ННПС— ГЛАВЖЕЛДОРСТРОЙ
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНОГО
СТРОИТЕЛ Ь.СТВА
РАСЧЕТ ФЕРМ
С КРЕСТОВОЙ РЕШЕТКОЙ
Выполнено ш секторе конструкций
ЦИС ИИЖ, С. А..БЕРНШТ1ЙИ
гостммс
И » А А Т \
:.:.'.»■.: 1932

СССР. Пролетарии tax стран, еоединяйяиеЫ
НКПС-ГЛАВЖЕЛДОРСТРОЙ
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ
ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА
РАСЧЕТ ФЕРМ
С КРЕСТОВОЙ РЕШЕТКОЙ
ВЫПОЛНЕНО В СЕКТОРЕ КОНСТРУКЦИЙ ЦИС
инж. С. А. Бернштейн
ОГИЗ — ГОСТРАНСИЗДАТ
МОСКВА 1932 ЛЕНИНГРАД

ft* ТИПОГРАФИЯ
„Пролетарское слово"
треста
„ПОЛ ИГРАФКНИГА-
Москва, Каланчевский туя., 9/f.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
ВВЕДЕНИЕ 6
1. Точный аналитический способ расчета 7
2. Упрощенные аналитические способы расчета 10
а) Усеченный способ 1в
б) Способ срезки Н
в) Способ отбора 14
3. Приближенный способ жесткостей 17
4. Приближенный способ расчета поясов 21
Способ средних точек 21
5. Приближенный расчет стоек 24
Способ треугольника 24
6. Особенности линий влияния при езде поверху 27
7. Обзор и оценка предложенных методов . 29
8. Примеры расчета 31
Приложение. Инструкция к расчету ферм с крестовой решеткой 57

ВВЕДЕНИЕ
Крестовая решетка является одной из форм, особенно часто
встречающихся в фермах старых мостов. В новых мостах крестовая
решетка, несмотря на ее статическую неопределимость, охотно при-
меняется для.тех ферм, которые должны одинаково хорошо рабо-
тать на изгиб от двухсторонних нагрузок, как-то: для ветровых
ферм, поперечных связей, решетки сжатых стержней и т. д. Однако
все эти части несут второстепенную, вспомогательную роль, а потому
для их расчета обычно пользуются условными приемами, вполне,
впрочем, достаточными, если учесть неопределённый характер ра-
боты этих частей.
Напротив, главные фермы старых мостов, обладающие кресто-
вой решеткой, нуждаются в более близком к действительности спо-
собе расчета, не обладающем в то же время чрезмерной сложностью.
В дальнейшем изложение приближенных способов расчета таких
ферм ведется, применяясь именно к задачам перерасчета старых
мостов. Особенноегью задачи перерасчета является очевидно то,
что сечения всех стержней фермы могут считаться известными,
я потому нет смысла искать способов к их исключению из формул,
как то делается в приближенных формулах, предназначенных для
проектирования.
План изложения в дальнейшем принят такой: пделе изложения
практических приемов точного расчета производится постепенное
упрощение их в порядке возрастающей простоты расчета, после чего
излагаются приближенные способы, не вытекающие непосредственно
из точного расчета, но дающие при максимальной простоте доста-
точно надежные дяя практики решения. В заключение приводится
пример расчета реальной фермы с крестовой решеткой всеми изло-
женными способами и сравнительная оценка результатов.
Поскольку основной целью каждого из предложенных здесь
методов является расчет моста, постольку мы будем считать задачу
разрешенной, если будут построены линии влияния, всех элементов.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретическими исследованиями истинно советских научных ра-
ботников и всей практикой последних лет окончательно разобла-
чены и отвергнуты чуждые социалистическому строительству теории
бывш. НТК о том, что реализация реконструктивных мероприятий на
ж.-д. транспорте в части введения мощных электровозов и паровозов
повлечет за собою потребность массовой замены старых мостов.
Бесспорно доказана возможность вместо сотен тысяч тонн ме-
талла на замену мостов ограничиться их усилением в той или иной
части. При этом, конечно, нужна тщательная поверка устойчивЪсти
и необходимой прочности мостовых ферм для новой расчетной на-
грузки. Так как в огромном большинстве случаев старые мосты
обладают сложной решеткой, образующей статически-неопределимую
систему с большим числом лишних неизвестных, то такое уточнение
расчета неизбежно сталкивается с большими расчетными трудно-
стями, отнимая, массу времени и нередко приводя, именно в силу
сложности расчета, к значительному накоплению ошибок. Между тем
без такого расчета обойтись нельзя, так как только он может обес-
печить должную безопасность при эксплоатации моста и гаранти-
ровать от оставления в нем избыточных неиспользованных запасов.
Эти два момента — потребность в уточнении расчета, с одной
стороны, и сложность точного расчета — с другой, синтетически
приводят к необходимости иметь такой способ расчета, который
соединял бы в себе близость к строгому аналитическому расчету
с достаточной простотой производства расчетной работы.
Центральный научно-исследовательский институт транспортного
строительства, учитывая острую нужду в таких способах, включил
в программу своих работ и организовал всестороннюю разработку
упрощенных методов расчета для ряда наиболее обычных систем
решетки, встречающихся в старых мостах. Эта работа проводится
Институтом как часть общего большого исследования методики
усиления мостов эксплоатируемой сети, их перерасчета и усиления
всех элементов. В первую очередь была исследована задача о расчете
ферм с крестовой решеткой, как одной из систем, для которых суще-
ствующие приближенные способц разложения на две системы и дру-
гие дают особенно неудовлетворительные результаты. Решение этой
частной задачи было дано научным сотрудником ЦИС инж. С. А.
Бернштейн, предложившим целый ряд упрощенных способов расчета
таких ферм. Сравнение этих способов с точным способом расчета,
проведенное ЦИС на большом числе ферм, показало вполне удов-
летворительную точность результатов при весьма большой простоте
расчета.
Директор Института транспортного строительства А. В. Горинов.
Зам. руководителя сектора конструкций Д. Я. Хоботов.

ТОЧНЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ РАСЧЕТА
Пусть имеем балочную ферму с крестовой решеткой во всех
п панелях, произвольного очертания, но с одним горизонтальным
поясом, например нижним (фкг. 1). Это последнее условие, не являю-
щееся необходимым, принято нами лишь для определенности и про-
стоты формулировок; вдобавок, наличие одного прямолинейного
пояса представляет в мостах наиболее частый случай. Легко видеть,
что и без этого условия все результаты остаются в силе.
Фиг. 1.
Если число крестов в ферме равно л, то такое же будет число
лишних неизвестных. За лишние неизвестные всего удобнее при-
нять усилия в одном из раскосов каждого креста.
Обозначим раскосы, восходящие к середине пролета, через Xt.,
а нисходящие — через Y0 и примем усилия Xi за лишние неизве-
стные1. Если п число нечетное, т. е. если ферма имеет среднюю
панель, то можно условно обозначить через Х{ усилие в раскосе,
восходящем слева направо, а через Yi — в раскосе, нисходящем
в том же направлении, хотя при симметрии фермы линии влияния
обоих средних раскосов, за исключением знака, тождественны.
Легко видеть, что каждое из лишних неизвестных Х{ вызывает
усилия только в 5 стержнях рамки, образованной элементами обоих
поясов и встречного раскоса данной панели и двумя ограничиваю-
щими эту панель стойками! Поэтому взаимное влияние могут ока-
зывать только два смежных неизвестных Х{ и Xi+l, вследствие
чего система п канонических уравнений принимает форму трехчлен-
ных уравнений:
XAi + ХАг +4,= О,
^Аг + Х%д2г + Х%ды + <% = О,
Хп - ltfл, п — 1 + Хп $пп + vnp = 0.
(1)
1 При езде поверху и верхнем прямолинейном поясе удобнее принять обратные
значения; тог да все формулы сохранят тот же вид. Вообще будем обозначать через Хг-
раскосы, идущие от узлов прямого ездового пояса к середине пролета.
7

Здесь ^ — перемещение разреза в раскосе X,. от силы Хь*=* 1;
<f^—линия влияния того же перемещения от движущегося по гру-
зовому поясу фермы груза Р= 1.
В силу взаимности dip = dpi, т. е. это выражение представляет
собою линию прогиба грузового пояса от действия силы X, = 1
на статически определимую ферму с перерезанными раскосами X.
С другой стороны, коэфициенты д# определяются обычным пу-
тем по Мору:
Е-аа = 228-^, (2)
где S4 соотв. Sk— усилия во всех стержнях от силы Х4 ™ 1 соотв.
ХА = 1. Как следует из сказанного ранее, эта сумма распростра-
няется при / = к на все 6 стержней рамки (включая перерезанный
раскос Xt)f а при i ф к она включает только один член, относящийся
к стойке, лежащей между раскосами X, и Хк \
Разрешая систему (1) относительно неизвестных Xf тем или
другим способом, представим величины Х4 в виде:
п
где в.к—однородные функции коэфициентов б.к. Таким образом,
каждое неизвестное выражается в виде линейной суммы линий про-
гиба грузового пояса д.р = dpi, и задача построения линий влияния
Xt сводится к построению этих линий прогиба. Эта цель может
быть достигнута тремя путями.
Во-первых, линию прогиба грузового пояса от силы Х^=1
можно получить из диаграммы Виллио, построенной для этого со-
SI
стояния по перемещениям ~—. Разумеется, модуль упругости Е мо-
F
?кет не приниматься во внимание во всех вычислениях, так как
при подстановке значений в формулу (3) он сокращается. Досто-
инством диаграммы Виллио являются простота построения и от-
сутствие каких-либо вспомогательных подсчетов, так как переме-
щения -~L- получаются в виде „полуфабриката" при определении
F
коэфициента бгЪ,
Серьезным недостатком следует признать малую точность, осо-
бенно для небольших ординат, вследствие чего нередко два построе-
ния, проведенные независимо, дают несходные результаты. В виду
этого можно настоятельно рекомендовать либо делать контрольное
построение диаграммы Виллио, принимая за начальный стержень
какой-либо иной элемент фермы, чем в первом построении, либо
сличать результат построения с данными приближенного метода,
изложенного в §§ 2 — Ъ.
1 Очевидно, / и к могут быть только смежными целыми числами, если они
не равны друг другу.

Второй способ получения линии прогиба грузового пояса осно-
ван на применении теоремы Максвелла* Действительно, можно на-
писать:
где Sp—усилие в каждом элементе статически определимой схемы
от груза 1, перемещающегося по грузовому поясу, a S£ — усилие
в том же элементе от силы Х^ = 1. Иными словами, Sa есть линия
влияния элемента в статически определимой схеме, так что линия
прогиба 6fi может быть получена как линейная функция линий
влияния 5 элементов 1-й рамки (без перерезанного раскоса)1.
Отсюда следует, что линия прогиба о% а стало быть и линия
влияния перемещения dip, слагается из четырех отрезков прямых
линий или, иначе, имеет три точки перелома под тремя смежными
стойками. При езде понизу два перелома совпадают со стойками,
ограничивающими данную панель, а третий находится под следую-
щей к середине пролета стойкой. При езде поверху третий пере-
лом располагается под стойкой предыдущей, со стороны ближай-
шей опоры.
Выяснив таким образом характер линии влияния 6ipf можно
упростить ее построение. Очевидно, вместо вычисления и суммиро-
вания всех ординат линий влияния Spi достаточно вычислить три
ординаты этих линий, соответствующие местам перелома, и соеди-
нить их между собой и с нулями на опорах прямыми линиями.
Дальнейшее упрощение, но уже приближенного характера, изло-
жено в § 2-6.
Этот способ обладает, по сравнению с построением диаграммы
Виллио, и достоинствами и недостатками. Достоинством является
теоретическая точность решения, т. е. возможность, говоря' отвле-
ченно, получить точный результат. К недостаткам относятся, во-пер-
вых, обилие вычислений, значительно превосходящих по объему
вычисления, потребные для построения диаграммы Виллио, а во-
вторых,— связанная с объемом вычислений возможность накопле-
ния расчетных ошибок грубого характера, маловероятная при по-
строении диаграммы Виллио, и в значительной- степени обесцени-
вающая теоретическую точность метода.
Наконец, в качестве третьего способа можно указать способ
фиктивных грузов, весьма близкий по существу к изложенному
нами второму способу, но имеющий иную форму, особенно удобную
для употребления а. Мы не останавливаемся на нем подробнее по-
тому, что дальнейшее изложение исходит из второго способа, рас-
сматривая возможности его упрощения.
1 Это обстоятельство было указано нам инж. Н. Б. Лялиным.
8 Этот способ изложен в особенно удобном виде в работе проф. Г. К. Евгра-
фова „Определение деформаций сквозных ферм методом фиктивных грузов*. Сбор-
ник ЛИИПС, вып. 104, Ленинград, 1930.
9

2. УПРОЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ РАСЧЕТА
а) УСЕЧЕННЫЙ СПОСОБ
Как уже сказано выше, коэфициенты канонических уравнений
6ik составляются из разного числа слагаемых. При i = к число сла-
гаемых равно шести, так что суммирование в формуле (2) распро-
страняется на все элементы рамки, ограниченной поясами и стой-
ками одной панели. При i~jbk, т. е. при i = k±l, коэфициент 3ik
состоит только из одного члена, относящегося к стойке, располо-
женной между /-и и кй панелью. Уже из этого видно, что коэ-
фициенты 6и имеют значительно ббльшую величину, чем коэфи-
циенты дф так как все слагаемые дн имеют одинаковый знак. Раз-
ница еще увеличивается за счет того, что наибольшими по величине
S-S I
членами -*-*- являются те, которые относятся к обоим раскосам
рамки, а потому входят именно в коэфициенты б..9 Подсчеты пока-
зывают, что в действительности коэфициенты д.к при 1фк состав-
ляют обычно около 5% от коэфициентов в... Поэтому в качестве
первого приближения можно положить д.к = 0 при i ф к. Тогда
система канонических уравнений распадается на п независимых
уравнений с разделенными неизвестными:
Х2622 + S2 = О,
Хп dnn + $пр = 0.
Легко видеть, что разница в объеме вычислительной работы
между решением основной системы (1) и усеченной системы (5)
чрезвычайно велика. Опыт показывает, что решение канонических
уравнений (1) для 8-панельной фермы берет от 2 до 3 дней вычис-
лительной работы. В то же время решение системы (5) отнимает
всего несколько минут (не считая вычисления коэфициентов).
Но достоинством усеченной системы (5), помимо экономии
труда и времени, является бесспорно большая практическая точ-
ность решения. Это утверждение звучит парадоксально, но не мо-
жет вызывать никаких сомнений. Следует ясно отдать себе отчет
в том, что надежность результата сильнейшим образом зависит от
объема и сложности вычислительной работы. В этом отношении
особенно губительно влияют на точность результата именно системы
совместных уравнений. Не трудно показать на примере, что#даже
система из двух совместных уравнений с двумя неизвестными, коэ-
фициенты которой вычислены с точностью до 0,1% (реальная точ-
ность при работе с линейкой), может да.вать ошибку в решении,
доходящую до 100%. Тем более грубых ошибок следует опасаться
при решении более сложных систем уравнений. В виду этого во всех
случаях более целесообразно и надежно пойти на заведомое откло-
нение от точности, оценив его порядок, и получить простой рас-
четный прием, чем, стремясь за теоретической точностью, принять
сложный путь расчета и притти к результату, степень точности
которого совершенно неопределенна.
Ю
\
| (5)
)

Следует оговориться, что существуют способы решения совме-
стных уравнений посредством последовательных приближений (спо-
соб Гаусса), допускающие попутную проверку результатов. Но и
этот путь требует очень длительных вычислений.
Далее надо отметить, что к симметричным фермам с четным
числом панелей возможно применить принцип симметрии, вводя
вместо неизвестных Х£ их суммы и разности:
h = Х€ + Xn_it
Vi = хг — Xn-i-
При этом система п канонических уравнений с л неизвестными
распадается на две системы трехчленных уравнений, каждая из ко-
торых содержит л/2 уравнений и столько же неизвестных. Процесс
решения от этого значительно упрощается, но количество коэфи-
циентов dipi которые необходимо построить, удваивается, так как
в отношении их уже нельзя использовать условия симметрии.
Возвращаемся к предложенному нами приближенному способу.
Разумеется, все приведенные здесь рассуждения не имели бы цены,
если бы результат приближенного решения значительно отличался
от точного. В действительности, как показывает опыт, разница
между обоими результатами ничтожно мала, и лежит в пределах
точности вычислений. Поэтому можно безусловно рекомендовать
приближенный способ как более простой и надежный во всех
случаях, В дальнейшем будем называть этот способ, сводящийся
к решению системы (5), усеченным способом.
б) СПОСОБ СРЕЗКИ
Как следует из предыдущего, при усеченном способе линии
влияния перемещений представляют в то же время в масштабе 6и
линии влияния лишних неизвестных X? Мы уже выяснили, что эти
линии влияния имеют вид ломаных, с тремя точками перелома.
Дальнейшее упрощение сводится к тому, чтобы откинуть один из
этих переломов.
Проанализируем природу переломов. Из формулы (4) видно,
что каждая из этих линий влияния представляет линейную функ-
цию линий влияния элементов рамки в статически определимой
схеме с раскосной решеткой.
Если говорить для определенности о ферме с ездой понизу
и нумеровать узлы, начиная с нуля, то для элементов рамки в /-й
панели будем иметь точки перелома линий влияния в следующих
узлах (фиг. 2):
для верхнего пояса — в узле i,
для нижнего пояса —в узле i— 1,
для нисходящего раскоса Y — в узлах i — 1 и /,
для стойки в узле i—1 —в узлах i — 1 и i,
для стойки в узле i —в узлах i и z'+l.
Таким образом, в суммарной линии влияния Xt перелом в узле
i — 1 составляется из переломов 3 слагающих Линий влияния,
в узле i— из переломов 4 слагающих, и в узле i + \—из перелома
и

1 слагающей, в то время как остальные 4 слагающих проходят
через этот узел без перелома. Поэтому можно заранее предвидеть,
что. перелом в узле /+1 будет иметь значительно меньший угол,
чем два других перелома, а в таком случае этим переломом можно
пренебречь, принимая линию влияния Xi за ломаную, составленную
всего из трех прямых, вполне аналогично линии влияния раскоса
в статически определимой схеме.
п
лтпп
Фиг. 2.
Не трудно показать, что добавочный третий перелом, получаю-
щийся в (* + 1) узле, образует выпуклость на линии влияния Х4.
Действительно, произведение StSp при нахождении груза Р = 1
в узле (i +1) имеет отрицательный знак только для нижнего пояса
и положительный—для всех прочих элементов рамки, включая стойку
в узле i, как легко проверить расчетом. Поэтому горб от этой
стойки будет накладываться на прямолинейную в узле i + l сумму
линий влияния прочих элементов рамки.
Таким образом, линия влияния Xi будет иметь характерную
форму, схематически изображенную на фиг. 3, с незначительным
переломом в узле (i + l). Пренебречь этим переломом можно, либо
соединяя ординату в узле i прямой линией с правой опорой,—
в этом случае горб срежется, и линия влияния определится с не-
достатком в области отрицательных ординат,—либо продолжая
12

правую ветвь за узел (/ +1) до узла / и соединяя полученную орди-
нату с ординатой узла (/ — 1) прямой линией (фиг. 4). При этом
линия влияния определится с избытком х.
Фиг. 3.
В обоих случаях для построения линии влияния оказывается
достаточным найти всего две ее ординаты, в узлах / — 1 и i или
в узлах / — 1 и i + l, т, е. подсчитать две суммы:
р Р
или
(6)
где S/~s Sp*t Spi+*>—усилия во всех элементах рамки от единичной
силы Р, приложенной соответственно в узлах i — 1, /, / + 1.
Фиг. 4.
Второй из этих приемов представляется более удобным. Этому
приему мы дадим название способа срезки. Так как характер-
ным для него является то, что обе ветви линии влияния, идущие
Фиг. 5.
от опор, сохраняют истинное свое направление, то для построения
пинии влияния по способу срезки можно заменить подсчет орди-
нат подсчетом углов наклона этих' ветвей к горизонту (фиг. 5).
Если назвать угол левой ветви через а,, а угол правой — через Д»
то легко найти выражения для тангенсов этих углов в виде:
1 Из условия равновесия легко вывести, что линия влияния обратного раскоса
Yi будет иметь вогнутость в узле / -}-1, а потому при срезке по п&рвому способу
определится с избытком, а по второму — с недостатком.
13

bk h
uk h
-S» )
(7)
)
где ак> bk—расстояния от левой и правой опоры до моментной
точки элемента к; гкУ 1к, Рк— плечо относительно моментной точки,
длина и площадь сечения этого элемента, и SKi — усилие в том же
элементе от :илы Xi = 1. Суммирование по к распространяется по
всем 5 элементам рамки.
Формулы (7) можно привести к еще более удобному для поль-
зования виду, если перейти от тангенсов углов наклона а., /}, к от-
резкам Ар ZJ., откладываемым над опорами, и ввести иные обозна-
чения. Пусть^гг.4 — плечо элемента i относительно моментной точки
элемента к (фиг. 6). Тогда Sw = ±—t гк = гш и мы получим:
гкк
УЧ вк h га
*** Ркткк*
к
<£* Fk\ r J
к
^ Fkrkk*
к
u. к". pj
}(8)
Фиг. 6.
Эти формулы, в ко-
торых суммирование рас-
пространяется на все эле-
менты рамки (в знаменателе — включая оба раскоса), содержат
только геометрические элементы, а потому пользование ими очень
несложно. Отложив над опорами эти отрезки, дальнейшее построе-
ние линии влияния Xi ведем как для раскоса в статически опре-
делимой системе.
в) СПОСОБ ОТБОРА
Дальнейших упрощений мы будем искать, подвергая анализу
выражения (8). Отметим здесь же, что способ срезки дает резуль-
таты, практически не отличающиеся от точного метода, особенно
при числе панелей более шести. Излагаемое ниже упрощение дает
уже более заметное отклонение от истины, но зато ценой значи-
тельного сокращения вычислений.
Способ отбора сводится к уменьшению числа слагаемых
в числителе и знаменателе выражений (8) путем отбора тех из них,
которые имеют относительно большее значение. Величина слагаемых
U
зависит в первую очередь от отношения-, имеющего для поясов
Fh
14

сильно пониженную величину, сравнительно со стойками и раско-
сами. Поэтому первый шаг отбора будет заключаться в отбрасы-
вании в формулах (8) членов, относящихся к верхнему и нижнему
поясу рамки. При этом формулы (8) сохраняют тот же вид, но
суммирование в числителе будет распространяться только на нис-
ходящий раскос и две стойки, а в знаменателе, кроме того, и на
восходящий (перерезанный) раскос.
В случае фермы с параллельными поясами формулы (8) при
таком отборе примут иной вид. Обозначая индексами х, у, v, w
элементы, относящиеся соответственно к восходящему (перерезан-
ному) и нисходящему раскосам, и к левой и правой стойкам /-й
панели, и называя ф—угол наклона раскоса к горизонту, приведем (8)
к виду:
L ^_ lv sin <p _,__ lw sin <p
+ Ту +
_Ai = Bi= F9^v Pi £. , (9)
— + '-*-*- + — sin2 <p + -^ sin2 <p
F F
* у л v
или, вводя обозначения kk = —,
f&
_ Д _. g _ *у+ (*» + *») sin2у ^ _J «Q.
К + h + (К + К)sin* ? ' sin у '
Эта формула может быть применена и для раскоса Yf путем
перестановки значков х и у.
Для простоты применения имеет смысл представить формулы (8)
в развернутом виде и для общего случая ферм с непараллельными
поясами. Возьмем для определенности ферму с ездой понизу, прямо-
линейным нижним и выпуклым верхним поясом (фиг. 6). Сохраняя
обозначение Л4 = —*-и заменяя индекс i индексом х, будем иметь
Fk
для числителя (8):
.?*-£*» =z a±htbr . ^ + (/ - 1) й
гет» lx a(^ + {i-\)d
»» г*» _ <k ly> °i + (' — О d
r-r» U (to + W
для знаменателя:
( Vf = ( l's-k \2. ( a' + <f ~ ') d f = С A.?
V л» / V 'ж ^
fZ-V = fJsJ* / g,+ (/-l)rf \2 = / lv \i
Здесь (!,_! и a,—расстояния от левой опоры до точки пересе-
чения поясов (i — 1)-ой и соотв. /-ой панели, d—длина панели. Обозна-
15

. (11)
чай для краткости вообще через а{ расстояние 6т левой опоры до
точки пересечения поясов /-ой панели и через Ь4 — расстояние от
правой опоры до той же точки, найдем значение А4 при способе
отбора:
а Ц ^w Ц 2 4- а ^ & ~~ *и) о \п h Qw ~ *») 3
д ^ fa *t *» tf ^J* lx I» d
'•+№+(t)'*-+(i)'j-
где lu — высота стойки в узле / — 2.
Наконец, умножая числитель и знаменатель на I*, получим:
, аЛ{1ш-1щ) ку + aM lf (1,-1 J X9+at lf (l„-lv)К
'*' V^+V^ + VAt + V^
ГИЧНО
и аналогично
£, = +
ie Ля -p /у Л„ 1*10 ^* "Т" *"9 *Ы
(12)
причем:
di„
/„-/,
id,
*i-l
dl.
и-к
(i-l) d
Ь4 = -±\ + (п-0й, b^-^ + in-i + Dd
(13)
Формулы (12) можно еще упростить, подставляя значения для
й0 a^v b.f й.„! из (13) в (12). Формулы примут после преобразоЁаний
следующий вид:
А--
—* Н j /в А9 Н lvAw
*w *2 v _*£
lx Л% 4" /у Лу + /с ^м? ~Ь ^w Л»
*.
в,
. ,(л - / +1) ;„ - (л - о f. /,Ц» . (n-f+2)f.-(n-i+i)/« | 2 , л
II , " ~7 •" , *«>Л» "г I
■ (Я-| + 1){.-(Я-/)1. , .
"Г" . *« ля>
У!
/«■я. + /„Ч, + /И*. + /Л
Обозначим теперь высоты стоек: 1а = ft,-. /„ — Л,^, /„ = А,_8, и
введем функции:
но-
M(i)-
hi
(n-< + l)ft<-(n-Qft»-.i
Л,-
(14)
16

Тогда формулы (18) примут вид!
А = -'*
я,= /-
/ а
L{i)f~Xy + L{i-\)hiXv+L{i)hi^Xw
Г/^_х
У А^ + // Ау + Af Xv + Ам^
7W(/) ^_
(15)
У К + lv% h + hf К + Л,-13 Аи
Функции (14) особенно упрощаются, если криволинейный пояс
фермы очерчен по дуге параболы. Действительно, при этом
■О,
а потому
/ft*.
■(*-%
1
(п
hi п — i
■/ + 1)Л,-(/!-/)Й*_4
■1 + 1
(1*0
ft, *
При езде поверху удобнее обозначать через X нисходящие
раскосы, а через Y — восходящие.
Во избежание ошибок со знаками рекомендуется при этом еле*
дующее правило: на каждой опоре отрезок А4 и соответственно
J3,. откладывается вверх или вниз, смотря по тому, куда обращен
ближайший к данной опоре конец рассматриваемого раскоса. При
этом направленные вверх отрезки считаются положительными.
3. ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ ЖЕСТКОСТЕЙ
Как показывает опыт, дальнейшее упрощение формул (10) и (15)
дает уже значительное отклонение от действительности. Между тем
пользование ими, в особенности последней, еще довольно сложно.
В некоторых случаях является желательным иметь еще более про-
стой расчетный прием, дающий в то же время достаточно сходные
с действительностью результаты. Такой способ мы выведем иным
путем, покидая использованную нами до сих пор цепь последо-
вательных упрощений.
Особенность этого способа состоит в том, что он дает непо-
средственно линии влияния обоих раскосов каждой панели сразу.
Обозначим попрежнему усилие в восходящем, раскосе данной
панели через X, в нисходящем через Y (без индексов). Если плечи
раскосов относительно моментной точки т (фиг. 7) назовем соот-
ветственно rw и гу9 то можно написать уравнение равновесия:
Хг.-Уг, = Мя, (16)
где Мт — момент внешних сил относительно точки т. Линия влия-
ния момента может быть без труда построена.
Разделим все члены (16) на произвольную длину г, хотя бы
равную единице, и положим:
X'
Y' = Y-
iV = -
м„
2 равчет ф$рм
(17)
17

Тогда (16) примет вид;
X'—Y' = N. (16')
Мы можем рассматривать N как обобщенную силу; очевидно,
ее линия влияния будет иметь ту же форму, что и для МтУ а
стало быть будет геометрически подобна линии влияния одиночного
раскоса в статически
определимой схеме.
Наша задача сводится
таким образом к нахож-
дению условий распре-
деления обобщенной
силы N между обоими
составляющими уси-
лиями X' и Y'.
В основной стати-
чески неопределимой
системе сила N дейст-
вует, помимо раскосов X и Y, на стержни контура рамки, диаго-
налями которой являются стержни X и Y. Найдем величину работы
внутренних сил, производимой силой N. Мы можем написать вы*
ражение работы в таком виде:
Фиг. 7.
Т (N) = Tp (N) + X'*^+Y'*
EF„
(18)
где Тр (iV) —работа стержней контура рамки, lx% lyy Fx> Fy~ со-
ответственно длины и площади сечений раскосов X и Y.
Приближенность предлагаемого способа расчета будет заклю-
чаться в том, что мы будем считать Тр (N) величиной постоянной;
иными словами, будем предполагать, что работа внутренних сил
стержней контура рамки не зависит от способа распределения силы
N между обоими раскосами, а зависит только от ее величины.
Будем искать величины X' и V из условия наименьшей работы
внутренних сил, производимой силой N. Такое условие вполне
естественно, так как, очевидно, распределение силы между обоими
раскосами X и Y не может не удовлетворять условию наименьшей
работы. Так как по предположению член Тр (N) есть величина по-
стоянная, то условие наименьшей работы выразится так:
min Т (N) = min ( X'2 ± + F'2 ^) .
Заменяя здесь Y из уравнения (16') через X' — N, приведем
условие минимума к виду:
2
Выполняя диференцирование и сокращая на—, найдем:
(19)
X'™+(*'-*) 4—0,
18

откуда
Jy_ Гщ_
X' = N ^— = N • l^—
h +Jl ^f-4-f" (20)
F F l Г
Переходя от X' и N к X и М (формула 17) и вводя обозна-
чения:
Fx Fy
получим:
м
\
и по аналогии > (21)
М q>v I
К = — 11 I
Ту <Рх + <Ру '
Легко видеть, что члены и —выражают собой усилия Х$
и К0, а стало быть и линии влияния одиночных (т. е. неперекрест-
ных) раскосов Х0 и Y0 в статически определимой системе. Если
еще обозначить
V.-—£-, V,- *
можно привести (21) к виду:
Х = Х0%, Y = Y.-%. (22)
Таким образом для построения линий влияния раскосов X и
У достаточно построить их линии влияния в статически определи-
мой системе (отбрасывая встречный раскос) и умножить их орди-
наты соответственно на коэфициенты грх и грг После этого опреде-
ление усилий в прочих элементах рамки ведется обычным * путем.
Легко видеть, что для ферм с параллельными поясами эти фор-
мулы дают распределение усилий между раскосами пропорцио-
нально площадям их сечений:
Х = -^ ^_ 9 Y = -Q--—^~ (23)
sin О Fr + Fy sin 0 Fx + Fy > '
где 0 — угол наклона раскоса к горизонту.
При криволинейных поясах добавляется влияние длин раскосов,
сказывающееся на распределении в обратном смысле. Если считать,
F
что отношение <р = — характеризует продольную жесткость стер-
жня, то этот способ можно условно назвать способом жестко-
стей.
19

Построение линий влияния по способу жесткостей можно еще
упростить, составляя выражения для опорных отрезков линий вли-
яния:
4'=*•*"; s; = 7^v/;
а Ь
и подставляя вместо —,— их значения
г г
получим:
AsJ*-.Af(/),
в?-
-A. ft»
А __ fw • Af (
\
•*■
•%' j
С
(24)
где L(/) и Af(f) выражаются формулами (14) или (14').
Удобство формул (24) заключается в том, что они содержат
только длины и площади стержней фермы, т. е. только основные
размеры, и не требуют вспомогательных вычислений — нахождения
моментных точек, плеч раскосов и т. д.
Приведем еще выражения для А и В для частных случаев.
1. Ферма с одним параболическим поясом:
(24')
лх^_ i — 1 Ч _ х о да _ n—t + 1 Ч х
2. Ферма с параллельными поясами:
Ш - В; - -^, Л/ -. В/ - -*£- (24")
sin О { * sin 0"
По поводу всех приведенных способов расчета раскосов следует
сделать еще одно замечание. Если один из раскосов, по причине
своей недостаточной устойчивости, не выдерживает поверки на
сжатие, то встречный растянутый раскос следует рассчитывать на
полную растягивающую силу, а стойки—на полное сжатие, как в про-
стой раскосной системе. Несомненно, что такой расчет является ус-
ловным, но он во всяком случае дает ошибку в сторону запаса.
Способ жесткостей является несравненно более простым, чем
все ранее изложенные способы. Тем не менее он дает весьма удов-
летворительные результаты и безусловно может быть рекомендован
для использования. Следует лишь отметить, что для восходящего
раскоса он дает, как правило, преувеличенные ординаты в отрица-
тельном участке, и для нисходящего — преуменьшенные ординаты
в положительном участке. При числе панелей, начиная с шести и
выше, эти отклонения становятся ничтожно малыми.
20

4. ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РАСЧЕТА ПОЯСОВ
СПОСОБ СРЕДНИХ ТОЧЕК
Имея линии влияния раскосов Х.> можно без труда построить
линии влияния верхнего и нижнего пояса. Действительно, обозначая
попрежнему через гкш плечо элемента к относительно моментной
точки элемента т, можно написать:
усилие в нижнем поясе:
и = и0 — х-
верхнем поясе:
О^Ол-Х
(25)
где £/0, О0—линии влияния нижнего и соответственно верхнего пояса
в системе с одиночными раскосами (УД По формулам (25) можно
строить линии влияния поясов,
каким бы способом ни были
найдены усилия Хг и Ye
В некоторых случаях пред-
ставляется желательным опре-
делить усилия в поясах кре-
стовой фермы независимо от
усилий в раскосах и без под-
бора сечений последних. Такой
случай имеет например место
при определении ветровых усилий в поясах ферм при крестовой
решетке связей.
Берем для определенности ферму с криволинейным верхним
поясом (фиг. 8) и будем искать усилие в нижнем поясе U4 панели /.
Если взять моментную точку в (г—1) узле верхнего пояса, то усилие
в U4 выразится при способе жесткостей (откидывая индекс i):
Фиг. 8.
U = U0-X-^ = и0-Х0-^-грв,
(250
где гхи — плечо элемента X относительно моментной точки нижнего
пояса, гм„ = Лл —плечо нижнего пояса относительно той же точки,
равное высоте левой стойки рамки, U0 — усилие в простой раскос-
ной системе.
Принимая (25') за уравнение линии влияния U, заметим, что
последняя имеет две точки перелома: в левом узле рамки, вызывае-
мую переломом и0и Х0, и в правом узле рамки, вызываемую пере-
ломом Х0. Таким образом линия влияния U срезана в пределах
данной панели и для построения ее достаточно провести крайние
ветви от обеих опор, срезав их в пределах панели. Найдем поло-
жение точки пересечения обеих крайних ветвей. Если х0 — ее рас-
стояние от левой опоры, А — ордината правой ветви над левой
опорой, В — ордината левой ветви над правой опорой (фиг. 9), то
—— (/ х0) = —- х0,
21

откуда
Al
А + в
С другой стороны, обозначая аи и а, —расстояния моментных
точек для U и Хот левой опоры, / - аи и / + а.- то же, от правой
опоры, г„ — плечо раскоса X относительно своей моментной точки,
будем иметь из (25):
в-
/ -fl«
Лл
/ 4- а*
Ад
' V*
Лл
Фиг. 9.
(26)
а подставляя Д и В в выражение для х0:
аи 4- гхи Ух
х в ^ = а„ + (а„ + аг) —
г™ ^
Но
а. = -^-<«. + *).
где л —высота правой стойки рамки, откуда
Лл
а„ + а„ = d
Л„ — Лд
далее,
откуда:
х0 = «« +
Ли — Лл
d • Лл
если заметить, что
3
(Л-Л^1л^лТ^-1)
1— % = У
= а„ +
1 +
Лл
Ух
,(27)

Формула (27) для положения фиктивной моментной точки для
нижнего пояса является следствием принятого способа жесткостей.
Теперь мы сделаем дальнейшее упрощение, полагая
При этом условии формула (26) дает положение фиктивной
моментной точки в середине панели.
Способ средних точек заключается в том, что мы усло-
вно принимаем моментную точку для пояса в середине панели.
Посмотрим, какую ошибку мы совершим при этом.
При положении моментной точки в середине панели отрезок,
откладываемый на левой опоре, выразится:
А = 1— . (28)
С другой стороны, при способе жесткостей имеем, подставляя
в (26) значения ах и -**- :
"л L »п — Па J Пп Пл
tiA hn L J К
Ho hntpv = hJtipg. по предположению, а потому
d
... au+ ~9
A - af • 2yx+d -f- - h . (28')
ft» ft» "«
Итак, полагая моментную точку в середине панели, мы делаем
два допущения:
(29)
П. hH = % (Лп + Л.) )
Опыт показывает, что оба допущения лишь ничтожно иска-
жают результат по сравнению со способом жесткостей и притом
обычно в сторону приближения к действительности, в виду чего
этот способ, столь простой для подсчетов, можно безусловно ре-
комендовать для употребления.
23

Легко видеть, что для фермы с параллельными поясами до-
пущения (29) принимают вид:
II.
Fx^Fi
{F* + FJ
(290
Оба условия вполне эквивалентны. Если они неприемлемы
для расчета раскосов в ферме с параллельными поясами, то для
расчета поясов дают вполне удовлетворительное приближение.
Для верхнего пояса условия (29) и (29') принимают несколько
иной вид, сохраняя тот же характер.
Для удобства расчета приводим готовые формулы усилий в
поясах по способу срецних точек. Эти формулы одинаково при-
годны для верхнего и нижнего пояса.
Для прямолинейного пояса:
для криволинейного пояса:
2М
ht-x + hi
2М
/N
й
(30)
Здесь М — момент внешних сил относительно середины панели,
Jn — длина элемента криволинейного пояса.
Если еще отметить, что опорные отрезки линии влияния М
равны соответственно:
(<-т)" и (»-'+т)'-
то можно дать готовые выражения для опорных отрезков лини
влияния поясов:
Вг
(2п - 2/ + 1) U
hi-i + ^
(300
где lt—длина соответственного элемента пояса. Эти формулы оди-
наково пригодны и для криволинейного и для прямолинейного
пояса. В последнем случае вместо 1{ можно подставить длину па-
нели d.
5. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ СТОЕК
СПОСОБ ТРЕУГОЛЬНИКА
Для построения линии влияния стойки V{ вырежем узел I пря-
молинейного пояса и спроектируем все силы на вертикаль. Для
определенности предположим, что речь идет о нижнем поясе
(фиг. 10,. Тогда усилие в стойке выразится:
Vt = Р — К, sin у, - Х,+1 sin xm, (31)
24

где Р~узловая нагрузка, положительная прк.езде понизу и от-
рицательная при езде поверху, yt и х,+1—углы наклона раско-
сов Yt и Xi+V к горизонту. Для Y4 и Xi+1 можно принять значе-
ния, найденные любым из вышеизложенных способов. Рассматри-
вая (31), как уравнение линии влияния для Vfi заметим, что линия
Р есть равнобедренный треугольник, распространенный на две смеж-
ных с Vt панели, с ординатой 1. Поэтому линия влияния У4 будет
иметь три точки перелома в узлах i—1, i и / + 1, причем заранее
легко предвидеть, что преобладающее значение будет иметь рас-
положенная между узлами /—1 и /+1 тре-
угольная часть, вызываемая местной нагруз-
кой Р. Подсчеты показывают действительно,
что ордината в узле / (под стойкой Vt) при-
мерно в 10 раз превосходит ординаты в смеж-
ных узлах, а стало быть тем более и во
всех остальных узлах. Поэтому форму линии
влияния можно упростить, принимая ее за
двухпанельный равнобедренный треугольник
с вершиной под V.. Это допущение ничуть
не грубее того, которое ежедневно делается при расчете подвесок
или поперечных балок в любой ферме на местную двухпанельную
нагрузку, пренебрегая отдаленными участками истинной линии
влияния.
Такой способ построения линии влияния стойки мы назовем
способом треугольника; очевидно, для этого построения доста-
точно найти одну единственную ординату Z(. под узлом / (поддан-
ной стойкой), соединяя ее с нулями в обоих смежных узлах. При
этом усилия в раскосах мы будем определять по способу жесткостей.
Очевидно, в узле / составляющие линии влияния будут иметь
ординаты:
х - ***** .„..-£.
Ч+i
где: а 9 &—расстояния моментных точек соответственных рас-
косов от опоры А и соответ. В\ г { и гв/+1 — плечи тех же раско-
сов, п — число всех панелей в ферме. Заметим далее, что
йпу,--^- и sinxl + i — _-*-±s—.,
где *,_!, hi+1~ высоты стоек в соответственных узлах, а 1уР /х,+1—
длины соответственных раскосов. Кроме того, для а,,, и b xm можно
использовать формулы, приведенные в %2-Ь, подставив в них приня-
тые здесь обозначения:
25

Наконец, для гу. и гЛ<+1 находим из геометрических соотношений:
Л«-1
и гда. =■
d 'hi
Ч+\
*i + i Л<+1-А< Ц + 1
Подставляя все найденные значения в (31), получим:
2,-1-
dh<
hi —^i_i
-W
+
dfii+i
Л*+1 - Л<
+ (п —f—l)d
(ft* - Л*-*) /ff/
(Л<+1 — ft<) /х
(л ~ О
V," +
i -hi
dhi hi+1
hj+i
л1 + г
vi+t
Обозначим снова:
L (0 =
/Л«_1 — (i- 1)Л<
N (i)
(n-i-l)ftj+1-(n-t-2)^
Тогда (32) примет простой вид:
*, = i-{M0(i- ^vZ + ^CO-^-^o }•
(32)
(33)
(34)
Для фермы с параллельными поясами L (i) — N (i) = \, и (34)
особенно упрощается:
(35)
z,= l-
i-vK + t^}
Для случая фермы параболического очертания функции L(i) и
JV(/) снова упрощаются и принимают вид:
L (0 -
f - 1
п — i
*г /-\ / + 1 , п— 2
* (0= -^-г- + —г~
i (л - 0 г
1
(330
Ордината Z2. имеет знак + при езде понизу, и знак — при езде по-
верху. /
В фермах с нижним криволинейным поясом и ездой поверху
рекомендуется принять для раскосов обратные обозначения: Х{ для
нисходящих и Уг для восходящих. Тогда все предыдущие формулы
сохраняют силу без всяких изменений.
Если линии влияния всех раскосов уже построены, то наибо-
лее простым способом построения линий влияния для стоек яв-
ляется непосредственный подсчет по формуле (31).
36

Несколько иной вид принимают расчетные формулы для опор-
ной стойки. Здесь мы рассмотрим лишь случай езды понизу, от
кладывая случай езды поверху до следующего параграфа.
Для опорной стойки формула (31) принимает вид:
V0^— A— XiSinXj, (36)
где А—линия влияния опорной реакции, срезанная в пределах пер-
вой панели. Так как линия Хг также срезана, т. е. имеет ту же
форму, что и линия А то для построения линии V0 достаточно
отложить на опоре ординат^ Z0:
Z0 = - 1 + ^-L (1) щ* sin x1? (37)
соединить ее с опорой В и срезать полученный треугольник в
пределах первой панели. В формуле (37) знак + перед вторым чле-
ном взят потому, что опорный отрезок А? для восходящих раско-,
сов отрицателен, а по формуле (36) он подлежит вычету из опор-
ной ординаты реакции А,
Так как
L(l) = ^4 апх^А-,
fix /Xi
TO
Z0= -1 + £• • £• ■ £ • Vi'=»-Vi'- (38)
fto "i кг
Эта формула в одинаковой мере справедлива для любого
очертания фермы при езде понизу (с прямолинейным нижним поя-
сом).
6. ОСОБЕННОСТИ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПРИ ЕЗДЕ ПОВЕРХУ
Не трудно видеть, что при езде поверху ординаты линий влия-
ния обоих раскосов первой панели и опорной стойки на опоре не
будут равны нулю, а потому в вышеизложенные способы расчета
этих элементов необходимо внести исправления.
Принимая за лишние неизвестные Xi нисходящие раскосы,
можем написать значение Хг по усеченному способу (формула 5)
*w 4-
хг = f—-. (60
При положении груза 1 над опорой будем иметь Sp°~0 для
всех элементов, кроме опорной стойки, для которой SP° — 1. Далее,
так как усилие в опорной стойке от силы Хх = 1 равно Sx = sinXj =
•= ■—, будем иметь аналогично формуле (15):
А' =Х1 = — - ^^ . (15')
37

Таким образом правило построения линии влияния Хг принимает
такой вид: строим линию влияния как обычно, откладывая на опоре
А отрезок Аь вычислен-
ный по формуле (15), сое-
диняем его с противо-
положной опорой и из
Ъ узла № 1 ведем срезку
6 до ординаты Л/ на опоре
А (фиг. 11).
Для расчета Yx со-
ставляем уравнение рав-
новесия при положении
груза 1 над опорой:
Фиг. П.
*л—*V, = о,
откуда
Y^X,
}vhih>_
VAe + V^ + V^ + VA,
(15")
Правило построения остается тем же, но линия влияния при-
обретает иной вид, чем для раскоса Хх (фиг. 12).
Способ жесткостей для этого случая неприменим.
цл;
/
Фиг. 12.
Переходим к опорной стойке. При положении груза 1 над стой-
кой имеем опорную ординату:
2Г0 = -1
или
1 +
■Л/slnXi,
h^X,
VJ. + ya,+ *•■*.+ *!■*•
(39)
От этой ординаты ведется срезка к узлу № 1 линии влияния стойки,
вычисленной обычным способом, по формуле:
V0 = — X1sinx1 = — Xt • ^-.
'x
(40)
Способ треугольника при этом также неприменим.
Следует добавить, что при езде поверху и наличии опорной
стойки элементы поясов первой панели также имеют ненулевую
опорную ординату, а потому линии влияния для этих элементов
следует строить по формуле (25), определяя Хх из (15').
28

?♦ ОБЗОР И ОЦЕНКА ПРЕДЛОЖЕННЫХ МЕТОДОВ
Перечислим еще раз вкратце все предложенные выше способы,
А. РАСЧЕТ РАСКОСОВ
1. Точный способ—решение канонических уравнений.
2. Усеченный способ—разделение неизвестных в канонических
уравнениях путем отбрасывания коэфициентов dih.
3. Способ срезки—замена крайних ветвей линий влияния пря-
мыми линиями.
4. Способ отбора—подсчет опорных отрезков линий влияния
через усилия в статически определимой системе, при отбрасывании
влияния поясов.
5. Способ жесткостей—приближенный способ распределения
усилий между раскосами пропорционально их площадям и обратно
пропорционально длинам.
Б. РАСЧЕТ ПОЯСОВ
1—5. Подсчет поясов через посредство линий влияния раско-
сов, построенных одним из вышеперечисленных способов.
6. Способ средних точек—приближенный расчет по моментной
точке в середине панели, со срезкой в пределах панели.
В. РАСЧЕТ СТОЕК
1—5. Подсчет стоек через посредство линий влияния раскосов,
построенных одним из вышеперечисленных способов.
7. Способ треугольника—замена линии влияния двухпанельным
треугольником и подсчет его ординаты по готовой формуле.
Обращаемся к характеристике пределов применения и оценке
этих способов.
Всякий расчетный прием следует расценивать с точки зрения
двух факторов: 1) теоретической точности и 2) объема вычисли-
тельной работы. Такой двухсторонний учет необходим, потому что.
как было уже сказано ранее, действительная точность сильнейшим
образом зависит от объема вычислений, падая с его возрастанием.
Вышеперечисленные 5 способов расчета раскосов расположены
в порядке убывания объема вычислительной работы и убывания
теоретической точности. При этом убывание точности идет очень
медленно, и наиболее грубый из способов—способ жесткостей—
дает, при числе панелей свыше 6, ошибку, не превосходящую 10%.
Между тем объем вычислений падает необычайно резко; так на-
пример, построение линий влияния всех раскосов, проделанное од-
ним и тем же лицом, уже освоившим все методы на предыдущей
работе, по первому способу для 10-панельной фермы с 8 крестами
потребовало около 4 дней работы; по второму способу—около 2 дней,
по четвертому—около 3 часов, по пятому—около 1 часа. Уже из
этого примера видно, что практически приемлемыми являются
только два последних способа как наиболее простые. Опыт по-
казывает, что наиболее надежной поверкой точного способа яв-
29

1
ляется производство подсчета по пятому способу и сравнение
результатов.
Автор отдает безусловное предпочтение пятому способу—спо-
собу жесткостей—во всех фермах с числом панелей не менее ше-
сти, как безусловно наиболее надежному
вследствие его простоты. При меньшем
числе панелей следует применять чет-
вертый способ.
Для расчета поясов способ средних
точек дает во всех случаях вполне на-
дежные результаты при весьма большой
простоте, безусловно гарантирующей от
накопления ошибок.
Наконец, для стоек простейшим
способом является подсчет по фор-
муле (3), используя заранее построенные
по пятому способу линии влияния рас-
косов. Несколько сложнее непосредствен-
ный расчет по способу треугольника,
позволяющий обойтись без построения
линий влияния раскосов, но требующий
несколько большей вычислительной ра-
боты и дающий несколько меньшую
точность.
Итак, мы останавливаемся на следую-
щих способах:
A) для раскосов: пятый при п>6,
и четвертый при п<;б,
Б) для поясов—шестой (способ сред-
них точек),
B) для стоек—пятый или седьмой
(способ треугольника).
Все предлагаемые в настоящем ис-
следовании приближенные способы ра-
счета проверены нами на 9 фермах раз-
личного типа с числом панелей от 4 до
10, и во всех случаях эти способы дали
совершенно удовлетворительное прибли-,
жение к точному расчету. Поэтому мы
~i | ЩЛ^ можем вполне уверенно рекомендовать
ск Г L их к всеобщему использованию.
■- '^' I® Ко всему сказанному следует доба-
вить еще то соображение, что линии
влияния, получаемые упрощенными спо-
^ собами—4, 5, 6 и 7—имеют ту же общую
^ § форму, как и для элементов статически
§ ^ определимых ферм с раскосной решет-
^ •, кой. Поэтому нахождение критического
^ груза и загружение линий влияния ве-
дется обычными способами, используя таблицы моментов и экви-
валентные нагрузки. Точные линии влияния требуют непосред-
30
S

ственного загружения. Излишняя трата времени на эти операиии
и связанное с ними уменьшение точности также следует вписать
в пассив „точных" способов расчета.
8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Пример 1. Дана ферма пролетом /=54,90 м с 10панелями, ездой поверху и
криволинейным нижним поясом параболического очертания. В 8 панелях фермы
имеются кресты раскосое. Схема фермы с указанием генеральных ра меров при-
ведена на фиг. 13. Обозначаем через X,-—нисходящие раскосы, через У*— восхо-
дящие; обращенные обозначения приняты потому, что ферма имеет езду поверху,
хотя это и не является обязательным.
Элементы
Верхний пояс
Нижний пояс
Восход, раскосы
Нисход. раскосы
Стойки
Обозначе-
ния
Ог
О,
03
О,
о,
и,
и,
У*
у,
у,
Хг
Хг
X,
х&
V,
Расстояние моментных точек для раскосов:
от левой опоры:
а2 = 1,57 м
а8= 6,55 „
а4= 21,94 „
а5 = 109,85 „
Плечи раскосов относительно моментных точек:
гХя = 4,78 м
гХ9 = 13,50 „
гх4 = 31,05 ,
гхв = 108,00 „
Плечи нижних поясов относительно моментн
косах Xi):
гп% -4,62 м
rUl-6,30 ,
Длина ( Площадь се
5,49 м
5,49 .
5,49 „
5,49 „
5,49 „
6,16 м
5,91 „
5J1 „
5,57 „
5,55 „
6,10 м
7,37 .
8,50 .
9,24 „
7,37 м
8,50 „
9,24 „
9,50 „
2,81 м
4,99 .
6,55 ,
7,49 „
7,80 .
от правой опо
ьг^
&з =
&4 =
56,47 м
61,45 „
76,84 „
Ьв= 164,75 „
Гу2 =
ГУг =
Гуй =
'л =
5,76 ж
15,60 „
33,80 „
111,40 „
чсния F
403 см*
425 „
425 „
449 „
449 „
392 см*
376 „
357 .
357 „
357 „
34 см*
37 „
38 „
42 „
30 см2
37 „
38 „
42 „
62 см*
109 „
154 „
154 „
154 „
ры:
х точек (при отброшенных
Гц4 =
ru,=
=7,36 м
= 7,71 „
31

А* РАСЧЕТ РАСКОСОВ
Первый способ (точный). Канонические уравнения имеют вид;
Хгбг% + X3Aj3 + Яд, =* °
Xarf82 + ^3^33 +^4^34 + $3р = О
Ха<Ц + ^4^44 + ^5^45 + <*4р = О
*4rf64 + *5d5o + 'Мбб + Sbp — О
ЗД5 + *7<>44 + Хьви + fy - О
-^7^34 + ^33 + ^Аз + ^ = О
5,'54.4'3.3;2
у л1 5* в 7 3 а **
Фиг. 14.
При этом линии влияния 32р до $ьР зеркально-обратны линиям
влияния 6Ьр до д9р, а потому достаточно построить только четыре
диаграммы Виллио \ Уравнения содержат всего 8 коэфициентов ош
1 Или применить равносильные способы определения 6tp.
за

подсчитываемых по формуле <Jtt=s<2S/St—. Подсчет ведется йо
F
таблице I, помещенной ниже. (Модуль упругости принят условно
равным 1).
Суммированием получаем из таблицы значения:
#22 = 40,5 см 62Z = 1,039 см
d33-42,79 „ rf34 = 2,001 .
6и~ 50,75 „ дАЬ = 2,820 „
Л» =50,0 „ tf6e*= 3,080 „
Фиг. 14-а.
Линии влияния б{р находим построением диаграмм Виллио, ис-
пользуя вычисленные в таблице значения удлинений стержней.
На фиг. 14 даны для примера две такие диаграммы, а на фиг. 15
линии прогиба грузового пояса, т. е. линии влияния 6ipt получен-
ные из диаграмм.
о Расчет ферм. 33

Решая канонические уравнения способом подстановок, находим
выражения для X,:
10*. Х6 = 0,000832 ввр + 0,0324 д8р — 6,95d7j) + 12,45 66р — 201,0 бЬр+
+ 11,28 61р - 0,525 <S3p + 0,0135 62р;
Фйг. 15.
10*. Х4 = — 0,21 д2р + 8,2 б3— 175,0 Sip - 494 Х5;
10*. Х3 = 6,02 rf2p — 234 rf3_ — 520 Х4;
10*. Х2 = — 246 Л,„ — 257 X,.
Подставляя вместо rf,p оряинаты их линий влияния из фиг. 15,
получим линии влияния для X,, изображенные частично на фиг.
16—17.
34

Усилий во встречных раскосах Yi находятся из уравнения:
Xrm+Yr9 = M.
Соответственные линии влияния даны на фиг. 18—19.
Выполнение подсчета по этому способу потребовало около
4 дней работы, не считая проверки.
^ Фиг. 16.
^>
i
ВторЪй способ (усеченный). Отбрасывая коэфициенты 6i1t
при izfck, приводим каноническую систему к виду:
°2% ^83 °44 д55
где 6и и dip сохраняют те же значения, что и прежде.
Линии влияния для Х( получаются непосредственно из линий
влияния 6.р (фиг. 15) путем деления их ординат на д#; они изоб-
ражены на тех лее фиг. 16—19.
Этот способ избавляет от длительной процедуры решения ка-
нонических уравнений, но вся предварительная вычислительная
работа сохраняет почти тот же объем, что и прежде. Подсчёт по
этому способу отнимает около 2 дней.
Третий способ (срезки). Самостоятельного интереса не
представляет, так как сводится к замене правой ветви линий влия-
ния прямым отрезком.
Четвертый способ (отбора). Расчет ведем по формулам (15).
Никаких предварительных расчетов не требуется.
36

Так как ферма имеет параболическое очертание, то можно
было бы подсчитать L и М по формулам (14):
L(2) = -ОД25; М(2) = 10"~2 + 1 = 4,5.
v ' 10 — 2 v ' 2
Подставляя в (15), имеем
0,125» ~~~^ 17,75 + 0 + 0,125.2,81 -4,58
А «= 4- 7 37 2>81 ™ =
* L 7,37*.24,5 + 6,10a ■ 17,75+ 2,81». 4,58+ 4,99s • 4,56 J
= + 0,1075.
4,5 . '^~ . 17,75 + 10 • 4,99 . 4,56 + 4,5 . 2,81 . 4,58
Ва--7,37 ->В1-1 — - = — 4,65.
а [7,37». 24,5+6,10*. 17,75+ 2,81*. 4,58+ 4,99» • 4,56 J
36
Фиг. 17.
Раскос Х%.
1Я=*7,37 м /*,_! = 2,81 м
/,=-6,10 , Л, = 4,99 „
Ах = -£- - 24,5 cu-i; Л, = 17,75; Д, = -А- = 4,56; Л„ = А- = 4,58;
L(1) = 0; L(2) = 2-2-81-1'4." = о,125
M(l) = 10; M(2)^9-4,99-8.2,81^
V w 4,99

Откладываем эти отрезки на опорах А и В и строим линию
влияния Х%, как в простой раскосной системе.
Следует отметить, что формулы (15) однородны как относи-
тельно длин элементов /А, так е относительно дробей —=АА, а по-
тому можно выражать их в различных единицах. Особенно удобно
брать длины в метрах, а Хк в смг\ как это и принято в предыду-
щем расчете. Я£
Фиг. 18.
Раскос Х8.
/^ «=8,50 м Л^!^ ft2 = 4,99 м
1У «7,37 „ Л. = Л8 = 6,55 „
Хх = 22,7; Л, = 19,7; Xv - 4,58; Х9 - 4,24,
3-4,99-2^55^!^^ 28
V ' 6,55 10 — 3
Ajf /Qx 8 • 6,55-7 . 4,99 10—3+1 0 Д7
Г 7 373 1
0,286 -~— . 19,7+ 0,125* 6,55-4,58+ 0,286-4,99-4,24
Л8 - + 8,50 ^ ' -
8 L 7'378' ^Д +8,50* • 22,7+ 4,992* 4,24 + 6,55» > 4,58 J
= +0,263.
Г 7 372 1
2>б7~^Г 4 Г9,7 + 4,5- 6,55-4,58 + 2,67.4,99.4,24
B9 = -S,50 1£ U
L 7,372 • 19,7 + 8,502 • 22,7 + 4,99* • 4,24 + 6,552 • 4,58 J
--2,15.
37

Раскос Х4.
38
Фиг. 19.

Раскос Хь.
/, = 9,24 „
Я,-22,4; Л„ = 21,9;
ftM = Л4 = 7,49 ж
Л, = Л5 = 7,80 „
X, = 4,85; Я№ - 5,05.
i(5) =
5*7,49 — 4-7,80
7,80
10-
-=0,80.
-5
Аъ - + 9,50
м 6.7,80-5^7,49^ Ш-5 + 1 _ j ^
v 7,80 5
9,24*
0,80 ■-—■-- 21,9+0,50-7,80 • 4,85 + 0,80 ■ 7,49 • 5,05
9,502 • 22,4 + 9,242 ■ 21,9 +7,80»*■ 4,85 +7,492 • 5,05
- + 0,527.
9 24а
1,20 —"^"21,9+ 1,75 . 7,80 -4,85 + 1,20 • 7,49 • 5,05
7 ?4У
5 '" ' 9,502-22,4+ 9,24*-21,9+7,802-4,85+ 7,49*-5,05
= —0,875.
Линии влияния для Xt приведены на тех же фиг. 16—19.
Особым достоинством этого способа следует считать отсут-
ствие каких-либо вспомогательных вычислений, как-то: определе-
ния моментных точек, плеч элементов и т. д. Как видим, в фор-
мулы (15) входят только длины и площади стержней, т. е. основ-
ные генеральные размеры фермы. Весь расчет укладывается на двух
страницах и отнимает около 1 часа.
Пятый способ (жесткостей).
Имеем:
<Ръ
откуда
1х,
<iPx, = 0,0440
9xt = 0,0414
ер*. =0,0444
фх,
0,0412
<fiy, =
Fy,
ly.
(py, = 0,0508
rpyt = 0,0450
<pyi = 0,0467
0,0562.
Проверка:
4>х, -Г <РУ,
ipx, = 0,464
** = 0,479
4>x, = 0,488
0,424
<py,
Vy, =
<fx, + Vy,
Фу, = 0,536
fy, = 0,521
tpyt = 0,512.
= 0,576
V>xt + П>у, = 1 •
Опорные отрезки линий влияния раскосов X, выражаются:
r*i
В? =
T*i
■Фх{
Vxt
30

Для раскосов У,:
Фиг. 20.
40
Составляем таблицу:
i
2
3
4
5
0,328
0,485
0,705
1,02
bi
11,80
4,54
2,47
1,52
Ух(
0,424
0,464
Af
0,139
0,225
0,479 0,338
0,488
0,498
в4*
5,00
2,104
1,18
0,742
! m
0,273
1 0,42
0,648
1 0,984
i
bi
ГУ(
9,78
3,94
2,27
1,48
bt
0,576
0,536
0,521
0,512
Af
0,157
0,225
0,338
0,503
B4*
5,62
2,108
1,18
0,768

По опорным отрезкам А0 Bt строим линии влияния сразу для
раскосов обоих направлений. Подсчет по этому способу занимает
около 30 минут.
Фиг. 21.
Еще проще производится расчет, если воспользоваться форму-
лами (24') для параболической фермы. Имеем:
1 7 Т7 9 7 Я7
Д'* = Т ~Ш ■ °>т-°'т> В**"Т- tif0'424-5'004
А3у= у ■ уу • 0,576 = 0,157; BJ - у • уу- • 0,576 - 5,616
2 8 50 8 8 50
A*x=aT"i~w~ •°>464=o>225; в»ж=у--^"'0,464==2,104
А'* = Т-1% 0.536=0,226; bj,.±.1£L. 0,536 = 2,108
«з О ОА 7 Q 24
Л*х = у • ууг • 0,479 =0,338; В4* = у • у^г • 0,479 =1,175
41

Линии влияния построены на фиг. 16—19.
Фиг. 22,
В таблице II приведены значения ординат и площадей линий вли-
яния раскосов, подсчитанных разными способами. При оценке резуль-
татов следует иметь в виду неизбежную практическую неточность
1-го, так называемого „точного", способа. В большинстве случаев
все остальные способы дают результаты очень сходные между собой
и достаточно близкие к „точным". Более значительное отклонение
дают лишь 4-й и 5-й способы в узле, ограничивающем справа панель
42

Фиг, 24.
Отрезки Ai и В{ соединяем с противоположной опорой и сре-
заем полученный треугольник в пределах данной панели (фиг. 20—23),
44

данного раскоса, как следствие применения срезки. Как видем, 4-й
и 5-й способы дают примерно одинаковую и вполне достаточную
точность; поэтому из них следует остановиться на простейшем —
именно, на 5-м способе (жесткостей).
Фиг* 23.
Б. РАСЧЕТ ПОЯСОВ
Способы 1 — 5. Построение линий влияния поясов по этим
способам ведется по формулам (25)
£/-[/ —Х^,
0 = 00 — Хг-^,
а потому не требует пояснений. На фиг. 20 — 23 приведены линии
влияния поясов, подсчитанные по 1-му, 2-му и 5-му способам.
Способ 6 (средних точек). Расчет ведем по формулам (30'):
°*: ^W^'M9 = 2'11; в» = ^Г^-5'49 = 11'92:
43

В таблице III помещены ординаты и площади линий влияния
поясов, построенных по способам 1, 2, 5 и 6. Из таблицы видно, что
способ 6 (средних точек) во всех случаях дает значения весьма
близкие к точным.
Фиг. 25.
В. РАСЧЕТ СТОЕК
Способы 1—5. Расчет линий влияния стоек проведен по фор-
муле (31), используя ординаты линий влияния Xt и Y0 подсчитанных
rto способам 1, 2 и 5. Результаты построения приведены на фиг.
24 — 26.
Седьмой способ (треугольника). Расчет состоит в нахож-
дении ординаты линии влияния под данной стойкой, пользуясь фор-
мулой (34). Это ордината соединяется со смежными узлами прямыми
линиями.
Числа L(i) и N(i) дЛя фермы параболического очертания опре-
деляются по формулам (330
L(1)=0; L(2)-~; L(3) = y; Г.(4)«|; L(5)-|;
45

Поэтому:
Фиг. 26.
46

Линии влияния, построенные этим способом, приведены на тех
же фиг. 24 — 26. Кроме того, в таблице IV помещены ординаты и
площади линий влияния стоек, подсчитанных способами 1, 2, 5 и 7.
При сравнении табличных значений следует помнить, что в спо-
собах 1—б ординаты получаются как разность двух чисел, близких
друг к другу по величине. Поэтому точность результата неизбежно
оказывается сильно пониженной, чем и следует объяснять значитель-
ные подчас расхождения весьма малых ординат. Напротив, главная
ордината каждой линии влияния получается сходной при всех спо-
собах, включая последний. Равенство нулю ординат во всех узлах,
кроме основного, при способе 7 отчасти компенсируется тем, что
основная ордината при этом способе получается несколько большей,
чем при точном способе. Как и для прочих элементов фермы „точ-
ные" способы не окупают затраченного на них времени, так как
даваемая ими повышенная точность ненадежна и не имеет практи-
ческого значения.
§ Узлы
/7ан£Ан
Фиг. 27.
Пример 2. Рассмотрим еще пример применения упрощенных способов рас-
чета к ферме с параллельными поясами. Дана ферма с 6 панелями (фиг. 27), имею*
щая крест в каждой панели. Так как целью примера является показать применение
расчетных формул» то сечения элементов для простоты приняты одинаковыми во всех
панелях. Обозначая через Хг- — восходящие раскосы, Y{ — нисходящие, положим:
Fx - 60 см2; Fy = 40 см2; Fv - 100 см2; FU = F0^ 120 см2 в панелях 1, 2, 5 и 6,
hF0 = Fu ~ 150 см2 в панелях 3 и 4.
Генеральные размеры:
/-=24,0 м} rf=4,0 м, h =6,0 м, 1х^1у^1,22 м, sin <p =0,832.
Точного расчета излагать не будем, ограничиваясь приведением готовых линий
влияния.
А. РАСКОСЫ
Пятый способ (формулы 24).
Для ферм с параллельными поясами L(i) = M(i) — 1. С другой
стороны
-J-^^JL * = F* = 60
Л,_х sin у' ^ Fx + Fy 40+60
од »¥ =
Л —
40
Fm + F*
40 + 60
«0,4,
а потому для раскосов X/.
для раскосов Y.:
0,6
—Д.-Б, = —'— = 0,721,
* г 0,832 ' '
А. = -£,=
0,4
0,832
- 0,480.
47

Б. ПОЯСА
Шестой способ (средних точек, формулы 300. Для ферм
с параллельными поясами формулы принимают вид:
Поэтому имеем:
Фиг. 28.
Приближенный способ* Точный способ (1-й).
48
В. СТОЙКИ
Седьмой способ (формула 35):

На фиг. 28 изображены линии влияния, подсчитанные по перво-
му способу (точному) и вышеприведенным упрощенным способам,
причем линии влияния стоек определены через линии влияния рас-
косов по формуле (31).
Приближенный способ Точный способ (1-й)
Фиг. 28а.
Фиг. 286.
Так как ферма имеет небольшое число панелей -шесть,то расхожде-
ния местами достигают более значительных величин, чем в примере 1.
4 расчет ферм» 4У

Т А Б
Стержни
-0,678
-0,710|
-0,744
-0,825|
1,0
0,296
0
О
О
О
О
О
S<
О
О
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
525з
S3S4
S^Sk
|0,459
0,504
10,554
0,680
1,00
0,08761
О
О
О
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
-0,771
—0.672
-0,642
0>862
1,0
—0,584
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,228
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о
0
0
0
о
0
0 1
0
0
0
0
0
0
-0,809
—0,603
—0,594
0,94
ЬО
—0,709
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,472
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о 1
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
-0,8211
-0,584
-0,578
0,961
1,0
0,78
0,5820
10
О
о
Ю
о
о
о
о
о
о
о
-0,78
-0,5841
-0,578
0,961
1,00
-0,821
0,582
О
О
О
О
О
О
О
О
о
о
о
о
-0,2961
-0,710
-0,744
-0,825
1,00
-0,6781
О
О
о
о
о
о
-0,584|
-0,672
-0,642
0,862
1,0
0,771|
О
О
о
о
о
о
-0,709
-0,603
0,594
0,94
1
-0,809]
О
О
О
О
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
_0_
о
о
о
о
о
J)_
о
о
о
о
о
о
0,472
0,228 —
SO

л и
s<»
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
J)
0,654
0,365
0,352
0,886
1,00
0,503
0
0
0
0
0
_0
0
0
0
0
0
J)
—
—
_
—
—
Ц A
SJ
о
0
0
0
0
_0
0
0
0
0
0
_0
0
0
0
0
0
J)
0,675
0,341
0,335
0,924
1,00
i
/
p
4,56
1,57
1,29
1,782
24,40
4,56
4,56
1,60
1,29
19,70
22,72
4,24
* I
5aa—
F
2,097
0,79
0,715
12,10
24,40
,0,40
0
0
0
0
0
0
4,24 ! 0
1,56 0
1,225 0
22,21
24,18
4,85
4,85
1.555
1,225
21,90
22,50
0,608 5,06
0,638
0,341
0,335
0,924
1,00
0„675
—-
—-
Mill
—
—_
0
0
J)
0
0
0
0
0
0
e I
\st*—
F
0
0
0
0
0
0
2,704
0,724
0,531
14,66
22,72
1,45
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
_0
F
0
0
0
0
0
_0
0
0
0
0
0
_0
2,78
i /
V—
0
0
0
0
0
J)
0
0
0
0
0
_0
0
0,602! 0
0,431
19,70
24,18
2,44
0
0
0
0
0
0
0
0
0
_0
3,28
0,53
0,411
20,21
22,50
3,08
/
s*ir
aF
— 3,10
— 1,П5
— 0,96
14,70
24,40
— 1,35
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
I
s8~-
8 F
0
0
0
0
0
0
— 3,507
— 1,074
- 0,828
17,00
22,72
— 2,48
0
0
0
0
0
_0
0
0
0
0
0
0
'*-- У - 2,001
2 S4S$ I
бц w= ———-— *» 2,828
,„_JEJ^I_3.oe
<fM« —-40,502
F
** = -— —-42,782
F
д i =50,753
*•»- ^--50,001
/
s^r
F
0
0
! 0
! 0
0
0
0
0
0
0
0
0
- 3,43
— 0,941
- 0,727
20,88
24,18
- 3,44
0
0
0
0
0
0
I
$Г7Г
* F
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
- 3,98
- 0,906
— 0,708
-21,04
22,50
- 3,94
51

52

я

54

w

«

ПРИЛОЖЕНИЕ
ИНСТРУКЦИЯ
К РАСЧЕТУ ФЕРМ С КРЕСТОВОЙ РЕШЕТКОЙ
S 1. Настоящая инструкция относится к расчету ферм, обладающих^ во всех
панелях или только в части панелей двумя встречными раскосами и стоиками во
всех |3£а^асчет ф такого типа может производиться по обычным правилам рас-
чета статически-неопределимых систем. В виду громоздкости такого способа расчета
и связанной с нею возможности накопления ошибок, уменьшающих надежн°^ь т°ч-
ного способа, настоящая инструкция дает упрощенные способы расчета, ооладаю-
щие вполне достаточной точностью при значительной простоте обРа^ния.
S 3. Инструкция дает правила упрощенного построения линий влияния цля[всех
элементов ферм с крестовой решеткой, рассматривая по порядку раскосы, пояса
и стойки.
L
Фиг. 1.
« 4 Пои построении линий влияния усилий одним из точных способов реко-
мендуется XoSmb поверку путем сравнения с результатами, даваемыми одним
из нижеприводимых упрощенных способов.
§ 5. ОБОЗНАЧЕНИЯ.
Поелполагаем, что ферма обладает одним прямолинейным поясом, в уровне
которого происходит езда, при произвольном выпуклом очертании другого пояса.
Обозначим чер^Х-усилие в раскосе /-ой панели, идущем от узла прямого пояса
к сепелине поолета а через К,— усилие во встречном раскосе той же панели.
V«epyeM Узлы фермьь принимая'опо'рный узел за нулевой, и обозначаем:
If, У—длины раскосов Х{, У,-.
hi—высота стойки V, в i-ом узле,
p*t Ff>t Ffv—площади сечения раскосов X,-, Y{ и стойки V*
4>i"
<pf.
<p?
<pf + Viv
zVi".
57

§ б. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ РАСКОСОВ
Н . опорах А и В откладываем отрезки А{ и В0 соединяем их концы с проти-
воположными опорами прямыми линиями и проводим переходную прямую в пре-
делах юй панели, в которой расположен данный раскос, вполне аналогично с по-
стро чшем линий влияния раскосов в простых раскосных системах (фиг. 1). Орди-
наты А и В откладываются на каждой опоре в ту сторону, в которую обращен
ближайший к данной опоре конец раскоса, т. е. соответственно вниз или вверх ^фиг. 2).
Опорные отрезки определяются одним из следующих способов.
СЖ
МП)
fli
J* fli
is.
Фиг. 2.
Первый способ, основанный на упрощении и преобразовании точного
аналитического способа расчета. Для ферм произвольного очертания (см. § 4).
Раскос Х{:
А?~Ь*
Bf-lf
L{,)1T7f? +L(i_1) ~f^T +Ш) ~f~^
{Iff (УУ h?hi-i . й'<-Л
F? F? ■ Р,'_г F",
м (От—гтг + Л! (i-1)—— + M (i)—=rr-
%-^?
Fl
Здесь:
{Iff ■ WO» ■ h?h,_* h^h,
Ff F(v Fiv_x Ft*
(1)
L(<) =
hi
M(i):
(n—f+1) ft<— Cn—Qft<—i
ft*
(2)
где: f — номер панели, в которой находится данный раскос,
л — число всех панелей в ферме. Длины и площади в формулах (1) можно
брать в разных единицах.
Для ферм параболического очертания имеем:
L(i) =
i — l
Af(0-
n—i+\
n-f ■ l
Для ферм с параллельными поясами формулы (1) принимают вид:
1L
F?
А?>
■Bf
;+Gfer+J^° ,
Sin©
(3)
(4)
53

(5)
где О — угол наклона раскоса к горизонту. Знак (—) перед В< означает, лишь то
что отрезки А$ и В( откладываются в противоположные стороны, истинное же
направление обоих определяется по правилу, данному выше (фиг. 2).
Раскос Y{. Ферма произвольного очертания:
ft*-! If
If If I
Bf^^ .M{i)-Bf-^x
ft*—1 I*
где Af, В^ определяются по формулам (1), a L (/)> M(i) — по формулам (2) или (З).
Для ферм с параллельными поясами:
^--^-аЬ--*"' (6)
где Af определяется по формуле (4).
Знаки ординат Af> Bf в формулах (5) и (б) определяются по правилу, дан-
ному выше; Aft Bf в этих формулах берутся по своей арифметической величине.
Удобство этих формул в том, что они не требуют никаких предварительных
вспомогательных вычислений, как-то: плеч элементов, углов, моментных точек и т.д.
Второй способ. Этот способ заключается в распределении нагрузки меж-
ду обоими встречными раскосами пропорционально их площадям сечения и обратно
пропорционально длинам. При обозначениях § 5 коэфициенты распределения име-
ют вид:
F* Fv
\рю и»
р
I*
<р* -\.<рУ
<f+<pv
—+ —
Для построения линий влияния раскосов следует найти точку пересечения
обоих поясов той панели, где расположены данные раскосы и построить линию
влияния момента относительно этой точки. Для получения линии влияния раскоса
Х( ординаты этой линии момента следует разделить на плечо раскоса Xt относи-
тельно моментной точки и умножить на коэфициент xpf> а для получения линии
влияния Yi—разделить те же ординаты на плечо раскоса Yt и умножить на коэфи-
циент уЛ
Нахождения моментной точки, построения линий моментов и определения плеч
раскосов можно избежать, если воспользоваться готовыми формулами для опорных
ординат Af, Bf, Af и В/, имеющими следующий вид.
Для ферм произвольного очертания:
Раскос Х£
U
hi-г
L (0 ■ *Д Bf
Af = -
Раскос Yji
Af=-^-L(i)>yf, В?
If
Af(0-W
(7)
M(t)-vf
обозначения, поясненные
где L(f), M(i) определяются по формулам (2), a yf, yf-
выше.
Для ферм параболического очертания L (/) и М (/) определяются по фор-
мулам (3).
Для ферм с параллельными поясами формулы (7) принимают вид:
Раскос Xf.
v>f 1
Af = —Bf <**—--
Раскос Y{.
Af—Bf-
sln0
sin©
1
Ft' + F*
F/>
sine sine Ff + Ff)
(8)
-w

Знаки ординат АД А?% ВД В? в формулах (7) и (8) берутся по тому же пра-
вилу, что и раньше.
Фиг. 3.
*0
Фиг. 4.
§ 7. СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ПОЯСОВ
Этот способ заключается в условном принятии моментной точки для элемента
пояса в середине панели со срезкой вершины треугольника в пределах данной
панели.
Правило построения линии влияния по этому способу принимает такую
форму:
На опорах А и В откладываем отрезки At и Bt вверх для растянутого пояса
и вниз—для сжатого. Концы отрезков соединяем прямыми линиями с противополож-
ными опорами. Вершину полученного в пересечении этих линий треугольника
срезаем прямой линией в пределах той панели, где расположен данный элемент
пояса (фиг. 3).
Отрезки Ai и Bi для поясов определяются по формулам:
(2/ — 1)// (2л —2f + l)ff
Ai-
A*_i +ht
Лг*„! ~f hi
(9)
где It—длина того элемента пояса, для которого строится линия влияния. Эти
формулы одинаково применимы для ферм любого очертания. Для элемента прямого
горизонтального пояса вместо 1{ следует подставить длину панели d.
8 8. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ
СТОЕК
Первый способ. Линия влияния усилия в стойке V* получается как
алгебраическая сумма трех линий влияния:
Vi = Pi - Yi sin у* - Xi+X sin xi+1 (10)
Здесь Pi — линия влияния местной нагрузки, имеющая для промежуточных
стоек вид треугольника, распространенного на две смежных с данной стойкой па*
60

нели, с ординатой 1 под стойкой; У\ и Х^+х — линии влияния раскосов, вычислен-
ные по правилам § 6; у< и xi+1 —углы наклона тех же раскосов к горизонту.
Второй способ. Линия влияния усилия в промежуточной стойке V^ имеет
вид треугольника, распространенного на две смежные со стойкой панели, с орди-
натой Zi под стойкой. Ордината Z* вычисляется по формулам:
Фиг. 5.
Для ферм произвольного очертания:
Z, = ± \l - L (0 (1 - ±\ tf + N(f) • -£ • Vt*+1X\,
(И)
где L(i) вычисляется по формуле (2), у# и vV+i — обозначения, введенные в § 4,
а N(0 определяется из:
(n-i-l)hi+1-(n-i — 2)ht
hi
Для ферм параболического очертания имеем:
f-1 j+l , n-l-2
N(i)>
(12)
L(/) =
N(i).
n—i " i(n-i) i
Для ферм с параллельными поясами формула (11) принимает вид:
*-=l:[l-{(l-£}W + £«•*}].
(13)
(14)
В этих формулах X — раскос, идущий от узла ездового пояса по направлению
к середине пролета. Знак (+) в формулах (11) и (14) берется при езде понизу,
знак (•—) при езде поверху,
§ 9. СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ КОНЦЕВОЙ СТОЙКИ
а) При езде понизу. На опоре откладывается ордината:
Z0~ - tpf (15)
где Уг — нисходящий раскос опорной панели. Эта ордината соединяется прямой
линией с противоположной опорой и полученный треугольник срезается в пределах
первой панели (фиг. 4).
б) При езде поверху.
На опоре откладываются два отрезка:
Z0"~ - 1 + .:_ J. F°-, — > <16>
л*)8
Fi*
^0
, ал3 , Au'Ai
PJ FJ
1
,w 1
1 /v )
причем здесь Хх — нисходящий раскос первой панели. Отрезок Z0' соединяется
с противоположной опорой, а отрезок Z0"— с узлом № Г полученного таким об*
разом треугольника (фиг. 5).
61

§ 10. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ РАСКОСОВ ПРИ ЕЗДЕ ПОВЕРХУ
Линии влияния строятся как обычно по формулам § б, после чего ординаты
узла № 1 соединяются прямой линией с опорной ординатой A0t вычисляемой по
формулам (фиг, 6):
для нисходящего раскоса Х{.
Фиг. б.
С»*)»
для восходящего раскоса У{.
AJ.
Fxx
рх
W
(W
Ff
V/ii , Ai*Ao
/V
w>* wr.mx.hfb
Ff f Fx'
+
Fo"
(17).
§ 11. В случае если какой-либо раскос не выдерживает поверки на устойчи-
вость при сжатии, то встречный раскос должен быть проверен на полное растягива-
ющее усилие, а обе смежные стойки—на полное сжимающее усилие, подсчитанное
как для простой раскосной решетки.
62

Щ| ЦЕНТРАЛЬНОГО НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО НЛП Я1 I
I ИНСТИТУТА ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА I Г 11 j M
ВЫШЛИ BCBETi
1. К вопросу об установлении наивыгоднейшей системы овладения грузо-
оборотом при проектировании ж.-д. 124 стр. Ц. 2 р. 50 к.
2. Технические условия проектирования ж.-д. линий магистрального зна-
чения с паровой тягой. 144 стр. Ц. 40 к.
3. Установление наивыгоднейшей скорости движения на руководящем
подъеме при электровозной тяге. 24 стр. Ц. 50 к.
4. Полевые работы на железнодорожных изысканиях (наставление к про-
изводству работ). 44 стр. Ц. 60 к.
5. Справочник изыскателя (справочн. полевая книжка по изысканиям
жел. дор.). 148 стр. Ц. 65 к., в перепл. 80 к.
6. Скоростные подъемы (руководство для проектирования при переу-
стройстве ж.-д. линий). 56 стр. Ц. 1 р. 50 к.
7. Тяговые расчеты (практическое пособие при проектировании жел.
дорог). 100 стр. Ц. 2 р. 50 к., в перепл. 2 р. 80 к.
8. Таблицы для подсчета земляных работ. 80 стр. Ц. 1 р. 50 к.
9. Земляное полотно. 64 стр. Ц. 1 р. 50 к.
10. Укладка пути зимой. 31 стр. Ц. 50 к.
11. Испытание деревянных ферм на кольцах Тухшерера. 20 стр. Ц. 75 к.
12. Нормы для определения числа паровозов и размеров тяговых обу-
стройств при спаренной езде. 24 стр. LL 30 к.
13. Нормы расчета стока поверхностных вод ЦИС. 1931 г. 50»стр. Ц. 7 к,
14. Опытный мост Киевского бюро ЦИС НКПС и результаты его иссле-
дования. 280 стр. Ц. 4 р.
15. Технические условия проектирования железных дорог магистрального
значения с электровозной тягой. 100 стр. Ц. 1 р.
16. Наставление к производству тяговых расчетов при электровозной тяге.
48 стр. Ц. 75 к.
17. Составление плана зимних работ (врем, наставл.). 36 стр. Ц. 60 к.
18. Производство земляных работ в зимнее время. 24 стр. Ц. 40 к.
19. Производство работ в тепляках (наставление). 64 стр. Ц. 1 р. 25 к.
20. Генетические типы залежей баластных материалов. 64 стр. Ц. 1 р. 20 к»
21. Воздушная съемка на железнодорожных изысканиях. 88 стр. Ц. 1 р. 60 к.
22. Кольцевые соединения. 54 стр. Ц. 1 р.
23. Проектирование вантовых мостов. 64 стр. Ц. 1 р. 25 к.
24. Исследование сварных конструкций. 130 стр. Ц. 2 р. 50 к.
25. Тяговое хозяйство электрических железных дорог. 16 стр. Ц. 15 к.
26. Технические условия проектирования ж.-д. нормальной колеи на те;пре
военных действий (продажа в Институте).
27. Справочник изыскателя, издание 2-е. 182 стр. Ц. в перепл. 3 р. 95. к.
28. Деревянные трубы под жел.-дор. насыпями. 78 стр. Ц. 2 р.
29. Теория стока поверхностных вод.
30. От паровоза к электровозу. 32 стр. Ц. 50 к.

ТЦЦ 111 I ЦЕНТРАЛЬНОГО НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ЯПЦЛ! I
V У Л к| ИНСТИТУТА ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА |Г W 11 KI
НАХОДЯТСЯ В ПЕЧАТИ.
1. Смягчение уклонов.
2. Экономика узкоколейных жел. дорог.
3. Схемы малых станций.
4. Эксплоатационные расходы для сравнения вариантов при проектиро-
вании жел. дорог.
5. Расчет ферм с крестовой решеткой.
6. Об устойчивости стержней в статических неопределимых системах.
7. Трансирование жел.-дор. линий при неблагоприятных геологических
условиях.
8. Наставление по торкретированию.
9. Теодолит на предварительных изысканиях и изыскательский геоин-
струмент.
10. Экономический анализ металлических жел.-дор мостов.
Редактор И,
Уполн.
Тираж
Главл
3250
Тужилкин.
. Б-17382.
экз. Разм.
Огиз
бум. в
Техн
. 1443 Т 02-Б
62x94—4
п. л.
ред. В
Vie-51.
. Н.
Чернякова.
Заказ № 3380.
728
зн. в печ. л.
Сдано в набор 21/11—32.
Подп. к печати 26/1V—32.

1 p. 40 к.
И1Д1ММЛ Гостраисиадата
продаются а машинах
Книгообъодииаиия
ОГИВа
■дииичиыа аиаомпляры
высылает наложенным
платежом
МН мига -почтой •
Масивав 14.