Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье - Хэррис Дж.Ф.

Author: Хэррис Дж.Ф.

Tags: математика математический анализ

Year: 1978

Similar

Статистический анализ Подход с использованием ЭВМ

Численные методы. Использование MATLAB

Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток

Прогнозирование в титриметрических методах анализа с использованием реакций комплексообразования и осаждения

Text

60
ТИЙЭР, т. 66, Jt 1, январь 1978
[91] A. D. Little, Inc., “Investigation of communication standards as
related to coal mines,” Final Rep. Bureau of Mines Contract
HO133038, Sept. 1973 (NTIS PB 240-552/AS).
[ 92 ] “Radio frequency energy, a potential hazard in the use of electric
blasting caps,” Publ. No. 20, Institute of Makers of Explosives,
New York, NY.
[93] Franklin Institute Res. Labs, “Evaluation and determination of
sensitivity and electromagnetic interaction of commercial blast-
ing caps,” Final Rep., Bureau of Mines Contract НО2Ю068,
Aug. 1973 (NTIS PB 236-119/AS).
[94 ] G. C. Lindsay, “Remote control mining comes of age,” Coal Min-
ing and Processing, p. 30, Sept. 1973.
[95] B. Cauli et al., “Remote control by radio in French collieries:
Apparatus and results obtained,” in Proc. Int. Conf. “Radio:
Roads, Tunnels and Mines " Vol. 2—Mines (Liege, Belgium) pp.
161-182, Apr. 1974.
Джон H. Мерфи получил степень бакалавра наук по электро-
технике в Питтсбургском университете, Питтсбург, шт. Пенсиль-
вания, в 1961 г. и степень бакалавра искусств в Дукенском уни-
верситете, Питтсбург, шт. Пенсильвания, в 1967 г. В 1961 г. он
поступил в Горное бюро министерства внутренних дел США,
Питтсбург, шт. Пенсильвания. В настоящее время занимается
исследованиями и разработкой в области освещения, конструиро-
вания оборудования, техники безопасности, эргономики, связи,
борьбы с помехами, систем энергопитания и систем автоматичес-
кого управления в Питтсбургском исследовательском центре
горной добычи и безопасности Горнорудного бюро, Брустон, шт.
Пенсильвания.
Говард Э. Паркинсон получил степень бакалавра искусств
в Дукенском университете, Питтсбург, шт. Пенсильвания. В на-
стоящее время руководит Отделом систем и оборудования Горного
бюро США и участвует в разработке новых систем и оборудования
для усовершенствования способов добычи, повышения произво-
дительности, охраны здоровья и повышения безопасности при
подземной разработке угля. В последнее время занимается вопро-
сами интенсификации подземной добычи угля, применения лав,
улучшения откатки, автоматизированного дистанционного управ-
ления сплошным забоем, а также разрабатывает автоматизиро-
ванные системы крепления кровли. Ранее возглавлял разработку
шахтных оперативной и аварийной систем связи и систем контроля
и управления.
621.391
Использование окон при гармоническом анализе
методом дискретного преобразования Фурье
Ф. ДЖ. ХЭРРИС, член ИИЭР
On the Use of Windows for Harmonic Analysis
with the Discrete Fourier Transform
FREDRIC J. HARRIS, member, ieee
Дан крайний обзор свойств различим окон данных. Рассмет-
реи» эффективность этих окон при Обнаружении гармонических
сигналов в широкополосном шуме и при наличии интенсивных
гармоничееитгпомех близкой частоты. Анализируются наиболее
распространенные ошибки, допускаемые при сглаживании данных
с помощью окон, используемых для быстрого преобразования
Фурье. Работа содержит обширный каталог окон и таблицу основ-
ных параметров этих окон, позволяющую сравнить их характерно-
/ умки. Привадев-вример. иллюетрйрующий значение правнлмюго
выбора окна для разрешения близких по частоте, но сильно отли-/
тотжиж-я по амплитуде гармоничеешгх сигналов. '
I. ВВЕДЕНИЕ
При обработке сигналов обычно приходится ре-
шать задачи двух типов — задачу обнаружения
и задачу оценивания. При обнаружении нужно
дать ответ на вопрос, наблюдается ли в данное время
некоторый сигнал с априорно известными параметра-
ми. Оценивание — это задача измерения значений па-
раметров, описывающих сигнал. Сигнал часто зашум-
Получена 10 сентября 1976 г., в исправленном виде —
11 апреля 1977 г. и 1 сентября 1977 г.
Ориг., с. 51—83.
This work was supported by Naval Undersea
Center (now Naval Ocean Systems Center) Independent Exploratory
Development Funds.
The author is with the Naval Ocean Systems Center, San Diego, CA,
and the Department of Electrical Engineering, School of Engineering,
San Diego State University, San Diego, CA 92182.
лен, на него могут накладываться мешающие сигналы.
Поэтому для упрощения указанных задач сигнал
обычно разлагают по базисным составляющим про-
странства сигналов [1]. Для многих приложений наи-
больший интерес представляют периодические сиг-
налы. Вполне естественно, что решение задач обнару-
жения и оценивания подобных сигналов связано с их
разложением по базису, состоящему из простых пери-
’ одических функций sin и cos. Такое разложение мож-
но выполнить с помощью классического преобразова-
ния Фурье.
Каждый обрабатываемый сигнал должен иметь ко-
нечную длительность. Длительность сигнала можно,
разумеется, менять и регулировать, но она обязатель-
но должна быть конечной. При обработке сигналов
конечной длительности возникают интересные и взаи-
мозависимые вопросы, которые необходимо учитывать
в ходе гармонического анализа. Конечность интервала
наблюдения влияет на обнаружимость тонов в присут-
ствии близких сильных тонов, на разрешимость тонов
меняющейся частоты и на точность оценок параметров
всех вышеупомянутых сигналов.
На практике обрабатываемый массив данных со-
стоит из W эквидистантных отсчетов принятого сиг-
нала. Для удобства будем полагать, что N — четное
составное число. Гармонические оценки, получаемые
с помощью дискретного преобразования Фурье
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
61
(ДПФ),— это N эквидистантных отсчетов соответст-
вующих периодических спектров. Такой подход мате-
матически изящен и привлекателен, когда схема об-
работки сигнала реализуется как спектральное раз-
ложение в jV-мерном ортогональном векторном прост-
ранстве [2]. К сожалению, на практике для получения
удовлетворительных результатов часто приходится
жертвовать этим изяществом. Один из неизбежных в
таких случаях компромиссов связан с тем, что после-
довательность отсчетов сигнала приходится умножать
на весовые функции (окна) или, что эквивалентно,
сглаживать спектральные отсчеты.
Таким образом, данные обычно подвергаются двум
выполняемым в произвольном порядке операциям -
дискретизации и сглаживанию с помощью окон. Что
такое дискретизация и сглаживание данных с помощью
окон, достаточно хорошо знают все, а вот что такое
дискретные окна для ДПФ, известно лишь немногим!
Поэтому мы и обратимся к факторам, определяющим
выбор окон для гармонического анализа, уделив осо-
бое внимание дискретным окнам, применяемым при
ДПФ.
II. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНЕЧНЫХ
МАССИВОВ ДАННЫХ И ДПФ
Гармонический анализ конечных последовательно-
стей данных связан с задачей проекции наблюдаемого
сигнала на базисные векторы, на которые наткнут ин-
тервал наблюдения [1, 3]. Введем обозначения, кото-
рые понадобятся нам в следующих разделах. Пусть Т
(сек) — удобный временной интервал, a NT (сек) —
интервал времени наблюдения. Синусы и косинусы с
периодами, кратными интервалу NT, образуют орто-
гональный базис для непрерывных сигналов длитель-
ностью ' NT. Базисные функции определяются как
cos
sin
2тг
NT
k = Q, 1, • • • ,N~ 1,N,N+
0<t<NT.
(1)
Заметим, что, введя набор базисных функций с упоря-
доченным индексом k, мы тем самым определили спектр
сигнала над линией, называемой частотной осью, из
которого далее выводятся понятия ширины полосы
частот и частот, близких и далеких от данной частоты
(эти понятия связаны с разрешением).
Для дискретизированных сигналов базис, стяги-
вающий интервал NT, идентичен последовательности
эквидистантных отсчетов векторов соответствующего
непрерывного базиса с индексами от 0 до N/2:
Отсчета нет
N-fk обсчет с NT секунд
интервалом Т сек
Ряс. 1. А отсчетов четной функции на интервале NT секунд.
му числу периодов) взаимно ортогональны. Эквиди-
стантные отсчеты произвольных ортогональных функ-
ций не образуют ортогональных последовательностей.
Отметим также, что временной интервал, занимаемый
N отсчетами, взятыми через Т секунд, не равен NT
секундам. Это легко понять, если учесть тот факт, что
.интервал, ла .котором берутся отсчеты, замкну г слева
и открыт справа (т. е. [—)). Рис. 1 иллюстрирует это
обстоятельство на примере дискретизации четной от-
носительно центра интервала функции длительностью
NT сек.
Поскольку для ДПФ требуется периодичность ря-
да, опущенную последнюю точку последовательности
можно считать начальной точкой следующего периода
периодического продолжения этой последователь-
ности. Действительно, при периодическом продолже-
нии следующий отсчет (на 16-й секунде на рис. 1)
неотличим от отсчета в нулевой момент времени.
Указанное нарушение симметрии из-за отсутствую-
щей (но подразумеваемой) конечной точки является
постоянным источником ошибок при выборе типа при-
меняемого окна. Эти ошибки восходят к ранним рабо-
там, посвященным сходимости частичных сумм рядов
Фурье. Частичные суммы (или конечное преобразова-
ние Фурье) всегда имеют нечетное число членов и об-
ладают четной симметрией относительно начальной
точки. Поэтому во многие руководства и библиотеки
стандартных программ включены окна, обладающие
истинной четной симметрией, а не подразумеваемой
симметрией с опущенной конечной точкой!
При вычислении ДПФ дискретных данных следует
помнить, что четная симметрия означает, что проек-
ция сигнала на последовательность отсчетов синуса
тождественно равна нулю. Но это отнюдь не означает,
что числа отсчетов, расположенных справа и слева от
средней точки, обязательно равны друг другу. Чтобы
отличать эту симметрию от обычной четности, будем
называть обычную четную последовательность с опу-
щенной крайней правой точкой ДПФ-четной. Другим
примером ДПФ-четной последовательности является
последовательность отсчетов периодически продол-
женной треугольной волны (рис. 2).
Если мы вычислим конечное преобразование Фурье
ДПФ-четной последовательности (считая отсчет в точ-
к = 0,1, • • • ,ЛГ/2;
п =0,1, • ,N- 1.
3
Начало следующей
последовательности
ДПФ-четная
последовательность
(2)
Периодическое
продолжение
дискретизированной
последовательности
Отметим, что тригонометрические функции уни-
кальны в том отношении, что последовательности их
эквидистантных отсчетов (на интервале, равном цело-
Периодическое продолжение
непрерывной волны
Ряс. 2. Четная последовательность и ее периодическое продол-
жение при вычислении ДПФ.
62
ТИИЭР, т. 66, J* 1, январь 1278
ДПФ-четная
Четная
составляющая ечнпП
-4 ,-з -2.-1 0 1 2 3 4
Нечетная
составляющая оажпн
Рис. 3. ДПФ как последовательность отсчетов конечного пре-
образования Фурье ДПФ-четной последовательности.
ке -|-Af/2 равным 0), то полученная непрерывная пери-
одическая функция будет иметь ненулевую мнимую
компоненту. ДПФ той же самой последовательности —
это не что иное, как ряд отсчетов конечного преобра-
зования Фурье, однако мнимая компонента этих от-
счетов тождественно равна нулю. В чем причина этого
несоответствия? Не надо забывать, что отсутствие в
ДПФ-четном ряду конечной точки приводит к появле-
нию в конечном преобразовании мнимой синусоидаль-
ной компоненты с периодом 2n/(Af/2) (соответствующей
нечетному члену последовательности с номером JV/2).
Однако отсчеты ДПФ берутся в точках, кратных 2л/Л/,
которые, конечно, соответствуют нулям мнимой сину-
соидальной компоненты. Пример такой удачной ди-
скретизации показан на рис. 3. Отметим, что последо-
вательность f(n) разбита на четную и нечетную части.
Нечетная часть и обусловливает появление мнимой
синусоидальной компоненты в конечном преобразова-
нии.
Ш. ПРОСАЧИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ
Выбор конечного временного интервала длитель-
ностью NT секунд и ортогонального тригонометриче-
ского базиса (непрерывного или дискретного) на этом
интервале обусловливает интересную особенность
спектрального разложения. Из континуума возмож-
ных частот только совпадающие с частотами базиса
будут проецироваться на единственный базисный век-
тор, а все остальные частоты будут иметь ненулевые
проекции на любой из векторов базисного множества.
Это явление, которое обычно называют размыванием
или просачиванием спектральных составляющих (spec-
tral leakage), возникает из-за конечной длительности
обрабатываемых записей. Хотя частота отсчетов и вли-
яет на степень размывания, сам» по себе дискретиза-
ция не является его причиной.
4. В интервале наблюдения
синусоиды непериодично.
периодическое продолжение
Рис.
Чтобы интуитивно понять причину размывания,
достаточно заметить, что сигналы с частотами, отлич-
ными от базисных, непериодичны в окне наблюдения.
Если естественный период сигнала несоизмерим с про-
должительностью интервала наблюдения, периодиче-
ское продолжение сигнала будет иметь разрывы на
границах интервала. Эти разрывы дают спектральные
вклады на всех базисных частотах (т. е. происходит
размывание). Виды возникающих разрывов иллюст-
рирует рис. 4.
Окна представляют собой весовые функции, ис-
пользуемые для уменьшения размывания спектраль-
ных компонент, обусловленного конечностью интерва-
лов наблюдения. Так, можно считать, что воздействие
окна на массив данных (как мультипликативной весо-
вой функции) состоит в уменьшении ^порядка разрыва
на границе периодического продолжения. Этого доби-
ваются, согласуй на границе возможно большее число
производных взвешенных данных. Проще всего обес-
печить такое согласование, сделав эти производные
равными или по крайней мере близкими к нулю. Та-
ким образом, вблизи границ интервала взвешенные
данные плавно стремятся к нулю, так что периодиче-
ское продолжение сигнала оказывается непрерывным
вплоть до производных высших порядков.
С другой стороны, можно считать, что окно мульти-
пликативно воздействует на базисное множество так,
чтобы сигнал произвольной частоты имел значитель-
ные проекции только на те базисные векторы, частоты
которых близки к частоте сигнала. Оба подхода, ко-
нечно, ведут к одинаковым результатам, и мы по мере
надобности будем пользоваться одним из них.
IV. ОКНА И ИХ ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
В гармоническом анализе окна используются для
уменьшения нежелательных эффектов просачивания
спектральных составляющих. Окна влияют на многие
показатели гармонического процессора, в том числе
на обнаружимость, разрешение, динамический диапа-
зон, степень достоверности и легкость реализуемости
вычислительных операций. Чтобы иметь возможность
сравнивать характеристики окон, необходимо знать,
какие из их параметров являются основными. Легче
всего выявить наиболее существенные параметры, рас-
смотрев, как влияют разные типы окон на результаты
гармонического анализа.
Ограниченный по полосе сигнал f (/) с преобразова-
нием Фурье F(<o) можно описать эквидистантной по-
следовательностью отсчетов f (пТ). Эта последователь-
ность определяет периодически продолженный спектр
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
63
Fr(co) как его разложение в ряд Фурье:
F(co)= I f(f) exp (-jut) dt, (За)
J — 90
FT(u) = £ f(nT) exp (-/wnT), (3b)
»=-«•
f(t) = I Fr(oj) exp (+/cof) dw/2ir, (3c)
J -it/T
IF(w)|=0, |co| > | [2ir/T],
где
Fr(o) = F(co), |w| < | [2я/Т].
Для машинной обработки в реальном масштабе
времени последовательность данных должна иметь
конечную длительность, поэтому сумму бесконечного
ряда (ЗЬ) можно аппроксимировать конечной суммой:
+7V/2
Fe(w)= >* f(nT) exp (-jwnT) , N четное , (4a)
n=^N/2
(Nj2)-1
Fb(u) = £ ЛпГ)ехр(-;соиГ) , N четное , (4b)
n=^Nj2
(»/2) l л v
Fc(ofc)= у f(nT) exp (~jwknT), N четное, (4c)
n = 4V/2
N-i
Fd(uk) = У f(nT) exp(.- ju^nT), V четное, (4d)
n=0
где
2тг
ык = — к, к=-0, 1, • • • ,N- 1.
К NT
В (4а) легко узнать конечное преобразование Фурье;
пределы суммирования здесь выбраны ради удобств,
которые дает, четная симметрия. Уравнение (4Ь) —
это конечное преобразование Фурье с опущенной пра-
вой точкой, а (4с) — ДПФ, т. е. ряд отсчетов спектра
(4Ь), Желательно, конечно, чтобы при обработке ре-
альных сигналов (для удобства применения вычисли-
тельных алгоритмов) индексы начинались с нуля. Это-
го можно добиться, сдвигая начальную точку на N/2
точек вправо, т. е. переходя от (4с) к (4d). Уравнение
(4d) — это прямое ДПФ. Впрочем, сдвиг индекса сум-
мирования на JV/2 влияет лишь на фазовые углы пре-
образования, поэтому ради удобств, обусловленных
симметрией,' будем считать, что все окна имеют центр
в начальной точке. Следует, однако, помнить, что это
удобство является_.основлым источником неправиль-
ного применения окош. При вычислений ДПФ с по-
мощью окон сдвиг на N/2 точек и связанный с ним
фазовый сдвиг часто не учитывают или учитывают не-
правильно. В частности, это происходит в тех случаях,
когда умножение на весовую функцию окна во вре-
менной области заменяется .сверткой спектра сигнала
соспектромокна) К обсуждению этого вопроса мы еще
вернемся при рассмотрении окна Хэннинга в разделе,
посвященном косинусоидальным окнам типа cos“(X).
Теперь зададимся вопросом о том,насколько точно
сумма конечного ряда (4Ь) аппроксимирует сумму бес-
конечного ряда (ЗЬ). Фактически этот вопрос касает-
ся более общего случая произвольного окна, воздейст-
вующего на некоторую временную функцию (или вре-
менной ряд):
Fw(o)= У w(nT)f(nT)exp(-junT), (5)
Я--о»
где
w(nT) = 0,
У четное,
w(nT) = w(~nT),
n In \
n ¥=-,w -T =0.
2 \2 /
Посмотрим, как влияет окно на наши спектральные
оценки. Из уравнения (5) видно, что преобразование
Ей, (со) — это преобразование произведения. Согласно
данному ниже уравнению (6), преобразование произ-
ведения эквивалентно свертке двух соответствующих
преобразований (см. приложение):
F(x) W(u-x)dx/2it
(6)
или
Fw(co) = F(w). W(co).
Уравнение (6) является ключом к пониманию влияния
конечной длины последовательности данных на ре-
зультаты их обработки. Интерпретировать его можно
двояко, но обе интерпретации эквивалентны. Легче
всего пояснить это на конкретном примере. Возьмем
дискретное прямоугольное окно w(nT)—1,0. Мы зна-
ем, что W (со) — это ядро Дирихле [4], имеющее вид
(, sin
шТ\
+j— j —
2 /
sin
N
-шТ
2.=
1
- uT
2
(7)
Если не учитывать член, характеризующий линей-
ный фазовый сдвиг (который изменится из-за смещения
на N/2 точек, необходимого для реализации вычисли-
тельного алгоритма), то один период этого преобра-
зования будет иметь форму, показанную на рис. 5.
Относительно формулы (6) можно сказать, что величи-
Рис. 5. Ядро Дирихле для последовательности из N точек.
ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 1916
Основные параметры окон
Таблица 1
Окно / Макс. ' уровень боковых лепестков, t | Скорость I спада бокд ’ лепестков, дБ/октава Когерентное усиление 072^^4 й. / Экв. 1 ’ шумовая/ полоса, U бин Д \ z Полоса : по уровне 3,0 дБ,/ бин . Паразит- ная AM, ДБ Макс, потери преобраь зования, дБ Полоса по 'уровню 6,0 дБ, J бин^/ Корреляция перекрывающихся участков, %
75%перекр 50%перекр
'ЯЛ biAllp
Прямоугольное -13 -6 1/Х) 1/Х) 0,89 (''з,92 3,92 1,21 75,0 50,0

Треугольное -2Т -12 0,50 1/53 1,28 1,82 3,07 1,78 71,9 25,0
cos“(x) а=,р “23 -12 0,64 1,23 1,20 2,10 3,01 1,65 75,5 — — 31,8
Хэннинга а = 2,0 -32 -18 0,50 1,50 1,44 1,42 2,00 16.7
а = 3,0 -39 -24 0,42 1,73 1,66 1,08 3,47 2,32 56,7 вр
а = 4/) -47 -х 0,38 1,94 1,86 0,86 3,75 2,59 48,6> 4р
Хэмминга -43 -6 0,54 1/36 1,30 1,78 3,10 1,81 70,7 23,5
Рисса -21 “12 0,67 1,20 1,16 2,22 3,01 1,59 76,5 34,4
Римана -26 -12 0,59 1,30 1,26 1,89 3,03 1,74 73,4 27,4
Валле-Пуссена -53 -24 0,38 1,92 1,82 0,90 3,72 2,55 49,3 5,0
ТЬЮКИ 0 = 0,25 -14 -18 0,88 1,10 1,01 (2£6> бзр?? 1,38 74,1 44,4
а = о,5о -15 -18 0,75 1,22 1,15 2^4 3,11 1,57 72,7 36,4
а = 0,75 -19 -18 0,63 1,36 1,31 1,73 3,07 ipo 70,5 25,1
Бомана "46 -24 0,41 1,79 . 1,71 1,02 3,54 2,38 54,5 7,4
Пуассона а = 2,о -19 “6 0,44 1,30 1,21 2,09 3,23 1,69 69,9 27,8
а = 3,0 -24 -6 0,32 1,65 1,45 1,46 3,64 2,08 54,8 15,1
а = 4,0 "31 -6 0,25 2,08 1,75 1,03 4,21 2,58 40,4 7,4
Хэннинга — а - 0,5 -35 -18 0,43 1Р1 1,54 1,26 3,33 2,14 61,3 12,6
Пуассона a = i,o -39 -18 0,38 1,73 1,64 1,11 3,50 З’ЗО 56,0 9,2
a = 2/) Нет -18 0,29 2,02 1,87 0,87 3,94 2,65 44,6 4,7
Коши а = зр -31 -6 Д42 1,48 1,34 1,71 3,40 1,90 61,6 20,2
а = 4р “35 -6 0,33 1,76 1,50 1,36 3,83 2,20 48,8 13,2
а = 5/) -30 "6 0,28 2,06 1,68 1,13 4,28 2,53 38,3 9,0
Гаусса а - 2,5 "42 -6 0^51 1,39 1,33 1,69 3,14 у® 67,7 20,0
a = з,о -55 -6 0,43 1,64 7 1,55 1,25 3,40 2,18 57,5 10,6
a = 3£ -69 -6 0,37 1,90 1,79 0,94 3,73 2,52 47,2 4,9
Дольфа — a = 2,5 -50 0 0,53 1,39 1,33 1,70 3,12 1,85 69,6 22,3
Чебышева а = зр -60 0 0,48 1,51 1,44 1,44 3,23 2,01 64,7 16,3
а =3,5 -70 0 0,45 1,62 1,55 1,25 3,35 2,17 60,2 11,9
а = 4,0 -80 0 0,42 1,73 1,65 1,10 3,48 2,31 55,9 8,7
Кайзера— а = 2,о "46 -6 0,49 1,50 1,43 1,46 3,20 1,99 65,7 16,9
Бесселя а = 2,5 -57 “6 0,44 1,65 1,57 1,20 3,38 2,20 59,5 11,2
а = 3,0 -69 -6 0,40 1,80 1,71 1,02 3,56 2,39 53,9 7,4
а = 3,5 -82 -6 0,37 1,93 1,83 0,89 3,74 2,57 48,8 4,8
Барсилона —а = зр -53 -6 0,47 1,56 1,49 1,34 3,27 2,07 63,0 14,2
Темеша a = зр -58 -6 0,43 1,67 1,59 1,18 3,40 ^23 58,6 10,4
а = 4р -68 -6 0,41 1,77 1,69 1,05 3,52 2,36 54,4 7,6
Точное Блэкмана -51 -6 0,46 1,57 1,52 1,33 3,29 '> 62,7* 14,0
Блэкмана -58 -18 0/42 1,73 1,68 1,10 3,47 /«б} ’ 24i5 ; 56,7 9,0
Минимальное -67 -6 ? 0/12 ‘ 1,71 1,66 1,13 ''3,45 4 57,2 9,6
3-членное Блэкмана — - Хэрриса 0,42323 ‘i. '135
'Минимальное -92 -6 С^Зб 2,00 1,90 0,83 3,85 2,72 46,0 3,8
4-членное Блэкман 1— Хэрри са Г
* 61 дБ 3-членное -61 -6 0,45 1,61 1,56 1,27 3,34 2,19 61,0 12,6
Блэкмана — Хэрри< :а
74-дБ 4-членное Блэкмана — Хэрриса -74 -6 0,40 1,79 1,74 1,03 3,56 2,44 53,9 7,4
4-членное a - зр -69 -6 0,40 1,80 1,74 1,02 3,56 2,44 53,9 7,4
Кайзера — Бесселя *
* Эти окна не показаны на рисунках; соответствующие им точки см. на рис. 12 л
I > • ... ''
' i с,3об«3д^вг
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМАНАЛИЗЕ
66
Измеряемая спектральная компонента
Fw(w> _ fw(wq) - Заштрихованной площади
Эквивалентная
шумовая полоса
Максимальное усиление по
мощности - ifjou2
Рис. 7. Эквивалентная шумовая полоса окна.
Максимальное усиление по мощности соответствует
частоте <о=0; оно называется усилением по мощности
на нулевой частоте и определяется выражениями
Макс, усиление сигнала = И'(О) = У w(n7),
п
[2
w(nT)
п
(10а)
2
. (10b)
Таким образом, ЭШП окна, нормированная на вели-
чину NJT — мощность шума на бин (единичный вре-
менной интервал), может быть записана в виде
Рис. в. Графическая интерпретация уравнения (6). Окно пред-
ставлено в виде спектрального фильтра.
на Fw(<d) на заданной частоте <о, скажем, на <о=<о0>
представляет собой сумму всех спектральных гармо-
ник, предварительно взвешенных спектральным ок-
ном, с центром на частоте <oo (рис. 6).
А. Эквивалентная шумовая полоса
Из рис. 6 видно, что оценка амплитуды гармониче-
ской компоненты на заданной частоте оказывается сме-
щенной из-за наличия широкополосного'шума, попа-
дающего в полосу пропускания окна. В этом смысле
окно ведет себя как фильтр, мощность сигнала на
выходе которого пропорциональна мощности гармо-
ник входного сигнала в полосе его пропускания. Для
обнаружения гармонического сигнала необходимо ми-
нимизировать накопленный шум. Этого можно достичь
с помощью узкополосного окна. Удобной мерой шири-
ны полосы пропускания окна является его эквива-
лентная шумовая полоса (ЭШП). ЭШП окна — это
ширина полосы пропускания прямоугольного фильтра
с тем же максимальным усилением по мощности, кото-
рый накапливает ту же мощность шума, что и данное
окно (рис. 7).
; Накопленная окном мощность шума определяется
выражением
Мощность шума=N0 I |lf(co)|2 dcj/2n, (8)
J-к/Т
где — мощность шума в единичной полосе частот.
Согласно теореме Парсеваля, величину (8) можно вы-
числить следующим образом:
N
Мощность шума=— 22 w2(.nT).
Т и
(9)
Е ”2(пТ)
ЭШП=-^----------у
Е *(пТ)
(И)
Значения ЭШП для различных типов окон, рассма-
триваемых в данной статье, приведены в табл. 1.
В. Усиление преобразования
С ЭШП окна тесно связаны понятия усиления пре-
образования (УП) и потерь преобразования (ПП) при
вычислении ДПФ с помощью окон. ДПФ^можно рас-
сматривать как результат пропускания сигнала через
набор согласованных фильтров, каждый из которых
настроен на одну из гармоник комплексной синусо-
идальной последовательности базисного множества
[3]. С этой точки зрения мы и будем анализировать уси-
ление преобразования (называемое также когерент-
ным усилением) фильтра и потери преобразования,
вызванные тем, что окно сглаживает, т. е. сводит к
нулю, величины отсчетов, расположенных вблизи его
границ. Пусть входная последовательность отсчетов
задана выражением
f(nT) = А ехр (+]ыкпТ) + <7(лГ), - (12)
где q (пТ) — последовательность отсчетов белого шума
с дисперсией oj. Тогда составляющая сигнала в спект-
ре, вычисленном с помощью окна (т. е. выход согла-
сованного фильтра), будет равна
F<wk) (сигнал, = У- w(nr> А ехР (+М*пТ) ехр (-;ЩклГ) =
п
=А У w(nT). (13)
п
♦ ТИИЭР N 1
66
ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 1978
Из (13) видно, что в отсутствие шума спектральная со-
ставляющая пропорциональна входной амплитуде А.
Таково же будет и математическое ожидание этой со-
ставляющей при наличии шума. Коэффициент пропор-
циональности равен сумме всех отсчетов дискретного
окна, а эта сумма есть не что иное, как усиление окна
для постоянного Сигнала. Для прямоугольного окна
этот коэффициент равен N — числу отсчетов в окне.
Усиление любого другого окна меньше, так как весо-
вая функция вблизи границ окна плавно спадает к
нулю. Связанное с этим уменьшение коэффициента про-
порциональности полезно знать, так как оно характе-
ризует ошибку (смещение) оценок амплитуд спектраль-
ных составляющих. В литературе вместо УП иногда
используется другой параметр — когерентное усиле-
ние по мощности, т. е. квадрат когерентного усиления
сигнала. Когерентное усиление различных окон [по-
лученное суммированием ряда (13)], нормированное
относительно его максимально возможной величины N,
указано в табл. 1.
Некогерентная составляющая взвешенного, т. е.
выполненного с помощью окна преобразования, вы-
числяется по формуле
) | шум =22 w(nТ) q (п Т) ехр (,~]Шкп Г), (14а)
п
а некогерентная мощность (среднеквадратичное значе-
ние этой составляющей) определяется выражением
Е {|F(«fc) | шум12 } = 22 Е w(nT) w(mT) Е {q(nT) q*{mT)} *
п m
х ехр (-/ыкяГ) ехр (+ja>kmT) =
= a222w2(nD, (14b)
п
где £{ } — оператор математического ожидания. За-
метим, что некогерентное усиление по мощности равно
сумме квадратов отсчетов весовой функции, а коге-
рентное — квадрату суммы этих отсчетов.
И наконец, вычислим УП, которое определяет-
ся как частное от деления отношений сигнал/шум
на выходе и на входе:
„Г 12 / .
А2 V и’<л7’> °q Е w
SO!NO Ь ]/
Si/Ni ' А2!а2
Е w<nT)
п J
22 ^(ип ’
п
(15)
Заметим, что УП — это величина, обратная норми-
рованной ЭШП окна. Таким образом, увеличение
ЭШП окна ведет к уменьшению УП. Это вполне ho-
нятно, так как, чем шире полоса пропускания, тем
больше мощность шума, прошедшего через окно и
вносящего вклад в спектральную оценку.
С. Корреляция перекрывающихся участков
Когда быстрое преобразование Фурье (БПФ) ис-
пользуется для обработки длинной последовательно-
Последовательности,
сглаженные окном
(не пере кр ы ва ющиеся)
; <—Исходная последовательность
^^Последовательности. сглаженные окном
• (перекрывающиеся)
Рис. 8. Разбиение последовательностей на перекрывающиеся
и неперекрывающиеся интервалы.
сти, эту последовательность предварительно делят на
несколько последовательностей по N отсчетов каждая,
при этом N выбирается так, чтобы обеспечить необхо-
димое спектральное разрешение. Спектральное раз-
решение БПФ определяется формулой (16), где А/ —
спектральное разрешение, fs — частота дискретиза-
ции, выбранная согласно критерию Найквиста, и 0 —
коэффициент, характеризующий увеличение ширины
полосы для выбранного окна. Отметим, что [fs/N] —
это наилучшее разрешение, достижимое при БПФ.
Коэффициент 0 обычно выбирается равным ЭШП окна
в бинах (табл. 1):
Д/=/3^. Об)
Если окно и БПФ «воздействуют» на неперекрываю-
щиеся участки Последовательности (рис. 8), то значи-
тельная часть данных попросту игнорируется, по-
скольку вблизи границ окна значения его отсчетов
близки к нулю. Так, например, если преобразование
используется для обнаружения коротких узкополос-
ных сигналов, то при анализе неперекрывающихся
участков появление сигнала может оказаться просто
незамеченным. Для этого достаточно, чтобы сигнал по-
явился вблизи границы любого из интервалов. Чтобы
избежать таких потерь данных, преобразованию обыч-’
но подвергают перекрывающиеся участки последова-
тельности (см.' также рис. 8). Степень перекрытия в
большинстве случаев выбирается равной-50 или 75%.
Разбиение сигнала на перекрывающиеся участки, ко-
нечно, увеличивает общий объем вычислений, однако
достигаемые с его помощью результаты вполне это
оправдывают.
Важный вопрос, возникающий при обработке пере-
крывающихся последовательностей, касается степени
корреляции случайных компонент сигнала в преобра-
зованиях двух^соседних участков последовательности.
При относительно плоском спектре шума в пределах
полосы пропускания окна эта корреляция, как функ-
ция степени перекрытия г, определяется формулой
(17). На рис. 9 показано, как индексы суммирования
в этой формуле связаны со степенью перекрытия ин-
тервалов. Значения коэффициента корреляции, опре-
деляемого выражением
{rN-1
22 (И'(п)И/(и + [1 -г]АЭ)
п=0
с (Г)-----------—------------------
] 22 w M
(п~о J
(17)
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
67
Область перекрытия - rN
G (l-r)N N-l
О JrN-1 N-l
Рис. 9. Связь между коэффициентом г и степенью перекрытия
интервалов.
для каждого из рассматриваемых в статье окон при
50- и 75%-ном перекрытиях указаны в табл. 1.
В спектральном анализе для уменьшения диспер-
сии измерений часто усредняют квадраты амплитуд
преобразований отдельных участков последователь-
ности [51. Как известно, при усреднении Д' независи-
мых измерений эргодической случайной величины дис-
персия среднего связана с дисперсией индивидуальных
измерений следующим соотношением:
' „2 ,
fLc.PelH-. = l, (18)
^измер.
Зададимся теперь вопросом, насколько уменьшится
дисперсия при усреднении коррелированных измере-
ний, как это имеет место при усреднении преобразова-
ний Фурье перекрывающихся участков? Ответ на этот
вопрос дал Уэлш [5]. Мы приводим его результат без
доказательства для частных случаев 50- и 75%-ного
перекрытий:
-^Н' = р 11 + 2с2(0,5)] --Д'[с2 (0,5)]
СТА А
измер.
для 50%-ного перекрытия,
<2
-^^Н = - [1 + 2с2 (0,75) + 2с2 (0,5) + 2с2 (0,25)] -
аизмер. К
--Д [с2 (0,75) +2с2 (0,5) +Зс2 (0,25)]
К
для 75%-ного перекрытия.(19)
Отрицательные члены в (19) описывают краевые эф-
фекты усреднения; их можно не учитывать при К>10.
Для хороших окон член с*(0,25)<^1,0, и его также мож-
но опустить с пренебрежимо малой ошибкой. Именно
по этой причине значения члена с (0,25) не указаны
в табл. 1. Заметим, что для хороших окон (см. послед-
ний абзац подраздела: 1V.F).1прё^ай^ния'й^8:ры-
вающихся на 50% участков сигнала практически не-
зависимы.
D. Паразитная амплитудная модуляция спектр?
Важным фактором, влияющим на обнаружимость -
- слабых сигналов, является паразитная амплитудная •
- модуляция спектра (scalloping loss),или эффект «часто-*
-кола» (picket-fence effect). Ранее мы рассматривали-
выполняемое с помощью окна ДПФ как результат про- -
пускания сигнала через набор согласованных фильтров
и анализировали обусловленные специфическими -
• свойствами окна усиление и потери для тонов, совпа- -
дающих с базисными векторами. Базисные векторы —
это тоны, кратные частоте fJN, где f, — частота от- -
9*
счетов. Эти частоты не что иное, как точки отсчетов
спектра, их обычно называют выходными точками, ча-
стотами гармоник или бинами ДПФ. Зададимся теперь
вопросом, каковы будут дополнительные потери при
обработке сигнала, частота которого лежит посредине
между частотами соседних бинов (т. е. сигнала с час-
тотой (fe+l/2)fs/V)?
Вновь обратившись к формуле (13) и заменив в ней
<ок на (Oit+i/,, получаем, что усиление окна для час-
тоты, сдвинутой на 0,5 бина, равно
F(w(Wl сигнал = А £НиПехр(-/а>(1/2)пП,
п
1 WS 7Г
W(‘/2)=2^ = ^- (20а)
По определению, потери из-за паразитной амплитуд-
ной модуляции (AM) спектра равны отношению коге-
рентного усиления тона, расположенного посредине
между двумя бинами ДПФ, к когерентному усилению
тона, совпадающего с одним из бинов ДПФ, т. е.
22 w(nT)exp|-7 ^:n
И \ )
Паразитная AM =*----=;——---------
и 22 w(nr)
п
ИЧО)
(20b)
Потери из-за паразитной AM равны максимальным по-
терям при самой неблагоприятной для ДПФ частоте
сигнала. Величины этих потерь для всех рассматри-
ваемых в данной статье окон приведены в табл. 1.
Е. Максимальные потери преобразования
Теперь сделаем одно интересное замечание. Опре-
делим максимальные потери преобразования (ПП) как
сумму максимальных потерь из-за паразитной AM
спектра для данного окна (в дБ) и потерь преобразова-
ния, обусловленных формой этого окна. Введенный
параметр характеризует уменьшение выходного соот-
ношения сигнал/шум в результате воздействия окна
при наихудшем расположении частоты сигнала. Его
величина, конечно, влияет на минимальную интенсив-
ность тона, при которой он еще может быть обнаружен
в широкополосном шуме. Интересно заметить, что
уровень максимальных потерь всегда лежит между 3,0
и 4,3 дБ. Окна, для которых максимальные ПП превы-
шают 3,8 дБ, совершенно неудовлетворительны, и их
не следует применять. Дополнительные соображения
о том, какие окна следует считать неудовлетворитель-
ными, приводятся в подразделе IV. G. Из сопоставле-
ния данных о потерях, приведенных в табл. 1 и на
рис. 12, видно, что почти все окна (за исключением
прямоугольного) одинаково пригодны для обнаруже-
ния чистых тонов в широкополосном шуме. Разница
в потерях у различных окон не превышает 1,0 дБ, а
для хороших окон — 0,7 дБ. Однако обнаружение
тона в присутствии других близких тонов представля-
ет собой совершенно иную задачу. Как будет показа-
но ниже, именно здесь тип применяемого окна может
иметь решающее значение.
68
ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 1978
F. Еще раз о просачивании спектральных
составляющих
Возвращаясь к формуле (6) и рис. 6, заметим, что
на точность измерения амплитуды спектральной со-
ставляющей влияет не только спектр широкополос-
ного шума, но и узкополосные помехи, если они по-
падают в полосу пропускания окна. Действительно,
некоторая спектральная компонента, скажем, с часто-
той <о=<1>0, будет вносить вклад в спектральную компо-
ненту с частотой й)=<оа, т. е. будет наблюдаться на
этой частоте. Этот вклад будет определяться усилением
окна с центром в ш0 на частоте <ва. Это и есть эффект,
называемый просачиванием спектральных составляю-
щих. Он показан на рис. 10 для преобразования ко-
нечного тона частотой <оо.
Просачивание приводит к смещению оценок ампли-
туд и положений гармонических составляющих сиг-
нала. Даже для единственной вещественной гармоники
(не совпадающей с частотой гармоники ДПФ) просачи-
вание от ядра на оси отрицательных частот влияет на
ядро на оси положительных частот. Это влияние наи-
более сильно и неприятно при обнаружении слабых
сигналов в присутствии сильных помех близкой час-
тоты. Для уменьшения неприятных последствий из-за
спектрального просачивания амплитуда боковых ле-
пестков вдали от главного центрального лепестка ча-
стотной характеристики окна должна быть малой, а
переход от центрального лепестка к низкоамплитуд-
ным боковым лепесткам — очень быстрым. Одним из
параметров, указывающих,- насколько хорошо окно
подавляет просачивание, является максимальный уро-
вень боковых лепестков (по отношению к главному ле-
пестку), другой параметр — это асимптотическая ско-
рость спада боковых лепестков. Оба эти параметра
приведены в табл. 1.
G. Минимальная разрешаемая полоса .частот
Рис. 11 подсказывает еще один критерий, который
должен использоваться при выборе оптимальных окон.
Поскольку окно придает спектральной линии некото-
рую эффективную ширину, интересно знать, при каком
минимальном расстоянии между двумя спектральны-
ми линиями равной интенсивности главные лепестки
этих линий еще могут быть разрешены независимо от
положения линий относительно бинов ДПФ. Класси-
ческий критерий такого разрешения — ширина окна
между точками, в которых мощность главного лепест-
ка спадает наполовину (ширина окна по уровню
3,0 дБ). Этот критерий отражает тот факт, что два
главных лепестка равной интенсивности, отстоящие
друг от друга по частоте менее чем на ширину окна по
Рис. 10. Спектральное просачивание, обусловленное примене-
нием окна.
Неразличимые пики
Различимые пики
Рис. 11. Спектральное разрешение двух близкорасположенных
ядер.
уровню 3,0 дБ, будут иметь один общий спектральный
пик и не будут разрешаться как две отдельные линии.
Однако трудность использования этого критерия в
том, что он несовместим с когерентным суммировани-
ем, применяемым в ДПФ. Выходные точки ДПФ полу-
чаются путем когерентного сложения спектральных
компонент, взвешенных окном с—центром на данной
частоте. .
Если в когерентное суммирование вносят вклад два
ядра, их сумма в точке пересечения (номинально по-
средине между ними) должна быть меньше, чем инди-
видуальные пики, если эти пики должны быть раз-
решены. Таким образом, в точках пересечения ядер
усиление от каждого ядра должно превышать 0,5, т. е.
расстояние между пиками должно превышать ширину
окна по уровню 6,0 дБ. Ширина различных окон по
уровню 6,0 дБ указана в табл. 1. Из таблицы видно,
что эта ширина меняется от 1,2 до 2,6 бин, где бин—
разрешение основной частоты <о5/Л(. Что касается ши-
рины окна по уровню 3,0 дБ, то, как будет показано
в следующем абзаце, она также является полезной ха-
рактеристикой окна. Следует, однако, помнить, что
разрешение ДПФ определяется шириной используе-
мого окна по уровню 6,0 дБ.
Из табл. 1 видно, что шумовая полоса окна всегда
шире его полосы по уровню 3,0 дБ. Разность этих двух
параметров, отнесенная к ширине окна по уровню
3,0 дБ, является довольно чувствительным показате-
лем качества работы окна. Для всех хороших окон,
перечисленных в табл. 1, этот показатель лежит в пре-
делах 4,0—5,5%. Окна, для которых он лежит вне
этого диапазона, имеют либо широкий главный лепес-
ток, либо высокий уровень боковых лепестков. Для
таких окон характерны либо высокие потери преобра-
зования, либо малая эффективность обнаружения двух
близких тонов. Окна, для которых этот показатель
лежит в пределах 4,0—5,5%, попадают в левый ниж-
ний угол диаграммы на рис. 12, характеризующей ка-
чество их работы. Диаграмма будет описана ниже.
В табл. 1 перечислены общепринятые параметры,
характеризующие рассматриваемые в статье типы
окон. Однако ориентироваться в этой массе цифр не-
просто. Заметим, что самым важным из табличных па-
раметров, вероятно, является уровень боковых ле-
пестков (чем он ниже, тем меньше смещение спектраль-
ных оценок). Другой важнейший параметр — макси-
мальные потери преобразования (чем они ниже, тем
выше обнаружимость слабых сигналов). Рис. 12 пока-
зывает относительное положение различных окон как
функцию этих двух параметров. Точки, соответствую-
щие лучшим .окнам, лежат в левом нижнем углу диа-
граммы. Такие окна имеют низкий уровень боковых ле-
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
69
Максимальные потери преобразования, дБ
Рис. 12. Сравнение окон по уровню боковых лепестков и мак-
симальным потерям преобразования.
чек. Для превращения окна в ДПФ-четное окно до-
статочно отбросить крайнюю правую точку и сдвинуть
последовательность так, чтобы крайняя левая точка
совпала с началом координат. Мы будем использовать
нормированные координаты с периодом дискретиза-
ции Т—1,0, так что «а будет иметь период 2л и впредь
обозначаться через 0. Бином ДПФ будем называть
расстояние между отсчетами, кратными 2л/V. Бин
имеет ширину 2n/V.
А. Прямоугольное окно (окно Дирихле) 161
Прямоугольное окно во всем интервале, наблюде-
ния, равно единице. Такое окно можно рассматривать
как выделяющую, или стробирующую, последова-
тельность, воздействующую на . входную последова-
тельность для выделения из нее конечного участка.
Окно -для конечного преобразования Фурье опреде-
ляется как
N N
w(n)=l,0; п = --,•••,-1,0, 1, (21-а)
и показано на рис. 13. То же самое окно для ДПФ опре-
деляется как
w(n)=l,0; п = 0,1,--,Я-1. (21b)
Спектральное окно, соответствующее прямоугольному
окну для ДПФ, дается выражением
пестков.и низкие максимальные потери преобразова-
ния. Все же мы настоятельно рекомендуем ознако-
миться также с разд. VI и VII, так как, несмотря на
свою содержательность, рис. 12 не может дать полной
информации о сравнительной эффективности окон при-
менительно к задаче гармонического анализа.
V. КЛАССИЧЕСКИЕ ОКНА
В этом разделе мы несколько подробнее рассмотрим
характеристики некоторых хорошо (и не очень хоро-
шо) известных окон, покажем, в каких случаях оправ-
дано применение каждого конкретного окна, и пере-
числим их основные параметры. Все окна будут пред-
ставлены как четные (относительно начала координат)
последовательности, содержащие нечетное число то-
, , sin
/ N~ 1
W(0) = exp I-/ —— 0) —
sin
-0
2
-0
2
(21c)
Видно, что преобразование этого окна представляет
собой ядро Дирихле с шириной главного лепестка
ДПФ (между пересечениями нуля) 2 бина и уровнем
первых боковых лепестков примерно на 13 дБ ниже
пика главного лепестка. Скорость спада боковых ле-
пестков составляет 6,0 дБ/октава, что, конечно, впол-
не приемлемо для весовой функции с разрывами. Па-
раметры окна для ДПФ перечислены в табл. 1.
Теперь, когда дано определение прямоугольного
окна, можно ответить на поставленный ранее вопрос:
в каком смысле конечная сумма (22а) аппроксимирует
Ряс. 13. Прямоугольное окно (а) я логарифм амплитуды его преобразования Фурье (4).
70
ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 1978
Рис. 14. Треугольное окно (а) н логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
бесконечную сумму (22b)?.
+JV/2
Fffl) = У. Ди) ехр (~/п0),
n = -N/2
F(0) = У Ди)ехр(-;п0).
Л=-“
Легко видеть, что конечная сумма — это не что иное,
как бесконечная сумма, умноженная на прямоуголь-
ную весовую функцию. Заметим также, что бесконеч-
ная сумма — это разложение в ряд Фурье некоторой
периодической функции, a f (и) — коэффициенты этого
разложения. Отметим, кстати, и то обстоятельство,
что конечная сумма — это просто частичная сумма
ряда Фурье. С этой точки зрения мы можем решить
поставленный выше вопрос в рамках сходимости час-
тичных сумм рядов Фурье. Как известно, частичная
сумма является приближением бесконечной суммы,
дающим наименьшую среднеквадратичную ошибку.
Однако, хотя среднеквадратичная сходимость и яв-
ляется удобной аналитической концепцией, она, вооб-
ще говоря, неудобна для конечных оценок или числен-
ных приближений. Среднеквадратичные оценки обыч-
но осциллируют относительно своих средних значений
и не обладают равномерной сходимостью. (Приближе-
ние в окрестности точки разрыва может стать менее
точным при увеличении числа членов частичной сум-
мы.) Такое поведение вблизи точек разрыва прояв-
ляется как «звон», называемый явлением Гиббса.
Именно от этих осцилляций и стремятся избавиться,
применяя непрямоугольные окна.
В. Треугольное окно (окно Файера н
Бартлетта) [7]
Треугольное окно для конечного преобразования
Фурье определяется выражением
ч |л| N N
W(n)=l,0-^, я = '2: ”:’1;0;1: ‘ :2’ (23а)
и показано на рис. 14. То же самое окно для ДПФ за-
писывается как
Iя „ , N
JV
W(N-n); П = -;••• ;N- 1,
4 2 ’
а спектральное окно, соответствующее ДПФ-послёдо-
вательности, дается формулой
(23с)
Видно, что преобразование этого окна представляет
собой квадрат ядра Дирихле. Ширина его главного ле-
пестка (между пересечениями нуля) вдвое больше, чем
у прямоугольного окна, а уровень первых боковых ле-
пестков равен примерно —26 дБ, т. е. тоже примерно
вдвое ниже, чем у прямоугольного окна. Уровень бо-
ковых лепестков спадает со скоростью 12 дБ/октава,
поскольку разрывна нё сама весовая функция, а толь-
ко ее первая производная. Треугольник — это про-
стейшее окно, имеющее неотрицательное преобразова-
ние. Таким свойством обладают все окна, полученные
путем свертки любого окна (половинной протяженно-
сти) с самим собой. Преобразование такого окна равно
квадрату преобразования исходного окна.
Окно, полученное путем свертки с исходным ок-
ном, содержит примерно вдвое больше отсчетов, чем
исходное, и, следовательно, соответствует тригономет-
рическому полиному (по Z-преобразованию) прибли-
зительно вдвое более высокого порядка. (Свертка двух
прямоугольников по N/2 точек в каждом даст тре-
угольник из N+1 точек, если считать нулевые точки
на концах.) Теперь преобразование окна будет иметь
вдвое больше нулей, чем исходное преобразование (это
объясняется увеличением порядка присоединенного
тригонометрического полинома). Но каково же дейст-
вие преобразования на эти дополнительные нули, по-
лученные за счет увеличения порядка полинома? Пре-
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
71
Рис. 15. Две частичные суммы и их среднее.
образование окна, путем свертки с самим собой, про-
сто имеет кратные нули в каждой из точек, соответст-
вующих нулям исходного преобразования. Благодаря
кратности нулей в нуль в этих точках обращается,
конечно, и первая производная преобразования. Од-
нако, если порядок полинома увеличивают для сниже-
ния уровня боковых лепестков, удвоение числа нулей
не принесет успеха. Чтобы снизить уровень боковых
лепестков, дополнительные нули следовало бы помес-
тить в промежутках между существующими нулями
(вблизи локальных пиков боковых лепестков), а не
в тех точках, где преобразование и так равно нулю.
Действительно, как будет показано ниже, лишь очень
немногие из хороших окон имеют кратные корни.
Вернемся на короткое время назад, чтобы обсу-
дить связь треугольного окна с вопросом о сходимости
частичных сумм ряда Фурье. Фейер заметил, что час-
тичные суммы рядов Фурье являются неудовлетвори-
тельными численными аппроксимациями функций [8].
Но так как коэффициенты Фурье легко вычислить,
Фейер задался вопросом, нельзя ли путем какой-либо
простой модификации этих коэффициентов получить
из них новый ряд с более приемлемыми свойствами схо-
димости. Осцилляция частичных сумм и факт умень-
шения этих осцилляций с ростом порядка частичной
суммы навели его на мысль о том, что среднее частич-
ных сумм будет представлять собой более гладкую
функцию. На рис. 15 показано поведение двух частич-
ных сумм возле точки разрыва. Заметим, что среднее
двух разложений осциллирует слабее, чем любое из
них по отдельности. Продолжая этот ход рассуждений,
можно прийти к следующему определению среднего
разложения /^(0):
FJV(0) = ^[FJV_I(0) + ^_2(0)+ -- + Fo(e)], (24)
N
где F«(0) — частичная сумма из М членов ряда. Эту
формулу поясняет табл. 2, где указаны ненулевые
коэффициенты первых четырех частичных сумм и их
усредненная сумма. Ясно, что множители сходимости
Фейера, воздействующие на коэффициенты ряда
Фурье, представляют собой не что иное, как треуголь-
ное окно. Усреднение частичных сумм известно как
метод суммирования по Чезаро.
С. Окна вида cos“ (X)
Фактически это целое семейство окон, зависящих
от параметра а, причем а, как правило, целое число.
Привлекательность этого семейства объясняется лег-
костью вычисления значений отсчетов окна и просто-
той анализа свойств преобразования косинусной функ-
ции. Эти качества особенно удобны для ДПФ. Окно для
конечного преобразования Фурье определяется вы-
ражением
w(n) = cos“
(25а)
а для ДПФ — выражением
w(n) = sin“ — я
I У
п = 0; 1; 2, • • • ,7V-1. (25b)
Отметим замену cos на sin, обусловленную сдвигом на-
чальной точки. В качестве а чаще всего выбирают це-
лые числа от 1 до 4. Наиболее употребительно окно с
а=2 (окно Хэннинга). Окна для а=1 и 2 даются сле-
дующими формулами (для конечного преобразования
формулы с индексом <а>, для ДПФ — с индексом <Ь»):
а=1,0 (косинусоидальный лепесток)
w(n) = cos | — я
(26а)
а=1,0 (синусоидальный лепесток)
и>(л) = sin
л = 0; 1; 2, • • • ,У~ 1;
(26b)
а=2,0 (косинус квадрат, приподнятая косинусо-
ида, окно Хэннинга)
-1;0; 1, ; (27а)
а=2,0 (синус квадрат, приподнятая синусоида,
окно Хэннинга)
Таблица 2
Вычисление множителей Фейера посредством усреднения
частичных сумм Фурье
F0<«> f0
F, (в) f-1 f0 f+l
F2(9) f-2 f-1 f0 f+l f+2
F3 (в) f-3 f-2 f-1 f0 f+l f+2 f+3
F4 (в) 0. 4^ lf 2, 4f-3 4f-2 if0 lf of 4^+3 4*+4
w(n) = sin2 1 ^1» t i =
= 0,5 1,0- cos 2n — я JV
л = 0; 1;2,-,У- 1.
(27b)
72
ТИИЭР, т. 66, J* 1, январь 1978
а
b
Рис. 16. Окно cos (rm/N) (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
Рис. 17. Окно cos* (пл/N) (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
Рис. 18. Окно cos* (nn/N) (о) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
Рис. 19. Окно cos4 (пл/N) (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
73
Окна для целых а от 1 до 4 показаны на рис. 16—19.
Заметим, что с ростом а окна становятся более глад-
кими, что отражается и на преобразовании — умень-
шается уровень боковых лепестков и ускоряется их
спад, но зато увеличивается ширина главного лепе-
стка.
Особый интерес в этом семействе представляет окно
Ханна (названное в честь австрийского метеоролога
Юлиуса фон Ханна) 11 [7]. Непрерывно не только само
это окно, но и его первая производная. Поскольку раз-
рыв испытывает вторая производная, амплитуда пре-
образования спадает как 1/<о’, или со скоростью
—18 дБ/октава. Познакомимся с преобразованием это-
го окна поближе, это поможет нам глубже понять суть
разбираемых вопросов и научиться правильно при-
менять окна при вычислении ДПФ.
Дискретное окно Хэннинга может быть записано
как сумма двух последовательностей, т. е.
w(n) = 0,5 + 0,5 cos
N
п----
2
-1; 0; 1, - • 1. (28а)
Поскольку ДПФ для каждого из слагаемых известно,
легко вычислить ДПФ суммы
W(0) = 0,5 D(0) + 0,25
+D (в+ — J > (28b)
\ АГ /
где
D(0) = exp
Ядро Дирихле с центром в начале координат представ-
ляет собой преобразование отсчетов окна с постоянной
амплитудой, равной 0,5, а пара смещенных ядер —
преобразование отсчетов, соответствующих периоду
косинуса. Заметим, что максимумы главных лепестков
смещенных ядер попадают на первые нули централь;
ного ядра и имеют амплитуду, равную половине цент-
рального лепестка. Кроме того, боковые лепестки сме-
щенных ядер вдвое меньше боковых лепестков цент-
рального ядра и находятся в противофазе с ними. По-
этому при суммировании трех ядер происходит частич-
ное взаимное подавление боковых лепестков. Эффект
подавления боковых лепестков иллюстрирует рис. 20,
на котором показано сложение трех ядер Дирихле
(без учета фазовых сдвигов).
Частичное подавление боковых лепестков можно
использовать при выборе новых типов окон. Из окон,
«сконструированных» по такому принципу, наиболее
известны окна Хэмминга и Блэкмана, которые будут
описаны в следующих двух подразделах.
Ч Правильное название этого окна — «окно Ханна» (Hann).
Однако неправильный термин «окно Хэннинга» (Hanning) уже
повсеместно привился, поэтому в данный статье мы не будем
нарушать установившуюся терминологию. Иногда используется
также название «ханшрованвое (Harm’d) окно».
Рис. 20. Представление преобразования окна Хэннинга суммой
трех ядер Дирихле.
В ряде частичных случаев отсчеты спектрального
окна Хэннинга при вычислении ДПФ берутся в точ-
ках, кратных 2л/N, которые, как нетрудно видеть, яв-
ляются нулями центрального ядра Дирихле, Таким
образом, в процессе дискретизации берется всего три
ненулевых отсчета в точках —2л/М, 0 и +2д/1У. Зна-
чения отсчетов, полученные из (28b) (включая фазо-
вый~мйожитель учитывающий сдвиг
на NI2), равны —Уд, -p/.j-и—^у-еоответственно. Об-
ратите внимание на знаки «минус». Они появились
из-за смещения начала окна. Если бы этого смещения
не было, фазовый коэффициент отсутствовал бы и все
Коэффициенты были бы положительными: ’/«, 1/1, 1/4.
Однако использование таких коэффициентов при вы-
числении ДПФ некорректно. Можно только сожалеть,
что эта ошибка уже довольно прочно укоренилась в
литературе и в практике.
Операцию умножения на весовую функцию во вре-
менной области всегда можно заменить на операцию
свертки в частотной области. В этом случае дискретное
окно Хэннинга обеспечивает двойное преимущество:
во-первых, спектр окна не равен нулю лишь в точках
трех отсчетов и, во-вторых, величины отсчетов -пред-
ставляют собой двоичные дроби, а операцию деления
на 2 можно заменить простым сдвигом на один двоич-
ный разряд вправо. Поэтому отсчеты спектра, вычис-
ленного с помощью окна Хэннинга, получаются от
отсчетов спектра, полученного при использовании пря-
моугольного окна, путем двух сложений действитель-
ных чисел и двух двоичных сдвигов (для умножения
на г/>) в соответствии с формулой
F(k)(окно Хэннинга = 1 ~ 5 _ 1)+ ,
— -Т
+ F(k + 1)] ] I Прямоугольное окно.
Следовательно, для умножения действительного пре-
образования длиной N на окна Хэннинга требуется
выполнить либо N умножений действительных чисел
(членов временного ряда), либо 2N сложений действи-
тельных чисел и 2N двоичных сдвигов спектральных
данных на один двоичный разряд. Имеется еще одно
соображение в пользу окна Хэмминга. Для использо-
вания окон значения отсчетов должны где-то хранить-
ся, а для этого требуется увеличивать объем памяти.
Что же касается отсчетов окна Хэннинга, то их значе-
ния обычно хранятся в машинной памяти в виде три-
гонометрических таблиц для вычисления БПФ. Таким
образом, применение окна Хэннинга не предъявляет
дополнительных требований к памяти.
10 тииэр м 1
ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 1978
Д. Окно Хэмминга [71
Окно Хэмминга можно рассматривать как модифи-
цированное окно Хэннинга. (Отметим, кстати, воз-
можный источник недоразумений, вызванных сходст-
вом двух фамилий.) Обратившись вновь к рис. 17 и 20,
заметим, что при сложении трех ядер боковые лепестки
псди^яются не полностью. Для достижения требуе-
'мого уровня подавления нужно подобрать относитель-
ные величины ядер, варьируя параметр а в следую-
щих выражениях:
что из-за небольшого разрыва на границе окна уро-
вень боковых лепестков спадает всего лишь как 1/со,
т. е. со скоростью 6,0 дБ/октава. Зато благодаря бо-
лее сильному подавлению боковых лепестков их на-
чальный уровень много ниже, чем у ранее описанных
окон, и равен —42 дБ. Параметры этого окна приведе-
ны в табл. 1. Отметим отсутствие двоичного взвешива-
ния, поэтому для использования весовых множителей
при спектральной свертке необходимо выполнять опе-
рации умножения.
w(n) = а + (1 - a) cos
2я
— п
1Л
^(0)=аД(0) +0,5(1 - а)
/„ 2я\ /„ 2тг
----| + Р(9+ —
\ N I \ N
(30a)
Идеальное подавление первого бокового лепестка (на
частоте 0=2,5 [2л/ЛП) происходит при «=25/46 (а =
= 0,543 478 261). Если а выбирается равным 0,54 (зна-
чение дроби 25/46 с точностью до 2 десятичных знаков),
то новый нуль появляется при 0 = 2,6 [2л/Л/1 и тем
самым достигается если и не полное, то по крайней ме-
ре весьма значительное снижение уровня боковых ле-
пестков. При указанной величине а окно называется
окном Хэмминга и задается выражениями
E. Окно Блэкмана [71
Окна Хэннинга и Хэмминга — это примеры окон,
образованных сложением ядер Дирихле, сдвинутых
относительно начала координат. Для конечного пре-
образования Фурье их форма определяется выраже-
нием (31а), а для ДПФ — выражением (31b). Уравне-
ние (31с) описывает спектральное окно для ДПФ, за-
данное в виде суммы ядер Дирихле D (0), определяе-
мых величиной 1У(0) в выражении (21с);
N/2 Г2я ‘
W») = Е ат cos — тл
(31а)
0,54 + 0,46 cos
'lit
— п >
N
N_
П‘~2
[2ir ]
— я I
N J
-1; 0; 1, •
TV
2’
х/2 Г2я '
W(n)= У. (-l)mam cos — тп
1Л .
п = 0;1,---,N~ 1;
(31b)
N/2
w)= E (-Dm
+ D
(31c)
На коэффициенты накладывается ограничение
< л=0;1;2, 1. (30b)
Коэффициенты окна Хэмминга близки к значениям ко-
эффициентов, при которых уровень боковых лепестков
достигает минимума. При «=0,53856 уровень боковых
лепестков составляет —43 дБ, а полученное окно пред-
ставляет собой частный случай окон Блэкмана — Хэр-
риса, описанных в подразделе V.E. Окно Хэмминга
показано на рис. 21. Отметим глубокий провал на ме-
сте отсутствующего бокового лепестка. Заметим также,
N/2
Е Чт = 1,0.
Легко видеть, что окна Хэннинга и Хэмминга имеют
такую же форму, но с ненулевыми коэффициентами а»
и Я1, а их спектральные окна представляют собой сум-
мы трех сдвинутых ядер.
Можно «сконструировать» окна с любым числом К
ненулевых коэффициентов и получить W (0) суммиро-
ванием (2К—1) ядер. Однако для получения узкого
Vs
1,00
Рис. 21. Окно Хэмминга (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
75
Рнс. 22. Окно Блэкмана (а) и логарифм амплитуды его преобразовании Фурье (6).
главного лепестка К должно быть малым целым чис-
лом. Блэкман исследовал это окно при /С=3 и опре-
делил значения ненулевых коэффициентов, при кото-
рых нули преобразования окна попадают на частоты
6=3,5 (2л/А7) и 0=4,5 (2л/N), т. е. на частоты макси-
мумов третьего и четвертого боковых лепестков цент-
рального ядра Дирихле. Точные и приближенные (с
точностью до двух десятичных знаков) значения этих
коэффициентов равны следующим величинам:
7938
а0 =------i 0,426 590 71 =4 0,42
0 18608 ’ '
9240
а. =------= 0,496 560 62 = 0,50:
1 18608 '
1430
а2 =------= 0,076 848 67 = 0,08.
2 18608 ’ ’
Окно, в котором используются эти приближенные зна-
чения коэффициентов, называется окном Блэкмана.
При рассмотрении окна с «точными» коэффициентами
мы будем называть его точным окном Блэкмана. Окно
Блэкмана для конечного преобразования определяет-
ся выражением
И'(п) = 0,42 + 0,50 cos
2тт
— п
N
+ 0,08 cos
2тг
N
„= ... _1;0. _ (32)
а его вид показан на рис. 22. На рис. 23 показано точ-
ное окно Блэкмана. Уровень боковых лепестков у точ-
ного окна Блэкмана составляет —51 дБ, а у обычного
—58^6. Отметим, что сумма коэффициентов окна
Блэкмана на границах равна нулю (0,42—0,50+0,08),
в то время как точные коэффициенты в сумме нуля не
дают. Окно Блэкмана и его первая производная не-
прерывны на границах, поэтому уровень боковых ле-
пестков спадает как 1/<о3 или со скоростью 18 дБ/ок-
тава. Сумма точных значений слагаемых (как и для
окна Хэмминга) испытывает разрыв на границе, по-
этому уровень боковых лепестков точного окна Блэк-
мана спадает как 1/ш или 6,0 дБ/октава. Параметры
обоих окон указаны в табл. 1. Отметим также, что для
всех окон этого класса коэффициент аа равен когерент-
ному усилению окна.
С помощью методов градиентного поиска [9] мы
нашли окна, которые при трех или четырех ненулевых
членах имеют минимальный уровень боковых лепест-
ков. Мы также построили семейства 3- и 4-членных
окон, в которых за счет некоторого повышения уровня
боковых лепестков несколько уменьшается ширина
главного лепестка. Мы назвали это семейство окнами
Блэкмана — Хэрриса. Оказалось, что у 3- и 4-член-
ных окон с минимальным уровнем боковых лепестков
этот уровень составляет соответственно —67 и —92 дБ.
Для ДПФ эти окна задаются выражением
. . /2я \ /2я \ / 2тг \
w(n)=a0 ~ ai cost ~п) + а2 cost —2п) - а3 cost —Зл1,
\ АГ / \N / \N /
n = 0;l;2, ,N- 1. (33)
Рнс. 28. Точное окно Блэкмана (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
10*
76' ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 19П
Рис. 24. Трехчленное окно Блэкмана — Хэрриса с минимальным уровнем боковых лепестков (а) и логарифм
амплитуды его преобразования Фурье (6).
Таблица 3 Значение ненулевых коэффициентов семейства окон
Блэкмана — Хэрриса
3-членное (-67 дБ) 3-членное (-61 дБ) 4-членное (-92 дБ) 4-членное (-74 дБ)
«о 0,42323 0,44959 0,35875 0/0217
0,49755 0,49364 0,48829 0,49703
“2 0,07922 0,05677 0,14128 0,09392
“3 — — 0/31168 0,00183 -
В табл. 3 приведены значения коэффициентов для 3-
членного окна с минимальным уровнем боковых ле-
пестков, показанного на рис. 24, и для 3-членного окна
с несколько худшими характеристиками (рассчитанно-
го, чтобы построить дополнительную точку на ди-
аграмме рис. 12). Там же даны коэффициенты для
4-членного окна с минимальным уровнем боковых ле-
пестков (также рассчитанного для получения точки на
рис. 12) и еще для одного 4-членного окна, показан-
ного на рис. 25 (это окно было выбрано потому, что
оказалось довольно эффективным при решении зада-
чи обнаружения, описанной в. разд. VI; см. рис. 69).
Параметры всех вышеупомянутых окон приведены в
табл. 1. Отметим, в частности, положение точек, соот-
ветствующих окнам Блэкмана и Блэкмана — Хэрриса
на рис. 12. Это на удивление хорошие окна, особенно
если учесть малое число слагаемых в описывающих их
тригонометрических рядах. Если на рис. 12 продлить
линию, соединяющую окна семейства Блэкмана —
Хэрриса, она пройдет через точку, соответствующую
окну Хэмминга. Это не удивительно, поскольку в под-
разд. V.D уже отмечалось, что окно Хэмминга весьма
блйзкб к 2-членному окну Блэкмана — Хэрриса с ми-
нимальным уровнем боковых лепестков.
Отметим также, что хорошее приближение для 3-"
и 4-членных окон Блэкмана — Хэрриса можно полу-
чить путем умножения отсчетов преобразования окна
Кайзера — Бесселя на соответствующий масштабный
коэффициент-'(см: подразд. V.H). Мы использовали
это приближение, конструируя 4-членные окна для
свертывающих фильтров с регулируемой полосой про-
пускания [10]; оно определяется следующим образом:
. sh [я\/а2 - т1]
От -------/'2 2---> 2 < а < 4;
ffVu ”
с = &о + 2Z>i + 2Ь2 + (2Ьз); \
«0= — . т = 1,2,(3). (34)
с с
При а=3,0 четыре коэффициента этого приближения
принимают следующие значения: ао=О,40243; ах=
=0,49804; а«=0,09831; а,=0,00122. Заметим, что эти
коэффициенты очень близки к коэффициентам 4-член-
ного (—74 дБ) окна Блэкмана — Хэрриса. Окно, по-
рождаемое этими коэффициентами, показано на
рис. 26. Как и у его прототипа (окна Кайзера — Бессе-
ля с а=3,0), уровень боковых лепестков у него почти
на 70 дБ ниже главного пика. При избранном масштабе
окно и его прототип просто неразличимы. Парамет-
Ь
Рас. 25. Четырехчленное окно Блэкмана — Хэрриса (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
77
Рис. 26. Четырехчленное окно Кайзера - - Бесселя (а)
ры этого окна также даны в табл. 1, а на рис. 12 оно
указано под наэтани^м «4-членное окно Кайзера —
Бесселя». Именно 3- и 4-членные окна Кайзера —
Бесселя (с параметром а) служили прототипами, из
которых методом градиентной минимизации были по-
лучены окна Блэкмана — Хэрриса. Процедура опти-
мизации, начатая от приведенных выше начальных
значений коэффициентов, практически не оказала
влияния на характеристики главного лепестка, но за-
то уменьшила уровень боковых лепестков примерно на
дБ.
F. Сконструированные окна
Многие авторы конструировали окна в виде произ-
ведений, сумм и сверток простых функций или окон,
а также в виде отдельных участков известных окон.
Эти окна создавались для различных целей, причем не
последнюю роль играло желание иметь окна, описы-
ваемые простыми функциями. Обычно такие окна не
отличаются высокими качествами, а некоторые из них
и вовсе неудовлетворительны. Мы уже рассматривали
некоторые простейшие сконструированные окна. На-
пример, окно Фейера (Бартлетта) представляет собой
свертку двух прямоугольных окон, окно Хэмминга
является суммой прямоугольного окна и окна Хэн-
нинга, а окно вида cos4 (X) — это не что иное, как про-
изведение двух окон Хэннинга. Теперь мы рассмотрим
свойства других сконструированных окон, которые
были описаны в литературе. Мы представим их здесь
просто для сравнения с другими окнами. Затем будут
и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
рассмотрены окна, сконструированные в соответствии
с некоторым критерием оптимальности (подразд. V.G—
V.J). Каждое окно будет представлено в форме, при-
годной только для конечного преобразования Фурье.
Однако, чтобы получить вариант, пригодный для
ДПФ, достаточно произвести сдвиг на N/2 точек и уда-
лить крайнюю правую точку. Значения всех основных
параметров этих окон представлены в табл. 1.
1) Окно Рисса (Бохнера, Парзена) МЛ. Окно Рис-
са, определенное функцией
I п I2 W
и>(л)=1,0----- , 0<|л|<-> (35)
’ |Л72| 2
является простейшим непрерывным полиномиальным
окном. Его первая производная имеет разрыв на гра-
ницах, поэтому уровень боковых лепестков преобра-
зования спадает как 1/о>2. Вид окна показан на рис, 27.
Первый боковой лепесток на 22 дБ ниже главного ле-
пестка. Это окно очень сходно с косинусоидальным ок-
ном (рис. 16), что легко показать, разложив последнее
в ряд Тейлора.
2) Окно Римана [12]. Окно Римана, определяемое
функцией
Ряс. 27. Окно Рисса (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
п
ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 1978
Рис. 28. Окно Римана (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (&).
о
представляет собой главный лепесток ядра sin xix.
Первая производная этого окна имеет разрыв на гра-
ницах, хотя само оно непрерывно. По своим свойствам
оно близко к окну Рисса и косинусоидальному окну.
Окно Римана показано на рис. 28.
3) Окно Валле-Пуссена (Джексона, Парзена) (/Л.
Окно Валле-Пуссена — это кусочная кубическая кри-
вая, полученная сверткой двух треугольников поло-
винной длительности или четырех прямоугольников
длительности Оно определяется следующим вы-
о < |п | <-;
4
(37)
Окно Валле-Пуссена непрерывно до третьей производ-
ной включительно, так что его боковые лепестки спа-
дают как 1/<о4. Вид окна показан на рис. 29. Отметим
уменьшение уровня боковых лепестков за счет уши-
рения главного лепестка, что особенно заметно при
сравнении с прямоугольным и треугольным окнами.
Так как это окно образовано посредством свертки, его
преобразование неотрицательно.
4) Окно Тьюки (731. Окно Тьюки, часто называе-
мое окном с косинусоидальными фронтами, лучше
всего рассматривать как результат свертки косину-
соидального лепестка шириной (а/2)ДО с прямоуголь-
ным окном шириной (1,0—а/2)А(. Поэтому преобразо-
вание данного окна равно произведению двух соответ-
ствующие. преобразований. Это окно иллюстрирует
собой попытку плавно свести значения отсчетов к нулю
на границах без заметного уменьшения усиления пре-
образования. При увеличении параметра а от 0 до 1
окно из чисто прямоугольного переходит в окно Хэн-
нинга. В результате перемножения двух преобразова-
ний исходных окон у окон семейства Тьюки образует-
ся очень сложная структура боковых лепестков. Окно
Тьюки описывается функцией
Г АГ -|
п - а —
2
1Т----------
7V
L 2(1-a) yj
(38)
Его вид показан на рис. 30—32 для равного 0,25,
0,50 и 0,75 соответственно.
5) Окно Бомана [/#]. Окно Бомана образуется пу-
тем свертки двух косинусоидальных лепестков (26а)
половинной длительности, поэтому его преобразова-
ние равно квадрату преобразования косинусоидально-
го лепестка (рис. 26). Временное представление этого
окна можно рассматривать как произведение треуголь-
Рис. 29. Окно Валле-Пуссена (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
Рис. 30. Окно Тьюки с 25%-ными косинусоидальными фронтами (а) и логарифм амплитуды его преобра-
зования Фурье (6).
Рис. 31. Окно Тыокн с 50%-ными косинусоидальными фронтами (а) и логарифм амплитуды его преобразова-
Рис. 33. Окно Бомана (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
Рис. 32. Окно Тьюки с 75%-ными косинусоидальными фронтами (а) и логарифм амплитуды его преобразова-
ния Фурье (6).
80
ТИИЭР, т. 66, J6 1, январь 1978
—।---1---1-----1---i--1—т---1»
о *
Рис. 35. Окно Пуассона при а=3,0 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
Рис. 34. Окно Пуассона при а—2,0 (а) н логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
Рис. 36. Окно Пуассона при а—4,0 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
Рис. 37. Окно Хэннинга — Пуассона при а=0,5 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
81
Рис. 39. Окно Хэннинга — Пуассона при а=2,0 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
Рис. 38. Окно Хэннинга — Пуассона при а= 1,0 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
а Ь
Рис. 40. Окно Коши при а=3,0 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
Рис. 41. Окно Коши при а=4,0 (а), и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
11 ТИИЭР м 1
82
ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 1978
Рис. 42. Окно Коши при а=5,0 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
ного окна и одного цикла косинусоиды, имеющей тот
же период, к которому добавлен аддитивный коррек-
тирующий член, для того чтобы первая производная
на границах была равна нулю. Этим обеспечивается
непрерывность второй производной, разрыв же со-
храняется лишь в третьей. Уровень боковых лепестков
спадает как 1/ш‘. Окно Бомана определяется следую-
щим выражением:
н>(и) =
in |й| 1л| L 1 •
1,0-----cos тг------I + — sin
’ N/2j N/2J я
In I
Я1--- ,
. W/2J
ЛГ/2_| " [" Л72
0<|и|<-. (39)
более похожим на окно Пуассона, нули в структуре
боковых лепестков исчезают, а сами лепестки слива-
ются в асимптоту. Вид этого окна показан на рис. 37-
39 для а, равного соответственно 0,5; 1,0 и 2,0. Еще
раз напомним, что это окно имеет очень широкий глав-
ный лепесток.
8) Окно Коши (Абеля, Пуассона) [/5]. Семейство
окон Коши, зависящих от параметра а, определяется
выражением
0<|п |<у.
(42)
его вид показан на рис. 33.
6) Окно Пуассона 112]. Окно Пуассона образовано
двумя экспонентами, симметрично спадающими в обе
стороны от начальной точки:
w(n) = exp (-а ], 0<|п|<—. (40)
\ N/2 / 2
Фактически это целое семейство окон, зависящее от
параметра а. Поскольку окно имеет разрыв на грани-
цах, его преобразование не может спадать быстрее,
чем 1/(о. На рис. 34—36 показан вид этого окна при а,
равном 2,0; 3,0 и 4,0 соответственно. Заметим, что по
мере уменьшения величины разрыва на границах ам-
плитуда боковых лепестков становится все меньше и
они сливаются в асимптоту. Отметим также, что глав-
ный лепесток очень широк, поэтому окно имеет боль-
шую эквивалентную шумовую полосу и большие мак-
симальные потери преобразования (см. табл. 1).
7) Окно Хэннинга — Пуассона. Окно Хэннинга —
Пуассона представляет собой произведение окон Хэн-
нинга и Пуассона. Семейство этих окон определяется
выражением
w(n) = 0,5 1,0 +cos
exp
0 < |л I .
2
(41)
По своим свойствам оно аналогично окну Пуассона.
Скорость спада боковых лепестков определяется вели-
чиной разрыва первой производной в начале коорди-
нат и равна 1/<ва. Заметим, что с увеличением а окно,
вначале сходное с окном Хэннинга, становится все
Вид этого окна для а, равного 3,0; 4,0 и 5,0, показан
соответственно на рис. 40, 41, 42. Заметим, что преоб-
разование окна Коши экспоненциально спадает в обе
стороны от начала координат (см. окно Пуассона), по-
этому в логарифмическом масштабе оно имеет вид рав-
нобедренного треугольника. Из-за этого окно имеет
очень широкий главный лепесток и большую ЭШП.
G. Окно Гаусса (Вейерштрасса) [15J
Окна этого семейства представляют собой гладкие
положительные функции, преобразования Фурье ко-
торых имеет высокие узкие главные лепестки. Соглас-
но обобщенному принципу неопределенности, нельзя
одновременно «сжать» сигнал и его преобразование
Фурье. Если мерой сжатия является среднеквадратич-
ная временная длительность Т и среднеквадратичная
полоса частот 1Г, то, как известно, для любой функции
выполняется неравенство
— • (43)
4ir
Равенство достигается только для импульса с гауссо-
вой огибающей. Такой импульс характеризуется ми-
нимальным произведением длительности на полосу
частот и поэтому довольно привлекателен для исполь-
зования в качестве окна. К сожалению, при этом мы
вынуждены обрезать «хвосты» гауссовой кривой, тем
самым ограничивая временную длительность импуль-
са. В результате его спектр расплывается, и произве-
дение длительности" на полосу частот перестает быть
минимальным. Однако, если точка усечения лежит за
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
83
Рис. 43. Окно Гаусса при а=2,5 (а) н логарифм амплитуды его преобразования Фурье (&).
точкой За, ошибки усечения малы, и такое окно яв-
ляется хорошей аппроксимацией окна с минимальным
произведением длительности на полосу частот.
Окно Гаусса задается выражением
w(n) = exp
1 Г п ]2
— а----
2 I N/2.
(44а)
Преобразование этого окна является сверткой пре-
образования гауссовой кривой (которое само является
гауссовой кривой) с ядром Дирихле:
1 v2w
W) = - — exp
2 а
* D(0)
------exp
2 а
для а>2,5 и малых 0.
(44Ъ)
Параметр а — величина, обратная стандартному от-
клонению, является мерой ширины преобразования
Фурье для окна. С увеличением а уменьшается шири-
на окна и снижается выраженность разрыва на его
границах. Это приводит к увеличению ширины глав-
ного лепестка и к падению уровня боковых лепестков.
Вид окна Гаусса показан на рис. 43, 44 и 45 для а, со-
ответственно равного 2,5; 3,0 и 3,5. Отметим быстрый
спад уровня боковых лепестков при увеличении ши-
рины главного лепестка. Основные параметры этого
окна приведены в табл. 1.
Н. Окно Дольфа — Чебышева [17]
С учетом сказанного в предыдущем подразделе по-
пытаемся найти такие окна, которые при заданной ко-
нечной длительности будут в некотором смысле иметь
минимальную ширину полосы. Воспользуемся мето-
дами, применяемыми при проектировании антенн, по-
скольку там тоже приходится решать аналогичную
задачу. Эта задача состоит в выборе такого распределе-
ния поля в антенне конечной апертуры, которые позво-
лило бы как можно больше сузить главный лепесток
диаграммы направленности, одновременно не допус-
кая роста боковых лепестков. (Проектировщики ан-
тенн называют процедуру взвешивания затенением.)
Решение, обеспечивающее минимальную ширину глав-
ного лепестка при заданном уровне боковых лепестков,
получено в замкнутой форме. Оно представляет собой
окно (функцию затенения) Дольфа — Чебышёва. Не-
прерывное решение этой задачи имеет выбросы на гра-
ницах и поэтому в непрерывных окнах может быть
реализовано лишь приближенно (посредством разложе-
ния в ряд Тейлора). Дискретные окна не имеют подоб-
ных ограничений, для них возможна точная реализа-
ция решения.
Соотношение 7’n(X)=cos(n0) задает отображение
множества алгебраических полиномов Чебышёва л-го
порядка на множество тригонометрических полиномов
Рве. 44. Окно Гаусса при а=3,0 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
11*
84
ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 1978
а Ь
Рис. 4S. Окно Гаусса при а=3,5 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
того же порядка. С помощью этого отображения мож-
но получить следующее выражение для окна Доль-
фа — Чебышёва, определяемое через значения экви-
дистантных отсчетов преобразования Фурье окна:
= (-!)*
cos Narccosl (3 cos
chUV ch-1 (0)1
0 |fc | 1, (45)
где
0= ch
- ch-I(10“) ,
N J
f— tg-^x/Vbo-x2],
arc cos (X) = 1 2
lln [X+y/X2 - 1J],
|X|< 1,0;
|X|>l,0.
Чтобы вычислить соответствующие временные отсчеты
окна w(n), нужно просто применить к отсчетам W(k)
ДПФ, а затем нормировать их относительно макси-
мальной амплитуды. Параметр а характеризует собой
логарифм отношения максимума главного лепестка
к уровню боковых лепестков. Так, а—3,0 соответству-
ет боковым лепесткам на 3,0 декады (или на 60 дБ)
ниже главного лепестка. Множитель (—1)*, чередую-
щий знаки последовательных отсчетов преобразова-
ния, введен для учета сдвига начальной точки во вре-
менной области. Вид окна показан на рис. 46—49 для
а, соответственно равного 2,5, 3,0, 3,5 и 4,0. Отметим
структуру боковых лепестков окна — это почти чис-
тая синусоида! Именно этими равномерными осцилля-
циями в частотной области объясняется появление вы-
бросов во временном представлении окна.
I. Окно Кайзера — Бесселя [18]
Остановимся несколько подробнее на критериях
оптимальности, введенных в последних двух подраз-
делениях. В подразд. V.G мы искали функцию с мини-
мальным произведением длительности на полосу час-
тот и установили, что таким свойством обладает гаус-
сова кривая. В подразд. V.H мы искали временную
функцию конечной длительности, которая минимизи-
рует ширину главного лепестка при заданном уровне
боковых лепестков. Рассмотрим теперь сходную зада-
чу: при ограниченной общей энергии найти функцию
ограниченной длительности Т, имеющую максималь-
ную энергию в полосе частот W. Слепян, Поллак и
Ландау [19, 20] получили решение этой задачи в виде
семейства волновых функций вытянутого сфероида ну-
левого порядка. Параметром семейства является про-
изведение длительности на полосу частот. Кайзер на-
шел простую аппроксимацию этих решений с помощью
модифицированной функции Бесселя первого рода ну-
левого порядка. Окно Кайзера — Бесселя определяет-
Рас. 46. Окно Дольфа — Чебышёва при <х=2,5 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ. ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
85
Ряс. 47. Окно Дольфа — Чебышёва при а,—3,0 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
а Ь
Рис. 48. Окно Дольфа — Чебышёва при а=3,5 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
Ряс. 49. Окно Дольфа — Чебышёва при а=4,0 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
ся выражением
женно равно
где
1о яа
w(n) = г----

0 < |п | <-> (46а)
Л>СП=Е
к-0
Параметр ла равен половине произведения длительно-
сти на полосу частот. Преобразование окна прибли-
± N sh [У<**я2 - (M/2)2 ]
’ /0(<юг) \/а4я2 - (М/2)2
(46b)
Вид этого окна показан на рис. 50—53 для а, соответ-
ственно равного 2,0, 2,5,3,0 и 3,5. Отметим компромис-
сный характер связи шириной главного лепестка и
уровнем боковых лепестков.
J. Окно Барсилона — Темеша [21]
Теперь рассмотрим последний критерий оптималь-
ности окон. Мы уже знакомы с критерием Слепяна,
Поллака и Ландау. Там задача состояла в том, чтобы
получить функцию, которая, имея заданную энергию
86
ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 1978
а
и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
Рис. 50. Окно Кайзера — Бесселя при а=2,0 (а)
Рис. 51. Окно Кайзера — Бесселя при а=2,5 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (6).
а
Рис. 52. Окно Кайзера — Бесселя при а=3,0 (а) и
логарифм амплитуды его преобразования Фурье (ft).
1,25
У"
а
Рис. 53. Окно Кайзера — Бесселя при а=3,5 (а) и
логарифм амплитуды его преобразования Фурье (ft).
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
87
Рис. 54. Окно Барсилона — Темеша при а=3,0 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (&).
и заданную длительность, обладала бы максимальной
энергией в полосе частот W. Родственная задача со-
стоит в том, чтобы при заданной площади и заданной
длительности найти функцию, для которой энергия
(или взвешенная энергия) вне полосы частот И? мини-
мальна. Это вполне разумный критерий, поскольку
ясно, что преобразование хорошего окна должно ми-
нимизировать энергию на частотах, удаленных от
центральной частоты. До сих пор мы добивались этой
цели косвенно, максимизируя энергию в главном ле-
пестке преобразования.
Замкнутое решение задачи для минимума невзве-
шенной энергии до сих пор не найдено. Однако полу-
чено приближенное решение в виде разложения по
волновым функциям вытянутого сфероида:
где
А = 5Ь(О=л/Ю2“- 1,
В = ch (О= 10“,
С = ch-1(10“),
0 = ch -С »
hv I
у(к)= N arc cos 0 cos
ф2п(^а, О)
1 ~ ^2п

(47)
Здесь Хап — собственное значение, соответствующее
присоединенной волновой функции вытянутого сфе-
роида |ф2п(х, У)1. а ла — заданное значение половины
произведения длительности на полосу частот. Ряд (47)
сходится довольно быстро и его часто аппроксимируют
одним-двумя членами. Первый член — не что иное,
как решение задачи Слепяна, Поллака и_Ландау, уже
рассмотренное нами под названием окна Кайзера —
Бесселя. ।
Замкнутое решение задачи минимизации взвешен-
[См. также (45).] Вид этого окна показан на рис. 54—56
для а, соответственно равного 3,0, 3,5 и 4,0. Главный
лепесток практически неотличим от главного лепестка
окна Кайзера — Бесселя. И в самом деле, сравнение
параметров, приведенных в табл. 1, показывает, что
окно Барсилона — Темеша по своим характеристи-
кам является промежуточным между окнами Дольфа —
Чебышёва и Кайзера — Бесселя. Интересно вновь
обратиться к рис. 12 и посмотреть, как расположена
кривая, соответствующая этому семейству окон отно-
сительно кривой семейства Кайзера — Бесселя. Об-
наруживается удивительное сходство характеристик!
ной энергии получено Барсилоном и Темешем:
VI. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
минимизировать! | я(о) |2 ... dco. (48)
Jw у/ш2 - (V2
Этот критерий представляет собой компромисс между
критериями, на основе которых были сконструирова-
ны окна Дольфа — Чебышёва и Кайзера — Бесселя.
Как и для окна Дольфа — Чебышёва, преобразо-
вание Фурье окна Барсилона — Темеша находится
довольно легко, а временные отсчеты окна получаются
посредством обратного ДПФ и умножением на соот-
ветствующий масштабный коэффициент. Отсчеты пре-
образования определяются выражением
у(к)
A cos [ p(fc)] + В -----sin [ у(кУ]
(49)
ИТО = (-1)*------------ ГТ 77712-----!
[С + АВ] — +1,0
Теперь мы опишем простой эксперимент, который
наглядно демонстрирует влияние свойств окна на эф-
фективность обнаружения слабой спектральной линии
в присутствии интенсивной близко расположенной ли-
нии. Если обе спектральные линии попадают в бины
ДПФ, то каждая из них по отдельности может быть
идентифицирована с помощью прямоугольного окна.
Никаких взаимных помех при этом не возникает.
; Чтобы показать это; рассмотрим сигнал, имекяций две
спектральные, составляющие с частотами 10f3/W и
I6fa/N, соответствующими десятому и шестнадцатому
бинам ДПФ, и с амплитудами 1,0 и 0,01 (разность
уровней 40 дБ). Спектр мощности этого сигнала, полу-
ченный методом ДПФ, показан на рис. 57. Кривая
построена посредством линейной интерполяции зна-
чений ДПФ.
Немного изменим наш сигнал так, чтобы более ин-
тенсивная спектральная линия попала между двумя
бинами ДПФ, т. е. будет теперь иметь частоту
88
ТИИЭР, т. 66, Jfe 1, январь 1978
Рис. 56. Окно Барсилона — Темеша при а=4,0 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
Рис. 55. Окно Барсилона— Темеша при а=3,5 (а) и логарифм амплитуды его преобразования Фурье (Ь).
10,5 fa/N. Частоту слабой линии оставим прежней.
Спектр мощности такого сигнала показан на рис. 58<
Видно, что структура боковых лепестков большого
сигнала полностью поглотила главный лепесток-слабо-
го сигнала. Это не удивительно, поскольку известно
(см. рис. 13), что при использовании прямоугольного
окна амплитуда боковых лепестков на расстоянии
5,5 бин от центра всего на 25 дБ ниже пика. Поэтому
второй сигнал (на расстоянии 5,5 бин от первого) не
может быть обнаружен, так как он более чем на 26 дБ
ниже пика и, следовательно, полностью маскируется
боковым лепестком (26 дБ складываются из уровня
бокового лепестка, равного 25 дБ минус потери пре-
образования, равные 3,9 дБ, плюс 3,0 дБ для надеж-
ного обнаружения). Отметим также асимметричность
спектра относительно главного лепестка с центром на
10,5 бин. Это результат когерентного суммирования
лепестков пары ядер, расположенных на частотах
Бин
ДПФ Амплитуда
Сигнал 1 юд ipo
Сигнал 2 Ф’
О дБ т
10
70 Э0 90 100
Рис. 57. Прямоугольное окно.
----1 ! 1 1 1----1 1 1 1 1 к
0 10-20-30-40-S0 60-70-00-90-100
Рис. 58. Прямоугольное окно.
±10,5 бин. Здесь мы наблюдаем взаимное просачива-
ние между положительной и отрицательной частота-
ми. На рис. 59 показан спектр мощности пары сигна-
лов, измененной так, что частота большего сигнала
Бин
Рис. 59. Прямоугольное окно.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
Бин
ДПФ
Сигнал 1 iOjS
Сигнал2 ’ЧР
Амплитуда
кОО
<01
ОдБт
QL01
Бин
ДПФ
Сигнал 1 iqo
Сигнала
Рис. вЗ. Окно cos3 {пл/N).
Амплитуда
Риг. 60. Треугольное окно.
составляет 10,25 бин. Отметим изменение асимметрии
главного лепестка и уменьшение уровня боковых ле-
пестков. Второй сигнал, расположенный в 16-м бине,
по-прежнему не обнаруживается.
Теперь для обнаружения слабого сигнала приме-
ним другие окна и посмотрим, какова их эффектив-
сигнала и главного лепестка слабого противополож-
ны. Трудно назвать это обнаружением. Наблюдается
также размывание главного лепестка по оси частот.
Сигналы, интенсивность которых не превышает уров-
ня размытого главного лепестка, необнаружимы. При
а=2,0 имеем окно Хэннинга, результаты применения
Бин
ДПФ Амплитуда
Сигнал 1 io* ию
Сигнал 2 ie,o %ci
""1 "1 । ।----1---|—--т——। ч
30 40 50 во 70 ао 90 too
Рис. 84. Окно cos4 (пл/JV).
ность. Для некоторых типов окон наихудшее разре-
шение сигналов наблюдается в том случае, когда боль-
ший сигнал имеет частоту 10,0, а не 10,5 бин. В наших
примерах мы всегда будем выбирать частоту этого
сигнала так, чтобы рассматривать случай, соответст-
вующий наихудшему разрешению.
Для начала испробуем треугольное окно (рис. 60).
По сравнению с прямоугольным окном уровень боко-
вых лепестков упал в два раза — с —35 до —70 дБ.
Уровень боковых лепестков сильного сигнала на час-
тоте второго сигнала составляет —43 дБ, так что
слабый сигнал едва различим и, вероятно, вообще не
был бы обнаружен при наличии нуля.
Применим теперь окна из семейства окон вида
cos“(x). Для косинусоидального лепестка с а=1,0
(рис. 61) мы видим провал на частоте слабого сигнала,
так как в этом месте фазы бокового лепестка сильного
которого показаны на рис. 62. Второй сигнал обнару-
жен, и между двумя пиками наблюдается минимум
глубиной 3,0 дБ. Все же это еще весьма неуверенное
обнаружение. Окно, показанное на рис. 63, обнаружи-
вает сигнал. Глубина минимума между пиками состав-
ляет 9,0 дБ. И наконец, с помощью окна, изображен-
ного на рис. 64, обнаруживается слабый ригнал с глу-
биной минимума между пиками 7,0 дБ. Уменьшение
глубины минимума по сравнению с предыдущим слу-
чаем объясняется тем, что снижение уровня боковых
лепестков за счет расширения основного дает положи-
тельный эффект только до определенного предела.
Дальнейшее уменьшение этого уровня приводит к то-
му, что главный максимум становится шире и частично
поглощает слабый сигнал.
Результаты применения окна Хэмминга показаны
на рис. 65. Уровень второго сигнала на 35 дБ ниже
Рис. 65. Окно Хэмминга.
12 тииэр м 1
90
ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 1978
уровня первого, что примерно на 3,0 дБ превышает
уровень бокового лепестка сильного сигнала на этой
частоте. Здесь также наблюдается взаимное подавле-
ние сигналов вследствие их противофазности и проса-
чивание спектральных компонент положительной и от-
рицательной частот. Сигналы, уровень которых на
50 дБ ниже уровня сильного сигнала, обнаруживать-
ся не будут.
Результаты применения окна Блэкмана показаны
на рис. 66. Присутствие второго ядра меньшей ампли-
туды хорошо заметно, так как между двумя пиками
наблюдается минимум в 17 дБ. Артефакт у основания
ядра сильного сигнала — не что иное, как боковые
лепестки данного ядра. Впрочем, поскольку боковые
лепестки и связанное с ними просачивание быстро спа-
дают, артефакты ограничены небольшим отрезком ча-
стотной оси.
Теперь воспользуемся точными значениями коэф-
фициентов окна Блэкмана. Результаты показаны на
рис. 67, и здесь второй сигнал хорошо различим, так
как между двумя ядрами имеется минимум глубиной
Бин
ДПФ Амплитуда
Сигнал 1 ins loo
Сигналг
Ряс. 68. 3-членное окно Блэкмана — Хэрриса с минимальным
уровнем боковых лепестков.
Бин
ДПФ Амплитуда
Сигнал! 1OS 1до
Сигнал 2 ie£o о/м
I
Т”””1 ...4 ' "(к
70 80 90 100
Рис. 69. 4-членное окно Блэкмана — Хэрриса.
24 дБ. Однако теперь структура боковых лепестков
большего ядра простирается по всему спектральному
диапазону. Впрочем, это просачивание спектральной
линии не очень сильно, его уровень примерно на 60 дБ
ниже пика. Еще один маленький артефакт заметен на
нижних частотах справа от большого ядра. Он, не-
сомненно, представляет собой единичный боковой ле-
Бин
ДПФ Амплитуда
Сигнал 1 ’%® I/»
Сигнал 2 i<o о/м
Рис. 70. 4-членное окно Кайзера — Бесселя.
песток ядра. Этот артефакт почти полностью исчезает
при использовании 3-членного окна Блэкмана — Хэр-
риса с минимальным уровнем боковых лепестков, по-
казанного на рис. 68. Минимум между главными ле-
пестками двух сигналов в этом случае немного меньше
и составляет около 20 дБ.
Теперь используем 4-членное окно Блэкмана -
Хэрриса, результаты его применения иллюстрирует
рис. 69. Уровень боковых лепестков составляет менее
—70 дБ, так что в избранном масштабе вся их струк-
тура вообще незаметна. Два сигнала прекрасно раз-
личимы, и минимум между ними имеет глубину 19 дБ.
Теперь воспользуемся 4-членным окном Кайзера —
Бесселя. Как видно из рис. 70, результаты его приме-
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
91
Рас. 72. Окно Римана.
Бин
О 10 » 30 «О so во п во SO 100
Рис. 75. Окно Тыокн (50%-ные косинусоидальные фронты).
нения практически не отличаются от результатов при-
менения 4-членного окна Блэкмана — Хэрриса. Един-
ственная обнаружимая разница — это маленький ар-
тефакт с уровнем —68 дБ на частотах ниже главного
максимума. Вообще надо отметить, что все окна се-
мейства Блэкмана, несмотря на их простоту, облада-
ют очень хорошими характеристиками.
ляется артефакт окна (его правый боковой лепесток),
который выглядит как сигнал мощностью — 53 дБ на
пятом бине ДПФ. См. рис. 29.
Результаты применения окон семейства Тьюки по-
казаны на рис. 74—76. На рис. 74 (окно с 25%-ными ко-
синусоидальными фронтами) второй сигнал не обна-
руживается из-за высокого уровня боковых лепестков
30 40 90 80
Бин
ДПФ
^НГННЛ г 10Л
,игнал z 1в,о
Амплитуда
70 80
>00
Бин
Рис. 76. Окно Тыокн (75%-ные косинусоидальные фронты).
Рис. 73. Окно Валле-Пуссена.
Первое из рассмотренных.нами сконструированных
окон — окно Рисса, показанное на рис. 71. Второй
сигнал не обнаружен, но зато имеется провал глубиной
20,0 дБ в том месте, где фазы двух ядер противопо-
ложны и малый сигнал и боковой лепесток большего
сигнала взаимно подавляются.
Результат применения окна Римана представлен на
рис. 72. И здесь второй сигнал не обнаружен. Заметен
небольшой провал на его месте — результат противо-
фазного подавления. Уровень боковых лепестков до-
вольно высок.
Далее следует окно Валле-Пуссена или треуголь-
ное окно, свернутое само с собой. На рис. 73 отчетливо
виден второй сигнал, спектр мощности имеет минимум
глубиной 16,0 дБ. Однако на низких частотах прояв-
доминирующего прямоугольного окна. На рис. 75
(окно с 50%-ными фронтами) второй сигнал также не-
заметен, так как он попал в один из минимумов ядра
первого сигнала. На рис. 76 (окно с 75%-ными фрон-
тами) сигнал уже может быть с трудом обнаружен на
фоне более интенсивных боковых лепестков мощного
сигнала. Однако из-за наличия нескольких ложных
спектральных пиков это окно следует признать не-
удовлетворительным.
На рис. 77 показан результат, полученный с по-
мощью окна Бомана. Второй сигнал обнаружен, ми-
нимум между двумя пиками составляет приблизитель-
но 6,0 дБ. Это не так плохо, но некоторые из уже
рассмотренных окон имели более высокие характери-
Рк. 74. Окно Тыокн (25%-ные косинусоидальные фронты).
12*
92
ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 1978
Рис. 78. Окно Пуассона (а=2,0).
стики. Посмотрите, где на рис. 12 расположена точка,
соответствующая окну Бомана.
Результаты гармонического анализа с помощью
семейства окон Пуассона показаны на рис. 78—80.
Из-за высокого уровня боковых лепестков сильного
сигнала слабый сигнал не обнаружен ни при одном из
выбранных значений параметра. Неудовлетворитель-
ный результат не будет неожиданным, если вспомнить,
Рис. 79. Окно Пуассона (а=3,0).
что это окно имеет большую разность между ЭШП и
шириной полосы по уровню -3,0 дБ (см. табл. 1).
Результаты применения окон Хэннинга — Пуассо-
на показаны на рис. 81—83. Здесь во всех трех случа-
ях второй сигнал либо вообще не обнаруживается из-
за высокого уровня боковых лепестков, либо с трудом
отличим от ложных спектральных пиков.
Результаты для семейства окон Коши представлены
на рис. 84—86. Эти окна также не позволяют уверенно
обнаруживать слабый сигнал и к тому же имеют очень
высокий уровень боковых лепестков. Указанные не-
достатки — следствие большой разницы между экви-
валентной шумовой полосой и полосой по уровню
3,0 дБ (см. табл. 1).
Бин
.. I— "1" г " Т-- Г'"!1 ' 'Г • Ч т*
0.10 20 30 40 50 80 70 80 90 ’00
Рис. 80. Окно Пуассона (а=4,0).
ОдБт
Бнн
ДПФ Амплитуда
Сигнал 1 1^5
Сигнал 2 4°
Рис. 81. Окно Хэннинга — Пуассона (а=0,5).
Рис. 82. Окно Хэннинга — Пуассона (а—1,01-
Рис. 83. Окно Хэннинга — Пуассона (а=2,0).
Рис. 84. Окно Коши (а=3,0}.
Результаты для семейства окон Гаусса представле-
ны на рис. 87—89. Второй сигнал заметен на всех трех
рисунках. Видно, что по мере подавления боковых ле-
пестков глубина минимума между двумя пиками сна-
чала растет примерно до 16,0 дБ, а затем, когда шири-
на главного лепестка увеличивается настолько, что он
начинает перекрывать лепесток меньшего сигнала,
минимум становится менее глубоким.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
93
I----1----1---1----1----:----!----1----1---г----1 *
О 10 20 30 40 5S SC .70 30 30 100
Бин
Бин
ДПФ Амплитуда
Сигнал 1 ioл 1,00
,игнал2 1в'о о'оч
Рис. 85. Окно Коши (а=4,0).
I-----1------1 " 1 I-----1 1------1-----1------! к
О 10 20 30 40 50 60 70 30 90 100
Рис. 90. Окно Дольфа — Чебышёва (а=2,5).
Рис. 87. Окно Гаусса (а=2,5).
О ДБ
Бин
ДПФ Амплитуда
Сигнал 1 too тдо
Сигнал 2 ie,o од1
Рис. 91. Окно Дольфа — Чебышёва (а=2,5).
Рис. 92. Окно Дольфа — Чебышёва (а=3,0).
Семейство окон Дольфа Чебышёва представлено
на рис. 90—94. Во всех случаях второй сигнал хорошо
обнаруживается, но высокий и не спадающий с удале-
нием от пика уровень боковых лепестков может по-
вергнуть в уныние кого угодно. Здесь мы снова видим
когерентное суммирование боковых лепестков ядер,
расположенных на положительной и отрицательной
частотах. Отметим, что разница между уровнями сиг-
налов стала меньше 40 дБ. Это обусловлено паразит-
ной модуляцией — отсчет не попал на максимум боко-
вого лепестка сигнала, и это заниженное значение было
принято за уровень в 0 дБ. Рис. 90 и 91 иллюстри-
руют зависимость когерентного суммирования боко-
вых лепестков от положения главного пика. На
94
ТИИЭР т. 66, № 1, январь 1978
О дБ
Бин
ДПФ Амплитуда
Сигнал 1 toj t dq
Сигнал 2 tip ojoi
Амплитуда
1 00
Рис. 93. Окно Дольфа — Чебышёва (<х=3,5).
100
ОдБ-j- г
Бин
ДПФ
(Игнал г юл
-игналз tejo
О дБ-|-
Бин
ДПФ
Сигнал 1 ’од
Сигнал 2 -Цо
Амплитуда
1.00
0£1
!—“ I---'I" 1 1 I ' I I и
О 10 20 X 40 50 60 70 80 90 100
Рис. 97. Окно Кайзера — Бесселя (а=3,0).
Рис. 94. Окно Дольфа — Чебышёва (а=4,0).
т—“"Г" ' !' ! ! I к
50 60 70 80 90 100
Рис. 90. Окно Барсилона — Темеша (а=3,0).
Бин
ДПФ Амплитуда
Сигнал > цв и»
СигналЗ ie>o ф?
Рис. 96. Окно Кайзера — Бесселя (а=2,5).
рис. 90 частота большего сигнала равна 10,5 бин, на
рис. 91 — 10,0 бин. Бросаются в глаза различия в ин-
терференционных картинах вблизи основания интен-
сивного сигнала. Как видно из рис. 93, окно с уровнем
боковых лепестков —70 дБ обеспечивает глубину ми-
нимума между двумя пиками в 18 дБ. Однако, по-
скольку в этом случае боковые лепестки складываются
в фазе, а высота пика снижается из-за паразитной мо-
дуляции, уровень боковых лепестков составит —62 дБ,
а не —70 дБ. Из рис. 94 видно, что окно с уровнем бо-
ковых лепестков —80 дБ обеспечивает разность меж-
ду пиком главного сигнала и уровнем просачивания
более чем в 70 дБ, а глубина минимума между двумя
пиками все еще сохраняется на уровне 18 дБ.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКОН ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
95
Рис. 100. Окно Барсилона — Темеша (а=3,5).
Окна семейства Кайзера — Бесселя показаны на
рис. 95—98. Во всех четырех случаях второй сигнал
обнаруживается достаточно уверенно. На рисунках
можно еще раз увидеть эффекты, обусловленные уве-
личением ширины главного пика и связанным с этим
уменьшением уровня боковых лепестков. По мере
снижения уровня боковых лепестков глубина миниму-
ма между спектральными пиками вначале растет, до-
fl дБ
Бин
„ ДПФ
Сигнал 1 105
Сигнал *
Амплитуда
1,00
<01
Рис. 101. Окно Барсилона — Темеша (а=4,0).
стигая 22,0 дБ, а затем начинает падать. Отметим, что
с помощью этого окна удается сохранить глубину ми-
нимума в 20 дБ и при этом добиться того, чтобы уро-
вень спектрального просачивания нигде не превышал
- 70 дБ.
Рис. 99—101 показывают характеристики окна Бар-
силона — Темеша. Второй сигнал уверенно обнаружи-
вается. В спектре присутствуют небольшие артефак-
ты, связанные с боковыми лепестками главного ядра.
С помощью этого окна можно добиться глубины мини-
мума между пиками в 20,0 дБ. Характеристики окна
Барсилона — Темеша чуть хуже характеристик окна
Кайзера — Бесселя, но в целом эти окна сходны.
VII. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, мы рассмотрели ряд классических окон и
ряд окон, сконструированных в соответствии с неко-
торыми критериями оптимальности. В частности, была
исследована эффективность разных окон при решении
задач выделения тонов из широкополосного шума и об-
наружения тонов в присутствии близких по частоте
помех большей интенсивности. Было показано, что при
использовании ДПФ в качестве детектора энергии
гармоник максимальные потери, обусловленные при-
менением окон, не могут быть ниже 3,0 дБ, и (для хо-
роших окон) не превышают 3,75 дБ. Таким образом,
выбор конкретного окна не играет существенной роли
при измерении энергии спектральных гармоник с по-
мощью ДПФ. Мы пришли к выводу, что адекватным
показателем качества окна является разность между
эквивалентной шумовой полосой и полосой по уровню
3,0 дБ, нормированная на ширину полосы по уровню
3,0 дБ. У хороших окон (см. рис. 12) это отношение
лежит в пределах от 4,0 до 5,5%. Полный диапазон
возможных изменений этого параметра для окон, пере-
численных в табл. 1, составляет от 3,2 до 22,9%.
Правильный выбор окна особенно важен для обна-
ружения с помощью ДПФ отдельных тонов в сигнале,
содержащем несколько гармоник. Для того чтобы ди-
намический диапазон обнаружимыТсйТвйлбв'былТйак^
симален, преобразование окна должно иметь узкий
главный лепесток и очень низкий уровень боковых ле-
•нестков. МбГ показали, что многие классические окна
-^ различной степени удовлетворяют этому критерию,
хотя некоторые из них в этом смысле совершенно не
удовлетворительны. Оказалось, что при обнаружении/
близких, но существенно отличающихся по амплитуде/
тонов наилучшие результаты достигаются при исполь-!
зовании оптимальных окон (Кайзера — Бесселя, Доль-
фа — Чебышёва, Барсилона — Темеша), а также окон
Блэкмана — Хэрриса. Для одного и того же динами-J
ческого диапазона обнаруживаемых сигналов харак-
теристики трех оптимальных окон и окна Блэкмана —
Хэрриса в целом сходны, хотя окна Блэкмана — Хэр-
риса и Кайзера — Бесселя имеют небольшие преиму-
щества перед остальными. Заметим, что лучшим, если
судить по его относительному положению на рис. 12,
следовало бы назвать окно Дольфа — Чебышёва, од-
нако из-за когерентного суммирования его боковых
лепестков, имеющих постоянный уровень, оно не под-
тверждает своих высоких характеристик при обнару-
жении нескольких сигналов различной частоты. Кро-
ме того, структура боковых лепестков окна Дольфа —
Чебышёва крайне чувствительна к ошибкам вычисле-
ния коэффициентов, что может повлиять на его харак-
теристики при вычислении ДПФ на ЭВМ, работающих
с фиксированной запятой. Поэтому лучшими следует
признать окна Блэкмана — Хэрриса и Кайзера —
Бесселя. Я лично отдал бы предпочтение окну Кайзе-
ра—Десселя. Среди причин такого выбора — легкость
вычисления коэффициентов и возможность уменьшения
уровня боковых лепестков за счет увеличения произ-
ведения длительности на полосу частот. Для многих
практических приложений можно рекомендовать так-
же 4-членное окно Блэкмана — Хэрриса (или 4-
членное окно Кайзера — Бесселя). Они задаются ма-
лым числом легко вычисляемых коэффициентов и, кро-
ме того, применимы для выполнения спектральной
свертки после вычисления ДПФ.
Особое внимание в статье было обращено на по-
стоянную ошибку, допускаемую при использовании
окон для спектральной свертки. Эта ошибка состоит
в опускании чередующихся знаков отсчетов спектраль-
ного окна. Появление этих знаков связано со сдвигом
начала окна во временной области.
Мы также выявили и разъяснили источник заблуж-
дений относительно четности окон, применяемых при
ДПФ.
Наконец, следует отметить, что все заключения о
характеристиках окон при спектральном анализе
96
ТИИЭР, т. 66, № 1, январь 1978
можно распространить на случай применения функций
затенения при обработке пространственно дискретизи-
рованных данных с помощью антенных решеток, в том
числе и на задачу формирования узкой диаграммы на-
правленности методом БПФ.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МУЛЬТИПЛИКАТИНИОГО
ДЕЙСТВИЯ ОКНА ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
СВЕРТКЕ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
Пусть
/(t) = j" F(co) exp frfwf) dw/2nf
+N/2
W(a>) = у w(nT) exp (^unT).
ni^N/2
Тогда
Fw(w) = У w(nT)f(nT) exp (+jamT)
n=-°°
будет равно
co /*+9°
F^(w) = У w(nT)l F(x) exp (•‘rjxnT) dx/2n ж
n=-°o J -“
x exp O/conT) =
_+ oo _
= / F(x) 22 w(nT} exp [+/ (ш - х)лТ] </х/2я =
Jn=-°°
Г + “ -rN/2 —
= / F(x) 22 exp [+/ (a> - x)nT] dx/2n =
" -oo n=-N/2
F(x)W(w-x)dx/2lt
или
FW(6J) = F(w) * B'(w).
ЛИТЕРАТУРА
[1] C. W. Helstrom, Statistical Theory of Signal Detection, 2nd ed.
New York: Pergamon Press, 1968, Ch. IV, 4, pp. 124-130.
I Имеется русский перевод 1-го изд.: Хелстром К.' Статисти-
ческая теория обнаружения сигналов. М.: ИЛ, 1963.]
[2] J. W. Cooley, Р. A. Lewis, and Р. D. Welch, “The finite Fourier
transform,” IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. AU-17,
pp. 77-85, June 1969.
]3] Возенкрафт Дж., Джекобс И. Теоретические основы техни-
ки связи. М.: Мир, 1969 г., §4.3, с. 207—216.
[4] С. Lanczos, Discourse on Fourier Series. New York: Hafner
Publishing Co., 1966, ch. 1, pp. 29-30.
[5] P. D. Welch, "The use of fast Fourier transform for the estima-
tion of power spectra: A method based on time averaging over
short, modified periodograms,” IEEE Trans. Audio Electro-
acoust. , vol. AU-15, pp. 70-73, June 1967.
[6] J. R. Rice, The Approximation of Functions, Vol. I. Reading,
MA: Addison-Wesley, 1964, ch. 5.3, pp. 124-131.
[7] R. B. Blackman and J. W. Tukey, The Measurement of Power
Spectra. New York: Dover, 1958, appendix B.5, pp. 95-100.
[8] L. Fejer, “Untersuchunger uber Fouriersche Reihen,”Mat. Ann.,
58, pp. 501-569, 1904.
[•9 ] L. R. Rabiner, B. Gold, and C. A. McGonegal, “An approach to
— The approximation problem for nonrecursive digital filters,”
IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. AU-18, pp. 83-106,
June 1970.
[10] F. J. Harris, “High-resolution spectral analysis with arbitrary
spectral centers and adjustable spectral resolutions,” J. Comput.
Elec. Eng., vol. 3, pp. 171-191,1976.
[11] E. Parzen, “Mathematical considerations in the estimation of
spectra,” Technometrics, vol. 3, no. 2, pp. 167-190, May 1961.
[12] Бари H. К- Тригонометрические ряды. M.: Физматиз, 1961,
§1.53, 1.68.
[13] J. W. Tukey, “An introduction to the calculations of numerical
spectrum analysis,” in Spectral Analysis of Time Series, B. Harris,
Ed. New York: Wiley, 1967, pp. 25-46.
[14] H. Bohman, “Approximate Fourier analysis of distribution
functions,” Arkiv Foer Matematik, vol. 4,1960, pp. 99-157.
[15] Ахиезер H. И. Лекции no теории аппроксимации. M.: ОГИЗ,
1947, §IV. 64.
]16] Френке Л. Теория сигналов. М.: Сов. радио, 1974, §6.1, с. 131—
134.
[17] Н. D. Helms; “Digital filters with equiripple or minimax re-
sponses,” IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. AU-19, pp.
87-94, Mar. 1971.
[18] F. F. Kuo and J. F. Kaiser, System Analysis by Digital Computer.
New York: Wiley, 1966, ch. 7, pp. 232-238.
[19] D. Slepian and H. Pollak, “Prolate-spheroidal wave functions,
Fourier analysis and uncertainty—I,” Bell Tel. Syst. J., vol. 40,
pp. 43-64, Jan. 1961.
[20] H. Landau and H. Pollak, “Prolate-spheroidal wave functions,
Fourier analysis and uncertainty—II,” Bell Tel. Syst. J., vol. 40,
pp. 65-84, Jan. 1961.
[21] V. Barcilon and G. Temes, “Optimum impulse response and the
Van Der Maas function,” IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-19,
pp. 336-342, July 1972.
Дополнительный список литературы no общим вопросам
R. В. Blackman, Data Smoothing and Prediction. Reading, MA:
Addison-Wesley, 1965.
D. R. Brillinger, Time Series Data Analysis and Theory. New York:
Holt, Rinehart, and Winston, 1975.
D. Gingras, “Time series windows for improving discrete spectra esti-
mation,” Naval Undersea Research and Development Center, Rep.
NUC TN-715, Apr. 1972.
F. J. Harris, “Digital signal processing,” Class notes, San Diego State
Univ., 1971.
G. M. Jenkins, “General considerations in the estimation of spectra,”
Technometrics, vol. 3, no. 2, pp. 133-166, May 1961.
Фредрик Дж. Хэррис родился в 1940 г. Степень бакалавра
в области электротехники получил в Бруклинском политехни-
ческом институте, Бруклин, шт. Нью-Йорк, в 1961 г., степень
магистра в области электротехники — в Университете шт. Ка-
лифорния, Сан-Диего, в 1967 г. и сейчас готовится к защите док-
торской диссертации в Калифорнийском университете Сан-Ди-
его, Ла-Холья, шт. Калифорния. Является адъюнкт-профессором
Технической школы при Университете шт. Калифорния в Сан-
Диего, где преподает с 1967 г. В настоящее время, находясь в
академическом отпуске, работает консультантом ряда фирм в
районе Сан-Диего, а также занимается исследованиями по цифро-
вой обработке сигналов в Центре океанских систем ВМС в Сан-
Диего. Ведет семинары по обработке сигналов и быстрому пре-
образованию Фурье. Его научные интересы включают цифровую
обработку сигналов, адаптивную фильтрацию и теорию связи.