/
Text
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ А Д. КУТАСОВ
В.И. ЧЕХЛОВ М.И. ШАБУНИН
СБОРНИК
ЗАДАЧ
по
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
ИНТЕГРАЛЫ
РЯДЫ
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ, А.Д. КУТАСОВ
В.И. ЧЕХЛОВ, М.И. ШАБУНИН
СБОРНИК
ЗАДАЧ
по
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
ИНТЕГРАЛЫ
РЯДЫ
Под редакцией Л. Д. КУДРЯВЦЕВА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
инженерно-технических специальностей
высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986
ББК 22.16
К 88
УДК 517(075.8)
Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабу-
нин М. И. Сборник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды:
Учеб, пособие для вузов/Под ред. Л. Д. Кудрявцева. — М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит. 1986. — 528 с.
Является продолжением книги тех же авторов «Сборник задач по мате-
матическому анализу: Предел. Непрерывность. Дифференцируемость» (М.:
Наука, 1984).
Содержит задачи, относящиеся к следующим разделам математического
анализа: неопределенные интегралы, определенные интегралы, несобственные
интегралы, числовые ряды, функциональные последовательности и ряды.
В каждом параграфе имеется большое число задач различного уровня
трудности, приводятся решения типовых примеров.
Для студентов технических вузов и университетов.
Ил. 41. Библиогр. 16 назв.
Рецензенты:
кафедра высшей математики Московского энергетического института (за-
ведующий кафедрой член-корреспондент АН СССР С. И. Похожаев)9
доктор физико-математических наук профессор В. А. Ильин.
Лев Дмитриевич. Кудрявцев, Александр Дмитриевич Кутасов
Валерий Иванович Чехлов, Михаил Иванович Шабунин
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Интегралы. Ряды
Редактор А. Ф. Лапко
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор С. Д. Шкляр
Корректор Т. С. Вайсберг
И Б № 12564
Сдано в набор 28.04.85. Подписано к печати 02.01.86. Формат 60X90 l/i6- Бумага тип. № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 33. Усл. кр.-отт. 33,25. Уч.-изд.
л. 35,32. Тираж 44000 экз. Заказ 564. Цена 1 р. 40 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знаме-
ни Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполи-
графпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
1702050000—025
053(02)-86
К
© Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы,
1986
КБ-16-63-86
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ... . .....................................4
Глава I Неопределенный интеграл................................ . 6
§ 1. Общие приемы и методы интегрирования......................5
§ 2. Интегрирование рациональных функций . . . ... 22
§ 3. Интегрирование иррациональных функций ... ... 32
§ 4 Интегрирование трансцендентных функций .45
§ 5. Интегрирование разных функций.......................... . 58
Глава II. Определенный интеграл и его приложения . .... 65
§ 6. Определенный интеграл....................................65
§ 7. Вычисление площадей плоских фиг\р и длин кривых .... 104
§ 8. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей . ... 128
§ 9. Применение интеграла к решению геометрических и физических
задач.........................................................155
§ 10. Приближенное вычисление интегралов. Оценки интегралов . . 186
Глава III. Несобственные интегралы . . 215
§ 11. Несобственные интегралы от неограниченных функций . . .215
§ 12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегри-
рования . .......................... • 235
Глава IV. Числовые ряды ........... ..... 262
§ 13. Свойства сходящихся рядов...............................262
§ 14. Ряды с неотрицательными членами .... .... 273
§ 15. Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды ...... 292
§ 16. Разные задачи на сходимость рядов.......................306
Глава V. Функциональные последовательности и ряды . ... 316
§ 17. Сходимость и равномерная сходимость функциональных после-
довательностей ...............................................316
§ 18. Сходимость и равномерная сходимость функциональных рядов 328
§ 19. Свойства равномерно сходящихся функциональных последова-
тельностей и рядов ...........................................352
§ 20. Степенные ряды ........... ..... 331
§ 21. Ряд Тейлора .... .............................374
§ 22. Тригонометрические ряды Фурье ..........................403
§ 23. Асимптотические представления функций...................440
§ 24. Бесконечные произведения ... ...... 447
Ответы . 457
Список литературы ............................................... 528
1*
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник задач содержит материал, относящийся
к двум важным разделам курса математического анализа —
«Интегралы» и «Ряды». Сборник состоит из пяти глав: «Неопре-
деленный интеграл», «Определенный интеграл и его приложе-
ния», «Несобственные интегралы», «Числовые ряды», «Функ-
циональные последовательности и ряды». Начальные разделы
курса математического анализа представлены в книге тех же
авторов «Сборник задач по математическому анализу. Пре-
дел. Непрерывность. Дифференцируемость» под редакцией
Л. Д. Кудрявцева (М.: Наука, 1984).
При работе над сборником задач авторы опирались на мно-
голетний опыт преподавания математики в Московском физи-
ко-техническом институте. В сборнике содержится много ори-
гинальных задач, составленных авторами. Особое внимание
уделяется разъяснению фундаментальных понятий математиче-
ского анализа.
Каждый параграф в сборнике содержит краткие теоретиче-
ские сведения, примеры решения типовых задач и задачи для
самостоятельного решения.
Сборник предназначен для студентов, обучающихся во вту-
зах с расширенной программой по математике и в университе-
тах, а также для преподавателей. Большой набор задач разной
степени трудности дает возможность преподавателю использо-
вать сборник при работе со студентами в аудитории, при со-
ставлении контрольных работ и заданий. Он может оказаться
полезным и для лиц, самостоятельно изучающих математику.
ГЛАВА I
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Общие приемы и методы интегрирования
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Функция F(x)
называется первообразной функции f(x) на некотором проме-
жутке, если F\x) непрерывна на этом промежутке и дифферен-
цируема в каждой его внутренней точке, причем F'(x) — f(x).
В курсах математического анализа доказывается, что для
каждой непрерывной функции первообразная существует.
Если Fi(x) и F2(x)—две первообразные функции f(x), то
F2(x) = Fi(x)+ С, где С — некоторая постоянная.
Если F(x)—первообразная функции f(x), то множество
{Е(х) +С, Cg R},
т. е. совокупность всех первообразных функции f(x), называется
неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается
f (х) dx.
Таким образом, по определению
$f(xW = {F(x) + C}, (1)
где F(x) —какая-либо первообразная функции f(x), а С — про-
извольная постоянная.
Формулу (1) принято записывать без фигурных скобок, т. е.
опуская обозначение множества:
dx = F(x) + C.
Символ^ называется знаком интеграла, f(x)—подынте-
гральной функцией, f (х) dx — подынтегральным выражением,
х — переменной интегрирования.
Пример 1. Найти какую-либо первообразную F(x) функ-
ции f (х) = 1/д/х, %^(0; + оо), и ее неопределенный интеграл*
А Так как (Я'у/х) х > 0, то
F(x) — 2^/x, х > О,
и
\ f (x)dx— ^-4=-dx = 2 х + С, х е (0; + °о).
J *V х
б
Пример 2. Для функции f(x)=l/x, хе(-оо; 0), найти
первообразную F(x), график которой проходит через точку
(-2; 2).
А Так как (1п|х|),= 1/х, то In|х| —одна из первообразных
функции f(x) = 1/х и, следовательно, искомая первообразная
F(x) имеет вид F(x) = In|х| + С, где С — некоторая постоян-
ная. Постоянную С находим из условия F(—2)—2, т. е.
In 2 + С = 2, откуда С = 2 — In 2. Таким образом,
F (х) = In | х | + 2 — In 2 = In I x/2 | + 2. a
2. Свойства неопределенного интеграла.
1. Если функция f(x) имеет первообразную, то
( f (х) dx^ = f (х), d Q f (x) dx'j = f (x) dx.
2. Если f(x) дифференцируемая функция, то
J Г (x) dx = f (x) + C, J df (x) = f (x) + C.
3. Если функция f(x) имеет первообразную и aeR, то
функция af(x) также имеет первообразную, причем при а#=0
верно равенство
af (х) dx = а f (х) dx.
4. Если функции fi(x) и имеют первообразные на не-
котором промежутке, то функция h(x)+f2(x) также имеет
первообразную на этом промежутке, причем
5 (А М + f2 (х)) dx = f, (х) dx + 5 f2 (*) dx.
3. Формулы для основных неопределенных интегралов. Каж-
дая из нижеследующих формул верна на каждом промежутке,
принадлежащем области определения подынтегральной функ-
ции:
С га+1
1. j ха dx = + С, а — 1.
С d х
2- }тТ^ = 1п1х + °1 + С-
3. \ах dx = -----ЕС, а > 0, а Ф 1;
ех dx = ex С-
4. sin х dx — — cos х 4- С.
5. \ cos х dx = sin х С.
6
6. \-^— = tgx + C.
J COS2 X
7. [-?£- =-ctgx + C.
J sin2 X b 1
8. sh xdx = chx-\- C.
9. ch x rfx = sh x + C.
'«• § Jr=‘h*+C-
IL jj-^ = -cthx + C.
Sdx
x2 4- a2
^arctgX+C =
= —-^-arcctg-^-+ <?!, a =/= 0.
13. ( 2 =4-ln|X—l| + c, a#=0.
J x2 — a2 2a I x + a | 1 ’
C dx x . ~
14- J vs^? = arcs,nw+c=
= — arccos -r^-T + Cb a =# 0.
Ia I
15. -//A' = In (x + Vx2 + a2) + C, a^O.
J Vx2 4- a2
16. = In | x + V*2 ~~ a2 I + C, a 0.
J V%2-«2 i * v i
Пример 3. Найти (x — 2ex) dx.
Д Используя свойства 4 и 3 неопределенного интеграла и
табличные интегралы 1 (при а = 1) и 3, получаем
(х — 2е*)dx = xdx — 2 ехdx = -2ех + С, xgR. д
п л т т ° С (2 X ) .
П р и м е р 4. Наити \ —--—--dx.
л —х2 dx — ^dx — 4 х-1/6 dx + 4 x~1/3dx =
= х ~х5/6 + 6х2/3 + С,
х > 0. д
7
Пример 5. Найти -4 + 4%2--.
л С dx _________ 1 С х2 + 4 — х2 , 1 [ dx 1 ( dx
Л J х2 (х2 + 4) 4 J х2 (х2 + 4) ах~~ 4 J х2 ~4 J х2 + 4 —
= --^-|arctg-| + C, Х#=0. А
Пример 6. Найти --------3, 3 Ух dx.
1 Н J Vx4 - 9
С д/х2 — 3 — зУх2 + 3 , Г dx п С dx
А \------..... . -ах = \ —у--______— 3 \ —7=- =
J V*4 — 9 J Vx2 + 3 J д/^2 •— 3
= In (х + Vx2 + з) — 3 In | x + д/х2 - 31 + С, | x | > д/З. A
Пример 7. Найти j cos2 ^dx.
C 9. X J C 1 + COS X . if,
A J cos2 — dx = \----dx=~ \ dx +
+ T cos x dx = + S1” x + C, x e R. a
Пр и м e p 8. Найти tg2 x dx.
А На каждом интервале, где определена подынтегральная
функция, получаем
ftg2xdx=f (77^7— l)dx = tgx — х + С. а
Пример 9. Найти 3х • 52х dx.
д ^Зх-52х</х= = +с, xeR. а
1.1. Для функции f(x) найти первообразную F(x), график
которой проходит через точку (х0; Уо) •
1) f(x) = —Ь=-+ sin(x+ 1), хе(0;+оо), (1; 1).
2 д/х
2)f(x)=4-A, леЬоо;0), (-1; 1).
3) f(x) = |x|, хе R, (-2; 4).
1.2. Найти интегралы:
1) J х(х+ l)(x — 2}dx. 2) J(x2— 1)2<а.
8
5) д/х х dx. б) Г dx ' 7 + х2 ’
74 С dx ( —
J Зх2 —- 5 ’ ° 7 ' д/7х2 —8
9) Г dx ~ ' J V*2 + 13 Ю) 16 — -у/х2)3 dx.
11) + + J V16-X4 12) 22xexdx.
1 С 2*+ 5* , 13) j iqx dx. 14) С dx j Зх2 — х4
15) J sin2~dx. 16) ' \ ctg2 х dx.
17) (th2xdx. 18) \ cth2xdx.
1.3. Пусть функция F(x) является первообразной функции
f(x) на всей числовой оси. Доказать или опровергнуть следую-
щие утверждения:
1) Если f(x)—периодическая функция, то и F(x)—перио-
дическая.
2) Если f(x) —нечетная функция, то F(x) —четная функция.
3) Если f(x) —четная функция, то F(x) —нечетная функция.
1.4. Доказать, что функция f(x)=signx не имеет на всей
числовой оси ни одной первообразной.
1.5. Привести пример разрывной функции, для которой на
всей числовой оси первообразная существует.
1.6. Найти все первообразные функций:
- 1) х|х|, х е R> 2) 11 + *| ~ |1 — , х е R.
3) (2х —- 3) |х — 2 [, х R. 4) х е R.
5) |shх(, х<= R.
( 1 — х2, если | х | 1,
6) = i 111 I l\ 1
7) max(l; х2), х е R. 8) [х] • | sin лх|, х е [0; Ч~оо)'.
4. Интегрирование подстановкой (заменой переменной).
Пусть на некотором промежутке определена сложная функция
/(ф(х)) и функция t = ф(х) непрерывна на этом промежутке и
дифференцируема во всех его внутренних точках; тогда если
интеграл f f (t) dt существует, то интеграл f (ф (х)) ф' (х) dx
также существует, причем
f (ф W) Ф' U) dx = f (/) dt =ф (х). (2)
Эту формулу называют формулой интегрирования подстанов-
кой.
9
Если для функции / = ф(х) на рассматриваемом промежут-
ке существует обратная х = ф~1(/), то формулу (2) можно пе-
реписать в виде
f (<p(x))<p'(x)dx|
J J |х = ф (О
или, если исходную переменную интегрирования обозначать как
обычно через х,
$ f (х) dx = $ f (<р (/)) <р' (/) di |z=(р_, (х). (3)
Формулу (3) обычно называют формулой интегрирования
заменой переменной.
Пример 10. Найти интегралы:
1) J (Зх — 5)10rfx.
3) ^tgxdx.
С х7 dx
« J
5_______
2) х2 д/5х3 + 1 dx.
л \ \ dx । I jx
J 2 + cos2 х ’ I х I <- “2 •
6) dx.
J V*6 — 7х4 + %2
А 1) Найдем интеграл с помощью формулы (2), предвари-
тельно преобразовав его следующим образом:
(Зх - 5)10 dx = 4- ( (Зх — 5)10 (Зх - 5)' dx.
J J
Положив в формуле (2) t — ср(х) = Зх — 5 и f(/)=/10, получим
-И (Зх - 5)10 (Зх — 5)' dx = 4- 5 tw dt L_3x_6.
о J <5 J
Таким образом,
S (Зх - 5)10 dx = -I—ТГ + С Ь-зх-5 = (3^ “ 5)11 + С.
J О 11 оо
Замечание. Обычно, пользуясь формулой (2), в записи
решения для краткости опускают знак подстановки: | t==^(X). На-
пример, вычисление данного интеграла проводят так:
J (Зх — 5)10 dx = у (Зх — 5)10 d (Зх — 5) =
— ^10^=="зз’
(Зх - 5)
33
гс.
10
2) По формуле (2), положив в ней t = qp(x) = 5х3 + 1, f(0 —
= y/t , получаем
х2 д/5х3 + 1 dx = j V^x3 + 1 (5x3+ I)' dx —
= 4-$ V5x3+ 1 d(5x3+ 1) = -T.J dt =
= ^ + C = ^(5?4-l)V5?+l +C.
sin x . \ d cos x . . I I
dx — — \--— — In cos x + C.
COS X----------------------J COS X-ill
dx
2 + cos2 x
C dx ______________Cl dx
J 3 cos2 x + 2 sin2 x J 3 4-2 tg2 x cos2 x
C d tg x ____ 1
J 3 + 2 tg2 *— Vira
1 C dx3 1 • 8 1
— \ -7===- = — arcsin x8 + C.
8 J Vl -x16 8
, ( 'Уч tgx
rctg (.-7Г
xT dx
Vl — x18
dx =
x-----
= .:: dX~
7x4 + x2
— In lx —
Найти
1)
Пример 11.
dx
интегралы:
dx
x2 Vl + x2
A 1) Воспользуемся формулой (3) интегрирования заменой
переменной. Подынтегральная функция определена на проме-
жутке х 0. Сделаем замену переменной х = /2, t 0. Соглас-
но формуле (3), положив в ней
х = ф(/) = /2, f (х)= 1/(2+ V^)»
получим
С dx ______С 1 , ,2 г 1. ।_f 2t dt I
J 2 + Vx 2 +VP 1 + —
= 2 J -244i-2- dt |/=vr = 2/ - 4 In 12 + 11 + C I<=vr =
~2 'y/x — 4 1 n 12 + x | + C.
11
Замечание. При использовании формулы (3) в записи
решения знак подстановки j* обычно опускают.
2) Сделаем замену переменной, положив х = 1 //, тогда
ах — — dt-
Следовательно,
С dx С f2 dt = —Д tdt
J , vr+^ ~ j ,, J VF + t ~
= -Jd(V?T1) = ~ V?T1 + c = -д/Л+ i + c.
3) Положим + 1 = P, t > 0, тогда
ex dx — 2t dt и dx — -
t2 — 1
Следовательно,
f _dx=== 2 f __dt_ = Jn I I _j_ c == Jn V**+l-l +
J ^ex +1 J t2 — 1 I / + 1 I \ex 4-14-1
Пример 12. Найти интегралы:
1) 2) -f=J^==^dx.
J x2 — x 4-1 J V- x2 4- 6x — 8
A 1) Представим подынтегральную функцию в виде линей-
ной комбинации двух рациональных дробей так, чтобы числи-
телем первой дроби была производная знаменателя х2 — х-(- 1,
а числителем второй дроби.— единица:
Зх — 1 _ _з . 2х — 1 . 1 1
х2 — х 4- 1 2 х2 — х 4- 1 ”*~2 х2 — х 4- 1
Интеграл от каждого слагаемого легко вычисляется:
з С 2х — 1 , _ з С d (х2 — х 4-1)
2 J х2 - х 4- 1 “ 2 J х2 — х 4- 1
ylnpc2 —1) + С(;
Таким образом,
f Зх—1 In (X2 _ х + 1) | • arctg + с.
J х2 —х+1 2 V3 Уз
2) Представим подынтегральную функцию в виде линейной
комбинации двух дробей так, чтобы числителем первой дроби
была производная квадратного трехчлена, стоящего в знамена-
теле, а числителем второй дроби — единица:
Зх 4~ 4 _ 3 — 2х 4~ 6__. j ц ______1_____
х2 + 6x^8 _ — 2" V— X2 + 6х - 8 V- х2 + 6х - 8 ’
12
Теперь интеграл легко вычисляется:
5 dx=~ IS +бх - 8г'/2 d *2+бх~ 7 8)+
+ 13 ~т== 3==- = — з V— х2+6х—8+13 arcsin (х—3)4-С. д.
J -у1 — (х — З)2
Пример 13. Найти интеграл \ .
11 r J sin X
А Первый способ:
dx
sin х
sin х dx
sin2 x
d cos x 1,1 — cos x .
-----2----r = In -7—;----------------h C .
cos2 x — 1 2 1 + cos x
Второй способ:
. X t x ,, X
dx _ f d 2 f d 2 C jtg 2 . I , X I 1 r
sin x \ . x x \ L x 9 x \ x x —in 4? 2 ‘ C‘
J Sin у COS у J tgyCOS2— J tgy
1.7. Найти интегралы (a#=0):
1) ^eaxdx. 2) sin (ax + b) dx.
3) (ax + &)a dx. 4) sin2 (ax + b) dx.
Б) cos (ax + b) cos (ax — ft) dx. 6) sin ax sin (ax + b) dx.
1.8. Найти интегралы:
1) \ ......
4 J 7x2 + 5 *
q\ f dx
J 2x2 - 5x + 7 *
5) $-/=•
J Vx 4- x2
7) dx
J Vx2 -- 2x 4- 5
2) \________—........
} J 5— 12x — 9x2 ’
4) f____________________
7 J 15x2 — 34x 4- 15 ’
6) I —у-7-тг ===.
J V2 4~3x — 2x2
8) /х —.
J V17 — 4x — x2
1.9. Доказать равенство
^(<p(x))u-<p'(*)d.v =
(Ф (x))a+1
a + 1
+ c,
1п|ф(х)| + С,
если a Ф — 1,
если a — — 1.
13
Найти интегралы (1.10—1.16):
1.10. 1) С 6х — 7 , \ -5-1—=—г-г dx. J Зх2 — 7х+1 2) f 3x — 2 i J 2 - 3x -b 5x2 aX'
3) С х — 1 , \ ~2 J X2 — X — 1 4) C 2x — 1 t \ r— 2 in ax. J 5x2 — x + 2
5) С Зх — 6 1 \ ; =г dx. J Vх2 — 4х + 5 6) ( , *+3...-<te. J V4x2 + 4x 4- 3
7) ( ^ + 3 dx. J V3 + 4x —4х2 8) J Vl + X2 — X4
9) С dx 10) f dx
' х л/з'+ 7х2 ‘ 3 (x—l)V^2“3v + 2 ’
11) \ х — х2 dx. 12) xjx2 + 2x + 5 dx.
1.11. 1) С х dx 2) X у ,
J (1 -х2)2 * J I x5 + 2 J dX'
3) С х dx 4) f x5
j (1-х)12 • J x + 1
5) f Зх2 — 1 , \ — г-т-ах. J X3 - X + 1 6) C x dx j x4 4- 6x2 4~ 5
7) С х2 + 1 ,У J х4 + 1 dx' 8) ' Г x2 — 1 . \ 4 . . dx. J x4 + 1
1.12. 1) X2 1 ^Х. 2) ’ I x 71 + x dx. , x3 dx
3) х3 'у/х2 — 1 dx. 4) j
J V^ ~ i
5) С dx 6) j dx
' 1 + -v'xHH " V^ 4- Vх
7) f х dx J X (V* + X ) 8) 5 I X6
9) C dx 10) \ dx
J X2 V*2 “ 1 I X4 Vl + X2
1.13. 1) хе~х" dx. 2) ’ U2^+^-i(2x+ l)dx.
3) f dx 4) j dx
J 1 + e3x ’ eK + Л'/eX
5) {e^— 6) ! Г ex dx
J V?" д/4 — e2x
7) f dx 8)! e2x dx
j V ex — 1 ’ Ve4x+i
х > 2.
14
9) J 2 dx 10) ’ L e dx
1 ' Vl + ex
П) J dx 1 sh х 12) j dx ) ch x
13) J sh х • ch3 x < , -гл—гз— dx. 1 1 + ch - x 14) ’ l sh2 x dx J ch6 x
1.14. 1) In2 X i i dx. I x 2) Г dx
J X In x In In X *
3) 5 In 2x . , Г—7— dx. I x In 4x 4) C 1 1 4- x dx J 1 — x x2 — 1
б) j In x dx 6) C In x dx
1 x Vl + In X J x — 4 In r — In2 x
1.16. 1) S i sin6 x cos x dx. 2) C sin x dx
J 1 + COS X
3) ! ‘ 1 1 1 i —9-cos — dx. I X2 X 4) ctg x dx.
5) j dx 6) C dx fl
) cos X sin д/x . к —__— d %. J у X J 3 cos2 x + 4 sin2 x ’ 1 1 " ¥
7)! 8) д/sin xcos5xdx.
9) j sin3 x , L d.X. J VCOS X 10) C sin x dx
J Vl + 2 cos x
П) j i sin x dx 12) C cos x dx
) Vcos2x J Vcos2x
13) ’ ? sin 2x dx 14) C sin 2x dx
J д/25 sin2 x 4~ 9 c^s2 x J Vsin2 x — cos2 x
15) 1 4 Г 'x/tgxdx 16) f sin x dx
J sin2 x J дЛ + 4 cos x 4- cos2 x
17) f cos In X r V dx. J x 18) \^dx. J sin 2x
19) ’ Г etg * + ctg x , 20) С cos x dx
J COS2 X J Vesinx - 1
1.16. 1) C dx 2) f / arcsin x . W dt-
J — x2 arcsin x
3) Г arccos2 2x у J Vl — 4x2 4) C In arccos x dx
J Vl — x2 arccos x
б) C arctg2 x . J I + x2 aX- 6) ( Varcctg x . } 1 + x2 X-
7) C arctg Vx dx J (1 + x) Vx 8) ( arctg£.*rfx, J ch x
5. Интегрирование по частям. Пусть функции и(х) и v(x)'
непрерывны на некотором промежутке и дифференцируемы во
всех его внутренних точках, тогда если на этом промежутке
Г / с
существует интеграл j vu dx, то существует и интеграл \ uv' dx,
причем
uv' dv = uv — dx или ^udv = uv — v du. (4)
Формула (4) называется формулой интегрирования по частям.
Применение формулы (4) целесообразно в тех случаях, когда
подынтегральное выражение f(x)dx удается представить в виде
произведения двух множителей и и dv таким образом, чтобы
интегрирование выражений dv и t du являлось задачей более
простой, чем интегрирование исходного выражения.
По известному дифференциалу dv функция v определяется
неоднозначно, но в формуле (4) в качестве v может быть вы-
брана любая функция с данным дифференциалом dv.
Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования
по частям приходится применять несколько раз (пример 15}.
Пример 14. Найти интегралы:
1) \Inxdx. 2) \xsinxrfx.
А 1) Положим
тогда
По формуле интегрирования по частям получаем
1п х dx = х In х — х = % In х — х + С.
2) Положим
и — х, dv — sin х dx,
тогда
du = dx, v — — cos x
и, согласно формуле (4),
х sin х dx = — х cos x + cos x dx = — x cos x + sin x + С. д
Пример 15. Найти интегралы:
1) \^ек dx. 2) jarccos2xdx.
Л 1) Положим
и = х2, dv — ех dx,
16
тогда
du = 2х dx, v — ех.
По формуле (1) имеем
х2ех dx — х2ех — 2хе* dx.
К полученному интегралу снова применим формулу интегриро^
вания по частям. Положив
и = 2%, dv — ех dx,
найдем
du — 2dx, v = ex.
Следовательно,
2хех dx — 2хех — 2ех dx = 2хех — 2ех + С.
Поэтому
х2ех dx — (х2 —- 2х + 2) ех + С.
Замечание. Решение этого примера можно записать ко-
роче:
х2ех dx = х2ех — 2хех dx = х2ех — 2 (хех — е* dx^ =
= (х2 — 2х + 2)ех + С.
2) Пусть
и = arccos2 х, dv = dx,
тогда
, 2 arccos х ,
du=-------у..dx, v = x.
V1 - X2
Согласно формуле (4),
Г 9 f 9 , ~ С х arccos х dx
\ arccos2 x dx = x arccos2 x + 2 \-r т..—.
J J Vi — X2
Для вычисления полученного интеграла еще раз воспользуемся
формулой (4), положив
, х dx
и = arccos х, dv =...................... .
V1 - X2
Тогда
и, вычислив интеграл
V = 5 ( d д/Г^2 = - V1 — л;2 + с,,
J V1 — X2 J
возьмем V — — '{/l —х2. В результате получим
С х arccos х dx= — д/1 — х2 arccos х — \dx —
J v J
= — V1 — x2 arccos x — x 4- C2.
17
Итак,
arccos2 х dx = x arccos2 x - 2 д/l — x2 arccos x — 2x + C. a
Пример 16. Найти интеграл
/ = j дМ2 — х2 dx, a 0,
Л Положим
и — тогда 'a2 — %2, dv = dx,
du = x dx a2 — x2 v = x.
По формуле (4) получаем
/ == X ya2 — х2 + .
J \а2 — х2
Запишем подынтегральную функцию последнего интеграла в
виде
*2 = а2-(а2~х2) = а2 _ л/а^"'х\
*Ja2—х2 д/а2 — х2 а2 — х2
тогда будем иметь
Таким образом, с помощью формулы интегрирования по частям
получено уравнение, из которого 1 легко определяется:
J = x^a2 — x2 ] Q2 ( - d2 — x2 । /7 2 у H—arcsin—+C. 2 |a| Г
2 2 . J V#2 — X2 2
Пример 17. Получить для интеграла
рекуррентную формулу
= ( (х2 + а2)'г
Д Используем формулу интегрирования по частям для ин-
теграла ]п. Положим
и= Л dv = dx.
(х2 + а2)п 1
Тогда
и, следовательно,
. х I о ( х2 dx
п ~ (х2 + «Т + J (х2 + а2Г+‘ *
18
Прибавим и вычтем а2 в числителе подынтегральной функции
полученного интеграла:
X
(х2 + а2)п
+ 2П\
Записав последний интеграл в виде разности интегралов, по-
лучаем
7п === | a2jfl 2/2Jп 2 ПО,
откуда
Jn+l = ~2п^ ( (х2 + а2)га + (2п ~ Jn) •
Так как
г { dx 1 . х , „
= \ —-----г =----arctg----Ь С,
J х2 + аг а & а 1
то, положив в полученной формуле п = 1, можно найти /2« Зная
Л, можно найти /з и т. д. ▲
1.17. Найти интегралы:
1) ^xe~xdx. 2) ^x2xdx.
3) х sh х dx, 4) х In х dx,
5) In (% + д/4 + *2) dx. 6) х In | 1 + dx.
7) ха In х dx, a^R. 8) (x2 — 2x + 3) In (x + l)dx
1.18. С помощью формулы интегрирования по частям найти
интегралы:
jx С х2 dx С dx
} J (14-х2)2 • } J (4 4-х2)2 •
Найти интегралы (1.19—1.21):
1.19. 1) । х cos (5х — 7) dx. 2) х sin2 х dx.
з)! 4) (xtg22xdx. ) COS2 X J
Б) J ! f ~ sln - dx. 6) \ sin x • In tg x dx.
1.20. 1) arctg xdx. 2) arccos (5% — 2) dx.
3) । x arcctg x dx. 4) \ x2 arcsin 2xdx.
19
5) j x3 arctg x dx.
7) ^arctg^/xrfx.
9) j x 71 - arcsin x dx.
1.21. 1) J(x2 — &x + 2)e3xdx.
3) x2 sin 2x dx.
5) (x2+ l)2cosxdx.
«x f arcsin x .
6) j---—2---dx.
ox f x arccos x .
8) \ —===- dx.
J Vl-x2
. X
arcsin
10) I ._____1 dx.
J -у2 — x
2) Jx22xdx.
4) j (x2 — x + l)chxdx.
6) \ x5 sin 5x dx.
1.22. Доказать формулы
a^=0):
(Pn(x)—многочлен степени n,
PnW
a
fixdxlpnM
+{-Чп^гУУУ+С.
2) $ />. (x) sin axdx = - (p. . У^+
, (P'n W p'n" W ( P%} (x) sin ax ( n
+ \ a a3 '1 at • I - + C’
a
Л. f , . , ( , . p"(x) (x) \ sin ax
3) JP„(x)cosaxrfx = ^P„(x)--—!• + —_--------
(p'nM p'n W pn’w A cosex
'\a a3 ‘a5 ’ * *) a ‘
Найти интегралы (1.23 — 1.24):
1.23. l)(ln2xdx. 2) \-^=rdx.
j J X2 у x
3) У dx. 4) j In2 (x + -\/l + x2) dx-
5) j arcsin2xdx. 6) ^xarctg2xdx.
1.24. 1) ^'\/x2-}-adx. 2) x2 -у/x2 + a2 dx.
3) eax sin bx dx, a2 + Z>2 У= 0.
4) ( eax cos bx dx, a2 + b2 Ф 0.
20
5) j 3х cos х dx. 6) J e3x sin (2x —dx.
7) sin xchxdx. 8) ! ( COS X \2 < H ex ) dx-
9) еах sin2 bx dx. 10) ’ i xex sin x dx.
П) x2ex cos x dx. 12) ( I xex sin2x dx.
13) sin In x dx. 14) j i cos In % dx.
15) x2 sin Inxdx. 16) 5 ^arccos x fa
1.25. Получить для интеграла формулу: 1) Jn. — § хпеах dx, а ^/= 0. Jn (ne N) рекуррентную 2) Jn = In" x dx.
3) /„ = $ xa In" x dx, а Ф - 1. 4\ i _ ( n > 2
J n \ / .) . , it s L. J 'yj X1 a
5) 7„=$ sin"xdx, n > 2. 6) Jn — j cos" x n>2.
7) 7„=Д sh" x dx, n> 2. 8) Jn=(ch"xdx, n > 2.
W«>2- =
Найти интегралы (1.26—1.28): 1.26. 1) ^x?e~xdx. 2) ^ln4xdx. 3) L3ln3xdx. 4) . J J \ x2 + 9 5) ^cos5xrfx. 6) sin6xdx. C dx q\ C dx '1 J sin6 x • a’ J ch7 X • 1.27. 1) ^x3e-x2dx. 3) x2e^x dx. C x In x dx 5) J Vi + x-' 7) \ Vх sin ^xdx. 2) e^x dx. ,4 C In In X i 4) \ dx. J x C in(£^l)^ J Vx+l 8) \ cos2 -\/xdx.
2J
cos2 In x dx.
11^. dx.
Sin" X
1.28. 1) xarctgx2rfx.
3) \ xarccos— dx.
Il) \ cosx • In (1 + sin2x)dx. 12) (
'J J ’T"
e-xarcctgexdx
dx.
. 2 л] x *
arcsin —;— dx.
1.29. Найти функции f(x), хе(0; 4-оо), удовлетворяющие
условию f' (х2) = у-, х > 0.
1.30. Найти функции f(x), хеР, удовлетворяющие условию
,, fl, если х е (0; 11,
f (In х) = s
(. х, если х е (1; + °°)-
1.31. Найти функции f(x), хе(0; +оо), и g(x)\ хе R, удов-
летворяющие условиям:
*Г(*2) + (gr'(x) = cosx — Зх3, f(x2)+ g(x) = sinx — х4.
1.32. Найти функции f(x), хе(0; -f-оо), и g(x), хе R, удов-
летворяющие при х > 0 условиям:
1) f (*) + g(x) — x+ 1,
f' (х) — g' (х) = 0,
f' (2х) + g' (- 2х) = 1 - 12х2.
2) f(x) + g(x) = 4’
f' М — g' (х) == sin х,
f'(2x) + g'(- 2х) = 0.
§ 2. Интегрирование рациональных функций
Каждая рациональная функция на каждом промежутке,
принадлежащем ее области определения, представима в виде
суммы многочлена и элементарных рациональных дробей (см.
[1], § 6):
А
(х — а)п ’
, 2У + Г . P2-4<7<0.
(x2 + px + q)n
Поэтому интегрирование рациональных функций сводится
к разложению рациональной функции на элементарные дроби
22
(|1], § 6, в частности, примеры 7, 10, 11) и к интегрированию
элементарных дробей и многочленов.
Интегрирование элементарных дробей производится следую-
щим образом:
1) = А 1П|х-«1 + с-
A dx
А
J (х — а)п (п—1)(х —а)п 1
3) ( мх+jv d мс £±jL_dx+
J х А- рх A- q 2 J х2 + px + q
+("-+)) =
= -y- in (Л-2 + px + <7) + J -—Дт
N-^- x + f
= v In (*2 + Px + <7)4---1 7' arctg —. = + C.
ЛЛ C Mx_±_N . _ M_ f (2x + p) dx
J (x2 + px + q)n 2 J (x2 + px + q)n ‘
+ (N /) 5 (x2 + px + ^)n =
M (x2 + px + <7)1~n , ( K1 _ Mp\{dx .
Последний интеграл линейной подстановкой t = x-\-~- приво-
дится к интегралу Jn, для которого в примере 17 § 1 получена
рекуррентная формула.
Из формул 1)—4) следует, что интеграл от элементарной
дроби выражается через рациональные функции, логарифмы и
арктангенсы. Поэтому неопределенный интеграл от любой ра-
циональной функции на всяком промежутке, принадлежащем
ее области определения, является элементарной функцией,
представимой в виде алгебраической суммы композиций рацио-
нальных функций, логарифмов и арктангенсов.
Пример 1. Найти $ (х п (Д*2) (х _ 3)--
А Знаменатель рациональной дроби имеет простые корни
х1 = —1, Х2 = — 2, хз = 3. Поэтому разложение на элементар-
ные дроби имеет вид
________х__________ А\ . Л2 . А3
(х + 1) (х 2) (л — 3) х 4- 1 * х + 2 х — 3*
23
Из этого равенства рациональных дробей следует равенство
многочленов:
х = А1 (х -j- 2) (х 3)-f- Л2(х 1) (х — 3)Л3(х -j- 1) (х -J- 2).
Полагая последовательно х = —1, х =—2, х = 3, находим
-1 = -4ЛЬ —2 = 5Л2, 3 = 20Л3,
т. е.
АУ = 1/4, А2 = —2/5, Л3 = 3/20.
Следовательно,
S И+ 1)(;+2>и-3) =т'"1»+ 11-|m|x + 2i +
+ JLln|X_3| + c. л
Пример 2. Найти 2* 3^~ — dx.
r J 2х3 — х — 1
А Подынтегральная функция — неправильная рациональная
дробь. Разделив многочлен Р(х) = 2х4 + 5х2 — 2 на многочлен
Q(x) — 2x3 — x — 1, получим частное Т(х) — х и остаток /?(%) =
= 6х2 + * — 2. Следовательно, данная рациональная дробь
представляется в виде суммы многочлена и правильной рацио-
нальной дроби следующим образом:
2х4 + 5х2 — 2 . 6х2 + * — 2
2х3 — х — 1 Х ‘ 2х3 — х — 1
Многочлен Q(x) = 2х3 — х — 1 имеет действительный корень
х — 1. Разделив Q(x) на х — 1, получим
Q(x) = 2v3 — X— 1 = (х — 1) (2х2 + 2х + 1).
Трехчлен 2х2 + 2х + 1 не имеет действительных корней, поэто-
му разложение полученной правильной рациональной дроби на
элементарные имеет вид
6х2 + х — 2 А . Мх + N
2х3 — х — 1 х — 1 2х2 + 2х + 1
Из равенства дробей следует равенство многочленов:
6х2 + х - 2 = А(2х2 + 2х + l) + (Mx4-7V)(x- 1).
Положив здесь х=1, получим 5 = 5Л, т. е. Л = 1. Приравняв
коэффициенты при %2 и свободные члены многочленов, получим
6 = 2Л + М, —2 = Л-^,
откуда М = 4, N = 3. Таким образом, подынтегральная функ-
ция представима в виде
2х4 + 5%2 — 2 , I . 4х + 3
2х3 — х — 1 ~Х + х - 1 ' '2х! + 2х + 1 1
24
и, следовательно,
С 2х4 + 5х2 - 2 , х2 . , . , . , С 4х + 2 , .
J 2х3 — х — 1 dx 2 + In I % 1 I + J 2х2 + 2х + 1 +
+ J ~2РТ2х+ Г dX = 4 + 1П 1 Х ~ 1 1 + 1П <2%2 + 2* + 1> +
+ arctg(2x+ 1) + С. а
п о тт » С 2х3 + х2 + 5х + 1 ,
Пример 3. Наити \ т -s..., ----7~rr«^-
r J (х2 + 3) (х2 — х + 1)
А Разложение подынтегральной функции на элементарные
дроби имеет вид
2х3 + х2 + 5х + 1 _ Ах + В Cx + D
(х2 + 3) (х2 — х + 1) — х2 + 3 +х2-х+1-
По определению равенства рациональных дробей имеем
2х3+х2+5х+1 = (Лх+В) (х2-х+1) +(Сх+£>) (х2+3).
Из равенства многочленов следует, что их коэффициенты при
одинаковых степенях х равны, поэтому
х3
х2
X1
2 = А + С,
1 = — А + В+ D,
5 — А — В-\-ЗС,
1 = В + 3£).
Эта система имеет решение: Л — О, В = 1, С — 2, D — 0. Сле-
довательно,
[ 2х3 4- х2 + 5х + 1 , 1 , х .
\ —1----г--!--------dx = —7=г arctg —= +
J (х2 + 3) (х2 — х + 1) Уз УТ
yinfx2 —х+ l) + -^=-arctg^—- + C. А.
Пример 4. Найти х2 '
Д Разложим знаменатель рациональнной дроби на множи-
тели:
х5 + х4 — х3 —• х2 — х2 (х3 + х2 — х — 1) = х2 (х + 1) (х2 — 1) =
= х2(х+1)2(х~ 1),.
Из полученного разложения следует, что подынтегральная
функция разлагается на элементарные дроби следующим об-
разом:
__ х4+ 1 Л В С D Е
X2 (х + I)2 (х — 1) X X2 ‘ X — 1 * X + 1 •" (х + I)2 ’
Из равенства дробей следует равенство многочленов:
Л4+ j ^^(х- 1) (х+ 1)2 + В(х- 1) (х+ 1)2 +
+ Сх2(х + 1 )2 + Дх2(х2 — 1)+ ЕхЦх — 1). (1)
25
Положив в равенстве (1) поочередно х = 0, х = 1, х = —1, по-
лучим В = —1, С= 1/2, £ = —1. Чтобы найти коэффициент А,
продифференцируем обе части равенства (1) и затем положим
в нем х = 0. При дифференцировании правой части будем вы-
писывать только те слагаемые, которые не обращаются в нуль
при х = 0:
4х3 = Д(х — 1) (%+ 1)2 + В(%+ 1)24-2В(х2 — 1)+ ...
Отсюда при х = 0 имеем 0 = — А— В, т. е. /1 = 1. Для опре-
деления коэффициента D поступаем аналогично: дифференци-
руем обе части равенства (1), причем выписываем только те
слагаемые правой части, которые не обращаются в нуль при
х =— 1; получаем равенство
4х3 = Dx2(x- 1) + 2£%(х- 1)+Ех2+ ...,
из которого при х — —1 имеем
—4 = — 2D + 4Е + £,
откуда находим D — —1/2. Следовательно,
-|1п|х+Н + т4гг+с-
Л I 1
Использованный здесь прием отыскания коэффициентов А и D
удобен в тех случаях, когда знаменатель рациональной дроби
имеет кратные корни. ▲
----142/ 2 . П2~^‘
(х — I)2 (х2 + I)2
А Разложение подынтегральной функции на элементарные
дроби имеет вид
4х2 — 8х А . В . Сх + D . Ex + F
(х- I)2 (х2 + I)2 — + (х - 1 )2 ф х2 + 1 (х2 + I)2 ‘
Следовательно,
4х2 — 8х = А(х - 1)(х2 + 1)2 + В(х2+1)2 +
+ (Сх + D) (х - 1 )2(х2 + 1)+ (Ex + F) (х - 1 )2. (2)
Приравняв соответствующие коэффициенты этих многочленов,
можно получить систему шести линейных уравнений с шестью
неизвестными А, В, С, D, Е, F и решить ее. Но проще поступить
иначе. Положив в равенстве (2) х = 1, найдем В = —1. Затем
положим х = /, тогда будем иметь
_ 4 — 8/ = (Ei + F) (i — 1 )2 = 2Е — 21F,
Приравняв действительные и мнимые части, получим — 4 = 2Е,
—8 = —2F, т. с. Е = —2, F = 4. Продифференцируем обе части
равенства (2), причем будем выписывать только те слагаемые,
26
которые не обращаются в нуль при х= 1. Тогда получим
8х — 8 = А(х2+ 1)2 + 2В(х2+ 1)2%Ч" ...
Отсюда при х = 1 имеем 0 = 4Л 4“ SB, т. е. А = 2. Продиффе-
ренцируем обе части равенства (2), выписывая только те сла-
гаемые, которые не обращаются в нуль при х = i:
8х - 8 = (Сх + D) (% - 1)22х + Е(х —I)2 +
+ (Ех + П2(х-1)+ ...
Подставив в это равенство х = г, найдем последние 2 коэффи-
циента: С = —2, D = —1. Таким образом,
С 4х2 — 8х . । ill 1 С (2х + 1) dx
} (х_1)г U2 + 1)2dx = 21n|x - 1I + —Г~ J —----------
— § (x2TП2 = 2 ,n । x “ 1 । + 7~j“ — In (x2 + 1) — arctg x +
I 1 I Л C
“i" x2 + 1 * j (x2+ l)2e
Последний интеграл находим по рекуррентной формуле (см.
пример 17, § 1):
= S (х2 + I)2 Т ( Х2+ 1 + arctg Х) + С'
Итак,
С 4х2 — 8х , . (х — I)2 . . . 1 . 1 + 2х . п
\ т---ттггт-г-р^^х = 1п ——barctg х Ч------г Ч—у-?" г Ч- С - А
J (х — I)2 (х2 + l)z х2 + 1 1 ь * х — 1 X2 + 1
Метод Остроградского. Если знаменатель правильной рацио-
нальнои дроби ~q^ имеет кратные корни, особенно комплекс-
ные, то интегрирование такой дроби обычно связано с громозд-
кими выкладками. В1 этом случае целесообразно пользоваться
следующей формулой Остроградского:
{ РМ dx- PiM I LP2(x) dx
J Q (x) ax Q, (X) J Q2 (X) ax-
В этой формуле Q2 (x) —многочлен, имеющий те же корни, что
и многочлен Q(x), но все корни многочлена Q2(x)—простые
(однократные). Многочлен Qi(x) есть частное от деления мно-
гочлена Q(x) на многочлен Q2(x), т. е. Qi(x)= Q(x)/Q2(x), а
Р](х) и Р2(х) —это некоторые многочлены, степени которых со-
ответственно меньше степеней многочленов Qi(x)) и Q2(x). Если
корни Q(x) известны, то тем самым известны многочлены Qi(x)
и Q2(x). Для отыскания многочленов Р\(х) и Р2(х) их запи-
сывают с неопределенными коэффициентами, которые находят
после дифференцирования обеих частей формулы Остроград-
ского. Если Р2 0, то, так как корни Q2(x) простые, интеграл
Г р /
I 2А есть функция трансцендентная (она равна сумме
J 42 (X)
27
слагаемых вида
a arctg(ax4~ (3)4- b 1п(ух4- 6)4- С, a2 4- Ь2=£0У
В связи с этим второе слагаемое в формуле Остроградского
Г Р (х)
называют трансцендентной частью интеграла \ п ; -уdx, а пер-
J \Х)
вое слагаемое — его рациональной частью. Метод Остроград-
ского позволяет найти алгебраическую часть интеграла от пра-
вильной рациональной дроби чисто алгебраическим путем, т. е.
не прибегая к интегрированию каких-либо функций.
Пример 6. Найти методом Остроградского интеграл при-
мера 5.
А В этом случае многочлен Q(x) = (x—1)2(х24~1)2> по-
этому
Q2(x) = (x-l)(.v2 + 1), QIW = ## = (^-1)(^2+ D-
Следовательно, существуют многочлены второй степени:
Р\ (х) = Ах2 4- Вх + С и Р2 (х) = ах2 4- Ьх 4- с,
для которых верно равенство
С 4х2 — 8х . Ах2 + Вх + С . С ах2 4- Ьх 4- с <
J (х - I)2 (х2 + I)2 йХ ~~ (х- 1)(х2+ 1) + J "(х - 1)(х24~ 1) йХ'
Рациональную дробь удобно сразу представить
в виде суммы элементарных дробей и переписать формулу
Остроградского следующим образом:
С 4х2 — 8х , _______ Ах2 + Вх + С iff В । Ex + F \ <
J (х — I)2 (х2 4- D2 ах ~ 7х - 1)(х24- 1) + J X2 + 1 )а х'
Дифференцируя обе части этого равенства, получаем
4х2 — 8х
Сх- 1)2 (х24- О2 “
(х-1)(х24-1)(2Лх4-В)-(Лх24-ВхЧ-С)(Зх2-2х4-1) . D . Ex+F
(х— 1)2(Х2 + I)2 Н X—1 ‘ х24-1 ’
откуда вытекает равенство многочленов:
4х2_8х = „4%4 2Вх34-(^ + В-ЗС)х24-2(С-Д)х~
— В — C + D(x— 1)(х2 + 1)/4-(Ех4~ f) (х—1)2(х2+1)\
28
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, полу-
чаем систему
X5
X4
X3
X2
X1
х°
0 = £> + £,
О = — A— D + F — 2Е,
О = — 2В + 2D + 2Е — 2F,
4 = А + В — ЗС — 2D — 2Е + 2F,
— 8 = — 2 А + 2С + D + Е — 2F,
o = -b — c — da-f.
Решая эту систему, находим Л = 3, В — —1, С = 0, D =2,
Е = —2, F — 1. Итак,
4х2 — 8х ,
(х- 1)2(х2 + I)2 аХ~
= (Х _!f) 1) + 21п | х — 1 | — In (х2 4- 1) + arctg х + С.
Замечание. Рассмотренный в этом параграфе метод ин-
тегрирования рациональных дробей является общим: с его по-
мощью можно вычислить неопределенный интеграл от любой
рациональной дроби при условии, что известны или могут быть
найдены все корни ее знаменателя. Следует иметь в виду, что
во многих частных случаях для интегрирования рациональной
дроби нет необходимости прибегать к общему методу, так как
другие приемы (преобразование подынтегрального выражения,
подстановка, интегрирование по частям) быстрее ведут к цели.
Найти интегралы (2.1—2.9):
2 1 П (____—____
’ ; J U+D(x~2)
3) \
J х2 + 6х + 13
-ч С Зх3 — 5х + 8 1
5) 1------5—л-----dx.
J х2 — 4
dx
(х- 1)(х + 2)(х + 3) ‘
4х2 + 4х — 11
5)
J (2х - 1) (2х + 3) (2х - 5) аХ'
dx
6х3 —7х2 —Зх •
х5 + х4 — 8 .
— dx-
х3 — 4х
dx
х4 — 13х2 + 36’
\ xz —5х + 9 ,
4) \ --— ^Х.
1 J х2 5х + 6
f х2 dx
J х2 — 6х + 10 •
С 2х2 + 41х~91 -
2) ----тт-7—7-^----T^dx.
J (х — 1) (х + 3) (х — 4)
С ($х — 3) dx
J (х — 2) (Зх2 + 2х — 1) ‘
~~ *4) dx
J х3 — х2 — 4х + 4
Ю С U2+l)6/x
} J (х2 —* 1) (х2 — 4) *
х6—2х4+3х3—9х2+4 .
х3 - 5х3 + 4х dX'
10)
29
2.3. 1)
х5 — 2х2 + 3
х2 — 4х + 4
2)
(х2 + 2) dx
(х- I)(x+ I)2 ‘
3)
dx
x3 — x2 —
X2+ 1
X (x — I)3
dx-
6)
x5 dx
x4 — 2x3 + 2x — 1
I ^* * x~ dx
J (x — 2) (x2 + x)2’ °'
9) ,,x2rfl3 • 10)
7 J (1 — x2Y
и) dx- i2)
dx
(x - 2)2 (x + 3)3 '
dx
(x+ l)(x + 2)2 (x+3)3’
____________dx____________
x5 + x4 — 2x3 — 2x2 + x + 1
3) J
5) $
2‘4’ J (x + 2) (4x2 + 8x + 7) •
x2 — 2x — 5 ,
x3 — x2 + 2x — 2 aX'
x3 + x2 + x + 3 .
(x + 3)(x2 + x+ 1) “X-
x (x2 + 1) dx
(x+ l)(x2 + 2x + 2)‘
. f 2x4 — 2x3 — x2 + 2 j QA f *4 ~~ 4%3 + $x2 + ~ 10
7' J 2x3 - 4x2 + Зх - 1 aX' J x3 —• 3x2 + x + 5
2.5. 1)
О) C________________dx_____________
J (x2 + 4x + 5) (x2 — 4x + 3)
. f (21x2 — 13x+ 18) dx
4' J (3x2 — 4x + 6) (x2 — 2x — 3) ’
f C (7x2 — 1) dx
J 1 — x + x3 — x4 ’ 'J x4 + 4x2 — 5
2.6. 1) ' Г 2x3 + x2 + 5x 4- 1 , J (x2 + 3)(x2-x + l)aX- 2) ( 1 dx
J X4 + 1
Э) ’ Г X3 — 6 J ) x4 + 6x2 + 8 ax- 4) j (3x2 — 2) dx
i 9x4 — 13x2 + 4 ’
6) ’ ? dx 6) C dx
J x5 — X4 + X3 — X2 + x — 1’ J x6 + 1 •
f dx 9x C (3x2 — 2) xdx
2 ‘- H J (x+ l)2(x2+"l) ’ ’ J (x + 2)2 (3x2 - 2x + 4) *
( x2 dx ( x3 + 2x2 + 3x + 4 h
3) J (x+ l)(x3+“[) • 4) i x4 + x3 + 2x2 ax‘
30
Ki { ___________
о> J X4 - X3 - х + 1 •
f (Х4+ Ddx
’ J (х- 1)(х4- 1) •
Q\ 1 _____:___
’ J (X + 1) (х2 + 1) (X3 + 1) ‘
2.8. 1) $ - ~g-— dx. 2)
С_______(х7 + 2) dx_____
J %4 + 2х3 + Зх2 + 2х + 1 ’
f 3*2 + * + 3 л
J (х-1)3(х2+1)
С (Зх2 + 2х + 10) dx
J (*3 + х2) (2х2 — 4х + 5)
. лч С dx
х4 — 2х2 4~ 2 j
(х2 — 2х 4~ 2)2 аЛ’
.ч С (2х2 + 2х + 13) dx
J (х2 + 1) (х3 - 2х2 + х - 2) ’
5) С x4+.2x2+_4rf
’У (х2+1)3
1Х f х (х — 2) dx
J (х- 1)2(х2+ I)2 ’
о\ С dx
J (х3+ I)2
-ч С х9 dx
J (X4- I)2’
. С х4 —2х3+ 12х2 —20х+ 10
b) J (х- 1) (х2 — 2х + 2)3
л\ С______dx______
J х6 + 2х4 + х2
f (З*4 + 4) dx
' J х2 (х2 + I)3
С х (2х2 + 2х — 1) dx
J (х — 1)2(х2 + х+ 1)3‘
хб - X5 + X4 + 2х3 + Зх2 + Зх + з ,
(х+ 1)2(х2 + х+ I)3 йХ'
dx q\ С (1 — 4х5) dx
X4 (X3 + О2 ’ У' J (1 +х + х5)2 ’
Ю) (----------
’ J х11 +2х6 + х •
2.10. Найти рациональную часть интеграла:
(xs + 1) dx
(x2 + x+DT‘
dx
(х2 + 2х+ Ю)г’
dx
х2 (2х2 - З)3 ‘
dx
(х3 — I)2
dx
U2+l)4 *
dx
(х3 + х + I)3
2.11. Найти условие, при котором первообразная данной ра-
циональной функции является функцией рациональной:
Р (х)
п ----А-Гт Рп(х) —многочлен степени п
’ (x-a)n+l
2) ?2 + ^гУ- 3) «^=0,
7 х5 — 2х4 4-Х3 (ах2 4- Ьх 4“ сУ
31
§ 3. Интегрирование иррациональных функций
Некоторые часто встречающиеся интегралы от иррациональ-
ных функций можно вычислить методом рационализации подын-
тегральной функции. Этот метод заключается в отыскании такой
подстановки, которая преобразует интеграл от иррациональной
функции в интеграл от функции рациональной. В этом пара-
графе указываются подстановки, с помощью которых такое све-
дение удается осуществить для некоторых важнейших классов
иррациональных функций. Через /?(xi;x2; •••; х«) будем обо-
значать функцию, рациональную относительно каждой из пе-
ременных %1, х2, ..., хЛ. Например,
<+Д=/?(х; л/Г+Р),
1+Vl + x3 v
l ^4/
так как иррациональная функция y-j—^===- является
рациональной относительно переменных Xi = x, х2=лД> хз —
= V1 + *3,
1. Интегралы вида
L G; (1)
J \ \ сх + d ) ’ ' \сх + d ) )
где n е N, pi, р2, ...» рп е Q, a, b, с, R, ad — bc=^ 0, под-
становкой
ах+Ь = „
сх + d ’
т — общий знаменатель рациональных чисел pi, р2, .Рп, при-
водятся к интегралу от рациональной функции.
Пример 1. Найти
С х + Ух7 + Ух .
’ Xi+vO '
Д Подынтегральная функция является рациональной отно-
сительно переменных Xi = х, х2 — х1/3, Хз — *1/6. Данный инте-
грал имеет вид (1), причем п—3, р\ = 1, р2— 1/3, рз = 1 /6,
а — d — 1,& = с = 0. Для рациональных чисел pi = 1, Р2~ 1/3,
Рз = 1/6 общий знаменатель т = 6. Следовательно, нужно при-
менить подстановку х = /6. Применяя эту подстановку, получаем
С х + У^+Ух С +£_+./ /5 Я/ - 6 И5 + <3 + -1- di =
J ( 3 _Л dx = 6\ <в(!+/2) z 1+/2 at
Х\1 + VxJ
р р 3 _ 6
= 6j/3d/ + 6j T^F = |Vx2 + 6arctg Ух + С. ▲
Пример 2. Найти \ 3,....= =.
F F J У(2 + х)(2 —x)s
32
А С помощью элементарных преобразований интеграл при-
водится к виду (1): J____
С 3/ 2 — х dx
J Л/ 2 + X (2-х)2 •
Подынтегральная функция является рациональной относительно
переменных
Следовательно, в данном случае п — 1, р\ = 1/3, а — —1, Ь = 2,
с — 1, d = 2. Поэтому полагаем
.2~Л = /з
24-х
откуда находим
dx = - 12-^- -1_=±±^
14-/3’ их (14-/3)2’ 2-х 4/3
Таким образом,
С 3/ 2 — х dx
} Л/ 2+Т (2 - х)2
С (/з+ !)2Z3 dt _
J 16Z6 (Z3 4- I)2 “
2. Интегралы вида
{ dt _
4 П3 “
j R (x; 'xfax1 + bx + c) dx, a 0, b2 — 4ac Ф 0, (2)
могут быть сведены к интегралам от рациональных функций
подстановками Эйлера:
\ ах2 + Ьх + с = ± у!а х ± /, если а > 0;
^ах2 + Ьх + с — ± xt ± Vс, если с > 0;
^ах2 + Ьх + с = ± (х — %1) /,
^Jax2 + Ьх + с = (х — х2) /,
где Xi и х% - различные действительные корни квадратного трех-
члена ах2 + Ьх + с. (Знаки в правых частях равенств можно
брать в любых комбинациях.) _________
П О Т Т ” С1— V1 4- X 4- J
Пример 3. Наити \-------dx.
r r J X VI4- X 4- X2
А Воспользуемся одной из подстановок Эйлера. Положим
д/1 ~j“ х х2 == tx “4~ 1 >
тогда 1 + х + х2 = t2x2 + 2tx + 1, откуда
х = -j—f2-> dx = 2 (1 -—^2- dt.
2 Л. Д. К.>др:11!Цев и др.
за
Далее, находим
/ТП---i—5 1 - / -М2
Л/ 1 + % + _ / 2 »
/ = V1 4- * 4- х2 — 1
X
Таким образом,
1 — Vi + * +
X V1 + Я +
dx =
— 2t dt
1 -Р
== In I 1 —/2| + С =
+ C. A
Подстановки Эйлера часто приводят к громоздким выклад-
кам. Укажем поэтому другой способ вычисления интегралов (2),
Подынтегральную функцию R (х; ^ах2 + Ьх + с) алгебраиче-
скими преобразованиями всегда можно представить в виде
суммы
Ri (х)
д/ах'2 + Ьх + с
+ R2(x),
где 7?i(x) и R2(x) —рациональные дроби. Тем самым интеграл
(2) можно свести к интегралу от рациональной дроби R2(x) и
к интегралу вида
J у ах2 + Ьхс
Представив рациональную дробь Ri(x) в виде суммы мно-
гочлена Рп(х) и элементарных дробей приходим к интегралам
следующих трех видов:
Рп (х) dx .
Vах2 + Ьх + с
__________dx____________.
(х — a)fe Vах2 + Ьх + с
_________(Мх 4~ Az) dx______
(х2 + рх 4- q)m л/ах2 4- Ьх 4- с ’
р2 — 4д < 0.
(3)
(4)
Для вычисления интеграла (3) удобно пользоваться формулой
Рп (х) dx
ах'2 4- Ьх 4- с
— Q (х) д/ах2 + Ьх + с + Л
dx
Vах2 4- Ьх 4~ с
(6)
где Q(x)—многочлен степени не выше чем п~ 1, а К— неко-
торое число. Дифференцируя обе части формулы (6) и затем
умножая на ах2Ьхс* получаем равенство многочленов,
из которого находим К и коэффициенты многочлена Q(x). Ин-
теграл в правой части формулы (6) линейной подстановкой сво-
дится к основным интегралам 14—16, § 1 и, следовательно, яв-
ляется трансцендентной функцией.
Формула (6) позволяет чисто алгебраическим путем найти
алгебраическую часть Q (х) 'yjax2 -f- Ьх + с интеграла (3).
34
ГТ А тт - Г 12х3 4 16х2 4 9х 4 2 ,
Пример 4. Наити \. =~— dx.
J V4х2 4 4х 4 2
Д Воспользуемся формулой (6), которая в данном случае
будет иметь вид
С 12х3 + 16х2 4 9х 4 2 , /л9|г> / т ~~9 ~ ।—л—гтг ।
\---7====4— dx = (Ах2 + Вх + С) л/4х2 + 4х 4- 2 4-
J V4x2 + 4x4 2 7 V I
I a f dx
4" \ --/— -- •
J V4х2 4 4х 4 2
Для нахождения коэффициентов Л, В, С и числа X продиффе-
ренцируем обе части этого равенства. Тогда получим
“|М-' + » Vg+4x + 2 +
Y4x2 4 4% + 2
+ (Av2 + Bx + С) -,-4x + 2 . = + —= - .
V4x2 + 4x + 2 -v4x2 + 4x + 2
После умножения на д/4х2 + 4х + 2 получим равенство много-
членов:
12х3 + 16х2 + 9х + 2 =
= (2Ах + В) (4х2 + 4х + 2)+ (Ах2 + Вх + С) (4х + 2)+ К.
Из равенства многочленов следует равенство коэффициентов
при одинаковых степенях х:
124 = 12, 104 + 8В = 16, 4Л + 6В + 4С = 9,
2В + 2С + = 2.
Решив эту треугольную систему уравнений, найдем
Д = 1, В = 3/4, С =1/8, Х=1/4.
Следовательно,
12х3 + 16х2 + 9х + 2 ,
V4x2 + 4x + 2
= (х2 + -х + 4 л/4х2 + 4.V + 2 + А (
\ 4 8 J 4 J д/4х2 4 4х 4.2
Последний интеграл линейной подстановкой t = 2,r + 1 сводится
к основному интегралу 15 § 1. Окончательно получим
+ г dx = / 2 + а х + n V4?+4x+2 +
V4х2 4 4х 4 2 \ 4 8 /
+ у In (2.V + 1 + V4x2 + 4х + 2) + С. д
Интеграл (4) подстановкой t = х а приводится к инте-
гралу (3).
2*
35
Интеграл (5) в случае, когда квадратные трехчлены
ах2 + Ьх + с, х2 + рх + q
совпадают или отличаются только множителем, следует пред-
ставить в виде линейной комбинации двух интегралов
( (2л~ + р) dx f_______dx_______
J (x2 + px + <7)(2m+1)/J И J (x2 + px + q)^m+»'2 ‘
Первый интеграл берется подстановкой и — х2 + рх + q, второй
подстановкой Абеля
/ = (д/х2 + рх-\- q\ = —р|===-
2 ух2 4- рх + Q
сводится к интегралу от многочлена.
В общем случае, если p^b/а, применяется подстановка
* t + 1 ’
где аир подбираются так, чтобы в квадратных трехчленах
х2 + рх + Я и ах2 А~Ьх + с исчезли члены, содержащие t в пер-
вой степени. При таком выборе чисел аир интеграл (5) све-
дется к интегралу вида
( р & dt
J (t2 + Vs/2 + г ’
где P(t)—многочлен степени 2m—1 и число X > 0. (Если
р^Ь/а, то уничтожение членов первой степени достигается
проще: линейной заменой х — 1 — ~^
Разложив правильную рациональную дробь
(/2 4-
на элементарные дроби, придем к интегралам
С______t dt____ С__________dt
J (/2 4- K)k ^sP+~r * J (f2 4- A)fe л/st2 4- Г ’
Первый интеграл вычисляется подстановкой и2 = st2 + г, вто-
рой — подстановкой Абеля
V = (^St2 + гУ = -г===- •
Vst2 4-
Пример 5. Найти \ —==
F 1 J (х2 + 2) V2.V2 — 2х + 5
л Положим
а/ + ₽
Х~ <+ 1 *
36
тогда
2 , 9== (а/+Р)2 + 2(/+П’ (а2 + 2V2 + Р2 + 2
Х (/ + I)2 ' (/ + 1)'
2%2 — 2х + 5 = 2 + P)Z ~ 2 <af + Р) О + 1) + 5 Q + I)2 __
(2a2 — 2a + 5) /2 + 202 — 2(3 + 5
— (t + I)2
где
( 2a₽ + 4 = 0,
( 4сф—2a —2p-f- 10 = 0.
Получившаяся система имеет два решения: (2; —1) и (—1; 2),
Возьмем, например, а — — 1, [’>-== 2, тогда '
2 — t . 2 — х . — 3dt
1-1-/’ Z“ 1+х’ dx~ (1 + 02 ’
^2 1_ о 6 nr2____________Or j 5___ 9
Заменив в интеграле переменную х на переменную /, будем
иметь
С__________dx_________ _1_ С | / + 11
J (.г2 + 2) л/2х2 - 2х + 5 3 J (t2 + 2) V*2 + 1 *
При t + 1 > 0, т. е. при х > — 1, получим
1 ( t dt______________________dd____
~3 j (t2 + 2) 3 j (/2 + 2) V^2 + 1 ’
Первый интеграл подстановкой и2 ~ I2 1 приводится к ин-
тегралу
1 С du
3 J и2 + 1
ч
Для вычисления второго применим подстановку Абеля
V = (д/FTI)' = /4______.
v V/3 +1
откуда
у2(/2+ 1) = /2> Z2 + 2 = 4^-.
Дифференцируя равенство v д/^2+ 1 = Л находим
dv *Jt2 + 1 + v2 dt ~ dt, .j dt = —~,
v V/2 + l 1-w2
и, следовательно, второй интеграл приводится к виду
37
Таким образом,
С dx
J (х2 + 2) '\!с1х‘1 — 2х + 5
1 , 1 < V2 + У
— arctg и-------f= In -у,_—
3 6д/2 V2 — v
Возвращаясь к переменной х, получаем
dx
(х2 + 2) д^2х2 — 2x 4-5
1 , д/2х2 — 2х 4- 5
----arctg —-------------
3 b х+ 1
1 V2 (2х2 — 2х 4- 5) 4- 2 — х .
6 V2 П д/*2 (2х2 - 2х 4- 5) - 2 + х
При х <—1 аналогично можно получить тот же результат. А
Для вычисления интегралов вида (2) часто удобно исполь-
зовать тригонометрические или гиперболические подстановки.
Для этого, предварительно выделив полный квадрат в трех-
члене ах2 + Ьх + с и сделав соответствующую линейную замену,
приводят интеграл (2) к одному из следующих видов:
R (/; д/р2 — Z2) dt, R (/; д/72 — Р2) 'у/+ Р2) dt>
К первому интегралу применяют подстановки
t = р sin и, t = р cos и, t = pthu,
ко второму — подстановки
cos и ’
t = р ch и,
и к третьему — подстановки
t — р tg щ t — р sh и.
Пример 6. Найти интеграл
f dx
J (2х 4-I)2 V^x2 4-4х 4-5
Л Положив t = 2x-\- 1, а затем / = 2shu, получим
f dx _ 1 С dt _______ 1 Г du
J (2х+ I)2 V4.v2+ 4x + B “ 2 ' t2 aJT2 + 4 ~ 8 J sh2 и ~
i n Vl + sh2u , r V<2 + 4 ,
= - g-cthu + C=--------———+ C=------------«г- + C-
_ __ V4x2 4- 4x 4- 5 .
8(2x4- 1) t
3. Интегралы вида
^xm(axn + b)pdx, (7)
где a, b — действительные, m, n, p — рациональные числа, при-
чем a 0, 6 #= 0, и =Л 0, p =^= 0, называют интегралами от диф-
ференциального бинома. Эти интегралы сводятся к интегралам
38
от рациональных функций в следующих трех случаях:
1) р —целое число, х
m + 1 I
2) ---- — целое число, I
' п (
т + 1 . 1
3) Н р — целое число. )
(8)
В первом случае применяется подстановка
х = tN,
где N — общий знаменатель дробей т и п\ во втором и в третьем
случаях — соответственно подстановки
ахп + b = Is и а + bx~n = ts,
где s — знаменатель дроби р.
Если ни одно из условий (8) не выполняется, то интеграл
(7) не может быть выражен через элементарные функции (тео-
рема Чебышева).
Пример 7. Найти
С dx
V1 + X4
А Этот интеграл имеет вид (7), причем а = Ь=1у т = О,
п — 4, р =— 1/4. Так как
то, применяя подстановку 1 + л~4 = Z4, находим
/ = (1 +х-')1м, X = (/4 - I)-1"1,
1 i\l/4 J А(А i\“5/4 J
--4-----= t \t — 1) , clx = — 1) dt.
V1 + *4
Следовательно,
f dx _______ C t‘ dt ___ 1 /С dt . C dt A
j 4/r—2 J7?+T7 =
Vl + X4
=4 ln | T^T | ~ 4 arctg z + c =
4 ___ * ________________
i , V i + + * 1 i Vi + । л
= Tln4——----------¥ arctg------EC. A
V1 + x4 — X
4. Интегралы вида
j P (x; VP„ (x)) dx, (9)
где Pn(x)—многочлен степени n > 2, как правило, не выра-
жаются через элементарные функции и в этом случае при п ~ 3
и п = 4 называются эллиптическими, а при п А> 4 гиперэллипти-
39
ческими. В том случае, когда интеграл (9) при п — 3 и и = 4
является элементарной функцией, он называется псевдоэллипти-
чески м (см. задачи 3.22). Эллиптические интегралы играют
большую роль в математике; в частности, длина дуги эллипса
вычисляется с помощью эллиптического интеграла (пример 9
§ 7).
Каждый эллиптический интеграл может быть выражен через
элементарные функции и через стандартные эллиптические ин-
тегралы:
Т= = -=^. (10)
J V(1 -х2)(1 - k2x2)
( , (И)
J V(1 — *2)(1 — k2X2)
-----------, = ==-, k^(0; 1). (12)
J (1 + hx2) V(1 — x2)(l-k2x2)
Подстановкой x = sin ф эти интегралы сводятся к линейным
комбинациям интегралов:
I б/ф
J Vl ~ ^2 sin2 Ф
д/1 — /г2 sin2 ф dcp,
С
J (1 + /г sin2 ф) Vl k~ sin2 ф
(13)
(14)
(15)
которые называются соответственно эллиптическими интегра-
лами первого, второго, третьего рода в форме Лежандра.
Через Л(ф, k) и Е(ф, k) обозначают соответственно ту из
первообразных (13) и (14), которая при ф = 0 обращается в
нуль (см. задачи 3.27).
Найти интегралы (3.1—3.2):
ЗЛ.
\ X — 1 + Vх + 1
УхЧ-2
х + Vx + 2
3.2.
4)
х dx.
<0
5) 5 х л/т+т^'
7) =
J \'(х - 7)7 (х - 5)5
f dx
8) i ............. — . a^b.
J V<x “ a)n+l (V — 6)’1"1
3.3. Доказать, что интеграл
\r(x; y/(x — d)p (x — bf) dx,
где R — рациональная функция переменных x и у —
= д/(* — а]р (х — b)q, р, q^Z, a, при условии
(р + Р)е Z является элементарной функцией.
Найти интегралы (3.4—3.5):
С d х
3.4. 1)
J дх 4-/У*
3) ( ______.
J д'Дх2 + 4х + I — V2,V + 1
С %3 — ^х.2 ~4~ 11X — 6
J д/х2 -р 4х ~р
7) х -ух2 + 2-г + 2г/х.
2)
4)
6)
8)
J Vх2 4- 2х — 1
V3 — 4х + 4х2 dx.
х2 д/х2 + 4 dx.
3.6. При каком условии интеграл
4- Ь\Х 4- Ci
д/ах'2 4- Ьх 4- с
а О,
является алгебраической функцией?
3.7. Для интеграла
7 { хп dx м ,
/п = \ —7 о , ncN, п> 1,
J д/ах2 4- Ьх 4- с
доказать рекуррентную формулу
/„ =4zr(xra"1 \/ax2 + bx + c — j(2n — 1)4-1 — с (я — 1)4-2)-
41
Найти интегралы (3.8—3.14):
3.8. 1)
2) \
J 'у/х2 -|- 4х -|- 5
3.9. 1)
3)
4)
dx
(х — I)3 Vх2 — 2х — 1
X > 1 + V2.
3.10.
dx
'(х2 + х+ 1)5/2 *
(х 4-1) dx
(х2 + х + 1)3/2
х dx
(2х2 + 1) V3x2 + 5 '
3.12.
(2х + 3) dx_________
(х2 + 2х + 3) д/х2 + 2х + 4
____________dx____________
(х2 ~ х 4- 1) V*2 4- * + 1
(х 4- 3) dx
(х2 4- 1) д/х2 4- х + 1
3.13.
4)
х dx
(Зх2 + 2х + 3) V2x2 - х + 2 ‘
(Зх + 2) dx
(х+ 1) Vx2 + 3х + 3 ’
X > — 1 .
_____________A'3 dx_____________
(1 -h х) 'х/л 4- 2л* — х'
42
x2 dx
(4 — 2x + x2) л/2 + 2% — x2
dx
dx.
2)
dx
dx
1 + Vl — 2x — x2
/ л / l I v I v2 _ 1 \ 2
dx
dx
dx.
3.15. Доказать, что вычисление интеграла
R (х; Vах + Vсх + *0 dx*
где /?(х; и; v)—рациональная функция переменных х, и, v, сво-
дится к вычислению интеграла
J Rx(t}dt,
где 7?i(0—рациональная функция.
Найти интегралы (3.16—3.19):
3.16. 1) (----.
J i +V* +V1 + *
3.17. 1) jc1/3( 1 -x^)~xdx.
3) jx~2/i(I +x^)~3 *dx.
c^\ I __________dx____________
J (V2x — 3 + 2x — 3) V4 — 2x
2) +xll3)-2dx
4) Jx-1/2(l +xl/*)~10dx.
3.18. 1) \ x2^(x+ l?dx. 2) jVl+\/xdx.
3) C Vi + Vx
J у X
-ч C x dx
Vi + Vx2
1) (----dx —
J x2 -^(2+ x3)5
3) ( ^==r .
J 1 + X3
Г Vx dx
4) \
J V1 4- V x
A (* d*
J x Vx6 + 1
2) \ dx
J X3 V2 — x3
4) x — x3 dx.
3.20. При каких рациональных значениях параметра q ин-
теграл \V 1 + xqdx является элементарной функцией?
43
3.21. Для интеграла
Jm, ^ахП +
доказать формулу
а(т + 1 + пр)]т,р = хт-‘]-п(ахп + b)p+l — b(m + 1 — n)Jm_n,P
и с ее помощью найти интеграл
%9 dx
V1 + х3
3.22. Найти псевдоэллиптические интегралы:
i\ С dx V (х2—') dx
J х77%4+1 j (х2 + 1) д/х4 + 1
дч С (х — 1) dx 4) С________(х2 + 1) </х__
J (х + 1) д/х3 + х2 + х J х д/х4 + Зх3 — 2х2 — Зх + 1
3.23. Найти замену переменной, с помощью которой интеграл
R (х; Р3{х\) dx можно преобразовать в интеграл
$ Rx {t-, л/P^t)) df,
R(x; у), и)—рациональные функции, Р3(х), Ра(х)—мно-
гочлены третьей и четвертой степени.
3.24. Доказать, что с помощью подстановки вида х— у-уу
интеграл Я (х; ^\/P4(x))dx может быть преобразован в ин-
теграл
J /?1 (/; U + Ai/2)(1 + V)) di,
3.25. Доказать, что любой интеграл вида ^P4(x))dx
может быть выражен через элементарные функции и интеграл
( Ri (Р) dt_________
J д/Д (1 + MP) (1 + W2) ’
где Ri(u)—рациональная функция.
3.26. Доказать, что интеграл
С R (х2) dx _
J д/А (1 Х\Х2) (1 4~ А^х2)
1^11 > 1^21> О,
с помощью одной из следующих подстановок:
Л/|ТП х=t, Vim х=v i^2. Vim *=-7=-^
д/1 — t2
ViГм xViXi-^ = д/1 + l-4ll~j%ll*2>
44
приводится к виду
Vd
/?, (И
—/2)(1 —/г2/2) ’
k<= (0; 1).
3.27. Выразить через элементарные функции и функции
k) и £(ф; k) эллиптические интегралы (см. (13), (14)):
. v С х2 dx
J д/36х4 — 13х2 + 1 ’
3i
J V1 + 29х2 + ЮОх4
5)
J V— Эх4 + 10х2 — 1
2) I
J V1 —2х2 —• 8х’
4) . = ==.
J хг V144x4 + 7х2 — 1
f dx
j Vi + *3 ’
§ 4. Интегрирование трансцендентных функций
1. Интегралы вида
\ Л? (sin х; cosx)dx,
(1)
где R(u\ v)—рациональная функция переменных и п г», всегда
можно свести к интегралам от рациональных функций с по-
мощью подстановки
/ = tg(х/2), хе(— л; л).
Эта подстановка преобразует интеграл (1) к виду
9СпГ 2/ . 1 - /2 \ dt
J V 1 + t2 ’ 1+ t2 J 1 + t2 *
(2)
(3)
Подстановка (2) часто приводит к громоздким вычислениям,
поэтому прибегать к ней следует только тогда, когда не видно
других путей к вычислению интеграла.
Если подынтегральная функция обладает одним из свойств:
1) /?(—sinx; cosx)=—/?(sin х; cosx),
2) /?(sinx; —cosx)=—7?(sinx; cosx),
3) /?(—sin x; —cos x)=/? (sinx; cosx),
то для вычисления интеграла удобнее использовать, соответ-
ственно, подстановки
1) t = cosx,
2) t= sin x,
3) / = tgx,
x (— л/2; л/2),
x e (0; л\
xe(—л/2; л/2).
В некоторых частных случаях вычисление интеграла (1) до-
стигается другими приемами.
2. Интегралы вида
\ R (sh х; .ch х) dxt (4)
45
где 7? (a; v)—рациональная функция переменных и и и, всегда
можно свести к интегралам от рациональных функций
О С П ( . 1 + /2 dt
J 'Ч 1 - /2 ’ 1 - / J 1 - /2
с помощью гиперболической подстановки / = th(x/2). Иногда
удобнее использовать подстановки t — sh х, t = ch x, t — th x
или другие методы (см. примеры 3, 6, 7).
3. Интегралы
sin р х cos'7 xdx, \shpxchqxdx, p,q^Q (5)
подстановками t = sin x или t = cos x и, соответственно, t = shx
или / = chx всегда можно свести к интегралам от дифферен-
циального бинома (§ 3, п. 3).
4. Интегралы вида
Jpn(x)f(x)dx,
(6)
где Рп(х)— многочлен степени и, a f(x)— одна из следующих
функций: еах, sin ах, cosax, In х, arcsin ах, arccos ах, arctg ах,
arcctgax, aeR, вычисляются с помощью, вообще говоря, мно-
гократного интегрирования по частям. Методами интегрирования
по частям и замены переменной интегрируются и некоторые
другие трансцендентные функции.
5. Интегралы от трансцендентных функций часто не выра-
жаются через элементарные функции. К таким интегралам отно-
сятся, например, следующие часто встречающиеся интегралы:
sin х j 1 I j
-----dx, — \ e~x dx,
x д/2л J
C dx / r\
\-i—• xe(0
J In X '
(7)
(8)
Первообразные (7), обращающиеся при x = G в нуль, обозна-
чаются соответственно Si(x) (интегральный синус} и Ф0(х) (ин-
теграл вероятностей). Первообразная (8), стремящаяся к нулю
при х->4"0, обозначается И (х) и называется интегральным ло-
гарифмом.
С dx
Пример 1. Найти интеграл з^^^+б-
Л Положим t = tg(x/2), —л < х < л, тогда
sin х
2/
1-W2 ’
1 — 1 j
COS X = ! dx —
46
и, следовательно,
dx _q f dt
3 sin x + 4 cos x + 5 — 2 J 6/+ 4(1 —/2) + 5(l +/2) ~~
-2 $ >.+«+9 -2 V'+3r‘ d‘ “ - ~ih+c=
= — ----------к C A
3 + tg (x/2) *
Л T T „ ( 2 sin x + 3 cos x i
Пример 2. Наити интеграл \-г-з-------------г-х—о—ах.
r r r J sin2 X COS X + 9 COSd X
Л Подынтегральная функция обладает свойством
/?(—sinx; —cos х)=/? (sinx; cosx).
Поэтому применяем
Разделив числитель
на cos3x, получим
подстановку t — tg х, (—л/2 < х < л/2).
и знаменатель подынтегральной функции
2 sin х + 3 cos х , _С 2 tg х + 3 , ,___f 2/ + 3 , __
sin2 х cos х + 9 cos3 х % J tg2 x + 9 J t2 + 9
= In (/2 + 9) + arctg (//3) + C = In (tg2x + 9) + arctg -'+ + С. д
О
Пример 3. Найти интеграл ch3 х sh8x dx.
А Подынтегральная функция обладает свойством
7?(shx; —ch х)= —/?(sh х; chx).
Поэтому, применяя подстановку t = sh х, получаем
ch3 х sh8 х dx = (1 + sh2 х) sh8 х d sh x = (1 + /2) t* dt —
= 4 + Tr + C = Tsh9% + nshl’x + C- *
C dx
Пример 4. Найти интеграл \ -------------7—.
r 1 r J sin X cos2 X
Л Используя тождество 1 = sin2x + cos2x, получаем
dx
sin x cos2 x
s.in2x + cos“x , I sinx < , f dx
—:------!—----dx=\ —5— dx + \ ——
sin X cos2 X J COS2 X J sin X
d cos x
COS2 X
d cos x
1 — COS2 X
1
COS X
1 — COS X
1 + COS X
pc. A
+ -g In
Пример 5. Найти интеграл ^cos4xdx.
А Используя дважды формулу
о 1 + cos 2а
cos2 а =---------,
47
получаем
S. _ _4 v и „ f ( 1 + cos 2x \2 x . sin 2x . 1 C 9 n ,
cos4 X dx = j ----J dx = — ч-----ь — \ cos2 2x dx =
x . sin 2x 1 C 1 + cos 4x , 3x , sin 2x , sin 4x , ~
= т+~4— + Т) -----2--dx—8- + —— + ~32- + C-
Пп it- I 2 sh x + 3 ch x .
ример 6 Наити hiтеграл j TsTFx Ф5chx
А Представим числитель подынтегральной функции в виде
линейной комбинации знаменателя и производной знаменателя:
2sh к + 3ch х — (х(4sh х + 5ch %)+ p(4ch х + 5sh х).
Для аир получаем систему уравнений
Г 4а + 5₽=2,
I 5а + 4р = 3,
из которой находим а = 7/9, р =—2/9. Следовательно,
2 sh х + 3 ch х , 7 С , 2 С 4 ch х + 5 sh х <
-—Г----, • - -г- аX = 77 \ ах — 77 \ ~Г-Т---7-=—;----dx =
4 sh х + b ch х 9 J 9 J 4 sh х + b ch х
7 2 [
“9X 9 J
•1Йб!ЙЙЙг' = -|х“41п(48Ьх + 5сЬх) + С- *
Sch2 x
sh3"x
А Воспользуемся формулой интегрирования по частям, по*
ложпв
Тогда
, 1 j С sh х i
du = shxdx, v = J = - 2^7.
C ch2 x , ___ ch x , I C dx
j sh3 x X 2 sh2 x ’ 2 J sh x ’
C dx if dx ______________________C d th (x/2) _. I .« x I
J ThT- “ 2 J sh (x/2) ch (x/2) J th (x/2) “ ln | ш 2 |
Следовательно,
Sch2 x . ch x I I 1 Lu x 1
« - дл; = —- 7—----b — ln 1П77 +C. Д
sh3 x 2 sh2 x 1 2 I 2 I л
f dx
Пример 8. Найти интеграл \ з/ 5 —7•
у Olli Л WO Л
А С помощью подстановки / = sinx интеграл сводится к шь
тегралу от дифференциального бинома:
^Г5/3(1 — t2Y':idt.
48
Заметим, что число (см. § 3, п. 3J
т + 1 ,
----’----р
п к
5 ,
3 + 1 2 _ .
2 3 “ 1
является целым, и поэтому подстановкой —1 -р t~2 — и3 интеграл
приводится к интегралу от рациональной функции, причем в дан-
ном случае к интегралу от постоянной. Однако для вычисления
интеграла удобнее применить подстановку / = tgx:
dx { 1 dx f х—5/3 t.
=\ rftgx =
У Sin5 X COS X J 6 sirr X LOS x J
у/ COS5 X
= -|(tgx)-2/3 + C. a
Пример 9. Выразить через интегральный логарифм li(x)
и элементарные функции интеграл » х < I.
А Воспользуемся формулой интегрирования по частям, по-
ложив
, dx
и = х, dv = —,
X In- X
тогда получим
Следовательно,
С dx х > { dx X
\ ;—о-—------Г---1 \ 1---------i---Ь О (х) —р С. А
J In2 х In % J In x In x 1 v Л
Пример 10. Выразить через интегральный синус Si(x) и
элементарные функции интеграл Si(x)dx.
А Применим- формулу интегрирования по частям, положив
w = Si(x), dv = dx,
тогда
Следовательно,
, Sin X ,
du =----------dx, v = x.
X
Si (x) dx — x Si (x) — \ sin x dx — x Si (x) + cos x + C. a
Найти интегралы (4.1—4.6):
4.1. 1) sin x sin 3xdx.
3) \ cos x cos 4x dx_.
2) \ sin 2xcos4xdx.
49
4) sin (Зх + 2) cos (х — 1) dx.
5) sinx sin 2х sin 3xdx. 6) j cos х cos Зх cos 5х dx.
7) sin2 x cos (3% + l)dx. 8) cos2 2x cos2 3x dx.
4.2. 1) sh x sh 7x dx. 2) sh3 x dx.
3) \ ch x ch 2x ch 3x dx. 4) \ , 2 . .2 . J J str x + err x
4.3. 1) f sin 2x i n\ C sin 3x - \ —n— dx. 2) \ dx. J COS6 X 7 J COS X
3) f COS 3x 1 . x C COS2 X 1 \ —T-5— dx. 4) \ —:—— dx. j sin0 x J sin 4x
4.4. 1) ^cos3xd.r. 2) sin3x cos4 xdx.
3) cos3 x sin8 x dx. 4) j cos5 2x sin7 2x dx.
5) cos3 x cos 2x dx. 6) cos2 3x sin x dx.
4.5. 1) ^ch3xshxdx. 2) ^sh2xch3xdx.
3) sh4 x ch “ dx. 4) sh3 x ch 2x dx.
4.6. 1) sin2x cos2x dx. 2) sin44xdx.
3) \cos63xdx. 4) v sin4 x cos6x dx.
4.7. Для интегралов Jn, т = j sinnx cos"1 x dx, n, m e N, до-
/ казать рекуррентные формулы
. sinn lxcosm+1x . n—1 j Jn.m— n + ln ' n + m m’ . sinn+1 x cos”1-1 x . m — 1 - n'm m n + in n'
и с их помощью вычислить интеграл
\ sin6x cos4xdx.
Найти интегралы (4.8—4.19):
4.8. 1) sh2 2x ch2 2x dx. 2) ch4 x dx.
3) 1 f sh2 x ch4 x dx. 4) ( sh4 (x/2) ch2 (x/2j dx.
50
4.9. 1) J dx nx f sin4 x j —r—. 2) \ dx. COS3 X 7 J COS X
3) $ dx л x C cos4 x 1 - 2 3 • 4) \ ——0—dx. sin2 X COS3 X 7 J sin3 X
4.10. 1) 1 Г dx f dx ) sh x ch2 x ' J sh3 x ch2 x *
3)! i dx f sh4x , ch5 x ) J ch3 x X*
4.11. о1 2) J Sins X 7 J sin3 X
3) ’ L dx д\ ( dx ) sin x cos3 x 7 j sin2 x cos4 x
5)! l dx C sin4 x , J sin4 x J cos10 x X*
7)! pg5xdx. 8) ^tg6xdx.
4.12. о1 Г sh4 Xi n' C ch5 x 1 1 — dx. 2) \ —г— dx. J ch6 x 7 J sh x
3) j > dx f dx ) (1 -f- ch x)2 ’ 7 J sh4 x ch2 x
5)! ph3xdx. 6) ^th4xrfx.
4.13. 1) ' ' sin x dx qx C dx ) (3 cos x — I)3 “ j sin x (1 + cos x)
3) j sin x + sin3 x 1 дх C 2 sin3 x + cos2 x sin 2x . cos 2x X' ' J sin4x + 3cos2x
5) ! ' sh2x + 4shx , f sh2x + 3shx , TT— dx. 6) \ —73 , 77 ~7Ox dx. ) ch- x — 3 ch x 7 J ch2 x + 2 ch- (x/2)
4.14. 1) ' cos x dx C sin 2x dx 1 sin2 x — 6 sin x + 5 ^7 J 3 + 4 sin2 x
3) 5 cos5 x + COS3 X 1 л x C cos x — cos 3x . —7—г-»—dx. 4) \— r-7 dx. 1 Sin1 X 4" Sin2 X 7 J 1 —snvx
5) s dx ~ f sh2xdx ( ch3 x 4- 3 ch x ‘ J (sh x 4- 1) (ch2 x — sh x) x — a
4.15. 1) ‘ . г . r sin —-— tg x dx 1 cos x — sin x 1 nx I 2 . > T“^ o’ • 2) \ i : dx. 3) \ ; dx. tg X — 3 7 \ COS X 4- Sin X 7 1 X 4" vX 1 J J sin 2
ai cos x ~b b\ sin x
a cos x + b sin x ’
a2 + b2 #= 0.
4 ch x — 3 sh x .
-77-r------й----
2 ch х — sh к
5Ж
4.16.
7)
4.17.
4.18,
4.19.
4.20.
dx
1 — th x n
dx
«chx+^sfl* 2 , . 2 , 0
a ch x + b sh x aX’ Q + ° U-
2 cos2 x + sin x cos x + sin2 x
dx
cos 2x — sin 2x
dx
dx
4 cos2 x — 2 sin 2x + sin2 x
dx
2 + 3 sin 2x — 4 cos2 x
dx
a cos2 x + b sin 2x 4- c sin2 x *
dx
3 sh2 x — 7 sh x ch x + 2 ch2 x ’
9) V_____—----
J 4 + 3sh2x *
dx
tg2 x + 4 tg X
dx.
sin 2x
5 + cos2 x ’
dx
10 ch2 x — 2sh2x — 1
10)
dx
1 — 6 sh 2x — 37 ch? x
2)
2)
th x dx
(th x + 2)2 ’
cos x dx
sin3 x + cos3 x
«к ( sin 2x dx
' J sin4 x + cos4 x
К' C cos2 x dx
j (a2 sin2 x + b2 cos2 x)2 ’
* J sin6 x 4- cos6 x
f sh2 x dx (
J 1 - sh2 x ’ 4
C sh 2x dx
J 1 + sh4 x ’
1) ----------—--------
3 sin x + cos x
dx
sh x + 2 ch x ’
dx
5) _________________
7 J a ch x + b sh x ’
6)
dx
a cos x + b sin x *
Для интеграла
dx
4)
8)
dx
sin4 x + cos4 x
a2 + b2 =/= 0.
ch 2x dx
dx
(ch 2x + ch2 x)2
dx
2) )-7t------7—
J V 3 COS X + sin X
dx
2 sh x — ch x
a2 -J- b2 0.
—_— —— a2’4-/>2^=0.
(n Sin X + b sin x)4 1
52
доказать рекуррентную формулу
1 / a sin x — b cos x
(n — 1) (a2 + b2) \ (a cos x + b sin х)п~1
и с ее помощью найти интеграл
С dx
Jn
n > 1
(2 cos x + sin x)3 *
4.21. Найти: 1) .
' J 1+4 COS X
2)
dx
4 + cos x
dx
4 — sin x *
dx
1 + 10 ch x *
dx n
-7—Г---i-- , C > 0 .
b sh x 4* c
dx
6 — 5 sin x 4- sin2 x
dx
2 sh2 х + 5 sh х + 2 *
dx . м
-------i—, a > 0 .
a cos x + c
4.22. Для
4
интеграла
_ C_____dx____
* J (a cos x 4~ c)n ’
доказать рекуррентную формулу
Jn =-------Ц----- (---a-gi-n £—- —(2n — 3) c]n_!+(n-2) 4 ,Y
(n-l)(a2 —c2) \(ecosx + c)n" ' ' n llv ' n'2J
n > 1,
и с ее помощью вычислить интегралы:
_____dx_____
(14-е cos х)2 ’
0<е<1.
J (1 + е cos х)3
8 > 1.
4.23. Найти интегралы:
1) ________—________
7 J cos х 4- sin х 4- 1
о\ С dx
7 J 3 cos х 4- sin х 4- 5
го С_______dx_______
7 J ch x + sh x 4" 2
*7\
7 j achx4-6shx4-c ’
8) ----3—.
7 J a cos x + b sin x 4- c
4) (________________________
J 7 cos x — 4 sin x 4- 8
dx
3 ch x 4- 5 sh x 4- 3
c2 > a2 — b2.
c > + b2 > 0.
4.24. Найти значения А, В, С, при которых верно равенство
COS X 4~ bl sin X 4- Cl
a cos х 4* b sin x + c
dx — Ax + В In I a cos x + b sin x + c | +
+ C acosA--/^ sinx + c ’ a2 + ¥= 0-
J U LUO Л и ЫН Л (z
5»
4.25.
Найти интегралы (4.25—4.27):
1 — sin x 4- cos x i
-i—.—:---!------dx.
1 4- sin x — cos x
Ssin x dx
-------p-
cos x 4- sin x + V 2
4.26.
cos x 4- 2 sin x .
-----------------77 “X.
4 cos x 4~ 3 sin x — 2
1 — cos (x — a) .
1 — COS (x 4- a)
chx4-2shx4~3 .
4 ch x + 5 sh x + 6 *•
sin2 * * * * 7
2 cos x + sin x — 3 t
о----------:------Б- dx.
2 cos x — sin x — 3
sh х 4- 2 ch х .
тг-т------г------~dx.
2 sh х — ch х — 1
4.27.
П1 Sil J A 1
\ T7-------i---:---dx.
J 2 cos x + sin x
f 2 cos2 x — sin x cos x 4~ sin2 x ,
3) \ !--------dx.
J sin x 4- 2 cos x
2)
1 — 2 sin 2x 4~ 2 cos2 x 1
-------.---------------------
sin x 4- cos x
ax cos2 x 4- bi cos x sin x + cx sin2 x . ^2 । ^2 q,
a cos x 4- b sin x
sh 2x dx
5 sh x + 3 ch x
6)
ch 2x dx
3 sh x 4“ 5 ch x
cos x — 2 sin x i
Q . 2—г—л-----s—dx.
3 sin2 x J- 4 cos2 x
2 sin x — cos x t
(3 sin x + 4 cos X)2
ax cos x + bi sin x
a cos2 x + b sin2 x ’
b > a> 0.
dx.
I ai cos * + ^i sin x j
7 J (a cos x 4~ b sin x)2 ’
р.к C 2 sh x — ch x
7 J 3sh2x4~4ch2x
4.28. Найти значения A
и В,
(ax cos x + bi sin x) dx
a2 + b2 0.
2 sh x 4~ ch x .
(3 sh x + 4 ch x)2
при которых верно равенство
С С dt%
&9^2
a cos2 x + %b sin x cos x 4~ c sin2 x
.здесь b ^0, a #= c, Xi, X2 — корни уравнения
(Х~«)(Л-с) = 62,
/. — (с — Л/) sin х + b cos x, k; = —,
1 ' 1 * 1 c — Xi
1, 2.
Найти интегралы (4.29—4.33):
Д 9Q n ( (cos X 4- sin x) dx
J 5 cos2 x — 2 sin 2x + 2 sin2 x *
4.30. i) ( .
7 J sin 2x 4- 2 sin x
g\ C_____________dx____________
7 J sin 2x 4~ 4 sin x — 4 sin2 X
2)
S sin x — 2 cos x
14-2 sin 2x
•S4
ЛЧ i sin x dx
J (1 — cos x + sin x)2
Гк f ch x -{- 2 sh x — 1
° J sh x (ch x — 3 sh x — 1)
I 2 sm x — sin 2x <
4) \ —г-*—г-т:----------г?
J Sin3 X + (1 — COS xf
i „ C sh 2x —r 2 sh x .
ax. 6) I —Ffi-7—--------кз “X.
J sh6 (x/2) — sh3 x
4.31. 1) sin5x^cosxt/x.
f sin3 x dx
i ______ ..
J cos X у COS X
5) ch3 x -у/sh2 x dx.
4.32. 1)
J cos3 x Vsin 2x
3) -y/tgxdx.
c, f -v^th'Gv ,
5) 4^—dx.
7 J ch4 x
0. I cos X .
2) \ -5 — dx.
J Vsinx
A. f dx
J cos x Vsin2 x
f sh3 x ,
\ -T7= dx.
J Veh2 x
dx
cos x Vsin3 2x
Vtg3 x dx.
6) \ Vth x dx.
Slcos ЛТФ.)
-----------ту-dx, res N, <p=# — 1 л, ke Z.
J
f Gh-vT‘
2) \ --T—^+T- dx, n g N.
J (.hi±i)
4.34. Для интеграла
доказать рекуррентную формулу
и с ее помощью вычислить интеграл J3.
Найти интегралы (4.35—4.41):
С -Г-
4-35. 1) У ;.~¥—^dx.
J 1 — е х + е™
2)
______dx______
2 — ех — е2х
4)
dx
(^-1/
55-
Г __________dx__________
5) J (е*-1 + 1)2-(ех+‘ + I)2 "
С________dx________
6) J Vl +ех 4-e2-(
7) \ д/eix + 4ех — 1 dx.
4. 36. 1) ^(х3 + x)e~x2dx.
Q\ ( Хdx
' J sin2 x
5) x sin x cos 2x dx.
7) x2ex sin x dx.
4.37. 1) \ ln(1 ~^+x.2).. dx.
J x
Г________dy________
8) J V1 + ex + V1 — e*
2) b+shb' dx.
7 J ch x — sh x
C xdx
) j 1 4- sin x
6) (sin x — x'3dx.
8) eax sin3 bxdx, a2+&2=^0.
2) ex In (1 + e~x)dx.
3) Gn (Vl + x 4- V1 “ *) dx. 4) \ ^^—dx.
7 J 7 J у X
4.38. 1) j arctg x 21-j- dx.
3) x arccos (5x — 2) dx.
4.39. I) arcsin x dx.
3) J x 71 - x2 arccos x dx.
4.40. 1) e~xarcsin exdx.
3) (2x+ 1) earct£ x dx.
_ . . .. C x cos x — sin x 1
4.41. 1) \——------------dx.
3) J ln2x dx-
5) \ (l-^)2exdx.
2) \ x arctg (x + l)dx.
4) x1 arctgxdx.
2) \ x arctg Vх dx.
2) ^arcsin
4) Jx(l + x2)“3/2earct8Zcfx.
2) ( sin x.~ cos * ex dx.
7 J Slir X
л x \ In x dx
41 J (In x + I)2 ’
6) $(44t)2 eX dx-
7)
x3 + 2x2 + 3% 4- з
x4
e~x dx.
8)
:3 + 2x2 — 2x — 2 v . :
2/i i \ 2 dXt
X2 (1 + x)2
4.42. При каком условии интеграл
где ak — постоянные, является элементарной функцией?
56
4.43. Выразить через интегральный логарифм П(х) и эле-
ментарные функции интегралы:
п ’ 3)j — dx, х < J х Г е2х dx 0.
, X < 1
J х2 — Зх + 2
5) ' 1 ех 1п | х | dx, X < : о
7) ' i х101 dx : i
J In X X <
2) ^X_dLe~xdx,
С е3х
4) \^dx'
х In4 х dx
(In x — 2)2 ’
X > 0.
x < 0.
X < 1 .
x < e2.
\ Г d х
) J In3 X
4.44. Выразить через интегральный синус Si(x) и элементар-
ные функции интегралы:
. ч f х sin х — cos х , I sin 3x .
1) ]-------г-----dx. 2) хз dx.
C sin x2 , n C sin3 x ,
3) I—~—dx. 4) \—- dx.
4.45. Выразить через интеграл вероятностей Ф0(х) и элемен-
тарные функции интегралы:
1) e-(2^+2x+l) 2) е~(ахЧ2Ьх+с} dXf а>
Г С е~х~
3) \x2e~x2dx. 4) j - р— dx.
5) 1 —jr) е 2 + *2) dx. 6) е + dx.
4.46. Выразить через F(x\k) и £(х;Л), т. е. через эллипти-
ческие интегралы первого и второго рода в форме Лежандра
(§ 3), и через элементарные функции следующие интегралы:
1)1
J V? + cos 2х
з)
J д/cos 2х
Г 1 + cos 2х
2) J V17 + 8cos 2х dx'
4) ( -.....
J V1 — 2 cos х
4.47. Выразить через функции
тарные функции интегралы:
1) sin х Si (х) dx.
3) ^Ф0(х)б?г
5) 1 Si (axj Si (bx) ах, ab 0.
Si(x), li(x), Ф0(х)
и элемен-
2) j li (х) dx.
4) ^xSi(x)dx.
6) хФ0 (х) dx.
57
C e~x2f2dx
} J Фо(х)
9) %ех2/2Ф0 (х) dx.
И) $Фо(х)Ас.
13) In | х | Фо (х) dx.
8) ^-*2/2Ф0(хМх.
10) ^xe~xW>0(x) dx.
12) х /“Фр (*)
§ 5. Интегрирование разных функций
Найти интегралы (5.1—5.196).
5.1. 1 Г X3 — X2 . \ r-^—dx. J х + 3 5.2. С х dx
J 2х2 — х + 1 •
5.3. С х2 dx 5.4. С х4 + Зх3 — 1 J х2 4- 2х + 1 ах*
J х2 + 12х + 35 •
5.5. 1 С х4 dx 5.6. С х dx
J х2 + 4 J х3 + 8 •
5.7. ' Г dx 5.8. С (5 — х) dx
J (х+ 1) (9х2 + 6х + 4) • J (х — 3)(х2 —5х + 7)
5.9. 1 Г х2 — 2х — 5 . J х3 - х2 + 2х - 2 ах' 5.10. f х3 dx
J х3 - Зх 4- 2 '
5.11. ’ ? (х3 4- х2) dx 5.12. 2х4 — 2х3 — х2 4- 2 , 2х3 — 4х2 4- Зх — 1 й1С'
) (х — 2) (2х2 — х + 2)
5.13. ’ ? dx 5.14. J (2х2 — 5) dx
) х4 — X3 х4 — 5х2 + 6
5.15. ’ х2 dx 5.16. dx
} (х2+ 12х + 35)2 • х4 4- Зх
5.17. ’ (2 — х) dx 5.18. 10 — 5х 4~ Зх3 . (X-Л)2 (X2 4-2x4-5) ак'
} X4 “ Xs — X + 1
5.19. ( х2 V Нх 5.20. J 19х3 4- 9х2 4- 6х 4- 1 н 9х4 -Ь 37х2 4- 4 аХ~
Ц х2 + 4 ) ах-
5.21. ' ' dx 5.22. (х2 — 1) dx
) X4 + X2 + 1 * х4 4- Зх3 4- 5х2 4- Зх 4- 1
5.23. ’ ' х2 + 5х + 4 , 1 4 1 С 2 1 z dx. ) х4 + 5х2 + 4 5.24. 1 4- 2х 4- х2 4- 4х3 , 7—; 5—7 7 ах. 1 + х2 4-
5.25. ‘ i 5х7 — 5х2 — 18х . \ 5-T-Q--2 i dx. ) х5 4- Зх2 — 1 К Ой \ . dx
(х+ 1) (X2 4-X 4-1)2 •
5.27. ‘ * х5 dx 5.28. J dx
) х6 + 9х3 + 8 • (х2 4-х 4- I)3 ’
5.29. ’ . dx 5.30. \ dx
) х8 + 7х ‘ х8 4- Зх6 4- 16х4 ’
58
5.31. C dx 5.32. \ dx
J x8 + X4 + 1 • J (x4 — I)3 ‘
5.33. f dx 5.34. C x3 dx
J x (3 + x6)2 • J (X8+ I)2 •
5.35. f x9 dx 5.36. C dx
J (x10 + 2x5 + 2)2 J л/X + Vx
5.37. C x dx 5.38. f dx
J Vx + X VX J -V? + 4 Vx
5.39. C dx 5.40. C x 4- Vx 4~ Vx2 ,
j Vx ч- Vx3 4- Vt5 \ r= dx. J x + V*4
5.41. 5.42. C 1-Vl+x
J (x+D2-Vx+l J l + x + V(l + x)4
5.43. f dx 5.44. ( д / ~ V dx. J V 1 + Vx
J V2x — 1 — '\/2x — 1
5.45. f dx 5.46. C dx
j V2 + V1 + x 4~ Vl ~ x -J * X Vl — X2
5.47. f dx 5.48. C dx
J x2 Vx2 — 1 J X3 Vl — X2
5.49. X3 V%2 — 1 5.50. x4 д/4 “ x2 dx.
5.51. C dx 5.52. C dx
J (1 — x) V3 + 2x —x2 J (x — I)3 Vx2 — 2x — 1
5.53. f 6?X
J (x + I)5 v^2 + 2x x dx , X
5.54. 1
1 (x2 - 3x + 2) Vx2 — 4x + 3
5.55.
x3 dx
Vl + x2
5.57. C dx
J (1 - X4) Vl + X2 f
5.59. j V4x2 — 4x + 3 dx.
5.61. f x2 + x + 1
J (x2 + 1) ^/x2 + 1 dx'
К ЛЧ f x dx
J (x2 4- x + 2) V^x2 4- 4x4-3
5.56. V dx
J X4 Vl + X2
5.58. C xs + 2x2 + 3x + 4 , V . dx. J Vx2 4- 2x 4- 2
5.60. V1 — 4x — x2 dx.
5.62. C dx
J V7x — x2 — 10)3 '
r «4 \____.
1 , /----,9 •
j (i-Vi-xv
б»
J X 4“ д/X" 4” X 4- I
C d Y
5.66. \-------. T.
J 1 + 2 (x + д/x2 + x + 1)
5.67.
J Vl + x2
5.69. х5д/(1 -\-х??(1х.
5.71. (-------f* . .
J x11 Vl +x4
5.73. 7*' rfx.
J xb
5.75. I dx
J у xs — x2 — x 4~ 1
5.77. 1 V‘ + *4 dx. J x4- 1
5.79. C dx
J (3 + 5x3) V3 + 4x3
5.81. sin 2x sin 5xdx.
5.83. shxsh 2xsh3x dx.
5.85. C 1 — sin x i \ dx. J COS X
5.87. sin2 x cos2 3x dx.
5.89. \ cos3x sin5xdx. J
5.9L sh4 x ch4 x dx.
5.93. f cos3 x i \ —7-4— dx. J sin4 X
5.95. C ch4 x у \ —го— dx. J sh2 x
5.97. $ (tg2 x + tg4 x) dx.
5.99. tg7 x dx.
5.101. f cos2 x dx
j sin x cos 3x
5.103. C sh 3x . ‘ J ch6 x aX'
5.105. f 3COSx + 7S.nx J 5 cos x 4" 2 sin x
5 08 \ dx
O.UO. i 3/ J x Vx2 4- 1
5.70. ( ^‘ + %3 dx. J x-
к 70 f (*? — 1) dx
J x Vl + 3x2 + x4
5.74. — .
J V(x — I)3 (x — 2)
5 76 1
J (1 -X2)V1 +x4
5.78. ~ l2£^
J x V62x2 — x4 — 1
5 «a f
O.OU. 1 4
J (1 + X4) Vl +2Г*
5.82. cos x cos 2x cos 3x dx.
5.84. —.
J 1 — sin X
5.86. , j”" * dx.
J 1 4~ sin x
5.88. sin26x sin23xdx.
5.90. sin4 x cos5xdx.
5.92. sh3 x ch4 x dx.
Г- лл C COS5 X J 5.94. \ -г-,— dx.
J Sin- X
5.96. ( 3 . J sh- x cir x
5.98. ^ctg6xJx.
5.100. ^cth4.rdr.
5.102. cos/x dx.
J cos4 X
5.104. J sn3 X
л л C ch x dx
5-'»e- 4ei,,-3Sh,-
60
5.107. ' Г dx 5.108. 1 [ 2 4* cos 4x ,
J 2 + sin 2x + cos 2 x J 5 + 4cos4x
5.109. Г 3 sin x + 2 cos x + 1
J sin x + 3 sin2 x
5.110. ' L 3 sin x 4~ 2 cos x 4~ 1
) sin x + sin 2x
5.111. Г (l+cosx)^
J 1 + sin X
5.112. Г (sin x — cos x) sin 2x , \ -3i з dx.
J sin3 x 4* cos3 X
5.113. C—3 sh x + 2 ch x + 1 J sh 2x + ch x 5.114. C sh 2x dx
J 2-Ь sh2 x
5.115. f sin x sin 2x 1 \ dx. J sin X + cos X 5.116. C dx
J 4 4- tg x + 4 ctg x *
5.117. f Ctg3 X + Ctg X , 5.118. C dx
J 4 + tg2 x J (14- cos2 x)2
5.119. f Г sin 2x \2 . 5.120. C dx
J \ sin3 X + cos3 X 7 Г dx J sin x 4- 2 cos x 4- 3 ’
5.121. 5.122. VI — sin 2x dx,
J 3 — 4 sin 2x + 2 cos2 x
x e (0; л).
5.123. ( —x <= (0; я). J V 1 + COS X 5.124. f th x dx
J Vi — th x
5.125. C sh x dx 5.126. f Vsin3 2x , t
J Veh 2x J sm° x
5.127. C tg x dx 5.128. C sin x dx
J Vl + sin2 x J V2 + sin 2x
5.129. x3 sin x2 dx. 5.130. x ctg2 x dx.
5.131. C x dx 5.132. f -5 sin x d*
J (1 4- cos x)2
J 1 + COS X
5.133. C x dx 5.134. f x s*n x dx
J sin4 x J V(4 — sin2x)3
5.135. C e2x dx 5.136. f 1 + e2jc , r^-dx.
J 1 + ex ' J (1 + exY
5.137. [l±Ldx 5.138. f xex rfx
J (1 + exf •
J 2х
5.139. C xex dx J (x+ I)2' 5.140. xe^ dx.
5.141. e'-x л]ех + elx dx. 5.142. $ ex+eXdx.
5.143. J 1 4- cos x 5.144. C / sin x \2 J к ex ) dx-
61
5.145. Г dx 5.146. ’ (x In x}2 dx.
J X Vl— In2 X
5.147. $(¥>• 5.148. 1 Г з । I л -j- 3 1 j \ x6 In 5- dx. J 1 x — 3 1
5.149. 5.150. 1 ; '-*1 dx 1 (x + 2)> "X-
5.151. f X In I X I T \ ' !— /7 Y J (1 + X2)2 5.152. 1 ) . X2
5.153. C X In (1 — X + x2) . \ 77—: 2T2 “X. J (1 + X2)2 5.154. ) In X . i . dx. ’ д/х — 1
5.155. C In (1 — X2) 1 \ —y, - dx. J Vl — X 5.156. ( x In | x | dx
1 (1 — x2) д/X2 — 1
5.157. V In 1 * + V*2 — 1 1 dx J X2
5.158. С X In (x + V^2 + 1 5 у
J V*2+i x'
5.159. f In (% + V^2 4~ 1 ) у J (x2+l)Vx2 + l C
5.160. С X , X 1 \ In —-~^= dx. J V1 ~ X2 Vl — X
5.161. Xх (1 + In x) dx. 5.162. J In X • cos In X . dx. X
5.163. sin x In (cos x + V2 — 5 sin2x) dx.
5.164. С Varctg x dx J 1 + x2
5.165. (x3 + x) arcctg x dx. 5.166. J '^&^~dx. 1 X2
5.167. J arctgxdx. 5.168. x4 arctg x . dx. X2 4- 1
5.169. C x arcctg x r J (X2+1)2 ax- 5.170. J x arcsin (x — 1) dx.
5.171. x2 arccos 2xdx. 5.172. arccos x , 5 dx. X2
5.173. arcsin3 (x/3) dx. 5.174. J x3 arccos (1/x) dx.
5.175. r 3?- 1 , , 1 _—arctg x dx. J x д] X 5.176. jj arctg (1 — Vx) dx. Vx arctg Vx dx x 4- 1 arcsin x dx
5.177. arcctg Vl ~ xdx. r 5.178.
5.179. \ V1 %2 arcsin x dx. 5.180.
(1 — x2) Vl — x2
62
5.181. 1 * х arcsin xdx е iqo \ (1 4-х2) arcsin х ) (х2- 1) V1 -х2 ' x2Vl-x2 dx‘
5.183. ’ V^arcsin д/1 —.xdx. 5.184. ( — ^sm dx. J J V1 — X
5.185. ' L arcsin у х , р юл f х3 arccos к , } (х—I)2 dx- 5Л86- J dx-
5.187. ‘ i Xi t- -«go \ x2 arccos (x л/x ) t ) arccos д/ x + ! dx. 5.188. J _ x3)?— dx.
5.189. ’ i cos xarctg sin xdx. 5.190. --rc--m2tgx dx. ) J cosz X
5.191. ' arcsin ex dx. 5.192. shx arcsin exdx. ' C ^arctg X
5.193. i shxarctgshxdx. 5.194. \ dx. j _ J (l+x2)Vl+x2
5.195. ’ i arctg л/ex i I 2 — dx. ) (1 + ex) yjex
5.196. ’ x arctg x In (1 + %2) dx.
Найти интегралы, зависящие от параметров (5.197—5.234)'.
5.197. * r/x , l —7~rr—i—, a =r= ) ax2 4~ bx 4- c
5.198. ' 3 . Л i—Г-, ab#= 0. J x3 + bx2 + ax 4- ab
5.199. ' dx j (x2 4- 4~ b) x 4- ab)2 ' a=^
5.200. ’ x4 + (a2 + b2) x2 + a2b2 ’ ab^°-
5.201. ' i(x^) dx’
5.202. ' ) x2«_a2« > n^N, a>0.
5.203. ’ j Vux-I-/. br dx>a^0 5.204Д .. , a0. j у ax 4- b 4- d J д ax2 4~ b
5.205. ’ f и i , , Ct u. J V — x2 4- {a 4- b) x — ab
5.206. ' \ 'x/x2 (cl + b) x ab dx, a< b, x > b.
5.207. ‘ . dx ' x V*2 4* a
5.208. 1 i —7 /4 ab 0. 1 (x2 — a2) 'x/b2 — x2 ’
63
5.209. \--------........... , ab/^Q.
' (x2 + a2) V*2 + b2
5.210. ----7^....- , tZv^O, neN.
J x у xu 4- a
f - dx______________
5.211. j _ a)n+l (x — b)1
n e N.
5.212. (cos ax cos bx)2 dx, ab^O.
dx
5.213.
sin (x 4- a) sin (x 4- b)
r- e l dx
5.215. J i+2acosx + fl2'
5.217
5.214. \ -——.
J sin x — sin a
5.216.
J 1 4~ 2a cos x + a2
5.218. . 2—T—.
J tg2 x + a
dx
5.219. j a2 cos2 x 4-62 sin2 x
dx
ab^O.
5.220. j Cos x sin xy
x dx
5.221. i -------г—;—?2~ •
J (a cos x 4- sin x)2
a2 + &2¥=0.
dx
* J\ (ax — b) sin x 4- (a + bx) cos x
5.224. (
j ae 4- be
5.222. \ -—г-7—“.--гг:—, a =# 0<
J (a 4- (ax 4- Z>)tgx)2
d2 + &2=#0.
ab=^Q.
5.225. rfx а&У=0.
д/ a + bex
5.226. sh ax ch bx dx, a2 + b2 =£ 0.
5.227. —r—, a2 + b2 + c2=£0.
J a 4- b ch x 4- c sh x
5.228. sh ax cos bx dx, a2 + i>2¥=0.
5.229. J In | x2 + a | dx. 5.230. J lnl^ +Vx2 + a|
~ . C In X ,
5.231. \ rfx.
J Vx 4- a
5.232. xa~l lnb_|A' (a In x + b) dx.
к OQQ ( X arcsin X ,
lt.ZM. j (1 + aj(.2j2 ax.
9ЧД f______arctg xrfx______
a-Z'VK J (ax2 + b) ^/^±b ’
ab =5^=0.
ГЛАВА II
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 6. Определенный интеграл
1. Интеграл Римана. Пусть задан отрезок [я; Через
будем обозначать разбиение отрезка [tz; такими точками xk,
k = 0, 1, ..., kx, что
а = х0< Xi < ... < xk < ... < Xkx = b.
Отрезки [xf-i; xz], /=1, 2, ..., /гг, называются отрезками раз-
биения т, а наибольшая из их длин — мелкостью |т| разбие-
ния т:
|т| = max \xt—Xf_i |.
г = 1, 2 ...» kx
Разбиение т' называют разбиением, вписанным в разбиение т
(а также разбиением, следующим за разбиением т), и пишут
т' > т или т < т7, если каждый отрезок разбиения т' содер-
жится в некотором отрезке разбиения т.
Пусть на отрезке [а\ Ь] задана функция f, = {xk}kssQ—не-
которое разбиение этого отрезка, | т|—его мелкость и Ах/=
— Xi — xi-\. Зафиксируем произвольным образом точки & е
е [xz-i; Xi] и составим сумму
lb Ь, • • - , g4t) = Е f fl)
i = 1
Суммы этого вида называются интегральными суммами (Ри-
мана) функции f.
Функция f называется интегрируемой (по Риману) на
отрезке [а; Ь], если существует конечный предел lim Этот
I Т |->о
предел называется определенным интегралом (или, подробнее,
определенным интегралом Римана) функции f на отрезке
\а\ и обозначается
ь
j f (х) dx.
а
3 Л. Д. Кудрявцев и др.
65
Число а называется нижним, а b — верхним пределом интегри-
рования.
Таким образом,
ь
[f(x)dx— lim (2)
J |т|->0
Определение предела (2) можно сформулировать в терминах
пределов последовательностей или на «е— 6-языке». Сделаем
и то, и другое.
Определение 1. Число J называется пределом инте-
гральных сумм (1) при |т|-^0, если для любой последователь-
ности т/г = {х*!)}й от" разбиений отрезка [а; 6], у которой
lim | т„ | = 0,
П—>оо
и для любого выбора точек
х<“>], /= 1, 2, kXn; n=l, 2, ....
существует предел последовательности интегральных сумм оХп,
п = 1, 2, ..., и он равен J:
lim сгт —J. (3)
П~> ОО п
Определение 2. Число J называется пределом интеграль-
ных сумм (1) при |т|->0, если для любого 8>0 существует
k = fe
такое 6 > 0, что, каково бы ни было разбиение т = {х^}Л=яОт
(отрезка 1а; 6]) мелкости, меньшей 6: |т|<Сб, и каковы бы ни
были точки xj, выполняется неравенство
1 ат - / | < е. (4)
Определения 1 и 2 предела интегральных сумм (1) равно-
сильны. По определению полагается
а а Ъ
f (х) dx = 0, f (х) dx = — f (х) dx, a <b.
a ba
Теорема 1. Если функция интегрируема на некотором
отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Для каждого разбиения т — {xk}k=^ отрезка [а; 6], на ко-
тором определена ограниченная функция /, положим
Л1;= sup f(x), nii= inf f(x), /= 1, 2,..., kx.
kx kx
Sx = sx(f)= X MiAxi, sx = sx (f)= У miAxt.
i-\ t = \
Сумма называется верхней, а сумма sx — нижней суммой
Дарбу функции f.
66
Верхняя грань нижних сумм Дарбу sT называется нижним
интегралом функции Д а нижняя грань J* верхних сумм Дар-
бу— ее верхним интегралом:
J* = sup J* = inf
T T
Предел нижних и верхних сумм Дарбу при |т|—>0 опреде-
ляется аналогично пределу интегральных сумм Римана. Сфор-
мулируем его, например, на «е— 6-языке» для нижних сумм
Дарбу.
Определение 3. Число J называют пределом сумм
Дарбу sx при |т|->0 и пишут
lim $т = /,
I т I -> о
если для любого е > 0 существует такое б > 0, что для всех
разбиений т мелкости | т | <С 6 выполняется неравенство
|$т — /| < е.
Теорема 2. Для того чтобы ограниченная функция f была
интегрируема на отрезке [я; Ь], необходимо и достаточно, чтобы
lim — sT) = 0.
I Т |->0
Следствие. Для того чтобы ограниченная функция f была
интегрируема на отрезке [a; b], необходимо и достаточно, чтобы
kx
lim У (f) =0,
| Т 1->0 i = l
где со;(/)—колебание функции f на отрезке [хл-ь xi\:
sup | f (x") — f (xz) I, z = l, 2, kx.
x.]
^[X/.jJX.]
Теорема 3. Для того чтобы ограниченная функция f была
интегрируема на отрезке [а; 6], необходимо и достаточно, чтобы
Л-/*.
Следствие. Для того чтобы ограниченная функция f была
интегрируема на отрезке [a; fe], необходимо и достаточно, чтобы
для любого е > 0 нашлось такое разбиение т отрезка [а; Ь]9
что
ST — sT < g.
Пример 1. Доказать, что всякая непрерывная на отрезке
функция интегрируема на нем.
Л Если функция f непрерывна на отрезке [я; 6], то она и
равномерно непрерывна на нем, т. е. для любого е > 0 су-
ществует такое 6 0, что для любых двух точек х' Ь] и
х" ^[а; 6], удовлетворяющих условию |х"— выпол-
з*
67
няется условие |f(x/z) — f(x')|<e, и, следовательно, если раз-
биение т = {%/г}^==от отрезка [я; Ь] имеет мелкость |т| < 6, то
coz (/) = sup I f (x") — f (x/) К 8, z=l, 2, . .., k^,
а поэтому
kx kx
X (f) Axz < в Axz = e (b — a).
Z = i Z=1
Отсюда
lim £ cdz (f) ^Xi = 0,
I X |~>9 Z = 1
и, согласно следствию из теоремы 2, функция f интегрируема на
отрезке [a; &J. А
2
Пример 2. Найти интеграл ^x2dx с помощью интеграль-
1
пых сумм.
А Функция f(x) = x2 непрерывна на отрезке [1; 2] и, следо-
вательно, интегрируема на нем (см. пример 1). Поэтому для
вычисления предела интегральных сумм сгт при |т|—>0 можно
взять любую последовательность разбиений тя отрезка [1; 2]
с мелкостью, стремящейся к нулю. Будем делить последова-
тельно отрезок [1; 2] на л равных частей, т. е. возьмем разбие-
ния
k
состоящие из точек х%> = 1 + k~0, 1, п, а в качестве
точек & выберем концевые точки отрезков разбиения ^ = хи
i — 1, 2, ..., kn, тогда
п п
а^=Е(1'+^)Ч=-^Е<п+л2=
Z = l / = 1
+^iiio)=2+i+i(1+i)(2+x).
Поэтому
lim сгтп = 7/3. a
Заметим., что на практике интегралы от основных элементар-
ных функций нецелесообразно находить с помощью предела
интегральных сумм — для этого есть более простой способ (см.
ниже формулу Ньютона — Лейбница). Наоборот, можно нахо-
68
дить некоторые пределы сумм, если их удастся преобразовать
к интегральным суммам функций, интеграл от которой известен
(см. ниже пример 13).
Интеграл, рассматриваемый как предел интегральных сумм,
иногда удобно использовать для его приближенного вычисления
(см. § 10).
Пример 3. Доказать, что, для того чтобы функция была
интегрируема на отрезке [я; б], необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось следующее условие (называемое условием 1\оши
для интегральных сумм)', для любого е > 0 существует такое
б > 0, что для любых двух разбиений п и т2 (отрезка [а; Ь] )
мелкостей |п | < б и | 1 < б имеет место неравенство
I Ot, I < 8.
А 1) Если функция f интегрируема на отрезке [а; 6] и
ь
I — f(x) dx,
а
то, согласно определению 2, для любого е > 0 существует такое
б > 0, что для всех разбиений т, удовлетворяющих условию
| т | < б, выполняется неравенство
I ог — / I < е/2.
Поэтому если |ti | < б и |t2| < б, то
S 8
I К I (УХ2 — 7 I + I / — I < у + у = 8.
2) Если для интегральных сумм от функции f выполняется
условие Коши, то любая их последовательность {сгтп}, такая, что
lim | хп [ = 0, удовлетворяет критерию Коши сходимости число-
П ->оо
вых последовательностей и поэтому сходится. Из того, что все
последовательности {от | при условии Ит|тЛ| = 0 сходятся,
следует, что все они имеют один и тот же предел. Это, согласно
определению 1, означает, что функция f интегрируема на рас-
сматриваемом отрезке. А
6.1. Написать интегральную сумму ап функции f(x) —
= 1 + х на отрезке [—1; 2], разбив его на п равных отрезков и
выбрав значения аргумента /=1, 2, ..., /г, в середине этих
отрезков.
6.2. Для данных функций f (х) найти нижние и верхние
суммы Дарбу на указанных отрезках, деля их на п равных
частей.
1) f(x) = x3, хее[—2;3]. 2) f(x) = Vx, хе[0;1].
3) f(x) = 2\ хе[0; 10].
69
т
6.3. Найти ^{gt + vQ)dt исходя из определения интеграла»
о
6.4. Вычислить определенные интегралы как пределы инте-
гральных сумм:
л
1 2
1) ^exdx. 2) sinxdx.
о о
х с
3) cos t dt. 4) \
О 1
2
6.5. Вычислить интеграл хг dx как предел интегральных
Г
сумм, разбивая отрезок [1; 2] на части точками, которые со-
ставляют геометрическую прогрессию.
ь
6.6. Найти интеграл \x1ldx, neZ,
п — i, как предел
а
интегральных сумм, разбивая отрезок на части точками, обра-
зующими геометрическую прогрессию {Ферма).
ь
С dx
6.7. Найти интеграл \ —, 0 < а < Ь, как предел интсграль-
а
ных сумм.
6.8. Найти интеграл Пуассона
л
In (1 — 2а cos А' + a2) dx
о
1) при | ос | < 1, 2) при | ос | > 1.
6.9. Доказать, что определения 1 и 2 предела интегральных
сумм от равносильны.
6.10. Пусть функция f ограничена на отрезке [a; b], sx и
Sx — ее нижняя и верхняя суммы Дарбу, т = {xk}k=={} —разбие-
ние отрезка [а; Ь]. Доказать:
1) Для любых двух разбиений п и т2 отрезка [а; Ь] выпол-
няется неравенство sT1^SX2.
2) Если От = <Ут(/:; •••> —интегральная сумма Ри-
мана (1), то
sT= inf о\, ST = sup о\.
...........................
3) = У (0/ (f) Дх£, где —колебание функции / на
7-1
отрезке [лл-i; лД.
70
6.11. Доказать, что всякая монотонная на отрезке функция
интегрируема на нем.
6.12. Доказать, что если функция f непрерывна и положи-
тельна на отрезке [0; 1], то
\h (4) f (4) • • • f Ш=ехр($ln f dx)-
6.13. Доказать, что если функции f и g непрерывны на от-
k=k
резке [а; Ь], т = {хЛ}^=()т — разбиение этого отрезка, gt- е
[xz-i; xj , гц е [xz-i; xz], Axz- = xz — x£_i, i — 1, 2, ..., kx, то
kx b
lim У f (g/) g Ы = \f(x)g(x)dx.
6.14. Доказать исходя из определения интеграла, что если
функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.
6.15. Доказать, что если функция f монотонна на отрезке
[0; 1], то
\fMdx—(±) = о(1-), п^оо.
о ы
6.16. Доказать, что если функция f ограничена и выпукла
вверх на отрезке [а; &], то она интегрируема на нем и
ь
(Ь _ a) (х) dx < (b - a) f (^).
a
Указание. Воспользоваться результатом задачи 10.86, [1].
6.17. Пусть функция f непрерывно дифференцируема на от-
резке [а; Ь\ и
ь п
Л, - j f (х) dx - £ f (a + .
a & = 1
Найти lim nAn.
rt->oo
6.18. Сформулировать определение предела lim в тер-
|Т| -* о
минах пределов последовательностей и доказать его эквива-
лентность определению 3.
6.19. Доказать: если функция f интегрируема по Риману на
отрезке [а; Ь\, то
ь
lim s~ = lim Sr=\f (x) dx.
|T|->0 x lTl->0 T i
6.20. Доказать: если и /* соответственно нижний и верхний
интегралы Дарбу функции ft а sx и — ее нижние и верхние
71
суммы Дарбу, то
J, = lim st, /* = lim St.
|т1->0 | т |~>0
6.21. Доказать, что, для того чтобы ограниченная на отрезке
[а; Ь] функция f была интегрируема на нем, необходимо и до-
статочно, чтобы ее верхний /* и нижний интегралы были
равны, причем в этом случае
ъ
f (х) dx = J* = Г.
а
6.22. Доказать, что разрывная функция f(x) — sign sin (л/х)
интегрируема на отрезке [0; 1].
6.2’ 3. Доказать, что функция
если х=#0, и f(0)=0, интегрируема на отрезке [0; 1] ([f/] —
целая часть числа у R).
6.24. Доказать, что функция Дирихле
( 1, если х рациональное,
f(x) = \ А
<0, если х иррациональное,
на любом отрезке не интегрируема по Риману.
6.25. Построить неинтегрируемую на отрезке функцию, ква-
драт которой интегрируем на этом отрезке.
6.26. Построить функцию, непрерывную в точке и не инте-
грируемую ни на каком отрезке, содержащем эту точку.
6.27. Функцией Римана называется функция, равная \/q в
каждой рациональной точке, которая записана в виде несокра-
тимой дроби р/?У=0, р Z, и равная нулю во всех
остальных точках. Доказать, что функция Римана на любом
отрезке интегрируема.
6.28. Пусть функция f непрерывна на полуинтервале (а;
и существует конечный предел lim f (х). Доказать, что при лю-
х-»а
бом доопределении функции f в точке х = а полученная функция
будет интегрируема на отрезке [я; и значение интеграла от
нее не зависит от значения функции в точке х = а.
6.29. Пусть функция f ограничена па полуинтервале (ц;
при любом е>0 (0 < е •< Ь — а) интегрируема по Риману на
отрезке [а + б; Ь] и существует конечный предел
ь
а-Ье
lim
е-М
fix) dx.
72
Доказать, что при любом доопределении функции f в точке
х = а она будет интегрируема по Риману на отрезке [a; ft] и
ь ь
\f(x)dx = lim \ f(x)dx
J 8-> О J
г а+е
Ъ
(и, следовательно, интеграл f (х) dx не зависит от значения
/(«)).
6.30. Доказать, что функция, ограниченная и имеющая ко-
нечное число точек разрыва на данном отрезке, интегрируема
на нем по Риману, причем значение интеграла не зависит от
значений функции в точках разрыва.
6.31. Доказать, что если функция f интегрируема на отрезке
[я; 6], с f (%) d для всех х е [а; Ь] и функция g непрерывна
на отрезке [с; d], то композиция gof также интегрируема на
отрезке [я; &].
6.32. Привести пример таких функций f и gy интегрируемых
соответственно на отрезках [а; ft] и [с; d], что c^f(x}^.d
для всех xeja; ft], а композиция g°f не интегрируема на от-
резке [a; ft].
6.33. Доказать, что если функция f интегрируема на отрезке
[а\ ft], то существует такая последовательность непрерывных
на этом отрезке функций fn, п — 1, 2, ..., что для любой точки
с^[а; Ь] имеет место
с с
lim \ fn (х) dx=\f (х) dx.
П->оо J J
а а
6.34. Доказать, что если функция разрывна в каждой точке
отрезка, то она не интегрируема на этом отрезке.
6.35. Доказать, что, для того чтобы ограниченная на некото-
ром отрезке функция была интегрируемой на нем, необходимо
и достаточно, чтобы для каждого 8 > 0 существовала конечная
или счетная система интервалов, которые содержали бы все
точки разрыва заданной функции и сумма длин которых была
бы меньше заданного 8.
2. Свойства интеграла.
ь
1. \dx = b — а.
а
2. Если функция f интегрируема на отрезке [a; ft], то она
интегрируема на любом отрезке [я*; ft*], содержащемся в [a; ft].
3. Аддитивность интеграла. Если функция f интегрируема
на отрезках [а; с] и [с; ft], то она интегрируема и на отрезке
73
b\, причем
Ь с Ь
(х) dx = § f W dx+^f M dx, a c b.
a a c
4. Линейность интеграла. Если функции fk, интегрируемы
на отрезке [а; 6], то для любых чисел Kk, k = 1, 2, .и, функ-
п
ция X hkfk также интегрируема на отрезке la; ft] и
Ь / п ч п b
j (Zм)dx У.5 dx-
5. Произведение интегрируемых на отрезке функций интегри-
руемо на нем.
6. Если функция / интегрируема на отрезке [а\ Ь] и
inf \f(x)\> О,
к; ь\
то функция l/f(x) также интегрируема на этом отрезке.
7. Интегрирование неравенств. Если функции f и g интегри-
руемы на отрезке [а; Ь] и для всех хе [а; Ь] выполняется не-
равенство f(x)^g(x), то
ъ ь
f (х) rfx > g (х) dx.
а а
В частности, если на отрезке [а; /?] функция f(x)^O, то
ь
f (х) dx 0.
а
8. Если неотрицательная функция интегрируема на отрезке
и существует такая точка хоеЦа; fe], что функция в ней
непрерывна и принимает положительное значение, то
ь
f (х) dx > 0.
а
Из свойств 4, 7 и 8 следует, что если на отрезке |а; Ь] для
интегрируемых функций f и g выполняется неравенство f(x)^
^g(x) и если существует точка хое[а; Ь], в которой f(x0)<
<^(хо), причем обе функции f и g непрерывны в этой точке,
то имеет место строгое неравенство:
ь ь
f (x)dx < g(x) dx.
а а
74
9. Если функция f интегрируема на отрезке [а; &], то и ее
абсолютная величина |/| также интегрируема на этом отрезке и
ъ
f (х) dx
а
| f (х) | dx,
a<lb.
Ю, Непрерывность интеграла. Если функция f интегрируема
на Отрезке [а; Ь], то функции
F (х) = f (/) dt и
а
b
G(x) — $ f(i)dt
X
непрерывны на этом отрезке.
Пример 4. Выяснить, какой из интегралов
л/2 л/2
sin3xdx и sin7xdx
о о
больше.
Л Поскольку на отрезке [0; л/2] функции sin7x и sin3x не-
прерывны (и потому интегрируемы), а на интервале (0; я/2}
выполняется строгое неравенство sin7x < sin3x, то
л/2 л/2
sin7xdx<^ sin3xdx. ▲
о о
Пример 5. Доказать, что если функция f интегрируема на
отрезке [а; 6], то
6 — 8 Ъ
lim \ f (х) dx = \ f (х) dx, 0<е<6 — а.
е->0 J
а+8 а
А Выберем произвольно точку c^(a\ ft), тогда в силу
свойств интеграла 2 и 3 для достаточно малых е > 0 (а именно
меньших, чем с — а и b — с) будем иметь
Ь-8 С Ь-8
f (х) dx = f (х) dx + f (х) dx
а-Ье а+е с
Отсюда, согласно свойствам 10 и 3, получим
с b-8 "1
f(x)dx+ f(x)dx|— li
J J I 8
•a+8 c
Ь -8
lim \ f(x)dx — lim
£->0 J 8->0
a+8
а+в.
b-e ebb
+ lim ( f (х) dx = f (х) dx + f (х) dx—{ f (х) dx. ▲
8->0 J J J J
с аса
75
6.36. Выяснить, какой
л/2
.. f sin х i
1) \ -----dx
J x
0
или
интеграл больше:
л
С sin х 1
\ ——ах.
М2
3) J e~x sin x dx
d
2
4) ( ..
J Vl + X2
или
ИЛИ
или
1/2
dx
e~x2 sin x dx.
о
2
f
J X
о
6.37. Доказать неравенства:
6.38. Функция f непрерывна на отрезке [0; 1], причем
1
^f(x)dx>0. Доказать, что существует отрезок [а; #] cz [0; 1],
с
на котором f(x)>0.
6.39. Доказать, что из свойств 4, 7 и 8 интеграла следует, что
если функции f и g интегрируемы на отрезке [а; &], если для
всех точек хе [а; Ь] выполняется неравенство f(x)^g(x) и
существует такая точка х0^ [я; 6], для которой f(xo) < £(х0),
причем функции [ и g непрерывны в этой точке, то
b ь
^f(x)dx< g (х) dx.
а а
6.40. Будет ли интегрируема на отрезке всякая функция,
у которой интегрируема на этом отрезке ее абсолютная ве-
личина?
6.41. Если функция f(x) интегрируема па некотором отрезке
и не обращается в нем в нуль, то будет ли на этом отрезке
всегда интегрируема функция 1//{х)?
76
6.42. Доказать, что если функция f убывает на отрезке [0; 1],
то для любого 0 е(0; 1) выполняется неравенство
1 е
0 f (х) dx f (х) dx.
о о
6.43. Доказать, что если функция f интегрируема на отрезке
{а; &], то для любого 8 > 0 найдется такое б > 0, что для лю-
бых а е [а\ Ь] и |3е[а;6], 0 < (3— а С б, имеет место нера-
венство
Р
1 f М I dx < 8.
а
6.44. Доказать, что если функция f непрерывна при и
lim f(x) = aeR,
Л “>4-00
ТО
Т
Пт \ f(t) dt — а.
Т->4-оо 1 J
6.45. Построить такую непрерывную при х 0 функцию, для
которой существует конечный предел
т
lim
а предел lim f (х) не существует.
Х->4-оо
6.46. Доказать, что если функции f и g интегрируемы па
отрезке [а; &], то выполняется неравенство Коши — Буняков-
ского
ь Гь Гь
/ (х) g (х) dx < Г f2 (х) dx g2 (х) dx.
а а а
6.47. Доказать, что если функции f и g интегрируемы на
отрезке \а\ , 1 < р < +°о, •— + у = b то справедливо нера-
венство
Ь р -11/рр Т1/<7
f (х) g (х} dx Н | f (х) |р dx\ Н | g (х) \Qdx |
а J *-а J
аР R<7
Указание. Воспользоваться неравенством +2^-»
сс^О, Р55 0.
6.48. Доказать, что если функции f и g интегрируемы на
отрезке [а; 6], 1 < р < + оо, то справедливо неравенство
77
Минковского:
Ъ 'll/р г& Tl/p
$ I f (*) + g (x) |p dxl < H | f (x) |p dx 4-
a - *-a -*
I g (x) I" dx
i/p
6.49. Доказать, что если функция интегрируема на отрезке
[а; 6], то она обладает свойством интегральной непрерывности
ь
lim t | f (x + h) — f (x) | dx = 0,
A-»0 J
a
где f(x) = 0 при x^[a\ &].
6.50. Доказать, что если функция f дважды непрерывно диф-
ференцируема на отрезке [0; 1], то
iim 4Е/(4)1-
6.51. Пусть функция f интегрируема на отрезке [а; &]. До-
казать, что равенство
ъ
f2 (х) dx = 0
а
имеет место тогда и только тогда, когда f(x) = 0 во всех точках
непрерывности функции /.
6.52. Доказать свойства 1—10 интеграла, исходя из его
определения.
3. Формула Ньютона — Лейбница.
Теорема 4. Если функция f интегрируема на отрезке
[а\ Ь] и непрерывна в точке х0<з[а; &], то функция
F(x) =$/(/) Л (5)
а
дифференцируема в точке х0 и F'(xQ) = f(х0).
Следствие. При выполнении условий теоремы функция
ь
dt
X
дифференцируема в точке х0 и Gz(x0) = —f(%o)-
Теорема 5. Если функция f непрерывна на отрезке [а; Ь],
то она имеет на этом отрезке первообразную, причем одной из
ее первообразных является интеграл с переменным верхним
пределом (5), т. е.
\f(x)dx=^f(t)dt + C.
а
78
Теорема 6. Если функция f непрерывна на отрезке [а; ft],
то для любой ее первообразной Г имеет место формула
ъ
^f(x)dx = F(b)—F(a).
а
(6)
Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница. Ее
записывают также в виде
ь
^f(x)dx = F (х)
а
b
а
Если функция F непрерывна на отрезке [я; ft] и во всех его
внутренних точках выполняется равенство F'(x) = f(x) (а в кон-
цевых точках равенства F'+ (а) = f (а) и F'_{b) — f (b\ где F'+ и
F'_ — соответственно правая и левая производные, могут не
выполняться), то формула (6) остается верной. Заметим, что
если функция f также непрерывна в точке а, соответственно в
точке ft, то из непрерывности функции F в точке а, соответствен-
но в точке ft, и условия F'(x) = f(x), а < х < ft, следует су-
ществование односторонней производной F'+(a) = f (а\ соответ-
ственно F'_ lb} = f(b).
Пример 6. Найти с помощью формулы Ньютона — Лейб-
ница интеграл
ъ
хаdx, а =# — 1, Q < а< Ь.
а
Д Имеем
ь
(X 1
а
Пример
7. Найти интеграл
dx
Vi + %2
sh 2 sh 2
д тД—2 = ln (* + V1 + *2)
J -Vl+x2
sh 1 sh 1
1 sh 2 + Vl + sh2 2 . sh 2 + ch 2 . t
= In---------in-------------------------!-----= In e = 1.
sh 1 + Vl + sh2 1 sh 1 + ch I
В рассмотренных примерах сразу было ясно, какая функция
является первообразной подынтегральной функции. Рассмотрим
более сложный пример.
7&
Пример 8. Найти интеграл
1
ех arcsin е~х dx.
о
Д Найдем первообразную подынтегральной функции. Сде-
лав замену переменного t = е~х, применив затем метод инте-
грирования по частям, получим
г . -Х 1 I arcsin t j. I . Г dt
е arcsin е dx = — \-----------dt = — arcsin t — \ —т==
J t2 t J <7i-z2
где
dt = _ \ # = \ *0/0
171 ~2 J t2 V(l/02- 1 ' V0/02 - 1
= ln(| + д/ут - 1 ) + C.
Поэтому окончательно
ex arcsin e x dx — —i- In Q- + /\J— 1) + C =
= ex arcsin e~x - ± In (ex + д/е2Х - 1) + C.
Здесь первообразная имеет конечный предел в точке х=0
(так же, как и подынтегральная функция), поэтому можно при-
менить формулу (6). В результате получим
i
ех arcsin е~х dx — e arcsin e~l — -j + In (e + Ve2 “О- A
и
Пример 9. Доказать, что для всех т Z и п Z имеют
место равенства:
л
1) sin tnx sin пх dx = 0, т п. .
-л
л
2) cos тх cos пх dx = 0, т п.
-л
л
3) sin тх cos пх dx 0.
-л
80
A 1) Имеем
л л
sin tnx sin пх dx = у [cos (т — п)х — cos (т + n) х] dx =
— л —л
1 |" sin (т — п) х____sin (т + п) хр
2 I in — п т + п J-л
Аналогично доказываются и два других равенства. А
Пример 10. Доказать неравенства
1
1 С х19 dx 1
20 V2 J 20 ’
(7)
Д Проинтегрируем по отрезку [0; 1] очевидное неравенство
X19 X19
д/2 V1 + *2
Поскольку все функции непрерывны и при всех х е (0; 1) имеют
место неравенства
то для интегралов выполняются неравенства (см. свойство 8
интегралов):
1___
20д/2
-±AxKdx
V2 3
о
I 1
( -4° — dx <4 х19 dx = 4г . А (8)
JVi + x^ J 20
Пример 11. Доказать неравенства
у(е- 1)< J
о
ех dx
(х+ 1) (2— х)
<у(е-1).
Д Рассмотрим функцию f (х) = у—„ . на отрезке
(X X)
у y _ |
[0; 1]. Ее производная f' (x) = /qi'f j* <2 — xy2~ обращается в
нуль при 'х— 1/2 и меняет знак в этой точке с минуса на плюс.
Поэтому сама функция f(x) имеет в этой точке минимум, при-
чем f( 1/2;= 4/9. Максимума функция f достигает на концах
отрезка [0; 1] и f(0) == /(1) = 1/2. Таким образом, для всех
ле|0; 1] выполняются неравенства
4 1 1
9 (х-Ь 1)(2-х) 2 ’
81
а при x=#0, x^l/2 и x=#l—строгие неравенства -g ек <
pX PX n
< ------------- < —. Поэтому
(x+l)(2-x) 2
1 1 C
4 <?x dx < -------—----rdx < 4- \ ex dx;
T J J (*+D(2-x) 2 J
0 0 0
1
4 / lx C exdx . 1 i i\ л
д' (e “ 1) < J (x + 1) (2 — %) 2
о
Пример 12. Вычислить интеграл Дирихле:
л/2
( sin (2n-l)x neN.
J sin x
о
А Использовав формулу
n-1
1 . V' о* sin (2n — 1) x
2+ Lcos 2fex =-------2sin —
fe=l
л/2
и заметив, что cos2/?xdx = 0, k—\, 2, n 1» получим
0
nl'l
( sin = A
J sin x 2
0
Значение известных интегралов иногда удается использовать
для^ вычисления пределов некоторых числовых последовательно-
стей, если оказывается, что эти последовательности образуют
последовательность интегральных сумм соответствующей
функции.
Пример 13. Найти предел последовательности
А Поскольку сумма
k-\
является интегральной суммой функции f(x) = xa на отрезке
[0; 1], то
1
±s”“r"rfl = ^+TL“^+r- *
6.53. Доказать, что если функции <р и ф дифференцируемы
на отрезке [а; Ь], Л^<р(х)^В, Л^ф(х)^В при а^х^.Ь,
82
а функция f непрерывна на отрезке (Л; В], то функция
ф(х)
F(x) = a^.x^.b,
ф(х)
.дифференцируема на отрезке [а; Ь] и
ф(х)
5 f(/)d/ = /M>(x))VU) — /(<₽(*))
Ф(Х)
6.54. Найти производные:
ь I
1) ( sinx2dx. 2) -у-\ sinx2dx.
7 dx J 7 da J
a a
b к2
3) 4- sin x2 dx. 4) -4- $ Vl + ? dt.
db j 7 dx J v *
a 0
X3 cos x
45) . 4= . 6) -4~ cos n/3 dt.
dx J Vl 4- M dx J
хг sin x
Найти интегралы (6.55—6.106).
& 6.55. j x^dx. 1 6.56. -^xdx.
—i 2 — 1 4
6.57. $ -\/xdx. -1 e.ss. ( 4= •
2 1
6.59. J (x2 — 2x + 3) dx. 1 6.60. jj (x3 — 2x2 -|- x — 1) dx. 1
1 1 6.61. j (V* + V*5) dx. — 1 Л
6.62. sin xdx.
0 0
V5 1/2
C d у 6.63. \ T-F-T-. J 1 + X2 1/V& ft 64 \ -x
J Vl - хг -1/2
0 9
fi 65 f 6.66.$ V*— Idx.
V.VO. 1 9 • J COS- X
-Я/4 2
2 2
6.67. ^exdx. 6.68. ^2xdx.
1 0
83
4 2
6.69. 1 dx 6.70. f dx
X J 2x — 1
2 1
1 e2
6.78. х2 dx 6.72. C dx
1 4- хб J X In X ‘
0 e
е8 л
6.73. dx X In X 6.74. sin2xdx:.
е2 -Л
3 I л/3
6.75. cos2 x dx. 6.76. tg4xdx.
n
2 1
6 77 sh3 x dx. 6 7Я C dx
V» / o* J 4x2 + 4x + 5
0 0
4 -1
6.79. ^dx. 6.80. C *4-1 . \ TV dx.
x — 2 J x2(x— 1)
3 -2
3 2
6.81. dx 6.82 C 2x — 1 , • \ —7T dx.
x2 ~ 2x ~ 8 * J 2x+ 1
2 0
6.83. 1 *2 + 3x , (x+ l)(x2+ 1) aX- 6.84 f rfx J Vx2 + 2x -r 2
2
6.85. dx 6.86 C dx
3/4 д/2 + Зх — 2x2 j 1 + Vi
9 4
6.87. 6.88. C dx
4 'у/ X — 1 J 1 + V2x + Г
2 e
6.89. eW —з~ dx. 6.90. C cos(lnx) dx
X3 J x
1 1
е 1 p
6.91. S cl X X (1 + In2 x) 6.92. д/4 — x2 dx.
1 0
1 л/4
6.93. S dx 6.94. cos3xdx.
0 ex + e~x 0
1/3 Л/2
6.95. ch2 3x dx. 6.96. C dx
0 J 1 + sin x + cos 0
84
л/4 1
6.97. ч , • 6.98. хе~х dx.
J (1 4- 2 sin2 х
0 0
л/3 3
6.99. 4-т1-- 6.100. In х dx.
J sin2 X
л/4 i
1/2
6.101. х 1п х dx. 6.102. arcsin xdx.
1 0
л л/2
6.103. ^x3sinxrfx. 6.104. e2*cosxdx.
0 0
е 2
6.105. ^sinlnxdx. 6.106. | 1 — х \dx.
0 6
6.107. Доказать, что
( 0, если т п,
(2л, если m = n,
m^Z, neZ.
(Если функция f имеет вид j(х) — и(х) + iv(x), где функции и(х)
и v(x) принимают действительные значения и интегрируемы на
отрезке [а\ 6], то по определению
ъ ь ь
* f (х) dx = и (х dx + v (х) dx.)
ас. а
6.108. Доказать неравенства:
1) —— < ( • dx < —.
10 V2 j VI 4-х Ю
1
1 Г г19 1
2) —...................- dx < — .
20-у 2 J -V1+*5 6 20
200
3) 0 < ( J< 0,01.
7 J х 4- 20
1
лх 1 ( 14-х20 , . 1 , 1
4) 1 < J 1 4- X40 dx < + 42 •
о
1
5) 1 —- < е ~X'L dx <1, п > 1.
7 nJ
и
85
6)
3n/4
^^dx<ln3.
J X
n/4
7)
sin 1
^-^dx< 2 sin 1.
8)
я/2
2 . л 4- 2 . f sinx , . л -|- 2
— In 77 < \ — j-rr- dx < In —77
л 2 J X (x 4- 1) 2
о
1 „ r Sln
9) JL < 2L \ 6___________
' 8 6 J (x+ 1) (3 — x)
0
X
1
6 •
io) 0,03 < V
o (
6.109. Найти
2
1) Jf(x)dx,
0
— dx < 0,05.
.2
интегралы:
X2
2 — х
2) f (х) dx,
о
если f (x) = i — x
(. 1 1 -t
при
при
при
при
0<x< 1,
1 <x<2.
O^x^/,
1.
t
6.110. Построить график функции F (t) = х | х — i | dx.
о
6.111. Доказать, что если функция f имеет на отрезке [а;
первообразную F, то функция f интегрируема на этом отрезке и
имеет место формула Ньютона — Лейбница:
ъ
J f (х)dx = F(b) — F(a\
а
6.112. Объяснить, почему неверны равенства:
1
•1
-1"2'
2)
^ = ln|x|l_1 = 0.
2л
Ssec2 x dx ______1
u 2 + tg2 к
3)
1 , tg2 X р
т arctg ^| _0.
6.113. Исходя из свойств интеграла доказать теоремы 4,.
Биб.
6.114. Для функции f, определенной на отрезке [а; Ь], на-
зовем ее первообразной в широком смысле всякую непрерывную
на этом отрезке функцию F такую, что во всех точках отрезка
[а; 6], кроме конечного их множества, выполняется условие
F'(x) = fU)-
Доказать исходя из свойств интеграла 1—10, что если у
функции f на отрезке [а; /?] существует первообразная F в ши-
роком смысле, то функция f интегрируема на этом отрезке и
имеет место формула Ньютона — Лейбница
ь
dx-F(b)—-F(a).
а
6.115. Найти интеграл
6.116. Доказать, что
Л/2
С fjmnx\2dx==nn (Фейер).
J \ sm х ) 2 4
о
Указание. Воспользоваться значением интеграла Дирихле
(см. пример 12).
6.117. Доказать равенство
lim f—г . Ч----+ • • • + V”) 1п
n->oo V п + 1 п + 2 ' 2/г 7
использовав интеграл
2
f dx
J х
1
6.118. Доказать равенство
П ( n24- I2 п2 + 22 + • ' ’ + ) = Т’
использовав интеграл
1
С dx
J 1 + х2 '
87'
6.119. С помощью определенных интегралов найти пределы
следующих числовых последовательностей:
1/.Л, 2л , . . п — 1 \
1) sn == — ( sin-р sin-р ... -р sin - л j.
' п п \ п п 1 п )
2> s«==Ha//1 + п + V1 +1 + ••• +а/1 +£)•
3) sn = n, *
4) 2_+Л + ^-+ .. n2 ‘ n2 ‘ n2 ‘ . 2n — 1
5) sn — _L_l. 2L4.JI+. ’ n4 /г4 ' (4n—I)3 • n4
6) Q —J, + L_ _p .,. _|— -L
V 4n2 — 1 V 4n2 — 22 V 4n2 — n2
6.120. Найти
lim
П->оо
если функция f интегрируема на отрезке [а; Ь].
6.121. Найти пределы следующих числовых последователь-
ностей:
sn = sin
2)
3)
4)
л V’' 1
ft Zj Л . to
fc = i 2 + cos —
n
«n = -^2- У V(«*+ &)(«* + k+ 1),
/г = 1
2k/n
T'
k
6.122. Найти пределы:
0
(arctg t)2 dt
2) lim —7==—
X-> +oo у X2 \
0
6.123. Доказать, что
Л
e*s
~ ~2х ПРИ л;->+°°-
О
6.124. Доказать, что если f(x)—непрерывная положительная
при х 5? О функция, то функция
J tj (О dt
ч>М=\---------
J f V) dt
О
возрастает на промежутке [0, +оо).
4. Формула замены переменного. Пусть функция f(x) непре-
рывна на интервале (a; b), функция ф(/)—определена и непре-
рывна вместе со своей производной ф'(/) на интервале (а; (3)г
причем для всех р) выполняется неравенство а < <?(/)<
<С b и, следовательно, имеет смысл композиция /оф функций
Ф и f.
Если
«о (а;₽), Ро^(ос;р), ао = ф(«о), &о = ф(Ро),
то имеет место формула
Ьо 0о
f (х) dx = f (ф (/)) qpz (/) dt. (9)
«о cto
Эта формула называется формулой замены переменного в опре-
деленном интеграле.
Отметим специальный случай этой формулы: если функция f
непрерывна на отрезке [я; 6], а функция ф непрерывно диффе-
ренцируема и возрастает на отрезке [а; р], у(а) = а, ф(р)=—
то
ь е
f (х) dx = f (ф (/)) ф' (/) dt. (10}
а а
Формулы (9) и (10) остаются справедливыми и в случае, если
вместо непрерывности функций f и ф' потребовать лишь их ин-
тегрируемость.
Пример 14. Найти интеграл
1
х Vl + xdx.
о
89
А Применим формулу замены переменного, положив 1
+ х = /2, / > 0. Тогда dx — 2t dt, новые пределы интегрирова-
ния равны а= 1, р=д/2. По формуле (10) получаем
1 л/2
'у/1 + xdx = 2 (/2 — 1) /2dt.
о 1
Задача свелась к вычислению определенного интеграла от мно-
гочлена:
V2 л/2
=14^_^4=1=4(72+1).
1 I
Таким образом
1
I х д/1 + xdx = -^r (д/2 + 1). А
о
а
Пример 15. Найти интеграл jj 'у/а2— х2 dx с помощью
о
замены переменного х = a sin t.
Л Имеем
а п/2
'у/а2 — х2 dx = a2 \ cos21 dt — (t + )1 •
J v J 2 \ 2 /о 4
о о
Интеграл можно, конечно, вычислить и применив замену пере-
менного в неопределенном интеграле (это потребует несколько
•больших вычислений)
д/а2 — х2 dx = a2\ COS2 t dt arcsin (х/а) =
= у (a2 arcsin “ + V^2 — *2 ) •
По формуле Ньютона — Лейбница получаем
д/а2 — *2 dx = (a2 arcsin ~ + х 'у/а2 — х2
па1
Пример 16. Доказать формулу (9).
А В силу непрерывности функции f(^) на интервале (а; Ь)
она имеет на этом интервале первообразную F(x), для которой
90
определена композиция 77(ф(/)). Эта композиция является пер-
вообразной на интервале (а; Р) для функции f (ср (/))фх(0»
ST Г (Ф«)) - Ц , Д - / W !,.,« = f (Ф«) ф' «)
Поэтому, согласно формуле Ньютона — Лейбница,
рп
Р (ф (С) ф' (О dt = F (ф (р0)) — F (ф (а0)) =
ас
Ьо
= F(fe0)-F(a0)= \f(x)dx. а
Пример 17. Доказать равенство
1 л/2
А Сделав замену переменного х — tg(//2), получим
1 л/2 л/2
С arctg X 1 __ С arctg (tg (//2)) dt _________ if t <.
J x J " tg(//2) 2 cos2 (f/2) 2 J sin t
0 0 0
Пример 18. Вычислить интеграл
2
f 1 + x2 i
J 1 + x4 dx- tH)’
-1
А Сделав при x#=0 замену переменного t — x — в соот-
ветствующем неопределенном интеграле, получим
С 1 + х2 , С d х) 1 , X2 — 1.^1
\ -7-1—г dx=\---------7—- = —7=- arctg--+ С
J 1 J 2+(х-|) V2 * х^2
и, следовательно,
(12>
Поскольку lim —Ь- arctg • х->+0 V2 x2 - 1 _ X V2 31 2 V2” ’
lim —Ю arctg x-> -0 yj'l X * ii 3T 2 V? ’
то функция
1 . X2 — 1 V2- arcts «vr + --л_ 2 V2 , если x > 0,
Р W = - o, если x = 0,
1 1 . X2 — 1 1 arctg V2 *V2 31 2 V2 если x < 0,
(13У
91
будет непрерывной на всей числовой оси, а так как, согласно
(12),
^'(х) = 4^г, (14)
то в силу непрерывности функции (1 + *2)/(1 + *4) равенство
(14) верно и при х = 0. Таким образом, функция (13) является
первообразной для подынтегральной функции интеграла (11).
Поэтому
= =vf(arcl*!ir- + ’t)- *
5. Интегрирование по частям. Если функции и = и(х) и
V — v (х) непрерывны вместе со своими производными на от-
резке [а; &], то
ь ь
и dv = uv |* —- ц du. (15)
а а
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Она остается справедливой и в случае, если вместо непрерыв-
ности производных и' и v' потребовать лишь их интегрируемость.
Пример 19. Найти интеграл
2
Inxrfx,
I
применив формулу интегрирования по частям для определенного
интеграла.
Л Имеем
2 2
1п х dx — х In х || — dx = 2 In 2 — 1. л
1 1
Пример 20. Найти интеграл
л
J — ch х cos пх dx, n е N.
—л
А Дважды проинтегрировав по частям, получим
л л
[ = \chxc*)snxdx = -±- \ chxdsin пх =
J П J
-л -л
л л
ch х sin пх Iя 1 С 1 j 1 С и л
—----------------\ snx sin nxdx = —v \ sh х «cos пх —
П I П J п* J
-л - л
л
sh х cos пх Iя 1 С 1 л / 1 \п 2 sh л 1 г
=-------7---------г \ chxcosnx«x = (“—l) ----§-----г/-
п1 д п2 J 4 7 п2 п2
-.92
Найдя из получившегося уравнения значение /, будем иметь
п 2 sh л
* п2 + 1
Пример 21. Найти интеграл
1
/а. п = *а 1ПП X dx,
О
а > О,
(16)
Л Подынтегральная функция f (х) — ха 1пп х определена и не-
прерывна на полуинтервале (0; 1], и у нее существует предел
lim f(x) = O.
х, -> +0
Доопределим функцию f нулем при х = 0, тогда получим непре-
рывную, а следовательно, и интегрируемую на отрезке [0; I]
функцию. Данный интеграл (16) и понимается как интеграл от
этой функции. Интегрируя по частям, будем иметь
/а, п = (1П Х)П d
о
va+l
а + 1
п
а 4- 1
Ха \пп~' xdx = — - 4 J- /а. л-Ь
9
Из получившейся рекуррентной формулы следует, что
Jain
I
— (_]\п _1L— J ____ (_Пп _21—Д ya nl Д
(а+ 1)" (а+1)" —I И (а-Щ)^1
о
Пример 22. Многочлены, задаваемые формулами
П 1 dn[(x2-l)n] (} н
рпМ= , п-0, 1, 2, ..., (17)
называются многочленами Лежандра, Доказать, что, каков бы
ни был многочлен Qm степени т <С п, имеет место равенство
1
5 Qm М Рп W = 0. (18/
-1
ЛЧх2— 1)п
Л Заметив, что функция ---------------- при k — 0,1,2, ...
п— 1 обращается в нуль в точках х = — 1 и х— 1, имеем.
93
интегрируя последовательно по частям,
dn(x2-l)n , ~ х dn~' (х2- 1)"
—-—-—— dx = Qm (x)--У-
dxn m dxn 1
. dn~l(x2— Пп
Q'mM~ .......=
f fin~m (y2 — 11n
11 dx =
-1
. x jK-m-1 I v2 1 \n
= (- l)m Q™ (x) -d--------{x—
= о.
dx"-'"-1
n 4n(x2-l)n
Поскольку многочлен -——~~ только постоянным множите-
лем отличается от многочлена Лежандра (17), то равенство (18)
доказано. ▲
1
6.125. Можно ли в интеграле д/1 —х2 dx при замене пере-
о
менной х = sin t в качестве новых пределов интегрирования
взять числа л и л/2?
6.126. Пусть функция f непрерывна на отрезке [—/; Z]
Доказать, что:
1) Если f — четная функция, то
1 I
f (x)dx = 2 f(x)dx. (19)
-i о
2) Если f — нечетная функция, то
i
J f(x)dx = O. (20)
-i
Найти интегралы (6.127—6.168):
6.127. 'vOinx dx. 6.128. e*2 sin x dx.
-Л —Л
Л/2 1
6.129. (cos2 x + x2 sin x) dx. 6.130. ^cosxthxr/x.
-я/2 -1
I
6.131. ^(ex + e-*)tgxdx.
-i
94
6.132. л/3 ^х2 sin 5х + cos у + dx. -я/3
л/3 2
6.133. С 2х7 — х5 + 2х3 — х + 1 . \ о ‘— dx. J COS2 X -Я® 1 6.134. 0 In 2
6.135. X2 V1 ~~ х<2 dx. 0 In 2 6.136. Vex — 1 dx. 0 Л
6.137. ке~х dx. 0 я/4 6.138. ^x sinxdx. 0 2л
6.139. х sin 2х dx. 0 1 6.140. x2cos xdx. 0 3
6.141. arccos к dx. 0 6.142. arctg -\/x dx. i
6.143. 6.145. С dx J х Vl 4~ In х л/2 С dx i С в~х -1- <2ex 6.144. ~ dx. 0 л/2 ft 14G i
J 2 —- sin х ’ 0 3/4 O> 1 IV lot 4 J 3 + cos x Я/3 9
6.147. 6.149. C dx J (x+ 1) Vx2+ 1 -2 f dx 6.148. X'^/l— xdx. i i 6.150. ^x15 V1 +3*8 dx 0 In 2
J x Vx2 - 1 -3 n/2
6.151. sin x sin 2x sin 3x dx. 0 2 6.152. sh4xdx. 0 n
6.153. x2 In x dx. i V3 6.154. ^xnlnxdx. i i
6.155. j x arctg xdx. 0 i 6.156. Jx(2 —x2)I2dx 0 л
6.157. arcsin д/xdx. 0 6.158. cos2xdx о
95
6.159. j|lnx|dx.
l/e
e
6.160. (x In xfdx.
о
з ______
6.161. \ arcsin л/~гт— dx.
J V 1 + x
о
2a ________
6.162.
J X4
dx, a =^= 0.
6.163.
6.164.
J 1 + x2
0
Sd x
—Г1Г----> IN<a.
a + b cos x
о
1
6.166. —2 7T~-----ГТ » a #= n^Z,.
J x2 - 2x cos a + 1
1
6.168. |^cosln~7^ \dx,
e — 2 л/г
n e N.
6.169. Доказать, что если непрерывная на отрезке [а; Ь]
функция f в точках, симметричных относительно точки х =
= (tz + &)/2, принимает равные значения, то
Ь (а+Ь)/2
^f(x)dx = 2 f (х) dx.
а а
6.170. Доказать, что для любой непрерывной на отрезке
[я; функции f имеет место равенство
ь ь
/ (х; dx = ^f (а + b — х) dx.
а а
6.171. Доказать, что если функция f непрерывна на отрезке
[я; Ь], то
ь 1
/ (х) dx = (b — а) f (а + {b — а) х) dx.
а о
6.172. Для непрерывной при х^О функции f доказать ра-
венство
а а~
х3/ (х2) dx = х/ (х) dx, а > 0.
о о
96
5.173. Для непрерывной при х О функции f, доказать, что
а
xr+xf (xr)dx = ~ x2/rf (х) dx, а > 0,
о о
6.174. Доказать, что для любой непрерывной на отрезке
[[0; 1] функции f имеют место равенства:
л/2 л/2
1) f(sinx)dx=^ f(cosx)dx.
о о
л л
2) xf(sinx)dx = -~ f (sinx) dx.
о о
6.175. Доказать формулу интегрирования по частям для
определенного интеграла с помощью формулы Ньютона — Лейб-
ница.
6.176. Доказать, что для п+ 1 раз непрерывно дифференци-
руемых на отрезке [а; Ь] функций и(х) и v(x) имеет место
формула
b п b
J uv<n+r>dx = £ (-l)Wn-A,|a + (— l)n+1 J u{n+i}v dx.
a &<=0 a
6.177. Доказать, что для полинома Лежандра (см. (17))
имеет место формула
-1
6.178. Доказать, что если функция и+1 раз непрерывно
дифференцируема на отрезке [а;Ь], то для любых точек хо^
и х^[а;Ь] имеет место формула (называемая форму-
лой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме)
п %
= X (х - x°]k + dt-
k—Q х0
6.179. Доказать, что если функция f непрерывна на отрезке
[а; &] и для всех t [0; b—а\ выполняется равенство f(a + 0 =
= f(b — /), то
ь ъ
xf (х) dx — я + f (х) dx.
а а
6.180. Доказать, что одна из первообразных четной функции
является нечетной функцией, а любая первообразная нечетной
функции — четной функцией.
4 Л. Д. Кудрявцев и др.
97
6.181. Для непрерывной на отрезке [а; 6| функции f найти
э
§ f + у) dy> где 0 < а — а < х < Ь — р.
а
а
6.182. Найти интеграл ^Ja2-{~x2 dx.
—а
6.183. Пусть
£7/4 1 ± Зх (х2 — 1)
F(x) = -T arctgх4_4х2П-.
Показать, что
р' (х) = -- —
Г {Х) 1 + хб
и объяснить, почему
о
не равен F(x) .
п
6.184. Найти F (а) =Д , , osin - —j-йхи построить графита
J 1 ”т* z(X cos х Cl
о
функции F(a).
л
6.185. Найти интеграл ( —у:-... .sin.;L^^_-.
j у 1 __ 2а cos х + а2
6.186. Доказать равенство
п ( 2л,
il ____ r2 J
-— -----—- dx = < О,
1 — 2г cos х + г2 I
I — 2л,
если
если
если
0<г < 1,
г = 1,
г > 1.
Найти интегралы (6.187—6.196):
2л
6.187. \ , 0<е<1.
J 1 -р 8 COS X
О
1
6.188. . ..-,5Л' = I а I < 1 • I b | < 1,
J VH — 2ях + а2) (1 — 2Ьх + Ь2)
2л 2л
6.189. 75-г-----------------г. 6.190. -4 —г-.
J (2 4- COS х) (3 4- COS х) J Sin4 X 4- COS4 X
о о
УЬ
3
6.191. $ 1ГУ(Х)^> если f (х) = Хх-+-П-.
J * I / \Л) Л- X.)
-1
« . 100л
6.192. \ , f dx. 6.193. Vl — cos2x dx.
J 1 + COS2 X J v
о 0
л
6.194. ( 2 . 2 dx—^-, a > 0, b > 0.
J a2 sin2 x + bl cos2 x
-л
6.195. Доказать, что
л/2
__________dx____________
(a2 sin2 х + b2 cos2 x)2
о
л a2 + b2
4 a3b3
a > 0, b > 0.
6.196. Найти интеграл
л/2
_______________dx______________
a cos2 x + 4b cos x sin x + c sin2 x '
-Л/2
ас — b2 > 0.
6.197. Доказать, что если f—непрерывная на всей числовой
оси периодическая с периодом Т функция, то для любого числа
а выполняется равенство
а+Т Т
jj f (х) dx = f (х) dx.
а 0
6.198. Доказать, что при п нечетном функции
X X
f(x) = sinn tdt и g (х) = cos'21 dt
о о
периодические с периодом 2л, а при п четном каждая из этих
функций является суммой линейной функции и периодической.
6.199. Доказать, что если f—непрерывная на всей число-
вой оси периодическая с периодом Т функция, то функция
х
F(x)=^f(t)dt является суммой линейной функции и периоди-
Хо
ческой с периодом Т.
6.200. Средней функцией Стеклова с шагом h> 0 периоди-
ческой и интегрируемой на периоде функции f называется
функция
x+h
= $ f^di-
x-h
Доказать, что если функция f непрерывна, то при любом h > 0
ее функция Стеклова fh является непрерывно дифференцируемой
4*
99
функцией, и если период функции f равен Г, то
lim sup|fft(x) — f(x)| = 0.
h->0 [0; 7]
6.201. Доказать, что если периодическая функция f удовле-
творяет условию Рёлъдера степени а
где М — некоторая постоянная, h > 0, х е R, и ее период равен
Т, то sup | f (х) — fh (х) | Mha, где функция fh (х) определена
[0; 7]
в задаче 6.200.
6.202. Найти предел
п
lim —L=- Inf 1 Н—
6.203. Доказать равенство
„ m п J r _
X) x ax — (m + rt+1)1 ,
о
6.204. Найти интегралы:
л л
1) (х sin х)2 dx. 2) (х cos х)2 dx.
о о
6.205. Найти интегралы:
л л
1) ( ™^Ldx. 2) ( c°g.<2»+_P-±dx.
J Sin X J cos X
о 0
6.206. Доказать для интеграла
Л/2
Jn = sin"xdx, n^2,
о
рекуррентную формулу
п — 1
п
Jn '
6.297. Найти интегралы:
л/2 л/2
1) ( sin5xdx. 2) cos4xdx.
о 0
6.298. Доказать, что
Л/2 Л/2
\ sin"xdx — \ cos"xdx = <
о б
п-2*
П/2
\ cos6xdx.
(п —• 1)!! л
nil 2 ’
(п-1)П
nit •
если п — четное,
если п — нечетное,
О
100
In n
6.209. Доказать для интеграла Jn= chnxdx рекуррент-
-1п п
ную формулу
'.-М -^)("+jr+(l-4)'- »>*
тт 1- 1 Г (2и)П I2 л
6.210. Доказать, что Jim = j
н и е. Использовать результат задачи 6.208.
6.211. Доказать, что
Указа-
л/2
Ю
sinmxcosn xdx =
< (tn — 1)!! (п — 1)!! л
(т + «)!! 2
(т — 1)!! (п — 1)1!
- (т + /г)!!
если тип четные,
во всех остальных слу-
чаях,
6.212. Доказать, что при heN справедливы равенства:
1) =
о
а
2) (а2 - х2)^-1)'2 dx = а2п f
о
6.213. Доказать формулы:
Л/2 п
Г 1 2*
1) 4 cos"x sinnxrfx .= —j— / --------------• «еМ.
0 k =1
Л/2
2) \ cos" х cos пх dx — /!, и s N.
/ j 2n-bl
о
6.214. Доказать формулы (m^N):
Л/2
1) cos"1 x cos (m + 2)xdx = 0.
о
Л/2
2) cosrnxsin(m + 2)xdx = -^—:у.
о
Л/2
3) sinm x cos (m + 2) x б/х = — .
о
Л/2
4) sinwx sin (m + 2)xdx =~py cos-—^-.
о
101
л/4
6.215. Найти интеграл neN.
о
Л/4
6.216. Найти интеграл Г -*п *. .~0S.*.A n+1 dx, neN.
r J \ sin x + cos x J ’
0
6.217. Доказать, что
f1 1 р_2ал / .2 \
\ e-^COS2“xdx=^-^---------\С2п+2У C2n~-------------2 ’
J 22 a \ 2n 2n a2^4(n-k)2 J
a #= 0, zieN.
6.218. Доказать, что
Л/2
i p-ax cOS^n+^ v dx — 2 ch __-__________1 ________________-
J e ° XUX ZCn 2 (a2 + I2) (a2 + 32) ... (a2+(2n+ I)2) ’
-л/2
neN.
л/2 1
6.219. Доказать равенство -\n nx-dx = ^- — 2 cos-^-
J SID X 2 2 J 1 л
0 0
n = 0, 1, 2, ...
6.220. Доказать, что для всякой непрерывной на отрезке
[0; 1] функции f выполняется равенство
Л/2
f(sin 2х) cos xdx
о
л/2
f (cos2 х) cos х dx.
о
i
6.221. Найти lim \f(nx}dx, если функция f непрерывна на
промежутке [0; Н-оо) и lim f(x)=A.
х -> Jr со
6.222. Исходя из свойств интеграла, доказать, что для инте-
х
грируемой на отрезке [а; Ь] функции f функция F(x) = f (t)dt
а
непрерывна на этом отрезке и дифференцируема во всякой
точке х непрерывности функции f, причем F'(x) = f(x). Суще-
ствует ли производная функции F в точках разрыва функции f?
6.223. Симметричной производной функции F в точке х0 назы-
вается по определению DF (х0) = lim ^Xq ~~ До-
/г->0 2h
казать, что если функция f — интегрируема на отрезке [а; Ь]
и х0^(а; Ь) является ее точкой разрыва первого рода, то
102
функция
X
а
не дифференцируема в точке хо, но у нее в этой точке существует
симметричная производная, причем
DF (х0) = у [/ (Хо + 0) + f (х0 - 0)].
6.224. Пусть функция f интегрируема на отрезке [а;6|, функ-
ция F имеет на отрезке [а; Ь] конечное число точек разрыва
Xi, х2, •. •, хп, причем все они первого рода. Если во всех точках
отрезка [а; 6], кроме, быть может, конечного множества его
внутренних точек, функция F дифференцируема и F'(x) = f(x),
то имеет место формула
Ь п
( НхМх = F (& - 0) - F (а + 0) - £ [F + 0) - FHxft - 0)].
а & =1
если u I,
Z>°-
если 111 > I,
2
2)
о
л
4) хsign(cosx)dx.
о
1
6) \ sign (sin Inx)dx.
Функция F называется обобщенной первообразной функции f.
6.225. Найти непрерывные обобщенные первообразные сле-
дующих разрывных функций:
1) signx. 2) sign(sinx). 3) [х]. 4) х[х]. 5) (— l)txL
х
6.226. Найти интеграл f (/) dt, где
о
6.227. Найти интегралы:
з
1) sign (х — х3) ах.
о
6
3) J [х] sin-^-dx.
о
п+1
5) ln[x]dx, /teN.
6.228. Доказать формулу Гаусса-.
Л/2 л/2
С _________d(p_____________ С _________бГф__________
f V«2 cos2 <р 4- b2 sin2 Ф о 'xjа\ cos2 Ф + b2x sin2 ф
0 < b < a, al — (a-j- &'/2, b, — ^ab.
103
Указание. Сделать замену переменного:
• __2а sin ф___
Ф (а 4- Ь) + (а — b) sin2 ф
6.229. Пусть а > b > 0, — (« + 6)/2, Ь{ — ^ab,
(Р'п—х Н~ 1)/2» Ьп = 'у] а,п__\Ьп_ 1, м = 2, 3, ...
Тогда существует конечный предел (см. задачу 8.244, 1) в [1Ц
lim ап— lim bn = c (а, Ь).
п->оо п->оо
Доказать, что
л/2
__________dtp________ л
'у/a2 cos2 <р + b2 sin2 (р 2с (а, Ь)
6.230. Интеграл
Л/2
К (6) =Д -7==^............., |6|<1,
J Vl ~~ k2 sin2 ф
называется полным эллиптическим интегралом первого рода в
форме Лежандра. Пусть
, 1 - Vi - k2
kx =-----т==,
i + Vi -k2
доказать, что
K(fe) = (l + ^i)K(^).
6.281. Доказать, что если К(£)—полный эллиптический ин-
теграл первого рода (см. предыдущую задачу), |k| < 1, kQ = k,
1 — Vl — 1
kn =-----\ , n=l, 2, ....
to:
1) lim K(kn)= л/2.
П-»оо
2) К (*) = -- lim (1 + ^)(1 + Zs2) ... (1 + M-
Z П->оо
6.232. Найти положительную дифференцируемую на проме-
жутке [0; + оо) функцию f, если известно, что при замене не-
X
& Г
зависимой переменной g = \ f (/) dt функция f переходит в функ-
о
цию е~\
§ 7. Вычисление площадей плоских фигур и длин кривых
1. Вычисление площадей. Пусть функция у = у(х) непре-
рывна и неотрицательна на отрезке [а; Ь]. Площадь фигуры Ф
Гоис. 1), ограниченной графиком функции у = у(х)> отрезком
104
[a; b] оси Ox и соответствующими отрезками прямых х = а и
х — Ь, равна
ь
S == y(x)dx. (1)
а
Фигуру Ф называют иногда криволинейной трапецией.
Если функция у — у(х) задана параметрически уравнениями
x = x(t), y = y(t), t [a; Р], где функция x(t) имеет непре-
рывную неотрицательную производную на [а; р], х(а) — а,
Рис. 1
х(Р) = 6, а функция y(t) непрерывна и неотрицательна на [а; р],
то площадь фигуры Ф равна
S=^y(t)x' (/) dt. (2)
a
Пусть функции у — Ух(х) и у = у2(х) непрерывны на {а; Ь\
и у2 (х) yi (х), хе [а; 6]. Площадь фигуры Ф (рис. 2), огра-
ниченной графиками функций yi(x) и у2(х) и соответствующими
отрезками прямых х = а и х = Ь, равна
ь
S = (г/2 М — у} (х)) dx. (3)
а
При аналогичных предположениях относительно данных
функций для площади фигуры Ф (рис. 3) имеют место формулы
d
S=^x(y)dy, (!')
С
0
S = х (t) у' (/) dt, (2')
a
а для площади фигуры Ф (рис. 4)
d
S = (х2 (у) — Xi (у)) dy. (3')
105
Пусть функция г — г (ср), ф [а; р], где О < р — а 2л, не-
прерывна и неотрицательна на [ос; р]. Плоьцадь сектора Ф
(рис. 5), ограниченного графиком функции г(ф) в полярных
Рис. 3
Рис. 4
координатах и соответствующими отрезками лучей
ф = р, равна
s = y ^r2(q>) dq>.
а
ф = ОС И
(4)
Пример 1. Вычислить площадь фигуры Ф, ограниченной
параболой у — 6х— х2— 7 и прямой у = х— 3 (рис. 6).
Рис. 5
А Находим абсциссы точек пересечения данных кривых: из
уравнения 6х— х2— 7 —х— 3 имеем = 1, х2 = 4. По фор-
муле (3) находим площадь фигуры:
4
3 = ((6х - х2 - 7) - (х - 3)) dx —
1
4
= (5х — х2 — 4) dx = (у*2 —§'х3“~4х)|1=~*. а
1
106
Пример 2. К эллипсу
проведена касательная в точке С(а/2; Найти площадь
криволинейного треугольника АВС (рис. 7).
А Дуга АС эллипса и отрезок ВС касательной являются
графиками функций
X = *1 (у) = a aJ 1 — И х = х2(у) = а(2 — ),
д/Г/2.
По формуле (3) имеем
s = 5 ~Xi dy-
о
Интеграл от функции х%(у) вычисляем непосредственно:
&д/Г/2 b^/T/l
J2 = j x2(y)dy = a(2 —-А5_)(/г/=-Ц^а6.
0 0
Интеграл от функции xi(y) находим с помощью подстановки
у = b sin t. О t л/3:
&УГ/2 л/з _
Л = J *1 (У) dy = ab cos21 dt = ab.
о о
В результате получаем S = J2 — Ц=аЬ(з —л)/б. а
Пример 3. На гиперболе х2 — у2 = а2 дана точка AJ(x0;z/0).
Найти площадь криволинейного треугольника САМ (рис. 8).
А Перейдем к полярным координатам по формулам х =
= rcos<p, # = г sin ср, тогда уравнение гиперболы примет вид
2 а2 а2
=------------- ==------
cos2 ср — sin2 ф cos 2ф *
107
Площадь треугольника О AM находим по формуле (4):
а а
s== 1 (r2j<p==4(_^_=4in±±^.,
2 J ч 2 J cos 2(р 4 1 — tg а
о о
где tga — Уо/xq. Отсюда, учитывая, что х2 — у2 —а2, получаем
s=4in ^+^2=4in^>±^. А
. 4 а2 2 а
Пр и м е р 4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
А. Кривая (рис. 9) симметрична относительно осей Ох и Оу.
Найдем площадь четверти данной фигуры, лежащей в первом
квадранте, т. е. криволинейного треугольника ОАВ. Зададим
кривую параметрически: х = a sin3t, y — b cos3 t, 0 t 2л,
так, что x(0)=0, х(л/2)=а. Отрезку
[0; л/2] соответствует дуга АВ кривой.
Площадь треугольника ОАВ по формуле
(2) равна
л/2
S = J y(t)x'(t)dt. (5)
о
Вычисление этой площади можно упро-
стить следующим образом. Применяя к
(5) формулу интегрирования по частям
и учитывая, что у (/) х (/) |д/2 = 0, получим
л/2
S = — j x(t)y'(t)dt. (6)
о
Сложив равенства (5) и (6), найдем
Л/2
«=4 $(/) х'(/) ~х (/) у'(/)) dt- <7>
о
Отсюда
л/2 л/2
S = (cos41 sin21 + sin41 cos2 f) dt = sin21 cos21 dt ~
о 0
л/2 Л/2
3ab I 3a& C/i 3nab
==-Q-\ Sin2 21 dt ==~7^-\ (1 — COS 4/) =....o--->
о J lb J 32
0 0
Следовательно, площадь данной фигуры равна Зла&/8. а
Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
х — a sin t cos2t, у = a cos t sin2 /, 0 t л/2 (рис. 10).
108
А Пусть при / = /iG(O; л/2) функция
x(t)= a sin / cos21
имеет наибольшее значение хь Нижняя дуга ОА кривой яв-
ляется графиком функции y — yi(x), х^[0; xj, заданной пара-
метрически формулами
х = х(/) = a sin /cos2/, у = £/(/) = a cos/sin2/
при /^[0; /J. Верхняя дуга О А является графиком функции
у = у2^х), х ge [0; Х1], заданной параметрически теми же фор-
мулами х = х(/), */ = */(/), но уже при /е[/ь л/2]. Площадь
фигуры ОВААХ и криволинейного треугольника ОАА{ находим
по формуле (2). Площадь данной фигуры
площадей:
л tx
S = у (i) к' (/) dt — у (t) х' (/) dt,
л/2 0
т. е.
л/2
S = — ^ у (/) х' (/) dt (8)
о
Формула (8) аналогична формуле (5) из
примера 4, но в данном случае рассма-
триваемая фигура ограничена замкнутой кривой. Часто вычис-
ления по формулам типа формулы (8) можно упростить таким
же способом, как и в примере 4. Применяя к (8) формулу ин-
тегрирования по частям и замечая, что
г/(/)х(/)|"/2 = 0,
приходим к формуле
л/2
х (/)/(/)<//. (9)
о
Складывая (8) и (9), получаем формулу, аналогичную (7),
Л/2
S = 4 (10)
о
В данном случае вычисления по формуле (10) значительно про-
ще, чем по формулам (8) или (9):
л/2
S — (sin / cos2/(2 sin / cos2 / — sin3 /) —-
о
л/2
— cos/ sin2 / (cos3 / — 2 sin2/cos/))d/ = -^-\ sin2/cos2/d/ = д
0
равна разности этих
109
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (7.1—7.6):
7.1. 1) # = sin х, у = 0, 0 х л.
2) у = 1/х, у = 0, х = а, х = Ь, а> 6 > 0.
3) у — е~х, х = 0, у — 0, х = а.
4 ) у = a ch(x/a), у = 09 х = 0, x — xq.
с\ х2 о 3
5) У = -2~’ у = 2--^х.
6) у = 2х — х2, у — х.
7) у = х — у, у = cosx, х = 0.
8) у = sin х, у — cos х, 0 х л/4.
9) у — х, z/ = ysinx, х^О.
7.2. 1) у = ах, у = а9 х —О, а > 1.
2) у = j logax|, у = 0, х=1/а, х — а9 а > 1.
/7 2
3) у = -у=====, у = 2а, а > 0.
у а2 — х2
4) у —sin2x, r/ = xsinx, О х л.
2
5) z/ = tgx, f/ = -yCOsx, х=0.
6) у — —х2, у = х2 — 2х — 4.
7) у — 1п(1 + х), у = —хе~х9 х=1.
8) у = 6х2 — 5х + 1, У — cos лх, 0 х 1/2.
9) У = 6/(х + 5), у = \х\, х>—2.
10) у = sin3 х + cos3 х, 1/= О, —л/4 х Зл/4.
7.3. 1) у = 2х2, у — х3/3. 2) у — х(х — а)2, у = 0.
3) у = х — х2, у = х д/1 — х.
4) y = sin2x, у = sin х, л/3 х л.
5)у = х2/2, L-l/(l+x2).
6) у = arctg д/х, y + x2 = 0, х=1.
7) у = а3/(а2 + х2), 2ау — х2.
8) у = 10/(х2 + 4), у= (х2 + 5х + 4)/(х2 + 4).
9) у=(х2 — 2х)ех, у —0, х 0.
10) у = \х\3е-х\ | х | = а, а > 0.
7.4. 1) у = 2х2ех, у = —х3ех. 2) х2 + у2 — 8, 2у — х2, у 0.
3) у = + х3)> г/ = 0, х = 1.
4) z/ = e-x|sinx|, у —0, лп sg х sg: л(п+1); где « — за-
данное целое число.
5) 2у — х2, х2 + у2 = 4у, 2у х2.
6) у — 2 — 4х2 + 4х3 — х4, у —0, х = хь х = х2, где xi и
х2 — точки максимума данной функции.
7) у = ха, у = х~“, х = а, а>0, 0<а<1.
8) у = ха, у = х1/а, х > 0, а > 1.
7.5. 1) х = у2(у— 1), х==0.
2) у2_|_х^=41 у2_зх==12.
3)# = д/х> у = х — 2, х==0.
110
4) х2 + у2 — 2, у2 = 2х— 1, х 1/2.
5) у — arcsin х, у = arccos х, у = 0.
6) у = х + 1, х — sin лу, у — 0, 0 у 1.
7) у = 2х~3 + 1, г/ = 23-*+1, у =1,5-
8)г/ = 3\ z/=|(3-+D + 8/3, i/ = 9.
7.6. 1) у = 1/(3%), i/ = 0, t/=l, х = 0, х=1.
2) у = х, У = ~, У=-^—х, х>1.
3) у =-- х2, у — х2 + х — 1, у = 5х/2, у х2.
4) у = д/з х2, у = д/4 — х2.
г\%2\У2 1 9 2 9 2
5)— +4-=1> Z/ = ^2^>
6) //=4-*, у = — log4x, У=0, х = 0.
7) у = х<\ у = х~а, у = 0, х = а, а > 0, а#=1, а >* 1.
8) у = 1п(х-{-6), у = 31пх, х = 0, у — 0.
7.7. Найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс,
кривой у = (х—1 )5+ 1 и касательной к ней, параллельной пря-
мой 10% — 2у — 5 = 0.
7.8. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у =
— х2— 2% + 3, касательной к ней в точке (3; 6) и осями ко-
ординат.
7.9. Найти площадь фигуры, ограниченной данной параболой
и касательными к ней, проведенными в точках с абсциссами
Xi и х2, если:
1) у = х2 + 4х + 9, %1 = —3, х2 = 0.
2) у = 4х — х2 -j- 1, Xi = 0, х2 = 3.
7.10. При каком значении k площадь фигуры, ограниченной
параболой у = х2 + рх + q и прямой у = kx + b, будет наимень-
шей (р, q, b = const, b у)?
7.11. Доказать, что площадь фигуры, ограниченной прямыми
х = хь х = х2, у = 0 и дугой цепной линии у = a ch(x/a), про-
порциональна длине этой дуги.
7.12. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:
. а + л/ а2 — ip г-ъ-----------------о Л
х = a In -у----------------------\а — у2, х = 0,
$<Уъ<а.
У = У^
7.13. Пусть у (х) = ах2 + Ьх + с > 0 при Xi х х2. Дока-
зать, что площадь фигуры, заданной неравенствами 0^у^у(х),
Xi х х2, равна
5 = 4 (*2 — ^1) (У (*i) + У te) + 4у (х0)),
где х0 = (xi + х2)/2 (формула Симпсона).
7.14. Пусть В — вершина параболы, АС — хорда этой пара-
болы, перпендикулярная ее оси и пересекающая ось в точке D.
Доказать, что площадь параболического сегмента АВС равна
2ah/3, где h — BD — высота, а =АС — основание сегмента.
111
7.15. К параболе в ее вершине А проведена касательная.
Из точки В параболы опущен перпендикуляр ВС на эту каса-
тельную. Доказать, что площадь парабэлическо о щялоуголь-
ного треугольника АВС равна ab/З, где а — AC b — ВС.
7.16. Прямая касается параболы в точке .1, вторая прямая,
параллельная оси параболы, пересекает первую прямую в точке
В, а параболу — в точке С. Доказать, что площадь треугольника
АВС, ограниченного дугой АС параболы и отрезками АВ и ВС,
равна ~ АВ ' ВС • sin z АВС.
О
7.17. Две прямые, пересекающиеся в точке В, касаются па-
раболы в точках А и С. Доказать, что площадь треугольника
АВС, ограниченного дугой АС параболы и отрезками АВ и ВС,
равны ~АВ • ВС • sin / АВС.
7.18. Прямая касается параболы в точке А, хорда ВС пара-
болы параллельна этой прямой. Доказать, что площадь парабо-
лического сегмента, ограниченного хордой ВС и дугой ВАС па-
раболы, равна 4/3 площади треугольника АВС (Архимед).
7.19. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у — х2
и нормалью к ней, проведенной через точку параболы с абсцис-
сой х = 1.
7.20. Найти наименьшую площадь фигуры, ограниченной па-
раболой у2 — 2рх и нормалью к ней.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (7.21—7.22):
7.21. 1) у2 = 2рх, х2 = 2ру.
2) у = х2/2, у = (х2 — 4%+ 16)/6.
3)х2 + у2 = а2, у = х2/(2р), у^О.
4) у2 = 2рх, y2 = 2q(h — х), где p,q,h>G.
5) у2 = 2рх, (y — y0)2 = 2q(x0 — x),
где р, q, у0>0, у2<2(р + q)x0.
6) 2ру = х2, 2q(y — у0) — (х —Хо)2,
rp$q>p>0, 2(q-р)у0 + х2>0.
7.22. 1) (у — х)2 — х“, х — а2, а > 0, а > 0.
2) (у — х + 2)2 = 9у, х = 0, у = 0.
3) а2у2 — х2(а2 — х2). 4) а4у2 = (а2 — х2)3.
5) х4 — ах3 + а2у2 — 0. 6) х4у2 — а5(х—а), х = 2а.
7) j/2 _ sin2 х cos х, —л/2 х л/2.
7.23. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
(у — arcsin х)2 = х — х2.
7.24. Функции у — f(x) и у — g(x) непрерывны на отрезке
[а; 6], g(a) = g(b) = 0, g(x)>0 на интервале (а; Ь). Доказать,
что площади фигур, ограниченных, соответственно, кривыми
y2=g(x), и (y — f(x))2 = g(x), равны.
112
7.25. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой:
1) % = a cos /, у = b sin t (эллипс).
2) х = - cos3 /, # = -^-sin3/, с2 = а2 — Ь2 (эволюта эл-
липса).
3) х = а (улитка).
4) x — r(ncost— cosnt), y = r(nsint— sinn/), n—leN
(эпициклоида).
5) x —r(n cos t-\-cos nt), y — r(nsint—sinnt), n—leN
(гипоциклоида).
6) x = a (1 — cos t)cos t, у — tz (1 — cos t)sin t (кардиоида).
7.26. Найти площадь фигуры, ограниченной аркой циклоиды
х = a(t — sin t), у = а(\ — cos t), 0 t 2л,
и отрезком [0; 2ла] оси абсцисс.
7.27. Найти площадь фигуры, ограниченной дугой эвольвенты
окружности
х = a(cos /+ /sin t), y=a(sint—tcost), 0 t 2л,
и отрезком с концами (а\ 0), (а\ —2ла).
7.28. Найти площадь фигуры, ограниченной одной волной
трохоиды (укороченной циклоиды)
x — a(t— ks\x\t), у — a(\—kcost),
и касательной к этой кривой в ее точках с наименьшей орди-
натой.
7.29. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей заданной
кривой:
1) x — at — I2, 2) x==fl — а2, 3) х=1 + /-/3, x 1 + 3f2 ’ 5) x = । fi • 6) x = asin2/, 7) x = a(|/-sin/), 8) x — a (1 + 2 cos /), (конхоида Никомеда). 7.30. Найти площадь y — aft — t3, а > 0. y — t3 — a2t, a > 0. у = 1 — 15/2. — 4/2 У — 1 + 3i2 »= y 1 +t2 • y = asint, a > 0. y = a(\— cos/), a > 0. У = a (tg t + 2 sin /), a>0 сектора <pi <p Фг, фг — <Pi 'С 2л,
ограниченного кривой:
1) г — (р (архимедова спираль).
113
2) rq) = a (гиперболическая спираль).
3) г = Rek®, k> О (логарифмическая спираль).
7.31. Найти площадь фигуры, ограниченной n-м витком архи-
медовой спирали
Г = 2тс(п — 1)^ф<С2лп, /zeN,
и отрезком полярного луча.
7.32. Найти площадь фигуры, ограниченной отрезком поляр-
ного луча и двумя витками спирали, соответствующими значе-
ниям полярного угла
Ф е [2лп; 2л (п + 1) ] и ф е [2л (п + 1); 2л (п + 2) ]:
1) г== 2) rq = a. 3) r — Rekv, k > 0.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными
в полярных координатах (7.33—7.35):
7.33. 1)/-== ; ? --г-, <р = 0, <₽ = -.
7 ( Л \ 9
Софф-у)
2) г — acostp. 3) r=a(l+cos<p) (кардиоида).
4) r = + a cos ф, а Ь > 0 (улитка).
5) г = Я8ш2ф (найти площадь одного лепестка).
6) г=асозЗф. 7) г=азт5ф. 8) r = asinmp, nsN.
9) 1 + еРсозФ ’ <Р = 0’ (Р = <Р°’ 0<е<1
(эллипс).
10) r = I + fcos<п > ф = о, ф=ф0, 0^ф<фо, е>1, ecos<pe>
> — 1 (гипербола).
7.34. 1) r = 2acos(p, г = «-^Нр ф = 0.
2) г —2 — созф, г = cos ф.
3) г==д/з a sin ф, г = 2а $т2(ф/2), г 2а зт2(ф/2).
4) г = а | tg ф |, г — b/cos ф, 0 < b < а.
5) r = 2a , r = 2b/sincp, 0<b<a.
7.35. 1) r2 = 2a2cos2cp (лемниската).
2) г2 — 2 sin 2ф, r=l, 1. 3) г2 — a2 cos 4ф.
5) г2 = а2 (1 — 2 cos 2ф), г — а, г а.
7.36. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, задан-
ной в полярных координатах параметрически:
1) г = а д/1 + /2, Ф = / — arctg/, 0 i /0, ф(/0)^2л
2) г = ’ Ф = / — arctg /, 0 < / < /0, ф(/0) < 2л.
114
7.37. Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) внешней пет-
лей улитки |г—2 cos ср |=1; 2) ее внутренней петлей.
7.38. Выразить через эллиптические интегралы площадь
«овала» Кассини
г4 — 2с2г2 cos 2ф + с4 = а\
если:
1) а > с > 0; 2) с > а > 0.
7.39. Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат
и кривой
лЛ + Vf-1
7.40. На эллипсе
i_ JL
а2 Ь2
дана точка (х0; */о), х0 > 0, yQ > 0. Найти площадь криволиней-
ной трапеции, ограниченной дугой эллипса с концами (0; Ь) и
(х0; Уо), осями координат и прямой х = х0.
7.41. Найти площадь меньшего из сегментов, отсеченного от
эллипса
прямой х — Ка, 0 < X < 1.
7.42. Найти площадь сектора, ограниченного дугой эллипса
имеющей концы А (0; Ь) и М(х0; у0), Xq > 0, Уо > 0, и отрезками
ОА и ОМ.
7.43. На гиперболе
а2 Ь2~
дана точка (х0; Уо), х0 >0, у0 > 0. Найти площадь фигуры,
ограниченной дугой гиперболы с концами в точках (а;0) и
(х0; Уо), осью абсцисс и прямой х = х0.
7.44. Найти площадь фигуры, ограниченной дугами гипер-
и прямыми у = Ь, у — —Ь.
7.45. Найти площадь сектора, ограниченного дугой гиперболы
X2 У2 — А
а2 Ь2
с концами в точках А (а; 0), Л1(х0; Уо), х0 > 0, уо > 0, и отрез-
ками ОА и ОМ.
7.46. Через фокус линии L второго порядка проведена хорда,
параллельная оси ординат. Найти площадь отсеченного сегмента
115
(х^О), если: 1) L — парабола у2 — 2рх; 2) L — эллипс
^- + у2=1; 3) L — гипербола — £=1.
7.47. Найти площадь эллипса:
Ах2 + 2Вху + Су2 = 1, А > О, 4АС > В2.
7.48. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:
1) (у — За)2 = 4ах, ху = а2.
2) х2 + 4у2 = 5а2, ху = а2, х 0.
3)£ + £=1, х2 4- у2 == ab, x2 + y2>ab, а > Ь.
4)ху=^ + ау, х + у = 2(а + X), а > 0.
(х + а/2)2 I У2 __ 1 (X — а/2)2 , у2 _ . .
5) --р------г-р-— 1, -----2---Ь-р-— 1, У = Ь.
6) х2 — у2 = а2, (х2 — а2)3 у2 = а8, у = 0, х — За,
х^О, (х2— а2}8у2^а8.
7.49. Круг
х2 + у2 < 75
разделен гиперболой
х2 у^ = ]
12 100
на три части. Найти площадь средней части.
7.50. Найти отношение площадей фигур, на которые круг
х2 + у2 2ах разделен:
1) Параболой у2 = 2ах — а2.
2) Гиперболой 4х2 — Зу2 = а2.
7.51. Найти площадь криволинейного четырехугольника,
ограниченного дугами эллипсов
4+£ = 1 и £ + 4=1 (а>Ь).
а2 ' Ь2 Ь2 ' а2 \ j
7.52. Найти наименьшую площадь фигуры, ограниченной ги-
перболой ху = 3 и прямой, проходящей через точку (1; 4).
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (7.53—7.54):
7.53. 1) х2 + у2 = 2х, х2 + у2 = Ьх, д/3"# + х = 0, у -
— д/3 х = 0.
2)_х2 + у2= 16, х2 + у2 = 4у, л/3 у - х = 4^3 , у +
+ •у] 3 х = 4.
3) х2_|_{/2 = 9) х2 + г/2 = 2д/3х, Л/з'у + х = 0, >у/3у —
— х = 0, х > 0, х2 + у2 9.
4) х2 + у2 = 6, х2 + у2 — 2х + 2у (х2 + г/2^6).
7.54. 1) х4 + у4 = а2(х2 + t/2). 2) (х2 + у2)2 = 2а2ху.
3) (х2 + у2)2 = а2х2 + Ъ2у2. 4) х4 + у4 — ах2у.
116
5) (х2 + z/2)2 = 2а2(х2— у2), x2 + у2 = а2 (х2 + У2 а2).
7.55. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей:
1) Листа Декарта х3 + У* — Заху.
2) Конхоиды (х — а )2 (х2 + У2) — 4а2х2.
7.56. Задать параметрически дугу гиперболы х2 — у2—1
(х^О, у^О), приняв за параметр площадь криволинейного
треугольника О AM, где AM— дуга гиперболы, А(1; 0), М(х;.у),
ОА и ОМ — отрезки, О — начало координат.
7.57. Внутри окружности радиуса К находится точка А на
расстоянии а от центра. Кривая образована основаниями пер-
пендикуляров, опущенных из точки А на касательные к окруж-
ности. Найти площадь фигуры, ограниченной этой кривой.
7.58. Найти кривую г = г(ср), для которой площадь S сек-
тора, ограниченного этой кривой и полярными лучами <р — 0 и
<p = a, вычисляется для любого а^(0; л) по формуле
1) S = агп(а), п>2.
2) S = Ar2(a)~S0 (А? > 0, So>O).
7.59. Функция у=](х) определена, непрерывна и положи-
тельна при х > 0. Пусть S(c)—площадь фигуры, ограниченной
осями координат, прямой х = с и графиком функции y = f(x).
Найти f, если S(c) = acf(c) для любого с>0 (0 < а 1).
7.60. Пусть р>1, ^ + —-=1. Доказать, используя свой-
ства площадей, что для любых а > 0, b > 0 верно неравенство-
причем равенство имеет место только при b = ар~\
2. Вычисление длин кривых. Длина пространственной кривой,
заданной параметрически уравнениями
x = x(f), y = y(t), z±=z(t),
где x(t), y(t), z(t)—непрерывно дифференцируемые на [а; Ь]
функции, равна
s — Vх'2 + у'2 + г'2 (10
а
Длина плоской кривой, заданной параметрически, равна
ъ
s= дЛ'2 + y'2dt,
а
(12)
где x(t) и y(t)—непрерывно дифференцируемые на [а; 6]
функции.
Если плоская кривая задана явно уравнением у — у(х), хе
е [а; 6], где у(х) — непрерывно дифференцируемая на [а; 61
117
•функция, то ее длина рагпа
ь
s = V1 + у'2 dx.
а
(13)
Длина плоской кривой, заданной в полярных координатах
уравнением г = г(<р), фе[а; р], где г (ср)—непрерывно диффе-
ренцируемая на [а; р] функция, равна
Р ______________
s — 'у/г2 + г'2 dtp.
а
(14)
Длину дуги кривой иногда называют ее натуральным пара-
метром. Задание плоской кривой уравнениями x = x(s), у —
— y(s), где s— длина дуги этой кри-
вой от некоторой ее точки Л40 до точки
М(х; у), называют натуральной пара-
метризацией кривой. При этом, задав
на кривой направление, считают дли-
ны дуг до точек в этом направлении
положительными, а до точек в проти-
воположном направлении — отрица-
тельными. Уравнение F(R, s) = 0, свя-
зывающее радиус R кривизны кривой
в точке и длину s ее дуги до этой точ-
ки, называют натуральным (внутрен-
ним) уравнением кривой.
Пример G. Найти периметр криволинейного треугольника,
ограниченного дугой окружности х2-\-у2 — 2 и графиком функ-
ции у = д/1 х |.
А Находим координаты вершин А и В (рис. 11) как точек
пересечения окружности и графика функции у= Vl х 1: ^(—h 1 )>
В(1; 1). Дугу АВ окружности зададим явно в виде у — ^2 — х2,
|х| 1, и длину Si дуги АВ найдем по формуле (13):
1 1 ______________________
s> = 5 71+/2rfx= J д/^-dx =72-arcsin -^=-^
(этот результат сразу получается _и по известной формуле
Si = Ra, где в данном случае R = V^ , сс = л/2).
Длины s2 и s3 дуг графика ОВ и ОА равны в силу симметрии
этих дуг относительно оси Оу. Найдем длину дуги ОВ. По усло-
вию она задана формулой у — х , 0 х 1, но производная
функции у = 'у/х неограничена в окрестности х = 0. Приняв за
независимое переменное у, зададим дугу ОВ уравнением х — у2,
0^г/^1. Тогда х' = 2у и по формуле, аналогичной (13),
118
получим
s2 = jj Vl + jc'2 dy = jj V1 + 4*/2 dU-
о 0
Полагая у = sh t, находим
arsh2 arsh2
s2=4 $ ch2/d/=4(|sh2/ + /) =|(2V5 + ln(2+ V5)\
о 0
Периметр треугольника равен
S1 + 2s2 = -^ + V5 +-^ln(2+ V5). ▲
Пример 7. Найти радиус окружности с центром в начале
координат, которая делит дугу астроиды х2/3 + у2/3 = а2/\
х 0, у 0, на три дуги равной
длины.
А Параметризуем дугу астрои-
ды, полагая х = a sin3 /, у = a cos3 /,
О t л/2, и вычислим по фор-
муле (12) длину дуги от точки Л,
соответствующей t = 0, до точки, со-
ответствующей t = to [0; л/2]
(рис. 12):
to
s^ = \v^+y^dt-
о
to
= За^ sin i cos tdt = ^- sin2 /0.
о
Длина s всей дуги AB (/0 = л/2) равна s = 3a/2. Из условия,
что длина дуги АС равна s/З, получаем sin2/0= 1/3, откуда
sin/0=l/V3, cos/о — V2/3 >
а
Хо —------рг
з л/з
l°ci=V*o + ^=-^-
В силу симметрии астроиды относительно прямой у == х окруж-
ность с центром О и радиусом /? = а/д/3 разделит дугу АВ на
три равные по длине дуги. ▲
Пример 8. Найти длину дуги пространственной кривой
х2 = 2az — г2, у = a In (1 — 7^-) ,
А Возьмем за параметр
0 г 20 < 2а.
t = 0 t tQ = 'xjz^a < 1.
119
Тогда
<S = \
о
2 = 2а/2, x — 2at д/1 —-t2, z/~aln(l — Z2),
, o 1 - 2/2 , 2at г л <
x —2a —===-, у =----------, z — 4att
Vl - * i - /2
и по формуле (11) находим
tn to
i 2a i.____ , 1 "Mo
J 1 -г2 dt ~a n l-/0 —
0
= aln
ж у 2a — aJzq
Пример 9. Выразить длину эллипса
25 * 9 1
через эллиптическую функцию.
Л Параметризуем дугу эллипса, лежащую в первом ква-
дранте, полагая
x = 5sinZ, # = 3cosZ, 0 Z л/2.
Длина si этой дуги равна
л/2 л/2
д/х'2 4~ у'2 dt = j д/25 cos2 ~i 4- 9 sin2 tdt —
о о
л/2 л/2 __________~
= J д/25 - 16 sin2/Л = 5 J д/1 -2g-sin2/d/ = 5E(-|).
О о
Длина всего эллипса равна 4si — 20Е (4/5). а
7.61. Найти длину дуги кривой:
1) у ==2%3/2, 11.
2) х =4 V(«/- I)3, 0 < х < 2 д/З-.
3)//=д/2х— х2—1, 1/4 <х<1.
4) у = — х2/3 — 1, 0 < х < 5 V5~-
5) х2 = 5г/3, х2 + у2 6.
о 16 ( 1 \з 2
6) у2 = ^ , //2<х.
7) у =4xS/4’ 0<х<9.
8) у =dL д/х + 12, — 11<х< —3.
9) у = Vх/3 (1 — х), 0 < х0 sC х ^4 1 •
120
10) у — —-- 1 —(ха -|- х2~“), 1 х х0.
У 2 Va (а - 2) '
11) у =4(*1/3 —4-*5/3). 1<х^-8.
х \ О /
7.62. При каких рациональных числах а, а=#0, длина дуги
кривой у = аха, 0 < х0 х /, является элементарной функ-
цией Z? Указание. Воспользоваться теоремой Чебышева об ин-
тегрируемости дифференциального бинома.
7.63. Найти длину дуги кривой:
1) # = chx,
2) у = sh2x, | х |
3) у = In (x — д/л2 “ 0» 1 < a x b.
4) у = In th (x/2), 0 < a x b.
7.64. Пусть M(x\ y),x^0y—точка цепной линииy=ach(x/a),
I — касательная к этой линии в точке М, М\—проекция М на ось
абсцисс, N — проекция Мх на /. Доказать, что длина дуги AM
цепной линии, где Л(0; а)—ее вершина, равна |M/V|.
7.65. Найти длину дуги кривой:
1) у = х2/4, о^х^2.
2)г/ = 4 —х2/2, z/^0.
3) у2 = 8х, —4 t/sg4.
4) # = 4д/х— 2, 2^х^3.
7.66. Найти длину дуги параболы у2 — 2рх между ее точ-
ками (0; 0) и (х0; Уо)•
7.67. Доказать, что при качении (без скольжения) параболы
х2 = 4ау по оси Ох ее фокус движется по цепной линии' у =
= a ch(x/a).
7.68. Доказать, что если цепная линия катится без скольже-
ния по прямой, то центр кривизны точки касания движется по>
параболе.
Найти длину дуги кривой (7.69—7.70):
7.69. 1) ^ = 4“ V’
2) у = 1пх,
3) у — ех,
2 д/2” <х<2 V6 .
0 х <1 In 7.
4) t/ = ln(x2—1), 2 х 5.
5) ^==271 +ех/2, 1п9<х<1п64.
6) у — In sin х, л/3 sj х sj 2л/3.
7) x = In cost/, 0 sC У л/3.
В) у = arcsinex, —ln7^x^—In2.
121
7.70. 1) у — ^У2 — х2, 0<х<1.
2) у = х д/х/( 1 — х), 0^х^5/6.
3) J/ = V1—х2 +arcsin х, 0^х^9/16.
4) х = 2 arctg V(i — */)/(1 + у)~ V1 ~ У2’ I-
5) У—^х — х2 — arccos д/1—х, 11/36х 15/16.
6) z/ = 2(Ve* — 1 — arctg Vе* ~ 0> О^х^хо.
7) у = 2а In ---4 ^ах, 0 х sC х0 < а.
у а — ух
о\ у/_п 1 п а ~Ь 'х!а1 х2 _ /п2 /2 л r Y п
О ) у — Си 1П % *у Cl X , VJ Л q ** ci *
9) у = Vx2 - 32 + 8 In (x + -V*2 - 32 ), 6 < x < 9.
7.71. Длина дуги графика непрерывно дифференцируемой
функции у = f(x) от точки /1(0; а) до точки 7И(х; f(x)) пропор-
циональна с коэффициентом k угловому коэффициенту касатель-
ной к графику в точке М. Найти функцию f.
7.72. Найти длину дуги кривой:
1) х = a cos3 /, у = a sin31, 0 <7 t 2л.
2) х = -у- cos3 /, ^ = -~-sin3/, 0<J=C2n, c2 — a2 — b2 (эво-
люта эллипса).
%)x = a(t— sin/), у — a(\—cost), 0 t 2л (ци-
клоида).
4) x = a(cosq) + Ф sincp), z/ = a(sin<p — cpcosq)), 0 <p
<ф0 (эвольвента круга).
5) x = ch3 t, у = sh3 /, 0 t tQ.
6) x = aea(p cos ф, у = sin ф, 0 <7 ф фо-
7) x = ~i^L=r cos (a In /), у — —=L=====r sin (aIn/), t{ t2.
ya2 + 1 у a2 4-1
8) %==/ —-^зЬ2/, # = 2ch/, 0</<7/0.
9) x = a(cos /+ In tg(//2)), у = a sin/, 0 </0 ^ / ^ л/2
(трактриса).
7.73. Пусть функция f(t) трижды непрерывно дифференци-
руема на (а; Ь). Найти длину дуги кривой
х — f"(t)cos / + f(/)sin /, у = f'(/)cos / — f'(0sin Л
а < Zi h < b.
7.74. Найти длину дуги кривой:
1) х — (/2 — 2) sin I + 2/ cos /, у — (t2 — 2) cos / — 2/ sin /,
0^/^л.
122
2) х = г ((а + 1) cos i — cos (а + 1) /), У = г ((а 4- 1) sin t —
— sin (а-|- 1)/), 0 t /0 2л/а, г > 0 (эпициклоида)
3) х = г((а— l)cos/4-cos(a-- 1)/), z/ = r((a — l)sin/ —
— sin (а — 1) /), 0 /0 2л/а, а > 1, г > 0 (гипоциклоида).
4) х = а (2 cos 2/ cos / + 8*п 2^ sin 0, # = a (sin 2/ cos t —
— 2 cos 2/ sin /), 0 t л.
5) x — r (a cos bt — b cos at), у— r (a sinbtb sin at),
0 t 2л/(а + 6), a > 0, b > 0, r > 0.
7.75. Пусть функции f(t) и g(t) дважды непрерывно диффе-
ренцируемы на (а\ Ь). Доказать, что длины дуг кривых
X = f(t)—у = f(/) + g(t)
х — f'(t) sin t — g'{t) cos t, у = f'(t) cos t + g'(/)sin t,
соответствующие отрезку [^; t2] cz {a-, b), равны.
Найти длину дуги кривой (7.76—7.77):
7.76. 1) x = 8a/3, y — 3a(2t2 — t4), y^O.
2) x = 6 — 3t2, y = 4t2, xZ>A).
7.77. 1) x = sin41, у = cos2 t, 0 t л/2.
2) x — cos41, у — sin41, 0 гС Z л/2.
3) x = acos5Z, y — asin5t, 0 t sj 2л.
4) x = a cos31, у — b sin31, 0 t to л/2, a =/= b.
5) x — a(sht— t), y = a(cht— 1), 0^y^7a, x 0.
7.78. Найти длину петли кривой:
1) х = /2, У~^(^ —
2) х == 2Z3 (1 - Z2), у = V15 t4.
3)x = a(/2-l), y = ^=(t2-
7.79. Найти длину
кривой:
1) х = \ cos <р2 dqp, у = \ sin tp2 dtp, 0 /0 (клотоида).
I sin ф * I cos qp , . .
2) х = J —dq>, y = ^—^-dq>,
7.80. Найти прямую у = const, которая делит арку циклоиды
х = a (t — sin t), у = а (1 — cos /), 0 t 2л,
на три дуги равной длины.
123
7.81. Материальная точка под действием силы тяжести дви-
жется по циклоиде
х = а(<р + sin ф),
у = а(1 —cos ф),
|ф| л
(начальная скорость равна нулю, трение отсутствует). Доказать,
что период колебаний точки не зависит от ее начального поло-
жения. Найти этот период.
7.82. Найти длину дуги кривой:
1) г = a sin ф.
2) г — aek(f>, Ф1 ф Ф2 (логарифмическая спираль).
3) г = а(1 — cosф) (кардиоида).
4) г = 2 (1 + cos ф), г^1.
5) г — а(1 — sin ф), —л/2 < ф < —л/6.
6) г = аШ(ф/2), 0 ф фо-
7.83. Доказать, что длины дуг последовательных витков ло-
гарифмической спирали
г — aek®, 2т Ф 2л(п J- 1),
образуют геометрическую прогрессию, и найти ее знаменатель.
7.84. Пусть s(a)—длина дуги логарифмической спирали
г = aekv, k > 0, а ф 0.
Найти
lim s(a).
a->-oo
7.85. Найти длину кривой:
1) г — acos3(<p/3). 2) г = a sin4(<p/4)'.
3) г = ясоэ5(ф/5).
7.86. Найти длину кривой r = asin"-^-, «еМ, если: 1) п —
четное число; 2) п — нечетное число.
7.87. Найти длину кривой г — p/sin2(<р/2), л/2 ф Зл/2.
7.88. Найти длину петли кривой:
.. а _ а
l> r ~ sin3 (ф>/3) * Г ~ cos4 (<р/4) •
7.89. Найти длину дуги кривой:
1) г — яф, 0 ф Фо-
2) г — яф2, 0 ф 4.
3) г — яф4, 0 -Д ф tC 3.
4) г — яф3, 0 f-С ф • 4.
7.90. Пусть г(0 и ф(0, a<t<b,— непрерывно дифференци-
руемые функции. Доказать, что длина дуги кривой r = r(t),
<р = ф(0> а < t0 t /1 < b ((г;ф)—полярные координаты
124
точки), вычисляется по формуле
tx ________
S = + г'* dt.
to
7.91. Найти длину дуги кривой:
1) г = 1 + cos/, <p = t— tg(//2), O^t^to<Zn.
2) Ф = y (г + у) , 1<г<г0.
д/^-2 _ ^2 д
3) ф — ~— -----arccosy, а < г1 г г2.
г2 + и
4) ф = arccos (a + fe)r
7.92. Найти кривую, у которой длина дуги от точки Л40 до
произвольной точки М на кривой пропорциональна разности
| ОМ | — | ОМ0|, О — данная точка плоскости.
7.93. Доказать, что при качении без скольжения кардиоиды
г = а(1 — sin (р)
по циклоиде
х = a(t — sin /), у = а(1 — cos t)
острие кардиоиды движется по прямой.
7.94. Найти длину кривой:
1) (у — arcsin х)2 — 1 — х2.
2) V%+ Vz/ = д/а.
3) (fW-.
7.95. Найти длину одной петли кривой
16а2у2 = х2 (2а2 — х2).
7.96. Найти длину дуги кривой х2/3 — у2/3 — а2/3, лежащей
внутри параболы 21 ах — 10 V10 у2.
7.97. Найти длину дуги кривой (“7) — (-£) = 1 от точки
(а; 0) до ее точки (х0; уо).
7.98. Выразить через эллиптические интегралы длину дуги
кривой:
1) t/=asincox, 0 х Хс л/2со.
2) x — at — b sin t, у = а— 6 cos/, а > 0, b > 0, 0 /0
t л.
3) г2 — 2с? cos 2<р, 0 <р фо < - j (лемниската}.
4) + "fr = 1 > 0 х «С х0 а, а > Ь.
х>0.
125
7.99. Найти длину кривой:
2) г2 = 2а2 cos 2ф.
3) r = acoscp4-b (улитка).
4) г = a sin nep, /ieN, n> 1.
7.100. Доказать, что длина эллипса ^2+^2 = Ь а> Ь, рав
на длине синусоиды у = ^а2 — Ь2 sin (х/6), 0 х 2лЬ.
7.101. Доказать, что длина арки кривой
х = at — b sin t, у = а — b cos /, 0 t 2л, а > 0, b > 0,
равна длине эллипса с полуосями а + b и | а — b |.
7.102. Доказать, что длина s эллипса с полуосями а и b
удовлетворяет неравенствам
л (а + b) < s < л ^2 (а2 4- Ь2).
7.103. Найти натуральную параметризацию кривой:
1) х2 + у2 = а2. 2) у = ach(x/a).
3) х = a(cos/ + /sin/), z/ = a(sin/—/cos/).
4) r — rQe^.
5) x — r(q — зтф), y=*r(l— соэф), 0 sC ф 2л.
6)#2 = ^гХ3, J/>0.
7.104. Составить натуральное уравнение кривой:
1) у — a ch (х/а). 2) г = rGek(p.
3) х = a(cos t + / sin /), y = tz(sin t — /cos/).
4) x — a cos ф -j- о ln^(ф/2), у = о sin ф, 0 ф л.
5) x — a(t—sin/), у — a(\—cos/), 0 2л.
6) x = r(3 cos ф — cos Зф), у = r(3 sin ф — sin Зф), 0 Ф л.
7) х = г (3cos ф + cos Зф), у = г (3 sin ф — sin Зф), 0 ф
л/2.
8) г = а(1 — cos ф).
t t
9) х = cos ф2 йф, у = sin ф2 йф.
о о
7.105. Дуга логарифмической спирали катится без скольже-
ния по прямой. Доказать, что центр кривизны точки касания
движется по прямой.
7.106. Циклоида катится без скольжения по прямой. Дока-
зать, что центр кривизны точки касания движется по окруж-
ности.
7.107. По данному натуральному уравнению задать кривую
в декартовых или полярных координатах:
1) R = a. 2) 7? = s.
3)/?=:S2+l 4)s = /?2.
5) /?2 +(s — 1)2= 1- 6) 7?2 + (s-l)2 = 4
126
7) 9Я2 4- s2 = 1.
9) R = e~s.
8) /? = Ve2s- 1.
Найти длину дуги пространственной кривой (7.108—7.110):
7.108. l)x = acos/, у = a sin/, z = bt, О^/^/о.
2) х — aekv cos <р, у = aek<9 sin q>, z — bek®, z\-^.z^.z2.
3) x — at, y = a^/t sin/, z — a^t cost, 0</1^/^/2.
4) x = a(l + cos /), y = a(t — sin/), z — 4a sin (t/2),
6) x — a(t— sin/), у = a (1 — cos /), z = 4a cos (t/2),
2л.
6) x = ach/, j/ = &sh/, z = at, 0^/<J0.
7) x = ef, у — е~*, z — -^2t, O^/^/o.
8) x — cos31, z/==sin3/, z = cos2/, 0^/^2n.
9) x = asin2<p, у = a sin <pcos<p, z = alncos<p, |ф|^<р0<л/2.
7.109. 1) x — 2t, y = \nt, z = P, 0<6</</2.
2)x = 3/ —/3, y = 3/2, z = 3/ + /3, 0</</0.
о
3) x = at, y = abl\ z — -~ab2t3, O^/^/o.
<5
7.110. 1) x = acos/, у = a sin t, z — be*, 0 In(«//>),
a > b.
2) x = at cost, y — at sin /, z = at2/2, O^t^to.
3)x — atcost, y —at sin t, z = bt, 0^/^/0.
7.111. Найти длину кривой Вивиани
х — R sin21, у = Rsint cos /, z — R cos /.
7.112. Найти длину дуги пространственной кривой:
1) х3 — За2у, 2xz = а2, а/3 у 9а.
2) х2 = Зу, 2ху = 9z, 0 у 27.
3) х2 —9у, 16x1/= 9z2, |z|^12.
4) x2-\-y2~az, xsin(z/aY—у cos(z/a) = Q, 0 sC z zo-
5) x2 + y2 = z2, xcos (д/2 z) +//sin (д/2 z) = 0, | z | 1.
6) 4ax ==(«/ + z)2, 4x2 + 3y2 = 3z2, 0 tC x C x0, z 0.
7) (y — z)2 — 3a(y + z), 9x2 + 8y2 = 8z2, 0 x sC x0.
8) x = asin —, z = i-in£±A.j 0<«/<г/0< — •
7 a 4 a — x
9) x2+y2+z2—a2, x sin arch — у cos arch—a =0,
vx2 + y- -vx2 + y'
0 z z0, где archu, и 1, — функция, обратная к функции
ch /, / ^ 0.
127
7.113. Найти натуральную параметризацию винтовой линии
х — a cos t, у = a sin t, z = bt3
7.114. Найти зависимости кривизны k и кручения х от длины
дуги (натуральные уравнения} для кривой:
1) х — a cos /, у — a sin /, г = Ы.
2) х — a ch t, у — ash t, z —at.
3) x = e\ y — e~l, z=^2t.
4) x — at, y — '\/2a\ntf z — alt.
§ 8. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей
Рис. 13
1. Вычисление объемов тел. Пусть функция у — у(х} непре-
рывна и неотрицательна на отрезке [а; &]. Объем V тела, обра-
зованного вращением вокруг оси Ох фи-
гуры Ф (рис. 13), ограниченной графи-
ком функции у(х), отрезками прямых
х = а и х = b и отрезком оси Ох, равен
ъ
V = (х) dx. (1)
а
Если функция у — у(х) задана пара-
метрически уравнениями х = x(t), у =
=y(t), /е[а; р], где функция x(t) имеет
непрерывную неотрицательную производ-
ную на [а; р] и х(а)=а, х(Р) = &, а
функция y(t) непрерывна и неотрицательна на [а; р], то объем
V тела, образованного вращением фигуры ф (рис. 13) вокруг
оси Ох, равен
V = n j у2 (f) х'(f) dt. (2)
а
Если функция x(t) убывает и х(а) = Ь, х(Р)— а, то при тех же
прочих условиях
У = -л ^y2(t)x'(t)dt. (2')
а
Пусть функции у — у\ (х) и у — у2 (х) непрерывны на отрезке
[а; 6] и y2(x)^i/iW>0, хе [а; 6]. Объем V тела, образован-
ного вращением вокруг оси Ох фигуры Ф (рис. 14), ограничен-
ной графиками функций ух(х), у2(х) и отрезками прямых х = а
и х — Ь, равен &
V = Л 5 (у2 (*) - У\ W) dx- (з)
а
128
Для тел, образованных вращением фигуры Ф (рис, 15, 16)
вокруг оси Оу, при аналогичных предположениях относительно
данных функций, верпы, соответственно, следующие формулы
для объемов:
d
V = n^x2{y)dy, (4)
С
V — л х2 (/) у' (t) dt, (5)
а
d
v = л (х| (у) — х2 (у)) dy. (6)
Пусть тело расположено в пространстве Oxyz между плоско-
стями z — Zq и z — zQ-\-Ii. Пусть каждое сечение тела пло-
скостью, перпендикулярной оси Oz, имеет площадь S(z), где
Рис. 15
Рис 16
S(z)—интегрируемая на [г0; Zo + Н] функция. Если это тело
имеет объем, то юн равен
V = S{z)dz.
z9
(7)
Аналогичные формулы имеют место, если вместо оси Oz взять
ось Ох или Оу.
Пример 1. Фигура ограничена дугой параболы у = 4 — х2,
отрезком [—2; 0] оси Ох и отрезком прямой у = Зх. Найти
объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг
оси Ох.
Л Найдем абсциссу хс точки С пересечения параболы
У = 4 — х2 и прямой у = 3х (рис. 17): 4 — х2 = Зх, Xj — 1, х2 —
=— 4, отсюда хс=1. Искомый объем равен разности объемов
V) и У2 тел. образованных при вращении криволинейной
б л. Д. Кудряьце» и др.
129
трапеции ABCD и треугольника OCD. По формуле (1) находим
у 1 = л ( (4 — х2)2 dx — л,
-2
1
У2 = л \ (Зх,2dx — Зл.
тела вращения равен У]—
Следовательно, объем заданного
Рис. 17 Рис. 18
Пр и мер 2. Найти объем тела, образованного при враще-
нии круга (х—я)2 + #2^С а2 вокруг оси Оу (рис. 18).
Дуги АОС и АВС являются графиками функций
Xi(z/) = a — ^сР — у2 и х2(у} = а + л/с? ~ —а^у^.а.
Объем тела вращения найдем по формуле (6):
а а
У = л (у) — x'j (у)) dy = 4ла д/а1 — у1 dy =
-а -а
л/2
= 4ла3 cos21 dt = 2л2а3. А
-л/2
Пример 3. Найти объем тела, образованного при враще-
нии астроиды х = a cos3 t, у = a sin3 t, 0 t 2л, вокруг
оси Ох.
Л Астроида симметрична относительно осей Ох и Оу, по-
этому искомый объем равен 2V, где V—объем тела, образован-
ного при вращении криволинейного треугольника ОАВ (рис. 19)
130
вокруг оси Ох. По формул? (2') находим
л/2
V = — л a2 sin61 • За cos2 t (— sin /) dt =
о
л/2
= — Зла3 \ (1 — cos213 cos21 d cos t — ла3»
J 1 Uo
о
Следовательно, объем всего тела равен а
Пример 4. Найти объем тела, образованного при враще-
нии фигуры, ограниченной параболой 2у = 4 — х2 и прямой
х -f- у — 2 = 0, вокруг прямой х + У — 2=0.
Л Совершив поворот и сдвиг (перенос), перейдем в систему
координат O'uv, ось О'и которой расположена на оси враще-
ния— прямой х-\-у — 2 = 0 (рис. 20). Угол поворота, как сле-
дует из уравнения прямой, равен —л/4. Формулы перехода
имеют вид
и = (х — у +2)/д/2, v = (x + y — 2)/д/2.
В этой системе координат парабола 2у = 4 — х2 будет задана
параметрически уравнениями
и = и(х) = (х — у (х) + 2)/V2> v = v (х) = (х + у (х) — 2)/д/2»
где z/(x) = (4— х2) /2. Дуга О'А параболы соответствует отрезку
0 х 2. Объем тела вращения находим по формуле (2'):
2 2
V = л V2 (х) и' (х) dx = л — (2х — х2)2 —(х + —dx =
? о3 8 V2 I 2 J
2
= J (4x2 ~ 4x3 + x4)(l 4- x)dx = n. a.
5* 181
Пример 5. Найти объем тела, ограниченного цилиндром
х2 + У2 = R2 И ПЛОСКОСТЯМИ у = 0, 2 = 0, “ 1=0, —
К п К
--^+1-0.
В силу симметрии тела относительно плоскости х = 0
удвоенному объему части тела, на-
ходящейся в первом октанте. Ка-
ждое сечение тела плоскостью,
перпендикулярной оси Ох, явля-
ется прямоугольником (ABCD
на рис. 21). Пусть ОА = х, тогда
А
AD = V/?2 - х2
И
S (х) = -J- (R - х) д//?2 - X2.
V = 2^ S(x)dx = 2-^ ^(R — х) V/?2 — х2 dx =
о о
л/2
= 2/У7?2^ (1 — sin a) cos2 а da —
о
z п 1 1 х |Л/2
= 2Я/?2 (4 + 4-sin2a + 4-cos3a) = HR2 (Зя — 4V6. д
\ z 4 о / 1о
Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси
Ох фигуры, ограниченной данными кривыми (8.1—8.4)*):
8. 1. 1) у2 = 2рх, у = 0, х = а
2) ху — с?, у = 0, х = а, х = 2а.
3) у=\!у/х, # = 0, % =1/4, х=1.
4) у/ь = (xla)2l\ у = 0, х = а (х 0).
5) r/=sin2x, 0^х^л/2, // = 0.
6) у — ach(x/a)t у^=®, х = 0, x = fe.
7) у = ^хе~\
г/ = 0, х — а.
8) # = (lnx)/x (l^x^e),
х — е.
У = 0»
") В этом параграфе все заданные параметры следует считать положи-
тельными.
t32
9) p= sin д/х (О^х^л2), z/ = O.
8.2. 1) у = a + b sin cox (0 x 2л/со), p = 0, x = 0,
x = 2л/®, -z > b > 0.
2) у = eax sin tlx, n—l^x^C/z, p = 0, neN.
3' у = 1/д/cos x, y = 0f x = 0, x = tl/6.
4) у — (a2 + x2)-1, y = 0, x = 0, x — a,
5) z/= -!<%<!, y==0-
«' = л/4^7 (0<x<3/2), y = 0, x = 3/2, x = O.
V v — ox
8.3. 1) y = x, y—l/x, y = 0, x — 2.
2) r/ = sinx, y = cosx, y = 0, 0^x^n/2.
з)^+4=1’ *2-<=ь x>°-
4) 2py = x2, 2qy — !x — a}2, y — 0-
5) y — 2x, у = 2 — log2x, x = 0, y — 0.
8.4. 1)£+£=1.
2)5--V-=1’ x = a + h.
3) |x| = ft-
4) (x — R}2 + (y-R,2 = R2, x = 0, y = 0 (x^R,y^R).
5) y2(2a — x) = x3 (O^x^a), x = a.
6) y2 (x — a) + %2 (Л + a) = 0 (0 x a/2)> x = a/2.
7) y2 (x — a}2 = x3 (2a — x) (O^x^.a/2), x = a/2.
8.5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох петли кривой:
1) (х — 4)у2 = х(х — 3).
2) У2(х—а) + х2(х + а)= 0.
3) у2(а — Зх) = х2(а + х).
4) х2у2 =(х + а)2(4а2 — х2).
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной данными кривыми (8.6—8.7):
8.6. 1) у2 = 2х, у = 2, х = 0.
2) у = х, у=\/х, х = 3.
3) z/=sinx, у = 2х/л, 0^х^л/2.
4) z/=sin2x, z/ = xsinx, 0 х л.
5) 2ру = х2, 2дх = у2, р > 0, q > 0.
133
6) 2рх — у\ 2q (а — х) = у2, р > 0, q > 0.
7) 2рх = у2, 2q(x — а) = у2, q > р > 0, а > 0.
У-х у = ^/^2^=7).
8.7. 1) =1, х = 0, у = 0, y = h.
2) 2ру = %2, 2ру — х (2х — а\ у — 0.
Ч) 1 _ .£1 = __ i
} 9 25 ’ 25 9
4) х2 + (у — а}2 = г2, а> г > 0.
6) х2 — ху + у2 = а2.
8.8. Пусть у = у(х)—непрерывная и неотрицательная на
[а; Ь] функция, 0 а Ъ. Доказать, что объем тела, образо-
ванного при вращении вокруг оси Оу фигуры
а х &, 0 г/(х).
равен
ь
V = 2л ху (х) dx.
а
8.9. Пусть у=у(х) — непрерывно дифференцируемая на
[а; Ь] функция, 0 а &, и пусть г/(&) является либо наиболь-
шим, либо наименьшим на [а\ fe] значением этой функции. Пусть
фигура ограничена графиком функции у = у(х), а^х^Ь,
отрезком прямой у = у(а). 0 х а, отрезком прямой у —
— у(Ь), 0 х Ь, и соответствующим отрезком оси Оу. Дока-
зать, что объем тела, образованного при вращении этой фигуры
вокруг оси Оу, равен
ь
V — л \ х2у' (х) dx .
а
Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси
Оу фигуры, ограниченной данными кривыми (8.10—8.11):
8.10. l)xy = k2, y — Q, х = а, х — Ь, Ь>а>0.
2) у = ех\ у = ®, х = 0, х= 1.
3) у — tg х2, у = 0, х = д/л/3.
4) у — 2х — х2, у = 0.
5> //=sinx, # = Д 2лм х 2лп + л, где п — заданное
натуральное число.
2ру = а2 — (х — Ь2, у = 0, Ь>а>0.
7) у— \х~—Ь\—а, # = 0, b > а > 0.
134
8.11. 1) z/= cos x1 2 (O^x^l), y=K x—l.
2) у = sin x (0 x л/2 , у = 1, x = 0.
3) z/ —cosx, 0^х^2л, y=\‘
( 0, если 0 x л,
4) у = < . . x = 0, y=\.
( sinx, если л^х^5л/2,
5) у2 (2a — x) = x3, \y\ = a, x = 0.
6) у2 — 4x, у = x.
8.12. Найти объем тела, образованного при вращении фигу-
ры, ограниченной данными кривыми, вокруг а) оси Ох,
б) оси Оу:
О У =(х—а) (х— Ь), У==®, Ь>а^0.
2) y = <inx, у~ 0, 0 х л.
3) у = arcsin х, у = 0, х=1.
4) у = а3/(а2 + х2), у — $, х = 0, х = а.
5) у — а3/(а2 + х2), у = а/2.
6) у = х aJ 33~^3* (0 < х -С 2), у = 6, х = 0.
7) 2ру = (х— а)2, 2ру ~ а2.
8) 2ру — х2, у = |х|.
9) у = ех + 6, у — е2х, х = 0.
10) у = х, у = х + sin2 х, 0 х зх.
8.13. Найти объем эллипсоида, образованного при вращении
эллипса
I) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу.
8.14. Найти объем тела, образованного при вращении кривой
1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу.
8.15. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг
прямой у = 1 фигуры, ограниченной данными кривыми:
1) z/ = ^x, г/= 1/х, z/ = 0, х = 2.
2) у = ^х, у = х2.
3)у = 2х2 — 1, у^=\1'\/х, у = —1, х = 8.
Найти объем тела, образованного при вращении фигуры,
ограниченной данными кривыми (8.16—8.18):
8.16. у = arcsin х, х = 1, у = —л/2,
1) вокруг прямой у — л/2; 2) вокруг прямой х= 1.
8.17. у = х, z/ = x + sin2x, 0 х л, вокруг прямой у — х.
8.18. 2ру = х2, у — х — Зр/2 1) вокруг прямой у — 0\ 2) во-
круг прямой х = 0; 3) вокруг прямой у — х — Зр/2.
135
8.19. Найти объем тела, образованного при вращении петли
конхоиды (х — а)2(х2 4- у2) = 4а2х2 вокруг прямой х = а.
8.20. Найти объем тела, образованного при вращений вокруг
прямой х — а фигуры, ограниченной кривыми:
О У2(х — а)+ х2(х + а)=0,| у | = "\J3al2, х = а (х^О).
2) (% — а)2у2 — х3(2а— х), х = а/2 (0 х а).
8.21. Объем тела вращения фигуры: 0 у ха, 0 х а
(а > 0), вокруг оси Ох равен Scz/4, где S — площадь основания
при х = а. Найти а.
8.22. Найти кривую y = f(x), х 0 (/(х)>0 при х>0),
если известно, что для любого а > 0 объем тела, образованного
при вращении вокруг оси Ох фигуры: 0 х а, 0 у f(x),
равен кка}2(а), 0 < А < 1.
8.23. Плоскость, перпендикулярная оси параболоида враще-
ния, отсекает от него сегмент с радиусом основания г и высо-
той h. Найти объем сегмента.
8.24. Выпуклая линза ограничена двумя соосными парабо-
лоидами вращения. Диаметр линзы по линии пересечения пара-
болоидов равен D, толщина по оси — h. Найти объем линзы.
8.25. Выпукло-вогнутая линза ограничена двумя соосными
параболоидами вращения: Диаметр линзы по линии пересечения
параболоидов равен Z), толщина по оси — Л. Найти объем линзы.
8.26. Вогнутая линза ограничена соосными параболоидами
вращения и цилиндром с радиусом основания г. Толщина линзы
по оси равна /г, на краю — Н. Найти объем линзы.
8.27. Дуга окружности радиуса г, имеющая угловую вели-
чину 2а, вращается вокруг своей хорды. Найти объем получен-
ного тела.
8.28. Найти объем части шара х2 + у2 + г2 R2, лежащей
1) между плоскостями z = z0 и г = z0 ~Т /г, где —R z0 < г0 +
+ h /?; 2) внутри конуса х = д/#2 + г2; 3) внутри парабо-
2 I 2
локда ~^=г = х2 + у2.
8.29. Через фокус линии L второго порядка проведена хорда,
перпендикулярная оси линии. Найти объем тела, образованного
при вращении вокруг этой хорды отсеченного ею сегмента,
если L: 1) парабола 2ру = х2\ 2) гипербола х2— = 1; 3) эл-
х2 । У2 1
липе -т- + — 1.
4 3
8.30. Параболический сегмент ограничен дугой параболы и
ее хордой длины 2а, перпендикулярной оси параболы и отстоя-
щей от вершины параболы на расстоянии h. Найти объем тела,
образованного при вращении этого сегмента вокруг хорды.
8 31. Определить объем бочки, высота которой равна й, диа-
метр каждого из оснований — й, диаметр среднего сечения — D,
Осевые сечения боковой поверхности являются параболами о
вершинами на окружности среднего сечения.
136
8..3 2. Эксцентриситет эллипса равен е. Хорда эллипса, длиной
2а, перпендикулярная большей оси, разделяет эллипс на два
сегмента, меньший из которых имеет высоту h. Найти объем
тела, образованного при вращении меньшего сегмента 1) вокруг
большей оси эллипса; 2) вокруг меньшей оси эллипса.
8.33. Эксцентриситет гиперболы равен е. Хорда, длиной 2а,
перпендикулярная действительной оси гиперболы, отсекает от
гиперболы сегмент, высотой h. Найти объем тела, образованного
при вращении этого сегмента 1) вокруг действительной оси ги-
перболы; 2) вокруг мнимой оси гиперболы.
8.34. Найти объем тела, образованного при вращении астрои-
ды х2/3 + у2'3 = а2/3 вокруг прямой у — х.
8.35. Сегмент ограничен дугой параболы у2 = 4ах и ее хор-
дой, лежащей на прямой у — 2х. Найти объем тела, образован-
ного при вращении этого сегмента вокруг хорды.
8.36. Дуга параболы ^х/а-^ л/у!Ь=\ вращается вокруг
прямой y + "f"== 1-Доказать, что объем полученного тела вра-
щения равен
где г—наибольший радиус поперечного кругового сечения, Н —
длина этого тела вдоль оси.
8.37. 1) Найти объем тела, образованного при вращении во-
круг прямой у = kx (k > 0) сегмента параболы 2ру = х2, отсе-
ченного этой прямой.
2) Доказать, что объем, указанного в п. 1) тела вращения,
равен где г—наибольший радиус поперечного круго-
вого сечения, Н — длина этого тела вдоль оси вращения.
8.38. Угол между двумя скрещивающимися прямыми I и т
равен а, длина их общего перпендикуляра АВ равна h. Из точек
М и N прямой т (В — середина отрезка MN) опущены перпен-
дикуляры ММ{ и NN\ на прямую /. Найти объем тела, образо-
ванного при вращении пространственного четырехугольника
MiMNNi вокруг прямой /, если |Л4Л/| = 2а.
8.39. Объем куба равен V. Найти объем тела, получающегося
при вращении куба: 1) вокруг его диагонали; 2) вокруг диаго-
нали его грани.
8.40. Найти объем тела, образованного при вращении фи-
гуры, ограниченной параболой у — ах2 и ее эволютой х = 4а2/3,
# = За/2-|- 1/2а: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу.
Найти объем тела, образованного при вращении фигуры,
ограниченной данными кривыми (8.41—8.47):
8.41. х = /3, у = /2; у — 0, | х| == 1: 1) вокруг оси Ох; 2) во-
круг оси Оу.
8.42. х = a sin /, у = a sin 2/, 0 t 2л: 1) вокруг оси Ох;
2) вокруг оси Оу.
137
8.43. х = а(/—sin/), у = а(1— cost), О -C t 2л, у = 0:
1) вокруг оси Ox; 2) вокруг оси Оу: 3) вокруг прямой х = па;
4) вокруг прямой у = 2а.
8.44. х — a sin3t, у = b cos3t, 0 CJ t sC 2л: 1) вокруг оси Оу;
2) вокруг прямой х = а.
8.45. I) х = a ch3 t, у = а sh3t, х = 2 у/2 а вокруг оси Ох;
2) x = ych3/, у = -~ sh31, х = 0, | у | = 1/2 вокруг оси О 'у.
8.46. х = -1 2^Zь у = , х = а: 1) вокруг оси Ох;
1 4- г 1 4- / 7 r J
2) вокруг прямой х = а.
8.47. х = а(1 + cos t), у = a(igt + sin t), x = 3a/2: 1) во-
круг оси Ox; 2) вокруг прямой х = а.
8.48. Прямая у = За/2 разделяет фигуру, ограниченную ци-
клоидой x = a(t—sin/), у = а(1—cost), 0 t 2л, и осью
Ох, на две фигуры. Найти отношение объемов тел, образованных
при вращении каждой из получившихся фигур вокруг прямой
у = За/2.
8.49. Найти объем тела, образованного при вращении петли
кривой х = 2t—t2, у = 4/—Z3: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг
оси Оу.
8.50. Найти объем тела, образованного при вращении петли
кривой
_ 2д __ /3 — t .
Х — /2 _j_ j ’ У /2 + ! *
1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу.
8.51. Пусть функция г = /'(<р) непрерывна на [ос; р], 0 а <
< р 2л. Доказать, что объем тела, образованного при враще-
нии сектора
а CZ Ф Р, 0 5С г г(ф),
вокруг полярного луча, равен
3
V = г3 (ф) sin ф б/ф.
О J
а
8.52. Пусть функция г = г(ф) непрерывна на [а; р], —л/2^
а < р л/2. Доказать, что объем тела, образованного при
вращении сектора:
а ф Р, 0 г < г(ф),
вокруг луча ф = л/2 равен
Р
V = \ г3 (ф) COS ф б/ф.
о J
а
138
Найти объем тела, образованного при вращении вокруг по-
лярного луча фигуры, заданной в полярных координатах нера-
венствами (8,53—8.54):
8.53. 1) О^ф^л. 2) лг3^ф^л
3) 0^г^асоз2ф. 4) 0 г 2а sin ф.
5) О гcos3ф. 6) 0^г^азт2ф.
7) 0 ^аек®, 2пп ф 4^ 2тсп + л, где п — заданное це-
лое число.
8) 0 ^.r t^a$cos Зф, I ФI л/6.
9) О 'С г а л/cos Зф, 7л/6 ф Зл/2.
8.54. 1) 0 4?О(1 + созфЧ
2) 0<г<2а^Х 0<ф<л/3.
3) 0<г<-т-т—, 0^ф^л/2.
1 + е cos ф
4) О^г^.а д/cos 2ф. 5) Vs^n 2ф.
6) 0<г^- .. 3acos2tp.;-------, л/4 < Ф < Зл/4.
(2 4 cos 2ф) sin ф ч
7) 0<г<-----• 0<<р<л/в.
cos ф cos 2ф
8) a^r <1а '\/2 sin 2ф.
8.55. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг
полярного луча улитки Паскаля'.
1) г = 61 cos ф -|- /,
2) г = асозф — /,
I <а (внешняя петля).
I < а (внутренняя петля).
3) г = б/со5ф + /, 1^а.
8.56. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг
луча ф = л/2 фигуры, заданной в полярных координатах нера-
венствами:
1) 0 ^.а д/sin Ф-
2) 0 cos 2ф.
3) 0 г а cos Зф, I Ф I л/6.
4) 0 г 4С cl cos Зф, л/2 ф 5л/6.
5) 0 г а (1 + cos ф), I Ф I л/2.
6) 0 г tz С05..?(?.. | ф | л/4
7) 0<rsC-i-4-------, |д>Кл/2.
7 14- cos ф । v । /
8) U г \/cos 2ф.
139
8.57. Найти объем тела, образованного при вращении петли
конхоиды:
1) г = 4а + (р вокруг полярного луча.
2) r = 2d + -~-^- вокруг луча ср'= л/2.
8.58. Найти объем тела, образованного при вращении кар-
диоиды г = а(\ + cos <р) вокруг прямой гсозф =—а/4.
8.59. Найти объем тела, образованного при вращении одной
петли лемнискаты г2 = a2 sin 2ф: 1) вокруг луча ф = л/4; 2) во-
круг луча ф = —л/4.
8.60. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг
оси Ох фигуры, ограниченной кривой:
1) х4 * 6 + у4 = а2х2.
2) х4 + у4 = 2аху2.
3) (х2 + у2)3 = а2х4.
4) (х2 + у2)2 = а2(х2 — у2).
5) х(х2 — у2)= а (х2 + у2), х = За.
8.61. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг
оси Оу фигуры, ограниченной кривой:
1) х4 + у4 = ау3.
2) 'х4 у4 — 2аху2.
3) (х2 + у2)3 = а4у2.
4) [х2 + у2)3 = а2{х2 — у2)2.
5) (%2 + У2)3 = а2х2у2.
8.62. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг
прямой у — х фигуры, ограниченной кривой
(х2 + у2)2 = а2(х2 — у2).
Найти объем тела, ограниченного поверхностями (8.63—
8.65):
8.63. 1) ~ + С= Г \z\ = H.
а2 1 Ь2
3) 2 - = 4- + . z = H.
7 с а2 Ь2
4) -4+С+4-= 1-
а2 Ь2 с2
у2 «>2 ~>2
б)-^-+-^-4=1. \г\=н-
6) 4+|i_4=_i. Z = c + H.
1 a2 b2 с2
8.64. 1) -§ + 4^= b х = 0> у==()’ 2 = 0>
2) х2 + у2 + г2 + ху + yz -t- zx =- а2.
3) У2 + z2 = d2 ch2 (xia , ’ х | = Ь.
4) a2 (z2 — у2) = x2z2, z== а.
140
5'
6)
7) 4а2х2 (1 —= (х2 + z2)2.
z = 0.
8.65. 1) -4 + 4г= 1> -4 = —. z = 0.
7 а2 1 Ь2 И а
2) z2 = aia— у), x = k{y, x = k2y, k2 > k\.
3)^ = Х. -^ + ^-=1,
' a b2 a с a c
+ f“T=°- f + v-0 <*>«>
+ T = f. г“° <»>»'
6) az2 + y2 = ax,
l*l = |z|-
8.66. Основание конуса — плоская фигура площадью S, вер-
шина конуса удалена от плоскости основания на расстояние Н.
Найти объем конуса.
8.67. Радиус прямого кругового цилиндра равен г. Плоскость,
составляющая с осью цилиндра угол а, пересекает его боковую
поверхность и нижнее основание, отсекая от этого основания
сегмент с центральным углом 2<р. Найти объем части цилиндра,
ограниченной этим сегментом, плоскостью сечения и боковой
поверхностью цилиндра.
8.68. Угол раствора прямого кругового конуса равен
2а(2а<я/2). Плоскость, перпендикулярная образующей ко-
нуса, пересекает ее в точке, удаленной на расстояние а от вер-
шины. Найти объем отсеченной части конуса.
8.69. Через центр основания прямого кругового конуса с ра-
диусом г и высотой h проведена плоскость, параллельная обра-
зующей конуса. Найти отношение объемов частей, на которые
рассечен конус.
8.70. Найти объем
2)
3)
41
5)
а2 1
х2 = b (а — у),
? х2 । У2
с “ а2 Ь2 '
by — х (а — г),
тела, ограниченного поверхностями:
^-+ —=1
Ь2 с2
У2 + Z2 = ау-
У2
с2 — а2 Ь2
by = х (z — а\
_ X2
~ а2 Ъ2 •
36 8
/2 — 4У2 — 1
5 45 “ 1
6)
7)
А2 । । = j
4 ’ 9 ’ 16
.2_ 4у2 __^_ = 1
Л 3 27
5г
6г
X2
2
2 = 0, х — Ъ.
у7
8.71. Оси эллипса имеют длины 2а и 2Ь. На каждой хорде
эллипса, параллельной оси 2а, построен как на диагонали
141
квадрат в плоскости, перпендикулярной другой оси эллипса.
Найти объем получившегося тела.
8.72. Две грани шестигранника — прямоугольники, стороны
одного из них с длинами а\ и параллельны сторонам другого
с длинами а2 и Ь2 соответственно. Расстояние между плоско-
стями этих прямоугольников равно h. Найти объем шестигран-
ника.
8.73. Объем треугольной призмы АВСАхВхСх равен V. Рас-
сматриваются все треугольники, лежащие в плоскостях, парал-
лельных основаниям, и имеющие вершины на диагоналях АВ\,
ВС\ и CAi боковых граней призмы. Найти объем тела, образо-
ванного этими треугольниками.
8.74. Тело, имеющее объем, расположено между плоскостями
z = 0 и z = h. Известно, что площадь сечения тела плоскостью
z — const есть функция вида S (г) = az2 А~ Ь^А~ 0 z h.
Доказать, что объем тела равен
V = Y (S (°) + 4S (й/2) + S (Л)).
8.75. Оси двух круговых цилиндров, каждый из которых
имеет радиус г, пересекаются под углом а. Найти объем тела,
ограниченного этими цилиндрами.
8.76. На круге х2 + у2 г2 как на общем основании построе-
ны два наклонных цилиндра. Их оси лежат в плоскости Oyz и
каждая составляет с осью Oz угол а. Найти объем тела, ограни-
ченного данным кругом и этими цилиндрами.
8.77. Оси трех цилиндров (каждый радиуса г) взаимно пер-
пендикулярны и пересекаются в одной точке. Найти объем тела,
ограниченного этими тремя цилиндрами.
8.78. На боковой поверхности цилиндра х2 + у2 R2, 0
z Я, расположена винтовая линия х — R cos 2ла, у —
= /?sin2na, z = Ha, Винтовая поверхность образо-
вана перпендикулярами, опушенными из точек винтовой линии
на ось Oz. Найти объем нижней части цилиндра, ограниченной
этой поверхностью и прямоугольником: 0 х R, 0 Н
в плоскости Oxz.
8.79. На боковой поверхности конуса
x2 + y2^R2,
о < Z < (/? — V*2 + у2)
расположена коническая винтовая линия
х — R (1 — a) cos 2ла, у = R (1 — а) sin 2ла, z = На, О 1.
Коническая винтовая поверхность образована перпендикуля-
рами, опущенными из точек винтовой линии на ось Oz. К ней
добавлен треугольник с вершинами (0; 0; 0), (0; 0; Я), (R; 0; 0).
143
Найти отношение объемов частей, на которые получившаяся по-
верхность разделяет конус.
2. Вычисление площадей поверхностей. Пусть у — у(х)—не-
прерывно дифференцируемая на отрезке [а; Ь] функция. Пло-
щадь S поверхности, образованной при вращении графика этой
функции вокруг оси Ох, равна
ь ____________
S = 2л J I у (х) | V1 + у'2 № d*-
а
(8)
Пусть в полуплоскости у 0 параметрически задана кривая
уравнениями
x=x(t), y=y(t), /е=[а; £],
где x(t) и y(t)—непрерывно дифференцируемые на [а; [3] функ-
ции. Площадь S поверхности, образованной при вращении дан-
ной кривой вокруг оси Ох, равна
3 _________________
S == 2л J с/ (/) д/х'2 (t) + у'2 (f\dt. (9)
а
Если кривая расположена в полуплоскости у 0, то
|3 ____________________
5 = 2л j I у (t) I Л/х'2 (/) + у'2 (/) dt.
Cl
(10)
При аналогичных условиях площадь S поверхности, образо-
ванной при вращении кривой вокруг оси Оу, соответственно
равна
d ___________
S = 2л j I х (г/Л V1 + х'2 (у) dy, (8')
С
₽ _____________________
S = 2л J X (Г) Л/ х'2 (/) + у'2 (/) dt (х (П > 0), (9')
а
0 ____________
$ = 2л J |x(/)|Vx'2(/) + y'\t)dt (х(/)<0). (10')
а
Пусть спрямляемая кривая, длина которой $0, расположена
по одну сторону от прямой /, r(s)—расстояние от конца дуги
кривой длины s до прямой I, и пусть r(s)—непрерывная функ-
ция s е [0; 50] • Площадь S поверхности, образованной при вра-
щении кривой вокруг прямой /, равна
Sc
S = 2л г \s)ds. (11)
о
143
Площадь поверхности, образованной при вращении вокруг
полярного луча кривой г г (ф), 0 =< ф! ср Ф2 я, равна
ф? _______________
S 2л j г .ф) ^г2(ф) + г,2(ф) sintpdq),
ф<
где г(ф)—непрерывно дифференцируемая на [ф1; фо] функция.
При этом же условии площадь поверхности, образованной при
вращении вокруг луча Ф=~ кривой г = г(ф\ — у^ф1 <Ф<
равна
ф-> _____________
S = 2л Г (ф) VГ2 кф) + г'2, j ф) COS ф й?ф.
ф|
Пусть образующие цилиндрической поверхности параллель-
ны оси Oz, а ее направляющей в плоскости Оху служит кривая
Lq без особых точек, заданная параметрически уравнениями
x = x(t), y = y(t)1 а</<р, (12)
гдех(/) и//(/)—непрерывно дифференцируемые на [а; р] функ-
ции. Пусть на этой поверхности параметрически задана кривая
L уравнениями (12) и уравнением
z '= z{t), а t р.
где z(r)—неотрицательная и непрерывная на [а; р] функция.
Площадь S части цилиндрической поверхности, заключенной
между кривыми £0 и L и образующими, соответствующими
t = а и t — р, равна
3 ____________
S= z{t) +dt. (13)
a
Если за параметр взята длина 5 дуги кривой Ло, 0 s $0,
то
So
S = z(s'ds, (14)
о
а если параметром является х, о, х &, то
ъ________________
S = Jz(x)Vl + у''{х> dx. (15)
Пусть на цилиндрической поверхности заданы параметриче-
ски две кривые Li и Л2 уравнениями (12) и, соответственно,
уравнениями
z = zx(t) и z = z2(/), a / sC р,
Х44
где zi(f) и z2(0 непрерывны на [суд р] и z{(t) CJ z2(t). Площадь
части цилиндрической поверхности, заключенной между кри-
выми L\ и L? и образующими, соответ-
ствующими t = а и t = |3, равна У к
Р____________________________________________
S = (z2 (о - z1 (/)) Vx'2 (/) + у'2 (/) dt. (16)
а
Пример 6. Найти площадь поверхно-
сти, образованной при вращении дуги па-
раболы
2ау = х2— а2, 0^%^2д/2а (рис. 22),
1) вокруг оси Ох\ 2) вокруг оси Оу.
А 1) По формуле (8) имеем
2 д/2 а 2 д/2 а
S = 2n j | у(х) | V1 + у'2(х) dx = 2n j
0 О
Рис. 22
' °’IV1+5^-
2а
Сделаем замену х = at и учтем, что если 0 х а, то
[х2— а2| =— (х2 — а2), а если х^а, то \х2 — ц2| = %2— а2,
тогда будем иметь
/ 1 2 УГ X
S=-m2l — ^f(t)dt+ f(l)dt\ (17)
о 1 '
где
f(/) = (/2-l)Vl + /2.
Первообразную F(t) функции f(t) найдем, например, с по-
мощью замены t — sh <р, в результате получим
F (/)=4z VH=7(2/2 - 3) - 4 in (/ + vr+?).
Из (17) имеем
s = ла2 (- F (1) + F (0) + F (2 ^2 ) - F (1)) ==
= ла2 (F (0) + F (2 V2) - 2F (1)).
Вычислим значения первообразной:
F(0)-0, F(2V2) = ^A-|ln(3 + 2 Л/2);
F <1) = --rKL-|ln(l +Л'2).
145
Отсюда найдем
S = TO2(^A-41n(3 + 2 V2)+^ + 41n(l + л/2)) =
= Юла2 д/2.
2) Считая кривую заданной параметрически уравнениями
х = х, 2ау — а2— х2, по формуле (9') находим
2 д/2 а 2 д/Т"а
S = 2л х л/1 + у'2 (х) dx = 2л х /\J 1 + dx —
о о
Прямая у — а пересекает дугу циклоиды
Пример 7.
Рис. 23
Л Точки А и В соответствуют
и / = Зл/2, дуга АВ — значениям
верхности вращения найдем по формуле
х = a(t — sin /),
у — а (1 — cos /),
О / С 2л,
в точках А и В. Найти пло-
щадь поверхности, образо-
ванной при вращении дуги
АВ циклоиды вокруг пря-
мой у~а (рис. 23).
значениям параметра t — л/2
t еЕ [л/2; Зл/2]. Площадь по-
Зл/2____________________________
S =. 2л (у (t) — а) Vх/2 '/) + у'2 (/) dt,
л/2
(18)
аналогичной (9). Здесь вместо стоящего в (9) расстояния y(t)
от точки кривой до оси Ох (оси вращения) стоит расстояние
y(t)—а от точки кривой до прямой у = а, являющейся в дан-
ном слуяае осью вращения (рис. 23). Вычисляем: y(t)—а—
— —a cos t,
V%'2 (/) + у'2 (/) = v«2 (1 — cos /)2 + a2 sin21 = 2a sin (t/2),
t s [л/2; Зл/2].
По формуле (18) получаем
Зл/2
S = — 4ля2 cos / sin dt.
л/2
146
После замены cos(//2) = z находим
'Zcr 7 О X
S = — 8ла2 \ (2г2 — \}dz — — 8л a2 (-4г3 — г) =
-.Д- v
= 16 д/2 па2/3. а
Пример 8. Найти площадь поверхности, образованной при
вращении эллипса х2 + 4//2 = 36: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг
оси Оу.
Д 1) Дугу АВС эллипса (рис.
24) можно рассматривать как
график функции
у Л//36 — х2, —6<х^6.
2
Но эта функция не имеет произ-
водной при х=±6, а на интер-
вале (—6; 6) ее производная не-
ограничена, поэтому формула
(8) непосредственно непримени-
ма в данном случае. Для устранения этой трудности восполь-
зуемся приемом, который часто бывает полезным при нахожде-
нии площадей, как, впрочем, и длин кривых и объемов фигур,
а именно параметризуем эллипс. Функции
х = 6 cos /, у = 3 sin t
представляют непрерывно дифференцируемую параметризацию
данного эллипса, при этом дуга АВС соответствует значениям
t ее [0; л].
Площадь поверхности, образованной при вращении дуги
АВС эллипса вокруг оси Ох, находим по формуле (9):
S = 2л 3 sin t д/36 sin21 + 9 cos21 dt.
о
В результате замены cos / = —^sinqp получим
л/3
£ = 24д/3л cos2 ср dqp = 2 д'З л (4л + 3 д/з).
- л'З
2) Дуга DAB (рис. 24) эллипса, заданного параметрически
в виде х = 6 cos /, у = 3 sin /, соответствует значениям t ge
—л/2; л/2]. Площадь поверхности, образованной при враще-
нии дуги DAB вокруг оси Оу, находим по формуле (9'):
л/2
S = 2л 6 cos t 36 sin2 / -j- 9 cos2 / dt.
—Л/2
147
После замены sin/ = —^=shqp получим
arsh Уз
S = 12V3n j ch2<pd<p = 24 V3n(2 д/3 + 1п(2+V3))- A
- arsh Уз”
9. Найти площадь поверхности, образованной при
вращении петли кривой 9х2 = г/(3— i/)2:
1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу.
Д Петля кривой соответствует значе-
ниям у е [0; 3] (рис. 25). Введем пара-
метр /, полагая
у = t2, f е R,
Пример
и зададим кривую параметрически уравне-
ниями
х = /(3—/2)/3, i/ = /2, /eeR
Дуга NPOMN (петля) кривой соответству-
ет значениям t е [ -л/3; V3]-
1) Площадь поверхности, образованной при вращении петли
вокруг оси Ох, находим по формуле (9):
Уз Уз
3 = 2л У2 д/(1 — У2)2 + 4У2 Л = 2л У2(1 + У2)б?У = 56 V3-л.
J J о
- Уз - Уз
2) Петля данной кривой симметрична относительно оси Оу,
поэтому при вращении вокруг этой оси как самой петли, так и
ее половины — дуги 0MN — образуется одна и та же поверх-
ность. Дуга 0MN соответствует значениям t е [0; д/З]- Пло-
щадь поверхности вращения найдем по формуле (9'):
Уз
5 = 2л ( У У (3 — У2) V(1 -62+ 4У2 dt =
о
Уз
= -^Ц У(3 — У2)(1 +/МУ = Зл. д
о J
о
Пример 10. Найти площадь поверхности, образованной
при вращении кривой
у = х3/3, 0 <1 х »
вокруг прямой 3z/ — ^/2 х = О.
148
Л Расстояние г(х) (рис. 26) от точки (х; х3/3) до данной
прямой равно
г Гх" =--~=71 х3 — д/2 х | == (д/2 х — х3), 0 ^х +Z д/2*
Площадь поверхности вращения
Находим
ds — 1 + у'2 (х) dx =
= д/1 + х4 dx,
отсюда
4
V2 _______________
S — 2л г (х) д/1 + У'2 М ~
о
(
= -~-1д/2^ x^\+x*dx-
* X о
V2 ________ \
— X3 д/1 + X4 dx I •
Легко найти интеграл
определим по формуле (11).
Рис. 26
V? ,^2 г
J х3д/1+x4dx = ^-y(l+х4)3/2|о =-^--4
О
Используя замену х2 = sh <р, получаем
V2 arshV^
д/2^ х д/1 + dx = —=r ch2 ф t/qp —
0*0
= ln<V2 + V3) + ^
Таким образом,
s“^Tr(77Fl"(^ + ^) + v)=
= ^4=-(3 In (д/2 + д/3) + д/2). 4
Пример 11. Найти площадь части цилиндрической по-
верхности
х2/4 + //2 = 4,
отсеченной конической поверхностью
х2/16 + у2 = z2.
149
Д Направляющую цилиндрической поверхности в плоскости
Оху — эллипс — + у2 = 4 (рис. 27)—зададим параметрически
в виде
x = 4cos/, у = 2 sin/, 0</<2л. (19)
Линии £i и £2 пересечения цилиндрической и конической поверх-
ностей задаются дополни-
тельно к (19) уравнениями:
Рис. 27
z‘=-V^+//2=
= - н/со$2+ 4 sin2/,
= д/cos21 + 4 sin2 /,
О < / < 2л.
Площадь данной части цилиндрической поверхности находим по
формуле (16):
2л
5 = j (^2 (/) — Z( (/)) дД'2 (О + У'2 W dt =
О
2л
= 2 j Vcos21 + 4 sin2t д/16 sin2/+ 4 cos2/dt —
о
2л
= 4 (cos2 / + 4 sin2 /) dt — 20л. a
о
8.80. Радиус сферы равен R. Найти площадь сферического
пояса высоты h
8.81. Найти площадь поверхности, образованной при враще-
нии вокруг оси Ох данной кривой:
1) У=л/х,
2) у = х3,
3) у = е~х,
4) у = ach(xla).
5) у = sin х,
6; 2ау — а2 +
5/4 s С х <21/4.
0; С X < 1.
0 = С х «.
|х|: О.
0 = < X < л.
0s
150
7) у = 2х3/2/3, 0<х< 1.
8) у = 1/х, 1 х <С
9) ^/= tgх, 0<^х^л/4.
8.82. Найти площадь поверхности, образованной при враще-
нии вокруг оси Оу данной кривой:
1) х = In (у — дЛ/2 — 0» 5/4 С У С 5/3.
2) 4х + 2 In у = у2, е-1 у е.
3) х — ch у, In 2 у In 3.
4) Зх = 4 cos у, — л/2 у 0.
5) z/2 = 2(x- 1),
6) х — a arcsin д/у/а + д/у (а — у), а/4^у За/4.
8.83. Фигура, ограниченная графиком функции
у = a ch (х/а), 0 х а,
отрезками прямых х — 0, х = а и осью Ох, вращается вокруг оси
Ох. Доказать, что объем V тела вращения этой фигуры и пло-
щадь S поверхности вращения графика данной функции свя-
заны равенством V==aS/2.
8.84. Найти площадь поверхности, образованной при враще-
нии вокруг прямой у = 5а/3 дуги цепной линии у — ach(x/a),
отсеченной этой прямой.
8.85. Найти площадь поверхности, образованной при враще-
нии вокруг прямой у = р дуги параболы у2 = 2рх, отсеченной
прямой х = р/2.
8.86. Пусть функция х = х(у) определена и непрерывно диф-
ференцируема на отрезке [с; d], с 0. Доказать, что площадь
поверхности, образованной при вращении графика этой функции
вокруг оси Ох, равна
d
S = 2л z/ д/1 + х'2 >у) dy.
с
8.87. Найти площадь поверхности, образованной при враще-
нии вокруг оси Ох данной кривой:
1) г/2 = 4х, 0<х<3.
2) г^ = 4 + х, —4<х<2.
3) х = ~ У2 — 4" I"1 У' 1 < г/ < е.
4) х — а In ° ~1~ ----'х/а2 — У2 > 0 < b у а.
8.88. Найти площадь поверхности, образованной при враще-
нии вокруг оси Оу данной кривой:
1) у = х2/(2р), О^х^б.
2) у = a ch (xla\ Q^Lx^b.
3) у — (arcsin х + х д/1 — х2)/2, 0 х 1.
151
8.89. Поверхность вогнутого зеркала является сегментом па-
раболоида вращения. Высота сегмента равна Л, радиус основа-
ния— /?. Найти площадь поверхности зеркала.
8.90. Тело образовано вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной параболой ау = а2 — х2 и осью Ох. Найти отно-
шение площади поверхности тела к площади поверхности равно-
великого ему по объему шара.
8.91. Найти площадь поверхности, образованной при враще-
нии вокруг оси Ох кривой, заданной параметрически:
1) % = efcos/, z/ = efsin/, 2пп t (2n + I )л, где п — за-
данное натуральное число.
2) х = а (2 cos t — cos 2/), у — а (2 sin t — sin 2/).
3) x = a cos t + a In tg (//2), у = a$int, 0 < z/0 z/ a.
4) x = /3/3, у = 4 — /2/2, 111<2 V2.
5) x = 2 д/з cos/, y — sin 2/.
Найти площадь поверхности, образованной при вращении
кривой L, заданной параметрически, вокруг прямой I (8.92—
8.99):
8.92. Lt х = а (3 cos t — cos 3/),
у = а(3 sin t — sin 3t\ O^.t^n/2;
1) Z: y = 0. 2) Z: x = 0.
8.93. Lt x = V2s>n^ # = Tsin^> 0^/<Г:пг,
1) It y = 0. 2) It x = Q.
8.94. Lt x = a(t + sin tcos f), # = asin2/, 0<X/<^n/2;
1) It y = 0. 2) It x = 0.
8.95. Lt x = a (t sin i + cos /),
у = a (sin/ — /cos/), 0^/cCn;
1) It y = 0. 2) /: x = — a.
8.96. Л: x = /2, y = -L.72_3)j |/|<7б;
1) /: z/ = 0. 2) /: x = 0. 3) /: x = 3.
8.97. Lt x = a'/2+ В, у = (3 - /2), |/|<V3;
1) It y = 0. 2) It x = 0.
8.98. Lt x — a(t — sin/),
у — a (1 — cos /), 0 2л;
1) It y = 0- 2) It x = 0. 3) It y = 2a.
4) It x — na. 5) It y = a.
8.99. Lt x==acos3/, z/ = asin3/, 0^/<^2л;
1) It y — 0. 2) It x = a.
152
Найти площадь поверхности, образованной при вращении
кривой L вокруг прямой I, подобрав непрерывно дифференци-
руемую параметризацию кривой L (8.100—8.105):
8.100. L: х1 2 * + («/-&)2 = а2, Ь^а>0; /: t/ = 0.
8.101. L: 4х2+ z/2==4;
1) у = 0. 2) /: х = 0.
8.102. L: у = Х х/х(х — 12), 0<х<12; /: # = 0.
8.103. L: 16г/2 = 2х2 — х4;
1) I: у — 0. 2) I: х = 0.
8.104. L: Зх2+г? = г/2; I: х = 0.
8.105. L: у = arcsin х Vх— х2;
1) /: у = 0. 2) /: х = 0.
8.106. Найти площадь поверхности, образованной при вра-
щении петли кривой 9ау2= х(3а— х)2: 1) вокруг оси Ох\ 2) во-
круг оси Оу.
8.107. Радиус окружности равен R. Дуга окружности, имею-
щая угловую величину 2а, вращается вокруг своей хорды. Найти
площадь поверхности вращения.
8.108. Найти площадь эллипсоида вращения
*2 1 У2 । *2 „ 1
a2 b2 ~ ’
если:
1) а>Ь (вытянутый эллипсоид).
2) a <Z b (сжатый эллипсоид).
8.109. Найти площадь части гиперболоида вращения
х2 + у2 — z2 = 1,
заключенной между плоскостями z = —2 и z = 2.
8.110. Найти площадь поверхности, образованной при вра-
щении дуги гиперболы
У 2 ..2
—5----= 1, а х ^а, л > 1:
а2 Ь2
1) вокруг оси Ох\ 2) вокруг оси Оу.
8.111. Кривая у — cos х, —л х л, вращается вокруг пря-
мой у = а. При каком а площадь поверхности вращения будет
наименьшей? Найти эту наименьшую площадь.
8.112. Циклоида
x — a(t—sin/), у = а(\—cos/), 0 t 2л,
вращается вокруг прямой у = ka, 0 k 2.
1) Найти площадь поверхности вращения.
2) При каком k площадь образованной поверхности будет
наименьшей? Найти эту наименьшую площадь.
153 >
8.113. На окружности, радиус которой /?, взята дуга АВ угло-
вой величины 2а. Прямая, параллельная хорде АВ, отсекает от
дуги АВ меньшую дугу CD угловой величины 2(3 (|3<&). По-
верхность образована вращением дуги АВ вокруг прямой CD.
1) Найти площадь этой поверхности.
2) При каком р площадь образованной поверхности будет
наименьшей? Найти эту наименьшую площадь.
8.114. Дуга параболы у1 2 = 2рх, отсеченная прямой у=2х,
вращается вокруг этой прямой. Найти площадь поверхности
вращения.
8.115. Найти площадь поверхности, образованной при вра-
щении астроиды
х2/3 у2/3 = а2/3.
1) вокруг прямой i/ = x; 2) вокруг прямой хА~У = а-
8.116. Угол между прямыми / и т равен а, длина их общего
перпендикуляра АВ равна а. Отрезок ВС прямой т, имеющий
длину Ьу вращается вокруг прямой /. Найти площадь образован-
ной поверхности.
8.117. Тело образовано вращением куба с ребром а вокруг
его диагонали. Найти площадь поверхности тела.
8.118. Найти площадь поверхности, образованной при вра-
щении вокруг полярного луча кривой, заданной в полярных ко-
ординатах:
1) г = 2а sin ф. 2) г=д/соз2ф, 0^ф^л/4.
3) г2 — a2 sin 2ф. 4) г = a sec2 (ф/2), 0^ф^2л/3.
8.119. Найти площадь поверхности, образованной при вра-
щении кардиоиды
г — а (1 + cos ф):
1) вокруг полярного луча; 2) вокруг прямой г cos ф = 2а; 3) во-
круг прямой 4г cos ф =— а.
8.120. Найти площадь поверхности, образованной при вра-
щении улитки г = а + b cos ф вокруг полярного луча, если»
1) а > Ь\ 2) a <Z Ь.
8.121. Найти площадь поверхности, образованной при вра-
щении лемнискаты
г2 — 2а2 cos 2ф:
1) вокруг полярного луча; 2) вокруг луча ф = л/2; 3) вокруг
луча ф = л/4.
8.122. Найти площадь данной части цилиндрической поверх-
ности:
1) х2 + г/2 = а2, 0 z — х, х 0.
2) у = b — . 0 < г < 4 х, х > 0, у > 0.
3)-^-+-р-=1> а>Ь-
154
4)-^г + -тг=1, 0^2^—%, х^О, z/^0, а < b.
б) -|--у1 2 = 1, д/2^х^2, О^2^д/3х.
8.123. Образующие цилиндрической поверхности параллель-
ны оси Ozy а направляющей является кривая L в плоскости Оху.
Найти площадь части этой поверхности, заключенной между
плоскостью г = 0 и поверхностью S, если:
1) L: x = e*cos/, y = ef sint, —
5: z = ^/x2 + y2.
2)L:x = /3/3, y = 5 — t2, —
S: y = 4z.
8) L: x = acos3t, y = asin3t, 0^/^2л;
S: 10%+ 10z/— 32 + 10^ = 0.
8.124. Найти площадь части цилиндра х2у2 = Rxy распо-
ложенной внутри сферы х2 + у2 + z2 = R2.
8.125. Радиус каждого из двух круговых цилиндров равен г,
оси этих цилиндров пересекаются и перпендикулярны. Найти
площадь части одного цилиндра, расположенной внутри другого.
8.126. Радиус каждого из трех круговых цилиндров равен г,
оси всех трех цилиндров пересекаются в одной точке и попарно
перпендикулярны. Найти площадь поверхности тела, ограничен-
ного этими тремя цилиндрами.
8.127. Радиус каждого из двух круговых цилиндров равен г,
оси этих цилиндров пересекаются под углом а. Найти площадь
поверхности тела, ограниченного двумя данными цилиндрами.
8.128. Два круговых цилиндра (радиус первого г и радиус
второго R (7? > г)) расположены так, что их оси пересекаются
и перпендикулярны.
1) Выразить через эллиптический интеграл площадь части
первого цилиндра, расположенной внутри второго.
2) Выразить через эллиптические интегралы площадь одной
из частей второго цилиндра, расположенной внутри первого.
§ 9. Применение интеграла к решению
геометрических и физических задач
1. Применения к геометрии.
Пример 1. Найти в первом квадранте х > 0, у > 0 глад-
кую кривую, выходящую из точки (ц; 0), у которой длина от-
резка любой касательной от точки касания до точки пересечения
с осью ординат равна а.
Л Для кривой, заданной параметрически x — x(f)y y = y(t)y
уравнение касательной в точке (x(t)y y(t)) имеет вид
(У ~ — (I)
1э5
Если (0; z/i)—точка пересечения касательной с осью ординат,
то по условию
х2(0 + (^1-//(0)2-^. (2)
Полагая в (1) х = 0, получаем
(yi — «/(0)^(0=
Если допустить, что %'(/) = О, то получим, что и y'(t) — 0 (так
как x(t) > 0), что невозможно в силу гладкости кривой (х'2(0 +
+ ///2(0^0). Учитывая это, находим yY— y(t) = —x(t)y'(I)/х'(t),
а из (2)
Отсюда следует, что
у' (0 = ± х' (0 (3)
и, значит,
t t __________
( у' (т) dx = ± ( х' (т) dx, (4)
J J Л \ I /
to fo
где /0 соответствует начальной точке (а; 0), т. е. ^(^о) = О,
х(/о) = а. Поскольку
t
у' (т) dx = у (о — у (to) = у (t),
/о
t __________ t
f j\/a— x (т) , _ p (x
J ' b.
to
“у/a2 _ X2
где F(x)—первообразная функции ——----------, т. e.
f M = C dx = + ° ln + Ot
J x aa1 — x2
то из (4) следует, что
i/(O = ±F(x(T))|'o.
Так как х(/0) = а, Е(а) = С, то
у(t) = ± (Va2-%2(/) + 4 In • (5)
\ 2 а + Va2 - x2(t)J
В качестве параметра можно взять х, т. е. положить х = t, тогда
t/ (х) = ± (Vn2 — + у- In - ~ *г Y
\ z а + \ а- — х2 J
Выясним, какой знак следует взять в (6). Так как x'(f)=l,
то из (3) следует, что у'= ±1^1 с? — х2/х. Если взять знак
156
«плюс», то г/'(х)^0 при 0 < х а, функция у(х) возрастает
и, поскольку #(%)> 0, равенство у(а)=0 невозможно. Следо-
вательно, нужно взять знак «минус». Итак,
^w=-(v?^=T2+-|-in^^4). (7)
\ z а + Л/а — к' /
Можно было бы получить и иное параметрическое представ-
ление кривой, причем иногда это удобно делать не на послед-
нем этапе (в (5)), а ранее, при интегрировании равенства (3).
Например, полагая в (3) х = a sin /, 0 < t л/2, получим
= (8)
J х 7 sin г
(знак выбран по тем же соображениям, что и выше). Точка
(а; 0) кривой соответствует параметру / = л/2. Учитывая это,
из (8) находим
л/2 л/2
у' (т) dx = — а\ cos т- dx,
J у 4 7 - J sin х
t t
— — — a (cos t + In tg (t/2)) |*/2 = a (cos t + In tg (7/2)),
т. e. кривая задана уравнениями
x = flsinz, y = — a (cost + In tg (7/2)), (9)
0< < л/2. И уравнение (7) и система (9) задают половину
известной кривой — трактрисы. А
9.1. Найти все функции у — у(х), у графика которых поднор-
маль во всех точках одинакова и равна р > 0. Указать ту из
этих функций, график которой проходит через точку (р/2; р).
(Поднормаль — это проекция на ось Ох отрезка нормали от
точки на кривой до точки пересечения с осью Ох.)
9.2. Найти все кривые, у которых каждая нормаль проходит
через точку (х0; Уо)-
9.3. Найти кривую, проходящую через точку (а; —1), а > 0,
у которой проекция на ось Ох отрезка любой касательной от
точки касания до точки пересечения с осью Ох равна а.
9.4. Найти в первом квадранте кривую, проходящую через
точку (1; 1), у которой отрезок любой ее нормали, заключен-
ный между осями координат, делится точкой кривой в отноше-
нии m : п, m =^= п, считая от оси Ох.
9.5. Найти в первом квадранте проходящую через точку
(1; 1) кривую, у которой отрезок любой касательной, заключен-
ный между осями координат, делится точкой касания в отноше-
нии ш: п, считая от оси Ох.
9.6. Найти все кривые, у которых отрезок любой нормали
от точки кривой до точки пересечения с осью Ох имеет длину а.
157
9.7. Найти все кривые, у которых отрезок любой касательной
от точки на кривой до точки пересечения с осью абсцисс имеет
длину а.
9.8. Найти кривые, проходящие через точку (0; 2) и обла-
дающие свойством: угол между лучом, проведенным из начала
координат в произвольную точку кривой, и осью Ох равен углу
между этим лучом и касательной к кривой в этой точке.
2» Приложение к кинематике.
9.9. Точка начинает двигаться с ускорением а — ао/—vt)
из состояния покоя при t = 0. Найти путь, пройденный точкой
к тому моменту, когда ее скорость достигнет значения и0.
9.10. Точка М движется по прямой из начального (7 = 0)
положения О с начальной скоростью vq. Ускорение точки ме-
няется по закону а = —2f0co sin со/, t 0. Найти расстояние от
точки М до точки О в момент t — 2л/со и путь, пройденный точ-
кой к этому моменту.
9.11. Материальная точка двигалась равномерно и прямоли-
нейно, имея кинетическую энергию W. В момент времени /о на
нее начала действовать постоянная по величине и направлению
сила F, перпендикулярная в момент направлению скорости
точки. Какой путь пройдет точка за то время, когда ее кинети-
ческая энергия удвоится?
9.12. Нерастяжимую нить сматывают с неподвижного бара-
бана (радиус которого 7?), держа ее в натянутом состоянии.
Угловая скорость точки схода нити по окружности барабана
известна как функция времени со (7), t 0. Найти путь, пройден-
ный концом нити за время Т. Какой путь пройдет конец нити,
когда точка схода нити с барабана совершит полный оборот?
9.13. Окружность радиуса г катится без скольжения по пря-
мой в одном направлении. В начальный момент на окружности
отмечена точка 7И, диаметрально противоположная точке каса-
ния окружности с прямой. Найти путь, пройденный точкой М
к тому моменту, когда она снова окажется в наивысшем поло-
жении.
9.14. Внутри окружности Q, радиус которой Зг, находится,
касаясь ее, окружность со с радиусом г. На со отмечена точка
касания М. Окружность со начинает катиться по Q без скольже-
ния в одном направлении. Найти путь, пройденный точкой М
окружности со: 1) к тому моменту, когда она снова попадет на
окружность Q; 2) за один оборот центра со вокруг центра Q.
3. Вычисление моментов и координат центра масс. Пусть на
спрямляемой плоской кривой L длиной I распределена масса
с плотностью p(s), являющейся функцией длины дуги s. По
следующим формулам вычисляют
массу кривой:
m~^p(s)ds, (10)
о
158
статистические моменты кривой относительно осей Ох и Оу:
Л4Х = \ у (s) р (s) ds, My=^x(s)p (s) ds, (J 0 (11)
координаты центра масс:
Mx Xc = , Ус = ’ b m m (12)
моменты инерции относительно осей Ох и Оу:
I I /x = j У1 (s) P (s) ds, Iy = x2 (s) p (s) ds i) П (13)
Пусть плоская фигура Ф задана неравенствами
У\ (х) С У Ы*), а х <:&,
где r/i(x), У2(х)—непрерывные на [а\ Ь] функции. Пусть на Ф
распределена масса с плотностью р(х). Массу m фигуры, ста-
тические моменты и Му, а также моменты инерции 1Х и
относительно осей Ox и Оу вычисляют соответственно по фор-
мулам: ь — Уг W) Р (х) а Ъ Мх = 4 \(У1 U) — у\ W) Р (х) dx, а b Му = х (у2 (х) — у} (х)) р (х) dx, а b 1х = -у 5 (у2 (%) — У31 (Ч) Р (х) dx, а b 1У=\Х‘1 (Уз (%) ~ У! (Ч) Р (х) dx. а (14) (15) (16) (17) (18)
Пусть сектор задан в полярных координатах неравенствами
Ф1 < ф Фг, 0 г с г(ф),
где 0 < ф2 — Ф1 2л, г(ф)—непрерывная функция на |фь <р2],
и пусть на секторе распределена масса с плотностью р(ф),
159
тогда:
<₽2
= г2 (ф) Р (<р) d(f, (19)
Ф1
ф'2
Л4х = -у^г3(ф) 8тфр(ф)с(ф, (20)
Ф1
ф2
^=4- (ф) cos ф р (ф) г/ф, (21)
Ф1
ф2
Ix — -j- г4 (ф) sin2 ф р (ф) б/ф, (22)
Ф1
ф2
1у = -j- г4 (ф) cos2 ф р (ф) б/ф. (23)
ф!
Координаты центра масс вычисляют по формулам (12).
Пусть для тела Q в пространстве Oxyz площади его попереч-
ных сечеций плоскостями х = const известны как значения не-
прерывной функции S(x), a^x^b, и пусть по Q распреде-
лена масса с плотностью р(х). Массу т тела, сто статический
момент MOyz и момент инерции IOyz относительно плоскости Oyz
вычисляют по формулам:
ъ
т = j S (х) р (х) dx, а (24)
Ь MOyz = xS (х) р (х) dx, а (25)
Ъ loyz — \ -*^5 (х) р (х) dx, (26)
а
а абсциссу центра масс — по формуле
МОУг
Хс =-------.
° т
(27)
Если тело Q получено при вращении вокруг оси Ох фигуры,
заданной неравенствами
0 У\ (х) У У2 (х), а х Ь,
где z/i(x), i/2(x)—непрерывные функции, то в (24)—(26) следует
взять
S \х) = Л (У% (X) — у*(х)).
160
Момент инерции J хх такого теля вращения относительно оси вра-
щения Ох находят по формуле
ь
1хх = ^\(У2!х) —y4](x))p(x)dx, (28)
а
а момент инерции 1УУ относительно оси Оу {экваториальный мо-
мент инерции)—по формуле
ь
1уу = -^1хх + л; 5 х2(^2<х' — y2(x))dx. (29)
а
Пусть поверхность S образована вращением вокруг оси Ох
графика непрерывно дифференцируемой функции
У = У(х), у(х)^0
на [а; 6], и пусть на этой поверхности распределена масса с
плотностью р(х). Массу m поверхности, ее статический момент
Moyz, момент инерции loyz относительно плоскости Oyz и момент
инерции 1хх относительно оси Ох вычисляют соответственно по
формулам:
ь
m = 2л у(х) -д/1 + у'2 (х' р (х dx, (30)
а
Ъ
МОуг — ху (х) 1 4“ у'2 (*) Р W dx, (31)
а
Ъ
loyz = 2л х2у2 (х) д/1 + У'2 W Р (*' dx, (32)
а
b
1ХХ = 2л у3 (х) + У'2(х) Р W dx, (33)
а
абсциссу центра масс находят по формуле (27).
Пусть цилиндрическая поверхность с направляющей x~x(s),
y~y{s) в плоскости Оху ограничена образующими и кривой
X = x(s), y = y(s), z = z(s), z(s)Z^O,
и имеет плотность p = p(s), 0 s Масса т, статические
моменты Моу?, Mozx, Моху находят по формулам:
i
m=^p{s)z is) ds, (34)
о
i i
MOyz — P x (s' z 's' ds, MOzK = p 's' у (s) z (s^ ds,
0 о
z *35)
моху=4 $p z2
0
6 л. Д. Кудрявцев и др.
161
а координаты центра масс — по формулам:
^Oyz Mqzx у —. ^Оху
Ус—^~.
(36)
Рис. 28
Если кривая, плоская фигура, тело или поверхность с распре-
деленной массой вращается вокруг оси с постоянной угловой
скоростью со, то кинетическая энергия
вращения равна
U7==±/^, (37)
где I — момент инерции относительно
оси вращения.
Пример 2. Фигура ограничена
параболой y = h[\—полуок-
ружностью %2 + у2 = г2 и осью Ох
(рис. 28). Считая фигуру однородной
и р=1, найти координаты центра
масс фигуры и ее момент инерции относительно оси Оу.
Л Указанные величины найдем по формулам (12), (14)—
/ j^2 »
(16), (18), полагая y2 = h\\ , У1(х)= 0 при
у{ (%) = ^'г2 — х2 при | х | г. Из формулы (14) для массы фи-
гуры имеем
а а
т = $ (у2 (х) — у{ (х)) dx = 2 (г/2 (х) — у{ (х)) dx,
-а О
так как у{(х) и у2(х) —четные функции, и учитывая, что у\(х) =
= 0 при г sC х а, получаем
а г
m = 2 h (1----“2 Vf2 — х2 dx.
о о
Вычислив интегралы (второй, например, с помощью подста-
новки х = г sin /), найдем
m — (8ah — Зтсг2).
Из форхмулы (16) имеем
а
Му= X (1/2 (х) — yi (х)) dx = О,
-а
так как х(у2(х)— */i(x))—нечетная функция. Отсюда
Ми
хс = -^ = 0. (38)
1Й2
Как и следовало ожидать, центр масс находится на оси Оу —
оси симметрии фигуры. По формуле (15) находим
^=4
Отсюда
а
5 (^W_^W)dx=
—а
а г
— Л2 (1 —dx — (г2 — х2) dx — ~ (4ah2 — 5r8).
о о
Мх 4 (4ah2 — 5г3)
т 5 (8ah — Злг2)
(38")
Момент инерции 1У находим по формуле (18):
а
iy= \x2^M—yi(x^dx=
-а
а г
— 2 x2h (1 ^2“^ dx — 2 х2 г2 — х2 dx.
о о
Вычислив интегралы (второй — с помощью подстановки х —
— rsint), получим
Л/=4а3/г-тЛ (39>
Ответ дается формулами (38')—(39). А
Пример 3. Тело образовано при вращении фигуры, задан-
ной неравенствами
a ch (х/а) у a ch 1, 0 х zz,
вокруг оси Оу. Найти координаты центра масс тела, считая
плотность р = 1.
А Мы можем считать фигуру заданной неравенствами
а У a ch 1, О х a arch (у/а), где arch и — функция,
обратная функции ch f, t 0. Тогда, считая у независимой пе-
ременной, применим для нахождения массы тела формулу (24)
с заменой х на у (рис. 29):
a ch 1 а ch 1
m= j S(y)dy = na2 (arch 4) dy.
а а
После замены у — a ch /, 0 t 1, получим
1
т = ла3 t2 sh t dt = (3 ch 1 — 2 sh 1 — 2) raz3
о
(вычисления сделаны с помощью формулы интегрирования по
частям). Пусть S(х), —а х zz, — площади сечений тела
плоскостями х — const Тело симметрично относительно пло-
6*
163
скости Oyz, поэтому S(x)—четная функция (рис. 30). Тогда
xS(x)—нечетная функция и, согласно формуле (25),
^Оуг
xS (х) dx — 0.
Значит, и хс = Moyz/m = 0. Аналогично устанавливаем, что и
2с = 0, т. е. центр масс находится на оси симметрии тела —
оси Оу. Для нахождения статического момента Moz< применим
формулу, аналогичную (25), с заменой х на у:
a ch 1 а ch 1
MOzx = yS{y'dy = na2 у (arch-|-)2d^.
а а
После замены у — a ch t получим
I 1
МОгх — /2 ch / sh t dt = ~ rca4 t2 sh 2t dt.
о 0
Дважды интегрируя по частям, найдем, что
МОгх = ^(3ch2 - 2sh2 - 1).
Отсюда
_ 3 ch 2 — 2 sh 2 — 1
Ус ~~ 8 (3 ch 1 — 2 sh 1 — 2)
Пример 4. Однородный цилиндр массы т с радиусом и
высотой, равными а, жестко прикреплен стержнем длиною 2а
к прямой I. Стержень расположен по оси цилиндра» прямая I
164
Рис. 31
перпендикулярна этой оси (рис. 31). Найти кинетическую энер-
гию цилиндра при вращении его вокруг / с угловой скоростью со.
А Для того чтобы по формуле (37) най-
ти кинетическую энергию, определим мо-
мент инерции цилиндра относительно пря-
мой /. Введем систему координат, как пока-
зано на рис. 31 (ось Оу совпадает с осью
вращения /, ось Ох— с осью цилиндра).
Момент инерции 1УУ определим по формуле
(29), а 1ХХ— по формуле (28). Цилиндр
образован вращением прямоугольника
О У а, 2а х За, следовательно, yi(x) — 0, у%(х) = а, и
по (28) получаем
За
<21Р^=
2а
где р — плотность цилиндра. Теперь по формуле (29) находим
За
, I , . ч9 9/ л с . 19л п 79 л с
1УУ = ~2lxx + n хчгр dx = — ря5 + — раа = “12" ря •
2а
Учитывая, что р = m/V==ni/na3, получаем 1уу = ^та2. Отсюда
W ~ та2®2. д
Найти статические моменты Мх и Му кривой (9.15—9.17)*):
9.15. I) х!а + ylb=\, х>0, //^>0.
2) %2 + //2 = а2, z/>0.
3) у2 = 2х, 0<х^2.
4) У2 — р2 “ 2рх, х 0.
5) х2/а2 + у2lb2 = 1, у 0, а > Ь.
6) у = ach(x/a\ О^х^а.
9.16. 1) % —a sin/, y = bcost, 0^/^л/2, а > 6.
2) х = а sin3/, y = acos3t, 0^/^л/2.
3) х == a (t — sin /), у — а (1 — cos /), 0 ^ / ^ 2л.
9.17. 1) г = 2а cos ф, 0^ф^л/2.
2) г = а (1 + cos ф), — л ф л.
3) г == ае®, 0^ф^2л.
9.18. Доказать, что статический момент дуги АВ параболы
относительно оси параболы равен R0(Ra— Rb)/3, где Ro, Ra и
Rb — радиусы кривизны параболы в ее вершине и точках А п В
соответственно.
*} Считать в задачах этого пункта р = 1, если не оговорено иное.
165
9.19. Найти координаты Хс и ус центра масс кривой:
1) х = R cos ф, у = R sin ф, | ф | а л.
2) х2/3 + У2/3 — а2/3, х 0, у 0.
3) у — a ch (х/а), | х | Ь.
4) x=-^z/2 — ±ln^ l<z/<2.
5) х = a (t — sin /), у — а (1 — cos /), 0 t 2л.
6) г — а (1 + cos ф), 0 ф л.
7) г = аеф, л/2^ф^л.
9.20. Доказать, что если однородная кривая имеет ось сим-
метрии, то центр масс кривой лежит на этой оси.
9.21. Доказать, что статический момент кривой относительно
оси, проходящей через центр масс, равен нулю.
9.22. Найти момент инерции отрезка, длина которого /, отно-
сительно оси, лежащей с ним в одной плоскости и не пересе-
кающей этот отрезок, если расстояние до оси от одного конца
отрезка равно а, от другого — Ь.
9.23. Найти момент инерции 1Х кривой:
1) у = ех, 0 х 1/2.
2) х = R cos ф, у — R sin ф, 0 ф а 2л.
3) х2 + (у — ay = R\ a>R.
9.24. Найти моменты инерции 1Х и 1У одной арки циклоиды:
х = а (/ — sin /), у = а (1 — cos /), 0 t 2л.
9.25. Пусть ось /0 проходит через центр масс кривой и мо-
мент инерции кривой относительно оси /0 равен IiQ. Пусть ось I
параллельна /0 и расстояние между этими осями равно d. До-
казать, что
/z = 7z0 + sd2,
где li — момент инерции кривой относительно оси /, s — длина
кривой.
9.26. Найти статический момент однородного треугольника
с основанием а и высотой h относительно оси, содержащей его
основание.
9.27. Найти статический момент однородного круга с ра-
диусом R относительно: 1) одной из его касательных; 2) оси,
отстоящей от центра круга на расстояние а.
9.28. Найти статические моменты Мх и Му фигуры, ограни-
ченной кривыми:
1) xja + у/b = 1, х = 0, */= 0, а > 0, b > 0.
2) у = cos х, | х | л/2, у = 0.
3) у = sin х (0<х<л), г/=1/2.
4) у = х2, у-=^/х.
5) у = 2/( 1 + %2), у = %2, х = 0, х 0.
6) у2 = 2рх, у = 0, х — а, а > 0, у 0.
166
7)x = asinf, y=zbcost, 111 л/2, y = 0.
8) к — a (t — sin /), у = a (1 — cos /), 0 <1 t 2л,
9) г = шр, О^ф^л.
10) r = a (1 + cos ф), | ф | л.
9.29. Найти расстояние от центра масс до основания одно-
родного треугольника, если высота треугольника равна h.
9.30. Однородная пластина составлена из прямоугольника со
сторонами 2Ь и h и полукруга с диаметром 2Ь, приваренного
к стороне прямоугольника длиной 2Ь. Найти центр масс пла-
стины.
9.31. Найти центр масс полукольца, ограниченного концен-
трическими полуокружностями радиусов г и /?,/?> г, и от-
резками диаметра.
9.32. На каком расстоянии от большего основания однород-
ной трапеции расположен ее центр масс, если основания трапе-
ции равны а и Ь, а > Ь, высота — /г?
9.33. Плотность треугольной пластины меняется в зависи-
мости от расстояния х до основания по закону р = р0 f1 + а ,
где Л —высота пластины. При каком а центр масс пластины
будет удален от основания на расстояние Л/2?
Найти координаты хс и ус центра масс фигуры, ограничен-
ной кривыми (9.34—9.35):
9.34. I) х2 + y2 = R\ z/>0, z/ = 0.
2) у = axn(0 ^.x^b), у — 0, х — Ь, ч > 0.
3) Az Г I—У = 0, Л > 0, а > 0.
4) у2 = х3/а, х = а, у = 0, а > 0, у 0.
5) y = sinx, О^х^л, z/= 0.
6) у = a ch (х/а), # = 0, | х | = Ь, а > 0.
7) у = соз х (| х К л/2), у == 1/2.
2
8)z/=—х, z/=sinx, г/==0.
9) у2 — 2рх, х2 = 2ру.
9.35. 1) Vх + х/у = Va> х = 0, у = 0.
2) у2 = 2х, х-\-у — ^.
3) у ==х3, х-\-у — 2, х = 0.
4) у2 = ах3 — х4.
+ х>0’ х = 0’ ^==0-
6) х2/3 + у213 — а2/3, х 0, у^0, х — 0, у = 0.
7) x = a(t — sin/), у — а{\ — cos/), 0^/^2л, у — 0.
8) х2 + //2 = а2, -р--Ь-|г=Ь х = 0, z/>0, х>0.
167
9.36. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной
кривыми у2 = 4х, у = 2, х=0, если плотность фигуры р — х.
9.37. Найти центр масс сектора однородного круга с цен-
тральным углом 2а; радиус круга равен г.
9.38. Найти координаты хс и у с центра масс фигуры, огра-
ниченной в полярных координатах:
1) Полувитком архимедовой спирали г = аср, 0 ф л, и
лучами ф = 0 и ф = л.
2) Кардиоидой г = «(1 + cos ф).
3) Правой петлей лемнискаты Бернулли г2 = а2соз2ф.
4) Кривой г = a sin 2ф, 0 ф тг/2.
5^ Кривыми г = д/2, г = 2 sin ф, л/4^ф^Зл/4.
9.39. Из однородного круга, радиус которого /?, вырезана
часть, ограниченная окружностью радиуса /?, проходящей
через центр данного круга. Найти центр масс оставшейся части
круга.
9.40. Доказать, что если однородная фигура имеет ось сим-
метрии, то центр масс лежит на этой оси.
9.41. Доказать, что точка плоскости, определяемая для кри-
вой или фигуры формулами
_ Му _ мх
Хс m ’ m
(т. е. центр масс), не зависит от выбора системы координат.
9.42. Найти в первом квадранте такую кривую у = у(х), что
абсцисса центра масс однородной фигуры, заданной неравен-
ствами 0 < х g, 0 ^у #(£), равна п L I > 0, п > 2.
9.43. Найти моменты инерции однородного прямоугольника
со сторонами а и b относительно его осей симметрии.
9.44. Найти момент инерции однородного прямоугольника со
сторонами а и Ь относительно оси, параллельной сторонам, дли-
ны которых Ь, и удаленной от ближайшей из них на расстоя-
ние с.
9.45. Найти момент инерции однородного круга радиуса R
относительно его диаметра.
9.46. Найти момент инерции однородного круга радиуса R
относительно оси, лежащей в плоскости круга и отстоящей от
его центра на расстояние а.
9.47. Найти момент инерции однородного треугольника с
основанием а и высотой h относительно: I) оси, содержащей его
основание; 2) оси, проходящей через вершину параллельно осно-
ванию; 3) оси, проходящей через центр масс треугольника па-
раллельно основанию.
9.48. Найти момент инерции однородного полукруга, радиус
которого /?, относительно ограничивающего его диаметра
9.49. Найти моменты инерции однородного эллипса с полу-
осями а и Ь относительно его осей симметрии.
9.50. Найти моменты инерции /х, 1у фигуры, ограниченной
кривыми:
1) У/h = %2/а2> У = h.
2) ay = 2ах — х2, у = 0.
9.51. От однородного круга (с радиусом /?) отсечены два сег-
мента параллельными хордами, каждая из которых удалена от
центра на расстояние h. Найти момент инерции оставшейся
части круга относительно оси, проходящей через центр парал-
лельно хордам.
9.52. Найти момент инерции однородного квадрата со сто-
роной а относительно его диагонали.
9.53. Найти момент инерции однородного правильного шести-
угольника со стороной а относительно его большей диагонали.
9.54. Из однородного круга, радиус которого /?, вырезан сек-
тор с центральным углом а л. Найти момент инерции этого
сектора относительно: 1) его оси симметрии; 2) прямой, пер-
пендикулярной его оси симметрии и проходящей через центр
круга; 3) оси, содержащей радиус, ограничивающий сектор.
9.55. Прямой круговой однородный конус имеет высоту h На
каком расстоянии от основания конуса находится его центр
масс?
9.56. Найти расстояние от центра масс однородного полу-
шара радиуса 7? до его основания.
9.57. Найти центр масс однородного усеченного конуса с ра-
диусами оснований R и г, R > г, и высотой Л.
9.58. Найти расстояние от центра масс прямого кругового
конуса с высотой h до его основания, если плотность конуса в
точке пропорциональна: 1) расстоянию от точки до основания;
2) квадратному корню из расстояния до основания.
9.59. Найти координаты центра масс тела, образованного при
вращении вокруг оси Ох фигуры, заданной неравенствами
0 О' О, у2 2рх.
9.60. Найти координаты центра масс части однородного шара
х2 у2 + z2 а2, лежащей в первом октанте.
9.61. Найти центр масс тела, ограниченного поверхностями
x20-z/2 = 2p(z—ft), х2 + у2 = 2ph, z = 0, р > 0, h > 0.
9.62. Найти центр масс однородного тела, образованного при
вращении сектора круга с радиусом R и с центральным углом а
вокруг его граничного радиуса.
9.63. От однородной сферы с радиусом R отсечена пло-
скостью, проходящей через ее центр, полусфера. Найти расстоя-
ние от центра масс этой полусферы до секущей плоскости.
9.64. Прямой круговой конус имеет высоту ft, радиус осно-
вания /?. Найти расстояние до основания конуса от центра
масс: 1) его боковой поверхности; 2) его полной поверхности,
считая их однородными.
9.65. От однородного параболоида вращения отсечен пло-
скостью, перпендикулярной оси вращения, сегмент высотой h
16J
Найти расстояние от центра масс сегмента до секущей пло-
скости.
9.66. Найти момент инерции однородного:
1) Прямого кругового конуса с высотой h и радиусом осно-
вания R относительно плоскости основания.
2) Полушара с радиусом R относительно плоскости осно-
вания.
9.67. Найти момент инерции однородного шара радиуса R
относительно диаметра.
9.68. Найти момент инерции относительно оси вращения
однородного:
1) Прямого кругового цилиндра с радиусом R и высотой h.
2) Полого цилиндра с высотой ft, внутренним радиусом г и
внешним радиусом R.
3) Прямого кругового конуса с высотой ft и радиусом осно-
вания R.
4) Усеченного конуса с высотой ft и радиусами оснований R
и г, R > г.
5) Тела, ограниченного параболоидом вращения и плоско-
стью, проведенной на расстоянии ft от вершины перпендику-
лярно оси; радиус окружности сечения равен R.
6) Тела, ограниченного гиперболоидом вращения
и плоскостями z = 0, z = 1.
7) Тела, ограниченного поверхностями
х2 + //2 = 2р(г— ft), х2 + z/2 = 2pft, 2 = 0, р > 0, ft > 0.
9.69. Фигура, заданная неравенствами 0 х 1, 0 у ех,
вращается: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу. Считая полу-
чающееся тело вращения однородным, найти его момент инер-
ции относительно оси вращения.
9.70. Эллипс -^2~ + — 1 вращается: 1) вокруг оси Ох;
2) вокруг оси Оу. Считая получающийся эллипсоид однородным,
найти его момент инерции относительно оси вращения.
9.71. Тор образован вращением круга радиуса г вокруг оси /,
лежащей в плоскости круга и отстоящей от центра круга на
расстояние d. Найти момент инерции тора относительно оси I
9.72. Найти момент инерции относительно диаметра основа-
ния однородного:
1) Цилиндра радиуса R и высоты ft.
2) Конуса с радиусом основания R и высотой ft.
9.73. Радиусы оснований прямого усеченного конуса равны г
и 2г, угол между образующей и основанием равен л/3. Найти
центр масс его: 1) боковой поверхности; 2) полной поверхности.
9.74. Найти центр масс оболочки, являющейся:
170
1) Сферическим поясом с высотой h.
2) Сегментом с радиусом основания R и высотой R д/З/2,
отсеченным от параболоида вращения плоскостью, перпендику-
лярной его оси.
9.75. Найти центр масс части поверхности цилиндра, заклю-
ченной между плоскостями z = 0 и z — hy/R, у О, если ци-
линдр задан уравнением:
1) х2 + ^2 = 7?2
2) х2/3 + £/2/3 = 7?2/3.
9.76. Найти момент инерции:
1) Боковой поверхности цилиндра с радиусом R и высотой h
относительно его оси.
2) Боковой поверхности конуса с высотой h и радиусом
основания R относительно его оси.
3) Сферы радиуса R относительно ее диаметра.
9.77. Гладкая кривая и не пересекающая ее ось лежат в
одной плоскости. Доказать, что площадь поверхности, получен-
ной при вращении кривой вокруг оси, равна произведению
длины кривой на длину окружности, описанной центром масс
этой кривой (первая теорема Г у льдина).
9.78. Доказать, что объем тела, полученного при вращении
плоской фигуры вокруг не пересекающей ее оси, лежащей в
плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на
длину окружности, описанной центром масс этой фигуры (вто-
рая теорема Г у льдина).
9.79. Пусть оси п и ni параллельны, расстояние между ними
равно d, пусть гладкая кривая L и ось п\ лежат по разные сто-
роны от п. Пусть S и Si — площади поверхностей, образованных
при вращении кривой L вокруг осей п и п\ соответственно. До-
казать, что Si = S + 2nd/, где I — длина кривой L.
9.80. Пусть оси п и пх параллельны, расстояние между ними
равно d, пусть фигура Ф и ось П\ лежат по разные стороны от п.
Пусть V и Vi — объемы тел, образованных при вращении фи-
гуры Ф вокруг осей п и zii соответственно. Доказать, что Vi —
= V + 2л dS, где S — площадь фигуры Ф.
9.81. Тор образован вращением круга радиуса г вокруг оси,
лежащей в одной плоскости с кругом и удаленной от его центра
на расстояние d, d > г. Используя теоремы Гульдина, найти:
1) площадь поверхности тора; 2) объем тора.
9.82. Эллипс с полуосями а и b, а > &, вращается вокруг
прямой, параллельной большой оси эллипса и отстоящей от нее
на расстояние d > b. Используя теорему Гульдина, найти объем
получающегося тела вращения.
9.83. Дуга окружности радиуса г имеет угловой размер а.
Используя теорему Гульдина и формулу для площади сфери-
ческого слоя, найти центр масс дуги.
9.84. Найти центр масс полукруга радиуса г, используя тео-
рему Гульдина.
171
9.85. Найти площадь поверхности и объем тела, полученного
вращением правильного треугольника со стороной а вокруг оси,
отстоящей от его центра на расстояние d > а/д/З.
9.86. Правильный n-угольник со стороной а вращается во-
круг одной из сторон. Найти площадь поверхности и объем по-
лучающегося тела вращения.
9.87. Квадрат со стороной а вращается вокруг прямой,, про-
ходящей через его вершину и составляющей угол <р с диаго-
налью квадрата, л/4 ср п/2. Найти площадь поверхности и
объем получающегося тела вращения.
9.88. Правильный треугольник со стороной а вращается во-
круг прямой, проходящей через его вершину и не имеющей с
треугольником других общих точек. Каков наибольший возмож-
ный объем получающегося тела вращения?
9.89. Фигура, ограниченная двумя арками циклоид
x = a(t— sin/), r/ = ±a(l— cos/), 0 t 2л,
вращается вокруг оси Оу. Найти площадь поверхности и объем
получающегося тела вращения.
9.90. Используя формулы для длины астроиды х2/3 + /у2/3 =
— а2/3 и для площади ограниченной ею фигуры (задача 7.72, 1)
и пример 4 § 7 при b = а), найти площадь поверхности и объем
тела, образованного при вращении астроиды вокруг прямой
х + у = а.
9.91. Одна поверхность образована при вращении арки ци-
клоиды
х = а (/ — sin t), у = а (1 — cos /), 0 <1 t 2л,
вокруг оси Ох, другая — при вращении той же арки вокруг пря-
мой у — 2а. Найти отношение площадей этих поверхностей
9.92. Тонкий однородный стержень имеет массу т и длину I.
Какую работу необходимо совершить, чтобы раскрутить стер-
жень до угловой скорости со вокруг оси, проходящей через его
конец перпендикулярно стержню?
9.93. Тонкая однородная проволока массы т, согнутая в
полуокружность радиуса г, вращается вокруг оси, проходящей
через ее концы, с угловой скоростью со. Найти кинетическую
энергию проволоки.
9.94. Найти кинетическую энергию прямоугольника с плот-
ностью р и сторонами а и Ь, вращающегося с угловой скоростью
со вокруг своей оси симметрии, параллельной стороне длины а.
9.95. Однородная прямоугольная пластина со сторонами а и
b и массой т вращается вокруг стороны а с угловой скоростью
со. Найти кинетическую энергию пластины.
9.96. Найти кинетическую энергию однородного круга плот-
ности р и радиуса R, вращающегося с угловой скоростью о во-
круг оси, лежащей в плоскости круга и удаленной от его центра
на расстояние d> R.
172
9.97. Найти кинетическую энергию однородного треугольника
плотности р с основанием а и высотой /г» вращающегося с угло-
вой скоростью со вокруг своего основания.
9.98. Однородный цилиндр с радиусом /?, высотой h и мас-
сой т вращается вокруг своей оси с угловой скоростью о). Найти
кинетическую энергию цилиндра.
9.99. Какую работу необходимо совершить, чтобы остановить
однородный шар радиуса /?, вращающийся вокруг своего диа-
метра с угловой скоростью со? Масса шара т.
9.100. Однородный цилиндр массы т, радиуса 7? и длины I
вращается с угловой скоростью со вокруг прямой, проходящей
через центр цилиндра перпендикулярно его оси. Найти кинети-
ческую энергию цилиндра.
9.101. Однородный шар массы т и радиуса /?, прикреплен-
ный к нити длины /, вращается с угловой скоростью о (центр
шара движется по окружности). Найти кинетическую энергию
шара.
9.102. Однородный конус массы т с радиусом основания R
и высотой h вращается с угловой скоростью со вокруг прямой,
проходящей через его вершину перпендикулярно оси конуса.
Найти кинетическую энергию конуса.
4. Приложения к физическим задачам.
Пример 5. Скорость растворения соли в воде пропорцио-
нальна количеству нерастворенной соли и разности между кон-
центрацией насыщенного раствора и концентрацией раствора в
данный момент. Массу га0 кг соли растворяют в N л. воды. Кон-
центрация насыщенного раствора равна с0 кг/л. За время т
растворилась половина соли. За какое время растворится
— т0 кг соли (^считать, что m0 = yAfc0J?
Л Пусть т(/) количество соли, растворившейся за время /,
dm
тогда скорость растворения равна , концентрация раствора
с = m/N. По условию
-^- = Х(т0 — т)(с0 — (40)
Отсюда
________т' (/)______=
(т0 — т (/)) (Nc0 — т (t)) N
t f
________т' (т) dx______________ к С 1
(т0 — т (т)) (Wc0 — m (т))_N J Т’
о о
Правая часть здесь равна t, а левая—/?(т(т))|/), где
F(m)—первообразная функции
_____________________________!________
— tn) (Nc0 — т) 9
173
т.е
-----v- = -^-i----In^^ + C.
J (tn0 — ni)(Nc0 — m} Мс0 — т0 m0 — m 1
3
Учитывая это, а также то, что m(0) = m0, NcQ = — m0, получаем
2 , 3m0 — 2m Л 4
m0 Ш 2 (m0 - m) “ W
По условию m(t) = m0/2, поэтому
2 j o Л Л 2 . о
——1п2 = -ггт, -4Г==-In 2,
т0 N N хт0
и, следовательно,
2 1 п Зт0 — 2т ___ %t । ~
т0 2 (т0 — т) тт0 1 ’
откуда
, /. Зт0 — 2т \ Л п
/ = Т In ------г )/1п2.
\ 2 (т0 — т) )!
о 3
Подставляя сюда т = —т0, находим время fi, за которое рас-
творится такая масса соли,
t{ = т(1п 3)/1п 2. л
Пример 6. Электрическая цепь содержит сопротивление /?
и имеет коэффициент самоиндукции L. В начальный момент ток
в цепи отсутствует. В цепь подается внешнее напряжение
V(f) = где Т = L/R. Найти зависимость /(f) тока в цепи
от времени.
А Ток /(f) и скорость его изменения-^- связаны уравнением
(41)
из которого следует, что
dl , 1 j _ Vo
dt Т 1 LT
Умножив обе части этого уравнения на et/T, получим, что левая
часть etlT + -у- е ‘т I есть производная произведения et/T I(t),
поэтому
Отсюда
t t
о о
Здесь левая часть равна et/TI(t), так как /(0)= 0. Правый инте-
грал вычислим, применив формулу интегрирования по частям,
174
в результате получим, что
+е-//г). А
Пример 7. Ракета с начальной массой то из состояния
покоя проходит участок длиной I с постоянным ускорением а,
испытывая постоянную силу сопротивления F. Скорость исте-
чения горючих газов постоянна и равна и. Найти расход топ-
лива на участке I.
А Движение материальной точки с переменной массой т(О
описывается уравнением И. В. Мещерского:
m(/)-^ = F + FP, (42)
где F — равнодействующая сил, приложенных к точке, Fp— ре-
активная сила, определяемая формулой
где и — скорость присоединяющихся или отделяющихся частиц
массы относительно данной точки. В данном случае v = at,
внешняя сила равна — F, и, учитывая, что векторы и и v про-
тивоположно направлены, из (42)—(43) получаем
( —m.. - dt =---— , — In (та + F] I =---—,
J ma + F и a v In «
0
. ma + F a .
In----r-F- -----~t.
mGa F и
Учитывая, что at2/2 = /, t — <у/21!а, находим
и, следовательно, расход топлива равен
т0 — т == (т0 + -7) С1 — е~^2а1,и). а
Пример 8. Определить расход воды через прямоугольный
водослив с высотой h и длиной а.
А Скорость, с которой жидкость вытекает из достаточно ма-
лого отверстия в сосуде, находящегося на глубине й, равна
v = [i^/2gh. (44)
Для воды принимают ц = 0,6. Пусть {%/}, j — 0, 1, 2, .п,—
разбиение высоты водослива (т. е. отрезка [0; h]). В точках
175
прямоугольника высоты Ах, = — xy_i, / — 1, 2, ..., л, и дли-
ны а (рис. 32) скорость истечения воды vf = ii'y/2glit где
х;-1 X]. Объем воды, вытекающей
В правой части этого
л
интеграла Vх dx. В
о
в единицу времени из такого прямо-
угольника, равен
AQ/ = vf кхр = р у/2 g а кхг
Полный объем воды, проходящей в еди-
ницу времени через водослив, т. е. рас-
ход воды, равен
п п
Q = у, = а X Ах/-
/=1 /=|
равенства стоит интегральная сумма для
пределе, когда мелкость разбиения стре-
мится к нулю, получим
Л
Q = Н д/ 2gf а \ д/ х dx = р л/2g ah3/2.
о
Принимая р = 0,6, будем иметь Q = 0,4 ^2g ah3/2. а
Пример 9. Однородный стержень с длиной I и постоянным
по длине поперечным сечением площади S закреплен одним
концом (х = 0). К другому концу (х = 1) приложена вдоль оси
стержня растягивающая сила Р. Эта сила уравновешена про-
дольной нагрузкой, распределенной равномерно по длине со зна-
чениями q(O)—qQl q(l) = 0. Модуль продольной упругости ма-
териала стержня равен Е. Найти абсолютное изменение длины
стержня и потенциальную энергию упругих деформаций, накоп-
ленную стержнем.
4 Пусть осесимметричный стержень, ось которого примем
за ось х, растянут или сжат. Согласно теории упругости, плоские
сечения стержня при деформации остаются плоскими, по по-
перечному сечению площади S(x) равномерно распределены
нормальные напряжения о(х), их равнодействующей является
нормальная сила Af (х) = o(x)S(x). Если стержень (или его
участок), имевший в свободном состоянии длину х, получил
удлинение А/(х), то
есть относительное удлинение стержня. Для материалов, подчи-
няющихся закону Гука,
а(х) = Ее (х),
(45)
176
где коэффициент Е — модуль продольной упругости материала.
Потенциальную энергию упругих деформаций стержня опреде-
ляют по формуле
г,___ С /V2 (х) dx
U } 2ES (х) ’
о
(46)
Рассмотрим равновесие части данного стержня, заключенной
между сечениями с координатами х и I (рис. 33). Сумма проек-
ций сил на ось х равна нулю, поэтому
i
Р — N (х) —
X
Из условия следует, что q(x) = q0(l — x)/Z, где
q<y — значение распределенной продольной нагруз-
ки на конце х — 0, поэтому
i
Р -ЛЦх)- dz = Q,
X
P-N(x)—-^-(l-x)2== О,
Рис. 33
откуда
W(x) = P — qQ(l — хУ/21.
Из условия уравновешенности распределенной продольной на-
грузки и силы Р следует, что реакция в месте закрепления
х = 0 равна нулю, т. е. 7V(0)=0, откуда qv = 2P/l. Следова-
тельно,
У(х) = р(1 - (< f*)2 ) .
Теперь находим нормальные напряжения:
, ч A'Lv) _ р (1 (z~*)2
s — S \ /2 ) ’
относительные удлинения по формуле (45):
и абсолютное изменение длины всего стержня:
I i
AZ = е (х) dx = ^(1— ’ -[г^~) dx == . (47)
о о
177
Потенциальную энергию упругой деформации стержня опреде-
ляем по формуле (46):
i i
п N2(x)dx _ Р2 С/< 2(Z-x)2 4Р2/
U “J 2ES “ 2ES Jk1 I2 Z4 ) Л \KES '
о о
(48)
Ответ дается формулами (47)—(48). ▲
9.103. Бак — прямоугольный параллелепипед, заполнен жид-
костью плотности р. Высота боковой стенки равна Л, длина а.
Найти: 1) силу давления на стенку; 2) глубину точки приложе-
ния равнодействующей давления.
9.104. В жидкость плотности р опущена вертикально прямо-
угольная пластина со сторонами а и b так, что сторона а, бли-
жайшая к поверхности, находится на глубине h. Найти силу
давления на пластину.
9.105. Пластина в форме прямоугольного треугольника с ка-
тетами а и Ь опущена вертикально в жидкость плотности р так,
что катет а находится на поверхности жидкости. Найти силу
давления жидкости на пластину.
9.106. Пластина, имеющая форму равнобедренного треуголь-
ника с основанием а и высотой Ь, вертикально погружена в
жидкость плотности р. Вершина треугольника находится на по-
верхности жидкости, основание параллельно этой поверхности.
Найти: 1) силу давления жидкости на пластину; 2) глубину
точки приложения равнодействующей давления.
9.107. В жидкость плотности р вертикально погружена пла-
стина, имеющая форму трапеции с основаниями а и Ь, а > Ьу
и с высотой h. Большее основание трапеции находится на по-
верхности жидкости. Найти: 1) силу давления на пластину;
2) глубину точки приложения равнодействующей давления.
9.108. Круглая пластина радиуса г вертикально опущена
целиком в жидкость плотности р. Центр пластины находится на
глубине h. Найти: 1) силу давления на пластину; 2) глубину
точки приложения равнодействующей давления.
9.109. Пластина, имеющая форму эллипса с полуосями а и b
(& < а), погружена в жидкость плотности р так, что малая ось
эллипса находится на поверхности жидкости. Найти силу дав-
ления на погруженную часть пластины.
9.110. Прямоугольная пластина со сторонами а и Ь, а > Ьу
погружена в жидкость плотности р так, что ее большие стороны
параллельны поверхности жидкости и нижняя из них находится
от поверхности на глубине h. Плоскость пластины составляет
с плоскостью поверхности жидкости угол а. Найти силу давле-
ния на пластину.
9.111. Электрическая цепь имеет в начальный момент сопро-
тивление R ом, которое в дальнейшем равномерно возрастает со
178
скоростью а ом/с. В цепь подано постоянное напряжение V в.
Найти заряд, протекший через цепь за Т с.
9.112. Сопротивление проводника в зависимости от его тем-
пературы меняется по закону 7? =/?0(1 + <х0), где 7?0— сопро-
тивление при 0 = 0°, а = const > 0. Проводник, к которому
приложено напряжение V, равномерно нагревают в течение вре-
мени Т от температуры 01 до температуры 02. Какой заряд
пройдет за это время через проводник?
9.113. Вычислить массу земной атмосферы, приняв, что ее
плотность меняется с высотой по закону р — poe~ah, где h —
расстояние от поверхности Земли (Землю считать шаром ра-
диуса R).
9.114. При охлаждении температура тела, окруженного сре-
дой с постоянной температурой 0ср, меняется со временем по
закону k (0 — 0ср), k > 0 (Ньютон).
Найти зависимость от времени температуры тела, имевшего
начальную температуру 0О.
9.115. Тело окружено средой с постоянной температурой
0ср = 2О°С. За 20 мин температура тела в результате охлажде-
ния понизилась со 100 °C до 60 °C. За какое время от начала
охлаждения температура тела снизится до 30 °C?
9.116. Открытый бассейн, объем которого V м3, заполнен
смесью двух жидкостей А и В с m % жидкости В (по объему).
В бассейн начинают подавать со скоростью р м3/мин смесь тех
же жидкостей, содержащую п % жидкости В. Считая, что пере-
мешивание в бассейне происходит мгновенно, найти зависимость
от времени процентного содержания жидкости В в объеме бас-
сейна.
9.117. Скорость радиоактивного распада пропорциональна
имеющемуся количеству вещества с коэффициентом X — посто-
янной радиоактивности. За год распалось п % первоначального
количества вещества. Найти его период полураспада (время, за
которое распадается половина вещества).
9.118. Пусть в химической реакции из моля вещества А и
моля вещества В получается моль вещества С. Пусть а и b —
начальные количества молей веществ А и В, а > Ь. Считая, что
скорость реакции в каждый момент времени пропорциональна
с коэффициентом k произведению имеющихся в данный момент
реагирующих масс веществ, найти количество молей вещества
С к моменту t > 0.
9.119. Скорость химической реакции, переводящей вещество
Д в вещество В, пропорциональна произведению концентраций
этих веществ. Первоначальная концентрация вещества В равна
Ро (отношение количества В к общему количеству веществ А
и В). Найти зависимость от времени концентрации вещества В
9.120. В условиях предыдущей задачи найти концентрацию
вещества В через t = 1 час, если ц0 = 0,2, а концентрация через
t = 1/4 часа равна 0,8.
179
9.121. Ток / в цепи с сопротивлением /? и коэффициентом
самоиндукции L удовлетворяет уравнению
где V — внешнее напряжение, поданное в цепь. Найти зависи-
мость /(/) тока в цепи от времени, если: 1) цепь разомкнули в
момент / — 0 и ток в цепи в этот момент был равен /0; 2) в мо-
мент t = 0 тока в ней не было и в цепь подали постоянное
напряжение V.
9.122. Однородный стержень длиной 2а имеет массу М. Ма-
териальная точка массы т расположена на срединном перпен-
дикуляре к стержню на расстоянии b от его середины. С какой
силой стержень притягивает точку?
9.123. Однородный бесконечный стержень имеет линейную
плотность р. Материальная точка массы т расположена на рас-
стоянии I от стержня. С какой силой стержень притягивает
точку?
9.124. Катет АВ прямоугольного треугольника АВС (АА =
= 90°) является материальным однородным стержнем длиной
4а и массы М, В вершину С помещена материальная точка
массы т, АС = За.
1) Найти силу, с которой стержень АВ притягивает точку С.
2) В каком месте стержня АВ следует расположить мате-
риальную точку и какой массы, чтобы она притягивала точку С
с той же силой, что и стержень АВ?
9.125. Однородный бесконечный стержень с линейной плот-
ностью р согнут в форме угла. На прямой, содержащей биссек-
трису этого угла, расположена материальная точка массы т на
расстоянии h от вершины угла. С какой силой стержень притя-
гивает точку?
9.126. В декартовой системе координат Оху материальная
прямая задана уравнением у = 0, ее линейная плотность ме-
няется по закону р(х)=а|х|, а > 0. С какой силой эта прямая
притягивает точку массы т, расположенную на оси ординат?
9.127. С какой силой однородное материальное полукольцо
массы М и радиуса г притягивает материальную точку массы ту
находящуюся в его центре?
9.128. Материальная окружность имеет линейную плотность
р и радиус г. На перпендикуляре к плоскости окружности, про-
ходящем через центр окружности, находится материальная точка
массы т на расстоянии а от центра. С какой силой окружность
притягивает точку?
9.129. Материальный круг радиуса г имеет поверхностную
плотность р. На перпендикуляре к плоскости круга, проходящем
через его центр, находится материальная точка массы т на
расстоянии а от центра. С какой силой круг притягивает
точку?
183
9.130. Материальная плоскость имеет поверхностную плот-
ность р. С какой силой плоскость притягивает материальную
точку массы т, находящуюся на расстоянии а от плоскости?
9.131. На единичной окружности
х — cos ср, у = sin ср, 0 ф 2л,
распределен заряд с линеинои плотностью
В точке (а; 0) находится заряд q. Найти
на этот заряд.
9.132. Пуля, пробив доску толщиной h,
1.
силу, действующую
изменила свою ско-
рость от значения с\ до значения п2. Считая силу сопротивления
пропорциональной квадрату скорости, найти время движения
пули в доске.
9.133. Материальной точке, находящейся на поверхности
Земли (радиус Земли равен /?), сообщена начальная вертикаль-
ная скорость у0=д/2^7? (вторая космическая скорость}. За
какое время точка удалится от поверхности Земли на расстоя-
ние, равное 3R (сопротивлением воздуха пренебречь)?
9Л34. Маховик, находящийся в жидкости, приводится во
вращение из состояния покоя вращающим моментом Л4. Момент
сопротивления жидкости меняется по закону Мс = £оз2, где
k — const, со — угловая скорость маховика. За какое время
угловая скорость маховика возрастет до значения о0?
9.135. Однородному стержню длиной 2/, лежащему на гори-
зонтальной плоскости, сообщена угловая скорость соо вокруг
вертикальной оси, проходящей через центр стержня. Определить
время вращения стержня до остановки, считая его давление на
плоскость постоянным по длине стержня, а коэффициент трения
о плоскость равным k.
9.136. Точка, имевшая начальные массу т0 и скорость п0,
движется прямолинейно. Скорость относительно точки отделяю-
щихся от нее частиц постоянна и равна и, внешние силы отсут-
ствуют. Найти массу точки в тот момент, когда ее скорость
равна V[.
9.137. Масса ракеты с топливом равна М, без топлива — /и,
скорость истечения продуктов горения относительно ракеты по-
стоянна и равна и, начальная скорость ракеты равна нулю.
Найти скорость ракеты после сгорания топлива.
9.138. Ракета, имеющая начальные скорость v0 и массу т0,
тормозится своим двигателем до нулевой скорости. Расход топ-
лива в единицу времени постоянен и равен р, скорость истече-
ния продуктов сгорания постоянна и равна и. Найти длину пути
торможения.
9.139. Ракета движется вертикально вверх с поверхности
Земли, имея начальную скорость vG. Скорость истечения горю-
чих газов относительно ракеты постоянна и равна и. Требуется
181
за время Т достичь скорости vlf имея конечную массу mi. Какова
должна быть масса топлива (изменением силы тяжести, сопро-
тивлением воздуха и вращением Земли пренебречь).
9.140. Ракета стартует с поверхности Земли с начальной мас-
сой т0 и движется вертикально вверх с постоянной скоростью
и0. Скорость истечения продуктов сгорания относительно ракеты
постоянна и равна и. Найти зависимость массы ракеты от вре-
мени. Радиус Земли равен /?, сопротивлением воздуха и враще-
нием Земли пренебречь.
9.141. Капля воды падает в неподвижном воздухе под дей-
ствием постоянной силы тяжести (сопротивлением воздуха пре-
небречь). Начальные масса, радиус и скорость капли равны
соответственно т0, го и vQ. Вследствие конденсации паров масса
капли увеличивается. Найти скорость капли в тот момент, когда
ее радиус увеличился в а раз, если скорость увеличения массы
капли меняется в зависимости от радиуса г по закону:
1 х dm ,
D -ar = kr.
2)
9.142. Точка движется прямолинейно по закону s = kit<\
где k\ = const >> 0, s —путь, пройденный точкой за время t. На
точку действует сила сопротивления F = k2v$, k2 > 0, где v —•
скорость тела. Найти работу силы сопротивления на пути от
s = 0 до s = а, если:
1) а = 3, р = 1.
2) а = 3, р = 2.
3) а = 4, р=2.
9.143. В цилиндре радиуса R под поршнем находится иде-
альный газ под давлением р. Поршень передвигают с расстоя-
ния Н от дна до расстояния Я/2. Найти необходимую для этого
работу, если сжатие происходит: 1) изотермически; 2) адиабати-
чески с показателем к > 1.
9.144. Идеальный газ, находящийся в замкнутом цилиндре
под действием pi, сжимают поршнем, на который действует
постоянное внешнее давление. Начальная скорость поршня
равна нулю, трением и утечкой пренебречь. Какое минимальное
внешнее давление необходимо, чтобы сжать газ до давления р2.
1) изотермически; 2) адиабатически с показателем адиабаты
х> 1?
9.145. Электростатическое поле в вакууме создано зарядом
q. Найти работу, нужную для перемещения заряда qi из точки
А в точку В, удаленные от заряда q соответственно на расстоя-
ния и /?2, > #2-
9.146. Какая энергия необходима, чтобы удалить тело массы
m с поверхности Земли в бесконечность (радиус Земли ра-
вен 7?)?
9.147. Однородный цилиндр веса G и высоты Н плавает, ча-
стично погруженный в воду основанием вниз. Высота надводной
части цилиндра равна h. Какую работу нужно совершить, чтобы:
182
1) Погрузить цилиндр целиком в воду.
2) Извлечь цилиндр из воды?
9.148. Цилиндрический бак заполнен жидкостью. Однород-
ный цилиндр плавает, наполовину погрузившись в жидкость
основанием вниз. Площадь основания цилиндра в 3 раза меньше
площади поперечного сечения бака, высота цилиндра равна Я,
вес—G. Какую работу нужно совершить, чтобы погрузить ци-
линдр целиком в жидкость?
9.149. Однородный конус высоты Н погружают в однородную
жидкость основанием вниз на глубину /гь а затем отпускают.
Плотность жидкости в 1,2 раза больше плотности конуса. Ось
конуса все время вертикальна. Пренебрегая рассеянием энергии
в жидкость, определить, на какую глубину следует затопить вер-
шину конуса, чтобы:
1) Конус полностью выскочил из жидкости.
2) Конус, выскочив из жидкости, поднялся над ее поверх-
ностью на высоту h,
9.150. Цилиндрический бак с радиусом R и высотой Н за-
полнен до высоты h жидкостью плотности р. Ось бака верти-
кальна. Какая работа необходима для того, чтобы выкачать
жидкость из бака?
9.151. Цилиндрическая цистерна радиуса R наполовину за-
полнена жидкостью, вес которой равен G. Ось цистерны гори-
зонтальна. Какую работу нужно произвести, чтобы выкачать
жидкость через люк в верхней части цистерны?
9.152. Какое количество работы необходимо для того, чтобы
насыпать коническую кучу песка высотой Н и радиусом осно-
вания R. Плотность песка равна р.
9.153. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы выка-
чать воду из бака, целиком заполненного жидкостью плотности
р, если бак имеет форму:
1) Полусферы радиуса R,
2) Сегмента параболоида вращения, расположенного верши-
ной вниз и имеющего глубину Н и радиус отверстия R.
9.154. В стенке прямоугольного бака, заполненного жидко- "
стью, проделано прямоугольное отверстие высоты h и ширины Ь.
Верхняя сторона отверстия параллельна уровню жидкости и
отстоит от него на глубину Н. Найти расход жидкости через это
отверстие*). Уровень жидкости в баке поддерживается по-
стоянным.
9.155. Цилиндр высоты Н и радиуса R заполнен жидкостью..
Ось цилиндра вертикальна. В дне цилиндра открыто малое от-
верстие площади S. За какое время жидкость вытечет из ци-
линдра?
9.156. Цилиндрический бак, расположенный вертикально,
имеет малое отверстие в дне. Половина воды из полного бака
вытекла за t мин. За какое время вытечет вся вода?
*) В задачах 9.154 — 9.158 в формуле v=H'\/2gh считать, что р = 1.
183
9.157. Конический сосуд с вертикальной осью, радиусом
основания /? и высотой II заполнен жидкостью. В вершине, рас-
положенной внизу, открыто малое отверстие с площадью S. За
какое время жидкость вытечет из сосуда?
9.158. Какую форму должен иметь сосуд,'являющийся телом
вращения, чтобы понижение уровня жидкости при истечении
ее из малого отверстия в нижней части было равномерным?
9.159. Величины напряжения и тока в цепи переменного тока
заданы формулами:
U = Uq sin со/, I = /о sin (со/ — ф).
Найти работу тока за период Т — 2л/оэ. При какой разности
фаз ср эта работа будет максимальной?
9.160. На постоянное сопротивление R подано переменное на-
пряжение U = Uq sin со/. Какой величины постоянное напряже-
ние следует подать на сопротивление /?, чтобы выделяющееся на
нем за время Т = 2л/со тепло было равно теплу, выделяющемуся
за тот же период от переменного напряжения?
9.161. Сопротивление электрической цепи равно /?, коэффи-
циент самоиндукции — L. Найти количество тепла, выделивше-
гося на сопротивлении R при:
1) затухании тока в разомкнутой цепи, если вначале ток
равен /о (см. зад. 9.121, 1));
2) возрастании тока от нуля до значения V/2R в цепи, на
которую подали напряжение V (см. зад. 9.121,2)).
9.162. Масса m жидкости с удельной теплоемкостью с кон-
тактирует со средой, температура которой постоянна и равна
Оо > 0. За счет рассеивания в окружающую среду тепла жид-
кость может охлаждаться. Известно, что процесс охлаждения
подчиняется закону Ньютона (зад. 9.114) и на охлаждение дан-
ной массы жидкости от температуры 30о до температуры 20о
нужно время т. Жидкость начинают нагревать теплом, выде-
ляющимся на постоянном сопротивлении R, к которому подклю-
чено постоянное напряжение V. За какое время жидкость на-
греется от температуры 0О до температуры 40о?
9.163. Проволока имеет площадь поперечного сечения S,
длину L, модуль продольной упругости материала равен £. Ка-
кую работу нужно совершить, чтобы удлинить проволоку на /?
9.164. Проволока имеет длину L, площади ее любых попереч-
ных сечений одинаковы. Материал проволоки имеет плотность р,
модуль продольной упругости £. На сколько удлинится прово-
лока, если ее подвесить вертикально?
9.165. Проволока весом G постоянного поперечного сечения
подвешена вертикально. Под действием собственного веса она
удлинилась на /0. Какую работу нужно совершить, чтобы растя-
нуть проволоку еще на /?
9.166. Однородный конический стержень длиной / с радиу-
сами оснований г и R, г < R, закреплен широким концом. К уз-
кому концу стержня приложена растягивающая продольная
184
сила Р. Модуль продольной упругости материала равен £.
Найти абсолютное удлинение стержня и потенциальную энергию
упругих деформаций, накопленную в стержне.
9.167. Коническая колонна изготовлена из однородного ма-
териала с плотностью р и модулем продольной упругости Е.
Высота колонны равна 77, радиусы оснований R и г, R > г.
Насколько сожмется колонна, если ее поставить вертикально на
широкое основание?
9.168. Осесимметричный стержень длиной I закреплен одним
концом, а ко второму приложена вдоль оси сила Р. Удельный
вес материала стержня равен у, модуль продольной упругости £.
Найти зависимость площади поперечного сечения S(x) стержня
от расстояния х до его закрепленного конца из условия постоян-
ства нормального напряжения во всех поперечных сечениях, рав-
ного По (стержень равного сопротивления). Решить задачу при
условии, что:
1) сила Р растягивает стержень;
2) сила Р сжимает стержень и превосходит его вес.
9.169. Полый цилиндр с внутренним радиусогл г и наружным
радиусом R прижат силой Р своим основанием к плоскости.
Цилиндр вращается вокруг своей оси с угловой скоростью со..
Трение цилиндра о плоскость можно считать «сухим», т. е. на-
пряжения трения пропорциональными нормальным напряже-
ниям в контакте с коэффициентом трения р. Найти мощность,,
расходуемую на трение, если:
I) Нормальные напряжения равномерно распределены по
площади контакта цилиндра с плоскостью.
2) В каждой точке области контакта цилиндра с плоскостью
нормальное напряжение обратно пропорционально расстоянию
от точки до оси вращения.
9.170. Канат охватывает неподвижный цилиндрический бара-
бан по дуге с угловым размером ср0- Допустим, что справедлива
модель «сухого трения», т. е. в каждой точке контакта каната
с барабаном максимальное значение касательного напряжения
пропорционально нормальному напряжению с коэффициентом
трения ц = const. Пусть сила натяжения каната с одной стороны
равна 7\. Найти наибольшую силу натяжения каната с другой
стороны, при которой канат еще не начнет скольжение (Эйлер).
9.171. Математический маятник представляет собой невесо-
мый стержень длиной Z, один конец которого закреплен, а на
другом находится материальная точка. Стержень отклонили на
угол а, 0 < а < л/2, и отпустили без начальной скорости. Не
встречая сопротивления, стержень совершает периодические
колебания. Выразить период этих колебаний через эллиптиче-
ский интеграл. Получить как следствие приближенную упрощен-
ную формулу периода малых колебаний маятника.
9.172. Освещенность в точке кривой от точечного источника
, , sin <р >
равна kJ > rAe J — сила света источника, г — расстояние от
185
источника до точки, ср — угол между лучом из источника в точку
и касательной к кривой в этой точке. Найти кривую, у которой
освещенность в каждой точке от источника с силой / была бы
одинакова и равна Е.
§ 10. Приближенное вычисление интегралов.
Оценки интегралов
1. Пусть на отрезке [а\ 6] задана система точек
{%/}, 0 < а < Xi <
<Z Xn Ь,
и пусть задана система чисел {pi}, 0 i N.
Для интегрируемой на [а; функции y = f(x) приближен-
ное равенство
ь N
^f(x)dx^YlPifM И)
a Z=0
называют квадратурной формулой, точки xi называют узлами,
а числа pi — весами этой формулы. Разность
ь N
А = f (х) dx — £ pj (xt)
a
(2)
называют погрешностью квадратурной формулы.
Одним из источников получения квадратурных формул (1)'
служат интерполяционные многочлены, построенные по значе-
ниям функции /(лД, 0 iCU TV.
Заменив в левой части (1) функцию f таким многочленом,
получим правую часть.
Приведем три простейших примера квадратурных формул с
равноотстоящими узлами.
Пусть отрезок [а; Ь] разделен на п равных частей, п еЕ N,
h = (b — а)/п — шаг разбиения.
Пусть
Xi — а + + у) h, 0 i п — 1.
Квадратурную формулу
Ь п-1
f (х) dx h
a i-Q
(3)
называют формулой прямоугольников (рис. 34). Если функция f
имеет на [а; Ь] кусочно-непрерывную первую или вторую про-
изводную, то для погрешности А формулы прямоугольников
186
верны соответственно оценки
IА К h sup | f' (x) I, (4)
4 la; b]
lA|<-^ph2sup|f"(x)l (5)
24 [a; 6]
Если к тому же f"(x) непрерывна на [a; ft], то для некото-
рого £ е (а; ft)
A = -Lz£ftSf"(g). (6)
Пусть
Xi — а + ih, О i п,
тогда квадратурную формулу
f (х) dx « h f 0,5 (f (x0) + f (Xn)) + У f (xj'j (7)
a \ i = 1 J
Если функция r/ = f(x) имеет на [a; ft] кусочно-непрерыв-
ную первую или вторую производную, то для погрешности Д
формулы трапеций верны неравенства
IА К -Ц-2- h sup | f' (x) I, (8)
4 [a; Ы
|A|<-^^-ft2sup |f" (x)|, (9)
12 [a; b]
если к тому же f"(x) непрерывна на [a; 6], то при некотором
Ь)
А = -^-Л2Г(Ю. (Ю)
Пусть п — 2т, т g N, 0 * =С л. Квадратурную формулу
J f (х) dx « 4 (f (Хо) + f (х„) + 2 У f (х2/) + 4 £ f (х2/-0) (11)
а 7=1 /=1
187
называют формулой Симпсона (формулой парабол). Правая
часть этою равенства получается при замене графика функции
формулы Симпсона
А
y = f(x) на отрезках [х2/; ^2/1-2]
параболами, проходящими че-
рез точки
(Xp\ IM),
p = 2j, 2/4-1, 2/4-2
(рис. 36).
Если функция y = f(x)
имеет на [а; Ь] кусочно-непре-
рывную производную порядка
ности
ки
верны соответственно оцен-
IА К (6 — a) hk sup I f(k) (x) |,
I«; 6!
(12)
где
с{ =5/18, г2 = 4/81, с3 = 1/72, с4 = 1/180.
Если к тому же f(4)(x) непрерывна на [а; 6], то для
рого b)
некого-
Д = --^18Г-Л4Г(§)-
(13)
Пример 1.
части, вычислить
Разделив отрезок [0; 1] на четыре
приближенно интеграл
равные
j__( dx
J ~ J 1-H2
0
и оценить погрешность результата: 1) по формуле прямоуголь-
ников; 2) по формуле трапеций; 3) по формуле Симпсона.
А 1) Пусть А = 1/4, Xi = 1/8 + ih, г = 0, 1,2, 3 По формуле
прямоугольников (3) имеем
64
где f(x) = 1/(1 +%2). Отсюда
J ~ 4 \ 65 ‘ 73 ' 89 * 113 )
с погрешностью вычисления не более чем 5-10~4. Погрешность
формулы прямоугольников оценим согласно (5):
IAI < 04742 SUPI f" W I-
24 4 [0; 1]
188
Так как f" (х) = 2(3х2 — 1 )/(1 + х2)3 и |f'(x)| С f"(0) = 2, то
|Д|^Л2Лб <0’0053-
Полная погрешность не превосходит 0,006, таким образом,
0,781 </< 0,793. (14)
2) Пусть Xi = ih, i = 0, 1, 2, 3, 4. По формуле трапеций (7)
находим
J -4(°.5(/(°) + f(D) + f (I) + f (-i-) + f (I)) =
= _L f _L f [ _l_ _1Л i JA । _1 i ~ о 733
с погрешностью вычислений не более 5-10“4. Погрешность для
формулы трапеций оценим согласно (9):
lAK-ij-lV^P'^^K0’0105-
Полная погрешность результата не превосходит 0,011, таким
образом,
0,772 < J < 0,794. (15)
3) По формуле Симпсона (11) при xi = ~, i = 0t 1, 2, 3, 4,
находим
1- lt(HO) + f(D+2f(y)+4(f(4-)+f(i)))_
= т4(| + 4+ 2' г + 4(4 +4г)) "°'78540
с погрешностью вычислений меньше 1-Ю-5. Погрешность фор-
мулы оценим согласно (12) при k = 4. Находим
и устанавливаем, что |f(4)(x) | |/(4)(0) | = 24. Отсюда
I Д I 180Т4г 24 < 5,3 ’ 10 4’
а полная погрешность меньше 5,4 -10~4. Следовательно,
0,7848 < J < 0,7860. (16)
Из сравнения (14)—(16) видно, что при одинаковом шаге h
формула Симпсона дает значительно более точный результат,
чем формулы прямоугольников или трапеций. А именно: при-
мем за приближенные значения для формул прямоугольников,
189
трапеций и формулы Симпсона соответственно
= Т <0’781 + °’793) = °’787’
J* = 1 (0,772 + 0,794) = 0,783,
Г3 = j (0,7848 + 0,7860) = 0,7854
с относительными погрешностями, примерно равными соответ-
ственно 0,8 %, 1,4 % и 0,08 %. Видно, что погрешность формулы
Симпсона в данном случае на порядок меньше погрешностей
формул прямоугольников и трапеций.
Заметим, что
1
7-^4- = £ = 0,785398 ...
1 + х2 4
Приближенное значение 7^ = 0,7854, полученное по формуле
Симпсона, дает три верных знака после запятой, а отклонение
его от истинного значения не превышает 2-10~6. А
При нахождении приближенного значения интеграла с по-
грешностью, не превышающей заданного значения 8, следует
вначале для выбранной приближенной формулы найти из нера-
венства | А| е достаточное число узлов (иначе говоря, шаг й),
используя, например, неравенства (5), (9), (12).
Пример 2. Вычислить In2 с погрешностью не более чем
10~4, исходя из равенства
2
1п2 = $-^.
'А Для формулы прямоугольников, учитывая, что
й = 1/n, If (х)| = 2/х3^2
на [1; 2], из (5) получаем
-Ю.2<10-4,
24п2
104
36
откуда п 29. Значит, достаточно взять п = 29.
Для применения формулы Симпсона следует отрезок разде-
лить на четное число п — 2т отрезков. Учитывая, что
Л=1/(2т), |/W(x)| = 24/%5^24,
из (12) при k = 4 получаем
__________<10~4
180 (2m)4_’
откуда 2т^уд/б750. Поскольку 9< д/^750 < 10, достаточно
взять 2m 20/3, т. е. 2m = 8. Видно, что в этом случае число
190
узлов значительно меньше, поэтому вычисление следует про-
вести по формуле Симпсона с п = 8. Для погрешности этой фор-
мулы имеем оценку
I д । —24. . ! < ± ю“4
1 180-84 30 720 3 •
Погрешность вычислений по формуле Симпсона
In 2 « -+ (/= (х0) + f (х8) + 2 (f(x2) + f (х4) + f (х6)) +
+ 4 (f (х,) + f (х3) + f (х5) + f (х7)))
не должна превышать • 10-4. Если каждое слагаемое вы-
числять с погрешностью не более чем, например, 0,5-10~4 =
= 5-10“5, то и для результата предел погрешности, как видно,
будет таким же. Следовательно, вычисления будем проводить
с пятью знаками. Учитывая, что Xf=l+4~. / = 0, 1, ...,8,
о
находим
1п2~4г(1 +4+2 (4+4+4) +
+ 4(у + ~ПГ + 4’ + 4’)) ~ °.69315,
где погрешность вычислений в действительности меньше 1,5-10~5.
Полная погрешность меньше 10-4 + 0,15 • 10~4 < 0,5 • 10“4.
Значит,
0,69310 < In 2 < 0,69320,
и поэтому можно принять In 2 0,6931 с погрешностью меньше,
чем 10~4. Все четыре знака после запятой верны, т. е. In 2 =
= 0,6931 ... А
Если подынтегральная функция недифференцируема в некото-
рых точках отрезка интегрирования, то оценка погрешности по
формулам (5), (9), (12) невозможна. В этом случае иногда
удается с помощью замены переменной преобразовать интеграл
к виду, в котором подынтегральная функция дифференцируема
достаточное число раз.
Пример 3. Вычислить интеграл
1
J 'у/х ех dx
о
с погрешностью не более 10~3.
А Подынтегральная функция_имеет неограниченную на (0; 1)
производную. Сделав замену д/х = t, получим
1
J = 2 t2ep dt.
о
191
Выполнив интегрирование по частям:
1 1
] = /+ |' _ J ег dt = е — J е'' dt,
О и
сведем задачу к более простой — вычислению интеграла
1
Ц = J ер dt.
о
Возьмем е = 2,7183 с погрешностью меньше А] = 2-10~5. Для
функции у = et2 легко получить, что на [0; 1]
12 у^(Г)^1Ье.
Если вычислить Ji по формуле Симпсона с шагом h— 1/6, то
погрешность формулы будет меньше, чем
д2 = йет<°’89-1оЛ
Вычисления проведем так, чтобы их погрешность не превысила
Л3 = 0,5-10~4. Тогда погрешность окончательного результата бу-
дет меньше
Ai + А2 + Аз < К)-3.
Вычисляя Ji с пятью знаками, получаем
/, «-T-U +2,71828+ 4(1,02817+ 1,28403 + 2,00260) +
+ 2(1,11752+ 1,55962))= 1,46288.
Учитывая, что погрешность формулы Симпсона в данном случае
заведомо положительна, принимаем Ц ж 1,4628. Отсюда J «
2,7183— 1,4628 = 1,2555. А
Для оценки погрешности, кроме (5), (9), (12), используют
еще правило Рунге, которое в простейшем виде состоит в сле-
дующем. Пусть Ц, hk и Jdk — приближенные значения инте-
грала /, полученные при делении отрезка интегрирования на
/е, 2Л и 4k частей. Погрешность результата близка к заданной
границе 8, если
где р = 2 для формул прямоугольников и трапеций, р — 4 для
формулы Симпсона.
Пример 4. Вычислить интеграл
1
j = д/1 _|- х4 dx
о
с погрешностью менее 10~4.
192
Л Разделим отрезок [0; 1] на 8 равных частей и вычислим
значения подынтегральной функции в концах получившихся
отрезков (табл. 1).
Таблица 1
X 0 1/8 1/4 3/8 1/2
1 (х) 1 1,000122 1,001951 1,009839 1,030776 1
X 5/8 3/4 7/8 1
1 W 1,073586 1,147347 1,259437 1,414213
Затем найдем по формуле Симпсона приближенные значения
интеграла: /2 с шагом h = 1/2, /4 с шагом h = 1/4 и /3 с шагом
h = 1/8. Получим
/2 = 1,089553, /4 = 1,089413, Л = 1,089429.
Имеем
« 1,07 • 10“® < 10 4, TZ1.-..4L « 9 зз . ю-6 < ю-4,
15 15
И
А — Л ___ 4
| Л - /2 I ~ 35
имеет тот же порядок, что и 1/24 == 1/16. Поэтому J ж 1,0894
с погрешностью меньше 10~4
Отметим, что более или менее точная оценка четвертой про-
изводной данной подынтегральной функции — довольно трудоем-
кая задача. Если ее выполнить, то из (12) следовало бы, что /в
дает значение интеграла с погрешностью менее 4 • 10“5. ▲
2. Под оценкой интеграла J подразумевается нахождение
границ /1 и /2 промежутка, которому принадлежит этот инте-
грал. Будем называть оценкой интеграла и систему неравенств
/1 /2 (или Ji < J С /2).
Для оценки интегралов используют неравенства между ин-
тегралами, вытекающие из неравенств между подынтегральными
функциями, различные интегральные неравенства (см. § 6), ин-
тегрирование по частям, особенно если оно ведет к уменьшению
подынтегральной функции, и т. д. Для оценки значений подын-
тегральной функции нередко используют выпуклость ее гра-
фика, разложение по формуле Тейлора и т. д. Иногда бывает
полезно промежуток интегрирования разделить на части и
подобрать для каждой из них свой метод оценки. Приемы при-
ближенного интегрирования, рассмотренные в предыдущем
пункте, также позволяют получать оценки интегралов и могут
быть использованы в сочетании с другими методами.
7 Л. Д. Кудрявцев и др.
193
Пример 5. Доказать неравенства
л/2
1 < х д/1 + s^n3х 8*П xdx < Vs.
и
А Воспользуемся тем, что при z > О
1 < Vl +z < 1 +уг.
Для подынтегральной функции f(x) в силу этих оценок будем
иметь при 0 < х < л/2
х sin х < f (х) < х (1 + ~ sin3 х) sin х.
Отсюда следует, что для данного интеграла J верны неравенства
Л < J < Л,
где
л/2
Л = х sin xdx — 1,
oJ
л/2
(xsinx + yxsin4x)rfx.
о
Интеграл /2 вычислим, понижая степени и интегрируя по ча-
стям, в результате получим
'»=|+т(тг+|)<,+4(тг+ 1) = 1 + 5<1.36
Следовательно, Л < V^> что и завершает доказательство тре-
буемых неравенств. А
Пример 6. Пусть
а„(0 = (1 — /)-<2л+1)/2, 0</< 1, neZ, п>0,
/ — ап (/) (z — t)k 'dt, k е N, 0 < z < 1.
О
Доказать, что
zfe+1.. (1 < J < zfe+l-f 1 4—^2—) (17)
где а., = ап (z) — 1, а{ = а'п (0).
Л Функция an(t) выпукла вниз на [0; г], поэтому ее график
расположен между хордой, проведенной через концы (0; а„(0))
и (z; an(z)) графика, и касательной, проведенной через точку
(0; а„(0)), т. е
1 + axz <nnU) < 1 +~-t. 0<l<z.
194
Умножив эти неравенства на (2— t)k и проинтегрировав, по-
лучим
J1 J J2,
где
2
О
2
М(‘+^ ^-'^'“^ттО+ттт)-
о
Отсюда следует (17). А
Пример 7. Вычислить интеграл
1
Г -
J = sin д/х dx
о
с погрешностью менее 5-10~5.
Д Из формулы Тейлора для sin z следует, что при z > О
г3 .г5 z1 . . г3 , гь
Z 3! + 5! 7! < Sln Z < Z 3! 5! ’
Подставляя z — ^x и интегрируя, получаем оценку для J
Л —А </< Л,
где
1
о
1
\ xindx— 22680 <4,41 • Ю .
о
За приближенное значение J возьмем
Г = / А. = = 0,6023589 ... ~ 0,60236
1 2 453о0
с погрешностью менее + Ю~э < 3,21 • 10~5 < 5 • 10~5. ▲
Пример 8. Вычислить интеграл
J = д/1 — 0,25 sin2 х dx
с погрешностью меньше 5-10~4.
А Воспользуемся формулой Тейлора для функции
q>(2) = (l-z)"2=l ~-^z-^z2 + R2, (18)
195
где
_ Ф<з) (g)
^2“ зГ“
О < t; < г,
— остаточный член в форме Лагранжа. Вычисляя qp(3)(£) =
=—-|-(1 — £)-52» и учитывая, что г — 0,25 sin2х 1/4, по-
лучаем
откуда
----^z3</?2< -г3 (19)
9 V3-------------------------------16
Подставляя в (18) г — 0,25sin2х, а получающееся разложение
в исходный интеграл, будем иметь
/ = Л + Д,
где
Л/2
л = 5 (1—4sin2%—шгsin4 х) dK'
о
л/2
А = /?2 dx.
о
Вычислив /1, получим
' = -SHM680I96....
а для А, согласно (19), справедливы оценки
Л/2 л/2
-----Ц-\ sin6xdx<&<---------77^Г \ sin6 xdx.
288 л/3 J 1°24 J
v о о
Отсюда следует, что
5л а 5л
-----------------------7= < А < ,
9V3 210-------------------------------215
ИЛИ
- 9,84 10~4 < Д < - 4,79 • 10“4. (20)
Таким образом,
Jt — 9,84 • 10-4 </</! — 4,79 • 10-4.
Возьмем приближенное значение, равное полусумме полученных
границ:
r = Ji— (9,84 4-4,79). 10~4 = 1,467287.
Его погрешность будет не более, чем
4- (9,84 - 4,79) • Ю'1 < 2,53 • 10-4 < 5 • 10 4.
А
196
Заметим, что погрешность получаемого данным методом ре-
зультата можно оценить значительно точнее, если воспользо-
ваться интегральной формой остаточного члена формулы Тей-
лора (см. § 21, зад. 6.178):
Z
«2 = 4 $Ф<3,(6(г-/)2Л.
О
Учитывая, что <р(3) (/) — — (1 — /)“5/2, и используя результат
примера 6 при п = 2, k = 2, получаем
О
где «1 = 5/2, я2 “(1 —z)-5/2— 1. Поскольку здесь 0 < z < 1/4,
имеем
z 1 \ — 5/2 oq
a(z < 5/8, а, <(!--] — 1 =— 1.
- \ 4? 9V3
Отсюда следует, что
_Л(1+ <«.<-»*
26 \ 27 Уз 7 “ 29
1 • 2
и при Z = ySirr%
л/2
15л , 32 ( п
----ТГ I 1 Н---7=- I < \ R*dx<----
217 к 27 УЗ 7 J
Следовательно,
—6,06-10-4 < Л < — 5.54-10-4,
что значительно лучше, чем (20). Поступая, как и ранее, при-
нимаем
Г = Ji - 4 (6,06 + 5,54) • 10"1= 1,467439
с погрешностью не более у (6,06 — 5,54) • 10 4 < 0,3 10 4. Это
на порядок лучше, чем ранее. ▲
Пример 9. Доказать, что
8л
0 < -----dx < 1’21 10 Л
8л J х
4л
А Интегрируя по частям, получаем
8л
£OS X |8л С COS X dx __
Х 14л ) Х~
4л
8л
С sin х _________
4л
8л
8 л 8л
sin х |8л n f sin х . 1 о С sin х <
— 2 \ —st— ах = -------------2 \ —х— ах.
|4П .1 Xs 8л J X3
4л
Х~
X
197
Значит,
8л
1 С sin х
8л J х
4Л
8л
j n С sin х j
dx — 2 \ —г- ах.
J х°
4л
Рассмотрим интегралы
Ьл
, С sin х <
/] = \ ах,
J х
4л
8л
. f sin х i
JQ = \ —г—dx,
" J x6
6л
Запишем J} в виде
5л 6л
7 f sin х i , f sin х •
h = ) ~з~ dx + } -g- dx
4я 5л
и во втором слагаемом сделаем замену х — л = t. Тогда оно
будет равно
5л
и, значит,
5л
Ji== \ sinxf—I-— т—dx
1 J \ х3 (х + л)3 7
4л
Подынтегральная функция положительна на (4л; 5л), поэтому
Л > 0. Функция
J_________1
X3 (х + л)3
убывает на [4л; 5л], поэтому
5л
Ji < ( ,.\3- — ,, \3) sin хdx = . 2,8- (1 — (4-) 1 < 4,92 • 10-4.
1 k (4л)3 (5л)3 ) J (4л)3 к \ 5 7 /
4л
Точно так же для /2 получаются оценки
0</2< 1,Н • 10~4.
Из этих оценок для ]\ и /2 следует, что
8л
0< f <6,03- 10“4,
J х3
4л
а отсюда вытекают и требуемые неравенства. А
10.1. Вычислить приближенно интеграл 7: а) по формуле
прямоугольников (п — 1), б) по формуле трапеций (и = 1),
f) по формуле Симпсона (/г = 2), и найти разность между
198
точным и приближенным значениями, если:
Ъ Л/2
1) 7 = . 2) J = j sin х dx.
i о
Найти б = |7— 7*|, где 7 — точное значение интеграла, а
7* — его приближенное значение, вычисленное с шагом Л = 2
по формуле: а) прямоугольников; б) трапеции; в) Симпсона.
В каждом случае найти разность между правой- частью До
в оценках соответственно (5), (9), (12) (А=4), и б (10.2—10.3):
5 2
10.2. 7=^x4dx. 10.3. 7 = ех dx.
I -2
10.4 . Вычислить приближенно при п — 12 (вычислять с че-
тырьмя знаками после запятой) интеграл
2л
х sin xdx:
о
1) по формуле прямоугольников; 2) по формуле трапеций; 3) по
формуле Симпсона.
10.5 . Найти приближенно при п = 6 (вычислять с четырьмя
знаками после запятой) интеграл
1
f sin к .
\----dx:
J х
о
1) по формуле прямоугольников; 2) по формуле трапеций; 3) по
формуле Симпсона.
10.6 . Вычислить приближенно при п = 10 интеграл
1
V 1 + х dx:
о
1) по формуле прямоугольников (с тремя знаками после запя-
той) и оценить погрешность результата; 2) по формуле трапе-
ций (с тремя знаками после запятой) и оценить погрешность
результата; 3) по формуле Симпсона (с шестью знаками после
запятой) и оценить погрешность результата.
10.7 . Вычислить приближенно по формуле прямоугольников
с шагом h интегралы:
2 Л
1) ^x4dx. ft = 0,2. 2) sin xdx, А = л/6.
о о
5 5
3) h ==0,4. 4) ~ . h = 0,5.
I 1
199
5)
2
е*2 dx,
о
h = 0,2.
6) ( -ln (1 + х) dx,
J X
h = 0,2.
10.8. Вычислить приближенно по формуле трапеций с шагом
h интегралы:
9
1) -^Ц-, л=1.
J х — 1
2
1
3) х д/1 — х2 dx, /г = 0,1.
о
1
5) й = 0,1.
J 1 + х3
и
2) .... /г= 1.
j Vх+ 2
2
4) $ V1 + х4 dx, h = 1/8.
О
5
6) In2 х dx, h = 0,5.
л/2
7) д/1 —0,25 sin2х dx,
о
Л = л/12.
10.9. Вычислить приближенно по формуле Симпсона с шагом
h интегралы:
3 1) /\J * dx, h = 0,5. 1 2 3) ^e~x"dx, й = 0,5. 0 2 5) \-^vdx, /2=0,25. J x - 1 1 1 2) д/l “'%3 Л = 0,1. 0 4) e*2 dx, h = 0,2. 0 л 6) ^д/3 + cosxdx, 7г = л/6. 0
7) \ h = 1/6.
j In (1 4- х)
о
10.10. Вычислить приближенно, используя формулу Симп-
сона при п — 10:
л/2
1_ f sin х ,
1) Интеграл \ —-—dx.
о
1
2) Постоянную Каталана G = arc*g—dx.
о
200
10.11. Вычислить приближенно по формуле
п = 4 и п — 8 интегралы:
। з
1) ^e~%2dx. 2) ^e~~xdx.
и о
Симпсона при
10.12. Вычислить приближенно по формуле Симпсона при
п = 4 и п — 8 интегралы:
л/2
1) V1 — sin2x dx, если: a) k2 = 0,5; б) 62=0,25.
о
л/2
2) \ —7— -------- -, если: а) & = 0,5; б) 6 = 0,8; в) 6 = 0.9.
J V1 - k2 sin2 х ’
а ’
10.13. Для данного интеграла оценить погрешность формулы
прямоугольников с шагом h:
2
1) ^x4dx, h = 0,2.
о
л
3) sin х dx, h = л/6.
о
2
5) ^e**djc, ft = 0,l.
о
5
2) 6 = 0,4.
1
5
4>$TTF' "-°-5-
1
5 ______
6) J dx, 6 = 0,25.
10.14. Для данного интеграла оценить погрешность формулы
трапеций с шагом h:
9 1) h—l. 7 J X — 1 2 I 7 2) . 6=1. J V» + 2 5
3) A= 1/3. J 1 + x3 0 2 4) In2xdx, ft = 0,5. 2
5) J V1 + х4, Л = 1/8.
о
10.15. Для данного интеграла оценить погрешность формулы
Симпсона с шагом h:
л/2
1) COSydx,
0
ft = л/8.
з
2) In 2xdx, h = 1/3.
i
201
6
3) х In (1 + х) dx, А—1/4.
о
1
5)JVT+j?dx, Л = 0,1.
О
5
4) Л = 0,5.
7 J In X
2
л/3
6) л/созх dx, h = QA.
о
10.16. Найти шаг А, при котором погрешность приближен-
ного значения данного интеграла по формуле прямоугольников
не более е:
2
1) jjx4dx, е=10“1 2.
с
3
3) In (1 + х2) dx, е=10“4.
о
л'З
2) ^cos2xdx, е=10~3.
о
г
4) \^\+x3dx, ь — 10“3.
о
10.17. Найти шаг h, при котором погрешность приближен-
ного значения интеграла по формуле трапеций не более е:
3 1,2
1) е= 10-1. 2) \ exdx, е=10-3.
7 J х + 2 7 J
о о
3 0,5
3) sin xdx, е=10“3. 4) arcsin xdx, е=10"4.
1 о
10.18. Найти шаг It, при котором погрешность приближенного
значения интеграла по формуле Симпсона не более е:
л/2 3
1) cosydx, е=10“3. 2) ^ln2xdx, е=10-4.
о 1
2 2
3) jj.lL. e==io-4. 4)Jarctgxdx, е=10~4.
1 о
10.19. Вычислить по формуле прямоугольников интеграл
л/2
“ 0,64 sin2x dx
о
при п = 4 и найти погрешность результата.
10.20. Вычислить приближенно интеграл по формуле прямо-
угольников с погрешностью не более 10 ~2:
1) \^dx. 2)^.
1 1
202
5 л/2
3) 4)\-^-dx. J 1 4- In х J 1 + х 1 0
5) 1 1 с р-х (* \ -7—т—dx. 6) \ д/1 + *2/3 dx. J 1 4- х J v 0 0
10.21. Вычислить приближенно интеграл по формуле трапе-
ций с погрешностью не более 10“2:
1) 5 1, 2 2) J e*dx. 2 0 1,2 3
3) sin xdx. 4) ^ln2xdx.
5) 0 1 2 4 \e-^dx. 6)Jt+4x3.
10.22. Вычислить приближенно интеграл по формуле Симп-
сона с погрешностью не более в:
1) 5 л e=10~2. 2) Cinxdx, e=10~3. J X J 1 0
3) 3 I ^^/xdx, e=10-3. 4) V1 + x2 dx, e=10-4. i o’
5) 1 С in-4 \ e = 10 . J Vl 4- и
6) 5 16 llnxrfx, e=10-4. 7)\—^—, 8= IO'4. .1 J Vx+1
10.23. Вычислить приближенно с погрешностью не более в
интеграл:
1) e=10-4. 2) \ V1 + 4x2 dx, e=10"3. j 1 4“ % J 1 о 2 9
3) f dx —з a\ f dx iга—® \ ТТЛ » 6=10 . 4) \ —/= , 8=10 . J (1 + x2)2 J Vl + Xs 3 2
5) ( Vx2 + 1 dx e=10-3. 6) dx, e = 5-10“3. J X 7 J X 1 1
203
2
Sp ~ x i
-—dx, e-=10"4.
X
I
д/л/2
9) j cos x2 dx,
0
e= IO-3.
Л/2
о i COS Xi 1 гл—8
8,i \ -г—i—dx, e=lO .
J l + x
о
n
IO) j sin (sin x) dx, e= l0“3.
о
10.24. Найти площадь поверхности полусферы радиуса R,
используя формулу Симпсона при п — 2.
10.25. Доказать, что формула Симпсона при п — 2 дает точ-
ный результат при вычислении объема: 1) шара; 2) конуса;
3) цилиндра; 4) шарового сегмента.
10.26. Вычислить, используя формулу Симпсона, с погреш-
ностью не более 5-10“2 объем тела, образованного вращением
кривой у = sin х, 0 х л, вокруг оси Ох.
10.27. Найти приближенно, используя формулу Симпсона,
длину дуги данной кривой с погрешностью не более 1СН:
1) у = х2, —2 х 2.
2) у* = 4х, 1 ^х^5.
3) у = In х, 1 х 5.
10.28. Вычислить длину эллипса с эксцентриситетом е = 0,5
и полуосью а ===== 1, воспользовавшись формулой Симпсона с
п — 6. Оценить погрешность результата.
10.29. Найти приближенно с погрешностью не более 5Л0~2
длину эллипса с полуосями а = 10 и b = 6.
10.30. Найти приближенно с погрешностью не более 0,03 пло-
щадь поверхности эллипсоида, образованного при вращении
эллипса х2 ф- 4у2 — 4 вокруг оси Ох (воспользоваться формулой
Симпсона).
10.31. Найти приближенно с погрешностью не более 0,01
объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры
0^ у < 1/(1 +х2), — 2 < х < 2.
10.32. Доказать неравенство (5) для формулы прямоуголь-
ников. (Указание: можно использовать формулу Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа.)
10.33. Доказать, что неравенство (5) точно, т. е. существует
функция, имеющая вторую кусочно-непрерывную производную
и такая, что
f (х) dx — h f (xf)
a i=3
= supl rw I-
24 la; 61
10.34. Доказать неравенство (9) для погрешности формулы
трапеций. (Указание: рассмотреть по отдельности интегралы
по отрезкам [х,-;х/+1].)
10.35. Доказать, что формула Симпсона является точным ра-
венством (точна) для любого многочлена до третьей степени
включительно.
х 20т
10.36. Доказать, что если формула приближенного интегри-
рования
Xt
J f (х) dx да pof (х0) + Pif (jq) + p2f (x2),
xa
где X/ = xo + jh, /=1,2, является точным равенством для лю-
бого многочлена до второй степени включительно, то это фор-
мула Симпсона, т. е. = Р2 — h/3, р\ =4h/3.
10.37. Используя приближение функции квадратным много-
членом Лежандра по трем точкам х/ = х0 + //i, j = 0, 1, 2, вы-
вести формулу Симпсона приближенного интегрирования
f (х) dx ~ У (f (х0) + 4f (х() + f (х2)).
Xo
10.38. Используя приближение функции кубическим много-
членом Лежандра по четырем точкам х/ = х0 + /й, j = 0, 1, 2, 3,
вывести формулу приближенного интегрирования
х
J f (х) dx - (f (Хо) 4- 3 (f (Xj) + f (X2)) + f (x3)).
JCe
10.39. Пусть на отрезке [a; ft] выбрана система точек X/,
i = 0, 1, ..., т, а Хо С Xi < ... < хт Ь. Пусть
т
— интерполяционный многочлен Лежандра степени т для функ-
ции /(х), определенной на [а; /?] (см. [3], т. II, с. 553—556), и
пусть
ъ
Pt = S Q'm w dx-
а
1) Доказать, что формула приближенного интегрирования
Ъ т
Jj f (х) dx да У Pif (хг) (21)
а г=0
точна для любого многочлена до степени т включительно.
2) Доказать, что для фиксированной системы точек xt, i —
= 0, 1, . ., гп формула (21)—единственная точная формула
для всех многочленов до степени т включительно.
10.40. Проверить, что формула Чебышёва приближенного
интегрирования на отрезке [—1: 1]
1
\f(x)dx~f(-l/^/3) + f(l/^3~) (22)
i
точна для всех многочленов до третьей степени включительно.
205
10.41. Пусть отрезок [а; 6] разделен на четыре равные части
длины h = {Ь — а)/4. Вывести формулу приближенного интегри-
рования по четырем точкам, применив к каждому из отрезков
|л; a2k] и [a-f-2/г, &] формулу Чебышёва (22).
10.42 . Для функции f, имеющей четыре непрерывных произ-
водных на [а; &], оценить погрешность полученной в 10.41 фор-
мулы, считая известным, что для погрешности формулы Чебы-
шёва (22) верна оценка
sup
10.43 . Доказать, что
20Эл
100л
sin х
х
b
sin х2 dx
a
0 <a<b.
10.44 . Доказать, что для любого а > 0
а+Ь
1. f sin х 1 Л
lim \ -------ах = 0.
ft >4-00 J Х
b
10.45 . Доказать, что при R > О
л/2
V tf-flsintpjqp < -2L(1 —
j 2.K
О
10.46 . Доказать, что если f'(x)<0 на [а; 6], то
ь
Ь — а („-кньу______p-Kf (ан
е ах<^ %(f(b)-f(a)){e С
Доказать неравенства (10.47—10.53):
10.47. 1)
3)
20
С x2dx
J х4 — х + 20
io
20 ’
2
jj 2~x‘dx < 9/32.
i
2
2) 2l/x dx < I 4
i
2 *
4)
10.48. 1)
J (sin x + cosx) arcsinxdx >y (sin 1 — cos 1).
0
2
e2 — 1 C ex dx e* l — 1
100 J 100 — 2x 4- *2 < 99 *
1 C xeK dx
5 V V25 — X + X2
2
3 угг'
206
л/2
3) я3 < С ____________х2 dx_____< sts
2427 J 100 -j- 2 V^ sin3 x cos x 2400
1
йл лл i \ sin 1 + cos 1 — 1 . C x cos x . . t <
10.49. 1) ----------------< \ j _^xi6 dx < sin 1 + cos 1 — 1.
0
1
1 1 f xe~x i . 2
2 ) -к--< \ т-i—г dx < 1-------.
’ 2 e J 1 + x! e
0
1
99 — 2 In 10 f xln(l/x) . . 99 —2 In 10
800 J 1 + x2 aX 400 *
1/10
Л/4
4) - In ( 1 + 4) < -ln(11**- dx < 1.
л \ 4 / J x cos2 x
о
1/2
5) 3 < C dx < л
5 V^T J Vl “ x2 12 ’
1
6) -|- < Vх e* dx < e — 1.
0
I
•«л .-л C arccos x , . V3
10.60. 1) 1 < \------2— dx < -Лг-Л.
' J cos2 x 2
о
л/4
2) ~^F < J 3* cos x dx < 2‘
9
1
3) ~ 3“x arccos x dx < 1.
о
3/4
л. x n . С 2х dx .1
41 ln2<)
6> 4 <^т|ггЛ'<т<'-1>-
0
1
6) yin2 2 < J dx < у In 2.
(,
л/3
, Vs C sin 2x л . V3
7) arctg -2- < J x(1 + sin^y < 2 arctg-y-.
u
207
л/3
10.51. 1) (---------f* < 1.
2 J cos2 x V3 + sin x
Л/2
2) л/-п- < /........= — < л/— •
V И J V10 + cosx sin2 x V 10
Л/6
V3
qx я C dx n
33 < J (10 4- sin x) (x2 +D 30 ’
и
i
4 ch 2 — 1 C sh 2x dx ch 2 — 1
22 < J 10 + X < 20
о
Л
2 sh л f ex dx 2 sh я
11 < J 10 +cos 2x < 9~~ *
—Л
3
z>\ 6 . С 3х dx 9
Ь) ---- < \ ---------7- .
In 3 J 2 + Vsin x In 3
10.52. 1) e< < JL_
J In x2 In 2
2
3) ^ex2~xdx <2e2.
'у/ e о
41 e‘- 1 Г e1--1
—г < \ x-e~x dx <------5—.
e — 1 J ел
t/e
11
5) 10-7< S 7iSPT^<2. 10-5 6 7.
10
Л/2
6) 0,7 < j sin x2 dx < 1,3.
о
я
10.53. 1) sinx2dx>0. 2) esin Kdx> 1,7л.
о о
208
10.54. Выяснить, какое из чисел больше:
13 15
Ssin х , , f sin х , ~
-----ах или Ь=\--------------dx?
X J X
3/4 1
10.55. Получить для данного интеграла J оценки Д <С J < /г
с разностью J2 — h, не превосходящей е:
।
1) е = 0,02.
о
и
3) ^e~X!Kdx, 8 = 0,01.
ю
бл
5) J КГ* sin xdx, е=10~12.
4л
4л-Ь0,1
7) ( ^-dx, е=10"3.
J х
4л
10.56. Вычислить интегралы с погрешностью не более е:
260 400
1) dx, 8=10~5. 2) д/х cos лх dx, в=10“5.
100 100
5
3) sin —-— dx, 8 = 5- IO"5.
J xz 100 — x
4
2л
«“2-I0--
о
11
4) \^xe~w dx, 8 = 0,01
ю
6л
6) e~w sin xdx, e=4 • 10“3.
4л
10.57. Доказать, что для данного интеграла при любом числе
а, большем нижнего предела интегрирования, верны неравен-
ства:
а а
1) 0 < е~к dx < . 2) — < ХИ < f + "[О' •
з 1
а
пх л С sin х 1 я
3' 0 < \ --------dx < .
J х 50
100 л
10.58. Вычислить интеграл
।
С х'^
\ sin -^-dx
о
с погрешностью менее 5-10~5,
209
10.59. Вычислить интеграл
1
cos х2 dx
о
с пятью верными знаками после запятой.
10.60. Доказать, что:
л/3
1) 0,941 < Vcos х dx < 0,957.
о
л/3
2) 0,983 < J dx < 0,986.
(I
10.61. Доказать, что
1
0< {e-x’dx — -^ <0,005.
J 35
о
10.62. Доказать, что существует предел
1
lim \x~A/3e~~xdx
е->+0 3
8
и вычислить его с погрешностью менее 0,1.
10.63. Доказать, что
л/2
( 0,610
J х
Л/4
с погрешностью не более 1,5-10~3.
10.64. Доказать, что при 0 < z < 1 для интеграла
Z
. С 'у/х dx
У J 1 + F
о
верны оценки
3 -4/3_L оЛ6/3 Г < -3. —4/3_L -16/3 1 JL -28/3
4 г 16^ J 4 16 -Г 28 * •
10.65. Вычислить интеграл
1
Ssin х .
-----dx
X
о
с погрешностью менее 10~5, используя формулу Тейлора.
210
10.66. Вычислить интеграл
1/4
J X
о
с погрешностью менее 10-4, используя формулу Тейлора.
10.67. Вычислить интеграл
1
д/8 + х3 dx
-1
с погрешностью менее 10~4, используя формулу Тейлора.
10.68. Вычислить длину четверти эллипса x2 + 2t/2 = 2, ис-
пользуя формулу Тейлора с тремя членами.
10.69. 1) Вычислить интеграл
Л/2
С _____dx______
J дЛ — 0,5 sin2 х
используя формулу Тейлора с тремя членами.
2) Доказать, что погрешность полученного в 1) результата
не превышает 0,03.
10.70. Вычислить интеграл
1
\/1 — х2 dx
о
с погрешностью не более 10~3. (Указание: положить
\/1 —х = /и воспользоваться формулой Тейлора.)
10.71. Пусть
I
Z„(e)= ne=N, е > 0.
О
Доказать, что:
1) lim/„(e)=l. 2) lim (е> ~—Ь-
е->0 е->0 е
10.72. Пусть f(x) непрерывна на [а; Ь],
ь
8>0’ neN-
J 1 "Т* ол
а
Доказать, что:
ъ
1) lim J (в) = ( f (х) dx = /0.
g->4-0 J
а
b
2) lim = —{f^x)xn dx.
211
10-73. Пусть а > 0. Доказать, что для любого b > а:
ъ ь
Si С 0~~а*
е~х‘ dx <~- е~а2. 2) \ е~х dx < (1 — е-2а**-«)).
2а 7 J 2а v 7
а а
Ъ
3) е“*1 2 dx < егде е = 1 /(2а), а 1.
а
10.74. Доказать, что при а 3,5 и любом b > а
ь
е~*2 dx < 10~5.
а
10.75. Доказать, что при а>0, а>0и(?>о
ь
I sin х
dx
10.76. Доказать, что если а > 1/д/2, то
-о
2as
1 \ . С -х- л е~а*
/ < I е х dx < ——.
2а2 J J 2а
а
10.77. Доказать, что при а > 0 для любого b > а и Ь 2
10.78. Вычислить интеграл
х*е~*2 dx
с2
с погрешностью менее 10“3.
10.79. Вычислить интеграл
sin х
! + х‘2
dx
с погрешностью менее 10~3.
10.80. Доказать, что
t Olli -Л- j 1 j
200л 1 ~~х~йХ 200л 1004л3 ’
1иил
212
10.81. Пусть функция f положительна и убывает на [0; 1]
и пусть
1
Jn — f (х) sin 2лпх dx.
о
Доказать, что:
1/2п
1) 4>0. 2) Jn< J f(x)dx.
о
п-1 п-1
з) mk < 1п < S Mki
/г-О ^0
где Mk = sup|f (х) I, mk = inf |f (x) | на [k/n\ (A-|-l)/n], при
условии, что f непрерывно дифференцируема на [0; 1].
10.82. Доказать, что для любого ne N
Л (п +1)
1 С cos2 х. 2/? + 1
2п + 1 J х Х 4п (п + 1)
лп
10.83. Доказать, что для любого neN, п>1, и любого
а >* 0
а
j-----f е-х.п dx < j _[_ — .
п + 1 J пе
о
10.84. Доказать, что для любого пе N, п 2,
।
ап 2п2(2п +1) < j V* + * dx < ап,
о
1 । 1
где ^==1 + -^-^
10.85. Вычислить интеграл
1
рд/1 + xl0dx
о
с погрешностью не более 103
10.86. Доказать, что
л
/ 3 (k — 1) \ С k —j —5 J
п I ak---32^ ) < \ V1 + sin ^xdx < nakt
о
где k^2.
10.87. Доказать, что
i
1,0473 < ( д/1 + sin4 nxdx < 1,0625.
213
10.88. Вычислить интеграл
8
д/1 + s*n6 nxdx
о
с погрешностью менее 10~3.
10.89. Вычислить интеграл
ю
( е~2Х
J 1+х
1
dx
с погрешностью менее 10~4. (Указание: разделить промежу-
ток интегрирования и использовать формулу Симпсона и инте-
грирование по частям.)
ГЛАВА Ш
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 11. Несобственные интегралы от неограниченных функций
1. Определение несобственного интеграла от неограниченной
функции. Пусть функция f(x) определена на промежутке
[я; Ь) и интегрируема на любом отрезке [а; g], g < Ь. Если су-
ществует
£
lim \f(x)dx, (1)
то этот предел называется несобственным интегралом функции
f(x) на промежутке [а; Ь) и обозначается
ь
f (х) dx.
а
В этом случае говорят также, что несобственный интеграл
ъ
f (х) dx сходится, а функция f (х) интегрируема в несобствен-
а
ном смысле на промежутке [а; Ь). В противном случае, т. е. если
ъ
предел (1) не существует, говорят, что интеграл ^f(x)dx расхо-
а
дится, а функция f(x) неинтегрируема в несобственном смысле
на промежутке [а; 6).
Для непрерывной неотрицательной функции y — f(x), х ее
ь
е [а; Ь), сходящийся несобственный интеграл ^f(x)dx равен
а
площади неограниченной криволинейной трапеции Ф (рис. 37):
Ф={(х; у): a<x<b,
Если функция f(x) ограничена на [а; 6), то предел (1) су-
ь
ществует и несобственный интеграл f (х) dx равен обычному
а
интегралу Римана на отрезке [а; 6].
215
Аналогично определяется несобственный интеграл функции
f(x) на промежутке (п; Ь\:
Ь и
\ f (х) dx = lim \ f (х, dx.
J 4 £->a+oJ
« 9
Если функция f(x) интегрируема в несобственном смысле на
промежутках [а; с) и (с; Ь], то f(x) называется интегрируемой
Рис 37
в несобственном смысле на отрез*
ке [а; /?]. В этом случае несобст-
венный интеграл определяется ра-
венством
Ь с b
f (х) dx = f (х) dx + f (х) dx.
а а с
Если функция f(x) интегрируе-
ма хотя бы в несобственном смыс-
ле на интервалах
(a; ci), (q; с2), ...» (сп-х; Ь}9
то по определению полагают
& Cl с>
j f (х) dx = f (х) dx + j f (x) dx + • • • +
a a c,
f (x) dx.
Пример 1. Вычислить интегралы или установить их рас-
ходимость:
1
2) j In х dx.
о
3)
1
f(x)dx,
где f(x) =
1/х, если х < О,
1/д/*» если х > 0.
4)
-1
arccos х
д/1 — х2
dx.
Л 1) Подынтегральная функция неограничена в левой окре-
стности точки х = 1 и интегрируема на любом отрезке [0; gj ,
£ < 1. По определению несобственного интеграла получаем
2
[ dx । • ( dx i • • с. л
I......— — lim \ . г = lim arcsin £ = —.
J Vl—x2 £->1-0 j Vl—x2 £->1-0 2
216
2) Подынтегральная функция неограничена в правой окрест-
ности точки х = 0, поэтому
1 2 1
Hnxrfx — lim \ In х dx = lim (xlnx — x) =
j ^+0 ,
= lim (- 1 -|1п£ + ё) = - 1-
£ -> +0
3) Подынтегральная функция неограничена в окрестности
точки х — 0. Данный интеграл сходится, если сходится каждый
из интегралов:
и
-1
и
dx
л/х ’
Но первый из этих интегралов
не сходится. В самом деле,
о н р
[ нт ( — = lim 1П । х | = lim 1п||| = — оо.
1| Х Х _| £->-°
Следовательно, и исходный интеграл является расходящимся.
4) Подынтегральная функция неограничена только в правой
окрестности точки х =—1. В левой окрестности точки х — 1
функция ограничена, так как lim _ j Следовательно,
х->1—С) Vl — X2
arccos x j .. I arccos x .
-г- dx = lim \ —====- dx —
Vi-*2 £->-i+o j Vi-*2
о
lim \ arccos xd arccos х = — —
lim arccos2 х
£->-1+0
1£
lim arccos2 g =
V->-i+o 1
С dx
Пример 2. Исследовать \ .
о х
Л Пусть a #= 1, тогда
се <= R, на сходимость.
dx
f dx
hm \ —
->+oJ Xй
lim х------
£->+о l~a £
i-ra
lim _____
->+o 1 — a
1- lim £
_____£-» + 0
1 — a
1
-j _ , если a < I,
если a > 1.
2
217
Пусть а=1, тогда
1 ! I1
Cj£x_ = ]inl = lim ]П|Х| = _ |im
J K e->+oJ x i -> +o s->+o
i
Следовательно, интеграл \ ~ сходится при a < 1 и расходится
и
при a 1. А
Вычислить интегралы (11.1—11.16): [ или установить их расходимость
1 11.1. (-С. о 11.2. 0 С dx )2 <Х + 1) VX + 1
4 2
114 ( 114 С dx
1 1 • О • i #— • J Vr + x 1 i «ч. J х Vx — 2х + V* 0
9 3
11.5. ( '/Л' . J V| х* - 1| 11.6. С х': dx J -у/9 — к1
0.5 1
11.7. С С-2—. 11.8. С dx
J х inz х J X In2 X
0 0
л П/4
11.9. \tgxnfx. 11.10. Г sin х 4- cos х t \ 3/ dx.
о а у sin х — cos х 0
л е
Н.П. (-Ц^Сх. 1112. С dx
J Vsin х j ек — 1 о
0 1
11.13. ( е^х~. J X3 -1 11.14. ( р|-х dx. J х3 ‘ -1
1 П.15. (-Vsin* dx 11.16. 1 С dx
J Vi-x^ J V(1 — х2) arcsin х
2. Основные формулы для несобственных интегралов от не-
ограниченных функций.
1. Линейность интеграла. Если несобственные интегралы
ь ь
г <*
\f(x)dxt \g(x)dx сходятся, то для любых чисел аир схо-
а а
218
ь
дится интеграл (а/ (х) + (х)) dx, причем
а
ь ь ъ
(af (х) + fig (х)) dx = а f (х) dx + fj g (х) dx.
а а а
(2)
2. Формула Ньютона — Лейбница. Если функция /(х), хе
е[а; Ь) непрерывна и F(x), хе [а; Ь), — какая-либо ее перво-
образная, то
ь
^f(x)dx = F (х)
а
ь-о
= F (Ь— 0) — F (а),
а
(3)
где
Ffb-Oi— lim F (х).
%->£>-О
3. Формула замены переменной. Пусть f(x), хе [а; &), не-
прерывная, а ф(0» /е[а; р), непрерывно дифференцируемая
функции, причем
а = ф(а) ^ф(/) < lim ф (/) = £,
тогда
ъ з
f (х) dx = jj f (ф (/)) ф' (/) dt.
а а
(4)
Формула (4) справедлива в случае сходимости по крайней
мере одного из входящих в нее интегралов. В случае расходи-
мости одного из интегралов расходится и другой.
4. Формула интегрирования по частям. Если и(х), хе [а; Ь),
и у(х), хе[(/;6),— непрерывно дифференцируемые функции и
lim (uv) существует, то
x->Z?-0
Ь b b
\и dv = uv — v du, (5)
а а а
где
uv р = lim (uv) — и (a) v (а).
|а х->Ь-0
Формула (5) справедлива в случае сходимости по крайней
мере одного из входящих в нее интегралов. Если один из инте-
гралов расходится, то расходится и другой.
5. Интегрирование неравенств. Если функции f(x), хе[с; 6),
и g(x), хе [а; 6), удовлетворяют неравенству f(x) g(x), то-
для интегралов
b ь
f (х) dx, g (х) dx
а а
при условии их сходимости, верно неравенство
ь ь
f (х) dx g (х) dx. (6)
а а
Пример 3. Вычислить интеграл
g 4*
Д Используя свойство (2) линейности несобственного ин-
теграла, имеем
Для функций -Д^г, -гг=“> —Д на промежутке (0; 1] первооб-
V х ух ух
разными являются, соответственно, функции\Г>?> З'у/к.
По формуле Ньютона — Лейбница получаем
Следовательно,
( <V*+02. dx = £+3_|_ 2 = 11. А
) V.v - 5
Пример 4. Вычислить интеграл \-я---------==-.
J (2 х) у 1 х
Д Воспользуемся формулой замены переменной в несоб-
ственном интеграле. Положим I—x = Z2, t Z> 0; тогда х~
= 1 — /2, dx =—2t dt, новые пределы интегрирования а = I,
Р = 0. Следовательно,
Здесь несобственный интеграл заменой переменной преобразо-
ван в собственный HHicipaj.
Пример 5. Вычислить интеграл i dx.
о
А Применим формулу интегрирования по частям для несоб-
ственного интеграла. Положим
u = In %, dv = -^~,
у к
тогда
rfrz — v = 2 л]х
и, следовательно,
-^-dx = 2 'у/х In х
—~ = — 2 lim —
“V X Х“> 4-0
— 4 Vх
= — 4 А
4-0
Пример 6. Найти площадь фигуры Ф, ограниченной отрез-
ком [0; л/21 оси абсцисс, графиком функции /7^5—==-.
Vcos3 X
х е [0; л/2), и его асимптотой.
А Искомая площадь выражается через несобственный инте-
грал следующим образом:
Л/2 я/2
у dx =
0 Г)
sin3 х
5 dx,
Vcos3 X
Для вычисления интеграла положим cosx=/, тогда dx —
—-----sinT * Новые пределы интегрирования а = 1, (3 =0. Следо-
вательно,
С (1 -z2) dt
J у?
J(/-3/5 _ ,7/5) di = ,2/5 _ _5_
о
Пример 7. Вычислить интеграл
ь
________dx__________
'у/(х ~~~ а) (b — х) ’
а
а,Ь е ₽,
b > а.
А Подынтегральная функция неограничена в правой окрест-
ности точки х ~ а и в левой окрестности точки х = Ь, Заменой
переменной
х = a cos2 t + b sin2 /, fe(0; л/2)
данный интеграл сводится к собственному интегралу. Действи-
тельно, находим новые пределы интегрирования а — 0. 6 = л/2;
221
затем вычисляем х—а—(Ь — a) sin2/, b — х = (Ь— a)cos2t,
dx = 2(b — а) sin / cos / dt. В результате получаем
Ь п/2
-; Л* ---- = 2 dt = л. ▲
J V(X — а) (Ь — х) j
а о
л/2
Пример 8. Вычислить интеграл In sin xdx.
о
Л Подынтегральная функция неограничена в правого окрест-
ности точки х = 0. Установим сначала существование интеграла.
Для этого воспользуемся формулой интегрирования по частям,
положив
и = In sin х, dv — dx.
Тогда
, COS X 1
du = —— dx, v —x,
sin x
л/2 л'2 л/2
\ In sin xdx = xIn sinx —\ xctgxdx==— lim (xIn sinx) —
о +0 o’ x + +0
л/2 л/2
—- x ctg x dx = — x ctg x dx.
о 0
Последний интеграл существует, так как функция xctgx огра-
ничена на промежутке (0; л/2]. Следовательно, существует и
исходный интеграл. Обозначим его через J и сделаем замену
переменной х = 2/. Тогда получим
л/2 л/4
/ = lnsinxdx = 2^ In sin2tdt =
о о
л/4
= 2^ (In 2+ln sin /-{-In cos t\dt =
о
л/4 л/4
= —1п2 + 2^ lnsin/d/ + 2^ In cos/d/.
0 я
Замена переменного /=-^ — и в последнем интеграле приво-
дит его к виду
л/2
In sin и du,
л/4
и, следовательно, для J получаем уравнение
/ = Д 1п2 + 2/,
из которого находим / = •—у- In 2 ▲
222
Вычислить интегралы (11.17—11.36):
11.17.
dx
Vx?
11.19.
dx
J (x — 1) V*i 2 * — 2
V*
-0,25
11.18. J —----------,
-0 5 x'v2*+ 1
2
f dx
J x V3x~ — 2x — 1
11.20.
11.21
dx
J (4 — x) д/l — x2
11.22.
dx
J (18 — x2) Vl — xa
11.23.
11.24.
4 x4 dx
(1 4- x2) Vl — x2
a
С dx
-a
11.25.
f xn dx
J Vi — X2 ’
и
л/4
11.27. J Vctg x dx.
о
л/2
11.28. д/tgxrfx.
о
2
11.29. (x sin 4- — — cos4pr.
J \ X- X X- J
0
I
11.31. dx.
<, Vl-x2
11.30.
dx
^V( I—*2) arccos x
о
a
,l-26-
a
i
11.32. \ r3|n2±£.. dx
J( I — x V1 — x2
1 nf2
11.33. ^x°lnnxt/x, a> — 1, heN. 11.34. ( Incosrdx.
о 0
Л
11.35. x In sin xdx.
0
Я/2
11.36. (In cos x) cos 2nxdx, neN.
о
223
Вычислить площади криволинейных трапеций, образованных
графиками функций (11.37—11.44):
11.37. хе[0;0,4).
У 2 — 5х
11.38. у = 1; 1], х У= 0.
Vx8
11.39. у = - 7;....... , х ее (а; Ь).
у/(х -a) (b- х)
11.40. у = .x2....^=i х ge (3; 5).
V(x -- 3) (5 - х)
11.41. у =--д=~, х (1; в].
X Vln X
11.42. у = х In xg[0; 1).
в < ло arcsin х г /л . \
11.43. у = —7==JL--, х е= [0; 1).
У1 — х
11.44. у= xeiO; 1).
а 71-х2
Найти площадь фигуры, ограниченной заданной кривой и ее
асимптотой (11.45—11.49):
11.45. ху2 = 8 — 4х. 11.46. (%+ 1)г/2=х2, х < 0.
11.47. (4 —x)z/2 = x3. 11.48. (1 - x2)z/2 = x2, х > 0.
11.49. % = cos 2/, z/ = cos2Ztg/, /^[л/4; Зл/4].
11.50. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, за-
данными в полярных координатах:
1) г = tg <р, г = 1 /cos Ф, ф е [0; л/2).
2)г=1/ф, r=l/sinq), ср ^(0; л/2].
11.51. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полу-
чающейся при вращении кривой у = е~*2 и прямой г/= 0 вокруг
оси ординат.
11.52. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полу-
чающейся при вращении кривой (4 — х)у2 — х3 = 0 вокруг ее
асимптоты.
Доказать неравенства (11.53—11.56):
< со t dx эт
11.00. I : ! —у "'E .
10 J (4 4~Vsinx)V4 — x2 8
, . _ . In (2 + 7з) , C dx . 1П (2 + 7з)
11 J (10 + sin x) Ух2—1 10
2 1 . (П \
f p~x Яг f Sin I — — X I
11.55. \ ——— < 0,03. 11.56. ---v 4 a L dx > 0.
1.9 72 + JC - X2 °
224
3. Признаки сходимости и расходимости интегралов для не-
отрицательных функций (признаки сравнения). Пусть функции
f и g неотрицательны на промежутке [а; Ь) и интегрируемы на
каждом отрезке [а\ g], g < Ь. Тогда:
I. Если функции f и g удовлетворяют на промежутке [а; Ь)
неравенству f g, то
ь
а) Из сходимости интеграла j g (х) dx следует сходимость
а
ь
интеграла f (х) dx.
а
Ъ
б) Из расходимости интеграла J f (х) dx следует расходи-
а
b
мость интеграла g (х) dx*
а
II. а) Если g > 0 на промежутке [а; Ь) и существует
lim - = k,
где & #= О, то интегралы
ъ ь
^f(x)dx и g (х) dx
а а
сходятся или расходятся одновременно.
б) В частности, если f ~ g при х->6 — 0, то функции f и g
одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемы на про-
межутке [а; Ь).
Пример 9. Исследовать \ cos dx на сходимость.
J V*
А На промежутке (0; 1) справедливо неравенство
п cos2 (1/х) 1
Г
и так как \ сходится (пример 2, а — 1/2), то по признаку
о
сравнения I а) сходится и данный интеграл. А
Sdx
на сходимость.
о
Л Подынтегральная функция /(х)= 1/(1—х3) неограничена
в левой окрестности точки х = 1. Возьмем в качестве функции
8 Л. Д. Кудрявцев и др.
225
сравнения функцию g(x) = 1/(1 —х). Так как
lim -1- ^х\- = lim —^-=lim
:->i-o£(*) x_>i 1-х3 x->i
1
3 *
то из расходимости интеграла
1 1
С dx ____ С di_
J 1 — X J t
о о
(пример 2, а = 1), согласно признаку сравнения II а), следует
расходимость данного интеграла. &
Пример 11. Исследовать
f In (1 4- л/х2} .
} Тх Sin Vx dX
на сходимость.
Л Подынтегральная функция неограничена в правой окрест-
ности точки х — 0. При х-+ +0 имеем
In (1 4- ^х2) 'у/х2 1
Vx sin V* х х ’
1
С d х
и так как интеграл \ -±±_ сходится, то по признаку сравнения
J 7х
II б) сходится и данный интеграл. А
Пример 12. Исследовать у- lnJ- dx, aeR, на сходимость,
о х
А Рассмотрим сначала случай а<1. Положим е = 1 — ос,
тогда 8 > 0. Представим подынтегральную функцию в виде
I In X I _ I In х I хе/2 I In X I .
ха х1-е х1"^2 '
При х->+0 имеем xs/2|lnx|->0, поэтому существует такое Хо,
что для всех хе(0; х0) верно неравенство
Xе-121 In X I < 1.
Следовательно, из равенства (7) получается оценка
*e(O;x0).
Хо
Sd х
сходится, то по признаку сравнения 1 а) схо-
Хо
дится и I I.1.? . Поэтому сходится и данный интеграл, так
_ I
226
как он представим в виде
т. е. в виде суммы двух интегралов, один из которых сходится,
а другой является собственным интегралом. Таким образом, при
а < 1 исходный интеграл сходится.
Пусть теперь 1. В этом случае для всех хе(0; 1/е)
верно неравенство |lnx|> 1 и, следовательно, неравенство
11п х | 1
~ха’~ > ~F’
1
е
Применяя признак сравнения Тб), получаем, что \ Jln х I
J ха
п *
1
расходится, а поэтому расходится и интеграл \ dx.
о х
Итак, исходный интеграл сходится при всех а < 1 и расхо-
дится при всех а 1. А
Исследовать 8 на сходимость интегралы (11.57—11.77): 2
1 1 R7 f 11.58. 0
* j х2 + ^х
1 11 ко ( 11.60. 2 C (x — 2) dx
Д JL 1 к 0 V1 - X10 J x3 — 3x2 + 4 ’ 1
л 11.61. J х2 о х /7 у 11.62. 2л f dx
ил < J sin x
л 11.63. J sin Л 0 v 1 \ dx COS X ) X
л/4
11.64. J д/ -Я/4 * cos cos X — Sin X 1 i ; dx. X + Sin X
О И.65. \—= dx 11.66. I C dx
J Vtg(. V3 — 7x2+ 15x — 9) J In (1 + x) • -1
1 1167 \ dx 11.68. 2 f Vx dx
1 I.OZ. 1 3,. о 'У х^е X ex) j „sin x i ‘ о e 1
8*
227
11.69. Л sh x dx 11.70. 1 dx
0 ex — cos x 0 ^/x 4- arctg x
11.71. 1 in x dx 11.72. л ln* dx
0 x ( \ — хУ 0 V sin x
11.73. л 0^ In sin x Гх dx- 11.74. Л 0 In sin x , —7= dx. x V sin x
11.75. 1 0 Ini 1 — 4 sin2x|dx. 11.76. 1 0 arcsin (x2 4- x3) , x In2 ( i + x) ax'
1
11.77. \
J arccos х
о
Найти все значения параметра а, при которых сходится ин-
теграл (11.78—11.96):
11.78.
11.79.
Л
S1 — COS X
х“
о х
dx.
С бе2*2 + 24 cos х - 13х4 - 30 ,
\--------------—------------------dx'
J sin %
11.80.
11.82.
11.84.
11.85.
11.86.
11.88.
j еа'х (cos х)1/х’ dx.
о
л/2 ____________
С еа cos * — д/1 -р 2 cos х
J VCOS6 X
\ (ах) — In (1 + х2) — 1
J -^8 — х6 — 2
1
f In (е*а + x) — x ,
\ —* i—Vs— -------dx.
J tg x
о
1
C ln“ch(l/x) ,
J lns(l + x)
11.81.
eax — ^/T+l .
—г—-—!—dx.
cn x — COS X
л/2
on C cos2 2x — e~4x" i
11.83. \ ------------------dx.
J xa tg X
11.87.
11.89.
0,5
C In tg x dx
J (4xcosx — л sin x)a
1 __________
C In
J 1 —- cosa X
228
11.90.
11.92.
11.94.
1 + <у
.1 -х)
In (2 -f- x)dx.
sin (arcsin x 4" *3) ~ *
sina x
dx.
2
f arctg (x2 + x2a) dj(
J xln“(l + x)
11.91.
11.93.
11.95.
f (1 — x)^rfx
J arctg*1 (x — x2)
\ d*
J ln|x —a|
11.96.
i
e*!/(x-a)dx.
0
Определить, при каких значениях параметров аир сходятся
интегралы (11.97—11.102):
11.97. 1 п/2 ха(1 ~~ х)₽ dx. 11.98. ( sinax cospxdx. 0 0
11.99. 1 I xaln^-~ dx. 11.100. xa(l — x)^ Inxdx.
11.101. 0 0 0,5 n ( lna^/x)-dx. 11.102. - -ina ₽>0. J tg₽x J (1 + Pcosx)“
4. Критерий Коши. Пусть функция f(x) определена на про-
межутке [а;&), интегрируема в собственном смысле на любом
отрезке [а; £], § < &, и неограничена в левой окрестности точки
х = Ь. Тогда для сходимости интеграла
ъ
f (х) dx
а
необходимо и достаточно, чтобы для любого числа 8 > 0 су-
ществовало такое число т] е [«; Ь)у что при любых щ, ц2 Ь)
Пз
nt
f(x}dx <
е.
Критерий Коши часто используется для доказательства рас-
ходимости интегралов: \f(x)dx расходится, если существует
а
число е > 0, такое, что для любого числа т] е [a; b) существуют
229
числа Tii е[т); Ь) и т)2 Гн; Для которых
Ча
f (х) dx
8.
Пример 13. Доказать расходимость интеграла
1 \ dx
1 — х J 1 — х
о
А Для доказательства применим критерий Коши Возьмем
произвольное число т] [0; 1) и натуральное число п, такое,
чтобы выполнялось неравенство
п > 1/(л(1 — Т])).
Оценим снизу модуль интеграла по отрезку [1 — 1/шг; 1 — 1/2лп],
сделав предварительно замену переменной /=1/(1 — у):
1 - 1/2лп
i - 1/Л/1
2лп 2лп
— t ^p-dt > Л— \ sin2/dz =
J t 2nn J
nn лп
2лп
1 С 1 —- cos 2t , _____ 1 тсп _______ 1
2лп J 2 1 2 4
пп
Из полученной оценки следует, что существует число 8 = 1 /4,
такое, что для любого числа q е [0; 1) существуют числа тц =
= 1 — 1 /лп и ц2 = 1 —- 1 /2лл такие, что
42
8.
Согласно критерию Коши это означает, что данный интеграл
расходится. А
5. Абсолютная и условная сходимость интегралов. Несоб-
ь
ственный интеграл f (х) dx называется абсолютно сходящимся,
а
b
если сходится интеграл | f (х) | dx, и условно сходящимся,
а
Ь Ъ
если интеграл j f (х) dx сходится, а интеграл ^|/(x)|dx рас-
а а
ХОДИТСЯ.
Достаточные признаки сходимости. Пусть функция у —
— [МёМ определена на промежутке [а; Ь) и неограничена
в левой окрестности точки х~Ь. Тогда справедливы следую-
щие достаточные признаки сходимости.
230
b
Признак Дирихле. Интеграл f(x)g(x)dx сходится, если:
а
а) функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную первооб-
разную на [а; &);
б) функция g(x) непрерывно дифференцируема и монотонна
на [я; Ь), причем lim g(x) = 0.
b
Признак Абеля. Интеграл f (х) g (х) dx сходится, если:
а
b
а) функция f(x) непрерывна на [а; Ь) и интеграл f(x) dx
а
сходится;
б) функция g(x) ограничена, непрерывно дифференцируема
и монотонна на [а; Ь).
Пример 14. Исследовать на абсолютную и условную схо-
димость интеграл
1
Л Воспользуемся признаком Дирихле. Положим
Н*) = (i-.x)2 sin (-14т) И g(x)=l-x.
Функция f (х) непрерывна на промежутке [0; 1) и ее первообраз-
ная cos у~-у) ограничена. Функция g(x) непрерывно диф-
ференцируема и монотонна на [0; 1), причем lim g*(x) = 0.
Оба условия признака Дирихле выполнены. Следовательно, ин-
теграл сходится. Абсолютно интеграл не сходится, что следует
из неравенства
1___
1 •— X
sin ------
-r-i— sin2
1_____
i — x
и из расходимости интеграла
I
установленной в примере 13. Следовательно, исходный интеграл
сходится условно. А
231
Исследовать на абсолютную и
тралы (11.103—11.106):
условную сходимость инте-
11.104. ^=cos^J-dx.
J хух ух
11.103. \-----------sinjl/x) dx-------
J X2 + ух2, + X2 cos (1/х)
0,5
11.106. ( -cos"ln - dx.
J X In X
о
Исследовать на абсолютную и
значениях параметра а интегралы
1
11.107. J(1 — x^sin-j^L-dx.
о
1
11 .109. 'jcosf— - 1V|.
J W* J x“
1
J j 111 C cos O/x) dx__.
° x2 (-Г + sin (1/x))
л/4
11.113. tga x • cos ctg x dx.
о
i
C 1
11.115. \ / -sm—dx.
J ex — 1 x
о
i
11.117. \^^dx.
J X2
0
11.119. sin — dx.
J X X
0
11.120. Исследовать на абсолк
при всех значениях параметров а
условную сходимость при всех
(11.107—11.119):
i
11.108. \ sin —dx.
J X2 + 1 X
о
0,5
11.110. (т^— У cos Л
J \ 1 — X ) X2
о
Л/4
11.112. ( sin .
J \ sin х ) sina х
i
11.114. ( sin Iti——-----------.
1 — X (1 — x2)a
1
11.116. xa arctgx cos ~-dx.
о
1
11.118. ( sin dx.
J (V7-X)a
этную и условную сходимость
и р интеграл
1
о
cos (1/х)
х“(1-х2/
dx.
11.121. Доказать, что если функция /(х) монотонна и ограни-
чена на промежутке (0; 1] и существует несобственный интеграл
1
ха/ (х) dx, то lim xu+ lf (х) = 0.
J л->+0
232
11.122. Можно ли сходящийся несобственный интеграл
f (х) dx рассматривать как предел соответствующей интеграль-
а
ной суммы
Е f (Ы (xk+1 — xk), *fe+il?
fe=0
11.123. Пусть функция f(x) монотонна на промежутке (а; 6]1
и не ограничена в правой окрестности точки х = а. Доказать,
ь
что если f (х) dx существует, то
а
п Г
k = \ а
11.124. Доказать, что если функция }(х) непрерывна на не-
котором промежутке [0; е), е > 0, и f(0)=£ 0, то при а < 1 верно
асимптотическое равенство
~ х1 -а, х -> 4- 0.
J ха 1-а
6. Интеграл в смысле главного значения (в смысле Коши).
Пусть функция f(x) интегрируема (в собственном или несоб-
ственном смысле) на промежутках с — е] и [с + е; &), е>0,
и неограничена в окрестности точки се (а; Ь).
Интегралом в смысле главного значения (в смысле Коши}
называется
О_в ь
f(x)dx+ f(x)dx
ь
Этот предел обозначается V. Р. f(x}dx (V. Р. — первые буквы
а
французских слов valeur principal — главное значение).
Таким образом, по определению
Ъ ,С~Ъ Ь
V.P.\f(x)dx — lim ( f(x)dx-f- ( f(x)dx
а е~>+0\а с+в
Если существует несобственный интеграл \ f (х) dx, то су-
а
ществует и интеграл в смысле главного значения и эти инте-
гралы равны Из существования интеграла в смысле главного
значения не следует существование соответствующего несоб-
233
ственного интеграла. Действительно,
1 / ~€ 1 \
V.P. ( ^L+(^L)=iim (in | x ||Z* + Ini x 11’)=0
J x e-»+0\ J x J x J e->+ov e/
1
„ f dx
a \ — не существует.
-i _________
Найти интегралы в смысле главного значения (11.125—
11.131):
ю
11.125. V.P. J
1
ь
11.127. V.P.
а
4
“-128- v.p.Jtkj-
0,5
л
11.129. V. Р. х tgxdx.
о
л/2
11.131. V. Р. 5 ——
J а — sin х
11.126. V.P. ( . %Tg-
J (X — I)3
-1
с <= (а; Ь), пе N.
Л/2
11.130. V.P. -5—
J 3 — 5 s
о
а<= (0; Ь.
11.132. При каких значениях а существует
2
У.рД
J 1 — х
о
11.133. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на от-
резке [а; &] и обращается в нуль только в одной точке х =
= се(а; Ь), производная f'(x) существует в некоторой окрест-
ь
' С d х
ности точки х = с, причем f'(c)=#O, f"(c) существует, то j
ь
С d х
расходится, а V. Р. j -дуу существует.
а
11.134. Доказать, что при х> 1 существует
V Р \
V - r - J In t •
о
§ 12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования
I. Определение интеграла с бесконечными пределами инте-
грирования. Пусть функция fix) определена для всех х^а
и интегрируема в любом отрезке [а; 6]. Если существует
ь
lim ( f (х) dx,
b->4-oo J
а
то этот предел называется несобственным интегралом функции
+ оо
fix) на промежутке [а; 4-°°) и обозначается f (x)dx. В этом
а
(1)
случае говорят также, что несобственный интеграл f(x>dx
а
сходится, а функция fix) интегрируема в несобственном смысле
на промежутке [а;+°°)
В противном случае, т. е.
если предел (1) не суще-
ствует, говорят, что инте-
4-оо
грал f(x)dx расходит-
а
ся, а функция fix) неин-
тегрируема в несобствен-
ном смысле на проме-
жутке [а; 4-оо).
Для непрерывной неотрицательной
•е [а; 4-°°)» сходящийся несобственный
функции y = f[x), ХЕЕ
4-00
интеграл fix)dx ра-
а
вен площади неограниченной криволинейной трапеции Ф
(рис. 38): Ф = {(%; у): а<х< 4-°°» 0 < у < fix)}.
Аналогично определяется несобственный интеграл функции
/(х), хе(—оо; 6], с нижним бесконечным пределом интегриро-
вания:
ь ь
\ f(x)dx = lim if(x)dx.
J -oo J
-oo a
Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним
пределом интегрирования функции fix), xgR, определяется
следующим образом:
4-оо с 4-оо
f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx,
- оо — оэ а
гд& с — некоторое число.
235
Если для функции f(x), x^Ja; +©о), при некотором с>а
существуют интегралы
с
f(х) dx
а
4-со
и j f(x)dx,
С
то
4-оо с -|-оо
f (х- dx= f(x)dx+ f(x)dx.
а а с
Если хотя бы один из интегралов в правой части этого ра-
4* оо
венства не существует, то f х dx является расходящимся
а
Пример 1. Вычислить интегралы или установить их рас-
ходимость:
-коо
2) \ cos 2х dx.
о
dx
х2 + 4х + 9 '
4-оо а
2) \ cos 2% dх = lim \ cos 2x dx= lim
J c~>4-oo j a->4-oo
и, так как предел не существует, интеграл расходится.
4-оо 0 4-00
С dx ________________ С dx_______________. С dx __
J х2 + 4х + 9 J х2 + 4х + 9 ‘ J х2 + 4х + 9
— Оо —оо О
dx
х ' + 4х + 9
lim
Ь -> 4-оо
dx
х2 + 4х + 9
/1 . х + 2 |0\ , .. /1 t х + 2 ь
— lim (—=• arctg—I 4- lim (——гarctg--
а~> — оо \VS VS \aJ b -> 4- °° V V5 V5 |0<
1 । 2 1 1 • . о, -j- 2 । 1 1 г > b -f- 2
= —= arctg —----------7^ lim arctg*- 4---------7=- Hm arctg—7=--------
V5 V5 Vs a->-oo‘ b Vs V5 *-> + oo V5
4-00
C dx __________ и-')
\ , ae R, на
J xa
сходи мость.
Пример 2. Исследовать
236
Д Пусть а =# 1, тогда
dx
ха
V — «-т I
Пт £---------
->ч-оо 1 — а
а
.. я1“а-1
lim -----------
->-f-oo 1 — G
-а
lim а1 а— 1
1 —• а
1
а — 1
Пусть а = 1,
тогда
при а>1,
при <г < 1.
dx
X
lim
а
С dx_
J х
lim lnx|“= lim lnn= + °o.
Следовательно, \
J ха
сходится при
а > 1 и расходится при
А Представим интеграл
интегралов:
Sdx
о х
Первый интеграл сходится
второй только
интеграл при
Вычислить
(12.1 — 12.14):
12.1.
12.3.
12.5.
Sdx
х
в
о
ае R, на сходимость.
виде суммы двух несобственных
X
при
только
(пример 2).
а < 1 (§ 11, пример 2)',
Следовательно, данный
при а > 1
каждом значении а является расходящимся. А
интегралы или установить их расходимость
-Ьоо
С dx
J х2
2
4-00
sin3xAv.
о
о
С dx
J х + 1
12.2.
dx
х2 + 4 ’
4-оо
12.4. e~3xdx.
i
о
12.6. j
— оо
4-00
12 7 ( + 5____dx
1^,/в J х2 + Зх - 10 aXt
3
12.8.
dx
2х2 — 5х + 7 ’
237
12.9.
12.11.
12.13.
12.10.
12.12.
12.14.
dx
V In2 X
ln + x) dx.
X
2. Основные формулы для несобственных интегралов.
1. Линейность интеграла. Если несобственные интегралы
4-00 4-00
f (х) dx, g (х) dx
а а
сходятся, то для любых чисел а и 0 сходится интеграл
4-оо
(а/ (%) 4- 0g (х)) dx,
а
причем
4-оо 4-°° 4-00
(а/ (х) 4- 0g (х)) dx — а f (х) dx 4- 0 g (х) dx. (2)
а а а
2. Формула Ньютона — Лейбница, Если функция f(x), хе
е[а; непрерывна и Е(х), х е [а; +<»), — какая-либо ее
первообразная, то
4-00
J f(x)dx = F(x)|+“ = /4+оо)—Р(а), (3)
а
где
f’(-|-oo)= lim F (х).
х->4-оо
3. Формула замены переменной. Пусть f(x), х^[а; +оо),—
непрерывная, <р(/), / е [а; р),— непрерывно дифференцируемая
функции, причем
п = <р(а)^(р(/) < lim ф(/) = 4-оо,
тогда
4-оо 0
f(x}dx= j f (y'fpq {t.dt, (4)
а а
Формула (4) справедлива в случае сходимости по крайней
мере одного из двух входящих в нее интегралов. В случае рас-
ходимости одного из интегралов расходится и другой.
236
4. Формула интегрирования по частям. Если и(х), хе
е[а; Ч-оо), и v(x), хе [а; +00),— непрерывно дифференци-
руемые функции и lim (uv) существует, то
х-»4-оо
4-00 4-00
и dv = uv |+°° — v du, (5)
а а
где
uv|+°°= lim (uv) — u(a)v'a).
x->-f-oo
Формула (5) справедлива в случае сходимости по крайней
мере одного из двух входящих в нее интегралов. В случае рас-
ходимости одного из интегралов расходится и другой.
5 Интегрирование неравенств. Если функции f(x), хе
е[а; +°о), и g(x), хе [а; +оо), удовлетворяют неравенству
f(x)^g(x), то для интегралов
4-00 4-00
f(x)dx, g(x)dx,
а а
при условии их сходимости, верно неравенство
4-оо 4-00
f (х) dx g (х) dx,
а а
4-оо
Г / 1 2 \
Пример 4. Вычислить интеграл \ I Т + 7 - т л2’ ) dx.
v \ X 1 \Х 1 f /
2
А Для функций
первообразными являются, соответственно, функции
fu) = 4lnTT'f и Gu) = -TTT-
По формуле Ньютона — Лейбница получаем
4- ОО
С dx _ 1 |+°°_ 1
J (х-ь I)2 ~ х+ 1 I, ~~ 3 •
2
Следовательно, в силу линейности, данный интеграл равен
4-Л1пЗ. а
О Z
-{-оо
— г n {xdx
Пример 5. Вычислить интеграл j -р fjr *
239
А Воспользуемся формулой замены переменной в несобствен-
ном интеграле.
Положим х — '\'t , тогда
л dt
ах =—7=-,
2 V*
новые пределы интегрирования а — 2, 0 = +°о, и, следова-
тельно,
4-00 4-00
[xdx 1 f dt _ 1 1 |+°°_ 1
J (х2 + I)3 “ 2 J (t + I)3 4 ’ (t + I)2 I — 36 • А
VT 2 2
4-оо
С d х
П р и м ер 6. Вычислить интеграл \ --------j====.
। х Vx -j- х 4* 1
Д Применим формулу замены переменной. Положим х—1/t,
тогда
, dt
ах =-----тг,
новые пределы интегрирования а= 1, 0 = 0. В этом случае не-
собственный интеграл с помощью замены переменной преобра-
зуется в собственный интеграл, который легко вычисляется:
4-00 и 1
С ______dx_________ С dt__________ С_______dt________
) + “ j VP+r+i - j + l ~
= In + у + V*2 + ^ + 1 ) |o — In (y + л/з) — In у “
=ln(1+4r)' ‘
Пример 7. Вычислить площадь S криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции
z/= 1/д/1 +е*
и положительными лучами осей координат.
Д Искомая площадь выражается через несобственный инте-
грал следующим образом:
4-оо 4"00
Для вычисления интеграла положим 1 + ех = /2, t > 0, тогда
, It dt dx 2 dt
/2 - 1 д/1 4- е* /2 — 1
и, кроме того, когда х е [0, то t [ а/2» + оо). Поэтому
2 dt
t2-\
Пример 8.
In ——-Г°° = 1п =21n(l +V2). А
t + 1 Ivr V2 - 1
4-оо
S arctg x i
—— “X.
i
А Применим формулу интегрирования по частям для не-
собственного интеграла. Положим
. dx
и — arctg xs dv=~-^,
тогда
Пример 9. Доказать неравенства:
0<ry^-«4-3dx< 1 _
J х5 + х2 + 1 10 \2
Л При хе[2; 4~о©) справедливы неравенства
поэтому
4-00 4-00
О < ( f 7/2rf
J * + X2 + 1 J
2 2
Ho
+<»
f „-7/2— _ 2 r-5,'2l+”—2 g-5/2— 1
J x ax~ 5 х >2 — 5 2 10 V2
Вычислить интегралы (12.15—12.42):
12.15.
4-00
Sdx
t (1 + X) 4x *
12.16.
f x4 dx
J (Л5 +1)4 •
241
12.17.
12.19.
12.21.
12.23.
12.25.
12.27.
12.29.
12.31.
12.33.
12.35.
12.37.
12.39.
12.41.
-2 f dx J X X2 — 1 - co 12.18. 4-oo G sh x , -г-- - dx. sh 2x
f ' dx 12.20. x dx
J ex + '\jex ) 2^ xs —- 1
j x« + l 12.22. dx
0 (x2 4- 9) Vx’ 4- 9 ’
dx. 0 12.24. xearctg x 7= ax.
1 4-oo (l + x2)Vl + x2
C dx 12.26. dx
J X Vx2 + x — 1 0 (^/x2 + 1 + x)2
C dx 12.28. x2 + 12 , i dx
J (4x2 + 1) Vx2 + 1 (X2 + I)2
Roo 4-oo
e~ax sin bx dx, 12.30. e~ax cos bx dx, a > 0.
(J 0
г > 0. 1-00 4-00
e~ax sin2 bxdx, 12.32. xne~xdx, neN.
0 0
i > 0.
f dx 12.34. dx
} (X2 + X + I)3 • (ax2 + Zbx + c)n ’
•oo — oo
ci > 0, ac — b2 > 0, /igN.
oo ~ dx 12.36. 4-oo dx
J_ (x — 1) Vx2 — 2 1 (2x ~ 1) Vx2 — 1
/Т
1-00 f dx 12.38. ar^.(| -.21 dx_
J (4x2 — 1)V*2-1 0 V(x- ir
f- oo 4- oo
C In X 1 \ v—idx. J 1 + x2 12.40. X In X , (1 + x2)2 ax‘
0 0
+-OO f 2 — x' i \ _-dx. f ? V ? - 1 12.42. 4-00 dx
0 (x«+l)(x2+l)’
asR.
242
Вычислить площади криволинейных трапеций, образованных
графиками функций (12.43—12.49):
12.43. у = xe~x2f2, хе[0; + оо).
12.44. у=^х/(х + I)2, х&[1; + оо).
12.45. y = e~xthx, хе[0; + оо).
12.46. у~хАе~х, хе[0; + оо).
12.47.1)// = ^^-, хе[0;+оо).
га/2
2) t/ = -a+2V'7- а>— 2> хе=(0;+оо).
X i 1
12.48. у= г * + -,2 , хе[—1; + оо).
(хг + 4х + 5)
12.49. у = |sinx|e~x, х^ [0; 4-оо).
12.50. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полу-
ченной при вращении кривой у=\/(1+х2) вокруг ее асимп-
тоты.
12.51. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полу-
ченной при вращении кривой y = f(x) вокруг оси абсцисс:
1) //= е“х sin лх, х^О. 2) у = е~х sin х, xl>0.
12.52. Найти площадь поверхности, полученной при враще-
нии кривой у == е~х, х 0, вокруг ее асимптоты.
12.53. Найти площадь поверхности (псевдосферы), получен-
ной при вращении кривой (трактрисы)
( х = cos t + In tg (//2),
t y = sin t
вокруг оси абсцисс.
Доказать неравенства (12.54—12.63):
4-00
12.М. 0< $ <0,1. 12.55.
10
Ц-оо
12.56. 0,25 < -n-jjj- dx < 0,35.
J X1 -f- 1
1
1957 JL < \ *30 * dx < — I —
iZ.O/. 29 J X6O + 1 x 29 59 *
1
4-00
C X2O + 1 , 20 . P nc
12.58. 0< 1 ~ тег <
J x‘° + 1 19
+00
Seos 4x л л
+ 4 aX ‘
0
243
4-оо
12-59-0< S тттет<0-01-
0
4-co
12.60. 0< ( e~x dx<4r-
J 4e4
2
12.61.
12.62.
4-00
0 < e~x* dx <
io
4-00
e~x* cos x4 dx
2
I
5-2102 *
< 0,521.
12.63.
4-00 3
0< e~x'dx — j e~x‘dx < <1,5”.
0 0
3. Признаки сходимости и расходимости интегралов для не-
отрицательных функций (признаки сравнения). Пусть функции
f и g неотрицательны и интегрируемы на любом отрезке [а; 6],
b < —J—оо. Тогда:
I. Если f и g удовлетворяют на промежутке [а; + оо) нера-
венству f g, то
4-оо
а) Из сходимости интеграла j g(x)dx следует сходимость
а
4-00
интеграла f (х) dx.
а
4-00
б) Из расходимости интеграла f (х) dx следует расходи-
fl;
4-00
мость интеграла j g(x)dx.
а
II. а) Если g > 0 на промежутке [а; + °°) и существует
где k Ф 0, то интегралы
4-оо
и g (х) dx
а
сходятся или расходятся одновременно.
б) В частности, если f ~ g при х->-|-оо, то f и g одновре-
менно либо интегрируемы, либо неинтегрируемы на промежутке
[а; 4-ос)л
244
Пример 10. Исследовать I dx на сходимость
J л! х4 4- 1
А На промежутке [1; +<х>) справедливо неравенство
q sin23x 1
' ' + 1 -vG7 ’
Ч-оо
С dx
и так как \ -хг=г сходится (пример 2, а = 4/3), то по при-
J Vx"
знаку сравнения I а) сходится и данный интеграл. А
-]-ОО
С dx
Пример И. Исследовать \ на сходимость.
J д/4х + 1п х
д Пусть f (х) = 1/д/4к + In х> за функцию сравнения возь-
мем g(x) = X/'yJx. Так как
lim -Ц~ = lim .^=г = lim ---------------- ,L_.. ... J_t
х->4-оо S (Л) "V4х In X х->4-°о /1/4 | I** Х
4- оо
то из расходимости \ (пример 2, а =1/2) по признаку
1 У X
сравнения II а) следует расходимость данного интеграла. А
4-00
Пример 12. Исследовать \ —- на сходимость.
1 J X sin X
1
4-оо
д Так как х/(%3 + sin х) ~ 1/х2 при х->+°° и схо«
1
дится (пример 2, а = 2), то, согласно признаку сравнения II б)г
сходится и данный интеграл. А
4-00
Пример 13. Исследовать , а, [3 <= R, на сходи-
2
мость.
Л\ Рассмотрим сначала случай а > 1, Положим е=а—1^
тогда е > 0. Представим подынтегральную функцию следующим
образом:
1______ 1 1 ____________________1
ха1п^х х1+е1п^х хе/21п^ X х1 + е/2
Так как для каждого £ при х->+оо
хе/2 1пР х ’
24 5
то существует такое х0 2, что для всех х > хо справедливо
неравенство
___!__< 1
xe/Wx
Следовательно, для всех х > х0 из равенства (6) следует нера-
венство
1 1
ха1п,3х х14-8/2
4-оо
Sd х
- сходится, то по признаку I а) сходится и
Хо
4- ОО
С dx
J ~?Рх - Поэтому сходится и данный интеграл, так как он
Хо
представим в виде
4-оо х0 4-°°
f dx _____ С dx . С dx
J xa ln^ x J xa lnp x J xa lnp x
2 2 x0
т. e. в виде суммы двух интегралов, один из которых является
собственным интегралом, а другой сходящимся. Итак, при a > 1
и любом р интеграл сходится.
Пусть теперь а=1. Сделаем замену переменной, положив
1пх = /. Тогда получим
4-оо 4-оо
С dx ____________ С dt_
J X 1п^ X J
2 In 2
Из этого равенства видно, что данный интеграл при a — 1 схо-
дится, если р > 1, и расходится, если р 1.
Рассмотрим, наконец, случай a < 1. Положим е = 1—а,
тогда 8 > 0. Представим подынтегральную функцию в виде
1 1 хе/2 1
___-___=_____'___— __________L_
ха 1п^ х х1-е1п^х h? х х1~е/2
Так как для каждого р при х-^+°°
Xе'2
---х--->4-00,
1п^ X
то существует такое х0 2, что для всех х > х0 справедливо
неравенство
и, следовательно, для всех х > х0 из равенства (7) следует не-
равенство
xa ln,e х > xl e/2
246
+co
V d x
Поскольку \ t^72 расходится, то по признаку 16) расходится
x0
4-oc
C dx у
и \ “T—a—• Из расходимости последнего интеграла следует
J х lnp x
Хе
расходимость исходного интеграла. Поэтому при а < 1 и лю-
бом р интеграл расходится.
Итак, интеграл сходится, если а> 1, р— произвольно и если
а = 1, Р>1; при всех остальных значениях аир интеграл
расходится. А
Исследовать на сходимость интегралы (12.64—12.81):
4-00 4-00
12.64. 0 *8 + 7. dx. 12.65. x dx
х5 — х2 + 2 J -^x6 + 2
4-00 4 OO
12.66. 0 х dx 12.67. Vx-7t1 dx. 1 + 2 л/х 4- x'1
+xJ 0
4-оо 4-oo
12.68. j sin2 x i dx, x 12.69. sin2 x j —n— dx. xz
0 0
4-00 4-oo
12.70. J 0 sin2 3% , 3/dx. -^x4 + 2 12.71. I 1 + arcsin (1/x) . ,— CLX< 1 + хд/X
+©о 12.72. J 2 (cos у — 1) dx. 12.73. 400 In x dx
1 x 'у/x2 — I
4-оо 4-00
12.74. jj 0 dx. (x — cos (л/х))2 12.75. 0 dx. x + 'x/x
4-00 12.76. J — 3/2 x -f- 3 i Л dx. — x2 л/2х 4- 3 12.77. 4-00 ( I IX,
5 kxshx x)ax-
4-оо
12.78. v e-^dx.
0
4-со
12.79. J , ( . X3 \3 x-2 (arctg 1 + xJ dx.
+оо 12.80. \ ‘ 0 -4=- arctg—-—dx. y/х 2 + x 12.81. 4-00 x dx
0 1 + x2 sin2 x
247
Найти все значения параметра а, при которых сходятся ин-
теграл ы (12.82— 12.97):
12.82.
(12.82—12.97):
о
\ e*xdx.
12.83,
Sdx
xa In x
e
12.84.
In x dx
12.85
Sdx
х lna х
е
12.86.
е{,х-\
a
а =И= 0.
12.87.
eax dx
J (x-l)alnx
12.88.
e x — In x i
7m^dx-
12.89
12.90.
xa-101 arctga
о
4—dx.
12.91
x4a/3 arctg
о
-dx.
12.92.
lna ch x *
—-------T-—dx.
12.93
x2
з
J x
и
j xa“x dx.
0
12.94.
—a
0
12.95.
12.96.
\ —
J 1 + xa sin2 X
12.97. \ У-* *? dx.
J U + a)2
о
Найти все неотрицательные значения параметра а, при ко-
торых сходятся интегралы (12.98—12.101):
+ «> _________ 4- оо
12.98. J V! +.x3+.< -..L flfx. 12.99. J arctg
V " J * *1 Л Л
О и
248
,12.100. \
о
In (1 + X + %") ([X_
In (xn
dx.
12.101. \
о
Определить при каких значениях параметров аир сходятся
интегралы
(12.102—12.112):
12.102.
f 1па х dx
J •
е
12.103.
1па х dx
arctg^ (1/х)
12.104.
dx
xa ln^ X
12.105.
С ха dx
) 7+т’
0.
12.106.
dx
12.107.
I x—1 Ia|x+1 l^x.
12.108.
С ____________eax dx_________
0 (^X + 1 — 1)₽ sine —
12.109.
SarctgG х dx
v (х2 + 2) (е* - 1)₽ ‘
12.110.
С _______1па (е* — х^ dx
о (х 4- arcsin —
12.111.
In (х2+ 1) —2 1пх
(^х +1 — l)tt arctg^ x
12.112.
dx
1 4- xu I sin x p
о
о
о
2
4. Критерий Коши. Интеграл f(x)dx сходится тогда и
а
только тогда, когда для любого е > 0 существует число b =
= а такое, что при любых b^> b и 62 > Ь выполняется
неравенство
Ь<2
E.
bi
249
Критерий Коши часто используется для доказательства рас-
-|-оо
Г
ходимости интегралов: f(x}dx расходится, если существует
а
число е > 0 такое, что для любого b а существуют числа
6i > b и &2 > Ь такие, что
Ьг
Ь,
f(x)dx
Пример 14. Доказать расходимость интеграла
sin2 х
dx
при а 1.
Л Пусть 6^(1; +°о); выберем натуральное число п так,
чтобы выполнялось неравенство пп > b и положим bi = пп и
62 = 2ля. Тогда
bi
С sin2 х
J
Ь,
2пП
X = С
J х
пп
2пп
—J— \ sin2xdx
2лп J
пп
2пп
С sin2 х <
5 \ --------dx
J X
пп
2пп
1 С 1 — cos 2х - _________ 1
2тсп } 2 Х 2пп
пп
ПП ___ 1
~ ~~~4 ’
Итак, существует число е= 1/4, такое, что для любого b > 1
существуют числа Ь\ = пп > Ь и 62 = 2лп > 6, для которых
ь.
sin2 х j
——dx
X
Следовательно, при а 1 данный интеграл расходится. А
5. Абсолютная и условная сходимость интегралов. Интеграл
4-00
f (x) dx
а
называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
4-оо 4-00
\f(x)\dxt и условно сходящимся, если интеграл f(x)dx
а а
4-оо
сходится, а интеграл \f(x)\dx расходится. Абсолютно сходя-
а
щийся интеграл сходится.
4-00
Пример 15. Доказать, что j dx сходится условно.
1
250
Д Для доказательства сходимости интеграла воспользуемся
формулой интегрирования по частям. Положим и = 1/х и dt ==
. * dx
= sinxdx, тогда аи = —и v — —cosх, и, следовательно,
COS X ,
dx
4-оо 4-оо 4-оо
f sin х j cos х |’г°о f cos х , <
\ ------ax =----------— i dx = cos 1 —
J X X |1 J x
1 1 1
Исследование данного интеграла на сходимость свелось к иссле-
4-00
дованию Ср~ dx. Последний интеграл сходится абсолютно,
что следует по признаку сравнения из неравенства
и, значит, является сходящимся интегралом. Итак, исходный
4-00
интеграл сходится. Покажем теперь, что расхо-
1
дится. Действительно, из очевидного неравенства
I sin л | sin2 х
X X
4-00
С sin2 х
следует (см. п. 3), что если \ —-—dx расходится, то расхо-
1
4-оо 4-оо
дится и .l.sfo-*-L dx. Но расходимость х dx доказана в
1 1
примере 14 (а = 1). Таким образом, данный интеграл сходится,
но не абсолютно. Условная сходимость доказана.
6. Достаточные признаки сходимости интегралов. Признак,
Дирихле. Интеграл
4-00
f(x)g(x)dx
а
сходится, если:
а) функция /(х) непрерывна и имеет ограниченную первооб-
разную на [а; Ч-°°);
б) функция g(x) непрерывно дифференцируема и монотонна
на [я; -J-оо), причем
lim g.x) = O.
+©О
251
Признак Абеля. Интеграл
4-оо
J f(x)g(x'dx
а
сходится, если выполнены следующие условия:
4-оо
а) функция f(x) непрерывна на \а\ 4~оо) и ffx)dx схо-
i а
дится;
б) функция g(x) ограничена, непрерывно дифференцируема
и монотонна на [бг; +°о).
4-00
Пример 16. Исследовать dx на абсолютную и
1 х
условную сходимость при всех значениях параметра а.
А 1) Пусть а > 1, тогда справедливо неравенство
I sin х
Г
из которого следует абсолютная сходимость исследуемого ин-
теграла.
2) Пусть 0 < а 1. Воспользуемся признаком Дирихле, по-
ложив /(x) = sinx и g(x)— 1/ха. Условие а) признака Дирихле
выполнено, так как sinx — непрерывная функция и ее первооб-
разная (—cosx), очевидно, ограничена. Условие б) также вы-
полняется, так как
g'(x)=-~r<o,
поэтому g(x) убывает и
lim g(x) — lim -Г- —о.
х 4-оо х-> 4- 00 X
Следовательно, интеграл сходится.
Абсолютно интеграл не сходится, что вытекает из неравен-
ства
Isin х | sin2 х
ха
4-оо
С sin2 х < о .
и из расходимости \ —— dx, установленной в примере 14
1 х '
3) Пусть а 0. Докажем с помощью критерия Кощй,- что
в этом случае интеграл расходится. Для любого числа' b > 1
выберем натуральное число п так, чтобы выполнялось неравен-
ство 2зш > Ь, и положим
Ь\ = 2т + л/6 и Ь2 = 2т + 5л/6.
2*2
Тогда
С sin х j
\--dx
b, x
2лп+5л/6
C sin x
J xa
2лл+л/ь
2лл+5л/6
2ЛП4-Л/Ь
5л/6
sin xdx-у dx =
Л/С
ft
3 •
Следовательно, существует число 8=л/3, такое, что для любого
числа b > 1 существуют числа Ь\ = 2пп + л/6 > b и Ь? =
= 2пп + 5л/6 >* Ь, для которых
sin х
dx
Поэтому при а 0 интеграл расходится.
Итак, данный интеграл при а > 1 сходится абсолютно, при
О < а 1 сходится условно, при а 0 расходится. А
Пример 17. Доказать, что при а > 0 интеграл
4-00
Ssin х . ,
—— arctg х dx
i х
сходится.
А Воспользуемся признаком Абеля. Положим f (х) = (sin х)/ха
и g(x) = arctgх. Условие а) признака Абеля выполнено, так как
(sinx)/xa— непрерывная функция на [1; +оо) и при а > О,
+ оо
С sin х , Х7
как показано в предыдущем примере, \ —— dx сходится. Уело-
1 х
вие б) также выполнено, так как g'(x)= 1/(1 + х2) > 0 (поэто-
му g (%) монотонна) и |g(x) | = |arctg%| < л/2. А
7. Метод выделения главной части. Этот метод основан на
следующем утверждении: если подынтегральная функция f(x)
представима в виде f(x) = g(x) + R(x), где R(x)— функция
абсолютно интегрируемая, то функции f(x) и g(x) одновременно
либо абсолютно интегрируемы, либо условно интегрируемы, либо
неинтегрируемы.
Обычно представление функции f(x) в указанном виде
удается получить, выделяя ее главную часть при х->+°°-
4-00
Пример 18. Исследовать интеграл sindx на аб-
солютную и условную сходимость.
А Подынтегральная функция представима в виде
sin = + R (х)>
\ух ) ух
причем при х > 1 справедливо неравенство | R (х) | <Л/(3! х V*)-
4-оо
Следовательно, j R(x)dx сходится абсолютно. В примере 16
1
253
(a = 1/2) была установлена условная сходимость интеграла
4-00
S dx. Поэтому и данный интеграл сходится условно. А
У X
1
Пример 19. Исследовать интеграл
4-00
С sin х dx
J 'yjx — sin x
на абсолютную и условную сходимость.
Л Представим подынтегральную функцию в виде
sin х
х — sin х
sin х 1
д/х j sin х
л/ х
V X к V X )
sinx + ^irrx +R(X).
У X X
Так как | R(x) 1/(х д/х )> то R(x)—абсолютно интегрируе-
мая функция. Характер сходимости данного интеграла опреде-
ляется характером сходимости интеграла
4-оо
S/ sin х . sin2 х \ ,
( —Ч-------------I dx.
1 к ух х J
Последний интеграл, очевидно, расходится, так как (sin х)/д/х—
интегрируемая функция (пример 16, а= 1/2), a (sin2x)/x— не-
интегрируемая (пример 14, а=1). Итак, данный интеграл рас-
ходится. А
Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегра-
лы (12.113—12.128):
4-00 4-oo
ю iiq С х cos 7х dx 12.ПЗ. j х2 + 2х + 2- 12.П4. ( J x2 — 4x + 5
0 — oo
4-00 4-00
12.115. sinx2dx. 12.116. xcosx4dx.
0 0
4-со 4-00
12.117. sin3 (х2 + 2х) dx. 12.118. ^^-dx. о
4-оо 4-00
12.119. ( signsin lnx dx. m юл C • ( sin x \ dx 12.120. \ sin I—=-l—=r.
J X 1 / \ Vx / Vx
4-oo 4-00
12.121. x2 sin (**+*! ) dx. 12.122. (I — e(sm X^x)^xdx.
0 i
254
4-00
12.123. (1 — e<s,n^u«4-i))x2rfXe 0 + оо
12.124. (1 — ex-2/3sinx)dx. 1 4-00
12.125. С , COS X J J arctg dx- 4-00
12.126. 2 + °° 4~оо
12.127. f £cos x s‘n sin x dx, 12.128. £^ln*sin sin*rfx. J X J X 0 n
Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех
значениях параметра а следующие интегралы (12.129—12.148): 4°° 4-oo
12.129. 12.130. j " ' dx. 1 2 4-oo 4.00
12.131. r . 12.132. [ dx. J X + In X J (In (x + 1) — In x)a 4 OO
12.133. V sin x . \ -- dx, J / I 1 \a 2 VrctgT “ arctg^2'>) + oo
12.134. j (x arctg x — In (1 4x))asinxdx. 2 4-0° 4°°
12.135. C cos x dx f cos(l +2x) , J <27-12-,3e- J Too 400
12.137. -- +J sinx3dx. 12.138. dx. J x“ J 4inx 4°° 400
12.139. t 12.140. t J (3x — arctg- x)a J xa 4°° 400
12.141. [ sin(x41)^. 12.142. sin xdx. J \ xj xa J Xa
255
4-00 4-00
12.143. \ xa sin — cos х dx. 12.144. xa sin sinxrfx.
J X 1 и
4-00 4-oo
12.145. C sin sin (1/x) J xa 12.146. \ xatgsin— dx. J X
0 0
4-od 4-00
12.147. f a-Jcos_x|rfx J Л + X 12.148. ( x ~ [x] ~ a dx. J
л
Исследовать на абсолютную и условную сходимость инте-
гралы (12.149—12.150):
12.149. ( — ^4-dx,
J 1 + ?
-}-оо
12.150. xasmx$dx.
о
0.
Доказать равенства (12.151—12.154), предполагая, что инте-
гралы в левой части равенств сходятся:
4-00 4-00
12.151. f (ах4- у) dx — f (д/*2 + 4а0 ) dx,
о о
а > 0, 0 > 0.
4-оо 4*°°
12.152. ( f(x2)dx = a f (а2^2 — 2а0 4--|г)
о о
а > О, ₽>0.
4-оо 4-°°
12.153. Г(£ + т)пг^ = 1п<Л + «>0.
J \ (X Л/ Л- J \ Л/Л
о О
4-оо
12.154. ( fp + 4')—</х = 0, а #= 0.
о v х 7 х
12.155. Доказать равенство
4-00
£ е-ах^/хпе-Х) dx = —ы '--^гг,- а > 0, ftsN.
J dxn V (а+1)+1
12.156. Доказать рекуррентную формулу
I — / п -> 1
Jn— ft2-pa2 /»-2>
256
для интеграла
+ <*>
ln— J sinnxdx, а > 0.
и
12.157. Доказать формулу Фрулланил
+оо
J Д?*) - L dx д {f (0) _ f оо)) |П £
о
где а > 0, р > О, f(x), л'е[0, +°°), — непрерывная функция,
такая, что f(+°°/= lim f(x) существует.
Х-> + оо
Вычислить интегралы (12.158—12.161):
4-оо
С Р~«х_ -рх
12.158. --------------dx, а > 0, р > 0.
о
4-оо
12.159. J arctg рх а>0<^> 0.
О
4-оо
12.160. In—+Ре~* 4*-, а > О, 0 > 0.
J а-}-ре-2л х *
4-со
12.161. ( (-------------
J \ех — е х 2 7 х2
12.162. Доказать формулу Фрулланил
4-оо
С / (ax)-f(Px) dx==^0)|n А,
J х ' v ' а
о
где а > 0, р > 0, f(x), х^[0, 4-оо),— непрерывная функция
4-00
С f (х)
такая, что \ dx существует при л»юбом а > 0.
а
Вычислить интегралы (12.163—12.166):
4-00
18. \ a*-s№rfXi J х 0 4-00 f cos ах — cos рх J х ! 0 , а > 0, 0 > G . а > 0, 0 > 0.
9 л. Д. Кудрявцев и др.
257
4-оо
12.165. 5 P sin ах —a sin gx а > 0, р > 0.
J X2
о
4-оо
12.166. -k~c°sttx cospxtZx, а > 0, 0 > 0, а =4= р.
О
£ fw.
12.167. Доказать, что если монотонная функция f(x), xge
<= [0; 4-оо), интегрируема на [0; +оо), то
4-00
f(x)dx= lim h
Л->+0
4-00
12.168. Пусть f(x)dx сходится. Следует ли из этого, что
1
f(x)-+O при %->+оо?
12.169. Пусть /(х), /е[0; + °°),— дифференцируемая функ-
4-00
ция и ]/'(х) | < 2. Доказать, что если f(x)dx сходится, то
о
lim f (х) = 0.
х -> 4- оо
12.170. Доказать, что если функция f(x), х е [1; 4-оо), мо-
4-00
нотонна и \ xaf(x)dx сходится, то lim xa+If(x) = O.
J х -> 4- оо
12.171. Пусть f(x), хе[0; +°°), — непрерывная неотрица-
4-оо
тельная функция и пусть f(x)dx сходится. Следует ли от-
о
сюда, что lim f(x) = O?
%-> 4- оо
12.172. Привести пример непрерывной положительной функ-
4-00
ции f(x), xg[0; +°о), для которой f(x)dx сходится и
о
lim /(х)=И=О.
X ->+ оо
12.173. Привести пример непрерывной и неограниченной на
любом промежутке [а; +°о), а > 0, функции f(x), для которой
4-00
f(x)dx сходится.
oJ
12.174. Привести пример непрерывной неотрицательной и не-
ограниченной на любом промежутке [а; +°°), а > 0, функции
4-00
f(x), для которой f(x)dx сходится.
о
258
4-00
12.175. Следует ли из 'сходимости интеграла f(x}dx и из
ограниченности функции ф(х), х е [а; +оо), сходимость инте-
4-00
грала f (х) ф (х) dx?
а
4-00
12.176. Сходится ли интеграл \ Д1п х dx_ ? .Можно ли ис-
J ух — sin х
следовать этот интеграл с помощью признака Дирихле, поло-
жив f (х) — sin х и g (х) = 1/( V х — sin х) ?
12.177. Пусть f(x), х^[а; + оо),— непрерывная, a g’(x),
хе [а; +°°), — непрерывно дифференцируемая функция. Пусть
4-оо
F(x), хе [а; +°°), — первообразная для f(x) и \g' (x)\dx
а
сходится. Доказать, что для сходимости интеграла
4-00
j f(x)g(x)dx
а
необходимо и достаточно существование lim F(x)g(x).
X -> 4- ОО
12.178. Пусть f(x), хе [а; +оо), — непрерывная периодиче-
ская с периодом Т функция, a g(x), хе [а; +©о), — непрерывно
дифференцируемая монотонная функция и lim g(x) = O. До-
х -> 4-00
а+Т 4-оо
казать, что если f (х) dx = 0, то интеграл f(x)g(x)dx схо-
а а
дится.
12.179. Пусть f(x), хе[1; +оо), — непрерывная периодиче-
ская с периодом Т функция. При каких значениях а сходится
интеграл
4-00
j (f(x2) + a)dx?
1
4-оо
12.180. Пусть интеграл f(x)dx сходится и равен /. До-
— оо
казать, что
4-00
$ f^-^)dx = J.
— оо
12.181. Доказать, что при а > 1 верно неравенство
4-00
. У*—==- < 2 arctg—~.
J + 2х2 +
259
12.182. Пусть f(x), х е [0; +<*>), — непрерывная положитель-
4-00
ная функция и интеграл \ сходится. Доказать, что
о
а
lim \ f(x)dx — 4- оо.
а-> + оо а J
Доказать, что при х->--|-оо верны асимптотические равен-
ства (12.183—12.191):
12.183
С JL
J te*
к
хе
12.184. J cos/‘2d/~
12.185.
dt
ОО
1Z. 1 ОО. \ —-----а--------------—; о— . о
J tа ln^ t (а—1)ха 11пр к
к
-f-оо
С /а /7/ га“1
12.187. «.
12.188. f ^-dl= — ^Д + о(—
J V/ Vx \ х ух )
4-оо
12.189. sin/2rf/ = -^^+of-V').
J 2х ' \ х3 7
12.190. J CoS/ad/ = -£L£l+o(-±7r). а>1.
8. Интеграл в смысле главного значения (в смысле Коши).
Интегралом в смысле главного значения функции f(x), xeR,
называется
+а
lim t f (х) dx.
а -> + о® J
—а
269
Ч-оо
Этот предел обозначается V. Р. J f\x}dx. Таким образом, по
определению
4-00 4-а
V. Р. ( fix dx — lim f(x)dx.
J a -> 4- oo
— oo —a
4-00
Если существует несобственный интеграл f (х' dx, то су-
ществует и интеграл в смысле главного значения и оба инте-
грала равны. Из существования интеграла в смысле главного
значения не следует существование соответствующего несоб-
ственного интеграла. В самом деле,
4-оо
С С X2
V. Р. \ xdx = lim \xdx— lim — =0,
J a->4-oo J a -> 4- oo I —a
— oo —a
4-00
a xdx, очевидно, не существует.
— oo
Найти интегралы в смысле
12.199):
4-00
12.192. V. Р. sin xdx.
главного значения (12.192—
4-oo
12.193. V.P. $ cosxdx.
— oo
4-00
12.194. V.P. J arctgxdx.
— oo
4-oo
12.195. V.P. J ( arcctg x-J-dx.
— oo
4-oo 4-°o
12.196. V.P. t ,‘3 + * dx. 12.197. V.P. —.
J 17 4- x2 J x
- OC — OO
oo 4-0°
12.198. V.P. 12.199. V.P. 'j - ,
J 1 — x2 J x- - 3x 4- 2
о 0
12.200. Доказать равенство
4-00 -poo
< т f x sin ax , C sin ax .
V.P. I —5----2"dx = cosaa \ -----dx, a,
J x2 — a2 J x
о
о
ГЛАВА IV
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 13. Свойства сходящихся рядов
1. Сходящийся ряд и его сумма. Пусть дана числовая после-
довательность {ап}. Выражение
+ #2 + ••• + ап + •••,
или, что то же самое
оо
У
П=1
называют числовым рядом, а числа а\, а2, ..., ап, ... —чле-
нами ряда. Сумму п первых членов ряда называют п-й частич-
ной суммой ряда и обозначают Sn, т. е.
п
‘Sn = ^i4“^2 4- ••• -]-^n=Hak-
k=\
Если существует конечный предел
lim Sn — S,
оо
то ряд X ап называют сходящимся, а число S — его суммой, и
п=1
пишут
оо
£ an = S.
П = 1
Если последовательность {£„} не имеет конечного предела,
оо
то говорят, что ряд У ап расходится.
п = 1
оо оо
Ряд X ап, полученный из ряда X ап отбрасыванием пер-
n — m +1 п= 1
со
вых его т членов, называют т-м остатком ряда У ап.
п = 1
Пример 1. Пусть |<?|< 1. Доказать, чго ряды
оо оо
1) £<7n“'> 2) У пЯп
п = 1 п = \
сходятся, и найти их суммы
262
А 1) Используя формулу для суммы п первых членов гео-
метрической прогрессии, получаем
п
1 — qn
1 — Q ’
откуда следует, что
lim Sn
1
1 — <7 ’
так как lim qn = 0, если |</|< 1. Итак,
l<7l< I.
П = 1
2) Так как Sn — ^kqk, то
Sn-Snq = {q + ^+ ... +nq*)-
-(<72 + 2<73+ ... +<п- l)q" + nqn+l) =
nqn+l
откуда
с —_____1____
Если | ^| < 1, то
lim qn+x = О,
а._ оп+1
S„(l ~ — nqn+l,
qn+l nqn+l
(\-qY l-q
lim nqn+{ — О
и поэтому существует
lim Sn
e.
n=l
д
(1 — я)2 *
Пример 2.
ставимы в виде
Доказать, что если члены ряда
£ ап
пред-
' an = bn+l - bn
и если существует конечный предел
lim bn = b,
то ряд сходится и его
сумма равна b — b\t т. е.
q
(l-<7)2 ’
Е«.
=- Е (bn+i —bn) = b — 1ц.
(1)
263
д Здесь
sn — Йa,i ~~ £ 1 bk^ —
= (b2 — b\^ T- (b$ — b2s -{-••• 4~ -i — bn-i) + (bn-> i bn)t
r. e.
Sn —- bn+i b\.
Так как lim bn+\ = b, то отсюда получаем
П -> OO
lim Sn — b — bi,
П -> OO
т. e. справедлива формула (1). A
oo
Пример 3. Доказать, что ряд 52 ап сходится, и найти его
п = 1
сумму, если:
а"= «'(»+ 1) • 2) а"= n(n+ 1)(п + 2)(п + 3) •
3) «и = —т—тг---г , Г‘1 & N.
п п(п-\-т)
А 1) Воспользуемся равенством
а” и(п+1) п h + Г *
Обозначим Ьп = — 1/п, тогда ап = bn+i — bn, и N, причем
lim bn = b = 0. По формуле (1) находим
П -> ОО
со
у______!____=1
Aj п (п + 1)
п=>\
2) Так как
__ 1
“ п(п+ 1) (п + 2) (п + 3) —
(п + 3) - п _ 1
— ~3n(n-i- l)(n + 2)(/i+3) Зм(и+1)(м + 2)
1
3(n+ 1) (я 4-2) (п 4-3)’
то, полагая
,_______________1
°" Зя (п 4- О (п 4-2) ’
получаем ап = bn+i — bn, причем lim bn = 0. По формуле (1)
П -> ОО
находим
со
S п (п + 1) (п + 2) (п Ч~ 3) 18’
п -1
264
3) Используя равенство -j—k —г = —(4 т"т—)> по-
J Г k\k-\-tn} tn \ k k + tn )
лучаем
ft f П 'г \
/Ед k (k 4- m) tn ( /Ej k S k 4- m )
fe«i 4fe=t 7
tn n+m
__ 1 у j______i_ у
m L-t k tn L-i k *
k=4
откуда следует, что
m
lim 5 =_!_ у _L
ft-> oo П !П p k
fe = l
t. e.
oo
S'«(A +t+ • •• + 4’)- *
ft=l
2. Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд
“Мз
сходится, то
lim ап — 0.
П -> «о
Отсюда следует, что если lim ап не существует или существует,
п -> оо
но отличен от нуля, то ряд У ап расходится.
П = 1 оо
Пример 4. Доказать, что ряд У ап расходится, если:
ft = l
1) ап = (-1
п 4-1
/? 4-3 ’
2' а„ =
2га2 — 3 уг
2га2 + 1 / ’
3) ara = sinna, где а=£ пт (tn е Z’.
А 1) Последовательность {ап} не имеет предела, так как
lim a,k = 1, a lim a2ft+) = — 1. Поэтому ряд расходится.
k > ОО k -> оо
2) an— • откуда lim а ==-^75- = е-2?ь0
n (1 + 1/2га2) n>oo " evl
и поэтому ряд расходится.
3) Предположим, что ряд сходится. Тогда
lim sin па —0 и lim sin (n + 1)а — 0,
П -> оо n -> оо
т. е.
lim (sin па cos а + cos па sin az = 0,
ft -> ОО
265
откуда следует, что lim cos па — 0, так как sin а + О (по усло-
П -> ОО
вию а =+ ят, где meZ). Итак,
lim sin па = lim cos па = О,
п -> ОО П -> оо
что невозможно:
sin2 па + cos2 па = 1
оо
Полученное противоречие показывает, что ряд s^n па> гДе
п== 1
а пт (т е Z), расходится. Заметим, что если а = пт
то ряд сходится и его сумма равна нулю, А
Пример 5. Доказать, что для ряда
оо
Ея + 2
П = 1 (п+ 1) V'j
выполняется необходимое условие сходимости, но этот ряд рас-
ходится.
Д Здесь
п + 2 1
Un = / — —F- при П->оо
(п 4- 1) Д/И Д//2
и поэтому lim ап — 0. Пользуясь тем, что при k= 1, 2, ..., п
П -> ОО
справедливы неравенства
/г + 2 1 > 1
k (& + i)V& V'fi*
получаем
n
= У •
oo
Итак, lim Sn = 4"°° и поэтому ряд У ап расходится. ▲
П -> оо П = 1
3. Ряды с комплексными членами. Пусть задана последова-
тельность комплексных чисел {гл}. Эта последовательность
называется сходящейся, если существует такое комплексное
число z, что
lim | zn — z | = 0. (2)
П-> оо
В этом случае пишут
lim zn—z или при п-*оо.
П -> оо
Если zn = Xn + iyn, z = x-]-iy, где x^e^R, z/neR, xeR,
z/gR,to условие (2) выполняется тогда и только тогда, когда
limxn = x и \туп = у.
П -> ОО П -> ОО
оо П
Пусть 2 zn — ряд с комплексными членами,5п= 2^—его
n=l k=\
п-я частичная сумма. Тогда этот ряд называется сходящимся,
266
если существует конечный
lim Sn = S.
Комплексное число S называют суммой ряда и пишут
E*„=s.
Если zn — хп + iyn, S = А + г’В, то равенство X zn = S вы*
п=1
полняется в том и только в том случае, когда
Е хп == л и Е Уп = в.
Пусть q — комплексное число и |^|< 1. Тогда
s« — £qk
£=1
<7<7
1 — <7 I —<7
откуда
lim S,
q_
1 —<7 ’
т. е.
D"
q
1 — <7
(3)
Пример
сумму, если:
6.
Доказать, что ряд £ zn сходится, и найти его
1
1) zn
2) zn — апе1пФ, где 0 < а
Л 1) Так как числа
zn
1
L ;\п
образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
1
Ч = —
где |^| = 1/д/2, то по формуле (3) находим
X (1 + 0-
П = 1
i-q i
267
2) Zn —anein,f— (ае‘ч>)п, где Jae'^^la^a < 1. Применяя
формулу (3) при q == aei<e, получаем
ee<4> _ a (COS ф 4-« Sin <р) _
C
1 _ aei<P 1 — a cos <p — ia sin ф
n=\
— (cos Ф + Z sin ф) (1 -- fl cos ф 4~ ia sin ф) _
(1 — a cos ф)2 + a2 sin2 ф
— т—тс—-----i—2'cos <p — а 4- « sin <p\ a
1 — 2a cos ф + a2
oo
4. Критерий Коши сходимости ряда. Ряд £ zn сходится
n=i
тогда и только тогда, когда для него выполняется условие Коши:
для каждого е > О существует номер N& такой, что для любого
п Л/е и для любого N справедливо неравенство
| ^л+1 + Zn+2 + . . . + 2п+р I < 8.
С помощью символов V, 3 условие Коши записывается в
виде
V8 > OgTVeVn > N^P GE N: I Zn+} + Zn+2 + ... + Zn+P I < 8. (4)
Если условие (4) не выполняется, т. е.
З8 > Оу k ge N3ZZ N: | zn+i Zn+ч 4~ • •• 4~ 1 е» (5)
оо
то ряд £ zn расходится.
п=1
оо
Пример 7. Доказать сходимость ряда используя
п — 1
критерий Коши.
А Докажем, что для этого ряда выполняется условие Коши
(4). Используя неравенства
1 1
Zk ~~ k2 k (k — 1)
при k > 1 и замечая, что
1—1 1
k(k- 1) — k- 1 k ’
получаем
п 1 . ___________1___ , । 1 — 1 .
U (Н I)2 Т (« + 2)2 1 * ’ ‘ (п + Р)2 п п + 1
1 1 , . 1_________1 __ _1 1 < JL
'/2 4-1 и4-2 «4-р — 1 п 4- Р п «4-р п'
Итак, для любых N, ре N выполняется неравенство
|^л+14- — • 4“ 2п+р1 < \/п.
Пусть задано е > 0. Тогда из того, что lim (1/п) — 0, следует
«•>00
268
существование номера такого, что для всех п Л/с и для
любого pcN будет выполняться неравенство (4). Следова-
оо
тельно, ряд сходится. ▲
Пример 8. Доказать с помощью критерия Коши, что гар-
оо
монический ряд — расходится.
п = 1
А Для любого k е N возьмем п — Л, р = k. Тогда
I 2п+1 + Zn+2 + • • • + ^п+р I —
1 I 1 I I 1 1 Л— 1
k + 1 k + 2 2k ' 2'
т. е. условие (5) выполняется при 8=1/2. Следовательно, гар-
монический ряд расходится. А
Найти п-ю частичную сумму Sn ряда и сумму S этого ряда
(13.1—13.6):
13.!. 1>| + А+...+|г+...
5' ( 10 + 10г "* 103 ) + ( 102' + 103 + 104 ) "* '
••• + (т^ + Т^г + ъМ +
18’2* 3-4 + 4-5 + • • • + („ 4. 2) (и + 3) + • • •
о) ' I । I 1_______!_______I
1-4 т 4-7 т ••• т (Зп - 2) (Зп + 1)
31 -!-----1---!____L. -I___________1_________|_
1-2-3 2-3-4 "Г •••-!- n(n+1Hn+2)
4> 3-5-7 + 5-7-9 + • • • + (2/г+ 1)(2п + 3) (2,г + 5) +
5___________]___________।_______________?____________________
«(« + 1) (а Ч-2) (а Ч-3) (а Ч- 1) (а + 2) (л 4- ЗНп + 4j
(а + п) (а 4- п 4- Ц (оГ + п 4* 2) (а 4~ п 4- 3) ’
269
oo
1з.з. 1) У ,, 2 к—о
Z—/ 16м2 — 8п — 3
72=1
оо
3) X; 36га2 —24га —5*
п=\
оо
,3-4- » Ет^т-
72=2
оо
3) 16м2 — 8м — 15 *
;г=1
оо
/L 25м2 + 5м — 6 ’
тг=1
оо
49га2 + 7га — 12 •
72 = 1
ОО
2^ 4м2 + 4м — 3
п=\
оо
36га2 + 12га — 35 '
п = \
13.5.
1)
Зга — 1
га (га + 1) (га+ 2) (га + 3) (га + 4)
2)
2/г + 9
га (га + 1) (га + 2) (я + 3) (га + 4) (я + 5)
Е2я + 1
га2 (га + 1 )2
72 = 1
оо
4) И (2га - I)2 (2га + I)2 ’
72 = 1
оо
6) У, (д/п + 2 — 2д/п4"1“Ьл/^)‘
71 = 1
13.6. 1) £|П(1-А.).
тг=2
оо
3> £'"4тт-
72 = 2
оо
Е1 3
sin 2Й- cos
п — \
оо
ZL; м! (м + 2)
/г=0
13.7. Доказать, что если
<Ъ =
оо
2) У In ( 1------, 2г й-).
7 А> к м (м + 1) /
71=2
оо
4) V In , "?"+11 „ .
7 Z-J (м + 1) (2м — 1)
тг = 1
оо
Еа . За
sin-------ТГ Sin .
2«+1 2n+l
тг=1
оо
8> £arctS-2^-
72=1
________1_______
ukuk±\ • • uk+m
где ui, ^2, и.п. ... — последовательные члены арифметиче-
ской прогрессии с разностью dt причем d=#0, Uk ¥= 0 (feeN),
270
oo
то ряд £ ak СХОДИТСЯ и
k=\
_________1___________ 1
unun+l • • • ип+т fndu{u2 ...Um •
Найти сумму ряда (13.8—13.10):
13.8. 1)
п (п + 2) (п + 3)
Е2 — п
п (п + 1) (п + 3)
/2 = 1
3)
1
(» + 1)(п + 2)(2«+ 1)(2п + 5) •
4) У _______Зп+_4______
Zu п (п + 1) (п + 4)
п = \
оо оо
13.9. 1( у (+_!>!+ ^). 2) у <1+11.
П — \ /2=1
оо оо
о\ V*' п 2 in .V V'' п
La П (п + 1) (п + 2) ’ ' La (1 - /)п *
/2 = 1 /2=1
13.10. 1) X ап cos /га,
п = I
aeR, aeR, |a | < 1.
2) У czrtsinna,
n=l
aeR,
a e R,
|a|< 1.
Доказать расходимость ряда, используя необходимое усло-
вие сходимости (13.11 —13.12):
оо
13.11. I) £ (-1Г 2га?2У+Т4 •
/2 = 1
оо _______ оо
2) У л/^+±. 3) У -v.y+l—.
’ L-> V 5n 4- 1 -V«3 + 2n + 4
/2 = 1 /2 = 1
00 Г2 °°
4) у 70Ж 5) у (4у1)1
/2 = 1 /2 = 1
/ Зя3 — 2 \«3
Zu I 3-г3 + 4 J '
13.12.
V*
Zu ln2(«+ 1)
оо
2) («2 + 2)1п^ +
/2=1
OO
3) £ (n+ 1) arctg
/2 = 1
E 4+rarcsin
/2 = 1
1
n2 + 2 ’
271
оэ оо
б) £ • в) £
Vin(« + i) »-• (п + т)
13.13. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда
оо
У ап, если:
п = \
О cos пх ЛЧ sin па
ап=-^г-. 24 = ^^.
ох cos cos пх — cos (п 4-П х
3) ап = —р—. 4) ап =-------р2-------— .
13.14. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость
оо
ряда 22 ап* если:
/7 = 1
Яп = 2п + I • 2> Яп = « г + 4 ’
3) ап = —L . 4) a„ = lnfl +—Y
V п (n + 1) V nJ
13.15. Доказать, что если ряды
оо оо
X г„ И У Wn
п = 1 гг = 1
сходятся и их суммы соответственно равны s и о, то и ряд
22 Сп» где Zn — kzn + pwrt, сходится при любых комплексных
/7 = 1
X, ц и его сумма равна Zs + ро.
13.16. Доказать, что:
оо
В Если ряд 22 zn сходится, то при любом т сходится его
п = 1
m-й остаток.
2) Если какой-либо остаток ряда сходится, то сходится и
сам ряд.
При этом справедливо равенство S = Sm + гт, где S и Sm —
соответственно сумма и m-я частичная сумма исходного ряда,
Гт — сумма его m-го остатка,
оо
13.17. Доказать, что если ряд У zn сходится и его сумма
П = 1
оо
равна S, то сходится и ряд У wf, где
+ Z2 + + 2fe,’ W2 = Zk, + \ +Zfe|+2+ +2fc2> •••
• • •’==2fcy_1 + l “I”
272
({&/} — строго возрастающая последовательность натураль-
оо
них чисел) и при этом £ wf — S.
/=i
оо
13J8. Доказать, что если ряд £ а'п, где ап^ R (neN),
П=1 ’
оо
Е| «р I
—- -.
П=* I
оо
13.19. Что можно сказать о сходимости ряда £ сп> где сп —
п = I
= ап + Ьп (д е N), если известно, что:
оо оо
1) Ряд £ ап сходится, а ряд £ Ьп расходится
п = 1 п=1
2) Оба эти ряда расходятся,
оо «>
13.20. Доказать, что если ряды У а?п и X где R,
Р==1 П = 1
bn^ R (не N), сходятся, то сходятся и ряды:
оо оо
1) Е \апЬп\. 2) Е (ап + Ьп}2.
п=\ п — \
§ 14. Ряды с неотрицательными членами
1. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами,
оо
Ряд Е ап с неотрицательными членами n^N) схо-
дится тогда и только тогда, когда последовательность его ча-
стичных сумм ограничена сверху, т. е. существует число М > 0
такое, что для каждого n^N выполняется неравенство
п
Е ak
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд > ——т—г?
г П {П + 1)
п={
А Так как
cos2 k 1 __ 1 1
k(k+ I) ”~k k+ 1 ’
то
n n
E COS2 k у» / 1 I \ . 1 I
k=\ fc=l
поэтому ряд сходится. ▲
273
2. Признак сравнения. Если существует номер п0 такой, что
для всех По выполняются неравенства
О Un Ьп,
то из сходимости ряда X Ьп следует сходимость ряда X ап> &
/2 = 1
ос
ряда У, Ъп.
п = I
оо
£ ап> если:
/2 = 1
из расходимости ряда X ап следует расходимость
п= 1
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
1) а 2) а
Un 2п+3 ' Un п2 ’
А 1) Так как при всех п N выполняются
п + 1
“Т?“- А
существует конечный
неравенства
2^54-3(—1 )п 8, то 0 < ап 1/2л и из сходимости ряда
оо оо
El v 5 + 3(-1)"
следует сходимость ряда > ------.
„=1 ,г=1 1 2 *
2) Так как я/г>1/п, то из расходимости гармонического
оо оо
ряда следует расходимость ряда
/2 = 1 /2 = 1
Если ап 0, Ьп > 0 для всех п nQ и
и отличный от нуля
Пт
п->оо Ьп
то ряды
оо оо
Е ап и Е Ьп
. П=\ /2 = 1
сходятся или расходятся одновременно.
В частности, если
Ьп
при /г-э-оо,
то ряды
оо оо
Е «п и Е ьп
п=\ /2=1
либо оба сходятся, либо оба расходятся,
со
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд X ап> если:
/2=1
1) а — е" + _______ 2) а —-2E + 5w+1
' " 3"+ln2(n+D П + 3n2 + 2
Л 1) Из асимптотических формул
еп + п4 —' ent Зп + ln2(n + 1) ~ 3" при п —> <*>
274
следует, что ап ~Хе/3)'’, где е/3 < 1. Поэтому ряд X ап схо-
П = 1
дится.
2) Так как
2n2 + 5n + 1 ~ 2n2, V^6 + Зм2 + 2 ~ п3;
оо
то ап ~ 2/п, и поэтому ряд 2 ап расходится, а
п=*1
3. Интегральный признак сходимости ряда. Если функция
f(x) неотрицательна и убывает на промежутке [а; +°°)> г&е
а 1, то ряд
оо
£ fw
и интеграл
4-00
f(x)dx
а
сходятся или расходятся одновременно.
оо
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд У ап, если:
п — 1
1)а„ = 1/па. 2) ап== п2е~п\ 3) ап =—, п^2.
п In' п
& 1) При а>0 функция f(x)= 1/ла неотрицательна и убы-
вает на промежутке [1, +оо). Интеграл
-1-00
f dx
сходится при а>1 и расходится при 0 < а 1. Поэтому ряд
сходится при а > 1 и расходится при 0 < а 1 (интегральный
признак).
оо
Если а 0, то ряд ~Аг расходится, так как в этом
п = 1 П
случае
= 1/па-74в0 при п—>оо.
оо
Итак, ряд сходится при а > 1 и расходится при
п=1 П
0^1.
275
2) Функция f (х) = х2е~х3 неотрицательна и убывает при
1. Несобственный интеграл
+ <х>
xle~x3dx
i
сходится, так как существует конечный lira F (х\ где Г(х)==»
X -> 4- оо
=—— первообразная функции х'е~х\ Поэтому ряд
оо
X п2е "° сходится.
n = 1
3) Рассмотрим при х^ 2 функцию
f(x
Эта функция принимает положительные значения на проме-
жутке [2; —оо), а ее производная равна
Если lnx~rp>0, т. е. х > то f (х)<0. Следовательно,
функция f положительна и убывает на промежутке [а; +<*>)>
где а =гпах(2; е~р). Так как интеграл
4 "°
С dx
J X 1п^ X
сходится при р> 1 и расходится при р 1 (§ 12, пример 13),
то ряд
оо
У....—
п 1п^ п
П = 1
сходится при р >> 1 и расходится при р 1. А
4. Метод выделения главной части. При исследовании схо-
оо
димости ряда X ап с неотрицательными членами иногда
п— 1
удается получить с помощью формулы Тейлора асимптотиче-
скую формулу вида
ап----~ (п-хх>, с > 0).
п
оо
В этом случае ряд X ап сходится при а > 1 и расходится при
а 1.
276
co
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд £ <zrt, если:
n = J
а . « ЗТ f>\ ( -g *^/ Л 1 'Х
1) а„= 1 —cos-r=-. 2) а„ = 1 1 — А/ —— I .
п2 \ V п + 1 /
3) ап — \п 1 + tg(1^) .
1 + arctg {Д/дМ
А 1) Так как
cos/= 1 — ~-+о(/2) при Z —> О,
то
откуда ап — л2/(2п4/3). Следовательно,
сходится.
2) Заметив, что
, 1-J-
п — 1 _ п
п+1-1+±'
п
оо
ряд £(l-ros^=r)
/7 = 1
и применив асимптотическую формулу
(1+/)3= 1 + ₽/ + о(/), /->0,
при р = 1/3 и р = —1/3, получим
откуда
Следовательно, ряд сходится при а > 1 и расходится при а 1.
3) Используя разложения
in(i+/)=/-4+4+o(/3),
Z о
tg t = t + 4 + ° (/3)>
/3
arctg t — t —т + о (Z3), t 0,
находим
/2 О
In (1 + tg/) = /--^- + у/3 + о(Л,
In (1 + arctg Z) = / — 4 -j- o(t3), /->().
277
Следовательно,
2
ап зп3/2 + °U3/27’
2
т. е. ап ~ 3/2', и поэтому ряд сходится. Л
5. Признаки Даламбера и Коши.
Признак Даламбера. Если для ряда
°®
X ап, ап>0 (ne N)
П = 1
существует такое число q, 0 < q < 1, и такой номер /?0, что для
всех п п0 выполняется неравенство
то этот ряд сходится; если же для всех п По имеет место не-
равенство
то ряд расходится.
На практике удобно пользоваться признаком Даламбера в
предельной форме: если существует
lim
ап
оо
то при X < 1 ряд 22 ап сходится, а при X > I расходится.
При X = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться. На-
оо оо
пример, для рядов V и “г число X равно 1, однако пер-
п = 1 п = 1
вый из этих рядов расходится, а второй сходится.
оо
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд 22 ап с 4°”
мощью признака Даламбера, если:
... ап . п Зп«!
1) » а 0. 2) ап •
а 1 а
д 1) Так как п±- = —-г—?-, то для любого а>0 суще-
аП П “Г 1
ствует
lim -^±L = 0
n-»oo ап
и поэтому ряд сходится.
Замечание. Используя необходимое условие сходимости
ряда, получаем
278
n\ 3n+1
2) Так как ап+1 = ~+ ty, то
°га+1 3
О+В”
откуда получаем
lim ^н±1- = — > 1,
п->оо ап е
и поэтому ряд расходится. А
Признак Коши. Если для ряда
оо
22 O'tif ап О
п~\
(п е N)
существует такое число q, 0 q < 1, и такой номер п0, что для
всех п по выполняется неравенство
v4c^/>
то этот ряд сходится; если же для всех п п0 имеет место не-
равенство
п _
=5^ 1 >
то ряд расходится.
На практике обычно применяют признак Коши в предельной
форме: если существует
п _
lim
П->оо
то при X < 1 ряд сходится, а при А > 1 расходится.
При X = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться,
оо
Пр и мер 7. Исследовать на сходимость ряд У ап с по-
мощью признака Коши, если:
_ / Яи Д- 9 \ «
П М + 2 у2
\ п -j- 3 /
к ( Зп 2
= "44^+3
nl
-* /— ‘
п^п
2) ап
3)
д 1) Так как
п __________ п _
^/an = n5,n~^ и Jim д/я = 1»
то
lim д/а7=|
п->оо
и поэтому ряд сходится.
279
2) В этом случае
(. , 2 \«
1+ТА .. з .
1 + J. I ’ йп ~ е >
п /
и поэтому ряд расходится.
3) Используя асимптотическую формулу Стирлинга
(Ц X П ---
\2лп при п->оо,
получаем
п_____________ _L J___1_
л/ап ~ е~1 (2я}2п п2п п >оо,
откуда следует, что ряд расходится. 4
6. Признаки Раабе и Гаусса.
Признак Раабе. Если ап > 0 (п <= N) и существует
lim п(-^— — .
П->оо \ап + 1. /
то при q > 1 ряд ап сходится, а при q <Z I расходится.
в«1
оо
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд У*, ап с по-
Л<=*1
мощью признака Раабе, если
_________________________________(2/г—1)!!
Ufl “ (2/1)!! ’
Л Так как
(2/1+1)!! _ (2м — 1)!! (2и + 1) _ 2/1+1
(2 (п + 1))» (2/1)1! (2/1 4-2) ап ' 2п + 2 ’
ТО
lim п ( а—
п->сх> \ап4-1
— 1 ) = lim /г
/ П->оо
2п + 2 _
2п 4- 1
•)Ч
и поэтому ряд расходится. А
Признак Гаусса. Если ап > 0 (ne N) и
-2"-=а4-1
ап+1 П
п1+6
где |уп|<с, б>0, то:
а) при а> 1 ряд £ ап сходится, а при а < 1 расходится;
П = 1
б) при а = 1 этот ряд сходится в случае, когда р > 1, и рас-
ходится в случае, когда Р 1.
280.
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд £ ап с по-
мощью признака Гаусса, если
ап = (2 — (2 д/а) ... (2 — \ja\ а > 0.
д Заметим, что ---- -- =-где
n+1 2-V^
V» = = 1 + ЛГ (1 - 1) + =
t . In а . уп . । Л
= 1+—+-^-, где |у„|<с.
Следовательно,
Дп ____________________1______। . in а । уп
й»+1 i 1по V» "Г п п2 '
п п2
где |у«| < М. Если In а >* 1, т. е. а > е, то ряд сходится. Если
же а е, то ряд расходится. А
14.1. Доказать сходимость ряда X ад> установив ограни-
ченность сверху последовательности его частичных сумм:
п _________ sin4 2п _ л —arctg п
4 Un (п + 1) (П + 2) • Un (п + 1) (п + 2) (п + 3) •
о\ (л I In П X п 1 л • П%П + 5
3) а„ — (I + , 0 < q < I. 4 ап — л3п + 4
Используя признак сравнения, исследовать на
оо
ряд 52 ап (14.2—14.3):
п = 1
14.2. 1) ап = . 2) ап = .
сходимость
3) ап
sin2 3/г
п'х] п
а1г
5)
ап = sin
з + Н)"
п2
6) ап
cos(п/4п)
5 ’
'\/<2.rr> — 1
In п + sin п
п2 + 2 In п
ап д2 (4 + 3 sin (л?//3))
1П ( 1 + 3+ (-1)" arctg 2П>|
8)ап = —Ьп>2.
14.3.
д — 1
arcsin --;—-
1 \ /г -ь 1
1) ап = —т------------.
п Vln (п + О
- arciE (”2 + 2”)
Зп + п2
281
4 ( 2n \ cos4 1 —— 1 Q\ a _ 1 V«2 + 4 — ->Jn2 +1 K) „ ln(l +ln n) Ум4 + Зм2 + 1 In3 (м 4- 2) 7) an — (3n + n3) e~^n In n. n n5(V2~ + sin V^F) 2n + n 6) an = n2e~n.
(з- 2 cos2 еп
8) ап—
оо
Исследовать на сходимость ряд У ап, получив асимптотиче-
п = \
скую формулу вида^~-~ при /г->оо (14.4—14.6):
(Л
14.4 . 1) ап = . 1 =-.
V(2« + 1) (2п + 3)
3) a„ = ln( 1 + —UY
\ п у п 7
5) ап = ~ arctg 1.
уп 2 уп
7) = l)sin—
V«+ 1
2) ап = 1 — cos —.
п
4) an = 3м 4- 1
(2n + I)2 ’
6) a„ = 1 . 1 = ~ii=r arcsin -5—.
п3 4- Зп2 + 5
ап =—5 —
п 'у/п^ + и4 + 1
14.5 . 1) a„=sin » 2) an = ntg^^-.
п п6 + 5м + 3 ' п & п~ 4- 3
3) ап = e(Vn +2)/^+3) _ 1. 4) ап = ln(1 + ^Z-^-.
[ п 1 п п 4- 1п2 п
. м 4~ 3 z>\ . м2 4- 4
5) а„ = 1п --2--.-Т • 6) ап = 1п 2 •
' п п2 4- 4 п м2 4- 3
— / /~ I 1 )3
7) &п == *\! ft (ch {Tt/ti) 1). 8) ап arcsin -1- 2
14.6 . 1) a„ = ln—
cos-----------------
n
2) Д„_Л/,П(,+-Г)|„У|^1 n>2.
3) an = л/ - — 1 arctg j-1— .
" V n2 + 1 S -\/n< + 4
.v . 2n+l . . lnn\2«
4) L 5)a„ = (l-----------------------~) .
n _____
. Л | Уз Л _ Ум + 1 — Vn — 1
6) un — I 1 4~ ) 7) un ,———
\ м 7 V^+2
8) an = 'sjn 4- 1 In ch (1/n).
282
oo
Найти все значения а, при которых сходится ряд £ ап
(14.7 — 14.13):
14.7. 1) = (1 — n sin (1/п))а. 2) = (sh (1/n) — sin (1/га))“.
3) ап = (n sh (1/n) — ch (1/п))а. 4) ап = (— cos (1/п) + ch (1/п))а.
5) «„ = (arctg-^-ln(l +
6) ап==(е^(^) — 1)а. 7) ап = (e"cos" — 1 — •
1 л/п2 — п\а
8) ап = \ cos—т=г------------) .
к у п п J
14.8. 1) a„ = nsin“(-i. —arctg
2) a„ = (e-i/2«2 —cos-i-y.
3) ап = (In sh -— In —Y*.
k n nJ
II la
In n + In sin— .
5) = (el”cos(1/n) — l)asin—
'xjn
Z>\ _ I 1 « + 1 2 la Q
6) an= In-:-------Г- , n^2.
n I n — 1 n— 1 |
71 _lna (1 + V arctg (1/и))
n sin(V«+l — V«)
8) an = (n + 1) (е4« _ 1)«.
z . 1 1 \a
9) an = I n sin-cos—7=r I .
k n n^3J
10) an — na (In (n2 + 1) —2 Inn).
12) an = (cos cos --cos ch —V.
n k n nJ
14 .9. 1) a„ = (e1/2rt —(^1+sh^y/2y.
2) an = (nsin(1/n) — cos —) .
3) a„ = |ln arctg-i- —In tg-i-|a.
л\ \a
4) an — 0 “ sin 2/l2+ 1 ) •
283
6) «»=((
sh (1/re) \3" _ |\«
sh: (1/n) ) )
7) an = (V« + 1 — Л ri)a In jj
8) «^(l-Ccosiyy.
14.10.
1) a„ = (n2 + 1) lna
sh (1/n)
sin (1/n)
/ In n
14.11. 1) a„ = a-'n«, a > 0. 2) a„ = (l +^) •
4) an=en arctg U/n2) — 1 — n«.
3) an = na — (en arcs,n (1/n2> — 1).
5) a„ = ensin(1/n’> — na.
«O,_l-I„.(l+Sln±).
/ 1 \rta
7) an = Inarcsin—J —1.
8) an = 1
n2n
14 .12. 1) a„ —--------г»------^57»
(re + a) +2 (re + 2)n+“
2) an — ti ln(l +-^)+arctg^-1.
3) an =e*/(2«“) + sin2^))7’?
4) an = (e1'" — sin -0" — 1.
5) a„ = ln(l + tg-—)-lncos-^, a > 0.
fu n 7 ch(l/re) v>a t
6) an —( c0S(i/rt) J *•
2tt4
7) a^ln^l + lnch—)-^-, а > 0.
8) an = yJn-\- arctg па \/п.
14.13. 1) ап = 1 — (ln(l — 1) +
2) ап — -j—г- In (cos — + tg2• п п + \ \ п ь п )
3) 1 / 2 ( 1 1 \\1а a«HlnUlarccos;r+s,rM)| •
4) an = 7-(el/(rea+l)-l)-
5) А п2 + п + 1 4 \« а„=/1п . V \ „2_п + ! ^/„2 + | +•
6) 7) ап = a[fn + a~1/ri — 2, а > 0. ап = аУп — а1/(п+1\ а > 0. оо
14.14. Исследовать на сходимость ряд £ ап, получив асимп-
п I
тотическую формулу вида ап~ - -%— при п->оо:
п 1пр п
1) а га |п + 0 2) а — У" + 1 " Vn5 + 3n + 2 " (2п+ 1)21п2М4- 1)
3) п г 1 cos(iM) а" 1 4) йп п In2 tg (IM) •
5) ___ / п — I In n д In (en + n2) an k n + 1 ) ^n3 + 2 • b> an n2 In2 (n + 1) •
7) a „ = 1 . Vln (n+ 1)
8) ln (JL_ln(1 + iy) a = 1-| S 112 Un 1 1 ln(n2 + n)
14.15. Найти все значения а, при которых сходится ряд
оо
Ё ап-
п^\
1) a =ll.°chQ/n) 2) 1 " In2 («4-1)' ” nln2(14-n“) ‘
3) Ll in C^/»2 i 1 и1|« л\ n _ (arcsin tg (l/n))g On -|ln(V« + 1 —n)| • 4)a„= jn + ;7 + .
5} a _arCtg(g~(1+^)") a ln(n2-n+O a lng(14-«2) ‘ 0> n (arcsin -1))“'
285
. п + 1 п
} 1п (п2 + и + 2) 8) _ arcsln"ir- ~6
7) “ = (VST + T--.!" ' ’ " “ !..“<»+ О
9) an = (rti/(n2+i)-_ 1)а. Ю) ап = ппа— 1.
оо
14. 16. Доказав сходимость ряда za-'n- получить
П = 1
п *
асимптотическую формулу ^у = 1п/г + С + а«> где — эйле-
k=\
рова постоянная (С = 0,577215 ...), при п->оо.
14. 17. Какому условию должны удовлетворять положитель-
оо
ные числа а, Ь, с, чтобы сходился ряд X ап> где
п = 1
агь = с2аУ1г1 — bVn — с[/п?
Исследовать на сходимость
Даламбера (14.18—14.20):
оо
ряд X ап с помощью признака
/7=1
14 18 /7 1 0 1 \ п п /г3
п (п+1)!' ’ - ЗП-
Я1 п - _ 2-5-8 ... (Зп — 1) .« ап = nlan , . п = —а=^= ef а > 0. пп ’
1 • 6 • 11... (5п — 4) ' 4
_ 1 - 5 .,. (4п - 3) _ 1 - 3»5 ... (2п — 1)
о/ ап 2 • 6 ... (4п — 2) ‘ °' 3”/1!
7) п - 4 - 7 - 10 ... (Зп + 4) ап = __ (2/г)!
2 • 6 • 10 ... (4/г + 2) ' ’ ~ («!)2
14.19. И а - 2) п (2"+»)!
’ п n!(2,7r+1‘ л (3/г + 4) 3* *
31 а = (2/г + 1)!!
1 - 4 ... (3/1+ 1) ’
41/7 — _ а (а + 1) ... (а + (п - 1)) а > 0.
(2/г—1)!!
51 а — _ 2 • 5 ... (3/г + 2) 6) __ (2/г + 1)Н °" 3"/г!
°) ип 2'1(/г+1)!
7) ап~ 3 • 6 ... (3/г) . 1 - (/г+1)! arcsin 2„. 8) (2/г)!! „rd„ ..L arcig •
14.20. и а - ^!- 2) /г! (2/г -р 1)1 а«— (Зп)1
4 (п1)Чгп ’
286
Исследовать на сходимость ОО ряд У ап с помощью признака —- 1
Коши (14.21—14.22):
14.21. 1) а„=——п-, п^2, " (In п) О\ ( ап \П А 3) ап = 1 —г-тг 1 , а > 0. п у п + 2 J 5) ““ = (#7тГ' \ -v« + 3 z <7\ / п2 + 5 V3 7) а« ( п2 + 6 ) ’ 14.22. 1) ап = 3-п(^Г1у\ о\ ( 3 V 2) йп — J ^» = 2“(^тГ- а>“» = 3"+'Ит1Г- «> ‘.“(Sir"” лч /• 2га — 1 Ч«(га-1> 2)а« = (2п+1)
nn+l Яп (Зп2 + 2п + 1)<«+3>'2 ’ па ап (1п(п+ 1))п/2 ’ “ / п __ J X Vn3+3n+l 4) 4Zn — 1 ) \ п + 1 7 л АХ / 6/2 4- 1 Y/2z 5\2«/3 0. 6) ап — ( ч ) (‘5’) \ 5п — 3 / х ° 7
14.23. Исследовать на сходимость ряд У ап с помощью
п = 1
признака Раабе или признака Гаусса:
(2га)!! V (2ге + 2)!! ) пе
о\ „ _ f (а + 1) (а + 2) ... (а + n) Y п _ п!е”
" k(Z>+ !)(«> +2) ... (Ь + п)) " пп+а '
5) = Га + V2) (а + у!) ...(« + V^+ТГ ’ й > °'
6) ап =---------(п+ 1)!------р > 0.
₽(₽+!).,.(р + п)п°
„ _ 1 • 4 ... (Зп — 2) • 2 • 5 ... (Зп + 2)
' ап га!(га4-1)!9ге
ох „ = In 2 In 3 ... !п (п+1) „ . п
' п 1п (2 + а) 1п (3 + а) ... In (п + 1 + а) ’ “ и’
Исследовать на сходимость ряд У, ап (14.24 — 14.28):
п = \
14.24. I) tz„ = 4zrsin-. 2) fl„ = -^lnfl + -J______
п Г п п -х/п к. V« +1
n sin2 2n
3)“-=V?T3“' 4)“"
arctg Vn + 2
п In2 (n + 1)
5) ।
•vn yn
287
/>\ п _________п -го
? п п3 (3 — 2 sin (лп/З)) *
«ч arcsin ((п + 1 )/2п)
• ) 4 *
л/з«4 4- 2
14.25. 1) а„ = tg^--arctg <
ап = eV«/(«2+i) — 1.
2) ап
_ 'у/ п + 2 . Зп — 1
“ и + 3 |П Зп+1 *
1 ( Зп2 + 4 \«
п3 \2п2 + 3 )
6) an = naqn, 0<<7<1.
Ю п - <»+»'
' п 7” (п2 + 4)3 •
п>2.
м «с м _ (2,6)"п!
14.26. 1) ип— пп
ап = 3" cos-^-.
(2п + 2)!
а"~ л"(п!)2 ’
а ct(а + 1) ...(«+и)
3)
5)
2) ап — п~п13'\/п\ + 1.
пп
(п!)2 •
92Пп!
(2п)! *
4) ап
6) ап
7)
п!п^
_ а (а + с) (а + 2с) ... (а + пс)
Un ~~ b (Ь + с) (Ь + 2с) ... (Ь + пс) ’ U U’ ° > U’
14.27. 1) ап = -п.-1...
Vln (п + 1)
а„ = (д/2-72)(д/2-V2) .. . (д/2- V2).
(»1)3
зп4/3 ’
1___
(In In и)1п п ’
1
(in /г)1п 1п п ’
П1пп
(In 72)”’ П
8)
2)
3)
5)
6)
7)
О'П
ап
14.28.
1)
In (nl) ’
3) ап
- *п
4) ап
1
(In n)ln " ’
8) ап =
((n+Dt)"
2!4! ... (2п)! ’
п^2. 2) ап
У In2 k
k^\
па
4) ал =-------------s-> п>2.
п (In П)а (In in n)P
288
14.29. Установив сходимость соответствующего ряда, пока-
зать, что:
1) lim Д- = 0. 2) limX- = 0.
П->оо п П-+ОО V*1'
3) lim-^f- = 0. 4) lim-^ = 0, а>1.
п~>оо п /2->оо а
оо
14.30. Исследовать на сходимость ряд где ц(«)—
п = \
число цифр числа п.
14.31. Пусть «1=1, «2=1, «л+1 — ап+1 + ап (п^1). До-
оо
казать, что ряд сходится.
n=i
14.32. Пусть Xi, Х2, ..., Хп, ... — положительные корни урав-
нения tg х — х, расположенные в порядке возрастания. Дока-
оо
зать, что ряд Кп2 сходится.
п=1
со
14.33. Исследовать на сходимость ряд «п:
п = ]
1/п п+2
1) ап = 2) а„=Л e~^~xdx.
J 1 Т л j
0 п
л+л/г л!п
Seos2 х < С X sin5 х <
х dx, 4) ап j । । x2 dx,
nn 0
14.34. Пусть a(=V2> a2=/\/2—л/2, «3 = ^2—V2+V2, •••»
a„= v2 — V2 + V2+••• + V2- Доказать, что ряд £ an
/1=1
сходится.
14.35. Доказать, что если ап 0, Ьп > 0 для всех п п0, ряд
СО °О
ЕЬп сходится и lim =0, то ряд У ап также сходится.
П-»оо Оп
/2 = 1 « = 1
14.36. Доказать, что если ап 0, Ьп > 0 для всех п «0,
со оо
ряд У Ьп расходится, lim "77-= °°> то ряд У ап также рас-
п = 1 /l-^-оо ип П = 1
ХОДИТСЯ.
14.37. Доказать, что если существует lim п«Л = «, где «#=0,
П->оо
оо
то ряд У, ап расходится.
/2=1
14.38. Доказать, что если ап > 0, an+i ап для всех ne М
со
и ряд У ап сходится, то lim пап = 0.
п=\ П*+<Х>
10 Л. Д. Кудрявцев и др.
289
°?
14.39. Доказать, что если ап 0 (neNJ и ряд £ ап схо-
оо
дится, то ряд X а2п также сходится. Справедливо ли обратное
утверждение?
14.40. Доказать, что ряд с неотрицательными членами схо-
дится, если ограничена сверху хотя бы одна подпоследователь-
ность последовательности его частичных сумм.
14.41. Доказать, что если последовательность {пап}9 где
оо
ап^ 0 (neN), ограничена, то ряд У а2п сходится.
п = 1
оо
14.42. Доказать, что если ряд где ап 0 (п е N),
оо
сходится и an+i ап (nsN), то ряд £ а* также является
сходящимся.
14.43. Доказать, что если сходятся ряды
оо оо оо
Е Е ьзп, £ сзп,
Л«=1 п = 1 п—1
где ап > 0, Ьп 5s 0, сп 0 (neN), то сходится также и ряд
оо
оо оо
14.44. Пусть ап 0, Ьп 0 (nsN) и ряды Е а». £ ьп
П = 1
расходятся. Следует ли отсюда, что расходится ряд:
оо оо
1) £ тах(а„, 6Д. 2) £ min (ап, Ьп)?
п=1 п=\
14.45. Доказать, что если ап > 0 (zzeN)' и существует
П->оо
то а„==о(<7?)> где q{ > q.
14.46. Доказать, что если ап > 0 (nsN). и для всех п
справедливо неравенство
ап+1
Un
<Л
то
ak ат
Т- Л ‘
для всех п tn.
290
14.47. Доказать, что если ап > 0 (neNJ и существует
1,
п->оо ап
со
то ряд X ап сходится (обобщенный признак Даламбера^.
п — \
14.48. Доказать, что если ап 0 (neN) и существует
п
lim yja.n — q,
П~>оо
оо
то ряд У ап сходится в случае, когда q < 1, и расходится в
П = 1
случае, когда q > 1 (обобщенный признак Коши).
14.49. Доказать, что если ап > 0, ап+\ а„ (neN) и су-
оо
ществует lim-^—- = <7, то ряд V ап сходится в случае, когда
п->оо аП
q < 1/2, и расходится в случае, когда q > 1/2.
14.50. Доказать, что если ап 0 (neN) и существует но-
мер т такой, что для всех п > т выполняется неравенство
то ряд X ап сходится; если же (1 — д/я«) < 1 для всех
п = 1 1П п
оо
п > т, то ряд У ап расходится (признак Жамэ).
14.51. Доказать, что если ап > 0 (neN) и существуют но-
мер т и число а > 0 такие, что для всех п т выполняется
неравенство
то ряд 22 ап сходится; если же
|пап'
In п
для всех п т, то ряд 22 ап расходится (логарифмический
п=*1
признак).
14.52. Доказать, что если ап > 0, ап+] ап (п е N), то ряд
ОО ' оо
У, ап сходится или расходится одновременно с рядом У, 2па2п.
п—1 п<=\
со
14.53. Доказать, что ряд У f (п), где f(x)— положительная
П = 1
и убывающая на промежутке [1; -f-oo) функция такая, что
10*
291
существует
X-> + oo ' W
сходится в случае X < 1 и расходится в случае X > 1 (признак
Ермакова}.
14.54. Доказать, что если ап > 0, ап±\ ап (п N),
оо
lim ап = 0, то ряд X ап сходится или расходится одновре-
П->оо п = \
менно с рядом X где Qm— наибольший номер членов
т = \
оо
ряда ап, удовлетворяющих условию
ап ^2~т (п == 1, 2, qm)
(признак Лобачевского).
14.55. Доказать, что если f(x) — положительная, убывающая
оо
на промежутке [1; + оо) функция и ряд У f (п) сходится, то
/2 = 1
для его п-го остатка
оо
гп= £ f(k)
k—n-{-1
справедливы неравенства
-f-оо оо
j f (х) dx < rn < f (n 4- 1) 4* f(x)dx.
П4-1 /2+1
§ 15. Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды
1. Абсолютно сходящиеся ряды. Ряд
оо
X ап (1)
/2 = 1
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
оо
£|а„|- (2)
/2 = 1
При исследовании рядов на абсолютную сходимость при-
меняются признаки сходимости рядов с неотрицательными чле-
нами (§ 14).
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
1. Абсолютно сходящийся ряд сходится, т. е. из сходимости
ряда (2) следует сходимость ряда (1), причем |S| о, где S
и ст— суммы рядов (1) и (2) соответственно.
292
2. Если ряды
любых аир ряд
X ап
п=»1
оо
и Е абсолютно
п = 1
оо
Е (aan + РМ
п—1
сходятся, то при
также абсолютно сходится.
3. Если ряд (1) абсолютно сходится, то ряд, составленный
из тех же членов, но взятых в другом порядке, также абсолютно
сходится и его сумма равна сумме ряда (1).
оо оо
4. Если ряды £ ап и z ьп абсолютно сходятся, то ряд,
/2=1 п==1
составленный из всевозможных попарных произведений aibj чле-
нов этих рядов, расположенных в любом порядке, также абсо-
лютно сходится, а его сумма равна So, где S и о— суммы рядов
Оо оо
X ап И £ Ьп.
п=1 Al —1
оо
Пример 1. Доказать, что ряд У ап абсолютно сходится,
п = 1
если:
(n4-l)cos2n 1 /i । \ j. sin п
1) = ------• 2) а„ = 1п/1+—Jarctg-^j—.
V«’ + 3n + 4 \ /
3) ап — — Г1 — cos —у=Л.
’ п 1п2(«+1) X Vn/
А 1) Используя неравенства п + 1 -С 2n, |cos2n|^l,
п7 + Зп + 4 > п7, получаем | ап| 2/п4/3. Из сходимости ряда
оо
“^7з“ по признаку сравнения следует сходимость ряда
п = 1 п
ОО ОО
У, | ап |, т. е. абсолютная сходимость ряда У ап.
П = 1 п=1
2) Заметим, что при t О справедливы неравенства
О In (1 + /) t, а при любом t <= R — неравенство | arctg 11
< | / |. Поэтому
sin п
п
1
п6'5
откуда следует абсолютная сходимость ряда У ап.
п = 1
3) Используя формулу 1 — cos t — 2 sin2 (//2) и неравенство
|sin t\ | t\9 /eR, получаем
I an I 2n In2 (n + 1)
293
Так как ряд
со
V _ 1
2п Iri^2 (п + ГУ
сходится, то ряд 22 ап сходится абсолютно.
п=1
2. Знакочередующиеся ряды. Ряд
22 ( 1)Л хап — а2 + ... + (— 1)п
П-=1
где ап 0 или ап 0 для VneN, называют знакочередую-
щимся.
Признак Лейбница. Если
lim ап = 0 (3)
П->оо
и для каждого nsN выполняется неравенс^ '
ап an+i > О, (4J
то ряд
Е (- 1)П"Ч (5)
п-1
сходится. При этом
|S — (6)
где S и Sn — соответственно сумма и n-я частичная сумма
ряда (5).
Пример 2. Доказать сходимость знакочередующегося ряда»
оо оо
1) У (— 2) У (—
fa fax "
1) Последовательность {ап}, где ап=*1/д/п’ монотонно
стремится к нулю (удовлетворяет условиям (3)—(4)). По при-
оо
Е(— 1)п-1
---7=2— сходится.
п= 1
In^
2) Обозначим <р (х) = ——, тогда
lim <р(х) = 0
Х-> +-OO
(правило Лопиталя) и
д/ (х) = (2 — In х),
откуда следует, что ф'(х)<;0 при х > е2. Поэтому последова-
тельность {ап}, где ап = (\п2 п)/п, удовлетворяет условию (3),
а при п > е2— условию (4). По признаку Лейбница ряд
оо
сходится. ▲
£94
9. Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов.
Признак Дирихле. Ряд
оо
S (7)
I
оо
сходится, если частичные суммы ряда £ Ьп ограничены, т. е.
п = 1
п
ЭМ > Оуп е N : £ Ьк
а последовательность {ап} монотонно стремится к нулю, т. е.
tWi ап или ап+\ eLn для всех п я0 и lim ап — 0.
п ->оо
Признак Абеля. Ряд (7) сходится, если последователь-
оо
ность {а„} монотонна и ограничена, а ряд £ Ьп сходится.
Пример 3. Доказать, что если последовательность {а„}
монотонно стремится к нулю, то ряд
оо
У ап sin па
сходится при любом а ® R, а ряд
оо
У, ап cos па
п=1
сходится при а =# 2шп, m е Z.
Д Обозначим
п п
Вп^=^ sin ka, Сп= У, cos ka.
k — 1 fe=»l
Тогда
о ____ sin ((n + 1) a/2) sin (na/2) p __________ cos ((n + 1) a/2) sin (na/2)
n sin (a/2) ’ n sin (a/2)
a 2лт, m e Z.
Для доказательства формул (8) можно воспользоваться ра-
венствами
2 sin ka sin — cos [k —a — cos
(fc+4)a-
_ 1 • a
2 cos ka sin — = sin
(z> + |)a_sin
Если a =/= 2nm, где m Z, to
I I I sin (a/2)| ’
f I <• 1
1 | sin (a/2)| ’
oo oo
и по признаку Дирихле ряды V ап sin па и У cos па схо-
М.-1 П—\
дятся. Если а = 2лпг, где т о Z, то cos па = 1, a sin па = О
оо
при всех п N. Поэтому при а = 2шп, т & Z, ряд У ап s^n па
сходится, а ряд
<Ю " ОО
/, ап cos па = £ ап
п-1 п-1
может как сходиться, так и расходиться. А
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
Esin па I
T" /-Г77Г COS .
In In (п 4- 2) п
А Так как ряд |п g) сходится (пример 3), а после-
/1 = 1
довательность {cos(l/n)} монотонна и ограничена, то по при-
знаку Абеля ряд
со
Zsin па 1
In In (п 4- 2) C0S п
п«=1
сходится при любом aeR. А
4. Условно сходящиеся ряды. Ряд (1) называется условно
(не абсолютно) сводящимся, если этот ряд сходится, а ряд (2)
расходится.
Если ряд (1) сходится условно, то, каким бы ни было число
Л, можно так переставить члены ряда (1), что сумма получен-
ного ряда будет равна А (теорема Римана).
При исследовании на сходимость рядов иногда оказывается
полезным следующее утверждение: если ряд У ап абсолютно
сходится, то ряды X (ап + Ь,^ и £ Ьп одновременно либо абсо-
п = I п =-= 1
лютно сходятся, либо условно сходятся, либо расходятся.
Пример 5. Исследовать на сходимость и абсолютную схо-
оо
димость ряд У ап, если:
П=1
29b
'A rj Запишем ап в следующем виде
и воспользуемся асимптотической формулой
(l + /)-i=l -.i + 0^9
Тогда получим
ап = --"j) ~ + — + ап> где | а„ К С > 0.
Д/П п п
оо оо
Так как ряд У ад абсолютно сходится, то ряд X ап сходится
п~\ п==1
00 „
_ Z 1
или расходится одновременно с рядом / Ьп, где Ьп=-——F
уп
п«1
00 п
+ ~ Из сходимости ряда V — /2 (пример 2) и расходи-
п * ' 'Х/п
оо
мости гармонического ряда У' — следует расходимость ряда
п = 1
°° °° ( — 1)П
У Ьп. Поэтому ряд У ап расходится, хотя ап ~--------тх—, и ряд
X ----СХОДИТСЯ.
уп
2) Используя асимптотическую формулу
1п(1+ /) = /+О(/2) при /->0,
получаем
ап = - "о~Дг—'гЬп' где I6» С>°-
2 у п2 п
7^ ^"4 / _ | \'ь
Так как ряд У Ьп сходится абсолютно, а ряд ) -----------схо-
га=1
°° 1 °°
дится условно (ряд X—275 расходится), то ряд У\ап СХО’
п = 1 2п
П=>1
дится условно.
оо
3) Ряд с°^га сходится (пример 3), Докажем, что этот
П“1
ряд не является абсолютно сходящимся, т. е. докажем расходн-
ое
мость ряда Ico^..{LL< Используя неравенство |cosп\cos2п и
п«»1
297
формулу cos2n =(1 4-cos2n)/2, получаем
| cos n | 1 4- cos 2n .
n 2n *
o V 1 + cos 2/* V cos 2n
Заметим, что ряд --- расходится, так как ряд >
П = 1 /2=1
OG
сходится, а ряд расходится. По признаку сравнения (§ 14 J
и = 1
оо
Z| COS П I ™
1 расходится. Таким образом,
п = 1
оо
V' cos п А
ряд > —— сходится условно. А
п-1 ___________
Доказать, что ряды абсолютно сходятся (15.1—15.2):
00 sin ( 2п + — | 1Б.1. 1) У у П'х/п + 2 П = 1 оо qx уч cos (шг/4) (п + 2) Vln3 (п + 3) «г\ V' (~1)п • л Q . ' аГС81П 4Г- п=1 Л/п со п-1 оо 8) °3 s*n п ’ п-1 IS.2. П—1 8) V (-1)" 1гГ <” + 0 . ^4 п л/п + 1 П“1 У sin Эп п In (п + 1) • 1п2 (п + 2) П“1 ©о 7) / —j cos -^Л cos ли nil п sin — п J 2) —arctg /г=1 ^2tfi 4~ З/т 4“ 1 4) Ё 6) fcos^n • arctg-^±1 п«=1 :-i)n л п ) • V (—1)”(2п)|1 Zu (п + 1)« * п=1 .4 V/ 1 \п (»+1)/2 2П + П2 4) L( U 3rt-i-»3- п«“1 оо V5 ( sin п ^:„/sinn\\ 6)Z(^ sin(^)} rt«=l
8) f (-1)" (arctg ^--arcsin ^-).
n—\
Исследовать на сходимость ряды (15.3—15.4)i
оо
П-1
(-1)^21п а
у/ п
оо
З'Х
П“1
(-I)"-* In In (я+ 2)
In (я + О
4) -
п-1 (п + 2) V« + 1
оо
5) У соз(у+ пп) sin|.
П-1
в) £(_!)(!-со,^).
п-1
т) Ес-т'-г-1—
«-I 7«2 + 1
15.4. 1)
£(-t)
п (п-1)/2
8>
2>Ё4?.
П=1 д/я
Есоб(яЦ-л/4)
' 1пг (я + Г) *
п—1
oo
4) X (-1)"
n={
cos2 2n
^]п
у (— 1)" .sin2
re-1 V«+l
tl
oo 2 (V*)
6) X w+s)cos3w-
rt«l
n
oi £ (1/fci)
7) У -^5-----------sin 2n.
re-1 Vn
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды
(45.5—15.7):
ОО f ОО
15.8. 1) 2) Х(-1)“з^ТГ.
/i««L п*»1
299
16.6.
15.7.
m V (-»)"
°’ La nlri(n+ 1) ‘
б)
6)
1)
2)
3)
6)
1)
n = l
n = l
w = l
n=l
«=1
oo
I
4)
Z(n 4~ 1) sin 2n
n2 — In rt
/Iя!
,1 /7-Г5Г tgTTr
(-1)”
п In (п 4- 1) In in (м + 2)
(-l)n+1 (n + 4)
^n2+ 1 (2+ Vn2 + 3) ’
(-1)"
2-^n +(-1)"
La ' ' n In (n+ 1)‘
n=l
Eln6 n m
—7——~ COS--,
Vh 6
n = l
2)
4)
6)
E
n=l
n = \
In2 In (n + 2) £-n nn
4
In (n + 0
1
cos n • cos —
n
(-D1
n
v^
IVn]
n. Vn2 4~ 2n + 3 —- V/22 —- 2n 4~ 3
n
4)
n = \
cos4 n
n
у sin4 n — 3/8
“ V/i 4- 1
oo
(-l)"H3/2+|n3w
n312 In (n+ 1)
15.8. Исследовать
на
сходимость ряды (15.8—15.9}
sin3 n
2)
n=l
oo
cos“ 2n
In (n+ 1) •
sin n
у/n + sin n
4)
E
n = 1
oo
g) (e(cos n^l^1___________
»S=1
cos
6)
е
(-1)"
, (-1)"
2 V«
Л (n2 + 1)
15.9. 1) £ "A cos n
n-=l V«
2)
n=l
300
О) У Sin ("+ 4) У <-nllnnl
L> lnln(rt+l) • ; Zu n
n=l
co oo
Eq V sin /!• sin n2
Sinn2. 6) X --------~n----
n=>l tt = l
15.10. Пусть f (x) = Qp (x) где
Pm{x) = xm + <z1x'”~’ 4- ... +am-ix + am,
Qp (x) = xp + bixP-1 + ... + bp-}x + bp
— многочлены, причем QP(x)=^=0 при x :> 1. Исследовать на схО-
оо
димость и абсолютную сходимость ряд L(-i )"/(»)•
п = 1
15.11. Исследовать на сходимость ряд У —, где
r Z-j п In (n + 1)
( 1, если п — 5k + 1 и п = 5& + 2,
п ( —1, если n = 5k, n — 5k— 1, n = 5k— 2,
Найти все значения а, при которых ряд а) абсолютно схо-
дится; б) условно сходится (15.12—15.14):
15.12.
(—1)”
5 V (~1)п
Zu (2n+ (-1)п)а'
п = \
15.13. 1) 22
П=1
Esin 2п In2 п
t па
п = 1
2)25^.
П = 1
4) У ( ^n-1/1-З-б (2/г-1)\°
£< \ 2-4.6... (2я)
5)
а (а — 1) (а — 2) ... (а — (п — 1))
п!
6) у -4—-х—,
п 1па (п + 1)
0 < х < зг.
301
oo
1S.14. I) £
n=l
3) 1+^’ — + +
4) 1 + ------L_|__L_|_ J_
3“ 1“ 5“ 7“ 3“ 9“ 11“ 5“
2) f (-1)'
n = l
’^ + •••
1 . 1 I
n-i 2Л cos2na
1 1
15.15. Найти все значения a и 0, при которых ряд а) абсо-
лютно сходится; б) условно сходится:
(1 4-a)(2 + a) (n + a)
п$п\
ь £(-!>'
№ I
_ 1 1
2 , 1 . J___________2_ , 1 . _1_______________2. J_
2Р ’ За "Т- 4а 53 +* 6а + 7а 8Р 9а
гт v sin(xVn) V» 'cos(xVn)
15.16. Доказать, что ряды > ---a---- и А --------a---’
П~\ П П=1 П
где х =#= 0, сходятся при a > 1/2 и расходятся при а < 1/2.
15.17. Показать, что ряд
.. Д________i , i ,_____5_____L__i__L_ д__!_______L__i_
+ 7з V2" + V5 V7 vr V9 vn V6
оо
Е,____1 \п ~ 1
3—— перестановкой его
п=* 1
членов, расходится,
оо
15.18. В гармоническом ряду —- выброшены все члены,
п==1
номера которых содержат цифру 9. Доказать, что полученный
ряд будет сходящимся, а его сумма меньше 20.
15.19. Пользуясь одним из равенств
1 — у + у — у + ••• + 2п— 1 ~~"2п ~
= —!—।—!---------------------------------------l ,.. j__L
1+у + у+ .. • +у = С+ 1пп +8Л,
где 8тг~>0 при n->oo (см. 14.16), доказать, что
у <=!1^1П2.
п
п—1
602
о°
Е(—~1 1
-—-— равна In 2,
найти суммы следующих рядов, полученных из данного пере-
становкой его членов:
1 + 3 2 + 5 + 7 4 + 9+11 6 + '
91 1 +
Z' 2 4^3 6 8'5
, j____l_1____L _i_ _*_!___!__!___L4-I
0, 1 2 4 6 8 “* 3 10 12 14 16 5
ОО
Е(— 1)п
—fi — переставить
так, что каждую группу р последовательных его положитель-
ных членов сменяет группа т последовательных отрицательных
членов, то сумма полученного ряда будет равна
Ш2 + 41п-£.
оо ОО
1Б.22. Пусть ряд ип получен из ряда пеРеста-
n —1 п = 1
новкой его членов так, что члены одного знака расположены
в новом ряду в порядке убывания их модулей, а отношение
п
числа положительных слагаемых суммы X uk к числу отрица-
k=\
тельных слагаемых этой суммы имеет при п->оо предел, рав-
ный X. Доказать, что
оо
У. м„ = 1п д/4Л.
п~\
оо
15.23. Доказать, что гармонический ряд останется рас-
ходяшимся, если, не переставляя его членов, изменить знаки
этих членов так, чтобы за каждой группой из р положительных
членов следовала группа т отрицательных членов, где р =# т.
Показать, что при р — т полученный ряд будет сходящимся.
оо
______1 \п~ 1
--------—. Дока-
п — \
зать, что 1/2 < S <С 1.
15.25. Пусть ап > 0 (n е N) и limап = 0. Следует ли отсюда,
Л-> оо
оо
что знакочередующийся ряд (— 1)п~'ап сходится?
л-1
803
оо
15.26. Пусть ряд У ап сходится и
п=|
lim ^-=1.
П -> ОО ап
оо
Следует ли отсюда, что ряд Ьп также сходится?
п = 1
оо оо
15.27. Пусть ряды У ап и У Ьп сходятся и при всех п п0
выполняются неравенства
годится.
Доказать, что ряд X сп
п = ]
15.28. Доказать, что ряд У, (—1)га-|ап, где ап > 0 (neN)
сходится, если существует число а > 0 такое, что
ап 1 . а , ( 1 \
—= 1 ----------р 0 f _ 1 « оо.
n \nj
15.29. Показать, что сумма не абсолютно сходящегося ряда
не изменится, если члены этого ряда переставить так, что ни
один из них не удаляется от своего прежнего положения более
чем на т мест, где т — заданное число.
15.30. Показать, что члены не абсолютно сходящегося ряда
можно без перестановки сгруппировать так, что полученный ряд
будет абсолютно сходящимся,
оо
15.31. Доказать, что ряд X ап^п сходится, если выполняются
л = 1
следующие условия:
оо
1) ряд У Ьп сходится;
п = 1
оо
2) ряд (ап~ абсолютно сходится.
п = 1
оо
15.32. Доказать, что ряд У апЬп сходится, если выполни-
1
ются следующие условия:
1)
число
ство
частичные суммы ряда У Ьп ограничены, т. е. существует
п = 1
М > 0 такое, что для всех neN выполняется'неравен-
п
Ё bk
fe=i
М; '
оо
2) ряд У (ап — ап+1) абсолютно сходится;
П = 1
304
3) lim а„ = 0.
n > OO
15.33. Пусть заданы числовая последовательность {art} и
строго возрастающая последовательность натуральных чисел
{р><} такая, что
p.k — pk-Л < с9
с — заданное число, feeN. Обозначим
Pi р? Pk
= Л = Е ait...,Ak= X а,
/ = 1 /=pl+1
оо
Доказать, что если lim аЛ = 0 и ряд У Ak сходится, то ряд
П -> ОО
ОО
У ап также сходится.
П=1
оо
15.34. Пусть ряд У ап сходится условно. Обозначим
п = 1
„ ___ I ап I + ап Q ___ I ап | -ап
Un— 2 ’ Рп — 2
Доказать, что:
п п
Ап У ctfc, Вп У
k=\ /г=1
1) limart= lim pn —0;
n -> OO П -> OO
OO
2) ряды £ a„ и
n—\
oo
У p„ расходятся;
3) lim 4L=1-
n -> OO Dn -
oo
15.35. Пусть ряд У an сходится условно. Доказать, что
можно так переставить члены этого ряда, что для полученного
оо
ряда У ап будет выполняться условие
п=1
п
lim V ak= + оо.
п -> OO k = \
15.36. Пусть
п
Q __ 5П Sin k
—Ls k ’
An и Bn — суммы соответственно всех положительных и отрица-
тельных слагаемых, содержащихся в Sn. Доказать, что
lim — — 1.
Л-> оо Ап
305
§ 16. Разные задачи на сходимость рядов
1. Сумма и произведение рядов. Суммой двух рядов
оо
Z ап (1)
п =-1
И
£ Ъп (2)
п= 1
называют ряд
оо
У («л + Ьп),
П=>=1
а их разностью — ряд
оо
1
Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы соответственно
равны .S и о, то
оо оо
X («Л + Ьп) = 5 + а, X (ап — bn)=^S — a.
п—\ п»1
Произведением рядов (1) и (2) называют ряд
X (aibn + a2bn-i + • • • + anbt). (3)
п==1
В частности, если ап = bn (neN), то ряд (3) называют
квадратом ряда (1).
Если ряды (1) и (2) сходятся, причем хотя бы один из них
сходится абсолютно, то их произведение — сходящийся ряд, а
сумма этого ряда равна So, где S и о — суммы рядов (1) и (2).
2. Оценка n-го остатка ряда.
1. Если функция f неотрицательна и убывает на проме*
жутке [а; +оо), где а 1, то при п nQ а для n-го остатка
оо
гп ряда JL f справедливы следующие оценки:
4-00
rn f (я) dx,
ц-оо 4-°°
f (х) dx (п 4 1) 4- f(x)dx. (4)
п+1 п+1
оо
Если, кроме того, известно, что ряд У, f(n) сходится, а его
J П=>в1
сумма равна S, то
fЛ 5K3S S Sn,
306
где Sn—п-я частичная сумма ряда, и с помощью неравенств
(4) можно оценить ошибку, получаемую при замене суммы ряда
его n-й частичной суммой.
2. Если ап Ям-i или ап an+i для всех п nQ и lim ап = О,
П-> ОО
оо
то ряд Е (-1ГЧ сходится {признак Лейбница), а для его
П=1
n-го остатка
гп~ Е (—
k=*n+l
при п По справедлива оценка
| Гп I sC I an+i I.
(5у
оо
16.1. Сложить ряды 2
чившегося ряда, если:
оо
и У, Ьп и вычислить сумму полу-
И=1
_(-!)"«+sin2 (л/л) , _ cos2 (л/л) 4-(—l)n+1 (« + 1)
gn •
пч cos (л/г/3) , sin2 (л/г/6)
о) ап * °п 2п-1
____1 . _ 1
йп л(п+ 1) ’ °п (л+1)(п + 2) •
оо оо
16.2. Найти разность расходящихся рядов Е ап и Е Ьп и
П=1
вычислить сумму получившегося ряда, если он сходится:
14 1 «. 1
1)ап = ~, &„ = 7+т-
04 _ п 4" 3 1 /г + 3
ап ~ л(л4- 1) ’ °п 3 (п. + 1) (п + 2) •
ОО
16.3. Пусть Е сп — ряд, полученный при перемножении ря-
п=°1
оо оо
Дов £ а„ и Е &п- Найти сп, если:
п=1 п=*1
1) ап = ап~1, Ьп = Ья~', |а|<1, | b |< 1.
нп
2) ап == qn Ьп == п(п_|_ ц , \Я I < Ь
о, 2П-’ 1. __ Зп-‘
ап~~ (п- 1)! ’ bn ~~ ft. - 1J! ’
807
л\ — З”-1 А __
а" (п-1)!’ Ьп (п-1)!*
(-1)" г, _ (-1)п-1
(2п—1)!’ Ьп (2п — 2)! '
оо
16.4. Пусть ряд сп есть разность
oo po
рядов X «» « £ ьп.
Можно ли утверждать, что этот ряд расходится, если:
оо оо
1) Ряд У ап расходится, а ряд У Ьп сходится?
п—1 п—]
2) Оба эти ряда расходятся?
оо
(—1)п
16.5 . Показать, что квадрат сходящегося ряда > —-~
''Jn
П = 1
есть- ряд расходящийся.
16.6 . Пусть а > 0, р > 0. Показать, что произведение двух
сходящихся рядов
оо оо
V (-о" „ V (-1)”
п — ] п=1
есть ряд сходящийся, если а + р>>1, и расходящийся, если
а + ₽< 1.
16.7 . Показать, что:
16.8 . Показать, что ряд, полученный при перемножении двух
расходящихся рядов
оо оо
>-£(4)" " 1+£(|Г‘(2“ + 2-“П
П=1 П-=1
абсолютно сходится,
оо
16.9 . Пусть ряд У, ап, где ап > 0 (п е N), сходится, а ряд
п«=1
оо
У Ьп, где Ьп > 0 (neN), расходится. Показать, что произве-
П = 1
дение этих рядов есть ряд расходящийся.
16.10 . Доказать, что если ряды
308
сходятся и их суммы равны соответственно А, В и С, то спра-
ведливо равенство С = АВ.
16.11 . Используя оценку (5), найти наименьший номер nQ
оо
такой, чтобы для ряда X (— 1)Л 1 где ап > 0 при всех п
п= 1
выполнялось неравенство гп < 10~3, если:
1)а„=1/н. 2) ап=1/п2.
3) ап = 1/п3. 4) ап — 1/п\.
со
16.12. Сколько членов ряда ап нужно взять, чтобы ошибка
п=1
при замене суммы S этого ряда его n-й частичной суммой не
превышала а, т. е. чтобы |S — Sn | = | гп | а, если:
1)ап=1/п2, а=10“5. 2)а„=1/га1, а=10-3.
3) ап = П2п ’ «= Ю . 4) ап — , а — 10 .
16.13. Оценить порядок убывания при п->оо остатка гп ряда
со
получив асимптотическую формулу вида гп ~ Мпр при
п = 1
оо, где М > 0 и М не зависит от п, если:
1) ал==1/п3. 2) ап—\/пъ. 3) ап = 1/па, а > 1.
со
16.14. Привести пример такого сходящегося ряд У, ап,
что ряд
У, ап In In (n + 2)
n=l
расходится.
со
16.15. Исследовать на сходимость ряд X ап, если:
п =1
1)^ = 1, ап+1 = (-|-+-^-) п>1.
2) «!==!, n„+i = cosa„, п>1.
3)a1 = sina, an+i =(—1)" sin ап, n^l.
со
16.16. Доказать, что гипергеометрический ряд У ап, где
/2=1
Й1 = 1,
a(?+l)(a + 2) ... (a + n-l)P(P+l)(P + 2) ... (Р + п-1)
a,l== n! V(V+l)(v + 2) ... (v + n-»)
a > 0, p > 0, 7 > 0, n 2, сходится, если у > a + p.
309
16.17. Найти все значения а, при которых сходится ряд
оо
если:
l)a1 = sinx, an+1 = sinart, sin x =/= 0.
2) а! = arctgx, an+i = arctgan, x #= 0.
oo
16.18. Доказать, что если ряд £ апе~пх,> сходится, то ряд
п= 1
оо
£ апе~пх сходится абсолютно при любом х > х0.
п = 1
оо
16.19. Доказать, что если ряд X апп~а> где а > 0, сходится,
П = 1
ТО
п
lim п~а J} аА = 0.
П -> оо fe = l
оо
16.20. Пусть ряд £ ап с положительными членами сходится.
п = 1
Следует ли отсюда, что ап = о(1/п) при п->оо?
оо
16.21. Доказать, что если ряд £ й„ с неотрицательными
п=»1
00 /—
—-— также сходится.
п — [
оо
16.22. Известно, что ряд У, ап, где > 0 (neNJi, расхо-
П = 1
оо
дится. Следует ли отсюда, что сходится ряд X если:
1
1) Ьп
ап
1 + па„
2) Ьп
ап
1 + п2а„
3)
1 + ап
16.23. Доказать, что если ряд
членами расходится, toi
ап
с положительными
1) Ряд У Расх°дится-
п—1
оо П
2) Ряд £ где
сходится при а > 1 и расходится при а 1.
310
co
16.24. Доказать, что если ряд У, ап с положительными чле-
п = \
нами сходится, то:
со со
1) Ряд У, , где гп^= У ak, расходится.
п-=1 *=п+1
2) Ряд У
1
ап
^гп
СХОДИТСЯ.
16.25. Доказать, что если ап монотонно стремится к нулю и.
п оо
кроме того, lim У а* = + °о, то ряд У п(ап — а„+1) расхо-
П->ООЯ==1 П-1
дится, причем
п
у k(ah — ak+1)->4- оо при и->оо.
k=\
16.26. Обозначим
kdn -biX- dn — №dn —
Доказать, что если последовательность {dn} удовлетворяет при
всех п е N условию А2ал 0 (такую последовательность вазы-
оо
вают выпуклой) и ограничена, то ряд £ (п-\- \)№dn сходится.
п = 1
16.27. Доказать, что если ап =# 0 (п е N), ап монотонно стре-
оо
мится к нулю и У dk = О (ап), то
k^n
п
У-=о(—\
fe = l
16.28. Доказать, что если существуют пределы
lim-^ = Z и lim-^^±l=|x,
П->оо ^2П—1 П->оо ^2П
оо
причем |Хр| < 1, то ряд X ап абсолютно сходится.
п = ]
оо
16.29. Привести пример такого сходящегося ряда У ап,
П=1
оо
что ряд У, ап расходится.
П=1
16.30. Пусть {dn} — последовательность положительных чи-
оо
сел, dn монотонно стремится к нулю, а ряд У dn расходится.
п = 1
Доказать, что ряд X ank> гДе {/г4—строго возрастающая
ЗЦ
последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая при
всех fteN условию Пц+\— tik < с (с не зависит от k), также
расходится.
оо
16.31. Доказать, что если ряд У ап с положительными чле-
п = 1
нами сходится, то существует последовательность моно-
оо
тонно стремящаяся к -f-oo и такая, что ряд ^апЬп также схо-
П = 1
дится.
16.32. Пусть f(x)—положительная, строго возрастающая
при х > О функция, g(x)—функция, обратная к f. Доказать,
что если ряды
оо оо
Е anf («п) И £ bng (bn),
rrsi
оо
где а„>0, Ьп > 0 (neN), сходятся, то ряд У, апЬп также
п—\
сходится, причем
оо qq оо
Е апЬп < Е anf (ап) + £ bng (bn).
/2 — 1 п=\ п — 1
оо
16.33. Пусть члены ряда У ап положительны и пусть {XJ—
п = 1
последовательность положительных чисел такая, что ряд
оо
расходится. Обозначим
п=1
оо
Доказать, что ряд Е V
1) сходится, если существует номер nQ и число 6> О такие,
что для всех п выполняется неравенство Вп б;
2) расходится, если для всех п0 выполняется неравенство
Вп 0 (признак Куммера).
оо
16.34. Доказать, что если для ряда £ ап с положитель-
п 1
ними членами существует
lim (п --------1) — О In га — А,
Van+, 7 )
то при А >• 1 этот ряд сходится, а при А < 1 расходится (приз-
нак Бертрана).
16.35. Пусть {ап} — монотонно возрастающая последователь-
оо
ность положительных чисел. Доказать, что ряд Е (1 — a^"t )
312
сходится, если последовательность {ап} ограничена, и расхо-
дится, если эта последовательность не ограничена
16.36. Пусть заданы последовательность {ап} положитель-
оо
ных чисел и число реН (р > 1) такие, что ряд У ар сходится.
п=»1
Обозначим
1. _ + ^2 4~ - • - +
Доказать, что ряд У Ьрп сходится и справедливо неравенство
/Ы
со
Е т=т Е а«-
П=1
оо
16.37. Пусть ряд £ с положительными членами сходится.
п=*1
Обозначим
п_________
Сп =^- d\U>2 • • • dn •
оо
Доказать, что ряд £ сп сходится и справедливо неравенство
/1=1
©о со
X X аП‘
/7 — 1 /1 = 1
16.88. Пусть заданы две последовательности {ап} и {Ьп} по-
ложительных чисел, а также числа р и q такие, что р> 1,
оо оо
—|- ^_ == 1. Доказать, что если ряды У а„ и У\Ьчп сходятся, то:
Р Я П“1 П^1
оо
1) Сходится ряд £ апЬп, причем
1
оо
2) Сходится ряд £ (а„ + ^п)р, причем
оо \Vp 7 00 \ 1/р / \ 1/р
£(«„+*„)" <(£«?) +(£*") •
г = 1 / \га«>1 / \п = 1 7
16.39. Пусть Sn и
Ср оо
рядов У ап и 2 Ьп,
/Iе 1 п*=\
дится и существует
0п — м-е частичные суммы соответственно
оо
причем Ьп > 0 (nsN), ряд У, Ьп расхо-
п—1
Пт -2^- = К.
Л-X»
313
Доказать, что
lim — = Х.
П-> ОО
16.40. Пусть Sn — п-я частичная сумма расходящегося ряда
оо
2 с положительными членами и пусть
п=1
lim -^- = 0.
П->оо
Доказать, что
11m
П-> оо
akSk 1
In Sn
оо
16.41. Доказать, что если ряд £ пап сходится, то при любом
m g N сходится ряд
оо
£ («+ l)am+„==om,
п=0
причем
lim om = 0.
т-> оо
16.42. Пусть {ап} — монотонно возрастающая последователь-
ность положительных чисел такая, что Нт ап — оо. Обозначим
«-> оо
оо
через X число, обладающее тем свойством, что ряд 2 °" ° при
п-1
всех а > X сходится, а при всех а < X расходится (такое число
называют показателем сходимости последовательности {ап}
Доказать, что
In П
\пап
Л,= lim
П-> ОО
оо
16.43. Доказать, что если ряд У ап абсолютно сходится и
каждая его часть вида ат + а2т + а3т + ... (me N) имеет
сумму 0, то ап — 0 для всех п е N.
оо
16.44. Пусть ряд X ап сходится условно и пусть —оо а
Р +°°. Доказать, что перестановкой членов этого ряда
оо
можно образовать ряд У а' такой, что
limS'= a, limS'=P>
__, п п •
314
где
п
16.45. Ряд X ап называют безусловно сходящимся, если он
п = 1
сходится к одной и той же сумме при любой перестановке его
оо
членов. Доказать, что ряд X ап сходится безусловно тогда и
п = 1
только тогда, когда он сходится абсолютно.
16.46. Доказать, что если ряды, получаемые при всевозмож-
ных перестановках членов данного ряда, сходятся, то они имеют
одну и ту же сумму.
16.47. Пусть задана числовая последовательность а0, «ь ...
..., ап, ..., обозначим
с __~ ___________ 50 + 51+ ... + Sn
Gn п-1- 1
co
Если существует конечный lim <jn = о, то говорят, что ряд X ап
п > СО п~ О
суммируется методом средних арифметических, а число а назы-
вают обобщенной (в смысле Чезаро) суммой этого ряда. Дока-
зать, что метод средних арифметических (Чезаро) является:
оо оо
1) линейным, т. е. если ряды X ап и X Ьп имеют обобщен-
п=0 п=0
оо
ные суммы А и В соответственно, то ряд X (адп + Р&Л), где
п=0
а R, р е R, имеет обобщенную сумму аЛ + Р^;
оо
2) регулярным, т. е. если ряд X ап сходится в обычном
смысле к сумме А, то он имеет обобщенную сумму, также рав-
ную А.
16.48. Показать, что ряд суммируется методом Чезаро (см.
16.47), найдя 0п и о:
О° у 99
1)£(-1)«. 2)|+£cosne, О<|0|<л.
п»0 п-1
з) У, sin «о, о < । е । < п.
ГЛАВА V
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 17. Сходимость и равномерная сходимость
функциональных последовательностей
1. Сходимость последовательности функций. Пусть функции
fn(x), zzeN, определены на множестве Е и пусть xQ(=E.
Если числовая последовательность {fn(xG)} сходится, то гово-
рят, что последовательность функций (fn(x)} сходится в точке х0.
Последовательность {fn(x)}9 сходящуюся в каждой точке
х е £*, называют сходящейся на множестве Е. В этом случае на
множестве Е определена функция f, значение которой в точке
xq^E равно пределу последовательности {fn(x0)}. Эту функ-
цию называют предельной функцией последовательности {fn(x)}
и пишут
lim fn (х) = f (х), (1)
П->оо
или
fn (X) -> f (х), хе Е,
или, короче,
fn-Tf-
По определению предела запись (1) означает, что для
Ve > 0BW = Ne (x)\fn ^N: \fn (x) - f (x) | < e.
Пример 1. Найти предельную функцию f(x\ последова-
тельности {fn(x)} на множестве Е, если:
1) fjxW, Е=[0; 1].
= E=R-
3) E-R.
4’ ^„U)<=nsln-X-, E = (0; + oo).
5) f„U)-ln(3 + Д‘%). E = (0;+oo).
A 1) Если xe[0; 1), to lim xrt = 0, а если
n->oo
lim xn—l. Следовательно,
rt->oo
( 0, если 0<x< 1,
f W — i i i
11» если x= 1.
x — I, TO
316
2) Если х#=0, то
I £ / ч t ПХ 1 Л
\fnW\ <-^2 = — ->0 при м->оо,
fV Л/ I L
а если х = 0, то fn(x)=O для Vres N. Следовательно, f(x) = O,
vsR.
X2
3) Так как fn(x)=l------гт~”» то lim fn М = L т. е.
п ~Г X п->оо
f(x) = 1, хе R.
4) Пользуясь тем, что sin / ~ t при /->0, получаем
п sin — п-^~ (п-^оо, х =у£= 0).
пх пх }
Следовательно,
f (х) = -1-, хе(0;4-оо).
5) Так как
f,W-l„3 + ln(l+7?^)
и In (1 + t) ~ t при /->0, то
п2ех
/п(х)~1пЗ+ 2х 4 ~1пЗ +—2 при П->-ОО,
О у Си | /Г у ОEL
откуда находим
f (х) = In 3, хе [0; + оо).
2. Равномерная сходимость функциональной последователь-
ности. Последовательность функций {fn(x)} называют равно-
мерно сходящейся к функции f(x) на множестве Е, если для
любого е > 0 существует номер Ne такой, что для всех Ne
и для всех х е Е выполняется неравенство
\fn(x)-f(x)\<z.
В этом определении существенно, что номер Л/е не зависит
от х.
С помощью символов у, 3 определение равномерно сходя-
щейся к f(x) последовательности {fn(x)} можно записать так:
VE>03yV = A/eVM>ArVx^E: | fn (х) — f (х) | < в. (2)
Последовательность {fn(x)} называют равномерно сходя-
щейся на множестве Е, если существует функция f(x), к кото-
рой эта последовательность сходится равномерно на мно-
жестве Е.
Для обозначения равномерной сходимости последователь-
ности {fn(x)} к f(x) на множестве Е используют символическую
запись
frt(x, =tf(x), хсЕ,
или
317
3. Достаточное условие равномерной сходимости последова-
тельности. Если существует числовая последовательность
{а0} и номер nQ такие, что для всех п п0 и для всех х е Е
выполняется неравенство
— I < ап,
причем lim ап = 0, то
п->оо
fn(x)^f (х), х<=Е.
Пример 2. Доказать, что последовательность Ш(х)} схо-
дится равномерно на множестве £, если:
1) = £ = [-1; 1].
2) fn (х) ==.а-^р., Е = [0; + оо).
3) L(x)= д/х+4“ Vx, £=[0;+оо).
4) f„(x) = n sin(l/(nx)), £' = [1;+оо).
1) В этом случае f(x)= 1 (пример 1, 3)) и поэтому
|f„(x)-f(x)| = ^^<^-<^,
/ £ j «/V / L St/
так как | х | 1. Следовательно,
2 ^1, хе [-1; 1].
П2 + X2 L J
2) Заметив, что для всех х^Е и для всех п е N выполня-
ются неравенства
0 arctg пх < л/2, 'у/п + х п>
получаем
0 <; агс*£ пх < п
д/ п + х 2 'у/п
Следовательно,
хе[0;+оо).
3) Так как при z^O и для \fn е N справедливо неравенство
откуда получаем
д/х + -у/х, х е [0; + оо).
318
4J В этом случае предельная функция f(х)'=1/х (пример
1, 4)). Для оценки разности fn(x)— f(x) воспользуемся нера-
венством
| sin t — 11 у /2, /e R,
которое следует из формулы Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа для функции sin /, т. е. из формулы
/2
sin/ = / +—(singeR.
Применяя это неравенство, получаем
|f„(x)-f(x)| = n| sin-----L|^ « ^_L
’1 n 1 v I nx nx I 2 (nx)2 2n
так как x 1. Следовательно,
n sin — —, xe [1; + oo). a
4. Неравномерная сходимость последовательности функций.
Если условие (2) не выполняется, т. е.
ЭБэ >0V/eGENBn>63xeEE: | fn (х) — f (х) |>е0,
то последовательность {/«(%)} не сходится равномерно к f(x)
на множестве Е. В этом случае пишут
/„(*) #/(*)» хе=Е, или
Е
Если но tn^f* то говорят, что последовательность
{М*)} сходится к f(x) на множестве Е неравномерно.
В частности, если fn f и
Э80 > О3«о hXfn nQBxn t=E: \fn (хп) — f (хп) | > е0, (3)
то последовательность {fn(x)} сходится к f(x) на множестве Е
неравномерно.
Пр и мер 3. Доказать неравномерную сходимость после-
довательность {fn(x)} на множестве Е, если:
1) f„(x) = xn, £ = [0; 1).
2) j +п^2 , £ = [0;2].
3) f„(x) = ln(3+^g^-Y F = [0;+oo).
А I) В этом случае fn(x)->-0, (пример 1, 1)). Пока-
жем, что выполняется условие (3)'. Возьмем xn = lln-\/2, тогда
кп в [Os 1 \ при <= N,
819
и поэтому последовательность {хп} сходится к f(x)—O на мно-
жестве [0; 1) неравномерно.
2) Полагая хп = \/п и учитывая, что f (х) — 0 (пример 1, 2)),
получаем
। fn м -/(хя)1,=4.
1+п2~ 2
Условие (3)' выполняется при е0 = 1 /2, и поэтому последова-
тельность {Д(х)} сходится к f(x) = O на множестве Е = [0; 2]
неравномерно.
3) Так как предельная функция f(x) = ln3 (пример 1, 5)),
то, взяв Хп = 2 In и, получаем
fn(Xn) f(xn) In (з + e4 1nn_|_n4^ 3 —
=1Ф+^)-|"3=|"4-|"3=|4-
Таким образом, для V/ieN условие (3) выполняется при во —
= 1п(7/6), и поэтому последовательность {fn(x)} сходится к
^(х) = 1пЗ на множестве [0;+оо) неравномерно. А
Заметим, что на множестве Е\ = [0; я] последовательность
{Д(х)} сходится равномерно. В самом деле, используя неравен-
ство In (1 + / /, t 0, получаем
О < f „ (х) — f (х) =
1 fl I п^ех n2ex п2ех €“
V + з(е2х + п4))^ 3(е2х + п4)
откуда следует, что
fn (х) In 3, хе [0; а].
5. Критерии равномерной сходимости последовательности
функций.
1. Для того чтобы последовательность функций {Д(х)},
определенных на множестве £, равномерно сходилась на этом
множестве к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы
lim sup \fnW — f(x)| = O.
n->oo x e E
(4)
2. Для того чтобы последовательность функций {Д(х)},
определенных на множестве £, равномерно сходилась на этом
множестве, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла
условию Коши: для любого 8 > 0 существует такой номер 2V8,
что для всех для всех р е N и для всех точек х Е
выполняется неравенство
|/п+₽(х) —/«(х) |< е.
320
Если условие Коши не выполняется, т. е.
> O\fk е N3n > kBp NBx ge £: | fn+p (x) — fn (x) | > e0, (5)
то последовательность
не является равномерно сходящейся на множестве Е,
В частности, если
Эеэ > ОЭпо G N N3x„ ее £: | fn+p (хп) — fn (хп) | > е0,
то последовательность не является равномерно сходящейся на
множестве Е.
Пример 4. Исследовать на равномерную сходимость по-
следовательность {fn(x)} на указанных множествах:
1) fn(x)=xn — xn+l, Е = [0; 1].
2) fn(x) = x ^пе~пх\ ^ = [0; + оо\ £2 = [б; + оо), 6 > О-
3)/\(x) = 7iarcctg(n/x2), Е = [1; 4-оо).
А 1) В этом случае предельная функция f(x) = O (пример
1, 1)). Покажем, что выполняется условие (4). С этой целью
найдем точки экстремума функции fn(x) на множестве Е. Урав-
нение f'n (х) = пхп — (п + \)хп = 0 имеет внутри отрезка [0; 1]
единственный корень х = хп — п/(п + 1), причем
fn(x') = хп (1 = ( ~ т г) •—<—т-r* Mn^N.
! п\ п) п\ п) \ + 1 у п П + 1
Заметим, что если х <= (0; х^), то f' (х) > 0, а если х е (xn; 1), то
/^(х)<0. Поэтому sup fn(x) = fn(xn). Следовательно,
х <= Е
sup I fn(x) — f(x)| = sup fn (x) < —Ej-.
x^E x^E П ~т~ l
Условие (4) выполняется, и поэтому frl(x) =>0, хеЦО; 1]-.
2) В этом случае предельная функция f(x) = O, так как
lim = 0 при Va <= R, р > 0.
f->4-OO
Кроме того, fn(x)^Q. Vxe£j, и поэтому
|fn(x) — f(x) |= fn(x). Вычислим supfn(x). С этой целью найдем
х е Ei
экстремумы функции fn(x). Уравнение
f'n W e~nx2 Н — 2nx2) = 0
имеет на множестве Е\ единственный корень х = хп — —1=-,
V2n
причем
Так как f'n(x) > 0 при хе [0; хл) и f'n(x) < 0 при х > хп, то
функция fn(x) возрастает на промежутке [0; хп и убывает на
11 Л. Д. Кудрявцев и др.
321
промежутке (хп; +°°). Следовательно,
sup | fn (X- — f {X) | = sup fn (x. = fn (x„) = -^=re~1'2.
x Ei x e E\ v
Условие (4) не выполняется, и поэтому последовательность
{МЛ} сходится к f(;v) = O на множестве Е} неравномерно.
Покажем, что на множестве Е2 последовательность {/«(%)}
сходится к f(x)=O равномерно. Выберем номер п0 таким, чтобы
выполнялось неравенство хПо= 1/V2n> < б. Тогда для каждого
n'^riQ функция fn(x) будет убывающей на множестве Е2, и
поэтому для VxeE и для У?п^п0 будут выполняться нера-
венства
где fn(b} — '\/пбе~гг62 —>0 при /г->оо. Следовательно, fn(x)
X Е2.
3) Покажем, что выполняется условие (5). Возьмем п — k,
р — 2k = 2п, x='\lk = ^n, тогда
I fn+pU) — fn(x' I = п\ 2 arcctg 2 — arcctg 1 |> 12 arcctg 2 —| =
= e0 > 0.
Поэтому последовательность {h2(x)} ; является равномерно
сходящейся на множестве Е. Заметим, что fn(x)-^x2, хе=.Е.^
Найти предельную функцию f(x) последовательности {/"«(%)}
на множестве Е (17.1—17.2):
17.1. 1) fn (х = х'г — 3x”+2 + 2х"+3, E=[J; 1].
2) = х4 cos E = (0;4-oo).
4) fn(x)= л/х2 4—U- £ = R.
V \ n
= 1 arctg xn, E = (0; + oo).
6 fn (X = Ml +x", £=[0;2],
17.2. 1) fn (x) = п3х2е-пх, E — [0; +°°>-
2* /п(х) = п(д/х2+ ------x). E = (0;+oo).
3) fn(x) = n(xlln — П, E=[l;3],
4) f„(x) = n arcctg rax2, E = (0; + oo).
6) fn(X) = n(xi,n — xll2n), E = (0-, + oo).
6) fn{x)^'^\+xn + (4)"’ £==K;-t-oo).
322
Доказать, что последовательность {/«(х)} равномерно схо-
дится на множестве Е (17.3—17.4):
17.". 1) fn(x) — e~nx’, £ = [1;+оо).
2) /„(х) = х2п, £ — [0; 6], 0<6<1.
3) fn(x) = -\]п sin—£ = R.
пуп
= £-(0;+~).
5) fn(х) = -^7^2 arctg V«x, £ = [0; -f- оо).
6) fn (х) = In (1 + , £ = [0; + oo).
17.4. 1) (x) ==—£ = [l;+oo).
2) д/х2+ 4-. £ = R-
3) fn(x) = e-^\ £ = [-1; 1].
4) ^ = [h+~).
5) fn\x) = 'r^/4xe~^nx9 £ = [0; + oo).
’ 6> = £ = [l; + oo).
1 + n2X4
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость после-
довательность {fn(x)} на множестве Е (17.5—17.7):
17.5. 1) /„(х) = -^Ц^, £ = [0; + ОО).
уп + 2х
• 2) fn(x)= sin (пе~пх), £==[1; + оо).
3) f„(x)=-^, £ = [1;+оо).
= £ = [б;+«>), б>0.
б) fn (х) = хе~пх In2 п, £ = [0; + оо).
б) fn (х) = п312 (1 — cos > £ — [0; + °°)-
17.6. 1) f„(x) = ^±^±^, £=[1; +оо).
X
2) fn(x) = ti^ sin ~dt, £ = [0; а], 0<а<1.
О
3) fn (х) = tg (х) , £ = (0; л/4).
11*
823
4) f„ (x) = x« — xn+2, £==[0; 1].
5) /„(*)= дД4 + -^г, « > 0, £ = R.
6) f„(x)=sinl±^, £ = R.
17.7. 1) f„(x) = sina > 0, £ = R.
2) fn(x) = xn + x2n — 2x3n, E = [0; 1].
3) fn (X) = sin" x, E = (0; л/2).
4) W = Y’n(i + £) £ = «>; 10).
5) fn(x) = nx(l— x)", £ = [0; 1].
6) f„(x) = n(x1/n—1\ £=[l;n], 1<й<Ц-оо.
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость по-
следовательность {/«(х)} на множествах £i и Е2 (17.8—17.16)':
17.8. 1) fn (х) = —рр £. = [0; а], 0 < а < +
Еъ = [0; + оо).
2) М*) = 1+^-х. ^=[0; 1], £2 = П; +оо).
3) £' = [0; 1Ь е2 = [1: +оо)-
4) fn(x) —arctg-j-, £j = (0; а], 0 < а < + оо, £2 = (0; + оо).
5) f„(x) = nf-4^-arctg-^=rY £ = [0; 1), £2 = (1;+оо).
V 'У/ п л/п J
6) fn(x)=x2(?+-rax' £> = [0; 2), £2 = (2;+оо).
17.9. 1) f„ (х) = Vx2 + пх + 1, £! = (0; 1), £2 = (1; + оо).
2) f„(x) = e-^-"-\ £,=(0; 1), £2 = (1;Ч-оо).
3) f„(x) = e-^-")!, £, = [-2;2], £> = R.
4' f„(x) = iln^-, £,=(0:2). £2 = (0;4-оо).
= fiMO;!], £2 = [0;+оо).
6) f„(x) = ^cos^-, £,=(0; 1), £2 = (1;+оо).
17.10. 1) fn (х) = п arctg-!-, El _ (o; 2), £2 = (2; + oo).
324
2) fn(x) = arctg (v~«2)’ = £2 = (1; +<*>).
3) f„U)=^ д/l +-^. £1=(0;l), £2 = (l;4-oo).
4) f„(x) = che-«\ £( = (0;l), £2 = (l;4-oo).
5) fn(x) = ±£-, £( = (0;l), F2 = (1;4-oo).
6) f„(x) = nx26HM-i)x\ E1==[0; 1], £2 = [6; 1], 0<6<l.
17.11. 1) fn (x) = Vw + arctgnx , E1=(0; 1), £2 = (1; 4-00).
^nx
2) f„(x) = cos (1/(1 4-HnnxP), = £2 = (2;4-oo).
3) f„ (x) = д/л s*n (W^)’ = [0; л]> £2 = [л; + oo).
4) fn (x) = cos (1/nx), £( = (0; л), £2 = (л; 4" °°)«
5) f„(x) = n2x2e-«\ £( = [0:4-00), £2 = [6;4-oo), 6 > 0.
6) fnW = narctgxn, £, = [0; 1), £2 = (0; 6), 0<6<L
17.12. 1) fn(x) = arctg Tjxw2x2 , £( = (0; 4-oo),£2 = (6; 4-00),
6>0.
2) f„(x) = Z^"O £1 = (l;4-oo), £2 = (6;+oo), 6>1.
3) f„(x) = i\l;w\ £, = (0; 1), £2 = (1;4-oo).
4) fn(x) — narcctgnx2, £[ = (0; 1), £2 = (1; + oo).
5) fn(x) = In (x24--J-). £1 = (0;4-oo)> £2 = («;4-o°), a>0.
6) fn (x)= sin (e“nx 4-1/Vn), £t = [a; 4-°°). a > 0,
£2 = (0; 4-oo).
17.13. 1) f„(x) = sin £( = (0;a), a > 0,
£2 = (0; 4-oo).
2) fn (x) = cos xn) . £(=-(0;a), 0<a<l, £2 = (0; 1).
3) f„(x)== arctg£t = (0; 1/2), £2 = (l/2; 1).
4) fn(x) =--4Ц2, £i = [O;a], 0 < a < 4-oo,
£2 = (0; 4-°o).
3) fn (x) । гз„в • £i — (®. 4“ oo), a > 0,
£2 = (0; + °0).
6) fnW — arctg2nx — arctgnx, £i = (0; 1), £2~(l;4-°o)-
325
17.14. 1) fn (x) £1 = (0; 1), E2 = (1; + oo).
2) fra(%)^ln-^-+--^-t1_, £, = ((); 1), E2 = (1;+oo).
3) f„(x)== arctg-^1. £'1 = (0;l), £2 = (l;-|-oo).
4) f„(x) = ln(l + sin ^r). £1 = (0;l\ £2==(1; 4-oo).
5) fn (x) = n2 (e*n - cos x"), Ey = [0; 1), E2 = [0; 6],
0<6< 1.
6) f„(x) = nln(l +-~), £,=(0:2). £2 = (2;+oo).
17.15. 1) fn(x) = sin (Vl + Jnx',2 - nx), £| = (0; 1),
£2 = (1; +oo).
2) fn (x) = V<«x)3 4 5 6 + nV + 1 — -\/(пх)3 + 1, £'1 = (0; 1),
£2 = (i; +«>).
3) f„(x) = sin * 2, £1^(0; 1), E2=^(.1; 4-00).
e n + eux
4) f„(x) = 21n(^4-n)-ln(e^4-n2), E{ = (0; + oo),
£2 = [0; a], a > 0.
6) f„(x) = n8(chxn —£, = [0; 1), £2 = [0;a],
\ i “T л /
0<a< 1.
E' = l°-“b “>°-
£2 = [0; 4-oo).
17.16. 1) f„(x) = arcsin£j = [0; a], 0<n<l,
£2 = [0; 1).
2) fn(x) = In + 1 a > 0. £2 = [0;4-oo).
3) f»« = VS((i +v)'-(‘ -4)’)’ £' = (0; ”•
£2 = (1; -boo).
4) f„(x) = (l-y^)". a > 0, £2 = R.
5) /„(x) = n(x1/rt — xI/(2ra)), £i = (l/2; 1), £2 = (l;4-oo).
6) f„(x) = V14-V, £1 = [0;2], £2 = [2; 4-°0).
826
17.17. Исследовать на сходимость и равномерную сходимость
J На множествах £1, ^2, £3, £4» £5,
где £1=[0; 6], 0 <6 < 1, £2 = [0; 1), £3=[1 — а; 1+а],
О < а < 1, £4 =[1 + а; -|-оо), а > 0, £5 =(1; +<х>).
17.18. Найти все значения а, при которых последователь-
ность {fn(x)}: а) сходится на множестве £; б) сходится равно-
мерно на множестве £. Указать предельную функцию этой по-
следовательности.
1) fn(x) = -^. F = (0; 1).
ПХ
2) = Е-(0;+~).
’3>'-«=VTT- £=R-
4) fn(x) = n!lxenx\ £ = [0; + сю).
2 -(n+2) #
5) fn W = , £ = [0; +00).
n
6) fn(x) = na arctg (l/xn)y £ = (0; 1).
7) /„(x) = n“ln(l +^), Z? = (0;+°o).
8) fn(x) = x arctg nax, a > О, E = [0; + oo).
9) fn(x) = na[/\Jx + 4-~ V*)- £ = (0;+°°)-
17.19. Исследовать на сходимость и равномерную сходи-
мость на множестве £ = [0; 1] последовательность {fn(x)}y где
fn (X) = <
если
если
если
0 х 1/л,
1/п < х < 2/п,
х 2/п.
17.20. Доказать, что если последовательности {fn(x)} и
feW) равномерно сходятся на множестве £ соответственно
к f(x) и g(x), то при любых аир (aeR, ре R) последова-
тельность {afn(х) (*)} равномерно сходится ка/(x)+Pg(x).
17.21. Доказать, что если последовательность {fn(x)} равно-
мерно сходится на множестве £ к функции /(%), а функция g(x)
ограничена на этом множестве, то последовательность
равномерно сходится к g(x)f(x).
17.22. Доказать, что если f(x)—произвольная функция, опре-
деленная на отрезке [а\ &], то последовательность {fn(x)}y где
fn W = ( И —целая часть а), сходится равномерно к f (%)
на отрезке [a;
327
17.23* Доказать, что если функция f(x) имеет непрерывную
производную на интервале (а;£),то последовательность {/«(%)},
где = +"~) сходится равномерно к f'(x)
на отрезке [аг, &J, а < ал < Ь\ < Ь.
17.24. Доказать, что если последовательность многочленов
степени не выше п равномерно сходится на интервале (а; Ь), то
предельная функция этой последовательности — многочлен сте-
пени не выше п.
17.25. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на R, то
п— 1
последовательность {/„(%)}, где fn(x)=£ ~/(x+v)‘ сх0'
/2=0
дится равномерно на любом конечном отрезке [а; Ь].
§ 18. Сходимость и равномерная сходимость
функциональных рядов
1. Сходимость, абсолютная сходимость и область сходимости
функционального ряда. Пусть функции ип(х), п е N, опреде-
лены на множестве £ и д е Е. Ряд
Е “„И (О
n = i
оо
называется сходящимся в точке х0, если сходится ряд ип(х0),
/2 = 1
и абсолютно сходящимся в точке Хо, если при х = х0 сходится
ряд
Е l«»U)l- (2)
П=1
Если ряд (1) сходится в каждой точке х^Е, то этот ряд
называют сходящимся на множестве Е, а если в каждой точке
х^Е сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходя-
щимся на множестве Е.
Сумму
Sn (х) = Ё Wfc X) (3)
/2 = 1
называют п-й частичной суммой ряда (1), а предел последо-
вательности частичных сумм сходящегося на множестве Е ряда
(1) называют его суммой:
S (х) = lim Sn (х). (4)
И-»оо
Множества всех значений х, при которых сходятся ряды (1)
и (2), называют соответственно областью сходимости и областью
абсолютной сходимости ряда (1),
328
Пр и мер 1. Найти область сходимости и абсолютной сходн-
ое
мости ряда У ип(х), если:
\ 1пп х оч , . (— I)’7 / I — х\п
Un(x) — -—. 2) — 2n+ 1 к 1+х) •
3) ип (х) = - *-7-.
оо
абсолютно сходится, если |^|<С 1, и рас-
ходится, если |7|>1. При q ——1 этот ряд сходится неабсо-
лютно, а при q = 1 — расходится. Поэтому ряд
1пп $
п
абсолютно сходится, если |lnx|< 1, т. е. если е~х < х < е, и
сходится неабсолютно, если 1пх =—1, т. е. при х~е~х. При
других значениях х этот ряд расходится. Итак, полуинтервал
[е-ь —область сходимости, а интервал (е~!; е] ^-область
абсолютной сходимости ряда
1пп
п
2) По признаку Даламбера ряд
Zj 2п +1 4
абсолютно сходится, если ]</|<С 1, и расходится, если |^|>1.
Йри q = 1 этот ряд сходится неабсолютно (признак Лейбница),
оо
а при q —1 — расходится. Поэтому ряд У ип (х) абсолютно
сходится при тех значениях х, для которых выполняется нера-
венство |(1 — %)/(14-х) ] < 1. Решая это неравенство, получаем
оо
х > 0. Следовательно, ряд ип W абсолютно сходится при
х > 0. Если |(1 — х) / (1 + х) | — 1, то х — 0,
С—и"
«п(0)=44т.
Поэтому ряд ип (0) сходится неабсолютно. Итак, область
сходимости ряда X ип(х)— промежуток [0; +оо), а области
м=-1
абсолютной сходимости — интервал (0;4~оо).
329
3) Пусть
оо
| х | < 1, тогда
хп
1 + х2п
< | х |л, и поэтому ряд
X (*) абсолютно сходится, если |х|< 1. Пусть |х|>* 1. Так
Л=«1
как ип(\/х)== ип(х), то, полагая l/x — t, получаем |ип(х) | =
оо
= |иЛ(/) | < |/|Л, где |/|< 1. Следовательно, ряд X (х) абсо-
лютно сходится, если |х|>1. Если |х|=1, то |ип(х) | = 1 /2 и
поэтому ряд расходится при х=1 и х =—1. Итак, область
оо
сходимости и область абсолютной сходимости ряда X ип (х'—
п~\
множество, полученное из R удалением точек х= 1 и х=—1.
2. Равномерная сходимость функционального ряда. Ряд (1),
члены которого определены на множестве Е, называется равно-
мерно сходящимся на множестве Е, если последовательность
его частичных сумм (3) равномерно сходится на этом множе-
стве, т. е.
Sn (х) => S (х), х е £,
или
rrt(x)=>0, xgeE,
где S(x) — сумма ряда (1),
гп (х) = S (х) — Sn (х) = £ uk(x)
k=n+l
— п-й остаток ряда.
Для равномерной сходимости на множестве Е ряда (1) не-
обходимо и достаточно, чтобы
sup | гп(х) |—>0 при п->оо. (5)
х е Е
Пример 2. Доказать, что ряд У ип (х) равномерно схо-
дится на множестве Е, если:
1) ип(х) = хп~1, £ = [-1/2; 1/2].
2) ип(х) = 71-7-7-Д w. .—; £ = (6;+оо), 6 > 0.
п' ’ (1 + (п — 1) х) (1 + пх) ' 1 '
3) ип (х) = —> £ = [0; + оо).
V п + У х
А 1) Если ип (х) = хп~1, то
п
Sn(x) = ^ukM = ^^. Sfx^yXg-,
r„(x) = S(x)-S„(x) = T^-.
380
Так как —1/2 х 1/2, то 1 —х 1/2 и поэтому
|r„WI< 1/2"-*,
откуда следует, что
г„(х)=£0, хе[- 1/2; 1/2],
т. е. ряд равномерно сходится на множестве Е.
2) Заметив, что
( X 1 1
«nW — [ + (w_ 1)А. ] +пх ,
получаем
откуда
S (х} = 1, гп (х) =• 1 /(1 + ^).
Так как х > 6 > 0, то пх > пб, 0 < гп(х)< 1/(1 + пб), откуда
следует, что ряд равномерно сходится на множестве Е
3) При каждом х^О последовательность 1 1
I Лм+'У* 3
имеет предел, равный нулю и монотонно убывает, так как функ-
ция
ф(/) = ^===
+^/х
убывает при 1 для каждого х е Е (q/ (/)=-— -—(/ + Vх) 1 <
сю
<0 при /L>1). Поэтому ряд ип (х) сходится на множе-
' п=>1
стве Е (признак Лейбница) и при этом
I гп'%) I С 8/ 1 .--£Г .
У п + 1 Vx
Так как х 0, то
I rn (х) I < -=2
и поэтому ряд равномерно сходится на множестве Е. А
3. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функцио-
нального ряда. Если для функционального ряда (1) можно ука-
зать такой сходящийся числовой ряд У аг, что для всех п nQ
п=»1
и для всех х^ Е выполняются неравенства
I ип(х) | < ап, (6)
то ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на множестве Е.
В олучае, когда выполняется условие (6^> говорят, что ряд
оо оо
X ип {х) мажорируется рядом X ап-
331
Пример 3. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать
оо
абсолютную и равномерную сходимость ряда X ип (х) на мно-
п—1
жестве £, если:
1) ип = , Е = R.
2) a,W=m(l-,„+1|). £ = [0;2].
3) ип (х) = -,—5-sin —£= arctg л , Е = (0; + оо).
Vnx V п
4) un(x) = e~n^+sinx\ £• = [!; 4-оо).
б) «„(*) = 7^2 ’ а>4’ £==R-
1 + п X
6) ип (х) — х2е~пх, Е = [0; + °0)-
А 1) Так как для всех х е R и для всех не М выполняются
неравенства |arctgп?х\< л/2, |cosnnx|^l то |«я(х)|-<
оо
< л/(2п3/2). Из сходимости ряда J следует абсолютная
п=1 П
оо
и равномерная сходимость ряда X ип (*) на R.
2) Пользуясь тем, что при t 0 выполняются неравенства
0^ In (14-0=^^ и учитывая, что 0 х sC 2, получаем
0 < «Я М < wln2 („.J. j) 'С ~ 1п2 ]) •
Из сходимости ряда
оо
2 п In2 (п 4- 1)
П = ]
оо
следует абсолютная и равномерная сходимость ряда X ип (х).
п = 1
3) Так как д/п + х3 ПРИ * > 0, a |sin/|</, 0<
< arctg i при t > 0, то
, / \ । ^ 1 1 1
I (-^) 1^4 ’ /— ‘ А/ 5/4
ЛГ~ \ПХ V п П 1
У П
для VneN и для Vxg£, откуда следует абсолютная и рав-
номерная сходимость ряда.
4) Пусть (р(х) = х2 + sin х, тогда
q/(x) = 2х + cos х > 0 при х>1/2
и поэтому (р(х)—возрастающая функция при Так как
<р(1 )/= 1 4~ sin 1 \> 03 то 0 < ип(х) е~п^1\ Из сходимости
382
CO
ряда X где а > О, следует абсолютная и равномерная
оо
сходимость ряда X ип (х) на множестве [1; +оо).
n = 1
5) Воспользуемся неравенством а2 + b2 2| ab\, которое
выполняется для любых действительных чисел а, Ь. Получим
1 + пах2 2naf21 х |,
откуда при х У= 0 следует, что
Учитывая, что ип(0) = 0, находим
I ип W I па/2-1'
для Vx R, для Vzz е N. Так как а/2 — 1 = Р > 1, то из схо-
оо
димости ряда где |3>* 1, следует абсолютная и равно-
оо
мерная сходимость ряда X иМ на множестве R.
6) Заметим, что ип(х) > 0 при х > 0 и un(0) = 0. При х > 0
уравнение
ип ~ е ПХ ~~ п%2) ~ 0
имеет единственный корень х — хп = 2/п, причем и'п(х)>$
при хе(0; хп) и и'п (х) < 0 при хе(хл.; +°°). Поэтому хп—
точка максимума функции иДх), причем sup ип (х) = ип (хп)*
хе£
Следовательно,
0 ип (х) ип (хп) £
при уп е N и при ух е В, откуда следует абсолютная и равно-
оо
мерная сходимость ряда X ип(х) на множестве Е.
п = \
4. Критерий Коши равномерной сходимости функционального
ряда. Неравномерная сходимость. Для того чтобы ряд (1) равно-
мерно сходился на множестве Е, необходимо и достаточно, что-
бы для этого ряда выполнялось условие Коши: для любого
в > 0 существует номер 7Ve такой, что для всех п для
всех р g N и для всех х е Е имеет место неравенство
п-Ьр
Е «6 w
/г=п-н
< 8.
(7)
333
Если условие Коши не выполняется, т. е.
Зе., > OVm е N3« тЗр е Е:
п+р
k = n+
Uk (X i
>е0,
(8)
то ряд (1) не является равномерно сходящимся на множестве Е.
В частности, если
Эе0 > ОЗ^о NVm > /го3хл е= Е: | ип (хп) | > еъ (9)
то ряд (1) не является равномерно сходящимся на множестве Е.
Пример 4. Исследовать на сходимость и равномерную
оо
сходимость на множестве Е ряд если:
гм
*) u«W = (i + WX)2 ’ £ = (°; + °°)-
2) ип (х) = е~п2х? sin пх, Е = R.
3) ип (х) = arctg.Е = [1; + оо).
пуп
4) ип<х, = хп, £ = (0; 1).
5) ип(х) = • Е = [0; 1 ].
6) ип(х) = пх2е~пх, Е = (0; + °°).
д 1) Если х > 0, то 0 < ип(х) < 1/(п2х2), откуда следует
сходимость ряда на множестве Е. Пусть x = xn=l//i, тогда
хп(=Е для уп е N, ип(хп)—1/4. Таким образом, выполняется
условие (9), и поэтому ряд сходится неравномерно на множе-
стве Е.
2) Заметим, что ил(0)=0, а при х^=0 выполняются нера-
венства
I ип I е~п2х2 < 1/(п2х2.,
так как et > t при t > 0. Поэтому ряд сходится на R. Пусть
х = хп= \/п, тогда хп^ R при Nh
ип(хп) — е~[ sin 1.
Условие (9) выполняется и, следовательно, ряд неравномерно
сходится на множестве R.
3) Ряд сходится на множестве Е, так как 0 < ип(х) < х3/п3/2.
Взяв = получаем
Un(xn)= arctg 1 =л/4,
откуда следует, что ряд сходится неравномерно.
4) Ряд сходится неравномерно на множестве Е. Действи-
тельно, если л:Л=1/д/2, то xne(0; 1) при yneN и =
= 1/2.
Заметим, что на любом отрезке Acz(0; 1) ряд сходится рав-
номерно (см. пример 2, 1)).
334
5) Заметим, что «п(0) = 0, а если х=?-0, то
О < ип(х) х/(п1 2х2) < 1 /(п2х)у
откуда следует, что ряд сходится на множестве Е, Для любого
meN возьмем п = т, р = и, х—\/п. Заметим, что если
п + 1 k 2п, то 1 + -^9" 1 + ' ^2'~~ “5 и поэтому
2п 2п
22 Uk I П ) П 22 1 + (k2/n2) п 5
fe = n+l k*=n+l
т. е. выполняется условие (8) при 80 = 1/5. Следовательно, ряд
сходится неравномерно на множестве Е.
6) Если х > 0, то 0 < ап(Х} < пх2так как^7 >
> /3/3! при t > 0. Поэтому ряд сходится на множестве Е. По-
кажем, что для этого ряда на множестве Е выполняется условие
(8). В самом деле, для любого т е N возьмем п = т, р — пу
х — 1 /п. Тогда х е Е и
2п 2п
У uk(x'--^~ e~k,n е~2 • п =е~2.
k=n+\ k = n+\
Следовательно, ряд сходится неравномерно на множестве Е. &
5. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости функ-
циональных рядов.
Признак Дирихле. Ряд
оо
£ ап !х' bn (х)
П = I
(10)
сходится равномерно на множестве Е, если выполняются сле-
дующие условия:
1) Последовательность частичных
ничена на множестве Е, т. е.
ЗЛ4 > 0 VneNVxe Е:
сумм ряда X Ьп (х)
П=)
огра-
(Н)
2) Последовательность {««(%)} монотонна
х^Е и равномерно стремится к кулю, т. е.
при каждом
«n+i (х)^.ап(х) или «п+1 ап (х\ п е N, х е Еу (12)
«Л'/’<2>0, хе Е. (13)
Признак Абеля. Ряд (10) равномерно сходится на мно-
жестве Е, если выполняются следующие условия:
<х>
1) Ряд X Ьп(х) равномерно сходится на множестве Е.
п=1
335
2) Последовательность {ап(х}} ограничена на множестве Е
и монотонна при каждом х е Е.
Пример 5. Исследовать на равномерную сходимость ряд
X ип W иа множестве £, если:
П = 1
1. , ч sin х sin пх г, г-ч
1) ип(х} = —. , E = R.
'УП + X2
2) «„(х) = -^Г.(1 + А)п, £=[0; 1].
Л/Х 4 п 7
А 1) Обозначим
Ьп (х) — sin х sin пх, ап=—7__L. ,
л! п 4- X2
и воспользуемся формулой
п
sin уР sin kx = sin "-у-1- х sin ~-х (§ 15, пример 3).
Тогда
п
Вп (х) = sin х sin kx = 2 cos -£ sin - 1 x sin -y x,
k = 1
откуда следует, что |B„(x)|^2 для V.ieR и для VneM,
т. е. последовательность {В„(х)} ограничена на множестве Е.
Последовательность {ап(х)} монотонна для каждого хе R, так
как функция ф (/) = - ; V монотонно убывает при t~^ 1
yt + X2
(Ф'(Й = "2^ + х-)-<0 ПР" '>')
Кроме того, 0 < ап (х) <11/Vn Для VxeR, откуда следует, что
х<= R. По признаку Дирихле ряд равномерно схо-
дится на R.
2) Обозначим
Ьп(х) = -^=^=-, а„(х) = (1+^)П
у п + 'У X v п 7
оо
и заметим, что ряд равномерно сходится на множестве
п= 1
[0; 1], так как он равномерно сходится на множестве [0; 4-оо)‘
(пример 2, 3)). Последовательность {ап(х)} ограничена на мно-
жестве [0; 1], так как
(1+«>+Я <-
и монотонна при каждом хе[0; 1], так как <р(/) = (1-Ь у-) —
возрастающая функция при /^1 для каждого хе[0; 1]. По
признаку Абеля ряд сходится равномерно на множестве [0; 1]. А.
336
Найти область сходимости и область абсолютной сходимости
функциональных рядов (18.1—18.6):
18.1. 1) оо ГЛ /2=1 2) flsin Zu п п /2 = 1
3) оо у е~пх. /2 = 1 4) оо . V"5 cos ппх L-i п In2 {п 4-1) /2=1
5) ОО у 1 6) оо У' in" X L, п> * /2 = 1
Zu п (х 4- 2)п /2 = 1
18.2. 1) ОО Е(5-х2Л /2 = 1 2) оо хл
/2=1
3) оо £ п-|п*2. /2 = 1 4) оо У /г2е^пх2. /2= 1
5) оо у !_ . Zu lnrt (х 4- 2) /2 = 1 6) ОО У tg"x
Li и2 4-4 • /?.=!
18.3. 1) оо Е Л, 1п"^ + 2>. /2 = 1 2) У п ( *+2
Z п2 + 4 к 2х + 1 п=1
Ч) V л /» + 2 ( - 5х + 6 \я
Л Л/ п kx2 + 5x + 6 J •
/7=1
ОО
4) у '
“ л/п \х2 + 17
оо
6) ГЛ-Л^У-
/2=1
18.4. 1) У-^-.
3) У, е~пх sin пх.
/2=1
оо
« Z(f Ч'+Ч)У-
/2 = 1
оо
18.5. 1) У sin ппх.
/2=1
дч Y* 2n sin^ х
01 Zu п (п+ 1) •
2)£_(z±Z_
, х2 + Vft
/2=1
4>
/2 = 1 v
61 о“.
/2 = 1
2> Ё О + т)’»-'-
/2 = 1
337
3)Ёт?4г-
n=l
п=1
18.6. 1) sin (л д/n2 + *2)-
П = 1
оо
3) У, sin sin ... sin х.
п = 1 ' - 1 —--'
п раз
ЕП\
(х2+ 1)(х2 + 2) ... (х2 + «)
/2 = 1
ОО
Ехп
(1 + х)(1 + X2) ... (1 +хп) •
П = |
18.7. Исходя из определения равномерной сходимости, дока-
зать равномерную сходимость функционального ряда в указан-
ном промежутке:
оо
1) У Хп, —q^x^q, 0<q<l.
/1 = 1
2) ------------£-7-),
/2 = 1
©О
3) У , , , 1 —-г-ГТ’ 0^х<4-оо.
L-i (х + п) (х + п + 1)
/1=1
оо
л. V/sinw sin(/i+l)x\ ,
4? > (---т=-------Г==-...I» —00 < X < +оо.
/2 = 1
— оо < X < -|-оо.
0^х^2.
Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную
сходихмость функционального ряда в указанном промежутке
(18.8— 18.12);
338
oo
I8.S. 1)
n=l
oo
2> S (n + X)2 ’
n=l
oo
n=l
oo
V4 SIH2 %ПХ
л/ n4 + X2
oo
r\ V* arctg nx
X4 + n n
n=l
oo
6) X 2-n cos nnx,
n=l
oo
18.9. 1) X e-V4
n=l
у (3x)n
П ^П + X
n = l
oo
6} L (3n + l)3ra ’
n=l
oo
41 V ^X CQs2 ПХ
'у/ n3 + x4
/2 = 1
у (n + 2)3 (2x)2rt
°> L-, x2 + 3n + 4
n₽=l
oo
дх n arctg 2n2x
n\ a? + n X
— 1 <X< I.
O^Cx < +°°-
— oo < x < +°°-
— oo < X < 4- OO.
— oo <Z X <C 4-oo.
— oo < X < 4~°°«
1 < 4“°°-
0<x<l/3.
— l<x<3.
, —З^х^С—1.
—1/4 <x< 1/4.
0 x < 4~°°-
_°°d cos nx sin ——
18.10. 1) У -—гдггт-^»
7 Z-j 4 + In2 nx
n=l
2 x < 4~°o.
2) У n3^~n2x, d < x < +oo, d > 0.
n=l
oo
3) У Я>0, -a<x<a, a<min(l; 1//?).
/У1 1 + *
ЗЗЭ
4) £п~х1п2п, d < x < 4~°°, д>1.
п = 1
оо
5) У "7~ Г""3~2~ » 0 X < + 00 •
L~i 4 + п?х2 1
/2=1
оо
6) У TT~5 ' 2 " > “ ОО<Х< + °°-
Zu 1 + пьх2 1
п — \
18 .11. I) arctg , - оо < х < -1- оо.
/2=1
2) --У М , 1+а<*<+оо, а > 0.
/2 = 1
оо
3) X "1 Т7ы arct^> ~°° <х< +°°-
<< JL J / Г И/ lb
п = 1
оо _ з
4) У (arctg ТГг)’ 0<л<+оо.
/2=1
оо
r\ V' п2 х2 sin х 1
о) \ --------— —оо < х < _1_ оо
7 Zu п + 1 1 + п5 * *х4 ’ ’
22 = 1
6> Xsin2-TT7?7’ 0<*< + °°.
/2 = 1
оо
18.12. 1) У sin—1п(1+-£А 0<х< + оо.
“ пх \ у п }
/2=1
оо
2) S —оо < X < 4-00.
п=\
оо • Х
COS пх sin —
3) Z х2 + 1п3(п+ 1) ’ ~°° < х < +°°-
/2=1
оо
4) J] е-пех* sjn пХ) —оо < X < +°°-
/2=1
5) S 1 + П4Х3 ’
/2=1
ОО
р уч sin пх
L 1 + п8х3 ’
/2=1
О<х < 4-°°-
О<х < 4“°°-
340
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость функ-
циональный ряд в указанном промежутке (18.13—18.23):
оо __
18.13. 1) У
’ l—i I + n3x4
О<
2)
3)
n2x________________
n4x2) arctg (1 4- x) ’
EV X cos nx
n (2nx2 +1) ’
/2=1
4)
oo
X
Д- я2
5)
n
, 0<x<l.
О
/2=1
6)
V1 x s*n ‘
2_j n2x2 + n + 1 *
r? = l
18.14. 1) X
/2=1
xe
'y/n In3 (n + 1)
— oo •< x < 4-oo.
2| y1 sin (x2/n)
x2 y/n + 1
/2=1
— oo < x <Z 4~oo.
sin (x/n) sin 2nx
2_j x2 + 4n
n—\
— oo < X < 4-0°.
4)
COS ((n2 4- 1) x/n) — cos ((n2 — 1) x/n)
x2 n
— oo < X < +°°-
oo
5) Xln2(1+ l + n^)- 0<X<+oo.
n~\
oo
6>£(-пй^)3’ o<*<+°°-
n==]
oo _
18.15. 1) У —z, 1* 2, . —oo<x<+oo.
Z-j n(l 4- 2nx2)
/2 = 1
oo
»<,<+«.
/2=1
341
3 ЕтпМ о<*<+~-
/2 = 1
oo
4 ) V^C,tg/^n,(f + ?2), 0<x<+co.
JL-J (n In (tl + 1) + xy 1
n= 1
5 у sin(n/x)Sin (x/n) о < X < 4-00.
1 -f- nx*
n—l
V' cos nx sin (x2ln) ~ .
6 ) > ------T~ - , 0 < X < + OO.
1 + у n X4
oo
«.IS. 1) V(_L=2_y. 0<x<+~.
/7 = 1
OO
3 ) У sin —sin2—, 0 < x < 4-00.
nx n3 4- x 1
/7=1
4 £sinotarc^
/7 = 1 V
— OO < x < +°°.
г- 5П ( x sin (xl^Jn) Y A .
5 2Д—-^+~n--------)' 0<x<+oo.
/7=1
oo
6 ) У cos arctg (x/Vn) о < X < -
nx 4- x2
n=l
OO
18.17. 1- £ nx2e-n*sin (IM
/7= 1
Ze x/rLcosnx
x2 4- n2x
n=l
a^x<4-°°> a >
00 cos (x V«) In (14- )
3) У -----7===—^
Vl 4- nx4
/7=1
0^ X < H-oo.
— oo < X < +°°*
oo
4>Z
/7=1
x3 sin' nx,
2 4~ я3х6
0 <.x < -(-oo.
342
sin nx
%IX2 + 1 ’
0 < x < +°°.
18.18.
i)
0 < x < +°°«
E e'"x’
0 < x < -f-oo.
oo
Э) £ (arctg-^-)2,
n==l
— ОС < X < Ч-ОО.
4)Ssin2TT^’ ° <%<+«>.
rt=l
5) E e""tgx, 0 < л < л/2.
oo
6!£(l + ^)“". 0<_t<„.
n— 1
18.19. 1) £-sin 0 < x < л.
(1 + пх) л]nx
2) E e~"2*2 sin nx, 0 < X < 1.
tl=\
oo
n=«l
oo
4) Xarcfg niA4»+ij~’
n-1
5) E (1O<X<1.
n«l
6)7-^-. 0 < x < +oo.
n=I
18.20. 1) £ 2" sin-pr , 0<x<+oo.
n-=l
843
oo
2) У -!Тл-,-----------iTw.j-----------V. О < X < Н-оо.
Z-/ (1 4- (п — 1) х) (1 4- пх)
п=*\
3)
ctg (пх/п)
оо
4) X — х")>
п=-1
1/2 < к < 1.
5)
X — 1
х'1
1 х < +оо.
18.21. 1) £
ft=» I
_±=1С,
х 4- л/п
О< 4-00.
О < х < 4- °°-
2) 1L (х + 2п~ 1)(х + 2«+ 1) ’ °<х<
п=»1
оо
3) У <-Г , -00<Х<+00.
’ Са 2п 4- sin х
м=« 1
оо
4) £ (— !)"«“*> д<х<+“> 6 > 0.
п=1
(_!)«+Ip-»*
6) у _L_1L_£-----1 0 < х < +оо.
1
оо
я о 1 \ sin nx sin x r\ ।
18.22. 1) > —57=^-, OsO<+°°-
“*! ^n+x
n»=l
oo
3) V —arctgxtl, 1 x < 4-°°-
4) V ^з"2Гз~> —00 < x < 4-°°-
Z-j (1 4- г
344
5)
1 + П3Х3 ’
О < 4-00.
оо
6 £ л" sin (1/2"),
и = 1
—2 < х < 2.
18.23. 1)
д/х2 -{• п2
П=1
О^Сх < 4-00.
2) У 4^--> 0<х< 4-00.
Z-j 4 4- п *
п=\
3) у " Y* 0<х<+°о.
4j Н
я=1
оо
4) £^1п(1+^-), -4<х<4.
П = 1
оо
5’X мггтгагс,ву- -2<*<2-
П = 1
— оо < X < 4~°°.
18.24. Доказать, что ряд
сходится равномерно на любом конечном отрезке, но не схо-
дится абсолютно ни при одном значении х.
18.25. Доказать, что ряд
Е(—1)п х2
(1 4- х2)п
П = 1
сходится равномерно на всей действительной оси, а ряд
X (1 +х2)"
составленный из модулей членов исходного ряда, сходится не-
равномерно.
345
18.26. Доказать, что если {ап}—числовая последователь-
ность такая, что яан-i ak (A s N) и lim ап — 0, то ряды
П -> оо
оо
22 s*n И
м = ]
оо
22 ап COS ПХ
i
сходятся равномерно на любом отрезке, не содержащем точек
xk — 2knf k^Z.
оо
18.27. Доказать, что ряд 5^ сходится равномерно
п = 1
на любом отрезке, не содержащем точку х = 0.
18.28. Исследовать на сходимость и равномерную сходимость
ряд в указанном промежутке:
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд
на множествах £*1 и £2 (18.29—18.37):
18.29. 1) £ sin (-Jx"), Ej^Oja), 0<а<1,
Е!-(О; 1>.
2) ^e~narctex, +оо\ д > 0, Е, = (0; + <х>).
П = 1
3) У, arctg х/п?), Е, = [0; а], а > О, Е2 = [0; +°о).
Л = 1
346
4)£ln(l + -J), E.^fOja], a>0, £2 = [1; 4-oo).
n—]
5) £ e-"Us+28inx)t £1 = (O; 1], £2=[1; +«>).
n = 1
6) IiTa' £’ = (0; П. f2 = [i; +oo).
Z—1 | it л
n — \
18.30. 1) У sh
( .-3/x , o, ), Ei = (0; 1), £2 = (1; +oo).
\ n In3 (n + 2) / 1 2
2) £ e-'»aresin\ Е,=(0; 1/2), £2 = (l/2; 1).
n = l
3) £ arctg (l/(n2x)), £,==(0; 1], £2 = (1; +oo).
n = \
4>Zv=5’ e'=(0; lb
5) £ *T"sln2\ £i = (0; л/4], £2 = (л/4; л/2].
n=*V
б) 2>0+-^г)> £. = (0; 1), £2 = [1; 2].
n=l
18.31: 1) £ (1 -с»5Л/^).
rt = l
E,=(0; 1), E2 = (l: +°o).
2) £ 2~nxarctg (n2x), £j = (0; 6), E2 = (6; +oo), 6 > 0.
n = l
з> x e,=(0: 1). £, = (1; +<»>.
n-=l
oo
4) У -2-1----Г-/7—TTn £1 = (0; 6), £2 = (6; 4-oo), 6>0.
L^i n2 + COS (fl/(x + 1)) 1 V ' 2 \ > I
n-»l
oo
5>.E2”tew+T’ £i = (°; £2 = (6; 4-oo), 6>o.
tl=l
oo
£i = (l; e), E2 = (e-, 4-°°).
347
18.32. 1) У ---sin^/—
2 -4- х л/п^ X/ п
£1=(1/2; + оо),
п=1
Е2 = (0; 1/2).
оо
V—1
2) £-4=. £i = (0; 1), Е2 = (1; 4-оо).
rt=l х *п
оо
£, = (б; +оо), 5 > О, Е2 = (0; 4-00).
п = 1
4; Е > £*=(6; +°°>’ 6>°> £2=(°; +°°)-
п = 1
£i=(0; 6), 6 > О, Е2 = (0; 4-оо).
оо _
6) S V’7Sin £1=(0; 6). 6>0, я2 = (6; 4-оо).
П — 1
18.33. 1) £( = ]0; 2л], £2 = [6; 2л-6],
О < 6 < 2л — д.
2) £ х2е~пх\ £1 = (б; 4-00), 6 > О, £2 = (0; 4-оо).
М = 1
3) У -^е~х2п, Е1=(д; 4-оо), б > О, Е2 = (0; +оо).
п=1
j> £йТжТ+2"...(1 + м)- Е'-М. В, = [»;+«.).
п=*1
д>0.
оо
5)£^T7^sin4- £1 = (°; !)> £2 = (1; 4-оо).
Л* I ' 4» Л
П = 1
6) У -i-lct|g/f/"); , £1 = (0; 1), £'2 = (1; 4-оо).
1 + In2 (n/x) I \ 2 к , I /
n = l
oo
18.34. 1) У -ху..(£я) , Et = (O; 4-oo), E2 = (0; 6), 6 > 0.
V n +
oo
2 £ve’"2/x’ A = (0; 4-00), £2 = (0; 6), 6>0.
ft=l
348
з) E-??zarcts|’ £‘=(0; Е*=^> +°°)-
П = 1
оо
4) £e-^sin(n3x), £1==(0; +оо), £2 = (б; +«>), б > 0.
n—i
5> Ё-ТТ^’О+тгУ £' = № 1). ^-'1; +~).
П = 1
6) £varctg^’ £|==(0: 1}> £2=(1; +°°)-
п = \
оо
18.35. 1) XJTLsin^‘> £> = (°; ^ = (1; +°о).
П=1
2) У, e~nVarctg (пх), £^ = (0; +<*>), £2 = (б; +«>), 6 > 0.
П = 1
3) У 2n sin (x/3n). £, = (0; 1), £2 = (0; +<х>).
М = 1
4) у , El = (0; б); Е2 = (б; +«>), б > 0.
। J ГЬ "у- Л
п=»1
оо
5) Е nx"tg(x/3"), £i = [—2; 2]. £2 = (-3; 3).
п=*\
оо
б) y^4^sin^- £1 = [-5; 5], £’2==(—6; 6).
ГЬ О X
П = 1
оо
18.36. 1) £-7=-1п-^-, £1 = (0; 1), £2 = (1; +«>).
rt-l
оо
2> S“F?7?-sinT> £>=<°: +°°)-
П = 1
3’ S-lH^vtsVv’ £, = Ю; 1/21, В2-[1/2; 1).
П = 1
оо
4> Z Г+ип(^, £.-(0; I), £г = (1; +<»).
П = 1
оо
б) У Х2_^.г^ . £1 = (0; 1), £2 = (1; +оо).
€ .ml Л / bAf j / У
п=>\
349
е> + S, = (O; 1). ESM1; +~).
П = 1
оо
18-37. Гт?®?’ £' = (0; Е2 = № !)•
П=1
оо
2) £то; sin4’ £1 = <0; !)’ £2 = <1; +то)-
П = 1
оо
3) £ УДУ"’ £' = (°: 1>- £2 = <1> +°°)-
п = \
оо
4) У "зГ / » , Чч . £1 = (0; 1), Е2 = (1; +оо).
Z-j n3 In (п/(п 4- %)) v 2 ’ 1 7
п = 1
5)
оо
£ (- irin
м«=» 1
3 -|- х Уп5
2 4- х У/г5
£1^[1; +оо), £2 = (0; + оо).
/—
6* £ TTn”sinsin х“’ £> = (0; 1Ь £2 = [1; +<*>)•
/ । .< л гt х\/ л
п-=1
оо
7) £ ’ £1 = [10; +оо)’ = “10Ь
П = 1
оо
s>Z
П = 1
п sin У«
1 4~ п3х3
£i = (a; 4-оо), а > 0, Е2 = (0‘, +°°)-
18 .38. Найти все значения а, при которых ряд X хае~пх2
сходится равномерно на интервале (0; +оо).
18 .39. Исследовать на равномерную сходимость на множе-
стве [0; +оо) ряд:
»Е4
п>=0
2/г
п Х
' (2п)1 •
п=0
18 .40. Пусть lim д/|^п|=1. Доказать, что
п -> оо
равномерно сходится на множестве £, если:
1) ип (х) — хп9 Е — [— а; а], 0 < а < 1.
2) ип(х) = е~пх, £ = [д; 4-оо), б > 0.
о\ / \ COS /ЪХ г'1 / I \
3) «„(%) = —2«—’ £ = ( — оо; 4-оо).
4) ип(х) = е-пЧ Е = [6; +<ю), 6 > 0.
оо
ряд X апип (х)
п^1
350
oo
18.41 . Доказать, что если ряд X ип сходится равномерно
/2 = 1
на множестве £, а функция <р(х) ограничена на этом множестве,
то ряд У qp(x)izn(x) также равномерно сходится на множестве Е.
п = I
оо
18.42 . Доказать, что если ряд X I vn МI равномерно схо-
/2 = 1
дится на множестве £, а функции и*(х) определены на £ и
удовлетворяют условию
I tin (%) | | vn (х) |, х е £,
OG
то ряд У ип (х) сходится на множестве £ абсолютно и равно-
п — \
мерно.
оо
18.43 . Доказать, что если ряд У | ип (х) | сходится равно-
/2 = 1
оо
мерно на множестве £, то ряд X ип (%) также сходится равно-
п = 1
мерно на £.
18.44 . Следует ли из абсолютной и равномерной сходимости
оо
ряда X ип (х) на множестве £ равномерная сходимость ряда
/2 = 1
оо
X I ип (*) I на Рассмотреть пример
п=1
f (-l)V(l -х), £ = [0; 1].
/2=1
оо
18.45 . Доказать, что если ряд X ип^ сходится абсолютно
/2 = 1
в точках а и &, а функции ип(х), N, монотонны на отрезке
[a; то этот ряд сходится абсолютно и равномерно на [а;
оо
18.46 . Доказать, что если ряд -- । сходится, то р,
/2 = 1
оо
---!----- сходится абсолютно и равномерно на любом замкну-
X С1>п
п = \
том ограниченном множестве, не содержащем то :ек х -= а»*
п <= N.
оо
18.47 . Доказать, что если ряд X ап сходится, то рад Ди-
/2 = 1
оо
рихле X -—у-сходится равномерно на множестве [0; +°о)
П = 1
351
co oo
18.48 . Доказать, что если ряд У ап сходится, то ряд апе~пх
п=-1 И—I
сходится равномерно на множестве [0; +<»).
18.49 . Пусть функции ыя(х)', neN, непрерывны на отрезке
оо
[0; 1], и„(х)=#0, /е|0; 1], и ряд 2 «nW сходится для каж-
Я = 1
дого хе[0; 1]. Следует ли отсюда, что этот ряд сходится равно-
мерно на отрезке [0; 1]?
18.50 . Доказать, что ряд X иЛ(х), где
п = \
Un (х) =
0, если
sin2(2n+1 лх), если
0’ если
0<х<2~ш+1),
< х < 2’",
2 1 >
1,
сходится абсолютно и равномерно на отрезке [0; 1], но его
нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с неотрица-
тельными членами, т. е. не может существовать сходящийся ряд
со
X апу (/igN), такой, что для всех neN выполняются
неравенства
ип(х}^ап, х е [0; 1].
§ 19. Свойства равномерно сходящихся функциональных
последовательностей и рядов
1. Последовательности и ряды непрерывных функций.
1. Если последовательность {fn(x)} непрерывных на отрезке
[а; 6] функций равномерно сходится на [а; Ь], то ее предельная
функция f(x) также непрерывна на отрезке [я; &].
оо
2. Если все члены ряда У ип (х) — непрерывные на отрезке
П = 1
[а\ 6] функции, а ряд сходится равномерно на [а; 6], то его
сумма S(x) также непрерывна на отрезке [а; &].
П р и ме р 1. Доказать, что сумма ряда
У х2е~пх
непрерывна на отрезке [0; 1] и найти эту сумму.
Л Члены ряда непрерывны на отрезке [0; 1], а ряд сходится
равномерно (§ 18, пример 3, 6)). Поэтому сумма S(x) этого
ряда непрерывна на отрезке [0; 1].
352
Используя формулу для суммы бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессии со знаменателем находим
S(x) = , х > 0.
1 — е ех — 1
При х — 0 члены ряда равны нулю, и поэтому S (0) = 0. д
2. Интегрирование функциональных последовательностей и
рядов.
1. Если последовательность {/«(%)} равномерно сходится на
отрезке [а; Ь] к функции f(x), а каждая из функций fn(x) не-
прерывна на отрезке [а; 6], то для любого х0^[а; 6]
X х
хе[а; Z>j.
Хо Хо
оо
2. Если ряд 52 &п(х) равномерно сходится на отрезке
н = 1
[a; Z>], а каждая из функций ип(х) непрерывна на отрезке
[а; Ь], то ряд
ОО X
^un(f)dl, где хое[а; 6],
П = 1 X-
оо
сходится равномерно на отрезке [а; Ь] и ряд У, ип (х) можно
почленно интегрировать, т. е.
X / ОО \ оо х
и XUn )dt ~ X $Un dt‘
Хо 'П=«1 7 П=°1 Хо
Пример 2. Найти сумму S(x) ряда
у (—1)пх2л+‘
Zu 2п + 1
«=о
а затем вычислить сумму а ряда
оо
V
Zj 3"(2n+ 1) •
ОО
д Рассмотрим ряд У (— 1)пх2п. Этот ряд сходится на ин-
п=0
тервале (—1; 1), а его сумма 1/(1 + х2). На отрезке f—q\ q]\
где 0<q< 1, ряд сходится равномерно, а его члены — непре-
рывные функции. Интегрируя этот ряд почленно на отрезке
[0; х], где х<=(—1; 1), получаем
х oox
$ 1 + Z2 ~ $ 1 dt’
о и
12 Л. Д. Кудрявцев и др.
853
или
оо
arctg х =
п=0
(_])«х2«+1
2п + 1
(1)
Таким образом, S(x) = arctgx. Полагая в (1) х=1/д/3, полу-
чаем
1 п i v (—1)п л Уз
arc:g = ’ откуда а = —• д
v п=0
3. Дифференцирование функциональных последовательностей
и рядов.
1. Если последовательность {fn(x)} дифференцируемых на
отрезке [а; Ь] функций сходится хотя бы в одной точке xq е
6], а последовательность {f'n(x)j сходится равномерно на
[я; 6], то последовательность {fn (х)} сходится равномерно на
отрезке [а; 6] к некоторой функции f(x) и
(х) = limf^(x), хе [а; 6].
n-> ОО
2. Если функции ип(х), п е N, имеют непрерывные произ-
оо
водные на отрезке [а\ &], ряд X ttnW сходится равномерно на
П=1
[а; &], а ряд
(2)
п«=1
сходится хотя бы в одной точке х0 е [а; &], то: а) ряд (2J
сходится равномерно на [а\ &]; б) его сумма имеет непрерыв-
ную производную на [а; 6]; в) ряд (2) можно почленно диф-
ференцировать, т. е.
/* оо X f оо
(Z u„w) = S и'п(хУ-
\п=1 / П=1
Пример 3. Найти суммы рядов:
и 2>Ё^.
п=1 П = 1
°° п 00
д 1) Члены ряда V --непрерывные функции, ряд У х"-1.
п п==1
П=1
составленный из производных членов исходного ряда, сходится
равномерно на отрезке [—q\ 9], где 0<^<1, а его сумма
равна 1/(1—х), хе(— 1; 1). Дифференцируя почленно ряд
П = 1
= f (х),
354
получаем
оо
Г w -т±т.
П“1
откуда
X х
$ f' (0 dt = f (х) - f (0) ~ = - In (1 - х).
О о
Следовательно,
оо
££ = -1п(1-х), —1<х<1. (3)
п=»1
2) Дифференцируя почленно ряд
получаем
откуда, в силу (3), находим g'(x) = — 1п(1 — х). Следова-
тельно,
х X
5 g' (t) dt = g (x) — g (0) = — f In (1 — /) di,
о о
или
gW-g(0)»= j ln(l — Z)rf(l — Z) = (1
о
— Z)ln (1 — /)Г+ \dt.
0
откуда находим
oo
-7-ny = x + (l-x)ln(l-x). (4)
n=l
Заметим, что равенство (4) справедливо при хе [—1; 1], а
равенство (3)—-при х <= [—1; 1). А
19.1. Доказать непрерывность суммы функционального ряда
оо
У, ип (х) на множестве Е:
“-'1) E-R.
'Уп4 4- х
2) ип (х) — arcsin (1/(м2 + х4)), Е = R.
3) = £ = [2;5].
X2 + V»
12*
856
4) un(x) — xe~n2x, f==[0; +°o).
5) U„(x) = 2r‘ln('l + sin(1/(3"+ x))\ £ = (0; +oo).
6) M„(x) = -4^cosnx, E—[n/3; 2л/31.
-yn
oo
19.2. Доказать, что функция f (x) = У, ne~nx непрерывна при
П“1
In 5
X > 0 и вычислить j f (х) dx.
In 2
ОО
19.3. Доказать, что функция f (х) = £не-
П-1
4-00
прерывна на R и вычислить J / (xj dx.
о
оо
. тт i / \ V* cos2 пх
19.4. Доказать, что функция / (х) = д 'п(п 4- 1) непРеРЫвна
п-1
2л
на R и вычислить f (х) dx.
о
оо
19.5. Доказать, что ряд X ((^+ 1)хе_(п+1)* — пхе~пх) схо-
п = 1
дится неравномерно на отрезке [0; 1], однако его сумма —функ-
ция, непрерывная на этом отрезке.
оо
19.6. Доказать, что ряд X (х2(п+1) — х2п) сходится неравно-
мерно на отрезке [—1; 1], но его можно почленно интегрировать
на этом отрезке,
оо
19.7. Известно, что сумма S(x) ряда У ап sin пх, где {ап} —
заданная числовая последовательность, является нечетной пе-
риодической с периодом 2л функцией такой, что
S(x) =
1, если х е (0; л),
О, если х = 0 и х = л.
Верно ли, что этот ряд сходится неравномерно на R?
19.8. Найти множество Е всех значений х, при которых
определена функция f(х), и исследовать ее на непрерывность
на Е, если:
оо
Elpfl у 00
„2 2) f (х) = У e-”2*2 cos пх.
п=1
оо оо
з) f w=X (*+т) • (1+х2)" •
П“1 П=1
вее
19.9. Найти множество Е всех значений х, при которых опре-
делена функция f(x), и исследовать ее на дифференцируемость
на множестве Е, если:
оо
О f М = S -S&- • 2) f (х) = f х3е~^.
оо оо
3>fW = £^. =
П=1 Л=ЖЖ 1
оо
19.10. Доказать, что ряд £ -2 t) можно диффе*
П«1
ренцировать почленно на R.
оо
19.11. Доказать, что функция f(x) = ^ непрерывна
rt««l
на R, за исключением точек х = n, п N.
оо
19.12. Доказать, что функция f (х) = имеет непре-
№1
рывную производную на R.
оо
19.13. Доказать, что ряд f (х)— У, можно почленно
дифференцировать на отрезке [—1; 1] любое число раз.
19.14. Доказать, что дзета-функция Римана
оо
П = 1
непрерывна на множестве (1; 4-оо) и имеет на этом множестве
производные любого порядка.
оо
19.15. Доказать, что функция f (х) = £ e~n'x бесконечно
дифференцируема при х > 0.
оо
е~пх
19.16. Доказать, что сумма ряда / HenPePbwia при
х > 0 и дифференцируема при х > 0.
19.17. Показать, что последовательность {/«(%)}, frt(x)==
t=nxe~nx\ сходится на отрезке [0; 1], но
1 1
( ( lim fn (х)\ dx=£ lim ( fn (x) dx.
J\n->oo 7 n -> oo J
19.18. Показать, что последовательность {fn(x)}, где /„(%)==
«= arctg xn, сходится равномерно на R, но
(lim fn(x)\' =/= lim f;(l).
\n->oo /х = 1 П -> OO
357
19.19. Показать, что последовательность {fn(x)}, где
f„(x)=x/(l + их2),
сходится равномерно на R к функции f и что равенство
Г(х) =
п -> оо
выполняется при всех %, кроме х = 0.
19.20. Показать, что последовательность {fn(x)}, где
fn (х) = х3 + -Т sin п (х + )
сходится равномерно на R, но / lim fra(x)Y=# lim f'n(x).
\П OO ) n > OO
19.21. Показать, что последовательность {fn(x)}, где
fn (x) = (sin nx)l^n,
сходится равномерно на R к дифференцируемой функции f(x),
но
Пт /;(0)¥=Г(0).
п -> оо
19.22. Показать, что последовательность {/«(л)}, где
fn(x) = nx(i — Х2)п,
сходится на отрезке [0; 1] к непрерывной функции f(x), но
1 1
lim \ fn(x)dx=£ lim \ f(x)dx.
п °°0 П -> О° J
19.23. Показать, что последовательность {/«(*)}, где /Дх)=з
— пх(\—х)п сходится неравномерно на отрезке [0; 1], однако
1 1
lim \ fn (x)dx = \ lim fn(x)dx.
n-»ooJ Jn-»oo
19.24. Выяснить, справедливо ли равенство
1 1
A™ J1dx=j (А™ 1 +"^4)dx'
оо
19.25. Можно ли ряд 2 arctg (х/п2) почленно дифференци-
Н=1
ровать на R?
со
19.26. Можно ли ряд У (х1/(2п-1) — х|/(2п+1>) почленно инте-
грировать на отрезке [0; 1] ?
358
19.27. Найти все значения а, при которых для последова-
тельности {/*(х)}, где fn(x)= пахе~пх, выполняется равенство
lim \ fn(x)dx= \
19.28. Может ли последовательность {}„ (х)} разрывных
функций сходиться равномерно к непрерывной функции?
19.29. Пусть на множестве R определены и ограничены в
совокупности функции fn(x)t neN, и, кроме того, fn(x) f(x),
хе R. Следует ли отсюда, что
lim sup fn (х) = sup f (х)?
rt->ooxeR x e R
19.30. Пусть функция f определена на R, бесконечно диффе-
ренцируема и
|fn)(x)— fn“l)(x)|< 1/n2 для любого x e R.
Доказать, что lim f(")(x) = Cex, где C — const.
tl -> OO
19.31. Пусть функция f бесконечно дифференцируема на R,
а последовательность {f(n)(x)} сходится равномерно к гр(х) на
каждом конечном интервале (а\ Ь). Доказать, что <р(х) = Сех,
где С = const.
19.32. Показать, что последовательность {/«(%)}, где
( sin2(n/x), если х е [\j\n + 1); 1/п],
f (%) = г
1 0, если х 0[1/(п+ 1): 1/п],
сходится на R к непрерывной функции, но неравномерно.
19.33. Доказать, что если функции fn(x), п е N, непрерывны
на множестве Е и fn(x)Z^ f(x), х^Е, то
lim f„(x„) = f(x)
п -> OO
для каждой последовательности {хп} такой, что хп е Е, хп-^ х
при п-^ сю, где х е Е.
19.34. Пусть {fn(x)} — последовательность монотонных на
отрезке [а; Ь] функций, сходящихся к функции /(х), непрерыв-
ной на [а; Ь]. Доказать, что
fn(x)f(x), х^[а\ Ь].
19.35. Пусть функции f«(x), п е N, интегрируемы на отрезке
[а; 6] и пусть последовательность {fn(x)} равномерно ограни-
чена на [а; Ь], т. е.
ЭМ > 0 Vx е [a; b] Vn е N: | fn (х) ] < /И.
Показать, что из последовательности {Fn(x)}, где
х
Fn \Х) = $ fn (/) dt, х е [а; &],
а
359
можно выделить подпоследовательность [Fn/? (х)), равномерно
сходящуюся на отрезке [а; .
19.36. Показать, что ряд
V х (п (п + I) X1 2 3 — 1)
Zu (1 4-Л2Х2)(1 + («+ 1)2Х2)
п-1
сходится неравномерно на отрезке [—1; 1], но его сумма не-
прерывна на этом отрезке.
19.37. Показать, что ряд
со
V* sin 2П пх
L —
п-1
сходится равномерно на R, но его нельзя почленно дифференци-
ровать ни в каком промежутке.
19.38. Доказать, что: 1) при а> 1 сумма 3(х) ряда
оо 2
V sin х
ani
п-1
непрерывна на R ’ 2) при а >2 этот ряд можно почленно диф-
ференцировать; 3) при се(1; 2) функция 5(я) не дифферен-
цируема.
19.39. Пусть Гп, neN,- рациональные числа отрезка [0; 1].
Показать, что функция
со
п-1
непрерывна на отрезке [0; 1], дифференцируема в иррациональ-
ных точках и недифференцируема в рациональных точках этого
отрезка.
19.40. Найти пределы:
1) lim V . * -2-7.
7 х->оо 1 + п2*2
п—1
оо
3) lim V (х"+1 — х").
п— 1
оо
19.41. Пусть функции un(x), neN, непрерывны на отрезке
[[а; 6] и Un(x)>0, х е [а; ft], neN. Показать, что если ряд
оо
£«„(%) сходится на [а; Ь] к функции f(x), непрерывной на,
П = 1
этом отрезке, то
оо
XunW^.f[x), х е [а, Ь\.
п-1
360
19.42. Пусть <р(х)—периодическая с периодом 1 функция
такая, что ф(х) = |х| при ле[—1/2; 1/2]. Показать, что сумма
ряда
V ф(4"х)
L, Aft—
П = 1 *
непрерывна на R, но недифференцируема ни в одной точке
х R.
19.43. Последовательность {fn(x)} называется равностепенно
непрерывной на отрезке [а; 6], если для
Ve > 0 36 > 0 Vx',x" [а; Ь] | х' — к" | < 6 Xfn N:
\fn(x') — fn (Х")|<8.
Доказать, что если последовательность {/«(%)} непрерывных
функций равномерно сходится на отрезке [а; 6], то она равно-
мерно ограничена (см. задачу 19.35) и равностепенно непре-
рывна на отрезке [а; 6].
19.44. Доказать, что если последовательность {fn(x)} равно-
мерно ограничена и равностепенно непрерывна (см. задачу
19.43) на отрезке [а; 6], то из нее можно выделить подпоследо-
вательность, равномерно сходящуюся на этом отрезке (теорема
Арцела).
§ 20. Степенные ряды
1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда.
Функциональные ряды вида
1)
П-0
где сп (n = 0t 1, 2, ...) и а — заданные комплексные числа,
£ — комплексное переменное, называются степенными рядами.
Числа сп называются коэффициентами степенного ряда (1).
Полагая в (1) £— а = г, получим ряд
оо
S сп2п, (2)
п-0
исследование сходимости которого эквивалентно исследованию
сходимости ряда (1).
Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сходится
при z == z0 =/* 0, то он сходится и притом абсолютно при любом
z таком, что |z|<|zo|, а если этот ряд расходится при z =
4= =7^=0, то он расходится при всяком z, для которого |z| >
>|zi|.
Теорема 2. Для всякого степенного ряда (2) существует
R (7? 0 — число или +оо) такое, что ряд (2) абсолютно схо-
дится в круге К — {z: |z| < /?}, если R 0, -{-оо. Этот круг
361
называется кругом сходимости степенного ряда, a 7? — радиусом
сходимости этого ряда.
Если R = 0, то ряд (2) сходится в одной точке г = 0, а если
7? = +оо, то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.
В точках границы круга К ряд (2) может как сходиться, так
и расходиться. В любом меньшем круге К\ = {z: |z|^ р < 7?}
ряд (2) сходится абсолютно и равномерно.
Для степенного ряда
cn(z — a)n
п=0
(3)
круг сходимости К имеет вид К = {z: |z— а| < 7?}.
Теорема 3 (Абеля). Если 7? — радиус сходимости сте-
пенного ряда (2), причем 0 < R < +°°, и если этот ряд схо-
дится при z = 7?, то он сходится равномерно на отрезке [0; 7?],
а его сумма непрерывна на этом отрезке.
Для радиуса сходимости 7? степенного ряда (3) справедлива
формула Коши — Адамара:
1
Т
п _____
= Нт
«-><»
(4)
Если существует (конечный или бесконечный) lim - , то
«-><» I en+i I
/?«== lim -&-I (5)
п->оо I еп + ] I
п
а если существует (конечный или бесконечный) lim Vl^nl» то
П->оо
4-=limV|Tj. (6)
А Л->оо
Пример 1. Найти радиус сходимости 7? степенного ряда:
ОО ОО со оо
4)£5V".
п~\ П-1 п-0
д 1) Так как существует
lim I — I = lim = i
I C I tl*
П~>оо I П4-1 I n->oo "
то по формуле (5) находим 7? = 1.
2) В этом случае
lim I -•& I = lim oo
Ip I и! 1
n->oo j ‘'n+l I n->oo
и поэтому 7?==-|-oo (формула (5)).
362
3) Так как 11 +«| = д/2 и существует
lim д/| с„ | = lim а /-^Z.==_L_ lim -X- ==—!=,
/7->оо n->oo V /12П д/2 гг->оо j—
л/п
то по формуле (6) получаем R — 'у/Ъ.
4) Обозначим 5г3 = /, тогда
оо оо оо
X 5V’" - £ (5zT= X
п=0 п=0 гг=О
оо
Заметим, что ряд £ tn сходится, если ]/]< 1, и расходится,
п=0
если |/|>1. Следовательно, ряд £ 5л23л сходится, если
я=0
51z\3 < 1, т. е. при \z | < 1/-\/5> и расходится при | z | > 1/^5.
Итак, радиус сходимости ряда R = 1/^5. Заметим, что R мож-
но найти и по формуле (4). В самом деле, так как
lim V|c„| = lim д/5Л ==^5.
п->оо п->оо
то по формуле (4) получаем R — 1/^5. &
Для степенного ряда
оо
Е ап!х — х0)п, (7)
fi=*0
где ап (п — 0, 1, 2, ...), х0— заданные действительные числа,
х— действительное переменное, существует R (/? ^ О— число
или + °°) такое, что при /?=И=0, +°° ряд (7) абсолютно схо-
дится, если |х — хо|</?, и расходится, если |х— х0|>^. Ин-
тервал (%о — /?; Хо +/?) называют интервалом сходимости, а
R — радиусом сходимости ряда (7).
Радиус сходимости ряда (7) совпадает с радиусом сходимо-
оо
сти ряда У ап (z — х0Г> где z ~ комплексное переменное.
п=о
При R = 0 ряд (7) сходится лишь в точке х = х0, а при
R == оо — при всех х R.
Исследовать степенной ряд (7) на сходимость — значит
найти его интервал сходимости и выяснить, сходится или рас-
ходится этот ряд в концах его интервала сходимости. Область
сходимости степенного ряда (7) состоит из его интервала схо-
димости и, быть может, некоторых граничных точек этого ин-
тервала.
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда<
у 2/1+1 ( 2) у 2”(х+1)”
; Зп2 + 2 И ’ 7 ZL п 1п2 (п + 1) ’
=-1 п=
8) £ 3"У2.
п-1
363
'A 1) По формуле (5) находим радиус сходимости ряда
/? = 1. Ряд сходится в интервале (0; 2). При х = 2 ряд расхо-
дится, так как для его /г-го члена ап справедлива асимптоти-
ческая формула ап ~ 2/Зп. При х = 0 получаем сходящийся по
признаку Лейбница ряд
V %п 1 (_____1 \п
Li Зп2 + 2 ' •
/1=1
Следовательно, область сходимости ряда — полуинтервал 0
х < 2.
2) Радиус сходимости ряда равен 1/2 (формула (5)). При
х = —3/2 и х = —1/2 ряд абсолютно сходится, так как по
интегральному признаку сходится ряд
оо
S п 1п2 (п + 1)
Поэтому область сходимости ряда — отрезок [—3/2; —1/2].
3) По формуле (4) находим, что радиус сходимости ряда
R = 1/3. При х = ±1/3 ряд расходится (не выполняется необ-
ходимое условие сходимости). Следовательно, область сходи-
мости ряда — интервал (—1/3; 1/3). а
2. Регулярные функции. Функция комплексного переменного
f(z) называется регулярной (однозначной аналитической, голо-
морфной) в точке а, если она определена в некоторой окрест-
ности точки а и представима в круге \z — а | < р, где р > 0,
сходящимся к f(z) степенным рядом:
оо
f (z) = Е сп (z — а)п. 18)
Отметим, что любой многочлен
Р (z) = X akzk
— функция, регулярная в каждой точке комплексной пло-
скости. Рациональная функция
где Рп и Qm — многочлены степени п и m соответственно, регу-
лярна в каждой точке а, Qm(a)^=0.
В теории функции комплексного переменного доказывается
(см., например, [14]), что на границе круга сходимости сте-
пекного ряда (8) лежит хотя бы одна особая точка его суммы
f(z). Отсюда следует, что радиус степенного ряда (8) равен
расстоянию от точки а до ближайшей к а особой точки функ-
ции f(z).
864
В частности, если
f(z\
_ Pn(z)
Qm U) ’
где многочлены Рп и Qm не имеют общих корней, то для этой
функции радиус сходимости R степенного ряда (8) равен рас-
стоянию от точки а до ближайшего к этой точке корня много-
члена Q т (z), т. е.
R = min Izk — а\, (9)
1 < k < т
где zk (k= 1, 2, m)—корни многочлена Qm(z).
Пример 3. Пользуясь формулой (9), найти радиус сходи-
мости R степенного ряда (8), для функции f(z):
а = 3.
2) = (Z2+ l)(z + 2) • a==Z L
3) f (z) == 3z4 _|_ 722 + 2 . a = 0.
Al) Многочлен z2 — 4 имеет корни Zi = 2, z% = —2, а наи-
меньшее из чисел |z* — a| ==|Zfe — 31, k = 1, 2, равно |2 — 3| =
= 1. Поэтому R — 1.
2) Многочлен (z + 2)(z2+1) имеет корни zj = —-2, z% == i,
Z3 = —L, причем | zi — 11 = 3, | z2 — 1 I — I z3 — I 1 = ^/2. Поэтому
Я = V2.
3) Из равенства 3z4 + 7z2 + 2 = (3z2 + 1) (z2 + 2) следует,
что многочлен 3z4+_7z2 + 2 имеет корни Zi = //д/3, z2=—Z/V3,
z3 = zV2, z4= —z д/2. Так как
min |zfe —a|= min |zfe|=l/V3>
to /? = l/д/З- ▲
3. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.
Вычисление суммы ряда. Если степенной ряд
f(x)=£ ап(х — х0)п, (10)
п—0
где ап, Хо — заданные действительные числа, х— действитель-
ное переменное, имеет радиус сходимости R > 0, то:
1) В интервале сходимости (xq — R; xq-\-R) функция f
имеет производные любого порядка, получаемые почленным
дифференцированием ряда (10).
2) Внутри интервала сходимости этот ряд можно почленно
интегрировать, т. е.
х °° п+1
f (/) dt *= ап * 7^уз— > х s (хо — хо + ^)-
*0 «“0
865
3) Степенные ряды, получаемые из ряда (10) при почленном
дифференцировании и интегрировании, имеют тот же радиус
сходимости, что и ряд (10).
оо
Пример 4. Найти сумму ряда У, пхп.
П-1
оо
д Рассмотрим ряд X хп. Этот ряд сходится, если Ixl < 1
(его радиус сходимости R= 1), а сумма ряда равна х/(1—х).
Дифференцируя почленно ряд
получаем
откуда
V пхп~1 = / ,
Дл (1 — ху
n=i
И ПхП = ’ 1Х1<1-А
П=1
Степенные ряды можно использовать при вычислении сумм
оо
числовых рядов. Если известно, что ряд У ап сходится, то его
п=0
сумму можно найти по формуле
ОО ОО
£ ап = Пт £ апхп.
п-9 х->1-0/г=0
(11)
Пример 5. Доказа гь, что:
1)
2)
у (-1)" _ П
Lj 2п -ь 1 4 •
п=0
= 1п2.
(12)
(13)
(-1)"-1
п
Д 1) Рассмотрим степенной ряд
х2га+1
*--7 -1- 1
Его сумма равна arctg х (§ 19, пример 2)'. Радиус сходимости
этого ряда равен 1, в точке х = 1 ряд сходится (признак Лейб-
ница). Применив формулу (11), получаем равенство (12).
зев
2) Рассмотрим ряд
оо
£4 = _1п(1_х),
п = \
колученньи в § 19 (пример 3). Отсюда следует, что
£±rl>^l=|n(I + l). (14)
П-1
Так как этот ряд сходится при —1 1, то из (14) по
формуле (11) следует равенство (13). А
Найти радиус сходимости R степенного ряда (20.1—20.5):
оо
20.1. 1) £ n2zn.
п=0
3'1
Е
/2=0
2) E3rt(z+1A
n=Q
Р (n+ l)(z-2)ra
1 L, 4«+2
Я = 1
оо «Е /2 = 1 nnzn. s> Ё n=l n2 1 zn.
20.2. оо »Е П=1 2Wn(z- 3)n. oo 2> E Ш n=l oo 3>E »'(!)” /2 — 1
оо 4> Е /2 = 1 V ПП n z , n\ =)E^- /2—1 « Ё rt—1
20.3. оо »Е /2 = 1 zn (2n)t oo 2) V a > 0.
оо 3! Е П=1 п\е~ 'zn, a > 1. oo 4) S nl («+ 1)! n=l (/w); n., fceN. ... (n + &—1)!
оо 5) У, П = 1 n\zn\ 6) £ (2- /2=1 - 7Г) (2 - .. (2-V7)zn.
20.4. оо 11 Е п =; n(cos4)2” zn. 2) У — n—1 (Зяп/4) n
оо
3) У ((1 — —) arctg е"«) (z + 1)п.
П = 1
367
4)
И2 4-3
n2 4- 5
оо
5) £ (14-arctg-^1) (z + 2)n.
n—1
oo
6) £ (in cos-^z".
n=l
20.5.
E2" (1 4- Z)3"
(n+ l)(n4-2)
n= I
3>L
n = l
(2 4- i л/ъ ;\3n
2) f (2-)“гЧ
n-1
4) У -------—----------,
(1 4- i) (1 4- 2/)... (1 4- ni)
20.6. Найти интервал сходимости степенного ряда:
1) X (sin (V«+ 1 — V«))U 4- 1)"
n=l
2) £ ( sin -J) (X - 3)". 3) £ -5~(x - 1Л
n=l n—1
4) £ (arcsin Л-Лх-ЗЛ
n~l v
/1=1
6> Ё
n=*l
Найти радиус сходимости R и интервал сходимости степен-
ного ряда, исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходи-
мость в концах интервала сходимости (20.7—20.11):
20.7. 1) £
(X - о» .
«Vй
2)
2п — 1 \га
Зп 4- 2
л
4)
(-1)"-' 2ге 4- 3
Зя2 4- 4
оо
3>L
Л-0
(—1)" хп
2п 4- 1
6)
я4 4- з
я3 4- 4я
(х 4- 2)п.
368
20.8. ,) у 2) у
п + 1 V+ 1 Зп 4~ 2
п =• 1 П =» 1
у ^2^Г1-иУ2^_(л + зг_
Z—/ \п
п-1
4 £(д/а-1)х", а > 0. 5) £ З"(п3 + 2)(х - 1)2п.
//=•1 п=0
6) f 4"2(х+ if.
п —1
20.9. и у »"
п—1
п’
« + 2)“.
2>Е^.
з>£(1-
П*
4)
в + 1-Ц2£(х+1Г.
6)
Е(1 4- 2 cos (лп/4))п хп
1п2 (»+ 1)
п
20.10. 1) £
п—\
(2п— !)!!\а
X <
2) £ ( (2п)1!
п-1
оо
»> Ё (4+-£) *“ “>“• 6>°-
п —1
оо
g>0’ b>Q-
оо
V-1 а (а— 1)...(а — (п— 1)) „
5) 2и------ni-------х •
п-1
оо
6) £<->П<ШгГ <*->)•
п = 1
ОО /—
Eq 'у П
. (Х-1Л
Vn2 4- п 4-1
у. (-1)1^1
6)у у
п-1
п—1
1>"
v(n) —число цифр числа п.
869
20.12. Найти область сходимости степенного ряда:
оо оо
1)£Л< 2)Е<^Х. »>0.
п~\ п^\ а
оо
3) X ХП" а> I'
/1 = 1
20.13. Определить область сходимости гипергеометрического
ряда:
1 д_ а‘Р v и- <*(«+ 1)р (рЧ- 1) о I
1 ‘ 1 • Y Л 1 1 • 2 - v (V + 1) ’
. а (а + 1) ... (а + п ~ 1) р (Р + 1) ... (Р + n ~ 1) п
1-2 ... п Y(y+ 1) .. W + n~ 1) X -b ...
Исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость в
концах интервала сходимости.
20.14. Найти область сходимости ряда:
п У 9) у _ L. - Г1 - у"
b 3n(n+l)‘ Ь 2«4-3 к 1 +х J '
/1 = 1 .7 = 1
СО °° _ 2
'» 2(1+В
п-1 /2 = 1
оо 00
5) £2’cos” х. 6)X^-tg”x.
/г=1 n=l
оо
20.15. Пусть радиус сходимости степенного ряда X ра-
п = Э
вен 1?. Найти радиус сходимости степенного ряда:
оо оо
1) y Cknzn, k «= N. 2) у cnzkn, k е N.
П = и /г= '
3> £ -ПИТТ2"-
п=Э
оо
20.16. Пусть радиуса сходимости степенных рядов У апхп
оо
и X Ьпхп равны /?1 и Л2 соответственно. Найти условие, ко-
/1=0
торому должен удовлетворять радиус сходимости 7? степенного
ряда:
оо оо
1) I (ап + Ьп)хп. 2)^апЬпхп.
п«0 п=0
370
20.17. Доказать, что степенной ряд ап(х — x0)rt сходится
п=0
равномерно на любом отрезке, лежащем внутри его интервала
сходимости.
20.18. Пусть
Z=lim -22-1, L= lim 1-22-1
an + l I n->oo| an + l I
R— радиус сходимости степенного ряда у апхп. Доказать, что
/ < R < L.
оо °0
20.19. Доказать, что степенные ряды У, anzn, V -2”_. zn+l
п=0 „ "+ 1
оо
и nanzn~l имеют один и тот же радиус сходимости.
20.20. Доказать, что если функция f(z) представима в круге
\z — го|</?, где R > 0, сходящимся к ней степенным рядом
оо
/(*)=£ Cn^-Zo)n, то:
п=0
1) Для n-го остатка этого ряда справедлива асимптотиче-
ская формула
оо
rn (?) = X Сп (z — z0)n = о ((z — Zo)n),
т. e.
пРи 2-*zo-
2) Коэффициенты cn степенного ряда определяются одно-
значно (единственность разложения регулярной функции в сте-
пенной ряд).
20.21. Найти радиус сходимости R степенного ряда f(z) —
оо
= У если:
П=0
1) f(z) = а#=0. 2)f(z) = -~77, fl^0,/neN.
3) f (z) = Зг4 + 10z2 3 - 4) f(z)= 2z3_6z2 + 2_3 •
20.22. Найти радиус сходимости R степенного ряда
оо
рйГ = ап~~ Х^П'
л=0
не находя коэффициентов ап, если:
1) Р(Х)=х х2_х_2( Хо = О. 2) Р(х)=х2-|_ 1, х0 = —1.
3) Р(х)=х2 — х — 6, х0=1. 4) Р(х)=х2 — х+1, х0 = 2.
371
5) Р(х) = 2х2 + Зх — 2, х0 = —1/2. 6) Р(х)=х3 —8,
х0 = —3.
оо
20.23. Доказать, что если степенной ряд £ сп£п сходится в
п=0
точке Zo, то он равномерно сходится на отрезке, соединяющем
точку Z = 0 С ТОЧКОЙ Z = Zq.
оо
20.24. Пусть сходится ряд У, ап и S — его сумма. Обозначим
п=0
Sn = uq -j- щ ~F • • • ~F an (п == 0, 1, 2, ...),
__So + Si + ... + Sn
°n— n + |
Доказать, что:
oo
1) Для всех xe(0; 1) сходится ряд X апхП-
п==0
2) Для всех х таких, что |x|<min(l; R), где — радиус
оо
сходимости ряда У апхп, выполняются равенства:
и»0
оо оо
У апхп = (1 — х) X Snxn,
п=0 п=0
со оо
S- У апх" = (1 — х) У (S — Sn)xn,
п=0 п=0
оо оо
у апхп = (1 — х)2 У (п + 1) <т„х".
n=Q гг«О
оо
20.25. Доказать, что если ряд У ап сходится и его сумма
равна S, то существует
оо
lim У anxn = S.
х->1 —0 п=0
Справедливо ли обратное утверждение?
20.26. Пусть ап 0 (п = 0, 1,2, ...) 'и существует
оо
lim У апхп = S
X-+R-0 п=0
Доказать, что
у anRn = S.
п в0
оо
20.27. Доказать, что если степенной ряд X апхп сходится при
х е (0; 1),
Пт Д1 + ?«»+ ••• +«^.^о и цт у апхп = А,
372
то
lan = A.
оо
20.28. Пусть радиус сходимости степенного ряда X апхп ра~
п—А
вен 1 и ап > 0 (п = 0, 1,2, ... ). Доказать, что:
1) Если сумма f(x) этого ряда ограничена на промежутке
оо
[0; 1), то ряд ап сходится и
п=0
оо
lim f (х) = £ ап.
х->1 —0 п«0
оо
2) Если ряд X ап расходится, то
lim f(x)== + оо.
х->1-О
ОО
20.29. Пусть степенной ряд Хоапх” сходится на интервале
(0; 1), а его сумма равна f(x). Если существует lim f(x) = A,
я->1—0
ОО
то говорят, что ряд X ап суммируем методом Пуассона — Абеля,
п=0
а число А называют «обобщенной (в смысле Пуассона — Абеля)
суммой» данного числового ряда. Показать, что следующие ряды
суммируемы по методу Пуассона — Абеля, и найти соответствую-
щие обобщенные суммы:
ОО ОО
1) У (- .)"• 2)1+Е cos пб, - л^0 < л.
п=0 п«1
оо
3) sin пб, — зт^б^л.
п»=1
со
20.30. Доказать, что если ряд ^ап суммируем по методу
средних арифметических (см. задачу 16.47), то он суммируем и
по методу Пуассона — Абеля к той же сумме (теорема Фробе-
ниуса).
оо оо
20.31. Доказать, что если ряды X ап И X Ьп суммируемы по
п=0 и=0
методу Пуассона — Абеля к суммам А и В соответственно, то и
оо
ряд X (ciobn + a^n-i + ... + ап_\Ьп + апЬ0), т. е. произведение
п=0
данных рядов, суммируем по методу Пуассона — Абеля к сум-
ме АВ.
373
20.32. Пусть ап > 0, bn > 0 для у« s N. Доказать, что:
I) Если
lim -^- = А
П-ЮО ЬП
оо
и ряд ап расходится, то
п=1
lim
х->1 -0
оо
£ апхп
п~1
оо
£ ьпхп
2) Если
где
lim -^~ = А,
и если ряд
п п
X ^k’ — X Ь^9
k = \
оо
X &n расходится, то
п = 1
оо
£ апхп
lim —---------= Д.
оо
£ ьпх»
П=1
§ 21. Ряд Тейлора
1. Понятие ряда Тейлора. Остаточный член ряда Тейлора.
Если функция f определена в некоторой окрестности точки xQ и
имеет в точке х0 производные всех порядков, то степенной ряд
оо
-Ц^-(х-х0)"
п=\
(1)
называется рядом Тейлора функции f в точке Xq,
В случае, когда Хо = 0, ряд (1) называют рядом Маклорена.
Если функция f регулярна в точке х0, т. е. представляется
в некоторой окрестности точки х0 сходящимся к этой функции
степенным рядом
оо
f (х) = £ ап'х — х0)", |х —х0|<р, р>0,
то функция f бесконечно дифференцируема в окрестности точки
Хо и в этой окрестности равна сумме своего ряда Тейлора (1) и,
следовательно, коэффициенты ап степенного ряда задаются
374
формулами
«о = f (*о), ап = f( , п ge N.
Обратное неверно: существуют функции, бесконечно диффе-
ренцируемые в окрестности точки х©, ряд Тейлора (1) для кото-
рых не сходится при х =/= х0 к /(х). Обозначим
S„(x) = £ ^^-(x-x0)k,
? П Х) f (^) Sn (^)
и назовем гп(х) остаточным членом ряда Тейлора для функции f
в окрестности точки х0 (или в точке х0). Тогда если функция
f<n+V(x) непрерывна на интервале А = (х0— б; х0 + б), то для
любого хе А остаточный член можно представить:
а) в интегральной форме
rn (X> = -X- § (х — /)" /*"+') (/) dt;
х«
б) в форме Лагранжа —
где £ принадлежит интервалу с концами х0 и х;
в) в форме Коши —
гп(х)= ^"H>Uo+|e(x~%o)) (1 -e)"(x-x0)n+1, o<e<i.
Теорема. Если функция f и все ее производные ограничены
в совокупности на интервале А = (х© — б; хо + 6), т. е. суще-
ствует такая постоянная М > 0, что для всех х&А и для и —
= 0, 1, 2, ... выполняется неравенство |f(n)(x) | М, то функ-
ция f представляется в каждой точке х е А сходящимся к ней
рядом Тейлора:
(2)
п«=0
2. Разложение основных элементарных функций в ряд Мак-
лорена.
1. Показательная функция:
<3)
л-о
375
2. Гиперболические функции:
chx = £
(4)
оо
shx = £ (2zt+ 1)( •
п-0
,2n+l
(5)
3. Тригонометрические функции:
COS X = У
n—О
(-1)пх2п
(2п)1
(6)
sin X = £
(_1)Пх2п+1
(2« + 1)!
(7)
Ряды (3) — (7) сходятся для всех хе(-оо; -|-оо), т. е. ра-
диус сходимости каждого из этих рядов равен +оо.
4. Степенная функция:
оо
(1 + х)“=1+£ С£хп, (8)
/2=1
где
Гп^ а(а— О ... (a — (n — 1))
Если а =# 0, а #= k (k е N), то радиус сходимости ряда (8) ра-
вен 1.
Важные частные случаи формулы (8):
Б. Логарифмическая функция;
nu-xi—Z4-
п-1
(9)
(10)
(И)
(12)
1П(1 + х) = £
П = 1
Радиус сходимости каждого из рядов (9) —(12) равен 1.
«7в
Пример 1. Используя формулы (8)—(10), доказать, что:
1) = £ 1* *1<1- (13)
П-0
2) = Х (п+1)х", |х|<1. (14)
п=0
« vfb? =1 + W<L <15>
/2"1
4) VT+^= 1 + 4 + £ •(~1)^2пУ ~3)!! x2" k I < 1- (!6>
n—2
Al) Заменяя в формуле (10) x на x2, получаем степенной
ряд (13), радиус сходимости которого равен 1.
2) Так как
Г.П —2 (—2 - 1) (-2 - 2) ... (-2 - (п - 1)) r , nnz , п
то, заменяя в формуле (8) х на —х и полагая а = —2, полу-
чаем ряд (14), сходящийся при |х|< 1.
3) Заметим, что
с. Н)Н-')-Н-Н
С-1/2 = ---------------------------=
(—1)” 1 • 3 ... (2и — 1) , . „(2п-1)!1
2"п! ' ' 2"«1 '
Полагая в формуле (8) а — —1/2 и заменяя х на —х2, полу-
чаем ряд
оо оо
Л—-1 + У х2г=1 + У
V1 — %2 2пп1 2пп\
* /2-1 /2 = 1
радиус сходимости которого равен 1. Отсюда, учитывая, что>
2ли! = 2-4-6 ...(2п) = (2и)!!,
получаем разложение (15).
4) Так как
— ( 1) (2/г)И ’ 2 и Ci/2 = 1/2,.
то из формулы (8) следует равенство (16).
3. Приемы и методы разложения функций в ряд Тейлора.
Способы нахождения коэффициентов ряда Тейлора аналогичны
рассмотренным в [1], § 18. Отметим, что обычно коэффициенты
377
ряда Тейлора находят с помощью формул (3)—(12), применяя
различные приемы: представление данной функции в виде
суммы более простых функций, замена переменной, почленное
дифференцирование и интегрирование ряда, метод неопределен-
ных коэффициентов и др.
Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию
f (Х) —_______-3Л+ 8_________
1 [ ' (2х — 3) (х2 + 4) •
Л Представим рациональную функцию f(x) в виде суммы
элементарных дробей:
Зх + 8 _ А . Вх +С
(2х — 3) (х2 + 4) 2х — 3 х2 + 4 ’
Отсюда находим
Зх + 8 = Л(х2 + 4)+(Вх+С)(2х —3).
Приравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых
степенях х, получим систему уравнений, из которой найдем
А = 2, В = —1, С = 0. Поэтому
f (И —________?---—_______________*
11 2х — 3 х2 + 4 / 2х \ / , x’V
Используя разложения (9) и (13), получаем
оо оо
(?) *“ + Е<~"
п-0 4 п-0
ИЛИ
оо оо
г г (^-(|) >-•
п=0 п—0
Радиус сходимости ряда равен 3/2. а
Пример 3. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки
Хо = 2 функцию f(x)= 1п(4 + Зх — к2)
А Так как 4 + Зх — х2 = (4 — х)(х+ 1)» то, полагая х — 2 —
= /, получаем
f(x) = £(/) = ln(2-/}(3 + /)==ln6 + ln(l -4) + In(1 +4).
Используя формулы (11) и (12), находим
оо оо
*™-Е^+Е^=^-
n=l n—1
откуда получаем
оо
Цх) = 1п6+ £ -2-п)(х-2)п,
П=1
радиус сходимости ряда равен 2. А
378
Пример 4. Разложить б ряд Теглора в окрестности точки
%о = л/4 функцию f(x) = sin4 х.
л Так как
•о 1 “ COS 2х 2 14- cos 2х
sm2 х =---------, cos2 х =---------.
то
г , Ч ( 1 — COS 2х V 1 1 0.1+ cos 4х
/ (х) = --------j = у — - cos 2х 4----§----»
т. е.
f (х} — ~ — 4- cos 2х 4- 4"cos 4х.
о z о
Обозначим t = х — л/4, тогда х = i + л/4,
cos 2х = —sin 2/, cos 4х = —cos 4t
и поэтому
f lx) = g (/) = -J 4- у sin ‘2l — Т cos 4/.
Используя формулы (6) и (7), получаем
= 3 4- 1 У (-1)П22п+1 2n+l 1 Y (-1)" 4?n<2"
8 ' 2 zL (2n+l)! 8 L (2n)! '
/1 = 0 n=v
откуда находим
f (r>— 1 I У (—l)ra22n ( _ «Уп+1 . У (-l)n+124»-3/ _ zyn
1\Х,— 44-Д (2«+1)! V 4 7 L, (2n)l k 4 J "
n=0 n = l
Радиус сходимости ряда равен 4-°°«
При разложении функций в ряд Тейлора часто используют
почленное дифференцирование и интегрирование рядов.
Например, формулу (14) можно получить, почленно диффе-
ренцируя ряд (9), а разложение (11)—почленным интегриро-
ванием ряда (10). В § 19 (пример 2) было доказано с помощью
почленного интегрирования ряда (13), что
Е°° (_
—2п"+Г....' <17>
и=0
Радиус сходимости ряда (17) равен 1.
Аналогично, почленно интегрируя ряд (15), получаем ряд
со
<>8>
П = 1
радиус сходимости которого равен 1.
Пр и мер &. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) и
найти радиус сходимости ряда:
1) /(%)== In (% + Vx2-Р1). 2) f(x) = arctg
379
Л 1) Заметим, что
(1п(х+ д/х2+ =
VI + X2
и воспользуемся разложением
'= 1 + У (—1)” (2zt — 1)11 2я 19)
которое получается из формулы (15) заменой х2 на —х2. Инте-
грируя ряд (19), получаем
оо
ta(,+V^1)=l+ZJM..gL ед
П = 1
радиус сходимости ряда равен 1.
2) Так как
f'w= ,+(1±|)!
то из (13) следует, что
оо
__________________ 2п
п =»0
Интегрируя полученный ряд, находим
х оо х
JГ(/)di=f(х)-f(0) == £ $t2ndt,
0 n=0 0
или
oo
Е/ nn+l v2n+l
/A-irn-
n =0 1
где
f(0)= arctg (—1 )=—n/4.
Радиус сходимости этого ряда равен 3. А
При разложении функций в ряд Тейлора иногда бывает
удобно применить метод неопределенных коэффициентов ([11,
§ 18).
Приведем пример для иллюстрации этого метода.
Пример 6. Пусть
( ~ ~ 1 > х 0,
f(x) = -{ е -1
I 1, х = 0.
Запишем ряд Маклорена для f(x) в виде
оо
п«0
(21)
£80
Доказать, что коэффициенты Вп (числа Бернулли} можно найти
при п 2 из рекуррентных соотношений
Cn+iBo + Сп+1В, + Cn+iBi + ... + С”+}Вп-1 + Сп+1ВП ™0, (22)
где С*+1— биноминальные коэффициенты (С“+1 = 1),
Во=1, В1 = —1/2.
Л Из (21) и (3) следует, что
Так как Во = f(0) = 1 и коэффициенты при хп (n 1) в левой
части равенства (23) равны нулю, то
п
у __________1____= 0
Zu М (п+1-А)!
откуда, используя формулу
"+1 Щп+1-6)Г
получаем
(n+Di i Bftc„\, = o.
В = О
Равенство (22) доказано. А
Замечание. Можно показать, что B2k+l = 0 (k е N), а
радиус сходимости ряда (21) равен 2л (см. с. 384).
4. Элементарные функции комплексного переменного. Пока-
зательная, гиперболические и тригонометрические функции для
комплексных z определяются соответственно формулами
оо
<24>
п=0
ОО
Е 2п
W (25>
п=0
оо sh2=Е пх=0 оо COS 2" = Е оо Sin Z — У п-0 2п+1 (2П+1Х- <26’ /_ 1)пг2п (i). • <27> / 1 \п у2п+1 %"+1)1 (28>
381
Ряды (24)—(28)' сходятся во всей комплексной плоскости
(радиус сходимости каждого из этих рядов равен 4-оо).
Заменяя в равенстве (24) z сначала на iz, а затем на —iz,
получаем
Так как
то
/2Л=(_!)\ ^+1 =(—1)^ (£ge N),
eiz-\-e iz V (—l)nz2n eiz — е iz V (—l)nz2rt+I
2 “ Zu (2лг)! ’ 2i L (2n + 1)!
n=0 л=0
откуда, используя формулы (27) и (28), получаем
eiz + e~iz . eiz-e~iz
zosz=-----, sin 2 =------------. (29)
2 2i 4 ’
Из равенств (29) следует, что
eiz — cos z + i sin z. (30)
Отметим, что для любых комплексных zi и z2 справедливо
равенство
= ez'+z\ (31)
которое можно доказать с помощью почленного перемножения
рядов. Из равенства (31), в частности, следует, что если z =
= % + ЧЛ где х, у — действительные числа, то
qZ — ex±iy —, gXgiy.
Отсюда, используя формулу (30) при z = y, получаем
ez = e*(cos у + i sin у). (32)
Из равенства (32) следует, что
£г+2лг — ^z
т. е. ez — периодическая функция с периодом 2ш. Поэтому для
каждого комплексного z =И= 0 уравнение
ew—z (33)
имеет бесчисленное множество решений вида
w + /2дм,
где nsZ, a w — одно из решений уравнения (33). Если
w = и + iv,
то
z = ew = еи (cos v 4- i sin и),
откуда
|z|==6M, и = In|z I, argz = y.
382
Пусть ср — какое-нибудь значение аргумента числа 2, тогда
v = ф + 2т, n^Z.
Таким образом, все решения уравнения (33) (их обозначают
символом Ln 2) задаются формулой
Ln z = ln|z|+1(ф + 2лл), neZ, (34)
Уравнение (33) можно рассматривать как равенство, кото-
рое определяет функцию w = w(z), обратную к показательной
функции ez. Из (34) следует, что функция w(z) — Lnz (лога-
рифмическая функция) является многозначной
Если значения аргумента числа г выбирать на полуинтервале
(—л; л], то значение Ln2 определится однозначно Однознач-
ная функция, ставящая в соответствие числу z указанное зна-
чение Ln 2, обозначается In 2. Итак, если
2 = г (cos ф + i sin ф), где — л < ф л,
то
In 2 = In г + /ф. (35)
Из равенства (35) следует, что если z = %+ iy и —л < у л,
то
In ez = 2.
Если \z—1]^ 1, 2=#0, то функцию In2 можно разложить в
степенной ряд:
1п2=£(_1Г.<^Г.
п-=1
Заменив в этом разложении 2 на 2+ 1, получим
оо
ln(l+z) = £ Z=/=-l. (36)
Отметим еще, что если
21 = г {е^л, z2 = r2ei(f)2,
где —- л/2 < Ф1 л/2, — л/2 < ф2 л/2, то
In (2122) = In 2j + In 22, In (zjz2) = In z{ — In 22.
Пр и м e p 7. Разложить в степенной ряд в окрестности
точки 2 = 0 функцию f(z) = ezcosz.
А Для нахождения искомого разложения можно перемно-
жить ряды (24) и (27). Однако для эффективного вычисления
коэффициентов степенного ряда для f(z) удобнее использовать
формулу (29) для функции cos2. Применяя равенство (31), по-
лучаем
f (z) = ez (е>г+2е ') = 4 (ez <1+г> + е2 <> - г>).
383
Так как
то по формуле (24) находим
Е°° 2n/2 / e‘nn/i , e-inn/i\
v-------------------)’
n«0
ИЛИ
n==0
Ряд сходится во всей комплексной плоскости. А
Замечание. При вычислении радиуса сходимости R сте-
пенного ряда
Ё сп (z — а)п = f (z)
п «=о
часто вместо формулы Коши — Адамара (§ 20), применяется
формула
R = — а |,
где минимум берется по всем особым точкам функции комплекс-
ного переменного f(z) (см. § 20, п. 2).
В частности, для функции f(г) = z/(e* — 1), рассмотренной
в примере 6, особыми точками являются корни уравнения
ег = 1. Это уравнение, согласно формуле (34), имеет корни
гп = 2&ш, feeZ.
Ближайшими к точке а = 0 являются точки 2ш и —2л/, по-
этому 7?=|2ш|=2л, т. е. радиус сходимости ряда (21) ра-
вен 2л.
5. Решение дифференциальных уравнений с помощью степен-
ных рядов. Рассмотрим дифференциальное уравнение
{/" + РМу' + q(x)y = f(x), (37)
и будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее на-
чальным условиям
уМ^Уо, У'М = У1, (38)
где хо, //о, У\ — заданные числа (задача Коши).
Если функции р, q, f представляются степенными рядами
вида
Г сп(х —
сходящимися к этим функциям в некоторой окрестности точки
Хо (регулярны в точке Хо), то существует единственное решение
384
задачи Коши (37)—(38), представимое в виде степенного ряда
у » = Е ап (х — х0)п, (39)
п=0
сходящегося в некоторой окрестности точки х0.
Находя из равенства (39) с помощью дифференцирования
степенные ряды для у\ у", подставляя в уравнение (37) вместо
у, у'> у"> Р, У, f их разложения в степенные ряды и производя
соответствующие арифметические действия над степенными ря-
дами, запишем уравнение (37) в виде равенства двух степенных
рядов.
Из полученного равенства можно последовательно найти
коэффициенты ряда (39) и тем самым решить задачу Коши.
Пример 8. Найти решение уравнения
у" — ху — 0, (40)
удовлетворяющее начальным условиям:
1) f/(0)=l, /(0) = 0. (41)
2) z/(0) = 0, /(0)=1. (42)
А Будем искать решение уравнения (40) в виде степенного
ряда
оо
У = Е апХп. (43)
л==0
Тогда
У" = Е «(« — 1)апхп~2 = 2а2 + Е (« + 2) (п + 1)«п+2*"»
оо
ху= Е ап_ххп,
/1 = 1
и уравнение (40) примет вид
2а2 +Е '«+1)(«4-2)а„+2х"= Е ап_ххп.
п=\ п=1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в этом
тождестве, получаем
«2 = 0, (п+ 1)(п + 2)ал+2 = neN. (44)
Так как а2 — 0, то из рекуррентной формулы (44) следует, что
«5 = 0, а8 = 0 и, вообще,
a3n^] = 0, mgN. (45)'
Из этой же формулы находим
ciq ___ a j
аз" = (2-3)(6-6)...((3n-l)-3n) ’ йз"+1 = (3-4) (6-7) ... (3п(3п+ >)) *
(46)
13 Л. Д. Кудрявцев и др. 335
Если выполняются условия (41), то из (43) следует, что а0= 1,
щ = 0, а если выполняются условия (42), то а0 = 0, «1 = 1.
Обозначим ух и у2 решения уравнения (40), удовлетворяю-
щие начальным условиям (41) и (42) соответственно. Тогда из
равенств (45) и (46) следует, что
х3 х6 х3/г
1 + + "(2 • 3) (5 • 6) + • * • + (2-3) (5-6) ... ((Зп - 1) Зп) + * ’ *
(47)
х4 х7 х3п+1
^2 = jV + '374'+ (з . 4) (6 • 7) + • ’ * + (3.4) (6 7) ... (Зп (Зп + 1)) ’
(48)
Заметим, что ряды (47) и (48) сходятся при любых /еК,
а решение уравнения (40), удовлетворяющее любым начальным
условиям, является линейной комбинацией решений ух и z/2- А
6. Нахождение сумм рядов и интегралов. Различные способы
вычисления сумм числовых и функциональных рядов рассмо-
трены в § 13, 19, 20.
При вычислении сумм числовых рядов иногда удается пред-
ставить ряд в виде линейной комбинации известных рядов:
оо
(49)
п«=1
ад
оо
£ <51>
П=1
Z ™
П=1
Равенства (49) и (52) доказаны в § 20 (пример 5), а ра-
венства (50) и (51) можно получить, например, с помощью ряда
Фурье для функции х2 (см. задачу 22.45).
оо
Пример 9. Найти сумму ряда X ^2*л-
П“1
д В § 20 (пример 4) было показано, что
оо
У пхп — 7-. * .2 , I X I < 1
(1 — х)2 11
П=»1
Дифференцируя почленно этот ряд, получаем
У „2уЛ-1 _ (1-х)2 + 2х(1-л) _ 1+х
Zu ~ (1-х)4 — (1 - х)3 •
П = 1
386
откуда находим
п2хп = уР^-, |х|< 1. А
П = 1
Пример 10. Вычислить сумму f(x) степенного ряда
“ рп-i %2П
2L п (2п — 1)
п=1
а затем с помощью метода Абеля (§ 20, (11)) найти сумму
у (-О”-1
Zu п (2п — 1)
П=1
А Дважды дифференцируя почленно степенной ряд
Т{Х) Zj n(2n-l)
n=l
и используя разложение (13), находим
оо оо
Г(х) = 2^ (- lf-1x2(«-»=2£ (- 1)"х2«=-г^г, |х|< 1.
п=1 п=0
Откуда, последовательно интегрируя дважды, получаем
f' (х) = 2 arctg х + С,
f(x) = 2х arctg х — In (1 + х2) + Сх + С{.
Заметим, что f(O)=f/(O)=O и поэтому С — Ci = 0. Следова-
тельно,
f (х) = 2х arctg х — In (1 + х2),
т. е.
Е 1Т(Уг=ПГ’ = 2х arctS - In (1 + X2).
П = 1
Так как данный степенной ряд сходится при х — 1, а функция f
непрерывна в точке х = 1, то, применив формулу (11) § 20,
получаем
оо
у _(-1ГУ = л_1п2
Zu л (2л-1) 2 •
П=1
Этот же результат можно получить, используя равенства (49) и
(52). А
Пример 11. Вычислить интеграл
J X
о
13*
387
А Используя разложение (11), получаем
In (1 +х) у (— I)""1*""1
X La п ’
п=1
откуда находим
/=( У dx=Y -blpL
J Z—i n La nz
0 /2 = 1 n^\
Из равенства
oo oo oo
E(— I)”"1 5П 1___________________________1 у 1
n2 La (2n — I)2 4 La n2
n = l n=l n=»i
и формул (50) и (51) следует, что J = л2/12. А
7. Приближенные вычисления значений функций и инте-
гралов с помощью ряда Тейлора.
Пример 12. Доказать справедливость равенства
ln(m+ l) = lnm + 2 V ---------------оттт * meN, (53)
(2«+l)(2/n+l)2n+1
и с помощью этого равенства вычислить In 2 и In 3 с точностью
до 10~5.
А Используя разложения (11) и (12), находим
'"Т^7 = 2£1Ьт- '’К1' <и>
откуда при х= l/(2m+ 1) получаем равенство (53). Обозначим
°°
V~Л у2"+ 1
Rp(x) — 2 ^2 2п+ 1
и воспользуемся при х > 0 неравенством
9 у2Р"Н
I Rp (х) | < (2р+ 1) (1 _х2)
Отсюда, при х=1/3(т=1) получаем /?p^C10“D при всех
р 5, а при х — 1/5 (т = 2) находим Rp 10-5 для всех р 3.
По формуле (53) имеем
4
In 2 « 2 У -----Ц—? « 0,69315,
(2п + 1)32га+1
2
In 3 « In 2 + 2 У ----1..-g—г « 1,09861. Л
(2п+1)52п+1
п=0
388
Пример 13. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл
1
/= е~х dx.
о
Л Используя формулу (3), получаем
(-1)"х2п
е = ----п\---
п=0
откуда находим
/=У Ji
Z-. nt (in +1)
п—0
Полученный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница
(§ 15). Поэтому для его т-го остатка
Е(— 1)"
nl(2n+ 1)
справедливо неравенство
I г U------------------
1 т (т+ l)f(2/n + 3) ‘
Так как неравенство |rm|^ 0,001 выполняется при гп 4, то
у JJlL^i _±+J_________-+ —
nl(2«+D 3^10 42 ' 2I₽>
fl-0
откуда J ** 0,747. a
21.1. Используя разложения (3)—(7), доказать следующие
формулы, справедливые для всех х9.
оо
1) = £ еаХ ^-(х- х0)п.
п=0
»>«•
п^0
оо
vn а2п
3) chax = £
4) sinax = X^l ''R-^nKx2"+‘-
м=-0
389
21.2, Используя разложения
(8), (13), (16), (19), доказать,
что:
1)
оо
п=0
ab =Z= 0.
3) J - 1 ' У (~1)П {— - 1)11 х2п
'у/а2 + х2 a «2rt+1 (2n)P ’
| X | < a,
a > 0.
n=2 7
a > 0.
21.3. Используя разложения (11)—(12), доказать, что:
оо
1) In (a +z>x) = lna + £(— I)"-1 (4) V’
n=l
2) In JL±£=y 2 pV"+1, M<fl>
7 a — x L 2n^l \ aj ’ 1
n^O
l*l< ITT-
a > 0, ft =# 0.
Используя
Маклорена и
(21.4—21.12):
формулы (3)—(20), разложить функцию в ряд
найти радиус сходимости R полученного ряда
2L4. 1) 2) 3) 41 (1 -хТ?/2.
5) sin — . 'б)сЬ(хУГ). 7) . 8 Vl — х2.
3 V Vl - 2x
21.5.
1) e2x + 2e~x.
2) (1 + x<e~x.
3; x2 In -4 -j- *2>-
4) (1 — л) In (1 — x). 6i il 4-x2) arctg x.
21.6.
21.7.
7) -T(shx+ s’n
p 5x — 4
b x + 2 ‘
4) 3x + 4
7 X2 + x — 6 *
7) (X + 1) (X2 —
8) arccos x.
2)________!_____
x2 - 2x - 3 ’
j-ч 5 — 2x
' x2 — 5x + 6 ‘
3) + 5x — 3
6) (x2 + 2)2 •
5 — 4x2 — x4
1)_________!________
Зх" + 10x2 + 3 •
2) 2x4 + 5x2 + 2' 3' (1 — x2)(x2 + 4)*
Л1 2x2 + x + 3
(l-x)2(2+x)-
1 — x - x2 • 6 ; 1 + x + x2 •
8S0
21.8. 1) хз + х2 + зх + 3’ 2) x3 +х2 — 4х —4‘ 8) ха+х2+2х+2'
4)------------!-----------
' х4 + х3 + х2 + х + 1 ‘
21.9. 1) In —— . 2) 1п(12 —х —х2).
2 + Зх
5) In6) (х2 + 5)1п|^.
21.10. 1) |п-—^1Г7. 2) 1п-ж2~ '§ •
х2 — 4х + 4 х 4- 8
3) In 10ti*37*2 • 4) 1п73 —х + 6х2 —2х3 •
21.11. 1) cos2 х. 2) sin Зх sin 5х. 3) sin х cos2 х.
4) xsin2xcos3x. 5) sin3x. 6) xcos32x.
21.12. 1) x2ch2x. 2) xsh2x. 3) ch3x.
21.13. Доказать, что если a > 0, то
4) sin5x.
In (х 4~ д/а2 4~ *2) == In a 4~ 77 4~ У
П = 1
(-1)" (2л-1)11 х2п+,
(2n)l! a2n+l (2п + 1)
Найти радиус сходимости этого ряда.
Разложить в ряд Маклореиа
димости /? ряда (21.14—21.16):
функцию и найти радиус схо-
21.14. 1) х In (х + д/х2 + 2). 2) х In (х2 4- д/9 4- х4).
3) In (х3 + V9 + х6). 4) In (х3 4-д/64 + х6).
5) (х2—1) arcsin 2Х2. 6) х2 arccos 2х.
7) In (е,+2х (х2 + д/1 +х4)).
21.15. 1) х arcsin х + д/1 — х2. 2) х arccos х — д/1 —х2.
3) 2х arctg х — In (1 4- х2). 4) —у+у Vl—х2 4-4arcsinx-
5) Т1пТ=7 +4 arctgх. 6) 1п(л Vftv) + arctgT-
21.16. 1) х In (х 4- д/1 4- X2) — д/1 4-
2) (|+х)е-2«-(|-х)еЧ
3) 1п((2 4-х)2+*)4-1п((2-х)2-*).
391
4) х х2 + 4 + 4 In (х + + 4).
5) 5 + -J + у In (х 4- д/АЛ).
2'1.17. Доказать следующие формулы:
ОС
1) т(е* + е~х + 2 cosx) >= V * " , —оо < х < н- оо.
2) + 2е~*/2 cos ——) — У
оо
4) lx2 - f - j d - х)2 In (1 - x) = £ „ (и _Л".+(я—,
n-1
|X|< 1.
Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х$
и найти радиус сходимости R полученного ряда (21.18—21.21):
21.18. !) ^-бх + 6’ «о”1’ 3) '^-'8х+ 18)у> 2) (x2 — 2x + 3)2 ’ X° L 4) %Э ~ 3x2+4x - 1 = j
4' x2-2x + 2 ’ X° 1 *
21.19. 1) ' Хп==6. 2) - Д— ' , x0 = 5.
7 Vx2 — 12х + 40 7 Vx2 — Юх + 29 °
L , — а 4) —— ? ., Xn = 2.
7 Vx2 — бх +18 ’ 0 -4x4-3
к) 1, „х. = з
7 -«;+зё ’ ° °’ ^-8x + 24’ °
21.20. 1)(х + 1) COS2X, х0=—1. 2) (2х + 1) sin х sin (х + 1), x0 = — 1/2.
8) sin3x, х0 = л/4. 4) cos4x, x0 = —л/2.
21.21. 1) In (x2 4-+ 2), x0=—1. 2) In (x2—4x+6), x0=2.
3) In (x2 — 9x + 20', x0 = 3. -x । x2 — 2x + 3 < 5) In jtry—, *0=1- 4) In (x2— 10x4-30), xn=5.
21.22. Перемножив соответствующие ряды, разложить функ-
цию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости полученного
ряда:
1) 2) -rh- 3)
4)1п2(1—х). В) (arctg х)2.
392
21.23. С помощью дифференцирования ряда (9), доказать,
что:
00
1) У (n+ l)(n + 2)^K- Jy. |х|<1.
у 1 JV J
п=«0
9! V (п + I) (п + (п 4" 3) vn I | r
2> L ----------3!---------X ~ (Т-лУ ’ 1 X
n=0
21.24. Используя формулы (17) и (18), разложить в ряд
Маклорена функцию f(3)(x) и найти радиус сходимости полу-
ченного ряда, если:
1) f(x) = arctg х. 2) f (х) = arcsin х.
3) f (х) === 4~х2 arcsin 4х.
о
Разложить в ряд Маклорена данную функцию, используя
ряд Маклорена для ее производной. Найти радиус сводимости
полученного ряда (20.25—20.32):
21.25. 1) arctg 2) arctg
1 “Т" Л Л 1 / Z/
8) arctg 2^. 4) arctg
9 4- г2 3 — 4х2
21.25. 1) arctg-Шг- 2) arctg-^^-.
3) arctg-пр-т- 4) arctg
у + 3*2 2~ТХ’
8) х2 arctg %2 _ t -. 6) х3 arctg t
21.27. 1)
3)
21.28. 1)
8)
/Т—"2x"
arGtgzVTT2x’
1 t V2 x
tf arctg y—г
V2 1 — x2
, 2x8
arcctSTT^r-
x 2x2
arcctg •
2) arctg (x 4- V1
4) Xs arctg ~^==^-
2) arcctg
4> arec‘8-,+-7i-.f-
31.29.
1)
arcsin
3) 1 + arcsin
2) arcsin.
л\ л • 2x3
4) 2x arcsin t
Vi 4- 4*6
8) arcsin (2x V1 — j»4).
393
21.30 . 1) -1- arccos = ....
8 Vl + 16x4
o\ x2
3) arccos -..
V16 + *4
2) х arccos —.
у 4 + х4
21.31. 1) [e^dt.
2)
3)
У2 sh tdt.
о
6
dt.
0
5)
J dt.
О
2)
\ ln-L+2^.
J 111 1 -t t
0
3)
f tdt
о Vr+73
5)
С У2 dt
о Vi+75 •
6)
2-T.2 J/
3-/ ai’
о
f dt
о Vr^-F'
21.33. Найти первые четыре
Маклорена данной функции:
1) In (1 +е*). 2) (1 + х)х.
4) <?sinx. 5) eisx.
(отличные от нуля) члена ряда
3) \ t dt
J In (1 + /) ’
о
6) ^arcsin x
21.34. Показать, что функция
n=0
является решением дифференциального уравнения у' — ху = 0.
21.35. Показать, что функция
nl
п=о
является решением дифференциального уравнения ху' =
= (х + 1 )у.
21.36. Показать, что функция
V хП
у 2-j (ж)2
п=0
является решением дифференциального уравнения ху" + у' —
— У == 0.
394
21.37. Показать, что функция
оо
Ех2п
W
zz=O
является решением дифференциального уравнения у"— ху'—
— y = Q.
21.38. Показать, что функция
// = 1 — — 4- — I I О"*2" I
у 22 "И 22 • 42 • 62 "И • • - "т" ((2и)1!)2 г--'
удовлетворяет дифференциальному уравнению ху" + у' + ху =»
= 0.
21.39. Показать, что функция
00 л
. — V *4f!
У ~ 2-J (4п)!
удовлетворяет дифференциальному уравнению у<4>— у == 0.
21.40. Найти разложение в ряд Маклорена решения диффе-
ренциального уравнения, удовлетворяющего заданным началь-
ным условиям:
= z/(0)= 1.
2) (1+х2)/-1=0, у(0)=0.
3) /'+ Vy = 0, у(0)=0, /(0)=%.
4)у" + ^ = 0, 4/(0)= 1, /(0)=0.
5) (1— х2)у" — ху' = 0, г/(0)=0, /(0)=1.
6) (1 — х2)у" — 5ху' — 4у = 0, t/(0)=l, у'(0)—0.
21.41. Найти первые четыре (отличные от нуля) члена ряда
оо
у = у, апхп,
сумма которого удовлетворяет дифференциальному уравнению
у" — ху' + у = ех и начальным условиям //(0)= 1, у'(0)=0.
21.42. Найти первые четыре (отличные от нуля) члена ряда
у = £ ап(х— 1)п,
П«о
сумма которого удовлетворяет дифференциальному уравнению
у" = (у')2 4- ху и начальным условиям у(\)^ 1, у'(1)= 0.
21.43. Найти первые пять (отличных от нуля) членов ряда
оо
У = Еа„хл,
п =0
сумма которого удовлетворяет дифференциальному уравнению
у' = х3 4- у2 и начальному условию у (6) = 1.
39Ь
21.44. Пользуясь тем, что функция
arcsin х
У “ д/1 - х*
удовлетворяет дифференциальному уравнению (1 — х2) у' —>
— ху = 1 и условию 1/(0)= 0, доказать, что
arcsin х = у (2м)!! x2n+i | х | < 1
Vl-*2 (2я+1)11
21.45. Разложить в ряд Маклорена функцию и найти радиус
сходимости R полученного ряда:
1 > ______________j______________
7 (1 4-х) (14-х2) (14-х4) (14-х8)’
3} xcosa — х2
1 — 2х cos a 4- х2
5) arccos (1 — 2х2).
____х sin a__
' 1 — 2x cos a 4- x2
4) In (1 — 2x cos a -f- x2).
( arcsin x \2
e) (—^4
21.46. Пусть f(x) = arthx — функция, обратная к функции
tbx = Разложить f(x) в ряд Маклорена и найти радиус
сходимости ряда.
21.47. Доказать формулы:
00
D (^гЛ-)!=| + £|-1’"(1 + 1+"-+хтт)^тт
Zl=“l
|х| < L
оо
Л = 1
|х| < L
8) arctg х • In (1 + х2) =
z 1 1 i \ 1
-2X<-i>“-'(i+4+4+---+t„)£+,- i*i<‘-
n=l
oo
4> + 4+ ••• + гттт)л
n=l
lx| < L
B) ^-ln(l —x3) —-j- In (1 -x) — -^r arctg
_y X3«+2
— Д 3n + 2 ’
n-0
i%l< k
306
6) ± In (х! + х + 1) - 1 In (1 - х) + Л, arctg =
21.48. Доказать формулы:
1) (arcsin x)3 =
у. 12(i+±+ +
Zu (2n + 1) (nl)2 V ~ 32 ~ ~
n=l
у» X3n+1
2L 3az + 1 ’
n="
X\2«+l
(2n — 1)27 V 2 7
_____ oo
In U+Vl +x2) Y (— П» r2n+l
VT+T2 (2n+l)!X
lx I < I.
3) (in (x + Vl + X2)) = У 2-------«Д УД- (_ l)n-l x2nt
n-1 '2П’'
______ ______ |x|<l.
4) д/l + x2 In (x + д/l + x2) =
— wo.
n = l
21.49. Используя разложение
x V' Bn „П
ex - 1 Lj n\ л ’
n=0
где
B\ = 1, B2k+\ = o, k
(пример 5), доказать, что:
1) xctgX = 1 +£(- 1>п^Л |х|<л.
= |x|<n.
n=l
oo
3) tg x = £ (- 1)" -?2n(*~22n) fi2„x2«-i, | X I < 3T.
oo
4> + w<«.
rt=l
6) In cos x = X (— l)n-—V(2w)i u B2nx2n, | x | < n/2.
n-1
397
21.50. Пусть разложение в ряд Маклорена функции 1/cosx
записано в виде
оо
1 V ( 1 \П
cos х v 7 (2/zV
Доказать, что
£0=l, E9 + cL£i4-C^£'+•••+c!':e2„ = 0, ne=N.
21.51. Доказать, что
Into-f— -(--*') = У (—
° I 4 ' 2 7 V
1 r2n+l
7 (2zi+l)(2n)
। ।
|x|<y,
где коэффициенты E2n определены в задаче 21.50.
21.52. Пользуясь определением функций комплексного пере-
менного cos г и sin г (формулы (27) и (28)), доказать, что:
1) sin г • cos е = у sin 2г. 2) sin2 г + cos2 г == 1.
21.53. Пользуясь определением функций комплексного пере-
менного shz и ch г (формулы (25) и (26)), доказать, что:
1) ch2 z — sh2 г = 1. 2) ch 2г = ch2 z + sh2 г.
21.54. Разложить в ряд по степеням г функции:
1) ez sin г. 2) ch г cos г.
3) ^Ctgacosz, sin a 0. 4) ezcosa cos (г sin a).
21.55. Применяя почленное диффе: енцирование, вычислить
сумму ряда:
г1 х' х2п'н
21.56. Применяя интегрирование, вычислить сумму ряда:
ь 2) у +
Z_J L-2 п2
n=l n=h
Вычислить сумму ряда
(21.57—21.61):
21.57. 1) £
n = 0
з>Е4-
П-1
гг=О
/ 11 n
(— 1) In X
2п,г\
4) У nxn+l.
/2 = 1
398
5) X(2»+Dxn.
21.58. 1) £п(м + 2)хгд.
ft —1
Т“Л r2ft
zj- ^^тт-
ft = l
2) x (~ Пп-*'п(п + V)xn.
p (3n+l)x3" у (—1)" (2n2 + i)
3) L----n\---• 4- L--------(ЭД! X‘
n=Q n=G
oo oo
*>E=^-
ft=0 ft=0
oo
21.59. 1) l+^-S^lx-.
ft = l
2) 1 (.П +±1 (±Y + l^L (* У
’ 3 к 2 7 з • 6 k 2 7 T 3-6•9 Ш
3)
n (tl + 1)
L n (2n — 1)
-X V (2x)in+l
б) 2.'4п+Г-
ft=0
oo
21.60. 1) X n4xn.
n~\
°° 3
3)
n=0
co
6) Yyxn.
n-1
oo
n (n + 1) (/г + 2) *
n==l
1 zn v iXilX-
1 • ' Lj (n- l)(« + 2) •
n==2
n»=0 n=0
oo oo
21.81. 0£ fcWfW». 2)X^r-
n=l n=l
21.62. Коэффициенты ряда 1 + + 2x5 4- 4x3 + 7x4 + 13x5 +
+ 24%6+ ... обладают тем свойством, что каждый коэффициент
(начиная с четвертого) равен сумме трех предыдущих. Найти
сумму этого ряда.
Вычислить сумму числового ряда (21.63—21.65):
21.63. 1
V —
п\
п«=0
2n {п + 1)
п\
39Э
у (- № д) у «L
Zj (2п+ 1)1 • ’ Lj IF’
—О п—
. 1 2_L ьз А_1_ 1 -3-с
2 ’ 3 ”* 2-4 ‘ 5 'г' 2-4-6
оо оо
21.64. 1) П2 (л + 1)2 • . 2) £ П2(п+1)2(п + 2)2 '
п=1 п=1
3) 1 _______!_+ I <-Dn+‘ +
°' 1-2 2-3 '3-4 4-5''’’'n(n+l)~
.ч 1 । 1 . 1 ,
4 1 -2-3 + 3-4-5 + 5-6-7 “* '
5)
n (2n + 1)
n=l
21.65.
1)
3)
6>Z^2-
n=2
oo
H (я+ 1) (2n+ 1) •
n=u
oo
/С n (2n + 3)
2)
4)
n=0
00 7 П«
E(- 1)
3м +1
п
5)
1
n (3n + 1)
fi) у (- и
°' Lj n (3n + 1)
n=l
oo
21.66. Пусть an > 0 (n e N) и ряд У* 4~ расходится. Найти
Z—J О'П
П“1
сумму ряда
С1\ । Gj 0,2 । Й2 ^3
а2 + х ‘ а2 + х ’ а3 + х ‘ d2 + * а3 4- х а4 4- х
___________01^2 ап________________
(а2 4- х) (а3 4- х) ... (ап 1 4- х)
предполагая, что х > 0.
21.67. Найти сумму ряда
X ( X" | х4
!~х2 1-х4 1-х8
2п
21.68. Найти сумму ряда
оо
Z (,”Р“ 1'К1 11 "Р“
ПШ1
400
21.69. Найти сумму ряда
11 _|________?!______L _1______________п ! __________L
х+1 (х+1)(х + 2) ••• (х+1)(х + 5) ... (х + п)
где х — k (k е N).
21.70. С помощью разложения подынтегральной функции в
ряд вычислить интеграл:
1) \ In-г—— dx.
J 1 — X
о
+ оо
3) 5
о
21.71. Пользуясь
лить с точностью до
1
2) 1пх • In (1 — x)dx.
о
4-00
f х dx
J ex + 1 ’
о
соответствующими разложениями, вычис-
10-4 следующие значения функций:
1) cos 1°. 2) cos 10°. 3) sin 10°. 4)sinl°.
5) ^130- 6) In 1,2.
21.72. Вычислить с точностью до 10“3 следующие значения
функций:
1) tg9°. 2) ^500? 3) arctg (л/10).
4) и/б8. 5) In 5. 6) arcsin (1/3).
21.73. Вычислить с точностью до 10~5 следующие значения
функций:
1) sin 18°. 2) е.
21.74. Используя равенство л/6 = arcsin (1/2), вычислить
число л с помощью ряда Маклорена для функции arcsin % с точ-
ностью до 10“4.
21.75. Используя равенство
= 4 arctg arctg gig,
вычислить число л с ТОЧНОСТЬЮ ДО 10“9.
21.76. Используя ряд Маклорена для f(x), вычислить инте-
1
грал f(x)dx с точностью до 10“3, если:
о
1) f (х) «= * . 2) f(x) = 'tfxcosx. 3) f (x) = cosx2.
4)f(x)=-^. 5) f(x) = sinx2. 6)/.(x) = -7=U=.
x V1 + X4
401
21.77. Вычислить с точностью до 10-3 следующие интегралы:
2
С рх
1) \ — dx.
J X
1
1/3
4) (
' J
4-00
7\ С
f J 1 Ч- X3 '
2
2) е{,х dx.
2
ю
5)
5
1
8) Xх dx.
3)
6)
1/2
( ^JLdx.
J х
о
1/2
f arcsin х .
\ --------£х.
о
21.78. Доказать, что если существуют числа 6 > О, К > О
такие, что для всех х ge (х0— S; х0 + S) и для всех п — О, 1, 2, ...
выполняется неравенство | f{n} (х) | №, то в каждой точке х из
интервала (х0 — б; Хо + б) функция f(x) представляется сходя-
щимся к ней рядом Тейлора (1).
21.79. Пусть существует постоянная М > 0 такая, что для
всех п е N выполняется неравенство \f(rl}(xQ) | Л4. Следует ли
отсюда, что:
1) Ряд Тейлора (1) сходится на некотором интервале
(xq — 6; Хо 4~ б) ?
2) Функция f(x) представляется в некоторой окрестности
точки хо сходящимся к ней рядом Тейлора?
21.80. Доказать, что для функции
( е~ Х,х\ если х О,
f (х) = ) г
( 0, если х = 0
можно составить ряд Маклорена, но сумма этого ряда не сов-
падает с f(x) при х 5^=0.
21.81. Пусть
п
Sn(x) = Yj- 1)fe
&=0
х2/?4-1
(2^+1)!
Верно ли, что Sn(x) => sin х, xeR?
21.82. Доказать, что если для коэффициентов степенного ряда
00 м
X выполняются неравенства | ап | < —р (п = .О, 1,2 ...),
п«0 п
где М > 0 — постоянная, то:
1) Сумма f(x) этого ряда бесконечно дифференцируема в
любой точке а е R.
°°
2) Д%) _ (х — ПРИ любом х е R.
rt=O
21.83. Пусть функция / бесконечно дифференцируема на от-
резке [—1: 1] и при п = О, 1, 2, ... и для всех
402
х еЦ—i; 1]. Доказать, что в интервале (—1, 1J функция f(x)
представляется сходящимся степенным рядом.
оо
f м = X апхп.
п=и
21.84. Доказать, что если функция f бесконечно дифференци-
руема на R и удовлетворяет условиям: 1) существует такая по-
стоянная М > 0, что для всех х е R и для всех ne N выпол-
няется неравенство |/(л)(%) | М- 2) f(l/zz)= 0, п е N, то
/СО = 0.
21.85. Доказать, ч о ряд Маклорена для функции
fix) = У е~п cos пi 2х
п=0
сходится лишь при X = 0.
§ 22. Тригонометрические ряды Фурье
1О Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье.
Ряд вида
оо
а0 + У. (а„ cos nx + bn sin nx) (1)
п — 1
называется тригонометрическим рядом. Fro частичными сум-
мами
Sn (х) = ао + а\ cos х + b\ sin х + ... + cin cos nx + bn sin nx
являются последовательные конечные линейные комбинации
тригонометрической системы функций
1, cos х, sin л, ..., cosnx, sinnx, ... (2j
Система функций (2) обладает
л
cos nx cos mx dx = 0,
—л
i sin nx sin mx dx — 0,
-л
л
cos nx sin mx dx — 0,
-л
свойством ортогональности:
п =£ т,
п Ф т,
п,т — 0, 1, 2, ...
Отметим также следующие равенства:
л л л
1б/х = 2л, j cos2 nx dx = л, sin2nxcf v = n,
—л —л —л
403
В этом параграфе будут рассматриваться функции f, опре-
деленные на некотором отрезке [а; Ь] кроме, быть может, ко-
нечного множества его точек, которое может быть пустым, и
интегрируемые по Риману на любом отрезке, содержащемся
в отрезке [а; Ь\ и не содержащем точек указанного конечного
множества. Для таких функций определено понятие несобствен-
ь
ного интеграла. Если сходится интеграл |Дх) \dx, то функция
а
f называется абсолютно интегрируемой на отрезке [а; Ь].
Если функция f абсолютно интегрируема на отрезке [—л; л],
то тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого (назы-
ваемые коэффициентами Фурье функции f) определяются по
формулам
л л
aQ — \ f М dx, ап~ — \ f (х) cos пх dx,
ЛТС J Jv J
(3)
Л
bn = ~ f (x) sin nx dx, n e N,
-л
называется рядом Фурье функции f, или, подробнее, ее тригоно-
метрическим рядом Фурье. В этом случае пишут
сю
f ~ ап + У, (ап cos пх + bn sin пх).
п=1
(4)
Частичные суммы Sn(x) ряда Фурье функции f обозначают
также Sn(x; f).
Если функция f четная, то
л л
1 С 2 С
я° —— \ f{x) dx, ап = ~\ f(x) cosnxdx, bn = Q, neN,
о о
а если — нечетная, то
л
ап = 0, п = 0, 1,2, ..., bn = ~ f (х) sin пх dx, п eN
о
Коэффициенты Фурье любой абсолютно интегрируемой функ-
щ устремятся к нулю при п->оо:
lim ап = lim Ьп = 0. (5)
Л->оо М~>оо
Теорем! 1. Ряд Фурье кусочно гладкой *) на отрезке
[—т; л] функции f сходится в каждой точке интервала (—л; л)
*) Функция называется кусочно гладкой на некотором отрезке, если она
сама и ее производная имеют лишь конечное число точек разрыва на этом
отрезке, причем все они - точки разрыва первого рода.
404
к значению
f (х + 0) + Н* - 0)
2
(в частности, в точке непрерывности функции f к ее значению
в этой точке), а в точках х — —л и х = я к значению
И- л + 0) + Ня-0)
2
2. Комплексная форма ряда Фурье. С помощью
Эйлера
cos пх =^(enxL + e"nxi),
>
sin пх (enxi — e~nxi) <
формул
(6)
тригонометрический ряд (1) можно записать в виде
у cneinx, (7)
— оо
где
Со == «0, Сп а== “2" (^n С—fl === “2" Ч" Z2 €= К,
откуда видно, что
С—п — Сп.
Если ряд (1) является рядом Фурье функции f, то
л
сп Я=‘^Т $ f(x)e~inxdx,
-Л
neZ.
(8)
Ряд (7) с коэффициентами (8) называют рядом Фурье в
комплексной форме функции f и пишут
4-00
f~ Е cnetnx.
Двж —©О
9)
Если функция Дх), —л х л, принимает комплексные зна-
чения,
f(x)— и(х)+ iv(x)
и функции и(х) и v(x) абсолютно интегрируемы на отрезке
[—л; л], то ряд (7), коэффициенты которого определяются по
формулам (8), называется рядом Фуръе функции f. В этом
случае коэффициенты сп и с_п (называемые комплексными ко-
эффициентами Фурье функции f), вообще говоря, уже не явля-
ются комплексно сопряженными как в случае, когда функция f
принимает только действительные значения.
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = chxt
—л х л. Построить график суммы ряда.
405
Л Вычислим коэффициенты Фурье функции f(x) = chx (при
вычислении
20 § 6):
воспользуемся результатом, полученным в примере
л
1 с , .
а0 = — i сп х ах
зт J
о
л
sh х sh зт
зт зт
J
л
ап=—\ ch х cos nx dx = (—- 1 )n —
я j 4 л (1 + /г)
о
neN.
В силу четности функции / все коэффициенты Ьп = 0, /is N.
Согласно теореме 1, ряд Фурье функции f на отрезке [—л; л]
сходится к самой функции f:
(ОО X
1 + 2 У (— 1)п / cos пх ), — л «С х л.
Z-j ' 1 + яг Г
п = 1 '
На рис 39 сплошной линией изображен график суммы ряда
снова
результат, полученный
иметь
Фурье функции ch %, а штри-
хами— график самой функ-
ции ch х вне отрезка
[—л; л]. А
Пример 2. Разложить
в ряд Фурье функцию
f (х) = sh х, —л < х < л.
Построить график суммы
ряда.
А Вычислим коэффици-
енты Фурье. Интегрируя
по частям и используя
в примере 20 § 6, будем
л л
| Г ф 2 f
Ь„ — — \ sh х sin nx dx =---------\ sh x d cos nx =
nJ nn J
-Л n
(Л Л .
sh x cos nx — \ ch x cos nxdx\ —
J /
0 0 /
2 // i i (— l)nshn\ z 2nshirt _ rj
= shjt~..i + n^-)=(—1) 1Г(ТТ^. «eN.
В силу нечетности функции shx все коэффициенты ап, п = 0, 1,
2, ..., равны нулю. Согласно теореме 1, ряд Фурье функции
shx на интервале (—л; л) сходится к самой функции:
оо
1 2 s h зт \ \ \п—\
shx =----- > (—1) 1 2 , . sin nx, —л < х < л,
л Z—I ' 7 + 1
П=1
406
а в точках х — —л и х = л его сумма равна
f (— yr 4- 0) + f (л — 0) sh (— л) + sh л
2 — 2 “
На рис. 40 сплошными линиями изображен график суммы ряда
Фурье функции shx, а штрихами график самой функции вне
отрезка [— л; л]. Л
Пр и м е р 3. Разложить Т I
в ряд Фурье функцию, по-
лучающуюся периодиче-
ским продолжением с пе-
риодом 2л из функции
f (х) = izJL, о < х < 2л,
(9)
и доказать с помощью этого
разложения, что
л___, 1 I 1 1 ।
(10)
Рис. 40
(ряд, стоящий в правой части этой формулы, называется рядом
Лейбница).
А При периодическом продолжении с периодом 2л функции
(9) получится функция, отличающаяся от нечетной только зна-
чением в нуле. Поэтому для нее ап — 0, п = 0, 1, 2, ..., а
л л
b„ = -1 \ я sin пх dx =------— \ (л — х) d cos пх =
Л л J 2 пл J ' 7
о о
л л
1 / ч if л 1
—----^т-(л — х) cos пх-----\ cos пх dx = —.
пл х 7 лп J п
о о
Таким образом,
оо
л — х /-ч/sin пх (И)
п=1
Из теоремы 1 явствует, что на интервале (0; 2л) выполняется
равенство
оо
л— х V4 sin пх п
~г~ 0<Л<2л- <12>
П=1
При х = 0 и х = 2л это равенство уже не имеет места. График
суммы ряда Фурье (11) изображен на рис. 41.
407
Из равенства (12) при х = л/2 следует равенство (10). Вы-
ведем его и другим способом, получив из (12) еще два интерес-
ных разложения. Заменив в (12) х на 2х и разделив обе части
получившегося равенства на 2, получим
л х уч §in 2kx
4 2 “ Li 2k ’
k~\
0 < x < л.
Вычтя это равенство из равенства (12), будем иметь
л___хп sin (2k - 1)х
4 ~~ Zj 26-1 ’ 1
k “1
0 < х < л.
Положив здесь х=л/2, получим соотношение (10). ▲
Если ряд Фурье функции, абсолютно интегрируемой на от-
резке [—л; л], сходится на отрезке [—л; л], то он сходится во
всех точках числовой оси R и его сумма является 2л-периодиче-
ской функцией на R. Поэтому ряды Фурье вида (1) называют
также рядами Фурье периодических функций с периодом 2л.
Теория рядов Фурье 2л-периодических функций переносится
на случай периодических функций, имеющих любой период 2/,
е помощью линейного отображения
у х, — /<х</, — л<г/<л,
отрезка [—Z; 1} на отрезок [—л; л]. Рядом Фурье функции f,
абсолютно интегрируемой на отрезке I—/; 1\, называется ряД
оо
. V5 ( ППХ . , птсх \
а0 + X e°s -j- + bn sin —p ), (13)
n=l
где
i i
a° = -^- ^f(x)dx, an = \ ^f(x)cos^p-dx,
<14>
bn = у j f (x) sin dx, mgN.
-i
408
Если функция f четная, то
*а0 х== -1 t f (%) dx, ап = W cosdx, bn = G, n e N,
о 0
а если f — нечетная, то
i
bn*=Y^f W s^n ~7“ dx, n e N, an = 0, n = 0, 1, 2, ...
о
Если функция f имеет период 27, то при вычислении ее коэф-
фициентов Фурье можно интегрировать по любому отрезку
длины 2/, т. е. для любого числа се R справедливы равенства
с+1 с+1 )
«о==^- f(x)dx, an = y f (х) cos dx,
cZl С~1
bn=^~ f (х) sin ^p-dx, nsN.
c—1
Комплексная форма ряда Фурье (13) имеет вид
4-00
спеппх^1,
—оо
где
I
Cn==z~^r \f (x)e~nnxi/l dx, n^Z. И7)
-i
Пример 4. Найти комплексную форму ряда Фурье перио-
дической с периодом л функции
( cos х, 0 < х < л/2,
f(x=l
' (О, л/2 х л,
и сумму полученного ряда в точке х — л.
А Находим коэффициенты Фурье (здесь 2/ = л) i
Л/2
сп^=—\ cos хe~2nxi dx =
п nJ
1 sin х — 2ni cos x -2nix |Я/2_ 1 + e~nJlt __ 2ni + (— 1)”
л 1 — 4n2 |o л I — 4n2 тс (1 — 4n2)
Следовательно,
n=--oo
409
На интервале (0; л) ряд сходится к функции f(x), в точке
х-л _ к Д+о) + Нп-О) 1
Представление функции f, заданной на некотором отрезке
[а; &], в виде
оо
f(x) = Oo+(a„cos-^+&n sin-^-) (18)
n=l
(при каком-либо выборе Z), справедливом для всех точек от-
резка [a; Ь], кроме, быть может, конечного их множества, на-
зывается разложением функции в тригонометрический ряд вида
(13). Если при этом все ап = 0, п = 0, 1, то говорят, что
функция f раскладывается в ряд по синусам (дуг, кратных пх/1),
а если все Ьп = 0, п N, то — по косинусам (дуг, кратных пх/1).
Для кусочно гладкой на отрезке [а; Ь] функции f за счет
выбора различных / имеется бесконечно
вида (18). Задача разложения кусочно
[a; Z?] функции f в ряд вида (18) имеет
если дана тригонометрическая система
< „_________тех г • тех птех
1, COS —у— , Sin —-j—, ..., cos —— ,
много ее разложений
гладкой на отрезке
однозначное решение.
sin^,
(т. е. дано значение Z), по которой следует разложить функцию
f, и если функция f может быть продолжена с отрезка [а; Ь]
(быть может, с видоизменением ее значения в точках х = а и
х — b) на всю числовую ось в 2/-периодическую функцию F.
В этом случае коэффициенты ап, Ьп в разложении (18) будут
являться коэффициентами Фурье функции F.
Пример 5. Доказать, что кусочно гладкая на отрезке
[0; Z] функция может быть разложена на этом отрезке в ряд
вида (18): 1) по синусам, 2) по косинусам.
Пусть функция f кусочно гладкая на интервале [0; /].
Если продолжить функцию f с полуинтервала (0; Z] на полу-
интервал [—Z; 0) нечетным образом и положить
то функция F будет кусочно гладкой на отрезке [—Z; /] и по-
тому, согласно теореме 1, может быть разложена на этом от-
резке в ряд (18). В силу нечетности функции F в этом ряду
будут иметься только члены с синусами. На отрезке [—Z; I]
указанный ряд будет разложением заданной функции f по си-
нусам.
Если продолжить функцию f с отрезка [0; I] четным образом
на отрезок [—Z; 0], то продолженная функция, согласно тео-
реме 1, будет также раскладываться на отрезке [—Z; I] в ряд
Фурье, а так как она четная, то этот эяд содержит только члены
410
с косинусами и ясно, что на отрезке [0; Z] он дает разложение
функции f по косинусам. А
Пример 6. Разложить в ряд Фурье периодическую с пе-
риодом 21 функцию f, если f(x) — x при а х < а + 21. Выяс-
нить, для каких значений х будет справедливо это разложение?
Чему будет равна сумма ряда Фурье в остальных точках?
А Найдем коэффициенты Фурье функции f (см. (15)):
а~\-21 а+21
а° = 1Г $ xdx = ^- —
а а
а+21
1 f ппх * 21 ппа
ап = -г \ х cos —т~ ах = — sin ——,
п I J I mt I
а
а+21
. if . ппх , 21 ппа t_________м
Ьп = -г \ х sin——dx—-----------cos—г-, hgN.
n I J l nn I
a
Таким образом,
t/ \ । / i 2Z 5П 1 Г : ппа пях nna ein плх1
f (x) ~ a + I + — \ - [ Sin — cos — - cos — sin — | =
n*=l
= a + / + — У- sin-^-ta — x).
1 1 n La n I
Сумма получившегося ряда в точках хе (а; а + 21) равна х,
в точках х — аих — a-\-2t равна
1(а + &) + 1(а + 21-0) . ,
а в остальных точках числовой оси сумма в силу ее 2/-периодич-
ности находится из ее значений в точках отрезка [a; a-f-21]. &
Если не оговорено что-либо другое, то разложение в ряд
Фурье кусочно гладкой на отрезке [а; Ь] функции f означает
представление ее в виде ряда Фурье общего вида (13) с перио-
дом 21 —Ь — а, сходящегося, согласно теореме 1, к функции f
во всех точках интервала &), в которых она непрерывна.
Разложение в ряд Фурье функций, зависящих от sinx и cosx,
удается иногда получить с помощью формул Эйлера:
. eix_e-ix
COS X =------, Sin X =----------
(19)
Для этого следует подставить в формулу, задающую рассматри-
ваемую функцию, выражения (19) для косинуса и синуса, и
получившуюся функцию от 2 = eix разложить в ряд по степе-
ням 2, а затем вернуться к переменной х с помощью формулы
eix = cos х + i sin x.
411
ь результате получится искомое разложение заданной функции
в ряд Фурье.
Пример 7. Разложить в ряд Фурье функцию
2. |а|<1, — (20)
Д Согласно формулам Эйлера (19), имеем
СО8Х = -^~sin X г=х г . Г-1 , (21)
где z^elK. Подставим выражения для синуса и косинуса (21)
в формулу (20) и представим получившуюся рациональную
функцию параметра а в виде суммы двух дробей следующим
образом:
a sin к а(г2—-1) _ 1 / 1________1 \
1 — 2а cos х 4- а2 = 2/ (1 — az} (z — а) "ST V 1 — az 1 — a/z J *
Поскольку
| az | ===== | aeix | = | a | < 1,
|а/г( = |ае-Ьс| = |а| < 1,
то дроби 1/(1 — az) и 1/(1 — a/z) можно разложить в степен-
ные ряды (эти дроби представляют собой суммы бесконечно
убывающих геометрических прогрессий). В результате полу-
чится ряд Фурье функции (20) в комплексной форме:
a sin х_____
1 — Ча cos х + а2
=4 (Ё - Ё ) - 4 (Ё » <*“
4-0 п—0 /
Заметив, что
_ е~1пх
-----------= sin пх
будем иметь
оо
a sin X V* 1 п А
1—---------—- == > a sin пх. ▲
1 — 2a cos х 4- a1 L-j
n-1
Пример 8. Разложить в ряд Фурье неограниченную пе-
риодическую функцию
/ (х) = In | 2 cos (x/2) |. (22)
Д 1-й способ. Непосредственно вычислим коэффициенты
Фурье функции (22). Функция f четная, поэтому bn — 0, п е N,
л
1н cos у) dx =
о
л/2 п
= —In (2 cos-^dx + — ln(2 cos dx.
ТС J \ 2 J ЭХ J \ /
0 Л/2
412
Сделав во втором интеграле замену переменного х = л — убе-
димся, что ао — 0. При вычислении коэффициентов ап, п N,
проинтегрируем по частям и сделаем замену переменного х
на л — х:
л л
2 f * /п , 2 , х \ sin пх ,
ап — \ I 2 cos т ) cos пх “X = — In I 2 cos — )----------------- +
о 0
x
sin nx sin —
2 dx = (~ I)"-1 —
v nn
“2
x
sin nx cos —
. x
sin —
dx.
Представив подынтегральную функцию в виде суммы
и использовав для вычисления интеграла от каждого слагае-
мого тождества
sin ( п + 4“) х Д
—-—
2 sin —
sin
х — 1
” 2
2 sin ~
п-1
Ь S cos
будем иметь
п п
Поэтому
In 12 cos
п=1
(n-l cosn*
п
х Ф л (2k + 1),
k Z. (23)
2-й способ. Применим для разложения в ряд Фурье функ-
ции (22) метод, основанный на применении формул Эйлера
(19). Положив z — eix, —л < х < л (следовательно, z —1),
в силу формул (19), будем иметь
12 cos —
2
| —ln(2cos *) —in—
= 1п(1 +ег*)-1пег*/2 = 1п(1 4-г)-Д-.
Заметив, что |z| = |e*x|=l, z =#—1 и zn = einx — cns nx -4-
X-H’sinnx, получим, разложив в степенной ряд логариф i
413
ln(l + г) (см. § 21),
со оо
v~сЛ pitix
|п<1+г)=^(-1)"-'~=Е(-=
П=1 п=\
= £(— 1)п-1 coswx I г^(— I)»-' sinrax .
п=1 п=1
В результате будем иметь
ОО Z оо \
1п|2созт|=£(-1^1£Т£+/(-!+£<-
(24)
Поскольку в левой части этого равенства стоит действительное
число, мнимая часть его правой части равна нулю:
— У + £(— =о, (25)
П = 1
и, следовательно, из формулы (24) следует разложение (23).
Отметим, что попутно получилось разложение в ряд Фурье
функции х/2. Действительно, из равенства (25) имеем
П = 1
Периодическую с периодом 2/ функцию, абсолютно интегри-
руемую на отрезке [—Z; /] (или, что равносильно, на любом
отрезке [а; а + 2/], aeR), коротко будем называть 21-перио-
дической абсолютно интегрируемой на периоде функцией.
22.1. Разложить в ряд Фурье функции:
1) sin2x 2) cos3x. 3) sin4x.
22.2. Каков будет ряд Фурье для тригонометрического по-
линома
тъ
Тп (х) = а0 + X (ak cos kx + bk sin kx?
k=i
22.3. Найти частичную сумму S3(x; f) ряда Фурье функции
периодически продолженной с периодом 21,
414
Разложить ё ряд Фурье функцию f(x), указать промежутки,
в которых сумма ряда Фурье равна функции f(x), и найти
сумму ряда в указанной точке х0 (22.4—22.11):
22.4. f(x) — x, —Л^-Х л, х0 — л.
(1. 0 < х л,
22.5. fW = lo. - л X 0; хо = О.
( я/4, 0: X 5
22.6. — Л ; х • <0; Хо = °-
( а, 0 X л,
22.7. f (х) = { п х0 = 0.
( — а, — л X 0; и
22.8. f ixi = л + х, — л X Л, X q — л •
22.9. f(x) = \x\, — л X 5 л, Xq л.
(0, - - л ^х : о
22.10 . f (х> = •» Хп = — л.
1 х, 0^ X
( — 2х, • л \ X <0,
22.11 • fW = { Зх, 0 X Хо = л. л;
22.12. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = sign х9
—л < х < л и, пользуясь полученным разложением, найти сум-
му ряда Лейбница
ОО -
V (-1)
Zj 2п+1
п=0
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) на указанном проме-
жутке, длина промежутка является периодом (22.13—22.26):
гл, о< х < 1,
22.13. 22.14. f № = < f (х) — 1 Л/2, х — 1, .0, 1 < х < х | на отрезке 21, [-1; на интервале (0, 2Z). 1].
22.15. f пх, — л < [Ьх, 0 < С х < ^х < : о, л, на интервале (— л; л).
22.16. f U)=J [а, — л/2 < [Ь, л/2 С х < С х < л/2, : Зл/2, на интервале (—л/2; Зл/2)
22.17. f (х) = х + signx на интервале (—л; л).
22.18. fix) —л2 — х2 на интервале (—л; л).
22.19. f(x) = x3 на интервале (—л; л).
22.20. f(x) = eax, а #= 0, на интервале (—л; л).
22.21. f (х) = е21х| на интервале (—л; л).
415
22.22. f (x) = sin ax, a^Z, на интервале (— щ л).
22.23. f(x)==cosax, а ф Z, на отрезке [—л; л]. Доказать
с помощью получившегося разложения, что
ctg х = ~ + У 2 2-у .
ь х х2 — л2п2
п=\
22.24.
22.25.
22.26.
f(x) — x sin х
f (х) — х cos х
(О,
f (х) — < .
' ( sin х,
на отрезке [-—л; л].
на отрезке [— л/2; л/2].
— л х < О,
. на отрезке [—л; л].
О^х^л,
22.27. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2
функцию /, если /(х) = х, хе(1; 3). Нарисовать график суммы
ряда.
22.28. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x2, —1 х
1, периодически продолженную с периодом 2. Нарисовать
график суммы ряда.
22.29. Разложить в ряд Фурье функцию
3 — х,
0<х<1,
1 < х < 2,
2 ^х < 3,
периодически продолженную па всю числовую ось с периодом 3.
Нарисовать график суммы ряда.
22.30. Разложить в ряд Фурье функцию /(х) = л — 2х,
0 < х л, продолжив ее на отрезок [—л; 0]: 1) четным обра-
зом, 2) нечетным образом. Нарисовать в обоих случаях графики
суммы рядов.
22.31. Разложить в ряд Фурье функцию /(х), заданную на
отрезке [0; л] и продолженную на отрезок [—л; 0] четным об-
разом. Нарисовать графики суммы рядов:
х, 0 х л/2,
л/2, л/2 < х л.
2) f (х) = — х) , 0 < х < л.
1)
Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции
(22.32—22.39):
22.32. f (х) = sign (cos х). 22.33. f(x) = arcsin (cosx'.
22.34. f (x) = arcsin (sin x). 22.35. f(x) = x —[x].
22.36. f(x) = (x)—расстояние от x до ближайшего целого
числа.
22.37. f(x) = |cosx|. 22.38. f(x) = |sin х|.
116
22.39. f(x) = |cos(x/2)|.
22.40. Разложить функцию f(x) = x, 0 х л, в ряд Фурье
по косинусам.
22.41. Разложить функцию /(x)=cos2x, 0 х л, в ряд
Фурье по синусам.
22.42. Разложить в ряд Фурье на (0; л) по косинусам функ-
цию
( л/2 — х. 0 < х < л/2,
= | 0) л/2<х<л.
22.43. Разложить в ряд Фурье на интервале (0; л) по сину-
сам функцию
( sin х, 0 < х < л/2,
F < Х^ г— <
( 0, л/2 < х < л.
22.44. Разложить функцию
fix) —
х,
2 — х,
0<х< 1,
1 <х<2,
в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; 2].
22.45. Разложить функцию f(x) = x2 в ряд Фурье:
1) На отрезке [—л; л] по’косинусам.
2) На интервале (0; л) по синусам.
3) На интервале (0; 2л) по синусам и косинусам.
Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов!
оо оо оо
= Е (srEijr-
п=1 п~1 /г—1
с* х2
22.46. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x------------%-,
OsgJx^C 1: 1) по косинусам, 2) по синусам.
22.47. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию
f (х) = х sin х, 0 =С х л.
22.48. Доказать, что
оо
Зх2 — блх + 2л2 ___cos пх
12 — п2
П==1
0 <х
л.
Указание. Воспользоваться результатами задач 22.40 и
22,45.
22.49. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x) =
= ех на интервале (0; 1п2).
22.50. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию
f(x) —
1,
0,
0 < х < л/2,
л/2 < х < л.
14 Л. Д. Кудрявцев и др.
417
22.51. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию
Н*) — | 2 _
0<х< 1,
1<х<2.
22.52. Разложить функцию f(x)—eax, 0 < х < я: 1) в ряд
Фурье по косинусам, 2) в ряд Фурье по синусам.
22.53. Разложить функцию f (х) = sin ах, О х л, в ряд
Фурье по косинусам.
22.54. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
f (х) =
1/
О,
х
л.
22.55. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
( 1 — х/2а,
О,
0<
2а <
х^.2а,
х л.
22.56. Доказать, что
сю
у _cos^2nr_lX£ = 1 л.(я._2д.)(л2 + 2лх —2х2 * * * *), 0<х<я.
Z_> (2n—1) 96 71
п=1
22.57. Найти ряд Фурье в комплексной форме функции
1,
-1,
О =С х л,
л < х 2л.
22.58. Разложить в ряд Фурье в комплексной форме перио-
дическую с периодом 2л функцию f(x) = ех, —л < х < л,
f (л) = ch л.
22.59. Разложить в ряд Фурье в комплексной форме перио-
дическую с периодом 3 функцию
f(х^’ { о,
0<х< 1,
1 < х < 3,
f(O) = f (1)== 1/2.
22.60. Разложить в ряд Фурье с помощью комплексной фор-
мы ряда Фурье функции:
2 с у \ 1 CL COS X । I 1
f (х) = -=—s-----j—г, I а < 1.
1 ' 7 1 — 2а cos х + а2
22.61. Разложить в ряд Фурье неограниченные периодические
функции:
I) f(x)= ln|sin(x/2) 2) f(x) = ln|tg(x/2) [.
418
22.62. Использовав разложение функции
Фурье (см. задачу 22.4), доказать, что:
оо
n 1 1 о V ( —l)ncos«x
1) X Sin X — 1----77 COS X — 2 > ----i7;
2 Z_j n2 — 1
n=2
oo
nx 1 । nV' (—l)n n sin nx
2 X COS X = — 7Г sin X + 2 > -------4----:---,
2 пг — 1
n=2
f (x) = x В ряд
— л<Д^л.
— Л < X < л.
22.63. Использовав разложение функции In 12 cos (х/2) | в ряд
Фурье (см. пример 6), доказать, что:
оо
(Y \ 1
2ces-g-J = — sin х + > *2 _ f sin пх,
п—2
— Л < X < Л.
п\ I (о х\ 1 1 . V (—1)пп
2) cos х In (2 cos — I = -— cos x + / j cos nx,
n=2
— Л < X < Л.
22.64. Доказать, что если абсолютно интегрируемая на от-
резке [—л; л] функция f удовлетворяет условию:
1) f (х + л) = fix), то а2п_{ = b2n_i = 0, /teN.
2) f (х + л) = — f (х), то ао = О, a2n = b2n = 0, п е N.
22.65. Доказать, что если абсолютно интегрируемая на от-
резке [0; л] функция f удовлетворяет условию /(л — х) = /(х),
то ее коэффициенты Фурье обладают следующими свойствами:
1) При разложении f в ряд Фурье по косинусам a2«-i = 0,
п е N.
2) При разложении f в ряд Фурье по синусам b2n — 0, п е N.
22.66. Как следует продолжить абсолютно интегрируемую
на отрезке [0; л/2] функцию на отрезок [—л; л], чтобы ее ряд
Фурье имел вид
оо
ап cos (2/2 — 1) х?
/2=1
22.67. Как следует продолжить абсолютно интегрируемую на
отрезке [0; л/2] функцию на отрезок [—л; л], чтобы ее ряд
Фурье имел вид
У bn sin (2/2 — 1)х?
п=1
22.68. Разложить функцию /х = х --------xj в ряд Фурье
на отрезке [0; л/2]:
1) По системе {cos Д/2 — 1, х}, /2 ее N.
2) По системе {sin (2/2 — 1; х}, neN.
14*
419
22.69. Доказать, что кусочно гладкая на отрезке [0; '] функ-
ция может быть разложена в ряд вида
оо
2>2n_,sin(2"-1)jt*.
П=1
22.70. Доказать, что кусочно гладкая на отрезке [0; /] функ-
ция может быть разложена в ряд вида
оо
Е2ппх
@2п j
П = 1
22.71. Доказать при 0 < х < л равенства:
оо
V' sin (2п — 1)х лх . х
1 (2n — I)8 ' ~ ~8~ 31 ~
П“1
оо
V' / \ п cos (2/1 — 1) х л 2 1
2) 2j ( (2п — 3)(2n— l)(2n+ 1) ~ 8 C0S Х 3 cosx-
п=2
22.72. Какими особенностями обладают коэффициенты Фурье
функции периода 2л, если ее график:
1) Имеет центр симметрии в точках (0; 0) и (±л/2; 0)?
2) Имеет центр симметрии в начале координат и оси сим-
метрии х = ±л/2?
22.73. Как связаны между собой коэффициенты Фурье ап, Ьп
и Рп функций f и g, если f(—x) = g(x)?
22.74. Как связаны между собой коэффициенты Фурье ап, Ьп
и сс», Рм функций f и g, если f(—x) — —g(x)?
22.75. Доказать, что ряд Фурье конечной линейной комбина-
ции 2л-периодических, абсолютно интегрируемых на периоде
функций равен такой же линейной комбинации рядов Фурье
заданных функций.
22.76. Пусть f — 2л-периодическая функция, абсолютно инте-
грируемая на периоде. Доказать, что если ап, — коэффи-
циенты Фурье функции f*(x)= f(x-j-h), а ап, Ьп — коэффи-
циенты Фурье функции f, то
— av а*п = ап C0S + Ьп S*n
6* = bn cos nh — ап sin nh.
В задачах 22.77—22.79 f = и + iv — 2л-периодическая функ-
4-00
ция, абсолютно интегрируемая на периоде и f ~ £ сп.е1ПХ-
П= — ОО
22.77. Доказать, что
S \Cneina) einx, aeR.
/2= -oo
420
22.78. Доказать, что если k е Z, то
+ оо
f (х) eikx ~ £ cn_kelnx.
П^-оо
22.79. Доказать, что
4- оо
Г~ Е с..пе1пх.
П= — ОО
22.80. Пусть функции f и g — 2л-периодические, |/|2 и |g|2
интегрируемы (в несобственном смысле) на отрезке [—л; л],
f~ Е Cnelnx, g~ Е dneinx.
П=—оо п= — оо
Доказать, что тогда произведение fg является 2л-периодической,
абсолютно интегрируемой на периоде функцией и если
4-оо 4-оо
fg~ £ knelnx, то £„= Е cmdn_m.
П=—оо tn-^-oo
22.81. Доказать, что
_1__1 г* sin 2ппх ( х — [х] для нецелых х,
2 п п 1 1/2 для целых х.
Указание. Воспользоваться разложением (11) в примере 3.
22.82. Доказать, что для любого х R, х #= лт, meZ, вы-
полняется равенство
—— = -^- + У (— 1)п ( —!-------к —J)
sin х х 1 L-л v к х — яп х + лп J '
п=1
Указание. Воспользоваться результатом задачи 22.23.
22.83. Доказать, что если функция f непрерывно дифферен-
цируема на отрезке [х; х + л], то
ОО х+п
f (х 4- л) — f(x) = —j f (/)cos((2n4- 1)(/ — x))dt
n=Q X
{Стеклов).
22.84. Пусть ап, Ьп — коэффициенты Фурье функции, равной
ех на интервале (—л; л). Найти сумму ряда
Е ten+icos (2n 4-1) x 4- sin (2n 4-1) x)
при x (—л; л).
22.85. Доказать, что коэффициенты Фурье ant Ьп абсолютно
интегрируемой на отрезке [—л; л] функции стремятся к нулю
прип->оо (Риман).
421
3. Сходимость рядов Фурье. Ядро Дирихле и интеграл Дирих-
ле. Ядро Фейера и суммы Фейера. Функция
п
Dn(t) = + У cos kt
б-i
называется ядром Дирихле, Пусть f — 2л-периодическая, абсо-
лютно интегрируемая на периоде функция и Sn(x) —частичная
сумма порядка п ее ряда Фурье (она называется также суммой
Фурье порядка п функции f), тогда
л
S„(x) = ^- ^Dn(t)f‘x+i)dt.
- л
(26)
Средние арифметические сумм Фурье
ип (Х) = (X) „ = 0,1,2,..., (27)
называются суммами Фейера, а средние арифметические ядер
Дирихле
(Х) = (х) + Д| — + д»(х) , « = 0,1,2,..., (28)
— ядрами Фейера,
Если в некоторой точке х существует конечный предел
lim оп(х),
П->ОО
(29)
то ряд Фурье функции f называется суммируемым в точке х
методом средних арифметических к значению предела (29).
Положим
оо
f (х, г) = а0 + У rn (ап cos пх + bn sin пх). (30)
п=1
В силу стремления коэффициентов Фурье к нулю ряд (30)
сходится для всех ге[0; 1). Если в некоторой точке х суще-
ствует конечный предел lim f (х, г), то ряд Фурье функции }
г->1—0
называется суммируемым в рассматриваемой точке по методу
Пуассона — Абеля к значению, равному указанному пределу.
Пример 9. Доказать формулу (26).
Л Подставив -в сумму Фурье
п
Sn (лО = а0 + X (ak cos kx + bk sin kx)
422
выражения (3)' для коэффициентов Фурье, получим
п
-п
п г
+ -±- \ f (t) (cos kt cos kx + sin kt sin kx") dt —
^1 — JI
л r“ “1 л
= COSk(/ — x)\dt = — x)f(t)dt.
JT J I Z I Зь
-Л L £«=1 J -n
Сделав в получившемся интеграле замену переменного u^t — %,
получим формулу (26). А
22.86. Доказать, что ядро Дирихле Dn является четной не-
прерывной 2л-периодической функцией, Dn(0)=/г + 1/2,
-t ^D„(/)d/=l
-Л
и при t 2л&, k е Z, имеет место равенство
2 sin (//2)
22.87. Доказать, что если f — 2л-периодическая, абсолютно
интегрируемая на периоде функция и Sn(x) — ее сумма Фурье
порядка п, то:
л
1) S„ (х) =4- J Dn (0 [f (х + t) + f (х - 0] di.
О
2) Для любого 6 е(0; л) и любого хе R имеет место асимп-
тотическое равенство
6
$п(х) = 4 $ (/) + п + Их - /)] ^ + о (1), п -+ оо .
о
22.88 . Доказать, что если f — 2л-периодическая, абсолютно
интегрируемая на периоде функция, то существование и значе-
ние предела последовательности ее сумм Фурье Sn(x) в каждой
точке Хо е R зависит только от существования и значения пре-
дела при /г->оо интеграла
д
“ (0 [f (^0 + + f (*о ~ 01
о
423
где б — сколь угодно малое положительное число (это утвер-
ждение называется принципом локализации рядов Фурье).
22.89 . Пусть f — 2л-периодическая функция, абсолютно инте-
грируемая на периоде. Доказать, что если х0 является точкой
непрерывности или точкой разрыва первого рода и при некото-
ром б > 0 сходится интеграл
о
где
Гх(1) = f (х + V + f (х - t) - f (x + 0) - f (x 0),
то ряд Фурье функции f в точке Xq сходится к значению
f (хр + 0) + f (х0 - 0)
2
(признак Дини).
22.90 . Доказать, что если f — 2л-периодическая, абсолютно
интегрируемая на периоде функция, а в точке А'Е R существуют
предельные значения f(* + 0), f(x — 0) и односторонние произ-
водные f'+ (х\ f'_ (х), то ряд Фурье функции f сходится в этой
f(x 4- 0) + f (х - 0)
точке к значению ---------2-------•
22.91 . Функция f, определенная в некоторой окрестности U
точки х, называется удовлетворяющей условию Гёльдера сте-
пени а > 0 в этой точке, если существуют односторонние пре-
делы f(x-|-O), f(x — 0) и такая постоянная с > 0, что для всех
Л > 0, для которых х -[- h^U и х — выполняются нера-
венства
\f(x + h) — f (х -f- 0) | < сЛа, |f (х — h)— f(x — 0) | < cha.
Доказать, что если 2л-периодическая, абсолютно интегрируе-
мая на периоде функция f удовлетворяет в точке х условию
- Гёльдера степени а > 0, то ее ряд Фурье сходится в этой точке
и его сумма равна
f (х + 0) + Нх-0)
2
22.92 . Доказать, что если 2л-периодическая, абсолютно инте-
грируемая на периоде функция имеет в окрестности данной
точки ограниченную производную, то ряд Фурье функции схо-
дится в этой точке к значению функции.
22.93 . Доказать, что ядро Фейера Фл является четной непре-
рывной 2л-периодической функцией,
л
Ф„(0)=<«+1)/2, 4 $фп(Л'Л=1
-я
**24
и при t =/= 2л&, k e Z, имеет место равенство
(D /л — sin2((”+ *) г/2>
n v ' 2 (я Ч-l) sin2 (//2) ’
22.94 . Доказать, что ядро Фейера Ф„ для любого б > О удов-
летворяет условию
lim max Фп (/) == 0.
П~>оо 6 < | Л < Л
22.95 . Доказать: если функция непрерывна на отрезке
{—л; л] и принимает на его концах равные значения, то после-
довательность ее сумм Фейера равномерно сходится на этом
отрезке к рассматриваемой функции.
22.96 . Доказать, что если f — 2л-периодическая, абсолютно
интегрируемая на периоде функция, имеющая в точке х пре-
делы слева и справа f{x ± 0), то (см. обозначения (^7))
П->оо 2
22.97 . Доказать, что если 2л-периодическая, абсолютно инте-
грируемая на периоде функция f непрерывна в точке х и ряд
Фурье функции f сходится в этой точке, то его сумма равна
И*).
22.98 . Доказать, что если функция f непрерывна на отрезке
[—л; л] и f(—л) = /(л), то для любого в>0 существует три-
гонометрический многочлен
Т (х) = До + (Ak cos kx + Bk sin kx}
такой, что для всех к е [—л; л] выполняется неравенство
| f (х) — Т (х) | < е (Вейерштрасс).
22.99 . Доказать, что для функции f(x; г) (см. (30)) имеет
место формула
л
f '%; г) = ,--s---~7t~--\ I г dt
' 2л .) 1 — 2г cos (t — х) + гг
-Л
{Пуассон}.
22.100 . Доказать, что если 2л-периодическая, абсолютно инте-
грируемая на периоде функция f имеет в точке х пределы слева
и справа f(x±O). то
п
lim fix-,r}= lim -X- »—1 7 Г ч , 2
г-м-о 2л J 1 — 2г cos (t — х) + г2
—л
_ f(x + 0H f(x-O)
2
т. е. ряд Фурье функции f суммируем методом Пуассона — Абеля
425
22.101 . Доказать, что если f — 2л-периодическая, непрерыв-
ная функция, то f(x, г) равномерно стремится на всей числовой
оси к функции I при г-^1 — 0.
22.102 . Доказать, что:
1) signx =
п«»1
sin (2/г — 1) х
2п — 1
— Л < X < л.
2) Частичные суммы Sn(x) ряда Фурье функции signx
имеют максимум при хп = л/ (2п) и
л
о о / \ 2 С sin х
hm S„(x„) = — \ ——
П~>оо 71 J Х
dx >
1.
22.103 . Доказать, что для любой функции f вида
f(x) = g(x) + £sign(x — %о), —л х л,
где постоянная с=^=0, |%о|<л, g— непрерывно дифференци-
руемая на отрезке [—л: л] функция, в точке х = х0 имеет место
явление Гиббса: если Sn(x)— сумма Фурье порядка п функции
то либо
lim Sn(х) < f (x0 — 0)< f (x0 + 0) < lim Sn(x),
x-*xo-0
либо
lim (*) > f (*o ~ Oj>f(xo + O> > lim S„(x).
">o° n->oo
A->X0“O X^X() + Q
22.104 . Функция
Д (x) = sin x + sin 2x + ... + 8*п nx
называется сопряженным ядром Дирихле. Доказать, что:
х ( 1 1 А
COS-77-COS 1 п + — I X
1) 5п (х) ==-- о . .\о. — , x=£2nk, k е= Z.
7 п к 7 2 sm (х/2) ’
2) | Dn (х) | < л/ 21 х || бп (%' К л/| х 0 < | х К п.
22.105 . Числа
Л
А„ = 4
-л
называются константами Лебега. Доказать, что:
л
1) Ln^^Jn + O(\), п->^, где
о
2) ^-Inn, п-»оо.
22.106 . Рядом, сопряженным к тригонометрическому ряду
'(1), называется ряд
оо
У (— bn cos пх 4- ап sin пх)
»д=»1
Пусть ряд (1) является рядом Фурье функции f. Доказать, что
в этом случае частичные суммы f) сопряженного ряда мо-
гут быть записаны в виде
л
S„(x; = \f(t)Dn(t-x)dt,
— Л
где Dn(x) определена в задаче 22.104.
22.107 . Доказать, что если /—интегрируемая по Риману на
отрезке [—л; л] функция и, следовательно, существует такая
постоянная М > 0, что для всех х е [—л; л] выполняется нера-
венство |/ (х) | М, то
I Sn (х; f)l^cM Inn, | Sn (x; f)|<cMlnn,
| x | я, где c — некоторая абсолютная постоянная.
22.108 . Пусть f — 2л-периодическая, абсолютно интегрируе-
мая на периоде функция и
л
®(6; f) — sup \ | f (х + h) — f(x) \dx
I h | <6 J
— Л
(функция co (6; f) называется интегральным модулем непрерыв-
ности функции f). Доказать, что для комплексных коэффициен-
тов Фурье сп функции f выполняются неравенства
IСп к-X-<0(л/п: f), '? = ±1, ±2,...
22.109 . В предположениях предыдущей задачи доказать, что
для коэффициентов Фурье ап и Ьп функции f, принимающей
только действительные значения, выполняются неравенства
IЯп К®(«/«; Л. \bn К-^-<о(л/п; Л. neN.
4. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье. Абсо-
лютная и равномерная сходимость рядов Фурье. Если функция f
непрерывна и кусочно дифференцируема на отрезке [—л; л],
/(—л) = f(n),
/ ~ а0 + S (an cos пх + bn sin пх),
П = 1
427
то ряд Фурье производной /г/ получается из ряда Фурье функ-
ции f почленным дифференцированием:
оо
Г ~ У (— пап sin пх + nbn cos пх). (31)
П=1
Кроме того, при сделанных предположениях ряд Фурье функ-
ции f сходится к- ней на всем отрезке [—л; л] равномерно и
абсолютно.
Если функция f абсолютно интегрируема на отрезке [—л; л],
то функция
F(x)=^(f7 —a^dt (32)
о
непрерывна на [—л; л], F(—л) = Е(л), ряд Фурье функции F
равномерно сходится к F(x) на [—л; л] и находится формаль-
ным интегрированием от нуля до х ряда Фурье функции f(x)-~ а0:
оо оо
f (х'’=Е +Е s’n пх—~п~cos пх)' ^зз)
,*г = 1 п = 1
Пример 10. Доказать: если все коэффициенты Фурье не-
прерывной периода 2л функции равны нулю, то сама функция
тождественно равна нулю.
Л Из формул (32)—(33) и условий а0 = 0, ап = Ьп — 0г
neN, следует, что для любого х<= [—л; л] имеет место ра-
венство
1 оо
J f {t) dt = - а.х + £ ^.??Р”£±Ь(1-со8пх) = Q
0 п = 1
Дифференцируя его, получим f (х) ^== 0. А
Пример 11. Разложить в ряд Фурье функцию
/ (х) = In (1 — 2а cos х + я2)> ИI < 1
Д Для производной
£/ z х 2а sin х
Г х = —s--------i—г
' 1 — 2а cos х + а2
заданной функции f(x) мы уже получили разложение в ряд
Фурье в примере 7:
Д (х) = 2 22 аП cos пх-
П = 1
Проинтегрировав это равенство, получим
оо
COS пх + о.
428
Положив а = 0, будем иметь с = 0. Поэтому
оо
In (1 — 2а cos х + а2) = — 2 ~~ cos пх. а
П = 1
22.110. Доказать, что если тригонометрический ряд сходится
равномерно, то он является рядом Фурье своей суммы
22.111. Являются ли нижеследующие тригонометрические
ряды рядами Фурье:
оо
р У s*n пх
П=1
оо
2> Z
п = 1
Esin пх
sin пх.
22.112. Разложить в ряд Фурье функцию
X
f(x) = Jin д/|ctg ^\dt,
о
— л <^х л.
22.113. Доказать, что если тригонометрический ряд имеет
подпоследовательность частичных сумм, равномерно сходящуюся
на отрезке [—л; л] к некоторой функции, то этот ряд является
ее рядом Фурье.
22.114. Доказать, что если непрерывная кусочно гладкая на
отрезке [—л; л] функция f принимает на его концах равные
значения, то ее ряд Фурье сходится к ней абсолютно и равно-
мерно на отрезке [—л; л].
22.115. Не вычисляя коэффициентов ряда Фурье на (—л; л)
функции f(x) = лх — х|х|, выяснить, сходится ли этот ряд рав-
номерно. Построить графики сумм продифференцированного и
дважды продифференцированного рядов.
22.116. Исходя из разложения
оо
Е. . .n+i sin пх - .
(—1) —, — л<х<л,
п = 1
получить почленным интегрированием разложения в ряд Фурье
функций х2, х3 и х4.
22.117. Доказать, что тригонометрический ряд
является, а ряд
не является рядом Фурье.
Ecos пх
in п
п—2
оо
Esin пх
In п
п=2
42^
22.118. Доказать: что если две непрерывные периода 2л функ-
ции имеют одинаковые коэффициенты Фурье, то эти функции
тождественно равны.
22.119. Доказать: если функция f непрерывна на отрезке
[—л; л] и ее ряд Фурье сходится равномерно на этом отрезке,
то в любой точке отрезка [—л; л] сумма ряда равна функции f
в этой точке.
22.120. Доказать: если функция f абсолютно интегрируема
на отрезке [—л; л],
оо
+ 52 cos пх Д- bn sin пх)
п — I
— ее ряд Фурье, то для любых точек х'е [—л; л] и х" е[—л; л]
справедливо равенство
Хп х" оо х"
f (х) dx — а() dx + (ап cos пх + bn sin пх) dx.
х' х' п = \ х'
22.121. Проинтегрировав почленно разложение
оо
у -Sinjix 0 < х < 2
Z_j п 2
П=1
получить формулу
оо
Ecos n:t In л .л2
п — ]
22.122. Доказать: если функция f имеет на отрезке [—л; л]
непрерывные производные до порядка k — 1 включительно
и кусочно непрерывную производную порядка k 1, причем
,n) = f(/)(n), / = б, 1, ..., k— 1, то:
1) Коэффициенты Фурье функции f удовлетворяют неравен-
ствам
п пх
оо
где ряд 2 4 сходится.
п~ 1
2) Ряд Фурье функции f равномерно и абсолютно сходится
на отрезке [—л; л] к функции f и
п ‘
где lim дг =0.
22.123. Определить точный порядок убывания коэффициен-
тов Фурье функции
f (х) = х10, — л < X с я.
430
22.124. Доказать: если функция f имеет на отрезке [—л; л]
непрерывные производные до порядка k—1 включительно и
интегрируемую по Риману производную порядка k 1, причем
/(/)(_ л) = ^)(л), / = 0, 1, ..., k— 1,
I f{k} (х) | С — л х л,
то
I f (х) — Sn (х; f) | < Ack , — л С' х < л,
п
где Д — абсолютная постоянная. Указание. Воспользоваться
результатом задачи 22.122.
22.125. Доказать: если функция f = и + iv имеет на отрезке
[—л; л] непрерывные производные до порядка k—1 включи-
тельно и f(/)(—л) =/(/)(л), / = 0, 1, ..., k — 1, кусочно непре-
рывную производную порядка k 1 и
оо 4- со
f~ I cneinx, f{k'~ X
n=—оо n=-oo
ТО
с,г = C^!.in,k.
22.126. Доказать, что для комплексных коэффициентов Фурье
сп 2л-периодической, абсолютно интегрируемой на периоде функ-
ции f имеют место формулы
л
Сп = 5 Р К) - f ( х + тг)] е~inx dx-
-л
22.127. Пусть функция f абсолютно интегрируема на отрезке
[—л; л] и удовлетворяет условию Гёльдера степени a,
на отрезке [л; &]сз[—л; л], т. е.
( f (х") — f \xf) К с | х" — х' |а, Z, х" е [а; &].
Доказать, что на любом отрезке [с; d], a<Zc<Zd<Zb, ряд
Фурье функции f сходится к ней равномерно.
22.128. Доказать: если 2л-периодическая, абсолютно интегри-
руемая на периоде функция имеет на отрезке [я; Z?] ограничен-
ную производную, то на любом отрезке [а; В], а < а < [3 < Ь,
ряд Фурье функции сходится к ней равномерно.
22.129. Пусть функция f абсолютно интегрируема на отрезке
[—л; л] и непрерывна на отрезке [а; &]cz[—л; л]. Доказать:,
если интеграл
и
где
fx = + I) + f (x — t) — f (x + 0) — f (X — 0),
43i.
при некотором б > О сходится равномерно относительно х s
^[а*9 Ъ], то ряд Фурье функции сходится к ней равномерно на
[а; Ь]. Определение равномерной сходимости интеграла см.,
например, [2], с. 122.
• 22,130. Доказать: если последовательность {ап} монотонно
стремится к нулю, то ряд
оо
aQ + X ап c°s пх:
п = ]
1) сходится на всей числовой оси, кроме, быть может, точек
вида х — 2лт, т е Z; 2) при любом б > 0 сходится равномерно
на отрезке [б; 2л — б].
22.131. Доказать: если последовательность {Ьп} монотонно
оо
стремится к нулю, то ряд У, bn sin пх: 1) сходится на всей чис-
п = \
ловой оси; 2) при любом б > 0 сходится равномерно на отрезке
[б; 2л — б].
22.132. Доказать: если последовательность {Ьп} убывает, то
оо
для равномерной сходимости на отрезке [0; 2л] ряда X bn sin пх
П=1
необходимо и достаточно, чтобы lim nbn — Q.
22.133. Привести пример тригонометрического ряда, который
сходится равномерно на отрезке [—л; л], но не сходится абсо-
лютно во всех точках этого отрезка.
22.134. Доказать, чго последовательность
sin kx I
~k~ ( 0ГРа’
ничена на всей числовой оси.
22.135. Доказать, что если последовательность {Ьп} убывает,
а последовательность {nbn} ограничена, то частичные суммы
оо
ряда X Ьп sin пх ограничены в совокупности, т. е. существует та-
кая постоянная с > 0, что для всех х е [—л; л] и всех п е N
выполняется неравенство
п
У bk sin kx
ft-1
22.136. Пусть f — непрерывная функция с периодом 2л. Вы-
разить коэффициенты Фурье Ап, Вп свертки
Л
через коэффициенты Фурье ап, Ьп функции f.
432
22.137. Найти выражение коэффициентов Фурье Ап, Вп функ-
ции Стеклова
x+h
fh(x) = -^ § f (t) dt, h>0,
x-h
через коэффициенты Фурье an, bn 2л-периодической, абсолютно
интегрируемой на периоде функции f.
5. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Сходимость
рядов Фурье в смысле среднего квадратического. Если квадрат
функции f интегрируем *) (вообще говоря, в несобственном
смысле) на отрезке I—л; л], то
л
Sn (х; f)]2 dx = min [f (х) — Тп W]2 dx,
Тп (х} _ д
(34)
где минимум в правой части берется по всем тригонометрическим
многочленам
Тп (х) = Ао + X ^Ak cos kx + Bk sin kx)
степени не выше n.
Если aQ, an, bn, N, — коэффициенты Фурье функции f, то
справедливо равенство Парсеваля:
ОО Л
2а2 + £ (а2 + 4) = 1 (х) dx. (35)
п=1 -л
Пример 12. Пусть квадрат функции f интегрируем на от-
резке [—л; л]. Доказать равенство
J(f(x) — Sn<x; f)2dx = f2 (х> dx — л!2аЦ £ (а2+ 4)).
—л —л \ k = \ /
(36)
А Возведя в квадрат подынтегральное выражение в левой
части равенства и интегрируя его, получим
J(f(x)-S„(x; f))2dx =
—л
Л/ , П \\^
= \ I f (х) — I аа 4- (ak cos kx + bk sin kx) | j dx —
-л \ V /г = 1 JJ
л / n \
= ^f2(x)dx + n(2a2+(a2 4-62) j —
- л \ = l /
*) В этом разделе рассматриваются функции с действительными значе-
ниями.
433
Из формул (35)—(36) следует, что для любой функции,
квадрат которой интегрируем на отрезке [—л; л], ряд Фурье
этой функции сходится к ней в смысле среднего квадратичного
на этом отрезке, т. е.
л
lim — Sn(x; f))zdx = Q. (37)
п -> OO J
-Л
Пример 13. Пусть функция / непрерывна на отрезке
[0; л] и имеет производную, квадрат которой интегрируем на
этом отрезке. Доказать: если
f (х) dx — 0,
о
; 38)
то справедливо равенство
л л
(/ (х))2 dx < (/' (х))2 dx 39)
0 О
А В силу условия (38), разложение функции f по косинусам
на отрезке [0; л] имеет вид ап cos пх (т. е. aQ = 0), поэтому
П=1
оо
(х) ~ пап s*n пх- Поскольку я* п2а2п, п е N, то из равен-
1
ства Парсеваля для функций / и
Л оо л 00
(Цх))2 dx = £ а2, (Г (х))2 dx = У п2а2,
0 п = 1 0 п — \
сразу следует неравенство (39). А
Пример 14. Использовав разложение (12) функции f(x) =
= (л—х) /2 в ряд Фурье, найти с помощью равенства Парсеваля
оо
сумму ряда У -±2.
434
Л В силу равенств (12) и (35), имеем
2л 2л 2л
= —- dx — 4" х dx + х2 dx — . ▲
4 J 2 J 1 4л J 6
оо о
22.138. С помощью равенства Парсеваля для функции
найти суммы рядов
оо оо
с __у sin2 па с ________cos2 па
51 “L 7? и L ~7ё~ •
п~\ п=1
22.139. Пусть квадрат функции f интегрируем на отрезке
[—л; л]. Доказать, что
л л
((/ (х) — S„+. (х; f)}2 dx^ (х) — Sn (х; f))2 dx, п е N.
--Л -Я
22.140. Доказать, что если все коэффициенты Фурье функции
f с интегрируемым на отрезке [—л; л] квадратом равны нулю, то
л
^\f(x)\dx = 0. В частности, если при этом функция f непре-
-л
рывна, то f(x) — O на отрезке [—л; л].
В задачах 22.141 и 22.142 квадраты функций f и g интегри-
руемы на отрезке [—л; л]:
оо
f ~ До + У (ап cos пх + bn sin пх),
п~1
оо
g ~ «0 + S (an C0S ПХ + ₽« Sin ПХ^
п = 1
22.141. Доказать: если ао = «о> ап = ап, bn — р„, neN, то
Л
JlfW — g(x)|dx = 0.
-Л
В частности, если при этом функции f и g непрерывны, то f(x) =
= g(x) на отрезке [—л; л].
435
22.142. Доказать, что
р °°
\f(x)g (х) dx = 2айа0 + £ (апап + Ь„$п).
— Л /2=1
22.143. Пусть функции f и g имеют интегрируемые квадраты
на отрезке [—л; л]. Доказать, что ряд Фурье произведения fg
функций f и д может быть получен почленным перемножением
рядов 1>урье этих функций.
22.144. Пусть функция f непрерывна на отрезке [0; л], имеет
производную, квадрат которой интегрируем на этом отрезке, и
Д0)=/(л) = 0. Доказать, что тогда
(/ (х))2 (х))2 dx.
о о
22.145. Пусть функция f непрерывна на отрезке [—л; л],
имеет производную, квадрат которой интегрируем на этом от-
л
резке, f(—л)=/"(л) и f (х) dx = 0. Доказать, что тогда
-л
л л
(f (х))2 dx «С (Г (х')2 dx.
-Л 0
6. Суммирование тригонометрических рядов. Иногда удается
вычислить сумму сходящегося тригонометрического ряда, сведя
его к степенному ряду, сумму которого можно найти. Идея этого
метода состоит в следующем: если ряды
оо оо
Ро + Е рп cos пх, X рп sin пх (40)
/2 = 1 /2=1
сходятся на отрезке [—л; л], кроме, быть может, конечного мно-
жества точек, то на том же множестве значений переменной х
сходится ряд
со со . оо
Ро+ Е pncosnx + I У рп sinnx = p0+ X pnzn, z = el,c. (41)
/2 = 1 /2=1 /2 = 1
Поскольку он сходится в некоторых точках единичной окруж-
ности |z|==l, то он сходится в открытом круге |г|< 1 и его
сумма
оо
— f (re1*) = ро + X Pnzn. Z = re1*, (42)
/2=0
при 0 < |z| = г < 1 является аналитической функцией. Если
оо оо
и (х) = Ро + 2 Рп cos пх, v (х) = 2 рп sin пх,
/2 = 1 /2 = 1
436
то согласно второй теореме Абеля для тех точек х, в которых
ряды (40) сходятся, имеет место равенство
и (х) + iv (х = f ‘eix). (43)
Когда удается найти функцию f в явном виде (т. е. выразить
ее через элементарные функции) и вычислить ее значение, стоя-
щее в правой части равенства (43), то тем самым удается найти
и суммы рядов (40).
Пример 15. Найти сумму ряда
оо
ECOS ПХ ,..ч
—fT- (44>
А Наряду с рядом (44), который сходится при х Ф 2л£,
k е Z, рассмотрим ряд
оо
Esin пх ,
-77- <45>
П=1
Этот ряд сходится на всей числовой оси. В данном случае для
функции f(z) (см. (42)) имеем
/(*) = £ ~ = — ln (1 — z) = ,nT~7’ z^l.
П = 1
Следовательно, обозначая сумму ряда (44) через ц(х), а сумму
ряда (45) через у(х), получим
ц(х) + iv (х) = In -—0 < х < 2л. (46)
Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма:
1__=_______1______=
1 — eix (1 cos х) — i sin х
_1__ 1 1 _
n • 2 Х л ’ Х Х о • Х • Х • Х
2 sm2 -5-2i sin -- cos — 2 sin — sin —-1 cos
= \ /77- ( sin Z i cos _£ A =
2 sin (x/2) V 2 ~ 2 7
1 Г ( n x\ 1 • ( я x
— 2 sin (x/2) lC0S (.2 2 ) + 1 ( 2 2 ) J ‘
Таким образом, модуль числа 1/(1 — eix) равен 1/2 sin(x/2),
а аргумент (л — x)/2. Поэтому из равенства (46) будем иметь
и (х) + iv (х) = In 1 = In + г С ~ ~) ==
1 — eix 2 sin (x/2) \2 2/
= — In (2 sin (x/2)) + Z (л — x)/2.
437
Откуда сразу находится сумма ряда (44):
оо
X = и (х) = — In (2 sin (х/2)), 0 < х < 2л.
п~\
Заметим, что заодно мы доказали, что
оо
V* sin пх л — х ~
/ , —— = —2— о < X < 2л.
Найти суммы следующих рядов (22.146—22.178)1
оо
22.146. У 22.147. У
ПА £~i п\
п=\ П=*\
22.148. У (-1)п+! —•
Z~> (2/г — 1)!
П=|
22.149. У (—I)"4 п=>] sin (2/г — 1) х (2/г—1)! ’
22.150. У (—!)" л «а cos 2пх . 1 sin 2пх (2п)1 —151. 2L, ( О (2“)! • п—0
22.152. 1 + £(-1Г'_2
п=*\
оо
22.153. У
£_/ п (п + 1)
Н = 1
22.154. У (-1)"^у.
п»2
оо оо
22.155. У (-1)"-^-. 22.156. £ (_1)»_ZL_
л«2 п=*2
оо
22.157. У (-l)"-^-rSinnx.
Л ---------------- I
22.158. V / i\n cosnx L< 1 4 (n+l)(« + 2)’ oo
22.159. yp , 1 sin L[ l> (ft+!)(„ +2) n«l
438
22.160. OO sin пх 2^ П (n2 + CL2) 11—\ oo
22.161. Y / i\n Sin nx L> 1 ' n(n2 + a2y n«l
22.162. oo y* lyi-i cos (2n — 1) x n = l
22.163. cos 2x . cos 3x , cos 4x . 1-2 1 2-3 1 3-4 ’
22.164. cos 2x j cos 3x . cos 4x . 1-2-3 1 2-3-4 1 3-4-6 1
22.166. cos 2x . cos 4x . cos 6x . 1-3 1 3-5 ‘ 5-7
22.166. V sin (2n — о * 2- (2n—I)3 ' rtsel
22.167. cos 3x cos 5x . cos 7x 1-3-5 3-5-7 1 5-7-9 co
22.168. / n""1 cos(2n—l)x L( l) 2n-i • n-l OO
22.169. V* ( sin (2n ~ 0 -V Zu ' ' 2n — 1 op
22.170. / nrt “1 cos <2n ~~ P * Zu ' (2n — 1) 2n rt=el
22.171. . 1 cos Зх . 1 • 3 cos 5x . 1 • 3 • 5 cos lx . COSx+2-y 4 2-;-4 g- ?
22.172. , 1 sin 3x . 1-3 sin 5x . SlnX + 2 3 + 2-4 5 +
22.173. cos x , 1 cos 3x , 1 • 3 cos 5% । 1-3-5 cos 7x . 1-2 1 2 3-4 1 2-4 5-6 1 2-4-6 7-8 ‘
22.174. sin x . 1 sin 3x । 1 • 3 sin 5 v , 1-2 2 3-4 '2-4 5-6 1 •”
22.175. OO У, cos nx, | a | < 1. oo
22.176. V* s1‘n na sin nx n
439
oo
22.177.
sin2 no, sin nx
n
0 < a
я
2 '
oo
22.178. (—If-1 гП^пгах , |r|<l.
ra = l
§ 23e Асимптотические представления функций
1. Асимптотические равенства. Часто бывает полезно для
функции f, заданной в окрестности конечной или бесконечно уда-
ленной точки хо, найти в каком-то смысле более простую функ-
цию (например, элементарную, если функция не была элемен-
тарной) асимптотически равную ей.
Пример 1. Доказать, что
х
С sin21 .. 1 . . Z1.
\—~t—dt ~~\пх, x->4-oo. (1)
0
А Разбив промежуток интегрирования от 0 до x на два про-
межутка: от 0 до 1 и от 1 до х, а затем применив формулу
sin21 = (1 — cos 2Z)/2, получим
x I XX
C sin2/ ,, f sin21 j. . 1 f dt if cos 2/ ,,
\ Г dt = J ~~t~dl + 7 J — - T J ~T~ dt ==
0 0 11
1 X
C sin21 .. . 1 . 1 C cos 2f j.
= J —— dt + jinx — у )—— dt. (2)
0 1
1 4-00
C sin21 C Co's 2/
Поскольку \—j—dt—константа, а интеграл \ —dt cxo-
o i
дится, то из равенства (2) следует, что
lim
х -> 4- оо
l sina « .
1 —t— at
0________
In X
Это означает, что выполнено асимптотическое равенство (1). А
Доказать асимптотические равенства (23.1—23.6):
X
23.1. ~-------* , х-> + оо, а < О, реК
J Г In3/ аха In3 х к
2
X
23.2. \ tae ~ut dt ~ ха+ге ~1,х, х-^4-0.
J
о
440
X
23.3. f (In t)a (Inx)a+I . \—Tzz- dt ~ , + a>—1, a>L J Vz2 + 1 a + 1 +00
23.4. f sm / e-t dt —^=-e~x(sin x 4- cosx), x^-4-°°- J x/t + 1 2 Vx X 4- 00
23.5. дД2+1 sin e* dt ~ xe~x cos ex, x->4-°°. X
X
23.6. лД2 + 1 е' sin / d/ ~ 3- хе* (sin х — cos х), х-»4-со.
о
23.7. Найти элементарную функцию, асимптотически равную
при х->+оо интегралу
23.8. Доказать, что
4-00
cos t2dt = — S1” *- 4- о (тз~). х—>4_о°-
X
23.9. Доказать, что
f sin t2 dt = ч- о (4г), х->4-со.
X
23.10. Доказать, что
4 ос
( sin Г rf/= cos*™ 4-of-2^r)’ х->4-оо, т>1.
д тх \х J
23.11. Доказать формулу Стирлинга:
Г (s + 1) ~ '\/2л e-s$s+1/2, s-> + °°,
где
4-о°
Г($ + I — \ e~xxsdx, s> — 1,
j
0
*— гамма-функция.
23.12. Доказать: если неотрицательная, непрерывная, не рав-
ная тождественно нулю функция f имеет при /> 1 период Т:
f(t+T)=f(t), Г > О,
то
х
\t~-dtx\nx, х->Н~оо.
441
23.13. Доказать, что
С In (1 +COS2 О ,, , .
\ —'— ----а/ In х, х —► + оо
2. Степенные асимптотические ряды. Пусть функция f опре-
делена при х а. Ряд вида
+ -j" + + • • • + "рг + • • • (3
называется степенным асимптотическим рядом (или асимптоти-
ческим разложением) функции f при х->4"°°, если его частич-
ная сумма
п
^«-£5 (4>
fc=0
удовлетворяет условию
f(x) — S„4*) = o(-pr). х^ + оо, n = 0, 1, ... (5)
Это условие равносильно существованию конечных пределов
lim f(x) = a0, lim хп (f (х) — S„_! (х)) = ап, п е N, (6)
х > + оо X -> + ОО
которые представляют собой коэффициенты ряда (3). Отсюда
следует единственность разложения функции в степенной асимп-
тотический ряд.
Если ряд (3) является асимптотическим рядом функции f, то
пишут
оо
f~£>.
Пример 2. Найти асимптотическое разложение при х->
->4-0° для функции
4-00
Г ex-t
f(x) = —J- dt, х > 0, (7)
X
и доказать, что оно расходится для всех х >> 0.
А Проинтегрировав по частям п раз, получим
х
... +,.(-,0"-Чп-1)!+(_1)Пд! (8)
X
442
Положив
Sn^ = y (-(/"(l- oi,
feel
будем в силу (8) иметь
4-00
|fU)-S„(x)| = n! J y^-di.
Проинтегрировав еще раз по частям, получим
4-оо
rtl f Рх~'
I f W Sn W I ^n4-i “h 1 )1 J /n+2
x
n\ ( 1 \
xn+1 ° \ xn /
Следовательно, ряд
V (!)«-'(„-1)|
Zu xn
n = 1
x—>4~ °°-
является асимптотическим рядом для функции (7). Его расхо-
димость для всех х > 0 следует, например, из признака Далам-
бера. А
23.14. Найти асимптотический ряд для функции f(x) — е~\
х > 0.
Установить следующие асимптотические разложения при
х—>-|-оо (23.15—23.16):
-1-00
Г p~xt 1 21 4!
23.15. \ + •••
X
4-оо
S1 I 1 • 3
ех -f dx ~ -g—— 2^5- 4- 2^5 —
X
23.17. Доказать, что если ряд (3) сходится к некоторой
функции, то он является и асимптотическим разложением этой
функции при х->+оо.
23.18. Доказать, что для того, чтобы ряд (3) являлся
асимптотическим рядом при х-> + °° Для функции Д необхо-
димо и достаточно, чтобы
Х-> + ОО,
п е N,
где 5л(х)—частичная сумма ряда (3).
443
23.19. Доказать, что если
оо оо
(9)
n=0 h=j
то для любых чисел X и ц имеет место
оо
Kf (х) + цсг (х) ~ . Х->+оо.
23.20. Доказать, что если имеют место асимптотические раз-
ложения (9), то
оо
f(x)g(x)~ Х->4-оо,
п=0
где
п
23.21. Доказать, что если
оо
гс=0
и ао¥=О, то функция l/f(x) также имеет асимптотическое раз-
ложение
оо
1 1 . V dn .
f(x) ~ а0 + L хп‘ *-*+ °°>
где коэффициент dn> п е N, этого разложения выражается через
коэффициенты а0, а\. .... ап.
23.22. Доказать: если функция f непрерывна при х а > 0
и имеет асимптотическое разложение, начинающееся с члена
порядка 1/х2:
оо
У -р-. Х->+ оо,
П=2
ТО
+ °° оо
\ f it) dt ~ У --— % —> оо,
J Х (п- 1)хп-‘
X п^2
т. е. в указанном случае асимптотический ряд можно почленно
интегрировать.
23.23. Доказать, что если функция f раскладывается в асимп-
тотический ряд
оо
<10)
№0
444
и если она имеет при х а непрерывную производную, которая
также раскладывается при x-^-f-оо в асимптотический ряд, то
этот ряд получается формальным почленным дифференцирова-
нием ряда (10):
f'w~
П=1
23.24. Доказать: если функция f имеет асимптотическое раз-
ложение (3) без свободного члена (а0 — 0), то его можно фор-
мально потенцировать, т. е. асимптотическое разложение функ-
ции ef(x) при можно получить, если в ряде
(Их))"
п=0
заменить функцию f ее асимптотическим разложением (3), фор-
мально произвести возведение в степень и объединить подобные
члены.
23.25. Найти асимптотическое разложение (3) для функции
f (х) = е~х sin ех, х->+°о, и доказать, что производная f'(x) не
раскладывается в степенной асимптотический ряд при
23.26. Найти асимптотическое разложение (3) при v->+°°
для функции
k
k=l
3. Общие асимптотические ряды. Последовательность функ-
ций фл(х), п — 0, 1, 2, ..., определенных в некоторой проколо-
той окрестности точки х0 (конечной или бесконечно удаленной),
называется асимптотической последовательностью при х->х0,
если для всех п имеет место соотношение
фиЧ-1 (х) = о (фл (х ) ), X -> Х0.
Примером асимптотических последовательностей при х->х0
являются последовательности фп(х) = (х — х0)п, если х0 — конеч-
ная точка, и <prt(x) = х~п, если xG = -4-оо или Хо == —оо, п =
= 0, 1, 2, ...
Пусть {фп(х)} — асимптотическая последовательность при
х —> х0. Ряд
ао<Ро(х) +£1ф1(х)+ ... +адр„(х)-|- ... (11)
называется асимптотическим рядом (или асимптотическим раз-
ложением) при х->х0 заданной функции f, определенной в не-
которой проколотой окрестности точки хо, если его частичные
суммы
Sn(x)= аОфо(х)+ «1ф1(х)+ ... + апфп(х)
445
удовлетворяют условию: для любого п — О, 1, 2, ... имеет место
асимптотическое равенство
f(x) — 5п(х) = о(фп(х)),
23.27. Доказать, что следующие последовательности явля-
ются асимптотическими (последовательность {ап} строго возра-
стает) :
1) {(х — х0)п}, х->х0.
2) {1/хп}, Х->+оо.
3) {1/ха«}, Х-> + ОО.
4) {/Н *->0.
5) {1папх}, х—>+°°-
6) {хапе~х}, х—>-|-оо.
23.28. Доказать, что если {ф«(х)}—асимптотическая при
х-+-Хо последовательность, то для того, чтобы ряд (11) являлся
асимптотическим разложением функции f при необхо-
димо и достаточно, чтобы
f(x) — Sn(x) = О(фп+1 (%)), x-+xq, п = 0, 1, 2, ...
23.29. Доказать, что если фп(х)=И=0 при х#=х0, и = О, 1, ...,
a f раскладывается при х-+х0 в асимптотический ряд (11), то
его коэффициенты последовательно определяются по формулам
(п-1
fix) — У (х)
/2=0
23.30. Разложить при х—в асимптотический ряд функ-
цию
4-00
(* еа
F (х; а) — \ -т-dt, х > 0, а > 0.
J ta
X
Доказать, что действительной и мнимой частью интеграла
~F(x2; 1/2) являются неполные интегралы Френеля
4" оо 4~ оо
cos /2 dt, sin /2 dt,
X X
23.31. Найти асимптотическое разложение неполной гамма-
функции
4-00
Г (5; х) = f-'e^dt, х > 0.
446
§ 24. Бесконечные произведения
Пусть задана числовая последовательность {рп} и пусть
п
Pn==Pip2 ••• Рп=Прй-
/г = 1
Тогда, если существует конечный или определенного знака бес-
конечный предел
lim Рп, (1)
П->оо
то его называют бесконечным произведением членов последова-
тельности {рп} и обозначают
П Рп ИЛИ PiP2 ... рп...
П=1
Таким образом,
°? -Д-
П Рп = Нт Рп = Ит П Pk- (2)
П->оо п->оо k — \
Если предел (1) конечен и не равен нулю, то говорят, что
оо
бесконечное произведение Ц рп сходится, в противном слу-
п = 1
чае (в частности, когда предел (1) не существует), что оно
расходится. Если предел (1) равен нулю, то говорят, что бес-
оо
конечное произведение Ц рп расходится к нулю.
п = 1
Сходимость бесконечного произведения (2) положительных
сомножителей рп > 0, п е N, тесно связана со сходимостью
ряда
оо
Е in рп> (3)
получающегося формальным логарифмированием данного бес-
конечного произведения.
Бесконечное произведение
оо
П Рп>
Рл>0,
nsN,
называется абсолютно сходящимся, если абсолютно сходится
ряд (3).
Примером бесконечного произведения является следующее
представление синуса в произвольной точке х\
оо
sin х = х (1
Л2Л2 ) *
(4)
447
Пример 1. Найти П0+*2")-
Д Поскольку в данном случае Pti = (1 + х).. .(1 + х2п), то
(1 -х)Р„ = (1 -х2)(1 +х2) ... (1 + х2П)= ... = 1 -Х2ге+1.
Поэтому
1 - Х2П+1
и если |х| < 1, то
а если | х | 1, х ф 1, то
При х — 1 получим 2-2 ... 2 ... — 4-оо. Таким образом,
ГТ (1 +д2«)=Г 1/41 ~*)> 1*1 < 1.
ii 1+°°> |х|>1. л
Пример 2. Доказать формулу Валлиса
я _ ГТ 4”г
2 11 4п2 — 1 ' (^)
п=\
А Проинтегрировав неравенство
sin2"+1 х sin2" х sin2"-1 х
от 0 до л/2, получим
л/2 л/2 л/2
( sin2"+1xdx<; sin2"xdx^^ sin2"-1 xdx,
o' О о
и поскольку (см. задачу 6.208)
л/2 л/2
f sin2"+1xdx = ,9(2?)!' , , sin2n xdx = ,
J (2«+1)!1 J (2/г)!! 2 ’
о о
л/2
С sin2"-1 х dx -—
J S1H ХаХ~ (2ге- 1)!! ’
0
ТО
(2/г)!1 (2n—1)!! я (2/г — 2)1!
(2/г+1)!! (2п)!! 2 (2п-1)!!’
448
Отсюда
def 1 / (2га)!! у . n 1 / (2ra)!! \2^_f
Xn~~ 2n + 1 k(2ra — 1)H J 2 2n \ (2n — 1)1! ) ~ Уп’
В силу этих неравенств
;; , Л- =J______L_(_» У<.1,^0
п 2/г 2/г + 1 \ (2/г — 1)!! ) 2/г 2
при п -> оо, и поэтому Нпз (уп — х„) = 0, т. е. отрезки [хп\ Уп]
п-^оо
содержат точку л/2 и их длины стремятся к нулю. Следова-
тельно,
lim хп = п/2, lim уп = л/2, (6)
П->оо n->6o
Поскольку
_ 1 / (2га)!! \2_ 2-2-4-4 ... 2га-2га
2га + 1 к (2га— !)!! ) ~ 1 - 3-3-5 ... (2га— 1)(2я+ 1) —
п
k=\
то первое из равенств (6) и означает справедливость формулы
Валлиса (5). А
24.1. Выяснить, сходятся или расходятся бесконечные произ-
ведения:
оо со оо
‘’Пт- 2’Пттт- 3’П“К-
п=1 п=1 п=1
Доказать
равенства (24.2—24.11),
24.2. П(1
п=2
П/г3 — 1 __ 2
/г3+ 1 — 3 ’
п=2
24Л* П (1
п=2
-Л____
га (га+1)7 3
п==0
п=1
л 2
cos “TZT = “ *
2,г+ п
24-7- ПО-ёК
2.
2<-S- ПО
Указание. В задачах 24.7 и 24.8 воспользоваться форму-
лой Валлиса (5).
15 Л. Д. Кудрявцев и др,
449
Л
4 *
co oo
24.9. Псо5^=4^. 24.10. Цс1,£ = ^.
n = l n=l
oo
24.11. П ——------Зи = 2л ?
-LJ- 3n — 1 3n + I 3V3
n— I
oo
24.12. Доказать, что если бесконечное произведение п Рп
п— 1
оо
сходится, то сходятся и все его остаточные произведения Ц рт,
т—п
/2 s N, и если сходится хотя бы одно остаточное произведение
оо
IT Pm и pk =/= 0, й= 1, 2, п—1, то сходится и бесконечное
т=*п
оо
произведение рп,
П = 1
оо
24.13. Доказать, что если бесконечное произведение Ц рп
п—\
сходится, то lim ptn— 1.
П~>оо
оо
24.14. Доказать: если бесконечное произведение Ц рп
/2=1
ОО
сходится и Q„= П рт, ТО lim Q„=l.
m=n+l п-»оо
24.15. Доказать, что если бесконечное произведение схо-
дится, то, начиная с некоторого номера, все его сомножители
имеют один и тот же знак.
24.16. Доказать, что для того, чтобы бесконечное произве-
оо
дение П Рп, Рп > 0, п е N, сходилось, необходимо и доста-
п=1
оо
точно, чтобы сходился ряд X 1п рп, и что при выполнении этого
п=1
условия
оо оо
Прп = е5. где S=Xlnp„.
п=1 п = 1
24.17. Следует ли из сходимости бесконечных произведений
оо оо
П Рп и П #п> Рп > Уп > 0, N, сходимость произ-
/2=1 П = 1
ведений:
ОО <Х. ОО ОО
П 2)Прв. 3) Tlpnqn. 4) IL(pniqn)?
га=-1 П“1 п=1 Л=1
450
24.18. Доказать: если для всех п ип^='—\ и для всех п, на-
чиная с некоторого, выполняется неравенство ип > 0 (или
ип < 0), то для сходимости бесконечного произведения
со
П(1 + «„): 1) необходимо, чтобы lim h„ = 0j2) необходимо и
д=1 гг->оо
оо
достаточно, чтобы сходился ряд X ип-
/2 = 1
24.19. Доказать, что бесконечное произведение
сходится, а ряд
расходится.
24.20. Доказать: если ип^— 1 для всех п и если сходятся ряды
оо оо
Е Ё «„>
/2 = 1 /2 = 1
то сходится и бесконечное произведение
оо
П(1 + «„).
/2 = 1
оо
24.21. Доказать, что бесконечное произведение П(1 + Ып)»
где L „ — 9Ь — 1
= - yk -4=-+—ч—n=2k, k k 'У/ k
оо оо
сходится, а оба ряда X ип и X ип расходятся.
/2=1 /2 = 1
24.22. Доказать, что для того, чтобы бесконечное произведе-
оо
ние Ц рп, рп> 0, n g N, равнялось нулю, необходимо и доста-
/г=1
оо
ТОЧНО, чтобы X to Рп — — 00 •
/2=1
оо
24.23. Доказать, что если —1 < ип < 0, п е N, и ряд X ип
п=1
оо
расходится, то Г1 (1 + ип) = 0.
15*
451
24.24. Доказать, что если —1 < < О, neN, ряд
абсо-
сходится, а ряд X ип расходится, то П(1+«п) = о.
24.25. Доказать, что если бесконечное произведение
лютно сходится, то оно сходится.
24.26. Доказать, что абсолютно сходящееся бесконечное про-
изведение не зависит от порядка сомножителей.
24.27. Доказать, что для того, чтобы бесконечное произве-
оо
дение П рп, рп> 0» n е N, сходилось, необходимо и доста-
п=1
точно, чтобы для любого 8 > 0 нашлось такое п0, что для всех
п > по и всех k > 0 выполнялось неравенство
п+ k
е.
т=п
24.28. Доказать, что для абсолютной сходимости бесконеч-
оо
ного произведения Ц (1 + ип\ где ип ¥= —1 для всех п, необхо-
димо и достаточно, чтобы абсолютно сходился ряд X
п = 1
24.29. Доказать, что
оо е\/п
П=1 п
где С — постоянная Эйлера:
С — lim
24.30. Доказать, что если F(&) — полный эллиптический инте-
грал 1-го рода (с<м. задачи 6.230 и 6.231), то
k,
/2 = 1
k0=k,
,2 ’ О
71-1
24.31. Найти П'
П = 1
24.32. Выяснить,
изведение
сходится или расходится бесконечное про-
/г=о
и можно ли говорить о его значении?
е
п
а
1
452
Доказать сходимость и найти следующие бесконечные произ-
ведения (24.33—24,36):
оо оо
24.33. Д 24.34. Д (1 + .
п=3 п=1
24.35. Д
П = 1
(2п+ 1)(2« + 7)
(2п + 3) (2п + 5) '
24.36. Да<-1)П/",
п = 1
а > 0.
оо
24.37. Доказать, что (1 — = 0»
п=2
0<х<1.
Исследовать сходимость следующих бесконечных произведе-
ний (24.38—24.45):
оо оо
24.38. Д-Дт. 24.39. Д-ДУД.
11 п2 — 1 11 п (п + 2)
П=1 П=1
оо оо
24.40. П(!-1). 24.4.. Д(^1)’.
п=2 п=2
оо оо
24.42. Д а/. 24.43. Д , ” .. .
11 V » + 2 11 V„2 > j
п=»0 п=*\
оо оо
24-44- Пд/мТ' 24-45. П”№
n=*l v п=1
Выяснить, при каких значениях х сходятся бесконечные про-
изведения (24.46—24.55):
оо оо
24.46. П(.+^). 24.47. Д(1 -А).
п=1 п=2
оо оо
24.48. Д(1 + ^)е~х1п. 24.49. Д (1 — 7~)е^п, с > 0.
п=1
оо оо
24.50. Д(1-х"). 24.51. Д(1 +^~)-
п=\ п=1
24.52.
24-53- по
^(x/Vn)4-.(x2W,
453
24.54. Q 24.55. Д + х) -
/г = 1 п=1
24.56. Доказать абсолютную сходимость бесконечного произ-
ведения: /
оо
sinx = xJJ^l—^2*)» х тп, meZ.
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость сле-
дующие бесконечные произведения (24.57—24.63):
оо ОО
24.57. д(! +-Ь1р). 24.58. П(1 +-^f-
п=1 п=2
оо п 00 /—
24.59. П (1 + - Т0 -) - 24.60. П .
11Л Inn J 11 + (—!)«
n=2 n=2
co oo n
24.61. [[п'-'Л 24.62. Дд/«(1)П •
ft=l n = l
t—г / ( 0/2 \
24.63. ПО+^-Л-------------)•
n=l
24.64. При каких значениях х бесконечное произведение
ОО 1
Д(1 + ) сходится, абсолютно сходится, расходится,
п=1
расходится к нулю?
24.65. Пусть 0< хп <л/2, rzeN. Доказать, что бесконеч-
ные произведения
ОО оо
П005*- - ГН"'?
п=\ п=1
со
сходятся тогда и только тогда, когда сходится ряд X
24.66. Доказать, что бесконечное произведение
П = 1
оо
| ап | < л/4, сходится, если абсолютно сходится ряд У, ап.
П = 1
24.67. Доказать, что
n(l + <f) = -----!----, 0<<7<1
„ = 1 Д(1-92п-1)
П = 1
(Эйлер).
454
24.68. Доказать асимптотическое равенство
(2/г — 1)!! 1
(2/г)!! Vпп ’ П-^оо
24.69. Доказать, что
COS X = П ( 1-----—---—-----2 \
111 Г 2/г — 1 VI
n=1\ I 2 П) /
Указание. Воспользоваться разложением синуса в бесконеч-
ное произведение (см. (4)).
24.70. Доказать, что:
1) Бесконечное произведение
Г«-тП
Н=1
оо
1 +
X
п
абсолютно сходится при всех x=/=m, m = 0, —1, —2, .
2) Г(х) = lim ——г-гтт-^ж--т~r~V-
n->oo х (х + 1) (х + 2) ... (х + /г)
3) Г(х+1)=хГ(х) (Эйлер).
24.71. Доказать, что
1
е-х/п^
= еСх
п=\
где С — постоянная Эйлера (Вейерштрасс). Указание. Вос-
пользоваться результатом задачи 24.29.
24.72. Доказать, что
Г (х )Г (1 —х) = л/sin лх.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 24.70.
24.73. Пусть (х) — X 7^ (дзета-функция Римана) и рп,
п — I
zieN, — последовательные простые числа. Доказать, что
24.74. Доказать, что бесконечное произведение
П(1------р“) 1 и Ряд ГДе ?n N)-— последователь-
ней------п=»1
ные простые числа, расходятся (Эйлер).
455
24.75. Доказать» что последовательность
п\еп
Хп Пп^
имеет конечный не равный нулю предел а. Получить отсюда
формулу Стирлинга'.
п\ = д/2я нп+112е~~п (1 + еЛ), Нт &1г — 0.
П-> оо
оо
Указание, а — х{ ГТ —-+1 . Для нахождения значения а вос-
J--L Хп
п—\
пользоваться формулой Валлиса (5).
24.76. Пусть функции fn непрерывны на отрезке [а; Ь],
оо
|f«(x) | сп, а х п N, и ряд X сп сходится. Дока-
71 = 1
зать, что:
оо
1) Функция = U + fnW) непрерывна на отрезке
П = 1
[а; Ь].
2) Если функции fn непрерывно дифференцируемы на от-
резке [а; 6] и ряд
V*
1 + Д(х)
П = 1
равномерно сходится на [а; 6], то функция F\x)j также непре-
рывно дифференцируема на [а; Ь] и
F' (х) = F (х) £ 1 + /„(х) •
П=1
ОТВЕТЫ
Глава I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ I. Общие приемы и методы интегрирования
1.1. 1) Vx — cos(x + l) + cos2. 2) 2 In | x | + + 4. 3) -* ГИ . Ц-6.
y-4 уЗ' y5 9 уЗ 4-4
1.2. 1) 4--+ 2)4--#- + ^ + ^ 3)-----\----~4~
4 3 5 3 x2 x
+2inixi+c. 4) 4%2 +2 +c. 5) 4-* UM+C.
О о It)
1 x 1 X У 3 — a/5
6) —-arctg——+ C. 7) -----—r-In -^4 4- +C.
V7 V7 2 У15 xV3+V6
1
92x eK
12> TTW+C 131
- i+c' l5> 2
9) In (x + Ух2 + 13) + C. 10) 16x —
11) arcsin 4- 2 In (x + У4 + x2) + C.
EC. 14) —-y=” In
5х In 5 2х In 2 6 V3
x smx + c 16) _ ctg x _ x + c 17)
х4~Уз
x — Уз
x — th x + C.
1
18) x — cth x + C.
1.3. 1) Неверно. 2) Верно. 3) Неверно.
1.5. Указание. См. [1], задача 13.173, а = 2.
1.6. 1)
|х|3 , п (1+х)|1 + х| , (1- х)|1 — х|
3 + • 2} 2 + 2
-Ь С.
х 2 7
--— х3 + — х2 — 6х + С, если х < 2;
о Z
2 7 20
— х3------— х2 + 6х-----5- + С, если х 2.
о Л о
f ~~е +2 +С, если х < 0;
4) F (х) = <
+ если х^О.
f 1 — ch х + С, если х < 0;
5) F(x) =<
( ch х — 1 + С, если х^О.
{х3
х------—Ь С, если | х { 1;
X X । 1 . , _
х----1- 4. _ Sign х 4- С, если
|х| > 1.
7) F (х) | (х3 + 2 sign х)/3 4~ если I х [ > 1.
457
8) -И- ([х] — (—1)^ cos лх) + G.
31
1.7. 1)±еах + С. 2) --Uos (ax + 6) + С. 3)-yJ— (ax+b)a+'+C,
Cl Cl Cl -f- 1 j
1 X 1
если аУ= —1; —In | ax + b | + С, если a = —1. 4) --— sin 2 (ax-{-b) + C.
x cos 2b
sin 2ax
4a
x cos b sin (2x + b)
2
4a
1.8. 1) —~r arctg f/\/-7- x't + c-
д/35 \ V 5 /
2) — In
18
3x + 5
1 — 3x
3)
5)
2 4 4x —5 n 1 1
—7=r arctg 7=----h C. 4) In
V31 V31 16
In I X + — + V*2 + x I + C.
3x — 5
5x — 3
+ C
6) —arcsin---------h C.
V2 5
7) In (x - 1 + Vx2 - 2x + 5) + C.
8) arcsin - V5 + C.
V21
1.10. 1) In | 3x2 — 7x + 1 | + C.
2) — In (2 — 3x + 5x2) — —-7—• arctg c_
’ 10 5V31 V31
3) — In I x2 - x - 1 I-4 In I 2x ~ 1 Vf + c.
2 2 V5 I 2x - 1 + V5
4) — In (5x2 — x + 2)-4=- arctg *0*.__'—I- C. 5) 3 Vx2 — 4x + 5 J- O.
5 5V39 V39
6) V_ V4x2 + 4x + 3 + In (2x + 1 + V4x2 + 4x + 3 ) + C.
7)----V3 + 4% — 4x2 + arcsin —- + C. 8) — -y Vl + x2 — %4 +
,3 . 2x2 - 1 , 1 , Уз + 7x2 + з/з ,
+ — arcsin----7=----F C. 9)----==- In —--------------h C.
4 д/5 7з |X|
’°) 2 д/гЕт + c n) Vx - x2 +-j- arcsin (2x - 1) + G.
12) + 2x + 5 + 2 In (x + 1 + Vx2 + 2x + 5) + C.
1.11. 1) 4-(l-х2)-' + С. 2) --^-(x6+2)-3 + C. 3) V-(l-x)-11
2 IO 11
1 in X® X4 X^ X2
-tF(1-x)“10+C. 4) 4 ' . .. ... .
iu о
5) In | xs - x + 1 | + C. 6) 1 In
8) -V_ ]n V-~ V£ x + 1 + c.
2 д/2 x2 + д/2 x + 1
s.12. i) 4 V(x3+1)8+c. 2) -|-V(i+x)5 - 4 V(i+x)8 + c.
V О О
2 2 i Л 111 I ™ । 1
1 Y2 — 1
+ c. 7) * arctg i—-
V2 д/2 x
4
458
3) 4 V(x2 - l)5 + vV(x2 - l)3 + c. 4) 4 (5x3+6x2+8x + 16) Vx - 1 + C.
О о oD
5) ~V I)2 - 3 л/х + 1 + 3 In | 1 + Vx + 1 I + C.
+ 41n(l + V7)+C.
8)
6) 2 Vx — 4 Vx +
V(9-x2)6 ,C'
45x5
9) 1 + C. 10) 2xV3 .L Vl + x2 + C.
1.13. 1)--i-e-x2+C. 2) ±е2хг+2х-1 _|_ C. 3) x _ _|_In (j + e3x) _j_ q
4) -x---|—+ 2 in (1 + Vex) + C. 5)2e^x+G. 6) arcsin (exl‘i) + G.
У ex
7) 2 arctg Vе* — 1 + C = — 2 arcsin e *^2 + Ci. 8) In (e2x + Vfi4x + 1) +
+ C. 9) arc^y *- + C. 10) V(1 + Л7 - 4 V(1 + «V + C.
11) In | th (x/2) | + C. 12) 2 arctg еж + C. 13) 4 (ch2 x — In (1 + ch2 x))+C.
14) 4th3x-4-th5x+ 0.
О D
1.14. 1) 4 In3 x+c. 2) In I In In x l+C. 3) In x — In 2 • In | In x+2 In 2 l + C.
4) -4ln2T~T+c- 5) 4(ln —2) V! + Ш X + c.
6) — Vl — 4 In x — In2 x — 2 arcsin —j? - + C.
V5
1.15. 1) ±sin2x + G. 2) — In (1 + cos x) + C. 3) — sin у-+ C.
4) in | sin x | + C. 5) in |tg (y- + -2-) |+c- 64 VFarCtg~V^ 'X ' <
7) —2 cos Vx + C. 8) 2^-4 sin4 x-----------sin2 x + 4') Vsin3 x + C.
9) Vcos5 x — 2 Vcos x + C. 10) — Vl + 2 cos x + C.
О
11)--------- In I V2 cos x + Vcos 2x I + C. 12) —arcsin (V2 sin x) -Ь C,
'X/2 ^2
13) V25 sin2 x + 9 cos3 x + C. 14) V2 sin2 x — 1 + C. 15)-^-Vctg3 x + C.
о о
16) — In (2-J-cos x+Vcos2 x+4 cos x+O+C- 17) sinlnx + C. 18) -|-In2tgx+C.
19) etg%+In I tg x l+C. 20) 2 arctg Vesin * —- 1 + C=—2 arcsin e~ (sInx)/2 + Ci.
1.16. 1) In I arcsin x I + C. 2) arcsin3/2 x + C. 3) — ~ arccos3 2x + C.
О О
4)------ In2 arccos x + C. 5) arctg3 x + C. 6)--------- arcctg4/3 x + C.
7) (arctg л]x )2 + C. 8) arctg2 ex + C.
459
1.17. 1) -е~х (х + 1) + С. 2) —— + С. 3) х ch х - sh х + С-
4) (2 In х — 1)+С. 5) х In (x+Vx2 + 4) — aJx*+1+C. 6) -у- In | 1+^ | —
1 х xa+1 / 1 \
— — ln|x+ 1 |+-£-+ с. 7) - - I In х — - ) + С, если a#= —1;
' j " 1 \ \J, ’ I ~ 1 у
In2 X + С, если а = — 1. 8) ----х2 + Зх + In (х + 1)-------+
Z \ о О / У
1J8. 1) 4(.ге1е«'-Т^г)+С. 2) ^(т1Ь'Т+4Т^) + С'
1.19. 1) -g-sin (5х - 7) +cos (5х - 7) + С. 2) — -у sin 2х —
1 X 1 Х“
--- cos 2х + С. 3) х tg х + In I cos x | + C. 4) — tg 2x + — In | cos 2x |-— +C.
5) — x ctg-—- + C. 6) In | tg 1 — cos x • In tg x + C. 1.20. 1) x arctg x —
— 4- In (1 + x2) + C. 2) -L- ((5x — 2) arccos (5x — 2) — V—25x2 + 20x — 3)+C.
2 о
x + (x2 + 1) arcctg x , „ .. x3 . - . 2x2 + 1 -----—г , „
3) ——-----------------1- C. 4) -5- arcsin 2x 4-----Vl — 4x2 + C.
z О DO
x4 — 1 . x3 x arcsin x 1 + Vl — x2 r
5) arctgx-—+ T+C. 6)--------------------ln—Td------------------------+C-
7) (1 + x) arctg -у/x — Vx + C. 8) —x — Vl — x2 arccos x+C. 9) -^(З ~ x2) —
---(1 — x2)3/2 arcsin x + C. 10) 4 aJ L + x — 2 V2 — x arcsin (x/2) + C.
'•2'- » - 4' + v) V + c- 2> (V- - и + тэт-> + c'
3) -----—cos 2x + sin 2x+C. 4) (x2 — x + 3) sh x — (2x — 1) ch x + C.
5) (x4 — 10x2 + 21) sin x + 4x (x2 — 5) cos x + C.
. ( 5 4x3 24x \ cos5x ( 4 12x2 24 \ sin 5x , r
6) V x +~5 125"J 5 25“+ 625 ) 5 r ’
1.23. 1) x (In2 x-21nx+2) + C. 2) - +~3/2 (y In? x + 3 in x + 2) + C.
3)-----41“ {In3 x + 4" In2 •’f + 4- In ^ + -T") + C. 4) x in2 (x + Vl + x2) —
—2 ”^1 + x2 In (x + д/l + x2) + 2x + C. 5) x arcsin2 x + 2 Vl — *2 arcsin x —
r2 4- 1 1
— 2x + C. 6) —------arctg2 x — x arctg x + — In (x2 + 1) + C.
1.24. 1) 4-Vx2 + « + “4 ,n |x + Vx2 4- а I + c-
2)
3)
x (2x2 + a2) , a4
—1—V-Vx 2 + a2-—
О о
a sin bx — b cos bx . z>
——eax+c.
In (x + Va2 + + ۥ
a cos bx + b sin bx
4} a2 + b2
eax + C.
460
8)
5)
5)
7)
9)
Ю)
И)
12)
13)
15)
sin x + (In 3) cos x x „ sin 2x — 5 cos 2x я
------3 + C. 6) =
sin x sh x — cos x ch x r
T* Ь,
2
a2 + 4Z?2 — a2 cos 2b x — 2ab sin 2bx ^ax
2a (a2 + 462)
x sin x + (1 — x) cos x
2 ‘ '
(x — I)2 sin x + (x2 — 1) cos x
-------------------------------------e.
13 V2 e +C
sin 2x — cos 2x — 2
8)
8
2
(4 — lOx) sin 2x — (5x + 3) cos 2x + 25 (x — 1)
50
(sin In x — cos In x) x r
— + c.
2
(3 sin In x — cos In x) X3
10
1.25. 1) Jn = —xneax — — J,
a a J
, xa+1 lnn x
4-1. 4)
16)
14)
(sin In x + cos In x) x
x — Vi — x2
2
2
^arccos x
2) Jn — x 1nn x — nJ}
'n
.n —
fl — 1 ,
-------aJn-2-
П n z
r sin x cos22”1 x ,
6) J =---------------------h
n n
Г OX Г — shxch”-1 X ,
n Jn^.S)Jn~—n----------------+
_ cos x , n — 2 т
Jn=s=i -------- . „ ,-----1 —' Jn-2*
(n “ 1) sin 1 X n — 1
n
cos x sinn 1 x . n — 1 ,
n n n~2*
ch x sh'2-1 x n — 1
~L4-2. 7)4=
j
n n~2*
n
9)
10) Jn („-lfch"-1
n — 2
n — 1
^П—2»
1.26. 1) - (x8 + 8x7 + 8 • 7x6 + 8 • 7 • 6x5 + ... + 8! x + 8!) e~x + C.
2) (In4 x — 4 In3 x + 12 In2 x — 24 In x + 24) x + C.
3) f^x-l^x + Alnx-A)4+C. 4) Л.('('1х5_30хз + 405х'|х
\ zt о oZ / 4 lo\\o 7
3 cos4 x + 4 cos2 x + 8 . ,
----------- sinx c.
6)
3 1
8 sin4 x + 10 sin2 x + 15 . , 5x
----=---- ------ - sin 2x + —- 4
lo
5 sh x
96
7)
15
cos X
3 COS X
8)
4 sin4 x 8 sin2 x
5 sh x ,5 . x , n
6 ch6 x "r 24 ch" x 16 ch2 x + arc S e
sh x
1.27. 1) - -I (x2 + 1) e~x2 + C. 2) 2 Mx - 1) + C. 3) 2(x5/2 - 5x2 +
+ 20x3/2 - 60x + 120xl/2 - 120) ё^х + C. 4) (In In x - 1) In x + C.
5) V^~+Tln — - In 4х2 + 1 ~ 1 + c 6) 2 (In (x2 - 1) - 4) -
e X
— 4 V2 In — X 2. —h C. 7) 2 (2 — x) cos V* + 4 V* sin V* +
46L
8) -у + g sin (2 Vx) + -j- cos (2 Vx ) + С- 9) (5 + cos (2 In x) +
+ 2 sin (2 In x))4-C. 10) — (x+ctg x • In (e sin x))+C. 11) sin x In (1 + sin2 x)-~
X__________________________________________9
— 2 sin x + 2 arctg sin x + C. 12) -yqyy ex + C-
1.28. 1) -i- x2 arctg x2----In (1 + x4) + C. 2) — x + In (1 + e2x) —
1 I x2 1
— e~ x arcctg ex 4- C. 3)-------— (sign x) Vx2 — 1 + arccos — + C.
4) 2 x + 1 arctg Vx — 2 In (Vx + Vx + 1) + C. 5) x arcsin /\J—
— V^ + arctg Vx + C. 6) — 2 sign (1 — x) Vx + (1 + x) arcsin + C*
1.29. f (x) == 2 Vx + C.
1.30. f (x) =
если
X2
1.31. f (x) = C--------—, g (x) = sin x
1.32. 1) f(x) = A+i-C, g(x) =
x^
-2— C-
X .
— + С, если
y-x’ + C.
X4 , COS X
ox £ / \ x4 cos x , „ . .
2)f(x) = -j2------~+Ct gM===
С, если x > 0;
12
x4 cosx . „ . n
_------------p i — с, если x < 0.
2
§ 2. Интегрирование рациональных функций
1 I Г 9 I 9 1
2.1. 1) 4- In 4x4- + c. 2) -=-In|x —2| + — I 2x + 1 I + C.
О 1 X "T* i I v iv
3) ln(x2 + 6x+ 13)+ 4-arctg-^ + c. 4) x + 3 In I 4^1 I + C-
Л I X J
4 11 4
5) 4-x2 + Ar In I X - 2 I + 4- In I X + 2 I + C. 6) x + 3 In (x2 - 6x + 10) +
Л Л £
+ 8 arctg (x — 3) + C.
3)
6)
7)
22 nl|n 1(*-1Нл + зГ
• * 4 12 (x + 2)4
1 , I (2x — I)2 (2x — 5)3 I .
Tln|-------2TT3------1 +
1 , I (Зх+ l)9(2x —3)2 I ,
зз ln I--------------1 +
4)
.1 (x- l)4(x —4)5 I
2) ln|------(7+зр------1
_1_ | (x — 2)7 (Зх — I)31
15 (x+ I)10
+ C.
+ C.
X2 X2
4- + 4-+4Х+1П
О Z
1 ... (* —3)2|x + 2|3 ,
60 1П (x + 3)2 I x — 2 |3 +
x2 (x - 2)s
(x + 2)3
6) | U-2>(» + 2>" l+ C'
im x2 J-inl x(x-2)(x+l)V|x2-l|
10) + In |------------------
462
г4 4 27
2.3. 1) -5“ + 4 xs + 6х2 + ЗОх-+ 72 In | х — 2 | + С.
2)4<х+ О"1+4- 1ПК*+ 1)(х- 1)3| + С. 3) -±(х-1Н +
Л тс Z
-2
4 | x - 1 | * * 7 v ' I
e. 8 (9x2 + 12x + 5)
5) X-----3(х4ЛР-----------81n|x+l| + C. 6) 2 ,
- (x - I)-2 4- + In | (x — I)31 (x + 1) | + C. 7)-1-X
4 o Z
— 2) (x + I)44
X45
х — 2 1
x — 1
X
Y2 9 —1
4- 2x - -Z- (x - 1) -
(x4-l)~'4-
О
16 —21x —6x2
250 (x - 2) (x 4- 3)2
1 .
16 П
— 4
8)
9) Л Г.Г:
} 8(1 —x2)2
(x+1) (x+2)16
(x + 3)17
x
X
2
X
4
+ з^|п Г
~ +'n I
625 I
, . ?x2 + 50x + 68 1
’ 4 (x+2) (x+3)2 ’+' 8
19A 3x2 + 3x - 2 , 3
’ 8 (x — l)(x+ I)2 16
„ 1 , x2 +4x4-4 . 2 2x4-2
1) — In —------------------=r arctg--
14 4x2 4- 8x 4- 7 7V3 V3
x2 + 2x + 1 . 1 r 2% — 1 । 3 2
----!-------- 4--7=- arctg--p=r + C. 3) — In (x2+ 2) — 2 In x— 1 +
x2 - x + 1 Уз Уз 2
r y3 9 18
arctg—-=-+C. 4) ----— In ] x3 + 2 | + C. 5) x - — In | x + 3| -
V2 3 3 7
УЗ 2X \L r qx v________L 1n/v2._L4v_LO\
2 '
1 1n (x-1)2
2 2x2 - 2x + 1
+ 4 arctg (x — 2) + C.
2.4.
-Ь с.
2) — In
6
+ -^-
V2
3 „
-----In (х2 + х + 1) 4-------arctg
14 7
- 2 In | х + 1 | + 3 arctg (x + 1) + C.
— 3 arctg (2x — 1) + C. 8) —----x
Q 1 1
2.5. 1) In | x - 1 | + — In | x + 1 | —2" arctg x + C.
I 4-| arctg x+C. 3) + In | x —3| — + ln|x—1|+
+ In (x2 + 4x + 5) + +- arctg (x + 2) + C. 4) 2 In | x-3 | - In | x + 1 | -
----Tzz.-h C. 6) x---ln(x2 + 2x+2) —
7з
X2
7) -2~+x-
. . x2 — 4x + 5
+1П . 1!
2) — х + In
х — 1
I 9 3x___ 9 1
- — In (3x2 - 4x + 6) 4- -^=- arctg — ?= + C. 5) — In I x 4- 1 I -
2 V14 V14 6
1 1 1 9 Y 1
----In | x — 1 | 4-In (x2 — x + 1) 4-7==- arctg--pz-1- C.
2 6 V3 д/З
1 , I x — II. 6 ± x .
6) —in ------- ----—arctg—7=-+ C.
2 I x + 1 I V5 V5
2.6. 1) In (x2 — x + 1) 4-arctg—^=r 4-arctg —1 -
V3 V3 V3 V3
2) In
8
x2 + V2 x + 1 . V2~ . x V5"
---!—I— ! j—Y arctg —
x2 — V2x+1 4 1 — x2
1 3 x 3 x
4---arctg— — —arctg—
2 2 V2 V2
3) In
463
1 3x2 — + 2 1 x2 — 2x + 1 I . 2x — 1
4) — in-------------p C. 5) — In--------------arctg-----
10 3x2 + 5x + 2 6 x2 + x + 1 Уз Уз
У3 . x2 -|- Уз x-J-1.1 1 з < z>
6) ----In -----—-----------arctg x 4-• arctg x3 4~ C-
12 х2-Уз x + 1 2 6 ё
~ 1 V ( • . t x ~ cos ttk
7) — >1 sin Uk • arctg-:--
n Zj \ sin ak
k=i
2k — I
где ak=-“
2 7 1) _L [n *2 + 2x + 1_____
4 x2+l 2(x+l)
1 . 3x — 1 , „ 1 , x2 — x + 1 1 , 1 4,
-----p= arclg-7=-1- C. 3) — In -----!------------------— X
У11 Vn 6 x2 + 2x + 1 3(x+l) зУз
X arctg -X~.‘ + C. 4) — In (x4 + x3 + 2x2)---arctg 2*jl1 +C.
y3 4 x 2yl yl
1 , 1 . x2 + X + 1 , V3" , 2x + 1 , _ c. 1 , X2 + 1
5)--------1---In----------1- —— arctg-----[-C. 6) — In-•---
3(1 —x) 6 (x—I)2 9 Уз 8 (x—I)2
~ 4(x'—I)2 + 4 arctg x + C- 7)4 ln |x’ ~ 11 +4 arctg X ~2~(x-l) + C-
1 x2 + 2x+l 2 1 x2 + 2x + 1 1
8) Tj 2x2 — 4x + 5 “ T + C‘ 9) T|П x2-x+l + T arctg X ~
-_yLarctgl£__l________L_ -15x4 + 5x2-3
5
cos а& • In 'х/ x2 — 2x cos
зт.
x2 — x + 1
2) —}-^+1п|х + 2|-
15%5
6(x+ 1)
2A ° ~2(x2+ 1) + 4 ln (*2 + 1} + arctg x + C- 2)
4- 2 In (x2 — 2x + 2) + arctg (x — 1) + C.
X*
3) -4
>6)
2)
+
5)
7)
9)
— arctg
x3 — 2x2 + x + 3
x2 — 2x + 2
2x3 , x2 , л
~3
2
x Of Z 9 t i n I 2 L 2x 4- 1 . 3 — 4x
—— — 2 In (x2 + x + 1) H — arctg y=r- + C. 4) -F
x2 + x+l УЗ УЗ 2(x2+1)
1 . (x — 2)2 л . , _ сч 3x (3x2 + 5) ,17 , , „
TlnV-+l> - + 5) 8(t, + 1),’ +T.rele> + C.
yySyy+4 - ^4 «->+c-
2-9- 1'тйУй4+1г+т|"У+У+4*“®'+с-
2 , 2x — I , _
----7^ arctg -------F C.
3^/3 Уз
2x° - 3x2 3 I x2 - 1 |
4 (x4 — 1) + 8 ° x2+ 1
(x2+ I)2
(x+ i)(x2 + x+l)2
4) -
+ C.
+ c. 8)
57x4 + 103x2 + 32 57 , , _
— arctg x+C.
8x (x2+ I)2
6) 2 (x2 + x + 1)2(1 — x)
2x3 + 1 2
3x3 (x3 + 1) + 3
8
FC.
.3
........L X ,—- + c. 10) c, /, + 4- In I 4 I + C.
1 + x + x* 5 (x° +1) 5 | x5 + 1 |
(x-l)3 4x + 2 x x3 + 3x-+ 18x+»6
3 + 3(x2 + x+1)’ } 3(1 — x3) ‘ ’ 216(x2+2v+10)2 *
464
I i 5x5 4~ 40x3 4-33x I Ox4 — 25x2 + 12
I 4) 48(x24-l)3 ‘ &) Збх (2x2 — 3)2 ‘
— (486x5 — 357x4 + 810x3 + 315x2 — 3l2x + 448)
b) 1922 (x3 4-x 4-I)2
2.11. 1) P^’(a)=O. 2) a 4-2/> 4-3c = 0. 3) act + cat =~^~-
§ 3. Интегрирование иррациональных функций
3.1. 1) x — 2 V* 4~ 2 In (V* + 1) + С. 2) 2 V% — x— In (2 Vx + 1) -f- C.
3) x + 4Vx+ 1 + 4 In | Vx+ 1 — 1 I + C. 4) (Vx2 - 1 — x) —
1 , I /“5---Г , I . о « 1 , t2 + t + 1 , 2 ,2/4-1
— — In Vx2 — 1 4- x 4- C. 5) — In---------------------7=- arctg---—
2 3 /2 - 2/ 4- 1 V3 V-5
, 2/ , „ t * /х4- 1 „ 4/3 , 1 , 4- VF / 4- 1
_|-------- + C, t == Л / -----. 6)-------------1---7=r- In ----—-------
/3 — 1 V x — 1 /4 + 1 V2 t2 — V2 t + I
/2 __ 1 4 ! д _ %
— V2 arctg —+ C, t = л ---------
у 2 t V x
3.2. 1) 2 Vx4-4 4- 2 In V ±--T ,2
Vx 4- 4 4- 2
3) ~ (x - 2) (5x 4- 8) Vx - 2 4- C.
4- c. 2) In 11 4-3V* I 4- c.
Q /
4) (/4 — 2/2 — In | / — 1 | 4"
4- — In (Z2 4-14- 2) - —arctg .2f..jL-1-A 4- C, / = Vx 4- 2.
2 2 V? V7 )
6) y(x - 2) V^4-4>nl х4-7Гг=“1 14- C. 6) 4(Vr“)4/5“
5 (x4- 1 \9/5 , n 7. Д /T=T , n " F^b
+c- 7) ~3Л/т^7+с- 8) г^гЛ/^г +
3.4. 1) 3Vx — 6Vx 4-6 In (1 4-Vx) 4- C. 2) 4-V=? —2 Vx 4-6 Vx —
D
— 6 arctg Vx 4- C. 3) A V2x 4- 1 4-3 ^2x 4-1 4- 3 In | V2x 4-1 — 114- C.
4) 7---1—^----------4- 4-C. 5) In | x |In (l 4- Vx)-
G + v*) i + v^
-—— In (1 — V* + 2 V*) 4--7=- arctg —Ь C. 6)V^ 4“ — V* +
4 2 V^ V^ 4
4- V^ 4~-4- V^ 4-3 V^ 4—G* lnH — 4^* I—In (l 4- 2 lV^ 4~ 2 Vx) —
4 o 40
--^0 arctg (1 4- 2 'Vx) 4- C.
3.5. 1) Vl 4- X — X2 — -- arcsin 1 4-C- 2) x Vx2—2x4-5 —
4 8 V5
— 5 In (x — 1 4- Vx2 — 2x 4- 5) 4- C 3) (-— — -^4 Vx2 4- x 4- 1 +
-4- ~ In (x 4- 4- Vx24-x4-1) 4- C. 4) 2*2+6* + 7. . V^2 + 2x - 1 -
465
99*
(x — i) zA+^+*3—г*»Д з иД > (i + *) zA
U (* —I) 2Д— »+*5—г*»Л 3
(* - I) ЗД e 3/
,J + , ' <
(i +* + з*)гД—*+i
- 2Л5 ,
Щ-=<--1--;---=\--Зрдв X=L- (j.
I 3+*—г*зД 3 I
9Д ,
ui -=j— (8
(l + *) ЗД ~ (1+*+г*)8Д
5Л x — I
"Д-+ (i+^+^w 8|JJ‘^za
ЗД l + f + *3 + г*Д
—;---- --— 3pjB-=i----, , =4- u| (i -gre
8 + + г*5Д I I ~~ fr + *3 + г*Д
'Д нД ,
— U|-=y— (з
зД 3
'*Г
Д--
Z l g\ X J Z
. , Z + xf + г*Д 8 ,
(3 -э+ Д, ----- (I
3 + i + г*зД
* зД — i + г*еД
Э + (I— x)z
(I -ire
x (e
•ore
s
e
i— x гд^ г(1 —*И
•J J-------- UISO.IU --------------------
(fr
x
I I — *3 ~ г*Д
ui y - i + *з + гузД yzr^r (s
I + *3 — г*дД + x — i
v---------ui (i ve
.5+|i^A + x|u,g + i^A (J^ + _i|_ + _^ + ^)| (k
•Э+(1+^Д + *)Щ-|-- 1+з*д(^- + -^--^) (8
•о+(д+..ул±^д+г+*) ui |+д+^+гдд “ й (s
ЗЛ 9
•э + U!S0^ + ^-..yg_+JA 61+Уд + гх5 - <l
•'»г?8 + Ч»8 = ('ЯЯ + 'оз) of -g-g
'О + (1+ г*Д+*) Ш 3 - t + г* Д yg j'" (8
‘Э + ( 3 + *3 + г*Д + I + *) Щ -у- —
— з + *3 + г*Д , , у9, --- (I -Э + (г^ + ^-еД +1 -xz)щ+
---------' I т л т gA6 I
+ г*^ + ^-еД ' , (9 -g + I 8 + yt' + г*Д + 3 + * | Ц| 99 —
-е+^ + г*Д-„ , 5,.-—- (9 -0+1 t — *3 + г*Д + I + *IЦ1 3~
f III т л VI — Ъл
2) Vx2-x+l + -|-ln(x-y+ Vx2-x+l y~In - *+2V*2 x±l + c
1 l-r + V3(x2+2x+3) 1 V2 (x+2)+V3(x2+2x+3) , _
O) ---yzzr 1П — .. .— — 1 .— 1П .................г G.
3 У 3 x + 2 3 V6 x — I
... 1 , x4-8 + 47x2 + % + 4 1 . x + 3 + Уб (x2 + x + 41
4j — in-------------------------- in----------------------
2 x 2 Уб x — 1
1 , 7 —- x + 4 Vx2 + x + 4 C4 Vx24-x+l ,
- т1п-------ян-------+c- 6)------m—+
, , ( , 1 , /“71--~A I 1 1 1 ~ x + 2 Vx2+x+ 1 ,
4- ln^x + — 4~V*2 + x + 1J +-g- In---------F C.
1 . V2 x
-==- arcsin-----
<2 x 4- I
6)-------— Vl 4- 2x — x2 4- 2 arcsin-
2 V2
V2(*24-l) — x „ . x — 1
——v , --------F C. 8) arcsin —т=г-
V*2 + 2 V^
7) In (x + Vx2 + 1) + —U-ln
V2
, V2 , V2 + 2x —x2
+ —----arctg J:-------
3 V2 (x - 1)
9) д/l + * + xa + — In J
2 (:
3.14. 1) 2 In I x — Vx2 -
1_Jn Уб + V2 + 2x — x2 c
Уб П Уб — У24- 2x - x2'
F2x4-2yi4-* + *2 j c
x 4- 1 I-In | 2x — I —- 2 Vx2 — x + 1 I —
3
________________ 4- C.
2 (2x — l — 2 У x2 — x 4- 1)
1 - Ух2 4- 2x 4- 2 , r
1 4-x + ‘
1 4- Vl ~ 2x — x2
2У5 ln 2/ + Уб 4- 1
25 П 2t — Уб 4- 1
2) In (x + 1 + Ух2 4* 2x 4“ 2) 4-
I о l 1 4“ У1 ~ 2x — x2 |Л
— 2 arctg —— -------------------F 0.
x
2(4Z-3)
5 (Z2 4- z1 — 1)
FC, t == Уx2 4- * — *•
5j 2 j-----Vl + + in I 2 Vl + x + x2 + 1 + 2x I + C.
6> tV+VmVtp + S1"!' + 4-l'”l'- 1| +
+ - 2| + c. <-
3.16. 1) (x 4- 2 Vx — Vx + x2 — In (Vx 4- Vl 4- *)) + 0.
/1^/2^ + c V2»-3-l c
V 1 + V2X —3 V4 —2x
3.17. 1) 6х1/6 + Зх1/3 + 2x1/2 + 6 In I x1/6 — 1 I + C.
2) 6 V/6 * * - 4x['2 + 18X1'6 + 3X1'6 (1 + x1/3)“‘ - 21 arctg x1^ + 0.
3) —|-(i + № + c. 4) Id + x'/4)’9-1 (i + №+a
z и z
467
2) -i| (i+?'4)1з/з - 4 о+*1/4)10/3+4 -3 о++
. 3) 4 (1 + х‘^)7/3-3 (1 + х'^+С. 4) 4 (1 + x^-^d+x’TV
1 t t — 1
6) — In-------
6 t +1
6______
— In
12
I (1 + x2/3)5/2 + (1 - 2x2/3) (1 + x2'3)1'2 + C.
О
1+1,1 . 2/ + 1 . 1 L 21—1 , „
-----1--7= arctg—=- -I-— arctg —+C,
1+1 2 Уз V3 2 Уз Уз
3xJ+4 _ У(2 - х3)2
8х У(2 + х3)2 4х2
+r_ ' arelB« + L + c.,_r
i2 — 2/ + 1 УЗ УЗ
i2 + 2/ + 1 1 „ , 2/ - 1
__L----J--------— arctg—т=^
t2 — t + 1 2 УТ Уз
9
<7 = 0, л = ± 1, ± 2,.
/1 7 7 4 , 14 \,2 7 . t2+tx+x2 14 2f+x,^
I — x7 x4 4 x 112 In--------------------1 — arctg —z—hG
\9 54 81 J 243 t2 — 2tx + x2 81 д/3 Уз x
3.19. 1) —
3) — In
6
----—In
12
3.20.
+-С,
4) --±.....
c 2 (I3 + 1)
3/ 1 — X2
k/ v2
х2 4- 1
+ С. 3) arcsin —Е----f-G.
(x+l)2
2)
4)
2x4 — 1 1----- 1
3.22. 1) —----У1 + x4 + С. 2) —7= arccos
6хе У2
. ( 1,3, Ух4 + Зх8 — 2х2 — Зх 4
In _ + _ + _
3.23. х = Х + /2, где Л — действительный корень многочлена Р3 (х).
3.27. 1) — (Е (arcsin Зх; 2/3) — F (arcsin Зх; 2/3)) + С.
27
—7= F (arcsin VI — 4х2;
Уб V
41 5
^F (Ф; 4/5) + (ф; 4/5) + С, ф = arcsin
— F ^arcsin 3 У (1 — *2)/8;
4 _ / х + 1 — У 3
— —-— F I arccos------------—;
У зГ V х + 1 + Vf
б)
6)
16х2
§ 4. Интегрирование трансцендентных функций
4 1 1) s^n sin 4x , cos 2x cos 6% ,
sin 3x ,
”6 +
cos 4x cos 2x
4)
8
+ c. 2) ----------
cos (4x +1) cos (2x + 3)
8 4 +C’
sin 9x . sin 7x . sin 3x
6)
3)
5)
sin 5x
10
cos 6x
24
sin x ,
16
8
36
28
12
4
468
sin (x + 1) . sin (Зх + 1) sin (5x + 1) ~ . x sin 2x
-----4---+----6--------20--+ c- 8) T+~i6“
4.2. 1) + C. 2) -----ch x + C. 3) 4+’^TL +
10 IZ о *1 о
. sh4% . sh6x . p .. 1 , , n . ~
4----16~ + ~24~ + С’ 4) T arc g sh 2x + c'
9 9 1
4.3. 1) ------1- C. 2) In |cos x | — cos 2x + C. 3) —r-x-7—7-7-h C.
7 cos x sin2 x 4 sin4 x
4) -§ In (tg x tg 2x) + C.
лл . sin3 x , ~ cos7 x cos5 x , ~ sin9 x
4.4. 1) sinx-----— + C' 2) —----------------— + c- 3) —9------
sin11 x , sin8 2x sinI02x , sinI22x , „ _.4 . 91
-----— + C- 4) “16---------------io—+ ~^4—+ C- 6) sin*cos2* +
+ _2^1£. + c, 6) J6co£x + 24cosb£3cos3x + c
4.5. 1) -£1J± + C. 2) + C. 3) -y-sh6 y-+-y-sh7 | +
+ 4rsh9 4 + c- 4) -£• ch6 x — ch3 x + ch x + C
У 2 о
14 x sin4x , p n4 3x sin 8x , sin 16x , O4 5x
° 8 32 +C* 2) 8 16 + 128 +C‘ 3) 16 +
1 sin 6x , sin 12x sin3 6x , r лч
+ 12 + 64 144 +C* }
24x — 8 sin 4x + sin 8x , sin5 2x
2048 h 320
I 3
4.7. yy sin7 X COS3 X + —
sin7 x cos x — sin6 x cos x — 7I3 sin8 x cos x
lou Izo
“isinxc°sx+4+c-
4.8. i)lh8x__£ + c.
, sh 4x x . „ .x sh3 x
+ -64-16 +C 4) ~2T
o4 3x , sh 2x t sh 4x ,
T"1 4 1 3F~ +
sh 2x 1 x , n
32 16 +
sh3 2x
3) 48
. sin3 xiz> 3.1. / x , л \ I
_sInx---__+C. 3) yln|tg^-+— )|
,4 3 1 I , x I 3 cos3 x .
4) -|n|ctgT|_ycosx-y—y- + C.
2) bn l±2l!l£_
2 1 — sin x
1 , sin x
sin x 2 cos2 x
4.W. .) ,„|lhA| + _!_ + C. 2) _ | | thX | + c.
shx . 3shx , 3 , v . .. 3 , sh3 x 3 . , ,
3) -г—n---h тг-то-F arctg ex -}-C. 4) sh x — —7-5--7г arctg sh x + C.
1 4ch4x ’ 8ch2x 4 7 2 2 ch2 x 2 &
л ii n Ctg4x . n n4 sin2 x 1 nl , . . . n
4.11. 1) —+ C. 2) ------_2ln|sinx| + C.
3) —^—- + In I tg x| + C. 4) +2tgx-ctgx + C. 5)
z О о
469
_ctgx+0. 6) ^L + ^ + ^L + a 7) AA£_Jfc_
— in | cos x | + C. 8) -J^--l^- + tgx-x + C.
<5
4.12. 1) UlLi + C. 2) ^|^-+sh2x+ ln|sh x| + C. 3) Ath-|--
-JLtM-i+C. 4) th x + 2 cth x — AAA. c. 5) in ch x —-AA_ c.
t) Л о 2
6) x - th x - (th3 x)/3 4- C.
1
Д -g г> 1 \ 1 t z> «X 1 I 1 — C0S *
4.13. 1) —---------------7xr + C- 2) Tln
6 (3 cos x ~ I)2 ' 4
л COS X 3^2 ,
)------------------In
2 4
1 , V3
-----arctg----------*—
V3 1 + 2 cos2 x
1 — д/2 COS X
1 + V2” COS X
1
1 4- cos x 2(1+cos %)
. „ 1 , COS2 X — COS X + 1
f- G. 4) — In ----------------------1 —
2 (cos2 x + cos x + I)3
5) A In (3 ~ chx)l° + c.
'3 ch4 x
zj\ , , io .г. I । \ t 4 2 ch x + 1 ~
6) In (ch2 x + ch x + 1) 4----=- arctg-----~--------h C.
V3 V3
4.14. 1) A |n +C~ 2) A ln (3 + 4 sin2 x) + C. 3) sin x —
2 „ . . , 1 + sin x л . . , „
------:-------6 arctg sin x + C. 4) in -------------------------2 arctg sin x + C.
SIH Л? 1 ““*'* sin JC
1 , . 1 . sh x . n
5) у arctg sh x — — arctg —-----------------he.
1 sh2 x — sh x + 1
— In----------------------
3 sh2 x + 2 sh x + 1
2
Уз
arctg
2 sh x 1
Уз
i-o.
4.15. 1) (x + 3 In | sin x — 3 cos x |)/10 + C. 2) In | sin x + cos x| + C.
«X л . x + a , ~ лч atfi + bbi
3) x cos a — 2 sin a In sin —---------- + C. 4) ---9 r-9- x +
j 2 I a2 + bz
+ .. - In | a cos x + b sin x | + C, 5) -----In (2 ch x sh x) + C.
Cl + и О о
_ x , sh 2х , sh2 х , „ aai — bb{ , abi — ba{ f , . u . , , , , ~
6) у + +C. 7) 'a2_&2' x + ' a2_&2 In I a-ch x + b sh x | + C,
если a2 b2; — AAk x + sh 2x + — A a‘ sh2 x + С, если b = ± a.
2a 4a 2a
2)
4.16. 1) +^ arctg AAAAA + C,
V7 V?
। ln te« + ‘ + -^ +c. 3
2-y2 tg x + 1—-yJ2
4) v^‘rc,B
tg x + C. 5)
2
----!---+ C.
2 — tg x
—+ In
2 V13
2 tg x + 3 — Vl?
+ 0.
1 . c tg X + b , , 9
6) —7^-- ------arctg —+....— + С, если ac>b2\
yjac - b2 *Jac - b2
1_ ct если ас = Z?2; 7^—In
c tg x + b-------2 у b2 — ac
c tg x + — Уб2 — ac
c tg x + b + V^2 ac
+ Q,
470
, 9 1 . I th x — 2 I . o4 1 , th x — 2 . n
если ас < b2 . 7) — In ---4* C. 8) —f=r arctg 7=----к C.
б I 3 th X - 1 I Уб Уб
»>1'"|-₽тт| + с- "»1ьт+т + с-
4.17. 1) -~o“ (17 In I sin x I — In ] sin x + 4 cos x | — 4x) + C.
bo
К 1 I 9
2) |l„(2+lh»> --д-tad(1 + lb,)- 3„h< + 2) +C.
4..S. 1) l(tgx+ta|tS«|) + C. 2)4'" 7?-^+, +
H---^=- arctg 2 tg * 1 + c. 3) arctg tg2 x + C. ’ 4) —\=- arctg + C.
Уз V3 V2 V2
5) -ktt f 21 2tg Vk~2~ + ^rarctg(~r + c> если a^° и ^^0;
2Ь2 \ a2 tg2 x + b2 ab \0 //
— + С если a ¥= 0, b = 0; + С, если a = 0, b ф 0.
6) arctg ((tg 2x)/2) + C.
7) -x +—U=-ln
2 V2
72 th x + 1
V2 th x — 1
8)
10)
1 a/9
----— arctg —-------J- C. 9) arctg (2 th2 x — 1) + C = arctg sh2 x + Cj.
V2 sh 2x
3 th x 1 . thx . ~
--------------------i=r arctg + C.
4 (th2 x + 2) 4 V2 V2
4.19. 1) —— In I tg (------1---l + C* 2) — in tg (-----------1----I + C.
V2 I \ 2 8 JI 2 \ 2 6 JI
3) —^=- arctg ex Уз + C.
V3
1
4) —==• In
Уз
ex — Уз
ex + Уз"
5)
2 x a th (x/2) + b , n
—7===r arctg-:±=^z--Ь C,
Уa2 — b2 a2 — b2
если b2 < a2;
1 ln I a th (x/2) + b - л/b2 - a2
'yjb2 — a2 I a th (x/2) + b + У^2 — a2
— (sh x 4= ch x) + С, если b = ± a. 6)
a
+ С, если bz > a2;
a
a2 + b2 '
где (p удовлетворяет условиям sin qp
b
СО8ф=“7Тгй *
'X/а2 + b2
3)
. _ _ 2 sin x — cos x
4.20. -------------
[10 (2 cos x + sin x)2
4.21. i) -^Lin
У15
-arcig L+ c.
У15 У15
1 arctg 3tgW2^1 .
У2 2У2
---Ц— In tg
10 Уб
VTtg(x/2) + Уб
УЗ tg (x/2) — Уб
x + arctg 2
2
6)
Л"йв
2 .rel^'gWg-1-
Уз Уз
, 3 th (x/2) , „
7yfrarctg~yn“ + C-
4)
2
471
6)
7)
8)
*_ ln (th (x/2) - 2 + V5 )2 | 2 th (x/2) - 1 - Уб |
3 Уб (th (x/2) - 2 - Уб )21 2 th (x/2) — 1 + Уб | +
1 I C th (x/2) - fe + У&2 + C2
Уб24~с2 j c th (x/2) — b — -\/b2 + c2
2 sign c
'yjc2 —• a2
-------tg—) + G
\ V c + a 2 /
если [ c | > a;
1 ln Уа —c tg (x/2)+ Уа + с
Уa2 — с2 Уa — c tg (x/2) — Уа + c
< 1 , x . ~
, если I с I < a\ — tg-------Ь C,
a 2
1 X
если c = a;----ctg —- + С, если c — — a.
a b 2
. nn П 1 ( 2 , ( /1—-8,%'
4.22. 1) -----I —.......arctg | л /----tg —
1 - 82 V 71 - e2 к V 1 + 8 2 ,
e sin x
1 + 8 COS X.
2) 8 sin x (s2 ~ 3g cos x — 4) e2 + 2
2 (e2 — I)2 (1 + e cos x)2 2 (e2 — 1)5/2
4.23. 1) In | 1 + tg (x/2) | + C.
3) —^=- arctg 2 tg + 1 + C. 4) In
У15 У15
5) у hi
th (x/2) + 1
th (x/2) — 3
Уе — 1 tg(x/2)+ye+l
Уе — 1 tg (x/2)—Уe+1
2) 3 + 9tg(x/2)
tg (x/2) — 5
tg (x/2) - 3
+ C = - -1 In (l+2e“x)+C. 6) i ln|5th(x/2)+3|+C.
I 2 0
j, 1 in (c a) (x/2) — b c2 — a2 b2
'у/c2 — a2 + b2 (c — a) th (x/2) — b — c2 — a2 + b2
11 x 1
т In c + b th —- 4- С, если a = c.
о I 2 I
8)
2)
3)
4)
2 arct„ (C-«)tg(x/2) + fe
c2 — a2 — b2 'yj c2 — a2 — b2
4.24.4=^ + ^, B= fca'7^‘,
a2 + b2 a2 + b2
4.25. l)-t + 2l„|[el^W ,]+C.
— у In (cos x + sin x + У2 ) - -1 tg (-4
2 1 4
— x---— In [ 4 cos x+3 sin x—21-|-7=-In
5 5 5У21
3 4 6
7г- x-=- In I 2 cos x — sin x — 3 | + arctg
OO Э
+ С, если
aai + bbi
C — Cl — c ——75—
a2 + b2
2 УЗ 1е(х/2)-Уз_+У7
2 Уз" tg (x/2)— Уз — У7
5tg(x/2) + l , r
2 + ‘
5)
6)
7)
(cos 2a) x ~ 2 (sin 2a) in | sin ((x + a)/2) | — 2 (sin2 a) ctg ((x + a)/2) +
4 5 2
~-x + -^-ln|2shx-~ chx—l| + — In I 2 th (x/2) — 1 | + C.
о о о
2 1 1
— x-----ln|4chx + 5shx + 6|--------р=. In
3 3 3V5
x + arctg 2
g 2
4.26.
2 th (x/2) — 5 + 3 Уб
2 th (x/2) - 5 - 3 Уб
— 2 sin x — cos x j + C. 2) J
— sin x + 2У2 In
3)
cos x 4~
472
। 8 < lx x +arctg 2 I \ „ .. 1 (. , .
4--^-ln|tg---------—— |j+c. 4) ^(aai + bbt — act) sin x +
, , a2ci + b2ax — abbt . I. x + <p I \ . r
+ (bax — abi — bcx) cos x J-----, „ =--In tg ——— I + С, где <p
-ya + b2 2 I /
a b
удовлетворяет условиям sin ср——.. ---......cos<p=—т-—.—.
Va2 + b2 'У/а2 + b2
5)
6)
2)
3)
4)
1 (K , „ , 15 . 1 3 th (x/2) + 1 1\ ,r
8 к 5 sh x 3 ch x 4 ln j th (x/2) + 3 | 7 + C‘
1 . 17 5 th (x/2) + 3 \ , r
— I 5 sh x — 3 ch x-------— arctg-----------— J + C.
О \ -Z 4 /
, _ ,. 2 , cos x , 1 ,
4.27. 1) —7=r arctg—~ 4-In
Уз Уз 4
2 4- sin x
2 — sin x
-FC.
11 /A , o . 4-i . 2 1 % + arctg (4/3)
— (4 cos x 4- 3 sin x) 4~ -J25-In | --------£-------
1 f fli L ( / b — a . \ , b\ .
1 —73Г arctg I Л /---------- sin x I 4------7= In
'yjb — a X/y/a \ V a ) 2\b
Vb—a cos x— Vb
л]b~a cos x4~ Vb
1 / ab\ — bax , aax 4- bb\ .
---------(---------------------1--- In
a2 4- b2 \ a cos x 4“ b sin x ya2 + b2.
tg ^+Ф I _|_ с, где sin ф =
2 17
5)
6)
a b
'у/a2b2 'у/a2 + b2
1 , V7 ch x — V3 1 , V7 sh x .
—— In -----arctg ------------F (
д/21 V7 Ch x 4- V3 2 V/ 2
1 ( 5 ,4 4th(x/2)4-3 ,
----I----------------F —i= arctg--------------h
7 \ 4 ch x 4- 3 sh x V7 V7
4.28.
л #i (# — ^2) 4~ b\b
^(Л2-Л1)
(a — Xi) 4- bib
==------——-------— -----
b (Л1 — Л2)
3
4.29. 1) —arctg (sinx — 2 cosx) 4
5
2)
1 ln Уб +2 sin x — 2 cos x
4 Уб yr — 2 sin x 4“ 2 cos x
Уб ln Уб +2 sin x 4- cos x j
60 д/б — 2 sin x — cos x
3 V2 —2 sin x—2 cos x
4 V2 V2 4-2 sin x4-2 cos x
4.30. 1) 1 tg2 (x/2) + 1 tg (x/2) + -J- In I tg (x/2) | + C.
o Z Л
2) 4 In I tg (x/2) 1+ In I tg (x/2) - 3 I - 1 In I tg (x/2) - 1 | + C.
1_________, ,n I tg (x/2) I „
1 + tg (x/2) + 'П | 1 + tg (x/2) I + ’
4) 1 In ------+ 2 arctg + C.
3 tg2 (x/2) - tg (x/2) + 1 УЗ УЗ
5) 4 (5 ln I th (x/2) — 3 | — 2 In | th (x/2) |) + C.
6) lln ________(^ (x/2)-2)2________________4 th(x/2)+_j_ + c
3 th2 (x/2) + 2 th (x/2) + 4 УЗ Уз
4.31. 1)-----cos4(3x (20— 16 cos2x + 5 cos4x) + C.
2) — sin4/5 x (7 — 2 sin2 x) + C. 3) 3 (5 X~ + C.
28 5 и/ cos x
473
41 1 I — S*n x)(1 + Vsin x)3
4 (1 + sin x) (1 — sin x)3
Vs , Vsin2 x — 1
----arctg —7l,- +
2 V3 Vsin x
6) -^-sh5/3x(ll+5sh2x)+C. 6) -I ch1/3 x (ch2 x - 7) + C.
ЭЭ /
3)
4)
6)
4.32. 1) V2 *?.£ (5 + tg2 x) + C. 2) -tg2.y 3- + C.
5 3 V^ tg x
—In I sin x + cos x — Vsin 2x | Ч-arctg —-----------
V2 V2 cos x — sin x
2 _____1= In 1ё-^±....У21Р ±1 j- _L_ jVvH
2V2 tgx—-V2tgx+1
— th5/3x(ll — 5th2x) 4-C. 6) —In
55 2
55
4=- arctg
tgx — 1
— arctg Vth x + C.
V2
1 + V^h x
4.33. 1)-------cos"sin—" ^—V. + c.
n cos ф 2 2
2) 1—ch"AZLl sh-"-£±-2. + c.
n ch <p 2 2 ‘
4.34. J3 = cos a (2 cos 2a — 1) x + sin a ( Sjn ~~ У +
к sin ((x + a)/2) )
+ 2 sin 2a t** — 2 sin a (2 cos 2a + 1) in | sin ((x + a)/2) | + C.
4.35. 1) arctg (2 sh x) + C. 2) 4-------------Vln I 1 “ e*l —F ln (2 + e*) + C-
Л о о
3) x — ~ In ((1 + ex) д/1 + eZx) —— arctg ex + C. 4) x — In | 1 — e*l +
+ 1 - ex + 2 (1 - ex)2 + 3 (1 - ex)3 + C' 5) 4shT^ * +
+ ch l(x - In (1 + ex ch 1))) + C.6)— in (A- + e~x + Vl + e~x + e-2x) + C.
7) Ve2x + 4ex — 1 + 2 in (2 + ex + Ve2x + 4ex — 1) — arcsin -F °-
R1 1 In (Vl + ex — 1) (1 — Vl — ex) Vl + ex — Vl — .-x . r
4 (Vl + ex + О (1 + Vl “ ex) 2
4.36. 1) _(l+^.)e-^ + C. 2) ~ + (x-l)ex-^- + C.
3) In I sin x I — x ctg x + C. 4) 2 In j cos -| — x tg -+ C.
x 1 13
5) — (3 cos x — cos 3x) + (sin 3x — 9 sin x) + C. 6) — cos3 x + ~r cos2 x +
b lo о 4
+ 5 cos x + x sin x ^6 + ~ cos x) —- 3x2 + cos x^ — -j- x4 + C.
7) — ex ((x2 — 1) sin x — (x — I)2 cos x) + C
o\ 1 ак ( 3 (a sin bx — b cos bx) m sin 3/>x — 36 cos 3Z?x n
} 4 e 4 a2 + b2 ~ a2 + 962 J + *
474
, Vl — x + x2 In (1 — x + x2) /- 2x~l , r
4.37. 1) In ----------—-----------------!---- + V3 arctg •—-=— + C.
x X V3
2) (1 +ex)ln (1 +e~x) + x + C.
3) x In (Vl + x + Vl — x) — у (x — arcsin x) + C.
4) (25 In2 x - 20 In x + 8) + C.
125
4.38. 1) (x — 1) arctg(l/(x — 1))+-t-In (xz — 2x + 2) + G.
2) (x2 arctg (x + 1) — x + In (x2 + 2x + 2)) + C.
3) ((50x2 - 9) arccos (5x - 2) - (5x + 6) V20x - 25x2 - 3) + G.
4) §- (x8 — 1) arctg x — — + -g---g-+xj + C.
4.39. 1) 4-(Vx —x2 + (2x - 1) arcsin Vx) + C. 2) 4-(ln(l +x) — x +
2 5
+ 2x *Jx arctg V^) + C. 3) -^-(x3 — $x — 3 (1 •— x2)3/2 arccos x) + C.
4) Vl + x2 arctg x — In \x + Vl + x2) + C.
4.40. 1) x — e~x arcsin ex — In (1 + V1 “ e2x) + C. 2) (x + V1—x2) X
X earcsin X + C 3) (%2+ 1)earctgx + c 4) ---*-Ц garctg x + c
2 Vl + x2
4.41. 1) (sinx)/x + C. 2) e*/sin x + C. 3) x/ln x + C. 4) x/(l + In x) + C.
5) (l--^ex + C. 6) exKi+x2) + C. 7) _ + C.
8) l^eX + C-
4A2-1 (Ajr=°-
k =1
4.43. 1) li (ex) + C. 2) e~x + li (e-*) + C.
3) e4 li (e2jc~4) - e2 li (e2x~2) + C. 4) | (э li (e3x) - + C.
5) e*In|x|-li(e*) + C. 6) (li (x) - * (1+* + C. 7) li(x10I) + C-
8) 64e4li (4)+4(1п2х + 31Пх + ^- inx3^-2~)+C-
. .. n n c. z к , cos x . 9 e. . . sin 3x + 3x cos 3x , r
4.44. 1) 2 Si (x) 4-+ C. 2) - — Si (x)----------------- + C.
3) Si (x2) + C. 4) 1 (3 Si (x) - Si (Зх)) + C.
4.45. I) д//ГК'ф0(2х+1) + С. 2) z^/-^-e(b2~ac)/a Фо (ax+feiV^-
3) v (л/л ®o (л/2 x) — xe-x2) + C. 4)-------^-^_2Ул ф0 (^2 x, 4- C.
X
475
5) ед/2« Фо (* +у) + с-
6) (е2Фо (V2\ + У~) + е~2Ф0 (у2 х - ^-)) + С.
1 5 О
4.46. 1) ~^—F(x; 1/2) + С. 2) Е (х; 4/5) — — F (х; 4/5) + С.
-V8 8 40
3) —г1 (arcsin (V2 sinx); 1/д/2)+ 67. 4) — F (arcsin —^4~С.
Л/2 к V3 2 7
4.47. 1) — cos х Si (х) 4--~ Si (2х) + С. 2) х И (х) — И (х2) 4- С.
3) хФ0 (х) + ——- е х м + С. 4) — S1 (х) 4------------------F С.
д/2л 2 2
5) х Si (ах) Si (bx) 4- — cos ax Si (bx) 4- 4- cos bx Si (ax) —— (Si ((a-\-b) x)4-
a о 2*а
1 x2 — 1
+ Si ((b—a) x)) - (Si ((a + b) x) + Si ((a - b) x)) + C. 6) Фо (x) +
+--^=-e-x2/2 + C. 7) д/2л In | Фо (x) | + C. 8) Vn/2 Ф^(х) + С.
& у
9) e'?/2 Фо (x) - x/V2n + C. 10) - е“х2/2Ф0 (x) + 4= фо (V2 x) + C-
-^2
11) хФ2 (x) + V2/7e~*2/2 Фо (x)--фо (V2 x) + C.
12) ----4=- H («“*’) — — е-л:2/2Ф0 (x) — V«/2 Фо (x) + C.
2 д/2л x
13) (In I X | - 1) (хФ0 (x) +-4=-e~x2/4-4= H (e_*2/2) + C.
\ V2rc J 2 <2л
§ 5. Интегрирование разных функций
5.3. х 4-
FC.
v3
5.1. -i- — 2х2 + 12х - 36 In | х + 3 | + С.
0
i i 4x____ 1
5.2. — In (2x2 — x 4- 1) 4-arctg------—- 4“ C.
4 2 V? y7
25 In | x 4~ 5 | — 49 In | x + 7 | r
2 h ’
5.4. 4- + 4- - 3x + -+ 5 In I x + 1 ] + C.
3 2 x 4- 1
5.5. -----4x 4~ 8 arctg (x/2) 4-
О
- a 1. x2 - 2x 4- 4 , 1 , x - 1 , r
5.6. — In--------5----1------7=^ arctg —7=—F C.
12 (x 4- 2)2 2V3 V3
1 , U+l)2 . 2 ,3x4-1
5.7. In-i—!— ------1-----= arctg---7=—
14 9x2 4- 6x 4- 4 7 VT <3
koi U - 3)2 4 . 2x - 5 , r
5.8. in — ------------7= arctg —7=----F C-
x2 — 5x 4- 7 V3 V3
5.9. у In (x2 + 2) - 2 In | x — 1| + -^arctg-^=- + C.
476
'•10-- + ||”|т+7|-з(Г=ТТ + о-
5.11. — + — In | x — 2 | + — In (2x2 — x + 2) + arctg 4*~ 1 + C.
2 2 8 12 V15
y2 1 y2 __ Oy _L 1
5.12. - + x + - In 2х2_ 2Д1 - 3 arctg (2x - 1) + C.
5.13. 1+-Ц+1П I--J-I +C.
x 2x2 I x j
I x ~
I x + V2
5.14. —In
2 -V3
x — Уз
x + Уз"
+--Л=-1п
2 V2
5.15.
5.16.
5 17.
x + 1
r3
37x + 210
2 (x2 + 12x + 35)
______L_+ lin лг.+ .х.+..1
3(1—x) 3 x2 — 2x + 1
У?’"''-"
5.18. 1 + 4 In (x2 + 2x + 5) + arctg £±1 + C.
у 1 —~ X) Л £
2x+l
УГ
>
У °
5.19. x + x2 + 4 - 3 arctg (x/2) + C.
5.20. i In (9x2 + 1) + In (x2 + 4) + 4 arctg (x/2) + C.
Io Z
KOI 1 1 %2 + X + 1 1 1 + x2 ~ 1 f r>
5.21. — In-------!---1---7=- arctg——-----Ь C.
4 x2 — x + 1 2 V 3 V 3 x
2 . 2x2 + 3x + 2 , ~
5.22. arctg------L----------[- C.
V3 V3 x
5.23. 4 In ** j~! + arct&x + C.
6 xz + 4
1 x2 —1 1
5.24. In (1 + x2 + x4) + —arctg = + C.
Уз Уз x
5.25. Ax2 — 3 In I x5 + 3x2 — 11 + C.
- „„ x + 2 1 x2 + 2x + 1 , 5 Уз . 2x + 1 ,
5.26. --------------------In — ---------------1----i— arctg--------=—h
3(x2 + x+l) 2 x2 + x + 1 9 УЗ
5.27. -^-(8 In I x2 + 8 I - In I Xs + 1 |) + C.
5.28.
4x3 + 6x2 + 8x + 3 . 4 , 2x + 1 ,
------------5---------1----= arctg------------b
6 (x2 + x + I)2 3V3 Уз
C.
5.29. A-ln|x7/(x7 + 7)| + C.
5.30.
5.31.
5.32.
32x 48x3 128 (x2 + 4) + 256 arctg 2 + C'
1 x2 + Уз x + 1
4 Уз x2 — yr x + 1
1 ♦ x2-l , л
---7=r arctg —7^2-к C.
2Уз в Уз x
1 /7x5—llx , 21
32 I (x4 - I)2 + 4
x — 1 I 21 . \ л
У+ГГ^ arctgxJ+C.
477
1у(трг-Т|"(1+4))+с-
“З4'т(-?тт+‘гс1в *’) + е'
-4-(^ + 2+Л2-|-ГС‘81>,+ 1))+С-
6 _ 3 _ _ / 6 _ \
5.36. бУх — 3 Vx + 2 V* — 6 InU + -у/х) + С.
5.37. 4 (л/x3 - In (1 + Vx3 )) 4- С.
О
5.38.
5.39.
— In
2
6 _ о 3__________ b________________
5.40. 6 'у]х + — V*2" — х + С.
V3x
arctg- ------
1 — х
с .. , x + 2 — 2Vx+l 2 . 1 + 2 V x + 1 , „
5.41. In-----------7-7-—----------t=- arctg----------------1~ G.
x 4~ 2 4~ л/ x 4“ 1 \ 3 д/3
____ e
5.42. In (1 + x) — 3 In (1 + Vl + x ) — 6 arctg Vl + x + c-
5.43. (1 + V2x— 1) + 2 In 1 1 — V2*— 1 | + C.
5.44. (Vx - 2) VF — x — arcsin Vx + c
5.45. Vl + x — Vi — x---------==- arcsin x + C.
^/2
5.46. In | (1 — Vl — x2 )/x | + C.
5.47. Vx2 - 1 /х + C.
6-48- - +,n -~4хг*2')+c-
5.49. -t- (x2 - 1)5/2 + 4 (x* ~ !)3/2 + C-
о 3
------4----x^ V4 — x2 4- 4 arcsin (x/2) + C.
5.51.
5.52.
5.53.
5.54.
1 . 2 + V3 + 2X-X2
Tln------|7^T|------+ c
1 ( Vx2 — 2x - 1 1
— I-----------------arcs.n
4 \ (x I)2 V2
1 ( 3x2 + 6x + 5 /-3-Г-Х- _
TV....(x+l)< ~V* + 2x — 3 arcsin
Vx2- 4x + 3 „ . 1 , „
----;----------2 arcsin----— + C.
1 — x x — 2
5.55. *2 2 Vl + x2 + C. 6.56. —2-3— Vl + x2 + C.
o oX°
5.57.
5.58.
x_____1 Jn
2 Vl + x2 4V^
Vl + a;2 + V2 x
V1 + x2 —- V2 x
4- C.
tLL+Z. 4- 2x + 2 4- -|- In (x 4“ 1 + V*2 4~ 2x 4* 2 ) 4- &
478
5.59. 2*4-- - V4x2 — 4х + 3 + у In (2х — 1 + V4x2 — 4х + 3 ) + С.
5.60. х + 2 V1 — 4х — х1 + — arcsin — ~]1.2 + С.
2 2 V5
5.61. In (х + Vx2 + 1 )-. 1 + С.
Vx2 + 1
5.62. (4х — 14)/(9 V7x — х2 — 1€Г) + С.
_й„ 1 , V4x2 + 4х + 3 ,
5.63. —arctg —-----—--------ь
л/5
1 V7 (4х2 + 4х + 3) - V5 (2х + 1) , п
V35 д/х2 + х + 2
5.64. (З/2 - 1 )/(6/3) + С, t = (1 - Vl -х2)/х.
5.65. -Ь 2 In 1 — у In (1 + 2/) +С, / = х + Vx2 + х + 1 •
„ / х3 , х2 . 7х 37 \ /-2-------— (Зх + 2) х3 .
5-664-6- + W+-i44-188)Vx +X+1 ~ 18 +
+ A. In (1 + 2 (х + Vx2 + х + 1 )) + С.
5.67. (х + V14VF)12 + С.
йо 1 । - 2/ + 1 . л/з . 2t + 1 . п . згт - ,
5.68. — In ------h —— arctg — ------Ь С, t = V х2 + 1.
4 /2 + /+1 2 V3
5.69. -I- (1 + х3)8/3 “ 4- <’ + х3)5/3 + С
О О
+ «а.+11. -У‘‘+1 + -< + с.
Уз 7з з । / -11 х
5.71. -т + 4 ~’ПТ+С’ z=Vl~x-4.
5.72. In ((1 + х2 + Vl + Зх2 + х4)/| х |) + С.
S-73. 1 In ''V',-** “ + С' 5'74’ 2V(«-W<-e- И + С.
«.75. 1 In ,, + , + !.. - V3 «ге1» “±± + с, < - л/Щ'-
2 /2 - 2/ + 1 V3 V х - 1
5.76. -4= In V1 + х4 + х с
л/2 | х2 - 1 |
. „ I . - V2 х , 1 . _ / х4 + 1 , _
5.77.-- -=- 1п —.......7=--1---== arctg '----h
4д/2 V^4 + 1 + V2x 2V2 V 2х2
5.78. arcsin((x2+1)/(8|х|)) + С.
5.79. _Lln £+2£±1_ VLarctg 2^1+с. ^3+^.
18 /2 — / + 1 9 V3 X
_оп 1 . V1 + 2х4 + х 1 . Vl + 2х4 . п
5.80, — In -------------arctg —-------ЬС.
4 V1 + 2х4 — х 2 х
581 Sin Зх - sin 7х п
О 14 +С>
479
н ™ 1 f , sin 2х , sin 4х , sin 6х \ ,
5.82. _ + ___ + __ + _J + с.
1 ( eh 6х ch 4х ch 2х Л _
5-83- Т к6 4 2~)+С-
5.84. tgx+ -^- + 0 = 2(1 -tg(x/2))-1 + C1=tg ((2х + л)/4) + С.
5.85. In (1 + sin х) + С.
5.86. х — tg х Ч-?---h С.
C0S X
- о_ 1 / sin 2х sin 4х , sin 6х sin 8х \ , „
5.87. т ( х----------— + —-----------— ) + С.
БЖ 1 + с.
5.89. 4-sin6 х-^-sin8x + C. 5.90. -i-sin® х —-sin7x + 2-sin9 х + С.
о о о 7 9
5-91- w (з* ~sh 4х+-^9+с-
5.92. + С. 5.93. -Д------„ Зз + С.
7 о sin х 3 sm3 х
- sin3 х о . 1 , „ еле Зх , sh2x _
5.94. ------2 sin х--:---р С. 5.95. — 4----------cth х + С.
3 sm х 2 4
5Ж 2^~|arCtgsh% + C-
5.97. (tg3 х)/3 + С. 5.98. - х - ctg х + 2. ctg3 х - 2- ctg® х + С.
О о
5.99. In ] cos х I + у tg2 X — Y tg4 X + -| tg6 х + С.
5.100. x — cth x — 2- cth3 x + C.
О
5.101. In ((sin2 x)/| 4 sin2 x — 1 |) + C.
5.102. A In It g^+A|_3^L + C.
2 | 4 I 2 cos2 x
5.103. -=-4=-—4--1- C. 5.104. 4 In | sh x I cth2 x + C.
5 ch5 x 3 ch3 x 1 2
5.105. x — In | 5 cos x + 2 sin x | + C.
5.106. -y- (4x + 3 In | 4 ch x — 3 sh x |) + C.
г. 1 , 1 + tg X , „ . . JX
5.107. —-i=r arctg------=---PC, x < — .
V2 V2 2
5.108. — (2x + arctg -^4 + С, /x/<—.
8 \ 3 ) 4
5.109. In | tg (x/2) | - 2 In I 3 Si" * + 1 I + C.
I SIH Л I
5.110. In | tg (x/2) | + V3 In
tg (x/2) + УЗ
tg (x/2) - УЗ
+ C.
5.111. x + cos x + 2 In (1 4- sin x) + tg ((2x — л)/4) + C.
о
5.112. — In | sin3 x + cos3 x j + C.
□
480
- 7 4 1 1 , 1 + 2 sh x
5.113. — arctg sh x------- In ------?------- 4-
5 & 5 I ch x |
+ —^ln ----A.x/2) ~ 2 + +C. 5.114. In (2 + sh2 x) + C.
Vb th (x/2) - 2 - V5
5.115. — (In | sin x + cos x | — sin x cos x — cos2 x) 4~ C.
5.116. _j~‘ (4x — 3 In | sin x + 2 cos x | + -^--7-7------+ C.
2o \ 2 "T“ tg x )
5.117. In (1 + 4 ctg2 x) — 4 ctg2 x 4- C.
oZ o
5.118. 3 д/2 . tg x tg x . —-— arctg h 1_ c, 8 V2 4 tg2 x + 8 |x| < 2 ’
5.119. “ 3+Tt?x + C- 5Л2°- arctg tgU/2) + ‘ + C’ । x । < л.
5.121. 1 , I 3 sin x — 5 cos x I 77 In : 4- C. 2 1 sin x — cos x I
5.122. „ z v ( sin x 4- cos x 4~ C, F (x) = { ( 2 V2 — (sin x 4- cos x) 4- C если если x e (0; л/4], x e (л/4; л).
5.123. V2 In ctg ((л — x)/4) + C.
5.124. —M V1 + e2x + In (e~x + V1 + e-2x)) + C.
V2
5.125. -4=- In (д/2 ch x + Vch2x) + C.
-V2 _
5.126. — —— д/ctg5 x + C. 5.127. -2=r In V? + д/l + sin2 x + c
5 V2 | cos x |
1 . sin x — cos x 1 , / . , , /----------x
5.128. arcsin------------7=----------In (sin x + cos x 4- д/2 Ц- sin 2x) 4~ C.
2 д/з 2
5.129. -i- (sin x2 — x2 cos x2) + C- 5.130. In | sin x | — x ctg x-------~—{- C,
2 2
5.131. x tg (x/2) + In (1 + cos x) 4- C. 5.132. - - *-----tg (x/2) 4- C.
1 4~ cos x
rioo I • I 2xcosx 4xcosx I \ ~
5.133. ~ I 4 In I sin x I--—------------:-------j 4- C.
6 \ sin3 x sin x sm2 x /
_ 1 / . sin x xcosx \ „
5.134. —I arcsin-----------7- - — I 4- C.
3 \ 2 д/4 — sin2 x /
5.135. ex - In (1 4- ex) 4- C. 5.136. x 4- 2/(1 4- ex} 4- C.
’•'87— (tSt+ l,'j= ’! C
xex
5.138. , * — In (1 + ex) + C. 5.139. ex/(x + 1) + G.
1 4" £
5.140. 2 (x x — 3x 4~ 6 V* — б) e^x 4- C.
5.141. 4 + -4(1+ 2ex) +
+ 4 In (УГ+ё* + V^J + C. 5.142. eeX + C.
О
5.143. ex tg (x/2) + C. 5.144. 4 (cos 2x - sin 2x - 2) e~2x + C.
16 Л. Д. Кудрявцев u др.
481
5.145. arcsin In x + C. 5.146. x3 (9 In2 x — 6 In x + 2) + C.
5.147. — x-1 (In2 x + 2 In x + 2) + C.
5.148.
5.149.
5.150.
x4 — 81 , I x + 3 I , x3 , 27x
—4—1п|т^з| + ^- + —
— In
X
4in
x — 2
x + 2
x
x + 2
—I -I -i- c. 5.151. 4 In
x + 2 4
x2
1 + X2
In I x]
2 + 2x2
5.152. 2 arctg x — (In (1 + x2))/x + C.
ci-l 1 In 1— x + x2 In (1 — x+x2)
5.1o3. — In---------------------------
4 1 + x2 2(1+ x2)
— arctg x +
, V3 , 2x — 1 n
+ —— arc tg-----—- + C.
2 V3
5.154. 2 Vx — 1 (In x — 2) + 4 arctg Vx 1 + C.
5.155. 2 VT^x (4 - In (1 - x2)) - 2 V2 In 4. C.
V2 — V1 — *
5.156. (In | x |)/V*2 — 1 + arcsin (1/х) + C.
5.157. arctg V*2 ~ 1 — (in | x + V*2 — 1 l)/x + C.
5.158. — x + V^2 + 1 In (* + V*2 + 0 + C.
5.159. --- £----In (x + V*2 + 1) - 4 In (x2 + 1) + C.
\x* + 1 2
5.160. (—--In —. * . -.Л 71 — x2 — In 1 ----2— + 4 arcsin x + C.
\ 2 Vl — xj x 2
5.161. xx + C. 5.162. (In x) sin In x + cos In x + C.
5.163. Vl + cos2 x — cos x 1° (cos x + Vl + cos2 x) + C.
5.164. — (arctg x)G/a+ C. 5.165. + T + arcctg x + C.
5.167. 2x arctg x — ~ arctg2 x — In (1 + x2) + C.
5.168. arctg2 x — x ( 1----arctg x--------+-~- in (1 + x2) + C,
2 ко/ о о
5169 (X2- I)arcctgx-x
5Л69‘ 4(x2+l) +
5.170. —V2x — x2 + —— arcsin (x — 1) + C.
5.171. 4- %3 arccos 2x — ~(1 + 2x2) Vl ~~ 4x2 + C.
3 oo
5.172. In ((1 + Vl — x2)/\ x l) — (arccos x)/x + C.
5.173. x arcsin3 (x/3) + 3 V§ ~ *2 (arcsin2 (x/3) — 2) — 6x arcsin (x/3) + C.
5.174. arccos (1/x)----Vx? — 1 + C.
_ 2 (x2 + 1) arctg x .
5.175. —v -----------------4 Vx -f- C.
5.176.
5.177.
5.178.
5.179.
x arctg (1 — Vx) + д/х + In (x — 2 Vx + 2) 4- С.
(x — 2) arcctg Vl — x — Vl — x 4-C.
2 V^ arctg Vx —* arctg2 Vx — In (1 4- x) 4- C.
arcsin2 x x2
4
X Vl — X2
arcsin x + C-
+
x 1
5.180. -74 arcsin x 4---------In (1 — x2) 4- C.
V1 — x2 2
arcsin x 1 1 •— x , ~
5.181. —-......- 4--In--------h C.
Vl - x2 2 1 + X
1 л/\ — x2
5.182. у arcsin2 x------------arcsin x 4- In | x | + C.
5.183. |xVx arcsin Vl—-V — (x + 2) Vl — X +C.
5.184. 2 Vx — 2 Vl — x arcsin -\/x + C.
5.185. _ a/ZZZ + c.
1 — X V 1 — X
5.186. —(x8 + 6x 4- 3 (x2 4- 2) Vl ~ x2 arccos x) 4- C.
5.187. x arccos Vttt+v’ — arctg Vx + C.
5.188. arccos<*V*) +. + c.
3(l~x3) 3Vl-x3
5.189. (sin x) arctg sin x •— у In (1 4- sin2 x) 4- C.
5.190. (tg x) arcsin tg x 4- Vl — tg2 x 4~ C-
5.191. ex arcsin ex 4- V1 — elx 4- C.
5.192. ch x arcsin ex 4- -----|-----— 4- у In (1 4- Vl — e2x ) 4- C.
5.193. ch x arctg sh x — x 4~ C.
5.194. (x + 1) earctg x/(2 Vl + x2) + C.
r- t 2 arctg 'Jex ( , /—
5.195. x — In (1 4" £ )---------7=--------(arctg V^'v + C.
V^x
/ -U 1 r \
5.196. x — arctg x 4- (----£----arctg x---—J (In (1 4- x2) — 1) + C.
5.197. —.. arctg——'LzLj.— 4~ С, если b2 < 4nc;--------pc,
V4ar — b2 у4ac — b2 2ax 4“ b
если b2==4ac; —;. •
yb2 — 4<2c
In
2ax 4- b — Vb2 — ^ac
2ax 4- b 4- V^2 —
4- С, если b2 > 4nc.
5.198.
1 Г1 i
------1 — In
a 4- b2 \ 2
(x4-^)2
X2 4“ CL
In | x 4~ I । 1 / In | x — V— a |
a 4- b2 2 V~ a \ V“ a + b
4=-arctg-4=4 + c,
ya ya J
если
a > 0;
b2 — a; -tK" In j —- b I 4- ----J— 4- С, если a < 0, b2 = — a,
4b2 I x 4- b j 2b x 4- b
16*
483
2 .1 х + a !________2x 4~ Q 4~ 6_____-
(a — b)3 1*4-6 I (a — b)2 (x ~r a) (x + b)
5.200. y * 1 то (4~ arctg-----arctg“ J + С если a2 =£ b2:
a2 — b2 \ b b a a J
4?( .Is-+4arc|e-4)+c-cc-™ °2=b2-
2b2 \ x2 + Zr b b )
, П1 \
5.201. x + (a — b) f n hi | x + b I — — Ckn~x | ) J 4- C.
5.202. -(In I —---— I 4- У fcos-^- In (x2 — 2ax cos 4- a2
2nan 1 j x 4- a | \ n \ n
x — a cos (kn/n)
a sin (kn/n)
k,jt
— 2 sin -------arctg
n
5.203. x + 2 —--— (Max 4~ b — Jin | Max 4- b 4- d | ) 4- G,
ci
5.204. —In (д/а *4- Max2 4~ 6) 4~ С если a > 0;
Ma
I . / a , „ . Л
— - — arcsin zA /----x f С, если a < 0.
M~ a Mb
5.205. arcsin -~TT“ + C-
\a — b\
5.206. 2% V*24-(a4- b)x4 ab—In (V*4-«4-V*4“6)4-0.
5.207. - ’,n —r- ' 1 4-~- — + С, если a > 0; -lgn x) + C,
ya уa + уx2 4- a x
если a — 0; — .* arccos--------— + С, если a < 0.
у — a I % I
5.208. . In ——==4----------------7--___ ,
I a | Mb2 — a2 | Mb2 — a2 x 4- | a | Mb2 — x2 |
С, если a2 < 62;
x . •) t.4 1 Ma2 — b2 r
4* С, если tr = p , ---7.T arccos—-— -
| a | Ma2 — b2 \b\Ma2 — x2
b2 Mb2 - x2
если a2 > b2.
x
5.209.
1 л/b2 — a2 x . y ,9
----. ----— arctg-------. - 4- О, если a2 < b , -----.....
a Mb2 — a2 a Mx2 4- b2 b2 V*24~ Ь2
если a2 = b2\ ----. . In
2a Ma2 — b2
5.210. ----In
a2 — b2 x
aMx2 4- b2 — Ma2 — b2 x
4- С, если a2 > b2.
2
, arccos
-r u — • у u
---------— 4-0, если
4~ a 4- ya
4" С, если a < 0.
5.211. -r-^—
b — a
x — b
x — a
v------h С, если a = b.
b — x
484
х sin 2ах , sin 2bx sin 2 (а — b) х _j_ sin 2 (а 4- b) х
5,1 4 "Г 8d • 8/, “Г {6 (а-Ь}
.. , Зх , sin 2b х
если а2 о , ——
о
1
16 (а b)
-I-С.
я 4Ьх , „ 2 ....
4Ь 1 32Ь~ + С’ еСЛИ а ^Ь-
In I Sin^±.^.| + C
I sin (x 4- a) I
cig (x 4- b) 4~ С, если a = b 4- nk, k e Z.
x — a
‘ Sm 2
5.213. ------------—
sin (а — о)
если а b 4~ л/г,
k €= Z;
5.214.
------In
cos а
если
cos
2
если
2
а = ——Ь 2л/г, k ее Z;
если
а——“4“2nfe, k ее Z.
2 /
5.215. —к--г arctg (
а2 — 1 \
если а=1; — у ctg (х/2) + С, если а= — 1; |х|
а — 1
, если
а 1; - tg (х/2) -Ь С,
5.216. —---1---arctg I--
2а a к а +
а =^= — 1; sin х + С, если а = 0;
ICOS X
---7—i—г
cos (х 4- а) |
если а = k е Z.
если а О»
x
а —
5.218. —------------------7— arctg 4- С, если a > 0, a 1; —~
a — 1 (a — 1) ya
tg x — a/— a
-------------. - In
2 (a — I) V— a
если a == I; — ctg x — x 4- С, если a = 0.
5-219' ^~arctg'^T£ +c- |x|<T-
a — i
sin 2x ,
2
4
5.220. _Г^А2!1£^21£ + с.
a2 4- b" a cos x 4~ b sin x
w 1 Л । । a tg x — 1 \
5.221. —g-т—г Пя a cos x 4- sin x 4- x-4—-j 4- C.
a2 4- I V a 4- tg x J
5.222. —-—lg-~. .--V + c-
a (a -k (ax 4- b) tg x)
x sin x 4- cos x ,
5.223. -7-77-p—7----j—7——г-----г + если b 0;
b ((ax — b) sin x 4- (л 4~ bx) cos x)
sin x — x cos x . .
-------------------- 4~ С, если b — 0.
a2 (X sin x 4- cos x)
5.224. —arctg ( A/“ ex | 4- C,
yab \ V b J
2
b 4- V~ ab ex
b — ab eK
4- С, если
I ln ya±b^-ya+Ct
ya уa 4- bes 4" Уa
если ab > 0;
ab < 0.
если a > 0;
5.225.
2 , Vft + bex ,
л. -7 arctg-t=tz---\-C, если a
a V~ a
к 99a ch (a + b) x ch (a — b) 2 , , 2 ch 2bx , „
5-226’ 2(а + />) + "2 (a-ft)' + C’ еСЛИ a * b' ~W~ + C
a = b:------с, если a — — b.
4b
если
5.227.
2 arct„ (fe~_g) th (x/2) + c
<y/ b2 — a2 — c2 'у/ b2 — a2 — c2
С, если b2 > d2 + c2:
1 (a — b) th (x/2) + 'xj a2 + c2 — b2 — c .
---.... -----------~ In • ...zzz------------------[~
'y/a2 + c2 — b2 (a — b) th (x/2) — л]a2 4- c2 — b2 — c
C\ если b2<a2-{-c2f
a =/= b; In | b + c th (x/2) | + С, если b2 < a2 4- c2, a — b’
-----—---^Т7Г7~/о\ + если b2 = a2 + c2, a^b; 4-th-^- + C, если
— c + (a — b) th (x/2) b 2
a = b, c = 0.
а ax cos &x + h sh ax sin bx
5.228. ------------------------------— + C.
5.229. x In | x2 + a | — 2x 4~ 2 л]a arctg (x/Vft") + С если a > 0;
x In | x2 + a | — 2x + V—a In X + С, если
r. __n In (x 4~ V*2 4-ft) 1 x2 d a + у/a . ~
5.230. ------——---------—- 4--rzr- In —-------Y-----1_ с, если a
x уa | x |
In | x 4- V*2 4~ ft I . 1 . V*2 + o,
----- ----— ---------1---- arctg-^—=7-------p С, если a < 0;
x V — a V — ft
1 4- In (2x) , „
---------------- с, если a = 0.
x
5.231. 2 (In x -— 2) Vx 4~ ft 4~ 2 Va In ^L- 4~ С, если a^O;
'yj x 4- a — 'y/a
2 (In x — 2) 'у/x 4- a 4- 4 V~ ft arctg -
5.232. ха1п*х4-С\
лг._ arcsin x . 1 у и, —i л
5.233. 1-------------------arctg— ------------—J- С, если a > — 1,
2a (1 4- ax2) 2aVft4-l Vl - *2
4- С, если
(x2 1\ . , xVl—/ч arcsin x
—--- ) arcsin x 4---h С, если a = 0; — • - --
2 4 / 4 2a (1 4- ax2)
----- ----In
4a у — a — 1
Vl — x2 4- V“ ft—lx
Vl - x2 ~ V“ ft — 1 x
4- С, если a < — 1;
arcsin x x _|_
2(1 - x2) 2 Vl ~ x2
5.234. X*rc4^._
ь V ft-x2 + ь
С, если a — — 1.
1 / ax2 4- b
-----=- arctg д /--------------1-
b 'у/ a — b V a — b
C,
если
a > b;
x arctg x 4- 1
----. - ---4~ С, если a = b\
b 'y/b Vх2 + 1 ________ _________
x arctg x 1 I V ax2 b — ^Jb — a\
Ьл/ах2-\-Ь 2b'y/b — a ax2 4~ b 4“ V^ “ a
если a < b.
486
Глава П. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 6. Определенный интеграл
6.1. <т„ = 9/2. 6.2. 1) + + 2) — У д/-.
4 2п 4п2 п \ п
10930-910/п аТ2 1
3) ...6.3.-^- + щТ. 6.4. 1) е — 1. 2) 1. 3) sin х. 4) —.
/М21 ' — 1) 2 2
_ а«+1
6.5. 15/4. 6.6. ------------• 6’7, W6*)- 6.8. О 0» если I о | < 1 и
2) л In а2, если | а | > 1. 6.17. а- (f (а) — f (Z>)). 6.36. 1) Второй больше
первого. 2) Первый больше второго. 3) Первый больше второго. 4) Второй
больше первого. 6.40. Нет. 6.41. Нет. 6.54. 1) 0. 2) — sin а2. 3) sin Ъ2.
4) 2xVl + *4- 3) —%---------------—------. 6) — sin х cos (л cos3 х) —
Vl+xi2 Vl + x8
— cos x cos (л sin3 x). 6.55. 15/4. 6.56. 0. 6.57. у (2 4% — 1). 6.58. -|<2 — l).
6.59. 7/3. 6.60. —10/3. 6.61. 19/15. 6.62. 2. 6.63. л/6. 6.64. л/3. 6.65. 1.
6.66. 45/4. 6.67. e (e — 1). 6.68. 3/ln 2. 6.69. In 2. 6.70. (In 3)/2. 6.71. л/12.
6.72. In 2. 6.73. In 1,5. 6.74. n. 6.75. л. 6.76. л 8 V3 6 + 27 *
6.77. у (2 — 3 ch 2 + ch3 2). 6.78. у arctg (4/7). 6.79. 11/2-4-7 In 2.
6.80. 2 In (4/3) — 1/2. 6.81. 4 In (2/5). 6.82. 2 b — In 5. 6.83. л/4.
6.84. In — 6.85. n/(2 4'2 ) 6.86. 4 — 2 In 3. 6.87. 7 + 2 In 2.
1 +V2
6.88. 2 —In 2. 6.89. y(e — e'/4). 6.90. sin 1. 6.91. л/4. 6.92. -у +
6.93. arctge — л/4. 6.94. 5-\/Г/12. 6.95. ^-sh2+l/6. 6.96. In 2.
6.97. л/(з-\/з). 6.98. 1— 2/e. 6.99. Л ~J In (3/2). 6.100. 3 In 3 — 2.
3o 2
6.101. 2 In 2 — 3/4. 6.102. 7^- + -^-—L 6.103. л3 —6л. 6.104. (en — 2)/5.
6.105. - (Sin 1 ~ C°S . 6.106. 1. 6.109. 1) 5/6. 2) t/2. 6.110. 3- — 3-, если
Z О Z
1 t t3 / I
t < 0; —---— 4——, если0<М<Д; —--—, если t > 1. 6.115. 2/3.
О z о Z О
6.119. 1) 2/л. 2) y(2-VF-l). 3) e-'. 4) 2. 5) 16. 6) л/6.
b
6.120. ^f(x)dx. 6.121. 1) -|л. 2) л,'7з. 3) x + 1/2. 4) 1/ln 2. 6.122. 1) 1.
a
2) л2/4. 3) 0. 4) 1. 6.125. Да. 6.127. 0. 6.128. 0. 6.129. л/2. 6.130. 0.
487
6.131. 0. 6.132. 6 sin (л/9). 6.133. 2 Уз. 6.134. (e4 — l)/2. 6.135. л/16.
6.136. (4 — л)/2. 6.537. у In (e/2). 6.138. л. 6.139. 1/4. 6.140. 4л. 6.141.1.
6.142. Уз + 1. 6.143. 2(У2 - 1). 6.144. 2arctge + y In ((е2+1)/2).
6.145. 2лУз7э. 6.146. (arctg (1/У2 ) — arctg (1/Уб))/У2.6.147.-2= In .
-у 2 7
46Я 1 зт 29 1 Ч 995
6.148. - 6.149. arcsin — - 6.150. —6.151. 6.152. 41п 2 -
7 3 b 270 6 8 1024
8 rin+i nn+i — 1 2л л/3
6.153. In 2-.7/9. 6.154. -Inn - ; - . 6.155.
3 п + 1 (п + D“ 3 2
6.156. 8191/26. 6.157. л/4. 6.158. (ел — 1). 6.159. 2(1
Г)
6.160. 5е3/27. 6.161. — — Уз”. 6.162. Уз7(8а2). 6.163.-^-^---------------Л,.-.
3 2 2 УЗ
6.164. -у In 2. 6.165. л/Уа2 — &2. 6.166. л/(2 | sin а |). 6.167. еУ
6.168. 4л. 6.181. f (х + 0) - f (х + а). 6.182. а2(У2 + In (1 + У2 )) sign а.
6.184. л/2, если | а | 1; и л/(2а2), если | а | > 1. 6.185. 2, если | а|
и 2/| а |, если | а | > 1.
6.187. 2л/У I - е2. 6.188. -JL- In 1 + 6.189. л (---------L3.
yab 1 — уab \уЗ у 2 /
6.190. гУ^л. 6.191. arctg (32/27) — 2л. 6.192. л2/4. 6.193. 200 У?.
6.194. 4л/а&. 6.196.
nW ас — Ь2. 6.202. 2. 6.204. 1) --------
2)
Л ( л2 . 1 \
--- ( --- -J- - I .
2 к 3 2/
6.205. 1) 0, если п — четное; л, если п — нечетное.
2) (-1)"л. 6.207. 1) 8/15. 2) Зл/16. 3) 5л/32.
6.215. (—1)'
n b 1
(-1)
C 2k — 1
6.216.
( । y2n-k
(n~k-i- 1)
2)
5)
2)
(-1)” (у (-l)fe
2 I k
\/г = 1
arccos (cos x), 3) x [x] + \ # 4) £_ [x] _
— In 2). 6.221. A. 6.225. 1) |x|.
2
— arccos х (cos nx). 6.226. “(|x + /| — |x — / |).
14—in (7!). 3) 30/л. 4) — л2/4. 5) In (nl). 6) — th (л/2).
W(k] + 1)(2 И+1)
12
6.227. 1) — 1.
6.232. 1 (1 + х).
4- (—i)rt+1 In 2
§ 7. Вычисление площадей плоских фигур и длин кривых
7.1. 1) 2. 2) In (alb). 3) 1 — е~а. 4) a2sh(x0/a). 5) 125/12. 6) l/о.
7) 1 + л2/8. 8) УГ-1. 9) 7-2. 1) а + (1-а)/1па
2) - 3) 2«2 (Уз-- л/3). 4) л/2. 5) 1/3 + in (Уз/2). 6} 9.
сХ (Л lit
488
7) In 4 — 2e-‘. 8) — — 9) 6 In 2 - 2,5 10) л/2. 7.3. 1) 36.2) a4/12.
' Л о о
3) 0,1. 4) 9/4. 5) 6> 7) (3л —2)a2/6. 8) 5(arctg (1/2) +
Z <3 Z о
4- arctg 3) + -y- In 2 - 7. 9) 4. 10) 1 - e~a3 (1+ a2). 7.4. 1) 18e~2-2.
2) 2я+ 4/3. 3) л/6. 4) 0,5(1+e-")e-"". 5) 16/3 + 2л. 6) 44/15.
2a a1+cl a1-a /—
7) -7-^-5- + АгГ-|-~1ГГ- 8> (a— l)/(a+- 1). 9) n-y/ab. 7.5. 1) 1/12.
i — Ct a ~1 CZ 1
2) 32 V6’/3. 3) 16/3. 4) 4-4-- 5) 72" - 1- 6) 4-+ v- 7) 0 ~ In 2)/ln-2.
8) (45 In 3 - 24)/ln 9. 7.6. 1) (14~In3)/3. 2) 20/9 - In 3. 3) 37/48.
4) (2я-Ьд/з)/3. 5) 6л — 6 arcsin (д/з/з) — 4V^/9. 6) log4 e1/4.
2a
7) -^Ц-4-V-------. 8) 12 In 2 — 6 In 3 + 1. 7.7. 8/5. 7.8. 9/2. 7.9. 1) 9/4.
a2 — 1 1 — (x
2) 9/4. 7.10. P = p.
a+ 7e2-Z/o 1 j------5
7.12. - z/„a In-----------------I- ya Л a' — </5 +
Уо *
+ — a2 arccos 7.19. 125/48.
1 2 a
7.20. 16p2/3. 7.21. 1) 4p3/3. 2) 12.
3)
€)
x0 *o
a2 arcsin----F ~r~~• 4)
a Qp
5)
9 x3/2
A
X° 2 (p+q)
4 V-ДД G°+ ' 7-22- ° via-a<x+2-2) i/2- з>4а2/з-
4) Зла2/4. 5) па2/8. 6) (л — 2) a2/2. 7) 8/3. 7.23. л/4. 7.25. 1) nab.
2) 3л (а2 — &2)2/(8а6). 3) Зпа2/8. 4) лг2л(п+1). 5) nr2n (п — I). 6) Зла2/2.
7.26. Зла2. 7.27. а2 (4л3 + 3л)/3. 7.28. na2k (k + 2). 7.29. 1) а5/60. 2) 8а5/15.
3) 8. 4) 1/3. 5) (4 — л)/4. 6) 4а2/3. 7) а2 “ 4) 8) а2 ( Уз + 4 л-
-41„(2+ V?)). 7.3». 1) 2>
3) 'fl ~ е2*Ф4 7.31. (га3 - («- I)3) ла2/3. 7.32. 1) 2ппа2.
a2 P2einkn (e*nk — 1)2
2> 2ля („ + 1> (я + 2>' 31 -----В-------L- 11 2 “2/3- 21
3) Зла2/2. 4) л (а2 + 2/?2)/2. 5) ла2/8. 6) па21'2. 7) л«2/4. 8) л<г2/4.
Р2 ( е + cos фо е а/1 — е2 sin ср0 о2
9) -----L| arccos------------—-------1-----------2^1. 10) -------X
2(1—е2)3' ч l+ecos<p0 1 + е cos ф0 / 2 (е2 — 1)/г
/ ln e + coS<p0-V?Hb^ + + y^Tsin Фо) 7 34 а2 (3я+4)/12
\ 1 + е cos фо 1 + е cos ф0 7
2) 17л/4. 3) За2 д/з/4. 4) а2 arcsin (Ь/а) — b -у]а1 — Ь2. 5) 6а2 arctg 'у/ьЦа — Ь)~
—2 (26+За) V/> (а—6). 7.35. 1) 2а2. 2) (3 д/з-^л)/з. 3) а2. 4) а2 (2л+3 V+)/l2.
5) а2 (2л + 3 д/3 - б)/з.’
7.36. I) а2^/б. 2) —(arctg t0
4 \
1+^0 )’
4 , л r^Mh
з V p + q ’
7.37. 1) (4л -I- 3 УЗ )/2. 2) (2л — 3 Уз )/2.
489
7.38. 1) 2а2Е(/г), k = c2/a2. 2) 2c2 (E (/г) — (1 — fc2) К (&))> k = a2lc2.
7.39. [ ab 1/6. 7.40. (ab arcsin (xo/a)+xo#o)/2- 7.41. ab (arccosЛ ЛV1 — Л2 L
ab . x0
7.42. arcsin--.
2 a
7.44. 2afc (У2 + In (У2 + l)h 7.45. In (-^- +
7.46. 1) p3/3. 2) (л-2)/2 У+ 3) 45/4— 12 In 2. 7.47. 2л/УлС — /J2.
7.48. 1) a2 (In 4 — 3/4). 2) a2 f 4-arcsin—1п2^). 3) 2ab arcsin —--—.
\ 4 5 7 a + b
4) ^^4-2 in a. 5) afc(12-3V3-2n)/12. 6) а2 (3/У2 — in (1 + д/2)).
7.49. 25л + 40 Уз in 2. 7.50. 1) (Зл — 4)/(Зл + 4). 2) V.|/я~2).+ln (2+Уу
УЗ (л+2) - In (2+УЗ)
7.51. 2аЬ (л — arcsin ((а2 — b2)/(a2 + b2) — 4ab arctg -У 7.52. 4 — 3 In 3.
7.53. 1) 4 (л + УЗ . 2) 6 (л + Уз'. 3) (7л —5УзУ4- 4)(зУз —л)/3.
7.54. 1) л д/2 а2. 2) а2. 3) л (а2 + 62)/2. 4) ла2/8 У2. 5) а2(зУЗ —л)/3.
7.55. 1) За2/2. 2) а2 (Уз +п — 4 In (2 + Уз))-
7.56. х = ch 2s, у = sh 2s. 7.57. л (2R2 + а2)/2.
7.58. 1) г= ( 2п-а ф) • 2) г = -y/Solk е"'4ft.
7.59. y = cx(1~aVa, с>0.
7.61. 1) 74. 2) 14/3. 3) arcsin (3/4). 4) 335/27. 5) 134/27. 6) (3 Уз — 1).
7) 232/15. 8) 25/3. 9) д/З (г - Ух0 - д/у). 10) ------- х.Да).
2 д/а (а — 2)
11) 10,8.
7.62. а = (п+1)//г, neZ, п =т^0, —1.
7.63. 1) sh а. 2) sh 2а. 3) д/&2 — 1 — д/а2 — 1. 4) In ((sh Z>)/sh а).
7.65. 1) У2 + In (У2 + 1). 2) 6 У2 + In (3+2 д/2). 3) 4 У2+4 In (У2+1).
4) д/5 + 4 in ((Уб + 1 '/2).
_ л„ I У О I —2 , Р , VУо + У + I Vo |
л66- “2Г Уд + Р + Т|П----------------Р---------•
7.69. 1) 4 + (1пЗ)/4. 2) 2 + 4-|п 4-- 3) 4 У2 + in ((9 + 4 Уг)/7).
Z о
4) 3 + In 2. 5) 2 (1 + In 1, 5). 6) In 3. 7) In (2 + Уз). 8) In (2 + Уз).
7.70. 1) (л+1)/4. 2) (2 + УЗ In (2 + Уз))/2. 3) 1/У2-
4) 2 У2 (УГ+'а — УГ—"а). 5) 7/6. 6) 2 (еГи/2 - 1).
7) 2а In (а/(а — х0)) — х0- 8) a In (а/х0). 9) У2 (5 + 4 In 2).
7.71. f (х) == а — k + k ch (х//?).
7.72. 1) 6а. 2) 4 (а3 — bz)lab. 3) 8а. 4) ат*/2. 5) ((ch 2/0)3/2 — 1).
6) а а (еа<Ро — 1). 7) t2 — 8) sh2 t0. 9) — a In sin tQ.
490
7.73. | f'" (f) + Г (t) I dt.
ti
7.74. 1) л3 4/3. 2) 8r-^t_Lsin2_£k. 3) 8r a~--1-sin2_gk> 4) 6
7 ' ’ a 4 7 a 4 7
5) ЪаЬгЦа + b).
7.76. 1) 48a. 2) 26.
7.77. 1) (2 V5 + In (2 + V5))/4. 2)14-----J=r In (1 4-75).
V2
3) 2a (б 4- g In (2 4- 7з))- 4) ({a2 cos2 t0 4- b2 sin2 t0)3^2 — as)/(b2 — a2),
5) 10- V2 1n(V2+ 1)-
7.78. 1) 4/3V3- 2)8. 3)a/73- 7.79. 1) t0. 2) In t0. 7.80. у = 16a/9-
7.81. Ьл-y/alg-
7.82. 1) ла. 2) a д/1 4-(eft<₽2 — eft(₽‘). 3) 8a. 4) 8 (2 — 7з)- 5) 2a.
6) a (<p0 + th
7.83. e2kn. 7.84. a 4^+^/k. 7.85. 1) Зла/2. 2) 16a/3. 3) 15яа/8.
7.86. 1) 2a (Л21)!рц • n = 2k. 2) ла « = 2*4-1.
7.87. 2p (V2 4-In (72 4- 1))- 7.88. 1) 12 7§ a. 2) a (7 75 4- 3 In (75 4- 1 )••
7.89. 1) a(<p0/^/l 4-<Po +ln (‘Po + V1 + фо))/2, 2) 8й(575 — l)/3.
3) 1423a/15. 4) 4г Г 205 - ^-1п з\ 5) a('-^4-ln2).
7.91. 1) t0. 2) (г*- 1 4-2 1nr0)/4. 3) (r2 - r{)/2a. 4) л (b — a)/2.
7.92. r = cea<t, c > 0.
7.94. 1) 8. 2) —(-7 In (72 4-1) 4-a. 3) 4 (a 4- b) — 4ab/(a 4- b). 7.95. ла.
72
7.96. 7a. 7.97. д2 fe2 (((a2x0)2/3 4- (.Ь2у0)~13?12 - a3).
7.98. n A£(wXo, Л), k=-~44=.-. 2)
k 71 + Ло2 2 V 2 a 4- b /
3) aF ((p, —7=-\ qp= arcsin (д/2 sin <p0). 4) aE (cp, e)t e = ,
к <2 7 a
<p = arcsin 5) A-F (<p, -0 - cE (<p, 4. 22L sin <p,
c = 7а2 4- e = c/a, х0=-т- д/b2 + y^, <p = arcsin------<4= —.
b x20e2 — a2
7.99. 1) 4а£(л/2, e) = 4аЕ (e), e= ‘ 2) 4а/^л/2’ V^) =
= 4а К (1/72)- '3) 4 (a + b) E (n/2, 2 7^/(a 4- b)) = 4 (a 4- b) E (
4) 2паЕ (л/2, Vn2 — 1/n) « 2naE (Va2 — 1/n).
491.
7.103. 1) х = a cos (siа), у == a sin (s/aY 2) x = a In (($ + дЛ2 + a2)/a)t
V2s
---.
1 / 5 X
-4) x = (r0 + cos a) cos t, у = (r0 ~h s cos a) sin /, t — — in ( 1 4-cos a),
« \ r0 J
a = arccig k. 5) x = 2r (arccos (1 - y-) -(1 - (2 -
r/ = s(l-y?). 6) x = -|-((s+1)2/3-1), f/=((s+1)2/J-1)3/2
7.104. 1) R = (s2 + a2)/a. 2) R = ks. 3) R2 = 2as. 4) R2 = a2 (e2s/a — 1).
5) R2 + (s — 4a)2 = 4a2. 6) 4R2 + (s — 6r)2 = 36r2. 7) R2 + 4 (s — 3r)2 = 36r2.
-8) 9/<2 + (s — 4a)2 = 16a2. 9) 2Rs = 1.
7.107. I) x2+y2 = a2. 2) r^e^l-y/z. 3) у <= ch x. 4) x = (cos t+t sin t),
1 114
у = -- (sin t — t cos t). 5) x = ~-(t — sin t), у ~ — (1 — cos /). 6) x = — cos3t9
Л 4 4 о
4
у = — sin31. 7) r = (1 + cos (p)/4. 8) x = cos t + In tg (Z/2), у = sin t.
t t
Seos a , C sin a .
-------da, у ~ \ ---------da.
a J a
1 1 __________________________________
7.108. 1) V«2 + &2h>- 2) (z2 — zi) aJ — +-1' -p- + l.
3) (a/3) (V^ (3 + 212) - VM3 + 2Л))- 4) 2a/0. 5) 8 -\/i a.
6) Va2 + &2 sh tQ. 7)2shl0. 8)10. 9) 2a In (tg (-^-+ у) ).
7.109. 1) t22-t\+ In (A-j. 2) V2 (3f0 + $). 3) a(lo + -|-&2(o).
7.110. 1) a л/2 — Va2 + b2 + a In a + V«2 + &
Ь (д/2 + 1)
2) f (4 ln (V2 Zo + хЛ'+гГо)) •
3) (mto у/ 1 4- m2/j + In (m/0 + л/1 + , m = a/Va2 + b2.
7.111. 4 V2/?e(-^, 1/V2^=4 V2/?E(1/V2).
7.112. 1) 9a. 2) 126. 3) 36. 4) -у (2z0+3a). 5) 2 + V2 In (V2+0-
<-•+ 3“’ “ vb- 71 77Г (” V + 20 V(v)’) -
a 1 + sin (-^-)
= V2z0. 8) a sin (z/o/a) + 4-In-----. . . = x0 + Zo- 9) n VTa.
' -si” (^)
7.113. x — a cos (s/Vfl2 + 62)> У = a sin (s/Va2 + b2), z ^bs/'yja2 + b2-
7.114. 1) k. = al(a2 + b2}, % = b/(a2 b2). 2) k = x — aK^d2 + s2).
3) k = — x = V2?(4 + s2). 4) k = % a ^[(ba2 + s2).
492
§ 8. Вычисление объемов и площадей поверхностей
8.1. 1) лра2. 2) ла3/2. 3) л. 4) . 5) л2/4. 6) Г Ъ 4- -у sh .
7) £-(1 — е-2а(1 + 2а)). 8) л (2 — 5/е). 9) л3/2.
8.2. 1) л2(2а2+б2)/<о. 2) 3) Т'ПЗ- 4) ЛЧ?2> -
б) л (6 — 8 In 2). 6) Зя (96 In 2 — 61)/8.
8.3. 1) —. 2) Я(Я-—3) 20л. 4) ”а° 5) л (—--------------4^
6 4 20(Vp+V</) Чп22 2 In 2 '
о. 4 . лЬ2 ,. 2л62 2 । о 2ч .. л/?3 (10—Зл)
8.4. 1) — лаб2. 2) -^j-A2 (А + За). 3) + За2). 4) ----g-----.
Б) ла3 (24 In 2 — 16)/3. 6) ла3 (24 In 4 — 31)/24. 7) ла3 (35 — 24 In 4)/24.
8.5. 1) л (15— 16 In 2)/2. 2) ла3 (6 In 2 — 4)/3. 3) ла3 (4 In 4 — 3)/81.
4) ла3 (17 —24 In 2)/3. 8.6. 1) 4л. 2) 8л. 3)л2/12. 4) л2 (4л2 — 15)/2к
,]2лрр 6) .. а2. 7) а2. 8) ла3 (6-8 In 2).
5 p + q q — p
8.7. 1) (('+~рг) -’)• 2) яа5/120р3. 3) 70л. 4) 2л2г2а.
б) 36л2. 6) 8ла3/3. 8.10. 1)2л.А2(А — а). 2) л(е—1). 3) л In 2. 4) 8л/3.
5) (8га+ 2) л2. 6) 4ла36/3р. 7) 2ла26. 8.11. 1)л(1 — sin 1). 2) л (л2 — 8)/4.
3) 4л3. 4) (25л3 + 8л2 — 8л)/4. 5) ла3 (50 — 1бл)/3. 6) 128л/15.
8.12. 1) а) л (А — а)5/30; б) л (Ь + а) (Ь - а)3/6. 2) а) л2/2; б) 2л2.
3) а) л (л2 — 8)/4; б) л2/4. 4) а) (л + 2) а3/8; б) ла3 In 2. 5) а) л2а3/4;.
б) ла3 (In 2 — 0,5). 6) а) 4л (44 — 27 In 3); б) 4л (27 — 5 V3 л)/3. 7) а) ;
эр"
б) 4ла4/(3р). 8) а) 32лр3/15; б) 4лр3/3. 9) а) 4л (2+9 In 3); б) Зл (2 in 3—1) 1п 3..
•jt3
10) а) б) л3/2. 8.13. 1) 4лаА2/3. 2) 4ла2А/3. 8.14. 1) 32лаА2/105.
2) 32ла26/105.
8.15. 1) 2л (1 + 5 In 2)/5. 2) 13л/30. 3) 433л/15. 8.16. 1) л3 — 4л. 2) л2.
8.17. Зл2/(в V2). 8.18. 1) —лр3. 2) 45лр3/4. 3) 64лр3 Vs/15.
i о
8.19. 2ла3 (9 -х/з — 4л)/3. 8.20. 1) ла3 (16 — 3 V3//24. 2) ла3 <2л — 3 Уз)/3.
8.21. p = W 8.22. у = сх(1~К}/2К, ОО. 8.23. лг2А/2. 8.24. л£>2А/8.
8.25. л£2Л/8. 8.26. лг2 (Н + /z)/2. 8.27. 2лг3 sin а----------а cos .
8.28. 1) -у-(3/?2-Зго-32оЛ-Л2).2)л/?3(2-72уЗ.З)^^-(бУЗ-5).
8.29. 1) 4лр3/15. 2) 2л (б — 2 V3 arsh V3)- 3) л (27 — 4 у/З л)/3.
8.30. 16ла/г2/15. 8.31. л/г (8£>2 + 4Dd + За’2)/60.
8.32. I) лА (За2 + А2 (1 — е2))/6. 2) 4ла3/(3 (1 — е2)).
8.33. 1) л/г (За2 — (е2 — 1) А2)/6. 2) 4ла3/(3 (е2 — 1)). 8.34. 71ла3/210.
8.35. 2л Уба3/75. 8.37. 4лр3А5/(15 V1 + А2).
8.38. 2ла (а2 sin2 acos а + 3/г2 cos а)/3. 8.39. 1) лУ/д/з* 2) 7лУ V2/6-
8.40. 1) 92 л д/2/(35а3). 2) 5л/(4а3). 8.41. 1) 6л/7. 2) Зл/4. 8.42. 1) 8ла3/15.
‘2) 7iVl%. 8.43. 1) 5л2а3. 2) 6л3а3. 3) ла3 (9л2 — 16)/6. 4) 7л2«3.
8.44. 1) 32ла2£/105. 2) Зл2я2/>/4. 8.45. 1) (26 V? 4~ 1б)ла3/105. 2) 116л/105.
493-
8.46. I) 8ла3 (3 In 2 — 2)/3. 2) 2ла3 (10 — 3n)/3. 8.47. 1) (ла3/24) (24 In 4—1).
2) 2л2а3/3. 8.48. 1:25. 8.49. 1) 64л/35. 2) 64л/105. 8.50. 1) ла3 (6 In 2 — 4)/3.
2) 4ла3/3. 8.53. 1) 2 (л4 — 6л2) а3/3. 2) 2л/3. 3) 4ла3/21. 4) 2л2а3. 5) ла3/15.
6) 64ла3/105. 7) - , (e3kn + l)e6knn. 8) ла3/24. 9) Зяа3/8.
8.54. 1) 8ла3/3. 2) ла3 (51 - 64 In 2)/4. 3) {Д? j~ р\ 4) (ла3/12) X
о (1 ~t~ е)
X (з л/2 In (V2 + 1) — 2). 5) л2а3/4. 6) 16 Уз л2а3/9. 7) 2ла3 (9 In 1,5 — 2)/9.
.8) л2а3/(2л/2). 8.55. 1) л (а + /)4/(6а). 2) л (а -/)4/(6а). 3) 4л/(/2 + а2)/3.
8.56. 1) 4ла3/15. 2) 32 -у/2 ла3/105. 3) Уз ла3/4. 4) Уз ла3/8.
.5) ла3 (16 + 5л)/4. 6) ла3 (Зя — 8)/3. 7) 4лр3/15. 8) У2л2а3/8.
8.57. 1) ла3 (51 - 32 In 4). 2) (4ла3/3) (6 In (2 + Уз) + 3 У§ - 4л).
8.58. 13л2а3/4. 8.59. 1) (У2 яа3/24) <3 In (У2 + 1) — Уг). 2) У2л2а3/8.
8.60. 1) 2ла3/3. 2) 2яа3/3. 3) 4ла3/21. 4) (In (У2 + 1) — -Yl Y
2У2 к 3 7
5) 2ла3 (3—In 4). 8.61. 1) п2а3/16. 2) 4ла3/3. 3) 8ла3/15. 4) 4яа3 (1бУ2—9)/105.
5) 8яа3/105. 8.62. л2а3/4. 8.63. 1) 2лаЬН. 2) лсЛН/З. 3) лаЬН2!с.
4) -^-лаЬс. 5) (2ла6/3с2) Н (Н2 + Зс2). 6) (лаЬ/Зс2) Н2 (Н + Зс).
и
8.64. 1) 4а3/15. 2) 4 У2 ла3/3. 3) ла2 (/>+Дк 4) ла3/2. 5) 4ла3/3.
6) лаЬс/2. 7) 8яа2/>/3. 8.65. 1) 2аЬН/3. 2) 8а3 (fe2 — й,)/15. 3) 16а/>с/15.
4) 4а/>с/3. 5) (Зл — 4) аЬН/Ч. 6) ла3/4. 8.66. SH/3. 8.67. г3 ctg а(-g-sin3 ф +
+ -Д- sin q> cos2 ф-^-соэф\ 8.68. ------— а ... . 8.69. (3л + 4):(3л—4).
2 2 J 3(1-tg2a)3/2
8.70. 1) 16а6с/3. 2) 16 л]ab а2/15. 3) лаЬс/Ъ. 4) а26/2. 5) 23ла/>с/81. 6) 64я/3.
7) 22л. 8.71. 8а26/3. 8.72. -|-^ali1 + a2624--i-(а,/>2+a26i)). 8.73. V/2.
8.75. 16r3/(3 sin а). 8.76. (4r3ctga)/3. 8.77. 8 (2 — Уг)г3. 8.78. л/?2///2.
8. 79. 3:1. 8.80. 2nRh. 8.81. 1) 98л/3. 2) л (103/2 - 1)/27.
3) я ( У2 - е~а - In ^Z--+Vl+^2a.\
к 1 + У2 7
4) 2ла ^6 + -у sh (2/>/а)^ . 5) 2л (У2 + In (1+У5)).
6)
8)
(ла2/8) (3 In (У2 +1)4-7 У2).
7) (л/9) (7 У2 + 3 In (У2 + 1)).
/ /— Уа4 + 1 . ya’ + l+a2^ . ( rz- /zr .
л|У2—-----------l-ln----------1. 9)л|У& —У2 + 1п
V а2 У2 + 1 7 к
8.82. 1) л (—5 — 9 In 2 + 16 In 3)/6. 2) л (sh 4 — 4е-2)/8.
Уб — 1 \
2У2 —2 7
3) я (185 + 144 In 1,5)/144. 4) л (20 + 9 In 3)/9. 5) л (11 У2 + 7 In (У2 + 1))/3.
6) -^-(11 — 9УЗ + 2л (2 Уз— 1)). 8.84. 2ла2 (20 — 9 in 3)/9.
О
8.85. 2лр2 (У2 + In (1 + У2)). 8.87. 1) 56л/3. 2) 62л/3. 3) л (е3 + Зе — 4)/3.
41 2ла (а — Ь). 8.88. 1) (2я/3р) ((р2 + Ь2)3^—р3)- 2) 2ла (а + b sh /(b/a) —
- a ch (6/а)). 3) 2л (2 У2 - 1)/з. 8.89. (л/?/6/г2) ((4/г2 + /?2)3/2 - R3).
494
8.90. (5/128 $ 10) (14 УВ + 17 In (2 + У5)) ж 0,9461.
8.91. 1) 4 V2ne(4ra+I)n(ch л)/5. 2) 128ла2/5. 3) 4ла (а — y:t). 4) 59.2л.
5) J^L(4+ln5). 8.92. 1) 18л2а2. 2) 24ла2. 8.93. 1) л/2. 2) 10д/2л/3.
8.94. 1) 4ла2/3. 2) 2л (Зя — 4) а2/3. 8.95. 1) 6л2а2. 2) Зп (л2 — 4) а2.
8.96.1) 12л. 2) 184 Уб л/15. 3) -^-(32 Уз + Уб). 8.97. 1) Зла2.
2) 96 УЗ ла2/5. 8.98. 1) 64ла2/3. 2) 16л2а2. 3) 32ла2/3. 4) л (Зя — 4) а2.
5)
16 (2 — 1)ла2/3. 8.99. 1) 12ла2/5. 2) 12ла2. 8.100. 4л2а£.
8.101. 1) 8л + In (2 + УЗ).
2) 2л + (8л2)/(3 Уз).
8.102. 48л.
8.103. 1) л/2. 2) 10У2л/3. 8.104. 5л (4 + In 5)/32. 8.105. 1) 2л(3л —4)/3.
2) 4л/3. 8.100. 1) Зла2. 2) 56 У-3 ла2/5. 8.107. 4л/?2 (sin а — а cos а).
8.108. 1) 2л6 (ft + -y-arcsin е), е=Уа2 — Ьг/а.
2) 2л&(/>+-^-1п 44г-)’ е = У/>2-а2/б. 8.109. 2л (б + У2 In (У2 + 1)).
8.110. 1) nab (Л V^2e2 — 1 — b/a---— In ..L.A t
_____ / е е + д/е2 — 1 7
е == д/а2 + Ь21 а.
2ла* / /Y2----т /УЗГ2--Г I /2 IX1 ( е ~ 1 + Ve2V — 1
2) j е VX2 — 1 VVe2 — 1 + (е2 — 1) 1п( --------у--.-- - ..----) ],
в \ \ д/е2 — 1 7/
е = д/а2 + Ь2/а.
8.111. а = Smin = 4n(^+ln(V2+ О).
8.112. 1) 16л (З/fe — 4 Ч- (4 — 2/г)3/2) а2/3. 2) k == 3/2, Smin = 8ла2.
8.113. 1) 4л/?2 (2 sin Р — sin а — (2Р — а) cos Р). 2) р = а/2, Sinin =
=_- 16л/?2 sin (а/2) sin2 (а/4). 8.114. (лр2/12 н/Ю (7 ^2 - 8 + 3 In (д/2 + 1)).
8.115. 1) Зла2 (4 V2— 1)/б. 2) бла2 д/2.
8.116. л sin а (b ^Ь2 + a2 ctg2 а + а2 cig2 а In - — ,с.*£ а \
к & & а ctg а 7
8.117. ла2(4+V2+ln(l + V2))/V6. 8.118. 1) 4л2а2. 2) 2л (2 - V2).
3) 4ла2. 4) 56ла2/3. 8.119. 1) 32ла2/5. 2) 96ла2/5. 3) 84ла2/5.
8.120. 1) 4ла2 ( 1 4- cos2 а---Дг cos1 а Y а — arccos —.
' к 3 15 7 а
4л&2 . п sin4p \ z ...
2) —I 24 — 16 sin р-------——:—— ), р = arccos (a/b).
Id \ I + sin р 7
8.121. I) 4ла2(2 —У5). 2) 4 У2 ла2. 3) 8ла2. 8.122. I) 2ай.
2) (Л/(1262)) ((а2 + 4/>2) 3/2 - а3). 3) ~ (1+ ’ |п Т~т) ’
е == -у/а*—Ьг1а- 4) "^~(У'—®2 arcs*n е)’ e = -\]b2—dl!b.
5) У2(1п (2 + Уз)+ 2 УЗ). 8.123. 1) y2sh2n. 2) 37/15. 3) 20а2. 8.124. 4/?2.
8.125. 8г2. 8.126. 24(2 —У2) г2. 8.127. 16r2/sin а. 8.128.1) 8Rr Е (л/2, r/R) =
- 8/?гЕ (г//?). 2) 4 (/?2Е (r/R) - (/?2 - г2) К (г//?)).
495
§ 9. Применение интеграла к решению физических задач
9.1. у — ± ^1'2рх Ч~ С, CeR; у == <у/2рх. 9.2 (х — х0)2 + (у — у0)2 = г2,
г е£ R, г > 0. 9 3. у — — е±^а~х^а. 9.4. тх2 — пу2 — т — п. 9.5. у = х~п1т*
9.6. (х — х0)2 + У2 = а2, хо R-
9.7. | х — С | ~ — a (cos t + In tg (//2)), | у | — a sin /, 0 < t < л/2.
9.8. у = 2, x2+(^—1)2=1. 9.9. f 1 — ( 1
y v k k ) )
9.10. г = 2лпс/й), s = -^-(V3 +-5-Y 9.П. (д/2 4-In (V2 + 0).
CD \ о 7 г
T
9.12. s (Г) = <p2 (Г), <f(T)= a(t)dt; s = in2R. 9.13. 8r. 9.14. 1) 16r/3. 2) 16r.
0
9.15. 1) Mx = b Va2 + Z>2/2, My = a 7<i2 + fe2/2. 2) Mx = 2a2, My = 0.
3) Mx = 0; = —^£ + 1щ (2 + V5). 4) Mx = 0, My =
= -^(72 + 5 1n(!+ 72)). 5) Mx = Z>(l> + -y arcsine^, My = 0,
e = ^/a2- b2ta. 6) Mx = ~~ (sh 2 + 2), My = a2 (sh 1 - ch 1 + 1).
9.16. 1) Mx = -^-(e д/i — e2 + arcsin e\ My = (1 + - e In
Xv x \. xa i — a 7
e = 2) Mx = My = a2. 3) Mx = 32a2/3, Mv = 8ла2.
9.17. 1) Mx==2a2, My = лт.г. 2) ЛЦ = 0, Л^ = 32а2/5. 3) Mx =
7’2 /, 4ч1 9 ,« 2 72 x4 a 9 «.л sin a _
= -~—(1—е )a2, Aly = —g—(е — l;a2. 9.19. I) %c = —— R, 1JC=O.
2) xc — yc — 2a/5. 3) xc = 0, yc = (a sh (26/a) + 2Z>)/4 sh (b/a). 4) xc —
27- 16 In 2 — 4 ln22 20 й ,o
=----8 (3+In 4)----’ VC- 3(3-Tin 4)' 5) = l/c = 4a/3. 6) xc =
A .. a 2e2jI + ел a e2n — 2en
— yc — 4a/t,. 7) xc — ,
9.22. (a2 + ab + Z>2) //3. 9.23. 1) l((l+e)3/2-2 -y/2). 2) 4 (2a-sin2a)/?3.
o 4
3) tiR (2e2 + R2). 9.24. Ix = 256а3/15, Iu = 16 (л2 - a3. 9.26. ah2/6.
9. 27. 1) nR3. 2) ла/?2. 9.28. 1) Mx = ab2/&, My = a2b/6. 2) Mx = л/4, Му=0.
3) МУ==п^^ -л'/б. 4) Мх = Му = 3/20. 5) Мх =
= = In 2 — 1/4. 6) Mx = pa2l2, Му = 2 72р а5^2/б. 7) Мх =
= 2аЬ2/3, Му = 0. 8) Мх = 5ла3/2, Му = 3л2а3. 9) Мх = ла3 (л2 — 6)/3,
Му = а3 (4 — л2). 10) Мх = 0, Му = 5па3/4. 9.29. /г/3. 9.30. На оси сим-
b (Зл/г + 8Ь)
метрии на расстоянии ' от Центра прямоугольника в сторону
4 (/?3 _ гз\
полукруга. 9.3L На оси симметрии на расстоянии — ----- от центра.
496
O2-4^TV- °3- a=1°- °4- ° XC==°> Ус = ^/3л. 2) xc = l±l6,
Ус - 2(^41) ^" 3) Xc=°’ yC=2A/5- 4) *c=5«/7, </c=5a/16. 5) %с=л/2,
IQ K\ n 26 +«sh (2bla) 2л + 3д/з
tc-,№. 6) ,c-o. tc- 8sh w<[) . 7) «с_0,
8) xc = Я Ус = бя/6 <я + 4>- 9> xc — Ус = 9P/10- 9-35- 0 xc=
= i/c = a/5. 2) xc=16/5, yc~— 1. 3) xc = 28/75, yc = 92/105. 4) xc =
= 5rz/8, г/с=0. 5) xc= 4«/Зл, г/с=’4Л/Зл. 6) xc~ yc — 256а/315л. 7) хс=ла,
yc = 5a/6. 8) xc == 4а/3л, yc = 4 (a + Л)/Зл. 9.36. xc — 10/21, yc — 5/3.
2 sin a
9.37. На оси симметрии на расстоянии —--------г от центра. 9.38. 1) х„~
oCL С.
«= 6 (4 — л2) а/л3, ус == 2 (л2 — 6) а/л2. 2) хс == 5а/6, ус = 0. 3) хс = ла ^2 /8,
15/с==0. 4) хс = ус = 128а/ 105л. 5) ^с==0, ус = л/2. 9.39. На оси симметрии
на расстоянии (4л — 3 д/з ) 7?/(4л + 6 д/з) от центра круга. 9.42. у = ахп~\
ae=R, а>0. 9.43. /x = a5s/12, 1у-=а3Ь/12. 9.44. + ab (с + .
9.45. л/?4/4. 9.46. лЯ2 (R2 + 4а2)/4. 9.47. 1) ah3/\2. 2) ah3/4. 3) ah3/36.
9.48. л7?4/8. 9.49. 1а = паЬ3/4, Ib = na3b/4. 9.50. 1) /x==2aAs/7, Iy = 4a3h/15.
2) /х = 32я4/105, /г, = 8а4/5. 9.51. (n (2n2—1) УГ^га2 + arcsin n) R4,
п = h/R. 9.52. а4/12. 9.53. 5 Уз а4/16. 9.54. 1) (а — sin а) R4/8. 2) (а+sin а) R4/8.
3) (2а—sin 2а) R4/16. 9.55. Л/4. 9.56. 3R/8. 9.57. На оси конуса на рас-
h R2 + 2Rr + 3r2
«оянии т ^2 + ^ + г2
от большего основания.
9.58. 1) 2Л/5. 2) Л/3.
9.59. хс = 2а/3, УС = 2С~ 0. 9.60. хс = ус — zc == За/8. 9.61. хс = ус = 0,
= 7А/9. 9.62. На оси вращения на расстоянии 3 (1 + cos а) 7?/8 от центра
h y/h2 4- Р2
круга. 9.63. R/2. 9.64. 1) Л/3. 2) — ——тА- 9.65. Л/3.
3 R + ^/h2 + R2
9.66. 1) л??2Л3/30. 2) 2л/?5/15. 9.67. 8лР5/15. 9.68. 1) nhR'^. 2) nh (R4 - г4)/2.
3) лЛЯ4Д0. 4) 5> ^^4/6. 6) 56л/15. 7) 10лр2Л3/3.
9.69. 1) л(е4— 1)/8. 2) 4л (3 — е). 9.70. 1) 8лаА4/15. 2) 8ла4А/15.
9.71. л2 dr2 (4t/2 + Зг2)/2. 9.72. 1) nhR2 (З/?2 + 4Л2)/12. 2) nhR2 (3R2 + 2Л2)/60.
9.73. 1) На оси конуса на расстоянии 4 V3 г/9 от большего основания. 2) На
оси конуса на расстоянии 'у/з r/З от большего основания. 9.74. 1) На оси
симметрии на расстоянии Л/2 от плоскостей сечений. 2) На оси вращения
на расстоянии 29л/з /?/Ю5 от вершины. 9.75. 1) хс =0, yc=nR^,
zc^nh/8. 2) хс-=0, z/c = 57?/8, гс = 5Л/16. 9.76. 1) 2лЛ/?3.
2) л/?3 ^/R2 + Л2/2. 3) 8л/?4/3. 9.81. 1) 4n2rd. 2) 2л2г2Л 9.82. 2n2abd.
2r sin (a/2) л тт
9.83. На оси симметрии на расстоянии --------------- от центра. 9.84. На оси
симметрии на расстоянии 4г/3л от центра. 9.85. S — 6л da, V — 'у/з n da2j2.
0,86. 5 — лпа2 ctg (лМ), V = А па3 ctg2 (л/п). 9.87. S = 4 V2 ла2 sin ф,
17 Л. Д. Кудрявцев и др.
497
V = 72 na3 sin <p. 9.88. яа3/2. 9.89. S = 32л2а2, V = 12n3a3. 9.90. S = 6 72 ла2
V = 3 V2" л2а3/8. 9.91. 2. 9.92. m/2<02/6. 9.93. mr2a>2/4. 9.94. ра63<в2/3.
9.95. mb2a2/6. 9.96. яр/?2 (R2 + 4d2) <o2/8. 9.97. paft3<B2/24. 9.98. mr2a2/4.
9.99. mR2a>2/5. 9.100. m (R2 + /73) <o2/4. 9.101. m (2r2 + 5 (I + r)2)/10.
9.102. 3/n (r2 + 4A2)w2/40. 9.103. 1) pgah2/2. 2) 26/3. 9.104. pgab (b + 26)/2.
9.105. pgab2/6. 9.106. 1) pgab2/3. 2) 36/4. 9.107. 1) pg62 (2a + 6)/6.
2) 9J08- ° np8flr2' 2) A + 9J°9- 2P^a2b/3‘ 9 U0- PSabX
,.i..b, \ .... К . R + aT VT , 1 + a02
X ( Л + —sin a 1. 9.111. — In ---------. 9.112. —77—70-----n"HnT7—77“ •
к 2 ) a R aR0 (02 — 0i) 1 + a0t
9.113. 4npo (a2R2 + 2Ra + 2)/a3. 9.114. 6 (/) = ecp+(Oo-ecp) e~kt. 9.115. 1 час.
9.116. m (t) = n - (n — m) ept,v. 9.117. T = - (In 2)/ln (1 - 0,01ra).
9.118. 6(1 — e~k(a~b}t)/[\ — ~9.119. p. (/) =
= Ho/(go + (1 - Ho) ekt). 9.120. «0,99994. 9.121. 1) I^lae~Rt‘L.
lOooO
2) / = -^-(1 — e~WL). 9.122. yMm/b a2 + 62 *). 9.123. 2\pm/l.
9.124. I) V10 утЛ4/(60а2). 2) ЛО = За/2, mD == 8 V10 M/9. 9.125. 2yptnlh.
9.126. 2y ma. 9.127. 2Mmy/nrz. 9.128. 2nypmar/(a2 + r2)3^2.
9.129. 2лурт (—-----. . 1 —r\ 9.130. 2лурт/а. 9.131. —
\a Va2 + r2 /
9.132. h (n, - v2)/vlO2 In (vJv.Y 9.133. 1 д/^-. 9.134.In-^+^° ,
О V 5 ЛИК U — COp
a =-JMik. 9.135. 2&0H3gk. 9.136. /n0e_(O1_o»,/u. 9.137. u In (Af/ai).
9.138. (t»0 - и + ue_v“/u). 9.139. mt (1 - eKm)~Л (T) = (vt-Vo+gT^u.
9.140. m(f) = moe-K{t}. X (t) = gRt/uv0(R + vot). 9.141. 1) X
X (v0 + (a5 - 1)Y 2)-^-(v0+ (a4 - 1)Y 9.142. 1) -k2
\ 6krQ J a5 \ 4&Гд J 5
2) k2 . 3) ^-k2^/kia5. 9.143. 1) -^ln2. 2) р/У{- (2X~‘ - 1).
[ о л jc —I
9.144. 1)
9.145.
In (p2/P1). 2)
P2 -- Pl
<7<7i ( 1________[Л
4ле0 \ Ri Rt )'
Pi
x—1 1 —(pi/p2)1/H
9.146. mgR. 9.147. 1)
Gh2/2 (H - M.
2) G (H — 6)/2. 9.148. G77/6. 9.149. 1) 0,5/7. 2) A|> 56+0,5/7.
9.150. npghR2 (H - h/2). 9.151. О/?(1+4/Зл). 9.152. npg7?2№/12.
9.153. 1) npgRfl4. 2) npgR2H2/&. 9.154. 72g 6 ((// + 6)3/2 - H3'2).
<5
9.155. Л — • 9.156. (2+ 72)1 мин. 9.157.
V g
4
9.158. r=C^h- радиус поперечного сечения на
л/?2 / 2Н
5$ V g ‘
высоте Л.
♦) у — постоянная закона тяготения.
49»
6.159. -2-Uc/oCOsq), <praax=0. 9.160. 77О/УГ. 9.161. 1) L/^/2. 2) (In 2-3/8)-
9.162. (T/ln 2) In (tV2/(%V2 — 3cmG0R In 2)). 9.163. ESl2/2L. 9.164. pgL2/2E-
9.165. P/2/4Z0. 9.166. AZ = Pl/nRrE, U = P2l/2nRrE. 9.167. pgH2 (R + 2r)/6£/L
9.168. 1) S (x) = — eV(l-x)X»., 2) S (x) = —
a0 a0
9.169. 1) y |ioP. 2) -t<oP(fl + r). 9.170. Tmax = TieW«.
9.171. T = 2-Vl/gP (л/2, k) — 2 -Vi/gK(k), 1г = sin (a/2); T^n^/lfg.
9.172. r = '\!(kI/E) sin 2<p.
§ 10. Приближенное вычисление интегралов. Оценки интегралов
10.1. 1) а) 4/9, 1/18; б) 5/8, - 1/8; в) 109/216, 1/216. 2) а) л д/2/4,
1—л V2/4 = —0,1107 ...: б) л/4, 1 — л/4 = 0,2146 ...; в) л (2 Vf + 1)/12.
1 — л (2 д/F + 0/12 « —0,00228. 10.2. а) 6 = 80,8, До - 6= 119,2;
б) 6=163,2, До —6 = 236,8; в) 6=128/15, До —6 = 0. 10.3. а) 6 «1,08,
Ло — 6 « 3,84; б) 6 « 2,27, До — 6 « 7,58; в) 6 « 0,43, До — б « 2,2.
10.4. 1) — 6,3555. 2) —6,1390. 3) —6,2859. 10.5. 1) 0,9464. 2) 0,9454. 3) 0,9461.
10.6. 1) 1,219; 2- 10“4. 2) 1,218; 3-10~3. 3) 1,218951; 10“5. 10.7. 1) 6,37.
2) 2,023. 3) 1,603. 4) 0,23. 5) 16,1. 6) 0,822. 10.8. 1) 2,16. 2) 2,002. 3) 0,3296.
4) 3,482. 5) 0,8350. 6) 4,6677. 7) 1,4675. 10.9. 1) 2,4859. 2) 0,837. 3) 0,8821.
4) 16,5. 5) 0,8225. 6) 5,4024. 7) 0,2288. 10.10. 1) 1,37039. 2) 0,91597.
10.11. 1) 0,74686; 0,74682. 2) 0,8788; 0,8862. 10.12. 1) а) 1,35067, 1,35064;
б) 1,467463; 1,467462. 2) а) 1,685742; 1,685750; б) 1,993875; 1,995299;
в) 2,270833; 2,280373. 10.13. 1) 0 < Д < 0,16. 2) 0 < Д < 0,053. 3) — 3,59 • 10-2 <
< Д < 0. 4) 5,3 10-5 < Д < 1,9 • 10~2. 5) 1,67 • 10-2 < Д < 0,82. 6) 9,12 • 10~5 <
< Д < 8,06 • 10“3. 10.14. 1) — 1,67 < Д < — 2,28 • 10~3. 2) — 9,77 • 10~3 < А <
< — 1,29- 10-3. 3) — 6,95- 10~3 < А < 1,61 • 10-5. 4) — 9,59 • 10~3 < А <
<3,12- 10~3. 5) -7,37- 10-3 < Л < 0. 10.15. 1) — 1,3-10~5 < А < — 0,91 10~5.
2) 1,01 • 10~5< А <8,23- 10-4. 3) — 1,042 • 10-3 < А < —1,08 • 10~®
4) — 1,02-10-2<Д <-3,26-10“5. 5) — 0,667 • 10-5 < А < 0,472 • 10~s.
6) 1,45 • 10-7 < А < 5,13 • 10-6. 10.16. 1) 1/20. 2) л/42. 3) 1/50. 4) 1/8.
10.17. 1) 1. 2) 3/55. 3) 1/13. 4) 1/18. 10.18. 1) л/4. 2) 1/6. 3) 0,1. 4) 1/5.
10.19. 1,2763, | А | <0,1615. 10.20. 1) 3,746. 2) 0,497. 3) 2,099. 4) 0,524. 5) 0,461.
6) 1,253. 10.21. 1) 0,916. 2) 2,320. 3) 0,636. 4) 2,682. 5) 0,882. 6) 0,647.
10.22 . 1) 1,610. 2) 2,00027. 3) 2,796. 4) 1,14778. 5) 0,88137. 6) 3,66088. 7) 2,9783.
10.23. 1) 0,35023. 2) 4,647. 3) 0,7535. 4) 1,228. 5) 2,302, 6) 0,2400. 7) 0,17048.
8) 0,6736. 9) 0,9775. 10) 1,7866. 10.24. 2л/?2. 10.26. 4,9348. 10.27. 1) 9,2936.
2) 4,7262. 3) 4,3676. 10.28. 5,881; | А | < 3,43 • 10~4. 10.29. 50,81.
10.30 . 21,477 (Л = 0,25). 10.31. 4,734 (/г = 0,2). 10.54. а > Ь. 10.56. 1) 1/200л«
«0,001592. 2) — 1/40л2 « —0,002533. 3) 0,23357. 4) 0,19л «0,597.
10.58 . 0,16369. 10.59. 0,90452. 10.62. 3,3. 10.65. 0,946082, 0 < А < j 10-6.
10.66. 0,235886, | А | < 0,5 • 10~4. 10.67. 5,6553. 10.68. 1,91. 10.69. 1) 1,82.
10.70. 0,874. 10.78. 297/272е4 « 0,0200. 10.79. 0,238. 10.85. 1,008. 10.88. 8,625.
10.89. 0,02792.
17*
499
Глава III. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§11. Несобственные интегралы от неограниченных функций
11.1. 2. 11.2. Расходится. 11.3. 2 In 3. 11.4. Расходится. 11.5.
+ In (2 +Vs)- И.6. 9л/4. 11.7. 1/In 2. 11.8. Расходится. 11.9. Расходится.
11.10. —3/2. 11.11. 4. 11.12. Расходится. 11.13. —2е~1. 11.14. Расходится.
11.15. л2/8. 11.16. V2?c- П.17. 625/187. 11.18. 2 in (V2 — 1). 11.19. л/2.
11.20. у - arcsin (3/4). 11.21. л/УТб. 11.22. л/(4 УТб). 11.23. ~ (У? - 1).
11.24. 2, если b < а\ (2а)/Ь, если b > а. 11.25. (п—1)!!/«!!, если п — нечет-
ное; ((п-1)!!л)/(п!!-2), если /г — четное. 11.26. (6 — а) (а + 36).
о
11.27. —(л + In 11.28. п/УГ. 11.29. УТ. 11.30. 2 у/п.
2 V2 \ V2 — 1 )
11.31. 7/9. 11.32. 5л/3. 11.33. ((—1)" «!)/(«+l)"+l. 11.34. — (л In 2)/2.
11.35. — (л2 In 2)/2. 11.36. (—I)”-1 л/(4л). 11.37. 2 УГ/б. 11.38. 10/7.
11.39. л(а + Ъ)Ц. 11.40. ЗЗл/2. 11.41. 2. 11.42.1. 11.43.2. 11.44. (л In 2)/2.
11.45. 4л. 11.46. 8/3. 11.47. 12л. 11.48.2. 11.49. 2 + у. 11.50. 1) л/4.
2) —. 11.51. л. 11.52. 16л2. 11.57. Сходится. 11.58. Сходится. 11.59. Схо-
л
дится. 11.60. Расходится. 11.61. Расходится. 11.62. Сходится. 11.63. Схо-
дится. 11.64. Сходится. 11.65. Расходится. 11.66. Расходится. 11.67. Схо-
дится. 11.68. Сходится. 11.69. Расходится. 11.70. Сходится. 11.71. Схо-
дится. 11.72. Сходится. 11.73. Сходится. 11.74. Расходится. 11.75. Схо-
дится. 11.76. Расходится. 11.77. Сходится. 11.78. а < 3. 11.79. а < 7.
11.80. а <1/2. 11.81. а=1/2. 11.82. а < 3. 11.83. а < 4. 11.84. а=1.
11.85. а=±УГ. 11.86. а >0. 11.87. а < 1. 11.88. а <—2. 11.89. а =/= 0.
11.90. а > — 2. 11.91. а <2. 11.92. а < 4. 11.93. а < — 2/3. 11.94. а <0,
0 < а < 2. 11.95. а < — 1, 0 < а < 1, а > 2. 11.96. а<0, а^1.
11.97. а > — 1, р > — 1. 11.98. а > — 1, Р > — 1. 11.99. а > — 1, р > — 1.
11.100. а > — 1, Р > — 2. 11.101. Р < 1, а — любое число; 0 = 1. а < — 1.
11.102. Р < 1, а > 0; Р > 1, 0 < а < 1. 11.103. Сходится условно.
11.104. Расходится. 11.105. Сходится условно. 11.106. Сходится условно.
11.107. Сходится абсолютно при а > — 1, условно при — 2<а<— 1.
11.108. Сходится абсолютно при а > — 1, условно при — 2<а< — 1.
11.109. Сходится абсолютно при а < 1, условно при 1 < а < 3/2. 11.110. Схо-
дится абсолютно при а > — 1, условно при — 3<а<—1. 11.111. Схо-
дится абсолютно при а > 1, условно при 0<а<1. 11.112. Сходится абсо-
лютно при а < 1, условно при 1 < а < 2. 11.113. Сходится абсолютно при
а > — 1, условно при —- 2 < а< — 1. 11.114. Сходится абсолютно при а < 1,
условно при 1<а<2. 11.115. Сходится абсолютно при а > 0, условно при
— 1<а<0. 11.116. Сходится абсолютно при а>— 2, условно при —3<а<—2.
11.117. Сходится абсолютно при а > 1, условно при а < — 1. 11.118. Схо-
дится абсолютно при а < 1, при а^1 расходится. 11.119. Сходится условно
при а > — 1, при а < — 1 расходится. 11.120. Сходится абсолютно при 0 < Ь
500
a < 1; условно при Р < 1, l^a<2. 11.125. In 2 11.126. 1/9. 11.127. Если
п == 1, то In ((b — с)/(с — а)); если п — 2k + 1, k е N, то -!— ((а — с){~п —
п — I
— {b — c)l-rt); если я==2&, k е N, то интеграл не существует. 11.128. In 2.
11.129. — л In 2. 11.130. — (1пЗ)/4. 11.131. 1 In
Vl - a2 a
11.132. a>— 1.
§ 12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
12.1. 1/2. 12.2. л/4. 12.3. Расходится. 12.4. 1/(Зе3). 12.5. Расходится.
12.6. Расходится. 12.7. Расходится. 12.8. 2л/д/зТ- 12.9. Расходится.
12.10. 1. 12.11. 1/1п2 2. 12.12. Расходится. 12.13. Расходится. 12.14. л.
12.15. л/2. 12.16. 1/120. 12.17. — л/6. 12.18. л/4. 12.19. 2(1 —In 2).
12.20. ------— arctg—12.21. л/(2 V2). 12.22. 1/9. 12.23. 6.
6 д/з k 2 Уз/
12.24. -Y еп/2. 12.25. arcsin (1/УЁГ). 12.26.2/3. 12.27. л Уз/9. 12.28. 13л/4.
12.29. b/(a2 + Ь2). 12.30. а/(а2 + Ь2).
12.31. 262/(а (я2 + 462)). 12.32. п! 12.33. 4л/(3 Уз).
12.34.------(2п — 3)Пяа--- 12.35. 3л/4. 12.36. 2л/(3 Уз). 12.37. л Уз/18.
(2п — 2)4 (ас — Ь2)п~^2
1238. 3 '2П2- — )_. 12.39.0. 12.40. 0. 12.41. 0. 12.42. л/4.
12.43. 1. 12.44. -^- + -у. 12.45. -у - 1. 12.46. 24. 12.47. 1) л/5. 2) л/(а + 2).
1 Л 1 -4— 1
12.48. — —. 12.49.—-----——. 12.50. л2/2. 12.51. 1) л3/(4 (1 + л2)).
2 8 2 еп — 1
2) ...-
5(е2я-1)2
12.52. л (УГ+In (l + У2)). 12.53. 4л. 12.64. Сходится. 12.65. Расхэ-
дится. 12.66. Сходится. 12.67. Сходится. 12.68. Расходится. 12.69. Сходится.
12.70. Сходится. 12.71. Сходится. 12.72. Сходится. 12.73. Сходится.
12.74. Расходится. 12.75. Расходится. 12.76. Расходится. 12.77. Сходится.
12.78. Сходится. 12.79. Сходится. 12.80. Расходится. 12.81. Расходится.
12.82. а > 0. 12.83. а > 1. 12.84. а > 1. 12.85. а > 1. 12.86. Расходится при
всех значениях а. 12.87. а < 0. 12.88. а > д/2 +1. 12.89. 1 < а < 2.
12.90. 50 < а < 102. 12.91. -9/2 < а < —3/4. 12.92. а < —2. 12.93. а > — 1.
12.94. а > 2/5. 12.95. 1/2 < а < I. 12.96. а > 2. 12.97. а>0. 12.98. 2 < а < 4.
12.99. 0 < а < 2. 12.100. а > 1/2. 12.101. а > 1/2. 12.102. р < —1/2, а — любое;
Р = —1/2, а < —1. 12.103. р < —1/3. а — любое; р == — -у, а<—1.
12.104. а > 1, Р < 1. 12.105. а > —1, Р — а > 1. 12.106. min (а, р) < 1,
max (а, Р) > 1. 12.107. а > -1, р > —1, а + Р < —1. 12.108. а < 0, р < 1/2.
12.109. р —а<1, р>0. 12.110. р — а > 1, р — 4а < 0.
12.111. а + Р < 1, а >»—4. 12.112. а>тах(1,р). 12.113. Сходится услов-
но. 12.114. Сходится условно. 12.115. Сходится условно. 12.116. Сходит-
ся условно. 12.117. Сходится условно. 12.118. Сходится условно. 12.119. Рас-
ходится. 12.120. Сходится условно 12.121. Сходится условно. 12.122. Сходится
условно. 12.123. Сходится условно. 12.124. Сходится услОвн’6. 12.125. Сходится
501
условно. 12.126. Сходится условно. 12.127. Сходится условно. 12.128. Расхо-
дится. 12.129. Сходится абсолютно при ос < 2, условно при 2^а< 3.
12.130. Сходится абсолютно при а < —1, условно при —1 а 0.
12.131. Сходится абсолютно при а >» 1, условно при ос 1. 12.132. Сходится
абсолютно при а < —1, условно при —1 а < 0. 12.133. Сходится абсо-
лютно при а < —1, условно при —1 а < 0. 12.134. Сходится абсолютно
при а <. —1, условно при —1 а < 0. 12.135. Сходится абсолютно при
а > 1, условно при 0 < 1. 12.136. Сходится абсолютно при а > 2, ус-
ловно при 0 < а 2. 12.137. Сходится абсолютно при а > 2, условно при
— 1 < а 2. 12.138. Сходится абсолютно при а 2> 1, условно при 1/2
а 1. 12.139. Сходится абсолютно при а Х> 3, условно при 0 < а 3.
12.140. Сходится абсолютно при а>1, условно при —1 < а 1. 12.141. Схо-
дится абсолютно при а >* 1, условно при 0 < а 1. 12.142. Сходится аб-
солютно при а 2> 1, условно при 0 < а 1. 12.143. Сходится абсолютно при
а < 0, условно при 0<а< 1. 12.144. Сходится абсолютно при —2 < ос <
< —1, условно при —1 ^а<0. 12.145. Сходится абсолютно при 0<а< 1,
условно при 1 ос < 2. 12.146. Сходится абсолютно при —1 <Z а <0, ус-
ловно при —2 < а —1. 12.147. Сходится условно при а = 2/л. 12.148. Схо-
дится условно при ос = 1/2. 12.149. Сходится абсолютно при ос >—2, а +
+ 1 <2 ₽, сходится условно при а > —2, ос < (3 ос + 1. 12.150. Сходится
абсолютно при —1 < (а+ 1)/0 < 0, сходится условно при 0^(ос+ 1)/р< 1.
12.158. 1п(Р/а). 12.159. In (а/f). 12.160. in (1 + In 2. 12.161. — ^.
12.163. 0. 12.164. 1п(р/а). 12.165. ар In (0/а). 12.166. In(V|a2 - рг|/р).
12.168. Не следует; например, f(x) = cosx2. 12.171. Не следует; в качестве
f(x) можно взять непрерывную функцию, _ равную нулю вне отрезков
\п — \/п2-, п + 1//г2], п = 2, 3, 4, ..., равную единице при х ~ 2, 3,4, ... и ли-
нейную на отрезках [п— 1/п2\ п\ и [и; п + 1/м2]. 12.172. В качестве f(x) мож-
но взять, например, сумму функции е~х и функции, построенной в ответе к за-
даче 12.171. 12.173. Например,/(х) =xcosx4. 12.174. В качестве /(х) можно
ж Г 1 . 1 1
взять непрерывную функцию, равную нулю вне отрезков |п------Л +
п — 2, 3, 4, ..., равную п при х = п и линейную на отрезках рг----п]
и 12.175. Не следует, например: f(x) = (sinx)/x, <р(х) =
— sign ((sin х)/х). 12.176. Сходится, но признак Дирихле неприменим.
т
12.179. а= —~ f (1) dt. 12.192. 0. 12.193. Не существует. 12.194. 0. 12.195. л.
о
12.196. 13л/V17. 12.197.0. 12.198.0. 12.199. — In 2.
Глава IV. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 13. Свойства сходящихся рядов
13.1. l)S,_±-4(±)", 3-1/2. 2)S,_A+±.J=gi,
S-3/4. 3) s’_ ' - ' , S = 3/4. 4>.S, ^-—L- +
Tt £1 * О *Z * О О .О
+ (~1)K , S = 51/8. 5) Sn = _L/l-Vk S = 5/36-
8-3n~ 36 \ 10 /
13.2. I) s_1/3; 21 S„-1(1 - 3jVr). s-1/з.
8's"’t(t-(F+i)(S+2))'
602
4) Sn— 4 ( 15 (2ra + 3) (2n + 5) )’ S—V60.
5) S„ == j-( a(a+ 1)(a + 2) (a + „) (a + n+ i)(a + n + 2) )’ S =
= l/3a(a+ l)(a + 2).
13.3. 1) S = l/4. 2)
S=l/15. 3) Sn = 4.(i—g_2_), S=l/6.4)S„ = 4-(4-_^-l—),
S== 1/28.
MI|s<_l-4(-L.+-L), s-3/4. 2> sn-±_
-iC^rrr+^Ts). iL_2.(_Lr + _J_y
s--i'l2-4>s"-4--ff(liJTT+<ST7-)' s~™
13Л. 1) S„ = -g2 — 4 + 1) (rt + +„ + 3) (n + 4» ' s = 1/32, 2| S" “
__5__________________Sn + 23_________________ S-Ч/1200
1200 10 (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4).(n + 5) ' -Vlzvu.
3) S„ — 1 — l/(n + I)2. S = 1; 4) S„ = 4- (‘ - 1/(2» + I)2), S = 1/8. 5) Sn =
О
= Vn/(« + 1). s = 1; 6) Sn = 1 - V2" + . 1 ____________, S= 1 - vr.
-V» + 1 + V» + 2
13.6. 1) S„ = ln((n+l)/2zz), S = — In 2. 2) S„ = in ((n + 2)/3/t),
S = -ln3. 3) Sn = ln(2(n2 + »+l)/3n(»+1)), S = In (2/3). 4) Sn =
= ln((2n+l)/(»+1)), S = ln2. 5) Sn = (sin 2 - sin (1/2"-1)), S=lsin2.
6) Srt = -4(c°s-4—cos a), S=sin2(a/2). 7) Sn = 1 — !/(» + 2)1, S=l.
8) Sn —arctg (»/(«+1)), S = rr/4.
13.8.1) 5/36, 2) —1/36. 3) 1/90. 4) 31/18. 13.9. 1) (—1 + Z)/4.
2) (1+20/5. 3) 1+-1-Z. 4) -1+1. 13.10. 1) - .
2) I--Л~-,-ТГ-- 13.19. 1) Расходится. 2) Может как сходиться, так
' 1 — 2а cos а + а2 '
и расходиться.
§14 . Ряды с неотрицательными членами
14 .2. 1) Сходится. 2) Сходится. 3) Сходится. 4) Расходится. 5) Схо-
дится. 6) Сходится. 7) Расходится. 8) Сходится. 14.3. 1) Расходится. 2) Схо-
дится. 3) Сходится. 4) Сходится. 5) Сходится. 6) Сходится. 7) Сходится.
8) Расходится. 14.4. 1) Расходится. 2) Сходится. 3) Сходится. 4) Расхо-
дится. 5) Расходится. 6) Сходится. 7) Сходится. 8) Сходится. 14.5. ^Сходит-
ся. 2) Расходится. 3) Сходится. 4) Сходится. 5) Расходится. 6) Сходится. 7) Схо-
дится. 8) Сходится. 14.6. 1) Сходится. 2) Расходится. 3) Расходится. 4) Схо-
дится. 5) Сходится. 6) Сходится. 7) Расходится. 8) Сходится. 14.7. 1) а> 1/2»
2) а > 1/3. 3) а > 1/2. 4) а > 1/2. 5) а > 1/2. 6) а > 1. 7) а > 1/2. 8) а > 1/2.
14.8. 1) а > 2/3. 2) а > 1/4. 3) а > 1/2. 4) а > 1/2. 5) а > 1/4. 6) а > 1/2.
7) а > 3. 8) а >4. 9) а > 1/4. 10) а < I. 11) а > —1/3. 12) а > 1/2.
503
14 .9. 1) а> 1/2. 2) а >1/2. 3) а >1/2. 4) «>1/4. 5) а >1/2. 6) а > 1
7) а >1/2. 8) а >1/3. 14.10. 1) а >3/2. 2) а > 5. 3) а>1. 4) а > 2/3.
5) а >1/2. 6)а>1. 7) а >1/6. 8) а >1/3. 14.11. 1)а>е. 2) а < —1.
3) а= —1. 4) а — —1. 5) а = 0. 6) а= 1. 7) а < 1. 8) а < 0. 14.12. 1) а >
> —1. 2) а= 1. 3) а > 1/2. 4) а < 1. 5) а > 1/2. 6) а < 1. 7) а > 1/4.
8) а < —1/2. 14.13. 1) а< 2. 2) а= 1/д/2 и а = — 1/V2. 3) а > 1/3. 4) а > 0.
5) а >1/2. 6) При всех а > 0. 7) При всех а > 0. 14.14. 1) Схо-
дится. 2) Сходится. 3) Расходится. 4) Сходится. 5) Расходится. 6) Сходится.
7) Расходится. 8). Расходится. 14.15. I) а > 1/2. 2) а > 0. 3) а < —1.
4) а > 1. 5) а > 1. 6) а < —2. 7) а < —1. 8) а > 1. 9) а > 1/2. 10) а <
<Z—1. 14.17. а2 = Ьс. 14.18. 1) Сходится. 2) Сходится. 3) Сходится.
4) Сходится при а < е, расходится при а > е. 5) Признак Даламбера не ре-
шает вопроса о сходимости данного ряда. 6) Сходится. 7) Сходится. 8) Рас-
ходится. 14.19. 1) Расходится. 2) Расходится. 3) Сходится. 4) Сходится.
5) Расходится. 6) Сходится. 7) Расходится. 8) Сходится. 14.20. 1) Сходится.
2) Сходится. 14.21. 1) Сходится. 2) Сходится. 3) Сходится, если 0 < а < 1,
и расходится, если а 1. 4) Сходится. 5) Сходится. 6) Расходится. 7) Схо-
дится. 8) Сходится. 14.22. 1) Сходится. 2) Сходится. 3) Сходится. 4) При-
знак Коши не решает вопроса о сходимости данного ряда. 5) Сходится при
любом сс. 6) Сходится. 14.23. 1) Расходится. 2) Сходится, если а/2 + Р > 1,
и расходится, если a/2 + Р 1- 3) Сходится, если а(Ь— а) > 1, и расхо-
дится, если сс(Ь — а) 1. 4) Сходится, если сх > 1, и расходится, если а
1. 5) Сходится. 6) Сходится, если а + р > 2, и расходится, если а + Р
гС 2. 7) Расходится. 8) Расходится. 14.24. 1) Сходится. 2) Расходится.
3) Сходится. 4) Сходится. 5) Расходится. 6) Расходится. 7) Расходится.
8) Сходится. 14.25. 1) Сходится. 2) Сходится. 3) Сходится. 4) Расходится.
5) Сходится. 6) Сходится при любом ос. 7) Сходится. 8) Расходится.
9) Сходится при а > 1 (Р — любое) и при а = 1, если р > 1. 14.26. 1) Схо-
дится. 2) Сходится. 3) Расходится. 4) Сходится. 5) Сходится. 6) Сходится.
7) Сходится, если pi>a+l, и расходится, если p^Ca+l. 8) Сходится,
если b > а 4- с, и расходится, если b а + с. 14.27. 1) Расходится.
2) Сходится. 3) Сходится. 4) Сходится. 5) Сходится. 6) Расходится. 7) Схо-
дится. 8) Расходится. 14.28. 1) Расходится. 2) Сходится при а > 2 и рас-
ходится при а 2. 3) Сходится при а > 2 и расходится при а 2.
4) Сходится при любом Р, если сс > 1, а также при р > 1, если а = 1; при
других значениях а и Р расходится. 14.30. Сходится. 14.33. 1) Сходится.
2) Сходится. 3) Расходится. 4) Сходится. 14.39. Нет. 14.44. а) Да. б) Нет.
§15 . Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды
15.3. 1) Сходится. 2) Сходится. 3) Сходится. 4) Сходится. 5) Сходится.
6) Сходится. 7) Расходится. 8) Сходится. 15.4. 1) Сходится. 2) Сходится.
3) Сходится. 4) Сходится. 5) Сходится. 6) Расходится. 7) Сходится. 8) Схо-
дится. 15.5. 1) Сходится условно. 2) Сходится абсолютно. 3) Сходится услов-
но. 4) Сходится условно. 5) Сходится условно. 6) Сходится условно.
15.6. 1) Сходится условно. 2) Сходится условно. 3) Расходится. 4) Схо-
дится условно. 5) Расходится. 6) Сходится условно. 15.7. 1) Сходится услов-
но. 2) Сходится условно. 3) Сходится условно. 4) Расходится. 5) Сходится
условно. 6) Сходится условно. 15.8. 1) Сходится. 2) Сходится. 3) Расхо-
дится. 4) Сходится. 5) Расходится. 6) Сходится. 15.9. 1) Сходится. 2) Схо-
дится. 3) Сходится. 4) Расходится. 5) Расходится. 6) Сходится. 15.10. Аб-
солютно сходится при р > m -j- 1, условно сходится при р = m-j-l. 15.11. Рас-
ходится. 15.12. 1) а) а > 1; б) 0<а<Д. 2) а) Нет; б) k е N.
3) а) а > 1; б) 0<а<1. 4) а) а > 1; б) 1/2<а<1. 5) а) а > 1;
б)0<а<1. 6) а) а >2; б) 1 <а<2. 15.13. 1) а) а > 1; б) 1/2 < а< 1.
2) а) а > 1; б) 0 < а< 1. 3) а) а > 1; б) 0 < а< 1. 4) а) а > 2; б) 0 < а<2.
5) а) а>0; б) —1 < а < 0. 6) а) а > 1; б) а — любое. 15.14. 1) а) а#= -у- +
504
4- пт, tn е Z; б) а == ——|- пт, т е Z. 2)
а) — + пт < а < — я + пт,
т е Z; б) а = пт + — ±у, tn es Z. 3) a) а > I: 6) a — 1. 4) a) « > I;
6)<x=l. 15.15. 1) a) р>а+ 1; 6) a<0<a+l. 2) a) a > 1, 0 > 1;
Q
6)0<a = Kl- 3) a) a > 1, p > 1; 6)0<a = p<l. 15.20. 1) In 2.
1 9 4- ( —
2) — In 2. 3) 0. 15.25. Нет. Пример: an =-----. 15.26. Нет. Пример:
(-If1 A (-If1 , 1
an — , bn — 4 .
V n yn n
§ 16. Разные задачи на сходимость рядов
16.1. 1) 5/4. 2) 3/4. 3) 1. 4) 3/2. 16.2. 1) 1. 2) 5/2.
/ bn - ап
। - , , р d, к az —I
h 2>'-Т+Т’"
v nor Ь = а.
4) c„ = 2n“'/(«-1)!. 5) cre= (—1)" 22rt-2/(2« — 1)!. 16.4. 1) Да. 2) Нет.
16.11. 1)по=1ООО. 2) «0 = 31. 3)«0=10. 4) «o = 6. 16.12. 1) « > 1C®.
2) «>6. 3) «>7. 4) «>5. 16.13. 1) rn ~ l/(2«2). 2) rn ~ l/(4n«).
3)rn^l/(a-l)«“-1. 16.14. an = --7-.:bi)1[n2(ra + 2) . 16.15. 1) Cxo-
дится. 2) Расходится. 3) Сходится. 16.17. 1) a > 2. 2) a > 2.
(1/ft2, если ny=m2, m e N,
16.20. Нет. Пример: = < „ 16.22. 1) Нет,
(l/n, если n — tn, m e N.
an==l/rt. 2) Да. 3) Нет; an = n.
lfi„ ._____!______L_ + _J_________!_______!______1 . 1
2-^2 2^2 + ^2 Зи^З 3-^3 3 f + -^3
— ...-----— ...---------+ • • •
n 'V« «-V« 'V n
16.48. 1) a2k_t = 1/2, a2fe = (^ + l)/(2fe + 1), 0= 1/2.
_ 1 /sin ((«+D6/2) у
2) n 2(«+l)\ sin (0/2) )’ °’
1.0 sin (n + 2) 0 — sin 0 1
3) orn — у etg у 4 (« + 1) sin2 (0/2) ’ a ~ ДГ ct8 <0/2)-
Глава V. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§17. Сходимость и равномерная сходимость
функциональных последовательностей
17.1. 1) f(x) = O. 2) /(х) = х4. 3) fU) = r/3. 4) f (х) = |х |.
f 0, если 0 < х < 1,
(х — 1), если х 1.
6) / (X) =
1, если
х, если
0<х< 1,
1 х 2.
505
17.2. l)f(x) = O. 2) f(x)=l/(2x). 3) f (x)-= In x, 4) fW=l/x2.
z 1, если 0 x < 1,
5) f (x) == (In x)/2. 6) f (x) s= < x, если 1 < x < 2,
v x2/2, если x^2.
17.5. 1) Сходится равномерно к f (x) = 0. 2) Сходится равномерно к
Дх) = 0. 3) Сходится равномерно к f(x) = 0. 4) Сходится равномерно к
Дх) = 0. 5) Сходится равномерно к Дх) = 0. 6) Сходится равномерно к
Дх) = 0. 17.6. 1) Сходится равномерно к f(x) = х. 2) Сходится равномерно
к Дх) = 0. 3) Сходится равномерно к Дх) = tgx. 4) Сходится равномерно
к f(x) = 0. 5) Сходится равномерно к Дх) = |х|. 6) Сходится равномерно
к f(x) = sin(x/2). 17.7. 1) Сходится неравномерно к f(x) =0. 2) Сходится
неравномерно к Дх) = 0. 3) Сходится неравномерно к Дх) =0. 4) Сходится
равномерно к f(x) = 1. 5) Сходится неравномерно к f (х) = 0. 6) Сходится
равномерно к Дх) = 1пх. 17.8. 1) Сходится равномерно на Е} и неравномерно
на Е2 к Дх) == 0. 2) Сходится равномерно на Ег и неравномерно на Е2 к
Дх) == х2/2. 3) Сходится неравномерно на Е{ и равномерно на Е2 к f (х) = 0.
4) Сходится равномерно на £i и неравномерно на Е2 к f (х) = л/2. 5) Схо-
дится равномерно на £j и неравномерно на Е2 к Дх) = 0. 6) Сходится равно-
мерно на £i и неравномерно на Е2 к Дх) = 1. 17.9. 1) Сходится равномерно
на Ei и неравномерно на Е2 к f(x) == 1. 2) Сходится неравномерно на £j и
равномерно на Е2 к f(x) == 0. 3) Сходится равномерно на £i и неравномерно
на Е2 к Дх) = 0. 4) Сходится равномерно на £j и неравномерно на £2 к
Дх) = О. 5) Сходится равномерно на £i и неравномерно на Е2 к f (х) = 0.
6) Сходится неравномерно на £i и равномерно на £2 к Дх) «= 1/х3.
17.10. 1) Сходится неравномерно на £j и равномерно на Е2 к Дх) == 1/х.
2) Сходится равномерно на £i и неравномерно на £2 к Дх) = —л/2.
3)Сходится неравномерно на £] и равномерно на £2 к f(x) = 1/х2. 4) Схо-
дится неравномерно на £i и равномерно на £2 к Дх) = 1. 5) Сходится не-
равномерно на £i и равномерно на £2 к Дх) = 0. 6) Сходится неравномер-
но на £] и равномерно на Е2 к Дх) = 0. 17.11. 1) Сходится неравномерно
на £i и равномерно на £2 к Дх) = 1/х. 2) Сходится неравномерно на £j
и равномерно на £2 к Дх) = 1. 3) Сходится равномерно на £i и неравно-
мерно на £2 к Дх) = х. 4) Сходится неравномерно на £i и равномерно на
£2 к Дх) = 1. 5) Сходится неравномерно на £\ и равномерно на £2 к
f (х) = 0. 6) Сходится неравномерно на £i и равномерно на £2 к Дх) = 0.
17.12. 1) Сходится неравномерно на £i и равномерно на £2 к Дх) = 0.
2) Сходится неравномерно на £i и равномерно на £2 к Дх) = 0. 3) Схо-
дится неравномерно на £] и равномерно на £2 к Дх) = 0. 4) Сходится не-
равномерно на £i и равномерно на £2 к Дх) = 1/х2. 5) Сходится неравно-
мерно на £i и равномерно на £2 к Дх) =2 In х. 6) Сходится равномерно на
£i и неравномерно на £2 к Дх) — 0. 17.13. 1) Сходится равномерно на £j
и неравномерно на £2 к Дх) = 0. 2) Сходится равномерно на £i и неравно-
мерно на £2 к Дх) = 1. 3) Сходится равномерно на £i и неравномерно на
£2 к Дх) = л/4. 4) Сходится равномерно на £i и неравномерно на £2 к
f(x) == х2. 5) Сходится равномерно на £i и неравномерно на £2 к Дх) = 1/х.
6) Сходится неравномерно на £] и равномерно на £2 к Дх) == 0. 17.14.
1) Сходится неравномерно на £j и равномерно hq Е2 к Дх) == х. 2) Схо-
дится неравномерно на £i и равномерно на £2 к Дх) «= 0. 3) Сходится не-
равномерно на £j и равномерно на £2 к Дх) = л/4. 4) Сходится равномерно
на Ei и неравномерно на £2 к Дх) =0. 5) Сходится неравномерно на £i и
равномерно на £2 к Дх) == 0. 6) Сходится неравномерно на £i и равномерно
на £2 к Дх) = 1/х. 17.15. 1) Сходится неравномерно на £j и равномерно на
Е2 к Дх) = 0. 2) Сходится равномерно на £i и неравномерно на Е2 к Дх) =
= 0. 3) Сходится неравномерно на £i и равномерно на £2 к Дх) = 0.
4) Сходится неравномерно на £j и равномерно на £2 к Дх) == 0. 5) Сходится
неравномерно на £i и равномерно на £2 к Дх) = 0. 6) Сходится равномерно
на £’i и неравномерно на £2 к Дх) = In 3. 17.16. 1) Сходится равномерно на
£i и неравномерно на £2 к Дх) = 0. 2) Сходится равномерно на £i и нерав-
номерно на Е2 к Дх) = х/2. 3) Сходится равномерно на £j и неравномерно
£06
на £*2 к f(x) = 0. 4) Сходится равномерно на Е[ и неравномерно на Е2 к
f(x)=e“x 5) Сходится равномерно на Е\ и неравномерно на Е2 к f(x)~
= (1пх)/2. 6) Сходится равномерно на Ej и неравномерно на Е2 к
( L если 0 х < 1,
/(*) = }
( х, если х 1.
17.17. Сходится на множестве (0; -|-оо) к
0,
1/2,
1,
если
если
если
f(x) =
0 <х < 1,
х =* 1,
X > 1.
На Е\ и Е4 — равномерно, на Е2, Е3, Е5 — неравномерно.
17.18. 1) Сходится при а > 0 к f(x) = 0, сходится равномерно при
а > 1. 2) Сходится при а^2 к
{0, если а < 2,
х, если а == 2,
сходится равномерно при а <. 1. 3) Сходится при 1 к
f 0, если а < 1,
f (*) = { .
( х, если а«1,
сходится равномерно при а < 1/2. 4) Сходится при любом ае R к /(х) = О.
сходится равномерно при а < 1/2. 5) Сходился при любом ае R к / (х) = 0,
сходится равномерно при а > —1 6) Сходится при а^О к
{0, если а < 0,
л
—, если а==0,
сходится равномерно при а < 0. 7) Сходится при а 1 к
„, ( 0, если а < 1,
( 1/х, если а = 1,
неравномерно. 8) Сходится при а > 0 неравномерно. 9) Сходится при
а С 1 к
{0, если а < 1,
1/(2VX)> если <x="l»
сходится равномерно при а < 1/2. 17.19. Сходится неравномерно.
§ 18. Сходимость и равномерная сходимость рядов
18.1. 1) Сходится абсолютно при |х| > 1. 2) Сходится абсолютно при
всех xsR. 3) Сходится абсолютно при х > 0. 4) Сходится абсолютно при
всех xeR. 5) Сходится абсолютно при х < —3 и х > —1, сходится условно
при х = —3. 6) Сходится_абсолютно при 1/е х е. 18.2. 1) Сходится аб-
солютно при 2 < | х | < д/б • 2) Сходится абсолютно при х> 1. 3) Сходится
абсолютно при | х| > л/е . 4) Сходится абсолютно при х 0. 5) Сходится
абсолютно при —2 < х < —2 + е~х и при х> е — 2. 6) Сходится абсолютно
на отрезках |х — £л|^л/4, k^Z 18.3. Сходится абсолютно при
| х | < — 2. 2) Сходится абсолютно при |х| > 1, условно при х = —1.
3) Сходится абсолютно при х > 0. 4) Сходится абсолютно при |х| #= 1, схо-
дится условно при х = —1. 5) Сходится абсолютно при —1/2 < х < 7/2.
6) Сходится абсолютно на отрезках |х — £л| л/6, k s Z. 18.4. 1) Схо-
дится условно при x^2kn(k&Z). 2) Сходится условно при всех xelR.
3) Сходится абсолютно при х 0 и при х == —nkt Ле N. 4) Сходится аб-
солютно на интервалах 2£л <С х <Z (2k + 1)л, k е Z, сходится условно в точ-
ках х = kn, k^Z. 5) Сходится абсолютно при |х| <3. 6) Сходится абсо-
лютно при |х| < 2.
507
18.5. 1) Сходится при х — k, k eZ . 2) Сходится абсолютно при х > 1.
3) Сходится абсолютно при |х| > 1. 4) Сходится абсолютно при |х| < 1.
5) Сходится абсолютно при х =£ 0. 6) Сходится абсолютно при |х| С 1.
58.6. 1) Сходится условно при всех xe=IR. 2) Сходится условно при х 0.
3) Сходится абсолютно при всех xgR. 4) Сходится абсолютно при х 0,
сходится условно при —1 < х < 0. 5) Сходится абсолютно при | х | > 1.
6) Сходится абсолютно при х =£—1. 18.13. 1) Сходится равномерно. 2) Схо-
дится равномерно. 3) Сходится равномерно. 4) Сходится равномерно. 5) Схо-
дится равномерно. 6) Сходится равномерно. 18.14. 1) Сходится равномерно.
2) Сходится равномерно. 3) Сходится равномерно. 4) Сходится равномерно.
5) Сходится равномерно. 6) Сходится равномерно.
18.15. 1) Сходится равномерно. 2) Сходится равномерно. 3) Сходится
равномерно. 4) Сходится равномерно. 5) Сходится равномерно. 6) Сходится
равномерно. 18.16. 1) Сходится равномерно. 2) Сходится равномерно. 3) Схо-
дится равномерно. 4) Сходится равномерно. 5) Сходится равномерно. 6) Схо-
дится равномерно. 18.17. 1) Сходится равномерно. 2) Сходится равномерно.
3) Сходится равномерно. 4) Сходится равномерно. 5) Сходится равномерно.
6) Сходится равномерно. 18.18. 1) Сходится неравномерно. 2) Сходится нерав-
номерно. 3) Сходится неравномерно. 4) Сходится неравномерно. 5) Сходится
неравномерно. 6) Сходится неравномерно. 18.19. 1) Сходится неравномерно.
2) Сходится неравномерно. 3) Сходится неравномерно. 4) Сходится неравно-
мерно. 5) Сходится неравномерно. 6) Сходится неравномерно.
18.20. 1) Сходится неравномерно. 2) Сходится неравномерно. 3) Сходится
неравномерно. 4) Сходится неравномерно. 5) Сходится неравномерно. 6) Схо-
дится неравномерно. 18.21. 1) Сходится равномерно. 2) Сходится равномерно.
3) Сходится равномерно. 4) Сходится равномерно. 5) Сходится равномерно.
6) Сходится равномерно. 18.22. 1) Сходится равномерно. 2) Сходится равно-
мерно. 3) Сходится равномерно. 4) Сходится равномерно. 5) Сходится нерав-
номерно. 6) Сходится неравномерно. 18.23. 1) Сходится равномерно. 2) Схо-
дится равномерно. 3) Сходится неравномерно. 4) Сходится равномерно.
5) Сходится равномерно. 6) Сходится равномерно. 18.28. 1) Сходится не-
равномерно. 2) Сходится равномерно. 3) Сходится равномерно. 4) Сходится
равномерно. 5) Сходится неравномерно. 6) Сходится равномерно. 18.29. 1) Схо-
дится равномерно на Ех и неравномерно на Е2. 2) Сходится равномерно на
Ei и неравномерно на Е2. 3) Сходится равномерно на Е} и неравномерно на
Е2. 4) Сходится равномерно на Ej и неравномерно на Е2. 5) Сходится не-
равномерно на Ei и равномерно на Е2. G) Сходится неравномерно на Ех и
равномерно на Е2.
18.30. 1) Сходится равномерно на Ех и неравномерно на Е2. 2) Сходится
неравномерно на Е} и равномерно на Е2. 3) Сходится неравномерно на Е« и
равномерно на Е2. 4) Сходится неравномерно на Е} и равномерно на Е2.
5) Сходится неравномерно на Ei и равномерно на Е2. 6) Сходится неравно-
мерно на Ei и равномерно на Е2. 18.31. 1) Сходится равномерно на Ei и не-
равномерно на Е2. 2) Сходится неравномерно па Ej и равномерно на Е2.
3) Сходится неравномерно на Ei и равномерно на Е2. 4) Сходится равномерно
на Ei и неравномерно на Е2. 5) Сходится неравномерно на Ei и равномерно
на Е2. 6) Сходится равномерно на Ej и Е2. 18.32. 1) Сходится равномерно на
Ei и неравномерно на Е2. 2) Сходится неравномерно на Et и равномерно на
Е2. 3) Сходится равномерно на Е{ и неравномерно на Е2. 4) Сходится равно-
мерно на Ei и неравномерно на Е2. 5) Сходится равномерно на Е{ и неравно-
мерно на Е2. 6) Сходится равномерно на Е{ и неравномерно на Е2.
18.33. 1) Сходится неравномерно на Ei и равномерно на Е2. 2) Сходится
равномерно на Е] и неравномерно на Е2. 3) Сходится равномерно па Е} и
неравномерно на Е2. 4) Сходится неравномерно на Ej и равномерно па Е2.
5) Сходится равномерно на Ej и неравномерно на Е2. 6) Сходится равно-
мерно на Е1 и неравномерно на Е2. 18.34. 1) Сходится неравномерно на Ei
и равномерно на Е2. 2) Сходится неравномерно па Ei и равномерно на Е2.
3) Сходится равномерно на Ej и неравномерно на Е2. 4) Сходится неравно-
мерно на Ei и равномерно на Е2. 5) Сходится равномерно на Е} и неравно-
мерно на Е2. 6) Сходится равномерно на Ei и неравномерно на Е2.
508
18.35. 1) Сходится равномерно на Е} и неравномерно на £2. 2) Сходится
неравномерно на и равномерно на Е2. 3) Сходится равномерно на Е} и
неравномерно на Е2. 4) Сходится равномерно на Е[ и неравномерно на Е2.
5) Сходится равномерно на £i и неравномерно на Е2. 6) Сходится равно-
мерно на £i и неравномерно на £2. 18.36. 1) Сходится равномерно на £] и не-
равномерно на Е2. 2) Сходится равномерно на £i и неравномерно на £2.
3) Сходится неравномерно на Е} и равномерно на £2. 4) Сходится неравно-
мерно на £i и равномерно на £2. 5) Сходится равномерно на Е^ и неравно-
мерно на , £2. 6) Сходится равномерно на £j и неравномерно на £2.
18.37. 1) Сходится равномерно на £j и неравномерно на £2. 2) Сходится
равномерно на £i и неравномерно на £2. 3) Сходится неравномерно на £i и
равномерно на £2. 4) Сходится неравномерно на £i и равномерно на £2~
5) Сходится равномерно на £i и неравномерно на £2. 6) Сходится равно-
мерно на £] и неравномерно на £2. 7) Сходится неравномерно па £i и равно-
мерно на £2. 8) Сходится равномерно на Е\ и неравномерно на £2. 18.38. а >>
Z> 2. 18.39. 1) Сходится неравномерно. 2) Сходится неравномерно. 18.44. Нет.
„ . . sinлпх
18.49. Нет. Пример: ип (х) ==-----.
§ 19. Свойства равномерно сходящихся функциональных
последовательностей и рядов
19.2. 3/4. 19.3. л/2. 19.4. л. 19.7. Да. 19.8. 1) £ = [е-1; е], f непрерывна
на £.2) £ = R, f непрерывна на £.3) £ = (—1; 1), f непрерывна на £.
4) £ = R, f непрерывна на £. 19.9. 1) £ = R, f дифференцируема на £.
2) £ = [0, +00), f дифференцируема на £. 3) £ — R, f дифференцируема
на £. 4) £ = R, f дифференцируема на £, за исключением х — 0. 19.24. Нет.
19.25. Да. 19.26. Да. 19.27. а <_ 2. 19.28. Может. Пример:
r z . 1 . . . . ( 0, если х иррационально,
MW = -g(4 где g(x) = 7
п ( 1, если х рационально.
19.29. Да. 19.40. 1) л2/6. 2)---------In 2. 3) —1. 4) 1.
§ 20. Степенные ряды
20.1.1)/? = !. 2) 7? = 1/3. 3)7? = 2. 4) R = 4. 5)/?=0. 6)/? = es.
4 о _
20.2. 1) /?=1. 2) 7? = оо. 3) R = e. 4) 7? = оо. 5) 7? = 1/д/2. 6) 7? = Уз .
20.3. 1) 7? = 4. 2) 7? = оо. 3)/? = оо. 4) R = k~k. 5)7?=1. 6) 7? = 1.
20.4. 1. R = e. 2) R = 1/2. 3) 7? = е. 4) R = е2. 5)/? = 1/е. 6) 7? = 9.
4 _ 3 __
20.5. 1)7?= 1/(4 д/2). 2) 7? = д/2. 3) 7? = 2 д/2/3. 4) R = 1. 20.6. 1) -2 < х < 0.
2) 1 < х < 5. 3) 1 — Уе/2 < х < 1 + У<?/2. 4) 0 < х < 6. 5) л/6 < х < л/2.
6) —1 < х < 1. 20.7. 1) £ = 1, 0 < х <2. При х = 0 и х = 2 абсолютно сходится.
2) £ =3/2, —7/2 < х < —1/2. При х = —7/2 и х = —1/2 расходится. 3) £ — 1,
— 1 < х < 1. При х — 1 сходится условно, при х= —1 расходится. 4) R — 1,
— 1 < х < 1. При х = — 1 и х= 1 сходится условно. 5) £ = 3, —2 < х < 4.
ПрИ х = —2 сходится условно, при х = 4 расходится. 6) £ == 1, —3 < х < — 1.
При х==—3 и х = —1 расходится. 20.8. 1) £=1/5, —1/5 < х < 1/5. При
х = —\/5 сходится условно, при х = 1/5 расходится. 2) £==1, — 2 < х < 0.
При х =—2 и х==0 сходится абсолютно. 3) £ = 1, —4<х<—2. При
х = —4 и х = —2 сходится абсолютно. 4) £ = 1, —1 < х < 1. При х = —1
сходится условно, при х— 1 расходится. 5) £ — 1 — 1/д/з < х < 1 +
H-1/V3- При х— 1 ± 1/д/3расходится.6) £==1/4, —5/4 < х < —3/4. При х=—5/4
и х = —3/4 расходится. 20.9. 1) £ = 1/2, —5/2 < х < —3/2. При х== —5/2 и
509
х = —3/2 расходится. 2) 7? = 1, —4 < х < —2. При х = —4 и х = —2 сходится
абсолютно. 3) 7? = е, —е < х < е. При х = ± е расходится. 4) R = 1, 0 < х < 2.
При х = 0 и х = 2 расходится. 5) 7? = 1/3, — 4/3 < х < —2/3. При х — —4/3
и х =—2/3 расходится. 6) 7? = 1/3, —1/3 < х < 1/3. При х = ± 1/3 расхо-
дится. 20.10. 1) 7? = 1, 0 < х < 2. При х==0 сходится абсолютно, если а > 1.
и условно, если 0<а<И. При х = 2 сходится абсолютно, если а > 1, и
расходится, если 1. 2) 7? = 1, —1 < х < 1. При х==—1 сходится абсо-
лютно, если а > 2, и условно, если 0 < а 2. При х = 1 сходится абсо-
лютно, если а > 2, и расходится, если а 2. 3) R =» min (1/а; l!b),—R < х < R.
При х = — R сходится абсолютно, если а < Ь, и условно, если а Ь. При
х = R сходится абсолютно, если а < 6, и расходится, если aZ^b. 4) R =»
~ max (a; b)t — R < х < R. При х == db R расходится. 5) 7? = 1, —1 < х < 1.
При х =—1 сходится абсолютно, если а^О, и расходится, если а < 0.
При х=1 сходится абсолютно, если а^О, и условно, если —1 < а < 0.
6) /? = 2а, — 2а + 1 < х < 2а + 1. При х = —2а + 1 сходится абсолютно,
если а > 2, и расходится, если а <^2. При х = 2а4- 1 сходится абсолютно,
если а > 2, и условно, если 0 < а<2. 20.11. 1) 7? = 1, 0 < х < 2. При х = 0
и х = 2 сходится абсолютно. 2) R = 1, — 1 < х < 1. При х = ±1 сходится
условно. 3) 7? = 0, х = 0. 4) 7?=1, 0 < х < 2. При х = 0 расходится, а при
х —2 сходится условно. 5) 7? ===== 1, 0 < х < 2. При х = 0 расходится, а при
х = 2 сходится условно. 20.12. 1) —1 < х < 1. 2) Если а> 1, то 0^х^2,
а если а 1, то 0 < х < 2. 3) — оо < х < + °о. 20.13. Интервал сходимости
— 1 < х < 1. При х = — 1 сходится абсолютно, если у — (а + р) > 0, и схо-
дится условно, если —1 <у— (а + Р)^0. При х=1 сходится абсолютно,
если у — (а + Р) > 0, и расходится, если у — (а -И Р) 0. 20.14. 1) е~3 <
< х е3. 2) х > 0. 3) | х — ,1 | > 1/2. 4) х > — 1. 5) л/3 4- nk < х < 2n/3-f-nfe,
k е Z. 6) |х —&л|<л/4, k е Z. 20.15. 1) Rk. 2) <y/R. 3) max (7?; 1).
20.16. 1) R>min(Ri; R2). 2) R^RtR2. 20.21. 1) R = | a |. 2) R=^/|a|.
3) R = 1/V3- 4) R = 1/V2. 20.22. 1) R = 1. 2) R = V2. 3) R = 2. 4) R = 7§.
5) R = 1. 6) R = V7. 20.25. Нет. 20.29. 1) A = 1/2. 2) A = I °’ еСЛИ 0¥=°’
I + 00. если 0 = 0.
( "4” ctg (0/2). если 0#=0,
3) Д = < 2
( 0, если 0 = 0.
§21. Ряд Тейлора
оо оо
21.4. 1) ~ ’ R;==°°- 2) X (“!)"(«+ 1)*"+2» R = 1.
п=0 п=0
оо 3) У (п+ l)x3n, R = l. п=Э оо
x2(2n+l) б) 32п+1(2«+ 1)! ’ п==0 оо «=»• R=0
•з
(2n- 1)П п+з 1 о.. *2 у-(2п-3)П п2
------х , R~- 8) 1-—-^ (2-)u Л-1.
п=2
7)
610
21.5. 1) + (-1)") x">
n=*0
jR= OO-
6)
x+yik^Lx^, Л=1
Zlu 4/z2 — 1
n=1
7)
x'ln+l
(4n+ 1)!
J? — oo.
л _ у (2n — l)lf x2n+I
2 X 2j (2«)!1 2n + 1 ’
n=l
/?=1.
°O
21.6. 1) —2 + У 7 (~2”..... xn, R — 2.
n—l
2) У-|-((-l)n+1 —3“(n+I))xn, ’ /?==!.
n=0
3) E ((-i/3)n+1 — 2n+')xn/7, 7? = 1/2. 4) У ((—1)пЗ~("+1> — 2~n) xn,
n=0 n=0
Л = 2. 5) У (2~(n+1' + 3~(n+I))xn, /? = 2.
n=0
oo oo
») E l"l)y-1)-^,^-V2.
n=0 n=0
oo
n=0
°° л
2n-2 J
21.7. 1) £ (—I)”-1 sh (n In 3) • -±T~, R = ~^-
H = 1
oo
2) У (—l)n-1 sh (n In 2)
n=»l
2x2n"i
3
/?=-^
-V2
3)
OO
S(1+
n-0
(-1)" xin
4ra+1 7 5’
/?=!.
4) £(2n+I+U£V, /?=!.
n=»04 * Z
511
П V5 - 1 V7 2xn . 2л (n + 1) D ,
R~ z • 6)L^Fsin-------------з----’
n=0
rt-0
z?=1.
2) У Г(-Оп/-^гз-—)-------ЧТгЬ". Я = 1.
Z-<\ \2П+3 3/ 3-2П+3 )
п=*0
°° < —1,
3) У[апхп, где an = s ( (—1)й
„_0 С+ 2ft+1 ’
4) £ х5п- f х5п+', /?=1.
п=0 п—0
если п = 2k,
R=l.
если n — 2k + 1;
—) '4+£((-<-(4
2_
3 ’
П\ vn
R = -
°о
2) ln12+ylTj.r.l.£”-.3-n Л ^ = 3.
п=»1
3)1„2+£<^&±^л
П = 1
°о
4) In 2 + У ((-1)п - 2~п)-^-, R = 1.
п=1
—г» если « = 2^—1,
Е„ 2^—1
апхп, где ап = < (_nft~'
n=i ---1----—, если п = 2й; R—1.
4 2k k2k
'»5i4+Gj+"4)-'°+
оо
+ У х2п (-у (4-п - 9-") + (41 -п - 91 -п)), /? =. 2.
п==2
оо
21.10.1) — 21п2+У ((—l)n+12" + 2t-n)-^— Я = 4-.
Z—/ п 2
п = 1
оо
ф 2) 1п2+У ((-2)- 'г-2)-^, /? = 4.
/2^1
Ы2
3) In -|-+ £(
п = 1
(—1)"-*
2‘
1
5П
хп
п
.2/1+1
1 п=0
32n+1 (2п + 1)
/ 1\П-1пП4-1 о-2п .
( I) 2 —О 2п п__ 1
-------------------- X 9 /\ = —7ZT
П V2
22n-i
21.11. »)1 + Х(-1)Я-(ЗДГ
П = 1
х2п
7? == оо.
2)
_. / 1\Пс)2п — 1
У — (1 _ 24”) х2п,
Li (2/г)! 7
П = 1
R = оо.
3)
V (-1*
Z-I 4 (2га)!
R = оо.
4)
5)
™ c2rt+l 1
У(-1)ге 2 (2га+1)< Х ’
/ -J Z {Zn. ~t“ 1 р
n=Q
У (-Dn+13 (з2га-1.)._х2п+1) д = оо.
Zu 4(2/г+1)!
R — оо.
П = 1
6)
3( 1)п2а|'' » + 32.-1^ап+11 д = м
п=0
(2га)!
21.12. 1) х2 + У
П=1
22n —1 х2гс+2
(2/г)!
R — оо.
JX 92п-1 г2п + 1
2> S-^Sr-
п=1
R = оо.
п=0
п=2
21.13. а.
з(1 + зг""> л
4 (2/г)!
l6U.+^)rfe2"^3i“t' + 2)?wl’ *-”
21.14. 1) х In V2 4--7=^
V2
(—1)"' (2/г —3)1!
’ (2га-2)!!
2 2
х2п /-
к_у2.
2)
х^
х In 3 Ч-----
3
(2/г — 1)!!
П=1
---------------------------
32,г+1 (2/г + 1) (2/г)!!
Х4/г + 3!
In 3 +
, У (->)” (2га-1)!! x6„+3(
3 (2ra)!!32n+1 (2га + 1)
/? = ^3.
4)
(ОО
Х3+ £(-1)"
Л=1
(2га- 1)!!
27” (2га + 1) га!
^_6л4-3
/? = 2.
513
©о
5) —2№ 4- 2х4 + У,
72 = 1
(2п — 1)!! 22n+1 / 4,,-М ..4П+2Ч „_______!_
(2га)!! (2п + 1) U Х }г К - V2
6)
СО
i х2 - 2х3 - 2 У
/2 = 1
(2га)! х2п+3
(га!)2 (2га 4-1) ’
о©
7) 1 + 2х + х2 4- У
/2 = 1
(-1)”(2п-1)!! Ап+2
(2/г)!! (2/г + 1)
/2 = 1
2Ч _1 + " _ 2l._ у - 1)" *2п+2
’ 2 2 Z- (2я + 2)1! (2n + 1)
Я = 1.
Я = 1.
3)
у <~1)” 1
Z-J п(2п— 1)
п=1
и2«.
/? = 1.
4)
2
2
X3
6
Е(2п - 3)1!
(2п+ 1)(2п)П
/1=2
x2n+1, /? = 1.
5)
/?= 1.
,4п+1
га=0
6) in л 4-у , Я =
24л (4п 4- 1)
21.16. 1) — 1 4-
оо
4+Z
п=1
„(2п-1)П х2п+2
(2п 4- 2)1! 2п 4- 1 ’
2)
V п22п+2
А (2/1 4- 1)1
х2/г+1, уэ _ оо
3)
4)
х2п
4 In 2 4-) -------------57-Г- Я = 2-
2-J п(2п — 1) 2“”“
/2 = 1
4 In 2 + 4х +
о
У (-1)п~1(2п-3)1! х2П+1
23п~2пЦ2п+ 1)
/? = 2.
5) 5 4-х 4- -у-4-
п—2
(2п — 3)!!
2" (2п 4- 1) nl
x2n+l,
Я = 1.
ОО
21.18. 1)^(1 —2-<п+1))(х— 1)”, Я=1.
2) У (—1)',2-<п+2)(п4-1)(х —1)2П. /? = л/2.
п=0
3) у (—1)” (П4-1) 9“''i+2) (X —3)2п, я = 3.
п—0
514
4) 1+(х-1) + £(-l)"(x-O2rt, ««I.
n^l
2,.I9. D + y <->•«;,-> R-2.
2 Zu n!23n+1
n=-i
oo
n=l
oo
3> Z+Z ‘-'PX'1" «-’
П=“1
.. J_ , V (—!>»
’ 2 L> iin^n\
rt="l
(x - 2)2n,
tf = 2.
»z+i <« - «-’<»•
X + Z'-'^yX-2 3^-^. « = 2V5.
n-l
21.20. 1) 1+ C0S2 (x + 1) + cos 2 • У (~?2n?'~ (* + l)2"+‘ +
Z *—7 \4fL)l
• О V (—l)n22re(x+I)2”-1-2
+ s,n2‘2u (2« 4-1)!
n=0
oo
2) - (1 — cos 1) (x + 4") 4- £
n-1
R = OO.
(I \
*+4*)
(2ft)!
R. == 00,
3)
У 3(=l)i__(14-3-)(x-^f+l +
“ 4 V2 (2n + 1)! v 4/
n—0
<—)(-
rt«“O
/? = 00.
')(-+<• «=»•
П33!
<x>
21.21. 1) —(*+ l)2n. Я = 1.
2) In 2 4-У (-I)”"1 (\2h)2n . R = ^-
n-1
00
3) in 2 - У J-+J._2_ (X _ 3)« r = 1.
««1
615
co
4) In 5 +
n = l
(x - 5)2rt
nbn
/?==!.
21.24. 1) ^ (—1)п2га(2и—1) x2n-2, /? = 1.
n = \
0. V (2«+ 1)!!(2«+ 1) 2„
2) L x ’ <
у (2« + 3)!!23n
n\ (2n + 1)
(n+ 1) x2n
R=l/4.
2L25. 1)т+1<-"“+,£+Г S-k
n=0
°°
v—n o 2/i 4* 1
2) А^-н, R-42.
n=0
3)
-агс!ет+Е
n = 0
(-1)" x2n+l
32«+i (2/г+ 1) ’
7? = 3.
E, t
<-'> -sr+T' *-'
n = 0
5T X
2,.2e. ,) ^-+£(-) (2)|+,)2W. «-<2.
516
1 V-I „ 92n+I 4П4-2 _
a ,Me_ +(2j+i)8i,<., . «-V3/2.
3) <-'СГ' «-W2.
n=0
.4n+2
4)
6)
arctg 2+ У (—1)‘ ---------., , , ,
Zu (2n+l)32n+l
n=0
n=0
-!)"+! 32rt+1 4n+4 Г
2«+l x ’ ^“75
6)
x3 arctg 2 + У
(_ 1)«+1 X6,I+6
2 (2л +1)4" ’
R = ^2.
21.27. 1) 4-
4
у (2л)! x2n+l
~ 2u (л!)2 (2/r + 1) ’
n=0
s-4-
2)
/2=1
(-If-1
2 (2л — 1)
,2n-l
/?= I.
,4n+)
.4n+3
3)
/2=0
4n + 3
1.
4)
xs
(2n—1)1! x2n+3
/2 = 1
(2л)!! 2n + 1 ’ R
21.28. 1)
n=0
(~1)re+1 x6"+3 7?=1
2л+1 ’ *
n yi (2л — 1)!! x2n+1
2 X 2u (2л+1)(2л)!! ’
n=l
3) R
J 2 Z-/ (2n + 1) n\
n=l
1
V2‘
я_____x____у» (2л — 1)11 x2n+1
2 2 Z 2n+1 Л1 (2л+1) ’
21.29. 1) У --—гГ *2n+1. R=l.
2n + 1
n«=0
Z°° /—Пп r2ri+1
/?==!.
n«0
617
4n+2
3)
1
2п 4- 1 '
n=»0
/?==2.
(— 1)" 4"+tx6"+4
z?= ^2-
у 2 (2n — 01! x2rt+l
+ Zj (2n)!t ’2«+l'
n«=l
T—4 o4n-l
21.30. 1) -Д-+У (-l)n+1-------
lo 2Lu
m=«0
r4«4-2
2n+l
R--ir-
2) я x I V <-1)n+1 *4П+3
’ 2 + Zj 4" (4n + 2)
rMI
/?= ^2.
3> f + f (-ол+1
n=»0
x4n+2
(2«+ l)24rt+2 ’
/? = 2.
OO
21.31. 1) У
(-1)”
n!(2n + 1)
x2ft+1,
/? — oo.
2)
у (~t)rex2n+l
Z-, (2n+l)(2n+1)! ’ я
Y x2n+4
2-! 2 (n + 2) (2n + 1)1 ’
n^Q
R == oo.
I у x2n
2 Li n (2n)l r
/^ = oo.
5)
n=0
x2n+l
(2« + I)2 ’
oo
21.32.
2)
(-!)»-> 4»
n2
У 2x2/t+1
2- (2n + I)2
xl
Я==1.
3)
x4n+l
4)
X2
T
*-r-
у (2»-l)!!
Lj (2n)!l(4«+1)
n=l
;—-1)” (2n— l)!l
/?=!.
X4"+2, /?=.!,
518
б) 4-4
о
V ,_, чп (2п - 1)11 х2,1+3
2_/ ' (2п)!!(2п + 3)
п=1
/?= 1.
10 In 2 — 5 In 3 — х In 3 — У*,
x2n+2
/? = 3.
21.33. 1)In2 + 2L + ^__g_+... 2) 1 + х2_4 + .р+...
у2 уЗ у4 у2
3)х + -4-4- + 4-+... 4)1+х + ——з-+...
у2 уЗ у2 уЗ
5) 1 + х + -4 + ^-+... 6) 1 + х + —+ -v+...
Yn х +
21.40. 1) У-^^Г^еХ' 2) * * J/=E(-1)"'2^+T==arCtgX
п«=о п-0
a 2n+1
3) «/ = £(-1)” (2П+1), * +1-sin*x-
П—0
х^ xQ
4) 1/ -= 1 — 2Т3- + 2.3.5.б ~ 2-3-5-6-8-9
4 (2«)! x2n+1 . V 22п(п!)2 2п
5)^=Xls^^r+T==arcs,njc- 6) y=L~(2n)r-x •
п=0 п=0
21.41. l/=l+4-x3 + -^-x4+-ix5+...
21.42. г/=1+4-(*-1)2+4’(х~1)3+4(*-1),+-**
21.43. у — 1 + х + х2 + xs + ~x4 + ...
2145. 1) £ х16л — £ x16n+1, /?=!.
п=хз() п=0
2) У хп sin па, R = 1. 3) У хп cos па, R == 1.
^1 п=\
4)_2^_££^_хп, /?=!.
П = 1
( 5П (2rt—1)!! x2n+1 А
5) 2signxi х+у (2п)ц 2и + 1 J’
n=l z
. V 22n+1 (nl)2
Zu (2rt + 2)!
x2n
Я=1.
n==0
co
21.46. У
««о
x2n+1
2n+ 1 ’
R ==« 1.
519
OO 00
21.54. 1) У W4) гп 2) V(_1)n
Z-/ п\ ’ L-t ’ (4п)!
п=0 n=.Q
оо оо
о. cos na zn л. v cos па п
3). 1^?ПГ-7Г- 4)Х~—г-
п=0 п=*0
21.55. 1) ±1п-1±-^-, | х | < 1. 2)-1п(1-х2), | х | < 1.
21.56. 1) (1 + х)/(1 — х)3, |х|<1. 2) (1+2х2) е<
21.57. 1) х, х > 0. 2) 1/Vx, х > 0. 3) In (1/(1 — х)), —1 х < 1.
4) х2/(1 -х)2, |х| < 1. 5) (1 +х)/(1 -х)2, |х| < 1. 6) arc*g* 1, |х|<1.
21.58. 1) х (3 — х)/(1 — х)3, | х | < 1. 2)2х/(1+х)3, | х 1 < 1.
3) (1 + Зх3) ек . 4) (1 5—^cos х 5- sin х.
6>«’"(4-+f+')' 4’+,+тк‘-4
1/9 / Х\“1/3
21.59. (1-х)“1/2. -1<х<1. —2<х<2-
3) 1 + Х In (1 — х), | х | < 1. 4) 2х arctg х — In (1 + х2), | х | 1.
1 1 п । 1 1 1 2х .1
5) - arctg 2х + т1пт-2Г) | х | <
х (1 + 4х + х2)
6)—(ПУ4—’ |X|<L
21.60. 1)
х (х + 1) (х2 + 10х + 1)
(1-х)5 !
|х| < 1.
*4
1
2х
(1-х)2
2х2
1п (1 — х),
3)
4)
5)
6)
I , 1 + х .1 , 2х — 1 л
— In — — + —7- arctg----р---1----—
3 д/х2 — х + 1 -\/3 V3 6 уз
4i"<i+«i+4r(4
cosV*> если х 0; ch V—х,
1 / х+ 1
4
—1 < х<1.
^-+1п(1+х)},
если х < 0.
если х 0:
— 1 < х<1.
sin V| х | — cos Vl x | если x < 0.
21.61. 2 (arcsin x)2, | x | 1. 2) ecos x sin (sin x).
21.62. (1— x—x2— x3)”1, | x| < 1. 21.63. 1) 2e. 2) 3e2. 3) y(cosl —sin I).
4) 3/2. 5) n/2. 6) 1/V2.
21.64. 1) -^4- - 3. 2) -51 — -Ц-. 3) 2 In 2 — 1. 4) In 2 — 2-. 5) 2(1 — In 2).
6) 41п2-Т5-- 21-65- *) 2ln2- 2) -ТГ-1П2- 3) 2-------2 in 2.
o JL О Z VO
520
4) Aln2 + -^-^.. 5) 3--^--------|-1пЗ. 6) 3-^^__21п2.
о 1о о z Ъ
21.66. «i/х. 21.67. х/(1 — х) при | х | < 1 и 1/(1 — х) при I х I > 1.
21.68. х2/(х—I)2 при | х | < 1 и х/(х—I)2 при | х | > 1. 21.69. 1/(х— 1),
х>1. 21.70.1)1. 2)2--^-. 3)1/24. 4) л2/12.
21.71. 1) 0,9998. 2) 0,9848, 3) 0,1736. 4 ) 0,0175. 5) 5,0658. 6) 0,1823.
21.72. 1) 0,158. 2) 7,937. 3) 0,304. 4) 4,082. 5) 1,609. 6) 0,340. 21.73.
1) 0,30903. 2) 2,71828. 21.74. 3,1416. 21.75. 3,141592654. 21.76. 1) 0,946.
2) 0,608. 3) 0,905. 4) 1,057. 5) 0,310. 6) 0,927. 21.77. 1) 3,057. 2) 2,835.
3) 0,488. 4) 0,337. 5) 0,384. 6) 0,507. 7) 0,119. 8) 0,783. 21.79. 1) Да. 2) Нет.
21.81. Нет.
§ 22. Тригонометрические ряды Фурье
11 3 1 3 1 1
22.1. 1) — — — cos 2х. 2) — cos х + — cos Зх. 3) —-— cos 2x4-— cos 4х.
2 2 4 4 о 2 о
22.2. Совпадает с Тп(х).
2лх
~~г
1 Злх , — 2 4- Зп .
9^ C0S —Г~ 4 18л2 Sln
Злх
~~Г
------— sin
4л
22.4.
Х-22и
П=1
n-Н sin пх
л;
0.
22.5. f(x)=|-f
п
оо
, 2 V' sin (2/г — 1) х _ . 1/о
+ ..2 га — 1---’ °<И<":
И = 1
оо
22.6. f(x) = У Sin ~ > 0 < I х I < л: 0.
л У Zitb ‘ | ‘ 1
п=0
оо
я, г z х 4g V sin (2/Н 1) Л , I Л
22.7. Нх) = —2,—2^П--------> 0<|х|<л;0.
ОО
22.8. / (х) = л 4“ 2 ( —l)n+1 > — л < х < л; л.
п=1
22.9.
л 4 5П cos (2/1 4~ 1) *
2~ 7 L (2/г 4-I)2
п==0
— л х л; л.
22.W. , W- £ ((. - (-1)"^)
П = 1
оо
„/2. 22,11. +
П=1
к /О 00,0 4 V Sin (2га— 1)х V' (—И" Л
- л < х < л; 5л/2. 22.12. s.gn х = - \ 2^+Т =Т’
п=“0
521
гг.13. у
оо
2Л V * 2« — 1
я 2-1 (2п — 1) S П I пх'
п=1
22 14 —-_______' cos л (2/? 1) х
2 л2 ZL (2п —- I)2
п=1
22Л5.- £((6 _ а} (1 _ (-1)")^ + (-!)"(« + 6)^)
п=1 7
оо
П = 1
а.„.1у .' + (->”+'<• +к) sln„.
л Z-i п
п=4
22.18. | л2 + 4 У (~l)"+1. cos пх.
3 Zu п2
п=*1
оо
22.19. £ (-1)"(-^
2
22.20. — sh ап
л
4r+S 4+^(acos—«sin^
22.21
2л
------5~т~«---- COS ПХ.
22.22.
oo
2 sin ла 5П
Л Z-
п+1 п sin пх
п2 — а2 ’
22.23.
2 sin na
л
„ a cos nx
1 “2-----Г
аг — n2
22.24.
22.25.
—1)"+1
! -n - COS nx.
nz — 1
16 (-l)n+1n . „
--- / TtV------sin 2rt*-
л Z-J (4n2 — I)2
, 1
1—TC0S
22.26. ± + 1 sin x__2. у 22.27. 2 + у
Л 2 Л 2Lu 4n2 — 1 1 zL
/i103! n=*l
2(—I)"-1 .
---------- sin nnx
nn
oo
1 4 V' (—l)n
22.28. J + /j n2 C0S пПХ'
n-l
1 . 2лп 2лпк
-jsinS-cos-^
sin 2nx
n
22.30.
8 cos (2n + 1) x
J It Zj (2n 4-1)2
rt~0
2) 2£
Л-1
622
22.31. 1)
n=l
пл
cos -Г
Ecos (2/г —1) x
(2/г — I)2 ’
n«=l
oo oo
4 V1 1 лп 4
22.32. — ) —sin -77-cos nx = — > cos (2k + 1) x.
Л Zu П 2 Л La 2k + 1 v ' '
n=l k*=0
4 V'' cos (2k + 1) x
" Zu (2/г 4-I)2 •
4 V (—
22-34-«E w+ i)2 sin (2/г+°x-
л=о
22.35. ’ -IV J™2-™*-..
2 л La n
tl — 1
oo
92 ЧЙ 1 _ 2 V C°S ~ 2)
6’ 4 л2 Zu (2/г - I)2
(—-I)”*1 cos 2nx
4n2 — 1
22.38.
oo
2_____4 cos 2nx
л л La 4n2 — 1
n=l
oo
2 4 V' ( l)n
22.39. —4-------> -j-------y~2 cos nx-
л л La 1 — 4n2
n—1
22.40. i— — У
2 л La
n=l
cos (2n — 1) X
(2n — I)2
99 Д1 AV 0 Sin (2”—1)*
• л Zu (2n-3)(2n + 1) '
n-1
22.42.
cos nx.
n==l
oo
22.43. | * + 4fe/L j sin 2kx’
k — l
99 44 _L _ 4 У C0S (2«+1)ЯХ
22Л4- 2 л2 Zu (2/г+1)2
n«=0
oo oo
2«. .>£+<£ 2> 4 £
n=l n=l
ox 4ni I . V ( cos nx n sin nx A e Л2 _ Л2 „ Л2
3) —+ 42A~^-------------------n---)’ Sl=~6-> S2 = l2: S3=-8--
n=l
oo
1 2 №л 1
22.46. 1) ------о- > —-к-cos Jinx.
7 3 n2 La n2
n=l
oo
1 У ffi I 4 A sin (2n — 1) ЛХ sin 2лпх \
X> л Zu Ik л2 (2/г- I)2 J 2n-l 2^ )'
n=l
oo
л . 16 Vя n
22.47. — sin x--------> -TT~2------TV2“ sin 2/гх.
2 л Z-u (4n2 — I)2
n=l
22.49.
1
In 2
2 cos nn — 1
In2 2 + я2Л2
ЛПХ
COS -——
In 2
523
oo
22.50. —V
Л Z—/
/г = 1
sin2
nn
“Г
sin nx.
22.5 1.
8 у ( —l)n . л (2/t + 1) x
n2 l_j (2n 4- I)2 Sin 2
rt=o
ean __ । од eaTl___1
22.52. 1)------------1------/ ------2~i—2------cos nx, О^х^л.
an n a2 + пг
n=l
oo
2) 7? (I - (— 1)" eaIt) 2 ” ~2 Sin nx, 0 < x < n.
л Z_/ a 4- n*
/2=1
22.53. Если a — нецелое, то
sin ax
n = i
(1 — (— l)n cos ла)
a2 — n2
cos nx\
если а целое и четное: a = 2m, то
sin 2m x
oo
_ 8m у cos (2n — 1) x
л 21/ (2m)2— (2n — I)2 *
n=i
а если a == 2ni — 1 — нечетное, то
sin (2m — 1) x = — (——!—- + 2 (2m — 1) V —--_
л I 2m — 1 Z-j (2m — I)2 — (2n\
\ /2 = 1
суммирование не распространяется на значение /г = 0).
оо
22.69. 1) 1 + 2 Л an cos пх, — л х л.
/2 = 0
ОО
2) У ап cos пх, — л х л.
п=0
оо
22 .61. 1) — In 2 — t х 2/гл, k е Z.
п«1
524
2) In | tg (x/2) | = - 2 У —S I2”J'/' -- x^nn, nsZ.
n=0
22.66. f (— x) = f (x); f (л — x) = — f (x).
22.67. f (— x) = — f (x); f (л — x) = f (x).
oo
22.68. 1) - 2 £ (2Д1Гг- (1 + ) C0S (2rt - 1} X-
n = l
oo
n = l
22.72. 1) an = 0, b^^O. 2) an = 0, ^ = 0.
22.73. an = an, &n = — bn- 22.74. an = — an, = bn.
22.84. (exех+л)/2 при x ее (—л; 0), 1 — (ел + е“л)/2 при х = 0 и
(ех — ех-л)/2 при х е (0; л).
22.111. 1) Да. 2) Да. 3) Да. 4) Нет.
оо
22.112. У 22.115. Да.
Ди (2/г — 1)~
П=1
оо оо
ч Л2 . . V* / IX» cos ПХ Л V* / 6 — ТС2П2 .
22.116. 1) -х-4-4 ) (—1)"—-j—• 2) 2 У (—1)"------------------—3----sin пх.
п=1 гс=1
оо
з>
П = 1
оо
22.123. ап = с/п2 + о (1/п2). 22.133. У Sl”
tv in tV
п=2
22.136. До = ао» Лп = а2п + Вп = 0, п ее N.
. л sin nh п . sin nh ..
22.137. Aq — dot — Пп —, Bn — bn , n ее IM.
22.138. a (л; — a)/2; (л2 — Зла + За2)/6.
22.146. ecos x cos (sin x). 22.147. ecos x sin (sin x).
22.148. sin (cos x) ch (sin x). 22.149. cos (cos x) sh (sin x).
22.150. cos (cos x) ch (sin x). 22.151.sin (cos x) sh (sin x).
22.152. (1 + cos x) in (2 cos (x/2)) +-|- x sin x.
22.153. x (1 + cos x) — sin xIn (2cos(x/2)).
22.154. -i-f 1 — x sin x----у cos xY 22.155. sin x In (2 cos (x/2))----sin x.
22.156. cos x In (2cos (x/2)) — -Y + cos x. 22.157. ~ ^x cos x + -Y sin x^.
22.158. (cosx+cos2x) In (2cos (x/2)) + (sin x + sin 2x) — cos x.
525
22.159. (sin x + sin 2x) In (2cos (x/2))-~ (cos x + cos 2x) — sin x.
22.160. (л — x — л ch ax + л cth an sh ax).
22.161. x \ 22.162. cos x Jn (2 cos x) + x sin x, если
I sh ал /
0 < x < л/2, и cos x In (2 | cos x |) + (x — л) sin x, если л/2 < x < л.
22.163. (1 — cosx) In (2 sin (x/2))---- X sin x + cos x.
3 1
22.164. (1 — cos x) In (2 sin (x/2)) + — cos x--
22.165. — -y- sin x. 22.166. (л — x).
л 1
22.167. -g- cos2 x — у cos x. 22.168. л/4, если 0 < x < л/2, и — л/4, если
л/2 < х < л. 22.169. In tg2 .
22.170. ~------ (cos х In (2 cos х) + х sin х), если 0 х < л/2, и------- —
— (cos х 1° (2 [ cos х |) + (X — л) sin х), если л/2 < х л.
22.171. arcsin —= arccos Vsin х, 0 x л.
Vl + sin x
22.172. In (Vl + sin x + Vsin x ) == arsh Vsin x , 0 x л.
22.173. arcsin —=- + V^ sin x cos (— + — — cos x.
V1 + sin x \ 2 4 /
22.174. In (V1 + sin x + Vsin x ) — V2 sin x sin (-r+-7-) + sfa*-
22.175. — 4- In (1 — 2a cos x + a2). 22.176. 4 In I I.
2 2 I sin ((x — a)/2) |
22.177. л/4, если 0 < x < 2a; 0, если 2a < x < 2л — 2a; — л/4, если
2л — 2a < x < 2л. 22.178. arctg sln a—.
1 + r cos a
§ 23. Асимптотические представления функций
23.7. -g-lnx. 23.14. Все члены асимптотического ряда равны нулю.
23.25. Все члены асимптотического ряда функции f равны нулю.
оо
23.26. art==(-l)n-1 £ kn~'ck.
23.30.
23.81
ietx уч a (a + 1) ... (а Ч- n — 1)
x“
co
.-Xvs V (S — 1) (s — 2)... (s — n + 1)
e x L 5я
n«“0
626
§ 24. Бесконечные произведения
24.1. 1) Расходится к нулю. 2) Расходится к пулю. 3) Сходится.
24.17. 1) Нет. 2i Да. 3) Да. 4) Да. 24.31. 0. 24.32. Расходится к нулю.
24.33. 1/4. 24.34. 2. 24.35. 3/7. 24.36. о~1п2. 24.38. Расходится к нулю. 24.39. Схо-
дится. 24.40. Расходится к нулю. 24.41. Сходится при любых р. 24.42. Рас-
ходится к нулю. 24.43. Сходится. 24.44. Сходится. 24.45. Сходится. 24.46. Схо-
дится при х > 1, расходится при х 1. 24.47. Сходится при х > 1, расхо-
дится при х ==С 1. 24.48. Сходится при любых х =/=—k, k^N. 24.49. Сходится
при любых хф ?+k, fceN. 24.50. Сходится при |х| < 1. 24.51. Сходится
при |х] < 2. 24.52. Сходится при |х|> е. 24.53. Сходится при любых x#=V&>
k е N. 24.54. Сходится при любых р и любых х =/= лД k^Z. 24.55. Расхо-
дится. 24.57. Сходится, но не абсолютно. 24.58. Расходится. 24.59. Расходится.
24.60. Расходится. 24.61. Расходится. 24.62. Сходится, но не абсолютно.
24.63. Сходится, но не абсолютно. 24.64. Абсолютно сходится при х > 1; схо-
дится, но не абсолютно при 1/2 <х^ 1; расходится к нулю при 0<х^1/2;
расходится при х 0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Ш а б у и и н М. И.
Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Диф-
фсренцируемость/Под ред. Л. Д. Кудрявцева. — М.: Наука, 1984.
2. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. 1, 2. — 3-е изд.,
перераб. и доп. — М.: Наука, 1983.
3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1, 2.--М.: Выс-
шая школа, 1981.
4. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. — 9-е изд. — М.: Наука, 1977.
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчис-
ления. Т. 2, 3. — 5-е изд.— ЛА.: Наука, 1969.
6 Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1.—
4-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1982; ч. 2. — 2-е изд. — М.: Наука,
1980.
7. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический
анализ. — М.: Наука, 1979.
8 3 о р и ч В. А. Математический анализ. Т. 1. — М.: Наука, 1981; т. 2. — М.:
Наука, 1984.
9. Рудин У. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1966.
10. Полна Г., Сеге Г. — Задачи и теоремы анализа. Ч. 1, 2. — М.: Наука,
1978.
11. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И., Интегралы
и ряды. — М.: Наука, 1981.
12. Сборник задач по математике для втузов/Под ред. А. В. Ефимова и
Б. П. Демидовича. — Т. 1. — М.: Наука, 1981; т. 2 — М.: Наука, 1981;
т. 3. — М.: Наука, 1984.
13. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Задачник.—
М.: Наука, 1982.
14. Сидоров IO. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по тео-
рии функций комплексного переменного. — 2-е изд., перераб. и доп. —
М.: Наука, 1982.
15. Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. — Сборник задач по высшей матема-
тике. Т. 1. — М.: Физматгиз, 1958; т. 2 — М.: Физматгиз, 1959.
16. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Наука, 1980.
Ip. 40 к.