КАЗАНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
•ПРЕДЕЛЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Методическое пособие к лабораторной работе
I
КАЗАНЬ 2001
Печатается по решению редакционно-издательского сонета
физического факультета
УДК 621.37: 621.39
Нугманов И.С., Бердунов Н.В., Попова Т.М. Определение
одномерной плотности распределения вероятности случатного
процесса.
В методическом пособии описывается один из методов по-
строения одномерной плотности вероятности стационарного
случайного процесса, расчет времени наблюдения и методика
проверки гипотезы о типе распределения. Пособие предназна-
чено для использования в лабораторном практикуме по курсу
"Статистическая радиофизика ".
Научный редактор - Бойко Б.П., к. ф.-м. н., доцент кафедры
радиофизики.
Рецензент - Андрианов Н.С., доцент каф. радиоастрономии.
© Физический факультет Казанского государственного
университета, 2001 г.
Целью данной работы является построение эмпирической
одномерной плотности распределения вероятности случайного
процесса по его реализации, использование статистического
критерия для отождествления эмпирической функции распреде-
ления с теоретической.
1. Краткие сведения об эргодических случайных процессах
На практике нет возможности наблюдать одновременно две
и более реализации одного и того же процесса одним и тем же
прибором. Однако, если процесс эргодический, согласно эрго-
дической теореме математическое ожидание и корреляционная
функция стационарного процесса £,(t) могут быть вычислены
путем усреднения по времени соответствующих величин одной
единственной реализации v(t) для непрерывного случайного
процесса или одной единственной реализации v[n] для случай-
ной последовательности Цп].
Достаточным условием применимости эргодической теоре
мы является отсутствие корреляции между двумя значениями
реализации стационарного случайного процесса в широком
смысле, разделенными бесконечно большим отрезком времени,
т-е-> lim R(t) - 0 ,
Тн^°°
где R(t) - нормированная автоковариационная функция
процесса £,(t).
3
Другим достаточным условием применимости эргодическое
теоремы является выполнение условия Слуцкого
где Тн - время наблюдения стационарного случайного про
цесса.
Для эргодического процесса временное среднее равно
1 TV	1 Nh“‘
<£(t)>= hm — Jv(t)dt <^(n)>= hm — £v[n] on
TH^coTH 7	NH~>coNH n=0 v 7
Nh - число элементов наблюдаемой последовательности .
Средний во времени квадрат реализации для случайного про
цесса £,(t) и случайной последовательности £,(п)
1 ±н
<(W> = Jim — J(v(t))2dt
Тн-><» 1н 0
1 NH-1
<(f|[n])2>= lira -L. X(v[n])2
Nh->»Nh
представляет среднюю мощность реализации, если процесс F(l
рассматривать как изменение напряжения на сопротивлении i
один Ом.
Автоковариационная функция, вычисленная по одной един
ственной реализации случайного процесса, определяется как
4
<£(t) - <S(t)>) • (^(t + T) - £(t + T)»> =
1 Тн
= lim — f(v(t)-<^(t)»-(v(t + T)-<^(t+T)»dt,
TH ->CO 1Д Q
(1-3)
<(S[n] - (£[п]>) № + k] - <*[n + k]»> =
1 NH-1
= lim Ё[у[п1-<^Ы>] [у[п+к]-<^[п + к1>]-
Nh-^co-Nh n=o
Практически время наблюдения Тн и число элементов Nh на-
блюдаемой последовательности ограничено.
2. Принципы построения одномерной плотности
распределения вероятности случайного процесса
Существуют различные методы оценки одномерной
плотности распределения вероятности. Рассматриваемый метод
основан на измерении времени пребывания реализации v(t) эр-
годического случайного процесса £,(t) между двумя фиксиро-
ванными уровнями Vj и Vj + Дv на достаточно большом ин-
тервале времени наблюдения Тк, (Рис.2.1).
Рис. 2.1
5
Получим оценку плотности распределения вероятности
шума при достаточно большом Тн . Для этого образуем новые
случайный процесс r|(t) , зависящий от £,(t), со значениями

если v, < £,(t) < v, + A v,
если £(t) < Vj или £,(t) > Vj + Av.
(2.1)
Математическое ожидание (среднее по ансамблю) процесса
r](t) в произвольный момент времени t равно
M[T](t)] = 1 • P(vj < £(t) < V, + Av) +
+ 0 • (p£(t) < Vj) + Pft(t) > Vj + Av)) = P(Vj < S(t) < Vj + Av) .
(2-2)
При достаточно малом Av, пренебрегая изменением плотности
распределения w(v) на интервале (vi, Vj + Av) имеем
p(vj < ^(t) < Vj + Av) » w(v,)-Av
(2-3)
Процесс r](t) будет также эргодическим. Определим сред-
нее ио времени процесса r](t)
1 Тг	1 " tij7J	1 п
<n(t)> = lim — Jy(t)dt = lim —£ Jy(t)dt = lim	'
TH J	th->«> Th j=1	th->oo TH
(2-4)
где
y(t) - реализация случайного процесса r](t) - импульсы еди-
ничной амплитуды и случайной длительности т j j,
т j j - время пребывания процесса £,(t) в пределах Vj, v,+A v,
n - число интервалов случайной длительности, в течение ко-
торых Vj < £,(t) < Vj+A v за время наблюдения Тн.
6
Величины т i j и и случайны и зависят от одномерной плотности
w(v). Допустим, что время измерения Тн настолько велико, что
можно записать
хн >1
(2-5)
Используем свойство эргодичности процесса r)(t)
M[n(t)] = <n(t)>.	(2.6)
Откуда w(Vi)Av = -J-^ Tjj .	(2.7)
1H J
Время наблюдения Тн , суммарная длительность импульсов
единичной амплитуды V” т,;, напряжения Vi , v,+Av могут
регистрироваться приборами. Таким образом, можно оценить
экспериментальным путем одномерную плотность распределе-
ния вероятности шума, принадлежащей интервалу v,, v,+A v и в
формуле ( 2.7 ) заменить точное значение плотности распреде-
ления w(v) ее оценкой w(v). Каждому уровню квантования v i
соответствует оценка w(v;) , вычисленная по формуле
1 п
"(vi дГт '	(2'8)
/AV Ан j=i
По экспериментальным оценкам w(vj можно построить
гистограмму плотности вероятности распределения шума (Рис.
2.2).
7
, ч	Для эксперимен-
' 1 '	тальной оценки
плотности распреде-
—1	ления w(Vj),Heo6-
__	ходимо обосновать
—1	выбор длительности
времени наблюдения
——	Тн (или числа от-
счётов Nh за время
1	наблюдения Тн с
----------—— — —------------v интервалом дискре-
vi vx+A v	тизации Т в интерва-
ле v>, Vi+Д v) , числа
Рис.2.2	уровней квантования
процесса £,(t) и ве-
личину интервала квантования Av.
Для проверки гипотезы о типе распределения требуется не-
зависимость отсчетов (выборок) во времени. Если наблюдения
будут зависимы, то построенный по ним эмпирический одно-
мерный закон распределения w(v ) будет искажен.
Интервал времени Дт между независимыми точками наблю-
дения определяется свойством процесса. Так, например, для ое-
лого шума этот интервал равен нулю.
Указать точно значение Дг для исследуемого в лаборатор-
ной работе процесса невозможно. Выберем время Дт из условия
некоррелированности двух значений шума, разделенных интер-
валом времени Дт, хотя нельзя утверждать достоверно, что эти
два значения будут независимыми. Однако в тесрии доказывает-
ся, если закон распределения случайных величин - нормальный ,
то из некоррелированности случайных величин следует их неза-
висимость.
3. Расчет объема выборки
Ввиду того, что предполагается обработка дискретных слу-
чайных последовательностей, перейдем к соответствующей тер-
8
минологии. Степень статистической зависимости двух выбо-
рочных значений стационарной случайной последовательности
£,[п] описывается автоковариационной последовательностью.
Для расчета объема выборки используем нормированную авто-
ковариационную последовательность R[n], Известно, что абсо-
лютные значения нормированной автоковариационной последо-
вательности R[n] стационарной случайной последовательности
убывают с увеличением п. При п = оо два значения реализации
не будут коррелированы и будем считать их независимыми.
На практике всегда можно указать некоторое значение по такое,
что при п > п0 модуль нормированной автоковариационной по-
следовательности R[n] меньше сколь угодно малой наперед за-
данной положительной величины б, (Рис. 3.1) , т.е.
| R[n]| <5 для п > п0.
(3-1)
Условие (3.1) позволяет по заданным |R[n]| и 5 определить н о -
Интервал Дт = Т-no можно принять за интервал корреляции, где
Т - интервал дискретизации случайного процесса.
Рис. 3.1
9
Для расчета объема выборки используем интервал корреля-
ции и запишем формулу (2.7) в виде
(3-2)
где nij- число независимых точек отсчета (независимых собы-
тий) за время / . ” Tij в интервале Vi, Vj+A v ,
Nh - число независимых точек отсчета (независимых собы-
тий) за время наблюдения Тн •
Величина
т.
— - Р-
N 1
н
(3.3)
- есть частота, или эмпирическая вероятность того, что слу-
чайное напряжение принадлежит интервалу Vj, Vj+A v.
Время наблюдения процесса Тн и число независимых точек
отсчета Nh влияют на точность построения эмпирической плот-
ности распределения вероятности w(Vj) в точке Vi. Требование
w(Vj) = w(Vj) приводит к бесконечно большому времени на-
блюдения Тн , что неразумно на практике. Определим величину
Nh в зависимости от допустимого расхождения по вероятности
эмпирической плотности распределения w(v,) и гипотетической
w(Vj) в некоторой точке v!.
Положим, функция w(v) известна. Разобьем все возможные
значения случайного напряжения £,(t) в какой-то момент вре-
мени t на интервалы с шагом Av и определим вероятность Pi
нахождения случайной величины в пределах одного интервала
10
vj +Д v
Pi = Jw(v) dv •
vi
При довольно малом A v имеем
Pi ~ w(Vj)-Av
(3-4)
Если выборка из NH отсчетов произведена из генеральной сово-
купности с распределением W(v), то вероятность уклонения
оценки fx от теоретической вероятности pj на величину е долж-
на быть малой и будет определяться только случайными по-
грешностями. Вероятность такого уклонения запишется как
P(|pi-pi|>£) = a,
где a - малая величина.
Произведем преобразования
PdPj-Pj 1>е) =l-P(|pi-pi |<£) — 1'Р(*е <р. -р. <е) =сс ,
или
Р(-е <р. -р. <£) =1-а.	>	(3.5)
Согласно закону больших чисел [4] распределение величины
Ф = Р, ~ Pj при Nh —> оо стремится к нормальному закону, т.е.
при достаточно большом Nh имеем
1	(х- Цч,])2
ехр - ~7^—
(3.6)
и
Рассчитаем числовые характеристики случайной величины
V = р( - р;, учтя , что Pj - пт / NH . Величина т. есть случай-
ное число независимых событий на интервале наблюдения Тн ,
удовлетворяющих условию v;< £,(t)<v3 Av. ВеличинаNh -
фиксированное число независимых событий на интервале на-
блюдения Тн. Представим ш. как сумму независимых случай-
ных величин
NH
=	где Xij = <
j=i
1 с вероятностью р
О с вероятностью 1 -р.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X.
равны
М k. =р, D X..
>J F’ и
>J
= р(1-р).
Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной вели-
чины пт равны
= NHP,
j=l
D[m.] = NHp(l-p) •
(3-7)
Используя (3.7), можно показать, что Р; = пь / NH является со-
стоятельной оценкой р и поэтому примем р = р.. Определим ма-
тематическое ожидание и дисперсию случайной величины
V = Pj - Р;:
M[v]=0, ^ = D(v] = p| (l-pj)/NH .	(3.8)
12
Определим вероятность того, что случайная величина
V = Р, ~ Pj находится в интервале (-£, е) , (формула 3.5):
P(-£<pj-pi <е)
(х-М[у])2
2 о2
Заменим математическое ожидание, дисперсию и среднеквадра,
тическое отклонение их значениями из (3.8), произведем замену
переменных и получим
Pi-(l-Pi)
NH
Pi(l-Pi)
dx - 1 - a •
Или
,	1 - a
dx = ——
э
(3-9)
где
z
= е •
NH
Pi’d-Pj)
(З.Ю)
Интеграл вероятности, записанный в левой части выражения
(3.9), протабулирован [2]. При известной допустимой вероятно-
13
сти ошибки сс по таблицам нормального закона распределения
или путем численного интегрирования (3.9) можно найти вели-
чину za . Из выражения (3.10) получим
z р. -(1-р.)
N„ = -“ 1 5—(3.11)
н е2
Наибольшее значение Nh достигается при р> = 0.5. В результате
имеем
z2
N = —
Н 4-е2
(3-12)
Величину абсолютного отклонения е обычно задают, исходя из
практической потребности.
Необходимое число независимых точек отсчета Nh возь-
мем постоянным для каждого уровня квантования амплитуды и
используем в дальнейшем для расчета времени наблюдения .
Все рассуждения, приведенные выше, справедливы при
стационарности и эргодичности процесса. Однако на практике
физические величины меняются со временем и при этом меняет-
ся Дт. Неверный выбор Дт ведет к следующим последствиям:
-	уменьшение Дт приводит к возникновению корреляции
между выборками,
-	увеличение Дт создает неблагоприятные условия для вы-
полнения стационарности процесса, т.е. с увеличением времени
наблюдения математическое ожидание M[£,(t)j может изме-
ниться и не будет постоянным,
-	уменьшение Nh ведет к тому, что малое число испытаний
Nh не является достаточным, чтобы абсолютная ошибка не
превышала заданной величины е.
В данной лабораторной работе интервал дискретизации dT
случайного процесса £,(t) вычисляется как
14
ат=дт-к0,
где постоянная ко > 1.
Умножение Дт на ко эквивалентно увеличению интервала
корреляции. Это сделано для того, чтобы усилить "независи-
мость" отсчетов исследуемого процесса. Время наблюдения рас-
считывается как
TH = dTNH.
4. Критерии, применяемые при проверке гипотез
Построенную экспериментальным путем эмпирическую
функцию распределения необходимо отождествлять с какой-
либо одной функцией распределения. Мы можем выдвинуть ги-
потезу Но о типе распределения, причем предлагаемое гипоте-
тическое распределение W(v) может быть как верным, так и
ошибочным.
Введем меру отклонения D эмпирической функции распре-
деления от гипотетического распределения. Например, мерами
отклонения могут служить величины
Ц = max|W(v) - W(v)|  VN,
CO
D2 = J(w(v)- W(v)J dW(v)
— CO
Ввиду того, что эмпирическая функция распределения
W(v) подвержена случайным изменениям, то и мера D будет
случайной величиной. В математической статистике доказыва-
ется, что с увеличением числа испытаний распределение меры
D стремится к определенному закону распределения.
15
Пусть мера D имеет распределение W(d). По функции
распределения W(d) можно найти вероятность того, что мера D
больше некоторой величины d при верности гипотезы Но
p(D>dq/H0)= JdW(d) = q- (4-1)
dq
Величина q называется уровнем значимости, которая практ иче-
ски принимается равной 0.1, 0.05, 0.01, 0.005... Область значе-
ний D > dq называется критической областью, а правило провер-
ки - критерием значимости [2], [4] . Для каждого уровня значи-
мости q существует dq при заданном законе распределения W(d).
Для всех значений меры D < dq вероятность P(D < dq / Но ) того,
что расхождение между экспериментальным распределением и
теоретическим не превышает dq , будет не меньше 1-q. Если
экспериментатора удовлетворяет такой уровень значимост и, то
можно говорить, что гипотетическое распределение не противо-
речит экспериментальным данным и их отклонения от теорети-
ческих величин можно объяснить случайностью. Но если D > dq
, то это значит, что расхождение при данном уровне значимости
q существенно и несовпадение гипотетического закона W(v) и
эмпирической функции распределения W(v) одной случайно-
стью не объяснить. Следовательно, данный гипотетический за-
кон отвергается и необходимо рассмотреть другой. Ошибочное
отклонение верной гипотезы о типе распределения будет совер
шаться в q% всех случаев проверки гипотез [4] .
4.1 Критерий х2
Положим выбраны интервалы квантования Av, число интер-
валов квантования h, а также определено число независимых
событий гл;, попавших в интервал (Vj, Vi + Av). Общее число не-
16
зависимых событий (число независимых испытаний) , опреде-
ляющих эмпирическую функцию распределения, равно сумме т,
h
Sm.=N.	(4.2)
Очевидно, если выбрана какая-либо гипотеза Н о о типе распре-
деления шума, то можно найти вероятность pi того, что значения
шума принадлежат интервалу (v„ Vj + Av)
Vj+Av	h
Pi = Jw(v)dv, ^pj=l -	(4.3)
vj	i=l
Если гипотеза верна, то величина m, представляет [2] число
появления независимых точек отсчета (число независимых со-
бытий) в интервале (vj, Vj + Av) из общего числа NH - N незави-
симых испытаний. Вероятность появления каждой точки равна
Pi. Так как число точек mj - величина случайная и каждая точка
появляется с вероятностью pi , то среднее число точек будет
равно N p, , а дисперсия числа точек, попавших в интервал
(vj, Vj + Av ) определится как а * = N  Pj  (1 - р,) . Если гипотеза
верна, то при N —> оо величины m, (i=l,...,h) и величины
Pi =(mi-Npi)/A/Npr
стремятся к нормальному распределению [4] . Величины р,
(i=l,...,h) связаны между собой линейной зависимостью
h
=	(4.4)
В лабораторной работе в качестве меры отклонения гипоте-
тического распределения от эмпирического выбрана сумма
квадратов величины Р,:
17
(4-5)
Разбиением всех возможных значений шума на h интервалов и
рассмотрением h случайных величин pj мы оценили отклонение
величины mi от среднего Np, гипотетического закона для каж-
дого интервала квантования i, (i=l,...,h) . Совокупность случай-
ных величин { Pj } связана зависимостью (4.4). Интервалы
квантования не перекрываются. Следовательно, из множества
{Pj} h-1 случайных величин р; будут независимыми.
Распределение величины %2 при N —> оо стремится к
распределению с плотностью распределения вероятности
j	h_i у
W 9(У) = ~Т75-------У2 е 2 ’	(4-6)
х2 2Ы2-Г(Ь/2)
называемой плотностью х2 -распределения с h-1 степенями сво-
боды [2], [4], где Г (h / 2) - гамма - функция.
При расчете вероятностей р; гипотетического закона рас-
пределения необходимо знать параметры закона распределения.
В частности, биномиальный закон определяется одним парамет-
ром: вероятностью появления события р; нормальный закон
распределения - двумя независимыми параметрами: математи-
ческим ожиданием и дисперсией; распределение Коши опреде-
ляется двумя параметрами: медианой и характеристикой рассея-
ния. Если априорно неизвестны значения этих параметров, их
обычно вычисляют по экспериментальным данным и использу-
ют для расчета теоретических вероятностей pj. Положим, число
параметров, описывающих распределение вероятностей, равно
L. Ввиду того, что при проверке гипотез мы отождествляем па-
раметры гипотетического распределения с однотипными эмпи-
рическими параметрами, число степеней свободы у? -
18
распределения уменьшается на величину L. Тогда число степе-
ней свободы %2 -распределения станет равным
k = h-L-l.
Если задан уровень значимости q, граница критической
2
области Xq (Рис.4.1) определяется из равенства
Р(х2>х,/н,) = Ч1
или
1	--1	-
rr?(y)dy=^2^>T(k/2)yr e^dy = q' (47)
Функция Р(/2 > у2 / Но) = q протабулирована [4].
Наличие в таблицах %2 - распределения числа степеней сво-
боды до 30 налагает ограничения на выбор числа уровней кван-
тования шума. Практика показала, что для использования кри-
терия %2 достаточно иметь число степеней свободы в пределах
(13 - 20). Если при обработке результатов эксперимента окажет-
ся, что ш i < 10, необходимо объединить интервалы, а величи-
ны m „ вошедшие в объединяемые интервалы, сложить.
Результирующая вероятность равна сумме вероятностей, объе-
диняемых интервалов. При этом число степеней свободы %2 -
распределения уменьшится на количество объединяемых интер-
валов j и будет равно
h0 = h-L-j-l.	(4.8)
Одним из неудобств использования критерия у/ является
произвольность в разбиении интервала наблюдения, группиров-
ка результатов наблюдения, что связано с некоторой потерей
информации. С другой стороны, мы используем предельный
h
закон распределения величины 52 Pi при числе испытаний N
i=i
19
—> оо . Но число испытаний конечно и мы не учитываем ошибк]
из-за конечности N. Поэтому рекомендуется дополнять крите-
рий %2 другими критериями.
Таблица распределения Хч [2] дает возможность опреде-
лить критическое расхождение (порог) Xq по заданной допус
тимой вероятности ошибок q при верности гипотезы Но о тига
распределения:
р|у >Xq/Ho:|
выборка принадлежит совокупности с пред -
полагаемым законом распределения w(v)
= q-
Вероятность q указыва
ет на долю допустимы:
ошибок, которые воз
можны из-за случайно
стей во время экспери
мента при верности ги
потезы Но (Рис. 4.1)
Это означает , что npj
проведении серии экс
периментов доля случа
ев, когда отвергаете
гипотеза Но о типе рас
пределения, в то врем
как она верна, по от
ношению к общему числу экспериментов стремится к величин
ч-
Процедура проверки гипотезы сводится к проверке нерг
венств:
если у > у", гипотеза HQ отвергается,
2	2
если у <	, гипотеза H(J не отвергается,	(4.9)
где х2 вычисляется по формуле (4.5).
20
Рассмотрим другой подход к применению критерия %2 . По-
ложим, в результате расчетов по формуле (4.5) получено расхо-
2	2	2
ждение Xg. Определим вероятность Р(х >Xg/H0) = g,
(g - это не допустимый уровень значимости, а просто вероят-
ность указанного события). Естественно, чем меньше разность
irq — Npj, (i = 1, ... , h ), тем меньше х| , тем лучше согласу-
ются экспериментальные результаты с гипотетическим распре-
делением и тем больше будет вероятность g. Это говорит о том,
2
что с вероятностью g можно получить расхождение X боль-
2
шее, чем Xg, полученное в результате эксперимента [7]. Образ-
2	2
но говоря, вероятность Р(х >Xg/Hp) = g - это тот "запас
прочности", который имеет проверяемая гипотеза при её верно-
сти и при реализации данного эксперимента. Приведенные рас-
суждения позволяют сделать выбор между двумя конкурирую-
щими гипотезами о типе распределения.
Рассмотрим ситуацию, когда гистограмма плотности рас-
пределения вероятности шума (Рис. 2.2) похожа и на плотность
распределения Wn(v) - гипотеза H0N, и на плотность распреде-
ления w^(v) - гипотеза Тогда в отдельности производится
проверка гипотез H0N и Но к- Для каждой процедуры проверки
2	2
гипотез определяются Хм и Хк , рассчитанные по формуле (4.5),
где индексы N и К относятся к расчету теоретических вероят-
ностей pj при верности гипотез H0N и Но к- Пороги %2N и ХцК
определяются по таблице /2 -распределения при одном и том же
уровне значимости q. Положим, Xn - XqN и Х^ ХцК> т.е. ни
гипотеза H0N, ни гипотеза Нок не отвергаются. В этом случае
справедливо поставить вопрос, какой гипотезе отдать предпоч-
тение ? В качестве критерия выбора одной из гипотез примем
21
максимум вероятности Р(у2 > у2 / HQ). В результате имеем пра-
вило принятия решения:
если P(xn > XqN / HoN) > Р(у j^> XqK / Нок) , отвергается гипо-
теза Но к,
если P(xn > XqN / H0N) < Р(хк > XqK > нок), отвергается гипо-
теза H0N,
если P(xn > XqN !Hon) = ₽(Хк > XqKz нок), безразлично, ка-
кую из гипотез отвергнуть.
Рис.4.2
Примечание. Если в таблицах
%2 - распределения не оказалось
того значения, который вычис-
лили, необходимо сделать ли-
нейную	интерполяцию
2
(Рис.4.2). Пусть X* рассчитан-
ное значение меры отклонения,
удовлетворяющее соотноше-
нию X] - X* < Х2. Тогда зна-
чение q* определяется по фор-
муле
Ч* q2
y 2_-у 2
^2 41Z72_v2
а>2
22
5.	Гипотетические законы распределения вероятностей и
оценка параметров распределения
В лабораторной работе производится проверка гипотез о
распределении вероятностей значений шума по нормальному
закону и закону Коши.
5.1.	Пусть проверяется гипотеза H0N- плотность распределе-
ния вероятностей значений шума подчинено нормальному зако-
ну, (Рис.5.1),
wN(v) =
(5-1)
Wn(v)
Рис. 5.1
где vo - математическое ожидание значений шума,
с2 - дисперсия значений шума.
Для проверки гипотезы о нормальном законе распределения
исследуемого шума следует произвести предварительные расче-
ты по экспериментальным данным и построить гистограмму
плотности распределе-
ния.
Оценка вероятности
Pi, оценка среднего зна-
чения отсчетов v0 и
оценка дисперсии значе-
пии отсчетов произ-
водится по методу
моментов [2] и рассчиты-
вается по формулам
N
23
Vj+Vj+1 .
2
(5-2)
(5-3)
где ho - число интервалов квантования.
Теоретическая вероятность Pi того, что случайный процесс
£,(t) находится в интервале (v„ Vj+i) при условии, что предпола-
гаемый закон распределения - нормальный с параметрами, оп-
ределёнными из эксперимента, рассчитывается как
pi=P(vi<^(t)<vi+1/H()N) =
где aj-(v.-v0)7g, К = (v.+] - *0)/о,
(5-4)
Для расчета теоретический вероятности Hi используются
таблицы нормального закона распределения или приближенные
вычисления на ЭВМ. При использовании таблиц следует учесть,
что в таблицах не приведены значения вероятностей для отри-
цательных аргументов. Для избежания ошибок рекомендуется
производить вычисления следующим образом
Pi =P(a<^(t)<b) =
1	I
1
а С
24
	Pil>	если	а < 0 и b < 0,
— <	Pi2>	если	а < 0 и b > 0,
	Pi3>	если	а > 0 и b > 0,
где
Полученные данные удобно свести в таблицу
№	vi+vi+l 2	mi	II	Т5> Z | J	и	Pi	Npj	(nij-Npi)2 Npj
1						
□						
ho						
ho
где N- .
i=l
25
В результате, значение расхождения X между эксперименталь-
ным и гипотетическим распределением рассчитывается как
сумма строк последнего столбца. Решение отвергнуть или не от-
вергнуть гипотезу о нормальности распределения вероятностей
v2
значении шума принимается по критерию л .
5.2.	Пусть проверяется гипотеза H()R- плотность распреде-
ления вероятностей значений шума подчинено закону Коши,
(Рис. 5.2),
wk(v) = —---—------гу >	(5-5)
71 (х2 + (v - ц) j
где р и X параметры распределения Коши.
Функция распределения вероятностей закона Коши описы-
вается формулой
Wk(v)= fwk(x)dx = —+ — arctg^—
J	2	71	Л
—со
(5-6)
Напомним некото-
рые свойства рас-
пределения Коши
[4], [6]. Распреде-
ление Коши опре-
делено на интерва-
ле (-00, оо), оно
симметрично от-
носительно пара-
метра р, являю-
щееся и модой,
и медианой рас-
пределения (медиана = это значение случайной величины vo.5,
удовлетворяющее уравнению W(Vq5) = 0.5)_ Величина X ис-
26
пользуется как характеристика рассеяния . Распределение Коши
не имеет моментов положительного порядка.
Произведем оценку медианы распределения Коши. Весь интер-
вал значений напряжения v разбит на h0 интервалов. Состоя-
тельной оценкой медианы бум [4]
v[h0/2]+l ’
vh0/2, (h/2)+l
если h0 / 2 - дробное,
, если h0/2-целое,
(5-7)
где [•] - означает целую часть дробного числа,
vh0/2,(h0/2)+l - любое число из интервала (vh0/2, v(h0/2)+l )
Ввиду того, что невозможно произвести оценку парамет-
ра X непосредственно, так как не существует моментов распре-
деления Коши, воспользуемся косвенным методом оценки. Для
этого используем меру информации Шеннона и определим эн-
тропию распределения Коши [8]
00
H(V) = - Jwk(v)ln(wk(v))dv = In(4n X) = lnd [нит]. (5.8)
— 00
Величина d в теории оценки погрешностей называется энтро-
пийным интервалом неопределенности распределения. Оценка
энтропии H(V) производится по формуле
h
H(V) = -V Pj ln(Pi / Av),	(5.9)
i=l
где р; - оценка вероятности того, что амплитуда шума принад-
лежит интервалу (v., vi+1),
A v _ интервал дискретизации.
Здесь не обсуждается, что оценка H(v) будет состоятель-
ной, несмещенной, эффективной и достаточной. Приравняв
27
H(V) = H(V) , получим
(5.10)
4 71
Используем полученные значения X и ц для вычисление
теоретической вероятности р, принадлежности случайного про
цесса (шума) интервалу (v,, Vj+i), применив формулу (5.6)
Pi =P(Vj <^(t)<vi+1/H0) = Wk(vi+|)-Wk(vi) =
i v. . - ц v. — u.
= —(arctg 1+L------------arctg——), i = l,...,h-l.	(5.11)
л	X	X
Рассчитаем расхождение %2 (формула (4.5)) между экспери
ментальными значениями т1 и теоретическими N р, npi
верности гипотезы HQK, где Pi рассчитывается по формуле
(5.11) и используем критерий %2 , чтобы отклонить или не от
клонить гипотезу .
VIV
6.	Методические указания.
В данной лабораторной работе применяется плата АЦП-
ЦАП типа L-Card 1250 для автоматизированного ввода инфор-
мации в компьютер. Источником случайного сигнала служит
генератор шума, собранный на диодах КГ402А. Генератор шума
подключается кабелем к компьютеру. С целью освоения студен-
тами методики расчета, час 1ь вычислений основных параметров
случайной последовательности проведено в интерактивном ре-
жиме с участием студента и с использованием пакета программ
LabWindows. Другая часть расчетов , связанная с процедурой
проверки гипотез о типе распределения, проводится студентом
самостоятельно. Имеется возможность записать таблицу данных
28
на дискету или переписать её с экрана дисплея. Самостоятель-
ные расчеты можно производить на ЭВМ или с помощью каль-
кулятора
В интерактивном режиме можно наблюдать:
1.	реализацию случайной последовательности,
2.	оценку автоковариационной последовательности,
3.	оценку спектральной плотности мощности шума.
На панели дисплея имеются (Рис. 6.1):
-	активные элементы - кнопки: «Выборка», «Очистить»,
«Усреднить», «Пуск», «Гистограмма»;
-	пассивные индикаторы -
«Мощность» - мощность шума ,
«Мощность сред.» - усредненная мощность шума ,
«Тлискр» - минимальный интервал дискретизации шума,
«R» - оценка нормированной автоковариационной последо-
вательности;
«N» - номер отсчета дискретного времени;
«Верхи, граница» (верхняя граница амплитуды шума),
«Нижн. граница» (нижняя границы амплитуды шума),
-	активные индикаторы - кнопки:
«dT» (интервал дискретизации),
«Т наблюдения» (время наблюдения),
«Количество инт.» (количество интервалов разбиения h ам-
плитуда шума),
«N» (число отсчётов для автоковариационной последова-
тельности^ .
Значения параметров этих индикаторов могут быть измене-
ны в процессе работы студентом;
-	пассивные индикаторы - кнопки «Help», «Выход».
На Рис, 6 1 изображена панель дисплея. Работая манипуля-
тором «Мышь» можно вводить значения параметров, рассчи-
танные студентом, и нажав те или иные кнопки запускать раз-
личные подпрограммы.
29
При нажатии кнопки «выборка» производится запись в опера-
тивную память выборочных значений исследуемого сигнала с
генератора шума и отображение его в окне «Выборка сигнала».
По оси абсцисс указано число выборочных значений исследуе-
мого шума , по оси ординат - значения шума в вольтах. На пане-
ли также указывается минимальный интервал дискретизации
Тдискр, равный 5 мкс. Число выборочных значений фиксирова-
но и равно 2048 значений шума.
Заданную преподавателем мощность шума можно достичь
изменяя на установке ручкой «Шум» уровень мощности, кото-
рый фиксируется на пассивном индикаторе «Мощность» при
нажатии кнопки «Выборка». Повторным нажатием кнопки «Вы-
борка» можно получить реализации шума, оценок автоковариа-
ционной последовательности и оценок спектральной плотности
мощности шума, наложенные на предыдущие реализации. Этс
позволяет качественно оценить поведение автоковариационной
последовательности и спектральной плотности мощности шума.
Нажав последовательно кнопки «Очистить», «Усреднить»,
получим усредненную оценку автоковариационной последова
тельности и усредненную оценку спектральной плотности мощ
ности шума 20 реализаций шума. Реализации шума отсутствуют.
Смещением вертикальной и горизонтальной линеек в окне
«Автоковариационная функция» можно получить значения ко
ординат точки пересечения по R и N под изображением «Авто
ковариационная функция».
Значениями автоковариационной последовательности, удовле
творяющими условию |R(T)| - 8 5 где 5 - допустимая
30
[Параметры гистограмме:
liiiiiiiiiii
С«борка сигнала
шорреляшгонная Функция
[Спектр Mui ел



31
погрешность, можно пренебречь. Следовательно, задава
ясь допустимой погрешностью 5, по графику усредненной авто
ковариационной последовательности можно найти такое значе
ние Nj, которое удовлетворяет условию |К(т)|-5 для всех зна
чений N > Nj. Интервал корреляции оценивается по формуле
к »
Дт — Тдискр ' мксек,
где Ni - число отсчетов , указываемых в окне « N»,
Тдискр - минимальный интервал дискретизации, обеспе-
чиваемый АЦП и равный 5 мксек.
Рекомендация: показания значений автоковариационно!
последовательности в окне «R» следует округлить до сотых зна
чений.
При нажатии кнопки «Пуск» производится запись в опера
тивную память NH выборочных значений исследуемого сигнала.
При нажатии кнопки «Гистограмма» производится обработ
ка данных и в окне «Блокнот» выдаются значения уровней кван
тования и соответствующие mi _ число независимых точек от
п
счета (независимых событий) за время £xjj в интервале Vj
j=l ‘J
v,+A v. Для анализа используются первые ho чисел, где ho - числ<
интервалов квантования.
Данные, выведенные в окно «Блокнот», можно скопиро
вать в файл , раскрыв функцию «Файл» и использовав функции
«Сохранить как...».
7.	Задание
Преподавателем задаются вероятность а , допустимая по
грешность 6, допустимое расхождение £ , коэффициент ко,,
мощность шума, уровень значимости q.
32
1.	По заданным а и е рассчитать необходимый объём вы-
борочных значений Nj.
2.	Настроить генератор шума так, чтобы он выдавал шум,
мощность которого была бы близка заданной, но не превышаю-
щую, заданной преподавателем. Контроль производить по ин-
дикатору «Мощность».
3.	Произвести накопление до 20 реализаций последователь-
ности шума. Пронаблюдать изменение автоковариационной по-
следовательности. Сделать выводы.
4.	Построить в окне «Авгоковариационная функция» ус-
редненную автоковариационную последовательность. Оценить
значение интервала корреляции Дт. Можно ли считать иссле-
дуемый процесс белым шумом ?
5.	Выбрать интервал дискретизации dT = Д т  к0, рассчитать
время наблюдения Тн = dT- NH.
6.	Очистить окно «Выборка сигнала». Ввести:
-	время наблюдения Тн ,
-	интервал дискретизации .
Нажав кнопку «Пуск» , пронаблюдайте выборку сигнала из
значений в окне «Выборка сигнала» и определите наиболь-
шее и наименьшее значения шума.
7.	Ввести :
-	верхнюю границу (наибольшее значение шума);
-	нижнюю границу (наименьшее значение шума);
ттгтг.-"»	ТГГАТ-» Т.-ПГ-.Т-ГТЛП Л ТТТГГГ 1т.	ZV ГТ^ TV Л"»»- 1 "*2 О /А
-	irAVJiv/ шисросилчдг» ццативсшил и о ир^Д^лал и “ 4-V.
Кнопкой «Гистограмма» запустить программу. После запус-
ка программы на экране дисплея наблюдается таблица уровней
квантования Vj и число событий m ।, пропорциональных време-
ни пребывания шума в интервале v,, vi+] .
8.	Скопировать полученные результаты на дискету или в
тетрадь.
33
8.1	Провести расчеты с целью проверки гипотезы H0N о
нормальном распределении значений шума,
8.2	Провести расчеты с целью проверки гипотезы Нок о
распределении значений шума по закону Коши,
8.3	- Если гипотезы H0N и Н,.., не отклоняются произвести
О К.
расчет вероятностей Р(у2 > y2N / H0N), Р(у2 > у2к / HQK) и вы-
явить, какая из гипотез более предпочтительна.
9.1. На одном и том же графике построить гистограммы
экспериментальной плотности распределения и теоретической
плотности распределения амплитуды шума по нормальному за-
кону.
9.2. На одном и том же графике построить гистограммы
экспериментальной плотности распределения и теоретической
плотности распределения амплитуды шума по закону Коши.
10. Сделать выводы о типе распределения шума и обосно-
вать его. Оформить отчет, представив исходные данные, рассчи-
танные величины, эмпирические величины пт и теоретические
NPj в виде таблицы, гистограммы.
34
Литература
1.	Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. -М. Физматгиз,
1961.
2.	Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И В Курс теории веро-
ятностей и математической статистики.-М. Наука, 1965.
3.	Тихонов В.И. Статистическая радиотехника.-М. Сов. ра-
дио, 1966.
4.	Крамер Г. Математические мезо,цы статистики.- М Мир,
1975.
5.	Кендалл М.Дж., Стьюарт А Статистические выводы и
связи.- Т.2.-М. Наука, 1973.
6.	Справочник по теории вероятностей и математической
с।-чистике. - М. Наука, 1985.
7.	Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая
статистика.- М. Наука, 1979.
8.	Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей ре-
iyj штатов измерений. - Л.: Энергоатомиздат, 1985.