КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЛИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СТАЦИОНАРНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Методическое пособие к лабораторной работе
КАЗАНЬ 1998
Печатается ио решению редакционно-издательского совета
физического факультета
УДК 62137: 62139
Нугманов И.С. Исследование характеристик стационар-
ных
случайных процессов.
В методическом пособии рассмотрены вопросы, связанные
с описанием стационарных случайных процессов, спек-
тральных функций стационарных случайных процессов и
прохождением стационарных случайных процессов через
линейные цепи. Пособие предназначено для использования
в лабораторном практикуме по курсу "Статистическая ра-
диофизика и теория информации”.
Научный редактор - Бойко Б.П., к. ф.-м. н., доцент кафедры
радиофизики.
Рецензент - Плеухов А.Н., к. ф.-м. н., доцент кафедры ра-
диоастрономии.
© Физический факультет Казанского государственного
университета, 1998.
Предлагаемое описание является руководством для не-
скольких лабораторных работ, связанных с исследованием слу-
чайных сигналов. Предполагается, что студент знаком с курсом
«Теория вероятностей». Для напоминания излагаются краткие
сведения о случайных величинах и их свойствах.
1. Случайные величины
Случайной величиной называется такая величина, которая в
результате опыта может принимать то или иное заранее неиз-
вестное значение из множества X. Различают даа вида случай-
ных величин: дискретные н непрерывные. Дискретная случай-
ная величина £ принимает значения Xi из множества X, элемен-
ты которого можно пронумеровать; непрерывная величина £,
принимает любое значение из непрерывного множества X.
Встречаются также случайные величины смешанного типа, ко-
торые наряду с непрерывными значениями принимают и дис-
кретные значения Случайные величины описываются множест-
вом своих значений (дискретных, непрерывных или смешанных)
и распределением вероятностей на этом множестве - функцией
распределения W(x)- вероятностью того, что случайная величи-
на принимает значения, не превышающие х:
W(x)=P(^ < х), —со < х < со .	(1.1)
Функция распределения дискретной случайной величины
представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках
Xi, ха ... (рис. 1а); функция распределения непрерывной случай-
ной величины является непрерывной (рнс.1б), а функция рас-
пределения смешанной величины - кусочно-непрерывной
(рис.1в).
3
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1.	W(-a>) = 0,
2.	W(co) = 1,
3.	W(x) - неубывающая функция, т.е. W(x2) £ W(xi) при
Х2 > Х1-
Если задана функция распределения, вероятность попадания
случайной величины в интервал (xj, х2) вычисляется как
P(xi < $ £ Х2) = W(xz) - W(X1).	(1.2)
Если W(x) - дифференцируемая функция, то можно опреде-
лить плотность распределения вероятности. w(x) равенством
dW(x)
*W=-5t2 	(>-3)
Функция распределения W(x) н плотность распределения
w(x) непрерывной случайной величины связаны соотношением
W(x) = jw(x)dx.	(1.4)
-со
Свойства плотности распределения вероятности:
1. w(x)^0,	(1.5)
03
2. jw(x)dх =1 - условие нормировки.	(1.6)
-со
Размерность w(xi) равна [1/х].
Функцию Дх), обладающую свойствами (1.5) и (1.6), можно
принять за плотность распределения соответствующей величи-
ны.
Для дискретной случайной величины принимающей зна-
чения Xi, Х2, ..., хм из множества X вводится вероятность pi ~
p(xj - Р(£ = Xi) того, что случайная велйчнна £ принимает зна-
чение Xi . Функция распределения и условие нормировки для
дискретной случайной величины имеют вид
N
W(X)= Z рр Ер-1.
Х-£ X 1	1=1 1
Введем формально понятие плотности, распределения детерми-
4
нироеанной величины. Для этого используем симметричную 8-
фуикцию, которая вводится через интегральное представление
ь ff(x)£(x-xn)dx = а	и	0	приг^<а или Xq >b, |f(xQ) при xq - а или xQ--b, ЦХф) при a<Xg<b.
(1.7)
где Цх) - непрерывная функция на интервале (а,Ь).
5-функция обладает свойствами
0 1. 8(х —х0) —’ 00 1.	при X Хо , (1.8) при X = х0,
2 Js(x-x0)dx = 1.	(1.9)
—со
Сравнивая (1.5), (1.6) н (1.8), (1.9) видим, что 8-функцня
формально удовлетворяет понятию плотности распределения в
точке х ~ хь. Т1оэтому для детерминированной величины хь за-
пишем плотность распределения как
w(x)= 8(х - Хб).	(1.10)
Из теории вероятности известно, что случайная величина ?
описывается также своими начальными и центральными мо-
ментами. Начальный момент к-го порадка для непрерывной и
дискретной случайной величины имеет вид соответственно
“	н
mk =M[^k]= Jxk w(x)dx; mk = м[$к] = £хк р,, (1.11)
-co
где M[ • ] - оператор усреднения для вычисления моментов.
На практике наиболее часто используется начальный мо-
мент первого порядка mi, называемый математическим ожи-
данием. , ее размерность - [х].
Если все значения случайной величины § смещаются на ве-
о
личину Ш1 ($=£-10!) и вычисляются моменты, то получим
центральные моменты. Центральные моменты к-го порадка р»
. 5
для непрерывной н дискретной случайной величины принимают
вид соответственно
’ок"
f (х - т1 )к w(x) dx, = М £ = 2 ('
N
^-пц
(1.12)
Центральный момент второго порядка называется дисперси-
ей случайной величины £ и обозначается как р.2= о2 = D[£ ], ее
размерность - [х4], D[*J - оператор вычисления дисперсии.
Дисперсия характеризует рассеивание случайной величины
около ее математического ожидания. Для о иногда применяют
термин “стандартное отклонение”.
Приведем некоторые свойства первого н второго начальных
моментов, а также дисперсии, которые следуют непосредствен-
но из их определений :
если с и Ь - не случайные величины,
М[с] = с,	м[с £ + b] - с мЫ-ьЬ,
м[<, + ?г] = мЫ+м[4г],
м
D[c] = 0 ,
= 0
Ь~т!
О
вИ=м[^]-(м[^2=т2-т^
В общем случае случайные величины могут быть многомер-
ными ( например, вектор ) и задаются системой случайных ве-
личин ...» Sm- Положим, случайная величина принимает
(дискретные или непрерывные) значения {xi} из множества Xi ,
случайная величина £2 принимает значения {х2} из множества
Х2 и т.д. Множества Xi, Хг, ... в частности могут совпадать. Сис-
тема случайных величин ..., описывается совместной
функцией распределения
<Х],<2 <х2,...Лт sxm) - (1.13)
вероятностью того, что случайные величины ..., £,т не пре-
высят хь кг,..., хга соответственно. Если случайные величины
.6
Si/,2, ---> непрерывны, то существует совместная плотность
распределения
w(xnx2,...,xm) =
dfa)W(x1>x2,...,xm)
dxt dx2...dxm
(1.14)
Многомерные плотность распределения и функция распре-
деления связаны также интегральным соотношением
К, X, хк
W(xlsx2,...,xa) = J J—Jw(z1,z2,...,zm)dz1dz2...dza. (1.15)
Если совокупность случайных величин £1, £2,...» дискрет-
на, то существует совместная вероятность
р(хj,х2,...,хю) ~ Р(^5 =х1,$2 =х2,...Лж = хш). (1-16)
Функция распределения совокупности дискретных случай-
ных величин £1, %>, имеет вид
W(x1?x2,...,xa) = 2 2 — Zp(xi,x25 -,xm)-	(1-17)
Кц&с, Кцйх,
Приведем некоторые свойства многомерных функции рас-
пределения и плотности распределения:
1.	W(xi,...,xk_i,~<o,xk+1,...xjn) = 0, для Vk,
2.	W(w,...,<») = 1 - условие нормировки,
3.	W(x],...,xki,...,xm)^W(xI,...,xkj,...,xa) если хь <; хч,
4.	W(x1,...,xk_1,ao,xk+1 ,...хи) = W(Xj,...,xk_1 ,xk+1 ,...ха), для Vk ,
5.	W(xt,x2 ,...,xirn) — W(Xj) W(x2 /xj)—W(xm /х^-Л^х,)-
согласно теореме умножения совместная вероятность
W(Xj, х2,..., хю ) равна произведению условных вероятностей
W(x ,/х и, х 12, ...,х i), отражающих вероятностную зависи-
мость между случайными величинами н ^1 и обозна-
чающих вероятность того, что случайная величина ие превы-
сит к,при условии, что хм, хь2, ...,х 1 уже известны; если случай-
ные величины ..., % - независимы, то W(x /хм, х^, ...,Xi) =
W(xj), откуда
6.	W(xj,х2 ,...,хш) = W(xt) W(x2)-W(xra).
7
Подобными свойствами обладают и многомерные плотно-
сти распределения
1.	w(x1,x2,...,xm)^0,
СО 00 со
2	J f •” J w(zi,Z2,...,zm) dzi dz2... dzra = 1,
-CO-CO -00
3-	w(x1,x2,...,xM)=w(x1)w(x2/x1)-w(xm/xw_I,...,x2,x1),
4.	w(xj,x2 ,...,xm) = w(x1)w(x2)-w(xm) .
Приведенные формулы позволяют вычислить моменты каж-
дой случайной величины.
На практике часто пользуются усредненными характеристи-
ками, отражающими связь между случайными величинами. Та-
кими характеристиками являются корреляционный и ковариа-
ционный моменты.
Ковариационный момент - это второй смешанный началь-
ный момент
СО со
га11 =м[^^]= J fxixj w(xi,xj)dxidxj -
-со-со
для непрерывных случайных величии &, &,
ти = M[^‘^]r=2LExIxJ р(х15х^ -
* j
(1.18)
(1.19)
Йдязддакрнгжви>сщ1чаййБЫ®еш1ИПН^^;
Корреляционный момент - это второй смешанный цен-
тральный момент
Ни
-тй)(х} -m51) w(xi>Xj) dXj dx, -
(1.20)
для непрерывных случайных величии &, ,
Ни=М =ZZ(xi-mii)(xj-mji)P(Xi»Xj) - (1-21)
L	‘ i
для дискретных случайных величин £j,
где гид, mji-математические ожидания случайных величин
8
(1.22)
Связь между корреляционным и ковариационным момента-
ми устанавливается соотношением
 О О “1 I
М[?^=м|
Момент jULn характеризует среднюю статистическую связь
между случайными величинами и . Если % и % статистиче-
ски независимы, то, как следует из (1.16) и (1.17), gn= 0. Обрат-
ное не всегда верно: из р.ц=0 не обязательно следует стати-
стическая независимость. Это понятно, так как два первых мо-
мента не могут полностью характеризовать распределение
(исключение составляет распределение Гаусса).
Корреляционные моменты образуют матрицу, диагональные
элементы которой представляют дисперсии случайных величин
(i = l,2„..да):
м[?1?1]=М^г]=с[?,] =
Корреляционный момент имеет размерность произведения
и поэтому количественная оценка статистической связи за-
висит от выбора единиц измерения. На практике это неудобно и
поэтому используется безразмерная величина
 о о *
Pij =
" о *
of.
(1.23)
(1.24)
называемая коэффициентом корреляции между случайными ве-
личинами Коэффициенты корреляции образуют корреля-
ционную матрицу
Р =
Р21
Р12 ” Plm
1	P2tn
(1.25)
kPml
и обладают свойствами:
Pij = Pji >
Рт2 - 1
I P>j I 1 •
9
Коэффициент корреляции р, j = ±1, если значения одной
случайной величины однозначно определяют значения другой
случайной величины. В частности, если зависимость между и
- линейная (Рис. 2а), все значения х$ находятся на прямой.
yj	yj	Если одному и тому
,	•	;	;	же	значению Xi соответст-
вует некоторое множест-
:	;	;	;	;	во	значений х, (Рнс.2б),
х. *	.	.1	. д. то	коэффициент корреля-
Рис,2а	Рис 2а	цни -1 < р< j < 1. Коэффи-
циент корреляции р, j = О,
если корреляционный момент равен нулю (корреляция между
случайными величинами отсутствует, но возможна их вероятно-
стная зависимость).
Для решения большого числа практических задач достаточ-
но ограничиться определением моментов первых двух порядков,
т.е. среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции.
Если эти моменты найдены, то говорят, что статистические
свойства случайных величин определены в рамках корреляци-
онной теории.
2. Случайные процессы
Случайным процессом £,(t) называется такая функция вре-
мени, которая в каждый фиксированный момент времени явля-
ется случайной величиной.
Случайный процесс во времени характеризуется множест-
вом реализаций. Но в каждом опыте, который должен длиться
достаточно большое время (теоретически бесконечно), наблю-
дается одна реализация случайного процесса
Случайные процессы классифицируются по пространствен-
но-временным и по вероятностным характеристикам. В про-
странстве (как и случайные величины) значения случайного
процесса могут быть непрерывными или дискретными. Отсчеты
во времени случайного процесса также могут быть дискретны-
ми или непрерывными. Соответственно, существует четыре ти-
10
па случайного процесса. Случайный процесс с дискретным вре-
менем называется случайной последовательностью или времен-
ным рядом.
По вероятностным характеристикам случайные процессы под-
разделяются на стационарные и нестационарные процессы.
Рассмотрим процесс, когда и пространство значений и время -
непрерывны. Ввиду того, что случайный процесс в любой фик-
сированный момент времени ti представляет собой случайную
величину то все вероятностные характеристики случайных
величин справедливы н для отсчетов случайного процесса. Осо-
бенностью одномерной функции распределения W(xi,tj) и
плотности распределения w(xi,ti) случайного процесса, матема-
тического ожидания и дисперсии является их зависимость от
времени:
dW(x.,t.)
W(x1,t1)=P(§(t1)^x1), wfrt,tt)=	(2.1)
co
m(t,) = M[?(ti)] = Jxj w(Xj,tj)dxj ,
(2-2)
a2(t1) = D[^(t1)] = M[(|(t1))2
CO
= f(xi-m(ti))2w(x1,t1)dxi.
-co
Отсчеты случайного процесса £(t) в моменты времени
определяют систему случайных величин £(ti), §(ta), ... 4( tm), ко-
торая описывается многомерной функцией распределения н
плотностью распределения
W(x1,...,xM,t1,...,tIn)=P(^(t1)^x1,...^(tm)^xm), (2.4)
w(xI,...,xm,t1,...,tm) =
dtm)W(Xi,...,xm,ti,...,tm)
dx^.dx^
(2.5)
Количество точек отсчета m в этих записях ие определено. Чем
больше т, тем полнее описывается случайный процесс.
Точно также, как и при описании случайных величин, веро-
ятностная зависимость между значениями x(ti) и x(tj) случайно-
11
го процесса 2,(t) в произвольные моменты времени ti и t2 содер-
жится в условных функциях распределения W(jQ,t2/xi,ti) и услов-
ных плотностях распределения w(x2,t2/xi,tj). Усредненная веро-
ятностная зависимость между значениями x(ti) н x(t2) устанав-
ливается начальным н центральным моментами случайных ве-
личин ^(tj) и ij(t2), называемыми автоковариационной и авто-
корреляционной функциями, так как случайные величины £(ti) и
£(t2) определяются одним и тем же процессом £(t):
со со
в?[м2]= f fxIx2w(x1,x2,t1,t2)dx1dx2 ,	(2.6)
-00-00
со 00
в$0[М2] = f f(»>-m(ti))(x2-m(t2)) w(x1,x2>ti,t2)dx1dx2
-СО-СО
(2.7)
Интервал времени (tj, t2) может изменяться от - до а>. Как
видно из формул (2.6), (2.7), для описания ковариационной и
корреляционной функций достаточно знать двумерные функ-
ции распределения и плотности распределения. Из сравнения
формул (1.18), (1.20) и (2.6), (2.7) видна связь между ковариа-
ционным моментом и ковариационной функцией, между корре-
ляционным моментом и корреляционной функцией.
Автоковариационная и автокорреляционная функции
B$[ti, t2] и t2] являются непрерывными функциями време-
ни ti н t2 и обладают свойствами:
1. B^[tj,t2] = Bjt2,tjj, B^o^tj,t2] = B^0[t2,tjj,	(2.8)
2-BUti’t2] = B?[ti32]-m(tl)m(t2).	(2.9)
Размерность Bgj[ti,t2] равна квадрату размерности измеряе-
мой величины: [х2]. Эти свойства вытекают из определений ав-
токовариационной и автокорреляционной функций.
Для дискретных случайных процессов автоковариационная
и автокорреляционная функции B^ti, t2] и B$[ti, t2] выражаются
через соответствующие суммы:
12
BJtl>t2]=ZZXiXjP(Xi»Xj>tl>t2) >
i j
в5о[ц,ц]=ЕЕ(х»-тС1))(х1 -ю(42))р(х1=х]>‘1Л2) ,
i 3
где p(Xi,Xj,ti,t2) - вероятность того, что случайный процесс
£(t) в произвольные моменты времени tin находится в состоя-
ниях х. н х,, соответственно.
Статистические свойства двух случайных процессов ^i(t) и
£z(t), рассматриваемых совместно, определяются функцией рас-
пределения вида
W(Xj ,...,xm, t , у, ,...,y n ,tt ,...,tn) —
=p&ao£хЛ; ^2(t;) -s У1....	(*‘Л) ^ya)-
Из этой формулы можно получить одномерные и многомер-
ные функции распределения для процессов ^i(t) и £г(0 в от-
дельности.
Если значения процессов ^i(t) и ^(t) непрерывны в про-
странстве, вводится плотность распределения
_ ^"W(X1,xw, t,, У1,...,У„Л,—Л)
^Г-^т^УГ-^Ут
Усредненную вероятностную связь между процессами ^i(t) и
§з(0 описывает взаимная корреляционная функция
в?. 4, о[ *1 > Ч] = J J (х -	))(У - гас (Ч))	»*2) dxdy
Ее можно интерпретировать как меру статистической зави-
симости процессов ^i(t) и •
13
3.	Стационарные случайные процессы
Как указывалось выше, по вероятностным характеристикам
случайные процессы делятся на два класса: стационарные и не-
стационарные процессы. Стационарные процессы в свою оче-
редь подразделяются на процессы стационарные в узком смысле
(строго стационарные) н широком смысле.
Случайный процесс £(t) называется стационарным в узком
смысле, если функция распределения и плотность распределе-
ния инвариантны относительно сдвига во времени, т.е. они не
меняются при любом сдвиге всей группы точек ..,tra вдоль
оси времени на одну и ту же величину to :
W(x1,...,xm,t1,...,tm) = W(x1,...,xm,t1 + t0,...,tra +t0), (3.1)
w(xI,...,xM,tl,...,tm) = w(xI,...,xra,t1+t0,...,tm+t0). (3.2)
Следствием определения стационарности в узком смысле явля-
ется :
-независимость одномерной функции распределения и плот-
ности распределения от времени
W(xbti)=W(xi), w(xj,ti)=w(xi),	(3.3)
-	двумерная функция распределения и плотность распреде-
ления зависят от разности моментов времени ti, t2
W(Xi,ti, X2,t2)=W(XlPO, t2- ti),
w(xbti, X2,t2)=w(XiPfe, t2- ti),	(3.4)
-	трехмерная плотность распределения запишется как
w(xbti, Х2Л2, X3,t3)=w(Xi,X3, t2- tb t3- Ц).
В свою очередь соотношения (3.3), (3.4) позволяют записать
— Ве t2 — tj)=В^(^;.
Случайный процесс ц(1) называется стационарным в широком
смысле, если его математическое ожидание и дисперсия не за-
висят от времени, а автокорреляционная функция зависит толь-
ко от разности моментов времени t2-tf=T, т.е. соотношения (3.5)
определяют процессы, стационарные в широком смысле. Из
стационарности процессов в узком смысле следует стационар-
ность в широком, но не всегда наоборот.
14
Корреляционная функция стационарного случайного про-
цесса В^т) обладает свойствами:
Мг) = В^(-т),	В?о(0) =	= D[$(t)],
Дня процессов с конечной энергией
I B^oCOI-i-kd—^ 0.
При описании стацио-
нарного случайного про-
цесса с помощью числовых
характеристик вводится
понятие интервала корре-
ляции. Под интервалом
корреляции понимается
интервал времени Ат , в
пределах которого нельзя
пренебречь корреляцион-
ными связями между зна-
чениями процесса. Суще-
ствуют различные критерии для определения интервала корре-
ляции. Одним из критериев является равенство площадей под
кривой корреляционной функции и прямоугольника с основа-
нием 2-Ат и высотой, равной В§>(0), (Рис. 3.1):
Ат =
|в?0(т)<1т
"Тв^оГ
(3-5)
Другие определения интервала корреляции можно найти в
специальной литературе.
4.	Эргодические процессы
Случайный процесс s(t) называется эргодическим, если лю-
бая его вероятностная характерист ика, полученная усреднением
по времени одной единственной реализации за достаточно
большой промежуток времени, с вероятностью сколь угодно
близкой к единице равна соответствующей характеристике, по-
лученной усреднением по множеству.
15
Среднее по времени случайного процесса §(t) для математи-
ческого ожидания равно
,	.	1 Т?	1 W-1
<«‘>>=fef	(«<*)>= Ita -£?“(»<). (41)
Т-МО 1 Ji (2	m-м» щ ”
где - реализация случайного процесса £(t) для непре-
рывного и дискретного времени.
Среднее по времени для определения дисперсии случайного
процесса £(t) в случае непрерывного и дискретного времени
равно
{«“»(*>- (ад))2 )= 1ш4/(?мю-(ад))г а,
{«"(t)-(«t)))!)= fci ^Е(?“(»,)-(ад)))2.	(4.2)
Среднее по времени для определения автокорреляционной
функции случайного процесса £(t) в случае непрерывного и
дискретного времени равно
(«“ w - (ад)) «"а+1)- (?Ш=
Т/2
=й* v й?" w- (ад)><*+’> - <ад)><•» ’
1 -Т/2
(«“’(tj- («t)))	+т,) - <?(»)>)> =
1 “-1	(4.3)
=MmSs^Ci)-^))) «“(t,+t,)-(ад))
Процедуру определения среднего по времени для моментов
более высокого порядка можно было бы продолжить, но в этом
уже нет необходимости, т.к. мы работаем в рамках корреляци-
онной теории. Из приведенных формул (4.1)-(4.3) видно, что
средние по времени не зависят от времени t и являются случай-
ными величинами. Следовательно, для того, чтобы сопоставить
средине по времени и средние по ансамблю, необходимо рас-
сматривать случайные процессы, стационарные хотя бы в широ-
ком смысле. Из определения эргодических процессов следует,
16
что средние по времени сходятся по вероятности к средним по
ансамблю Критерием эргодичности случайного процесса по
отношению к параметру • является равенство нулю дисперсии
среднего по времени:
!>{(•)]= О,	(4.4)
где (•) - среднее по времени для измеряемого параметра •.
Для среднего (?(t)> критерием эргодичности случайного
процесса является
|В?(т)к-мо->0.	(4.5)
На практике соотношение (4.5) обычно выполняется.
5.	Спектр случайного процесса
Стационарный эргодический процесс является хорошей мо-
делью многих физических явлений, например, шумов в элек-
тронных приборах. Для стационарных процессов возможен
спектральный подход к описанию характеристик случайного
процесса Связь между временными и спектральными характе-
ристиками устанавливается парой преобразований Вииера-
Хннчина.
0(Х)
Положим зафиксирована к-я реализация $ (t) стационар-
ного случайного процесса с нулевым средним значением на
интервале (-Т/2, Т/2), (Рис. 5.1). Определим спектральную
функцию Fr(j<o) и мощность Рт(со) реализации, приходящуюся
на единицу полосы частот 1/Т.
7 о
FT(jco) = J £(t) e"JC” dt, - «> < co < «о ,
-T/2
(5.1)
PT(«) = ^FT(j«)|2.	(5.2)’
Усредним мощность Рт(со) по всем реали-
ст
зациям случайного процесса £ (t), ис-
17
пользуя свойство линейности операторов математического
ожидания М[ • ] и интегрирования:
TZ2 TO
1 е г	Го	о "
= - J J М $(ЦН(12) e-Jffl,‘ е,ш1‘ |&dt2 =
1 -то-то L	J
. те те
= т J J®o4tO»»^') е 1 dtjdt2
1 -ТО-ТО
Под интегралом имеем корреляционную функцию Во^гОаДг)
определенную на интервале (-Т/2, Т/2). Для стационарного про-
цесса справедливо Bo^Oi Л) = Bo^r(t2 - ti).
Предел функции М[Рт(со)] при Т-» ад называется спек-
тральной плотностью мощности F^(<o) стационарного случай-
о
ного процесса ^(t), характеризует распределение мощности по
частотам и имеет размерность [Вт/Гц] :
‘ j та та
F4(«)= limM[PT(<y]-lira - J fB0<r(t2
-tJe-^’-Mt, dt2
Обратное преобразование Фурье от F?(co) позволяет найти кор-
реляционную функцию стационарного случайного процесса:
В?0(т) = ~ j F?(o)eJ<otdco. -ад<т<ад, (5.3)
—со
Г оизведя замену переменных t2 +t, = 2t0 , t2 - tj = т ,
получим
Fjcob |в<0(т)е->*йт,	(5.4)
-СО
Выражения (5.3) и (5.4) являются парой преобразований
Фурье и называются преобразованием Винера-Хинчина Спек-
тральная плотность мощности F^(<o) является энергетической
характеристикой стационарного случайного процесса
18
энергетической характеристикой стационарного случайного
процесса.
Свойства спектральной плотности мощное к.
1.	F^co) ;> 0,	-со < to < со,
2.	F^(co) = F^(-co),	-со < со < со,
3.	Fo$(<o) = 2 F^co),	0 со < со.
Спектральная плотность мощности Ь’о>(т) онясктяет пяс-
пределение мощности по положительным частотам. Полная
мощность случайного процесса определяется как
JfJcoHco.
—СО
Случайные процессы подразделяются ня узкпплплсиые и
широкополосные. Случ;айный процесс £(t) называется узкопо-
лосным, если его энергия сосредоточена вблизи некоторой час-
тоты соо (Рис. 5.2). Все остальные процессы называются Ишро-
кополосными. Как известно, ширина спектра для случайных
процессов вводится различными способами.
В частности, критерием определения ширины, полосы. kl«zz ЯВЛлг-
ется равенство площади под кривой F^(co), х^рактернзующой
энергию случайного процесса, и площади прямоугольника с ос-
нованием 2-До и высотой, равной наибольшему зиачениюЫсом.
19
где coo - частота, на которой функция F^(co) принимает наиболь-
шее значение (Рис. 5.3):
СО
[EMdo>
Л -со	«М ' '	,е
Д со = ——7—= — / \ •
2Ft(c%) FjoM
После введения ширины спектра Асо можно Да_ Ь  . -
определение узкополосного процесса:
случайный процесс £(t) называется узкополосным,, если
Юо» Дю.	(З.б)
Как следствие (5.1) и (5.2), ширина спектра До> и потерпел
корреляции Ат связаны между собой, причем *а?С ПрОиЗВеДеННе
есть величина постоянная:
со
АЛ	,е
&<f)-lXX =—-	,--Г---- - „ z ..	•/
2F?(co0)	2F?(w0)
Учитывая определения узкополосного процесса можно по-
казать, что корреляционная функция узкополосного процесса
примет вид
В?о (т) = а(т ) Cos (со0 т + ф(т)),	(5.Й)
где огибающая а(т) и фаза <р(т) зависят от вида спектраль-
ной плотности мощности Fg(co):
а(х) - ^/(ас(х))2 1 v^v))2 >	/С Л\ V
ас (т) = — f Fo? (й)0 - v) Cos(vr) d у , —СО	1А\ v • ~ ~ /
1 7 а8(т) = -- |Fot(co0- v)Sin(vT)dv, 27С-ОО	ism Л	Z
М*) ^)-Агс‘Вас(г)-	/С 1^4
20
ас(т)«
Для спектральной плотности F^co), симметричной отпоен
тельно частоты ±<Оо, имеем
1 ш
f F04 (®о - v) Cos(vr) d v, а, (т) « О, <р(т) ~ 0. (5.13)
-со
Наиболее распространенным примерим, когда случайный
процесс £(t) будет всегда широкополосным, является
процесса в виде белого шума. Случайный процесс пазьюа
ется белым шумом, если его спектральная плотности мощности
постоянна на всех частотах:
N
(со) =-^~,	— оо < со <оо.	(5.14)
Белый шум является идеализированной моделью случай
ного процесса, который хоть и не реализуется, но позволяет по-
лучать практически полезные результаты. Корреляционная
функция белого шума, согласно (5.2), определяется как
N
В.(т)=-~б(т), -оо<т<оо.	(5.15)
4	2
Из (5.15) видно, что любые два значения реализации белого
шума (сколь угодно близкие по времени) не коррелированы.
6. Прохождение случайного процесса через
линейные устройства
Линейные устройства описываются линейными уравнения-
ми. Отклик линейного устройства на какое-либо воздействие, в
том числе и случайное, можно искать:
1.	решая дифференциальные уравнения с известными на-
чальными условиями;
2.	с помощью импульсной характеристики устройства;
3.	с помощью частотной характеристики устройства
Рассмотрим влияние импульсной и частотной характери-
стик на корреляционную функцию и спектральную плотность
мощности сигнала, на выходе устройства
21
Из классической радиотехники известно, что сигнал s(t) н
его спектральная функция Fs(j<o) связаны парой преобразования
Фурье:
со
Fa(j<®) = Js(t)exp(-j®t)dt, -со<ю<<й.	(6.1)
-СО
1 ю
s(t) = — [ Fs(jco) exp(jcot) d®,	< t < эд .
(6.2)
Спектральная функция Fs(j<£>) - комплексная функция. В
формуле (6.2) перед интегралом должен стоять коэффициент
пропорциональности, приводящий интеграл к единицам изме-
рения сигнала Например, если s(t) [В], то коэффициент должен
иметь величину 1[В/Гц]. Если на вход устройства с частотной
характеристикой K(jco) поступает сигнал со спектральной
функцией Fs(j<o), спектральная функция сигнала на выходе уст-
ройства равна
FEBHK(j«)=FE(»K(j®).	(6.3)
Импульсная характеристика h(t) является реакцией устрой-
ства, на вход которого подается 5-функция. Известно, что им-
пульсная характеристика h(t) является преобразованием Фурье
частотной характеристики K(jco) устройства:
со
K(jco) = Jh(t) exp(-jcot) dt,	-a><co<a>. (6.4)
1 “
h(t)= — (K(jco) exp(jcot) dco, -axt<co. (6.5)
271
Дпя линейных устройств выполняется равенство (интеграл
Дюамеля)
8ВЫХ (0 = J S№ (Х) h(t “ t) dT .	(6.6)
-ср
Устройство будет физически реализуемым, если выполняет-
ся принцип причинности - сигнал на выходе устройства не мо-
жет появиться раньше воздействия сигнала на вход:
22
> о
= 0
h(t-T) =
t т,	Устройство будет устойчивым
t <	(не будет самовозбуждаться),
если выполняется условие
со
f|h(t)|dt <со
—to
Условия реализуемости и устойчивости также должны вы-
полняться и при обработке случайных сигналов.
Положим, на вход устройства поступает стационарный слу-
0
чайный процесс §(t). Определим корреляционную функцию и
спектральную плотность мощности случайного процесса r](t) на
выходе устройства Согласно определению корреляционной
функции н формуле (6.6) произведем преобразования:
= М f 4(z1)-h(t1--c1)-h(t2-Ta)dTJdTa
2-T2)dTl <1Т2 
0
Учитывая, что £ (t) - стационарный процесс, получим
«I
ВЧ(11Л2)= f jXo(x2 “ xt)'^(4“ xi)’h(t2_ хг) dxi dx2  <2 * * * 6-7)
-CO-CO
В общем случае Bn(tl,t2) зависит от моментов времени h, t2
и утверждать, что процесс T|(t) является стационарным, было бы
о
ие верно. Положим, случайный процесс § (t) есть белый шум со
спектральной плотностью мощности Nq/2. Подставим значение
В4о(х2 ~xi) в (6.7):
1 т эд
В„ (t, ,t2) = JJ-f- - 5(т2 - г,) h(t1 - т t)  h(t2 - т2 ) dz. dx2 - (6.8)
23
l2
*1
tl
Рис. 6.1
Возможны два случая: ti > tz или t2 ti.
Достаточно проанализировать один из них.
Положим tz £ ti (Рис. 6.1). Так как t2 ti,
проинтегрируем сначала по тз.
В этом случае 0 Ti ti <. t2 и , использовав
свойства 6-функции (1.7), (1.8), получим
Bn(t,,t2) = ф- }h(t2 - Ь(Ц -т,) (К - (6.9)
—со
Как видно из формулы (6.9), корреляционная функция шума на
выходе устройства полностью определяется импульсной харак-
теристикой устройства и спектральной плотностью шума на
входе. В общем случае шум £(i) на выходе будет нестационар-
ным. Спектральная плотность мощности шума на выходе уст-
ройства вычисляется при помощи (5.2).
Рассмотрим применение частотной характеристики устрой-
ства для определения спектральной плотности мощности шума
на выходе устройства Для этого используем корреляционную
функцию шума (6.7) на выходе устройства и произведем замену
переменных
Tl-tl=61 , T2-t2=02 > ti=t2-T -
В результате будем иметь
Bn(t2 ~T,t2)= f jBt0(e1-e2 + T) h(e1) h(e2)de1 dev2.(6.io)
о 0
Преобразование Винера-Хинчнна корреляционной функции
Си
Fn(<M2) = f Bn(t2 -r,t2) exp(-j<OT) dx =
-to
CO ~"it/
"If {в$о(61 ~62+t)• 11(6^-11(02)exp(-jon) d61 d02 dr .
-oo О 0
24
После подстановки	получим
РП(®Л2) =
со t, -tt,
= j j jB?o(t) h(61)-h(e2)exp(-jco(t-ei +e2))deI de2 dr.
-00 0 0
Частотная характеристика применяется для исследования
случайного процесса на выходе системы в стационарном режи-
ме, т.е. когда все переходные процессы закончены. Это значит
момент времени t2 можно принять за бесконечность. Тогда
имеем
Fn(w) = F?(fo).K(jco)K(-jw).	(6.11)
(Сравните (6.11) и (6.3).)
Применим полученные формулы для анализа радиотехниче-
ских звеньев.
1. Интегрирующая цепь. Дифференциальное уравнение,
описывающее прохождение сигнала через интегрирующую цепь
(Рис. 6.2 ), имеет вид
du,(t)	1
—— + au2(t) = aut(t),	a = —	(6.12)
Решением уравнения (6.12) ,
когда Ui(t)=S(t) н начальное усло-
вие U2(0)=0 , будет импульсная ха-
рактеристика
h(t) = ae at . (6.13)
Частотная характеристика
равна
K(jco) = -—г-7777
7 1+jroRC
(6.14)
Если на вход интегрирующей цепи подать стационарный
о
случайный сигнал £,(t) с математическим ожиданием, равным
нулю, и спектральной плотностью мощности F^(co) =No/2, корре-
25
ляционная функция В^Дг) выходного сигнала, согласно (6.7),
(6.13), будет равна
Bn(t, »t2) ==
Bn(t, Л + г) = ^е^ (1- е~2а,‘) , t2 - tt = т > О
Л~*1 ~'х
(6.15)
Объединяя обе эти формулы, получим
Bn(t,t+T) = ^-e~aW(i-e~2at
Как видно, корреляционная функция Bri(t,t+r) выходного
сигнала зависит от текущего времени t. С увеличением времени
t эта зависимость уменьшается и имеем
1ШВ,(У+т)=В Й=^-"Г« .	(6.16)
t-i<»	1	*	ZJ.
Согласно свойствам корреляционной функции, дисперсия
(мощность) процесса на выходе интегрирующей цепочки равна
Вч(0) = ЛГ-	<617)
Спектральная плотность мощности Ft)(<o) выходного сигна-
ла, согласно (6.11), (6.14), равна
р’'<ю)=2Гж^йт'
(6.18)
2. Колебательный контур.
Рис. 6.3
Дифференциальное уравне-
ние, описывающее напряже-
ние на емкости в параллель-
ном колебательном контуре
(Рис. 6.3), имеет вид
26
2
а-
Cos <or t-------Sm со. t ,
<£> ’
С	/
тор - а2
d2Uc(t) dUc(t) 2 z V 1 d’(0	1	2	1
dt* +2<z dt “+й% UcW" C dt ’ a~ 2RC’ ^"LC
Импульсная характеристика принимает значение
е'с
h(t)= —
Vx
(619)
Если контур высокодобротный (а « со0), то формула (6.19)
упрощается:
“OCrt
е
h(t)» ——Cosco0t , 0^t<oo.	(6.20)
Vx
Используя преобразование Фурье и формулу (6.20), вычис-
лим частотную характеристику контура
кг х_______________* j ______________
и<В; С (о.—j(co0 — «>))(«. +j(co0 'со)) ‘
Квадрат модуля частотной характеристики имеет вид
j^. .<2	а2+со2
|K(jco
С2 (а4 + ад4 +со4 +2аге>0 + 2 а2 со2 - 2 со2 со2) ’
(6-21)
По известной корреляционной функции шума, воздейст-
вующей на контур, по формулам (6.7) н (6.20) можно вычислить
корреляционную функцию напряжения на конденсаторе конту-
ра Если воздействует белый шум, корреляционная функция на-
пряжения на конденсаторе (после подстановки ЬНг-т) равна
Nc
В.(М2) = “
Ио + 2 й2 ) Cos(a?0 т) - or a>0Sin (д>0 г) ^|t|
4 йС2 (<в2 + й2)
~	+ й2) Cos(<b0t) + й2 Cos(<»0(212 -т)) -
4 а С (ю0 + й )
- ао0 Sin(®0(212 - г))]}.	(6.22)
В стационарном режиме (ta -> <») имеем
_ No (<og+2a2)Cos(co0T)- aco0Sin(co0T)
2	4 aC2 (cOq + a2)
27
e~®w . (6.23)
Для высокодобротного контура формула (6.23) упрощается
_ (
’	2 4аС2
Спектральная плот ность мощности шума на выходе контура
согласно формуле (6.11) ра?на
F , *________________(<о)(а2 W)__________________
?	C2i[a4 + «>o + <о4 +2a2Wg + 2а2о2 -2со2е>о)
(6.25)
Для высокодобротного контура формула (6.25) упрощается
F™ (со) ®2
F, (со) «-5----5--5------5—т~ , -00 < СО < 00 .
? С2 ((coq - со2)2 ч-2а2со2)
(6.26)
Полученные выше формулы позволяют исследовать прохож-
дение сигналов через радиотехнические цепи.
Литература
1.	Левин Б.Р. Теоретические основы статистической
радиотехники. -М: Радио и связь, 1989.
2.	Тихонов В.И. Статистическая радиотехника-М.:
Радио и связь, 1982.
3.	Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы.-
М.: Радио и связь, 1986.
4.	Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. -М.:
Высшая школа, 1988.
28