все центрально
сжатые элементы вследствие случайного нарушения центрации,
начального искривления и т. д.

Для оценки влияния малых эксцентриситетов сравним харак-
тер снижения критических напряжений для внецентреино сжатых
с минимальным эксцентриситетом т = т°^ = 0,1 и центрально

3 Заказ № 2339

65
сжатых стержней, симметрично усиленных по одинаковой схеме
(рис. 1.4, а) при одинаковых величинах ст„с = 0,3 стт и р = 0,6
(рис. 2.20, а, 1.5, б и 1.6, б). Существенное различие имеется в диа-
пазоне больших гибкостей, где при идеализированных условиях
нагружения стержни теряют устойчивость в упругой стадии и на-

а — кривые критических напряжений при т = т°с = 0,1; б — кривая ф

чальные напряжения не сказываются на критических нагрузках.
Это различие хорошо иллюстрируется сравнением кривых ip для
внецентренно сжатых (рис. 2.20, б) и центрально сжатых (рис. 1.7)
стержней. Обе кривые имеют минимум в диапазоне средних гибко-
стей, однако ip при т = 0,1 достигает своего наименьшего значе-
ния не в этом диапазоне, а в диапазоне больших гибкостей.

Приведенное сравнение показывает необходимость учета слу-
чайных начальных эксцентриситетов при оценке влияния началь-
ных нагрузок на устойчивость усиленных стержней.
§ 2.4. Влияние усиления под нагрузкой на устойчивость
стержней из плоскости действия моментов

При действии моментов в плоскости наименьшей гибкости вне-
центренно сжатого стержня потере его устойчивости в плоскости
действия моментов может предшествовать потеря устойчивости
в перпендикулярной плоскости. Соответствующую критическую
силу нормы определяют в виде NKp у = cNy, где Ny критиче-
ская сила потери устойчивости стержня в плоскости г—х при
центральном его загружении; с — коэффициент, учитывающий
влияние моментов Мх, действующих в плоскости симметрии (пло-
скости z—у).

При строгом решении коэффициент с должен отыскиваться как
отношение критического напряжения при пространственной по-
тере устойчивости к критическому напряжению продольного из-
гиба.

Однако сложность решения задачи пространственной устойчи-
вости стержня даже в упругой стадии его работы делает невозмож-
ным составление расчетных таблиц или графиков и требует для
каждого случая непосредственного решения уравнений устойчи-
вости. Еще более сложную задачу представляет собой отыскание
кр’игической нагрузки при работе стержней в упругопластической
стадии. Вопросами потери устойчивости за пределом упругости
занимались А. Р. Ржаницын, А. В. Геммерлинг, Б. М. Броуде,
Г. М. Чувикин и др., работы которых базировались на замене
упругопластического стержня эквивалентным ему упругим, ис-
ходя из метода упругого ядра или замены упругого модуля модулем
пластических деформаций. Расчет стержней в упругопластической
стадии существенно усложняется вследствие изменения формы и
размеров упругого ядра по мере развития пластических деформа-
ций, что влечет за собой перемещение центра тяжести сечения и
центра изгиба. Решение задачи устойчивости в этом случае воз-
можно лишь методом многократных повторных попыток.

Все это заставляет прибегать к более простым приемам для
определения коэффициента с. Наиболее распространенным из них
является игнорирование закручивания стержня и отыскание кри-
тической силы из плоскости момента как чисто изгибной критиче-
ской силы.

СНиП П-В.З—72 предлагает определять коэффициент с по при-
ближенной формуле, основанной на работах Б. М. Броуде [4]
и Г. М. Чувикина [24, 25]:

с=-----$---.	(2.86)

1 атх

При выводе этой формулы игнорировалось закручивание стержня
и снижение критических напряжений принималось пропорцио-
нальным отношению пластического модуля для наиболее сжатых
волокон сечения к упругому модулю. Формула (2.86) не учитывает
соотношения гибкостей стержня, что связано с игнорированием
его прогибов в плоскости действия моментов.

Такой прием, очевидно, не применим для оценки влияния на-
чального напряженно-деформированного состояния на устойчи-
вость усиленных стержней. Действительно, игнорируя особенности
развития прогибов и пластических деформаций в сечениях усилен-
ного стержня, мы придем к тому же решению и не оценим влияния
усиления под нагрузкой.

Другой подход к оценке устойчивости стержней из плоскости
действия моментов был предложен К. Ежеком [291. Он также рас-
сматривал только изгибные деформации и пренебрегал закручи-
ванием, но учитывал изменение формы и размеров упругого ядра
вследствие возрастания прогибов и развития пластических дефор-
маций в сечениях стержня. Как отмечал Н. С. Стрелецкий, «... иг-
норирование закручивания при потере устойчивости не может счи-
таться большим недочетом этого приема, т. к. при отсутствии де-
планации в опорном сечении, что обычно имеет место, влияние
закручивания двутавровых сечений на значение критических на-
пряжений невелико» [22, с. 2101. То же относится, очевидно, и
к другим профилям, достаточно жестким на кручение.

Используя этот прием, рассмотрим вначале задачу устойчиво-
сти обычного внецентренно сжатого с эксцентриситетом пгх стержня
прямоугольного поперечного сечения. Допущения, введенные в
§ 2.1, считаем справедливыми.

Критические напряжения по методу упругого ядра можно за-
писать в виде:

при потере устойчивости стержня в плоскости z—у (в плоско-
сти действия моментов)

Iя
сткр Х = оэх~г ~	(2.87)

' X

при потере устойчивости в плоскости z—х (из плоскости момента)
Iя

0кр у = оэу	= аэур.у 	(2.88)

‘у

Для стержня прямоугольного поперечного сечения в стадиях
односторонней и двусторонней текучести (рис. 2.21, а, б)

= Н3 = Т-	(2-89)

Поскольку величина у однозначно связана с величиной среднего
по сечению напряжения оср, а следовательно, и с прогибом стержня
fx в плоскости действия моментов, критическое состояние стержня
как в плоскости, так и из плоскости действия моментов можно оп-
ределить графически, найдя точки пересечения кривых по уравне-
ниям (2.87) и (2.88) с кривой прогибов. Так как законы изменения
и pj, при развитии пластических деформаций различны, то в за-
висимости от соотношения гибкостей стержня потеря устойчивости
в одном из направлений происходит раньше и определяет несущую
способность стержня. Досрочная потеря устойчивости из плоско-
сти действия моментов произойдет тогда, когда при данном разви-
тии пластических деформаций вследствие уменьшения размеров
упругого ядра отпорность стержня отклонению от положения рав-
новесия в плоскости z—х окажется меньше, чем в плоскости z—у.

Рис. 2.2.1. Эпюры односторонней (а) и двусторонней (б) текучести
и отвечающие им формы упругих ядер для стержней прямоуголь-
ного поперечного сечення

Вводя обозначение
k =	,	(2.90)

^у

величины аэу и oKPJ, можно записать в виде

а =	= а	(2.91)

эд X2 х2

aKP, = <W^2-	(2.92)

Отучаю одновременной потери устойчивости в плоскости дейст-
вия моментов и в перпендикулярной плоскости отвечает условие
<*крх = ОкРг/ или, с учетом (2.87) и (2.92), оэх^х = o3xiiyk2, от-
куда	______

£ = -1 /	(2.93)

f ^кр у
Подставляя (2.89) в (2.93), для стержня прямоугольного попереч-
ного сечения получим

= Укр х ~ Укр у	(2.94)

В формулах (2.93) и (2.94) ркр и укр отвечают критическому состоя-
нию стержня.

В качестве примера на рис. 2.22, а приведена кривая ОБЕ прогибов
в плоскости действия моментов внецентренно сжатых с эксцентриситетом
тх = 1 стержней фиксированной гибкости = 100. В упругой стадии ра-
боты (отрезок ОБ кривой) прогибы стержней описываются уравнением (2.19),
в стадии односторонней текучести (отрезок БЕ) — уравнением (2.28), где
оср определяется (2.31) при 3=1. Кривая критических напряжений KLP
по уравнению (2.87) пересекает кривую прогибов в точке Д, характеризую-
щей критическое состояние в плоскости действия моментов и отвечающей
значению уКрх= 0,775. Гибкости стержней предполагаются различными.
Кривые критических напряжений RSU, рассчитанные для различных зна-
чений k по уравнению (2.92), пересекают кривую прогибов в точках Т, от-
вечающих критическому состоянию стержней из плоскости моментов. При
стержни теряют устойчивость в плоскости моментов; при £<^Укрх
происходит досрочная потеря устойчивости в перпендикулярной плоскости.
Если значение оэу — o3Xk2 ие превосходит среднего напряжения, отвечаю-
щего пределу упругой работы стержня (в примере при k sg0,648), то потеря
устойчивости происходит в упругой стадии и критическое напряжение пкрр
равно эйлеровому оэу (при игнорировании кручения).

На рис. 2.22, б приведены кривые прогибов и критических напряжений
для внецентренно сжатых (тх = 1) стержней фнкснроваииой гибкости
Ку = 120 и различных гибкостей Кх. Как видно из рисунка, чем больше k,
т. е. чем ближе Кх к Ку, тем ниже критическое напряжение в плоскости z—х.
Таким образом, критическое напряжение окр у существенно зависит не
только от Ку, но и от Кх, Наименьшее критическое напряжение окр у для
стержня данной гибкости Ку отвечает соотношению гибкостей k по (2.93),
т. е. случаю, когда точка Т совпадает с точкой Д максимума кривой проги-
бов. Этому случаю отвечает одновременная потеря устойчивости стержня
как в плоскости действия моментов, так и в перпендикулярной плоскости.

Для стержня прямоугольного сечения нетрудно получить и
аналитическое выражение для определения критических напря-
жений из плоскости действия моментов. Подставляя значение
р = 1 и оэл. из (2.92) и (2.89) в уравнение (2.30) и решая последнее
относительно у, получим его критическое значение при потере устой-
чивости в плоскости z—х:

Тир у == — ±	(д-У —с2,	(2.95)

где

Используя теперь зависимость (2.88) между эйлеровым и сред-
ним напряжением в критическом состоянии, получим

4=1/-^-^-	(2.96)

Г Окр
Рнс. 2.22. Кривые прогибов и критических напряжений для стержней
прямоугольного поперечного сечення

а — при кх = const и различных б — при ку = const н различных
Предел применимости уравнения (2.95) определяется условием
k =^1- При у = 1 стержень теряет устойчивость из плоско-
сти изгиба в упругой стадии, и кривая критических напряжений
для него описывается гиперболой Эйлера; при y<2k раньше проис-
ходит потеря устойчивости в плоскости момента. Подставляя зна-
чение k = укр в (2.95), получим

v _ 1________qKPm

'КРР 3(ат-акр)’

или, учитывая (2.96),

1 Г пI 2Е ' ।сткрт
г °кр .	3 (ат — ®кр).

(2.97)

Уравнение (2.97) отвечает случаям одновременной потери устой-
чивости и определяет для стержня каждой гибкости\у наименьшее
критическое напряжение из плоскости действия моментов, т. е.
описывает огибающую кривую минимальных критических напря-
жений <7крг, для всех значений k в стадии односторонней текучести.

Аналогично можно получить уравнение огибающей кривой акр у
и для стадии двусторонней текучести:

л4£2 ( j_____<%р

акр \ О?

2 сткрт

3 (J'p

(2.98)

Нетрудно видеть, что уравнения (2.97) и (2.98) полностью анало-
гичны уравнениям (2.84) и (2.85) критических напряжений в пло-
скости действия моментов, только в соответствии с (2.83) и (2^89)
подкоренное выражение для у стоит не в кубе, а в первой степени.

Кривые минимальных критических напряжений из плоскости
моментов по уравнениям (2.97) и (2.98) для различных значений пгх
представлены на рис. 2.23 сплошными линиями. Каждая точка
этих кривых отвечает своему наибольшему значению k, определяе-
мому условием (2.94). Пунктирными линиями представлены кри-
вые критических напряжений при тх — 1 по уравнениям (2.96)
и (2.95), отвечающие значениям k = const.

Изложенный метод может быть использован и для усиленных
под нагрузкой стержней. Рассмотрим в качестве примера I схему
усиления стержня прямоугольного поперечного сечения. Общее
выражение р3 для этой схемы можно записать в виде (рис. 2.14)

Iя

^ = -r = E-₽3(E-Y)-
Jy

В стадии упругой работы е = у = 1 и р3 = 1; в стадии упруго-
пластической работы при распределении напряжений по эпюре /
е = 1 и = 1 — Р3 (1—у) и т. д.
Подставляя (2.92) в (2.76), выражение момента внешних сил
в критическом состоянии стержня при потере устойчивости в пло-
скости z—х можно получить в виде

Мкр у =	( СГКр ут +	•

Приравнивая моменты внутренних и внешних сил, получим урав-
нение критического равновесия в плоскости, перпендикулярной
плоскости действия моментов:

Рис. 2.23. Кривые критических напряжений для стержней прямо-
угольного поперечного сечения в плоскости, перпендикулярной
плоскости действия моментов

Поскольку уравнение (2.99) полностью аналогично общему уравне-
нию (2.80) критического равновесия в плоскости моментов при за-
мене в последнем р2 на p$F, то и частные уравнения, приведенные
в табл. 2.3, при соответствующей замене будут описывать критиче-
ское состояние усиленных стержней в перпендикулярной плоско-
сти. Зависимость между гибкостью стержня Ку и рЗ в критическом
состоянии из (2.88) определяется выражением

Г ОКр у

Критические напряжения из плоскости достигают своего наимень-
шего значения при соотношении гибкостей Кх и Ку, отвечающем
условию (2.93). При подстановке значения k из (2.93) уравнение
(2.99) сводится к (2.80), и уравнения табл. 2.3 описывают кривые
минимальных критических напряжений из плоскости действия мо-

Рис. 2.24. Огибающие кривые минимальных критических напря-
жений в плоскости, перпендикулярной плоскости действия мо-
ментов

а — для стержней прямоугольного сечения, усиленных по схеме I; б —
для стержней двутаврового сечения, усиленных по схеме рис. 2.19, а

ментов для стержней, гибкость которых определяется выражением

4=1/

Г акр у

Метод расчета кривых окр у аналогичен изложенному в § 2.3 ме-
тоду расчета кривых критических напряжений в плоскости момен-
тов. На рис. 2.24 приведены сплошными линиями огибающие кри-
вые минимальных критических напряжений в плоскости, перпен-
дикулярной плоскости действия моментов, для усиленных под на-
грузкой стержней прямоугольного (схема усиления 7) и двутавро-
вого (схема усиления по рис. 2.19, а) поперечных сечений. Там
же для сравнения пунктиром приведены огибающие кривые акр у
для обычных (о°с = 0) стержней того же сечения.

Как видно из рисунка, для усиленных под нагрузкой стержней
прямоугольного сечения минимальные критические напряжения
окр у во всем диапазоне гибкостей не превышают минимальных кри«

Рис. 2.25. Сравнение коэффициентов с для стержней
двутаврового сечения

тических напряжений для обычных стержней. Однако снижение
критических напряжений из плоскости моментов менее существенно,
чем в плоскости (см. рис. 2.16, б), и имеет менее ярко выраженный
характер зависимости от гибкости и эксцентриситета.

Для стержней двутаврового сечения в некотором диапазоне гиб-
костей критические напряжения для усиленных под нагрузкой
стержней могут даже превышать критические напряжения для
обычного стержня, что связано с особенностями изменения формы
упругого ядра двутавра при развитии пластических деформаций.
В диапазоне больших гибкостей для усиленных стержней харак-
терно снижение критических напряжений, особенно существенное
при малых эксцентриситетах. В диапазоне средних и малых гиб-
костей развитие пластических деформаций выключает более сжа-
тую полку двутавра из работы. Двусторонняя текучесть для стерж-
ней двутаврового сечения практически не имеет места (при не очень
больших эксцентриситетах), и поэтому неравномерность распреде-
ления напряжений в растянутой полке сечения (работающей в уп-
ругой стадии) не сказывается на критических нагрузках. Следст-
вием этого является практическое совпадение в указанном диапа-
зоне кривых критических напряжений для усиленных и обычных
стержней.

В целом о характере влияния усиления под нагрузкой на устой-
чивость стержней как в плоскости, так и из плоскости действия
моментов можно судить по знаку остаточного прогиба, рассматри-
ваемого как дополнительный эксцентриситет.

Представляет интерес сравнить коэффициенты с, определяемые
изложенным методом для обычных стержней, с нормативными их
значениями. На рис. 2.25 приведены сплошными линиями кривые
минимальных значений с, соответствующие огибающим минималь-
ным кривым <7крг, для стержней двутаврового сечения (рис. 2.24,6).
Там же пунктирными линиями показаны кривые с по СНиП
П-В.З—72. Сопоставление кривых показывает в целом их подобие,
несмотря на различный подход к оценке устойчивости стержней.
Это подтверждает допустимость использования изложенного при-
ближенного метода.

Одновременно обращают на себя внимание следующие обстоя-
тельства. Во-первых, нормативные значения коэффициентов с оп-
ределяют критические нагрузки, близкие к минимальным для всех
соотношений k гибкостей стержней. Следовательно, для значений k,
меньших определяемых условием (2.93), нормы должны давать из-
быточный запас устойчивости из плоскости действия моментов.
В то же время при малых эксцентриситетах и значениях k, близких
к (2.93), пренебрежение соотношением гибкостей может привести
в отдельных случаях к некоторому завышению критических нагру-
зок. Указанные обстоятельства связаны с игнорированием проги-
бов стержней в плоскости действия моментов при выводе формулы
(2.86).
ГЛАВА 3

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА УСИЛЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

§ 3.1. Общее уравнение прогибов усиленных стержней
в упругой стадии работы

Рассмотрим общий случай усиления под нагрузкой внецентреино
сжатого призматического стержня произвольного поперечного се-
чения. Гипотезы и допущения, введенные в § 2.1, считаем справед-
ливыми.

Пусть под действием приложенной с эксцентриситетом е°с про-
дольной силы Рн основной стержень в момент усиления имеет про-
гиб /нС в среднем сечении, определяемый (2.2), а уравнение его
изогнутой оси описывается синусоидой:

^HC = ^HCsinJp--	(3-1)

При усилении стержня под нагрузкой возможны два случая.
В первом случае присоединение элементов усиления осуществляется
без их предварительного изгиба (при присоединении элементов
к плоским поверхностям, параллельным плоскости изгиба основ-
ного стержня — аналог I схемы усиления стержня прямоуголь-
ного поперечного сечения). Процесс усиления не изменяет напря-
женно-деформированного состояния основного стержня, и его про-
гиб в среднем сечении остается неизменным:

/н = ГнС.	(3.2)

Переменностью сечения и его момента инерции будем пренебрегать.

Во втором случае элементы усиления присоединяются к криво-
линейным поверхностям основного стержня, и для обеспечения
прилегания по всей длине стержня они должны быть предвари-
тельно прижаты с помощью стяжных устройств. Система сил, со-
здаваемая стяжными устройствами, может быть представлена как
распределенная по некоторому закону поперечная нагрузка q,
приложенная к основному стержню и элементам усиления
(рис. 3.1, а).

Под действием этих сил сечения основного стержня получат
перемещения &у°с, а сечения элементов усиления — перемещения
<. Если считать, что стяжные устройства не обеспечивают сов-
местности деформаций, т. е. деформации элементов происходят
независимо друг от друга, то окончательные перемещения сечений
будут связаны зависимостью

гиос—woc —	.	(3.3)

Уравнение изогнутой оси стержня после полного прижатия эле-
ментов усиления примем по синусоиде

Рис. 3.1. Схема прогибов стержня при усилении
а, б, в — для I расчетной модели; г — для П расчетной модели

(3-4)

Тогда перемещения сечений основного стержня составят

йуос^луос-^луус^ (foe Гус\ sin —

(3.5)

Заменяя взаимодействие основного стержня и элементов усиления
в точках их контакта реакциями R и считая, что наличие силы Рн
(в силу независимости деформаций) сказывается только на пере-
мещениях основного стержня (рис. 3.1, б, в), определим эти пере-
мещения. Момент сил q, необходимый для изгиба элементов уси-
ления, определим из приближенного дифференциального уравне-
ния изогнутой оси элементов:

Л1ус==Л19= — £2Zyc(ayyc)" = /yc^^^sin^-,	(3.6)

где 2 ^УС — сумма собственных моментов инерции элементов, уси-
ления.
При рассмотрении перемещений сечений основного стержня
под действием нагрузки q и продольной силы Рп используем сфор-
мулированный С. П. Тимошенко [23] принцип наложения, согласно
которому прогибы сжатого стержня под действием поперечных сил
можно рассматривать независимо от его начальных прогибов, если
при этом учитывать наличие продольной силы.

Моменты в сечениях основного стержня, вызванные поперечной
нагрузкой q, с учетом изменения его прогибов будут определяться
выражением

= - (м, + РХС) = - [/У	+

+ Р.К-Dlsin^.	(3.7)

Используя дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня
(шос)" = —и подставляя в него значения Мос из (3.7) и
&у°с из (3.5), получим

foc_fyc =-------Ifyc я2£2/ус._|_ р //ОС_^УС\1	(3 8)

'н '« Л2£/ОС L *	12	" “	* 'J 4

Решая (3.8) относительно /ус, найдем

/ус = Н!_____Р-^-\  [— + (1------------1 •	(3.9)

* н (	л2£/°с / [ /ос ( л2£/ос /]

Л2£'/Ос пос

Учитывая, что —-— = Рэ и вводя обозначение

рос

аос =--------,	(3.10)

Р°с — Рн

окончательный прогиб стержня в среднем сечении после присое-
динения элементов усиления можно записать в виде

/н = /f = /°нс--г—-----.	(3.11)

• аос2/Ус+7ос	'

Разность между /н и /нС характеризует обратный выгиб
стержня в среднем сечении:

С ____ ГОС _ ГОС <Х0С2/УС

°' в '*	аос£/ус_|_ /ос

Соотношение между прогибами основного стержня и
усиления определяется выражением

/°с	а0с2/Ус

р/с	/ос

Заметим, что при Рп = 0 (аос = 1) прогибы элементов обратно
пропорциональны их моментам инерции; воздействие же продоль-

основного

(3.12)
элементов

(3.13)
ной силы на основной стержень приводит к возрастанию его про-
гибов при стягивании элементов в аос раз. Чем ближе начальная
нагрузка Рн к эйлеровой силе РэС, тем больше обратный выгиб
основного стержня при присоединении элементов усиления.

Подставляя (3.11) в (3.6) и (3.7), можно определить моменты
в среднем сечении, вызывающие изгибные деформации элементов
при их стягивании:

Мус = Р°7°с----;	(3.14)

аос2/Ус4-/ос	'

М°с = — (Р°с + РваС) f°n --—-------•	(3.15)

v н 7 аос2/Ус + 7ос	4

Изложенная схема деформаций стержня при присоединении эле-
ментов усиления отвечает общему случаю рассмотренной в § 2.2
первой расчетной модели.

Вторая расчетная модель строилась на предположении о том,
что закрепления, создаваемые стяжными устройствами, обуслов-
ливают вовлечение основного стержня и элементов усиления в сов-
местную работу. В этом случае на изгибные деформации основного
стержня и элементов усиления будут накладываться общие изгиб-
ные деформации стержня в целом, вызванные уменьшением мо-
мента продольной силы при уменьшении прогиба стержня. Рас-
смотрим эти деформации для общего случая усиления.

Пусть под действием стягивающих усилий q перемещения се-
чений основного стержня и элементов усиления описываются урав-
нениями

луос = foe Sjn _2£_  ayyc^^ycsin— .

Моменты, вызывающие эти перемещения, будут определяться вы-
ражениями

—Л40С = —Е/ОС(&У°С)" =	fee sin	.

Д4ус = _Е^/ус^усу =	/ус Sin	.

Поскольку мы считаем, что дополнительные моменты от воз-
действия продольной силы Рн воспринимаются сечением стержня
в целом, составляющие перемещений основного стержня и эле-
ментов усиления под действием нагрузки q будут обратно про-
порциональны их изгибным жесткостям

шос	f°c	2 7УС

—.	(3.16)

wyc	pc	/ос	V '

Уменьшение прогибов стержня на величину &у°с вызовет уменьше-
ние изгибающих моментов в сечениях от силы Рн и обусловит об-
щие изгибные деформации стержня в целом:

^общ _^общ sjn 22L_

(3.17)

Уменьшение изгибающих моментов составит

Д|ОбЩ = — Рн (ауос ауобщ) — _ Рн (foe fo6in( sin 2L_ .	(3.18)

Прогибы &у°бщ определим обычным способом из дифференци-
ального уравнения

— Е/общ	" = Л4общ.	(3.19)

Подставляя (3.17) и (3.18) в (3.19), получим

/°бщ = £>срн . ^л»Е/°бщ 	'	(3 20)

Составляющие общих и частных перемещений будут наклады-
ваться друг на друга, и в конечном состоянии после присоединения
элементов усиления прогибы в среднем сечении определяются вы-
ражениями (рис. 3.1, д).

/н=/Г-£бщ; /о.в=Г+/:бщ; Гнс=^и+/о.в- (3.21)

Отметим, что в процессе деформаций элементов общий момент
инерции стержня /общ является величиной переменной. В конеч-
ном состоянии величина /общ будет равна моменту инерции стержня
после усиления, и (3.20) можно переписать в виде

zo6i« = zoc_Ph	(3.22)

-- * н

Используя теперь (3.16), (3.22) и вводя обозначение

“=7^.	<3.23)

* э * н

найдем из (3.21) конечные составляющие перемещений и прогибы
в среднем сечении стержня

;ОС__ ГОС _2/УС	гус___ ГОС /°С	.	гобщ____

*	/н £/ус_|^/ос	>	'* -_'н	2/Ус4-/ос	’	*	~

_ __ toe (а-1)2/ус .
s/yc-|_/oc ’

сое Л аЗ/Ус \
\	2/У0 +/ос )

;ос «2 /ус

" 2/УС-|_/ос

(3.24)

(3.25)

(3.26)

Поскольку направление прогибов ff, /^бщ и f0. в противопо-
ложно направлению и [я, этим величинам приписан отрица-
тельный знак.
Моменты в среднем сечении стержня, определяющие изгибные
деформации элементов при стягивании, найдем подстановкой (3.24)
в (3.15) и (3.18):

— Мос = Мус = Рэ°7°с----;	(3.27)

27ус + /ос	'

Мобщ = — Рна/°с------------.	(3.28)

2/ус /ос	'	’

Используя уравнения моментов (3.14) и (3.15) или (3.27) и (3.28),
можно для обеих рассмотренных моделей определить изгибные на-
пряжения оус; о°с; о°бщ, возникающие в среднем сечении элемен-
тов. Суммируя эти добавочные изгибные напряжения с началь-
ными напряжениями до усиления, определим ординаты эпюры на-
пряжений в среднем сечении стержня после присоединения элемен-
тов усиления. При наличии нескольких элементов усиления момент
7Иус распределяется между ними пропорционально их собственным
моментам инерции:

мгс = мус-^-
2/ус

Выведенные в настоящем параграфе формулы в частном случае
усиления стержня прямоугольного поперечного сечения сводятся
к частным формулам, приведенным в § 2.2. Так, для схемы усиле-
ния II выражения (3.11) и (3.25) при подстановке в них значений
/°с =	; S/yc = \2b (h j : 12 и из (2.2) сводятся

к (2.49) и (2.59) соответственно; для III и IV схем при подстановке
- гос ь (Лб)3 rye bhs (1 — Р)3 ,о осч	,о сеч

значении 7 = и /ус =------------4 н  (3.25) сводится к (2.65)

и т. д.

Расчет прогибов и напряжений, возникающих при присоедине-
нии элементов усиления к основному стержню произвольного се-
чения, проиллюстрирован ниже примером 3.1. Изложенный метод
позволяет получить эти характеристики и для случаев последо-
вательного присоединения элементов усиления, если геометриче-
ские параметры стержня и характеристики его напряженно-де-
формированного состояния по завершении каждого этапа усиле-
ния принимать в качестве начальных.

Перейдем теперь к выводу общего уравнения прогибов усилен-
ного стержня в упругой стадии его работы. Эксцентриситет про-
дольной силы Рн после усиления стержня в общем случае опреде-
лится выражением

е = е°с-есм,	(3.29)

где есм — смещение центра тяжести поперечного сечения в резуль-
тате несимметричности усиления.

Если после усиления стержень разгрузить, то в общем случае
ему будут присущи некоторый остаточный прогиб f0CT в среднем
сечении и внутренне уравновешенная эпюра остаточных напряже-
ний. Форму изогнутой оси стержня после разгрузки примем в виде
синусоиды

йУост = /ост sin -у- .	(3.30)

Рассмотрим работу такого стержня при нагружении его про-
дольной силой с эксцентриситетом, определяемым выражением
(3.29). Под действием продольной силы стержень получит добавоч-
ные прогибы wt и полные ординаты кривой прогибов составят
w — wr + u»0CT. Изгибающий момент в любом поперечном сечении
будет равен М = Р (и>х + и»ост) + Ре. Следовательно, для опре-
деления прогибов имеем

— а»1 = —^i + — ^ост + — •	(3.31)

Полагая уравнение изогнутой оси от действия момента 7И0 = Ре
£ . nz

в виде синусоиды u»o=/'osin -у—, получим

Ре	'<	л2	£	• ?tz	.г,

------= ny„ =-------/о sin--,	(3.32)

El	0	P	I	v	’

и подставляя г = —, найдем выражение прогиба f0 в среднем
сечении стержня:

Подставляя теперь (3.30) и (3.32) в (3.31) и обозначая — =
EI

= с2, получим дифференциальное уравнение

tei] + c2w. = — c2f sin—--— fosin-^-. (3.34)

Будем искать решение этого уравнения также в виде

a>i = /isin-y-.	(3.35)

После подстановки (3.35) в (3.34) получим

Л2 £	• 3TZ . О£ • ЛИ

------n sin------Р су, sin--—

р 11 I 11 I

. лг л2 £ лг
= —С7ост SIH —------— f0 Sin — ,

откуда, учитывая значение с и f0 из (3.33),
Окончательные ординаты кривой прогибов составят

W = (А + Ы sin	= Р?±Р°^- Sin ,

и прогиб в среднем сечении будет

f=wmax=Pe + P^..	(3.36)

*э *

Поскольку в упругой стадии работы кривые прогибов разгрузки
и нагружения стержня (по тому же закону) идентичны, то при на-
грузке, отвечающей моменту усиления (Р — Ря), уравнение (3.36)
должно определять начальный прогиб стержня /н. Следовательно,
для определения f0CT имеем из (3.36) Р?е р^ост =

Рэ - Рн

откуда

focT = (f—Рнр)/н~Л,е-	(3.37)

° э

Подставляя теперь (3.37) в (3.36), получим общее уравнение
прогибов стержня в упругой стадии его работы после усиления

f _ (Р Рн) й 4~ (Рэ - Рн) fn	/О QQ\

Рассматривая прогиб как функцию от Р, о направлении развития
прогибов после усиления можно судить по возрастанию или убы-
ванию функции f (Р), т. е. по знаку производной f (Р) —

(Рэ — Рн)(е + f„) о

= v IP ру ' • Знак производной определяется знаком мно-
жителя е + Развитие прогибов стержня в направлении, проти-
воположном направлению начального прогиба fa, возможно лишь
при изменении знака эксцентриситета продольной силы после
усиления и выполнении условия e<j — fn. При неизменной линии
действия продольной силы это условие сводится к

-^см<-(^с + /н).	(3.39)

При (е + fH)>0, т. е. в подавляющем большинстве случаев, на-
чальный прогиб обусловливает более интенсивное развитие про-
гибов усиленного стержня и является нагружающим фактором.

Поскольку из сравнения (3.11) и (3.25) видно, что вторая рас-
четная модель всегда определяет большие значения fa, она и в даль-
нейшем будет приниматься в качестве основной.

Предел упругой работы усиленного стержня может наступить
в результате появления текучести как в основном стержне, так и
в элементах усиления и определяется общим уравнением

^ = ^н + Л^=^т,	(3.40)

где о1Н— начальное напряжение в i-й точке сечения после при-
соединения элементов усиления; До,- — приращение напряжений
в i-й точке при возрастании продольной силы.
Пусть продольная сила Ря получила после усиления прираще-
ние ДР: Р=РН + ДЛ Приращение момента продольной силы
будет определяться, выражением

bM = M-Ma=P(e+f)-Pn(e+fa). (3.41)

Подставляя (3.38) в (3.41), получим

Д М = РЛР-Р.Хе + Ы),, = РЛР -^ е (з.42)
Рэ - Р	Рэ-Р

где

еэкв = е + /н-	(3.43)

Приращение напряжений в t-й точке сечения усиленного стержня
составит

. _	। АМ „ _Р-РН/. । т Рэ

р Н" j Ui р Н +	р ___р j

= (Pep —Он) ( 1 +	экв -	’	<3-44)

\	э ср /

р

где а =—— = <т0СР; yi — ордината i-й точки относительно центра
F

тяжести усиленного сечения; т(. экв — относительный эксцентри-
ситет для рассматриваемой точки сечения:

^4 ЭКВ ~ ^ЭКВ ~~j~ У it	(3.45)

Подставляя (3.44) в (3.40) и решая относительно <тср, получим
уравнение, определяющее появление текучести в t-й точке:



(3.46)

где с* оэ (1 -]* mz экв) 4~ от 4~ он о,- н, с2 сгэ [от 4- он (1 4~
+ mi экв) — °7нЬ Из условий появления текучести в характерных
точках сечения усиленного стержня можно определить предел
его упругой работы, отвечающий наименьшему значению оср.

Используя (3.44), найдем ординаты эпюры остаточных напря-
жений после разгрузки усиленного стержня (при Р = 0), которые
будут определяться уравнением

ост н	О н (1 4" экв) •

(3-47)

В частных случаях усиления стержней прямоугольного попе-
речного сечения полученные формулы сводятся к частным форму-
лам прогибов и напряжений в среднем сечении усиленных стержней
в упругой стадии их работы, приведенным в § 2.2.
е)

12:
'114

-1519

(-1265)

2400

( 2400)

3)

1146
174^(1010)
(145)

-1767\
(-1554)

-1375
(-1207)

Рассмотрим на примере метод расчета этих характеристик для
общего случая усиления стержня произвольного поперечного се-
чения. Этот метод может быть использован при определении пре-
дела упругой работы (и, следовательно, предельно допустимой на-
грузки) сжатых элементов, для которых работа в упругопластиче-
ской стадии недопустима.

Пример 3.1. Стержень таврового поперечного сечения из двух уголков
75 X 8 (рис. 3.2) сжат продольной силой Рн = 16,9 тс с эксцентриситетом
= 1,815 см в сторону обушка уголков (в плоскости z— у). Основные ха-
рактеристики стержня до усиления: I х = 279 см; Foc = 23 см2; /°с =
= 119,6 см4; г°с = 2,28 см; А,°с = 122,3; о™ = 1390 кгс/см2; Р, = 32 тс;
о°с = 735 кгс/см2; аос = 2,12.

Краевые начальные напряжения в основном сечении (рис. 3.2, б) опре-
делим по (2.3):

о°с= 735 И +11^2,15-2,12^= 1900 кгс/см2;
\	119,6	)

= 735 f 1 — 1^5,35-2,12^ = —2170 кгс/см2.

2	\	119,6	/
Рис. 3.2. Схема уси-
ления сечения (а);
эпюры напряжений
в среднем поперечном
сечении (6—з) и диа-
грамма прогибов
стержня в среднем се-
чении (и)

Начальный прогиб основного стержня по (2.2) составит fHX =----11—— =

32	16,9

= 2,03 см.

Усиление стержня осуществляется присоединением элемента усиления
из уголка 75 X 8. Характеристики стержня после усиления: F = 34,5 см2;
/Ус = 24,8 см4; / = 334,9 см4; г, = 3,12 см; А, = 89,5; ст = 2590 кгс/см2;
х	1	’ х	X	X	эх

р

Рэх = 89,3 тс; а = 1,235; стн =—— = 490 кгс/см2; еси = 1,615 см; е =
F

= e°Qx- есм = 1,815-1,615 = 0,2 см.

Прогибы и моменты, возникающие в среднем сечении стержня при при-
жатии элемента усиления, определим в соответствии со второй расчетной
моделью по формулам (3.25) — (3.28):

/н = 2,03 1

1,235-24,8 \	..

------------- = 1,6 см;

24,8+ 119,6/

/0. в =—2,03 1’235-24-^

24,8+119,6

24 8

= —0,43 см; — Л40С = Л4УС = 32 000-2,03----------= 11 500 кгс-см;

24,8+119,6

24 8

Mo6m= — 16 900-1,235-2,03---------’---

24,8+ 119,6

— 7260 кгс-см.
Характерные ординаты эпюр напряжений в среднем сечении стержня
от действия моментов Л40С, /Иус, /Ио6щ составят (в кгс/сма):

=	- И 500.2,15 _ _

/ОС	119,6

' X

О°с =	ос = -11 500. ( _ 5,35) = 500;

/ОС	119,6

1 X

or=^i^ = l^-0.{_2,7)=-1215;

'* /ус У1 24,8 V

1 X

=	11^.3,04 =1370;

* /Ус 3	24,8

*х

ст?бЩ=^1 = 22^0.0,535= - 12;

1Х 334,9

„Общ Л4°бщ	-7260

„?««_'^s,_’2“.6,275__136.

3‘ 1Х	334,9

Соответствующие эпюры напряжений показаны на рис. 3.2, в, а, д сплош-
ными линиями. Ординаты результирующей эпюры напряжений после уси-
ления стержня (рис. 3.2, е) будут равны (в кгс/сма):

а^ = 1900 — 200—12= 1688;	= — 1215 — 12 = —1227;

аан = — 2170 + 500 4- 151 = — 1519; азн = 1370 — 136 = 1234.

Предел упругой работы стержня, определяемый появлением текучести
в волокнах 3 элемента усиления, найдем из уравнения (3.46):

34 5

«экв = е + /н = 0,2 4- 1,6= 1,8 см; отзэкв = 1,8 —— 6,275 = 1,165;

334,9

Ci = 2590 (1 4- 1,165) 4- 2400 4- 490 — 1234 = 7256;

са = 2590 [2400 4- 490 (1 4- 1,165) — 1234] = 576 000;

оср = 3628 — V36282 — 576 000 = 908 кгс/см2;

Р = CTcpF = 908-34,5 = 31 300 кгс.

Легко убедиться, что появлению текучести в других волокнах сечения
отвечают более высокие значения оср.

Приращение напряжений (в кгс/см2) в характерных точках сечения
на пределе упругой работы определим по уравнению (3.44):

/	34 5	9590	\

Д О1 = (908 — 490) /1 4- 1.8——- -0,535 ——— = 482;

\	334,9	2590 — 908/
[34 3

1 + 1,8———•( — 6,965)-1,54 =—416;

334,9	J

До8 = 418(1 + 1,165-1,54)= 1166.

Суммируя эти напряжения с начальными (рис. 3.2, е), получим ординаты
эпюры, отвечающей пределу упругой работы (рис. 3.2, ж). Используя (3.47),
можно определить и ординаты эпюры остаточных напряжений после раз-
грузки усиленного стержня (рис. 3.2, з).

Диаграмма прогибов стержня, рассчитанная по управлениям (2.2) н
(3.38), приведена на рис. 3.2, и сплошной линией. Кривая ОА характеризует
работу стержня до усиления, прямая АА' — обратный выгиб стержня при
усилении, кривая А'Б — прогибы стержня после усиления до предела уп-
ругой работы. Отрезок ОЖ отвечает остаточному прогибу усиленного стержня
при его разгрузке.

Для сравнения штрихпунктирными линиями показаны эпюры напря-
жений и кривая прогибов ОАА^! стержня, отвечающие первой расчетной
модели его деформаций при усилении. Соответствующие ординаты эпюр на-
пряжений приведены цифрами в скобках.

§ 3.2. Приближенные методы расчета устойчивости и прочности
усиленных стержней

Приведенное в предыдущей главе решение задачи устойчиво-
сти усиленных стержней в плоскости действия моментов имеет до-
вольно сложный вид даже для стержня простейшей прямоуголь-
ной формы поперечного сечения н простейших схем усиления. Кри-
тические напряжения потери устойчивости являются функцией
начального напряжения а„с, начального эксцентриситета е°„,
схемы усиления, коэффициента усиления р, гибкости стержня Л
и конечного эксцентриситета е. Принципиально изложенный метод
может быть, как уже отмечалось, использован для определения
критических напряжений стержней любой формы поперечного се-
чения при любой частной схеме их усиления. Существенное влия-
ние на величину критических напряжений оказывают дополни-
тельно такие факторы, как соотношение моментов инерции, форма
поперечного сечения основного стержня н элементов усиления.

При использовании ЭВМ громоздкость расчетного метода яв-
ляется легко преодолимой, однако при ручном счете она создает
значительные трудности. Это обусловливает желательность разра-
ботки простых приближенных методов расчета устойчивости уси-
ленных стержней.

Рассмотрим такой приближенный метод. Как было показано
выше, усиленный под нагрузкой стержень по характеру своей ра-
боты эквивалентен стержню, имеющему в ненагруженном состоя-
нии прогиб /ост, определяемый формулой (3.37), и внутренне
уравновешенные остаточные напряжения, метод определения ко-
торых был рассмотрен в § 3.1.

Если отказаться от учета собственных напряжений и учитывать
лишь прогиб /оСТ, то критические напряжения для эквивалентного
(а следовательно, и усиленного под нагрузкой) стержня будут
определяться обычными формулами [в частном случае стержня
прямоугольного сечения — формулами (2.84) и (2.85) ] при подста-
новке в них вместо эксцентриситета е эквивалентного эксцентриси-
тета по выражению

еэкв = е + ^ост-	(3-48)

Характер погрешности такого приближенного метода расчета оце-

Л

Рис. 3.3. Диаграммы прогибов стержня, усиленного под
нагрузкой, и эквивалентного стержня с нулевой эпюрой
собственных напряжений

В качестве примера на рис. 3.3 приведены кривые прогибов
ОА1Б1Д1 — усиленного под нагрузкой стержня (по данным при-
мера 2.2) и	— эквивалентного стержня с нулевой эпю-

рой собственных напряжений. В упругой стадии работы усилен-
ного стержня (участок эти кривые, естественно, совпадают,
однако пренебрежение собственными остаточными напряжениями
приводит к завышению предела упругой работы (точки Б± и Б2
кривых) и критических напряжений (точки Д1 и Д2).

На рис. 3.4 и 3.5, а сплошными линиями 1 показаны действи-
тельные кривые критических напряжений для усиленных под на-
грузкой стержней (по данным § 2.3), а штрихпунктирными ли-

* Действительными условно будем именовать диаграммы, определяемые
изложенным в гл. 2 методом.
ниями 2 — соответствующие (3.48) приближенные кривые. Срав-
нение кривых показывает довольно хорошее их совпадение, однако
погрешность в определении величин критических напряжений
идет, как правило, не в запас устойчивости. Поэтому рационально
учет влияния собственных напряжений свести к некоторому уве-
личению эквивалентного эксцентриситета. Примем его в виде

еЭкв-=е + /н-	(3-49)

Соответствующие (3.49) приближенные кривые приведены на
рис. 3.4—3.5, а пунктирными линиями 3.

Как видно из графиков, действительные кривые критических
напряжений проходят, как правило, между приближенными кри-
выми 2 и 3. Естественно ожидать, что точность приближенного
метода можно повысить, если принять промежуточное между (3.48)
и (3.49) выражение эквивалентного эксцентриситета в виде

е;кВ = е+/ост2+Л1--	(3.50)

Соответствующие (3.50) приближенные кривые показаны на
рис. 3.4—3.5, а точечными линиями 4. Они лучше совпадают с дей-
ствительными кривыми, однако в ряде случаев (например, кривая
т = 4,5 на рис. 3.4, б) определяют завышенные величины крити-
ческих напряжений.

Отметим, что расхождение приближенных кривых 2—4 и их
отклонение от действительных существенно только в диапазоне
больших гибкостей. Подставляя в (3.48) и (3.50) значение f0CT из
(3.37), выражения eBKB и eBKB можно преобразовать к виду

вэкв = (* +А,) (1 —J1 —;	(3.51)

\	*Э /	\	* Э /

е;кв = (е + /н)('1-^ = еэкв('1-^^.	(3.52)

Из сопоставления (3.49), (3.51) и (3.52) видно, что с уменьшением
гибкости и, следовательно, возрастанием Рэ разница в величинах
эквивалентного эксцентриситета становится незначительной и кри-
вые 2, 3, 4 сближаются, приближаясь к действительным кривым
критических напряжений. Наибольшие расхождения имеют место
при малых эксцентриситетах и больших гибкостях. Однако и в
этом диапазоне начальная нагрузка Ра, ограниченная условием
упругой работы основного стержня до усиления, обычно мала по
сравнению с эйлеровой силой для усиленного стержня, и расхожде-
ние приближенных и действительных кривых невелико. Прибли-
женный расчет по (3.51) определяет, как правило, завышенные
величины критических нагрузок, по (3.49) — заниженные, по
(3.50) — некоторые средние величины, в целом наиболее близко
соответствующие действительным критическим нагрузкам.
Исключение представляет собой случай изменения знака экс-
центриситета продольной силы после усиления стержня (напри-
мер, кривая т — — 0,5 на рис. 3.5, а). В этом частном случае
приближенные кривые 2—4 достигают своего максимума (окр = от)
при гибкости, отвечающей условию — е = fH = /ост (еэкв = 0),
и в окрестностях максимума проходят выше действительной кривой
критических напряжений. Однако в указанном диапазоне гибко-
стей следует учитывать возможность отклонений фактических экс-
Рис. 3.4. Действительные (/) и приближенные (2—4) кривые критических
напряжений для усиленных стержней прямоугольного поперечного сечения
а — схема усиления I (3 = 0,6); б — схема I	= <тт; OjC = — °>5 °т: 3 = О.б):

в — схема II (Oj = <тт; <т2 = — 0,5 от: 3 = 0,5); г — схема III (3 = 0,7)

центриситетов и прогибов от их расчетных значений и, в соот-
ветствии с концепцией норм, принимать эквивалентный эксцен-
триситет не менее величины случайного эксцентриситета. В каче-
стве примера на рис. 3.5, а пунктиром показан отрезок 5 кривой
критических напряжений при минимально нормируемом эксцен-
триситете т = 0,1, который в окрестностях максимума кривых
проходит ниже действительной кривой критических напряжений.
С уменьшением гибкости приближенные кривые резко убывают и
в диапазоне средних и малых гибкостей при всех трех расчетных
значениях эквивалентного эксцентриситета определяют занижен-
ные величины критических напряжений.

Проведенное сравнение позволяет рекомендовать использова-
ние указанного приближенного метода для практического расчета
устойчивости усиленных стержней. Метод пригоден для различ-
ных форм поперечного сечения и различных схем усиления стерж-
ней и в частном случае обычного (Рн = 0; /н = /ост = 0) стержня
будет определять нормативные величины критических нагрузок.

Рис. 3.5. Действительные (/) и приближенные
(2—4) кривые критических напряжений
а — для стержней прямоугольного поперечного сечения,
усиленных по схеме IV (|3 = 0,7); б —для стержней дву-
таврового сечения, усиленных по схеме рис. 2.19, а

Наилучшего совпадения действительных и приближенных крити-
ческих напряжений для усиленных под нагрузкой стержней можно
достичь, если выражение для эквивалентного эксцентриситета
принимать в виде (3.51). Однако, как уже отмечалось, в некоторых
94
случаях такой расчет будет давать несколько завышенные величины
критических нагрузок (в рассматриваемых примерах — до 5%).

Учитывая, что потеря устойчивости сжатых стержней является
одной из наиболее частых причин аварий металлических кон-
струкций [3, 131 и что для усиленных стержней необходимо особое
повышение их надежности, для практических расчетов более ра-
циональным мы считаем принимать выражение эквивалентного
эксцентриситета по (3.49). В последнем случае приближенный ме-
тод во всем диапазоне гибкостей и эксцентриситетов будет опреде-
лять критические нагрузки с некоторым запасом устойчивости.
Существенно, что этот запас будет дифференцирован и иметь наи-
большую величину именно в том диапазоне (малых эксцентрисите-
тов и больших гибкостей), где влияние начальных нагрузок наибо-
лее существенно сказывается на устойчивости стержней (см.
рис. 2.16—2.18).

Анализ погрешности предлагаемого метода расчета показывает,
что в практически используемом диапазоне параметров, опреде-
ляющих критическое состояние усиленных под нагрузкой стержней
прямоугольного поперечного сечения, она не превышает 15—20%
(в самом неблагоприятном случае резкого изменения линии дейст-
вия результирующей продольной силы после усиления стержня,
что отвечает приложению к стержню значительных дополнитель-
ных продольных или поперечных нагрузок). В рассмотренных
выше примерах для стержней прямоугольного сечения погрешность
метода не превышает 10,5% и с уменьшением гибкости стержней
или увеличением эксцентриситета резко снижается. Аналогичное
сравнение действительных 1 и приближенных 3 кривых критиче-
ских напряжений для стержней двутаврового сечения (см. рис. 3.5,6)
показывает, что и для иных форм сечения погрешность приближен-
ного метода невелика.

Предлагаемый приближенный метод может быть использован и
для учета влияния начального напряженно-деформированного
состояния усиленных стержней на их устойчивость из плоскости
действия момента. В качестве примера на рис. 3.6 приведено срав-
нение действительных 1 и приближенных 3 кривых минимальных
критических напряжений в плоскости, перпендикулярной плоско-
сти действия моментов, для стержней прямоугольного и двутавро-
вого сечений. Погрешность в определении минимальных критиче-
ских напряжений имеет наибольшие значения в диапазоне боль-
ших гибкостей и малых эксцентриситетов, не превышает 9% и
идет также в запас устойчивости.

Учитывая, что сравнение проведено для различных схем уси-
ления, при различных значениях коэффициентов р, эксцентриси-
тетов т°с и пг и предельном значении начального напряжения а„с
(определяемом упругой работой стержней максимальной гибкости
до усиления), можно считать, что приближенный метод дает доста-
точную для целей практики точность в оценке критического состоя-
ния усиленных под нагрузкой стержней. Простота метода и приме-
нимость для любых форм поперечного сечения делают его удобным
для практических целей. После определения по (3.49) эквивалент-
ного эксцентриситета дальнейший расчет устойчивости выпол-
няется обычным способом по нормам СНиП.

Рис. 3.6. Действительные и приближенные кривые минималь-
ных критических напряжений в плоскости, перпендикулярной
плоскости действия моментов

а — для I схемы усиления стержней прямоугольного сечения (0 = 0,6);
б — для двутавровых стержней, усиленных по схеме рис. 2.19, а

Некоторую особенность имеет использование приближенного
метода для центрально сжатых до усиления стержней. При идеали-
зированном подходе к условиям загружения основного стержня
е°с == 0 и fn = 0. Однако недопустимость такого подхода была
уже оговорена в § 2.3. Учитывая возможные неточности центра-
ции стержня, его погнутия н т. д., величину е„с следует принимать
равной случайному эксцентриситету. При этом направление слу-
чайного эксцентриситета также следует считать случайным.

В качестве примера на рис. 3.7 приведено сравнение действи-
тельной 1 и приближенной 3 кривых критических напряжений
в плоскости момента для I схемы симметричного усиления стержня
прямоугольного поперечного сечения. Значение случайного экс-
центриситета для простоты подсчета и наглядности во всем диапа-
зоне гибкостей принято постоянным: е = 0,1 р (т —	= 0,1)-

Наибольшую погрешность (10,9%) приближенная кривая имеет

Рис. 3.7. Сравнение действительной и приближенной кривых критических
напряжений для случая малых эксцентриситетов при усилении стержня
прямоугольного сечения по схеме I |'т°с = т = 0,1; о°с = 0,3 от; 0 = 0,6)

при А, = 160; при А, «5 120 действительная и приближенная кривые
практически совпадают.

Остановимся теперь на практическом методе расчета прочно-
сти усиленных элементов. При одинаковых значениях изгибаю-
щих моментов, принимаемых в расчетах на прочность и устойчи-
вость, проверка прочности может стать определяющей лишь для
элементов, имеющих ослабления сечений. Действующие нормы
в некоторых случаях допускают производить проверку прочности
внецентреино сжатых и сжато-изогнутых элементов по пласти-
ческой стадии их работы. Учитывая необходимость повышения на-
дежности работы усиленных стержней, проверку их прочности це-
лесообразно производить всегда по упругой стадии.

Отметим, что нормативный подход к оценке прочности внецен-
тренно сжатых и сжато-изогнутых стержней по упругой стадии,
основанный на пренебрежении их прогибами, к усиленным под
нагрузкой элементам неприменим из-за отмечавшейся уже повы-
шенной их деформативности и, следовательно, более раннего по-

4 Заказ № 2339	97
явления пластических деформаций. Эта повышенная деформатиг-
ность обусловливается (переходя, опять-таки, к рассмотрению
эквивалентного стержня) наличием остаточного прогиба и остаточ-
ных собственных напряжений. Очевидно, что в упругой стадии
работы стержня остаточные напряжения не сказываются на его
прогибах. При пренебрежении этими напряжениями предел упру-
гой работы эквивалентного стержня будет определяться уравнением

=	(3.53)

г	I

где f — прогиб стержня при нагрузке Р, определяемый (3.38).
Если условие (3.53) появления краевой текучести в эквивалент-
ном стержне принять за предельное по прочности состояние уси-
ленного под нагрузкой стержня, то условие его прочности запи-
шется в виде

-у± £±±Jly^R.	(3.54)

Как уже отмечалось, пренебрежение остаточными напряже-
ниями обусловливает (за исключением частных случаев измене-
ния знака эксцентриситета продольной силы после усиления
стержня) некоторое завышение предела упругой работы эквива-
лентного стержня. Таким образом, проверяя прочность усиленного
стержня по (3.54), мы допускаем, вообще говоря, появление в нем
пластических деформаций. Однако ввиду двузначности эпюры оста-
точных напряжений и их резкой неравномерности (см., например,
рис. 3.23) появление текучести в наиболее напряженных волокнах
сечения не приводит к интенсивному нарастанию пластических
деформаций, так как их развитие сдерживается упруго работаю-
щими волокнами. На этой концепции сдерживания пластических
деформаций построены все нормативные методы проверки проч-
ности элементов, игнорирующие влияние собственных напряже-
ний. Поскольку остаточные напряжения в эквивалентном стержне
сопоставимы по своей величине с остаточными напряжениями от
сварки, проката или правки, присущими любому элементу метал-
лических конструкций, такой подход, очевидно, применим и к уси-
ленным под нагрузкой элементам.

Поэтому в качестве приближенного метода рекомендуется про-
изводить проверку прочности усиленных стержней по формуле
(3.54). Отметим, что эта формула предъявляет к предельной по
прочности нагрузке более жесткие требования (вследствие учета
прогибов стержня), чем требования норм, что оправдано не-
обходимостью повышения надежности работы усиленных элемен-
тов. Для более точной оценки предела упругой работы усиленного
под нагрузкой элемента может быть использован метод, изложен-
ный в § 3.1. Отметим для сравнения, что при использовании при-
ближенного уравнения (3.53) предел упругой работы рассмотрен-
ного в примере 3.1 стержня будет отвечать значению аср =
= 960 кгс/см2 и превышать фактический на 5,75%.
Предлагаемые приближенные методы расчета применимы для
способов усиления, не связанных с возникновением больших до-
полнительных деформаций элементов в процессе усиления. Ре-
зультаты экспериментальной проверки метода расчета устойчиво-
сти усиленных стержней изложены в гл. 4.

§ 3.3. Учет влияния сварки на работу усиленных стержней

Присоединение элементов усиления с помощью сварки является
технологически наиболее удобным способом усиления. Наложение
сварных швов приводит к возникновению в элементах свароч-
ных напряжений и деформаций. Неравномерность деформаций
отдельных волокон, вызванная наличием мощного точечного ис-
точника тепла, приводит к выгибу элементов в результате
сварки.

Деформации и напряжения, возникающие непосредственно
в процессе сварки, по классификации Н. О. Окерблома, будем на-
зывать временными, а остающиеся после окончания сварки и пол-
ного остывания элементов — остаточными. Знаки временных и
остаточных деформаций противоположны. Именно остаточные сва-
рочные напряжения и деформации в конечном счете определяют
влияние сварки на работу усиленных элементов. Это влияние обус-
ловливается двумя факторами: возникновением дополнительных
моментов в сечениях стержня вследствие выгибов элементов после
сварки и суммированием остаточных сварочных напряжений с на-
пряжениями от внешней нагрузки.

Остаточные сварочные напряжения (речь идет о линейных на-
пряжениях первого рода, уравновешивающихся в макрообъемах)
являются внутренне уравновешенной системой сил и достигают
существенной величины лишь непосредственно в околошовной
зоне. Зона шва после остывания всегда оказывается растянутой,
а околошовная зона — сжатой. В соответствии с. разнозначностью
эпюры остаточных напряжений часть этих напряжений сумми-
руется, а часть вычитается из напряжений от внешней нагрузки.
В достаточно развитых сечениях протяженность околошовной зоны
пиковых напряжений сравнительно невелика по сравнению с разме-
рами сечения. Поэтому, хотя остаточные напряжения и обусловли-
вают, как правило, более раннее вступление сварных элементов
в упругопластическую стадию работы, это не приводит к сущест-
венному уменьшению момента инерции упругого ядра сечения, а
упруго работающие соседние волокна сдерживают развитие пла-
стических деформаций. При последующем проникновении пласти-
ческих деформаций в глубь сечения неравномерность в распреде-
лении напряжений сглаживается, и остаточные напряжения мало
сказываются на устойчивости сжатых элементов (особенно в диапа-
зоне малых гибкостей и не очень малых эксцентриситетов). Вследст-
вие этого нормы не учитывают влияния остаточных сварочных на-
пряжений на прочность и устойчивость элементов (что отчасти
объясняется и недостаточно разработанной методикой их опреде-
ления). Этот же подход справедлив и для усиленных под нагрузкой
элементов.

Более существенное влияние на работу сжатых элементов ока-
зывает общий прогиб элементов в результате сварки, который мо-
жет достигать значительных величин [16, 171. Сварочный про-
гиб не только приводит к возникновению дополнительных момен-
тов в сжатом элементе, но и может изменить характер его работы
(центрально сжатый стержень начинает работать в условиях вне-
центренного сжатия; знак сварочного прогиба может быть проти-
воположен знаку эксцентриситета продольной силы и изменить
направление потери устойчивости и т. д.). Действующие нормы
предлагают устранять сварочные прогибы технологическими ме-
рами (например, закреплением элементов при сварке) или после-
дующей правкой, ограничивая предельное искривление элементов.

Однако при усилении под нагрузкой все эти меры трудно осу-
ществимы, поэтому необходим учет сварочных прогибов. Опреде-
ление сварочных деформаций сжатых стержней, усиливаемых
в напряженном состоянии, имеет свои особенности. Наличие про-
дольного сжимающего усилия приводит к возрастанию сварочных
деформаций как из-за начальных напряжений в зоне швов, так и
вследствие появления дополнительных моментов при изгибе стержня.

Первое предложение по учету сварочных прогибов при расчете
устойчивости элементов, усиленных под нагрузкой, было сделано
А. Г. Иммерманом и Б. И. Десятовым [8, 10]. Сварочный прогиб
предлагалось учитывать введением поправочного коэффициента,
kt 1 на величину эксцентриситета /0 (в наших обозначениях
f0 = е + f%c = е„с — есм + f„c). Коэффициент kt определялся по
графику в функции гибкости основного стержня, его радиуса инер-
ции и эксцентриситета /0. Величины kt были определены из рас-
чета сжатого стержня в процессе разогрева и остывания как весьма
пологой арки. Влиянием сварочных напряжений авторы также
считали возможным пренебречь.

Недостатком указанного метода является то, что игнорирова-
лась теория сварочных деформаций и поэтому не учитывались ни
характеристики сварных швов (а они, естественно, оказывают
существенное влияние на сварочные деформации), ни место их на-
ложения (а оно определяет направление сварочного прогиба), ни
характеристики усиленного стержня (а именно они при сборке на
прихватках определяют деформации свариваемого стержня).

При решении указанной задачи могут быть использованы тео-
рия сварочных деформаций и приближенные методы инженерной
их оценки.

По методике, предложенной Н. О. Окербломом [17], остаточный
сварочный прогиб в среднем сечении элемента после наложения
шва определяется формулой

<3-55)
1 о
где а = ^~ — коэффициент прерывности шва; при непрерыв-
ном по длине элемента шве а = 1; /уч — длина непрерывных уча-
стков шва; t — расстояние между осями непрерывных участков;
S X F — сумма остаточных пластических деформаций сжатия (уко-
рочения); I — момент инерции сечения элемента; при сборке эле-
мента до сварки на прихватках / вычисляется для всего сечения;
у' — расстояние от центра тяжести элемента до центра тяжести
в инженерных расчетах — до центра тяжести шва; I—длина
элемента.

В общем виде при сварке ненапряженных элементов рас-
считывается по выражению

2Хг=0,484^1п2 = И7п,	(3.56)

где коэффициент р. для данного материала есть величина постоян-
ная, определяемая его теплофизическими характеристиками; ко-
эффициентом линейного расширения а и объемной теплопровод-
ностью у. Для малоуглеродистой стали при а = 12-10—6 и су =>
— 1,14 кал/см3 р = 3,53-10—6 см3/кал.

Погонную энергию сварки qn в [17] предлагалось при сварке
угловыми швами принимать равной: для автоматической сварки—
qn = 7250 hm, для ручной — qn = 9500 кш кал/см, где кш — ка-
тет шва, см.

С учетом (3.56) формула (3.55) записывается в виде

/;в=аИ7п4-г>	<3-57)

1 о

или, что более удобно для определения сварочного прогиба сжа-
тых элементов, в виде

=	(3.58)

F 8

Как видно из (3.58), величина сварочного прогиба зависит от ха-
рактеристик шва (а; 7П), характеристик элемента в сборе (F; %)
и расстояния шва от центра тяжести элемента у'. Направление
сварочного прогиба определяется знаком у'.

На деформации элемента при сварке существенное влияние
оказывают начальные напряжения металла в зоне шва. Растяги-
вающие напряжения препятствуют уйорочению и выгибу элемента,
сжимающие напряжения увеличивают сварочные деформации.

Сумма остаточных пластических деформаций сжатия при на-
личии начальных напряжений он в свариваемых элементах опре-
деляется выражением

У ^ = 0,484-^ In-?- ,

су 1 —g’
где (в наших обозначениях, положительными по-прежнему счи-
таем напряжения сжатия) g =-^2-=-|2-. Коэффициент п, учи-
тывающий возрастание сварочных деформаций вследствие нали-
чия начальных напряжений в элементе, определяется зависимостью

/I = -———= 1п1п2 = 1----(I--1) .	(3.59)

1—5	In 2	v '

При постоянном значении стн по длине стержня учет начальных
напряжений сводится к умножению выражения (3.58) сварочного
прогиба -на коэффициент п. В общем случае наложения на элемент
нескольких сварных швов при наличии начальных напряжений
разной величины в зоне каждого из швов остаточный прогиб эле-
мента после сварки будет определяться формулой

=	(3.60)

г о

где у\ — расстояние от центра тяжести сечения до i-ro шва; л. —
коэффициент, зависящий от начального напряжения oZH в зоне
i-ro шва, определяемый (3.59); при ст1Н = 0 nt = 1.

Используем изложенное решение для определения сварочных
деформаций сжатых стержней. Кривую прогибов стержня от
сварки аппроксимируем синусоидой

w'CB = fcB sin ~ ,	(3.61)

где f'B определяется по формуле (3.60).

Задача влияния начальной кривизны по уравнению (3.61) на
прогибы сжатого стержня была рассмотрена С. П. Тимошенко.
Как показано в работе [23], воздействие продольной силы Ря при-
ведет к возрастанию прогиба в среднем сечении стержня в а =
= z— pa3j и полный прогиб составит

Рэ — Рн

=	=	(3.62)

*3 -

Если стержень в момент усиления сжат внецентренно с эксцен-
триситетом ен и сварные швы накладываются симметрично отно-
сительно плоскости изгиба, то, используя принцип наложения
[23], полный прогиб стержня можно записать в виде

/н = /н + /св —/н + Лва.	(3.63)

Следует отметить, что начальные напряжения в волокнах вне-
центренно сжатого стержня переменны по его длине и прогиб fCB
должен, вообще говоря, определяться с учетом этого обстоятель-
ства. Однако с небольшой погрешностью величины начальных
напряжений в волокнах по длине стержня можно принять постоян-
102
ными и равными напряжениям в среднем сечении (что приведет
к небольшому завышению сварочного прогиба).

Перейдем теперь к рассмотрению сварочных прогибов при уси-
лении сжатых стержней. Если присоединение элементов усиления
осуществляется предварительно на прихватках, то сварочные де-
формации происходят в условиях включения материала усиления
в работу и зависят от характеристик усиленного сечения. Особен-
ностью при определении прогиба fCB является то, что напряжения
в зоне сварных швов в волокнах основного стержня и элементов
усиления имеют разную величину и зачастую даже разные знаки.

Для определения деформаций при сварке двух элементов, один
из которых (основной стержень) имеет начальные напряжения о-ос
и деформации еос, а другой (элемент усиления) — начальные на-
пряжения <гус и деформации еус, используем расчетную модель,
предложенную Н. О. Окербломом [17] (с. 382—386) для случая
сварки двух одинаково напряженных элементов.

Сумма остаточных пластических деформаций сжатия 2%^, при
условии, что температурное поле сварки (Хт) распределяется
между основным стержнем и элементом усиления в пропорции
s : t (s + t = 1), будет определяться выражением

2 ^F = (2 Мос + (2 ^f)yC =

= «0,484^1
’ су

4-Л0 484 -^2-

dkm

= 0,484	fsin—

cy [	eT — eoc

ф(1—s) 2ет -

14	’ 8Т_8УС

или после введения обозначений

toe  еос	стос . tvc . eyc  стус	(3.64)

8т	СТт	8т	СТт ’

выражением

2 4 = 0,484^- [sin----------+ (l-s)ln--------1. (3.65)

Сравнивая (3.65) с выражением по (3.56) для сварки ненапря-
женных элементов, величину коэффициента п, учитывающего на-
пряженное состояние элементов, можно записать в виде

В частном случае сварки ненапряженных элементов п = 1; при
стос = стус выражение (3.66) сводится к (3.59). Вводя обозначения
, ос in (1 — |°с) .	, ус in (1 — |ус)	/Q сс.

kос = — ln 2	’ *у =— । 2	’ ПОЛУЧИМ из (3.65)

п== 1— s/soc —(1— s)Fc.

(3.67)
Аппроксимируя уравнение fe= ln , значения k можно опре-
делить приближенными зависимостями:

при
при
при

— l<g=s<0
0<g<0,5
0,5 ==:£

k=-l,
k=—2l;

fe=l—4|.

(3.68)

Величину коэффициента s для каждого частного случая нахо-
дим, принимая распределение температурного поля сварки про-
порционально толщинам свариваемых элементов и числу направ-
лений теплового потока в них.

Общее выражение остаточного сварочного прогиба в среднем
сечении стержня при его усилении под нагрузкой запишется в виде

(3.69)

F 8

где коэффициенты nt определяются по формуле (3.67).

Отметим, что формулы (3.60) и (3.69) базируются на предполо-
жении, что напряженное состояние стержня в процессе сварки не
изменяется. Это предположение допустимо при одновременном на-
ложении сварных швов (например, последовательной сваркой
участков всех швов). При последовательной сварке швов измене-
ние напряженного состояния элементов, вызванное наложением
предыдущего шва, может быть учтено методом, аналогичным из-
ложенному в [17]. Как отмечал Н. О. Окерблом, в приближенных
инженерных расчетах это обстоятельство можно не учитывать.

Сближенные швы, зоны температурной пластичности которых
перекрываются, можно рассматривать как одиночный шов, вы-
полняемый на повышенной погонной энергии сварки [17]. Для
большинства схем усиления сближенные швы нетипичны.

Определение напряженного состояния стержня после присое-
динения элементов усиления, необходимое для нахождения коэффи-
циентов п, связано с довольно трудоемкими вычислениями. При
практических расчетах этого коэффициента можно отказаться от
учета дополнительных деформаций при присоединении элементов
усиления, т. е. принять ст°с = а°„ и стГ = 0. В этом случае

feyc = 0 и n=l — skoc.	(3.70)

Как показывает сравнительный анализ, такое упрощение при-
водит к некоторому завышению расчетного сварочного прогиба.

Результаты экспериментальных исследований (см. гл. 4) пока-
зывают, что в ряде случаев возрастание сварочного прогиба вслед-
ствие воздействия начальной нагрузки оказывается большим, чем
это определяется теоретическими коэффициентами (п и а). Тогда
завышение теоретического значения коэффициента п становится
оправданным.
Как видно из структуры формулы (3.69), сварочный прогиб
увеличивается с возрастанием гибкбсти стержня, погонной энер-
гии сварки, коэффициента прерывности а, удалением швов от
центра тяжести сечения, уменьшением площади стержня и воз-
растанием начальной нагрузки. При разработке проекта усиления
эти обстоятельства могут быть учтены. Так, предварительная сборка
элементов на прихватках обеспечивает возрастание F, Р3 и умень-
шение X и приводит к резкому уменьшению сварочного прогиба.
Той же цели служит выбор схемы усиления, обеспечивающей
максимальное уменьшение гибкости стержня, минимальное уда-
ление швов от центра тяжести сечения, применение швов мини-
мального катета и коэффициента прерывности и т. д.

Изложенный метод определения сварочных прогибов позволяет
распространить приближенные методы расчета, рассмотренные
в § 3.2, на случаи усиления стержней с помощью сварки. Равно-
весное состояние стержня после приварки элементов усиления ха-
рактеризуется прогибом в среднем сечении

/и = /н + /св,	(3.71)

где /св определяется по (3.69).

Формулы (3.37) и (3.38) прогибов усиленного стержня остаются
справедливыми при замене в них /н на /н, и приближенный расчет
прочности выполняется по (3.54).

При приближенном расчете устойчивости усиленного стержня
эквивалентный эксцентриситет находится по выражению

еэкв = е + /н.	(3.72)

Отметим, что остаточный сварочный прогиб должен учитываться
вне зависимости от наличия начальной нагрузки (если не произ-
водится последующая правка элементов). При расчете усиленных
без нагрузки стержней эквивалентный эксцентриситет опреде-
ляется выражением

еэкв=е + £в,	(3-73)

где /св вычисляется по (3.60) при п = 1.

Используя указанные приближенные методы расчета, мы от-
казываемся от учета не только остаточных напряжений в эквива-
лентном стержне, но и остаточных напряжений от сварки. В силу
разнозначности и различных законов распределения этих напря-
жений можно ожидать, что пренебрежение ими не приведет к воз-
растанию погрешности приближенных методов. Это тем более
справедливо для случаев приварки элементов усиления шпоноч-
ными швами с низким коэффициентом прерывности, поскольку
сварочные напряжения будут создавать возмущения в ограничен-
ных по длине зонах, общая протяженность которых невелика
по сравнению с длиной стержня.
ГЛАВА 4

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
УСИЛЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

§ 4.1.	Испытание малых образцов прямоугольного сечения

Основной целью испытаний * было получение эксперименталь-
ных величин критических напряжений для стержней различной
гибкости, усиленных при различных схемах нагружения и раз-
личных величинах начальных напряжений, и сопоставление опыт-
ных данных с теоретическими кривыми.

В основу эксперимента была положена методика Т. Кармана,
заключающаяся в исследовании явления продольного изгиба на
стерженьках прямоугольного сечения, вырезанных из одного куска
материала.

Стержни вырезались вдоль проката из листа стали марки
ВМСтЗсп толщиной 20 мм. Диаграмма работы стали снималась
при испытании на растяжение плоских образцов сечением 30 X
X 16 мм и расчетной длиной /0 = 125 мм. Испытания проходили
на 50-тонной машине Амслера с записью машинной диаграммы и
со снятием отсчетов по четырем тензометрам ТА-2 базой 100 мм.
По результатам тщательно проведенных испытаний шести образ-
цов была построена средняя диаграмма работы стали. Модуль
упругости Е колебался в пределах 2,0—2,07-104 кгс/мм2, принято
среднее значение Е = 2,03-104 кгс/мм2. Предел текучести коле-
бался в пределах 23,8—24,0 кгс/мм2; принято среднее значение
ат = 23,9 кгс/мм2. Средние значения предела пропорционально-
сти, предела прочности и относительного остаточного удлинения
составили соответственно: <тпц = 19 кгс/мм2; стпч = 41,6 кгс/мм2;
еост = 35,3%. Средние значения относительных удлинений е
и касательного модуля Е' на участке между пределами пропорцио-
нальности и текучести, принятые по данным испытания, приведены
в табл. 4.1.

Типы испытанных на устойчивость образцов и схемы их уси-
ления показаны в табл. 4.2. Концы стержней затачивались на
призму. Опорное ребро призмы было перпендикулярно плоскости
наименьшей жесткости образца, так что плоскость изгиба (выпучи-
вания) была фиксирована. Максимальный допуск в выдерживании
размеров поперечного сечения образцов и точности заострения их
концов не превышал 0,1 мм.

* Испытания проводились в механической лаборатории ЛИСИ под ру-
ководством автора.
а.  кгс/мм2	Е-105	Е', кгс/мм2	ч| ч  II  ° .	а, кгс/мм2	в-105	Е', кгс/мм3	о  II Гч|й1
19,0	93,5	2,03-104	1	22,5	116,6	0,87-104	0,43
19,5	96,0	1,87-104	0,92	23,0	122,4	0,59-104	0,29
20,0	98,7	1,75-104	0,86	23,2	125,8	0,49-104	0,24
20,5	101,6	1,62-104	0,8	23,4	129,9	0,345-104	0,17
21,0	104,7	1,46-104	0,72	23,6	135,7	0,244-104	0,12
21,5	108,1	1,28-Ю4	0,63	23,8	143,9	0,081-104	0,04
22,0	112,0	1,10-Ю4	0,54	23,9	156,2	0	0

В зависимости от величины начальной нагрузки в момент уси-
ления образцы каждой испытуемой серии разбивались на группы.
Образцы групп А усиливались в ненапряженном состоянии и слу-
жили эталоном для сравнения работы обычных (усиленных без
нагрузки) стержней с работой усиленных под нагрузкой. Величина
начальной нагрузки для образцов групп Б, В hJT выбиралась с та-
ким расчетом, что для стержней максимальной гибкости каждой
группы она была близка к критической (для центрально сжатых
стержней) или приближалась к пределу упругой работы (для вне-
центренно сжатых стержней).

При малых размерах образцов обычные методы усиления (на-
пример, сварка или клепка) могли внести существенные искажения
в моделируемое напряженное состояние в момент усиления. В связи
с этим соединение образцов с накладками производилось с помощью
клеевых швов, усиленных установкой стяжных болтиков диамет-
ром 3,5 мм вблизи концов накладок.

Испытания образцов проходили на машине УМ-5; предельная
величина погрешности силоизмерителя пресса не превышала по
данным тарировки 4%. При испытании усиленных образцов на-
грузка увеличивалась ступенями, уменьшающимися по мере ее
приближения к расчетной критической величине. За критическую
нагрузку принималось максимальное давление, показанное сило-
измерителем пресса.

Измерение продольных деформаций производилось с помощью
автоматического прибора АИ-1 по четырем проволочным датчикам,
наклеенным в среднем сечении образцов. При испытании усилен-
ных образцов серий У и Ф, кроме того, измерялись прогибы в трех
сечениях стержня (посередине и на расстоянии 3 см от концов)
с помощью индикаторов (рис. 4.1, б). Установка крайних индика-
торов позволяла контролировать смещение опорных частей, ко-
торое учитывалось при обработке данных измерений [1 ].

Усиление под нагрузкой осуществлялось следующим образом.
Образец в специально спроектированном кондукторе устанавли-
вался на пресс (рис. 4.1, а), и нагрузка ступенями доводилась до
расчетной величины. Отсчеты, полученные по датчикам сопротив-
ления, фиксировались. Затем слегка затягивались гайки стяжных
a

Рис. 4.1. Испытание образцов на устойчи-
вость

а — предварительное напряжение образца
в струбцине на прессе; б — измерение прогибов

Рис. 4.2. Сравнение экспериментальных и расчетных критических (посхемеЛ)
напряжений образцов

а — серий Р и С; б — серии Т
шпилек кондуктора, и нагрузка на прессе сбрасывалась до нуля.
Окончательная затяжка гаек производилась равномерно с двух
сторон и контролировалась по датчикам. Затяжка прекращалась
после совпадения отсчетов, полученных при предварительном на-
пряжении образца в прессе и в кондукторе.

После предварительного напряжения серии образцов на них
наклеивались накладки, прижимались струбцинами, и кондукторы
помещались в сушильный шкаф. Кондукторы были спроектиро-
ваны так, что длина стяжных шпилек между гайками равнялась
длине образца. Это позволило избежать появления температурных
напряжений в процессе нагрева и обеспечило постоянную величину
начального напряжения в усиливаемом образце. После остывания
на образцы и накладки вновь наклеивались датчики, с помощью
которых измерялись деформации разгрузки образцов при отпуска-
нии стяжных шпилек кондукторов. Эти измерения подтвердили
достаточную стабильность величин начального напряжения в об-
разцах в процессе их усиления. Средние отклонения расчетных
и экспериментальных величин стразг для образцов каждой группы
не превышали 6%, максимальные—12%. Затем на расстоянии
15—20 мм от концов в образцах просверливались отверстия и уста-
навливались стяжные болтики. Далее испытания преднапряженных
образцов проходили так же, как и усиленных без нагрузки.

Испытание центрально сжатых симметрично усиленных образ-
цов. Исследование устойчивости центрально сжатых стержней про-
водилось на образцах серий Р, С и Т (см. табл. 4.2). Серия Р со-
стояла из 9 образцов сплошного сечения гибкостью от 30 до 140 и
служила эталоном для сравнения работы составных (склеенных)
образцов с работой образцов сплошного сечения. Серия С состояла
из 23 образцов составного сечения, разбитых на три группы. Уси-
ление образцов этой серии отвечало I схеме усиления стержней
прямоугольного сечения (§ 2.1). Серия Т состояла из 15 образцов,
усиленных по схеме II.

Сопоставление кривых деформаций и величин критических на-
пряжений для составных образцов, усиленных без нагрузки
(группы СА и ТА), и образцов сплошного сечения (серия Р) по-
казало, что практически характер их работы идентичен. Макси-
мальная величина относительного эксцентриситета в плоскости
выпучивания образцов не превышала значения т<0,1.

При определении расчетных величин критических напряжений
были приняты две расчетные схемы: А .— образцы работают в иде-
ализированных условиях центрального сжатия и Б — образцы
работают в условиях внецентренного сжатия с малым эксцентриси-
тетом, равным допуску при их изготовлении (е„с = 0,1 мм).

Расчет критических напряжений для схемы А производился
по формуле (1.16); зависимость 0ОС и 0ус от стср определялась на
основании опытной диаграммы работы стали (см. табл. 4.1). На
рис. 4.2 приведены теоретические кривые критических напряже-
Тип образца

Схема усиления образца

Центрально сжатый
сплошного сечения

Центрально сжатый сим-
метрично усиленный
Сечение	Серия и группа образцов	кгс	кгс/мм2	

I-I

					.са		р	—	—	—
										
			20							
										
	Т-Т						СА	0	0	0
	И к у_.			4s ?01 [ J			СБ	800	8	~0,34
							СВ	1200	12	«0,5
										
Центрально сжатый не-
симметрично усиленный

Внецентренно сжатый
симметрично усиленный
1			
ТА	0	0	0
ТБ	680	8,1	«0,34
УА	0	0	0
УБ	300	3,57	«0,15
УВ	600	7,15	«0,3
УГ	1000	11,9	«0,5
ФА	0	0	0
ФБ	200	2,38	«0,1
ФВ	300	3,57	— 0,15
ФГ	500	5,95	«0,25
ний, рассчитанные по схеме А; кружочками показаны критические

напряжения, определенные экспериментально.

Расчет критических напряжений по схеме Б проводился двумя
способами: методом, изложенным в § 2.3, и приближенным
методом, описанным в § 3.2.
а)	При приближенном ра-

счете величина эквивалент-
ного эксцентриситета прини-
малась равной еэкв = е + fH =
= 0,1 + /н мм, где значе-
ние/н определялось для образ-
цов серии С формулой (3.2),
а для образцов серии Т —
формулой (3.25). Действитель-
ные кривые критических на-
пряжений по схеме Б приве-
дены на рис. 4.3 пунктирными
линиями, приближенные кри-
вые — сплошными. Для об-
разцов серии С эти кривые
практически совпадают.

Из рис. 4.2 и 4.3 видно,
что для усиленных под на-
грузкой образцов серии С
критические напряжения, рас-
считанные по обеим схемам,
довольно хорошо совпадают
с экспериментально опреде-
ленными их. значениями. Для
образцов серии Т лучшее
совпадение расчетных и экспе-
риментальных данных имело
место для схемы Б. Это об-
стоятельство можно объяс-
нить тем, что в силу меньших
размеров начального попе-

Рис. 4.3. Сравнение эксперимен-
тальных и расчетных критических
(по схеме Б) напряжений для
образцов

а — серий Р и С; б — серии Т

речного сечения и большой гибкости образцов до усиления влия-
ние случайных эксцентриситетов для образцов серии Т было более
существенным и характер их работы был ближе к условиям вне-
центренного сжатия.
В целом определение критических напряжений приближенным
методом по схеме Б дало хорошее совпадение с эксперименталь-

ными данными, причем в этом случае отклонения шли, как правило,

в запас устойчивости. Максимальные расхождения эксперименталь-
ных и расчетных величин критических напряжений для усиленных

под нагрузкой образцов
составили —15% (ТБ;
Я, == 99,8) и +2,5%
(СВ; Я, = 69,6), средние
отклонения для усилен-
ных под нагрузкой об-
разцов (групп Б и В)
—3,68%, для образцов
всех групп —3,17%.

Испытание централь-
но сжатых несимметрич-
но усиленных образцов.
При испытании образ-
цов серии У основной
стержень сечением 7 X
X 12 мм усиливался
односторонней наклад-
кой сечением 3 X 12 мм
(см. табл. 4.2). Вслед-
ствие несимметричности
усиления эксцентриситет
от смещения центра тя-
жести сечения есм соста-
влял 1,5 мм.

Обработка результа-
тов измерения продоль-
ных деформаций в сред-
нем сечении образцов
показала, что из-за не-
точностй заточки харак-

Рис. 4.4. Эксперименталь-
ные и расчетные кривые
прогибов образцов
а — серии У; б — серии Ф

тер их работы в стадии предварительного напряжения отвечал
внецентренному сжатию с малым эксцентриситетом. Для полу-
чения сопоставимых результатов пластина усиления накладыва-
лась на образец всегда с вогнутой его стороны. Таким образом,
фактически условия работы образцов серии У отвечали рассмот-
ренным в гл. 2 условиям работы внецентренно сжатых стержней
прямоугольного поперечного сечения, усиленных по схеме IV.
В качестве примера на рис. 4.4, а приведены экспериментальные
и теоретические кривые прогибов образцов гибкостью X « 90. По-
скольку измерение прогибов предварительного напряжения, раз-
грузки и прогибов после усиления производилось раздельными

циклами, при построении
экспериментальных кривых
начало кривой каждого по-
следующего цикла совме-
щалось с концом кривой
предыдущего.

При теоретическом ра-
счете прогибов принима-
лось, что образец до уси-
ления работает в условиях
внецентренного сжатия
с эксцентриситетом е°с =
= 0,1 мм, равным допуску
при изготовлении образцов.
Поскольку пластина усиле-
ния накладывалась всегда
со стороны сжатых воло-
кон, расчетный эксцентри-
ситет после усиления опре-
делялся в этом случае зна-
чением е — е„с — <?см —
= 0,1 — 1,5 = — 1,4 мм.
Сравнение теоретических
и опытных величин проги-
бов показало вполне удо-
влетворительное их совпа-
дение.

Расчетные значения кри-
тических напряжений под-
считывались методом, из-
ложенным в § 2.3, и при-
ближенным методом. При-

Рис. 4.5. Критические напря-
жения образцов

а — серии У; б — серии Ф

ближенные кривые критических напряжений показаны на рис. 4.5, а
сплошными линиями, действительные кривые — пунктиром.

Для образцов, усиленных без нагрузки (т. е. для случая, когда
приближенная и действительная кривые совпадают), расчетные
величины <укр оказались несколько выше экспериментальных. Для
усиленных под нагрузкой образцов экспериментальные точки
114
лежат, как правило, выше приближенных, но ниже действитель-
ных кривых критических напряжений. Разброс экспериментальных
значений окр можно объяснить отклонением величин случайного
начального эксцентриситета от осредненного расчетного его зна-
чения — 0,1 мм. Поскольку в случае изменения знака эксцен-
триситета продольной силы после усиления стержня начальный
прогиб и эксцентриситет являются разгружающими факторами,
превышение е„с над расчетным значением приводило к завышению
теоретических величин критических напряжений. Гарантируемый
приближенным методом запас устойчивости является в этом случае
тем более оправданным.

Численное сравнение экспериментальных и расчетных величин
критических напряжений, определенных приближенным методом,
показывает, что средние отклонения для усиленных без нагрузки
образцов составляют +4,44%, для усиленных под нагрузкой
—3,02% (в запас устойчивости), для образцов всех групп в це-
лом —0,73%. Максимальные отклонения не превышали +12%
(УА; л = 108,9) и —11,5% (УВ; л = 88,2).

Испытание внецентренно сжатых симметрично усиленных об-
разцов. При испытании образцов серии Ф эксцентричность прило-
жения нагрузки (е = е„с = 2 мм) обеспечивалась внецентренной
заточкой концов стержней (см. табл. 4.2).

Обработка результатов измерения прогибов и деформаций по-
казала, что фактический эксцентриситет при испытании образцов
этой серии несколько превышал расчетную величину. Такой ха-
рактер работы можно объяснить некоторым обмятием ребра опор-
ной призмы образцов. На рис. 4.4, б в качестве примера приведены
экспериментальные (сплошными линиями) и теоретические (пункти-
ром) кривые прогибов образцов X « 130. Характер этих кривых
в целом совпадает, хотя прогибы образцов в стадии их предвари-
тельного напряжения и оказались несколько больше расчетных.

Расчетные величины критических напряжений определялись
методом, изложенным в § 2.3, и приближенным методом. Прибли-
женные кривые критических напряжений показаны на рис. 4.5, б
сплошными линиями, действительные кривые — пунктиром. Сравне-
ние приближенных и экспериментальных величин показывает,
что средние отклонения для усиленных под нагрузкой образцов
составили —1,41% (в запас устойчивости), для образцов всех групп
в целом —1,58%. Максимальные отклонения не превышали
—11,5% (ФБ; л =150,1) и +6% (ФБ; X =50,5).

В целом результаты испытаний малых образцов дали экспери-
ментальное подтверждение методов расчета прогибов и критиче-
ских напряжений стержней прямоугольного поперечного сечения,
изложенных в гл. 2. Сравнение критических напряжений, опреде-
ленных приближенным методом, с экспериментальными подтвер-
дило возможность использования этого метода для практических
целей и сделанные в § 3.2 выводы о характере его погрешносги.
§ 4.2.	Испытание образцов натурных размеров,
усиленных с помощью сварки

Основной задачей испытаний являлась опытная проверка до-
пустимости использования приближенного метода для оценки
устойчивости стержней различных форм поперечного сечения,
усиленных с помощью сварки, при изгибной и изгибно-крутиль-
ной форме потери их устойчивости. В задачи эксперимента вхо-
дило также измерение прогибов стержней в процессе их работы
до и после усиления, при присоединении элементов усиления и их
приварке. Обработка опытных данных позволила оценить расчет-
ные методы определения этих перемещений, изложенные в гл. 3,
и их влияние на устойчивость усиленных стержней.

Материал образцов и элементов усиления — сталь марок
ВМСтЗпс и ВМСтЗсп. Механические характеристики стали при-
ведены в табл. 4.3. Расчетные значения пределов текучести мате-
риала образцов каждой серии приняты близкими к среднему пре-
делу текучести основного профиля, образующего сечение.

Схемы сечений испытанных на устойчивость образцов представ-
лены в табл. 4.4. Торцы образцов для обеспечения перпендикуляр-
ности оси стержня и равномерности передачи давления на образец
фрезеровались. Усиление образцов осуществлялось приваркой
элементов усиления шпоночными швами катетом 4—6 мм с коэффи-
циентом прерывности а = 0,2-4-0,3. Несущая способность шпо-
ночных швов с избытком обеспечивала восприятие сдвигающих
усилий, возникающих при изгибе образцов. Для обеспечения пе-
редачи продольных усилий на элементы усиления концы последних
приваривались к основному стержню сплошными швами катетом
6 мм. Длина швов определялась расчетом из условия восприятия
ими доли наибольшей критической нагрузки для образца данного
типоразмера, пропорциональной отношению площади элемента
усиления к площади всего усиленного сечения. По длине образцы
каждой схемы разбивались на три типоразмера, отвечавшие наи-
более употребимому диапазону гибкостей (х°с ~ 65-н120).

Образцы схем усиления № 1—7 испытывались на изгибную
устойчивость (в плоскости действия моментов), образцы схемы
№ 8 — на пространственную устойчивость (из плоскости действия
моментов). Разбивка образцов на серии осуществлялась в соответст-
вии со схемой усиления основного стержня и условиями его загру-
жения до усиления (табл. 4.5; 4.6 и 4.7). Были испытаны следую-
щие основные типы образцов: центрально сжатые симметрично
усиленные (серия Б), центрально сжатые несимметрично усилен-
ные (серии В, Ж, 3, И, К, Ц), внецентренно сжатые симметрично
усиленные (серии Г, Д) и внецентренно сжатые несимметрично
усиленные. Усиление образцов последнего типа осуществлялось
как с вогнутой стороны основного стержня (серии Л, Н, О, Ч),
так и с выпуклой его стороны (серии М, Ш). После усиления об-
разцы большинства типов работали в условиях внецентренного
г Схема усп- । ления	Серия образ ца	Сечение и место вырезки образца	Количество испытанных образцов	Предел текучести ат, кгс/мм3		Времен- ное ~ сопротнв ление авр’ кгс/мм2	Относи- тельное остаточ- ное удли- нение 8, %
				среднее значение	принятое расчетное значение		
1	Б; Г	J № 16	8	30,05	30,0	44,75	28,70
		—— 70Х 10	4	29,72		48,70	26,70
2	В	| 63 Х 6	4	30,53	30,0	48,61	22,50
		—100 X 6	4	28,10		43,63	24,90
3	Д						
					28,0		
		№ 12	8	28,19		44,69	25,10
4; 5	Ж; 3 Л; М	|	63 X 6	5	31,20	28,5	47,20	23,42
6	К; О	|	75 X 8	5	28,48		46,36	22,80
7	И; Н	—» —140X14	5	26,70		46,86	24,96
8	X; Ц  Ч; Ш	: О - —200X12	5	30,80	31,0	48,40	23,10
		— Q, ,.—140X10	5	32,20		51,48	24,28
		-О-  —90X10	5	31,30		49,22	24,73
—				№ схемы усиления	
				Схема уси	
					
с		-70* 10 г  1	11		леиия образца	
1  Б; Г				Серия образца	
со	to		—	Типоразмер образца	
147,0	166,5		184,5	Расчетная длина, см	
86,5	97,5		1  108,5	о	До усиления
1			1	о	
00 о  о	90,0		0'001		После усиления
1			1	«г	

Таблица 4.4
сч

Продолжение та
					ТО  Sf					
					то					
Тип образцов	№ схемы усиления	Способ усиления	'2  о я	Ж Z  S  1  О я  11  и	Серия и группа сб[	Я а.	Типоразмер образц;	е  я ft*  о я а.	то си Си Я ft.	ррасч/рэксп кр	кр
Центрально сжатые сим- метрично усиленные		Без нагруз- ки			БА	—	1  2  3	62,5  70,5  76,0	59,5  65,5  71,1	0,95 0,93 0,935
	1	Под нагруз- кой	(0,36)	(0,36)	ББ	24	1  2	58,0  65,0  72,0	56,5  65,0  71,1	0,975 1,00 0,985
					БВ	31,5	1  2  3	56,0  64,5  68,0	43,4  58,5  69,5	0,775  0,905  1,02
Центрально сжатые не- симметрично усиленные		Без нагруз- ки			БА	~0,5	1  2  3	25.5  28,0  31,0	27,1  28,7  30,2	1,06  1,03 0,975
	2	Под нагруз- кой	—	—6,1	ВБ	10,5	1  2  3	30,5  39,0  35,3	31,8  31,9  32,4	1,04 0,82 0,92
					вв	17,5	1  2  3	32,0  41,8  37,8	32,6  36,0  34,6	1,02 0,86 0,915
		Без нагруз- ки			ГА	—	1  2  3	37,3  40,0  48,0	36,8  40,5  44,3	0,985 1,01 0,925
	1	Под нагруз- кой	10	10	гв‘	13,5	1  2  3	33,0  38,2  41,8	28,4  33,0  38,2	0,86  0,865  0,915
Внецентренио сжатые сим- метрично					ГВ	17	1  2  3	29,0  33,0  43,0	25,2  30,6  36,1	0,87  0,925  0,84
усиленные		Без нагруз- ки			ДА	—	1  2  3	33,5  36,5  37,0	30,2  31,6  33,0	0,90  0,865  0,89
	3	Под нагруз- кой	75	75	ДБ	13	1  2  3	29,0  33,2  34,8	25,6  28,0  30,1	0,885  0,845  0,865
					Дв	18	1  2  3	27,6  30,5  33,1	23,6  26,3  28,8	0,855 0,865  0,87
										
сжатия с эксцентриситетом е = ен — есм относительно оси х,
обусловленным начальным эксцентриситетом при загружении ос-
новного стержня е°с и смещением центра тяжести сечения при уси-
лении есм. Положительным принято направление эксцентрисите-
тов, отвечающее положительному направлению оси у (табл. 4.4).

Каждая серия образцов разбивалась на две или три группы
(А, Б, В) в зависимости от величины начальной нагрузки Ра в мо-
мент усиления. Образцы групп А характеризовали работу усилен-
ных без нагрузки стержней. Они усиливались либо вне пресса
(серии Б, Г, Д), либо в прессе (остальные серии) при величине на-
чальной нагрузки, близкой нулю(Рн« 0,5 тс). Эта нагрузка была
необходима для гарантии несмещаемости образцов в процессе уси-
ления и обеспечения постоянства эксцентриситета продольной силы.
Образцы групп Б и В усиливались после загружения силой Ра и
характеризовали работу усиленных под нагрузкой стержней. Для
того, чтобы наиболее существенно выявить влияние начального
напряженно-деформированного состояния на устойчивость уси-
ленных стержней, величину начальной нагрузки для образцов каж-
дого типа выбирали максимально возможной. Так, при усилении
центрально сжатых стержней максимальная нагрузка Рп превос-
ходила расчетную критическую (Р«р = ^ТР°С) по нормам для
образцов типоразмера 1. Это оказалось возможным благодаря
тому, что нормативные коэффициенты <р учитывают случайные экс-
центриситеты, которые превышают имевшие место в эксперименте.
Для внецентренно сжатых стержней типоразмера 1 максимальная
нагрузка Рн была весьма близка к пределу упругой работы и кри-
тической нагрузке, определяемой нормами (Р°р = фВистт^°с)*

Испытания проводились на 500-тонном вертикальном гидрав-
лическом прессе. Погрешность силоизмерителя в используемом
диапазоне нагрузок не превышала 4,5%. Нагрузка увеличивалась
ступенями, уменьшавшимися по мере приближения к расчетной
критической величине. На каждой ступени делалась выдержка до
стабилизации отсчетов по приборам. За критическую нагрузку при-
нималось максимальное давление, показанное силоизмерителем.

Прижатие элементов усиления производилось одновременно,
до полного их прилегания к основному стержню, с помощью струб-
цин. Затем в местах установки последних делались точечные при-
хватки, и после снятия струбцин осуществлялась окончательная
приварка элементов усиления шпоночными швами. Размеры швов
контролировались замерами. Вначале заваривались нижние кон-
цевые швы прикрепления элементов усиления, затем в направле-
нии снизу вверх последовательно заваривались участки всех шпо-
ночных швов и, наконец, верхние концевые швы. В процессе
сварки величина начальной нагрузки поддерживалась постоянной.

Скорость возрастания деформаций вследствие нагрева образцов
была незначительной и поддержание постоянной нагрузки не со-
ставляло труда.
Центрально сжатые несимметрично усиленные								Тип образцов	
Под на- грузкой				Без на- грузки				Способ усиления	
	СП	Сп	*		©	Сл	•и	Хе схемы усиления	
	S СП	СО СП	ЖБ	я >	S	СО	ЖА	Серия и группа образца	
ч				1 о  сл				Рн, тс	
1				1				е°с. мм	
	—13, го	'12,30	—15,25	—16,15	— 13,10	12,30	—15,25	ОС  е = еи -есм’мм	
	со ЬЭ —	со ю —	со ьэ —	со to и-	со ьо —	со to —	СО tO —	Типоразмер образ- ца	
	1	1	1	1	1	1	1	расчетный	so  2 2
	—0,02 0,05 0,01	0,60 0  0,06	—0,10 0,05 0,01	1	1	1	1	эксперимен- тальный	
	1	1	1	1	1	1	1	расчетный	о* ю  2 £
	0,52 0 -0,29	—0,67  —0,46 0,01	1 1 1  СЛ Сл Оь	0,10  —0,20  0,06	0  —0,19  —0,24	—0,26  —0,79  —0,02	1 1 1 оо~  сооом	эксперимен- тальный	
	9,40  4,65  2,56	1 1 1 О •чьэьэ ЬЭСО	5,52  3,17  1,85	1,02  0,68  0,44	3,50  2,33  1,50	1 1 1 ©о©  4* СП © © •— •—	2,48  1,66  1,07	расчетный	2  2  2
	8,63  3,11  3,67	0,60  —0,59  0,28	2,76  2,29  1,57	0,78  0,55  0,28	2,60  1,80  1,06	1 1 1 © © © X 05 СО	1,43 0,86 0,88	эксперимен- тальный	
	9,40  4,65  2,56	1 1 1 о —to  авк	5,52  3,17  1,85	1,02  0,68  0,44	3,50  2,33  1,50	1 1 1 © © ©  Оь СП <0 © •— •—	2,48  1,66  1,07	расчетный	Смм
—	9,13  3,16  3,39	0,53  —1,05  0,35	1,24  1,83  1,01	0,88  0,35  0,34	2,60 | 1,80  1,06	1 1 1 © *“ *—  л. © —  <0© ©	0,26  0,08  0,75	эксперимен- тальный	
	48,5  47,0  52,4	45,9  55,3  60,0	43,9  50,5  53,9	37,0  43,9  48,5	33,1  36,2  41,6	45,4  54,9  60,0	37,4  45,1  51,5	рЭКОП тс	
	43,0  42,0  44,5	44,6  51,1  56,6	45,5 ]  50,3  58,4	41,0  47,0  52,5	33,6  38,1  42,5	43,0  50,2  56,0	41,9  48,4  54,5	ссч. -	
	0,885 0,895  0,84	0,97  0,925  0,945	1,035 0,995 1,08	1,11  | 1,07  1,08	1,015  1,05  1,02	0,95  0,915  0,915	1,12  1,07  1,06	ррасч кр  Р эксп кр	

Таблица 4.
Внецентренно сжатые несимметрично усиленные

	7	КБ			—16,15	1  2  3	—	0,07  0,13  —0,02		0,02  —0,33  —0,04	2,32  1,34  0,79	5,56  1,94  1,40	2,32  1,34  0,79	5,65  1,74  1,34	48,8  49,6  53,2	42,1  47,6  52,8	0,86 0,96 0,99
	4	ЛА		6,05	—9,20	1  2  3	—	—	—	—0,30  —0,72  -0,52	2,48  1,66  1,07	1,40  0,87  0,90	2,48  1,66  1,07	1,10  0,15  0,38	47,9  53,0  60,0	50,5  58,0  64,5	1,05  1,095  1,075
Без иа-	5	МА	«0,5		18,35	1  2  3	—	—	—	— 1,06  —0,05  0,06	—0,91  —0,61  —0,40	—0,71  —0,77  —0,56	—0,91  —0,61  —0,40	— 1,77  —0,82  —0,50	38,6  45,5  52,5	38,1  44,0  48,7	0,99  0,97  0,93
грузки	6	НА		18,15	5,05	1  2  3	—	—	—	—0,12  —0,30  —0,24	3,50  2,33  1,50	2,53 0,82  0,86	3,50  2,33  1,50	2,41  0,52  0,62	40,8  56,6  80,0	37,6  48,4  60,0	0,92  0,855  0,75
	7	ОА			2,00	1 2  3	—			-0,17  —0,54  -0,18	1,02  0,68  0,44	1,15  0,48  0,03	1,02 0,68  0,44	0,98  —0,06  —0,15	55,2  69,3  8!,!	60,5  70,0  77,9	1,095  1,01 0,96
	4	ЛБ	23,1	6,05	—9,20	1 2  3	15,70  5,70  2,74	16,13  6,08  2,76	—6,80  —2,19  —0,97	—6,48  —2,70  —0,82	6,75  3,30  1,88	4,46  2,08  2,27	15,65  6,81  3,65	14,11  5,46  4,21	53,9  69,7  72,0	50,8  71,9  70,5	0,945 1,03 0,98
	5	МБ			18,35	1  2  3	15,70  5,70  2,74	15,28  6,00  3,30	—7,30  —2,29  —1,00	-8,65  —3,00  —0,92	3,63 0,90 0,26	3,51  1,24  1,08	12,03  4,31  2,00	10,14  4,24  3,46	36,9  45,7  49,0	30,7  39,7  46,2	0,83  0,87  0,945
Под на- грузкой																	
	6	НБ	16,9	18,15	5,05	1 2  3	20,30  9,98  5,37	21,71  10,44  5,32	—0,76  —0,32  —0,16	0,09  —0,28  0,08	8,35  4,38  2,43	7,54  4,22  2,96	27,89  14,04  7,64	29,34 14,38  8,36	26,8  43,0  61,5	20,9  33,5  47,5	0,78  0,78  0,77
	7	ОБ			2,00	1 2  3	20,30  9,98  5,37	22,06  10,67  5,55	—4,30  —1,95  —1,00	—4,19  —1,18  —0,88	2,64  1,46 0,81	2,68  1,30  2,07	18,64  9,49  5,18	20,55  10,79  6,74	37,8  55,4  65,4	38,2  53,5  67,0	1,01 0,965 1,025
Тип образцов	Способ усиления	S  2  и “  о я	S  и о я  II S  Ч) S	Серия и группа об- разца	Я А	Типоразмер образца	Р-СП. тс
Центрально сжатые	Вие пресса	—		X	—	1  2  3	70,8  77,0  98,5
Центрально сжатые несим- метрично усиленные	Без нагрузки	—	+ 14	ЦА	«0,5	1  2 3	70,0  71,1  97,0
	Под нагрузкой			ЦБ	43,1	1  2  3	74,0  78,4 .103,0
Внецентреино сжатые несим- метрично усиленные	Без нагрузки	—49	-35	ЧА	«0,5	1  2  , 3	72,6  78,5  86,2
	Под нагрузкой			ЧБ	27,0	1  2  3	70,0  73,1  88,0
				чв	38,5	1  2  3	58,4  70,9  90,9
Внецентреино сжатые несим- метрично усиленные	Без нагрузки	93	+ 107	ША	«0,5	1  2  3	35,1  44,5  46,2
	Под нагрузкой			ШБ	15,4	1  2  3	33,9  43,1  44,0
				ШВ	27,0	2  3	41,6  43,1
Е  5^	Е и  СП  •э-	я* и та сх	в* и та	Е и  * %	ррасч кр ’	ррасч кр	рЭКСП 1 кр	фрасч	В*  та сх  -э-	Е £ -э-
								53,5	0,755				
—	—	—			72,6	0,94					
—	—	—			94,5	0,96		—		
0,99	1,00	0,725	0,73		38,5	0,55		1,00		
0,925	1,00	0,712	0,77		51,6	0,725		1,00		
0,985	1,00	0,703	0,715		66,3	0,685		1,00		
1,045	1,055	0,75	0,72		40,0	0,54		Г, 04	0,985	
1,02	1,10	0,73	0,715		53,0	0,675		1,03	0,935	
1,045	1,06	0,711	0,88		67,2.	0,655		1,015	0,96	
1,025	1,00	0,99	0,935		51,2	0,705		1,00		
1,02	1,00	0,915	0,835		62,0	0,79		1,00		
0,875	1,00	0,735	0,84		69,4	0,605		1,00		
0,99	0,965	0,99	0,96		50,7	0,725		0,99	1,025	
0,95	0,93	0,89	0,875		60,1	0,82		0,97	1,04	
0,895	1,02	0,722	0,81		68,1	0,775		0,98	0,96	
0,825	0,805	0,99	1,14		50,1	0,86		0,98	1,22	
0,92	0,905	0,877	0,89		59,6	0,84		0,96	1,06	
0,92	1,05	0,717	0,78		67,6	0,745		0,975	0,93	
0,495	1,00	0,226	0,455		12,2	0,35		1,00		
0,575	1,00	0,225	0,39		16,3	0,365		1,00		
0,47	1,00	0,224	0,48		21,1	0,455		1,00		
0,48	0,965	0,22	0,46		11,8	0,35		0,965	1,00	
0,56	0,97	0,221	0,395		16,0	0,37		0,98	1,01	
0,445	0,95	0,222	0,50		21,0	0,475		1,00	1,05	
0,54	0,935	0,218	0,403		15,8	0,38		0,97	1,04	
0,44	0,93	0,219	0,50		20,7	0,48		0,985	1,06	
Прогибы образцов измерялись в трех сечениях по длине стерж-
ней (в середине и в четвертях длины) с помощью прогибомеров
ПА-3, установленных на специальных стойках, не связанных с
прессом (рис. 4.6).

Испытание образцов на изгибную устойчивость. При испытании
на изгибную устойчивость давление на образцы передавалось че-
рез специальные ножевые шарниры, обеспечивавшие шарнирное
опирание стержней в плоскости изгиба. Опорные плиты шарниров
были остроганы и снабжены четырьмя упорными винтами для
удобства центрации образцов при испытании. Фиксирование пло-

скости изгиба обеспечивалось расположе-
нием осей шарниров перпендикулярно
плоскости г—у наименьшей жесткости об-
разцов, а для внецентренно сжатых стерж-
ней — эксцентричностью приложения на-
грузки в этой плоскости. Расчетная длина
образцов в плоскости изгиба принималась
равной расстоянию между опорными реб-
рами ножевых шарниров.

Испытание центрально сжатых образ-
цов серии Б происходило следующим обра-
зом. Основной стержень образцов групп
Б Б и БВ помещался на пресс и предва-
рительно центрировался по рискам. Более
точная центрация осуществлялась сдвиж-
кой опорных сечений после пробных за-
гружений стержня и контролировалась по
показаниям четырех тензометров ТА-2 ба-
зой 50 мм, установленных в среднем сече-

Рис. 4.6. Испытательная
установка



нии. Затем производились усиление и испы-

тание до потери устойчивости. Образцы групп БА усиливались
приваркой полос до установки в пресс. Обработка результатов из-
мерения деформаций в среднем сечении показала, что при таком
методе центрации относительный эксцентриситет достигал значе-
ний т = 0,05-г-0,08.

Значительно лучшие результаты удалось получить при центра-
ции образцов по показаниям прогибомеров в трех сечениях стерж-
ней. Этот метод и был применен при испытании образцов всех ос-
тальных серий. Центрация продолжалась до тех пор, пока прогибы
стержней не начинали отвечать начальному относительному экс-
центриситету /ПнС<0,01. Отметим, что оба метода центрации учи-
тывают не только случайные эксцентриситеты, но и начальное
искривление стержня.

Испытание внецентренно сжатых стержней также начиналось
с центрации образцов, после окончания которой образцы с помощью
упорных винтов опорных плит шарниров смещались вдоль оси у
(в плоскости, перпендикулярной оси шарниров) на заданную ве-
личину начального эксцентриситета. Величина смещения контро-
лировалась по прогибомерам, установленным в опорных сече-
ниях.

Экспериментальные величины критических нагрузок для об-
разцов серий Б—Д приведены в табл. 4.5. Измерение прогибов и
деформаций в среднем сечении этих образцов производилось в те-
чение всего процесса испытаний. Однако достоверными можно
считать только измерения, выполненные в стадии предваритель-
ного напряжения и испытания образцов после усиления. При про-
ведении опытов не было уделено должного внимания теплоизоля-
ции приборов и их защите от механических воздействий в процессе
усиления и сварки (что отчасти было затруднено и симметричностью
большинства схем усиления).

При испытании образцов серий Ж—О этот недостаток был устра-
нен, и измерение прогибов стержней производилось на всех этапах
их работы непрерывным циклом. Для уменьшения влияния нерав-
номерного теплового нагрева на показания прогибомеров прово-
локу крепили к образцам через специальные термоизолирующие
прокладки, прижимаемые струбцинами. В необходимых случаях
места крепления проволоки и прогибомеры защищались экранами
из жести, предупреждавшими попадание капель расплавленного
металла и искр. Крепление прогибомеров осуществлялось с той
стороны образцов, которая была противоположна стороне нало-
жения швов.

Показания прогибомеров фиксировались в стадии предвари-
тельного нагружения образцов на каждой ступени нагрузки. Раз-
ность отсчетов до и после присоединения элементов усиления ха-
рактеризовала обратный выгиб основного стержня при усилении.
Затем отсчеты брались после прихватки элементов усиления, в
процессе сварки, по ее окончании и через определенные проме-
жутки времени при остывании образцов. Остаточный сварочный
прогиб определялся как разность отсчетов до начала сварки и по-
сле полного остывания образцов, о чем свидетельствовала стабили-
зация показаний прогибомеров. При последующем нагружении
образцов отсчеты снимались на каждой ступени нагрузки.

Измерение прогибов при сварке и остывании образцов позво-
лило проследить за развитием остаточных сварочных прогибов.
В качестве примера на рис. 4.7 приведены перемещения среднего
сечения и сечений в четвертях длины стержней, усиленных без на-
грузки (образец ИА-1), под нагрузкой в условиях центрального
(ИБ-1) и внецентренного (НБ-1) сжатия. В процессе сварки (кри-
вые 1, 2, 3) прогибы стержней развивались вначале в направлении,
противоположном направлению остаточного сварочного прогиба,
причем наиболее интенсивные перемещения были характерны для
среднего /) и нижнего (х/4 /) сечений. По абсолютной величине
максимальные перемещения среднего сечения стержней в процессе
сварки не превосходили величины остаточного сварочного прогиба.
К моменту окончания сварки (кривые 4) прогибы в сечениях стерж-
ней совпадали по направлению с остаточными. Интенсивное нараста-
Рис. 4.7. Перемещения сечений образцов при сварке и остывании
а — образец ИА-1; б — образец ИБ-1; б — образец НБ-1
ние прогибов отмечалось в течение 15 мин после окончания сварки
(кривые 5), затем скорость нарастания падала (через 30 мин — кри-
вые 6), н практически полная стабилизация отсчетов наступала
через 90—120 мин (кривые 7).

Экспериментальные и расчетные величины начальных прогибов
основного стержня /нС, прогибов при присоединении элементов
усиления в, остаточных сварочных прогибов /св и суммарных
начальных прогибов f* в среднем сечении образцов приведены
в табл. 4.6.

Для образцов групп А, усиленных «без нагрузки», эксперимен-
тальные величины f°c ввиду малости Ра и недостоверности нуле-
вого отсчета не приводятся.

Начальный прогиб усиленных под нагрузкой центрально-сжа-
тых стержней отвечал весьма малым случайным эксцентриситетам
(m°c 0,1) произвольного направления. Для усиленных под на-
грузкой внецентреино сжатых стержней экспериментальные ве-
личины f°c оказались, как правило, несколько больше расчетных.

Возникновение прогибов f0 в при усилении стержней без на-
грузки и центрально сжатых стержней объясняется несовпадением
начальных кривизн основного стержня и элементов усиления. До-
статочная стабильность отрицательного знака f^KCBn свидетельст-
вует о том, что основные стержни имели, как правило, положитель-
ную начальную кривизну. Расчетные величины в для внецен-
тренно сжатых стержней, приведенные в табл. 4,6, отвечают II
модели и вычислены по формуле (3.26). Для сравнения в табл. 4.8
приведены значения в, отвечающие I расчетной модели. Сопо-
ставление показывает, что в целом II расчетная модель лучше со-
ответствует экспериментальным данным. Разброс эксперименталь-
ных величин можно объяснить влиянием случайных факторов,
в том числе начальной кривизны элементов. Для образцов НБ-1
и НБ-3 случайные факторы обусловили (ввиду малости f0. в) даже
изменение знака экспериментального прогиба по сравнению с рас-
четным.

Сопоставление остаточных сварочных прогибов для образцов,
усиленных без нагрузки по одной схеме (например, для образцов
групп ЖА и ЛА, ЗА и МА и т. д.), показывает достаточную стабиль-
ность экспериментальных величин fCB. Расчетные величины /св
для усиленных без нагрузки образцов определялись в соответст-
вии с инженерной методикой расчета Н. О. Окерблома по формуле
(3.60) при п = 1. Для образцов схемы усиления № 5 ввиду уравно-
вешенности сварных швов расчетный сварочный прогиб является
функцией малой разности величин у\, входящих в (3.60) с разными
знаками. Поэтому для образцов серий 3 и М было произведено
уточнение инженерного метода расчета и г/' принято равным рас-
стоянию от центра тяжести усиленного сечения до центра тяжести

[17]. Подобное уточнение для образцов остальных серий прак-
128
Заказ № 2339

№ схемы усиления	Серия и группа образ- ца	Типоразмер образца	Обратный выгиб при усилении					Сварочный прогиб						
			экспери- мен- тально	по расчету				экспери- мен- тально	по расчету					
				I расчетная модель		II расчетная модель			с учетом f0 в			без учета f в		
			еЭКСП 'о. в ’  мм	храсч 'о. в ’  мм	храсч 'о. в  еЭКСП 'о. в	храсч 'о. в *  мм	храсч ’о. в  сЭКСП ’о. в	хЭКСП 'св ’  мм	расч ср	храсч 'св ’  мм	храсч 'св  хЭКСП 'св	„Расч ср	храсч 'св ’  мм	храсч 'св  хЭКСП 'св
		1	—6,48	—9,66	1,49	—6,80	1,05	4,46	1,63	5,60	1,25	1,96	6,75	1,51
4	ЛБ	2	—2,70	—2,64	0,975	—2,19	0,81	2,08	1,49	3,04	1,46	1,61	3,30	1,59
		3	—0,82	—1,08	1,31	—0,97	1,18	2,27	1,47	1,78	0,78	1,55	1,88	0,83
		1	—8,65	—9,66	1,115	—7,30	0,845	3,51	—2,6	3,53	1,01	—2,68	3,63	1,03
5	МБ	2	—3,0	—2,64	0,88	—2,29	0,765	1,24	—1,12	0,88	0,71	—1,14	0,90	0,73
		3	—0,92	—1,08	1,17	—1,00	1,09	1,08	—0,55	0,26	0,24	—0,55	0,26	0,24
		1	0,09	—1,10	—	—0,76	—	7,54	1,57	7,90	1,05	1,66	8,35	1,11
6	НБ	2	—0,28	—0,40	1,43	—0,32	1,14	4,22	1,42	4,15	0,98	1,50	4,38	1,04
		3	0,08	—0,18	—	—0,16	—	2,96	1,35	2,33	0,79	1,41	2,43	0,82
		1	—4,19	—6,20	1,48	—4,30	1,025	2,68	1,76	2,22	0,83	2,10	2,64	0,98
7	ОБ	2	—1,18	—2,43	2,06	—1,95	1,65	1,30	1,58	1,23	0,95	1,88	1,46	1,12
		3	—0,88	—1,02	1,16	—1,00	1,135	2,07	1,53	0,73	0,35	1,69	0,81	0,39
тически не изменяло результата. Почти для всех образцов групп
А расчетные величины /св оказались значительно больше экспери-
ментальных.

Превышение расчетных сварочных прогибов над эксперимен-
тальными было отмечено и при предварительно проведенных ис-
пытаниях, выполненных для отработки методики измерения сва-
рочных прогибов и проверки расчетных методов их определения.
Для этих испытаний использовались такие же стержни таврового
сечения из двух уголков 75 X 8, как и при испытании образцов
серий Ж—О. Сплошные и прерывистые швы накладывались на
часть стержней со стороны полки тавра (в зазор между обушками
уголков, на подкладки), на другую часть — со стороны «стенки»
тавра (в зазор между перьями уголков). Поскольку элементыуси-
ления отсутствовали, влияние связанных с этим факторов на ре-
зультаты испытаний было исключено. Часть стержней испытыва-
лась в тех же условиях, что и образцы основных серий (т. е. при
установке стержней на опорные шарниры в прессе и загружении
их нагрузкой Рн « 0,5 тс). Другая часть стержней крепилась,
лишь к нижнему опорному шарниру, закрепленному от поворота
и смещения. Верхние концы стержней имели полную свободу пе-
ремещений. Начальная нагрузка отсутствовала. Результаты ис-
пытаний показали, что опорные закрепления и малая начальная
нагрузка не оказывали влияния на сварочные прогибы. Экспери-
ментальные сварочные прогибы также оказались значительно
меньше расчетных (в ряде случаев в 2 раза).

Превышение расчетных величин над экспериментальными
можно объяснить следующими обстоятельствами. Во-первых, как
отмечалось в ряде работ (например [6, 16]), расчетный метод
Н. О. Окерблома дает вообще несколько завышенные результаты.
Во-вторых, этот метод достаточно действен при оценке сварочных
деформаций крупных элементов и большом удалении сварных
швов от центров тяжести сечений; при сварке же сравнительно
малых образцов, как это имело место в эксперименте, погрешность
метода возрастает.

Расчетные величины сварочных прогибов образцов, усиленных
под нагрузкой, подсчитывались по формуле (3.69). Для внецент-
ренно сжатых образцов коэффициент п определялся упрощенны»
приемом по формуле (3.70), т. е. без учета дополнительных дефор-
маций элементов при усилении. Для сравнения в табл. 4.8 приве-

X niy'i

дены величины цр®сч = ——— и Д®сч, подсчитанные с учетом этих
деформаций («с учетом /0. в»). Как видно из таблицы, применение-
упрощенного приема приводит к некоторому завышению коэффи-
циента п. Это завышение можно считать оправданным, так как
возрастание сварочных прогибов при действии начальной нагрузки,
в эксперименте оказалось несколько большим, чем это определяется
теоретическими коэффициентами п и а. Отрицательные знаки цр®сч>
для образцов группы МБ обусловлены разнозначностью yt и раз-
личием величин начальных напряжений в зоне швов при усилении
этих образцов под нагрузкой. В соответствии с расчетом, знаки
экспериментальных сварочных прогибов образцов групп МА и
МБ противоположны (см. табл. 4.6). Несовпадение знаков расчет-
ных и экспериментальных величин /св для образцов ЗБ-1 и ЗБ-З
вызвано случайными факторами, влияние которых в силу уравно-
вешенности швов при усилении по схеме № 5 и большой началь-
ной нагрузки было особенно существенным для образцов группы
ЗБ.

Обобщая сравнение экспериментальных и расчетных величин
сварочных прогибов образцов, отметим, что в целом принятая рас-
четная методика правильно описывает сварочные деформации при
усилении стержней, хотя и определяет, как правило, несколько
завышенные величины /св (в среднем в 1,5 раза). В практических
расчетах устойчивости усиленных стержней последнее обстоятель-
ство можно учесть введением понижающего коэффициента &св на
расчетную величину сварочного прогиба в тех случаях, когда это
приведет к увеличению эквивалентного эксцентриситета или из-
менению его знака. С некоторым запасом можно принять &св =
= 0,5. Наибольшей относительной погрешности метода можно
ожидать при схемах усиления, связанных с наложением двусто-
ронних уравновешенных швов. Однако в силу малости /св при та-
ких схемах абсолютная погрешность должна быть невелика.

Развитие прогибов стержней, усиленных под нагрузкой, иллю-
стрируется рис. 4.8, где приведены экспериментальные кривые
прогибов в среднем сечении образцов группы ЛБ. Участки ОА
сплошных кривых отвечают прогибам стержней до усиления, от-
резки АВ и ВС — прогибам при присоединении элементов усиле-
ния и сварке, участки CD — прогибам при нагружении после
усиления. Для наглядности отрезки АВ и ВС несколько смещены
по вертикали с ординаты Ря. Пунктиром показаны теоретические
кривые прогибов. Прогибы стержней в упругой стадии работы по-
сле усиления рассчитывались по формуле (3.38) при значениях
г _г'расч

'н *н *

В целом теоретические кривые подобны экспериментальным и
правильно описывают характер работы усиленных стержней. Так,
в соответствии с расчетом, прогибы образца ЛБ-1 после усиления
несмотря на изменение знака эксцентриситета развивались в на-
правлении начальных прогибов стержня (/и >—е), а прогибы
образцов ЛБ-2 и ЛБ-3 — в противоположном направлении
(/и < — е). Некоторое расхождение кривых объясняется разли-
чием расчетных и экспериментальных величин обусловленным
в основном несовпадением /^сч и f^cn. Для сравнения на рис. 4.8
приведены штрих пунктир ом расчетные кривые прогиоов стержней
после усиления, подсчитанные по (3.38) при значениях f = /нэксп-
5*	131

Для ряда образцов они практически совпадают с эксперименталь-
ными кривыми.

При испытании нескольких образцов были выполнены кон-
трольные измерения перемещений сечений стержней из плоскости
изгиба. Эти перемещения были практически нулевыми и лишь на
последних ступенях нагрузки достигали величин порядка десятых
долей миллиметра.

Расчет критических нагрузок для испытанных образцов про-
изводился приближенным методом с использованием данных СНиП
П-В.3—72. Эквивалентный эксцентриситет определялся по формуле
еэкв = е + /врасч; влияние формы сечения при подсчете приведен-
ного эксцентриситета учитывалось введением нормативных коэффи-
циентов т]. Условная гибкость подсчитывалась с учетом расчетного
предела текучести стали образцов (см. табл. 4.3) по формуле

Г R __-.Г 2100 ат

— У ~Ё~— У 2,1 -10е 2400 '

Коэффициенты фвн определялись интерполяцией табличных величин.

Некоторую особенность имел расчет критических нагрузок для
образцов серии Б. При симметричном усилении центрально сжа-
тых стержней случайный эксцентриситет любого направления ока-
зывает существенное влияние на величину критических нагрузок
и, в соответствии с рекомендациями § 3.2, должен учитываться при
расчете устойчивости. Среднее расчетное значение случайного
эксцентриситета (е°с = ± 0,36 мм) для образцов серии Б, приня-
тое по результатам обработки тензометрических кривых, указано
в табл. 4.5 в скобках. При подсчете критических нагрузок приве-
денный эксцентриситет принимался не менее минимально норми-
руемой СНиПом величины т1 = 0,1. Отметим, что в силу физи-
ческой нечеткости задачи центрального сжатия и вариантности
случайного эксцентриситета расчет критических нагрузок для об-
разцов серии Б (как и для всякого центрально сжатого стержня)
является в достаточной мере условным.

При подсчете критических нагрузок для образцов всех осталь-
ных серий случайные эксцентриситеты в силу их малости
(/и°с	0,01) и произвольности направления не учитывались.

Приведенные в табл. 4.5 и 4.6 данные показывают, что для об-
разцов, усиленных без нагрузки, отклонение расчетных критиче-
ских нагрузок от экспериментальных имело место как в большую,
так и в меньшую стороны. Почти для всех усиленных под нагруз-
кой образцов расчетные критические нагрузки оказались ниже
экспериментальных (в среднем на — 8,35%), что является следст-
вием гарантируемого приближенным методом запаса устойчивости
и, отчасти, несоответствия расчетных и экспериментальных вели-
чин /св. Следует учесть, что в эксперименте усиление образцов
производилось при весьма высоких начальных нагрузках и в том
диапазоне гибкостей, где приближенный метод расчета дает макси-
мальный запас устойчивости.

Наибольшие отклонения расчетных критических нагрузок от
экспериментальных в целом характерны для образцов серии Н.
Это обусловлено дополнительным запасом устойчивости, опреде-
ляемым нормативными коэффициентами ц для тавровых сечений
при эксцентриситете, направленном в сторону полки тавра.

В целом результаты испытаний показали действенность пред-
лагаемой методики расчета прогибов и устойчивости в плоскости
изгиба стержней различных форм поперечного сечения при раз-
личных схемах их нагружения и усиления с помощью сварки. Не-
который запас устойчивости, гарантируемый методом, является
залогом надежности работы усиленных стержней.

Испытание образцов на пространственную устойчивость. Рас-
смотрение вопроса устойчивости усиленных под нагрузкой стерж-
ней из плоскости действия момента, изложенное в § 2.4, выпол-
нено для стержней прямоугольного и двутаврового сечений, для
которых влияние закручивания невелико, и потому было воз-
можно учитывать лишь изгибные деформации и игнорировать кру-
чение. В § 3.2 показано, что при таком подходе к задаче простран-
ственной устойчивости приближенный метод дает вполне удовлет-
ворительные результаты в оценке критических нагрузок.

Возможность применения приближенного метода при оценке
устойчивости стержней, для которых крутильные деформации
могут иметь существенное значение, была исследована эксперимен-
тально. Как отмечал Н. С. Стрелецкий [22], наиболее существенно
крутильные деформации сказываются на устойчивости стержней
таврового сечения. Это и определило выбор для испытаний типа
сечения образцов и схемы их усиления (схема № 8 в табл. 4.4).

При испытании давление на образцы передавалось через спе-
циальные шаровые шарниры. Прогибы стержней в плоскостях
z—х и z—у и тангенсы углов закручивания измерялись с помощью
прогибомеров, установленных в трех сечениях. Для удобства цен-
трации и контроля несмещаемости по три прогибомера устанавли-
валось и в опорных сечениях.

В зависимости от способа центрации и загружения образцы
были разбиты на четыре серии (табл. 4.7). Образцы серии X усили-
вались приваркой полосы вне пресса, затем устанавливались в
пресс и центрировались. Центрация производилась относительно
обеих главных осей сечения и контролировалась путем измерения
прогибов. Предельная величина начального относительного экс-
центриситета допускалась не более т0»	0,05 (в связи с большей

сложностью центрации относительно двух осей точность ее была
ниже, чем при испытании образцов на изгибную устойчивость).
При таком методе испытаний небольшое начальное искривление
образцов, возникавшее'при приварке элементов усиления, компен-
сировалось соответствующим смещением опорных сечений, и по-
сле установки образцы серии X были близки к условиям централь-
кого сжатия. Таким образом, эти образцы являлись эталонными
(для образцов остальных серий) для оценки влияния эксцентриси-
тета относительно оси х на устойчивость стержней из плоскости
действия моментов.

Образцы серии Ц устанавливались в пресс по центрам тяжести
основного сечения, центрировались и затем усиливались привар-
кой полосы. Начальная нагрузка при усилении образцов группы
ЦБ составляла 43,1 тс (что превышало критическую нагрузку по
нормам для образца ЦБ-.1 : Ркр = (руотРос = 38 тс).

Образцы серий Ч и Ш устанавливались с эксцентриситетом
относительно оси х. Эксцентричность загружения обеспечивалась
установкой стальных шаров в сферические выточки в верхних
опорных плитах шарниров, смещенные вдоль оси у на —49
и 4-93 мм соответственно. Относительно оси у образцы центриро-
вались; точность центрации контролировалась и корректирова-
лась по показаниям прогибомеров сдвижкой опорных сечений (при
неизменном положении относительно оси X). Результаты испыта-
ния образцов контрольной серии послужили основанием для вы-
бора начальной нагрузки при усилении стержней групп ЧВ и
ШВ, значительно превышающей расчетную критическую по нор-
мам. Так, например, для основного стержня ШВ-2 критическая
нагрузка по нормам при начальном эксцентриситете е™ = 93 мм
(/ПнС = 2,76) составляла Ркр = c^y(jrF0C = 15,35 тс; усиление
же образцов группы ШВ было осуществлено при Рп — 27 тс. Не-
смотря на то, что образцы проектировались с учетом местной ус-
тойчивости элементов, при испытании контрольных образцов се-
рии Ш была отмечена потеря устойчивости стенки тавра вблизи
торца образца (в силу воздействия местных контактных напряже-
ний). Поэтому образцы серии Ш были усилены приваркой у торцов
второй полки из пластины размером 150 X 80 X 10 мм.

Сравнение расчетных и экспериментальных прогибов в плоско-
сти действия моментов (плоскости z—у) показало, что в стадии
предварительного напряжения экспериментальные величины f„c,
как правило, несколько превышали расчетные. В силу малости
величин обратного выгиба стержней при усилении полосой на их
фактическую величину существенное влияние оказывали такие
случайные факторы, как грибовидность полки тавра, начальное
искривление полос и т. д. Экспериментальные величины сварочных
прогибов оказались, как правило, несколько меньше расчетных.

Прогибы образцов в плоскости г—х и углы закручивания се-
чений в стадии предварительного нагружения были незначительны
и обусловливались в основном неточностями центрации. Небольшие
перемещения при усилении вызывались грибовидностью полки
тавров. Перемещения при сварке достигали более значительных
величин и обусловливались, по-видимому, случайной неуравно-
вешенностью сварных швов и начальных напряжений в их зоне.
Большая гибкость образцов из плоскости и большая начальная
нагрузка приводили к возрастанию роли этих факторов. Особенно
большой прогиб в плоскости z—х получил при сварке образец
ЧВ-1.

При дальнейшем испытании образцов прогибы в плоскости z—х
и углы поворота сечений развивались обычно в направлении, сов-
падающем с направлением соответствующего результирующего
перемещения после усиления и сварки. Однако в ряде случаев
в процессе нагружения происходило изменение знака перемещений
(в основном у образцов групп А). Интенсивное развитие прогибов
из плоскости момента имело место при нагрузках, непосредственно
предшествовавших критической. Углы поворота сечений вплоть
до потери образцом устойчивости были, как правило, незначительны.
В ряде случаев направление закручивания различных сечений по
длине стержня было противоположным.

В целом для образцов серий X, Ц и Ч форма потери устойчи-
вости была близка к изгибной в плоскости г—х при относительно
небольшом закручивании стержня. Такой характер потери устой-
чивости можно объяснить резким различием изгибных жесткостей
и стеснением поворота концевых сечений. Представление о пере-
мещениях сечений стержней при испытаниях дает рис. 4.9, где при-
ведены перемещения среднего сечения (сплошными линиями) и
сечений в четвертях длины (пунктирными и штрихпунктирными
линиями) образца ЦБ-1.

Особый характер носила потеря устойчивости образцов серии Ш
(начальный эксцентриситет в сторону стенки тавра). При доста-
точно интенсивном проникновении пластических деформаций
в глубь сечения происходила потеря местной устойчивости стенки
в среднем сечении стержней и, вслед за ней, потеря общей устойчи-
вости образцов при более интенсивном их закручивании. Такой
характер потери устойчивости обусловил небольшое различие экс-
периментальных критических нагрузок для образцов разных ти-
поразмеров одной группы.

Опытные величины критических нагрузок РкрСП приведены
в табл. 4.7. По результатам испытаний определялись значения
коэффициентов с как соотношение критических нагрузок внецен-
тренно (образцы серий Ц, Ч и Ш) и центрально сжатого (образцы
серии X) стержня соответствующего типоразмера. Для оценки
влияния начальной нагрузки на устойчивость усиленных стержней
вычислялись также экспериментальные величины коэффициентов ф
(как соотношение критических нагрузок образца групп Б и В и
соответствующего образца группы А той же серии).

Расчетные величины коэффициентов с определялись по СНиП
П-В.З—72. Для усиленных образцов в соответствии с предлагае-
мым приближенным методом в качестве расчетного эксцентриситета
принимался еэкв. Расчетные критические нагрузки подсчитыва-
лись по формуле РкрСЧ =

Экспериментальные критические нагрузки для образцов всех
типов оказались в основном значительно выше расчетных. Это
136
ч)

В)

Рис. 4.9. Графики перемещений (прогибов и углов закручивания сечений) образца ЦБ-1

q —прогибы в плоскости г—у; б — прогибы в плоскости г—х; в— тангенсы углов закручивания, увеличенные В' 103раз
обстоятельство можно объяснить двумя факторами. Во-первых,
нормативные коэффициенты ср учитывают случайные эксцентри-
ситеты, которые по своей величине превышают имевшие место
в эксперименте. Во-вторых, как отмечено в § 2.4, нормативные
коэффициенты с определяют (вне зависимости от соотношения гиб-
костей стержня) низшую границу критических нагрузок при по-
тере устойчивости из плоскости момента и для большинства стерж-
ней дают запас устойчивости. Сравнение экспериментальных и
расчетных коэффициентов с показывает, что в отдельных случаях
этот запас достигает значительных величин.

В связи с этим непосредственное сравнение критических сил или
коэффициентов с для оценки влияния начальной нагрузки на ус-
тойчивость усиленных стержней из плоскости действия момента
оказалось невозможным. Более оправданным представляется срав-
нение экспериментальных и расчетных значений коэффициентов ф
(табл. 4.7). Оно показывает, что приближенный метод качественно
верно оценивает влияние начальной нагрузки. Существенное от-
клонение расчетных и экспериментальных коэффициентов ф имело
место лишь для образца ЧВ-1 и объясняется значительным проги-
бом в плоскости z—х, полученным этим образцом при сварке.

Очевидно, что при использовании предлагаемого приближен-
ного метода расчета критическая нагрузка из плоскости действия
моментов для большинства стержней, усиленных под нагрузкой,
будет определяться с тем же запасом, что и для обычных стержней.
ГЛАВА 5

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ УСИЛЕНИЯ СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

§ 5.1. Общие рекомендации по проектированию
и расчету усиления

Усиление сжатых элементов стальных конструкций может осу-
ществляться либо уменьшением их расчетной длины (введением
дополнительных связей, шпренгелей и т, д.), либо увеличением
сечения элементов. В тех случаях, когда оба метода усиления кон-
структивно приемлемы, первый из них более рационален при боль-
ших начальных гибкостях основного стержня. В общем случае це-
лесообразность того или иного метода определяется сравнительным
экономическим анализом: расхода материала, трудоемкости выпол-
нения работ по усилению и т. д. В отдельных случаях оба метода
могут применятся в комплексе. Например, при усилении элементов
решетчатых конструкций их устойчивость в плоскости конструк-
ции может быть обеспечена введением шпренгелей или связей, а
устойчивость из плоскости — соответствующим развитием сечения.

Поскольку проектирование и расчет элементов при уменьшении
их расчетной длины выполняются обычными методами (при усло-
вии упругой работы элемента до усиления), в настоящей главе
рассматриваются только вопросы проектирования и расчета уси-
ления элементов увеличением их сечения.

Выбор схемы усиления сжатых элементов определяется в об-
щем случае формой их поперечного сечения, условиями загружения,
соотношением и величинами гибкостей. Рациональной, очевидно,
будет та схема, которая при минимуме расхода материала на уси-
ление обеспечит прочность и устойчивость усиленного элемента
(не рассматривая пока вопросов технологического порядка).

Первым условием, определяющим рациональность схемы уси-
ления, является требование максимального увеличения радиусов
инерции сечения. При этом прежде всего следует стремиться
к уменьшению гибкости стержня относительно той оси, устойчи-
вость относительно которой наименее обеспечена.

Рассмотрим с этой точки зрения наиболее типичные и рекомен-
дуемы, в ряде источников ([13, 19, 21]) схемы усиления сжатых
элементов (рис. 5.1). Схемы рис. 5.1, б по указанному признаку
могут быть отнесены к нерациональным, поскольку они не приводят
к существенному увеличению радиусов инерции сечения, а в ряде
случаев обусловливают даже возрастание гибкостей элемента. Ра-
циональность схем рис. 5.1, а и им подобных в каждом отдельном

случае определяется условиями загружения и закрепления эле-
ментов до усиления и после него. Так, схема № 3 целесообразна
при избыточной устойчивости элемента в плоскости г—х, схема
№ 4— при избыточной устойчивости в плоскости z—у (или
одновременном уменьшении расчетной длины в этой плоскости)
и т. д.

Вторым условием рациональности схемы является обеспечение
минимального эксцентриситета продольной силы относительно
центра тяжести усиленного сечения. С этой точки зрения сущест-
венное влияние на выбор схемы усиления оказывают условия за-
гружения элемента до и после усиления.

Центрально сжатые стержни при проектировании усиления
должны рассматриваться как внецентренно сжатые с малым слу-
чайным эксцентриситетом произвольного направления. Очевидно,
что наиболее рациональной схемой усиления центрально сжатых
стержней (при неизменности линии действия продольной силы по-
сле усиления) является симметричная схема, поскольку она не
приводит к смещению тяжести сечения и, следовательно, увеличе-
нию эксцентриситета. Однако ряд элементов металлических кон-
струкций имеет несимметричное сечение, симметричное усиление
которых относительно обеих центральных осей трудно или даже
невозможно осуществить. При проектировании усиления таких
стержней необходимо считаться с возможностью суммирования
случайного эксцентриситета с эксцентриситетом от смещения, и,
следовательно, схема усиления должна обеспечивать минимальное
смещение центра тяжести сечения. Отметим, что часто последнее
требование противоречит требованию максимального увеличения
радиусов инерции сечения при усилении. Как показывает сравни-
тельный анализ, в диапазоне больших гибкостей (Хос>80 -4-100)
предпочтение должно отдаваться первому требованию, в диапазоне
малых гибкостей — второму. Так, схема № 1 усиления центрально
сжатого стержня таврового сечения в диапазоне больших гибкостей
целесообразнее схемы № 4, несмотря на большее смещение центра
тяжести сечения.

При усилении внецентренно сжатых и сжато-изогнутых стерж-
ней с эксцентриситетом фиксированного направления (к таким
стержням могут быть отнесены, например, элементы стержневых
конструкций при неточностях центрации в узлах, наличии началь-
ного искривления или действии поперечных нагрузок) более ра-
циональна несимметричная схема усиления со смещением центра
тяжести сечения в сторону начального эксцентриситета, причем
величина этого смещения должна обеспечивать минимальное рас-
четное значение эквивалентного эксцентриситета. Так, при поло-
жительном (в соответствии с положительным направлением оси у)
эксцентриситете относительно оси х рациональна схема № 1 уси-
ления таврового сечения, при отрицательном — № 2 и т. д. Отно-
сительно плоскости действия моментов усиление всегда следует
-стремиться проектировать симметричным.
Усиление внецентренно сжатых и сжато-изогнутых элементов
при возможности появления моментов как положительного, так
и отрицательного направлений после усиления (например, вне-
центренно сжатые колонны промышленных зданий при различных
сочетаниях нагрузок) следует проектировать либо симметричным —
при близких расчетных значениях продольных сил и моментов раз-
ных знаков, либо несимметричным — при преобладании моментов;
одного знака.

Присоединение элементов усиления может осуществляться
к плоским поверхностям, параллельным плоскости изгиба основ-
ного стержня (например, схемы № 8 и 9 при изгибе в плоскости
z—х), или к криволинейным выпуклым или вогнутым поверхностям
(например, указанные схемы при изгибе в плоскости z—у). В пер-
вом случае процесс усиления не связан с деформациями элементов,
во втором случае прижатие элементов усиления к основному
стержню с помощью стяжных устройств (струбцин, стяжек и т. д.)
обусловит их изгибные деформации. Возникающий при этом об-
ратный выгиб основного стержня может явиться (при достаточной
изгибной жесткости элементов усиления) существенным разгру-
жающим фактором. Поэтому усиление гибких стержней под на-
грузкой целесообразно проектировать с применением жестких эле-
ментов 'усиления из профильного (уголкового, швеллерного),
а не листового проката. Прижатие элементов усиления к основному
стержню рационально осуществлять одновременно, так как это
способствует увеличению обратного выгиба стержня. Для стержней
массивного сечения и малой гибкости выбор профиля элементов
усиления и порядок их присоединения играют малую роль.

При выборе схемы усиления следует учитывать способ передачи
продольной нагрузки на элементы усиления. Так, при усилении
элементов стержневых конструкций концы этих элементов могут
прикрепляться либо к узловым фасонкам (например, при усилении
по схеме № 5), либо непосредственно к основному стержню (схемы
№ 1—4). Очевидно, что последнее допустимо при достаточной не-
сущей способности соединений основного стержня в узлах или со-
ответствующем их усилении.

На выбор схемы усиления могут оказать влияние и соображения
технологического порядка (способ соединения элементов усиления
с основным стержнем, удобство прижатия элементов усиления,
удобство наложения сварных швов или постановки болтов и т. д.).
Так, прижатие элементов усиления по схеме № 2 к изогнутому
в плоскости z—у стержню осуществить сложнее, чем по схеме № 1.

Технологически наиболее приемлемым является присоединение
элементов усиления с помощью сварки. Остаточный прогиб эле-
мента в результате сварки может быть как нагружающим, так и
разгружающим фактором. Однако, поскольку направление оста-
точного сварочного прогиба противоположно направлению прогиба,
элемента непосредственно в процессе сварки, в тот или иной пе-
риод времени сварочный прогиб для стержней, усиливаемых под.
нагрузкой, будет являться нагружающим фактором. Поэтому тех-
нология усиления должна предусматривать меры по уменьшению
сварочных прогибов. С этой целью после полного окончания сборки
элементов на струбцинах следует осуществить вначале точечную
приварку элементов в местах установки струбцин и лишь затем
приступить к наложению основных швов. Такой порядок обеспе-
чивает вовлечение элементов усиления в совместную с основным
стержнем работу на изгиб при малом разогреве основного стержня
и способствует значительному уменьшению сварочных деформаций.

Окончательная приварка элементов усиления может осущест-
вляться сплошными или прерывистыми (шпоночными) швами.
В сжатых Элементах эти швы (за исключением концевых участков}
слабо нагружены, имеют связующую цель, и их размеры обычно
диктуются конструктивными соображениями. Недостатком преры-
вистых швов является концентрация напряжений в начале и конце-
шпонок. Преимущества шпоночных швов состоят в уменьшении
деформаций элементов при сварке, ускорении сварочных работ и
уменьшении объема направленного металла. При сварке новых
конструкций эти преимущества не являются решающими (ввиду
возможности правки элементов и использования автоматов при
наложении протяженных швов), что обусловило жесткие ограни-
чения, наложенные нормами на применение прерывистых швов,
(п. 10.39 СНиП П-В.З —72).

Распространение этих ограничений на все случаи усиления
не является оправданным. Специфические особенности усиления
(применение ручной сварки, желательность сокращения сроков и.
объема сварочных работ, практическая невозможность правки эле-
ментов) обусловливают необходимость особого подхода к выбору
типа и размеров сварных швов. В тех случаях, когда применение
сплошных швов не диктуется опасностью хрупкого разрушения
конструкций (непосредственное воздействие динамических или
вибрационных нагрузок, низкие температуры и т. д.), желательно
применение прерывистых швов. Особенно рациональны шпоночные
швы при усилении гибких сжатых элементов под нагрузкой (в част-
ности, элементов сквозных конструкций), поскольку использова-
ние сплошных швов приводит к резкому возрастанию сварочных
деформаций и снижает эффективность усиления.

Отметим, что и СНиП допускает отступления от требований,
п. 10.39, разрешая применение дискретных связующих швов при
компоновке составных сечений (например, для составных элемен-
тов из уголков, швеллеров и т. п., соединенных через прокладки,
составных стержней на планках и т. д.).

Толщину сварных швов следует назначать минимальной. Шаг
шпоночных швов принимается максимально допустимым, но не
свыше 40 радиусов инерции элемента усиления относительно оси,
параллельной плоскости расположения связующих швов. Послед-
нее требование также обусловливает рациональность использова-
ния элементов усиления профильного сечения, так как они позво-
ляют увеличить шаг шпоночного шва и, следовательно, сократить
объем работ по сварке и уменьшить сварочный прогиб. Сварку ре-
комендуется начинать с наложения концевых участков швов; на-
ложение всех связующих швов следует осуществлять параллельно
(последовательной заваркой их участков).

Применение болтов или заклепок для прикрепления элементов
усиления может быть оправдано в тех случаях, когда материал ос-
новного стержня не позволяет использовать сварку. В связи с ос-
лаблением сечения, возникающим при таком методе усиления, оп-
ределяющей может оказаться не устойчивость, а прочность усилен-
ного стержня. Поэтому проектировать усиление следует с учетом
минимального ослабления сечения. Так, размещение болтов или
заклепок по концам элементов усиления в местах их крепления
к узловым фасонкам или основному стержню желательно проекти-
ровать со сбитым (по отношению к существующим заклепкам)
шагом. То же относится и к размещению промежуточных болтов
или заклепок по длине стержня, служащих для восприятия сдви-
гающих усилий и обеспечения совместной работы элементов на
изгиб. Шаг промежуточных соединений следует проектировать
максимально допустимым. Как и при усилении с помощью сварки,
технология усиления под нагрузкой должна обеспечивать макси-
мально быстрое включение элементов усиления в работу при наи-
меньшем ослаблении основного стержня. С этой целью после за-
вершения сборки на струбцинах следует вначале прикрепить концы
элементов усиления с помощью одного-двух болтов или заклепок,
а затем, идя от концов к середине, осуществить промежуточные
соединения. Просверливание каждого следующего отверстия на-
чинают после установки заклепки или болта в предыдущее. Затем
производится окончательное прикрепление концов элемента.
Болты следует применять высокопрочные или повышенной точности.

Важным является вопрос о предельно допустимой величине
начальной нагрузки при усилении сжатых стержней. В ряде работ
без достаточного обоснования предельная начальная нагрузка ог-
раничивается величиной, равной 0,6 [19] или 0,8 [20] расчетной
критической нагрузки для основного (усиливаемого) стержня.
Опираясь на результаты изложенных теоретических и эксперимен-
тальных исследований, мы считаем возможным производить уси-
ление сжатых стержней при начальной нагрузке, не превышающей
наименьшую расчетную критическую нагрузку (в плоскости или
из плоскости действия моментов) для основного стержня (без вве-
дения дополнительных понижающих коэффициентов).*

Кроме того, поскольку предлагаемый расчетный метод построен
на предпосылке упругой работы стержня до усиления, начальная
нагрузка не должна превышать предела упругой работы основного

* С указанным мнением автора согласиться нельзя. При достижении
в основном (усиливаемом) стержне нагрузки, отвечающей ее критическому
значению, потеря устойчивости может произойти в момент усиления. Прим,
ред.
стержня, вычисленного по деформированной схеме (т. е. с учетом
прогибов). При наличии ослаблений сечения предел упругой ра-
боты следует вычислять по сечению «нетто», при этом начальный
прогиб основного стержня подсчитывается по сечению «брутто».
Теоретическая величина начального прогиба стержня должна
контролироваться инструментальными измерениями; в качестве
расчетной при проверке упругой работы и в дальнейших расчетах
следует принимать большую из указанных величин. Отметим, что
усиление сжатых элементов возможно и в упругопластической ста-
дии их работы (что подтверждается экспериментом), однако рас-
пространение расчетного метода на случай упругопластической
работы требует соответствующей его доработки.

Введенные ограничения на предельную величину начальной
нагрузки (Рн й^Ркр; Отах^/?) значительно превышают, как пра-
вило, рекомендованные в [191 и [20] пределы [Рн^ (0,6-4-0,8) Р«р]
и существенно расширяют возможности усиления сжатых элемен-

Рис. 5.2. Обобщенные схемы усиления

тов без предварительной разгрузки конструкций. Оговорим, что
указанные ограничения (как и применение предлагаемого расчет-
ного метода) допустимы лишь при соблюдении изложенной выше
технологии усиления сжатых стержней.

Рассмотрим теперь практический метод расчета усиления сжа-
тых элементов. Обобщенные схемы усиления элементов примем по
рис. 5.2. Моменты будем предполагать действующими в плоскости
симметрии стержня (плоскости z—у). Усиление всегда будем счи-
тать симметричным относительно плоскости действия моментов;
под несимметричностью усиления понимается несимметричность
его относительно оси х°с.

Положительное направление осей х°с и у выбирается произ-
вольно. Эксцейтриситетам продольных сил будем предписывать
положительные или отрицательные знаки в соответствии с поло-
жительным направлением оси у. В зависимости от направления
смещения центра тяжести сечения (от точки 0 к точке Ох) в общем
случае несимметричного усиления дополнительный эксцентриситет
от смещения есм может иметь положительный (рис. 5.2, а) или от-
рицательный (рис. 5.2, б), знак. Все характеристики основного и
усиленных сечений (yt-; Wx; pz и т. д.) принимаются со своими зна-
ками. Сжимающей продольной силе и напряжениям сжатия при-
своим положительный знак.

Общая схема расчета сводится к следующему.

1.	Определение начального прогиба основного стержня в плоско-
сти действия моментов производится по формуле

!ОС
ИХ

Р еос

Г VTHX

»ОС___ р ’

эх Г н

(5-1)

где е°сх

РЛ Н	°	°

— — начальный эксцентриситет продольной силы от-
Р и

носительно оси хос, принимаемый со своим знаком; Рн; Мн —

Рис. 5.3. График случайных начальных эксцентриситетов

расчетные значения начальных продольной силы и момента; Рэх =

=----------эйлерова сила для основного стержня; 1Х ; 1Х—

fi
1х

момент инерции и расчетная длина основного стержня.

При усилении центрально сжатого стержня начальный эксцен-
триситет определяется выражением

П70с

еос = тое = тосрос,	(5.2)

н н рос Н

где — случайное значение начального относительного эксцен-
триситета, принимаемое по графику рис. III.20 в [151; этот график
в более крупном масштабе приведен на рис. 5.3; W°c и рос — мо-
мент сопротивления и ядровое расстояние для крайних волокон
основного сечения.
При несимметричном усилении центрально сжатого стержня
рассматривается случайный эксцентриситет в плоскости действия
моментов; более опасно обычно направление случайного эксцен-
триситета, противоположное направлению смещения центра тя-
жести сечения при усилении (рис. 5.2, б). Для симметричных схем
усиления рассматривается случайный эксцентриситет в плоскости
наибольшей гибкости основного стержня (%Т >Л.£С); знак е°нс
роли не играет. При изменении соотношения гибкостей после уси-
ления (Z*c > К°ус, но	следует учитывать случайный экс-

центриситет в обеих главных плоскостях.

Расчетное значение /°с принимается не менее экспериментально
измеренного. В случае несовпадения знаков теоретической и экс-
периментальной величин в дальнейшем расчете принимается знак
экспериментальной величины. Положительными считаются про-
гибы, отвечающие положительному знаку начального эксцентри-
ситета.

2.	Проверка возможности усиления основного стержня при за-
данных величинах начальных нагрузок осуществляется:

а)	по условию упругой работы до усиления по формуле

г, р (eoc_LFoc)

стое = P^L + Унх ^/нх) mR	(5.3)

гнт	'хнт

где Fh?; /?Cht — характеристики основного сечения; при наличии
ослаблений — по сечению «нетто» в средних 3/4 длины стержня;
у°с — ординаты наиболее удаленных волокон сечения относи-
тельно оси хос; Дос — расчетное сопротивление материала основ-
ного стержня; т — коэффициент условий работы элемента по нор-
мам.

Для внецентреино сжатых стержней эта проверка производится
в плоскости действия моментов, для центрально сжатых — в пло-
скости наибольшей гибкости основного стержня (ХхС>ХуС).

б)	по условию устойчивости в плоскости действия моментов.
Проверка устойчивости выполняется в соответствии с нормами
расчета стальных конструкций (по СНиП П-В.З—72). Устойчи-
вость центрально сжатых стержней проверяется в плоскости их
наибольшей гибкости;

в)	по условию устойчивости из плоскости действия моментов.
Проверка производится по указаниям действующих норм.

Если хотя бы одна из проверок не выполняется, то необходима
предварительная частичная или полная разгрузка конструкции
либо выбор иного метода усиления.

3.	Определение прогиба стержня после присоединения элементов
усиления производится по формулам;

а)	при присоединении элементов усиления к плоским поверх-
ностям, параллельным плоскости изгиба стержня (рис. 5.2, б),

f =foc;	(5-4)

' ах 1пх ’	' '
б)	при присоединении элементов усиления с выпуклой и вогну-
той сторон основного стержня (рис. 5.2, а) и одновременном их при-
жатии с помощью струбцин или стяжек

(5-5)

п2Е1

где Psx~-------— эйлерова сила для усиленного стержня; 1Х —

/2
1х

момент инерции усиленного сечения относительно оси х; 2/(-с —

сумма моментов инерции элементов усиления относительно их
собственных центральных осей, параллельных оси х;

в)	при последовательном прижатии элементов прогиб стержня
по завершении каждого этапа сборки

(5-6)



и т. д.,

где 2/и; 2/^ и т. д. — сумма моментов инерции элементов уси-
ления, присоединяемых на 1-, 2-м и т. д. этапах сборки; 11х, 12х —
момент инерции сечения по окончании 1-, 2-го и т. д. этапа;

,	_ я?Е11х.

1ЭХ	>

V

р

1 2эх

и т

I2

Д.

4.	Расчет присоединения элементов усиления выполняется в за-
висимости от способа соединения:

а)	с помощью сварных швов.

Расчет промежуточных соединений элементов усиления к ос-
новному стержню производится на большую из фактической или
условной поперечных сил. Катеты швов принимаются минималь-
ными, шаг шпоночных швов — максимальным (но не свыше 40 ра-
диусов инерции элементов усиления).

Расчет непрерывных участков шпоночных швов осуществляется
на сдвигающее усилие

Q Syc

чтах х

t,

(5.7)

где Qmax—наибольшая поперечная сила; .Sxc— статический мо-
мент элемента усиления относительно оси х; t — шаг шпоночного
шва.
Минимальные длины непрерывных участков швов определяются
выражением

/уч>	1 СМ,

₽Лш«уВ

(5-8)

где а — коэффициент, характеризующий распределение усилий
между швами элемента усиления (обратно пропорциональный рас-
стояниям от центральной оси элемента до швов); 7?уВ — расчетное
сопротивление углового сварного шва.

Минимальные длины концевых швов прикрепления элемента
усиления подсчитываются по формуле

/	> ю(г + ^ус) . 1

"г * СМ,
₽ЛшЯуВ

(5-9)

у; уС

где Nyc = (N—Рн)-----; N— расчетное усилие в стержне после

F

усиления; Fyc, F — площади элемента усиления и всего усилен-
ного сечения.

При использовании сплошных связующих швов их минималь-
ная толщина определяется по формуле

t а$шах5УС

₽7^уВ

Прочность концевых участков сплошных швов (расчетной дли-
ной 60 /гш) проверяется по формуле

«^max^ J gjVyc ^св.

борйщ

б)	с помощью болтов или заклепок.

Диаметр промежуточных болтов или заклепок назначается ми-
нимальным с целью уменьшения ослабления сечения основного
стержня. Шаг болтов или заклепок принимается не более 40 ра-
диусов инерции элемента усиления и определяется по формуле

/^[^lmin/х	(5 ДО)

QmaxSyc
где — минимальная несущая способность болта или за-
клепки.

Прочность концевых соединений элемента усиления прове-
ряется по формуле

Л,уС ^тах^х , ГЛ71	/к 1П

~ + —у-------*1^[ЛПт1п,	(5.11)

где п — количество заклепок в концевом соединении; — рас-
четный шаг для крайней заклепки.
5.	Определение остаточного сварочного прогиба при усилении
элемента с помощью сварки производится по формуле



(5.12)

где а = -21 — коэффициент прерывности шпоночного шва; р =
= 3,53-1 (Г6 см3/кал; qn = 9500 йш кал/см2 (при ручной сварке);
1гш — катет шпоночного шва, см; yt — расстояние от оси х до

центра тяжести соответствующего шва, принимаемое со своим зна-
ком, см; п°с = 1 + s°ck°c — коэффициент, учитывающий влия-

О	ОС

ние напряжении в зоне шва; st-

Ыос

bt0C с/уе — коэффициент, ха-

рактеризующий распределение температурного поля шва между
основным стержнем и элементом усиления; t°c; b — соответст-

венно толщина основного стержня в зоне шва и число направ-
лений теплового потока в нем; Р'с; с — то же, для элемента уси-

ления; k°c — коэффициент, принимаемый в зависимости от g(. =

а?с

, где о°с — начальное напряжение в

основном стержне

в зоне шва, рассчитываемое по формуле (5.3) при подстановке в нее

у;. Значения k°c определяются зависимостями: при 0 g > — 1
k = g; при 0,5 ,>g -0 k = 2g; при g 1>0,5 k = 4g—1.

6.	Определение расчетных эксцентриситетов в плоскости дейст-
вия моментов производится по формулам:

а)	эквивалентный эксцентриситет

р =
сэкв

ех “Ь fax 4'/св,

(5.13)

где ех — эксцентриситет продольной силы относительно оси х,
принимаемый со своим знаком. В тех случаях, когда линия дейст-
вия продольной силы остается неизменной после усиления, вели-
чина ех определяется выражением ех = е°х—есм, где есм — сме-
щение центра тяжести сечения при усилении (рис. 5.2), принимае-
мое со своим знаком. В общем случае сжатия с изгибом или при-
ложения к стержню дополнительных продольных или поперечных
сил после усиления величина ех определяется выражением ех =
= — ; здесь Мх — расчетный момент относительно оси х усилен-
ного сечения.

В случаях, когда это приводит к изменению знака или увеличе-
нию абсолютной величины эквивалентного эксцентриситета, он
дополнительно вычисляется по формуле

^экв &х 4“ fax	f св ' 0,5,

(5.14)
б)	при вычислении относительного эксцентриситета тх прини-
маются наибольшие величины еэкв каждого (для несимметричных
сечений) знака:

=	=	(5.15)

Vr % гХ

в)	влияние формы поперечного сечения усиленного элемента
при вычислении приведенного эксцентриситета учитывается вве-
дением нормативных коэффициентов ц: т1х == тхх\.

7.	Проверка устойчивости усиленного элемента в плоскости
действия моментов выполняется по формуле

-^-р^тт^,	(5.16)

^ВНГ

где фвн — нормативные коэффициенты, определяемые в зависимости
от т1х и Кх; R —наименьшее из расчетных сопротивлений материала
основного стержня или элементов усиления; т — нормативный ко-
эффициент условий работы элемента; тг — специальный коэффи-
циент условий работы усиленного элемента. При знаке еэкв, про-
тивоположном знаку е°х> рекомендуется принимать тг = 0,9 (учи-
тывая возможность отклонений в меньшую сторону величин е°„х
и /нх от принятых расчетных значений). В прочих случаях m1 = 1.

Устойчивость центрально сжатого симметрично усиленного
элемента проверяется по формуле (5.16) в плоскости его наиболь-
шей гибкости (Xx >ХУ). Если соотношение гибкостей элемента по-
сле усиления изменилось (хж ноХ?с <ХуС), то проверка устой-
чивости выполняется относительно обеих главных осей сечения.

8.	Проверка устойчивости усиленного элемента из плоскости
действия моментов выполняется по указаниям п. 4.22 СНиП
П-В.З—72, причем при изгибе элемента в плоскости его наиболь-
шей жесткости (1Х >1у) относительный эксцентриситет тх опреде-
ляется по формуле (5.15). Если fHX или /св являются разгружаю-
щими факторами (т. е. уменьшают расчетное значение тх), то они
не принимаются во внимание. В необходимых случаях вводится
специальный коэффициент условий работы тг = 0,9 (см. п. 7).

При изгибе элемента в плоскости его наименьшей жесткости
(/х < 1у) и при	устойчивость относительно оси у должна

быть проверена с учетом случайного начального эксцентриситета
относительно этой оси. Расчет полностью аналогичен вышеприве-
денному расчету устойчивости в плоскости действия моментов. При
ки <ЬХ эта проверка не требуется.

9.	Проверка прочности усиленного элемента производится при
наличии ослаблений сечений или усилении с помощью болтов или
заклепок. Прочность концевых сечений проверяется по формуле

— + — y^mmrR,	(5.17)

f' i'
'нт X нт
где Far и /жнт — наименьшие характеристики усиленного сечения
«нетто» в концевых сечениях элемента.

Прочность элемента в средних его сечениях проверяется с уче-
том прогибов по формуле

+	(5.18)

Fнт	I хит

где FliX и 1ХНТ—наименьшие характеристики «нетто» средних
сечений элемента; fx — прогиб в среднем сечении:

X __ (N — Ра) ех + (РЭх Р н) (/их ~Ь /св)	/g jg\

Рэх-N		7

10.	Проверка устойчивости элемента в процессе сварки может
явиться определяющей лишь при знаке остаточного сварочного
прогиба, противоположном знаку еэкв, большой величине /св, ма-
лом возрастании площади и жесткости стержня в результате уси-
ления и большой начальной нагрузке, близкой к пределу упругой
работы основного стержня (<J„ax>0,8 Сварочный прогиб в про-
цессе сварки принимается противоположным по знаку и с некото-
рым запасом, равным по величине остаточному сварочному про-
гибу. Величина эквивалентного эксцентриситета определяется
в этом случае выражением

еэкв = енх— ^см + fv.x—fcB-	(5.20)

Проверка устойчивости производится в плоскости действия
моментов по характеристикам усиленного сечения на нагрузку Рн
по формуле

-^2- тгщР.	(5.21)

фвн-^

Изложенный метод расчета ориентирован на стержни с шар-
нирно опертыми концами. Однако в соответствии с тем, как это
принято в действующих нормах для обычных стержней, он может
быть распространен и на случаи иных закреплений концов стерж-
ней, в частности, на элементы рамных систем. Соответствующий
переход осуществляется с помощью введения нормативных коэффи-
циентов расчетной длины элементов и нормативных правил опреде-
ления расчетных моментов, необходимых для подсчета эксцентриси-
тетов. В тех случаях, когда /нй. и /св являются нагружающими
факторами, они, с некоторым запасом, определяются изложенным
методом для каждого расчетного сечения элемента в зависимости
от действующих в нем начальных усилий (как для среднего сече-
ния стержня с шарнирно-опертыми концами и длиной, равной рас-
четной длине элемента). В противном случае fax и /св не учиты-
ваются. На указанной экстраполяции расчетного метода построен
пример 5.5.
§ 5.2. Примеры расчета усиления сжатых элементов

Пример 5.1. Центрально сжатый симметрично усиленный стержень.
Качающаяся опора транспортерной галереи состоит из двух двутавров № 20,
связанных между собой связями в плоскости наименьшей жесткости. Рас-
четные длины стоек: 1Х = 10 м; 1У — 2,5 м. Нагрузки на каждую из стоек
передаются центрально. Вследствие возрастания нагрузок на галерею рас-
четные усилия в стойках составят 44 тс, что превышает их несущую способ-
ность. На основании предварительного расчета принято решение усилить

а)

Рнс. 5.4. Схемы усиления элементов (к примерам 5.1—5.5)

стойки приваркой двух швеллеров № 12 по схеме, показанной на рис. 5.4, а.
Материал основного стержня и элементов усиления — сталь класса С38/23,
электроды — типа Э-42А.* Усиление предполагается осуществить в летнее
время; наибольшее расчетное усилие в стойке в момент усиления Рн —
= 23 тс.

Характеристики основного стержня: Кос — 26,8 см2; 1°с = 1840 см4;

Г°с = 184 см8; р°с = 6,85 см; г°с = 8,28 см; 1°с =	= 121; Р°с =

х	г * л	л	8 28

* Вопросы, определяемые спецификой условий работы конкретных кон-
струкций (выбор марок стали для усиления, обоснование выбора типа свар-
ных швов и т. д.), в примерах не рассматриваются.
3,142-2,110е-1840

1000я

121.

2,07

= 38 000 кгс; /°с= 115 см4; гос
и	’ у

2,07 см; Х°с =

Характеристики элемента после усиления: F — 53,4 см2; 1Х — 5452 см4;
№х = 358 см3; рх = 6,7 см; гх = 10,1 см; \х = 99; Рэх = 115 тс; 1у —
= 723 см4; Гу = 3,68 см; Ху = 68.

Ввиду равенства гибкостей основного стержня (Х°с = Х°с) определяю-
щей будет проверка устойчивости в плоскости наибольшей гибкости усилен-
ного стержня (плоскости г—у).

1.	Определяем начальный прогиб основного стержня.

Случайное значение начального относительного эксцентриситета при
Х°с = 121 (см. рис. 5.3) т°^ = 0,25. Ввиду симметрии сечения знак случай-
ного эксцентриситета безразличен. Примем положительный знак е°с: е°х =
= 0,25-6,85 = 1,71 см;

f°c = 23 '.1.'71 = 2,62 см.

ах 38 — 23

Фактически измеренный прогиб стержня меньше его расчетной вели-
чины.

2.	Проверяем возможность усиления основного стержня при заданной
величине Ря:

а)	по условию упругой работы до усиления

_ 23 000 , 23 000(1,71 4- 2,62) (

" 26,8	1840

« 1400 кгс/см2 «Д/?;

б)	по условию устойчивости

Рп _	23 000

<pF0C 0,443-26,8

1 940 кгс/см2 <1 R.

3.	Определяем прогиб стержня после одновременного прижатия элемен-
тов усиления:

ZJc = 31,2cm4; 2Z*C = 62,4 см4; /Нх =

= 2,62 1

62,4

62,4 4- 1840

———= 2,51 см.
115 — 23/

4.	Рассчитываем сварные швы присоединения элементов усиления:

Стах = 20-53,4= 1 068 кгс; SJC = 13,3-11,54 =

= 154 см8.

Принимаем сплошные связующие швы. Минимальная толщина шва
,	0,5-1068-154 п п..„ тт	,	.

й„. > —---------- = 0,0143 см. Принимаем пт — 4 мм.

0,7-5452-1500

Продольное усилие, воспринимаемое каждым из элементов усиления,

Мус = (44 — 25) — = 4,74 тс.

53,4
Проверяем прочность концевых участков швов:

0,5-1068-154

0,7-0,4-5452

0,5-4740

60-0,7-0,4а

= 406 кгс/сма /?“.

5.	Вычисляем остаточный сварочный прогиб элемента:

qn = 9500-0,4а = 1520 кал/см2;

начальные напряжения в зоне швов (при эксцентриситете положительного
направления)

ста б = amax = I400 кгс/см2; о“г = а“, = 317 кгс/см2;
шал	Jo 11	111111	'

toe ___

®a,6

1400

2100

0,666;

£“=0,151;	*“6 = 4-0,666— 1 = 1,664;

*“=2-0,151 = 0,302;

8-4

s =--------------=0,4;

8,4+ (7,8+ 4,8)

n“6 = 1 +0,4-1,664= 1,665; n“ = 1 + 0,4 • 0,302= 1,121;

J/a>6 = — Ув,г = Юсм;

/св= 115	- 1,0-3,53-10~6

115 — 23

1520 99a

53,4 ' 8

X (2-10-1,665 —2-10-1,121) = 1,68 см.

6.	Определяем расчетный эксцентриситет:

е = е“ = 1,71 см; е кв = 1,71+2,51 + 1,68= 5,9 см;
Л ИЛ	’ ЭКИ			‘ ’

тх=—=0,88; Хх= 99 ~1/~ 2100 = 3,13;

6,7	у 2,1-10®

Т]= 1,75-0,13-3,13 = 1,343; mw = 1,343-0,88= 1,18.

7.	Проверяем устойчивость усиленного элемента в плоскости его наи-
большей гибкости:

У 44 000

<рвн = 0,397; —2— «z .	. = 2080 кгс/см2 < R.

<pBHF 0,397-53,4

Проверка по пунктам 8, 9, 10 не требуется.

Пример 5.2. Внецентреино сжатый симметрично усиленный стержень.
Стойка рабочей площадки из двутавра № 20 работает в условиях внецен-
тренного сжатия. Расчетные нагрузки на стойку от веса конструкций и уста-
новленного на площадке оборудования составляют: Рн = 20 тс; Л4НХ =
= 1,5 тс-м. Расчетные длины стойки: 1Х = 6,6 м; 1у = 1,9 м.

Проектируется расширение площадки и установка дополнительного
оборудования. Расчетные комбинации нагрузок на стойку после реконструк-
ции:

по комбинации 1: N = 50 тс; Мх = 2,0 тс-м;

по комбинации 2: N = 35 тс; Мх “ — 4,0 тс.м.

Принято решение усилить стойку под действующими нагрузками без
демонтажа оборудования. Схема усиления проектируется симметричной по
рис. 5.4, а. Характеристики сечений стойки до и после усиления те же, что
в примере 5.1:

Х°° = — = 79,6; Р°“ = 87,5 тс; = — = 65,3;

8,28	эх	10,1

РЭЛ: = 260 тс; Хос=_190	8; ^ = ^ = 5!,5.

у 2,07	3,68

Материал конструкций — сталь класса С38/23; электроды — типа
1. Определяем начальный прогиб основного стержня:

е

ос
их

150

20

7,5 см;

20-7,5

87,5 — 20

2,22 см.

гос _

' нх

Э-42А.

2.	Проверяем возможность усиления стойки прн действующих нагруз-
ках:

а)	по условию упругой работы

о-х = «о + moow + w^ . 10 = 1802 кг

тах 26,8	1840

б)	по устойчивости в плоскости действия момента

7 5	-

т°с=—= 1,095; • 7.х = 79,6-0,316 = 2,52;

пх 6,85

ri = 1,75-0,13-2,52 = 1,422; т1х— 1,422-1,095 = 1,56; фвн = 0,401;

Фвн^00

20 000
0,401-26,8

= 1850 кгс/см2а< R;

в)	по устойчивости из плоскости действия момента

т°сх = 1,095; а = 0,7 + 0,05 (1,095 — 1,0) = 0,705;

с = --------------= 0,563; <р„ = 0,654;

1 +0,705-1,095

С(Рг/Р0С

20 000

0,563-0,654-26,8

= 2030 кгс/см2 < R;

3.	Определяем прогиб стержня после присоединения элементов усиле-
ния.

Прижатие элементов усиления из швеллера № 12 предполагается осу-
ществить с помощью струбцин последовательно. Характеристики сечения
после присоединения одного швеллера:

„ ж . 13’3:1.1^1- = з,83 см; 71х- 1840 + 31,2 +

26,8+13,3

+ 26,8-3,832+ 13,3-7,712«3055 см4;
Р1ЭХ —

3,142-2,1 -108-3055

660а

= 145 000 кгс;

2 /£ = 31,2 см1.

Прогиб стержня после первого этапа сборки

flax — 2,22 I 1

31,2

31,2+ 1840

—2,18 см,
145 — 20/

Прогиб стержня после завершения сборки:

12Х = /х = 5452 см1; Р2ЭХ = Рэх — 260 тс;

fax — fzax — 2,1811

31,2

31,2 + 3055

260

260 — 20

= 2,16 см.

4.	Рассчитываем сварные швы:

Qmax — 20-53,4 = 1068 кгс; = 154 см?.

Максимальный шаг шва /тах = 40-1,53 = 61,1 см. Принимаем шпо-
ночные швы с катетом 1гш = 4 мм с шагом t ~ 50 см:

„	1068-154 сп 1С1П

Т —----------50 = 1510 кгс.

5452

..	,	0,5-1510	.

Минимальная длина непрерывных участков швов ZVq =----------------Ь

0,7-0,4-1500

+ 1 = 2,79 см. Принимаем /уч — 5 см.

Концевые швы элементов усиления принимаем с катетом = 6 мм:

Fyc	13 3

мус = (Мгпах - Рн) — = (50 - 20)	= 7,5 тс;

F	53,4

0,5 (1510 + 7500)	м-

0,6-0,7-1500

Принимаем /ш = 9 см.

5.	Вычисляем остаточный сварочный прогиб элемента:

а = 0,1; 9п= 1520 кал/см2; о°сб =	=

'	*	Of V	1П«Л

= 1802 кгс/см2; g°c6 = — = 0,86; £°cfi =
»а.б 2100	а, б

= 4-0,86— 1 = 2,44; п°‘б= 1 +0,4-2,44 = 1,975;

s=0,4; о°^г= amin= —308 кгс/см2; g“r= —0,147;

k™r = —0,147; п°'г= 1-0,4-0,147 = 0,951;

^„^.ОЛ-З.бЗЛО-е-^^х
260 — 20	53,4	8

X (2-10-1,975 —2-10-0,951)-= 0,12 см.

6.	Определяем расчетные эксцентриситеты:

по комбинации 1
ех = — = 4 см; еэкв = 4 + 2,16 + 0,12 = 6,28 см;

50

т

_ 6,28 _

Х~ 6,7 ~

0,935;

7.х = 2,06;

•)] = 1,75 — 0,13-2,06= 1,482; т1х = 1,482-0,935 =
= 1,39;

по комбинации 2

— 400

ех =------= —11,4 см;

35

50 000	....	, „ _ „

----------= 2000 кгс/см2 < Я;
0,468-53,4

N
фвН^

35000	....	. _

--------- = 1690 кгс/см2 <
0,389-53,4



фвн^

< т-,Я = 1890 кгс/см1 2.

с =------!----- = 0,605;

1+0,7-0,935

Ф^ = 0,86;

50 000

0,605-0,86-53,4

1800 кгс/см2 < Я;

б'. 1/0 —	—	11

см.

еэкв = е +/нл + 0,5/св = —11,44-2,16 + 0,06= —9,18 см;

— 9 18
тх =----=—=1,37; т1х = 1,482-1,37«2,03.

— 6,7

7.	Проверяем устойчивость стойки в плоскости действия моментов:
по комбинации 1

<Рвн = 0,468;

по комбинации 2

<рвн = 0,389;

8. Проверяем устойчивость из плоскости действия моментов:
по комбинации 1

тх - 0,935;

по комбинации 2

Начальный прогиб и прогиб от сварки как разгружающие факторы не учи-
тываем.

тх~ ~ Н’- = 1,7; а = 0,7 + 0,05 (1,7— 1) = 0,735;

-6,7

1	а „„с	35 000

с —--------------— 0,445; —----= -------------— =

1 + 0,735-1,7	ccpyF 0,445-0,86-53,4

= 1710 кгс/см3 < тгЯ = 1890 кгс/см3.

Пример 5.3. Центрально сжатый несимметрично усиленный стержень.

При проектировании стропильных ферм была допущена ошибка. Раскосы,
расчетное сжимающее усилие в которых от постоянных и временных нагру-
зок составляет N — 22 тс, запроектированы и изготовлены из двух уголков
75 X 8. Расчетная длина элементов в плоскости фермы 1Х =« 274 см, из пло-
скости фермы 1У — 342 см.

В связи с недостаточной несущей способностью раскосов решено произ-
вести их усиление по схеме рис. 5.4, б. Положительным принято направле-
ние оси у в сторону перьев уголков.

Характеристики основного стержня: Foc = 23 см2; /°° = 119,6 см4;

= 22,4 см8; = 0,972 см; = — 55,5 см8; = — 2,42 см;

г°с = 2,28 см; Z°c = 120; P°z = 33,1 тс; /°с = 269,1 см4; Wf = 34 см8;
р°с = 1,48 см; г°с = 3,42 см; = 100; P°z = 47,6 тс.

Характеристики элемента после усиления: F = 34,5 см2; есм =

= — n'5 *(2'7 + 2,15) = _j 615 j 334,9 см< w 48 смз
34,5

= 1,39 см; гх = 3,12 см; \х = 87,8; Рэх = 92,4 тс; 1У — 352,5 см4; Wy =
= 44,5 см3; ру = 1,29 см; гу = 3,2 см; Ку — 107; Рэу = 62,4 тс.

Расчетное усиление в раскосах от постоянных нагрузок на ферму, при
действии которых решено осуществлять усиление, составляет Ря = 17 тс.

1.	Определяем начальный прогиб основного стержня (в плоскости
действия моментов после усиления).

При Х°с = 120 по рис. 5.3 находим т°х = 0,25. Направление началь-
ного эксцентриситета считаем положительным (так как в этом случае он сум-
мируется с эксцентриситетом от смещения):

= т°схр°х = 0,25-0,972 = 0,243 см;

гос 17-0,243	_

=----------= 0,256 см.

нх 33,1 — 17

Обследование ферм не обнаружило более значительного начального
искривления раскосов.

2.	Проверяем возможность усиления раскосов при действии постоянных
нагрузок на ферму:

а)	по условию упругой работы до усиления

ос ос 17 000	17 000 (0,243 + 0,256)

—-------------------------------X

max	23	119,6

X 5,35= 1120 кгс/см2 <j mR — 1680 кгс/см2;

б)	по условию устойчивости

—... = ——	—— 1650 кгс/см2 <« 1680 кгс/см2.

<PniiZc 0,443-26,8

3. Определяем прогиб стержня после присоединения элемента усиления»

fHX = 0,256 1

24,8

24,8+ 119,6

---—-----) = 0,202 см.

92,4—17 /

4. Рассчитываем сварные швы присоединения элемента усиления:

Qmax = 20-34,5 = 690 кгс; 5^= 11,5-3,235 = 37,2 см8.

Максимальный шаг шва /тах = 40-1,47 = 58,8 см. Принимаем шпоночный

шов с катетом = 4 мм и шагом t = 50 см, электроды — типа Э-42А.
690-37,2 cn noon /

7’ «---------.50 = 38ЗО кгс; /v«>

334,9

0,5-3830
0,7-0,4'1500

1 = 5,56 cm.

Принимаем /уч ” 6 см.

Проверяем несущую способность существующих сварных швов присое-
динения раскоса к узловым фасонкам	= 15 см; = 6 мм):

*гп

0,7-22 000

2'0,7'0,6(15—1)

— 1310 кгс/см2 <3 7?уВ.

Поскольку элемент усиления обрывается, не доходя до узловой фасонки,
проверяем прочность основного стержня в концевом сеченни на усилие N:

N 22 000

/7ОС 23

955 кгс/см2 <JR.

Находим минимальную длину концевых швов элемента усиления кате-
том 6 мм:

W = (22 - 17) 112 = 1,67 тс; /ш > 2^830 + 1670)	, = см.

34,5	0,7-0,6'1500

Принимаем 1Ш = 6 см.

5.	Рассчитываем остаточный сварочный прогиб элемента:
а =	= 0,12; qn — 1520 кал/см2;

ос ос 17 000	17 000 (0,243 + 0,256)

0 f. 09 — ------------- —» --------:---------------

3,6	2	23	119,6

= 221 = 0,28; £°сб = 0,56; s =

а’6	2100	а’6

2,15 = 587 кгс/см2;

-2'8....= 0,667;

2-8 + 8

n = 1 +0,667-0,56= 1,374;

/св = -92'4—0,12-3,53-ю-в -1222.212_2Х

92,4— 17	34,5	8

X 2-1,374-( —0,735)= —0,044 см.

6,	Определяем расчетный эксцентриситет:

вд. =	— есм = 0,243 + 1,615 = 1,858 см;

вэкв= 1,858 + 0,202 — 0,5'0,044= 2,04 см;

2 04

тЛ=-4—= 1,47; т] = 0,8 + 0.04-2,77 = 0.911;

1,39

Хж= 2,771 «и = 1,47-0,911 = 1,34.
7. Проверяем устойчивость
моментов (плоскости z—у):

У _ 22 000

<pBHF~ 0,406-34,5

усиленного элемента в плоскости действия

1570 кгс/см2 + mR 1680 кгс/см2.

8. Проверяем устойчивость элемента в плоскости z—х. Так как
и 7,,++^, проверку устойчивости в плоскости z—х проведем с учетом слу-
чайного начального эксцентриситета е°у-.

Х°с = 100; т.^, = 0,2;	= 0,2-1,48 = 0,296 см;

у	ну	ну

ОС. = .А7'0’29?.. =0 164 Z ХОС 0164
47 6_________ 17	У У

ос 17 000, 17 000(0,296 + 0,164) _ „ опл , „
о° =-------------------—------1—!------5,3 = 894 кгс/см2;

23	269,1

ос 17000	17 000(0,296 + 0,164) _ _ CQC , .

<к =-------------------—------!------—-5,3 = 586 кгс/см2;

0	23	269,1

£°с = 0,425; 6°с = 0,85; ggc = 0,279; &gc = 0,558;

n°c = 1 + 0,667-0,85 = 1,566; ngc = 1 + 0,667-0,558 = 1,372;

fCB =—------0,12-3,53-10-6-^-

62,4— 17	34,5

1072
..... X

8

X (1,566-5,3 — 1,372-5,3) = 0,038 см; еэкв = 0,296 + 0,164 + 0,038 = 0,498 см;

0 498

т J+2Z1=O,386; +, = 3,38;

У 1,29	У

т] = 0,8 + 0,04-3,38 = 0,935; т1у = 0,36; <рвн = 0,509;

—Л/— _ —22 000— _ 1250 кгс/см2 < mR — 1680 кгс/см2.

<pBHF 0,509-34,5

Отметим, что в рассмотренном примере усиление раскосов можно осу-
ществить и уменьшением их расчетной длины в плоскости г—у, введя шпрен-
гельные элементы.

Пример 5.4. Внецентренно сжатый несимметрично усиленный стержень.
Усилению подлежит раскос стропильной фермы из двух уголков 75 X 8.
Расчетное продольное сжимающее усилие в стержне от постоянных нагру-
зок, при действии которых предполагается осуществить усиление, состав-
ляет Рн= 11,5 тс. Расчетное усилие в элементе после усиления N = 30 тс.

Обследование показало, что раскос имеет выгиб в плоскости фермы в сто-
рону обушков уголков с максимальной стрелкой в середине длины стержня
/эксп = 2 см и, таким образом., фактически работает в условиях внецентрен-
ного сжатия.

Кривая прогибов — плавная, местные повреждения или погнутия
отсутствуют. Осмотр не обнаружил заметного отступления от центрации
раскоса в узлах. Отсюда сделан вывод, что искривление элемента является
следствием остаточной кривизны от прокатки профилей или неточностей их
правки.
Было решено усилить раскос несимметрично по схеме рнс. 5.4, в со сме-
щением центра тяжести сечения в сторону перьев уголков (для уменьшения
результирующего эксцентриситета). Положительное направление оси у при-
нято в сторону перьев уголков; характеристики основного стержня — по
примеру 5.3. Материал усиления и основного стержня — сталь класса
С 38/23, электроды — типа Э-42А. Характеристики элемента после усиле-
ния: F = 37,56 см2; есм = -14’5--—- = 1,23 см; 1Х = 263,3 см4; 1Fix =
37,56

= 63,9 см3; р1х = 1,7 см; W2x = — 77,9 см3; p2x = — 2,08 см; гх = 2,64 см;

Ьх = 104; Рэх = 72,7 тс; 1У = 787,8 см1; гу = 4,58 см; = 74,6.

1. Определяем расчетную величину начального прогиба основного
стержня. Расчетное значение случайного относительного эксцентриситета
при Х°с = 120	= 0,25.

Рассмотрим случайные эксцентриситеты как положительного, так и
отрицательного направлений:

а)	е™ =	= 0,25-0,972 = 0,243 см;

' НЛ	пл* 1Л

-ОС 11,5-0,243	...

f°cr ~ ----------= о, 13 см;

х 33,1 — 11,5

б)	е°*х = « = -0,25-2,42 = -0,605 см;

ос =  11,5-0,605 = _0 322 см
пх 33,1 — 11,5

В качестве расчетной величины прогиба принимаем f^x — f13Kcn —
= 2 см.

2.	Проверяем возможность усиления стержня при действии постоян-
ных нагрузок:

а)	по условию упругой работы (более опасен случайный эксцентриситет
положительного направления):

ос 11 500 . 11 500(0,243 + 2,0) _

0.	= .	-4—	-	1 —--——--• 0,00 =

1	23	119,6

= 1650 кгс/см2^ mR = 1680 кгс/см2;

б)	по условию устойчивости

Рн 11 500	. . D

—— —------------= 1130 кгс/см2 < mR.

qF™ 0,443-23

3. Определяем прогиб стержня после присоединения элементов усиле-
ния. Технология усиления предусматривает одновременное их прижатие
к основному стержню с помощью струбцин:

fnx — 2(1

54,2

54,2+119,6

72 7	\

----—-----1 = 1,23 см.
72,7— 11,5 /

4. Рассчитываем сварные швы:

QycJI =20-37,56= 752 кгс; S?c = 7,28-1,94 = 14,1 см3;

fmax = 40-1,93 = 77,1 см.
Принимаем hm = 4 мм; t ~ 60 см;

Т = 75jL14’L.6O = 2420 кгс; /уч > °’5'2420	1 = 3,88 см.

263,3	0,7-0,4-1500

Принимаем /уч = 6 см.

Проверка прочности швов прикрепления раскоса к узловым фасонкам
иа усилие N = 30 тс показывает их достаточную несущую способность.
Концы элементов усиления заводим за грани узловых фасонок, так что в про-
верке прочности концевых сечений нет необходимости.

Минимальная длина концевых швов прикрепления элемента усиления
при = 6 мм и

Мус = (30 — 11,5) 7’28- = 3,56 тс;

37,56

,	0,5 (2420 + 3560) , . с _к

> -----i---!---—— -4- 1 = 5,75 см.

0,7-0,6-1500

Принимаем /ш = 6 см.

5.	Определяем остаточный сварочный прогиб элемента:

а = 0,1; С1а -- 1520 кал/см2:

а)	при случайном эксцентриситете положительного направления

ос 11 500, 11 500(0,243 + 2) .	„

о° л =----------------—------!—--4,95 = 1570 кгс/см2;

а'6	23	119,6

ос 11 500	11 500(0,243 + 2) . ппп , „

оос  ------------------—---ТС—L.. 1,35 = 209 кгс/см2;

в,г 23	119,6

|°сб = 0,745;	= 4-0,745- 1 = 1,98; £°вг = 0,1;

k°c =2-0,1 =0,2; s=—-— = 0,57; n°cfi = 1 + 0,57-1,98 = 2,13;

в, г	8 + 6	а’°

72 7	к

п°с = 1+0,57-0,2= 1,114; fCB =--------!-----0,1 • 3,53-10~6 X

в,г	72,7-11,5

1520	1042

iozu (2.3,82-2,13 — 2-2,58-1,114) =0,24 см;

37,56	8

б)	при случайном эксцентриситете отрицательного направления

ос 11 500 . 11 500 (—0,605 + 2)	_	„

о°ся —-----------------------------4,95 = 1165 кгс/см2;

а’6	23	119,6

ос 11 500	11 500 (—0,605 + 2) .	„

оос„  -------------------------'—1,35 = 320 кгс/см2;

в,г 23	119,6

|°cfi = 0,555; fe°c6 = 4-0,555— 1 = 1,22; g°c= 0,152;

£°сг = 2-0,152 = 0,304; п°сб = 1 +0,57-1,22= 1,695;

п°сг = 1 +0,57-0,304 = 1,173;

79 7	с 1520	1042

=-------‘±1-----0,1 -3,53-10“е	 — (2-3,82-1,695 — 2-2,58-1,173) =

72,7 — 11,5	37,56	8

= 0,14 см.
6.	Вычисляем расчетный эксцентриситет:

а)	при е°с = 0,243 см

е = е°сх — еси = 0,243 — 1,23 = —0,987 см;

еэкв = —0,987 + 1,23 + 0,24 = 0,483 см;

= £22®. = 2^1 = 0,285;

Pw 1,7

^=1041/ -£1?2— = з,28; т]= 1,75 — 0,13-3,28= 1,324;

У 2,1-10®

т1х = 1,324-0,285 = 0,378;

б)	при е°сх — — 0,605 см

ех = —0,605 —1,23 = —1,835 см; еэкв = —1,835 + 1,23 0,5- 0,14 = —0,535 см;

тх~ — = 0,257; ти = 1,324-0,257 = 0,341.

-2,08

Принимаем в качестве расчетного значение т1х = 0,378.

7.	Проверяем устойчивость в плоскости действия моментов:

—1_ —30 000---------__ кгс/см2 <• mR == 1680 кгс/см2.

Фвн?7 0,518-37,56

Проверка устойчивости из плоскости действия моментов не требуется,
так как 1Х < 1У и У.х > \у.

Пример 5.5. Внецентреино сжатый несимметрично усиленный стержень.
При реконструкции одноэтажного промышленного здания предполагается
осуществить его утепление и установку легкого кранового оборудования.
Вследствие возрастания нагрузок несущая способность стоек рам оказы-
вается недостаточной для восприятия расчетных усилий. Принято решение
усилить стойки в летнее время, при отсутствии снеговой нагрузки.

Экстремальные расчетные комбинации усилий в стойке от нагрузок
на раму в момент усиления:

в месте сопряжения ригеля рамы со стойкой (сечение В) Мв — 20 тс-м;
Nb — 50 тс;

в опорном сечении стойки (сечение А) Ма = — 15 тс-м; Nа — 60 тс.

Положительными приняты моменты, растягивающие наружные волокна
рамы.

Стойки рамы — постоянного сечения из сварного двутавра h — 500 мм
(рис. 5.4, г). Расчетная длина стойки в плоскости рамы 1Х = 14,9 м, из пло-
скости рамы 1У = 5 м.

Характеристики стойки до усиления: Foz — 105,2 см2; /°с = 46950 см4;
г°с = 21,1 см; Х°с= 71; Р°= = 431 тс; F°c = 1880 см3; р°с = 17,8 см;
/°с = 4390 см4; г°с = 6,5 см; Х°с = 77.

Расчетные экстремальные комбинации усилий в стойке после рекон-
струкции цеха (моменты М подсчитаны относительно центральной оси хос
основного сечения):

в сечеиии В /Ив “ 32 тс-м; Nb ” 65 тс;

в сечении А Ма —20 тс-м; Na “= 80 тс.

Максимальное значение поперечной силы Qmax = 9,1 тс.
Вследствие преобладания моментов положительного направления и
сложности усиления наружной полки колонны из-за опирания на нее сте-
новых панелей принято решение осуществить несимметричную схему уси-
ления стоек приваркой к внутренней полке двух уголков 100 X 10. Схема
усиления сечения приведена на рис. 5.4, г; положительное направление
оси у принято в сторону внутренней полки колонны.

Характеристики стойки после усиления: F= 143,6 см2; есм =
= 38-:-—7-'— = 7,45 см; 1Х = 69 600 см4; Wlx = 2510 см3; р1х == 17,5 см;

143,6

W2X= —2130 см3; р2х = — 14,85 см; гх = 22 см; 1У= 13 000 см4; гу =
= 9,5 см.

Корректировка статического расчета с учетом изменения соотношения
моментов инерции стоек и ригеля рамы и смещения центра тяжести усилен-
ного сечения стоек определила следующие экстремальные расчетные комби-
нации усилий:

в сечении В Мв — 26,3 тс-м; Nb = 65 тс;

в сечении А Ма = — 26 тс-м; Мл — 80 тс.

Уточненные расчетные длины стоек: 1Х = 15,0 м; 1У = 5,0 м; ).х = 68,1;
Рзх = 636 тс; = 52,6. Материал основного стержня и элементов усиле-
ния — сталь класса С 38/23, электроды — типа Э-42А.

1.	Определяем расчетные значения прогибов основного стержня в мо-
мент усиления:

в сечеиии В

ос Мв 2000	i0C 50-40	_

е,,г = -s- =------= 40 см; =-------------= 5,25 см;

"х NB 50	х 431 — 50

в сечении А

еос
снх

Ма —1500	хос 60-25	„ п~

= —=-----------= —25 см; =-------------------=— 4,0а см.

Na 60	431 — 60

2.	Проверяем возможность усиления стоек при воздействии указанных
комбинаций усилий:

а)	по условию упругой работы

в сечении В

о

ос
шах

= о°с =

50 000

105,2

50 000(40 + 5,25) с . в , „	„

-----------!----=—25 — 1680 кгс/см2 < R;

46 950

в сечении А

ос ос 60 000	60 000 (—25 — 4,05) .	_	, „

о°с_ = а°с =-----------------ь--------------- •(—2а) — 1500 кгс/см2 < R;

тах 2	105,2	46 950

б)	по устойчивости в плоскости действия моментов
в сечении В



2100 - = 2,24; т°с = — = 2,25;

2,110е	17,8

т)= 1,75 — 0,13-2,24 = 1,459; т1х = 2,25-1,459 = 3,28; фвн=0,286;

Nb

Фвн-Р0С

50000	1ССП ,2/0

--------------- 1660 кгс/см2 < К;
0,286-105,2

А

в сечении
тос = _25_

ях 17,8

60 000

1,4; т] — 1,459; т1д. = 2,04;

фвн — 0,37а;

-Na

Фвн-Р0С

1520 кгс/см2 < R;

0,375-105,2

в) по устойчивости из плоскости действия моментов.
По наибольшему расчетному моменту в пределах средней
ной длины из плоскости рамы верхнего участка колонны

М = 14 тс-м; е°г = -—- = 28 см; m°r —---------------------— 1,57а;

*	нх 50	*	17,8

ч- 0,05 (1,575 — 1) = 0,729;

с —------------------= 0,465;

1 + 0,729-1,575

трети расчет-

а = 0,7 4-

ФУ = 0,731;

СФ^°С

1400 кгс/см2 <3 R.
0,465-0,731-105,2

По наибольшему расчетному моменту в пределах средней трети расчет-
ной длины нижнего участка колонны из плоскости рамы

М =—9 тс-м;	v = —15 см;

0,843; с =0,63;

c<fyFoc

60 000

0,63-0,731-105,2

= 1240 кгс/см2 <$R.

3. Определяем расчетные величины прогибов после присоединения эле-

ментов усиления:
в сечении В

fax == 5,2а 11

358

46 950 + 358

636 \

636 — 50 У

= 5,2 см;

в сечении А

/нх = —4,05-0,912 =4,0 см.

4. Рассчитываем сварные соединения:

$усл = 207’ = 20-143,6 = 2872 Krc<Qmax;

Qmax = 9100 кгс; S?c = 19,2-20,38 = 392 см3;

Принимаем приварку
мальная толщина швов

элементов усиления сплошными швами. Мини-

0,7-9100-392

0,7-69 060-1500

0,035 см.

Принимаем 1гш — 4 мм.

Проверяем прочность концевых участков швов:

<Vyc = (80 — 50)	= 4 тс;

143,6

0,7-9100-392

0,7-0,4-69 060

0,7-4000	„св

------------= 54а кгс/см <3 R„ .
60-0,7-0,4*-у

5. Вычисляем остаточные сварочные прогибы:

<7п = 9500-0,42 = 1520 кал/см2;

в сечении В

•?е «= 1680 кгс/см*; Еое =	= 0,8; Аос = 4-0,8 - 1 = 2,2;

1	2100
sCD = 0,5 (------------1--12’2—\ = 0,54; noc =» 1 + 0,54-2,2 = 2,19;

p U24-2-10	12-2-J-10/

f ——------------1,0-3,53-10-6 • -1^2-. 68,1*--4-17,55-2,19 = 3,62 cm.

636 — 50	143,6	8

в сечении A
oc 60 000	60 000(—25 — 4105)	„

<j, =-------------------------------—  25 — —360 кгс/см-;

1	105,2	46 950

goc = _ 0,171; koz = — 0,171; noc = 1-0,54-0,171 = 0,908;

f =—222—10.3 53.io-6.2222—2211!..4.17,55.0,908 = 1,53 cm.

636 — 60	143,6	8

6.	Определяем расчетные эксцентриситеты:
в сечении В

МВ	2630

ех = —— =--------= 40,5 см;

NB	65

«»кв = ех + Цих + icls = 40,5 + 5,2 + 3,62 = 49,32 см;

49,32 Q QQ г	2100	...

fflr—------=2,82 Л* =68,1 I/ -----------=2,15;

17,5	V 2,1-10»

т] = 2,0-0,1-2,15 = 1,785; т1х = 1,785-2,82 = 5,03;

в сечении А

МА	—2600	оо „

ех — ——  --------= —32,5 см.

/Ул 80

Так как сварочный прогиб является разгружающим фактором, его не
учитываем:

^экв =~ ех ~f~ /нх — —32,0 — 4 == —36,5 см;

__ок 5

= ——1—== 2,46; т)= 1,75-0,13-2,15= 1,47;

— 14,85

т1х = 2,46-1,47 = 3,62.

7.	Проверяем устойчивость стойки в плоскости действия моментов:

в сечении В

фвн — 0,216;	—

фвн/7

в сечении А

<рвн = 0,273;

фвн^7

—65000 -=2100
0,216-143,6

кгс/см2 = R;

80 000
0,273-143,6

= 2040 кгс/см2 < R.

8.	Проверяем устойчивость из плоскости действия моментов.

По наибольшему расчетному моменту в пределах средней трети расчет-
ной длины верхнего участка стойки из плоскости рамы

/И» = 19,5 тс-м; W=/Vb = 65tc;
М, = 1950

X ~ 65

см;

^экв 1=3	4~ /нх 4“ /св в 30,0 -I- 0,2 -}* 3,62 — 38,82 см>

тх = ?.8;82.. = 2,22; а = 0,7 + 0,05 (2,22 — 1) = 0,761;

17,5

С 1+0,761-2,22

0,372; фу = 0,855;

65 000

ctfyF 0,372-0,855-143,6

1430 кгс/см2 < R.

N

По наибольшему расчетному моменту в пределах средней трети расчет-
ной длины нижнего участка стойки из плоскости рамы

/И, = —19 тс-м; N=Na= 80 тс; вд. = 2Я*. =	=—23,8см;

N 80

еэкв = ех + fHX = —23,8 — 4 = —27,8 см; тх = —^8_ _

'	,	, х _14>85

12у = 2190 см4; 11у = 10 440 см4;

2190

а= 1 — [0,3 —0,05-(1,87 — 1)] -^- = 0,946;

10 440

с =--------1-------= о,361;

1 +0,946-1,87

cqyF 0,361-0,855-143,6

Пример 5.6. Усиление сжатого элемента клепаной конструкции.

При обследовании и перерасчете клепаной стропильной фермы обнару-
жено, что несущая способность одного из раскосов фермы недостаточна для
восприятия расчетного сжимающего усилия N = 24 тс. Сечение раскоса —
из двух уголков 120 X 10 по Русскому нормальному метрическому сорта-
менту; расчетные длины раекоса: 1У = 414 см; 1Х = 331 см. Расчетное уси-
лие в раскосе от постоянных нагрузок Рн = 18 тс.

Лабораторные испытания позволили отнести материал ферм по проч-
ностным характеристикам к стали марки Ст. 0 и принять расчетное сопро-
тивление R — 1700 кгс/см2. Испытания материала на свариваемость дали
отрицательные результаты.

Прикрепление раскоса в узлах осуществлено на пяти заклепках диамет-
ром 15 мм. Расчетные сопротивления для заклепочных соединений приняты:
^срКЛ = 1400 кгс/см2; = 2700 кгс/см2. Несущая способность закле-
почного соединения также недостаточна для восприятия расчетного усилия.
Начальный эксцентриситет продольной силы, обусловленный смещением
рисок заклепок относительно центра тяжести основного сечения, составляет
= 6—3,31 = 2,69 см. Обследование показало, что раскосы имеют поло-
жительную кривизну с максимальной стрелой прогиба /эксп = 1 см.

Усиление раскоса предполагается произвести при действии постоянных
нагрузок на ферму с помощью болтовых соединений. Технологически прием-
лемой признана схема усиления по рис. 5.5, хотя она и приводит к суммиро-
168
ванию эксцентриситета от смещения с начальным эксцентриситетом продоль-
ной силы. Технология усиления разработана в соответствии с рекоменда-
циями § 5.1. Характеристики стержня до и после усиления приведены
в табл. 5.1.

1.	Определяем расчетную величину начального прогиба основного
стержня:

е°с = 2,69 см; f°x = —13'2’69- _ 0,4g См.

нх	118,8— 18

В качестве расчетной величины прогиба принимаем £°х — fi п — 1 см.

2.	Проверяем возможность усиления стержня при действии постоянных
нагрузок:

а)	по условию упругой работы (характеристики — по сечению II—II)

аоеa^_lg^+ 18000(2,69+ 1,0) .8|9;==i397

тах 43,36	603,3

и mR = 0,8-1700 = 1360 кгс/см2;

б)	по условию устойчивости в плоскости действия моментов

moc = A69=i72; £ос
ях 1,56	х

-1™- = 2,56;

2,1-10е

T] = 1,3-0,06-2,56 = 1,147; т1х = 1,147-1,72= 1,97;

фвн = 0,356;

18 000

<pBHF0C 0,356-43,36

= 1170 кгс/см2 < mR.

н

По условию устойчивости из плоскости действия моментов проверка не
требуется, так как 1Х<*1У и

3,	Определяем прогиб стержня после одновременного прижатия элемен-
тов усиления:

358	335 \ п со

------------------- = 0,62 см,
+ 627 335— 18/

4.	Рассчитываем присоединения элементов усиления. Принимаем болты
повышенной точности из стали класса 8.8 диаметром 16 мм. Расчетные сопро-
тивления: 7?бр = 3000 кгс/см2; = 2700 кгс/см2.

ТЛИ® = 1 - 3,14-1,62 -3000 = 6020 кгс;

ср 4

[^м = 1-1,6-2700 = 4310 кгс; Qmax = 20F = 20-84,76 = 1700 кгс;

«Ус= 19,2-3,355 = 64,5 см3;

t 4310-1775

1700- 64,5

= 70 см.

Принимаем шаг болтов равным шагу заклепок t = 60 см со сбивкой
на 30 см (см. рис. 5.5). Прикрепление уголков усиления к узловой фасонке
осуществляем четырьмя болтами с шагом 6 см.

= 60 +6 = 33 т^ус = (24_ 18 249^2 = 2720 к

2	84,76

2720 . 1700-64,5 „„	, г.,,б

—" + ——------------33 =2720 кгс < [2V]°mln-

4	177а
8,69 3,31 10

Рис. 5.5. Схема усиления раскоса (к примеру 5.6)
Таблица 5.1

Сечение	Характеристики элемента			
	до усиления		после усиления	
	Foc = 46,36 см2;		F = 84,76 см2;	z0 = 0,525 см;
	= 72,2 см3;	р°£ = 1,56 см;	есм = — 2,785 см	1х = 1775 см4;
	1°с = 627 см4;	г°с = 3,68 см;	Wlx = 155 см3;	гх = 4,57 см;
I — I (брутто)	Х°с = 90;	Р°' = Ц8,8 тс;	Хх = 72,5;	Рэх = 335 тс;
	/°с= 1298 см4;	р°с = 2,25 см;	IУ = 2082 см4;	Wy= 173,5 см3;
	г°с = 5,3 см;  Р°су = 157 тс	Х°с = 78,1;	Ру = 2,05 см;  г.у — 83,5;	гу = 4,96 см;  Р$У — 252 тс
Il — II	= 43,36 см2;	z0 = 3,1 см;	Fm = 81,76 см2;	z0 = 0,324 см;
	/°снт = 603,3 см4;	/°Л= 1295 см4 у И 1	I х нт = 1681 см4;	1у нт = 2079 см4
HI — III		—	Тнт = 78,24 см2;  /хнт = 1751,9 см4;	z0 = 0,57 см;  1у нт = 1846,1 см4
IV —IV	F°CT = 43,36 см2;	z0 — 3,1 см;	Рт = 78,5 см2;	z0 = 0,565 см;
	/°снт = 603,3 см4;	/°сит= 1295 см4	1х ит = 1567 см4;	1 у нт = 2075 см4
Проверяем несущую способность заклепочного присоединения основного
стержня к фасонке:

3 14-1 52

[^]g?KJ1»2- ’	1400 = 4950 кгс; [2У]»»КЛ= 1 • 1,5-2700 = 4050 кгс;

4

дгос = N — Nyc — 24 — 2,72 = 21,28 тс;

№с
п

= 4260 кгс > [ЛЧХЛ = 4050 кгс-

С учетом перераспределения усилий на болтовое соединение усиление
заклепочного соединения решено не производить.

5.	Определяем расчетный эксцентриситет:

е = е°с — е = 2,69 + 2,785 » 5,48 см;
X НХ СМ	1	’	'

А 1

еэкв = ех + /нх = 5,48 4- 0,62 — 6,1 см; тх = —1— = 3,34;

1,825

т] =0,8 + 0,04 -2,06 = 0,882; т1х=2,94.

6.	Проверяем устойчивость раскоса в плоскости действия моментов:

1 = 72,51/	1700 = 2,06; <рвн = 0,316;

х V 2,1-10»

Л7	24 000

-------=--------------= 900 кгс/см2 < mR = 1360 кгс/см2.
фвн/7 0,316-84,76

7.	Проверяем устойчивость раскоса из плоскости действия моментов.
Так как 1Х<*1У, но	то устойчивость раскоса относительно оси у

проверим с учетом случайного начального эксцентриситета е°у. При Х°с =
= 78,1;	= 0,15;	= 0,15-2,25 = 0,34 см

' ’ ну	’	’ Ну	1 г . г

I toe 18-0,34

157-18

0,044 см;

еэкв = 0>34 + 0,044 « 0,39 см;

от„=-^- = 0,19; ri = 0,8 + 0,04-2,38= 0,895; т1(, = 0,17;

v 2,05	ад -

Ку = 2,38; фвн = 0,726.

Так как (при Ку = 83,5) ф= 0,699 < фвн, устойчивость раскоса про-
веряем по формуле

N 24 000	...	, , D

----=-------------= 406 кгс/см2 < mR.
tpyF 0,699-84,76

8.	Проверяем прочность раскоса

в

в

сечении /—/

24 000, 24000-5,48	1осс , „	„

-------- j------------11,43а = 1266 кгс/см2 < mR;

78,5	1567

сечении II—II
(24— 18)-5,48 + (335— 18)-0,62	„

г =----------------------------------== п см,

335 — 24
24 000 . 24 000(5,48 + 0,73)	п

—---------------------1-----11,676 = 1334 кгс/см2 < mR-,

81,76	1681

в сечении ///—///

24 000 . 24 000(5,48 + 0,73) ,, ,_оп , ,	„

----------------Ь------------ 11,43 = 1280 кгс/см2 < mR.

78,24	1752

Рассмотренные примеры дают общую схему расчета усиления
сжатых элементов стальных конструкций. Подчеркнем еще раз,
что применение предлагаемого расчетного метода допустимо лишь
при соблюдении изложенной выше технологии усиления, которая
должна специально оговариваться при разработке проекта.

Приложение

Таблица соотношений между единицами физических величин,
принятыми в книге, и единицами СИ

Наименова- ние величины	Единица измерения				Соотношение единиц
	мкс		си		
	Наименование	Обозна- чение	Наимено- вание	Обоз- наче- ние	
Сила; нагрузка	Тонна-сила Килограмм-сила	тс кгс	Ньютон	н	1 тс 9,8-103 Н « 10 кН  1 кгс 9,8 Н 10 Н
Момент силы	Тонна-сила- метр Килограмм- снла-метр	тс-м  кгс-м	Ньютон- метр	Н-м	1 тс-м- к* 9,8-103 Н-м « * 10 кН-м  1 кгс-м * 9,8 Н-м « АУ 10 Н-м
Механиче- ское напря- жение; модуль упругости	Килограмм-сила на квадратный сантиметр  Килограмм-снла на квадратный миллиметр	кгс/сма  кгс/мм2	Паскаль	Па	1 кгс/см2 9,8-10* Па « 105 Па ** 0,1 МПа  1 кгс/мм2 9,8-106 Па « «у 107 Па «у 10 МПа
Количество теплоты	Калория	кал	Джоуль	Дж	1 кал а* 4,2 Дж
Список литературы

1.	Аистов Н. Н. Испытание сооружений. Госстройиздат, 1960.

2.	Беленя Е. И. Исследование упругопластических процессов работы
балок, усиленных до загружения и под нагрузкой. — В кн.: Исследования
по стальным конструкциям. Сб. статей под ред. В. А. Балдина, Госстрой-
издат, 1950.

3.	Беляев Б. И. О некоторых предложениях по развитию методики
предельных состояний. — В кн.: Развитие методики расчета по предельным
состояниям. Сб. статей под ред. Е. И. Беленя. Стройиздат, 1971.

4.	Броуде Б. М. О расчете сжато-изогнутых стержней. Материалы
треста «Стальконструкция», 1939.

5.	Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. Физматгиз, 1963.

6.	Винокуров В. А. Сварочные деформации и напряжения. «Машино-
строение», 1968.

7.	Геммерлинг А. В. Несущая способность стержневых стальных кон-
струкций. Госстройиздат, 1958.

8.	Десятое Б. И. Исследование работы усиляемых под нагрузкой эле-
ментов сварных стальных ферм. Автореф. дис. на соискание уч. степ. канд.
техн. наук. 1969. (МИСИ).

9.	Донник И. Я. Несущая способность прокатных двутавровых балок,
усиленных под нагрузкой. Автореф. дис. на соискание уч. степ. канд. техн,
наук. Киев, 1956. (КИСИ).

10.	Иммерман А. Г., Десятое Б. И. Расчет усиленных под нагрузкой
сжатых элементов сварных стальных ферм. — В кн.: Металлические кон-
струкции. Сб. трудов МИСИ, № 85, 1970.

11.	Кизингер Р. Исследование напряженного состояния растянутых
стержней металлических ферм при их усилении под нагрузкой. Автореф. на
соискание уч. степ. канд. техн. наук. 1973. (МИСИ).

12.	Колесников В. М. Исследование работы некоторых стальных кон-
струкций и отдельных элементов, усиленных под нагрузкой. Автореф. дис.
на соискание уч. степ. канд. техн. наук. 1967. (ЛИСИ).

13.	Лащенко М. Н. Усиление металлических конструкций. Госстрой-
издат, 1954.

14.	Лащенко М. Н. Регулирование напряжений в металлических кон-
струкциях. Стройиздат, 1966.

15.	Металлические конструкции. Под ред. Е. И. Беленя. Строй-
издат, 1973.

16.	Николаев Г. А., Куркин С. А., Винокуров В. А. Расчет, проектиро-
вание и изготовление сварных конструкций. «Высшая школа», 1971.

17.	Окерблом Н. О., Демянцевич В. П., Байкова И. П. Проектирование
технологии изготовления сварных конструкций. Судпромгиз, 1963.

18,	Ребров И. С. Исследование устойчивости сжатых элементов стальных
конструкций, усиленных под нагрузкой. Автореф. дис. на соискание уч. степ,
канд. техн. наук. 1968. (ЛИСИ).

19.	Рекомендации по усилению сварных стальных ферм под нагрузкой.
М., 1972. (ВНИИмонтажспецстрой).
20.	Рекомендации по усилению элементов конструкций с применением
сварки ОСМК-19-1. М., 1970. (ЦНИИпроектстальконструкция).

21.	Сахновский М. М., Титов А. М. Уроки аварий стальных конструк-
ций. Киев, «Буд1вельник», 1969.

22.	Стрелецкий Н. С. Работа сжатых стоек. Госстройиздат, 1959.

23.	Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. Гостехтеориздат,
1955.

24.	Чувикин Г. М. Об устойчивости за пределом упругости внецентренно
сжатых тонкостенных стержней открытого профиля. — В кн.: Исследования
по стальным конструкциям. Труды ЦНИИСК, вып. 13. Госстройиздат, 1962.

25.	Чувикин Г. М. Устойчивость рам и стержней. Госстройиздат, 1951.

26.	Шварцбург Б. Г., ^уценок Л. Расчет металлических конструкций,
усиливаемых в напряженном состоянии. — «Строительная промышленность»,
1939, № 8.

27.	Шенли Ф. Р. Теория колонны за пределом упругости. — В сб.:
«Механика», № 2, 1951.

28.	Шепельский М. Л- Досл1дження пружно-пластичних процес!в
роботи балок, посилюванних симетр!чно i несиметр1чно тд навантаже-
нням. — Труды ХГИ, сб. № 8, 1958.

29.	Jezek К. Die Festigkeit der Druckstabe. Wien, 1937.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие .................................................... 3

Глава 1. Работа центрально сжатого стержня, симметрично уси-
ленного под нагрузкой .......................................... 6

§ 1.1.	Развитие пластических деформаций в усиленном,
стержне ........................................... 6

§ 1.2.	Устойчивость центрально сжатого симметрично
усиленного стержня................................14

Глава 2. Работа внецентренно сжатых стержней, усиленных под
нагрузкой ......................................................21

§ 2.1.	Основные гипотезы и допущения. Рассматриваемые
схемы усиления	. . . . '...................21

§ 2.2.	Развитие пластических деформаций. Прогибы
стержней в упругой и упругопластической стадиях
работы ............................................24

§ 2.3.	Устойчивость стержней в плоскости действия мо-
ментов ....................................... ...	53

§ 2.4.	Влияние усиления под нагрузкой на устойчивость
стержней из плоскости действия моментов ... 67

Глава 3. Приближенные методы расчета усиленных стержней . . 77

§ 3.1.	Общее уравнение прогибов усиленных стержней
в упругой стадии работы............................77

§ 3.2.	Приближенные методы расчета устойчивости и
прочности усиленных стержней.......................89

§ 3.3.	Учет влияния сварки на работу усиленных стерж-
ней ...............................................99

Глава 4. Экспериментальное исследование устойчивости усиленных
стержней.......................................................106

§ 4.1.	Испытание малых образцов прямоугольного се-
чения ............................................106

§ 4.2.	Испытание образцов натурных размеров, усилен-
ных с помощью сварки..............................116

Глава 5. Проектирование и расчет усиления сжатых элементов 139

§ 5.1.	Общие рекомендации по проектированию и расчету
усиления .........................................139

§ 5.2.	Примеры расчета усиления сжатых элементов . . 153

Список литературы .............................................174