V Ч.



э. в. ш польским
•1	.	‘	' ’•'л-
АТ О М И А Я
ФИЗИКА
л

AW
PI
э. в. пшольскии
АТОМНАЯ ФИЗИКА
ТОМ ВТОРОЙ
ЭЛЕКТРОННАЯ ОБОЛОЧКА АТОМА
И АТОМНОЕ ЯДРО
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством высшего
образования СССР в качестве учебного
пособия для высших учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 5 1 ЛЕНИНГРАД
13-5-2
Гсхн. редактор Н. Я. Мурашова.
Корректоры О. А. Сигал
Подписано к печати 23/XI 1951 г. Бумага 60x92!/i6. 24,375 бум. л. 48
52,62 уч.-изд. л. 43 168 тип. зн. в печ. листе. Т-07 288. Тираж
Цена книги 18 р. 40 к. Переплёт 2 р. Заказ № 1323.
16-я тип. Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию.................................. 7
Глава XII. Основы квантовой механики............................ 9
§ 153. Введение (9). § 154. Линейные операторы (10). § 155. Соб-
ственные значения и собственные функции линейных опера-
торов (14). § 156. Самосопряжённые операторы (17). § 157. Орто-
гональность собственных функций самосопряжённых операторов
(20)	§ 158. Разложение но ортогональным функциям (21).
§ 159. Волновая функция (25). § 160. Принцип суперпозиции (27).
§ 161. Основные операторы квантовой механики (28). § 162. Кван-
тование (32). § 163. Свободная частица (34). § 164. Вероятности
определённых значений механических величин (37). § 165. Сред-
ние значения (39). § 166. Примеры вычисления средних зна-
чений (43). § 167. Общие собственные функции (45). § 168. Нера-
венства Гейзенберга (48). § 169. Общее уравнение Шредингера (50).
§ 170. Плотность и ток вероятности (54). § 171. «Чистые состоя-
ния» и смеси (57). § 172. Стационарные состояния (60).
§ 173. Теорема Эренфеста (63). § 174. Уравнения движения (68).
§ 175. Законы сохранения (73).
Глава XIII. Движение в центральном поле........................ 77
§ 176.	Момент количества движения (77). § 177. Свойства
момента количества движения (80). § 178. Собственные функции
и собственные значения квадрата момента количества движения
(83) § 179. Собственные функции и собственные значения опе-
ратора проекции момента количества движения (86). § 180. Опи-
сание различных состояний в центральном поле (87). § 181. Про-
странственное квантование (90). § 182. Графические изображе-
ния (93). § 183. Нормальное состояние водородоподобного атома
(97). § 84. Кеплерова задача. Общий случай (104). § 185. Модель
валентного электрона (114). § 186. Спектральные серпи щелочных
металлов (119). § 187. Два электрона в центральном поле (126).
§ 188. Теория возмущений для простых (невырожденных) собствен-
ных значений (129). § 189. Нормальное состояние атома гелия (133).
Глава XIV. Излучение.......................................... 137
§ 190.	Метод вариации постоянных (137). § 191. Поглощение
и испускание света (139). § 192. Вычисление коэффициентов
Эйнштейна (146). § 193. Правила отбора (149). § 194. Магнетон
Бора (159). § 195. Электрон в магнитном поле (162). § 196. Теория
простого эффекта Зеемана (165).
Глава XV. Спин электрона...................................... 168
§ 197.	Гипотеза вращающегося электрона (168). § 198. Опыт
Штерна и Герлаха (171). § 199. Магнито-механические эффекты
(174). § 200. Спин и поляризация (175). § 201. Релятивистское
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
волновое уравнение второго порядка (179). § 202. Уравнение
Дирака (182). § 203. Существование собственного магнитного
момента и спина электрона (186). § 204. Формула тонкой струк-
туры (194). § 205. Сдвиг уровней энергии атомного водорода (203).
§ 206. Дублеты щелочных металлов (206). § 207. Квантовое число
полного момента импульса (207). § 208. Аномальный эффект
Зеемана (210). § 209. Теория аномального эффекта Зеемана. Сла-
бое поле (212). § 210. Теория аномального эффекта Зеемана. Силь-
ное поле (217).
Глава XVI. Атомы со многими электронами...................
§ 211.	Спектр гелия. Паргелий и ортогелий (220). § 212. Об-
менное вырождение (223). § 213. Проблема гелия (228). § 214 Энер-
гия в первом приближении (233). § 215. Принцип Паули (236).
§ 216. Сингулетные и триплетные состояния гелия (240).
§ 217. Спектры атомов второй группы периодической систе-
мы (245). § 218. Некоторые закономерности в сложных спек-
трах (252). § 219. Магнитные свойства атомов (255). § 220. Спектры
пзоэлектронных ионов (257). § 221. Теория периодической системы
Д. И. Менделеева (260). § 222. Строение отдельных периодов
системы элементов Д. И. Менделеева (263). § 223. Рентгеновские
спектры (269). § 224. Схема уровней энергии для рентгеновских
спектров (271). § 225. Непосредственное определение рентгенов-
ских уровней энергии (276).
Глава XVII. Возбуждённые атомы............................
§ 226.	Оптическое возбуждение и резонансная флуоресцен-
ция (280). § 227. Ступенчатое возбуждение (283). § 228. Термическое
возбуждение (285). § 229. Удары второго рода (287). § 230. Сен-
сибилизированная флуоресценция (288). § 231. Резонанс при пе-
редаче энергии ударами второго рода (290). § 232. Время жизни
возбуждённых состояний (295). § 233. Ширина уровней. Автоио-
низация (297). § 234. Интенсивность спектральных линий (302).
§ 235. Метастабильные состояния (305). § 236. Запрещённые
переходы (309).
Глава XVIII. Общая характеристика атомного ядра...........
§ 237.	Некоторые предварительные сведения (314). § 238. Спин
ядра (320). § 239. Спин и статистика ядер (323). § 240. Магнит-
ный дипольный момент ядра (328). § 241. Электрический квадру-
польныи момент ядра (337). § 242. Поле и радиус ядра (338).
§ 243. Протонно-нейтронное строение ядра (341). § 244. Энергия
связи (345). § 245. Полуэмпирпческая формула для энергии свя-
зи (353). § 246. Элементарные частицы (359). § 247. Дейтерон (362).
§ 248. Теория дейтерона (366). § 249. Зависимость ядерных сил
от спина (372). § 250. Природа ядерных сил (373).
Глава XIX. Экспериментальные методы ядерной физики . . . .
А.	Методы счёта и наблюдения быстрых частиц. .
§ 251.	Методы счёта частиц (380). § 252. Фотографирование
путей быстрых частиц. Детектирование нейтронов (388).
В.	Уткорители заряженных частиц...........................
§ 253, Электростатический генератор (394). § 254. Циклотрон (396).
§ 255. Ускорение электронов. Бетатрон (402). § 256. Синхротрон
и фазотрон (412). § 257. Линейные ускорители (416).
314
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава XX. Ядерные реакции....................................   421
§ 258.	Общая характеристика ядерных реакций (421).
§ 259.	Определение энергии реакции (424). § 260. Одновременное при-
менение законов сохранения энергии и количества движения (427).
§ 261.	Эффективное сечение (432). § 262. Составное ядро (434).
§ 263.	Ядро как квантовомеханическая система (438). 8 264. Захват
частицы ядром (442). § 265. Ширина уровней и резонанс (444).
§ 266.	Ядерные реакции нейтронов (451). § 267. Реакции протонов
и дейтеронов (453). § 268. Реакции альфа-частиц (460). § 269. Ядер-
ные реакции при сверхвысоких энергиях (462). § 270. Фоторасщеп-
ление ядер (467).
Глава XXI. Радиоактивность............................. 470
А. Законы радиоактивных превращений.................... 470
§ 271. Общая характеристика радиоактивных процессов (470).
§272. Элементарный закон радиоактивного распада (472). § 273. Ста-
тистический характер закона радиоактивного распада (475).
§ 274. Теория последовательных превращений (479). § 275. Еди-
ница радиоактивности (484). § 276. Тепловой эффект (486). § 277. Ра-
диоактивные семейства (488).
В. Взаимодействие радиоактивных излучений
с веществом.............................................. 492
§ 278. Пробег альфа-частиц (492). § 279. Пробег и энергия
бета-частиц (499). § 280. Поглощение и рассеяние гамма-лучей (502).
§ 281.	Возникновение позитронов при поглощении гамма-лу-
чей (506). § 282. Свойства позитронов и теория Дирака (509).
§ 283.	Образование пар (511).
С. Типы радиоактивных превращений......................... 516
§ 284.	Альфа-распад (516). § 285. Гамма-лучи, сопровождающие
альфа распад, и уровни энергии ядра (520). § 286. Бета-распад (523).
§ 287. Бета-спектры (524). § 288. Нейтрино (527). § 289. Разрешён-
ные и запрещённые бета-процессы (534). § 290. Позитронная радио-
активность и Х-захват (536). § 291. Простые и сложные бета-
спектры (541). § 292. Стабильность изобаров (542). § 293. Гамма-
излучение (543). § 294. Внутренняя конверсия гамма-лучей (548).
§ 295. Изомерные переходы (555).
Глава XXII. Нейтроны...................................... 561
§ 296.	Открытие нейтронов (561). § 297. Масса, спин и магнит-
ный момент нейтрона (563). § 298. Источники нейтронов (567).
§ 299. Диффракционное рассеяние быстрых нейтронов (570)
§ 300. Поглощение и рассеяние медленных нейтронов (575).
§ 301. Диффракция нейтронов (584). § 302. Некоторые оптические
свойства нейтронов (592).
Глава XXIII. Деление ядер и использование атомной энергии. 595
§ 303.	Открытие деления тяжёлых ядер (595). § 304. Теория
деления атомных ядер (601). § 305. Энергия активации при де-
лении (605). § 306. Спонтанное деление (609). § 307. Различные
способы осуществления деления (610). § 308. Продукты деления
ядер (612). § 309. Нейтроны, освобождаемые при делении (614).
§ 310.Трансурановые элементы (617). § 311. Ядерная цепная реак-
ция (622). § 312. Применение замедлителя. Ядерные реакторы (кот-
лы) (626). § 313. Получение плутония. Применения ядерной энер-
гии (632). § 314. Роль ядерной энергии в природе (636).
6
ОГЛАВЛЕНИИ
Г лава XXIV. Космические лучи................................. 644
§ 315.	Введение (644). § 316. Основные экспериментальные дан-
ные (645). § 317. Действие магнитного поля Земли на первичные
космические лучи (геомагнитные эффекты) (653). § 318. Ионизацион-
ные потери энергии (662). § 319. Наблюдение быстрых заряжен-
ных частиц с помошыо камеры Вильсона и фотопластинок (665).
§ 320. Открытие позитрона (672). § 321. Ливни (674). § 322. Взаимо-
действие быстрых частиц с веществом (678). § 323. Образование ка-
скадных ливней (680). §324. Мягкая и жёсткая компоненты (684).
§ 325. Мезоны (686). § 326. Свойства [л-мезонов (689). § 327. Измерение
времени жизни «.-мезонов (694). § 328. Взаимодействие мезонов
с ядрами (700). § 329. Открытие тс-мезопов (703). § 330. Искус-
ственное получение т:-мезонов в лабораторных условиях (707).
§ 331. Масса и время жизни заряженных тз-мезонов (709).
§ 332. Нейтральные мезоны (711). § 333. Мезоны других тппов (713).
§ 334. Явления, возникающие при взаимодействии первичных
космических лучей с ядрами атомов (714). § 335. Происхождение
космического излучения (718).
Приложения	...	........... 721
VII.	Вычисление некоторых интегралов........................ 721
VIII.	Электростатическая энергия взаимодействия двух зарядов .	722
IX.	Квазистацпонарные состояния и виртуальные уровни
энергии ................................................. 726
X.	Сохранение импульса для релятивистского	электрона	.	.	.	732
XI.	Дипольное и квадруполыюе излучение.................. 734
XII.	Чётность состояния.................................. 738
XIII.	Таблица масс лёгких ядер........................... 742
XIV.	Таблица изотопов.................................... 745
XV.	Важнейшие атомные константы......................... 766
XVI.	Периодическая система элементов Д. И.	Менделеева	....	770
Предметный указатель.......................................     771
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Для настоящего, третьего, издания второй том «Атомной физики»
вновь подвергся существенной переработке. При этом, однако,
изменения, сделанные в различных частях книги, имеют неоди-
наковый характер. Многочисленные изменения, внесённые в пер-
вую половину книги, улучшают и уточняют изложение, по не
меняют ни плана, ни характера книги. В этой части добавлен
только один параграф, где коротко рассмотрен интересный и прин-
ципиально важный вопрос о сдвпге уровней атомного водорода.
Вторая половина книги, посвящённая атомному ядру, под-
верглась гораздо более глубокой переработке. Здесь изменены
и порядок глав, и распределение материала по главам, и самое
изложение. При этом я вовсе не стремился к тому, чтобы ввести
в книгу максимальное количество новейших фактов: эта область
физики развивается столь быстро, что подобная задача была бы не-
осуществима. Цель переработки состояла главным образом в логи-
чески более стройной систематизации материала и в углублении
изложения, насколько такое углубление допускается элементарным
характером этой части книги. Что касается включения новых дан-
ных, то самые важные новые факты (ядерные реакции сверхбыстрых
частиц, новые виды мезонов и их взаимные превращения и т. п.),
конечно, включены в книгу. Как и в предыдущем издании,
гл. XXIV «Космические лучи» обработана А. О. Вайсенбергом.
Большую помощь оказал мне также редактор издательства
В. А. Лешковцев, которому я приношу искреннюю благодар-
ность.
Автор надеется, что в этом новом виде второй том «Атомной
физики» в большей степени удовлетворит запросам многочислен-
ных советских читателей, приступающих к изучению этой важ-
нейшей области современной физики.
<9. Шпольский
Москва, август 1951 г.

ГЛАВА XII
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 153. Введение
В первой части этой книги мы рассмотрели эксперименталь-
ные основы квантовой теории и установили уравнение Шредин-
гера, которое мы применили к решению простейших задач.
Содержание первой части составляет, таким образом, первый
круг сведений из атомной физики и квантовой механики. Теперь
мы перейдём к более подробному ознакомлению с квантовой
механикой в систематическом порядке.
Усвоение системы квантовой механики несколько затруд-
няется необычностью её математического аппарата и свое-
образием связанного с ней круга понятий. Тот запас сведений,
который приобрёл читатель при изучении предыдущей главы,
поможет ему в усвоении этой системы. При этом на определён-
ном этапе мы, конечно, снова придём к уравнению Шредингера,
но оно предстанет уже в ином аспекте. Этот новый аспект
существен не только с точки зрения логической стройности,
но и потому, что он откроет новые возможности обобщения
и расширения круга применений квантовой механики.
При установлении уравнения Шредингера в предыдущей
главе мы руководствовались волновыми свойствами микроскопи-
ческих частиц. К построению системы квантовой механики мы
подойдём с иной стороны.
Руководящая точка зрения будет заключаться в том, чтобы
логическая схема квантовой механики была возможно ближе
к схеме механики классической. Причина этого стремления
понятна хотя бы уже потому, что так называемая «классическая
механика» оправдала себя в применении к огромному кругу
явлений; на основании принципа соответствия следует ожидать,
кроме того, что механика макроскопических систем должна
быть предельным случаем механики квантовой, микроскопиче-
ской: законы и результаты последней должны автоматически
переходить в законы классической механики в тех случаях,
когда можно положить постоянную Планка равной нулю.
10
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. XII
Естественно поэтому ожидать, что основным понятиям и урав-
нениям классической механики соответствуют в квантовой ме-
ханике какие-то свои важные понятия и уравнения. Само собой
разумеется, что это будут новые понятия, более общие, нежели
понятия классической механики, так как последняя неприменима
к движению очень малых частиц.
§ 154. Линейные операторы
Для развития системы квантовой механики оказалось необ-
ходимым математическое понятие линейного оператора. Если
из функции и{хг, х%, ••) получается другая функция у тех же
независимых переменных*) при посредстве какого-нибудь прави-
ла, то это может быть символически представлено в виде
произведения и на соответствующий оператор. Например, если
функция у (ж) получается из и (х) путём дифференцирования,
то это можно записать так:
есть в этом случае оператор, применяемый к функции и.
Второй пример: если функция у получается из и путём умно-
жения на независимую переменную х (где через х обозначается
любая из независимых переменных), то можно написать
у = хи = XU.
(154,2)
х есть оператор умножения на независимую переменную. Обо-
значая оператор через F, мы будем писать
Fu = у.
(154,3)
Если какие-либо два оператора F и G применяются к функции и
и результаты затем складываются, то это можно записать в виде
Fu + Gu — (F+ G) и.
Написав это равенство справа налево,
(F 4- G) и — Fu + Gu,
(154,4)
*) Для квантовой механики представляют интерес также и операторы,
которые переводят функцию одних переменных (например, декартовых
координат) в функцию других переменных (например, составляющих коли-
чества движения). Однако в этой книге мы с такими операторами встре-
чаться не будем.
§ 154]
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
И
его можно рассматривать как определение суммы операторов.
Например, если F—x и G = то
Произведением операторов называется такой оператор, кото-
рый, действуя на функцию и, переводит её в функцию у,
которая получается также путём последовательного применения
операторов-сомножителей: если оператор К есть произведение
операторов F и G, то это означает
Ku-F(Gu).	(154,5)
Например, из рассмотренных операторов х и ~ можно соста-
вить оператор-произведопие
К = х ,
(ГХ
имеющий следующий смысл:
Последовательное повторение п раз одного и того же оператора
записывается в виде степени оператора
F*u = F(Fu), F3u = F[F(Fu)],
б d \2 ______ (I /du\ __<12и
\dx) U dx \dx) — dx1
Особенность произведения операторов заключается в том,
что оно, вообще говоря, не удовлетворяет правилу перемести-
тельности (коммутативности), так что
FG Ф GF.
Операторы х и могут служить как раз примером некомму-
тирующих операторов. Действительно,
х^-и = хи',	(154,6)
ТхЖи = ^хи^и + хи'’	(154,7)
так что
f d	d\	, f.
x — x-r- )и = и =& 0.
\dx	dxj
12
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. XII
Напротив, операторы осу и ас2 или операторы и явля-
ются операторами коммутирующими, так как
д	д	,	.	д2и
дхх Эа?2 '	' дхг дх2 ’
д	д	,	.	д2и	д2и
да?2 оа?! 41 дх2 дхг дхг дх2
В тех случаях, когда в результате применения оператора FG
получается та же функпия, что и в результате применения
оператора GF, но с обратным знаком, так что
FG = — GF,
операторы называются антикоммутирующими.
Произведение оператора на постоянное число с, т. е. опе-
ратор cF, есть оператор, который умножает на с результат
действия F на и,
(cF) u = cFu.
Для лучшего усвоения изложенного рекомендуем читателю
проделать следующие упражнения:
д
Упражнения: 1. Доказать, что операторы аз и^,
и и вообще операторы «независимая переменная» и «дифференцирование
по другой независимой переменной» коммутируют.
2.	Доказать, что результат применения оператора (	1 аз к функ-
L у J
ции gin х есть sin ж + Зя cos я — я2 sin я, а результат применения оператора
Г / d \ -]2	„	,	, .
аз (	} к той же функции есть я cos я — я2 sin я.
3.	Доказать, что
так что
' д д V ,	. д2и п д2и д2и
дхг + дх2) U “ дх2 + 2 дхх дх2 + дя2 ’
гак что
дхг dx2J	дхх 0а?2 Oxj'
4.	Доказать, что
fd	\2	d2u	du
(75—И	) и = у-? + 2я -т- 4- я2и 4- и
\dx	J	dx2	dx
§ 154]
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
13
Обратить внимание на то. что
а	у , а2	_ а
а? ) =£ , • „ -( 2 -у- a? -J- ес2,
dec	J dec2 dec
вычислив для этого результат применения к функции и оператора, стоя-
щего в правой части предыдущего неравенства.
5.	Доказать, что
(F+G) (F— G) = F2 — G2 — (FG — GF),
(F—G) (F+G) = F2 — G2+(FG — GE),
так что разложение на множители
F2 — G2=(F+G) (F—G)'
имеет место только для коммутирующих операторов.
Существуют операторы, которые, будучи применены к любой
функции, оставляют эту функцию без изменения. Например,
из (154,6) и (154,7) мы получаем
/ d	d\
( -у-йс —ас-у- и — и.
\dec	dec J
Такие операторы называются единичными или «операторами-
единица»:
Из сказанного следует, что с операторами можно поступать,
как с алгебраическими величинами, помня, однако, что произ-
ведение их, вообще говоря, не коммутативно, ввиду чего необ-
ходимо строго различать умножение на оператор слева [см. (154,6)]
от умножения справа [см. (154,7)].
Пример. Пользуясь алгеброй операторов, доказать, что если
FG-GF=i,	(154,9)
то
FG2 — G2F=2G.
Для доказательства умножаем (154,9) на G слева
GFG-G2F^G;	(154,10)
умножаем справа
FG2-GFG=G.	(154,11)
Складывая (154,10) и (154,11), получаем
FG2 - G2F— 2G.
Пусть F = ^- , G = oc. На основании (154,8)
СЬОН
14
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл, К11
Поэтому можем написать сразу
(ос2 — се2	(х?и) — ос2^~ 2хи.
\dx	dxj dxv ’ dx
Упражнение. Доказать, что
FGS — GSF~3G2
и вообще
FGn — GnF=nGn~1.
Линейными мы называем операторы, удовлетворяющие требо-
ваниям
F («! + и2) = Fur + Fu2,
F(cu) ~ cFu,
d д д
где с — постоянная. Очевидно, что операторы — , х— , —, ..., ос-
шЮ VtZ/i 0*^2
линейные.
Все операторы квантовой механики являются линейными.,
поэтому, говоря в дальнейшем об операторах, мы будем иметь
в виду только линейные операторы.
Упражнение. Доказать, что если операторы F и G—линейные,
то операторы
CjJF + c2G
и
c3FG
— также линейные.
§ 155. Собственные значения и собственные функции
линейных операторов
В результате применения оператора F к функции и иногда
получается вновь та же самая функция, умноженная на некоторое
число к:
Fu = ku.	(155.1)
Пример.
d2
F = —	, и = cos 4ад
ах2
d2
Fa cos 4z = 16 cos 4z.
dx2
Если соотношение (155,1) имеет место и если и есть функция,
непрерывная, конечная и однозначная при любых значениях х, то
и называется собственной функцией оператора F, а к — собствен-
ным значением оператора, соответствующим собственной функции и.
В нашем примере cos4# есть собственная функция оператора
d2
— dx2' а ^ — соответствующее соз4ж собственное значение того
И 155] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ	15
же оператора. Заметим, однако, что по определению собственных,
функций гиперболический косинус ch 4ж не есть собственная фуик-
<z2
ция оператора —несмотря на то, что
— ch 4ж — — 16 ch 4х;
dx2
в самом деле,
ch 4ж = у (е4* + е~4Х),
откуда видно, что ch4z стремится к бесконечности при х—> ± со,
т. е. не удовлетворяет требованию ограниченности.
1 2
~ЪХ
Упражнение. Доказать, что е * есть собственная функция опе-
ратора
принадлежащая собственному значению 1, а хе есть собственная функ-
ция того же оператора, принадлежащая собственному значению 3.
Заметим, что в квантовой механике важнейшую роль играет
некоторая функция координат Ф, которая определяется во всей
области изменения независимых переменных. Если таковыми
являются декартовы координаты, то Ф должна быть определена
в пределах от — со до со по каждой из координат х, у, z;
если же независимыми переменными являются сферические поляр-
ные координаты г, О, ср, то функция Ф определяется в области
изменения г от 0 до со, €— от 0 до тс и ср — от 0 до 2тс. Сово-
купность требований конечности, непрерывности и однозначности
во всей области изменения независимых переменных мы далее
будем называть стандартными условиями. Условие однозначности
играет особенно важную роль, когда независимыми переменными
являются углы и ср.
Совокупность собственных значений оператора называется его
спектром. Задача о нахождении спектра собственных значений
сводится к отысканию функции и, удовлетворяющей уравнению
(155,1) и стандартным условиям. Если, как это бывает в боль-
шинстве интересующих пас случаев, F есть оператор дифферен-
„ / d д2	\
циалъныи (	ит. п. то задача сводится к интегрирова-
нию дифференциального уравнения и отысканию среди его реше-
ний таких, которые удовлетворяют стандартным условиям. Заме-
чательно, что вследствие свойств линейных дифференциальных
уравнений очень часто оказывается, что подобного рода допусти-
мые решения (т. е. удовлетворяющие стандартным условиям) полу-
чаются лишь при избранных значениях параметра к, образующих
16	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. XII
дискретную совокупность чисел, например (см. ниже пример 3),
состоящую из нечётных целых чисел 1, 3, 5, ... В этом случае
спектр называется дискретным. Наряду с этим бывают случаи,
когда решения обладают требуемыми свойствами при непрерывно
изменяющихся значениях X. В этих случаях спектр называется
сплошным. Для пояснения рассмотрим три примера: найдём спектр
собственных значений некоторых операторов.
1. Оператор
(155,2)
Особенность этого оператора состоит в том, что в него входит
мнимая единица i = ]/ — 1 . С такими операторами нам придётся
иметь дело часто. Условие (155,1) в этом случае ведёт к урав-
нению
или
Решение этого уравнения
и — е*Лх — cos аж -р i sin аж,
очевидно, удовлетворяет стандартным условиям при любых дей-
ствительных а. Если же л — чисто мнимое (или комплексное)
число, то условие ограниченности не удовлетворяется. В самом
деле, пусть Х = й, где а — действительное; тогда
И = еглх = е-ах #
Эта функция стремится к бесконечности при ж—»—со. Итак,
оператор (155,2) имеет сплошной спектр собственных значений,
состоящий из любых положительных или отрицательных действи-
тельных чисел а (включая нуль).
2. Оператор
-h 	<155’3>
Условие (155,1) даёт
Частными решениями этого уравнения будут
и = e±V~~лх :
И 15В]
САМОСОПРЯЖЁННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
17
u) X > 0, ]/" — X = i | = ia, где a = ]/ | X |,
и. — e±icLX — cos ax 4- i sin ax
— решение удовлетворяет стандартным условиям.
b) X < О, jZ —лесть число действительное. Пусть Х = р,
тогда
и ~ е±$х.
Это решение не удовлетворяет требованию ограниченности (реше-
ние с плюсом возрастает до бесконечности при х~^со, решение
с минусом неограниченно возрастает при х—>—оо). Итак, опе-
ратор (155,3) имеет сплошной спектр, состоящий из всех действи-
тельных положительных чисел X.
3. Оператор
/-’=-^ + х=.	(155,4)
Условие (155,1) даёт
( ~~ т~2 + х2'')11 — ки',
\ dxz J
выполняя указанные операции, получаем
g + (k-^)B = O.	(155,5)
Сравнивая это уравнение с уже встречавшимся нам в первом томе
уравнением
у~2 + (X “а2а;2) Ф =	(149,4)
мы видим, что последнее совпадает с (155,5) при а=1. Но урав-
нение (149,4) имеет решения, удовлетворяющие стандартному усло-
вию ограниченности лишь при избранных значениях параметра X:
Х = 2/г+1, n = 0, 1, 2, ...
Итак, оператор (155,4) имеет дискретный спектр собственных
значений, состоящий из нечётных положительных чисел 1,3,5, ...
§ 156.	Самосопряжённые операторы
Среди линейных операторов нас будут интересовать операторы,
принадлежащие к классу самосопряженных или эрмитовых опе-
раторов. Эти операторы удовлетворяют следующему критерию.
Пусть и(хг, хг, . . •) и о (жг, х2, ...) —две функции; оператор F
называется самосопряжённым, если
u*Fv dX — (Fu)* v dX,	(156,1)
18
основы квантовой механики
[гл. XII
где dX = dx-i dx2 dx3 ... и интегрирование распространяется на всю
область изменения независимых переменных. Если, в частности,
эти независимые переменные суть декартовы координаты х, у, z,
то интегрирование распространяется от — со до 4- оо и от функ-
ций и и у требуется, чтобы они были квадратично-иптегрирусмыми,
т. е. чтобы они достаточно быстро убывали при приближении
к пределам интегрирования.
Наш интерес к самосопряжённым операторам обусловлен тем,
что такие операторы обладают действительными собственными
значениями. Для доказательства выберем в качестве о какую-
либо из числа собственных функций оператора F. 13 таком случае
по определению собственных функций
Fo = ко,
где к — собственное значение F, соответствующее о. Положим,
далее, что и —о. Мы имеем
u*Fv dX = v*Fo dX— к \о*о dX,
(Fu)* v dX =	(Fo)* о dX - k* o*o dX.
Левые части этих равенств по определению самосопряжённости
(156,1) равны, а значит,
Х = Х*.
Но это может быть только в том случае, когда А— число действи-
тельное .
Рассмотрим несколько примеров.
1.	Оператор умножения на независимую переменную F=oc.
Поскольку х есть величина действительная, то
а значит,
4-оо	+оэ	4 оо
и*мо (IX — хи*о dX ~	(х//.)* о dX.
—оо	—оо	—оо
Мы видим, что критерий (156,1) выполняется: оператор «незави-
симая переменная» есть оператор самосопряжённый.
2.	F=X-^-\ в этом случае F* ~• Напишем левую
г dx	J	i dx	J
часть условия (156,1) п выполним далее интегрирование по частям
4-со	4-оо	4-со
С	\ С (hl	1	| + °° -I (' Дп*
\uvFvdx~— \ и*-j-dx = —и*о\ —- \-~j-odx. (156,2)
J	i j dx ъ 1-^ I J dx	'	’ '
— ОО
— оо
— оо
S 1561
С АМОС О ПРЯЖЕ Н Н ЫЕ ОПЕРATO Р Ы
19
Так как обе функции и п о по условию — квадратично-интегри-
руемые, то они обращаются в нуль для бесконечных значений х.
Поэтому двойная подстановка в (156,2) даёт нуль, и мы по-
лучаем
Ч-оо	4 со	-ф со
Г	С	1 chi *	С
\ uTFv dx — \-------- -J-; vdx= \ (Fu)* о dx.
“ОЭ	—co	—co
Итак, оператор ~	— самосопряжённый.
Заметим, однако, что оператор F — -^ не является самосопря-
жённым. В самом дело, поскольку мнимая единица в операторе
отсутствует, F—F*, п мы получаем
4-со	Н-оо	+оо	+со
С •	Г . dv	I то	С du*	С
\ u*Fo dx— \ и* dx= u*v — \ — v dx — — \ (Fu)* о dx\
J	J	l_co	» ”'X	J
— co	—co	—co	—co
a
критерии самосопряженности для оператора — не выполняется.
(Z2	d2
3.	Оператор F= здесь также F* = F = —- у-у . Выпол-
няя дважды интегрирование по частям и принимая во внимание,
что функции и и v непрерывные и обращаются в нуль на грани-
цах, получаем
4-со	-I со	4-со
С а 7	С * d2v 7	*	+ “ . С du* dv j
\ и • Fv dx--= — \ и* — dx — —и* у- + \ -у- у- dx =
J	3 dx2	“Leo J dx dx
— CQ	—co	—CO
4-00
(Fu)* v dx;.
— co
оператор — -y-^ — самосопряжённый.
d2
Обратим внимание на то, что оператор — есть произведе-
ние двух самосопряжённых п притом коммутирующих операто-
ров -ppjpp.- Покажем вообще, что если F и G — два самосопряжён-
ных коммутирующих оператора, то FG есть также оператор само-
сопряжённый. В самом доле,
u*FGv dX = u*F(Gv) dX.
Поскольку F и G — операторы самосопряжённые, имеем последо-
вательно
u*F(Gv) dX^\ (Fu)* Go dX = (GFu)* v dX.
20	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. XII
Но так как операторы F и G коммутируют, т. е. FG = GF, то
u*FGv dX = (FGii)* v dX,
что и требовалось доказать.
Упражнения. Для упражнения предлагаем доказать следующие
полезные теоремы:
1. Если операторы F и G— самосопряжёшше, то операторы F + G
и FG + GF—также самосопряжённые.
2. Если операторы F и G — самоеопряжённые, но не коммутирующие,
то оператор FG— GF не обладает свойством самосопряжённости, но опе-
ратор i (FG— GF) — самосопряжённый.
§ 157. Ортогональность собственных функций
самосопряжённых операторов
Собственные функции линейного самосопряжённого оператора
обладают важным свойством: они друг к другу ортогональны.
С функциями, обладающими свойством ортогональности, нам уже
приходилось иметь дело: таковы тригонометрические функции
sin пер и cos лгер (см. т. I, § 46), ортогональные в интервале —л,
+ гс. Любые две функции ит и ип, принадлежащие к системе
гл,, и2, . .., ип, ..., называются ортогональными, если
^umiindX = 0 при тфп,	(157,1)
причём интегрирование распространяется на всю область изме-
нения независимых переменных. Приведённые выше функции
sin пер и cos пер обладают свойством ортогональности, так как,
например,
+те	'j
sin Пер sin пгер б/ер = 0, |
при т п.
COS пер COS пгер б/ер = 0. I
“ 7U	'
В квантовой механике приходится иметь дело с комплексными
функциями, и определение ортогональности несколько видоизме-
няется. Именно, комплексные функции пт и ип называются
ортогональными, если
ifmtindX^Q,	(157,2)
причём интегрирование распространяется попрежнему на всю
область изменения независимых переменных.
Наше утверждение состоит в том, что если
^2, »з, • • •,
§ 158]
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ
21
ость система собственных функций линейного самосопряжённого
оператора, обладающего дискретным (точечным) спектром собствен-
ных значений, и если этим функциям соответствуют неравные соб-
ственные значения, то любые две функции этой системы обладают
свойством (157,2).
Для доказательства примем во внимание, что по определению
собственных функций
Fum —	dbun~'knUn,	(157,3)
где кт и Хп — собственные значения, причём мы предполагаем,
что Хт ф кп. Так как F— оператор самосопряжённый, то его соб-
ственные значения действительны, т. е. = и ХП = Х*. Далее,
ввиду самосопряжённости оператора F должно быть удовлетворено
условие
UmFun dX — (Fum)* ип dX;
на основании (157,3) это даёт
)чц M'mUn dX = ^птРп. dX,
откуда
(Хп-М u*wundX = Q,	(157,4)
и так как по условию \т #= Хп, то
UmUn dX == 0,	(157,5)
что и требовалось доказать.
§ 158. Разложение по ортогональным функциям
Функции, принадлежащие к ортогональным системам, обычно
нормируют, т. е. приводят к такому виду, чтобы интеграл от
квадрата модуля каждой из них равнялся 1:
\>UnUndx = i.	(158,1)
Это достигается путём умножения функций на соответственно
подобранные постоянные множители. Например, в случае sin пер
и cos пер, замечая, что
sin2 пер dy — COS2 пер <7 ер =. тс,
— 7Ъ	— К
22
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. XII
умножают все функции па , и тогда система
11	1	1	Г>
—cos ф, --^cos2<₽,	sin ф, —sin 2<р, ...
/тт. Т	Т	Т У 7L
будет ортогональной и нормированной (иногда говорят коротко —
ортонормированной); в самом деле,
4-т^	4-тс
1 С	1 с
— \ sin2 иф d'j> = -- \ cos2 n'jjidq= 1.
— %	—7t
.. ••	1
Если присоединить к системе еще один член 	- , то система
у 2-ге
будет, кроме того, полной, т. е. нельзя будет найти ещё функ-
ции, которая была бы ортогональна ко всем функциям системы.
В случае других ортогональных систем нормирование выпол-
няется аналогичным образом: поскольку функции ип (х) квад-
ратично-интегрирусмы, интеграл j j2 dx равен конечному
числу; поэтому всегда можно подобрать такие множители, во-
обще говоря, комплексные, ап = | ап | чтобы функции были
нормированы. При этом «фазовая» постоянная 8П остаётся исопре-
д елённой, так как
О'пР'п = |	[2 •
С подобной неопределённостью фазового множителя, как мы
увидим дальше, в квантовой механике приходится встречаться
постоянно. Однако она не имеет существенного значения, так
как физический смысл имеют квадраты модулей соответствую-
щих чисел.
Пусть наги дана полная система ортогональных нормированных
функций
U-L (#), и2(х), . . ., и^х), . . .
В математических руководствах доказывается*), что любая
функция и(х), квадратпчно-пнтегрпруемая во всей области из-
менения независимой переменной (в частности, от —оо до + со),
а в остальном удовлетворяющая весьма широким математиче-
ским условиям, может быть разложена в ряд
и (ж) = c^i (х) + с2и2 (ж) 4- ... + спип (я) + ...	(158,2)
*) См. В. И. Смирнов, Курс высшей .математики, т. IV, § 38,
Гостехиздат, 1941, а также Р. Курант и Д. Гильберт, Методы ма-
тематической физики, т. I гл. 2, Гостехиздат, 1951.
§158]	РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ	23
Коли такое разложение возможно, то свойство
г	(0 при т 4= п,
\UmUndx — \ .	(158,3)
J	(1 при т — п
позволяет очень просто вычислять коэффициенты разложения
(158,2): для отыскания какого-нибудь коэффициента ск при ик
умножаем обе части на uf и интегрируем
иик dx — сг ихик dx 4- с2 dx .
• • • 4- ск икик dx + .. . + сп uniik dx 4- . . .
Вследствие (158,3) все интегралы в правой части равны нулю,
за исключением интеграла при ск, который равен 1. Итак,
инь dx = ck.	(158,4)
Заметим в заключение, что существенным условием того,
чтобы ряд, стоящий в правой части (158,2), сходился именно
к заданной функции, является полнота системы ортогональных
функций, по которым производится разложение. Иначе может
получиться ряд, хотя и сходящийся, по но к той функции,
которая нас интересует.
Нередко случается, что нескольким различным собственным
функциям оператора соответствует одно п то же собственное значе-
ние. Такой случай называется вырождением. Собственные функции
в случае вырождения но будут ортогональными, так как в этом
случае в соотношении
(ап — Хт) ifmun dX = 0	(157,4)
дп — нт и, следовательно,
llmlln dX -р 0.
Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. Прежде всего
мы должны определить, какие собственные функции мы бу-
дем считать различными. Это необходимо хотя бы потому,
что без определения неясно, можно ли, папример, считать раз-
личными функцию ип и ту же функцию, умноженную на по-
стоянную, т. с. сип. Мы будем называть собственные функции
различными в том случае, если они линейно независимы. Это
означает следующее. Пусть мы имеем п функций их, и2, ...,ип;
эти функции называются линейно зависимыми в том случае,
если при любых значениях переменных имеет место соот-
ношение
cpix + с,и.2 4- . . . 4- cuiin 0,
(158,5)
24
ОСНОВЫ КВА.НТ030Й МЕХАНИКИ
[гл. XII
где по крайней мере одна из постоянных с1( ...,сп не равна
нулю. Если же соотношению (158,5) нельзя удовлетворить тож-
дественно, то функции их, ...,цп называются линейно незави-
симыми .
Положим теперь, что какое-либо собственное значение опе-
ратора 2Л скажем /.п, вырождено. Это значит, что существует
несколько собственных функций ип , иП), ..., иП] , которым соот-
ветствуют одинаковые собственные значения Хп. Число функций к
в этом случае называется кратностью вырождения: мы гово-
рим о двукратном, трёхкратном и т. д. вырождении. Эти к собствен-
ных функций не будут ортогональны друг к другу. Оказывается,
однако, что из таких вырожденных собственных функций мож-
но строить линейные комбинации, которые также будут соб-
ственными функциями того же оператора, но коэффициенты
можно подобрать так, чтобы эти новые собственные функции
были ортогональны.
Пусть нх и и2 будут линейно независимыми собственными
функциями оператора F, принадлежащими одному и тому же
собственному значению а, т. е.
Fux = \ult Fu2 — ки2.
Образуем линейную комбинацию
И С-уЫ^ -р С2112.
Эта функция есть во всяком случае не нуль, так как иначе и3
и и2 были бы линейно зависимыми. Функция и есть также соб-
ственная функция оператора F. Действительно,
Fit у--- F (с^ 4- с2и2) == CiF^ + c2Fa2 — к (с-^щ -ф с2и2) = ки.
Покажем теперь, что из наших вырожденных собственных
функций нх и и2 можно построить такпе линейные комбинации,
которые будут ортогональными и нормированными. С этой
целью прежде всего нормируем их. Пусть а будет нормиру-
ющим множителем, так что
| a j2 и*их dx = 1.
Отсюда
। 1 1
I а | = —у	.
]/ Г и^'и1 dx
Итак, функция
у ? ufuj ах
§ 169]	ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ	25
будет нормирована к 1; она отличается от щ лишь численным
множителем. Образуем теперь линейную комбинацию из и и2:
У 2 ~ ^21^’1 “И ^2‘
Коэффициент п21 можно выбрать так, чтобы wx и у2 были
ортогональны. В самом деле, из условия ортогональности
О — w*v2 di — а21 w*u\ di + w*u2 di — а21 + w*m2 di
следует
а21 = — w^u2 di.
Очевидно, что при таком выборе п21 функция у2 будет орто-
гональна к wlf но она ещё не нормирована. Нормируя анало-
гично предыдущему, получаем
Итак, из функций и и2 мы построили функции wr и w2.
ортогональные и нормированные. Аналогичный процесс можно
применить к ортогонализации трёх, четырёх и т. д. вырожденных
собственных функций*).
Таким образом, можно считать, что условие ортогональности
собственных функций самосопряжённого оператора выполнено
всегда: в тех случаях, когда имеется вырождение, можно за-
менить вырожденные собственные функции их ортогонализиро-
ванными линейными комбинациями. Надо только помнить, что
при разложении в ряд но собственным функциям в случаях,
когда некоторые из них вырождены, следует брать такое число
ортогонализированных линейных комбинаций этих вырожденных
собственных функций, какова кратность вырождения.
§ 159. Волновая функция
Мы теперь в достаточной степени ознакомились с новым
математическим языком и можем обратиться к формулировке
основных положений квантовой механики**).
Для этого удобно вернуться сначала к рассмотренному
в гл. X первого тома движению свободной частицы. Мы видели
там, что существующий в классической механике метод —харак-
*) Об ортогонализации системы функций см. подробнее Р. Курант
и Д. Гильберт, Методы математической физики, т. I, гл. II, Гостехиз-
дат, 1951.
**) Для более глубокого ознакомления с принципиальными вопросами
квантовой механики см. Д. И. Б л.о х и н ц е в, Основы квантовой механики,
изд. II, Гостехиздат, 1949.
26
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. XII
теризовать движение при помощи одновременного задания коор-
динат и составляющих количества движения, вообще говоря, не-
применим для очень малых частиц, какими являются электроны,
протоны и т. д. Поведение таких микроскопических частиц оказа-
лось необходимым представлять при помощи функции
2 т
№ у, z,	(159,1)
которая, будучи написана в действительном виде
Ф (х, у, z, l)—a cos (хрх н- у ру 4- z/н — Et) -4 о j zz
Г	"1
HL-acos у (rp- - Et) + о ,	(159,Г)
представляет плоскую волну (волна де-Брогля), причём связь
между этим волновым описанием и частицами устанавливается
статистически: квадрат амплитуды плоской волны а2, равный
квадрату модуля Ф*Ф комплексной функции (159,1), умноженный
на элемент объёма dx~dxdydz, т. о. Ф*Фс?т, принимается за
меру вероятности найти частицу в малой области пространства
с координатами, лежащими между х н x-\-dx, у и y-\-dy, z
и z-\-dz. Таким образом, функцию Ф можно назвать амплитудой
вероятности, а квадрат её модуля — плотностъю вероятности.
Этот результат, полученный для случая движения свободной
частицы (т. е. в отсутствии поля), мы обобщим и положим
в основу развиваемой в дальнейшем системы следующее допу-
щение: существует комплексная функция координат и времени
Ф (х, у, z, Z), описывающая движение в силовом поле таким
образом, что Ф*Ф(2т есть мера вероятности найти частицу в эле-
ментарном объёме d~ (пли. как мы будем говорить сокращённо,
«в данном месте пространства»). Эту функцию мы будем
также называть волновой функцией, хотя для случая движения
в силовом поле образ ле только плоской волны, ио даже и вообще
волны с постоянной (т. е. не зависящей от координат) амплиту-
дой оказывается, вообще говоря, ужо непригодным.
Поскольку функция Ф характеризует состояние физической
системы, её математические свойства должны быть ограничены
требованием конечности, непрерывности и однозначности во всей
области изменения независимых переменных, т. е. темп требо-
ваниями, которые мы назвали в § 155 стандартными условиями.
Во многих случаях к этой функции предъявляется также тре-
бование квадратичной интегрируемости, которое вытекает из
необходимости нормирования функции
Ф*Ф dx = 1,
я 160]	ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ	27
причём в тех случаях, когда независимыми переменными яв-
ляются декартовы координаты, интегрирование распространяется
от — оо до + оо.
Ниже мы увидим, впрочем, что бывают случаи, когда функ-
ция Ф удовлетворяет стандартным условиям, но не убывает
достаточно быстро на границах интегрирования. В таких слу-
чаях прибегают к более сложным приёмам нормирования, впро-
чем, вполне оправдываемым также и физическими соображени-
ями (см. § 163).
§ 160. Принцип суперпозиции
Вернёмся вновь к движению свободной частицы и вспомним
опыт с прохождением пучка электронов через экран с двумя
щелями. Мы видели в § 138, что для того, чтобы найти веро-
ятность попадания электрона в определённое место фотопла-
стинки или флуоресцирующего экрана, необходимо сложить
амплитуды двух сферических волн, выходящих из обеих щелей,
учитывая их фазы в интересующем нас месте. Мы можем по-
этому сказать, что состояние электрона справа от экрана со
щелями характеризуется функцией Ф, которая является резуль-
татом суперпозиции двух функций % и Ф2, каждая из которых
описывает сферическую волну, исходящую от той или иной щели:
Ф = ф1 + <р2-	(160,1)
Только таким образом можно понять описанные в главе X
опыты с интерференцией электронов. Возможность суперпози-
ции, описываемой вообще более общим соотношением
Ф схФх 4- с2Ф2 4- С3Ф3 4- • • •,	(160,2)
является самым характерным свойством волнового ноля. Прини-
мая во внимание, что функции Ф, Фь Ф2, ... характеризуют состояния
частицы, мы формулируем принцип суперпозиции, выражаемый
соотношением (160,2), следующим образом: если частица может
находиться в состояниях Фх, Ф2, ..., то она может находиться
также и в состоянии Ф, являющемся результатом суперпози-
ции состояний Ф1( Ф2, ... Этот принцип, обоснованный результа-
тами экспериментов со свободными частицами, также распро-
страняется па движение в силовых полях.
Следует сейчас же отметить, что суперпозиция в квантовой
механике существенно отличается от суперпозиции в класси-
ческой теории колебаний в следующем отношении: если состоя-
ние колебания описывается функцией и, то, складывая её
с самой собой, мы получим функцию а 4* и = 2и, описывающую
другое состояние колебаний, а именно, состояние с удвоенной
амплитудой. Напротив, в квантовой механике, умножая функцию Ф
28	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. XJI
на какое-нибудь число с, мы получаем функцию сФ, которая
описывает то же самое состояние, что и ф. Это следует уже
из того, что ф п сФ не являются линейно независимыми. По
поводу физического смысла этого результата см. конец § 165.
§ 161. Основные операторы квантовой механики
В классической механике мы встречаемся с такими величи-
нами, как координаты частицы, составляющие её количества
движения, энергия и т. д. Эти величины, а также их функции
мы в дальнейшем будем для краткости иногда называть дина-
мическими переменными. Между различными динамическими
переменными в классической механике имеет место ряд тож-
дественных соотношений. Например, энергия может быть выра-
жена через составляющие количества движения и координаты
следующим образом:
Н ^2^^ +	+ P^ + U (*’ У' z)‘
Аналогично составляющие момента количества движения
могут быть выражены через другие динамические переменные,
например
ЪХ=УР2 — zpy и т. д.
Поскольку система квантовой механики строится по анало-
гии с механикой классической, квантовая механика пользуется
аналогичными динамическими переменными. Своеобразие законов
движения в микроскопических системах проявляется в кванто-
вой механике в том, что эти динамические переменные в ней
изображаются величинами иной математической природы,
нежели в механике классической. Именно, в основе системы
квантовой механики лежит следующий постулат (постулат I).
Каждой динамической переменной классической механики
в квантовой механике сопоставляется определённый линейный
оператор, действующий па функцию ф; допускается, что
между этими линейными операторами имеют место те же тожде-
ственные соотношения, какие существуют в классической меха-
нике между соответствующими величинами.
Для развития этого положения мы сначала установим вид
основных операторов квантовой механики. Таковыми являются
операторы координат и составляющих количества движения.
Так как операторы квантовой механики действуют на функцию ф,
которая является функцией координат, последним, как незави-
симым переменным, сопоставляется оператор умножения. Напри-
мер, оператор, соответствующий координате х, переводит
Ф-функцию в гсФ:
азФ = гсф.
(161,1)
§ 161]
ОСНОВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
29
Всякой механической величине, являющейся функцией только
координат (например, потенциальной энергии), сопоставляется
оператор умножения на эту функцию.
В качестве оператора, представляющего ^-компоненту коли-
чества движения, рх, мы выберем оператор, переводящий
о-фупкцию в -J—. — . Соответственно, операторы ру и pz перево-
(УJU
дят ^-функцию в и ^7'^' ‘ получаем, таким образом,
следующее сопоставление:
Динамическая переменная	Оператор квантовой
классической механики	механики
h д	А
2тЛ дх ’	।
п	Л2	!.	(161,2)
7 V	2т ду	’	(	4
h д	|
>	2т dz	'	J
Причина такого выбора вида операторов рх, ру, pz будет объяс-
нена в следующем параграфе.
Теперь мы можем строить операторы, сопоставляемые другим
механическим величинам, пользуясь для этого тождественными
соотношениями классической механики. Например, составляющие
момента количества движения Lx, Ly, Lz в классической меха-
нике выражаются
Lx = yPz — zPv и т. д.
Оператор Ъх мы получим, заменяя здесь у, z, ру и р„ соответ-
ствующими операторами по (161,1) и (161,2):
т- «•
Кинетическая энергия в классической механике связана с соста-
вляющими количества движения соотношением
(.Рх Т Ру + Pz) •
То же соотношение должно иметь место между соответствующи-
ми операторами квантовой механики
Т = 2^($+^т$)-	(161,4)
Для того чтобы раскрыть вид оператора Т, надо найти выра-
жения операторов рх, р%, pz. По определению умножения опера-
торов имеем
2	,	. h д f h dJ\ h2 д2Л
30	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. XII
и аналогичные выражения для и /г. Поэтому выражение
оператора кинетической энергии в явной форме таково:
-1 " ~8л(^	+	= Л' (161,5)
Оператор полной энергии (функции Гамильтона), который в кван-
товой механике также называется оператором Гамильтона (не
смешивать с оператором V векторного анализа, также носящим
название оператора Гамильтона!), или просто гамильтонианом,
теперь можно написать сразу
Н=т+ Р =	V(x,
+	(161,6)
(оператор U есть умножение Ф-фупкцип па Г7!).
Заметим, что при установлении вида операторов мы всегда
пользуемся выражениями в декартовых координатах. Но после
того, как оператор установлен, можно переходить к любым коор-
динатам. Например, в операторе Гамильтона (161,6) мы можем
перейти от выражения оператора Лапласа А и потенциальной
энергии в декартовых координатах к выражениям их в цилиндри-
ческих или сферических, или любых других координатах.
Так, для случая! одной частицы, находящейся в централь-
ном поле сил, оператор энергии в сферических полярных коор-
динатах получится, если мы в (161,6) представим оператор
Лапласа А в сферических координатах (см. т. J, § 124), а потен-
циальную энергию U запишем в функции расстояния г от центра
силы. Оператор энергии тогда примет вид
„ Л2 ( 1 0 ( 9	1	<) ( . о ,	1 Л2 1
jS — 1  V I К’ )  ~<> - п ( sin и —п ) -j > -\~U (/*) .
twin | г2 дг у drj /•“SinOoi>\. J z^sin-v Лср-J ' '
(161,6'}
Нам теперь необходимо связать операторы квантовой механи-
ки с теми числами, которые получаются при измерениях соот-
ветствующих механических величин. Згой цели служит следую-
щий постулат (постулат II).
Если при измерении некоторой механической величины каж-
дый раз получается одно и только одно число а, то оператор F,
изображающий эту механическую величину, функция Ф, харак-
теризующая состояние, в котором находится система, и число а
связаны соотношением
Fty = ХФ.
(161,7)
§ 161]
ОСНОВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
31
Наоборот, если имеет место соотношение (161,7), то при измере-
нии механической величины F в состоянии Ф каждый раз (т. е.
с достоверностью) должно получаться число к.
Например, пусть паша частица находится в состоянии, опи-
сываемом функцией удовлетворяющей условию
= £,<?„
показывающему, что Фг есть собственная функция оператора
энергии Н, принадлежащая собственному значению Et. На осно-
вании формулированного выше постулата мы утверждаем, что
при этом условии измерение энергии всякий раз должно давать
значение Et (разумеется, в пределах ошибок измерений).
Оговорка относительно состояния, в котором при измерении
получается только одно число, очень существенна, так как ниже
мы увидим, что микроскопические системы могут находиться
и в таких состояниях, в которых при измерениях получается
не одно число, но несколько различных чисел, каждое со своей
вероятностью.
Мы теперь видим, что функция удовлетворяющая уравне-
нию (161,7), есть собственная функция оператора F, а —
соответствующее ей собственное значение. Тем самым устанавли-
вается искомая связь между операторами, и числами, получаемы-
ми при измерении механических величии: наш постулат утвер-
ждает, что спектр собственных значений оператора совпадает
с совокупностью тех значений, которые получаются на опыте при
измерении соответствующей механической величины.
Для того чтобы убедиться в разумности формулированного
постулата, мы должны прежде всего установить, что являются
действительными числами: результат измерения всякой физической
величины обязательно должен быть числом действительным.
В § 156 мы видели, что этому требованию удовлетворяют линей-
ные самосопряжённые операторы. Но независимая переменная
1 д ,	г	,
и оператор у^Дгде х — любая независимая переменная) удовле-
творяют критерию самосопряжённости (см. § 156), следовательно,
операторы координат и составляющих количества движения —
самосопряжённые. Пользуясь результатами § 156, легко доказать,
что оператор энергии Н, а также операторы составляющих мо-
мента количества движения —самосопряжённые. Таким образом,
операторы квантовой механики па самом дело имеют действи-
тельные собственные значения.
Упражнения: 1. Доказать, что оператор энергии Н—самосопря-
жённый.
2. Доказать, что операторы составляющих момента количества движе-
ния— самосопряжённые. (Указание. Следует воспользоваться общими теоре-
мами, доказанными в упражнениях к § 154.)
32
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. XII
§ 162. Квантование
В предыдущих главах этой книги мы видели, что в процессе
исторического развития атомной механики сначала был формули-
рован основной постулат Бора, согласно которому энергия атомной
системы может принимать только дискретные значения. Далее,
при решении конкретных задач пришлось формулировать другие
постулаты для выбора квантованных значений механических
величин (постулаты Бора — Зоммерфсльда, см. т. I, § 106). Наши
новые постулаты значительно шире и глубже этих частных по-
стулатов. В самом деле, во-первых, они указывают единый прин-
цип, на основании которого должна отыскиваться совокупность
всех возможных значений любой механической величины. Во-вто-
рых, из этих же постулатов непосредственно вытекает, какие из
механических величин и при каких условиях могут принимать
сплошной ряд значений и какие— дискретный. Ответ на этот
вопрос получается сам собой, в результате решения математиче-
ской задачи на отыскание собственных функций того или иного
оператора. Если при этом окажется, что спектр собственных зна-
чений дискретный, то соответствующая механическая величина
квантуется, т. е. даёт при измерениях дискретный ряд чисел.
Поясним это примером. Рассмотрим оператор полной энергии
(оператор Гамильтона) Н. Уравнение для собственных функций
в этом случае таково:
Н^ — Е^,	(162,1)
где Е — собственные значения, соответствующие собственным
функциям оператора JET (мы пишем в этом случае Е вместо
общего обозначения д, применявшегося нами раньше). Оператор
Л известен
/г2
// -^4-д + и.
Следовательно, уравнение (162,1), написанное в явном виде, таково:
= ЕЪ.
(162,2)
Но это — известное из главы XI т. I уравнение Шредингера.
Итак, задачи, которые мы решали в предыдущей главе, являют-
ся задачами на отыскание собственных значений оператора энер-
гии. Эти собственные значения, как мы видели, во многих слу-
чаях па самом деле образуют дискретный ряд чисел, т. о. имеет
место квантование. Например, для линейного гармонического
осциллятора, т. е. для случая, когда (см. т. I, § 149)
fx2 -j.____	№ d2 fx2_______
2 ’	8^2m dx2 "" 2
h2 d2
8ir.zm dx2
4- 2~2mvg x2,
КВАНТОВАНИЕ
33
уравнение для собственных значений энергии есть
A2 A2 j
—	+ 2r:2/nvg ж2Ф = Ety
№тах2	и 1	1
или в другом виде
" 2 Avo х2) <? = °-
Но это — уравнение Шредингера для линейного гармонического
осциллятора, решением которого мы занимались в § 149, т. I.
Мы показали там, что функция <Ь(я), удовлетворяющая этому
уравнению, будет удовлетворять и стандартным условиям лишь
тогда, когда энергия Е принимает дискретный ряд значений
Еп = (п 4- -0 Av0, п --= 0, 1,2, ...
Эти квантованные, значения энергии Еп и являются, таким обра-
зом, собственными значениями оператора II.
Теперь мы можем пояснить, почему для операторов рх, ру, pz
выбран вид, указанный в (161,2). Перепишем уравнение Шредин-
гера в следующем виде, тождественном с (162,2):
1 Г / А	, h	z h \252^ 1 , r,.	,.РП o.
9  ( 9—' ) Л~2 4“ ( 9—7 / Z'T ' 4" (	I "T V   A'J,	(1 62,3)
2m L J dx2 \Ziti J dy- \2~iJ dz2 J '	'	4	’ '
и сопоставим его с известным соотношением классической механики
Т + U — E,
или в явном виде
2^ (Рх + Ру + Pz) + U — Е.	(162,4)
Левая часть уравнения Шредингера (162,3) представляет собой
результат применения к функции ф оператора энергии, который
записан в виде
/£= ‘ Г( *	д + q + и. (1б2,5)
2m |_VM7 дх- \2-kiJ ду2 \2пг / dz2 J	'	'
Сравнение (162,4) с (162,5) показывает, что уравнение Шредин-
гера можно истолковать как квантовомеханический аналог клас-
сического соотношения для энергии (162,4), если в качестве опе-
r h д
ратора для рх выбрать и т. д.
Исторически уравнение Шредингера было открыто и обна-
ружило свою замечательную плодотворность ранее построения
системы квантовой механики. Естественно поэтому было выбрать
именно ту форму операторов, которая уже оправдала себя в этом
уравнении.
34	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. XII
§ 163. Свободная частица
Случай свободной частицы является поучительным примером
сплошного спектра собственных значений. Поскольку такая ча-
стица совершает одномерное движение, мы можем выбрать си-
стему координат так, чтобы ф-фупкцпя зависела только от одной
координаты, например только от х. Оператор энергии в этом
случае есть (£/-=0)
Уравнение для собственных значений И поэтому таково:
=	(103,1)
8«“/п ах- 1	'
Частные решения этого уравнения
удовлетворяют стандартным условиям в том и только в том слу-
чае, когда Е > 0 (см. § 155, пример 2). Если, однако, это усло-
вие удовлетворено, то Е может иметь любые непрерывно
меняющиеся значения: оператор энергии свободной частицы имеет
сплошной спектр собственных значений. Из этого следует, что
энергия свободной частицы может принимать любые непрерывно
изменяю щнес я з и а че ния.
Очевидно, однако, что обеим собственным функциям соответ-
ствует только одно значение энергии Е. Это показывает, что мы
имеем дело в данном случае с вырождением, а пмептю, с дву-
кратным вырождением. Посмотрим теперь, нс являются ли соб-
ственные функции (163,2) оператора энергии в то же время соб-
ственными функциями оператора проекции количества движения
и каким собственным значениям рх они соответствуют. Применяя
оператор
h д
Рх = тг
дх
последовательно к функциям фг и ф2, получаем
h dbL
2лг дх
д Ю -У2тЕх / ------- i 2тЕ х
х-е /г	— |/2mJfce Л	= Р-г^
дх	'	t х i.
h д!м
2 м дх
Мы видим, что функции ф( и ф2 являются собственными функ-
циями оператора количества движения, но одной из них соответ-
§ 162]
СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА
35
ствует собственное значение -Ь рх, а другой — рх соответственно
двум возможным направлениям движения.
Поскольку для собственных функций оператора энергии имеет
место вырождение, любая линейная комбинация их также являет-
ся собственной функцией оператора Н с тем же собственным
значением (см. §158). В числе этих линейных комбинаций имеются
и комбинации, дающие действительные (вещественные) функции
коспнуса и синуса
,	1 /' 1 Я- V”2тЁ х	—i^yZmExx 2тс ---------
Ф — yQe h	+ е h	J — cos -^]/^2тЕ х,	(163,3)
Ф" = ^е h	—eh	J-sin^-P 2mEx. (163,4)
Однако прямой проверкой легко убедиться в том, что уравне-
ние для собственных функций оператора количества движения
не удовлетворяется действительными функциями (163,3) и (163,4),
но удовлетворяется только комплексными функциями (163,2). Мы
имеем здесь дело с одной из простейших иллюстраций того, что
волновая функция Ф есть, вообще говоря, функция комплексная.
Заметим далее, что поскольку действительная функция 6
[например, (163,3)] не является собственной функцией оператора
проекции количества движения, последняя не имеет определён-
ного значения в состоянии, описываемом этой функцией.
Возможность существования состояний, в которых та или
иная механическая величина не имеет определённого значения,
есть одна из самых характерных особенностей квантовой механи-
ки. Сколь пи странной представляется эта особенность, не следует
забывать, что она вытекает уже из принципа суперпозиции, без
которого невозможно объяснить интерференцию частиц, т. е.
в конечном счёте из двойственной природы микрочастиц.
Рассмотрим теперь ещё одно важное свойство собственных
. 2тс
г -j- Рхх
функций со сплошным спектром. Функции е удовлетворяют
требованию конечности для всех значений х от — со до + СО,
однако они не удовлетворяют требованию квадратичной интегри-
руемости, так как
4-оо	+со . 2тс	. 2тс	+со
Г	С г ~jr Рхх ~г ~r~ Рхх	С
\ фФ* dx — \ е • е dx= \ dx — со.
— 00	— 00	—со
Отсюда следует, что эти функции нельзя нормировать обычным
способом.
Оказывается, что такое затруднение встречается во всех слу-
чаях, когда оператор имеет сплошной спектр собственных значений.
36
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл, XII
Это различие между собственными функциями сплошного
и дискретного спектров очень характерно. В случае дискретного
спектра мы имеем ряд функций, которые можно перенумеро-
вать фп ф2, ..., и соответствующий им дискретный ряд собствен-
ных значений Хх, Х2, ... В случае же сплошного спектра собствен-
ная функция ф (х, X) зависит от непрерывно меняющегося параметра
X [см., например, формулу (163,2), где таким непрерывно меняющим-
ся параметром является р--\/ 2тЕ]. Такого рода функцию для одно-
' о определённого значения X нельзя сопоставлять с функциями диск-
ретного спектра. Это соответствует тому факту, что безграничная
волна, описываемая формулой (163,2), есть математическая
абстракция, подобно тому как математической абстракцией
является строго монохроматическая волна. Реальная же квазимо-
нохроматпчсская волна (см. т. I, § 70) есть своего рода волновой
пакет, образованный суперпозицией монохроматических волн с не-
прерывно меняющейся в определённом интервале Av частотой.
Аналогично этому в реальных физических условиях никогда не
приходится иметь дело с частицами, положение которых неопре-
делённо в интервале от — оо до -г оо, но можно утверждать, что
частица находится где-то на отрезке ограниченной длины. Волно-
вая функция, описывающая поведение такой частицы, ограничена
в пространстве. Подобную волну можно получить как результат
суперпозиции ряда безграничных воли, которые за пределами
определённого отрезка друг друга погашают вследствие интер-
ференции, т. с. эта волна является волновым пакетом. Математи-
чески такой пакет представляется интегралом, распространённым
на малый промежуток Ад значений параметра X
Л 1 ДЛ
ф (х, X) dK.
л
Оказывается, что такие интегралы ведут себя совершенно так
же, как собственные функции дискретного спектра; они друг к
другу ортогональны и их можно нормировать обычным способом.
Ввиду значительной сложности вопросов, приводящих к спло-
шным спектрам собственных значений, мы ограничимся сделан-
ными замечаниями и в дальнейшем будем рассматривать только
случаи дискретного спектра.
Упражнение. Решить задачу о свободной частице, полагая, что
ф есть функция всех трёх координат х, у, z. Показать, что собственные
функции оператора энергии в этом случае таковы:
2 ТС
±i j—f.xpx+ypy + zps)
•]>=е
(Указание. Для разделения получающегося уравнения в частных про-
изводных воспользоваться методом, описанным в т. I, § 152.)
§ 164]
ВЕРОЯТНОСТИ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН
37
§ 164. Вероятности определённых значений
механических величин
Выше мы видели, что в тех случаях, когда функция ф,
характеризующая состояние системы, является собственной фун-
кцией оператора какой-либо механической величины, эта величина
имеет определённое значение (равное собственному значению опе-
ратора). Но, как мы видели в предыдущем параграфе, может
случиться, что ф не будет собственной функцией интересующего
нас оператора, или может случиться, что ф будет собственной
функцией оператора одной динамической переменной, но не будет
таковой для оператора другой динамической переменной. В тех слу-
чаях, когда функция ф не является собственной функцией оператора,
соответствующая механическая величина не имеет определенного
значения. Это утверждение в общем виде следует уже из принципа
суперпозиции (§ 160). Рассмотрим некоторую механическую вели-
чину, которая представляется оператором F, и пусть фх и ф2 будут
собственные функции этого оператора, соответствующие собственным
значениям Xj и Х2, причём #= Х2 (вырождение отсутствует):
^тф1 = Х1ф1, Т^ф2 — Х2ф 2.
Наш постулат II утверждает тогда, что в состоянии фг меха-
ническая величина F с достоверностью имеет определённое зна-
чение Хь а в состоянии ф2 — определённое значение Но если
система может находиться в состояниях фх и ф2, то согласно
принципу суперпозиции она может находиться также в состоянии ф,
описываемом линейной суперпозицией функций фг и ф2:
ф — схф! 4- с2ф2.
Легко видеть, однако, что эта функция не будет собственной
функцией оператора F. В самом деле,
F6 = F(с1ф1 4- с2ф2) ;= сх F'b-y 4- с21< ф2 — Ci ц фг 4" с2 Х2 ф2.
Мы видим, что соотношение 7гф = Хф в данном случае не имеет
места, а значит, функция ф не является собственной функцией
оператора F. В развитие постулата II мы можем утверждать тогда,
что если система находится в состоянии, описываемом волновой
функцией ф, являющейся суперпозицией собственных функций
оператора F, то соответствующая механическая величина в этом
состоянии не имеет определённого значения. Это значит, что если
мы представим себе собрание очень большого числа тождествен-
ных систем, которые находятся все в одинаковом состоянии, опи-
сываемом функцией ф, и если мы будем измерять в каждой из
этих систем механическую величину F, то будем получать, вооб-
ще говоря, различные числа: в одних случаях—числа Х1; в дру-
гих— Х2. Если, однако, измерения произведены над достаточно
38
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. XII
оольшим числом систем, то можно установить, что имеется опреде-
лённая статистика этих значений, т. е. что число случаев, когда в
результате измерения получается /ч, составляет определённый про-
цент общего числа измерений; то же относится к числу случаев, когда
в результате измерения получается Х2. Иначе говоря, в рассма-
триваемом случае механической величине F нельзя приписать ника-
кого определённого значения с достоверностью, по можно указать
определённые вероятности того, что измерение даст либо либо 'т.
Квантовая механика позволяет вычислить эти вероятности.
Итак, пусть собственные функции и собственные значения
оператора JF некоторой динамической переменной будут соответ-
ственно бь б2, • •• и й], л2, . .., причём мы предполагаем, как
это видно уже из обозначений, что оператор имеет дискретный
спектр собственных значений. Если система находится в состоя-
нии, характеризуемом функцией б, ие являющейся собственной
функцией оператора F, то при измерении величины F должны
получаться различные числа, принадлежащие, однако, к ряду
собственных значений ах, а2, ..., так как согласно основному
постулату квантовой механики спектр собственных значений опе-
ратора и даёт совокупность чисел, получаемых при измерении
соответствующей механической величины. Вычислим среднее зна-
чение F в состоянии б. Если функция (р нормирована, то, как бу-
дет показано в следующем параграфе, среднее значение F равно
F = ^O*J'Wt.	(164,1)
Разложим теперь функцию б но собственным функциям
фс, • • •> 9п> • • • оператора F (предполагается, что все эти фун-
кции также нормированы):
б ербз + с2б3 + . . . + сабп + . . су< Ф;..
к
Подставляя это в (164,1), получаем
F = ^(сЖ:4с*б*ж . . . с*-ь*-р . . ,)7л(с1б1 й-с2б2-р [~спбп-р ...)dz.
Принимая во внимание, что F<6n- -йпбп, и выполняя указанные
операции, получаем
F = с* ср.! j 6*6xch + с*с3 ).2 б* б2 dz + с£сДг б7* бг dz + ...
В силу условий ортогональности н нормирования все интегралы
при к /-I равны нулю, а при k—L равны 1. Следовательно,
F - I ci |2Й] + ! с212 ,‘.2 -р ... -j- I сп j2 ап + . ..	(164,2)
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
39
Используем теперь условие нормирования функции 0. Диало-
гичным образом получим
1 О* О d~ —
(с* О* + • • • Н- Сп^п + • • •) (Mi + • • • + Мн + • • -)d~ =
= | ci р +1 с212 + • • • + I сп !2 + • • •	(164,3)
('(опоставляя (.1()1,2) и (164,3), мы видим, что их можно пере-
писать в виде
F — FiWi-p a2w2 + • • •4_^nw-’n+ • • • (^'х + ^’г-г ... 4-г£’п4-1),
где Wj — | сг |2, гг2 —[с2|2 и т. д. Это показывает, что квадраты
модулей коэффициентов разложения функции 0 в ряд по соб-
ственным функциям оператора J? играют роль вероятностей полу-
чить при измерениях механической величины F значения ax, k2, . . .
§ 165. Средние значения
Выше мы видели, что обычное для классической (макроско-
пической) механики утверждение «такая-то механическая вели-
чина имеет определённое значение» в квантовой механике имеет
смысл только в том случае, когда функция 6 является одной
из собственных функции оператора, соответствующего данной меха-
нической величине. Если же 0 не является собственной функцией,
то определённого значения механической величины пе имеется,
но всегда можно вычислить вероятности определённых значений,
образующих спектр собственных значений её оператора. Для оты-
скания этих вероятностей функцию Ф следует разложить в ряд
но собственным функциям данного оператора Ф2, Ф3, ..., Ф„, ...;
квадраты модулей! коэффициентов этого разложения | ct |2, | с2 j2, . . 
и будут нс ком ь: мп вероятностями.
Если, однако, волновая функция, описывающая состояние си-
стемы, известна, то квантовая механика позволяет предвычислять
также ц средние значения всех механических величин, тге при-
бегая к предварительному вычислению вероятностей отдельных
значений.
Прежде чем перейти к рассмотрению способа этого вычи-
сления, целесообразно остановиться на том, в каком смысле можно
говорить в квантовой механике о «среднем значении» той или иной
механической величины. Напомним, что термин «среднее значение»
употребляется вообще в двух смыслах. Если мы измеряем, на-
пример, длину, то, как бы точно пи производилось измерение, по-
лучаемые цифры обнаруживают некоторый разброс, обусловленный
40
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. XII
случайными ошибками измерения. Для получения числа, наиболее
близкого к измеряемой длине, мы находим среднее из всех
измерений. В этом случае величина, характеризуемая средним
значением, существует, но нам не известна. В других случаях
термин «среднее значение» характеризует некоторый признак
статистического коллектива. Таков, например, средний рост
определённой группы людей и т. п. В квантовой механике тер-
мин «среднее значение» употребляется именно в этом последнем
смысле. Точнее говоря, в квантовой механике термин «среднее
значение» применяется в смысле «математического ожидания»
теории вероятностей.
Обратимся теперь к вычислению средних значений.
Для отыскания «рецепта» этого вычисления начнём со случая,
когда находится среднее значение координаты х (то же относится,
конечно, к любой координате). Так как b*tydx есть вероятность
найти частицу с координатой между х и х -f- dx, то среднее зна-
чение координаты будет
+ со
х— x^f'bdx	(165,1)
— ОО
при условии, что функция 6 нормирована, т. е. что
Ф*Ф dx = 1.
Рассматривая х как оператор, мы можем переписать формулу
(165,1) в виде
+оо
х—	(165,2)
— ОО
Обратимся теперь к случаю, когда оператор зависит как
от координаты, так и от импульса. Оператор энергии частицы,
совершающей одномерное движение, ость
11 = -44^ + CW-	(165.3)
8п2т dx2 ' '	х '
Здесь первый член есть оператор кинетической энергии, который
можно представить в виде
=	(WO
а второй член — оператор потенциальной энергии. Если Ф,-
есть собственная функция оператора энергии, соответствующая
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
41
собственному значению Eif то
<165-5>
8т1Е 27п dx2 11	111	'
Умножим (165,5) слева на Ф* и проинтегрируем по всем значениям х:
Ф* ( —	4-4}'bidx + Ф* dx = Et \ Ф* Ф/ dx.
J 11 \	8к2/п dx2J 11 J ‘	J
— ОО	—СО	"О=*
Интеграл в правой части равен 1 (интеграл нормировки); второй
член в левой части есть сроднее значение потенциальной энергии,
так как потенциальная энергия есть функция х. Принимая всё
это во внимание, можем написать, пользуясь (165,4),
Ф* ТФ£ dx + U = Et.
— СО
Но так как в рассматриваемом случае Фг есть собственная фун-
кция оператора энергии, соответствующая определённому значению-
энергии Et, то должно быть Т + U = Et и, следовательно,
+ оо
Т= b*Tbdx.
—00
Мы видим, что среднее значение кинетической энергии вычис-
ляется по тому же правилу, что и среднее значение координаты.
Среднее значение полной энергии поэтому будет
Е = ф* [Т (р") + 17 (ас)] Ф dx — ty*Htydx.
— ОО	—ОО
Если, как в данном случае, ф есть собственная функция опе-
ратора энергии, то 1ЕГФ = Е’Ь и
Е = Ф*/£Ф dx = Е Ф* Ф dx = Е,
т. е. среднее значение равно определённому значению в данном
состоянии, как и следовало ожидать. Однако полученное нами
правило обобщается и на тот случай, когда Ф не является соб-
ственной функцией Н и в этом, конечно, его главный смысл.
Следовательно, вообще
Е = Ф* Н (р, х) Ф dx.
— СО
42
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ механики
[г,л. XII
Наконец, в самом общем случае, когда оператор F является
функцией нескольких координатqx, q2, . . . п импульсов р1; р2, . . .,
среднее значение в состоянии, описываемом нормированной
волновой функцией, вычисляется по формуле
F = ф* JF(q, р) ф dq,	(165,6)
где через q и р обозначены для краткости совокупности всех
координат и всех импульсов dq dqxdq2 . . ., и интегрирование
распространяется на всю область возможных значений координат.
Очевидно, что среднее значение обязательно должно быть дей-
ствительным числом, так как среднее значение, получаемое на
опыте, есть результат измерений, производимых над реальными
физическими величинами. Мы должны убедиться, следовательно,
в том, что 1F, вычисляемое но правилу (165,6), удовлетворяет
этому требованию. С этой целью напишем по (165,6) среднее зна-
чение комплексно сопряжённой величины F*:
+ оо
F* = ф [F(q, р) ф1* dq.	(165,7)
— со
Но вследствие самосопряжённости оператора F правые части
(165,6) п (165,7) равны, а потому
F*=F,
т. е. F есть величина действительная.
Формулой (165,6) можно пользоваться для вычисления средних
значений только в том случае, когда функция ф нормирована к 1.
В тех же случаях, когда ф нс нормирована, следует пользоваться
более общей формулой
--------- ( -F /г (q, р) ад
П<Ь ‘	~ •	(165,8)
Из этой формулы, между прочим, вытекает уже упоминавшееся
следствие ($ 160): если функция ф описывает какое-либо состоя-
ние, то и функция сф, где с — постоянное число, описывает тоже
состояние. В самом доле, из формулы (165,8) сразу следует, что
средние значения всех механических величин в обоих состояниях
одинаковы.
Подведём теперь итог сказанному в двух последних парагра-
фах. В классической механике мы всегда можем описать движе-
ние всесторонне, указывая одновременные определённые значе-
ния всех механических величин: координат, импульсов (скоростей),
моментов импульса, энергпп. В квантовой механике механические
.величины могут п не иметь определённых значений. Однако если
§ 166]
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ
43
волновая функция, описывающая состояние, известна, то с по-
мощью операторов мы можем указать средние значения всех меха-
нических величин, а также вероятности определённых значений.
Таким образом, в квантовой механике мы также можем описать
движение со всех сторон, но только статистически. Это вполне
соответствует тому, что квантовая механика по существу есть
теория стати с тическая.
§ 166. Примеры вычисления средних значений
Вычислим для примера средние значения х и р, а также
х2 и р2 для линейного гармонического осциллятора в нормальном
состоянии. Нормированная волновая функция этого состояния нам
известна (см. т. I, § 150):
где
4~2 тV,.
а - -----—
h
Имеем
_____________________________,4-со
х —	-О- хе~ах2 dx — О
— ОО
4 оо
(все интегралы вида x2ri+i е~ах2 dx равны пулю вследствие нс-
— СО
чётности подынтегральной функции). Далее,
_________ 4~оо	(уд.2	_ 4оо
— ОО	—ОО
Таким образом, х п р в этом случае равны нулю, как н следо-
вало ожидать из соображений симметрии.
Обратимся теперь к вычислению х2 и р2. При этом вычисле-
нии, а также при решении задач к этому параграфу нам при-
дётся встретиться с определёнными интегралами типа
~ оо
У2к = x2ke~™zdx.	(166,1)
—оо
Эти интегралы вычислены элементарным путём, исходя из интеграла
в приложении VII в конце книги. Опп равны
44
основы квантовой механики
[гл. ХИ
так что
1 • 3
4
и т. д.
(166,3>
*=4/5-

Пользуясь этим, находим
_____________ 4-оэ	_ __________ ________
? =	~ $ Л-”* <fc= j/2./2=	| j/’
— ОО
= 1 _ h_________ У Av° _ Eq
2а 8к2т,уй 4k2/?iv§	/
(166,4)
— результат, совпадающий с полученным в § 150 нестрогим путём.
Далее,
ах^
2 dx =
—ОО
т. е. опять-таки результат, уже найденный в § 150.
Далее, вычислим средние значения кинетической и потен-
циальной энергии:
у! р2 Е$ГП 1 г,
^^2т~~2т~~~2	°’
т. е. средняя потенциальная энергия равна средней кинетической,,
как и в классической механике. Наконец,
Eo~To + Uo = Eq,
как и следовало ожидать, поскольку нулевое состояние есть
состояние с определённой энергией.
Упражнения: 1. Пользуясь нормированными собственными функ-
циями линейного гармонического осциллятора в различных квантовых
состояниях (т. I, § 150 и приложение VI), вычислить_«2 и р2 при п = 1
и п = 2.
2.	Доказать, что в том и другом случаях упражнения 1
Ij = T.
§ 167]
ОБЩИЕ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
45
3.	Доказать, что
_______________________	_	_	3
£'i = Z7i + У1 =	h'i0 = E1,
4.	Верны ли в разобранных случаях соотношения ж2 —(ж)2, ж4=(ж2)2?
§ 167. Общие собственные функции
Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких условиях две или
несколько механических величин одновременно имеют определён-
ные значения. Две механические величины F и G имеют опре-
делённые значения в тех случаях, когда они находятся в состоя-
ниях, описываемых собственными функциями операторов F и G.
Очевидно, что эти величины одновременно будут иметь определён-
ные значения, если состояние описывается функцией Ф, являю-
щейся собственной функцией того и другого операторов, т. е.
общей собственной функцией.
В качестве примера рассмотрим составляющие количества дви-
жения по осям декартовых координат. Их операторы
—2lL h д
2л{ дх ’	2л/ ду ’	2л/ dz
Собственные функции этих операторов удовлетворяют уравнениям
h ди	h д-b	h д'и ,
л—т v- - рхС), гг-.^- = РиУ,
2wi дх 1 х 1 2ki ду 1 у 1	2711 dz 1 л *
Легко видеть, что функция
. 2л
ф = е п
удовлетворяет всем этим трём уравнениям, т. е. является общей
собственной функцией операторов рх, ру, pz. Это показывает,
что проекции количества движения на все три оси координат
могут иметь одновременно определённые значения.
Существует критерий, который позволяет судить о том, имеют
ли данные операторы общие собственные функции или нет. Ока-
зывается, что если операторы имеют общие собственные функции,
то такие операторы коммутативны. Докажем это.
Пусть <р будет общей собственной функцией операторов F и G,
т. е. пусть
Мы имеем
FGty = F(Gti) =	= рХФ,
GF$ = G (F<p) = IXF) = AfHp.
46	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	trap. ХИ
Отсюда следует, что
FG& = GFb,
I	I у
или в символическом виде
FG = GF.
Обратная теорема также имеет место: если операторы комму-
тативны, то они имеют общие собственные функции. Покажем
это для случая, когда каждому собственному значению соответ-
ствует одна собственная функция (вырождение отсутствует*).
Пусть ф и д будут соответственно собственная функция и соб-
ственное значение оператора так что
^Ф = ХФ,	(167,1)
и положим, кроме того, что оператор F коммутирует с опера-
тором G
FG — GF.	(167,2)
Вследствие условия (167,2) имеем
FG& = GF6 - G (2^) - X (6/ф).
Сопоставляя начало и конец этой цепи равенств, мы видим, что
F(Gty) = Х((7Ф).
Это означает, что Gty есть собственная функция оператора F,
принадлежащая собственному значению X; но по условию и ф
есть собственная функция F, принадлежащая тому же собствен-
ному значению, т. е. функции Ф и 6?Ф описывают одно и то же
состояние. Это может быть только в том случае (см. § 160),
если б?Ф отличается от Ф лишь постоянным множителем,
например р,
Сф = и-Ф,
но это и показывает, что ф есть собственная функция также
и оператора G, т. е. что операторы F и G имеют общую соб-
ственную функцию.
Мы видели, что динамические переменные рх, ру, pz имеют
общую собственную функцию. На основании сказанного соответ-
ствующие им операторы	должны	коммутировать. Действительно,
,	7?2 <92ф
РхРу^— —^2dxdy >
,	Л2
VvPxV —	4^ дудх	>
*) Доказательство для общего случая см. в книге: В. Л. Ф о к, Начала
квантовой механики, стр. 38, .Кубуч, 1932.
§ 167]
ОБЩИЕ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
47
откуда следует, что	РхРу РуРх— 6	(167,3)
и аналогично	PyVz — PzPy = 0, 1 А	(1«7,4) Pzpx— l>zPz = ^ j
.Легко убедиться и в том, что координата и составляющая р, со-
ответствующая другой координате, также коммутируют. Например,
т. e.	,	h	Ob Wpvty =	7~ , 1 v '	2*4	oy , h д-ь руОСк -= — x-p , J 1	2 г. i c)y ’ ocpy — pyQC— 0,	(167,5)
и т. д. Но координата и соответствующая ей составляющая р
не коммутируют. В самом деле,
	/ h dJX\ h db XVTW = X\ .T— 7^ }= --X	, L '	дл J	2-rti 0л ’ i	. \	h , . h	db pxxy = — — (xw) = -— 0 4- 7—т ГС -7Г2 . J	1	'.-nt с/л ' 1' 2пь ' 2ni дл '
t. e.	{pxX - xpx) o = A 9,
или	pxx — xpx =	•	(167,6)
Аналогично	получим PyV — VPy	, 1 2;;‘	(167,7) = J
Но динамические переменные, изображаемые некоммутиру-
ющпми операторами, не могут иметь одновременно определённых
значений. Мы приходим, таким образом, к выводу, что не могут
одновременно иметь определённых значений координаты и соот-
ветствующие им составляющие количества движения: либо одна
из них имеет определённое значение и тогда другая будет неопре-
делённа, либо обе они в известной степени неопределённы.
48	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. XII
§ 168. Неравенства Гейзенберга
Зададимся теперь вопросом, какова будет минимальная неточ-
ность при одновременном измерении, скажем, х и рх.
Для того чтобы ответить на этот вопрос, мы сначала должны
условиться, каким способом мы будем характеризовать точность
измерении. Пусть мы произвели достаточно большое число изме-
рений какой-либо величины а и получили при этом ряд чисел
аъ ®2> аз, • • среднее из них пусть будет а. Отклонения отдель-
ных измерений от среднего будут
d-^ — d, d% d7 . . . ? dj. — dy «• •
Но, как мы впдели в т. I, § 109, среднее из этих отклоне-
ний равно пулю, ввиду чего пользуются квадратами отклоне-
ний г,; — (ал. — а)2, а мерой разброса численных значений служит
среднее квадратичное отклонение
° =• К 4 •
Легко видеть, далее, что имеет место следующее соотношение:
г2, — (^. — а)2 _ а2. — 2а, а + (а)2 = а2к — 2 (а)2 4- (а)2 = а2 — (а)2. (168,1)
Нам нужно найти теперь меру неточности измерения коор-
динаты и соответствующей ей составляющей количества движе-
ния, например х и рх. На основании (168,1) мы имеем
(Дг)2 = ж2 —(ж)2,	(Д/>)2 = р2. — (рх)2.
Не ограничивая общности вывода, мы можем предположить, что
средние х и рх равны нулю. В самом деле, для этого достаточно
выбрать подходящую систему координат. Если выбрать начало
её в точке с координатой х, то гс = О; далее, если эта система
движется со скоростью , то рх — 0. Итак, в выбранной нами
системе
(ZM2 =72, (W = й .	(168,2)
Согласно установленной в § 165 формуле для квантовых средних
имеем
х2 = Ф*гс2 й dx,
~Р\ = $ *>*V^dx=	<168’3)
Возьмём теперь очевидное неравенство
] М + ? )2	(168,4)
§168]	НЕРАВЕНСТВА ГЕЙЗЕНБЕРГА	49
где а и р —любые действительные вспомогательные переменные.
Вычислим нодинтегральное выражение, помня, что нужно отыски-
вать квадрат модуля
I+₽ Г=+ ,3 (мф* ? ©=
=	+ ф (У g + * 4) + р 4 g=
=- а2я26*ф -р арж-^- (6*6) 4- р2 ,
1,1 dx v '	। / * I fjx dx
Введём обозначения
_4 =	ж2ф*6 dx, В — — х (6*6) dx, С = \-^-~dx. (168,5)
л	л w-vv	л асе
Неравенство (168,1) теперь примет вид
Ла2-5аР4-С>2>0.	(168,6)
Левая часть неравенства (168,6) есть однородный трёхчлен вто-
рой степени. Для того чтобы он был положителен, должно быть*)
,4>0 и 4ЛС>£2.	(168,7)
Раскроем теперь значение коэффициентов А, В и С. Первая из фор-
мул (168,5) показывает, что
Л = ж2.	(168,8)
Отсюда следует также, что А > 0, т. е. первое из условий (168,7)
выполняется. Далее, принимая во внимание, что ф нормирована
к единице, и выполняя интегрирование по частям, находим для В
В = — х — (6*6) dx — (#6*6) Ih 4- \ 6*6 dx — 6*6 dx = 1.
j dx x * 1 1'	\ । । / |-оо 1 J 1 1 J 1 ‘
Двойная подстановка от — oo до 4-00 даёт нуль ввиду того,
что 6 как функция квадратично-иптсгрируемая убывает быстрее,
нежели х возрастает.
Наконец, интегрирование по частям	даёт	для	С
С d j 1 f. * db \ I+°° С	,	d2 i ,	С	1	-и d26	,
С =	\ -4- -Д dx — ( ф -4 )	— \	6*	— dx —	—	\	6-	-j-.dx.
j dx dx \ dx J |-oo J	•	dx~	J	‘	dx*
ч:) Действительно, имеем тождественно
Ла’-ВаЗ + CS>= А (	«3 + | р ) 4 (в £)	=
1 В2
Отсюда видно, что если 4>0 и С> —то трёхчлен (16?,6) положи-
телен. При А > 0 имеем также iAC > В2, что и требовалось доказать.
50	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. XII
Но, принимая во внимание (168,3), получаем
/•л;2--------------------------
С — — п2
О ~ РЛ
и согласно (168,2)
----------------------- --- /,2
= Л =
На основании (168,2) и (168,8)
(Дж)2 = ж2 — А.
Перемножая, получаем
-----------------• --- Л2	ъ2
(M2(W = ^4C = ^44C.
Но вследствие (168,7) 4ИС>52; поэтому
или, так как ./? = !,
(M2(W>T^-
И, наконец, так как мы условились характеризовать неточность
положительным квадратным корнем из среднего квадрата откло-
нения,
]/‘(5р"']/ЖГ2>й-	(168,9)
Для двух других осей координат аналогично
/W-/WJ2>^.	(168,10)
(168,-н)
Неравенства (168,9) — (168,Г1) были открыты Гейзенбергом.
Они указывают верхний предел точности, который может быть
достигнут при одновременном измерении координат и импульсов:
произведение неточностей не может быть меньше . Очевидно,
что физическое содержание неравенств Гейзенберга совпадает
с рассмотренными в т. I, §§ 139—140 соотношениями неопреде-
лённости.
§ 169. Общее уравнение Шредингера
В предыдущих параграфах мы встречались с операторами раз-
личных механических величин, которые зависели только от коор-
динат или заключали в себе дифференцирования по координатам.
В соответствии с этим мы не интересовались зависимостью фупк-
§ 169]	ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	51
ции ф от времени. Наиболее важным из рассматривавшихся нами
соотношений является уравнение Шредингера, т. е. уравнение для
собственных функций оператора энергии:
Щ = Е$.	(162,1)
Поскольку оператор Л действует только на функцию координат,
и это уравнение не даёт никаких указаний на зависимость ф от
времени. Вспомним ещё, что это уравнение позволяет находить
функции, описывающие состояния, в которых энергия имеет опре-
делённые значения.
Однако уже в т. I, § 143 для случая свободной частицы,
т. е. частицы, движущейся в отсутствии внешнего поля, мы полу-
чили уравнение
—-Адф=-А|±.	(143,6)
Ъ^-т т 2тч at	'	’ '
Оператор, действующий на ф в левой части этого уравнения, есть
оператор энергии свободной частицы (в отсутствии внешнего поля
потенциальная энергия равна нулю), так что уравнение можно
переписать в виде
(169,1)
‘ 2тсг ot	\	/
Теперь мы примем без доказательства, что уравнение (169,1)
должно иметь место также и в том случае, когда Движение
происходит во внешнем силовом поле. Гамильтониан ЯГ содер-
жит в этом случае операторы и кинетической, и потенциальной
энергий, и уравнение (169,1) в явном виде в этом случае таково:
—о~2—Дф + ^ф= —'	(169,2)
ЬтЛтг. 1	’ 2ш dt	\	/
Как и все основные уравнения физики, уравнение Шредингер!,
содержащее время, не доказывается, но правильность его подтвер-
ждается совпадением выводимых из него следствий с резуль-
татами эксперимента. Легко убедиться в том, что это уравнение
является обобщением уравнения Шредпнгера для собственных
функций оператора энергип. Действительно, в состоянии, описывае-
мом собственной функцией оператора JEL, энергия имеет опреде-
лённое значение, и зависимость ф-функции от времени можно пред-
—г — Et
ставить «монохроматическим» множителем е л , так, что
12 тс
Ф (х, у, z, ?) = ф° (ж, у, z) • е h
Правая часть (169,2) даёт
О 2	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. X1I
и уравнение (169,2) сводится к уравнению Шредингера, не содер-
жащему времени:
+ Щ =	(169,Г)
Однако уравнение (169,2) имеет более общее значение, нежели
(162,1): всякое решение (162,1) есть также решение (169,2), но
обратное не имеет моста —по всякое решение (169,2) удовле-
творяет (162,1). Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим состоя-
ние, являющееся суперпозицией двух состоянии с определёнными
значениями энергий Ег и Ер
ф' -= Cjtpi с2ф2 = с^е h 1 -т-с2^2е h	(169,3)
Каждая из функции фх и ф2 является собственной функцией
оператора Ы и для них имеют место соотношения — Е^
и 1/ф2 — Е2й2- Ио если мы подействуем оператором И па функ-
цию (169,3), то получим, очевидно,
/Гф'= с1^1ф1-+-с2^262.	(169,4)
Как видим, соотношение £Гф - Еь в этом случае не имеет места.
Легко убедиться, однако, что функция (169,3) удовлетворяет
уравнению (169,2). В самом деле, непосредственное дифференци-
рование даёт
—	С/- --- СуЕ^^ + С2Е2<Ь2.
2v.i dt 1 1 ‘ 1 1 2 2 12
Сопоставляя этот результат со (169,4), видим, что 2Гф'=
~ "" 2^77^- ’ т’ е’ чт0 УРавнопие (169,2) удовлетворяется функ-
цией ф'.
Поскольку в уравнение (169,2) входит оператор, зависящий
от времени, это уравнение представляет собой динамический закон
квантовой механики, определяющий изменение состояния во вре-
мени. Оно называется общим уравнением Ш редипгера. Сделанное
обобщение оправдывается хорошим согласием с опытом всех след-
ствий, выводимых из уравнения (169,2). Его можно обобщить
и дальше, распространив па случай потенциала, явно зависящего
от времени. Это дальнейшее обобщение позволит нам включить
в общую схему квантовой механики также и процессы излучения
света (см. гл. XIV).
Поскольку мы всегда рассматриваем наряду с функцией ф
также ф*, следует написать уравнение также и для этой сопря-
жённой функции. Оно таково:
§ 169]	ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	53
или, так как в операторе It мнимая единица отсутствует,
т. е. Н Н
д-£- = --^-Д0* + £/6*.	(169,5)
2~л at	i'i	\	/
Общее уравнение Шредингера является дифференциальным ура-
внением в частных производных. Его решения мы подчиняем
начальным и краевым условиям, соответствующим данной задаче.
Так как уравнение Шредингера — первого порядка относительно
времени, то достаточно одного начального условия, например,
достаточно знать О (7, 0) для того, чтобы О (7, I) стала вполне
определённой*). Поскольку ф описывает состояние микроскопи-
ческой системы, это означает, что достаточно задать начальное
состояние системы для того, чтобы все последующие состояния
были определены. В этом выводе заключается количественная
формулировка универсального закона причинности в примене-
нии к микроскопическим системам.
Нам необходимо теперь испытать, обладают ли решения общего
уравнения Шредингера свойствами, необходимыми для того, чтобы
можно было сохранить прежнее статистическое истолкование
^-функций: ф*фс/т: есть вероятность найти частицу в элементар-
ном объёме dx. Проверка состоит в следующем: если ф*фйт есть
вероятность, то её можно нормировать, т. е. потребовать, чтобы
удовлетворялось условно
0*6 dx = 1,	(169,6)
где интегрирование распространено на всё пространство. Смысл
условия (169,6) состоит в том, что вероятность найти частицу
где-нибудь в пространстве равна достоверности. Но в таком слу-
чае условие нормирования, раз установленное в какой-нибудь
момент 1 = 0, должно сохраняться и на всё будущее время, т. е.
интеграл, стоящий в левой части (169,6), не должен зависеть
от времени.
Убедимся, что в самом общем случае интеграл ф*6<й не
зависит от времени, т. е.
Выполним дифференцирование под знаком интеграла
»+*¥>• (169'7>
*) Мы здесь не можем останавливаться па вопросе о том, каким обра-
зом можно найти функцию у для t — Q. См. по этому поводу Д. И. Бло-
хинцев, Основы квантовой механики, стр. ИЗ, Гостехиздат, 1949.
"54	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. XII
Поскольку ф и ф* должны удовлетворять общему уравнению
Шредингера, мы имеем
___— =	=
2ти dt ‘ 2iti dt	‘
~	<9>	<9Ф*
Определяя отсюда	частные	производные	—и	~~	и подставляя
их в правую часть (169,7), находим
5	*=т
Но вследствие самосопряжённости оператора Н
J ф(Д"ф)*</т^ ф* (Htydx,
а потому правая часть (169,7) равна нулю и
A(j 4*^ = 0.	(169,8)
Мы видим, что интеграл нормировки действительно не зависит
от времени, а следовательно, сохранение вероятности имеет место.
§ 170.	Плотность и ток вероятности
Согласно статистическому толкованию функции ф знание этой
функции для определенного момента I позволяет указать вероят-
ность нахождения частицы в элементе объёма в этот момент t.
Наглядное представление можно при этом осуществить, восполь-
зовавшись «картиной распределения», которая строится следующим
образом. Представим себе большое число N частиц, которые все
находятся в одном и том же состоянии и между собой не взаимо-
действуют. Так как ф*ф dx есть вероятность нахождения частицы
в объёме dx, то /Уф* ф dx. будет средним числом частиц в объёме dx,
расположенном около определённой точки пространства, а/Уф*ф —
средней плотностью частиц в этой точке. Вычислив эту среднюю
плотность для достаточно большого числа точек, мы можем при
помощи какого-либо геометрического образа — например, в виде
облака большей или меньшей густоты — построить картину рас-
пределения плотности для данного момента t. Если при этом
частицы несут электрический заряд е, то произведение /Уеф*ф
будет средней плотностью заряда в данном месте, и мы можем
построить также картину среднего распределения плотности элек-
тричества.
Значение общего уравнения Шредингера с этой точки зрения
состоит в том, что оно позволяет найти зависимость ф от вре-
мени, а зная эту зависимость, мы можем предсказывать картины
§ 170]
ПЛОТНОСТЬ И ТОК ВЕРОЯТНОСТИ
55
распределения па будущее время и, таким образом, следить
за изменениями, происходящими в системе.
Однако этот способ едва ли может вполне удовлетворить
нашему желанию получить полную картину движения. Мы при-
близимся к этой цели в большей степени, если сможем указать
наряду с распределением частиц или с распределением плотности
заряда также и среднее число частиц, проходящих в 1 сок. через
площадку в 1 см2 в направлении положительной нормали к пло-
щадке. Для этой цели произведение уже по пригодно, и нужно
поискать другую комбинацию тех же функции, подходящую для
этою назначения.
Эту комбинацию мы отыщем, если примем во внимание, что,
поскольку Ф есть непрерывная функция координат, можно
уподобить некоторой фиктивной жидкости, разлитой во всём про-
странстве. Эта «жидкость» подчиняется закону сохранения. В самом
деле, интеграл \ 6* О d~, взятый по всему пространству, от времени
нс зависит. Поэтому, если в определённый момент плотность
вероятности где-ппбудь возрастает, то в другом мосте опа
соответственно убывает: можно себе представить, что вероятность
«течёт».
Принимая это во внимание, мы можем использовать для вывода
интересующего нас выражения «плотности тока вероятности»
аналогию с уравнением непрерывности классической гидродина-
мики. Папомним это уравнение. Представим себе элементарный
объём в виде параллелепипеда с гранями, параллельными коорди-
натным плоскостям. Пусть в ьтот объём слева втекает жидкость;
направление потока пусть будет параллельно положитель-
ной осп х, а плотность тока ,s‘(x) зависит от координаты х.
Количество жидкости, втекающей в объём в единицу времени
через левую грань, будет поэтому s (х} dy dz", количество жидко-
сти, вытекающей за тот же промежуток времени через правую
грань, будет — s(x + dx} dy dz п.’ш с точностью до бесконечно
малых второго порядка
c)s
— s (х 4- dx} dy dz — —s(x} dy dz — dx dy dz.
Изменение количества жидкости внутри объёма будет алгебраи-
ческой суммой
gs	$
s (х} dy dz — s (х} dy dz——dxdydz— — -^dxdydz. (170,1)
Так как полное количество жидкости сохраняется (предпола-
гается, что внутри объёма нет никаких источников или стоков),
то это изменение количества жидкости должно компенсироваться
изменением её плотности р. Поэтому мы можем выразить изменение
56
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. XII
количества жидкости в объёме ещё другим способом:
^dxdydz.	(170,2)
Приравнивая (170,1) и (170,2) п производя сокращение и пере-
становку, получаем
+	(170,3)
dt dx	4	'
Это и есть интересующее нас уравнение непрерывности.
Обратимся теперь к отысканию выражения, которое должно
нам дать возможность вычислять в квантовой механике среднюю
плотность тока.
С этой целью мы напишем уравнение Шредингера для одного
измерения
__А	___-77д
2т dt	дх2 •
и соответствующее уравнение для ф*
Л	h2 <Э2ф* . ,,,*
----------------—Ц- (j *
2^7 dt 8iz2m dx2 1
Первое мы умножим па —ф*, второе —на ф н сложим оба полу-
ченных уравнения:
h / .* d^ , . d-Ъ* \ h2 f d2^	, <Э2ф*\
2м V dt^ dt) 8-rt2wV dx2 dx2)’
Это можно записать иначе следующим образом:
7(4*о) + 2_/ * ЛифЬ-о 4*7)1 = °.	(170,4)
dt '1 17 dx [	dx ‘ dx J j	4	'
Сравнивая соотношение (170,4; с гидродинамическим уравне-
нием (170,3), видим, что оба они имеют совершенно одина-
ковую структуру, только роль плотности жидкости р в (170,4)
играет произведение ф*ф, а роль плотности тока — выражение
h ( * dl> <9ф*\	/ЛПС\ ел
s — —7 ф У—ф	•	(170,о)
4тс?т \1 dx 1 dx J	'	'
Поскольку ф*ф толкуется как плотность вероятности найти
частицу в данном месте, £ мы можем истолковать как плотность
«тока вероятности». Смысл этого выражения очевиден: s есть
вероятность того, что в 1 сек. частица пройдёт через 1 см-
в направлении положительной нормали к площадке.
Испытаем теперь на простом примере выражение (170,5).
Пусть движение частицы описывается плоской волной
Apx-Et)	р2
О — е 11	, Е —	.
1	’	2т
§ 171]
«ЧИСТЫЕ СОСТОЯНИЯ» И СМЕСИ
57
Это значит, что частица имеет количество движения определён-
ной величины и определённого направления (в данном случае р
совпадает с положительным направлением оси х\, координата её, ра-
зумеется, остаётся совершенно неопределённой. Написав комплексно
сопряжённую функцию
.2-п
__ е~г~й
ф
находим
1 5т! Т Л	2^-Ъ i А 1 2tZI
iM=1,	6*	-у- пФ*Ф = — р,
• '	’	1 дх Л 1 1 ' h 1
д-Е* 2^1	*	2^1
а для тока вероятности получаем
h /,	. «Э/’Л	у . А .	mv
s = у—.— (	— Ф-/- ) — Ф*Ф = — = v.
4шт \1 дх 1 дх р т ' 1	т
Этот результат вполне разумен. В самом деле, если плотность
тока вероятности равна v, то средняя плотность тока частиц должна
быть Л7у. Представим себе теперь рой частиц плотностью N,
движущихся в одном направлении со скоростью у, заключённый
в цилиндре с основанием в 1 см2 и высотой, равной Число
частиц в этом цилиндре будет Nd и все они пройдут в 1 сек.
через основание, т. е. создадут ток плотности Nd в согласии
с результатом, вычисленным при помощи формулы (170,5).
§ 171. «Чистые состояния» и смеси
Рассмотрим теперь ещё один пример вычисления плотности тока,
который позволит нам выяснить одну важную особенность состоя-
ний микроскопических систем. Пусть состояние частицы описы-
вается функцией
2 к
г—(xp—Et)
i-(~xp-Et)
ф = ае
+ be
(171,1)
Состояние, описываемое этой функцией, образовано путём
суперпозиции двух состояний:

• ^71 .	W-, , X
г—(хр—ЕГ)
ф2 = е
iy (-.rp-Ef)
(171,2)
Коэффициенты а и Ь, входящие в (171,1), имеют, как мы знаем,
следующий смысл: | а |2 есть вероятность того, что, произведя
измерение импульса частицы, мы найдём его равным 4- р; | Ъ |2 есть
вероятность того, что, измеряя импульс, мы найдём его равным — р.
Найдём теперь явное выражение для тока вероятности в со-
стоянии, описываемом функцией ф (171,1). Небольшое вычисление.
58
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. ХИ
которое может быть выполнено читателем самостоятельно (см. упраж-
нение 1 в конце этого параграфа), даёт
и r£=i«r« -н*12(—^)- (17кз>
Если мы теперь вычислим среднюю плотность тока N частпц,
то получим
j = s'V = | а |2 Nv - | b |2 Nv.	(171,4)
•Это выражение для полной плотности тока j таково, как если бы
мы имели два потока частпц, движущихся навстречу друг другу
со скоростью L*, причём средняя плотность частпц в первом потоке
равна | а ]2 ;V, а во втором—равна | b |2 Л’. Поскольку, однако, волно-
вая функция описывает состояние одной частицы, состояние, описы-
ваемое функцией (171,1), представляющей собой суперпозицию
функций <bj и ф2, характеризуется очень странным свойством:
частица, находящаяся в нём, должна двигаться отчасти вправо
(скорость +&), отчасти влево (скорость — ?;). Это означает просто,
что мы не можем приписать частице, находящейся в состоянии 6,
никакой определённой скорости. Разумеется, мы совершенно не мо-
жем представить себе наглядно такое состояние.
Пользуясь статистическим толкованием и применяя наш резуль-
тат к собранию большого числа частпц, мы получаем вполне
наглядную картину. Однако не следует думать, что собрание N
частиц, которые все находятся в состоянии, описываемом функ-
цией (171,1), есть смесь двух сортов частиц, из которых одни
находятся в состоянии а другие — в состоянии б2 (171,2). Такая
смесь, разумеется, может существовать, однако она не тождествен-
на с собранием частпц в состоянии (171,1). Для того чтобы в этом
убедиться, вычислим плотность вероятности местонахождения
частицы в состоянии 6:
= | а |2 + | Ъ |2 + ab*e> ХР 4- а*Ъе 1 '*
Легко видеть, что два последних члена в сумме дают действи-
тельный периодически меняющийся член; в самом доле, пола-
гая а = | a j е™1, Ъ [ Ъ | Л5'2 и обозначая разность фазовых посто-
янных Oj — g2 через о, найдём
,4тс	.4тс
nb*e h Р -*-а*Ье 1/1 Р — 2 [ а | • | b | cos Гу хр + o') ,
а значит,
= | а |2+ | Ъ |2 -р 2 | а | • | b | cos хр 4- о .	(171.,5)
§ 171]	«ЧИСТЫЕ состояния» И СМЕСИ	59
Входящий в это выражение член с косинусом периодически
меняется с изменением х. Наличие его обусловливает интерфе-
ренцию и он появляется потому, что для получения состояния Ф
мы складываем амплитуды вероятностей Фх и Ф2. Если же мы
имеем дело со смесью частиц, из которых одни находятся в состоя-
нии Фх, а другие —в состоянии Ф2, причём доля первых есть | а |2,
а доля вторых — | Ъ |2, то вероятность найти частицу с координатой
между х и х + dx есть просто
(I а |2 Ф* Фх + | 6 |2 ф* фг) dx = (j а |2 4- ; b |2) dx. (171,6)
В самом деле, вероятность найти частицу в состоянии Фх
есть ] а |2, а вероятность того, что в этом состоянии частица
имеет координату х, есть Фх* Фх; точно так же вероятность найти
частицу в состоянии Ф2 есть | b |2, а вероятность иметь коорди-
нату х, находясь в этом состоянии, есть Ф2 Ф2. Поэтому вероят-
ность найти частицу в данном месте либо в состоянии Фх,
либо в состоянии Ф2 по теоремам умножения и сложения веро-
ятностей есть
Ы2фГ ф] + I ь I2 ф* Фг = |« |2+ | Ь I2 (171,7)
так как ф1’ф1=1 и Ф* Ф2 — 1), что и требовалось доказать.
Сравнивая между собой формулы (171,5) и (171,6), мы видим,
что в формуле (17'1,6) отсутствует интерференционный член,
имеющийся в (171,5). Это и показывает, что состояние, описы-
ваемое функцией (171,5), существенно отличается от смеси со-
стояний, для которой вероятность выражается формулой (171,6).
Различие между обоими случаями такое же, как в оптике —
между когерентной и некогерентной суперпозицией. В первом
случае складываются амплитуды, во втором — интенсивности.
Состояние, описываемое функцией (171,1), называется чистым
состоянием в отличие от смеси состояний. Со статистической
точки зрения между чистым случаем и смесью имеется следую-
щее существенное различие. Представим себе совокупность очень
большого числа частиц, которые все находятся в одном и том же
состоянии. Выделим из этой совокупности подсовокупность,
содержащую всё же достаточно большое число частиц, и будем
измерять, например, импульс этих частиц. Может случиться,
что у одних частиц мы будем получать для импульса значе-
ние 4- р, а у других — р. Подсчитав число тех п других случаев,
мы найдём статистику этой подсовокупности, т. е. найдём вероят-
ности частице иметь импульс ц- р или — р. Из оставшейся
совокупности выделим теперь новую подсовокупность и опять,
производя измерение, найдём её статистику. Если, выделяя
таким образом всё новые подсовокупности, мы каждый раз будем
находить одну и ту же статистику, т. е. одинаковые вероятности
импульсов р и —/?, то перед нами — чистый случай. Если же,
60	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. XII
выделяя наугад всё новые и новые подсовокупности, мы будем
находить различную статистику, то это означает, что мы имеем
дело со смесью. В этом последнем случае, принципиально говоря,
мы иногда можем выделить такую подсовокупность, для которой
либо | а |2 — 1 и ! b [2 — 0, либо | а |2 — 0, j b |2 = 1, т. о. все частицы
дают при измерении импульса одно и то же значение, зато
в других подсовокупностях и | а |2 и [ b I2 имеют отличные от нуля
значения.
Упражнения: I. В случае, когда а = Ь, формула (171,1) даёт
.2те
2~
j — 2а cos -j^pxe 1
доказать, что в атом случае ток вероятности *’ равен нулю.
2. Доказать для общего случая, что когда часть функции у, завися-
щая от координат, действительна, ток вероятности равен нулю.
3. Среднее значение количества движения для одномерного движения
вдоль оси х, как известно, выражается формулой
(17,’8)
Доказать, что оно может быть выражено также «симметризированной»
формулой
Л С (	5у*\
= и*	& )dx-
[Уна-iauue. Надо воспользоваться имеющим место вследствие гранич-
ных условий для -У соотношением
п h С д , + ч , h Г / .до dj*\ ,
0=.— \ у- (У* у) dx =-т—. \ ( у- + -у-у— ydx
Аш, J дх	J \ дх дх J
и скомбинировать его со (171,8;.]
§ 172. Стационарные состояния
Среди различных состояний, в которых может находиться
система, особенно интересны стационарные состояния. По смы-
слу этого слова, эти состояния должны характеризоваться своей
независимостью от времени. Мы определим их как такие состоя-
ния, в которых вероятность положения, т. е. произведение 6*0,
а также ток вероятности s не зависят от времени. Если движе-
ние происходит в одном измерении, то мы имеем следующие
признаки стационарности состояния:
w =	= const.,	(172,1)
s =	-const.	(172,2)
4-nim у ‘ дх ' дх J	\	/
Условие (172,1) будет удовлетворено, если функция Ф имеет вид
Ф (гг,	(172,3)
§ 172]
СТАЦИОНАРНЫЕ COC'l ОЯПИЯ
61
В самом деле, в этом случае
ф* (ж, t) — ф°*е!7(-г’> О.
(172,4)
н, перемножая ф* (ж, t) и ф(ж, Z), мы получим не зависящую
от времени величину | ф° (ж) |2.
Для того чтобы п ток $ был постоянен, нужно, чтобы
<Ь*Д- — б—r- = const.
‘ ох 1 ох
Подставляя сюда ф и ф* из (172,3) и (172,4), найдём
Для того чтобы правая часть не зависела от времени, доста-
dj ('.г, t)
точно, чтооы производная- от времени не зависела, а это
может быть только в том случае, если
/(ж, £) = ? (ж)+ /(£).
Итак,
ф (х, t) = ф° (ж)
пли, если мы включим экспоненциальный множитель е~г^х')
в функцию ф°(ж),
ф (х, z) = ф° (ж) e-v.(O.	(172,5)
Подставим теперь выражение (172,5) для функции ф (ж, t)
в общее уравнение Шредингера, которому эта функция должна
удовлетворять. После сокращения на мы получим
или
-Л-д (я) =
у0 (ж)	1 ' 7
h dy_ (t)
dt.
Левая часть этого равенства есть функция только ж, а пра-
вая—функция только Z. Отти могут быть равны друг другу
только в том случае, если обо опи не зависят пи от ж, ни от t,
т. е. равны какой-то постоянно]! а. Это даёт
_ А ^7- (0 _ „
dt
откуда

Постоянная а должна иметь размерность энергии. В самом
доле, h имеет размерность [энергия X время], a at/h должна
62
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. XIII
быть безразмерной величиной, так как она входит в показатель
(172,5). Положив а = Е, мы получим согласно (172,5)
-i^Et
ф(ж, ^) = ф°(ж)е h .	(172,6)
Подставим теперь найденную функцию ф, описывающую ста-
ционарное состояние, в общее уравнение Шредингера, написан-
ное в операторном виде,
В правой части, очевидно, получим
в левой же части дифференцирование производится только по
координатам, так что
—i^~Et
НЪ = е /г Лф°.
Приравняв друг другу оба выражения и сокращая на экспо-
ненциальный множитель, получим
Цф°=:£ф0.
(172,7)
Итак, волновая функция ф, описывающая стационарное состоя-
ние, распадается па два множителя: временной множитель
• 2тс
— г—Ш
е п и множитель, зависящий только от координаты ф°(ж).
Эта последняя функция, как видно из (172,7), есть собственная
функция оператора энергии.
Если, в частности, оператор Н имеет дискретный спектр соб-
ственных значений Ех, Е2, ..., то стационарные состояния
в таком поле будут описываться функциями ф«е h . Согласно,
основным постулатам квантовой механики в таких состояниях
энергия должна иметь определённые значения Еъ Е2,. . ., образую-
щие в данном случае дискретный ряд.
Этот вывод, очевидно, совпадает с основным постулатом Бора;
однако в системе квантовой механики он является но постулатом,
а следствием из её основных положений.
Как и во всех случаях, содержание наших выводов шире
постулатов Бора, так как из соотношения (172,7) вовсе не
следует, что энергия обязательно должна принимать квантован-
ные значения: если оператор If имеет сплошной спектр соб-
ственных значений, то возможны любые значения Е.
§ 173]
ТЕОРЕМА ЭРЕНФЕСТА
63>
Упражнение. Рассмотрим свойства состояния, образованного путем
суперпозиции двух стационарных:
E2t
h + c2V>e h
Вычислить и показать, что состояние, описываемое функцией у,
не есть стацпоиарное состояние; пайтп вид зависимости у* у от времени.
§ 173.	Теорема Эрснфсста
В предыдущем изложении мы шаг за шагом строили систему
квантовой механики. Мы видели, что благодаря свойствам опера-
торов можно, пользуясь тождественными соотношениями между
механическими величинами классической механики, конструиро-
вать соответствующие операторы квантовой механики. Однако-
вопрос о связи между квантовой механикой и классической этим
не исчерпывается. В самом дело, при рассмотрении ряда задач,
например о движении электрона в электрическом и магнитном но-
лях (см. т. I, § 4), мы пользовались уравнениями механики Нью-
тона, и результаты оказывались в удовлетворительном согласии
с опытом. Естественно поэтому попытаться найти общий критерий
того, в каких продолах можно трактовать движение мпкрообъек-
тов как «квазиклассическоо».
Для решения этой проблемы важное значение имеет теорема
Эренфеста, согласно которой для микроскопических систем сред-
ние значения механических величии удовлетворяют законам класси-
ческой механики.
Для того чтобы в этом убедиться, мы начнём с отыскания
производной по времени среднего значения координаты х. Со-
гласно формуле (165,1) сроднее значение х (когда ф нормирована)
будет
x=^x'b*'bdx.	(165,1)
При отыскании производной х по времени необходимо помнить,
что только ф, но не х является функцией времени, так как ко-
ординаты в квантовой механике являются независимыми перемен-
ными.
Итак,
(ОЗ,!)
Для исключения производных по времени воспользуемся общим,
уравнением Шредингера для б и ф*, которое напишем в виде
д у	h	<32у	2^1 j-r
dt	knim dx2 h
дУ*  k d2y* , 27It~ rz.L*
dt knim dx2 h 1
64	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. XII
Подставляя это в (173/1), находим
*=* 0	40dx- (173.2)
Интеграл в правой части преобразуем интегрированием по частям
==а:(*Ч—**4r)lh”-\00	с173"3)
Двойная подстановка вследствие граничных условий даёт пуль,
а остающийся интеграл можно прообразовать, разбивая его на
алгебраическую сумму двух интегралов и выполняя в одном из
них интегрирование но частям, которое даёт после подстановки
пределов
<173’3')
{обратить внимание на следующее: интеграл в правой части
(173,3') не равен нулю потому, что оператор пе обладает
свойством самосопряжённости; аналогичный интеграл, где оператор
заменен оператором у , равен нулю (см. стр. 19)].
Итак,
с /. дЦ* , * дЧ \ 7 п С ,	,
\ х ( ф ---ф* \dx = 2 \ ф* —dx
J \ • дх* ‘ дх- J	J • дх
и вместе с тем
х —	— \ ф* — dx \ 6* (-р~^ ~г~') dx = — ,
2.ЛИП J 1 дх т J 1 / Zitt дх / т
т. е. для средних значений имеет место классическое соотношение
р = тх.	(173,4)
Покажем теперь, что для средних значений имеет место также
соотношение
dp  ди
dt	дх ’
т. е. второй закон Ньютона. С этой целью образуем среднее зна-
чение р
§ 173]
ТЕОРЕМА ЭРЕНФЕСТА
65
и найдём его производную по времени
dp_____. * 21 _____________h V Г дф5
dt \ • дх	2ni J [ dt
dt 2ni
t дх
i* di>
1	.с. д
+- Ф * -т-
1 1 dt
dx - -
h
дх
Исключив,
уравнения
dp __ h
dt 2^-i
по времени при помощи
h
2-n.i
ф* Д1-ф dx.
т дх '
как и раньше, производные
Шредингера, получим
СЫ *
j [ \ 4nim дх2 h ' /
1 дх \ тт дх2 п 1 / J
• кшп, J дх2 дх дх \ дх ) \	%
Как показывает вычисление, первый интеграл равен нулю (сле-
дует написать этот интеграл в виде разности двух интегралов;
в первом выполнить дважды интегрирование по частям, применяя
краевые условия; остающийся интеграл сократится со вторым).
Итак
dp C » a dU , ,
-L- — — \ ф* —- <b dx
dt J • dx T
пли, принимая во внимание (173,4),
d2x	Г .*0U , ,
пг = — \ ф* —- ф dx.
dt2	J 1 dx '
(173,5)
Интеграл правой части, очевидно, равен среднему
d2x	dU
— у •
dt2	дх
(173,6)
dU
значению — :
дх
(173,7)
Мы видим, что для. средних значений, вычисленных по законам
квантовой механики, действительно имеет место ньютоново урав-
нение движения.
Однако истолкование соотношения (173,7) не так просто, как
это кажется на первый взгляд. Действительно, чтобы вычислить
ди
среднее значение , надо знать ф, т. е. нужно уже решить
уравнение Шредингера. Поэтому ошибочно было бы думать, что
можно свести квантовую механику к интегрированию ньютоновых
уравнений для средних значений.
Эренфест, однако, показал, что соотношение (173,6) [или, что
то же, (173,7)] может быть использовано для выяснения связи
между классической и квантовой механикой следующим способом.
66
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. XII
Предположим, что Ф-функция отлична от нуля лишь на очень
ди
малом протяжении, в продолах которого можно считать посто-
янной. Тогда из (173,6) получим
m^’ =	{ b*bdx =	(173,8)
did дх } 1 1	дх	\	/
^мы предполагаем, что Ф нормирована, ввиду чего Ф*Фбй:=1^ .
Мы видим, что для достаточно узкого пакета
dU _ dU
дх дх '
С другой сторопы, среднее значение координаты
х = x^*<bdx
есть по что иное как координата «центра тяжести» пакета Ф*Ф
и (173,8) есть просто ньютоново уравнение движения центра
тяжести пакета. Если бы форма этого пакета со временем не
менялась, то (173,8) имело бы место для любого момента времени
и можно было бы говорить о движении пакета по законам клас-
сической механики. Мы знаем, однако, что пакеты, вообще говоря,
расплываются, ввиду чего уравнение (173,8) будет справедливо
лишь в течение такого промежутка времени, пока па протяжении
пакета ещё можно считать постоянной. Поэтому, например,
время Т, в течение которого ширина пакета удваивается, может
служить характеристикой применимости классической механики
к движению в данном поле.
Эрепфест приводит следующие примеры, которые с большой
наглядностью поясняют переход от квантовой механики к клас-
сической.
1)	Пусть масса частицы равна 1 г, а ширина пакета
равна 10'3 см. Эта ширина удвоится через промежуток вре-
мени Т — 1021 сек. В течение этого времени соотношение (173,8)
будет справедливо, т. е. центр тяжести пакета будет двигаться
по классической траектории. Иначе говоря, для больших масс
справедлива классическая механика.
2.	Пусть 722 = 1,7 • 10 24 з, ширина пакета — 10~8 см — частица
атомных размеров. Здесь Т — 10~13 сек., т. е. классическая меха-
ника вообще неприменима.
3)	Промежуточный случай: m— 10-12 г, ширина пакета 10“'4 см.
Здесь Т = 10”7 сек., т. е. ещё можно говорить о применимости
классической механики -с известным приближением.
§ 173]
ТЕОРЕМА ЭРЕНФЕСТА
67
К этому же вопросу можно подойти с несколько иной стороны.
Соотношение
d2x
dt'2
dU
дх
(173,7)
дх
бы написать
dU (х
безусловно справедливо. Если бы во всех случаях имело место
равенство
dU  dU (7-)
дх ~
то вместо (173,7) можно было
d2x
т — —---------
dt2	дх
—уравнение, описывающее движение центра тяжести пакета по
классической траектории. Однако (173,9) имеет место лишь
в некоторых частных случаях. Поэтому из (173,7), вообще говоря,
по следует (173,9). Можно показать, что вообще имеет место
следующее выражение *):
дх 2 дх2
где (Дж)2 = (х — ж)2— средняя квадратичная ширина пакета. Под-
ставляя это в (173,7), получим
d2x
dt2
dU (а:)
дх
(М2-	(173,10)
т— =
Отсюда видно, что если пакет узкий (Дж)2 < 1), так что поле в
продолах его меняется мало, то можно пренебречь всеми чле-
нами справа, начиная со второго, и мы получим (173,10). По-
скольку, однако, пакет расплывается, (Дж)2 с течением времени воз-
растает. Поэтому (173,10) будет справедливо в течение такого
промежутка времени, пока второй и последующие члены в правой
части по абсолютной величине значительно меньше первого (см.
приведённые выше примеры расплывания пакетов).
Мы можем теперь формулировать в общем виде физические
условия, при которых движение микрочастицы может рассматри-
ваться «квазиклассически»: 1) поле, в котором движется частица,
*) (1м. Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики, 2-э изда-
нии, Гостехиздат, 1949, стр. 128 и след.
68	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. XII
должно изменяться достаточно плавно [так, чтобы можно было
пренебречь высшими производными в (173,10)]; 2) пакет должен
быть достаточно узок, а для этого импульс частицы—и соответ-
ственно её кинетическая энергия—достаточно велики.
Выше было указано, что в некоторых частных случаях имеет
место точно
дй  ди (ж)
дх дх
В качестве примера рассмотрим линейный гармонический осцил-
лятор. Его потенциальная энергия, как известно, равна
ди ,
поэтому — = /ж и
dU 4 С ! * 1 ,7	4~ ди (ж)
— == / \ ф*жф ах =•= /ж = —.
дх ' J т т 1 дх
В этом случае (173,7) даёт
—классическое уравнение движения линейного гармонического
осциллятора, которое будет иметь место для любого момента вре-
мени.
Уравнение (173,10) позволяет сразу сказать, в каких случаях
должен получаться аналогичный результат, т. е. движение центра
тяжести пакета по классической траектории. В самом деле, так как
уже во второй член справа входит третья производная U (ж), то
этот и последующие члены дадут нули, если U (ж) имеет вид
U (ж) — а + Ьх 4- еж2.
Таким образом, классическое уравнение движения для центра
тяжести пакета будет справедливо, например, для случая свобод-
ного движения (U = а), однородного поля (U — a + bx), линейного
осциллятора.
§ 174. Уравнения движения
В предыдущем параграфе мы находили производные по вре-
мени от средних значений механических величин (ж и р). Посмо-
трим теперь, что можно сказать о производных по времени от
самих механических величин. Легко убедиться в том, что в кван-
товой механике ответить на этот вопрос не так просто, как
174]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
69
в механике классической. В самом деле, пусть какая-нибудь
механическая величина F в момент времени Zo имеет определён-
ное значение к, но в следующий момент tQ + Д£о это значение
может стать неопределённым. Поэтому обычное определение про-
изводной по времени для механической величины
dF = lim F(t± \t)-F(fy
д<==0
в квантовой механике, вообще говоря, не имеет смысла.
В квантовой механике динамические переменные представляют-
ся операторами. Поэтому для решения вопроса об определении
производной механической величины по времени мы должны
определить, что мы разумеем под производной по времени от
оператора. В соответствии с общим характером квантовой меха-
ники мы можем положить в основу этого определения следующее
утверждение: производная по времени от среднего значения меха-
нической величины F равна среднему значению производной
той же величины, т. е.
dF __ dF
dt dt
Итак, если
=	(174,1)
то no определению
%=K.	(174,1')
Напишем теперь среднее значение
F =	с/т
и положим, что оператор F по зависит явно от времени. Тогда
dF Г ёН* , С , *	<9 J ,
-г- = \	F Ф dt + \ b*F -£ dt.
dt j dt 1 J	dt
Заменим производные	и <!> их выражениями через оператор
Гамильтона Н воспользовавшись общим уравнением Шредингера
<94	2тсг
-аГ=- —
dt h • h ' т/
70
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. XII
(Напоминаем, что оператор Н не содержит мнимой единицы,
вследствие чего Н = JHL*.) Производя замену, получаем
С(щ)*^Об£т--^Ц Ъ*Г(Ш))ск.
at h j '	7 z 1	/? J *	'	1 z
Пользуясь самосопряжённостью оператора Н, преобразуем пер-
вый интеграл
(Щ)*Лфйт =
Поэтому
=	FH) tycfc.	(174,2)
В § 59 (т. I) мы видели, что в классической механике произ-
водная по времени от механической величины F (qk, может
быть выражена при помощи скобки Пуассона (/7, F)
F)’	(59,3)
где Н— функция Гамильтона. По аналогии с этим введём опе-
ратор
= 2П	(174,3)
и будем называть его квантовой скобкой Пуассона. Формула (174,2)
теперь примет вид
^- = $ ф*[Я, JP]6dz.	(174,4)
На основании определения производной по времени механической
величины, содержащегося в формуле (174,1'), мы теперь можем
написать
=	(174,5)
а формулу (174,4) записать в виде
-^ = [И, -Р].	(174,6)
Уравнения типа (174,5) называются квантовыми уравнениями
движения.
В самом деле, пусть, например, F = q, где # —оператор
любой координаты. Тогда по (174,5)
^=[Н, <?].	(174,7)
Полагая F—p, имеем
р].	(174,8)
§ 174]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
71
Уравнения (174,7) и (174,8) в точности аналогичны гамильтоно-
вым каноническим уравнениям, написанным при помощи скобок
Пуассона [см. т. I, (59,4)]
?) />)•
Пусть теперь, в частности, q^x: тогда
«]•	(174,9)
Согласно определению квантовых скобок Пуассона (174,3)
[Н, х] = ^-(Нх-хН.) =
2*i Г Л3 f?2	1 ГГ/ \ I h~ °2 ГТ /
= -г--------7,~  -5— X — U(X) X +	-- X ту— — X и (Х) =
Л [_ Ьт^-т дх2	' ' 8л2т дх2 ' ' j
th / б»2	с)2 \
= -7-- Ж ------TV ж •
у дх-	дх- J
Легко убедиться (см. § 154, стр. 13) в том, что
так что
[Н 2С\- Л д ___ h д __ V
’	2~хп дх 2к1т дх т
Итак, мы получили
i = £	(174,10)
—известное соотношение классическом механики.
Положим теперь, что р~р£\ тогда
^=(Я, Л1 = -^ (ИРх-ЛЯ)-
Учитывая, что ~ коммутирует с и не коммутирует с U (ж),
находим
(HPx -PxH) 4 = (iz а - A	= _ ф
и
__ dU
dt	дх
(174,11)
— уравнение движения в ньютоновой форме, написанное для опе-
раторов.
72	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. XII
Принимая во внимание установленный равенством (174,6)
смысл производной среднего значения по времени, мы видим,
что формулы (174,10) и (174,11) равносильны следующим’
dx р dpv  dU
dt т ’ dt	дх	'
т. с. соотношениям, выражающим теорему Эренфеста.
Мы видим, что задача, поставленная в начале этой главы, —-
развить систему квантовой механики возможно ближе к системе
механики классической — полностью решена. В частности, резуль-
тат этого параграфа можно формулировать следующим образом:
динамические переменные в квантовой механике и в классиче-
ской механике подчиняются одним и тем же уравнениям; раз-
ница только в том, что в квантовой механике эти уравнения
имеют место для операторов (т. с. величин иной математической
природы) и средних значений.
Для того чтобы в ещё большей степени подчеркнуть полную
аналогию между динамическими переменными классической меха-
ники и операторами квантовой механики, мы покажем, что клас-
сические и квантовые скобки Пуассона для канонически сопря-
жённых переменных имеют одно и то же численное значение.
В § 59 мы определили скобки Пуассона для любой пары функ-
ций координат п импульсов /(<?к, /?л), g(qk, рь), где qK и рк —
совокупность всех координат и импульсов, от которых зависят /
и g:
к
В частности, мы показали, что
(?ю Pz) = O, (рК, 7?z)==0, (<ул., ^)-1.
По аналогии с квантовыми скобками Пуассона [Н, F] определим
квантовые скобки Пуассона для любой пары канонически сопря-
жённых операторов
-^{GF-FG) = [G, F].	(174,12)
В таком случае имеем, в частности.
[рх,	(РхК — жрх),
[Ру,	(РуХ-ХРу).
[Рх, Ру] =	~ РуРхУ
§ 175]	ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ	73
Но так как согласно § 167
р,м-хрх = -£-,	(167,6)
РуХ — хру = 0,	(167,5)
РтРу—РуРх = ®,	(167,3)
то
\Ру> «1 = 0, [рх, Ру\=Ъ
в точном соответствии с численными значениями скобок Пуассона
в классической механике.
§ 175. Законы сохранения
В классической механике мы имеем ряд важных законов
сохранения. Таковы законы сохранения энергии, количества дви-
жения, момента количества движения. В квантовой механике
имеют место те же законы сохранения.
Пусть оператор некоторой механической величины F не зави-
сит явно от времени
где q и р — совокупность всех координат и импульсов. Произ-
водная по времени среднего значения F согласно предыдущему
параграфу равна
% = \ЯГг\	(174,6)
или в явном виде
= (HF—FH')^dx.	(174,2)
Мы видим, что производная по времени среднего значения F
будет равна нулю, а следовательно, само среднее значение будет
постоянным F = const, в том и только в том случае, если
HF—FH=0.	(175,1)
Итак, необходимое и достаточное условие постоянства среднего
значения F есть коммутативность оператора F с оператором
энергии Н.
Для того чтобы понять смысл условия (175,1), применим его
сначала к случаю, когда система находится в состоянии, описы-
ваемом собственной функцией оператора F. Итак, пусть при
любых значениях координат
Fb = дф.
74
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[гл. XII
Дифференцируя по времени и принимая во внимание, что F не
fdF гЛ
.зависит явно от времени ( — = О j , имеем
<Эф rfk ,
—• ==- —;— О 4- А ~~~~~
dt dt 1 ol
или, так как
_^н-ф,
dt h 1
получаем
-^h=—
Но если F коммутирует с H, to
FHty = FCF^ = к№>,
и мы получаем
d\	,
—- = 0, A = const.
dt
Итак, если система находится в состоянии, описываемом соб-
ственной функцией оператора F, т. е. если динамическая пере-
менная имеет определённое значение X, и если оператор F
коммутирует с Н, то это определённое значение X сохраняется
во времени.
Приведём два примера.
1.	Пусть мы имеем свободную частицу. Оператор ТТ в этом
случае таков:
тт=h2 d2_
8п2т dx2 '
Мы знаем, что собственные функции оператора рх — составляю-
щей количества движения
_ h д
%>х 2гЛ дх
. 2 тс
г 1г Х ' Pj:
таковы: ф — е . Имеем
7г дф
п = АЛ
2кг дх 1 х 1
Но операторы Н и рх в данном случае, очевидно, коммутируют
Нрх=рхН,
а следовательно, по предыдущему
cZ D х л
-~ = 0 и рх = const.,
dt	’
§ 175]
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
75
т. е. проекция количества движения свободной частицы постоянна:
закон сохранения проекции количества движения для частицы,
не подверженной действию сил, имеет место и в квантовой
механике.
2.	Так как оператор энергии, очевидно, коммутирует сам
с собой, то во всех случаях, когда состояние системы описывается
собственной функцией оператора энергии, т. е. когда имеет место
,£Гф = Ety,
должно быть также
АЕ fy	т-1	.
-Т- = О, Л = const.
at
— закон сохранения энергии.
Если ф не является собственной функцией оператора F, то
динамическая переменная F не имеет определённого значения.
Поэтому и законы сохранения в этом случае должны быть фор-
мулированы иначе. Прежде всего из условия коммутативности
оператора F с оператором энергии Н вытекает постоянство сред-
него значения F. Однако в этом случае не только средние значе-
ния, но и вероятности определённых значений F не зависят от
времени.
Действительно, согласно § 167 из условия
HF FH	(175,2)
следует, что операторы И и F имеют общие собственные функции
Н^п — Entyn,
Ftyn =
Но мы знаем, что собственные функции оператора энергии опи-
сывают стационарные состояния (§ 172), а в стационарных состоя-
ниях зависимость от времени выражается множителем е h п .
Пусть мы теперь имеем какое-нибудь произвольное состояние,
описываемое функцией ф (я, Z). Его можно представить как супер-
позицию стационарных состояний
—г —Е t	-i—Et
Ф (х, t) = С1ф° (х)  е г h 1 + С2ф° (х) • е 1 h 2 + .. .
-г^ Ent
• • •	' е +  • •	(175,3)
В самом деле, при t = 0 этот ряд принимает вид
ф (х, 0) = е^о (ж) + с2ф° (ж) + ... + спф° (я) +   - ,
где правая часть представляет разложение функции ф(я, 0) по
ортогональным функциям ф° (ж), ..., ф° (я), . . • (см. § 158). Коэф-
фициенты разложения q, с2, ... имеют тот смысл, что квадраты
76	ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	[гл. хи
их модулей | сп |2 представляют собой вероятности определённых
значений Еп, а следовательно, и в момент t = 0. Обозначая
-г^ Еп1 . .
cne h = cn(t),
можем переписать ряд (175,3) в виде
<1> (ж, г) = а (г) 6} (ж) + с2 (г)	(я) + ... + сп (г)	(ж) + ...,
причём квадраты модулей | сг (Z) |2, ... будут вероятностями
определённых значений механических величин в момент t. Но оче-
видно, что
• 2 тс _	. 2тс
IMO|2 = ^(O) е'* п -cn(Q)e~1^ <п = |сп(0)|2.
Итак, квадраты модулей коэффициентов сп (0 не зависят от
времени
I сп (0 12 = const.
Но это и означает, что вероятности определённых значений F
не зависят от времени.
ГЛАВА XIII
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
§ 176. Момент количества движения
В этой главе мы займёмся изучением важной задачи квантовой
физики: движением в поле центральных сил.
При изучении центрального движения материальной точки
в ньютоновой механике важную роль играет механическая вели-
чина-момент количества движения относительно неподвижного
центра (для краткости мы будем его иногда называть угловым
моментом или моментом импульса). Такую же важную роль
в квантовой механике играет оператор момента количества, дви-
жения. Операторы составляющих момента количества движения
в декартовых координатах таковы (§ 161):
т h f д д\ А
~ 2та V Z Sy)’
z =±(z±-XyY У	(176,1)
y 2tci у дх dz J	'
т h f d d\
Jj. =	( X .j-у у- ) .
-	2^1 у ду v дх J J
В этой главе нам часто придётся пользоваться сферическими
полярными координатами. Мы начнём поэтому с вывода необхо-
димых формул в этих координатах. Выпишем для удобства фор-
мулы перехода к сферическим координатам от декартовых
и обратно:
х = г sin 0- cos ср, у = г sin {} sin ср,	z = rcos 0, А
—Гб—2 ч	z	<- У / (176,2)
т=у ^2 + y24-z2, 0- — arccos г	, ср —arctg—. |
У X2 -г у2 + Z2	х I
Можно бы теперь, конечно, произвести замену переменных
в формулах (176,1) по обычным правилам дифференциального
исчисления. Однако мы гораздо быстрее достигнем цели следую-
щим образом. Напишем полный дифференциал Ф, рассматриваемой
как функция х, у, z:
dty = dx + dy + у* dz.
т дх ду y dz
78	ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ	[гл. XIII
Совершим теперь переход к полярным координатам, пользуясь.,
формулами преобразования (176,2) и полагая, что гиб- оста-
ются постоянными, а изменяется только ср:
<?ф_<?ф	дх	<9ф	ду	д у	dz__
<9cf>	дх	сф	'	ду	ду	dz	ду
дЬ . 0 .	. дф • а	<Эф <Эф
= —	г sm 8- sin ср 4- г sm 8- cos у = х = — у .
дх	1	ду	1	ду	° дх
Но согласно (176,1)
, h ( д -Ь	дЪХ
Z4 = 75— х — у ,
~ ‘ 2ki \ ду 3 дх у
а потому
A Q
(176,3)
2 2.тл ду	\	/
Теперь положим, что г п <? остаются постоянными, а меняется
только •{). Аналогичное вычисление даст тогда
^ = ctg9(^ + yg)_tg9z!g.	(176,4)
Умножим вторую пз формул (176,1) на i и сложим с первой;
после небольших вычислений найдём, применяя полученный опе-
ратор к любой функции ф,
{Lx+iLe)ii^~[iz^j + zd/x-(x + iy)^'] .	(176,5)
Принимая во внимание, что
х 4- ъу = г sin 8 (cos ср 4- i sin ср) = re^ sin О,
z = r cos 8-,
вычисляем
(X„ 4- z'XA = Д е1:“ (ire-W cos 8^4- re~^ cos 8 Д — r sin 8-	=
4 x 1 y' 1	2^	\	dy	dx	dz J
= ^eip [и® —гЦс18й4? + ^~г^с18а'	,'sin84r] =
= A [ etg + у - tg &Z + i etg » (x - у ]
и окончательно, принимая во внимание (176,4) и зачёркивая
функцию,
x. + ^ = 24^(A + /ctg8A), (176,6)
Аналогичным путём найдём
Lx — iLy= — 2^е г? — г etg .	(176,7)
§ 176]
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
79
При помощи формул (176,6) и (176,7) можно быстро найти опе-
ратор квадрата момента количества движения. Легко проверить,
что (см. упражнение 5 в § 154)
Z2 = Ъ* + Ly + z? =
= )- (Z* + <'Z„) (Z.r - (Z.J +1 (Z„- iLv) (Lx + iZ„)-|-Zl. (176,8)
Для вычисления этого оператора следует воспользоваться фор-
мулами (176,6), (176,7), (.176,3) и внимательно выполнить диф-
ференцирования, точно соблюдая указанный порядок операторов-
сом иожителей. Н а пр и мер,
(£ъ. -f- iLy) (Lx iLy) ф —
= - £ & 64 + г- ctg 9 44 m / etg » 4Ш =
4к2	& dy) t \ 39	3? J j
Л2 /32ф . . - <Эф . . 2 q 320 , . с?ф \
= — -r-z ( “ + clg ft ту + ct'g 4 - 4- г ).
4tc“	° oi) °	3?- д'-p J
Вычислив таким же способом остальные два оператора (см. упраж-
нение 3 в конце параграфа), подставив в (176,8) и произведя воз-
можные сокращения, получим
Т2	, F q д ,	1	<92\
jLr —----7—2 ' ~'<v> 4~ Ctff V 77, 3 :—77) 77"5 )
4тс2 \о92	&	39 Sin29 З?2/
или в более компактном виде
л2 г 1 з / . „ з \ , 1 з2 1	m
Z2 = — .7 >	sin9 ~ )4- -. ,-q 7-тг}• •	(1/6.9)
4e2 l sin 9 39 \	39J	sin2 9 З?2 J 4	’
Оператор
Д = —	+	}	(176,10)
lsin&&0\ о9/ sin2 0 3?2 j	v '
называется оператором Лежандра. Он играет большую роль
в теории шаровых функций и во всех вопросах математической
физики, в которых встречаются эти функции. При помощи обо-
значения (176,10) запишем кратко
Лг = £л-	(176,11)
Упражнения: 1. Пользуясь формулами (176,2), показать, что
д • <1	, 1	„	9	1 sin о д
—=sm Ocos ф 75-3 cos 9 cos -------------.—£ ж ,	(176,12)
дх	1 дг г	‘ 59 г sin 9 <Эср	4	'
5	.	. д 1	Э Х. cos? д
т- = sin 9 sin ф — 4-cos 9 sin ф 4-----—£ 7- ,	(176,13)
ду	1 дг	г	т <59	г sin 9 <Э?	’
A = cos&2 — Asin 9 4-	(176,14)
dz дг г <59	•
;80
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
2.	Прямым преобразованием координат показать, что операторы соста-
вляющих Lx, Ly, Lg в полярных координатах выражаются формулами
(sin’Д + с‘89с°3,,Д),	(1’6,15)
х“=2^(с0!!'гД~с‘89!Йп’,Д} ’	(‘,6’16)
<1’6>‘7>
[Указание. Следует воспользоваться формулами (176,12) — (176,14).]
3.	Доказать, что
(Ьс- iLy) (Lx + iLy) ф = - А-2	+ cig О + cig2 & —i .
4.	Показать, что каждый из операторов упражнения 2 коммутирует
с L2. Видно ли это без вычислений?
§ 177. Свойства момента количества движения
Момент количества движения в квантовой механике обла-
дает некоторыми своеобразными свойствами, к исследованию
которых мы и обратимся. Оказывается прежде всего, что три
проекции Lx, Ly, Lz не могут иметь одновременно определён-
ных значений: если одна из них определённа, то две осталь-
ные неопределённы. Это следует из того, что, как мы сейчас
увидим, операторы Lx, Ly, L, некоммутативны. Для проверки
вычислим, например, произведения LxLy и LyLx и найдём
оператор LxLy-—LvLx.
При вычислении следует помнить, что мы имеем дело с опе-
раторами, и руководствоваться правилами коммутации к ординат
и импульсов (§ 167). Вычисляем:
LxLy = (ypz — zpy) (zpx — xpz) = ypzzpx — ypzxpz — zpyzpx + zpyxpz,
LyLx = (zpx — xpz) (ypz - zpv) = zpxypz - zpxzpy — xpzypz + xpzzpv,
LxLy — LyLx = у (pzzpx — zpxpz~) 4- x (zpypz — pzzpy).
Далее, пользуясь правилом коммутации
h
Pzz-zpz = ^.,
получим после упрощений
LxLy LyLx 	h i = ^t(yp--		(177,1)
Аналогично найдём и два	остальных	соотношения:	
LyLz	LzLy = -	_A r 2™ L*'	(177,2)
LZLX	— LXLZ = -	h T	(177,3)
§ 177]	СВОЙСТВА МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ	81
Итак, некоммутативпость операторов Lx, Iju, Lz доказана, а тем
самым (§ 167) показано, что Lx, Ly и Lz не могут одновременно
иметь определённых значений.
Однако каждый из этих операторов коммутирует с операто-
ром X2. Это доказывается так. Умножим (177,1) справа на
+	(177,4)
Второй член в правой части преобразуем вновь при помощи
(177,1):
так что
—^(L.Ly + JjyL.). (177,5)
Умножая теперь (177,3) справа на Lz, получим аналогичным
путём после повторного применения той же формулы (177,3)
z.,z? = a z„z + z2zvz. = a (z„z= + z2z„) + zfz,,
откуда
—liLx = ^.{L.Lv + LVL.).	(177,6)
Складывая (177,5) и (177,6), находим
Z,. (Z? + zb - (Z; + zb Zx = 0
или также
откуда, наконец,
Z.tX2-X2X.r = 0.	(177,7)
Вследствие симметрии имеют место также соотношения
ХУХ2--Х2ХУ= О,	(177,8)
LZL~-L2LZ — О,	(177,9)
Таким образом, оператор квадрата момента импульса имеет
общие собственные функции с операторами каждой из его
проекций. Это значит, что угловой момент и одна из его про-
екций могут иметь одновременно определённые значения.
Докажем теперь, что для операторов L2, Lx, Ly, Lz в цен-
трально-симметричном поле [U — U (г)] имеют место законы
сохранения. С этой целью удобнее перейти к полярным коор-
82	ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТР АЛЬНОИ ПОЛЕ	[гл. X11I
динатам. Оператор энергии в полярных координатах имеет вид
н= д-р	Г4Л1 ч-г»
Ь^-пг [_ г- дг \ дгу г2 J v '
--Л- (£. + - т- 4 д') + Р(г).	(177,10)
По аналогии с обычным оператором лгшейпого импульса
h д
pq = —— цслесоооразно ввести оператор радиального момен-
та j)r, определив его следующим образом:
, h 1 о . ,. h fdj , 1
= Ki 7 <>r № = Ы U t 7 V •
Тогда
2.	Л2 / д , I > ( d , I	Л2 /32j , 2 (Ъ\
Prty — — ~j—r> ( ~r 4 д -- H - ф ) — — 7 — । -у,- - " — -5- ) • (1 / /, 1 1)
*- 1 ц&~\дг r J \j/r	г т у	\ dr- r dr J 4	'
Если, кроме того, принять во внимание, что ~2l\=Lt, то вы-
ражение (177,10) можно будет переписать в виде
-H = 27>G^+71=Z?)+FW’	(177J2)
т. е. в том же виде, в каком может быть написана функция
Гамильтона для движения в центральном поле. Докажем, что
оператор любой составляющей момента количества движения,
например L., коммутирует с IP. Имеем, применяя операторы
к любой функции d) (г, !}, ср),
i (Т2 +Р) + г о ]
Но так как оператор Ij. есть 4- -4 , то он действует только на
1	1	2.К1 дэ
функции ср, тогда как р? п U(г) действуют только па функции г.
JI оэтому, оче видно,
РЮ АФ= ЦГ(г)<?.
Кроме того, по (177,9) Pz коммутирует с L2. Итак,
HLZ = JL.II.
Принимая во внимание, что п операторы Lx, Ри также
действуют только на функции углов и коммутируют с Р~, видим,
что все эти операторы коммутируют с оператором энергии.
Но это означает, согласно § 175, что как численное значение
момента количества движения, так и любая его проекция
сохраняются во времени.
Выше мы видели, однако, что только одна из проекций L
может иметь определённое значение (например, L_), тогда как
§ 178] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ЗНАЧЕНИЯ КВАДРАТА МОМЕНТА 83
две другие остаются при этом неопределёнными. Так как,
с другой стороны, X2 и Lz коммутируют с И, то мы можем
утверждать (см. § 167), что все три оператора i2, Lz и II имеют
общие собственные функции, а потому численное значение
момента количества движения, одна из ого проекций и энергия
могут иметь одновременно определённые значения.
§ 178. Собственные функции и собственные значения
квадрата момента количества движения
Найдём собственные функции и собственные значения опе-
раторов L2 и Lz. Оператор Z2, как мы видели в § 176, ость
Л2 = ^Л.	(178,1)
Таким образом, задача сводится к отысканию собственных
функций оператора Лежандра А, т. е. к отысканию решений диф-
ференциального уравнения
АУ = /.У.	(178,2)
В раскрытом виде уравнение (178,2) таково [см. формулу (176,10)]:
1 д ( . Q ау\ ,	1 а2У . . v n	.,_Q 0.
7—sin&^-+аУ = 0.	(178,3)
Но это — известное из математической физики уравнение для
шаровых функций*). Шаровыми функциями вообще называются
однородные полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа
Ая = 0 пли в декартовых координатах
Перейдём в этом уравнении от декартовых координат к поляр-
ным. Мы получим [см. т. I, формула (124,6)]
д / 9 ди\ 1 д f ~ ди\ 1 д2и ~	. _Q -
5-1 Г- з- +	( Sill»™ )_р——- - =0.	(1/8, о)
дг у dry	sin2 0 ду2	v 7
При переходе от декартовых координат к полярным в однород-
ном полиноме степени I, удовлетворяющем этому уравнению,
т. е. при замене в полиноме х, у, z соответственно через
г cos ф sin 0, г sin о sin 0 , r cos !) , полином примет вид
u = rlY (Я, <р),	(.178,6)
*) См В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III, часть 2,
гл. VI, Гостехиздат, 1949. Теорию шаровых функций в виде, приспособлен-
ном для целей квантовой механики, см. В. А. Фок, Начала квантовой
механики, стр. 117—126, Кубуч, 1932.
84	ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ	[гл. XIII
где У (О, ср) — полином, содержащий cos ср, sin ср, sinf) и cosf>.
Подставим (178,6) в (178,5). Имеем, прежде всего,
£ С2 s)=z<z+1)r'y <»’*)•
Уравнение (178,5) после сокращения на г1 принимает, таким
образом, вид
7/7 > 1\V ।	1 д С • Ч^УХ ,	1 д2У л
I (I 4-1) Y + --—0 -^ ( sm & чк- ) +	= 0.,
v ’ sin&d&v 5& J 1 sin2 fid?2
Сравнивая это с (178,3), видим, что
А = 1(1 + 1).
Итак,
Au. = I (I + 1)и,
а следовательно, по (178,1) собственными значениями квадрата
момента количества движения являются числа
L- = I (I + 1)	(Z — целое число).
Из этого следует, что момент количества движения по своей
величине может принимать значения
Ь = /Ф+Т)А,	(178.7,
где целое число I есть квантовое число момента количества
движения. Поскольку, однако, непосредственно находятся соб-
ственные значения L-, мы ещё ничего не можем сказать отно-
сительно вектора L.
Собственные функции оператора Лежандра суть функции
У’(О', ср). В теории шаровых функций*) даются общие формулы,
при помощи которых можно вычислить однородные полиномы
любого порядка, являющиеся решениями уравнения Лапласа
(178,5). Нам, однако, понадобится очень ограниченное число
этих полиномов, ввиду чего мы не станем заниматься выводом
общих формул, но получим несколько нужных нам решений
непосредственно. Для этого мы вернёмся к уравнению Лапласа
(178,4) в декартовых координатах и перейдём от перемен-
ных х, у, z к следующим новым переменным:
$ — х 4- iy, 7j=x — iy, z.
*) См., например, В. II. Смирнов, Курс высшей математики, т. III,
часть 2, гл. VI, Гостехиздат, 1949.
§ 178] СОПСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ЗНАЧЕНИЯ КВАДРАТА МОМЕНТА 85
Имеем
ди ди dt,	ди др  &и
дх dt, дх dq дх dt, dq ’
д2и д / ди ди \ dt, д /ди ди\ dq _ д2и , () д2и д2и
дх2	’ dq/дх	dq) дх dt2~^ д£ dq dq2
а 11 а ло гично найдём
д2и ____________________ д2и ! д2и
ду2 dt,2 dz dq
Уравнение (178,4) теперь примет вид
4^_ + 2!± = о.
dt dq dz2
By дем искать решения этого уравнения в
помов различных
полином нулевой
которая, конечно, удовлетворяет уравнению (177,8). Однородный
полином первой степени есть
их — at; + Ьр 4- cz.
Подставим его в (178,8). Так как
п и д2"1 — о
W = o
то, очевидно, полином (178,9) удовлетворит уравнению
при любых постоянных коэффициентах а, Ь, с. Иначе
мы имеем три линейно независимых решения первой
£, 4 и z.
Однородный полином второй степени есть
к3 = а£2 4- bq2 4- cz2 4- dkp 4- etz р /qz.
д2и
W •
dz2
виде однородных нолп-
степеней в переменных $, р, z. Однородный
степени есть, очевидно, постоянная uQ = const.,
178.9)
говоря,
степени
(178,10)
Подставляя его в (178,8), получим одно соотношение для коэф-
фициенте с, а именно,
2d 9- с = 0.
так что d — —с и
и.-> = а
 2 __________________________
Это решение есть линейная комбинация следующих линейно не-
зависимых полиномов второй степени:
I2, q2, z2 — -g-£4, cz, pz.	(178,11)
Мы имеем, таким образом, один полипом нулевой степени, три —
первой степени и пять — второй. В упражнении к этому пара-
86
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
графу читателю предлагается убедиться, что существует семь
однородных полиномов третьей степени, удовлетворяющих уравне-
нию (177,8), а в общей теории шаровых функций доказывается,
что существует вообще 2Z + 1 линейно независимых однородных
полиномов степени I, удовлетворяющих уравнению (178,8). Нам,
однако, ио понадобятся полиномы выше третьей степени.
Упражпсипс. Доказать, что уравнению (178,8) удовлетворяют
следующие семь липеппо независимых однородных полиномов третьей
степени:
V,	2-е— -С--Р 3-7] — — гД, Z'! ——• С7]3.
§ 179. Собственные функции и собственные значения
оператора проекции момента количества движения
Обратимся теперь к оператору	Для отыскания
его собственных функций следует найти удовлетворяющее стан-
дартным условиям решение уравнения
Искомое решение с точностью до произвольного фазового мно-
жителя eis есть
0 =	(179,2)
Это решение во всей области изменений ф (т. е. от 0 до 2тс),
очевидно, удовлетворяет условию ограниченности. Но так как
ф — переменная циклическая, то следует найти условие одно-
значности решения. Оно будет однозначным, если
г-—(?+2^)2
е h =е 11
или
Но это может быть только в том случае, если
2тс ,	.
-г'-=±т-
где т — целое число (включая нуль). Итак,
=	(w = 0, 1, 2, ...).	(179,3)
§ 180] ОПИСАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СОСТОЯНИИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
87
Из этого следует, что при измерении ^-составляющей момента
количества движения должны получаться числа, являющиеся
целыми кратными ™ . По причинам, которые выяснятся в даль-
нейшем, целое число т называется магнитным квантовым числом.
§ 180. Описание различных состояний в центральном поле
В § 178 мы нашли ряд однородных полиномов, удовлетворя-
ющих уравнению Лапласа в переменных £, 4, z, т. о. уравнению
Для того чтобы получить выражения собственных функций
оператора L- в удобном для наших целей виде, нам остаётся
только перейти в этих полиномах к полярным координатам.
Однородный полипом степени / при переходе к полярным коор-
динатам принимает вид
н =	(I)-, <?)•	(178,6)
Такое решение уравнения Дн —О называется объёмной шаро-
вой функцией. При г —1 получаем поверхностную шаровую
функцию К (<), ср).
Заметим, прежде всего, что так как численные значения
момента количества движения равны ]/ I (I 1) ~ , то различ-
ным I соответствуют и состояния с различными моментами коли-
чества движения. В атомной физике принято обозначать эти
состояния буквами р, d, j, . . . по следующей схеме *):
Z = 0, 1, 2, 3, . . .
состояние $•, р, d, f,.. .
Рассмотрим эти состояния каждое в отдельности.
Состояние s. Здесь I — 0. Полином п0 есть постоянная
и0 — const.
Момент количества движения, очевидно, равен нулю.
Состояние р, Z=l; полиномы таковы: £, 4, z. Переходим
к полярным координатам, пользуясь формулами (176,2):
с = х iy = sin 0 (cos ср 4- i sin ср) _ sin f) ei?,
4 - x — iy -- sin & (cos cp — i sin -p) — sin 1) e~i?,
z = cos 0.
*) Эти символы имеют историческое происхождение. Они связаны
с открытым до возникновения квантовой механики существованием
нескольких типов термов, обусловливающих возникновение спектральных
серий щелочных металлов (см. § 186).
88
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. Х111
Легко убедиться теперь в том, что найденные нами собственные
функции квадрата момента количества движения являются
в то же время собственными функциями ^-составляющей момента
количества движения. В самом деле, действуя на три найденные
г	h д
функции оператором , получаем
^^(sinOei’)=-5r(sin&ei?)>
Ж (sin 8(si" 8
Итак, в состоянии р проекция момента количества движения
на ось z может принимать три значения:
2 TH
h
2п ’
а численное значение момента количества движения равно
г 2л
Состояние d, 1 — 2\ полиномы (см. стр. 85) таковы:
t2 = (х + zy)2 — sin2 О (cos ср + i sin ср)2 =
= (cos 2ср + i sin 2ср) sin2 О = ei2? sin2 0,
42 = (x — iy)2 = sin2 0 (cos cp — i sin cp)2 =
= sin2 0 (cos 2cp — Z sin 2cp) =•_	sin2 0,
Z2 — у c7) = z2 — у (ж у iy) (ж „ iy} =	_ _L (^2 у у-}
= cos2 0 — sin2 0= 2- (2 cos2 0 — sin2 0) - у (3 cos2 0 — I),
ts --= (x 4- iy) z = ei<? sin 0 cos O',
'f]Z = {x — iy) z — sin 0 cos 0.
Численное значение L в состоянии p равно ]/ 6 ~. Возмож-
ные значения проекции L„ найдём так же, как в предыдущем
случае; они таковы:
I о	л__л_____________________9 Л 
+ 2 2г. ’	+ 2т; ’	2тг ’	“ 2тс ’
всего пять возможных значений.
§ 180] ОПИСАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ В ЦЕНТРАЛЬНОМ НОЛЕ
89
Состояние /, I — 3. Все вычисления должны быть выполнены
читателем самостоятельно (см. упражнение к § 178). Результат
таков: полиномы
с3 — е13? sin3 9,
т]3 = e~i3’5 sin3 9,
c2z — ei2'? sin2 9 cos 0,
t/z = e~i2'f sin2 0 cos 9,
z~ t — - £2 r =	e1'? sin 0 (5 cos2 9 — 1),
4*4	4	7
’2 у---2- т-2 Ё _L e-ip sin f) (5 Cos2 {).	] )
4	4	4	'
z3 — zTjZ = cos3 9 — -(г sin2 9 cos 9 — 4- (5 cos3 9 — 3 cos 9).
Момент количества движения численно равен | J 2-^-; семь воз-
можных значении проекции Lz таковы:
Полученные результаты сопоставлены в таблице XXIJI (на
стр. 90), где Ф-функцпн даны в нормированном виде. По поводу
этого нормирования следует обратиться к руководствам но теории
шаро вых функций.
Упражнение. Модель, состоящая из частицы, остающейся всё-
время па одном и том же расстоянии от неподвижного центра, назы-
вается ротатором. Примером может служить вращающаяся двухатомная
молекула, атомы которой жёстко связаны между собой на расстоянии г:
если заменить оба атома частицей, масса которой равна приведённой массе-
обоих атомов и которая всё время находится от неподвижного центра,
инерции на расстоянии г, то получится модель жёсткого ротатора. Дока-
зать, что уравнение Шредингера (уравнение для собственных значений,
энергии) для ротатора может быть приведено к виду
f _J___± ( .. А , _1	;
| sin 9 ей} Vsin у "т sin2 9 d&2 J №
где Т = тг2 — момент инерции ротатора. Пользуясь этим, доказать, что
собственные значения энергии ротатора выражаются формулой

Z = 0, I, 2, . ..
90
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIfl
Таблица XXIII
Со- стоя- ние	z	in	ф-фупкцня	L	Lz	Lx Lu
	0	0		0	0	0	0
р		1 0	]/ 3/<8к sin if Д? ]/~3/4к cos <) 1^3/8^ sin if е~г‘	у 21112т. » »	h! 2 k 0 — h/’ln	неопреде- лённы » »
d	2	2 J 0 - 1 -2	[ r 15/32k sin2 if el2? p 15/8к sin if cos 0 e1'? 1^5/ LGft (3 cos2 if — 1) V 15/8k sin if cos &e~i? ) 15/32k sin2 if e-*2'	6 h 2 к » >> »	2/г,'2к A 2k 0 -h;2r. — 2hf2T.	неопреде- лённы » » » >;
i	3	3 2 0 -I — <)	У 35/64к sin3 ] 105/32k sin2 if cos Or125 J 21/(54тг sin if (5 cos2 if— 1) } 7/1 6k (5 cos3 if — 3 cos if) yz2l/64K sin 0 (5 cos2 if— 1) e~гу } 105/32к sin2 0 cos f) e~i2'? J 35/64k sin3 Ос-'37'	/12Л/2к » » » » » »	oh'2т. 2/г/2к .4; 2k 0 —7г/2 k — 2A/2k -3/z.'2k	неопреде- лённы » » » » » »
§ 181. Пространственное квантование
До сих пор в этой главе наша работа носила преимущественно
ш^чиелцтельный характер. Обратимся теперь к физическому
истолкованию полученных результатов. Эти результаты сведены
в таблице, помещённой в конце предыдущего параграфа. Мы
видим, что момент импульса L имеет определённые значения,
характеризуемые квантовым числом I = 0, 1, 2, 3, . .. и равные
]/' /(/+!)“-; для каждого I имеется, кроме того, 2Z 4-1 зна-
чений проекции момента импульса на ось z, которые являются
.целыми кратными . Остальные две проекции Lx и Ly остаются
§ 181]
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ КВАНТОВАНИЕ
91
неопределёнными. Целочисленность единицах проекции
момента количества движения можно истолковать как квантование
ориентации вектора L, аналогичное тому, с которым мы встрети-
лись уже в нолуклассической теории Бора (т. I, § 106). Имеется,
однако, существенная разница, состоящая в том, что в теории
Бора все три проекции вектора L строго определённы (как в клас-
сической механике), ввиду чего можно говорить об ориентации
этого вектора в пространстве,
делёпна только одна проек-
ция Lz, так что можно гово-
рить только об ориентации L
относительно оси z, тогда
как пространственная ориен-
тация его остаётся неопреде-
лённой. С этой оговоркой мож-
но пользоваться наглядными
рис. 227 и 228, изображаю-
щими пространственное кван-
тование в состояниях р и d.
Ha самом деле термин
«пространственное квантова-
ние» имеет в квантовой ме-
ханике весьма условный
смысл, что вытекает именно
из неопределённости проек-
ций L,K и Ly. Для того чтобы
глубже уяснить себе физическую сущность
смотрим какое-нибудь определённое состояние,
Оператор L2 имеет в этом состоянии три собственные
13 квантовой
0
Л
Ztc
2л:
Рис. 227. Про-
странственное
кваитовапле:
^-состояние.
же механике опро-
О
2—
^Zn:
h
Ztc
__h_
Zn
-2 —
Рис. 228. Простран-
ственное квантование:
(/-состояние.
Р (/=1)-
функции:
этого явления, рас-
например состояние
= sin 1) еР'?, б0 == cos О, ф_ = sin 0 e~i?,
во всем этим трём собственным функциям соответствует только
одно собственное значение L2, равное 3 — . Поэтому в состоянии р
имеет место трёхкратное вырождение.
Вследствие вырождения состояние должно описываться линей-
ной комбинацией трёх функций <Ь,, Ф_, Фо:
= С1Ф++с2ф0-{-СзС_.
Вследствие полной изотропности пространства ни одно направле-
ние в нём до тех пор, пока оно не выделено как-пибудь физи-
чески, нс имеет преимущества перед другими. Поэтому, если мы
хотим узнать проекцию момента импульса на ось z, то нам
необходимо как-то выделить это направление, например, включив
92
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
параллельное ему магнитное поле, и произвести измерение проек-
ции. В результате такого измерения может оказаться, что проек-
ция Lz равна, скажем, 4--^-. Таким образом, состояние после
измерения будет описываться функцией ф+; теперь уже
т- °- ! ci Г2 — 1,
I с-> I2 =! с.з I2 = 0;
проекция Lz примет определённое значение, но о проекциях
Lx и Ly мы ничего сказать не можем (это как раз соответствует
тому факту, что Ф+ не является собственной функцией операторов
Lx и Ly). Если мы теперь захотим узнать проекцию на какое-
нибудь другое направление, то мы должны будем включить поле,
параллельное именно этому направлению. Тем самым предше-
ствующее измерению состояние будет разрушено, и возникнет
новое состояние, в котором определённа будет опять-таки только
одна проекция.
На первый взгляд непонятно, чем объясняется преимущество-
осн z перед двумя остальными. В действительности это преиму-
щество-кажущееся: нп одна из осей не имеет никакого преиму-
щества перед другими. Особое значение оси z в проделанных
вычислениях и рассуждениях объясняется только нашим выбором
переменных £ = я?-f- Zg/, rt = x—iy, z, вследствие которого уравне-
ние Дц = 0 приняло вид
4	+ ~ =0.	(17<8,8)
</0, dq dz-	'
Если бы мы выбрали переменные иначе, например так:
Y = у -j- iz, '(,' — y — iz, то уравнение Лапласа приняло бы вид
+	0	(181.1)
dx- dq dj	'	'
и собственными функциями /^-состояния были бы
х — sin В cos ср, т/= sin Osin ср 4-/cos О,
с'= sin 0 sin ср —Z cos 0.	(1(81,2)
Эти собственные функции оператора X2 были бы в то же время
собственными функциями оператора Lx (но нс Ly и Х_), и опре-
делённые значения 0, 4- имела бы проекция (см. упраж-
нение 1 в конце параграфа), а две другие оставались бы неопре-
делёнными. Наконец, при выборе переменных с"х-\-iz. у,
^' — x — iz определённо]’! оказалась бы только проекция Ly. Чита-
телю настоятельно рекомендуется проделать упражнения к этому
параграфу и самостоятельно убедиться в правильности последних
утверждений.
§ 182]
ГРАФИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
93
Упражнения: 1. Пользуясь выражениями операторов Ly, Lz
в полярных координатах [формулы (176,15)—(176,17)], показать, что соб-
ственные функции оператора L2 (181,2) являются одновременно собствен-
ными функциями Lx с собственными значениями 0, ± Л/2я, но не являются
собственными функциями операторов Ly и _LS.
2. Выбрав в качестве переменных c' — x + iz, у, — х— iz, показать,
'что при таком выборе операторы J.2 и ,Е;; в ^-состоянии имеют общие соб-
ственные функции.
3. Найти собственные функции оператора L2 в состоянии d при выборе
переменных упражнений 1 и 2 и собственные значения оператора Lx
(п соответственно Ly) в этом состоянии.
§ 182. Графические изображения
Для уяснения особенностей центрального движения в кван-
товой механике полезны графические изображения, которые мы
приведём в этом параграфе. Будем рассматривать микроскопи-
ческую частицу, которая обращается под действием центральной
силы около неподвижного центра, оставаясь всё время на одном
,п том же расстоянии от него (ротатор). Вспомним, прежде всего,
что макроскопическая частица, подчиняющаяся классической меха-
нике, при таком обращении всё время остаётся в одной плоскости,
т. с. обращается по кругу, и её вектор момента количества дви-
жения сохраняет своё положение в пространстве, нормальное
к плоскости орбиты.
В квантовой механике, как мы знаем, пространственная
ориентация вектора момента количества движения в известных
пределах неопределённа. Поэтому всегда имеется отличная от нуля
вероятность найти частицу в точках, не лежащих в одной пло-
скости, а в состоянии s, как мы увидим, при определённом рас-
стоянии от центра имеется даже одинаковая вероятность найти
частицу в любом месте поверхности сферы.
Ввиду этого графики, которые приводятся в дальнейшем,
•изображают вероятность нахождения частицы на сфере, а не
на плоскости. Так как радиус сферы остаётся постоянным, то его
можно положить равным 1. Интересующая нас вероятность равна
w dz = 6*6 da = 6*6 sin 0 dQ dv,	(182,1)
где dz — элемент поверхности сферы единичного радиуса. Явные
выражения для 6-функции при различных I и т приведены
в таблице XXIII. Их можно записать в виде
где ЛГф — нормирующий множитель функции Ф(,,, а Вц т — часть
собственной функции, зависящая только от угла Я (включая нор-
мирующий множитель). Легко видеть, что ] J = у/ ~ . Действи-
94
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
тсльно, условие нормирования функции Фт есть
2г.	2г
Ф*Ф„,й<?=|:У,|2 ( d'f = 2» I Л', j2,
б	б
откуда I	• Принимая это во внимание, имеем
гс dv —	= [0г5 m]2sin8 d\) dy. (.1.82,2)
Мы видим, что в этом выражении исчез множитель, зависящий
от о. Это указывает ла то, что имеется одинаковая вероятность
/	f X
( равная j нанти частицу в одном и том же интервале дол-
готы dy у любого круга шпроты. Ввиду этого целесообразно про-
интегрировать (182,2) по ф от 0 до 2-. Полученная формула
[Нг> m]2 • 2usin 8 до-
даст тогда вероятность найти частицу в любом месте сферы между
кругами широты 11 и 8 -4- с/8. Так как, наконец, площадь сфери-
ческого иояса между этими кругами равна 2к sin 8 di'r, то искомая
вероятность, отнесённая к единице площади сферы, есть
„.I2,
причём функция [0Z; очевидно, и будет характеризовать
распределение частиц на сфере по широте. Для получения этой
функции при различных значениях I и т следует умножать
иа 2- произведения О* ф, составленные по таблице XXIII. Мы полу-
чим таким путём таблицу XXIV.
В последнем столбце таблицы приведены суммы плотностей
вероятности [0t> m]2 для всех возможных значений т при дан-
ном I. Как видно, всегда выполняется требование
m = H I
2 [Hl, zn]2= COllSt.
in .=-1
На рис. 229 приведена полярная диаграмма функции [Нз,з]2-
Эта функция относится, следовательно, к /-состоянию (Z = 3),
причём именно к том из семи возможных для /-состояний
случаев, когда s-составляющая момента импульса равна
h
+ 3 (m = 3). Две плоские орбиты теории Бора в этом случае
должны бы быть ориентированы так, чтобы вектор момента
импульса был параллелен (для знака +) или аптипараллелеп
§ 182]
ГРАФИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
95
Т аблпца XXIV
1	т	Рь т]2	m=+; 2 ю.»>г m — I
0	0		_1_ 2
1	±1 0	sin2 & 4 cos2 &	_3_ 2 5 ~2
2	J-2 ±1 0 ±3 + 2 0	sin1 0 16 ~ sin2 ft cos2 ft 4- <3 cos2 ft — I)2 О — sin6 0 и 2 10a .	. j,	on sin4 ft cos2 0 lb ~ sin2 ft (5 cos2 ft — I)2 7 — (5 cos3 ft — 3 cos ft2)	
			7 2
(для знака —) оси z (вертикальная линия 180э—0°). Полярная
диаграмма рис. 229 построена так, что если провести рад ну с-
0 10203040 50 SO 70
180
Рис. 229. Полярная диаграмма распределения плотно-
сти вероятности [1-)( (/1]2 при /п=-у / для / = 3.
вектор из центра к любой точке кривой, то длина отрезка
до пересечения с кривой даст плотность вероятности найти частицу
96
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. ХШ
на сфере в любом месте круга широты, соответствующего углу Ь
между радиусом-вектором и вертикальной осью (ось- z). Мы видим,
что для {)—90°, соответствующего ориентации боровских орбит,
вероятность на самом деле имеет максимальное значение, но она
отлична от нуля и для других углов. Таким образом, ни о какой
плоской орбите здесь говорить не приходится, хотя «размытое»

Wz/J
wzzi
Рис. 230. Полярные диаграммы плотностей вероят-
ности [0; т]г при т= I для l — Q, I, 2.
соответствие с ориентацией! боровских орбит имеется. На рис. 230
приведена серия полярных диаграмм )П]'2 для состояний, ана-
логичных рассмотренному, т. е. когда w = iZ. Этот рисунок
интересен тем, что он показывает улучшающееся соответствие
с теорией Бора по мере возрастания /: при Z —0 (^-состояние)
нет никакого соответствия, диаграмма — круг; с увеличением I
диаграмма становится всё более сплющенной, и, следовательно,
распределение частиц концентрируется всё в большей степени
вблизи плоскости ориентированной боровской орбиты.
Рис. 231 иллюстрирует то же для всевозможных случаев про-
странственного квантования в состояниях s, р, d и /. Под каждой
диаграммой изображена такая ориентация боровских орбит, при
§183] НОРМАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА	97
которой проекция момента количества движения имеет соответ-
ствующее значение ^например, i 2 для I = 2, т = 2 и т. д.^.
Здесь опять-таки видно, что за исключением состояния 5, во всёх
остальных случаях соответствие между распределением вероят-
ности и ориентацией орбит имеется: максимальная вероятность
Рис. 231. Полярные диаграммы плотностей вероятности и пространствен-
ное квантование.
всегда соответствует ориентации плоской орбиты. Однако во всех
случаях наблюдается отмеченная выше размытость. Напомним,
что для получения пространственного образа надо представить
себе тело вращения, возникающее путём вращения изображённых
фигур около вертикального направления.
§ 183. Нормальное состояние водородоподобного атома
Обратимся теперь к решению задачи о движении электрона
в поле положительно заряженного ядра с зарядом -4-Ze. Сила,
связывающая электрон с ядром на расстояниях порядка атомных
размеров (^10~8 см), есть кулопова сила притяжения. Соответ-
ствующая ей потенциальная энергия есть
Г
(183,1)
98
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
Наша задача состоит в решении уравнения для собственных
функций и собственных значений оператора энергии, т. е.
в решении уравнения Шредингера. Поскольку в данном случае
поле — центральное, естественно воспользоваться сферическими
полярными координатами. Оператор Лапласа в этих координатах
имеет вид
л 1 д С ч э \ ,	1 д f .	д \ .	1 а2
д "" г2 dr V дг) + г2 sin 9 аа <sin av + ?2 sin2a а?2 •
В этом параграфе мы займёмся решением задачи для случая
низшего энергетического состояния, т. е. нормального состояния.
Это состояние, очевидно, характеризуется наименьшими значе-
ниями квантовых чисел, в частности — квантового числа момента
количества движения I. Ему соответствует, следовательно, зна-
чение Z = 0, т. с. состояние s. Но это состояние характеризуется,
как мы уже знаем, полной сферической симметрией, так что
функция ф будет зависеть только от радиуса-вектора г и не будет
зависеть от углов 0 л ср. Поэтому члены, содержащие производные
по О и ср в операторе Лапласа, равны нулю, и уравнение Шре-
дингера принимает вид
+	+	=	<183.2)
Введём сокращённые обозначения
= ^ze2 = a.	(183,3)
Перепишем с этими обозначениями уравнение Шредингера (183,2),
выполнив дифференцирование, указанное в первом члене. Мы
получим
^ + 4f+(l+^)'? = 0.	(183,4)
Простейшее решение этого уравнения, имеющее конечное значение
при г- 0 и стремящееся к пулю при г—>сс, есть
Ф =	(183,5)
Действительно, имеем, прежде всего,
Принимая это во внимание, получаем после подстановки в (183,4)
и сокращения на e~zr
§ 183]
НОРМАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА
99
пли
Р+0 + (-2s + 2a) А-0.
Это соотношение должно иметь место при любом г, вследствие
чего оба двучлена, взятые в скобки, должны равняться нулю
каждый в отдельности, откуда
г2 = — а , з — а.
Принимая во внимание значения 'к и а ио (183,3), получаем
после простых вычислении
Сравнивая с формулой Бора для бальмеровых уровней энер-
гии (т. I, § 100)
£"=------<100’5)
видим, что полученнее нами выражение Ег есть не что иное, как
первый бальмеров уровень, соответствующий главному квантовому
числу п=1. Наше состояние s характеризуется, таким образом,
квантовыми числами тг=1, Z —0; оно обозначается символом 1s.
Полагая Z=1 в формуле для Ег, получим энергию водород-
ного атома в нормальном состоянии. Будучи взята с обратным
знаком, она равна энергии ионизации атома водорода
т _	у-, _2^2?пе4
/ = — ^1= Д2 .
Подставляя сюда численные значения констант и разделив ещё
на 1,6 • 10~12 для перехода от эргов к электрон-вольтам, получим
2 • 9,86 • 9,11 • 10"28 • 5308 • 10“39
43,82 • 10“54 • 1,6 • 10“12
13,6 eV
— число, хорошо совпадающее с экспериментальными данными.
Вычислим теперь вероятность нахождения электрона в элементе
объёма dt. Обозначая через N несущественный пока для нас
нормирующий множитель, имеем
w (г) dt — I V |2 О2 dt = | N |2 е~->£Гг2 sin 0 d0 tZcp dr.	(183,6)
Вероятность нахождения электрона на расстоянии между г
и г Ц- di' от ядра в любом направлении получится, если проинте-
грировать (183,6) по углам
2% к
w (г) dr — pV |2 r2e~2sr dr\ dy sin 0 db •== j N |24тгг2е~2ег dr. (183,7)
о 0
100
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
Очевидно, что постоянная г должна иметь размерность см О
Введём новую постоянную а1} связанную с г соотношением
s =	(183,8)
а1
Тогда
_2г
w (г) dr ~ 4л | N j2 г2е dr.	(183,9)
Плотность вероятности w (г) обращается в нуль при г — 0 и асим-
птотически стремится к нулю при г—>оо. Таким образом, вообще
говоря, имеется определённая вероятность найти электрон на любом
расстоянии от ядра — между 0 и ос. Вычислим теперь расстояние,
на котором эта вероятность достигает максимума. Дифференцируя
(183,9) по г и приравнивая нулю производную, получаем (после
“2а“
сокращения иа е 0,1 )
2г —2г2 — = 0,
ai
откуда
Г max —	•
Принимая во внимание, что — ~ и что а = ——> находим
“.=4^5-	(183,10)
Как видно, длина а1 выражается через универсальные кон-
станты е, т, h. С таким выражением мы уже встречались в тео-
рии Бора [см. т. I, § 100, фор-
мула (100,4)], где было най-
дено, что радиус первой водо-
родной орбиты как раз равен
длине аг (рис. 232).
Азимутальное квантовое чис-
ло теории Бора связано с
квантовым числом I соотноше-
ние. 232. График функции /) = ^г2 нием Z+1, так что для
[2? (г)]2 для состояния is. 1 — 0 тгэ=1. Соответствие с тео-
рией Бора имеется, таким об-
разом, и здесь, однако не следует забывать, что состояние 1s
характеризуется сферической симметрией, так что распределение
вероятности представляет собой сферическое «облако», но отнюдь
не плоский образ, соответствующий «орбите». Далее необходимо
иметь в виду, что в состоянии 1s момент количества движения
равен нулю, и, следовательно, мы имеем дело с чисто радиаль-
ным движением.
§ 183]
НОРМАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА
101
Вычислим ещё средние значения некоторых величин для со-
стояния 1s. Для этого нам нужно прежде всего нормировать нашу
собственную функцию к 1, т. е. вычислить значение множителя N
так, чтобы взятья! по всему пространству интеграл от нормирован-
ной функции равнялся 1. В данном случае имеем условие
I = | /V |2 Vdr sin» cZ» (Zo = | V |24п	dr. (183,11)
ООО	б
Ос таящийся невычисленным интеграл имеет вид
In = \ rne~'jr dr
.)
о
при
о
7 := — .
«1
Вычисление этих интегралов дало в приложении VII. Оно при-
водит к общей формуле
А = ^гт,	(183,12)
так что интеграл, входящий в (183,11), в частности, равен
00	— 2—
С о и. 1 -г 2 2ctj ci.
\ газ 1 аг = /„ = —= —_ -А-.
.)	2 а3 23	4
0
Поэтому (183,11) принимает вид
i-vv;2-(zt
откуда с точностью до остающегося неопределённым фазового
множителя eiS
и нормированная собственная функция есть
^ = р7^7-/°”	(183,13)
Этой функцией мы и воспользуемся для вычисления средних
значений.
Найдём прежде всего среднее г:
2тс %	ОО г	ОО	г
-	1	С	Г	С -2—	Г	С — 2	—	/
г = —-s	\ d<o\ sin О (ZD- \ re a^r2dr = ~\ г3е	V dr = -4- Д .
^i	J	J	J	a!	J	a?	3
0	0	0	0
102
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
Пользуясь (183,12), получим после простых вычислении
г - Ай1.	(183,14)
Интересно вычислить ещё средние значения потенциальной
и кинетической энергии. Для потенциальной энергии при Z = 1
имеем
Среднее значение обратного расстояния есть
Итак,
4 = —• (183,15)
2- ar v '
т. е. U как раз равно потенциальной энергии электрона па рас-
стоянии (73. Принимая во внимание значение аг по формуле (183,10),
находим
Wme* о
и is =--
(183,16)
Так как
T-\-U = E,
то для средней кинетической энергии получаем
гр	т? ЗтЛпе4
(183,17)
г. е. значенпо полной энергии с обратным знаком.
Найденные выше результаты позволяют дать ответ на вопрос:
каким образом в квантовой механике объясняется устойчивость
водородного атома в состоянии .<?, т. е. в отсутствии момента
количества движения. Предположим, что электрон может находиться
на среднем расстоянии от ядра, равном а1У с неопределённостью
. .. 1 тт
положения Дг, равном	Из соотношении неопределенности
имеем
откуда
(183,18)
-'”1
'г	л т (^Д)2	(^Рг)2	<
1 ак как Д7 =	, то — должно оыть по крайней мере того
§18 3] НОРМАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА
ЮЗ
же порядка, что н Т. Из (184,18) находим
(^r)2..,	&
2m '' 8к2??га2 ’
откуда по (183,10)
2к2те1
2m '	7г2
или, принимая во внимание (184,17),
как и следовало ожидать. По Tis = E}, а Ег ость определённая
для водородного атома энергия первого бальмерова уровня. Поэтому
ответ на поставленный вопрос таков: неопределённость положения,
т. о. радиус той сферы, внутри котовой мы представляем себе
„ ’ 1
запертым электрон, не может оыть меньше так как иначе
был бы нарушен закон сохранения энергии (рекомендуется
сравнить аналогичное рассуждение для случая нулевого состояния
линейного гармонического осциллятора, приведённое в т. 1, § 150).
В связи с этим полезно рассмотреть ещё следующий кажущийся
парадокс. Так как вероятность нахождения электрона в любом
— 2—
направлении между г и г-[-dr, равная 4кг2е ai dr, с увеличением
расстояния приближается к нулю асимптотически, то всегда имеется
определённая вероятность найти электрон на достаточно большом
^>2
расстоянии от ядра. Потенциальная энергия —— при больших г
хотя н отрицательна, но мало отличается от пуля. Кинетическая
же энергия всегда положительна. Поэтому Т 4- U > 0 (для боль-
ших г), тогда как полная энергия водородного атома (в частности,
для состояния 1s равная всегда отрицательна. Получается
как будто нарушение закона сохранения энергии. Но это наруше-
ние—-только кажущееся. В самом дело, для сколько-нибудь точ-
ного определения координаты электрона длина волны света, кото-
рым мы его освещаем, должна быть настолько мала, что добавочная
энергия, получаемая электроном при столкновении с фотоном
(комптоновский отброс), с избытком покроет дефицит энергии.
Можно, однако, задать вопрос: нельзя ли всё-таки определить
положение электрона хотя бы приближённо где-нибудь достаточно
далеко от ядра, пользуясь видимым, например, красным светом,
у которого импульс фотона очень мал. Парадокс тогда остался бы
в силе. Оказывается, что определить положение электрона
с красным светом нельзя ио следующей простой причине: отдельный
электрон не реагирует на красный свет, а реагирует весь атом
в целом по обычным законам теории дисперсии.
104	ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ	[гл. XIII
§ 184. Кеплерова задача. Общий случай
В предыдущем параграфе мы подробно рассмотрели задачу
об электроне в кулоновом поле ядра в частном случае нормаль-
ного состояния. Дадим теперь решение этой задачи для общего
случая*). Функция Ь, вообще говоря, будет зависеть от всех
трёх координат
<!) — Ф (г, f>, ср),	(184,1)
и уравнение Шредингера при сокращённых обозначениях (183,4),
принятых в предыдущем параграфе, будет иметь вид
1 д Г 2	.	1 д ( . u 5<р\ ,
“о” Ы" ( ' Т" ) Н-2—:—й Д ( Sift !i' До )
г2 От \ drj г2 sin 0 50 у	50/
+	+ (- + - V = 0.	(184,2)
г2 sin- 0 5 2	\ т J '	v 7
Решение его будем искать в виде произведения двух функций,
из которых одна зависит только от г, а другая — только от углов
Ф (г, Я, ?) - R (г) • Y ({)•, ср).	(184,3)
Подставив это решение в (184,2), найдём после деления па RY,
переноса и группировки членов
1 5 Z 2 dR\ , 9	, 2а\
яАг^) + г\‘- + ~)^
= __ [ ‘	«I . (184,4)
[Узш&50\	<с& / У sin2 и di- j '	7
Левая часть не зависит от углов 0 и ср, а правая —от радиуса-
вектора г; они могут быть равны друг другу только в том
случае, когда обе они не зависят пи от г, пи от С и ср, т. е.
равны некоторой постоянной р. Мы получаем поэтому
Ягг^)+?-г0'+г)л=₽л'	<184’5)
Г 1 д / . q 5У\ . 1 52У 1	,, Q/
— ——isillily- + —2 n w «• =pT.	(184,6)
[ sin 0 50 \	50 J sin2 & 5 д j 1	v 7
Уравнение (184,6) есть уравнение Лежандра (см. § 178)
АУ = рУ,
*) В дальнейшем мы рассматриваем только случай неподвижного ядра
(масса ядра бесконечно велика по сравнению с массой электрона). При
учёте собственного движения ядра (задача двух тел) все формулы сохра-
няются, только масса электрона заменяется приведённой массой
—	, где М — масса ядра (см. т. I, § 51).
§ 184]
КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
105
и собственные значения р, как мы знаем, равны
(3 = Z(7 + 1), 7 = 0, 1, 2, ...,
а собственные функции равны
Подставив в (184,5) I (I -j-1) вместо (3, получим после простых
преобразований
с/2Д 2, dR , 2а
dr2	г dr 1	"Г" г
*(*+!)
(184,7)
Это — уравнение для части собственной функции, зависящей толь-
ко от радиуса-вектора. Назовём его радиальным уравнением
и посмотрим сначала, какие следствия можно получить из него
качественным образом. Для этого перепишем уравнение (184,7),
временно заменив а п а их значениями согласно (183,3):
d2R .2 dR ,	, Ze2 h2 I (I + 1) \ „ n
+ у yr + — {E + - - -	—y— J H - 0
(184,8)
Очевидно, что это уравнение отвечает движению в одном изме-
рении с некоторым фиктивным
потенциалом
р,Ze2 /г2 I (I + 1)
г ‘	г2
(j 84,9)
Соответствующая потенциальная
кривая изображена на рис. 233.
При достаточно больших г в
(184,9) преобладает первый член,
U' < 0 и при г—> ос стремится
к нулю; напротив, при малых г
преобладает второй член и
U' > 0. Отсюда видно, что для
Л’ < 0 форма кривой такова,
Рис. 233. Потенциальная кривая
для радиальной составляющей ксп-
лерова движения.
что мы имеем «потенциальную
яму», и следует ожидать, что движение в этом случае будет
периодическим, а значения энергии — квантованными. Напротив,
при Е 0 прямая, проведённая параллельно оси абсцисс на
расстоянии от неё, равном данному значению энергии, пере-
секает потенциальную кривую только в одной точке; это озна-
чает, что движение ограничено только с одной стороны потен-
циальным барьером: частица, движущаяся из бесконечности
но направлению к этому барьеру справа налево, отразится от
н(Ч’о и уйдёт обратно в бесконечность. В этом случае мы не полу-
106
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
чим никаких квантованных уровнен энергии; оператор энергии
при Е > 0 имеет сплошной спектр собственных значений.
Мы будем рассматривать в дальнейшем только случай, когда
Е < 0. Случай положительной полной энергии соответствует зада-
чам о соударениях, например задаче о рассеянии электронов.
Он представляет большой интерес как с теоретической, так и с
практической точки зрения. Однако решение задачи на операто-
ры со сплошным спектром собственных значений математически
значительно сложнее, и мы отсылаем интересующихся к более
специальным руководствам но квантовой механике.
Вернёмся теперь к радиальному уравнению (184,7). Заметим,
прежде всего, что параметр а имеет размерность квадрата-обрат-
ной длины, в чём легко убедиться непосредственно из выражения
а (183,3). Обозначая эту длину через г0, перепишем уравнение
(18 4,7) в виде
Рассмотрим асимптотический случаи, когда г очень велико. В этом
случае уравнение (184,10) переходит в уравнение
з?(184,11)
±?-
ого решения R — e ’°.
Из этих двух решений следует взять только решение с мину-
сом в показателе, так как решение с плюсом безгранично воз-
растает при г —-> ос.
Введём теперь в качество независимой переменной безразмер-
ную величину р:
[J==:2~ = 2r У — а.
' о
(184,12)
df ‘
В уравнении (184,10) произведём замену независимой пере-
менной г на р; имеем, прежде всего,
7 _ d_ _ 2 £
dr d[> dr rc d'> ’
d'2 d / 2 d \ d'>	4 d~
dr- drj\r0 dp J dr r2
Производя замену в (181,10), получим
и несложных преобразований
d2R , 2 dR , у 1 ,	«	1
после умножения па -у-
4
=	(184,13)
§ 18 4]	КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ	107
В асимптотическом случае (р —-> со) решение согласно сказанному
_£	_Р_
г.)	2
есть е =с ; в соответствии с этим оудем искать решение для
общего случая в виде
П =	Ц,,)-	(181,И)
Это решение мы подставим в (184,13), для чего напишем сначала
производные
R‘=О' —Э) е~"’ R"=0" - г+т 0 e~f.
Подставляя в (184,13), найдём уравнение для j
%+(f -	- 01 -	- о- 5>
Это уравнение мы будем интегрировать при помощи степенных
рядов; именно, мы будем искать решение в виде
/ (?) — (ао +	+ й2р“ +  • •) ==" Р12	“ 2	(184,16)
v = 0	v
Подставляя это решение в (184,15), пайдём после необходимых
упрощений п приведений
2 [(Y + ’) (т +’ + 1) -Щ + 1)] t +-'~2 =
•7
= 2(-r+v+1 - в» р’4"'-1 
Так как это равенство должно иметь место тождественно, то
коэффициенты при одинаковых степенях р должны быть равны.
Низший член слева получается при v =0; он содержит р7-2:
lY(Yrl)-Z(Z + l)Ja0pY-2-	(184,18)
Низший член справа содержит р7-1; поэтому для (184,18) справа
нет члена с той же степенью р и коэффициент при р7-2 должен
быть равен пулю. Это даёт
Y(y + 1)-Z(Z + 1) = 0,
откуда
Y = Z пли у = — 0 + !)•
Второе решение мы отбрасываем, так как при у=—(^+1) РЯД
(181,16) начинался бы членом -ррй ’ К0Т0Рый обращается в беско-
108	ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ	[гл. XIII
нечность при р=0. Подставляя у — I в (184,17), получаем
3 [(Z + V) (Z + » + 1) - z (Z + 1)J	Р‘+-'-2 =
= 3(Z + v + 1-y4x)a-'P1+''-‘.	(184,19)
•7
Из сравнения коэффициентов при одинаковых степенях р на-
ходим следующую рекуррентную формулу:
a^L = (/ + i + l) + (I 1)	(184,20)
Способом, совершенно аналогичным тому, какой был исполь-
зован при решении задачи о линейном осцилляторе (см. т. I, § 149),
легко убедиться в том, что ряд с рекуррентной формулой (184,20)
сходится, как е?, а потому при достаточно больших р функция
________р_	_-	.. р
R — e 2/(tj) возрастает, как е 2  e'J = е 2 , т. о. стремится к бес-
конечности при р —» со. Решение останется конечным при любых
р, если ряд обратится в полипом. Пусть последний член ряда, не
равный нулю, имеет помор i = nr; тогда
(Z + Z+-H1)--7--
У —А
а«,.+1 - + Пг _	+ 2) -1 (I-1) йп''- 
Если аПг =/= 0, по аП/.+1 = 0, то
Заменяя ь и а их выражениями из (183,3), получим после воз-
ведения в квадрат и сокращений
v _	2^2mZ2c4
К+Гг W
Введенное здесь целое число пг есть новое (третье) квантовое
число. Однако мы видим, что собственные значения энергии
зависят только от суммы квантовых чисел 7Zr + Z-pl; обозначая
пг + I + 1 = л,
получим
Я» = -		(184,21)
Z?,2/i2	х
Но это —формула бальмеровых уровней энергии, которую мы по-
лучили здесь без всяких новых гипотез, последовательным реше-
нием уравнения Шредингера.
§184]	КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ	109
Как видим, энергия Еп зависит только от одного главного
квантового числа п, которое является суммой двух квантовых
чисел — радиального и азимутального плюс 1:
n = nr + Z + l.	(184,22)
Наименьшее значение I есть нуль; наибольшее (при заданном п),
очевидно, соответствует случаю, когда пг = 0 и равно, следова-
тельно, п — 1. Итак, возможные значения I при данном п следу-
ющие:
Z = 0, 1, 2, ..., (/г-1).
Различные состояния водородоподобного атома могут быть опи-
саны при помощи трёх квантовых чисел: пг, I, т\ так как зада-
ние п и I определяет и пг по (184,22), то можно —и это удоб-
нее—характеризовать состояния квантовыми числами п, I, т.
За исключением низшего состояния, которому соответствуют
п— 1, Z = m = 0, все остальные состояния вырождены. Степень
этого вырождения можно определить из следующих соображений:
при заданном п, определяющем энергию атома, I может иметь /г
значений (0, 1, ..., п — 1), но каждому I соответствует ещё 21 + 1
различных значений т. Отсюда следует, что для одного опреде-
лённого значения п, т. е. для каждого значения энергии, опре-
деляемого формулой (184,1), имеется столько различных соб-
ственных функций, какова величина суммы
п—1
2 (2Z + 1) - 1 + 3 + 5 + ... + (2/г - 1) = /г2.
1=0
Таким образом, каждый уровень энергии имеет вырождение крат-
ности п2.
Различные состояния принято обозначать символами, каждый
из которых содержит численный коэффициент, равный главному
квантовому числу, и буквенное обозначение азимутального кван-
тового числа I по схеме § 180. Например, состояние, для кото-
рого п — 1 и Z = 0, обозначается, как мы уже видели (§ 183), сим-
волом 1s; при п = 2 имеем состояния 2s и 2р\ при п — 3 — состоя-
ния 3s, Зр, 3d и т. д.
Уровни энергии с одинаковыми п и различными Z, как ска-
зано, между собою совпадают. Поэтому их можно изображать
графически так, как это сделано на рис. 147 (т. I, стр. 320),
т. е. в зависимости от одного квантового числа п. Однако удобно
располагать последовательности уровней с одним и тем же ази-
мутальным квантовым числом Z и различными главными кванто-
выми числами одно под другим, как это показано на рис. 234.
При этом у водородного атома все уровни с одинаковыми п
будут, конечно, расположены на одной высоте.
no
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
Графические изображения. Решения радиального уравнения
получаются при помощи полиномов, к которым сводятся степен-
Рис. 234. Уровни энергии атома водорода. (Толщина линии соот-
ветствует вероятности перехода.)
ные ряды [с рекуррентной формулой (184,20)]. Отсылая читате-
лей, интересующихся вычислениями, к специальным руковод-
§184]	КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ	Щ
ствам *), мы дадим эти решения для нескольких состояний в го-
товом (нормированном) виде в таблице XXV. Для удобства в ней
введено сокращённое обозначение с — ^-г.
Па рис. 235 изображён ход радиальной составляющей плот-
ности вероятности D = 4кг2Ф*ф для различных состояний водород-
Рис. 235. Графики радиальной составляющей плотности вероятно-
сти D=^r2 [7? (п, Z)]2 для различных состояний водородоподоб-
ного атома. Пунктиром изображён ход функции [2? (п, Z)]2. Жир-
ной вертикальной линией отмечено положение средней величины.
него атома относительно расстояния, выраженного в единицах at.
Для всех состояний (кроме состояний типа $) приведены соответ-
ствующие орбиты, вычисленные, исходя из величины момента
пмпульса Z (I -t- 1)	. Большие полуоси этих орбит, зависящие
от одного только главного квантового числа п, такие же, как
у соответствующих орбит в теории Бора. Видно, что для состоя-
ний 15, 2р, 3d и максимумы плотности вероятности приходят-
ся у расстояний соответственно alf 4<я3, и 16а3 (в упражнении 1
*) См., например, А. Зоммерфельд, Волновая механика, §7,
ГТТИ, 1933.
112
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
Таблица XXV
п	1	т	ф (нормир.) =R (г)	Состояние
1	0	0	3	1s
			у п\.а1/	
			2	
2	0	0	1	7 Z\3	~2 —<=( — ) (2 —°) е 4]/2тЛа17 4	2s
			3 5	X
2	1	0	1	/ Z \2 ~2	_ 	7~= ( 	 )	C0S в 4 / 2« Ч «1J з	
2	1	+ 1	1	sinOe* 8 ~\Г тс Ч ai 7 з	У 2р
2	1	-1	_* ('-Z.y.e-isinae-iT	
			8 /тс Ч «1 / з	0	
3	0	0		1	(ДУ(21- 18а + 2а2) е~1 81 /Зтс Ч «1 J з	3s X
3	1	0	J^/AY(e_,)oe-icose 81 /тс Ч «1 J з	
3	1	+ 1	__	а —( —V(6 — а) ае ® sjn {fe-1?	]>	3/J
			81 /тсЧ«1 J	} 3	
3	1	-1	—V(6 —а) ае 3sj[nge-l(? 81 /тс<«1 )	
			3 5	
3	2	0		1 p.Ya2e 3(3cos2 0_ !) 81 /бтс Ч J	
3	2	+1	г-	-	G 	7= Г — ^)2а2е 3 sin 9 cos 9 81 /тс Ч «1/	
3	2	-1	/—	— _а У—^а^ 3 s|n § cos q е— i? 81 /тс Ч «1 7 3	3d
3	2	2		( —\а2е 3 sin2 9 ег2? 81 /2тс Ч<*1 7 з	
3	2	— 2		7—(<J2e 3sin29e—i2<P	
			81 /2тс Ч at J	J
184]
КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
113
в конце параграфа читателю предлагается доказать это вычис-
лением). Следует вспомнить, что в теории Бора для перечислен-
ных состояний (1 — 0, 1, 2, 3, вообще п — 1), у которых np = Z + l,
орбиты круговые и радиусы их точно равны 4ад, 9ап 16ах.
Если принять во внимание, что плотность вероятности существен-
но отлична от нуля только внутри расстояний порядка большой
полуоси орбиты, то станет ясно, что п здесь имеется такое же
Рис. 236. Фотографии электронного облака для различных со-
стояний водородоподобных атомов.
«размытое» соответствие с классическими орбитами, как и во всех
остальных случаях.
Для получения пространственной картины плотности вероятности
необходимо учесть угловую часть собственной функции Y (8-, ф).
Ясное представление об этой картине можно получить, рассматривая
фотографии рис. 236. Эти фотографии были получены при помо-
щи особого механического приспособления, состоявшего из элек-
трической лампочки, помещавшейся на конце стержня, который
мог вращаться около неподвижной точки, причём длина его
свободной части соответственно менялась. Смысл этих фотографий
можно уяснить себе следующим образом. Представим себе дви-
жущийся электрон, который может находиться во всех тех частях
114
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XJII
пространства, где плотность вероятности отлична от нуля. Он
будет, очевидно, чаще всего попадать туда, где плотность вероят-
ности максимальна. Представим себе, далее, что нам удалось
сделать фотографию этого электрона с продолжительной экспози-
цией. Изображение его тогда «размажется» и даст (в зависимости
от состояния) одну из картин, рис. 236. Поскольку	пред-
ставляет собой среднюю плотность заряда в данном месте, можно
также сказать, что эти фотографии представляют заряд электро-
на, «размазанный» по всему пространству в виде облака.
Упражнения: 1. Показать, что максимумы плотности вероятности
в состояниях 2р и ‘Ad находятся па расстояниях от ядра, соответственно
равных 4<ц и 9«j.
2.	Показать, что в состоянии 1s среднее значение г2 равно а среднее
/ 1 \ 1
значение (^—J равно
3.	Доказать, что в состоянии Is r/c =
4.	Доказать, что в состоянии 2р г = оа},
+ 2)!^
2А-1
в состоянии
5.	Средние значения расстояния электрона от ядра в любых состоя-
ниях водородоподобного атома с атомным номером Z выражаются в кван-
товой механике и в теории Бора формулами:
в квантовой механике
в теории Бора
Сравнить обе формулы, установить их сходство и объяснить причину
различия.
§ 185. Модель валентного электрона
Расчёт сложных атомов, представляющих собой систему
нескольких (или многих) электронов в центральном поле, является
задачей, требующей кропотливых и длительных вычислений.
Имеется, однако, группа многоэлектронных атомов, спектральные
свойства которых могут быть легко объяснены при помощи при-
ближённого расчёта, лишь немного отличающегося от рассмо-
тренного решения кеплеровой задачи для водородоподобных систем.
Это —атомы щелочных металлов Li, Na, К, Rb, Cs, стоящие
в первой группе менделеевской системы элементов. В спектрах
этих атомов имеются серии, по внешнему виду в точности напо-
минающие серии водородного атома. На рис. 237 в качестве при-
мера приведён спектр поглощения паров натрия (так называемая
§ 185]
МОДЕЛЬ ВАЛЕНТНОГО ЭЛЕКТРОНА
115
главная серия натрия, см. § 186). Мы видим здесь такое же
закономерное сближение линий и падение их интенсивности по
мере приближения к месту слияния, как и в случае водородных
серий.
Однако имеется и существенное различие, которое состоит
в следующем: все серии водородного атома (и водородоподобных
ионов) являются комбинациями одного типа термов R/k2 и имеют
общий вид
,  R R
т2 п2 ’
где п — постоянное, а т — переменное полое число. Сории же
атомов щелочных металлов могут быть представлены в виде ком-
Рис. 237. Спектр поглощения паров натрия. Па спектрограмме
показана только коротковолновая часть серии, начиная с пятого
члена (Х = 2594А).
бинаций термов, сходных с R/к2, но не совпадающих с ними.
А именно, как показал уже Ридберг путём анализа эмпириче-
ских данных, общий вид термов сложных атомов в первом при-
ближении таков:
гр ____ R
п~ (п + с)2 ’
(185,1)
где Л —та же постоянная Ридберга R— 109 737,30 слг1, п —
целое число, а о —некоторая поправка. Оказалось, что для пред-
ставления формулами всех наблюдаемых серий спектральных
линий необходимо пользоваться не одной серией термов R/n2,
но несколькими сериями вида (185,1), причём внутри каждой
серин термов поправка а имеет одно и то же значение.
Эти особенности атомов щелочных металлов качественно могли
быть объяснены уже в рамках теории Бора при помощи так назы-
ваемой модели излучающего электрона. Рассматривая менделеев-
скую таблицу элементов, мы видим, что щелочные металлы
всегда следуют за благородными газами: литию предшествует
гелий, натрию —неон и т. д. и, наконец, цезию— ксенон.
Атомы благородных газов характеризуются своей высокой
устойчивостью, тогда как атомы щелочных металлов, наобо-
рот, ионизуются с особенной лёгкостью. Например, энергия,
116
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
необходимая для удаления первого электрона (первый ионизаци-
онный потенциал), у гелия составляет 24,45 eV, у лития —
5,37 eV, у неона — 21,48 eV, у натрия — 5,12 eV и т. д.
Пусть мы имеем какой-либо атом щелочного металла, содер-
жащий Z электронов. Мы можем тогда утверждать, что (Z — 1)
электронов образуют устойчивую структуру благородного газа
(например, первые два электрона лития образуют оболочку гелия,
первые 10 электронов натрия — оболочку неона и т. д.), а послед-
ний электрон связан с ядром атома слабо. В таком случае Z — 1
внутренних электронов с общим отрицательным зарядом — (Z — 1) в
вместе с ядром с положительным зарядом 4-Ze образуют устой-
чивый «остов», напоминающий ядро с зарядом 4-е. В поле этого
«эффективного ядра» движется последний слабо связанный элек-
трон, обычно называемый излучающим пли валентным (потому,
что он же обусловливает химическую валентность атома).
Мы получаем, таким образом, систему, напоминающую водо-
родный атом с его ядром с зарядом -|-е и одним электроном.
Почему же тогда энергетические состояния этой системы, вообще
говоря, отличаются, а иногда и очень сильно, от водородных?
Причина в общих чертах заключается в следующем: водородное
ядро представляет собой одну элементарную частицу (протон);
ядро водородоподобттого иона (например, Не", Li + + и т. д.), правда,
является системой частиц, по силы, связывающие их, столь
велики, что эту систему можно считать совершенно жесткой,
неизменяемой. Напротив, остов или «эффективное ядро» атомов
щелочных металлов отнюдь не является неизменяемой системой;
уже сильное ноле самого валентного электрона, когда он подхо-
дит достаточно близко к остову, может значительно его дефор-
мировать, отталкивая отрицательно заряженную часть остова
л притягивая положительно заряженную. Поэтому только при
определённых условиях можно с достаточной точностью считать,
что движение излучающего электрона происходит в центральном
поле точечного заряда; во многих случаях на это поле наклады-
вается ещё поле диполя или более сложной системы зарядов.
Далее, необходимо вспомнить, что в поле точечного заряда
уровни энергии вырождены. Так, например, в водородном атоме
главному квантовому числу п = 2 соответствуют но один, а два
одинаковых по высоте уровня энергии; главному квантовому
числу п = 3—три уровня и т. д. Однако при наличии возмущений,
вызываемых деформацией остова, эти совпадающие уровни воз-
мущаются различным образом и потому разделяются. В этом,
по Бору и Д. С. Рождественскому, и состоит причина существо-
вания нескольких типов термов щелочных металлов.
Эту качественную картину можно использовать для прибли-
жённой количественной теории следующим образом. Поскольку
остов действует иа электрон, вообще говоря, не как точечный
§ 185]
МОДЕЛЬ ВАЛЕНТНОГО ЭЛЕКТРОНА
117
заряд, но как сложная система зарядов, мы можем представть
потенциальную энергию в виде ряда
(18Г>,2)
Коэффициенты с,, с2, . .., очевидно,—не безразмерные числа,
но для однородности всей суммы необходимо, чтобы коэффи-
циент су имел размерность длины, с2 — размерность [длина]2 и т. д.
Поэтому в написанной сумме первый член представляет потен-
циальную энергию электрона в поле точечного заряда + <?, вто-
рой — потенциальную энергию электрона в поле диполя, которая,
el
как известно, равна е , где el — момент диполя и т. д. Для
первого приближения можно ограничиться двумя членами ряда
(185,2) и положить
и (г) = “ v - ci •	(185,3)
Уравнение Шредингера в полярных координатах напишется тогда
в виде
1	<> < о дЬ X |	1 д (' . q X ,
z- dr \ dr J r~ sm & х сД> /
.	1	д2^	8тг.2?п
г2 sin2 0 до2 ' h2
Как п в § 184, ищем решение в виде произведения
О (г, 0, ?)Я(г)У(0, о)
п разделяем, таким образом, наше уравнение (185,4)
уравнения
sm 0 dO \	d{} / sin2 0 dz2 1 v '	’
d2R 2 dR Sn2m f j-, c2 e2 h2 \	м
+ 7	+ — {E + 7 + Cx yr -	) R - 0.
(185/.)
(185,5)
на два
(185,(5)
(185,7)
Уравнение (185,6), очевидно, совпадает co (184,6) [(3 = Z (Z 4- 1)].
Поэтому часть собственной функции, зависящая от углов У (0, 7), -
в точности такая же, как в кеплеровой задаче:
У(&,	т({1).
Из этого следует, что сказанное в предыдущих параграфах о со-
стояниях, описываемых этой функцией,—в частности существова-
ние серий уровней s, р, d, / остаётся в силе и здесь. Но числен-
ные величины уровней энергии будут другими, так как уравнение
(185,7) отличается от радиального уравнения (184,8) кеплеровой
е2
задачи присутствием лишнего члена в скобках сх — . Однако,
118
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
| г н. XIII
переписав (185,7) в виде
d2R , 2 dR , 8*2/n f р ( е2
dr2 + г dr + h2 L + г
Л2 1 Г 7 / 7 . л \ 8тс2?пе2 "I 1 D п
0-2----2	+ 1) — С1	Г R = О,
8^2пг г2 L '	h2 J J ’
(185,8)
мы убеждаемся в том, что оно формально тождественно со (184,8).
Можно, в самом деле, положить
V (/' + !) = 1(14-1) —сл	(185,9)
и тем самым привести оба уравнения к одинаковому виду. Решая
квадратное уравнение (185,9) относительно Г и беря только один
знак плюс перед корнем, находим
г'=-| + ||/ (2Z + 1)2-^^C1
или приближённо
7/	1 . 1 Г/о7 . лх 16rc2me2 I , 4гЛпе2	/(ОГ л
Z - — у + у [(2Z + 1) —Л2(2Z4-1) с\] ~ h2 (j + _L)C1‘
Очевидно, что, продолжая решение, как в § 184, мы в конце
концов придём к выражению для энергии
F _____	2п2те*
Ьп’ 1 = (nr + l' + l)2h2 •
Вместо целого главного квантового числа
п = nr -f-1 + 1
мы получили, вообще говоря, нецелое число
п* = пг + Г + 1
или по (185,10)
„*=„г+г+1_С1.....у— ^га + ._
Ч'+г)
где через о обозначен поправочный член
4тс2те2
0==	----Гх-
1,2 О + т)
(185,11)
(185,12)
Нецелое число п* называется эффективным главным квантовым
числом. Выражение для энергии мы теперь можем представить
в виде
F	2n2mei 2n2mei
n^h2 + ^2/j2 ,
§ 186J
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ
119
а соответствующий терм —в виде,
бсрга (185,1)
совпадающем с термом Рид-
УслС1
5000-
10000-
15000-
20000
25000
30000-
35000
00000
05000
т —	п*>1 — к
п*: 1	he ~ (в + с)2
Заметим, что, как показы-
вает формула (185,12), по-
правка а зависит от азиму-
тального квантового числа I.
Поэтому термы s, р, d, . . .
(Z = 0, 1, 2, . . .) при одном и
том же п уже не будут оди-
наковыми по величине — вы-
рождение устранится.
Рис. 238 иллюстрирует
описанное соотношение меж-
ду термами одного из ще-
лочных металлов — лития —
п водородными. G целью
экономии места уровни энер-
гии изображены кружками.
Пи дно, что у водорода уров-
ни 2s и 2/7; 3s, 3/7 и 3d; 4s,	Рпс. 238. Сравнение термов лития с тер-
4/7 и 4d между собою совпа-	мами водорода.
дают, тогда как у лития 2s
и 2/> сильно расходятся; 3s, 3/7 и 3d расходятся меньше и близки
(особенно Зр и 3d) к водородным; наконец, 4/7 и 4d почти
точно совпадают между собой и с водородными уровнями.
§ 186. Спектральные серии щелочных металлов
В предыдущем параграфе уже было указано, что вследствие
существования различных типов термов, в большей или меньшей
степени отличающихся от водородоподобпых, в спектрах щелоч-
ных металлов наблюдается несколько различных по своему харак-
теру серий. Все наблюдаемые частоты подчиняются тому же ком-
би наппоппому принципу, что и частоты в водородоподобпых спектрах
V = Т (пг) — Т (п).
Однако обратное, вообще говоря, имеет место не всегда: не всякая
комбинация термов соответствует реально наблюдаемой спектраль-
ной линии. Мы увидим в дальнейшем, что существуют опреде-
лённые правила («правила отбора»), указывающие, какие комби-
нации термов возможны и какие невозможны. Серии, эмпириче-
ски установленные в спектрах щелочных металлов задолго до
появления квантовой механики, описаны в дальнейшем.
120
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
Главная серия. Эта серия возбуждается легче всего; она может
быть получена также и в абсорбции, если пропускать свет какого-
нибудь источника, дающего сплошной спектр, через холодные пары
металла (лития, натрия и т. д). Наиболее известным её предста-
вителем является жёлтая линия (на самом деле — дублет) натрия
а 5890Д. Этой линией главная серия натрия только начинается
(головная линия); следующая линия той же серии лежит в ультра-
фиолете — а = 3302 А, за ней идёт а = 2853 А и т. д.
Из того, что главная серия легко наблюдается в абсорбции
холодных паров металлов, следует, что один из комбинирующихся
для её возникновения термов (начальный для поглощения или
конечный для испускания) соответствует нормальному, т. е. певоз-
буждёшюму состоянию. Для щелочных металлов, как это следует
из предыдущего параграфа, начальное состояние принадлежит
к типу s-состояний (Z = 0). Что же касается главного квантового
числа излучающего электрона в нормальном состоянии, то у раз-
личных щелочных металлов оно неодинаково. Установление этих
главных квантовых чисел есть задача теории периодической системы
элементов, с которой мы познакомимся в главе XVJ. Здесь мы
только приведём их значения.
Атомный номер	Элемент	Главное кванто- вое число в нор- мальном состоя- нии
3	Ы	2
U	Na	3
И)	К	4
37	Rb	э
55	Cs	6
Эмпирически было установлено, что комбинации различных тер-
мов подчиняются уже упомянутым правилам отбора. Оказалось, что,
вообще говоря, возможны только комбинации термов с квантовыми
числами I, отличающимися на 1, т. е. комбинации термов s и р,
р и d и т. д. Не наблюдаются при обычных условиях комбина-
ции внутри одной серии термов, например комбинации термов s
с различными главными квантовыми числами 2s—3s п т. п.
Комбинации термов с AZ = 2 хотя п наблюдаются, но в виде
исключения, и линии, им соответствующие, как правпло, слабы.
Эти правила отбора были найдены, как сказано, чисто эмпи-
рически. Однако они получили в квантовой мехаииЕЮ полное
объяснение, с которым мы познакомимся в следующей главе.
Если вспомнить, что основным термом для главной серин
является терм типа s, п, кроме того, принять во внимание
указанные правила отбора, то ясно, что главная серия должна
§186]	СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ	121
возникать при комбинациях термов s и р. Например, для лития
формула главной серии ость
v — 2s — тр, т — 2, 3. 4, . . .,
для натрия
v = 3s — тр, т = 3, 4, 5, . . .
и т.
при
д. Эти формулы могут быть записаны также в явном виде
г	R
посредстве ридберговых термов ——, если условиться
поправку <з каждый раз обозначать буквой, соответствующей
обозначению данной серии термов. Например, для лития
R	R
(2+7)*	(m-b/>)2’
т = 2, 3, 4, ...
Схемы уровней энергии и возможных переходов обычно
строятся так, как это уже было показано на рис. 234: в одну
колонку располагаются уровни с одним и тем же квантовым чис-
лом I и различными главными квантовыми числами. Пример подоб-
ного рода схемы, называемой в спектроскопии диаграммой Гро-
триана, приведён па рис. 239.
Особый интерес представляют .липни, возникающие при пере-
ходах между основным s-термом и ближайшим к нему /7-термом
(2s —2/? для лития, 3s — Зр для натрия и т. д.). Очевидно,
что для возбуждения этих линий требуется наименьшая энергия.
Кроме того, переходы, соответствующие этим линиям, являют-
ся наиболее вероятными. Поэтому эти линии отличаются наи-
большей интенсивностью. Если, например, освещать нары нат-
рия светом со сплошным спектром, то в атомах натрия с наи-
большей вероятностью будут происходить переходы 3s“— Зр,
которым соответствует линия поглощения 5890 А. При воз-
вращении в нормальное состояние этих возбуждённых атомов
должна испускаться линия, длина волны которой также равна
5890 А (жёлтая линия D). Так как испускаемая и поглощаемая
длины волн для таких линий одинаковы, то эти линии назы-
ваются резонансными.
Резонансное излучение паров металлов представляет собой
один из видов флуоресценции паров. Оно тщательно и много-
кратно изучалось. В частности, резонансное излучение паров
натрия изучено Вудом, который показал, например, что при
освещении ультрафиолетовой линией 3302,34 А, соответствующей
переходу 3s — 4/j (рис. 240), кроме тоН же линии 3302,34 А,
всегда наблюдается ещё и жёлтая резонансная линия. Возник-
новение её легко объяснить следующим образом: атом, возбу-
ждённый до уровня 4/;, может перейти в нормальное состояние
3s сразу; при этом будет испускаться та же линия 3s — 4р =
= 3302,34 А. Но он может также спуститься до уровня 3s
1.22
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII

ц
3
.1
г
1,84
вольты
5,37
Рис. 239. Схема уровней энергии атома лития.
§ 186]
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ
123
ч,о
3,0
2,0
о
2,1
2,0
вольты
5,12
3,0
Рис. 240. Схема уровней
энергии атома
натрия.
по ступеням (рпс. 240) 4р —4s,
При последнем переходе и будет
4s —3/2 и,
испускаться
наконец, Зр — 3s.
жёлтая резонанс-
124
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
пая линия, тогда как при промежуточных переходах испуска-
ются линии, лежащие в инфракрасной части спектра. На рис. 241
приведена аналогичная диаграмма для цезия.
35000 -
00000 -
05000
Рис. 241. Схема уровней энергии атома цезия.
Детали этих диаграмм, в частности расщепление р, d, /,
уровней, будут' пояснены в дальнейшем (см. гл. XIV).
186]
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ
125
Другие серии щелочных металлов. Кроме главной серии,
в спектрах щелочных металлов наблюдается ещё и ряд других
серий. Таковы, прежде всего, две серии, у которых основным
термом является низший терм тина р(2р у Li, Зр у Nan т. д.).
Эти серии возникают при переходах па нижний /^-уровень
с уровней .9 и d. Очевидно, что в том и другом случаях правило
отбора Д/=Ч=1 удовлетворяется. Серин 2p — ms {т — 2, 3, . ..)
у Li, Зр — ms (/п —3, 4, ...) у Na и т. д. носят название
вторых побочных или резких1, серии 2p — md (т—3, 4,
Зр -md (т = 3,б, ...) называются первыми побочными или
диффузными, так как линии их размыты. Очевидно, что обе серин
должны сходиться к одному общему пределу, соответствующему
волновому числу низшего р-терма (2/7 —у Li, Зр —у Na, ...).
Наконец, серии 3d — т/ (для Li), 3d — mj (для Na) и т. д. назы-
ваются фундаментальными или сериями Бергмана. Они лежат
в инфракрасной части спектра. Происхождение всех серий и со-
ответствующие им переходы легко проследить по рпс. 239 — 24 L.
Все описанные серии, кроме главной, при обычных усло-
виях наблюдаются только в виде серий линий испускания.
Наблюдение линий, основным термом которых является возбу-
ждённое состояние (например, 2р), в спектре поглощения холодных
паров металла невозможно, так как в холодных парах практически
присутствуют только атомы в нормальном состоянии. Достаточная
концентрация возбуждённых атомов может быть создана только
при совершенно специальных условиях (см. § 227).
В заключение отметим, что, кроме описанных серий, в спек-
трах щелочных металлов в виде исключения из правил отбора
наблюдаются также запрещённые линии (3.195,6 А в результате
перехода 2s — 3d у Li; 3427,1 А в результате перехода
3s-3d у Na),
Упражнения; 1. Пользуясь правыми шкалами рпс. 239 — 241,
лающими величины термов в см вычислить приблпжённпо резонансные
потенциалы и потенциалы ионизации (в электрон-вольтах) из основного
л-состояш.’я для Li, Na и Cs.
2.	Спектральные термы атома лития таковы:
2s 43486,3
2s	61280,5	2р	28582,5
4s	8475,2	Зр	12560,4	3d	12203,1
5s	5187,8	4/р	7018,2	Ad	6863,5	4/	6856,1
5d	4389,6	5/	4381,8
Пользуясь формулой Ридберга (185,1), вычислить поправки для этих тер-
мов и убедиться в водородоподобности термов d и / (постоянную Рид-
берга считать равной 2? = 109 737 слк1). При помощи таблицы вычислить
частоты и длины волн всех серий атома лития.
3.	Резонансный потенциал натрия равен приближённо двум электрон-
вольтам. Какая доля атомов в парах Na при температуре У = 300° К
126
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
находится в состоянии Зд. (Указание. Следует воспользоваться формулой
Максвелла—Больцмана ~ e~E^ri.)
4.	Основные термы щелочных металлов таковы (в смг1).
Li (2s) 43486,3
Na (3s) 4'1440,0
К (4s) 35008,5
Rb (5s) 33689,1
Cs (6s) 31404,6
Вычислить ионизационные потенциалы этих атомов
(в электрон-вольтах).
§ 187. Два электрона в центральном поле
Обратимся теперь к рассмотрению более сложной задачи
о двух электронах в центральном поле. Нам необходимо прежде
всего обобщить соответствующим образом уравнение Шредин-
гера. Это обобщение является естественным развитием основ-
ных положений квантовой механики, изложенных в предыдущей
главе. Пусть мы имеем две частицы, положения которых будем
характеризовать радиусами-векторами и г2, проведёнными
из центра сил. Гамильтонова функция классической механики
для такой системы есть
H=^yi+pi+pV+^pk+pl+pV + u^ <187-|)
От этой функции мы перейдём к оператору энергии, заменяя
составляющие импульсов операторами
_ h д		 h д
2^1 дху ’	2ni дх» ’
где значки 1 и 2 указывают, что дифференцирование нужно
производить по координатам либо первой, либо второй частицы.
Потенциальной энергии U (гп г2) — функции координат обеих
частиц — сопоставляем оператор умножения на эту функцию.
Оператор энергии Н имеет, таким образом, вид
8к2?П£	ду\ dzi) 8тс2т3	ду22 dz^) ~*
+ U (хг, у1} zx, х2, у2, z2) = -~ 2	+ и- (187’2>
Поскольку оператор Н зависит от шести координат, функ-
ция ф, на которую он действует, зависит от тех же шести
координат
Ф = ФОй> Уъ zi> Ж2> У2, z2).
Физический смысл имеет квадрат модуля этой функции
ф*ф di = j ф |2 dXi dyr dz-i dx2 dy2 dz2.
§187]	ДВА ЭЛЕКТРОНА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ	127'
Это произведение истолковывается как вероятность того, что час-
тица 1 находится в элементе объёма dzr с координатами между xt
и x1 + dx1, уг и ух + dyx, Zx и zx + dzx, а частица 2 —в элементе
объёма — dx2 dy2 dz2 около точки с координатами х2, у2, z2.
То же самое можно формулировать иначе: представим себе
шестимерное фиктивное пространство и вообразим в этом про-
странстве декартову систему прямоугольных координат, по осям
которых будем откладывать координаты всех частиц. Это про-
странство мы будем называть пространством конфигурации
(не смешивать с фазовым пространством, координатами которого
являются не только все координаты частиц, но и все импульсы).
Совокупности координат обеих частиц в пространстве конфигура-
ции в определённый момент времени соответствует точка. Поэтому
есть вероятность найти в пространстве конфигурации
изображающую точку в данном элементе объёма
dz = clzx dz2.
Установив вид оператора энергии, мы можем написать уравне-
ние Шредингера.
где под Н разумеется оператор (187,2).
Если обе наши частицы между собой не взаимодействуют,
то потенциальная энергия системы U (гх, г2) будет суммой
потенциальных энергий обеих частиц в данном центральном
поле; если же частицы, кроме того, взаимодействуют между
собой, то в выражение потенциальной энергии войдёт ещё член,
зависящий от координат той и другой частицы. Рассмотрим
в качестве примера атом гелия или подобную ему систему
из ядра с зарядом + Ze и двух электронов. Такой системой,
кроме самого гелия Z = 2, являются ионы Li+ (Z= 3), Ве++ (Z = 4)
и т. д. Потенциальная энергия здесь складывается из потен-
циальной энергии каждого электрона в ноле ядра, к которому
электрон притягивается по закону Кулона, плюс потенциаль-
ная энергия, обусловленная отталкиванием электронов друг
от друга:
7/./>2
+	(187,3)
"1 г2 "12
где г12 — взаимное расстояние электронов, гг и г2 — расстояния
их от ядра. Уравнение Шредингера с этой потенциальной энер-
гией напишется в виде
(Д1+Д2)4+^Г£ + ^ + ^!_у.')4 = О, (187,4)
/4 у^	ly	/ 2	'12 У
где и Д2 —операторы Лапласа, в которых дифференцирова-
ния производятся по координатам первого и второго электро-
нов соответственно.
128
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ИОЛЕ
[гл. XIII
Обозначим
В этих обозначениях уравнение Шредингера (187,4) можно
записать в виде
(7/х -р И2 4- ^12) ~ Еб.	(187,о)
Если бы член, описывающий взаимодействие Ul2, отсутствовал,
то уравнение (187,5) легко разделялось бы на два уравнения,
каждое из которых представляло бы собой уравнение Шредин-
гера для кеилеровой задачи (§ 184). Действительно, полагая
в (187,5) U12 = 0, получаем
(£fj+ Н2)Ъ = ЕЬ.	(187,6)
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения
двух функций, каждая из которых зависит от координат только
одного электрона. Обозначив совокупность всех координат
8го электрона через qh имеем
Шь ^2) = Ш * Ф’Ы-
Это решение мы подставляем в (187,6) и находим
+ ФгЯ’зОз = Л4^2
пли, после деления ла '-Дй2,
—	+ ~-НЛ>=Е.	(187,7)
?1	*	/2
Это уравнение, очевидно (см. § 183), разделяется на два
ЕГ^^Е^, Н2^ = Е^2,	(187,8)
где Ег и Kj — собственные значения операторов Н\ и ТГ2. Из
(187,7) и (187,8) следует
Ex + E2 = E.	(187,9)
Но уравнения (187,8), будучи написаны в явном виде-,
+7;) *1 = 0,
до2+^Д2 + ^)о2 = о,
очевидно, представляют собой не что иное, как одно уравнение
кеилеровой задачи, написанное для каждого электрона в отдель-
§ 188] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ПРОСТЫХ СОБСТВЕН. ЗНАЧЕНИЙ 129
ности. Поскольку электроны не взаимодействуют между собой,
результат, представляемый равенством (187,9), очевиден: энергия
системы, состоящей из невзаимодействующих частей, равна сумме
энергии этих частей.
Если теперь мы пожелаем учесть взаимодействие электро-
нов между собой, т. е. член U12 в операторе энергии, то сразу
возникают математические затруднения, так как уравнение
(187,5) ие разделяется подстановкой	Поэтому для ре-
шения этого уравнения приходится пользоваться приближён-
ными методами, с одним из которых мы познакомимся в сле-
дующем параграфе.
§ 188. Теория возмущений для простых (невырожденных)
собственных значений
Интересующая нас задача совершенно аналогична знаменитой
задаче трёх тел небесной механики: две планеты, притягиваемые
Солнцем по ньютонову закону тяготения, взаимодействуют также
между собой. Учёт этого взаимодействия, равносильный точному
решению задачи трёх тел, как известно, упирается в непреодоли-
мые математические трудности. Однако в классической механике
давно уже разработаны превосходные приближённые методы, ко-
торые позволяют получать результаты с точностью, достаточной
для практических целей астрономии. Методы эти образуют так
называемую теорию возмущений, позволяющую находить решение
путём последовательных приближений. В основе теории возмуще-
ний лежит тот несомненный факт, что взаимодействие планет
между собой мало по сравнению с притяжением каждой из них
Солнцем. В так называемом нулевом приближении взаимодействие
не учитывается вовсе и для каждой планеты получается своя не-
возмущёниая орбита; в последующих приближениях стараются,
учесть взаимодействие в качестве малых возмущений этих орбит.
Но при движении по своим орбитам обе планеты в разные момен-
ты времени находятся на различном расстоянии г12 друг от друга,
и потенциальная энергия их взаимодействия U12 соответственно
меняется. Картина получается, конечно, очень сложная. Теория
возмущений классической механики приводит, однако, к следую-
щему замечательному по своей простоте результату. Оказывается,
что энергия возмущённого движения в первом приближении равна
просто энергии невозмущённого движения плюс средняя энергия
взаимодействия, усреднённая по невозмущённому движению.
В квантовой механике имеется также теория возмущений,
которая приводит к результату, аналогичному только что описан-
ному результату классической механики. Условия, существующие
в атомных системах, значительно менее благоприятны, нежели
в рассмотренном астрономическом случае, так как энергия взаи-
130	ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ	[гл. XII
модействпя электронов между собой отнюдь не мала по сравнению
с энергией взаимодействия каждого из них с ядром. Замечательно,
однако, что, несмотря на это, во многих случаях уже первое
приближение даёт вполне удовлетворительные результаты, между
прочпм, также и в случае; гелия, который, как уже было сказано
(т. I, § 108), послужил камнем преткновения для теории Бора.
Мы познакомимся в этом параграфе с теорией возмущений
Шредингера для случая, когда уровни энергии простые, т. е.
когда каждому собственному значению энергии соответствует одна
собственная функция, а в следующем параграфе применим полу-
ченные здесь результаты к задаче о нормальном состоянии атома
гелия.
Пусть оператор энергии интересующей пас задачи (которую мы
будем называть «возмущённой задачей») лшпь немного отличается
от оператора энергии задачи, которая может быть рошена точно.
Например, пусть потенциальная энергия возмущённой задачи от-
личается от новозмущённой членом st/', где г —малый параметр:
U = U() + eU'.
Оператор энергии возмущённой задачи будет
Н^Н° + ги',	(188,1)
где jff° — оператор энергии невозмущённой задачи. Мы предпола-
гаем, что невозмущёппая задача
(188,2)
может быть решена точно и что нам известны собственные функ-
ции 0° и собственные значения Еп*), причём в этом параграфе
мы будем рассматривать только случай, когда каждому собствен-
ному значению соответствует только одна собственная функция.
Возмущённая задача
= Ж	(188,3)
при з = 0 переходит в певозмущёиную. Так как з, по предполо-
жению,— малый параметр, то мы должны ожидать, что собствен-
ные функции и собственные значения Еп возмущённой задачи
*) В соответствии со сказанным в § 162 мы предполагаем, что опера-
тор 77° имеет дискретный спектр собственных значений. Теория возмуще-
ний применима также и к случаю сплошного спектра собственных значе-
ний. Так как, однако, в этой книге мы по рассматриваем задачи на спло-
шной спектр собственных значений, то мы этот случай оставляем в стороне
(см. подробнее Д. LI. Б л о х и н ц е в, Основы квантовой механики, гл. XIII,
Гостехиздат, 1949; В. А. Фок, Начала квантовой механики, гл. II, стр. 82,
Кубуч, 1932.
§ 18SJ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ПРОСТЫХ СОБСТВЕН. ЗНАЧЕНИЙ 131
лишь незначительно отличаются от и?°г и Еп- Поэтому мы можем
их представить в виде
9л — 9» 9' 39^ 4" ='9л 4- • • • ,
Еп — Еп j- зЕп -р г“Еп + ...
Последовательные члены представляют нулевое, первое, второе
и более высокие приближения. Так как, однако, для наших целен
достаточно первого приближения, то мы будем представлять 9л 11
Ец в виде
е.„.-=4+Щ,	(188,4)
С = Й +	(188,5)
Подставим их в возмущённое уравнение Шредингера (188,3), учи-
тывая вид оператора Л (188,1):
(№ + 3 U') (4 + Щ) = (£j -|- гЕ'п) (4 + Щ).
Производя указанные действия, получаем
jjf°9o Т S.77 °9 п + s U'tyn -f- г‘9» & ’ Еп 9л 4“ sEntyn 4- гЕпЬп 4- sZEntyn.
Здесь мы можем прежде всего отбросить члены, содержащие з2,
как соответствующие приближению более высокого порядка. Далее,
вследствие (188,2) можно зачеркнуть также первый член слева и
первый член справа. Остающееся уравнение перепишем в впде
(7Т= (£« — С')*?-	(188,6)
Мы получили неоднородное уравнение, в котором левая часть имеет
тот же вид, что и (188,2), по в правой частикам не известно зна-
чение Е’п. Для отыскания его воспользуемся следующей важной
теоремой: чтобы неоднородное уравнение вида (188,6) было вообще
разрешимо, т. е. имело непрерывное решение, необходимо, чтобы
его 'правая часть была ортогональна к решению соответствующего-
однородного уравнения
(Н0-.Е°)4 = 0,
т. е. к if’.
Для доказательства воспользуемся самосопряжённостью опера-
тора энергии. Умножаем обе части (188,6) слева па 9л* п инте-
грируем по всему пространству:
$ * (Я" - Г’) <l/'nd-. = ( 4 * (-Е" - Т') 4. dx.
132
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
Пользуясь самосопряжённостью Н°, преобразуем левую часть так:
(Я’-££)<* = $	=
= («41* Л - Е°„ $ ф°‘ ф„ dz =
= £’ ф’* l/ldz - йЦ ф°* ф„' dz = 0.
Итак, мы получили
5 ф°* (К - О')ф^т = 0,
откуда, предполагая, что функция ф® нормирована, находим
Е^ фп* U'^dx.	(188.7)
Но правая часть (188,7) есть не что иное, как квантовое сред-
нее значение (см. § 165) возмущающего потенциала, усреднённого
по соответствующему невозмущённому состоянию. Таким образом,
зная уровни энергии и собственные функции невозмущённого со-
стояния, можно вычислить в первом приближении возмущённые
уровни
Еп = Е°п + г ф°* U'^dz.	(188,8)
Для вычисления первого приближения собственных функций
возмущённого состояния поступаем следующим образом. В неодно-
родном уравнении
(Я» - £’) ф'„ = (К - О') $	(188,6)
разлагаем функцию ф< по ортогональным функциям ф,, фа, ...
... , ф? , ... невозмущённого состояния
<188,9)
к
подставляем в (188,6) и, замечая, что вследствие (188,2)
л" 3 «,.лД=2	=2
к	к	к
получаем
3 ак (Ек - Е°п) фI = (Е'п- О') ф";
к
§ 189]
НОРМАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ АТОМА ГЕЛИЯ
133
умножаем ние, что	обе части на Ф^*, интегрируем и, принимая во внима- С ,ь0* 10 z? f ° при к Ф т, \ tyk dt — < о	( 1 при к — т,
получаем	ат (Ет — Е^)= —	(188,10)
откуда	Г A* u'^dt (i88.il)
Эта формула позволяет вычислить все коэффициенты ряда (188,9),
за исключением ап (случай т = п). При т = п знаменатель в (188,11)
обращается в нуль, но и числитель по (188,10) равен нулю, так
что коэффициент ап неопределённый. Этой неопределённостью можно,
однако, воспользоваться для нормирования возмущённой функции.
§ 189. Нормальное состояние атома гелия
Воспользуемся теперь теорией возмущений для решения задачи
о нормальном состоянии атома гелия и подобных ему ионов.
В общем виде задача об атоме гелия будет рассмотрена в главе XVI,
так как возбуждённые состояния гелия характеризуются особым
видом вырождения, с которым мы познакомимся в дальнейшем.
В § 187 мы видели, что при учёте взаимодействия электронов
потенциальная энергия гелия и подобных ему ионов равна
С7-—— —	(187,3)
Соответствующий этой потенциальной энергии оператор энергии есть
Н = -^(Д^Д,)- —- —+ —,	(189,1)
а уравнение Шредингера с этим оператором таково:
/л , л \ t । 8те2иг ( г, , Ze2 Ze2 е2 \ п
9 = Ф(жг. zlf х2, у2, z2)	(189,2)
(по поводу обозначений см. § 187). Если отбросить здесь член,
£>2
соответствующий энергии взаимодействия электронов —, то оста-
Г12
ющееся уравнение Шредингера разделяется (см. § 187), и мы по-
лучаем для каждого электрона уравнение вида
Дф*+^(-Е*+^)фл=О, * = 1,2.
(189,3)
134
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
[гл. XIII
Это — рассмотренное в § 183 уравнение Шредингера для кеплеро-
вой задами. Его собственные значения и собственные функции нам
известны. В частности, для нормального состояния (м — 1) формула
(184,21) даёт
Е}~	.	(189,4)
Нормальное состояние есть состояние 1s*; ею собственная функция
(§ 184) есть
=	(189,5)
У К X”' 1- /
где
о = — 7’.
«1
Энергия всей системы равна сумме энергий частей
Е = 2Ег = - 2	,	(189,6)
а собственная функция равна произведению функций <l>i8 при
Г = Гх И Г = Го
Z Z
Ф = ЕГГ1е~ «Тг\	(189,7)
Вводя удобное для дальнейших вычислений обозначение
Р-^Г,	(189,8)
«1
представим (189,7) в виде
'Г = ^е-2!е-Г.	(189,9)
-а|
Итак, в нулевом приближении наша задача полностью решена.
Для решения задачи в первом приближении будем рассматри-
..	е2
вать потенциальную энергию взаимоденствия электронов — как
Г12
возмущенпе. Мы увидим, что хотя этот возмущающий член в дан-
пом случае не может считаться малым, результат в пер-
вом приближении получается удовлетворительный. Согласно § 188
[формула (188,7)] поправка к энергии в первом приближении равна
среднему значению возмущающего члена, усреднённому по не-
возмущепному состоянию, т. е.
с* р2
Е' —\ — ПГ 2 с/т,
J г12
где элемент объёма шестимерпого пространства с/т в полярных
координатах равен
с/т = r* sin drx d\\x d^x s*n ^2 ^2	d<?2-	(189,10)
§ 189]
НОРМАЛЬНОЕ СОСТОЯНИИ АТОМА ГЕЛИЯ
135
Для вычисления будем пользоваться вместо гк переменными р;.,
построенными соответственно формуле (189,8):
г - - ai	г
'12 —7^1'12»	'1,2— 2/ 1 1>2’
dx = Н sin ^'1sin ^'2 ^S,2
Мы получим тогда
£'=\	5)	{j ~—7>---picZpi sin 1)j cZflitZ^y p® c?^2sin ih>cZ{}26Zcp2.
1 0 6 0 b 0 0	11
(189,11)
Входящий в эту формул}' шестикратный интеграл равен 20к2*).
Мы получаем таким образом [значение ах см. (183,10)]
Е =	 201:2 = 25? • 4 == Т ' “г— = Т /йн’ (Ж 12>
где £н —энергия первого водородного уровня [см. (184,21) при
71 1 и и=1]. Итак, энергия нормального состояния гелия в пер-
вом приближении равна
Е- - (2	- Az	-(2Z‘-|z)£B. (189,13)
Величина Ен известна:
=	13,53 eV.
л2
Поэтому (189,13) даёт возможность вычислить энергию первого
уровня гелия (Z = 2) или подобных ему ионов (71 — 3, 4, ...). Эта
энергия, взятая со знаком плюс, очевидно, равна энергии иони-
зации атома в нормальном состоянии.
Таблица XXVI
Наблюдённые и вычисленные значения энергии ионизации нейтрального
гелия и подобных ему ионов
		 77 ^aiccii	~Е0	-(£*0-1 Е')	-Ч	Д'	Д'А
Не		78,62	108,24	74,42	29,62	-4,20	0,142
Li+		197,14	243,54	192,80	46,40	-4,34	0,094
Вс++		369,96	432,96	365,31	63,00	-4,65	0,074
В+ + *		596,4	676,50	591,94	80,1	-4,46	0,056
C+++h . . . .	876,2	974,16	872,69	97,96	-3,51	0,036
') См. приложение VIII в конце книги.
136	ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ	[гл. XIII
В таблице XXVI приведены данные, позволяющие произвести
сравнение с результатами эксперимента и вместе с тем оценить
роль поправки первого приближения. Все энергии в таблице
выражены в электрон-вольтах: Ежсп — экспериментально найден-
ная величина энергии ионизации; Ео — результат пулевого при-
ближения; (Ео -I- Е') — результат первого приближения; До пД'-
разностп между экспериментальными данными и соответственно
пулевым и первым приближениями; у-  отношение разностей.
Из таблицы видно, что абсолютная величина Д'— ошибки пер-
вого приближения — остаётся приблизительно постоянной. Но так
как величина ионизационного потенциала возрастает, то относи-
тельная ошибка убывает: для Не она составляет около 5%, для LP
она падает уже до 2,2%, а для С++ + + — доходит до 0,4%. Замеча-
тельно, что такой удовлетворительный результат получается,
несмотря на то, что возмущение, обусловленное взаимодействием
электронов, отнюдь не может считаться! малым по сравнению
со взаимодействием каждого электрона с ядром. Вопрос об оценке
точности, даваемой теорией возмущений, н об условиях её при-
менимости рассматривается в специальных руководствах по кван-
товой механике*).
Заметим в заключение, что теория возмущений далеко не
всегда даёт удовлетворительные результаты и по всегда приме-
нима. Задача о движении большого числа электронов сложного
атома вообще до крайности сложна. В атоме рубидия 37 электро-
нов, а в атоме цезия — 55 электронов, взаимодействующих между
собой. Если тем не менее оказалось возможным произвести ра-
счёты и таких атомов с точностью, удовлетворяющей высоким тре-
бованиям спектроскопии, то потому только, что удалось разработать
превосходные приближённые методы вычисления. В этом отно-
шении особенно важными являются работы советского учёного
В. А Фока, однако относящиеся сюда вопросы далеко выходят
за рамки данной книги**).
*) См. Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики, гл. XI,
Гостехиздат, 1949.
**) См. В. А. Фок, Многоэлектронпая задача квантовой механики
и строение атома, Юбилейный сборник Академии наук СССР, ч. I, стр. 255,
АН СССР, 1947.
Г ЛАВА XIV
ИЗЛУЧЕНИЕ
В тох конкретных задачах, которые встречались до сих пор,
мы всегда имели дело с движением в поле, имеющем потенциал,
не зависящий от времени (например, в кулоновском поле). В рас-
смотренных случаях мы приходили к определённым стационар-
ным состояниям, т. е. к состояниям, в которых плотность веро-
ятности не зависит от времени.
В этой главе мы покажем, что аппарат квантовой механики
позволяет включить в рассмотрение также и переходы между
стационарными состояниями, т. о. решать задачи, относящиеся
к излучению и поглощению света. Поскольку при этом мы встре-
тимся со случаем полей, потенциал которых зависит от времени,
нам с самого начала придётся пользоваться общим уравнением
Шредингера, содержащим время:
h д j	,
------
27ti dt	1
Наконец, мы покажем, каким образом следует обобщить уравне-
ние Шредингера для того, чтобы можно было рассматривать
движение в магнитном поле, вовсе не имеющем потенциала.
§ 190. Метод вариации постоянных
Рассмотрим конкретный случай. Пусть мы имеем водородо-
подобный атом. Элсктроп в этом атоме движется в поле с посто-
Ze2	-р,	гг
янным потенциалом----оператор Гамильтона	±Г	имеет
известный вид (§ 184), и, решая уравнение Шредингера НЬ — ЕЬ,
мы находим собственные функции <Ь2, ... , Фп, ..., которым в слу-
чае Е < 0 соответствуют стационарные состояния. Зависимость
от времени в этих состояниях выражается экспоненциальным мпо-
житслем
138
ИЗЛУЧЕНИЕ
[гл. XIV
Представим себе, однако, что в момент t — 0 этот атом подвер-
гается действию поля плоской монохроматической световой волны.
Ze2
В таком случае па электрон, кроме кулоновской силы , будет
ещё действовать периодическая сила со стороны электромагнит-
ного поля волны. Действие этой периодической силы можно опи-
сать при помощи некоторого потенциала, явно зависящего от
времени. В самом доле, сила, действующая на электрон со сто-
роны электрического поля монохроматической волны, зависит от
временил по закону c6ocosi»Z; этой силе мы можем сопоставить
потенциал U (х, t) (с точностью до произвольной постоянной), т. е.
фупкцшо, удовлетворяющую условию — - - = А,
U(x,l) = - cos wZ с/ж =—e£0zcoscoZ. (190,1)
о
Такпм образом, поле, в котором находится электрон, можно
теперь оппсать потенциалом——~—rU(x,t), а оператор Гамиль-
тона будет И — Н° + U{x, Z), где If0 — оператор Гамильтона для
поля кулоновской силы. Соответствующее уравнение Шредингера
есть
[Н»+ГИ, г)]ф=-^.	(190,2)
Если можно рассматривать добавочный потенциал U (ж, Z) как
малое возмущение, то мы придём к случаю, сходному с рассмот-
ренным в § 188: при U = 0 мы имеем уравнение 71°Ф = —	,
ZK L С/Ъ
решение которого известно. Это решение можно рассматривать
как пулевое приближение и искать более высокие приближения.
Существует вообще два различных случая возмущений. В одном
из них—именно в том, с которым мы познакомились в § 188, —
возмущение рассматривается как причина изменения состояний.
Возмущение в этом случае по зависит от времени. Применяя эту
теорию, мы получали ответ па вопрос, как изменяются уровни
энергии, если учитывается возмущение. Другой случай—тот, когда
сами уровни не изменяются, но система под влиянием возмуще-
ния, зависящего от времени (например, изменяющегося периоди-
чески), по остаётся в одном из стационарных состояний, а совер-
шает переходы от одного из них к другому. Очевидно, что именно
этот второй метод необходим для решения задач об излучении
и поглощении света. Сущность его заключается в следующем.
Пусть уравнение Шредингера для возмущённой задачи будет
(190,2')
1 Im at	'	'
§ 191]	ПОГЛОЩЕНИЕ II ИСПУСКАНИЕ СВЕТА	139
причём оператор Гамильтона Н можно представить в виде
Л = Л° + U,	(190,3)
где оператор П° содержит потенциал, не зависящий от времени.
При U (х, /)=0 возмущённое уравнение (190,2) принимает вид
“ьЛ-	С190'4)
Решениями этого уравнения являются функции
.2 тс « .	. 2тс	, 2iTZ
\ *2 = 9^ и , • • •, <?« = tth~ , • • • (190,5)
Эти функции образуют полную ортогональную нормированную
систему (в тех случаях, когда имеется вырожденно, соответству-
ющие функции должны быть «ортогонализированы», см. § 138).
Так как оператор И в (190.2') содержит потенциал, завися-
щий от времени, то функции, соответствующие стационарным
состояниям типа (190,5), уже не будут его решениями. Однако
для определённого момента t' возмущающий потенциал U (£')
равен некоторой определенной величине. Для этого момента
потенциал равен «невозмущённому» потенциалу, входящему в Л °,
плюс постоянное число V (Z'). Принимая во внимание, что функ-
ции (190,5) образуют полную ортогональную систему, мы можем
представить решение (190,2') для момента t' в виде ряда по
функциям (190,5)
	Tj< , ,
ч =	1 h к =2
к	к
Для другого момента t" мы можем написать решение в виде
аналогичного ряда, но с другими коэффициентами ск, так как
U (Z") # U (£'). Поэтому мы можем вообще искать решение (190,2')
в виде ряда
(190,6)
к
с коэффициентами с;. (Z), зависящими от времени. При этом,
однако, эти коэффициенты со временем меняются медленно по
сравнению с быстро меняющимися экспоненциальными мпожпте-
_. 2 тс t
лямп с к 1 , входящими в 0;.. Смысл этих коэффициентов в том,
что вероятность получить при измерении энергии системы в мо-
мент t определённое значение Еп равна |cn(Z)j2.
§ 191. Поглощение и испускание света
Воспользуемся теперь описанным в предыдущем параграфе
методом для решения задачи о поглощении и испускании света.
Итак, мы рассматриваем атом, который, начиная с некоторого
момента t 0, подвергается действию поля световой волны. Мы
140
ИЗЛУЧЕНИЕ
[гл. XIV
предположим вначале, что это —волна строго монохроматическая,
линейно поляризованная по оси х и распространяющаяся по оси z.
Электрическое поле этой волны действует на электрон атома с силой
F = е§у cos 2тс (\t —;
действием магнитного поля мы пренебрегаем, так как сила, дей-
ствующая на электрон со стороны магнитного поля световой
волны, в v/c раз меньше.
Выберем начало координат в центре атома. В таком случае
изменение z на протяжении атома—порядка 10~8 см, а длины
волны л в оптической части спектра — порядка 10-4 — 10~5 см.
Поэтому дробью ув выражении фазы можно пренебречь и счи-
тать, что на протяжении атома волна имеет одну и ту же фазу,
так что ^-составляющая силы будет
X =	cos 2irvi;
соответствующий этой силе потенциал
U (х, i) = — ех^у cos 2nvt
и есть то возмущение, о котором шла речь в предыдущем пара-
графе.
Решение возмущённого уравнения
//1 =	(190,2')
с гамильтонианом
н=н° + и,
где
U=U(x, г),
ищем в виде ряда с коэффициентами, зависящими от времени
Ф =	(190,6)
к
Для отыскания коэффициентов ск (г) подставляем (190,6)
в уравнение (190,2) и получаем
з ск	ск -A s	2
к	к	к	к
Так как функции дА, удовлетворяют невозмущённому уравнению
(190,4), то первый член слева и первый член справа тождест-
§ 191]
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ СВЕТА
141
венно равны друг другу. Исключив их, получаем
к	к
Умножим теперь обе части этого равенства на какую-нибудь
функцию комплексно сопряжённую с одним из решений (190,4),
и проинтегрируем по всему пространству. Мы получим тогда
ЙИ- (191,1)
2 Сл }	“ 2nj 2
к	к
Здесь справа мы имеем сумму, в которую входят интегралы вида
г	,	(0	при	к #= т,
\ фпг	d~ =	j .	,
J	( 1	при	к = т.
Поэтому справа остаётся только	один член, соответствующий
к = т, т. е. правая часть сводится к члену
h dcm
dt ’
и мы можем переписать (191,1) в виде
^=-^2^	(4=1, 2, 3, ...). (191,2)
к
Подставляя в это общее равенство последовательно вместо фп1
функции Фх, Ф2, •••> мы получим систему уравнений, из кото-
рых, принципиально говоря, можно вычислить все коэффициенты
сх, с2, ... Эти уравнения являются точными, так как никаких
приближений мы пока не делали.
Однако практически вычисление коэффициентов ст из точ-
ных уравнений (191,2) невозможно, так как эти уравнения обра-
зуют систему с бесконечным числом неизвестных. Поэтому при-
ходится прибегнуть к приближённому методу. Для получения
первого приближения можно воспользоваться тем, что коэффи-
циенты сК (?) изменяются со временем медленно, и принять, что
для моментов, близких к началу действия возмущения, т. е.
к моменту, близкому к ? = 0, коэффициенты ск сохраняют те зна-
чения, которые они имели при 1 — 0. Если, например, при t = 0
атом находился в стационарном состоянии с энергией Еп,
то для t = 0, по смыслу коэффициентов разложения (§ 164),
коэффициент сп равен единице, а
равны нулю:
остальные коэффициенты
_ f Л =
Ск\ о, кр
п,
и,
142
ИЗЛУЧЕНИЕ
[гл. XIV
так как для этого момента с достоверностью известно, что атом
находился в состоянии фп. Мы допускаем, что эти значения
коэффициентов сохраняются при достаточно малых *) значениях
t > 0. Это даёт возможность приближённо вычислять зависимость
всех коэффициентов от времени. Действительно, при указанном
условии в правой части (191,2) все коэффициенты ск равны нулю,
за исключением коэффициента сп (случай к=п), который равен 1,
и мы получаем
Полагая здесь т=1, 2, 3, ..., получаем соотношения для. всех
коэффициентов сх, с2, . .., из которых эти коэффициенты могут
быть вычислены порознь. Таким путём будет получено первое
приближение. После этого можно найти второе приближение, для
чего следует подставить вычисленные в первом приближении,
коэффициенты ст в (191,2) и затем снова произвести интегриро-
вание. Повторяя эту операцию, можно получить любое прибли-
жение. Однако для дальнейшего мы ограничимся только первым
приближением, которое оказывается для наших целей достаточным.
Примем теперь во внимание зависимость функций и
от времени
г2тс^Н	„ —i2n — t
= h , фл = <$е h
и введём обозначения
=	^’*v^„dz = vmn. (191,4)
Тогда (191,3) примет вид
Этими уравнениями мы воспользуемся для вычисления веро-
ятностей переходов.
Пусть, как мы и предполагали, в момент t — 0 атом находится
в стационарном состоянии с энергией Еп. Под влиянием возмуще-
ния будет происходить переход в другие состояния. При этом,
так как для t > 0 все коэффициенты ск, вообще говоря, могут
оказаться отличными от нуля, то мы не можем сказать, что
переход совершается в какое-нибудь одно определённое стацио-
нарное состояние. Мы можем утверждать только, что если
в какой-нибудь момент t > 0 произвести измерение энергии, то
*) Имеются в виду промежутки времени, малые по сравнению со сред-
ним временем пребывания в стационарном состоянии, которое для газа
в обычных условиях имеет порядок величины 10~7—10-8 сек.
§ 191]	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ СВЕТА	143
с вероятностью, равной Ст ст = | ст |2, мы получим значение,
равное Ет. Если окажется, что | ст |2 = 0, то переход Еп—+Ет
невозможен. Таким образом, | ст |2 характеризует вероятность-
перехода Еп—>Ет за промежуток времени 0 — t. Вычислением
этой вероятности мы и займёмся.
Принимая во внимание, что
U (х, Z) — — ex cos 2тМ,
и пользуясь обозначением (191,4), находим
Uтп = — cos 2rot ф"* а;ф° cfc.
Если ещё обозначить
е ф™ £фпС^ = ежтп,	(191,6)
то ЕтЛ примет вид
Umn = —ехтп ^“cos2t:v£.	(191,7)
Величину хтп мы можем истолковать следующим образом. Про-
изведение ех есть ^-составляющая дипольного момента, если один
из зарядов покоится в начале координат. Среднее значение
дипольного момента в каком-нибудь определённом стационарном
состоянии с собственной функцией ф^ равно (см. § 165)
ех — е ф°* х^т dx.
Формула (191,6) отличается от этого выражения тем, что в неё
входят функции, описывающие не одно состояние фт, но два
состояния —фт и фп. По аналогии, однако, мы будем называть
выражение (191,6) средним дипольным моментом перехода п —* т.
Величины хтп для всевозможных комбинаций стационарных
состояний можно вычислить заранее. Они образуют определён-
ным образом расположенную таблицу или матрицу
//у»	/У»	/У»	\
Щ1 ^12	•	•	•	Ain	\
/у»	/у»	/у»	|
Х21 “^22	•	•	•	х2п	I
\ Xni Хп2 • • • ^пп /
Общее выражение произвольного члена этой матрицы
Ф;Мй	(191,7')
называется матричным элементом.
Перейдём теперь к вычислению коэффициентов ст. Подстав-
ляя (191,7) в (191,5), получаем
~ S’ етт„ cos 2п»г.
144
ИЗЛУЧЕНИЕ
[гл. XIV
Для удобства последующих вычислений заменим здесь cos 2тгу£
полусуммой экспоненциальных функций
= у %°у ехтп	+ e-i2^ty
Отсюда непосредственным интегрированием от 0 до t находим
^^°уехтп[е	----1). (191,8)
'Jmn~ v
Переходы, совершающиеся в атоме под влиянием поля излу-
чения, могут иметь двоякий характер. Если Ет > Еп, то атом
поглощает энергию из поля, т. е. происходит поглощение; если же
Em<zEn, то атом отдаёт энергию полю — происходит вынужден-
ное излучение (см. т. I, § 94). Согласно обозначению (191,4)
в первом случае vmn положительно, во втором — отрицательно.
Легко видеть, что в каждом из этих случаев одним из двух
членов в скобках в предыдущем выражении для ст можно
пренебречь. В самом деле, так как | v,nп + v | — большое число,
то в случае поглощения можно пренебречь первым членом,
а в случае вынужденного испускания — вторым. Наши дальней-
шие рассуждения мы будем вести для случая поглощения и от-
бросим первый член. Что же касается второго члена, то он,
вообще говоря, тоже близок к нулю для всех значений v,
за исключением случая, когда v близко к vmn. Мы получаем,
таким образом,
ст — Oh ^тп ,	_у
1тп у
Квадрат модуля ст, характеризующий вероятность перехода,
будет поэтому равен
I |2 	„   (<§ v)2e2 | %тп I2 2 [1 COS 2 г (утп — у) f]  
|Ст| -^Стст— 4/,2	•	(утп— v)2
_ (<pv)2<?2 | хтп I2 Sin2*: (утп — v) f	/ и Q л q\
“ A2	(vnm—V)2	•	(1У1,У)
Эта формула очень важна. Мы видим, что вероятность пере-
хода, во-первых, пропорциональна квадрату амплитуды напря-
жённости электрического поля волны, т. е. интенсивности волны.
Далее, | ст |2 пропорционально квадрату дипольного момента пере-
хода | ехпт |2—результат, аналогичный получаемому в классической
электронной теории излучения (см. т. I, § 64) с той существен-
ной разницей, что вместо дипольного момента ех, входящего
в формулу (64,6'), мы встречаем в нашей формуле матричный
элемент ехтп. Далее, если построить график, изображающий
зависимость | ст |2 от частоты v, то, как показывает формула (191,9/
§ 191]
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ СВЕТА
145
кривая будет иметь для любого момента времени острый пик
при v=vmn. Это означает, что падающая волна оказывает на атом
воздействие, ведущее к переходу Еп—>Ет, только в том случае,
Ет—Еп
когда ее частота совпадает с vmn — —^г—- или очень близка
к vmn. Тем самым оправдывается хорошо известное условие
частот Бора.
Однако в одном отношении полученный нами результат неудо-
влетворителен. Представим выражение (191,9) в следующем виде:
ЫI 2 = П (®°)2е21 I2 Н В>ВЛ(',тЕи‘ Г •	<191'9')
п	L 71 \Утп—v b J
Видно, что для малых промежутков времени [ ст |2, т. е. выражение
вероятности перехода за t секунд, оказывается пропорциональ-
ным квадрату времени, а следовательно, вероятность перехода
в единицу времени ~ | с1П |2 пропорциональна времени. Такой
результат резко противоречит самому смыслу статистического
рассмотрения процесса поглощения (см., например, т. I, §§ 93—94).
Однако неудовлетворительный результат получился потому, что
мы предполагали, что поглощение происходит под действием строго
монохроматического излучения с определённой частотой v и что пере-
ход происходит между состояниями с резко определёнными энергия-
ми Ет и Еп, т. е. что и v/n,t—строго определённая частота. Между
тем уже неоднократно указывалось, что такой случай в природе
никогда не осуществляется. На самом деле уровни имеют коноч-
ную ширину, и в соответствии с этим линия поглощения также
имеет конечную ширину, т. е. представляет собою узкий участок
сплошного спектра. Поэтому для получения полной вероятности
перехода, соответствующей всей ширине линии, а не только её
максимуму, следует проинтегрировать выражение (191,9) по ча-
стотам в пределах ширины линии. Интегрирование облегчает-
ся тем, что правая часть (191,9) имеет очень острый максимум при
v = vHln. Ввиду этого пределы интегрирования можно расширить
до—оо,4-оо, а считать постоянной:
+ со
(<g v)2e21 хтп |2 С sin2-rc Oren — /) t
№ J	Omn —/)2
—co
Вводя новую переменную тс (vmn — v) t = £, получаем
I xmn |2 -f C sin2 £ Jt
h2	J E2 C
146	ИЗЛУЧЕНИЕ	[гл. XIV
Входящий сюда определённый интеграл известен; он равен тс, и
мы получаем окончательно
•ТОО
( Ыг<Ь =	(191,10)
—со
Мы видим, что найденная полная вероятность перехода за t
секунд пропорциональна времени, а потому вероятность перехода
в единицу времени не зависит от времени, как и следовало
ожидать.
§ 192. Вычисление коэффициентов Эйнштейна
Воздействие поля световой волны на атом, как мы уже напо-
минали, может сказываться двояким образом: атом может либо
поглощать энергию из поля, переходя в более высокое энергети-
ческое состояние, либо, наоборот, отдавать энергию полю, пере-
ходя в более низкое состояние. В последнем случае мы имеем
дело с вынужденным испусканием (см. т. I, § 94). Однако воз-
можны также и так называемые спонтанные переходы, при которых
атом переходит в низшее состояние без воздействия поля световой
волны. Подобного рода переходы не могут быть поняты в рамках
одной только квантовой механики атома. С точки зрения последней,
атом, находящийся в стационарном состоянии с определённой энер-
гией, должен пребывать в этом состоянии неопределённо долго, так
как нет причины для изменения его энергии. Для объяснения
спонтанных переходов необходимо, кроме механики, учитывать
также факты, относящиеся к свойствам поля излучения, и рас-
сматривать всё время систему, состоящую из атома и поля излу-
чения. Подобная точная теория излучения существует, но её
изложение выходит за рамки настоящей книги*). Поэтому мы
ограничимся тем, что найдём связь между вычисленными нами
величинами | ст |2 и вероятностями вынужденных и спонтанных
переходов, которые вводятся в статистической теории излучения
Эйнштейна (см. т. I, §§ 92—95).
Напомним, что в этой теории рассматриваются атомы, находя-
щиеся в термодинамическом равновесии с излучением в замкнутой
полости. Если Ет и Еп—два уровня энергии, причём Ет > Еп,
то в атомах происходят переходы как в одну, так и в другую
сторону, т. е. переходы
Еп > F'm Ет
Переходы первого типа, сопровождающиеся поглощением энергии
из поля, происходят только под воздействием поля и характери-
*) См., например, В. Гай т л с р, Квантовая теория излучения, гл. III,
Гостехиздат, 1940.
§ 192]	ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЭЙНШТЕЙНА	14.7
зуются коэффициентом Впт. Переходы второго типа происходят
как под действием поля (вынужденное испускание), так и «само-
произвольно» (спонтанное испускание) и характеризуются соот-
ветственно коэффициентами В1пп и Атп. В тех случаях, когда
уровни энергии—простые (невырожденные), между тремя коэф-
фициентами Впт, В1П11 и Апш имеют место статистические соот-
ношения
в„и = £га,„ Ат„ = ^Впт	(192,1)
[см. т. I, § 95, формулы на стр. 299, где нужно положить gx = g2 — 1].
Излучение в полости характеризуется объёмной плотностью
которая представляет собой среднее значение плотности энергии
электромагнитного поля
р.=-^(й+1Я)=4Х
Далее, вследствие полной изотропности излучения в полости
^>2 _ 4^2 _$
& ух — & уу — & yz — Tj” &yf
ввиду чего
pv = ^gt-	(192,2)
Так как
it	(at)2,
то
Pv=^(st)2.	(192,3)
Формула (191,10) даёт вероятность перехода за t секунд под
влиянием излучения, поляризованного по оси х. В случае непо-
ляризованного излучения вероятность перехода под действием
^-составляющей поля будет
+ оо	О
$	(191,10-)
— СО
Определяя из (192,3) (g^)3 через и подставляя в (191,10'),
получим
Ч-оо
С
\ |ст|2сЬ=^г-|^mn|2?vZ.	(192,4)
»/	О//	1
— СО
Для вероятностей переходов под влиянием двух других составля-
ющих поля получим аналогичные выражения
8тс3е2	Ятг3/’2
И	(192,5)
148	ИЗЛУЧЕНИЕ	[гл. XIV
Поэтому полная вероятность перехода в единицу времени под
влиянием неполяризованного излучения равна
(I %тп |й + | Утп |2 + | Zmn |2)
или, вводя обозначение
| Жтл I2 + I утп I2 + I Zmn |2 = | rt>lIl I2,
получим
| Г„г„ I*	\erm„ I2pv.	(192,6)
В теории Эйнштейна для тон же вероятности мы писали
Вп,т р v
Принимая во внимание (192,6), получаем
Qr3
^w=-gr|ermn|2,	(192,7)
где erтп —квантовое выражение, соответствующее дипольному
моменту классической электромагнитной теории излучения.
Коэффициент Впт характеризует вероятность перехода с погло-
щением а следовательно, но (192,1) также и вероятность выну-
жденного испускания. Вероятность перехода для спонтанного испу-
скания пе может быть получена на основании аналогичных сооб-
ражений по причинам изложенным в начале этого параграфа.
Однако мы можем её найти, пользуясь тем, что при термодина-
мическом равновесии эйнштейновские коэффициенты Атп и Впт
связаны соотношением
л 8пЬу3 w
Атп —	-^пт-
Подставляя сюда Впт из формулы (192,7), находим
64~4v3
=	(192,8)
Чтобы получить отсюда выражение для энергии излучения часто-
ты vnzn, распространяющегося в пределах телесного угла dw,
нужно (192,8) умножить на hvnm •	• Мы получаем таким путём
Amnhvnm^ = —\ernm\*dv.	(192,9)
Сравним это выражение с формулой для интенсивности ди-
польного излучения классической электромагнитной теории. В т. I,
§ 64 мы получили формулу для полной интенсивности поляри-
зованного дипольного излучения, которую в обозначениях насто-
§ 193]
ПРАВИЛА ОТБОРА
149
ящего параграфа (заменяя мгновенное значение дипольного мо-
мента p0cos2kv£ через ег) можно переписать в виде
Для неполяризованного излучения
Отсюда — энергия, излучаемая в пределах телесного угла du>,
равна
=	(192,10)
Сравнивая эту формулу со (192,9), видим, что их единственное
различие состоит в том, что вместо дипольного момента (ег),
входящего в (192,10), в (192,9) входит соответствующий ему
матричный элемент дипольного момента егпт.
§ 193. Правила отбора
Согласно спектроскопическому комбинационному принципу
частота любой спектральной линии (в испускании или погло-
щении) может быть представлена как разность двух термов
Как уже было упомянуто (§ 186), обратное утверждение, вообще
говоря, не имеет места: но всякая комбинация термов даёт
частоту, соответствующую реально наблюдаемой спектральной
линии. Анализ спектров показал, что в очень многих случаях
действуют своеобразные «правила отбора»: «допустимыми», т. е.
соответствующими реально наблюдаемым линиям, оказываются
лишь немногие переходы, характеризуемые более или менее жёстко
определёнными изменениями квантовых чисел; все остальные
переходы «запрещаются», т. е. линий, которые были бы обуслов-
лены этими «запрещёнными» переходами, не наблюдается.
Эти «правила отбора», твёрдо установленные спектроскопи-
стами-экспериментаторами, до появления квантовой механики про-
изводили в высшей степени странное впечатление: атому «раз-
решалось» вести себя таким-то образом и «запрещалось» вести
себя по-иному. Формулы для вероятностей переходов, выведенные
в предыдущем параграфе, разъяснили причину этого «запрета».
Оказалось, что правила отбора являются просто следствием орто-
гональности собственных функций.
В качестве примеров установим правила отбора для линейного
гармонического осциллятора и для электрона в центральном поле.
150
ИЗЛУЧЕНИЕ
[гл. XIV
а) Линейный гармонический осциллятор. Вычислим вероятность
перехода, пользуясь формулой (192,8). Если колебания осцилля-
тора происходят по оси х, то отличен от нуля только матричный
элемент хпт
Хпт= bnXbmdx.	(193,1)
— ОО
Вспомним теперь выражение собственных функций линейного
гармонического осциллятора (см. т. I, § 150)
bn = Nne~^Hn&.
Вместо ж мы пользуемся здесь безразмерной величиной введённой
при решении задачи об осцилляторе,
где v0 — «классическая» частота колебаний осциллятора [см. т. I,
формулы (149,9) и (149,3)]; Nn — нормирующий множитель
(см. т. I, приложение VI)
9 i
у2 __________ •
П 2ПП\ КУ2 ’
наконец, Нп (£) — полиномы Чебышева— Эрмита, компактная
запись которых такова:
Я'.(е) = (-1)*в’,^^1.	(150,2-)
Так как собственные функции — действительные, то 6*=O,/t.
Принимая во внимание, что
dx —	,
будем вычислять ахпт\
0-Хцт — чпт = Vn ^mdc-	(193,2)
Подставляя сюда и 0п, напишем Enm в виде
(03,3)
где
Gn+l = Nn^ntHn(t).	(193,4)
Zfft(l) есть полином п-й степени; поэтому (£) — полином
(п 1- 1)-й степени. Однако любой полином (п + 1)-й степени можно
представить в виде суммы полиномов Чебышева — Эрмита (£),
§193]	ПРАВИЛА ОТБОРА	1 51
ZG(c), . . ., Z/n+i (с), умноженных на соответственно подобранные
коэффициенты с0, с1( .. cn+i,
п+1
G„+1(=) = £	(193,5)
v = 0
Некоторые из коэффициентов cv могут быть равны нулю, но
во всяком случае не равен нулю: сп+\ -/= 0. Подставляя
(193,5) в (193,3), получаем
п-11
U.= 2	( HvHme-?dt.	(193,6)
v=0
Положим, что т > п. Вследствие ортогональности собственных
функций линейного осциллятора все интегралы, входящие
в сумму (193,6) при т ф v, равны нулю; и так как, кроме
того, m>n, то единственный не равный нулю интеграл будет
при
т — п + 1.
При этом условии (193,6) даёт:
5п,„+1=с„+1 H2n+i(t)e~^dt.	(193,7)
Входящий сюда интеграл вычислялся нами при нормировании
функции <ЬП *). Он равен
( Z/L1 (=)dt = 2"+I (п -1-1)! Г.1'2.
Принимая во внимание, кроме того, выражение квадрата нор-
мирующего множителя
получаем
1/«
2-11 („ + 1)1^=.“	,
;vn+l
так что
Со	с2	/V1/2
\^+1(Е)«-е « =
') См. т. I, приложение VI, стр. 528.
152	ИЗЛУЧЕНИЕ	[гл. XIV
Подставляя в (193,7), находим, наконец,
*/2
£п, п+1 == спЧ 1TZ2	•	(193,9)
^i + i
Аналогичными рассуждениями убедимся в том, что в случае
п > т в (193,6) не исчезнет только интеграл при n = m + l,
т. е. при т — п—1. В этом случае найдём
^п-г-=сп4.	(193,10)
А-
Наконец, при т — п матричный элемент также равен нулю,
что видно прямо из формулы (193,2). Действительно, при т=-п
эта формула принимает вид
+ со
1„,п =	(193,11)
— со
Функция Фп (Ё) может быть чётной или нечётной, т. е. она может
при перемене знака Ё сохранять свой знак или менять его
на обратный. Но, какова бы ни была чётность функции фп(Ё),
функция (Ё) всегда будет чётной, а следовательно, произведе-
ние Ёфп(Ё) всегда будет функцией нечётной, п интеграл (193,11)
равен нулю.
Итак, для линейного гармонического осциллятора матричные
элементы дипольного момента равны нулю во всех случаях,
за исключением того, когда	Отсюда — правило отбора:
в линейном гармоническом осцилляторе возможны переходы с излу-
чением только при изменении квантового числа на + Д
т. е. только переходы между соседними состояниями. Так как
энергия линейного гармонического осциллятора равна
Еп = (п + —h'>Q,
то вследствие установленного правила отбора осциллятор может
излучать или поглощать только «основную частоту» v0 совершенно
так же, как и классический осциллятор; частоты «обертонов»
2v0, 3v0 гармонический осциллятор квантовый, как и классический,
не излучает и не поглощает.
Вычислим теперь вероятности переходов для «разрешённых»
переходов Дп==|=1. При т ~ п + 1 (193,4) даёт
Сп+1(Ё)-Л4Л^/М^
Коэффициент при старшем члене справа есть NnNn+ian или, так
как в полиномах Чебышева — Эрмита ап = 2п,
NnNn.H2n.	(193,12)
§ 193]
ПРАВИЛА ОТБОРА
153
Коэффициент при старшем члене справа в (193,5) есть
c„+1a„+i=c„+i2"+1.	(193,13)
Приравнивая (193,12) к (193,13), находим
Сп4-1 ~ ~2 NnN1 •
Подставляя это значение в (193,9), находим
s	Nn
При помощи выражения для нормирующего множителя (193,8)
находим сначала
Хп
^п+1
/" 2n+1 (/г + 1)!
2пп\
|/ 2 (п + 1) ,
так что
^п, n -t-1 —	~2 (п + 1) •
И, наконец, принимая во внимание, что хп, п+1 — у £п, п+1, по-
лучаем
®п, п-1 = j/'+'l 	(193,14)
Формула (192,8) теперь даёт для вероятности перехода в линей-
ном гармоническом осцилляторе
=	(193,15)
She6
Принимая во внимание, что согласно установленному выше
на основании правила отбора
V/1, П , 1 Vq,
получаем
.	_ 64^4ф2 п + 1
Аг, п+1— 3/гс3	* 2а •
Аналогично получим для излучения
64^4'^е2 п
Ап> п-1 — —3/гсз ' 2а ’
Подставляя сюда значение а
47t2mv0
а = ~h~ ’
(193,16)
(193,17)
154
ИЗЛУЧЕНИЕ
[гл. XIV
получим
^п, п -1
8^2^е2
-о--Т~П
Зтс3
(193,18)
Согласно § 93 т. I среднее время жизни т в возбуждённом состоя-
нии
1
^п, п—1
(93,7)
так что в данном случае
Зтс3 1
8тс2^е2 п.
(193,19)
В классической теории излучения было показано (т. I, § 66), что
коэффициент затухания осциллятора у равен
2<»2e2_8^2v2e2
Зтс3 Зтс3
(66,3)
Формула (93,7) может быть поэтому переписана в виде
1
тогда как в классической теории
б) Электрон в центральном поле. Покажем теперь, что для
дипольного излучения электрона, движущегося в центральном
поле (например, в кулоновом поле ядра), имеют место два важ-
ных правила отбора. Одно из них управляет переходами, связан-
ными с изменением квантового числа Z, и состоит в том, что
возможны только такие переходы, при которых А/ изменяется
на +1 или — 1:
Д/=± 1.	(193,20)
Второе относится к квантовому числу /п; оказывается, что воз-
можны лишь такие переходы, при которых изменения т удовле-
творяют условию
Am = j=l или 0.	(193,21)
Вывод будет заключаться в доказательстве того, что вероятность
перехода, вычисляемая по формулам (192,7) и (192,8), равна нулю
во всех случаях, за исключением тех, которые удовлетворяют
требованиям (193,20) и (193,21).
§ 193]
ПРАВИЛА ОТБОРА
155
Выпишем для удобства матричные элементы координат:
я# = \ ФМ& dr, yjk = ф/г/ф* dr,
Zjk = ФМь^.
С целью вывода правила отбора для квантовых чисел I и т
мы рассмотрим такую модель, для которой собственные функции
зависят только от углов & и ср (см. § 180). Эта модель представ-
ляет собой частицу, обращающуюся около неподвижного центра,
оставаясь на одном и том же расстоянии от него (ротатор). Соб-
ственные функции этой задачи приведены в таблице XXIII
на стр. 90. хМы будем писать их в общем виде
b = eim?P?.	(193,22)
Полиномы, обозначенные нами символом Р™ в таблице XXIII,
представляют собою зависящие от 0- полиномы, входящие в соб-
ственные функции квадрата момента количества движения Они
изучаются в теории шаровых функций и носят название присо-
единённых полиномов Лежандра.
По условиям симметрии задачи целесообразно перейти от декар-
товых координат к полярным; при этом, так как радиус-вектор г
остаётся всё время одним и тем же, мы его положим равным
единице. В таком случае
х — cos ср sin О, ?/=-sin ср sin В, z = cos 0,
d~ = sin 0 d$ dy.
Пусть в состояниях, характеризуемых значками j и к, кван-
товые числа будут соответственно I, т и I', пг'. Перепишем
теперь матричные элементы (193,21) в полярных координатах,
и заменив
функции:
подставив в них вместо о7- и их явные выражения
cos ср и sin ср их выражениями через экспоненциальные
г? , —гэ	гэ —г?
р т  I р *	р • —— Р Г
cos ср =-------- , sin ср =---,
получим:
Xjk = у (ег(пг'-т+1)<р	fa ЙЙ' sin20' ЙО,
0	0
2тс	7С
yjk = j-	PfP™' Sin2 0 <Zi>,
0	0
Zjk —	dz> ЙЙ' cos & sin 0- db.
> (193,23)
)
156	ИЗЛУЧЕНИЕ	[гл. XIV
Найдём сначала правила отбора для тп. С этой целью мы, прежде
всего, рассмотрим Zjk. Очевидно, что интеграл
2тс
\ еЦт'-т)р
О
не равен нулю только при т' = т. Мы получаем, таким образом,
первое правило отбора
Д?п — 0.
Точно так же в выражениях для уд. интегралы
2 тс
— in г 1)э и	— т— 1)з
0	0
не равны пулю только при т'— tn — =F 1. Это даёт второе правило
отбора для т
Ат = + 1.
При выводе правила отбора для / мы ограничимся рассмотре-
нием Zjk, где надо, по сказанному, положить т' = т. Интеграл
по г> мы напишем тогда в виде
cos DP™ (cos ?)•) Р™' (cos D) siii 3 dP;	(193,24)
о
если ввести новую переменную ^ = cos9', то этот интеграл при-
мет вид
н 1
хР™ (х) Р™’ (ж) dx.
-1
В теории шаровых функций*) доказывается следующая формула:
(Л = а +т + -2ГЙ- р‘- ‘ 
Принимая во внимание ортогональность функций Лежандра Р"1,
мы видим, что интеграл (193,24) не равен нулю лишь при условии
V = Z 1 • Это даёт правило отбора для I
Д/=± 1.
*) См. например, В. А. Фок, Начала квантовой механики, стр. 123,
Кубуч, 1932; В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. Ill, ч. 2,
гл. VI, Гостехпздат, 1949.
§ 193]
ПРАВИЛА ОТБОРА
157
На доказательстве того, что такое же правило отбора имеет место
для Xjk и yjk, мы останавливаться не будем, отсылая интересую-
щихся к специальным руководствам по квантовой механике.
Кроме правил отбора, мы можем легко получить из формул
(193,23) также и правила поляризапии. Положим, что т' = т
(переход Длг = 0); в этом случае Zjk /= О, тогда как Xjk = yjk-- 0.
Это означает, что при переходах Дт —0 должно возникать ли-
нейно поляризованное излучение с колебаниями по оси z. Если
же Дт = лг'—т 1» то Zjh — Q, но Xjk и у}-к отличны от нуля.
При Дт =	1 мы получаем из (193,23)
2те
P™Z\TvT1sin21W1),
о о
у]к = dv Р™Р™Л 1 sin2 0 d$ =
о о
2те те
= dv J Р^Р^Х siirWU.
о о
Таким образом, у/д отличается от Xjk множителем — /. Это озна-
чает, что колебания проекций по осям у и х отличаются по фазе
на ~ , Аналогичным образом при Дтп = — 1 колебания проекций
отличаются по фазе на—. Итак, при переходах Дт = ± 1 Дол-
жно возникать излучение, поляризованное по правому или левому
кругу.
В случае водородоподобных атомов (кеплерова задача) соб-
ственные функции имеют вид (см. § 184, таблица XXV)
Ъп, I, т = Rn, I	(cos
В соответствии с этим матричные элементы будут представлять
произведения интегралов (193,23) на интегралы вида
Rn'i' (г) гRni (г) г2 dr.	(193,25)
Интегралы (193,23) вновь приведут к правилам отбора для I
и т(Д/ = =}=1, Д??г = О, ± 1), которые, таким образом, имеют
место и для электрона в кулоновском поле. Что же касается
интегралов (193,25), то они, как показывает вычисление*), при
*) См., например, В. А. Фок, Начала квантовой механики, стр. 132
и след., Кубуч, 1932.
158	ИЗЛУЧЕНИЕ	[гл. XIV
соблюдении правила отбора AZ =	1 отличны от нуля при любых
значениях разности п'— п = Д/г. Таким образом, для главного
квантового числа правила отбора не существует: оно может изме-
няться на любое число единиц.
Отметим в заключение, что установленные выше правила от-
бора выполняются строго только для излучения электрического
диполя. В самом деле, матричный элемент, от которого зависит
вероятность перехода, имеет вид
D inn —- &XtTin =-	&Х dx.
Как уже указывалось, этот матричный элемент представляет собою
не что иное, как дипольный момент ех, своеобразным образом
усреднённый между состояниями и <ЬП. Вероятность пере-
хода свелась у нас именно к такому матричному элементу вслед-
ствие того, что при рассмотрении воздействия световой волны
на атом мы пренебрегли запаздыванием па протяжении атома
(см. начало § 191). В случае оптических спектров, когда длина
волны значительно больше размеров атома, такое пренебрежение
вполне оправдано. И действительно, в оптических спектрах, как
мы увидим ниже, установленные выше правила отбора для кван-
товых чисел I и т в подавляющем большинстве случаев выпол-
няются. Однако встречаются и исключения. Так, например, в
спектрах щелочных металлов наблюдаются очень слабые линии,
являющиеся комбинацией термов s и d, т. е. возникающие при
переходах с изменением квантового числа I на две единицы. По-
явление подобных «запрещённых» линий объясняется тем, что ве-
роятность перехода в строгой теории выражается суммой членов,
из которых только первый соответствует дипольному излучению;
второй и последующие члены соответствуют излучению более слож-
ных систем зарядов — квадруполей и высших мультиполей. Вели-
чина этих членов быстро убывает, и потому вероятность переходов,
соответствующих квадрупольным переходам (при которых, в част-
ности, разрешаются переходы с изменением Д/— 2), во много раз
(примерно в 105—10е) меньше вероятности переходов дипольного
характера. Этим объясняется слабость «запрещенных» линий.
В случае рентгеновских спектров, где длины волн в 103—104 раз
меньше, нежели в оптических, запаздывание играет соответственно
большую роль. Подсчёт показывает, что здесь вероятность квад-
рупольных переходов, особенно в случае тяжёлых атомов, в 103— 104
раз больше, нежели в оптических спектрах. Этим объясняется то,
что в рентгеновских спектрах запрещённые линии встречаются
значительно чаще.
Дальнейшие сведения относительно запрещённых линий см. в
§§ 235 и 236.
§ 194]
МАГНЕТОН БОРА
159
§ 194. Магнетон Бора
Перейдём теперь к рассмотрению влияния магнитного поля
на уровни энергии и начнём с вычисления магнитного момента
атома. В электродинамике магнитный момент кругового тока выра-
жается через силу тока и обтекаемую им площадь (см., например,
т. ], § 72). Сила тока, обусловленного движением электрона, вы-
числяется просто как произведение где о — сечение тока. Если
мы имеем дело с электроном в центральном поле, то орбита его,
с точки зрения классической физики (а также и теории Бора),
есть круг или эллипс, при обращении по которым электрон со-
здаёт замкнутый ток, силу которого легко вычислить, зная скорость
электрона.
В квантовой механике дело обстоит сложнее, так как здесь
мы должны рассматривать среднюю плотность электрического
заряда еф*Ф, распределённого во всём пространстве, и среднее
значение тока, получаемое как произведение заряда е на ток
вероятности s. Поскольку мы имеем дело с пространственным рас-
пределением заряда, нам необходимо вычислять не линейный, но
объёмный ток, а потому и необходимо сначала дать выражение
для объёмного тока вероятности. Для одномерного движения ток
вероятности, как мы видели в § 170, есть*)
=	.	(194,1)
У 1 дх 1 дх J	'
В случае пространственного тока следует дать ещё две составляю-
щие вектора s, которые вследствие симметрии имеют аналогичный вид
_Л_ ( ^*d_L
\ ‘ ду
У ' dz
(194,2)
dj dj dj
заметив, что ~ ~ , — суть составляющие градиента скалярной
функции Ф, мы можем написать выражение для тока вероятности
в векторной форме
h
4^1 |Д
(ф* grad Ф — Ф grad Ф*).
(194,3)
s
В таком виде пользоваться формулой для плотности тока особенно
удобно, так как мы не связаны в этом выражении системой коор-
динат и можем выбирать именно ту систему, в которой вычисле-
ния производятся проще всего. В частности, в случае централь-
*) Здесь и в дальнейшем, когда в формулы будет входить одновремен-
но с массой магнитное квантовое число т, мы будем обозначать массу
буКВОЙ |Л.
160
ИЗЛУЧЕНИЕ
[гл. XIV
кого поля удобнее всего пользоваться сферической системой коор-
динат г, &, ф, где составляющие градиента таковы*):
gradr=^-, grad» — Д	grad^ = —i—кД.	(194,4)
б г дг	ь »	г (90 ’ 6	. Г Sin 0 5?	'	’ '
Собственные функции в случае центрального поля, как мы
видели 180), можно представить в виде произведения трёх
функций
Ф (г, ср) = 7? (г) • Н (&) • eifn!?.
В § 170 мы уже обратили внимание на то, что в тех случаях,
когда зависимость от координаты выражается действительной
функцией, составляющая плот-
ности тока для этой коорди-
наты равна нулю. В данном
случае R (г) и О (11) как раз
выражаются действительными
функциями (см. § 170), и потому
составляющие тока для этих
координат отсутствуют; остаёт-
ся, следовательно, только со-
ставляющая для координаты ср.
Это означает что ни по радиу-
сам, нп вдоль меридианов пет
никакого тока, а ток течёт
только по широтам, как если бы
мы имели дело с вращением
около вертикальной оси.
Магнитный момент кругового
тока равен силе тока в электро-
... п/п	магнитных единицах, умножен-
нои на обтекаемую площадь.
Для вычисления магнитного мо-
мента объёмного тока поступим так: вычислим сначала магнит-
ный момент элементарной трубки тока, текущего по кругу ши-
роты 1} на расстоянии г от центра (рис. 242), а затем проинте-
грируем по всему объёму, т. е. по всем таким трубкам. Сила
тока (в электромагнитных единицах) в упомянутой трубке тока
равна jsdo, где — составляющая плотности тока но широте,
acta —площадь сечения трубки тока. Но
/? =	=4 • 4^ £rad? §rad?
*) См., например, Н. Е. К очи и Векторное исчисление, § 18, стр. 209,
ГОНТИ, 1938.
§ 194
МАГНЕТОН БОРА
161
Вычисление даёт, прежде всего,
Ф* grad® Ф = А0е_гпг<? • —(_R0eim4 = --- -< ф*ф
т & т"	г sin 5 ?/>''	' гзшй ‘ “
и аналогично
Ф grad Ф* = —  im , ф*Ф,
' 6	'	г S1H г) ‘ 1
так что
. eh
7Ю = т—.--------.
2теи.с г sin У
('ила тока будет поэтому
т . 7 eh ф*фс?с
J -S = у® а<з = m -—Л—-.
‘	17	2^с г sin О
Для получения магнитного момента трубки тока нужно это выра-
жение помножить на обтекаемую площадь, т. е. на K(rsinli)2
(см. рис. 242):
(1М J tz I г sin О)2 — m	Ф*Фтсг sin -8- d? = m	(2т7Г sin 6- dd\.
* '	'	2njj.C ‘	‘	4tC.j.C 1	1 '
Но произведение (2тсг sinH- dd) — длины окружности «трубки тока»
па со сечение —есть, очевидно., объём этой «трубки». Поэтому
интегрирование по всем возможным трубкам равносильно интегри-
рованию величины Ф*Ф по всему пространству. Такой интеграл
вследствие нормирования 9 равен 1. Итак, находим окончательно
для магнитного момента объёмного тока, распространённого на
всё пространство,
eh
М =	т = 0, 1,2,...	(194,5)
Множитель
ph
^о = 4^	(194,6)
составлен из универсальных констант; поэтому он сам является
константой. Мы получили важный результат: магнитный момент
равняется произведению целого числа т на константу Мо:
М = тМ0.
□то значит, что, подобно тому как всякий заряд есть кратное
заряда электрона, магнитный момент электрона в центральном
поле ость кратное универсальной единицы магнитного момента Мо:
Эта квантовая единица магннитого момента называется магнетоном
Бора. Чаще, однако, пользуются магнетоном Бора MQ, умножен-
ным па постоянную Авогадро ТУ ~ 6,02 • 1023. Эта макроскопиче-
162
ИЗЛУЧЕНИЕ
[гл. XIV
ская единица магнитного момента обозначается через Мв- Она
равна
Mb = NMq^-N =
°	и	|хс 4 ft
- 6,02 • 1023 • 1,760 • 107 •	= 5585 гаусс • см-1.
Найдём ещё важное для последующего отношение магнитного
момента к механическому моменту импульса. Для этого заметим,
что, поскольку полный магнитный момент оказался соответствую-
щим пространственному круговому току относительно оси z, для
момента импульса следует взять также его z-составляющую, т. е.
=	(179,3)
Из (194,5) и (179,3) находим
М _ е
Lz ~	’
т. е. отношение магнитного момента к механическому равно той
же величине , которую мы уже нашли в т. I, § 72 из сообра-
жений, основанных на классической физике.
(194,7)
§ 195.	Электрон в магнитном поле
До сих пор мы имели дело только с такими конкретными
задачами, когда движение происходит в потенциальном поле.
Теперь мы покажем, каким образом в систему квантовой меха-
ники может быть включено изучение движения под действием
магнитных сил, которые потенциала не имеют (см. т. I, § 60).
Для этого нам прежде всего придётся существенно обобщить
уравнение Шредингера. Так как это уравнение представляет
собой уравнение для собственных функций оператора Гамиль-
тона, то первый шаг будет заключаться в отыскании вида опера-
тора Н для случая магнитных сил. Мы будем при этом следовать
уже установленному стандарту: напишем прежде всего класси-
ческую функцию Гамильтона для интересующего нас случая.
Как мы видели в т. I, § 60*) она такова:
н=[ (р* - 4 А*У+(л, - 4 А*У+(Д - 4 А^У ] + •(60 
Здесь Рх, Ру, Дг — составляющие так называемого кинетического
импульса (см. § 60); Ах, Ау, Az — составляющие вектор-потенциала;
*) В отличие от обозначений, принятых в т. I, § 60, здесь Рх, Р,, Р„
являются составляющими кинетического импульса, а рх, pv, pz— обыч-
ного импульса.
§ 195]
ЭЛЕКТРОН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
163
— скалярный потенциал поля (в отсутствии магнитного поля —
электростатический потенциал).
Для получения оператора Гамильтона, соответствующего
(60,14), мы поступаем по обычной схеме: а именно, следует
заменить кинетические импульсы Рх, Ру, Pz операторами
и т. д. Поэтому величинам, входящим в (60,14), сопоставляются
следующие операторы:
Рх-	-Ах~> с х	h д 2тЛ дх	-лх, 1 с х’
Ру~	-Ау-^ с у	h д 2kS ду	-Л, с
Pz-	е л —-Az —> с z	h д 2ki dz	-Л, с
еср —> умножение на еср.
(195,1)
Мы приходим таким путём к оператору
н=4 ГЛ* ’
2ц |_ \ 2тсi дх	с J \2-rcj ду с
+ (^Гг-тА)2]+е-₽.	(195,2)
Этот оператор мы используем в уравнении Н^ — Е^. Для того
чтобы написать это уравнение в явном виде, преобразуем опе-
ратор (195,2). Рассмотрим первое слагаемое в квадратных скоб-
ках, применяя оператор к любой функции Ф:
/Л д е л \	/ h д е .\f h е л , А
\2^i di ~ ~с Ах) —	di~~~ Ах)	с =
h2 д2у	h е д , . .	е h . д$> е2 .2
“ 4тг2 дх2 2т с дх(Лх^	с 2mAxdiA''i2
Вычислив таким же образом остальные слагаемые в квадратных
скобках и приняв во внимание, что
¥х ((ЛФ) + Tz	= diV <А^’
Ах + Ау 4- Az = A grad ф,
дх Уду dz °	1
получим
ЦФ — —-Д- —-т~- div (АФ) — -,eh A grad Ф ~ уЦ- А2Ф 4- Щ,
1	8к2р. ' 4i:ip.c '	4тсфс to ' ' 2;jc2	'	*
(195,3)
где
V = еср.
164
ИЗЛУЧЕНИЕ
[гл. XIV
Так как действие магнитного поля слабо по сравнению
с действием поля электрического, то в случае слабых полей
в2
членом, содержащим квадрат вектор-потенциала А2, можно
пренебречь.
Далее, согласно известному тождеству векторного анализа,
которое очень легко проверить непосредственным вычислением,
имеем
div (Аф) = ф div А 4- A grad ф.	(195,4)
Без ограничения общности можно здесь положить div А — О
по следующей причине. Как было разъяснено в т. I, § 60,
вектор-потенциал, из которого с помощью соотношения J£=:rotA
определяется напряжённость магнитного поля, вообще известен
с точностью до градиента произвольного скаляра grad / (подобно
тому как электростатический потенциал известен с точностью
до произвольной постоянной). Если вектор А не удовлетворяет
условию div А = 0, то мы можем заменить его вектором
А' — А + grad /, где / — произвольный скаляр, и выбрать этот скаляр
так, чтобы div grad /= — div А. Тогда
div А' — div (А 4- grad /) — div А 4- div grad / = div A — div A = 0.
Но напряжённость магнитного поля, определяемая из А, при этом
не меняется, так как
К = rot А' == rot (А 4- grad /) — rot А
(rot grad/ = O).
Итак, полагая divA = 0, получим из (195,4)
div (Аф) — A grad ф,
и формула (195,3) после отбрасывания последнего члена примет
вид
Agrad6 + P0.	(195,5)
Наконец, воспользовавшись этим выражением в уравнении Шре-
дингера = получим после простых преобразований
Дф + ^А8га<1ф+4^(£-Р)ф = 0.	(195,6)
Это и есть уравнение Шредингера, обобщённое на случай
присутствия слабого магнитного поля. Как видим, оно отличается
от прежнего только вторым членом, учитывающим действие
этого поля.
§196]	ТЕОРИЯ ПРОСТОГО ЭФФЕКТА ЗЕЕМАНА	165
§ 196. Теория простого эффекта Зеемана
Покажем теперь, что из обобщённого уравнения Шредин-
гера (195,6) очень легко вытекает теория простого эффекта
Зеемана. Пусть мы имеем водородоподобиый атом, помещённый
в однородное магнитное ноле, параллельное оси z. Составляющие
этого поля по осям декартовых координат таковы:
;^=o, жУ=о, ^z = ^e.
Легко убедиться в том, что это поле получается из вектор-
потенцпала А, составляющие которого равны
Ах= — ~-^у,	=	Az = 0.
В самом деле, так как напряжённость магнитного поля вычи-
сляется из вектор-потенпиала А по формуле J£ = rotA, то
б'-/)	A	дА~	дАу	о
Q/i> х 1 OUX' А	dz	
1. А у — roty А — „ 11	J	dz	dAz _ дх	0,
. дАц	дА-с	1 1
r/^z==rolzA = -	— дх	ду ~~	
Принимая это во внимание, найдём добавочный член ~ A grad О
в уравнении (195,6). Имеем
a it . <9Ф	.	, <9ф	1	/ <?ф	<9ф\
A grad Ф = Ах у + Ау ~ - - Az Л- = — Ус’( х  у — } .
°	1 дх J ду dz 2 у ду	? дхJ
Если теперь перейти от декартовых координат к полярным
с осью, направленной по осп z, то, как мы видели в § 176,
д!> дф <?ф
х ду ~~ У дх^д^’
и мы получаем
A grad Ф =	.
Уравнение (195,6) теперь принимает вид
+	+	=	(196,1)
Поскольку мы имеем дело с движением в центральном иоле,
решение этого уравнения мы будем искать, как в § 180, в виде
произведения трёх функций: 7? (г) • 0 (11) • ф (<?). При этом оче-
видно, что, как. в случае сферической, так и в случае осевой
166
ИЗЛУЧЕНИЕ
[гл. XIV
симметрии поля функция Ф(<?) должна иметь вид*) eim'5, так
что ф — Z?0eifn?. В таком случае имеем
<7?	1
далее,
и уравнение (196,1) после объединения всех членов, умножаю-
щихся на 0, принимает вид
+	+	0.	(196,2)
Обозначив
E + m-.el> ЕЕ^Е’,	(196,3)
получим
Решение этого уравнения, которым мы занимались в преды-
дущих параграфах, даст ряд собственных значений энергии
Ё\, Е'г, ..., E'k, ... Но ио (196,3)
E'^Et + m^ УС.	(196,4)
Собственные значения энергии Е’ъ в присутствии магнитного
поля сЖ, как видно, отличаются от собственных значений Ек
eh тт
в отсутствии магнитного поля слагаемым m JC. Но так как
т может принимать все целые значения между Ц-1 и — I, то
каждый из уровней энергии ££. —простых в отсутствии магнит-
ного поля —в магнитном поле распадается па 21 4-1 подуровней.
Что же касается собственных функций, то они остаются темп же,
что и в отсутствии магнитного поля. Мы можем, таким образом,
сказать, что в магнитном поло устраняется вырождение отно-
сительно квантового числа пг: 21 + 1 совпадающих подуровней
смещаются отноептельно друг друга, так что расстояние между
соседними подуровнями оказывается равным	Это рас-
стояние, как видно, пропорционально напряжённости магнитного
поля и нс зависит от квантовых чисел п и I.
*) Из дальнейшего видно, что множитель егт? должен быть обяза-
тельно комплексным и по может быть заменён cos пг? или sin пгф. Это —
один из примеров того, что сама функция ? но существу комплексная.
§ 196]
ТЕОРИЯ ПРОСТОГО ЭФФЕКТА ЗЕЕМАНА
167
Частоты спектральных линий, излучаемых в магнитном поле,
будут поэтому
v = EkTEl = Е к 7Е'- 4- Зп Зв = у0 + Зв, (196,5)
где v0— частота, испускаемая в отсутствии магнитного ноля.
Принимая во внимание правила отбора для магнитного кван-
тового числа (§ .193), согласно которым Д/н — О, -|- 1, мы полу-
чаем следующий результат: в магнитном поле К каждая спек-
тральная линия с частотой v0 распадается па три липни:
'‘0^-3’^'	'^~вЗГ№-
Но это п есть уже известный вам из классической теории
(т. I, § 73 — 74) простой триплет Лоренца.
Обратим внимание теперь на следующее важное обстоятель-
ство: уравнение Шредингера для атома в магнитном поло даёт
тот же результат, что и простая классическая теория (т. I,
73 — 74). Но уже было сказано, что этот результат верен
только в определённых частных случаях. Например, для водо-
родного атома в слабом магнитном поле он не верен: число
компонент иное, численные значения Ду, хотя п связаны с лорсн-
цовым расщеплением простыми численными соотношениями, по,
вообще говоря, с ним не совпадают. Особенно существен
следующий факт: поскольку при данном квантовом числе I
магнитное квантовое число может иметь 2/ +1 различных зна-
чений, магнитное поле должно было бы вызывать расщепление
уровней всегда на нечётное число подуровней. На самом доле
наряду с почётными расщеплениями встречаются также и чётные.
Простой триплет Лоренца получается только в сильных магнитных
полях или в слабых полях на так называемых спнгулетпых
линиях. Причина такого расхождения с опытом состоит в том,
что в уравнении Шредингера игнорируется важное свойство элек-
трона: наличие у него собственного момента количества движе-
ния и магнитного момента. С этим свойством мы познакомимся
в следующей главе, где и будет дана теория так называемого
аномального (в действительности чаще всего встречающегося
и только по исторической случаппостп названного аномальным)
эффекта Зеемана.
ГЛАВА XV
СПИН ЭЛЕКТРОНА
§ 197. Гипотеза вращающегося электрона
В конце предыдущей главы было показано, Чт0 применение
уравнения Шредингера к атому в магнитном поле даёт только
простой триплет Лоренца и, следовательно, не позволяет объяс-
нить сложные случаи расщепления. На самом деле это затруд-
нение имеет гораздо более общий характер. Так, например,
в §§ 185 и 186 мы рассмотрели спектры одновалентных атомов
и показали, что многообразие серий, наблюдаемых в этих спек-
трах, объясняется снятием вырождения относительно азимуталь-
ного квантового числа Z: уровни энергии, характеризуемые
одним и тем же главным квантовым числом п и различными
квантовыми числами I, т. е. уровни, которые в водородоподоб-
ных атомах совпадают (см. § 184), в атомах щелочных металлов
становятся неравными. Поэтому каждый бальм<эр°в терм R/п2
расщепляется на столько термов, каково число различных значе-
ний I при данном п, т. е. на п различных термов (возможные
значения I таковы: 0, 1,	— 1). Следовательно, при п =1
мы имеем один терм 1s, при п = 2 — два различных терма 2s и 2р,
при п = 3 — три различных терма 3s, Зр и 3d и "Г- Д- Число этих
термов вполне достаточно для того, чтобы объяснить происхожде-
ние главной серии, двух побочных (резкой и диффузной) и фун-
даментальной, т. е. всех серий атомов с одним валентным элек-
троном. Таким путём можно объяснить, почему, например,
в спектре лития имеются различные серии 2s-^тР и 2p — ms,
тогда как в спектре водородоподобных атомов обе эти комбинации
термов дали бы одну и ту же — именно бальмерову — серию
(сравни рис. 234 с рис. 239).
Оказывается, однако, что это число термов, достаточное для
объяснения спектральных серий в грубых черта#, недостаточно
для объяснения так называемой тонкой структуры их линий.
Общеизвестно, например, что головная линия главной се-
рии натрия (жёлтая D-линия) представляет собой дублет с рас-
стоянием между компонентами в 6 А (5889,953 А и 5895,930 А).
§ 197]
ГИПОТЕЗА ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЭЛЕКТРОНА
169
Такими же дублетами являются все линии главной серии у всех
щелочных металлов; при этом расстояние между компонентами
дублета быстро возрастает с возрастанием атомного номера,
доходя у цезия (Z = 55) до 422 А. В случае резкой серии струк-
тура несколько сложнее, так как, кроме более ярких двух ли-
ний дублета, имеется ещё слабый спутник — в результате полу-
чается так называемый сложный дублет. Однако и простые
и сложные дублеты могут быть объяснены, если допустить, что
уровни s одиночные, а уровни р, d, f, .. . двойные, так что
у Na имеется не один уровень Зр, но два: Зрг и 3/?2> У Os —
не один уровень Зр, но два: Зрг и 6/?2 и т. д. (см. рис. 240 и 241).
Но откуда возникает эта двойственность? На этот вопрос уравне-
ние Шредингера не даёт ответа. Если присоединить сюда затруд-
нение с аномальным эффектом Зеемана и ряд других явлений,
о которых речь будет ниже, то получается целая область фактов,
для объяснения которых требуется нечто новое.
Выход из затруднений был найден в 1925 г. Гаудсмитом
и Юленбеком, которые показали, что затруднения устраняются,
если приписать электрону особое свойство, неизменно присущее
ему в такой же степени, как заряд и масса. Это свойство состоит
в том, что электрон обладает собственным моментом количества
движения и магнитным моментом, т. е. ведёт себя, как волчок
и магнит. Поскольку электрону приписывался собственный меха-
нический момент, этому моменту надо было сопоставить изме-
ряющее его квантовое число s (это обозначение происходит
от слова spin, что значит по-английски веретено; обозначение —
исторически укоренившееся, но не совсем удобное ввиду того,
что та же буква используется в символах s-термов). Механи-
ческий момент по общим законам квантовой механики (см. §§ 178
и 179) выражается через это квантовое число формулой
£ = /s(s+ 1) А, а его проекция на ось z может принимать 2s -f-1
fl
различных значений в тех же единицах -н— . Существенно, однако,
то, что при помощи этого нового квантового числа необходимо
объяснить расщепление каждого уровня на два подуровня. Это
вынуждает приписать квантовому числу s не целое, а дробное
1
значение, именно значение у , так как только в этом случае число
расщеплений 2s + 1 есть 2 • y+l = 2. Отсюда следует, что числен-
ное значение собственного механического момента электрона или,
,/Т 3 h
как мы его будем называть, момента спина есть 1/ -тт •-к--тг--=
./"з h	„
= у 4" 25Г ’ а его проекция на ось может принимать два и только
170
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
два значения + у и — у . Мы впервые встречаемся здесь
с такой своеобразной динамической переменной, совокупность
значений которой исчерпывается двумя точками.
Этим, однако, своеобразие рассматриваемого свойства элек-
трона не исчерпывается. Как уже было сказано, кроме механи-
ческого момента электрону приписывается также и магнитный
момент. В § 194 мы видели, что между механическим моментом
и магнитным моментом имеет место соотношение
^ = ^4	(194,7)
(под Lz разумеется ^-составляющая момента импульса). При
Lz=i-^- магнитный момент равен одному магнетону Бора
 Если бы соотношение (194,7) имело место и для спина,
4тг,лс	'	'
то его магнитный момент был бы равен половине магнетона Бора.
Между тем вся совокупность экспериментальных фактов одно-
значно указывала на то, что собственный магнитный момент
электрона равен одному целому магнетону Бора, так что для
спина вместо (194,7) имеет место соотношение
Afs = 2^s2.	(197,1)
Гипотеза спина сразу открыла возможность простого объясне-
ния огромного количества фактов. В частности, дублетность термов
атомов с одним валентным электроном стала совершенно понят-
ной. В самом деле, в состояниях, характеризуемых квантовым
числом Z, отличным от нуля (р-, с?-, /-, ... термы), атом обладает
не равным нулю орбитальным моментом импульса; с этим меха-
ническим моментом связан и определённый магнитный момент,
т. е. магнитное поле. В силу пространственного квантования
собственный момент электрона ориентируется относительно этого
магнитного поля так, что его проекция на направление поля будет
либо 4-4--Й— , либо — 4--ТГ-. Вследствие этого из одного уровня,
например р-уровня (Z = 1), возникают два уровня с проекциями
импульса либо fl = 4- 4- , либо fl —	=
2 у 2 тс	2 2 тс	2 у	и ZiTZ
Этого, однако, не будет в случае 5-термов, так как в состоянии 5
механический, а следовательно, и магнитный момент атома оба
равны нулю, и нет направления, относительно которого мог бы
ориентироваться момент спина. Это и есть причина, почему
s-термы остаются простыми, тогда как р-, d-, ... и т. д. термы
являются двойными.
Представление о спине электрона и связанных с ним своеобраз-
ных свойствах было выдвинуто в качестве гипотезы. Впослед-
§198]	ОПЫТ ШТЕРНА И ГЕРЛАХА	171
ствии, однако, оказалось, что наличие спина и все его свойства авто-
матически вытекают из установленного Дираком уравнения кван-
товой механики, удовлетворяющего требованиям теории относи-
тельности. Таким образом, выяснилось, что спин электрона является
свойством одновременно квантовым и релятивистским.
В следующих параграфах мы опишем сначала некоторые экспе-
рименты, дающие непосредственное (а не только косвенное, как
спектроскопические факты) доказательство существования спина
и его своеобразных свойств, а затем рассмотрим и относящиеся
сюда теоретические вопросы.
§ 198. Опыт Штерна п Герлаха
Посмотрим, каким образом можно было бы непосредственно
убедиться в существовании спина и магнитного момента электро-
на. Очевидно, что для этого необходимо подвергнуть электрон
действию внешнего магнитного поля. Соображения, основанные
на соотношениях неопределённости, показывают, однако, что
непосредственное измерение магнитных и гироскопических свойств
свободных электронов вообще невозможно *). Для того чтобы обна-
ружение этих свойств стало доступным, электрон должен быть
связан с достаточно большой массой в качестве «балласта», дела-
ющего возмущения со стороны измерительного прибора менее
заметными. Это означает, что опыт следует производить не со сво-
бодными электронами, но с электронами, связанными в атомах.
Наиболее подходящими для этой цели являются атомы водорода
и элементов первой группы периодической системы. Атом водо-
рода содержит один электрон, связанный с протоном, масса
которого почти в 2000 раз превосходит массу электрона и, таким
образом, является достаточным «балластом». Атомы первой группы
периодической системы имеют ещё большую массу и, кроме того,
(так же, как и водородный атом) обладают следующим выгодным
для интересующего нас эксперимента свойством: их невозбуждён-
ные состояния принадлежат к типу s-состояний, вследствие чего
орбитальный момент невозбуждённых атомов равен нулю. Если,
таким образом, опыт покажет, что эти атомы всё-таки имеют
механический и магнитный моменты, то наличие того и другого
надо будет приписать свойствам самого валентного электрона.
Представим себе теперь, что пучок атомов одного из указан-
ных элементов проходит через магнитное поле. Если, однако,
это поле — однородное, то мы ничего таким путём не обнаружим;
однородное поле действует на магнитный диполь только парой
сил и, следовательно, просто ориентирует его. Но эту ориенти-
*) Этот вопрос подробно разобран, например, в книге Л. д е-Б р о г л я,
Магнитный электрон, гл. XIX, ГОНИУ, 1936.
172	СПИН ЭЛЕКТРОНА	[гл. XV
ровку заметить невозможно. В самом деле, представим себе пучок
атомов, который проходит через поле, перпендикулярно к его-
направлению. Очевидно, что одна только ориентировка атомов
никак не изменит конфигурацию пучка: пучок, который до про-
хождения через поле был параллельным, останется таким и после
прохождения. Для того чтобы вызвать отклонение пучка, поле
должно быть неоднородным. Если при этом неоднородность поля
заметна уже на протяжении длины диполя, то его полюсы будут
подвергаться действию неравных сил, и в результате возникнет
сила, смещающая диполь в ту или другую сторону. Величина
этой силы зависит как от магнитного момента, так и от неодно-
родности поля. Именно, она равна (Mgrad)JC, вследствие чего
^-составляющая силы, которую мы обозначим просто через F,
будет равна *)
Р—М d^z I М d^z I М d^z
1	дх	ду + dz '
Но кроме этой силы, на атомы будет действовать также и пара,
которая будет стремиться повернуть атомные диполи по напра-
влению поля. А так как эти диполи являются вместе с тем
и волчками, то возникнет прецессия относительно направления поля
(см. т. I, § 72). Если поле направлено по оси z, то вследствие
этой прецессии проекции М на оси х и у будут принимать
то положительные, то отрицательные значения и в среднем
Мх — М1} = 0. Проекция же на ось z будет оставаться постоянной,
вследствие чего среднее значение силы, действующей на диполь,
будет
~р — М d^z
1	* dz ’
т. е. сила будет пропорциональна ^-составляющей магнитного
d&0z тт
момента и неоднородности поля —. Но ^-составляющая магнит-
ного момента пропорциональна ^-составляющей механического
момента, а последняя может принимать ограниченное число
дискретных значений. Вследствие этого пучок после прохожде-
ния через поле разобьётся на столько отдельных пучков, каково
число возможных значений Lz, и если расположить перпенди-
кулярно к пучку пластинку, на которой будут оседать атомы
пучка, то на этой пластинке должно получиться несколько узких
полосок.
Такой опыт в действительности впервые был спроектирован
П. Л. Капицей и Н. Н. Семёновым и независимо от них был
поставлен Штерном и Герлахом следующим образом. В сильно
*) См., например, А б р а г а м-Б е к к е р, Теория электричества, § 38,
ОНТИ, 1939.
§ 198]
ОПЫТ ШТЕРНА И ГЕРЛАХА
173
эвакуированный сосуд помещали маленькую печку К (рис. 243),
куда клали кусочек серебра. При нагревании печки серебро
испарялось и атомы его вылетали из отверстия печки во все-
возможных направлениях с тепловыми скоро-
стями порядка нескольких сот метров в се-
кунду. Несколько щелей ВВ выделяли узкий
параллельный пучок атомов серебра — атомный
.луч, который проходил через неоднородное
магнитное поле между полюсами электромаг-
нита SN и попадал на пластинку РР, где
можно было обнаружить след осевших атомов.
Главная трудность опыта состояла в создании
настолько неоднородного поля, чтобы его не-
однородность была ощутительной на протяже-
нии поперечника одного атома, т. е. на рас-
стоянии порядка 10~8 см. Такую неоднородность
удалось создать специальным выбором формы
Рис. 243. Схема
опыта Штерна и
Герлаха.
полюсных наконечников.
Опыт, впервые поставленный с серебром, был проделан затем
с атомами других веществ. Например, на рис. 244 приведены
результаты опыта с литием, а на рис. 245 — с атомным водоро-
Рис. 244. Резуль-
таты опыта Штер-
на и Герлаха с ли-
тием.
дом. Последний случай особенно интересен
потому, что водород является простейшей си-
стемой с одним единственным электроном.
Опыт показал, что в случае водорода, се-
ребра и щелочных металлов возникают две
полоски, расположенные
Рис. 245. Результаты
опыта Штерна и Гер-
лаха с атомным во-
дородом.
симметрично относи-
тельно полоски, которая
получается в отсутствии
ноля. Это свидетель-
ствует о том, что при
прохождении через поле
пучок разбивается на
два пучка, одинаково
отклоняющихся в про-
тивоположные сторо-
ны, т. е. что Lz в при-
сутствии поля может
принимать два значения,
одинаковых по величине
знаку. Для
необходимо
и противоположных по
того чтобы правильно понять смысл этого результата,
вспомнить, что атомы водорода, лития и серебра имеют
состояние s в качестве низшего энергетического состояния, так что
в отсутствии спина вообще не могло бы получиться расщепление
174
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
пучка. Наблюдающееся же на самом деле расщепление обуслов-
лено тем, что кроме «орбитального» момента, характеризуемого
квантовым числом I, электрон имеет ещё собственный момент —
момент спина. Тот факт, что при 1 — 0 получается два, а не три
или большее число полосок, прямо указывает, что проекция
спина на направление поля может принимать только два значения.
Далее из величины расщепления, напряжённости поля, степени
его неоднородности и геометрических данных можно рассчитать
величину магнитного момента атома. Этот расчёт был произ-
ведён, и для М получена величина, равная одному магнетону
Бора. Правда, по условиям опыта этот результат мог быть
найден с не слишком большой точностью (ошибка около 10%),
однако она всё же достаточна для того, чтобы сделать уверенный
вывод.
Опыт Штерна и Герлаха наряду с немногими другими при-
надлежит к числу основных опытов атомной физики, так как
он обнаруживает одно из важнейших свойств материи.
§ 199. Магнито-механические эффекты
Существование спина электрона и его особые свойства выте-
кают также в качестве следствия из других, более ранних опытов
с так называемыми магнито-механическими явлениями. К их числу
принадлежит прежде всего известный опыт
Эйнштейна и де-Гааза. Внутри проволочной
катушки по её оси на тонкой кварцевой нити
подвешивался образец в виде цилиндрика диа-
метром примерно 0,03 см и длиной 10 см
(рис. 246). В качестве образцов исследовались
либо ферромагнитные вещества (например, же-
лезо), либо парамагнитные соли. Если про-
пустить через катушку ток достаточной силы,
то образеп намагнитится. Это значит, что его-
элементарные магнитики устанавливаются по
полю. Если теперь изменить направление тока,
то стерженёк должен перемагнититься. Но для
этого его элементарные магнитики должны
повернуться на 180°, а так как они являют-
ся в то же время и волчками (вследствие-
быстрого обращения электронов), то такой поворот связан
с изменением полного момента количества движения системы,
что невозможно. Поэтому для компенсации момента количет
ства движения весь стерженёк должен повернуться в про-
тивопо ложную сторону, и нить закрутится. Конечно, эффект этот
очень слаб. Но для его усиления был использован резо-
нанс: в катушку пускался переменный ток, частота которого
, кварце В ал
' нить
зеркало
й
соленоид
т
\/	4 образец
электроды
Рис. 246. К опыту
Эйнштейна и де-
Гааза.
§ 200]
СПИН И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
175
подбиралась так, чтобы она совпадала с собственной частотой
крутильных колебаний подвешенного цилиндрика. При таких
условиях удавалось наблюдать эффект не только с ферромагнит-
ными веществами, но и более слабый эффект с парамагнитными
солями. Из опыта можно было непосредственно определить отно-
шение магнитного момента элементарных магнитиков образца
к их механическому моменту. Это отношение, вообще говоря,
равно
М е
L ~ % 2[лс •
Если бы элементарные магнитики были связаны с орбитальным,
моментом, то должно бы быть g=l. На самом деле оказалось,
что g — 2.
Барнет сделал обратный опыт: он приводил в быстрое вра-
щение железные стержни и вследствие гироскопических свойств
элементарных магнитов вызывал этим их ориентировку и намаг-
ничивание стержня, а при закручивании в обратную сторону —
перемагничивание. И эти опыты дали для отношения механи-
ческого и магнитного моментов величину, в два раза большую
ожидавшейся.
Объяснение этих аномалий стало ясным только после открытия
спина электрона. Они именно показывают, что элементарными
магнитиками являются не круговые электронные орбиты, но что
сами электроны в силу своей природы и есть одновременно эле-
ментарные магниты и маленькие волчки.
Заметим здесь попутно, что свойство спина не является исклю-
чительной особенностью электронов. Согласно современным данным
наряду с электронами спином обладают также и другие элемен-
тарные частицы — протоны, нейтроны и мезоны.
§ 200. Спин и поляризация
Убедившись в том, что существует достаточное количество
фактов, свидетельствующих с разных сторон о существовании
у электрона спина и магнитного момента, посмотрим, как это
свойство укладывается в рамки квантовой механики. Гаудсмит
и Юленбек формулировали свою гипотезу наглядно, представив
электрон как вращающийся шарик, заряженный электричеством.
Однако, как и следовало ожидать, такое чисто корпускулярное
представление не могло быть проведено до конца без противоре-
чий. Оказалось, например, что для того, чтобы электрон — заря-
женный шарик — мог приобрести вследствие вращения магнит-
ный момент, равный одному магнетону Бора, угловая скорость.
176
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
вращения должна быть такой, чтобы линейная скорость на поверх-
ности шарика стала больше скорости света *).
Как и во всех случаях, применимость к электрону наглядных
корпускулярных представлений ограничена его волновыми свой-
ствами.
Посмотрим поэтому, каким образом можно было бы описать
свойство спина в волновой картине. Оказывается, что в волновой
картине это свойство можно привести в связь с поляризацией
волны. Для того чтобы в этом убедиться, обратимся сначала
к хорошо известным световым волнам. Если мы зададим частоту
плоской световой волны v и направление её распространения,
характеризуемое вектором к, то этим мы ещё не опишем всех
свойств волны, так как известно, что с одними и теми же v
и к могут существовать две волны, поляризованные во взаимно
перпендикулярных направлениях. Если волна распространяется
по оси z, то для полного её описания необходимо указать не
-одну функцию координат и времени, но две функции
ил. — Ах cos 2тс ( vt —— ) 4- о.
ГЛ "Л 1	(Ж1)
— Ay cos 2тт f vZ—— J + c2
В случае линейной поляризации разность фаз — о2 равна нулю
или целому числу тс; в общем случае эллиптической поляризации
опа может иметь любую величину, но постоянна; наконец, для
неполяризованнон волны (естественный свет) обе фазы	и 82
совершенно независимы друг от друга**). Амплитуды Ах и Ау
представляют собой проекции «светового вектора» А на оси х и у‘.
Ах — A cos В, Ау = Л sinB.	(200,2)
Мы видим, что при помощи двух функций и+ и волна дей-
ствительно описывается полностью, включая и её свойство поля-
ризации.
Представим себе теперь линейно поляризованную волну, по-
прежнему распространяющуюся в направлении оси z, и пропустим
её через анализатор (например, поляроид). Предположим для
*) Именно, если рассматривать электрон как вращающуюся заряжен-
ную сферу, то вычисление при помощи классической электродинамики
показывает, что если момент количества движения этой сферы равен
1 h	„
2«Г ’ Т0 ДЛЯ того чтобы она приобрела магнитным момент, равный одному
магнетону Бора, линейная скорость на поверхности сферы должна быть
равной 300с, где с = 3 • 1010 см!сек\ Интересующихся вычислениями отсы-
лаем к книгеМ. Б р и л л у э и а, Атом Бора, гл. XVI, стр. 215, ОНТИ, 1935.
**) См., например, М. Бори, Оптика, §§ 7 и 8, ДПТВУ, 1937.
§ 200]
СПИН И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
177
определённости, что анализатор поставлен так, что он пропускает
волны с направлением колебаний по оси х. Если наша волна
поляризована так, что её электрический вектор колеблется также
в направлении оси х, то волна полностью пройдёт через анали-
затор; если же колебания происходят по оси у, то анализатор
совсем по пропустит такую волну [в дихроичном кристалле (тур-
малин, поляроид) эта волна полностью поглощается]. Наконец,
если направление колебаний «светового вектора» до прохождения
через анализатор составляло угол 8- с осью х, то после прохо-
ждения колебания в волне будут происходить по оси х, причём
интенсивность колебания уменьшится и станет равной A- cos28-.
Объяснение этого с волновой точки зрения не представляет затрудне-
ний: мы разлагаем векторную амплитуду поляризованной волны
но осям х и у и утверждаем, что только составляющая по оси х,
равная A cos 8, пройдёт через анализатор.
Возникает, однако, вопрос: как объяснить эти явления с кор-
пускулярной точки зрения? В корпускулярной картине свет есть
ноток фотонов. Мы убеждаемся в этом с особенной ясностью,
изучая, например, фотоэффект. В фотоэффекте, как и в других
явлениях корпускулярного характера, каждый фотон ведёт себя
как целое и никогда не разделяется на части. Замечательно,
что именно явление фотоэффекта даёт нам определённые указа-
ния п о том, как надо понимать поляризацию в корпускулярной
картине: опыт показывает, что если свет поляризован, то суще-
ствует определённое преимущественное направление выбрасывания
освобождаемых им электронов. Из этого следует, что свойства
поляризации необходимо приписать каждому фотону в отдель-
ности, так что пучок линейно поляризованного света надо рассма-
тривать как поток фотонов, каждый из которых линейно поляри-
зован в том же направлении. Если направление поляризации
фотона совпадает с направлением пропускания поляроида, то все
фотоны пройдут через него, сохраняя своё направление поляри-
зации; если же оба эти направления взаимно перпендикулярны,
то ни один фотон нс пройдёт, но все они поглотятся поляроидом.
Таким образом, в этих двух предельных случаях детальное
описание процесса прохождения фотона через поляроид не встре-
чает затруднений. Но если между направлением пропускания
поляроида и направлением поляризации фотона имеется произволь-
ный угол 8, то возникает задруднепие.
В самом деле, представим себе, что пучок света настолько
слаб, что фотоны по очереди попадают в поляроид. После про-
хождения через поляроид пучок будет поляризован по оси х,
а его интенсивность будет ослаблена в cos2 8- раз. Но так как
мы не знаем процессов, при которых фотон делится на части,
то мы должны допустить, что фотон либо пройдёт через поля-
роид целиком, либо полностью поглотится (см. т. I, § 138).
178
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
Поэтому в рассматриваемом нами случае cos2 ft есть та часть общего
числа фотонов, которая проходит через поляроид, a sin2ft есть
часть числа фотонов, которые им поглощаются. Мы можем также
сказать, что cos2 ft есть вероятность фотону пройти через поля-
роид, a sin2 ft — вероятность поглотиться. Сумма вероятностей
обоих альтернативных процессов есть единица, как и следовало
ожидать. Не забудем, что прп прохождении через поляроид
меняется и состояние поляризации фотонов: если падающие фото-
ны были поляризованы под углом ft к оси х, то выходящие из
поляроида фотоны поляризованы только по осп х. Всю эту сово-
купность фактов на языке статистической теории можно описать
следующим образом. Состояние фотона, поляризованного под
углом ft к оси х, описывается функцией и, являющейся суперпо-
зицией обеих функций и л. и ц_:
и — с'и^ -{- с" и;
до прохождения через поляроид с' ~ cos ft, с" — sin ft, так что
вероятность пройти есть с'2 — cos2 ft, вероятность поглотиться —
с"2 = sin2 ft. После прохождения через поляроид состояние изме-
нится и с'2 станет равным 1, а с"2—нулю. Поляроид оказывает
воздействие на фотон, которое вынуждает его из состояния, опи-
сываемого суперпозицией двух функций и+ и п_, перейти в одно
из ЭТИХ СОСТОЯНИЙ и+ ИЛИ U- и либо пройти, либо поглотиться.
Напомним, что аналогичным образом мы описывали в § 181 дей-
ствие магнитного поля при пространственном квантовании.
Аналогия между спином и поляризацией теперь очевидна.
Подобно тому как состояние поляризации света в общем случае
следует рассматривать как результат суперпозиции двух волн,
поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях, —
состояние атомов в опыте Штерна и Герлаха до прохождения
через поле можно описать как результат суперпозиции двух
состояний: со спинами, «поляризованными» вверх (т. е. с проек-
циями спинов 4-), и со спинами, «поляризованными» вниз
^т. е. с проекциями —. Состояние описывается в этом слу-
чае суперпозицией двух функций
ф = с'ф+ -}- с"ф_.
Магнитное поле вынуждает атомы перейти в одно из этих состоя-
ний ф+ (спин направлен вверх) или ф_ (спин направлен вниз).
При этом | с' |2 есть вероятность того, что атом под действием
поля перейдёт в состояние ф+-, а | с" |2—вероятность того, что
он перейдёт в состояние ф_. После прохождения через поле пучок
представляет собой уже смесь атомов, находящихся в одном из
этих двух состояний. Очевидно, что неоднородное магнитное поле
§ 201] РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 179
в рассматриваемом опыте действует подобно двоякопреломляющему
кристаллу, который разделяет каждый луч света на два луча,
поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях.
Наряду с ясной аналогией очевидно it различие между поля-
ризованной световой волной и «спиновой» волной: для поляриза-
ции света характерны два взаимно перпендикулярных направле-
ния, причём в пределах этих направлений мы не различаем,
в какую сторону направлена поляризация — вверх или вниз,
вправо или влево. Между тем для спина характерны два про-
f	। 1	1 А \ rj
тивоположных направления ( проекции + -у у- и —г у- . Ото
побудило ввестп для спина особый математический образ: спин
не есть вектор, но полу вектор или спинор.
Мы видим во всяком случае, что скалярная волновая функция
недостаточна для характеристики состояния микроскопической
частицы. Как и в случае поляризованных фотонов, для описания
состояния электрона необходимы две функции ф+ и Ф_, соответ-
ствующие двум противоположно «поляризованным» спинам. Можно,
впрочем, описать состояние электрона и одной функцией, но тогда
эта функция, кроме координат и времени, должна зависеть ещё
от одной переменной с, Ф =	7, а), причём эта новая перемен-
ная способна принимать только два значения. Если мы условимся
(конечно, совершенно произвольно) приписывать переменной а
, 1 1
значения + у и —«р то можно условиться далее, что в случае,
когда, например, —, о = Ф+, а в случае, когда о — —- .
£л
ф = Ф_.
Паули на этом основании построил квантовую механику ча-
стиц со спином. Оп нашёл вид операторов, действующих на пе-
ременную спина ст. Так как эта переменная может принимать только
два значения, то операторы Паули не являются, конечно, диффе-
ренциальными операторами. Они представляют собой некоторые
линейные преобразования, выполняемые над двумя функциями
и ф_, и могут быть представлены в виде матриц с двумя
столбцами и двумя строками. Таким путём удалось получить
уравнение, формально учитывающее также и спин*).
§ 201. Релятивистское волновое уравнение второго порядка
Теория Паули была важным шагом в развитии квантовой
механики электрона. Однако опа имела существенные недостатки,
которые заставляют смотреть на неё как на первую и ещё
*) Изложение теории Паули см. Д. И. Блох и и ц е в, Основы квантовой
механики, стр. 230 и след., Гостехпздат, 1949.
180
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
несовершенную попытку. Прежде всего эта теория носила фор-
мальный характер: она никак не объясняла происхождения спина,
а принимала его существование, как нечто данное. По самый
серьёзный недостаток её состоял в том, что она совершенно не
учитывала явлений, связанных с теорией относительности, —
релятивистских эффектов. Между том, как впоследствии показал
Дирак, именно в релятивистских эффектах лежит ключ к раз-
гадке природы спина.
Задача, таким образом, заключалась в установлении основ-
ного уравнения квантовой механики, удовлетворяющего требова-
ниям теории относительности. Этим требованиям не удовлетворяет
обычное уравнение Шредингера, которым мы так много пользо-
вались. Это видно уже из его внешней формы
_ А А. _ JA (+ А+АО +
2й 1)1 S-Лп	<>!/*т Т ' '
Это уравнение — первого порядка относительно времени и вто-
рого — относительно координат. Отсюда сразу видно, что уравне-
ние Шредингера по удовлетворяет основному требованию теории
относительности — инвариантности относительно преобразований
Лоренца
В эти формулы преобразований время и пространственные
координаты входят равноправно, а именнолипой но, тогда как
в уравнении Шредингера они неравноправны.
То, что уравнение Шредингера и не может удовлетворять
требованиям теории относительности, следует уже из способа его
получения. В самом доле, в § 143 мы установили уравнение Шре-
дингера для свободной частицы как дифференциальное уравнение,
удовлетворяющееся формулой плоской волны и соответствующее
закону дисперсии
V ~ 94 (к* +
Но этот закон дисперсии вытекает из иорелятивистского соотно-
шения между энергией и импульсом
Е = ~ р2 = ~ (н2 -р р2 + р2).
2]хг	2 р.' 1 z'
Уравнение Шредингера получается из этого соотношения путём
замены рх, pv, pz и Е операторами	= ~ ~ и т. д.
(JCC
-п h д
И Е = —	-х- .
2,т dt
§201] РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 181
Закон дисперсии воли дс-Брогля, соответствующий реляти-
вистскому соотношению между импульсом и энергией [см. т. I.
формула (61,12) |
Уг =	+ Р2 -	+ (?2 + А? + ?2),	(201,1)
ость
^=4+^+^+^-	<201’2)
Дифференциальное уравнение, соответствующее закону дисперсии
(201,2), получится, если заменить в (201,1) /<т, ру, pz и Е опе-
раторами по обычной схеме
h D	h д
т- гг т. д. и
Лти их	dt
Это приводит к уравнению
•И+(£)>	<201'3)
или
1 др ДР ДР Дф _
с2 dt2 дх2^ ду2^ dz2 h2 ‘‘	’ 7
Соответственно, — уравнения для движения в электромаг-
нитном поле получим, как в § 195: прежде всего заменяем в (201,1)
составляющие элементарного импульса рх, pi;, pz их выражения-
ми через кинетические импульсы
рх = Рх — ~ Ах, и т. д.,
а Е— через Е— ею. Тогда получим
Р (Е - etf (Рх -1 Агу + ( А, - Г А„у + (А - Г АЛ + Р.=А.
(201,5)
Для перехода к уравнению квантовой механики заменяем
—- Ах оператором — — Ах пт. д., а Е — ео — оператором
с	х 1 zki ах С
h д
-—z—и получаем
liti at *	J
+ (^^-7ЛД-? + (ДД-У4)\ + ь2Л. (201,6)
Уравнения (201,4) и (201,6) удовлетворяют требованию сим-
метрии относительно пространственных координат и времени.
Они являются релятивистскими уравнениями второго порядка —
182
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
уравнение (201,4) для свободной частицы, а уравнение
(201,6)—для частицы в электромагнитном поле.
Однако эти уравнения оказались непригодными для характе-
ристики электрона. Так, например, при их помощи не удалось
построить выражение для плотности вероятности ф*ф, которое
удовлетворяло бы естественному требованию—быть всюду
положительным. Причина этого состопт в том, что в уравне-
ниях (201,4) и (201,6) не учтён спин, описать который при по-
мощи одной скалярной функции ф вообще нельзя, как это было
разъяснено в предыдущем параграфе. Дираку, однако, удалось
найти правильное волновое уравнение электрона в пространстве,
свободном от поля, «расщепляя» уравнения второго порядка
(201,4) на уравнения первого порядка, а затем и написать урав-
нения первого порядка для электрона в электромагнитном поло.
§ 202. Уравнение Дирака
Наша задача заключается теперь в отыскании такого урав-
нения, которое удовлетворяет требованиям теории относитель-
ности и вместе с тем является уравнением первого порядка.
В настоящем параграфе мы рассмотрим вывод такого уравнения
для простейшего случая движения электрона в отсутствии поля.
Очень важный по своим следствиям случай движения электрона
в электромагнитном поле мы разберём в следующем параграфе.
Будем исходить из найденного в предыдущем параграфе
релятивистского уравнения второго порядка (201,3)
+ bW (201,3)
Это уравнение мы и постараемся «расщепить» на уравнения
первого порядка. Введём следующие обозначения для операто-
ров, входящих в это уравнение:
h д	h д	h д	1 h д
7>1-— о—=	Р1~-------о”: 47 (202,1)
х 1 дх 6 2т ду ’ ь 2т dz* л * с 2т dt х ’
В этих обозначениях (201,3) перепишется в виде
+ р\ +pl + р-Вс2) ф,
или, что то же самое,
{Pl— Р1~7>2-2)з-Р-оС2)'? = О-	(202,2)
Задача заключается в том, чтобы, исходя от этого уравне-
ния, пайти такое уравнение, которое было бы линейно по отноше-
нию к операторам р19 рг, р3, р±. Эту задачу Дирак решил про-
стым способом, напоминающим способ, каким мы в элементарной
алгебре заменяем сумму квадратов а2 + Ь2 произведением ли-
§ 202]
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
183
нейных множителей (a — ib) (a+ib). Напишем оператор правой
части (202,2) в виде произведения двух линейных операторов
следующим образом:
JP4 — Рл — pl ~Рз — Р-оС2 = (Р4 — а1Р1 — а2Рг — “зРз — «4Р-оС) X
х (Pi +	+ «2^2 + «аРз + «4р0с),	(202,3)
и посмотрим, каким условиям должны удовлетворять аь а 2,
«з> а4 для того, чтобы правая часть (202,3) была тождественно
равна левой. Для этого мы должны выполнить умножение
в правой части (202,3). Однако, производя умножение, следует
помнить, что мы имеем дело с операторами, вследствие чего
закон коммутативности может и не выполняться. Относительно
операторов plt рг, р3, р4 мы знаем, что они между собой
коммутируют, так как все они являются операторами дифферен-
цирования. Что же касается операторов а, то мы пока не знаем
их свойств. На основании общих соображений следует ожидать,
что они должны коммутировать с р, но могут быть не комму-
тативными между собой. В самом деле, вспоминая простейшее
разложение суммы квадратов а2 + 62 на линейные множители
(a — ib') (a-\-ib), где роль а играет мнимая единица i, мы можем
ожидать, что и в пашем случае а1? а2, аз> а4 должны играть
роль единиц, аналогичных г. В математике уже давно из-
вестны так называемые «гиперкомплексные» числа с числом
единиц, большим двух (в обыкновенном комплексном числе
a -j- ib = 1 • a -f- i • b имеется две единицы: вещественная единица 1
и мнимая г). При числе единиц, большем двух, эти гипер-
комплексные единицы обладают некоторыми своеобразными
свойствами и, в частности, при умножении не подчиняются за-
кону коммутативности. Для нас сейчас важно установить, что
«единицы» а во всяком случае не зависят от х, у, znt и, следо-
вательно, должны коммутировать с рг> рг, р3, pf).
Принимая во внимание всё сказанное, мы и будем выполнять
умноженпе в правой части (202,3), сохраняя всюду порядок мно-
жителей а:
(/>4 — «iPi - а22>2 — аз7>з “ «4Н-0с) (Р4 + <hPi + «яРг + “зРз + «4Н-ос) =
=Р1 — “1Р1 — “zPl — “зРз — Ф2с2 — («1«2 + а2«1) Р1Р* —
— (а^з + agaj) ргр3 — (аха4 — а4ах) — (“г^з + «з^г) РэРз —
— (а2а4 -Ьа4а2)^2р.ос —(а3а4 —a4a3)jp3p.0c. (202,4)
Сравнивая этот результат с левой частью (202,3), мы видим,
что оба выражения будут равны друг другу тождественно при
*) Интерпретация операторов а как единиц гиперкомплексного числа
была впервые указана Д. Д. Иваненко и К. В. Никольским.
184
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
следующих условиях:
aj2 = a? = a| = a|= 1,	(202,5)
а£а7- + aJ-ai = 0	(г, /=1, 2, 3, 4; i Ф j).	(202,6)
Соотношения (202,6) показывают, что множители а действи-
тельно не подчиняются закону коммутативности, а именно, что
они «антикоммутативны».
Теперь мы можем переписать (202,2) в виде
(2*4 — «iJPi - a2/)2 — a3jp3 — a4u.0c) (^4 + ap/^ -f-	+
+	-f-a4«.'.oc) Ф = 0. (202,7)
Очевидно, что если удовлетворяется уравнение
(Рь + ajJPi + а2Р2 + <*зРз + a4!J-oc) 9 = 0,	(202,8)
то будет удовлетворено и (202,7), а следовательно, и (202,2).
Что же касается уравнения
(Pi —	— <ЪРз - а^ос) Ф = °,	(202,9)
то легко видеть, что оно не даёт ничего нового по сравнению
с (202,8), так как оба уравнения (202,8) и (202,9) отличаются
только знаком af, но из соотношений (202,5) все af определяют-
ся лишь с точностью до знака, а одновременная перемена знака
у всех операторов а переводит уравнение (202,8) в (202,9). Так-
как, кроме того, уравнение (202,8) линейно относительно всех р,
то оно и является искомым уравнением первого порядка. Это
и есть уравнение Дирака, записанное в символической оператор-
ной форме.
Заменив обозначения операторов р±, р2, р-л, р± их выраже-
ниями из (202,1), мы приведём уравнение Дирака к следующему
виду:
ch ( dj dj дф\	,	h dty
SS (,ai ai + ai + “= ai) +	“ 2Й м '	<202-1(,)
Уже тот факт, что в уравнении (202,10) все производные
входят симметрично, а именно, в виде производных первого
порядка, позволяет ожидать, что это уравнение должно удов-
летворять основному требованию специальной теории относитель-
ности, т. е. быть инвариантным по отношению к преобразова-
ниям Лоренца. Проверка, на которой мы здесь не будем останав-
ливаться, подтверждает это ожидание*).
Мы не раскрывали до сих пор вида операторов а, которые мы
называем «единицами». Замечательная особенность уравнения
Дирака состоит в том, что основные свойства электрона — ого
спин, магнитный момент и даже решение задачи о движении
*) См., например, В. А. Фок,
стр. 184—188, Кубуч, 1932.
Начала квантовой механики,
§ 202J
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
185
электрона в кулоновском центральном поле (кеплерова задача) —
всё это может быть получено из символического уравнения
(202,8), причём относительно операторов а нужно только поль-
зоваться их свойствами, выражаемыми соотношениями (202,5)
и (202,6). Конечно, для изучения поведения электрона в поле
(в частности, для нахождения его собственного магнитного мо-
мента) необходимо от уравнения (202,8), или, что тоже, (202,10),
описывающего свободны]’! электрон, перейти к уравнению для
электромагнитного поля, что и будет сделано в следующем па-
раграфе.
Заметим, что, поскольку оператор левой части уравнения
(202,8) содержит не только операторы plt рг, р.Л, р^, ио и «еди-
ницы» осу, а2, а3, 0Ц, которые ио существу также являются опера-
торами, функция Ф должна зависеть как от координат и вре-
мени, так п от добавочной переменной, па которую действуют
операторы Решения уравнения Дирака имеют ещё одну важ-
ную особенность, на которую теперь необходимо обратить вни-
мание. Выше мы видели, что оно получается из релятивистского
уравнения второго порядка путём «расщепления» его на урав-
нения первого порядка. Можно также сказать, что использован-
ный приём представляет собою символическое извлечение корней
из релятивистского выражения квадрата энергии
~2 Е2 ~ Рх + Pi + Pi + Р-б6’2-	(202,11)
Оператор, стоящий в левой части (202,8) и представляющий
собой релятивистский оператор энергии, можно рассматривать
как символически записанный квадратный корень из (202,11).
По квадратный корень имеет два знака +. Исследование ре-
шений уравнения Дирака для свободного электрона приводит
к заключению, что это имеет место также и для собственных
значений энергии релятивистского электрона. Оказывается, что
кроме решений с положительными энергиями уравнение Дирака
должно давать столько же решений с отрицательными энер-
гиями. Не забудем, что речь здесь идёт не о тех отрицатель-
ных энергиях, с которыми мы встречаемся, например, при нере-
лятивистском решении кеплеровой задачи. Там отрицательный
знак есть просто следствие произвольности нуля потенциальной
энергии. Здесь же речь идёт о релятивистской полной энер-
гии тс2, так что отрицательная энергия —тс2 соответствует
отрицательной массе —т.
Очевидно, однако, что существование отрицательных энергий
является особенностью не только уравнения Дирака, по и всей
рел яти в нс,тс кой физики. Действительно, в теории относитель-
ности энергия вообще определяется через свой квадрат
Е2 = с2р2 + р^с4,
186
СПИН ЭЛЕКТРОНА
|гл. XV
•а потому
]/	[Де4.
В классической физике эта двойственность знака не имеет
значения, так как между наименьшей положительной и наиболь-
шей отрицательной энергией (оба значения получаются при р = 0)
Е — ± р0с2
имеется конечный промежуток 2р0с2, а так как в классической
физике все динамические переменные меняются непрерывно,
то переход от положительных энергий к отрицательным невоз-
можен. В квантовой теории такого запрета, вообще говоря,
не имеется, и потому существование отрицательных энергий
вначале было затруднением теории Дирака. Однако мы увидим
ниже, что именно этот факт дал возможность предсказать
существование положительных электронов (позитронов).
§ 203. Существование собственного магнитного момента
и спина электрона
В этом параграфе мы покажем, что существование собствен-
ного магнитного момента, равного одному магнетону Бора,
и спина электрона автоматически вытекает из уравнения Дирака.
Собственный магнитный момент электрона. Для доказа-
тельства необходимо прежде всего написать уравнение Дирака
для электрона в электромагнитном поле. Нам понадобится при
этом для сравнения также релятивистское уравнение второго
порядка, установленное в § 201:
+ + <201-6>
Введём следующие обозначения для операторов, входящих
в это уравнение:
__ h д е .	_ h д __ е. .
1 — 2тйдх с х’ '2~~2nidy с ' и’
-р __ h д	е 4 р _	1 ( h д । Д
2-Kidz	с	^4	с \ 2тч dt	'
Уравнение (201,6) при этих обозначениях перепишется в виде
(Pi - Pf- Р| - Р32 - Рбс2) 9 = 0-	(203,2)
Напишем теперь уравнение Дирака для свободного электрона
(р4 4- a^i 4- а2р2 4- <М93 4- а4р0с) ф = 0.	(202,8)
§ 203] СОБСТВЕННЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ II СПИН ЭЛЕКТРОНА 187
[Значения операторов £4, р2, р3, р± см. (202,1).] С целью пере-
хода к уравнению для движения в электромагнитном поле,
ио уже не раз применявшемуся стандарту, следует заменить
в (202,8) операторы ръ р2, р3, р± соответственно операторами
(203,1)	Р2, JP3, Р4:
(Р4 -4 ajJPj + a2JP2 + а.3Р3 + a4u oc) 0 = 0.	(203,3)
Это и есть написанное в символическом виде основное уравне-
ние Дирака для электрона в электромагнитном поле. Оказы-
вается, однако, что в отличие от того, что имело место для
уравнений (202,8) п (202,2), уравнение (203,3) не тождественно
с уравнением (203,2), т. е. решения (203,3) не являются вместе
с тем решениями (203,2). Чтобы в этом убедиться, умно-
жим (203,3) слева па оператор
j?4 — (Xi j?i a2JP2 ' &3-P3	^4P"0^>	(203,4)
при этом мы будем пользоваться свойствами операторов 04, а2,
а3, а4, установленными в предыдущем параграфе:
а2 = 4=а32 = с(2= 1,	(202,5)
0404 + 0404 = 0	(Z, / = 1, 2, 3, 4; Z =# у).	(202,6)
Кроме того, будем иметь в виду, что а и Р коммутируют
(4/=1,2,3, 4).
Выполняя умноженпе, получим
з	з
Г fi - 2	- 2 pi-
i = l	г=1
-2 («аЗД+«АВД)-|‘1<!]^ = 1’' (203,5)
г#=;
Мы видим, что в операторе, заключённом в прямые скобки,
кроме членов
з
Pj - 2	- Р> - Pi -Р3 - Р-02<Л
г = 1
совпадающих с оператором уравнения (203,2), имеются ещё две
суммы
2аДР4Р4-Рг-Р4)	(203,6)
г = 1
И
2	+ «fltPiPi)-	РВД
г #4
188
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
В этих суммах и заключено то новое, что имеется в урав-
нении (203,3) ио сравнению с уравнением (203,2).
Вычислим сначала вторую сумму. Принимая во внимание,
что по (202,6) су у — —получаем прежде всего
3 (Л^Р.Р, + ^,Р/Рд = 2 (PtPj - PjPtY (203,7')
Для примера вычислим одни член этой суммы, соответствующий
i= \, j— 2. Прежде всего находим порознь произведения
и РгД, для удобства вычисления применяя операторы к какой-
нибудь функции Ф:
-1-» т> 1	/ h d е . \ ( h dj е .	, \
JP, JP^’b =. (   ------Ах ) ( -л—; В--Л,, 0 ) ~
1 2 1 \2tci дх с ъ J \2tzi оу	с J 1)
h2 02j h е . д is he, dAv
—-----------•--.------4 _?— ---------. ф — « —•
4k2 dx dy 2^1 c ' dy 2~i c 1 dx
T* Т» .	f h д e , X / /i
-f*2 Pl V - 2~	- - Av ) (уйй J7
h2 d2 j h e . д b
4 к2 dx dy 2й c y dx
у -:M ) =“
/? в. . дАх
— 6	—
fi е
2-rr.i с
г ду с2 у д 1
Вычитая и производя сокращения, получим
1 2тч с у дх ду J
тА-гоВА.
Вычислив таким же путём первый член суммы (203,6), найдём
P^Pj — РХР4 =
1 дЛх.\
2тс{ с \ дх с. di ) ’
Далее, принимая во внимание известные выражения напряжён-
ностей электрического и магнитного полей через электродинами-
ческие потенциалы *)
з 1 дА	. 4
g = — grad, ср — —	; К = rot А,
получим окончательно
PiP2 - рл = - Д -- jc-,
х	х 2тс1 с
в %х.
‘ 1	1 * 2ttz с -г
После аналогичных вычислений остальных членов сумм (203,6)
*) См. И. Е. Тамм, Основы теории электричества, § 91, Гостех-
издат, 1949.
s 203] СОБСТВЕННЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ И СПИН ЭЛЕКТРОНА
189
и (203,7') эти суммы примут вид
з
3 а, (Р4Р, - Р,Р4) = - А У (»!?« +	+ asg:),
г — 1
2 ai	""	= - 2I7T (^з -K +	+ «1^2 <:)•
Уравнение (203,5) теперь принимает вид
(Pi - Р{ - Pl-Fl - e2) 6 = ~	Л". + Vv + o.AKs)i> +
+ Xif(«.?, + »rf,+ «»».)♦. (203,8)
Мы видим, что это уравнение содержит два новых члена,
отсутствующих в уравнении (203,2).
Для того чтобы выяснить физический смысл этих новых чле-
нов, следует перейти к приближению, допустимому, когда
релятивистская энергия Е достаточно мала, так что сё можно
представить в виде
Е + р.о с~,
где Ег — нерелятивистская энергия [см. т. I, § 61, стр. 206].
Вычислим правую часть (203,8) для случая стационарного
-i^Et
состояния. В этом случае время входит через множитель е 1 :
Легко проверить, что если Е = Е± + р0 с2 и Ех < р.о с2, то
Р1 - с2 ± (£ - etf- =
=(УЛ+2(’-»с)ДУ ~2^(Е1-е<р)- (203-9)
Сумма — (JP2 + jP|-]-jPg) равна (см. аналогичное вычисление
в § 195)
- (Р2 + Р; + Р1) 4 = й Л4 + е± A grad 4.	(203,10)
Пользуясь формулами (203,9) и (203,10), напишем левую
часть (203,8) в раскрытом виде. После деления на 2р0 получим
Лф + (£\ - е?) 4 + A grad 4 -
<,*	-j-	у т	W 4“
кры v
+ 4^-С1^ + ^»+“з«;)4.	(203,11)
190	СПИН ЭЛЕКТРОНА	[гл. XV
Это уравнение мы сравним с найденным в § 195 нерелятивист-
ским уравнением Шредингера (195,6) для движения заряжен-
ной частицы в электромагнитном поле. Его легко привести к виду
ДО + (£-е?)4 + ?4^ A grad 0 = 0.	(203,12)
Как и следовало ожидать, уравнение (203,11) отличается от
(203,12) только двумя членами, физический смысл которых мы
хотим установить. Обозначим их соответственно через £/mun.t/e6:
eh
U,n^	+	+	(203,13)
t/e =	i' z_ (ai$x + a2^y + a3^z)-	(203,14)
Так как эти операторы в уравнении (203,11) умножаются на
то они представляют какую-то энергию. По хорошо известно,
что энергия диполя с магнитным моментом М в магнитном поле-
К равна (МН):
МН = MXWX + Му^у + Mz£tfz.	(203,15)
Сравнивая с (203,13), мы можем положить
Мх --= — гя2а3 ,	1
[	(203,16)
-i4a.27^—. I
"	4я110с у
Введём теперь новые операторы ах, ау> az, связанные с операто-
рами а1; а2, «з соотношениями
Тогда формулы (203,16) примут вид
=	=	<203.17)
Принимая во внимание, что а2=а2 = ад=1, получаем
2 о о л
zx — а2 cig — 1
и, аналогично,
'у 7= 1,	= 1.
§ 203J СОБСТВЕННЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ И СПИН ЭЛЕКТРОНА
191
Из этого видно, что операторы вх, оу, имеют два собственных
значения 4: 1, так что, например,
Итак, проекция собственного магнитного момента электрона на
какую-нибудь ось численно равна одному магнетону Бора, что
мы и хотели доказать.
Мы рассмотрели смысл добавочного члена Um’j. Но в уравне-
ние (203,11) входит ещё второй добавочный член Ue<b. Подобно
тому как Umty соответствует магнитному моменту электрона, Upb
соответствует некоторому электрическому моменту. Происхожде-
ние его можно понять из следующих соображений. Совершенно
так же, как при движении электрического заряда возникает
магнитное поле, движение магнитного дипопя должно сопро-
вождаться возникновением электрического момента. На необходи-
мость появления такого электрического момента при движении
магнитного диполя из соображений релятивистской симметрии
указал ещё до появления уравнения Дирака Я. И. Френкель
в связи с гипотезой о спине электрона. Согласно теории относи-
тельности электрический момент р электрона связан с его маг-
нитным моментом М формулой р~	и, следовательно, в
v
— раз меньше магнитного момента.
Спин электрона. Уравнение Дирака позволяет доказать не
только существование собственного магнитного момента, но и соб-
ственного момента количества движения электрона. Схема этого
доказательства такова.
Проекция полного момента количества движения есть констан-
та движения как в классической, так и в квантовой механике.
В § 177 мы видели, что операторы составляющих орбитального
момента количества движения, например
Lz
h f д д X
2я7 \ ду~У дх) ’
коммутируют с нерелятивистским оператором энергии и, следо-
вательно, являются константами движения в нерелятивистском
приближении. Аналогичная проверка показывает, однако, что
JLZ (а также и Ly) не коммутирует с релятивистским опе-
ратором энергии, каковым является оператор левой части урав-
нения Дирака (203,3). Однако оператор
h / д дХ . h h Д д дХ, . h /OnQ , Qx
х в------У	т~ =	# ь---У-~г Н (203,1о)
2кг С ду J дхJ 1 z 4~ 2лг С ду у дхJ 2 4тс 4	’	'
192
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
коммутирует с релятивистским оператором энергии. Это пока-
зывает, что проекция одного только орбитального момента нс
является константой движения, по проекция орбитального момен-
та плюс проекция момента спина подчиняются закону сохране-
ния*). Отсюда и вытекает существование у электрона собствен-
ного механического момента наряду с орбитальным моментом.
Покажем теперь, что квантовое число проекции собственного
механического момента электрона может принимать два значе-
нпя: + -.у . Для этого сначала введем ооозначенпо
т h Z д д \ /г
Jz = Х 9-------У	‘
2 2ш \ ду 17 дхJ ~ -'jn
Так как Jz коммутирует с оператором энергии, то Jz имеет
общие собственные функции с этим оператором (см. § 167). Пусть
какая-нибудь функция Ф будет собственной функцией оператора
энергии. В таком случае, как мы видели в § 167, Jzty может
отличаться от Ф лить некоторым числовым множителем С
(203,19)
Вспоминая, что
д _
Ж ду дх ду ’
перепишем уравнение (203,19) в явном виде
А + А о,Ф = Си.	(203,20)
Так как Ф в то же время — собственная функция оператора
энергии, то она соответствует некоторому стационарному состоя-
нию с энергией Е. Поэтому время входит и выражение Ф через
—г —ьг
множитель е 1 (см. § 172); далее часть собственной функции,
зависящую от координат г, 0, ср, можно представить в виде про-
изведения трёх функций R, О, Ф, каждая из которых зависит
только от одной координаты. Итак, собственная функция опера-
тора энергии имеет вид
Эта функция должна удовлетворять и уравнению (203,20). Так
как это уравнение — линейное первого порядка с постоянными
коэффициентами, то Ф мы будем пскать в виде
Ф =	.
*) См. ирило/келие X.
§ 203] СОБСТВЕННЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ И СПИН ЭЛЕКТРОНА 193
При этом совершенно так же, как § 179, легко убедиться, что
требование однозначности будет удовлетворено лишь, при условии,
что т — целое число. Итак, решение уравнения (203,20) мы ищем
в виде
Подставляя в
—i Et
Ф = е h
(203,20), находим
А
2п

откуда
О = —
Применяя тс
же операторы второй раз, получаем
.	L о.
О --- — о? и
'	4 “ 1
или, так как
по предыдущему з~ = 1,
т —
откуда
Равенство (203,19) теперь примет вид

Мы видим, что собственные значения оператора проекции полного
h
момента количества движения в единицах выражаются
целым (положительным или отрицательным, или еавиым нулю)
числом т плюс пли минус Поскольку мы уже знаем, что т
есть квантовое число проекции орбитального момента количества
движения, то + -у есть квантовое число проекции собственного
момента импульса электрона, т. е. спина. Итак, проекция пол-
ного момента количества движения может принимать значение
Л --(т ± 2л (?П = 0, + 1, ± 2, . . .),
что мы и хотели доказать.
194
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
§ 204. Формула тонкой структуры
Уже не раз упоминалось, что ксплерова задача может быть
решена при помощи уравнения Дирака. При этом получается
но только обычная последовательность бальмеровых уровней энер-
гии, но и нечто новое. Именно, формула для спектрального терма,
к которой приводит уравнение Дирака, такова:
т — л-a*R7ji / 1______'L \
и2 т?3 ( .	1	4/г I '
\7+1' /
Объяснение смысла входящих во второй член величин а п / будет
дано ниже. Сейчас для пас существенно то, что в формулу наряду
с оальмеровым термом , получаемым с помощью уравнения
Шредингера, входит второй член, малый по сравнению с первым
(постоянная а2 равна 5,32 • 10~5). Этот второй член тем не мопсе
очень важен, так как он позволяет объяснить тонкую структуру
спектральных линий.
Поправочный член в формуле Дпрака, называемой формулой
тонкой структуры, может быть выведен также элементарно, без
помощи уравнения Дирака, способом хотя и не строгим, но зато
наглядным. Мы приведем здесь именно этот элементарный вывод
в его существенных чертах не только вследствие его относительной
простоты, по и потому, что применяемый при этом метод —так
называемая векторная модель атома — имеет огромное практическое
значение.
Уравнение Шредингера даёт только простой бальмеров терм
по следующей причине: при решении кеплеровой задачи с помощью
этого уравнения не учитываются два важных фактора:
1) релятивистская зависимость массы от скорости (уравнение
Шредингера, как подчёркивалось много раз,—по существу не-
релятивистское);
2) существование спина.
Каждому из этих двух факторов соответствует свой добавочный
член в классической гамильтоновой функции задачи.
1. Происхождение добавочного члена, связанного с учётом
зависимости массы от скорости, вытекает из следующей особен-
ности релятивистского движения. Оказывается*), что релятивист-
ское движение электрона в центральном поле кулоновской силы
имеет сложный характер; его можно себе представить состоящим
из движения по ксплерову эллипсу и медленного вращения (пре-
цессии) эллипса в своей плоскости; результирующая траектория
*) См. Я. И. Френкель, Теоретическая механика, стр. 48 — 52
56 — 57, Гостехиздат, 19-40.
§ 204j
ФОРМУЛА ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ
195
имеет вид розетки (рис. 247). Этой плоской прецессии орбит
и соответствует добавочный член в гамильтоновой функции, кото-
рую можно представить в виде
Н^Н. + НТ,
где II0—псрслятпвпстская функция Гампльтона, т. е. —( р'т 4-
4- р} — ~~ [см. т. I, § 57, формула (57,13)], р.о— масса покоя,
а 11г — некоторая добавочная энергия, соответствующая реляти-
вистской прецессии.
Рис. 247. Розеточная траектория реляти-
вистского электрона в кулоновском поле.
2. Ввиду наличия магнитного момента, связанного со спином,
электрон ведёт себя как магнитный диполь, находящийся в маг-
нитном поле, которое обусловлено его же «орбитальным» движе-
нием, т. с. обладает дополнительной энергией магнитного взаи-
модействия. Таким образом, учёт спина требует введения в гамиль-
тонову функцию ещё одного добавочного члена IIis. Полная
функция Гамильтона поэтому состоит из трёх членов
Я = Я0 + HrPlhp,
при этом члену 110 соответствует главная часть энергии, а Нг
и IIis можно рассматривать как малые возмущения. 1!рл решении
196
СПИН ЭЛЕКТРОНА
гл. Х\‘
задачи в пулевом приближении (см. § 188) добавочные члены
Нг п His отбрасываются, и уравнение Шредингера для нулевого
приближения 11$ ECj даёт бальмсровы уровни энергии, которым
соответствуют термы
_RZ2
1 0 м2 ‘
Учёт возмущении в первом приближении даст поправку к этому
терму, состоящую из двух частей!:
LT = A7r-|- ATls.
Что касается первой — релятивистской — поправки АТУ то вычисле-
ния при помощи теории возмущений приводят к формуле
=	(204,1)
\	’ 2’	/
Здесь Z — квантовое число «орбитального» момента импульса
(Z = 0, 1, 2, ... для s-, р-, d-, ... электронов); а — постоянная,
выражаемая через основные универсальные константы в, h, с
следующим образом:
Постоянная а, называемая постоянной тонкой структуры Зом-
мерфельда (так как сё впервые ввёл Зоммерфельд при решении
кеплеровой задачи в теории Бора с учётом релятивистской зави-
симости массы от скорости), в высшей степени замечательна.
Замечательно то, что эта постоянная, представляющая собой ком-
бинацию трёх основных универсальных констант е, h и с, является
безразмерным числом. В самом дело, е2 имеет размерность [эргхем],
е2
что видно из следующего: — есть кулоновская потенциальная
энергия, а потому выражается в эргах; следовательно, [е2] —
= [энергия X длина], т. е. [эрг х саг]. Размерность />с есть
[энергия х время х скорость], т. о.
г 7 1 Г ЭР8 ’ ССК  СМ 1 г	1
[7гс] = А— ------ = [дрг . сму
L Сс/ь	j
Итак, he имеет ту же размерность, что и е2, т. е. а — безразмерная
величина. Численное значение а находится из численных значений
в, h и с и равно
а = 7,30 • 10-2; а2 = 5,32 •	= 137,03.
§ 204]	ФОРМУЛА ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ	197
Обратимся теперь к рассмотрению второй поправки, именно,
поправки па взаимодействие между спиновым и орбитальным
моментом. Её мы найдём из следующих полуклассичоскпх сооб-
ражений.
Дополнительную энергию электрона-магнита в магнитном поле,
создаваемом его же орбитальным движением, можно выразить
двумя равноправными способами, ведущими к численно совпада-
ющим результатам: 1) как потенциальную энергию магнитного
диполя, помещённого в магнитное поле; 2) как кинетическую
энергию ларморовой прецессии (см. т. I, § 72). Мы пойдём первым
путём и будем вычислять потенциальную энергию, т. с. скалярное
произведение — (MJC), где М — собственный магнитный момент
электрона и Я — напряжённость магнитного ноля, обусловленного
его орбитальным движением. Напряженность поля <_можно
вычислить так. Перейдём от «неподвижной» системы координат,
связанной с ядром, к подвижной системе, связанной с электроном.
В этой системе центр тяжести электрона покоится, а ядро дви-
жется со скоростью v, численно равной скорости электрона, но
направленной в противоположную сторону. Это движение создаёт
ток силой Zev, и магнитное поле этого тока по закону Био-Савара
в точке, где находится электрон, равно
&в = _ iL'Jyl =	.	(204,3)
Векторное произведение [rv] мы легко выразим через момент
количества движения 1 (момент количества движения одного
электрона мы в дальнейшем будем обозначать малой буквой 1;
момент количества движения атома в целом — прописной буквой L).
Итак, принимая во внимание, что
1 = Р [rv],	(204,4)
получаем
К = ДЛ	(204.5)
Добавочная же энергия магнитного диполя с моментом М в ноле
К равна
-(MJC)-.-|^(М1).	(204,6)
Это выражение, как уже было сказано, вместо с тем равно квие-
тической энергии ларморовой прецессии электрона. Однако необходи-
мо принять во внимание, что энергия, выражаемая формулой (204,6),
соответствует ларморовой прецессии в системе координат, в кото-
рой покоится центр инерции электрона. Для того чтобы вернуться
к системе координат, в которой покоится ядро, или, точнее, центр
инерции всего атома, нужно произвести ещё преобразование
198	СПИН ЭЛЕКТРОНА	[ГЛ. XV
Лоренца. Добавочная энергия магнитного взаимодействия, полу-
чаемая в окончательном результате, как показал Я. И. Френкель,
равна половине (204,6), т. с.
Н‘’= “2^ММ1)-	(204,7)
Эту добавочную энергию мы можем рассматривать как малое
возмущение к главной части гамильтоновой функции //0. Согласно
уже известному положению теории возмущений (см. § 188) доба-
вочная энергия, обусловленная возмущенном, равна среднему зна-
чению возмущающего члена гамильтоновой функции, усреднённому
по иевозмущёнпому состоянию, так что
= His.
Ввиду того, что все величины, входящие в (204,7), кроме, г оста-
ются постоянными, усреднять приходится только 1/г3:
<204-8>
Так как усреднение производится по невозмущённому состоянию,
то для выполнения ого нужно воспользоваться собственными функ-
циями кеплеровой задачи, как мы это делали для частных-
случаев § 184:
В результате вычислений получается
(4>— 7-Лх—(20*’9)
4 7	I-'-- ~ Ш 4-1)
где а1 — первый боровскпй радиус, равный но (184,10)
(204,10)
Обратимся теперь к вычислению скалярного произведения (MI),
входящего в формулу (201,8). Отношение магнитного момента М,
соответствующего сипну, к его механическому моменту s равно
2’277 = у: (§ 197); направление М противоположно s, так как
заряд электрона отрицателен
М- -±S.	(20-4,11)
г1 иг лепные значения спинового и орбитального моментов равны
|s| = JZ s(s+l)A,	(204,12)
j 1| = /Щ+Т) А .	(204.13)
1	64
§ 204
ФОРМУЛА ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ
199
Для сокращения написания мы в дальнейшем в промежуточных
вычислениях будем обозначать }/ s ($ 4-1) и j/Z (Z 4- 1) соответствен-
но через 5* и Z*. Подставляя (204,9) и (204,11) в (204,8), заменяя
при этом аг его выражением (204,10) и вводя постоянную Ридберга
/1 — -г-- ,
а также постоянную тонкой структуры
2т.е2
а = ,
he
получим после несложных преобразований
ДЕгз = - ?	-----Z*s* cos (Is).	(204,14)
+ -2-)(z+i)
Пам остался теперь последний этап — вычисление косинуса
угла между орбитальным и спиновым моментами, cos (1s). Для
этого необходимо рассмотреть сложение импульсов 1 и s. Заметим
Рпс. 248.
Рпс. 249.
прежде всего, что, поскольку с орбитальным импульсом 1 связано
магнитное поле, вектор s должен ориентироваться в этом поле
(кроме случая 1 = 0, когда н поле равно пулю), и притом возможны
h h	...
две ориентации с проекциями 4- и —. В полуклассическои
теории Бора сложение импульсов 1 и s производится весьма просто:
, h
численные значения импульсов согласно этой теории равны Z
1 h	,
и у—; импульс спина может ориентироваться лиоо параллельно 1
^проекция	рис. 248^, либо антипараллельно 1 ^проекция
— -2~ > рис. 249J . Этим двум ориентациям соответствуют значе-
ния cos (Is) = ± 1.
В квантовой механике дело обстоит значительно сложнее.
Момент импульса не имеет здесь определённого направления
200
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
7 й
в пространстве; его численное значение равно не I —, но
j/Z (Z -|- 1) — , тогда как проекция па направление поля равна
h	I 7
где ml-— 4-Z,
.	0, . . ., —I. Аналогичное имеет место для
импульса спина: его
численное значение ость
Рпс. 250. К векторной
модели: прецессия век-
торов 1ns относитель-
но вектора полного мо-
мента количества дви-
жения j.
, 1 h т,
а ого проекция на направление поля равна -j- —	• Из этого сле-
дует, что импульсы ] и s никогда нс
располагаются пи параллельно, ни анти-
параллельно, по угол между ними отли-
чен и от 0, и от к. Специальное исследо-
вание показывает, что можно пользо-
ваться следующим полуклассичсским ме-
тодом рассуждения: 1 и s складываются
по обычному правилу параллелограмма.
В результате получается вектор j —пол-
ный момент количества движения. По
так как векторы 1ns связаны через
посредство соответствующих им магнит-
ных полей, то они прецессируют относи-
тельно j, как два механических гироскопа,
связанных упругой нитью, прецессируют
относительно направления своего неизме-
няемого полного момента количества движе-
ния (рис. 250). В это чисто классическое
рассуждение вносятся следующие поправ-
ки, характерные для квантовой мехаппки.
Во-первых, углы между I и s пе могут быть
произвольными, но ограничиваются требо-
ванием пространственного квантования 1 п S, а именно— вектор 1
^численно равный J/rZ(Z4-l) — может располагаться относи-
j только под такими углами, чтобы проекция 1 на папра-
j была равна mz
тельно
влепие
а вектор s —под такими углами,
чтобы
проекция его на
направление поля равнялась ms — ,
, 1
где rns = ± у
Тем самым угол (1s) ограничивается дискретным
рядом избранных значений. Во-вторых, полный момент имнуль-
са j численно равен не , но ]/ /(/+1)	, где ] =	;
таким образом, j есть квантовое число полного момента импульса.
§ 20 4]
ФОРМУЛА ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ
201
Такой способ рассуждения, несмотря на своё явное логиче-
ское несовершенство, ведёт, тем не менее, к поразительно точно
оправдывающимся результатам.
Принимая во внимание сказанное, мы теперь легко вычислим
cos (1s). Из рис. 250 по известной теореме тригонометрии нахо-
дим (/* =’|/ ](] + 1))
j**: - /*2 + s*2 _ %i*s* cos [к - (Is)] = Z*2 + s*2 4- 2l*s* cos (Is).
Отсюда
.. .	/«_z*2_/ (/ + !) — /(Z-l) — .s’(s-l)	. z ...
rs* cos (Is) =1-----= —---------------------  (201,1 d)
Подставляя этот результат в (204,14), находим
, __ RcMicW /(/'4-1) —Z (Z-I-1) — s (s-|-J)
n-l( Z + -.,-j(Z + 1)
а отсюда поправка к терму, обусловленная взаимодействием
спин — орбита,
=___________Да2/4___/(/-]-1)—Z (Z -г (s 1-1)
"3 (z (/ + 1}	(2°/х’
Так как j по предыдущему может иметь значения 14-
и Z —то второй множитель в формуле (204,16) имеет следу-
ющие два значения:
а)	для ] = Z 4-у
] (/ + 1)-Z (I + 1) —.s (s + 1) _ 0 + т) 0 + '2	_ ' .
2	2	2 ’
Ь)	для j— I—~ аналогично найдём
/(Z-L1)—Z(/ + 1)-S(s4-1)_	Z4-1
2	“	2 ’
Соответствующие два значения Д7\ таковы:
для / = I 4- ~ , 1
(204,17)
ДЛЯ /=/ — —.
202
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
Для отыскания полной поправки к терму следует найти сумму
релятивистской поправки &ТГ по формуле (204,1) и поправки Д71ls
по (204,17). Это даёт
а) для j = I + у
. гп цт „т Ra2Zi /	1
ДГ = ДГГ + rrls =	----J-
_ 2?a3Z4 / 1
~ п3 V + 1
, . 1
Ь) для j — аналогичным
рой формулы (204,17) найдём
ДГ = ±ТГ + bTls =
_ _3_ \_______2fa2Z4 _
2»»(( +|)(Z + 1)
--Y
4п) ’
вычислением при помощи вто-
2?a2Z4 /£_
п3 \_1 in J ’
Обе формулы можно соединить в одну, принимая во внимание,
что j — I + -у; тогда в обоих случаях знаменатель первой дроби
, 1 л
в скооках оудет / 4~ у, и формула напишется в виде
дт -= Дк224 / 1 _
п3 I .	1 in j
V	/
(204,18)
Это п есть формула тонкой структуры, указанная в начале этого
параграфа.
Из этой формулы видно, что для термов s, для которых /
1
имеет единственное значение -9 , поправка имеет только одно
значение
откуда следует, что эта поправка только смещает s-термы, но
не расщепляет их. Для остальных термов (р, cl, /, ...)/ имеет
по два значения / ± — , и потому каждый уровень, соответствую-
щий этим термам, расщепляется па два подуровня. Так как,
далее, при главном квантовом число п = 2 имеется два уровня 2s
и 2р, при п = 3 — три уровня 3s, Зр, 3d и т. д., то при п — 2
расщепление даёт три подуровня (один s-терм и два /7-терма), при
п = 3 —пять подуровней и т. д. Однако среди этих подуровней
всегда имеются попарно совпадающие. Действительно, при одном
и том же главном квантовом числе и прп отсутствии учёта топкой
структуры значения термов зависят только от главного кванто-
вого числа п и не зависят от квантового числа I. Поправка же,
§ 205]
СДВИГ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ ЛТОхМНОГО ВОДОРОДА
203
даваемая формулой тонкой струкг
зависит только от j и не зависит
то, например, при п -—2 / имеет
значения -9- для термов s (Z 0)
1	3
п у и v для термов p(Z —1);
поэтому подуровни терма 5, у —
I	1
= и терма р, ] = — между
coGoii совпадают. Точно так . же
для н~3 подуровни Зр, j
и 3d, j — тоже между собой
совпадают. Поэтому для п = 2
(основной терм серин Бальмера)
получается только два подуров-
ня вместо трёх; для д-=3 —три
подуровня вместо пяти п т. д.
Далее, надо принять во вни-
мание, что по формуле (204,18)
поправка ДТ быстро убывает
с увеличением главного кванто-
вого числа (она обратно про-
порциональна кубу /г). Поэтому
тонкая структура линий серии
Бальмера практически опреде-
ляется двойственностью основ-
ного уровня п — 2.
На рис. 251 ириведеиаострук-
тура лпнии Не+А —4686 А. Так
как по формуле (204,18) рас-
щепление пропорционально Z4,
то в случае гелия (Z = 2) рас-
стояние между компонентами в
водорода. Как видно из рисунка
риментом имеется. Однако име
следующий параграф.
уры при одном и том же п,
1
от Z. Но так как /-/+->
4__I_-<-<_L_I__t.- rn | I {
W, 7 ,/7 J / ,7 ,6 #,2^я-
Рпс. 251. о Топкая структура липли
?< = 4686 А ионизованного гелия.
Сравнение теории с экспериментом.
16 раз больше, нежели в случае
согласие между теорией и экспо-
ются и расхождения. О них см.
§ 205. Сдвиг уровней энергии атомного водорода
В конце предыдущего параграфа было указано, что согласно
формуле (204,18), являющейся прямым следствием уравнения Дира-
ка, подуровни с одинаковыми квантовыми числами j и с одним
и тем же главным квантовым числом п должны между собою
204
СШШ ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
совпадать. Главному квантовому числу п-—2 (основной торм
серии Бальмера) соответствует три подуровня 225i/2, 22Pii2 и 22Ps[,t
(по поводу символов см. § 207). Два из них, именно 225i/2 и 22Pi/2,
должны между собой совпадать, так как у них одинаковы чи-
сла р- . Третий терм 22Рй/.г должен лежать выше на расстоя-
нии 0,365 сиг-1. Переходы с уровнен п = 3 на уровня п — 2 обу-
словливают топкую структуру красной линии серии Бальмера
водорода П«. Строение этой линии многократно изучалось, одпако
результаты прежних работ были противоречивы: одни исследо-
ватели находили полное подтверждение формулы тонкой струк-
туры, другие обнаруживали отступления. Причина этих разногла-
сий лежит в исключительной экспериментальной трудности
исследования даже наиболее топкими оптическими методами строе-
ния группы чрезвычайно тесно расположенных лишит, обладаю-
щих довольно большой шириной. В самые последние годы (1947 —
1950) были применены совершенно новые методы так называемой
радиочастотной спектроскопии. Дело в том, что расстояния между
подуровнями главного квантового числа п — 2 лежат уже в области
не оптического, по микроволнового радиочастотного диапазона.
Так, например, расстоянию между подуровнями 22Pil2 и 22Рз/2
соответствует частота 10 950 мегациклов/сек и длина волны а =
= 2,74. см. Упомянутые же отступления от формулы Дирака,
наблюдавшиеся некоторыми ранипмп исследователями, состояли
в смещении уровня 22Syi2 относительно уровня 227Л/2 на 0,03 см~х.
Это смещение соответствует частоте около 1000 мегациклов/сек,
в то вре.мя как точность измерения при современной высокой
экспериментальной технике в области микроволн может быть
доведена до 1 мегацикла/сек, что совершенно недостижимо для
оптических методов.
В работах Лэмба и Ризерфорда для обнаружения сдвига
уровня 2251/,2 был применён следующий метод. Линейный пучок
атомов водорода (см. § 198) предварительно подвергался бомбар-
дировке электронами, в результате которой часть атомов пере-
водилась из нормального состояния 1251/2 в возбуждённое 2251-2
(энергия возбуждения 10,2 eV). Прямой переход с излучением
из этого состояния в нормальное запрещён правилами отбора для
квантового числа I ввиду того, что этому переходу соответствует
Д/ = 0, тогда как правилами отбора (§ 193) разрешаются пере-
ходы Д/_-pl. Благодаря этому возбуждённые атомы пребывают
в состоянии 2251/2 длительные промежутки времени (так назы-
ваемые метастабильпые — относительно устойчивые атомы; см. § 235).
Этот поток сильно возбуждённых метастабильных водородных
атомов принимался «детектором», каковым являлась вольфрамо-
вая пластинка. При попадании па металлическую поверхность
возбуждённые атомы разряжались, отдавая свою энергию электро
§ 205]	СДВИГ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ АТОМНОГО ВОДОРОДА	205
лам проводимости металла, которые благодаря этому освобожда-
лись, образуя электронный ток. Сила этого электронного тока
и являлась мерой числа метастабильных атомов, попавших на де-
тектор.
Если, однако, поток метастабильных атомов перед попаданием
их на детектор подвергнуть действию радиочастотного электро-
магнитного поля, то под влиянием поля при подходящей его час-
тоте мотастабильные атомы будут переходить в другие состояния.
А именно, если уровень 2251/2 на самом дело но совпадает с уров-
нем 227А/2, по лежит выше него па 0,03 слг1 (что соответствует
1000 мегациклов/сек), то под влиянием поля будут происходить
переходы двоякого рода: при частоте около 10 000 мегациклов/сек
(10 950—1000=^10 000) атомы из состояния 2251/2 будут перехо-
дить в состояние 22РУ/2, поглощая энергию из поля, а при часто-
те 1000 мегациклов/сек мотастабильные атомы 2251/2 будут пере-
ходить в состояние 22А/2 путём вынужденного испускания*)
(отрицательное поглощение см. т. I, §§ 93—91). Из состояний же
2Р атомы настолько быстро переходят в нормальное состояние, что
до детектора они долетают, уже разрядившись от своей большой
избыточной энергии. Таким образом, действие электромагнитных
волн состоит в гашении метастабильных состояний, а уменьшение
числа метастабильных атомов отмечается падением электронного
тока детектора. Эффект будет особенно резко выражен при резо-
нансе между частотой радиоволн и расстоянием между уровнями
энергии, благодаря чему кривая зависимости тока детектора от
частоты радиоволн должна обнаруживать максимумы в соответ-
ствующих мостах.
Эти максимумы па самом дело были обнаружены, и они позво-
лили с достоверностью установить, что: а) расстояние между под-
уровнями З2^!/., и 22Р3/з составляет 0,365 см~1 как того требует
формула Дирака', Ь) уровень 2251/2 смещён относительно уров-
ня 22Pi/2 в противоречии с требованием формулы Дирака, согласно
которой оба уровня должны совпадать.
Эти экспериментальные результаты привлекли к собе большое вни-
мание. Интерес этот вполне понятен, так как проблема связана со
свойствами основных элементарных частиц, к числу которых отно-
сится электрон. В настоящее время причину сдвига можно считать
выясненной, однако теоретические построения, па которых осно-
вано это объяснение, далеко выходят за рамки настоящей книги
и по могут быть здесь изложены. Отсылая, читателя к статьям,
посвящённым этому вопросу, мы ограничимся здесь немногими
*) В случае несовпадения уровне!'! 226Т/2 и 22Д1/2 возможны также спон-
танные переходы 226'i/2-> 22Д1/2. Так как, однако, вероятность перехода
пропорциональна кубу частоты, то ввиду близости уровней вероятность этих
переходов ничтожно мала.
206
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
замечаниями*), Согласно современным представлениям физический
«вакуум» отнюдь не является геометрической пустотой, по наделён
определёнными физическими свойствами. В частности, в вакууме
существуют «нулевые колебания» поля, аналогичные нулевым
колебаниям линейного осциллятора. Эти пулевые колебания,
взодействуя па электрон, заставляют ого колебаться около,
некоторого среднего положения, что ла небольшую величину
изменяет его среднюю потенциальную энергию и в свою очередь-
ведёт к сдвигу уровней.
Вопрос о причинах сдвига энергетических уровней электронов
относится к кругу фундаментальных проблем о структуре элек-
трона, происхождении его массы, природы поля и т. п. Все эти
проблемы выходят за рамки квантовой механики и являются пред-
метом изучения квантовой электродинамики — области, находя-
щейся в начале своего развития, па пути которого имеются пока,
ещё не преодолённые большие затруднения. Некоторое представ-
ление об этой области читатель может получить из статей,
указанных в примечании к настоящему параграфу.
§ 206. Дублеты щелочных металлов
Формула тонкой структуры, выведенная в § 2Сй,
может быть обобщена на случай щелочных металлов.
В § 185 мы видели, что спектры щелочных металлов мо-
гут быть объяснены при помощи модели излучающего элек-
трона. При этом, однако, возмущающее действие «остова», со-
стоящего из остальных Z— 1 электронов, проявляется в том,
что термы представляются не формулой Бальмера , а форму-
Д
(”~с)2
лой Ридберга
, где п* — эффективное главное кван-
товое число. Если написать
эту формулу в виде
будет пригодна по только
(л— с)2
то она
для нейтральных атомов щелочных
металлов (Z0$$=l), но и для попов, имеющих один валент-
ный электрон, например М^ + (/Офф~-2), А1++(ИЭфф—3) и т. д.
Далее, вместо того чтобы вводить поправку в знаменатель-
бальмерова терма и писать формулу Ридберга в виде
(п— с')2
можно с таким же успехом ввести поправку в числитель-
*) См. статью Я. А. С м о р о д и и с к о г о. Успехи физических наук,
т. XXXIX, 325, 194!), а также более доступно изложенную статью Ф. Я ей-
ской ф а, Успехи (физических наук, т. XLT, 165, 1950. См. также сборни <
статей под ред. Д. Д. Иваненко: «Сдвиг уровней атомных элек-
тронов», 1!Л, 1950.
§ 207] КВАНТОВОЕ ЧИСЛО ПОЛНОГО МОМЕН ТА ИМПУЛЬСА	207
V	2?(Z —а)2
и писать ту же формулу в виде	, где п, как и в фор-
муле Бальмера, — главное квантовое число. В таком виде.мы
уже писали формулу для рентгеновских термов в т. I, § 37.
Поправка а имеет ясный физический смысл: Z — а есть «эффек-
тивный» заряд ядра и, следовательно, величина а характери-
зует экранирование заряда ядра электронами остова.
Этим замечанием можно воспользоваться для того, чтобы
полуэмпирически обобщить формулу тонкой структуры на слу-
чай щелочных металлов и аналогичных пм ионов. Формула тон-
кой структуры (204,18) поэтому приобретает вид
т__ Ra2(Z—a)i /	1	3\
1	п*	.	1 4п •
' ' + т '
Здесь уже по получается совпадающих подуровней потому,
что сами термы 5, р, d различны. В соответствии с двумя воз-
можпыми значениями / = Z i у каждый терм дает начало двум
подуровням, обусловливающим дублетную структуру спектраль-
ных линий щелочных металлов.
§ 207. Квантовое число полного момента импульса
Существенной частью вывода формулы тонкой структуры,
как мы видели в § 204, является сложение векторов момента
импульса 1 и s. Это сложение выполняется по правилу сло-
жения векторов с учётом квантования векторов 1 и s и их
проекций lz и sz на направление поля. Получаемый при этом
вектор j представляет полный момент количества движения
атома; его численное значение по общим законам квантовой
механики есть
а соответствующее ему квантовое чпсло / для каждого I имеет
7 1	1
два значения 4 ± у.
Проекция вектора j па направление поля, jz, равна
h
где m может принимать 2/-(-1 значений: /,	— у.
Основанная па этих соображениях так называемая векторная
модель атома имеет огромное практическое значение для спек-
троскопии. Она позволяет объяснить ке только топкую струк-
туру спектра, по и все детали сложных случаев расщепления
линий в магнитном поло (аномальный эффект Зеемана) в пора-
208
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
зительио точном согласии с экспериментом. Как мы увидим
в следующей главе, векторная модель может быть обобщена
на случай нескольких электронов и даёт возможность объяс-
нять особенности спектров и в этих случаях.
Учёт спина электрона потребовал введения нового кванто-
вого числа в добавление к трём применявшимся нами раньше
(;г, I, т). В качество этого четвёртого квантового числа мы
выбираем /, так как полный момент количества движения j
в отсутствии поля ость константа движения.
Так как j = I ~	, а I есть целое число, то в атомах с одним
валентным электроном j имеет по целые, а полуцелые значения:
для I — 0 j = 4-; для I — 1 / = и ~ ; для I — 2 j = -2- и ~ и т. д.
£4	L4	£4	£4
В спектроскопии принято обозначать различные энергети-
ческие состояния отдельных электронов и всего атома специ-
альными символами, по которым сразу можно указать все
квантовые числа. Для отдельных электронов главное кванто-
вое число обозначается числовым коэффициентом, а квантовое
число орбитального момента — следующей за ним буквой 5, /?,
с/, / но хорошо известной нам схеме, наконец, квантовое число j
даётся в виде индекса справа снизу. Таким образом, напри-
мер, символ 3.^1/2 означает состояние электрона, в котором
/г —3, Z-0, / =
Для атомов с одним излучающим электроном, т. е. для
водородоподобных атомов и атомов первой группы периодиче-
ской системы, энергетические состояния излучающего элек-
трона и атома совпадают. Тем не менее принято обозначать
термы атома вместо малых большими буквами 5, Р, D, F; кван-
товое число / даётся, как и у отдельного электрона, индексом
справа внизу. Наконец, малой цифрой слова вверху обозна-
чается кратность терма; например, 2А/2 (читается «дублет Р».
Указать главное квантовое число атома с несколькими элек-
тронами, вообще говоря, невозможно, так как различные элек-
троны могут иметь неодинаковые наименьшие главные кван-
товые числа (например, из трёх электронов лития в нормаль-
ном состоянии два имеют /г = 1, а третий п — 2). В случае
атомов с одним излучающим электроном иногда главное кван-
товое число последнего указывается в символе терма всего
атома; например, 2251/2. Заметим, что хотя термы S всегда
простые, принадлежность их к системе дублетных уровней отме-
чается так же, как п у остальных термов.
После всех этих разъяснений таблица XXVII энергетиче-
ских состояний атомов с одним излучающим электроном должна
быть понятна.
§ 207] КВАНТОВОЕ ЧИСЛО ПОЛНОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА	209
Мы установили (§ 193), что переходы между различными
системами термов ограничиваются правилом отбора для Z:
AZ = ± 1.
На самом деле при установлении возможных переходов следует
обращать внимание также и на изменения квантового числа /.
Таблица XXVII
	7 = Va	3/2	5/2	7 /2
1 0	2,У1/2			
1		2 Р 1 3/2		
2		-V73/2	-Г)	
3			2 -^5/2	^/2
Из анализа спектров было установлено, что переходы про-
исходят только между такими состояниями, у которых / имеет
либо одно и то же значение, либо изменяется иа Ч- 1:
Д/ = 0, + 1.	(207,1)
Это правило вытекает из следующих соображений: так как
у = I + s, то Д/ = AZ + А.?. В следующей главе будет показано
на основании весьма общих соображений (основанных па так
называемом принципе Паули), что изменение сливового кван-
тового числа ограничено требованием Д.9 = 0. С другой стороны,
для Z существует правило отбора AZ — + 1. Таким образом, мы
приходим к правилу отбора для j:
Д/= + 1.
Однако оказывается, что возможны и такие переходы, при
которых Ду —0. Это видно из следующего. Положим, что пере-
ход соответствует изменению AZ — i 1, но вследствие измене-
ния расположения 1ns/ остаётся тем же самым. Так как
требования AZ =• + 1 п Д$ = 0 прп этом удовлетворены, то мы
приходим ко второму правилу отбора для /:
Д/ = 0.
Итак, возможны только такие переходы, при которых
Д/ = 0, ± 1.
Разберём теперь типичный пример применения этих правил
отбора, а именно, рассмотрим так называемый «сложный» дублет
первой побочной серии. Из формулы этой серии
v = 2p — md —	...)
210
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
видно, что она обусловлена переходами между термами
7?(/=1) и tZ(Z = 2). Но каждый из термов той и другой групп
является двойным. В самом деле, для термов р мы имеем
13	11
/ = 1 + у =- у и / = 1 — — = -у ;
для с?-термов:
Таким образом, и в верхнем и в нижнем состояниях мы имеем
по два подуровня, и можно было бы думать, что будут наблю-
На самом деле наблюдаются только три
линии, показанные на схеме (нижняя часть
рис. 252): две яркие и одна слабая. Чет-
вёртая линия, обозначенная на схеме
пунктиром, не наблюдается. Как можно
убедиться из схемы, это происходит по-
тому, что в действительности осуще-
ствляются только переходы, подчиняю-
щиеся правилу Д/ = 0, i 1; переход же
с изменением j на 2 единицы (5/г —V2) не
имеет места, и соответствующая ему ли-
ния выпадает.
даться четыре линии.
D3/2
грз/г-Р>
J
.5/2.
з/г
р’/г Рг
Ь—!/г
Рис. 252. Иллюстрация
правила отбора для / на
примере сложного дуб-
лета первой побочной
серии.
I
г
J
л
Л]=0,И
§ 208. Аномальный эффект Зеемана
Все атомы, имеющие один излучающий
электрон, т. е. атомы II, Не+, Li++, Ве+++
ит. д., а также нейтральные атомы
первой группы периодической системы
в слабом магнитном поло дают аномаль-
ный эффект Зеемана. В случае нормаль-
ного эффекта (т. I, § 73), как известно,
получается три линии при наблюдении
в направлении, перпендикулярном к полю, и две —при наблю-
дении вдоль поля. Величина смещения в нормальном эффекте
выражается формулой Лоренца
= _е	CM-i = 14,67 • Ю-5..^ слг1. (208,1)
4тс|1С2	'	'
Опыт показал, что такое расщепление дают только линии, не
имеющие тонкой структуры (так называемые сингулеты); для
дублетов и линий с более сложным расщеплением (триплеты
ит. д.) получается аномальный эффект: общее число компонент
оказывается большим и притом чётным, а величины расщеп-
ления не совпадают с нормальным лоренцовым расщеплением.
На рис. 253 приведено три примера эффекта Зеемана: па
одиночной линии цинка — нормальный эффект: на дублете
§ 208]	АНОМАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА	2Ц
натрия — аномальный эффект, 10 компонент; на триплете цинка —
также аномальный эффект, 18 компонент. Что касается вели-
чины расщепления в аномальном эффекте, то имеет место заме-
чательный закон: величина смещения в аномальном эффекте
всегда составляет рациональную дробь нормального лоренцова


1111
нермамныи.
триплет
елаёве
леев
Рис. 253. Нормальный и аномальный эффект Зеемана
при наблюдении перпендикулярно к магнитному полю..
смещения; например, если обозначить нормальное смещение
(208,1) через vL, то компоненты расщепления главной серии
таковы:
2^1/2 — 2Рi/2: i 7з Чь> i 4/з	5
25i/2—2А/2: zfcVsVL, ± 7з vl, ±5/зХь-
Как видно, во всех случаях знаменатель дроби один и тот же —
именно 3. Для расщепления триплета главной серии (например,
триплета цинка, рис. 253) имеется также характерный знаме-
натель 2; сами расщепления выражаются при этом такими дро-
бями, как V2vl; 2/г	( = vb)> % Хь и т. д.
212
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
§ 209. Теория аномального эффекта Зеемана. Слабое поле
Векторная модель позволяет объяснить причину возникновения
аномального эффекта Зеемана и все его особенности. Рассмотрим
поведение атома с одним валентным электроном в магнитном поле.
Как мы уже видели в § 204, в отсутствии поля векторы 1 и s
вследствие имеющегося между ними магнитного взаимодействия
совершают прецессию относительно направления полного момента
импульса j. Если поместить такой атом в магнитное поле, то
явления будут протекать несколько различно в зависимости
от того, будет ли это поле сильным или слабым. При этом поня-
тия «сильное» и «слабое» поле определяются в данном случае
следующим образом: если зеемановское расщепление, вызываемое
полем, мало по сравнению с естественным мультиплетным расщеп-
лением, то поле называется слабым. Из этого определения сле-
дует, что численная величина «слабого» поля в разных случаях
будет весьма различна. Так, например, для водородных линий
вследствие узости их мультиплетного расщепления поле в 8000 эр-
стед будет уже сильным, а для лития сильным является поле
с напряжённостью, не меньшей 50 000 эрстед.
Рассмотрим сначала действие слабого поля. В этом случае
взаимодействие векторов 1 и s между собой значительно больше
их взаимодействия с полем. Вследствие этого нецелесообразно
рассматривать 1 и s отдельно, но следует рассматривать их сумму,
вектор j. Во внешнем магнитном поле j2, т. е. численное значе-
ние момента импульса, остаётся константой движения, но вектор j
не будет константой Движения, так как направление его не сохра-
няется. В самом деле, с механическим моментом j связан соот-
ветствующий ему магнитный момент, вследствие чего атом
во внешнем поле ведёт себя и как волчок, и как магнит. Внеш-
нее поле стремится установить атом-магнит по своему направле-
нию, но гироскопические свойства атома этому препятствуют. Так
как, с другой стороны, и численное значение | j |, и его проекция
на направление поля (т. е. угол между j и направлением поля)
сохраняются, то единственное движение, которое может совершать
атом, есть прецессия. Ввиду относительной слабости вцешнего
поля JC по сравнению с внутренним полем, связывающим 1 и s,
угловая частота прецессии j отпоситсльпо направления поля
значительно меньше угловой частоты внутренней процессии 1 и s
относительно j.
Добавочная энергия, приобретаемая атомом в поле, есть потен-
циальная энергия магнитного диполя с магнитным моментом М7
в поле К, т. е. она равна — Эту добавочную энергию
следует рассматривать как малое возмущение, вследствие чего
соответствующее изменение уровней энергии будет равно среднему
значению — (М7К), которое нам и следует вычислить. Так как
§ 209J ТЕОРИЯ АНОМАЛЬНОГО ЭФФЕКТА ЗЕЕМАНА. СЛАБОЕ ПОЛЕ 213
,l} s и Ms в
представлена необходимая
Рис. 254,
ни поле }£, ни угол между М;- и }£ не меняются, то дело сво-
дится к вычислению среднего значения М7- для невозмущёпного
состояния, т. е. в предположении, что внешнее поле отсутствует.
С этой целью мы прежде всего построим соответствующие век-
торные суммы, причём, хотя направление векторов орбитального
и спинового магнитных моментов вследствие отрицательного знака
заряда электрона противоположно направлениям соответствующих
векторов механического момента, -—для упрощения чертежа мы
будем строить соответственно векторы 1 и М(
одном направлении. Па рис. 254
нам векторная модель: векторы 1
и s, складываясь, дают вектор j.
Векторы Mz и Ms по указанной
причине отложены соответственно
в направлениях векторов 1 и s. Од-
нако направление вектора М; не
совпадает с направлением век-
тора j. Причина этого — в том, что
отношения Jjj-p и -рц2 не оди-
наковы, но второе отношение
вдвое больше первого
|MJ_ е |MS|^2 е
111 2|лс ’	| s | 2|ic ’
Так как мы вычисляем среднее зна-
чение Mj в отсутствии внешнего
поля, а при этом условии направление
мента импульса j постоянно,
направления j увлекает за собой и вектор М7, который также
должен прецессировать относительно того же направления (точнее —
его продолжения). Разложим теперь вектор М7- на две составляю-
щие параллельно и перпендикулярно к j и обозначим эти соста-
вляющие через М\\ и МСреднее значение М7- равно сумме сред-
них значений М\\ + М±. По вследствие сохранения угла между
М7- и j среднее значение М\\ сохраняется равным просто Л/ц,
а среднее значение М± за промежуток времени, большой по сравне-
нию с периодом быстрой внутренней прецессии, есть нуль, так
как вследствие прецессии М}- для каждого значения в тече-
ние этого промежутка времени найдётся противоположное ему
по знаку. Итак,
вектора полного мо-
то прецессия 1 и s относительно
и ваша задача свелась к вычислению М\\.
Из рис. 254 видно, что
Л/ц = Мг cos (lj) 4- Ms cos (sj) =2^-^ {J* cos (lj)4~2s* cos (sj)}. (209,1)
214
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
Величины косинусов вычисляются при помощи топ же теоремы
элементарной тригонометрии, которой мы пользовались для вычи-
сления cos (Is) (см. рис. 250):
7*2 I ;*2_с*2
cos (1 j) =---2j^ - , COS (sj) =
*2
Подставляя эти значения косинусов в (209,1), получаем
__ eh З/*2 + s*2 — I*2______ ch 3/*24-s*2—I*2
2р.с 2ix 2/*	4’гсу.с	2]*2
где введено обозначение
3/=i=2 + S*2_^2	j*2 + ii*2 — l*2
g =------2?^------= 1	-----2р-‘---
или, заменяя /*, $*, /* их значениями,
+ +S (S+ 'О" (I + 1)
* "Г	2/(/Ч-1)
Итак,
Иj. = М^ = gj*Mо = g У /СГ+Т) ^о,
(209-2)
(209,3)
(209,4)
где MQ — магнетон Бора. Мы видим, что в формуле (209,4)
появился новый множитель g, выражаемый формулой (209,3).
Этот множитель, называемый множителем «Панде, играет в теории
аномального эффекта Зеемана решающую роль.
Множитель Ланде может быть заранее вычислен для всех
состояний одпоэлектронных атомов ($ всегда равно 1/2-т)- Приво-
димая ниже таблица значений g (табл. XXVI11) понадобится нам
в дальнейшем.
Т а б л и ц а XXVIII
Множитель Ланде для атомов с одним
излучающим электроном
/=V2	3/2 j 5/з ! 72
AS'	I = 0	2	1 1		
2Р	1	2 / /3	4/з		
2D	2		4/ / 5	(73	
2F	°			77	к/7
Обратимся теперь к вычислению изменения уровней энергии
под действием внешнего поля JC. По сказанному
ДЕ = - (М/М) - - М^е cos (jК) =
= S т~~с Ж Г cos (j К) gM 0 Wj* cos (j JC).	(209,5)
§ 209] ТЕОРИЯ АНОМАЛЬНОГО ЭФФЕКТА ЗЕЕМАНА. СЛАБОЕ ПОЛЕ 215
Это изменение энергии уровней имеет квантованные значения,
так как вследствие пространственного квантования произведение
/* cos (jit), равное магнитному квантовому числу тп, может при-
нимать избранные значения
m = j, (/—1),	— (/—1), — /	(209,6)
— всего 2/4-1 значений. Итак, изменение уровней энергии
во внешнем магнитном поле равно
^E = gmMQje.	(209,7)
Принимая во внимание (209,6), мы видим, что в магнитном поле
каждый уровень энергии распадается на 2/4-1 тесно расположен-
ных уровней. Таким образом, уровень 2Si/2 расщепляется на два
подуровня; уровень 2.Pi/2 —также па два подуровня; уровень
2-Рз/2 — на четыре и т. д.
Вычислим теперь частоты, излучаемые в магнитном поле.
По условию частот имеем
h (у 4- Ду) = (Ех + ДЕ3) — (Е3 + Д.Е2).
Принимая во внимание, что Ег — E2=hv, где у —частота в отсут-
ствии поля, получаем
/гДу = Д£3 - LE2 = (m3£3. - m2g2) М= (туgt - m2g2)	Зв.
Для отыскания Ду в слг1 следует разделить на Ас:
Ду - (mxgx - m2g^ 36.
Условимся за единицу расщепления брать нормальное лореицово
расщепление
^=4^ "г1;
тогда в этих единицах
Ду = 7^1 — m2g2.	(209,8)
Это и есть формула расщепления в аномальном эффекте Зеемана.
Для вычисления расщеплений по формуле (209,8) необходимо
иметь в виду, что не всякие два подуровня могут комбинироваться:
возможности переходов ограничены правилом отбора для магнит-
ного квантового числа Дт=г0, ±1 (§ 193). Для иллюстрации вы-
числим расщепление головного дублета главной серии натрия
(11-линии), состоящего из линий
а = 5895,930 А, 21\2-251/2,
а —5889,963 А, 2Л/з-25з/2.
216
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
Сначала найдём расщепления отдельных уровней, т. е. значения
произведений mg, а затем вычислим разности m^g^ — mzg2 для
переходов, удовлетворяющих правилам отбора Дт=0, ± 1- Зна-
чения множителей Лапде заимствуем из таблицы XXVIII. Резуль-
таты вычислений mg приведены в таблице XXIX.
Таблица XXIX
Теперь можно лайтп расщепление линий
1. Липпи Dx-. 2р1/2-2'6’1	2, л = 5895,930 Л. .1 1
Начальное состояние 	. 1 -1 = ~
Конечное состояние	mg =4-1 й7 Хд — 1
Расщепление	.	,4,2	2	4 Av=+T’ + у ~Т’ ~т-
Часто это записывают сокращённо в виде
*) Стрелками показаны переходы, удовлетворяющие правилам отбора!,
§210] ТЕОРИЯ АНОМАЛЬНОГО ЭФФЕКТА ЗЕЕМАНА. СИЛЬНОЕ ПОЛЕ
217
2. Линия D2: 2Ps/2 — 2Si/2, л = 5889,963 А.
Начальное состояние
Конечное состояние
Расщепление
т3, + 3, 4- I, — I, — 3, — 5
т9
%з
г/з
-г/з
-5/з
i/г /
->/г -1
Рис..255. Расщепление дублета главной серии патрия.
Как мы видим, обе липли дают 4 + 6--10 компонент. На рис. 255
приведены схемы уровней и сравнение теории с опытом.
§ 210. Теория аномального эффекта Зеемана. Сильное поле
В 1912 г. Пашен п Бак открыли интересное и важное явле-
ние. Оказывается, что в очень сильных полях аномальный эффект
Зеемана вновь превращается в нормальный: сложная картина
расщепления заменяется простым триплетом Лоренца. Это явление
называется магнито-оптическим превращением или эффектом
Пашена —Бака. Векторная модель даёт очень простое объяснение
и для этого явления.
218
СПИН ЭЛЕКТРОНА
[гл. XV
Сильным мы называем в данном случае такое поле, которое
вызывает расщепление, значительно превосходящее естественное
мультиплетное расщепление (см. § 209). Легко видеть, что вели-
чину расщепления мы можем считать мерой энергии взаимодей-
ствия. Поэтому в сильном поле энергия взаимодействия 1ns
с полем значительно превосходит их энергию взаимодействия
между собой. В этом случае не имеет смысла говорить о век-
торе j, так как каждый из векторов 1 и s в первом приближе-
нии ведёт себя независимо от другого. Энергия возмущения
стационарного состояния с уровнем Е будет теперь просто суммой
де = - [(мда +(МЛ)]-
Согласно неоднократно применявшемуся нами положению тео-
рии возмущений усреднение следует производить для невозмущён-
ного состояния. Таковым в данном случае будет состояние, опи-
сываемое векторами 1ns, связь между которыми отсутствует.
В этом случае оба импульса 1 и s являются константами движе-
ния; константами являются и их проекции lz и sz па ось z.
Поэтому углы между 1 и осью z (направлением поля) и между s
и осью z остаются постоянными, а потому в результате возмуще-
ния, вызываемого внешним полем, каждый из векторов прецес-
сирует относительно направления поля независимо от другого.
При этом, однако, угловая частота прецессии s вдвое больше
угловой частоты прецессии 1. В результате этой прецессии сред-
нее значение М2 оказывается равным среднему значению проек-
ции на направление поля, так как среднее значение нормаль-
ной составляющей за промежуток времени, достаточно большой
по сравнению с периодом прецессии, равно нулю, т. е.
Мг = М,„ -- — т, = — т^Мо
и аналогично для спинового магнитного момента
М.. =	- - 2ms = - 2msM0.
Мы находим, таким образом,
_ (ЩЁ) - - (М2К) -
и
- (МД£) - - (MSK) = 27?zs/Vo -W,
так что
ДЕ =	4- 2ms) M0W’.
§ 210] ТЕОРИЯ АНОМАЛЬНОГО ЭФФЕКТА ЗЕЕМАНА. СИЛЬНОЕ ПОЛЕ 219
Магнитное квантовое число т1 может принимать 21 + 1 целых
значений
ml = l, I — 1, ..., 0, ..., — (Z — 1), —Г,
магнитное квантовое число спина имеет два возможных значения:
, 1 1
= 4- -г или — -с .
Разность энергий двух уровней поэтому в первом приближении
равна
(-^1Н- — (Е% + A_Z?2) = (v Н- Av),
откуда
AAv = &Е± — EEz =•= (A?nz + 2A///J
Расщепление Av в см-1 будет равно
Av =	= (&mi + 2A??zs) Ж слт1. (210,1)
/2 С	4£л»Ц>С
Правило отбора для пг1 требует, чтобы
Amz = 0, ± 1;
что же касается ms, то его изменение ограничивается законом
сохранения спина: переходы возможны между состояниями
с одинаковыми проекциями спина, т. е.
Ams — 0.
Поэтому формула (210,1) даёт окончательно
Av = O, ±AvL,
т. е. простой триплет Лоренца.
При более точном расчёте расщепления следует принять
во внимание взаимодействие векторов 1 и s. Энергия этого
взаимодействия того же порядка величины, что и энергия взаимо-
действия, обусловливающая естественное (в данном случае —
дублетное) расщепление линий (см. § 204). Так как это рас-
щепление мало по сравнению с расщеплением в сильном магнит-
ном поле, то учёт взаимодействия векторов 1 и s даёт топкую
структуру расщепления в эффекте Пашена — Бака.
ГЛАВА XVI
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
§ 211. Спектр гелия. Паргелий и ортогелий
До сих пор мы имели дело либо с атомами и ионами
с одним единственным электроном (водородоподобные атомы).,
либо с атомами щелочных металлов и аналогичными им ионами,
у которых весь спектр обусловлен движением одного валентного
электрона. Теперь мы перейдём к рассмотрению много-
электроштых спетом, и. так как наибольшее количество све-
дений об устройстве электронной оболочки даёт нам спектр,
то мы и начнём с рассмотрения спектров атомов сначала с двумя,
а затем и со многими электронами.
Простейшим представителем атомных систем с двумя элек-
тронами является нейтральный гелий и аналогичные ему ионы
(Li+, Ве++, B+It и т. д.). Наиболее замечательная особенность
спектра гелия заключается в том, что в нём встречаются те же
серии, что и у атомов щелочных металлов, но каждая серия
представлена в двух экземплярах: имеются две главные серин
с различными пределами, две резкие, две диффузные серин
и т. д. Эти вторые экземпляры серий отличаются, однако, от пер-
вых своей структурой: в то время как линии в одном экземпляре
всегда простые (сингулеты), во втором — каждая из них расщеп-
ляется на три линии; они являются, как говорят в спектроскопии,
триплетами.
Наиболее известная из спектральных лпшпт гелия жёлтая
линия 2)3 —именно та линия, благодаря которой гелий был
открыт впервые в спектре солнечных протуберанцев (18 августа
1868 г.),—на самом деле является триплетом с длинами волн,
указанными в таблице на стр. 221.
Как видно из таблицы, расстояние в шкале длин волн между
двумя последними линиями составляет всего 0,042 А, ввиду чего
долгое время эти линии принимались за одну, и характерная,
линия D3 считалась дублетом. Триплет D3 является первым членом
первой побочной серии триплетов. Главная серия триплетов гелия
§ 211]
СПЕКТР ГЕЛИЯ. ПАРГЕЛИЙ И ОРТОГЕЛИЙ
221
лежит в инфракрасной части спектра. Напротив, соответствующие
серии сингулетов лежат преимущественно в ультрафиолете, а глав-
ная серия сингулетов — даже в крайней ультрафиолетовой части
спектра.
	Относительная
	интенсивность
5875,963 А	1
5875,643 А	2
5875,601 А	5
Ввиду такого резкого различия в характере спектральных
серий и их дублирования первоначально была высказана гипо-
теза, что гелий на самом деле является смесью двух элементов,
из которых один —именно тот, который даёт триплетные се-
рии и, в частности, линию 2)3 —был назван ортогелием, а дру-
гой— дающий сингулетные серил — парагелием или, короче,
паргелием.
Эта гипотеза, как казалось, подтверждалась тем, что не было
известно никаких комбинаций между системами сипгулетпых
и триплетных уровней энергии, так что каждая система серий
(спнгулеты и триплеты) была замкнутой.
Гипотеза эта оказалась, однако, неправильной: дублирование
серий является результатом того, что во всех двухэлектронпых обра-
зованиях. уровни энергии образуют две системы: систему простых
и систему тройных уровней, а причиной замкнутости се-
рий является особое правило отбора — так называемый запрет ип-
теркомбпнаций, в силу которого триплетные уровни комбини-
руются только с триплетными, а сингулетные — только с сппгу-
лотными.
Па рпс. 256 приведена схема уровней энергии атома гелия
и показаны возможные переходы. Здесь видно, в частности, что
запрет интеркомбпнацпй но является абсолютно жёстким правилом
отбора, так как имеется липин — правда, в виде единственного
исключения —с длиной волны 591,6 А (крайний ультрафиолет),
которая возникает в результате комбинации триплетного
уровня 3Pi 4 и сипгулетного 1SQ.
Ошибочно было бы думать, что эти особенности спектров
являются мелкой деталью, интересной только для узких целей
спектроскопии. На самом деле в них проявляются чрезвычайно
важные особенности систем из нескольких электронов. Именно
поэтому мы и остановились па них подробно.
222
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
ол
Зо,
гг -
18-
16 -
14 -
iz-
10 -
8-
6-
ч-
2-
вольты
гч,ч7-
24-
го.55-
Z0-
19,77 -
паргелий
'Р, 'Пг
до
=5 =^5 —9 —5
з —3 —3

ортогелии
3Рг>1	3Р0	3П3,г,1 3Рц,3,г
______________________усм~‘
~5	-Ц,
¥ ^L^Toooo -
и
гоооо -
зоооо-
ооооо -
50000 -
6ОООО-
70000-
80000-
ооооо-
юоооо-
110000-
120000-
130000 -
14оооо-
150000-
160000-
170000-
180000-
190000-,
200000
Рис. 256. Схема уровней энергии атома гелия.
§ 212]
ОБМЕННОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ
223
§ 212. Обменное вырождение
Рис. 257. Два электрона в по-
тенциальном ящике.
То особое свойство, которым обладают системы из нескольких
электронов, мы выясним сначала на сильно схематизированном
примере двух электронов, находящихся в простейшем поле. Пусть,
паши два электрона помещены в потенциальный ящик — совер-
шенно такой же, какой мы рассматривали в т. I, § 147 (рис. 257).
Перенумеруем временно электроны и
припишем одному из них номер 1,
а другому — номер 2; координаты их
будем обозначать соответственно че-
рез ад и х2. Оператор Гамильтона
для системы двух частиц в общем
виде таков (§ 187):
/>2
Н —	(^1 ^2) + Ui + U2 + t/12’
где Ux и U2 — потенцияльные энер-
гии каждого из электронов в его
поле, a t/12 — потенциальная энер-
гия их взаимодействия, т. е. энергия их кулоновского оттал-
кивания, равная е2/г. Уравнение Шредингера JHty = 2?Ф напишется,
поэтому так:
(Д, + Д2) 4 + (Е - Ut -	4-0.	(212,1}
Функция Ф зависит от координат обеих частиц
Ф = ф(^, х2),
причём оператор .Дх действует только на координату хг, а оператор-
Д2— на координату х2. В данном случае
Д = Д =
1 dxj ’	2	‘
Что касается потенциальной энергии, то есть функция только
яд, U2 — только х2, а С/Х2 зависит и от ж1иота;2. Уравнение (212,1) при
е2
учёте энергии взаимодействия UX2 — — не разделяется, поэтому
г 12
для его решения нужно воспользоваться теорией возмущений.
В нулевом приближении полагаем t/x2 = 0 и получаем
+~^ + |Е -	К = °-
(212,2)
Это уравнение легко разделяется. Ищем его решение в виде про-
изведения двух функций
Ф (ад, я2) =Ф(1)(^1) • Ф(2)(я2).
224
АТОМЫ CO МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гд. XVI
Подставляя в (212,2), получаем
Я2	№
'Р(2) Ы 9(1) (Z1) -Н(1) W |уЛ(2) W -Г
Qtw-2 yyj
+ [Е - Ij\ (Х1) - U2 (х2)]	) (^) • Ф(2) Ы о.
Делим на 9(1)(^1) ’ <?(2) (^г) п производим перегруппировку членов
Первая скобка зависит только от х1} вторая — только от х.2,
а сумма их есть постоянная. Поэтому каждая из скобок в отдель-
ности равна постоянной. Обозначая эти постоянно соответственно
через да—Е^ п —7?(2\ получаем, во-первых, два урав-
нения:
Д '?<” (И +	(£<*'- UJ 6(1) (Ж]) = 0,	(212,3)
i?<2) М -г	(Е(-> - Щ 6(2) (х2) = 0,	(212,4)
а, во-вторых, видим, что
£(1) + Е^^-.Е,
т. е. что энергпя системы равна сумме энергий её частей —
результат тривиальный; ого тт нужно было ожидать, так как,
по предположению, взаимодействие между электронами отсут-
ствует.
Мы получили два уравнения (212,3) п (212,4), которые
совпадают с уравненном (147,1) (см. т. I, § 147); очевидно также,
что и краевые условия в том и другом случаях одинаковы. Поэтому
все результаты, найденные в § 147, применимы и к нашим урав-
нениям. Следовательно, собственные функции (У1) и 6'2) таковы:
.(1) •
2= sin 7?^ - Д ,
, (2)	•
Еп sin /?Т9 — • ,
1 !Lx-z	-l2 I ’
где I — линейные размеры ящика. Собственные значения энергии
обоих электронов равны соответственно:
_„2
•^1 ~ Пх± м
(2) _ 2	7,2
^пх2 - Пх* 8ml2 ’
§ 212]
ОБМЕННОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ
225
где пХ1 и пХ2 — целые числа. Собственная функция системы есть
д = ф<1)(ж1) . ф(2) (Я!2) = sin • sin«T2^p ,	(212,5)
а соответствующая ей энергия равна
£ = Е1 + £^^(^1 + п‘г).	(212,6)
Сравнив эти результаты с теми, которые были найдены в § 152
для случая одного электрона в трехмерном потенциальном ящике,
мы без труда поймём, что за-
дача о системе двух частиц в
одномерном потенциальном ящи-
ке эквивалентна задаче об од-
ной частице в двумерном по-
тенциальном ящике, а именно —
в квадратном ящике со сторо-
ной I. Аналогично тому, как
мы поступали в § 152, мы те-
перь можем для наглядного изо-
бражения возможных состояний
системы представить себе плос-
кую квадратную сетку со сто-
роной 1/Z (рис. 258). Очевид-
но, что каждому узлу этой
сетки будет соответствовать
одно (и только одно) состоя-
ние. Например, состоянию, в
Рис. 258. Иллюстрация возможных
состояний системы двух электронов.
котором первый электрон находится на первом уровне (пХг = 1),
а второй электрон — на третьем (/гЖ2 — 3), соответствует точка Р с
координатами 1/Z и 3/1. Это состояние описывается функцией
= sm ~ sm3~~
а соответствующая ему энергия оудет равна
7,2	7,2
я-Анг+з2) =
от2 4	' 8ml2
где R— радиус-вектор, проведённый в Р из начала координат.
До сих пор мы как будто ничего нового не получили, а некоторые
наши результаты просто тривиальны. Однако имеется и нечто новое
и притом весьма существенное. Представим себе, что мы поме-
няли местами наши электроны, так что второй электрон нахо-
дится теперь на первом уровне, а первый —на третьем. Состоя-
ние системы представится функцией
Ф2 = Sin 3 Sin
226
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
и изобразится на нашей сетке точкой Q. Из того, что оба состоя-
ния изображаются разными точками, видно, что это различные
состояния, но им соответствует одинаковая энергия, так как Z?2
в том и другом случаях имеет одну и ту же величину. Из этого
следует, что имеется вырождение, а именно двукратное вырожде-
ние: функции
ф (^1, Я3) = ОН) (жг) 0(2) (ж2),
0 (ж2, Хх) = ф(!) (я2) 0(2) (яг)
суть различные собственные функции, но им соответствует одна
и та же энергия. То же будет иметь место и при других комби-
нациях квантовых чисел пХ1 и нХ2, за исключением случая низ-
шего состояния системы, когда пХ1 = пХ1 = 1, а также и всех
тех состояний, для которых nX1—nXi. Эти состояния, как легко
видеть, не будут вырожденными.
Установленное выше вырождение называется перестановочпькм
или обменным вырождением.
Нетрудно показать, что аналогичное перестановочное пли
обменное вырождение имеет место не только для системы двух
частиц. Если мы рассмотрим систему трёх частиц в одномерном
ящике, то мы придём к задаче, формально эквивалентной задаче
о движении одной частицы в трёхмерном потенциальном
ящике, в случае, когда Zj —Z2 —Z3=Z; как было показано в § 152,
здесь также получается вырождение и притом более высокой
кратности. В задаче об одной частице в трёхмерном ящике это
вырождение посило формальный характер. В математически экви-
валентной задаче о трёх тождественных частицах оно приобре-
тает ясный физический смысл.
То же самое справедливо и для системы п частиц. Решётку,
при помощи которой мы наглядно изображаем собственные функ-
ции, в этом случае нужно вообразить в п-мерном пространство.
Каждому набору квантовых чисел, наглядно представляющему
собственную функцию для какого-то распределения электронов
по уровням, соответствует определённый узел этой воображаемой
решётки. При перестановке каждой пары квантовых чисел полу-
чается другой узел, по энергия не меняется.
Очевидно, далее, что выбранный памп специальный характер
поля также по имеет существенного значения; важно только,
чтобы все тождественные частицы находились в одинаковых
условиях: обменное вырождение зависит не от характера поля,
а от симметрии уравнения Шредингера относительно номеров
частиц.
Мы выдвинем теперь следующее положение в качестве фунда-
ментального принципа: решение уравнения Шредингера для си-
стемы тождественных частиц должно быть таким, чтобы оно
соответствовало тому факту, что состояние, в котором электрон
§212]	ОБМЕННОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ	227
номер 1 находится с координатой а электрон номер 2 — с коор-
динатой ж2, и состояние, в котором электрон номер 1 находится
с коордпнаюй х2, а электрон номер 2 — с координатой есть одно
и то же состояние.
Этот принцип тождественности микрочастиц играет в кванто-
вой механике, и особенно в квантовой статистике, очень важную*
роль. В нём проявляется одна из самых характерных особенно-
стей микрочастиц, отличающих их поведение от частиц макро-
скопических. В самом деле, макроскопические тола — папример,
два шара —всегда можно отличить друг от друга, снабдив
их какими-нибудь отмотками, например номерами. Поскольку,
далее, можно проследить траекторию макроскопического тела,
мы можем установить, находится ли в данном место шар № 1
или шар № 2. Нумерация в этом случае имеет вполне опреде-
лённый смысл. Совсем иное — в квантовой области. Рассмотрим,
например, соударение двух микрочастиц. Если бы даже в неко-
торый момент t — 0 перед соударением каждая частица была ло-
кализована отдельно, то в дальнейшем волновые пакеты, пред-
ставляющие движения этих частиц, будут перекрываться, и раз-
личение частпц теряет смысл.
Мы можем теперь ввести оператор перестановки _Р, действие
которого на О-фупкцию состоит в том, что он меняет местами
частицы. Но так как функции, описывающие оба возможных рас-
пределения частиц, должны быть одинаковыми, то
и (Ж1, ж2) — J>u (х2, Ж1).	(212,7)
Переставляя в и(х2, хг) координату первого электрона на место
координаты второго и наоборот, мы, очевидно, придём к и(х1} х2):
и (х2, Xj) = JPu (xlf х2).
Подставляя это в (212,7), найдём
и (xlf х2) — JP2u (rq, z2),
т. е. JP2 — 1 и JP==]=1. Итак,
w (яъ х2) = ± и(х2, хг).
Волновая функция, которая не меняется при перестановке коор-
динат, называется симметричной; функция, которая меняет только
свой знак при перестановке координат, называется антисимметрич-
ной. Обе эти функции выражают факт тождественности оди-
наковых частиц по следующей причине: физический смысл имеет
не сама волновая функция, но квадрат её модуля. Очевидно,
однако, что квадраты модулей обеих функций — и симметричной,
и антисимметричной — не меняются при перестановках частиц.
Обе они, таким образом, показывают лишь то, что в дан-
ном состоянии одна частица находится с координатой хг и одна
228
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
частица —с координатой х2, но не то, что частица номер 1 и ча-
стица номер 2 находятся соответственно с координатами и х2
или наоборот.
Задача настоящего параграфа состояла только в выяснении
понятия обменного вырождения. Поэтому мы не будем проводить
дальнейших вычислений и отыскивать первое приближение. Это
будет сделано в следующем параграфе на примере двух электро-
нов в кулоновом поле, т. е.—-задачи об атоме гелия. Мы уви-
дим там, в частности, что теория возмущений автоматически
приводит к двум собственным функциям, обладающим требуемы-
ми свойствами симметрии,—к симметричной и антисимметричной
функциям.
§ 213. Проблема гелия
В § 189 мы уже рассмотрели нормальное состояние гелия
в качестве примера на применение теории возмущений при отсут-
ствии вырождения. Здесь мы рассмотрим задачу об атоме гелия
в общем случае, когда его электроны могут находиться в любых
состояниях. Уравнение Шредингера для атома гелия и подобных
ему ионов таково [см. § 189, уравнение (189,2)]:
M + M +	+	'=0-
Здесь и Д2 — трёхмерные операторы Лапласа, действующие
соответственно на координаты первого и второго электронов;
заряд ядра мы полагаем равным вообще 4- Ze для того, чтобы
решение было пригодно не только для случая нейтрального гелия
(Z — 2), но и подобных ему ионов; — есть энергия взаимодей-
Г12
ствия электронов (электростатическое отталкивание).
Начальные этапы решения задачи нам уже известны. Уравне-
е2
ние (213,1) не разделяется, так как этому препятствует член — .
Поэтому нужно применить теорию возмущений. В нулевом при-
е2
ближении отбрасываем потенциальную энергию взаимодействия —
г 12
.и получаем уравнение, совершенно симметричное относительно
координат обоих электронов:
M + M +	+	(213,2)
Поэтому здесь, как и следовало ожидать, применимы все резуль-
таты предыдущего параграфа. Для разделения уравнения (213,2)
ищем решение в виде произведения двух функций
Ч'! = Ф1(1) Фа(2),	(213,3)
§ 213]
ПРОБЛЕМА ГЕЛИЯ
229
где цифрами 1 и 2 обозначены совокупности всех координат каж-
дого электрона. Подставив это решение в уравнение (213,2),
разделяем его па два уравнения, каждое из которых представляет
собой уравнение Шредингера кеплеровой задачи, написанное для
двух различных стационарных состояний — 1-го и &-го [разумеется,
эти состояния мы выбрали в функции (213,3) совершенно произ-
вольно]. Поэтому функции ф1 (1) и <1\(2)— уже известные соб-
ственные функции кеплеровой задачи (§ 183), так что собственная
функция Ч4 нулевого приближения известна. То же относится
к собственным значениям энергии
E'i 11 El — бальмеровы уровни энергии одноэлоктронной задачи.
Но причинам, подробно выясненным в предыдущем параграфе,
собстленные функции Чд вырождены вследствие тождественности
электронов. В нулевом приближении, кроме этого обменного
вырождения, имеется ещё известное нам из решения кеплеровой
задачи вырождение относительно угловых координат (§ 184).
Однако это последнее вырождение нас здесь интересовать не бу-
дет, п мы его ио учитываем для того, чтобы не осложнять,
задачи.
Ввиду двукратного вырождения собственному значению Е®
соответствует не только собственная функция Ч‘х, но и функция
^ = ^(2)^(1),	(213,4)
а также любая линейная комбинация (213,3) и (213,4)
ц =	+	(213,5)
Предположим, что все эти функции уже ортогонализированы
между собой и с остальными функциями и нормированы к 1.
Мы встречаемся здесь, однако, со следующим затруднением.
Теория возмущений должна давать в качестве первого при-
ближения такие собственные функции, которые при устремлении
к пулю возмущения должны непрерывно переходить в функции
нулевого приближения. Из этого следует, что и обратно—для нуле-
вого приближения следует выбрать именно такие функции, для
которых описанный непрерывный переход будет обеспечен. Однако
одному и тому же собственному значению энергии соответствует
бесконечное множество собственных функций, до тех пор, пока
коэффициенты а и [3 в (213,5) произвольны. Поэтому сначала
остаётся неизвестным, какие же из функций (213,5) следует взять
в качестве нулевого приближения. Мы увидим, однако, что это
затруднение в теории возмущений с учётом вырождения преодоле-
вается и автоматически получаются правильные функции нулевого
приближения.
230
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
Энергию взаимодействия электронов — , отброшенную в нуле-
Г12
вом приближении, будем считать возмущением. Вводя обозначение
е2
£ = — ,
П2
(213,6)
можем написать уравнение Шредингера для нашей задачи в виде
(Н° + Е)^Е<Е	(213,7)
Можно предположить, что собственные функции и собственные
значения этого уравнения отличаются от собственных функций и
собственных значений в пулевом приближении лишь малыми
поправками ср и з,
Ф = и 4- ср, Е 4~ з.
Подставив это в (213,7), получим
(№ + «) (н + ср)^(Е° -|-з) (и-г ср).
Выполнив указанные действия и отбросив произведения поправок
,$ср и зср как малые величины более высокого порядка, получим
Н°и + -Н°ср + su = Е°и 4- Е°ср + sii.
Так как и есть решение нулевого приближения, то HQii==EQu
тождественно, и эти члены можно зачеркнуть. После перестановки
членов получим
(Л'° - Е°) ср - - (s - з) и.	(213,8)
Левая часть имеет тот же вид, что и уравнение нулевого приближе-
ния (Н° — Е°) Ф — 0. Поэтому однородное уравнение, соответствую-
щее неоднородному (213,8), удовлетворяется решениями и Т2.
Воспользуемся теперь теоремой о неоднородных уравнениях,
лежащей в основе теории возмущений (§ 188). Эту теорему, при-
менительно к данному случаю вырождения, формулируем так:
для того чтобы неоднородное уравнение имело вообще решение,
отличное от нуля, его правая часть должна быть ортогональна
к обоим вырожденным решениям соответствующего однородного
уравнения. Это даёт два соотношения:
=	^Il(s-s)M(^ = 0,	(213,9)
где dx — элемент объёма шестимерного пространства конфигурации
dx = dxi dyt dzi dx2 dy2 dz2.
Подставив в (213,9) выражение и =аЧ\ 4- рФ2, получим два соот-
ношения, из которых можно определить а и
а \ 117(5-3)11^4-8 ? 'Т7($--з)1Г2^ = 0, )
J к '	J к 7	(213,10)
а ip*(s_s)iiri6^4-P П($-з)1Г2^ = 0. |
§ 213]
ПРОБЛЕМА ГЕЛИЯ
231
Функции Ч\ и ЧР’2, как произведения водородных собственных
функций, ортогональны; предположим, что они уже нормированы.
Это даёт три условия:
Ф=рГ2с^==0,	^'Т1Ч’2сй = 1.	(213,11)
Соотношения (213,10) можно, пользуясь этим, упростить. Имеем,
например,
сс ЧД: (.9- 3) ЧД dx + р 'Гf ($ - з) Ч‘2 dx
Ч’М’^т-аз ЧДЧДdx Д- £ ЧД^Ч’^-Зз ЧД=
= а Q 4rh Ч\ dx - з) + р Ч!7$Ч’2 dx.
Введём обозначения
^Г?5Ч\Л = г11, ДгЬ'Г2йт==г13, )
( Hs'|-2(fc= з22, ^'Г?5Ч’1<гт = ег1. j
Тогда, принимая во внимание (213,11) и (213,12), мы
(213,10) к виду
а (гп —s) + Рг12 = 0; ]
аг21 + Р (322 — °)	/
Эти уравнения образуют систему линейных однородных уравне-
ний относительно а и р. Для того чтобы они имели решение, от-
личное от нуля, требуется равенство нулю определителя
:Ч'2^ =
(213,12)
(213,13)
приведём
(213,14)
Рассматривая выражения (213,13), нетрудно показать, что имеют
место попарные равенства зп = з22, з12 = з21. Действительно, функ-
ции Ч\ и Т2 получаются друг из друга путём перестановки
положений электронов; они симметричны относительно координат
обоих электронов. Также и $ = — симметрична относительно
7'12
координат обоих электронов. Поскольку при интегрировании
по dx — dx± dyx dzy dx2 dy2 dz2 оба электрона одинаково принимают-
ся во внимание и интегрирование выполняется в обоих случаях по
всем возможным значениям координат зп и з22, а также з12 и г21
отличаются друг от друга только обозначением переменных, а
потому и соответственно равны друг другу. Имея это в виду и
раскрывая определитель (213,15), получаем
(3u-3)2-3h = 0,
232
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
откуда
з11-з=±312.	(213,16)
Подставляя это в первое из уравнений (213,14), находим
а+ 0 = 0
и, следовательно,
к =	± Ч’2) = а {^(1)^(2) ±	(2)й/.(1)}.
Коэффициент а легко определить теперь из условия норми-
рования и:
откуда
1 — и*и с/т — CL2
1 тт
а — ----. Итак,
К2

(Ч1 + Т*2)(Ч\ + Ч/2) с/г = 2а2,
« = у^('1\±Т2),
или, выписывая отдельно каждую из двух комбинаций,
»8 »	{Ф1 (1) ts (2) + <?! (2) (1)},	(213,17)
«л = -±= (4, (1) 4,. (2) - 4, (2) 4к (1)).	(213,18)
V
Эти две функции и являются правильно выбранными функциями
нулевого приближения в том смысле, что функции первого при-
ближения непрерывно примыкают к функциям (213,17) и (213,18).
Мы видим, далее, что найденные собственные функции обла-
дают и требуемыми свойствами симметрии. В самом деле, функция
us (213,17) при перестановке частиц не меняется — она симметрична,
а функция ил (213,18) при перестановке частиц меняет свой знак —
она антисимметрична. Обе функции удовлетворяют принципу то-
ждественности микрочастиц.
Мы можем найти теперь и собственные значения энергии, соот-
ветствующие полученным двум собственным функциям и ил,.
Так как Е=-Е°-\-г, то, принимая во внимание (213,16), имеем
Е — EQ + £ц + 812 — (7?! + _Е°) 4- £1Х 4= 312
или в соответствии с функциями llQ и ил
=	(213,19)
ЕА = Е1+Е°-\-з11-г12.	(213,20)
Подводя итог проделанным вычислениям,
е2
учете взаимодействия электронов — теория
г 12
мы видим,
возмущений
что при
автома-
§ 214]
ЭНЕРГИЯ В ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
233
тически приводит к двум собственным функциям — симметричной
и антисимметричной, которым соответствуют два различных соб-
ственных значения, т. о. вырождение снимается.
§ 214. Энергия в первом приближении
Обратимся теперь к значениям энергии первого приближения
Eg и Ед. Формулы (213,19) и (213,20) показывают, что Es и Ед.
отличаются от энергии нулевого приближения EQ — Е® + Е® двумя
слагаемыми г13 и е12. Установим их физический смысл. Первое
слагаемое гп можно написать в виде
Ф* (1)^(2) ^0,(1) ф k(2)d-.=
=	?t(2)	d.^	(214,1)
d'y = dxr dyr dzi} dz2 = dx2dy2dz2.
Но «фТ (1) (1) —- рх и е<!к (2) (2) = (j2 суть плотности зарядов
обоих электронов, распределённых по всему пространству (см. § 170).
Поэтому выражение еп, написанное в виде
3,,= 55кГЙТ1ЙТ2’	(214,2)
можно рассматривать как энергию кулоновского взаимодействия
обоих электронов, «размазанных» по всему пространству. Инте-
грал, получаемый из (214,1), если зачеркнуть в нём е2, назы-
вается кулоновским и обозначается через С:
С =	(!)<!>, (1Ш(2Ж (2).	(214,3)
J ”12
Интеграл s12, однако, своеобразен. Его можно написать в виде-
= ( $ ?1‘гМ-2> dtx dx2, (214,4)
где р^? и Р1л2) равны
/1? = еФ? (1) ф/£ (1),	Р1\(2) = 6% (2) ф! (2).
Здесь piV и можно рассматривать так же, как плотности за-
рядов, вычисленные, однако, для таких состояний, когда каждый
электрон как будто находится отчасти на первом, отчасти на
k-м уровне. Энергия г12 поэтому не поддаётся наглядному истол-
кованию. Интеграл
Л=\^ф?(1)фА.(1)ф,(2)ф1(2)	(214,5)
J ^12
называется обменным. Будучи умножен на е2, он приобретает
234
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
размерность энергии, которая также называется обменной. Назва-
ние это происходит от того, что, желая дать наглядную картину
возникновения энергии е12, часто говорят, что электроны, из кото-
рых один находится на первом уровне, а другой на А-м (или
вообще на разных уровнях), непрерывно обмениваются местами.
На самом деле смысл интеграла А иной. Чтобы в этом убе-
диться рассмотрим подробнее физическое значение члена е24, т. е.
«обменной» энергии. Согласно теории возмущений поправка к энер-
гии нулевого приближения равна среднему значению возмуща-
ющего члена, усреднённому по невозмущёнпому состоянию. Воз-
мущением в данном случае является кулоновская потенциальная
энергия взаимодействия обоих электронов, но невозмущёппое со-
стояние для удовлетворения принципа тождественности электронов
должно описываться симметричной или антисимметричной линейной
комбинацией
««.л = 4= а (1) 9л- (2) ± 91 (2)	(1)}. (213,17—18)
V 1
Нандём теперь интересующее нас среднее значение кулоновской
потенциальной энергии
е-= \ uSiA^-us, Ad'.	(214,6)
Г12 J	'12
Вычислим Us, A • Us, A-
Us, A • u's, A =
=I (Ф! (i) (2) ± (2) (i); •	(i) *г (2) ± i? (2) (i); =
= I (191 (1) (2) I2 +19i (2) ЫЦ I2 ± 9f (1) 9. (1)  « (2) 91 (2) ±
± 91(1) 9» (1) -9t(2)9«(2)}. (214,7)
Так как в (214,6) интегрирование производится по dr — drr dr2,
то на основании сказанного на стр. 231 по поводу з п и г22 при
подстановке (214,7) в (214,6) первые два члена равны друг другу;
также и последние два члена между собой равны. Поэтому, сокра-
щая па 2 и принимая во внимание обозначения (214,3) и (214,5),
найдём
(<) ^е2(С'± Л).	(214,8)
Это показывает, что обменный член появляется только вслед-
ствие того, что мы пользуемся функциями us и иА для удо-
влетворения принципа тождественности одинаковых микрочастиц.
Поясним это подробнее. Предположим сначала, что состояние
нашей системы двух электронов таково, что их волновые функции
не перекрываются. Это означает, что имеет максимальное зна-
§ 214]
ЭНЕРГИЯ В ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
235
чение там, где Ф7. практически равна нулю, и наоборот. Легко
видеть, что в этом случае
= (1)
4* (2) 4;. (2) 4? (2) 4, (2) ss О,
и в выражении для плотности вероятности (214,7) исчезают по-
следние два члена, т. е. именно те члены, которым соответствует
обменная часть добавочной энергии. Таким образом, в результате
интегрирования мы получим при этом условии только первый
член суммы, т. е. только обычную кулоновскую энергию:
Итак, мы убеждаемся вновь, что появление обменного интеграла
и соответствующего ему обменного члена в выражении энергии
есть прямое следствие принципа тождественности одинаковых
частиц.
Подчеркнём поэтому ещё раз, что поправка первого прибли-
жения к энергии, выражаемая алгебраической суммой
е2(С±А),
есть среднее значение кулоновской энергии взаимодействия, вычис-
ленное по законам квантовой механики. Поэтому утверждение
о существовании особой «обменной» энергии неправильно: ника-
кой специфической обменной энергии не существует; добавочная
энергия (214,8), представляемая суммой двух членов, есть энер-
гия электростатического взаимодействия электронов, вычисляемая
по законам квантовой (а не классической) механики.
Тем не менее «обменный» член суммы е2Л характерен потому,
что именно в нём проявляются квантовые свойства микрочастиц.
По этой причине разделение средней кулоновской энергии —
Г12
на собственно кулоновскую и обменную части оказалось плодо-
творным для объяснения ряда физических явлений. Так, напри-
мер, оказалось, что обменными взаимодействиями электронов
объясняются явления ферромагнетизма*).
Следует, впрочем, иметь в виду, что обменный интеграл появ-
ляется не только при усреднении кулоновских взаимодействий,
но и любых других взаимодействий. В самом деле, если потен-
циальная энергия взаимодействия есть £712, то каково бы ни было
её происхождение, усреднение по симметричным и антисимметрич-
ным собственным функциям \ а &i2 ^s, a dx обязательно приведёт
*) См., например, Я. И. Френкель, Введение в теорию металлов,
изд. 2-е, Гостехиздат, 1950.
236
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
к члену, содержащему обменный интеграл. Таким образом, ока-
зывается, например, что, хотя силы, связывающие элементарные-
частицы в атомном ядре, не являются электрическими, их харак-
терные свойства (так называемое насыщение) могут быть объясне-
ны именно обменным эффектом.
Формулы (213,19) и (213,20) показывают, что в одном из со-
стояний— симметричном — обменный член входит со знаком
плюс, а в другом—антисимметричном—со знаком минус. Можно,
кроме того, показать, что он всегда (т. е. при любом к) поло-
жителен. Из этого следует, что антисимметричное состояние
лежит ниже, т. е. является более устойчивым, нежели симмет-
ричное. Мерой этой устойчивости как раз является «обменная»
часть энергии .-12.
Вернёмся, однако, к атому гелия. Мы убедились в том, что-
в результате взаимодействия его электронов возникают два со-
стояния, заметно различающиеся своей энергией. Нам ещё нужно
объяснить существование двух различных по своему характеру
последовательностей ого уровней—сингулетгтых и триплетных.
15 этом объяснении существенную роль играет учёт спина элек-
тронов, который мы до сих пор оставляли без внимания. Но прежде
чем переходить к рассмотрению этого вопроса, необходимо озна-
комиться с одним из важнейших принципов атомной физики—так
называемым принципом исключения, или принципом Паули. Это
мы и сделаем в следующем параграфе.
Упражнение. Обменная, энергия двух электронов, из которых
один находится в состоянии 1s, а другой—2р, равна 0,136 7? ем-1, где R —
постоянная Ридберга. Выразить эту энергию в эргах и электрон-вольтах
и сравнить:
а)	с энергией магнитных взаимодействий спинов электронов, рас-
сматривая электроны как магнитные диполи, находящиеся па расстоя-
нии 10-3 см\
Ь)	с энергией магнптных взаимодействий спин—орбитальный момент,
выражаемых формулой (204,17).
Убедиться, таким образом, в огромном превосходстве обменной энергии
в сравнении с энергией магнитных взаимодействий.
§ 215. Принцип Паули
В трёх предшествующих параграфах мы видели, что для удо-
влетворения принципа тождественности частиц состояние системы
должно описываться либо симметричной, либо антисимметричной
функцией координат. Обозначив, как прежде, совокупность всех
координат частиц соответственно цифрами 1 и 2, мы можем запи-
сать свойства этих функций двух частиц в виде равенств
«s(l, 2) = «s(2, 1),
иА (1, 2) - -wA (2, 1).
§ 215]
ПРИНЦИП ПАУЛИ
237
Напомним вид этих функций. Они таковы:
Us +'*1
^-^{фг(1)^(2)-^(2)фА(1)}.
(215,1)
Заметим также, что антисимметричную функцию можно предста-
вить в виде определителя
1 Ф<(1) Ф,(2)
/2 МП 9* (2) ’
(215,2)
иА =
Для последующего существенно заметить, что в формулах (215,1)
и (215,2) значки i и к означают номера стационарных состояний,
в которых находится каждый из электронов. Как нам уже изве-
стно, в случае электрона в центральном поле три величины—энер-
гия, момент количества движения и его проекция на ось— в ста-
ционарных состояниях имеют определённые значения, характери-
зуемые квантовыми числами п, I, т, так что значку i соответствует
тройка квантовых чисел nit li}	значку А:—тройка чисел 1к, тк.
Соображения, развитые для системы двух частиц, как было
указано в § 212, остаются в силе и для системы п тождествен-
ных частиц. В этом случае в нулевом приближении (без учёта
взаимодействия) такую систему можно рассматривать как сово-
купность п индивидуальных систем, причём энергия Е всей
системы в целом равна сумме энергий индивидуальных систем
Е — Е] 4- Е% 4- ... 4~ Еп.	(215,3)
Состояние системы также описывается произведением функций
Ф = ФД1)<Ы2) ... Ш	(215,4)
причём имеется обменное вырождение: при перестановке любой
пары частиц функция Ч* меняется; два состояния, в которых
любая пара электронов обменивается местами, изображаются
в пространстве конфигурации Зп измерений различными точ-
ками (см. § 212). Энергия же остаётся одинаковой.
Так как возможно всего п\ перестановок, то энергия (215,3)
соответствует п\ функций вида (215,4). Вследствие этого выро-
ждения состояние системы следует описывать линейной супер-
позицией функций Чг:
(215,5)
Можно построить п! таких линейных комбинаций, но среди них
имеется одна симметричная и одна антисимметричная относительно
координат любой пары частиц. Симметричная функция получается,
238	АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ	[гл. XVI
когда все cf равны 1:
м8 = -г=г{Ф1(0 Фг(2), • .йр(») + <Ы2) Ы'1)- •	• • -},(215,6)
У /г!
1 .. ,
где множитель присоединен только для нормирования функ-
У zi!
ции. Легко видеть, что функция (215,6) действительно симмет-
рична; в самом деле, перестановка любых двух частиц меняет
только порядок членов этой суммы, во не меняет её величины.
Антисимметричную волновую функцию можно получить, составив
определитель из функций отдельных частиц ’l’i(l), ^2('U>	(2),
-J, (2) и т. д.:
9,(2), .... <ы«)
ЧА = -У	.	(215,7)
у nl ........................
Vn(2)> •••> Уп (^)
То, что эта функция антисимметрична по отношению к коор-
динатам всех частиц, видно пз следующего: перестановка двух
частиц (например, 1 и 2) равносильна перестановке двух соответ-
ствующих столбцов определителя, а при этом, как известно, сам
определитель меняет знак, сохраняя свою величину.
Согласно сказанному в § 213, для удовлетворения принципа
тождественности микрочастиц, волновая функция системы частиц,
должна быть либо симметричной, либо антисимметричной. Оказы-
вается, что в природе существует п два типа частиц. Одни, как,
например, фотоны, характеризуются тем, что системы их описыва-
ются симметричными функциями; другие, как, например, электроны,
протоны, нейтроны, описываются антисимметричными функциями.
Частицы первого типа называются частицами Бозе, а частицы вто-
рого типа—частицами Ферми по той причине, что к совокупностям
первых применима статистика Бозе, а к совокупности вторых—
статистика Ферми*). Опыт показывает, что критерием, по которому
различаются эти частицы, является их спин: частицы Бозе
обладают пелым спином (включая сини, равный нулю), частицы
Ферми — спином, равным г/2.
Если частица состоит из нескольких частиц Ферми (каждая
из которых обладает спином 1/2), то она принадлежит к части-
цам Бозе, когда в её состав входит чётное число частиц (и, сле-
довательно, суммарный спин—целый), и к частицам Ферми,
если она состоит из нечётного числа частиц. Примером могут
служить атомные ядра, состоящие из протонов и нейтронов, т. е.
из частиц Ферми (подробнее см. § 239).
*) См., например, В. Г. Левин, Введение в статистическую физику,
Гостехиздат, 1950.
§ 215]
ПРИНЦИП ПАУЛИ
239
Электроны являются частицами Ферми: их спин равен 1/2.
Поэтому, как обобщение экспериментальных фактов, для них
формулируется положение: системы электронов встречаются в при-
роде только в состояниях, описываемых антисимметричными вол-
новыми функциями. Это положение называется принципом Паули,
или принципом исключения, так как оно было формулирова-
но (в другой форме) В. Паули ещё до открытия квантовой ме-
ханики.
Из принципа Паули в указанной квантовомехапической фор-
мулировке тотчас же вытекает важнейшее следствие, которое,
собственно, и было первоначально открыто: в определенном кван-
товом состоянии может находиться не более одного электрона.
В самом деле, если бы в одинаковом квантовом состоянии нахо-
дилось два электрона, то это означало бы, что (д') — Ср (д')
при k^l. Но поскольку состояние системы описывается анти-
симметричной функцией, в этом случае два столбца опреде-
лителя (215,7) были бы равны между собой, а такой определитель,
как известно, тождественно равен пулю *). Следовательно, иА~ - О
в, значит, состояние не осуществляется.
Волновая функция, представляемая определителем (215,7),
ле вполне описывает состояние системы электронов, так как опа
построена из волновых функций отдельных электронов, зависящих
только от координат. Между тем полная волновая функция должна
зависеть и от координат, и от сппнов.
Если взаимодействие между орбитальными и спиновыми
моментами мало, то эту полную волновую функцию можно пред-
ставить в виде произведения функции, зависящей только от коор-
динат частиц, на функцию одних только сппнов:
Ч' (1,2, . . ., п, 8п .. ., sn ) -= и (1, 2, ...,п) ф (81; $2, • . .,8п), (215,8)
где под цифрами 1,2, . . . ,п разумеются совокупности всех коорди-
нат положения частиц, a sp, s2, . . ., sn—переменные («коорди-
наты») их спинов. Построенная таким образом полная волновая
функция будет удовлетворять уравнению Шредингера, если её
координатная часть и(д, ..., g^) удовлетворяет этому уравнению.
Это следует из того, что в оператор энергии, применяемый в урав-
нении Шредингера, но входят операторы, действующие на пере-
менные спина sf.
Принцип Паули требует, чтобы полная волновая функ-
ция (215,8) была антисимметрична как по отношению к коорди-
натам положения, так и по отношению к переменным спина.
*) В самом деле, перестановка двух одинаковых столбцов пе меняет
определителя. Но, с другой стороны, при перестановке столбцов опреде-
делитель должен изменять свой знак. Оба требования могут быть удовле-
творены только в том случае, когда определитель тождественно равен нулю.
240
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
Но обе функции и и ср, каждая в отдельности, могут быть как
симметричными, так и антисимметричными. Согласно принципу
Паули только произведение их должно быть антисимметричной
функцией. Очевидно, что функция Ф будет симметрична, если и
и одновременно симметричны или антисимметричны:
'T-у > = us s, Ч-8<2, = Ид?д.	(215,9)
В самом деле, перестановка частиц означает как перестановку
координат в функции и, так и перестановку переменных спина в ср.
Если при этом обе функции либо не меняют свой знак, либо
меняют его одновременно, то Фе не меняется, т. е. является
симметричной по отношению к перестановке частиц.
Аналогично, если одна из функций, например и, антисим-
метрична, а другая, ср, симметрична, или наоборот, и сим-
метрична, а ср—антисимметрична, то произведение их будет
функцией, антисимметричной относительно перестановки частиц.
Следовательно, имеются две возможности для получения полной
антисимметричной волновой функции:
г',1'=«,-?£; ’г!г2) = и.8?д.	(215,10)
В следующем параграфе мы разберём подробно на примере си-
стемы двух электронов гелия образование таких полных волновых
функций и их симметрию.
Антисимметричную спиновую функцию срд (s1; .sn) можно
приближённо представить так же, как и ид, в виде определителя,
составленного из спиновых функций отдельных электронов.
Из этого следует, что, как бы ни представлялась полная анти-
симметричная волновая функция, в виде ли Ф д) или Фд\ она
должна быть равна нулю, если в системе имеется два электрона,
находящихся в одинаковом квантовом состоянии, описываемом
полной системой квантовых чисел, т. е. всеми четырьмя кванто-
выми числами п, Z, j, т или п, I, mt, ms. Итак, в атоме
не может быть больше одного электрона с определёнными зна-
чениями всех четырёх квантовых чисел. В этом и состоит элемен-
тарная формулировка принципа Паули.
§ 216. Сингулетпые и триплетные состояния гелия
Обратимся теперь к подробному рассмотрению атома гелия
с точки зрения принципа Паули. Это рассмотрение, с одной
стороны, пояснит общие соображения, развитые в предшеству-
ющем параграфе, а с другой — позволит понять причину указан-
ного в начале этой главы факта—существования у гелия двух
некомбинирующихся систем термов — сингулетных и триплетных.
Как уже было указано в предыдущем параграфе, полная
собственная функция является произведением координатных
§ 216]
СИНГУЛЕТНЫЕ И ТРИПЛЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ГЕЛИЯ
241
(иначе говоря, орбитальных) и спиновых функций. Начнём с оты-
скания симметричных и антисимметричных спиновых функций
системы двух электронов. Каждый электрон в отношении спина
может .находиться в двух состояниях: с проекцией, параллельной
,1/1
полю, °2:=+у2Ё> 11 с проекцией, антипараллельнои полю,
— —-,р~. Будем обозначать спиновую функцию в первом слу-
чае ср‘, во втором —через В случае двух электронов мы имеем
следующие возможности взаимной ориентации проекций спинов:
им соответствуют следующие функции:
(1)?(2), ?'(1)'Г(2), ?-(!)-?-(2),
Из них можно составить четыре комбинации, удовлетворяющие
требованию симметрии (значок S) иля антисимметрии, (значок Л)
9^) = ^ (1)Г(2) + 9-(1)?-(2), I
<^?-(1)?Д2),	।
?а^<?+(1 2)?-(2)-?“(1)?! (2). J
(216,1)
Из этих четырёх функций три симметричные <^2), <р(ч3\ и одна
антисимметричная (срА). Для получения полных функций составим
произведения координатных (орбитальных) функций us и и,\
на каждую из спиновых функций (216,1). Таких произведений
будет, очевидно, восемь:
1. us ' — симметричная
2.	»
3.	»
4 • us ?a — антисимметричная
5. Ua '-pg > — антисимметричная
6. W-a?s2)	»
7' и A ?fs3)	»
8  Иа?а — с имметрпчная.
Итак, из восьми функций четыре симметричны (1 — 3 и 8) и соот-
ветствующие им состояния не осуществляются; остальные четыре
(4 — 7) антисимметричны, и нам нужно теперь разобрать, какие же
состояния описываются этими антисимметричными функциями.
Заметим прежде всего, что из четырёх антисимметричных функ-
ции функция (4) есть произведение симметричной орбитальной
функции us на антисимметричную спиновую срА; функции же (5),
(6) и (7) суть произведения антисимметричной орбитальной функ-
ции иА на три симметричные спиновые с^1-3).
242
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[in. XVI
Выпишем теперь в явном виде эти четыре антисимметричные
функции, Они таковы:
4-	“8?л = у={ф((1)фй (2) + ф,(2)Ф*(1)) {т*(1)т-(2) —
5.	иА> = у= {Ф, (1) Ф* (2) -ф, (2) фь (1)) <р‘ (1) <р* (2).
6.	йд <#) = И= {ф( (1) (2) - 6, (2) фк (1)) X
X {?+ (1) ср’ (2) 4- ср+ (2) ср- (1)},
7.	«л<$> =	{фг (1) Фл (2) -ф; (2) ф* (1)} Г (1) Г (2).
Рассмотрим сначала три последние функции. Функции (5) соот-
ветствует комбинация спинов ff; сумма проекций
+ m{S = Т + Т = 1;
аналогично для функции (7) сумма проекций равна —1; для функ-
ции (6) -ь = 0. Очевидно, что в состояниях, описываемых
функциями (5) и (7), полное квантовое чйсло спина s14-s2 = s
равно 1. Но у нас есть все основания считать, что и в состоянии
(6) полное квантовое число .$ также равно 1. В самом деле, это
состояние характеризуется той же симметрией как в отношении
орбитальной функции ид, так и в отношении спиновой <ps, что
и состояния (5) и (7): оно антисимметрично относительно коорди-
нат положения и симметрично относительно «координат» спина.
Поскольку в состоянии (5) проекция полного спина равна 1,
в состоянии (7)—равна —1, а состояние (6) обладает во всех
отношениях той же симметрией, что и состояния (5) и (7), естест-
венно считать, что отличие состояния (6) от состояния (5) и (7)
состоит только в ориентации полного спина: его проекция на ось
в состоянии (6) равна нулю. Итак, три состояния (5), (6) и (7)
образуют одну группу, характеризуемую полным спиновым кванто-
вым числом s = 1; это — триплетное состояние.
Что касается состояния (4), то для него остаётся только одна
возможность: его полное квантовое число спина s — Sj -f- s2 должно
равняться нулю; состояние (4) — сингулетноо.
Пойдём теперь дальше и рассмотрим конкретно различные
возможные состояния двух электронов гелия. Пусть оба эти
электрона будут электронами 1s; это значит, что три квантовых
числа п, I, т1 у них одинаковые (n=l, I = 0, mz = 0). Состояние
атома будет принадлежать к типу S, так как
L — Zj +12 = 0,
§ 216]
СИНГУЛЕТНЫЕ И ТРИПЛЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ГЕЛИЯ
243
но триплетное б'-состояние невозможно; наши функции (5) — (7)
обнаруживают это автоматически: при i = k множители в пер-
вых скобках у функций (5), (6), (7) равны нулю, и сами функ-
ции поэтому равны нулю. Причина исключения триплетного со-
стояния здесь легко может быть объяснена и наглядно. Это со-
стояние противоречит принципу Паули: поскольку три кванто-
вых числа у обоих электронов одинаковы, должны различаться
1 1
четвёртые квантовые числа, т. е. если лг(Э— , то п№ = —— ,
пли наоборот. В том и другом случаях полное квантовое число
спина ость пуль; состояние сингулетное (мы можем его обозна-
чить символом Isls1^). Опыт вполне подтверждает это. В самом
деле, так как в состоянии 16'0 полный механический (орбиталь-
ный плюс спиновый) момент равен нулю, то равен нулю и маг-
нитный момент: атом гелия в нормальном состоянии должен быть
диама! питным и не обнаруживать зеемановского расщепления.
Это подтверждается на опыте.
Пусть теперь один из электронов находится в состоянии 1s,
а другой — в состоянии 2s. У таких электронов различаются
1лавпые квантовые числа, но квантовые числа I и т1 попреж-
лому одинаковы и равны нулю. Обратимся к волновым функциям
(4)	(7). Так как i #= к, то отличны от нуля все четыре функции,
т. о. осуществляется и сингулетное состояние, и триплетное.
Сингулетное состояние есть Is ^s1^, но в триплетном состоянии
полное квантовое число спина равно 1. С точки зренпя нагляд-
j ой формулировки принципа Паули возможность осуществления
триплетного состояния, т. е. возможность совпадения кванто-
вых чисел проекции спина, обусловлена тем, что главные кванто-
вые числа у электронов различны, так что одно из четырёх
квантовых чисел у обоих электронов заведомо отлично. Итак,
комбинации электронов Is2s соответствуют два состояния ls2s1*S'o.
и Is2s3x5’j. Триплетное состояние 3St существенно отличается
от еппгулетного не только своей энергией, но также и тем,
что в триплетном состоянии атом гелия парамагнитен и обна-
руживает зеемановское расщепление.
Несколько иначе обстоит дело в случае комбинации 1s 2р.
Здесь также i к, и потому, как и раньше, все четыре функ-
ции отличны от пуля. Кроме того, орбитальный момент не ра-
вен нулю, так как электрону 2р соответствует Z=l. Поэтому
атом будет находиться в /^-состоянии. Из четырёх функций (1) —(4)
функция (1) соответствует S — 0 и даёт начало сингулетному
состоянию а для трёх остальных S — 1 и msz= +1, 0,-1.
Поскольку теперь не равный нулю орбитальный момент вы-
деляет преимущественное направление в пространстве, три со-
стояния 3Р0, 3PY и 3Р2 энергетически различны. Аналогичные
рассуждения, очевидно, применимы для любой комбинации
244
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
состояний электронов ls3/?, и т. д. Во всех случаях
появляются две группы термов — простой терм и тройной (три-
плетный). Тем самым существование двух систем термов
объяснено.
Состояния, в которых спины параллельны, называются
ортосостояниями, а состояния с антипараллельными спинами
—парасостояниями. Таким образом, триплетное состояние есть
ортосостояпио (ортогелий), а сингулетное—парасостояние (парге-
лий). Мы видели, однако, что в триплетном состоянии коорди-
натная часть собственной функции антисимметрична, а в спнгу-
летном—симметрична. Ноэтомр и выражении энергии взаимодей-
ствия
(С;) = <ДС + Л),	(216,2)
обменный член входит со знаком минус в ортосостоянпп и со
знаком плюс —• в парасостоянии, откуда следует, что ортосостоя-
нпя лежат ниже.
Рассмотрим теперь вопрос о вероятности переходов между
триплетными и сингулетными уровнями. В § 193 мы видели,
что вероятность перехода между состояниями Ьпг и зависит от
матричных элементов х!П11, утп, zmn, имеющих вид
Хтп —— х |т cl i.
Эти матричные элементы представляют собой квантовомеханп-
ческио аналоги дипольного момента.
Для системы двух частиц матричный элемент есть
х,пп = (Жх + я2)	% dr,	dz.2,
так как электрический момент системы частиц равен сумме элек-
трических моментов отдельных частиц.
Пусть одно из комбинирующихся состояний — сингулетное,
£1 другое — триплетное. Рассматривая формулы (4)—-(7) на
стр. 242, мы убеждаемся в том, что часть собственной функ-
ции, зависящая только от координат положения, для сингу-
летного состояния симметрична, а для триплетного — антисиммет-
рична. Поэтому в данном случае
Хтп =	(^1 + US ИЛ d~.
Очевидно, что при перестановке электронов величина интегра-
ла не должна измениться, так как перестановка равносильна
простой перемене порядка интегрирования. С другой стороны,
при перестановке электронов произведение ид меняет знак,
§ 217] СПЕКТРЫ АТОМОВ ВТОРОЙ ГРУППЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 245
так как функция us симметрична, а ид.— антисимметрична.
Оба требования могут быть удовлетворены только в том случае,
когда интеграл равен нулю. Аналогично можно показать, что
и матричные элементы утп и zmn равны нулю, а следовательно,
равна нулю и вероятность перехода между сингулетиыми и три-
плетными состояниями. Тем самым существование двух замкну-
тых систем серий объясняется вполне.
В заключение нужно еще указать причину, вследствие ко-
торой запрет комбинаций сингулет — триплет (так называемый
«запрет пптсркомбинаций») допускает исключения. В качестве
такого исключения можно указать слабую лилию гелия 591,6 А,
возникающую при переходе 3/)1 —150; в спектрах элементов
вто| oii группы менделеевской системы также имеются подобные
пптеркомбинационные линии 37\— 350, причём у этих элемен-
тов они не только пе слабы, но очень интенсивны.
Возможность нарушения установленного выше запрета
пптеркомбинаций может быть объяснена, если при вычислении
вероятности переходов учитывать не только координатные
собственные функции, как это мы делали выше, но п спиновые.
Развитые выше соображения строго применимы (для дипольно-
го излучения) только в том случае, если взаимодействием
между орбитальным и спиновым моментами можно пренебречь.
'Только при этом условии полная собственная функция, зави-
сящая от трёх координат положения и «координаты» спина,
может быть представлена в виде произведения координатной
функции па спиновую, а потому обращение в пуль вероятно-
сти перехода, рассчитанной с одними только координатными
функциями, ведёт к строгому запрету интеркомбинаций.
Но уже у гелия имеется слабое взаимодействие между
спиновым и орбитальным моментами. Это взаимодействие воз-
растает по мере увеличения числа электронов в атоме. Поэтому
вычисление вероятностей перехода с одними координатными
собственными функциями не даёт в этих случаях правил отбо-
ра, действующих абсолютно строго.
§ 217. Спектры атомов второй группы периодической системы
Обратимся теперь к атомам второй группы периодической
системы элементов. К их числу относятся щёлочно-земельные
металлы
4Ве, 12Mg, 20Са, 38Sr, 56Ва, 88Ra,
а также
30Zn, 48Cd, 80Hg.
В качестве примера на рис. 259 приведён обзор важнейших се-
рий и схема уровней энергии нейтрального магния. Мы видим
246
АТОМЫ (’О МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
i

/
(1
ч
гл
/jUL
1’нс. 259. Схема уровней энергии и обзор нажшч'инлх серин
нейтрального магния.
§ 217] СПЕКТРЫ АТОМОВ ВТОРОЙ ГРУППЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 247
здесь ту же картину, что и в случае гелия: имеются две системы
уровней, сивгулетпые и триплетные. Комбинации их дают, вр-
первых, серии сингулетных линий: главную 1Р1~ (Х — 2852А,
2025 А и т. д.); вторую побочную (резкую)1*^— 1Р1 (X = 11828 А,
5711 А и т. д.); первую побочную (диффузную) 1D2— (X — 8806 А,
5528 А и т. д.). Аналогичные серии имеются и в системе трипле-
тов: главная — 3^i (Х = 15023А, 15032 А и т. д.); вторая
побочная 3^\ — 3Р2, i,o (X == 5183 А, 5172А и т. д.); первая побоч-
ная (диффузная) 3Лз,2,1 — 3^2,1,о (Х = 3838А, 3832 А и т. д.).
В качестве исключения из правила запрета интеркомбинаций
имеется синяя линия Х = 4571,15 А, возникающая при переходе
3Рг— 1S0. Эта линия замечательна тем, что для её возбуждения
требуется наименьшая энергия — 2,7 eV. При освещении паров
магния монохроматическим светом с длиной волны 4571,15 А
атом поглощает этот свет, переходя из нормального состояния
в возбуждённое 3Р3 и при возвращении в нормальное состояние
вновь испускает эту же длину волны. Линия 4571,15 А является,
таким образом, резонансной. В случае магния (и других двух-
валентных атомов) имеется, однако, и вторая резонансная линия
2852,11А (ультрафиолетовая), возникающая в системе сингулетов
при переходе 1Pi — Нелишне отметить здесь, что из трёх
близких интеркомбинационных переходов 3Р2 — 3Pi_ —
3P0'—1S0 осуществляется только один —3Z\ — Равным образом
не осуществляются переходы 351 —1<5'0. Причина этого будет
объяснена ниже. Аналогичный характер имеют спектры других
атомов второй группы. На рис. 260 приведено несколько приме-
ров триплетов их спектров.
Для объяснения спектров атомов с двумя валентными
электронами целесообразно пользоваться векторной моделью,
аналогичной той, которая была введена для случая одновалентных
атомов первой группы (щелочные металлы). В случае атомов
второй группы Z — 2 электронов образуют оболочку благородного
газа [у бериллия (Z = 4) это —оболочка гелия, у магния (Z = 12) —
оболочка неона и т. д.]. Полный момент такой оболочки, как
нто следует из целого ряда свойств благородных газов, равен
нулю*). Поэтому спектральные свойства атомов второй группы
обусловлены наличием последних двух валентных электронов.
Векторная модель для атомов с двумя валентными электронами
состоит из четырёх векторов: двух орбитальных моментов и 12
и двух моментов спина St и s2. В отсутствии внешнего поля или
в слабом магнитном поле все эти четыре вектора между собой
*) В случае гелия это пепосредственно вытекает из уже известной
нам его структуры: в основном состоянии оба электрона находятся в состоя'
нии 1s, а их проекции спинов аптипараллельны.
248
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
комбинируются, давая вектор полного момента количества движе-
ния атома J, постоянный по величине и направлению. Здесь,
однако, нужно ещё решить вопрос о том, в каком порядке комби-
нируются между собой векторы орбитального и спинового моментов:
комбинируются ли сначала векторы 1 и s для каждого электрона
и уже во вторую очередь получающиеся векторы jx и j2 склады-
кальций
&G3 тг
кальций. Z-u резкий
ПИ !
1-й резкий
3998 3,957	3973
маЛьций 3-ирезкий
МДМЦ1
ЗФ>8 3779	3987
Кальций	2-й диффузный
। ....ш
српрмций
1-йрезкий
7070
7-йрезкий лгаений 2-йдиффузный
! RIII
i~~b-U
Ш6773 89	382332 $6<
RTS? Ш8
Ю ~ ! 11 'I' Д [
7-й резкий




Рис. 260. Примеры триплетов резкой и диффузной серий.
ваются, давая вектор J, пли, наоборот, раньше складываются
векторы s и 1 для различных электронов, а затем полученные
векторы S и L суммируются в вектор J. Очевидно, что порядок
суммирования есть вопрос величины энергии связи — вопрос о том,
какая связь прочное: связь спинов разных электронов между
собой и орбитальных моментов между собой пли связь спин —
орбита для каждого электрона. Оба варианта векторной модели
§ 217] СПЕКТРЫ АТОМОВ ВТОРОЙ ГРУППЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 249*
приведены парис. 261. Оба они дают одинаковое число возможных
состояний, но самые состояния будут различными, и только
сравнение с результатами анализа изученных спектров может
дать ответ на этот вопрос. Такой анализ, выполненный па боль-
шом экспериментальном материале, показал, что вообще спектры
всех сложных атомов обнаруживают в большинстве случаев связь-
спин— спин, а не спин — орбита. Поэтому первый тип связи назы-
вают обычно нормальной связью.
Рис. 261. Два типа связи: нормальная связь Is
и связь //.
Рассмотрим сначала сложение
векторов It
п 12 •
Численные
значения этих векторов
равны соответственно

Сложение их производится по правилу параллелограмма, но так
как вектор-сумма L есть также квантовый вектор импульса,
то комбинирование векторов 1г и 12 возможно только под такими
углами, чтобы получаемый в результате сложения вектор L
был равен
|L I = |/Ь(Ь+ 1)Д ,
причём при > /2
Л — h Z2, Zx Д- Z2 — 1,

(217.1)
250
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
| гл. XVI
Рассмотрим пример. Пусть — 3, Z2 = 2, т. е.
Ihl-KiaA. ||2|:=губА,
Согласно (217,1) возможные значения L будут
L = 5, 4, 3, 2, 1,
так что
|L| = pz3()~, 1^20 у-,	/ 6 .- , /2;у-.
1 1 Г X7t '	2 71	'	2'^ г 2.71 Г
Слсдующ!hl простои графический приём позволяет сразу из-
лучить все эти значения. Отложим па обеих осях координат
Рис. 262. Сложение орбитальных
импульсов.
возможные значения орбиталь-
h
но го импульса в единицах ,
т. е. /2, j/'б, .. ., и прове-
дём из начала координат дуги
кругов этими радиусами (рис.
262). Для того чтобы теперь
получить все возможные век-
торы— суммы 1х, и 12 в нашем
примере, — опишем из точки
оси ординат j/12 полуокруж-
ность радиусом ]/б. Радиусы-
векторы, проведённые из начала
координат к точкам пересечения
этой полуокружности с заранее
проведённой системой дуг, и
представят все возможные в дан-
ном случае векторы суммы 1Х + 12.
При сложении векторов спина sx и s2
I S11 - I s21 = ]/
мы также получаем вектор-сумму S
| SI = К5(У‘ГТ) А,
причём, однако, для значений S имеется только две возможности

т. е.
| S । = ]/2 или 0.
§ 217] СПЕКТРЫ АТОМОВ ВТОРОЙ ГРУППЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 251
Наконец, сложение L и S даёт полный момент импульса
атома J, величина которого определяется по формуле
| JI = /7(7'7Т) А,
причём, так же как и в случае сложения 1х и 12, квантовое
число J принимает следующие значения:
7- L + 5, L + 5-i, ..., L-S.
Так как в случае двух электронов S имеет только два значения
S — 0 и л it 1,
то для каждого L возможные значения J будут
J — L пли 7-L + i, L, L—1.
Если оба электрона находятся в s-состоянии (Z4 == Z2 = 0) с од-
ним и тем же главным квантовым числом (например, 2?2s в случае
бериллия, 3s-3s‘ в случае магния и т. д.), то единственным возмож-
ным значением S будет 0, так как вследствие принципа Паули
такие электроны должны обязательно иметь антипара л дельные
проекции спинов. Поэтому единственно возможным значением J
будет также пуль. Мы получаем, таким образом, только один
простой (сипгулстпып) терм Возьмём теперь какую-нибудь
другую комбинацию, например З.чЗу» (для магния, см. рпс. 259).
Здесь Zx = 0, Z2 — 1, поэтому L имеет только одно значение L — 1,
a S попрежнему— два значения 0 и 1. Поэтому для J возможны
значения
J = 2, J, 0.
Соответствующие термы будут
3Л, 3/\, 3А>-
Большее разнообразие термов даёт комбинация р (Zx = .1) и d — 2)
электронов. В этом случае возможные значения L и соответствую-
щие термы будут
7-3, 2, 1,
терм: F, D, Р.
Для каждого из термов возможны две группы значений 7:
а) 7 = L (S = 0) — спнгулетпые термы; Ь) 7 = А-+-1, L, 7—1
(5-• 1) — триплетные термы. Все получающиеся термы сведены
в таблице XXX.
Векторная модель позволяет обосновать замечательное по своей
простоте правило интервалов в триплетных спектрах. В последнем
из разобранных примеров мы получили следующие группы термов:
^о, 3Л, 3Л; 3Л, 3Д, 3А; 3^> 3f3, 3f4.
252
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
Таблица XXX
Сингулеты (S — 0)				Триплеты (S = 1)				
J	1	2	3	0	1	!	2	|	3			А
L-- 1 L 2 L — 3	^1	1Л2		3Ро	^1	Ч).	3Л3 3^3	’Р.
Если вычислить разности между соседними термами, т. е. интер-
валы расщепления, то они оказываются такими:
зЛ_з/э2 ’ =’А-3^з	’ 3Ез-3Е1
В следующей таблице приведено несколько примеров, иллю-
стрирующих это правило.
Таблица XXXI
Теоретич ее кое от н он юн не интервалов 2 : 1				Теоретическое отношение интервалов 3:2		
Элемент, конфи- гурация	3Л)-3Л	Ч\—*Р2	Наблю- дён, отноше- ние	Элемент, конфи- гурация	3L)y~3D.	j Наблю- 3/Л—3D.J n деп- отпоиш- 1 ине 1
Са 3</ 3d Са З.ч Ар Sr 5,s Зр Mg 3.s Зр Zn As Ар	13,5 52,3 187.0 20,0 190	26,9 105,9 394, 6 40,9 389,0	2,0 2,0 2, 1 2,0 2,0	Са 3d 4 s С а 3d Ар Zn As Ad Cd 5s 5d Cd As Ad	13,6 26,7 3,4 11,7 3,8	21.7	'	1,6 40,0	i	1,5 4,6	1	1.1 18,2	|	1.6 .5,6	।	1,5
По поводу обоснования этого замечательного правила следует
обратиться к специальным руководствам по теоретической спектро-
скопии *).
§ 218. Некоторые закономерности в сложных спектрах
Векторная модель дозволяет с поразительной точностью предска-
зывать тончайшие особенности спектров сложных атомов. В частно-
сти, находят себе полное объяснение сложные картины расщеилс-
*) См. С. Э. Ф р и ш, Спектроскопическое определение ядерных момен-
тов, Гостехиздат, 1948; Г. Герцберг, Атомные спектры п строение атома,
стр. 198. ИЛ, 1948.
§ 218] НЕКОТОРЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ В СЛОЖНЫХ СПЕКТРАХ 253
ния линии в слабых и сильных магнитных полях (эффект Зеемана
п эффект Пашена — Бака). Мы здесь не имеем возможности
останавливаться на деталях и приведём- для иллюстрации только
некоторые простые закономерности, наблюдаемые в сложных
спектрах:
1. Правило смещения. Это правило состоит в следующем:
спектр и уровни энергии атома с атомным номером Z аналогичны
спектру и уровням энергии однократно ионизованного атома
с атомным номером Z-j-l. С примерами этой закономерности
мы уже встречались неоднократно. Вспомним, что спектры
II и 11е+, Не п Li+ и т. д. совершенно аналогичны. Это правило
справедливо и для спектров сложных атомов.
2. Правило чередования мулыпиплетностей формулируется так:
спектральные, термы последовательных элементов периодической
системы имеют попеременно чётную и нечётную мулыпиплет-
ностъ. Мы уже зттаем, что щелочные металлы (I группа перио-
дической системы) имеют дублетные термы, а щёлочно-земельиыс
металлы (II группа периодической системы) — сингулетные и три-
плетные. Это—один из примеров весьма общего правила, которое
непосредственно вытекает из векторной схемы.
Векторная модель для нескольких электронов строится сле-
дующим образом. Пусть в атоме имеется п электронов. Каждый
из них обладает орбитальным моментом 1 и моментом спина s.
В случае нормальной связи орбитальные и спиновые моменты
суммпруютс я отдели но
L=21i>
и сумма L и S даёт полный момент атома J:
J = L4-S.
При суммировании Ц и si соблюдаются правила квантования,
с которыми мы встретились при суммировании двух моментов.
В частности, квантовое число полного спина 5 будет целым или
полуцелым в зависимости от того, чётное или нечётное число
о i
электронов: в случае одного электрона о = у-; Дли ДПУХ электро-
с n	1	•• с 1 , 1 , 1	3	1	1 ,
нов о = 0 плн 1; для трех — о -= — -|- —	= у пли у—
11
+	для четырёх —5 = 0, 1 плн 2 и т. д. Полный момент J
есть
|Ji=|/7(7TT)A,
причём
J = L + S; L+S-l,
| L - 51.
254	АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ	[гл. XVI
Очевидно, что если L>S, то число возможных значений J равно
2.51 4-1. Таким образом, в случае трёх электронов получается две
с 1 .. т
системы термов: для S — число возможных значении J,
т. е. мультиплетность терма, равно двум; для 5=	25 4-1 — 4Г
т. е. мультиплетность равна четырём (квартетные термы). В слу-
чае четырёх электронов 5 = 0, 1, 2; соответственно
J — L — сиигулеты,
J = L + 1, L, L— 1 — триплеты,
/=L-f-2, L+l, L, L — i, L— 2 — квинтеты.
Мы видим, что для последовательно возрастающего числа элек-
тронов действительно происходит чередование чётных и нечётных
Рис. 2()3. Примеры к правилу чередования мультнплстпостсй.
мультиплетное теп. Опыт совершенно точно подтверждает это пред-
сказание. Так, например, у элементов первого длинного периода
периодической системы (18 элементов от 19 К до 36 Кг) наблю-
дается следующее чередование мультиплет г гостей:
1!) К	20 Са	21 Sc	22 Ti	23 V
	сиигулеты |		сиигулеты	
дублеты	I	дублеты	триплеты	дублеты
	триплеты j 1	квартеты	квинтеты	квартеты
	) 1			секстеты
§219]	МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АТОМОВ	255
У следующего за ванадием элемента 24 Сг наблюдаются все нечёт-
ные мультиплеты, за исключением сингулстов (т. е. наблюдаются
триплеты, квинтеты и септеты) и т. д. На рис. 263 приведены
примеры указанных в таблице мультиплетов, причём отмечены
только наиболее яркие линии каждого мультиплета.
§ 219. Магнитные свойства атомов
Наличие механического и связанного с ним магнитного момента
атомов обнаруживается не только спектроскопически, но и в маг-
нитных свойствах атомов. Очевидно, прежде всего, что если / = О,
то равен нулю и магнитный момент, и атом является диамагнит-
ным; наоборот, при j 0 он обладает парамагнитными свойствами.
Классическая теория парамагнетизма была развита Ланжевеном
ещё в начале XX столетия. Согласно этой теории атомам пара-
магнитного вещества приписывался определённый магнитный
дипольный момент. Внешнее магнитное поле ориентирует эти эле-
ментарные диполи, но тепловое движение расстраивает эту ориен-
тацию. Макроскопические парамагнитные свойства определяются,
таким образом, статистическим равновесием между обоими этими
факторами. Применяя классическую статистику, Ланжсвсн вычи-
слил парамагнитные константы вещества; при этом, в соответствии
с классическими представлениями, он считал любые углы ориен-
тации магнитных диполей относительно направления внешнего поля
равновероятными *). Для парамагнитной восприимчивости, отне-
сённой к одному молю вещества, получается, таким образом,
7.м=~,	(219,1)
где 71 — абсолютная температура, а с —так называемая постоян-
ная Кюри, которая выражается, но Ланжевену, следующим обра-
зом :
(R — универсальная газовая постоянная, N — постоянная Авогадро,
р. — магнитный момент элементарного диполя). Множитель Уз полу-
чается в результате усреднения но всем возможным ориентациям
диполей в предположении, что все эти ориентации равновероятны.
В квантовой теории это допущение нс может быть сохранено,
гак как вследствие пространственного квантования возможны
*) Изложение теории Лапжевепа см., например, в книге: Р. Беккер,
Электроники теория, стр. 160 и след., Гостехиздат, 194'1, или в статье
С. В. В о и с о и с. к о г о «Современное учение о магнетизме» в журнале
Успехи фимчееких наук, т. XXXVI, вып. 1, 1948.
256	АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ	[гл. XVI
не любые ориентации, но только те, для которых магнитное кван-
товое число атома принимает дискретные значения
т = Л (7—!)» -•>
Если произвести усреднение по этим дискретным ориентациям *),
то вместо V3 получается
7 (/' +1) _ 7 + 1
З/2	3/ ’
а потому несколько меняется и выражение постоянной Кюри:
вместо (219,2) получается
Магнитный момент атома, как мы видели в § 209, выражается
через магнетон Бора Мо:
или приближённо (для достаточно больших /) **)
Г- = ^’М0,	(219,4)
что даёт для постоянной Кюри
(219,5)
Для того чтобы по этой формуле вычислять постоянную Кюри,
необходимо, таким образом, знать j. Если / не известно, то для
проверки формулы (219,5) по известной из опыта постоянной
Кюри с вычисляют g Y] ' + 1), т. с. магнитный момент атома
в магнетонах Бора
/ (/+ = = С
(Мв — магнетон Бора для одного моля = 5585 эрг* гаусс • молъ~г).
Подставляя численные значения, получаем
g /ЛГИ) = Р8’^10’-3 рс = 2,83 /ё .	(219,6)
Гунд, которому принадлежит формула (219,6) сравнил её с опыт-
ными данными для трижды ионпзованных атомов редких земель
*) См. Р. Беккер, Электронная теория, стр. 161 —162, Гостехиз-
дат, 1941.
**) Излагаемые соображения вообще упрощены, и не учитывают квап-
товомехапических особенностей момента импульса. Точная формула слож-
нее, но пе содержит ничего принципиально нового.
§ 220]	СПЕКТРЫ ИЗОЭЛЕКТРОННЫХ ПОПОВ	257
и для ионов группы железа. Причина, вследствие которой удобно
было взять именно трижды ионизованные атомы редких земель,
ясна из теории периодической системы. У атомов редких земель
спектроскопические и магнитные свойства обусловлены внутрен-
ними 4/-электронами, при этом у трижды ионизованных ионов
внешняя оболочка замкнута и весь магнитный момент обусловлен
только ^/-электронами *).
Рис. 264. Парамагнетизм редких земель.
Совпадение с опытом для ионов редких земель получилось
очень хорошее, как видно из рпс. 264, где сплошной линией
показан ход магнитного момента, вычисленный по формуле (219,6),
а пунктиром — кривая, построенная по экспериментальным данным.
В случае ионов группы железа совпадение мало удовлетворитель-
ное, что, вероятно, объясняется сложностью их мультиплетной
структуры.
§ 220. Спектры изоэлектропных ионов
Мы теперь теоретически вполне подготовлены к ознакомлению
с одним из важнейших итогов теорип строения атома — с теорией
периодической системы элементов Д. И. Менделеева. Однако
в порядке подготовки эмпирического материала нам ещё необхо-
димо рассмотреть некоторые особенности спектров так называемых
«изоэлект ровных ионов». Изоэлектронными называются ионы,
содержащие в оболочке одинаковое число электронов. Рассмотрим,
например, ряд электронов, начинающийся литием: 3Li, 4Ве, 5В,
*) Читателю рекомендуется после прочтения § 222 вернуться к втому
пункту.
является изоэлектронным.
подобных изоэлектропных
Рис. 265. Дублеты главной
серии для изоэлектропиого
ряда KI, Call, Sc III, Ti IV,
V V.
258	АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ	[гл. XVI
6G, ... Литий имеет 3 электрона, бериллий — 4, бор — 5, угле-
род—6. Поэтому, если мы возьмём ряд, начинающийся нейтраль-
ным литием и продолжающийся ионами Ве+, В++, С+++, ..., то
все эти ионы будут иметь то же число электронов, что и литий,
т. е. 3. В спектроскопии принято обозначать нейтральные атомы,
присоединяя к их символу римскую цифру I, однократно ионизо-
ванные— римской цифрой II и т. д. Итак, ряд
Li I, Be II, В III, G IV, ...
кспериментальное изучение спектров
[дов осложняется трудностью получе-
ния высокоионизованных атомов. Эти
затруднения были преодолены Мил-
ликэном и Боуэном, которые вос-
пользовались методом «горячих искр»,
т. е. искр в высоком вакууме.
Наиболее интересная особенность
спектров изоэлоктрониых атомов и
ионов заключается в том, что спек-
тры эти имеют совершенно аналогич-
ную структуру. Па рис. 265 приве-
дены фотографии первых членов глав-
ной серии для пзоэлектроппого ряда
с 19 электронами:
К I, Са II, Sc III, Ti IV, V V.
Как видно, у всех атомов эти линии
являются дублетами, тогда как, на-
пример, у нейтрального кальция
встречаются только сингулетпые или
триплетные линии.
Для нас особенно важны резуль-
таты, которые были получены при
сравнении одинаковых термов для
различных изоэлектропных атомов.
Эти термы, вообще говоря, по водороде подобны. Их можно, ко-
нечно, представить формулой Ридберга
гр _
(/г + g)2 ’
где £эфф —эффективный заряд остова, т. с. для нейтрального ато-
ма 20фф—1, для однократно ионизованного иона ZMp(p = 2 и т. д.
Но, как уже было указано в § 2С6, поправку можно вносить
не в главное квантовое число п, но в заряд ядра Z. Так именно
§ 220]
СПЕКТРЫ ИЗОЭЛЕКТРОННЫХ ионов
259
мы постукали в § 206 и ещё раньше, при описании спектров
рентгеновских лучей, в т. I, § 37. Например, частоту линии Ко
для различных элементов мы писали в виде
где Z —истинный заряд ядра. Отсюда следует, что термы К
имеют вид
_R(Z-1)2
л п2
Аналогично, термы L представляются формулой
A(Z-7.4)2
1 11 '	7(2
Мы
основу
видим, что при этом способе представления
берётся формула бальмеровых термов
термов за
RZ2
и2
Т
и вносится поправка в заряд
ядра Z, в то время как в фор-
муле Ридберга поправка вно-
сится в главное квантовое чи-
сло п. Очевидно, что поправка
в рентгеновских термах пред-
ставляет собой «константу экра-
нирования»: она указывает, в
какой мере для излучающего
электрона заряд ядра компен-
сируется остальными электрона-
ми. Обозначая поправку через 3,
напишем формулу рентгеновских
термов в виде
Рис. 266. Диаграмма Мозоли для
изоэлектроппого ряда К I, Са II и т. д.
По это -хорошо известный закон Мозели (т. I, § 37), согласно
которому между ]/? и Z имеет место линейная связь. Отклады-
вая на оси ординат	вместо j/V, а на оси абсцисс Z,
мы получим прямую с тангенсом угла наклона к оси х, рав-
ным Х/п.
Милликэп и Боуэн вычислили термы изоэлсктронных рядов
по формуле Мозели. На рис. 266 приведены диаграммы Мозоли
260	АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ	[гл. XVI
для изоэлектронного ряда, начинающегося с К I. Как видно, во всех
случаях для термов с одинаковым главным квантовым число.м
получаются почти точно прямые, идущие параллельно прямой
с угловым коэффициентом \/п. Очень важно для последующего, что
прямая для терма З2/) пересекает прямую 426” между Z — 20
и Z = 21, так что у KI терм З2/) лежит ниже терма 425.
В таблице XXXII приведены величины постоянной экраниро-
вания о для различных термов, вычисленные из эмпирических
данных для ряда К I, Call, атомы которого имеют по 19
электронов. Как и следовало ожидать, для термов D и F экрани-
рующее действие 18 электронов проявляется почтп полностью,
тогда как для термов S величина о лежит между 17,7 и 15,6.
Таблица XXXII
Терм	К I	Call	Sc III	TilV	VV
3W	17,95	17,40	16,95	16,65	16,43
- А	16,74	16,26	15,96	15,74	15,58
42/)	17,95	17,61	17,43	17,29	17,18
42Е	18,00	17,99	17,97	17,94	17,91
§ 221. Теория периодической системы Д. И. Менделеева
Обратимся теперь к рассмотрению теории периодической
системы и начнём с краткой формулировки тех принципов,
на которых эта теория основана.
1) Квантовые числа. Энергетическое состояние электрона
в атоме по предыдущему характеризуется четырьмя квантовыми
числами. Мы знаем, однако, что в системе, состоящей из ядра
и электронов, взаимодействующих по закопу Кулона, в отсут-
ствии поля все состояния с одинаковыми квантовыми числа-
ми п, I, j и различными т между собой совпадают (вырожде-
ние). Это вырождение исчезает в магнитном поло, причё.м в сла-
бом поло каждый уровень с данным значением / распадается
на 2/ 4-1 подуровней (§ 209). Сильное же поле разрывает связь
между векторами 1 и s (§ 210), так что квантовое число j теряет
смысл, и состояние характеризуется системой квантовых чи-
сел п, I, ml, ms. Для того чтобы учесть все возможные состоя-
ния, мы будем предполагать, что атом находится в магнитном
поле и притом настолько сильном, что оно способно разорвать
не только связи между моментами Zf и st каждого отдельного
электрона, но и связи между векторами sf и различных элек-
§ 221]
ТЕОРИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА
261
тронов. Поэтому мы будем пользоваться системой квантовых
чисел п, I, mly ms.
2) Принцип Паули и идеальная система элементов. Этот
принцип, теоретические основы которого изложены в §§ 214
и 215, мы формулируем для интересующего нас здесь случая
следующим образом: в атоме может существовать только один
электрон в состоянии, характеризуемом данными значениями
четырёх квантовых чисел, т. е. два электрона, связанные
в одном и том же атоме, должны различаться значениями по край-
ней мере одного квантового числа.
Мы сейчас увидим, что принцип Паули жёстко ограничивает
число электронов, связанных в одном и том же атоме и обла-
дающих тремя, двумя одинаковыми квантовыми числами или
одним определённым квантовым числом. Установим прежде
всего, сколько может быть в атоме электронов с тремя одина-
ковыми квантовыми числами п, I, тг. Такие электроны должны
иметь различные значения четвёртого квантового числа т3,
но ms может иметь только два значения + У2 и —х/2- Итак,
в атоме может быть только два электрона с одинаковыми тремя
квантовыми числами п, I, mt. Пусть теперь фиксировано два
квантовых числа п и Z; сколько может быть в одном и том же
атоме электронов с одинаковыми значениями этих квантовых
чисел? При данном значении I квантовое число тг может
иметь 214-1 различных значений (§ 181), а для каждой тройки
квантовых чисел п, I, тг ещё ms может иметь два различных
значения. Итак, в атоме может одновременно быть 2 (2Z 4- ^элек-
тронов с одинаковыми двумя квантовыми числами п и Z, т. е.
s-электронов (Z = 0) может быть только 2, р-элсктропов (Z = 1) — 6,
cZ-электронов (Z = 2) — 10 и т. д.
Посмотрим, наконец, сколько может быть в атоме электро-
нов, имеющих одно и то же главное квантовое число п. При
заданном значении п электроны могут прежде всего различаться
квантовым числом Z, принимающим всего п значений:
О, 1, 2, ..., п — 1, а при заданном п и Z в атоме может одно-
временно быть связано 2 (21 +• 1) электронов. Итак, максималь-
ное число электронов с одинаковым главным квантовым числом
выразится суммой
S12(2Z +1) = 2 (14-3 + 5+ .. .)-2/?А
1 = 0
Мы видим, таким образом, что несколько таинственная
пи первый взгляд формула 2п2, выражающая число элементов
в различных рядах периодической системы, имеет чрезвы-
чайно простое объяснение: это — просто максимальное число-
влоктропов, связанных в атоме с одним и тем же главным
квантовым числом. Таких электронов может быть в атоме 2
262
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
для главного квантового числа л---1, S-— для л = 2, 18 — для
п — 3 и т. д.
Для того чтобы лучше уяснить себе это, полезно разобрать
следующую таблицу:
Таблица ХХХШ
71		0 к	1 Р	2 d	/	g	Максималь- ное число электронов
1		2					2
		2	+ б				8
		2	-|- ()	+ 10			18
		2	+ б	+ 10	4- 1/.		32
		2	4- б	+ 10	4	14	4-	18	50
Совокупность электронов, обладающих одинаковым главным
квантовым числом, образует слой пли оболочку. Совокупность
электронов, имеющих одинаковые I, образует подгруппу. Для
различных значений п слои имеют названия, связанные с тер-
минологией, принятой в спектроскопии рентгеновских лучей
(см. т. I, § 36), а именно,
п .............12	3 4	5
слов............К	L М xV О
Из сказанного видно, что принцип Паули даёт следующую
картину построения электронной оболочки атомов, объясняю-
щую периодичность системы элементов. Каждый вновь присоеди-
няющийся электрон связывается в состоянии с наименьшими воз-
можными квантовыми числами. Эти электроны постепенно запол-
няют оболочку с одним и тем же главным квантовым числом п.
Когда число их достигает максимальной для данного п величины,
т. е. 2п2, построение оболочки заканчивается, причём получается
устойчивая структура (благородный газ). Следующий электрон
начинает заполнение уже новой оболочки и т. д. Идеальная
периодическая система по пршщипу Паули должна была бы
иметь строение и длины периодов, указанные в таблице ХХХШ.
С этой, идеальной структурой системы элементов мы сравним
реальную таблицу, представленную на рис. 267 в наиболее удоб-
ной для наших целей форме: каждый ряд слева начинается,
щелочным металлом и заканчивается справа благородным газом;
аналогичные элементы соединены чёрточками. Число элементов
в строчках,—2, 8, 8, 18, 18, 32, — соответствует формуле 2п2,
по последовательность этих чисел не согласуется с рассмотренной
sj 222] СТРОЕНИЕ ПЕРИОДОВ СИСТЕМЫ ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА 263
идеальной таблицей, согласно
ках должны бы быть 2, 8,
которой числа элементов в стро-
18, 32 — без ноет о пений 8 и 18.
н не
3 Ч 5 Ь 7 в 9 Ю
/,/ Be В С Н О F Не
6.
Рпс. 267. Периодическая система элементов
§ 222. Строение отдельных периодов системы элементов
Д. И. Менделеева
Причина несоответствия между идеальной и реальной табли-
цами элементов заключается в том, что в основе первой лежат
чрезмерно идеализированные предпосылки. Предполагается, что
каждый электрон находится в центральном поло и между
264
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
различными электронами отсутствует взаимодействие, тогда как
в действительности ни то, ни другое в точности, вообще говоря,
не осуществляется. Мы проследим в этом параграфе построение
реальной периодической системы и установим, в каких именно
местах нарушается идеальный порядок заполнения слоёв и под-
групп и к каким следствиям это ведёт.
Начнём с «голого» ядра с зарядом + е и будем мысленно
приближать к нему электрон. Он должен занять состояние
с наименьшими квантовыми числами, а так как ещё все состоя-
ния «свободны», то первый электрон будет связан с главным
квантовым числом п=1 и азимутальным квантовым числом
Z = О, т. е. в состоянии 1s. Увеличим заряд ядра па 1 и беско-
нечно медленно приблизим к атому второй электрон, — мы полу-
чим нейтральный атом гелия. Его второй электрон будет также
связан в состоянии 1s, так как по принципу Паули
(см. табл. ХХХШ) в этом состоянии может быть связано два
Рис. 268. Основные состояния атомов Н, Не, Li, Be, В.
электрона. Увеличив заряд ядра ещё на 1 и приблизив третий
электрон, мы получим атом лития. Этот третий электрон уже
не может быть связан в состоянии 1s, так как слой К(п—\)
у гелия уже заполнен. Ближайшее энергетически возможное
состояние есть состояние 2s (n = 2, I = 0) — валентный электрон
лития будет связан именно в этом состоянии (рис. 268). Четвёр-
тый электрон бериллия будет также связан в состоянии 2s,
по пятый электрон бора но может быть связан в том же состоя-
нии 2s, так как подгруппа п — 2, 1=0 у бериллия уже запол-
нена. Поэтому пятый электрон бора должен быть связан
в состоянии с более высокими значениями I, а именно п = 2,
1—1, т. е. в состоянии 2р. Следующие электроны вплоть до
десятого (у неона) связываются в том же состоянии, так как под-
группа п = 2, 1=1 имеет 6 мест (см. таблицу ХХХШ). Строе-
ние атома неона, таким образом, можно представить формулой
ls22s22/?6, где показатели означают число электронов, связанных
в данном состоянии. Все эти предсказания безукоризненно оправ-
дываются спектроскопическими данными.
§ 222] СТРОЕНИЕ ПЕРИОДОВ СИСТЕМЫ ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА 265
На рис. 269 и 270 приведены диаграммы Мозели для изо-
электронпых рядов Lil, BeII, Bill, CIV и BI, СП, NIII, ОIV;
первая диаграмма характеризует связь третьего электрона,
вторая — связь пятого электрона. Рис. 269 показывает, что пря-
мая для 22$ — основного терма систем с тремя электронами.
(Lil, BeII и т. д.) —идёт точно параллельно пунктирной прямой.
п — 2, откуда следует (см. § 220), что главное квантовое число
п — 2 приписано третьему электрону правильно. Равным обра-
зом из рис. 270 видно, что прямая для 22Р — основного терма
пятиэлектронных систем (BI, СП и т. д.) —идёт параллельно
прямой п — 2.
Риг. 270. Связь пятого электроне
Так как десятый электрон неона завершает слой L (п~2),
то одиннадцатый электрон натрия связывается в состоянии
3s(n — 3, 1—0). Это хорошо согласуется как со спектроскопи-
ческими, так и с химическими данными: щелочной металл на-
трий является аналогом лития. Дальше заполнение идёт нор-
мально (см. табл. XXXIV, стр. 266—267) вплоть до аргона
(Z = 18), у которого завершается заполнение подгруппы Зр.
Девятнадцатый электрон калия, согласно идеальной схеме,
должен быть связан в состоянии 3d. Однако это противоре-
чит и химическим, и спектроскопическим данным. С химической
точки зрения калий, как щелочной металл, по аналогии с на-
трием и литием должен иметь валентный электрон в состоя-
нии 4s. Спектроскопические данные позволяют понять, почему
девятнадцатый электрон калия в действительности присоединяется
в состоянии 4s, а не 3d. Диаграммы Мозели для изоэлектрон-
iioi’o ряда, начинающегося калием (рис. 266), показывают, что
прямая для терма 32D пересекает прямую 42<S между Z = 20
266
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
Таблица XXXIV
Z	Эле-	К	L		M						0	P	Q	Иониза- ционный потен-
	мент													
		Is	2s 2p		3s 3p 2d			4s 4/> 4d 4/			5s 5p 5d 5/	6s 6/> 6d	7s	циал (в eV)
1 2	Н Не	1 2												13,539 24,45
3 4 5 6 7 8 9 10	Li Be В С N О F Ne	2 2 2 2 2 2 2 2	1 2 2 2 2 2 2 2	1 2 3 4 5 6										5,37 9,48 8,4 11,217 14,47 13,56 18,6 21,48
11 12 13 14 15 16 17 18	Na Mg Al Si P S Cl Ar	2 2 2 2 2 2 2 2	2 2 2 2 2 2 2 2	6 6 6 6 6 6 6 6	1 2 2 2 2 2 2 2	1 2 3 4 5 6								5,12 7,61 5,96 7,39 10,3 10,31 12,96 15,69
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 .32 33 34 35 36	К Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Ca Zn Ga Ge As Se Br Kr	2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2	2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2	6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6	2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2	6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6	1 2 3 5 5 6 7 8 10 10 10 10 10 10 10 10	1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2	1 2 3 4 5 6					4,32 6,09 6,57 6,80 6,76 6,74 7,40 7,83 7,81 7,606 7,69 9,35 5,97 7,85 9,4 11,80 13,940
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48	Rb Sr Y Zr Nb Mo To Ru Rh Pd Ag Cd	2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2	2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2	6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6	2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2	6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6	10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10	2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2	6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6	1 2 4 5 6 7 8 10 10 10	1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2			4,16 5,67 6,5 7,35 7,7 7,7 8,5 7,54 8,95
§ 222J СТРОЕНИЕ ПЕРИОДОВ СИСТЕМЫ ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА 267
Таблица XXXIV	(продолжение)
		К	L	M	N	0	P	0	Иониза-
Z	Эле-								ц ионный
							—		потен-
	мент								
		Is	2s 2p	3s 3p 3d	4s 4p 4c? 4/	5s 5p 5c? 5/	6s 6p 6c?	7s	циал (в eV)
49	In	2	2 6	2 6 10	2 6 10	2 1			5,76
50	Sn	2	2 6	2 6 10	2 6 10	2 2			7,37
51	Sb	2	2 6	2 6 10	2 6 10	2 3			8,5
52	Те	2	2 6	2 6 10	2 6 10	2 4			
53	J	2	2 6	2 6 10	2 6 10	2 5			10,44
54	Хе	2	2 6	2 6 10	2 6 10	2 6			12'078
55	Cs	2	2 6	2 6 10	2 6 10	2 6	1		3,88
56	Ba	2	2 6	2 6 10	2 6 10	2 6	2		5'19
57	La	2	2 6	2 6 10	2 6 10	2 6 1	2		
58	Ce	2	2 6	2 6 10	2 6 10 1	2 6 1	2		
59	Pr	2	2 6	2 6 10	2 6 10 2	2 6 1	2		
60	Nd	2	2 6	2 6 10	2 6 10 3	2 6 1	2		
61	Pm	2	2 6	2 6 10	2 6 10 4	2 6 1	2		
62	Sm	2	2 6	2 6 10	2 6 10 5	2 6 1	2		
63	Eu	2	2 6	2 6 10	2 6 10 6	2 6 1	2		
64	Gd	2	2 6	2 6 10	2 6 10 7	2 6 1	2		
65	Tb	2	2 6	2 6 10	2 6 10 8	2 6 1	2		
66	uy	2	2 6	2 6 10	2 6 10 9	2 6 1	2		
67	Ho	2	2 6	2 6 10	2 6 10 10	2 6 1	2		
68	Er	2	2 6	2 6 10	2 6 10 11	2 6 1	2		
69	Tu	2	2 6	2 6 10	2 6 10 12	2 6 1	2		
70	Yb	2	2 6	2 6 10	2 6 10 13	2 6 1	2		
71	Lu	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 1	2		
72	Hf	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 2	2		
73	Ta	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 3	2		
74	W	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 4	2		
75	Re	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 5	2		
76	Os	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 6	2		
77	Ir	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 7	2		
78	Pt	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 8	2		
79	Au	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10	1		9,20
80	Hg	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10	2		10,39
81	TI	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10	2 1		6,08
82	Pb	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10	2 2		7,39
83	Bi	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10	2 3		8,0
84	Po	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10	2 4		
85	At	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10	2 5		
86	Rn	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10	2 6		10,689
87	Fr	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10	2 6	1	
88	Ra	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10	2 6	2	
89	Ac	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10	2 6 1	2	
90	Th	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10 1	2 6 1	2	
91	Pa	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10 2	2 6 1	2	
92	U	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10 3	2 6 1	2	
93	Np	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10 4	2 6 1	2	
94	Pu	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10 5	2 6 1	2	
95	Am	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10 6	2 6 1	2	
96	Cm	2	2 6	2 6 10	2 6 10 14	2 6 10 7	2 6 1	2	
268	АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ	[гл. XV А.
и Z — 21. Поэтому у калия терм З2/) лежит ниже терма 425,
а так как термы пропорциональны энергии, взятой со знаком
минус, то состоянию 3d калия отвечает большая энергия, чем
состоянию 4s, так что в невозбуждённом состоянии девятнадца-
тый электрон должен присоединиться именно в состоянии 4s,
а но 3d. Двадцатый электрон кальция также связывается
в состоянии 4s. Только у скандия (Z = 21) возобновляется нор-
мальное заполнение подгруппы 3d, в полном соответствии с тем
фактом, что как раз у скандия прямая 32D лежит уже выше
прямой 42<S. Аналогичное нарушение нормального порядка
заполнения подгрупп и слоёв имеет место у рубидия; его 37-й
электрон связывается не в состоянии 4d (см. табл. XXXIV),
но в состоянии 5s, что опять-таки оправдывается как химиче-
скими, так и спектроскопическими данными. 38-й электрон
стронция связан также в состоянии 5s, но начиная с 39-го
элемента (иттрия) и до 46-го (палладия) включительно, идёт
заполнение подгруппы 4с/.
Очень интересный и важный случай, отступления от нор-
мального порядка заполнения слоёв имеет место у так назы-
ваемых редких земель (Z = 58 —71). 57-й электрон лантана
связан в состоянии 3d; подгруппа 6s у него заполнена, так же
как и подгруппы 5s и Зр, но подгруппа 4/, лежащая глубоко
внутри, ещё пуста. Начиная с церия (Z =- 58) и до лютеция
(Z=71), идёт заполнение этой внутренней подгруппы 4/, в то-
время как наружные подгруппы остаются одинаковыми. Этим
объясняется хорошо известный факт чрезвычайной близости
в химическом отношении всех элементов от церия до лютеция.
Прекрасным подтверждением правильности теории периоди-
ческой системы элементов является открытие элемента 72. Этот
элемент до 1922 г. не был известен, но место для него оста-
влялось среди редких земель. Однако Бор указал на то, что-
по теоретическим соображениям группа редких земель должна
закапчиваться 71-м элементом, а элемент 72 должен быть ана-
логом циркона (Z —40). На основании этого предсказания
в цирконовых рудах действительно был открыт новый элемент,
который по своему рентгеновскому спектру был отождествлён
с элементом 72, а по химическим свойствам оказался аналогичным
циркону.
В последнее время установлено, что вслед за 89-м элемен-
том (актинием) начинается вторая группа редкоземельных эле-
ментов, у которой заполнение происходит в подгруппе 5/. К этой
второй группе редкоземельных элементов принадлежат, кроме
встречающихся в природе тяжёлых элементов 90Th, 91Ра и 92U,
также искусственно получаемые «трансурановые элементы» 93Np,
94Pu, 95Am, 96Cm, 97Bk и 98Cf. Подробнее об этом см. § 310.
Таблица XXXIV даёт строение атомов всех элементов.
§ 223]
РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ
269
§ 223. Рентгеновские спектры
Как уже было показано в т. I, § 36, характерная чорта рент-
геновских спектров заключается в их простоте и полном едино-
образии. В то время как оптические спектры существенно
меняются при переходе от одной группы периодической системы
к другой, рентгеновские спектры всех элементов состоят из
небольшого числа линий, сходным образом расположенных друг
относительно друга и имеющих одну и ту же тонкую струк-
туру. При увеличении атомного номера Z весь рентгеновский
спектр как бы смещается в коротковолновую часть, не меняя
своей структуры. Закономерность этого смещения также уди-
вляет своей простотой; она выражается законом
(см. т. I, § 37), согласно которому квадратный корень из
соответственных линий спектра различных атомов просто
ционалеп атомному номеру.
Простота и монотонный характер (т. е. отсутствие
Мозоли
частоты
пропор-
перио-
дичности) изменения рентгеновских спектров с изменением атом-
ного номера указывают на то, что рентгеновские спектры возни-
кают не в периферических, а во внутренних частях атомов.
Следующая замечательная особенность рентгеновских спектров
поглощения даёт ключ к объяснению их происхождения: в рент-
геновских спектрах отсутствует обращение линий, столь характер-
ное для оптических спектров
пример обращения D-линни
натрия при пропускании све-
та источника со сплошным
спектром через пары натрия).
Если пропустить через слой
какого-нибудь элемента тор-
мозное рентгеновское излуче-
ние, разлагающееся в сплош-
ной спектр (см. т. I, § 36),
то в спектре поглощения не
появляется характерных для
этого элемента тёмных линий,
но появляются сплошные ши-
рокие полосы с резкими края-
ми с длинноволновой стороны.
Это наглядно можно иллюстрировать иа примере серии
соотношения особенно просты. На рис. 271 внизу схематически
изображён линейный спектр испускания серии К, а вверху —ход
поглощения в том же элементе. Как видно, при уменьшении длины
волны поглощение падает, но при определённой длине волны,
близкой к длине волны линии резко возрастает с тем, чтобы
при дальнейшем убывании длины волны вновь плавно убывать.
(достаточно вспомнить школьный
/ 'ft
длина, волны
Рпс. 271. Соотношение между
невским спектром испускания
шипя для серии К.
рентге-
и погло-
К, где
270
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
Граница возникающей размытой полосы поглощения на самом
деле несколько смещена в коротковолновую сторону относительно
линии Ку и точно совпадает с границей серин К.
На рис. 272 приведена фотография, на которой отчётливо
видны полосы поглощения Ag и Вг (фотоэмульсия) с их рез-
кими краями. Сплошной характер рентгеновского спектра погло-
щения сразу указывает на то, что одно из двух комбиниру-
ющихся при абсорбции состояний не квантовано (см. т. I, § 105).
Поскольку с длинноволновой стороны полоса поглощения имеет
резкий край, совпадающий с границей серии, мы вправе заклю-
чить, что процесс, происходящий при поглощении длины волны,
соответствующей краю полосы, заключается в освобождении элек-
трона от связи с атомом, т. е. в ионизации атома. При больших
Рис. 272. Полосы поглощения брома и серебра.
длинах волн энергия кванта Av ещё не достаточна для освобож-
дения электрона, а при меньших — энергии хватает не только
на освобождение электрона, по и на сообщение ему кинетиче-
ской энергии. Так как, далее, рентгеновские лучи возникают
во внутренних частях структуры атома, то речь здесь идёт
об освобождении одного нз внутренних электронов.
Коссель дал следующую простую картину возникновения
рентгеновских спектров. Для возникновения спектра испуска-
ния необходимо, чтобы атом был предварительно переведён
в возбуждённое состояние. Это возбуждение в случае рентге-
новских спектров может состоять только в освобождении
одного из внутренних электронов, что и подтверждается характе-
ром рентгеновского спектра поглощения. Если под влиянием
катодного электрона или рентгеновского излучения, падающего
извне, освобождается один из двух электронов самого внутрен-
него слоя (Af-слоя), то освободившееся место может быть занято
электроном пз какого-нибудь более внешнего слоя (L, М, N).
В первом случае испускается линия Ка> во втором — К$,
в третьем— АД.
§ 22 4] СХЕМА УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯ РЕНТГЕНОВСКИХ СПЕКТРОВ 27'1
Этой картине возникновения 7<-спектра соответствует та форма
закона Мозели, в какой мы уже излагали его в § 37 первого тома.
Именно для липли Ко. мы писали
т. е. волновое число линии есть результат комбинации двух
термов, из которых один соответствует главному квантовому
числу п = 1 (терм К), а другой —п= 2 (терм L). Эти термы, как
видно из формулы, очень близки к водородоподобным; отлично
состоит только в том, что вместо атомного номера Z в выраже-
ние терма входит Z — 1. Это обстоятельство в простейшем слу-
чае серии К может быть объяснено «экранированием» полного
заряда ядра Z, остающимся после ионизации в слое К одним
электроном.
Происхождение дальнейших серий L, М, ... может быть
объяснено аналогичным образом. Спектры поглощения, соот-
ветствующие этим сериям, имеют, однако, особенность, но встре-
чавшуюся в случае серии К: граница сплошного спектра погло-
щения для этих серый имеет структуру: в случае серии L опа
тройная, в случае серпи М — пятикратная, для серии N — семи-
кратная. Эта важная особенность имеет простое объяснение,
которое мы, однако, разберём дальше, в § 224. Здесь мы огра-
ничимся рассмотрением механизма возникновения рентгеновских
спектров лишь в грубых чертах и по будем учптыватыш структуры
края полосы, ни других более топких особенностей рентгеновских
спектров. В этих грубых чертах возникновение серии L объяс-
няется переходом электронов из слоёв М, N, ... на освободив-
шееся вследствие предварительной ионизации место в слое L;
возникновение серии М — переходом электронов из слоёв N, О, ...
на свободное место в слое М и т. д.
§ 224. Схема уровней энергии для рентгеновских спектров
Из сказанного в предыдущем параграфе вытекает следующая
схема уровней энергии, комбинации которых дают рентгеновские
спектральные линии. При освобождении электрона пз слоя К
атом переходит пз нормального состояния в возбуждённое, обозна-
ченное па рис. 273 буквой К. Расстояние между нормальным
уровнем и этим уровнем К есть, очевидно, энергия, соответ-
ствующая терму К, или энергия ионизации слоя К, выраженная
в шкале волновых чисел. При переходах с уровня К на уровни
L, М, N возникают линии испускания Ко., Л"р, К-,. Наиболее
вероятному переходу К —> L отвечает и самая интенсивная
линия серии К—линия Ко..
272	АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ	[гл. XVI
Возбуждение из нормального состояния до уровня L, соот-
ветствующее ионизации слоя L, даёт начало серии L, линии
которой возникают при переходах L—>M, L—>N.
Положение уровней К, L, М, ... над нормальным уровнем,
очевидно, определяет положение границ поглощения К, L, М, ...
(структуру границ мы здесь не учитываем).
Сравним теперь схему рентгеновских уровней энергии со
схемой оптических уровней, образцом которой может служить
любая из приведённых выше схем. Легко видеть, что между
обеими схемами имеется существенное различие: в первом случае
(оптические уровни) уровень с наименьшим главным квантовым
числом и ~ 1 лежит ниже всех, тогда как во втором (рентгенов-
ские уровни) уровень А'(;г = 1) лежит выше всех: вся схема
рентгеновских уровней представляет собой полное обращение
оптической. Причина этого лежит в различии механизма возник-
новения оптических и рентгеновских спектров. Оптические спектры
возникают при возбуждении периферического наиболее слабо
связанного электрона из состояния с наибольшей энергией связи
и наименьшим главным квантовым числом в состояния с более
высокими квантовыми числами и меньшей энергией связи. Энер-
гия возбуждения, очевидно, будет тем больше, чем меньше
энергия связи в возбуждённом состоянии и чем больше главное
квантовое число, соответствующее возбуждённому состоянию.
В случае же рентгеновских спектров возбуждение состоит в осво-
бождении электрона, связанного в нормальном состоянии атома
в том или ином слое. Энергия возбуждения будет поэтому тем
больше, чем прочнее связан электрон; другими словами, наиболь-
шая энергия будет соответствовать освобождению электрона, свя-
занного в самом глубоком, ближайшем к ядру слое, т. е. в слое
с наименьшим главным квантовым числом.
Соотношение между оптическими и рентгеновскими уровнями
можно наглядно представить ещё иначе. Для этого условимся
считать энергию ионизации наиболее слабо связанного перифери-
ческого (валентного) электрона равной нулю (уровень 00 на
рис. 273). Тогда энергии ионизации внутренних электронов будут
положительны и будут возрастать по мере убывания главного
квантового числа того слоя, в котором связан электрон. 7Г-электрон
(/г—1) при этом счёте будет обладать наибольшей положительной
энергией; L-электрон (п = 2) — меньшей и т. д. Рентгеновские
линии испускания возникают при переходах между этими поло-
жительными уровнями энергии. Наоборот, оптические уровни
энергии лежат ниже выбранного нами нулевого уровня; их
энергии возрастают с увеличением главного квантового числа
периферического электрона.
Таким образом, оптическая система уровней является как бы
зеркальным отражением рентгеновской.
§ 224] СХЕМА УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯ РЕНТГЕНОВСКИХ СПЕКТРОВ 273
В спектроскопии обычно считается нормальным расположение
оптических уровней энергии. Поэтому рентгеновская система
уровней называется обращённой. Следует заметить, что при неко-
торых специальных условиях обращённые уровни возникают
и в оптической части спектра. Рассмотрение этих деталей, однако,
относится к специальным курсам спектроскопии*).
Рис. 273. Грубая схема рентгеновских уровней энергии
и её сравнение со схемой оптических уровней.
До сих пор мы оставляли в стороне структуру полос погло-
щения. Возникает вопрос: почему граница К — простая, грани-
ца L — тройная, граница М — пятикратная, а граница N — семи-
кратная? Объяснение не представляет никакого труда. Граница К
отвечает освобождению электрона из слоя с п = 1; оба электрона
этого слоя - s-электроны, т. е. для них I = 0, а значит j имеет
единственное значение j = Напротив, восемь электронов слоя L
имеют главное квантовое число п ~ 2, а I — либо 0, либо 1;
*) См. С. Э. Фриш, Атомные спектры, ГТТИ, 1933; Г. Герцберг,
Атомные спектры и строение атома, ИЛ, 1948.
274
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
в первом случае / = 1/2, во втором /— у/2, или 3/2. Итак, мы имеем
здесь три подуровня в точном соответствии с кратностью границы.
После этого таблица XXXV где дано объяснение кратности всех
краёв полос поглощения, становится понятной без дальнейших,
пояснений.
Та Г л ица XXXV
п	1	2		3			4			
1	0	0	1 1	0	1 1	2 2	0	1 1	2 2	3 3
	1	1	1 3	1	1 3	3 5	1	1 3	3 5	5 7
1	2	2	2 2	2	2 2	2 2	2	2 2	2 2	2 2
	К	Ьз	L2	м5			^7	7V3	Ns	n2 Л,
В соответствии с этой классификацией рентгеновских уров-
ней энергии можно построить схему переходов, объясняющую
возникновение рентгеновского спектра. На рис. 274 приведена
такая схема для вольфрама (2 = 74). Рассматривая эту схему,
нетрудно убедиться в том, что она совершенно аналогична
схеме щелочных металлов, но только полностью обращена (см.,
например, рис. 241). Если перевернуть рисунок, то аналогия
сразу бросится в глаза: расположенные друг над другом
уровни К, L-a, М5, N7 соответствуют термам 251/2; уровни L2,
М4, Л’6 — термам 2А/2; уровни L1? Мг, TV5 — термам 2А/2; уровни
М2, N4 — термам 2D3/2 и т. д. При этом и правила отбора остаются
теми же самыми, что в случае щелочных металлов: рентгеновские
спектры любых элементов совершенно аналогичны спектрам щелоч-
ных металлов.
Если мы теперь сравним приведённую классификацию уров-
ней с таблицей XXXIV, то увидим, что состояния атома, ком-
бинации которых ведут к возникновению рентгеновских спектров,
совпадают с состояниями освобождаемого электрона. Это может
быть только в том случае, если полный импульс оболочки, из
которой удаляется электрон, перед его освобождением был равен
нулю: электроны освобождаются из замкнутых оболочек. Но это
как раз соответствует теории периодической системы, изложенной
в §§ 221 и 222.
В соответствии с полной аналогией между рентгеновскими тер-
мами и термами щелочных металлов рентгеновские спектры явля-
ются дублетными. Простейшим примером этой дублетности
является линия	состоящая из двух близко расположен-
ных линий. Возникновение этого дублета легко проследить по
рис. 274, где видно, что он возникает в результате переходов
§ 22 4] СХЕМА УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯ. РЕНТГЕНОВСКИХ СПЕКТРОВ 275
^з/з —2А/2 — 2^i/2, т- е- аналогичен дублету D в спектре
натрия. В рентгеновской спектроскопии различают, однако, два
типа дублетов: так называемые иррегулярные, или дублеты
v
Рис. 274. Полная схема возникновения рентгеновского
спектра вольфрама (Z = 74).
экранирования (возникающие при переходах Д/—1, Д/ = 0),
и регулярные, или релятивистские, дублеты. Однако на этом
различии и соответствующих теоретических вопросах мы здесь
останавливаться не будем.
276
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
§ 225. Непосредственное определение рентгеновских
уровней энергии
Непосредственное, хотя и менее точное, чем спектроскопическое,
определение рентгеновских уровней энергии можно осуществить,
изучая фотоэлектроны, которые освобождаются рентгеновскими
лучами. В уравнении Эйнштейна
Av = eV + Рг + Р2
Р2 — работа выхода электрона, играющая важную роль в фотоэф-
фекте с поверхности металлов, Рг — работа освобождения электрона
от связи с атомом. Так как энергия фотона рентгеновских лучей Av
измеряется десятками или сотнями тысяч электрон-вольт, а работа
выхода Р2 порядка нескольких электрон-вольт, то последняя
ничтожно мала по сравнению с Av. Напротив, энергия связи
внутренних электронов Рг того же порядка, что и Av, особенно
в случае тяжёлых элементов. Оказывается, далее, что при фото-
эффекте (фотоионизации) наблюдается своего рода резонанс:
с наибольшей вероятностью освобождаются те электроны, энергия
связи которых близка к энергии падающего фотона. Поэтому
фотоэлектроны, наблюдаемые при действии рентгеновских лучей,
освобождаются из внутренних оболочек атома. Зная энергию
падающего фотона Av и определяя на опыте с возможной точностью
кинетическую энергию фотоэлектронов eV, можно, таким образом,
по уравнению Эйнштейна находить энергию связи внутренних
электронов
Pl=hv-eV,
т. е. рентгеновские уровни атома. Ввиду того, что Av и Рх зна-
чительно превосходят также и энергию связи атома в молекуле,
а тем более ван-дер-ваальсовы силы сцепления, фотоэффект
в рентгеновских лучах в первом приближении не зависит и от
того, подвергаются ли действию рентгеновских лучей свободные
атомы или химические соединения в газообразном состоянии или
твёрдые тела: поскольку влияние химической связи на внутрен-
ние уровни энергии мало, фотоэффект под действием рентгеновских
лучей происходит так, как если бы мы имели дело со свободными
атомами.
Точное определение скоростей рентгеновских фотоэлектронов
было впервые осуществлено с помощью магнитного спектрографа.
Схема этого спектрографа изображена па рис. 275. Источник
электронов S, подвергаемый действию рентгеновских лучей,
помещался в виде узкой полоски в лёгкой алюминиевой рамке
(вид рамки сверху дан на рис. 275 отдельно). Фотоэлектроны,
пройдя через щель В, фокусировались на фотопластинке Р при
помощи однородного поперечного магнитного поля (см. т. I, § 9).
§ 225]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ
277
Для электронов, обладающих одной и той же скоростью v, радиус
кривизны траектории определяется из известного соотношения

(225,1)
(е—в электростатических единицах). Так как в случае рентге-
не неких лучей скорости электронов достаточно велики, то для
Рис. 275. Магнитный спектрограф для
изучения энергетического спектра рентге-
новских фотоэлектронов.
массы следует брать релятивистское выражение
т0
V1—р2
вследствие чего
(225,1) принимает вид

в
уЧ—р2'
(225,2)
Искомая кинетическая энергия электронов есть
кин —	(	-
1—Р2
(225,3)
Вследствие фокусировки однородным поверочным магнитным
нолем электроны, обладающие одной и той же скоростью v,
дадут на фотопластинке линию; различным скоростям соответствуют
различные линии. Измеряя их положение, легко определить из
геометрии прибора для каждой линии величину р, а зная напряжён-
ность поля ('77, можно вычислить отсюда ио (225,2) р и затем Екин.
На рис. 27В приведена фотография энергетического спектра
фотоэлектронов, возникающих в серебре под действием рент-
278
АТОМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[гл. XVI
геновского излучения вольфрама. При истолковании этого
спектра необходимо иметь в виду, что, как показал опыт, в этом
энергетическом спектре всегда появляются линии двоякого про-
исхождения: 1) линии, вызываемые падающим излучением в излу-
чателе (в данном случае Ag); 2) липин, вызываемые характеристи-
ческим излучением самого излучателя, возникающим под действием
падающего излучения. Интерпретация линий рис. 276 приведена
Рис. 276. Спектр фотоэлектронов, образованных излучением
вольфрама в серебре.
в таблице XXXVI. Обозначения в столбце «происхождение» имеют
следующий смысл: AgКа о. — AgL означает линию, соответству-
ющую фотоэлектронам, которые освобождаются характеристическим
излучением серебра AgAT^,» из слоя L самого же серебра. Разре-
шающая способность прибора была недостаточна для разделе-
ния линий, возникающих из уровней Lj, Дц, Ьщ, а тем более —
из уровней М\, ..., Л/у.
Таблице! XXXVI
Липин	Происхождение		
1	As: К о	7.,-AgL	1620— 250=1370
2	|		a2-Agl/	1620— 50=1570
		— Ag L	1820— 250=1570
3		— Ag M	1820— 50=1770
4	WX Oto	— AgK	4270—1880=2390
5		— Ag К	4370—1880=2490
6		— Ag К	4950—1880=3070
7		-AgX	5090—1880=3210
8	W Кaa ° 2	— Ag	4270— 250=4020
§ 225] ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ	279’
Совпадение v/R для линии № 2 не случайно; оно вытекает из
следующих комбинационных соотношений (см. рис. 274):
Ka. = K — L,	К^--=К-М,
Ка -L = K-L-M, 1
K*-M = K-L-M, / K^~L = K--A/-
II. И. Лукирский непосредственно определил рентгеновские
уровни энергии для лёгких элементов (6 С, 13 А1), пользуясь
весьма удобными свойствами разработанного им метода сфери-
ческого конденсатора (см. т. I, § 111). В этом методе торможе-
ние электронов определённой скорости происходит настолько резко,
что энергии их можно с достаточной точностью определять методом
задерживающего потенциала без помощи спектрографа. Таким
путём Лукирский получил, например, следующие значения для
уровней энергии:
Элемент	Уровень	Энергия в eV
6С	К	259
13 А1	L	80
ГЛАВА XVII
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
§ 226.	Оптическое возбуждение и резонансная флуоресценция
В разных местах этой книги нам уже приходилось встречаться
с контролируемым возбуждением спектральных линий. В § 92
первого тома мы видели, например, что при бомбардировке
атомов ртути электронами в 4,9 eV излучаемый спектр состоит
всего из одной линии 2537 А. (точнее 2536,52 А), которая, как
мы теперь знаем, возникает при переходе атома из возбуждённого
состояния 3/)1 в нормальное Получение спектра путём воз-
буждения атомов электронами строго определённой энергии являет-
ся одним из наиболее удобных методов изучения возбуждённых
состояний и имеет большое практическое значение, так как
в газоразрядных лампах, приобретающих всё большее значение
в осветительной технике, свечение возбуждается именно ударами
электронов.
Другим и ещё более тонким методом исследования возбуждён-
ных состояний служит возбуждение под действием света — опти-
ческое возбуждение. Мы уже видели, что в тех случаях, когда
длина волны падающего света такова, что энергия фотона равна
разности между энергией нормального уровня и ближайшего
к нему возбуждённого, свет этой длины волны интенсивно погло-
щается атомами, которые при возвращении в нормальное состояние
попускают ту же длину волны (резонансное излучение или резонанс-
ная флуоресценция). Так, например, при освещении паров натрия
жёлтой натриевой линией излучается та же жёлтая линия. Однако
такое описание явления достаточно грубо. Хорошо известно, что
жёлтая натриевая линия есть дублет, и возникает вопрос: излу-
чаются ли обе линии дублета, когда возбуждение вызывается
одной из них? Опыты Вуда дали па этот вопрос определённый
ответ. Оказывается, что когда возбуждение производится линией Т)2,
то испускается только эта линия Т)2 и (в чистых парах натрия
при низком давлении) никаких следов линии не наблюдается,
несмотря на то, что уровень 32А/,, с которого испускается эта
линия, лежит ниже уровня 32А/.>, служащего исходным для
§ 226] ОПТИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ И РЕЗОНАНСНАЯ ФЛУОРЕСЦЕНЦИЯ 281
линии D2 (рис. 277). Причина этого состоит в том, что переход
с уровня 2Рз/2 на уровень 2Pi/2 запрещается правилом отбора
4Z = 4; 1. Поэтому возможный в этом случае переход есть.
32Ps/2 —> 326i/2. Из этого следует, что в случае натрия мы имеем
дело собственно не с одной резонансной линией, но с двумя —Dj
и D2: первая возникает при возбуждении до уровня 32А/2, вторая —
при возбуждении до уровня 32А/2.
Ещё отчётливее существование двух
резонансных линий обнаруживается у
ртути (рис. 278). Здесь основной уро-
вень есть 616'0 (главное квантовое число
6 относится к последнему, т. е. к излу-
чающему, электрону). При сообщении
атому ртути энергии в 4,9 eV атом пе-
реходит в состояние 63Z\ и при возвра-
щении на основной уровень ° излучает
резонансную линию 2536,52 А. То же
может быть осуществлено путём^освеще-
ния паров ртути линией 2536,52 А. Пере-
ход б3/^ — 616’0 при отсутствии возму-
щений запрещается правилом запрета
интеркомбинаций; но в случае сложных
Рис. 277. Схема уровней
для излучения резонанс-
ных линий натрия.
атомов, как уже было
указано, это правило нарушается вследствие взаимных воз-
мущений спиновых и орбитальных моментов. Резонансное испу-
скание в случае ртути может быть осуществлено также и при
освещении линией 1849,57 А. Поглощение этой линии обусловлено
переходом б1^ — б1^ (см. рис. 278), и так как из состояния б1/^
атом может вернуться только в исходное состояние б1^, то линия
1849,57 А является также резонансной. Наблюдение этой линии,
однако, сильно затрудняется тем, что она лежит в области
сильного поглощения кислородом, ввиду чего для получения
линии 1849,57А приходится удалять воздух из приборов и поль-
зоваться особыми вакуумными спектрографами. Две резонансные
линии наблюдаются также у кадмия (3261 А и 2889 А), у цинка
(3076 А и 2139 а) и вообще во всех случаях, когда это требуется
схемой уровней энергии.
А. Н. Теренин произвёл многочисленные наблюдения опти-
ческого возбуждения и дал очень ясные их истолкования.
В качестве интересного примера рассмотрим возбуждение паров
следующего за ртутью элемента — таллия (Z — 81). Излучающий
электрон таллия нормально находится в состоянии 6р. Основа
поп терм — дублетный 62A/2, 627>з/2; расстояние между подуров-
нями дублета относительно очень велико (0,96 eV). В резуль-
тате при освещении паров таллия ультрафиолетовой линией'
3776 А обратно излучается не только эта линия, но и видимая.
282
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
[гл. XVII
(зелёная) линия 5350 А. Объяснение видно из рпс. 279: погло
щение линия 3776 А возбуждает атом с основного уровня 62/\ 2
Рис. 278. Схема уровней энергии для ртути.
на возбуждённый 72Si/,; при возвращении к уровням 62Л/2 и 62Р3/а
испускаются обе указанные линии. Равным образом при погло-
§ 227]
СТУПЕНЧАТОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ
283
щении линии 2768 А одновременно с этой линией испускается
лилия 3529 А. Объяснение дано в левой половине рис. 279, кото-
рая после сказанного будет понятна сразу.
^3/Г
| 0,35г\
... Y_____
W/z
Рис. 279. Схема уровней для оптического
возбуждении паров таллия.
Аналогичные результаты были получены Терениным при изу-
чении оптического возбуждения паров свинца, висмута и сурьмы.
§ 227.	Ступенчатое возбуждение
Очень интересные и наглядные результаты были получены
при исследовании оптического возбуждения паров ртути, кото-
рые изучены особенно детально.
Нормальное состояние атома ртути есть 616’0 (рис. 278);
система уровней, так же как у гелия, распадается на сингулеты
и триплеты (§ 2'11). Ближайшие возбуждённые уровни, к которым
возможны переходы из нормального состояния: в системе сингу-
летов —бФр в системе триплетов — 63Z\; переход к уровню б3.Р0,
лежащему несколько ниже, запрещён правилом отбора, которое
будет рассмотрено в § 235. Отсюда следует, что минимальная
энергия, которую может воспринять атом ртути, отвечает пере-
ходу 616’0 —> 63Z\; именно этот переход и получается в опыте
Франка и Герца, так как необходимая для него энергия равна
как раз 4,9 eV. Следующий возможный переход есть б1^ —> б1^;
ему отвечает энергия 6,7 eV. Если атом возбуждён до одного
из этих двух уровней 63/>1 или б1/^, то единственная возмож-
ность для обратного перехода заключается в возвращении к нор-
мальному состоянию б1^. При этом в ^первом случае излучается
линия 2536,52 А, во втором—1849,57 А — две упомянутые в пре-
дыдущем параграфе резонансные линии.
Возбуждение до более высоких уровней требует ещё большей
энергии, и потому линии, появляющиеся при непосредственном
переходе с этих уровней в нормальное состояние, заведомо должны
лежать в ультрафиолетовой части спектра. Между тем хорошо
284
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
[гл. XVII
жизни атомов в
Рис. 280. Схема опытов Вуда
со ступенчатым возбуждением
ртути.
известно, что при электрическом возбуждении, осуществляемом,
например, в широко распространённых в лабораторной и меди-
цинской практике ртутных лампах, возникает также видимое
свечение. Это свечение обусловлено переходами между возбуждён-
ными состояниями; например, атом, возбуждённый до уровня
735j, может перейти сначала в° состояние б3/\, испуская интен-
сивную синюю линию 4358,34 А, а из состояния б3/^ —в нормаль-
ное состояние б1^ с испусканием резонансной линии 2536,52 А.
При оптическом возбуждении атомов ртути наблюдаются
аналогичные процессы. Так как средняя продолжительность
том состоянии очень мала (Ю”7—
— 10~8 сек.), то соответственно мала
концентрация возбуждённых атомов,
и при обычных условиях имеется
лишь ничтожная вероятность того,
что атом, поглотивший квант света
и перешедший вследствие этого на
какой-нибудь возбуждённый уровень,
успеет поглотить второй квант и пе-
рейти на более высокий уровень.
Однако при помощи специальных уста-
новок Вуду удалось осуществить-
подобное «ступенчатое возбуждение»
и таким путём детально проконтро-
лировать всю схему уровней энер-
гии ртути.
На рис. 280 приведена схема опы-
тов Вуда. Кварцевый сосуд R с пара-
ми ртути при низком давлении осве-
щался одной или двумя близко распо-
ложенными ртутными лампами I и II,
причём лампа I охлаждалась проточной водой. Это охлаждение
имеет следующее значение: при горении дуги в парах ртути лампа
сильно разогревается и плотность пара в ней становится очень
большой. Вследствие этого центральная часть резонансной линии
сильно поглощается внутри самой лампы (так называемое «само-
обращение»). С такой горячей лампой в сосуде R получить резо-
нансную флуоресценцию, т. е. возбуждение до уровня б3/3!, не-
удаётся. Напротив, в охлаждаемой лампе плотность пара доста-
точно низка, и самообращения не получается. Кварцевая призма
К, примазанная к верхней части сосуда R, проецирует свет-
флуоресценции на щель спектрографа S, анализирующего его
спектральный состав.
G этой установкой Вуд проделал большое количество опытов,
из которых мы приведём только немногие. При освещении резо-
нансного сосуда R нефильтрованным светом охлаждаемой ртут-
$ 228]	ТЕРМИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ	285
ной лампы в спектре флуоресценции появляются все линии ртут-
ного спектра, в том числе и видимые. Стоит, однако, поместить
между R и лампой I стекло Ft, поглощающее резонансную линию
2536,52 А, как всякая флуоресценция исчезает. Это показывает,
что для получения флуоресценции необходимо прежде всего возбуж-
дение до резонансного уровня б3/^. Если теперь вместо стекла по-
местить в фильтр из паров брома в кварцевом сосуде, погло-
щающий всю видимую часть и пропускающий только ультрафио-
летовые линии 2536,52 А; 2967,28 А; 3125,66 А и 3131,56 А, то
появляется флуоресценция, в спектре которой кроме возбуждаю-
щих линий обнаруживаются ещё линии 3654,83 А и 3662,88 А.
Этот результат сразу становится понятным, если обратиться
к рис. 278: при поглощении резонансной линии атомы ртути воз-
буждаются до уровня 63Z\; вследствие близости ртутной лампы
концентрация возбуждённых атомов оказывается столь значитель-
ной, что становится заметным маловероятный процесс повторного
возбуждения атомов, находящихся в состоянии 63/\, путём погло-
щения линий 3125,66 А (63Z\ —63Z)2) и 3131,56 A (63Z\ —> б3/^)
до более высоких уровней б3/?! и 63Z)2. При возвращении с этих
уровней на уровень б3^ излучаются линии 3654,83 А и 3662,88 А.
Дальнейший вариант описанных выше опытов состоит в сле-
дующем. Если осветить трубку R второй неохлаждаемой ртут-
ной лампой (сохраняя лампу I и фильтр из паров брома) без
светофильтра, то кроме указанных ультрафиолетовых линий по-
являются три видимые: фиолетовая (4046,56 А), синяя (4358,34 А)
и зелёная (5460,74 А); светофильтр из кобальтового стекла,
поставленный в F2 и пропускающий только одну синюю линию
4358,34 А, не изменяет спектра флуоресценции, т. е. наряду
с синей линией в спектре флуоресценции наблюдается также
и зелёная. Объяснение этого опыта таково: лампа I создаёт
достаточную концентрацию атомов в состоянии б3^. Эти атомы,
поглощая из света лампы II синюю линию 4358,34 А, переходят
в состояние 73А], при возвращении из которого к уровням 63Р2, i. о
испускаются кроме синей линии также фиолетовая и зелёная.
Так как для испускания всех этих трёх линий достаточно под-
нять атом от уровня 63/3! до уровня 73Aj, что происходит при
поглощении синей линии, то понятно, что введение фильтра,
пропускающего только эту линию, не изменяет спектра флуо-
ресценции.
§ 228.	Термическое возбуждение
Хорошо известно, что испускание линейного спектра можно
вызвать не только ударами электронов или освещением, но
и повышением температуры. Крупинка поваренной соли, внесён-
ная в пламя газовой или даже спиртовой горелки, окрашивает
286
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
[гл. XV; I
пламя в жёлтый цвет, а спектроскоп показывает присутствие
D-линий натрия. Очевидно, что энергия возбуждения от нормаль-
ного до возбуждённого уровня (равная для натрия 2 eV —
= 3,2 • 10~12 эргов на атом) берётся в этом случае за счёт энер-
гии тепловых движений. Средняя кинетическая энергия атомов
при комнатной температуре составляет около 5 • 10“14 эрг, т. е.
приблизительно в 100 раз меньше энергии возбуждения атомов.
Однако скорости газовых молекул распределены по закону Макс-
велла, а потому при любой температуре имеется известная доля
молекул, обладающих большими скоростями. Эта доля при ком-
натной температуре ничтожно мала, по опа быстро (приблизи-
тельно экспоненциально) возрастает с повышением температуры,
как это показывает таблица XXXVII (числа последней графы
означают отношение числа соударений с энергией, большей 3 eV,
к полному числу соударений).
Таблица XXXVII
Темпера- тура в °C	Средняя кинети- ческая энергия поступательного движения в eV	N/N
15	0,03	5	• 10~61
1000	0,14	1.3- 10~1Я
2000	0,24	7,4 - 10е
3000	0,35	1,5 • 10“4
4000	0,45	2 • 10~я
Поэтому, если повышать температуру газа, то сначала в спектре
должна появиться одна резонансная линия, а по морс возрастания
температуры будет появляться всё большее число линий в соот-
ветствии с появлением атомов, возбуждённых до всё более высо-
ких уровней энергии. Наоборот, если выбрать определённый
участок пламени с одной и той же (достаточно высокой) темпе-
ратурой и вносить в него различные атомы, то они будут давать
тем большее число линий, чем ниже потенциал возбуждения.
В опыте, выполненном в лаборатории Франка, был взят участок
пламени бунзеновской горелки с температурой 1530° С. При этом
оказалось, что литий, внесённый в это место, даёт одну лпншо,
натрий — две, калий — три, рубидий — четыре и цезий — шесть
линий. Рассмотрение рис. 239 — 241, где имеются шкалы энергий
уровней, вполне объясняет это поведение различных атомов.
Исследование температурного свечения в строго определён-
ных условиях производится в так называемой печи Кинга, кото-
229]
УДАРЫ ВТОРОГО РОДА
287
рая представляет собой угольную или графитовую трубу, нака-
ливаемую электрическим током. Для создания наболев чистых
условий опыта вся печь помещается в вакууме, и наблюдение
ведётся через два кварцевых окна.
При таких условиях можно проследить постепенное развитие
спектра легко возбуждаемых атомов (щёлочно-земельные металлы)
вплоть до ионизации атомов.
§ 229.	Удары второго рода
При термическом возбуждении один из соударяющихся ато-
мов переходит из нормального состояния в возбуждённое за счёт
относительной кинетической энергии партнеров соударения. Со-
ударения этого типа могут происходить также между атомами
и электронами.
Представим себе, что мы имеем смесь нейтральных атомов
и свободных электронов. Может случиться, что быстрый элек-
трон, соударяющийся с невозбуждённым атомом, будет обладать
энергией, достаточной для перевода атома из нормального состоя-
ния в возбуждённое. В таком случае соударение будет неупругим,
электрон потеряет свою энергию, атом же перейдёт из нормаль^-
ного состояния в возбуждённое. Такого рода соударение в точ-
ности аналогично неупругим ударам, которые испытывают электро-
ны в опыте Франка и Герца; оно называется соударением первого
рода. Однако из термодинамики следует, что наряду с ударами
первого рода должны существовать также и удары противопо-
ложного характера, при которых возбужденный атом, соударяясь
с медленным электроном, возвращается в нормальное состояние
без излучения, отдавая избыток энергии электрону. Такие со-
ударения получили название соударений второго рода. Термо-
динамика требует, чтобы при равновесии в системе из атомов
и электронов в единицу времени число ударов первого рода
равнялось числу ударов второго рода. Этот принцип, называемый
обычно принципом микроскопической обратимости или принципом
детального равновесия, оказывает неоценимые услуги при обсу-
ждении процессов обмена энергией в атомных системах.
Существование ударов второго рода между возбуждёнными
атомами и электронами было с большой убедительностью показано
следующим опытом А. И. Лейпунского и Г. Д. Латышева. Элек-
троны, испускаемые горячим катодом К (рис. 281) и ускоряемые
электрическим нолем между К и А\, попадают в пространство
между сетками и N2. Между второй сеткой А2 и анодом А
электроны подвергаются действию тормозящего поля. Очевидно,
что для полного прекращения тока на анод А тормозящее поле
должно быть не больше ускоряющего поля, так как электроны
приобретают свою энергию только за счёт ускоряющего поля.
288
ВОЗБУЖДЕННЫЕ АТОМЫ
[гл. Х\П
Однако внутри откачанного сосуда, в который заключены опи-
санные части прибора, имеются следы паров ртути. Если осве-
щать эти пары через кварцевое окно Q светом резонансной ртут-
ной линии 2536,52 А, то при поглощении этой линии часть ато-
мов ртути перейдёт в возбуждённое состояние. При соударениях
второго рода этих возбуждённых атомов со свободными электро-
нами кинетическая энергия последних должна увеличиться за счёт
энергии возбуждения атомов, которые перейдут в нормальное
состояние без излучения. Опыт показал, что при освещении ма-
ксимальный тормозящий потенциал между N2 и А действительно
на 4,7 eV по сравнению с ускоряющим потенциалом
между К и Nx. Эти 4,7 eV и есть
энергия возбуждения атомов Hg, пе-
редаваемая электронам при ударе
второго рода. Причина, вследствие
которой электроны приобретают 4,7,
а не 4,9 eV, как можно было ожи-
дать, состоит в том, что возбуждён-
ные атомы Hg, соударяющиеся с элек-
тронами, находятся в состоянии 3А0
с энергией возбуждения 4,7 eV, а не
в состоянии 3Рг (энергия возбужде-
ния 4,9 eV). Состояние 3Р0, как мы
увидим в § 235, характеризуется
длительностью, во много раз пре-
восходящей длительность состояния 3Pj. Ввиду этого концентра-
ция возбуждённых атомов Hg в состоянии 3Р0 особенно велика,
и вероятность соударения электронов с такими атомами соот-
ветственно больше вероятности соударения с атомами в состоя-
нии 3РГ.
§ 230.	Сенсибилизированная флуоресценция
возрастает
в 'с
Рис. 281. Схема опыта
пунского и Латышева.
Лей-
/4
3
Франк обобщил соображения об ударах второго рода между
атомами и электронами на случай соударений между воз-
буждёнными и невозбуждёпными атомами. В самом деле,
возможность создавать возбуждённые атомы термическим
путём указывает на существование ударов первого рода, при
которых один из атомов приобретает энергию возбужде-
ния за счёт относительной кинетической энергии соуда-
ряющихся партнёров. Но в таком случае согласно прин-
ципу микроскопической обратимости в нагретом газе должны
происходить также и соударения второго рода, при которых
возбуждённый атом переходит в нормальное состояние без
излучения, а избыток энергии передаётся соударяющемуся парт-
нёру. Возникает вопрос: как проявляется этот избыток энергии?
Разумеется, возможно, что соударяющийся партнёр получит
§ 230]	СЕНСИБИЛИЗИРОВАННАЯ ФЛУОРЕСЦЕНЦИЯ	289
соответствующее приращение кинетической энергии. Однако
опыт и теория согласно показывают, что такой случай мало
вероятен. Гораздо вероятнее следующий случай. Положим, что
газ состоит из смеси атомов двух сортов А и В и что атомы А
имеют энергию возбуждения, близкую к энергии возбуждения
атомов В, по несколько большую её (рис. 282, где Av > Av')- Если
возбуждённый атом А испыты-
вает соударение второго рода ________А____s
с не возбуждённым атомом В, то	м	--- 7
почтя вся энергия атома А
может быть затрачена па воз-
буж де пне атома В и только
небольшой избыток Av —Av' пе-
рейдёт в относительную кинети-
ческую энергию обоих атомов.	v	,,
Таким образом, в результате ---------— ...... ............
соударения атом В должен бу-	pjic 987
дет дать свечение, а избыток
скорости над нормальной теп-
ловой скоростью при данной температуре обнаружится в виде
расширения линий вследствие эффекта Допплера.
Опыт, впервые подтвердивший этот вывод, был (в 1922 г.)
поставлен Карно и Франком следующим образом. Кварцевый
сосуд 0 (рис. 283) с двумя отростками помещался внутри
печки (\. Оба отростка, из которых в одном была ртуть, а
в другом — таллий, помещались раздельно в печки Сб и О?>,
Рис. 283. Опыт Карно и Франка.
вследствие чего можно было регулировать упругость паров
11g и Т1 независимо друг от друга. Сосуд Q освещался охла-
ждаемой кварцевой ртутной лампой так, чтобы резонансная ли-
ния 2536,52 А не самообращалась. Оказалось, что при доста-
точной упругости паров таллия получается интенсивная флуо-
ресценция, в которой обнаруживается ряд линий таллия, в том
числе и видимая зелёная линия 5350А. Если убрать печь О3
и погрузить отросток со ртутью в жидкий воздух так, чтобы
выморозить пары ртути, то никакой флуоресценции не наблю-
дается. Флуоресценция исчезает также и в том случае, если не
охлаждать ртутную лампу, а отросток с ртутью подогревать
290
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
[гл. XVII
печью О3. Эти контрольные опыты показывают: 1) что таллин
сам не поглощает излучения ртутной лампы, а поглощают его
только пары ртути: при вымораживании их флуоресценция
исчезает; 2) что существенно поглощение атомами ртути именно
резонансной линии 2536,52 А : при её самообращении эффект
исчезает.
На рис. 284 приведена схема, поясняющая механизм возник-
новения флуоресценции таллия. Резонансная линия 2536,52 А
поглощается атомами ртути, которые приобретают избыток
энергии в 4,9 eV. Атом таллия имеет уровень 27Х/2 с энергией
возбуждения 4,5 eV, близкой к 4,9 eV. При соударении второго
н9
Чд,------г—
П	’	н
т—г------— 4,5
63pf
3,27
0,36

Рис. 284.
рода между возбуждённым атомом Hg (63Z\) и нормальным
атомом Т1 (62Pi/2) первый переходит в нормальное состояние
без излучения, а последний приобретает избыток энергии
в 4,9 eV, часть которой, равная 4,5 eV, идёт на возбуждение
в состояние 627)з/2, а остаток — на увеличение кинетической
энергии атома таллия. На схеме слева показаны переходы из
этого состояния в нижние, обусловливающие наблюдаемые в
действительности линии флуоресценции таллия. Специальные опыты,
на которых мы не останавливаемся, показали, кроме того, что эти
липни ненормально расширены вследствие эффекта Допплера.
Всё явление было названо сенсибилизированной флуоресценцией.
§ 231. Резонанс при передаче энергии ударами второго рода
Удары второго рода играют большую роль во всех процес-
сах обмена энергией при соударениях между атомами и моле-
кулами. Ограничимся немногими характерными примерами.
Если подмешать в небольшом количество к парам ртути пли
натрия какой-нибудь посторонний газ и затем вызывать опти-
§ 231]
РЕЗОНАНС ПГИ ПЕРЕДАЧЕ ЭНЕРГИИ
2«И
ноское возбуждение основного газа (Hg, Na), то интенсивность
резонансной флуоресценции, вообще говоря, уменьшается. Это
явление называется тушением флуоресценции. Объяснение его
состоит в том, что при ударе второго рода между атомом или
Рис. 285. Тушение резонансной флуоресценции ртути посторонними
газами.
состояние без излучения. Оказывается, что эффективность раз-
личных газов в отношении тушения флуоресценции весьма раз-
лична. На рис. 285 приведены результаты исследования туше-
ния флуоресценции паров ртути; по осп абсцисс отложены
давления подмешанных газов в мм Hg, по оси ординат — интен-
сивность флуоресценции паров Hg. Видно, что благородные
газы — Не, Аг —почти не вызывают тушения; малое тушение
вызывает молекулярный азот, ио большой эффективностью ту-
шения обладают воздух, СО, О2 и Н2.
Детальное теоретическое и экспериментальное изучение этого
и аналогичных явлений привело к следующему важному резуль-
тату: вероятность превращения энергии возбуждения в кине-
тическую энергию соударяющихся партнёров всегда мала; веро-
ятность передачп энергии ударом второго рода оказывается
наибольшей в тех случаях, когда соударяющийся атом или
молекула имеет уровень энергии, близкий к энергии возбу-
ждённого атома. Именно по этой причине благородные газы
так мало эффективны в тушении резонансной флуоресценции
292
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
[гл. XVI
ртути: энергия возбуждения состояния б3^ ртути, как мы
знаем, 4,9 eV, тогда как низший возбуждённый уровень энер-
гии гелия лежит у 20 eV. По той же причине молекулы всегда
более эффективны в отношении тушения, нежели атомы: един-
ственная возможность возбуждения атомов состоит в возбу-
ждении электронных переходов, и сравнительно редко элек-
тронные уровни различных атомов оказываются близкими друг
к другу; напротив, в случае молекул, кроме электронных уров-
ней, имеются ешё колебательные п вращательные уровни, и
разнообразие энергетических состояний поэтому значительно
больше. Особая эффективность молекулярного водорода объяс-
няется следующим замечательным фактом: энергия диссоциа-
ции молекулы Н2 равна 4,34 eV п, таким образом, близка
к энергии возбуждения атома Hg(C>3/*1), равной 4,9 eV. Поэтому
при соударении второго рода атома Hg(G3Z)1) с молекулой Н2
последняя с большой вероятностью воспринимает энергию, превос-
ходящую её энергию диссоциации. Франку удалось на самом
деле показать, что при освещении смеси паров ртути и водорода
резонансной линией Hg в смеси появляются свободные атомы
водорода, т. е. происходит диссоциация молекул Н2.
Если найти экспериментально давление постороннего газа,
уменьшающее интенсивность флуоресценции вдвое, то можно
вычислить радиус эффективного сечения атома для передачи
энергии при ударе второго рода. Эти вычисления привели к сле-
дующему замечательному результату: оказывается, что радиус
эффективного сечения для ударов второго рода, вообще говоря,
в несколько раз превосходит радиус атома, определяемый из
кинетической теории газов (из таких явлений, как внутреннее
трение или диффузия); он особенно резко возрастает при наличии
резонанса между энергией возбуждённого атома и энергией воз-
буждения (в предельном случае—энергией диссоциации или иони-
зации) соударяющегося с ним атома или молекулы. В рас-
смотренном примере тушения флуоресценции паров ртути радиус
эффективного сечения для воздуха оказался в 1,8 раза, а для
молекулы Н2 в 5,5 раза больше радиуса, определяемого из кине-
тической теории газов.
Особенно чувствительным индикатором взаимодействия между
атомами является состояние поляризации флуоресценции. Если
возбуждать атомную флуоресценцию линейно поляризованным
светом, то свет флуоресценции оказывается частично деполяризо-
ванным. Замечательно, что эта деполяризация резко возрастает
при подмешивании постороннего газа и в сильнейшей степени
зависит от давления самого светящегося газа (резко возрастая
при повышении давления). Радиус эффективного сечения для
деполяризации посторонними газами в некоторых случаях в сотни
раз превосходит газ-кинетический радиус. Особенно замечатель-
§ 231]	РЕЗОНАНС ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ЭНЕРГИИ	293
ный результат был получен при изучении деполяризации, флуо-
ресценции чистых паров натрия с увеличением его давления.
В этом случае, очевидно, имеется точный резонанс между соуда-
ряющимися партнёрами, и радиус эффективного сечения оказался
в 10 000 раз превосходящим газ-кинетический радиус.
Наглядное доказательство роли резонанса при соударениях
второго рода было получено при изучении флуоресценции паров
натрия, сенсибилизированной парами ртути.
Ek ли освещать смесь паров Na и Hg резонансно it линией
ртути 2536,52 А, то возникает сенсибилизированная флуорес-
ценция натрия. Измеряя интенсивность спектральных линий
этой флуоресценции, можно установить, какие уровни натрия
возбуждаются с наибольшей вероятностью. Запас энергии
атома Hg, поглотившего свет а = 2536,52 А, равен 4,9 eV =
= 112,04 кг-кал/молъ; у натрия имеется несколько термов, энер-
гия возбуждения которых лежит между 103 и 113 кг .кал/моль:
это термы 2£6/2, з/2 с главными квантовыми числами от 6 до 9
и термы 2Ni/2 с главными квантовыми числами от 5 до 8.
Оказалось, что при сенсибилизированной флуоресценции Na
с наибольшей вероятностью возбуждается терм 8251/2, которому
соответствует энергия возбуждения 112,49 кг-кал/молъ, почти точ-
но совпадающая с запасом энергий атома Hg (112,04 кг-кал/молъ).
Это видно из того, что интенсивность линии второй побочной
(резкой, см. § 186) серии Na 82Ni/2 — 32/JS/2 при сенсибилизиро-
ванной флуоресценции наибольшая, тогда как при возбужде-
нии спектра Na в дуге интенсивность этой линии наименьшая.
Следующая по интенсивности линия при сенсибилизированной
флуоресценции соответствует возбуждению уровня 8279з/2,з/2
с энергией 111,42 кг • кал/молъ; наконец, уровень 521>5/2,з/2с энер-
гией 98,21 кг • кал/моль, возбуждаемый в дуге с наибольшей
вероятностью, при сетгсибилизироваштой флуоресценции возбу-
ждается с наименьшей вероятностью.
При добавлении к смеси Na-j-Hg постороннего газа наблю-
дается новое явление: усиливается линия резкой серии Na
62Ni/2 - 32Р1/2, з/2, для возбуждения которой требуется энергия
108,05 кг-кал/молъ. Объяснение этого эффекта чрезвычайно
просто. Немного ниже возбуждённого уровня Hg б3/9,, дающего
начало линии 2536,52 А, лежит уровень 63/>0 с энергией возбу-
ждения 107,02 кг-кал/молъ. Спонтанный переход 63Z\ — б3/^
запрещён правилом отбора AZ = -f-l, ио в присутствии посто-
роннего газа этот переход оказывается возможным (обычное
явление) с передачей разности энергии 112,04—107,02 =
= 5,02 кг-кал/молъ атому постороннего газа. Поэтому в при-
сутствии постороннего газа часть возбуждённых атомов ртути
переходит в состояние 63Z)0; при соударении этих атомов с
атомами натрия с наибольшей вероятностью возбуждается
294
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
[гл. XVII
Рис. 286. Резопапс при передаче энергии
ударами второго рода. (Числа, указанные
па осп ординат, пропорциональны интен-
сивности.)
уровень Na 62Ni/2. Мы видим, что при обмене энергией путём уда-
ров второго рода действительно наблюдается отчётливый резо-
нанс. О резвости этого резонанса можно судить по рпс. 286,
где па оси абсцисс нанесены энергии и отмечены термы ртути
6 84 и 63Р0, а па оси ординат — вероятность возбуждения тер-
мов Na при соударениях с возбуждёнными атомами Hg, нахо-
дящимися в состояниях б3/*! и 63Р0.
Аналогичный резонанс наблюдается при простейшей реакции
обмена электроном между ионизованным п иепоппзованпым
атомами. Если имеется
смесь двух сортов атомов
ионизованных (А?) и пеонп-
зованных (У) и если по-
тенциал ионизации у иони-
зованных атомов выше,
чем у деионизованных, то
происходит реакция
А+ + У —>X + Y\
Например, у гелия потен-
циал ионизации равен
24,5 eV, у неона он равен
21,5 eV. В смеси Не+ 4- Ne
происходит реакция
Не' 4- Ne —> Не -f- No+.
Избыток энергии (21,5 —
— 21,5) eV = 3,0 eV превра-
щается в относительную
кинетическую энергию со-
ударяющихся атомов. Ока-
зывается, что реакция опи-
санного типа происходит
с наибольшей вероятностью тогда, когда разность потенциалов
ионизации имеет наименьшую величину, т. е. когда минималь-
ная часть энергии ионизованного атома превращается в кине-
тическую энергию. Так, например, в следующем ряде реакции:
Не+ 4- Ne —»Не 4- Ne+
Ne+ 4- Аг —> Ne 4- Аг+
Не' 4- Аг —-> Не 4- Лг+
(24,5 — 21,5 eV = 3,0 eV)
(21,5 -15,7 eV = 5,8 eV)
(24,5 — 15,7 eV — 8,8 eV)
вероятность передачи электрона убывает сверху вниз. Весьма
высока вероятность обмена электроном в реакции
Не+ 4- N2
He + N^
ВРЕМЯ ЖИЗНИ ВОЗБУЖДЁННЫХ СОСТОЯНИЙ
295
так как потенциал ионизации молекулы N2 лежит между
23 и 25 eV.
Мы описали так подробно эти процессы потому, что подобного
рода резонанс представляет собой чрезвычайно общее явление и,
в частности, играет большую роль при ядерных взаимодействиях.
§ 232. Время жизни возбуждённых состояний
уже рассматривали вопрос о за-
зрения квантовых представлений.
В § 93 первого тома мы
тухашш свечения с точки
Рпс. 287. К определению т по методу
флуоресценции.
в § 93. Другой прямой метод,
Рис. 2КУ. Флуо-
ресцирующая
струя паров
ртути.
.Мы видели там, что зависи-
мость интенсивности от вре-
мени может быть представле-
на формулой вида
7 = 70е s (93,8)
где т —среднее время пре-
бывания в возбуждённом со-
стоянии. Поскольку речь идёт
о спонтанных переходах, эта
величина характеризует устой-
чивость возбуждённого состоя-
ния. Существует ряд прямых и
косвенных методов опреде-
ления -и. К числу прямых
методов относится метод Ка-
чаловых лучей, оппсаттиых
впервые осуществлённый Вудом, а затем —Рэлеем (младшим),
состоит в следующем. Струя паров, получаемая при
ДССТИЛЛЯЦ1Ш ртути (рпс. 287), в определённом мосте
освещается узким пучком света, под действием
которого возникает флуоресценция. Вследствие ко-
нечной длительности возбуждённых состояний и
большой скорости атомов в потоке, флуоресценция
имеет вид светящейся узкой длинной волосы
(рис. 288), интенсивность которой! убывает с уве-
личенном расстояния от моста, где падает воз-
буждающий пучок света. Измеряя это затухание
п зная скорость атомов в потоке, можно опреде-
лить т. Таким путём были определены длитель-
ности некоторых возбуждённых состояний ато-
мов ртути и других веществ. Например, для
состояния 53Р1о кадмия (резонансный уровень,
соответствующий линии 3261 А) было найдено т = 2,5 • 10~6 сек.
Зт’от метод пригоден только для длительно живущих состояний
296
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
[гл. XVII
вследствие того, что скорость атомов в потоке но превосходит
105 см/сек.
Существует довольно много косвенных методов определения х.
К числу пх относится, например, метод, основанный на изуче-
нии линий поглощения. Параллельный монохроматический пучок
света частоты v, пройдя через слой вещества толщиной dx, ослаб-
ляется вследствие поглощения. Уменьшение интенсивности dJ v
в слое
Кг
dx пропорционально
интенсивности Jt пучка, входящего
в слой, и толщине слоя dx
— dJv — dx,
откуда для коночного слоя толщи-
ны х получаем
J v —- Jq^c ^\а;)
т’до Jov  интенсивность света, вхо-
дящего в слой; к., называется
Рис. 289. Контур линии погло- коэффициентом поглощения. Если
щепия.	достроить кривую, изображающую
зависимость kv от v, то в области
липин поглощения получается кривая, изображенная на рис. 289.
Площадь, ограниченная осью абсцисс и контуром линии по-
глощения, выражается следующим образом *):
<232-‘>
где а0 —длина волны, соответствующая максимуму поглощения;
g2 и gi — статистические веса состояний, переход между которыми
ведёт к поглощению данной длины волны (см. т. I, § 95);
N— число атомов в 1 см3. Таким образом, ври помощи фор-
мулы (232,1) можно определить х но площади, ограничиваемой
линией поглощения. Определение атомных констант по площади
полосы поглощения было впервые предложено Т. П. Кравцом
в .1908 г.
Для косвенного определения х может быть использован и ряд
других оптических явлений. Таковы, например, магнитное вра-
щение плоскости поляризации света, дисперсия — нормальная
и аномальная (особенно изящным и точным методом изучения
последней является интерференционный метод —так называемый
«метод крюков», предложенный и развитый Д. G. Рождествен-
ским), деполяризация резонансной флуоресценции. Рассмотрение
*) Вывод этой формулы основан на теории излучений Эйнштейна (т. К
§ 93); см. А. Н. Теренин, Введение в спектроскопию, стр. 192 и след..
Кубуч, 1938; см. также- А. Митчелл и М. Зе мане кий, Резонансное
излучение и возбуждённые атомы, стр. 88 и след., ОНТИ, 1937.
§ 233]
ШИРИНА УРОВНЕЙ. АВТОИОНИЗАЦИЯ
297
этих методов завело бы нас, однако, очень далеко *), и поэтому'
мы ограничимся приведением некоторых численных результатов.
Таблица XXXVIII. Средние времена длительности
возбуждённых состояний х для различных атомов
Атом	Сериальный епмвол ЛИППИ	Длина волны в А	т в сек.
II	1 -Sii? — 22ZJ	1210	1,2- 10~8
Na		3890,5!)	1,0 • КГ8
К	4 V>’1/2 — /j	7099.70	2,7 • 10'8
Cd	5V?0 -.VP,	3201	2,5 • Ю"6
11g	6 ГУ,, — 03P,	2537	1	• 10'7
§ 233. Ширина уровней. Автоионизация
Мы видим таким образом, что сродное время жизни т имеет,
вообще говоря, порядок величины 10-7— Ю"8 сек. и в отдельных
случаях возрастает до 10~3 сок. С этой нормальной продолжи-
тельностью жизни связана определённая естественная ширина
спектральных линий. Необходимость существования конечной
естественной ширины спектральной линии вытекает уже из
классических соображений (см. т. I, §§ 66 — 70), связывающих
время релаксации осциллятора (§ 66) с шириной спектральной
линии.
Квантовая теория приводит к аналогичному заключению на
основании следующих соображений. Поскольку спонтанный пере-
ход есть явление случайное, не существует определённого, одина-
кового для всех возбуждённых атомов времени жизни, но можно
говорить только о средней продолжительности жизни. Можно
показать, что величине т, рассматриваемой как неопределённость
момента перехода, x=St, обязательно соответствует неопределён-
ность А£ энергии уровня, причём между Д£ п Д£ имеет место
соотношение
>h,
аналогичное соотношениям неопределённости между координатами
и соответствующими импульсами. Поэтому только для бесконеч-
ной длительности жизни Д£ —> сю неопределённость &Е —-> 0,
и уровню соответствует строго определённая энергия Е. При
*) Интересующихся мы отсылаем к книге Митчелла и Земап-
с к о г о, упомянутой в предыдущем примечании.
298
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
[гл. XVII
конечной величине и ДА1 имеет конечную величину, т. е. суще-
ствует конечная ширина уровня, вследствие чего и частота спек-
\Е ,
тральной линии неопределенна в пределах—== Ду; при этом, так
h h	' 2?	1
как — = —^ДЕ”, то ширина Ду = --^-~, Соотношение между
расширениями начального и конечного уровней и шириной линии
наглядно показано
Рис. 290. Соотношение между
естественной шириной спектраль-
ной линии н естественными рас-
ширениями уровней энергии.
кенг-ур линии
290. Ширина спектральной линии Ду,
соответствующая нормальной про-
должительности жизни возбуждён-
ного состояния, и есть естествен-
ная ширина спектральной линии.
Для длин волн, соответствующих
видимой части спектра, она имеет
порядок величины тысячных долей
единицы Ангстрема и обычно с из-
бытком перекрывается расшире-
нием вследствие эффекта Допплера
и междуатомных взаимодействий,
обусловливающих влияние давле-
ния газа па ширину спектраль-
ной линии.
Сокращение длительности жиз-
ни т против нормальной нередко
вызывает соответствующее расши-
рение спектральной линии. Такие
ненормально расширенные линии
встречаются
спектрах и гораздо чаще — в
пекулярных. Пример сильного рас-
ширения линий приведён
... рпс. 291, изображающем
спектра меди (Cui), где
пой шириной отличается
4539,70 А (Ду — 4,87 саг1,
как ширина соседней
иногда в атомных
мо-
на
часть
особси-
лппия
тогда
линии
4509,39 А равна 0,39 саг1). По-
добного рода эффекты обычно свя-
вслодствле каких-либо процессов
запы с сокращением жизни
распада. В случае атомных спектров этим процессом служит так
называемая автоионизация. Механизм этого явления удобно
разъяснить на простейшем примере атома гелия. На рис. 292
левая колонка представляет собой последовательность уровней
энергии в том случае, когда один из электронов находится
в «одноквантовом» состоянии, т. е. имеет главное квантовое число
л1==1, а другой — может быть либо также на нормальном
ШИГИНА УРОВНЕЙ, автоионизация
299
уровне «2 —1, либо на одном пз возбуждённых (/?2 = 2, 3, ...).
Уровни энергии, как обычно, постепенно сближаются и в конце
концов сливаются. Выше этого места слияния лежит область
неквантовапных значении энергии. Это означает, что электрон,
получивший избыток энергии, достаточный для перехода в эту
область сплошного спектра термов, отделяется от атома, т. с.
происходит ионизация (см. т. I, § 105). Можно рассчитать, одпако,
г'ис. 291. Узкие и широкие .kihihi в одним и том же мультиплете в спектре
меди (на рисунке приведён спектр Си I; для удобства размещения часть
спектра изъята).
схему уровней в предположении, что оба электрона возбуждены,—
напршмер, что один электрон находится на уровне
а другой —либо на том же, либо па более высоком уровне, или
что один находится на уровне пг 3 и т. д. Такие схемы также
приведены на рис. 292. Обратим теперь внимание на следующее
обстоятельство. В том случае, когда один пз электронов находится
на уровне ?г1 = 2, а другой — на более высоком возбуждённом
уровне, энергия атома в этом дискретном состоянии приходится
на сплошную область первой последовательности термов (см. стрелки
па рис. 292). В результате между дискретным состоянием II
(или III} и сплошным I возникает резонанс, при котором система
ЗОЭ
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
[гл. XVII
с большой вероятностью переходит в состояние I с последующим
распадом, ионизацией.
Обозначим через 3 вероятность возвращения электрона в низшее-
состояние в дискретной последовательности, т. е. с излучением;
через 7 — вероятность перехода в сплошную область последова-
тельности I, т. о. вероятность ионизации. В таком случае выход
излучения будет, очевидно
7
М 
выход
ионизации
а
Q
Так как среднее время жизни т равно обратной величине вероят-
1 I 1
ности перехода [см. т. I, формулу (93,7)], то В + у = —	,
'-s	'-Z
где т, — среднее время жизни для
перехода с излучением, а тг- —для
перехода с ионизацией. Ширина уров-
< 1
ня Av по предыдущему равна — ,
а потому
Av
~	Р + Y •
Мы видим, что ширина уровня
в этом случае существенно зависит
от соотношения вероятностей р п у.
Если у имеет тот же порядок вели-
чины, что и (3, то уровень сохраняет
ширину, соответствующую естествен-
ной ширине спектральной линии.
Нередко, однако, вероятность пере-
хода с ионизацией, у, оказывается
значительно больше 3. В таких слу-
1	1
чаях - — > — , вследствие чего шп-
l . 1
рпна уровня — А- — - целиком опре-
'С -г
е. оказывается значительно больше
линия при этом будет также соответ-
7 ^7=7
Pile. 292. Схема термов гелия
при возбуждения одного или
обоих электронов.
.. 1
деляется величиной —-, т.
Tz
нормальной, и спектральная
ственно расширена. Ионизация атома, которая ведёт к подобному
расширению, называется автоионизацией в знак того, что освобо-
ждение электрона происходит здесь не под действием внешних
причин, но вследствие перераспределения энергии внутри самого
атома. Экспериментально подобные эффекты были обнаружены,
в ряде сложных спектров, в так называемых штрихованных
термах, возникающих при возбуждении двух электронов. Так,
например, в случае меди, Си I, липин, происходящие от тер-
мов 4Z), 2D (при J = — и — Л , в источниках низкого давления
3 233]
ШИРИНА УРОВНЕЙ. АВТОИОНИЗАЦИЯ
301
отсутствуют или чрезвычайно слабы, а в источниках высокого
давления — наблюдаются, но сильно расширены (см. рис. 291).
Непосредственное обнаружение автоионизации в случае опти-
ческих спектров затруднительно, но она легко обнаруживается
в рентгеновской области. Фотографируя при помощи камеры
Вильсона фотоэлектроны, освобождаемые рентгеновскими лучами
в тяжёлых благородных газах (например, в криптоне), Оже
Рис. 293. Эффект Оже в криптоне.
нашёл, что в некоторых случаях в одной точке берут начало
два следа (рпс. 293). Это явление, названное эффектом Оже,
представляет собой типичный случай автоионизации. При осве-
щении криптона рентгеновскими лучами достаточно короткой
длины волны (так, чтобы величина фотона Av, например, пре-
восходила энергию ионизации электрона Tf-слоя криптона),
во-первых, освобождается фотоэлектрон из /г-слоя. Освободив-
шееся место может быть заполнено путём перехода электрона
из слоя L, т. о. с излучением линии К,,. По так как энергия
возбуждения атома при этом оказывается большей энергии
ионизации Л-электрона, то возможен оппсаппый выше резонанс-
ный переход атома без излучения с освобождением второго
электрона. Кинетическая энергия, которую при этом приобретает
освобождаемый электрон, очевидно, равна энергии возбуждения
атома минус энергия ионизации L-электрона, т. е.
eV = K — 2L.
Но так как К — L = h'>K^, то
eV = h^Ka — L.
302	ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОНЫ	[гл; XVII
Это значит, что фотоэлектрон приобретает такую кинетическую
энергию, как если бы он освобождался нрн фотоэффекте под
действием К^-излучения, возникающего внутри того же атома.
Подобный способ наглядного описания эффекта возможен, однако-
он не передаёт сущности явлен пя, которое состоит как раз во
внутренних переходах без пролежу точного излучения. Его можно
правильнее описать как своего рода «внутренний удар второго
рода». При рассмотрении свойств у-лучсй в главе XXI мы уви-
дим, что подобного рода эффекты внутреннего перераспределе-
ния энергии, называемые внутренней конверсией,—частое явление.
Различного рода количественные испытания, предпринятые для
проверки данного выше объяснения эффекта Оже, полностью
подтвердили это объяснение.
Эффект Оже не сопровождается расширением линий, так-
как в этом случае вероятность перехода без излучения у того же
порядка величины, что и [3, что подтверждается измерениями
выхода излучения КЛ по сравнению с выходом автоионизации.
§ 234.	Интенсивность спектральных линий
Интенсивность спектральных линий обусловлена, с одной сто-
роны, вероятностью квантового перехода, ведущего к излучению
данной частоты (§ 191), а с другой — числом атомов, находящихся
в соответствующем возбуждённом состоянии. Как уже было пока-
зано (§ 192), вероятности перехода могут быть вычислены при
помощи квантовой механики, причём получается следующая
формула:
(234,1)
где егтп—матричный элемент дипольного перехода т—>??. Что же
касается числа атомов в верхнем (возбуждённом) состоянии, то
зависимость от пего при прочих равных условиях приводит к неко-
торым простым арифметическим соотношениям для интенсивности
линий в мультиплетах.
Рассмотрим сначала случай температурного свечения. Здесь
возбуждение получается за счёт соударений между атомами.
Согласно статистической формуле Больцмана при термодинами-
ческом равновесии отношение чисел атомов, обладающих энергия-
ми Ет и Еп, будет
Nm e-Eil‘lkT
e-EnikT
при условии, если статистический вес обоих состояний одинаков.
Так как этого, вообще говоря, не бывает, то правую часть напи-
санного равенства нужно ещё умножить па отношение статпстп
§ 234]
ИНТЕНСИВНОСТЬ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
303
ческих весов gm/gn; в результате получаем
Ет _ gme~Em!kT
Лп 8п-Е“!к'Г ‘
(234;2)
Если мы имеем дело с узким мультиплетом (например, с дубле-
том с очень малым расстоянием между компонентами), то
Ет яь Еп, и мы получаем
Ет — Ел*
Е ti	Sii
(234,3)
Для узкого мультиплета также и зависимость вероятности
перехода от частоты, требуемая формулой (234,1), становится
мало ощутительной, и отношение интенсивностей практически
полностью определяется отношением статистических весов.
В случае возбуждения свечения в газовом разряде, т. е. под
действием удара электронов, больцмановский фактор е~Е‘кТ
делается вообще несущественным, потому что скоростям электро-
нов в разряде соответствует столь высокая температура, что
фактор е~Е1кТ можно положить равным единице. Таким образом,
и в этом случае отношение интенсивностей практически опреде-
ляется отношением статистических весов. За меру же статисти-
ческого веса естественно принять степень вырождения данного
уровня, т. е. число подуровней, на которое он распадается в маг-
нитном поле. Для уровня, характеризуемого данным значением /,
это число, как известно, равно 2/ + 1 (§ 209):
g = 2y + 1.
Рассмотрим, например, головной дублет главной серии щелоч-
ных металлов (для натрия — дублет D). Нижнее состояние для
обеих линий этого дублета 25i/„ простое; верхние же состояния
суть 2А/а и 2А/2. Статистические веса обоих /^-состояний будут
2 у + 1 = 4 и 2 у 4- 1 = 2. Итак, интенсивности обеих компонент
дублета должны относиться как 4:2 = 2: 1, что и наблюдается
на самом деле. Возьмем триплет магния а — 5183,6; 5172,7;
5'167,ЗЛ. Он обусловлен переходом с простого верхнего уровня
435'1 па три нижних уровня 33Р0, 331\, 33Р2 (рпс. 294). Отноше-
ние статистических весов здесь 1:3:5. Таково же и отношение
интенсивностей линий триплета.
В рассмотренных двух примерах один из уровней — верхний
или нижний — был простым. Нередки, однако, случаи, когда
и верхние, и нижние уровни кратные. В этих случаях имеет
место следующее правило сумм, открытое эмпирически: представим
себе, что либо верхние, либо нижние уровни слились в один', тогда
304
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
[гл. XVII
дублета цезия интенсивности
суммы интенсивностей линий, обусловленные этим слиянием, от-
носятся, как статистические веса неслившихся уровней.
Рассмотрим в качестве примера так называемый сложный дублет
первой побочной серии щелочных металлов (см. § 186), получающий-
ся в результате комбинации дублетных термов Р и D. На рис. 295
приведена схема переходов, при которых возникает этот дублет. Внизу
показаны его три линии (две основные и слабый «спутник») и приведе-
ны измеренные у такого сложного
(100, 12, 60). Если представить се-
бе, что слились верхние уровни, то
сумма интенсивностей слившихся
линий будет 100 + 12 — 112; отно-
шение интенсивностей 112 : 60 —
= 1,87:1 приблизительно равно
отношению статистических весов
неслившихся нижних уровней:
4:2 = 2: 1. Если же представить
себе, что слились нижние уровни,
Рис. 294. Возникновение триплета
магния.
ч
%
%,
42
Zj*’
6
ВО
100
Z?
Рис. 295.
то сумма интенсивностей будет 60 4- 12= 72; отношение 100:72 =
= 1,39:1 приблизительно равно отношению статистических весов
верхних уровней 6 : 4 = 1,5 : 1.
Отметим в заключение, что, как видно из сказанного, отноше-
ние интенсивностей внутри мультиплета совершенно нс зависит
от главных квантовых чисел и в первую очередь обусловлено
статистическим весом, зависящим только от квантового числа /.
§ 235]	МЕТАСТАБИЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ	305
§ 235.	Мотастабильные состояния
Наряду с короткоживущими состояниями существуют и со-
стояния ненормально длительные. Для рассмотрения их необ-
ходимо напомнить прежде всего уже неоднократно встречав-
шиеся нам правила отбора. Согласно комбинационному принципу
(т. I, § 98) каждая линия, наблюдаемая в спектре, есть резуль-
тат комбинации двух термов; однако обратное может и не
иметь места: не всякая комбинация термов даёт начало спек-
тральной линии. Эмпирически уже задолго до возникновения
квантовой механики были найдены условия, которым должны
удовлетворять термы, чтобы их комбинация была возможна.
Как мы видели в § 193, квантовая механика дала теорети-
ческое обоснование этим правилам отбора. Первое правило,
с которым мы встретились уже в § 186, состоит в том, что осу-
ществляются переходы, при которых азимутальное квантовое
число излучающего электрона изменяется на Jz 1:
AZ=± 1.	(235,1)
В подавляющем большинстве случаев возбуждение атома связано
с изменением состояния одного, а именно — излучающего элек-
трона. Поэтому правило (235,1) молчаливо предполагает, что
квантовые числа остальных электронов остаются без изменения.
Однако в редких случаях наблюдаются переходы с изменением
квантовых чисел двух электронов. В таких случаях квантовое
число второго электрона должно изменяться па i 2.
Теоретическое обоснование правила отбора (235,1), как мы
видели в § 193, состоит в том, что матричный элемент диполь-
ного момента
Dmn = Фт(вж) <Ъп(к,
от которого зависит вероятность перехода, отличен от нуля
только тогда, когда для излучающего электрона выполняется
условие (235,1). Более общая и точная формулировка этого
правила дана в приложении XI. Там показано, что все термы
атома следует разделить на чётные и нечётные, т. е. те, у ко-
торых арифметическая сумма азимутальных квантовых чисел
чётна или нечётна. Тогда правило отбора можно формулировать
так: переходы могут происходить только между термами различ-
ного класса чётности, т. е. чётным и нечётным, но не могут
происходить между термами одинакового класса чётности. Легко
видеть, что в эту общую формулировку включаются как случаи
изменения квантового числа одного электрона, так и редкие
случаи изменения квантовых чисел двух электронов.
В03ВУЖДЁШ1ЫЕ АТОМЫ
[гл. XVII
Следующее общее правило отбора состоит в том, что при
переходах квантовое число полного момента импульса J должно
изменяться па + I или оставаться без изменения (§ 207):
Д/ — 0, ± 1;
(235,2)
при этом, однако, переходы 0—^0, хотя и удовлетворяют пра-
вилу AJ 0, не осуществляются.
Кроме этих общих правил, существуют так называемые спе-
циальные правила отбора, которые должны удовлетворяться
только в тех случаях, когда строго осуществляется нормальная
связь векторов L и S (§ 217). Эти правила состоят в том, что
геометрическая сумма L векторов орбитального момента lz от-
дельных электронов должна оставаться постоянной или меняться
на ±1, а геометрическая сумма S векторов спина sz- отдельных
электронов не должна меняться. Так как от геометрической
суммы S зависит мультпплетпость терма (§ 217), то последнее
правило устанавливает, что переходы должны происходить между
термами одинаковой мультиплетностп (сипгулет—сипгулет, дублет—
дублет п т. д.). Переходы же между термами различной мультп-
плетностп (например, спнгу.тот— триплет) - так называемые
инпгеркомбинацлш -- запрещаются.
Хотя эти правила имеют теоретическое обоснование, мы
постоянно встречаемся с тем фактом, что они не являются
абсолютно жёсткими и в отдельных случаях нарушаются. Это
относится как к специальным правилам отбора, так и
к общим.
Что касается специальных правил, то уже было указано, что
условием их применимости является строгое выполнение нормаль-
ной связи. Но так как реальные атомы подчиняются нормальной
связи лишь более или мопсе приближённо, то и специальные пра-
вила отбора допускают исключения, которые на самом деле
наблюдаются, особенно в случае тяжёлых атомов. Типичным
примером нарушения специальных правил являются так назы-
ваемые пптеркомбинацпонпые липин, возникающие при перехо-
дах между триплетными и сиптулетиыми уровнями. Хорошо
известная резонансная линия паров ртути 2536,52 А, обладаю-
щая исключительно высокой интенсивностью, как раз является
линией иптеркомбипацпонноп 63/Jx —б1^. Аналогичные интер-
комбинациоииые линии наблюдаются и в спектрах других атомов
с двумя валентными электронами (Be, а также Zn и Cd). Инте-
ресно, однако, отметить, что соответствующая им вероятность
перехода (от которой зависит интенсивность линии) оказывается
тем меньшей, чем точнее выполняется нормальная связь. Так,
например, в случае бериллия (Bel), где нормальная связь
выполняется хорошо, вероятность перехода 23Р1--21Х0 составляет
§ 235]
METACT АБИЛЫ1ЫЕ СОСТОЯ НИЯ
307
всего 0,2 сек,"1 *), тогда как у ртути нормальная связь нару-
шается и вместе с тем вероятность интеркомбинационного пере-
хода 63Р,—6J5(I возрастает до 107 сон."1.
Отметим, далее, что правила отбора применимы, вообще
говоря, только для переходов под действием излучения в случае
абсорбции или к спонтанным переходам в случае эмиссии. Опп
заведомо нарушаются при возбуждении соударением, а также
в присутствии сильных электрических или магнитных полей.
До сих пор мы говорили о нарушениях специальных правил
отбора или о нарушениях под влиянием возмущений. В некото-
рых случаях, однако, нарушаются и общие правила отбора и притом
в отсутствии возмущений. Так, например, согласно правилу фор-
мулированному в начале этого параграфа, переходы между терма-
ми '-S и 2D запрещены, так как при этих переходах квантовое
число I изменяется на две единицы. Между тем у всех щелочных
металлов наблюдаются слабые липни, соответствующие переходам
2D---S. Вероятности переходов, соответствующие этим линиям,
были определены В. К. Прокофьевым. Хотя эти вероятности
оказались в 106 раз меньшими вероятностей «разрешённых» пере-
ходов 2ZJ —25, тем не метгее линии вполне доступны наблюдению.
Противоречие между осуществимостью подобных переходов
с. А/—	2 и правилом отбора А/ = ± 1, однако, кажущееся.
Не следует забывать, что правило отбора AZ = -j- 1 должно иметь
место строго только для чисто дипольных переходов (см. § 193)_
Но вероятность перехода зависит от матричного элемента, кото-
рый только в первом приближении соответствует излучению
электрического диполя, так как дипольный момент является
только первым членом ряда, представляющего вероятность пере-
хода. Не менее важен и второ]! член, соответствующий излучению
электрического квадруполя (и магнитного диполя). Как мы видели
в § 193, при обычных условиях вероятность перехода, соответ-
ствующая дипольному переходу, во много раз превосходит веро-
ятность квадрупольного, а тем более — переходов, соответствую-
щих более высоких! мультмполыгостям. Если поэтому с одного
и того же возбуждённого уровня возможен как дипольный, так
и квадрупольный переход, то линия, соответствующая дипольному
переходу, будет во столько раз интенсивнее, что квадрупольную
линию можно будет наблюдать только при особенно благоприят-
ных условиях.
Из сказанного следует, что переходы с А/ =- + 2 по существу
не являются «запрещёнными». Поскольку, однако, в большинстве
*) Вероятность перехода есть обратная величина времени жизни
Лтп — —--- (см. т. I, § 93), ввиду чего вероятность перехода измеряется
в обратных секундах.
308
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
[гл. XVII
случаев им соответствуют линии, во много раз менее интенсив-
ные, нежели «дипольные», название «правило отбора» для усло-
вия Д/ =	1 с практической точки зрения является оправдан-
ным, хотя не следует забывать, что переходы, не удовлетво-
ряющие этому правилу отбора, являются запрещёнными для
дипольного излучения.
Если дипольный переход будет запрещён каким-нибудь пра-
вилом отбора (например, запретом интеркомбинаций), то атом
будет длительно пребывать в возбуждённом состоянии, нередко
обладая большим избытком энергии. Средняя продолжительность
жпзпи атома в таком возбуждённом состоянии, равная обратной
величине вероятности перехода, может достигать огромной дли-
тельности, порядка 10~3—1 сек., т. с. в 105—108 раз большей
нормальной продолжительности жизни для дипольного перехода.
Подобные относительно устойчивые состояния называются мета-
стабильными.
Примером метастабильного состояния может служить состоя-
ние ls-2,9 3St ортогелия (рис. 256). Энергия возбуждения этого
состояния очень велика (19,77 eV). Тем не менее переходы
из него с излучением в обычных условиях нс наблюдаются, так
как переход к единственному нижележащему состоянию 1s2150
запрещён двумя правилами отбора: правилом Д/ ~ -]- 1 (в данном
случае Д/ — 0) и запретом интеркомбииаций триплет — сингулст.
Именно вследствие своей устойчивости состояние это является
основным в системе ортогелия. Состояние	у гелия также
является метастабильпым, так как его переход в нормальное
состояние запрещён правилом отбора Д/•= щ 1.
В случае ртути переход 63B0 —>	запрещён правилом отбора
для / (переходы 0 —> 0 не осуществляются). Состояние 63РО
поэтому является метастабильпым. Этим объясняется целый ряд
фактов, из которых мы приведём два следующих: 1) прибавление
к смеси паров ртути и таллия постороннего газа (например,
аргона или азота) ослабляет испускание резонансной линии
ртути, но усиливает сенсибилизированную флуоресценцию таллия;
2) в опытах со ступенчатым возбуждением ртути прибавление
к парам ртути азота при давлении в несколько миллиметров
весьма значительно усиливает интенсивность видимых линий
5460,74А, 4358,34А и 4046,56 А. В первом случае возбуждён-
ные атомы ртути при соударения с атомами постороннего газа
отдают небольшую часть своей энергии (около 0,2 eV) и перехо-
дят в метастабпльное состояние 63.Р0. Спонтанное возвращение
из этого состояния на нормальный уровень б1^ невозможно,
вследствие чего флуоресценция паров ртути ослабляется, но зна-
чительное увеличение продолжительности жизни в метастабильном
состоянии повышает вероятность удара второго рода с атомами
таллия, и яркость сенсибилизированной флуоресценции таллия
§ 236]
ЗАПРЕЩЁННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
309
возрастает. В опытах со ступенчатым возбуждением ртути в
присутствии азота происходит аналогичное явление: при соударении
возбуждённого атома ртути с молекулой азота атом Hg передаёт
0,2 eV молекуле N2, причём передаваемая энергия идёт на повы-
шение колебательной энергии атомов N относительно друг друга.
Связанны]'! с этим переход атомов Hg в метастабилыюе состояние
63.Р0 ведёт к увеличению вероятности поглощения фиолетовой
линии 4046,56 А вследствие большой продолжительности жизни
мстастабильного состояния. Этим и объясняется увеличение интен-
сивности видимых линий (см. диаграмму рис. 256).
Так как атомы в метастабильных состояниях обладают боль-
шим запасом энергии и существуют в течение длительных про-
межутков времени, то эти состояния играют большую роль
в элементарных процессах газового разряда и при фотохими-
ческих реакциях.
§ 236.	Запрещённые переходы
Выше мы видели, что переходы из метастабильных состояний,
в частности квадрупольпые переходы, не являются абсолютно
«запрещёнными», но характеризуются только малой вероятностью.
Более того, оказывается, что при некоторых условиях спектраль-
ные линии, происходящие от переходов с метастабильных состоя-
ний, могут достигать очень большой интенсивности и даже пре-
восходить по интенсивности «разрешённые» переходы. В природе
такие условия осуществляются в некоторых астрономических
объектах. Так, например, долгое время оставалось непонятным
происхождение зелёной линии к —5577,3 А, наблюдаемой в поляр-
ных сияниях; не могли быть расшифрованы также эмиссионные
линии 5066,8 и 4958,9А в спектрах туманностей. Неудачи
в отождествлении этих линий привели к тому, что были высказаны
гипотезы о существовании особых «внеземных» элементов: «геоко-
ронпя», дающего линию полярных сияний, и «нобулия», светящего-
ся в туманностях.
Однако развитие теоретической спектроскопии позволило путём
детального анализа схем уровней энергии и переходов пока-
зать что упомянутые и многие другие нерасшифрованные ли-
нии астрономических объектов принадлежат атомам и ионам таких
вполне «земных» элементов, как кислород, азот и некоторые дру-
гие. Трудность же их отождествления была связана с тем, что
эти линии, несмотря па их большую интенсивность, обуслов-
лены как раз «запрещёнными» переходами. Так, например, ли-
ния «геокорония» 5577 А оказалась принадлежащей нейтральному
кислороду (О I) и происходящей от квадруполыюго перехода
*5’ — 1Р; оба состояния, между которыми происходит переход,
310
ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ
[гл. XVII
метастабильны, причём нижнее, XD, имеет грандиозную дли-
тельность 100 сек., а верхнее, —длительность 0,5 сек.
Линии «небулия» 5007 и 4959 А оказались принадлежащими
двукратно ионизованному кислороду (О III); обе они возни-
кают при интеркомбинационпых переходах 1D — 3Р2 и 1D—3Р2,
причём среднее время жизни состояния 1D и здесь оказалось
очень большим (42 сек.). После того как удалось полностью рас-
шифровать происхождение этих линий и выяснить условия, спо-
собствующие их появлению, несмотря на малую вероятность пере-
хода, большинство «астрономических» запрещённых линий (в част-
ности, линии геокорония и небулия) было получено также и
в лаборатории.
Чтобы попять причины появления «запрещённых» линий,
выясним сначала условия, от которых зависит интенсивность
спектральной линии. Интенсивность линии дайной частоты есть
не что иное, как произведение энергии фотона hv на число фото-
нов этой частоты, испускаемых в единицу времени. Задача, таким
образом, состоит, прежде всего, в учёте факторов, от которых
зависит число испускаемых фотонов. Легко видеть, что важней-
шими из этих факторов являются, прежде всего, число атомов 7V,
возбуждаемых в единицу времени до уровня, являющегося исход-
ным для испускания данной линии, и доля числа этих атомов,
совершающих переход с испусканием этой линии. Первый
из факторов, именпо число IV, зависит от потенциала возбужде-
ния верхнего состояния и физических условий, имеющих место
в источнике.
Чтобы разобраться в причинах, влияющих на величину вто-
рого фактора, рассмотрим судьбу возбуждённого атома. Он может
совершить переход вниз с испусканием интересующей нас линии;
вероятность этого перехода обозначим через Аг. Возбуждённый
атом может, однако, совершить с того же верхнего уровня также
и переходы вниз, ведущие к возникновению других линий; вероят-
ности этих переходов обозначим через А2, А3, . . . Далее, воз-
буждённый атом (особенно, если он находится в мотастабильпом
состоянии) за время возбуждённого состояния может испытать
соударение первого или второго рода. В обоих этих случаях он
будет переведён в другие состояния: в случае соударения первого
рода он будет переведён па более высокий уровень, в случае
соударения второго рода он перейдёт в более низкое состояние,
отдав часть своей энергии без излучения. Вероятность атому
испытать соударение того и. другого рода и быть удалённым
поэтому из своего первоначального возбуждённого состояния обо-
значим через В. Наконец, атом может совершать вынужденные
переходы вверх или вниз под действием поля излучения, в кото-
ром он находится; вероятность таких переходов обозначим
через С.
§ 236]
ЗАПРЕЩЁННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
311
Если учесть все указанные факторы, то интенсивность линии,
очевидно, выразится так:
т л 1	N
J == AJlV	;—j—--------~ .
Ах + А2 ... 4- В + С
(236,1)
Принимая во внимание, что дробь представляет собой среднее
число атомов, находящихся в верхнем состоянии при равновесии
____________________________N___________
ylx^-^2 4- ... 4~-В 4" С
можем переписать формулу (236,1) в виде
J= nAxhv.
(236,2)
Формула (236,1) показывает сразу, что если наряду с «запре-
щённым», например квадруиольным, переходом (вероятность Л])
с того же верхнего уровня возможен «разрешённый», т. е. диполь-
ный, переход (вероятность Л2), то <7^0. Действительно, в кон-
кретном случае квадрупольных и дипольных переходов А2 больше А3
А
в 10б раз, т. е. —--Д----0. Итак, необходимое условие для
появления «запрещённой» линии состоит в том, что верхний уро-
вень должен быть метастабпльным, так что вероятности А2, А3,...
должны быть по крайней мере того же порядка величины, что
л Alf или меньше Аг. Далее, чтобы вероятности Ви С были
достаточно малы, нужно, чтобы плотность вещества и плотность
излучения в объекте, испускающем свет, были достаточно малы.
В природе подходящие для этого условия осуществляются
в туманностях: плотность вещества в них оценивается обычно
в 10-18 г/см3. Если допустить, что температура равна 10 000°
и что на каждый атом приходится по одному свободному
электрону, то время между двумя соударениями оказывается
порядка десяти минут, в то время как промежуток между
двумя соударениями в газе при нормальных условиях —
порядка 10-10 сек. Плотность излучения в туманностях также
мала: даже в наиболее плотных планетарных туманностях излу-
чение составляет 10-G	10“8 излучения поверхности Солнца.
Если все указанные условия соблюдены, т. е. если верхнее
состояние метастабильно, а вероятности В и С пренебрежимо малы,
то практически все атомы, достигающие данного метастабильного
состояния, будут пребывать в нём без возмущений до тех пор,
пока они не совершат «запрещённый переход». Интенсивность
«запрещённых» линий при этом будет очень велика. В самом деле,
из формулы (236,1) прямо следует, что если из метастабильного
состояния возможен только один переход (Их =£ 0, А2 — А3 = ... - 0),
то J = Nhv и вообще не будет зависеть от вероятности перехода;
312	ВОЗБУЖДЁННЫЕ АТОМЫ	[гл. XVII
если же возможно несколько (разумеется, «запрещённых») перехо-
дов, то полная интенсивность Л’Лу распределится между немногими
членами одинакового порядка величины.
До сих пор мы оставляли без внимания Л’ — число атомов,
достигающих данного метастабпльного состояния. Обсуждение усло-
вий свечения туманностей показывает, что эти условия благопри-
ятствуют возбуждению атомов именно до низких метастабильных
состояний. Рассмотрим эти условия.
Очевидно, что при указанной выше ничтожной плотности
вещества (10~18 г/слг3) туманности не могут содержать внутри
себя источник свечения, но должны возбуждаться извне. Источ-
ником может быть какая-нибудь близкая звезда. Оказывается,
что туманности, расположенные вблизи звезд холоднее типа ВI, испу-
скают спектр поглощения, совпадающий со спектром близкой
звезды. Это показывает, что свечение в таких случаях является
результатом отражения и рассеяния веществом туманности света
звезды. Туманности же, расположенные вблизи звёзд горячее
типа В I, испускают эмиссионный спектр. Звёзды, связанные с та-
кими туманностями, испускают при этом большое количество
энергии в крайнем ультрафиолете. Отсюда — следующий возмож-
ный механизм свечения туманностей. Поглощение крайнего уль-
трафиолета, поскольку он лежит за пределами границ серий даже
таких атомов, как II и Не, влечёт за собой фотоионизацию ато-
мов. При обратном процессе рекомбинации освобождённого элек-
трона с ионом будет испускаться весь спектр данного атома.
Подобный прямой механизм, однако, по играет главной
роли в свечении туманностей. Это следует из того, что, кроме
линий водорода и гелия, в спектрах туманностей по встречается
ярких линий, происхождение которых можно было бы приписать
этому простому механизму. Большую роль играет механизм кос-
венного возбуждения атомов. Этот механизм состоит в том, что
освобождённые в процессе фотоионизации электроны создают све-
чение по путём рекомбинации с попами, по в результате соуда-
рений первого рода с атомами и ионами возбуждают последние
до уровней, соответствующих запасу кинетической энергии этих
электронов. Далее, рассмотрение распределения энергии между
фотоэлектронами показывает, что большинство из них должно
обладать энергией, меньшей 10 eV. Таким образом, большая
часть энергии ультрафиолетового света звёзд, поглощаемого
туманностями, должна превращаться в кинетическую энергию
электронов, меньшую 10 eV. Эти электроны будут поэтому воз-
буждать атомы до уровней, также лежащих ниже 10 eV. Этому
требованию как раз удовлетворяют мотастабильные уровни ато-
мов и ионов таких распространённых во вселенной элементов, как
кислород. Так, например, в случае ионов ОШ энергии возбу-
ждения метастабильных состояний lD и равны соответственно
§ 236]	ЗАПРЕЩЁННЫЕ ПЕРЕХОДЫ	313-
2,5 и 5,3 eV, тогда как низший потенциал возбуждения до состоя-
ния, с которого возможны разрешённые переходы, равен 36 eV.
Аналогичные условия имеют место также и в случае атомов 01.
NI и др. Отсюда видно, что возбуждение будет происходить,
с наибольшей вероятностью именно до низких метастабильных
уровней, ввиду чего числа А7 будут велики. Тем самым вполне-
объясняется большая интенсивность запрещённых линий в туман-
ностях и новых звёздах и малая интенсивность разрешённых
линий.
ГЛАВА XVIII
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
§ 237.	Некоторые предварительные сведения
Ознакомившись с устройством электронной оболочки атома,
перейдём к изучению атомного ядра. В этом параграфе мы коротко
сопоставим некоторые предварительные (‘ведения о свойствах
атомных ядер, которые пам постоянно будут нужны во всём даль-
нейшем изложении. Многие вопросы, затрагиваемые здесь бегло,
в последующих параграфах будут рассмотрены детальнее.
Стабильные и радиоактивные ядра. В настоящее время
известно свыше 1000 ядер, различающихся своими зарядами,
массами или и тем и другим. Около трети этого числа ядер устой-
чивы, остальные радиоактивны. Радиоактивными мы называем неу-
стойчивые ядра, испытывающие спонтанный распад (т. е. распад,
происходящий под влиянием внутренних причин) и превращаю-
щиеся в другие ядра. Радиоактивный распад ядра сопровождается
либо выбрасыванием электрона положительного или отрицатель-
ного (3-распад), либо выбрасыванием я-частпцы, т. е. ядра гелия
(а-распад). Изолированное радиоактивное вещество распадается,
следуя экспоненциальному закону
Здесь N—число ядер, ещё по распавшихся к моменту /, А'о—число
ядер в момент t — 0, т — характерный для данного радиоактивного
вещества постоянный промежуток времени, в течение которою
число ядер уменьшается в е раз. Этот закон является следствием
статистического характера радиоактивного распада: различные ядра
данного радиоактивного вещества испытывают превращение в самые
разнообразные моменты времени; может быть указана только их
средняя продолжительность жизни. Вычисление показывает (см.
§272), что средняя продолжительность жизни ядра как раз равна т.
Обычно, одпако, указывается не средняя продолжительность
жизни, но так называемый период полураспада Т, т. о. время,
в течение которого число ядер уменьшается вдвое. Периоды полу-
§ 237]
НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕ.ЛЫ1 ЫЕ (’ВЕДЕНИЯ
315
распада известных радиоактивных ядер колеблются в широчайших
пределах—от 10-8 сек. до 109 лет.
Заряд ядра. Одной из важнейших характеристик ядра являет-
ся. его заряд. Как мы знаем, заряд ядра Z, выраженный через
абсолютную величину заряда электрона е, положителен и равен
атомному номеру элемента. Прямое определенно заряда ядра
было выполнено для небольшого числа ядер путём исследования
рассеяния а-частиц. В большинстве случаев, однако, заряды ядер
определялись с помощью закона Мозоли, устанавливающего ли-
нейную связь между частотой определённой линии в характери-
стическом спектре рентгеновских лучен и атомным номером,
равным заряду ядра Z.
В настоящее время известны ядра со всеми зарядами от 1 до 98.
При этом только в самые последние годы были заполнены
следующие пустые до того моста периодической системы (таблица
XXXIX*).
Таблица XXXIX
Заряд ядра	Название элемента	Химическая характеристика
43	Технеций, Тс	Элемент VII группы, аналог марганца
61	Прометий, Рш	Редкоземельный элемент
85	Астатин, At	Галоген, аналог пода
87	Франций, Fr	Щелочной металл, аналог цезия
Все элементы, указанные в этой таблице, в природе не встре-
чаются и были получены и накопленье в очень малых количест-
вах искусственным путём с помощью ядерных реакций. Элемент
франций встречается также в виде редкого промежуточного про-
дукта радиоактивного семейства актиния.
К числу открытий последнего времени относится также расши-
рение периодической системы за пределы урана (Z —92). Как и
в случае элементов, заполнивших пустые места в периодической
системе, искусственным путём был получен ряд элементов с атомны-
ми номерами, большими 92; ввиду их особого положения за ура-
ном эти элементы называются трансурановыми. До настоящего
временп (195'1 г.) открыты элементы с зарядами ядра от 93 до 98.
За исключением плутония (Z =94), обнаруженного после его искус-
ственного получения в ничтожных количествах в урановом мине-
*) В некоторых изданиях менделеевской таблицы под номерами '>'
п 61 до сих пор еше встречаются названия якобы существующих в природе
элементов «мазурий» (Z--43) и «иллинии» (Z=61). В действительности
«открытия» обоих элементов, носящих указанные имена, были ошибочными
316
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
рале—смоляной обманке (примерно 1 часть на 1014 частей массы
минерала), трансурановые элементы в природе пе встречаются. Все-
они сильно радиоактивны н вследствие этого «вымерли» за период
геологической истории Земли. Теоретически возможно получение
дальнейших трансурановых элементов с более высокими атомными
номерами вплоть до Z= 125 (см. § 306).
Масса ядра. Второй весьма важной характеристикой ядра
является его масса. Округлённые до целых чисел значения масс
(называемые массовыми числами Л) известных до настоящего вре-
мени ядер лежат в пределах от А = 1 до А = 244.
Изотопы. Одному и тому же Z соответствует несколько значе-
ний А: ядро с данным зарядом может существовать в виде несколь-
ких изотопов.
Как правило, часть этих изотопов стабильна, остальные ра-
диоактивны. Общее число стабильных изотопов—около 300:
свыше 700 известных изотопов радиоактивны. Полный список
изотопов—стабильных и радиоактивных—помещён в конце кни-
ги (см. приложение XIV).
Измерения атомных масс изотопов в настоящее время произ-
водятся при помощи усовершенствованных масс-спектрографов
(см. т. I, §§ 14—16) с точностью до четырёх или пяти десятичных
знаков. Измеренные с такой точностью массы изотопов лишь очень
незначительно отличаются от целых чисел (в так называемой
физической шкало масс, в которой масса изотопа кислорода О16
считается равной точно 16). Близость изотопной массы к целым
числам указывает на то, что ядра построены пз единиц приблизи-
тельно одинаковой массы.
Поэтому для общего суждения о составе данного ядра доста-
точно указания наряду с зарядом его массового числа. Мы будем в
большинстве случаев указывать их вместе с химическим символом
атома. Этот символ очень часто снабжается двумя числами, из ко-
торых одно указывает атомный номер, а другое—массовое число;
напрпмер 8О18 означает кислород с атомным номером Z = 8 и мас-
совым числом /1= 18. Первая цифра пишется слева для того, чтобы
по смешивать нужную цифру с принятым в химии обозначением
числа атомов в молекуле.
Изобары. Наряду с изотопами, имеющими различные массовые
числа А при одном и том же заряде ядра Z, встречаются ядра,
имеющие одинаковые А при различных Z. Такие ядра называются
изобарами. В тех случаях, когда оба изобара стабильны, заряды
их ядер, как правило, различаются на две единицы. Примеры:
18Аг40 2оСа40
24СН4 26Fe54
32Ge76 34Se7«
§ 237]	НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	317
Встречаются также триады стабильных изобаров, например
4oZr96 42Мо96 44Ru96
52Те130 51Хб‘» 56Ва1£0
Если стабильный изотоп имеет изобар, отличающийся от него
по Z па одну единицу, то последний обычно является радиоактив-
ным и превращается в стабильный изобар. Например стабильный
изотоп кислорода 8О17 имеет изобар 9F17. Последний, одиако,
3-радпоактпвен п превращается в 8О17. Большое число аналогич-
ных примеров можно найти в таблице приложения XIV. В виде
редкого исключения имеется также несколько пар н даже троек
стабильных изобаров с зарядами ядра, различающимися тга 1.
Дальнейшие данные и теоретические соображения по этому поводу
см. в § 292.
Изомеры. Среди радиоактивных ядер встречаются такие ядра,
которые обладают одинаковым зарядом Z и одинаковым массовым
числом А, т е. имеют вполне тождественный состав, по обладают
различными периодами полураспада. Такие ядра называются
изомерами. Например, изотоп брома 35Вт80, испытывающий Зщаспад
с периодом 18 минут, имеет изомер З513г80* с периодом полураспада
4,4 часа. В настоящее время известно около 70 пар изомер-
ных ядер*).
Состав ядра. В настоящее время твёрдо установлено, что все
ядра состоят из элементарных частиц только двух видов, прибли-
зительно одинаковых по массе — из протонов, каковыми являются
ядра водорода, несущие положительный заряд, равный абсолют-
ной величине заряда электрона, и нейтронов, но имеющих заряда.
Число протонов в ядре равно атомному номеру (заряду ядра) Z,
а число нейтронов N равно разности между массовым числом А
и зарядом ядра Z, N = A — Z. В зависимости от соотношения между
числами тех п других элементарных частиц данное ядро обладает
большей или меньшей степенью устойчивости. При этом целесо-
образно говорить об устойчивости как стабильных ядер, так и ра-
диоактивных. В те отдалённые в космическом масштабе времени
эпохи, когда возникали существующие теперь химические элемен-
ты, с наибольшей вероятностью, очевидно, возникали и сохраня-
лись ядра, у которых соотношение между числом протонов и ней-
тронов наиболее благоприятно для устойчивости. Ядра, у которых
это соотношение менее благоприятно, но ещё удовлетворяет требо-
ванию стабильности, возникали в меньшем количестве. Поэтому
процентное содержание определённого стабильного изотопа дан-
ного элемента, иначе называемое его распространённостью, мо-
жет служить мерой устойчивости ядра.
*) Название «изомеры» дано таким ядрам по аналогии с известными
в химии молекулами, обладающими одинаковым составом, но различными
свойствами.
318
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
На диаграмме рис. 296 по оси абсцисс отложены числа про-
тонов Z, апо оси ординат—числа нейтронов /V = А. — Z. Стабильные
изотопы изображены па диаграмме чёрными кружками, радио-
активные— светлыми. Все изотопы, очевидно, располагаются па
21	22
H I
99,98 -распространённость
1,00812 \-масса
Стабильное ядро
13
20\
12
19 ч
Т Р” - тип излучения
12,18
3,01700
-период полураспада
-масса
Радиоактивное ядро
О р"
27,0с
7 '°\ 19,0139
О 18
0^04
18,00490
О 17
0,039
17,00450
О 16
99,757
11
17	18.
10
16
14
15
N |Г
9,93 м
13,0988
В 10
18,83
10,01618
N 14
99,62
N р"
7,35с
Be 9
100
9,01503
Ве р
2,570 вл
Щ01677\11,01284
14,00767
С 13
1,1
13,0075114,00751
В р
0,027с
12,0190
В 11
81,17
I
N /
~20м
1,00893
а
N 15
0,38
15,0048916,00000
О Р*
126с
15,0078
Не р“
0,89с
6,0209
LL р“
0,89 с
8,02502
Ll 7
92,7
7,01822
Li 6
7,3
6,01697
Be К
52,9 д
7,01916
С 12
98,9
12,00382
С р+
20,42м
11,01495
С р+
/Я/с
10,0210
'*'•14
5
\/3
9
р-
12,lz
3,01700 i
D 2
0,02
2,014708 <
H 1
99,98
1,00812
Не 4
100
4,00391
Не 3
1,ЗЮ~4
3,01700
Не
2
6
8
минуты
дни
годы
Сокращения.
с - секунды
м-
д-
г -
о
Рис. 29/. Часть детальной диаграммы
изотонов.
стабильных п радиоактивных
320	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА	[гл. XVIII
одной вертикальной прямой, все изобары — на наклонных прямых,
около которых стоят цифры, равные сумме 2V-J-Z, т. е. массовому
числу А. На этой диаграмме отчётливо видно, чти стабильные
изотопы (чёрные кружки) образуют узкую «дорожку». Это значит,
что при данном числе протонов имеется лишь ограниченное число
возможностей присоединения нейтронов с образованием ста-
бильного ядра. Наибольшее число стабильных изотопов: 10—у
олова, 9—у ксенона. Все изотопы — стабильные и радиоактив-
ные — располагаются между двумя прямыми A — Z — Z и
А — Z = 2Z. Первая из них соответствует такому составу ядра,
при котором число нейтронов равно числу протонов. Из диаграммы
видно, что стабильные изотопы с небольшими массовыми числами
тесно группируются около этой прямой. Из этого следует, что
при малом числе протонов наибольшей устойчивостью характери-
зуются ядра, у которых число протонов равно числу нейтронов.
Чем больше Л, тем большим становится преобладание в ядрах
числа нейтронов над числом протонов.
На рпс. 297 изображено с большей подробностью начало диа-
граммы. Здесь приведены данные о распространённости стабиль-
ных изотопов, о виде радиоактивности неустойчивых изотопов и
периодах их распада. Обращает на себя внимание, что при
избытке (для стабильности) числа нейтронов ядро радиоактивно
с испусканием отрицательных электронов (^'-радиоактивность);
при недостатке числа нейтронов ядро радиоактивно с испусканием
положительных электронов (p'-радиоактивность). В том и другом
случае в результате радиоактивного процесса восстанавливается
соотношение между числом нейтронов и протонов, необходимое для
стабильности ядра.
§ 238.	Спин ядра
Важнейшей характеристикой ядра наряду с зарядом и массой
является его спин, т. е. собственный момент количества движения.
Существование спина ядра было установлено спектроскопическим
путём. Выше (гл. XV) мы видели, что так называемое «топкое
строение» спектральных линий, т. е. дублетпость, триплетность
и вообще мультиплетность, обусловлено существованием спина
электрона. В простейшем случае атомов с одним валентным
электроном, в зависимости от взаимной ориентации орбитального
момента и момента спина, каждый из уровней р, d, /,... раздваи-
вается, вследствие чего линии главной серии являются простыми
дублетами, а линии других серий—сложными дублетами.
В 1928 г. советские физики А. Н. Теренин и Л. Н. Добрецов
показали, что при использовании спектральных приборов высо-
кой разрешающей способности и источников света специальной
§ 238]
СПИН ЯДРА
22/
конструкции, дающих очень узкие спектральные линии, каждая
из линий дублета натрия Dt и D2 в свою очередь разрешается на
две очень близко расположенные линии. Выше (см. рис. 277) мы
видели, что дублет натрия возникает при переходах между воз-
буждёнными уровнями 327Л/2 и 32Pi/2 и нормальным уровнем натрия
32$i./z, а именно компонента Dr с длиной волны 5895,930 А обусло-
влена переходом 3251/, — 32А/2, а компонента D2 с л == 5889,963 А, —
переходом 3\Si/2 — 32А/2. Расстояние между компонентами дуб-
лета, равно 6 А. Точные измерения показали, что линия Dx ° в
свою очередь состоит из двух компонент с расстоянием 0,023 А,
а линия D2 расщепляется на две компоненты с расстоянием
А/

Рис 298. Схемы, объясняющие топкое и сверхтонкое строение
/Э-линии натрия.
0,021 А. Это расщепление, таким образом, примерно в 300 раз
меньше расстояния между линиями и D2. Оно образует поэтому
сверхтонкую структуру линий.
Очевидно, что сверхтонкая структура уже пе может быть объ-
яснена спином электрона, так как последний объясняет только
расщепление уровня ЗР на два подуровня 32Р1/, и 32Рз/., и в соот-
ветствии с этим объясняет появление только двух компонент
и D.2. Расщепление каждой из этих компонент естествен о было объ-
яснить тем, что, кроме орбитального и спинового момента электрона,
следует принять во внимание ещё и спин ядра. На рис. 298 приве-
дены схемы, поясняющие возникновение сверхтонкой структу-
ры линии Dt. Левая схема даёт обычное объяснение дублета
D1 и D2 при учёте орбитального п спинового моментов электрона.
Правая схема поясняет сверхтонкое расщепление линии Dr.
Орбитальный момент в основном состоянии натрия равен 0 (со-
стояние типа 5), а момент спина электрона равен у. Примем те-
перь во внимание спин ядра и, не зная его величины, обозначим
322	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА	[гл. XVIII
пока через I *), а полный момент атома, равный сумме всех момен-
тов, обозначим через F. Для вычисления полного момента F сле-
дует воспользоваться векторной схемой, п так как в основном
1
состоянии натрия момент, ооусловленныи электроном, равен у,
11
то момент F будет равен либо Z + y , либо I—. Итак, при учёте
спина ядра основной уровень расщепляется на два подуровня
с квантовыми числами 1 ±	. Возбуждённый уровень 32/\й
также расщепляется па два подуровня, но ввиду того, что это рас-
щепление значительно меньше расщеплеппя основного уровня**),
его можно ио принимать во внимание. Мы получаем, таким обра-
зом, объяснение сверхтонкого расщепления линии Dr, иллюстри-
руемое правой схемой рис. 298.
Величина I спинового момента ядра Na23 может быть найдена
из отношения интенсивностей компонент сверхтонкой структуры
следующим образом. Согласно правилу интенсивностей (§ 234)
отношение интенсивностей линий, происходящих от переходов
со слившихся подуровней терма 32/>i/3 на два расщеплённых под-
уровня основного состояния 32д$*1/о, равно отношению статистиче-
ских весов расщеплённых подуровней. Статистический вес, т. е.
число компонент расщепления данного подуровня в магнитном
поле, равен вообще 2F + 1. Так как в данном случае
то отношение статистических весов, а следовательно, и отношение
интенсивностей должно быть равно
2С-4)+1
При Z = y это отношение будет 1: 3; при I = 1 оно равно 1: 2; при
3
Z = отношение статистических весов есть 1 : 1,67 и, наконец,
при 1 = 2 отношение равно 1 : 1,5. Опыт показал, что отношение
интенсивностей компонент сверхтонкой структуры линии Dr равно
1 : 1,7. Из этого следует, что спин ядра Na23 равен -|-. Это зпаче-
*) Здесь и в дальнейшем под «моментом» мы разумеем квантовое число
момента. Абсолютное значение момента есть
**) Согласно точным измерениям расщепление уровня 32РХ^2 почти
в 10 раз меньше расщепления основного уровня 326\/ .
Ь 239]
СПИН И СТАТИСТИКА ЯДЕР
323
ние I было подтверждено также опытами С. Э. Фриша, изучавшего
сверхтонкую структуру линии однократно ионизованного натрия.
Сверхтонкая структура была исследована у большого числа
атомов. Насколько сложна может быть эта структура, видно из
рис. 299, где изображена фотография линий редкоземельного
элемента празеодима, полученная с помощью прибора высокой
разрешающей силы. Изучение сверхтонкой структуры является
Рис. 299. Сверхтонкое строение линий празеодима.
очень эффективным, хотя и не единственным, методом определения
спина ядра. Другие методы будут рассмотрены в следующих пара-
графах. Для удобства дальнейшего обсуждения приведём здесь
(табл. XL) несколько примеров численных значений спина ядра
(некоторые из них определены другими методами).
Таблица XL
Элемент и изотоп	Число прото- нов	Число нейтро- нов	I	Элемент и изотоп	Число прото- нов	Число нейтро- нов	I
Нейтрон	0	1	72	4Ве9 5В11	4 о	5 6	3/2 3/2
Протон	1	0	V2	С12 7N14	6 7	6 7	0 1
1D2	1	1	1	7N15	7	8	0
2Не4	2	2	0	8О16	8	8	
,Li6 Зы7	3	3 4	1 з / /2		9	10	72
§ 239.	Спин и статистика ядер
В § 215 было уже указано, что в природе существует два вида
частиц. Электроны и вообще частицы, обладающие половинным
спином, подчиняются принципу Паули и статистике Ферми. Вол-
новая функция, описывающая состояние системы тождественных
324
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
частиц этого типа, антисимметрична—она меняет свой знак при
перестановке каждой пары частиц; в состоянии, заданном полным
набором квантовых чисел, может находиться только одна частица.
С другой стороны, фотоны и вообще элементарные частицы с целым
спином подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Система то-
ждественных частиц этого типа описывается симметричной волновой
функцией, и ограничения, вытекающие из принципа Паули для
таких частиц, не имеют места, т. е. в определённом квантовом со-
стоянии может находиться любое число частиц.
Протоны и нейтроны, как мы видели, обладают половинным
спином. Поэтому те и другие подчиняются статистике Ферми.
Что же касается сложных ядер, то существует правило, в силу
которого ядра, состоящие из нечётного числа частиц, т. о.
ядра, имеющие нечётное массовое число, подчиняются статистике
Ферми, ядра же с чётным массовым числом подчиняются статистике
Бозе — Эйнштейна. Например, ядра Не4, О16, N14 подчиняются ста-
тистике Бозе - Эйнштейна, ядра же Не3, Li7 и т. д. — статистике
Ферми. Заряд ядра при этом не играет роли; важно лишь общее
число элементарных частиц ядра, т. е. сумма чисел протонов
и нейтронов.
Формулированное выше правило проще всего доказывается
следующим образом. Пусть мы имеем два ядра, каждое из которых
состоит из Z протонов и N нейтронов. Система всех частиц, обра-
зующих этп два ядра, описывается волновой функцией, зависящей
от координат и спинов всех частиц. Так как и протоны и нейтроны,
подчиняются принципу Паули, то эта волновая функция антисим-
метрична относительно координат и сппнов этих частиц. Предста-
вим себе теперь, что мы поменяли местами два протона, из которых
один принадлежит первому ядру, а другой — второму. Волновая
функция при этом переменит свой знак, т. с. умножится на —-1;
при перестановке второй пары протонов она слова изменит свой
знак, т. е. умножится ла (—I)2. Очевидно, что в результате после-
довательных перестановок всех протонов и всех нейтронов первое
ядро станет на место второго, и наоборот, а волновая функция
умножится на ( — 1)^ Z~(—1)Л, где Л —7V+Z- массовое число
ядра. Таким образом, если Л —чётно, то перестановка тождествен-
ных ядер ле меняет злака волновой функции, волновая функция
симметрична относительно перестановки ядер, и ядра подчиняются
статистике Бозе. Если же Л нечётно, то волновая функция меняет
свой знак при перестановке ядер; она антисимметрична, и ядра
подчиняются статистике Ферми. Тем самым формулированное
выше правило доказано.
Наиболее простой способ экспериментального установления
статистики ядер и определения ядерного спина состоит в изучении
вращательной структуры молекулярных спектров. Вращательные,
или ротационные спектры возникают при переходах между термами
§ 239]
СПИН И СТАТИСТИКА ЯДЕР
325
соответствующими различным состояниям вращения молеку-
лы как целого. Опыт показал, что когда молекула состоит из двух
одинаковых атомов (например, молекула азота N14 N14, но не N14 N16
и т. д.), то линии вращательного спектра закономерно череду-
ются по интенсивности, т. е. рядом с сильной линией располо-
жена слабая, затем опять сильная п т. д. При этом в тех случаях,
когда ядра подчиняются статистике Бозе, более сильными оказы-
ваются чётные линии, а в случае статистики Ферми—нечётные.
Объяснение этого интересного факта связано со свойствами сим-
метрии волновых функций. Полная собственная функция системы
двух ядер зависит как от их координат положения, так и от их
спинов. Обозначая совокупность всех координат через х, а полный
спин через а и принимая во внимание, что вследствие малой вели-
чины собственного магнитного момента ядра взаимодействие его
с «орбитальным» моментом мало, можно с достаточным приближе-
нием представить волновую функцию в виде произведения
Ч’ (х, а) = ф(я)<р(о).
Если ядра подчиняются статистике Ферми, то Ч’ (х, о) антисимме-
трична. Так как, однако, полная функция Ч’ (х, а) является произ-
ведением координатной и спиновой функций, то координатная
функция Ф (х) может быть как симметричной, так и антисимметрич-
ной; соответственно ф(о) в первом случае антисимметрична, а во
втором— симметрична.
В § 216 при обсуждении аналогичного случая системы двух
электронов мы убедились в том, что когда координатная функция
0 (ж) симметрична, то спиновая функция соответствует параллель-
пым спинам (полный спин у + у = -*-> триплетное состояние),
и наоборот, когда Ф (г) — антисимметрична, (з) соответствует
аитипараллельным спинам (полный спин -у—~ сингулетное
состояние). Это правило, найдопттое на простом примере, может
быть обосновано *) самыми общими теоретическими соображе-
ниями, так что в симметричных (/го отношению к координатам}
состояниях полный спин ядер молекулы равен сумме ядерных
спинов атомов, в антисимметричном—разности. Однако статисти-
ческие веса состояний обоих видов симметрии (по отношению
к координатам) будут различными. Подсчёт числа возможных сим-
метричных и антисимметричных состояний при данной величине
I спина отдельного ядра показывает, что отношение статистиче-
ских весов для молекул, ядра которых подчиняются статистике
*) См. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Квантовая механика,
часть 1, стр. 243, Гостехиздат, 1948.
326
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ИДРА
[гл. XVIII
I ,
антисимметричных п симмет-
? с уж пени я о с т а тот с
имеет место в случае
статистических весов
(239,2)
Ферми, должно быть равно
/ + 1
iJ g*
где ga и gs —• соответственно веса
ричных состояний *).
В случае статистики ТЗозе все
ними. Разница только в том, что в этом случае полная функция
lF (г, 7) = ф (г) ф (а) должна быть симметричной, вследствие чего
при симметричной координатной функции ф (а) также симметрична,
при антисимметричной ф (х) антисимметрична и ср (а). Всё обстоит,
следовательно, как раз обратно тому, что
статистики Ферми. Поэтому и отношение
будет обратным:
_ 1
gs / + 1 '
Вследствие запрета комбинаций термов
(см. § 216) переходы происходят либо только между симметричны-
ми**), либо только между антисимметричными состояниями.
*) Эта формула выводится следующим образом. Статистический вес
состояния с моментом количества движения 1 равен, как известно, числу
возможных проекций I на любую ось, т. е. 21 + 1. Состояние системы
двух тождественных ядер А и В при слабом взаимодействии описы-
вается произведением (Л)	(7?), где т} и т2—проекции момента
на ось. Поскольку каждая из проекций может принимать 21 +1 зна-
чений, всего таких функций будет (27— I)2. Подсчитаем, сколько из
них будет симметричных и сколько антисимметричных. Очевидно, что
все функции, соответствующие ранным значениям т1 и т2, будут сим-
метричны, так как при тг = т2 фт| (А) •	(5) = фт1 (В) •	(А). Таких
Функций будет столько же, сколько возможных значений пг, т. е. (27ф1).
Остальные функции, число которых равно
(27 + I)2 — (27 + 1) = 21 (27 + 1),
будут частью симметричны, частью антисимметричны. Нетрудно сообразить,
что при тг ={= т2 число тех и других будет одинаково. В самом деле,
при пгх#:?п2 из каждой пары функций (Л) •	(В) и (5) • ут2 (Л)
можно построить одну симметричную и одну антисимметричную функцию,
а именно
r'm1 (-4) • t'm2 (^) i Йд (В) • ф/п2 (Л).
Таким образом, из 27 (27-ф 1) функций половина, т. е. 7 (27 4-1),
будет симметрична. Полное число симметричных функций будет поэтом у
(27 4-1) 4- 7 (27 + 1) = (27 + 1) (7 4- 1),
а число антисимметричных функций будет по сказанному 7 (27 4-1). Отно-
шение тех и других равно
= (274-1) (7+1) 7 + 1
?	7(27-|-1)	7 ’
**) Здесь и в дальнейшем указание на свойство симметрии состояния
относится к симметрии по отношению к координатам.
§ 239]
СПИН И СТАТИСТИКА ЯДЕР
327
Поскольку, однако, статистическое веса состоянии обоих типов
симметрии различны, различной будет и интенсивность соответ-
ствующих линий. При этом из сравнения формул (239,1) и (239, 2)
видно, что те линии, которые в случае ядер, подчиняющихся стати-
стике Ферми, будут более интенсивными,—в случае ядер, подчи-
няющихся статистике Бозе, будут более слабыми, п наоборот.
Дополнительное исследование свойств вращательной части вол-
новой функции молекулы показывает, что в первом случае более
сильными будут нечётные линии, а во втором—чётные.
Мы видим, таким образом, что но характеру чередования интен-
сивности вращательных линий, т. е. по тому, чстпыо или нечёт-
ные линии являются более интенсивными, можно установить вид
статистики ядер, а измерение отношения интенсивностей сосед-
них линий позволяет определить спин ядра I. Например, в случае
молекулы водорода НИР, как и следовало ожидать, чередование
интенсивности указывает на статистику Ферми, а отношение ин-
тенсивностей равно 3:1, т. е.
r 1 ~
откуда 1 — у • Случаи водорода замечателен еще в одном отноше-
нии. Молекулы водорода, находящиеся в антисимметричных со-
стояниях (см. примечание па стр. 326), имеют полный ядерпый
1	1
спин, равный — -I-	— 1, а в симметричных состояниях—спин
1 1
— —— 0- Запрет перехода между состояниями различной сим-
метрии был бы абсолютно строгим в отсутствии спина; возмуще-
ния, вызываемые наличием спина, делают эти переходы возмож-
ными, хотя и мало вероятными. Вследствие этой малой вероятности
молекулярный водород можно в известном смысле рассматривать
как смесь двух газов, молекулы которых различаются своим пол-
ным ядерпым сшитом (1 и 0), своими свойствами симметрии, а по-
тому п своим термодинамическим поведением. Газ, молекулы,
которого имеют ядерпый спин 1, называется ортоводородом; моле-
кулы с полным ядерпым спином 0 образуют параводород. Благо-
даря тому, что вероятность перехода орто—пара хотя и мала, всё
же нс равна пулю, эти два газа можно при определённых условиях
(при низких температурах и при наличии активированного угля)
разделить практически полностью и исследовать в отдельности.
Отметим ещё два следствия изложенных статистических
свойств ядер:
а) Если спин ядра равен пулю, то такие ядра подчиняются
статистике Бозе. На основании формулы (239,2) при 1=0 антисим-
метричные состояния не осуществляются; следовательно, во вра-
328
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
щателытом спектре каждая вторая линия должна исчезать. Это
и наблюдается на самом деле, например, в случае молекул О1ЙО10.
в) Если молекула данного элемента состоит из различных изо-
топов, например N14N15, С135С137, то чередования интенсивностей
не должно быть. Это также наблюдается в случае указанных
и других «изотопных» молекул.
§ 240. Магнитный дипольный момент ядра
Заряженная частица, обладающая механическим моментом,
должна обладать и магнитным моментом. Поэтому следует ожидать,
что и ядро будет обладать магнитным моментом. Это ожидание па
самом деле и оправдывается.
Выше (гл. XV) мы видели, что электрон наряду со сшитом
имеет магнитный момент, равный одному магнетону Бора
Мо =	= 9,273 • 10'21 эрг • гаусс~\ (240,1)
Так как протон имеет тот же заряд и тот же спин, что и электрон,
то можно было ожидать, что ого магнитный момент будет свя-
зан с универсальными константами соотношением, аналогич-
ным (240,1):
где — масса протона. Квантовая единица (240,2) является еди-
ницей магнитного момента ядра. Она называется ядерным магне-
тоном. Так как в выражение ядорпого магнетона входит масса
протона, то р.пд в 1836,5 раза меньше магнетона Бора:
„ 1836,5.
Р-ЯД
Ввиду столь малой величины ядерного магнетона непосред-
ственное определение ядерных магнитных моментов представляет
очень трудную экспериментальную задачу.
Впервые Штерну и его сотрудникам удалось настолько усовер-
шенствовать метод молекулярных пучков в неоднородном магнит-
ном поле (метод Штерна и Герлаха, § 198), что оказалось возможным
изморить магнитный момент протона. В этих опытах благодаря
особой форме полюсных наконечников неоднородность внешнего
поля достигала 200 000 эрстед  см~х', манометр, регистрировавший
отклонение молекулярного пучка, способен был обнаруживать из-
менение давления на 10~8 — 10~9 мм Hg. Однако применение в обла-
сти ядерного магнетизма даже усовершенствованного метода
Штерна и Герлаха вследствие указанных выше затруднений не
могло дать точных результатов. Ввиду этого были разработаны
§ 240]
МАГНИТНЫЙ ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ ЯДРА
329
различные видоизменения первоначального метода молекулярных
пучков. Из всех этих видоизменений *) мы остановимся только на
так называемом магнитном резонансном методе или методе радио-
частотных спектров, разработанном Рабп и его сотрудниками.
Напомним сначала некоторые соотношения, связывающие-
между собой механический и магнитный моменты. На основании
теоремы Лармора (т. I, § 72, т. II, §§ 209—210) атомный волчок-
магнит, помещённый в магнитное поле 3$, совершает прецессию
около направления поля с угловой частотой, равной
<мо’3)
где коэффициент g называется гиромагнитным отношением. Про-
е
изведение g равно отношению магнитного момента к меха-
ническому
е
§ 2Мс = ~J *
В случае орбитального момента электронной оболочки (в отсутствии
спина) М равно массе электрона njg = 1; в случае чисто спинового
момента электрона g — 2. Если у. есть число, выражающее магнитный
момент в магнетонах Бора, a J характеризуется квантовым числом
механического момента (т. е. числом, измеряющим проекцию мо-
/г X
мента количества движения па направление поля в единицах ,
то гиромагнитное отношение g сразу позволяет вычислить маг-
нитный момент, если известно _J. Например, в случае спино-
вого момента электрона = a g — 2. Поэтому - 2 и
р = 2.S ~ 1 (в магнетонах Бора). То же самое будет справедливо
и для ядерного волчка-магнита с тою только разницей, что в каче-
стве массы Л'1 в отношение будет входить масса протона, и соответ-
ственно магнитный момент р. будет выражен в ядерных магнетонах,
а в качестве J войдёт квантовое число ядерного спина/. Наконец,
если перейти от угловой частоты о к линейной у, то формула (240,3)
примет вид
'> = -тР = g ~ &е.	(240,4)
Таким образом, задача определения магнитного момента может
быть сведена к нахождению частоты ларморовой прецессии.
Если v известно, то по (240,4) можно определить g, а отсюда,
когда известен спин ядра, сразу найдётся и его магнитный момент.
*) Подробное изложение ядерного магнетизма см. в монографии
Я. Г. Дорфмана, Магнитные свойства атомного ядра, Гостехиздат, 1948.
330
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
Идея магнитного резонансного метода состоит в следующем.
Молекулярный пучок, выходящий из щели О (рис. 300), пона-
дает в неоднородное поле магнита А, где на каждую частицу
пучка действует сила, равная
— проекция магнитного момента атома (пли молекулы) на ось z.
В этом поле атомный волчок описывает криволинейную траекто-
рию, изображенную па рисунке сплошной линией. Пройдя через
щель S, пучок попадает в поле магнита В, так же неоднородное
Рис. 300. Схема магнитного резонансного метода.
и во всех отношениях одинаковое с полем магнита А, но с градиен-
э&е
том неоднородности , направленным в противоположную сто-
рону. В поле В атомный волчок будет поэтому испытывать силу
17	(д&е\
направленную противоположно силе, с которой на него действует
неоднородное поле А. Если р.г в пространстве между магнитами
А и В не меняется, то нетрудно подобрать поле В так, чтобы оно
в точности компенсировало отклонение, создаваемое полем А.
При этом условии приёмник частиц, расположенный в D, зареги-
стрирует при включении обоих полей ту же интенсивность атом-
ного (или молекулярного) луча, как и в отсутствии поля.
Между магнитами А и В расположен третий магнит С, создаю-
щий сильное однородное магнитное поле напряжённости .Ж *).
*) Это попе должно быть настолько сильным, чтобы разорвать связь
между ядерным магнитным моментом п магнитными моментами электрон-
ной оболочки, например моментом, соответствующим вращательному меха-
ническому моменту молекулы; что касается спиновых моментов электрон-
§ 240]
МАГНИТНЫЙ ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ ЯДРА
331
В этом поло атомные волчки совершают ларморову прецессию
с линейной частотой, равной
Если теперь добавочно наложить перпендикулярно к слабое
переменное магнитное ноле частоты /, то, как мы подробнее
разберём ниже, при соответственно
последнее поле будет вызывать по-
ворот атомного волчка, увеличи-
вая или уменьшая угол между его
осью и направлением J£, Вследствие
ото! о проекция у- в промежутке меж-
ду магнитами А н В будет, вообще
говоря, меняться, а потому и сила,
действующая на атомный волчок в
ноле В, также меняется. В результате
в поле В траектории атомов стано-
вятся иными: па рис. 300 пунктиром
показаны две такие измененные траек 
тории, одна—смещенная вверх при
уменьшении угла между р и J£ и
другая—смещённая вниз при увели-
чении этого угла. Это влечёт за собой
нарушение компенсации, и в приём-
ник D попадает меньшее число ча-
стиц. При этом как мы сейчас уви-
дим, эффект будет особенно сильным,
если частота / совпадает с ларморо-
вой частотой v, т. е. в случае резо-
нанса обеих частот.
Разберём этот вопрос несколько
подобранной частоте / это
Рис. 301. Влияние слабого
вращающегося магнитного по-
ля па угол между р и Н.
детальнее сначала с точки зрения
классической механики. Пусть (рис. 301) мы имеем волчок с меха-
ническим моментом J и магнитным моментом р. Для просто-
ты положим, что направления обоих моментов одинаковы. Вектор
J будет прецессировать относительно 'Ув с ларморовой частотой
(240,4). Наложим теперь дополнительное слабое вращающееся
магнитное поле 10 перпендикулярное к и J, и предположим
сначала, что направление вращения этого поля совпадает с направле-
нием прецессии, а частота / совпадает с ларморовой частотой v.
пой оболочки, то, как будет указано ниже, для псследовния выби-
раются такие обтекты, у которых эти моменты взаимно компенси-
рованы. Таким образом, условия в этом постоянном магнитном поле ана-
логичны тем, которые имеют место при эффекте Пашена—Бака, см. § 210.
332
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
Очевидно, что в системе координат, вращающейся вместе с J, на
волчок будет действовать пара, стремящаяся повернуть J, увели-
чивая пли уменьшая угол (J, }£)• Если, как мы предположили,
частоты / и v совпадают, то этот эффект будет с течением времени
накопляться, и изменение угла может достигнуть большой величи-
ны. Если же v и / не совпадают, то фазы прецессионного вращения
и вращения поля быстро расстраиваются, и изменение угла умень-
шается. Очевидно, что настройку в резонанс можно осуществить,
либо меняя частоту вращающегося поля, либо меняя напряжён-
ность поля ...%?, что влечёт за собой изменение частоты ларморовой
прецессии.
Естественно возникает вопрос: какова же частота /, необходи-
мая для резонанса, и осуществима ли она при современных экспе-
риментальных средствах? Исключительно благоприятным для
описываемого магнитного резонансного метода оказалось то, что
при полях порядка десятков тысяч эрстед, применяемых для
опытов с молекулярными пучками и эффектом Зеемана, частота,
ларморовой прецессии как раз попадает в область радиочастот
«микроволнового» диапазона (см. упражнение к § 72 первого тома).
Хотя для объяснения принципа магнитного резонансного мето-
да пользуются вращающимся магнитным полем, на практике ока-
залось более удобным применять не вращающееся, но колебатель-
ное пиле Это, однако, не вносит никаких существенных изменений
в предыдущие рассуждения. Колебательное поле можно рассма-
тривать как результат сложения двух полей, вращающихся с оди-
наковой частотой в противоположных направлениях. При этом
поле, вращающееся в ту же сторону, что и ларморова процессия,
вызывает описанное действие, а поле, вращающееся в противопо-
ложную сторону, не создаёт в среднем отклонения, так как в одну
половину периода такое поле увеличивает угол между J п JC, а
в другую—уменьшает его.
Всё предыдущее рассуждение велось нами для макроскопиче-
ского волчка, подчиняющегося классической механике. Атомные
волчки подчиняются квантовой механике; в частности, изменение
ориентации у них нс может происходить непрерывно, но должно
происходить скачком в соответствии с правилами пространствен-
ного квантования. Однако уже принцип соответствия заставляет
ожидать, что эффект переориентации, сопровождающийся изме-
нением магнитного квантового числа, должен иметь место и для
атомных волчков. Вычисления сделанные с помощью квантовой
механики, подтвердили эти ожидания. Оказалось, что влияние
добавочного переменного магнитного поля существеннейшим обра-
зом зависит от соотношения между частотой поля / и частотой
ларморовой прецессии v. Если / значительно меньше v, то за
время одного периода ларморовой прецессии поле меняется мало.
Атом в этом случае успевает приспосабливаться к изменению
§ 240]
МАГНИТНЫЙ ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ ЯДРА
333
внешнего поля; его состояние меняется, как принято говорить,
.адиабатически; это значит, что его квантовые числа не меняются,
в частности, сохраняется магнитное квантовое число, характери-
зующее ориентацию*). Если же /больше или меньше у, но того же
порядка, то изменение состояния атома под действием внешнего
поля происходит «неадиабатически» — возникают квантовые пере-
ходы между подуровнями данного терма, обусловленными кванто-
ванием ориентации, т. е. атомные волчки изменяют свою ориента-
цию, поглощая или испуская электромагнитное излучение. Ве-
роятность такой переориентации атомных волчков становится осо-
бенно большой в том случае, когда / совпадает с у, т. е. в случае
резонанса.
Чтобы этот метод можно было применить к определению ядер-
цых моментов, необходимо создать условия, в которых было бы
устранено влияние магнитного момента электрона, так как послед-
ний больше магнитного момента ядра на три порядка. Для осуще-
ствления этой цели опыты производятся не с атомами, но с молеку-
лами, у которых спины электронов компенсированы. Например,
определение магнитного момента протона можно производить на
молекулах Н2; определение ядерного момента изотопов лития Li6
и Li7 производится с молекулами LiCl, LiBr, LiJ и т. д.
Опыт состоит в том, что меняют либо частоту переменного маг-
нитного поля /, либо напряжённость постоянного поля '/(? при
постоянной частоте / и одновременно измеряют интенсивность
молекулярного пучка, попадающего в детектор D. При достижении
резонанса эта интенсивность проходит через минимум. Практиче-
ски чаще измеряют при постоянной частоте /. Об остроте резо-
нанса можно судить по кривым рпс. 302 и 303 для Li7 п Н]. В обоих
случаях частота переменного поля была постоянной и составляла
несколько тысяч мегацпклов. На кривой рис. 303 показано, что
острый минимум достигается при изменении поля на 0,2%.
Найдя резонансную частоту / (или, что то же, ларморову ча-
стоту у), можно тотчас же вычислять гиромагнитное отношение g,
а отсюда найти ядерный магнитный момент р.. В самом деле, для
резонанса необходимо равенство частоты у (240,4) частоте поля /,
т. е.
*) Уже в рамках старой квантовой теории Эрснфестом была доказана
следующая теорема: пусть система первоначально находилась в определен-
ном стационарном состоянии; если воздействовать па систему, изменяя
внешний параметр (например, напряжённость внешнего поля), то система
остается в том же квантовом состоянии при условии, что изменение пара-
метра происходит достаточно медленно. Такие медленные воздействия,
не изменяющие состояния системы, и называются адиабатическими.
Напротив, при достаточно быстром изменении параметра, возможен
переход из одного стационарного состояния в другое.
Рис. 302. Резонансная кривая д.in Li7.
Рис, 303. Радиочастотны]! спектр ядра во-
дорода в молекуле L1D.
§ 240]
МАГНИТНЫЙ ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ ЯДРА
335
(240,5)
откуда
п faMc /
е SfO
Если известен ядернып спин I, то магнитный момент и. (в ядерных
магнетонах) найдётся из соотношения
P- = gZ.	(240,6)
Например, в случае протона гиромагнитное отношение оказалось
равным
g = 5,5791 ± 0,0016,
1
и так как спин протона равен — , то
р. = 4 • 5,5791 = 2,7896.
Этот результат, ранее полученный с меньшей точностью Штерном,
поразителен: магнитный момент протона не равен одному ядерно-
му магнетону, как ожидалось, по в 2,79 раза больше его. Не менее
поразителен тот факт, что и у нейтрона, лишённого заряда, ока-
зался магнитный момент, равный—1,91 (отрицательный знак ука-
зывает на то, что магнитный момент нейтрона направлен противо-
положно спину) *). Стоит отметить уже здесь, что разность магнит-
ных моментов протона и нейтрона лишь немногим отличается от 1.
Несколько примеров ядерных магнитных моментов приведены
в таблице ХЫ па стр. 336.
Метод радиочастотной спектроскопии в применении к исследо-
ванию ядерного магнетизма в самые последние годы в связи с огром-
ными успехами радиотехники получил значительное развитие.
Помимо применения этого метода, описанного в настоящем пара-
графе, разработан целый ряд его видоизменений, общей чертой
которых является одновременное наложение постоянного и пере-
менного магнитных полей. Метод, применяется не только к атом-
ным или молекулярным пучкам, но и к твёрдым, жидким и газо-
образным телам, причём наличие резонанса в этих случаях обнару-
живается по селективному поглощению электромагнитных волн
радиочастотного диапазона. Наконец, оказалось возможным
наблюдать электромагнитную индукцию в катушке, расположен-
ной около тела, на которое наложены постоянное магнитное поле
и перпендикулярное к нему высокочастотное переменное магнитное
поле при резонансе между частотой переменного поля и частотой
ларморовой прецессии ядерных магнитных моментов около напра-
вления постоянного поля. Основанный на этом метод ядерной
*) Определение магнитного момента нейтрона было выполнено с по-
мощью видоизменённого метода радиочастотных спектров. См. об этом
гл. XXII, § 297.
336
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
Таблица XLI
Ядро	Наблюдённое значение g	Спин I	Магнитный момент
Н1	5,5791 ±0,0016	1!ч	±2,7896
D<H2)	0,8565 ± 0,0004	1	±0,8565
Li«	0,8213 ± 0,0005	1	-0,8213
Li7	2,1688 ± 0,0010	3/2	±3,2532
Be9	0,784 ±0,003	72	-1,176
Bu	1,791 ±0,005	3/2	±2,686
N14	0,403 ±0,002	1	±0,403
N15	0,560 ±0,006	72	±0,280
Fl 9	5,250 ±0,005	72	±2,625
Na23	1,4765 ±0,0015	S/2	±2,215
Al27	1,452 ±0.004	72	±3,630
K39	0,260 ±0,001	72	±0,391
K40	—	4	-1,290
K41	0,143 ±0,001	3/ /2	±0,215
In113	1,22 ±0,001	9/ /2	±5,49
In115	1,22 ±0,001	72	±5,49
Ba136	0,554 ±0,002	3/2	±0,Й31
Ba137	0,619 ±0,002	3 / /2	±0,929
индукции также позволяет определять величины ядерных магнит-
ных моментов *).
Основы метода радиочастотной спектроскопии были заложены
задолго до возникновения квантовой механики и в самом начале
развития учения об атомном ядре вне связи с последним. В 1913 г.
В. К. Аркадьев впервые наблюдал избирательное поглощение
радиоволн определённых частот и сопровождающее его измене-
ние намагничивания в ферромагнитных веществах. Кривые,
характеризующие это избирательное поглощение, были названы
Аркадьевым магнитными спектрами вещества. Квантовое объяс-
нение этого явления было дано 10 лет спустя Я. Г. Дорфманом.
В самое последнее время Е. К. Завойский и независимо от него
Гортер наблюдали аналогичное селективное поглощение радио-
волн в парамагнитных веществах. В этих опытах, как и в опытах
Аркадьева, селективное поглощение обусловлено магнитными
свойствами электронных оболочек, но основы для теоретиче-
ского объяснения этих явлений —те же, что и в случае ядерного
магнетизма.
*) Для ознакомления с обширным кругом вопросов, связанных с ядер-
ным магнетизмом и методом радиочастотных спектров, в частности, отсы-
лаем читателя к монографии Я. Г. Дорфмана, см. ссылку на стр. 329.
§241] ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ КВАДРУПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ ЯДРА	337
§ 241. Электрический квадрупольный момент ядра
Кроме магнитного момента, ядро обладает также и некоторым
электрическим моментом.
Если бы положительный заряд ядра был распределён со сфе-
рической симметрией, то ядро действовало бы на достаточно боль-
шом расстоянии, как точечный заряд; его электрическое поле
было бы также сферическп-симметрпчпо. Существует, однако, целый
ряд экспериментальных данных, указывающих на то, что имеются,
хоти и очень небольшие, но выходящие за пределы ошибок от-
ступления от сферической симметрии в распределении заряда.
Согласно этим данным распределение заряда в ядре имеет симмет-
рию эллипсоида вращения, лишь очень немного отличающегося
от сферы. Из электростатики известно, что потенциал системы
за ряден па большом (по сравнению с размерами системы) расстоя-
нии в самом общем случае может быть представлен рядом *), пер-
цы ii член которого соответствует обычному кулоновскому потен-
циалу точечного заряда, второй—потенциалу диполя, третий—
потенциалу квадруполя, четвёртый п следующие—мультиполям
высшего порядка (октуполям и т. д.). В случае полной сфериче-
ской симметрии отличен от нуля только первый член этого ряда;
при отступлении от сферической симметрии отличны от пуля,
вообще говоря, также и последующие члены. В частности, при рас-
пределении с симметрией эллипсоида вращения отличен от нуля
третий член, т. е. потенциал поля представляется суммой точеч-
ного кулонова потенциала и потенциала квадруполя, причём,
конечно, последний играет роль малой поправки по отношению
1? первому. Вычисление показывает, что квадрупольный момент
эллипсоида вращения выражается формулой
Q	(а?-Ь*),
где а и b—соответственно большая и малая полуоси, р—плотность
электрического заряда и V—объём. В случае ядра с зарядом Ze
имеем [>V — Ze и
<2 = }z(a2-62).
Как видно из этого выражения, квадрупольный момент имеет раз-
мерность см2, а его величина указывает на степень отступления от
сферической симметрии (@=0при а = Ь). Квадрупольный момент
положителен при а > Ь, т. е. при вытянутой по осп спина форме,
и отрицателен при а < Ъ, т. е. при сплющенной форме.
*) См., папример, Л. Д. Л а и д а у и Е. М. Лифшиц, Теория поля
§ 40, стр. 113, Гостехиздат, 1948.
338	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА	[гл. XVIII
Наличие квадрупольного момента могло бы проявиться непо-
средственно в том, что энергия ядра во внешнем неоднородном элек-
трическом поле должна зависеть не только от положения, но и от
ориентации электрического момента ядра относительно градиента
поля. Однако вследствие крайне малой величины квадруполь-
ного момента ядра такое прямое его обнаружение пока ещё невоз-
можно. Экспериментальные данные, позволившие заключить о
наличии квадрупольного момента ядра, состоят в смещении неко-
торых энергетических уровней атома относительно других. Эти
смещения обнаруживаются в отступлениях от спектроскопического
правила интервалов*) (см. § 218). За единицу квадрупольного
момента берётся обычно 10~24 см2—величина порядка площади сече-
ния ядра. Например, квадрупольный момент лютеция 71Ън175 равен
-I- 5,9 • 10~24 см2', квадрупольный момент галлия 31Ga69 равен
+ 0,20 • 10~24 см2. В большинстве случаев квадрупольный момент
положителен, откуда следует, что ядра имеют главным образом
вытянутую, сигарообразную форму.
§ 242. Поле и радиус ядра
В § 28 т. I мы видели, что теория рассеяния а-частиц, основан-
ная на предположении о кулоновском взаимодействии между
ядром и а-частицей, хорошо оправдывается для тяжёлых ядер
и не слишком быстрых а-частиц. Вследствие большого заряда
ядра а-частицы с энергией 5—7 MeV не могут подойти к ядру на
достаточно близкое расстояние. Таким образом, мы можем пока
сказать, что на больших расстояниях от ядра—поле его электро-
статическое, кулоновское. Однако уже исследование рассеяния
а-частиц больших энергий ядрами с малыми Z обнаружило, что
на близких расстояниях от ядра характер взаимодействия резко
меняется. Именно, из хода рассеяния можно было заключить, что
в непосредственной близости к ядру на кулоновское отталкивание
накладывается сила притяжения, изменяющаяся значительно
быстрее, чем г2. Эта сила, таким образом, не является электро-
статической; опа является специфической ядерной силой.
Особенно отчётливо проявляется действие ядерной силы при
рассеянии протонов на протонах. Экспериментальные исследова-
ния, выполненные с большой тщательностью над протонами
различных энергий, рассеиваемыми в водороде, показали, что от-
ступления от формулы Резерфорда, усовершенствованной учётом-
квантовых эффектов, возникающих при взаимодействии тожде-
ственных частиц, существенно зависят от угла рассеяния и
от энергии рассеиваемых протонов. Роль того и другого фак-
*) Подробнее см. С. Э. Фриш, Спектроскопическое определение ядер-
ных моментов, стр. 100 и след, Гостехиздат, 1948.
§ 242]
ПОЛЕ И РАДИУС ЯДРА
339
тора в рассеянии кулоновским центром сил очевидна: чем тес-
нее сближаются частицы, тем больше угол рассеяния. Рис. 304,
где по оси ординат отложено отношение наблюдённого числа
протонов к числу протонов, вычисленному по усовершенствован-
ной формуле Резерфорда, показывает, что наибольшее расхо-
ждение обнаруживается именно при больших углах: при 15°
протоны всех энергий вплоть
до 2,4 MeV ещё подчиняются
закону кулоновского рассея-
ния, ио при угле в 45° число
протонов с энергией в
0,8(5 MeV в четыре раза, а
число протонов с энергией
в 2,392 MeV в 43 раза пре-
восходят вычисленное по фор-
муле Резерфорда.
Из теоретического анализа
этих результатов следует за-
ключить, что при достаточно
тесном сближении двух про-
тонов на силу кулоновского
отталкивания накладывается
сила притяжения, на расстоя-
ниях порядка 10~13 см значи-
тельно превышающая куло-
новское отталкивание. Вслед-
ствие быстрого убывания этой
силы с расстоянием можно
говорить о её радиусе дей-
ствия, за пределами которо-
го сила равна нулю.
Общий вид потенциальной
кривой ядра изображён на
рис. 305: при больших значе-
Рис. 304.
ниях г ядерные силы равны
нулю, и существует только кулоновская сила отталкивания;
потенциальная кривая имеет вид гиперболы, расположенной над
осью абсцисс. Наоборот, на очень малых расстояниях ядерные
силы столь быстро возрастают, что кулоновские силы становятся
по сравнению с ними незначительными; потенциал меняет знак,
и кривая быстро падает, образуя потенциальную яму, нижняя
часть которой расположена в области отрицательных значений
потенциала.
Ввиду чрезвычайно сильной зависимости ядерных сил от рас-
стояния спадание кривой происходит настолько резко, что стенки
потенциальной ямы можно считать вертикальными. По той же
340
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[ГЛ. XVIII
причине область действия ядерных сил резко ограничена, так что
ядру можно приписать некоторый «радиус». Следует, однако,
помнить, что под «радиусом ядра» всегда нужно разуметь радиус
области действия ядерных сил, но не геометрический радиус.
Переход от области действия кулоновских сил к области дей-
ствия ядерных сил характеризуется максимумом потенциальной
кривой—потенциальным барьером. Высота этого барьера зависит
как от заряда ядра+Ze, таки от заряда ze движущейся в поле
ядра частицы. Соответству-
ющая барьеру потетщпаль-
U
Квантовые возбуждённые
уровни
U= zeZejr
Х Р^1,5х10~'3а’/зы г
Основное состояние ядра
пая энергия может быть
вычислена как кулоновская
энергия взаимодействия
обоих зарядов на расстоя-
нии, равном«радиусу»ядра:
В =	(242,1)
Рис. 305. Потенциальная кривая ядра. Барьер урана для а-части
цы получается по этой
формуле равным (в MeV, при R = 9 • 10-13 см)
2 • 92 • 23 • IO'2»
9 • 10~13-1,6 • 10-12
= 29,5 MeV.

Для протона барьер урана очевидно, в два раза ниже.
Существует несколько методов определения размеров ядра.
Один из них основан на том, что согласно квантовой теории
я-распада (§ 284) период распада а-радиоактпвных ядер весьма
чувствительным образом зависит от размеров ядра. Вычисления,
сделанные для тяжёлых ядер рядов урана—радия и тория, дали
для всех этих радиоактивных веществ мало различающиеся значе-
ния R, лежащие между 8,4 • 10-13 и 9,8 • 10“ 13см. Если принять за
среднее массовое число этих ядер 222, а за средний радиус
— (8,4 4- 9,8) • 10~13 = 9,1 • 10-13, то R можно представить формулой
7?=1,5 • 10-13А1/зсж.	(242,2)
В самом деле, при А — 222 имеем
R = 1,5 • 10"1313/ 222 = 1,5 • 6,05 • 10~13 = 9,07 • 10~13
в хорошем согласии со средней цифрой R- 9,1 • 10-13. Формула
(242,2) приближённо справедлива и для ядер средней и малой
массы.
Выражение для высоты потенциального барьера (242,1) можно
упростить с помощью формулы (242,2)
В = .	(242,3)
§ 243J	ПРОТОННО-НЕЙТРОННОЕ СТРОЕНИЕ ЯДРА	341
Для ядер средней и малой массы, когда можно положить А = 2Z,
получаем
В = 0,76 zZ2'3MeV.	(242,4)
Пригодность простой формулы R — т^Л1/3 для вычисления радиуса
ядра показывает, что объём ядра ~ itR3 — у пропорционален
массовому числу А, т. е. что объём, приходящийся на один ну-
клеин, постоянен. Это является следствием особых свойств ядер-
пых ел л: их короткодействующего характера и способности к «на-
сыщению» (см. § 250).
Постоянство объёма, приходящегося на один нуклеон, можно
рассматривать также как следствие того, что ядерпое вещество
распределено по объёму с постоянной плотностью наподобие того,
как это имеет место в капле жидкости. Плотность «ядерной жидко-
сти» имеет в таком случае грандиозную величину: полагая массу
пуклеопа равной массе протона, т. е. 1,7 • 10~24 а, имеем
1,7 • 10-24= А-(1,5 • 10-13)3р,
откуда
р = 6 • 1014 г/см3!
Радиус ядра можно оценить также, основываясь па том, что
ла протяжении ядра должна уложиться по крайней мере одна
волна дс-Брогля, соответствующая энергии одной ядерной частп-
цы. Более точной мерой г0 должна служить —:, так как ядро сле-
дует рассматривать не как линейный, но как сферический потен-
циальный ящик. Поэтому
_ X __
г° ~ 2ъ~ угмЁ
Если для кинетической энергии частицы взять 8,5 MeV—среднюю
энергию связи на одну частицу, то получается
-1 ГЦ 1Л- 37
r0 =	.. =1,56. 10-]3 см
0 у 2 • 1,66 • 10~21 • 8,5 • 1,6 • 10~«
—результат, согласующийся с принятым выше значением
г0 = 1,5 • 10-13 см.
§ 243. Протонно-нейтронное строение ядра
Рассмотрим теперь те факты и соображения, на основании кото-
рых ядро следует считать построенным только из протонов и ней-
тронов. Как известно, на ранних этапах развития физики атом-
ного ядра, когда нейтроны вообще не были известны, предполагали,
342	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА	[гл. XVIII
что ядро построено из протонов и электронов. Считалось, что
в ядре с массовым числом А и зарядом Z имеется А протонов, кото-
рыми обусловлена почти вся масса ядра. Но так как Z всегда мень-
ше А, то компенсацию части положительного заряда ядра приписы-
вали А — Z электронам., которые в таком случае должны были бы
находиться внутри ядра. Убедительным подтверждением этой
картины считался факт существования ^--радиоактивных ядер,
которые самопроизвольно выбрасывают электроны.
Первое серьёзное затруднение испытала протонно-электрон-
ная модель ядра, когда выяснилось, что ядра азота 7N14 подчиняют-
ся не той статистике, какую следовало ожидать па основании этой
модели. Именно, если бы ядро 7N14 состояло из протонов и электро-
нов, то в его состав должна была входить 14+ 7=21 частица, т. е.
ядро должно подчиняться статистике Ферми (§ 239). Между тем
на основании термодинамических и спектральных (чередова-
ние интенсивностей во вращательных спектрах) свойств можно
было определённо утверждать, что ядро 7N14 подчиняется стати-
стике Бозе. Это затруднение было настолько существенно и на-
столько принципиально, что оно было названо «азотной ката-
строфой».
Вскоре после открытия нейтрона советский физик Д. Д. Ива-
ненко указал на то, что «азотная катастрофа» полностью ликвиди-
руется, если допустить, что ядро состоит пе из протонов и электро-
нов, по из протонов и нейтронов: в этом случае в состав ядра 7N14
должно входить семь протонов и семь нейтронов, всего 14, т. е.
1
четное число частиц, и если приписать нейтрону также сшш у ,
то полный спин должен быть целым и статистика—Бозе.
Протопно-нейтроппая модель ядра, развитая вслед за тем
В. Гейзенбергом, во всех случаях правильно предсказывает
спин и статистику ядер,тогда как протонно-электронная модель в
большинстве случаев предсказывает её ошибочно. В самом деле, со-
гласно последней ядро ZA должно состоять из А + (А — Z) = 2А — Z
частиц. Если бы это было так, то спин ядра должен был бы зависеть
как от массового числа А, так и от заряда ядра Z, а стастистика опре-
делялась бы атомным номером Z: при Z чётном 2А— Z также чётно,
спин целый и статистика Бозе; обратное имело бы место в случае не-
чётного Z. Можно, однако, указать, помимо азота, большое число
примеров, где это правило находится в полном противоречии с экспе-
риментально установленными значениями спина. Так, ядро 3Li6 имеет
спин 1, а ядро 4Ве9 —, в обоих случаях—чётность обратна той,
которая вытекает из протонно-электронной модели; ядра 48Cdin
и 48Cd113 оба имеют спин у , тогда как 2А — Z в обоих случаях
чётно, и спин должен бы быть целым и т. д.
§ 24 3]	ПРОТОННО-НЕЙТРОННОЕ СТРОЕНИЕ ЯДРА	343
Просматривая таблицы ядерных спинов, легко установить
другое правило, согласующееся с протонно-нейтронным строением
ядра и не имеющее пока ни одного исключения: целочисленность
или «половипность» спина ядра зависит только от массового числа
и притом таким образом, что при чётном А спин целый при нечёт-
ном А—половинный. Достаточное число примеров, кроме приве-
дённых выше, можно найти в таблице на стр. 323.
Далее, совершенно не согласуется с протонно-электронной
структурой и величина магнитного момента ядра. Последний, как
мы видели в § 240, порядка ядерного магнетона, т. е. в 1836,5 раза
меньше электронного магнетона (магнетона Бора). Поэтому,
если бы электроны присутствовали в ядре, его магнитный момент
был бы во много раз больше наблюдаемого на самом деле.
Наконец, присутствие электронов в ядре исключается также
и по энергетическим соображениям: мы сейчас покажем, что при
разумных значениях энергии, которую следовало бы приписать
ядерному электрону, последнему слишком «мало места» в ядре.
Вычислим для этого длину волны де-Брогля электрона, «за-
пертого» в ядре, линейные размеры которого установлены в § 242.
Так как электрон—частица лёгкая, то при энергии порядка не-
скольких миллионов электрон-вольт он ведёт себя релятивистски и
к следует вычислять по формуле
7?
 кин
с
причём для р нужно взять релятивистское значение импульса,
а не просто то. Релятивистский импульс получается из соотно-
шения (т. I, § 61)
Е2 с2р2 -j-	с4,
откуда
с2р2 = Е2 — т%с4 = (Е — т0 с2) (Е + т0с2) = £'КШ1(£’КИЫ -р 2и?0с2)(243,1)
(последнее ввиду того, что Eq^ mQ с2 7?кин). Если Elwl > 2т0 с2
(для электрона игос3 = О,5 MeV), то
с2р2 = Ецпи и
так что
Х__ h_ е ______________________________
2* ~	‘ Гкин ’
Для ядер средней массы, например Л = 120. хорошо оправды-
вающаяся формула R = 1,5 • 10~13 • Л1/з даёт
Л =1,5 • 10-13 • (120?!* = 7,5 • 10~13 см.
с
344	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА	[гл. XVIII
Так как должно быть
А с - Х <7?
2- ‘ ^ин 2.
то
V 1,05 • 10"27 • 3 • 1010
Ека11>-----7,5. 1и_13--=4,2 • 10 6 эрг = 26,2 MeV.
Эта энергия в несколько раз превосходит вычисленную на осно-
вании закона сохранения энергии (т. е. безусловно достоверным
путём) среднюю энергию, приходящуюся на одну ядерную частицу;
кроме того, неизвестно пи одного случая, когда [3-частицы испу-
скались бы с такой энергией. G другой стороны, если для EKVm
принять значительно меньшую энергию, то для длины волны
де-Брогля получится значение, намного превосходящее радиус ядра.
Это и оправдывает замечание, что для электрона «слишком мало
места» в ядре.
Обратимся теперь к рассмотрению вопроса о том, как же при-
мирить отсутствие электронов в ядре с их испусканием при ядер-
ных [З-превращепиях. Ответ, который даёт на этот вопрос совре-
менная физика элементарных частиц, в высшей степени интересен
и при всём своём своеобразии подтверждается столь большим чис-
лом фактов, что может рассматриваться как характерная черта
тех объектов, которые мы называем «элементарными частицами».
Он состоит в том, чю, хотя протон п нейтрон суть частицы «эле-
ментарные», т. е., по современным представлениям, не «состоя-
щие» из более мелких частпц, — они, однако, способны превращать-
ся друг в друга: нейтрон с испусканием отрицательного электрона
превращается в протон, а протон превращается в нейтрон с испу-
сканием позитрона. В том и другом случаях испускается ещё
одна частпца, обладающая малой массой и не имеющая заряда, —
нейтрино, v, т. е. имеют место следующие процессы:
п—> р‘+ е~ + v,	(243,2)
р —> п + е+ + v.	(243,3)
В теории p-распада протоны и нейтроны рассматриваются вообще
не как различные элементарные частицы, но как одна и та же ча-
стица, называемая нуклеоном, которая может находиться в раз-
личных квантовых состояниях, заряженном и незаряженном:
нуклеон в заряженном состоянии есть протон, в незаряженном—
нейтрон; испускание электрона или позитрона (и нейтрино) проис-
ходит при переходах нуклеона из одного квантового состояния
в другое.
Аналогией для [3-превращения может служить испускание
фотонов электронной оболочкой атома. Когда мы имеем дело с воз-
буждённым атомом, то мы не считаем, что его оболочка состоит из
электронов н фотонов, но считаем только электроны составными
§ 244]
ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ
345
частями оболочки атома; фотоны же возникают в момент их испу-
скания за счёт избытка энергии в поле возбуждённого атома.
Подобно этому и электронов (позитронов) нет в «готовом виде»
в ядре: они «рождаются» в момент превращения нейтрона (протона)
за счёт соответствующего избытка энергии в поле ядерных сил.
Между обеими реакциями превращения элементарных частиц
(243,2) и (243,3) имеется существенное различие. Масса нейтрона,
1,00893, больше массы водородного атома, 1,008123, т. е. больше
суммы масс протона и электрона, следовательно, превращение ней-
трона в протон энергетически выгодно. По этой причине превраще-
ние нейтрона в протон может происходить и на самом дело проис-
ходит (см. гл. XXII) спонтанно: свободный нейтрон ^-радиоакти-
вен; его период—около 20 минут. Протон же в свободном состоя-
нии устойчив и его превращение в нейтрон может происходить
в возбуждённых ядрах при наличии избытка энергии, компенси-
рующего недостаток массы.
§ 244. Энергия связи
Обратимся теперь к чрезвычайно важному вопросу об энергии
связи ядра. Энергия связи отдельной элементарной частицы в ядре
равна той работе, которую нужно затратить, чтобы удалить эту
частицу из ядра, не сообщив ей при этом никакой кинетической
энергии, т. е. работе, которая как раз достаточна для освобождения
частицы от её связей в ядре. Полная энергия связи ядра, очевидно,
равна работе разделения ядра на образующие его элементарные
частицы.
Для определения энергии связи нет необходимости в детальном
знании свойств ядерных сил. Простую возможность для этого
открывает применение закона сохранения эне-ргпп. В самом деле,
если полная энергия связи ядра равна Q, т. е. если нужно затра-
тить Q единиц работы для того, чтобы разложить ядро на соста-
вляющие его протоны и пейтроны, то очевидно, что по закону со-
хранения энергии те же Q единиц должны освободиться при соеди-
нении этих протонов и нейтронов в ядро, каким бы путём это со-
единение нп происходило. Уже самое поверхностное изучение
свойств атома убеждает нас в том, что энергия связи ядра очень
велика. Достаточно вспомнить о необычайной устойчивости ядер,
благодаря которой атомы сохраняют свою индивидуальность даже-
при температурах, господствующих в звёздных атмосферах, где
спектроскоп обнаруживает те же химические элементы, что и на
земле. Итак, при образовании атомных ядер должны выделяться
огромные количества энергии. С другой стороны, теория относи-
тельности учит, что между энергией и массой имеется соотношение'
(см. т. I, стр. 206)
Е — тс2,
346	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА	[гл. XVIII
где с — скорость света. Поэтому, если изменение энергии AE = Q
при образовании ядра из нескольких элементарных единиц очень
велико, то масса, соответствующая этой освобождаемой энергии,
должна иметь заметную величину, несмотря на то, что с3 — очень
большая величина (порядка 1021).
Предположим, что Z протонов и А — Z нейтронов, т. е.
всего А пуклеонов, образуют ядро с массой т. Обозначая массы
протона и нейтрона соответственно через тр и тп, напишем
выражение суммы их масс
Zmp-\-(A — Z)mn.	(244,1)
Ввиду того, что энергия, освобождаемая при образовании ядра,
рассеивается в виде тепла, масса т возникшего устойчивого ядра
не равна сумме (244,1), но меньше её па величину Д/n, т. е.
Zmp + (Л — Z) тп = т + ^т.	(244,2)
Величина Ат и есть, таким образом, мера энергии связи или,
что то же самое, мера устойчивости ядра. Очевидно, что
Е = с2Дт = с2 {[Zmp + (А — Z) тп] — т).
Поясним эти соображения вычислением энергии связи ядра
бериллия Be9, пользуясь таблицей, помещённой в приложении XIII
в конце книги, где приведены точные значения масс.
Заряд ядра Be9 равен четырём (Z = 4), следовательно, оно состоит
из четырёх протонов и пяти нейтронов. По таблице сумма масс
четырёх атомов водорода и пяти нейтронов равна
4 • 1,00812 + 5 • 1,00893 = 9,07713.
В эту сумму входят масса ядра, состоящего из четырёх про-
тонов и пяти нейтронов, и масса четырёх электронов. Масса атома
бериллия, который состоит из ядра и также четырёх электронов,
выраженная в физической шкале масс (О16 = 16), равна 9,01503.
Следовательно, разность масс равна
9,07713 - 9,01503 = 0,06210.
Несмотря на то, что при вычислениях мы брали массы атомов
(водорода и бериллия), а не ядер, полученная разность 0,06210
как раз равна потере массы при образовании ядра бериллия,
так как массы четырёх электронов входят как в учетверённую
массу атома водорода, так и в массу атома бериллия и при
вычитании сокращаются.
Для того чтобы перейти от выражения этой потери энергии
в единицах массы к выражению её в эргах, следует вспомнить,
5 244]
ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ
347
что атомные массы даются в условных единицах. Имеются две
шкалы масс. В одной из них — химической — принимается равной
точно 16 атомная масса кислорода, которая на самом деле яв-
ляется сродной из масс всех стабильных изотопов кислорода. В дру-
гой шкало — физической — полагается равной 16 (со столькими
пулями, какова точность измерения остальных атомных масс)
масса основного изотопа кислорода О16. Все расчёты в ядерной
физике следует относить именно к физической шкале масс. Отно-
шение единиц физической и химической шкал составляет 1,00027,
и разница между массами одних и тех же атомов, выраженными
в той и другой шкале, существенна. Например, атомная масса
гелия в химической шкале равна 4,00216, а в физической— 4,00390.
Если обозначить через массу атома кислорода в граммах
(Л70 = 2,64 • 10'22 г), то энергия образования Be9 выразится в виде
Q = 0,0621 с3	= 0,0621 L,J^|’^12^=.9,24 • 10“б эрг.
□тот результат приобретает большую наглядность, если пере-
вести эрги в электрон-вольты. Принимая во внимание, что 1 eV —
= 1,6 • 10-12 эрг, получаем
Q 24 • 10~5
^^5 = 5,77-10’ eV.
Итак, энергия образования ядра бериллия равна 57,7 миллиона
электрон-вольт, т. е. очень велика.
Для дальнейшего полезно заметить, что убыль 1 единицы
атомной массы равна в единицах энергии (для с2 берётся точное
значение 8,99 • 1020)
1	ооо 1090 Мо 8,99 • 102° • 2,64 • 10'22
1 единица массы = 8,99 • 1020 • -^==—---------------=
16	16
= 1,49 • 10~3 эрг = 931 MeV,	(244,3)
или в круглых числах убыли массы в 1 единицу в третьем знаке
после запятой соответствует выделение энергии в 1 миллион
электрон-вольт (1 MeV).
Для удобства расчётов, с которыми обычно приходится иметь
дело в ядерной физике, мы приводим таблицу XLII, в которой
указаны коэффициенты перехода от одних единиц энергии (например,
от MeV) к другим (к массовым единицам, эргам, граммам и т. д.).
Подчеркнём ещё раз, что для вычисления энергии связи нет
надобности находить сначала массу ядра, т. е. вычитать из атом-
ной массы сумму масс электронов и сравнивать полученную раз-
ность с суммой масс соответствующего числа протонов и нейтро-
нов. Для всех таких расчётов можно пользоваться просто самими
атомными массами (выраженными в физической шкале} и сравнивать
348
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
Таблица XLII
	MeV	MU *)	эрг	г	кг • м	кал
1 MeV=	1	1,07390 < X 10~3	1,602х х IO"6 i	1,782х X 10-27	1,634х х 10~14	3,827х ;10“14
1 ми=	9,3172х < 102	1	1,492х х 10-3	1,660х х10-24	1,521х х 10-11	3,565х х 10"11
1 эрг = 10-7ватт • сек=	6,24 х X 105	6,70 х > 102	1	1,1.1276 х < 10-21	1,01972 х Х10"8	2,3892х < 10-»
1 а=	5,61 < < 1026	6,02х х 1023	8,9864 < < I020	1	0,91651х Х1013	2,1474х Х1О<3
1 кг • м-~	6,12^ у Ю13	6,57 < х 1010	0,98067 < Х108	1,09112х х 10~13	1	2,3430
1 кал —	2,612х х 1013	2,801х хЮ10	4,1855х Х107	4,6576 х х 10-	0,42680	1
их с суммой масс водородных атомов (в количестве, равном числу
протонов) п соответствующего числа нейтронов. При вычитании
атомной массы из этой суммы масса электронов автоматически
выпадает, так же как в рассмотренном подробно случае ядра
бериллия.
Зная точные массы, можно судить об устойчивости ядра: ядро
будет устойчиво, если его масса меньше суммы масс тех ядер,
на которые оно может распасться. Например, ядро 3Li7 устойчиво
относительно распада на 2Не4 и jH3. Действительно, по таблице
приложения XIII паходпм
масса Li7 = 7,01822,
сумма масс Не4 + II3 = 4,0039-1 3,01702 = 7,02092,
т. о.
Li7<He44~H3.
Не5 неустойчив относительно распада на Не4 и нейтрон.
) MU — массовая единица (Vie массы О16)
§ 244]
ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ
349
Выписываем массы
масса Не6 = 5,0137,
сумма масс Не4 + п1 — 4,0039 + 1,0089 —- 5,0128.
Итак, масса Не5 больше суммы масс Не4 + п1 на 5,0137 —
— 5,0128 = 0,0009, откуда следует, что ядро Не5 неустойчиво
и энергия его распада немного меньше 1 MeV. Точно так же
масса Be8 больше массы 2 х Не4 на
8,00785 - 8,00780 = 0,00005,
<г. е. ядро Be8 неустойчиво относительно распада на две а-частицы.
Для практических целей часто пользуются так называемыми
дефектами массы и коэффициентами упаковки, которые опре-
деляются следующим образом. Во-первых, вводится понятие изо-
топной массы М, под которой разумеют атомную массу изотопа,
выраженную в физической шкале масс.
Разность между массовым числом А, т. е. округлённой до бли-
жайшего целого чпсла изотопной массой, и М, взятая со знаком
минус, называется дефектом массы и обозначается через Д:
-Д = Л- М.	(244,4)
Таким образом, дефект массы водорода равен + 0,008123, дефект
массы нейтрона 4-0,00893, но дефект массы С135 равен —0,02133.
Дефект массы кислорода О16 по определению равен пулю. Для
расчётов энергии связи удобнее пользоваться, однако, так назы-
ваемым коэффициентом упаковки Р, который определяется как
дефект массы, рассчитанный на одну ядериую частицу
(244,5)
Существенное преимущество этой величины перед дефектом массы
состоит в том, что ошибка в Р для самых разнообразных масс
приблизительно одинакова или, во всяком случае, одного порядка
величины. Обычно коэффициент упаковки даётся в десятитысяч-
ных долях, так что, например, если указывается, что коэффи-
циент упаковки равен -• 5,4, то это означает, что Р — + 5,4-10~4;
для Н1 по таблице XLIII коэффициент упаковки равен 81,23, что
означает /* = 81,23 • 10~4, и т. д.
Кривая рис. 306 представляет зависимость коэффициента упа-
ковки от массового числа. Эта кривая характеризуется следую-
щими особенностями: Р имеет наибольшее значение для нейтрона
( + 0,00893) и для протона ( + 0,008123); при увеличении А
Р сначала быстро убывает, проходя через нуль у кислорода, далее —
становится отрицательным и па большом интервале значений А —
почти постоянным: примерно от Si28 до Ва138 коэффициенты упа-
ковки мало различаются друг от друга — около —0,001.
350
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[ГЛ. ХУШ
Таблица XLIII. Коэффициент упаковки и изотопические веса
Изо- топ	Коэффи- циент упа- ковки	Изотопический вес	Изо- топ	Коэффи- циент упа- ковки	Изотопический вес
ГР	4-81,23	1,008123 -4 0,00004	С135	-5,71	34,9800 ± 0,0008
D2	4-73,55	2,01471 ± 0,00007	С137	-6,10	36,9775 ± 0,0008
Не4	4- 9,77	4,00391 ±0,00016	Ат38	— 6,10	35,9780 ± 0,0010
В10	4-16,1	10,0161 ± 0,0003	Ат40	-6,15	39,9754 ± 0,0014
С12	4- 2,96	12,00355 ± 0,00015	Ti48	-7,24	47,9652 ± 0,0008
N14	± 5,28	14,0073 ± 0,0004	Ст52	-8,18	51,9575 ± 0,0008
F19	4- 2,36	19,0045 — 0,0005	Кт73	-7,30	77,9430 ± 0,0020
No20	- 0,70	19,9986 ± 0,0006	Кт32	-7,70	81,9369 ± 0,0015
Si23	- 4,90	27,9863 ± 0,0007	Кт34	-7,60	83,9362 ± 0,0015
Si2»	- 4,7	28,9864 ± 0,0008	Кт38	—7,40	85,9363 ± 0,0015
рз1	- 5,30	30,9836 ± 0,0005	Хе129	-4,46	128,9424 ± 0,0020
S32	- 5,53	31,9823	0,0003			
Зная коэффициент упаковки, можно вычислить величину энер-
гии связи. Пусть мы имеем ядро с зарядом Z и массовым чи-
слом А. Энергия связи его (в единицах массы), очевидно, равна
Е = Zm-f-i -j- (A — Z) тп — М = Z (тп-^ — тп) ± Атп — М
(ин и М—массы атомов, см. стр. 347). Или, так как по (244,5)
УИ = Л(1 + П
Е = Z (т?гн — тп) ±- А (т1г — 1) — АР.
Энергия связи, приходящаяся на одну частицу, будет поэтому
равна
Е Z ,	\ , / л \ л
Л = Л (7Пы “+ (™п-1)-Р-
Так как
тп-тп= —0,00081, тп - 1 -- 0,00893,
то
£= -0,00081^-4 0,00893-Р.
А ’ А ’
Эта формула позволяет по дефекту массы Р найти в единицах мас-
сы среднюю энергию, приходящуюся на одну ядерпую частицу.
Для перехода к единицам энергии, а именно к MeV, нужно резуль-
тат умножить на 931.
Рис. 306. Кривая дефектов масс и коэффициентов упаковки (слева по оси ординат отложена величина
коэффициентов ’упаковки Р х 104).
§ 244]	ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ
СО
СП
352
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
Таблица XLIV
Ядро	Е (MeV.)	4 <Mcv)	Ядро	Е (MeV)	4 <Mev)
7?Х	0	0	Вхх	75,71	6,88
IIх	0	0	С12	91,66	7,64
D(H2)	2,18	1,09	С13	96,54	7,43
Т(П3)	8.33	2,78	N14	104,10	7,44
Не3	7,60	2,53	NX5	114,85	7,66
Lie4	28,2	7,03	016	126,96	7,94
Ы6	31,81	5,30	Ne2fl	159,85	7,99
Li7	38,96	5,57	Ar40—SnX2°	—	8,6
Be9	57,80	6,42	U238	1780	7,5
В10	64,29	6,43			
В таблице X.LIV приведён ряд примеров значений величин
z? Е
Л и —г .
А
Е
Как видно, энергия связи -j- у лёгких ядер испытывает периоди-
ческие колебания, достигая максимумов у 2Не4, 4Ве8 *), 6С12, 8О18.
Последнее обстоятельство указывает па образование в ядре устой-
чивых группировок пз двух протонов и двух нейтронов, напоми-
нающих устойчивые электронные оболочки благородных газов;
поскольку протоны и нейтроны имеют спин, равный половине,
образование таких оболочек связано с принципом Паули. Начиная
с Аг40 и до Sn120, энергия связи оказывается приблизительно
*) Энергия связи ядра Be8 равна 7,02 MeV. Ядро это, однако, неустой-
чиво относительно распада па две а-частицы.
§ 245] ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ЭНЕРГИИ СВЯЗИ	353
постоянной и равной около 8,6 MeV на один нуклеон. Наконец, при
Е
переходе к самым тяжелым ядрам постепенно падает.
На рис. 307 приведена кривая, изображающая ход энергии
связи в зависимости от массового числа А. Обратим внимание на
то, что энергия связи у ядер со средними величинами Л на 1 MeV
-«.Т.
больше, нежели у тяжёлого ядра U238.
§ 245. Полуэмпирическая формула для энергии связи
Существует очень полезная формула, позволяющая предвы-
числять с довольно большой точностью энергию связи любого
ядра. Эта формула частью основана на вытекающих из опыта
соображениях о свойствах ядерных сил, частью включает неко-
торые постоянные, численные значения которых устанавливаются
эмпирическим путём. Она называется поэтому полуэмпирической
формулой.
Полуэмпирическая формула обычно даётся в таком виде, что
она позволяет вычислять точную массу атома с данным массовым
числом А и зарядом ядра 2. Первые два члена формулы предста-
вляют собою поэтому сумму масс Z атомов водорода и А—Z ней-
тронов
Л/о= 1,00812 2+ 1,00893 (A — Z).	(245,1)
Мы знаем, однако, что масса атома всегда меньше А/о, так как
при образовании ядра выделяется энергия, равная его энергии
связи. Её мы и должны теперь найти, учитывая силы взаимо-
действия ядерных частиц. Эти силы не электрические, не гра-
витационные, а своеобразные силы, которые мы просто назы-
ваем ядерными. Из того факта (§244), что энергия связи,
приходящаяся на одну я дерную частицу, грубо говоря, постоянна,
мы заключаем, что в первом приближении энергия связи про-
порциональна числу частиц в ядре, т. е. массовому числу А.
Следовательно, первый поправочный член к (245,1) имеет
вид агА, где коэффициент аг надо ещё определить из эмпириче-
ских данных. Этот поправочный член следует взять со знаком
минус, так как силы притяжения, очевидно, понижают энергию
ядра:
(245,2)
Оказывается, однако, что эта поправка слишком велика, и
нужно ввести ряд дополнительных поправок, уменьшающих (245,2).
Первая из них связана с тем, что ядерные силы действуют только
па очень малых расстояниях—они являются короткодействующи-
ми силами. Это свойство ядерных сил в основном уже учтено в
354	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА	[гл. XVIII
формуле (245,2). Действительно, если бы каждая ядерная частица
взаимодействовала с каждой из остальных, то энергия взаимо-
действия была бы пропорциональна числу сочетаний из А частиц
j
по две, т. е. пропорциональна — А (А — 1). Она была бы, следова-
тельно, квадратичной функцией числа частиц, а не линейной.
Короткодействующий характер ядериых сил ведёт к тому, что ка-
ждая ядерная частица взаимодействует только со своими ближай-
шими соседями, расположенными от неё на расстоянии «радиуса
действия» ядсрных сил г0. Аналогичные условия имеют место,
как известно, в жидкой капле, где каждая молекула взаимодей-
ствует только с молекулами, расположенными около неё вну-
три сферы действия молекулярных сил. Аналогия между ядром и
жидкой каплей усиливается ещё том, что радиус ядра довольно точно
пропорционален А1/з (см. § 242)
г0 = 1,5 • 10~13 см.
Это даёт возможность принять (разумеется, приближённо), что
вещество в ядре распределено с равномерной плотностью. Ядро,
таким образом, можно рассматривать как капельку конденсирован-
ной «жидкости»; плотность этой «жидкости» порядка 1014 г]см?
(см. стр. 341).
Но, рассматривая ядро как жидкую каплю, необходимо при-
нять во внимание, что частицы, расположенные на поверхности,
подвергаются действию соседей, находящихся только в пределах
полусферы, тогда как па частицы, расположенные внутри, дей-
ствуют другие частицы со всех сторон. Очевидно, поэтому, что энер-
гия связи частиц, лежащих на поверхности, меньше, чем энергия
связи частиц, находящихся внутри. Это и вызывает необходимость
уменьшить поправку (245,2), прибавляя к ной ещё один член с по-
ложительным знаком. Вид этого члена найдём, продолжая аналогию
с жидкой каплей. Как и в обычной жидкости, повышенная потен-
циальная энергия частиц, лежащих па поверхности (или, что то же
самое, их меньшая энергия связи), ведёт к тому, что для увели-
чения поверхности следует затратить некоторую работу. Другими
словами, капелька ядорной жидкости обладает пропорциональной
её поверхности «поверхностной энергией», или, иначе говоря, по-
верхностным натяжением *). Полагая, что ядро-капля имеет форму
*) Поверхностная энергия выражается в эрг/см2, но так как эрг j см2 —
а	, дин	„
дин • см/см2 — —— , то наличие поверхностной энергии, влекущее за сооои
стремление жидкости сократить свою поверхность, обычно приписывается
существованию особых сил поверхностного натяжения.
§ 2'151 ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ЭНЕРГИИ связи	355
шарика, и обозначая поверхностную энергию, отнесённую к 1 см2,
через с, получаем
Епов — i-Rh ~ 4тсг~ст А~1я.	(245,3)
Оценка величины поверхностной энергии ст, которую можно
сделать па основании знания энергии отрыва частицы с поверх-
ности ядра («энергии испарения»), даёт огромную величину
ст=Ю20 эрг! см2, тогда как для воды ст = 102 эрг!см2. Чтобы полу-
чить поправку (245,3) в единицах массы, нужно умножить правую
часть (245,3) па переводный множитель 6,70 • 102 (см. таблицу XLII).
Так как, однако, ни г0, ни ст точно не известны, то целесообразнее
определить весь коэффициент при Л‘/3 путём сравнения оконча-
тельной формулы с точными значениями масс. Обозначая временно
этот коэффициент через а2, запишем
^М=^а2Л213.	(245,4)
Далее, статистика распространённости стабильных ядер пока-
зывает, что наибольшей устойчивостью обладают ядра, у которых
число протонов приблизительно равно числу нейтронов, т. е„
А
Z = --^ . Это требует введения ещё одной поправки, имеющей также
А
положительный знак, зависящей от разности Z—— и притом сим-
метричной относительно , т. е. зависящей от^у—. Этому
требованию удовлетворяет формула
= а., 4 2 . 7 .	(245,5)
^4
Поправка возрастает при отклонении Z от — в ту и другую сто-
рону и обращается в нуль при Z = ^~, что и требуется.
Наконец, необходимо принять во внимание кулоновское оттал-
кивание протонов, уменьшающее энергию связи, что также при-
водит к уменьшению устойчивости ядра. Поэтому в устойчивых
тяжёлых ядрах число нейтронов преобладает над числом протонов
и притом тем в большой степени, чем больше Z.
При малом числе протонов кулоновское отталкивание играет
незначительную роль по сравнению с ядерными силами. Однако
кулоновское отталкивание становится существенным у тяжё-
лых ядер. Причина этого состоит в следующем. Так как
кулоновские силы обладают значительно большим радиусом
действия, чем ядерные (кулоновские силы изменяются обратно
пропорционально квадрату расстояния, тогда как ядерные силы
356	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА	[гл. XVIII
убывают с расстоянием значительно быстрее), то каждый протон
взаимодействует со всеми остальными. Поэтому полная энергия,
обусловленная кулоновским отталкиванием при Z протонах, про-
порциональна ~ Z (Z — 1) или при Z > 1 пропорциональна Z2.
Простой электростатический подсчёт *) показывает, что энергия
электростатического отталкивания каждой пары протонов равна
где R — радиус ядра. Следовательно, в ядре, содержащем Z
протонов, потенциальная энергия кулоновского отталкивания
равна
С Р2 'I	3 72Р2
<245’6>
1
Подставляя в (245,6) /? = г0Л3, получим
4 -Z2A 3.	(245,7)
о 7'0
Вычислим постоянный множитель . Замечая, что (см. т. I,
от-о	'
стр. 44) —j — 2,8• 10-13 см (т — масса электрона и тс2 —0,51 MeV),
3 е2
перепишем выражение — в виде
Э 7’0
е-
4- = 0,6тс2— =0,6 • 0,51 •	= o,58 MeV,
5 г»	т’у	!,;> • W-13
или в единицах массы
0,58 • 1,07 • 10-3 = 6,2.1 • 10-4.
Болос точный расчёт даёт 6,27-10~4.
Итак, поправка, учитывающая кулоновское отталкивание про-
тонов, равна
р
= 0,000627 Z2A~\	(245,8)
Складывая (245,1), (245,2), (245,4), (245,5) и (245,8), получаем
/уА •
выражение массы атома Z •
.. (4-V
М = 1,00893А—0,00081 Z - ^А+а.А-'Ча^ 4  .  7 +0,000627 4т-.
л	Л /3
:) См. приложение VIII в конце книги.
(245,9)
§ 24 5]	ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ЭНЕРГИИ СВЯЗИ	357
Коэффициент а3 можно вычислить следующим образом. Найдём Z,
соответствующее наиболее устойчивому атому при любом А, для
чего положим — 0. Имеем
о/,
— __ z
0 =	- 0,00081-2а3-Ц—4-0,000627 • 2-|- ,
dZ	d А 1	241/з ’
откуда
z Л (0,00081+а3)
~~ 2а3 + 0,001254Л2/з ’
Подстановка Z и А для наиболее устойчивых атомов даёт
а3 — 0,083. Подставляя это значение обратно в (245,10), найдём
Z =-------------- .	(245,11)
1,981 + 0,015Л^з	v 7
Z 1 Z
Мы видим, что для малых А действительно у ; -д убывает
с увеличением А, что является следствием увеличения в зна-
менателе члена 0,015А2/з, обусловленного кулоновским отталки-
ванием.
Если теперь подставить (245,11) в (245,9), то получится выра-
жение для точной массы М в функции одного только массового
числа А с двумя неизвестными коэффициентами и а3. Под-
ставляя в неё известные точные массы стабильных изотопов,
можно найти аг и а2. Наилучшие результаты дают следующие
значения:
аг = 0,01504, а2 = 0,014.
Таким образом, (245,9) принимает вид
М = 0,99389А - 0,00081Z + 0,014А2/з +
+ 0,083 и ) - + 0,000627-л;; •	(245,12)
1	А	А
В формуле (245,9), однако, не принята во внимание ещё одна
небольшая поправка. Статистика распространённости стабильных
изотопов обнаруживает, что наибольшую распространённость имеют
изотопы, ядра которых содержат чётное число протонов и чётное
число нейтронов (чётно-чётные ядра). Значительно меньшую рас-
пространённость имеют изотопы с чётно-нечётными или нечётно-
чётными ядрами и, наконец, почти совсем не встречаются нечётно-
почётпыо ядра (за четырьмя исключениями среди наиболее лёгких
358
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
ядер, а именно XD2, 3Li6, бВ10 и 7N14). 13 самом деле, числа ста-
бильных изотопов таковы:
чётно-чётные (Z чётное, 7V чётное).................162
чётно-нечётные (Z чётное, N нечётное).............. 56
нечётно-чётные (Z нечётное, N чётное).............. 52
нечётно-нечётные (Z нечётное, N нечётное)........... 4
Теоретическое объяснение этого преобладания изотопов с четно-
четными ядрами состоит в том, что при заполнении нижних
уровней энергии ядер нейтроны и протоны имеют тенденцию
к заполнению этих уровней парами, давая при этом наиболее
устойчивые группировки, аналогично тому, как это имеет место
с электронами в оболочке атома. Несомненна во всяком случае
прямая связь распространённости изотопов с устойчивостью их
ядер. Учёт этого факта в полуэмнирпческой формуле осущест-
вляется путём введения в неё ещё одной поправки, принимающей
различные значения в зависимости от чётности или. нечётности
числа протонов и нейтронов. Полная формула для массы поэтому
такова:
М (A, Z) - 0,99389.4 - 0,00081Z А 0,014А2/з +
4- 0,083	+ 0,000627	+ о (A, Z),	(245,13)
причём поправка о(А, Z), найденная чисто эмпирически, такова:
0	для нечётных А,
с = < — 0,036/А3/4 для чётно-чётных ядер,
. 4-0,036/А3/4 для почётно-почётных ядер.
Формула (245,13) даёт прекрасные результаты, что видно из сле-
дующей таблицы:
Таблица XI.V
Ядро	12Мо-'8	24Сг52
Экспериментально найдено М	97,943	51,956
Вычислено по формуле (245,13)	97,947	51,959
§ 246]	ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ	359
Приведём пример применения формулы (245,13).
Требуется вычислить энергию связи нейтрона в ядре U235 *).
М (U235) = 235,11240 [по формуле (245,13)]
+
М (п) = 1,00893
-	236,12133
М (U236) = 236,11401 [по формуле (245,13)]
Разность ДМ = энергия связи = 0,00732 MU = 6,81 MeV.
Аналогичное вычисление даёт для энергии связи нейтрона
в ядрах U236, U237, U238 соответственно 5,51; 6,56 и 5,31 MeV.
Эти цифры нам пригодятся при обсуждении процессов деления
тяжёлых ядер.
Упражнения: 1. Показать, что ядро изотопа самария 62Sm153 не-
устойчиво относительно а-распада, и вычислить энергию а-частицы. [Указа-
ние. а-распад состоит в выбрасывании а-частицы. Поэтому, если процесс,
указанный в тексте упражнения, осуществим, то он должен иттн по схеме
62Smi52-> 60Nd143 + 2Не4.
Для решения вопроса нужно сравнить точную массу левой части с суммой
точных масс правой, вычислив массы 62Sm162 и e0Nd143 по формуле (245,13)].
2.	Пользуясь полуэмипрической формулой (245,13), вычислить энергию
а-частицы U3as.
§ 246. Элементарные частицы
Дадим теперь краткий обзор свойств элементарных частиц.
1.	Фотоны. Со свойствами фотонов мы уже ознакомились
в гл. IX первого тома. Это — своеобразные «частицы света». Свое-
образно фотонов состоит в том, что их масса покоя равна пулю;
их электрический заряд также равен нулю. В отличие от электро-
на спин фотона целый и равен 1, ввиду чего фотоны не подчиняют-
ся принципу Паули.
2.	Электроны а ноттроны. Свойства электронов нам также
хорошо известны. Это—лёгкие элементарные частицы, несущие
отрицательный электрический заряд. Их масса покоя в абсолют-
ных единицах равна
те = 9,106 . 10-28 з.
1
Спин электрона равен , а магнитный момент — одному магнето-
ну Бора.
*) По книге «Научные и технические основы ядерной энергетики», т. I,
стр. (И), ИЛ, 1948.
360
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
Наряду с отрицательными электронами существуют также
положительные электроны — позитроны, обладающие той же мас-
сой и тем же спином, что и электроны, но несущие электриче-
ский заряд противоположного знака. Магнитный момент позитро-
нов поэтому также равен одному магнетону Бора.
Характерным отличием позитронов от электронов является
их недолговечность. Электроны и позитроны способны одновре-
менно возникать или «рождаться» за счёт фотонов достаточной
энергии и «исчезать», превращаясь в один или два фотона со-
ответствующей энергии. Мы увидим дальше, что электроны и по-
зитроны могут возникать также при превращении тяжёлых эле-
ментарных частиц—протонов и нейтронов.
3.	Нейтрино. Под названием нейтрино разумеют лёгкие элемен-
тарные частицы, не имеющие электрического заряда. Масса покоя
их точно не известна; она во всяком случае значительно меньше
массы электрона Однако спин нейтрино равен ~ , и этим нейтрино
существенно отличается от фотона.
Существование нейтрино было вначале допущено в качестве
гипотезы для объяснения некоторых кажущихся отступлений от
закона сохранения энергии при радиоактивном [3-распаде
(см. § 287). Этот распад в настоящее время трактуется как резуль-
тат превращения одной тяжёлой ядерной частицы в другую, имен-
но—превращения нейтрона в протон или протона в нейтрон. При
этом превращении одновременно с электроном или позитроном
возникает нейтрино.
Теперь имеется ряд убедительных доказательств существова-
ния нейтрино. Обнаружение этих частиц крайне затруднительно,
так как ввиду отсутствия заряда и малой массы нейтрино почти
не взаимодействуют с веществом.
4.	Протон. Протон—тяжёлая элементарная частица, несущая
положительный электрический заряд. Относительная масса про-
тона в физической шкале (О16 =16) равна 1,007573 (1,6724 • 10~24 а);
отношение его массы к массе электрона те равно
^- = 1836,5.
Спин протона равен —, а его магнитный момент равен (грубо)
2,8 ядерпого магнетона (§ 240). Ядро водорода содержит один
протон. В свободном состоянии протоны встречаются в космиче-
ских лучах.
На основании уравнения Дирака можно ожидать, что подобно
тому, как наряду с электронами существуют позитроны, наряду
с протонами должны существовать антипротоны, т. е. частицы
с той же массой и тем же спином, что и протоны, но с отрицатель-
ным зарядом.
Si 246]	ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ	361
Весьма вероятно, что такие частицы будут обнаружены, когда
будут пущены в ход ускорители, дающие частицы с энергией в не-
сколько миллиардов электрон-вольт.
5.	Нейтрон. Нейтрон — тяжёлая элементарная частица, ли-
шённая электрического заряда. Относительная масса нейтрона
в физической шкале равна 1,008941, т. е. немного больше массы
протона; отношение массы нейтрона к массе электрона те равно
^ = 1839.
1
Спин нейтрона равен ; он имеет также и магнитный момент,
равный—1,9103 ядерного магнетона.
Свободный нейтрон радиоактивен; он превращается в протон,
электрон и нейтрино
н —> р -|- е -J- v •
6.	Мезоны. Мезонами, или мезотронами, называются нестабиль-
ные частицы, обладающие массой, промежуточной между мас-
сой электрона и массой протона, на что прямо указывает на-
звание «мезон» («мезос» по-гречески означает «средний»). Мезоны
бывают заряженные и нейтральные; их положительный или
отрицательный заряд по абсолютной величине равен заряду
электрона.
Существование частиц промежуточной массы было первона-
чально теоретически предсказано Юкавой (в 1935 г.), а затем один
из видов таких частиц (а именно так называемые р-мезоны, см.
ниже) был открыт в космических лучах (1937 г.) . В 1948 г. в кос-
мических лучах был открыт новый тип мезонов: положительно
и отрицательно заряженные л+ и ^--мезоны, отличающиеся по
массе от ранее открытых р-мезонов. Вообще до 1948 г. космиче-
ские лучи были единственным известным источником мезонов.
Источник этот—крайне слабый: на 1 см2 земной поверхности на
уровне моря в среднем падает 1 мезон в минуту. Несмотря на это,
все свойства р-мезонов и важнейшие свойства к+ и ^--мезонов
были изучены именно в космических лучах.
В 1948 г. впервые удалось осуществить «рождение» --мезонов
в лабораторных условиях, и с этого времени изучение сложных
вопросов взаимодействия мезонов с веществом осуществлялось
уже путём лабораторных экспериментов. Наконец, в 1949 г. было
установлено, что при взаимодействии быстрых ядерных частиц
рождаются также нейтральные г.-мезоны (-^-мезоны).
Опишем теперь основные свойства известных в настоящее
время мезонов.
а)	р-мезоны. Их масса, по наиболее точным измерениям, равна
(212 i 6)mfi, где те— масса электрона. Заряд р-мезонов равен -±е.
Их среднее время жизни равно 2,15 микросекунды, причём
362
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
в результате распада возникают электрон (или позитрон) и две
нейтральные частицы, — невидимому, нейтрино:
|л± —> е± + v + v.
Спин |л-мезопа равен х/2. Р-мезоны очень слабо взаимодей-
ствуют с атомными ядрами; они не рождаются при взаимо-
действии ядерных частиц, но возникают в результате распада
гс±-мезонов.
Ъ)	u-мезоны рождаются при столкновениях быстрых ядерных
частиц. Такие процессы интенсивно происходят в верхних слоях
атмосферы при столкновении частиц первичного космического излу-
чения с ядрами атомов. Измерения масс гс±- и гс°-мезонов да-
ли <-^280тпе. Среднее время жизни гс±-мезонов 1,6 • 10~8 сек.,
гс° мезонов —2,5-10-14 сек. Продуктами распада заряженных гс-мезо-
нов являются [л-мезоны и нейтрино:
гс± —* р.± + V.
Нейтральный гс-мезон распадается на два у-фотона
гс° —+ Av.
Спип гс-мезопов равен 0.
В последнее время появились данные, указывающие на то,
что к-мезоны не являются единственным видом мезонов, возни-
кающих при ядерпых соударениях большой энергии. Имеются
указания на существование группы более тяжёлых мезонов.
В следующей таблице сведены данные о свойствах мезонов.
Таблица XLVI
Тип	Масса М в те	Мс*	Среднее вре- мя жизни в вакууме, сек.	Спин	Схема распада
гс±	(276 ± 6)	140 MeV	-10 8	0	±	4- Л	—> р. -р V
-о	-280	135	»	2,5 • 10 14	0	гс° —> 2h v
	(212 ± 6)	110	»	2,15 • 10 «	1 2	рЛ —> е± + 2v
§ 247. Дейтерон
Дейтерон—простейшая из ядерных частиц после протона и
нейтрона. Он состоит всего из одного протона и одного нейтрона
и представляет собою ядро изотопа водорода — тяжёлого водорода
или дейтерия jD2. Массовое число дейтеропа А = 2, заряд Z 1. Его
энергия связи найдена экспериментально, путём исследования
247]
ДЕЙТЕРОН
363
так называемого фоторасщепления: под действием у-лучей доста-
точно высокой частоты дейтерон расщепляется на протон и нейтрон
>1Н1-г0«1-
Минимальная энергия фотона Av, при которой ужо осуще-
ствляется фоторасщепление, равна энергии связи; она составляет
2,18 MeV.
Дейтерон подчиняется статистике Бозе; его спин равен 1
(см. таблицу XL). Так как в основном состоянии дейтерона его
орбитальный момент количества движения равен нулю (состоя-
ние 5), то момент 1 обусловлен только сложением спиновых мо-
ментов нейтрона и протона. Из этого следует, что спины нейтрона
и протона в ядре дейтерона параллельны, его основное состояние—
триплетное 35'1. Тот факт, что такое состояние осуществляется
не протпворечпт принципу Паули, так как, хотя протон и нейтрон
имеют одинаковый спин, они не являются тождественными
частицами.
Параллельность спинов нейтрона и протона ведёт к тому, что
их магнитные моменты антипараллельны, так как магнитный мо-
мент нейтрона отрпцателсп. Для магнитного момента дейтерона
надо было ожидать поэтому следующую величину:
Р-р =	2,7896	ядерного	магнетона
= -1,9103	»	»
Сумма =	0,8793	ядерного	магнетона
Измеренный экспериментально магнитный момент дейтерона равен,
однако, 0,8565, иразнпца в 0,0228 превосходит ожидаемую ошибку
эксперимента.
Объяснение этого факта состоит в следующем. Состояние 5,
как мы знаем, характеризуется полной сферической симметрией.
Между тем было показано экспериментально, что дейтерон
обладает небольшим электрическим квадрупольным моментом (см.
§ 241), равным 4-0,273 • 1О-2<3 см”, что соответствует среднему рас
пределопию электрического заряда в виде эллипсоида вращения,
вытянутого вдоль осп спина. Из этого следует, что основное состоя-
ние дейтерона не может быть чистым 5-состоянпем, так как ^-со-
стояние характеризуется полной сферической симметрией. Теоре-
тические соображения показывают *), что основное состояние дей-
терона должно быть суперпозицией 5- п 2)-состояпий (Р-состояппе
исключается, так как ему соответствует пе квадрупольный, но
дипольный момент, отсутствующий у дейтерона), причём для полу-
чения правильной величины как магнитного момента, так и элек-
*) См., например, Г. Бете, Лекции по теории ядра, стр. 40 и след.,
ИЛ, 1949
364
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
трического квадрупольного момента нужно допустить, что доля
/)-состояния в суперпозиции составляет 4%. Можно себе предста-
вить поэтому, что дейтерон 96% времени пребывает в ^-состоя-
нии и 4%—в 32)1-состоянии.
На примере дейтерона можно выяснить некоторые особенности
ядерных сил. Прежде всего обращает на себя внимание малая
энергия связи дейтерона. В самом деле, пользуясь данными табли-
цы XLIV на стр. 352, сравним энергию связи дейтерона с энергиями
связи ядер, отличающихся от него только одним и двумя нуклео-
нами, а именно ядер трития ХН3 и гелия 2Не4:
Ядро	Е/А
Дейтерон XD2	1,09
Тритий Д13	2,78
а-частица 2Не‘	7,03
Здесь характерна не только малая величина EfA, но и полное от-
сутствие того постоянства этой величины, которое имеется у ядер
с достаточно большим числом частип. Объяснение этого факта
связано с тем, что ядерные силы являются короткодействующими
силами и обнаруживают насыщение. В самом деле, в ядре с боль-
шим числом частиц каждый нуклеон взаимодействует только со
своими ближайшими соседями, которые его окружают со всех
сторон. Добавление новой частицы к такому ядру ничего не ме-
няет в этой картине; небольшие изменения в энергии связи, как
было выяснено в предыдущем параграфе, зависят только от изме-
нения поверхностной энергии и электростатического отталкивания
протонов.
Напротив, в ядрах с очень малым числом нуклеонов (1—4) на-
сыщения ещё не имеется; все нуклеоны между собой взаимодей-
ствуют, и существенным оказывается полное число связей. В ядре
дейтерона—одна пара частиц и, следовательно, одна связь; у три-
3 • 2
тия—три частицы и число связей = 3, наконец, у гелия 4 ча-
стицы и число связей — 6. Можно ожидать поэтому,что энергии
связи в этих ядрах будут относиться, как 1:3: 6, что приблизи-
тельно и соответствует приведённым цифрам.
Однако вопрос о полном использовании ядерной силы между
двумя нуклеонами нуждается в более подробном рассмотрении.
Как уже неоднократно указывалось, характерной особенностью
ядерных сил является их очень быстрое убывание с расстоянием,
§ 247]
ДЕЙТЕРОН
365
так что действие этих сил проявляется только на очень малом
расстоянии.
Представим себе, что протон закреплён в начале координат
и к ному приближается нейтрон,так что при достаточно малом рас-
стоянии между ними возникает устойчивое ядро—дейтерон. По-
скольку кулоновское отталкивание в данном случае отсутствует,
то на расстояниях, превышающих
потенциальная энергия равна ну-
лю и резко падает при сближе-
нии до расстояния, равного ра-
диусу действия ядерной силы.
13 результате возникает потен-
циальная яма. Установить точный
ход потенциала в пределах этой
ямы мы не можем. Оказывается,
однако, что они несуществен*)»
так что можно вполне удоволотво-
рнться простейшей прямоугольной
ямой (рис. 308). Глубина её, равная
потенциальной энергии системы
протон—нейтрон при полном ис-
пользовании ядерной силы между
ними, как будет видно из дальнейшего, составляет 20—25
Ширина ямы а должна быть равна радиусу действия ядерных сил,
т. о. 1,5— 2 • 10-13 см.
Кинетическую энергию нуклеона, запертого в пространстве с та-
кими линейными размерами, найдём из выражения длины волны
А
де-Брогля. Полагая равным 2 • 10“13 см, имеем
радиус действия ядерных сил,
Z/A
О
J 2,2MeV
ZOMeV
i-fc— а —
Рис. 308. Потенциальная
дейтерона.
яма
MeV.
h
откуда
~~ (2-10 1а)2 • 2  1,7 • io-24	1} арг__ о Me .
Между тем энергия связи дейтерона по экспериментальным
данным равна всего 2,2 MeV. Возможность его существования
обеспечивается тем, что его нуклеоны проводят значительную
часть времени за пределами радиуса действия ядерной силы.
Количественные данные по этому поводу будут приведены в сле-
дующем параграфе.
*) Это следует из того, что расчёты дейтерона, сделанные при различ-
ных предположениях о ходе потенциала, дают мало различающиеся ре-
зультаты.
366	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА	[гл. XVIII
§ 248. Теория дейтерона
Чтобы приступить к решению задачи о дейтероне с помощью
квантовой механики, нужно прежде всего установить характер
сил, связывающих протон и нейтрон в дейтероне. Мы будем в даль-
нейшем предполагать, что эти силы имеют чисто центральный ха-
рактер, т. е. что их потенциал U зависит только от расстояния
между нуклеонами. Такое предположение ие вполне точно отве-
чает нашим эмпирическим данным о свойствах дейтерона. В самом
деле, если бы силы были только центральными, то основное
состояние было бы ^-состоянием; между том наличие квадруполь-
ного момента указывает на то, что основное состояние есть смесь
£ (96%)- и D (4%)-состоя1-птй. Можно показать, что это есть след-
ствие того, что силы зависят по только от расстояния между
нуклеопамп, но и от угла между соединяющей их линией и на-
правлением спина. Таким образом, допуская, что силы имеют
центральный характер, мы несколько идеализируем задачу. Од-
нако, поскольку вес D-состояния составляет только 4%, нецент-
ральный характер сил представляет собою тонкую деталь, с кото-
рой мы иа первых порах можем не считаться.
Задача о дейтероне, таким образом, есть задача о двух телах
приблизительно одинаковой массы с потенциалом U(r), зависящим
только от г. Уравнение Шредингера
Д6 + 8^[Я-£7(г))* = 0	(248,1)
содержит приведённую (т. I, стр. 176) массу т:
т —
тртп ~ 1
/Пр -|- тп 2 Р
Обозначая приблизительно равные массы нейтрона и протона
просто через М, перепишем уравнение (248,1) с этой массой

(248,2)
Как известно, уравнение Шредингера для случая центральных
сил (см. коплерову задачу, § 184) разделяется в полярных коор-
динатах. Поэтому нам следует рассматривать О как функцию.
г, II, <[. и соответственно Д писать в сферических полярных коор-
динатах.
Поскольку, однако, мы будем рассматривать основное ^-состоя-
ние, обладающее сферической симметрией (Z = 0), ф зависит только
от г, и уравнение (248,2) приводится к значительно более про-
стому виду. В самом деле, формула преобразования оператора
§ 248]	ТЕОРИЯ ДЕЙТЕРОНА	367
Лапласа Д от декартовых координат к полярным [см. т. I, § 124,
формула (124,6)] для случая сферической симметрии сводится
только к одному члену
=.X X- (г*	=
1 г2 dr \ dr J dr2 г dr ’
что, как легко проверить, может быть также представлено в виде
Уравнение (248,2) теперь принимает вид
аднм	(248,3)
пли, делая подстановку
^- + ^[Я-У(г)]О = 0.	(248,4)
Задача, таким образом, сведена к решению одномерного уравнения.
Для дальнейшего решения необходимо выбрать форму зави-
симости U от расстояния. Как уже было указано в предыду-
щем параграфе, для взаимодействия протон — нейтрон можно
воспользоваться простейшей линейной потенпиальной ямой: потен-
циальная энергия «вне ядра» равна нулю; внутри ядра, т. е. на
протяжении «радиуса действия» а ядерной силы (ширины ямы),
U = - и0.
Уравнение (248,4) при известной потенциальной энергии I/ (г)
позволяет найти собственные значения Е, в частности, энергию
основного состояния Ео, равную и противоположную по знаку
энергии связи дейтерона. Но можно пойти обратным путём:
зная Е, найти Uo или, точнее, соотношение, связывающее Uo и а,
так как уравнение (248,4) позволяет найти только один параметр.
Так мы и поступим.
Устойчивое состояние, очевидно, может существовать только
в том случае, когда Е отрицательна, Е ~ —Е^. Уравнение (248,4)
теперь приводится к виду
I. Для г < a (U = —Uо)
+	=	(248,5)
II. Для г > a (t/ = 0)
d2v	771 л	zo/Q
~d^--h^Eov = Q-	(248,6)
368
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл, XVIII
Вводя обозначения
пишем решения:
В области I (г < а)
(248,7)
(248,8)
у = аегкг + Ъе~гкг',
так как у = гФ, то
Ф — (авЛ’г Н- Ье~гкг}.
Чтобы Ф не обращалось	в бесконечность при г 0, надо положить z А. а = Ь=2Г’
так что (при г < а)	о Asin кг.	(248,9)
В области II (г > а)	у = Ве-а\	(248,10)
Для определения постоянных А и В следует воспользоваться
непрерывностью г; и её первой производной, как в т. I, § 144.
Мы получим, однако, интересующий нас результат быстрее,
принимая во внимание, что In г; и его первая производная всюду
непрерывны и ограничены, если непрерывна и ограничена функ-
ция у. Имеем
In ух = In 4 + In sin кг,
In Ун = In 5 — ar.
Вследствие непрерывности первой производной на границе обла-
стей I и II
г1	г]
w (In yi)ra=a= ^(1ПУП)Г=О,
что даёт
kctgka— — а,	(248,11)
откуда
ctg/ca=
т/ Еп
Т Vq--Eq
§ 248]
ТЕОРИИ ДЕЙТЕРОНА
369
Малая ясли чипа энергии связи дейтерона указывает па то, что
« Uq. Это позволяет отбросить Ео в знаменателе под корнем,
так- что
Ctgкак - р .	(248,12)
Итак, cig/га равен малому (ZT0 < Uo) отрицательному числу. Отри-
цательный знак cAgka указывает на то, что ка > -2- (^условие
ка > в данном случае непригодно, ввиду того, что мы рас-
сматриваем нормальное, т. с. низшее, состояние дейтерона); так
как, кроме того, cAgka имеет малое абсолютное значение, то
приближённо
ка у,
т. е.
V М (Eq-Eq} -
откуда, пользуясь ещё раз тем, что Uq > Eq
приближении
получаем в грубом
f 16J4 >
(248,13)
т. е. произведение глубппы потенциальной ямы на квадрат её
/пиртшы есть величина постоянная.
Так как, однако, ctg Ли, будучи отрицательным, имеет малую
величину, то во всяком случае
ка < п,
откупа том же путём, что тт раньше, получим
Соотношение (248,13) ещё ничего не говорит о глубине
потенциальной ямы: опа может быть широкой и мелкой пли,
наоборот, глубокой и узкой, лишь бы произведение Uq(E остава-
лось постоянным. Для определения UQ необходимо независимым
путём оценить величину а.
Полагая Н = 2,0 • 10~13 см, находим из (248,13), считая,
что и — R:
ю	43,6 • 10-54
0"" WMa*16 • Т,'7  10-24 • 4 • ИГ26 — 1 ’ 10 дкг — iVle^ •
Это — величина, приблизительно соответствующая обычным
оценкам глубины потенциальной ямы ядра (^20 MeV).
Из этого следует, что яма —узкая и глубокая. Так как,
с другой стороны, энергия связи дейтерона составляет всего
‘310
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
2,2 MeV, то нормальный уровень его лежит очень близко от края
ямы, что соответствует малой устойчивости дейтерона.
Покажем теперь, что связь нуклеонов в дейтероне настолько
слаба, что даже состояние вращения Z= 1, т. е. ^состояние,
не может осуществиться. Проще всего в этом можно убедиться
следующим образом. Напишем выражение энергии вращения через
момент количества движения L:
Т-1	1 Т О
£вр = у = 2?
где I — момент инерции. Заменяя L2 его выражением
и полагая 1 — Ма2, нахо-
дим
F _Ц1 + Г)11*	1	.
^вр—	 2Ма2 ’
при I — 1 это даёт
Е —
Бр - '
Сравнивая это выражение
с глубиной потенциальной
ямы Uй	з, видим, что энергия вращения составляет 0,4
глубины ямы. Но так как уровень основного состояния лежит уже
у самого верхнего края ямы, то добавление энергии вращения
указанной величины неминуемо должно привести к разрыву связи.
Обратимся теперь к рассмотрению функции о [формулы
(248,9) и (248,10)]. Мы видим, что вне ямы г? убывает экспоненци-
ально, т. е. не обращатся в нуль при г > а, но асимптотически
приближается к нулю при г—» оо (рис. 309, сплошная кривая).
По площади, ограничиваемой кривой внутри и вне ямы, можно
оценить, какую часть времени один из нуклеонов пребывает на
расстоянии г > а относительно другого. Подсчёт показывает, что
в 40% случаев мы найдём нейтрон вне ямы. Таким образом,
«размеры» дейтерона в среднем больше радиуса действия ядерных
сил. За характеристику линейных размеров дейтерона можно,
1
например, принять г——, т. е. расстояние, на котором о уоывает
в е раз. Полагая 7% = 2,2 MeV, найдём с помощью (248,8)
1,05 • 10~27
- =	= --	"	= 4,32 • 10-13 см,
а 2т-.уМЕ0 /1,66 • КГ24 • 2,2 • 1,6-10-6
т. е. значительно больше радиуса действия ядерных сил. Это и
даёт ответ па вопрос, поставленный в конце предыдущего парагра-
фа: каким образом может существовать дейтерон, вопреки тому, что
§ 26 8]
ТЕОРИЯ ДЕЙТЕРОНА
371
кинетическая анергия нуклеона, «запертого» в ящике шириною,
равной радиусу действия ядерных сил, больше глубины ямы.
Благодаря тому, что, за исключением малой области внутри
ямы, во всём остальном пространстве и представляется экспонен-
циально убывающей функцией
и = Ве~0Г,	(248,10)
при различных вычислениях, требующих интегрирования ио всему
пространству (например, при вычислении средних значений),
можно в качестве функции ф брать только функцию, соответствую-
щую (248,10), т. е.
Это позволяет легко нормировать собственную функцию дейтерона:
1 — А’2	| ф |2 d-z — /V2 sin v du • г2 Ф2 dr _
об	б
-А’2 • йЦ e-2^cZr = A^2|",
6
откуда
Нормированная функция ф поэтому имеет вид*)
Более точное значение множителя нормировки было вычислено
Я. А. Смородинским
л'=1/А
Соответственно ф-функция с этим нормирующим множителем
имеет вид
<248-14)
Вычисления, производимые с этой функцией, ближе соответ^
ствуют действительности.
Упражнение. Пользуясь функцией (248,14), доказать, что среднее
расстояние протон—нейтрон в дейтероне равно
А • — =3,24 . 10-13 см.
4 а
*) Эта функция обращается в оо при г = 0. Так как, однако, большая
часть интеграла нормировки относится к области г > а, то особая точка
при г=() по вносит большой ошибки.
372	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА	[гл. XVIII
§ 249. Зависимость ядерных сил от спина
Выше уже указывалось, что наличие квадрупольного момента
у дейтерона указывает на не вполне центральный характер ядер-
ных сил. Дальнейшие доказательства дало изучение рассеяния
нейтронов протонами, обнаружившее зависимость ядерных сил
от ориентации спина. Вероятность рассеяния нейтронов прото-
нами можно рассчитать теоретически, задаваясь определённым
видом потенциала взаимодействия нейтрон—протон. Проще
всего, конечно, предположить, как это, например, было сделано
в теории дейтерона (§ 248), что потенциальная кривая имеет в этом
случае вид прямоугольной ямы. Поскольку в теории дейтерона
выяснилось, что характер потенциальной кривой мало влияет на
окончательный результат, допущение самой простои потенциаль-
ной кривой не должно было вести к значительной ошибке при
вычислении вероятности рассеяния нейтронов протонами. Между
тем экспериментально было найдено, что вероятность рассеяния
очень медленных, так называемых тепловых нейтронов, т. с. ней-
тронов, средняя энергия которых порядка кТ, на свободных
протонах значительно превосходит вычисленную величину. Это
расхождение теории п эксперимента устраняется, если допустить,
что взаимодействие нейтрона и протона зависит также и от взаим-
ной ориентации их спинов, т. е. что взаимодействие нейтрона и про-
тона при параллельных спинах (триплетное состояние) отличается
от их взаимодействия при аптппараллельных спинах (сингулетпое
состояние).
Наиболее убедительное доказательство зависимости ядерных
егтл от спина дали опыты с рассеянием нейтронов по па свободных
протонах, а па молекулах орто -и параводорода. Идея этих опытов
состоит is следующем. Как мы знаем, различие между орто-и пара-
водородом состоит в том, что в первом случае спины протонов,
образующих молекулу, параллельны, а во втором—апттшарал-
лельны.
Если ядерпые силы по зависят от взаимной ориентации спинов,
то никакой разницы в рассеянии медленных нейтронов орто-н
парамолекуламп наблюдаться по должно. Наоборот, если имеется
зависимость ядерных сил от спина, то должна обнаружиться
разница. Эта разница зависит пмеппо от того, что в молекуле орто-
водорода спины обоих протопоп параллельны, а в молекуле
параводорода они аптппараллсльпы. Поэтому при рассеянии
нейтрона молекулой ортоводорода может быть два случая:
1) спин нейтрона параллелен спинам обоих протонов; 2) спин
нейтрона антппараллелеп спинам обоих протонов. Наоборот,
при рассеянии нейтрона па молекуле параводорода спин ней-
трона всегда будет параллелен спину одного протона и аптп-
иараллелей спину другого протона. Рассматривая рассеянно
§ 250]	ПРИРОДА ЯДЕРНЫХ СИЛ	373
как волновой процесс, следует ожидать, что если амплитуда
рассеяния зависит от взаимной ориентации спинов, то интерфе-
ренционный эффект нейтронных волн, рассеянных обоими про-
тонами, будет существенно различным в зависимости от того,
происходит ли рассеяние на молекуле ортоводорода пли на моле-
куле параводорода.
Теоретический расчёт рассеяния нейтронов на орто- п параво-
дороде был выполнен для случая, когда энергия нейтронов на-
столько мала, что соответствующая нм длина волны, делённая на
2й, значительно больше расстояния между атомами водорода
is молекуле Н2. Такой случай осуществляется, когда энергия
нейтронов соответствует температуре 20° К или ниже.
Исследование рассеяния нейтронов на газообразном пара-
it ортоводороде при температуре 20пК показало, что рассеяние на
молекулах параводорода приблизительно в 30 раз слабее, нежели
па молекулах ортоводорода. Этот результат является прекрасным
экспериментальным подтверждением зависимости ядерных сил
от спина.
§ 250. Природа ядерных сил
В предыдущем изложении мы уже познакомились с особенно-
стями ядерных сил, по до сих пор не касались вопроса об их природе.
Сопоставим коротко уже известные нам наиболее важные свой-
ства ядерных сил:
1.	Ядерные силы действуют между одноимённо заряжен-
ными пуклеонами (протоп—протон), между заряженными и ней-
тральными (протон—нейтрон) п между нейтральными нуклеонамн
(нейтрон—нейтрон). При этом во всех случаях ядерные силы
приблизительно одинаковы по характеру (зависимость от расстоя-
ния) и по величине.
2.	Ядерные силы являются «короткодействующими» силами;
они проявляются только на расстояниях порядка 10~13 см.
3.	Ядерпые силы обладают свойством насыщения.
Свойство насыщения является важнейшей особенностью ядер-
ных сил и поэтому на нём следует остановиться подробнее. Свой-
ство это находит выражение в неоднократно упоминавшемся соот-
ношении между объёмом ядра и его массой (точнее—массовым
числом Л). В самом дело, мы видели, что радиус ядра пропорцио-
1
нален А3, а следовательно, объём пропорционален А, т. е. числу
нуклеонов ядра. Можно поэтому то же самое формулировать и так:
каково бы ни было число нуклеонов ядра, объём, приходящийся
на каждый из них, один и тот же.
Этот факт, на первый взгляд, кажется очень странным. Можно
было бы думать, наоборот, что чем больше нуклеонов в ядре,
том прочное они должны быть между собой связаны и тем меньший
374
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл, XVIII
объём должен приходиться на каждый из них. Ничего подобного
на самом дело, однако, не наблюдается.
Рассматриваемую особенность ядерных сил можно описать
ещё иначе. Так как, по сказанному, объём ядра пропорционален
ого массе А, то плотность вещества в любом ядре должна быть одной
и той же. Но в таком случае мы имеем право рассматривать ядра
состоящими из некоего универсального «ядерного вещества»,
заполняющего объём с постоянной плотностью. Это свойство ядер-
ного вещества сближает его состояние с жидкостью: различные ядра
можно поэтому рассматривать как капельки, имеющие различную
величину, по состоящие из одной и той же «ядерной жидкости».
Как известно, пропорциональность между массой п объёмом
обыкновенной жидкости объясняется особыми свойствами меж-
молекулярпых сил. Кривая потенциальной энергии этих сил имеет
вид, представленный на рис. 233 (стр. 105): потенциальная энергия
падает (силы притяжения) при сближении частиц вплоть до неко-
торого расстояния г0; при дальнейшем сближении потенциальная
энергия возрастает круче, нежели она раньше падала. Это возра-
стание обычно объясняется существованием наряду с силами при-
тяжения сил отталкивания, изменяющихся обратно пропорцио-
нально более высокой степени расстояния, нежели силы при-
тяжения. Именно эти силы отталкивания не позволяют молекулам
жидкости сближаться на расстояние, меньшее г0, так что на
каждую из них приходится в конце концов один и тот же объём г®.
Естественно возникает желание объяснить факт постоянства
плотности ядерного вещества существованием аналогичных сил
отталкивания между пуклсопами. Такие попытки объяснения
делались, но они не привели к положительному результату,
так как не удавалось с помощью сил притяжения и отталкивания
объяснить все свойства ядер.
Возникает естественный вопрос: как же можно объяснить, что
ядра, несмотря на наличие одних только сил притяжения, сохра-
няют одну и ту же плотность при любом числе образующихся
нуклеопов? Ответ на этот вопрос состоит в том, что частицы при
наличии одних только сил притяжения будут вести себя описан-
ным образом, если эти силы обладают свойством насыщения. В са-
мом деле, насыщение ведёт к тому, что каждая частица (нуклеон
в случае ядра) будет взаимодействовать только с ограниченным
числом своих ближайших соседей. Поэтому присоединение новых
частиц не оказывает никакого влияния па связь уже имеющихся.
Чтобы это стало ещё яснее, вернёмся к аналогии с жидкостью
п в качестве таковой будем рассматривать каплю жидкого водо-
рода. Жидкий водород состоит из молекул Н2, причём, как изве-
стно, более двух атомов в молекуле водорода связано быть нс мо-
жет: вследствие насыщения химических сил третий атом И, при-
ближающийся к молекуле Н2, будет отталкиваться ею. Именно
§ 250
ПРИРОДА ЯДЕРНЫХ СИЛ
375
поэтому полная энергия связи капли жидкого водорода пропор-
циональна числу молекул, а следовательно, числу атомов в капле.
Если бы каждый атом взаимодействовал со всеми остальными
(т. о. если бы насыщение отсутствовало), то полная энергия связи
1 1
была бы пропорциональна — N (N — 1)^ у №, т. е. квадрату
числа атомов.
Тот факт, что способность к насыщению является характерней-
шей особенностью как ядерных сил, так и сил химической гомео-
полярной валентности, побудил искать объяснения природы ядер-
ных сил по аналогии с химической связью в молекуле водорода,
где насыщение объясняется на основании представления об «обме-
не» с учётом спина электронов. Это обстоятельство побудило вос-
пользоваться представлением об обмене также и для объяснения
природы ядерных сил.
Однако аналогия между химическими и ядерными силами ока-
залась неглубокой, и представление об «обмене» в теории ядерных
сил существенно отличается от «обмена» электронами в теории
связи молекулы Н2, где этот «обмен» по существу является сино-
нимом тождественности электронов. В теории же ядерных сил для
объяснения насыщения существенную роль играет обмен между
различными частицами — протонами и нейтронами. Имеется не-
сколько различных вариантов схемы обмена и можно показать
математически*), что эти схемы ведут к насыщению ядерных сил.
Чтобы применить идею обмена к объяснению ядерных сил,
покажем сначала, что любые взаимодействия можно представить
так, как если бы они происходили в результате обмена частицами.
(В таких случаях мы и говорим о «виртуальном» обмене). Нач-
нём с обыкновенных электромагнитных взаимодействий. Один
из важнейших и глубочайших по своему значению результатов
физики XIX столетия состоят в открытии электромагнитной при-
роды света. Ключом к этому открытию, как известно, послужил
тот факт, что одна и та же универсальная константа с, с одной
стороны, определяет магнитные взаимодействия между двумя
движущимися зарядами, а с другой,— является скоростью распро-
странения света. Тем самым электромагнитные силы взаимодействия
связываются со свойствами света. Но, поскольку свойства света
описываются также с помощью частиц — фотонов,—можно и элек-
тромагнитные взаимодействия описать как обмен фотонами. Можно,
следовательно, взаимодействие двух заряженных частиц, напри-
мер движущихся электронов, рассматривать как результат взаи-
модействия электрона с полем и этого поля со вторым электроном.
По то же самое взаимодействие можно описать как испускание
*) Км., например, Д. Иваненко и А. Соколов, Класси-
ческая тоортия поля, стр. 311 и след, Гостехиздат, 1951. Г. 13 е т е. Лекции
но теории ядра, стр. 100 и след., ИЛ, 1949.
376
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
фотона одним электроном и поглощение этого фотона другим. Оба-
способа—совершенно эквивалентны. Следует помнить, впрочем,
что в корпускулярном описании взаимодействия речь идёт лишь
о виртуальном обмене фотонами, а не о реальном процессе испу-
скания и поглощения фотонов (в стационарном поле фотоны ре-
ально не «рождаются»). Такое корпускулярное описание оказалось-
в высшей степени плодотворным как эвристический метод.
Советские физики И. Е. Тамм и Д. Д. Иваненко независимо
друг от друга указали на то, что эту корпускулярную картину
взаимодействия можно с успехом применить для объяснения ядер-
пых сил. Взаимодействие нуклеонов в ядре осуществляется с по-
мощью поля специфических ядерных сил. Этому полю, как и вся-
кому другому, можно сопоставить какие-то частицы и рассматри-
вать взаимодействие как виртуальный обмсп этими частицами.
Вопрос в том, что же это за частицы? Вначале была сделана по-
пытка объяснить ядерные силы между протоном п нейтроном как
обмсп электронами и нейтрино. С этой точки зрения нейтрон, испу-
ская электрон п нейтрино, превращается в протон, а протон, погло-
щая электрон и нейтрино, превращается в нейтрон. Тем самым осу-
ществляется как бы обмен «местами» между нейтроном п протоном
и вытекающее из этого обмена объяснение насыщения ядерных сил.
Хотя эта картина взаимодействия через посредство виртуаль-
ного «перебрасывания» электронами и нейтрино качественно объяс-
няет свойства ядерных сил, И. Е. Тамм показал, что силы, возни-
кающие таким путём, по крайней мере в 1010 раз меньше наблю-
даемых на самом деле ядерных сил. Ввиду этого японский физик
Юкава в 1935 г. высказал гипотезу, что обмен совершается не
через посредство электронов, а через посредство особых частиц,
именно тех, которые мы теперь называем мезонами (см. § 246). Мезо-
ны согласно гипотезе Юкавы должны играть для поля ядерных сил
такую же роль, как фотоны для электромагнитного поля. Юкава
показал, далее, что для объяснения малого радиуса действия
ядерных сил необходимо приписать мезонам отличную от нуля
массу покоя, так как, оказывается, поля, кванты которых, подоб-
но фотонам, не имеют массы покоя, дают силы «дальнего» действия.
Вычисление, которое мы приведём ниже, показывает, что для
объяснения известного из опыта радиуса действия ядерных сил
1,5—2 • 10~13 см масса покоя квантов ядерного поля (мезонов) долж-
на быть равна примерно 200 те (те—масса электрона).
Таким образом, мезоны были введены гипотетически и только
впоследствии они были открыты в космических лучах, а затем
получены искусственно в лаборатории*).
*) Юкава выдвинул гипотезу о существовании мезонов как электрически
нейтральных частиц промежуточной массы. Первоначально же были открыты
заряженные мезоны и только в самое последнее время (1950 г.) достоверно
установлено существование и нейтральных мезонов.
§ 250]	ПРИРОДА ЯДЕРНЫХ сил	377
Юкава показал, что потенциал поля короткодействующих
ядерных сил можно представить формулой
е~аг
v	•	(250,1)
Здесь параметр gy играет для ядерных взаимодействий ту же роль,
что и электрический заряд е для электромагнитных взаимодей-
ствий. Он называется поэтому «мезонным зарядом». Потенциаль-
ная энергия взаимодействия двух пуклсонов с мезонными «заря-
дами» g1} и g2 будет поэтому
-gig2 •	(250,2)
Потенциальная энергия отрицательна, так как взаимодействие
всегда есть притяжоппе. Экспоненциальное убывание потенциала у
с расстоянием обеспечивает резкое уменьшение ядерных сил с
увеличением г. Константа я, имеющая размерность сзг1, оче-
видно, характеризует дальность действия ядерных сил ввиду того,
что па расстоянии г — -~ потенциал убывает в е раз. Весьма суще-
ственпо, что, как можно доказать математически *), — выражается
через универсальные константы следующим образом:
1 -- _л__
а 2птс ’
т. е. равно делённой на 2~ «комптоновской длине волны» поля
ядерных сил. Полагая равной радиусу действия ядерных сил,
т. е. 1,5 • 10“13, найдём массу т мезонов
6,6 • 10~27	поп
т 2^. 1,5 • 10~13 • 3 • 1010 =	г,
т. е. примерно в 260 раз больше массы электрона. Тем самым
и оправдывается название «мезоны» для этих частиц с массой,
промежуточной между массами протона п электрона.
Таким образом, обмен нейтральными частицами с отличной
от нуля массой покоя может объяснить короткодействующий
характер ядерных сил. Далее, поскольку эти частицы электри-
чески нейтральны, силы между протонами, нейтронами и силы
протон—нейтрон все оказываются одинаковыми, что также при-
ближённо соответствует экспериментальным данным. Однако
ввиду того, что в очерченной теории частицы, передающие взаи-
модействие, электрически нейтральны, обмен этими частицами
*) См., например, Я. И. Френкель. Принципы теории атомных ядер
стр. 98,А II СССР, 1950.
378
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АТОМНОГО ЯДРА
[гл. XVIII
нс связан с обменом «местами» протона и нейтрона. Вследствие
этого силы являются «обыкновенными», т. е. не обменными, а пото-
му с их помощью нельзя объяснить насыщение ядерных сил.
На самом деле различные виды мезонов, изученные в косми-
ческих лучах и в лабораторных условиях, обнаруживают разную
картину свойств: имеются мезоны, несущие положительный
пли отрицательный электрический заряд, имеются также мезоны
различных масс, которые по-разному взаимодействуют с ядрами.
Для объяснения насыщения ядерных сил было предположено,
что взаимодействие осуществляется через посредство заряженных
мезонов. Кроме того, па основании различия в свойствах тяжёлых
и лёгких тс- п р-мезоиов можно считать наиболее вероятным, что
роль «переносчиков» взаимодействия играют именно я±-мезоны.
Нуклеопы могут испытывать следующие реакции:
тГ+р2=П2
или же
Pl —>	+ 7t+,	т:+ 4- п2 —> р2.
Таким образом, на месте нейтрона оказывается протон, а на месте
протона — нейтрон, т. е. осуществляется обмен местами. Возни-
кающие таким путём силы являются обменными; они обладают
свойством насыщения.
Теория заряженных мезонов объясняет также наличие магнит-
ного момента у нейтрона и аномальную величину магнитного мо-
мента протона. Так как протон и нейтрон рассматриваются как раз-
личные квантовые состояния одной ядерной частицы — нуклеопа,
то состояние этого пуклеона вообще должно быть суперпозицией
обоих состояний. Это означает, что нуклеон, который мы назы-
ваем «нейтроном», большую часть времени пребывает в состоянии
«идеального» нейтрона с зарядом 0 и магнитным моментом 0, но
на короткие промежутки времени он как бы расщепляется па
«идеальный» протон с магнитным моментом, равным ядерному
магнетону, п отрицательный мезон, а затем вновь превращается
в идеальный нейтрон
п^р 4-гс*’.
Так как масса чг-мезона значительно меньше массы протона, то
его магнитный момент будет соответственно больше магнитного
момента «идеального» протона, а вследствие отрицательного знака
электрического заряда ч7_-мезона оба магнитных момента направ-
лены антппараллельно. В результате гс~-мсзон как бы уделит ней-
трону часть своего магнитного момента и, поскольку его момент
больше момента протона и направлен ему противоположно, ре-
зультирующий момент нейтрона будет отличен от нуля и будет
иметь отрицательный знак. Соответственно, нуклеон, называемый
нами «протоном», испытывает реакцию
р п 4- чС.
250]
ПРИРОДА ЯДЕРНЫХ СИЛ
379
Следовательно, в течение той доли времени, когда протон нахо-
дится в расщепленном состоянии, его магнитный момент целиком
обусловлен значительно бдльшим магнитным моментом тС -мезона
и имеет положительный знак; во всё остальное время магнитный
момент «идеального» протона есть 1. Отсюда понятно, почему
протон обладает магнитным моментом, бдльшим ядерного магне-
тона. Если доля времени, в течение которого пуклсон находится
в расщеплённом состоянии, для протона и нейтрона одинакова,
то, как легко видеть, разность их магнитных моментов должна
быть равна 1, что приблизительно и наблюдается.
В последнее время были установлены некоторые факты, кото-
рые можно рассматривать как экспериментальное доказательство
обменного характера взаимодействия между нейтроном и прото-
ном. Именно, при изучении рассеяния нейтронов с энергией
90 MeV оказалось, что после прохождения через мишень в пучке
обнаруживаются протоны, движущиеся преимущественно впе-
рёд и обладающие энергией также в 90 MeV. Эти протоны не могли
быть выбиты в результате взаимодействий с обычными силами,
так как в этом случае протон должен был приобрести энергию
порядка глубины потенциальной ямы, т. е. 10 MeV. Если же су-
ществуют обменные силы, то нейтрон может «па ходу» превратиться
в протон и продолжать своё движение с той же энергией, а протон,
мимо которого пролетал быстрый нейтрон, останется в ядро с энер-
гией порядка 10 MeV.
Был выполнен также п обратный опыт: протоны с энергией
-^400 MeV рассеивались нейтронами. При этом обнаружены были
нейтроны с энергией до 350 MeV, летящие преимущественно впе-
рёд. Эти нейтроны могли возникнуть только в результате превра-
щения протонов при взаимодействии их с ядерными нейтронами.
Подводя итог сказанному в этом параграфе, отметим, что ме-
зонная теория ядерных сил качественно объясняет значительное
число фактов. Повидимому, существуют силы двух типов— обык-
новенные, возникающие в результате обмена нейтральными ме-
зонами, и обменные, являющиеся результатом обмена i мезо-
нами (тс-мезонами). Построение же количественной теории нахо-
дится ещё в начале своего развития.
ГЛАВА XIX
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
В этой главе мы познакомимся с основными эксперименталь-
ными .методами, применяемыми в самых разнообразных иссле-
дованиях ядорпьыс процессов. ('начала мы рассмотрим методы
счёта отдельных частиц а в,атом опишем ускорители частиц,
применяемые при изучении ядерных реакций.
А. МЕТОДЫ СЧЁТА Я НАБЛЮДЕНИЯ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ
При изучении процессов, происходящих в атомных ядрах,
в большинство случаев приходится иметь дело с частицами, обла-
дающими огромной энергией. Это даёт возможность наблюдать
элементарные процессы, происходящие с отдельными ядрами,
в то время как обычные экспериментальные методы физики дают
статистический результат огромного количестве! элементарных
процессов.
§ 251.	Методы счёта частиц
1.	Счётчик Гейгера—Мюллера. Очень широкое применение
в ядерной физике имеют счётчики Гейгера—Мюллера, Счётчик
Гейгера—Мюллера есть ионизационное устройство, оспованное-
на своего рода «внутреннем усилении» первичных слабых иониза-
ционных процессов. Схема счётчика изображена на рпс. 310.
Он представляет собою цилиндрический конденсатор, в котором
центральным электродом, обычно служащим анодом, является
тонкая нить радиусом в сотые доли миллиметра, а катодом —
металлический цилиндр радиусом примерно в 1 см. Счётчик по-
мещается в откачанной оболочке, которая может наполняться
теми или иными газами, обычно при пониженном давлении. Если
радиус нити обозначить через а, а радиус цилиндра через b и если
разность потенциалов между нитью и цилиндром равна V, то-
градиент потенциала, т. е. напряжённость поля Г, на расстоя-
нии г от оси счётчика (сг < г < Ъ} будет
с< г
251]
МЕТОДЫ СЧЁТА ЧАСТИЦ
381
Пусть, например, Г -- 1000 вольт, а -- 4 • 10-3сл, Ь — 1 см. Тогда на-
пряжённость поля около цилиндра (?’	1 с.и) будет 181 вольт- саг1,
а около нити (/• —4 • 10-3саг) с? --4,52  104 вольт  см~г. Из этого
простого подсчёта видно, что если нить достаточно топка, то при
сравнительно небольшой разности потенциалов между нею и ци-
линдром напряжённость поля у нити может достигать столь боль-
ших значений, что становится возможным появление вблизи
нити новых электронов п ионов вследствие ударной ионизации.
Рпс. 310. Счетчик Гейгера—Мюллера.
Характер работы счётчика существенно зависит от разности
потенциалов V между питью и цилиндром: в зависимости от вели-
чины V счётчик работает либо как обычная ионизационная ка-
мера, либо как так называемый «пропорциональный счётчик»,
либо собственно как счётчик Гейгера—Мюллера.
Представим себе, что под действием того или иного иони-
зующего агента (заряженные быстрые частицы пли коротко-
волновое излучение) внутри счётчика возникло определённое
число пар ионов. Если увеличивать постепенно напряжение, то
ионизационный ток сначала будет линейно возрастать, по при
дальнейшем увеличении напряжения возрастание тока сначала
замедляется, а затем ток становится независимым от напряжения
(ток насыщения, рпс. 311, область 0 — Ур). Сила этого тока
насыщения является мерой чпела возникших пар попов. Очевидно,
что счётчик, работающий при напряжении, не превосходящем Vp,
представляет собой обычную ионизационную камеру.
При напряжении, большем V , начинается ударная ионизация,
в результате которой число ионов увеличивается. Если каждый
электрон па пути к инти создаёт за счёт ионизации соударе-
ниями Л новых электронов, то Л называется коэффициентом
газового усиления; оп может достигать 107. В определённой
области напряжений от Vp до V'p коэффициент газового усиле-
ния А не зависит от числа первично возникающих ионов. Поэ-
тому, если первичный ионизатор даёт п пар ионов, то в ре-
зультате газового усиления ток будет пропорционален п и, сле-
довательно. будет пропорционален числу первичных пар ионов.
Счётчик, работающий в таком режиме, называется пролорцл-
оналъным. Оп позволяет, например, различать импульсы от
и 3-час тип.
382
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
[ гл. XIX
При дальнейшем увеличении напряжения обнаруживается
зависимость А от силы ионизатора: чем большее число пар попов
создает первичная частица, тем меньше А. Наконец, начиная
с некоторого критического напряжения Vff, импульсы от частиц
с различной ионизующей способностью становятся одинаковыми.
Прибор, работающий в таком режиме, действует уже, собственно,
как счётчик Гейгера—Мюллера Коэффициент усиления при этом
сильно возрастает, по возможность различения первичных иони-
зующих частиц теряется.
Рис. 311. Характеристики счётчика Гейгера—Мюллера.
Механизм работы в режиме счётчика Гейгера—Мюллера доволь-
но сложен*). В основных чертах он состоит в том, что электроны,
обладающие очень большой подвижностью, в промежуток времени
порядка 10-7 — 10~8 сек. оказываются вблизи нити, где благодаря
высокому градиенту потенциала они получают столь большое уско-
рение, что путём ударной ионизации вызывают новые электроны
и ионы с последующим развитием лавины. Важную роль при этом
*) /I,стальное изложение механизма действия счётчиков см. в моногра-
фии В. Векслера, Л. Г р о ш е в а и Б. Исаева, Ионизационные методы
исследования излучений, Гостехиздат, 1950.
§ 251]
МЕТОДЫ СЧЁТА ЧАСТИЦ
383
играет также фотоэлектрическое освобождение электронов со стопок
счётчика под влиянием ультрафиолетового излучения возбу-
ждённых атомов газа, возникающих вследствие ударов быстрых
электронов или при рекомбинации положительных ионов и элек-
тронов.
Положительные ионы за промежуток времени 10~7 —10~8 сек.,
в течение которого развивается лавина, практически остаются
па месте. Они создают вблизи нити облако положительного про-
странственного заряда, которое в конце концов настолько пони-
жает градиент потенциала у нити, что дальнейшее развитие
лавины становится невозможным. Медленно двигаясь по направ-
лению к цилиндру (катоду), положительные ионы в конечном счёте
нейтрализуются на его стенках, и разряд прекращается.
Для хорошей работы счётчика важна быстрота гашения раз-
ряда. В так называемых несамогасящихся счётчиках гашение
осуществляется благодаря включению в цепь последовательно
с нитью высокоомного сопротивления R (рис. 310) порядка
108 — 109 й. Падение потенциала на этом сопротивлении уменьшает
разность потенциалов между нитью и цилиндром и препятствует
дальнейшему развитию разряда. При наличии этого гасящего
сопротивления потенциал пространственного заряда падает по
экспоненциальному закону e~l!RG, т. е. через RC секунд умень-
шается в е раз; С есть распределённая ёмкость всей схемы. При
R 108 2 и С 10"11 фарад RC 10-3 сек. Это и есть характерная
постоянная времени счётчика. От её величины зависит «разрешаю-
щая» способность счётчика, т. е. его способность раздельно отме-
чать быстро следующие друг за другом частицы. В самом дело,
до тех пор пока разность потенциалов между нитью и цилиндром
не восстановится до своего первоначального значения, новая
частица, попавшая в счётчик, не вызовет развития лавины и обра-
зования разряда («мёртвое время»).
Применение гасящих сопротивлений, однако, ухудшает работу
счётчика в других отношениях. Поэтому в настоящее время для
целей гашения пользуются специальными «гасящими» лампо-
выми схемами. Применяются также «самогасящиеся» счётчики,
которые наполнены газом, состоящим из сложных молекул,
например смесью аргона и паров алкоголя. Пары алкоголя и вы-
полняют функцию гашения разряда. Это объясняется тем, что
молекулы алкоголя поглощают ультрафиолетовое излучение,
испускаемое возбуждёнными атомами аргона, и благодаря спо-
собности многоатомных молекул перераспределять энергию воз-
буждения по большому числу степеней свободы с большой вероят-
ностью превращают энергию электронного возбуждения в энер-
гию колебаний ядер. Вследствие этого сильно уменьшается число
электронов, освобождаемых фотоэлектрическим путём, и разряд
быстро гасится.
384	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ [гл. XIX
В качестве измерительного прибора на выходе счётчика раньше
применялись малоинерцнонные струнные электрометры. В настоя-
щее время пользуются обычно радиотехническими усилитель-
ными устройствами, достигшими высокой степени совершен-
ства. На выходе усилителя обычно ставится не измерительный
прибор, но механический счётчик, автоматически регистриру-
ющий число импульсов. Для регистрации очень быстро следу-
ющих друг за другом частпц применяются так называемые пе-
ресчётные схемы, понижающие скорость счёта в заданное
число раз.
Для многих экспериментальных работ большое значение
имеют так называемые схемы совпадений, работающие только
тогда, когда частица практически одновременно проходит через
два пли большее число счётчиков. Эти схемы разнообразны,
и лишь в качестве примера мы опишем устройство одной из них.
1
Рпс. 3L2. Пример схемы совпадений.
На сетку выходной лампы Т (рис. 312) от батареи Е2 подаётся
отрицательный потенциал, запирающий анодный ток. Если через
один из счётчиков, например /, проходит быстрая частица, то
нить счётчика мгновенно приобретает некоторый отрицательный
потенциал, который заряжает сетку лампы 1 п прекращает в ней
ток. Это, однако, мало меняет режим работы выходной лампы,
так как в цепь ламп 1 и 2 включено большое сопротивление R.
Поскольку ток еще идёт через лампу 2, почти всё падение потен-
циала батареи приходится Па это сопротивление, и лампа Т
остаётся запертой. Если же частица проходит через оба счётчика,
то прекращается ток в обеих лампах 1 и 2, цепь батареи 7Д ока-
зывается разомкнутой, и эта батарея заряжает положительно
сетку выходной лампы Т. В результате через лампу идёт ток,
который и приводит в действие регистрирующий механизм.
В некоторых случаях применяются схемы «аптпсовпадений».
Назначение их состоит в том, чтобы один счётчик не работал,
когда работают другие.
Описание этих схем, как и вообще сложных радиотехни-
ческих устройств, используемых в современных работах но
§ 251]
МЕТОДЫ СЧЁТА ЧАСТИЦ
385
ядерной физике, следует искать в специальных руководствах
и монографиях*).
Счётчики Гейгера—Мюллера могут применяться как для счёта
тяжёлых частиц (а-частицы, протоны), так и лёгких частиц ([3-ча-
стицы). Ими можно пользоваться также для счёта у-фотонов. В этом
случае первичная ионизация получается за счёт электрона, выры-
ваемого у-кваитом из стенки счётчика.
2.	Малал ионизационная камера. Для счёта тяжёлых частиц
с большим успехом применяется малая ионизационная камера.
Устройство её показано на рис. 313. Исследуемые частицы про-
никают внутрь камеры через окошко W (слюдяной листочек,
покрытый путём распыления тончайшим слоем золота). Возни-
кающие внутри камеры отрицательные ионы под действием потен-
циала V (порядка 240 V) собираются на коллекторе С. Расстоя-
ние между коллектором и окошком 2 —15 мм. Отрицательный
Рис 313. Малая ионизационная камера с усилителем.
потенциал коллектора сообщается сетке первой усилительной
лампы 7’, после чего возникающий импульс ещё усиливается
линейным усилителем специальной конструкции. В результате
при прохождении через камеру одной частицы на выходе полу-
чается импульс потенциала до 100 V. Этот импульс может быть
отмечен осциллографом с очень коротким собственным периодом
колебания (5000 циклов), отклонения которого регистрируются
фотографически на движущейся фотоплёнке. Вследствие особой
конструкции усилителя длина получающихся чёрточек пропор-
циональна числу ионов, возникающих в камере, а это даёт воз-
можность по записи различать частицы. На рис. 314 приведены
три примера записи; вертикальные линии представляют запись
отклонения зеркальца осциллографа, горизонтальные линии, от-
стоящие друг от друга на расстоянии 1 мм, служат для облегчения
отсчёта длины вертикальных чёрточек; чёрные прямоугольники
внизу — регистрация времени, производимая через каждую минуту.
*) См., например, А. М. Бонч-Бруевич, Применение электронных
ламп в экспериментальной физике, гл. VIII, Гостехиздат, 1950. С. Корф,
Счётчики электронов и ядерных частиц, гл. УП, ИЛ, 1947.
386
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОП ФИЗИКИ
Каждая пз вертикальных чёрточек рис. 314, а является реги-
страцией прохождения через камору частицы; в этом случае
Рис. 14. Образцы записи ионизации отдельными частицами: а—
а-частицы почти одинаковой скорости; Ъ — протоны различных скоро-
стей: с—частицы различной природы, приведённые в движение уда-
рами нейтронов.
в камеру попадали а-частицы приблизительно одинаковой энер-
гии и параллельно направленные; мы видим, что все чёрточки
251]
МЕТОДЫ СЧЁТА ЧАСТИЦ
387
действительно имеют приблизительно одинаковую длину. Запись,
изображённая па рис. 314, Ь, соответствует протонам различных
энергий; здесь и длина чёрточек неодинакова. Наконец, па.
рпс. 3'14, с зарегистрированы частицы различной природы
п различных энергий, приходящие в движение иод действием
ударов нейтронов; в этом случае длины чёрточек самые разнооб-
разные.
Большим преимуществом ионизационной камеры по сравне-
нию со счётчиком является то, что она не реагирует на у-лучп,
вследствие чего счёт частпц свободен от «фона», создаваемого
7-лучами.
3.	Кристаллические счётчики. Для счёта быстрых ионизую-
щих частиц применяются также кристаллические счётчики. Кри-
сталлический счётчик представляет собой кристалл, на который
накладывается напряжение. При прохождении ионизующей
частицы проводимость кристалла резко возрастает, и возникаю-
щий импульс тока может быть зарегистрирован обычным спосо-
бом. В качестве кристаллов могут применяться хлористое серебро...
алмаз и некоторые другие. Все эти кристаллы обнаруживают
также возрастание проводимости при освещении — они обладают
фотопроводимостью вследствие внутреннего фотоэффекта. Меха-
низм возрастания проводимости под действием ионизующих частиц
тот же, что и при фотопроводимости.
Преимуществом кристаллических счётчиков является про-
стота конструкции, быстрое нарастание импульса и отсутствие
«мёртвого времени».
4.	Счёт сцинтилляций. Наиболее старый п простой для осу-
ществления метод, при помощи которого можно подсчитывать
число быстрых частиц, — визуальный метод счёта сцинтилляций.
В простейшей форме он осуществляется в хорошо известном
спинтарископе Крукса. Экран из сернистого цинка, облучаемый
быстрыми частицами (в спинтарископе — а-частицами), рассма-
тривается в микроскоп и подсчитываются вспышки, вызываемые
ударами отдельных частиц. Этот метод с очень большим успехом
применялся на раннем этапе развития ядерной физики; при его
помощи были впервые открыты и изучены процессы искусствен-
ного преобразования атомных ядер под действием а-частиц.
Несмотря на кажущуюся простоту, этот метод на самом деле
является очень трудным. Глаз человека обладает исключительна
высокой чувствительностью (см. т. I, § 115). Однако такая высо-
кая чувствительность достигается только при особенно благо-
приятных условиях, и с утомлением наблюдателя чувствитель-
ность быстро падает. Вообще субъективные условия играли в этом
методе значительную роль, а сильное утомление, вызываемое
счётом слабых сцинтилляций, крайне ограничивало возможность
длительных опытов. По всем этим причинам визуальный
388	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ [гл. XIX
метод сцинтилляций был совершенно вытеснен другими методами
счёта частиц.
В последние годы, однако, метод счёта сцинтилляций возро-
дился, но уже в новой, объективной форме: сцинтилляции, воз-
буждаемые на флуоресцирующем экране, регистрируются не гла-
зом, но высокочувствительным фотоэлектрическим устройством —
фотоумножителем*). Последний представляет собою вакуумный
фотоэлемент, в котором, кроме чувствительного фотокатода,
имеется несколько дополнительных электродов (обычно 12—14),
между которыми накладывается разность потенциалов, ускоряю-
щая электроны (примерно 100 V на каждую пару). Электроны,
освобождаемые светом из фотокатода, направляются на первый
дополнительный катод, из которого они освобождают несколько
новых электронов; последние направляются на второй дополни-
тельный катод и освобождают новые электроны п т. д. В резуль-
тате уже внутри самого умножителя получается усиление порядка
10* 6 — 107 раз, а кроме того, напряжение, возникающее на выходе
умножителя, может быть ещё усилено ламповым усилителем.
В качестве люминесцирующего вещества в большинстве случаев
применяют кристаллы органических веществ—нафталина, антра-
цена, фенантрена и некоторых других. Применение этих кристал-
лов выгодно в двух отношениях: во-первых, они дают синюю
флуоресценцию, к которой особенно чувствительны катоды умно-
жителей (обычно сурьмяно-цезиевые), во-вторых, они практи-
чески совершенно прозрачны для своего света флуоресценции,
ввиду чего можно применять кристаллы большой толщины,
используя свет флуоресценции, возбуждаемый на всём пути
ионизующей частицы. Вместо больших кристаллов, изготовление
которых связано с некоторыми трудностями, оказалось возмож-
ным даже применение растворов тех же органических веществ.
Люминесцентные счётчики имеют ряд преимуществ даже перед
счётчиками Гейгера—Мюллера. В частности, благодаря без-
инерционности фотоэффекта, разрешающая способность люминес-
центных счётчиков выше разрешающей способности счётчиков
Гейгера—Мюллера.
§ 252.	Фотографирование путей быстрых частиц.
Детектирование нейтронов
1.	Камера Вильсона. Камера Вильсона является одним из
самых важных орудий экспериментатора в области ядерной
физики. В основе её действия лежит явление, открытое
Ч. Т. Р. Вильсоном и состоящее в следующем. Уже давно было
*) Фотоумножитель был изобретен советским инженером Л. А. К у-
б е цк нм.
§ 252]
ФОТОГРАФИРОВАНИЕ ПУТЕЙ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ
389
известно, что для образования тумана в пространстве, пересы-
щенном парами, требуется наличие определённых условий. Так,
папример, в восьмидесятых годах прошлого столетия рядом иссле-
дователей было показано, что для образования тумана при неболь-
шом адиабатическом расширении влажного воздуха необходимо
наличие пыли в воздухе: каждая пылинка служит центром кон-
денсации капельки, а необходимость таких «зародышей» связана
с термодинамическими условиями возникновения капли конеч-
ных размеров. Вильсон, однако, показал, что при определённых
условиях в воздухе, очищенном от пыли, такую же роль зароды-
Рис. 315. Ранняя конструкция камеры Вильсона.
шей тумана могут играть газовые ионы. Если вызывать пересы-
щение внезапным адиабатическим расширением влажного воз-
духа, то до тех пор, пока отношение объёмов после расширения
и до расширения меньше 1,25, возникновения тумана в отсут-
ствии пыли не наблюдается. При
капли, причём при
К2
Vi
1,25 появляются отдельные
1,25 <^< 1,31
центрами служат отрицательные ионы, а при ^->1,31—поло-
“	У 1
жительные. Наконец, при
1,38 снова возникает сплошной
туман.
Камера Вильсона основана на этих свойствах конденсации
паров. Первоначальная конструкция камеры поясняется рис. 315.
390	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ [гл. XIX
Камера имеет вид цилиндра 16,5 см диаметром и 3,4 см высотой;
при открывании крана С пространство Т под поршнем В соеди-
няется с откапанным резервуаром G, вследствие чего происходит
внезапное расширение пространства D, которое влечёт за собой
понижение температуры, происходящее согласно термодинами-
ческой формуле
Тск~х = const,
Qk — При этом в отсутствии пыли и попов конденсации не про-
исходит, п пространство I) оказывается пересыщенным паром.
Для удаления ионов, уже существующих в каморе, перед расши-
рением на камеру подаётся напряжение от батареи Е. Если
непосредственно вслед за расширением через камеру пролетает
при соответствующем освещении путь
частицы становится заметным в виде
узкой туманной полосы.
Эта первоначальная конструкция
впоследствии подвергалась многочис-
ленным видоизменениям и улучшениям.
Были разработаны каморы с непре-
рывным движением поршня, в послед-
нее время—камеры, автоматически
управляемые счётчиками, т. с. расши-
ряющиеся только тогда, когда через
камеру пролетает ионизующая ча-
стица, которая сама при посредстве
счётчиков и реле вызывает действие
камеры, а также другие видоизменения
и усовершенствования конструкции
камеры*). В качестве «рабочего веще-
ионизующая частица, то
Рис. 316. Стереоскопиче-
ское фотографирование сле-
дов частиц одним объек-
тивом.
ства» в камере применяются пары воды, этилового пли мети-
лового спирта или смеси паров того п другого.
Получаемые следы траекторий (трэки) обычно фотографи-
руются. При этом для того, чтобы иметь возможность воспроиз-
вести пространственное расположение трэков, фотографирование
производится либо стереоскопической фотокамерой с двумя
объективами, либо одним объективом одновременно в двух раз-
личных направлениях. Принцип часто применяемого с этой
целью метода виден из рис. 316: при помощи зеркал Сг и С.>,
Вх и В2, расположенных перпендикулярно друг к другу и под
углом 45° к плоскости камеры А, фотографирование произво-
дится в двух направлениях, перпендикулярных друг к другу.
См. В. Векслер, Л. Грошев. Н. Добротин, Эксперименталь-
ные методы ядерной физики, АН СССР, 1940, а также Н. Дас Гунтп,
С. Гош, Камера Вильсона и её применения в физике, ИЛ, 1947.
252]	ФОТОГРАФИРОВАНИЕ ПУТЕЙ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ	391
Получаемые при этом парные снимки затем подвергаются особой
обработке, па способах которой мы здесь останавливаться
не можем*).
2.	Метод толстослойных фотопластинок. За последнее время
всё большое применение начал получать другой метод регистрации
путей быстрых частиц, в некоторых отношениях имеющий преиму-
щества перед каморой Вильсона. Было замечено, что когда
а-частица попадает в эмульсию фотопластинки под скользящим
углом, опа делает зёрна эмульсии, встречающиеся на сё пути,
способными к проявлению. След а-частицы после проявления
при рассматривании в микроскоп с увеличением в несколько сот
раз становится видимым. Так как при этом а-частнца движется
в сильно поглощающей среде, то длина её пути очень мала
{20 - 50 д). Обычная толщина фотоэмульсии ~~20р. Поэтому
с целью расширить возможности метода Л. В. Мысовский пред-
ложил пользоваться особыми толстослойными фотопластинками
с толщиной слоя в 50 р. Мысовский и его сотрудники показали,
что таким путём можно регистрировать а-частпцьт, попадающие
в эмульсию не только под скользящими углами. В дальнейшем
развитии метода фотопластинок большие заслуги принадлежат
A. II. Жданову, который разработал методы изготовления мелко-
зернистых эмульсий, пригодных для регистрации протонов, п
получил превосходные фотографии многократных расщеплений
ядер космическими частицами.
В настоящее время специальные фотопластинки для ядерных
исследований изготовляются фабричным способом. Эти пластинки
отличаются от обычных прежде всего своей высокой концентра-
цией зёрен галоидного серебра, которая в случае ядерных пла-
стинок примерно в 10 раз превосходит концентрацию в обычных
пластинках. Кроме того, фотопластинки для ядерных исследо-
вании имеют необычно большую толщину слоя эмульсии (дости-
гающую в некоторых случаях 100 р). Изготовляется несколько
типов пластинок с различной чувствительностью и с большой
или меньшей величиной зерна. С помощью этих пластинок можно
регистрировать а-частицы, протоны, дейтероны, мезопы, а также
осколктг, получающиеся при делении тяжёлых ядер. Недавно
были изготовлены пластинки, позволяющие регистрировать следы
отдельных электронов.
На рис. 317 приведено два примера фотографий ядерных про-
цессов, сделанных с помощью специальных ядерпых эмульсий.
Так как пробеги частиц в плотных эмульсиях очень малы,
то пластинки после проявления изучаются под микроскопом;
найденные следы затем мнкрофотографируются. В некоторых
*) См. указанную книгу В. Векслера, Л. Грошева в
II. Добро типа, стр. 259 и след.
392	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ [гл. XIX
случаях для этой цели оказываются достаточными ужо неболь-
шие увеличения. Чаще, однако, приходится применять микро-
скопические объективы с масляной иммерсией для получен л я
высокой разрешающей силы. Такие объективы обладают, однако,
а)
Рис. 317. Примеры фотографирования ядерных процессов с помощью тол-
стослойных эмульсий: а — рассеяние протона па большой угол. Протон
двигался в направлении стрелки и, испытав рассеяние ядром серебра или
брома, отклонился па угол 160 3 b — расщепление ядра.
очень малой глубиной резкости, ввиду чего сфокусировать сразу
весь след, пронизывающий эмульсию, можно только тогда, когда
случайно след расположен в плоскости, параллельной слою
эмульсии. Если же след расположен как-нибудь наклонно, то
последовательно делаются микрофотографии отдельных участков
эмульсии, из которых затем изготовляется «мозаика», дающая
£252]
ФОТОГРАФИРОВАНИЕ ПУТЕЙ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ
393
картину следа на всём его протяжении. Примеры таких мозаик
можно найти в гл. XXIV.
3.	Детектирование нейтронов. Рассмотренные в этом параграфе
методы счёта и регистрации быстрых частиц непосредственно
применимы к заряженным частицам—протонам, дейтеронам, «-ча-
стицам. Особой задачей является детектирование нейтронов.
Нейтроны не имеют заряда и не вызывают ионизации, вследствие
чего непосредственное их обнаружение описанными методами
невозможно. Для обнаружения нейтронов пользуются косвенными
методами, регистрируя их действия. Таковыми являются: а) ядра
отдачи, возникающие при упругом рассеянии нейтронов; Ъ) ядер-
иые реакции, вызываемые нейтронами, и, в частности, с) возникно-
вение искусственно-радиоактивных ядер под действием нейтронов.
а)	При упругом рассеянии нейтронов рассеивающие ядра
испытывают отдачу, вследствие которой они приобретают боль-
шую энергию, если рассматриваемый нейтрон принадлежит к числу
быстрых нейтронов, т. о. обладает энергией порядка 1 MeV. Эти
ядра отдачи можно обнаружить, например, по их следам в камере
Вильсона. Ядра отдачи позволяют также детектировать нейтроны
с помощью ионизационных камер пли счётчиков. Так, например,
можно расположить перед камерой слой парафина; при упругом
рассеянии нейтронов в парафине освобождаются протоны, кото-
рые и возбуждают ионизацию газа в камере. Эффективность
этого метода, однако, ио велика: на 104 нейтронов с энергией
в 1 MeV из толстого слоя парафина освобождается около семи
протонов; при увеличении энергии нейтронов отношение числа
нейтронов к числу освобождаемых протонов возрастает прибли-
зительно пропорционально энергии нейтронов. Целесообразнее
наполнение камер водородом или водородсодержащпмп соеди-
нениями (СН4, С2Пе, C3HS и др., также NH3, H2S).
Ь)	Ядерные реакции для детектирования нейтронов значительно
более эффективны. Для детектирования медленных нейтронов
особенно эффективно использование ядерной реакции с бором,
5В10, при которой освобождаются а-частицы. В этом случае воз-
можно как применение счётчиков, так и ионизационных камер.
Счётчик или камора наполняются трёхфтористым бором, BF3,
в котором и происходит реакция с нейтронами. Чтобы этот метод
можно было применить для детектирования быстрых нейтронов,
последние предварительно пропускаются через слой парафина,
обладающего высоким содержанием водорода. При соударении
нейтрона с ядром водорода, имеющим ту же массу, нейтрон
в среднем теряет половину своей энергии. Поэтому уже при
небольшом числе соударений энергия нейтронов понижается
до величины, соответствующей тепловому равновесию при данной
температуре. Получающиеся при этом «тепловые нейтроны» легко
детектируются счётчиками или камерами с BF3.
394
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
[гл. XIX
с)	Для качественного обнаружения нейтронов удобно исполь-
зовать в качестве индикатора возникновение искусственной
радиоактивности. С этой целью часто применяются индий, серебро,
родий и некоторые другие вещества. При реакции с нейтронами
возникают радиоактивные изотопы этих веществ, которые и обна-
руживаются с помощью счётчиков.
Наконец, возможно обнаружение нейтронов с помощью спе-
циальных фотоэмульсий. Для этого к эмульсии толстослойной
пластинки примешиваются соли лития или бора. В эмульсиях
в результате реакций с Li6 и В10 обнаруживаются трэки возни-
кающих в результате реакций ядер гелия *).
В. УСКОРИТЕЛИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
§ 253. Электростатический генератор
Для того чтобы заряженная частица (протон, дейтерон,
я-частица) могла вступить в ядерпую реакцию, она должна при-
близиться к ядру на достаточно малое расстояние. Поэтому важ-
ной экспериментальной задачей ядерной физики была разработка
методов получения заряженных частиц с энергиями в несколько
миллионов электрон-вольт. Вначале стремились к тому, чтобы
установка имела лабораторный масштаб, по возможности, поме-
щалась па лабораторном столе и чтобы она не требовала для
своего осуществления слишком больших затрат. Однако, когда
некоторые из установок, отвечающих этим требованиям, были изо-
бретены, то оказалось, что путём повышения их размеров и мощ-
ности можно значительно расширить экспериментальные воз-
можности.
Простейшая по идее установка для получения быстрых частпц
есть электростатический генератор, изобретённый Ван-де-Граафом.
Машины этого типа основаны на известном электростатиче-
ском опыте: если внутрь полой металлической сферы внести
заряженный шарик па изолирующей ручке и прикоснуться им
к внутренней поверхности сферы, то шарик отдаст сфере весь
свой заряд. Повторяя эту операцию, мы каждый раз совершаем
работу против сил поля, за счёт которой мы можем, теоретически
говоря, довести потенциал сферы до предела, определяемого
утечками (корова).
Эта идея технически осуществлена в электростатическом
генераторе следующим способом. Р и N — две полые металли-
ческие сферы (рис. 318); заряды переносятся двумя бесконечны-
ми лентами, сделанными из изолирующего материала (шёлк,
*) По поводу дозиметрии и детектирования нейтронов см. указанную
на стр. 382 книгу В. Векслера, Л. Грошева и Б. Исаева или специ-
альную монографию К. И. Аг липцев а, Дозиметрия ионизирующих
излучений, Гостехиздат, 1950.
§ 253]
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ГЕНЕРАТОР
395
Гис. 319. Внешний вид электростатического генератора.
396	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ [гл. XIX
резина, бумага и т. п.). Ленты заряжаются, как показано па чер-
теже, от небольшого технического трансформатора па 10 000—
20 000 V с кенотроном для выпрямления. Положительный заряд,
переносимый лентой слева, собирается внутри сферы коллекто-
ром А, который передаёт заряд сфере. На рисунке показано
простое приспособление в виде второго коллектора В, благодаря
которому лента не только приносит определённое количество
положительного электричества, по и уносит такое же коли-
чество отрицательного; тем самым эффективность машины уд-
ваивается.
Ограничение потенциала, получаемого на сферах электро-
статического генератора, обусловлено пробивным потенциалом
окружающего газа. Поэтому оказалось целесообразным помещать
генератор в герметическую оболочку, внутри которой создаётся
давление в несколько атмосфер, чем и повышается пробивное
напряжение. Ещё более эффективным оказалось помещение гене-
ратора не в воздухе, но в сжатом газе большой электрической
прочности. Таковыми являются фреон п в особенности так назы-
ваемый «элегаз» (гексафторид серы SF6), применение которою
разработано группой А. Ф. Поффе.
Построенные до настоящего времени электростатические гене-
раторы дают 3—3,5 MeV при токе порядка 1000 у А. Хотя электро-
статический генератор значительно уступает описываемым ниже
ускорителям в отношении энергии ускоренных частиц, он всё же
остаётся ценной вспомогательной машиной для ядерных иссле-
дований. Его главное преимущество состоит в высокой однород-
ности и строгой контролируемости энергии получаемых с его-
помощью быстрых частиц.
Рис. 319 даёт представление о внешнем виде электростатиче-
ского генератора.
§ 254. Циклотрон
Принцип действия циклотрона необычайно прост. Представим
себе металлическую коробку в виде плоского полого цилиндра,
разрезанного пополам. Коробка помещается в поперечное маг-
нитное поле и на обо половины её накладывается переменная
разность потенциалов (например, 104—105 V) от высокочастот-
ного генератора. Пусть в некоторый момент в разрезе между
этими половинами, которые называются дуантамп, находится'
положительный пои. Если в этот момент левый дуант (рпс. 320)
заряжен до максимального отрицательного потенциала, то ион
притянется влево и попадёт внутрь дуанта, где электрическое
поле отсутствует, но имеется поперечное магнитное ноле (пер-
пендикулярное к плоскости чертежа). Под действием магнитного
поля ион опишет полуокружность. Пусть для этого ему понадобится
промежуток времени, равный t. Если за это время фаза при ложен
§ 254]
ЦИКЛОТРОН
397
ной разности потенциалов изменится на противоположную, то ион
испытает новое ускорение по направлению к правому дуанту
и будет продолжать путь внутри него с большей скоростью по
полуокружности большего радиуса. Очевидно, что если имеется
возможность добиться синхронизма между промежутком времени,
необходимым иону, чтобы пройти путь внутри дуанта, и периодом
генератора, то ион будет получать ускорения всякий раз, когда
он будет попадать в щель между дуантамп. Такая возможность
имеется вследствие того, что, как показывает простой расчёт (см. т. I,
•§ 4), время t не зависит от радиуса полуокружности, по которой
движется ион внутри дуанта.
Рпс. 320. Принцип действия циклотрона.
Найдём теперь условие синхронизма. Для его осуществления
угловая скорость иона должна совпадать с угловой частотой
генератора, т. е. должна быть равна 2тг/, где / — линейная
частота генератора. Из условия (см. т. I, § 4)
mv2 в
—• = -- У /С
г с
имеем
со =
v _ е
г тс
(254,1)
так что условие синхронизма напишется в виде
— 4%7 = 2тс/ или jT' = — 2rd.	(254,2)
тс	‘	е 1	4	’
Таким образом, для данного сорта ионов и при данной частоте
генератора магнитное поле должно иметь напряжённость, опре-
деляемую условпем (254,2) с тем, чтобы имел место синхронизм.
Например, для дейтеронов = 4789, и если частота / выражена
в мегациклах, то
<«’ = ?%Я2' = '1’312  10’/.
398	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОП ФИЗИКИ [гл. ХГХ
Отсюда, например, при /= 10 ноле, необходимое для синхронизма,
76’= 13,12 килоэрстед. Для скорости дейтерона находим из:
(254,1), полагая г = 50 см\
— .^> = 4789 • 1,312 • i04 • 50 — 3,16 • 109 с.ч/сек.
тс "
Эквивалентный ускоряющий потенциал найдём, комбинируя
с (254,1) соотношение
.1085
откуда получаем
V 4 (—Л (Л’г)~ • 10-8 вольт =
2 \ тс J v	'
= -~ • 4789 • (1,3.12 • Ю4 • 50)2 • Ю’8^ К)7вольт. (254,3)
Для протонов 2L в два раза больше, чем для дейтеронов;
по формуле (254,2) напряжённость резонансного магнитного поля
должна быть поэтому в два раза меньше, а эквивалентный
ускоряющий потенциал по формуле (254,3) получается также
в два раза меньше. Для двукратно заряженных попов гелия
то же, что и для дейтеронов, и следовательно, величины х7б’
одинаковы в обоих случаях. Но так как заряд у искусствен-
ных а-частиц в два раза больше, чем у дейтерона, то и энергия,
будет в два раза больше.
Общая схема циклотрона приведена на рис. 321. На пём.
изображены спиральные траектории двух ионов, попавших в
пространство между дуаптами при разных фазах переменного
напряжения на дуаптах. Если нон начинает своё движение в мо-
мент, когда напряжение имеет максимальную величину, то после
и оборотов он приобретает скорость, которой соответствует ускоря-
ющий потенциал
у _ оnv
1	шах-
Если же фаза напряжения в момент, когда в пространство
между дуаптами попадает ион, такова, что, например, — V П1ах,
то ион испытает вдвое меньшое ускорение. Но так как по (254,1)
угловая частота иона о зависит только от -—и 576’, то сппхро-
J	тс	1
низм последовательных многократных ускорений будет иметь,
место и для этого пона. Разница будет состоять только в том,
что такой ион при прохождении между дуаптами будет испыты-
вать вдвое меньшее ускорение, и потому для достижения макси-
мальной энергии, определяемой радиусом г, ему надо будет еде-
ЦИКЛОТРОН
399
лать соответственно большее число оборотов. Радиусы последова-
тельных отрезков спирали находятся при помощи (254,3), где
в левой части следует подставить 2riV\ вместо V:
10~8’	<254,4>
откуда
/Кj • 10s тсУ1/^
< V)
п •-
Итак, последовательные радиусы возрастают пропорционально /г1''2.
Двигаясь по спирали от центра к периферии, ион проходит
внутри дуаптов длинный путь. Очень важно при этом, чтобы
траектория иона, по возможности, лежала в средней плоскости
между крышками дуаптов, так как иначе нон попал бы в конце
концов на одну из крышек п не достиг выходной щели. Этому
сохранению плоскости орбиты способствует двойная фокусировка,
электростатическая и магнитная, имеющая место в циклотроне.
На рис. 322,а изображено распределение эквипотенциальных
поверхностей в области между дуантами, где ион испытывает
ускорение. Видно, что путь иона, ортогональный к эквипотен-
циальным поверхностям, таков, что ионы должны фокусироваться
в плоскости симметрии: электростатическое поле действует здесь
как электрическая цилиндрическая линза. В остальной части
пути, как видно из того же рисунка, электростатическое поле
действует дефокусирующим образом. Однако сохранению пучка
ионов способствует магнитная фокусировка, возникновение которой
400
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
поясняет рис. 322,6. У краёв магнита магнитное поло испыты-
вает естественное рассеяние: магнитное поле не вполне однородно
и его силовые линий не перпендикулярны к плоскости симметрии,
но имеют вогнутость в сторону центра поля. Если представить
себе ион, движущийся со скоростью v перпендикулярно к плоскости
&)
Рис. 322. Электрическая и магнитная фоку-
сировка в циклотроне: а — сечение дуаитов
вблизи области ускорения ионов, показы-
вающее электростатическую фокусировку;
b— фокусирующее действие магнитного поля
циклотрона.
чертежа вне плоскости
симметрии, то, как лег-
ко видеть, на него будет
действовать сила, про-
порциональная [v ЭД]
и направленная к пло-
скости симметрии, как
это и показано стрел-
ками па чертеже.
Очевидно, что ре-
зультирующий эффект
действия обоих полей
будет благоприятным
для сохранения пучка
при условии, если ком-
бинированное фокуси-
рующее и дефокусирую-
щее действие даст ам-
плитуду колебаний се-
чения пучка, меньшую
половины внутренней
высоты дуантов. Экспе-
риментальное исследо-
вание распределения
ионов в пучке в верти-
кальной плоскости по-
казало, что оно соот-
ветствует теоретическим
расчётам: при больших
радиусах сечение пучка
становится всё мень-
шим; он сжимается око-
ло плоскости симмет-
рии.
Источником ионов
является небольшая ду-
га, горящая в центре циклотрона внутри конической полости, окру-
жённой металлическими стенками. Дуга горит между накалённым
катодом и стенкой полости, служащей анодом. Так как для горения
дуги необходимо давление газа порядка 10~2— 10~3 мм. Hg, то газ
подтекает внутрь полости через узкое отверстие, представляю-
§ ^54]
ЦИКЛОТРОН
401
щее гидродинамическое сопротивление, а возникающие ионы
проникают через капилляр в камеру циклотрона, откуда газ
откачивается мощными быстро действующими насосами. Благо-
даря такой системе в камере циклотрона поддерживается низкое
давление порядка 10~4— 10~5 мм, тогда как внутри полости, где
горит дуга, необходимое для её поддержания давление примерно
в 100 раз выше.
Рассмотрим, наконец, важный вопрос о максимальной энер-
гии попов в циклотроне. Так как по (254,3) эквивалентный уско-
ряющий потенциал пропорционален квадрату радиуса перифери-
ческой части орбиты, то, казалось бы, что, увеличивая радиус
полюсов магнита, можно соответственно повышать и энергию
выходя Bin х из циклотрона ионов. Однако это повышение имеет
предел, существование которого вытекает из следующих сообра-
жен в ii. Вследствие релятивистской зависимости массы от скорости
отношение , начиная с некоторой достаточно высокой скорости,
перестаёт быть постоянным (при 100 MeV масса дейтерона уже
па 5"<> больше его массы покоя) и при дальнейшем увеличении
скорое,тп возрастает. Если поэтому в нерелятивистской области
условие синхронизма (254,2) будет удовлетворено, то при пере-
ходе в релятивистскую область оно нарушится. Наглядно это
можно пояснить следующим образом: вследствие релятивистского
возрастания массы ион будет отставать по фазе от фазы напря-
жения генератора. В конце концов это отставание может достиг-
нуть такой величины, что ион будет попадать в пространство
между дуаптами в моменты, когда напряжение будет не ускорять
его, по тормозить. Согласно условию (254,2) синхронизм можно
было бы поддержать, сделав магнитное поле неоднородным,
а именно, возрастающим по направлению к периферии. Однако
при этом нарушилось бы пространственное распределение поля,
создающее фокусировку.
Отставание фазы иона от фазы напряжения можно уменьшить,
увеличивая ускоряющую разность потенциалов между дуан-
тами 2Vlf так как очевидно, что чем выше эта разность потен-
циалов, тем большую энергию успеет набрать ион, прежде
чем фазовые соотношения полностью расстроятся.
Теоретические расчёты показывают, что максимальная энер-
гия равна
Еп = 1,54 (27ХЛ2 sin $0)1/2 MeV,
где ^—напряжение между дуантами в киловольтах, А —массовое
число иона (соответственно 1, 2, 4 для протонов, дейтеронов
и ионов гелия), Z— заряд иона и &0— начальная фаза. Таким
образом, повышая V\, можно увеличивать энергию выходящего
402	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ [гл. XIX
из циклотрона пучка ионов. Однако это повышение имеет практи-
ческий предел, определяемый утечками. Кроме того, при повыше-
нии очень сильно возрастает необходимая мощность генератора.
Темне менее, выбирая — 103kV, можно было рассчитывать полу-
чить поток дейтеронов с энергией 100 MeV. Однако для получения
частиц с энергиями в сотни миллионов вольт гораздо более эффек-
тивным оказалось видоизменение конструкции циклотрона, кото-
рое будет описано в § 256.
На рис. 323 приведена фотография, изображающая один из дей-
ствующих циклотронов, а на рис. 324 — фотография пучка дей-
теронов, выпущенного из циклотрона в воздух; светящаяся
полоса при 15 MeV простирается на 70 см.
В таблице приведены некоторые данные, относящиеся к типич-
ным циклотронам.
Циклотроны	Боль- шой	Сред- ний	Малый	Самый малый
Размеры полюсов магнита (см) . .	150	100	65	40
Энергия дейтеронов (MeV) ....	16	11,5	4,5	1,4
Сила тока дейтеронов (|лЛ) .... Интенсивность нейтронов	200	20(100)	4(50)	25
(a Ra—Ве-эквивалента па 1 р.А) .	6000	3000	(200)	40
§ 255. Ускорение электронов. Бетатрон
Ускорение электронов представляет для ядерной физики
интерес, во-первых, как средство для изучения взаимодействия
быстрых электронов с ядрами и, во-вторых, как средство для
получения очень жёстких у-фотонов. В самом деле, у-фотопы,
испускаемые естественно-радиоактивными источниками, имеют
энергию не более 2,62 MeV; между тем для осуществления ядер-
ных реакций под действием у-лучей в большинстве случаев
требуются значительно более высокие энергии, не говоря уже
о том, что естественные источники у-лучсй имеют очень малую
интенсивность.
Существуют технические установки, использующие обычные
высоковольтные трансформаторы в схемах, позволяющих удваи-
вать и утраивать напряжение. Такие установки позволяют полу-
чать электронные пучки с энергией в 1 MeV, однако они чрез-
вычайно громоздки, а кроме того, энергия в 1 MeV для целей ядер-
ной физики недостаточна. Большие энергии можно получать,
пользуясь электростатическим генератором, но и эта установка
громоздка и не позволяет рассчитывать на получение электронов
§ 255]
УСКОРЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ. БЕТАТРОН
403
Рис. 323. Общий вид циклотрона с диаметром полюсных наконечников 1,5м.
Рпс. 324. Пучок дейтеронов с энергией 15MeV, выходящий из циклотрона.
404	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ [гл. XIX
с энергиями в сотни мегаэлектрон-вольт. Циклотрон же не при-
годен для получения электронов больших энергий по следующим
причинам: 1) отношение 2L для электронов почти в 2000 раз
больше, чем для протонов, и примерно в 4000 раз больше, чем
для дейтеронов; поэтому резонансная частота по уравнению (254,2)
оказывается слишком высокой, что создаёт большие радиотехни-
ческие затруднения; 2) ещё более существенно то, что релятивист-
ская зависимость массы от скорости у таких лёгких частиц, как
электроны, оказывается значительно большей; например, для
электронов с энергией в 10 MeV масса т — 22,3 mQ, а при 100 MeV
т = 196,8 т0.
В 1927 г. Видероэ была высказала идея использования электро-
магнитной индукции для получения быстрых электронов. Однако
из-за недостаточной теоретической разработки проекта Видероэ
не удалось построить действующую модель установки. В даль-
нейшем идея использования электромагнитной индукции для
ускорения электронов была разработана советским физиком
Я. П. Торлецким. В 1941 г. Перстом был построен индукционный
ускоритель, получивший название «бетатрон».
Принцип действия бетатрона, как и принцип циклотрона,
чрезвычайно прост. Однако техническое осуществление идеи,
лежащей в основе обеих этих установок, потребовало преодоления
больших трудностей.
Как хорошо известно, при изменении магнитного потока Ф
в пространстве возникает вихревое электрическое поле g. Вих-
ревой характер поля сказывается в том, что потенциал поля
не является однозначной функцией координат: при обходе по зам-
кнутому пути в подобном поле работа не равна нулю, как в электро-
статическом поле; напротив, при обходе по замкнутому пути
поле совершает над зарядом положительную работу, а следова-
тельно, заряд приобретает энергию. Согласно второму основному
уравнению Максвелла электродвижущая сила индукции, равная
работе, совершаемой вихревым электрическим полем над едини-
цей положительного заряда при одном обходе по замкнутому
контуру, связана со скоростью изменения магнитного потока
уравнением
Если магнитное поле имеет осевую симметрию, то силовые линии
электрического поля будут кругами с центрами, лежащими на осп
симметрии. При одном обходе вдоль силовой линии радиуса г
поле затрачивает, а единичный заряд приобретает энергию, равную
- If = 2^8.	(255,1)
§ 255]
УСКОРЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ. БЕТАТРОН
405
Вследствие вихревого характера поля заряд—е при п оборотах
по одной и той же силовой линии радиуса г приобретает энер-
гию 2тл'пе£. Из этого следует, что если даже энергия, приобре-
таемая при одном обороте, невелика, то при достаточно большом
числе оборотов она может стать весьма значительной.
Представим себе, что скорость изменения магнитного потока в
течение НВ3 сек. сохраняется постоянной; представим себе, далее,
электрон, помещённый в кольцевую вакуумную трубку, располо-
женную концентрически с круговыми силовыми линиями вихревого
электрического поля, и пусть радиус этой трубки г равен 5 см.
Можно подсчитать, какую энергию приобретёт электрон в течение
К) 3 сок., если его удастся заставить обрагцатъея в течение этого
времени по одной и той же силовой линии. Для подсчёта допу-
стим, что скорость изменения магнитного потока такова, что
при одном обороте электрон приобретает энергию в 20 eV. Его
линейная скорость при этом достигнет величины
у = 5,93 • 107]/г20 см/сек = 2,65 • 108 см/сек.
.Легко подсчитать, что время, которое потребуется электрону
для одного оборота, будет 12 • 10-8 сек., а его ускорение
1,1. • 1015 см!сек2. Из этого элементарного подсчёта следует, что для
вычисления скорости и длины пути, проходимого электроном
в течение 10~3 сек., необходимо пользоваться формулами реля-
тивистской механики. Такое вычисление показывает, что за ука-
занный промежуток времени 10-3 сек. электрон пройдёт путь
в 290 км и сделает 925 000 оборотов по кругу радиуса 5 см, а так
как энергия, приобретаемая им при одном обороте, равна 20 eV,
'го полный выигрыш энергии будет
20 • 9,25 • 1G5 = 18,5 MeV!
Масса электрона при такой энергии приблизительно в 32 раза
больше его массы покоя, но, поскольку здесь нет никакой речи
о синхронизме, это возрастание массы ни в какой степени не
влияет на приобретение электроном энергии. Задача состоит в том,
чтобы найти условия, при которых одно и то же переменное
магнитное поле создавало бы ускорение электрона путём электро-
магнитной индукции и одновременно удерживало бы электрон
на неизменной стабильной орбите. Оказывается, что эта задача
осуществима.
Найдём это условие стабильности орбиты электрона. Согласно
известному соотношению = -| оимпульс /?= mv электрона,
движущегося в магнитном поле связан с напряжённостью поля
и радиусом кривизны траектории г соотношением
p^L..^r.	(255,2
406
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
[гл. XIX
Из этого следует, что для постоянства г необходимо, чтобы импульс
р изменялся пропорционально (Ж. Второй закон Ньютона даёт
=	(255,3)
Согласно сказанному в т. I, § 42 это соотношение остаётся вер-
ным и в релятивистском случае, если левая часть рассматри-
вается как производная импульса по времени, а не как произве-
дение массы на ускорение. Определяя £ из (255,1) и подставляя
в (255,3), находим
dp  е с?Ф
dt 2rtrc dt
Интегрируя для случая г — const., получаем
Pt	~ Фо) •	(255/')
Выразим теперь поток Ф через среднюю напряжённость магнит-
ного поля в площади, охватываемой контуром стабильной орбиты.
Имеем, очевидно,
Ф = 7.Г2^.
Формула (255,4) может быть поэтому переписана в виде
Вибирая начальные условия так, чтобы
л>=-К4'¥»)г’	(255’5)
получаем
л=т(4^<)'’	(255,6)
п, наконец, сравнивая с (255,2), видим, что
-|ЗГ,.	(255,7)
Итак, условие стабильности орбиты электрона состоит в том,
что в каждый момент времени напряжённость магнитного поля
на орбите должна быть равна половине средней напряжённости
поля, вычисленной для площади, охватываемой контуром орби-
ты. Начальное условие (255,5), очевидно, следует истолковать
таким образом, что импульс электрона при t = 0 должен
удовлетворять общему условию (255,6), если удовлетворяется
требование (255,7).
Очень важным условием работы бетатрона является фокусп
ровна пучка. Мы видели, что фокусировка важна уже в цикло
§ 255]
УСКОРЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ. БЕТАТРОН
407
Рис. 325. Распределение магнитных си-
ловых линий в зазоре между полю-
сами магнита бетатрона, благодаря ко-
торому осуществляется аксиальная фо-
кусировка.
троне, где каждый ион проходит по спирали путь в 50—100 м.
Ясно, что так как в бетатроне общая длина пути электрона
измеряется сотнями километров, требования к фокусировке здесь
ещё строже. При этом в бетатроне необходимо заботиться о двух
видах фокусировки, именно, о сохранении всей орбиты, по воз-
можности, вблизи определённой плоскости (аксиальная фокуси-
ровка, такая же, как в случае циклотрона) и о возвращении на
стабильную орбиту электронов, случайно сошедших с неё (напри-
мер, вследствие соударений с молекулами остатка газа), по напра-
влению к центру или к пери-
ферии, т. о. в радиальном на-
правлении. Оба вида фоку-
сировки достигаются выбором
пространственного распреде-
ления напряжённости маг-
нитного поля. Для акси-
альной фокусировки в бета-
троне, как и в циклотроне,
необходимо, чтобы магнитное
поле на периферии было сла-
бее, чем в центре. В цикло-
троне используется неизбеж-
ное рассеяние силовых линий
на краях, в бетатроне же для соблюдения устойчивости орбиты
электрона полюсным наконечникам придаётся особая форма
(рис. 325), при которой поле на периферии будет заведомо сла-
бее, нежели в центре.
Для обеспечения радиальной фокусировки оказывается необ-
ходимым, чтобы поле убывало от центра к периферии медленнее,
чем у, где г—расстояние от центра поля. Для уяснения этого
примем во внимание, что при движении электрона по стабильной
орбите центробежная сила инерции
Г, 7ПУ2
С г
уравновешивается силой Лоренца, действующей со стороны маг-
нитного поля
Центробежная сила изменяется пропорционально у ; зависимость
же лоренцовой силы от г обусловлена только пространствен-
ным распределением магнитного поля На рис. 326 кри-
вые Fc и Fm изображают зависимость той и другой сил от рас-
стояния. (’ила Fc всегда пропорциональна следовательно,
408	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ [гл. XIX
соответствующая ей кривая будет гиперболой. Сила же Fm может
быть вообще представлена в виде А • — , причём п может быть
гп
как больше, так и меньше 1. Рис. 326, а соответствует первому
случаю, рис. 326, Ь—второму. Очевидно, что абсцисса точки
пересечения обеих кривых равна радиусу стабильной орбиты,
при движении по которой обе силы уравновешиваются. Если
электрон сойдёт со стабильной орбиты, удаляясь от центра
(^1>г0), то, как видно из рисунка, в случае а) центробежная
сила Fc станет болъгие Fm, и электрон будет под её действием
Рис. 326. Пояснение к радиальной фокусировке электронов.
удаляться всё больше. Наоборот, в случае b)Fc < Fm при гг > г0
и лоренцова сила будет возвращать электрон на стабильную
орбиту. Аналогичным образом из рассмотрения тех же чертежей
легко убедиться в том, что при смещении электрона со стабильной
орбиты по направлению к центру в случае а) будет перевешивать
лоренцова сила, под действием которой электрон будет удаляться
от стабильной орбиты, приближаясь к центру, а в случае Ь) центро-
бежная сила будет возвращать электрон на стабильную орбиту.
Мы видим, таким образом, что в поле типа Ь) возможно полу-
чение стабильной орбиты электрона, а следовательно, именно
такое поле обусловливает возможность построения бетатрона.
Рассмотрим теперь цикл работы бетатрона. Обмотка электро-
магнита питается переменным током генератора (в первой модели
использовался переменный ток частоты 600 циклов, в послед-
ней — самой мощной — 60 циклов). Электроны доставляются элек-
тронной пушкой В (рис. 327), расположепной внутри трубки над
стабильной орбитой. Электронная пушка испускает электроны
в обе стороны: электроны одного из этих двух пучков ускоряются
в течение первой четверти периода, второго—в течение третьей
четверти. В моменты, когда магнитное поле проходит через нуле-
§ 255]
УСКОРЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ. БЕТАТРОН
409
вое значение, электроны движутся по прямолинейным траекто-
риям (а и b на рис. 327), попадают на стенки трубки и, таким
образом, «погибают» для ускорения. При возрастании магнитного
Рис. 327. Пути электронов в разные моменты времени. АА — ста-
бильная орбита.
поля траектории электронов искривляются, но до тех пор, пока
поле не достигнет величины, близкой к величине 0, удовлетворяю-
щей начальному условию [см. (255,5)j
Я 1415//сек
4 4
Рис. 328. Временной
магнитного поля.
^0 = ^-2 Ж /o = V^oro>
электроны всё ещё будут попадать на
стенку. Только в течение малого «рабо-
чего интервала» от до Z2 — 0,9 р. сек.,
Z2=l,6 р. сек.) на рис. 328 напряжён-
ность магнитного поля оказывается
такой, что электроны, двигаясь сна-
чала по спиральной траектории, в-
конце концов попадают на стабиль-
ную орбиту и ускоряются. При часто-
те генератора в 600 циклов этот ра-
бочий интервал занимает менее одной
микросекунды (10~6 сек.). Попав на
стабильную орбиту, электроны движутся по ней в течение
верти периода, когда фаза тока благоприятствует ускорению;
при частоте 600 циклов этот промежуток времени составляет-
сек. = 415 р. сек. За этот короткий промежуток времени
электрон успевает совершить 260 000 оборотов, пройти путь.
t
ход
чет-
410	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ [гл. XIX
около 125 км и набрать энергию в несколько десятков миллионов
электрон-вольт. По истечении рабочего промежутка времени
электрон должен быть направлен на мишень, где он затормозится,
в результате чего возникнут рентгеновские лучи. Необходимо,
чтобы это произошло в должный момент времени, так как вслед
за благоприятной для ускорения электрона фазой наступает фаза,
когда он будет не ускоряться, а тормозиться. Уменьшение радиуса
стабильной орбиты, необходимое для направления электрона
на мишень С (рис. 327), в первых моделях бетатрона достигалось
следующим образом: центральная часть полюсных наконечников
была сделана из прессованного железного порошка, между
частицами которого находился воздух. Магнитное насыщение
в этой части наступало поэтому раньше, чем в остальных
частях сердечника. В момент, когда в центральной части
наступает насыщение, а в остальной части поле ещё возрастает,
автоматически нарушается условие стабильности орбиты, и элек-
троны попадают на мишень. В новой большой модели бетатрона
электроны смещаются с равновесной орбиты путём подачи в любой
желаемый момент времени дополнительного импульса.
Первый бетатрон Керста давал фотоны с энергией 2,3 MeV. Он
представлял собой небольшой лабораторный прибор; вес его элек-
тромагнита—150 кг\ общая длина пути, проходимого электрона-
ми,—125 км. Следующая машина Керста давала фотоны в 20 MeV;
длина пути электронов равна 420 км, вес электромагнита—3,5 т,
мощность его питания 26 kW. Бетатрон, законченный сборкой в
1945 г.*), даёт у-фотоны с энергией 100 MeV; вес магнита 130 т,
мощность питания—около 200 kW, радиус равновесной орбиты—
около 1 м, а длина пути электронов 1250 км. (рис. 329).
В 1950 г. Керстом построен бетатрон на 300 MeV (вес магнита
275 in).
Рентгеновское излучение бетатрона обладает резко выражен-
ной пространственной асимметрией и испускается преимуще-
ственно в направлении падающих электронов, что соответствует
теоретическим предсказаниям для случая торможения электронов,
движущихся с релятивистскими скоростями: полуширина пучка
при 20 MeV составляет 12°, при 100 MeV—всего 2°.
Возникает естественный вопрос: имеется ли предел энергий,
достижимых с помощью бетатрона. Из самого принципа действия
этой машины видно, что релятивистское возрастание массы,
ограничивающее возможность ускорения ионов в обыкновенном
циклотроне, в работе бетатрона роли не играет. Однако предел
имеется и в этом случае. Прежде всего с увеличением энергии
быстро растут размеры установки и необходимая напряжённость
магнитного поля на устойчивой орбите, ввид5^ чего создаются
*) Этот бетатрон построен фирмой «Дженерал Электрик».
§ 255]	УСКОРЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ. БЕТАТРОН	411
серьёзные затруднения конструктивного характера. Кроме того —
и это гораздо важнее — возникает и принципиальное затруднение
из-за так называемого радиационного торможения. Суть дела
заключается в следующем. Электрон, движущийся по устойчивой
орбите, совершает ускоренное движение, а потому должен излу-
чать электромагнитные волны (см. т. I, § 63). Это излучение
обусловливает возникновение «лучистого трения», ведущего
к сокращению радиуса стабильной орбиты. На это обстоятель-
ство впервые указали Д. Д. Иваненко и И. Я. Померанчук, со-
гласно расчётам которых максимальная энергия бетатрона—
Рпс. 329. Внешний вид бетатрона па 100 MeV.
около 500 MeV. Дальнейшее развитие теории было выполнено
этими авторами, а также Л. А. Арцимовичем и А. А. Соколовым*).
Предсказанное теоретически появление видимого излучения вслед-
ствие радиационных потерь было подтверждено эксперимен-
тально в 1947 г. Поллоком, обнаружившим яркое голубовато-
белое свечение, испускаемое' непосредственно электронами при
увеличении их энергии выше 30 MeV. Это явление было обнару-
жено не в бетатроне, а в синхротропе — видоизменённом приборе,
где ионы также обращаются по устойчивым орбитам.
*) Подробный обзор относящихся сюда теоретических и эксперименталь-
ных работ см. Успехи физических наук, т. XXXIV, стр. 398, 1948. См. также
Д. Иваненко и А. Соколов, Классическая теория поля, § 39,
Гостехиздат, 1951.
412	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ [гл. XIX
§ 256.	Синхротрон и фазотрон
Существование устойчивых орбит электронов в бетатроне
побудило пересмотреть вопрос о получении ионов с релятивист-
скими энергиями с помощью циклотрона. Результатом этого пере-
смотра оказался ускоритель, являющийся как бы комбинацией
принципов, лежащих в основе обеих установок. Идея использова-
ния циклотрона для получения релятивистских частиц была
впервые формулирована советским физиком В. И. Векслером.
Эта идея основана на том, что в циклотроне также возможны
стабильные орбиты. Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим
ион, обладающий такой энергией, что условие синхронизма
в циклотроне выполняется [см. формулу (254,4)]:
=	(256,1)
'	тс тс2 Е	\	/
(напомним, что <о есть угловая частота иона, а /—линейная частота
ускоряющего напряжения; равенство 2~/ = ф и есть условие
резонанса), и предположим, что этот ион пересекает зазор между
дуантами в момент, когда фаза ускоряющего напряжения про-
ходит через нуль. Такой ион будет находиться в резонансе с напря-
жением, но он не будет получать ускорения. Предположим,
однако, что ион попадёт в зазор, когда фаза напряжения очень
мало отличается от нуля и соответствует ускорению иона. Вслед-
ствие увеличения скорости масса иона возрастёт, а частота о
соответственно уменьшится; условие синхронизма нарушится,
и ион будет попадать в зазор, отставая по фазе от напряжения.
Поэтому через один или два оборота он начнёт тормозиться
переменным полем между дуантами, а это вызовет обратное умень-
шение массы и восстановление резонанса. Таким образом, орбита
иона будет колебаться около некоторой определённой устойчивой
орбиты, автоматически корректируя сама себя. Энергия иона,
однако, также будет колебаться около равновесного значения,
соответствующего этой устойчивой: орбите, и не будет возрастать.
Для того чтобы увеличить энергию такого иона, необходимо
увеличить равновесную энергию, что, как нетрудно видеть,
можно сделать путём медленного (адиабатического) изменения
частоты генератора, или напряжённости магнитного поля, или
того и другого вместе. В самом деле, предположим, что устано-
вилась устойчивая орбита, соответствующая равновесной энер-
гии 7?; при этом будет выполняться условие
2тс/ = ^£Ж = ф.	(256,2)
Допустим теперь, что частота / очень незначительно уменьши-
§ 256]
СИНХРОТРОН И ФАЗОТРОН
413
лась. Условие (256,1) будет при этом нарушено; угловая частота
частицы со — е'^ Зв будет слишком велика или, что то же, энергия Е—
слишком мала. Это повлечёт за собой колебания около нового
и притом большего значения равновесной энергии; частица будет
приходить в зазор, опережая по фазе напряжение, т. е. будет
заставать немного отличное от нуля ускоряющее напряжение;
вследствие этого энергия её будет увеличиваться, а частота умень-
шаться до тех пор, пока не будет достигнуто новое равновесное
значение энергии. При дальнейшем увеличении энергии и соот-
ветственном уменьшении со частица начнёт отставать по фазе
от напряжения, и процесс пойдёт в обратную сторону. Таким
путём установится новое равновесное значение энергии Е’ > Е.
Из этого следует, что при очень медленном уменьшении частоты
энергия частицы будет возрастать.
Очевидно также, что при очень незначительном увеличении
поля УС создадутся те же условия, что и при уменьшении частоты:
при большем значении 38 частота со _ ~ ур окажется слишком боль-
шой, а следовательно, энергия Е — слишком малой и т. д. Обобщая
эти рассуждения на непрерывные изменения, можно утверждать,
что медленные изменения частоты или магнитного поля позво-
ляют осуществлять ускорение частиц.
Обе возможности использованы в построенных и действующих
машинах. Увеличение магнитного поля используется в машине,
применяемой для ускорения электронов,—синхротроне. Так как,
однако, в синхротроне радиус равновесной орбиты увеличивается
пропорционально скорости частицы, то для ускорения электронов
оказалось целесообразным скомбинировать в одной машине прин-
цип бетатрона и принцип синхротрона. Для пояснения опишем
работу действующего синхротрона на 70 MeV. В начале каждого
цикла машина работает в режиме бетатрона: электроны вводятся
в вакуумную камеру тороидальной формы электронной пушкой
при энергии 40 keV и ускоряются, как в бетатроне, вследствие изме-
нения магнитного потока. Однако электромагнит синхротрона в от-
личие от магнита бетатрона — кольцевой и его железные части со-
стоят из отдельных полос, так как электромагнит рассчитан на пи-
тание переменным током. Приблизительно через 200 о. сек. элек-
троны набирают энергию в 2 MeV, а скорость их становится очень
близкой к скорости света и остаётся поэтому практически постоян-
ной. К этому моменту сердечник электромагнита достигает на-
сыщения, что влечёт за собой автоматическое включение высо-
кочастотного генератора, который присоединён к двум близко
расположенным электродам, впаянным в вакуумную камеру.
Поэтому дальнейшее увеличение энергии электрона осуще-
ствляется всякий раз при прохождении электрона через зазор
414
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
[гл. XIX
между электродами, т. е. машина работает как синхротрон. При
этом постоянство радиуса обеспечивается тем, что скорость остаётся
постоянной, так что возрастающее магнитное поле используется
для создания стабильной орбиты. Описанный процесс происходит
Рис. 330. Синхротрон на 70 — 80 MeV.
в каждом цикле п занимает только % периода, после чего генера-
тор автоматически выключается, и электроны попадают на ми-
шень, где они создают рентгеновские лучи. После этого начи-
нается новый цикл, повторяющий описанные процессы, ввиду
чего работа синхротрона имеет прерывистый характер.
Па рис,. 330 изображена фотография синхротрона.
§ 256]
СИНХРОТРОН И ФАЗОТРОН
415
Уменьшение частоты используется для получения тяжёлых
частиц — протонов, дейтеронов и а-частиц — с релятивистскими
энергиями. Машины этого типа называются синхроциклотронами,
или фазотронами. Фазотрон представляет собой циклотрон,
в котором уменьшение периода обращения частицы вследствие-
релятивистского возрастания массы компенсируется уменьше-
нием частоты генератора, подающего напряжение на дуанты.
Модуляцию частоты оказалось возможным осуществить меха-
нически, путём введения в цепь генератора вращающегося
конденсатора.
В фазотроне, как и в обыкновенном циклотроне, магнитное-
поле постоянно, источник ионов помещается в центре.
Ионы начинают ускоряться, двигаясь по спиралевидному
пути, и синхронизм не нарушается при достижении больших
энергий. Очевидно, однако, что весь этот цикл ускорения могут
пройти только те ионы, движение которых начинается вблизи
момента, когда частота генератора проходит через максимум. Это-
водёт к сильному уменьшению силы тока ускоренных ионов,
которое компенсируется значительным повышением их энер-
гии .
Машиной, работающей в режиме фазотрона, является 184-дюй-
мовый синхроциклотрон радиационной лаборатории Калифорний-
ского университета в Беркли (рис. 331). Магнит этого циклотрона
имеет диаметр 184 дюйма, высоту 4,7 м и вес 4000 т. С этим
циклотроном получаются протоны с энергией 350 MeV, дейтероны
с энергией 195 MeV и а-частицы с энергией 390 MeV. Путём бом-
бардировки мишени протонами в 350 MeV получается поток ней-
тронов с энергией в 280 MeV.
Большим преимуществом фазотрона перед обычным цикло-
троном является, во-первых, возможность получения с его
помощью частиц огромных энергий, а во-вторых, тот факт, что
для получения таких энергий амплитуда генератора обставляет
всего несколько десятков киловольт при относительно очень
небольшой мощности.
В самом деле, на стр. 402 было указано, что для получения
потока дейтеронов с энергией 100 MeV в циклотроне амплитуда
генератора должна бы составлять 1000 kV, тогда как амплитуда
напряжения на большом фазотроне—всего 15 kV. Недостаток
фазотрона—значительно меньшее количество ускоренных ионов,
нежели их даёт обыкновенный циклотрон.
В последнее время в научной литературе появились описания
работ по конструированию и построению ускорителей на милли-
арды (биллионы) электрон-вольт (BeV). Для этой цели фазотрон
по- экономическим причинам не является подходящей машиной,
так как расчёт показывает, что магнит фазотрона на 1 BeV должен
иметь диаметр 8,6 м и вес^ 20 000 т. Согласно разработанной
416	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ [гл. XIX
теории ускорителей, рассчитанных на получение частиц с энер-
гиями порядка нескольких BeV, выгоднее в этом случае исполь-
зовать комбинацию принципа синхротрона и фазотрона для уско-
рения протонов. До настоящего времени (весна 1951 г.) опублико-
Рпс. 331. 181-дюймовый фазотрон.
ваны проекты трёх подобных установок, называемых протонными
синхротронами, бэватронами или космотронами *). Запроектиро-
вано получение частиц с энергией около 3 BeV.
§ 257.	Линейные ускорители
Наряду с рассмотренными циклическими резонансными уско-
рителями в последние годы развивается разработка проектов
и построение линейных ускорителей. Идея, лежащая в основе
таких ускорителей, не нова. Более того, первый линейный уско-
ритель был даже предшественником циклотрона. Как и в цикло-
троне, в этом ускорителе, построенном в 1931 г. Слоаном и Лау-
реатом для ускорения ионов, одна и та же разность потенциалов
*) Подробное изложение теории и конструкции современных ускорите-
лей, включая проекты бэватронов, см. в книге А. П. Гринберга. Ме-
тоды ускорения заряженных частиц, Гостехиздат, 1950.
§ 257]
ЛИНЕЙНЫЕ УСКОРИТЕЛИ
417
tic пользуется многократно. Схема такого ускорителя предста-
влена на рис. 332. Он состоит из ряда электродов в виде дисков
и цилиндров, монтированных по осп трубы, откачанной до высо-
кого вакуума. Электроды присоединены к высокочастотному гене-
ратору и длина их рассчитана так, чтобы за время, пока ион
проходит внутри электрода, фаза напряжения генератора изме-
нилась па противоположную. Благодаря этому ионы в зазорах
между электродами всякий раз испытывают одно и то же уско-
рение'. Так как скорость ионов при этом каждый раз увели-
/< генератору
высокой
частоты
Рис. 332. Схема линейного ускорителя.
чиваотся, то для сохранения постоянства времени прохожде-
ния внутри электрода длина цилиндров соответственно увеличи-
вается. Генератор построенного ускорителя давал в максимуме
42 kV (при мощности 20 kW); с его помощью в трубе длиною
в 30 м при 30 электродах получались ноны ртути с энергией
в 1,26 MeV.
Дальнейшее развитие той же идеи многократного использо-
вания сравнительно небольшой разности потенциалов пошло
в направлении разработки циклических ускорителей. Однако
идея линейного ускорителя вновь возродилась в послевоенное
время в связи с мощным развитием коротковолновой радио-
техники.
Современный линейный ускоритель представляет собою трубу,
в которой распространяются электромагнитные волны, т. е.
нагруженный волновод*). Электромагнитное поле в таком волно-
воде имееет своеобразный характер, в частности, в нём суще-
ствуют бегущие волны, у которых составляющая электрического
вектора, параллельная оси трубы, отлична от нуля. Заряженные
частицы (электроны или положительные попы), находящиеся
в фазе с одной пз таких волн, будут двигаться, приобретая энер-
гию под действием осевой составляющей электрического поля,
как если бы они находились в постоянном поле. Осложнение,
однако, состоит в том, что фазовая скорость в волноводе с глад-
*) Советские инженеры Г. II. Б а б а т и И. II. II о лево и ещё в 1932 г.
указали па возможность ускорения заряженных частиц с помощью бегу-
щей волны в волноводе.
418	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ Я ДЕРИ ОЙ ФИЗИКИ	[гл. XIX
кпмп стоиками больше скорости спета в пустоте, а частица с такой
скоростью двигаться не может. Это затруднение преодолевается
таким образом, что используется волновод, iiMeionuiii опреде-
лённую периодическую структуру. Примеры таких структур
изображены на рис. 333. Задача о распространении волн в подоб-
ных структурах формально тождественна с целым рядом хорошо
изученных задач из разнообразных отделов теоретической физики,
как, например, квантовая теория электронов в металле и кристал-
лических твёрдых телах, тео-
рия диффракцин электронов
и рентгеновских лучей, тео-
рия электрических фильтров
и т. д. Решение этой задачи
приводит к тому, что воз-
мущенно, вызываемое перио-
дической нагрузкой, может
быть представлено как нало-
жение ряда воли, бегущих
с различными скоростями *)•
Средн этих воли имеются
такие, фазовая скорость ко-
торых меньше скорости света.
Скорость одной из таких волн
Ъ)
Рис. 333. Возможные типы волноводов
для линейного ускорения и пх электри-
ческие поля.
рость частицы окажется немного
шей скорости несущей её волны
или ускоряет частицу, возвращая
может оказаться совпадаю-
ще!! со скоростью частицы,
и частица будет, так ска-
зать, «нестись на волне». Что
касается других воли, то
можно показать, что в сред-
нем они не меняют энергии
частицы. При этом имеет
место своеобразная синхро-
низация фазы между части-
цей и волной: если ско-
большей пли немного мень-
, то поле волны замедляет
её в точку устойчивой фазы.
*) Рассмотрение теории линейного ускорителя потребовало бы слиш-
ком много места. Ввиду этого в дальнейшем формулируются некоторые
необходимые выводы теории без доказательств. Обстоятельное изложение
теории линейных ускорителей в ясной форме читатели найдут в статье
Дж. Слэтера, Конструкция линейных ускорителей, Успехи физических
ницк, т. XXXVII, вып. 3 п 4, 1949 г. Описание конструкции линейных
ускорителей дано в статье Д. У. Фрая и У. У о л к и п ш о у, Лппейныс
ускорители, Успехи физических наук, т. XLII, вып. 3, 1950. См. также
цитированную на стр. 416 книгу А. II. Гринберга.
ЛИВЕ1111 Ы E УСКОРИТЕЛИ
419
Так как, однако, к начале ускорения имеете с увеличением энер-
гии возрастает и скорость частицы, то соответственно должна
непрерывно возрастать я скорость волны. !)то тоже может быть
достигнуто соответствующей конструкцией волновода. Впрочем,
увеличение скорости волны необходимо только до тех пор, пока
скорость частицы по станет приблизительно равной скорости
света (для электронов это имеет место при энбегпл 2 MeV).
Рис. 334. Лппсйпый ускоритель дли электронов на 4 MeV.
В этой чисто релятивистской области скорость электрона уже
но будет изменяться, а возрастание энергии будет проявляться
в увеличении массы. Вместе с тем и фазовая скорость волны не
должна далее увеличиваться, а должна оставаться постоянной
и равной скорости света.
Конструкторами линейных ускорителей были разработаны со-
ответевтукицие указанным требованиям волноводы и построены
ускорители для электронов п для протонов. Па рис. 334 пред-
ставлен внешний вид линейного ускорителя, дающего электроны
с энергией 4 MeV. Ускоритель для протонов даёт протоны с энер-
гией 32 MeV. В этот ускоритель вводятся протоны, предварительно
ускоренные до 4 MeV электростатическим генератором. В настоя-
420	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЯДЕГНОП ФИЗИКИ [гл. XIX
щее время в Станфорде строится линейный ускоритель для уско-
рения электронов до 1000 MeV. Длина этого ускорителя—60 мет-
ров; 24-метровая секция его даёт в настоящее время электроны
с энергией .185 MeV.
Длина трубы ускорителя, как видно из сказанного, очень ве-
лика. Это, однако, не является особенно большим недостатком.
Большим преимуществом конструкции линейных ускорителей яв-
ляется отсутствие огромных электромагнитов, необходимых для
циклических ускорителей. В экономическом отношении линейные
ускорители также имеют большие преимущества перед цикличе-
скими: их стоимость возрастает примерно пропорционально энергии,
тогда как стоимость циклических ускорителей пропорциональна
квадрату или даже кубу энергии.
ГЛАВА XX
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
§ 258.	Общая характеристика ядерных реакций
Ядорпыми реакциями называются процессы, при которых
в результате бомбардировки какого-нибудь ядра (ядра-мншени)
бы строй частицей возникают новое ядро (ядро-продукт) п другая
частица. Схематически эти процессы могут быть изображены так:
A + p~^B + q.	(258,1)
Здесь А —любое ядро, р — ускоренная частица — протон, нейтрон,
дейтерон или, наконец, фотон, q — также протон, нейтрон, а-ча-
стица, электрон, фотон; В — ядро, возникающее в результате
превращения ядра А. При очень большой энергии частицы р
вместо одной частпцы q в результате реакции может освобо-
ждаться несколько частиц qlt q%, ... Наконец, особый и вместе
с том важнейший вид ядерных реакций есть так называемое
деление ядра, при котором ядра В и q имеют соизмеримые массы,
т. е. первоначальное ядро А в результате реакции разламывается
на два, иногда три, осколка, лишь пемпого различающихся по
массам.
Исторически первая ядерпая реакция была открыта Резер-
фордом в 1919 г.: при обстреле ядер азота 7N14 а-частицами Резер-
форд обнаружил освобождение быстрых протонов. Реакция идёт
по схеме
7К14 + 2Не4 —»SO17 + J]1.	(258,2)
Здесь, следовательно, A = 7N14, 7? = SO17, /?г-2Пе4, ^ = 1П1. На
рис. 335 приведена вильсоновская фотография, на которой запе-
чатлён этот процесс; длинный тонкий след, идущий вправо назад,
принадлежит протону, короткий след, выходящий из той же
точки, —ядру 8О17. В том, что реакция деёствитслы-ю идёт по
схеме (258,2), можно было убедиться с помощью подобных фото-
графий: измеряя длины пробегов частиц и углы относительно
направления а-частицы, можно было показать, пользуясь законами
422
ЯЛ,К1>НЫГ< РЕАКЦИИ
сохранения энергии л количества движения, что ядро отдачи
действительно имеет массу 17.
Другая исторически интересная ядерная реакция была впервые
осуществлена с искусственно ускоренными протонами. Эта реакция
Рис. 335.
Расщепление ядра азота а-частнцен.
состоит в расщеплении ядра 3Li7 под действием быстрого протона
на две а-частицы
31/17-г Д11> 2.2 Но4.	(258,3)
Вильсоновская фотография этого процесса изображена ла рпс. 33(5:
здесь хороню видны противоположно направленные следы, при-
надлежащие двум а-частнцам, разлетающимся 1? противоположные
стороны.
Целесообразно сравнить ядерные реакции с обычными хими-
ческими реакциями. При химических реакциях мы имеем дело
с превращением молекул — с распадом сложной молекулы на
более простые', либо с образованием молекулы из более простых,
либо с, обменом атомами в реагирующих молекулах. Однако эле
меитариый состав вещества до и после реакции при этом не
§.258]
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИИ
423
меняется: когда водород вступает в реакцию с кислородом с об-
разованием воды
Н2+|-О2-> Н2О,
(258,4)
то в левой и в правой частях уравнения реакции мы имеем одни
и те же элементы —в данном случае кислород и водород. При
ядерных реакциях происходят гораздо более глубокие превраще-
ния вещества. Здесь мы имеем дело с превращениями самих
элементов, если пользоваться и в этом случае языком химия.
Рш:. 33(). Расщепление ядер лития протонами.
При ядерных реакциях, как и при химических, энергия
в одних случаях освобождается, а в других, напротив, затра-
чивается. Реакции первого типа могут быть названы экзоэнер-
гетическимн (соответственно названию экзотермических хими-
ческих реакций), второго типа — эидоэпергетическпмп. В первом
случае энергия реакции Q положительна, во втором — отрица-
тельна. Однако глубокое различие между химическими и ядер-
нымп реакциями проявляется в том, что энергия ядерных реак-
ций па несколько порядков величины больше энергии химических,
реакций. В самом деле, при. образования 1 моля воды (18 а) из
j
одного моля (2 а) водорода и — моля (16 а) кислорода освобо-
ждается около 70 ккал. Сравним эту энергию с энергиями ядерных
реакций (258,2) и (258,3). В первой из них энергия поглощается,
С — 1,13 MeV, во второй — энергия освобождается, Q= 17,25 MeV.
Зти цифры ещё нельзя сравнивать с приведённой теплотой образо-
вания воды не только потому, что в обоих случаях цифры вы-
ражены в разных единицах, по и потому, что они относятся к
424
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. XX
разным количествам вещества: энергия химической реакции всегда
даётся для 1 моля вещества, т. е., например, для образования
18 г воды, энергия же ядерных реакций указывается для еди-
ничного элементарного процесса, например для взаимодействия
ядра азота с одним ядром гелия (а-частицей). Чтобы цифры были
сравнимыми, нужно пересчитать энергию ядерной реакции также
на 1 моль (точнее — г-атом) вещества. Например, для реакции
(258,2) имеем, опуская знак минус,
<2=1,13 • 1,6 . Ю-6 . 6,02 . 1023 = 1,09 . 1018 эрг = 2,61 • 107 ккал.
Так как в пашей ядерной реакции сумма масс г-атомов случай-
но также равна 18, то мы можем сравнивать абсолютные значе-
ния Q для химической реакции (258,4) и ядерной реакции (258,2).
Мы видим, что в последнем случае Q по абсолютной величине почти
в 400000 раз больше. Это и есть характерное соотношение между
энергиями химических и ядерных реакций. Аналогично, энергия
ядерной реакции (258,3) при расчёте на 1 г-атом (7 гЫ+1 г Н)
2 = 17,25 • 1,6 ♦ 10~6 • 6,02 • 1023 • 2,39 • 10 ” = 4,06 • 108 ккал.
Если пересчитать эту энергию также на 18 г, то получится
4,06 • 108 • ^ = 9,15 • 108 ккал,
О
т. е. почти 1 миллиард кг калорий по сравнению с 70 кг кало-
риями, освобождаемыми при образовании 18 г воды.
§ 259. Определение энергии реакции
Энергию реакции Q можно определить, если известны энер-
гия Ех частицы, возбуждающей реакцию, и энергии Е2 и Е?>
продуктов реакции. Очевидно, что
2 = (£2 + £з)-^.
Q > 0, если реакция сопровождается освобождением энергии,
и Q < 0, если для осуществления реакции энергия должна быть
затрачена.
Наиболее точный метод определения Q состоит в сравнении
масс покоя частиц, вступающих в реакцию и получающихся
п результате псё. При этом, как и в случае вычисления энергии
связи ядра, сравниваются точные значения масс атомов (изото-
пические массы): массы электронов при вычитании автоматически
§ 259]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ РЕАКЦИИ
425
исключаются. Например, для реакции (258,2) имеем
N14= 14,00751
Не4 = 4,00390
О17 = 17,00450
Нх = 1,00812
N14 +Не4 = 18,01141
О47+№ = 18,01262
О17 + Н1 = 18,01262
<2 = -0,00121
Итак,
<2= -1,21 • Ю"зми • 931^ = -1,13 MeV.
31 и
Для реакции (258,3) имеем
Li7 = 7,01822 Не4 = 4,00390
Н4 = 1,00812 Не4 = 4,00390
_ Li7+ № = 8,02634 2Не4 = 8,00780
2Не4 = 8,00780
<2 = 0,01854
<2= 18,54 • IO’3 MU • 931 ^= 17,25 MeV.
Отметим, что в этом случае энергия реакции была определена
также прямым путём: энергия протонов была известна, так как
они получались в ускорительной установке, а энергии а-частиц опре-
делялись по их пробегам. В результате получилось <2=17,2 MeV
в согласии с приведённой цифрой.
Независимое определение энергии реакции двумя путями позво-
лило экспериментально проверить на обширном материале соотно-
шение между массой и энергией Е = те2, играющее столь важную
роль в ядерной физике. При этом оказалось, что соотношение
оправдывается с тою точностью, с какой определена энергия
реакции по кинетическим энергиям участвующих в ней частиц.
Приведём несколько примеров.
Таблица XLVII
Реакция		Наблюдённое Q (в MeV)	Вычисленное Q (в MeV)
D2 + D2 —>	H3 + H1	3,98 + 0,02	3,98
Li6 + 1Р-»	He4 + He3	3.72 ± 0,08	3,76
Li6 + D2—»	2He4	22,07 - 0,07	22,17
ВЮ	£)2 —>	В11 + IP	9,14 + 0,06	9,30
Qis D2	N14 + He4	3,13 +0,13	3,11
426
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
|гл. XX
Внутренняя согласованность получаемых цифр для Q может
быть хорошо проверена при помощи круговых процессов.
Рассмотрим следующие реакции:
1.	Be9 + Н1 - Li6 + Не4 + 2,28 MeV.
2.	1k9 +Г)2 Li7 + По4 + 7,19 MeV.
3.	Li6 + D2 =• Li7 + IB + 5,02 MeV.
Складывая 1 л 3, получаем
Be9 + D2 = Li7 + lie4 + 7,30 MeV,
в то время как реакция 2 даст Q = 7,19 MeV.
Так как во всех случаях, когда производилась проверка,
соотношение Е — тс2 превосходно подтвердилось и так как,
с другой стороны, массы изотопов точнейшим образом определяют-
ся с помощью масс-спектрографов, то для определения Q целесо-
образнее пользоваться именно сравнениями .масс, а не прямыми
определениями кинетических энергии. В тех же случаях, когда
масса одного из продуктов реакции оказывается точно неизвест-
ном. соотношение Е — inc- может быть применено — и па самом
доле применяется — для определения. неизвестной массы.
Сделаем здесь историческое отступление. Соотношение между
массой н энергией для случая электромагнитного поля выводится
на основании открытого П. 11. Лебедовым светового давления.
В наиболее общей форме для любых видов энергии это соот-
ношение получается как следствие специальное теории относи-
те,ikiioctii. Однако задолго до возникновения теории относительно-
сти, в 1871 г., Д. И. Менделеев высказал мысль о существовании
связи .между массой и энергией в о возможности сё проявления
в химических процессах. Менделеев, в частности, предполагал, что
атомы одного и того же элемента в состояниях с различной валент-
ностью могут обнаруживать немного различающиеся атомные
веса, поскольку в разных состояниях валентности атомы обладают
различной энергией. В 1881 -1882 гг. другой великий русский
химик Л. М. Бутлеров, следуя ио тому же пути, предпринял точные
определения атомного веса ртути в двухлористой ртути, причём
при образовании последней использовался либо хлор, подвергну-
тый предварительно сильному освещению солнечным светом, либо
неосвещённый хлор. Бутлеров думал, что избыточное количество
энергии, полученное хлором в первом случае, может обнаружить-
ся в виде некоторого увеличения атомного веса ртути в HgCL,
полученной из такого хлора. Эти опыты, равно как п точнейшие
проверки выполнения закона сохранения массы при химических
реакциях, выполненные в начале XX столетия (причём, конечно,
«масса» здесь понималась в узком смысле, т. е. как масса покоя
продуктов реакции без учёта массы, соответствующей выделен ной
§ 260]	ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ	427
энергии), дали отрицательный результат. Причина этой неудачи
для нас теперь понятна: так как масса, соответствующая энергии
Л, равна , ас2 имеет огромную величину 9 • 1020, то измене-
ния массы покоя при тех величинах Е, с которыми приходится
иметь дело при обычных химических реакциях, лежат далеко за
пределами чувствительности физических приборов. Только в ядер-
пых реакциях, энергии которых по крайней мере в сотни тысяч
раз больше энергий обычных химических реакций, возможно обна-
ружение эффектов, обусловленных связью между массой и энер-
гией. При этом, строго говоря, закон сохранения массы имеет
место во всех случаях; только уравнение реакции нужно писать
в виде
J-'- B = C + Я ,
где Q - освобождаемая или поглощаемая энергия, которой нужно
сопоставить массу —, если массы А, 13, С и D выражены в
граммах.
Заметим в заключение, что нередко встречающееся - -особенно
в популярной литературе — утверждение о якобы происходящем
«превращении массы в энергию» грубо ошибочно. .Масса и энер-
гия суть различные свойства материн, между которыми имеется
связь, устанавливаемая соотиошшf11екг
Е = тс1.
§ 260. Одновременное применение законов сохранения
энергии и количества движения
Вернёмся теперь к определению энергии реакции. До сих i op-
г. наших расчётах мы пользовались только законом сохранения
энергии. Однако необходимо также принимать во внимание
и закон сохранения количества движения.
Рассмотрим, паирпмер. следующий вопрос: выше мы видели,
что энергия реакции N14  Пе4—И)17 pH1 равна — 1,13 Л1с\\
Означает ли это, что а-частица с энергией 1,13 MeV уже может
вызвать реакцию? Ответ па этот вопрос следует дать отрицатель-
ный по причинам, которые мы сейчас и рассмотрим.
Очевидно, что для возникновения реакции важна квиетическая
.ин'ргпя относительного движения бомбардирующего ядра и ядра-
мпикчит, а не кинетическая энергия бомбардирующего ядра отно-
сительно «неподвижной» системы координат. Будем называть эту
«неподвижную» систему лабораторной системой, и в качестве
.другой системы координат будем пользоваться (истомой центра
428
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. XX
инерции. Положение центра инерции в лабораторной системе
даётся формулой
где гх и г2 ~ радиусы-векторы обеих частиц также в лаборатор-
ной системе (см. т. I, § 51). Скорость центра инерции равна
__\ zn,r( zn2r2 m1v1 + m2v2
Vp Гр	’-----—•----------- .
L G /rtj -f- m2	znr -|- m2
Скорость первой частицы относительно центра инерции равна
,	пг.у, z?ioV2 т2 ,	.
V, = V, — Vp = V,---—------— —-------— (Vi — V2).
1	L J	-j- m2 m1 J- zn2 4	'
Очевидно также
v2 - v2 - vc =	v2 - vj.
I, /7c<2
Поэтому кинетическая энергия относительного движения будет
£ц. и. = 4	+ 4 W2V22
= = <260’1*
-j- и 1^2	"
где
т'т2	(51,7)
1 znj 4- zn2
—приведённая масса обеих частиц. Легко доказать аналогич-
ным путём, что полная кинетическая энергия, т. о. кинетическая
энергия относительно лабораторной системы координат
ТП	1	0.1	о
7-лаб = у 7П1 V1 + у т'2 V ’
равна £ц.п. плюс кинетическая энергия центра инерции, в кото-
ром сосредоточена вся масса системы
^лаб = ^ц. и. + у (т1 + т2) vc-
Ясно, что если даже полная кинетическая энергия бомбарди-
рующей частицы (т. е. кинетическая энергия в лабораторной
системе координат) равна энергии реакции, то этого ещё недоста-
точно для того, чтобы вызвать реакцию, так как часть кинети-
ческой энергии приходится па движение центра инерции.
Положим теперь, что скорость ядра-мишенп равна нулю, чт<.
практически соответствует действительным условиям, если при-
§ 260]
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
429
нять во внимание огромные скорости бомбардирующих частиц.
Тогда
^’лаб 4 V1 = т //г1 (V1 “ У'2)2’
так как v2 = 0. Сравнивая с (260,1), видим, что
j т	j 1 J1	AZZo
Лц. и. =- -^лаб = '-'лаб т, ,
откуда
2?лаб = Ь\яЛ-5^2-.	(260,2)
В нашем примере реакция осуществляется, если по крайней мере
Ец и. = 1,13 MeV; далее, здесь т2 = 14, тг -р т2 — 18. Следовательно,
£лаб--1,13	1,45 MeV.
Если известна энергия
реакции Q, то с помощью за-
конов сохранения энергии и
количества движения можно
найти скорость и энергию
освобождаемой при реакции
частицы, например нейтрона.
Обозначим через £’о, Еъ Е2,
Е-> сооветствеппо кинетиче-
ские энергии ядра-мпшоин,
бомбардирующей частицы,
освобождаемой частицы и
ядра-продукта. Кинетическую
энергию мишени можно все
Закон сохранения энергии да
Ег + 1
откуда
В силу закона сохранения им
Рз
Далее из векторного трсуголь
Рз = Pl + Pl - 2-PiPz cos В,	(260,4)
где 0 —угол между направлениями бомбардирующей и выбра-
сываемой лёгких частиц. Обозначая массовые числа партнёров
треугольник
337. Векторный '
импульсов.
.да считать
равной нулю
— Е2 + Ег,
льса (рис.
Р1 - Р2-
а О АВ
337)
(260,3)
130
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
реакции через Л,, Л2, Л3 и пользуясь соотношением между
импульсом и энергией
приведём (260,4) к лиду
AJE3 ЛхЕг + Л2Е2 — 2 cos 511 АуА^ЕуЕ^. (260,5)
Подставляя Е3 из (260,5) в (260,3), получаем
q е2 - (j - 49 ”2 J19л;'c(js !i • (2go>g)
Оперши реакции Q найдётся независимым путём, если известны
точные массы: участников реакции
Q- [(Л/о-р Л/.) — (Л/2 4-Л/3)1 с2.
Зная Q и Е, можно найти из (260,6) анергию вылетающей части-
цы для любого угла &.
Чтобы показать применение полученного результата, рас-
смотрим ядерную реакцию, возникающую при соударении двух
дейтеронов
XD2 4-jD2 •—> 211е3 4-q/z1.	(260,7)
Как видно, реакция закапчивается образованием лёгкого изотопа
гелия По3 и нейтрона. Она имеет большое практическое значение
как источник нейтронов с определёнными энергиями *). Вычислим
энергию реакции (260,7):
Г)2-2,01171	Не3 — 3,01700
I)2 -2,014 71	л1- 1,00893
21)2 _ 4,02942 Не3 к/г’	4,02593
Не3 и 7?0	4,02604
Q -- 0,003-19 MU х 931	-- 3,25 MeV.
Реакция осуществляется обычно путёы бомбардировки тяжёлого
льда дейтеронами; она возбуждается очень легко в ужо при
энергии дейтеронов Ех = 50 keV даёт заметный выход нейтронов.
Согласно формуле (260,6) энергия нейтронов при одном и том же Q
будет различна, при разных углах вылета нейтронов (в лабора-
торной системе). Очевидно, что Т?2 имеет наибольшее значение
*) Кроме реакции (2С0,-), ври соударении двух дейтеронов upoiicxoairi
ещё реакция
при которой возникает сверхтяжёлый водород Н3 — тритий. Лта реакция.
<с।па ко, нас сейчас интересовать ие будет.
§ 26о]
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИИ
-131
при (] = 0° (вылет нейтронов вперёд) п наименьшее — при 1) = 180°.
Физически это вполне попятно: в системе координат центра инерции
скорость нейтронов, очевидно, не зависит от угла вылета; но для
перехода к лабораторией системе координат к скоростям в системе
Угол в &/лета нейтрона S градусах
Рпс. 338. Зависимость энергии дейтронов (в MeV) от угла
вылета при различных энергиях бомбардирующих дейте-
ронов (энергия дейтеронов в MeV указана возле кривых).
центра инерции нужно вокторио прибавить скорость самого центра
инерции, которая всегда направлена вперёд. При угле IV. 90°
cos й = 0, и (260,6) даёт
1> данном случае Л3 — 3,	^i=2 л
Мы видим, что при В = 90° освобождаемые нейтроны имеют кине-
тическую энергию, большую, чем бомбардирующие дейтероны.
432	ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ	[гл. XX
На рис. 338 приведены кривые, показывающие зависимость
энергии нейтронов от угла вылета при различных энергиях бом-
бардирующих дейтеронов (цифры у кривых). Видно, что при
энергии дейтеронов T?77 = 200keV можно получать нейтроны
с энергиями от 2,2 до 3,1 MeV; при энергии ED — Ег = 4 MeV
нейтроны получаются с энергией от 1,65 до 7,30 MeV.
§ 261. Эффективное сечение
Частица, «соударяющаяся» с ядром, может либо вызвать ядер-
ную реакцию, либо испытать рассеяние. Механизм этих процессов
будет рассмотрен в дальнейшем. Для нас сейчас важно отметить,
что каждый из них имеет свою определённую вероятность. В ядер-
пой физике эту вероятность принято характеризовать эффектив-
ным сечением для данного процесса. С понятием «эффективное
сечение» мы уже встретились в т. 1, § 24, где это понятие было
объяснено на примере взаимодействия электронов с атомами. Ска-
занное там можно применить и к взаимодействиям ядерных частиц.
Для конкретности будем рассматривать параллельный поток
«монохроматических» нейтронов, т. е. нейтронов, имеющих одну
определённую энергию. При прохождении через слой вещества
нейтроны будут испытывать взаимодействие с ядрами, в резуль-
тате которых они будут выбывать из параллельного пучка.
Предполагая, что вероятность интересующего нас взаимодействия
(например, захвата нейтронов) по изменяется при прохождении
через весь слой толщины ос, можно написать для интенсивности
потока (равной числу нейтронов, проходящих через 1 см2 в 1 сек.)
следующее простое выражение, выведенное в § 24:
/ =	(261,1)
Здесь J и j0 — интенсивности потока соответственно после про-
хождения слоя и при падении на слой; п — число ядер в 1 см3
(размерность см 3); о—эффективное сечение процесса в см2. На-
глядный смысл s таков: нужно себе представить круглую мишень
площади а; тогда всякая частица, проходящая внутри этой ми-
шени, испытает данное взаимодействие с ядром. Произведение тт
ость сумма эффективных сечений ядер, заключённых в 1 см3. Оно
называется макроскопическим сеченном
2-ла	(261,2)
см2	,
и имеет размерность —3, или см-1.
Так как J есть число частиц, прошедших сквозь слой, не
испытав взаимодействия, то число частиц, испытавших реакцию,
равно
(261,3)

§ 261]
ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ
Единицей
величины
Чтобы
следующий пример. Индий часто применяется для детектирования
медленных нейтронов. Возможность обнаружения нейтронов с его
помощью связана с тем, что основной изотоп индия 49Inu5, за-
хватывая пейтроп, превращается в ЕР- радиоактивный изотоп Тп116.
Эффективное сечение In115 для захвата нейтронов о = 190 • 10~24 ел2.
Вычислим, сколько атомов In116 возникает в листке In площадью
J0c4«2 и толщиною 0,3 мм под действием потока нейтронов интен-
сивностью 107 пейтронов/сл2 сек. Так как атомный вес индия
равен 114,76, а плотность равна 7,3, то*)
1U /,и	gg . 1022 = 0 0383 . ]024
114,/6	’
При .Zo = 107 и х = 0,03 см формула (261,3) даёт
/о-/=1О • 107(1-е-°>0383.190.0,03) = 108 (1_е-0,218)==2 • 107.
Не лишне заметить, что образующиеся в 1 сек. 2 • 107 атомов In116
имеют массу
эффективного сечения с является 10-24 сж2 — по порядку
равное площади сечения ядра.
показать применение формулы (261,3), рассмотрим
114,76-2-107
6,02 • 1023	0,0 iU 2’
т. е. представляют собой практически «невесомое» количество,
и только благодаря огромной энергии, освобождаемой в ядерных
процессах, и чувствительности экспериментальных методов ядерной
физики подобные превращения становятся доступными для наблю-
дения.
Рассмотрим ещё один пример применения эффективного сече-
ния. Известно, что кадмий обладает очень высоким сечением для
поглощения медленных нейтронов: а = 2500- 10~24. Вопрос состоит
в том, во сколько раз ослабится поток нейтронов после прохо-
ждения слоя Cd в 1 мм? Атомный вес кадмия равен 112,4;
плотность 8,6. Отсюда, как и раньше, найдём п — 0,046 • 1024,
так что п~ = 2500 • 0,046 = 115, а потому при х = 0,1
_£ = е-и,5 = з . ю-7,
о
т. е. поглощение практически полное.
Различают полное эффективное сечение и сечения для частных
процессов. Например, нейтрон может испытать рассеяние или быть
поглощённым. Эффективные сечения обоих этих процессов as и оа
в сумме образуют полное эффективное сечение
° + °а-
*) При расчётах удобно выражать число п черг з множитель J024, так
как при перемножении с эффективным сечением лшожитель 1024 исчезает.
434	ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ	[гл. XX
Формулы (261,1) и (261,2) относятся к полному сечению. Однако
во многих случаях ва > os. В таких случаях	Величина
сечения существенно зависит от условии реакции, в частности
от энергии бомбардирующей частицы. К этому вопросу мы не-
однократно будем возвращаться в последующем.
§ 262. Составное ядро
Первоначальное представление о механизме ядерной реакции
состояло в том, что попадающая в ядро частица (например, протон
пли а-частица) передаёт свою энергию одной из частиц, образующих
ядро, которая и вылетает из ядра. Такое представление не соответ-
ствует современным знаниям о строении ядра и о характерных
особенностях ядерных взаимодействий. «Соударения» падающих
частиц с ядром самым существенным образом отличаются от соуда-
рений электронов с электронной оболочкой. Когда электрон про-
ходит через электронную оболочку, он в большинстве случаев ис-
пытывает упругое рассеяние, т. е. просто изменяет направление сво-
его полёта; в некоторых случаях он может передать часть своей
энергии одному из электронов оболочки, т. е. испытать пеупругоо
соударение, результатом которого будет возбуждение или иониза-
ция атома. Во всех случаях, однако, вследствие чрезвычайной
прозрачности электронной оболочки электрон свободно проходит
сквозь атом, испытывая лишь слабое взаимодействие с оболочкой.
Иную картину мы получаем при рассмотрении тесного взаимо-
действия падающей частицы с ядром*). Последнее представляет
собой в высшей степени плотно упакованную структуру. Ядерные
силы действуют только па очень коротких расстояниях, но на
этих расстояниях они очень велпкп. Вследствие этого частица,
приблизившаяся к ядру на расстояние, равное радиусу действия
ядерных сил, вступит в сильное взаимодействие с ближайшими
ядернымп частицами и отдаст им значительную часть своей энер-
гии. Эта потеря энергии будет непрерывно продолжаться и при
дальнейшем движении частицы внутри ядра. В результате энергия
налетающей частицы очень быстро перераспределится между все-
ми нувлеонамп ядра. Если даже избыток энергии будет таков,
что его достаточно для распада ядра,—энергии, приходящейся на
одну ядерную частицу, нехватпт для её освобождения.
Таким образом, первый этап ядерной реакции состоит в захва-
те частицы ядром с образованием сильно возбуждённого промежу-
точного «составного» ядра (иногда называемого также «компаунд-
ядром»).
*) Излагаемые в дальнейшем соображения становятся неприменимыми
в тех случаях, когда энергия бомбардирующей частицы во много раз про
восходит энергию связи иуклеоиа в ядре. По поводу явлений мри очень
высоких энергиях MeV.) см. § 26*'.
§ 262]
СОСТАВНОЕ ЯДРО
435
Отметим, что энергия возбуждения составного ядра может быть
настолько велика, что ядро будет находиться в состоянии с поло-
жительной энергией и выше потенциального барьера но всё-таки
в течение некоторого времени не будет распадаться, так как эта
энергия распределяется между многими частицами.
Вылет частицы из возбуждённого ядра, представляющий собой
второй этап реакции, может произойти только вследствие флук-
туаций в распределении энергии между нуклеопами: если в ре-
зультате таких флуктуаций на какой-нибудь частице сконцентри-
руется достаточное для вылета количество энергия, то она и поки-
нет составное ядро. При этом может случиться, что вылетевшая
частица будет того же типа, что и влетевшая; может случиться,
что опа будет иного типа (например, влетает нейтрон, а вылетает
протон), наконец, может случиться, что влетевшая частица будет
захвачена ядром, последнее «разрядится» от избытка энергии,
отдавая его в виде 7-фотона.
Нетрудно видеть, однако, что время, которое протечёт между
началом первого этапа реакции (образование составного ядра) и
завершением второго, будет сравнительно велико. Для того чтобы
это утверждение приобрело полную отчётливость, нужно только
условиться в том, что считать естественной единицей ядерного
времени. За такую единицу целесообразно принять время, необ-
ходимое быстрому нейтрону, чтобы пролететь расстояние, равное
радиусу ядра, т. е. по порядку величины
10-13с.и
109 см/сек
10~22 сек.
Из этого следует, что захват частицы ядром с образованием
составного ядра и вылет частицы разделены большим промежутком
в ядерных единицах времени и представляют собой два незави-
симых друг от друга этапа ядерной реакции. Отсюда следует,
что тот или иной тип распада или же испускание у-излучения
возбуждённым составным ядром есть результат конкурен-
ции между всеми возможными реакциями и не связан с пер-
вым этапом процесса, т. е. с захватом бомбардирующей
частицы. Приведём пример. Пусть первый этап реакции состоит
в захвате нейтрона ядром ]3А127 с образованием возбуждённого
составного ядра 13А128*. Это возбуждённое ядро может затем
в качестве второго этапа реакции испытать следующие превра-
щения:
Д 127 х	А 128
13‘V1 х qH >
f12Mg27 -MF
I u\a24 + 2He4
| 13A128 -i- у
113Ai26 + 2X
436
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. XX
С точки зрения развиваемых здесь взглядов па механизм ядерной
реакции вопрос о том, какое именно из представленных на схеме
превращении испытает ядро Al28*, решается исключительно в за-
висимости от вероятности этому ядру испытать именно данное
превращение, по ни в коем случае не от того, каким путём возник-
ло составное ядро АГ28*. Более того, любая из реакций, записан-
ных в правой части схемы, при соответствующих условиях, т. о.
при достаточной энергии лёгкой частицы (протон, или нейтрон,
или а-частпца, пли 7-фотон), может служить причиной возникно-
вения составного ядра Al28*, причём второй этап реакции
(включая выбрасывание одного нейтрона, т. с. процесс, обратный
написанному в левой части схемы) будет опять-таки зависеть
только от относительной вероятности всех возможных конкури-
рующих процессов.
Описанная общая схема механизма ядерных реакций была
предложена в 1934 г. Бором и является в настоящее время обще-
принятой.
Я. И. Френкель подошёл к объяснению процесса распада со-
ставного ядра со своеобразной точки-зрения, оказавшейся очень
плодотворной. Энергию ядра, состоящего пз достаточно большого
числа частиц, непрерывно обменивающихся своей энергией, можно
рассматривать как тепловую. Пользуясь методами статистической
термодинамики, можно поэтому ввести понятия об энтропии и тем-
пературе ядра. С этой точки зрения повышение средней энергия
частиц ядра при захвате падающей частицы можно описать как
повышение температуры, а вылет частицы — как испарение, со-
провождающееся понижением температуры.
Средняя кинетическая энергия частиц в ядре — порядка 10 MeV.
Если бы мы имели дело с газом, состоящим из независимых
частиц с такой средней энергией, то этому газу надо было бы при-
писать фантастическую температуру *)
11 606 • 107 = 11,6 • 1010 град К,
т. е. сотни миллиардов градусов. Однако с точки зрения термо-
динамических условий в ядре эту температуру следует считать
«низкой». Это ясно уже из того, что захват одной частицы ядром
заметно повышает, а «испарение» заметно понижает температуру
ядра. Температуру ядра целесообразно характеризовать не граду-
сами, по величиной кТ, измеряя её в MeV. Расчёт показывает,
что при различных энергиях возбуждения ядра средней массы
(4^100) и тяжёлые ядра ( А 200) имеют температуры, ука-
занные в таблице XLVIII.
Мы видим, что эти температуры в ядерной шкале температур
действительно низки. Они несколько выше для лёгких ядер, нежели
*) Температура 11 606° соответствует средней энергии частиц в 1 eV и
находится из соотношения 1,6 • 10~12 = кТ.
§ 262]
СОСТАВНОЕ ЯДРО
437
Таблица XLVIII
Массовое число	Энергия возбуждения MeV	Температура MeV
100	Г)	0,9
100	10	1.2
100	20	1,5
200	)	0,7
200	10	1,0
200	20	1.2
для тяжёлых, так как в лёгких ядрах одна л та же энергия распре-
деляется на меньшее число частиц.
Этой аналогией «нагревания» ядра и «испарения) нуклеонов
мы часто будем пользоваться в дальнейшем для качественного
предсказания хода реакции при той или иной энериш налетаю-
щей частицы. Ясно, например, что если эта энергия мала, то вылет
частицы будет крайне маловероятен; наоборот, при очень большой
кинетической энергии налетающей частицы (порядка сотеп MeV)
«нагревание» будет настолько сильным, что возможно «испарение»
даже нескольких частиц и т. д. Я. И. Френкель, Л. Д. Ландау,
Н. Бор и др. использовали аналогичные термодинамические
соображения для количественных расчётов. Мы не будем здесь
останавливаться на изложении ядерной термодинамики *). При-
ведём только очень наглядный рисунок, который иллюстри-
рует эту термодинамическую картину ядерной реакции**)
(рис. 339). Здесь справа изображён ядерный «термометр» с подходя-
щими для ядерных температур делениями lO^spad С или MeV.
В дальнейших частях рисунка, изображающих различные стадии
процессов, происходящих при захвате нейтрона, в ядро всюду
вставлен этот воображаемый термометр. Сначала ядро находится
в нормальном состояния (.7), его контуры гладки, а температура
равна нулю. При попадании нейтрона с кинетической энергией
10 MeV энергия ядра увеличивается па 18 MeV, а температура под-
нимается приблизительно до IMeV (2). Ядро при этом приходит
в оживлённые колебания, что иллюстрируется его неправильным
контуром. На следующем рисунке (3) показан вылет («испарение»)
*) Доступное изложение этих вопросов саг. в книге: Я. И. Ф р е н к е л ь,
Принципы теории атомных ядер, гл. VI, АП СССР, 1950. Подробнее
см.: А. Ахиезер и И. Померанцу к, Некоторые вопросы теории
ядра, гл. II, Гостехиздат, 1951.
**) II. Бор, Превращения атомных ядер. Доклад в Академии паук
СССР в Москве в птопе 1937 г. См. Успехи физических наук. т. XVIIL
стр. 337, 1937 г.
4 38
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
fi-л. XX
частицы из ядра; его температура при этом падает, ио не возвра-
щается к нулю, так как в высшей степени мало вероятно, чтобы
частица унесла всю энергию возбуждения. Колебания ядра про-
должаются, но с меныпей амплитудой. Наконец, в последнем
этапе (4) остаток энергии
возбуждения уносится в
виде электромагнитного
излучения, и температура
падает вновь до нуля.
§ 263. Ядро как квапто-
вомехапическая система
Соображения, изложен-
ные в предыдущем па-
раграфе, были основаны
на простой механической
аналогии. Однако при рас-
смотрении ядерных реак-
ций нельзя упускать из
виду и квантовых законов.
Поэтому нам необходимо
сейчас остановиться на
свойствах ядра как квап-
то воме ханпчес к о и си сте мы.
Рис. 339. Ядериьш «термометр».	Поскольку ядро пред-
ставляет собой совокуп-
ность протонов и нейтронов, взаимодействие между которыми в наи-
более существенных чертах определяется ядер ними силами с их
характерными особенностями (насыщение, действие на коротком
расстоянии), самый подход к ядру как кваптовомеханической системе
должен быть совсем иной, нежели в случае электронной оболочки.
В этом последнем случае мы также имеем дело с системой ча-
стиц, и математическая задача также является задачей многих
тел. Характерные черты этой задачи в случае электронной оболочки
состоят в следующем: электроны взаимодействуют с ядром и между
собой; так как, однако, сила притяжения к ядру для каждого
электрона больше его взаимодействия с остальными электронами,
то задачу для средних и тяжёлых ядер можно решать методом по-
следовательных приближений: в нулевом приближении можно
считать, что электроны между собой пе взаимодействуют, и рас-
сматривать движение каждого электрона так, как будто бы дру-
гих электронов пе было вовсе; тем самым задача чрезвычайно
упрощается и сводятся к задаче двух тел. После этого в следую-
щем приближении влияние остальных электронов на движение
избранного электрона рассматривается как слабое возмущение.
§ 263j	ЯДРО КАК КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА	439
Такой метод расчёта, играющий большую роль при изучении
атомной оболочки, не может быть применён к ядрам, так как,
во-первых, в ядрах нет никакого выделенного центра сил, как
в атомах, а во-вторых, частицы, находящиеся внутри ядра, в от-
лично от атомных электронов взаимодействуют друг с другом
очень сильно. Поэтому здесь уже, строго говоря, нельзя рассма-
тривать движение какой-либо определённой частицы в поле сил
остальных; по существу нельзя даже говорить о поведении отдельной
частицы в ядре, а можно говорить лишь о некотором совместном
движении всех ядерных частиц. Для того чтобы составить пред-
ставление о свойствах ядер, нужно исследовать возможные типы
коллективного движения всех ядерных частиц.
Из этого следует, что распределение уровней энергии ядра
должно существенно отличаться от распределения уровней энергии
атома. В атоме электроны группируются в центральном поле ядра,
образуя «слои» К, L, М, ... При этом внутренние слои экранируют
заряд ядра для внешних электронов. В результате энергии связи
различных электронов оказываются весьма различными. Так,
например, в случае урана энергия связи наиболее слабо связан-
ного электрона составляет 6 eV, а энергия связи 7Г-электрона
110 000 eV. Таким образом, если представить поле атома потен-
циальной ямой, то это будет глубокая яма, заполненная почти до
краёв; число свободных уровнен энергии, лежащих над нормаль-
ным уровнем оптического электрона, очень незначительно. По-
этому вся энергия возбуждения атома в подавляющем большинстве
случаев концентрируется па одном электроне. Если энергия,
сообщаемая атому, превосходит энергию ионизации, то это при-
ведёт только к освобождению электрона из атома, но не к перерас-
пределению энергии между несколькими электронами*)- Это
происходит именно потому, что энергии связи различных электро-
нов слишком различны.
Энергетические условия в ядре — совершенно иные. Глубина
ого потенциальной ямы порядка 20 MeV, а энергия связи наиболее
слабо связанного пуклеона 8 MeV, т. е. яма, заполнена занятыми
уровнями примерно наполовину. Число свободных уровней, как
мы увидим, в отличие от атома очень велико, и верхние уровни
распределены столь тесло, что они образуют квазинепрерывную **)
последовательность. Существенно при этом то, что эти уровни
нельзя приписать какому-нибудь отдельному пуклеону, но они
*) В спектроскопии известны лишь как редкое исключение случаи, когда
возбуждёппымп оказываются два электрона п сумма пх энергий больше
энергии ионизации (так называемые штрихованные термы).
**) Приставка «квази» означает в данном случае, что последователь-
ность уровней по существу—дискретная, по расстояния между уровнями
настолько малы, что последовательность их можно считать как бы
сплошной.
440
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. XX
принадлежат всему ядру в целом и обусловлены коллективным
движением всех его иуклоопов. Энергетический спектр ядра
поэтому совершенно не похож па спектр уровней атома, по
гораздо больше напоминает спектр уровней вещества в конден-
сированном состоянии, например кристаллического твёрдого тела.
Чтобы разобраться в особенностях уровней энергии ядра,
будем рассматривать ядро в первом приближении как совокуп-
ность независимых нуклеонов, связанных определённым образом
с положениями равновесия *). Энергию ядра в таком случае мож-
но грубо представить в виде суммы энергий линейных осцилля-
торов с немного различающимися частотами vx, v2...:
-j- zz2/zv2 p n3/zv3 -J- ... -I- njiv,- + пулевая энергия.
Если энергия возбуждения невелика, то большинство квантовых
чисел пк равно нулю и только немногие отличны от нуля. Таким
образом, нижние уровни ядра по характеру пе должны сущест-
венно отличаться от атомных уровней. Иное будет в том случае,
когда уровень энергии сильно отличается от нормального; пусть,
например, он будет соответствовать энергии, на 8 MeV большей
самого низкого уровня. Очевидно, что эта энергия распределится
между многими осцилляторами. В таком случае мы уже не смо-
жем сказать, какой именно ядерной частице принадлежит соот-
ветствующий уровень: он принадлежит на самом деле всему ядру
в целом. Очевидно, далее, что если энергия возбуждения доста-
точно велика, то существует очень большое число наборов целщх
чисел пУс, при которых сумма энергий всех осцилляторов будет
близка к заданному значению. И так как для различных наборов
чисел п}. значения суммы всё же будут немного отличаться друг
от друга, то при большой энергии возбуждения уровни энергии
будут распределены очень тесно.
Грубо ориентировочно плотность уровней при данной энергии
возбуждения может быть рассчитана следующим образом. Для
числа способов, каким заданное число может быть представлено
в виде суммы меньших положительных чисел, существует форму-
ла, показывающая, что число способов возрастает экспонен-
циально с числом слагаемых. Если теперь взять за единицу
значение энергии, равное 2 • IO5 eV, что приблизительно соот-
ветствует разности энергии между первыми уровнями ядра, то
при энергии 8 • 'J06eV, соответствующей верхним уровням, число
квантов будет
*) См. Н. Бор и Ф. Калькар, Успехи физических наук, т. XX,
ст]). 317, 193Я.
§ 263]	ЯДРО КАК КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА	4 Zl 1
Число способов, каким 8 • 106 eV может быть получено как сумма
40 слагаемых, оказывается приблизительно равным 2 • 104. Если
принять во внимание, что отдельные кванты не точно равны
между собой, но слегка отличаются друг от друга, то это означает,,
что полоса энергии в 2 • 105 eV будет заполнена близкими уровнями,
в среднем отстоящими друг от друга на
Рис. 340. Уровни энер-
гии ядра.
Мы видим, таким образом, что, в то
время как нижние уровни ядра располо-
жены на больших расстояниях друг от
друга, верхние распределены в виде
полос тесно расположенных уровней, при-
чём густота их быстро возрастает с уве-
личением энергии возбуждения. Это рас-
пределение уровней Бор иллюстрирует
наглядным рис. 340, на котором пока-
зано, что нижние уровни отстоят друг от
друга на большие расстояния; эти рас-
стояния равны нескольким сотням тысяч
электрон-вольт в случае тяжёлых ядер
и соответствуют энергиям у-фотопов, испу-
скаемых при радиоактивных превраще-
ниях. При энергии возбуждения около
8 MeV, соответствующей энергии связи
одного нуклеона, уровни уже настолько
сближаются, что их невозможно было бы
изобразить в том же масштабе, что и нижние уровни; потребова-
лась бы «лупа» с увеличением в 100 000 раз, чтобы эти уровни
представились в том виде, как они показаны в средней части
рисунка; пунктирная линия здесь соответствует точно энергии
в 8 MeV. Наконец, при возбуждении в 15 MeV даже при уве-
личении в 100 000 раз уровни представляются почти слив-
шимися.
Для количественного расчёта уровней энергии ядра рассма-
тривалось коллективное движение частпц в различных моделях,
например в модели кристаллической решётки пли жидкой капли.
Формулы для плотности уровней в зависимости от величины энер-
гии, получаемые с помощью таких моделей, дают мало различаю-
щиеся результаты. Л. Д. Лапдау вывел формулу для расстояния
уровней независимо от моделей термодинамическим путём. Эта
формула такова:
D = Се~^Е eV,
Vj2
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. XX
где D—расстояние между уровнями, В и С—константы, имеющие
следующие значенпя:
J 106 для лёгких ядер (Л-^20),
(105 для тяжёлых ядер (Л-^200);
| 2 для лёгких ядер,
i 4 для тяжёлых ядер;
Е измеряется в MeV. По этой формуле получаются следующие
расстояния между уровнями (указаны порядки величин):
	Вблизи основного состояния	У 8 MeV	У 15 MeV
.Лёгкие ядра . .	1СГ	10'5	103
Тяжёлые ядра	10"’ 1	ю	10 -2
Мы видим, что у лёгких ядер расстояния между верхними уров-
нями значительно больше, нежели у тяжёлых ядер, что в рас-
смотренной выше картине вполне соответствует распределению
энергии ядра между меньшим числом частиц.
§ 264. Захват частицы ядром
Рассмотрим теперь детальнее первый этап ядерной реакции—
захват частицы ядром и образование составного ядра. Чтобы вы-
явить наиболее характерные черты этого процесса, будем предпо-
лагать сначала, что захватываемая частица есть нейтрон. Тем
самым мы временно оставляем в стороне осложнения, связанные
с необходимостью преодоления потенциального барьера ядра,
существующего для заряженной частицы, и можем не учитывать
также другие факторы, обусловленные кулоновскими взаимодей-
ствиями н влияющие на ход процесса.
При рассмотрении соударений нейтронов с ядрами необходимо
строго различать случаи быстрых и медленных нейтронов. Кри-
терием здесь может служить длина волны де-Брогля, соответствую-
щая нейтрону скорости у:
. — 1L
ту *
Если скорость нейтрона настолько велика, что	гдера-
диус ядра, то в этом случае к взаимодействию нейтронов с ядром
можно применить простые геометрические соображения и рас-
§ 26 4]	ЗАХВАТ ЧАСТИЦЫ ЯДРОМ	443
сматривать ядро как некую мишень, с которой приходит в сопри-
косновение нейтрон. Совершенно аналогично этому в обычной
оптике рассеяние света объектом, линейное протяжение которого
значительно больше длины световой волны, можно рассматривать,
руководствуясь законами геометрической оптики. Таким образом,
рассеяние, быстрых нейтронов можно использовать для опреде-
ления радиуса ядра. Такие определения дают	см в хо-
рошем согласии с результатами других определений радиусов
тяжёлых ядер.
„ .. ?
J3 случае медленных нейтронов, когда порядка величины
R или даже больше R, геометрические соображения совершенно
неприменимы. Это ясно уже из того, что при этих условиях рас-
сеяние неизбежно должно осложниться интерференционными
эффектами. Опыт непосредственно показывает, что для некото-
рых определённых скоростей нейтронов эффективное сечение
ядра оказывается в сотни или даже в тысячи раз большим геомет-
рического сечения. Мы имеем здесь, таким образом, дело с типич-
ными квантовыми резонансными эффектами, которые необходимо
трактовать с помощью волновых представлений.
Любой процесс ядерных соударений с квантовой точки зрения
может быть описан в схеме теории составного ядра следующим
образом. Пусть ядро находится в определённом квантовом состоя-
нии с энергией Ео. При захвате падающей частицы Р, энергия
которой равна Ер, возникает составное ядро, которое по истечении
определённого промежутка времени (длительного по сравнению
с ядерной единицей времени т=-10-22 сек.) в свою очередь
выбрасывает частицу Q с энергией Eq и само остаётся в состоянии
с энергией Еп. Весь процесс может быть представлен схемой
A-yP-^C-^B + Q.	(264,1)
Если испущенная частица тождественна с падающей (например,
если падает нейтрон и испускается также нейтрон), то процесс
(264,1) мы называем рассеянием. В частности, если Ep~Eq, то
рассеяние будет упругим; в противоположном случае — неупру-
гим. Если же частица Q не тождественна с Р, то мы говорим
о ядерной реакции. В частности, частица Q может быть фотоном
и тогда ядерпая реакция состоит в простом захвате падающей
частицы, сопровождающемся квантовым переходом с испускани-
ем у-лучей. Однако во всех случаях в силу закона сохранения
энергии должно иметь место равенство
Ей + Ер = Еп + Eq •
Легко заметить, что это описание взаимодействия частицы
с ядром совершенно аналогично квантовому описанию рассеяния
света. Этот последний процесс в квантовой теории излучения
444
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. XX
описывается следующим образом: пусть атомная система (атом или
молекула) находится в состоянии с энергией Е; при поглощении
фотона hv возникает промежуточное состояние с энергией Е + Av
и вслед за тем вновь испускается фотон h'/, а система остаёт-
ся с энергией Е'. Закон сохранения энергии требует, чтобы
Е + Av = Е' + Av'.
Если Е' ~Е, т. е. если система из промежуточного состояния вновь
возвращается в исходное, тон v = v', т. е. частота света в резуль-
тате взаимодействия не меняется. Этот случай аналогичен упру-
гому рассеянию, а в оптике ему соответствуют процессы рассеяния
без изменения частоты (обычное рэлеевское или когерентное рас-
сеяние). Если же Е рЕ', то v'^=v, и мы получаем пеупругое
рассеяние фотонов, которому соответствует оптическое явление
комбинационного рассеяния (открытое советскими физиками
Л. И. Мандельштамом и Г. С. Ландсбергом и индусским физиком
Раманом)*).
§ 265. Ширина уровней и резонанс
Рассмотрим реакцию нейтрона с ядром, заряд которого равен Z
и массовое число А—1, т. е. с ядром ZA~l. Первый этап процесса
есть образование возбуждённого составного ядра
Избыток энергии, которым обладает возбуждённое ядро ZA, оче-
видно, равен энергии связи нейтрона в этом ядре ZA плюс его
кинетическая энергия. Переходное состояние может завершиться
испусканием нейтрона с начальной или меньшей энергией (упру-
гое илп ноупругоо рассеяние нейтрона), испусканием протона или
а-частпцы или, наконец, испусканием у-фотопа, т. е. захватом ней-
трона с образованием изотопа исходного ядра. Этп разнообраз-
ные процессы мы в дальнейшем будем обозначать сокращённо
так: (/г, /г), (п, д), (/г, а), (п, *{), и будем пользоваться такой жо
сокращённой записью ядерных реакций, например 7Nll(zz, р) 6С14
п т. п.
Как уже было разъяснено в предыдущих параграфах, каждая
из возможных реакций составного ядра осуществляется со своей
определённой вероятностью. Если обозначить вероятность каждо-
го из возможных процессов соответственно через wy, ы2, , то
полная вероятность какой-либо из реакций будет, очевидно, суммой
w = го1 + w2 + w3 + ...	(265,1)
*) Подробнее о комбинационном расс.еяппп света см, Г. С. Л а п д с
б о р г, Оптика, стр. 417, Гостехиздат, 1947.
§ 265]
ШИРИНА УРОВНЕЙ И РЕЗОНАНС
445
Составное ядро, возникающее при захвате нейтрона, находит-
ся в энергетическом состояния, соответствующем некоторому
уровню энергии. Этот уровень, однако, по является строго опре-
делённым, а состояние не является стационарным в точном смысле
слова. Состояние не будет строго стационарным потому, что имеет-
ся вероятность перехода в другое состояние, например вероятность
того, что возбуждённое состояние ядра перейдёт в состояние с мень-
ше и энергией, а один из ого нуклоопов (скажем, нейтрон или протон)
окажется вне ядра, т. е. завершится реакция (п, п) или (и, р).
Как мы уже видели в § 233, в этом случае соответствующий уровень
энергии не может быть строго определённым, ио должен иметь
конечную ширину. Подобные состояния называются квазистацио-
парпыми, а уровни энергии—виртуальными,*). Ширина виртуальных
уровней ядра b-Е объясняется той же причиной, что п ширина
уровней электронной оболочки (см. §233), а именно, вероятности
определённого процесса (выбрасывание нейтрона, протопай т. п.)
юх соответствует среднее время «пребывания» для данного процесса
1
вследствие соотношения
ДЕ • Ы > ~
прп Д/ = Хд. неопределённость энергии будет
ДЕ. > V •
За меру ширины уровня условно принимается
Г = —
х
(265,2)
= 1'ио
Гх, очевидно, имеет размерность
в электрон-вольтах. Так как
, h 6,6 • 10-27эрг- сек
-
энергии и ооычно выражается
— 0,65 • Ю-15 eV • сек.,
2rt . 1,6 •
с V
то
Г.
0,65 • 10~15 у
(265,3)
Например, среднее время для процесса (п, *{) в случае медлен-
ных нейтронов порядка 10-14—10 15 сек. Поэтому
0,65 • 10-15 п Л7
Ю-1.	=0’65 eV-
Г
*) См. приложение IX в конце книги.
446
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. ХК
т. е. ширина уровня для испускания у-лучей порядка десятых
долей eV. Если значительно меньше, то Га. будет соответ-
ственно больше и может даже оказаться больше расстояния между
уровнями.
В соответствии с (265,1) полная ширина уровня равна сумме
частичных ширин
Г^Гп + Г..-рГр+Гв,	(265,4)
Полная ширина Г характеризует, очевидно, полную вероятность
перехода на более низкий уровень. Обозначая через Гг сумму
всех ширин, кроме ширины для рассеяния нейтронов
I1?- — 1\ + Гр + 1 «,
имеем
1 -- 1 л + I г-
Поскольку мы сначала оставляем в стороне вылет заряженных,
частиц, нас будут интересовать два конкурирующих процесса:
вылет нейтрона (рассеяние) п у-пзлучение возбуждённого ядра
(поглощение). Соответственно при этом условии Гг —Гт и
Г = ГП + ГТ.	(265,5}
Уже из качественных статистических соображений следует^
что относительная величина Г;1 и Гг должна существенно завпсеть
от кинетической энергии налетающего нейтрона. Если эта энергия
велика (несколько MeV), то составное ядро при захвате нейтрона
получит большой избыток энергии. В этом случае энергия, которая
должна сконцентрироваться на одной частице для её вылета, будет
составлять небольшую долю всей энергии ядра, и вероятность
такой флуктуации будет достаточно велика. Напротив, потеря
энергии возбуждённым ядром путём у-излучения есть вообще
процесс маловероятный. Поэтому при большой энергии нейтрона
Г Г
Ап -
Однако для возбуждения ядерных реакций очень часто при-
меняются медленные нейтроны и даже нейтроны с энергиями,
соответствующими тепловому равновесию с окружающей средой
(«тепловые нейтроны»), В этих случаях нейтрон приносит в состав-
ное ядро только энергию, равную его энергии связи. Вероятность
того, чтобы при таких условиях на одной частице путём флук-
туаций сконцентрировалась энергия, достаточная для сё вылета,
будет до крайности мала. Поэтому в случае медленных нейтронов
вероятность излучения оказывается значительно большой вероят-
ности вылета 1.\ > Г,г.
В предыдущем параграфе мы видели, что в случае медленных
нейтронов, когда их длина волны де-Брогля того же порядка
величины пли даже больше радиуса ядра, процесс захвата ней-
трона и последующая реакция имеют большое сходство с рассея-
§ 265]
ШИРИНА УРОВНЕЙ И РЕЗОНАНС
447'
нием света, т. е. с оптическими явлениями дисперсионного типа.
В оптике, как известно, имеют место резонансные явления; когда
частота падающего света близка к одной из собственных частот
поглощающей системы, наблюдается резко выраженный селектив-
ный максимум поглощения для этой частоты.
Оказывается, что совершенно аналогичное селективное погло-
щение имеет место и для медленных нейтронов: когда энергия,
приносимая захватываемым нейтроном в составное ядро (т. е.
сумма его энергии связи и кинетической энергии), как раз равна
энергии одного из уровней составного ядра, эффективное сечение
захвата такого нейтрона резко возрастает. Брейт и Вигнер вывели
формулы, связывающие эффективные сечения захвата и рассеяния
нейтронов стс и as с вероятностями (ширинами уровней) у-излуче-
ния и рассеяния нейтронов.
Если длина волны нейтрона X велика по сравнению б радиусом
ядра, то сечение захвата равно
X2	Г,,
%	,	(265,6)
(Е-ЕгУ + -^Г2
где Е — энергия нейтрона и ^ — энергия уровня составного ядра.
Для сечения рассеяния формула такова:
.	(265,7)
(£-_£,.)2 + ±Г2
Формулы (265,6) и (265,7) справедливы для одиночного ядерного
уровня, т. е. для того случая, когда ширина уровня значительно
меньше расстояния между соседними уровнями. Из (265,6) и (265,7),
принимая во внимание (265,5), получаем для полного сечения
= £-------Г,,Г г •	(265,8)
(Е-ЕгГ + ~Г*
4
Рассмотрим эти формулы. Мы видим, что если Е, т. е. сумма
энергии связи нейтрона в ядро ZA и его кинетической энергии
вне ядра, равно энергии уровня составного ядра Ег, то с> дости-
гает резко выраженного максимума (рис. 341). При Е — Ег имеем
UUx-v -1pL,	(265,9)
(=s)max-44P	(265,10)
и так как 1\ > Гп, то ?с ?s, т. е. в случае резонанса сечение
захвата значительно превосходят сечение рассеяния. Далее,
('//max — у 	(26б, 11)
448
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. XX
При условии Г-Г > ГП имеем
(Сс)тах = ~
т. е. полное сечение почти целиком относится к захвату нейтрона.
Особенно существенно то, что при резонансе эффективное сечение
захвата нейтрона часто во много раз превосходит геометрическое
Рис. 341. Резонансное поглощение нейтронов.
сечение ядра. В этом легко убедиться простым подсчётом. Резо-
нансный захват часто наблюдается для нейтронов с «тепловыми»
скоростями. При £'Кин=1 eV длина волны. де-Брогля нейтрона
6,6 • 10~27
V 2 • 1,7  10-^~1 . 1,6 • 10~12
= 2,83
10~9 см.
Полагая Гп= 10“3 и 1\ = 10-1, получаем
, .	(2,83)2 • 10~18
Wmax = ------Ч------
1О~3
^ = 2,6 • 10“20.
Для ядра средней массы А — 100 геометрическое сечение
(Я =1,5 • Ю"13^3)
тг772 — - 2,25 • 10“26 • ЮО2'3 = 1,58 • 10~24,
так что
(сс)тах
тРг
= 17 100.
Такие огромные сечения наблюдаются на самом деле для погло-
щения нейтронов некоторыми ядрами. Например, в случае ужо
не раз упоминавшегося индия имеется резонанс для нейтронов
с энергией 1,44 eV, причём ос = 26 000 • 10“24. Экспериментальный
§ 265]
ШИРИНА УРОВНЕЙ И РЕЗОНАНС
449
материал, хорошо подтверждающий формулу Брейта—Вигнера,
будет приведён в § 266.
Формула (265,6) легко может быть приведена к виду

(£-£,)> +4 Г* ’
(265,12)
При	имеем (se)max —о0; если же Е« Ег, то изменение
знаменателя формулы (265,12) с изменением Е становится несу-
/ ЕгУ1!'2 т->
ществеПпым по сравнению с изменением множителя (	. В этом
случае
(>гч.
т. е. сечение захвата обратно пропорционально скорости нейтро-
на, в соответствий с тем, что чем хменьше скорость нейтрона, том
больше времени он проводит в области воздействия ядра, а следо-
вательно, тем больше вероятность его захвата.
Мы не будем приводить сложного вывода формулы Брейта—
Вигнера*), но ограничимся качественными соображениями, пояс-
няющими условие возникновения резонанса при захвате нейтрона.
Пусть мы имеем медленный нейтрон, соударяющийся с ядром.
Волновая функция этого нейтрона отлична от нуля как вне, так
и внутри ядра, т. е. имеется определённая вероятность нейтрону
находиться вне ядра пли быть связанными ядро. Так как нейтрон—•
„	, h
медленный, то его длина волны л = — впе ядра велика, а волно-
вое число 7су соответственно мало. Внутри же ядра волновое
число нейтрона велико, так как даже в том случае, когда его кине-
тическая энергия впе ядра близка к нулю, он приносит с собой
в ядро свою энергию связи, равную 8 MeV (рис. 342, а и 6). Так
как волновая функция и её первая производная должны быть
непрерывны на границе ядра (см. т. 1, § 144), то обе волны—длин-
ная и короткая—-должны смыкаться непрерывно п гладко на
поверхности ядра. Вообще говоря, это возможно только в том
случае, когда амплитуда волны внутри ядра очень мала по сравне-
нию с амплитудой вне ядра. Другими словами, при произволь-
ной энергии нейтрона вероятность его захвата ядром, вообще гово-
ря, мала. Имеется, однако, исключительный случай, когда обе
волны смыкаются гладко и непрерывно при почти одинаковой
*) См. А. А х и е з е р и И. И оме ра п ч у к, Некоторые вопросы
теории ядра, гл. Ш, Гостехиздат, 1951.
450
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. XX
амплитуде внутри и вне ядра (рис. 342,с). Это—случай, когда
производная волновой функции внутри ядра обращается в нуль
или близка к нулю на его границе. Этот случай имеет место
для очень узкого интервала энергий, близких к уровню энергии
составного ядра. Так как именно в этом случае амплитуда волны
внутри ядра велика, то соответственно велика и вероятность
нахождения нейтрона внутри ядра, т. е. его захвата. При энер-
гии нейтрона, лежащей в указанном интервале, и будет наблю-
даться резонанс, т. е. резкое возрастание вероятности за-
хвата нейтрона.
До сих пор мы предполагали, что захватываемая и испускае-
мая частицы являются нейтронами. Если же реакция возбу-
ждается заряженными частицами (протоны, дейтероны, а-части цы)
или если захватывается нейтрон, а испускается заряженная
Рис. 342. Схематическое изображение волновой функции
нейтрона вблизи поверхности ядра. Граница поверхности
ядра находится в точке а; слева от а представлен ход
волновой функции в ядре, справа—в пространстве, окру-
жающем ядро.
частица, то явление осложняется существованием потенциального
барьера для положительно заряженных частпц. Положительно
заряженная частица должна обладать достаточной кинетической
энергией для того, чтобы приблизиться к ядру на расстояние, на
котором преобладают ядерные силы. Если, однако, по другую сто-
рону барьера имеется область равных энергий, то, как мы ужо
знаем (см. т. I, § 145), существует определённая вероятность
прохождения сквозь барьер путём туннельного перехода. Поэто-
му вероятность захвата частицы, вообще говоря, зависит также
и от вероятности проникновения, т. е. от коэффициента прозрач-
ности барьера.
Равным образом и при распаде составного ядра, когда вы-
брасывается заряженная частица, ширина уровня, характери-
зующая вероятность данного распада, включает в качестве
множителя прозрачность барьера. С этими оговорками формула
Брейта—Вигнера применима и к случаю заряженных частиц;
S 2661
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ НЕЙТРОНОВ
451
в частности, следует ожидать появления резонанса, когда Е — Ег.
Как мы увидим далее (§§ 267 и 268), это ожидание оправдывается
на самом деле с особенной отчётливостью в случае захвата прото-
нов лёгкими ядрами. С меньшей отчётливостью наблюдаются
резонансные явления при реакциях а-частиц.
§ 266. Ядерные реакции нейтронов
Обратимся теперь к рассмотрению конкретных примеров ядер-
ных реакций. До настоящего време и исследовано свыше 1000
различных реакций п ежегодно появляется несколько сот
работ, в которых описываются либо повые реакции, либо с раз-
личных сторон изучаются ранее открытые.
Каждый из изотопов, возникающих при ядерных реакциях,
получается обычно в результате не одной, ио нескольких реак-
ций. Например, известно свыше 10 ядерных реакций, при которых
возникает Ы3, или Т3,—сверхтяжёлый радиоактивный изотоп во-
дорода тритий: D2(cZ. р) Н3, Li6 (п, а) Н3 и др. Поэтому ядерные
реакции можно классифицировать либо по элементам, рассматривая
реакции, ведущие к возникновению тех или иных изотопов, либо
по вызывающим реакции частицам: нейтронам, дейтеронам,
а-частицами и у-лучам (фоторазложение). Мы ограничимся! крат-
ким перечислением типов реакций по частицам с приведением
немногочисленных примеров.
Начнём с реакций нейтронов. Ядерные реакции, нейтронов
весьма многочисленны и разнообразны. Причиной этого является
то, что вследствие отсутствия потенциального барьера для ней-
тронов опп свободно проникают в любые ядра вплоть до самых
тяжёлых. Так как при этом каждый нейтрон приносит в ядро
энергию, равную его кинетической энергии плюс энергия связи,
равная 7—8 MeV, то возникающее при захвате составное ядро
оказывается сильно возбуждённым и «разряжается», испытывая
то или иное превращение. Известны многочисленные примеры
следующих типов реакций: (я, у),	(и, р),	(п, а),	(п, 2п).
Кроме перечисленных типов, имеется ещё один и притом наиболее
важный: деление ядра. Этому процессу ввиду его важности будет
посвящена отдельная глава (гл. XXIII). Сокращённое обозначение
для реакций деления под действием нейтронов: (/г, /).
Реакции (тг, у). Простейшим примером реакций (.ч, у) может
служить захват нейтрона ядром водорода с образованием дейтерия
Н1 (тг, у) D2.
Эффективное сечение этой реакции мало: ас --- 0,30 • 10~24 см2;
энергия её равна энергии связи дейтерона, т. е. 2,18 MeV. Сече-
ние захвата нейтрона дейтероном D2(n, у)Т3 ничтожно мало.
452
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. XX
что важно для осуществления так называемых ядерных цепных
реакций (см. гл. XXIII).
Некоторые ядра, наоборот, имеют очень большие сечения за-
хвата нейтрона и обнаруживают для медленных нейтронов резко
выраженные резонансы. Классическим примером таких ядер яв-
ляется ядро кадмия; ого сечение захвата <тс —2500 • 10-24; имеется
резонанс для нейтронов с энергией 0,18 eV, сс — 7800 • 10~24 см-
Реакции (п, р). В случае медленных нейтронов реакции этого
типа, вообще говоря, не осуществляются вследствие того, что
протону для выхода из составного ядра нужно иметь, кроме из-
бытка энергии, равного его энергии связи, добавочный запас
энергии для преодоления потенциального барьера. Среди лёгких
элементов имеется, однако, два важных исключения. Это—-реак-
ции 7N14(n, р) сС14 п 17С135 (и, />)ieS35. Обе реакции ведут к воз-
никновению ^’ -радиоактивных изотопов, что понятно, так как в обо-
их случаях при сохранении массового числа в стабильных изото-
пах N14 пС135 один протон заменяется нейтроном. В результате полу-
чается избыточное число нейтронов, которое компенсируется р~-
процессом, ведущим обратно к возникновению исходных ста-
бильных изотопов
<,Cl4-^N“ + p-, 16S== -»„С1« + |3-.
Сечение реакции N14(n, р) С44 равно 1,75- 10-24 см1, реакции
С135 (и, р} S35 равно 33 • 10~24 см1. Возникающие радиоактивные изо-
топы имеют следующие периоды полураспада: С14—5100 лот, S35—
87,1 дня. Оба изотопа имеют большое практическое значение, так как
они применяются в химии и биологии в качество «индикаторов».
При достаточно большой энергии нейтронов реакции (п, р)
более вероятны, и существует ряд примеров таких реакций.
Реакции (и, а), как и реакции (п, р), с медленными нейтро-
нами могут происходить только в лёгких ядрах, так как потенциаль-
ный барьер для вылета а-частицы в два раза выше, чем для прото-
на. Важным в практическом отношении примером реакции (и, а)
с медленными нейтронами является реакция бора, В10:
5В10 (/?, a)3Li7.
Эта реакция имеет большое сечение с — 400 • 10-24 см1 для нейтронов
с энергией 0,025 MeV. Вследствие большой величины Q (3,6 MeV)
реакция осуществляется также и с тепловыми нейтронами, при-
чём j-частпца испускается с энергией 2,5 MeV. Благодаря это-
му а-частица обнаруживается счётчиками пли ионизационными каме-
рами. По этой причине наполнение газообразным соединением
бора BF3 или покрывание стенок каморы бором применяется для
детектирования медленных нейтронов.
Реакции (п, 2п). При достаточно большой энергии бомбарди-
рующих нейтронов запас энергии, остающийся, у составного ядра
§ 26 7]	РЕАКЦИИ ПРОТОНОВ И ДЕЙТЕРОНОВ	453
после испарения одного нейтрона, иногда оказывается достаточ-
ным для испарения второго нейтрона. Реакция в таком случае
может завершиться испусканием двух нейтронов. Примеры таких
реакций многочисленны. Во всех случаях, разумеется, в резуль-
тате реакции получается изотоп ядра мишени с массой на единицу
меньшой: 4Во° (n, 2п) 4Ве8, 29Cu63(7z., 277)20CuG2, 491п115(тг, 2/г) 491п114.
Чтобы дать представление об энергии, необходимой для осуще-
ствления таких реакций: (порог реакции), укажем, что для реак-
ции Вс9 (/г, 2/г) Be8 порог равоп 1,8 MeV (возникающее ядро Be8
неустойчиво, см. ниже). Порог реакции Си03 (/г, 2тг) Си62 равен 12 MeV.
Эти реакции интересны том, что при них получается «размно-
жение» нейтронов: взамен одного поглощённого нейтрона возникает
два нейтрона.
§ 267. Реакции протонов и дейтеронов
Реакции протонов требуют большой энергии частиц, необ-
ходимой для преодоления сильного кулоновского отталкиватель-
ного поля ядра. В случаях, когда реакции происходят с лёгки-
ми ядрами, эта энергия может быть сильно снижена за счёт за-
хвата бомбардирующей частицы в результате туннельного
перехода.
Протоны могут вызывать реакции следующих типов: (р, у),
(Р, и), (р, а).
Реакции (р, у). Радиационный захват протона, подобный
радиационному захвату нейтрона, состоит в том, что протон захваты-
вается ядром-мншеныо, в результате чего образуется ядро с заря-
дом па единицу большим, а избыточная энергия отдаётся в виде
'-излучения. Пример:
1зА127(79, y)14Si28.
Эти реакции особенно интересны потому, что при них часто наблю-
даются резко выраженные резонансы. Эффективное сечение
захвата подчиняется формуле Брейта—Вигнера (265,6)
Из этой формулы следует, как и в случае захвата нейтронов, что,
когда сумма кинетической энергии протона (с поправкой на дви-
жение центра массы) и ого энергии связи в составном ядре точно
равна одному из уровней составного ядра, вероятность захвата
резко возрастает. Признаком этого возрастания вероятности
является резкое увеличение интенсивности у-лучей при соответ-
ствующей энергии протонов.
454
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. XX
Рассмотрим несколько детальнее приведённый пример реакции
А127. Высота потенциального барьера А1 для протонов равна 4,2 MeV,
между том первый максимум кривой эффективного сечения захва-
та протонов лежит при 0,225 MeV, т. е. значительно ниже потен-
циального барьера. За этим максимумом следует ещё 34 максиму-
ма, разделённых узкими промежутками и простирающихся вплоть
до энергии 1,393 MeV. Об остроте резонансов можно судить по
приведённой па рис. 343 кривой зависимости интенсивности
Рис. 343. Зависимость эффективного сечения захвата
протонов ядром А]27 от энергии протонов.
у-излучения от энергии протонов. Чтобы вычислить по энергиям
протонов положение уровней, необходимо всякий раз приводить
энергию протонов, соответствующую максимуму, к системе коор-
динат центра инерции. Например, первый максимум, как сказано,
наблюдается при энергии протонов 0,225 MeV в лабораторной
системе координат. Отсюда кинетическая энергия протона отпо-
27
сительно ядра А127 равна 0,225 ^ = 0,217 MeV, а соответствую-
щий уровень энергии лежит на высоте (7?0 + 0,22) MeV, где Е{.—
энергия связи протона в ядре Si28. Эта величина Ей обычно опре-
деляется по разностям масс. Например, в интересующем нас
случае получается
Eq = (13А127 + JP) - 14Si28 = 11,69 MeV,
§ 267]
РЕАКЦИИ ПРОТОНОВ И ДЕЙТЕРОНОВ
455
так что высота уровня есть
11,69 + 0,217 = 11,907 MeV.
Остальные уровни определяются аналогичным образом.
Другим интересным примером реакций (р, у) является захват
протонов ядром Li7. Реакция Li7 р ведёт к образованию состав-
ного ядра Be8, которое в нормальном состоянии находится на
границе устойчивости по отношению к распаду на две а-частицы, что
сразу видно из сравнения ого массы с массой двух а-частиц:
Бе8 = 8,00785 Ле4 = 4,00390
2Не4 = 8,00780 Не4 = 4,00390
±т = + 0,00005 2Не4 8,00780
Понятно поэтому, что уже при любой энергии возбуждения ядро
Бе8 с энергетической точки зрения должно испытать немедленный
распад на две а-частицы. Однако при энергии протонов 0,44 MeV
наблюдается радиационный захват протона с резко выраженным
узким максимумом. Это указывает на то, что при энергии протона
0,44 •	= 0,39 MeV в системе центра инерции протон захватывается
на уровень Бе8, на котором это ядро пребывает длительное вре-
мя. Энергия возбуждения Во8 в этом состоянии 17,2 MeV, и так
как распада не происходит, то вся эта энергия отдаётся в виде
у-фотона с энергией Av = 17,2 MeV. Причина, вследствие которой
при указанных условиях ядро, имея огромный избыток энергии,
не распадается, заключается в особых правилах отбора, которые
регулируют вероятности переходов в ядро, аналогично тому, как
это имеет место в электронной оболочке. Правило отбора, запре-
щающее переход Бе8 из состояния с энергией 17,2 MeV в нормаль-
ное, связано со свойствами чётности пли нечётности волновых функ-
ций в этих состояниях.
Практическое значение реакции Li7(p, у) Бе8 состоит в том,
что опа является источником у-фотонов очень большой энергии,
в несколько раз превосходящей энергию наиболее жёстких у-лучей
естественно-радиоактивных веществ. До изобретения бетатрона эта
реакция являлась единственным источником у-лучей, применяв-
шихся для исследования фоторасщепления ядер.
Реакции (р, п). Эти реакции, очевидно, состоят в том, что про-
тон и нейтрон меняются местами; протон «застревает» в ядре, а ней-
трон выбрасывается. Возникающее ядро будет, таким образом,
изобаром исходного с зарядом па единицу большим. Два обстоя-
тельства существенны для хода этих реакций. Во-первых, масса
нейтрона больше массы протона, во-вторых, возникающий изобар
стабильного ядра имеет избыточное против равновесного число
протонов и отличается от стабильного по заряду только на одну
456	ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ	[гл. XX
единицу. Эти факторы влияют па ход реакции и свойства её про-
дуктов следующим образом: а) Избыток массы нейтрона должен
компенсироваться запасом кинетической энергии протона, кото-
рый но может быть меньше определённой величины; это означает,
что реакция должна иметь определённый порог в виде минималь-
ной необходимой для каждого случая энергии протонов. Ь) Возни-
кающий изобар должен быть радиоактивным, а именно ^-радио-
активным. Избыточное число протонов при этом компенсируется
превращением одного протона в нейтрон с испусканием пози-
трона, в результате чего вновь восстанавливается исходное ядро.
Как пример рассмотрим в добавление к реакции Li7 (р, у) Be8
реакцию Li7 (р, /г) Во7. Энергия этой реакции отрицательна и
равна — 1,63 MeV. Поэтому порог реакции (т. о. минимальная
3
кинетическая энергия протонов) равен 1,63 • у ~ 1,87 MeV. При
2,22 MeV сечепне обнаруживает широкий максимум, свидетель-
ствующий о существовании уровня энергии промежуточного ядра,
т. е. Be8, лежащего па высоте 19,1 MeV. Возникающее ядро Be7,
как и следовало ожидать, радиоактивно и имеет период полурас-
пада 53 дня *).
Известно довольно большое число примеров реакций (р, п),
которые все характеризуются описанными чертами.
Реакции (р, а). Исторически интересным примером этих реак-
ций служит многократно упоминавшаяся реакция Li7 (р, а) Не4 —
первая реакция, осуществлённая с искусственно ускоренными
протонами. Энергия реакции 17,25 MeV. При 3 MeV выход об-
наруживает резонанс, соответствующий уровню Be8 на высо-
те 19,8 MeV.
Собирая приведённые данные о резонансах при реакции Li'
с протонами, мы можем составить представление об уровнях энер-
гии ядра Во8. 11а рис. 344а нанесены уровни, установленные
с помощью рассмотренных реакций. Справа приведены кривые выхо-
дов реакций, по максимумам которых установлены соответствующие
уровни. Отметим, что некоторые пз этих уровней лежат выше по-
тенциального барьера для протона, который у Be8 составляет
1,9 MeV. Тот факт, что у составного ядра возможны резко выра-
женные уровни при энергиях, превышающих его энергию дис-
социации, пе должен нас удивлять после сделанных ранее
разъяснений относительно свойств составного ядра.
Другим интересным примером реакции (р, а) с резко выра-
женными резонансами может служить реакция 9Р19 (р, а) 8О1С.
*) Следует заметить, что компенсация избыточного числа протонов
в ядре Вс7 происходит нс путём э+-радиоактивпости, но путём дающего
тот же конечный результат процесса захвата собственного ^-электрона с
превращением одного протона в нейтрон.
§ 267]
РЕАКЦИИ ПРОТОНОВ И ДЕЙТЕРОНОВ
457
Вев
Рис. 344а. Уровни энергии Be8.
Приведена только часть уров-
ней, устанавливаемая из реак-
ций с Li7. Остальные уровни
находятся из других реакций.
правильность истолкования..
Полная схема реакции такова:
9рэ + др ioNc2o 8О16 + Не4.
Эта реакция обнаруживает сложную картину, позволяющую уста-
новить некоторые уровни энергии
как ядра O1G, так и ядра Ne20.
а-частицы испускаются пятью груп-
пами: группа а0 с максимальной
энергией, равной 8,12 MeV, и четы-
ре группы малой энергии, а1? а2, а3,
ак , причём первые три группы а-ча-
стиц (ах — а3) сопровождаются испу-
сканием у-лучей, а испускание груп-
пы сопровождается образовани-
ем пар электрон — позитрон. Истол-
кование этих результатов таково:
при испускании группы а0 вся энер-
гия возбуждения промежуточного
ядра No20 уносится а-частпцей, и
ядро O1(i остаётся в нормальном'со-
стоянии; при испускании групп ма-
лой энергии а-р а2. а3, а-частицы уно-
сят только часть энергии, остальная
энергия остаётся в возбуждённом
ядре О10*.
Возвращаясь в нормальное со-
стояние, это ядро отдаёт свой из-
быток энергии в виде у-излучоиия:
No20 -> О16* + Не4
'О16 + у
В таблице XLIX сопоставлены энер-
гии а-частиц с энергиями испускае-
мых у-фотопов. Совпадение цифр
3-го и 4-го столбцов подтверждает
Т я б л и и a XLIX
Грунта а-частиц	Энергия а-частиц	Разность энергии а0 — ап	Энергия (-фотона
“о	8,12	—	—
«1 !	1,97	6,13	6,14
а2	1,21	6.91	6,91
а.,	1,01	7,11	7,11
458
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. XX
Группа а„ с энергией 2,06 MeV, как уже сказано, не сопрово-
ждается испусканием у-лучей. Энергия возбуждения ядра О16
в этом случае равна 8,12 — 2,06 = 6,06 MeV, но переход из этого со-
стояния в нормальное запрещён правилами отбора, основанными
на свойствах симметрии начального и конечного состояний. Воз-
буждённое ядро О16*, не имея возможности отдать энергию пу-
тём излучения, затрачивает её на создание пары частиц электрон —
позитрон (см. §§ 281—283). Так как на образование пары требуется
затрата энергии в 1 MeV, то остающиеся 5,05 MeV должны про-
явиться в виде кинетической энергии электрона и позитрона, что
и наблюдается в действительности. Схема уровней О16, постро-
онная на основе этой реакции,
приведена на рис. 344b.
При возбуждении реакции
монохрома т в чо с к ими протонами
разных энергии обнаруживает-
ся 18 резко выраженных мак-
симумов испускания у-лучей,
свидетельствующих о том, что
при строго определённых энер-
гиях протонов онп захватывают-
ся па резонансные уровни яд-
ра Ne20. Таким образом, эта ре-
акция позволяет установить так-
же ряд верхних уровней Ne20.
Реакции дейтеронов. Много-
численные реакции дейтеронов
представляют большой интерес
I’uc. 344b. Уровни энергии О16 из
реакции F19 (/?, а) О16.
с теоретической и практической точек зрения. При изучении
этих реакций на первых порах возникло противоречие с тео-
рией составного ядра. Именно, оказалось, что порог реакций
(d, р) обычно ниже порога (d, п), что непонятно с точки зре-
ния этой теории. Эта кажущаяся аномалия была объясне-
на Оппенгеймером и Филлипсом тем, что при малых энер-
гиях дейтерон может вызывать ядерпую реакцию без пред-
варительного захвата дейтерона ядром-мишеныо. Причина этого —
в сильной поляризации дейтерона кулоновским полом мишени.
Вследствие электростатического отталкивания протона дейтерон
приближается к ядру своим «нейтронным концом», тогда как
протон отталкивается возможно дальше. II так как расстояние
между протоном ц нейтроном в дейтероне вообще велико, то
нейтрон может оказаться на поверхности ядра, в то время как
протон ещё находится в продолах потенциального барьера.
.В результате нейтрон будет захвачен в ядро благодаря дей-
ствию ядерных сил, а протон — оттолкнут электростатическим
полем ядра.
§ 267]	РЕАКЦИИ ПРОТОНОВ И ДЕЙТЕРОНОВ	459
Интересным примером реакций дейтеронов является реакция
с 29Сцсз. В зависимости от энергии дейтеронов эта реакция проте-
кает разнообразными способами:
f	етС^ + хН1	(1)
I	3„Zn«‘+„ni	(2)
1D2H~2sCue3—» aoZn65—>	{	2sNicl+2He4	(3)
|	30Zn'3+2X	(4)
{	29Cu«2+iH’	(5)
Потенциальный барьер Си для дейтеронов имеет высоту около
7 MeV. Между тем реакция (1) начинается уже при энергии дейте-
ронов в 2—3 MeV и имеет при этой энергии большее сечение, не-
жели реакция (2), что было бы непонятно, если бы первым этапом
реакции служил захват дейтерона ядром CuG3. Реакция (с/, а) (3)
начинается при тех же энергиях, что и реакция (с/, р), хотя
потенциальный барьер для вылета а-частпцы вдвое выше,
чем для протона. Причина этого — в том, что дефект массы
протона почти вдвое больше дефекта массы а-частпцы. Реакция
(с/, 2и) имеет большое сечение при энергиях дейтеропов
13-16 MeV.
Конечно, механизм «частичного захвата» дейтерона не исклю-
чает обычного хода реакций, при котором дейтерон полностью
захватывается ядром. В частности, при малых Z различие в вы-
ходах реакций при том и другом механизме оказывается настоль-
ко несущественным, что нельзя решить вопроса о том, каким пу-
тём идёт реакция. Преимущество процесса Оппенгеймера — Фил-
липса проявляется при достаточно высоких значениях Z.
В наиболее отчётливой форме этот процесс установлен как
раз на одном пз самых тяжёлых ядер—-именно на ядре висмута,
s3Bi209. Реакции (d, р) и (с/, п) в случае висмута, имеющего един-
ственный стабильный изотоп, таковы:
s313i209 -И iD2 —> 83Bi210 -НН1,
83Bi209-р TD2 —> 8Дэо210 + 0/?1-
Возникающие ядра радиоактивны и имеют длинные периоды:
Bi210 тождествен с одним из членов радиоактивного семейства
урана -радия—с RaE н {^-радиоактивен с периодом пять дней,
а Ро210 (RaF) ость также член того же радиоактивного семей-
ства и а-радпоактивеп с периодом 138 дней. Поэтому, изучая
радиоактивность продуктов реакции, можно легко опреде-
лить относительную вероятность процессов (d, р) и (d, п). Ока-
залось, что при энергии дейтеронов в 5 MeV вероятность процесса
(d, р) в 10 раз больше вероятности процесса (cZ, п).
Что касается обычного хода реакции через образование состав-
ного ядра, то следует отметить, что в случае дейтеронов процесс
460	ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ	[гл. XX
(d, *{), т. е. радиационный захват, крайне маловероятен. Причина
этого состоит в том, что дейтерон имеет огромный дефект массы,
равный в энергетических единицах 13,71 MeV. Ввиду этого за-
хват дейтерона влечёт за собой столь сильное возбуждение ядра,
что последующий распад ядра с выбрасыванием частиц неизме-
римо вероятнее отдачи энергии путём излучения.
В практическом отношении реакции дейтеронов особенно важ-
ны, так как осуществление ядерных превращений с помощью
дейтеронов оказывается наиболее целесообразным, в частности
потому, что при одной и той же скорости они имеют в два раза
большую энергию, нежели протоны.
§ 268. Реакции альфа-частиц
Реакции а-частиц принадлежат к типам (а, р) и (а, п). Первые
ядерные реакции осуществлялись именно с а-частицами, источ-
никами которых служили естественно-радиоактивные вещества,
дающие обычно а-частицы малой энергии. Поэтому реакции
наблюдались только с лёгкими элементами, и выходы были
очень малы. В качестве примера, кроме уже упоминавшейся исто-
рической реакции 7N44(a, р) 8О17, можно привести реакцию
13А127 4- 2Нс4 15Р31	14SB° + JI1.
Энергия реакции равна Q-- 2,26 MeV, выход — порядка один про-
тон па 107 a-частиц. При энергиях a-частиц от 3,92 до 6,61 MeV
выход обнаруживает шесть отчётливых резонансных максимумов,
позволяющих определить положения уровней энергии промежу-
точного ядра i5P31.
Из реакций типа (а, /г) большой интерес представляет реак-
ция с Во9
4Ве9 + 2Нс4->ьС13->6С12 + 0/г1.
Энергия этой реакции равна 5,75 MeV; при различных энергиях
a-частпц наблюдается ряд резонансов. Нейтроны испускаются
несколькими однородными группами: при максимальной энергии
нейтронов ядро С12 остаётся в нормальном состоянии; при других
энергиях оно оказывается в возбуждённых состояниях.
Реакция Be9 (a, п) С12 интересна, во-первых, с исторической
точки зрения, так как именно при её изучении и были открыты
нейтроны. Кроме того, она сохранила и практическое значение;
она используется в самом простом источнике нейтронов, пред-
ставляющем собой трубочку с порошком окиси бериллия и
радиоактивным веществом (например, газообразным радоном).
В 1934 г. Ирэн Кюри-Жолио и Фредерик Жолио-Кюри открыли
три реакции типа (а, /г), замечательные том, что в результате
испускания нейтронов возникают ядра, которые испытывают мед
§ 2 68]	РЕАКЦИИ АЛЬФА-ЧАСТИЦ	461
ленный самопроизвольный распад с испусканием позитронов.
Из этого следует, что продукты реакции являются радиоактив-
ными. Действительно, изучение спадания их активности показало,
что число самопроизвольно распадающихся ядер убывает со време-
нем по экспоненциальному закону
N=.Noe~u,
т. е. так же, как и в случае естественно-радиоактивных веществ.
Искусственно-радиоактивные вещества, возникающие при реакциях
типа (а, п), как сказано, обнаруживают [^-радиоактивность.
Супруги Жолио-Кюри наблюдали возникновение искусственно-
радиоактивных ядер при бомбардировке а-частицами бора, алю-
миния и магния. Можно было предположить, что в этих трёх
случаях происходят следующие ядерные реакции:
1.	5В10 4- 2Не4—s>-N14—>7N13 + 0nl (мгновенная),
7N13 —> сС13 -4- р+ (медленная);
2.	;3А127 + 2Не4 —15Р31 —> 15Р3° 4- опг (мгновенная),
15Р30 —> 14Si30(медленная);
3.	12Mg24 4- 2Ые4—> 14Si28—> 14Si27-|-д/г1 (мгновенная),
MSi27 —> 13А127 4- В+ (медленная).
Схема реакции (1) вскоре была подтверждена другим путём.
Оказалось, что при бомбардировке ядер углерода 6С12 протонами
также образуется радиоактивный азот путём захвата протона:
4.	6С12 А iH1 7N13 A Av; ,N13 6CJ3 + ?+.
Периоды полураспада получающихся трёх новых радиоак-
тивных элементов—радиоазота, радиофосфора и радиокремния—
оказались по измерениям Жолио-Кюри равными 14 мин.,
2,5 мин., 3,25 мин. Так как они достаточно длинны, то Жолио-Кюри
имели возможность подтвердить правильность предполагаемого
хода реакций весьма остроумным химическим путём. Способ этот
-основан на следующих соображениях. Число возникающих ато-
мов пскусствеппо-радиоактпвпого элемента настолько мало, что
непосредственное химическое обнаружение его невозможно. Мож-
но, однако, подмешать к нему достаточное количество соответству-
ющего стабильного изотопа и подвергнуть последний ряду хими-
ческих реакций. Если подмешанное в весомых количествах веще-
ство есть действительно изотоп получающегося искусственно-ра-
диоактивного элемента, то оба они будут вести себя при химиче-
ских реакциях одинаковым образом. Например, если стабильное
вещество выпадает в виде осадка, то радиоактивное вещество тоже
должно выпадать вместе с ним. Установить, что это происходит
на самом деле, можно, наблюдая за тем, где концентрируется
462
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гя. XX
активность: если происходит выпадение осадка, то и активность
должна перейти к осадку.
В случае реакции с бором (реакция 1) предполагалось, что ра-
диоактивные атомы должны быть атомами азота N13. Для провер-
ки этого Жолио-Кюри поступали следующим образом. Твёрдый
нитрид бора BN облучался а-частицамп; после этого он нагре-
вался с едким натрием, причём азот, входящий в состав BN,
переходил в газообразный аммиак NH3. Вместе со стабильным азо-
том должен был перейти в газообразный аммиак также и полу-
чающийся при облучении бора радиоактивный элемент, если он
является радиоазотом. Оказалось, что и на самом деле твёрдый
бор, остающийся после обработки BN едким натрием, теряет свою
активность, которая целиком переходит к аммиаку. В этом
можно было убедиться, сконденсировав аммиак при помощи
жидкого воздуха. Если теперь в этот жидкий аммиак опустить
бумагу, пропитанную 1IG1, то активность переходит на бумагу
вследствие образования NH4C1. Коротко говоря, новый радиоак-
тивный элемент химически реагирует, как азот, откуда видно,
что он действительно является радиоазотом.
§ 269. Ядерные реакции при сверхвысоких энергиях
Изобретение п пуск в ход фазотрона позволило получать по-
токи частиц с энергиями, измеряемыми сотнями миллионов элек-
трон-вольт. В частности, па 184-дюймовом фазотроне сначала
были получены поИтропы с энергией 100 MeV, а в последнее время
даже до 350 MeV. При таких энергиях бомбардирующих частиц
ядерные реакции приобретают своеобразный характер, а модель
составного ядра оказывается недостаточной для объяснения их
механизма.
Действительно, вычислим длину волны дс-Брогля пли, точнее,
X г
для быстрого нейтрона
X  h
При вычислении нужно номппть, что для ядерной реакции важ-
на энергия оmiioaiтельного движения бомбардирующей частицы,
т. о. энергия в системе центра инерции.
Если скорость нейтрона в лабораторной системе координат рав-
на у, а скорость ядра равна нулю и если пренебречь различием
масс нейтрона и протона, то *)
Рц. и. — Рла.а == ~2	^^Ё'лаб »
*) В случае тяжёлой частицы, каковой является нейтрон, при 100 MeV
ещё можно пользоваться не релятивистской формулой для импульса. Реля-
тивистский импульс лишь очень мало отличается при 100 MeV от У2МЕ.
§ 269]
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ ПРИ СВЕРХВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
463
так что
2 Л
i	4 Pit	2 11 . 10~27	—1/2
-- =	1и ...........	9,0 • 10~13£
2тс /2МЯлаб |/ЗЛ • 10-^ • £лаб • 1,6 . 10-«	лаб
(Длаб в MeV). При ^даб — 100MeV получаем
=0,9 • 10-13 см.
Мы видим, что для нейтрона с энергией 100 MeV меньше ради-
уса действия ядерных сил. Из этого следует, что при энергиях ней-
трона порядка 100 MeV можно рассматривать взаимодействие
нейтрона с отдельными нуклеонамп ядра. Такой нейтрон уже мо-
жет перемещаться в ядре, отдавая ему только часть своей энер-
гии: ядро для него обладает некоторой степенью прозрачности
в отличие от нейтронов с энергиями < 10 MeV, для которых ядро
является «абсолютно чёрным». В самом дело, вычисление показы-
вает*), что средняя длина свободного пробега нейтрона с энергией
100 MeV в ядре с Л —240 равна приблизительно 4 • 10~13 см, т. о.
сравнима с радиусом этого ядра (9 • 10-13 c.w); импульс, переда-
ваемый сверхбыстрым нейтроном, при соударении с нуклео-
h
ном в силу соотношении неопределенности — , а передаваемая
г о
р- h2
энергия порядка	Ю MeV и не зависит от энергии
нейтрона.
Из всех этих соображений следует, что взаимодействие сверх-
быстрых частиц с ядрами должно существенно отличаться от рас-
смотренных ранее в этой главе взаимодействий: импульс и энер-
гия могут быть переданы отдельному нуклеону или нескольким
нуклоолам ядра, причём пуклеоны получат энергию, превосходя-
щую их энергию связи, и будут поэтому выбиты из ядра, частица
же пройдёт сквозь ядро. Может случиться также, что частица
застрянет в ядре и отдаст ему всю свою энергию; ядро при этом
«нагреется» до столь высокой температуры, что придёт в состоя-
ние «кипения», выбрасывая большое число своих обломков. На-
конец, частица с энергией порядка 1000 MeV (такие частицы встре-
чаются в космических лучах) может полностью взорвать ядро,
т. е. вызвать распад ядра на все его нуклоопы.
После этих общих соображений рассмотрим некоторые инте-
ресные явления, установленные экспериментально в опытах со
сверхбыстрыми частицами.
*) См. А. Ахпезер и И. По мер анчук, Некоторые вопросы тео-
рии ядра, стр. 151, Гостехиздат, 1951.
464
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
|гл. XX
Вакуумная камера
нейтронов
Рис. 345. Схема опыта, обна-
руживающего разрыв дей-
терона при сверхвысоких
энергиях.
Разрыв дейтерона. При бомбардировке любых мишеней
дейтеронами с энергией до 200 MeV было обнаружено возникно-
вение интенсивного пучка нейтронов с энергией около 100 MeV,
движущихся внутри узкого конуса, так что интенсивность пучка
падает наполовину в пределах 5 - 6° относительно оси симметрии.
Это явление может быть объяснено двояким путём: а) нейтрон,
расположенный у края ядра, может быть выбит пролетающим
на близком расстоянии дейтероном; в этом случае, однако, выби-
тый нейтрон при наиболее благоприятных условиях получит энер-
гию порядка 10 MeV, т. е. значительно меньше наблюдавшейся
максимальной энергии; Ь) дейтерон может быть разорван действием
электростатического поля или ядерных
сил. Поясним это несколько детальнее.
Прежде всего для понимания про-
цесса необходимо представить себе
схему эксперимента (рис. 345). Мишень
была расположена внутри фазотрона
так, чтобы в неё попадали дейтероны,
движущиеся по последней орбите,
т. е. набравшие максимальную энер-
гию (следует иметь в виду, что в фа-
зотроне в отличие от циклотрона име-
ется только один дуант, показанный
на рисунке). Если нейтроны возни-
кают в результате разрыва дейтерона,
то они будут продолжать свой путь
по прямой, а протоны будут откло-
нены в сторону сильным магнитным
полем фазотрона л в пучок не попадут.
Поэтому, независимо от того, объясняется ли разрыв действием
электростатического отталкивания протона пли действием ядор-
ных сил, мы в дальнейших рассуждениях будем говорить о вза-
имодействии протона, хотя в случае разрыва ядерными силами
и протон и нейтрон дейтерона испытывают одинаковое взаимо-
действие с нуклеонами ядра.
Суть объяснения состоит в следующем. Дейтерон, как мы зна-
ем, представляет собою очень слабо связанное ядро (энергия свя-
зи 2,18 MeV). Разрыв дейтерона при участии электростатических
сил, как мы видели при рассмотрении ядерных реакций дей-
теронов, есть реально наблюдаемое явление. Отлпчие интересую-
щего нас здесь процесса от процесса Оппенгеймера — Филлипса
состоит в том, что в последнем случае нейтрон захватывается ядром,
тогда как при очень большой энергии дейтеронов он продолжает
свой путь. Однако вычисленное на основании электроста-
тического механизма эффективное сечение и угловое распределе-
ние нейтронов оказались в противоречии с экспериментальными
§ 269] ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ ПРИ СВЕРХВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ	465
данными. Более вероятным является разрыв под действием толь-
ко ядерных сил. Когда дейтерон с энергией 190 — 200 MeV про-
ходит через край ядра, то время его соударения с нуклеоном ядра
мало по сравнению с периодом относительного движения нейтрона
и протона в самом дейтероне, а импульс, передаваемый протону,
будет велик по сравнению с импульсом относительного движе-
ния. Протон поэтому будет оторван от нейтрона, причём послед-
ний продолжит свой путь с импульсом, который он имел в момент
столкновения.
Простые вычисления, основанные па законе сохранения коли-
чества движения, показывают, что в предельном случае нейтрон
будет продолжать движение с энергией, равной половине энергии
дейтерона. Но так как необходимо, кроме того, принимать во вни-
мание энергию нейтрона в его движении относительно центра масс
дейтерона, то получается некоторое распределение энергии
с резко выраженным максимумом.
Рассчитанные на основании этого представления эффектив-
ное сечение, угловое распределение и распределение по энер-
гиям находятся в хорошем согласии с экспериментальными
данными *).
Возникновение нейтронов при прохождении протонов сверх-
высоких энергий. Эти опыты уже упоминались на стр. 379 в связи
с обсуждением обменного характера ядерных взаимодействий.
В последних опытах (1950 г.) таким путём под действием прото-
нов с энергией 350 MeV были получены нейтроны, движущиеся
в прямом направлении с энергией, доходящей до 350 MeV, причём
распределение энергии имеет широкий максимум у 270 MeV.
Как уже указывалось, объяснить это выбиванием нейтронов из ядра
невозможно, так как энергия, получаемая нуклеоном при соуда-
рении с быстрым протоном, 10 MeV, независимо от энергии по-
следнего. Наиболее правдоподобное объяснение состоит в «пере-
зарядке» за счёт обменных взаимодействий. Протон пучка при этом
превращается в нейтрон, а ядерный нейтрон превращается в про-
тон. В наиболее благоприятном случае вновь образовавшийся
нейтрон сохранит энергию, которую он имел, двигаясь как про-
тон. Возможная разность энергий в этом наиболее благоприят-
ном случае обусловлена различием энергий первоначального
ядра и ядра, возникшего в результате превращения одного из его
нейтронов в протон. В менее благоприятных случаях часть энер-
гии будет потеряна в различных процессах взаимодействия
при прохождении через ядро, вследствие чего возникшие прото-
ны будут обладать целым спектром энергий вплоть до ма-
ксимальной.
*) Обсуждение этих экспериментов см. в статье II. А Власова, Успе-
хи физических наук, т. XLIII, стр. 220 и след., 1950.
466	ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ	[гл. XX
Раскалывание ядра. Особенности ядерных реакций при сверх-
высоких энергиях возбуждающих частиц были указаны в начале
этого параграфа. Эти реакции занимают промежуточное положе-
ние между обычными ядерными реакциями и делением ядра.
В обычных ядерных реакциях после образования составного ядра
либо испускаются у-лучи, либо выбрасывается одна, а при более
высоких энергиях —две частицы. Ядро-продукт при этом является
либо изотопом ядра-мишени (в случае захвата нейтрона), либо
отстоит от него на одно-два места в периодической системе. При
делении ядро разламывается на два или три обломка сравнимой
Рис. 346. Звезда в фотоэмульсии под действием быстрого нейтрона. Виден
след выброшенного ядра Li3 и распад последнего на две а-частицы.
массы. Реакции же под действием частиц с энергиями порядка
100 MeV и выше состоят в расщеплении ядра-мишени на множество
обломков самой разнообразной массы. Точная идентификация
всех продуктов такого глубокого расщепления или раскалывания
ядра в большинстве случаев затруднительна. Для обозначения
этих реакций применяется сокращённая запись, в которой ука-
зывается число отщеплённых частиц без уточнения отдельных ядер,
в виде которых эти частицы могут отщепляться, например:
33As75((f, Эр, 12/г) 23 V*2.
Интересными примерами могут служить процессы раскалывания
ядра Си, при которых обнаружены радиоактивные продукты, рае-
§ 270]
ФОТОРАСЩЕПЛЕНИЕ ЯДЕР
467
предолённые от 15Р32 до S0Zn63. Ещё дальше идёт процесс рассыпа-
ния ядра U238, происходящий наряду с делением при обстреле
урана а-частицами с энергией 380 MeV. В результате обоих про-
цессов в этом случае получается множество обломков, непрерыв-
но распределённых вплоть до Z = 25(Mn).
Раскалывание или взрывы ядер зафиксированы в ряде случаев
с помощью камеры Вильсона или по методу фотопластинок. Пути
выбрасываемых частиц образуют при этом так называемую «звезду».
Интересный пример звезды в фотоэмульсии приведён на рис. 346.
Звезда вызвана быстрым нейтроном, путь которого не видон.
Обращает на себя внимание толстый трэк, направленный влево
вниз. Он принадлежит выброшенному в качестве одного из облом-
ков ядру Li8, которое превращается с испусканием ^--электрона
в Be8, а последнее немедленно распадается на две а-частицы.
§ 270. Фоторасщепление ядер
у-лучи достаточной жёсткости вызывают своеобразные ядер-
ные «фотохимические реакции». При энергиях у-фотонов до
20 MeV процесс идёт по схеме (у, п), т. е. представляет собою выбра-
сывание нейтрона в результате поглощения у-фотона. Этот процесс
хорошо укладывается в схему теории составного ядра: поглоще-
ние у-фотона «нагревает» ядро, в результате чего выбрасывается
один из нуклеонов, так как испускание у-лучей ядром маловеро-
ятно. Тот факт, что при не слишком высоких энергиях наблюдается
только освобождение нейтронов, очевидно, связан с наличием
потенциального барьера для освобождения протона.
Простейшая из реакций (у, п) есть фоторасщепление дейтерона
D2(y, n)HL Так как энергия связи дейтерона составляет всего
2,18 MeV, то реакцию оказалось возможным осуществить,
с у-лучами естественно-радиоактивного вещества — радиотория
(Ду = 2,6 MeV). В течение некоторого времени эта реакция остава-
лась единствонпым примером реакций (у, ii) по той причине, что
не было известно источников у-лучей с достаточно большой энер-
гией фотона, так как эта энергия должна быть во всяком случае
больше энергии связи нуклеона в ядре, т. е. больше 7 —8 MeV.
Это затруднение было затем преодолено применением у-лу-
чей, освобождаемых в рассмотренной ранее реакции Li7 (р, у) Ве&
(см. стр. 455). Энергия фотонов, освобождаемых при этой реакции,
как мы знаем, равна 17,2 MeV, вследствие чего оказалось возмож-
ным найти ещё ряд реакций (у, п). Таковы, например, реакции
О1 (у, п) О15, Mg24 (у, /г) Mg23.
Эти реакции можно было наблюдать, а продукты их идентифи-
цировать только потому, что продукты реакции являются радио-
468
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
[гл. XX
активными и периоды их были найдены ранее. Непосредствен-
ное же наблюдение освобождаемых нейтронов сильно затрудняется
«фоном» у-лучей.
После пуска бетатрона возможности изучения процессов
фоторасщепления сильно расширились. Уже первый бетатрон
на 20 MeV позволил открыть ряд новых реакций (у, тг) и
установить пороги отщепления нейтрона. Порог, т. е. минималь-
ная энергия, необходимая для осуществления процесса, для
элементов от углерода до серебра, оказался лежащим в пре-
делах 9,5 —19,5 MeV.
Использование бетатрона на 100 MeV значительно рас-
ширило возможности эксперимента. Фотоны с такой энергией
Рис. 347. Многократное расщепление.
могут освобождать как протоны, так и нейтроны практически
с одинаковой вероятностью. Остающееся ядро, кроме того, будет
«нагрето» до такой высокой температуры, что открывается возмож-
ность испарения ещё нескольких частиц. Заранее можно было ожи-
дать, что при энергии возбуждения в 100 MeV будут наблюдаться
реакции с освобождением от 6 до 8 частиц.
Для изучения многократных расщеплений пользуются каме-
рой Вильсона, помещённой в магнитное поло, а также методом тол-
стослойных фотопластинок. В том и другом случаях можно наблю-
дать направление вылета частиц и определять их относительные
энергии. Однако эти методы ие позволяют регистрировать вылет
нейтронов, так что картина получается неполной. Другой,
в некоторых отношениях более удобный, метод состоит в изучении
§ 270]	ФОТОРАСЩЕПЛЕНИЕ ЯДЕР	469
искусственной радиоактивности, возникающей при облучении
образца рентгеновскими лучами с энергией ~ 100 MeV.
На рис. 347 приведён пример многократного расщепления,
наблюдённого в камере Вильсона. Частицы были отождествлены
следующим образом: 1 — а-частица с пробегом 3 см и энергией
4,5 MeV; 2 и 3— протоны; 4 — вероятно, ядро отдачи. Так как при-
рода ядра, испытавшего расщепление, неизвестна, то относительно
ядра отдачи можно высказать только предположение, что если
расщеплению подверглось ядро азота (это вероятнее всего), то
ядро отдачи должно быть Li6 или Li7.
ГЛАВА XXI
РАДИОАКТИВНОСТЬ
А. ЗАКОНЫ РАДИОАКТИВНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
§ 271. Общая характеристика радиоактивных процессов
Открытие радиоактивности урана, сделанное в 1896 г. Бек-
керелем, является одним из важнейших событий в истории атом-
ной физики. Последовавшее затем в 1898 г. открытие полония
и радия и изучение их радиоактивности Марией и Пьером Кюри
послужили началом длинной цепи исследований «спонтанных» *)
процессов ядерных преобразований. Хотя открытие атомного
ядра было сделано 15 лет спустя, независимость радиоактивных
процессов от таких изменений внешних физических и химиче-
ских условий, которые приводят к перестройке электронной
оболочки, указывала на то, что эти процессы разыгрываются
в самых глубоких частях атома.
Радиоактивные вещества обнаруживают ряд своеобразных
действий. Они вызывают ионизацию газов, почернение фотогра-
фической эмульсии, свечение некоторых флуоресцирующих ве-
ществ, наконец, они освобождают энергию, так что радиоактивный
препарат всегда нагрет до температуры выше окружающей
среды. Носителями всех этих действий, как известно, являются
лучи, испускаемые радиоактивными веществами, а именно а-, [3-
и у-лучи. Все эти три вида излучений различаются по своей при-
роде и по своей проникающей способности.
1.	а-лучи характеризуются малой проникающей способностью
и сильным ионизующим (а также фотографическим) действием.
2.	[3-лучп обладают большей проникающей способностью
и меньшим ионизующим действием.
3.	у-лучп обладают наивысшей проникающей способностью
и наименьшим ионизующим действием.
Объяснение своеобразных явлений, обнаруживаемых радио-
активными веществами, было дано в 1900 г. Резерфордом и Содди,
*) О смысле слова «спонтанность» см. стр. 314 и 474.
§2 71] ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАДИОАКТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ 471
создавшими теорию радиоактивного распада. Согласно этой тео-
рии все своеобразные явления радиоактивности обусловлены тем,
что ядра *) радиоактивных веществ испытывают «спонтанные»
превращения в другие ядра. Отличие радиоактивных процессов
от рассмотренных в предыдущей главе ядерных реакций состоит
в том, что радиоактивные превращения не требуют внешнего воз-
буждающего агента и происходят, вообще говоря, замедленно,
а иногда характеризуются огромными периодами. Правда, раз-
нообразие этих периодов очень велико, и наряду с периодами,
измеряемыми миллиардами лет, встречаются периоды в мил-
лионные доли секунды. Однако и эти последние всё ещё очень
велики по сравнению с величинами т, характеризующими вре-
мена жизни промежуточных составных ядер при ядерных ре-
акциях.
Радиоактивность была обнаружена первоначально у встре-
чающихся в природе тяжёлых элементов — урана, радия, актиния,
тория. Впоследствии, однако, были найдены также встречаю-
щиеся в природе радиоактивные изотопы с малыми и средними
атомными массами, а именно — радиоактивные изотопы калия
]9К40, рубидия 37Rb87, самария 62Sm152, лютеция 71Ъп178 и рения
75Re187. Из перечисленных изотопов только самарий испыты-
вает a-превращение; остальные — ^-радиоактивны. Интересным
примером постоянного новообразования радиоактивных ядер
в природе является возникновение радиоактивного изотопа
углерода, С14. Этот изотоп имеет длинный период распада
(> 5 000 лет), однако недостаточный для того, чтобы С14 со-
хранился в течение геологических эпох истории земли. Изо-
топ С14 возникает в атмосфере под действием нейтронов кос-
мических лучей в результате реакции 7N14 (и, р) 6С14 и, усваи-
ваясь при фотосинтезе растений, входит в круговорот веществ
в природе.
В настоящее время известно, кроме того, свыше 600 радио-
активных изотопов, получаемых искусственным путём.
Наиболее типичным радиоактивным процессом является [В-пре-
вращеиие, которое можно охарактеризовать в самой общей форме
как такое превращение, при котором заряд ядра уменьшается
или увеличивается на единицу, а массовое число не изменяется.
Под это общее определение подходят процессы, при которых
испускаются либо обычные отрицательные электроны (^--процессы),
либо позитроны (^-процессы), либо процессы, при которых
электроны вообще не испускаются, но поглощаются ядром из своей
собственной электронной оболочки (так называемый 7<-захват).
*) В 1900 г. ещё но было известно о существовании атомного ядра
и говорилось о распаде атомов. Мы пользуемся здесь современными представ-
лениями.
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
472
Процессы a-превращений среди всех естественных и искусственно
получаемых радиоактивных изотопов встречаются значительно
реже и по своему характеру занимают промежуточное положение
между типичными ^-радиоактивными процессами и более глубокими
процессами деления или раскалывания ядра.
Радиоактивный распад искусственно получаемых изотопов
в подавляющем большинстве случаев завершается одним звеном,
при котором радиоактивное ядро превращается в стабильное.
Только радиоактивные изотопы, возникающие при делении и
отличающиеся особенно сильным нарушением равновесного со-
отношения между числом протонов и нейтронов, дают длин-
ные цепочки последовательно превращающихся друг в друга
ядер.
Тяжёлые естественно-радиоактивные изотопы (уран, торий)
также дают длинные цепи распада, образующие так называемые
радиоактивные семейства.
В этой главе мы рассмотрим сначала основные законы радио-
активных превращений; затем коротко остановимся на взаимо-
действии радиоактивных излучений со средой и, наконец, рас-
смотрим отдельно различные виды радиоактивных превращений.
§ 272. Элементарный закон радиоактивного распада
Для иллюстрации основного закона радиоактивных превра-
щений воспользуемся исторически важным и интересным при-
мером превращения радия 88Ra226. Если заключить в запаянную
стеклянную трубочку 1,318 а хлористого радия (RaCl2), в кото-
ром содержится ровно 1 г элемента радия, то по истечении
нескольких дней микрохимический анализ воздуха, находящегося
в трубочке, показывает, что в нём появляются два новых газа —
гелий и радон. Последний обнаруживает сильные радиоактивные
действия, и накопление его идёт по иному закону, нежели нако-
пление гелия: в то время как количество гелия увеличивается про-
порционально времени и в течение года его накопляется 167 мм?>,
количество радона возрастает до некоторого определённого пре-
дела: через четыре дня в трубочке можно обнаружить 0,311 мм3
радона, через восемь дней — 0,463 мм3, через 30 дней—0,607 мм3,
и это количество остаётся уже постоянным, так что через год
в трубочке оказывается то же количество (0,607 мм3) радона.
Если отделить радон от радия, то оказывается, что количество
радона довольно быстро убывает со временем, а именно: через
четыре дня оно убывает наполовину, через восемь дней — до одной
четверти и через тридцать дней радон исчезает практически
полностью.
Возрастание количества радона в присутствии радия и убыва-
ние в изолированном состоянии изображаются кривыми рис. 348.
§ 2 72] ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЗАКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА	473
Обе кривые представляют собой зеркальные изображения
одна другой, что подтверждается их точным анализом. Если
нанести кривую убывания изолированного радона в других
координатах, а именно — отложить по оси абсцисс время, а по оси
ординат — натуральный логарифм количества радона или интен-
сивности его излучения, то получается прямая (рис. 349). Это
показывает, что убывание радона со
временем подчиняется экспоненци-
альному закону:
N = Noe~u, (272,1)
где N — число ещё не распавшихся
ядер в момент t, No — число ядер в
момент t = 0 и а — постоянная, харак-
теризующая скорость распада. Оче-
видно, что константа а может быть
определена по графику t, InTV
(рис. 349) как угловой коэффициент
наклона прямой к оси абсцисс.
Формула (272,1) и выражает основ-
ной закон радиоактивного распада
изолированного радиоактивного ве-
щества.
Многочисленные опыты, выпол-
ненные как с радоном, так и с дру-
гими радиоактивными веществами,
изменения внешних условий не оказывают влияния на ско-
рость радиоактивных превращений. Радиоактивные вещества
нагревались до температур порядка тысяч градусов, подвергались
давлениям в сотни атмосфер, помещались в магнитные поля
напряжённостью в тысячи эрстед. При всех этих воздействиях
Время в сутках
Рис. 349. Распад радона (полу-
логарифмические координаты),
обнаружили, что обычные
474
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
никакого изменения скорости радиоактивных процессов обна-
ружено не было. Эти факты указывают на то, что радиоактивный
распад есть свойство самого ядра и зависит только от его внутрен-
него состояния*). При таких условиях формула (272,1) есть не что
иное, как статистический закон спонтанного распада ядра.
В самом деле, если распад происходит спонтанно, то простейшее
допущение, которое можно сделать относительно скорости этого
процесса, состоит в том, что число ядер, распадающихся в про-
межуток времени между t и t -\-dt, должно быть пропорционально
промежутку времени dt и числу ядер N, ещё не распавшихся
к моменту t:
— dN = kNdt.	(272,2)
Интегрируя это уравнение и пользуясь начальным условием:
при t — Q число атомов равно No, получаем
TV = Noe-“,
т. е. экспоненциальный закон (272,1).
Постоянная л называется радиоактивной постоянной. Зная л,
можно вычислить среднюю продолжительность жизни радиоактив-
ного атома, пользуясь уже знакомым нам способом рассуждения
(см., например, т. I, § 93). Число атомов, распадающихся в проме-
жуток времени между t и t + dt, т. е. проживших t сек., по (272,2)
равно \N dt. Сумма их продолжительностей жизни есть t'kN dt,
а сумма продолжительностей жизни всех No атомов, имевшихся
СО
в момент t — Q, есть t'kN dt. Поэтому средняя продолжитель-
о
ность жизни т равна
СО	со
т =	\	tkNdt = '/A	te~^dt = A.	(272,3)
*’о	J	J
О	О
Таким образом,	формулу	(272,1)	можно	переписать	в виде
t
N = Noe~A	(272,Г)
Практически удобнее характеризовать продолжительность жизни
периодом полураспада Т (его часто называют просто периодом),
т. е. временем, в течение которого распадается половина всех
*) Это, конечно, не означает, что воздействие на ход радиоактивного
процесса невозможно принципиально. Для нас в данном случае существенно
то, что интенсивные воздействия, применявшиеся до сих пор, не оказывали
влияния на скорость распада, откуда следует, что процесс разыгрывается
в самых внутренних частях атома, т. е. в атомном ядре.
§ 273] СТАТИСТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА 475
атомов данного радиоактивного вещества. Из (272,1) имеем
1	N ;Т
-- ------Л —/и
2	No
откуда
Г = -1р. = 0^693 __ 0>693_	(272,4)
Например, для радона а = 2,097 • 10-6 сек.-1, т. е.
1 1
т = Т = 2 097 • 10~6 = /177 000 сек. = 5,56 дня.
Отсюда, период полураспада равен 0,603 • 5,56 = 3,825 дня.
Периоды полураспада различных радиоактивных веществ весьма
разнообразны, что можно видеть из следующих цифр:
Вещество	т
Самарий, 62Sm152	2,5 • 1011 лет
Уран, 92U233	4,5 ♦ 10В 9 * лет
Радий, 88Ra22e	1622 года
Радон, 86Rn222	3,82 дня
Углерод, 6СП	20,4 мин.
Радий С', 84RaC'214	1.5 • 10-4 сек.
Торий С', 84ThC’212	3 • 10~7 сек.
Дальнейшие примеры можно найти в таблице приложения XIV.
§ 273. Статистический характер закона
радиоактивного распада
В предыдущем параграфе мы показали, что экспоненциальный
закон распада, экспериментально оправдывающийся для изоли-
рованного радиоактивного вещества (например, радона), может
быть выведен из одного только допущения, что распад ядра
происходит спонтанно, т. е. под влиянием внутренних возмуще-
ний. Никаких предположений о механизме распада мы не делали,
и они в данном случае не обязательны. Единственный сущест-
венный факт, которым мы руководствовались, состоял в том, что
константа а, характеризующая неустойчивость ядра, зависит
от состояния самого ядра. Поэтому распад атома есть событие чисто
индивидуальное и от внешних воздействий не зависящее, так что
вероятность данному атому дожить до «возраста» t зависит только
от величины этого возраста.
Мы сейчас покажем, что эта чисто статистическая точка
зрения как раз и ведёт к экспоненциальному закону распада.
Итак, для данного атома вероятность р прожить время t согласно
сказанному есть функция только t:
P=P(t).	(273,1)
476
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
(273,3)
(273,4)
Вероятность прожить время t+x есть поэтому функция Z-4-т,
т. е. + С другой стороны, это «выживание» в течение
времени t + т можно рассматривать как сложное событие, со-
стоящее из «выживания» в течение времени от 0 до t и от t до
г+т (см. аналогичные рассуждения в т. I, § 24). Вероятность
такого сложного события есть произведение вероятностей
/?(?)р(т). Итак,
p(« + z) = p(«)p(x),	(273,2)
Продифференцируем теперь это равенство, предполагая, что t
меняется, а х остаётся постоянным:
Р' (t + ^ = p'
Разделив (273,3) на (273,2), получим
р' (t +	_ р' (I)
p(t + i)~ р(с) ’
или ввиду произвольности Т
р' (0	I.
; — const.
p(t)
Вероятность прожить время t—0 есть, очевидно, 1; вероятность
того, что ядро не доживёт до возраста t —ос, есть также 1,
ввиду чего вероятность прожить бесконечный промежуток време-
ни есть 0. Из этого следует, что р (Z) есть убывающая функция
времени, и следовательно, константа в правой части (273,4) —
число отрицательное:
р — — к или — kdt,
Ptt)	Р
откуда и из начального условия р (0) — 1 находим
р = е~™.	(273,5)
Если, таким образом, вероятность одному атому прожить время t
есть e~kt, то из No атомов, существовавших в момент t— 0,
в среднем останутся нераспавшимися в момент t
N = NGe~kt.	(273,6)
Сравнивая эту формулу с (272,1), мы видим, что (273,6) и есть
закон радиоактивного распада, причём константа к = /..
Тот же результат может быть получен и другим путём. Для
достаточно малого промежутка времени Д£ вероятность д испытать
распад пропорциональна Д/:
д = к At.
§ 273] СТАТИСТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА 477
Это допущение означает, что вероятность к испытать распад
в единицу времени не зависит от времени, т. е. от предшеству-
ющей истории атома, и является постоянной для всех атомов
данного радиоактивного продукта. Вероятность прожить в тече-
ние времени Ы, т. е. не испытать распада, будет поэтому
/7=1-а Дг.	(273,7)
Вероятность прожить время t — к&t можно написать, рассматри-
вая это событие как сложное, состоящее из выживания от О
до Д/, затем от Дг до 2 Дг и т. д. Искомая вероятность будет
тогда произведением
t
(1 х дг)^=(1-к Дг)^,
что можно представить в виде
___1_
[(1-кДг)
Устремляя Дг к нулю, в пределе получаем
___1__
р — lim [(1 — к Дг) л j—az _ е—лг,
лг->о
т. е. вновь экспоненциальный закон.
Из статистического характера закона радиоактивного распада
следует, что этот закон
N -
будет выполняться строго лишь в том случае, когда Лг очень
велико. При не слишком больших N, как и во всех статисти-
ческих явлениях, должны наблюдаться колебания (флуктуа-
ции).
Эти флуктуации в случае радиоактивных превращений наблю-
дать особенно удобно, так как каждое превращение сопрово-
ждается выделением столь большой энергии, что имеется возмож-
ность регистрировать акты превращения отдельных атомов. Такие
наблюдения действительно производились многократно и со-
стояли в подсчёте числа а-частиц в течение определённого интер-
вала времени. Например, в опытах Резерфорда и Гейгера было
подсчитано всего 10 000 сцинтилляций а-частиц от слабого ра-
диоактивного препарата, причём подсчитывалось число сцинтил-
ляций, наблюдаемых в определённый интервал времени ми-
нуты ).
478
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
Получились, например, такие результаты:
Таблица L
Число а-пастиц,
наблюдённое в тече-
ние интервала . . .
Число интервалов
экспериментальное .
Число интервалов
теоретическое . . .
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	И	12	13	14
57	203	383	525	532	408	273	139	45	27	10	4	0	1	1
54	210	407	525	508	394	254	14С	68	29	11	4	1	1	1
Значение цифр второй строки таково: 57 раз в течение интер-
вала минуты^ не было зарегистрировано ни одной а-частицы,
203 раза —одна частица, 383 раза —две частицы и т. д. Среднее
число частиц, приходящееся на интервал, равно 3,87. Цифры
третьего ряда вычислены
при помощи статистиче-
ской формулы Пуассона,
которая применительно к
данному случаю гласит:
при очень большом числе
наблюдений вероятность
того, что в течение одного
интервала появится п а-ча-
стиц, равна
Рис. 350. Флуктуации радиоактивного
распада.
где х — среднее число ча-
стиц, приходящееся на ин-
тервал, а и —любое це-
лое положительное число.
Сравнение второго и треть-
его рядов таблицы пока-
зывает, что согласие между
теорией и экспериментальными данными удовлетворительное.
Это согласие наглядно иллюстрируется рис. 350, где сплошная
кривая вычерчена по формуле Пуассона, а кружками нанесены
значения числа интервалов, полученные из опыта. Имеющиеся
небольшие расхождения, очевидно, связаны с тем, что число
испытаний было недостаточно велико для статистики.
Флуктуации радиоактивного распада дают интересную иллю-
страцию упомянутому в § 109 первого тома статистическому
закону, согласно которому средняя квадратичная флуктуация
-2= («Л — и)2
§ 274]
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
479
равна п. Обработка данных, полученных в описанном опыте,
дала следующие результаты:
Таблица LI
Серия наблюдений	Число подсчитан - пых частиц	71	-2
	792	4,014	3,843
II	596	3,918	3,770
III	632	3,755	3,680
IV	588	3,760	3,448
Как видно, совпадение цифр последних двух столбцов —
вполне удовлетворительное, особенно если принять во внимание»
что число частиц, подсчитанных в каждой серии, невелико.
§ 274. Теория последовательных превращений
До сих пор мы интересовались только элементарным законом
радиоактивных превращений, которому подчиняется одно изоли-
рованное вещество. Рассмотрим теперь общий случай, когда
имеется целая цепь распада: некоторое исходное вещество А
превращается в В, последнее превращается в С пт. д.:
A-±B—>C-*D-> ...	(274,1)
Хотя в каждом звене этой цепи, взятом изолированно, убывание
вещества зависит от времени экспоненциально, изменение со вре-
менем количества промежуточных веществ, вообще говоря, сле-
дует довольно сложному закону.
Пусть числа атомов веществ ряда (274,1) в момент t будут
Ni, N2 Ми • • • 5 число атомов исходного вещества А (родоначаль-
ник семейства) в момент t = 0 пусть будет ТУДО). Для превра-
щения А—>В имеем уравнение
(274,2)
интегрирование которого даёт
(274,3)
Для ряда, состоящего из двух звеньев
А->В-+С,
480
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
кроме (274,2), имеем уравнение
=	-/.Л,	(274,4)
которое выражает тот факт, что атомы В возникают из А со
скоростью Aj/Vx и в свою очередь превращаются в С со скоро-
стью 7.2N2. Воспользовавшись (274,3), приведём уравнение (274,4)
к виду
^. + /.2^3-4^ (0)е-«.	(274,5)
Частное решение этого линейного неоднородного уравнения пер-
вого порядка ищем в виде
N2 =	(0) (сге~^ + с2е-^).	(274,6)
Для получения общего решения сюда ещё нужно прибавить
общее решение однородного уравнения, соответствующего (274,5),
т. е. N2 (0)	; искомое общее решение будет поэтому таково:
N2 (Z) - TV2 (0)	+ TVj (0) (qe-^z + с2е~^У (274,7)
Так как в силу очевидного начального условия ;V2 (Р) = 0 ПРИ
1 — 0, то интерес представляет только частное решение (274,6).
Подставляя его в (274,5), найдём после простых вычислений
так что
ЛГ2«=^,(0)(—Д-е-'.1‘ + с2е-«) .	(274,7')
Пользуясь начальным условием: при t = 0 N2{0') = 0t полу-
чаем пз (274,7')
и окончательно
;V2(0=	(е~^ -е-^у	(274,8)
Если ряд состоит из трёх звеньев
A-^B->C~>D,
то присоединяется ещё одно уравнение
Заменяя здесь N2 его выражением (274,8) и перенося k3N3
в левую часть, найдём
^ + '-3^3=	(274,9)
§ 274]	ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ	481
Решение ищем в виде
7V3 —	(0) (cp?-^ + c.2e~'-2t + c3e~’-2t~)
и, определив, как раньше, постоянные сх, с2, с3, получим
Ч Х2	^1 Ч	Ч Ч
С1 - (X2-XJ (Х3-Ч) ’ С2 ~ (Ч~Ч)(Ч“Ч) ’ Сз = (\-Х3) (Х2-Т3") •
13 случае ряда, состоящего из п звеньев, зависимость от вре-
мени количества n-го продукта представится формулой
Nn (0 =	(0) (С1е~^ + c2e^2t 4- . . . + сп е~^),
где
1	(Ч---Ч) (Л3 Л1)---(Чг	)
__ ____ Ч Ч •  -^П-1
2	~ (Ч~ Ч) (Ч~ Ч) — Ч)
Проанализируем полученные результаты для простого случая
цепи пз двух звеньев: А—*В—>С: вещество В возникает из А
и в свою очередь распадается, превращаясь в вещество С. Будем
называть вещество А материнским, а вещество В дочерним п по-
ложим сначала, что материнское вещество распадается быстрее
дочернего, т. е. что лг >'Х2. Число атомов дочернего вещества
в момент t будет по (274,8)
Л’2 = ;-2х;^1(0)е-«-е-г>')-	(274,10)
В момент t — 0 дочернее вещество ещё отсутствует; количество
его постепенно нарастает за счёт распада материнского вещества,
затем проходит чер.ез максимум п начинает убывать. Так
как > а2, то при достаточно большом t
e~^2t	е~Л1/
и
W2=5A-ArI(0)e^',	(274,11)
Л1 Л2
т. е. активность смеси материнского п дочернего веществ будет
убывать с периодом дочернего вещества.
Положим теперь, что Х2 > В этом случае
и через достаточно большой промежуток времени, когда
е -Л1* > е-Л‘-Ч
N2 = N> (0)?ге~^,	(274,12)
Ч —
482
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
т. е. активность дочернего вещества будет убывать с периодом
материнского. Далее, так как пз (274,12), принимая во внимание,
что N, =	получаем
то оба вещества будут находиться в постоянном отношении, но
количества их будут убывать со временем с одинаковой скоростью.
Такое состояние называют переходным равновесием. Приме-
ром может служить равновесие между радоном и продуктами
его распада. Радиоактивные постоянные радона и радия А
соответственно равны 2,09 • 10“6 и 3,79 • 10-3 сек.-1. Через пять
часов (1,8 • 103сск.) после отделения радона от радия е~л1 для
продукта радона НаА сделается равным 1,2 • 10 3, тогда как
для самого радона е~лг к этому времени ещё мало отличается от
1(-^0,99). Поэтому уже через пять часов смесь радона и его
непосредственных продуктов распадается с периодом радона,
а отношение их количеств равно
RaA __ л,
Rn	/.2— Ч
Несколько отличается от этого случай, когда период полу-
распада исходного вещества по только во много раз превосходит
периоды остальных звеньев цепи, но и абсолютно очень велик,
а следовательно, радиоактивная постоянная очень мала:
42 А
Перепишем (274,8) в виде
Л’2 (/)	(°) Л1 е-Л2< fgCzn-/.!) i _
/. 2 — Л
Принимая во внимание, что л2 > /ч, имеем
М (Z) »	(е«' - -1)	5 (1 - е-л.<). (274,13)
При достаточно больших t
е~^-1 < 1;
при этом условии (274,13) даёт
N2(t) =лг _Т2
Ай (бу х2-т\-
Примером может служить равновесие между радием и радоном.
Здесь
У - 1,38 • 10'11 сек.-1 (71 = 1590 лет),
а2 = 2,097 • 10-6 сек.-1 (Т = 3,82 дня).
§ 274]
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
483
Через два месяца между
радоном и радием устанавли-
вается равновесие. Количе-
ство радия, которое испыты-
вает превращение в течение
этого промежутка времени,
составляет лишь 7 • 10~5 ого
первоначального количества,
ввиду чего радии в этом слу-
чае можно рассматривать как
постоянный, практически по
меняющийся со временем
источник радона. В этом слу-
чае равновесие называется
вековым.
Изменение активности со
временем в рассмотренных
трёх случаях представлено на
рис. 351, 352 и 353. По осп
абсцисс везде отложено время
а по оси ординат — активность
Ji логарифмическом масштабе
(oolnTV); пунктирные пря-
мые изображают спадание
активности изолированных
веществ — материнского п до-
чернего, остальные обозначе-
ния — в подписях под рисун-
ками. Рекомендуется внима-
тельно разобрать эти рисунки
для отчётливого усвоения важ-
ного понятия о радиоактив-
ном равновесии.
Обычно «родоначальник»
радиоактивного семейства об-
ладает очень большим пери-
одом. Это является абсолютно
необходимым условием для
того, чтобы данный радио-
активный элемент сохранился
в заметных количествах в
течение геологических эпох.
Если бы даже период этого
исходного вещества был ра-
вен миллиону лет, то в тече-
ние геологической истории
Рис. 351. Случай, когда > Л2.
а-полная активность; Ъ— активность мате-
ринского вещества; с—активность изолиро-
ванного дочернего вещества, равная полной
активности при достаточно больших t;
d— активность дочернего вещества, возника-
ющего в материнском.
Рис. 352. Переходное равновесие
а-нолнал активность материнского вещества
в смеси с дочерним; b и с-активности изо-
лированных веществ - материнского и дочер-
него; d активность дочернего вещества в
смеси с материнским; е- полная активность
дочернего вещества в смеси с материнским.
484
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
земли 109 лет) его количество уменьшилось бы в (-т01О°° = 10'300
раз. Только потому, что периоды урана и торпя соответственно равны
Рис. 353. Пековое равновесие
а-полная активность материнского веще-
ства в смеси с дочерним; b и с активно-
сти изолированных веществ—материнского
и дочернего; d-полная активность дочер-
него вещества в связи с материнским.
встре-
в самом
таковы:
з7КЬ87-
4,5 • 109 и 1,65 • 1010 лет, эти
вещества дожили до наших
дней в больших количествах.
По той же причине радио-
активные изотоны калия, ру-
бидия и самария ещё
чаются в природе;
деле, их периоды
19К40- 1,4 • К)9лст,
6,3 • I010 лет в fi2SmJ
X 10г2лет. Вещества с мень-
шими периодами сохраняются
от исчезновения только в тех
случаях, если они непрерывно
возникают вновь пз предше-
ствующих членов радиоактив-
ного семейства. При этом в
течение геологических пери-
одов времени между всеми
членами семейства устанавли-
вается вековое равновесие,
при котором количества ра-
диоактивных веществ пропор-
циональны их периодам. Так,
например, в равновесии с 1г
2 • 10~12 г Rn в соответствии
урана находится 3,4 • 10~7 г Ra и 2,
с отношением периодов (в секундах)
1,4 • 1017 : 4,99 •	: 3,305 • 105.
§ 275. Единица радиоактивности
Для измерения количества радиоактивных веществ в начале
развития учения о радиоактивности (до открытия искусственной
радиоактивности) была установлена единица, названная «кюри»
в честь исследователей Марии и Пьера Кюри, открывших радий.
Эта единица определяется следующим образом: «1 кюри радона
равен количеству радона, находящемуся в равновесии с 1 г ра-
дия». Это количество радона при 0°С и 760мм Hg имеет объём
0,66 мм3 и массу в граммах, равную 6,51 • 10~6 г.
Точные измерения при помощи счётчиков показали, что 1 г
радия в 1 сек. испускает 3,7- 1О10 а-частиц. Это означает, что
в 1 сек. распадается такое же количество, т. е. 3,7  1()10 ато-
мов радия.
§ 275]	ВДИПИПА РАДИОАКТИВНОСТИ	485
Так как кюри — единица большая, то часто пользуются про-
изводными единицами: 1 милликюри (1тс = 10-3 кюри) и 1 ми-
крокюри (lpc= 10~6 кюри). Содержание радона в водах источни-
ков измеряется даже в мпллпмикрокюрп (10~9 кюри). Между-
народный стандарт, хранящийся в Международном бюро мер
и весов в Севре, близ Парижа, состоит из радона в равнове-
сии с 21,99 мг хлористого радия; вторичные эталоны имеются во
всех странах.
Из приведённого определения видно, что кюри есть единица,
предназначенная для оценки количества радона. Однако в 1930 г.
Международная комиссия радиевых стандартов рекомендовала её
применение и к другим членам семейства радия, испускающим
а-частлцы. При этом под кюри разумеется такое количество
радиоактивного вещества, которое испускает в 1 сек. столько же
а-частиц, сколько 1. г На, т. с. 3,7  1010 а-частиц в секунду.
После открытия искусственно-радиоактивных веществ в тече-
ние некоторого времени, за отсутствием другой единицы, едини-
ца «тори» и её производные применялись также и к ним. Одпако
это было связано с большими неудобствами, в частности потому,
что большинство искусственно-радиоактивных ядер являются 3-излу-
чателями, а некоторые вообще не испускают ни а-, пн 3-частиц
(случай 7Г-захвата). Поэтому в настоящее время установлена
другая единица радиоактивности: «резерс/орд» (rd). Эта едини-
ца определяется следующим образом:
I rd — 1,0'0 • 10е распадов в сек.;
поэтому
1 rd --.-^ тс == 27 pc Ra, Rn, Ро и т. д.
1 тс — 37 rd.
В случае необходимости возможно применение производных единиц:
«резерфорд» с приставками «мега» (IMrd — 106 rd), «кило»
(Ikrd = 103 rd), «милли» (Imrd = 10~3 rd), «микро» (lord == IO"6rd).
Одпако удобство этой единицы, в частности, состоит в том, что
для большинства лабораторных работ с радиоактивными изотопа-
ми пе требуется применения производных единиц. Несколько при-
меров: терапевтическая дозапзотоиа фосфора15Р32—порядка 100 rd;
обычные дозы радиоактивных индикаторов, применяемых в химии
и биологии, — от 0,1 до 10 rd; наиболее слабые источники, кото-
рые ещё можно измерять счётчиками Гейгера — Мюллера,—по-
рядка 1 prd.
Единицу «кюри» рекомендуется применять по её прямому на-
значению, т. е. для радия, радона, полония и других членов семей-
ства радия.
486
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
§ 276. Тепловой эффект
В 1903 г. Пьер Кюри и А. Лаборд впервые показали, что
радиоактивное вещество само сохраняет более высокую темпера-
туру, нежели температура окружающего воздуха. Опыт был по-
ставлен чрезвычайно просто. В небольшой дыоаровский сосуд был
помещён препарат радия и термометр; в расположенном рядом
точно таком же дыоаровском сосуде вместо радия находился барий
(рис. 354). Оказалось, что термометр в дыоаре с радием пока-
зывает более высокую температуру.
Рис. 354. Опыт Кюри и Ла-
борда по обнаружению теп-
лового эффекта радия.
Рис. 355. Схема дифференциального
метода определения энергии, выде-
ляемой радиоактивными веществами.
Для количественного определения теплоты, развиваемой радио-
активными веществами, был разработал ряд специальных кало-
риметров. Типичное расположение опыта изображено на рис. 355.
В один из двух толстостенных медных блоков (левый на рис. 355)
помещается радиоактивный препарат, в другой — нагреваемая током
спираль. Оба блока помещены в теплонепроницаемую оболочку
и с каждым из них связана термопара, причём обе термопары
соединены навстречу друг другу так, что при одинаковой тем-
пературе блоков ток в цепи гальванометра G отсутствует. Под
влиянием тепла, развиваемого радиоактивным препаратом, левая
термопара нагревается, и в цепи гальванометра появляется ток.
Если теперь пропустить ток от элемента В через спираль, поме-
щённую в правом блоке, то вследствие нагревания правой термо-
пары можно свести к нулю ток в цепи гальванометра. Зная силу
тока в цепи ABW, сопротивление проволочной спирали и время,
легко вычислить количество тепла, выделяемое радиоактивным
препаратом.
Первые опыты дали для выделения тепла одним граммом чи-
стого радия 100 кал/час. Последующие, более точные опыты дали
более высокие цифры: 1 г радия-элемента в равновесии со своими
первыми продуктами распада (вплоть до радия С/ включительно)
§ 276]
ТЕПЛОВОЙ ЭФФЕКТ
487
при полном поглощении а- и [3-лучей и приблизительно 18%
у-лучей развивает 132,3 кал/час — 0,1539 W. Было измерено также
количество теплоты, выделяемое самим радием, освобождённым от
радона и его продуктов распада. Оно оказалось равным 25,5 кал/час,
тогда как теплота, развиваемая Rn -р RaA 4-RaB + Ra (С 4- С'),
равна 107,1 кал/час. При учёте полной энергии у-лучей приведён-
ную выше цифру 132,3 кал/час следует увеличить до 137,9 кал/час.
Энергия, освобождаемая радиоактивным веществом, переносится
его лучами. Поучительно и нетрудно рассчитать энергию, при-
ходящуюся на долю а-частиц. Если скорость а-частицы равна с
л число испускаемых веществом в 1 сек. частиц есть А’, то энер-
гия их равна N Сюда ещё нужно прибавить энергию отдачи:
при испускании а-частицы атом с массой М испытывает отдачу
и вследствие этого приобретает скорость Е. По закону сохранения
количества движения V = ~ у и кинетическая энергия отдачи
-у MV'2, _М --	Полная энергия, освобождаемая
при a-процессе, есть поэтому
дг™’У1-г
v 2 < 1 MJ '
а количество теплоты, выделяемое в 1 час, равно
где J — механический эквивалент теплоты
/.— 4,18 • 107 эрг/кал^.
Для радия у = 1,5  109 см/сек/,
-Ь?гу2 = 7,53 • 10-6 эрг;	А-3,7-1010,
2	М 22b
так что
<2 = 3,7  10«  7,53 • 1оД) + А) • дасг = 2/‘.5 ха.1.
Таким путём получается баланс энергии для радия и его ближай-
ших продуктов распада, приведённый в табл. L II на стр. 488.
Интересны также следующие ориентировочные цифры для
полного количества энергии, освобождаемой радиоактивными ве-
ществами в точение всего времени их жизни ( за время жизни при-
1 5
пимается не период полураспада, по среднее время жизни т == г i •
488
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
1 г радия без продуктов распада освобождает в час приблизи-
тельно 25 кал, и так как сроднее время его жизни т = 2280 лет,
то полное количество тепла, выделяемого 1 г радия, равно
25 • 8760 • 2280 = 5,0 • 108 кал.
1 г радия с первыми продуктами распада (до RaC' включитель-
но) освобождает в час^ИО кал\ за всё время жизни
140 • 8760 • 2280 - 2,8 • 109 кал.
1 г радия с продуктами распада до RaF включительно освобож-
дает в час ~ 170 кал\ за всё время жизни
170 • 8760 • 2280 = 3,4 • 109 кал.
1 кюри радона (6,5- 10 е г) НаА -]- RaC 115 кал\ среднее
время жизни т = 133 часа, откуда полное количество тепла
115- 133 = 15 300 кал.
Та о .in и a LII
Количество тепла в na.i/час
Вещество	J. лучи	> л уч и	!	7-л уч и	Сумма
Радий 		24..')		0.96	— 25,5
Ра,дон 		27.!)			27,!)
Радий Л.		30,6	i		30,6
Радий В 			1. 3	;	0.86	2
Радий С + С' 		31). 7	4.3	/. i	5 L ,7
Сумма ....	122,7	.1,0	|	!)..')	137,9
§ 277. Радиоактивные семейства
Естественно-радиоактивные вещества связаны в радиоактивные
семейства. До последнего времени было известно три таких семей-
ства: недавно было установлено существование четвёртого сокгеы-
ства. Родоначальниками первых трёх радиоактивных семейств яв-
ляются долго живущие элементы: уран, торий и актинии. После-
довательные члены семейств получаются из предшествующих либо
путём а-превращоштя, либо —- ^-превращения. Так как а-частица
есть ядро гелия с зарядом + 2е и массовым числом 4, а ^-частица —
электрон, то в первом случае в результате превращения заряд
ядра уменьшается на две единицы, а массовое число —на четыре,
во втором случае массовое число не изменяется, а заряд ядра
§ 277]	РАДИОАКТИВНЫЕ СЕМЕЙСТВА	489
увеличивается на одну едшшцу. Это простое правило называется
законом смещенил'. оно позволяет распределить радиоактивные
вещества в периодической системе, исходя из положения родопа-
чалышка семейства.
Родоначальником семейства урапа, к которому принадлежит
также и радий, является изотон урана S2U238. Его .период полу-
распада равен 4,5 - 109 лет. Цепь продуктов распада, возника-
ющих из С238, изображена на рис. 350 для удобства в протонно-
нейтронной схеме: по осп абсцисс отложены атомные номера Z,
т. е. числа протонов в ядре, по осп ординат А — Z, т. о. числа
нейтронов. После одного а- п двух З-кревращспий из U238 возни-
кает изотоп U234, или, по старым обозначениям, U1I, с периодом
2,7 • 105 лет. Это вещество в результате двух а-пре.вращений
превращается в радий. Первые продукты распада следующего за
радием вещества — радона (RaA, RaB, RaC) характеризуются
короткими периодами, по далее следует группа медленно превра-
щающихся веществ, средн которых следует отмстить RaF пли
полоний, имеющий период 140 диен. Он был первым радиоактив-
ным элементом, выделенным Марной Кюри из урановой руды.
Конечным стабильным продуктом уранового ряда является RaG —
изотоп свинца с массовым числом 2С6.
Семейство тория (рпс. 356) начинается торием 90Т11232 (период
J ,39 - 1010 лет) и поело ряда превращений, аналогичных превра-
щениям уранового ряда, заканчивается также изотопом свинца
ThD с массовым числом 208.
Ряд актиния получил своё название от элемента актиния sf)Ac227.
В настоящее время, одпако, установлено, что родоначальником
этого ряда является изотоп урапа U235, называемый также актино-
ураном (AcU). Его период полураспада равен 8,52 • 108 лет; содер-
жание в природном уране —0,7%. Изотоп этот приобрёл в послед-
ние годы очень большое значение в связи с проблемой исполь-
зования ядерной энергии (см. гл. ХХШ). Из AcU образуется
уран Y, который, распадаясь с коротким перподом 24,6 часа,
превращается в протактиний. Протактиний — радиоактивный эле-
мент с довольно длинным периодом 32 000 лет — занимает 91-е
место в периодической системе и имеет массовое число 23'1; он
встречается в природе в урановых минералах и по оценке должен
систавлять примерно 40% встречающегося в тех же минералах
радия. Одпако выделенное количество его измеряется мплиграм-
мвми. Непосредственный продукт а-распада протактиния и ость
ак'тиний.
Актиштп, испытывая ^-превращение с перподом 13,5 года, пре-
вращается в радиоактиний (RdAc). В 1939 г. французской иссле-
довательницей Маргаритой Порей было показано, что наряду с
этим [3-превращением часть атомов актиния испытывает а-превра-
щеппе, переходя в элемент, названный актпппом К. Таким образом,
490
РАДИОАКТИВНОСТЬ
I гл
Рпс. 356. Радиоактивные семейства, изображённые в нротошю-нейтропвой схеме.
§ 277]
РАДИОАКТИВНЫЕ СЕМЕЙСТВА
491
превращение актиния образует «вилку», аналогичную ранее
известным «вилкам» RaC, ТЬС и АсС (рис. 356):
“ 87АсК223 ₽
89Ас22\	/88АсХ223
3 90RdAc227a
Актиний К представляет собой давно отыскивавшийся элемент
Рис. 356а. Протошю-нейтроппая схема четвёртого
радиоактивного семейства.
с 87-м номером. Для пего предложено особое название —фран-
ций (Fr). Конечный продукт актиниевого ряда есть стабильный
актиниевый свинец, AcD, с массовым числом 207.
492
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
Описанные три больших радиоактивных семейства характери-
зуются тем, что массовые числа их членов отвечают формулам.
4/г —для семейства тория [Th232 ( 2 3 2 — 4 • 58)]; 4/2-4 2 —для урана
[U238 (238 — 4-59 2)] и 4/г -т 3 — для актиния [Ас231 (231 = 57-4 | 3)]
или [U235 (235 — 4 • 58 4- 3)]. Так как изменение массовых чисел
во всех этих рядах является результатом отщепления только а-час-
тиц, то массовые числа всех членов ряда отвечают одной и той
же формуле. Обращает па себя внимание отсутствие семейства с
формулой для массовых чисел 4/г 4-1. Существование этого семей-
ства было установлено в 1935 г. Ирэн Кюрп-Жолпо, Гальбаном
и Прсйсвсрком, однако полные данные об изотопах, являющихся
членами этого четвёртого радиоактивного семейства, были опубли-
кованы только в 194.7 г.
Исходным веществом в этом семействе является новый изотоп
урана U233, открытый и изученный в 1941 — 1942 гг. Этот изотоп
имеет период 1,63 • 105 ист и, испытывая а-превращопне, пере-
ходит в изотоп тория Th229. Дальнейший путь распада виден из
рпс. 356 а. Ряд закапчивается стабильным изотоном висмута Bi209.
В число промежуточных продуктов имеются изотопы вновь откры-
тых элементов — фрапцпя (Fr221) и астатппа (At217).
Изотоп урапа U233, открывающий ряд, имеет предшественников.
Повпдимому, можно считать установленным, что семейство 4/г 4- 1
(см. § ЗЮ),
происходит по
начинается трансурановым элементом илутоппом
именно его изотопом 91Рп241. Дальнейший распад
схеме

27,4 дня
во всём ряду, начиная
гн anev валового элемента
Так как наиболее длительный период
с Рп241 и кончая РЪ209, имеет пзотоп
нептуния 93Np237, то всв семейство 4/г-р 1 принято называть
нептуниевым.
В. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РАДИОАКТИВНЫХ ИЗЛУЧЕНИЙ С ВЕЩЕСТВОМ
§ 278. Пробег альфа-частиц
а-частпцы, т. е. ядра гелия, обладающие большой энергией,
являются продуктами многих радиоактивных превращений; они
возникают также при некоторых ядерных реакциях (см. преды-
дущую главу) и, наконец, они получаются с помощью ускорения
ионов гелия в циклотроне или фазотроне. Начальная скорость,
с которой выбрасываются а-частицы тяжёлыми радиоактивными
ядрами, составляет 1 — 2- 10° см/сек', энергия - 2 —8 MeV (а-час
типы, получаемые в фазотроне, имеют энергию до 400MeV).
§ 278]
ПРОБЕГ АЛЬФА-ЧАСТИЦ
493
Рпс. 357. Фотография пробегов а-ча-
стпц в камере Вильсона.
При такой большой энергии а-частицы создают на своём пути
в газах соответственно большое	”
гия, затрачиваемая а-частицей
(точнее — положительного иона
и электрона) в воздухе, равна
32,5 eV; ввиду этого полное
число попов, создаваемое в воз-
духе а-частицей с энергией
порядка нескольких MeV, преж-
де чем она растратит свою ки-
нетическую энергию и обратит-
ся в обыкновенный атом ге-
лия, — порядка 105.
Так как энергия а-частпцы
очень велика, а потеря энергии
при единичном соударении от-
носительно очень мала, то пути
а-частиц в газе прямолинейны.
Эти прямолинейные траектории
хорошо видны на фотографиях
в каморе Вильсона (рис. 357).
При постоянной начальной
энергии а-частиц пробег их в
данном веществе имеет определённую
живает небольшие колебания. Если
стиц на различных расстояниях от
кривая типа кривой а на рис. 358. Эта кривая показывает,
число пар ионов. Средняя энер-
па создание одной пары ионов
величину, хотя п оонару-
подочитывать число а-ча-
источника, то получается
Рис. 358. Зависимость числа а-частиц от толщины
поглощающего слоя газа.
что, несмотря на потерю энергии при прохождении через веще-
ство, число а-частиц почти на всём протяжении их пробега
остаётся одинаковым. Если бы, однако, все а-частицы имели точно
одинаковый пробег, то кривая должна была бы на расстоянии
494
РАДИОАКТИВ 1 ЮС ГЬ
[гл. XXI
равном пробегу, резко упасть до нуля. На самом деле на конце
пробега число а-частиц спадает постепенно, что указывает па
существование упомянутых колебаний в длине пробега. В самом
деле, если графически продифференцировать кривую «, то полу-
чится крпвая b рис. 358, представляющая собой кривую распреде-
ления а-частиц по пробегам (сравнить с аналогичным приёмом,
применявшимся при переходе от вольтамперноп характеристики
к кривой распределения электронов по энергиям, т. I, § 86).
Максимум этой кривой соответствует длине, называемой средним
пробегом а-частицы, R. Длина, получаемая путём продолжения
почти прямолинейной части конца кривой а до пересечения
с осью абсцисс, называется экстраполированным пробегом, Т?01!Стр.
Наконец, пересечение кривой а с осью абсцисс определяет макси-
мальный пробег, 7?П1ах.
Наличие распределения по пробегам а-частиц, выбрасывае-
мых со строго определённой энергией, объясняется случайными
флуктуациями числа соударений а-частиц с молекулами газа.
Так как при каждом соударении а-частпца теряет энергию на иони-
зацию молекулы (пли атома) газа, то вследствие флуктуаций
числа встречных молекул длина, на которой расходуется вся
кинетическая энергия а-частиц, также подвержена неболь-
шим флуктуациям. Пусть, например, среднее число ионов, обра-
зуемых а-частицей на длине пробега, равно /г; тогда и средняя
квадратичная флуктуация этого числа, согласно неоднократно
упоминавшемуся статистическому закону (см. т. I, приложение IV)
будет также равна п, а потому число возникающих ионов коле-
блется в пределах + ]/п. Если среднее число ионов, образуемых
а-частицей на 1 мм пути в воздухе, равно 3000, ожидаемая флук-
туация этого числа будет, таким образом, ]/3000	55, п так как
на образование каждой пары попов в среднем требуется 32,5 eV,
то потеря энергии па средней длине пробега должна испытывать
флуктуацию порядка величины 32,5- 55^-1800 eV, что и влечёт
за собой разброс в величине пробега. Это явление называется
продольным рассеянием. Его статистический характер хорошо
иллюстрируется кривой рпс. 359. Здесь по оси абсцисс отложены
пробеги а-частиц в сантиметрах, по осп ординат—числа частиц,
имеющих данный пробег. Сплошная крпвая проведена по извест-
ной гауссовой формуле случайных отклонений; кружками
обозначены наблюдённые данные. Как видно, все кружки хорошо
укладываются на сплошную кривую.
Во всех предыдущих расчётах мы имели в виду среднюю иони-
зацию, создаваемую а-частицей на своём пути. Если, однако,
проследить за числом пар ионов, образуемых частицей па 1 мм
пути (удельная ионизация) в различных частях её пробега, то
оказывается, что эта удельная ионизация в начале пробега сохра-
278]
ПРОБЕГ АЛЬФА-ЧЛС'ГПЦ
495
инет приблизительно постоянное значение, медленно поднимаясь
вверх. Но в конце пробега она возрастает более чем в два раза.
пробег В см
Рис. .‘’>59. Статистический характер продольного рассеяния
а-частиц в азоте.
представленная на рис. 360 (так называемая кривая Брэгга). На
этом рисунке по осп абсцисс нанесён остаточный пробег, т. е.
разность между экстраполированным пробегом и расстоянием от
источника; видно, что кри-
вая удельной ионизации до-
стигает максимума на рас-
стоянии около 3 мм от конца
пробега, где скорость а-ча-
стицы равна -^5 • 10s CMfcen,
а энергия ^500 keV.
На рис. 361 в виде трёх
кривых представлена зави-
симость среднего пробега в
воздухе при нормальных
условиях от начальной энер-
гии а-частицы. Подобными
кривыми можно пользовать-
ся для определения началь-
ной энергии а-частиц по тгх
среднему пробегу в воздухе.
Сопоставление пробегов а-ча-
стиц с их начальной ско-
ростью при водит к следующей
эмпирической закопомер-
Рис. 360. Удельная ионизация и скорость
а-частиц в воздухе ври 15°С и 1 атмо-
сфере в функции остаточного пробега
(в мм).
пости: пробег приблизительно пропорционален кубу начальной ско-
рости, Ro^kt3. Интересно отметить, что для других корпускуляр-
ных лучей (протоны, дейтероны) при одной и той же начальной
скорости средний пробег может быть найден по простой формуле
496
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
— ____________________________________________
где А—массовое число частиц, Z—их заряд, R—сред-
ний пробег а-частицы. Таким образом, пробег протонов (А = 1,
Z 1) равен пробегу а-частиц, а пробег дейтеронов (А= 2, Z = 1)
вдвое больше.
Рис. 361.
Зависимость пробега
от начальной энергии а-частиц.
Пробег в других веществах может быть найден с помощью
приближённой эмпирической формулы Брэгга —Клпмэиа (с точ-
ностью ± 1096)
£ = 3,2.(278,1)
где А—среднее массовое число, a d—плотность вещества в г/см3.
Отсюда, например, получается, что для а-частиц со сродним
пробегом в воздухе, равным нескольким сантиметрам, пробег в
тканях животного равен 30 — 40 п.
Сопоставление кинетической энергии а-частиц с вероятностью
распада а-излучателя (т. е. с радиоактивной постоянной г— —
показывает, что между этими величинами существует прямая
§ 278]
ПРОБЕГ АЛЬФА-ЧАСТИЦ
497
связь. Качественно она выражается в том, что чем больше к
(т. е. чем меньше среднее время жизни), тем больше энергия
а-частицы. Путём сопоставления количественных данных о вели-
чинах к п R у различных а-излучателей Гейгер и Нэттол уста-
новили следующий важный закон:
Ink-4 +В In/?.	(278,2)
Рис. 362 иллюстрирует этот закон для трёх естественно-радио-
активных семейств. Видно, что в координатах Ink и In/? все
излучатели одного семейства точно укладываются на прямую.
Замечательно, что все три прямые идут приблизительно парал-
лельно друг другу, откуда следует, что постоянная В почти
одинакова для всех трёх рядов.
Так как пробег связан со скоростью соотношением R = kv3,
то из (278,2) следует
In к - А -Ь В In kv3 = А' + В' In Е,	(278,3)
так что закон Гейгера—Нэттола даёт связь между вероятностью
распада и энергией выбрасываемых а-частиц.
498
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. xxi
При установлении этого закона Гейгер обратил внимание на
то, что, поскольку эмпирические данные недостаточно точны,
на соотношение (278,3) следует смотреть как на первое прибли-
жение и что истинное соотношение должно включать также
и другие константы атомного ядра. Теория а-распада (см. § 284)
показывает, что Ink на самом деле зависит-не только от энергии
а-частиц, но и от атомного номера Z, а также от радиуса ядра.
Поэтому зависимость Ink от констант, характеризующих ядро,
нельзя представить на двумерном графике. То, что Гейгеру
и Нэттолу это всё же удалось сделать, объясняется тем, что
Рис. 363. Закон Гейгера—Нэтолла в коорди-
натах In X, Е.
величины Z, и и г изменяются в каждом радиоактивном ряду
в одном направлении при переходе от одного члена ряда к сле-
дующему. В тех же местах, где эта монотонность нарушается,
следует ожидать отступлений от закона Гейгера—Нэттола. Эти
отступления на самом деле имеются, и они становятся особенно
заметными, если нанести на оси абсцисс не In 7?, но просто Е
(т. е. если сильно увеличить масштаб по оси абсцисс). На рис. 363
видно, что кривая для актиния испытывает разрыв в точке АсХ.
В этом месте скорость выбрасываемой а-частицы уменьшается по
сравнению со скоростью у предшествующего элемента RdAc, тогда
как но всём ряду скорости а-частиц возрастают.
§ 21 9]
ПРОБЕГ И ЭНЕРГИЯ БЕТА-ЧАСТИЦ
499
§ 279. Пробег и энергия бета-частиц
При [3-распаде возможно испускание как обычных отрицатель-
ных, так и положительных электронов. Однако законы взаимо-
действия тех и других электронов со средой, за исключением так
называемого явления аннигиляции (§ 283), одинаковы.
Малая масса электронов по сравнению с а-частицами или вообще
тяжёлыми заряженными частицами является причиной значитель-
ного осложнения процессов, происходящих при прохождении элек-
тронов в веществе. Диапазон энергий, с которыми испускаются
электроны и позитроны, очень велик: от малых, трудно измери-
мых энергий до 16 MeV ([3+-распад изотопа азота 7N17). Ввиду
малой массы электронов они ведут себя релятивистски уже при
небольших энергиях: при 100 keV их масса на 20% больше массы
покоя, а скорость составляет 0,55 с; при 1 MeV масса электрона
уже почти в три раза больше массы покоя, [3 = 0,94, и, наконец,
при 16 MeV отношение =31,6, а скорость равна 0,9995 с.
Поэтому при расчётах поведения [3-электронов необходимо, вообще
говоря, пользоваться релятивистскими формулами. Напомним
релятивистские выражения кинетической энергии и импульса
(т. I, § 61):
Еш1п = т0с2	р 1) = -здо- >
_ т(1у о	JL
Р У1—ь2 ’ ‘	с
Далее с помощью формулы (243,1) получаем
Р —	У^-^кип (-&КИП + 2/72.oC2) .	(243, Г)
Так как для определения энергии и импульса электронов обычно
пользуются их отклонением в поперечном магнитном поло, то
полезно иметь в виду формулы, связывающие производи ние ^р —
напряжённости магнитного поля и радиуса кпивизны траектории
электрона —с энергией и импульсом. Согласно многократно встре-
чавшейся нам формуле (см. т. I, § 4)
<Ж9 = ^тс = ^р	(279,1)
или, пользуясь формулой (243,1),
= — У^^кин (^чиы + 2ш0с2) .	(279,2)
Произведение ;;%?р выражается в эрстед • см', Еипп в формуле (279,2)
соответственно выражается в эргах. Целесообразно привести фор-
мулу к такому виду, чтобы в правую часть можно было под-
500
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
ставлять £*кин в MeV. Принимая во внимание, что для электрона
2тп0с2 — 1,02 MeV и что
£к„нЭ/>г-£„„нМе¥ • 1,6 
получим
Р — 4 8 • 10 10 ' -^нин (-Енин + 1,02) —
-~У 7?кин (Якин + 1,02),	(279,3)
(-^кип —в MeV). При ТГкин > 1 MeV имеем, очевидно,
104
7^р = ^|-Я'И11.	(279,4)
Таким, образом, зная 74р, можно легко вычислять импульс п кине-
тическую энергию быстрого электрона.
При прохождении электронов через вещество возникают сле-
дующие явления: 1) упругое рассеяние, 2) ионизация, 3) тормоз-
ное излучение.
1.	Упругое рассеяние вызывается как атомными электронами,
так и ядрами. 13 том и другом случаях явление имеет особенно
существенное значение для медленных электронов. Рассеяние
нерелятивистских электронов ядрами подчиняется формуле Резер
форда (т. I, § 27), так что эффективное сечение ядром с зарядом -|- Ze
пропорционально Z2 п обратно пропорционально квадрату кинети-
ческой энергии электрона. Квантовомеханическая теория рассеяния
электронов разработана хорошо, по изложение её выходит за рамки
данной книги *).
2.	Ионизация есть важнейший источник потерь энергии при
прохождении электронов через вещество. В интервале энергий
от 10 KeV до 2 MeV удельная ионизация электронами приблизи-
тельно обратно пропорциональна квадрату их скорости. Статисти-
ческие флуктуации в длине пробега для электронов выражены
значительно резче, нежели для а-частиц. Это отчасти связано
с тем, что электрон при одном соударении может потерять зна
чптелытую долю своей энергии, а отчасти с тем, что пути элек-
тронов в газах имеют извилистый вид, вследствие чего электроны,
прошедшие один и тот же слой вещества, на самом деле проходят
в этом веществе пути весьма различной длины.
Вопрос об ионизационных потерях быстрых электронов, имеющий
большое значение для истолкования явлений в космических лучах,
будет рассмотрен в гл. XXIV.
*) Обстоятельное изложенйе этой теории см. в книге Мотт и
М’есси, Теория атомных столкновений, ОПТ11, 1936.
§ 279]
ПРОБЕГ И ЭНЕРГИЯ БЕТА-ЧАСТИЦ
501
3.	Излучение. Торможение электронов при их прохождении
в электрическом поле ядра влечёт за собой возникновение тормоз
пого рентгеновского излучения. Этот процесс также является
важным источником потерь энергпп при взаимодействии электронов
с веществом. (См. по этому поводу гл. XXIV, § 322.)
Комбинированное действие рассеяния и потерь па излучение
ведёт к тому, что электроны определённой максимальной энергии
поглощаются в веществе приблизительно экспоненциально с увели-
чением толщины поглощающего слоя. Закон поглощения поэтому
имеет вид
;V = A’oe-^,	(279,5)
где 7V — число электронов, прошедших
через слой толщиной d, No — число элек-
тронов, падающих па переднюю поверх-
ность слоя. Поглощение электронов ха-
рактеризуют толщиной слоя di/.,, при
ТУ 1
которой . Пз (279,5) следует, что
2Y q Z
7 In 2	0,693
ai/2 =---—------•
12 Iх !Л
Если написать (279,5) в виде
N-N^"d,	(279.0
то поглощение можно характеризовать
величиной D — [>di]2:
D = р г • см~3 X di/z см =
1	_2 0,693?	_2
= pai/2 г • см * =------ г • см “.
Толщина поглотителя
о г!см2
Рис. 364. Определение про-
бега электронов (^-Частиц).
Поэтому численные значения, характеризующие поглощение,
часто указываются в г • см~3 или мг • слг2.
Несмотря на сложность процессов взаимодействия электронов
с веществом, пробег их при определённой начальной энергии
имеет вполне определённую величину. Кривая зависимости про
пускания (т. е.	от толщины поглощающего слоя имеет
вид, представленный на рпс. ЗС)4. Здесь можно отчётливо раз-
личить две части: горизонтальную и спадающую. Горизонтальная
часть обусловлена фоном рентгеновских лучей, всегда присутст-
вующим при прохождении электронов через вещество; спадающая
часть вызывается поглощением электронов. Продолжая приблн
жёнпо прямолинейный участок' эгон спадающей части до пере-
сечения с горизонтальное, получаем отрезок R, представляющий
собой экстраполированный пробег электронов (или [3 частиц).
Знание пробега позволяет определить начальную энергию
электронов. Для этой цели можно пользоваться существующими
502
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
эмпирическими формулами. Однако целесообразнее всего определять
энергию по пробегу с. помощью эмпирической кривой «пробег—
энергия», построенной на основании тщательных экспериментальных
измерений. Эта кривая приведена на рис. 365.
Рис. 36о. Кривая «пробег—энергия» для электронов и ^-частиц.
§ 280. Поглощение и рассеяние гамма-лучей
у-лучи представляют собой коротковолновое электромагнитное
излучение. Длину волны мягких у-лучей можно определить по
методу отражения от кристалла. Вследствие малой величины
этой длины наиболее подходящей единицей для её измерения
является Х-единица, применяемая в спектроскопии рентгеновских
лучей (см. т. I, § 35):
IX = 10-3 А = 10"11 см.
Измеренные непосредственно длины волн 7-лучей выражаются
десятками или сотнями X; наиболее короткая длина волны, из-
меренная таким образом, равна 16Х; угол диффракции в этом
случае составляет всего 9,8'. В дальнейшем нас будут в большей
степени интересовать не длины волн, но энергии фотонов Av,
которые мы будем выражать в электрон-вольтах или в миллионах
§ 280]	ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ГАММА-ЛУЧЕЙ	503
электрон-вольт (MeV). Например, длине волны в 16Х отвечает
энергия фотона
, he 6,62 • 10-27 • 2,99 • 101е л о/ ип 6 лппомг
Av = -у- = ---.д ---------= 1,24 • 10~6 эрг = 0,778MeV.
A	1Ь • 10 11	1
Для очень высоких частот за единицу энергии можно принять энер-
гию покоя (собственную энергию) электрона
т0с2= 9,106 • 10-28 • 8,988 • 1020 = 8,108 • 10~7 эрг =
= 5,108 • 105 eV = 0,5108 MeV.
При прохождении у-лучей через вещество наблюдается ряд
явлений, которые мы и рассмотрим. Если энергия фотона меньше
1 MeV, то эти явления ограничиваются фотоэлектрическим погло-
щением и рассеянием; при энергии фотона, большей 1 MeV, на-
блюдается, кроме того, своеобразное явление образования пар,
которое будет рассмотрено в следующих параграфах.
Если однородный параллельный пучок у-лучей проходит через
слой вещества толщиной х см, то ослабление его следует тому же
экспоненциальному закону, как и ослабление рентгеновских лучей
(см. т. I, § 31):
J = Joe~^x.
Коэффициент р>, имеющий размерность [сиг1], называется коэффи-
циентом ослабления. Поскольку ослабление может быть обусловлено
различными физическими явлениями (например, фотоэффектом
и рассеянием), целесообразно представлять р в виде суммы
И = Р-1 + Р-2 + • • • ,
относя каждое слагаемое к соответствующему физическому процессу.
Когда ослабление вызывается только фотоэффектом и рассеянием
р1 = т, р2 — с (см. т. I, § 31) и р. = т + а.
Вместо линейного коэффициента ослабления р удобнее рас-
сматривать массовые коэффициенты р/р, т/р, ст/р, выражаемые
в г-1 • см2, а также коэффициенты, рассчитанные па 1 атом и на
1 электрон:
____ р А ________ z А
v'a=7 ’ lv ’ Та — Д '	’
с А	гу
&а— 7 ' "JV ’ ‘?а— Р'е^ И Т- Д-
Коэффициенты ра, ре, та, те, ... имеют размерность [см2] и могут
быть поэтому истолкованы как эффективные сечения для того или
иного процесса.
В том случае, когда мягкие у-лучи проходят через слой веще-
ства, состоящего из тяжёлых атомов, поглощение обусловлено
504
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
главным образом фотоэффектом. Напротив, потеря энергии жёсткими
у-лучами и в особенности в веществах, состоящих из лёгких атомов,
происходит почти исключительно за счёт рассеяния.
Что касается фотоэлектрического поглощения, то оно, по су-
ществу, конечно, не отличается от поглощения рентгеновских
лучен соответствующей жёсткости. Так же как и в случае рент-
геновских лучей, фотоэффект происходит на внутренних оболочках
атома {К, L, ...); энергии освобождаемых при этом электронов
по уравнению Эйнштейна
eV = hv — Ек, eV = hv — Elt и т. д.
позволяют непосредственно определять уровни К, Li, Ln и т. д.
(см. § 225), если известна частота у-квантов у, или, наоборот,
определять у, если известны К, LT и т. д.
Заполнение освободившихся в результате фотоэффекта мест
электронами из более далёких оболочек ведёт к возникновению
характеристического рентгеновского излучения освещаемого веще-
ства и освобождению электронов Оже (см. § 233). Пространственное
распределение фотоэлектронов характеризуется определённой асим-
метрией. Именно, в случае мягких у-лучей фотоэлектроны вылетают
преимущественно перпендикулярно к направлению потока у-лучей;
очень жёсткие у-лучи выбрасывают фотоэлектроны преимуще-
ственно вперёд. Качественно это можно объяснить воздействием
электрического и магнитного векторов электромагнитной волны
у-лучей. Под действием электрического поля электрон сме-
щается перпендикулярно к направлению распространения у-лу-
чей. Но на движущийся электрон действует магнитное поле волны
с лоренцовой силой -2- [vИ] в направлении, перпендикулярном
к v и JC, т. е. в направлении потока у-лучей. Импульс, действу-
ющий со стороны этой силы на электрон, есть у. Поэтому при
очень высоких v этот импульс приобретает существенное значение,
и электроны «выталкиваются» преимущественно вперёд.
По мере того как длина волны у-лучей уменьшается, всё
большую роль по сравнению с фотоэлектрическим поглощением
начинает играть рассеяние. В области рентгеновских лучей, как
мы уже видели, наряду с рассеянием без изменения длины волны
наблюдается комптоновское рассеяние (см. т. I, § 117), при
котором длина волны увеличивается. Поскольку комптоновское
рассеяние сопровождается образованием электронов отдачи, оно
ведёт к истинному поглощению рентгеновских или у-лучей в от-
личие от рассеяния без изменения длины волны, где ослабление
происходит за счёт изменения направления падающей плоской
волны. Для классического рассеяния (без изменения длины волны)
§ 280]	ПОГЛОЩЕНИЕ И.РАССЕЯНИЕ ГАММА-ЛУЧЕЙ
505
имеет место формула Томсона
____________________________8тс е4
°®__________________________3 mjc4 ’
дающая эффективное сечение для рассеяния, обусловленного
одним только изменением направления фотона. Очевидно, что
величина пе есть универсальная константа.
Рис. 366. Полное эффективное сечение для комптоновского рассеяния.
Сплошная кривая построена по формуле Клейна—Нишины—Тамма;
кружками нанесены экспериментальные данные.
Формула эффективного сечения для комптоновского рассеяния
при любой энергии падающего фотона была найдена Клейном
и Нишпной и строго выведена с помощью квантовой электро-
динамики И. Е. Таммом; эта формула имеет вид
0 = Г1 + а ГИ1+«)_11	2а)1 + 1 1п(1 + 2а)_ 1+За 1 ,
mgc4 [ а2 L 1 + 21 а	41	' J 2я '	' (1 +2а)2 J ’
Av
где а— т. е. величина кванта рентгеновских лучей, отнесен-
ная к собственной энергии электрона; в пределе для малых частот
эта формула вновь ведёт к формуле Томсона.
Формула Клейна—Нишины—Тамма превосходно подтверждает-
ся экспериментом вплоть до длин волн, для которых Av > 2moc2.
На рис. 366 приведена крпвая, изображающая зависимость эф-
фективного сечения комптоновского рассеяния от длины волны
падающих фотонов (верхняя шкала на оси абсцисс, даёт энергию
фотона, отнесённую к собственной энергии электрона). Для
сравнения на том же рисунке пунктиром изображены кривые
506
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[vn.XXI
фотоэлектрического поглощения в различных веществах. Видно,
что даже в случае такого тяжёлого вещества, как свинец, начи-
ная с длины волны порядка нескольких Х-единиц, фотоэлектри-
ческое поглощение становится ничтожно малым. Для длин-
ных волн формула Клейна—Нишины—Тамма, как видно из чер-
тежа, даёт значения, асимптотически приближающиеся к том-
соновскому ос.
§ 281. Возникновение позитронов при поглощении
гамма-лучей
При увеличении энергии у-фотопов фотоэлектрическое погло-
щение быстро падает; уменьшается также и комптоновское погло-
щение, хотя и несколько медленнее (рис. 367). Однако, как видно
пз рис. 367, начиная с энергии фотона 1,02 MeV и при дальнейшем
её увеличении, обнаруживается новый процесс, ведущий к силь-
ному поглощению 7-лучей. Именно при 7iv > 1,02 MeV фотоны,
Рис. 367. Коэффициент поглощения у-лучей в свин-
це. Сплошная линия даёт полное поглощение, пунк-
тирные •— его составные части.
как и при фотоэффекте, полностью поглощаются в сильном куло-
новском поле ядра, в результате чего возникает пара частиц:
обыкновенный отрицательный электрон и положительный элек-
трон, позитрон. Существенно при этом, что электроны и пози-
троны возникают не из ядра, где их нет, и не из электронной
оболочки атома, где есть электроны, но нет позитронов, а из
так называемого «фона», о котором речь будет ниже. Энергия по-
глощённого фотона при этом распределяется таким образом,
что 1,02 MeV идёт на создание пары частиц с отличной от нуля
$ 281]
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПОЗИТРОНОВ
507
массой покоя, а остальная энергия (Av—1,02 MeV) проявляется
в виде кинетической энергии образовавшихся частиц и ядра
отдачи, в поле которого возникла пара. С механизмом возникно-
вения пар и природой «фона», за
счёт которого они образуются, мы
познакомимся в следующих двух
параграфах. Здесь же мы при-
ведём некоторые эксперимен-
тальные данные, относящиеся к
возникновению и свойствам пози-
тронов.
Позитроны первоначально бы-
ли открыты в 1932 г. среди час-
тиц, образующих космические
лучи (об открытии позитронов
см. гл. XXIV, §320). Одпако очень
скоро было показано, что они
легко возникают также и при
поглощении у-фотонов, при указан-
ном выше условии, чтобы энергия
фотона была больше 1,02 MeV.
Возникновение пар электрон —
позитрон можно наблюдать при
помощи камеры Вильсона, поме-
щённой в магнитное поле (метод
Д. В. Скобельцына, т. I, § 119).
Рис. 368. Пара в криптоне. След
позитрона отклонён направо,
электрона—налево.
При этом траектории электрона и позитрона оказываются изо-
гнутыми в противоположные стороны. Большое количество та-
ких пар в газах (в азоте, криптоне и ксеноне) было сфотогра-
фировано и изучено Л. В. Грошевым, И. М. Франком и Н. А.
Добротиным. На рис. 368 приведена одна из фотографий Гро-
шева, изображающая возникновение пары в криптоне; на-
правление магнитного поля было таково, что частице, отклонён-
ной вправо, следует приписать знак плюс, а другой частице—
знак минус.
Убедительное доказательство равенства масс электрона и
позитрона дают опыты Тибо. На рис. 369 приведён продольный
разрез прибора Тибо: в периферической части поля электро-
магнита, где это поле имеет значительный градиент неодно-
родности, помещается линейный источник заряженных частиц S.
Оказывается, что все частицы, испускаемые источником в самых
разнообразных направлениях в плоскости, перпендикулярной
к чертежу, или в плоскостях, близких к ней, описав траекторию,
показанную на рис. 370 (кривая, которую они описывают, назы-
вается трохоидой), собираются в небольшой области F в 180° от S.
Источником служит трубочка, содержащая радиоактивный пре-
508
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
к насосу
Рис. 369. Продольный
разрез прибора Тибо.
парат, дающий у-лучи (например, соль радиотория или радой),
и окружённая свинцовой оболочкой, которая и является собст-
венно излучателем позитронов п электронов. Если поместить в F
фотографическую плёнку, то быстрые
частицы вызовут на ней почернение
в виде довольно узкой полоски. Так-
как при данном направлении поля на-
правление закручивания частиц зави-
сит от их знака, то достаточно изме-
нить направление поля, чтобы на
плёнку F стали попадать вместо поло-
жительных отрицательно заряженные
частицы, или наоборот. Перед плёнкой
F помещались две сетки, расположен-
ные перпендикулярно к осп трохои-
ды; если наложить на них разность
потенциалов, то трохоида смещается
в плоскости чертежа вправо или
влево (рис. 370, правый), а вместе с
тем смещается изображение источника
S на плёнке. Таким способом измерялось смещение электронов
и позитронов, испускаемых источником под действием элек-
трического поля различной интенсивности. Оказалось, что это
смещение пропорционально полю, причём экспериментальные
Рис. 370. Поперечный разрез того же прибора и форма
траектории.
прямые для тех и других частиц совершенно симметричны,
т. о. при заданном поле электроны и позитроны отклоняются
в противоположных направлениях, но на одинаковую величину.
1)то означает, что те и другие частицы имеют одинаковый но
абсолютному значению удельный заряд е/т.
§ 282]
СВОЙСТВА ПОЗИТРОНОВ И ТЕОРИЯ ДИРАКА
509
§ 282, Свойства позитронов и теория Дирака
Наиболее поразительное свойство позитронов состоит в том,
что они могут существовать в свободном состоянии лишь ничтож-
ные промежутки времени, по истечении которых они «исчезают».
Чем это объясняется и почему позитроны во многих отно-
шениях отличаются от обыкновенных электронов? Почему элек-
троны получаются с большой лёгкостью, а для получения пози-
тронов необходимы фотоны с энергией не меньше миллиона
электрон-вольт? Эти вопросы рассматриваются теорией Дирака.
Сущность этой теории заключается в следующем. Решение
уравнения Дирака (§ 202) для свободного электрона, обладаю-
щего только кинетической энер-
гией, даёт две области собствен-
ных значений энергии: одна на-
чинается с т0с2 и простирается
до 4~оо, другая начинается с
- т0с2 и следует до — оо. Таким
образом, наряду с положительны-
ми энергиями получаются и отри-
цательные. Легко видеть, что в
состояниях с отрицательной пол-
ной энергией электрон должен об-
ладать весьма необычными свой-
ствами. Так, если учесть, что отрицательная энергия—тс2 экви-
валентна отрицательной массе — т, то в состояниях с отрица-
тельной энергией электрон должен приобрести ускорение, напра-
вленное в сторону, противоположную силе. Чтобы уменьшить
его энергию, нужно было бы ему сообщить, а не отнять от него,
некоторое количество положительной энергии и т. д.
Из всего этого видно, что уравнение Дирака приводит к серь-
ёзным затруднениям. Эти затруднения, однако, присущи не
только уравнению Дирака, но и всей теории относительности,
с которой уравнение Дирака непосредственно связано. В самом
деле, релятивистское соотношение между импульсом и энергией
Е2 = с2р2 т^с4 даёт для энергии два значения Е = + ]/с2р2^т2с\
при р = 0 получаем E=^mQ с2. Таким образом, получаются две
непрерывные области энергий, разделённые промежутком 2 mQc2
(рис. 371). В классической физике это обстоятельство игнори-
ровалось по следующей причине: так как все динамические пере-
менные классической физики непрерывны, а переход от положи-
тельных значений энергии к отрицательным требует скачка в 2т0с2,
то этот переход в классической физике невозможен. Поэтому здесь
нет никакой надобности учитывать двойной знак энергии. Однако
в квантовой физике переходы между дискретными уровнями энер-
510	РАДИОАКТИВНОСТЬ	[гл. XXI
гии не только не исключаются, но являются обычными, если, ко-
нечно, не существует какого-нибудь правила отбора, запреща-
ющего данный переход. Дирак показал, что правило отбора, кото-
рое позволило бы исключить возможность перехода между уров-
нями 4-т0с2и —/?г0с2, не существует и что, наоборот, вероятность
такого перехода очень велика. Таким образом, релятивистское
волновое уравнение неизбежно приводит к необходимости сущест-
вования состояний электрона с отрицательной полной (реляти-
вистской) энергией.
Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство: пове-
дение электрона в электромагнитных полях зависит от отноше-
ния е/m. Поэтому отрицательный электрон с отрицательной мас-
сой (отрицательной энергией) должен вести себя, как частица
с отношением заряда к массе, равным	, т. о. как поло-
жительно заряженная частица. Не является ли электрон с отрица-
тельной энергией позитроном? Этой гипотезе, однако, резко
противоречит тот факт, что позитрон ведёт себя, как обычная
частпца, и не обладает томи парадоксальными свойствами, кото-
рые присущи электрону с отрицательной энергией. Для выхода
из этого затруднения Дирак предложил гипотезу, согласно кото-
рой в нормальном состоянии все уровни отрицательной энергии
заняты электронами, а уровни положительной энергии заняты
только отчасти. По принципу Паули на каждом уровне может
находиться только два электрона; поэтому переходы на уровни
с отрицательной энергией невозможны, так как все эти уровни
уже заняты и электроны с положительной энергией существуют
устойчиво, как обычные электроны. Ввиду того, что число уров-
ней отрицательной энергии бесконечно велико, гипотеза Дирака
требует, чтобы всюду постоянно находилось бесконечное количе-
ство электронов с отрицательной энергией. Именно потому, что
все эти электроны образуют совершенно равномерный фон, они
самп по себе недоступны наблюдению. Если, однако, в. этом
абсолютно однородном фоне возникает «дырка», т. е. если один
из электронов с отрицательной энергией, поглотив достаточное
количество энергии, переходит в область положительных энергии
Е mQc2, то мы, во-первых, обнаруживаем его как обыкновенный
электрон с положительной энергией, а во-вторых, становится
заметной и «дырка». Однако эта «дырка» в отличие от самих
электронов с отрицательной энергией будет уже вести себя, как
обыкновенная положительно заряженная частица.
В самом деле, в нормальном состоянии, когда все уровни
отрицательной энергии заняты, полный импульс всей системы
равен нулю. Если удалить один электрон из этого фона, то воз-
никает добавочный некомпенсированный импульс р+ =—р; это
значит, что «дырка» должна иметь импульс, направленный про-
§ 283]
ОБРАЗОВАНИЕ ПАР
511
тивоположно импульсу электрона с отрицательной энергией,
т. е. она будет лишена указанных выше парадоксальных свойств
и будет вести себя, как обыкновенная частица.
Дирак сначала отождествил эти дырки с протонами, но за-
тем было выяснено, что они должны вести себя, как частицы
с массой, равной массе электрона. Открытие позитрона при-
несло подтверждение тому, что такие положительные электроны
существуют.
§ 283. Образование пар
Рассмотрим несколько подробнее следствия дырочной теории
Дирака. Положим, что электрон, находящийся в состоянии
с отрицательной энергией, поглощает у-фотон. Так как наиболь-
шее значение отрицательной энергии есть —тос2, а наименьшее
значение положительной есть +т0с2, то энергия фотона должна
равняться по крайней мере 2т0с2, для того чтобы электрон мог
перейти из состояния с отрицательной энергией в состояние
с положительной энергией. Так как mQ есть масса покоя элек-
трона в энергетических единицах, равная т0с2 — 0,51 MeV, то
2т0с2= 1,02 MeV. Однако одного только сообщения энергии 2тос-
недостаточно для того, чтобы переход совершился, так как дол-
жен выполняться не только закон сохранения энергии, ио и закон
сохранения количества движения. Нетрудно убедиться в том, что
при образовании за счёт поглощённого фотона пары частиц с
массой покоя, не равной нулю, закон сохранения количества
движения в системе фотон —пара не будет выполнен. В самом
деле, для фотона отношение импульса к энергии равно
р _hv/c__ 1
Е	hv	с ’
для частиц же при mQ ф 0
р' _________________________mv __о 1
Е'	тс2	г с	’
откуда при Е ~ ЕГ
--=р.
р
где р = у < 1. Поэтому, если фотон превращается в пару электрон —
позитрон при той же полной энергии (Zzv = 2m0c2), то сумма им-
пульсов этих частиц будет меньше импульса фотона. Отсюда
следует, что для образования пары под действием у-фотона необ-
ходимо участие третьей частицы, берущей на себя избыток им-
пульса. Такой третьей частицей обычно является ядро, в кулоновом
512
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
поле которого и возникает пара. Третьей частицей может служить
также и электрон; в этом случае вледствие малой массы электрона
импульс, получаемый им при образовании пары, будет настолько
велик, что след этого электрона можно обнаружить в камере
Вильсона, где должна наблюдаться не пара, а тройка частиц.
Ряд таких троек удалось сфотографировать. Одна из этих фото-
Рис. 372. Образование тройки: электрон—
позитрон—электрон отдачи. Рождение пары
произошло в точке, указанной стрелкой. След
электрона отдачи—крайний справа.
графий приведена на рис. 372; здесь ясно виден наряду с обычной
парой ещё короткий след, принадлежащий «электрону отдачи».
Детальное исследование образования пар в газах под действием
у-лучей было выполнено Л. В. Грошевым, который сделал с этой
целью около 15 000 стереоскопических фотографий с камерой
Вильсона, помещённой в магнитное поле, и нашёл около 450 пар
в азоте и в тяжёлых благородных газах — криптоне и ксеноне.
Измеряя кривизну траекторий, он определял энергию обеих частиц
и полную энергию пары. На рис. 373 приведена кривая зависи-
мости числа пар в азоте от энергии. Как видно, эта кривая имеет
резкий максимум около 1600 keV. Пары возбуждались у-излуче-
пием ТЬС", наиболее интенсивная линия которого соответствует
энергии фотона в 2620 keV. Так как по предыдущему энергия,
необходимая для образования пары, равна 1 MeV = 1000 keV, то
§ 283]
ОБРАЗОВАНИЕ ПАР
513
эта кривая является наглядной демонстрацией баланса энергии
при образовании пар.
Образование пар объясняет также сильное возрастание по-
глощения жёстких у-лучеп в тяжёлых веществах. В самом дело,
при малых частотах поглощение у-лучей происходит за счёт фото-
эффекта и эффекта Комптона. При достаточно большой частоте
фотона фотоэлектрическое поглощение становится ничтожным,
и остаётся комптоновское поглощение. Однако для очень жёстких
у-лучей и тяжёлых веществ формула Клейна — Нишины — Тамма
даёт поглощение, приблизительно па 50% меньшее наблюдаемого
Рис. 373. Зависимость образования пар в азоте
от энергии 7-лучей.
па опыте. Избыток поглощения как раз и объясняется тем,
что у-кванты с энергией > 1 MeV затрачиваются не только па
комптоновское рассеяние, но также и па образование пар.
Теория возникновения пар излагается в руководствах п моно-
графиях по квантовой электродинамике *). Опа приводит к следу-
ющей зависимости эффективного сечения образования пар у-лучами
высоких энергий от атомного номера Z ядра, в поле которого
происходит образование пары
"пар — 137 л >
где г0 — классический радиус электрона (г0 = 2,8 • 10~13сл). Выраже-
ние множителя К сложно, и мы приведём только его численные
значения для фотонов различных энергий. Введём обозначение
72,2	7 О/ . ЛП-26
’ = ^==Т^2=5’71-10"28-22-	(283.1)
*) См. В. Гайтлер, Квантовая теория излучения, гл. IV, Гостех-
издат, 1940.
514
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
В следующей таблице приведены значения -— = 7^ для фотонов
G
различной энергии (энергия фотона выражена в единицах лг0с2).
Таблица LIII
7?.у т0с2	3	4	5	10	50	оо
сиар	0,085	0,32	0,61	1,94	6,4	11,5
						
Пользуясь формулой (283,1), получаем, например,
для алюминия (2 = 13)	о = 9,7 • 10-26;
для свинца	(2 = 82)	о = 3,84- 10~24.
По этим значениям а с помощью таблицы LIH можно вычислить
апар. Например, для -^ = 10 Гт. о. для hv — 5MeV>)^^ -- 1,94.
7Л0С	х.	/с
Подставляя сюда а, получаем для А1
апар = 1,94-9,7 • 1Сг26 = 1,88-10~25,
для РЬ
Спар = 1,94 • 3,84 • 10-24 = 7,45 • 10~24.
Наряду с образованием пар возможен и обратный процесс.
Возникновение позитрона, по теории Дирака, означает освобожде-
ние одного из уровней отрицательной энергии. Наоборот, если
какой-нибудь уровень отрицательной энергии свободой, то элек-
трон с положительной энергией может совершить квантовый пере-
ход и занять этот свободный уровень. В результате все уровни
отрицательной энергии окажутся вновь заполненными, т. с. «дырка»
перестанет существовать, и пара частиц «исчезнет», а разность
энергий положительного п отрицательного уровней освободится
в виде у-излучения. Этот процесс неудачно назван «аннигиляцией»,
т. е. «уничтожением» частиц. Термин этот неудачен, так как
никакого исчезновения частиц но происходит; тем по менее, по-
скольку этот термин уже установился, мы им будем пользоваться.
Закон сохранения импульса требует, чтобы излучение, осво-
бождаемое при аннигиляции, выделилось в виде двух фотонов.
В самом деле, в системе координат центра инерции сумма импуль-
сов пары электрон — позитрон перед аннигиляцией, очевидно, равна,
пулю. Чтобы она оставалась равной нулю после аннигиляции
необходимо образование двух противоположно направленных фото-
нов. Если при этом переход совершается между уровнями 4-zn0c2
п - гп()с2 (наиболее вероятный случай), то разность уровней равна
§ 283]
ОБРАЗОВАНИЕ ПАР
515
2zn0c2 и энергия каждого фотона должна быть Е — т0с2 — 0,51 MeV.
Испускание одного фотона при аннигиляции возможно только
в присутствии какого-нибудь ядра, берущего на себя избыток
импульса.
Существование аннигиляционного излучения с энергией фо-
тона 0,51 MeV, пе зависящей от вещества, внутри которого
происходит аннигиляция, подтверждено многочисленными экспери-
ментами. Его длина волпы определяется из соотношения /гм =
= у = 0,51 • 1,6 • 10-6 эрг, так что
6,6 • 10'27 • 3 • Ю1»
ОСИ • 1,6 • Ю~6 • Ю’3
А = 0,024 А.
Легко видеть, что эта длина волны должна быть равна комп-
тоновской длине волны А (т. I, § 118). Действительно, энергия
0,51 MeV соответствует массе покоя электрона, г. е. т0с2. Из соот-
ношения
9 he
т0с2 -г-
получаем
Значение А, вычисленное ио точным величинам универсальных
констант h, т0 и с,
А = 0,024265 А
хорошо согласуется с непосредственно измеренной длиной волны X.
Два фотона, возникающие при аннигиляции электрона и пози-
трона, должны быть направлены в прямо противоположные сто-
роны в системе координат центра инерции. Для перехода к лабо-
раторной системе координат надо учесть ещё, скорость центра
инерции, и если эта скорость достаточно велика,—угол между
направлениями вылета обоих фотонов в лабораторной системе
координат должен немного отличаться от 180°. Проверка этих след-
ствий закона сохранения импульса является, с одной стороны,
проверкой правильности описанного механизма возникновения
аннигиляционного излучения, а с другой, —испытанием примени-
мости закона сохранения импульса в случае микроскопических
процессов. Опыты, выполненные сначала Клемперером, а затем —
в лучших условиях — советскими физиками А. И. Алихановым,
А. И. Алихапяпом и Л. А. Арцимовичем, показали, что импульсы
фотонов аннигиляции действительно направлены противоположно
в пределах нескольких градусов. Наиболее точная проверка
закона сохранения импульса при аннигиляции была недавно
(в 1950 г.) осуществлена II. А. Власовым и Б. С. Джелеповьш
516
РАДИОАКТИ В11 ОС ТЬ
[гл. XXI
следующим образом (рис. 374): в А помещался источник анниги-
ляционных у-лучей, в качестве которого была взята радиоактив-
ная медь 29С1164; но обо стороны источника, в В u С; помещались
группы счётчиков, вклю-
чённых в схему совпадений.
8	дБлагодаря этому схема сра-
(oooj-	l	батывала только тогда, ког-
Рис. 375. Угловое распределение им-
пульсов фотопов аннигиляции по
Власову и Джелепову.
да разлетающиеся в разные
Рпс. 374. Опыт Власова и Джелепова. стороны фотоны проходи-
ли через счётчики одновре-
менно. Прибор был устроен так, что группа счётчиков С могла
вращаться около оси, проходящей через А, ввиду чего мож-
но было устанавливать число
совпадений при углах ср, от-
личных от 0. Кривая рпс. 375
представляет результаты опыта:
по оси абсцисс отложепы углы
ср, по осп ординат — число совпа-
дений. Как видно из рисунка,
крпвая имеет острый максимум
при © = 0°, а при <р = ± 1° спа-
дает почти до нуля. Это опреде-
лённо показывает, что скорость
центра инерш-ш но оказывает
заметного влияния (в пределах
высокой разрешающей способ-
ности прибора) на угол между
импульсами фотопов аннигиля-
ции, а отсюда в свою очередь
следует, что позитроны аннигилируют с медленными электронами
меди, т. с. с электронами проводимости, а по с электронами оболо-
чек попов, образующих решётку металла.
С. ТИПЫ РАДИОАКТИВНЫХ ПРЕВРАЩЕНИИ
§ 284. Альфа-распад
Объяснение вылета а-частицы из ядра представляет непре-
одолимые затруднения для классической физики. Оказывается,
прежде всего, что для всех естественных а-излучателеп энергия
а-частицы значительно меньше высоты потенциального барьера
ядра. Приведём два примера: 1) высота потенциального барьера
112О238 для а-частицы равна
В = 0,96 • zZA » = 1,92^ = 28,1Ме'',
О ? 40
§ 28 4]
АЛЬФА-РАСПАД
517
пожду тем энергия а-частиц 92U238 составляет всего 4,2 MeV;
2) высота потенциального барьера радиоактивного самария ^Sm152
равна 22 MeV, а энергия а-частпцы — всего 2,0 MeV. Огромные
периоды полураспада обоих этих а-излучателой (для U238 Т —
4,5 • 10° лет, дляБш152 Т = 2,5 • 1011 лет) указывают на то, что
испускание а-частицы в этих случаях ость процесс крайне мало-
вероятный. Можно указать, однако, ещё один интересный пример:
Рпс. 376. Упрощённая потенциальная модель ядра.
а-частицы 7,365 MeV, всего в 1,75 раза большей энергии а-частицы
U238, имеет период 150 реек., т. с. вероятность распада,
в К)21 раз большую, нежели О238. Подобные соотношения абсо-
лютно непонятны с точки зрения классической физики.
Однако с точки зрения квантовой механики такие свойства
а-излучателей пе представляют никакой загадки. В самом дело,
вылет а-частпцы из ядра есть типичный случай туннельного
перехода — явления, с которым мы уже часто встречались раньше.
Рассмотрим сначала очень грубую модель процесса: а-частица
с энергией Е находится в поле остального ядра, имеющего влд
прямоугольного потенциального ящпка шпрптты г0, равной радиусу
ядра (рпс. 376); барьер ширины d будем считать также прямо-
угольным. Согласно формуле (145,13) (т. I, § 145) «прозрачность»
барьера D равна
D = е~‘^ K2m(L'J“£)d , (fro = в)
Как и во всех случаях, когда приходится иметь дело с тун-
нельными переходами, прозрачность I) очень сильно зависит
от наличии, входящих в показатель. В данном случае перемен-
ными величинами являются энергия а-частнцы К и ширина
барьера d. Чтобы найти связь между вероятностью а-распада
518
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
п энергией, будем рассуждать следующим образом. Представим
себе, что с.-частица движется между стенками барьера. При каж-
дом «ударе» о «стоику» она имеет определённую вероятность отра-
зиться и определенную вероятность пройти через барьер и выйти
наружу; последняя вероятность, очевидно, равна D. Полная
вероятность в единицу времени «ускользнуть» из ядра, очевидно,
пропорциональна D и частоте ударов п о стенку. Эта вероятность
и есть постоянная распада а:
к — Dn.	(284,1
В свою очередь н равно обратной величине времени, необходи-
мого а-частице, имеющей скорость у, чтобы пройти от одной
стенки до другой, т. е. пройти расстояние, равное радиусу
ядра /?0:
(284,2)
Радиус ядра по порядку величины можно положить равным
длине волны дс-Брогля, делённой па 2я:
откуда
h
° ~ 2^11^
и
n = ^RS-	<2М'3)
Принимая во внимание (284,1) и (284,3), получаем
Эта формула даёт качественное объяснение закона Гейгера—Пэт-
тола. Действительно, из (284,4) находим
In ?. = In * -% |/ 2» (С„- £)’'• d. (284,5)
« «.rJ. J.L Q	1с
Здесь первый член можно считать постоянным, так как М и RQ
в пределах данного радиоактивного семейства меняются мало,
а логарифм —ещё менее. Поэтому формулу (284,5) можно
переписать в виде
In X — А + /(£),	(284,6)
соответствующем закону Гейгера—Нэттола.
§ 284]
АЛЬФА-РАСПАД
519
Лучший в количественном отношении результат получается,
если для потенциальной кривой ядра выбрать кривую рис. 377,
соответствующую экспериментальным данным — по крайней мере
в своей внешней части. В этом случае для прозрачности барьера D
надо воспользоваться выражением, приведённым в т. I, § 145,
формула (145,14):
Hi
— Угм J Кй—й dr
D=-e	R ,	(284,7)
где R— радиус ядра и — абсцисса точки пересечения потен-
циальной кривой с уровнем энергии а-частпцы (рпс. 377). Инте-
грал, входящий в формулу
(284,7), может быть вычи-
слен, и тогда получается
выражение для D, а сле-
довательно, и для а, за-
висящее от радиуса ядра
R. С помощью этой фор-
мулы можно вычислить
величины R по известным
периодам полураспада
гп 1и 2
Т —	, причем для раз-
личных радиоэлементов
должны получиться близ-
кие значения R. Эта проверка теории является очень строгой, так
как уже при очень небольших изменениях R период Т меняется
в огромное число раз. Вычисление показывает, что для членов всех
естественно-радиоактивных семейств R действительно меняется
всего лишь в пределах 8,2 —9,8 • 10~13с.м, в то время как отноше-
ние величин Т в крайних случаях имеет порядок W14.
Чрезвычайно сильная зависимость Т от величин, входящих
в показатель формулы (281,7), позволяет объяснить тот факт,
что пе наблюдается радиоактивности с выбрасыванием протонов.
Действительно, высота потенциального барьера
(z — заряд выбрасываемой частицы) для протонов в два раза
меньше, нежели для а-частиц (z = 2). Поэтому для возбуждён-
ных уровней интеграл
Hi
dr
520
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
в случае протонов имеет существенно меньшую величину, не-
жели в случае а-частиц, вследствие чего периоды Т оказываются
ничтожно малыми (порядка 10-12 сек.). Такую радиоактив-
ность наблюдать невозможно — распад заканчивается практически
мгновенно.
§ 285. Гамма-лучи, сопровождающие альфа-распад,
и уровни энергии ядра
Во многих случаях а-лучл испускаются в впде нескольких
групп частиц с определёнными энергиями. При этом чаще всего
наибольшей интенсивностью обладает
группа с максимальной энергией, а
группы частиц с меньшими энергиями
мало интенсивны. В редких случаях,
однако, наряду с основной группой
наблюдаются группы а-частиц со зна-
чительно более высокой энергией (длин-
нопробежпые а-частпцы). Наиболее точ-
ное определение энергии этих групп
а-частиц выполняется с помощью маг-
нитного спектрографа с фокусировкой
па и радианов (см. т. I, § 9). На
рпс. 378 приведён пример такого кор-
пускул яркого спектра а-частиц. Рез-
кость линий этого спектра свидетель-
ствует о строгой определённости энергий
Рпс. 378. Энергетический
спектр а-частиц ThC, полу-
ченный с. помощью магнит-
ного спектрографа.
испускаемых а-частиц, а это в свою очередь указывает па
строгую определённость энергетических уровней ядер.
Чтобы понять происхождение топкой структуры эиергетиче-
ского спектра а-частиц и её связь с
у-пзл учением, рассмотрим
сначала простейший при-
мер спектра а-частиц,
испускаемых радием,
?sRa222, при его превраще-
нии в радон, SBRn218. Маг-
нитный анализ обнаружи-
вает здесь две группы
а-частиц с энергиями
4,793 и 1,612 MeV. Чтобы
Рис. 37У. Уровни энергии радона, построен- "i1™ этто1)гпп Распада в
пые на основании анализа энергии а-ча- ооопх случаях, нужно
стиц радия.	ещё к энергиям а-частпц
прибавить энергии отдачи
возникающего ядра Rh218. Таким образом, получается 4,879
и 1,695 MeV. Причина появления этих групп состоит в том, что
§ 285]
ГАММА-ЛУЧИ, СОПРОВОЖДАЮЩИЕ АЛЬФА-РАСПАД
521
при распаде с энергией 4,879 MeV возникающее ядро радона ока-
зывается в нормальном состоянии, а при распаде с энергией
4,695 MeV—в возбуждённом. Разность энергии в обоих случаях равна
4,879 - 4,695 = 0,184MeV. Можно ожидать поэтому, что радон
будет испускать у-лучи с энергией фотона, равной 0,184MeV.
Опыт показывает на самом деле, что Rn попускает у-лучи с энер-
гией 0,189 MeV, совпадающей в пределах ошибок с указанной
разностью энергий а-распада в обоих случаях. 11а основании этих
соображений можно построить схему уровней энергии ядра 8GRn218,
приведённую на рис. 379 и понятную без дальнейших пояснений.
В качестве второго, более сложного примера рассмотрим
превращение ThC—»ThC". Магнитный анализ а-лучей ThC обна-
ружил пять групп а-частиц со следующими энергиями (приво-
дятся энергии распада, т. е. энергии а-частиц плюс энергии ядра
отдачи).
Таплпца TJV
Группа	Энергия в 106 eV	О/ /О
Ео	6,200	27,20
Е.	6,160	69,80
	5,872	1,80
ЕЕ	5,728	0,10
Е,	5,708	1,10
В следующей таблице сопоставлены известные шерглп у-фото-
пов, испускаемых JhC" с разностями энергий а-частиц:
Т а б л и ц a LV
Энергия (-фотона	। Разность энер- * гни 7-частиц, MeV	Переход
0,040	0,040	Ех - Е,
0,327	!	0.328	Е2-Е„
0,471	i	0,472	Е3-- Е„
0,287	0,288	Е2 Е{
0,432	1	0,432	Е.л- /5
0,451	0,452	Е.х-Ех
Сиппадеппе энергий у-фотонов с разностями энергий а-частиц
опять пршюсходпое. Построенная на основании этих данных схема
уровней энергии ThC" с указанием переходов приведена на
рпс. 380.
522
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл XXI
Рассмотрим теперь возникновение длиннопробежных а-частиц
и их связь с ^-излучением, пользуясь примером а-превращения
Рис. 380. Уровни энергии ThC', построен-
ные па основании тонкой структуры энер-
гетического спектра а-частиц TliCI.
ThC' —>ThD. В этом слу-
чае основная группа а-ча-
стиц (почти 100%) обладает
энергией 8,778 MeV, ко
имеются ещё две чрезвычай-
но слабые группы с боль-
шими энергиями, а имен-
но: 9,491 MeV (0,0034%) и
10,571 MeV (0,019%). Но
ядро ThC' в свою очередь
возникает из ядра ThC
путём ^-превращения, при-
чём имеется четыре груп-
пы р-частиц (их максималь-
ные энергии указаны на
рис. 381). Из этого сле-
дует, что при переходе
ThC —> ThC' ядро ThC'
возникает либо в нормальном, либо
При a-превращении ThC'—>ThD из
в возбуждённых состояниях,
нормального состояния ThC'
возникает основная группа
а-частиц с энергией 8,778 MeV.
Если же ядро ThC' в резуль-
тате предшествующего 3-ире-
вращенпя ThC—>ThC' возник-
нет в возбуждённом состоянии,
то дальнейшее превращение
ThC'—>ThD может осущест-
виться одним из двух путей:
ядро ThC' может либо сначала
перейти путём у-пзлучония
в нормальное состояние, а за-
тем из этого нормального со-
стояния испытать превраще-
ние ThC'—ThD с нс пусканием
основной группы а-частиц
8,778 MeV, либо непосредст-
венно испытать а-превраще-
пие с возбуждённого уровня
ThC', и тогда а-частица бу-
дет испущена с соответст-
венно большей энергией. Оче-
видно, что разность энергий р
Рис. 381. Уровни энергии ThC', по-
строенные из анализа длиннопробежных
а-частиц.
спада с длипнопробежной а-частицей
л распада с а-частицей основной группы должна быть равна энергии
5 -86]	БЕТА-РАСПАД	523
у-фотона, испускаемого при превращении ThC', когда это превра-
щение идёт в два этапа. Это и наблюдается на самом деле, если
только для расчётов пользоваться не просто энергиями а-частиц,
по энергиями распада, т. е. учитывать и энергии ядра отдачи.
Примеры таких совпадений читатель легко может извлечь из рас-
смотрения рис. 381 (для вычисления энергий у-фотовов путём вы-
читания следует пользоваться левой шкалой, где указаны энергии
распада). Отметим, что сопоставление энергий длипиопробежпых
а-частиц с энергиями основной группы позволяет установить
уровни исходного ядра (например, ThC', а не ThD), тогда как
группы а-частиц с меньшей энергией, нежели основная, дают
сведения об уровнях ядра-продукта (в рассмотрепнохм ранее при-
мере—ThC", а не ThC).
§ 286. Бета-распад
3-распад, как уже было указано, состоит в превращении атом-
ных ядер, сопровождаемой! испусканием отрицательных или
положительных электронов. Так как, однако, ни электронов,
ни позитронов в ядре пот, то сущность [3-процесса состоит в пре-
вращении нуклеонов: при [3_-распаде один из нейтронов ядра пре-
вращается в протон, а при р -распаде один из протонов превра-
щается в нейтрон (см. § 244). 14 числу [3-процсссов относится также
превращение протона в нейтрон, при котором ядро по. испускает
позптропа, но захватывает отрицательный электрон пз своей
собственной электронной оболочки (так называемый 7<-захват).
Простейшим примером 8~-процесса является [3-распад свободного
нейтрона (см. ниже, § 297); [3~-радиоактпвпым является также ядро
сверхтяжёлого водорода, трития, Н3 или Т3. Это ядро состоит из
одного протона и двух нейтронов; при ^-превращении трития,
происходящем с периодом 12,1 года, один из нейтронов превра-
щается в протон, и возникает стабильный лёгкий: изотоп гелия,
Не3, а электрон выбрасывается наружу.
Самый лёгкий изотоп, превращающийся с испусканием позитро-
нов, ость изотоп углерода 6С10. Его ядро состоит пз шести прото-
нов п четырёх нейтронов. Такая комбинация нуклеонов крайне
неустойчива, н 6С10 испытывает З’-распад с периодом 19,1 сек.,
превращаясь в стабильный изотоп бора 5В10, у которого число
нейтронов равно числу протонов. Неустойчив относительно
[3‘-распада также и следующий изотоп углерода 6СН, который пре-
вращается в другой изотоп бора 5Ви с периодом 20,4 мин.
Наконец, наиболее лёгкий изотоп, превращающийся путём
А'-захвата, есть 4Ве7: в результате захвата /й-э.тектропа один из
протопоп 41 Si*7 превращается в нейтрон (период 53 дня), и возникает
стабильный изотоп лития ;jLi7, характеризуемы)'! наибольшей
распространённостью (92,7(3%).
524
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
Из этого краткого обзора ^-превращений лёгких ядер мы
видим, что 3-процесс возникает всякий раз, когда имеется два
ядра-изобара, т. е. два ядра, состоящие из одинакового числа
пуклеопов, ио различающиеся своим зарядом на 1. При этом
процесс, естественно, ведёт всегда к возникновению стабильного
изобара. Очень редкие исключения, когда два соседних по заряду
ядра изобара оба являются стабильными, будут рассмотрены
далее (§ 292). Как мы увидим, п в этих случаях стабильность обоих
изобаров—только кажущаяся. 1 fa самом деле одни из них испы-
тывает 3-превращение, но период его настолько велик, что оно
не всегда может быть установлено.
^-радиоактивные изотопы встречаются во всей периодической
системе как среди лёгких, так п среди тяжёлых изотопов. Этот
вид радиоактивности является вообще наиболее часто встречаю-
щимся (см. таблицу изотонов в конце книги).
§ 287. Бета-спектры
При исследовании энергетического спектра 3-частиц с помощью
магнитного спектрографа с поперечным однородным магнитным
нолем обнаруживается характерная особенность, резко отличаю-
щая 3-спектры от спектров а-частиц: в то время как спектры а-ча-
стиц состоят из одной или нескольких групп частиц с дискретно
распределёнными энергиями, 3-споктры всегда сплошные. Они
показывают, что ^частицы испускаются со всевозможными энер-
гиями, начиная от некоторой определённой верхней границы.
287 j
БЕТА-СПЕКТРЫ
525
TTa рис. 382 и 383 приведены примеры типичных [3-спектров:
спектр радиоактивного изотопа калия К40 (по Б. С. Джелепову,
Копьёвой и Воробьёву) и спектры Р30 и А128 (по А. И. Алиханову,
А. И. Алихапяпу и Б. С. Джелепову). Все эти спектры имеют
следующие характерные особенности: а) наличие максимальной
энергии — кривая, изображающая спектр, не приближается к оси
абсцисс асимптотически, по пересекает её в точке, соответствую-
щей максимальной энергии испускаемых [3-частиц; Ь) наличие
максимума, соответствующего энергии, равной приблизительно
одной трети максимальной.
Сплошной характер [3-спектра представлял собой факт в выс-
шей степени загадочный. Возникает естественный вопрос, почему
электроны, испускаемые ядрами, обладают всевозможными энер-
гиями, начиная от нуля, в то время как поразительная определён-
ность энергетических состояний ядра, обнаруживаемая, например,
при юраспадо, представляет одну из характернейших особенностей
ядерной физики?
Для объяснения этого странного парадокса можно выдви-
нуть различные гипотезы:
I.. При каждом [З-превращонпи испускается два [3-электрона,
которые в сумме обладают должной энергией, по распределяют
её между собой произвольным образом. Эта гипотеза опровер-
гается тем, что при [З-превращеипи заряд ядра изменяется па
одну, а не на две единицы.
2. Электроны испускаются с определённой энергией, равной
разности энергий ядра до п после превращения, но растрачивают
часть своей энергии внутри радиоактивного препарата. И эта
гипотеза опровергается точными калориметрическими опытами,
при которых препарат (радий Е), заключённый! в свинцовую
526
РАДИОАКТИВНОСТЬ
оболочку, помещался в калориметр с толстыми медными стенками,
и измерялось выделение энергии за определённый промежуток
времени. Так как препарат был помещён в оболочку, заведомо
непроницаемую для р-лучей, то необходимо было ожидать, что
вся энергия, выделяемая при распаде, останется внутри оболочки.
В таком случае, если бы гипотеза была верпа, средняя энергия,
приходящаяся на одни акт распада, должна была бы равняться
максимальной энергии в 3-спектре. В действительности же она
оказалась с поразительной точностью совпадающей не с макси-
мальной, но со средней энергией: в сплошном р-спектре.
Описанные калориметрические опыты, многократно повто-
рявшиеся различными исследователями с большой точностью,
по с тем же результатом, создали крайне тяжёлое положение,
так как они, казалось бы, с полной очевидностью показывали, что
часть энергии исчезает неизвестно куда. Некоторые физики-
идеалисты поэтому высказали гипотезу, что при 8-распаде закон
сохранения энергии не имеет места. Но эта гипотеза решительно
опровергается тем, что ни в одном процессе, включая все осталь-
ные ядерные превращения и взаимодействия между веществом
н излучением, не только никогда не наблюдались отступления от
закона сохранения энергии, но, наоборот, во всех случаях он под-
тверждался с безукоризненной точностью.
Далее, эта гипотеза опровергается также и фактами, непосред-
ственно относящимися к [В-спектрам. Сюда принадлежит, прежде
всего, упомянутое наличие верхней границы 8-спектра. Если найти
разность энергий ядер до и после p-превращения, то с точки зре-
ния закона сохранения энергии необходимо ожидать, что энергия
р-частиц будет равна именно этой разности. Изучение р-спектров
показывает, что энергия, соответствующая верхней границе, точно
удовлетворяет этому требованию. Однако наряду с этим встре-
чаются электроны, обладающие меньшей энергией, и притом в зна-
чительно большем количестве. Если бы электроны могли испу-
скаться с любыми энергиями вне зависимости от закона сохра-
нения, то непонятно, почему они но испускаются с энергиями,
большими верхней границы, т. о. почему они только теряют
энергию неизвестно куда, по по могут приобретать её?
Далее, к числу фактов, подтверждающих сохранение энергии
при ^-распаде, относятся энергетические соотношения в так назы-
ваемой «ториевой вилке»:
в
ThB -ThC /	;ты).
Очевидно, что сумма энергий, выделяемых при распаде по верх-
нему пути, должна равняться сумме энергий, выделяемых при
распаде ио нижнему пути, л обе эти суммы должны быть равны
S 288]
НЕЙТРИНО
527
разности энергий ThC — ThD. Опыт показывает, что это имеет
место на самом деле, если за энергию 3-превращения принять.
максимальную энергию в (3-спектре; тогда получается
ThC —> ThC'—> ThD,	+	=11,20 MeV,
ThC -> ThC" -> ThD,	EC + Efmax = 11,19 MeV,
в то время как, если принять за энергию 3-распада среднюю'
энергию, — баланс нарушается.
§ 288. Нейтрино
Выход из затруднения, описанного в предыдущем параграфе,
был указан гипотезой, предложенной Паули, согласно которой
при каждом p-превращении одновременно с [3-электроном испу-
скается ещё другая частица, не имеющая заряда и обладающая
массой, значительно меньшей массы электрона; такие гипотетиче-
ские частицы были названы нейтрино, что означает «маленький
нейтрон» (см. § 246). Благодаря своей ничтожной массе, а также
отсутствию заряда нейтрино практически совершенно не погло-
щаются веществом. Поэтому ни свинцовая оболочка препарата,
ни толстые стенки калориметра не могут их задержать. По тем же
причинам наблюдать непосредственно эти частицы невозможно.
Были сделаны попытки обнаружить ионизацию, вызываемую радио-
активным препаратом после того, как все его (3-лучи заведомо
поглощены. Для этой цели использовался очень сильный препа-
рат, содержащий 5 г радия, а излучение фильтровалось слоем
свинца толщиной до 1 м. Опыты делались глубоко под землёй для то-
го, чтобы свести к минимуму ионизацию, создаваемую космическими
лучами (см. гл. XXIV). Эти опыты и последующие расчёты показали,
что если нейтрино и обладают способностью к ионизации, то эта
ионизация совершенно ничтожна: не более одной пары ионов
на 500 км пути в воздухе.
Однако косвенные соображения, помимо песохрапенпя энер-
гии в системе ядро—р-частица, весьма убедительно свидетель-
ствуют в пользу существования третьей частицы, выбрасываемой
при (3-распаде. В § 239 мы видели, что спиц ядра зависит только
от массового числа: для чётных массовых чисел спин всегда цело-
численный, для нечётных—половинный. При В-превращении
массовое число не изменяется; следовательно, должен сохраниться
и характер спина. Но так как [3-электрон уносит с собой спин,
равный х/2, то одновременно с ним должна испускаться и другая
частица, также обладающая спином, равным х/2. Отсюда следу-
ет, что если допустить существование нейтрино и ирппнс ть ему
спин, равный х/2, т0 затруднение со спином также будет полностью
устранено.
528
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
Хотя непосредственное экспериментальное обнаружение ней-
трино, например по фотографиям их следов в камере Вильсона,
невозможно, существует путь экспериментального подтверждения
гипотезы о существовании нейтрино, основанный на изучении
импульсов частиц, принимающих участие в (3-распаде. Суть дела
заключается в следующем. При вылете [3-частицы, как и при
вылете а-частицы, ядро должно испытать отдачу. Если ^-распад
состоит в выбрасывании только одной частицы—электрона (или
позитрона), то в силу закона сохранения количества движения
импульс ядра отдачи должен быть равен и противоположен им-
v	пульсу выбрасываемой ча-
стпцы так, чтобы векторная
Та^***^	сумма обоих импульсов
равнялась нулю. Если же
при (3-распаде выбрасыва-
-срЧ	ются одновременно две ча-
\	стпцы — электрон и	ней-
\	трино,—то должна	быть
равна нулю векторная сум-
Рис. 384. К закону сохранения	количества ма трёх импульсов	элек-
движспия при ;3-распаде с участием трона, нейтрино и ядра от-
иейтрино.	дачи (рис. 384). Представим
себе теперь, что нам уда-
лось непосредственно измерить не только энергию ,8-частицы, но
также импульсы (3-частицы и ядра отдачи И притом как по вели-
чине, так и по направлению. Если при этом окажется, что
векторная сумма обоих импульсов не равна нулю. т. е. что
ядро, выстреливая [3-частицу, отскакивает в сторону, а не в прямо
противоположном [З-частице направлении, то это и будет убеди-
тельным доказательством существования нейтрино.
Однако опыты в такой отчётливой форме крайне трудны,
и лишь в последнее время (1948 г.) были сделаны удачные по-
пытки обнаружения нейтрино подобного рода прямыми опытами.
Поэтому в других опытах был использован менее прямой и со-
ответственно менее убедительный путь обнаружения нейтрино:
в этих опытах изучалось распределение ядер отдачи только по
энергиям. В самом деле, из кривой распределения электронов по
энергиям (см, кривые на рис. 382—383) можно найти кривую
их распределения по импульсам, пользуясь соотношением между
импульсом п энергией. Если в процессе 3-распада участвуют
только две частицы—электрон и ядро отдачи, то кривая распре-
деления последних по импульсам должна итти параллельно кри-
вой распределения электронов по импульсам ввиду того, что в этом
случае импульс ядра отдачи должен быть численно равен импульсу
электрона. Если же при [3-распаде, кроме электрона, вылетает
ещё третья частица, т. е. нейтрино, то кривая распределения ядер
§ 288]
НЕЙТРИНО
529
Рис. 385. Схема опыта
Лейпунского.
отдачи по импульсам будет отличаться от соответствующей кривой
для электронов, а потому и кривая распределения по эпергиям
должна быть иной. Например, в случае, если из ядра вылетает
только электрон, то при малой энергии последнего будет соот-
ветственно мала и энергия ядра отдачи; если же вместе с элек-
троном вылетает и нейтрино, то ввиду того, что сумма энергий
электрона и нейтрино должна быть постоянна и равна верхней
границе (3-спектра, при малой энергии электрона будет соответ-
ственно велика энергия нейтрино, и ядро получит большую
отдачу, обусловленную в этом случае глав-
ным образом импульсом нейтрино.
Экспериментальная задача точного ис-
следования распределения по энергиям
медленных ядер отдачи (3-распада не лег-
ка. Впервые удачный путь для её разре-
шения был указан советским физиком
А. И. Лейпупскпм, опыт которого послу-
жил прообразом для последующих экспе-
риментальных работ. В опыте Лейпунского
в качестве (3-излучателя был использован
лёгкий искусственно-радиоактивный изо-
топ углерода С11, испускающий позитроны.
Необходимость применения именно лёгких
радиоактивных веществ в данном случае
очевидна: масса электрона мала по сравне-
нию с массой ядра, и потому, чем легче
последнее, тем большую скорость и энер-
гию приобретает оно в результате отдачи. В опыте Лейпуп-
ского углекислый газ, содержавший наряду с молекулами
С12О2 также примесь небольшого числа молекул СиО2, адсор-
бировался па охлаждаемой жидким воздухом металлической
поверхности А (рпс. 385). При испускании (3-частиц некоторые
ядра С11 получали отдачу, направленную так, что они срыва-
лись с поверхности и переходили в окружающий вакуум. Между
металлической поверхностью и сеткой В прикладывалась раз-
ность потенциалов, тормозящая положительно заряженные ядра
(точнее—попы). Меняя этот задерживающий потенциал, можно
было пропускать сквозь сетку положительные ионы отдачи, кото-
рые способны преодолеть тормозящее поло (см. аналогичный метод
в случае электронов, т. I, §§ 87—89). Для подсчёта числа этих ионов
применялся следующий приём: па катод 7), сделанный в виде метал-
лического зеркала, подавался отрицательный потенциал в 5000 V,
ускорявший положительные ионы. При ударе о катод эти ионы
вызывали вторичные электроны, которые ускорялись потенциа-
лом—5000 V между катодом и счётчиком Гейгера Г', подсчитывавшим
эти электроны. Ош.тты Лейпунского, носившие полукачествеппый
530
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
характер, показали том не менее, что кривая распределения по
энергиям для ядер отдачи идёт выше кривой распределения элек-
тронов, как и следовало ожидать.
Однако получение ясных результатов с ^-излучателями,
выбрасывающими одновременно и электрон или позитрон, и ней-
трино, оказалось затруднительным. Поэтому чрезвычайно удач-
ным было предложение А. И. Алиханова и А. И. Алиханяна
использовать A-захват с целью обнаружения нейтрино. Оказывает-
ся, что и при таком процессе, когда электрон не выбрасывается пз
ядра, а поглощается им, также необходимо допустить вылет из
ядра нейтрино: в силу закона сохранения момента количества дви-
жения захваченный электрон должен изменить полный спин ядра,
а так как массовое число не меняется, то это противоречило бы уже
известной нам связи между массовым числом и спином (см. стр. 343).
Выгодная для эксперимента особенность нейтрино, выбрасывае-
мых при A-захвате, состоит в том, что все они испускаются с одной
и той же энергией. В самом деле, при обыкновенном 3-распаде
вылетают две частицы: электрон в нейтрино, между которыми
и распределяется полная энергия распада. Наоборот, при А’-за-
хвате пз ядра вылетает только одна частица, именно нейтрино,
уносящая полную энергию распада. Поэтому и ядра отдачи
должны все пмоть одинаковую энергию и одинаковый по величине
импульс. Этим чрезвычайно удобным для постановки эксперимента
свойством ядер отдачи A-захвата и предложили воспользоваться
Алиханов и Алиханян, по проекту которых опыт следовало поста-
вить с A-активным изотопом бериллия 4Ве7, т. е. с одним пз самых
лёгких яде]) периодической системы.
Нетрудно подсчитать энергию, которую должно приобрести
ядро вследствие вылета нейтрино. Действительно, в результате
захвата А-электрона ядром 4Ве7 атомный номер этого ядра умень-
шается на 1 единицу, и возникает ядро 3Li7:
4Ве7 + 3Li7 + v (Т = 43 дня).
Известно, что масса Be7 больше массы Li7 (Be7 = 7,01916, Li7 —
= 7,01822). Принимая во внимание, что ядро Be7 в данном слу-
чае поглощает электрон своего собственного атома, энергию, осво-
бождаемую при реакции и уносимую нейтрино, найдём, умножая раз-
ность масс атомов Be7 и Li7 на 931 [см. § 244, формула (244,3)]. Итак,
Еу = (7,01916 - 7,01822) • 931 = 0,00094 . 931 = 0,87 MeV.
Импульс нейтрино в предположении, что его масса покоя
0.Н7
равна пулю, оудет поэтому	таков же оудет им-
пульс ядра отдачи, а ого энергия
2	2	т-,2
1? _ Рг _ Р'' _ Е'<
<J г ~	~ 2М ~	’
§ 288]
НЕЙТРИНО
531
где М — масса ядра Li7, возникающего в результате захвата
электрона. Это даёт для энергии ядер отдачи
ЕГ=ЛЬ eV.
Итак, в результате захвата собственного электрона должны воз-
никнуть ядра отдачи с энергией 45 eV. Такую энергию имели бы
атомы пара лития, нагретого до 450 0000 (1 eV — 10 000°!).
Для обнаружения этих ядер отдачи Аллен воспользовался
следующим методом. Радиоактивный препарат Во7 наносился на
платиновую полоску А (рис. 386). Так- как работа выхода элег-
Рис. 38G. Схема опыта Аллена.
тронов из платины значительно
выше потенциала ионизации ато-
мов лития, то Li7 срывался вслед-
ствие отдачи с платиновой по-
лоски в виде ионов. Эти ионы
ускорялись полом в 100—200 V
между А и соткой В и попадали
в пространство между двумя сет-
ками В и С. К сотке С прикла-
дывался переменный тормозящий
потенциал, с помощью которого
можно было найти распределение
ионов по энергиям. С этой целью
необходимо было еще знать число ионов с энергией, превышающей
определённую величину, задаваемую сеткой С. Так как измерение
ионного тока неосуществимо вследствие его малой величины, то
был использован непосредственный счёт ионов способом, анало-
гичным применённому Лейпунским, ио с некоторым усовер-
шенствованием. В опыте Лейпунского ионы выбивали из метал-
лического зеркала вторичные электроны, которые подсчитывались
счётчиком Гейгера. В опыте Аллена был использован принцип
электронного умножителя: электроны, выбитые ионами из пер-
вого металлического катода, направлялись ко второму, вновь
выбивая из него электроны, от второго—к третьему и т. д. Всего
было использовано 11 электродов, дававших суммарное усиле-
ние в 18 000 раз. Получающиеся после умножения электроны
подсчитывались счётчиком Гейгера.
В результате этих опытов оказалось, что максимальная энер-
гия ионов отдачи имеет ожидаемую величину 45 eV, по встре-
чаются ионы и с меньшими энергиями. Потерю энергии можно
объяснить затратой работы на отрыв ионов Li7 от платиновой
полоски. Таким образом, количественное согласие между расчё-
тами и результатами опыта можно считать удовлетворительным.
В дальнейших опытах были сделаны удачные попытки прямого
установления корреляции между импульсами р-частицы и ядра
отдачи не только по величине, но и по направлению. Успех этих
532
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
опытов был обусловлен возможностью получения искусственно-
радиоактивных веществ в чистом виде. В опытах Шервина радио-
активные вещества 15Р32 и 39У90 наносились на соответствующую
подложку в виде тончайшего, в наиболее благоприятных случаях
одноатомного слоя. Благодаря этому устранялся источник оши-
бок, связанных с торможением ядер отдачи в самом препарате.
Расположение опыта показано на рис. 387; ^-частицы, вылетав-
шие из источника S, регистрировались счётчиком Гейгера G,
причём импульсы счётчика приводили в действие генератор С,
создававший на экране катодного осциллографа К развёртку
в виде горизонтальной прямой. Атомы отдачи, срывавшиеся с ис-
Гис. 387. Схема опыта для изучения отдачи при ^-распаде.
точника в виде ионов, регистрировались, как и в опытах Аллена,
электронным умножителем В, импульсы которого после усиления
подавались на другую пару отклоняющих пластинок катодного
осциллографа. Таким образом, каждый импульс, отмечавший
прибытие в умножитель иона отдачи, давал на экране осциллографа
зигзаг на горизонтальной прямой развёртки. Так как скорость
ионов отдачи мала по сравнению со скоростью ^-частиц, то сигнал
умножителя запаздывал по отношению к сигналу счётчика Гейгера,
и в зависимости от величины этого запаздывания зигзаг появлялся
в том или ином месте прямой развёртки. Благодаря этому по по-
ложению зигзага можно было непосредственно определять ско-
рость иона отдачи. Счётчик Гейгера мог располагаться в четы-
рёх положениях, соответствовавших четырём различным углам
между направлениями вылета ^-частицы и иона отдачи: 180°,
135°, 90° и 45°.
§ 288]
НЕЙТРИНО
533
С этой установкой проверка существования нейтрино могла
осуществляться двумя способами:
1. Если при [3-распаде вылетает только одна частица, т. е.
электрон (или позитрон), то по закону сохранения импульса
направления полёта [3-частицы и иона отдачи должны быть прямо
Рис. 388. Распределение ионов отдачи по импульсам
для четырёх различных положений счётчика Гейге-
ра (сплошная кривая построена по результатам
экспериментов; пунктирная кривая вычислена в
предположении существования нейтрино; штрих-
пунктирная—в предположении, что нейтрино не су-
ществует).
противоположны; поэтому умножитель должен давать сигналы
только в положении счётчика 180°. Опыт же показал, что счётчик
даёт далеко выходящее за пределы случайных ошибок количество
сигналов при любых положениях счётчика вплоть до 45°. Это прямо
указывает, что, как было разъяснено выше, при акте ^-распада
вылетает не одна, но (по крайней мере) две частицы.
2. Благодаря тому, что установка позволяла непосредственно
определять скорость иона отдачи, можно было произвести коли-
чественное сравнение между теоретически вычисленным и экспе-
риментально найденным распределением ионов отдачи по импуль-
534
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
сам при различных углах. При этом для угла 180° можно было
вычислить распределение как с учётом нейтрино, так и в предполо-
жении его отсутствия. Из рис. 388 видно, что кривая, вычислен-
ная в предположении отсутствия нейтрино, резко расходится
с экспериментальном, тогда как совпадение с кривой, вычислен-
ной с учётом нейтрино, очень хорошее. При меньших углах, как
видно из того же рисунка, совпадение всё в большей степени рас-
страивается по море того, как угол уменьшается. Одпако наиболь-
ший вес следует придавать совпадению именно при 180', так как
при этом условии ионы отдачи имеют наибольшую энергию,
и потери энергии при отрывании ионов отдачи от поверхности
сказываются в наименьшей степени.
Таким образом, можно утверждать, что в настоящее время
имеются весьма убедительные данные (см. также § 28 7), свиде-
тельствующие в пользу существования нейтрино, т. е. в пользу
точного сохранения энергии при [3-распаде.
В заключение заметим, что масса нейтрино может быть иопо-
средственно определена при помощи некоторых ядерных реакции.
Однако получаемое таким путём число включает ошибку, в 10—
20 раз превосходящую определяемую массу нейтрино. Поэтому
в настоящее время известно только то, что масса нейтрино во вся-
ком случае значительно меньше массы электрона.
§ 289.	Разрешённые и запрещённые бета-процессы
Современная теория [3-распада исходит из факта отсутствия
в ядро электронов и позитронов. Согласно этой теории нейтрон
и протон представляют собой два различных квантовых состояния
одной и той же элементарной частицы—нуклеопа. Таким образом,
испускание [3-частицы есть результат квантового перехода р —> п
или п—>р, наподобие того, как испускание фотона электронной
оболочкой ость результат перехода между двумя квантовыми со-
стояниями электронной оболочки. Отличие [3-процесса от испускания
фотона состоит не только в том, что в первом случае испускается
частица, имеющая электрический заряд и массу покоя, отличную
от нуля, по и в том, что в [3-процессе испускаются две частицы,
электрон (или позитрон) и нейтрино. Однако общие черты обоих
процессов позволили Ферми построить теорию [3-распада, по
схеме близкую к квантовой теории излучения. Хотя современ-
ная теория [3-распада ещё далека от законченности, качествен-
ные её основы оказывают большую пользу при интерпретации
явлений [3-распада.
Мы не можем здесь останавливаться на изложении теории [3-рас-
пада, так как это требует предварительного обстоятельного изло-
жения квантовой теории излучения. Ограничимся поэтому немно-
гими общими замечаниями. В §§ 191 192 и мы видели, что вероят-
28 9] РАЗРЕШЁННЫЕ И ЗАПРЕЩЁННЫЕ БЕТА-ПРОЦЕССЫ	535
ность излучения в основном определяется квадратом (точнее—
квадратом модуля) некоторого интеграла—матричного элемента—
для случая дипольного излучения, имеющего вид
Drim ~	tyn (бх) ф;11 d'Z,
где и 0/п — собственные функции начального и конечного со-
стояний, а ех — дипольный момент. По аналогии с этим в теории
3-распада вероятность «квантового перехода» с испусканием
[3-частицы и нейтрино также определяется некоторым матричным
элементом. Выбор этого матричного элемента в данном случае
представляет собою гораздо более трудную проблему, нежели
в случае испускания фотонов. Обычно разлагают подиптегральпую
«функцию в матричном элементе в ряд по степеням где R—
радиус ядра, а а—длина волны де-Брогля испускаемой частицы.
Если первый член этого ряда не равен пулю, то переход называется
«разрешённым»; если же первый член ряда есть нуль, то вероятность
перехода определяется вторым, третьим или вообще первым не рав-
ным нулю членом ряда. В последнем случае переход называется
«запрещённым», причём в зависимости от того, каким по порядку
по равным нулю членом начинается ряд, говорят о запрещении
первого, второго, третьего и т. д. порядков. Так как последова-
2-R
тельные члены ряда относятся как квадраты величины —- , а в
случае ядра 0,01, то соответственно различаются вероятно-
сти переходов, а следовательно, и времена жизни запрещённых
переходов различных порядков. Том самым открывается возмож-
ность объяснения разнообразия периодов [3-распада.
Болес детальное рассмотрение матричных элементов позволяет
установить «правила отбора» (см. §§ 193 и 235), т. е. установить
те изменения квантовых чисел, при которых ^-превращение
является либо разрешённым, либо запрещённым в определённом
порядке. Эти правила отбора оказываются несколько различными
в зависимость' от выбора в матричном элементе формы взаимодей-
ствия между нуклеоном и двумя испускаемыми частицами (воз-
можно всего пять различных форм функции взаимодействия).
Однако во всех случаях вероятность перехода определяется изме-
нением квантового числа спина ядра Д/ и свойством симметрии вол-
новых функций, называемым её «чётностью» (или соответственно
«нечётностью»). Свойство чётности состоит в следующем: волновая
функция ф (ж, у, z) называется чётной, если при изменении зна-
ков всех координат на обратные функция сохраняет свой знак;
в противном случае функция будет нечётной. Итак,
О (ж, у, z) - ± ф ( — х, —у, - z);
536
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
верхний знак—в случае чётной, нижний—в случае нечётной функ-
ции. Общее выражение матричного элемента есть
mbf dt,
где и — волновые функции соответственно начального и ко-
нечного состояний, а т—упомянутая функция взаимодействия.
Очевидно, что интеграл будет не равен нулю только тогда, когда
подинтегральная функция чётная. Для простейшего вида взаимо-
действия т есть 1, а волновые функции можно представить в виде
произведений координатных функций на спиновую. При таких
условиях интеграл будет не равен нулю, если при квантовом пере-
ходе спин пе изменяется, а координатные собственные функции
имеют одинаковую чётность. Это даёт правила отбора для разре-
шённого перехода
Д/ = 0, чётность не меняется.
Оказывается, однако, что существуют примеры [3-распада, кото-
рые на основании продолжительности жизни следует считать
разрешёнными, по в которых спин меняется на ± 1. Соответ-
ствующие правил отбора получаются при другом выборе функции
взаимодействия. Они таковы: для разрешённого перехода
+ 1
Д/ =	0, чётность пе меняется (переход 0—> 0 запрещён).
-1
Эти правила отбора объясняют большое количество фактов, но
существуют экспериментальные результаты, которым они противо-
речат. Таким образом, вопрос о форме взаимодействия и наиболее
общем виде правил отбора при [3-распаде не может считаться окон-
чательно решённым.
Если правила отбора не выполняются, то p-распад является
«запрещённым». Это означает только то, что вероятность распада
существенно меньше, нежели в случае «разрешённого» распада.
При этом в каждом порядке запрещения вероятность уменьшается
приблизительно в 100 раз, так что при запрете 1-го порядка распад
в 100 раз менее вероятен, нежели «разрешённый», при запрете
2-го порядка—в 104 раз и т. д.
§ 290.	Позитронная радиоактивность и Л'-захват
Рассмотрим теперь некоторые особенности [3-радиоактивпости
с испусканием позитронов, т. е. [3+-распада, и начнём с энергети-
ческих соотношений. Процесс, происходящий при обычном [3 "-рас-
паде, можно схематически записать в виде

(290,1)
§ 290]	ПОЗИТРОННАЯ РАДИОАКТИВНОСТЬ И К-ЗАХВАТ	537"
где Z —заряд ядра и Л —массовое число. Очевидно, что мы по-
лучим максимальную энергию в ^-спектре, если вычтем из массы
ядра ZA сумму масс ядра (Z-rl)A и электрона те. (Массой
нейтрино можно пренебречь.) Удобнее, однако, пользоваться, как
и в случае ядерных реакций, массами атомов, включающими, кроме
масс ядер, также и массы электронов. Легко видеть, что в слу-
чае процесса (290,1) для получения энергии [3-электрона достаточно
вычесть из массы атома ZA массу атома (Z+1)A. В самом деле,
хотя атом (Z 1)А содержит в своей оболочке на 1 электрон боль-
ше, нежели атом ZA, но в правой части схемы (290,1) имеется масса
[3-элоктрона, которую мы, таким образом, включаем в массу
атома (Z-pl). Это соображение подтверждается простым расчётом:
масса ядра в левой части схемы (290,1) есть Mz —Zme\ масса ядра
в правой части есть Mz+i — (Z -р 1) тс. Энергия поэтому равна
ДЕ = Mz - Zme - Mz+1 + (Z -f- 1) me - me = MZ- M2+t,	(290,2)
что и требовалось доказать.
В случае позитронной радиоактивности схема процесса
2А _ 1)А _р _|_ у	(290,3)
даёт несколько иной результат. Действительно, атом (Z—1)А со-
держит на 1 электрон меньше, нежели атом ZA и, кроме того,
в правой части схемы имеется ещё лишняя масса позитрона.
Поэтому для определения энергии следует из разности масс ато-
мов вычесть ещё удвоенную массу электрона. Расчёт, не требу-
ющий- пояснений, даёт то же самое
ДЕ = (Мz — Zme) — [Mz_i — (Z — 1) me] — me =
= Mz - Mz_! - 2me.	(290,4)
Приведём пример: изотоп кремния 14Si27 [Р-радиоактивоп:
14S27 —> 13А127-Ь
В данном случае имеем:
Si27 - 26,9949
— Al27 = 26,9899
— 2те = 0,00109
ДЕ = 4- 10-WE-931-^ = 3,6MeV
ми
Непосредственное определение максимальной энергии позитропов--
даёт в этом случае 3,57 — 3,74 MeV.
Из сказанного следует, что для возможности р+-процесса не-
обходимо, чтобы масса атома ZA превышала массу атома (Z —1)А
по крайней мере на величину, соответствующую энергии
538
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
в 1 MeV (= 2тес2). Физическая причина этого станет вполне по-
нятной, если мы обратимся к «дырочной» теории позитрона. В са-
мом деле, ^'-радиоактивность есть результат превращения про-
топа в нейтрон
р —> /г 4-е+ + V.	(290,5)
Очевидно, однако, что то же превращение произойдёт в резуль-
тате другого процесса
р -Р » п + V.	(290,6)
Электрон может быть захвачен из имеющегося повсюду «фона»
электронов с отрицательной энергией. В этом случае электрон
«фона» должен быть переведён сначала в область положительных
энергий, для чего требуется как раз 1 MeV (= 2?иес2), а оста-
ющаяся «дырка» в фоно и будет позитроном распада.
Может, однако, случиться, что энергия возбуждения окажется
меньше 1 MeV, но больше 0,5 MeV. В этом случае захват элек-
трона пз фона энергетически невозможен, по возможен процесс
захвата электрона, находящегося в область положительных энер-
гий. Так как вблизи ядра постоянно находятся 76-электроиы его
собственной оболочки, то представляется возможным захват
76-электрона ядром с превращением одного протона ядра в ней-
трон. В этом случае схема (290,6) примет вид
+	+ 4	(290,7)
где есть 76-электрон оболочки. Если такой процесс произойдёт,
то заряд ядра, очевидно, уменьшится на .1, а массовое число
останется прежним, и превращение будет протекать по схеме
ZA-^(Z-l)A + v.	(290,8)
Энергетическое условно процесса найдём, как и раньше, путём
сопоставления масс обоих ядер:
ДЕ = Mz — Zmc — Mz-i + (Z — 1) m(, — (T/z — Mz-i) — me. (290,9)
Мы видим, что процесс энергетически возможен, когда разность
масс атомов ZA и (Z—1)А но крайней мере равна или больше
массы электрона, т. с. в энергетической шкале > 0,51 MeV.
Легко видеть, что ври превращении по схеме (290,8) единствен-
ная испускаемая частица ость нейтрино, недоступный обычным
простым методам наблюдения. Возникает вопрос: каким же обра-
зом можно убедиться в существовании подобного процесса? Ответ
основан на следующем рассуждении. Если ядро захватывает
76-электрон, то в оболочке К освобождается место, которое будет
заполнено электроном, переходящим из Z-оболочки. При этом
должно испускаться характеристическое /6-излучение, и так как
перестройка электронной оболочки происходит с большой быстро-
той, то рентгеновское 76-излучение должно принадлежать не исход-
§ 290]	ПОЗИТРОННАЯ РАДИОАКТИВНОСТЬ И К-ЗАХВАТ	539
ному атому ZA, но атому-продукту превращения (Z — 1)А, т. е.
атому, предшествующему исходному в периодической системе эле-
ментов. Энергия испускаемого фотона будет при этом равна К — L,
где К и L — энергии ионизации атома соответственно из К- и
L-оболочек.
В § 233 мы видели, однако, что вместо характеристического
/б-излучення может быть испущен пз L-оболочкп электрон Оже
с кинетической энергией, равной
eV = К — 2L.
Итак, признаками, с помощью которых может быть установлено
существование 76-захвата, являются возникновение мягкого рент-
Рис. 389. Спектр отрицательных электронов радиоактив-
ной меди Си64.
геновского /6-изл учения элемента, предшествующего тому, кото-
рый испытывает превращение, и электронов Оже. Оба эти при-
знака позволили установить 76-захват в большом числе случаев.
В качестве примера появления электронов Оже при 76-захвате
рассмотрим ^-превращение изотопа меди 2эСи64. Ядра Си64 испы-
тывают все возможные виды ^-превращений: 54% ядер превраща-
ются путём 76-захвата, 31% — путём ^'-превращения и 15% — путём
^-превращения. Здесь мы имеем дело со случаем, когда энергети-
чески возможно ^-превращение, а следовательно, л /6-захват,
но 76-захват оказывается значительно более вероятным. На рис. 389
приведён энергетический спектр отрицательных электронов Си64.
Мы видим здесь широкую область сплошного спектра, на кото-
рую накладывается в области самых малых энергий (у 7 keV)
резкая линия моноэнергетических электронов. Эта линия и ость
спектр электронов Оже 2s^i64> возникающих при 76-захвате в 29Сп64.
540
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
Другим интересным примером A-захвата может служить 3-пре-
вращение изотопа ванадия 2.зУ49- Это вещество превращается
с периодом 600 дней, переходя в стабильный изотоп титана 22Ti49.
При этом не испускаются ни электроны, ни позитроны, ниу-лучи.
Единственное излучение, сопровождающее превращение V49, есть
мягкое монохроматическое рентгеновское излучение, длина волны
которого (2,7 А) совпадает с длиной волны характеристического
A-излучения титана (а не ванадия), чем и доказывается, что V49
превращается путём A-захвата. Этот пример интересен и с исто-
рической точки зрения, так как именно в случае превращения V49
Альварецом в 1938 г. было впервые доказано существование
А-захвата.
Самым лёгким ядром, испытывающим A-захват, является 4Ве7.
При превращении Be7, происходящем путём A-захвата с перио-
дом 53 дня, возникает стабильный изотоп лития 3Li7, имеющий
распространённость 92,7%. Однако ядро Li7 возникает при этом
не в нормальном, но в возбуждённом состоянии и, переходя
в нормальное состояние, испускает у-лучи с энергией 0,453 MeV.
Таким образом, превращение Be7 сопровождается A-захватом и
испусканием у-лучей.
До сих пор мы имели в виду исключительно захват А-элек-
тронов, т. е. электронов с нулевым моментом количества движе-
ния, принадлежащих слою с главным квантовым числом 1. Но
электроны с нулевым моментом имеются также и в слое L (25-элек-
троны), М (З^-элсктроны) ит. д. Теоретически возможен захват элек-
трона с нулевым моментом из любого слоя, по вероятность захвата
быстро уменьшается с увеличением главного квантового числа, так-
как электроны слоя А проводят наибольшее время в непосредствен-
ной близости ядра. Действительно, экспериментально был обна-
ружен в случае Be7 наряду с захватом А также п захват L-элек-
тронов, но со значительно меньшей вероятностью и с соответ-
ственно более длинным периодом. Таким образом, хотя, принци-
пиально говоря, возможен захват электронов из любого слоя
атомной оболочки, название «A-захват», по существу дела, остаётся
оправданным.
В заключение рассмотрим ещё вопрос, почему не наблюдается
A-захват в случае атомов водорода. Такой процесс повёл бы
к спонтанному превращению атомов водорода в нейтроны, что
на самом деле не наблюдается. Ответ на вопрос состоит в том,
что в этом случае A-захват невозможен энергетически. Действи-
тельно, так как масса нейтрона больше суммы масс протона
и электрона, то ДА по формуле (290,9) в данном случае отрица-
тельно. Захват электрона, обладающего достаточно большой кине-
тической энергией, свободным протоном возможен энергетически,
но мало вероятен, так как ускоренный электрон проводит слиш-
ком мало времени вблизи протона.
291]
ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ БЕТА-СПЕКТРЫ
541
§ 291.	Простые и сложные бета-спектры
Если ^-превращение происходит с основного уровня исходного
ядра и ведёт также к основному уровню ядра-продукта, то возни-
кающий спектр называется простым. Разность энергий уровней,
Рис. 390. Простые и сложные ^-спектры.
Уровни энергии и схемы распада. Р“—отрицательные электроны;
Р*-позитроны. К—захват К-электрона. На схемах указаны
периоды распада, а также энергий р-частпц и т-фотонов в MeV.
между которыми происходит распад, равна кинетической энергии
^-частицы плюс энергия покоя электрона (0,51 MeV).
Во многих случаях, однако, p-превращение ведёт к возбу-
ждённому уровню ядра-продукта. Переход к нормальному состоя-
нию завершается при этом путём испускания у-фотона, энергия
542
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл, XXI
которого позволяет установить расположение нормального и воз-
буждённого уровней ядра-продукта (пример: распад uNa2-:
на рис. 390). Иногда испускается целый спектр у-лучей, что ука-
зывает на существование ряда промежуточных возбуждённых
уровней (пример: ^--распад uNa24). В случае 8+-превращений,
как мы уже видели, часть ядер может распадаться с испуска-
нием позитронов, а остальные—превращаться путём /f-захвата.
Оба эти перехода ведут к одному и тому же уровню ядра-про-
дукта; в свою очередь этот уровень может оказаться возбуждён-
ным, и дальнейшие переходы с у-излучением приведут, наконец,
к основному состоянию. Пример такой сложной схемы распада
даёт нам превращение 25МП52 —> 2iCr52 (см. рпс. 390).
В некоторых случаях при 3--прсвращопии существуют дне
возможности распада, каждая пз которых ведёт к своему опре-
делённому уровню энергии ядра-продукта. Примером может слу-
жить р~-распад 2GFe59: 50% его ядер распадаются с максималь-
ной энергией в 8-спектре 0,26 MeV, а остальные 50% при рас-
паде выбрасывают р-частпцы с максимальной энергией 0,46 MeV.
Превращение сопровождается испусканием у-лучей, спектр кото-
рых состоит из двух линий с энергиями 1,10 и 1,30 MeV; раз-
ность этих энергий 0,2 MeV совпадает с разностью кинетических
энергий ^-частиц 0,46 — 0,26 = 0,2 MeV, что и приводит к схеме,
изображённой на рис. 390. Другой пример аналогичного слож-
ного превращения 531гз°—> 54Хе130 также приведён на этом рисунке
и после сказанного понятен без дальнейших пояснений.
Мы видим, таким образом, что {3-спектры, как и спектры
а-частиц, позволяют устанавливать уровни энергии ядра. В слу-
чае p-спектров вследствие одновременного выбрасывания двух
частиц (электрон пли позитрон и нейтрино) для определения
уровней необходимо пользоваться максимальными энергиями
в 3-спектре.
§ 292.	Стабильность изобаров
Ужо неоднократно указывалось, что стабильные изобары обычно
отличаются атомными номерами на 2 единицы. Если имеются
два изобара, из которых один стабилен, и если разность заря-
дов ядра этих изобаров равна 1, то второй изобар будет обя-
зательно З-радиоактивпым, причём превращение ведёт к стабиль-
ному изобару. Очевидно, что пз двух таких изобаров радиоак-
тивным будет именно тот, у которого точная масса атома соответ-
ственно больше.
Ранее указывалось также, что в виде редкого исключения суще-
ствует несколько пар и троек стабильных изобаров с атомными
номерами, различающимися па 1. Объяснение возможности таких
исключений состоит в том, что эти исключения — кажущиеся;
§ 293]
ГЛММА-ПЗл УЧЕНИЕ
543
ла самом доле, один нз изобаров 3-радиоактивен, по (В-распад.
ого принадлежит к числу сильно запрещённых и потому харак-
теризуется огромной продолжительностью жизни. В результате —
чувствительность современных экспериментальных методов ока-
зывается недостаточной для обнаружения радиоактивности.
Что Р-распад «стабильных» изобаров действительно должен
быть сильно запрещённым — непосредственно следует из того,
что ядра этих изобаров имеют очень различные величины спинов.
Рассмотрим, например, тройку изобаров: 18Аг4019К40 —2оСа40.
Квантовые числа слипа здесь таковы:
изобар Аг40	К40	Са40
спин 0	4	О
Мы видим, что спилы соседних изобаров различаются на 4 еди-
ницы. Распад поэтому запрещён в 4-м порядке, и можно ожи-
дать, что период его будет порядка (102)4 = 10s лет. На самом
доле радиоактивность А40 установлена; замечательно при этом,,
что К40 испытывает сложный распад: часть ядер превращается
с испусканием ^“-электрона в стабильный Са40, остальные путём
АЗзахвата превращаются в стабильный Аг40. Период превращения
в обоях случаях порядка 109 лет. Этот длинный период и есть
причина того, что К40, запас которого не пополняется каким-либо
предшествующим распадом, ещё встречается на земле, хотя н
в очень малых количествах.
Другим примером может служить пара 37Rb87 —»38Sr87. Здесь
разность спинов равна 3 (спил Rb87 — 3/2, спин Sr87 -- 9/2). р-рас-
пад, следовательно, запрещённый. Действительно, наличие его
установлено, но период, как и следовало ожидать, большой:
6 • 1010 лет.
Также и в остальных случаях соседних изобаров разность
спинов имеет большую величину, чем п объясняется кажущаяся
стабильность. По мере усовершенствования экспериментальной
техники радиоактивность этих изобаров — одного за другим--
удаётся установить.
§ 293.	Гамма-излучение
В предыдущем изложении мы неоднократно встречались с тем
фактом, что ядерные процессы часто сопровождаются у-излуче-
нием. Так, при рассмотрении ядерных реакций (гл. XX) мы ви-
дели, что при реакциях захвата нейтронов пли протонов избыток
энергии вновь возникающего ядра отдаётся в виде у-излучения.
Также и в ряде других случаев, когда ядро возникает не в нор-
мальном, но в возбуждённом состоянии, переход в нормальное
состояние происходит путём испускания "/-лучей. При радиоактив-
544
РАДИОЛКТП вность
[гл. XXI
пых процессах, рассмотренных в настоящей главе, у-излучепие
сопровождает в определённых случаях как а-, так и 3-превраще-
нпя (см. §§ 285 и 291).
Хорошо известно, что у-лучи представляют собой коротковол-
новое электромагнитное излучение. Процесс его испускания
аналогичен испусканию электромагнитного излучения элек-
тронной оболочкой атома. Это по всяком случае справедливо
в том отношении, что как испускание у-лучей, так и испу-
скание электромагнитного излучения, относящегося к оптиче-
ской или рентгеновской областям спектра, есть результат пере-
хода между двумя квантовыми состояниями. Разница только
в том, что в первом случае речь идёт о квантовых состояниях
ядра, тогда как в последнем — о квантовых состояниях электрон-
ной оболочки. Как мы увидим далее, эта разница определённым
образом проявляется в свойствах у-лучей.
Па протяжении этой книги мы уже неоднократно встреча-
лись с вопросами теории электромагнитного излучения. Так,
в т. I, §§63 — 69 мы видели, что интенсивность дипольного излу-
чения линейного осциллятора, совершающего колебания по гар-
моническому закону е',уг, пропорциональна квадрату дипольного
момента (ех)2[см. формулу (64,6)]. Далее мы видели, что время
релаксации, т. е. время, в течение которого интенсивность излу-
чения уменьшается в с раз, выражается формулой [см. (66,5)]
Зте3   ollie'3
8л2уае2	2«»2с2
(293,1)
Квантовая интерпретация времени релаксации состоит в том, что
оно представляет собою среднюю продолжительность жизни атома
в возбуждённом состоянии или, что то же самое, обратную вели-
чину вероятности квантового перехода Ет~>Еп (см. I, § 93).
Наконец, в главе XIV настоящего тома было показано, что
в квантовой механике классическая схема вычисления интенсив-
ности дипольного излучения может быть сохранена с тою разни-
цей, что вместо квадрата дипольного момента в формулы входит
матричный элемент
" вХ)11П —	(б2’) Up (Id ,
представляющий собой дипольный момент, своеобразным способом
усреднённый во двум состояниям — начальному п конечному 6„.
В частности, вероятность спонтанного перехода для диполя,
колебания которого происходят по осн х по формуле (192,8),
равна
л _ б4г-4'/3 I п 1°
— 3}1Сл~ I Г,
§ 293J	ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ	545
где Pmn — матричный элемент дипольного момента. Так как сред-
няя продолжительность жизни т есть обратная величина Атп, то
__ 1 _ 3/гс3	1
Т Ann - 64kS3 ‘ I l)mn\2 ’
Рассчитаем по этой формуле т для у-нзлучения с энергией фото-
на 1 MeV, которой соответствует частота v = 2,3- 1020 сек-1
и длина волны л = 1,25 • 10~10 см. Полагая, что дипольный мо-
мент Dmn равен произведению заряда электрона на 10"13 см,
получим т=-2,5- 10"15 сек. Между тем нз экспериментальных
данных для у-лучей естественно-радиоактивных веществ следует,
что т по крайней мере порядка 10~12 сек., т. е. в 1000 раз больше.
Однако дипольное излучение представляет собою лишь част-
ный, хотя и наиболее важный случай электромагнитного излу-
чения системы электрических зарядов. В общем случае показы-
вается*), что электрическое поле излучения системы зарядов
может быть представлено в виде суммы
£ = ^ + £2 + ^3+ •••	(293,2)
Здесь первый член представляет поле излучения электрического
диполя; второй член — поле излучения электрического квадруполя,
т. е. 22 полюса; третий —иоле октуполя, т. е. 23 полюса, л
вообще член номер i соответствует полю излучения мультиполя
порядка 2\ Последовательные члены ряда (293,2), как показы-
2тг7?
вает вычисление, отличаются друг от друга на величину -у- ,
где R — размеры области, занятой излучающей системой а а —
длина волны излучения.
На самом деле анализ членов ряда (293,2) показывает, что
второй член, кроме поля излучения электрического квадруполя,
представляет также и поле излучения магнитного диполя, соот-
ветствующего распределению токов в системе движущихся заря-
дов. Что магнитное дипольное излучение должно но порядку
величины соответствовать электрическому квадрупольному, —
в этом можно убедиться и без вычислений с помощью следую-
щего, хотя и не строгого, но простого рассуждения. Магнитный
дипольный момент по порядку величины меньше электрического
дипольного момента в у/сраз**). Обозначив энергию движущегося
*) См. приложение XI, а также Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц,
Теория поля, гл. IX, Гостехиздат, 1948.
**) Это видно из следующего примера. Магнитный дипольный момент
кругового тока равен (см. т. 1, § 72)
М — т;— тг2&.
Л/ггс
Принимая во внимание, что гш — v—линейной скорости движущегося
546
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
заряда через Е, видим, что по порядку величины
v ~ Е _____ Eh _Е у
с ’ mvc mvhc he ’
где а' = ^ —длина волны де-Брогля движущегося заряда. При-
нимая во внимание, что в стационарном состоянии V — порядка
величины 2^7?, где 7? —область, занимаемая излучающей систе-
мой (например, атомом пли ядром), а	— __ порядка ве-
il/O rt с с
Л г	V
личины l/л, находим у--у-, т. е. матричный элемент магнит-
ного диполя — того же порядка величины, что и матричный элемент
электрического квадруполя.
Итак, поле излучения любой системы зарядов можно пред-
ставить как сумму полей излучения электрического диполя, элек-
трического квадруполя 4-магнитного диполя и т. д. Интенсив-
ности излучения, соответствующие последовательным членам
этого ряда, на основании сказанного будут отличаться друг от
/ 2гс7?\2
друга на величины порядка ( -у- ) .
Попробуем применить полученные результаты к у-излучению
ядра. Полагая энергию фотона равной 1 MeV, легко найдём, что
ей соответствует Х/2~ = 2 • 10-11 см. Если для R (размеры ядра)
положить 7? = 10~12 см (случай самых тяжёлых ядер), то
2к7? л лк /2к2?\2	1
-у—= 0,05, а ( — ) —400’ откуда следует, что интенсивность
квадрупольного излучения должна быть в 400 раз меньше интен-
сивности дипольного излучения. Соответственно менее благо-
приятные условия получаются для у-лучей большей длины волны.
Например, для Av=100kV ^у^ =	, a = Ю"5.
Этот результат, однако, резко противоречит эксперименталь-
ным данным. Существует способ определения интенсивности
у-излучения при дипольном и при квадруполыюм излучении
(этот способ основан на изучении так называемой внутренней
конверсии у-излучения; см. следующий параграф). Эти опреде-
ления показали что у-излучепие в том и другом случаях имеет
приблизительно одинаковую интенсивность.
заряда, можем переписать эту формулу в виде
е	v , .
М = -х- rv si — (ег),
2с	с
где (ег)—электрический дипольный момент системы. Мы видим, что по по-
..	v
рядку величины магнитный дипольный момент действительно в — раз
меньше олектрического.
g 293]	ГАММА-ИЗЛУЧЕНИЕ	547
Сопоставляя сказанное до сих пор о свойствах у-излучения,
мы видим, что ни время жизни, ни интенсивность не соответ-
ствуют тому, что следовало ожидать для дипольного излучения.
Далее мы видим, что в отличие от электронной оболочки, где,
за немногими исключениями, основную роль играет дипольное
излучение, в электромагнитном излучении ядра преобладающее
значение имеет излучение квадрупольное.
Основная причина этого лежит, невидимому, в высокой одно-
родности, с которой распределено ядерное вещество. Можно,
например, показать следующее: если система состоит из частиц,
имеющих одинаковое отношение заряда к массе, то дипольное
излучение такой системы равно нулю *). Сначала можно подумать,
что эта теорема не имеет никакого отношения к поведению атом-
ного ядра, так как последнее состоит из заряженных протонов
и лишённых заряда нейтронов. Если, однако, ядро состоит из
одинакового числа протонов и нейтронов и если его пуклеоны
группируются в а-частицы, которые играют роль вторичных еди-
ниц в структуре ядра, то ядро будет вести себя именно как
система частиц с одинаковыми зарядами и одинаковыми е/т.
С. другой стороны, квадрупольное излучение такой системы
будет обладать тою же интенсивностью и характеризоваться
том же т, какие вытекают из величины матричного элемента,
сответствующего квадрупольиому излучению**).
Другой путь для объяснения отсутствия или слабости диполь-
ного излучения ядра состоит в том, что ядро рассматривают как
равномерно заряженную каплю. При этом совершенно не учиты-
вается отдельно плотность протонов и нейтронов в ядре, но
всей капле приписывается равномерно распределённый заряд,
Очевидно, что подобного рода капля не может давать диполь-
ного излучения. В самом деле, дипольное излучение возникло
бы в этом случае, если бы капля совершала колебания как
целое с частотой испускаемого излучения, что, конечно, совер-
шенно неправдоподобно. G другой стороны, капля может совер-
шать колебания, деформируясь при этом, например, переходя
из сферической формы в эллипсоидальную и обратно. Такие
деформационные колебания должны создавать излучение квадру-
польного характера, что и наблюдается на самом деле.
Что касается излучений, соответствующих высшим по сравне-
нию с квадруполями мультиполям, например октуполям или
24-полюсам, то ввиду того, что интенсивность октупольного излу-
чения согласно сказанному должна быть меньше квадрупольного
*) См. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Теория поля, гл. IX,
Гостехиздат, 1948.
**) См. обсуждение этого вопроса в книге Г. А. Вете, Физика
ядра, ч. II, стр. 293 и след.. Гостехиздат, 1948.
548
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
/2к/?\2
в ( -у- } , такое излучение имеет очень малую вероятность,
п	"	“	л 17	/2к7?\2
В самом	деле, для у-лучеи	с энергией	1	MeV	величина ( — )
порядка 10-5, т. е. октупольное излучение должно быть в 100 000 раз
слабее квадрупольного. Эти излучения высших мультиполей,
однако, существенны для объяснения метастабильных состояний
ядра, о которых речь будет в § 295.
§ 294. Внутренняя конверсия гамма-лучей
В этом параграфе мы рассмотрим с качественной стороны
важное явление, состоящее в том, что в тяжёлых ядрах вместо
ядерного у-излучения с большой степенью вероятности испуска-
ются группы моноэиергетических электронов из внутренних слоёв
электронной оболочки атома. Это явление называется внутренней
Рис. 391. Спектр электронов
внутренней конверсии RaB.
конверсией у-лучей. Изучение его особенно важно потому, что
оно открывает путь для исследования свойств у-лучей, хотя
и косвенный, но зато значительно более простой, чем непосред-
ственное изучение самих у-лучей.
Испускание групп моноэиергетических электронов радиоактив-
ными атомами наряду с испусканием ^-электронов ядра было
установлено с самого начала изучения p-спектров. Эти группы
электронов дают в {3-спектрах резкие линии, накладывающиеся
на сплошной спектр {3-электронов ядра (рис. 391). То, что эти
линии принадлежат электронам, возникающим не в ядре, но
в электронной оболочке, следует уже из простого сопоставления
энергий, соответствующих этим линиям, с энергиями ионизации
электронов из внутренних слоёв оболочки атома.
В самом деле, согласно фотоэлектрическому уравнению
Эйнштейна энергии однородных групп электронов, возникающих
из, того или иного слоя оболочки под действием у-квантов вели-
чины Av, должны быть соответственно равны
E'—hv — K. E" = hv-L.
§ 294]
ВНУТРЕННЯЯ КОНВЕРСИЯ ГАММА-ЛУЧЕЙ
549
Если известны энергии однородных групп электронов Е', Е", ...
и энергии ионизации К, L и т. д., то можно вычислить вели-
чину Лу, которая должна быть одинакова для всех групп:
Л у — Е' -|- К — Е" + Li = ... Это на самом деле оправдывается,
как показывает таблица LVI, где приведены данные однородных
групп электронов, испускаемых RaB(Z = 82). Последний столбец
таблицы, цифры которого представляют собой суммы кинетической
энергии электрона внутренней конверсии и энергии ионизации
соответствующего слоя, показывает, что величина Лу действитель-
но постоянна; среднее значение Ау = 52,91 следует приписать
энергии у-фотона.
Таблица LVI. Конверсия 7-лучей в различных
электронных оболочках RaB
Энергия электронов в keV	Энергия ионизации для Z = 82	Уровень, на котором происходит конверсия	Энергия 7-кванта в keV
36,74	16,34	^1	53,08
37,37	15,67	Ьц	53,04
39,63	13,38	Ьщ	53,01
48,85	3,99	Mi	52,84
49,10	3,68	Мц	52,78
49,66	3,17	Л/in	52,83
51,90	0,93	N-i	52,83
52,64	0,20	О	52,84
			Среднее
			52,91
Можно было бы предположить, что эти однородные группы
электронов возникают под действием у-лучей, покинувших ядро
и вызывающих фотоэффект в оболочке своего собственного атома.
Однако это предположение опровергается исследованием интен-
сивностей однородных групп электронов и сравнением их с ин-
тенсивностями тех же групп, возникающих при условиях, когда
заведомо имеет место обыкновенный фотоэффект под действием
у-лучей вне атомов, из которых они происходят. Такие исследо-
вания показали, что интенсивность однородных групп электронов,
испускаемых самими радиоактивными атомами, по крайней мере
в 100 раз больше интенсивности тех же электронов, освобождае-
мых при прочих равных условиях в результате фотоэффекта. Из
этого следует, что однородные группы электронов в р-спектре
возникают в процессе прямой передачи энергии от возбуждённого
550
РАДИОАКТИВ НОСТЬ
[гл. XXI
ядра к электронной оболочке, причём само ядро возвращается
в нормальное состояние без излучения. Мы имеем здесь дело
со своеобразным внутренним ударом 2-го рода, ввиду чего
и самое явление получило название внутреннего обращения, или
внутренней конверсии.
Другой вид внутренней конверсии состоит в том, что в случае, ког-
да энергия возбуждения ядра превосходит 1 MeV, оно может создать
пару электрон — позитрон и вернуться в нормальное состояние
Рис. 392. Схема магнитного спектрографа
Алиханова.
S — радиоактивный препарат, С и С* — счётчики,
Е— шлифе экранами и диафрагмами.
опять-таки без излучения. Это явление было открыто А. И. Али-
хановым, Л. И. Алихаияпом и М. С. Козодаевым и одновремен-
но Чадвиком, Блэккетом и Оккпалпнп. Именно, оказалось, что
тонкостенная трубочка, наполненная радоном, испускает позитроны;
позитроны испускает также топкая алюминиевая полоска, активи-
рованная Th(C+C")- Возникновение этих позитронов п было при-
писано внутренней конверсии v-лучей. Но если энергия возбужде-
ния Av испытывает внутреннюю конверсию на отрицательных
уровнях энергии, то кинетическая энергия возникающих позитро-
нов должна быть меньше Av на величину энергии, необходимой
для перевода электрона с отрицательного уровня на положитель-
ный. Поэтому максимальная энергия позитрона должна быть равна
Av — 2т0с2.
Это подтверждается изучением энергетического спектра позитро-
нов RaC и Th(G-j-G"), которые были с большой точностью изме-
рены А. И. Алихановым и его сотрудниками при помощи магнит-
ного спектрографа, сконструированного Алихановым. В этом
спектрографе (рис. 392) используется фокусирующее действие
поперечного однородного магнитного поля, но электроны регистри-
руются пе фотопластинкой, а двумя счётчиками G' и G", включён-
§ 29.;]	ВНУТРЕННЯЯ КОНВЕРСИЯ ГАММА-ЛУЧЕЙ	551
ними в схему совпадений. Благодаря применению счётчиков
чувствительность прибора в огромной степени повышается,
а использование схемы совпадений позволяет исключить случай-
ные разряды счётчиков, обусловленные, например, «фоном» у-лучей.
Па рис. 393 приведён энергетический спектр позитронов актив-
ного осадка Th (С -|- С"), полученный А. И. Алихановым и Г. Д. Латы-
шевым. Здесь виден ряд зубцов, каждый из которых соответствует
определённой линии у-спектра (величины Av в keV указаны
на рисунке). Около 1600 keV кривая испытывает резкий обрыв,
который объясняется следующим образом: наибольший фотон
в у-спектре Th(C4-C?') имеет энергию 2620 keV, разность между
этой величиной и энергией, затрачиваемой на создание пары (т. е.
1 MeV— 1000 keV), равная 2620-1000-1620 keV, как раз
и соответствует месту обрыва.
Внутренняя конверсия может быть использована для изучения
спектров у-лучей. Дело в том, что, как уже было указано в § 280,
непосредственному изучению у-спектров с помощью методов рент-
геновской спектроскопии доступны только мягкие у-лучи. Поэтому
изучение у-спектров приходится выполнять косвенным путём,
пользуясь действиями у-лучей. В частности, как видно из преды-
дущего, для этой цели может быть использована внутренняя
конверсия с испусканием электронов или позитронов.
Этот метод позволяет, однако, точно определять частоты
линий у-спектра, но не позволяет находить их относительную
интенсивность. В самом деле, как мы видели, выбрасывание
конверсионных электронов происходит наряду с двумя другими
конкурирующими процессами — испусканием у-лучей и образова-
нием электронно-позитронных пар. Относительные вероятности
552
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
всех трёх процессов для различных линий у-спектра, вообще
говоря, не известны. Поэтому у-спектр, измеренный по спектру
конверсионных электронов, будет давать правильное положение
у-линий, но не их относительную интенсивность.
Из этого следует, что для одновременного измерения частот
и интенсивностей в у-спектре необходимо использовать действие
самих у-лучей вне атомов, из которых они происходят, т. е.
Рис. 394. Следы электронов отдачи, создаваемых
в магнитном поле.
возникновение фотоэлектронов или комптоновских электронов
отдачи. Метод спектроскопии у-лучей, основанный на изучении
энергии комптоновских электронов, был впервые разработан
и осуществлён Д. В. Скобельцыным. С этой целью изучались
следы электронов отдачи в камере Вильсона, помещенной в попе-
речное магнитное поле. Если поле достаточно интенсивно, то
электроны отдачи описывают при этом круговые траектории
(рис. 394). В § 279 мы видели, что по радиусу кривизны траекто-
рии р и по напряжённости поля можно вычислить импульс
и энергию электронов, а зная эту энергию и угол отдачи <р,
можно вычислить и величину у-фотона по формуле Комптона
у-,	7	2сс	Av
V1 + 2а 4- (1 -f- а)2 tg2<p ’ а тис2 '
Этим методом определения Лу особенно удобно пользоваться
для жёстких у-лучей, где применение фотоэлектрического метода
становится затруднительным. Д. В. Скобельцын исследовал таким
путём спектры у-лучей RaC и Th(C + C").
§ 294]
ВНУТРЕННЯЯ КОНВЕРСИЯ ГАММА-ЛУЧЕЙ
553
Рис. 395. Прибор для исследова-
ния спектров 7-лучей.
Методика исследования у-спектров была значительно усовер-
шенствована А. И. Алихановым и М. И. Козодаевым благодаря
удачной комбинации метода Скобельцына (определение величины
фотона hv по энергии электрона отдачи) с магнитным спектрогра-
фом А. И. Алиханова. Такой метод был использован Г. Д. Латы-
шевым для исследования спектра электронов отдачи следующим
образом: источник у-лучей помещался в А (рис. 395), в М рас-
полагалась пластинка лёгкого вещества (стирол), на которой
происходило рассеяние у-лучей. Спектр электронов отдачи изучался
затем магнитным спектрографом
Алиханова. На рис. 396 приведён
полученный таким образом спектр
у-лучей RaC. Как видно, кривая
состоит из ряда максимумов. Каж-
дый из них соответствует электро-
нам отдачи, возникшим под дей-
ствием у-фотонов определённой
энергии. Энергии этих фотонов
указаны у каждого максимума.
Определение абсолютной интен-
сивности линий у-спектра позво-
ляет найти коэффициент внутрен-
ней конверсии у-лучей. Теория
внутренней конверсии достаточно
сложна и приводит к очень гро-
моздким формулам*). Отметим
здесь только, что теоретически мо-
жет быть дано выражение для коэффициента внутренней конверсии
у-лучей на той или иной электронной оболочке (К, L, ...), т. е.
для отношения числа электронов конверсии к числу испущенных
у-фотонов: a#, aj, и т. д. Существенно то, что в это выражение
входит число, характеризующее мультипольность излучения, и что
оно различно для электрических и магнитных мультиполей. Для
примера приведём выражение коэффициента внутренней конверсии
на йГ-оболочке при показателе мультипольности I электрического
22 мультиполя. В простейшем случае (нерелятивистское приближе-
ние, скорость .йТ-электрона мала по сравнению со скоростью элек-
трона конверсии) оно таково:
^=^(4Г/2’
„	„	2тсе2 1
где а в правой части есть постоянная тонкой структуры a = -т— =	•
*) Изложение современного состояния теории и экспериментальные
результаты исследования внутренней конверсии 7-лучей даны в статье
И. С. Шапиро, Успехи физических наук. т. XL, вып. 2, стр. 189, 1950.
554
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
Таким образом, для электрического дипольного излучения (Z = 1)
а для квадрупольного (1 = 2)
О \ V J
Существенно иные формулы получаются для коффициента внутрен-
ней конверсии 2*-польного магнитного излучения.
Из этого видно, что важное значение исследования внутрен-
ней конверсии связано и с тем, что путём сравнения эксперимен-
тальных данных с теоретическими формулами можно установить
мультипольность излучения. Именно таким путём и было обнару-
жено приблизительное равенство интенсивностей дипольного
и квадрупольного у-излучений, о чём была речь в предыдущем
параграфе.
§ 295J
ИЗОМЕРНЫЕ ПЕРЕХОДЫ
•555
§ 295. Изомерные переходы
Имеется ещё один тип ядерных Превращений, который харак-
теризуется некоторыми специфическими чертами, хотя и пе связан
с каким-либо новым видом излучений. Это — изомерные переходы.
Ранее (см. § 237) уже было указано, что существуют ядра, кото-
рые состоят из одинакового числа протонов и одинакового числа
нейтронов, т. е. являются изотопами и изобарами, по тем не
менее различаются своими радиоактивными свойствами. Истори-
чески первый пример таких ядер был найден Ганом, открывшим
радиоактивное вещество, уран Z(9]Pa234), оказавшееся изотопом
и изобаром рапее известного вещества —- урана Х2. Оба вещества
при своих превращениях испускают {3-частицы и у-лучи. Однако,
в то время как период UZ равен 1,22 мин., период UX2 равен
6,7 часа; энергия [3-частиц UX2 равна 1,52 и 2,32 MeV,
a UZ — 0,56 MeV. Мы видим, таким образом, что эти два веще-
ства, ядра которых ничем не различаются по своему составу,
обладают тем не менее существенно различными радиоактивными
свойствами.
UX2 и UZ были первым примером ядер-изомеров. Этот пример
в течение 14 лет оставался и единственным. Но в 1935 г. второй
важный пример был открыт И. В. Курчатовым, Л. И. Русиновым,
Б. В. Курчатовым и Л. В. Мысовским, которые открыли пару
изомеров среди искусственно-радиоактивных изотопов брома.
И. В. Курчатовым с сотрудниками было обнаружено, что при
реакции захвата нейтронов бромом возникает не два, как
было известно ранее, но три периода: 18 мин., 4,4 часа и 34 часа.
С другой стороны, достоверно известно, что бром имеет только
два стабильных изотопа: 35Вг79 и 35Вг81. Поэтому при реакции (п ,у)
могли возникнуть два, а не три [3“-радиоактивных изотопа
Вг79 (п, у) Вг80 и Вг81 (п, у) Вг82.
Для объяснения трёх периодов была выдвинута гипотеза, согласно
которой один из двух радиоактивных изотопов возникает в двух
изомерных состояниях, характеризуемых различной устойчивостью.
Эта гипотеза была подтверждена сначала работой Боте, который
показал, что при реакциях фоторасщепления брома, ведущих
также к двум радиоактивным изотопам брома, а именно:
Вт79 (у, и) Вг78 и Вг81 (у, п) Вг80, наблюдается опять-таки три пе-
риода: 6,4 мин., 4,4 часа и 18 мин. Как видно, два из этих пе-
риодов— 4,4 часа и 18 мин. — совпадают с двумя из трёх перио-
дов, обнаруженных Курчатовым при реакции (п, у). А так как
в обоих случаях, т. е. при реакциях (п, у) и (у, п) одинаковым
продуктом является только один, именно Вт80, то ему и следует
приписать оба периода: 4,4 часа и 18 мин. Тем самым подтвер-
ждается в отношении периодов гипотеза о двух изомерных состо-
556
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
янпях ядра Вг80. Все дальнейшие следствия этой гипотезы были
подтверждены работами Л. И. Русинова, А. П. Гринберга
и А. А. Юзефовича.
После того как изомерия у Вг80 была окончательно установле-
на, было найдено большое количество других лар изомеров. Число
их возрастает по море дальнейших исследований. Приведём
несколько примеров:
Таблица LV1I
Z	Ядро	Тин излучения*)	Период
20	Са1Э	Г, I	2,5 часа
	Са49		30 мни.
22	Ti51	Y	6 мин.
	Ti51	7	72 дня
25	Мп52	P+, 7	21 мпп.
	Мп-52	34 7	6,5 дня
38	Sr35	f‘~, 7	70 мин.
	Sr85	K, 7	65 дней
	Sr87	7	2,7 часа
	Sr37		стабильный
49	In115	e~, 7	4,5 часа
	In115		стабильный
Объяснение изомерии состоит в том, что одни из двух изомеров,
именно тот, у которого период более продолжителен, в резуль-
тате предшествующего процесса (например, ядерной реакции)
возникает в метастабильном состоянии, переход из которого
«запрещён» правилами отбора для у-излучения. В настоящее время
можно считать экспериментально установленным, что причина
метастабилы-юстп состоит в большой разности моментов количества
движения изомерного ядра и ядра в нормальном состоянии.
Разрядка этого метастабильного состояния должна происходить
путём у-пзлучения, и если разность угловых моментов возбуж-
дённого и нормального состояний равна 4—5 единицам, то кван-
товый переход будет соответствовать излучению высокой мульти-
польности, ввиду чего время жизни возбуждённого ядра может
быть очень продолжительным, особенно при малой энергии воз-
буждения. Таким образом, изомерный переход согласно этому
*) В таблице приняты следующие обозначения:	и 3*—бета-распад,
е~—электрон внутренней конверсии, К захват А'-электрона.
§ 295]
ИЗОМЕРНЫЕ ПЕРЕХОДЫ
557
представлению есть новый, до открытия изомерии неизвестный вид
радиоактивности: самостоятельная у-радиоактивность. Можно также
сказать, что изомерный переход аналогичен длительному после-
свечению атомов при запрещённых переходах в электронной обо-
лочке (см. §§ 235—236).
Разберём этот вопрос несколько подробнее. В § 293 мы видели,
что среднее время жизни для дипольного у-нзлучения при энергии
возбуждения 1 MeV—порядка 10-12 сек. Между тем периоды при
изомерных переходах иногда измеряются часами, днями и даже;
десятками дней, т. е. превосходят нормальную длительность
в 1018—1019 раз. Очевидно, что должны существовать правила
отбора, строго запрещающие в этих случаях переходы низших
мультипольностей. Ниже мы увидим, что вероятность перехода
так быстро уменьшается с увеличением степени мультиполыюсти,
что любая длительность возбуждённого состояния может быть
объяснена, если первый разрешённый переход соответствует
излучению достаточно высокой мультиполь пост и.
Можно показать, что момент количества движения относи-
тельно ядра электромагнитного поля излучения 21-полюса (элек-
трического или магнитного) равен I ~ . Таким образом, излуче-
ние электрического диполя уносит с собой момент количества
движения, равный Л/2тс, излучение электрического квадруполя—
момент 2Л/2к, излучения магнитного диполя—также Ihjlv, и т. д.
Если обозначить через I и Г квантовые числа момента количества
движения ядра соответственно до и после излучения, то в силу
закона сохранения углового импульса
|Z-Z'| = Z.
Точнее, может быть показано, что должны иметь место нера-
венства
Из этого следует, что минимальное изменение момента импульса
при излучении 2*-полюса равно I. Если, таким образом, разность
1—Г велика, что должно иметь место при изомерном переходе,
то первый не обращающийся в нуль член упомянутого в § 293 ряда,
представляющего вероятность перехода, будет соответствовать
мультиполю высокого порядка, и вероятность перехода согласно
сказанному выше будет соответственно мала, а время жизни—
велико.
Кроме правил отбора, связанных с изменением углового импуль-
са, вероятность переходов регулируется ещё правилом отбора,
обусловленным изменением чётности собственных функций состоя-
ний, между которыми происходит переход (определение понятия
558
РАДИОАКТИВНОСТЬ
[гл. XXI
чётности см. § 289). В самом деле, для дипольного перехода матрич-
ный элемент есть
Апп= ’pm (еж) tyndx.
Так как (ех) есть функция нечётная, то интеграл будет не равен
нулю только тогда, когда чётность функций фт и —различная:
в этом случае подинтегральная функция в целом будет чётной
и интеграл—отличен от нуля. Напротив, при квадрупольном пе-
реходе в матричном элементе между функциями и фл стоит
квадратичная функция (электрический квадрупольный момент
аналогичен моменту инерции в механике и, следовательно, зависит
от квадратов координат); поэтому интеграл будет не равен нулю
только в том случае, когда чётность функций фП4 и фп—одинако-
вая (обе чётные или обе нечётные). Сопоставляя всё сказанное
о правилах отбора для мультипольного излучения, получаем
следующую таблицу (в этой таблице в рубрике изменение чёт-
ности «да» означает, что чётность меняется; «нет»—что чётность,
не меняется).
Правила отбора для мультипольного излучения *)
Показатель степе- / 2rJ? л/ ни ( —— \ в интен- сивности	2	4	6	8	10
Электрическое из- лучение ...... |Ш' 1> 1 i-г 1 < Изменение чётно- сти 			дпполь 1 да	квадруполь 2 пет	октуполь да	16-поль 4 пет	32-поль 5 да
Магнитное излу- чение 	 \1+1' |> Изменение чётно- сти 		—	диполь 1 нет	квадруполь. 2 да	октуполь 3 нет	16 ПОЛЬ 4 да
Обратим внимание на первую строку таблицы. Опа показывает,
7	2’bR
в какой степени L входит величина -у-в выражение интенсивности
*) Переход 0 —>0 запрещён для обоих видов излучения.
295]
ИЗОМЕРНЫЕ ПЕРЕХОДЫ
559
Рис. 397. Схема изомерного перехо-
да при p-распаде Со61’.
излучения мультиполя порядка 21. Легко рассчитать, что если
разность уровней составляет 100 keV, то	. Следовательно,
вероятность квадрупольного перехода в (300)3 = 105 раз меньше,
нежели для дипольного; для октупольного—в (300)3 = 2,7 • 107 раз;
меньше и т. д. Таким образом, большая величина средней продол-
жительности жизни в случае изомерных переходов может
быть объяснена тем, что эти переходы соответствуют излучению
высокой степени мультипольности, т. е. большой величине раз-
ности 11 — Г |.
Наиболее ясным примером изомерного перехода может служить
переход из метастабильного состояния In115* в нормальное, како-
вым в этом случае является
просто стабильный изотоп ин-
дия In115. Переход сопрово-
ждается испусканием у-лучей
с энергией фотона 336 keV,
а также электронов внутренней
конверсии и характеризуется
периодом 4,5 часа. В возбуждён-
ное состояние In115 может быть
переведён самыми разнообраз-
ными способами: при неупру-
гом рассеянии нейтронов, про-
тонов, а-частиц, путём погло-
щения у-лучей. Во всех слу-
чаях возникающее метастабиль-
ное состояние разряжается с
испусканием у-лучей и кон-
версионных электронов с одним
и тем же периодом 4,5 часа.
Следует отметить, что обнаружить у-излучение при изомерных
переходах долгое время не удавалось. Но в 1938 г. Л. И. Русино-
вым и А. А. Юзефовичем на примере изомеров брома было открыто
испускание электронов внутренней конверсии и тем самым было
показано, что при изомерных переходах по преимуществу имеет
место внутренняя конверсия у-лучей, чем и объясняется трудность
их обнаружения.
В качестве более сложного примера изомерных переходов рас-
смотрим ^-превращение г^Со60 в 28Ni60. Только в 10% случаев пере-
ход совершается непосредственно с испусканием р~-частиц с энер-
гией 1,56 MeV и с периодом 10,7 мин.; 90% ядер Св0 предварительно
совершают изомерный переход, испуская при этом у-лучи или
электроны внутренней конверсии с энергией 0,056 MeV, и с более
низкого уровня испытывают ^“-распад с периодом 5,3 года (рис.397).
Таким образом, оба изомерных ядра Со60 ведут себя как различные
560	РАДИОАКТИВНОСТЬ	[гл. XXI
Р~-радиоактивные ядра, совершая превращения с весьма различ-
ными периодами.
Несмотря на то, что изомерные ядра тождественны во всех отно-
шениях, кроме периодов и энергии излучений, разработаны
методы их разделения. Таков, например, физический метод, разра-
ботанный Л. И. Русиновым и А. С. Карамяном*).
*) См. статью А. С. Карамяна и Л. И. Русинова, Физический
метод разделения ядерных изомеров. Журнал экспериментальной и теоре-
тической физики, т. 19, вып. 7, 1949. См. также реферат В. А. Л е ш к о в-
цева, Успехи физических наук, т. XXXVIII, стр. 114, 1949.
ГЛ ABA XXII
НЕЙТРОНы
§ 296. Открытие нейтронов
Нейтроны играют такую важную роль в ядерной физике,
что на их свойствах следует остановиться подробнее. История
открытия нейтронов такова.
В 1920 г. Резерфорд высказал предположение о возможности
существования двух неизвестных в то время ядер: ядра с мас-
сой 2 и одним зарядом (т. е. дейтерона) и ядра с массой 1 и с зарядом,
равным нулю, т. е. нейтрона. «Подобный атом,—писал Резерфорд
о нейтроне, — обладал бы совершенно фантастическими свой-
ствами. Его внешнее поле практически должно равняться пулю,
за исключением областей, весьма близко прилежащих к ядру;
вследствие этого он должен бы обладать способностью свободно
проходить через материю. Существование подобного атома, ве-
роятно, трудно было бы обнаружить спектроскопом и его нельзя
было бы удержать в закрытом сосуде»*).
Попытки обнаружить такие ядра при прохождении элек-
трического разряда в водороде, сделанные вслед за тем в лабора-
тории Резерфорда, оказались, однако, безуспешными.
Через 10 лет, в 1930 г., Боте и Беккер обратили внимание на
то, что при бомбардировке а-частицами некоторых лёгких эле-
ментов (Бе, В, Li и др.) возникает очень жёсткое излучение, спо-
собное проходить через толстый слой свинца. О степени жёсткости
этого излучения можно было судить по тому, что, тогда как наи-
более сильно пропикающие у-лучи Th (С + С") поглощаются на-
половину слоем свинца в 1,5 см, для излучения бериллия слой
половинного поглощения в свинце оказался равным приблизи-
тельно 5 см. Если бы это излучение имело квантовую природу, т. е.
представляло собой жёсткие у-лучи, то по величине поглощения
энергию фотона следовало оценить в 5 MeV.
*) Э. Резерфорд, Нуклеарное строение атома, Успехи физических
наук, т. II, вып. 2, стр. 194, 1921.
НЕЙТРОНЫ
I гл XXII
Экспериментируя с этим излучением, Ирэн и Фредерик Жолио-
Кюри в 1931 г. обнаружили, что если перед ионизационной
камерой, измерявшей интенсивность проникающего излучения
бериллия, поместить слой вещества, содержащего большое коли-
чество водорода, например пластинку парафина, то ток в камере
резко возрастает. Опыты с камерой Вильсона ясно показали что
возрастание тока в данном случае обусловлено возникновением
ядер отдачи: проходя через водород или водородосодержащее
вещество, проникающее
Рис. 398. Протоны отдачи, возникающие под
действием нейтронов в метане.
излучение создавало про-
тоны отдачи с пробегом до
26 см (рис. 398). Ядра
отдача возникали также
и в других газах, напри-
мер в азоте и даже в тя-
жёлом газе—криптоне.
Таким образом, ока-
залось, что проникающее
излучение бериллия и
других лёгких элементов
обладает способностью
сообщать большое коли-
чество движения тяжёлым
частицам. Подобное свой-
ство излучения очень
дно согласовать с его
квантовой природой. На-
пример, если допустить,
что ядра отдачи в водо-
роде (т. е. протоны) воз-
никают в результате со-
ударения фотона с ядром
водорода, подобно тому
как возникают электро-
ны отдачи в эффекте Комптона, то для создания протона
с пробегом в 26 см энергия фотона должна быть равна 50 MeV,
а не 5 MeV.
Этот кажущийся парадокс был разрешён Чадвпком, который
показал, что ядра отдачи, обнаруживаемые во всех газах вплоть
до криптона, имеют скорость, которую они должны были бы полу-
чить в результате соударения не с фотоном, но с тяжёлой части-
цей с массой, приблизительно равной массе протона. 13 самом деле,
обозначим массу этой частицы через т, её скорость до и после
соударения соответственно через г;0 и г?/, массу ядра отдачи обо-
значим через М, его скорость до соударения положим равной пулю,
а после соударения—равной о. L3 случае упругого центрального
§ 297]	МАССА, СНИП И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ НЕЙТРОНА	563
соударения законы сохранения энергии и количества движения
дают
1 mvl = j mv* +	М
— mv1 + Mv.
Исключая легко найдём
2т
Ъ М±т Уо’
В случае прохождения через водород М — 1, через азот
М = 14; отношение скоростей равно поэтому
VII_т л-14
vN — т + 1
Скорости г?н и были найдены экспериментально и ©казались
равными: «п — 3,3 • 109 см1сек, —4,7 • 108 см [сек. Подставляя
эти значения в предыдущее отношение, находим т — 1,15 с точ-
ностью примерно в 10%. Итак, частицы с массой около 1 должны
при центральных соударениях создавать в водороде и азоте ядра
отдачи, отношение скоростей которых как раз равно наблюдае-
мой на опыте величине.
Если, кроме того, эти частицы лишены электрического заряда,
то электростатические взаимодействия между ними и ядрами
будут отсутствовать, и поэтому подобные частицы должны свободно
проходить даже через такие тяжёлые вещества, как свинец.
Взаимодействие же, приводящее к образованию ядер отдачи,
может быть обусловлено наличием магнитного момента у этих
частиц или ядерпыми силами. Тем самым предсказанное Резер-
фордом существование частиц с массой 1 и без заряда было
подтверждено.
§ 297. Масса, спин и магнитный момент нейтрона
Приведённый в предыдущем параграфе расчёт массы нейтрона,
выполненный на основании измерений скоростей ядер отдачи,
как уже было сказано, не может претендовать на точность. Для
точного определения необходимо использовать ядерные реакции.
Обычно из ядерных реакций находится разность масс п — Н1, т. е.
разность массы нейтрона и атома водорода (включая массу элек-
трона). Для этого можно воспользоваться, например, фоторазло-
жением дейтерона, что даёт
1D2 + (?T = 0^4-1H1,	(297,1)
причём равно энергии фотона Av минус сумма кинетических
энергий возникающих частпц (нейтрон-|-протон). Далее с помощью
564
НЕЙТРОНЫ
[гл. XXII
масс-спектрографа можно найти разность масс молекулы водо-
рода Н1!!1 и атома дейтерия
HW-D2^.	(297.2)
Складывая (297,1) и (297,2) и принимая во внимание, что
Н1!!1 — 2Н1, так как энергией образования молекулы водорода
можно пренебречь, получаем
лг —Н3 =	—Л/.	(297,3)
Наиболее достоверные определения (Д дают
= 2,187 MeV,
а из наиболее точных масс-спектрографическпх определений
М = 1,432 MeV,
так что
«-№ = 0,755 MeV.	(297,4)
Другой путь для нахождения n — № открывает изучение
ядерных реакций с образованием радиоактивных ядер. Таков,
например, цикл
7N14 + 0/гх — 6С14 + ДТ1 4-|
6С14--,N14 + £“ + р..	/	(297,5)
В первом уравнении Qnp означает разность кинетических
энергий освобождаемого протона и налетающего нейтрона.
Во втором уравнении масса электрона, выбрасываемого ядром С14,
явно не фигурирует потому, что в электронной оболочке ней-
трального атома 7N14 имеется один лишний электрон по сравне-
нию с 6С14; Е~ — максимальная кинетическая энергия электрона,
определяемая из верхней границы [3-спектра; р — масса нейтрино;
сё можно положить равной нулю. Принимая всё это во внимание,
получаем из (297,5)
п - Н1 = Qnp + Е~.
Найденные таким образом величины п — Н1 колеблются от 0,845
до 0,685 MeV. Наиболее достоверным следует считать значение
« — № — 0,755 MeV,
откуда
/г -Н1-у 0,755.
Чтобы перейти от энергетических величин к единицам массы,
надо учесть, что 1 MeV == 1,07390 • 10~3MU (см. табл. XLII. стр. 349),
а следовательно 0,755 MeV = 0,000811 MU, и беря для Н1 наибо-
лее точное значение, полученное с помощью масс-спектрографа,
№ = 1,008130,
§ 297]
МАССА, СПИН И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ НЕЙТРОНА
565
находим точное значение массы нейтрона
оП1=1,008941 ± 0,00002.	(297,6)
Из (297,6) следует, что масса нейтрона не только больше
массы протона, но и больше суммы масс протона и свободного
электрона (энергией связи электрона в атоме Н1, равной 13,5 eV,
можно пренебречь). Таким образом, нз двух изобаров— нейтрон
и протон—нейтрон должен быть радиоактивен, а именно
^--радиоактивен. Максимальная кинетическая энергия ^-электро-
нов найдётся из (297,4)
оП1 = И1 0,755 = р + е- + Н- Е~,
где [л~ — масса нейтрино и Е~ — попрежпему максимальная кине-
тическая энергия р“-электропа. Полагая р = 0 и считая в указан-
ных пределах точности Н1 = р + е~, получим
Е- = 0,75 MeV.
По этой величине максимальной энергии с помощью теории
(3-распада можно вычислить период полураспада свободного ней-
трона. Он оказывается равным приблизительно 20—30 мин.
Обнаружить на опыте радиоактивность нейтрона долгое время
не удавалось из-за больших экспериментальных затруднений.
13 1950 г. были одновременно опубликованы результаты работ
двух лабораторий, независимо друг от друга установивших факт
радиоактивности нейтрона и показавших, что продуктом распада
является именно протон*). Период полураспада из этих опытов
мог быть оценён грубо в пределах от 9 до 25 мин.
Следующими за массой важными свойствами нейтрона явля-
ются его спин п магнитный момент. То, что нейтрон, будучи ча-
стицей, лишённой заряда, должен всё же обладать магнитным
моментом, было впервые установлено И. Е. Таммом и С. Альт-
шулером, которые теоретически предсказали правильный знак этого
момента и приблизительно оценили его величину. Непосредствен-
ный метод определения магнитного момента нейтрона, предложен-
ный Альварецом и Блохом, представляет собой видоизменение
метода высокочастотных спектров Раби. Идея метода Альвареца
и Блоха состоит в использовании обусловленной магнитным
моментом нейтрона поляризации пучка нейтронов при прохожде-
нии через намагниченное железо.
При прохождении через любое вещество нейтроны рассеива-
ются вследствие взаимодействий с атомами вещества. Представим
*) Описание экспериментальной техники, применённой в этих работах,
см. реферат в журнале «Успехи физических наук», т. XLII, вып. 2,
стр. 311, 1950.
560
НЕЙТРОНЫ
[гл. XXII
собе, что пучок нейтронов проходит через намагниченное же-
лезо. Атомы железа при памагпнчсннп до насыщения ориен-
тированы своими магнитными моментами в одну определённую
сторону. Если нейтрон также обладает магнитным моментом, то
последний будет взаимодействовать с магнитным моментом атома
так, как взаимодействуют два магнитных диполя. В частности,
если диполи параллельны, то они отталкиваются, если же диполи
аптипараллельны, то они притягиваются. Нетрудно понять по-
этому, что когда через намагниченное до насыщения железо прохо-
дит нейтронный пучок с хаотически распределёнными направле-
ниями магнитных моментов, то в наибольшей степени будут рас-
сеиваться и выводиться из пучка те нейтроны, магнитные моменты
которых параллельны намагничению железа. Поэтому пучок
обогатится нейтронами с антипараллельными спинами и, следо-
вательно, частично поляризуется. Если этот поляризованный
пучок пропустить через второй кусок железа, намагниченный
в сторону, противоположную первому, то такая система двух
антипараллельпо намагниченных кусков железа будет вполне
аналогична паре николей, поставленных накрест. При этом пер-
вый кусок железа будет играть роль поляризатора, а второй—
анализатора. Два куска железа, намагниченные параллельно,
представляют собой поляризатор и анализатор, расположенные
параллельно. В первом случае анализатор «гасит» пучок, во вто-
ром—пропускает его с максимальной интенсивностью.
Представим себе теперь, что в промежутке между антипарал-
лельно намагниченными кусками железа (т. е. между поляриза-
тором и анализатором, поставленными накрест) пучок нейтронов
проходит, как в методе Раби, через постоянное поле и наложенное
на пего высокочастотное переменное поле. В таком случае нейтрон-
ные магнитики частично переориентируются, и такие переориен-
тированные нейтроны легче проходят через анализатор. Явление
это совершенно аналогично просветлению поля, когда между окре-
щёнными никелями помещается вещество, вращающее плоскость
поляризации. Очевидно, что «просветление» нейтронного пучка
будет максимальным, когда частота переменного поля окажется
в резонансе с частотой ларморовой прецессии нейтронных маг-
нитных моментов относительно постоянного поля. Таким путём
можно найти частоту ларморовой прецессии, а при сё помощи —
гиромагнитное отношение g, и, наконец, зная спин нейтрона,
вычислить его магнитный момент.
Опыты подтвердили изложенные соображения и позволили
•определить магнитный момент нейтрона. Впоследствии эти опыты
были повторены со значительно более мощными пучками нейтро-
нов и улучшенной техникой. В результате, исходя из предполо-
жения, что спип нейтрона равен г/2} было найдено следую-
щее точное значение магнитного момента нейтрона (в ядерных
§ 298]	ИСТОЧНИКИ ПЕП ГРОНОВ	567
магнетонах):
н,п= -1,9103 ±0,0012.
Отрицательный знак указывает на то, что магнитный момент
нейтрона аптипараллелен ого механическому моменту. Этот факт
(т. е. отрицательный знак момента) был установлен специальными
опытами, на которых мы не останавливаемся. По поводу проис-
хождения магнитного момента нейтрона см. § 250.
§ 298. Источники нейтронов
Нейтроны существуют в свободном состоянии лишь очень
короткие промежутки времени, так как они, с одной стороны,
легко захватываются ядрами, а с другой, будучи сами радиоак-
тивными, распадаются с коротким периодом порядка 20 мин.
Поэтому никаких запасов нейтронов в свободном состоянии в при-
роде не существует; их необходимо получать с помощью ядерных
реакций.
Остановимся коротко на важнейших процессах, служащих
для получения нейтронов*).
а) Источник Ra +- Be. Этот источник представляет собою
стеклянную или металлическую ампулу, в которую насыпается
порошок металлического бериллия с осадком радия. Препарат
получается таким образом, что бериллий заливается раствором
соли радия (RaBr2), после испарения которого радий осаждается
в виде крупинок на поверхности частиц бериллия. Нейтроны
возникают при этом в результате реакции
4Ве9 ± 2Не4 —> еС12 ±	± 5,5 MeV.
Вследствие большой проникающей способности нейтронов они
свободно проходят через стенки ампулы.
Так как радий присутствует в источнике вместе со своими
продуктами распада, среди которых имеются продукты, испу-
скающие а-частицы с энергией до 7,68 MeV, то источник Ra 4- Be
даёт нейтроны с разнообразными энергиями вплоть до 13 MeV.
Наиболее простым и дешёвым источником нейтронов является
источник радон—бериллий (Rn-T-Be). Он представляет собой сте-
клянную ампулу, в которую вводится газообразный радон. Ввиду
небольшого периода полураспада радона (3,8 дня) этот источник,
конечно, значительно менее стабилен, нежели источник Ra±Bo.
*) Обстоятельный обзор по этому поводу дан в статье II. А. Вла-
сова, Источники пейтропов, Успехи физических наук, т. XLIII, вып. 2,
стр. 169, 1950. Приводимые ниже цифры даны по книге Э. Ферми «Nuc-
lear Physics», 1950.
568
НЕЙТРОНЫ
[гл. XXII
Приведём некоторые цифры относительно выхода нейтронов
в источниках, основанных на реакции (а,тг).
Источник
Ra + Be(leRa) . .
Rn + Be (1 кюри Rn)
Ро 4- Be (1 кюри Ро)
Ra + В (iKiopuRa)
Выход
10 —15-10° нейтронов/сек
приблизительно тот же
2,8 • 10е нейтронов/сек.
2	-10е нейтронов/сек.
Ь ) Источники, основанные на реакциях (р{, п). Рассмотренные
выше источники нейтронов характеризуются большой неодпород-
Рис. 399. Зависимость выхода нейтронов от энергии дейтеронов.
ностьто нейтронов по энергии. Для получения монохроматических
нейтронов иногда используются реакции фоторасщепления ядер
§ 298]
источники НЕЙТРОНОВ
569
[реакции (у, п)]. В качестве мишеней чаще всего применяются
дейтерий (тяжёлая вода) и бериллий. В качестве источников при-
меняются радиоактивные препараты, дающие у-лучи. Препарат
помещается в центре объёма, заполненного тяжёлой водой или
бериллием. Для характеристики выхода даётся следующая цифра:
1 г Ra па расстоянии 1 см от 1 г Be даёт 30 000 нсптронов/сек.
Приведём некоторые данные об энергии получающихся при этом
нейтронов:
Источник у-лучей	Его период	Мишень	1 Энергия пен 1 тронов, MeV
яД1а2-б	1622 года	1	Be	1 0.12: 0,50
MbThi	6,7 1'(да	i	Be	0,16; 0.88
»	6,7 »	1	D>O	j	0,22
e.Sb>21	60 дней	j	Вз	0,03
uNa24	15 часов		|	0,24
и Na2*	15	»	Вс	0,3
с) Получение нейтронов с помощью ускорителей. Для полу-
чения нейтронов в ускорителях широко используются реакции
(d, п), в частности реакция XD2 (d, ri) 2 Не3. Дейтериевая мишень
осуществляется в виде тяжёлого льда, нанесённого на метал-
лическую подкладку, охлаждаемую во время бомбардировки
жидким воздухом. Па рпс. 399 приведены кривые выхода нейтро-
нов из различных мишеней в зависимости от энергии дейтеропов.
Для получения нейтронов с высокой энергией можно исполь-
зовать реакцию между дейтеронами и сверхтяжёлым водородом,
тритием,
-|- XD2 2He(l -b o^1 -r 17,6 MeV.
Тритий получается в очень небольших количествах с помощью
ядерных реакций.
При больших энергиях дейтеронов, ускоряемых в циклотроне,
нейтроны получаются в разнообразных реакциях дейтеронов.
Ниже приводятся некоторые данные для выхода нейтронов в
циклотроне при энергии дейтеронов 10 MeV.
Мишень	Выход нейтронов на микрокулон jD2
D Be С Al Си	3,1-Ю10 3,7-10*° 1,3-1010 0,9-1010 0,62-Ю10
570
НЕЙТРОНЫ
[гл. XXII
cl) Ядернъш реактор (котёл) как источник нейтронов. Наи-
6( /юо мощным источником нейтронов в настоящее время является
ядерпый реактор плн котёл, в котором происходит цепная реакция
деления тяжёлых ядер. По поводу работы этого устройства см.
следующую главу*).
По данным, сообщаемым Ферми, котёл, в котором па каждый
акт деления ядра приходится два нейтрона, даёт 6 • 1013 нейтронов
в секунду на киловатт мощности котла.
§ 299. Диффракциошюе рассеяние быстрых нейтронов
При прохождении нейтронов через вещество возможны разно-
образные процессы, а именно:
1)	упругое рассеяние,
2)	неупругое рассеяние,
3)	захват.
В § 264 мы видели, что прп рассмотрении взаимодействия ней-
тронов с ядрами необходимо учитывать соотношение между раз-
мерами ядра и длиной волны де-Брогля, соответствующей нейтро-
нам данной скорости. В тех случаях, когда длина волны (точнее
а/2тс) больше радиуса ядра или по крайней мере одинакового с ним
порядка величины, важнейшую роль играют интерференционные
и резонансные эффекты. Эффективное сечение ядра обнаруживает
при этом незакономерный ход п иногда оказывается в десятки тысяч
раз большим его «геометрического сечения». Наконец, как мы
увидим ниже, для нейтронов с энергиями порядка сотых долей
электрон-вольта, когда их длина волны оказывается соизмеримой
с междуатомными расстояниями, обнаруживаются эффекты интер-
ференции волн де-Брогля, рассеянных различными атомами.
Эти эффекты позволили создать методы пейтропографического
анализа (см. § 301), вполне аналогичные методам рентгеногра-
фического и электропографпческого анализа, но имеющие в оп-
ределённых случаях даже некоторые преимущества перед по-
следними.
Иная картина будет в том случае, когда энергия нейтронов
велика, а длина волны—соответственно мала. Действительно,
при к/2п <£ R ко взаимодействию нейтронных волн с ядром приме-
нимо приближение геометрической оптики. Ядро по отношению
к потоку нейтронов должно действовать как непрозрачный экран,
отбрасывающий геометрическую «тень», и эффективное сечение его
для упругого рассеяния нейтронов должно соответствовать его
«геометрическому» сечению nR2. Было бы, однако, ошибкой
думать, что и в этом случае волповые эффекты никак себя пе прояв-
*) См. также указанную в сноске па стр. 567 статью II. А. Бла-
сона, стр. 246 и след.
§ 299]
ДИФФРАКЦИОИНОЕ РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ НЕЙТРОНОВ
571
ляют. В самом деле, из волновой оптики известно, что и тогда,
когда а < R, в области тени наблюдаются диффракционные явле-
ния. Эти явления в оптике наблюдаются именно в том случае, когда
экран совершенно непрозрачен
и его размеры велики по сравне-
нию с длиной волны. Расчёт
показывает, что диффракцпон-
ная картина в этом случае со-
средоточивается в пределах уг-
лов порядка k/2tzR, и если
)ч/2тс < R, то углы эти очень
малы, и явление наблюдать
нелегко. Оно тем не менее
наблюдается, как это показы-
вают чрезвычайно эффектные
опыты В. К. Аркадьева,
А. С. Беркмана и Н. Н. Яков-
лева (выполненные в 1912 г.),
где, например, были сфотогра-
фированы диффракционные явле-
ния (рис. 400) с видимым светом
от такого объекта, как рука,
держащая тарелку*)!
Атомное ядро по отношению
К нейтронам определённых энер-
гий ведёт себя как непрозрач-
ная сфера. И если энергия ней-
тронов такова, что k/2~ < R,
то и здесь в области «тени»
Рис. 400. Опыт Аркадьева, Беркмана
п Яковлева. Дпффрактщя от тарелки.
должна наблюдаться дпффрак-
ционная картина.
Подсчитаем сначала, при ка-
ких энергиях нейтронов мож-
по
этого ожидать. Условие равенства
Z
9_ радиусу ядра дает
X
2к
\f2ME ’
R
откуда
(1,05 - 10~27)2
2 • 1,7 • 10“24/?2
*) На самом деле в этих опытах была испо;и зоватта уменьшенная,
но всё же вполпе «макроскопическая» модель объекта, и ври этих усло-т
виях диффракциопную картину можно было наблюдать отчётливо только
па расстоянии нескольких десятков метров от объекта.
572
НЕЙТРОНЫ
[гл. ХХП
- MeV.
или, полагая R = 1,5 • 10-13 А1/*,
„	1,1 • 1(Г54
.Сг - ------------------- - — Э рё —=
2-1,7- 10“24 • 2,25 • 10~26 Я''3
1,4 • IO"5	1	8,9	v
— ——— орг • --------------= —- MeV.
Л2/з	Л 16.10-б±^	А2^
' MeV
Итак, для А = 50 2? ^0,65 MeV; при А = 200 Е = 0,26 MeV.
Из этого следует, что при энергии около 100 MeV условие л/2.т « R
будет вполне удовлетворено. Явление должно состоять при
этом в возникновении диффракционной картины при упругом
рассеянии нейтронов ядрами. Такое рассеяние нейтронов назы-
вается поэтому дпффракцнонпым. В известном смысле диффрак-
пиопное рассеяние нейтронов наблюдать даже легче, нежели
в оптическом случае. В самом деле, в оптике А 10~5 см, так
что при радиусе экрана 10 см	тогда как для нейтро-
нов с энергией 100 MeV и для тяжёлых ядер это отношение
порядка IO-2. Поэтому на расстоянии, где устанавливается
воспринимающая аппаратура, явление должно наблюдаться вполне
отчётливо.
Согласно сказанному ранее мы будем рассматривать ядро как
совершенно непрозрачную сферу или диск. Волновая оптика
устанавливает для случая диффракции от такого объекта так на-
зываемую теорему Бабине*), в силу которой дпффракциониая
картина от непрозрачного диска по распределению интенсивности
в точности совпадает с диффракционной картиной от отверстия
равной диску величины в бесконечном непрозрачном экране.
Другими словами, диффракции от непрозрачного препятствия и от
отверстия той же величины одинакова**). Но характерная черта
диффракции от отверстия состоит в наличии резкого максимума
в центре картины. Такой максимум отчётливо
упругом дпффракцпошюм рассеянии быстрых
На рпс. 401 приведена кривая распределения
нов с энергией 84 MeV'", упруго рассеиваемых
эта кривая, хорошо иллюстрирует сказанное.
Угловое распределение нейтронов, представленное на рис. 401,
характеризует дифференциальное эффективное сечение для одного
только упругого рассеяния нейтронов в данном направлении.
Были выполнены также измерения полного эффективного сечения
ядер для быстрых нейтронов. Постановка этих опытов была
такова, что учитывалось удаление нейтронов из параллель-
*) Схг., например, М. Борн, Оптика, § 47, ДНТВУ, 1937.
**) Квантовомеханический расчёт диффракции нейтронов при Х/2к R
приводит к тому же результату. См. А. АхиезериИ. Номера п ч у к,
Некоторые вопросы теории ядра изд. 2-е, Гостехиэдат, 1950, §§ 20—22, где
дан полный анализ явлений диффракционного рассеяния нейтронов.
наолюдается я при
нейтронов ядрами,
по углам пойтро-
ядрамп алюминия;
§ 299]
ДИФФР АКЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ НЕЙТРОНОВ
573
ного пучка в результате всех возможных процессов, т. е. рас-
сеяния упругого и неупругого, а также поглощения. Согласно
сказанному ранее это полное сечение должно быть непосред-
ственно связано с геометрическим сечением ядра. Однако расчёт
показывает*к что at равно не просто kR2, но удвоенной величине
^ = 2тсА2.	(299,1)
Это следует из того, что при л/2тт < R для одного только упругого
рассеяния должно быть верно геометрическое приближение, т. е.
классическая механика, которая, естественно, даёт для рассеяния
Рис. 401. Диффракцпонное упругое рассеяние быстрых
нейтронов ядрами алюминия.
частиц непроницаемой сферой r.R2. Но кроме упругого рассеяния,
полным сечением учитываются и процессы, связанные с погло-
щением (неупругое рассеяние и захват), для которых расчёт
даёт также "R2. Это равенство сечений для упругого рассеяния
и поглощения можно обосновать без вычислений ссылкой на опти-
ческую аналогию, а именно—на уже упомянутую теорему Ба-
бине. Действительно, так как диффракционпые картины от непро-
зрачного экрана и от отверстия вполне одинаковы, то интенсив-
ность волн, диффрагированных отверстием, должна быть равна
интенсивности волн, поглощённых экраном; а так как сечение для
последнего, очевидно, равно к/?2, то полное сечение должно быть
равно 2-R2.
*) См. А. Ахиезер и И. Л ом ер а пч у к, цитированная моно-
графия, стр. 197 и след. Аналогично и в оптике полный коэффициент
ослабления вследствие рассеяний при Л < R равен не nR2, как надо было
ожидать на основании геометрической оптики, но 2nR2. См. К. С. Шиф-
рин, Рассеяние света в мутной среде, Гостехиздат, 1951, стр. 144 и след.
574
НЕЙТРОНЫ
[гл XXII
Измерение полного сечения позволяет, таким образом, вычис-
лить радиусы ядер и проверить известное соотношение 7?=1,5х
X 10-13й1/8. На рис. 402 по о’сп абсцисс нанесены значения Л’/»,
Кубический корень из массового числа
Рис. 402. Связь между радиусами ядер, вычисленными
из полного сечения рассеяния быстрых дейтронов и
кубическими корнями массовых чисел.
а па оси ординат—величины вычисленные из полных сечений
по формуле (299,1). Экспериментальные результаты нанесены на
график крестами. Видно, что линейная связь между R и Л1/з вы-
полняется лишь приблизительно, и точки не укладываются на
прямую.
Это расхождение может быть интерпретировало следующим
интересным образом*). Результаты, приведённые на рис. 402,
получены с нейтронами, энергия которых была равна 95 MeV.
В § 269 мы уже видели, что при такой энергии а/2- меньше радиуса
*) См. А. А хне зе р и II Померанчук, цптпровапная моногра^
фия, § 21.
§ 300] ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ 11ЕЙТЮНОВ 575
действия ядерных сил, и ядро нельзя рассматривать как абсолютно-
непрозрачное. Поэтому модель, на основании которой вычисля-
лись радиусы 7?, применима лишь приближённо. В более точной
теории следует рассматривать ядерное вещество как «полупро-
зрачное» для сверхбыстрых нейтронов, т. е. учитывать его коэф-
фициент поглощения для нейтронных волн или, что то же самое,—
среднюю длину свободного пробега нейтрона в ядре. По в таком
случае необходимо принять во внимание ещё и показатель прелом-
ления ядерного вещества для нейтронов соответствующей энергии,
так как от него зависит смещение фазы волн, проходящих через
ядро.
Коэффициент поглощения К можно приближённо оценить
следующим образом. Если а есть среднее эффективное сечение
рассеяния нейтрона отдельными нуклеонами ядра, то К для
ядра с массовым числом А будет приближённо равно сечению,
рассчитанному на единицу объёма:
ттс7?3
Для нейтронов с энергией 84 MeV получается К 2,2 • 1012сж-1,
что соответствует средней длине пробега 4,5- 10~13сл4. Для ней-
тронов с энергией 95 MeV соответствующие цифры —3,0 • 1012 см~г
и 3,3 • 10-13 см.
Показатель преломления нейтронных волн вычисляется так
же, как показатель преломления электронных волн [см. т. 1,
§ 134, формула (134,2)]. Если Vo — средная потенциальная энер-
гия нейтрона в ядре, а Е — кинетическая энергия падающего ней-
трона, то
Полагая V = 30MeV, найдём при 2? = 90 MeV р = 1,155.
Пользуясь этими двумя константами, К и |*, можно вычислить
сечение, а оттуда и радиусы ядер на основании «полупрозрачной»
модели ядра. При этом получаются цифры, нанесённые на рис. 402
в виде квадратиков. Как видно, эти квадратики уже хорошо укла-
дываются на прямую, тем самым подтверждая соотношение
Я = 1,5 • 10-13 А1!* см.
§ 300. Поглощение п рассеяние медленных нейтронов
Исследовапие взаимодействия медленных нейтронов с веще-
ством также представляет большой интерес. Уже первые каче-
ственные исследования установили, что эффективное сечение для
различных изотопов обнаруживает весьма причудливый ход и
резко выраженную селективность: у некоторых изотопов и при
576
НЕЙТРОНЫ
[гл. ХХ11
определённых скоростях нейтронов сечение возрастает в тысячи
раз по сравнению с сечением ядра, обусловленным ядерными
силами. Это показывает, что в случае медленных нейтронов
геометрические соображения вообще совершенно неприменимы;
рассеяние подчиняется волновым законам, следствием которых
является формула Брейта—Вигнера, приведённая в § 264. Ввиду
резко выраженной селективности в поглощении нейтронов, т. е.
наличия резонансных эффектов, для исследования взаимодейст-
вия нейтронов с ядрами требуются строго однородные по энер-
гии (моноэнергетические) потоки нейтронов. Получение их стало
возможным благодаря большим успехам экспериментальной
техники.
источник
нейтронов
Рис. 403. Механический селектор скоростей для
медленных нейтронов.
Имеется несколько методов «монохроматизации» нейтронов.
Рассмотрим кратко наболее типичные из них.
1. М еханическай селектор скоростей. В простейшем виде этот
метод состоит в следующем.
Между источником нейтронов, помещённым внутри парафи-
нового цилиндра, п ионизационной камерой расположены четыре
дюралюминиевых диска А, В, Вг, А} (рис. 403); два из них—А
и At—остаются неподвижными, а два других — В и —быстро
вращаются. На каждом из дисков укреплено по 50 кадмиевых
секторов, между которыми расположены дюралюминиевые про-
межутки. Легко видеть, что эта система действует так же, как
зубчатое колесо в опыте Физо для определения скорости света.
Дело в том, что кадмий обладает особенно высокой вероятностью
поглощения медленных нейтронов (см. выше, §266). Поэтому,
когда кадмиевые секторы вращающихся дисков совпадают с дюр-
алюминиевыми промежутками неподвижных, нейтроны задер-
живаются; когда кадмиевые секторы приходятся друг против
друга, нейтроны проходят свободно сквозь совпадающие дюр-
алюминиевые секторы.
§ 300] ПОГЛОЩЕНИЕ II РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ 577
Будем называть прохождение нейтронов от источника через
левую пару дисков «вспышкой», а части дисков между кадмие-
выми секторами — щелью. Щель в обоих парах секторов открыта,
когда кадмиевые секторы расположены друг против друга, и за-
крыта, когда кадмиевые секторы вращающихся дисков располо-
жены против алюминиевых промежутков неподвижных. Пусть
в некоторый момент произошла вспышка, и группа нейтронов
с различными скоростями попала в пространство между вращаю-
щимися дисками. Если какой-нибудь нейтрон имеет скорость
а расстояние между дисками В п равно d, то время t, которое
требуется нейтрону для того, чтобы пролететь это расстояние,
.	d о
оудет равно -- . да это время вращающиеся диски повернутся
па некоторый уголок, где со — угловая частота вращения. Оче-
видно, что если этот угол будет иметь такую величину, что щель
в правой паре дисков окажется открытой, то нейтрон пройдёт
через щель и будет зарегистрирован ионизационной камерой.
Предполагая, что шириной щели можно пренебречь по сравнению
с шириной кадмиевого экрана, легко видеть, что щель открывается
при повороте диска на угол ю . Поэтому условие прохождения
нейтрона через вторую пару дисков ость
где т—время одного оборота диска. Отсюда находим I — 0,02 т
С другой стороны, ~ =1-- -- 0,02 т, откуда
у " о 02~ 50/2(7,
где п— число оборотов диска в секунду. Меняя это число, можно
выделять из каждой вспышки только нейтроны определённой
скорости.
Предыдущий расчёт па самом деле сильно схематизирован.
Прежде всего ширина щели, а следовательно и время, в точение
которого она остаётся открытой, имеют конечную величину. Эта
величина на самом деле и не может быть достаточно малой, так как
иначе вспышка, т. о. число нейтронов, проходящих через левую
пару дисков за время открытия щели, оказалась бы слишком сла-
бой. Более того, при практическом осуществлении селектора
оказалось необходимым сделать кадмиевые секторы п дюралю-
миниевые промежутки между ними мало отличающимися друг
от друга. Но очевидно, что за конечное время открытия сквозь
правую (выходную) щель пройдут нейтроны со скоростями,
578
НЕЙТРОНЫ
[гл. ХХП
лежащими в более или менее широком интервале между у и
Поэтому монохроматизация, осуществляемая, с помощью подоб-
ного механического селектора, будет лишь приближённой. Тем
не менее п с этим несовершенным селектором первоначально
был получен ряд интересных результатов. Например, было по-
казано, что после прохождения через парафин распределение ско-
ростей между нейтронами приблизительно соответствует макс-
велловской кривой.
2. Метод времени пролёта. Этот метод основан на раздельной
регистрации нейтронов, требующих различных промежутков
времени для того, чтобы пролететь определённое расстояние.
В следующей полезной таблице собраны данные, относящиеся
к скоростям и другим свойствам медленных нейтронов (табл. LVI1I
на стр. 579).
Из этой таблицы видно, что время, которое требуется медлен-
ному нейтрону, чтобы пролететь расстояние в 5,4 м, вполне изме-
римо, если пользоваться современной электронной техникой.
Например, нейтроны с энергией в 0,01 eV требуют 3900 «леек. -
= 3,9 • 10~3 сек.
В том случае, когда имеется постоянный по интенсивности
источник нейтронов, применим только метод механического се-
лектора скоростей, идея которого изложена выше. Нетрудно,
однако, заметить, что в этом селекторе первая (левая) пара дисков
играет роль устройства, модулирующего интенсивность потока
нейтронов. Модуляция, однако, может быть осуществлена и дру-
гим способом. Если в качестве источника нейтронов использовать
бериллиевую мишень, обстреливаемую протонами илп дейтеро-
нами циклотрона, то требуемого периодического изменения интен-
сивности потока нейтронов можно достигнуть, модулируя силу
тока пли напряжение дуга, доставляющей попы, которые затем
ускоряются в цпклотропе. Очевидно, что пучок нейтронов будет
модулирован в той же степени, в какой модулируется пучок
заряженных частиц, под действием которых возникают нейтроны.
Такой метод был применён рядом исследователей в различных
модификациях. Модулируя ускоряющее напряжение дуга, можно
было получать вспышки нейтронов, продолжавшиеся 50—100 «.сек.
с повторяемостью 400 раз в секунду («мигающий» пучок). Модули-
рованный поток нейтронов, замедлявшихся парафином, прини-
мался детектором (ионизационная камера, наполненная трёх-
фтористым бором, или пропорциональный счётчик с тем же на-
полнением), расположенным па определённом (5,4 м) расстоянии
от источника, и регистрировался с помощью сложной радиотех-
нической схемы. В этой схеме усиленный и выровненный сигнал
счётчика (пли камеры) подавался на специальные каналы схемы,
число которых в наиболее совершенном селекторе доходило до
32. Каждый пз каналов настраивался так, что он регистрировал
Таблица LVIII
Энергия нейтронов	1 MeV	0,1 MeV	0,01 MeV	1000 eV	100 eV	10 eV	leV	0,1 eV	0,01 eV	0,001 eV
1. Скорость в м/сек ....	1,38-107	4,38-106	1,38-106	437 500	138 400	43 750	13 480	4375	1384	438
2. Время, необходимое для прохождения расстоя- ния в 1 м (в микросе- кундах) 		0,0723	0,229	0,723	2,29	7,23	22,9	72,3	229	723	2286
3. Время, необходимое для прохождения расстоя- ния в 5,4 м (в микросе- кундах) 		0,390	1,24	3,90	12,4	39,0	124	390	1235	3900	12 350
4. Длина волны нейтрона X в А	  .	0,0003	0,001	0,003	0,0091	0,0286	0,0905	0,286	0,905	2,86	9,05
5. Среднее число соударе нпй в парафине, необхо- димое для замедления от 7 MeV до данной энергии	2	4	7	9	11	14	16	18	21	23
6. Средняя длина свобод- ного пути в см . . , .	4	1,3	0,8	0,7	0,7	0,7	0,7	0,4	0,2	0,2
7. Время в микросекундах, необходимое для дан- ного замедления ....	0,005	0,01	0,03	0,06	0,2	0,7	2	4	9	20
§• 300] ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ
580
НЕЙТРОНЫ
[гл. XXII
только нейтроны с определённым временем пролёта. Это осуще-
ствлялось с помощью схем совпадения: на каждый канал, кроме
импульсов счётчика, поступали добавочные (управляющие) им-
пульсы с определённым в каждом случае временем задержки,
и схема реагировала только на совпадающие импульсы. Таким
образом, механические счётчики, поставленные на выходе каж-
дого канала, отмечали только нейтроны, время пролёта которых
совпадало со временем задержки управляющего импульса. Кроме
того, один из каналов считал полное число нейтронов всех скоро-
стей. Благодаря такой совершенной автоматизации время, тре-
бующееся для выполнения измерений, естественно, сокращалось до
минимума, и точность повышалась *).
Первым применением описанных селекторов было изучение
распределения медленных нейтронов по скоростям. Если бы при
прохождении быстрых нейтронов через парафин достигалось
полное тепловое равновесие между нейтронами и атомами вещества,
то кривая распределения нейтронов по скоростям была бы макс-
велловской кривой соответствующей температуре замедлителя.
Измерения е помощью селекторов показали, что на самом деле
максвелловская кривая для нейтронов существенно искажается.
На рис. 404 приведена кривая распределения для нейтронов,
прошедших через толстый слой парафина. Сплошной линией про-
ведена максвелловская кривая для температуры 390° К, кружками
обозначены экспериментальные точки; по оси абсцисс снизу отло-
жены времена пролёта нейтронов, так что скорости возрастают
справа налево. Видно, что при малых временах пролёта, т. е.
при больших скоростях, экспериментальная кривая резко отли-
чается от максвелловской. При больших временах пролёта (малых
скоростях) экспериментальные точки хорошо ложатся на макс-
велловскую кривую, которая, однако, соответствует температуре
390°К, т. е. примерно на 30% выше температуры парафинового
блока. Другими словами, температура нейтронного газа оказы-
вается на 30% выше температуры замедлителя, так что полное
равновесие при данной толщине парафина на самом деле по
устанавливается.
Исследование распределения нейтронов по скоростям пока-
зывает, однако, что нейтронная температура существенным обра-
зом зависит как от условий получения первичного (замедляемого)
пучка нейтронов, так и от условий замедления (природа и тол-
щина замедлителя). Вообще говоря, при достаточной толщине
замедлителя можно получить полное температурное равновесие
*) Интересующихся деталями этих сложных экспериментальных
устройств отсылаем к статьям Н. А. Власова. Опыты с монохромати-
ческими медленными нейтронами, Успехи физических наук, т. XXXV,
стр. 352 и 469, вып. 3 и 4, 1948.
§ 300] ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ 581
между нейтронами и окружающей средой. Однако возможны
и резкие отступления. Так, например, парафин, как мы видели,
создаёт нейтронный газ повышенной температуры вследствие
того, что медленные нейтроны поглощаются парафином по закону
А , т. е. спектр скоростей нейтронов в области малых энергий
сильно обедняется. Напротив, после прохождения нейтронов
Рис. 404. Распределение нейтронов, выходящих из парафино-
вого блока по скоростям.
Сплошная кривая получена путём пересчёта по максвелловскому за-
кону (Т=390®). Кружками обозначены экспериментальные точки.
через толстый слой графита, вследствие особого интерференцион-
ного эффекта, о котором речь будет ниже, температура нейтрон-
ного газа падает почти до абсолютного нуля. Так, например, после
прохождения слоя графита толщиной в 22 см нейтронная темпера-
тура оказалась равной 18° К<.
Измерения с монохроматическими нейтронами позволяют изу-
чать зависимость поглощения нейтронов данным веществом от их
скорости. Кривая зависимости поглощения от скорости представ-
ляет собой не что иное, как спектр поглощения нейтронов. Этот
спектр, как мы увидим, по своему внешнему виду аналогичен
оптическому спектру поглощения и обнаруживает при определён-
ных скоростях резкие максимумы и минимумы.
582
НЕЙТРОНЫ
[гл. XXII
Для изучения спектра поглощения слой исследуемого вещества
помещается между источником и детектором в параллельном
пучке нейтронов, и производится отсчёт числа нейтронов для всех
доступных измерению с данным селектором времён пролёта, т. е.
скоростей нейтронов. Отсчёт производится дважды: с погло-
щающим слоем и без него. Числа нейтронов в том и другом слу-
чаях пропорциональны интенсивностям пучка нейтронов, про-
шедших через слой (J) и падающих на слой (J0). При условии парал-
лельности пучка нейтронов зависимость между J и числом атомов,
приходящихся на 1 еж2 поглотителя, выражается экспоненциаль-
ным законом
J^Joe~n\
В данном случае сечение о характеризует ослабление пучка
как вследствие рассеяния, так и вследствие поглощения и яв-
ляется поэтому полным эффективным сечением; оно аддитивно
складывается из сечения поглощения или захвата пойтропа и се-
чения рассеяния:
% +
Во многих случаях путём дополнительных измерений и расчётов
можно найти сечение рассеяния и, таким образом, по полному
сечению найти сечение поглощения.
В § 265 мы видели, что для медленных нейтронов, когда уже
нельзя пренебрегать их волновыми свойствами, зависимость
сечения захвата от энергии нейтронов выражается формулой
Брейта — Вигнера
°	-	)	4 (E — Erf + Щ •
Здесь Ег — энергетический уровень ядра, Г—ширина этого
уровня. Из этой формулы следует, что при энергиях Е, близких
к Ег, кривая зависимости о(£) от Е должна обнаруживать резкий
резонансный максимум. При Е — Ег формула Брейта—Вигнера даёт
с = так что о0 и ость резонансное сечение захвата. Напротив,
при Е < Ег сечение захвата пропорционально
Оба указанных вывода, т. е. наличие резонансного захвата при
определённых значениях энергии и закон 1/у для медленных ней-
тронов вдали от резонанса, превосходно подтверждаются опытами
на селекторах. Так, например, в случае бора, у которого в широ-
ком интервале энергии до 1000 eV резонансные уровни отсут-
ствуют, произведение оу оказывается постоянным; следовательно,
закон 1/у выполняется при изменении энергии нейтронов от
0,01 eV до 1000 eV, т. е. при изменении в 105 раз.
§ 300]
ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ
583
Большой интерес представляют измерения поглощения ней-
тронов кадмием. Уже на первых стадиях изучения медленных ней-
тронов было обнаружено, что кадмий сильно поглощает ней-
троны тепловых энергий (т. е. энергий порядка сотых долей эле-
ктрон-вольта) и прозрачен для энергий порядка 1 eV и выше. На
рис. 405 приведена кривая зависимости а(£) от Е для Cd. Сплош-
ная кривая проведена по формуле Брейта—Вигнера; кружками
Рпс. 405. Кривая поперечного сочеппя вблпзи резонанса
для кадмпя.
и крестами нанесены экспериментальные значения, полученные
пз измерений с двумя образцами различной толщины. Как видно,
экспериментальные точки хорошо ложатся на теоретическую кри-
вую. Резкий резонансный пик наблюдается для кадмпя при энер-
гии нейтронов, приблизительно равной 0,18 eV. Точные значения,
характеризующие резонансный захват нейтронов кадмием, таковы:
резонансная энергия ..................... 0,176	eV
полуширина липин поглощения.............. 0.115	eV
резонансное сечеппс...................со	= 7О00 • 10‘24сл2
Интересно отметить, что резонансное сечение для Cd приблизи-
тельно в 4500 раз превосходит сечение ядра, определяемое ядер-
пымтт силами (вычисленное по «радиусу» ядра г = 1,5 10 13 Лх/з см
при А - -113).
Аналогичные, сильно повышенные значения резонансного
сечения наблюдаются п у других элементов. Особенно большим
сечением характеризуется редкоземельный элемент гадолиний
(открытый русским академиком Гадолипым). Для этого элемента
50 45 000 • 10 24 см2.
584
НЕЙТРОНЫ
[гл. XXII
В качестве примера сложного спектра с несколькими максиму-
мами и минимумами на рис. 406 приведена кривая для иридия.
Рис. 406. Пропускание иридия для медленных нейтронов.
Левая шкала ординат даёт величины пропускания, т. е. =
Jo
для образца в 3,08 г!см2 (слева) и для ооразца в 0,0424 г/см~
(справа).
§ 301. Диффракция нейтронов
Наиболее совершенный способ монохроматизацип нейтронов
основан на их волновых свойствах и состоит в разложении в спектр
но энергиям с помощью кристалла, аналогично тому, как это
делается для рентгеновских лучей. Для осуществления этого
необходимо выполнение двух условий: во-первых, источил к
нейтронов должен быть достаточно мощным и, во-вторых, длины
волн соответствующих нейтронам данного интервала энергии,
должны иметь подходящую величину. В последнее время откры-
лась возможность использования в качестве интенсивных источ-
ников нейтронов так называемых ядерных реакторов пли котлов,
о которых речь будет в следующей главе. Что же касается длин
волн, то оценка их может быть сделана на основании следующих
соображений. Как мы видели в предыдущем параграфе, распреде-
ление медленных нейтронов по скоростям подчиняется максвел-
ловскому закону. Поэтому среднюю энергию можно подсчитать,
§ 301]
ДИФФРАКЦИЯ НЕЙТРОНОВ
585
пользуясь соотношением Е~кТ: при 71~300°К имеем
А —1,38 • 10-16 • 300 = 4,14 • 10-14 эрг = 0,026 eV.
Длина волны нейтрона такой энергии равна
6,6 • 10~27
»?•>«----------------= 1,8 . ю-8 „(== 1,8 А.
/2тЕ /2 • 1,67 • 10~24 • 4,14 • 10~^
В котлах температура нейтронов выше 300° К, одпако она
такова, что длина волны всё ещё остаётся порядка 1 А. Из этого
следует, что с медленными нейтронами можно осуществить дпф-
фракцию в монокристалле или в кристаллическом порошке со-
вершенно так же, как и с рентгеновскими лучами. Отражение
нейтронов от кристалла подчиняется закону Вульфа—Брэгга.
п'к =^2d sin9-.
Типичный спектрометр для нейтронов изображён па рпс. 407.
Пучок нейтронов из котла падает на монокристалл, расположен-
ный на столике спектрометра; отражённый (диффрагнрованиый)
пучок, пройдя через параллельные щели из кадмия, бора пли
другого хорошо поглощающего медленные нейтроны вещества.
Рис. 407. Нейтронный спектрометр с монокристаллом.
попадает в пропорциональный счётчик, наполненный трёхфто-
рнстым бором, BF3, с помощью которого измеряется интенсивность
диффракция под определёнными углами.
Па рис. 408 приведена в качестве примера кривая, представля-
ющая интенсивность отражения от кристалла IX'aCI в зависимости
586
НЕЙТРОНЫ
[гл. XXII
Рис. -408. Кривая отражения от кристалла
NaCl нейтронов, предварительно монохрома-
тизировапных другим кристаллом.
10000 -----------------------------------------------
0,01 0,02 0,040,06 0,1 0,2 0,40,60,81	4 6 810 ~2О 40 60 ' 100
энергия В eV
Рис. 409. Полное сечение иридия для нейтронов.
Светлые кружки—результаты, полученные по методу времени пролёта; чёрные
кружки и кресты—результаты, полученные с двумя различными спектрометрами.
§ 301]
ДИФФРАКЦИЯ НЕЙТРОНОВ
587
от угла падения пучка нейтронов, предварительно мопохрома-
тизировапных другим кристаллом.
При помощи подобного рода спектрометров с кристаллом было
и .’.учено также резонансное поглощение медленных нейтронов.
На рис. 409 приведена кри-
вая зависимости от энер-
гии полного эффективного
сечения иридия для ней-
тронов в интервале энер-
гий от 0,01 до 100 eV.
На этой кривой светлыми
кружками нанесены ре-
зультаты, полученные с по-
мощью метода времени
пролёта, описанного в пре-
дыдущем параграфе; чёр-
ными кружками и кре-
стами нанесены результа-
ты, найденные с двумя
различнымн нептро иными
спектрометрами. Как впд-
но, все точки хорошо ло-
жатся па сплошную кри-
вую, построенную по фор-
муле Брейта — Вигнера.
Применения диффрак-
цин нейтронов далеко не
ограничиваются решением
задач ядерной физики вро-
де задачи о резонансном
поглощении нейтронов.
Уже имеющиеся в на-
стоящее время данные по-
зволяют думать, что глав-
ное значение диффракцпя
нейтронов будет иметь как
метод исследования строе-
ния кристаллов, во многом
Рис. 410. Схема установки для получения
дпффракцип нейтронов от порошков. Слева
в увеличенном виде изображён мопохрома-
тпзпрующпй кристалл.
существенным образом дополняющий ранее разработанные методы
рентгенографического и электропографпческого анализа. G этой
точки зрения большой интерес представляют экспериментальные
установки, позволяющие осуществлять интерференцию нейтронов
ио методу кристаллических порошков. Схема одной из таких
установок приведена на рпс. 410. Нейтроны, получаемые в ядор-
ром реакторе (котле), падают сначала па монокристалл NaCl, рас-
положенный так, что в указанном на рисунке направлении от
588
НЕЙТРОНЫ
[гл. XXII
него отражаются нейтроны с определённой длиной волны
(1,06 А); в средней части рисунка слева изображены в уве-
личенном виде—кристалл и падающий и отражённый пучки. Этот
первый кристалл служит, таким образом, для предварительной
мопохроматизации нейтронов, что необходимо, так как в методе
порошков должны быть использованы монохроматические волны.
Далее поток монохроматических нейтронов падает на порошко-
вый образец, расположенный на вращающемся столике; диффра-
гированные нейтроны попадают затем в пропорциональный счёт-
чик, наполненный BF3, который измеряет их интенсивность.
Рис. 411. Диффракции нейтронов от порошков алюминия
и алмаза.
Счётчик фиксирован неподвижно, а образец поворачивается,
и таким путём промеряется интенсивность диффракции в различ-
ных направлениях. Вся установка автоматизирована: поворот
образца осуществляется мотором, а отсчёты счётчика регистри-
руются автоматически. На рис. 411 в качестве примера приведены
две диффракционные кривые: внизу — от порошка алмаза, а
вверху — от микрокристаллической алюминиевой пластинки. Диф-
фракционные максимумы на этих кривых расположены в местах,
определяющихся структурой кристаллов и применённой длиной
волны.
Постановка эксперимента с диффракцией от микрокристал-
лического порошка в случае нейтронов отличается от обычной
постановки с рентгеновскими лучами и электронами том, что
применяемая в двух последних случаях фотографическая мето-
дика заменена регистрацией с помощью пропорционального счёт-
§ 301]
ДИФФРАКЦИЯ НЕЙТРОНОВ
589
чика. Причина этого, очевидно, прежде всего в том, что нейтроны
сами не вызывают ионизации и не обладают фотографическим
действием. Регистрация медленных нейтронов ионизационными
камерами и счётчиками основана на ядерных реакциях, вызывае-
мых нейтронами. Так, например, использование наполнения
трёхфтористым бором связано с тем, что нейтроны вызывают в боре
реакцию B10(n, a) Li7 и возникающие при этом а-частицы и ядра
отдачи создают ионизацию в газе и тем самым косвенным образом
позволяют регистрировать нейтроны. Это наводит на мысль—
осуществлять сенсибилизацию фотоэмульсии, примешивая к
эмульсии, например, соли бора или другого элемента, обла-
дающего высоким сечением захвата нейтронов. Другой способ
использования фотографической техники для работы с нейтро-
нами состоит в применении экранов, аналогичных усиливающим
экранам, имеющим широкое применение в технике рентгеновских
лучей. Усиливающие экраны для рентгеновских лучей покры-
ваются искусственно приготовленными веществами (люминофо-
рами), дающими видимое (обычно сине-фиолетовое) свечение под
действием рентгеновских лучей. Если вложить такой экран в кас-
сету вместе с фотоплёнкой, то фотоэмульсия будет находиться как
под непосредственным действием рентгеновских лучей, так и под
действием видимого изображения на экране, что значительно
сокращает требуемую экспозицию.
Аналогичные экраны можно приготовить и для нейтронов с той
разницей, что «изображение» на экране осуществляется [3-лучами,
возникающими при искусственной радиоактивности вследствие
захвата нейтронов «чувствительным» веществом экрана, и что
только это «изображение» действует на фотоплёнку.
Благодаря использованию подобного усиливающего экрана
удалось фиксировать фотографическим путём диффракцию ней-
тронов также и третьим методом — методом Лауэ. Для получения
диффракции этим методом, как известно (см. т. I, § 33), излучение
должно быть пе монохроматично, но иметь сплошной спектр.
Это обстоятельство как раз благоприятно для применения метода
Лауэ к диффракции нейтронов, так как нейтронные потоки, иду-
щие непосредственно из ядерного реактора, имеют сплошное рас-
пределение по скоростям, а следовательно, и по длинам волн.
В одном из опытов по диффракции с помощью этого метода в ка-
честве сенсибилизирующего экрана была использована фольга
из индия: при захвате нейтронов индий даёт ^'-радиоактивный
изотоп, электронное излучение которого и действует на фотоплён-
ку. При пропускании параллельного потока нейтронов через
кристалл NaGl после 10-часовой экспозиции были получены
типичные фотографии Лауэ, приведённые на рис. 412.
Теория диффракции нейтронных волн кристаллической ре-
шёткой в общем вполне аналогична теории диффракции рентге-
590
НЕЙТРОН Ы
[гл. XX П
новских лучей. Однако имеются и существенные различия. Эти
различия связаны с неодинаковостью элементарного процесса
рассеяния отдельным атомом в том и другом случаях. В случае-
рентгеновских лучен когерентное рассеяние происходит на свя-
занных электронах атома; ядро вследствие своей большой массы
участия в рассеянии не принимает. Так как размеры атома одного-
порядка величины (порядка 10~8 см) с длиной волны рентгеновских
лучей, то уже при рассеянии электронами одного атома возникает
интерференционный эффект: под небольшими углами к первона-
чальному направлению падающей волны рассеянные волны нахо-
дятся в почти одинаковых фазах и поэтому усиливают друг друга;
Рис. 412. Двффракцпя нейтронов в кристаллах NaCl, Во и кварца
по методу Лауэ.
напротив, под большими углами вследствие возникающей раз-
ности фаз рассеянные волны частично гасят друг друга, и ампли-
туда волны, рассеянной атомом, уменьшается. В случае дпффрак-
ции электронных воли участие в рассеянии принимают также
и ядра, п интерференционный эффект ещё более усиливается.
Напротив, нейтроны рассеиваются только ядрами, причём так
как радиус ядра—порядка 10~13 см, а длина волны медленных ней-
тронов— порядка 10~8см, то рассеяние происходит сферически-
симметрично, т. е. амплитуда рассеянной волны не зависит от
угла рассеяния. Это различие в зависимости амплитуды от угла
(так называемый атомный фактор /) для рентгеновских луче!!,
электронов и нейтронов наглядно представлено кривыми рис. Й13.
Далее, существенное значение имеет абсолютная величина
амплитуды рассеяния. В случае рентгеновских лучей и электро-
нов амплитуда приблизительно пропорциональна атомному но-
меру рассеивающего атома; для нейтронов вообще по имеется
простой связи между сечением рассеяния (пропорциональным
квадрату амплитуды /) и Z. Но, в то время как рентгеновские
§ 301]
ДИФФРАКЦИЯ НЕЙТРОНОВ
591
лучи и электроны очень слаоо рассеиваются водородом, рассея-
ние нейтронов в водороде — одного порядка величины с рассея-
нием более тяжёлых атомов.
Наконец, возможны различия также ив фазе рассеянных волн.
Для рентгеновских лучей фаза рассеянных волн всегда проти-
воположна фазе падающих, так
как частоты падающих рентге-
новских лучей всегда больше соб-
ственных частот рассеивающих
электронов в атоме. В случае
нейтронов возможен как отрица-
тельный, так и положительный
сдвиг фазы между падающей и
рассеянной волнами, хотя первый
случай, как показывает опыт, имеет
место гораздо чаще второго.
Все эти различия в механизме
рассеяния отдельными атомами
между рентгеновскими лучами и
нейтронами позволяют рассчиты-
вать на то, что нейтронографиче-
ский анализ строения кристаллов
может оказаться полезным как раз
в тех случаях, когда рентгеногра-
фический анализ не даёт хороших
результатов. Это относится, на-
пример, к случаям, когда в струк-
туру кристалла или молекулы
Рис. 413. Зависимость амплитуды
различных излучений от угла
рассеяния атомами меди.
входят атомы водорода или дейтерия. На примере строения
кристаллов гидрида натрия NaH и NaD это ожидание вполне
оправдалось. Можно думать поэтому, что нейтронографический
анализ принесёт большую пользу при изучении структуры слож-
ных органических соединений, в которых водородные атомы
играют такую большую роль.
Другую возможность плодотворного применения нейтроно-
графического анализа даёт отсутствие закономерной связи между
сечением рассеяния нейтронов и атомным номером Z. По этой
причине у атомов с близкими Z сечения рассеяния иногда ока-
зываются существенно различными. Примером могут служить
ядра Fe и Со: у первого сечение когерентного рассеяния 11 • 10~24,
у второго —1,5- 10“21сл2. Это различие было использовано для
изучения так называемых упорядоченных структур в спла-
вах FeCo.
Дело в том, что в сплавах элемент, присутствующий в мень-
шом количестве, часто замещает основной элемент в узлах его
решётки. В таких случаях структура сплава нс отличается ог
592
НЕЙТРОНЫ
[гл. XXII
структуры кристалла основного элемента. Однако при определён-
ной тепловой обработке нередко один элемент в сплавах распре-
деляется закономерным образом относительно другого, образуя
упорядоченную структуру или «свсрхструктуру». Например,
в системе Си.3Ап при тепловой обработке ниже 400° С возникает
структура, в которой атомы золота расположены по углам кубов,
а атомы меди —в центре граней. Напротив, при более высоких
температурах атомы золота распределены хаотически и заменяют
в некоторых местах атомы меди в обычной решётке меди. Обна-
ружение упорядоченности пли «сверхструктур» в сплавах обычно
легко удаётся с помощью рентгеноструктурного анализа, когда
компоненты сплава имеют сильно различающиеся величины Z,
как, например, Он п Ан. Но в случае сплавов FcCo обнаружение
упорядоченных структур краппе затруднительно, так как атом-
ные факторы компонент слишком близки друг к другу. Нейтро-
пографпческий анализ ввиду указанного выше большого разли-
чия сечений рассеяния Fe п Со позволил обнаружить и в этом слу-
чае упорядоченные структуры, в которых, как оказывается, ато-
мы Fe расположены в углах, а атомы Со —в центрах кубов.
§ 302. Некоторые оптические свойства нейтронов
Познакомимся теперь с некоторыми дальнейшими оптическими
эффектами, которые обнаруживают нейтроны.
1.	Отражение от зеркала. Так как де-броглевская длина
волны медленных нейтронов того же порядка величины, что
и длина волны рентгеновских лучей, то следует ожидать, что
показатель преломления для нейтронов так же мало отличается
от единицы, как и для рентгеновских лучей (см. т. I, § 40). Выра-
жение для показателя преломления, вытекающее из теории дис-
персии, таково:
(302,1)
где N— число атомов преломляющего вещества, приходящееся
па i см- поверхности раздела, /—амплитуда рассеянных волн,
которую следует брать со знаком плюс или минус в зависимости
от знака сдвига фазы при отражении: если фаза отражённой волны
по отношению к падающей меняется па 180°,/ > 0; если же фаза
не меняется, / < 0. Из формулы (302,1) следует, что если / > 0,
то р < 1, как и в случае рентгеновских лучей. Но в таком случае
возможно полное «внешнее» отражение на границе воздух — зер-
кало. Величина 1 —и порядка 10~6, откуда следует, что предель-
ный угол полного отражения порядка 10'.
Полное отражение тепловых нейтронов ядерного реактора
было па самом дело обнаружено экспериментально. Нейтроны
§ 302]
НЕКОТОРЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕЙТРОНОВ
593
предварительно монохроматизировались отражением от кри-
сталла. Для получения узких строго параллельных пучков ней-
троны пропускались через две узкие кадмиевые щели, отстоявшие
на 3,5 мм друг от друга. Пучок падал под скользящим углом на
полированное зеркало из того или иного вещества, и с помощью
пропорционального счётчика отыскивался отражённый пучок.
Таким образом, было обнаружено полное отражение и измерен
критический угол для зеркал из графита, бериллия, меди, цинка,
никеля и железа. Величина критического угла для различных
зеркал на самом деле изменялась в пределах 7,5' —12'.
Значение этих опытов — не только в обнаружении у нейтронов
ещё одного оптического явления, но главным образом в том, что
наличие или отсутствие полного отражения указывало на знак
амплитуды рассеянной волны, т. е. на знак смещения фазы при
отражении. Таким образом, было установлено, что у всех пере-
численных элементов амплитуда положительна, т. е. фаза меняется
при отражении на 180°. Интересно отметить, что если элемент
состоит из нескольких изотопов, то у одних изотопов амплитуда
может быть положительной, а у других —отрицательной. Опыты,
сделанные с разделёнными изотопами лития, на самом деле пока-
зали, что для Li7 амплитуда отрицательна, а для Li6—поло-
жительна .
2.	Получение холодных нейтронов. Еслп пропустить пучок
нейтронов через блок прессованного порошка графита, то будут
испытывать интерференционное отражение все те нейтроны,
длина волны которых ещё может удовлетворять формуле Вульфа—
Брэгга. Очевидно, что максимальная длина волны должна удовле-
творять требованию
1 > sin д = ~ ,
2.а
где «/ — постоянная решётки. В случае графита эта предельная
длина волны равна 6,69 А. Все нейтроны, у которых/. < 6,69А,
испытывают рассеяние при прохождении через графитовый блок;
наоборот, нейтроны с /. > 6,69 А свободно пройдут через него.
Опыт показал, что в результате фильтрации нейтронов через
графит получаются нейтроны с эффективной длиной волны 7,15 А,
что соответствует средней энергии теплового движения при 18° К.
Таким образом, фильтрация через графит позволяет получать
нейтроны с температурой, близкой к абсолютному нулю.
3.	Поляризация нейтронов. В § 297 мы видели, что наличие
собственного магнитного момента у нейтронов позволяет осуще-
ствлять их поляризацию при пропускании через ферромагнитные
вещества. Теория показывает, что если а0 есть полное сечение
для нейтрона скорости у при прохождении через ненамагниченное
вещество, то при прохождении через ферромагнетик (например,
594
НЕЙТРОНЫ
[гл. XXII
железо), намагниченный до насыщения, сечение будет
° = ^о ± Р,
где знак плюс или минус зависит от того, будет ли спин ней-
трона параллелен или антипараллелеи направлению намагничи-
вания. Если интенсивность иеполяризованного пучка нейтронов
равна Jo, то после прохождения через ферромагнетик интенсив-
ность будет У или J -f- AJ в зависимости от того, будет ли фер-
ромагнетик не намагничен или намагничен. Отношение — равно
д т
-у = ch npd — 1,
где d — толщина слоя ферромагнетика и п — число атомов в один и не
объёма.
Эффект поляризации нейтронов при прохождении через намаг-
ниченное до насыщения железо наблюдался па опыте и был исполь-
зован при непосредственном определении магнитного момента
нейтрона с помощью магнитного резонансного метода.
ГЛАВА XXIII
ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ
§ 303. Открытие деления тяжёлых ядер
В предыдущем неоднократно упоминалось о важнейшем типе
ядерных реакций, именно о делении на осколки, сравнимые (или
приблизительно равные) по массе. Экспериментальным путём
такие реакции деления ядра были обнаружены в 1938—1939 гг.,
и это открытие по своему значению может быть поставлено рядом
с самыми важными открытиями, когда-либо сделанными в области
физики и химии.
Начало работам, приведшим к этому открытию, было поло-
жено в 1934 г. Ферми и его сотрудниками, которые обнаружили,
что при обстреле урана быстрыми и медленными нейтронами воз-
никает значительное количество (до 10) различных радиоактив-
ных ядер с разными периодами распада. Естественно было пред-
положить, что часть этих периодов принадлежит искусственно-
радиоактивным ядрам, непосредственно возникающим из ядер
урана под действием нейтронов, а остальные — продуктам их
распада. Особенное внимание было уделено двум периодам:
13 мин. и 90 мни. Химическое исследование*) обнаружило пора-
зительный факт: ядра-носители радиоактивности с этими перио-
дами нс являются изотопами ни одного из элементов с атомными
*) Число атомов, возникающих при ядерных реакциях, слишком мало,
чтобы продукты реакции можно было исследовать химическим путём не-
посредственно (см. стр. 433). Обычно для химического исследования поль-
зуются методом «индикаторов», аналогичным тому, какой применял!®
супруги Жолпо-Кюрп при открытии искусственной радиоактивности
(см. § 268). Облучённое вещество растворяется и к нему прибавляются не-
большие, по химически легко измеримые количества веществ, которые пред-
положительно могут быть тождественны по химическим свойствам с возник-
шим радиоактивным веществом. После этого смесь разделяется при помощи
химических реакций, и каждая фракция исследуется на радиоактивность.
Если, например, окажется, что при выпадении в осадок элемента А радио-
активность переходит к осадку, то это означает, что полученное вещество
является изотопом элемента А. Существует вообще ряд видоизменений этого
метода индикаторов или «меченых атомов». См., например, С. Е. Бреслер,
Радиоактивные элементы, Гостехиздат, 1949, или М. Камен, Радиоак-
тивные индикаторы в биологии,. ИЛ, 1948.
596
ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
номерами между 86 и 92; они ведут себя в химическом отношении,
как элементы VII группы периодической системы. Так как
возможность отщепления от ядра урана частиц с зарядами
в 23—24 единицы и с массой около 50 единиц представлялась
в то время совершенно исключённой, то было сделано предположе-
ние, что эти ядра помещаются в VII группе, но в ряду урана,
т. е. являются ядрами элементов, расположенных за ураном
и названных поэтому трансурановыми (т. е. заурановыми).
Для подтверждения этого предположения было выполнено
следующее химическое испытание: как видно из таблицы Менде-
леева (см. приложение XVI), трансурановый элемент Z = 93,
непосредственно следующий за ураном, должен быть аналогом
марганца. Поэтому к облучённому нейтронами раствору урановой
соли была прибавлена соль марганца, и затем марганец был оса-
ждён из раствора в виде МпО2. Оказалось, что часть носителей
активности с периодами 13 мин. и 90 мин. перешла в осадок вме-
сте с марганцем, что и было признано доказательством предпо-
ложения о природе исследуемых элементов.
Однако это заключение подверглось резкой критике со стороны
химиков, которые указали на то, что многие элементы осаждаются
вместе с марганцем, вследствие чего эта реакция не является убе-
дительным доказательством принадлежности получаемых эле-
ментов к VII группе.
Тем не менее возможность возникновения трансурановых элемен-
тов при нейтронной бомбардировке урана вызвала большой интерес
И подверглась дальнейшему исследованию в ряде лабораторий.
Особенно детально реакция урана с нейтронами была изучена
в 1936—1937 гг. Ганом, Лизой Мейтнер и Штрасманом, которые
вызывали реакцию с помощью быстрых и медленных нейтронов,
действовавших в течение различных промежутков времени, и про-
изводили разнообразные химические испытания. Эти работы
обнаружили большую сложность процесса и многообразие возни-
кающих продуктов, для объяснения которых были предложены
различные схемы последовательного распада. Общее заключение
было в пользу первоначального предположения Ферми о возникно-
вении трансурановых элементов путём ^-превращений радиоактив-
ных изотопов урана, возникающих при захвате нейтронов. Наибо-
лее достоверный вывод из этих работ состоял в том, что при за-
хвате нейтронов одним из изотопов урана (каким именно, — остава-
лось неизвестным) возникает новый изотоп, обнаруживающий
3-активпость (напоминаем, что все известные в то время изотопы
урана, U238, U235 и U234, обнаруживали a-активность) с периодом
23 мин. и превращающийся поэтому в элемент с атомным номером,
ца 1 большим, т. е. в трансурановый элемент Z — 93:
92U 4-	—-> 92U (23 мин.) —> 93EkaRe 4-
§ 303]
ОТКРЫТИЕ ДЕЛЕНИЯ ТЯЖЁЛЫХ ЯДЕР
597
По обычаю, установленному ещё Менделеевым, этому элементу
было дано предварительное наименование, состоявшее из назва-
ния его ближайшего аналога в периодической системе, рения
(Z = 75), с приставкой «эка» — экарений. Было достоверно устано-
влено, что 23-минутный продукт в химическом отношении ведёт
себя, как уран, и возникает при захвате каким-то из изотопов
урана медленных нейтронов в типично резонансном процессе
с очень большим эффективным сечением при энергии нейтронов,
которая была оцепепа очень грубо в (25 4:10) eV.
Тем временем Ирэн Кюри-Жолио и Савич открыли новое веще-
ство, возникающее при облучении урана нейтронами и обладающее
неизвестным до того момента периодом в 3,5 часа. Химическое
исследование этого продукта привело, однако, их в недоумение:
оказалось, что это вещество химически ведёт себя, как элемент
лантан (Z — 57). Можно было бы предположить, что оно является
изотопом актиния (Z = 89), и такое предположение было бы впол-
не естественным, так как актиний отстоит от урана всего на три
места в периодической системе. Однако оказалось, что новое веще-
ство превосходно отделяется химическим способом от актиния, но
во всех реакциях следует за лантаном, среднее массовое число
которого на 100 единиц меньше среднего массового Пи ела урана.
Поэтому они сделали вывод, что вещество с периодом в 3,5 часа
по всей совокупности своих свойств является лантаном, но не
смогли объяснить, каким образом оно возникает из урана. В дей-
ствительности они были чрезвычайно близки к открытию деления,
так как в настоящее время достоверно известно, что одним из про-
дуктов деления урана является изотоп лантана с периодом 3,5 часа.
Ган и Штрасман проверили результаты этой работы, подтвер-
дили их, но обнаружили новые детали и новые периоды. Стало
ясно, что первоначальная реакция осложняется большим коли-
чеством последующих процессов. Для объяснения их они создали
новые схемы последовательных распадов, которые в настоящее
время не представляют интереса, за исключением вывода о том,
что в качестве промежуточного звена из урана при облучении
нейтронами должен возникать [путём процесса (и, 2а)] изомер
радия, 88Иа231. Желая подтвердить свою схему, они предприняли
жёсткие химические испытания по тому же методу «меченых ато-
мов». К величайшему изумлению, они обнаружили при этом, что
продукт, который согласно их предположению должен быть
радием, ведёт себя, как барий', если прибавить к смеси возникаю-
щих искусственно-радиоактивных веществ соль бария и затем
отделять радий, как это обычно делается, при помощи дробных
осаждений и кристаллизации, то гипотетический «радий» не выпа-
дает ни с радием, ни с изотопами радия (торий X и мезоторий I),
но всегда остаётся с барием и при химических реакциях следует
именно за барием.
□98 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
Своё заключение они формулировали следующим образом: «Как
химики мы должны собственно сказать, что новое вещество яв-
ляется не радием, но барием; что же касается других элементов,
кроме радия и бария, то о них вообще говорить пе приходится».
Далее они показали, что в числе продуктов тория, возникаю-
щих при захвате нейтронов изотопом тория Th232, т. о. при
реакции
90Th232 + о"1	а0ТЬ233,
также имеется барий.
Эти необычные результаты, противоречившие установившим-
ся в то время представлениям о механизме ядерных реакций,
были, однако, быстро подтверждены новыми опытами.
Таким образом, естественно, возникало представление о воз-
можности ядерных реакций, при которых от ядра урана или тория
отщепляется обломок с массой приблизительно в 140 единиц
В таком случае должен иметься и другой обломок с массой, более
чем в два раза меньшей массы урана. Действительно, в числе
других продуктов были найдены радиоактивные изотопы строн-
ция и иттрия, а также радиоактивный изотоп благородного газа,
которым мог быть криптон или ксенон.
Если, однако, возможен процесс деления ядра урана на два
-больших обломка с приблизительно равными массами, то этот
процесс должен сопровождаться освобождением огромной энергии,
что видно из следующего простого соображения: если деление
уже завершилось и осколки удалились друг от друга па расстоя-
ние, на котором ядерные силы перестают играть роль, а остаётся
только кулоновское отталкивание, то электростатическая энер-
гия отталкивания ядер-осколков с зарядами ZT и Z2 равна
тт _
~ Г ’
где г — расстояние между осколками в момент деления. Полагая
для ориентировки, что
Zi - Z2 = 46, а г - 1,8 • 10-12 см,
получим
=	462.(4,8)2.10;^ =
1,8 • 10~12-1,6 • 10~12	•
Приблизительно такой же результат получается, если принять
во внимание разницу в энергии связи, приходящейся па одну
частицу в ядре урана, и в ядрах — продуктах деления, имеющих
массу в 100—140 единиц. Как известно, энергия связи в конце
периодической системы уменьшается приблизительно на 1 MeV
по сравнению с ядрами средней массы. Поэтому при делении урана
§ 303]
ОТКРЫТИЕ ДЕЛЕНИЯ ТЯЖЁЛЫХ ЯДЕР
599
на два ядра сродней массы должна освободиться энергия, рав-
ная ~ 1 MeV х 238, т. е. энергия порядка 200 MeV.
Опыты О. Фриша и Мейтнер подтвердили эти заключения.
Постановка этих опытов была такова: малая ионизационная каме-
ра, соединённая с линейным усилителем и тиратроном, была
покрыта изнутри окисью урапа. Если поднести к этой камере
источник нейтронов (Rn-|-Be), то 10—30 раз в минуту наблюда-
ются сильнейшие ионизационные толчки, которые можно было
приписать только частицам большой массы, обладающим огром-
ной энергией. Вся схема была рассчитана так, что импульсы,
создаваемые а-частицами, были недостаточны для приведения
в действие осциллографа. С другой стороны, контрольные опыты
показали, что толчки не наблюдаются, когда отсутствуют либо
уран, либо источник нейтронов. Далее, если окружить источник
нейтронов слоем парафина, то число ионизационных толчков воз-
растает приблизительно вдвое, откуда следует, что в процессе деле-
ния ядер урапа существенную роль играют медленные нейтроны.
Опыты Фриша были тотчас же повторены с положительным
результатом в большом числе лабораторий. Кроме того, Ф. Жолио-
Кюри, а также Фриш и Мейтнер подтвердили деление урана дру-
гими опытами, основанными на следующих соображениях. Ядра,
которые получаются в результате деления урана, должны обла-
дать ненормальным избытком числа нейтронов над числом
протонов. В самом деле, предположим, что лёгкий изотоп урана
92U235 делится, давая в качество продуктов барий (Z = 56) и крип-
тон (Z = 36). Самые тяжёлые стабильные изотопы этих элемен-
тов имеют массы соответственно 138 и 86; сумма этих масс
(138+86 = 224) на 11 единиц меньше массы исходного ядра U235.
Следовательно, продукты деления содержат в своих ядрах 11
.лишних нейтронов.
Из опытов с искусственной радиоактивностью известно, что
во всех таких случаях ядра оказываются неустойчивыми и испы-
тывают спонтанный распад, сопровождающийся превращением
нейтронов в протоны и выбрасыванием электронов. По этой при-
чине ядра, возникающие в результате деления урана, всегда ока-
зываются радиоактивными и дают начало 3-превращениям.
Упомянутый опыт Ф. Жолпо-Кюрп и Фриша и Мейтнер за-
ключался в следующем. Внутрь латунного цилиндра, снаружи
покрытого окисью урана, помещался источник нейтронов (Rn +
+ Be). Лачутшый цилиндр в свою очередь располагался коакси-
ально внутри бакелитового цилиндра так, что зазор между обоими
цилиндрами составлял около 3 мм. По истечении некоторого
времени бакелитовый цилиндр снимался и внутрь его помещался
счётчик, который регистрировал радиоактивность, спадающую по
определённому закону. Истолкование этого опыта очевидно:
ядра-обломки, получающиеся при делении урана, разлетаясь
600
ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. ХХШ
Рис. 414. Деление урана в ка-
мере Вильсона.
в противоположные стороны, попадают на бакелитовый цилиндр
и сообщают ему радиоактивность.
Процесс деления урана удалось сфотографировать также при
помощи камеры Вильсона. С этой целью была применена камера
с парами воды и спирта, рабо-
тавшая при пониженном давлении
(15 см Hg). Уран помещался внутрь
камеры в виде UO3, нанесённого на
тонкой плёнке. Было сделано 885
стереоскопических фотографий и
на 25 из них обнаружены пары сле-
дов, представляющих тяжёлые ча-
стицы, которые разлетаются в про-
тивоположных направлениях из ура-
новой плёнки. Ввиду того, что да-
вление внутри камеры было низко, следы а-частиц, испускаемых
ураном спонтанно, были очень тонки, и их легко было отличить
от следов тяжёлых частиц.
На рис. 414 в качестве
примера приведена фото-
графия процесса деления.
Здесь отчётливо видны сле-
ды двух тяжёлых частиц,
разлетающихся в противо-
положных направлениях
из пластинки, покрытой
ураном (алюминиевая плён-
ка толщиной в 1 р., давле-
ние в камере около 30 см).
На рис. 415 приведены
примеры путей отдельных
частиц, сфотографирован-
ных при более низком да-
влении. Эти пути имеют не-
которые характерные осо-
бенности, резко отличаю-
щие их от путей протонов
или а-частиц. В то время
как в случае протонов или
Рис. 415. Пути продуктов делепия урана.
а-частиц «вилки», возни-
кающие при ядерных соударениях, встречаются очень редко (при-
мерно одна вилка на несколько тысяч путей), следы продуктов
деления обнаруживают по нескольку ответвлений на каждом
пути. Кроме того, наблюдаются изломы, свидетельствующие о
многочисленных соударениях, при которых передача количества
движения недостаточна для образования вилки.
§ 304]
ТЕОРИЯ ДЕЛЕНИЯ АТОМНЫХ ЯДЕР
601
На ри<?. 416 приведены фотографии деления U235, сделанные
с помощью метода фотопластинок,
Рис. 416. Деление U235, зафиксированное с помощью метода фото-
пластинок.
В дальнейшем мы изложим основные результаты изучения
деления тяжёлых ядер без соблюдения исторической последова-
тельности их установления.
§ 304. Теория деления атомных ядер
Рассмотрим механизм деления ядер, руководствуясь сначала
простыми классическими соображениями. Квантовые эффекты мы
разберём позднее *).
Обозначая ядро с зарядом Z и массовым числом А символом
ZA, мы можем схематически записать реакцию деления в виде
ZA = Zp + Zp (Z = Z, + Z2, A = Al + Aa). (304,1)
Очевидно, что необходимым условием такой реакции является
положительный энергетический баланс, т. е. выделение энергии
при реакции. Рассмотрим поэтому прежде всего энергетическую
сторону процесса.
Энергия ядра, как мы видели в § 245, определяется следующими
факторами: во-первых, ядерными силами, пропорциональными
общему числу частиц в ядре, т. е. массовому числу А; во-вторых,
поверхностным натяжением ядра-капли и, в-третьих, кулоновскими
взаимодействиями между одноимённо заряженными протонами.
*) Подробнее см. А. АхиезериИ. Померанчук, Некоторые
вопросы теории ядра, гл. V, Гостехиздат, 1950; Я. И. Френкель, Прин-
жипы теории атомных ядер, гл. IV, АН СССР, 1950.
602
ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
Так как общее число частиц при, реакции (304,1) остаётся без изме-
нения, то энергетический баланс этой реакции зависит от двух
последних факторов, т. е. от соотношения между изменением
поверхностной энергии и энергии кулоновского отталкивания.
Подсчитаем теперь энергетический баланс реакции деления,
исходя из предположения (не вполне отвечающего эксперимен-
тальным результатам), что ядро с зарядом Z и массовым числом А
делится ровно пополам, т. е. что — Z2 = у- и ^-1 =	=-у •
Условие сохранения объёма даёт прежде всего
4 к#3 = 2 4 тгЯ3
о	о х
откуда
7? R
Rl f2~ 
Согласно формулам (245,3) и (245,6) сумма поверхностной энергии
и энергии электростатического отталкивания равна:
до деления
Q 72р2
после деления ^учитывая, что Zx —
Вычитая, находим
ДЯ = 4^0(1-к/2) + 4^(1-^=).	(304,2)
Здесь первый член отрицателен, а второй — положителен. Физи-
чески этот результат вполне понятен. Действительно, первый член
представляет баланс одной только поверхностной энергии (без
учёта заряда) при делении ядра-капли на две капли меньшего раз-
мера. При этом объём сохраняется, но сумма поверхностей обра-
зовавшихся капель больше поверхности исходной капли:
2.4л7?2! — 4л/?2 = 4тг/?2 (|/2~_1) = 0,26 . 4л7?2,
т. е. поверхность увеличивается на 26%. Таким образом, е точки
зрения баланса одной только поверхностной энергии деление есть
процесс энергетически невыгодный; выгоден же обратный процесс
слияния меньших капель в одну большую. Это и ость причина
того, что две капли обыкновенной жидкости, например ртути,
при соприкосновении сливаются.
Второй член формулы (304,2) учитывает изменение кулоновской
потенциальной энергии. Эта энергия, прямо пропорциональная
квадрату заряда и обратно пропорциональная первой степени
§ 304]
ТЕОРИЯ ДЕЛЕНИЯ АТОМНЫХ ЯДЕР
603
радиуса, при делении убывает, так как она уменьшается вчетверо
вследствие деления пополам заряда, а увеличивается вследствие
уменьшения радиуса только в |/ 2 = 1,26 раза.
Бор и Уиллер и независимо от них советский физик Я. И. Френ-
кель рассмотрели факторы, от которых зависит деление. Будет
ли &Е положительно или отрицательно, т. е. выделится или
поглотится энергия при делении — зависит от того, что окажется
большим: затрата энергии на преодоление капиллярных сил или
уменьшение электростатической энергии. Очевидно, что крити-
ческое значение &Е, при котором реакция деления протекала бы
«изотермически», соответствует случаю &Е = 0. При этом условии
^формула (304,2) даёт
J. Z2g2
A R = 1/4 t-"1 0,70.	(304,3)
v ]T4 — 1	V 1
Здесь в левой части стоит отношение электростатической энер-
гии к поверхностной, и мы видим, что Д7? обращается в нуль,
когда это отношение становится равным 0,7. Полагая 2?=г0Л1/«)
(г0 = 1,5 • 10~13 см), перепишем формулу (294,3) в виде
4-т4-т- = °>7'	(304,4)
5 4-гег^С Л	\	/
Множитель при Z2IA составлен из универсальных констант.
Для того чтобы ориентировочно найти то массовое число А,
при котором деление становится энергетически выгодным, поло-
^4
жим, Z = у (что для средних и тяжёлых ядер заведомо неточно)
и а = 10~20 см2] из предыдущей формулы найдём тогда Л = 87.
Итак, грубый подсчёт даёт, что при массовых числах А > 87 деле-
ние должно стать энергетически выгодным. На основании более
точных подсчётов критическое значение А = 87 несколько при-
уменьшено, и деление должно стать выгодным при А > 100.
В таблице LIX приведены величины энергии &Е, освобождае-
мой при делении различных ядер на указанные во втором
столбце продукты.
Таблица LIX
Исходное ядро	Продукты	деления	Выделение энергии	
			при деле- нии	после- дующее
asNi<*	uSi*0,	i4Si31	— И	2
MSn117	26Мп58,	25Мп5»	10	12
	34Se83,	34Se34	94	13
82рь2()6	uNb'°3,	41Nb10s	120	32
й2и23в	«Pd11»,	46Pd120	200	31
604 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
Таблица эта показывает, что у Ni при А — 61 баланс
энергии ещё отрицателен (&Е =— И MeV), т. е. в результа-
те деления энергия будет поглощена из окружающей среды,
но уже у 50Sn117 при А = 117 &Е положительно и равно,
-j-Ю MeV, а уран 92П239 даёт огромное освобождение энергии,
Д£ = 200 MeV.
Деление на два равных или почти равных осколка не является,
конечно, единственно возможным. Рис. 417 позволяет найти осво-
бождаемые энергии при делении U23£>
Рис. 417. Осколки деления U239
при различной энергии деления.
Точками обозначены стабильные
ИЗОТОПЫ. ОСКОЛКИ 48СЩЗ И 44RUICO,
рассматриваемые в качестве при-
мера, обозначены звёздочками.
различными способами. По оси абс-
цисс отложены числа протонов в яд-
рах осколков, по оси ординат —
числа нейтронов. Массовые числа
осколков, равные сумме чисел про-
тонов и нейтронов в их ядрах, на-
несены на наклонных прямых. Эл-
липсы соответствуют определённому
освобождению энергии—100, 150,
180, 190 MeV при том или ином
способе деления. Точками нанесены
стабильные изотопы. Если, напри-
мер, один из осколков есть 44Ru100 и
при делеции освобождается 150 MeV
(отмечен звёздочкой на пересече-
нии прямой А = 100 с эллипсом
150 MeV), то другой осколок будет
иметь заряд ядра 92 — 44 = 48 и
массовое число 239 — 100 = 139,
т. е. будет ядром 48Cd139. Мы ви-
дим, что на эллипсе, соответствую-
щем освобождению 150 MeV, точка
с координатами Z—48 и А = 139
лежит вне «дорожки» стабильных
ядер. Действительно, соотношение
между числом протонов и нейтро-
нов в ядре 48Cd139 резко ано-
мальное: самый тяжёлый ста-
бильный изотоп Cd имеет массовое число 116, изотоп 48Cd“7
уже ^“-радиоактивен. Из этого следует, что если продуктами
деления окажутся 44Ru100 и 4sCd139, то один из этих продук-
тов, именно 48Cd139, будет испытывать спонтанные р-превраще-
ния до тех пор, пока не получится ядро с нормальным соот-
ношением нейтронов и протонов. При этих превращениях бу-
дет освобождаться добавочное количество энергии, и в последней
графе таблицы LIX указано выделение энергии при последующем
превращении продуктов распада ядра.
§ 305]
ЭНЕРГИЯ АКТИВАЦИИ ПРИ ДЕЛЕНИИ
605
§ 305. Энергия активации ири делении
Мы видим такихМ образом, что все элементы с атомными массами
больше 100 являются неустойчивыми в отношении деления. Гра-
ница устойчивости лежит в середине периодической системы,
где-то вблизи серебра. Возникает естественный вопрос: почему же
в таком случае изотопы с массами, большими 100, ещё существуют
в природе и вообще не испытывают спонтанного деления (за исклю-
чением самых тяжёлых, см. § 277).
Ответ на этот вопрос состоит в том, что положительный энер-
гетический баланс не является достаточным условием для насту-
пления деления. Совершенно аналогичное пмеет место и в случае
обычных химических реакций. Рассмотрим, например, простей-
шую реакцию
н(0 + рН2(П) оН2(tt) + Н(I).
Реакция состоит в замене в молекуле параводорода (рН2) одного
из атомов свободным атомом
спином ядра, в результате
чего возникает молекула ор-
товодорода (оН2). Хотя эта
реакция имеет небольшой
положительный баланс энер-
гии, далеко не каждое со-
ударение заканчивается ре-
акцией. Более того, опыт по-
казывает, что при темпера-
туре 10° С примерно три
соударения из 107 ведут к ре-
акции; вместе с тем скорость
реакции в сильнейшей степени зависит от температуры. При
всякой химической реакции число эффективных соударений п
связано с полным числом соударений /г0 формулой
п = пое~ Е/кТ.
Это свидетельствует о том, что для осуществления реакции энер-
гия реагирующей системы должна превышать некоторое критиче-
ское значение Е, называемое энергией активации. Потенциальная
кривая рис. 418 наглядно показывает значение энергии актива-
ции: мы видим, что, хотя реакция ведёт к освобождению энергии,
она не будет происходить до тех пор, пока энергия системы не
поднимется до вершины бугра, разделяющего обе области. Влево
от этого бугра система находится в состоянии, которое является
относительно устойчивым, или мета стабильным; она может пре-
бывать в таком состоянии как угодно долго, пока её энергия мень-
ше энергии активации.
с противоположно направленным
Рис. 418. Энергия активации (7) и
энергия реакции (Z7).
606 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
Механизм активации при обычных химических реакциях мо-
жет быть различным: иногда молекулы, принимающие участие
в реакции, должны предварительно разделиться на атомы, иногда
должна быть осуществлена определённая критическая конфигу-
рация системы и т. п. Механизм активации для ядерной реакции
деления исследован Я. И. Френкелем, а также Бором и Уиллером.
Выше мы видели, что энергетический баланс деления зависит от
конкуренции сил поверхностного натяжения ядра-капли и сил
электростатического отталкивания. Сферическая форма, характе-
ризуемая минимальной поверхностью при данном объёме, была
бы наиболее благоприятной в отношении устойчивости, если бы
действовали только силы поверхностного натяжения, п наименее-
благопрпятпой, если бы действовали только силы электростати-
ческого отталкивания. Очевидно, что ядро будет относительно
устойчивым (метастабильпым) в том случае, если сумма поверхност-
ной н электростатической энергии для сферической формы будет
минимальной. Если мы выберем какой-нибудь определённый
параметр, характеризующий форму ядра-капли, и представим
потенциальную энергию в функции этого параметра, то получим
кривую рис. 418 с седловиной. Пока ядро имеет сферическую фор-
му, опо находится в самой нижней точке этой седловины (минимум
потенциальной энергии). При всякой деформации потенциальная
энергия ядра возрастает, и если возрастание таково, что при этомг
достигается вершина «потенциального бугра», то возникает не-
устойчивое состояние, результатом которого может оказаться
самопроизвольное деление. Высота барьера над самой нижней
точкой седловины и есть, таким образом, энергия активации,
равная энергии, которую необходимо затратить, чтобы создать
критическую деформацию ядра. С увеличением заряда ядра глу-
бина впадины потенциальной кривой уменьшается, и, наконец,
для определённого значения Z, т. о. числа протонов в ядре, глубина
становится равной нулю. Такое ядро будет неустойчиво: малейшая
деформация поведёт к его делению.
В предыдущем параграфе мы видели, что деление становится
энергетически выгодным, когда отношение электростатической
энергии ядра к его поверхностной энергии равно 0,7. Я. И. Френ-
кель и Бор п Уиллер разными путями показали, что энергия акти-
вации обращается в нуль, когда указанное отношение становится
равным 2. Пользуясь левой частью формулы (304,4), получаем
для этого случая
3	е2 ZZ2 \	=2
5	< Л /пред ’
или
= 1о££’.	(305,1)
\ А /пред Зе2	v '
S 30 S]	ЭНЕРГИЯ АКТИВАЦИИ ПРИ ДЕЛЕНИИ	607
Подставляя известные значения г0, сие, находим для предельного
случая совершенной неустойчивости ядра относительно деления
Z2 _ io 12:57 ’(1,5)3 ’ 1О’ЗЙ' 1020 ЧП
А ~	3 • (4,8)2 • t0-2rt ~
Величина Z^fA является, таким образом, мерой неустойчивости
ядра относительно деления. Если мы попытаемся применить этот
критерий к последним элементам периодической системы, то,
например, для основного изотопа урана получим
Z2 _ (92)2 _л г г
Л ~ 238 “ °’0’
Для вновь открытых трансурановых элементов величина Z2/A,
Z2
конечно, ещё ближе к предельной. Например, для 95Аш242 у- =
= 37,3. Мы видим, что эти тяжёлые ядра находятся на границе
устойчивости.
Механизм деления согласно излагаемой теории состоит в сле-
дующем: при малых деформациях ядро, представляющее собокг
Рис. 419.
заряженную каплю, приходит в колебание, то вытягиваясь, то
сжимаясь. Если при данном заряде ядра начальная деформация
достигнет критической величины, соответствующей энергии акти-
вации, эти колебания приведут в конце концов к делению. Вели-
чина критической деформации существенным образом зависит от
заряда ядра. Предел устойчивости, как мы видели, даётся формулой
(305,1); из неё получаем
Ze =	=(10 X объём х поверхностное натяжение)1^2.
При такой величине заряда уже ничтожное отступление от
сферической формы поведёт к появлению перетяжки и к делению
капли пополам. При Z'1/А < (22/А)пред требуется уже конечное
изменение формы, чтобы была достигнута критическая конфигу-
рация; чем меньше заряд, тем больше должна быть начальная
деформация, которая в результате возникающих колебаний при-
ведёт к делению, т. е, тем больше энергия активации реакции
На рис. 419 показаны критические конфигурации при различных
608
ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. ХХШ
значениях 22/Л: рис. 419,с соответствует 22/Л, мало отличающе-
муся от (22/Л)пред , а рис. 419,а соответствует Z = 0.
Энергии активации для деления различных тяжёлых ядер
приведены в следующей таблице.
Таблица LX
Изотоп	Z2/A	Энергия активации в MeV
ТТ234 92 Ь	36.2	4,8
92и2;{5	36. о	5,1
9>Ра231	.‘55,9	5,2
ГТ238	• ) Г	S ,4
92 11		
<>0ть222	35.0	6,6
ssRa226	34,4	7,6
80Hgl9B-2O4	32,7- -31,3	1 1 — 15
5(,Sn112-124	22,5- -20,2	40-50
Зависимость энергии активации от атомного номера представ-
лена кривой рис. 420; по море приближения к середине периодиче-
ской системы кривая круто поднимается вверх. В левой части ри-
Рис. 420. Зависимость от атомного номера энер-
гии активации, которую надо сообщить ядру
для получения экзотермической реакции.
А—нестабильность по отношению к слиянию; В- не-
стабильность по отношению к делению.
сунка представлена зависимость от атомного номера энергии
активации для обратного процесса, т. е. для слияния двух ядер
в одно. В случае двух дейтеронов эта энергия составляет всего
§ 306]	СПОНТАННОЕ ДЕЛЕНИЕ	609
0,5 MeV и также круто поднимается вверх по мере приближения
к (средине периодической системы.
Мы видим, таким образом, что, за исключением ядер среднего
атомного номера и средней массы, все ядра находятся в метаста-
бильиом состоянии и представляют собой «горючий материал»
для «алхимических» реакций: тяжёлые ядра—для реакции де-
ления, а лёгкие—для реакции слияния. При этом возможности
наиболее лёгкого осуществления этих реакций и освобождения
связанных с ними огромных энергий, как и следовало ожидать,
лежат на противоположных концах периодической системы. Если
мы не наблюдаем вокруг себя этих реакций, то потому только,
что для осуществления их с конечной скоростью требуются энер-
гии активации, измеряемые миллионами электрон-вольт. Если
перейти от этих энергий активаций к температурам, при которых
подобные «термоядерные» реакции могут итти с заметной скоростью,
полагая, например, кТ = 1 MeV, получаем
т — 1>6 ' 1Q~6	1010 ° К
’ 1,48 • IO-16
Принимая во внимание, что кТ есть средняя энергия при данной
температуре и что при любой температуре скорости газовых мо-
лекул распределены по закону Максвелла, т. е. наряду с части-
цами, обладающими средней энергией, имеются также и частицы
со значительно большими энергиями, мы можем оценить порядок
температур, при которых возможны самопроизвольные алхими-
ческие реакции, примерно в 107, т. е. в десятки миллионов граду-
сов. Такие температуры господствуют в центральных частях звёзд,
и, как мы увидим в дальнейшем, есть все основания думать,
что там и в настоящее время идут эти реакции, поддерживая тем-
пературу звёзд па высоком уровне.
§ 306. Спонтанное деление
В предыдущем параграфе асы видели, что при = 50 элек-
трические силы полностью компенсируют поверхностное натяже-
ние капельки универсальной ядерной жидкости и ядро теряет
свою устойчивость. Предполагая для грубой оценки, что Z воз-
растает пропорционально А, можно оценить, что это произойдёт
при Z = 125. Такое сверхтяжёлое ядро уже не может существовать
и должно самопроизвольно разделиться в течение промежутка
времени порядка 10-21 сек.
Однако и при меньших значениях Z спонтанное деление воз-
можно путём туннельного перехода, т. е. при помощи механизма,
аналогичного а-распаду (§ 284). Вероятность этого перехода опре-
610 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЯДЕРПО11 ЭНЕРГИИ [гл. XXI11
дслястся экспоненциальным множителем
-А- У'2М(й-Е) d
в 11
Обратная величина этой вероятности есть среднее время жизни
ядра относительно спонтанного деления. Выбирая в качестве
предэкспоненцпалыюго множителя 10~21 (ядерная единица вре-
мени), напишем
В качество L—Е в данном случае надо взять энергию активации,
т. е. 5—(5 MeV; величину d, от которой сильно -зависит вероятность,
можно только оценить приближённо. Если выражать т в годах,
М в массовых числах Д, [J—Е в MeV и d в единицах г0, то пре-
дыдущая формула примет вид
-7	IQ-29! 0,1 45-/-
где а -- 2d. Для U238 (Д. — 238) можно взять U — Е = 6 MeV, вели-
чина а порядка ~(238)3 (в единицах г0); тогда получается
х = 10-29^51 = Ю22 лет = 1030 сок.
Это время жизни неизмеримо больше т для а-распада того же
U238 (4 • 109 лет). При такой средней продолжительности жизни
можно было бы ожидать образования одной пары осколков в сутки
в куске урана массой в 1 кг.
Па самом деле вероятность спонтанного деления урана зна-
чительно больше (время жизни соответственно меньше) указан-
ной величины. Действительно, советские физики К. А. Петржак
п Г. II. Флёров обнаружили спонтанное деление урана экспери-
ментально и определили его среднюю продолжительность жизни
в 1016 лет. Такое расхождение с предварительной оценкой объ-
ясняется неточностью знания энергии активации деления. Здесь,
как п в случае ot-распада, малые колебания энергии ведут к огром-
ным различиям в продолжительности жизни.
§ 307.	Различные способы осуществления деления
В предыдущих параграфах мы познакомились с теоретиче-
ским истолкованием реакции деления тяжёлых ядер. Коротко
говоря, оно состоит в том, что при большом число заряженных
частиц (протонов) в ядре силы электростатического отталкивания
в значительной степени компенсируют силы поверхностного на-
тяжения, удерживающие ядро от разрушения. Если вызвать
в таком тяжёлом ядре деформацию, то в результате возникающих
§ 307]
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ ДЕЛЕНИЯ
611
вследствие этого колебаний формы ядро-капля может разделить-
ся на два меньших ядра. Энергия, необходимая для сообщения
ядру критической деформации, за которой последует деление,
и есть энергия активации процесса. Её сообщает ядру захваты-
ваемый им нейтрон, который приносит в ядро энергию, равную
своей энергии связи плюс кинетическая энергия. Энергия связи,
приходящаяся на одну ядерную частицу в самых тяжёлых ядрах
(торий, протактиний, уран, плутоний), равна приблизительно
5—7 MeV, энергия же активации процесса деления составляет
примерно 6 MeV.
Рассмотрим, например, случай деления изотопов урана U235
и L'238. При поглощении нейтрона каждым из них возникает изо-
топ с массой, па единицу большей. Например,
U235 +	и236 + у.
Произойдёт пли по произойдёт деление — зависит от соотношения
между энергией связи нейтрона в U236 и энергией активации U236,
так как делению подвергается изотоп, захвативший нейтрон.
В данном случае энергия связи равна 6,81 MeV, а энергия акти-
вации U236 — 6,0 MeV. Из этого следует, что уже тепловые нейтроны,
поглощаемые U235, приносят энергию связи, превосходящую энергию
активации возникающего ядра; поэтому U235 должен делиться под
действием медленных нейтронов. Напротив, в случае U238 энер-
гия связи составляет 5,3 MeV, а энергия активации U239 примерно
па 1 MeV больше. Поэтому U238 не делится медленными нейтронами:
для того чтобы деление осуществилось, захватываемый U238 ней-
трон должен приносить, кроме своей энергии связи, ещё избыток
примерно в 1 MeV за счёт своей кинетической энергии.
Что касается энергии связи, то она вообще больше у ядер
с почётным числом нейтронов и меньше у ядер с чётным числом ней-
тронов (см. § 2zi6). Поэтому деление тепловыми нейтронами воз-
можно преимущественно у ядер с нечётным числом нейтронов.
Например, в случае U235 число нейтронов 235—92= 143, тогда
как в случае U238 число нейтронов 238—92 = 146.
Опыт вполне подтвердил эти теоретические предсказания. Для
проверки их было предпринято разделение изотопов урана в ма-
лом масштабе с помощью масс-спектрографа. Таким путём на пла-
тиновых полосках было собрано несколько микрограммов U238
л соответственно меньшие количества L'235 и U234. Подвергая эти
разделённые изотопы облучению медленными или быстрыми ней-
тронами, установили, что U238 делится только быстрыми ней-
тронами.
Далее, оказалось, что пе только нейтроны, но и протоны, деП-
тероны и а-частицы, а также у-фотоны вызывают деление. Фото-
дел сипе было обнаружено сначала при облучении урапа и то-
рия у-лучамп с энергией фотона в 6,3 MeV, возникающими при
612 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
бомбардировке GaF2 протонами [реакция F (р, у)]. Ойо легко воз-
буждается также искусственными у-лучами, получаемыми с по-
мощью бетатрона.
В последнее время для опытов с делением тяжёлых ядер были
использованы частицы сверхвысоких энергий—нейтроны, дейте-
роны и а-частицы с энергиями соответственно в 100, 200 и 400 MeV.
Эти частицы вызывают деление не только урапа, тория и про-
тактиния, но и более лёгких ядер, а именно висмута (Z = 83),
свинца (Z = 82) и таллия (Z = 81).
Наконец, как уже было упомянуто в § 306, К. А. Петржаку
п Г. Н. Флёрову удалось наблюдать очень редкие процессы деле-
ния урана в отсутствии всякого источника нейтронов. Разработав
исключительно чувствительную методику для обнаружения про-
дуктов деления, Пстржак и Флёров наблюдали в среднем шесть
импульсов в час в присутствии урана, не подвергнутого действию
каких бы то ни было излучений. Тщательное обсуждение возмож-
ных причин, создающих эти импульсы, привело к выводу, что они
вызываются самопроизвольным делением ядер урана. Пстржак и
Флёров оценили период полураспада для этого деления в случае
изотопа U238 в 1016—1017 лет, в то время как период обычного
распада урана с испусканием а-частиц составляет 109 лет.
§ 308.	Продукты деления ядер
Продукты деления ядер весьма разнообразны. В опубликован-
ных в настоящее время таблицах осколков, возникающих при де-
лении урана*), перечислено около 300 различных изотопов, иден-
тифицированных среди продуктов деления. Такое разнообразие
объясняется тем, что, во-первых, самое ядро делится случайным
образом, давая различные первичные продукты, а, во-вторых,
эти. первичные продукты всегда радиоактивны и дают начало бо-
лее или менее длинным цепочкам последовательных превращений.
На рис. 421 приведена кривая зависимости выхода (в %)
осколков той или иной массы от их массы для U235. Как видно,
наименее вероятен случай деления ровно пополам; вся кривая сим-
метрична относительно линии, проходящей через массу, равную
половине, и обнаруживает два максимума, указывающих на
то, что с наибольшей вероятностью при дслешнт возникают
осколки, массы которых относятся примерно, как 2 : 3.
Основные свойства осколков, с наибольшей вероятностью воз-
никающих при делении U235, приведены в следующей таблице**):
*) См. Успехи физических наук, т. ХХХШ, стр. 77, 1947.
**) Но данным, приведённым в книге «Научные н технические основы
ядерной энергетики», т. I, стр. 58, ИЛ, 1948.
§ 308]
ПРОДУКТЫ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР
613
Таблица LXI
। Лёгкий осколок Тяжёлый осколок .	'	1	Л-‘		
Массовое число А . . . Атомный помер Z . . . Энергия Е в MeV . . . Скорость г?0 в см/сен . . (Нр);, в гауссам .... (Ионный заряд) .... Средний пробег °Rc.p •	~95 ~38 (Sr) 97 1,4-10» 6,5-105 20 е 2о мм воздуха	~ 139 ~ 54 (Хе) 65 0.93- 10» 5.9-105 22 е 19 мм воздуха
Рис. 421. Кривая выхода различных осколков деления в U2:i5
в зависимости от их массы.
614
ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР II ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
Радиоактивные цепочки состоят из продуктов, последователь-
но превращающихся путём 8-превращений. Теоретически следо-
вало ожидать именно этого типа превращений. Как уже было ука-
зано в § 303, ядра, возникающие в процессе деления, обладают
ненормально высоким содержанием нейтронов. Подобное ядро,
образовавшись, начинает компенсировать свой избыток нейтро-
нов последовательными р-превращениям и; при каждом таком пре-
вращении избыток нейтронов уменьшается на две единицы—исче-
зает один нейтрон и появляется один протон. Вследствие этого
получается целый радиоактивный ряд, содержащий 4—6 звеньев
и продолжающийся до тех пор, пока не получится стабильный
продукт. Примеры таких цепей приведены в следующей таблице:
Массовое число	53 (J)	54 (Хе)	55 (Cs)	56 (Ба)	57 (La)	58 (Се)
137	30 сек. ->	3,4 мии.->	33 года ->	стаб.		
138		17 мип.->	32 мин. ->	стаб.		
139		41 сек. -*	7 мин. ->	85 мин. ->	стаб.	
140		16 сек. ->	коротк. ->	12,8 дня ->	40,0 часа-	> стаб.
Деление более лёгких ядер (83 Bi—73 Та) частицами сверх-
высоких энергий, упомянутое в предыдущем параграфе, имеет
некоторые особенности, отличающие его от деления тяжёлых ядер
медленными нейтронами. Так, например, асимметрии масс оскол-
ков в этом случае не наблюдается. Далее, отмечается значитель-
ный выход лёгких изотопов и образование стабильного изотопа
в качестве первичного продукта. Например, при делении висмута
а-частицами с энергией в 400 MeV и дейтеронами с энергией
200 MeV наблюдается образование Вт82 в количестве, сравнимом
с Вг83, тогда как в случае деления урана медленными нейтронами
выходы этих изотопов относятся, как 1 : 101. Это объясняется,
невидимому, тем, что при захвате частицы сверхвысокой энергии
ядро «нагревается» настолько сильно, что делению предшествует
испарение большого количества нейтронов. Подтверждением мо-
жет служить то, что продуктами деления, возникающими с наиболь-
шей вероятностью, являются ядра, сумма масс которых меньше
массового числа ядра-мишени.
§ 309.	Нейтроны, освобождаемые при делении
Одной из важнейших особенностей деления тяжёлых ядер
является сопутствующее этой реакции освобождение нейтронов.
Различают при этом две группы нейтронов: «мгновенные» и «за-
паздывающие». Первые испускаются непосредственно вслед за
дел 'пнем, а может быть, даже и в самом процессе деления, вто-
рые - со значительным запаздыванием.
§ 309]
НЕЙТРОНЫ, ОСВОБОЖДАЕМЫЕ ПРИ ДЕЛЕНИИ
615
Что касается «мгновенного» испускания нейтронов (мгновен-
ного с точки зрения лабораторных часов, но не с точки зрения
ядерного времени с единицей в 10-21 сек.), то возникновение его
понятно. Вполне возможно, что при делении большой ядерной кап-
ли опа как бы частично рассыпается, и несколько нейтронов
не успевает присоединиться к обломкам, подобно тому как при де-
лении пополам большой капли обыкновенной жидкости на месте
перемычки обычно возникают ещё маленькие капельки. Кроме
того, продукты деления в первый момент, следующий за делением,
когда они вновь принимают сферическую форму, находятся в
сильно возбуждённом состоянии за счёт освобождения энергии
деформации. Энергию возбуждения они могут отдать либо в виде
7-лучей, либо использовать её для освобождения быстрых нейтро-
нов, если за промежуток, сравнимый со средним временем жпзгиг
для испускания у-лучей, достаточное количество энергии случай-
но сконцентрируется на одном или нескольких нейтронах.
Не менее интересен и важен также процесс испускания запаз-
дывающих нейтронов. Оказывается, что некоторые its продуктов
деления через промежуток времени порядка нескольких секунд
начинают испускать нейтроны в виде спонтанного излучения напо-
добие а- пли ^-излучения радиоактивных веществ*). Интенсивность
этого излучения падает со временем, причём, анализируя кривую
зависимости числа нейтронов от времени, можно установить не-
сколько определённых периодов полураспада. Так в случае I?235
установлены следующие периоды в секундах: 0,4; 1,8; 4,4; 23
и 56 сек.; относительное распределение интенсивности указано в
таблице:
Период полураспада в сек.	Относительная интенсивность при насыщении
0,4	0,4
1,8	0.5
4,4	1.J
23	1,0
56	0,14
*) Подробного рода нейтронная радиоактивность обнаружена и у некото-
рых лёгких элементов в результате их бомбардировки дейтеронами сверх-
высоких энергий. Так, например, при бомбардировке элементов, близких
к кислороду, но обладающих более высокой массой, была обнаружена
нейтронная радиоактивность с периодом 4,4 сек. Такой же период имеет
3_-радпоактивный изотоп азота N17. Отсюда — следующая интерпретация
нейтронной радиоактивности с указанным периодом: одним из продуктов
бомбардировки дейтеронами является N17. Последний, испытывая ii'-распад.
превращается в возбуждённое ядро О17*, которое и выбрасывает спонтанпо-
нейтрон, превращаясь в О18.
616
ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. Will
Доля запаздывающих нейтронов в общем числе нейтронов,
испускаемых при делении, оказалась равной 1%.
Механизм возникновения запаздывающих нейтронов был объ-
яснён Бором и Уиллером следующим образом. Как мы уже виде-
ли, в ядрах продуктов деления оказывается чрезмерно большой
избыток числа нейтронов над числом протонов. Этот избыток ком-
пенсируется последовательными [З-превращспиями. Продукты
этих ^-превращений в момент образования находятся в возбу-
ждённом состоянии, и если в каком-нибудь из них энергия возбу-
ждения окажется больше энергии связи нейтрона в данном ядро, то
вместо [3-частицы в последующем этапе правращения будет испу-
щен нейтрон. Так как это испускание происходит в течение проме-
жутка времени, очень короткого по сравнению с периодом предше-
ствующего ^-превращения, то период спадания нейтронной актив-
ности будет в точности равен периоду ^-превращения.
Вт87Э’37]
56 cek(Z3 сек)
Кгв7(Хе137]
75мин(3,8мин)
W	W "лет (33года]
M)87(Cs'sl\

стабилен
Sr’W’j
Кг86(Хе136)
стабилен
Рис. 422. Схема возникновения запаздывающих
нейтронов.
Для проверки этой схемы было выполнено определение при-
рода излучателей нейтронов химическим путём. Предварительные
опыты показали, что нейтронные активности с периодами
23 сек. и 56 сек. переходят в осадок вместо с галогенидами серебра.
В дальнейшем было установлено, что при химических реакциях
носитель активности с периодом 23 сек. следует за подом, а носи-
тель активности с периодом 56 сек. — за бромом.
С другой стороны, известны искусственно-радиоактивные ве-
щества 35Вт87 и 53J137 с периодами 56 сек. и 23 сек. Эти веще-
§ 310]
Т РАИ СУДАНОВНЕ ЭЛЕМЕНТЫ
617
ства подвергаются следующим превращениям:
мКг” + ?-	-„ВЬ” + ,8-та—-38Sr” (стабилен),
»J3785=” wGsl;” + ?- зз7=^звВа1”(стабилен).
Поэтому 56-сскундную нейтронную активность следует припи-
сать Кг87, а 23-секупдную активность — Хе137. Возможный меха-
низм распада в таком случае представится схемой рис. 422: Вг87
превращается с разветвлением: часть возникающих ядер испыты-
вает дальнейшие 8-превращспия с образованием стабильного Sr87,
а другая часть испускает нейтроны с образованием стабильно-
го Kr8G. Аналогичная схема имеет место для 23-секупдпой актив-
ности J137.
Очень важен вопрос о том, каково число нейтронов, приходя-
щееся на один акт деления. Выполненные с этой целью работы
показали, что в среднем на один акт деления приходится более
одного нейтрона, именно от двух до трёх нейтронов, так что ней-
троны в процессе деления «размножаются». Этот важнейший факт,
как мы увидим в § 301, обусловливает возможность цепной ре-
акции деления.
§ 310.	Трансурановые элементы
В начало этой главы мы видели, что интерес к реакциям нейтро-
нов с ураном был привлечён дискуссией по поводу возможности
возникновения при этих реакциях ядер с зарядом, большим 92,
т. е. ядер трансурановых элементов. Существование таких эле-
ментов в последующих работах было доказано с полной достовер-
ностью.
Ниже мы даём систематическое описание свойств важнейших
пз известных в настоящее время изотопов трансурановых элемен-
тов, не останавливаясь на деталях истории их открытия.
./[ептуний 239. Первым из трансурановых элементов был от-
крыт изотоп с атомным номером 93 и массовым числом 239. Соот-
ветствующий элемент был назван нептунием (химический сим-
вол Np). Уже при первых исследованиях деления урана был
установлен факт резонансного захвата медленных нейтронов
с образованием ^-радиоактивного изотопа урана, который пре-
вращается с периодом 23 мин. в трансурановый элемент Z 93
(см. стр. 596).
Этот факт был подтверждён путём облучения урана нейтронами
от циклотрона. При этом было установлено, что захват нейтронов
производится основным изотопом урана U238; возникающий изо-
топ U239, превращаясь с периодом 23 мин., даёт ^-радиоактивное
вещество, которое распадается с периодом 2,4 дня. Это вещество и
618 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXI [I
есть один из изотонов нептуния, Np239. Схема превращения
такова:
92U238 (z?, Y) 99b’239 —93Np239 ——->94239.
92 v 17	23 мин. J3 7	2,4 дня
Исследование химических свойств нового элемента, выполненное
но методу «меченых атомов», позволило установить некоторые его
химические свойства. В частности, это исследование показало,
что нептуний пе является аналогом рения (Z = 75), как можно
было ожидать по его положению в менделеевской системе, но по
своим химическим свойствам очень близок к урану.
Нептуний 237. В 1942 г. был открыт другой, особенно важ-
ный изотоп нептуния, Np237. Этот изотоп является продуктом 3~-
превращепия искусственно-радиоактивного изотопа урана U237,
.возиикающего из U238 в результате реакции (п, 2п):
92U238 (/?, 2п) 92U237——g3Np237.
J v	6,8 дня 1
Пзотоп Np237 испытывает а-превращение с очень длительным перп-
одом 2,2 • 10й лет. Благодаря такому большому периоду оказалось
возможным накоплять этот изотоп в весомых количествах (изме-
ряемых микрограммами) и изучать химические свойства непту-
ния с помощью так называемой «ультрамикрохимии»*). Первые
порции Np237 были получены путём облучения больших количеств
урана быстрыми нейтронами, получаемыми с помощью цикло-
трона. Позднее, с началом работы «урановых котлов» (см. § 312)
удалось получить до 100 рг Np237 п детально изучить ого химиче-
ские свойства, а также эффективное сечение для захвата медлен-
ных нейтронов. Np237 является родоначальником радиоактивного
семейства, отвечающего формуле 4и + 1 (см. § 277).
Кроме рассмотренных двух изотопов нептуния, был открыт
ряд других изотопов, а именно: Np231, Np234, Np235, Np238 и Np238.
Плутоний 238. Вслед за открытием Np239 был открыт (в 1941 г.)
ещё одни трансурановый элемент Z = 94, названный плутонием
(химический символ Рн). При бомбардировке урана дейтеронами
было обнаружено возникновение изотопа нептуния Np238, полу-
чающегося в результате реакции 92U238 (d, 2ri) 93Np238. Этот пзо-
топ Np238 обладает ^-радиоактивностью и превращается с перио-
дом 2,0 дня в а-радпоактивный изотоп 94Ри238, имеющий, по по-
следним данным, период, равный 92 годам:
9,U238 (d, 2h)93NP238 —-> 94Pu238 —- 9.,U234.
9-	V	1	2 0 дня 94	92 года 9-
Название «плутоний» было дано элементу 94, так же как и непту-
нию, по аналогии с названиями планет, расположенных за ураном.
:,!) Описание методов исследования радиоактивных веществ см. в книге:
К. б ре <* л ер, Радиоактивные элементы, Гостехиздат, 1949.
§310]	ТРАНСУРАНОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ	619
Плутоний 239. Это — наиболее важный изотоп плутония.
Он является продуктом ^--превращения Np239 с периодом 2,4 дня
(см. стр. 618). Рп239 а-радиоактивен и превращается с периодом
в 21000 лет в U235:
-гг~-
2,4 днп	2,4.10-1 лет
Важность Рп239 обусловлена тем, что он оказался подходящим
«горючим материалом» для добывания атомной энергии (см. § 313),
ввиду чего возникла проблема получения Рп239 в больших коли-
чествах. Для осуществления этого первоначально значительная
масса урана (сотни килограммов) подвергалась облучению на
циклотроне. Таким путём в течение 1942— 1943 гг. было полу-
чено около 1000 [>.г, т. е. около 1 мг плутония. Так как но своим
химическим свойствам он, как п нептуний, оказался очень близ-
ким к урану, то для разработки наиболее эффективных методов
отделения плутония от значительно превосходящей его массы
урана необходимо было изучить химические, физические п физико-
химические свойства плутония с максимальной степенью полноты
и точностью. Это и было осуществлено с помощью методов «ультра-
микрохимии». Рп239 обладает сильной а-радиоактивпостыо: в 1 мг
Рп239 в течение минуты происходит 140 • 106 а-распадов, что почти
в 2-105 раз превосходит радиоактивность урана. Поэтому для
изучения его свойств необходимо пользоваться малыми количе-
ствами его (порядка миллиграммов), несмотря на то, что в насто-
ящее время искусственно получаются значительно большие коли-
чества.
Кроме Рп238, и Рп239, в настоящее время установлено существо-
вание ряда других изотопов плутония: Рп232, Рп234, Рп236,
Рп240, Рп241. Все они а-радиоактивны, за исключением Рп241,
который испытывает p'-распад с периодом около 10 лот.
Америций и кюрий. При бомбардировке U238 и Рн239 a-части-
цами сверхвысоких энергий (40 — 44 MeV) па циклотроне было
обнаружено возникновение ещё двух трансурановых элементов
Z=95 п 96. Первый был назван америцием (химический сим-
вол Ат), второй — кюрием (символ Ст). Ядерные реакции, веду-
щие к возникновению этих элементов, таковы:
9oU238 (а, л) 94Рп241 ——- 95Ат241 —-
9“ К ’	/94	— 10 лет	490 лет
91Рн239 (а, 3/?)96Cm240  —->
91	' ’	7 98	26,8 дня
94Рп239 (а, /г) 9б Ст242 —-->.
94	\ ’	/	150 дней
Химические свойства Ат и Ст были изучены методом мече-
ных атомов; оба эти элемента, подобно нептунию и плутонию,
620 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXII
в химическом отношении оказались близкими к урану и анало-
гичными редкоземельным элементам.
Изотоп америция с периодом 490 лет обладает ещё большей
а-радиоактивностыо, нежели Ри239; активности Ат241 соответ-
ствует 70 • 109а-распадов на 1 мг в минуту. Ещё выше активность
кюрия, Cm242: ей соответствует приблизительно 1014 а-распадов
на 1 мъ в минуту.
В 1950 г. были получены два новых трансурановых элемен-
та—беркелий (Bk,Z = 97) и калифорний (Cf, Z = 98). Оба элемента
были получены путём бомбардировки соответственно америция
и кюрия а-частицамп высокой энергии.
На основании детального изучения химических и спектраль-
ных свойств тяжёлых элементов, включая трансурановые, новое
освещение получил вопрос об их электронной структуре. Ранее
предполагалось, что у последних элементов менделеевской си-
стемы, начиная с актиния, происходит заполнение оболочки 6<7
при заполненной оболочке 1s. Это означало бы, что самые тяжё-
лые элементы образуют так называемую «переходную группу».
Подобные группы характеризуются структурой ndx (п 4-1) s^
при гс = от 1 до 10 и у — 1 и 2. Примерами могут служить переход-
ные группы от скандия (Z = 21) до меди (Z = 29) или от иттрия
(Z = 39) до серебра (Z = 47). В самом деле, у скандия последние
электроны образуют конфигурацию 3d 4s2, у следующего эле-
мента—титана (Z = 22)—конфигурацию 3d2 4s2 и т. д. до меди
с её конфигурацией 37104s; аналогично у иттрия конфигурация
последних электронов такова: 4d 5s2, у следующего элемента —
циркония — 4725s2 и т. д. до серебра с конфигурацией 449° 5s.
Если бы последние элементы менделеевской системы принадле-
жали к переходной группе ndx (п 4-1) sv при п = 6 (т. е., иа-
прпмер, 6с? 7s2 или 6d2ls2 и т. д.), то они были бы сходны с эле-
ментами непосредственно предшествующей переходной группы
от 71Lu до 79Au (конфигурация 57х 6sy), чего на самом деле нет,
во всяком случае это не имеет места для самых тяжёлых
элементов 93Np — 9eCm, которые не сходны с соответствующими
элементами ближайшей переходной группы (72Hf, 73Та).
Кроме переходных групп в периодической системе, как известно,
имеется группа редких земель, начинающаяся 58-м элементом — це-
рпем — и закапчивающаяся 71-м элементом — лютецием. Электрон-
ная структура этих 14 элементов характеризуется конфигурацией
4/^ 5(7 6s2 или 4/x5726s [примеры: 38Се (4/57 6s2), 59Рг (4/257 6s2)]
при заполненных оболочках 5s и Зр. Так как в этом случае запол-
няется оболочка, лежащая глубоко внутри электронной структу-
ры, то в химическом отношении редкоземельные элементы харак-
теризуются своей чрезвычайной близостью.
По своим спектральным и.химическим свойствам последние
элементы периодической системы во многих отношениях напоми-
§ 310]
ТРАНСУРАНОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
621
нагот именно группу редких земель. Поэтому в настоящее время
принято считать, что элементы, следующие за актинием (89Ас),
образуют вторую группу редких земель с электронной конфи-
гурацией 5/ж	7s2 при х, равном от 1 до 14. В следующей таблице
даны электронные структуры элементов от 8ЭАс до 96Ст и парал-
лельно с ними структуры элементов первой редкоземельной группы.
Таблица LXII. Электронные конфигурации
1-й и 2-й групп редких земель
89 а с		s-La	5d6s2
9cTh	( 6д27х2	5sCe	( 5d26s2
	( 5/6d7s2		| 4/5d6№
91Ра	5f26d7s2	59Рг	4/25d6s2
92^	5/36d7s2	 ooNd	4/35c?6.*?2
93^' Р	tyf^dls2	6iPm	4/45J6,s'2
94Ра	5f5(5d7s2	62Sm	4/55d6s2
эзАт	5f^d7s2	63pU	4/65(Z6s2
Я6Ст	5/W7s2	бД<1	4/75d6s2
Выше неоднократно упоминалось о том, что свойства транс-
урановых элементов изучались методами «ультрамикрохимии».
Необходимость перехода от метода меченых атомов, применяв-
шегося для изучения искусственно-радиоактивных веществ,
к прямым методам, связана с тем, что метод меченых атомов иног-
да приводит к ошибочным заключениям. Например, при пользо-
вании методом меченых атомов прибавляют какой-либо опреде-
лённый элемент в доступных измерению количествах и следят за
чем, следует ли радиоактивность изучаемого элемента за элемен-
том-носителем при различных химических реакциях (например,
при реакциях осаждения). Однако из того, что активность пере-
ходит в осадок вместе с носителем, ещё нельзя однозначно заклю-
чить о тождественности химической реакции носителя и изучае-
мого элемента. Последний может переходить в осадок и по дру-
гим причинам (например, вследствие адсорбции соединения радио-
активного элемента на кристаликах носителя).
Поэтому возникла важная задача — изучать свойства новых
элементов непосредственно, разработав для этого методы, кото-
рые позволили бы оперировать с ничтожными количествами
вещества, измеряемыми микрограммами. С этой целью необхо-
димо не только пользоваться ультрамикровесами, позволяю-
щими взвешивать микрограммы, но и приспособлениями, даю-
щими возможность оперировать с крайне малыми объёмами. В са-
мом деле, для получения растворов с достаточно высокой концен-
трацией приходится иметь дело с объёмами от 10-1 до 10-5 еж3.
Для работы с такими объёмами были построены из капиллярных
622 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гя. ХХШ
трубок с внутренним диаметром от 0,1 до 1 мл специальные про-
бирки, пипетки, бюретки, и все операции производились под ми-
кроскопом с помощью так называемых мпкроманнпуляторов, ра-
нее построенных для биологических целой. При этом измерения,
можно было производить с точностью до 0,5%.
Были разработаны также специальные типы ультрамикрове-
сов. Простейшие «весы» состоят из тонкой кварцевой нити, которая
закреплена на одном конце, а к другому прикреплена миниатюр-
ная «чашечка». Взвешивание производилось ио изгибаншо нити,,
измеряемому микроскопом. Такого рода весы имеют чувствитель-
ность 0,02 рг 2 • 1()-8 е и позволяют взвешивать до 20 <jг.
Более чувствительные весы позволяют взвешивать 1 и г и меньше
с точностью до 0,005 дг. Опп построены по типу весов с коромыслом,
причём коромысло сделано из кварцевых нитей диаметром от четы-
рёхкратной толщины человеческого волоса, до штточек, невиди-
мых невооружённым глазом. При взвешивании отклонение ко-
ромысла компенсируется закручиванием перпендикулярной: к ко-
ромыслу кварцевой нити, па которой укреплено коромысло.
Интересен вопрос о возможности нахождения плутония в при-
роде. Наиболее долгоживущий изотоп плутония Рп239 имеет пе-
риод 24 000 лет. Если даже положить т = 1()5, то за геологиче-
ский период в 10° лот должна была бы сохраниться только'
_ 12:
е юз-Ю1 часть первоначально существовавшего плутония. Тем.
но мечгее в урановой смоляной обманке при химическом отделении
нептуния и плутония была обнаружена слабая а-радпоактивпость,
которую приписали Ри239. Количество плутония в смоляной об-
манке было оценено, как 1 : 1014 по отношению к массе минерала.
Если Ри239 ещё присутствует в минералах, хотя и в ничтожном ко-
личестве, то есть все основания предполагать, что причиной этого
является его постоянное образование из урана под действием ней-
тронов, имеющихся в природе (за счёт космических лучей).
§ 311. Ядерная цепная реакция
В предыдущих параграфах мы видели, что в процессе деления
ядраурапа происходит не только освобождение очень значительно-
го количества энергии, но также и некоторого числа v (от двух до-
трёх) нейтронов. В связи с последним обстоятельством, естествен-
но, возникает вопрос—-нельзя ли использовать нейтроны, освобо-
ждающиеся при делении, для того, чтобы в свою очередь вызвать
деление других ядер урана? В этом случае вместо одного нейтрона,
затраченного на деление, мы могли бы получить v нейтронов деле
пня. Из этих v нейтронов, после того как они будут захвачены
ядрами урана и вызовут в них деление, возникнет »2 новых неё
тропов, которые в свою очередь создадут v3 нейтронов и т. д.
§311]	ЯДЕРНАЯ ЦЕПНАЯ РЕАКЦИЯ	623
Число нейтронов будет возрастать в геометрической прогрессии,
причём одновременно будет происходить выделение энергии. Та-
ким образом, если бы все нейтроны деления можно было исполь-
зовать для новых актов деления, то удалось бы получить лавино-
образное нарастание реакции деления. Подобного рода лавинооб-
разные реакции хорошо известны в химии, где они получили
название цепных реакций. По аналогии с химией можно говорить
о развитии цепной реакции в уране.
На первый взгляд может показаться, что получение цепной
реакции ле вызывает никаких затруднений. Действительно, при
каждом акте деления происходит пе только восполнение потерян-
ного при делении нейтрона, но и появление избыточного числа
(у—1) нейтронов. В действительности, однако, вопрос о возмож-
ности получения цепной ядерной реакции гораздо сложнее.
Освобождение при каждом акте деления более одного нейтрона
представляет собой условие, необходимое, но ещё недостаточное
для развития цепной реакции. Для того чтобы развитие нарастаю-
щей лавины нейтронов могло фактически реализоваться, должны
выполняться и другие, менее очевидные условия. Действительно,
во всякой реальной системе имеется большое число различных
факторов, вызывающих потери нейтронов и выход их пз лавины.
Если число теряемых нейтронов окажется очень большим, то раз-
витие лавины может оборваться. Для того чтобы более обстоятель-
но обсудить сложные физические явления, влияющие на развитие
цепной ядерной реакции, проследим, следуя Ферми*), за судьбой
некоторого нейтрона, попавшего в толщу урана.
Для конкретности мы будем предполагать, что выбранный
нами нейтрон является весьма быстрым, так что его начальная
энергия превышает энергию /ф, необходимую для деления ядер
U238. Все наши результаты не будут, как видно из дальнейшего,
зависеть от значения начальной энергии нейтрона, а также от
происхождения нейтрона: он может быть нейтроном деления,
вылетевшим при спонтанном делении одного из ядер урана, плн
блуждающим нейтроном космических лучей, или, наконец, пей
тропом, полученным от какого-либо из искусственных источников.
Мы будем сначала считать, что протяжённость урана настоль-
ко велика, что можно по учитывать возможности вылета нейтрона
за пределы системы. Такую урановую среду мы будем называть
бесконечной размножающей средой. Нейтрон, движущийся в раз-
множающей среде, будет испытывать столкновения с ядрами
урана. Если его энергия выше порога деления 7Д, то при столкно-
вении с ядрами изотопа U238 и изотопа U235 будет существовать
известная вероятность того, что нейтрон вызовет деление. Однако
Э. Фер аг и, Элементарная теория котлов с цепными ядерными
реакциями. Успехи физических наук, т. XXXII, стр. 57, 1947.
(52-4 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
вероятность эта сравнительно мала, и при грубом подходе ею
можно пренебречь. Тогда основным процессом взаимодействия бы-
стрых нейтронов с ядрами можно считать рассеяние — неупругое
и упругое. Неупругое рассеяние играет основную роль при очень
больших энергиях нейтронов, превышающих 100 000 eV. При
каждом акте неупругого рассеяния нейтрон будет терять суще-
ственную долю своей энергии. Таким образом, пеупругое рассея-
ние будет приводить к быстрому уменьшению энергии или замед-
лению нейтрона. Если, например, в начале движения нейтрон
имел, энергию в 2 MeV, то после одного или двух актов неупругого
рассеяния энергия нейтрона станет меньше порога деления Ef.
Иными словами, нейтрон окажется настолько замедленным, что
он уже более не сможет вызывать деления ядер главного изотопа
урапа U238.
Упругое рассеяние нейтронов можно с достаточной степенью
точности рассматривать по законам столкновения твёрдых шаров.
Расчёт показывает, что при каждом столкновении с ядром, имею-
щим массу р, нейтрон теряет в среднем некоторую энергию г.
Если нейтроны сталкиваются с ядрами урана, имеющими очень
большую массу, то средняя потеря энергия очень невелика. Тем не
менее, после того как нейтрон будет замедлен до энергий порядка
100 000 eV, ниже которых вероятность пеупругого рассеяния ока-
зывается весьма малой, упругое рассеяние будет основным меха-
низмом замедления лтейтронов. Нейтроны будут терять энергию
небольшими порциями, постепенно замедляясь до самых малых
энергий—порядка энергии теплового движения в веществе,
7?тепл 0,025 eV. Для характеристики явления упругого рассеяния
можно указать, что для замедления нейтрона от энергии
Ef -=1,75 MeV до тепловой энергии требуется около 2000 упругих
соударений с ядрами урапа.
Таким образом, вся картина замедления нейтрона от энер-
гий Порядка НОСКОЛЬКИХ МИЛЛИОНОВ ВОЛЬТ ДО иЕтепл сводится
к тому, что сначала нейтроны испытывают исупругое рассеяние,
при котором их энергия уменьшается большими порциями, затем,
после того как пеупругое рассеяние становится маловероятным,
начинается плавное снижение энергии нейтрона из-за потерь
энергии при упругих соударениях с ядрами урана. Нейтроны
с энергией, меньшей Е^ пе могут вызывать деления ядер Е238,
но могут вызывать деление ядер U235. Из общих соображений
$ 300 следует, однако, что эффективность нейтронов в отпотпенпп
деления U235 возрастает с уменьшением скорости нейтрона; сече-
и ио деления следует законуПоэтому нейтроны, замедляющие-
ся до тепловых скоростей, являются самыми эффективными, а вест,
процесс замедления нейтронов от энергии, равной Efi до тепловой
энергии—полезным с точки зрения развития цепной реакции.
Рис. 423. Резонансное поглощение ней-
тронов в U238.
§311]	ЯДЕРНАЯ ЦЕПНАЯ РЕАКЦИЯ	625
Тем пе менее на пути развития цепной реакции в урановой
среде лежит одно серьёзное препятствие. Именно, до сих пор мы
не учитывали еще одного возможного вида взаимодействия между
нейтроном и ядром U238. Речь идёт о простом радиационном за-
хвате нейтрона ядром U238, которое превращается при этом в изо-
топ U239. Возможность такого процесса указывалась уже в § 310,
где мы видели, что U239, испытывая два последовательных р-рас-
пада, превращается в Рн239. Очевидно, что при каждом радиаци-
онном захвате нейтрона ядром (J238 происходит потеря одного ней-
трона без всякого возме-
щения, что является в выс-
шей степени нежелатель-
ным с точки зрения разви-
тия цепной реакции.
Мы указывали уже ра-
нее, что захват нейтронов
ядрами U238 носит резо-
нансный характер, т. е.
сечение его особенно вели-
ко при некоторых энер-
гиях нейтронов. Резонанс-
ный уровень захвата ней-
тронов ядрами U238 лежит
в области энергий пример-
но в 7 eV. Сечение захвата
в этой области весьма ве-
лико (рис. 423). Если
учесть ещё, что ядра изотопа U238 составляют основную массу
ядер урана, то становится понятным, что фактическое осущест-
вление цепной реакции в уране — задача очень трудная, и для раз-
решения её приходится прибегать к ряду ухищрений и искусствен-
ных приёмов, к описанию которых мы перейдём несколько ниже.
Помимо захвата нейтронов ядрами изотопа U238, возможен так-
же захват нейтронов ядрами других элементов, если они содер-
жатся в уране в виде примесей. Такая потеря нейтронов ещё
более усложнила бы, а при большом захвате в примесях вообще
сделала бы невозможным осуществление цепной реакции. Поэтому
первым непременным условием, необходимым для получения цеп-
ной реакции в уране, является очистка его от всех посторонних
примесей. При этом, очевидно, особенно тщательно должна про-
изводиться очистка от тех элементов, которые обладают большим
сечением захвата нейтронов, как, например, бор пли редкие земли.
Если подобная очистка, сама по себе представляющая очень
сложную техническую задачу, успешно произведена, то проблема
осуществления цепной реакции далеко ещё но является раз-
решённой. Резонансное поглощение нейтронов в ядрах U238
626 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. ХХШ
ещё слишком сильно для того, чтобы в массе урана могла итти
цепная реакция. Для уменьшения роли резонансного поглоще-
ния в U238 до такой степени, которая не препятствовала бы разви-
тию цепной реакции, можно пойти по двум направлениям:
1) увеличение процентного содержания делящегося изотопа
U235 в смеси изотопов;
2) применение так называемого замедлителя.
Первое направление является очевидным Хотя в U235, так
же как и в U238, возможен захват нейтронов без деления, тем не
менее очевидно, что если бы удалось отделить U235 от U238, то
в очищенном изотопе U235 в отсутствии вредного влияния изотопа
U238 было бы возможно развитие цепной реакции. Задача о разде-
лении изотопов урана, не представляющая никакой принципи-
альной сложности, весьма трудна при её практическом осуще-
ствлении. Различные методы разделения изотопов были рассмо-
трены в т. I, §§ 18—22. Мы, однако, остановимся здесь па втором
направлении.
§ 312. Применение замедлителя. Ядерные реакторы (котлы)
Сущность применения замедлителя состоит в следующем. Пред-
ставим себе нейтрон, вылетевший в акте деления, и предположим,
что, прежде чем он встретится с ядром урана, которым он может
быть резонансным образом захвачен, он будет замедлен до энер-
гии, лежащей ниже резонансной. Тогда, очевидно, опасность за-
хвата нейтрона в ядре U238 будет существенно снижена. Для
того чтобы нейтрон деления до встречи с ядром U238 был замед-
лен до энергии, лежащей ниже резонансной, необходимо, чтобы
на своём пути он испытывал достаточно эффективное замедление.
Это замедление может быть достигнуто при столкновениях ней-
трона с лёгкими ядрами, введёнными с этой целью в урановую сре-
ду. Подобное устройство и получило название замедлителя.
В качестве замедлителя может быть использован лёгкий эле-
мент с достаточно малым сечением захвата. Как мы видели, наи-
большую потерю энергии нейтрон будет испытывать при столкно-
вениях с протонами. Однако при столкновениях с ними суще-
ствует значительная вероятность захвата нейтрона с образованием
дейтерона. Поэтому водород не пригоден для использования в
качестве замедлителя. Следующим ядром является дейтерон с
массовым числом 2. Дейтерон обладает ничтожным сечением за-
хвата нейтронов. Поэтому он является очень хорошим замедли-
телем. Фактически дейтерон применяется в виде соединения дей-
терия с кислородом, т. е. тяжёлой воды D2O. Недостатком тя-
жёлой воды служит дороговизна и сложность ее получения.
Гелий не может применяться в качестве замедлителя, поскольку
он при обычных условиях находится в газовой фазе. Углерод,
§ 312] ПРИМЕНЕНИЕ ЗАМЕДЛИТЕЛЯ. ЯДЕРНЫЕ РЕАКТОРЫ (КОТЛЫ) 627
хотя и является значительно менее эффективным, чем дейтерий,
имеет перед последним преимущества дешевизны и доступности.
Сечение захвата нейтронов у углерода достаточно мало, порядка
10-27 см2. Поэтому весьма чистый углерод часто применяется на
Таблица LXIII
Ядро-замедлитель	Н1	D	Нс4	Вс9	С12	О16	и233
Число соударений	18	24	41	50	ПО	145	2100
практике, в качестве замедлителя. Замедляющие свойства раз-
личных замедлителей иллюстрируются таблицей LXIII. В пей ука-
зано число столкновений, которое нейтрон должен испытать для
того, чтобы замедлиться от энергии Е = 1,75 MeV до тепловой энер-
гии £'тепл=0,025 eV.
Вернёмся вновь к рассмотрению судьбы быстрого нейтрона, но
будем теперь учитывать, что он испытывает столкновения но
только с ядрами урана, но главным образом с ядрами замедли-
теля. Мы будем пока предполагать, что в замедляющей среде
ядра урана расположены с равномерной плотностью. Как только
нейтрон замедлится до энергий, лежащих ниже порога деления
U238, он будет замедляться в основном за счёт упругих соударе-
ний с ядрами замедлителя. Замедление нейтрона будет происхо-
дить весьма быстро. Как видно из таблицы LXIII, уже 110 столк-
новений с ядрами углерода оказывается достаточно для того, что-
бы замедлить нейтрон до тепловых энергий. Для замедления до>
энергии, лежащей ниже энергии резонансного захвата в U238,
требуется ещё меньшее число соударений.
Столкновения нейтрона с ядрами урана, в первую очередь
с ядрами изотопа U238, составляющими основную массу ядер ура-
на, не являются особенно существенными па всём пути замедляю-
щегося нейтрона вплоть до резонансной энергии. Действительно,
вероятность захвата быстрого нейтрона мала, а эффективность
ядер урана в отношении замедления нейтрона несравненно мень-
ше, чем эффективность замедлителя. Если в момент прохождения
замедляющимся нейтроном через область резонансного захвата
в U238 он не будет испытывать соударений с ядрами этого послед-
него, то и в процессе дальнейшего замедления столкновения с
ядрами изотопа U238 будут мало опасны для нейтрона, поскольку
ниже области резонанса сечение захвата вновь становится малым.
Поскольку число ядер замедлителя в среде очень велико, а
изменение скорости нейтрона при упругих соударениях проис-
ходит сравнительно быстро, ясно, что вероятность встречи ней-
трона с ядром U238 как раз в тот промежуток времени, когда эпер-
628 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
гия нейтрона лежит вблизи резонансной, оказывается существенно
сниженной по сравнению с системой без замедлителя. Таким об-
разом, введение замедлителя значительно уменьшает вероятность
резонансного захвата нейтрона в ядрах изотопа U238.
Обозначим через р вероятность того, что нейтрон благопо-
лучно пройдёт через область резонансного захвата в уране и не
будет поглощён ядром U238. Тогда, пренебрегая размножением
нейтронов из-за деления ядер быстрыми нейтронами, мы можем
сказать, что из No нейтронов, первоначально имевшихся в среде,
Nop нейтронов достигнут тепловой энергии, благополучно избе-
жав резонансного захвата в ядрах U238. Некоторая часть из этих
Nnp нейтронов будет захвачена ядрами замедлителя и примесей,
имеющихся в среде, остальные же будут захвачены ядрами урана.
Обозначим через / вероятность захвата в уране; тогда из всех
Nop тепловых нейтронов в уране будут захвачены NQpf нейтронов.
Остальные 7Vop(l—/) нейтронов исчезают без пользы для цепной
реакции. Величина / получила название коэффициента исполь-
зования тепловых нейтронов.
Обозначим, далее, через v число нейтронов, возникающих на
каждый акт захвата нейтронов в уране. Подчеркнём, что число
нейтронов на захват у не совпадает с числом нейтронов па деле-
ние V/, поскольку в ядрах урана может иметь место радиацион-
ный захват нейтронов без деления. Тогда вместо Nopf тепловых
нейтронов в результате деления возникнет Nopfv новых быстрых
нейтронов. Эти новые быстрые нейтроны будут проходить через
те же стадии, что и первичные нейтроны, так что после замедле-
ния и захвата их возникнет iV0(p/v)2 быстрых нейтронов второго
поколения. Последние будут аналогичным образом трансформи-
роваться в Ar0(/?/v)3 нейтронов третьего поколения и т. д. Таким
образом, число нейтронов будет возрастать в геометрической про-
грессии в виде
No + ^0(/>/у) + zV0(p/v)2 + ...
Величина pfv, являющаяся знаменателем прогрессии, обозначается
обычно через к и носит название коэффициента размножения
в бесконечной среде.
Суммируя бесконечную прогрессию, можно написать для чис-
ла нейтронов следующее выражение:
Мы видим, что если коэффициент размножения к равен единице,
то, как бы ни было мало число первоначальных нейтронов No,
лавинообразный процесс нарастания числа нейтронов приводит
к появлению бесконечного множества нейтронов в размножаю-
щей среде. Таким образом, требование /с>1 и является искомым
§312] ПРИМЕНЕНИЕ ЗАМЕДЛИТЕЛЯ. ЯДЕРНЫЕ РЕАКТОРЫ (КОТЛЫ) 629
условием того, чтобы в бесконечной размножающей среде возник-
ла цеппая ядерная реакция. Мы видим, что в к входят три разно-
родных множителя, имеющих простой физический смысл и зави-
сящих от различных факторов. Коэффициент v целиком опреде-
ляется свойствами ядер урана, и его значение является констан-
той реакции. Напротив, величины / и р до некоторой степени за-
висят от нашего произвола и могут нами подбираться так, чтобы
к имело наибольшее возможное значение. Действительно, ясно,
что коэффициент теплового использования нейтронов / будет
тем больше, чем меньше захват нейтронов в замедлителей примесях.
Поэтому для увеличения / необходима очистка урана и замедли-
теля от примесей, о чём мы говорили уже ранее. Кроме того, для
увеличения / нужно, по возможности, уменьшить число ядер за-
медлителя по отношению к числу ядер урана, имеющихся
в среде. Коэффициент р также зависит от отношения числа ядер
замедлителя к числу ядер урапа, одпако как раз противополож-
ным образом. В самом деле, чем больше ядер замедлителя в среде,
тем реже происходят столкновения нейтронов с ядрами урана
вообще и резонансных нейтронов с ядрами U238 в частности.
Поэтому для уменьшения вероятности резонансного захвата це-
лесообразно увеличить отношение числа ядер замедлителя к чис-
лу ядер ураиа. Поскольку коэффициент размножения к зависит
от произведения множителей j и р, изменяющихся в противопо-
ложных направлениях, ясно, что существует некоторое оптималь-
ное значение отношения R содержания замедлителя к содержанию
урана в среде, при котором к достигает максимума. В таблице
LXIV*) приведены эти оптимальные значения и соответствующие
им максимальные коэффициенты размножения для различных
замедлителей.
Таблица LXIV. Оптимальные гомогенные
смеси естественного урана с замедлителем
Замедлитель	Оптимальное отношение R	Максимальное к
Н2О		0,62
Во	340	0,66
Графит	440	0,84
d2o	170	1,33
Мы видим, что при естественной смеси изотопов урана разви-
тие цепной реакции в однородной среде возможно только в том
случае, если в качестве замедлителя применяется тяжёлая вода.
*) Таблица взята пз книги «Научные и технические основы ядерной
энергетики», т. 1, стр. 270, ИЛ, 1948.
630
ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
Уже углерод непригоден в качестве замедлителя, так как значе-
ние коэффициента размножения в среде уран 4-графит оказывает-
ся меньше единицы, хотя и близко к ней. Для получения цепной
реакции в уран-графитовой среде необходимо дальнейшее улуч-
шение условий реакции. Это улучшение состоит в следующем:
до сих пор мы предполагали, что ядра урана и замедлителя рас-
пределены в размножающей среде равномерно. Однако простое
рассуждение показывает, что такое распределение их по является
оптимальным с точки зрения уменьшения резонансного захвата
в ядрах U238. Представим собе, что то же самое количество урана
распределено в земедлнтеле не равномерно, а в виде кусков или
блоков макроскопических размеров. Посмотрим, как изменятся
условия резонансного захвата при таком распределении урапа*).
Предположим, что нейтрон с энергией, весьма близкой к резо-
нансной, попадает на урановый блок и пе поглощается в первых
слоях. Опишем его дальнейшую судьбу, следуя Ферми: «эффек-
тивное сечение резонансного поглощения является весьма бы-
стро меняющейся функцией в соответствии с формулой Брейта—
Вигнера. Поэтому если мы распределим уран не равномерно,
а в виде отдельных крупных блоков, то можно ожидать, что уран,
находящийся внутри блока, будет экранирован тонким поверх-
ностным слоем от воздействия нейтронов, энергия которых лежит
близко к резонансной энергии. Поэтому резонансное поглоще-
ние нейтронов ядрами урана, лежащими внутри блока, оказы-
вается значительно меньшим, чем резонансное поглощение изоли-
рованным атомом. Ясно, конечно, что наряду с уменьшенном ре-
зонансного поглощения уменьшается также и захват тепловых
нейтронов в уране.
Однако теоретические расчёты и опыт показывают, что при
определённых размерах блоков выигрыш, получаемый от сниже-
ния потерь нейтронов на резонансный захват, перекрывает соот-
ветствующую потерю от уменьшения захвата тепловых нейтронов.
Типичной структурой является решётка из урановых блоков,
вставленных в массу графита. Решётка может, например, пред-
ставлять решётку из урановых стержней или кубическую ре-
шётку из кусков урана. Первый способ расположения является
несколько менее выгодным с точки зрения поглощения нейтронов,
но зачастую имеет ряд практических преимуществ, так как он поз-
воляет легче решить проблему отвода тепла, выделяющегося
в котле.
В дальнейшем мы, однако, будем рассматривать лпшь куби-
ческую решётку»**).
*) Подробнее см. А.’Ахиезер и И. Померан чу к, Некоторые
вопросы теории ядра, стр. 335 и след., Гостехиздат, 1950.
**) Э. Фер м и, Элементарная теория котлов с цепными ядерными ре-
акциями, Успехи физических наук, т. XXXII, стр. 57, 1947.
§312] ПРИМЕНЕНИЕ ЗАМЕДЛИТЕЛЯ. ЯДЕРНЫЕ РЕАКТОРЫ (КОТЛЫ) 631
До сих пор мы рассматривали условия, возникновения цепной
реакции в бесконечно протяжённой среде. Фактически, однако,
размеры размножающей среды являются всегда ограниченными.
Такую реальную размножающую среду, состоящую из смеси
урана и замедлителя, называют урановым котлом, ила ядерным
реактором. Наличие границ существенно отражается на ба-
лансе нейтронов в цепной реакции, так как появляется новый
источник потерь нейтронов, вылетающих через стенки наружу
и безвозвратно выходящих при этом из игры. Чем меньше размеры
котла, тем больше отношение его поверхности к объёму. Количе-
ство нейтронов, покидающих котёл, пропорционально его поверх-
ности, тогда как число нейтронов, возникающих в нём, пропор-
ционально объёму. Поэтому при очень малых размерах котла
число нейтронов, покидающих котёл, будет относительно настоль-
ко велико, что нарастающая цепная реакция итти не сможет.
По мере увеличения размеров котла относительная роль ней-
тронов, теряемых в результате вылета их из котла, снижается.
При некоторых размерах котла, получивших название критиче-
ских размеров, количество нейтронов, уходящих из котла, в точ-
ности компенсируется числом нейтронов, возникающих в нём
благодаря реакции деления. В этом случае мы приходим к неко-
торому стационарному режиму работы котла, когда число ней-
тронов в нём остаётся постоянным на любом заданном по произволу
уровне. Последнее означает, что для установления стационарного
режима котла существенно не абсолютное число нейтронов, имею-
щееся в котле, а лишь прирост его в результате ядерных реакций.
Стационарное состояние наступает тогда, когда компенсируется
этот прирост. Компенсация может наступить при любом полном
числе нейтронов, содержащихся в котле.
Расчёты показывают, что критические размеры котла кубиче-
ской формы определяются соотношением
D— ___к__
(312,1)
где D — размер стороны котла, L — средняя длина пути, прохо-
димого нейтроном в размножающей среде от момента рождения
его в процессе деления до захвата каким-либо ядром, и к — коэф-
фициент размножения.
Из формулы (312,1) мы видим, что критический размер котла
очень резко изменяется с коэффициентом размножения к, если
последний имеет значение, близкое к единице. На практике умень-
шение размеров котла является весьма существенным. Подстав-
ляя типичные цифры для L и к, заимствованные из статьи Ферми
(L = 350 см, &=1,06), находим, что критический размер котла со-
ставляет около 10 м.
632 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. ХХШ
Приведём в заключение для примера краткое описание одного
из действующих небольших котлов, построенных для экспери-
ментальных целей*).
«Решётка котла имеет неоднородную структуру. Поскольку
в момент его пуска имелось недостаточное количество метал-
лического урана, металлический уран помещён лишь в централь-
ной части котла. В периферических частях котла металлический
уран заменён окисью урана.
Режим работы котла регистрируется с помощью ионизацион-
ных камер, наполненных ВР3 и соединённых с усилителями или
гальванометрами. Поскольку в котле нет системы охлаждения,
его мощность ограничена необходимостью поддержания доста-
точно низкой температуры. Котёл может неограниченно долго
работать с мощностью 2 k\V. Однако он часто на короткое время,
порядка часа или двух, запускается на мощность около 100 kW.
Для исследовательских работ с нейтронами часто используется
колонна из графита размером 1,5 х 1,5 м, сооружённая вверху
котла и экранированная со всех сторон. Нейтроны диффундируют
из котла в колонну, в которой быстро замедляются до тепловой
энергии. Практически все нейтроны в колонне на расстоянии все-
го нескольких десятков сантиметров над верхушкой котла явля-
ются уже чисто тепловыми нейтронами.
Котёл снабжён также рядом отверстий в защите и выдвигаю-
щимися графитовыми стержнями, позволяющими исследовать
процессы внутри котла или вводить в него образцы для облуче-
ния их нейтронами.
Когда котёл работает на мощности 100 kW, поток нейтронов
в центре составляет около 4 • 1010 Р^Р011013.
х	с.и- • сек
§ 313. Получение плутония. Применения ядерной энергии
При рассмотрении механизма развития цепной реакции в кот-
ле мы считали, что нейтроны, выходящие из реакции в резуль-
тате захвата, являются бесполезно затраченными. В действитель-
ности, однако, это не вполне точно. Те нейтроны, которые погло-
щаются в углероде, в различных химических примесях или в ве-
ществах, вводимых в котёл по техническим причинам (см. ниже),
действительно пропадают совершенно бесполезно. Иная судьба
ожидает нейтроны, которые поглощаются ядрами урана U238. Как
мы уже знаем (см. § 310), в результате захвата нейтрона ядром
U238 и последующего двукратного p-распада ядро U238 цревращает-
ся в ядро Ри239. Замечательной особенностью последнего являет-
ся то, что его ядерные характеристики весьма близки к характо-
Э. Ферм и, цитированная работа.
§ 313] ПОЛУЧЕНИЕ ПЛУТОНИЯ. ПРИМЕНЕНИЯ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ 633
рцстикам U235. Как и ядра U235, ядра Ри239 при захвате медленных
нейтронов испытывают деление.
Таким образом, в результате захвата части нейтронов возни-
кает делящееся вещество —Ри239, имеющее важное преимущество
перед U235. Это преимущество состоит в том, что новое вещество
плутоний, есть элемент, отличный от урана, ввиду чего химические
свойства плутония отличаются от свойств урана, в массе которо-
го он возникает. Благодаря этому отделение плутония от урана
и получение делящегося вещества в чистом виде представляют
задачу, несравненно более лёгкую, чем разделение изотопов.
Итак, в ходе работы котла часть U235 подвергается делению
и исчезает. Взамен исчезнувшего U235 возникает некоторое коли-
чество ядер нового делящегося вещества, плутония, и, кроме того,
происходит выделение энергии. Количество плутония, образую-
щегося в котле, пропорционально числу нейтронов, захваченных
ядрами U238; последнее же в свою очередь пропорционально
полному числу нейтронов, участвующих в цепной реакции. По-
этому чем интенсивнее развивается реакция, тем больше плутония
можно получить взамен U235. По прошествии некоторого времени
работы котла урановые стержни извлекаются и подвергаются
сложной химической переработке, в ходе которой плутоний отде-
ляется от урана.
Сложность химической процедуры отделения плутония от ура-
на связана с двумя обстоятельствами. Первое состоит в том, что
в массе урана наряду с плутонием содержится большое количест-
во ядер-осколков деления U235. Эти осколки сильно радиоактивны,
вследствие чего уран, извлечённый из котла, обладает настолько
высокой радиоактивностью, что приблизиться к нему на малое
расстояние невозможно. Все операции с этим ураном должны про-
изводиться на значительном расстоянии дистанционным спосо-
бом. Это относится, в частности, и к процессу выделения плуто-
ния из массы урана. Трудность усугубляется ещё п тем, что
в химическом отношении плутоний весьма сходен с ураном. В
самом деле, в § 310 мы видели, что тяжёлые элементы, начиная
с актиния, образуют вторую редкоземельную группу с заполняю-
щейся внутренней оболочкой 5/—группу актинидов, ввиду чего
разделение этих элементов, как и в случае лантанидов, пред-
ставляет собой трудную химическую задачу. Совокупность этих
двух обстоятельств — сильной радиоактивности урана, извлекае-
мого из котла, и химической близости урана и плутония — делает
технологический процесс отделения плутония от урана весьма
сложным.
В чистом делящемся веществе, т. е. без использования замед-
лителя, возможно получение цепной реакции взрывного типа,
развивающейся с огромной скоростью. В этом случае, как и в
котле, число возникающих нейтронов пропорционально объёму
634 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
делящегося вещества, тогда как число нейтронов, уходящих из
вещества, пропорционально его поверхности. Поэтому для раз-
вития цепного процесса необходимо, чтобы размеры системы
были не меньше определённой критической величины. Однако
отсутствие замедлителя приводит к существенному снижению
критических размеров системы. Система из чистого делящегося
вещества, в которой происходит быстро развивающаяся цепная
реакция, есть атомная бомба.
Использование энергии, деления урана или плутония для со-
здания атомной бомбы было первым применением атомной энер-
гии в большом масштабе. Применение её для мирных целей, помимо
использования в качество взрывчатого вещества, возможно в
двух направлениях:
1) в сравнительно узком направлении искусственного полу-
чения радиоактивных веществ для различных исследовательских
и промышленных целей. Как мы знаем, все ядра, захватывающие
нейтроны, оказываются радиоактивными. Поэтому в принципе
можно получить любое радиоактивное вещество, подвергая соот-
ветствующий элемент облучению нейтронами, имеющимися в кот-
ле в огромном количестве. Процесс этот по существу ничем не от-
личается от получения радиоизотопов с помощью ядерных реак-
ций, осуществляемых, например, с циклотроном. Однако только
использование котлов позволяет получать радиоизотопы в боль-
ших количествах. Эти изотопы имеют многочисленные и разно-
образные применения в химии, биологии, медицине и ряде дру-
гих областей. Вводя в часть молекул того или иного вещества
радиоактивные изотопы (например, заменяя в некоторых молеку-
лах стабильный углерод радиоактивными изотопами С11 или С14),
можно проследить за судьбой данного вещества, введённого в
организм животного или в растение. Таким путём получены
ценные результаты при исследовании механизма фотосинтеза,
при изучении обмена фосфора в живом организме и т. д.*);
2) в направлении использования энергии, развивающейся в
котле, для промышленных целей.
Преимущества ядерной энергии обусловлены следующими её
свойствами:
1)	малые количества горючего, необходимые для получения
тепловой энергии;
2)	независимость от источника кислорода или другого окис-
ляющего вещества;
3)	потенциально большая энергия на единицу веса.
Для иллюстрации к пункту 1 заимствуем из статьи Гудмэна
следующие цифровые данные: для силовой установки мощностью
*) См., например, С. Е. Бреслер, Радиоактивные элементы, Гостех-
издат, 1949; М. Камен, Радиоактивные индикаторы в биологии, ИЛ, 1948.
§313] ПОЛУЧЕНИЕ ПЛУТОНИЯ. ПРИМЕНЕНИЯ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ 635
в 100 000 лошадиных сил, при к. и. д. использования тепловой
энергии, развиваемой в котле 25% расход U235 составляет около
350 г в день, при к. п. д. 100% — всего 75 г в день. Пункт 2 не ну-
ждается в пояснениях. Что же касается преимущества, указанного
в пункте 3, то необходимо помнить, что в процессе работы
любой установки, использующей ядерную энергию, освобождает-
ся большое количество сильно проникающих излучений, вредных
для здоровья. Поэтому для использования преимущества большой
концентрации энергии необходима разработка энергетических ус-
тановок, управляемых на расстоянии, или компактных лёгких
защит.
Наконец, чрезвычайно важной особенностью ядерной энер-
гии является возможность получения её при очень высокой тем-
пературе и вытекающая отсюда принципиальная возможность
получения коэффициентов полезного действия, практически рав-
ных 100%. Заимствуем по этому поводу из статьи Гудмена*)
следующие соображения:
«В действительности не существует практического предела
для температур, достижимых в процессе деления, что очевидно
из «звёздных» температур атомных бомб. Из элементарной термо-
динамики следует, что осколки при делении разлетаются со ско-
ростями, соответствующими температуре в несколько миллиар-
дов градусов:
кинетическая энергия —	~ кТ —
= | • 1,38 • 10-1*5 • 7-1,6 • 10-°Е, (313,1)
следовательно,
7 = 7,8 . 109£ (Е —в MeV, 7-в градусах К). (313,2)
Наиболее вероятные величины Е для осколков деления U235 равны
97 MeV для лёгкого и 65 MeV для тяжёлого. Таким образом, энер-
гия деления освобождается при очень низком уровне энтропии
л о
= ».
Однако реализация этого преимущества связана с некоторыми
затруднениями, имеющими, впрочем, характер лишь техниче-
ский, но не принципиальный.
История науки показывает, что от научного открытия, в ко-
тором заложены возможности технического использования, до
создания новой области техники должен быть пройден длинный
путь. Этот путь, однако, в данном случае, несомненно, будет
*) «Научные и технические основы ядерной энергетики», т. I, стр. 247,
ИЛ, 1948.
636 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
пройден в гораздо более короткий промежуток времени, нежели
это имело место до сих пор в других областях техники.
Основанием для такой уверенности служит позиция Советского
Союза в вопросе об использовании атомной энергии. Советский
Союз давно раскрыл «секрет» атомного оружия и, как сказано в
сообщении ТАСС от 25 сентября 1949 г., имел его ещё в 1947 г.
Однако в противоположность американским империалистам, кото-
рые хотят использовать атомную энергию только в военных целях,
для уничтожения десятков и сотен тысяч мирных жителей, и
пытаются угрожать применением атомных бомб с целью запугива-
ния и шантажа,—Советский Союз, имея атомное оружие как
средство защиты в случае нападения на него со стороны агрес-
соров, продолжает вести последовательную борьбу за мир, за
запрещение атомного оружия и применение атомной энергии толь-
ко в мирных целях. «Советский Союз,—сказал товарищ И. В. Сталин
в ответе корреспонденту «Правды»,—стоит за воспрещение атом-
ного оружия и за прекращение производства атомного оружия.
Советский Союз стоит за установление международного контроля
над тем, чтобы решение о запрещении атомного оружия, о пре-
кращении производства атомного оружия и об использовании уже
произведённых атомных бомб исключительно для гражданских
целой—выполнялось со всей точностью и добросовестностью.
Советский Союз стоит именно за такой международный контроль»*).
§ 314. Роль ядерной энергии в природе
Ядерные процессы как источник огромных количеств энергии
играют выдающуюся роль в жизни вселённой. Источник энергии
звёзд долгое время оставался загадочным. Проблему можно фор-
мулировать следующим образом: известно, что звёзды (в том
числе и солнце) ежесекундно излучают в пространство громадные
количества энергии. Это излучение ведёт к соответствующей по-
тере энергии, и если бы энергия не пополнялась, то было бы непо-
нятно, каким образом через несколько миллиардов лет после
своего образования солнце ещё могло бы излучать столь значи-
тельные количества энергии. Задача, следовательно, состоит
в отыскании источников, за счёт которых пополняется энер-
гия звёзд.
В XIX столетии никаких источников, кроме потенциальной
энергии гравитации, известно не было. Поэтому единственной ра-
зумной теорией в то время была теория Гельмгольца—Кельвина,
согласно которой энергия звёзд пополняется за счёт их сжатия. Од-
пако этот источник крайне недостаточен. В самом деле, если счи-
*) «Правда», 6 октября 1951 г.
§ 314]
РОЛЬ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ В ПРИРОДЕ
637
тать, что энергия солнца пополняется только за счёт сжатия, то
для его возраста получается цифра всего в 20 миллионов лет.
Между тем данные геологии показывают, что возраст земной коры
равен 2 • 109 лет. Из этого следует, что хотя сжатие в нормальных
звёздах, несомненно, существует, оно доставляет лишь очень ма-
лую часть излучаемой солнцем и звёздами энергии и ни в коем
случае не могло бы предохранить их от остывания.
В настоящее время ясно, что весьма существенным, а может
быть, и главным источником энергии звёзд являются ядерные
процессы, происходящие в центральных частях звёзд. Это застав-
лет нас обсудить вопрос о том, какие именно ядерные процессы
могут происходить при условиях, имеющих место внутри звезды.
Для этого необходимо прежде всего сопоставить современные
данные относительно температур и давлений, господствующих в
центральных частях звёзд. Эти данные таковы:
Таблица LXV
Звезда		R/R® *)	Давле- ние в апъм	Плот- ность в г-см~3	Темпера- тура в °К
Солнце 		1,0	1,0	1-10“	76	19-Ю6
Сириус 		2,4	1,7	1 • 1011	41	26-Ю8
Капелла 		4,2	13	8-107	0,16	6-Ю8
U Ophiuchi ....	5,4	3,2	3-1010	12	25-108
Y Лебедя		17	5,9	ЗЛО10	6,5	32-108
Мы видим, что у приведённых в списке звёзд, принадлежащих
к так называемому главному ряду, температура центральных
частей измеряется десятками миллионов градусов. Исключением
является Капелла (Т = 6- 108оК), принадлежащая к числу звёзд-
гигантов, которые занимают особое положение.
Задача, таким образом, состоит в рассмотрении вопроса о том,
какие ядерные реакции могут иттп сами собой при температуре
20 миллионов градусов в газообразной массе звезды. Условия
здесь в некоторых отношениях существенно отличаются от тех,
с которыми мы имеем дело при возбуждении ядерных реакций бы-
стрыми частицами, получаемыми в ускорителях. Там обычно по-
лучаются частицы с энергиями от нескольких MeV до нескольких
сотен MeV, но число этих частиц относительно очень мало. Наобо-
рот, в одноатомном газе, нагретом до 2 • 107 градуса, средняя энер-
*) M/Mq и R/R®— отношения массы и радиуса звезды к массе и ра-
диусу Солнца.
638 ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
гия частиц составляет всего *) 2 keV = 2 • 10-3 MeV, но зато число
частиц, а следовательно, и число соударений в единицу времени
очень велики. Речь идёт, следовательно, о ходе ядерных реакций
в условиях, напоминающих темповые химические реакции, но
только при очень высоких температурах. Как мы уже упоминали
в § 305, зависимость скорости реакции от температуры опреде-
ляется энергией активации данной реакции. Рассмотрим, напри-
мер, реакцию
3Li7+ 1Н* 1 = 22Не4.
Если мы не будем учитывать возможности проникновения протонов
в ядро путём туннельного перехода, то высота потенциального
барьера 3Li7, очевидно, и определит энергию активации реакции.
Эту высоту можно вычислить по формуле
Б = 0,76 z Z2/a MeV,	(314,1)
где z—заряд ядра протона, т. е. 1,Z—заряд ядра, с которым протон
вступает в реакцию, т. е. в данном случае 3. По формуле (314,1)
находим
В = 1,6 MeV.
Если бы все частицы газа обладали энергией, равной средней
энергии, то рассматриваемая реакция могла бы возникать только
при температуре 1,6 • 106 • 104 = 1,6 • 1010 градуса, но при этой
температуре происходила бы мгновенно.
На самом деле мы пока оставляли в стороне два важных фак-
тора: максвелловское распределение скоростей и проникновение
через потенциальный барьер.
Благодаря максвелловскому распределению при каждой темпе-
ратуре существует некоторое число частиц со скоростями,
значительно превосходящими среднюю скорость при данной тем-
пературе. Именно этим объсняется то, что, хотя энергия возбужде-
ния атомов натрия около 2eV^20000°. мы легко можем получить
жёлтое свечение паров натрия с помощью газовой горелки при
температуре 2000—3000°. В силу максвелловского закона число
частиц с энергией, превосходящей среднюю при данной темпера-
туре, убывает с увеличением энергии по экспоненциальному
закону.
Другой важнейший факт, не принятый нами во внимание,
есть проникновение частицы в ядро сквозь барьер путём туннель-
ного перехода.
*) Температуру газа, средняя энергия атомов которого равна 1 eV,
легко найти из соотношения кТ~ 1,6 • 40-12 эрг, откуда
1 6 • 10-12
Т=\ 38 • 10-1<» = 1,16 ' 104 ПЛИ гРУбо — 104ОК.
§314]	РОЛЬ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ В ПРИРОДЕ	639'
В самом деле, хорошо известно, что, хотя высота потенциаль-
ного барьера Li7 равна 1 MeV, реакция Li7 (р, 2а) идёт уже при
энергии протонов, меньшей 0,2 MeV.
Оба указанных факта, т. е. максвелловское распределение и
проникновение через барьер, резко снижают требования к темпе-
ратуре, при которой «тепловая ядериая реакция» будет итти
с заметной скоростью. Бете вывел формулу для числа про-
цессов, заканчивающихся ядерной реакцией, в газе с максвел-
ловским распределением скоростей. Эту формулу он положил
в основу подробного обсуждения ядерных реакций, которые могут
итти при стандартных условиях внутри звезды (температура
20 миллионов градусов, плотность р = 80 а • слг3). Формула эта
довольно сложна, и мы её не будем выписывать, но рассмотрим
следствия, к которым она приводит.
Пусть имеется газ, состоящий пз ядер двух сортов: лёгких
ядер 1 и более тяжёлых ядер 2. Формула позволяет вычислить
вероятность w того, что при концентрациях хг и х2 (по весу)
обоих сортов частиц и при указанных выше стандартных условиях
(Г = 20- 106, р = 80) ядро сорта 2 испытает реакцию с любым
ядром сорта 1, сопровождающуюся захватом последнего. Очевидно,
что если не существует других реакций, разрушающих или произ-
водящих ядра 2, то обратная величина 1/w будет средней продол-
жительностью жизни ядра 2 в звезде. Бете вычислил эти средние
продолжительности жизни для ряда реакций, где ядром 1 служит
ядро водорода. В таблице LXVI приведены результаты этих вычи-
слений: во втором столбце указаны величины энергии, освобо-
ждаемой при реакции, в тысячных долях единицы массы (для
перевода в MeV нужно умножать эти цифры на 0,931); в последнем
столбце даны средние продолжительности жизни различных ядер,
вычисленные в предположении, что р = 80 и концентрация водо-
рода хх = 35%, что соответствует астрофизическим данным.
В конце таблицы приведены для сравнения вероятности реак-
ции с ядрами гелия. Как видно, эти вероятности очень малы по
причине большей массы и большего заряда а-частицы. Интересно
отметить, с другой стороны, что реакция
2Не4 + jH1 —> 3Li5
обладает высокой степенью вероятности. Если бы такая реакция
шла на солнце, то весь его гелий «сгорел» бы приблизительно
в 6 дней. Так как гелий на самом деле на солнце имеется, то это
указывает на то, что изотоп лития Li5 существовать не может.
Это вполне подтверждается всеми данными ядерной физики.
Рассмотрение последнего столбца таблицы показывает, что,
за исключением водорода, времена жизни лёгких элементов вплоть
до бора очень малы (от долей секунды в случае Н3 до 2000 лет
640
ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
Таблица LXVI. Вероятность ядерных реакций при 2-107
градусах
Реакция	Q	P (сек."1)	Средняя продолжи- тельность жизни
Н1 н-Hi = П2 + (Р .... D2 +Н1 =Не3 . . IP H-Hi =IIe4 .	... Li6 +H1 =Не1Ч-Не3 . . . Li7 + hi =2He4	 Be9 4-H1 ==Li6-pHe4 . Bu -j-П1 =3IIe4	 G13 +Hl =N14	 Q12 +H1 =N13	 N14 +H1 =0^	 Nls -pH1 =G12+He4 . . . Oie +Hi =F17	 Mg26_|_Hl =AP7	 He3 +He4=Be7	 Be7 +He4=Gu ......	1,53 . 5,9 21,3 4,1 18,6 2,4 9,4 8,2 2,0 7,8 5,2 0,5 8,0 1,6 8,0	8,5-10~21 1,3-iO"2 1,7-Ю'1 7•10-3 6-10~4 6-IO'13 1,2-iO’7 2-IO'14 4-10-16 2-10~17 5-10~13 8-Ю-22 Ю-26 3-10~17 3. Ю-30	1,2-1011 лет 2 сек. 0,2 сек. 6 дней 1 мин. 2000 лет 3 дня 5 • 104 лет 2,5-106 лет 5-107 лет 2000 лет 1012 лет 1017 лет 3 • 107 лет 3-102° лет
в случае Be9). Отсюда следует, что все ядра между II и С, особенно
D2, Н3, Li6, Li7, Вс9 и В11, могут существовать внутри звёзд лишь в
тех количествах, в каких они доставляются другими ядерными реак-
циями, происходящими в этих звёздах. Далее необходимо отметить,
что продолжительности жизни углерода и азота значительно больше
приведённых в таблице, так как эти элементы возрождаются в
цепной ядерной реакции, о которой речь будет ниже. Истинная
продолжительность жизни углерода и азота порядка 1012, а быть
может, и 1020 лет. Во всяком случае она велика по сравнению
с «возрастом» солнца.
Из сказанного следует, что единственная ядерная реакция между
элементами легче углерода, которая могла бы поддерживать энергию
звёзд, и не вела бы к слишком быстрому сгоранию вещества, есть
реакция между двумя протонами с образованием дейтерона
+	(314,2)
Время жизни водорода, участвующего в этой реакции, достаточно ве-
лико (1,2 • 1011 лет), а развиваемая ею теплота, равная 2,2 эрг[г>сек,
при стандартных условиях (7' = 2« 107, р —80, содержание водо-
рода 35%) как раз покрывает расход энергии солнца (2 эрг/г-сек).
Это даёт возможность считать, что образование более тяжёлых
элементов должно было начинаться с реакции (314,2). Возникший
§ 314]	РОЛЬ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ В ПРИРОДЕ	641
дейтерон должен немедленно захватить следующий протон с обра-
зованием Пе3:
TD2 ч- JI1 2Не3,
так как время жизни дейтерона, как видно из таблицы, всего 2 сек.
Подробное рассмотрение процессов, следующих за образованием
Не3, приводит к заключению, что возникновение ядер, более
тяжёлых, чем Не3, в высшей степени маловероятно. Так, напри-
мер, можно ожидать, что возникнет одно ядро С12 на 1024 а-частиц
и 1 нейтрон на 1024 а-частиц, если ядро Li4 неустойчиво, или
одно ядро С12 па 1034 а-частиц и 1 нейтрон на 107 а-частиц, если
ядро Li4 устойчиво. Причина этого состоит в том, что любое из
перадиоактпвных ядер между Н и С, т. е. Li6, Li7, Be9 и В11,
при реакции с неизмеримо большей вероятностью ведёт к образо-
ванию а-частиц, нежели к захвату протона с образованием более
тяжёлых ядер.
Итак, соударения с протонами ведут в конечном счёте к обра-
зованию а-частиц, т. е. гелия. Поэтому для возникновения более
тяжёлых ядер необходимы соударения самих а-частиц. Но соуда-
рения а-частицы с протоном или другой а-частицей ведут к неустой-
чивым ядрам:
2Не4-р jH1 —>3Li5,
2Не4 -I- 2Не4~^4Вс8.
Поэтому для образования более тяжёлых ядер необходимы трой-
ные соударения, например,
2Пе4+ 2J-I1—>4Вес,
22Пе4+1Н1 -»5В9,
32Не4—>сС12.
Однако ядро Be6 заведомо неустойчиво; ядро В9 также неустой-
чиво. Что же касается образования ядер 6С12 путём соударения
трёх а-частиц, то ввиду того, что для проникновения третьей
а-частицы ей нужно преодолеть очень высокий потенциальный
барьер, эта реакция при температуре 2 . 107 градусов крайне мало-
вероятна.
Окончательный вывод состоит в том, что при современных
условиях внутри известных нам звёзд образование ядер тяжелее
Пе4 в сколько-нибудь заметных количествах совершенно неправдо-
подобно. Тяжёлые элементы должны были возникнуть на более
ранних этапах эволюции вселенной. Из этого следует далее, что
поддержание энергии звёзд возможно только благодаря ядерным
реакциям, ведущим тем или иным путём к образованию а-частицы
за счёт четырёх протонов. Таких путей имеется два. Первый откры-
вается реакцией
(314,2)

642
ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АТОМНОП ЭНЕРГИИ [гл. XXIII
а возникший дейтерон последовательными захватами дальнейших
протонов в конце концов даёт а-частпцу. Для того чтобы эта реак-
ция доставляла количество энергии, равное 2 эрг!г-сек, темпе-
ратура внутри звезды должна составлять всего 360 000°. Обсу-
ждение астрономических фактов показывает, что реакция (314,2),
вероятно, покрывает расход тепла в слабых звёздах с низкой цен-
тральной температурой.
Другой путь для возникновения а-частиц связан с так назы-
ваемым углеродно-азотным циклом, детально исследованным Бете.
Этот цикл предствляст собой следующую цепную реакцию:
6С12 + jH1 —»7N13 + Ау,
7N13-»6C13 + p\
6C13 + 1H1-»7N14 + ^v,
so15 -> 7n15 + p-,
7N15-J-гНх —> 6C12 2Ho4.
(314,3)
Цикл начинается реакцией С12 с протоном и ведёт в коночном
счёте к образованию одного ядра Не4 из четырёх протонов (с про-
межуточным испусканием двух позитронов). Замечательно при
этом, что в последнем звене цепи ядро CJ2 вновь возрождается:
углерод не потребляется, но служит своего рода катализатором.
Оценка сравнительной вероятности реакции (31'4,2) и углеродпо-
азотного цикла показывает, что при низких температурах внутри
звёзд более вероятна реакция (314,2), а при температуре 2 • 107
градусов вероятнее углеродно-азотпый цикл. В следующей таб-
лице приведено сравнение с астрономическими данными для пяти
звёзд. Сравнение последнего столбца с предпоследним обнаруживает
Таблица LXVII. Сравнение углеродио-азотного цикла с наблюдениями
Звезда	Свети- мость эргрг -сек	Плот- ность в центре	Содер- жание 11 в %	Центральные температуры	
				астрофи- зиче- ские	углеродно- азотпый цикл
Солнце .....	2,0	76	35	19	18,5
Сириус А ...	30	41	35	2С>	22
Капелла ....	50	0,16	35	6	32
U Змееносца . .	180	12	50	25	26
Y Лебедя . . . .	1200	6,5	80	32	30
§ 31.'1J	РОЛЬ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ В ПРИРОДЕ	643
весьма удовлетворительное согласие результатов вычисления
на основании углеродно-азотного цикла с астрофизическими дан-
ными. Значительное расхождение имеется только в случае Ка-
неллы. Эта звезда принадлежит к числу гигантов; её плотность
в центральных частях — всего 0,16, а температура 6 • 106 граду-
сов. Поэтому здесь возможны только ядерные реакции, идущие
при низких температурах. Например, достаточную энергию дала
бы реакпия 3Li7-р iH1 —> 22Не4. Однако непонятно, почему в ги-
гантах литий должен образовываться прежде всего и почему
он до сих пор полностью не «сгорел». Проблема происхождения
энергии звёзд-гигантов не может считаться решённой.
ГЛАВА XXIV
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
§ 315.	Введение
Космические лучи и явления, возникающие при их прохожде-
нии через вещество, представляют собой комплекс важнейших
проблем современной физики. В течение последних 20—25 лот
эта область привлекает к себе напряжённое внимание исследова-
телей. Особенно широкий размах исследования космических лу-
чей получили в послевоенные годы в связи с развитием ряда новых
экспериментальных методов наблюдения быстрых частиц.
Космические лучи представляют собой приходящий из миро-
вого пространства поток заряженных частиц огромной энергии.
Попадая в воздушную атмосферу Земли, первичные космические
лучп, приходящие из мирового пространства, поглощаются в верх-
них слоях атмосферы. При этом возникают вторичные космиче-
ские лучи, состоящие из двух компонент — мягкой и жёсткой.
Жёсткая компонента обладает большой проникающей способно-
стью: она пронизывает всю толщу земной атмосферы и составляет
основную часть космических лучей, наблюдаемых на уровне моря
и под большими слоями грунта или воды.
При исследовании космических лучей возникают в первую
очередь следующие проблемы:
1.	Каков состав и энергетический спектр первичных космиче-
ских лучей?
2.	Какие явления вызывают первичные космические лучп
в воздушной атмосфере Земли, каков состав и спектр вторичных
космических лучей?
3.	Где во вселенной возникают первичные космические лучи
и каков механизм ускорения, сообщающий пм характерные для
них огромные энергии?
Первый вопрос (о составе и спектре первичного космического
излучения) в настоящее время в общих чертах решён. Известно,
что первичные космические лучи состоят из быстрых протонов,
а-частиц и незначительного количества более тяжёлых ядер, обла-
дающих огромной энергией. Так, в наших широтах минималь-
§ 316]
ОСНОВНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
645
ная энергия первичных протонов равна примерно 150 MeV.
Прохождение первичных космических лучей через воздушную
оболочку Земли представляет собой как бы осуществлённый самой
природой в огромном масштабе опыт по изучению взаимодей-
ствия очень быстрых ядерных частиц с веществом. В этом —
объяснение тех усилий, которые были затрачены на получение
ответа па второй из поставленных вопросов.
Первичные космические лучи вызывают расщепление ядер ато-
мов воздуха, с которыми они сталкиваются. При таких расщеплениях
возникают вторичные протоны, нейтроны и к-мезоны (см. § 246) боль-
шой энергии. Так как энергия этих вторичных частиц достаточно
велика, то они в свою очередь могут вызывать новые расщепления
ядер и т. д. Таким образом создаётся каскадно-ядерный процесс,
в котором энергия первичной частицы распределяется между боль-
шим числом вторичных частиц. Возникшие в этих процессах
•п-мезоны (и мезоны других типов) нестабильны — они распадаются,
пе успевая далеко уйти от места своего зарождения. При распаде
заряженных тс-мезонов возникают ц-мезоны и нейтрино, а при
распаде нейтральных -тс-мезонов— у-кванты. р-мезоны также не-
стабильны и распадаются на электроны и нейтрино. Распад г-мезо-
нов даёт начало двум компонентам вторичных космических лучей—
мягкой и жёсткой, между которыми примерно поровну распре-
делена энергия космических лучей. Мягкая компонента создаётся
в результате каскадного размножения в атмосфере у-квантов и
электронов, возникших при распаде нейтральных к-мезонов и <л-ме-
зонов; жёсткая компонента состоит в основном из [л-мезонов.
По мере перехода в нижние слои атмосферы мягкая компонента
поглощается сильнее жёсткой, и относительная интенсивность
жёсткой, проникающей, компоненты возрастает: так, на уровне
моря примерно 2/з всех космических лучей представляют собой
быстрые [л-мозопы. Такова в самых общих чертах картина образо-
вания двух вторичных компонент космических лучей, возникаю-
щих в атмосфере под действием первичного излучения.
Что касается последнего вопроса об источнике космических
лучей п механизме их ускорения, то по этому поводу в настоящее
время существуют лишь более или менее обоснованные гипотезы
п начинается накопление экспериментальных фактов, которые
в скором времени, повидимому, позволят ответить и па этот вопрос,
§ 316.	Основные экспериментальные данные
Первые исследования космических лучей относятся к 1901 г.,
когда было установлено, что сухой воздух в совершенно зам-
кнутом пространстве всегда слабо ионизован, даже после того,
как заключавшиеся в нём в ничтожных количествах радиоактив-
ные вещества совершенно исчезают путём распада. Ионизация
646
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
значительно уменьшается, но не исчезает, если окружить замкну-
тый сосуд свинцовыми экранами толщиной в 2,5 см. Из этого сле-
дует, что по крайней мере часть ионизации внутри сосуда вызы-
вается излучением, которое наподобие у-лучей обладает способ-
ностью проходить сквозь толстые слои вещества. Вначале было
высказано предположение, что источником этого излучения яв-
ляются радиоактивные вещества, имеющиеся всегда в небольших
количествах в почве, горных породах и т. д. Для проверки этой
гипотезы сначала Гокколем (1910—1911), а затем Гессом (1911 —
1912) была измерена интенсивность ионизации при поднятии на
воздушных шарах вплоть до высоты 5000 м. Результат оказался
неожиданным: при подъёме на первые 1000 м ионизация действи-
тельно убывала, одпако гораздо медленнее, чем ожидалось; при
дальнейшем же подъёме она обнаруживала возрастание, которое
было особенно резким, начиная с высоты в 3000 м, а при 5000 м
интенсивность ионизации оказалась в три раза большей, чем у по-
верхности Земли. Стало ясно, что хотя часть ионизации вызы-
вается источниками, находящимися в Земле, существуют также
сильно проникающие лучи внеземного происхождения, которые
идут сверху, проходят через атмосферу и обусловливают осталь-
ную ионизацию воздуха у поверхности Земли. Этот результат был
подтверждён дальнейшими опытами Кольгерстера (1913—1915),
который поднимался с ионизационной камерой на высоты до
9200 м. Его измерения показали, что ионизационный ток на этой
высоте в 30 раз превосходит ионизационный ток на уровне моря.
Таким образом, было окончательно установлено существование
лучен, направленных от верхних слоёв атмосферы вниз, к Земле.
Эти лучи были названы космическими вследствие их внеземного
происхождения.
Изучению зависимости ионизации, создаваемой космическими
лучами, от высоты точки наблюдения над уровнем моря было по-
священо большое количество работ, производившихся па различ-
ных шпротах. Опыты эти состояли в том, что специальные иониза-
ционные каморы, снабжённые приспособлениями для автомати-
ческой записи, поднимали на большие высоты на воздушных
шарах.
На рпс. 424 показано изменение ионизации с высотой. По оси
абсцисс отложена величина атмосферного давления, ио осп
ординат—приведённое к атмосферному давлению число ионов
в см*1сек.
Заметим, так как это неоднократно понадобится нам в дальней-
шем, что если бы плотность воздуха не менялась с высотой, а всю-
ду имела бы значение 1,225 10~3 г[см?, равное плотности воздуха
на уровне моря, то давление в 760 мм Hg создавалось бы слоем
воздуха в 8 км. Такой слой воздуха по количеству вещества экви-
валентен 10-метровому слою воды, и приближённо высота z вад
§ 316]
ОСНОВНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
647
уровнем моря в километрах связана с давлением х, выраженным
в г{см~, соотношением
х- - 1030 е 8 ,
т. о. приближённо
z — 55—8 In х.
Четыре кривые, приведённые па рис. 424, получепы в резуль-
тате многократных подъёмов на шарах, совершавшихся па геомаг-
нитных широтах 3° , 38° , 51° и 60°.
Гис. 424. Высотный ход интенсивности космиче-
ских лучей, снятый с помощью ионизационной
камеры на четырёх различных широтах.
Мы видим, что при поднятии вверх ионизация па всех широтах
возрастает, проходит через максимум, расположенный на высоте
около 12—16 км, и затем, при дальнейшем увеличении высоты,
падает. Наблюдаемый рост ионизации с высотой убедительным
образом доказывает, что ионизующий агент приходит сверху,
6-48	КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ	[гл. XXIV
а нс находится в земной коре. Подъёмы ночью и при солнечных
затмениях не обнаружили никакой заметной разницы в интенсив-
ности ионизации. Из этого был сделан вывод, что ионизующий
агент не исходит, невидимому, от Солнца. Оп не исходит также и от
определённых звёзд, потому что, как показали опыты, невозможно
указать на нобеегюй сфере такую точку, из которой приходило бы
больше космических лучей, чем из другой. В последние годы,
однако, получены опытные данные, говорящие, невидимому, о том,
что некоторая часть первичных космических лучей приходит от
Солнца: так, например, интенсивность тяжёлых ядер, входящих
в состав первичных космических лучей, в 2—3 раза больше днём,
чем ночью. Для протонов и а-частиц, доставляющих основную
часть первичных космических лучей, такой корреляции между ин-
тенсивностью и временем суток не обнаружено.
Из рассмотрения кривых рис. 424 следует, что ионизация, созда-
ваемая космическими лучами, сильно зависит от геомагнитной
широты места наблюдения: она меньше всего на экваторе и увели-
чивается при переходе к большим широтам.
Этот факт является непосредственным следствием отклонения
заряженных первичных космических лучей магнитным полем
Земли и будет подробно рассматриваться в следующем параграфе.
Исключительно высокая проникающая способность космиче-
ских лучей дала повод первоначально предполагать, что они пред-
ставляют собой ультражёсткие у-лучи, т. е. имеют электромагнит-
ную природу. Однако уже в 1927 г. Д. В. Скобельцын с помо-
щью камеры Вильсона, помещённой в сильное магнитное поле,
обнаружил в составе космических лучей быстрые ионизую-
щие частицы. Опыты Боте и Кольгерстера (1929), использовавших
для регистрации космических лучей метод совпадения разрядов
в двух счётчиках Гейгера—Мюллера, показали, что космические
лучи, наблюдаемые на уровне моря, представляют собой главным
образом поток заряженных частиц. Идея этих опытов такова.
Известно, что у-кванты сами пе ионизуют воздух, но вызывают
ионизацию только тогда, когда вследствие поглощения в веществе
создают быстрые электроны; напротив, достаточно быстрые ча-
стицы ионизуют на всём своём пути. Исходя из этого, Боте и
Кольгерстер поставили опыт следующим образом. Два счётчика
Гейгера—Мюллера были расположены в вертикальной плоскости
один вад другим и соединены со струнными электрометрами,
отбросы которых регистрировались на движущейся фотоплёнке.
На основании сказанного можно было ожидать, что если космиче-
ские лучи представляют собой поток частиц, то при прохождении
одной заряженной частицы через оба счётчика отбросы электрометров
должны совпадать во времени; напротив, если космические лучи
имеют электромагнитную природу, то совпадений быть не должно,
так как у-кванты должны вызывать отброс электрометра только
§316]	ОСНОВНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	649
в том случае, когда они поглощаются в стенке одного из счетчиков,
а вероятность того, что один у-квант создаст быстрые частицы в
стенках обоих счётчиков, очень мала. Опыт показал, что наблю-
дается значительное количество одновременных отбросов электро-
метров, вызываемых быстрыми частицами, проходящими через оба
счётчика. Помещая между счётчиками слои веществ различной
толщины, удалось показать, что проникающая способность этпх
частиц одинакова с прони-
кающей способностью косми-
ческих лучей. Таким образом,
для объяснения большой ча-
стоты появления совпадающих
во времени отбросов электро-
метра необходимо было пред-
положить, что почти все косми-
ческие лучи на уровне моря
состоят из заряженных частиц.
Использование двух или
нескольких счётчиков, вклю-
чённых в схемы совпадений
(см. § 251), после описанных
опытов получило широкое
распространение и стало од-
ним из основных методов
изучения космических лу-
чей. Если счётчики жёстко
скреплены между собой, то
такой прибор будет представ-
лять собой своего рода «теле-
скоп» для космических лучей.
В самом деле, так как схема
Рис. 425. Высотный ход вертикальной
интенсивности космических лучей, из-
меренный с помощью телескопа из-
счётчиков Гейгера—Мюллера на шпро-
тах 49 и 88° N.
работает только тогда, когда частица проходит через все счётчики,
то, располагая прибор в различных направлениях, можно измерить
интенсивность космических лучей, приходящих в телескоп с опре-
делённого направления. Оказалось, что максимальное число совпа-
дений получается тогда, когда телескоп направлен вертикально;
при наклоне телескопа число совпадений быстро убывает в соответ-
ствии с увеличением толщины слоя атмосферы, проходимого кос-
мическими лучами в косом направлении. При помощи такого же
прибора можно было измерить вертикальную интенсивность кос-
мических лучей на различных высотах. Опыты показали (рис. 425),
что вертикальная интенсивность быстро растёт с высотой, и при
давлении, равном примерно 100 sJcm2 (высота около 17 км), дости-
гает максимума. В ещё более высоких слоях атмосферы число
совпадений начинает быстро уменьшаться с увеличением высоты.
Это спадание, равно как и спадание ионизации с высотой, объяс-
650	КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ	[гл. XXIV
няется тем, что приборы, регистрирующие космические лучп,
регистрируют отнюдь не только первичные космические лучи,
которые приходят из мирового пространства. В действительности
первичные космические лучи создают на своём пути в атмосфере
большое количество заряженных частиц, обладающих большой
энергией и проникающей способностью, а сами быстро поглощают-
ся в верхних слоях атмосферы. Мы же наблюдаем на различных
высотах весь комплекс вторичных, третичных и т. д. лучей. Од-
нако если регистрирующие приборы находятся на достаточно
большой высоте, то первичные лучи не успевают ещё создать
большого количества вторичных, третичных и т. д. лучей. Поэтому
Рис. 426. Зависимость числа разрядов в одиночном счёт-
чике от высоты.
полная интенсивность (т. е. суммарная интенсивность всех пер-
вичных, вторичных и т. д. лучей) начинает с некоторой высоты
уменьшаться, и на самой грапице атмосферы, где вторичные ча-
стицы еще не образуются в заметном количестве, регистрируемая
интенсивность должна совпадать с интенсивностью первичных
космических лучей и оставаться постоянной при дальнейшем
подъёме. Сказанное подтверждается измерениями интенсивности
космических лучей, произведёнными в 1947 г. далеко за предела-
ми земной атмосферы, с помощью аппаратуры, размещённой в по-
лости ракетного снаряда. В качестве индикатора космических лучей
использовался одиночный счётчик Гейгера—Мюллера. Снаряд под-
нялся до высоты, равной 161 км. На рис. 426 представлена получен-
ная при этом зависимость интенсивности космического излучения от
высоты, из которой следует, что за пределами земной атмосферы,
начиная с высоты 55 км, интенсивность космических лучей остаётся
постоянной.
§ 316)	ОСНОВНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	651
Интенсивность космических лучей была измерена не только
на больших высотах, но также и под большими толщинами грунта
или воды. Первые такие опыты были проделаны в 1925 г. Л. В. Мы-
совским и Тувимом, измерившими с помощью ионизационной
камеры поглощение космических лучей в Онежском озере, около
Ленинграда. Эти опыты показали, что коэффициент поглощения
космических лучей в воде в десять раз меньше коэффициента погло-
щения жёстких у-лучей. Опыты
эти были чрезвычайно важны для
своего времени, так как между
1923—1925 гг. ряд исследова-
телей, среди которых был и Мил-
ликен, пришли к заключению,
что жёсткость космических лу-
чей, измеренная на высоте не-
скольких километров по погло-
щению в свинце, такая же, как
у обычных у-лучей, и что, сле-
довательно, космические лучи
обязаны своим происхождением
присутствию радиоактивных эле-
ментов в верхних слоях атмо-
сферы.
На рис. 427 представлены
результаты измерения интенсив-
ности космических лучей под
водой, полученные с помощью
10	100	1000м
Рпс. 427. Изменение интенсивности
космических лучей в воде в зави-
симости от глубины.
счётчиков Гейгера—Мюллера по
методу совпадений. Мы видим,
что даже на глубине 1000 м под
водой наблюдается заметное ко-
личество космических лучей. Таким образом, космические лучи
способны проникать через огромные толщи вещества.
Большое количество исследований было посвящено изучению
поглощения космических лучей в плотных веществах. Эти иссле-
дования были проведены на различных высотах—от уровня моря
до самых верхних слоёв атмосферы—и позволили выяснить, как
меняется проникающая способность космических лучей с высотой.
В качестве детекторов космического излучения применялись либо
ионизационные камеры, либо счётчики Гейгера—Мюллера. Изуче-
ние проникающей способности заряженной части космического
излучения удобнее всего производить с помощью телескопа из
счётчиков Гейгера, как показано на рис. 428. Измеряя интенсив-
ность космических лучей при различной толщине поглощающего
слоя между счётчиками телескопа, мы получим так называемую
кривую поглощения космических лучей, представляющую собой
652
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
зависимость числа тройных совпадений в единицу времени от тол-
щины поглотителя. На рис. 428 приведены кривые поглощения кос-
мических лучей в свинце, измеренные на различных высотах;
нижняя кривая получена на уровне моря, верхняя—па высоте
3250 м.
Мы видим, что и на уровне моря и на высоте 3250 м ординаты
кривой поглощения быстро уменьшаются на первых десяти санти-
метрах свинца. Дальнейшее увеличение толщины свинца вызывает
гораздо более медленное уменьшение числа тройных совпадений„
Нижняя кривая показывает, что на уровне моря интенсивность
космического излучения (вернее, его заряженной, т. е. ионизую-
щей, части) уменьшается в первых десяти сантиметрах свинца
Рис. 428. Кривые поглощения косми-
ческих лучей в свинце, измеренные
по методу совпадений. (Указана схема
опытов: телескоп, состоящий пз трёх
счётчиков и поглощающего слоя).
на 30%. Та часть излучения,
которая проходит первые 10 см
свинца, оказывается чрезвы-
чайно проникающей: она про-
ходит 1 м свинца, ослабляясь
при этом только наполовину.
Именно этой части космиче-
ские лучи обязаны своей
огромной проникающей спо-
собностью.
Такой ход кривой погло-
щения ясно указывает ва то,
что в действительности опа
представляет собой результат
наложения двух кривых, из-
которых одна характеризует-
ся большим коэффициентом
поглощения, а другая—малым. Эти две части кривой поглощения
можно объяснить как результат присутствия в космическом излу-
чении двух компонент.
Одна из этих компонент сильно поглощается уже в сравни-
тельно тонком слое свинца, около 10 см толщиной, и состоит, как
будет показано дальше, из позитронов, электронов п у-квантов.
Мы будем называть её мягкой компонентой. Вторую компоненту,
обладающую большой проникающей способностью, называют жёст-
кой компонентой. Как уже было сказано в предыдущем парагра-
фе, на уровне моря жёсткая компонента составляет около 2/3, а
мягкая—около Vs полной интенсивности космических лучей. На
больших высотах, напротив, преобладает мягкая компен нта.
Вопрос о соотношении между интенсивностями мягкой и жёст-
кой компонент на разных высотах над уровнем моря представляет
большой интерес. Знание этого соотношения проливает свет па
характер вторичных процессов, возникающих при прохождении
космических лучей через атмосферу. На рис. 429 приведены кри-
§ 317J ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ НА ПЕРВИЧНЫЕ ЛУЧИ 653
выо, дающие высотный ход общей интенсивности космических лу-
чей и ход жёсткой компоненты. Общая интенсивность космическо-
го излучения измерялась с помощью двух счётчиков, включённых
по схеме совпадений. Для измерения жёсткой компоненты между
счётчиками помещалось 10 см
свинца. Приборы поднимались
с помощью шаров-пицотов.
По оси ординат обеих кривых
отложено число совпадений
в единицу времени, по осп
абсцисс—давление в точке на-
блюдения. Измерения доведе-
ны до давления р = 5 см Hg,
чЮ отвечает высоте ^30 км.
Разность обеих кривых даёт
интенсивность мягкой компо-
ненты. Мы видим, что мягкая
компонента растёт с высотой
гораздо быстрее, чем жёст-
кая: на уровне моря интен-
сивность мягкой компоненты
Рис. 429. Высотный ход общей интен-
сивности космического излучения и жё-
сткой компоненты.
-составляет примерно полови-
ну интенсивности жёсткой, а
при давлении, равном 10 см Hg
(высота 15 км), интенсивность
мягкой компоненты в 4—5 раз превышает интенсивность жёсткой.
Отсюда следует, что по мере проникновения в нижние слои атмо-
сферы проникающая способность космических лучей увеличи-
вается; космические лучи становятся более жёсткими.
§ 317. Действие магнитного поля Земли на первичные
космические лучи (геомагнитные эффекты)
Известно, что магнитное поле Земли приблизительно экви-
валентно полю магнитного диполя с моментом М = 8,1 • 1025
эр?1гаусс, ось которого направлена от северного магнитного
полюса Земли к южному магнитному полюсу. Электрический
заряд, движущийся в магнитном поле Земли, испытывает отклоне-
ние. Теоретические исследования показывают, что магнитное поле
Земли отклоняет летящие на Землю электрические заряды к маг-
нитным полюсам: чем ближе к магнитному экватору падает на
поверхность Земли заряженная частица, тем сильнее она откло-
няется. В частности, частицы, падающие вертикально на магнит-
ные полюсы Земли, движутся вдоль силовых линий магнитного
поля и вовсе им не отклоняются. Хорошо известным примером от-
клонения заряженных частиц в магнитном поле Земли является
654
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
северное сияние, причина которого состоит в том, что потоки элек-
тронов, выбрасываемых с поверхности Солнца, попадая в магнит-
ное поле Земли, отклоняются к полюсам, где они ионизуют атмо-
сферу, вызывая при этом видимое свечение.
Различные явления, обусловленные действием магнитного
поля Земли на первичное космическое излучение, носят общее
название геомагнитных эффектов. К ним относятся широтный
и долготный эффекты, заключающиеся в изменении интенсивности
космических лучей при изменении соответственно геомагнитной
широты и долготы места наблюдения, эффект азимутальной асим-
метрии, заключающийся в том, что интенсивность космических
лучей, приходящих на Землю с восточного и западного направле-
ний, различна, и ряд других более тонких эффектов.
Заметим, что геомагнитные эффекты дают нам сведения о при-
роде первичных космических лучей, падающих из мирового про-
странства на Землю: быстрые частицы первичных космических
лучей начинают «чувствовать» магнитное поле Земли на расстоя-
нии нескольких земных диаметров. Магнитное отклонение, кото-
рое испытывает частица в воздушной атмосфере, окружающей
Землю, ничтожно мало по сравнению с отклонением, испытываемым
частицей при приближении из мирового пространства к границе
атмосферы.
Вообще говоря, если заряженная частица обладает импульсом,,
меньшим некоторой величины р^, различной для разных геомагнит-
ных широт ср, то, попав в поле Земли, она отклонится по направле-
нию к одному из полюсов и не дойдёт до земной поверхности.
Теория геомагнитных эффектов следующим образом связывает
величину этого критического импульса рф заряженной частицы
с геомагнитной широтой:
= 1,5 . 1010cos4cp • \Z\^- .	(317,1)
Здесь Ру—импульс частицы, выраженный в eV/с, | Z |—абсолютная
величина заряда частицы в зарядах электрона. В дальнейшем мы
всегда будем выражать импульсы частицы в единицах eV/с. Такая
единица для измерения импульса возможна потому, что величина
рс имеет размерность энергии и может быть выражена в eV. В
самом деле из релятивистского соотношения между полной энер-
гией частицы и её импульсом (см. т. I, § 61)
Е2 — р2с2 + 7??^с4	(61,12)
следует, что если энергия частицы Е значительно больше её энер-
гии покоя т0с2 («релятивистская» частица), то т0с2 можно отбро-
сить и
Е ~ рс.
Отсюда видно, что если импульс «релятивистской» частицы выра-
§ 317] ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО НОЛЯ ЗЕМЛИ НА ПЕРВИЧНЫЕ ЛУЧИ 655
жастся каким-то числом в единицах eV/с, то её энергия будет рав-
на тому же числу в единицах eV. Например, если импульс, элек-
трона равен 50 MeV/c, то его энергия будет 50 MeV. В этом и за-
ключается удобство выбранной нами единицы импульса.
Формула (317,1) справедлива для частиц, падающих пз миро-
вого пространства в вертикальном направлении. Из (317,11 сле-
дует, что в направлении экватора (<р=0) Земли могут достичь
только частицы, импульс которых P's > 1,5-1010 | Z |. В следующей
таблице приведены значения р однозарядных частиц (Z = 1) для
различных широт от экватора до полюса.
Таблица LXVITI
Широта	0°	20°	40°	50°	90°
	1,5-101°	1,4-1010	0,52-Ю11»	0,26-1010	0
Если импульс частицы превышает р,^, то отклоняющее действие
магнитного поля будет недостаточным, и такая первичная частица
достигнет границы земной атмосферы.
Эти особенности поведения заряженных частиц в магнитном
поле Земли оказались весьма существенными для выяснения при-
роды первичных космических лучей. Именно, если первичные
космические лучи, приходящие на Землю из мирового простран-
ства, состоят из заряженных частиц, то последние должны испы-
тывать отклоняющее действие магнитного поля Земли. Поэтому па
экваторе, где р<? имеет наибольшую величину, границы земноii
атмосферы будет достигать меньшее количество частиц, чем в бо-
лее высоких широтах. На полюсах же до границы земной атмосфе-
ры могут доходить частицы с любым импульсом. Таким образом,
если первичные космические лучи представляют собой заряжен-
ные частицы, то их интенсивность должна возрастать с уве-
личением геомагнитной широты места наблюдения, т. е. при пе-
ремещении от экватора к полюсам.
Рассмотрим измерения вертикальной интенсивности первичных
космических лучей, производившиеся в 1948—1950 гг. с помощью
телескопов из счётчиков Гейгера—Мюллера, поднимавшихся па ша-
рах-пилотах и ракетных снарядах вплоть до границы атмосферы. На
рис. 430 приведена зависимость интенсивности первичного космиче-
ского излучения от широты, полученная в результате использования
данных различных авторов, производивших своп измерения в раз-
ных широтах. По оси абсцисс графика отложены три различные
шкалы: геомагнитная широта (верхняя шкала), соответствующая
данной шпроте величина критического импульса и кинетическая
энергия первичных частиц, вычисленная в предположении, что
656
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
эти частицы—протоны и, наконец, —произведение напряжён-
ности магнитного поля па радиус кривизны траектории (нижняя
шкала); по оси ординат отложена вертикальная интенсив-
ность, т. е. число заряженных частиц, падающих в вертикальном
направлении на 1см2 в 1 сек. в единице телесного угла. Мы видим,
что интенсивность первичных космических лучей растёт примерно
от 0,025 па экваторе до 0,20 на широте 50°N, т. о. меняется между
Геомагнитная широта,
70°__________6(Г_______ЯГ ^0° О'
Энергия протонов (109сГ)
Рис. 430. Зависимость вертикальной интенсивности первичных
космических лучей от широты, измеренная телескопами из счёт-
чиков Гейгера—Мюллера, поднимавшимися на большие высоты
с помощью ракетных снарядов и шаров-пилотов.
этими широтами примерно в восемь раз. Наличие такого большого
широтного эффекта свидетельствует о том, что по крайней мере
значительная часть первичных космических лучей состоит из за-
ряженных частиц. Как мы указывали, данной геомагнитной ши-
роты ф могут достичь только те частицы первичных космических
лучей, импульс которых больше = 1,5 • 10101 Z | cos4<p ~. Поэтому
шпротная зависимость интенсивности первичных космических лу-
чей даёт нам число частиц первичных космических лучей, им-
пульс которых больше р	с- непосредственно
интегральный спектр первичного излучения.
§317] ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ НА ПЕРВИЧНЫЕ ЛУЧИ 657
Из кривых рисунка 424, дающих высотный ход ионизации,
создаваемой космическими лучами, измеренный на четырёх раз-
личных широтах 3, 38, 51 и 60°N, следует, что широтный эффект
наблюдается не только в самых верхних слоях атмосферы, по и на
всех высотах, в том числе и на уровне моря. Однако по мере опу-
скания в нижние слои атмосферы величина широтного эффекта
уменьшается. Так, например, отношение ионизации, создаваемой
космическими лучами на широте 60° N (кривая А рис. 424), к этой
же величине на широте 3°N (кривая D рис. 424) для давления
50 г/см2 равно
J3°
4,3, тогда как при давлении 300 г/см2
•^60°
73
= 2,1,
а при давлении 700 г/см2
1,4. Несмотря па малость
Рпс. 431. Широтный эффект, измеренный па уровне моря.
1з-
широтного эффекта в нижних слоях атмосферы, его существование
было впервые обнаружено при измерениях, произведённых на
уровне моря в 1930 г. Наиболее точные данные о широтном эффекте
космических лучей на уровне моря были получены Комптоном и Тур-
нером, которые поместили ионизационную камеру на борту паро-
хода, совершавшего регулярные рейсы в Тихом Океане между
Канадой и Австралией. Измерения производились в течение 12 рей-
сов, происходивших во все времена года (1936 —1937), и позво-
лили установить зависимость интенсивности космических лучей
па уровне моря от геомагнитной широты при изменении последней
от 52° N до 41° S. Эта зависимость изображена на рис. 431, где по
осп ординат отложена интенсивность, а по оси абсцисс — гео-
658
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
магнитная широта. Четыре приведённые кривые отвечают изме-
рениям, производившимся летом, осенью, зимой и весной. Мы ви-
дим, что на уровне моря интенсивность космических лучей на ши-
роте 50° примерно на 10% превышает интенсивность космических
лучей па экваторе. Уменьшение широтного эффекта по мере при-
ближения от высоких слоёв атмосферы к уровню моря качественно'
понятно, если вспомнить, что уровня моря достигают наиболее
проникающие частицы, обладающие наибольшей энергией. Эти
частицы, имеющие вторичное происхождение, создаются первич-
ными частицами очень большой энергии, мало чувствительными
к магнитному полю Земли. Те же первичные частицы, которые
создают вторичные частицы, не проникающие глубоко в толщу
атмосферы, обладают в среднем значительно меньшей энергией
и сильное отклоняются магнитным полем Земли, т. е. дают больший
широтный эффект.
Более детальные сведения о влиянии широтного эффекта на ве-
личину энергии, вносимой первичными космическими лучами
в атмосферу Земли на разных широтах, можно получить из рас-
смотрения кривых рис. 424. Действительно, площадь, ограничен-
ная кривыми А, В, С или D, осью абсцисс и ординатами h = 0
и h — 1 м (кривые на рис. 424 не доведены до уровня моря),
определяет полное число ионов, создаваемых космическими луча-
ми в столбе атмосферы сечением 1 см\ Известно, что быстрые заря-
женные частицы тратят на создание пары ионов примерно одну,
и ту же энергию независимо от их энергии. Таким образом, указан-
ная площадь пропорциональна энергии Ег, которую космические
лучи тратят на ионизацию атомов воздуха, проходя через атмо-
сферу. Полная величина энергии, вносимой первичными космиче-
скими лучами в атмосферу Земли, EQ больше энергии Ех. Разница
между Ео и Ei вызвана тем, что часть энергии первичных космиче-
ских лучей рассеивается иным образом, не растрачиваясь на иони-
зацию воздуха. Например, космические лучи, достигающие поверх-
ности Земли, поглощаются грунтом и не вызывают ионизации
воздуха, далее в результате распада к- и ^.-мезонов возникают
лёгкие нейтральные частицы, не вызывающие ионизации, и т. п.
Таким образом, Ео > Ег, однако без большой ошибки можно счи-
тать, что величина Еъ или площадь под кривыми А, В, С и D, npol-
порциональна энергии Ео, вносимой первичными космическими
лучами в атмосферу Земли. Площадь, ограниченная кривой D,
составляет 2/5 площади, ограниченной кривой А. Отсюда следует,
что около 2/5 энергии, приносимой первичными космическими луча-
ми ла широте 60°, приносится частицами, способными достичь
экватора (широта 3° — кривая /)), т. е. частицами, импульс которых
больше 1,5 • 1010. Укажем также, что вся энергия, поступающая
на Землю в виде космического излучения, примерно равна энергии,
поступающей на Землю от всех звёзд (кроме Солнца) в форме види-
§317] ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ НА ПЕРВИЧНЫЕ ЛУЧИ 659
мого света, и соответствует в наших широтах мощности около 4 W
на квадратный километр земной поверхности.
Из приведённых данных, показывающих наличие широтного
эффекта космических лучей (рис. 424, 431), следует, что между
широтой около 50° и полюсом интенсивность космических лучей
меняется мало. Это хорошо видно из кривых рис. 431, представляю-
щих результаты измерений широтного эффекта на уровне моря.
В течение почти 15 лет этот опытный факт пытались объяснить
предположением, что в первичном космическом излучении вообще
отсутствуют частицы, импульс которых меньше критического
импульса р^З • 109eV/c, для широты 50°. В качестве причины,
приводящей к «отсеканию» частиц с импульсом, меньшим р —
= 3 • 109 eV/с из спектра первичных космических лучей, указы-
валось на действие магнитного поля Солнца, простирающегося
далеко за пределы орбиты Земли и создающего барьер для таких
частиц. Тщательные измерения высотного хода широтного эффекта
между широтами 49 h88°N были проведены в 1949 г. Данные этих
измерений приведены на рис. 425, из которого видно, что при да-
влении, меньшем 200 мм Hg, кривые высотного хода интенсивности
космических лучей сливаются и, следовательно, широтный эффект
практически отсутствует. Однако при давлениях, больших, чем
200 мм Hg, кривая для широты; 88° идёт выше кривой для широ-
ты 49°, что указывает на существование широтного эффекта для
частиц с импульсом, меньшим 3- 109eV/c.
Таким образом, предположение о том, что отклоняющее дей-
ствие магнитного поля Солнца приводит к отсутствию в спектре
первичных космических лучей, попадающих на Землю, частиц
с импульсом, меньшим 3 • 109 eV/с, при более тщательном исследо-
вании не оправдалось.
Возникает вопрос, чем же в таком случае объясняется практи-
ческое отсутствие широтного эффекта для широт, больших 50°
в нижних слоях атмосферы. Наиболее правдоподобное объяснение,
которое можно высказать в настоящее время, заключается в том,
что вторичные частицы, созданные первичными частицами с им-
пульсом, меньшим, чем 3 • 109 eV/c, до нижних слоёв атмосферы
не доходят.
Итак, изучение широтного эффекта позволило установить,
что первичные космические лучи электрически заряжены, и опре-
делить энергетический спектр той части первичных лучей, которые
испытывают отклоняющее действие магнитного поля Земли, а так-
же число первичных частиц, энергии которых так велики, что
магнитное поле Земли их не отклоняет.
Решение вопроса о знаке заряда первичных космических ча-
стиц было получено в результате изучения так называемой ази-
мутальной асимметрии космических лучей. Мы указывали, что
для того, чтобы частица, движущаяся из мирового пространства
660	КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ	[гл. XXIV
в вертикальном направлении, могла достичь Земли на геомагнит-
ной широте ср, она должна обладать импульсом, большим, чем им-
пульс, определяемый выражением р9 — 1,5 • 1010 cos4 ср • | Z | eV/c.
Однако критический импульс в общем случае зависит ие только от
широты места паблюдепия( но и от направления, по которому частица
достигает поверхности Земли; кроме того, для данного направления
она зависит от знака заряда частицы.Так, например, на экваторе для
положительно и однократно заряженной первичной частицы,
движущейся в горизонтальном направлении с восточной стороны
горизонта, критический импульс равен 60 BeV/c *), а для отрица-
тельно заряженной частицы, приходящей с того же направления,
этот импульс равен всего 10BeV/c. Для частиц, движущихся с за-
падной стороны горизонта, положение обратное: критическим
импульсом 10BeV/c будут обладать положительно заряженные
частицы, а для отрицательно заряженных частиц критический
импульс будет 60BeV/c.
Ясно, что если в первичном космическом излучении существует
асимметрия в знаке заряда, она скажется в том, что распределение
первичных космических лучей по азимуту не будет равномерным.
Именно, если в первичном космическом излучении преобладают
положительно заряженные частицы, то с западной части горизонта
частиц будет приходить больше, чем с восточной. Поэтому вопрос
о знаке заряда первичных космических лучей может быть решён
по измерениям интенсивности космических лучей, приходящих
в точку наблюдения с востока и запада. Для этого необходимо
направлять телескоп из счётчиков попеременно на восточную и
западную части неба и сравнить интенсивности, регистрируемые
в обоих положениях телескопа. Равенство интенсивностей укажет
на то, что в первичном космическом излучении частицы обоих зна-
ков представлены в одинаковом количестве; избыток интенсивно-
сти космических лучей, приходящих с запада, укажет на преобла-
дание положительно заряженных первичных частиц.
Наиболее полные исследования восточно-западной асимметрии
на больших высотах были произведены в 1948 г. С. Н. Берцовым
и И. А. Добротиным с сотрудниками, которые измерили высотный
ход восточно-западного эффекта в районе геомагнитного экватора
(6—10°8). На рис. 432 изображена схема их опыта: те-
лескоп из счётчиков Гейгера, поднятый на шарах-пилотах,
был наклонён под углом 60° к вертикальной оси, вокруг которой
он мог вращаться. Во время полёта телескоп поочерёдно удержи-
вался в двух направлениях—восточном и западном. Сохранение
заданного направления достигалось с помощью реле из трёх фото-
элементов, управляемых светом Солнца, служившего ориенти-
ром. Если телескоп отклонялся от заданного направления, реле
) 1 BeV = 10» eV = 10” MeV = 1,6 * 10-3 эрг.
§317] ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ НА ПЕРВИЧНЫЕ ЛУЧИ 661
включало электромотор, который вращал телескоп по азимуту
и возвращал его в заданное направление. С помощью такой уста-
новки была измерена общая интенсивность космических лучей н
интенсивность жёсткой компоненты в восточном и западном на-
правлениях. Часть полученных результатов приведена на рис. 432,
где по оси ординат отложена общая интенсивность, регистрируемая
телескопом, а по оси абсцисс —давление в точке, где производились
измерения, выраженное в мм Hg, и высота в км. Из приведённых
кривых видно, что на больших высотах существует значительный
Рис. 432. Восточно-западная асимметрия космических лу'кй,
измеренная на различных высотах.
восточно-западный эффект: интенсивность космических лучей,
приходящих с востока, примерно в два раза отличается от интен-
сивности в западном направлении. Анализ полученных данных при-
водит к заключению, что по меньшей мере 90— 95% всех заряжен-
ных первичных частиц имеет положительный заряд.
Непосредственный анализ свойств первичного космического
излучения, произведённый с помощью аппаратуры, поднимавшей-
ся на границу земной атмосферы, привёл к заключению, что в со-
ставе первичных космических лучей нет электронов и позитронов
большой энергии. Забегая несколько вперёд, укажем, что такие
частицы, обладая энергиями, достаточными для преодоления маг-
нитного поля Земли, должны были бы создавать в пластинке свинца
662
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
мощные «ливни» частиц, состоящие из большого числа вторич-
ных электронов и позитронов. Опыты этого рода, имевшие целью
установить наличие или отсутствие таких ливней, были произведе-
ны в 1941 г. М. Шаппом, который поднимал на шарах-пилотах аппа-
ратуру из счётчиков Гейгера и показал, что такие ливни по обна-
руживаются. Опыты Шайна многим не казались достаточно убеди-
тельными. Поэтому в 1946 — 1947 гг. С. Н. Вернов произвёл более
подробное исследование, показавшее, что па больших высотах
порядка 25 — 30 км электронов (+) и фотонов с энергией, большей!
10° eV, нет в заметном количестве. Из этого следует, что поло-
жительно заряженными частицами, вызывающими восточно-запад-
ную асимметрию, являются протоны. Таким образом, в результате
анализа геомагнитных эффектов и изучения свойств первичных
космических лучей гипотеза о протонном происхождении первич-
ных космических лучей получила полное подтверждение.
Дальнейший прогресс наших знаний о первичных космических
лучах связан с подъёмом чувствительных фотопластинок в верхние
слои атмосферы (1948), показавшим, что кроме протонов в составе
первичных космических лучей имеются ядра гелия и других эле-
ментов. Спектр обнаруженных ядер простирается до Z —40 —45.
Замечательно то, что кинетическая энергия этих ядер оказывается
пропорциональной Z. Это, невидимому, говорит о том, что ядра,
освобождённые от электронной оболочки, ускорялись в одинако-
вых электрических полях. Следует отметить, что относительная
распространённость различных ядер в первичных космических
лучах совпадает с относительной распространённостью элементов
во вселенной: ядер гелия из мирового пространства приходит
примерно в пять раз меньше, чем протонов, а ядра Be, Li, В и F,
относительная распространённость которых во вселенной мала,
отсутствуют и в первичном космическом излучении. Общее коли-
чество массы, которую несут с собой все ядра, более тяжёлые, чем
ядра водорода, в первичных космических лучах равно примерно
массе, приносимой протонной компонентой первичного космиче-
ского излучения.
§ 318. Ионизационные потери энергии
Все экспериментальные методы наблюдения быстрых заря-
женных частиц космических лучей в конечном счёте основаны на
ионизующем действии этпх частиц. Поэтому прежде, чем перехо-
дить к рассмотрению экспериментальных методов, необходимо пред-
варительно рассмотреть, как зависит ионизация, создаваемая быст-
рой заряженной частицей, от свойств, характеризующих частицу (её
скорости, заряда и т. д.), и от свойств среды, в которой она движется.
Существующие в настоящее время экспериментальные данные
позволяют считать, что потери энергии на ионизацию правильно
§ 31b[	ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ	663
описываются квантовой теорией. Теория эта показывает, что попп-
/ d!S\
зационные потери — I ). в первом прдолиженин прямо пропор-
циональны квадрату заряда Z2 движущейся частицы, обратно
пропорциональны квадрату её скорости и практически не зависят
от массы частицы. Что касается зависимости от среды, в которой
движется частица, то ионизация пропорциональна числу электро-
нов в кубическом сантиметре среды N. Теория даёт следующее
•выражение для потерь энергии на ионизацию быстрыми частицами:
В этой формуле постоянные а п к определяются средой, в которой
движется частица, и не зависят от её массы. Зависимость иониза-
ционных потерь от скорости и заряда частицы легко может быть
понята, если вспомнить, что импульс р, который движущаяся
заряженная частица передаёт электрону атома, равен произво-
ле тио из силы F, действующей между частицей и электроном,
на время взаимодействия между ними, т. е. на время, в течение
которого частица пролетает мимо электрона:
р = F • t.
Здесь F — обычная кулоновская сила взаимодействия, пропор-
циональная заряду Ze частицы, а время взаимодействия t обратно
пропорционально скорости частицы. Таким образом, импульс,
переданный движущейся частицей электрону, пропорционален
заряду частицы Z и обратно пропорционален сё скорости г;:
а энергия, переданная движущейся частицей электронам среды,
будет пропорциональна квадрату импульса и числу электронов
в 1 см3, откуда и получается, что ионизационные потери в первом
приближении пропорциональны квадрату заряда движущейся
частицы и обратно пропорциональны квадрату её скорости.
На кривых рис. 433 графически изображена зависимость
потерь энергии на ионизацию от пмпульса частицы, определяемая
формулой (318,1); по оси абсцисс отложен импульс частицы в eV/c,
по оси ординат — число пар попов па 1 см пути. Кривая 1 даёт
эту зависимость для электрона (те), кривая 3 — для протона
(1840 те) и кривая 2 — для частицы с массой, равной 200 элек-
тронным массам (200 те).
Заметим, что если бы мы по оси абсцисс рис. 433 откладывали
не импульс, а скорость, то эти три кривые слились бы в одну, так
как потери энергии определяются согласно (318,-1) только скоро-
стью частицы. Поэтому кривые 1, 2 и 3 подобны друг другу.
664
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
(гл. XXIV
Рассматривая их, мы видим, что с увеличением импульса иониза-
ционные потери сначала уменьшаются. Это уменьшение происходит
по закону l/е2 до некоторого значения импульса, обозначенного
на рис. 433 соответственно через рх, /?2оо и Ршо Для каждой кривой.
Отметим, что эти значения импульса соответствуют скорости
частицы, равной 0,96 скорости света. Если бы ионизационные
потери точно следовали закону 1/г?2, то при больших скоростях
частицы, когда её скорость ещё ближе к скорости света, потеряна
ионизацию оставались бы постоянными. В действительности, как
видно из рис. 433, имеет место медленный (логарифмический)
рост потерь с увеличением импульса частицы, вызванный нали-
чием логарифмического члена в формуле (318,1).
Рис. 433. Зависимость потерь энергии на ионизацию от
импульса частицы для электрона (те), мезона с массой
200 те и протона (1840 пъе).
В таблице LXIX приведены значения потерь энергии на иони-
зацию быстрыми частицами в минимуме кривой ионизационных
потерь (т. е. релятивистскими частицами, скорость которых близка
к скорости света) на 1 см пути в различных средах: воде, алюминии
и свинце.
Таблица LXIX
Среда	
Вода . .	2-10е
Алюминий . . .	4,9-10е
Свинец . . .	1,1-Ю7
Толща земной атмосферы по своей поглощающей способности
эквивалентна 10-метровому слою воды. Так как на 1 см воды части-
§ 319]	НАБЛЮДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ	665
ца теряет на ионизацию (см. табл. LXIX) 2 • 106 eV, то, для того
чтобы пронизать всю атмосферу, она должна обладать энергией,
не меньшей 2- 109 eV. Мы знаем, что космические лучи в состоянии
проходить слои свинца, измеряемые метрами. На каждом метре
свинца только на ионизацию быстрая частица теряет 1,1- 109 eV.
Из рис. 427, на котором изображена кривая поглощения космиче-
ских частиц в воде, мы видели, что даже под 1000-метровым слоем
воды имеется заметное количество космических частиц. Чтобы про-
никнуть через такой слой воды, частица должна обладать энергией,
не меньшей, чем 2 • 1011 eV. Эти цифры ещё раз дают нам представле-
ние о величине энергий, которыми обладают первичные частицы
космических лучей.
§ 319. Наблюдение быстрых заряженных частиц
с помощью камеры Вильсона и фотопластинок
В этом параграфе мы познакомимся с двумя эксперименталь-
ными методами—методом камеры Вильсона и методом фотопла-
стинок, позволяющими наблюдать траектории быстрых заряжен-
ных частиц и определять их импульс, скорость и энергию, а также-
заряд и массу. Знакомство с этими методами необходимо для по-
нимания излагаемых ниже опытов.
Наибольшее число сведений о природе космических лучей до
недавнего времени было получено с помощью камеры Вильсона.
Так как космические лучи обладают наибольшей интенсивностью
в вертикальном направлении, то для наблюдения последних камеру
располагают вертикально и помещают в сильное поперечное маг-
нитное поле (метод Скобельцына). Д. В. Скобельцын (1929 г.)
был первым, кому удалось сфотографировать пути космических
частиц, однако магнитное поле в его опытах оказалось недостаточ-
ным для отклонения этих частиц, так что определить знак их за-
ряда он не мог. В дальнейших опытах были использованы протя-
жённые и мощные магнитные поля напряжённостью до 20 000 эр-
стед. При этих условиях было получено большое количество траек-
торий частиц, отклонённых полем; замечательно, что эти отклонения
были направлены в ту и другую сторону, т. е. оказалось, что в кос-
мических лучах встречаются частицы, заряженные как отрицатель-
но, так и положительно. Последние были первоначально приняты
за протоны; впоследствии оказалось, что большинство этих частиц
является позитронами и положительно заряженными мезонами.
Камера Вильсона, помещённая в магнитное поле, в течение
долгого времени являлась основным прибором, с помощью которого
производилось определение массы, заряда и энергии частиц, вхо-
дящих в состав космического излучения, и изучалось их взаимодей-
ствие с веществом. Поэтому мы прежде всего рассмотрим изме-
рения, которые производятся в камере Вильсона.
666	КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ	[гл. XX1V
Очевидно, что в камере Вильсона можно непосредственно
измерить следующие три величины, характеризующие заряжен-
ную частицу: радиус кривизны её траектории р в магнитном поле,
удельную ионизацию d, создаваемую частицей на своём пути, и
пробег частицы R. По радиусу кривизны р, если известны напря-
жённость магнитного поля и заряд частицы е, определяется
импульс частицы. Действительно, из соотношения
следует
my = р = e-3£!j>,
рс~еУ{!^.	(319,1)
В этой формуле рс измеряется в эргах, е — в единицах CGSE,
—в эрстедах и р—в сантиметрах. Если измерять рс в электрон-
вольтах, в — в зарядах электрона, а и р — попрежнему в эрстедах
и сантиметрах, то формула (319,1) принимает следующий вид:
рс — ЗООе	(319,1')
Если энергия частицы значительно больше энергии покоя zn0c2>
то в релятивистском соотношении между энергией и импульсом
Е2 - с?рг 4- можно отбросить второй член, т. е. положить
Е = рс.	(319,2)
Таким образом, для частиц, скорость которых близка к скорости
света («релятивистские» частицы), величина рс — 300е^в^ даёт
непосредственно энергию частицы.
Другая возможность использования камеры Вильсона, позво-
ляющая определять скорость движения быстрой заряженной ча-
стицы, состоит в изучении производимой ею ионизации. Так как
каждый ион, образовавшийся вдоль траектории частицы, служит
центром конденсации пара, наполняющего камеру, то густота
расположения капелек вдоль траектории служит мерой ионизую-
щей способности частицы. Под удельной ионизацией d понимают
число пар ионов, образуемых заряженной частицей на единице
длины пути. Чтобы получить значение удельной ионизации, нуж-
но, следовательно, подсчитать число капелек вдоль траектории
частицы. Разделив это число на длину рассматриваемой части
траектории, мы и получим среднее число ионов, создаваемое ча-
стицей на единице пути, т. е. удельную ионизацию d. Известно,
что величина энергии w, которую в среднем тратит быстрая заря-
женная частица па создание одной пары ионов, не зависит от ско-
рости и природы ионизующей частицы. Поэтому измеряемая в ка-
мере Вильсона удельная ионизация d пропорциональна энергии
§ 319]
НАБЛЮДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
667
К j ’ КОТОРУЮ ионизующая частица тратит на ионизацию на еди-
нице длины своего пути. Значение w для различных газов, обычно
употребляемых для наполнения камеры Вильсона, приведено
в таблице LXX.
Таблица LXX. Среднее значение энергии,
затрачиваемой частицей на создание одной
пары ионов (го в eV)
Газ	W	Газ	го
По	33,0	о2	32,3
По	27,8	Ne	27,4
	35,0	Аг	25,4
Чтобы получить величину	по измерениям удельной ио-
низации в камере Вильсона, нужно умножить удельную иониза-
цию d на величину энергии w, затрачиваемой на создание одной
пары ионов:
— d • w.
Зная ионизационные потери , можно по формуле (318,1),
\ и.Х J J
со скоростью частицы, определить скорость
связывающей
её движения.
Из рис. 433 видно, что, начиная с импульса р~ 109^, иони-
зация, создаваемая частицами с массой 200 те, не больше чем
на 15 — 20% отличается от ионизации, создаваемой электронами
пли протонами с тем же импульсом. Точность определения удельной
ионизации в камере Вильсона при одновременном измерении ра-
диуса кривизны также не превосходит 15 — 20%, и поэтому практи-
чески невозможно отличить ионизацию, создаваемую электроном
с импульсом,, большим, чем 109	, от ионизации, создаваемой про-
тоном или частицами меньшей массы. Можно сказать, таким обра-
зом, что все очень быстрые частицы, скорость которых больше
0,96 с, ионизуют газ в камере Вильсона практически одинаково
и что метод камеры Вильсона недостаточно точен, чтобы отличить
ионизацию, создаваемую релятивистскими частицами различной
массы. Однако по мере уменьшения скорости частицы положение
улучшается, и из рис. 433 мы видим, что, например, хотя в области
668
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[ i-j. W1V
импульсов I08 — 1()9 — ещё нельзя с уверенностью различать ио-
низацию, создаваемую электронами и частицами с массой 200 т,,
протон, скорость которого в этой области импульсов уже значи-
тельно отличается от скорости света, даёт ионизацию, во много
раз большую, чем ионизация, создаваемая этими частицами. Если
перейти к области импульсов, меньших, чем 10s	, то лил видим,
Рис. 434. След быстрой (релятивистской) пастилы в камере-
Вильсона.
Рис. 43Й. Увеличенный след траектории медленного мезона,
сфотографированный в камере Вильсона, помещённой в маг-
нитное ноле, позволяющий подсчитать число нар попов и
измерить радиус кривизны. Эта фотография позволяет оце-
пить массу частицы.
что для таких импульсов в камере Вильсона можно с уверенностью
различить ионизацию, создаваемую всеми тремя частицами.
В качестве примера рассмотрим две фотографии прохождения
заряженных частиц через камеру Вильсона (рис. 434 и 435).
Одна из них представляет собой типичный след, оставляемый в ка-
мере релятивистской однократно заряженной частицей, иониза-
ционные потери которой близки к минимальным. Па другой фото-
графии заснят след, оставленный медленной и, следовательно,
сильно ионизующей частицей: плотность капелек в этом следе
в шесть раз больше, чем плотность капелек на предыдущей фото-
графии. Так как удельная ионизация обратно пропорциональна
квадрату скорости частицы, то отсюда следует, что эта частика
двигалась со скоростью
i' = -^^0,4 с.
у/ 6
$ .319)	НАБЛЮДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЗАЗЯЖЕНПЬТХ ЧАСТИЦ	669
Импульс частицы г.тсдующим образом зависит от её массы и
скорости:
m„v
Р	•
Поэтому, определив по величине удельной ионизации скорость
частицы и измерив по отклонению в магнитном поле её импульс,
можно вычислить массу частицы. Фотография рис. 435, получен-
ная, когда камера Вильсона была помещена в магнитное поло,
позволяет определить импульс частицы, который равен 4,5 • 107 eV/с.
Измеренные значения импульса л скорости дают, как в этом легко
убедиться, для величины т0с2 значение, близкое к 108 eV, что
соответствует массе частицы, равной 200 массам электрона. Таким
образом, частица, зафиксированная на рис. 435, оказалась
мезо ном.
К сожалению, по чисто экспериментальным причинам невоз-
можно с большой точностью одновременно определить импульс
частицы и удельную ионизацию, которую она производит: для
того чтобы точно измерить радиус кривизны, желательно иметь
резкий, неразмытый след частицы; с другой стороны, чтобы не
ошибиться в счёте капелек, след должен быть размытым, т. е.
капельки должны находиться на некотором расстоянии друг
от друга.
Кроме импульса и удельной ионизации, камера Вильсона позво-
ляет определить пробег частицы R. Покажем, что знание импульса
и пробега также даёт возможность определить массу частицы.
Пробег частицы R зависит от её скорости и массы. Чтобы пока-
зать это, ограничимся рассмотрением не слишком быстрых частиц,
для которых у/с заметно меньше 1. Для них логарифмическим
членом в выражении (318,1) для потерь энергии можно прене-
бречь и положить
где К — постоянная, нс зависящая
только от свойств среды,
следующим образом:
от массы частицы, а зависящая
Полный пробег, очевидно, определится
R
R — \ dx,
о
пли, так как по (319,3)
dx =
г2 dE
К
— ко~ dE
670	КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧП	(r.j. К\1\'
, то, принимая во внимание, что пределам 0 в 7? соот-
ветствует энергия Eq и 0, получаем
По
R = к (IE.
6
Поскольку частица — нерелятпвлстская, Е = — Мг;2 и dE — Мг с(с7
так что
R — кМ \ ЕЧс ^- кМЫ).	(319,4)
6
Таким образом, пробег частицы зависит от её массы и ско -
рости; при данной скорости пробег тем больше, чем больше масса
частицы. Поэтому знание импульса частицы и её пробега даёт
два уравнения, из которых можно исключить скорость частицы
и определить её массу.
По поводу этого второго метода определения массы частицы
в камере Вильсона следует заметить, что его точность тем больше,
чем больше пробег частицы. Наименее точные определения массы
частицы этим методом получаются в том случае, когда энергия
частицы настолько мала, что сё пробег укладывается в объёме
камеры Вильсона; в этом случае рассеяние, которое испытывает
частица на ядрах газа, наполняющего камеру, сильно искажает
траекторию и приводит к значительным ошибкам в определении
её радиуса кривизны. Чтобы избавиться от влияния рассеяния,
следует при определении массы переходить к частицам значи-
тельно большей энергии, которые рассеиваются слабо. Для опре-
деления пробега таких частиц в камере Вильсона располагают
возможно большее число пластинок плотного вещества, что позво-
ляет определить пробег с точностью, равной половине толщины
отдельной пластинки.
Знание удельной ионизации d и пробега R, как легко видеть,,
также позволяет определить массу частицы. Действительно,
удельная ионизация позволяет определить скорость частицы. Зная
скорость частицы, из выражения (319,4) для пробега можно опре-
делить массу частицы. Этот метод определения массы обладает
тем преимуществом перед описанными двумя, что не требует
применения магнитного поля. Им часто пользуются при опре-
делении массы частиц по следам, оставляемым ими в фотографи-
ческих пластинках.
В настоящее время наряду с камерой Вильсона всё большие
применения находит метод толстослойных фотопластинок. Сущ-
ность этого метода, впервые применённого для регистрирования
медленных частиц космического излучения Л. В. Мысовскнм и раз-
витого затем А. П. Ждановым, была изложена раньше (см. § 252).
§ -Т19]
11АВЛ10 ДЕН НЕ ВЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
671
Однако до последнего времени этот метод являлся скорее ка-
чественным. Для этого были две причины. Первая из них
заключалась в том, что пробег частицы в фотопластинке опреде-
ляется с точностью до среднего расстояния между кристаллами
галоидного серебра, а в применявшихся фотопластинках это
расстояние’ было достаточно велико, и поэтому энергия частицы
определялась неточно. Вторая причина заключалась в недо-
статочной чувствительности пластинок, позволявшей обнаружи-
вать только очень медленные, сильно ионизующие частицы. Ме-
тод фотопластинок получил особенное развитие в последние
годы благодаря тому, что оказалось возможным изготовлять
весьма чувствительные пластинки с малым размером зёрен бро-
мистого серебра и с малым средним расстоянием между зёрнами.
Это позволило, во-первых, применить метод фотопластинок для
изучения частиц, более быстрых, чем а-частицы и протоны (такими
частицами являются медленные мезоны), и, во-вторых, производить
измерение энергии частиц с весьма большой точностью. Так, на-
пример, современные пластинки позволяют определять энергию
протона, равную 10—12 MeV, с точностью до 0,3 %. Если до 1948 г.
методом фотопластинок могли быть обнаружены только следы сра-
внительно медленных частиц (например, следы мезонов были видимы
только при энергиях, меньших 10 MeV, а быстрые релятивистские
или даже полурелятивистскпе частицы вовсе не регистрировались
фотопластинками), то в настоящее время благодаря непрерывпому
прогрессу в технике изготовления и проявления фотопластинок
положение существенным образом изменилось. Употребляемые те-
перь фотопластинки не только позволяют обнаруживать следы
релятивистских частиц, создающих минимальную ионизацию, но
могли бы обнаружить в 5—10 раз меньшую ионизацию.
Основным преимуществом фотопластинки пород каморой Виль-
сона является то, что она представляет собой непрерывно действую-
щий прибор, тогда как камера Вильсона эффективна в течение
не более чем тысячной доли интервала времени между двумя
расширениями. Фотопластинку же можно подвергать действию
космических лучей в течение недель и даже месяцев, а затем рас-
смотреть образовавшиеся в ней траектории. Поэтому фотопластин-
ка чрезвычайно удобна для наблюдения крайне редких явлений,
характерных для космических лучей.
Подобно тому кат? число капелек в следе, оставляемом частицей
в камере Вильсона, служит мерой скорости частицы, мерой её
скорости в фотопластинке является число проявленных зёрен
на единицу пути, иначе говоря, среднее расстояние между зёрна-
ми. Действительно, быстрая частица производит слабую иониза-
цию, делая способным к проявлению далеко не каждый кристалл
галоидного серебра, который она пронизывает на своём пути,
тогда как медленная и, следовательно, сильно ионизующая части-
672
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
ца оставляет гораздо более густой след. К концу пробега частицы,
когда скорость уменьшается, она ионизует сильно, поэтому след
частицы, затормозившейся в эмульсии, имеет большое число зёрен
на единицу длины в конце пути; так можно определить направление
движения частицы, если опа находится на излёте в фотопластинке.
В 1947—1949 гг. был. разработан новый метод определения
импульсов быстрых частиц, регистрируемых в фотопластинке.
Этот метод основан на изучении рассеяния быстрых частиц элек-
трическими полями атомных ядер. Благодаря такому рассеянию
след быстрой частицы, рассматриваемый при большом увеличении,
обнаруживает заметные отклонения от прямой. Измеряя средний
угол рассеяния, оказывается возможным определить величину
рР — pv/c для быстрой частицы. Зная скорость частицы из измере-
ний плотности зёрен, можно таким образом определить её импульс.
Этот метод определения импульса, несмотря на не слишком боль-
шую точность, получил широкое распространение.
§ 320. Открытие позитрона
Мы рассмотрели физические измерения, которые производятся
в камере Вильсона и фотопластинках. Дальнейшее изложение
даст немало примеров использования рассмотренных методов изме-
рения. В качестве первого примера рассмотрим историю открытия
позитрона, впервые обнаруженного Андерсоном в 1932 г. в косми-
ческом излучении (см. § 281). Выше мы видели, что уже первые
фотографии следов, оставляемых заряженными частицами косми-
ческих лучей в камере Вильсона, показали, что в состав космиче-
ских лучей примерно в равной доле входят положительно п
отрицательно заряженные частицы. При этом, поскольку другие
частицы не были известны, на первых порах предполагалось, что
отрицательно заряженные частицы являются электронами, а по-
ложительно заряженные—протонами. Однако при более детальном
рассмотрении следов, оставляемых положительно заряженными
частицами, было установлено, что в подавляющем большинстве слу-
чаев они ио могут принадлежать протонам. Чтобы убедиться
в этом, рассмотрим фотографию, полученную Андерсоном в 1932 г.
(рис. 436). Па ней видны два следа, исходящих, по всей вероятно-
сти, из общей точки. След частицы, отклонённой влево, принадле-
жит электрону, энергия которого равна 27 MeV. Если частица,
отклонённая вправо, шла в том же направлении, что и электрон,
она должна быть заряжена положительно. На фотографии видно,
что эта частица слабо отклоняется магнитным полем, следователь-
но, её импульс велик. Действительно, измерения радиуса кривиз-
ны траектории дают для импульса отклонённой вправо частицы
значение р .= 450	. Однако протон с таким импульсом обладает
§ 320]	ОТКРЫТИЕ ПОЗИТРОНА	673
скоростью у = 0,45 с и должен был бы поэтому ионизовать в четыре
раза сильнее, чем быстрый электрон. Между тем при самом внима-
тельном рассмотрении фотографии нельзя обнаружить никакого
различия в удельной ионизации, вызываемой обеими частицами.
Отсюда следует, что масса положительно заряженной частицы зна-
чительно меньше массы протона.
Вторая фотография, доказывающая существование лёгких
положительно заряженных частиц, была получена Андерсоном при
Рис. 436. Магнитное поле 12 000 эрстед. Элек-
трон с энергией 27 MeV отклонён влево. По-
зитрон с энергией 450 MeV отклонён впра-
во. Обе частицы, невидимому, выходят из
одной точки.
помещении в камеру Вильсона свинцовой пластинки толщиной
6 мм. Рис. 437 изображает полученную при этом фотографию
прохождения заряженной частицы через пластинку. Измерение
кривизны траектории показывает, что импульс частицы до вхожде-
ния в пластинку был 63 ——, а после прохождения пластинки
частица потеряла значительную часть своей энергии, и её импульс
стал равен 23	. Приведённая фотография однозначно решает
вопрос о направлении движения частицы в камере: частица шла
сверху вниз, а не наоборот, так как прохождение частицы через
свинец должно сопровождаться уменьшением её энергии. Наира-
674
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл, XXIV
влепие отклонения частицы соответствует положительному заря-
ду. Невозможно объяснить эту фотографию предположением, что
on MeV
она вызвана протоном: в газе камеры протон с импульсом р=ЬЗ
будет иметь пробег, по крайней мере в 10 раз меныпий, чем тот,
который виден на фотографии. Кроме того, невозможно обнаружить
разницу в удельной ионизации, производимой частицей до и после
вхождения в пластинку. Это указывает на то, что в обоих случаях
скорость частицы не изменилась заметно, т. е. что это—лёгкая «реля-
тивистская» частица. Совокупность указанных доводов позволила
Рис. 437. След позитрона в камере Вильсо-
на, помещённой в магнитное поле.
высказать предположение, что рассматриваемая траектория обра-
зована частицей, имеющей массу, близкую к массе электрона, и
положительный заряд, т. е. позитроном. Со свойствами позитронов
мы уже познакомились раньше (см. §§ 281—283).
§ 321. Ливии
Наиболее замечательным из вторичных эффектов, возника-
ющих при прохождении космических лучей через вещество,
является образование так называемых ливней космических ча-
стиц. Д. В. Скобельцын был первым физиком, обнаружившим
(1929 — 1931 гг.), что на вильсоновских фотографиях часто появляет-
ся несколько космических частиц сразу. Блэкет и Оккиалини
§ 321]
ЛИВНИ
675
в 1932 г., воспользовавшись камерой Вильсона, автоматически
управляемой двумя счётчиками, сфотографировали потоки, со-
стоявшие из 15—20 частиц. Эти потоки они и назвали ливнями.
Применение управляемой камеры Вильсона позволило получить
замечательные фотографии ливней, два примера которых мы при-
водим на рис. 438—439. Эти рисунки показывают с большой ясно-
стью, что ливни содержат приблизительно одинаковое число пози-
тронов и электронов.
С помощью камер, контролируемых счётчиками, с 1933 по
1936 г. многими исследователями было подробно изучено явление
образования ливнеи и получены следу-
ющие результаты:
1.	Было показано, что около 80%
всех снимков в камере Вильсона содер-
жат траектории одиночных частиц и
на 20% снимков видны ливни частиц.
2.	Как среди одиночных частиц, так
и среди частиц, входящих в состав лив-
ней, положительно и отрицательно за-
ряженные частицы встречаются пример-
но в равном числе.
3.	Частицы, входящие в состав лив-
ней, проходя через свинцовую пластин-
ку, расположенную в камере, часто
дают начало новым ливням (см. рис. 445).
4.	Часто наблюдалось, что из свин-
цовой пластинки, расположенной в ка-
мере, выходит ливень частиц, тогда
как при этом не наблюдается вхожде-
ния частицы в пластинку. Очевидно,
Рис. 438. Ливень, состо-
ящий из 14 частиц.
что в ливнях имеется неионизующая составляющая, вызывающая
ливни (рис. 439а).
Явление ливней, начиная с 1933 г., изучалось совершенно
независимо от метода камеры Вильсона с помощью метода совпа-
дений разрядов в счётчиках Гейгера—Мюллера.
Представим себе, что счётчики 1, 2, 3 на рис. 440,а или 1, 2, 3, 4
на рис. 440,6 включены по схеме совпадений. Очевидно, что для
того, чтобы регистрирующая система сработала, необходимо,
чтобы через эти счётчики одновременно прошли по крайней мере
2—3 различные частицы, как это показано на рис. 440, Ь. Следова-
тельно, такая система не будет регистрировать одиночные частицы,
которые, как указывалось выше, составляют около 80% всех
частиц, проходящих через камеру Вильсона, и будет чувствительна
только к ливневой части космического излучения.
Было найдено, что число совпадений, считаемых такими «лив-
невыми» установками, возрастает при помещении над ними всё
676
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
больших слоёв вещества, достигает максимума и затем, при пере-
ходе к ещё большим толщинам, медленно уменьшается.
Рис. 439. Плотный ливень электронов высокой энергии,
падающий вертикально па платиновую пластинку толщи-
ной в 1 см.
Рис. 439а. Неионпзующая частица, невиди-
мому, фотон (следы над пластинкой от-
сутствуют), создаёт в пластинке ливень,
состоящий пз 10 электронов.
На рис. 441 показан вид кривой, дающей зависимость совпаде-
ний, считаемых «ливневой» системой, от толщины поглотителя,
§ .321]	ливии	677
стоящего над установкой. Эта типичная кривая носит название
«переходной кривой», или кривой Росси.
Если в качестве поглотителя брать свинец, максимум кривой
приходится на 2 см свинца над установкой, а сильное падение
происходит при 3—5 см. Дальше кривая падает очень медленно.
Рассмотрение переходной кривой приводит к заключению, что
ливии, наблюдаемые под слоями вещества, образованы двумя
частями космического излучения (двумя компонентами), сильно
отличными по своим свойствам. Плоская часть («хвост») кривой
образована излучением, в состав которого входят частицы, чрез-
вычайно слабо поглощаемые в свинце: один метр свинца погло-
щает их только наполовину, тогда как подъём, максимум и быстрый
Рпс. 440.
Рпс. 441. Переходная кривая.
спад переходной кривой вызваны ливневыми частицами, сильно
поглощаемыми в свинце.
Дальнейшие исследования ливней с помощью установок, подоб-
ных показанным на рис. 440, имели целью установить, как
меняется вид переходной кривой в зависимости от атомного номера
вещества, помещаемого над установкой. Очевидно, что наклон
переходной кривой при малых толщинах вещества над уста-
новкой будет пропорционален вероятности образования ливней
первичными частицами, попадающими в поглотитель. Подобные
измерения, производившиеся многими исследователями, пока-
зали, что вероятность образования ливней в начале переходной
кривой, рассчитанная на 1 атом вещества, пропорциональна квад-
рату атомного номера вещества Z2.
Таковы в общих чертах основные экспериментальные данные
об образовании ливней.
Механизм возникновения ливней, которые являются совершен-
но своеобразным явлением, не имеющим аналога в других обла-
стях физики, довольно долго представлялся загадочным. Ниже
678	КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ	[гл. XXIV
мы покажем, что все свойства ливней получили простое объяс-
нение в каскадной теории ливней. Для этого прежде всего нам
необходимо познакомиться несколько детальнее с вопросом о вза-
имодействии быстрых заряженных частпц с веществом.
§ 322. Взаимодействие быстрых частиц с веществом
При прохождении через вещество быстрые заряженные частицы
ионизуют атомы вещества. Из формулы (318,1) следует, что вели-
чина ионизационных потерь энергии быстро убывает с увеличе-
нием скорости частицы. На рис. 442 приведена кривая иониза-
Рис. 442. Потери энергии на ионизацию и излучение.
ционных потерь в функции скорости частицы. Мы видим, что при
очень больших энергиях частицы её потерн энергии па ионизацию
становятся совершенно незначительными. Поэтому, казалось бы,
что весьма быстрые электроны (пли позитроны) могут пробивать
огромные толщи вещества без заметного уменьшения скорости.
Из таблицы LXIX следует, например, что быстрая частица,
двигаясь в свинце, теряет па ионизацию около 1,1-IO7 eV на ка-
ждом сантиметре пути. Поэтому если бы быстрые электроны терялп
энергию только на ионизацию, то электрон с энергией 109 eV
имел бы пробег около 90 см свинца. Однако оказывается, что, кроме
потерь па ионизацию, у электронов существуют ещё и другие,
гораздо большие потери энергии, которые уменьшают действи-
тельный пробег электрона. Эти дополнительные потери в рас-
сматриваемом нами примере электрона с энергией 109 eV приво-
дят к тому, что его пробег уменьшается в 10 раз, т. е. делается
равным 9 см свинца. Чтобы уяснить природу этих дополнительных
потерт, энергии, представим себе электрон, пролетающий с весьма
§ 322] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ С ВЕЩЕСТВОМ	679
в котором летит заряженная частица;
обратно пропорциональна квадрату
Ъ)
Гис. 443. Электрическое поле: а —поко-
ящегося или медленно движущегося заря-
да, b—быстро движущегося заряда.
большой скоростью в электрическом поле атомного ядра с заря-
домБлагодаря сильному взаимодействию электрона с ядром
электрон изменит свою скорость, т. е. получит при этом некоторое
ускоренно. Однако пз теории излучения известно, что ускоренно
движущийся заряд излучает энергию. Поэтому, пролетая через
вещество, электрон начинает излучать. Это явление носит назва-
ние излучения торможения. Расчёт показывает, что
1)	величина излучённой энергии пропорциональна квадрату
атомного номера вещества,
2)	излучённая энергия
массы заряженной частицы;
3)	при взаимодействии
электрона с одним ядром
с наибольшей вероятно-
стью возникает один фотон.
Отсюда следует, что тя-
жёлые частицы теряют на
излучение очень мало энер-
гии [например, протон те-
ряет примерно в (1840)2=
= 34-105 раз меньше элек-
трона]. Поскольку потери
па излучение пропорци-
ональны Z2, потери энер-
гии в тяжёлых веществах
(например, в свинце) гораздо больше, чем в лёгких (в воздухе или
алюмиптш). На рпс. 442 показаны потери энергии, которые испыты-
вает электрон в евппце. Мы видим, что при малых энергиях преоб-
ладающую роль играют потери па ионизацию, потерн же на излу-
чение весьма малы, и ими можно пренебречь по сравнению с поте-
рями энергии па ионизацию. Однако при определённой для ка-
ждого вещества критической энергии (в частности, в свинце,
к которому относятся кривые на рис. 442, критическая энергия
7sA. = 6,4: MeV) кривые ионизационных потерь электрона и по-
терь па излучение торможения пересекаются; при энергиях,
превышающих критическую, потери эпергпп па излучение тор-
можения начинают играть основную роль, и ионизационными
потерями можно пренебречь. Для сравнения на том же рпс. 442
представлена кривая потерь эпергпп протоном.
Причину возрастания потерь на излучение при приближении
скорости электрона к скорости света можно качественно объяснить
следующим образом. Покоящийся или медленно движущийся
электрон обладает сферически симметричным электрическим полем:
сплоные линии расходятся во всех направлениях с одинаковой
густотой (рис. 443,а). По мере приближения скорости электрона
к скорости спета, как доказывается в теории относительности,
680
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
происходит деформация поля: оно сжимается, концентрируясь по
преимуществу у экваториальной области (рис. 443,6). Предста-
вим себе теперь, что такой быстрый электрон проходит мимо ядра
(рис. 444). Поле электрона ограничено некоторой областью,
которая будет тем уже, чем ближе скорость электрона к скорости
света. Поэтому при возрастании скорости электрона время взаимо-
действия его с ядром уменьшается; между тем импульс силы (т. е.
произведение силы на время), приобретаемый электроном вслед-
ствие этого взаимодействия, как показывает теория относитель-
ности, остаётся без изменения. Поэтому сила, действующая на
электрон, возрастает, а сле-
довательно, возрастает уско-
рение. Но пз теории электро-
магнитного излучения извест-
но, что излучение заряженной
частицы пропорционально
квадрату со ускорения (см.
т. I, §63). В этом и заключает-
ся причина резкого возраста-
ния тормозного излучения
при увеличении скорости
электрона.
Существ о в а ние и з л у чени я
торможения приводит к тому,
что весьма быстрые электро-
ны, попадая в вещество, на-
Рис. 444. Взаимодействие быстро дви- пинают сильно излучать и
ищущегося заряда с ядром.	скоро теряют свою энергию.
Например, электрон с энер-
гией 10 MeV в свинцовой пластинке толщиной к мм теряет половину
своей первоначальной энергии. Поэтому даже очень быстрые элек-
троны не могут проходить через большие толщи вещества.
Теория показывает, что при торможении электрон, обладающий
большой энергией, излучает у-фотоны с энергией того же порядка
величины, что и энергия самого электрона. Грубо говоря, энергия
излучённого у-фотона равна половине энергии излучившего этот
фотон электрона. Кроме того, направление вылета фотона почти
совпадает с направлением полёта электрона, т. е. у-фотоны излу-
чаются преимущественно вперёд.
§ 323.	Образование каскадных ливней
Рассмотрим теперь попавший в слой какого-либо вещества
весьма быстрый электрон с энергией, много большей критической.
Из только что сказанного вытекает, что благодаря взаимодей-
ствию с ядрами вещества электрон, пройдя определённый путь
§ 323]
ОБРАЗОВАНИЕ КАСКАДНЫХ ЛИВНЕЙ
681
в веществе, обязательно излучит у-фотон с энергией того же
порядка, что и энергия электрона, и с направлением полёта,
приблизительно совпадающим с направлением полёта электрона.
Излучённый у-фотон будет, следовательно, обладать энергией,
значительно превышающей 2т??0с2, а поэтому, двигаясь в веществе,
он рано или поздно обязательно образует пару электрон—пози-
трон (§ 283). Обе частицы образовавшейся пары будут обладать
энергией, равной примерно половине энергии у-фотона, т. е.
снова будут иметь энергию, значительно большую критической.
Направление полёта электрона и позитрона будет почти точно
том же самым, что и направление полёта фотона.
Таким образом, кроме одного электрона, попавшего в веще-
ство в результате описанных процессов, появятся электрон п пози-
трон, летящие в том же направлении и обладающие большой
энергией, во много раз превышающей критическую. Поскольку
энергия электрона и позитрона ещё очень велика, каждый из
них излучит по у-фотону. Эти у-фотоны в свою очередь
будут создавать новые пары п т. д. Мы видим, таким об-
разом, что создаётся как бы лавина частиц, летящая прибли-
зительно в направлении полёта первичного электрона. Число
частиц в лавнпе должно быстро возрастать, а энергия, прихо-
дящаяся на долю одной частицы,—падать в результате после-
довательных актов излучения торможения и образования
пар.
Такое явление и будет лпвнеобразованпем, а совокупность
всех летящих частпц образует так называемый каскадный ливень.
Так как энергия, приходящаяся на каждую частицу в ливне
(при этом под частицей мы подразумеваем также и фотон), будет
всё меньше и меньше, то в конце концов в ливне будут образовы-
ваться электроны и фотоны с энергией, меньшей критической.
Такие электроны практически уже не будут излучать, а будут
терять энергию на ионизацию и в конце концов—тормозиться.
Точно так же и у-фотоны с энергией, меньшей критической,
будут терять энергию на эффект Комптона и поглощаться. Таким
образом, с течением времени образование новых частпц пре-
кратится, лавина перестанет нарастать и будет быстро погло-
щаться.
Каскадные ливни, совершенно аналогичные описанным,
должны создавать также и у-фотопы весьма больших энергий.
Разница состоит лишь в том, что у-фотоны будут в первом акте
создавать пары, а частицы пары в свою очередь будут уже обра-
зовывать ливни. Число частпц в ливне зависит от начальной
энергии падающей частицы и от толщины пройденного слоя.
Максимальное число частиц в ливне будет, очевидно, в тот мо-
мент, когда па долго каждой частицы или фотона будет прихо-
диться энергия, в среднем равная критической. Это число может
682
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
Е
быть, таким образом, оценено из отношения где Ео—началь-
ная энергия падающей частицы, а Ек—критическая энергия в дан-
ном вещество (предполагается, что 7?0 >Ь\). Если энергия первич-
ной частицы достаточно велика, то число, частиц в ливне будет
также очень велико—несколько десятков или даже несколько
сотен.
Образование каскадных ливней сильно зависит от вещества.
Действительно, излучение торможения (а также, как показывает
теория, и образование пар) растёт с ростом атомного номера,
как Z2. Кроме того, критическая энергия, при которой стано-
вится заметным излучение торможения, в тяжёлых веществах
значительно меньше, чем в лёгких (например, критическая энер-
гия в свинце равна 6,4-106 eV, а в воздухе—7,2<107 eV). Поэтому
образование ливней в свинце должно начинаться при меньших
энергиях, чем в воздухе; кроме того, среднее число частиц в ливне
в свинце должно быть больше, чем среднее число частиц в ливне
в- воздухе.
Представим себе, что в свинцовую пластинку, помещённую
внутрь камеры Вильсона, попадает космическая частица, без-
различно—первичная пли вторичная, по обладающая ещё доста-
точной энергией для образования ливней в свинце (_£’>107eV).
Такая частица образует ливень, и вместо одной частицы, вошед-
шей в свинец, из пего вылетит несколько частиц. Все лпвповые
частицы будут возникать па сравнительно небольшом участке
пути. Поэтому наблюдателю покажется, что все эти частицы
вылетают из одной точки в свинцовой пластинке.
Первые ливни, замеченные в 1933 г., интерпретировались
именно таким образом. Последующие исследователи, вплоть до
1937 г., также истолковывали ливни как результат акта одновре-
менного создания нескольких частиц в определённом месте веще-
ства. Такой акт образования нескольких новых частиц казался
совершенно удивительным, так как согласно квантовой механике
одновременное возникновение нескольких частиц (подобно одно-
временному излучению нескольких фотонов) является весьма
маловероятным событием. Поэтому казалось, что частое появление
ливней свидетельствует о неприменимости квантовой теории к ча-
стицам таких больших энергий, при которых начинается ливпе-
образование. Это недоразумение было рассеяно описанной выше
лавинной теорией ливней, так как последовательное возникнове-
ние ливневых частиц в виде лавины непосредственно вытекает пз
квантовой механики.
Весьма убедительным подтверждением правильности лавин-
ной теории ливней, совершенно наглядно доказывающим, что
ливень образуется не в одном акте, а постепенно, являются фото-
графии, полученные в камере Вильсона, внутри которой помещена
§ 323]	ОБРАЗОВАНИЕ КАСКАДНЫХ ЛИВНЕП	683
не одна, как обычно, а несколько свинцовых пластинок, распо-
ложенных последовательно одна над другой. Космические частицы,
проходя через все пластинки, дают типичную картину каскадных
ливней, вроде приведённой на рпс. 445. Здесь приходящая сверху
частица учетверяется в первой пластинке (толщиной в 6 мм),
затем снова учетверяется во второй пластинке (той же толщины).
Выходящие из второй пластинки 16 частиц затем лишь несколько
рассеиваются в третьей пластинке (толщина 0,7 мм). Это последо-
вательное увеличение числа частиц соответствует каскадной тео-
рии, если только приписать начальной частице энергию около
2-109 eV.
Рис. 445. Образование каскадного ливня.
Число частиц в ливне, как мы уже говорили, зависит от началь-
ной энергии ливнеобразугощей частицы.
На рис. 446 приведена фотография развития небольшого
каскадного ливня. Фотография эта интересна том, что в проме-
жутках между первой и второй пластинками (сверху) не видно следа
ионизующей частицы. Это значит, что в указанном промежутке про-
шёл 7-фотон, возникший при торможении в верхней пластинке.
Мы видим, таким образом, что казавшийся совершенно зага-
дочным в первой стадии изучения процесс образования каскадных
Ливией получил простое и исчерпывающее объяснение. Эксцери-
моятальное и теоретическое исследование этих ливней позволило
развить каскадную теорию прохождения быстрых заряженных
частиц и у-кваптов через вещество. Эта теория сыграла огромную
роль в нопимавии свойств космических лучей. Она объяснила
свойства основной части мягкой компоненты и позволила экспери-
684
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
ментально разделять все явления, связанные с взаимодействием
космических лучей с электрическими полями атомных ядер и атом-
ных оболочек, от специфически ядерных процессов, на которых
Рис. 446. Развитие небольшого каскадного ливня.
после этого сосредоточилось внимание исследователей. В теорети-
ческом исследовании каскадных ливней большую роль сыграли
работы Л. Д. Ландау, И. Е. Тамма и В. 3. Беленького.
§ 324.	Мягкая и жёсткая компоненты
Согласно сказанному в предыдущих параграфах электроны,
позитроны п жёсткие у-фотоны космических лучей, попадая в сви-
нец, должны образовывать ливни и быстро поглощаться. Если бы
космические лучи состояли только из таких частпц, то при значе-
ниях энергии частиц космических лучей около 3-10° eV (их средняя
энергия на уровне моря) в слое свинца толщиной несколько деци-
метров должно было бы произойти почти полное их поглощение.
Мы уже знаем, что в действительности это не так: космические лучи
состоят из двух компонент, мягкой и жёсткой. Мягкая компонента
действительно поглощается почти нацело в 10—15-сантиметровом
слое свинца, тогда как жёсткая компонента обладает очень боль-
шой проникающей способностью. Вопрос о соотношении между
интенсивностями мягкой и жёсткой компонент на разных высотах
был рассмотрен в § 316, где было указало, что около 1/3 косми-
ческих лучей на уровне моря входит в состав мягкой компоненты.
Далее, в § 321 мы видели, что около 20% всех заряженных
§ 324]
МЯГКАЯ PI ЖЁСТКАЯ КОМПОНЕНТЫ
685
частиц, регистрируемых в камере Вильсона на уровне моря,
создают ливни и поглощаются в 10—-15 см свинца. Естественно
поэтому отождествить ливнеобразующую часть космических лучей,
по крайней мере на уровне моря, с мягкой компонентой. Правиль-
ность такого вывода подтверждается также измерением поглощения
космических лучей в лёгких и тяжёлых веществах.
В § 322 было показано, что электроны и позитроны боль-
шой энергии благодаря столкновениям с ядрами вещества быстро
теряют свою энергию на излучение. Жёсткие у-фотоны в поле
ядра с большой вероятностью образуют пары, состоящие из
электрона и позитрона. Оба эти процесса приводят к раздробле-
нию большой энергии первичного электрона пли у-фотона между
большим числом вторичных частиц—электронов, позитронов и
у-фотонов, образующих ливень. Эффективное сечение обоих про-
цессов—образования пар п излучения торможения, отнесённое
к одному атому, пропорционально Z-.
В § 318 мы рассматривали совершенно другой вид взаимодей-
ствия быстрых частиц с веществом—ионизацию атомов среды —
п показали, что ионизационные потери энергии, отнесённые к од-
ному атому, зависят от числа электронов в атомной оболочке,
т. е. пропорциональны Z.
Таким образом, установление зависимости коэффициентов
поглощения мягкой и жёсткой компонент от атомного номера по-
глощающего элемента позволило бы установить характер взаимо-
действия обоих компонент с веществом и тем самым помогло бы
установить физическую природу частиц, образующих эти компо-
ненты. Такие измерения были проведены с большой тщательностью.
Они показали, что мягкая компонента гораздо сильнее погло-
щается в тяжёлых элементах, чем в лёгких: при равном числе
атомов в поглощающем слое поглощение мягкой компоненты
пропорционально Z2. Мы видим поэтому, что мягкая компо-
нента поглощается в лёгких и тяжёлых элементах по тому же
закону, по которому поглощаются быстрые электроны. Это убе-
ждает нас в том, что мягкая компонента состоит из быстрых элек-
тронов и позитронов. Совсем другую зависимость от атомного
номера Z поглощающего элемента обнаруживает коэффициент
поглощения жёсткой компоненты. Оказывается, что поглощение
жёсткой компоненты зависит только от числа электронов в погло-
щающем слое: два элемента с разными Z поглощают жёсткую
компоненту космических лучей одинаково, если число электронов
в обоих поглощающих слоях равно. Это значит, что в отличие от
мягкой компоненты жёсткая компонента, проходя через веще-
ство, теряет энергию в основном только на ионизацию атомов
вещества.
Вопрос о природе частиц, образующих жёсткую компоненту,
не был решён вплоть до 1936—1937 гг., когда после тщательного
686
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
анализа свойств частиц, входящих в состав космического излу-
чения, было показано, что жёсткая компонента состоит из нового
рода элементарных частиц, до тех пор физике неизвестных. Эти ча-
стицы впоследствии были названы мезотронами, плн мезонами.
§ 325.	Мезоны
В §§ 246 и 250 мы видели, что существование мезонов, т. е.
частиц с массой, промежуточной между массами электрона и про-
тона, было предсказано Юкавой. Экспериментально существование
подобных частиц было установлено в 1936 г. Андерсоном и Нед-
дермейером путём систематического исследования потерь энер-
гии космических частиц при прохождении через вещество.
С этой целью в камеру Вильсопа помещалась пластинка силь-
но поглощающего вещества (свинец пли платина) и производи-
лось измерение кривизны следа частицы до и после прохо-
ждения через пластинку. Зная радиус кривизны р и напря-
жённость поля и пользуясь соотношением рс=300еЭ^р
(см. § 319), можно найти импульс р, а следовательно, и энергию
частицы.
Эти измерения показали, в полном соответствии с тем, что
даёт анализ кривой поглощения космических лучей, что все
частицы, проходившие через пластинку, можно было разбить
на две группы, свойства которых оказались аналогичными свой-
ствам мягкой и жёсткой компонент, обнаруженным на кривой
поглощения. Частицы первой группы, проходя через пластинку,
испытывали, как и следовало ожидать, большие потери энергии.
При выходе из пластинки некоторые пз частиц этой группы
отклонялись магнитным полем в ту сторону, которая соответ-
ствует отрицательному заряду, другие отклонялись в противо-
положную сторону, обнаруживая положительный заряд.
На рис. 447 приведён пример одной из таких частиц. Здесь
видна положительно заряженная частица с энергией l,9-108eV,
которая, пройдя через слой в 1 см платины, теряет большую
часть своей энергии и выходит с энергией, равной всего 5-106cV,
вследствие чего путь её сильно изгибается в магнитном поле.
При подходящих условиях (достаточная начальная энергия и тол-
щина проходимого слоя) такие сильно поглощающиеся частицы
дают начало ливням. Примером может служить рис. 448, где
видна группа из трёх ливневых частиц с энергиями боль-
ше 5-108eV каждая; проходя через платиновую пластинку, эти
частицы создают ливень из электронов и позитронов. Такое по-
ведение частиц первой группы позволяет отождествить их с элек-
тронами и позитронами, которые должны терять очень много
энергии на излучение при прохождении через вещество и вызы-
вать ливни.
§ 325J
МЕЗОНЫ
687
Таким образом, из этих исследований вытекало, что в состав
первой группы частиц входят те же самые частицы, которые обра-
зуют мягкую компоненту па кривой поглощения. Частицы этой же
группы, если их регистрировать с помощью установки, чувстви-
тельной к ливням, образуют подъём, максимум и резкий спад пе-
реходной кривой.
Рис. 448. Сильно поглоща-
ющиеся частицы создают лив-
ни в платине.
Рис. 447. Космическая частица, пройдя
через платиновую пластинку толщиной
в 1 см, испытала большую потерю энер-
гии. (Рядом расположен след частицы,
почти пе потерявшей энергии при про-
хождении через ту же пластинку.)
Рпс. 449. Пример слабо погло-
щающейся космической частицы.
Частица с энергией 1,8 • 10s eV,
пройдя через слой платины в 1 см,
теряет всего одну треть своей
энергии.
Вторая группа частиц, также
знаков,
метных потерь энергии, так что
кривизна их траектории совсем не
изменялась при выходе из пластин-
ки. Очевидно, что эта группа частиц
представляет именно жёсткую ком-
поненту космических лучей с ма-
лым коэффициентом поглощения, о
которой речь шла выше.
На рпс. 44.9 показан след такой
частицы. Эта частица до прохожде-
ния через 1 см платины имела энер-
гию l,8-108eV, по выходе- 1,2 х
X 108 eV, т. о. она теряет всего одну
треть своей энергии при прохожде-
нии через толстый слой вещества,
сильно поглощающего обыкновен-
ные электроны. Кроме того, сравне-
ние с предыдущими фотографиями
следа больше, чем это бывает у обычного электрона, но меньше,
чем у протона.
Другой пример приведён на рис. 450. Здесь сфотографирован
путь частицы, которая после прохождения через толстую свинцо-
включающая частицы оооих
не обнаруживала при прохождении через пластинку за-
показывает, что густота её
688
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
вую пластинку но испытывает никакого отклонения, несмотря на
то, что камера Вильсона была помещена в магнитное поле.
Мы видим, что два различных метода исследования: изучение
поглощения космических лучей с помощью системы из счётчиков
Гейгера—Мюллера и изучение потерь энергии, испытываемых ин-
дивидуальными частицами в пластинке, помещённой в камере Виль-
сона, в полном согласии друг с другом приводят к представле-
нию о существовании в космическом излучении двух компонент:
мягкой и жёсткой. Природа мягкой компоненты ясна: это—бы-
стрые электроны, позитроны п f-фотоны. Взаимодействием этой
мягкой компоненты с электрическим полем ядер вещества
объясняется, как мы видели выше, возникновение ливней.
Рис. 450. Другой пример слабо поглощающейся косми-
ческой частицы: после прохождения через толстый слой
свинца частица не испытывает заметного уменьшения
скорости.
Что мы можем сказать о частицах, образующих жёсткую ком-
поненту? Мы знаем о них пока только то, что они обладают
большой энергией и теряют энергию в основном на ионизацию.
Однако по законам квантовой механики все лёгкие частицы
(электроны и позитроны) должны терять большое количество
энергии на излучение при прохождении через вещество с большим
атомным номером. Поэтому на основании поведения второй груп-
пы частиц можно сделать два предположения: 1) законы квантовой
механики становятся неприменимыми по каким-то причинам
к частицам с большими энергиями, имеющимся в космических
лучах, и 2) частицы второй группы, образующие жёсткую компо-
ненту космического излучения, не являются электронами и пози-
тронами, а оказываются какими-то другими частицами с большей
массой. Так как вероятность потерь энергии на излучение обратно
пропорциональна квадрату массы частиц, то тяжёлые частицы
(например, протоны) практически вовсе не излучают.
Что касается первого предположения, то, пе говоря о связан-
ных с ним принципиальных трудностях, его необходимо отвергнуть
как прямо противоречащее опыту. Действительно, в §§ 322—323
мы видели, что квантовая механика остаётся применимой во вся-
ком случае к частицам с энергией порядка 109—1010 eV, образую-
§ 326)
СВОЙСТВА н-МЕЗОНОВ
689
щим обычные каскадные ливни. Измерения же энергии частиц
второй группы показали, что их средняя энергия на уровне моря
^3 • 109 eV. Поэтому первое предположение совершенно неприемлемо.
Переходя ко второму предположению, естественно сделать гипо-
тезу, что частицы этой группы представляют собой протоны.
Однако, не говоря уже о том, что протоны заряжены положитель-
но, а в состав второй группы положительно и отрицательно заря-
женные частицы входят примерно в равном числе, протоны с энер-
гией, меньшей, чем 109 е V, должны производить благодаря своей
большой массе гораздо большую ионизацию и, следовательно,
оставлять в камере Вильсона гораздо более широкие следы, чем
те, которые оставляют частицы проникающей группы. Последую-
щие измерения следов проникающих частиц в камере Вильсона
показали, что они создают в ней ионизацию, промежуточную
между ионизацией протона и электрона.
Измеряя в камере Вильсона ионизацию, пробег и импульс про-
никающих частиц, можно, как это было подробно показано
в § 319, зная любые две из этих трёх величин, оценить массу про-
никающих частиц. Оказалось, что основная доля частиц прони-
кающей компоненты имеет массу, величина которой лежит между
массами электрона и протона. Наиболее точные измерения, про-
изведённые в последние годы, показали, что масса этих частиц
близка к 200 массам электрона.
Таким образом, частицы проникающей группы оказались со-
вершенно новым видом частиц, до последнего времени не наблю-
давшимся ни в каких известных явлениях природы. Новые части-
цы получили названия мезонов. Заряд мезона совпадает с зарядом
электрона.
Дальнейшее исследование свойств мезонов обнаружило в кос-
мических лучах целое семейство различных мезонов с различными
массами и свойствами. Начиная с 1948 г. мезоны с массой около
200 т&, образующие основную часть жёсткой компоненты космиче-
ских лучей, называют р-мезонами, чтобы отличить их от других
типов мезонов, наблюдаемых в космических лучах.
§ 326.	Свойства ^.-мезонов
а)	Масса р-мезона. Первые определения массы мезонов произ-
водились для медленных мезонов, тормозящихся в газе, наполняю-
щем камеру Вильсона. Мы указывали уже на трудности, возни-
кающие при попытке определить массу мезона методом камеры
Вильсона.
Действительно, при всех способах определения массы (см. § 319)
необходимо знать две из следующих трёх величин: импульс, удель-
ная ионизация и пробег. Измерение первых двух величин для
медленной частицы представляет большие трудности: медленная
690
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
частица сильно рассеивается ядрами атомов газа, наполняю-
щего камеру Вильсона, и поэтому измеренный на фотографии
радиус кривизны её траектории сильно отличается от того ра-
диуса, который траектория имела бы, если бы частица двигалась
в безвоздушном пространстве. Определить более или менее точно
ионизацию, производимую медленной, т. е. сильно ионизующей,
частицей вдоль своего пути, также весьма трудно. Поэтому опре-
деление массы, произведённое многими исследователями для
медленных мезонов, следовало
рассматривать скорее как гру-
бую оценку её величины, а не
как точное физическое измере-
ние. По этой оценке масса мезо-
нов, обнаруживаемых на уровне
моря, заключена в пределах
100—400 электронных масс.
Для того чтобы в камере
Вильсона точно определить мас-
су мезона, нужно это определе-
ние производить для быстрого
мезона, для которого рассеяние
очень мало исказит радиус кри-
визны. Но быстрые мезоны не
поглощаются в небольшом коли-
честве газа, наполняющего каме-
ру Вильсона. Это вызывает необ-
ходимость помещать для опреде-
ления пробега быстрой частицы
в камеру Вильсона пластин-
ки плотного вещества, напри-
мер свинца или золота. Чтобы
точнее определить пробег, необ-
ходимо вместо одной толстой пластинки поместить несколько тон-
ких. Наиболее совершенные измерения такого рода были выполнены
на установке, показанной на рис. 451. Она состояла из двух камор
Вильсона А и В, расширение которых управлялось телескопом из
счётчиков Гейгера-Мюллера С2, С3. Первая камера Вильсона А
помещалась в сильное магнитное поле (5300 эрстед). Опа слу-
жила исключительно для определения импульса мезона по вели-
чине (см. § 319). Во вторую камеру помещалось восемь
пластинок свинца толщиной 1,2 см каждая. Таким образом,
пробег мезона в свинце определялся с точностью до 6 мм. Изме-
рения производились на уровне моря. Для того чтобы изба-
виться от электронов и использовать мезоны из наиболее интен-
сивной области спектра, над всей установкой помещалось
30 сл« свинца.
§ 326]
СВОЙСТВА ц-МЕЗОНОВ
691
Всего на описанной установке было произведено 26 опреде-
лений масс мезонов. Среднее значение массы у.-мезона, полученное
из этих измерений, равно 202 те.
Ь)	Распад р-мезонов. Экспериментальные исследования
свойств fi-мезонов показывают, что эти частицы нестабильны и
распадаются, испуская ^-частицы и нейтрино.
Этот распад был впервые зафиксирован на фотографии следа
остановившегося мезона в камере Вильсона, полученной в 1940 г.
Вильямсом и Робертсом. Фотография приведена на рис. 452. Здесь
мы видим траекторию частицы ABCDEF, плотность ионизации в
а)	6)
Рис. 452. Распад ц-мезопа в камере Вильсона:
a-фотография распада, Ъ—увеличенный участок конца следа мезона.
следе которой очень велика. В точке F частица останавливается
и из конца её следа F берёт начало след FG другой частицы,
с плотностью капелек, значительно меньшей, чем в следе ABCDEF.
Анализ этой фотографии привёл к заключению, что первичная
частица есть положительный мезон, который, затормозившись в
камере Вильсона, распадается, превращаясь в позитрон. Импульс
позитрона распада был грубо оценён в 50 а по удельной ио-
низации в его следе можно было заключить, что его скорость
близка к скорости света. Поэтому его кинетическую энергию
можно считать равной просто ре (см. § 319), т. е. в данном слу-
чае 50 MeV, а так как полная энергия, соответствующая массе
покоя у-мезона, т. е. 200те, есть 100 MeV (масса те соответствует
0,5 MeV), то на долю позитрона приходится половина всей энер-
гии. Отсюда на основании закона сохранения импульса надо было
заключить, что у.-мозон распадается на две частицы, между
692
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
гл. XXIV
которыми делятся пополам его импульс и энергия. Поскольку
следа второй частицы на фотографии не видно, ею должен быть
нейтрино.
Однако дальнейшие исследования, подтвердившие факт распада
р-мезона с образованием позитрона или электрона, внесли не-
которое уточнение в эти выводы. Оказалось, что импульс и энер-
гия электронов (или позитронов) распада не являются постоянны-
ми, так что заключение о распаде на две частицы—электрон (по-
зитрон) и нейтрино не верно.
Исследование энергетического спектра электронов, возникаю-
щих при распаде мезонов, производилось Г. Б. Ждановым и
А. А. Хайдаровым методом поглощения. Они показали, что
Рис. 453. Схема опыта по опреде-
лению энергетического спектра рас-
падных частиц.
электроны распада поглощают-
ся в графите быстрее, чем дол-
жны были бы поглощаться элек-
троны с энергией в 50 MeV, рав-
ной половине энергии покоя
р-мезона. Отсюда они заклю-
чили, что, невидимому, элек-
трон и нейтрино но являются
единственными частицами, возни-
кающими при распаде р.-мезона.
К такому же выводу пришли и
другие авторы, измерявшие
поглощение электронов, возни-
кающих при распаде р-мезонов.
Непосредственное измерение
энергетического спектра частиц,
возникающих при распаде р-ме-
зона, позволившее установить
схему его распада, было произ-
ведено Андерсоном и др. на уста-
Камера Вильсона
новке, схематически изображённой на рис. 453.
помещалась между полюсами электромагнита, создававшего магнит-
ное поле 7250 эрстед. Расширение камеры производилось в том слу-
чае, если совпадение разрядов в счётчиках и С2 (счётчик С2 был
помещён в самой камере) не сопровождалось разрядом в ряду счёт-
чиков С3. Очевидно, что управляемая таким образом камера Виль-
сона регистрировала каждый медленный мезон, застрявший в пла-
стинке угля Р толщиной 2 г/см2, помещавшейся в камере. С по-
мощью такого устройства удалось зафиксировать 75 случаев, когда
после поглощения мезона в пластинке Р из неё выходила
распадная частица, энергия которой могла быть определена.
Один из таких случаев изображён на рис. 454. Положительно
заряженный мезон входит в камеру сверху, проходит через счёт-
чик С2 и поглощается пластинкой Р. Из точки поглощения мезона
§ 326]
СВОЙСТВА ix-МЕЗОНОВ
693
в направлении, обратном его движению, выходит распадная ча-
стица. Её энергия после введения поправок, связанных с потерей
энергии в пластинке Р, оказалась равной 37^1,5 MeV.
Рис. 454. Положительно заряженный ц-мсзон поглощается в пластинке
угля, расположенной под счётчиком Гейгера—Мюллера. Из пластинки выходит
положительно заряженная распадная частица, энергия которой 37 ± 1,5 MeV.
На рис. 455 приведён энергетический спектр, полученный для
всех 75 наблюдавшихся случаев распада (по оси абсцисс отложена
энергия частиц, по оси ординат—число частиц).
Рис. 455. Энергетический спектр распадных
частиц.
Из рассмотрсиия этой кривой (полученной на уровне моря)
следует, прежде всего, что частицы, возникающие при распаде
мезонов, образуют непрерывный энергетический спектр. Вспом-
ним, что р--мезоны имеют массу около 200 т(1, и нам станет ясным,
что невозможно предположить, чтобы р.-мезон распадался на элек-
трон и нейтрино, так как при этом энергия распадных частиц была
бы во всех 75 случаях одной и той же и равной 50 MeV. Средняя
694
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
энергия электронов распада, вычисленная по спектру рис. 455,
оказывается равной 35 MeV. Поэтому наблюдаемый непрерывный
спектр естественнее всего объясняется предположением, что и-ме-
зоп распадается на электрон и две нейтральные частицы (невиди-
мому, пейтрипо), не обнаруживаемые па фотографиях камеры
Вильсона. Схема распада при этом будет такова:
рЛ —» е± + v -р v.
При таком распаде сумма импульсов всех трёх частиц должна
быть равна нулю, но между отдельными частицами импульс и
энергия распределяются любым образом, совершенно так же, как
это имеет место при [3-распаде. Поэтому энергетический
спектр — сплошной; в среднем каждая частица уносит 7з энергии
цокоя ^.-мезона, т. е. около 35 MeV. Заметим, что из такой
схемы распада сразу следует величина спина р.-мезона. Действи-
тельно, спин электрона равен V2, а спин двух нейтрино может
быть либо 0, либо 1. Отсюда следует, что спин р-мезона должен
быть равен 1/2 (или 3/2).
§ 327. Измерение времени жизни р-мезонов
Рассмотрим теперь экспериментальные методы определения
времени жизни [л-^езонов. Эти методы можно естественно разбить
на две группы: а) непосредственное измерение периода полурас-
пада [ь-мозонов, в принципе аналогичное измерению периода
полураспада радиоактивных веществ; 6) измерение разницы в
поглощении в плотных и разрежённых средах, вызванной распа-
дом [л-мезонов на их пути. Последняя группа опытов особенно
интересна потому, что она показывает, что основная часть жёст-
кой компоненты состоит из ^.-мезонов.
а)	Прямое измерение периода полураспада ^-мезонов. Время
жизни покоящегося или медленного р.-мезона, скорость которого
значительно меньше скорости света, исчисляется миллионными
долями секунды. Современные радиотехнические методы дают воз-
можность измерять такие времена весьма просто и с большой
точностью. Опыты, в которых с помощью таких методов измеряется
непосредственно время жизни индивидуального мезона, принадле-
жат, несомненно, к наиболее изящным и тонким исследованиям
в области космических лучей, если не ядерной физики вообще.
Они дают самое убедительное доказательство нестабильности ме-
зона и позволяют непосредственно измерить кривую распада мезо-
нов, подобно тому как это делается для любого радиоактивного
вещества. Идея этих опытов ясна из рис. 456. Здесь.Р—пластинка
плотного вещества, например свинца, поглощающая мезон; Л и В—
ряды счётчиков, соединённых параллельно и расположенных над
и под поглотителем; С—траектория мезона, застрявшего в погло-
§ 327]
ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ |х-МЕ30Н0В
695
Рис. 456. Регистрация рас-
пада покоящегося мезона
с помощью радиочасов.
тителе Р\ F—траектория электрона или позитрона распада.
Задача заключается в том, чтобы измерить интервал времени
между вхождением в пластинку Р мезона и вылетом из пла-
стинки продукта распада. Для фиксации этого интервала вре-
мени служат ряды счётчиков А и В. Мезон, проходя ряд счётчи-
ков А, вызывает импульс, который запускает радиотехническое
устройство, подобное часам, например
генератор синусоидальных колебаний.
Прохождение распадной частицы через
ряд счётчиков В вызывает остановку
«часов». Измерив число периодов коле-
баний генератора, заключённых между
двумя моментами времени, мы узнаем
интересующее нас время жизни мезона
в пластинке.
Другой метод измерения жизни ме-
зона, поглотившегося в пластинке Р,
заключается в том, что после разряда
в счётчиках А, вызванного прохожде-
нием мезона, начинается зарядка кон-
денсатора током постоянной величины. Зарядка конденсатора
прекращается после того, как электрон распада вызвал разряд
в счётчиках В. Измерив потенциал, до которого успел зарядиться
конденсатор, и зная его ёмкость,
Рис. 457. Кривая распада мезонов.
можно определить время между
разрядами в счётчиках Л и В.
Это время, очевидно, равно
времени жизни мезона в пла-
стинке Р. Произведя такие
измерения для большого чи-
сла случаев, мы получим кри-
вую распада мезона и смо-
жем по ней определить его
период полураспада.
На рис. 457 приведена
кривая распада р-мезонов,
полученная в опытах тако-
го рода. Кривая построена
в полулогарифмических ко-
ординатах: по оси ординат
стиц, по оси абсцисс — время
что в полулогарифмических
частиц происходит линейно со
отложен логарифм числа ча-
в микросекундах. Мы видим,
координатах спадание числа
временем, а следовательно, за-
кон распада мезонов — экспоненциальный, подобно тому как
это имеет место при распаде радиоактивных веществ. Наклон
кривой рис. 457 определяет среднее время жизни. Из экспери-
696
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
ментальных данных следует, что
т0 == (2,15 ± 0,07) р сек.
6)	Различие, в поглощении ^-мезонов в разрежённых и плотных
веществах. Давно было замечено, что жёсткая компонента погло-
щается воздухом сильнее, чем эквивалентными по массе слоями
плотного поглотителя («аномальное поглощение» жёсткой компо-
ненты). Этот хорошо известный факт нашёл своё полное объяснение
в нестабильности мезона. Рассмотрим более подробно, в чём
заключается это аномальное поглощение мезонов в воздухе, как оно
Рис. 458. Определение г0 по аномальному погло-
щению мезонов.
измеряется и как на основании этих измерений можно определить
период полураспада мезонов. Предположим, что мы измеряем
интенсивность жёсткой компоненты с помощью двух счётчиков
А и В, между которыми помещён блок свинца Р толщиной
10—15 см, назначение которого — отсекать мягкую компоненту.
Положим, что на уровне моря интенсивность жёсткой компоненты,
фиксируемая такой системой, равна I совпадений в минуту (опыт
№ 1, рис. 458). Поднимем нашу систему на высоту h метров
над уровнем моря, как показано на рис. 458. Число совпадений,
регистрируемых нашей системой на высоте h (обозначим его
через I]), будет больше I, так как часть мезонов поглощается на
пути h (опыт № 2, рис. 458). Разность
h~I
даст число мезонов, задержанных слоем воздуха толщиной h в
минуту. Теперь произведём третий опыт: поместим над нашей
§ 327}	ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ ц-МЕЗОНОВ	697
системой из счётчиков АВ и поглотителя Р поглотитель из плот-
ного вещества с таким расчётом, чтобы плотность электронов
в слое воздуха h и в этом поглотителе была одной и той же
(опыт № 3, рис. 458). В § 324 мы показали, что такие слои должны
быть эквивалентны по своей поглощающей способности. Поэтому
мы должны ожидать, что интенсивность жёсткой компоненты
в этих условиях не будет отличаться от интенсивности на уровне
моря. В действительности, однако, это не так: в опыте № 3 си-
стема фиксирует большее чпсло совпадений, чем в опыте № 1.
В чём причина того, что эквивалентные слои плотного и раз-
режённого поглотителя поглощают мезоны различным образом?
Единственная разница между обоими случаями заключается
в том, что в разрежённом поглотителе мезон проходит гораздо
больший путь, т. е. движется гораздо большее время, чем в плотном,
и успевает за это время распасться. Выражаясь точное, коэф-
фициент поглощения мезонов в разрежённом веществе представ-
ляет собой сумму двух коэффициентов поглощения ииоп и ирасп:
Р- = рион 4“ ррасп»
из которых Рион представляет собой коэффициент поглощения,
обусловленный наличием ионизационных потерь, а у Расп — коэф-
фициент поглощения, обусловленный распадом мезонов. Плотное
же вещество мезон проходит за очень короткое время, и вероят-
ность того, что он распадётся в нём,—ничтожно мала (в плот-
ном веществе ррасп = 0). Действительно, из описанных ранее опытов
нам известно, что среднее время жизни у.-мезона
т0 = 2,15 р сек.
Пусть скорость мезона близка к скорости света
D % С.
Предположим, что разность высот h равна 2 км. Это расстояние
мезон пройдёт за время
t =	=  10 сек- 7 сек-’
в три раза превышающее его период полураспада; вероятность
распада за это время будет очень велика.
Здесь, однако, необходимо отметить следующее важное обстоя-
тельство. Мезон, движущийся со скоростью, практически равной
скорости света, подчиняется законам теории относительности.
Последняя показывает, что длительность процессов в движу-
щейся системе изменяется по сравнению с покоящейся системой.
Именно, согласно формулам преобразований Лоренца, единица
698
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
длительности в движущейся системе увеличивается по сравне-
нию с единицей длительности неподвижной системы в
Если поэтому в системе отсчёта, в которой покоится мезон, его
период полураспада равен т0, то этот же период, измеренный
в лабораторной системе отсчёта, должен быть равен
т = . /° - .	(327,1)
1 / л V2
I/ 1----г
т с2
Очевидно, что для пробега мезона существен не период т0, а т,
зависящий от скорости. Это соображение очень важно, так как
неучёт релятивистского изменения длительности ведёт к рез-
кому противоречию с самыми элементарными экспериментальными
фактами. Действительно, полагая грубо для мезона V с
и т=-2 • 10"6, получим средний пробег равным
3 • 101» • 2 . 10-6 = 6 • 104 см = 600 м.
Столь малая величина пробега, конечно, ни в коем случае не
согласуется с фактами.
Если же принять во внимание релятивистский эффект, то
вероятность распада значительно уменьшится, однако будет ещё
достаточно большой, чтобы вызвать аномальное поглощение в раз-
режённом поглотителе. Действительно, умножив числитель и зна-
менатель (327,1) на тос2, получим
тос2	тс2 Е
Т	-. / yz Х° тос2 т0с2 ’
У i-TF
(327,2)
Вероятность распада на единице пути для релятивистского
мезона (Е — рс; и^с) равна
1 ____ 1 т0с2_______ 1 пгос2
гзт г?г0 Е	рс
(327,3)
В качестве примера вычислим вероятность распада мезона
с импульсом р = 3 • 109 —и массой 200 те (тп0с2 = 108 eV) на пути
в 2 км'.
w___________1_______ . Ю8 . о . Юб —
“ 3 • 10™ • 2,15 • 10'6	3 . 1UJ	9 •
Это значит, что из девяти мезонов с энергией 3 • 109 eV, проходя-
щих расстояние в 2 км, один успеет распасться на этом пути.
Исчезновение каждого девятого мезона из пучка вследствие
§ 327]
ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ р.-МЕ30Н0В
699
распада будет воспринято наблюдателем как добавочное погло-
щение, приводящее к добавочному 10 %-ному ослаблению интен-
сивности.
Изучение аномального поглощения мезонов с помощью опытов,
изображённых на рис. 458, позволяет определить w—вероятность
распада на единицу пути. Отсюда, зная импульс мезона и его
массу, как видно из формулы (327,3), можно определить т0—среднее
время жизни мезона. Такие опыты были произведены многими
исследователями, в частности Росси с сотрудниками. Они произво-
дили наблюдения в двух пунктах, расположенных на высоте 3250
и 1620 ж, разность высот которых над уровнем моря равна 1630 ж.
Предполагая, что масса р-мезона равна 200 ще, они получили
следующее значение для среднего времени жизни и-мезона:
т0 = (2,8 + 0,2) р, сек.
Это значение, как мы видим, довольно близко к значению 1:0 =
= (2,15 + 0,07) [л сек., полученному при измерении среднего времени
жизни покоящегося мезона.
В заключение настоящего параграфа заметим, что аномальное
поглощение жёсткой компоненты в воздухе, происходящее из-за
распада, является причиной многих явлений, позволяющих
заметить распад мезона и оценить величину -с0, если известна
масса мезона.
Укажем только на два из таких явлений, носящих название
барометрического и температурного эффектов для жёсткой ком-
поненты. Они заключаются в том, что интенсивность жёсткой
компоненты, измеренная на уровне моря, оказывается зависящей
от давления в точке наблюдения и от температуры атмосферы.
Сущность этих эффектов легко понять, если вспомнить, что мезо-
ны не являются первичными частицами, а зарождаются в верхних
слоях атмосферы. Изменение давления или температуры меняет
высоту расположения над уровнем моря той области, где происхо-
дит зарождение мезонов. Это вызывает увеличение или умень-
шение длины пути, проходимого мезонами от места зарождения
до места регистрации, и как следствие—различную величину
аномального поглощения. Барометрический и температурный
эффекты меняют не только высоту расположения области заро-
ждения мезонов, но и распределение воздушной массы над мес-
том наблюдения. Е. Л. Фейнберг обратил внимание на то, что
это явление также сказывается на величине аномального погло-
щения.
Исторически аномальное поглощение мезонов явилось пер-
вым указанием на то, что мезоны нестабильны. Однако измерения
т0, произведённые на основании изучения различных явлений,
связанных с аномальным поглощением, не являются сколько-
нибудь точными. Это объясняется тем, что точное измерение
700
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
(гл. XXIV
разностей интенсивности космических лучей на различных высо-
тах является далеко не лёгким делом. Кроме того, на результатах
почти всех опытов подобного рода сказывается то обстоятель-
ство, что, невидимому, зарождение мезонов происходит не только
в самых верхних слоях атмосферы, но, хотя и с меньшей интенсив-
ностью, по всей её толще. Это зарождение новых мезонов не учи-
тывается в подобных опытах и поэтому может увеличить значение
т0. Мы видели, что измерение значения т0 по величине аномаль-
ного поглощения мезонов между высотами 3250 и 1620 м даёт
для т0 значение
т0 = (2,8 ± 0,2) у. сек.
G другой стороны, непосредственные измерения времени жизни
покоящихся мезонов па уровне моря дают
т0 -= (2,15 6- 0,07) у. сек.
То, что опыты по определению т0 из аномального поглощения мезо-
нов могут дать повышенное значение, легко понять. В самом деле,
если между высотами /гг и /г2 происходит зарождение мезонов,
то это должно увеличить значение т0. Таким образом, несомненно,
что значение т0, определённое для покоящегося р-мезона, являет-
ся наиболее достоверным. В соответствии с этим для среднего
времени жизни р-мезона принимают значение
т0 —(2,15 ± 0,07) у. сек.
Это значение т0 подтверждено опытами с р-мезопами, полученными
на ускорителях.
§ 328.	Взаимодействие мезонов с ядрами
Мы уже указывали, что проблема мезона тесно связана с про-
блемой ядерных спл. Согласно современным теоретическим пред-
ставлениям между ядерными силами и мезонами существует при-
мерно такое же соотношение, как между электромагнитными сила-
ми взаимодействия электрических зарядов и испускаемыми этими
зарядами фотонами (см. § 250). Далее, согласно теоретическим пред-
ставлениям (мы увидим ниже, что они полностью подтверждены опы-
том) мезоны рождаются при взаимодействии ядерных частиц—прото-
нов и нейтронов (нуклеонов). Если это предположение правильно,
то отсюда следует, что, в свою очередь, мезоны должны взаимодей-
ствовать с ядерными частицами и с ядрами атомов.
Это взаимодействие должно быть сильным, если ядерные силы
действительно обязаны своим происхождением взаимодействию
через посредство мезонов. Однако опыты, выполненные рядом ис-
следователей в 1946—1947 гг., неожиданно обнаружили, что един-
ственно известные в то время р-мезоны взаимодействуют с ядрами,
§ 328]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЗОНОВ С ЯДРАМИ
701
вопреки ожиданию, очень слабо. Эти опыты были основаны на
следующих соображениях: р-мезоны—частицы неустойчивые; их
среднее время жизни равно 2,15 р сек. С другой стороны, если
взаимодействие мезонов с ядрами сильно, то они должны также
исчезать, поглощаясь ядрами. Таким образом, надо ожидать, что
мезоны, затормозившиеся в веществе, будут исчезать по двум при-
чинам: одни из них будут испытывать распад на электроны и ней-
трино, другие—поглощаться ядрами. Однако судьба положительных
и отрицательных мезонов, затормозившихся в плотных веще-
ствах, должна быть весьма различной. Теоретический расчёт пока-
зал, что для отрицательного мезона вероятность поглощения
ядрами должна быть во много раз больше вероятности радиоактив-
ного распада. Для положительного мезона—наоборот—вероят-
ность исчезновения путём распада во много раз больше вероятности
поглощения ядрами по той причине, что кулоновское отталкивание
положительно заряженного ядра мешает положительному мезону
приближаться к ядру на расстояние, на котором сказывается дей-
ствие ядерных сил. Поэтому медленный положительный мезон
в подавляющем большинстве случаев будет диффундировать в ве-
ществе до тех пор, пока радиоактивный распад ле окончит его
существования. Отсюда, между прочим, следует, что электроны,
обнаруживаемые в опытах по определению времени жизни замед-
ленных мезонов (§ 327), суть положительные электроны, позитроны.
Описанное представление о различном поведении положитель-
ных и отрицательных мезонов и было подвергнуто эксперименталь-
ной проверке. Сущность опытов состояла в том, что либо положи-
тельные и отрицательные мезоны с помощью соответствующего
магнитного поля раздельно направлялись в поглотитель из опре-
делённого вещества и изучалось исчезновение тех и других, либо
по отклонению в магнитном поле определялся знак заряда мезона,
испытавшего радиоактивный распад. Опишем один из опытов
последнего типа.
Схема этого опыта приведена па рис. 459. Камера Вильсона К,
управляемая четырьмя рядами счётчиков 1, 2, 3, 4, помещалась
между полюсами мощного электромагнита. Между рядами счётчи-
ков 3 и 4 находилось то вещество, в котором изучалось поглощение
мезонов. Радиотехническая схема, управляющая расширением
камеры, была выполнена таким образом, что камера расширялась
только в том случае, если разряд в ряду 4 происходил не мень-
ше чем через 1р сек. после прохождения мезона через ряды 1, 2, 3.
Так как подобное запаздывание разряда может произойти только
вследствие того, что р-мезон имеет конечное время жизни по отно-
шению к распаду, то эта установка будет фиксировать только
такие мезоны, которые испытали в поглотителе Р радиоактивный
распад. Так как, кроме того, изогнутый магнитным полем след
мезона, испытавшего этот распад, фотографируется с помощью
702
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
камеры Вильсона, то по направлению отклонения следа в маг-
нитном поле можно было судить о, знаке заряда мезона. При
помещении в Р различных поглотителей было обнаружено, что
действительно в свинце, железе и латуни происходит распад
только положительно заряженных [л-мезонов; отрицательно заря-
женные р.-мезоны в этих поглотителях йе распадаются: как и
ожидалось, они заглаты-
ваются ядрами.
Однако при помещении
в Р веществ с меныпим
атомным номером Z бьГл об-
наружен неожиданный ре-
зультат: оказалось, что в
таких веществах (углерод,
бериллий, вода) наблюдает-
ся радиоактивный распад
как положительных, так и
отрицательных мезонов. Это
означает, что в веществах
с малыми Z вероятность
захвата медленного отри-
цательного мезона сравни-
ма с вероятностью распада
или даже меньше её: отри-
цательно заряженный ме-
зон успевает в этих веще-
ствах испытать распад за-
Рис. 459. Схема установки для экспери- долго до того, как он будет
ментального определения времени жизни поглощён ядром Тот факт
положительно и отрицательно заряжен-	'__
ных мезонов.	что в таких веществах, как
железо, распад отрицатель-
ных ji-мезонов не наблю-
дается, а в углероде или бериллии он имеет место, объясняется тем,
что, как оказывается, вероятность захвата отрицательного ^.-мезона
быстро возрастает с увеличением Z (пропорционально Z4). Однако
самым поразительным в этих результатах было то, что оказалось воз-
можным наблюдать распад медленных отрицательных р.-мезонов,
затормозившихся в веществе. Этот факт был поразителен потому, что
расчёт, основанный на теории ядерных сил, показывал, что время,
необходимое мезону, чтобы быть захваченным ядром углерода,—
порядка 10~18 сек., тогда как период полураспада [ь-мезона—поряд-
ка 10“6 сек. Другими словами, вероятность поглощения мезона
согласно этим теоретическим оценкам должна быть в 1012 раз
больше вероятности его исчезновения путём распада. Между тем
описанные и другие опыты того же типа показали, что, вопреки
ожиданиям, основанным на той роли, которая приписывалась
§ 329]
ОТКРЫТИЕ «-МЕЗОНОВ
703
^-мезонам в ядерных силах, взаимодействие их с ядрами чрезвы-
чайно слабо.
О том же свидетельствовали и другие факты, известные из на-
блюдений над космическими лучами. Наиболее ярким из них
является чрезвычайно большая проникающая способность мезон-
ной компоненты космических лучей, говорящая об отсутствии
у быстрых ^.-мезонов потерь энергии на ядерные соударения. Все
эти факты поставили под сомнение роль р.-мезонов в ядерных си-
лах и гипотезу о том, что р.-мезоны являются вторичным излуче-
нием, зарождающимся при взаимодействии первичных космиче-
ских лучей с ядрами.
§ 329.	Открытие «-мезонов
Начиная с 1947 г. исследования свойств медленных мезонов
производились особенно успешно методом фотопластинок, который
развился к этому времени настолько, что позволил регистрировать
следы медленных мезонов. Эти исследования показали, что в кос-
мических лучах, кроме ^.-мезонов, есть более тяжёлые и также
нестабильные частицы, названные «-мезонами. Исследование явле-
ний, возникающих при торможении к-мёзонов в фотоэмульсии,
показало что в отличие от [t-мезонов «-мезоны взаимодействуют
с ядрами чрезвычайно сильно. Было показано, далее, что погло-
щение гс-мезона ядром приводит к вылету из ядра быстрых
частиц, которым передаётся энергия возбуждения, внесённая
в ядро «-мезоном («звёзды»). В таких звёздах часто возникают новые
гс-мезоны. Таким образом, стало ясно, что именно гс-мезоны яв-
ляются тем вторичным космическим излучением, которое создают
первичные космические лучи, а ^.-мезоны, возникающие при рас-
паде этих гс-мезонов, имеют уже не вторичное, а третичное про-
исхождение.
Опишем теперь опыты, которые привели к указанным заключе-
ниям. Исследуя следы медленных мезонов, останавливающихся
в фотопластинках, Лоуэлл и Оккиалини обнаружили, что около
10% таких мезонов в конце своего пробега испускают новую части-
цу. Замечателен при этом следующий факт: направление вылета
этой вторичной частицы оказалось произвольным, но её пробег
в эмульсии во всех случаях был почти точно один и тот же—около
600 р. фотоэмульсии. Это постоянство пробега является убедитель-
ным доказательством того, что первичцый мезон, который и был
назван гс-мезоном, во всех случаях распадается на две частицы:
на основании закона сохранения импульса эти две частицы должны
иметь равные по величине и противоположные по направлению
импульсы и между ними должна распределяться полная энергия,
эквивалентная массе покоя гс-мезона. Один из этих продуктов
распада должен нести тот же заряд, что и гс-мезон, а второй—дол—
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
1гл. XXIV
704
жен быть нейтральной частицей, так как ни на одной из фотогра-
фий не было обнаружено следа второй частицы.
Рассмотрение величины пробегов и плотности зёрен в следах
первичной и вторичной частиц привело к заключению, что про-
дуктом распада первичного те-мезона является уже хорошо извест-
ный р.-мезон с массой около 200 т€. Первичный, илите-мезон, в таком
случае должен иметь большую массу, а именно, первоначально
отношение масс тп/т^ было оценено в 1,65, т е. масса те-мезона
должна быть около 300 те. Что же касается нейтральной частицы, то
соображения, основанные на законах сохранения энергии и
импульса, указывали на то, что эта нейтральная частица всего
вероятнее должна быть нейтрино.
После того как были изготовлены фотопластинки, чувствитель-
ные к быстрым электронам, правильность указанной интерпретации
оказалось особенно просто проверить: если частица, возникающая
при остановке те-мезона, есть в самом деле р.-мезон, то в конце её
пробега должен возникать быстрый электрон распада. На рис. 460
приведены четыре случая распада те-мезона, зафиксированные фото-
пластинками (увеличение около 250 раз). В нижней части всех фото-
графий ясно виден след первичного те-мезона. Постепенное уменьше-
ние среднего расстояния между зёрнами и увеличение извилистости
следа по мере приближения к концу пробега указывает на направле-
ние движения те-мезона: на первых трёх фотографиях те-мезон двигал-
ся справа налево, на последней—в противоположном направлении.
Буквой а обозначены места, где произошёл распад те-мезона; из этой
точки начинается след ^.-мезона, возникшего при распаде. Легко ви-
деть, что во всех четырёх случаях пробег р.-мезонов примерно один и
тот же. В конце пробега р.-мезона возникает след быстрой заряженной
частицы: среднее расстояние между зёрнами в этом следе мало и
соответствует плотности зёрен в следе релятивистской частицы. Изме-
рение энергии этих частиц показало, что она никогда не превосходит
50 MeV, откуда ясно, что этот след принадлежит электрону, воз-
никающему при распаде р.-мезона. Таким образом, приведённые
фотографии доказывают, что те-мезон распадается на р.-мезон
и лёгкую нейтральную частицу, т. е. нейтрино
те-^p + v,	(329,1)
а р.-мезон распадается уже известным нам образом:
р.—» е 4- v + v.
Из схемы распада (329,1) непосредственно следует величина
спина те-мезона: так как спины р-мезона и нейтрино равны Va,
то спин те-мезона равен 0 или 1.
Кроме рассмотренного явления те —> р. —> е-распада было обнару-
жено, что медленные, отрицательно заряженные те-мевоны, проникая
§ 329]
ОТКРЫТИЕ тт-МЕЗОНОВ
705
Рис. 460. Четыре увеличенные микрофотографии к —> ji —> е-распада. Во всех
четырёх случаях р.-мезон, возникший при распаде л-мезона, имеет пробег
в фотопластинке около 400 микрон, что отвечает энергии около 4 MeV.
В конце пробега |х-мезона виден след электрона распада.
706
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
в ядро, вызывают ядерные расщеплештя. Наконец, на фотопла-
стинках удалось обнаружить и такие ядерные взрывы, при которых
из ядра, кроме протонов и нейтронов, вылетают тс-мезоны. Взрывы,
Рис. 461. Микрофото графин двух свя-
занных ядерных взрывов. При первом
взрыве, который произошёл в точке Р,
из ядра вылетел мезон с, который был
захвачен ядром в точке S и вызвал
новый взрыв.
вызванные проникновением от-
рицательно заряженного мезона
в ядро и зарождение новых ме-
зонов в таком взрыве наблю-
дали в фотопластвпах П. И. Лу-
кирскип и 11. А. Перфвлов.
В некоторых случаях вторич-
ные тг-мезопы захватываются
ядрами и вызывают новые ядер-
ныо взрывы. На рис. 461 при-
ведена такая фотография. В точ-
ке Р произошло взрывное рас-
щепление ядра: на фотографии!
видны следы по меньшей мере
10 частиц, образующих «звез-
ду» около точки Р. Одна пз
вылетевших частиц, след кото-
рой па фотографии обозначен
стрелкой и буквой ст, несомнен-
но, является мезоном. В этом
убеждает и то, что сроднее
расстояние между зёрнами ве-
лико в начале пути этого ме-
зона у точки Р и быстро
уменьшается по мере прибли-
жения к концу пробега в точ-
ке S. В точке S мезон ст, обра-
зовавшийся при первом взры-
ве, поглотился ядром, в ре-
зультате чего произошло взрыв-
ное расщепление этого ядра.
Таким образом, изучение сле-
дов медленных мезонов на фото-
пластинках показало существо-
вание в космическом излучении
двух типов мезонов: л- и у.-ме-
зовов, и обнаружило новый
тип распада мезона —г—р.-рас-
пад, заключающийся в превра-
щении тяжёлого в-мезоиа в
более лёгкий р -мезон с одновре-
менным испусканием нейтраль-
ной частицы. Эти исследования
§ 330]
ИСКУССТВЕННОЕ ПОЛУЧЕНИЕ гс-МЕЗОНОВ
707
показали, что тг-мезоны вызывают ядерные расщепления и что они,
в свою очередь, образуются при ядерных расщеплениях, тогда
как и.-мезопы возникают при распаде гс-мезонов и сами слабо
взаимодействуют с ядрами.
§ 330.	Искусственное получение тс-мезонов
в лабораторных условиях
Исследование поведения положительных и отрицательных
п-мезонов в плотных веществах показало, что те и другие ведут
себя так, как и следовало ожидать от частиц, сильно взаимодей-
ствующих с ядрами. Положительные --мезоны из-за кулоновского
отталкивания не захватываются ядрами; останавливаясь в веществе,
они испытывают распад па р+-мезоп и пептрпно; в свою оче-
редь, -мезон распадается на позитрон и два нейтрино, так что
электроны распада, видные па фотографиях, показанных на
рис. 460, являются па самом деле положительными электронами,
позитронами. Отрицательные тс-мезоны в отличие от у.-мезонов
никогда пе распадаются в плотных веществах; их распад был обна-
ружен только в воздухе. Это указывает на то, что тт-мезоны с
большой вероятностью захватываются ядрами, как и следовало
ожидать. Механизм этого захвата нужно себе представить следую-
щим образом: в конденсированной среде гс-мезон быстро (в проме-
жуток времени порядка 10~12 сек.) растрачивает свою кинетическую
энергию и замедляется настолько, что может быть захвачен одним
из ядер на ближайшую к этому ядру орбиту, аналогичную
А’-орбптс электрона. Радиус этой орбиты выражается формулой
Л2
4л2т Ze2 ’
ТС
отличающейся от формулы для первого радиуса Бора ах только
тем, что в знаменатель её входит вместо массы электрона те.
Поэтому радиус а.Г1 меньше боровского радиуса (при том же Z)
в т^1т(> раз, т. е. примерно в 300 раз. Будучи захвачен на «А-ор-
биту», тг-мезоп может либо испытать распад, либо поглотиться
ядром, один из протонов которого превратится в нейтрон (про-
цесс, аналогичный A-захвату). Из того факта, что распад тг"-мезо-
пов в конденсированных веществах не наблюдается, следует, что
вероятность его поглощения ядром значительно больше вероятно-
сти распада, т. е. что взаимодействие гс-мезонов с ядрами сильное.
Из статистических соображений в таком случае следует, что и ве-
роятность образования гс-мезонов при соударении тяжёлых нуклео-
нов должна быть велика. Действительно, захват ^-мезонов нукле-
онами и образование тс-мезонов при соударении нуклеонов—
два процесса, взаимно обратные; в силу статистического прин-
708
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
ципа детального равновесия их вероятности должны быть
равны между собой.
На самом деле процесс, обратный захвату гс-мезонов, т. е.
«рождение» к-мезопов, удалось осуществить в лабораторных усло-
мезон
Рис. 462.
ю
виях вскоре после того, как х-мезоны были открыты в космических
лучах. В 1948 г. ir-мезоны были получены путём бомбардировки
плотных веществ а-частицами или протонами высокой энергии или
путём облучения достаточно жёсткими у-лучами, а-частицами
Энергия первичных (х-иастиц или протонов
Рис. 463. Зависимость выхода «-мезонов от
энергии бомбардирующих частиц (MeV). Кривая
а—для протонов, кривая Ъ—для а-частиц.
и нейтронами. Первый такой опыт схематически изображён на
рис. 462. Пучок а-частиц, выходящий из дуанта фазотрона,
падает на самый край мишени. Устройство держателя мишени и
относительное расположение мишени и пучка а-частиц показано
§ 331]
МАССА ЗАРЯЖЕННЫХ гс-МЕЗОНОВ
709
на рис. 462, Ь. Частицы, возникающие в результате действия
а-частиц на мишень, с помощью магнитного поля самого ускори-
теля фокусировались на фотографическую пластинку.
Оказалось, что, начиная с некоторой пороговой кинетической
энергии Еп бомбардирующих мишень частиц, наблюдается возни-
кновение гс-мезонов независимо от вещества, из которого сделана
мишень. При дальнейшем увеличении энергии быстрых частиц
наблюдался резкий рост выхода гс-мезонов из мишени. Это
иллюстрируется рис. 463, где дана зависимость выхода гс-мезонов
из мишени от энергии быстрых частиц, падающих на мишень.
Искусственное получение гс-мезонов сделало возможным изучение
их свойств главным образом на ускорителях. Это объясняется
возможностью получения в лабораторных условиях интенсивных
и направленных пучков гс-мезонов с довольно большой кинетиче-
ской энергией, доходящей в настоящее время до 70 — 90 MeV.
§ 331.	Масса и время жизни заряженных гс-мезонов
Измерения массы гс-мезона были выполнены многими методами
и притом как для гс-мезонов, входящих в состав космических лучей,
так и для гс-мезонов, полученных на ускорителях. Наиболее точ-
ные значения массы были получены для искусственно генерируе-
мых гс-мезонов. Совпадение массы искусственно полученных гс-ме-
зонов с массой гс-мезонов космических лучей является дока-
зательством тождественности обеих частиц.
Мы рассмотрим один из методов определения массы гс-мезонов,
заключающийся в одновременном измерении их импульса и про-
бега. Схема опыта изображена на рис. 464, где показаны при-
боры, размещавшиеся в вакуумной камере фазотрона, вблизи
мишени, представлявшей собой тонкую нить. Приборы, изобра-
жённые на рис. 464 а) и Ь) использовались для определения
массы положительно и отрицательно заряженных гс-мезонов соот-
ветственно. гс-мезоны, рождённые в тонкой мишени, двигались
в магнитном поле фазотрона по круговым каналам, вырезанным
в металле, и попадали на фотографическую пластинку. Зная ра-
диус кривизны траектории гс-мезонов, равный радиусу кривизны
кругового канала, и пробег гс-мезонов в фотопластинке, можно
было определить массу гс-мезона. Среднее значение массы отрица-
тельно заряженного, гс-мезона, полученное из этих измерений,
равно (280 i 6) пге. Для масс положительно заряженных гс- и р.-ме-
зонов измерения дали значения (278^8) те и (212±6)те.
Имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные указы-
вают, таким образом, что положительно и отрицательно заряжен-
ные гс-мезоны имеют одну и ту же массу. Наиболее точные измере-
ния дают для массы гс-мезона величину
— (276 ± 6) те,
710
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
а для массы р.-мезона
Wp. = (212 ± 6) те.
Оценка времени жизни ^-мезонов в космических лучах пока-
зала, что оно порядка 10~8 сек. Наиболее точные измерения были
Рис. 464. Схема опыта по измерению мас-
сы тс+-, п~- и |х+-мезопов, полученных на
фазотроне. Прибор помещается в вакуум-
ной камере фазотрона и находится в маг-
нитном поле фазотронпого электромагни-
та. Мишень в виде топкой нити испускает
к-мезоны и ц-мезоны (возникшие в мишени
от распада т.-мезопов) по всем направле-
ниям. По каналам двигались мезоны, ра-
ироизведены на искус-
ственно генерированных
т: -мезо нах. Мы рассмот-
рим здесь вкратце два
метода.
Первый из них в принци-
пе аналогичен методу изме-
рения времени жизни р-ме-
зона по аномальному по-
глощению, вызванному рас-
падом (см. § 327). Схема
опыта изображена па рис.
465. Металлический блок,
в котором вырезаны два
спиральных канала, поме-
щён в вакуумной камере
фазотрона. Мезоны, заро-
ждённые в мишени, движут-
ся по двум вырезанным
спиральным каналам А и В.
Канал А содержит пол-
оборота, а канал В—пол-
тора оборота. В конце
каналов расположены фо-
тографические п л а сти нки.
Если бы —-мезоны не рас-
падались по пути в кана-
лах, то число ^-мезонов,
зафиксированных на еди-
нице поверхности обеих
пластинок, определялось
бы только степенью фоку-
сировки --мезонов магпит-
диусы кривизны траектории которых
жат в узком интервале
зпачений.
нов в обоих каналах.
Наличие
ным полем п геометриче-
скими условиями опыта,
т. е. длиной пути ^-мезо-
распада создаёт «аномальное
ле-
поглощение» --мезонов, по величине которого можно определить
их среднее время жизни. Это время определяется по числу
мезонов, потерянных из группы В при прохождении лишнего
оборота спирали.
§ 332]
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МЕЗОНЫ
711
Рис. 465. Схема аппаратуры для измерения
среднего времени жизни п-мезонов, создан-
ных на фазотроне.
Другой метод, которым производилось измерение времени
жизни тс-мезонов, в принципе аналогичен методу измерения
времени покоящегося р-мезона (см. § 327). Так как время
жизни к -мезона—порядка 10~8 сек., то для регистрации их рас-
пада нельзя использо-
вать счётчики Гейгера—
Мюллера, в которых ин-
тервалы времени между
прохождением заряжен-
ной частицы и созданием
импульса напряжения
имеют такой же пли да-
же больший порядок
величины. Если, однако,
для регистрации '--мезо-
нов и возникающих при
их распаде u-мезонов
воспользоваться значи-
тельно менее инерцион-
п ыми сцинтилл яциоины-
ми счётчиками, высве-
чивающимися за время
10~9 сек., и фотоумножителями, то оказывается возможным снять
кривую распада и-мезона, подобно тому как это сделано для
а-мезопов.
Точность таких измерений времени жизни, произведённых до
настоящего времени, недостаточно велика, чтобы установить,
имеют ли г;- и р-мезоны одно и то же или разное время жизни.Из
подобных измерений следует, что среднее время жизни тг-мезонов
лежит между (2—3) • 10-8 сек.
§ 332.	Нейтральные мезоны
В 1950 г. Бьорклунд и др. обнаружили, что при облучении ми-
шени быстрыми протонами с энергией, большей 200 MeV, ускорен-
ными на фазотроне, мишень становится источником мощного
у-излучения. Его интенсивность резко возрастает с увеличением
энергии протонов, подобно тому как возрастает выход г;-мезонов
из мишени, облучаемой быстрыми протонами или а-частицами
(см. рис. 463). Было показано, что никакие известные процессы,
например, возбуждение атомных ядер мишени быстрыми прото-
нами, или тормозное излучение быстрых протонов, ударяющихся
о мишень, или, наконец, излучение, возникающее при обмене заря-
дом между быстрым протоном и нейтроном мишени, не может при-
водить к такому у-излучению. Энергию выходящих из мишени
712
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[raJXXIV
у-квантов удалось определить, измеряя энергетический спектр
электронов и позитронов пар, возникающих при попадании у-кван-
тов на свинцовую пластинку. Измерение углового распределения
у-квантов показало, что в системе координат, где центр масс быст-
рого протона и нуклеона миГпеии (с которым этот протон сталки-
вается) покоится, у-кванты распределены изотропно. Энергия
этих у-квантов оказалась близкой к 70 MeV. Совокупность всех
этих данных делает весьма достоверным предположение, что в дан-
ном случае имеет место рождение в мишени нейтральных мезонов,
распадающихся на два у-кваита по схеме
нейтральный мезон —>Av + /г?.
В этих опытах энергия быстрых протонов лишь немного пре-
восходила пороговое значение энергии, необходимой для рождения
нейтральных мезонов, и кинетическая энергия последних была
небольшой. Поэтому энергия у-квантов, равная 70 MeV, предста-
вляет собой величину, близкую к половине энергии покоя нейтраль-
ного мезона, откуда следует, что его масса равна примерно 280 те.
Таким образом, масса нейтрального мезона близка к массе г-мезона.
Из самой схемы распада нейтрального мезона следует, что его
спин равен 0.
Правильность такой интерпретации природы у-излучения,
возникающего при бомбардировке мишени быстрыми протонами,
была окончательно подтверждена дальнейшими опытами, в кото-
рых был использован метод совпадения импульсов в двух детек-
торах у-излучения и показано, что в мишени одновременно возни-
кают два у-кванта.
Данные о выходе к°-мезонов, полученные на ускорителе, гово-
рят о том, что сечение для образования к°-мезонов того же порядка,
что и сечение для образования заряженных тс^-мезонов. Отсюда не-
посредственно следует, что нейтральные мезоны должны наблю-
даться и в космических лучах, поскольку в них генерируются
заряженные к±-мезопы. И действительно, в 1950 г. были полу-
чены доказательства того, что первичное космическое излучение
генерирует в верхних слоях атмосферы наряду с заряженными
и нейтральные п°-мезоны. Так как последние имеют очень малое
время жизни, они распадаются, не успевая уйти далеко от места
рождения. Возникающие при таком распаде быстрого нейтраль-
ного мезона жёсткие у-фотоны служат, как теперь ясно, основным
источником мягкой компоненты космических лучей. Эти у-фотоны,
попадая в фотопластинку, создают в ней пары электрон—позитрон.
Изучая с помощью фотопластинок, чувствительных к электронам,
спектр электронов и позитронов таких пар, оказалось возможным
измерить спектр у-лучей, возникших от распада нейтральных ме-
зонов. Вид этого спектра позволил определить массу нейтрального
§ 333]
МЕЗОНЫ ДРУГИХ типов
713
мезона, оказавшуюся равной (295 ± 20) те, что подтверждает ука-
занную ранее приблизительную оценку (280 те).
Удалось также оценить время жизни
Это было сделано следующим образом,
пластинках часто наблюдались звёзды, на
от которых можно было видеть электрон-
но-позитронную пару, образовавшуюся, по-
видимому, от распада нейтрального мезона,
возникшего в звезде. Схема такого случая
приведена на рис. 466, где А—звезда, на
некотором расстоянии от которой видны
следы электронно-позитронной пары. Жир-
ным пунктиром показан предполагаемый
след нейтрального мезона, распавшегося
в точке В на два у-кванта. Угол расхо-
ждения электрона и позитрона пары очень
мал—порядка 0,1°, Поэтому, продолжая
назад направление средней линии пары,
мы найдём направление полёта одного из
у-фотонов, возникших при распаде т:0-ме-
зона с тою же точностью, т. е 0,1°. Отре-
зок г есть расстояние от центра звезды
до этого направления. Очевидно, что чем
это расстояние больше, тем время жиз-
ни нейтрального мезона больше. Для
нейтрального мезона.
В экспонированных
некотором расстоянии
-Пара электрон—
позитрон
Рис. 466. Принцип мето-
да измерения времени
жизни нейтрального ме—
определения нужно знать распре-	зона,
деление этого расстояния для большого
числа звёзд и скорость, с которой двигались нейтральные мезоны.
Из таких измерений следует, что время жпзни нейтрального
мезона около 2,5 • 10'14 сек.
§ 333.	Мезоны других типов
Мы видели, что при взаимодействии быстрых частиц с нуклео-
нами рождаются тс(-+, к- п тс°)-мезоны. Так как обмен тг-мезо-
нами между нуклеонамп должен объясипть природу ядерных сил,,
то для мезонной теории п физики вообще чрезвычайно важно знать,,
существуют ли в природе другие мезоны.
В последние годы были получены доказательства существования
мезонов других типов, более тяжёлых, чем тс-мезоны. Эти мезоны
наблюдались только в космическпх лучах, так как энергии быстрых
частиц, получаемых на ускорителе, либо недостаточны для.
создания таких мезонов, либо близки к порогу соответствующей
энергии. Мы укажем лишь на некоторые работы.
Опыты А. Й. Алиханяна и его сотрудников давали указание на то,
что существуют мезоны с массой между 600—1000 те, причём:
714
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
возможно, что в этом интервале существуют мезоны двух масс.
Рочестер н Батлер, а вслед за ними Андерсон с сотрудниками
показали, что, невидимому, существует новая триада мезонов
(нейтральные, положительно и отрицательно заряженные) масса
которых лежит между 600—1000 те. Время жизни этих мезонов
порядка 10~9 —10-11 сек. В результате их распада, невидимому,
возникают те- и [л-мезоны.
Благодаря интенсивному исследованию свойств тяжёлых ме-
зонов космических лучей и быстрому развитию техники получения
заряженных частиц большой энергии можно надеяться, что в бли-
жайшие годы будут окончательно установлены разновидности
тяжёлых мезонов, изучены их свойства и взаимные превращения,
испытываемые ими. Тем самым будет завершено создание экспери-
ментальной базы для мезонной теории ядерных сил.
§ 334.	Явления, возникающие при взаимодействии
первичных космических лучей с ядрами атомов
Попадая в атмосферу, первичные космические лучи сталкивают-
ся с ядрами атомов. Мы рассмотрим здесь некоторые явления,
возникающие при таких столкновениях. Заметим, прежде всего,
что первичные космические лучи поглощаются почти нацело в са-
мых верхних слоях атмосферы, на протяжении нескольких первых
сотен граммов вещества воздуха. Так, например, быстрые протоны
поглощаются по закону е-а:/150 (где х—давление в г/сж2), т. е. на
высоте, где давление равно 150 г/см2, число первичных протонов
падает в е раз. Ещё быстрее поглощаются более тяжёлые ядра.
Например, ядра с Z > 12 поглощаются по закону е-®/20. Столкнове-
ния первичных космических лучей с ядрами вызывают расщепле-
ния ядер, в результате чего возникают новые частицы—протоны,
нейтроны, более тяжёлые ядерные частицы (дейтероны, тритоны,
а-частицы), те-мезоны (заряженные и нейтральные) п в значи-
тельно меньшем числе мезоны, более тяжёлые, чем те -мезоны.
Наиболее ясное представление об этих процессах в настоящее
время можно получить, исследуя фотопластинки, экспонирован-
ные в самых верхних слоях атмосферы. Рассмотрим, например,
рис. 467, на котором видна звезда, возникшая при столкновении
быстрого протона с энергией около 5 BeV с одним из лёгких
ядер в фотоэмульсии. След А принадлежит быстрому первичному
протону. Из центра звезды выходят в разных направлениях
три следа сильно ионизующих частиц—это протоны сравнительно
небольшой энергии. На снимке видны также девять следов быстрых
частиц с минимальной (релятивистской) ионизацией; из них восемь
сохранили направление движения первичного протона. Изучение
рассеяния, испытываемого этими частицами в эмульсии, позво-
ляет установить, что часть этих следов принадлежит те-мезонам,
Рис. 467. Звезда, созданная быстрым
протоном с энергией около 5 BeV. Из
ядра вылетают девять проникающих
частиц, обладающих минимальной
ионизацией (быстрые протоны и д-мезо-
ны) и три медленных протона. Первая
группа частиц сохраняет направление
первичного протона, вторая группа
распределена в пространстве изотропно.
§ 334] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ С ЯДРАМИ АТОМОВ 715
а другая часть—быстрым протонам. Множество подобных фотогра-
фий, полученных в последние годы, показывает, что в таких
звёздах возникают группы быстрых частиц: к-мезонов, протонов
и нейтронов (следы последних на фотопластинках не видны),
направление движения которых совпадает с направлением дви-
жения первичной частицы, и
группа медленных протонов,
нейтронов и других ядерных
частиц, распределённых по
направлениям более или ме-
нее изотропно. Предполагает-
ся, что испускание первой
группы частиц происходит
почти немедленно после столк-
новения, в течение промежут-
ка времени около 10“23 сек.
После этого происходит «на-
гревание» ядра—энергия всех
или части входящих в него
нуклеонов повышается и мо-
жет оказаться достаточной
для полного или частичного
распада ядра, при котором
в разные стороны вылетают
нуклеоны или более тяжёлые
медленные частицы, каждая
из которых обладает энерги-
ей в несколько десятков MeV.
Значительно раньше, чем
прогресс в технике получения
чувствительных фотопласти-
нок позволил наблюдать такие звёзды, на которых видны следы
быстрых протонов и мезонов, многие исследователи наблюдали
явление, получившее название проникающих ливней. Это явление
заключается в том, что система из счётчиков Гейгера—Мюллера,
окружённых большими толщами свинца порядка десятков сан-
тиметров, почти нацело исключающими возможность регистра-
ции электронов, всё же фиксирует ливни, которым следует
поэтому приписать большую проникающую способность. Такое
явление не может быть вызвано электронами большой энергии;
предполагалось, что проникающие ливни создаются протонами и
мезонами большой энергии, возникающими в звёздах, генерируе-
мых быстрыми частицами в веществе, окружающем счётчики. Это
предположение оказалось правильным: действительно, если звез-
да, изображённая на рис. 467, возникает не в фотопластинке,
а в веществе, окружающем счётчик, то благодаря большой прони-
716
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
кающей способности быстрых протонов и мезонов она будет заре-
гистрирована как проникающий ливень. В таких проникающих
ливнях наблюдается и мягкая компонента, состоящая из электро-
нов, позитронов и фотонов. Механизм рождения мягкой компо-
ненты проникающих ливней в настоящее время ясен—мы видели,
что наряду с образованием заряженных т^-мезонов происходит
и образование нейтральных к°-мезонов, которые за время порядка
10~14 сек. распадаются на два у-кванта. Эти у-кванты большой
энергии образуют электронно'фотонный каскад, и таким образок®
возникает мягкое электронно-фотонное сопровождение проникаю-
щих ливней. Свойства таких смешанных «электронно-ядерных»
ливней были подробно исследованы Д. В. Скобельцыным^
Н. А.Добротиным, Г. Т. Зацепиным и их сотрудниками.
Разумеется, подобные процессы столкновения быстрых частиц
с ядром не всегда приводят к вылету из ядра большого числа час-
тиц, однако в среднем чем больше энергия первичной частицы,,
тем более мощную звезду она образует. При этом может оказаться,
что вылетевшие нуклеоны или мезоны обладают достаточной энер-
гией, чтобы образовать новый мощный ядерпый взрыв. Таким об-
разом, первичная частица достаточно большой энергии создаёт
последовательность ядерных взрывов, и мы приходим к представ-
лению о каскадном процессе нового типа, уже не электромагнит-
ного, а специфически ядерного характера, разыгрывающемся к
атмосфере.
Исследования Д. В. Скобельцына, II. А. Добротина и Г. Т. За-
цепина показали, что по мере проникновения электронно-ядерных
ливней в толщу атмосферы происходит уменьшение числа ядерных
частиц в этих ливнях благодаря ядерному и ионизационному погло-
щению и распаду тс-мезонов. Одновременно вследствие каскадного-
размножения увеличивается электронно-фотонная компонента элект-
ронноядериого ливня. Такая картина позволила объяснить ряд
закономерностей в проникающих ливнях и рассмотреть различные
ливни с единой точки зрения. В частности, опа вполне объясняет
явление, известное под названием ливней Оже, или широких атмо-
сферных ливней. Оже обратил внимание на то, что число совпадений
разрядов в двух счётчиках Гейгера—Мюллера, расположенных
в горизонтальной плоскости на большом расстоянии друг от друга,
значительно превышает ожидаемое число случайных совпадений
и медленно уменьшается с увеличением расстояния между счёт-
чиками. Так, число совпадений при изменении расстояния между
счётчиками от 10 до 100 м изменяется только в пять раз.
Г. Т. Зацепин и В. В. Миллер показали, что даже при раздви-
жении счётчиков на расстояние, равное одному километру, число
фиксируемых совпадений в три раза превышает фон. Нали-
чие таких совпадений показывает, что в воздухе имеются
потоки связанных своим происхождением частиц, покрывающие
§334] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ С ЯДРАМИ АТОМОВ 717
огромные площади размером в десятки и даже сотни тысяч
квадратных метров.
Зная плотность частиц в ливне Оже, среднюю энергию каждой
частицы и площадь, покрываемую ливнем, можно подсчитать
энергию первичной частицы, создавшей такой ливень. Оказывает-
ся, что эта энергия иногда доходит до огромных значений, равных
Ю’6 —10х7 eV.
До недавнего времени казалось, что ливни Оже имеют ту же
природу, что и каскадные ливни, т. е. что они возникают в резуль-
тате каскадного размножения в воздухе электронов чрезвычай-
но большой энергии, приходящих из мирового пространства или
образующихся в верхних слоях атмосферы.
Однако мы знаем уже, что в первичных космических лучах
электронов нет. Кроме того, исследование свойств ливней Оже,
произведённое Д. В. Скобельцыным, Г. Т. Зацепиным и их сотруд-
никами, показало, что ливни Оже нельзя объяснить только каскад-
ным размножением электронов. Оказалось, что ливни Оже являют-
ся одной из разновидностей электронно-ядерных ливней: ливень
Оже—это тот же электронно-ядерный ливень, созданный первичной
ядерной частицей с огромной энергией, в котором в значительной
степени преобладают электроны и фотоны, но осталось ещё и не-
которое количество ядерных частиц.
В заключение рассмотрим общую картину возникновения обеих
компонент космических лучей. Первичные космические лучи,
сталкиваясь с ядрами атомов воздуха, рождают заряженные
и нейтральные ^-мезоны, а также и более тяжёлые мезоны.
Вследствие своего малого времени жизни (10-8 сек.) заряжен-
ные к-мезоны большой энергии распадаются на расстояниях
сотен метров от места зарождения. В результате их распада обра-
зуются р-мезоны, составляющие основную долю жёсткой ком-
поненты.
Мягкая компонента создаётся у-квантами, возникающими от рас-
пада нейтральных мезонов, и электронами распада р.-мезонов.
Число нейтральных мезонов примерно равно числу заряженных,
их энергетический спектр одинаков; этим объясняется то, что
в мягкой и жёсткой компонентах заключено примерно одинаковое
количество энергии.
Повидимому, более тяжёлые мезоны играют заметную роль
в образовании обеих компонент космических лучей, но в настоя-
щее время трудно сделать количественную оценку этой роли.
Кроме электронов, позитронов, у-лучей и мезонов, в составе
мягкой и жёсткой компонент на всех высотах обнаруживаются
протоны и нейтроны. Так, например, из опытов Алиханяна и
сотрудников следует, что на высоте 3250 м около 10% всей интен-
сивности космических лучей составляют протоны, из которых
примерно половина входит в жёсткую компоненту, а другая
718
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
[гл. XXIV
половина—в мягкую. На уровне моря таких протонов очень немного,
а па высотах, больших 3250 м, пх число быстро растёт с высотой.
Эти протоны пе являются остатками первичного излучения, до-
шедшего до таких высот, а представляют собою вторичные про-
тоны, которые, так же как и нейтроны, создаются в каскадно-
ядерных процессах.
§ 335.	Происхождение космического излучения
Несомненно, что наиболее сложной и малоизученной частью
всей проблемы космического излучения является вопрос о ого
происхождении. Где во вселенной находятся источники косми-
ческого излучения, каков механизм ускорения, сообщающий пер-
вичным частицам пх огромные энергии, каким образом космиче-
ское излучение приобретает характерное для него изотропное рас-
пределение в пространство, какие процессы происходят с первич-
ным излучением, пока оно, странствуя во вселенной, проходит
путь от мест своего зарождения до воздушной оболочки Земли,—•
вот далеко не полный перечень вопросов, касающихся происхо-
ждения космического излучения. Пока что полного ответа на все
эти вопросы пот: в настоящее время существуют лишь более пли
менее обоснованные гипотезы и пропсходпт накопление экспери-
ментальных фактов, которые явятся падёжной основой для раз-
гадки происхождения космических лучей. Следует заметить, что
в космическом излучении, если относить его к масштабам нашей
галактической системы, заключено огромное количество энергии,
значительно превышающее количество энергии в любой другой её
форме, за исключением, конечно, энергии, связанной с массой
покоя вещества звёзд и межзвёздного пространства. Сталкиваясь
с протонами межзвёздной материи, космические лучи теряют
свою энергию па создание мезонов, точно так же как они теряют
её в различных ядерных расщеплениях, попадая в воздушную
оболочку Земли. Хотя плотность межзвёздной материи, состоя-
щей в основном из водорода, чрезвычайно лгала и равна при-
мерно 10-24 г/см3, что соответствует одному протону в кубическом
сантиметре объёма, эти потери энергии приводят к тому, что косми-
ческие лучи деградировали бы, полностью потеряв свою энергию
за пятьдесят миллионов световых лет, если бы она не восполня-
лась из какого-то мощного источника. Вычисления показывают, что
если предположить, что существование космических лучей огра-
ничено нашей галактической системой и в пределах этой системы
космическое излучение распределено с равномерной плотностью,
то па поддержание пх интенсивности на постоянном уровне должна
тратиться очень заметная часть, а именно около Vio ооо всей энер-
гии, развиваемой звёздами, и любая теория происхождения косми-
ческих лучей должна объяснить, каков тот механизм который
§ 335]	ПРОИСХОЖДЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ	719
с такой интенсивностью трансформирует внутри звёздную энергию
в энергию первичного космического излучения.
Некоторые физики высказывали предположение, что космиче-
ское излучение не заполняет собой всю галактику, а в основном
остаётся в пределах солнечной системы, ибо его источником являет-
ся Солнце. Если это справедливо, то трудности в объяснении
происхождения космических лучей, связанные со слишком боль-
шой энергией, заключённой в них, и с необходимостью быстрого
её восполнения, невидимому, отпадают, но возникает другая
трудность: необходимо объяснить, почему космическое излу-
чение, если оно исходит от Солнца, изотропно распределено
в пространстве и почему его интенсивность не зависит от солнеч-
ного времени. Чтобы объяснить это, были сделаны весьма искус-
ственные предположения о том, что в пределах всей солнечной
системы существует очень слабое магнитное поле, величина кото-
рого, однако, достаточна, чтобы, многократно отклоняя косми-
ческие лучи, удерживать их в пределах солнечной системы и сооб-
щить им наблюдаемое изотропное распределение. Полученные
в последнее время (1950) при подъёме фотопластинок данные гово-
рят о том, что, по видимому, интенсивность небольшой части пер-
вичного излучения обнаруживает сильную зависимость от солнеч-
ного времени: тяжёлых ядер с зарядом, большим 10 (/>10),
приходит днём в несколько раз больше, чем ночью. Если этот факт
подтвердится, он должен найти своё объяснение в теории происхо-
ждения космических лучей.
Все гинотезы, имевшие целью объяснить происхождение косми-
ческих лучей, могут быть разбиты на две категории. К первой
относятся гипотезы, которые пытались объяснить образование
космических лучей аннигиляцией материи, происходящей, на-
пример, в недрах звёзд. Повидимому, гипотезы такого рода имеют
в настоящее время только исторический интерес. Действительно,
мы указывали на то, что в космическом излучении имеются части-
цы, энергия которых доходит до 1017 eV, тогда как полная анниги-
ляция самого тяжёлого ядра пе может дать энергии, большей
чем. 2 • 1011 eV. Кроме того, совершенно непонятно, как может эта
энергия сконцентрироваться на одном протоне или ядре.
Во второй группе гипотез, которые в свете известных экспери-
ментальных фактов о природе первичного излучения представляют-
ся наиболее убедительными, предполагается, что космические
лучи образуются вследствие ускорения протонов и полностью иони-
зованных ядер • в электромагнитных полях, существующих во
вселенной. Один из возможных и, повидимому, наиболее вероят-
ный источник электромагнитных полей, который может сообщить
частицам космических лучей их огромные энергии, был указан
Я. II. Терлецким. Он обратил внимание на то, что существование
намагниченных звёзд, являющееся хорошо известным фактом,
720	КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ	[гл. XXIV
может объяснить происхождение космических лучей. При враще-
нии таких намагниченных звёзд или при изменении во времени
связанных с ними магнитных полей возникает индуцированное
электрическое поле. Расчёты показывают, что если магнитное поле
на поверхности звезды и её размеры достаточно велики, то заряжен-
ные частицы могут ускоряться до значительных энергий. Оче-
видно, что такой механизм ускорения в принципе сходен с ускоре-
нием частиц в бетатроне. Достаточное число таких индукционных
ускорителей, рассеянных по вселенной, могло бы обеспечить как
наблюдаемую интенсивность первичного космического излучения,
так и его изотропное распределение в пространстве.
Ферми указал на другой механизм ускорения, который также
может объяснить происхождение космических лучей. Существуют
доказательства того, что чрезвычайно разрежённая межзвёздная
материя не распределена в пространстве однородно, а образует
своего рода «облака» протяжённостью в несколько десятков свето-
вых лет. Эти «облака» межзвёздной материи движутся со скоро-
стью порядка десятков километров в секунду, и- с каждым таким
облаком связано некоторое магнитное поле порядка 10~3 гаусс.
Если в межзвёздном пространстве существуют быстрые протоны,
обладающие достаточно большой энергией, то при каждом столкно-
вении такого протона с движущимся «облаком» энергия протона
будет увеличиваться. Сущность этого явления легко понять из
следующей аналогии. Представим себе некий «газ», состоящий из
массивных и быстро движущихся частиц, и рассмотрим установле-
ние теплового равновесия между этим газом и, например, прото-
нами. Для установления этого равновесия необходимо, чтобы про-
тон не поглощался «молекулами» этого газа. При каждом столкно-
вении энергия протона будет увеличиваться, и когда равновесие
установится, энергия протона будет равна средней энергии моле-
кул, которая может быть весьма большой. По гипотезе Ферми,
движущиеся «облака», несущие магнитные поля, и образуют «мо-
лекулы» газа, ускоряющие протоны космических лучей. Хотя ве-
роятность столкновения протона с «облаком» мала, вычисления
показывают, что за астрономические времена протоны могут
ускориться до энергий, которыми они обладают в первичном
космическом: излучении.
Возможно, что оба рассмотренных механизма ускорения дей-
ствуют одновременно: благодаря электромагнитной индукции ча-
стицам сообщается энергия, достаточная для того, чтобы могло
начаться действие второго механизма ускорения.
ПРИЛОЖЕНИЯ
VII. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. Интеграл
-1-00
Z2/. =	ж2'; е~ ах2 dx
—00
для любого целого к легко вычисляется с помощью дифферен-
цирования по параметру. Действительно, интеграл 70 известен
-+ оо	_
Zo= e-^-dx^-	~ .
—оо
Последовательно дифференцируя по параметру а, получаем
da
х~е

+ оо	___
— х*е~лх2 dx = I/ ~ — Ц
da J	2“ V а°
—оо
11 вообще
Л,; =	у.	(VII,1)
2. Интеграл
Д- со
1к = хъ е~ах dx
—оо
так же легко вычисляется дифференцированием по параметру.
Непосредственное вычисление даёт, прежде всего,
+ оо
In = е~аХ dx — — ',
и )	а
—со
722
ПРИЛОЖЕНИЯ
далее последовательными дифференцированиями по параметру
а получаем
rfa; = 1. —/
Ct"2 А'
— ~г^ =	х3е~°-х dx
da j
и вообще
1 • 2 • З...А__ Л!
а4'*'1
(VII,2)
VIII. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ДВУХ ЗАРЯДОВ
1. При решении задачи о нормальном состоянии атома гелия
(§ 189) нам встретился шестикратный интеграл, который в со-
кращённом виде можно записать так:
(yin,1)
где
с?Т1 — (Zpx sin d$x dy-L, dt2 = p| <Zp2 sin 8-2 ^2 cfo2.
Для вычисления (VIII, 1) заметим, что к такому же интегралу
сводится вычисление энергии взаимодействия двух сферически
симметричных зарядов с плотностями е-?1 и е~?2. Чтобы иметь
при вычислении интеграла наглядную картину, мы будем решать
именно эту последнюю задачу.
Путь решения будет такой: сначала найдём выражение
потенциала, создаваемого первым зарядом, для чего выполним
интегрирование по (Ztj, а затем найдём энергию второго заряда
в поле первого, что и даст нам интеграл (VIII, 1).
Итак, начнём с вычисления потенциала первого заряда
и, прежде всего, проинтегрируем по углам t)1 и срг, т. е. найдём
интеграл
2тс те
h4'i d^ sin .	(VIII,2)
b b p12
мы получим при этом выражение потенциала, создаваемого сфе-
рическим слоем первого заряда с радиусами рх и + d^ в точ-
VIII. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАРЯДОВ 723
ке Л, где помещается элемент второго заряда е~®2С?т2, отстоящий
на расстояние р от центра симметрии О первого заряда (рис. 468).
Рис. 468.
Расстояние р12 зависит от и, как видно из рисунка, равно
Pi2 = l/V + р? — cos
Итак,
2тс	7t
о 2 j С	j	С	sin 0, (1Ьг
<*<Px	у	7‘-
о	о
2ire-?i р£
о
sin __________
р2+ p2—2pp1cos
Для вычисления оставшегося интеграла по 0- делаем подстановку:
р2 4- Pi — 2рр! cos 6г = 22,
sin&i^Q.— — zdz.
PPt
Теперь интеграл вычисляется легко:

sin ______________1_
V Р2 т Р|—2ррх cos	P?i
(Г P2 + P? + 2,-Px - /p2 + P?- 2,.pJ.
Второй корень следует брать так, чтобы подкоренное выражение
было положительно. Следовательно, получаем
а) при р > pi j/p2 + р2 - 2ppi = р — рь
Ь) при р < Pi \/ р2 + pf — 2ИР1 = pi — р.
Поэтому
С sin dbL
J Р12
О
2/р в случае а),
2/pi в случае Ь)
(VIII, 3)
724
ПРИЛОЖЕНИЯ
и, соответственно,
к
о n	С	sinftidOi /	е P1pi 7 г	ч,
2тге_р1 pi	\-------—l = 4k---— «pi [в	случае а)],
о Р1г	Р
2тсе~р1 [Лб/pt	=4rte-pxp16?p1 [в случае Ь)].
J Р12
о
При интегрировании по р, очевидно, следует принимать во вни-
мание оба эти случая. Выполним это последнее интегрирование:
оо	р	оо
тг / х	С	, С f’Р? dPi , / С „	7
V — \ —0—' = 4к \-----------,	+ 4~ \ е~?г ?1 dei.
J Р12	J Р	J
О	О	Р
Оба интеграла легко вычисляются интегрированием по частям.
В результате находим
Г(Р) = ^[2-е-Р(Ц-2)].	(VIII,4)
Искомый интеграл (VIII,!) теперь будет равен
оо п 2 тс
I = V (р2) е~?2 С?т2 =	^7 (р2) е-Р2 р| cfy2 sin $2 d^2 d<o2 =
о о о
оо
= 4к С — е~р2[2 —е~р2 (р24-2)] р|с?р2= 20п2.	(VIII,5)
J ?2
О
Подставляя это значение I в формулу (189,11), получим
выражение, указанное на стр. 135.
2. Формула для энергии взаимодействия двух протонов полу-
чается следующим образом. Представим себе, что заряд одного
4
протона е распределён по всему объёму ядра у=-х-л7?3,
О
где 7? — радиус ядра; плотность заряда тогда будет — . Вычислим
сначала потенциал V (р), создаваемый этим протоном, а затем
найдём энергию второго протона, также распределённого по всему
ядру, в поле V (р) первого. Вычисление, очевидно, должно
производиться по схеме, использованной в п. 1. Потенциал,
создаваемый в точке А зарядом — dr1} расположенным в элемен-
тарном объёме dxlf около точки В (рис. 469), равен
£ d2i = L ?2 sin ММ?1.	(VIII,6)
и Р12 v n ri Р1а	\	/
VIII. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАРЯДОВ 725
Потенциал, создаваемый всем сферическим слоем с радиусами
между и pi + d^, найдём, выполняя интегрирование по углам.
Совершенно так же, как в п. 1, получим
в случае, когда р < ра. Для пахожде-	Рис-
ния И (^) остаётся проинтегрировать по
Ри принимая во внимание оба случая. При этом имеем
?(?) = v (	0 J р 4. f р. =
О	р	б	о
<vui’7)
Теперь мы можем вычислить энергию второго протона, распреде-
лённого по сфере радиуса в поле V (р):
и V (рг) ^2 = 7	d^2 sin »2 d\>2 V (р2)	=
ООО
о
Подставляя V (р2) из (VIII,7), получаем
11 = Ст)2 \	p‘<*Ps} =
=«4^,'д. ‘
\ v } [ 2	3	65 J \. г? 7	15
Заменяя здесь v через	находим окончательно
О
1/ = |^	(VIII.8)
— формулу, которой мы пользовались в тексте на стр. 356 и далее.
726
ПРИЛОЖЕНИЯ
IX. КВАЗПСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ II ВИРТУАЛЬНЫЕ
УРОВНИ ЭНЕРГИИ
При рассмотрении задачи о частице в иоле, имеющем вид линей-
ного потенциального ящика (см. т. J, § 147), было показано суще-
ствование в таком-ноле дискретных уровней энергии, соответствую-
щих стационарным состояниям со строго определённой энергией.
К аналогичному результату мы
пришли, решая задачу о частице
г ।	в потенциальной яме коночной
Т	глубины или, что то же самое,—
уп	в потенциальном ящике конечной
J	высоты (см. т. I, приложение V).
В этом последнем случае поле
0 т Jимеет вид, изображённый на
'	'2	рис. 470. Частица с энергией Е,
п	меньшей высоты стенок ящика Un,
остается в этом случае все время
внутри ящика, пребывая в ста-
ционарном состоянии со строго определённой энергией. Точнее
говоря, вправо и влево от стенок ящика 6-функция убывает по
экспоненциальному закону, асимптотически приближаясь к нулю,
когда х стремится к бесконечности. Это и даёт основание утвер-
ждать, что вероятность нахождения частицы внутри ящика во
много раз превосходит вероят-
ность нахождения её за преде-
лами ящика.
В теории а-распада (§ 284)
мы перенесли этот результат на
случай, когда ящик отделён от
остального пространства барье-
ром конечной ширины, т. е.,
например, на случай поля, изо-
бражённого на рис. 471.
На самом деле такое безого-
ворочное перенесение, хотя и
имеет известные основания, но
не точно. В случае барьера
конечной ширины, даже при
Е < UQ, частица имеет определённую вероятность выйти тун-
нельным переходом за пределы ящика, н её состояние по-
этому не является стационарным. Равным образом частица,
падающая на барьер извне, имеет определённую вероятность
«просочиться» туннельным переходом внутрь ящика. Поэтому,
строго говоря, спектр собственных значений энергии в этом слу-
чае не дискретный, а сплошной. Мы рассмотрим этот случай
IX. КВАЗЦСТАШ1О11АРИЫЕ СОСТОЯНИЯ Н ВИРТУ Л. 1Ы1ЫЕ УРОВНИ 727
подробнее, так как это рассмотрение помимо уточнений, которые
оно вносит, приведёт нас к некоторым важным результатам.
Итак, рассмотрим частицу в поле, изображённом па рис. 471
Начало координат выберем в середине ящика. Ширина ящика
пусть равна 2а, ширина барьера пусть будет 1=--Ь — а. Частица имеет
определённую вероятность находиться в любом месте пространства:
внутри ящица, внутри стенок барьера или справа и слева от ящпка.
Чуть решения аналогичен применённому в т. I, § 145 при
решении задачи о барьере конечной ширины: всё пространство
делим на три области: / — внутри ящика; // — внутри барьера;
/// — всё остальное пространство. Для каждой области пишем
уравнение Шредингера и затем требуем, чтобы три функ-
ции О/, Ф/j, на границах областей были непрерывны вместе
со своими первыми производными.
Решение уравнения Шредингера внутри ящика и за пределами
барьера представляет стоячие волны. Возможны стоячие волны
двух типов: симметричные относительно начала координат и анти-
симметричные. Первые удовлетворяют требованию Ф(ж) = ф( — х)
и, очевидно, представляются косинусом; антисимметричные сто-
ячие волны удовлетворяют требованию ф (ж) = — Ф ( - х) и пред-
ставляются синусом. Рассмотрим случай симметричных волн;
функция Ф в указанных трёх областях такова:
фг = A’ COS&PE	при	1
Ф/j = Аекх + /?е-Ь: при	|
Ап — С cos {к±х + <?) при х b	(^> О
=	к = ^\/^ГГф\-Е^ . J
Для определения коэффициентов А', А, В, С воспользуемся усло-
виями непрерывности Ф-функцин и её первых производных. Так
как, однако, нас будут интересовать не сами коэффициенты, но их
отношение, то один из коэффициентов А' или С можно положить
равным 1. Положим А'~ 1. Тогда условия
Q).
X, (бЛ' у/Л'“Сс- X, « X И
дадут
cos /сщ — .4cta + Ве~ки,
sin к-,а — —A('ka + Ве~кп.
к 1
Отсюда получаем
728
ПРИЛОЖЕНИЯ
Условия
дают
С cos (fab + ?) = АекЬ + Ве~кь,
7	I.	(IX ,3)
С sin (kYb -f- ф) = —Д АекЪ -р	Ве~кЬ.
'	17 /q	/q
Заменяя здесь А и В их значениями из (IX,2), возводя в квадрат
и складывая, получим, пользуясь обозначением 1 — Ь — а,
С2 -- (^cos k-jd ~ — sin кга^ ekl + ^cos кга + ~ sin кга^ e~kl J +
+ [(cos ~ I s*n M еЫ~~ (cos + у sin	• (IX,4)
Допустим теперь, что ширина барьера I достаточно велика, так
что членами, содержащими e~kl, можно пренебречь по сравнению
с членами, содержащими ekl. В таком случае (IX,4) примет вид
С2 = 4	+ (cos — ^sin^y e2kl.	(IX,5)
Очевидно, что если I достаточно велико, то ekl > 1 и, следова-
тельно, С2 значительно больше 1, т. е. С2 > А'2. Из этого сле-
дует, что при достаточной ширине барьера вероятность найти ча-
Рпс. 472.
стицу вне ящика значительно больше вероятности найти её внут-
ри ящика. Ход ^-функции при этом будет иметь вид, приблизи-
тельно изображённый па рис. 472 (положение барьера схемати-
чески изображено более тёмным отрезком).
IX. КВЛЗИСТАЦНОНАР.НЫЕ СОСТОЯНИЯ И ВИРТУАЛЬНЫЕ УРОВНИ 729
Исключительный случай будет иметь место, когда
cosA^a — — sin кха — О,	(IX,6)
или
1ё^« = Д.	(IX,7)
Для исследования этого случая обратимся сначала к форму-
лам (IX,2). При условии (IX,6) они дают
А — 0, 13 = ека cos kta,	(IX,8)
а формулы (IX,3), принимая го внимание (IX,8), дают
С cos (kxb + <р) = е~ы cos к^а,
С sin (к\Ъ + ф) — e~lcl sin kva.
Возводя в квадрат н складывая, получаем
С2 = е~2^,	(IX,9)
т. е. С2 < 1, пли, что то же самое, С2< ИХ
Итак, в исключительных случаях, имеющих место при усло-
вии (IX,7), вероятность нахождения частицы вне ящика при доста-
точной ширине барьера I мала по сравнению с вероятностью нахо-
ждения её внутри ящика; частица пребывает большую часть вре-
мени внутри ящика; б-функция в этих случаях имеет вид, при-
мерно изображённый на рис. 473.
730
ПРИЛОЖЕНИЯ
Выпишем теперь условие (IX,7) в явном виде, принимая во
внимание значения и к. Получим
=	(IX.10)
Это — трансцендентное уравнение дня Е, решения которого
могут быть найдены, например, графически, как точки пере-
сечения кривой tg }Ё2тЁа с кривой -^г^в функцииЕ. Итак,
рассматриваемый исключительный случай наступает при конеч-
ном число дискретных значений энергии Е2, . . . Сравним теперь
эти значения с уровнями энергии частицы в ящике со стенками
конечной высоты. В приложении V, т. 1, стр. 526 мы получили
для этих уровней также трансцендентное уравнение
=	• (IX, 11)
/4 r	(./ 0
Пользуясь элементарной тригонометрической формулой
tg 2кга =
°	1	1—tg^a
и подставляя для tg^i<^ его выражение из (IX, 10), находим
1 ?к а -- 2	Е")
т. е. уже известную нам формулу (IX, 11).
Мы видим, что частица, вообще говоря, будет пребывать вне
ящика, т. е. в несвязанном состоянии. Лишь при некоторых
изобранных значениях энергии вероятность её нахождения внутри
ящика будет значительно больше вероятности её нахождения вне
ящика. Эти значения энергии определяются из трансцендентного
уравнения (IX, 10), которое вполне эквивалентно уравнению
(IX, 11), определяющему квантованные значения энергии для
ящика с барьером бесконечной ширины, т. о. для поля, изобра-
жённого на рпс. 170. Из этого следует, что хотя в интересующем
пас случае спектр собственных значений энергии сплошной, име-
ются преимущественные значения энергии, лежащие вблизи ста-
ционарных уровней ящика, при которых частица должна большую
часть времени пребывать внутри ящика. Однако в рассматри-
ваемом случае частица имеет всё же известную, хотя и малую,
вероятность выйти за пределы ящика. Поэтому состояния, в кото-
рых находится подобная частица, не являются стационарными
в точном смысле слова. Они называются квазистационарными,
а соответствующие этим состояниям избранные значения энергии —
епртуалъными уровнями.
IX. КВЛЗИСТЛЦИОПАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ВИРТУАЛЬНЫЕ УРОВНИ 731
Виртуальные уровни имеют ещё одну особенность: в отлично
от стационарных уровней они не являются резнями, а имеют
определённую ширину. Это значит, что на самом деле виртуаль-
ный «уровень» представляет собой некоторый узкий интервал
сплошного спектра собственных значений энергии. В этом можно
убедиться из следующих полукачсствспных соображений. Из
формулы (IX,4) следует, что С2 имеет максимальное значение при
условии, когда обращаются в нуль члены, содержащие e~kl, и мини-
мальное, — когда обращаются в нуль члены, содержащие ekl.
Последнее условие даёт уже известные нам формулы (IX,7) и (IX,9)
tg Л.аа-Д-,	C2---^e~lkl,
а первое условие даёт
с - ( >	(IX, 12)
Из формул (IX,7) и (IX,9) находятся то значения энергии, при
которых частица главным образом находится внутри ящика, а из
формул (IX, 12)—значения энергии, при которых она главным
образом находится вне ящика. Интервалы между теми и другими
значениями и определяют ширину виртуального уровня энергии.
Практически эта ширина значительно меньше, так как уже при
тех значениях энергии, при которых C2 = e2kl становится большим
1 (т. е. большим й'), вероятность нахождения частицы впе ящика
превышает вероятность нахождения частицы внутри ящика.
Из развитых выше соображений следует, что наличие барьера
конечной ширины сказывается как в появлении конечной вероят-
ности «ускользания» частицы из ящика, так и в расширении уров-
ней энергии. Очевидно, что эти соображения представляют инте-
рес и для обратного явления—захвата частицы, падающей па
барьер. Конкретными иллюстрациями могут служить захват
частиц с образованием составного ядра при ядерных реакциях и,
в частности, резкое возрастание вероятности захвата при резо-
нансном расщеплении.
В заключение предлагаем читателю в качестве упражне-
ния рассмотреть ту же задачу для случая антисимметричных
стоячих волн.
В этом случае три функции таковы
d/ = A'sinA:)x при
О и =.- Аекх Be,~~кх	при а <,х < Ь,
= С sin (A^-;-©) при
Виртуальные уровни определяются из условия
tg кха - -
732
ПРИЛОЖЕНИЯ
(IX,И)
или при замене кх и к их значениями
tg-^-]/2Tn£a= — j/V^_E
причём это уравнение также эквивалентно уравнению (IX,11)
tg2v/2m£a= \д_Ра
X. СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОНА
Рассмотрим электрон, находящийся в центрально-симмет-
ричном поле, например в кулоновском поле ядра. Потенциал
поля в этом случае есть функция одного только г:
ср = ср (г), Г == ]/ X2 + у2, + Z2.	(Х,1)
Напишем уравнение Дирака для электрона в электромагнитном
поле в виде
-Р4ф = (аг + а2_Р2 + а3 ^з + а4^0с) Ф,	(X, 2)
где
1 f h д -	\
-7(,ЙЗ>+^'
h д	е	.
2^i дх	с	х>
h д	в	.
ду	с	У’
h д	е	.
2ъ1 dz	с	z’
Если электрон находится в центрально-симметричном электро-
статическом поле, то
Ах = Ау =Л = 0.
Рассмотрим теперь какое-нибудь стационарное состояние. В этом
состоянии энергия имеет определённое значение и решение
можно искать в виде
• 2те
— г — Et
ф = аТе h
Здесь ЧГ есть часть собственной функции, зависящая от коорди-
нат х, у, z; что же касается «амплитуды» а, то она содержит
ту добавочную переменную, на которую действуют операторы а£;
заметив это, мы будем писать стационарное решение в виде
h ,	=	(Х,3)
Подставляя (Х,3) в уравнение Дирака (Х,2), получим следующее
X. СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОНА 733
уравнение в раскрытом виде (при условии равенства нулю век-
тор-потенциала А):
[С С”1 + Г/ + £) +	0С2 + «?] Ф’ “
Оператор, стоящий в левой части этого уравнения, т. е.
S = С 2^ (“> Д + “2 Гу + “» г) + W2 + €<?’	<Х>4>
очевидно и есть релятивистский оператор энергии.
Оператор z-составляющей орбитального момента количества
движения есть
2^(ж ду~У д^) •	(176,1)
Покажем теперь, что этот оператор не коммутирует с релятиви-
стским оператором энергии (Х,4), т. е. что для орбитального
момента импульса не имеет места закон сохранения. Мы находим
д , h д f dii	h f «Эф d2^	<Э2>\
дх 2 • 2ki 1 дх \ ду а дх J 2ш 1 \ ду дх ду и dx-J
h Z д	д'\	д<\)	h	f	дгЬ дг^\
2 дх 2т \ ду	дх J	дх	2т	\	дх ду	s дх2у
Итак
б д Т	г	д\ , h di
V1 дх	iz<X1 Эг) — ai 2т ду ’
Аналогично найдём
/ д т д \ ,	h д‘Ь
— X»„a2— )w = —a2-x—
V ду 2 z 2 dy J '	2 2m dx
Далее, очевидно, что коммутирует c a3^ и с a4Poc2- Легко
убедиться также в том, что коммутирует с е<р. Проверку этого
предоставляем читателю. Окончательный результат состоит в том,
что Ъг не коммутирует с релятивистским оператором энергии,
так как
С д > д  д\т т ( д , д I
(.’й +“2aJ + “’&j^-bA0!laS + 0!2^ + a8Sj =
=	• (Х,5)
2m \ ду дх J 4	7
Рассмотрим теперь оператор Jz (см. стр. 192)
J, = IJ-£a1«2^=A + <’4;	<Х’6>
мы увидим, что этот оператор коммутирует с релятивистским
734
ПРИЛОЖЕНИЯ
оператором энергии. В самом деле, пользуясь свойствами опера-
торов аг-(а* = 1, ага/= —находим
д / . h , \	. 9 h d'j . h д j	h dj
5“ ля1а2 7~ 9 )	y- — = ia2y-~ — — a2 V-.	;
dx \	4^ ' J 1 4л dx 4.x. dx	4-xidx
h f dA . h d j	. h 9 d j . h. d j h d j
Jaia2 7- ( air r~- ^12t2a1 —	~ afa2 ~~ --1 r a2-^- — y—: a2 .
1	4л; \ 1 dx J 1	1 4г. dx 4x 1 z dx 4л: dx 4nz. dx
Итак,
d f .	h \	. h /	d \ h d
ai v гскя? T- — ia-,a2 — ( at, — ) = — —- a2 -y- .
1 dx \	1 2 4r. 7	1 2 4к \ 1 dx J 2к.г z dx
Аналогичным образом легко убедиться в том, что
d / .	h \	. h / d \	h d
a2 ( 1^2 T~ —	7~ ( 7 2 5“ ) -= al X" •
dy\ 1 z 4к у z 1 4к \ * dy J	2.XI 1 dy
Наконец, оператор Zaxa2 коммутирует c a3 ~ и c a4p0c2, в чём
легко убедиться, пользуясь тем, что afa;-== — a7-af. Мы видим,
таким образом, что второй член оператора (Х,6) не коммутирует
с релятивистским оператором энергии, так как
Однако, принимая во внимание (Х,5) (Х,7) и выражение (Х,6}
для оператора Jz, мы видим, что хотя каждый член в выраже-
нии Jz не коммутирует с If, по их разность коммутирует с ре-
лятивистским оператором энергии, что и требовалось доказать.
Итак, оператор Jz не зависит от времени и коммутирует с реля-
тивистским оператором энергии, откуда следует, что J2 соответ-
ствует полному моменту импульса, для которого имеет место
закон сохранения.
XI. ДИПОЛЬНОЕ И КВАДРУПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Для вычисления электромагнитного поля излучения необходимо
знать потенциалы — скалярный 7 и векторный А. Напряжённости
поля тогда вычисляются по формулам (см. т. I, § 60)
g=--grad?-1'24, К = rot А.	(XI,1)
Потенциалы п А, как известно*), равны
? = А = 4^Л,	(XI,2)
*) См., например, Абрагам-Беккер, Теория электричества, т. I,
ОПТИ, 1936 г.
XI. ДИПОЛЬНОЕ И КВАДРУПОЛЬНОЕ излучение	735
где г' — расстояние от точки Р (рис. 474) с координатами X, Y, Z
в момент t до элемента объёма Q с координатами х, у, z в за-
паздывающий момент
Вместо плотности зарядов р и плотности токов pv — j подставим
их выражения в зависимости от времени, предполагая, что ко-
лебания происходят по гармоническому закону
р = 1,ое-12я>н> j = joe	(XI,3)
Пусть О — начало координат, выбранное внутри облака заряда.
Рис 474.
P(X,W)
Расстояние от О до точки наблюдения Р есть R; расстояние от
О до элемента объёма Q пусть будет г, единичный вектор в на-
правлении Р пусть будет s. Тогда, полагая, что R—>оо, имеем
г' = R — rs,
(XI,4)
и следовательно,
=	=	+	(XI,5)
Подставим (XI,3) (XI,4) и (XI,5) в (XI,2). При этом знаменатель
1 . 1
— мы можем с достаточной точностью заменить через , так
г	а
1	п
как при разложении р- по отрицательным степеням R
r' R ‘ 2?3 ‘ • • 
в случае 7?—>со можно пренебречь всеми членами, кроме пер-
вого. Принимая во внимание, далее, что вследствие (XI, 5)
•о I, R \	• 2tcv
• о .,	It-) —г---- rs
q—— g	\ c / g c
736
ПРИЛОЖЕНИЯ
получаем
(XI,6)
(XI,7)
Отметим теперь, что переменное запаздывание обусловлено в (XI,5)
членом г-|- и соответственно в (XI,6) и (Х1,7) — экспоненциаль-
. 2-тс
ным множителем е с = е л . Очевидно, что если
« 1,	(XI,8)
то экспоненциальный множитель в (XI,6) и (XI,7) можно положить
равным 1, и мы получаем
f = ---Д---\v<K	(XI,6')
А = ---—(XI,7')
Л J С	\	/
Это—потенциалы задачи об излучении электрического диполя
(диполь Герца)*). Условие (XI,8) осуществляется в случае излу-
чения атомом света в оптической части спектра. Действительно,
размеры атома порядка 10-8 см, а длина волны, соответствующая
оптической части спектра, порядка 10~5 см. Следовательно,
т. е. условие (XI,8) выполняется. Итак, в задачах об испускании
света в оптической части спектра излучающий объект (атом) можно,
вообще говоря, рассматривать как электрический диполь.
В общем случае, однако, г может оказаться сравнимым с X,
и потому экспоненциальный множитель запаздывания нельзя счи-
тать равным 1. Чтобы получить с помощью формул (XI, 1) напря-
жённости поля £ и из потенциалов (XI,6) и (XI,7), нужно
дифференцировать потенциалы по координатам и по времени точки
наблюдения Р (X, Y, Z, t). При дифференцировании по коорди-
*) См., А б р а г а м-Б е к к е р, Теория электричества, т, Т, §71, ОНТИ,
1936 г.
XI. ДИПОЛЬНОЕ II КВАДРУПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
737
натам экспоненциальный множитель
. 2nv
—г---rs
можно считать постоянным. В самом деле, составляющие единич-
X У Z
ного вектора s суть	, так что
. 2tcv	. 2kv xX-i-yY+zZ
—г---rs —г-------------
в с =6 с R
R = yX* + Y2 + Z*.
При дифференцировании показателя по X, Y, Z войдут степени
7?-1, которыми можно пренебречь, так как R—>оо. По той же
причине при дифференцировании множителя перед интегралом
знаменатель R можно считать постоянным. Итак, при вычислении
% и по формулам (XI, 1) следует дифференцировать только
экспоненциальный множитель перед интегралом
—г 2k\i (^—”г)
В результате получается
о ~i2™ (/-	. 2kv
—я—S(ps-£)e * °rs (ХГ,9)
-г2пу (t-~\	. 2vtv
С 1S dz’	(XI,10)
Пользуясь этими формулами, можно показать, что 8 и JC по аб-
солютной величине друг другу равны, между собой перпендику-
лярны и перпендикулярны к единичному вектору направления
волны s. Вследствие равенства | 81 = | К | вектор Умова — Пойнтинга
S=^[8HJ
по величине пропорционален ^2, а потому при дальнейших рас-
суждениях нам достаточно будеть рассматривать только
Заметим теперь, что—s = -^y s есть не что иное, как вол-
новой вектор к, так что экспонснцальный множитель запаздыва-
ния под интегралом можно писать в виде
g-ibr.
Зная напряжённости поля (XI,9) и (XI, 10), можно вычислить
вектор Умова — Пойнтинга (см. т. 1, § 64), а затем, интегри-
руя по углам,—полную интенсивность излучения. Однако таким
путём нельзя себе составить представления о свойствах поля
738
ПРИЛОЖЕНИЯ
излучения. Чтобы это сделать, нужно разложить множитель запаз-
дывания e~ikr в степенной ряд
g-iiir = 1 _ /кг-|-	(/кг)2 + .. .
В таком случае вектор-потенциал и напряжённость представятся
в виде рядов
Ч = А± -]- А% -|- Ч.3
£ = $ 1 + 2 + % з + ...
Полагая А — /11;	и отбрасывая последующие члены, мы
получим дипольное излучение, так как первый член разложения
вектор-потепциала Аг соответствует рассмотренному с самого
начала случаю е-1кг^1. Свойства второго члена А% и соответ-
ственно —значительно сложное. Вычисления показывают, что
этот члеп представляет собою тензор 2-го ранга, который мож-
но разложить на симметричную и антисимметричную части. Сим-
метричная часть представляет излучение электрического квадру-
поля, антисимметричная—излучение магнитного диполя. Третий
член Л3 (соответственно ^3) представляет комплекс излучений,
состоящий из излучения электрического октуполя и магнитного
квадруполя. Итак, последовательные члены соответствуют излу-
чению электрических систем 21 (диполь) 22 (квадруполь), 23
(октуполь) и вообще 2п-полюс или магнитных систем с показа-
телем п на 1 меньшим. Так как последовательные члены ряда
различаются множителем /кг, то интенсивности излучения после-
довательных мультиполей отличаются фактором (кг)2 -- ( — J .
В случае излучения в оптической части 10-3, следовательно,
интенсивность квадрупольного излучения должна быть пример-
но в 106 раз меньше интенсивности дипольного излучения.
Полярные диаграммы распределения интенсивности по па
правлениям для различных мультипблей существенно отличают-
ся друг от друга. Так, например, интенсивность излучения
электрического диполя имеет максимум при углах и Зт:/2
по отношению к направлению колебаний; интенсивность излуче-
ния квадруполя имеет максимумы в направлениях тс/4, 3^/4, по
в направлении ~/2 его интенсивность равна пулю и т. д.
XII. ЧЁТНОСТЬ состояния
В квантовой механике важную роль играет свойство симметрии
состояния, обозначаемое понятием «чётность». Чтобы пояснить,
в чём заключается это свойство и каково его значение, мы заме-
тим, прежде всего, что ни оператор Гамильтона изолированной
системы частиц, ни энергия не могут измениться, если мы одно-
XII. ЧЁТНОСТЬ состояния
739
временно изменим знаки координат всех частиц на обратные.
В самом деле, это изменение может быть осуществлено заменой
правой системы координат иа левую, а физические факты по могут
зависеть от того, пользуемся ли мы правой или левой системой
координат.
Операция изменения знаков координат частиц может быть
описана как отражение в начале координат. Опа называется
также инверсией в начале координат.
Обозначая совокупность координат 7с-н частицы через гл,
запишем свойство инвариантности гамильтониана по отношению
к инверсии в виде
л-(-г*)=л (/•*);	(xji.I)
при этом предпола1ается, что меняются знаки координат ио
только &-й, но всех частиц одновременно.
Введём оператор инверсии I, действие которого состоит в том.
что он меняет знаки координат всех частиц па обратные. Убедимся
теперь в том, что условие (XII, 1) равносильно тому, что опера-
тор I коммутирует с оператором энергии. Имеем:
Н(г^Ц(гк) = И(гк)^(-гк\	)
Если имеет место (XII, 1) то правые части равны, а следовате.пяю
1Н=1Г1.	(XII, 3)
Обратно, если имеет место (XII,3), то из (XII,2) сразу сле-
дует (XII, 1)
В § 175 мы видели, что если оператор не зависит явно от вре-
мени и коммутирует с оператором энергии, то собственные зна-
чения этого оператора сохраняются во времени. Найдём собст-
венные значения оператора инверсии. Очевидно, что двукратное
применение оператора инверсии дважды меняет знаки координат,
т. е. приводит к тождеству
11 2 9 (О =
откуда следует
(О. ) -=	(г1{),
т. е.
А2 = 1 И А — ± 1.
Итак, собственные значения оператора инверсии равны ^!, т. е.
I* (А)-±Ф(-Г1-).
Если функция не меняет знака при перемене знаков всех
координат, то опа называется чётной', если она меняет знак, то
она называется нечётной. Из условия коммутативности опера-
740
ПРИЛОЖЕНИЯ
тора инверсии следует, далее, что свойство чётности (или нечёт-
ность) сохраняется во времени, т. е. волновая функция будет
либо чётной, либо нечётной. Заметим, что произведение двух чётных
пли двух нечётных функций есть функция чётная, произведение чёт-
ной и нечётной—нечётная. Очевидно, что чётность пли нечётность
произведения нескольких функций устанавливается по тому же
правилу, как правило знаков при перемножении положительных
и отрицательных чисел.
Установим теперь чётность состояния одной: частицы, обладаю-
щей моментом количества движения I. Преобразование инверсии
состоит в замене координат х, у, z на —х, —у, —z. Этому
соответствует преобразование полярных координат
V—>77 — !).,
+©.
Собственные фупкцптт частицы с моментом количества движе-
ния I приведены в таблице ХХШ, стр. 90. По этой таблице
.легко проверить, что преобразование ппверепп умножает соб-
ственную функцию па (— 1)г и притом независимо от т. Из этого
следует, что собственные функции частицы с чётным моментом
количества движения чётны, с почётным моментом количества
движения - нечётны.
Обратимся теперь к правилам отбора. В тексте (§ 193) мы
видели, что запрет перехода с тем или иным изменением кван-
товых чисел выводится из равенства нулю матричного элемента,
Последний всегда имеет вид интеграла по всему пространству
-р со
С
/(ж, у, z)dx.
— ОО
Интеграл будет равен нулю, если /(ж, у, z) — функция нечётная.
В этом можно убедиться следующим образом. При переходе к
полярным координатам независимыми переменными будут г, 9, ср.
Элемент объёма dx в этих координатах есть
dx = г2 sin 3 d& d's = г2 du.
При интегрировании по всему пространству интегрирование по
углам выполняется в пределах телесного угла 4тс, т. е. в пре-
делах всей поверхности сферы радиуса 1. Интеграл по углам
можно представить в виде суммы двух интегралов, каждый из
которых берётся в пределах полусферы
F (Гк) dw = \F (Гк) -j- F ( — Г;.)} С?(1),
где гк— радиус-вектор &-й частицы. Если F (гк)— функция печёт-
XII. ЧЁТНОСТЬ состояния
741
пая, то интеграл, очевидно, равен нулю. То же справедливо,
когда F зависит от координат нескольких частиц.
Матричный .элемент дипольного момента есть
^тп фп’1 4i d .
Но ег есть функция нечётная. Поэтому матричный элемент
будет отличен от нуля только в том случае, когда произведе-
ние фтфп ссть также функция нечётная, т. е. 0;п и должны
обладать различной чётностью: одна должна быть чётной, другая —
нечётной. Итак, дипольный переход между двумя чётными или
двумя нечётными состояниями во всяком случае запрещён. По-
скольку чётность состояния определяется чётностью момента ко-
личества движения, то можно сразу утверждать, что для диполь-
ного излучения переходы с Д/ — 0 пли 4 2 запрещены. В матрич-
ном элементе квадруполыюго перехода
eQ зависит от координат квадратично, т. е. является чётной
функцией координат. Поэтому для чётности всей подинтсграль-
пой функции нужно, чтобы и О были обе чётными или обе
почётными. Поэтому переходы с Д/ — 0, 4 2 будут разрешены,
а переход с Д/ = 4 1 запрещён.
В итоге можно формулировать весьма общее правило отбора
(так называемое правило Лапорта). Все термы могут быть разде-
лены на два класса: чётные и нечётные. Терм будет чётным,
если арифметическая сумма квантовых чисел отдельных электро-
нов (или вообще частиц, образующих систему) есть число чётное,
и нечётным, если арифметическая сумма чисел lL нечётна.
Поскольку чётность терма определяется арифметической сум-
мой квантовых чисел I всех электронов атома, чётность зависит
как от квантовых чисел отдельных электронов, так и от их числа.
Для отдельных электронов чётными являются состояния с Z = 0,
2,	4, ... (.s’-, d-, g~--- электроны) и нечётными — состоя-
ния с I — 1, 3, 5, ... (р-,	h-... электроны). Однако
терм может быть чётным, если некоторые электроны находятся
в нечётных состояниях, но число их чётно, и наоборот. Так,
например, конфигурация электронов is2 2s2 2р2 ведёт к чётным
термам атома, а конфигурация is2p3d — к почётным.
Упомянутое правило Лапорта формулируется так: дипольные
переходы возможны между чётными и нечётными термами и запре-
щены при комбинациях термов одного и того же типа чётности.
Квадрупольпые переходы, наоборот, разрешены при переходах
между термами одинаковой чётности и запрещены при переходах
между термами различной чётности.
742
ПРИЛОЖЕНИЯ
XIII. ТАБЛИЦА МАСС ЛЁГКИХ ЯДЕР
Z	Ядро	Масса нейт- рального атома	Вероятная ошибка хЮ5	Энергия связи Е	Энергия связи на одну частицу Е/А
О	п1	1,00893	3	0,00	
1	Н1	1,008123	0,6	0,00	
	И2	2,014708	1,1	2,18	1,09
	Н3	3,01700	3,4	8,33	2,78
2	Не3	3,01700	4	7,60	2,53
	Нс4	4,00390	о	28,11	7,03
	Не5	5,0137	35	27,30	5,46
	Не6	6,0209	50	28,90	4,82
3	Li5	(5,0136)	(60)	26,64	5,33
	Li6	6,01697	5	31,81	5,30
	Li7	7,01822	6	38,96	5,57
	Li3	8,02502	7	40,94	5,12
4	Be6	6,0219	(100)	26,47	4,41
	Be7	7,01916	7	37,33	5,33
	Be3	8,00785	7	56,17	7,02
	Be9	9,01503	6	57,80	6,42
	Be10	10,01677	8	64,49	6,45
	Be11	(11,0277)	—	62,62	5,69
	B9	9,01620	7	55,96	6,22
	Bio	10,01618	9	64,29	6,43
	B11	11,01284	8	75,71	6,88
	B12	12,0190	70	78.28	6,52
	B13	(13,0207)	—•	85,01	6,54
6	C1O	10,0210	30	59,05	5,91
	C14	11,01495	9	72,99	6,64
	C12	12,00382	4	91,66	7,64
	C13	13,00751	10	96,54	7,43
	C11	14,00767	5	104,70	7,48
	C15	(15,0'165)	—	104,79	6,99
7	N12	(12,0233)	—	72.78	6,07
	\13	13,0988	7	93,58	7,20
	•\J14	14,00751	4	104,10	7,44
	\15	15,0489	21	114,85	7,66
	N16	>16,0065	—	121,66	7,60
	X16	<16,011	—	117,47	7,34
	N17	(17,014)	—	122,99	7,23
8	Q14	(14,0131)	—	98,14	7,01
	Q13	15,0078	40	111,39	7,43
	O16	16,000000	—	126,96	7,94
	Q17	17,00450	6	131,08	7,71
	O-3	18,0049	40	139,02	7,72
	019	(19,0139)	—	138.95	7,31
XIII. ТАБЛИЦА МАСС ЛЁГКИХ ЯДЕР
743
(Продолжение)
Z	Ядро	Масса нейт- рального атома	Вероятная ошибка х Юб	Энергия связи Е	Энергия связи на одну частицу Е/А
9	р;в	(16,0175)	—	109,92	6,87
	]?17	17,0075	30	127,54	7,50
	pis	18,0065	60	136,78	7,60
	Р19	19,00450	26	146,95	7,73
	рго	>20,0042	—	155,54	7,78
	рго	<20,0092	—	150,88	7,54
	psi	(21,0059)	—	162,27	7,73
10	Ne18	(18,0114)	—	131,47	7,30
	Ne19	19,00781	20	143,12	7,53
	Ne20	19,99877	10	159,85	7,99
	Ne21	>20,99963	22	167,35	7,97
	Ne22	<21,99844	36	176,77	8,04
	Ne23	(23,0013)	—	182,42	7,93
И	Na21	(21,0035)	—	163,00	7,76
	Na22	21,9999	50	174,66	7,94
	Na23	22,99618	31	186,44	8,11
	Na24	23,9975	45	193,52	8,06
	Na2 5	(24,9967)	—	202,57	8,10
12	Mg22	(22,0062)	—	168,05	7,64
	Mg23	23,0002	40	181,94	7,91
	M_>'24	23,9924	60	197,52	8,23
	Mg25	24,9938	90	204,52	8,18
	Mg23	25,9898	50	216,56	8,33
	Mg27	26,9928	150	222,07	8,22
13	Al25	24,9981	100	199,77	7,99
	Al26	25,9929	150	212,92	8,19
	Al27	26,9899	80	224,02	8,30
	Al28	27,9903	70	231,96	8,28
	Al29	28,9893	80	241,20	8,32
	Apo	(29,9954)	—	243,83	8,13
14	Si27	26,9949	90	218,62	8.10
	Si28	27,9866	60	234,66	8,38
	Si29	28,9866	60	242,97	8,38
	Si3°	29,9832	90	254,44	8,48
	Si31	30,9862	60	259,96	8,39
	Si32	(31,9849)	—	269,48	8,42
15	p29	(28,9919)	(100)	237,28	8,18
	рзо	29,9873	100	249,87	8,33
	psi	30,9843	50	260,98	8,42
	p32	31,9827	40	270,78	8,46
	рзз	(32,9826)	—	279,18	8,46
16	c;3i	(30,9899)	—	255,01	8,23
744
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Продолжение)
	Ядро	Масса нейт- рального атома	Вероятная ошибка X 105	Энергия связи Е	Энергия связи на одну частицу Е/А
16	S32	31,98089	7	271,71	8,49
	S33	32,9800	60	280,85	8,51
	S34	33,97710	35	291,86	8,58
	S35	34,9788	80	298,59	8,53
	S36	35,978	100	307,64	8,55
17	Cl33	(32,9860)	—	274,51	8,32
	Cl34	33,9801	—	288,32	8,48
	Cl35	34,97867	21	297,96	8,51
	Cl36	35,9788	100	306,15	8,50
	Cl37	36.97750	14	315,67	8,53
	Cl33	37.981	300	320,72	8,44
	CP9	(38,9794)			330,52	8,74
18	Ar35	(34,9850)	—	291,32	8,23
	Ar36	35,9780	100	306,14	8,50
	Ar37	(36,9777)	—	314,73	8,51
	Ar33	37,974	250	326,49	8,59
	Ar39	(38,9755)	—	333,40	8,55
	Ar40	39,9756	60	341,62	8,54
	Ar41	40,9770	60	248,62	8,50
19	K37	(36,9830)	—	309,05	8,35
	K33	(37.9795)	—	320,62	8,44
	K39	(38,9747)	—	333,39	8,55
	K49	39,9760	100	340,49	8,51
20	Ca49	39,9753	150	340,40	8,51
	Ca42	41,9711	—	360,93	8,59
	Ca43	42,9723	—	368,12	8,56
	Ca44	—	—	—	—
	Ca45	44,968	—	388,74	8,64
21	Sc45	44,9669	—	389,02	8,64
22	Ti46	45,9661	100	397,32	8,64
	Ti47	46.9647	100	406,93	8,66
	Ti43	47,9631	50	416,73	8,68
	Ti49	48,9646	60	423,65	8,65
	Ti59	49,9621	40	434,28	8,69
	Ti51	50,9587	100	445,76	8,74
23	ysi	50,9577	50	445,94	8,74
24	Cr51	50,958	—	444,91	8.72
	Cr52	51,956	—	455,08	8,75
	Cr53	52,956	—	463,39	8,74
25	Mn55	54,957	—	478,33	8,70
26	Fe54	53,957	—	469,27	8.69
	Fe59	55,9568	170	486,08	8,68
	Fe5?	56,957	—	494.20	8.67
XIV. ТАБЛИЦА ИЗОТОПОВ
XIV. ТАБЛИЦА ИЗОТОПОВ *)
Z	Изотоп	Распростра- нённость В %	Тип радиоактивности	Период полураспада
1	Н1	99,9844		
	И2	0,0156		
	Н3		Г	12,1 года
2	Не3	1,3-IO-4		
	Не4	99,9999		
	Не6		г	0,89 сек.
3	Li6	7,30		
	Li7	92,70		
	Li8		, 2а	0,89 сек.
4	Be7		Ка	52,9 дня
	Be3		2 а	10~15—10~17 сек.
	Be9	100		
	Be10		Г	2,5-10® лет
5	Bio	18,83		
	B11	81,17		
	B12		з-	0,027 сек.
6	СЮ		Г	19,1 сек.
	C11		F	20,42 мин.
	G12	98,9		
	C13	1,1		
	G14		8-	5100 лет
7	N12		Г	12,5-10-5 сек.
	N13			9,93 мин.
	N14	99,62		
	N15	0,38		
	N16		'З’Л	7,35 сек.
	N17		f5 Л-	4,14 сек.
8	O14		^,7	76,5 сек.
	Q15			126 сек.
	Q16	99.757		
	O17	0.039		
	Q18	0,204		
	O19		Г,7	27,0 сек.
9	J?17		Г	66 сек.
	pis		в+	107 мин.
	J?19	100		
	pao		Г, 7	12 сек.
*) В таблице приняты следующие обозначения: а—а-частица, 3“—
электрон, р+—позитрон, у—-[-лучи, п—нейтрон, е~—электроны внутренней
конверсии, К—захват Х-электропа, и. п.—изомерный переход,* **)—• изомер-
ное ядро. В скобках поставлены изотопы, у которых недостоверно массо-
вое число или элемент.
**) Теоретическое значение.
746
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
10	Ne19		Р+	18,2 сек.
	Ne20	90,51		
	Ne21	0,28		
	Ne22	9,21		
	Ne23		Р"	40,0 сек.
11	Na(21)			23 сек.
	Na22		Р+. I	3 года
	Na23	100		
	Na24		Р", 7	14,8 часа
	Na(25)		Р“> 7	58,2 сек.
12	Mg23		Р+	11,6 сек.
	Mg24	78,60		
	Mg25	10,11		
	Mg26	11,29		
	Mg27		Г» 7	10,2 мин.
13	Al28			7,3 сек.
	Al26		Р+	6,3 сек.
	Al27	100		
	Al28		Р", 7	2,30 мин.
	Al29		Р~	6,7 мин.
14	Si27		Р+	4,9 сек.
	Si28	92,16		
	Si29	4,71		
	SI30	3,13		
	Si31		Р"	170 мин.
15	p29		р*	4,6 сек.
	рзо		р+	2,55 мин.
	psi	100		
	p32		г	14,3 дня
	P34		Р~, 7	12,4 сек.
16	S31		Р+	2,6 сек.
	S32	95,06		
	S33	0,74		
	S34	4,18		
	S35		р-	87,1 дня
	S36	0,016		
	S(37)		Р"» 7	5,0 мин.
17	Cl33		Р+	2,8 сек.
	Cl34		Р+> 7	33 мин.
	Cl38	75,43		
	Cl36		Р+, к, ₽-	2-10® лет
	Cl37	24,57		
	Cl33		Р"» 7	38,5 мин.
	CK39)		р-	1 час
XIV. ТАБЛИЦА ИЗОТОПОВ
747
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
18	Аг35			1,88 сек.
	Аг36	0,307		
	Аг37		К	34,1 дня
	Аг88	0,060		
	Аг49	99,632		
	Аг41		Г, Y	109,4 мин.
19	К38		Y	7,5 мин.
	К39	93,3		
	К40	0,011	Г, К, Y	4,5-10® лет
	К41	6,7		
	К42		Y	12,44 часа
	К(43)		Y	22,4 часа
	К(43)		Г	27 мин.
	К(43>44)		в-	18 мин.
20	Са(89)			1,06 сек.
	Са40	96,92		
	Са42	0,64		
	Са43	0,13		
	Са41	2,13		
	Са45		Г	152 дня
	Са46	0,0033		
	Са48	0,18		
	Са49		Г, Y	2,5 часа
	Са(49)		г	30 мин.
21	Sc41			0,87 сек.
	Sc43		Y	3,92 часа
	Sc44*		и. п., е~, у	2,44 дня
	Sc44		Y	3.92 часа
	fee45	100		
	Sc46*		и. п., v, е~	20 сек.
	Sc46		Г’ Ч’ к	85 дней
	Sc(47)		Г	3,4 дня
	Sc48		Г, Y» К	44 часа
	Sc49		г	57 мин.
22	T145			3,08 часа
	Ti(45)			21 день
		7,95		
	Ti47	7,75		
	^148	73,45		
	Ti49	5,51		
	Ti53	5,34		
	Ti51*		Y	6 мин.
	Ti51		Н Y	72 дня
23	V(47)			33 мин.
	У 48		Р* (58%), #(42%) т	16 дней
	V(49)		К	600 дней
748
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Продолжение;
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
23	V&0			3,7 часа
	V51	100		
	V52		Г, Y	3,74 мин.
24	Сг49		Т	42 мин.
	Ст50	4,31		
	Сг51		К, у, е~; нет	26,5 дня
	Сг62	83,76		
	СГ53	9,55		
	Сг54	2,38		
	Сг(66)			1,3 часа
25	Мп51			46 мин.
	Мп52*		Р+, Y	21 мин.
	Мп62		Р* (35%),	(65%), у	6,5 дня
	Мп54		•ff, Y	310 дней
	Мп55	100		
	Мп66		Г, Y	2,59 часа
26	Fe52		Р*	7,8 часа
	Fe63			8,9 мин.
	Fe54	5,81		
	Fe55		К	~-4 года
	Fe66	91,64		
	Fe57	2,21		
	Fe53	0,34		
	Fe59		Y	47 дней
27	Co55		Y	18,2 часа
	Co5«		Г, Y> К	72 дня
	Co57		К, у, е~, у	270 дней
	Co83		Y> К	72 дня
	Go59	100		
	Co60		Y	5,3 года
	Co60*		и. п., у, е~ (>90%), р	10,7 мин.
	Co61		Г	1,75 часа
	Go62		₽’> Y	13,9 мин.
	Ni87		+ ₽	34 часа
	Ni88	67,76		
	Ni(59)		К	5«104 лет
	Ni60	26,16		
	Ni61	1,25		
	Ni62	3,66		
	NiW		Г	300 лет
	Ni64	1,16		
	Ni65		₽~, Y	2,6 часа
	Ni66		Г	56 часов
29	Cu(58)			10 мин.
	Cu(68)			3 • сек.
XIV. ТАБЛИЦА ИЗОТОПОВ
749
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тин радиоактивности	Период полураспада
29	Си60			24,6 мин.
	Си(81)		Р+, К	3,33 часа
	Си62		f*+> 7	9,9 мин.
	Си63	68,94		
	Си6'1		К, Г, 7	12,8 часа
	Си65	31,06		
	Си66		Г» 7	5,05 мин.
	Си(67)		Г	56 часов
30	Zn62		к	9,5 часа
	Zn83		Р* (93%), 2Г (7%), 7	38,3 мин.
	Zn64	48,89		
	Zn85		?<• (1,3%), К (98,7%),	250 дней
			7, е	
	Zn66	27,81		
	Zn67	4,07		
	Zn68	18,61		
	Zn88*		И. П., 7	13,8 часа
	Zn89		г	57 мин.
	Zn70	0,620		
	Zn71		7	2,2 мин.
	Zn72		7	49 часов
31	Ga(84)		Р*	48 мин.
	Ga85		К, е~	15 мин.
	Ga88		Г	9,4 часа
	Ga87		К, 7, е-	78,3 часа
	Ga68			68 мин.
	Ga89	60,2		
	Ga70		Р~> 7	20,3 мин.
	Ga71	39,8		
	Ga72		Р~, 7	14,3 часа
	Ga(78)		В~	5 часов
32	Ge88			——140 мин.
	Ge87		8+	23 мин.
	Ge88		К	250 дней
	Ge70	20,55		
	Ge71		К	И дней
	Ge(71)			38 часов
	Ge72*		и. п., е	5 • 10~7 сек.
	Ge72	27,37		
	Ge73	7,61		
	Ge74	36,74		
	Ge75		Г, 7	89 мин.
	Ge78	7,67		
	Ge(77)		Г, 7	12 часов
	Ge(77) *		Г	59 сек
	Ge78		Г» 7	2,1 часа
750
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
33	As(71)		V	52 мин.
	As71		К	50 часов
	As(72)		7	26 часов
	As73		К, е~	90 дней
	As74		Г» 7	17,5 дня
	As75-	100		
	As78		7» К	26,8 часа
	As77		Г	40 часов
	As78		Г» 7	65 мин.
	As(78)		г	99 мин.
34	Se(71)			44 мин.
	Se(72)		к	9,5 дня
	Se(78)		К	6,7 часа
	Se74	0,87		
	Se7e		К, 7, е'	127 дней
	Se7®	9,02		
	Se77	7,58		
	Se77*		и. п., 7	17,5 сек.
	Se78	23,52		
	Se79			7х 10® лет
	Se80	49,82		
	Se(81) *		и. п., е~	59 мин.
	Se81		Г	17 мин.
	Se82	9,19		
	Se83*		Р", 7	67 сек.
	Se83		Г, 7	25 мин.
	Se84		Г	2,5 мин.
35	Br(7S)		к	1,7 часа
	Br(7e)		7> е	15,7 часа
	Br(77)		fH, К, 7, е-	57,2 часа
	Br78		е~, 7	6,4 мин.
	Br79	50,5		
			и. п., е~, 7	4,4 часа
	Br80		Г, 7.	18 мин.
	Br81	49,5		
	Br82		7	34 часа
	Br83		Г	2,4 часа
	Br84		? » 7	33 мин.
	Br85			3 мин.
	Br(87)		Р ; и;	56,1 сек.
	Br(87)		Р > п	4,51 сек.
	Br(68)		Г	16,0 сек.
36	Kr(77>		К (70%),	(30%), 7	1,1 часа
	Kr78	0,342		
	Kr79		р-(2%), 7, К (98%)	34 часа
	Kr (7®>81)		е , 7	13 сек.
	Kr80	2,223		
	Kr82	11,50		
XIV. ТАБЛИЦА ИЗОТОПОВ
751
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
36	Кг88	11,48		
	}£Г88*		и. п., е~	ИЗ мин.
	Кг84	57,02		
	К.Г85			4,5 часа
	Кг85		₽	9,4 года
	Кг86	17,43		
	Кг(87)		Г	74 мин.
	Кг88		г	3 часа
	Кг89		г	2,6 мин.
	Кг90		г	—33 сек.
	Кг(91)		г	5,7 сек.
	Кг92		г	2,3 сек.
	Кг98		г	2,2 сек.
	Кг(94)		г	1,4 сек.
	Кг97		г	короткий
37	Rb81		Р+, 7,	5,0 часа
	Rb(82)		Р+, 7	6,3 часа
	Rb82			20 мин.
	Rb(84)			—40 дней
	Rb8S	72,8		
	Rb88		7	19,5 дня
	Rb8<?	27,2	Р , 7, е~	6,0 • 1О10 лет
	Rb88		Г	17,5 мии.
	Rb89		i5', 7	15 мин.
	Rb90			короткий
	Rb91		Г	короткий
	Rb>90		Г	80 сек.
	Rb98		р-	короткий
	Rb(94)		г	короткий
	Rb»7		г	короткий
38	Sr84	0,55		
	Sf85*		и. п., е~, 7	70 мин.
	Sr88		К, 7	65 дней
	Sr8®	9,75		
	Sr87*		и. п., е~, у	2,7 часа
	Sr87	6,96		
	Sr88	82,74		
	Sr89		8-	54,5 дня
	Sr"		Г	25 лет
	Sr91		Г, 7	9,7 часа
	Sr92		Г	2,7 часа
	Sr98		г	7 мин.
	Sr(94)		г	—2 мин.
	Sr97		г	короткий
39	у(87)*		и. п., е~, 7	14 часов
	y87		К	80 часов
	y88			2,0 часа
752
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Продолжение)
Z	Изотоп 1	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
39	увз		к, Ъ	108 дней
	уз»	100		
	у»о		Г	60,5 часа
	уэх*		и. п., f, е	51,0 мин.
	у91		0'	61 день
	у92		7	3,5 часа
	уэз		0 , 7	10,0 часа
	Y(94)		0 > 7	20 мин.
	У 97’		Г	короткий
40	Zr89		е~, у, и. п.	4,5 мин.
	Zr99		0*	80,1 часа
	Zr"	51,46		
	Zr91	11,23		
	Zr92	17,11		
	Zr94	17,40		
	Zr"		0~, 7> е~	65 дней
	Zr"	2,80		
	Zr97		3", 7	17,0 часа
41	Nb(90)		0+, 7	15,6 часа
	Nb91*		и. п., е , 7	62 дня
	Nb92		Р~, 7	9,8 дня
	Nb92		0“ 7	21,6 часа
	Nb93	100		
	Nb94*		и. п , е~ (~99,9%),	6,6 мин.
			Г (0,1%)	
	Nb94			> 104 лет
	Nb95*		и. п., е~ (100%)	90 часов
	Nb95		0~, 7’ е~	37 дней
	Nb"		3", 7	2,8 дня
	Nb97		3", 7	68 мин.
	Nb98		0-	30 мин.
42	Mo92	15,84		
	Mo(93)		0*» 7	6,7 часа
	Mo94	9,12		
	Mo05	15,72		
	Mo98	16,53		
	Mo97	9,45		
	Mo98	23,76		
	Mo99		0“, 7	66,0 часа
	Mo1"	9,62		
	Mo101		0Y 7	14,6 мин.
	Mo(102)		0'	12 мин.
	Mo(195)		0“	короткий
43	Tc(92)		0+, 7	4,5 мип.
	Tc(92, 93)		0й, 7	2,7 часа
	rpg1>4*		и. п., е~	53 мин.
	Tc(94)		Ы, К (65%), 7	< 53 мин.
	Tc95		К, 7. е~, РЧ~1%)	56 дней
XIV. ТАБЛИЦА ИЗОТОПОВ
753
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
43	Тс96		К, f, е~	20,0 часа
	Тс9 6		К, е~, у	4,30 дня
	грс97*		и. п., е~	90 дней
	Тс97			> 100 лет
	Тс(98)		Г, К, у	2,8 дня
	грсЭд*		и. ц., е~, у	6,0 часа
	Тс99		Г	4,7 • 105лет
	Тс(100)		Г, Y	80 сек.
	Тс101		Y	14,5 мин.
	грс102		Г	< 1 мин.
	грс105		г	короткий
44	Ru95		?*, К, у	1,65 часа
	Ru98	5,68		
	Ru97		Я-, у, е~	2,8 дня
	Ru98	2,22		
	Rn99	12,81		
	Ru100	12,70		
	Ru101	16,98		
	Rn102	31,34		
	Ru103		Г, Y	45 дней
	Ru104	18,27		
	Ru105		Г, Y	4,5 часа
	Ru108		Г	1,0 года
	Ru(107)		г	4 мин.
45	Rh100		К, Ъ е~, ?Ч~5%)	19,4 часа
	Rh101		К. 7, е~	4,7 дня
	Rh102		Г» г, Y» к	215 дней
	Rh103	100		
	Rh103*		и. п., е~	17 дней
	Rh103*		и. п., е~	52 мин.
	Rh104*		и. п., е~	4,37 мин.
	Rh104		Y,	42 сек.
	Rh105		Г, Y>	36,5 часа
	Rh198		Г, Y>	30 сек.
	Rh107		Г	24 мин.
46	Pd100		К, Y	4,0 дня
	Pd101		Л7 (—90%),	10%)	9 часов
	Pd102	0,8		
	Pd104	9,3		
	Pd105	22,6		
	Pd108	27,2		
	Pd107			8,6 • 107 лет
	Pd108	26,8		
	Pd109		Г	14,1 часа
	Pd110	13,5		
	Pd111		г	26 мин.
	Pd112			21 час
754
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
47	Agio2, Ю4		₽+, к	73 мин.
	Agios		Р+	24,5 мин.
	Agios		к, е~, ч	8,2 дня
	Agio?	51,35		
	Agio?*		и. п., е~, у	44,3 сек.
	Agi°8		й'	2,4 мин.
	Agioo*		и. п., е~, 7	40,5 сек.
	Agi°9	48,65		
	Agn°		Г. 7	24,5 сек.
	AgH°		К, Ъ е~, Г	282 дня
	Agin			7,5 дня
	Agli2		Р , 7	3,2 часа
	Ag113		Г	5,3 часа
	AgH5		г	20 мин.
48	Cd105,107			38 мин.
	Cdioe	1,215		
	Cd107		к (-100%), 7(4%),	(0,3%)	6,7 часа
	Cd108	0,875		
	Cd109		К	330 дней
	Cd110	12,39		
	Cdin*		и. п., е~	48,7 мин.
	Cdm	12,75		
	Cd112	24,07		
	Cd113	12,26		
	Cdn3*		и. п.	2,3 мин.
	CdU4	28,86		
	Cd115		7	2,39 дня
	Cd115*		8 , у	43 дня
	Cdn6	7,58		
	Cd117		Г	2,72 часа
49	Ini"		К, 7	6.5 часа
	In110			65 мин.
	lD(H0)?		|3+	72 мин.
	mm		к, у, е~	2,84 дпя
	Jn112*		и. п., 7, е~	23 мин.
	jn112		6*	9 мин.
	Jn113*		и. п., 7, е~	105 мин.
	1П113	4,23		
	ln114*		и. и., е~	48 дней
	jn114			72 сек.
	ln115	95,77		
	ln115*		и. п.	4,5 часа
	Inn6		8-	13 сек.
	Inn®		В“, 7	54,05 мин.
	In1!7		Г	1,90 часа
50	Sn(H0)		к	4,5 часа
	Son2	0,90		
	Snii3		К, е~, (	105 дней
	Son4	0,61		
XIV. ТАБЛИЦА ИЗОТОПОВ
755
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
50	Sn“5	0,35		
	Sn11®	14,07		
	Sn117	7,54		
	Snll8	23,98		
	Sn119*		и. п., у,е“	14 дней
	Sn119	8,62		
	Snl2O	33,03		
	Snl21		Р~	28 часов
	Sn(121,123)		р-	130 дней
	Snl22	4,78		
	Sn>120		р-	60 часов
	Sni23		Г, 7	7,5 дня
	Snl24	6,11	21-	—-1016 лет
	Snl25		Р“, 7	9,8 мин.
	Snl23		в-	40 мин
	Sn(121)		Г	36 мин.
	Sn<128		р-	—400 дней
	Sn(126)		Р' 7	70 мин.
	Sn>125		г	—20 мни
51	Sb(116)			60 мин.
	Sb(117)		К, е~	2,8 часа
	Sb(118)		К, 7, е~	5,1 часа
	Sb(118)			3,3 мин.
	Sb(119)		К	39 часов
	Sb(12°)		Р +	17 мин.
	Sb(12°)		К, у, е~	6,0 дня
	Sb121	57,25		
	Sb122*		и. п,, е~	3,5 мин.
	Sb122		Р-, 7, е~	2,67 дня
	Sb128	42,75		
	Sb124		Р~, 7	60 дней
	Sb124*		п. п , р~, (	21 мин.
	Sb124*		Р~, 7, и. п.	1,3 мин
	Sb125		Р-, 7	2,7 года
	Sb(12«)		Р”	60 мин.
	Sb127		0", 7	90 часов
	Sb129		Р'	4,2 часа
	Sb132		р-	5 мин.
	Sb133		р-	< 10 мин.
	Sb134		р-	< 10 мин.
52	fpe<118		р*	2,5 часа
	Те118		к	6,0 дня
	Те119		К, 7, е	4,5 дня
	Те120	0,091		
			и. и., е~, •<	143 дня
	Те12!*		и. п., 7	5 • 10~8 сек.
	Те121		К, 7	17 дней
	Те122	2,49		
	Те123	0,89		
756
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
	Те124	4,63		
	Те125	7,01		
	'Peiss*		и. п., е~	58 деей
	Те126	18,72		
	гре127*		и. п., е~	90 дней
	Те127		Р"	9,3 часа
	Те128	31,72		
	»ре129*		и. п., е~	35,5 дня
	Те129		Р", 7	72 мип.
	Те130	34,46		
	fpe131*		и. п., е~	30 часов
	Те131		Р~	25 мин.
	Те132		Р > 7	77 часов
	Те133		Р"	60 мин.
	Те134		р-	43 мин.
	Те135		г	< 2 мин.
53	J124		Р+	4,0 дня
	J125		к	56 дней
	J126		Г, 7	13,1 дня
	J127	100		
	J128		Р~ 7	24,99 мин.
	J129		Р"	> 108 лет
	J130		Р > 7	12,6 часа
	J13L		Р~. 7> е	8,0 дня
	J182		Р > 7	2,4 часа
	J133		Р > 7	20,5 часа
	JI34		Р » 7	54 мин.
	J135		Р • 7	6,6 часа
	JI86		Р » 7	1,8 мин.
	J137		Р , п	22,5 сек.
	J188		Р~	5,9 сек.
	J189		Р‘	2,6 сек.
54	Хе124	0,094		
	Xei26	0,088		
	Хе127		и. п., е~, 7	75 сек.
	Хе127		е~, 7	34 дня
	Хе*28	1,917		
	Хе129	26,24		
	Хе130	4,053		
	Хе131	21,240		
	Хе131*		и. п.	12 дней
	Хе132	26,930		
	Хе133		Р", 7» е~	5,27 дня
	Хе134	10,520		
	Хе135		Р“> 7>	9,2 часа
	Хе135*		7, и. п., е	15,6 мин.
	Хе13®	8,930		
	Хе137			68 мип.
XIV. ТАБЛИЦА ИЗОТОПОВ
757
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
	Хе(137)			3,9 мин.
	Хе(138)		Г	17 мин.
	Хе139		г	41 сек.
	Хе140			16 сек.
	Хе441		г	1,7 сек.
	Хе143		г	~1,3 сек.
	Хе144		г	короткий
	Хе(145)		г	0,8 сек.
55	Cs(130)			30 мин.
	Cs(181)		к, 7, е~	9,6 дня
	Cs(132)		К, 7, е~	7,1 дня
	Cs183	100		
	Cs134*		р~, 7, и. п., е~	3,15 часа
	Cs134		Г, 7>	(2,5%)	2,3 года
	Cs133		Г	2 • 10е лет
	Cs13®		Г» 7	13,7 дня
	Cs137		Г	37 лет
	Cs(138)		7	33 мин.
	Cs139		Г	9,7 мин.
	Cs(14®)		Г	65 сек.
	Cs141		г	короткий
	Gs(142)		г	короткий
	Cs143		г	короткий
	Cs144		г	короткий
	Gs(145)		г	короткий
56	Ba130	0,101		
	Ba131		К, 7> е~	11,7 дня
	Ba132	0,097		
	Ba183*		и. п., е~, 7	37,8 часа
	Ba133		К, 7, е“	> 20 лет
	Ba134	2,42		
	Ba135*		и. п., 7, е~	28,7 часа
	Ba135	6,59		
	Ba136	7,81		
	Ba137*		и. п., 7, е~	2,63 мин.
	Ba137	11,32		
	Ba138	71,66		
	Ba139		7	84 мин.
	Ba140		Г, 7> е	308 часов
	Ba141		Н 7	18 мин.
	Ba142		Г	6 мин.
	Ba143		г	< 1 мин.
	Ba144		г	короткий
	Ba145		г	короткий
57	La<139			10 мин.
	La135		К, 7	19,5 часа
	La136			2,1 часа.
	La137			> 400 лет
758
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
57	La138	0,089		
	La139	99,911		
	La(140)		Р'	—3 лет
	La140		Р~> 7	40,4 часа
	La141		Р~	3,7 часа
	La(142)		р > 1	77 мин.
	La143		г	20 мин.
	La144		г	короткий
	La(145)		г	короткий
58	Ce135		в+	~16 часов
	Ce138	0,193		
	Ce137		к, ъ е-	36 часов
	Ce138	0,250		
	Ce139		К, 7, е~	140 дней
	Ce140	88,48		
	Ce141		Р~, 7	30,6 дня
	Ce142	11,07		
	Ce143		Р~> 7	33 часа
	Ce144		Р , е	275 дней
	Ce(145)		Г	1,8 часа
	Ce(146)		Р~	14,6 мин.
59	pr140		Р*	3,5 мин.
	Pr141	100		
	pr142		Р~, 7	19,2 часа
	pr143		Р'	13,5 дня
	pr144		Р , 7» е"	17,5 мин.
	Pr(145)		Р~	4,5 часа
	pr(146)		Р < 7	24,6 мин.
60	Nd140		К	3,3 дня
	Nd141		Р* (3%), К (07%), 7	2,42 часа
	Nd142	27,13		
	Nd143	12,20		
	Nd144	23,87		
	Nd145	8,30		
	Nd146	17,18		
	Nd147		Р~, 7>	11,1 дня
	Nd148	5,72		
	Nd149		Р~, 7	1,7 часа
	Nd150	5,60		
61	Pm143		7Г, е~, 7	—200 дней
	Pm147		Р'	3,7 года
	Pm148		Р > 7	5,3 дня
	Pm149		Р"» 7	55 часов
62	Sm144	3,16		
	Sm147	15,07		
	Sm148	11,27		
	Sm149	13,87		
	Sm150	7,47		
XIV. ТАБЛИЦА ИЗОТОПОВ
759
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
62	Sm151		р-	•—20 лет
	Sm152	26,63		
	Sm152		а	2,5 • 1041 лет
	Sm153		В~, у, е“	47 часов
	Sm163		р~, 7	25 мин.
	Sm154	22,53		
	Sm158		Г	—10 часов
63	Eu(147)			53 дня
	Eu149			14 дней
	Eu151	47,77		
	Eu152		Р~> 7>	9,3 часа
	Eu152		Р > 7, е	5,3 года
	Eu163	52,23		
	Eu154		Р~, ъ К	5,4 года
	Eu155		Р“, 7	1,7 года
	Eu156		Р~> 7	15,4 дня
	Eu157		В , 7	15,4 часа
	Eu>154		в-	60 мин.
64	Gd152	0,20		
	Gd153		к, е~, 7	155 дней
	Gd154	2,15		
	Gd465	14,78		
	Gd166	20,59		
	Gd157	15,71		
	Gd158	24,78		
	Gd160	21,79		
	Gd161		Р~> 7	18,0 часа
	Gd			8,6 дня
	Gd(159,181)		Р~> 7	4,5 мин.
	Gd(484)		Р-	218 сек.
	Tb152		К	4,5 часа
65	Tb133		К, е~	5,1 дня
	Tb154		Р+, К, 7, е~	17,2 часа
	Tb155		К, е~	— 1 ГОД
	Tb169	100		
	Tb160		Р-	3,9 часа
	Tb460		Р‘» 7	77,3 дня
	Tb484		Р~> 7	6,75 дня
6R	Dy158	0,0524		
	Dy158	0,0902		
	Dy180	2,294		
	Dy481	18,88		
	Dy482	25,53		
	Dy183	24,97		
	Dy484	28,18		
	jjyies*		и. п., е~	1,25 мин.
	Dyi65		Р". 7	140 мин.
760
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
67	Но160		К	—20 мин.
	Но(161,162)		К,	е-	60 дней
	Но(162,ш)		8*, К, т	4,5 часа
	Но163		К, е~	7 дней
	Н01в4		Г	36,8 мин.
	Но188	100		
	Но183			26,8 часа
68	Ег162	0,1		
	Ег134	1,5		
	Ег163	32,9		
	Ег167	24,4		
	Ег138	26,9		
	Ег139			9,4 дня
	Ег170	14,2		
	Ег171		8~, 7, е~	7,5 часа
69	Ти188		К, е~	7,7 часа
	Ти187		К, 7, ег	9.6 дня
	Ту 1С7 } 108		К, е~	85 дней
	ТцЮЭ*		и. п., 7, е~	1 • 10~8 сек.
	Til189	100		
	Ти170		1	127 дней
	»ри171*		и. п., е~	2,5*10~8 сек.
	Ти171		Г	—500 дней
70	Yb138	0,140		
	Yb139		К, {, е'	33 дня
	Yb170	3,034		
	Yb171	14,34		
	Yb172	21,88		
	Yb173	16,18		
	Yb174	31,77		
	Yb175		3’. 7	99 часов
	Yb178	12,65		
	Yb177			2,4 часа
71	Lu(170)		К, 7, е“,	2,15 дня
	Lu(171)		А", 7, е~	9 дней
	Lu(171,172)			> 100 дней
	Lu175	97,5		
	Lu176	2,5	в-(33%), 7, А’(67%)	2,4 • 1010 лет
	Lu173*		Г	3,67 часа
	Lu177		Г. 7	6,8 дня
72	HP74	0,18		
	HP75		К, (, е-	70 дней
	Hf173	5,30		
	HP77	18,47		
	Hf178	27,10		
	Hf179	13,84		
XIV. ТАБЛИЦА ИЗОТОПОВ
761
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость В %	Тип радиоактивности	Период полураспада
	Hfl80	35,11		
	Hfisi		7	46 дней
	Ш*		и. п., е~	19 сек.
73	Та(176)		К, т е~	8,0 часа
	Та(177)		К, е~	2.66 дня
	Та(178,177)		К, е~ пли Й~	16 дней
	Та180		7f, е~, 7	8,2 часа
	Та181*		и. п., 7, е~	2,0-Ю"-’ сок.
	Та181	100		
	Та182		7» е~	ИЗ дней
	Та182		'г > 7	16,2 мпн.
74	\У(17Э,178)		К, е~, 7	135 мин.
	W180	0,125		
	W181		АГ, 7, е"	140 дней
	W182	26,31		
	W183	14,28		
	\yi84	30,64		
	\yi85		» > 7	73,2 дня
	yyiss	28,64		
	W*		и. п., е~	5,5 сек.
	\yt87		7	24,1 часа
75	Re(182)		АГ, 7, с’	64 часа
	Re(183’184)		К, е~	—80 дней
	Re184		Г, /С 7	50 дней
	Re185	37,07		
	Re188			92,8 часа
	Re187*		и. и., е~, 7	0.65- 10-6сек.
	Re187	62,93		5,8-1012 лет
	Re188		Г, е-	18,9 часа
76	Os184	0,018		
	Os185		К. 7	97 дней
	Os188	1,582		
	Os187	1,64		
	Os188	13,27		
	Os189	16,14		
	Os190	26,38		
	Os191		Р~, 7-	16,0 дня
	Os192	40,97		
	Os193		'Г, 7	31,8 часа
77	] r190		К, е~, 7	10,7 дня
	lr191	38,5		
	] p 192*		и. п., 7, е~	1,5 мин.
	lr192		7> е~	75 дней
	1Г193	61,5		
	lr194		3~, 7	19,0 часа
762
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
78	Р 1,190	0,006		
	Pt191		АГ, е~, 7	3,00 дня
	Pt192	0,78		
	Pt193		А, 7, е~	4,33 дня
	ptm	32,8		
	Pt 195	33,7		
	Pt198	25,4		
	Pt(198)*		и. п., е~, 7	87 мин.
	Pt(197)		Г	18 часов
	Pt197		Р"> 7	2,8 дня
	Pt198	7,23		
	Pt199		Г	31 мин.
79	Au(191)		К или	~ 1 день
	Au(192)		А", 7, е~	4,7 часа
	Au(193)		К, е~	15,8 часа
	Au(194)		К, у, е~	39,5 часа
	Au195		К, 7, е~	185 дней
	Au(196)		Р~, К или и. п.	14.0 часа
	Au196		7, е~, К (70%)	5,55 дня
			Р"(30%)	
	Au197	100		
	Au197*		и, п., е~	7,5 сек.
	Au198		Г, 7, е~(4,7%)	2,69 дня
	Au199		7	3,3 дня
	Au(200,202)		Г	48 мин.
80	Hg198	0,15		
	Hg197		АГ, 7, е~	25 часов
	Hg197		К, ё~	64 часа
	Hg198	10,1		
	Hg199	17,0		
	Hg*		и. п., е~, 7	44,4 мин.
	Hg200	23,3		
	Hg201	13,2		
	Hg292	29,6		
	Hg(208,205)		₽" 7» е~	44,8 дня
	Hg204	6,7		
	Hg208		Г	5,5 мин.
81	TI		А, е~, f	10,5 часа
	TI		К, е'	44 часа
	Tl(198)		К, -у, е	1,8 часа
	Tl(199)		К, 7, е~	7,5 часа
	rjpOO		К, 7, е~	27 часов
	Tpoi		К	75 часов
	'ррог		К, 7, е~	13 дней
	уроз	29,46		
	'ppoi		Г	2,7 года
	ТрОБ	70,54		
	Трое		Г	4,23 мин.
XIV. ТАБЛИЦА ИЗОТОПОВ
763
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
81	АсС"207		3", 1	4,76 мин.
	ThC"208		Г. 7	3,1 мин.
	Т1209		Г	2,2 мин.
	RaG"210		Г	1,32 мин.
82	Pb(199)		к	1—2 часа
	Pb(200)		к	18 часов
	Pb(201)		К, е~, у	8 часов
	РЬ(2ОЗ)		и. п. или К, е , y	52 часа
	pb204 pb2n4W	1,37	и. п., 7, е~	68 мин.
	рЬ20в	25,15		
	pb207	21,11		
	рЬ208	52,38		
	pb209		Г	3,32 часа
	RaD210		? , 7	22 года
	AcB211		Г, 7	36,1 мин.
	ThB212		Г, 7	10,6 часа
	RaB214		Г, 7	26,8 мин.
83	Bi(198)		а, К	9 мин.
	Bi(199)		а, К	27 мин.
	Bi(2°o)		а, К	62 мин.
	Bi(204)		К, е~, 7	12 часов
	Bi208		К, е~, 7	6,4 дня
	Bi209 RaE210	100	£-(~ 100%),	5,0 дня
			а (10-4—10-5%)	
	AcG211		а (99,68%), 7, Г (0,32%)	2,16 Мии
	ThC212		«(33,7%), 7, 3- (66,3%)	60,5 мин.
	Bi213		Г, “(2%) а (0,04%),	47 мин»
	RaC214			19,7 мин.
			р~ (99,96%), 7	
84	pO(2O3)		а, К	40 мин.
	PO(205)		а, К К(~ 90%), 7, е~, «(-10%)	4 часа
	po206			9 дней
	p02°7		А(~ 100%), 7,	5,7 часа
			а (0,01%)	
	po208		а	3 года
	p021°		а, 7	138 дней
	AcG'211		а	5-10~3 сек.
	ThG'212		а	3,0 • 10~7 сек.
	p0213		а	4,2-10~G сек.
	RaG'214		а	1.5-10“4 сек.
	AcA215		а (— 100%),	1,83-10~3 сек.
			р-(5-10-4%)	
764
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость	Тип	Период
		в %	радиоактивности	полураспада
84	ТЬА218		а(~100%),	0,158 сек.
			р-(0,014%)	
	RaA218		а(99,96%),	3,05 мин.
			Г(0,04%)	
85	At(207)		а, К	1,7 часа
	At203		а, К	4,5 часа
	At210		К, 1	8,3 часа
	At211		а (40%), К (60%)	7,5 часа
	At212		а	0,25 сек.
	At214		а	очень корот- кий ~10-8 сек.
	At215		а	~10-4 сек.
	At216		а	3-10~4 сек.
	At217		а	0,021 сек.
86	Em216		а	очень корот- кий—10-5 сек.
	Em217		а	—1*10-3 сек.
	Em218		а	0,019 сек.
	An219		а	3,92 сек.
	Tn 2 20		а	54,5 сек.
	Rn222		а	3,825 дня
87	pr218		а	корот кий—-10-2 сек.
	pr219		а	-—0,02 сек.
	pr220		а	27,5 сек.
	pr221		а	4,8 мин.
	pr228		Г, 7	21 мин.
88	Ra220		а	10~2 сек.
	Ra221		а	31 сек.
	Ra222		а	38 сек.
	AcX223		«, 1	11,2 дня
	ThX224		а	3,64 дня
	Ra22S		Г	14,8 дня
	Ra228		а> 7	1622 года
	Ra227		Г	
	MsThl23		г	6,7 года
89	Ac222		а	10 сек.
	Ac223		«(99,9%), К (0,1%)	2,2 мин.
	Ac224		а(~Ю%), К (90%)	2,9 часа
	Ac225		а	10,0 дня
	Ac228		Г	22 часа
	Ac227		а(1,2%), Г(99%),	21,7 года
			7» е“	
	MsTh228		7> а (?)	6,13 часа
XIV. ТАБЛИЦА ИЗОТОПОВ
765
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
90	|р^224		а	— 1 сек.
	^^225		а (90%), К (10%)	7,8 мин.
			а	30,9 мин.
	RdAc227		а,	18,6 для
	RdTh.223		а> 7	1,9 года
	гр Yj 229		а	7 000 лет
	Io230		а, 7	8,0- Ю4 лет
	уту231		Р-, 7> г	25,65 часа
	Th232 -р^гзз	100	а Г	1,39-Ю10 лет 23,5 мин.
	UX?34		Р , 7	24,10 дня
91	Ра(228) Ра227		а	1,7 мин.
			а(—80%), К (-20%)	38 мин.
	ра223		а (-2%),^ (—98%)	22 часа
	Ра229		а(~1%),# (—99%)	1,5 дня
	ря23О		Р~, 7> К (-90%)	17,7 дня
	Ра231		а> 7	3,43-104 лет
	Ра232		Р > 7> е	1,3 дня
	ря233		Р"> 7> е~	27,4 дня
	UZ234		Р > 7	6,7 часа
	их234*		р~, 7, и п. (0,1о%)	1,22 мин.
92	PJ223		а (80%), К (20%)	9,3 мин.
	у J229		а (—20%), К (-80%)	58 мин.
	]J23O		а	20,8 дня
	и231		К	4,2 дня
	ТТ232		а	70 лет
	-JJ233 ин4	0,0051	а, -j, е~ а	1,62-105 лет 2,35-105 лет
	AcU235	0,71	“L1	-	8,91-10s лет
	у237 U’238		Р , 7> е	6,63 дня
		99,28	а	4,498-109 лет
	JJ239		Н 7> е~	23,54 мин
93	Np231 Np(234) Np(235) Np236 Np237 Np238 Np239		а, К К, т К, «(—0,1%) Р , 7 а Р~> 7> е~ Р~> 7> е~ а	53 мин. 4,40 дня 435 дней 22 часа 2,20-10® лет 2,1 дня 2,33 дня 22 мин.
94	Pu(232) Pu234 Pu238 Pu(237) Pu233 Ру2в9		а, К а К а а, у, е~	8,5 часа 2,7 года 40 дней 92 года 2,411-104 лет
766
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Продолжение)
Z	Изотоп	Распростра- нённость в %	Тип радиоактивности	Период полураспада
94	Ри240		а	—6000 лет
	Ри241		р-, а (—0,002%)	— 10 лет
95	Ат(233)		К	1,5 часа
	Ат(239)		100%), е~, ъ а (-0,1%)	12 часов
	Ат(240)		К, у, е~	53 часа
	Ат241		а, 7	490 лет
	Ат242*			17 часов
	Ат242		а (-0,2%)	— 400 лет
96	Ст(238)		а	—2,5 часа
	Ст240		а	26,8 дня
	Ст(241)		к	55 дней
	Ст242		а	150 дней
XV. ВАЖНЕЙШИЕ АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ
1, Основные константы
1. Постоянная Авогадро
7V — 6,023 • 1023 (химическая шкала),
N — 6,025 • 1023 (физическая шкала).
2. Заряд электрона
е —4,802 • 10-10 CGSE = 1,601 • 10-20CGSM.
3. Удельный заряд электрона
-- = 1,759 • 107CGSM • г-^5,21/1  1017 CGSE • г"1.
т
4. Постоянная Планка
h = 6,62 • 10-27 эрг  сек.
2. Различные атомные константы
1. Постоянная Ридберга для бесконечно большой массы
R = 109 737,30 см~\
2. Постоянная Ридберга для водорода
Ян = 109 677,581 см~\
XV. ВАЖНЕЙШИЕ АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ
767
3.	Постоянная Ридберга для дейтерия
= 109 707,419 см-1.
4.	Магнитный момент магнетона Бора
Р-! — 0,927 • 1О-20 эрг • гаусс-1.
5.	Магнитный момент на моль для одного магнетона Бора
Pq/V = 5585 эрг • гаусс-1 • моль'1.
6.	Масса электрона
m = 9,106 • 10"28 г.
7.	Атомный вес электрона
5,4862 • 10~4 (физическая шкала),
5,4847 • 10-4 (химическая шкала).
8.	Масса атома водорода (Н1)
= 1,6733 • 10-24 г.
9.	Масса протона
Мр = 1,6724 • 10-24 г.
10.	Масса а-частицы
= 6,644 • 10-24 г.
11.	Отношение массы атома водорода к массе электрона
-- 1837,5.
т
12.	Отношение массы протона к массе электрона
^= 1836,5.
т
13.	Число молекул в 1 см3 при нормальных условиях
L = 2,687 • 1019 см~3.
14.	Постоянная Больцмана
к — 1,380 • 10-16 эрг • град-1.
15.	Первая константа закона излучения
сг = &.-:hc — 4,990 • 10"15 эрг • см.
16.	Вторая константа закона излучения
с2 = у = 1,4384 см • град.
768
ПРИЛОЖЕНИЯ
17.	Постоянная закона Стефана — Больцмана
а = 5,672 ♦ 10~15 см~2 • град~^ • сек-1.
18.	Константа закона смещения Вина
^тах^1 = 0,2897 см • град.
19.	«Первый радиус Бора»
=	= 0,5291 • Ю-s сж.
20.	Комптоновская длина волны
А = — =0,02427 • IO-8 см.
тс
21.	Постоянная тонкой структуры
а = ^-2 = 7,2981 • 10-3, а2 = 5,326 • 10"5, - = 137,021.
he	’а
22.	Постоянная Шредингера для электрона
^ = 1,639 • 1027 эрг-1.
23.	Энергия, соответствующая 1 eV,
1,6020 • 10-12 эрг.
24.	Переводный множитель от 1 единицы атомной массы к MeV
1 MU = 931,04 MeV.
25.	Энергия, эквивалентная массе электрона,
0,5108 MeV.
26.	«Температура», соответствующая 1 eV,
И 606° К.
28. Энергия, соответствующая 1°К,
0,8616 • 10-4 eV.
3.	Различные физические константы
1.	Скорость света в вакууме
с = 2,99776 • 1010 см • сек-1.
2.	Гравитационная постоянная
6,670 • IO-8 дин  смг • а-2.
XV. ВАЖНЕЙШИЕ АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ
769
3.	Стандартная атмосфера
Ло = 1,013246 дин • см~2 • атм~г,
Ai5 = 1,013195 дин . см~2 • атм-1.
4.	Литр
Уо = 1000,028 см3.
5.	Объём 1 моля идеального газа
(0°С, Ао ): Ко = 22,4146 • 103 см3 • атм • моль'1 —
= 22,4140 л • атм • моль'1,
(0°С, Л4б): Vo = 22,4157 • 103 • см3 . атм • моль"1 —
= 22,4151 л • атм • моль-1.
6.	Механический эквивалент теплоты
/15 = 4,1855 джоуль • кал[$ •
7.	Температура плавления льда по абсолютной шкале
То = 273,16° К.
8.	Газовая постоянная на моль
7?0 = 8,3144 • 107 эрг • град-1 • моль-1 =
= 1,9864 кал1б • град-1 • моль"1 —
= 8,2054 • 10-2 • л • атм • моль-1.
Произведение 2?0 Тй = 2,27115 • 1010 эрг • моль-1.
9.	Отношение единиц физической и химической шкал
г = 16,00435 : 16 = 1,00027.
10.	Заряд Фарадея
= 9649,6 CGSM • г-экв"1 (химическая шкала),
= 9652,2 CGSM • г-экв-1 (физическая шкала).
И. Плотность ртути (0°, Ло)
2)0 = 13,5954.
12. Ускорение силы тяжести
стандартное : g0 = 980,665 см • сек~2,
для широты 45° : ^4б = 980,616 см • сек-2.
XVI. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА
	1	11	III	IV	V	VI	VII		VIII		0
1	1 н 1,0080										2 He 4,003
2	3 Li 6,940	4 Be 9,02	5 В 10,82	6 c 12,010	7 N 14,008	8 0 16,0000	9 1' 19,000				10 Ne 20,183
3	11 Na 22,997	12 Mg 24,32	13 Al 26,97	14 Si 28,06	15 P 30,98	16 S 32,06	17,Cl 35,457				•18 Ar 39,944
4	19 К 39,096	20 Ca 40,08	21 Sc 45,10	22 Ti 47,90	23 V 50,95	24 Cr 52,01	25 Mn 54,93	26 re 55,85	27 Co 58,94	28 Ni 58,69	
	29 Си 63,57	30 Zn 65,38	31 Ga 69,72	32 Ge 72,60	33 As 74,91	34 Se 78,96	35 Br 79,916				36 Kr 83,7
	37 Rb 85,48	38 Sr 87,63	39 Y 88,92	40 Zr 91,22	41 Nb 92,91	42 Mo 95,95	43 Tc (99)	44 Ru 101,7	45 Rh 102,91	46 Pd 106,71	
О	47 Ag 107,880	48 Cd 112,41	49 In 114,76	50 Sn 118,70	51 Sb 121,76	52 Те 127,61	53 J 126,92				54 Xe 131,3
6	55 Cs 132,91	56 Ba 137,36	57 La* 138,92	72 Hf 178,6	73 Ta 180,88	74 W 183,92	75 Re 186,31	76 Os 190,2	77 lr 193,1	78 Pt 195,23	
	79 Au 197,2	80 Hg 200,61	81 TI 204,39	82 Pb 207,21	83 Bi 209,00	84 Po 208	85 AL (211)				86 Rn 222
7	87 Г г 223	88 Ra 226,05	89 Ac 227,05								
ПРИЛОЖЕНИЯ
*58—71 Ряд лан- танидов	58 Ce 140,13	59 Pr 140,92	60 Nd 144,27	61 Pm (147)	62 Sm 150,43	63 Eu 152,0	64 Gd 156,9	65 Tb 159,2	66 Dy 162,46	67 Ho 164,94	68 Er 167,2	69 Tu 169,4	70 Yb 173,04	71 Lu 174,99
**90—98 Ряд акт инид ов	90 Th 232,12	91 Pa 231	92 U 238,07	93 Np 237	94 Pu (239)	95 Am (241)	96 Gm (242)	97 Bk (243)	98 Cf (244)					
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоионизация 297
Алиханов, Алиханян и Арцимович,
опыты 516
—, — и Джелепов, [3-спектры 525
—, — — Козодаев, внутренняя кон-
версия у-лучей 550, 552
— и Алиханян, доказательство су-
ществования нейтрино 530
— — — , масса мезонов 714
— — Латышев, спектр позитронов
551
Алиханова магнитный спектрограф
551
Аллена опыт 531
Альвареца и Блоха метод 565
Альтшулер и Тамм, спин нейтрона
565
а-лучи 470
а-распад, теория 516
а-частица 488
— , у-лучи 520
— длиннопробежная 522
— короткопробежная 520, 521
— , кривая удельной ионизации 495
— , пробег 492
— , продольное рассеяние 494
— , связь пробега с энергией 497, 518
— , спектр 520
Америций 619
Андерсон, открытие мезона 686
— , — позитрона 672
Аркадьев, Беркман и Яковлев, диф-
фракция 571
— , поглощение радиоволн в ферро-
магнетиках 336
Арцимович, лучистое трение 411
Атом гелия, магнитные свойства 255
— , нормальное состояние 133
— , электронные оболочки 262
Атомы водородоподобные 97, 159, 208
—	— , возбуждённое состояние 104
•	— — , нормальное состояние 97
— возбуждённые 280 и д.
Бабат и Полевой, линейный ускори-
тель 417
Бабине теорема 572
Бака—Пашена эффект 217
Барнета опыт 175
Беленький, теория каскадных ливней
684
Б ер келий 620
Беркман, Аркадьев и Яковлев, диф-
фракция 571
{3-лучи 470
—	, пробег 499
—	, спектр простой 524, 541
—	, — сложный 541
—	, энергия 499
[i-процсссы запрещённые 534
—	разрешённые 534
[3-распад 523
Бетатрон 402
—	, аксиальная фокусировка 407
—	, максимальная энергия 410
—	, радиальная фокусировка 407
—	, стабильная орбита 406
Блэкет, Чадвик и Оккиалини, вну-
тренняя конверсия у-лучей 550
Бора магнетон 328
Бор и Уиллер, теория деления ядер
603, 606, 615
Бор, составное ядро 436
— , статистическая трактовка ядер-
ных процессов 437
Боте и Кольгёрстера опыт 648
Брейта—Вигнера формула 447, 449,
582
Брэгга—Климэна формула 496
Бутлеров, соотношение между мас-
сой и энергией 426
Бэватрон 415
Вакуум, нулевые колебания 206
Вековое равновесие 483
Векслер, ускорители релятивистских
частиц 412
772
предметный указатель
Векторная модель атома 199, 200,
247, 253
Вернов и Добротин, восточно-запад-
ный эффект 660
— , исследование первичного косми-
ческого излучения 662
Вероятности плотность 54, 56, 94 и д.,
111, 159
— ток 54, 159
Взаимодействие кулоновское 233
— обменное 233, 375
Видерое, бетатрон 404
Власова и Джелепова опыт 515, 516
Внутренняя конверсия у-лучей 548
Водород атомный, сдвиг уровней
энергии 203
Водородоподобные атомы 97, 159, 208
— — , возбуждённое состояние 104
— — , нормальное состояние 97
Возбуждение оптическое 280
— — ступенчатое 283
— термическое 285
Возбуждённое состояние, время жиз-
ни 295
Волновая функция 25, 90, 112, 227,
739
— — антисимметричная 227, 739
— — симметричная 227, 739
Волновод 417
Воробьев, Джелепов и Копьева,
[i-спектр К.4" 524
Вуда опыты 284
Вуда—Рэлея метод определения z
295
Вырождение 23, 35
— обменное 223
у-лучи 470, 543
—	, внутренняя конверсия 548
— , поглощение 502, 506
—	при а-распаде 520
—	, рассеяние 502
— , спектр 553
Ган, Мейтнер и Штрасмап, деление
ядер 595, 596
Гейгера—Нэттола закон 497, 518
Гейзенберга неравенства 48
Гелий, сингулетное состояние 240
— , спектр 220
— , триплетное состояние 240
Генератор электростатический 394
Геомагнитные эффекты 653
Гринберг, Русинов и Юзефович, изо-
мерия 556
Грошев, образовапие пар 507, 512
— , Франк и Добротин, исследова-
ние пар 507
Движение в центральном поле 87,
126, 154
Де-Гааза и Эйнштейна опыт 174
Дейтерон 362
— , квадрупольный момент 363
— , магнитный момент 363
— , потенциальная яма 365
— , процесс	Оппенгеймера—Фил-
липса 458
— , разрыв в поле ядра 464
— , спин 363
— , теория 366
Деление тяжёлых ядер 595 и д.
— ядер, освобождение нейтронов
614
— — , продукты деления 603, 612
— — спонтанное 609
— — , способы осуществления 610
-----, теория 601, 606
— — , энергия активации 605, 607
-----, — реакции 605
— — , цеппая реакция 622
Дефект массы 348
Джелепов, Алиханов и Алиханян,
р-спектры 525
— , Копьева и Воробьёв, ^-спектр
К40 524
— и Власов, «аннигиляция» пар 515,
516
Диаграммы плотностей вероятности
94 и д.
Дирака уравнение 182, 509
Добрецов и Терепин, сверхтонкое
строение спектральных линий 320
Добротин, Грошев и Франк, иссле-
дование пар 507
— и Вернов, восточно-западный эф-
фект 660
— , Скобельцын и Зацепин, элек-
тронно-ядерные ливни 716
Дорфман, поглощение радиоволн в
ферромагнетиках 336
Дублеты щелочных металлов 206
Единицы радиоактивности 484
Жданов Г. Б. и Хайдаров, распад
р.-мезонов 692
Жданов А. П., метод фотопластинок
391, 670
— , расщепление ядер космическими
лучами 391
Жолио-Кюри, деление ядер 599
— и Кюри-Жолио, искусственная
радиоактивность 460
— — — , открытие нейтронов 562
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
773
Завойский, поглощение радиоволн
в парамагнетиках 336
Закон Гейгера—Нэттола 497, 518
----- 449, 582
v ’
— радиоактивных превращений 472,
488
— смещения 488
Законы сохранения 73, 427
Запрет интеркомбинаций 245, 306
Запрещённые переходы 149, 306,
309
Заряд ядра 315
Зацепин и Миллер, ливни Оже
717
— , Скобельцын и Добротин, элек-
тронно-ядерные ливни 716
Звёзды, источники энергии 636
Зеемана эффект аномальный 210, 212,
217
---- простой 165
Иваненко и Никольский, интерпре-
тация операторов а 183
— и Померанчук, радиационное тор-
можение электронов 411
— , строение ядра 342
— , теория ядерных сил 376
Излучение дипольное 545, 734
— квадрупольное 545, 734
Изобары 316, 542
Изображения графические 93
Изомерия ядерная 555
Изомеры 317, 555
— , разделение 560
Изотопический вес 348, 351
Изотопы 316, 318, 319
Изоэлектронные ионы, спектр 257
Интенсивность спектральных линпй
302
Ионизационная камера 385
Ионизационные потери энергии 662
Испускание света 139
Калифорний 620
Камера Вильсона 388
— ионизационная 385
Капицы и Семёнова опыт 172
Карамян и Русинов, разделение изо-
меров 560
Карио и Франка опыт 289
Квадрупольный момент ядра 337
Квантование 32
—	пространственное 90
Квантовое число полного момента
импульса 207
—	— эффективное главное 118
Квантовые числа 260
Кеплерова задача 97, 104
Керст, бетатрон 404, 410
АГ-захват 536
Клейна—Нишины—Тамма, формула
Козодаев, Алиханов и Алиханян,
внутренняя конверсия 7-лучей 550,
Кольгёрстера и Боте опыт 648
Конверсия внутренняя 436
Константы атомные 766
Копьева, Джелепов и Воробьёв,
p-спектр К40 524
Короткопробежные а-частицы 520,
521
Космические лучи 644 и д.
— — , барометрический эффект 699
— — , восточно-западный эффект
660
— — , высотный ход интенсивности
649, 650, 653, 656
-----, геомагнитные эффекты 653
-----, жёсткая компонента 652,
684, 717
— — , ливни 674, 678, 680, 716
— — , мезоны 361, 377, 686, 689,
703, 711
— — , мягкая компонента 652, 684,
717
— — , наблюдения в камере Виль-
сона 665
-----, — с фотопластинками 670,
704
— — , определение энергии 665
— — , основные эксперименталь-
ные данные 645
— — , первичная компонента 644,
654 и д., 660
-----, происхождение 718
-----, температурный эффект 699
----- , «телескоп» 649
— — , широтный эффект 655
Котёл 626
— , критические размеры 631
Коэффициент размножения нейтро-
нов 628
Коэффициенты Эйнштейна 146
Кравец, определение атомных кон-
счант 296
Кривая удельной ионизации для
а-частиц 495
Кулоновское взаимодействие 233,
338
Курчатов И., Русинов, Курчатов Б.
и Мысовский открытие изомерии
555
774
предметный указатель
Кюри-Жолио и Савич, деление ядер
597
— и Жолио-Кюри, искусственная
радиоактивность 460
-------, открытие нейтронов 562
«Кюри», единица радиоактивности
484
—	и Лаборда опыт 486
—	постоянная 255
Кюрий 619
Лаборда и Кюри опыт 486
Ландау, термодинамика ядер 437,
441
—	, теория каскадных ливней 684
Ландсберг и Мандельштам, комбина-
ционное рассеяние 444
Лапжевен, теория парамагнетизма
255
Лапорта правило 740
Латышев и Алиханов, спектр пози-
тронов 551
— , спектроскопия 7-лучей 553
Лебедев, световое давление 426
Лежандра оператор 79
Лейпу некий и Латышев, удары вто-
рого рода 287
Лейпунского опыт 539
Ливни 674
— ионизационные 678
—	каскадные, образование 680
—	— в свинце 682
—	Оже 716
—	радиационные 678
—	электронно-ядерные 657, 716
Линейный гармонический осцилля-
тор 150
—	ускоритель 416
Лукирский, определение уровней
энергии 279
—	и Перфилов, ядерные взрывы
706
Магнетон Бора 159
—	— ядерный 328
Магнитные свойства атомов 255
Магнитный момент электрона 168,
186
— резонансный метод 329
— спектрограф Алиханова 551
Магнито-механические эффекты 174
Мандельштам и Ландсберг, комби-
национное рассеяние 444
Масса ядра 316, 358
Массовое число 316
Мезоны 361, 377, 687
— искусственные 707
Мезоны , ливни 714
— |* 361, 689
— — ., взаимодействие с ядрами 701
— — , масса 361, 689
--- , распад 362, 691
— — , спин 362
— — , среднее время жизни 362,
694
— п заряженные 362, 703
—------, взаимодействие с ядрами
706
—------, искусственное получение
707
— — — , масса 362, 709
— — — , распад 362, 704
— — — , спин 362
— — — , среднее время жизни 362,
710
— те нейтральные 361, 711
—	—	—	,	масса 362, 713
-------	,	распад 362, 712
-------,	спин 362, 712
—	—	—	,	среднее время жизни 362,
713
— , рождение в атмосфере 714
— тяжёлые, 713
Мейтнер, Ган и Штрасман, деление
ядер 595, 596
—	и Фриша опыт 599
Менделеева периодическая система
770
—	— — , строение периодов 263
—	— — , теория 260
Менделеев, соотношение между мас-
сой и энергией 426
Метастабильные состояния 305
Метод вариации постоянных 137
— времени пролёта 578
— меченых атомов 461, 595, 621
— радиочастотной спектроскопии
329
— Скобельцына 507, 552, 665
—	сцинтилляций 387
—	толстослойных фотопластинок
391, 670
Механические величины 37, 43
—	— , вероятность определённых
значений 37, 43
—	— , средние значения 39
Механический селектор скоростей
576
Микрорадиохимия 621
Миллер и Зацепин, ливни Оже 717
Множитель Ланде 214
Модель атома векторная 199, 200,
247, 253
—	валентного электрона 114
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
775
Молекулярный спектр 324
Момент импульса 199, 200
---полный, квантовое число 207
—	количества движения 77
—	— — , свойства 80
— — — , собственные значения 83
-------, собственные функции 83
Мысовский, интенсивность космиче-
ских лучей 651
— , Курчатов И., Русинов и Кур-
чатов Б., открытие изомерии 555
— , метод толстослойных фотопла-
стинок 391, 670
Нейтрино 360, 527
Нейтрон 361, 561
— быстрый 465, 568, 570
— деления 614
— , детектирование 393
— , диффракция 570, 584, 587
— , замедление 576, 578, 626
— запаздывающий 559
— , источники 567
— , магнитный момент 361, 363, 378,
565
— , масса 361, 563, 565
— медленный 575, 580
— — , рассеяние в орто- и парово-
дороде 372
— , монохроматизация по скоро-
стям 576, 578, 587
— , отражение от зеркала 592
— , поляризация 593
— , радиоактивность 345, 565
— , рассеяние 372, 379, 447, 570,
573,575
— , резонансное поглощение 447,
582, 587, 625
— , спин 361
— тепловой 580
— холодный 581, 593
—	, ядерные реакции 451
Нейтронный спектрометр 585
Нейтронографический анализ 587
Нептуний 617
Неравенства Гейзенберга 48
Никольский и Иваненко, интерпрета-
ция операторов а 183
Нишины—Клейна—Тамма формула
Нуклеоп 344, 378
IIатолла—Гейгера закон 497, 518
Обменные взаимодействия 233, 375
—	силы 375
Оже эффект 301, 539
—	ливни 716
Оккиалини, Блэкет и Чадвик, вну-
тренняя конверсия у-лучей 550
Оператор перестановки 227
—	Лежандра 79
—	энергии 32
Операторы антикоммутирующие 12
—	, вырождение 23, 35
—	линейные 10, 14
—	момента количества движения
77
—	основные 28
— проекции момента количества
движения 86
— , произведение 11
— самосопряжённые 17, 20
— — , ортогональность собствен-
ных функций 20
— , собственные значения 14, 83, 86
— > — функции 14, 31, 83, 86
— , спектр 15, 33, 34
—	, стандартные условия 15
—	, сумма И
«Оптические» свойства нейтронов 592
Оптическое возбуждение 280
Ортоводород 327
Ортогелий 220
Осциллятор линейный гармониче-
ский 150
Параводород 327
Парамагнетизм, квантовая теория
256
—	, классическая теория 255
Паргелий 220
Пары 506, 511
—	, «аннигиляция» 514
—	, образование 511
Паули теория 179
Пашена—Бака эффект 217
Переходное равновесие 482
Периодическая система Менделеева
770
—	— — , строение периодов 263
—	— — , теория 260
Период полураспада 314, 474
Перфилов и Лукирский, ядерные
взрывы 706
Петржак и Флеров, спонтанное деле-
ние ядер 610, 612
Плотность вероятности 54,	56,
94 и д., 111, 159
Плутоний 618, 632
Поглощение света 139
Позитрон 359, 506, 536
—	, открытие 672
—	, свойства 509
—	, спектр 551
776
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Полевой и Бабат, линейный ускори-
тель 417
Поле ядра 338, 373, 377
Поляризация и спин 175
—	нейтронов 593
Померанчук и Иваненко, радиацион-
ное торможение электронов 411
Постоянная тонкой структуры 196
Постулаты квантовой механики 28
Потенциальная кривая ядра 339, 340
Правила отбора 149, 209, 305, 306,
309, 536
Правило интервалов 251
—	смещения 253
—	сумм 303
— чередования мультипольностей
Применения ядерной энергии 632
Принцип детального равновесия 287
— микроскопической обратимости
— Паули 236, 260
— суперпозиции 27
— тождественности микрочастиц 227
Пробег частицы 492, 669
Проблема гелия 228
Проекция момента количества дви-
жения 86
Прокофьев, определение вероятности
запрещённых переходов 307
Пространство конфигураций 127
Протон 317, 360
— , магнитный момент 335, 360, 378
— , масса 360
— , спин 323, 360
—	, рассеяние 379
Прохождение через потенциальный
барьер 403
Процесс	Оппенгеймера—Филлипса
458
Пуассона скобка квантовая 70
—	— классическая 70
Раби метод 329
Радиационные потери энергии 678
Радиоактивная постоянная 474
Радиоактивность, вековое равнове-
сие 483
—	единицы 484
—	естествепная 314, 470
—	искусственная 460
—	, общая характеристика 470
—	, переходное равновесие 482
—	, период полураспада 314, 474
—	позитронная 461, 536
— , теория последовательных пре-
вращений 479
Радиоактивность, тепловой эффект
486
—	, энергия распада 488
Радиоактивные изотопы, отделение
461
—	семейства 488
Радиоактивный распад, флуктуации
475
Радиоактивных превращений закон
472, 488
Радиус ядра 338, 340, 574
Раман, комбинационное рассеяние
444
Рассеяние а-частиц 338
—	нейтронов 372, 379, 447, 570, 573,
575
—	протонов 379
Резерфорда и Соддп, теория радиоак-
тивного распада 471
«Резерфорд», единица радиоактивно-
сти 485
Резерфорд, расщепление ядер азота
421
Резонансная флуоресценция 280
— — , тушение 291
Резонансные линии 121, 247, 280
Резонанс приударах второго рода290
Релятивистское волновое уравнение
второго порядка 179
Рентгеновские спектры 269
--- , механизм возникновения
270, 271
— — , определение уровней энергии
276
— — , полосы поглощения 270
— — , схема уровней энергии 271,
273
Рождественский, «метод крюков» 296
Ротатор 90
Русинов, Гринберг и Юзефович, изо-
мерия 556
— и Юзефович, конверсионное излу-
чение изомеров брома 559
— и Карамян, разделение изомеров
560
— , Курчатов И., Курчатов Б. и
Мысовский, открытие изомерии 555
Рэлея—Вуда метод определения
295
Сверхтонкая структура спектраль-
ных линий 321
Свет, испускание 139
— , поглощение 139
Свечение температурное 286
— электронов 411
Семёнова и Капицы опыт 172
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
777
Сенсибилизированная флуоресценция
288
Синхротрон 412
Система ортогональных функций пол-
ная 22
Скобельцына метод 507, 552, 665
Скобельцын, Добротин и Зацепин,
электронно-ядерные ливни 716
—	и Зацепин, ливни Оже 717
—	, открытие ливней 674
— , спектроскопия у-лучей 552
— , фотография космических частиц
648
Скобка Пуассона квантовая 70
--- классическая 70
Смеси состояний 57
Смородинский, теория дейтерона
371
Содди и Резерфорда теория радиоак-
тивного распада 488
Соколов, радиационное торможение
электронов 411
Состояние d 88
—	р 87
—	s 87
—	/ 88
Состояния водородоподобных атомов
97, 104
—	квазистационарные 726
—	стационарные 60
—	чётность 738
—	чистые 57
Спектральная линия, интенсивность
302
—	— , сверхтонкое строение 314
—	— , тонкое строение 168 и д.
Спектральные серии атомов второй
группы 245
—	— щелочных металлов 119
—	— — — , главная серия 120
— —-------побочные 125
— — — — фундаментальные 125
—	символы атомов 208
Спектр а-частиц 520
—	у-лучей 553
—	гелия 220
—	молекулярный 324
Спектрометр нейтронный 585
Спектры атомов второй группы
24а
—	— , определение уровней энер-
гии 276
—	— , полосы поглощения 270
--- , правило интервалов 251
—	— , — смещения 253
—	— , — чередования мультиполь-
постой 253
Спектры атомов, схема уровней энер-
гии 122, 123, 124, 222, 246, 273,
275, 282
—	изоэлектронных ионов 257
—	рентгеновские 269
Спин и поляризация 175
— электрона 168 и д., 191
Спинтарископ 363
Спин ядра 320
Среднее значение механической ве-
личины 39
Статистика Бозе—Эйнштейна 323,
326. 327
—	Ферми 323, 326
—	ядер 323
Ступенчатое возбуждение 283
Схема совпадений 384
—	уровней энергии	273
-------вольфрама	275
—	—	—	гелия 222
—	—	—	лития 122
—	— — магния 246
—	— — натрия 123
—	— — ртути 282
—	— — цезия 124
Сцинтилляций метод 387
Счётчик Гейгера—Мюллера 380
—	кристаллический 387
—	пропорциональный 381
Таблица изотопов 745
—	масс лёгких ядер 742
—	Менделеева 770
Тамма—Клейна—Нишины формула
Тамм и Альтшуллер, спин нейтрона
565
—	, теория каскадных ливней 684
—	, — ядерных сил 376
Температурное свечение 286
Теорема Эренфеста 63, 72, 333
Теория а-распада 516
—	аномального эффекта Зеемана 212,
217
—	возмущений 129, 136, 228
—	деления ядер 601, 606
—	Дирака 509
—	Оппенгеймера—Филлипса 458
—	Паули 179
—	периодической системы Менделее-
ва 260
— последовательных превращений
479
— простого эффекта Зеемана 165
Теренин и Добрецов, сверхтонкое
строение спектральных линий 320
— , оптическое возбуждение 281
778
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Терлецкий, теория бетатрона 404
— , происхождение космических
лучей 720
Термическое возбуждение 285
Тибо опыты 507
Ток вероятности 54, 159
Томсона формула 505
Тонкая структура 168, 194, 203
---, постоянная 196
--- , формула 194
Трансурановые элементы 617
Тритий 364
Углеродно-азотный цикл 642
Удары второго рода 287
—	первого рода 287
Уиллер и Бор, теория деления ядер
603, 606, 615
Уравнение Дирака 182, 186
—	релятивистское волновое второго
порядка 179
—	Шредингера общее 50, 165
Уравнения движения 68
Уровни энергии виртуальные 445,
726
—	— , ширина допплеровская 289,
317
—	— , — естественная 297
--- ядра 439
Ускоритель линейный 416
Фазотрон 412
Файпберг, барометрический эффект
699
Ферми, деление ядер 595
— , происхождение космических лу-
чей 720
Флёров и Петржак, спонтанное деле-
ние ядер 610, 612
Флуктуации радиоактивного распада
475
Флуоресценция резонансная 280
— — , тушение 291
— сенсибилизированная 288
Фок, теория многоэлектронных ато-
мов 136
Формула Брэйта—Вигнера 447, 449
—	Клейна—Нишины—Тамма 505
—	Комптона 552
—	средних значений 42
—	Томсона 505
— тонкой структуры 194
Фотон 359
Фотопластинок метод 391
Фоторасщепление ядер 467
Франка и Карио опыт 289
Франк, Грошев и Добротин, иссле-
дование пар 507
Френкель, статистическая трактовка
ядерных процессов 436
— , теория деления ядер 603, 606
— , электрический момент элек-
трона 191
Фриш С. Э., сверхтонкая структура
линии натрия 323
Функции ортогональные 20, 22
— собственные 14, 31, 83, 86
-----, нормирование 22
-----общие 45
Функция волновая 25, 90, 112, 227,
739
Хайдаров и Жданов Г. Б., распад
ц-мезона 692
Цепная ядерная реакция 622
— — — , критические размеры
системы 631
— — — , коэффициент размножения
628
Циклотрон 396
— , магнитная фокусировка 399
— , максимальная эпергия ионов 401
— , электрическая фокусировка 399
Чадвик, Блэкет и Оккиалипи, вну-
тренняя конверсия -у-лучей 550
— , открытие нейтрона 562
Частицы элементарные 359
Чётность состояния 738
Чистые состояния 57
Шервина опыт 532
Ширина уровней энергии 289, 297
Широтный эффект 655
Шкала масс физическая 347, 769
-----химическая 347, 769
Шредпнгера уравнение общее 50, 165
Штерна и Герлаха опыт 171
— опыт 328
Штрасман, Ган и Мейтнер, деление
ядер 595, 596
Щелочные металлы, дублеты 206
-----, спектральные серии 119
Эйнштейна и де-Гааза опыт 174
— коэффициенты 146
Электрон 359
— в магнитном поле 162
— вращающийся 168, 175
— , магнитный момент 169 и д., 186
— релятивистский, сохранение им-
пульса 732
— , спин 168 и д., 191
— , электрический момент 191
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
779
Электроны в потенциальном ящике
222
----центральном поле 97, 104, 126.
Электронные оболочки атома 262
Электростатический генератор 394
Электростатическое поле ядра 338,
373
Энергия активации при делении 605,
607
—	взаимодействия зарядов 722
—	звёзд, источники 636
—	, потери ионизационные 662
—	, — радиационные 678
—	радиоактивного распада 488
— реакции при делении 605
— связи 345, 352, 353
— ядерная (атомная) 345, 598, 632,
636
— ядерной реакции 423, 424
— ядра кулоновская 356
---- поверхностная 355
Эренфеста теорема об адиабатическом
воздействии 333
----о среднем значении 63, 72
Эффект Зеемана аномальный 210
--------, теория 212, 217
—	— простой, теория 165
—	Оже 301
—	Пашена—Бака 217
—	широтный 655
Эффективное главное квантовое чис-
ло 118
Эффективное сечение 432, 573
Эффекты геомагнитные 653
— магнито-механические 174
Юзефович, Гринберг и Русинов, изо-
мерия 556
— и Русинов, конверсионное из-
лучение изомеров брома 559
Юкава гипотеза 376
Ядерная реакция 421, 424, 427, 432,
438, 442, 622
— (атомная) энергия 345, 598, 632,
636
Ядерные реакторы (котлы) 569, 626
— реакции, вызываемые а-частицами
460
----, — дейтеронами 430, 458
— — , — нейтронами 451
— — , — протонами 453
----, — фотонами 467
---- и законы сохранения 427
— — при сверхвысоких энергиях
462
----, резонансное расщепление 444
Ядерные реакции типа (а, п) 460
-------(а, Р) 460
-------(Ъ«) 4:67, 568
-------(d,n) 458
-------(d, р) 458
— — — (п, а) 452
---—	(п, у)	451
—	—	—	(п, 2п) 452
-------р) 452
—	—	—	(р, а)	456
-------	(Р, 7)	453
---— (р, п) 455
—	— экзотермические 423
---эндотермические 423
—	— , энергия реакции 424
—	— , эффективное сечение 432
—	силы 338, 372, 373
Ядерный магнетон 328
Ядра в космических лучах 644,.
719
Ядро возбуждённое, вылет частицы
446
—	, деление 595 и д.
—	, дефект массы 348, 350
—	, заряд 315
— , захват частицы 442
— , изобары 316, 542
— , изомерия 317, 555
— , изотопический вес 348, 351
— , изотопы 316,. 318, 319
— как квантовомеханическая си-
стема 438
— , А-захват 536
— , капельная модель 354, 375
— , коэффициент упаковки 348, 350,
351
— , магнитный момент 328, 336,
378
— , масса 316, 358
— , «мезонный заряд» 377
— , плотность вещества 341
— , поле сил 338, 373, 377
— , потенциальная кривая 339,
340
— , продукты деления 603, 612
— , радиус 338, 340, 574
— радиоактивное 314, 470
— , раскалывание быстрыми части-
цами 465
—	, — фотонами 468
—	, реакции 421
— , — на сверхбыстрых частицах
462, 464, 465
— , составное 434
— , составные части 317, 341
— , спин 320, 323, 372
— , спонтанное деление 609
780
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ядро, способы осуществления деле-
ния 610
— стабильное 314
— , статистика 323
— , схема уровней энергии 448, 457,
458, 520, 522, 523, 541
— , теория деления 601, 606
— , уровни энергии 439
— , устойчивые группировки нук-
леонов 352, 358
—	, цепная реакция 622
—	, ширина уровня 444
Ядро, электрический квадруполь-
ный момент 337
— , электрическое поле 340
— , энергия 345, 598, 632, 636
—	, — активации при делении 605,
607
—	, — кулоновская 356
—	, — поверхностная 355
—	, — реакции при делении 605
—	, — связи 345, 352, 353
Яковлев, Аркадьев и Беркман, диф-
фракция 571